Manual de Matematică pentru clasa a III-a a institutelor pedagogice

Citation preview

M anual de M atem atică pentru

clasa a IH-a a institutelor pedagogice de Valeriu Suciu

Niculae F. Negrujiu

prof. la inst. ped.

prof. gimn.

Manual aprobat pentru Institutele pedagogice cu limba de propnnere română, şi tipărit cu ajutorul înaltului Minister reg. ung. de culte şi instrucţiunea publică conform ord. Nr. 109209—1916.

E d itu ra a u to rilo r.

Balázsfalva 1916. Tipografia Seminarului teologic greco-catolic. Balársfalva

F r e ţ u á cor.

M anual de M atem atică pentru

clasa a IlI-a a institutelor pedagogice de

Valeriu Suciu

N iculae F. Negruţiu

prof. la inst. ped.

prof. gimn.

Manual aprobat pentru Institutele pedagogice cn limba de propunere română, şi tipărit cu ajutorul înaltului Minister reg. ung. d« culte şi instrucţiunea publică conform ord. Nr. 109209—1916.

E d itu ra a u to rilo r.

B a lă z s fa lv a

1916.

Tipografia Seminarului teologic greco-catolic. Baláisfalva

BCU Cluj-Napoca

I. Aritmetică.

SECŢIUNEA I.

Mărimi proporţionale. Proporţionalitate. 1. Noţiunea şi speciile mărimilor proporţionale. Un proprietar îşi rigolează pământul destinat pentru sădirea viei. Făcând calcul observă, că de aplică mai mulţi lucrători, plăteşte mai mult şi de aplică mai puţini lucrători plăteşte mai puţin la. zi. în schimb dacă aplică mai mulţi lucrători, isprăveşte mai curând, dacă aplică mai puţini lucrători, rigolarea durează timp mai înde­ lungat. în cazul acesta proprietarul a asămănat numărul lucrătorilor cu mărimea plăţii şi cu timp.ul de lipsă pen­ tru isprăvirea lucrului intenţionat şi a observat, că schimbându-se ori-care din acestea 3 mărimi urmează, şi schimbarea celoralalte două, scăzând ori crescând In mod propoţional, după natura mărimilor, adecă de câteori creşte o mărime de atâtea-ori creşte ori scade şi cealaltă mărime, ori scăzând una scade, respective creşte şi cealaltă. M ărimile, cari, dacă se schimbă tina, fa c să se schimbe şi celelalte, se numesc mărimi dependente. Mărimi dependente sunt număr.ul lucrătorilor şi mă­ rimea ; plăţii, numărul lucrătorilor şi cantitatea lucrului isprăvit, plata şi timpul de lucru şi lucrul isprăvit. Can­ titatea mărfii şi preţul ei. Iuţeala corpului şi calea percursă de el, timpul şi iuţeala, timpul şi calea percursă. Capitalul şi interesul ş. a. » — X

2

Dintre mărimile dependente unele crescând produc creşterea, iar scăzând produc scăderea celeiaJalte mărimi. Astfel de mărimi se numesc mărimi dreplproporţionale, ori zicem, că mărimile se află în raport drept. Bunăoară, mai mulţi lucrători isprăvesc mai mult lucru şi câştigă mai multă plată, iar lucrători mai puţini isprăvesc lucru mai puţin şi câştigă mai puţin. Dacă creşterea unei mărimi aduce cu sine scăderea mărimii dependente, ori scăderea unei mărimi aduce cu sine creşterea mărimii dependente, atunci mărimile se numesc invers proporţionale, ori zicem, că ele se află în raport invers (întors). P. e. Mai mulţi lucrători ispră­ vesc un lucru în timp mai scurt, iar mai puţini lucrători isprăvesc acelaş lucru în timp mai îndelungat. Dacă trenul progresează cu iuţeală mai mare, ajunge la destinaţiune în timp mai scurt, iar dacă are iuţeală mai mică, face acelaş drum în timp mai îndelungat. Suprafaţă pătratului încă depinde delà mărimea la­ turii, căci suprafaţa pătratului cu lăture mai mare e mai mare decât a pătratului cu lăture mai mică. Tot asemenea şi volumul cubului depinde delà muchea sa, numai cât su­ prafaţa pătratului creşte cu pătratul laturii sale şi vo­ lumul cubului cu cubul muchii sale. Dependenţa aceasta se deosebeşte de dependenţa amintită mai înainte, căci acolo mărimile cresc ori scad simplu la potenţa întâia, pe când la pătrat şi la cub cresc ori scad cu potenţa a doua a laturii, respective cu potenţa a treia a muchii, în celea următoare ne vom ocupă numai cu mărimile simplu proporţionale. Problemele din aritmetica şcolii primare, în cea mai mare parte sunt combinaţiuni de mărimi simplu propor­ ţionale. Probleme: 1. Spuneţi câteva mărimi drept proporţioale de creştere, apoi de scădere.

3

-

2. Spuneţi câteva mărimi invers proporţionale de creştere şi scădere, apoi de scădere şi creştere. 3. Deschideţi aritmetica din şcoala primară şi rezolviţi oral câteva probleme. 2.

Regula de trei simplă.

Cele mai multe probleme de înmulţire şi Împărţire conţin mărimi proporţionale. P. e. 8 m pănură costă 24 K, cât costă 12 m? Ori, 12 zidari isprăvesc un zid în 18 zile, în câte zile isprăvesc acelaş zid numai 4 zidari? Problemele acestea stau din 2 părţi. în partea întâia se afirmă ceva despre legătura dintre 2 mărimi, iar'în a doua se întreabă după legătura dintre alte 2 mărimi de aceeaş natură. Partea Întâia cuprinde a fir­ m area sau condiţiunea, iar a doaua cuprinde întrebarea. în problemele acestea sunt 4 mărimi, dintre cari cu­ noaştem 3, iar a patra e necunoscută şi chiar valoarea ei o căutăm prin întrebarea din partea a doua. Fiindcă în problemele acestea, din 3 mărimi cuno­ scute avem să determinăm valoarea mărimii a patra, regula, ce o folosim pentru rezolvirea lor, o numim regula de trei. Rezolvirea se întâmplă în mai multe feluri. I. Rezolvirea prin conduziune. Problemele, ce le putem rezolvi prin conduziune (deducere) le împărţim în 3 grupe: a)

C onduziune delà unitate la multiplu.

P. e. 1. Un metru de pănură costă 3 K, cât costă 5 m? Socotim aşâ: Dacă 1 m Im 3 K costă 3 K, atunci 5 m costă 5 » x » de 5 ori cât 1 m, adecă: x = 3 X 5 = 15 K 3 X 5 = 15 K. 1*

4

2. Un zidar isprăveşte un zid tn 45 zile, în câte zile isprăvesc acelaş zid 9 zidari? Socotim astfel: Dacă 1 zidar isprăveşte în 45 zile, atunci 1 zidar 45 zile 9 zidari lucrând mai mult pe zi, x ■> 9 » isprăvesc lucrul de 9 ori mai x = 45 ; 9 = 5 zile curând decât 1 zidar, adecă 45 : 9 = 5 zile. R e g u l ă C â n d concludem delà unitate la multiplu, atunci rezolvirea se în tâm ilă prin înmulţire, respective prin împărţire simplă şi anum e: dacă mărimile sunt drept proporţionale, valoarea unităţii o înmulţim cu mul­ tiplul ei, ia r când mărimile sunt invers proporţionale, valoarea unităţii o împărţim cu multiplul ei. b) Concluziune delà multiplu la unitate.

P. e. 1. Cinci metri de pănură costă 15 K, cât costă 1 m? Socotim aşâ: Dacă 5 m 5m 15 K costă 15 K , atunci 1 m costă 1 » x » de 5 ori mai puţin adecă x => 15 : 5 — 3 K 15 : 5 = 3 K. 2. Opt zidari isprăvesc un zid în 5 zile; în câte zile isprăveşte acelaş zid 1 zidar? Socotim aşâ: Dacă 8 zi8 zidari în 5 zile dări isprăvesc în 5 zile, atunci 1 » x * 1 singur zidar are să lucre x = 5 X S = 40 zile de 8 ori mai mult, adecă 5 X 8 = 40 zile. R e g u l ă , ! Câna concludem delà multiplu La unitate, atunci fiin d mărimile drept proporţionale împărţim va­ loarea multiplului cu însuş multiplul, ia r când mărimile sunt invers proporţionale înmulţim valoarea multiplului cu însuş multiplul.

5

• c) Concluziune delà un multiplu Iá ált multiplu. P. e. 1. Cinci metri de pănură costă 15 K , cât costă 20 na? Ca să putem află va­ 5m 15 K loarea celor 20 m, calcu­ 20 » x »1 lăm mai întâiu valoarea 1 m costă 1 5 :5 — 3 K unui metru; apoi din va­ 20 m costă 3 X 20 = 60 K. loarea acestuia concludem la valoarea celor 20 m din întrebare. Stăm deci în faţa unei probleme duple, cs re cuprinde în sine amândouă cazurile de sub a) şi b),

2. 16 lucrători sapă un loc de cucuruz în 5 zile în câte zile isprăvesc acelaş lucru 4 lucrători? 16 lucrători 5 zile 4 »____ x » 1 lucrător 5 X 16 = 80 zile 4 » 8 0 :4 = 20 zile.

Şi în problema aceasta purcedem căutând în câte •zile isprăveşte 1 lucrător, apoi calculăm în câte zile isprăvesc acelaş lucru 4 lucrători.

R e g u l ă .* Când concludem delà un multiplu la alt multiplu, atunci din mărimile p ărţii întâia determinăm valoarea unităţii, apoi cu ajutorul unităţii aflăm valoarea multiplului al doilea. Când concludem delà multiplu la multiplu ne fo­ losim de mijlocirea unităţii şi în problemele de mai sus i-am şi căutat valoarea. Lucrul acesta noi nu-1 inten­ ţionăm, ci îl facem numai din nevoie. De aceea, ca să nu facem lucru superfluu, de comun nici nu calculăm deplin valoarea unităţii, ci numai b indicăm şi calculăm singur valoarea multiplului al doilea. P. e. 1. 20 Kg de marfă costă 32 K ; cât ,costă 15 Kg?

6 -

20 Kg 32 K 15 » x » Purcedem astfel: Dacă 20 Kg costă 32 K , atunci 1 Kg costă de 20 Kg 32K 20 ori mai puţin, adecă I f K, iar 1 » If * 15 Kg de 15 ori mai mult, adecă 15 * 3 2 X 1 5 » 1 1 X 1 5 = 24 K . 20 • x = 24K . 2. 20 elevi se ajung 15 zile cu anumită cantitate de mâncare; câte zile se ajung 5 elevi cu aceeaş can­ titate? 15 zile 20 elevi x > 5 > Procedura e ca în 20 elevi 15 zile problema precedentă, nu­ 15X 20 > 1 > mai că mărimile sunt in­ 5 * 15 X 20 vers proporţionale. 5 x = 60 zile. 3. 35 lh Kg zăhar costă zăhar? In problema aceasta 71 T 852 T, T Kg mărimile cunoscute sunt -2 5 K numeri mestecaţi. îi schim­ 49 X » băm In fracţiuni ordinare, T > apoi căutăm valoarea uni­ 852 T, 71 T tăţii fracţionare din afir­ -2 Kg 25 K mare. Trecem apoi la va­ 1 852 loarea unităţii de întregi, 25X 71 * 2 * de aci la valoarea unităţii 852X 2 1 » fracţionare din întrebare, 25X 71 * în sfârşit la valoarea în­ 1 852X 2 tregii mărimi dîn întrebare. T > 25X 71X 4 * Făcând prescurtările, în­ 852X 2X 49 49 v mulţirile şi împărţirea in­ t *k * 25X 71X 4 * dicată, căpătăm valoarea X = 11 »/» K . mărimii căutate,

7

în şcoala primară problemele după regula de trei se rezoalvă numai prin concluziune. în institutele pedago­ gice însă spre acest scop ne stau la dispoziţie ş\proporţiunile, apoi metodul linear şi procedura numită practica italiană. II. Rezolvirea prin proporţiune. Ştim, că din 3 membri cunoscuţi ai proporţiunii putem determină pe al patrălea. în problemele, la cari aplicăm regula de trei, încă avem de a face cu 3 mă­ rimi cunoscute şi căutăm valoarea celei de a patra. Va să zică, la rezolvirea acestor probleme putem aplică cu succes una dintre legile proporţiunilor. Procedura o ob­ servăm din următoarele 2 probleme: 1. Şase lucrători câştigă 42 K, cât câştigă în ace­ leaşi împrejurări 15 lucrători? Socotim astfel : In prob­ lemă ne stau în faţă 2 rân­ duri de mărimi proporţio­ nale: lucrătorii şi plata (câ­ ştigul). De câte ori e mai 42 X 15 x: = 105 K mare numărul lucrătorilor, de atâtea ori e mai mare şi câ­ ştigul. Facem dară din câştiguri un raport şi din nu­ mărul lucrătorilor alt raport. Acestea raporturi, fiindcă mărimile cresc în acelaş fel, sunt egale. Fiind raportu­ rile egale le împreunăm cu semnul egalităţii şi căpătăm o proporţiune, din care, după o lege cunoscută a pro­ porţiunilor putem determină valoarea lui x , adecă a mă­ rimii necunoscute. Raporturile le facem după natura mărimilor proporţionale. Dacă acestea sunt drept pro­ porţionale, atunci raporturile le facem în acelaş fel, de creştere ori scădere, pentrucă bunăoară, şi câştigul creşte 6 lucrători 42 K x » 15 x : 42 == 1 5 : 6

8

ori scade după numărul mai mare ori mai mic al lu­ crătorilor. 2. 12 lucrători isprăvesc un lucru în 18 zile; în câte zile isprăvesc acelaş lucru 8 lucrători? In problema aceasta 12 lucrători 18 zile mărimile sunt invers pro­*2 8 » porţionale, pentru aceea x : 18 = 12 : 8 raporturile le formăm în sens contrar, căci de cate = 27 zile ori va fi mai mic numărul lucrătorilor, de atâtea ori e mai mare numărul zilelor, în cari vor isprăvi lucrul in­ tenţionat. Rezultatul îl putem controla rezolvind aceeaş problemă şi prin concluziune. Dacă căpătăm rezultate egale, procedura noastră a fost corectă. JtCfflllÛl M ărimea necunoscută o punem în raport cu m ărim ea de aceeaş numire ; după raport punem sem­ nul egalităţii, apoi form ăm raportul a l doilea din celelalte 2 mărimi de aceeaş numire şi încă dacă mărimile sunt drept proporţionale, atunci facem şi raportul a l doilea în acelaş sens, ia r dacă mărimile sunt invers proporţionale, atunci raportul a l doilea îl formăm în sens contrar. (Dacă la raportul întâiu am început din jos. la raportul al doilea începem din sus). III. Metodul linear. Pe lângă proporţiuni mai putem foori şi aşă nu­ mitul: metod Linear, în care membrii raporiurilor nu-i punem în acelaş şir ca la proporţiune, ci de-a dreapta şi de-a stânga unei linii verticale. P. e. 30 Kg de marfă costă 42 K; cât costă 14 Kg? x 42 K In stânga verticalei 30 14 Kg punem mărimea necuno­ scută, în partea dreaptă mărimea de aceeaş nu-

9

mire, adecă membrul extern al întâiului raport vine de-a stânga, cel intern de-a dreapta verticalei. Tot aşâ pu­ nem şi membrii raportului al doilea, pe cel intern de-a dreapta şi pe cel extern de-a stânga verticalei. Apoi productul membrilor din dreapta îl împărţim cu mem­ brul cunoscut din stânga. Metodul acesta se foloseşte cu deosebire, când mă­ rimile sunt date prin numeri mestecaţi, respective prin fracţiuni ordinare, căci în acest caz eliminăm uşor nu­ mitorii. P. e. Un călător percurge în 7 3Uh cale de 42 5/s km, câtă cale percurge în 1 2 4/s h? în problemă am schimbat numerii X 341/g mestecaţi în fracţiuni ordinare. Ştim, că 31/4 64/s valoarea proporţiunilor nu se schimbă 341/8 X 64/5 dacă înmulţim ori împărţim cu acelaş 31/4 număr un membru intern şi altul extern al proporţiunii. Pe baza acestei legi numitorii din dreapta verticalei îi trecem ca factori pe partea stângă a ei, iar numitorul din stânga îl trecem ca factoi |< partea dn-aptă a verticale i. x 1 11 După eventuale prescur­ 1g , M 8 tări din dreapta şi stânga 5 4 verticalei, productul nu1 Bl I merilor din dreapta îl îm11X 8X 4 70 4 K. pârţim cu productul nuA 1X 5X 1 merilor din stânga; rezultatul căpătat e valoarea căutată a lui x. IV. Practica italiană. Metodul acesta de rezolvire al problemelor de regula de trei şi-a luat numele delà felul Italienilor de a rezolvi acest soiu de probleme. întreg meşteşugul acestui metod stă în descompu­

10

nerea în părţi potrivite — de multipli ori măsuri — a mărimii, a cărei valoare o căutăm. Apoi căutăm valoarea echivalentă a părţilor fi le adaugem. Suma este valoarea căutată. P. e. Salarul anual al unui învăţător e 1400 K. Câţi bani a incassat învăţătorul în 3 ani 7 luni şi 24 zile? 1 an 1400 K 3 ani 7 luni 24 zile x » 3 ani 6 luni 1 > 15 zile 3 » 6 > 3 ani 7

= = = = = = luni x =

1400X 3 = 4200 — K 1400 : 2 = 7 0 0 — » 700 : 6 = 116-67 » 116-67 : 2 = 58 33 > 5833: 5 = 1167 » 1 1 -6 7 X 2 = 23 34 >__ 24 zile = 5110'01 K 511001 K.

Felul acesta de a rezolvi problemele regulii de trei e foarte aproape de mintea oamenilor cu mai puţină carte, căci trecerea delà o mărime la alta se observă foarte uşor. E practic şi pentru ţărănimea noastră, care încă are multe socoţi băneşti. Probleme. 1. Un metru de pănură costă 4 K ; cât costă 25 m ? 2. Un porc costă 75 K; cât costă 38 porci de aceeaş mărime? 3. 46 miei au costat 322 K; cât a costat 1 miel? 4. 25 1 de vin au costat 30 K ; cât costă 1 1? 5. 15 lucrători câştigă 80 K; cât câştigă 36 lucrători între aceleaşi împrejurării 6. Un comerciant câştigă la 5 3/i m pănură 12 1/2 K; cât câştigă la 44 V2 m ■ 7. Un lucrător a câştigat în 7 zile 25 4/g K; cât câştigă în 24 zile ? 8. Din 13 m de pânză se pot tace 5 cămeşi; câtă pânză e de lipsă la 12 cămeşi?

11

9. într’o fabrică lucrătorii câştigă câte 3 2/5 K, lucrând câte 9 V2 h; cât câştigă, dacă lucră numai 7 3/4 h ja zi? 10. 15 lucrători isprăvesc un zid în 25 zile; in câte zile isprăvesc un asemenea zid 39 zidari? 11. Dintr’o cantitate de tort se ţes 25 4/s m de pânză cu lăţime de 60 cm; câţi metri căpătăm din aceeaş cantitate de tort, dacă lăţimea pânzii e numai de 36 cm? 12. O roată se învârteşte în 15' de 480 ori; de câte ori se învârteşte în 38'? 13. O carte stă din 15 coaie tipărite, având pe fiecare pa­ gină câte 45 şire; câte coaie ar aveă cartea, dacă pe o pagină s’ar fi tipărit numai 30 şire? 14. Pe marginea unui drum sunt 768 pomi la distanţă de 71/2 m unul de altul; câţi pomi ar fi încăput pe acelaş drum, dacă îi sădiam Ia distanţă de 8 m? 15. Averea alor 2 oameni se rapoartă ca 3 1/2 : 4 5/6; câtă avere are al doilea, dacă a celui dintâiu face 6400 K? 16. Dintr’o cantitate de tort am căpătat 524 m pânză, lată de 34 cm. După ce s’au ţesut 160 m, restul tortului se ţese ca pânză de 40 cm lată; câţi metri vom căpătă din acest rest de tort? 17. 18 lucrători ar sapă un bazin în 25 zile, dar după 6 zile mai primesc în lucru 8 lucrători; în câte zile se va isprăvi lucrul? 18. Un lan de grâu îl pot seceră 54 lucrători în 9 zile. După 2 zile proprietarul doreşte să gate seceratul în 3 zile; câţi lucrători trebuie să mai angajeze? 19. Un băţ vertical de 1 1/2 m aruncă umbră de 6 2/4 m; cât de înalt e turnul, care în acelaş moment aruncă umbră de 45 1/2 m ? 20. Dacă preţul grâului se raportă cătră preţul cucuruzului ca 7‘5 : 4; cât costă aceeaş cantitate de grâu, dacă cucuruzul costă 645’6 K? 21. Câtă cale percurge un tren în 5 h 4 0 J, dacă în 2 h 3 0 ' percurge 110 Km 540 m? 22. Un proprietar şi-a asigurat averea pe 15400 K; câte coroane plăteşte ca premiu de asigurare, dacă după 1000 K plăteşte 2 5 4 K?

12

23. Un bazin se poate umpleà pe 2 ţevi, pe una în 4 h, pe cealaltă în 8 h. In câte ore s’ar umpleà bazinul, dacă ar curge apa pe amândouă ţevile deodată? 24. Sunetul se propagă cu iuţeală de 333 m la secundă. La ce distanţă sunt norii, delà cari vine tunetul în 5 1 /2 "? în câte secunde ajunge la noi tunetul delà norii, ce se mişcă la înălţime de 4600 m? 25. Presiunea atmosferică e de 1'034 Kg pe 1 cm2; la ce greu­ tate corespunde presiunea atmosferică pe trupul omului, a cărui suprafaţă e de 1 V2 m2? 26. Dintre 2 roţi dinţate, ce se îmbucă, una are 70 mă­ sele, cealaltă 100. De câteori se învârteşte întâia, până ce a doua se învârteşte de 500 ori ? 27. Câte grade arată termometrul Celsius, când termo­ metrul Réaumur arată 365°? 28. Un Kg cărbune de piatră produce 7000 calorii de căl­ dură; câte kilograme dau 280000 calorii? 29. O sută de dolari valorează 500 K; a) câţi dolari fac 645 K, b) câte coroane fac 245 dolari? 30. Plata anuală a unui funcţionar mic è 1200 K; câţi bani i-se cuvin în 2 ani 3 luni şi 18 zile? 31. Un călător percurge in 3h cale de 16'2 Km; câtă cale j c ' > Problemele acestea încă se pot rezolvi prin concluziune şi cu ajutorul proporţiunilor. Stau şi ele din 2 părţi: o afirmaţiune şi o întrebare. Fiecărei mărimi din afirmaţiune îi corespunde câte o mărime de aceeaş numire în întrebare, mărimile apoi sunt drept-, ori in­ vers proporţionale. I. Rezolvirea prin conduziune. Modul de rezolvire al acestor probleme îl arătăm în 2 probleme cu mărimi drept- şi invers proporţionale. P. e. 1. 15 lucrători câştigă în 8 zile 300 K; cât câştigă în aceleaşi împrejurări 34 lucrători în 6 zile? 15 lucrători 8 zile 300 K 34

x

15 lucrători 8 zile 1 » 8 » 34

»

8

34

1

34

6 x

300 K 300 15 * » 300X 34 15 » 300X 34 15X 8 ' 300 X 34 X 6 * 15 X 8 = 510 K.

3 lucrători isprăvesc un canal de 30 i lucră pe zi câte 12 h; câţi lucrători

iv i

14

un canal de 24 m în 16 zile, dacă ar lucră numai lOh la zi? 15 zile 30 m 12 h 20 lucrători 16

» 24 » 10 » x

» 20 lucrători 20 X 15

15 zile 30 m 12 h 1 » 30 » 12 » co

20 X 15 16

16

»

16

»

16

»

24 » 1 2 *

20 X 15 X 24 16 X 30

16

»

24 »

1»

20 X 1 5 X 2 4 X 12 16X 30

30 »

20 X 15 16 X 30

1 » 12 »

16 zile 24 m 10 h

20 X 15 X 24 X 12 . 16X30X10 Iuciaton x = 18 lucrători.

R e g u lă .* Scriem mărimile din afirm are aşa, ca cea corespunzătoare necunoscutei să rămână în urmă. Sub şirul acesta scriem mărimile din întrebare, apoi tragem o linie orizontală. D upă aceea prin mijocirea unităţii, ţinând seamă de raportul drept ori invers a l mărimilor combinate form ăm produrturi, respective cvoţienţi. P enh u uşurarea lucrării nu îndeplinim înmulţirile şi împărţirile la fiecare combinaţie, căci nu avem trebuinţă de acestea rezultate mijlocitoare, ci numai le indicăm şi abia la urmă le îndeplinim. In şcoala primară acest soiu de probleme se rozolvă numai prin concluziune, în institutele pedagogice mai folosim şi proporţiunile şi metodul linear.

15

II. Rezolvirea prin proporţiune. Problemele, ce sunt de rezolvit prin regula de trei compusă se pot descompune în mai multe probleme după regula de trei simplă şi trecând problema prin descompunerea aceasta căpătăm rezultatul final. P. e. Din 15 Kg de tort căpătăm 76 m pânză de 50 cm lată, câţi metri de pânză căpătăm din 60 Kg de tort, dacă lăţimea pânzei e de 40 cm ? Intâiu considerăm numai numărul kilogramelor de tort şi lungimea pânzei şi zicem: Din 15 Kg de tort că­ pătăm 76 m, din 60 Kg căpătăm mai mulţi metri, 15 Kg 60 »

76 m x »

x : 76 = 6 0 :1 5

x = —

= 304 m

Aflând numărul metrilor îi aducem în combinaţie cu 304 m

50 cm

y » 40 y : 304 = 5 0 : 40

y~

304 V 50

4Q

»

~ 380 m

lătimea din aceeaş cantitate de tort şi zicem: Dacă din o cantita căpătăm 304 m pânză de 50 cm lată, câţi metri căpătăm, dacă lă­ ţimea pânzei e numai de 40 cm ?

Problema originală am descompus-o în 2 părţi, rezolvind fiecare după regula de trei simplă. Noi însă nu avem trebuinţă, să ştim şi lungimea pânzei de 50 cm lată, de aceea rezolvirea completă a părţii întâia e su­ perfluă, se poate numai indică şi rezultatul il înlocuim în partea a doua prin litera x. 15 Kg 76 m 60 » x »

x m 50 cm y » 40 »

x : 76 = 60 : 15 y : x = 50 : 40 Punând aceste 2 proporţiuni una sub alta, putem

16 —

face din ele o proporţiune compusă, multiplicând între sine membrii omonimi. x : 76 = 60 : 15 y : x = 50 : 40 xy : 76 x = 60 X 5 0 : 15 X 40 y : 76 = 60 X 50 : 15 X 40 76 X 60 X 50 y~ 15 X 10 y = 380 m

Prescurtăm cu x membrul întâiu şi al doilea al proporţiunii, apoi căutăm valoarea lui y.

Procedura aceasta e mai comoadă, de aceea se şi foloseşte mai des. P. e. La padimentarea unei odăi se recer 20 scân­ duri de 3 ‘9 m lungi şi 15 cm late; câte scânduri ne trebuie, dacă lungimea lor e 5 m, iar lăţimea numai 13 cm ? 20 scânduri 3 -9 m 15 cm x » 5 » 13 » x : 20 = 3-9 : 5 15 : 13 x

2 0 X 3 - 9 X 15 = 18 scânduri 5X13

R e g u l ă ! Punem în raport mărimea necunoscută cu mărimea corespunzătoare de aceeaş numir'e, apoi com­ binăm specia aceasta cu specia a doua, certând dacă mărimile sunt drept- ori invers proporţionale şi formăm raportul a i doilea, pe care prin semnul egalităţii îl împreunăm cu raportul necunoscutei. După aceea com­ binăm specia întâiă cu a treia şi formăm raportul a l treilea şi-l punem sub raportul a l doilea. Din raportu­ rile 2 şi j fa cem raport compus, apoi rezolvim proporţiunea. V aloarea tui x este valoarea mărimii necunoscute. De câte ori se pot, se fac şi prescurtări, cari uşurează calcularea.

*- 19 -

III. Metodul linear. In cadrul metodului cu proporţiuni putem aminti şi metodul linear, de care s’a vorbit şi la regula de trei simplă. Necunoscuta o scriem de-a stânga liniei verti­ cale, iar mărimea de o specie cu necunoscuta de-a dreapta. Membrii celoralalte raporturi îi scriem de-a dreapta şi de-a stânga, aşă fel, ca cei interni să fie toţi de-a dreapta, cei externi să fie toţi de-a stânga. Valoarea necunoscutei este egală la productul membrilor din dreapta înfrânt cu productul membrilor din stânga verticalei. P. e. La o zidire lucrează 120 zidari în decurs de 12 săptămâni, câte 8 h pe zi; câţi zidari ar isprăvi aceeaş zidire în 10 săptămâni lucrând numai 6 h pe zi? x 120 120 X 12 X 8 10 12 192 zidari. 10X6 6 8 Probleme. 1. Patru lucrători câştigă în 7 zile 68'5 K; cât câştigă în aceleaşi împrejurări 12 lucrători în 5 zile? 2. 15 lampe consumă 125 Kg petrol în 60 h; cât petrol consumă 25 lampe de acelaş număr în 45 h? 3. Un cărăuş transpoartă 745 Kg marfă la distanţă de 24 2/5 Km pentru 14 V2 K; cât se cuvine cărăuşului pentru 1462 Kg la distanţă de 18 >/2 Kmî 4. Cu o pumpă în 25' scoatem 46‘5 Dl de apă delà o adâncime de 12'4 m; câte décalitre de apă putem scoate cu aceeaş pumpă delà 10'2 m, în 35'? 5. Din 36'2 Kg de tort se pot ţese 75'4 m pânză, de 50 cm lată; câţi metri se pot ţese din 48'5 Kg tort, dacă lăţimea pânzei e numai 45 cm? 6. Făcând foc în 5 cuptoare ne ajungem 6 luni cu 32'5 m3 lemne; câte lemne ne trebuie în 7 cuptoare făcând foc numai în decurs de 4 luni? 7. într’un grânar de 12 m lung, 1’4 m lat şi 2'5 m înalt putem aşeză 420 HI de grâu; cât de lung va fi grânarul, in care încap 5000 HI, dacă lăţimea lui e de 1 8 m, iar înălţimea de 2-l m?

2

é. íntr’o carte sunt 245 pagini, pe fiecare pagină 38 şire şi într’un şir câte 40 litere; câte pagini ar avea cartea, dacă pe câte-o pagină lăsăm numai 32 şire şi în şir câte 30 litere? 9. Intr’o fabrică de tutun lucrează 95 fete, cari pe lângă 8 h de lucru pregătesc 24700 ţigarete în 6 V2 zile; în câte zile pregătesc 120 de fete 70000 ţigarete, lucrând pe zi câte 7 t/2 h ? 10. Capitalul de 5450 K în 85 zile cu 5 '4 % aduce un in­ teres de 69’62 K; cât interes aduce capitalul de 6451'5 K în 60 zile cu 6'5 0/0 ? 11. Capitalul de 754 K. în 3 5 ani cu 54-% aduce un in­ teres de 14251 K; în cât timp aduce capitalul de 1425'4 K interes de 654‘8 K pe lângă 6 0/0? 12. Capitalul de 500 K în 2 5 ani pe lângă 6‘2 0/0 aduce interes de 77'50 K; ce capital aduce în 4‘25 ani cu 5'2 % in­ teres de 460 K? 13. Un ţăran ia în arândă un păşunat de 650 m lung şi 350 m lat cu 542 K, din acest păşunat cedează altui ţăran té­ rkor de 240 m lung şi 150 lat, câtă arândă plăteşte ţăranul al doilea ? 14. La un val de pânză de 58 m lung şi 60 cm lat se recer 27‘4 Kg de tort; cât tort e de lipsă la un val de pânză de 45 m lung şi 50 cm lat? 15. La o moară cu 4 pietri în 25 h se macină 28 HI de grâu, între aceleaşi împrejurări o moară cu 6 pietri câte hecto­ litre macină în 14 h? 16. 26 lucrători lucrând la zi 11232 K; cât câştigă 15 lucrători

câte 8 h, în 18 zile câştigă în23 zile,lucrând la zi 9h?

17. Măselele alor 2 roate se îmbucă împrumutat. Roata întâia are 50 măsele, şi în 14' se învârteşte de 160 ori; minute se învârteşte roata a doua de 190 ori, dacă are 85 măsele ? 18. Un bazin, ce are lungime de 42 m, lăţime 16 m şi adâncime de 2 5 m, se umple pe 3 ţevi în 14 h; în câte ore se umple alt bazin pe 5 ţevi de aceeaş grosime, dacă lungimea lui e de 34 m, lăţimea de 20 m şi adâncimea de 2‘8 m ?

-

i9 ^

SECŢIU N EA II.

împărţirea proporţională. proporţionale. 4. împărţirea proporţională.

Părţi

Regula asocierii.

Dacă împărţim suma de 50 K între 4 persoane, în părţi egale, fiecare capătă a patra parte, adecă 50 : 4 = 12'5 K. Se întâmplă însă uneori, că suma dată nu trebuie împăiţită în părţi egale, ci în raportul unor numeri daţi, bunăoară cel dintâiu să capete 1 parte, al doilea 2 părţi, al treilea 3 părţi şi al patrălea 4 părţi. In acest caz nu mai e vorbă de împărţire în părţi egale, ci în raportul numerilor 1 : 2 : 3 : 4. împărţirea unei sume în raportul unor numeri daţi se numeşte împărţire proporţională. Numerii daţi se nu­ mesc numeri proporţionali, iar părţile aflate se numesc părţi proporţionale. Dacă împărţirea atârnă numai delà o serie, de numeri proporţionali se numeşte împărţire proporţională sim plă; dacă atârnă delà 2, ori mai multe serii de numeri proporţionali, se numeşte împărţire pro­ porţională compusă. Când împărţirea proporţională se refereşte la ceva câştig ori pagubă provenită din o întreprindere, la care au contribuit mai multe persoane cu sume diferite, îm­ părţirea aceasta o numim regula asocierii. Contrrbuirile singuratice se numesc depozite, când însă părţile sunt fixate în sume anumite, acestea se numesc acţiuni, sin­ guraticii contribuenţi acţionari, iar suma adunată capital societar. Câştigul după o acţiune se numeşte 'dividendă. Felul de rezolvire al problemelor de împărţire pro­ porţională îl arătăm în următoarele probleme. 1. Suma de 270 K să se împărţească între 3 per.2*

soane tn raportul numerilor 2 : 3 : 4 , adecă A să capete 2 părţi, B 3 părţi şi C 4 părţi. Competinţa fiecăruia o cunoaştem, dacă socotim, câte coroane se vin pe 1 parte. 270 De toate sunt 9 părţi, pe 1 parte se vin — = 3C K.

A capătă 2 părţi, adecă 30 X 2 = 60 K, B 3 părţi, adecă 30 X 3 = 90 K şi C 4 părţi adecă 30 X 4 = 120 K. Părţile adause dau 270 K. ( 6 0 -|-90 + 120 = 270). 2. Numărul 399 să se împărţească în 3 părţi în 2 _3 4_ raportul ca Şi aici avem să socotim, cât ~3 : 4 : 5 ' se vine pe unitate, de aceea numerii proporţionali îi aducem la numitor comun (60) şi prin aceasta numerii 40 45 48 proporţionali vor fi înmulţind întreg raportul 60 : 60 : 60 cu 60, ne scăpăm de numitori. Astfel numerii propor­ ţionali vor fi 40 : 4 5 : 4 8 . Suma acestora e 133 şi 399 : 133 = 3. Partea întâia este 3 X 40 = 120, a doua 3 X 45 = 135, iar a treia 3 X 48 = 144. Părţile adause dau chiar 399. (120 + 135 + 144 = 399). 3. La o întreprindere contribuesc 3 persoane. A d 4000 K, B dă 6000 K, iar C dă 8000 K. întreprinderea se desface cu câştig de 2700 K. Cât se cuvine fiecărui părtaş? Şi aici socotim câştigul după 1 K. S ’au fo­ losit la întreprindere 18000 K. După 1 K se vine 2700 : 18000 = 0 ‘15 K. A capătă 0 15 X 4000 = 600 K; B capătă 0 1 5 X 6 0 0 0 = 9 0 0 K şi C capătă O-15X 8000= 1200 K. Câştigurile împreună dau tocmai 2700 K. (600 + 900 + 1230 = 2700 K). Procedura în scris e următoarea: 1. 2 X '3 0 = 60 K 2. +3 = 40/60 4 0 X 3 = 120 3 X 30 = 90 » 3/4 = 45/eo 4 5 X 3 = 135 4/5 = 48/60 4 X 30 = 120 » 48X3 144 2 7 0 :9 = 30 270 K 399: 133 / = 3;} 399

ii -

3

4000 4 6000 6 8000 8 2700

2 X 300 = 600 K 3 X 3 0 0 = 900 * 4 X 3 0 0 = 1200 * : 9 = 300 2700 K.

R e g i l l l l l NumerU proporţionali îi scriem -unul sub altul, îi adaugem ; cu suma împărţim numărul original, ia r cu cvoţienlul căpătat înmulţim numerii proporţio­ nali Suma părţilor proporţionale ne dă numărul ori­ ginal. Când numerii Proporţionali sunt fracţiuni, îi schimbăm în numeri întregi, iar dacă numerii proporţio­ nali sunt m ai mari şi au măsură comună îi prescurtăm, căci prin aceasta proporţionalitatea nu sufere şi calcu­ la r e a devine mai uşoară. Problemele de împărţire proporţională le putem re­ zolvi şi prin regula de trei, ori şi cu ajutorul ecvaţiunilor. P. e. La o întreprindere au contribuit 3 persoane : A dă 450 K, B 540 K şi C 680 K Câte coroane se cuvin fiecăreia din câştigul de 334 K? 1 Prin regula de trei: Partea lui A: 1670 K 334 K 450 » x X : 334 = 450 : 1670 x =

B: 1670 K 334 K 540 » 334 = 540 : 1670

334 X 540 1670 C: 1670 K 334 K x 680 » x : 334 = 680 : 1670 334 X 680 = 136 K. x = 1670

334 X 450 = 90 K 1670

x =

108 K

Socotim aşă : Pentru întreagă întreprinderea s’au {Lţ 1670 K, cu cari s’a realizat câştig de 334 K. A ;

22

contribuit la întreprindere numai cu 450 K, deci în acelaş raport va căpătă şi din câştig. Tot asemenea purcedem şi pentru B şi C. 2. Prin ecvaţiune : 450 x + 540 x + 680 x = 334 K. 1670 x = 334 _ 334 x “ 1670 x = 0-2 Combinăm astfel: noscut îl însemnăm cu B 540 x şi C 680 x, combinarea aceasta a mai sus, în care x = B 108 K şi C 136 K.

Câştigul după 1 K fiind necu­ x. In acest caz A câştigă 450 x, iar toţi împreună 334 K. Din mărimilor formăm ecvaţiunea de 0 ‘2 şi de aci A capătă 90 K,

Probleme. 1. Suma de 765 K să se împărţească în raportul numerilor 4 : 5 : 9 . 2. Numărtil 468 să se împărţească în raportul invers al numerilor 2 : 3 : 4 . 3. Numărul 457 să se împărţească în raportul numerilor 4/ s :

3h

:

2/ q .

4. Să împărţim suma de 173217 K între 4 persoane în ra­ portul numerilor 3/4 ; 3/5 ; l/2 ; 3/7. 5. Să împărţim 3219 K între 3 persoane după raportul 3:5:7. 6. Câştigul de 76T7 K trebuie împărţit între 3 persoane aşâ fel, ca B să capete de 2 ori cât A şi C de 2 ori cât B. Cât primeşte fiecare? 7. Trei persoane întreprind în comun o neguţătorie. A dă 4500 K, B dă 6000 K şi C dă 2400 K. Cât se cuvine fiecăreia din câştigul de 2560 K? 8. La o firmă comercială bancrotată pentru creditori ră­ mân 6000 K. Cât capătă fiecare creditor, dacă A a avut o pretenziune de 3500 K, B de 7400 K şi C de 3600 K? 9. Patru prietini cumpără un loz contribuind A cu 44 K, B cu 36 K, C cu 22 K şi D cu 18 K. Cât se cuvine fiecăruia din câştigul de 648 K?

23

10. La salarul de 2000 K al unui notar contribue 3 comune în raport cu darea comunală. Cât contribue fiecare comună, dacă darea celei dintâiu face 452460 K, a comunei a doua 3468'50 K şi a celei de a treia 2785’40 K? 11. Graţionalul de 6000 K să se împărţească între 5 func­ ţionari in raport invers cu salarele lor. Cât se cuvine fiecăruia, dacă salarul lui A e de 5000 K, alui B de 1800 K, alui C de 2200 K, alui D de 2400 K şi alui E de 3000 K ? 12. Trei părtaşi ţin în arândă un păşunat cu 460 K. A are la păşune 15 vite, B 25 şi C 32 vite. Cât plăteşte fiecare din preţul arândei? 13. La o prăvălie au sosit 4 valuri de pănură şi au costat 1564 V2 K. Cât costă separat fiecare val, dacă în cel dintâiu sunt 35 1/2 ,n> 'n al doilea 40 2/5 m, în al treilea 44 1/5 m şi în patrălea 50 3/4 m? 14. O moştenire de 3997’50 K trebuie împărţită între 4 erezi aşă fel, ca partea fiecăruia să se raporteze cătră a celui următor ca 2 : 3 . 15. Câştigul de 720'60 K trebuie împărţit între 3 persoane aşă, ca întâia să capete de 3 ori cât a doua şi a doua de 2 ori cât a treia. Câte coroane primeşte fiecare? 16 întreprinderea alor 4 neguţători s’a încheiat cu pierdere de 540'74 K. La întreprindere au contribuit: A cu 2400 K, B cu 3200 K, C cu 3800 K şi D cu 2000 K. împărţindu-şi ca­ pitalul rămas, cât capătă fiecare? 17. Suma de 6450 K trebuie împărţită între 3 persoane astfel, ca A să capete 1/3, B 1/5 şi C restul. înainte de împăr­ ţirea faptică C abzice de partea sa, dar doreşte ca partea lui să fie împărţită între A şi B invers cu părţile lor; a) cât s’ar cuveni fiecăruia şi b) cât capătă A şi B după ce C a abzis de partea sa ? 18. Din moştenirea de 6300 K A capătă 1/3, B 3/'4 din partea lui A, iar C restul. Cât primeşte fiecare?

5. Regula asocierii compuse. Ss întâmplă, că câştigul ori pierderea provenită din o întreprindere să nu atârne numai delà o serie de nuţperj proporţionali, ci delà 2, ori mai piuite serii, atunci

24

împărţirea se face ţinând seamă de toate seriile şi re­ gula se numeşte regula asocierii compuse. P. e. Trei tovarăşi iau în arândă un păşunat cu 159 82 K. Unul duce la păşune 3 vite şi le ţine 3 luni, altul duce 10 vite şi le ţine 2"5 luni şi al treilea duce 14 vite şi le ţine numai 1'5 luni. Este evident, că fie­ care tovarăş va contribui la acoperirea arândei şi după numărul vitelor şi după timpul, cât le-a ţinut la păşunat. 5 vite 3 • luni 1 5 X 2 6 2 = 39-30 K 10 » 2 5 » 25 X 2-62 = 65-50 » 14 » 1-5 » 21 X 2 62 = 55 02 » 1 5 9 - 8 2 : 6 1 = 2-62 159'82K . Din cele 2 serii dé numeri proporţionali facem una singură, adecă reducem regula asocierii compuse la cea simplă, raţionând astfel : Taxa de arândă nu se schimbă, dacă A ar fi dus 15 vite, dar le ţine numai 1 lună, căci tot atâta iarbă ar fi consumat; tot asemenea dacă B ar fi dus 25 vite şi C 21 vite tot numai în câte o lună. Timpul fiind redus la acelaş Interval îl scoatem din combinaţie şi regula e redusă la asocierea simplă. In problema de mai sus am multiplicat seriile numerilor proporţionali, dar se dau cazuri, când seriile trebuie împărţite. P. e Un proprietar vrea să macine cât se poate mai în grabă 76 HI de grâu, de aceea împărţeşte măcinişul la 4 mori vecine. Moara A macină in 3 h 12 HI, moara B în 4 h 14 HI, moara C în 2 h 9 HI şi moara D în 5 h 16 HI. Câte hectolitre va duce la fiecare moară ? 3 h 12 HI 12/3 4 40 X 0-5 = 20 HI W / 4 4 » 14 » 3-5 35 X 0-5 = 17-5 » 2» 9 » 9/2 4-5 45 X 0 5 = 22-5 » 3 2 3 2 X 0 5 = 16-— » 16/s 5 * 16 » 7 6 :1 5 2 =

0-5

7 6 ‘— H I

25

Socotim, câte hectolitre macină fiecare moară într’o ora, ceea ce ştim, dacă împărţim numărul hectolitrelor cu numărul orelor. In chipul acesta cele 2 serii le re­ ducem la o singură serie de numeri proporţionali, apoi continuăm după regula asocierii simple. R eg u lă .* Problem ele de asociere compusă le rezolvim astfel, că prin înmulţirea respective împărţirea —■ după natura mărimilor — seriilor de numeri p ro ­ porţionali, p e acestea le reducem la o singură serie, apoi continuăm după regula asocierii simple. Probleme. 1. La o întreprindere au contribuit 3 persoane. A dă 5400 K şi le lasă acolo timp de 7 luni, B 4500 K pe 8 luni şi C 3900 K pe 10 luni. Câte coroane se cuvin fiecăruia din câştigul de 2400 K ? 2. Trei tovarăşi duc pietriş pe o şosea. întâiul dă 5 cară în decurs de 6 săptămâni, al doilea 6 cară în 4 săptămâni şi al treilea 2 cară în 8 săptămâni. Cât primeşte fiecare din câştigul de 1350 K? 3. La cheltuelile unui pod contribue 3 comune şi încă drept proporţional cu numărul locuitorilor şi invers proporţional cu depărtarea lor delà pod. Comuna A are 2450 locuitori şi e la depărtare de 4 Km, comuna B are 3652 locuitori şi e la dis­ tanţă de 5 Km, iar comuna C are 1(150 locuitori şi e la dis­ tanţă de 6 Km. Cât contribue fiecare comună la cheltuelile de 6500 K? 4. Pentru transportarea unei mărfi se asociează patru prietini. A dă 2 cai în 18 zile, B 3 cai în 16 zile, C 4 cai în 15 zile şi D 5 cai în 10 zile. Cât se cuvine fiecărui părtaş din câştigul de 540 K? 5. Un burlac a lăsat celor 3 servitori ai săi suma de 1200 K, ca să o împărţească intre* ei proporţional cu etatea lor şi cu timpul de serviciu. A eră de 54 ani şi cu serviciu de 20 ani, B de 36 ani şi cu serviciu de 11 ani, C de 24 ani şi l-a servit 8 ani. Câte coroane îi compete fiecăruia? 6. Doi păpucari confecţionează ghete petru târg. Primul dă 5 lucrători în 16 zile pe lângă 8 h d& lucru la zi, al doilea dă 8 lucrători în 15 zile, pe lângă 7 i/a h la zi. Din câştigul curat de 480 K cât se cuvine fiecărui păpucar?

— 26

7. înt r’un păşunat luat în arândă cu 170'2 K trei tovarăşi duc oi. A duce 60 de oi, dar după 8 săptămâni vinde 25 oi, iar celealalte le mai ţine la păşunat 7 săptămâni. B duce 100 oi şi le ţine 26 săptămâni. C duce 45 oi, iar după 10 săptă­ mâni mai cumpără 35 oi şi toate le ţine încă 6 săptămâni la păşunat. Câte coroane plăteşte fiecare din arândă? 8. Trei cărăuşi transportează marfă pentru 200 K. A duce 50 q la distanţă de 50 Km, B 70 q la 40 Km şi C 90 q la 30 Km. Cât primeşte fiecare din taxa de 200 K? 9. Suma de 2900 K să se împărţească între 3 persoane, drept proporţional cu etatea lor de 45, 54 şi 63 ani şi invers proporţional cu averea lor de 5000, 4000 şi 3000 K.

In legătură cu împărţirea proporţională se tractează şi problemele, în cari se caută câtă cantitate avem să luăm din mai multe materii spre a pregăti o cantitate anumită de materie compusă, dacă cunoaştem numerii proporţionali în raportul cărora trebuie făcută ame­ stecarea. P. e. Pulverea de puşcă se compune din 75 părţi salitru, 13 părţi cărbune şi 12 părţi sulfur. Ce cantitate trebuie să luăm din fiecare materie, ca să căpătăm 540 Kg pulvere de puşcă ? 75 X 5 4 = 4.05-— 1 3 X 5 - 4 = 70-2 12 X 5-4 = 64 8 540 : 100 = 5-4 540 —

Kg » » Kg

Problemele acestea se rezolvesc după împărţirea proporţională simplă.

Probleme: 1. Porţelanul se pregăteşte din 25 părţi de lut, 2 părţi de cvarţ şi 1 parte ghips. Cât vom luâ din fiecare ma­ terie, ca să căpătăm o massă de 1587'6 Kg? 2. Tinta roşie se pregăteşte din l -25 Dg alaun, 20 Dg fernambuc, 8T25 Dg gumi arabic. Preste acestea se varsă 1 1 oţăt de vin. Cât vom luă din materiile pomenite, ca să că­ pătăm 6'15 Kg şi preste aceasta cât oţăt trebuie să turnăm? 3. Metalul de clopote se compune din 39 părţi aramă şi 11 părţi cositoriu. Câtă aramă şi cât cositoriu se recere la un clopot de 5 2 5 5 Kg? Cât pentru clopotul cel mare delà bi-

27

serica sf. Petru din Roma, care cântăreşte 21280 Kg şi cel al bazilicei din Budapest, care cântăreşte 7500 Kg? 4 Argintul nou conţine 53'4 părţi de cupru, 291 părţi zinc şi 17'5 părţi nickel. Cât vom luâ din fiecare metal, ca să pregătim 4 Kg 58 Dg argint nou? 5. Cerneala neagră se pregăteşte din 100 g globurele de stejar, 5 2 5 g vitriol de fier, 17'5 g gumi arabic şi 1000g apă de ploaie. Câte grame luăm din fiecare materie, ca să pregătim 5‘4 Kg cerneală? 6. Formula apei e H2O, pondul atomului de hidrogen e 1 , a oxigenului e 16. Cât oxigen şi cât hidrogen se află în 4-59 HI apă? 7. Formula acidului sulfuric este H2SO4. Pondul atomului de sulfure e 32. Câte grame sunt din fiecare element in 882 g. acid sulfuric? 8. Amalgamul presărat pe perinuţele maşinei electrice se compune din 1 parte cositoriu, 1 parte zinc şi 2 părţi mercuriu. Cât vom lua din fiecare metal, ca să pregătim 30 g de amalgam? 9. Aerul conţine 21 părţi oxigen şi 79 părţi nitrogen. Cât oxigen şi nitrogen se c/flă în o chilie de 6 2 m lungă, 4'5 m lată şi 4 m înaltă?

6. Valoarea mijlocie. Când amestecăm mai multe sorte, valoarea ame­ stecului este egală cu valoarea singuraticelor sorte la­ olaltă, şi valoarea unităţii din amestecul făcut o numim valoarea mijlocie a amestecului. P. e. Un negustor amestecă 50 ferdele de grâu à 4 K, 108 ferdele à 3'60 K şi 24 ferdele à 3'— K, în cât i-se vine ferdela de grâu amestecat ? 5 0 'ferdele 108 » 24 » 182

à 4 '— K = » 3 60 » = »3 — » =

200— K 388'80 » 72— * 660-881C : 182 = 3 63 K.

28

R e g u lă : V aloared mijlocie o aflăm aşâ, că so­ cotim valoarea singuraticelor sorte, valorile aceste le adunăm şi suma lor o împărţim cu suma cantităţilor amestecate. Când cantităţile sortelor amestecate sunt egale, re­ spective sunt unităţile Insele, atunci suma valorilor o îmoărţim cu numărul sortelor. Rezultatul se numeşte media proporţională aritmetică. P. e. Un negustor amestecă făină de 52 f, 48 f şi 35 f kilogramul. Cu cât are să vândă kilogramul de făină amestecată ? 52 + 48 + 35 = 135 Va vinde 1 Kg de fă135 : 3 = 45 f. ină amestecată, cu 45 f. Probleme. 1. Un călător percurge în ora întâia 6 2 Km, în a doua 6 Km, în a treia 5'8 Km, în a patra 5'4 Km. în calcul mijlociu câtă cale percurge într’o oră? 2. într’o zi dimineaţa au fost 4°, la amiazi 9° şi seara 2°. Care e temperatura medie a zilei? 3. Presiunea aerului eră dimineaţa 754'6 mm, la prânz 750'5 mm şi seara 768’2 mm. Care e presiunea medie? 4. La o prăvălie se incassează Luni 3464-K, Marţi 458'9K , Miercuri 314'24 K, Joi 795'32 K, Vineri 256-40 K, Sâmbătă 581'38 K şi Duminecă 195 82 K. Care-i media de incassare la zi? 5. într’o comună a crescut populaţiunea într’un an cu 245, în al doilea cu 164, în al treilea cu 199, în al patrălea în urma unei epidemii a scăzut cu 48, în al cincelea a crescut cu 144 locuitori. Care e creşterea medie în aceşti cinci ani ? 6. Un cârciumar amestecă 56 HI vin à 84 K cu 25 HI à 60 K şi cu 13 HI à 42 K. Cât costă litra din vinul ame­ stecat ? 7. Un neguţător amestecă 2'5 Kg cafea à 3 ’4 K cu 7‘8 Kg à 4'4 K. Cât costă 1 Dg din cafeaua amestecată? 8. Un întreprinzător aplică 15 lucrători à 2'40, 20 lucrători à 2'80 K Şi 34 lucrători à 3‘— K. în mijlociu cât câştigă un lucrător? 9. Amestecând 15 1 apă de 40° cu 18 1 apă de 64° şi cu 21 1 apă de 8°, ce temparatură medie are apa amestecată?

-

29 -

10. Amestecând 8 1 spirt de 75 » 3. 2-9032 > » 4 fl (10 frc) . » 4. » 8 fl (20 frc) . . 5-8064 » 5. Ducatul ces. reg. 3-4421 > 6. Galbe nul de Körmöczbánya 3 4 5 4 2 » 7. Piesa de 10 RM . . . . 3 5 8 4 2 » » 8 » 20 » . . . . 7-1684 » 9. S o v e r e ig n -u l....................... 7-3223 » 10. Imperialul rusesc . . . . 11-6132 » 11. Jumătatea de imperial . 5-8066 » 12. Piesa de 10 K şvedeză 40323 » » » 10 fl holandezi . 6 0480 » 13. » 14. » 10 dolari 15-0464 » » » 10 millreis . 15. 16-2571 » 16. Lira turcească ....................... 6 6099 » b)

M onete de argint

1. Piesa de 1 K . . . 2. » » 2 » » 3. » 5 » . .■. » 4. » 1 fl . . . 5. Talerul Măriei Teresia 6: Pi-sa de 1 frc . . . » 7. » 1 RM . . . » 8. » 5 » . . . » 9. » 1 shilling . . » 10. » 5 » . . . » 11. * 1 Ro . . . » 12. » 1 K şvedeză

.

. .

.

4-175 8 350 20-875 11-111 19-489 4-175 5— 25 — 5-231 26T 55 17-996 12 —

g

» » » » » > » » » » » 6

-

13. Piesa 14. * 15. » 16. » Probleme. 1.

82

de 1 fl holandez . 8-978 g » 1 dolar legal . . 24 059 » » 1 » comercial . 24-494 » » 20 piaster . . . . 19-966 » Câte coroane se pot bate; din 12 Kg argint

curat ? 2. Câte piese de 10 K se pot bate din 11 Kg aliagiu de aur? 3. Câte coroane primim pentru 15 piese de 8 fl (20frc)? 4. Cât costă 18 ducaţi ces. reg. computând şi proviziune de 0'5 %o? 5. Câte piese de 5 K se pot bate din 8 Kg argint de ca­ tegoria a patra, adăugând cantitatea necesară de argint curat ? 6. Cât cositoriu şi zinc trebuie să adaugem la aramă, ca să putem bate monete de 2 f şi 1 f? Din obţinut câte piese putem bate a) de 1 f, b) de 2 f?

400 Kg abagiul

7. Cât cântăresc 35 piese de 20 f, 35 piese de 10 f, 35 piese de 2 f şi 35 piese de 1 f? 8. Un orologiu adus din Genf costă 240 K în aur. Câte piese de 20 frc trebuie să trimitem, computând agio de 19 % şi spese de transport şi vamă de 5 % ? 9. Câte maree germane căpătăm pentru 15 imperiali ruseşti? 10. Cu câte coroane vindem 140 Kg marfă, din care 5 q costă 65 L , dacă vrem să câştigăm 12‘5 % ? 11. Câte piese de 5 K ne dau argintul curat de lipsă la un potir decategoria întâia, cu greutate de 830 g ? 12. La un disc folosim 8 piese de 8 fl (20 frc). Cât costă discul, dacă valoarea de artă e 1 6 % din valoarea internă? 13. De câte % e agioul, când piesele de 8 fl au valoare de curs de 1906 K? 14. Pe lângă agio de 1 9 % , câte coroane dăm pentru 32 piese de 4 fl (10 frc)? 15. Câţi imperiali fac 25 galbeni de 20 K şi 30 piese de 10 RM? 16. In câte piese de 10 K e atâta aur curat, cât în 85 du­ caţi ces. reg.?

II. Geometria analitică.

6*

SE CŢIU N E A I.

Noţiuni introductive. 1.

introducere.

Atât tn aritmetica şi algebra, cât şi în geometria învă­ ţată în anii precedenţi am avut de a face cu cantităţi (mărimi). în problemele din geometrie am căutat relaţiuni între cantităţi de lungime, suprafaţă, volum, un­ ghiuri ş. a., iar în cele din aritmetică şi algebră pe lângă acestea şi relaţiuni între cantităţi de greutate, timp, bani ş. a. Fiind obiectul algebrei, ca şi al geometriei acelaş: aflarea de relaţii intre cantităţi, trebuie să fie între ele o strânsă legătură. Partea matematicei, care se ocupă cu legătura dintre algebră şi geometrie se numeşte: geometrie analitică. întemeietorul ei este francezul Descartes, numit pe latineşte Cartesius. Născut la a. 1596 în Francia, moare în Şvedia la a. 1650. Vestit filozof, fizician şi matemacian. El a folosit mai întâiu exponenţii potenţiali şi a rezolvit ecvaţiunile de gradul al IV-lea. Baza geometriei analitice a pus-o cu o lucrare publicată la anul 1637. In elementele de geometrie analitică, ce le vom în­ văţă în acest an, vom cuprinde în expresiuni algebrice câteva proprietăţi ale unor figuri plane, vom reprezentă expresiuni şi rezolvi grafice probleme algebrice mai uşoare, vom înfăţişă prin curbe câtevă rezulţaţe din fi­ zică, medicină, statistică ş. a.

86

2.

Legătura dintre algebră şi geometric.

Orice operaţie algebrică poate fi îndeplinită şi pe cale geometrică: A dunarea : a + b = x. Luăm o distanţă de a uni­ tăţi şi alta de b unităţi (Fig. 1); aşezându-le lângă olaltă pe aceeaş dreaptă obţinem suma lor. De pildă: dacă a = 2, b = 3, atunci x = a + b = = 2 + 3 = 5. —t-

xx,

h"" I JC Fig. 1.

»

■«o

Scăderea : a — b = x. Luăm două distanţe de a şi b unităţi (Fig. 2). Diferinţa lor o obţinem, dacă pe b o aşezăm In direcţie opusă pe a. De pildă, dacă a = 5, b = 3, atunci x = a — b = 5 — 3 = 2. xx oO"

cX Fig. 2.

îm m u lţirea: a . b = x. O distanţă dată: a (Fig. 3) de atâteaori o aşezăm lângă olaltă pe aceeaş dreaptă, câte unităţi conţine cealaltă : b. De pildă, dacă a = 3 şi b = 2, x = a . b = 3 . 2 = 6. —I------- o

Fig. 3.

îm părţirea pe cale geometrică poate fi îndeplinită pe baza similiţudinei triunghiurilor, şi anume;

87

Din un capăt al unei distanţe date: a (Fig. 4) se trage o dreaptă ajutătoare şi pe aceasta se măsoară o distanţă după plac de atâtea-ori, câte unităţi conţine mărimea cu care împărţim: b. împreunăm ultimul punct de intersecţie de pe dreapta ajutătoare cu celalalt capăt al distanţei a şi tragem paralele din fiecare punct de intersecţie de pe dreapta ajutătoare. Punctele obţinute astfel pe a o împărţesc în b părţi egale. a a De pildă fiind b = 5, x = -j—= ^ Dovedirea acestei construcţii şi a celei din Fig. 5. s’a făcut, când s’a tratat de­ spre similitudinea triunghiurilor. Tot pe baza similitudinii se pot construi expresiuni 3. b algebrice de forma : x = —— (Fig. 5), cari se pot scrie şi ca proporţiuni: x : a = b : c ; ori înt®rs: c : b = a : x.

E x tragerea rădăeinii pătrate : x = Kab ( şi x = Y a C ~ b 7i se pot construi pe baza teoremei lui Pytha­ goras. In cazul prim ^ e hipotenuza unui triunghiu dreptunghiu cu catetele de a şi b unităţi (Fig. 7); în al doilea caz e cateta unui triunghiu dreptunghiu cu hiponetuza de a şi cealaltă catetă de b unităţi (Fig. 8). Chiar aşâ cum putem reprezentâ geometrice expresiunile algebrice, se pot rezolvi diferite probleme de geo­ metrie pe cale algebraică. De pildă teorema geometrică: la triunghiurile simile laturile corespun­ zătoare sunt dreptproporţionale, în Fig. 6. am scris-o în forma algebraică: a : x = x : b şi din aceasta prin opeţiuni algebraice am ajuns la rezultatul : x care îş1 are şi însemnătatea sa geometrică.

89

Tot asemenea s’a urmat în anul precedent la do­ vedirea teoremei lui Pythagoras şi a altor probleme de geometrie: condiţiile problemei precum şi rezultatele geometrice necesare la dovedirea ei le cuprindem intr’o ecvaţie ori intr’o grupă de ecvaţii. Aceasta o rezolvim şi rezultatul obţinut îl explicăm ori reprezentăm geo­ metrice. 3.

Noţiunea funcţiunilor.

Unele dintre cantităţile, cu cari avem de a face în viaţă, nu se schimbă, sunt constante, altele se schimbă, sunt variabile. Constantă e de pildă: greutatea unei bucăţi de metal, înălţimea unui munte, distanţa dintre două oraşe ş. a.; variabile sunt: înălţimea ori greutatea unui copil în decursul mai multor ani, temperatura aerului în de­ cursul unei zile, distanţa delà punctul de plecare a unui corp în mişcare (tren, trăsură ş. a.). în aritmetică sunt constanţi toţi numerii ca: 5, 26, 137 ori 4 m, 12 K ş. a. In algebră constantele le în­ semnăm cu literele delà începutul alfabetului: a, b, c..., iar variabilele cu literele delà sfârşitul alfabetului: x, y, z . Schimbările, prin cari trece o cantitate variabilă, tot­ deauna sunt în legătură cu schimbările altei ori altor can­ tităţi. De pildă: înălţimea ori greutatea unui copil va­ riază cu schimbarea vrâstei copilului; temperatura aerului ori a corpului omenesc atârnă între altele şi delà ora (timpul) când le examinăm. In matematică: expresiunea algebrică, ce cuprinde felul de atârnare a unei cantităţi de una sau mai multe alte cantităţi se numeşte funcţiune şi se înseamnă cu: y = f (x), ceteşte: y e funcţiunea lui x, ori z = f (x, y), ceteşte: z e funcţiunea lui x şi y; unde x, y şi z sunt cantităţi variabile, (înălţimea, greutatea copilului; tem­

90

peratură, timp ş. a ). Dacă de pildă cu x am însemnă timpul (orele dintr’o zi), iar cu y temperaturile corespun­ zătoare atunci funcţiunea: y = f (x) ar arătă felul cum se schimbă temperatura aerului în decursul unei zile. In concret, fie dată funcţiunea: y = 5 x — 2, unde 5 şi 2 sunt cantităţi constante, iar x şi y variabile, atunci înlocuind pe x cu valori după plac: 1, 2, 3 ş. a., pentru y vom obţineă valori hotărîte : y = 5 . 1 — 2 = 3, y = 5 . 2 — 2 = 8, y = 5 . 3 — 2 = 1 3 ş. a. In cazul de faţă x e viariabila independentă, deoarece îi putem da valori după plac, iar y e variabila dependentă de valorile, ce le punem în locul lui x. SECŢIUNEA II.

Punct. 4.

Distantă. t

Determinarea numerică a poziţiei unui punct pe o dreaptă.

Ca la orice măsurare de distanţă, şi la determinarea poziţiei ' unui punct pe o dreaptă avem trebuinţă de un punct de plecare. In geometria analitică punctul de plecare se numeşte origine (O) (Fig. 9). Pentru ca să b tr H— I--- f- ■y— —t— -3 ~Z -/ O 7

A —

Fig. 9.

fie determinată direcţia în care^ se află punctul pe o dreaptă dată, e obiceiul, ca într’o parte dreapta să se termine cu o săgeată. O astfel de dreaptă provăzută cu origine şi direcţie se numeşte a x ă sau osie. Partea axei, ce se află între origine şi săgeată, reprezentă punctele pozitive, cealaltă pe celea negative.

91

Luându-ne după plac o unitate de distanţă, un punct pe axă va fi deplin determinat prin numărul — pozitiv ori negativ — al unităţilor, ce se află delà origine şi până la punctul dat. Numărul acestor unităţi se numeşte coordonata punctului respectiv. — Pe o axă dată un punct e deplin determinat prin un singur număr (coordinata) şi fiecărui număr ii corespunde un singur punct. D. e. pe axa X coordonata punctului A e x = 4, a lui B e x = — 3, iar numărului 4 li corespunde pe axă numai punctul A , numărului — 3 numai B, Probleme. 1. Află pe axe alese după plac, şi cu unităţi diferite, poziţia punctelor cu coordonatele: 5, — 1, 1/2, 2 1/2» — 2/3> — 7h*5

2. Află coordonatele punctelor de înjumătăţire a distan­ ţelor dintre punctele cu coordonatele: a) 3 şi 7; bj — 2 şi — 5; c) 1 şi — 5; d) — 2 şi 9; e) xj şi X23. Măsură distanţa dintre punctele: a) 2 şi 8; b) — 1 şi 2; c) 2/3 şi 4; d) — 5 şi — 1 ; e) xj şi X2. 4. Figurează pe o axă numerii iraţionali: + ] / 2) ~\~V3', i V " 5 ; + l / " 8 ; + K 10; + 1 /1 3 .

5.

Determinarea numerică a poziţiei unui punct pe un plan.

Geometrice e determinat un plan prin 2 drepte, ce se strătaie. Pentru uşurinţă luăm 2 drepte perpendi­ culare. Axa orizontală, e obiceiul, să se însemne cu X şi se numeşte a x a absciselor, cea verticală cu Y şi se nu­ meşte a x a ordonatelor. Amândouă laolaltă formează un sistem de coordonate dreptunghiulare (sistem Cartesian). Punctul de strătăiere al axelor se înseamnă cu O şi se numeşte origine. Partea pozitivă din axa absci­ selor, respective a ordonatelor e cea din dreapta, re­ spective de deasupra originei.

92

Voind să determinăm poziţia punctului A din planul format de sistemul de coordonate (Fig. 10), tragem câte-o perpendiculară pe amândouă axele. Partea tă­ iată din axa absciselor, OAi se numeşte se numeşte abscisa, iar cea din ax* ordonatelor, OA2 , ordonata punctului A. Abscisa punctului A e x = 4, ordonata y = 3 şi se înseamnă A (4, 3). Abscisa şi ordonata au numirea comună de coordonate.

r

Ştiind de pildă, că abscisa unui punct e x = — 1, ordonata y = 5, poziţia punctului (— 1, 5) o determinăm aşâ, că în punctul — 1 al axei absciselor şi în punctul 5 al axei ordonatelor ridicăm câte o perpendiculară. Punctul de strătăiere al acestora e B ( — 1,5). Tot din Fig. 10. se vede poziţia punctelor C (2, — 4), şi D ( — 4 , —-2). Coordonatele originei sunt; (0 , 0 ). a punctelor de pe axa absciselor sunt: (x, o), de pe cea a ordonatelor: (o, y).

în consecinţă: unui punct din plan îi corespund doi numeri, coordonatele lui; şi tot la câte doi numeri un singur punct din plan.

Probleme. 1. Să se figureze punctele: a) (1, 3), (1, - 3 ) , (— 1, 3), ( - 1, - 3 ) ; b) (3, 1), (3, - 1 ) , ( - 3 , t), ( - 3 , - 1 ) ; c) (1, 1), (1, 2), (1, 3). (1, 4); d) . (1, 0), (1, - V 2), 1, - 1), (1, - 2); e) (1 , 0), (0, 1), ( - 1, 0), (0, - 1); f) (0, - 1 ) , (1, - . 1 ) , (2, - 1 ) , (3-5, - 1 ) ; g) ( - 1, - 1), ( - 2, - 1), ( - 3, - 1), ( - 5, - 1); h) (2, 2), (1, 1), (0-5. 0-5), ( - 11/2, - 1 ’/2); i) (1, 2 1, (2, 4i, (0-5, 1), (— 3, — 6). 2. Să se determine prin desemn coordonatele câto puncte alese după plac.

6.

Distanţa dintre două puncte.

Să avem punc­ tele: Pi (xi, y,) şi P2 (x2> y2) (Fig. H).

Y a

Tragem din ele per­ pendiculare pe axa X şi tot cu axa X o paralelă din Pi, atunci însemnând distanţa P, P2 cu d, c avem conform teo­ remei lui Pythagoras relaţia : P1P22 = P 1C2-f P2C2, iar înlocuind : Fl2- 1!PjC = AB = OB — OA = X2 — xi şi P2C = BP2 — BC = BP2 — APi = y2 — y, d2 = (x2 — xi)2 + (y2 — yi)2, de unde: d = ]/(x2 — xi)2-j-(y2 — yi)2-

-

94 -

Dacă unul dintre cele două puncte, d. e. Pi, e în origine, atunci xi = o, yi = o şi d = y22Probleme. 1. Să se afle distanţa dintre punctele: a) (5, 4) şi ( - 3 , 2); b) ( - 1, 4) şi (4, - 1 );’ c) ( - 3 , - 4 ) şi (3, 4). 2. Să se calculeze distanţa delà origine a punctelor: (1, — 2); (2, - 1 ) ; ( - 2 , 1) şi (1, 2). 3. Să se afle perimetrul triunghiului cu creştetele: A ( - 3 , - 2 ) , B(0, 4), C (5, - 1). 4. Cât de mare e perimetrul multunghiului cu creştetele: A (0,0), B (2,2), C (0,9), D (6,6), E (8 ,0 )? 5. Cât de mare e aria triunghiului cu creştetele A (0,0), B (8, 3), C (5,13)? Să se aplice formula: A = P s (s—a) (s—b) (s— c). 6. Cât de mare e aria pătratului ridicat pe distanţa cu extremităţile in A (1, 2) şi B(12, 4)? 7. Cât de mare e aria deltoidului cu creştetele A (— 4,0), B (0, 5), C (8,0), D (0, — 5)?

7.

Coordonatele unui punct, ce împarte o distanţă într'un raport dat.

Fiind date punctele Pi (xi,yj) şi P2(x2, y2) (Fig. 12), să determinăm coordpnatele punctului P (x, y), care îm­ parte distanţa Pi P2 în ra, P jP m Po r tu l:P i r = ~ . Proiectând punctele Pu P, P2 pe axa absciselor ob­ ţinem punctele A, B, C, deci pe baza similitudinei tra­ pezelor A B P P i şi B C P 2P avem proporţiuneă : Pi P : P P2= A B : B C, dar Pi P m AB pp" 2= ~ = g ç i şi susbtituind pe AB = x—xi şi BC ^ x 2—x,

scriem

= ------ - sau m : n = (x— xi, : (x2—x, de unde X n----X

V

V ^

nx — nx1= m x 2 — m x nx + mx = n x i + m x 2 x (n + m) = n X! + m x2 n Xj + m x2 X = --------- T --------n 4- m m xj H----- x, Dacă împărţim şi numără­ n 1 x == torul şi numitorul cu n m 1+ m şi raportul™ îl însemnăm n xi + A x 2 1+ A cu A avem: Tot aşa proiectând punctele P j, P, P2 pe axa ordoYj + A y 2

or, obţinem formula y = —j-_qyy-. în cazul

că

Pj P — P P2, raportul de împărţire

m ™ = A = ], deci m = n; va să zică, dacă punctul P în­ jumătăţeşte distanţa Pi P2, coordonatele lui vor fi: Xl +

X y

x 2

1+ 1

X) +

X2

2

_ yi + Y2 _ yi + y2 1+ 1

2

Probleme. 1. Să se calculeze coordonatele punctului de înjumătăţire a distanţei dintre punctele: a) (3, 4) şi (5, 2); b) ( - 3 , 2) şi (1, 3); c) ( - 4 , - 1 ) şi (3, - 1 ) ; d) (2, 3) şi (2, - 5 ) . 2. Creştetele unui triunghiu sunt: A (3, 6), B (2, — 5), C (—4, —3), să se caute coordonatele punctelor de înjumătă­ ţire a laturilor triunghiului. 3. Intr’un triunghiu isoscel creştetele delà bază sunt: A (--2 , 1), B (6, 1), iar cel opus bazei C (2, 5); să se determine coordonatele punctului de înjumătăţire al bazei, înălţimea şi aria triunghiului.

4. Să se caute coordonatele punctelor, ce împărţesc dis­ tanţa dintre punctele (— 3,4) şi (5,6) în raporturile: i/s, 3)4? 5/6 7/12. 5. Fiind date punctele Pj (xi, yi) şi P2 (x 2 , y2), distanţa dintre ele să se împărţească în trei părţi egale şi să se calcu­ leze coordonatele punctelor de împărţire. 6. Să se determine coordonatele punctului de strătăiere al diagonalelor pătratului cu creştetele A (4, 1), B (10, 1), C (4, 7), D (10, 7).

8.

Aria triunghiului din coordonatele creştetelor.

Fie creştetele unui triunghiu: A (x,, yj), B (x2, y2) şi C (x3 , y3) (Fig. 13). Proiectând creştetele triunghiului

pe axa absciselor obţinem punct', le: D (x!, 0). E (x2, 0) şi F (x3, 0). Din figură urmează, că: aria A ABC = ar (ADEB) + ar (BEFC) -- ar (ADPX), dar AD + BE _ y, + y2 2 \x2 — X!),2 ar (ADEB) ^ . • DE — ar (BEFC) =

BE + CF 2

y2 + y3 , , E F = — 2— (x3 — x2).

ar (ADFC) = A-D j^ CF ’ DF = - - - - - - - (x3 — x i); deci:

— 97 —

1

:* n n

yi +

yr2,

\ t y2 + y3,

ar. A ABC = »— ^— (x2— x i ) - f - — ^— (xs —

x 2)

yi + y3 ; 2

“ 'i

».

:i ;i

c _ J

(x 3

X j)

y2 ) (X2 — XI) + (y2 + y3) (x3 — x 2) — (yi + y 3) (x3 — x,)] = - V2 [ x 2 y, + x2 y2 — X j y, — X j y2 + x3 y2 + x 3 y3 — — x2 y2 — x2 y3 — x3 y, ~ x2 y3 + x i yi + X 1 y3] = = V2 [x2 yt — xj y2 + x3 y2 — x2 y3 — x3 y, + xj y3] = = V2 [V[ (x2 — x3) + y2 (x3 — xj) + y3 (xi — x2)], őri = V2 [xi (y3 — y 2) + x2 (yi — y3) + x3 (y2 — y j] Bine înţeles aria triunghiului o vom obţinea în unităţile de suprafaţă corespunzătoare unităţilor de lungime, in cari ne sunt date coordonatele creştetelor. După cum coordonatele sunt date în mm, cm, m ş. a. aria o ob­ ţinem în mm2, cm2 m2 ş. a.

= V2 [(yi 4 -

Probleme. Să se calculeze aria triunghiului cu creştelele: 1. 2. 3.

f

(1, 2); (3, 5); (5, 4); ( - 1, 2); (.3,3); (2, - 4 ) ; ( - 3, - 2 ) ; ( - 1 , 5>; (3, - 1 ) .

.....

SECŢIU N EA III.

. . /

_‘ .

■

-

Linia dreaptă. 9.

Condiţia ca trei puncte să fie în aceeaş dreaptă. Ecvaţiunea dreptei.

I. Din celea învăţate în anul precedent ştim, că pe lângă aceeaş bază, aria unui triunghiu e cu atât mai mică, cu cât e mai mică înălţimea (Fig. 14) ; încât atunci, când înălţimea triunghiului e 0, va să zică, când toate ; trei creştetele triunghiului sunt în aceeaş dreaptă, şi aria, triunghiului va fi egală la 0, şi invers. », r c; j 7

98 —

t)eci condiţia ca trei puncte date: A (x1; yt) B (x2, y2), C (x3) y3), să fie în aceeaş dreaptă e, ca aria triunghiului să fie 0, va să zică: x2 yi — xi y2 + X3 y2 — x2 y3 + xi y3 — x3 yi = 0.

cI.

II. Coordonatele tuturor punctelor, ce se află p aceeaş dreaptă cu două puncte date: A (xj, yi) şi B x2, y2) le vom obţineă din ecvaţiunea: X2yi — xi y2 -1- x y2 — x2 y + xi y — x yi = 0, unde x si y sunt valori nehotărîte. Ecvaţiunea aceasta o putem scrie şi în forma : x (y2 — y;) + y (xi — x2) = xj y2 — x2 yj şi însemnând părţile constante cu câte-o singură literă : y2 — yi = a, xi — X2= b şi xj y2 — x2 yj = c obţinem ecvaţia de gradul I. : a x + by = c. Din aceasta putem calculă coordonatele (x, y) a tu­ turor punctelor, ce se află pe aceeaş dreaptă cu două puncte date. După cum ne sunt date alte şi alté două puncte — căci o dreaptă e deplin determinată prin două puncte — obţinem alte şi alte ecvaţiuni de gradul I. Deci fiecărei drepte îi corespunde o ecvaţiune de gradul I. şi fiecare ecvaţiune de gradul 1. conţine coordonatele tuturor punc­ telor unei singure drepte dintr’un plan dat. în conse-

— 99 -

cinţă ecvaţiunile de gradul î. se numesc şi ecvaţiuni U‘ neare sau ecvaţiuni de ale dreptelor. Probleme. 1 . Să se calculeze, dacă sunt pe aceeaş dreaptă

punctele: a) (— 5,0), (1, 2), (4, — 3). b) (— 3, —5), (4, — 6), (9,1). c) (— 4, — 1 >, ( - 1,1), f2,3). 2. Să se afle ecvaţiunea dreptei, ce trece prin punctel a) (0,0) şi (4 ,3 ); b) (0,0) şi ( - 4 , 3 ) ; c ) ( 0 ,2 ) şi ( - 1 , 3 ) ; d) (3,2) şi ( - 1 , 2 ) ; e) (2,3) şi ( 2 , - 1 ) ; f) ( - 3 , 2 ) şi (2,1). g) ( - 3 , 2 ) şi ( - 2 , - 5 ) ; h) (2,0) şi (4,3); i) (3,4) şi (5,12).

10.

Reprezentarea funcţiunilor de gradul I.

Orice ecvaţiune poate fi considerată şi ca funcţiune. Aşâ de pildă ecvaţiunea nedeterminată de gradul I : ax + by = c totodată e şi o funcţiune de gradul I. a variabilelor x şi y, scrisă în form a închisă. ä c Din aceasta: y = — -j— . x + -j^-, ori y = t . x + C e

aceeaş funcţiune scrisă în form a deschisă. Aici a c t = — -j^-şiC = -j^- sunt valori constante, x e variabila

independentă, iar y cea dependentă. Să avem de pildă, funcţiunea : y = 2 x + 3, atunci punând în locul lui x valorile: — 2, — 1, 0, 1, 2, 3... obţinem pentru y » : — 1, 1, 3, 5, 7, 9..., deci ecvaţiunea x respective funcţiunea y = 2 x + 3 conţine punctele: ( - 2 , - 1 ) ; ( - 1 , 1 ) ; (0 ,3 ); (1, 5); (2, 7); (3, 9) ş. a., pe cari figurându-le vom vedeă, că toate sunt pe una şi aceeaş dreaptă (Fig. 15). Va să zică funcţiunea: y = 2 x + 3 e reprezentată prin dreapta AB. La reprezentarea grafică a funcţiunilor de gradul I. e de ajuns, să calculăm coordonatele alor două puncte, deoarece o dreaptă e deplin determinată prin două puncte. Aşâ de pildă din funcţiunea amintită: pentru 7*

— 100 —

x =F=0 ,.8veni y = 3,., iar pentru ;y — O avem x = - —3/2> Cel dintâiu e punctul de strătăiere al dreptei cu axa y, aldoilea cu axa x.

Y

s

In general din ecvaţiimea: ax by = c, , pentru x = 0 c avem y = b , iar pentru y = 0 avem x unde

c

— ' a ’ c

sunt distanţele, la cari dreapta strătaie axa y, respect, axa x. ' Dacă unul dintre celèa doua puncte e originea (0, 0), atunci: a . 0 + b . 0 = c, c = 0 ; deci ecvaţiunea oricărei drepte, ce trece prin origine va aveâ forma : a x -}- by — 0 ori 3 â x sau y = t . x, unde t = — y= ------ -b’ b Ä J Dacă Xj = x2, atunci b = x, — x2 = Ö, va să zică, dacă celea două puncte, — deci şi toate celelalte puncte din dreaptă — sunt egal depărtate de axa y (adecă dreapta însaş e paralelă cu axa y), atunci ecvaţiunea acestei drepte va aveà forma:

— lo i —

ax + O . y = •c ax = c •'_ c a X x = g,

'

unde g e un număr

constant. Tot aşâ ecvaţiunile de forma y = h unde h e un număr constant, reprezintă dreptè paralele cu axa x. Probleme. Să se reprezente dreptele, a căror ecvaţiune e: 1. y = 3x; y = x ; y = — x. 3 3 2. y = — 5x; y = y x ; y = — y x. 3. y = 2 x ; y = 2 x - \ - l ; y = 2 x - f - 2 ; y = 2 x — 1. 4. y = — 2 x ; y — — 2 x - | - l ; y — — 2 x — 1 ; y = 2 x — 4. 5. y = 5 x — 3;

y = ^ x - ) - 2 ; y = 4; x = — 2.

6. 3x — 2y = 4; x — y = 5; X - f y = 3; y

— — = 1.

7. 2 x - f 3 y = 5; 4y — x — 4 = 0 ; x = Ş — 2. T

11.

Coordonatele punctului de strătăiere alor două drepte.

Să se determine de pildă coordonatele punctului de strătăiere a dreptelor cu ecvaţiunile: 5 x + 4y = 2 . . 2 x — y = — 7 .4 5 x + 4y = 2 8 x — 4 y = — 28 131^^26 x = — 2 2 .- 2 —y= — 7 — 4 — y= —7

+

+ + y = 3 Coordonatele punctului sunt : ('— 2, 3) (Fig. 16).

— 102 -

In general fie : a1x + b ,y = c1 ecvaţiunea dreptei AB şi a2x + b2y = C2 ecvaţiunea dreptei CD. Punctul de strătăiere P se află pe amândouă dreptele,

Y

deci coordonatele lui trebuie să Indestulească amândouă ecvaţiunile. Problema se reduce aşadară la rezolvirea grupei de ecvaţiuni: a, x - f b, y = q I . b2 a2 x + b2 y = c3 j . b, a, b2 x + b, b2 y = b2 ct — a9 bj x — b 1 b2 y = — bj c2 x . (a* b2 ■— a2 b j = b2 Ci — b, c* __

^2

^1

^1

^2

Si ba ——«U bi

-

103 -

Tot aşâ, eliminând pe x, obţinem valorea lui 32 Cj ^2 y — —-T“. Valorile obţinute pentru x şi y sunt coordonatele punctului de strătăiere a celor două drepte. Probleme. 1. Să se afle coordonatele punctului de stră­ tăiere al dreptelor cu ecvaţiunile: a) xT y= 3 b ) 2 x — 3y = — 6 x —y= 1 x -T 4y = 8. 2. Să se arete, că dreptele: x — }—y = 1 ; 3 x -j- 2y = 4 se întâlnesc într’un punct.

x —y= 3

şi

3. Să se determine ecvaţiunea dreptei, ce trece prin ori­ gine şi prin punctul de strătăiere al dreptelor: x -j- 2y — 3 — 0 2x — 3y + 1 = 0. 4. Dreptele: x - j - y ^ - 1 ; x-\ -y — 2\ x — 2y = 3 sunt laturile unui paralelogram. ţiunile diagonalelor.12

12.

x — 2y = — 1; Să se afle ecva­

Rezolvirea grafică a grupelor de ecvaţiuni de gradul I. cu două necunoscute.

In §-ul precedent am constatat, că problema deter­ minării coordonatelor punctului de strătăiere alor 2 drepte se reduce la rezolvirea grupei de ecvaţiuni. In acelaş chip, dacă ne sunt date 2 ecvaţiuni de gradul I. cu 2 necunoscute, despre care ştim, că fiecare reprezentă analitice câte o dreaptă, nu avem decât să desemnăm celea două drepte pe hârtie Împărţită în milimetri pătraţi şi cetind din figură coordonatele punc­ tului de strătăiere, abscisa ne dă valoarea necunoscutei x, ordonata valoarea necunoscutei y, din grupa de ecva­ ţiuni dată. J3. e. Să rezolvim grafice grupa de ecvaţiuni; x+ 2 y= — 3 2x — 4 y = 10.

— 104

Desemnăm dreptele, reprezentate prin acestea două ecvaţiuni, căutând valoarea unei variabile pentru cazul, că cealaltă este zero (Fig. 17). In cea dintâiu fiind x = 0, y = — 1*5, iar fiind y — 0. x = — 3. In a doua fiind x == 0, y = — 2 '5 ; fiind y = 0, x = 5. Deci dreapta primă va trece prin punctele: ( 0 ,— 1*5) şi (—- 3, 0), iar a doua prin punctele: (0, — 2 -5) şi (5,0). Coordonatele

X

punctului de strătăiere, cum vedem din desemn, sunt: (1 > ~ 2 ), va să zică pentru grupa de ecvaţiuni dată : x = 1 şi y = — 2. Problertte. Să se rezolve grafice următoarele grupe de ecvaţiuni: : : 1. ( 3 x — 4 y = 6 2. |2 x — y — 1 = 0 I x -f- y = 3,

5

|2x— y = — 2 \s y — 5 X = 3

5.

)5 x -|- 2 y = 5 |x — y = -

2 12

(f> x -j- y — 6 = 0 4. |x — 2 y = l jy - 2 x = 12 6. (4 x — 3 y = 8 \x -j- 4 y = 2.

13.

E c v a ţ iu n ile d re p te lor paralele.

Coordonatele punctului de strătăiere ab dreptelor : a, x - f b, y = c, ■. * bg Cl ~~ bj C2 a, x -p bi y = c2 sunt: x = - r „ . J. ăj D2 â2 Dj ^ c2 ^_ â0 fc)i --- 3i t)2* Ca celea două drepte să fie paralele, trebuie ca punctul lor de strătăiere să fie în infinit şi aceasta numai aşâ se poate, dacă numitorul coordonatelor x şi y e zero, iar numărătorul nu e zero. Deci condiţia, ca două drepte să fie paralele, e: aj b2 — a2 b, = 0 şi b2 cx — bj c2 nu e 0 a2 Cj — a, Ca nu e 0. — -t.'

Din relaţia primă urmează, că: a1b ^ = a 2 bi

ori

ai _ ai deci o b, b2 dreaptă paralelă cu: ax + by = c va aveâ forma: 11 _ . a na nax -j- nby = C, deoarece ^ ; ori împărţind întreagă nax ecvatiunea cu n -----’ n

nby __ C n n

ax +

by = — n ax + by = ct ; adecă ecvaţiunile dreptelor paralele nu se deosebesc decât prin constantă. D. e. : dreptele AB şi CD (Fig. 18) cu ecvaţiile: 4 x — 3 y = 6 şi 4 x — 3 y = — 12 sunt paralele, de­ oarece în ecvaţiile lor numai constanta e deosebită. în cazul, că nu numai raportul dintre coeficienţii lui ' ’iv , » a, a,, cT x şi y, ci şi dintre constante e acelaş : ^ . =?= -g ^ c > atunci avem de â face cu 2, ecvaţiuni. identice, cari re-

-

106

prezentă una şi aceeaş dreaptă. Deoarece în acest caz obţinem relaţiile : a, b2 — a2 b, = 0 b2 Cj — bj c2 — 0 a2 Cj — a! c2 = 0, coordonatele punc­ tului de strătăiere a celor două drepte sunt: 0 ° , „ J x = -q", y = -Q-, adeoa nedeterminate.

D. e. Ecvaţiunile :

5 x — 3 y= 8 10 x — 6 y = 16 sunt identice, deoarece îmmulţind pe cea dintâiu cu 2, obţinem pe a J „ 5 — 3 8 doua, ori fiindcă: Tr> = — ’ 10 — 6 16 Probleme. 1. Să se afle ecvaţiunea dreptei, ce trece prin punctul P iţX n y ,) şi e paralelă cu dreapta: a x - { - b y = c . Fiind paralelă va aveâ forma: a x -j-b y = c1( iar trecând prin punctul Pi (Xi,yi\ va trebui să îndestulească şi egalitatea: aXj -|- by! = c: , deci ecvaţiunea căutată e: ax -j- by = ax: -j- byj.

— 107 —

2. Să se afle ecvaţiunea dreptei, ce trece prin un punct dat şi e paralelă cu o dreaptă dată : a) ecvaţiunea: 3 x — 2y = 6 şi punctul (3 ,— 2) b) » 2x -f- y = — 3 » (0,0) c) » 5x — 3y = 0 » (—- 4 ,0). 3. Să se afle ecvaţiunea dreptei, ce trece prin punctul (1, — 1) şi e paralelă cu dreapta, ce trece prin punctele: (2, — 1) şi ( - 3, 2).

14.

Unghiul format de două drepte.

Fiind date dreptele cu ecvaţiile: a! x + b, y = ci a2x + b2y -= c2; . A . a, Cj acestea se pot scrie in forma: y = — Via

c.

presupunând că dreptele sunt paralele: y = t . x - f C, y = t . x - f C2 unde t = — , — = — -ţ—, C, = 7— şi C2 = 7— sunt bj b2 1 b, v 2 b3 numeri constanţi, dintre cari C, şi C2 ne dau distanţa, la care strătaie dreapta respectivă axa y (când x = 0, y = C1, respective y — C2); iar t determină direcţiunea dreptei, ori ceeace e tot atâta unghiul, ce -1 formează dreapta cu axa x şi se numeşte coeficientul unghiular al dreptei respective. Drepte'e paralele strătaie axa x sub acelaş unghiu, deci în ecvaţiile lor coeficientul unghiular e acelaş. Din tabela din par. 23. se poate calculă un­ ghiul, ce -1 formează dreapta cu axa absciselor (x), dacă e dat coeficientul unghiular, sau întors coeficientul un­ ghiular, dacă e cunoscut unghiul. Fiind date două drepte neparalele: AB şi CD (Fig. 19) cu ecvaţiunile : y = t, x + C, y = tax + C2, unghiurile ce le formează cu axa x, adecă at şi a 2 le determinăm din

— 108 -

tabelă, iar unghiul a , format de celea două drepte îl determinăm din egalitatea at — as -ţ- a, de unde: a =

a 1 — av

[

Probleme. 1. Să se determine unghiul format de dreptele: 3 x ---- 1 y = 8 2 0 x - j - 3 y = 5.

Le-scriem mai întâiu în forma:

y=-4 x - s 20 5

y— — sunt:

' ;

x -f- — , de aici coeficienţii unghiulari

t , = ! = 0-75 20

= 6'6667.

Mai aproape de 0 ’75 în tabelă e

0'7490, la acesta îi corespunde un unghiu de 36° 50'. Diferinţa dintre 0'7490 şi coeficientul vecin 0'7512 e: 00022. Atâta e co00022 rectura pentru 5‘. Pentru 1' va fi — ^ — = 0'00044. Diferinţa dintre coeficientul căutat 0'75 şi cel găsit 0 -7490 e O'OOIO. Unei diferinţe de 0'00044 îi corespunde D, iar uneia de O’OOIO îi corespunde x, deci

— 109

x : 1 = 0-0010 : 0-00044 _ 0-0010__100 _ 0-00044 ~ 44

100 : 44 = 2' 12.60 7 2 0 : 44 = 16“ 280 16 . Aşadar dreapta primă formează cu aka x în direcţia pozitivă un unghiu de 36° 50' -j- 2 ‘ 16“ = 36° 52' 16" : Tot aşâ se determină unghiul format de dreapta a doua cu axa x. Mai aproape de 6*6667 e 6:6265. Acestuia îi co- 1 respunde unghiul de 81° 25'. 66912 - - 6-6265 = 0:0647 : ■■6 : 0-0647: 5 = 0 01295 e corectura peptru 1!"- r ; 6 6667 — 66265 = 0-0402 ; 0 0402 : 0 01295 = 4020 :4 2 9 5 ?= 3' 1 3 5 .6 0 ' 8100 : 1295 = 6“ 330 Deci coeficientului unghiular 6'6667 îi corespunde unghiul de 81° 25' -f- 3' 6“ = 81° 28' 6“; în cazul: de iaţă" coeficientul un- ' ghiular t2 = — 6 ’6667 e negativ deci dreapta a doua formează cu direcţiunea negativă a axei x un unghiu de 8.1 ° 2 8 '6 “, în conse­ cinţă cu direcţia pozitivă a axei x va formă un unghiu de «2 = 180° — 810 28' 6‘'i = 98° 3 T 54“. Deci unghiul format de celea 2 drepte, va fi : « = 98° 31' 54" — 36° 52' 16" « = 61° 39' 38" 2 Să se determine unghiul format de dreptele: a) |3 x -j- 4 y = 7 b) jx -ţ- y = 1 c) | 6 x — y — 8 15 x — 2 y = 8 (x — Y — — 1 U3 x — 2y = 9 d) /25 x 0'5y = 2 4 e) / 3y — x = 0 fj /x = 0 \ y — 56 x = 48 1512 x -f- 5y = 26 ţy == 0 g) ( 3 x — 25 y = 56 1715 x + 48 y = 0. 3. Să se scrie ecvaţiunea dreptei, ce formează cu axa x un unghiu de 57° 38‘ şi strătaie axa y la distanţa de C = — 3 unităţi. ... ; ■ :. Pentru « = 570 35', t = P5748; 15798 ~ D5748 = 0 ‘0050 0 0050 : 5 = O'OOIO e corectura pentru 1'. Pentru 3' va fi: O’OOIO X 3 = 0 0030. La unghiul de 57° 38' îi corespunde coeficientul unghiular:

— iíó —

15748 -j- 0 0 0 3 0 = 1 '5778. Deci ecvaţiunea dreptei din chestie va fi: y = P5778 x — 3. (Dacă unghiul e dat şi în sçcunde, acestea le transformăm în minute). 4. Să se scrie ecvaţiunea dreptei, pentru care: a) a — 30° şi C = 4; b) « = 60° şi C = 0 ; c) « = 15° 35' şi C = — 1; d) a = 45° 45' şi C = 5 e) « = 63° 24' şi C = 15 f) « = 86° 37' 26'' şi C = 2. ’ 5. Să se afle ecvaţiunea dreptei, ce trece prin punctul Pi (*i) yi) şi formează cu axa x un unghiu de «°. La unghiul de a° să-i corespundă coeficientul t. Deci ecva­ ţiunea va aveâ forma: y = t x -J~ C. Trebuind să treacă dreapta şi prin punctul P! (x1; yj), va fi: yx = t Xj -{- C, deci y — yi = t (x — X j ) ori y = t x - f - ( y j — t x t);

iar înlocuind pe t = ---- g-

y = - | x 4 -y 1 + | x „

15.

O ¥

O

de unde: a x - ) - b y = a x 1 -) -b y 1, 6. Aceeaş problemă pentru: a) Punctul ( 3, 4) şi unghiul 48° 36'15 » » ( - 1 , 5) » 79° 48' 50" b) » 112° 2' 30" c) » 170° 52' 47" » (— 2, 3) » d) > » ( 3 , 8) » 3° 3' 3" e) Notă. Dacă unghiul ce e obtuz, în tabelă căutăm pentru 180 — ce şi coeficientului unghiular îi dăm semnul minus (— 1).

Ecvaţiunile dreptelor perpendiculare.

Direcţiunea unei drepte atârnă numai delà coefi­ cientul unghiular, nu şi delà constanta ecvaţiunii. Pentru simplificarea problemei fie c = 0, va să zică să avem de a face cu drepte, ce trec prin origine: a ax -f- by = 0 ori fiind t = — -gy = tx, y

de unde :

t = — , deci pentru dreptele, ce trec prin

— iii -

origine coeficientul unghiular e egal la raportul dintre ordonata şi abscisa oricărui punct de pe dreaptă.

AP BR CS EU t - AO ~ BO " CO — EO —

('F]g' 20^

Pentru x = 1, avem y = t, deci la dreptele ce trec prin origine coeficientul unghiular e ordonata punctului cu abscisa 1.

Y

Fie acum dreapta AO cu ecvaţiunea y = tt x per­ pendiculară pe BO cu ecvaţiunea: y = t2 x (Fig. 21), atunci la ordonata CO = y, îi corespunde pe dreapta AO abscisa OD = x1, iar pe BO, abscisa HO = — x 2. Vj y1 Deci pe baza definiţiei: t. = — , iar ta = ----- . De unde Xi

X2

yi = h Xi şi y, = — t2 x2, iar prin îmmulţire yi2 = — ti tj . x, X2. Mai departe fiind : A C E O o° A CO G CG : CO = CO : CE, iar înlocuind x2 : y! = y, : Xi, de unde: yi2 = x1 . X 2, deci

— 112 —

4 Xi . x2 = — ti t2 . Xi x2 Va să zică ti . t2 = — 1, iar 1 ori înlocuind tl

jr~ obţinem

t

Hi b i'

1

, deci

ax _ bi

b2 a ,'

Aceasta e condiţia, ca două drepte date în forma: a, x + b, y = 0 a2x + b2 y = 0 să fie perpendiculare. Tot acestea sunt condiţiile per­ pendicularităţii şi pentru dreptele ce nu trec prin centru. Y

B

X

Fig. 21.

D. e. Pe dreapta y = 3 x + Q dreapta

y ——

•

.

e perpendiculară

x + C2; asemenea pe dreapta:

5 x — 3 y = Ci e perpendiculară drea ,ta 3 x -* •5 y = C,. (Ci şi C2 pot fi orice numeri).

— iis — Probleme. 1. Să se afle ecvaţiunea dreptei, ce trece prin punctul Pj (x t, yj) şi e perpendiculară pe dreapta: ax -f- by = c. Ecvaţiunea oricărei drepte perpendiculare pe ea va aveâ lorma: bx — ay = c; trebuind să treacă şi prin punctul Pj (xx,yi), avem egalitatea: b x !— ayx = c. Deci ecvaţiunea dreptei căutate va fi: bx — ay = bx! — ay^ Pentru

ecvaţia

y = tx -}-C

şi punctul Pt (x,, y^, avem

ecvaţiunile: y = ---- x -|- C şi yx = -------- T ’ Xl

din car* °^"

ţinem ecvaţiunea: y — yi = -----(x — Xj).

Y

2. Aceeaş problemă pentru a) Punctul ( 5, 3) şi ecvaţiunea b) » ( — 3, — 5) » » c) » ( o, 4) » » d) » ( I r — 1) »

4x 2x 3x x

— 3y — 7 -f y = 6 — 7y = 8 + y = l.

3) Să se determine depărtarea originei delà dreapta AB cu ecvaţiunea: a x - ţ - b y = c. (Fig. 22). Ecvaţiunea dreptei OE va fi bx — ay = 0, iar coordonatele punctului de strătăiere E (x !,y j) le obţinem, dacă rezolvim grupa formată din ecvaţiunile de mai sus: 8

114

ax - J - by = bx — ay = a2x -f- aby = b2x — aby = x (a2 -f* b2) =

Deci:

c |. a ax + by = c j . b O I. b bx — ay = O [ . — a ac abx -f- b2y = bc O - abx a2y = O y (a2 -j- b2) = bc ac ac bc yi 1 ~ a 2 - f b2 a 2 + b2 _ / ac y OE2 Va2 + b * ) a2c 2 -f" b2c 2 (a2 -}- b2) c2 c2 ~ (a2 -f- b2)2 ~ fa2 + b2) 2 ' a2 4* b2 OE = d

/a 2+

b2

4. Aceeaş problemă pentru ecvaţiunile: a)

3 x -(-4 y = 5;

b)

x — 3y — 6 = 25;

c )T + ^ = 8 ;

d) 16x - - 9y = 25;

-, 2x e) y — y = 2 ;

, f)

4x y — y = 4..

5. Să se determine depărtarea punctului P (xlţ yx) delà dreapta: ax ~}~ by = c. (Fig. 23). Ecvaţiunea dreptei CD, care e paralelă cu dreapta AB, şi trece prin punctul P (x1? y,) e: ax -j- by = axt -j- by^

115 -

Deci: OE = EF =

j / a a 4 - b2 axt + b y,

/ a ïq r b s ’ de aicl a*! -j-byi PR = FE = FO — EO = V + + b2 6- Aceeaş problemă pentru cazul, când e dat: a) Punctul ( 5, 2) şi ecvaţiunea 3x — 2y = 7 » b) 12x + y = 31 ( 3 , - - 5) » » c) 0) » x — 3y = 8 ( F 3x - 5y _ » d) ( - 2 }7 - 7 ) » 8 ~ 10 7. Să se determine depărtarea dintre dreptele paralele: y — 3x — j—1 şi y 3x — [~ 2.

16. Coordonatele centrului de greutate a unui triunghiu. De pildă: Să se calculeze coordonatele: x, y a cen­ trului de greutate: G (Fig. 24) a triunghiului cu creşte­ tele: A (1, 1), B (7,2), C 4, 6), Centrul de greutrate a unui tri­ unghiu e punctul de întâlnire a me­ dianelor; iar me­ diani trece printr’un creştet al triunghiu­ lui şi prin punctul de înjumătăţire: A '(x i‘, yi '). B'(xV, y2 ') ori C‘ (x3‘, y3') a laturei opuse creşte- « tului. Fig 24.

Ştim că: xF :

4+7 6+ 2 9 = 5-5, y,' = — = 4 8

X,

4 + 1

1+ 2

6+ 1 + 3-5 2 1+2 = 1-5 2

= 2-5, ys 4, y*

~

Astfel pe baza formulei: (y* — yO •x + (xi — x,) y = x, y2 — x, y,, unde (íj, yi) şi (x», ya) sunt coordonatele punctelor prin care trece dreapta, ecvaţia medianei A A' va fi : (4 — 1). x + (1 — 5-5) y = 1 . 4 — 5-5 . 1 ; 3 x — 4 ‘5 y = — 1'5; x — 1-5 y — — 0*5; a medianei BB': (3*5 — 2 ). x + (7 — 2*5 . 2; 1-5 x + 4-5 y = 2 4 . 5 — 5 = 19 5; x + 3 y = 13; iar ecvaţia medianei CC': (V5 — 6 ) . x - { - ( 4 — 4 ) . y = 4 . l -5 — 4 . 6 ; — 4 '5 x = 6 — 24 = — 18; 0 5 x = 2; x = 4. Punctul de strătiiere a oricăror două mediane va fi centrul de greutate al triunghiului. x — l -5 y = — 0 -5\ x+ 3 y=13 i 4 5 y = 135 y =

13-5

= 3;

x+ 3.3= 13;

x = 1 3 — 9 = 4;

deci

centrul de greutate al triunghiului e : G (4, 3). Fie acum A (xu yi), B (x2, ya), C (x8 y») creştetele tri­ unghiului dat (Fig. 24), şi A' (x'i, y\), B' (x'2, y's), C '(x'„y'3) punctele de Injumătăţire a laturilor BC, CA şi AB, atunci punctul de strătăiere al medianelor AA’, BB’, CC’, va fi centrul de greutate : G (x, y) al triunghiului ABC. o.. v , _ x 2 + x3 , y2 + y s Ştim, că x, - — 2— > 35 = — 2—

X j + Xj^ xa

o 2

, _ _y i + y s

> ya

o

— 117

astfel ecvaţiunile medianelor AA' şi BB' vor fi: fy* + y* A I ( X2 •+■ _ V L>------- y j x + VXi— 2 ) y __ ( y i + y3 V — 2----— Xa

y2 + y A

X2 + xs Xi + X3\

, (

> v x + VX2-----yL+ ys

xi + x3

2

2

2

)

_

y ~

’ y*

îmmulţind ecvaţiunile cu 2, obţinem: (ya + ys — 2 y4 x + (2 Xj — Xs — x3) y = — xi (y. + y») — yi (x* 4- x,) (yi 4- ys — 2 y») x 4- (2 xs — Xi — Xa) y = = xs (yi 4- y3) — ys (x* 4- x3) G (x, y) e punctul de strătăiere al acestor 2 drepte; voind să obţinem pe x îmmulţim ecvaţiunea Întâia cu: (2 x2 — xi — xs) şi a doua cu : — (2 x i — xs — Xa) şi le contragem. Vom obţineâ: [(ys 4- y8 — 2y4 (2x, — x, — x3) — (yx + y3 — 2y>). . (2xi — Xs — X s ) ] . X = (xj y2 4- Xi ys — x2 yt — x, yx) . . (2xa — xx — x3) — (x* yi 4“ xs y3 — xx y2 — x 3 y2) . . (2 Xi — xs — x 3). îndeplinind lmmulţirea, avem: [2xs y» 4" 2xs ys — 4x3 yi — xx y, — xi y3 4” 2xi yt — — xs y2 — xs ys 4- 2 x 3 yx — 2xx yx — 2xt y3 4" 4xi y2 4" 4" 2xs yi 4- xs y3 — 2xs y2 4" x3 y1 4" x3 y3 — 2xs y2] . x = = 2xi Xs ya 4~ 2xi x2 y3 — 2x2a yi — 2xs x3y» — — xx2 ys — xi2 y3 4" Xi xs yx 4“ Xi x, yi — xx xs xs — — Xi X, y3 4* Xs xs yi 4~ x3* y1 — 2xx x2 yi — 2xi x2 y3 4~ 4" 2xx2y, 4- 2xx x3 ys 4" xs2 yx 4" x22 y3 — Xx x2 ys — — xs xs y2 4" xs xs yx 4- xs x3 y» — Xx xs y2 — xs2ys ;

-

118

iar dupăce contragem : [3xa y, — 3x, y2 + 3x3 yi — 3x2 y, + 3x, y2 — x2 y3j x = = X, x2 y, — x22y, — x2 x3 yi + xy y2 — xt2 y3 — xt x2 y, +

+ xi

yi + + x3y* — xi x3y3+ x3*yi + -V y3—

— xt x3 y2 + x2 x3 y, + xa x3 y3 — x32y2. Pentru a puteâ scrie partea din dreapta într’o formă simetrică, adaugem la ea terminii : x, xä y3 — x, x2 y3 + xt x3 y2 — x, x3 y2 = 0 apoi scoţând de factor pe x,, x2, x3 şi aranjând obţinem: 3x (x2 y3 — x3 y2 -+- x8 yt + x, y3 + x, y2 — x2 y,) « = xi (x2 y3 — x3 y2 + x3 y, — x, y3 + x2 y2 — x2 y j + + xs (xs y3 — x5 yi + x, yt — x, y3 + x, y2 — x2 y j + + xs (x2 y8 — xs y2 + x3 y, - - xi y3 + x, y2 — x2 yP), de unde : 3x = Xi + x2 + x3 şi yi + ya + y3 X, + X2 + x3 ; tot aşâ aflăm că : y x — 3 în problema delà pag. 115— 116 într’adevăr am avut: 1+7 + 4 12 1+ 2+ 6 x _ 3 — 3 =4, y— 3 : 3.

Probleme. I. Să se dovedească, că centrul de greutate al triunghiului se află şi pe mediana a treia (CCi). 2. Să se afle centrul de greutate al triunghiului cu creşte tele: a) A [3, 4); B (— 2, 5); C (2, — 3). b) A ( 4 , - 4 ) ; B (3, 5); C (2, — 10). c) A (0, 1); B (3, 0); C (0, — 4).71

17.

Coordonatele punctului de strătăiere al înălţimilor triunghiului.

Fiind date creştetele triunghiului: A (1, 1), B (7, 2), C (4, 6) (Fig. 25), să se calculeze coordonatele punctului comun al înălţimilor : I (x, y). Ecvaţiunile laturilor tri­ unghiului sunt: AB . .. (2 — l ) . x + (l — 7 ) . y = l . 2 — 7 . 1: x ~ 6 y = = - 5 AC. .. (6 — 1) . x + (1 — 4). y = 1 . 6 — 4 . 1 ; 5x — 3y = 2 BC... (6 - 2 ). x + (7 - 4 ). y = 7 . 6 — 4 . 2 ; 4x + 3y = 34-

-

119 —

înălţimile trec printr’un creştet al triunghiului şi sunt perpendiculare pe laturea opusă creştetului respectiv. Deci ecvaţiunile lor sunt: AE... 3x — 4y = 3 . 1 —4 . 1 ; 3 x - 4 y = — 1 B F .. — 3x — 5y = — 3 . 7 — 5 . 2 ; - 3x - 5y = - 21 - 10; 3x + 5y = 31 ; CH... — 6x —y = — 6 . 4 — 1 . 6 ; — 6x — y — — 24 — 6 ; 6x + y = 30.

Y

Punctul comun al oricăror două înălţimi va fi punctul dorit. Deci coordonatele lui le obţinem rezolvind de pildă grupa de ecvaţii: 3 x — 4y = — 1 - + + 3 x + 5y = 31 1 + 4 . 82/ 19 iar x = 9y = 32 ; y = 32/9 = 35 l ± t 2 ! = I î 9 = 4.V„. 27 27 Punctul: I (4 u/î 7, 3 5/9) se află şi pe înălţimea a treia, deoarece substituind In ecvaţia ei obţinem : 6 . U9/S7 + +9 = ”*/« + 96/« = 81°/27 = 30,

-

120 —

Fie acum A ^ y J , B (x2) yd, C(x3, y 3) creştetele triunghiului dat, iar I (x, y) punctul de strătâiere al înălţimilor (Fig. 25). Ecvaţiunile laturilor BC şi AC vor fi: BC... (y3 — y2) x + (xs — Xi) y = x, ys — x3 y, AC... (y3 — y») x + (x, — xi) y = x, yt — xt y3. Ecvaţiile înălţimilor AE şi BF, cari sunt perpendi­ culare pe laturea BC respective pe AC şi trec prin punctul A( xi , yx) respective prin B (xs, ys), pe baza for­ mulei bx — ay = bxi — ayj vor fi: AE... (xs — x.) x — (y3 — y.) y = (x* — x») x, — (y, — ya) y, BF... (x3— xi) x — (yi — y3) y = (x3 — x,) x2 — (yt —•y3) y2. Coordonatele punctului de strătâiere al Înălţimilor 11 obţinem, rezolvind grupa formată de acestea două ecvaţiuni: (x2 — X3) x + (y2 — y,) y = (xs — x,) x, + (y2 — y3) yi (xs — X,) X + (y, — y j y = (x, — x j x2 + (y, — y,) y2îmmulţim ecvaţiunea întâia cu : (y3 — yi) şi a doua cu : — (ys — ys) şi le contragem : [(xs — xs) (ys — y0 — ( x 3 — x,) (y2 — y,)] =

= (Xa ~ x0 (y»—yOxi + (y*—y*)'(y» - y0 y>— — (x3 — X,) — (ys — ys) x2 — (ys — yi) (y* — ys)y2. M De aici x = unde: N = (xs — x3) (y, — yi) — (xs — Xi) (y* — y») = = xs y3- x 3 y3 x2 y, + x 3 y, - (x3 y2— y2—x3 y3+ xt y3) = = x, y2 — xs yi + xs ys — x3 y2 + x5 y, — xi y3 = = Xl (ya — ys) + xs (ys — yi) + xs (y, — y2) ; iar : M = (xs — Xs) (xx y3 — X, yi) — ( x s — xi) (x2 ys — x2 ys) + + (y* — y») (yi y3 — yr) — (y. — yO (ys2 — y2 y.) = = Xj x2 y3 — xi xs ys — xi xs yi + Xj x3 yi — x2x3 y2 + + xj x2 ys + xs x3 y3 — xi xs y3 + yl ys y3 — yt y3’ —

-

121 -

— yi 3 y» + y/y* + yi2ya — y22 y 3 — yi y / + y* y32 — — yi y* y3 = xi x2 (y* — yi) + x2 x3 (ys — y2) + + xs xi (yi — y,) + yi y» (y3 — yO + ya y3 (y, — y») + + ys yi (yi — y») = (xi x2 + yi y*) (y* — yO + + (x -2x3 + y2 y3) (y, — y.) + (x3 xi + y3 yO (yi — y,). Mi Tot aşâ : y = unde Mi = (xi x2+ yi y2) (xi — x 9) + + (xj xs + y2 y3) . (x, — x,) + (xs xi — ys . yO (x3— xi) iar N = xi (y* — y3) + x2 (ys — yO + x3 (yt — y»), în problema delà pag. 118— 119: M = 1 . 7 + 1 . 2 ) (2 — 1) + ( 7 . 4 + 2 . 6 ) (6 — 2) + + ( 4 . 1 + 6 . 1 ) (1 — 6) = 9 . 1 + 4 0 . 4 + 10 — 5 = 9 + + 160 — 5 0 = 119 Mi = (1 . 7 + 1 . 2 ) . (1 — 7) + ( 7 . 4 ) + 2 . 6 ) . (7 — 4) + + ( 4 . 1 + 6 . 1 ) (4 — 1) = 9 . — 6 + 4 0 . 3 + 1 0 . 3 = = — 5 4 + 120 + 30 = 96 N = 1 . (2 — 6) + 7 . (6 — 1) + 4 (1 — 2) = = - 4 + 35 — 4 = 27 deci: M Mi x = N = 119/â7=4 lli„; y = ^ = "■/„ = «/, = 3 */,. Probleme. 1. Să se dovedească, că înălţimea a treia încă trece prin punctul de strătăiere al celor dintâiu 2 înălţimi. 2. Să se afle punctul comun al înălţimilor şi centrul de greutate în triunghiul cu creştetele: a) ( 5 , - 3 ) , (4,5); ( - 3 , 2 ) ; b) ( - 1, 1), ( - 4 , - 2 ) , ( - 6, 0); c) (O, 5), (0,0), ( - 4 , - 1 ) . 3. Să se scrie ecvaţiunea dreptei, ce trece prin punctul de strătăiere al înălţimilor şi centrul de greutate a triunghiului din problemele: 2a, 2b, 2c.18

18.

Coordonatele centrului cercului, ce trece prin creştetele unui triunghiu.

Fiind date creştetele: A (1,1), B (7, 2), C (4, 6) (Fig. 26) să se calculeze coordonatele centrului cercului ce trece prin creştetele triunghiului: K (x, y).

122 —

Din problema delà pag. 115 ştim că punctele de înjumătăţire a laturilor sunt A ’ (5'5, 4), B ’ (2‘5, 3'5), C’ (4, 1*5); iar din problema delà pag. 118, că ecvaţiile laturilor sunt : AB... x — 6y — — 5 AC. .. 5x — 3y — 2 BC... 4x -{- 3y = 34. Punctul K (x, y) e punctul comun al perpendicularelor

Y

trase In punctele de Înjumătăţire a laturilor. acestor perpendiculare sunt:

Ecvaţiile

C K ... — 6 x - y = - 6 . 4 — 1.1 '5 = — 24 — 1 '5 = — 25'5 ; 6x + y = 25 5 B’K...

- 3 x - 5 y

= - 3 . 2 5 —5 . 3 5 ==-7 5 —

- 1 7 - 5 = — 25; 3x + 5y = 2 5 ____ A’K.. 3x — 4y = 3 . 5'5 — 4 . 4 — 16'5 - 16 = 0 '5 ; 3x — 4y = V*.

123 -

o , . j , .. 3x — 4y = Vs\ hezolvind grupa de ecvaţn : _j_ gy _ 2g| ’ 9y = 24 *i‘ JS/2; y = «/is = 2 18/ V2+ 4 . 48/18 9 + 196 = 3 43/e 54 X 3 Punctul K (3 43,ai, 2 13/is) e comun şi dreptei C K * deoarece înlocuind în ecvaţia ei obţinem: 6 . 20î764 + 49 28 = Mhs + 49/1s = 4M/ie = 25 9/!8 = 25-5. Fie acum A (x 2, y,), B (x2, y2), C (x3. y3) creştetele unui triunghiu (Fig. 26) şi A' (x't, y'i), B' (x'2, y;2), C (x'„ y'a) punctele de înjumătăţire a laturilor triunghiului, atunci perpendicularele ridicate în aceste puncte vor aveâ ca punct comun centrul cercului circumscris: K (x, y). c *. . , _ x 2 + x3 , y* + >’* • Ştim, că: Xi - ----^ ,y', = — v,— şi X, + X 3 , y2 4- y3 , x*“ 2 - 2 ‘ Ecvaţiunile laturilor BC şi AB sunt: BC... (y3 — y j X 4- (x3 — xs) y = xä ys — x3 ys AC... (yt — y3) x + (x, - x.) y = x3 yt — x, y3 Deci ecvaţiunile perpendicularelor A'K şi B ‘K vor fi:

X 2 - j - Xs

A‘K... (x* — x3) x — (ys — y2) y = lx2 — x3) . --- ^— — x

y^+ ys

(ys - y ) • B'K...

(x s

— x,) x

-(Jx (yi -

2-

- y») y = (*» -

Xi + X ,) .

_

Xs

^ yi + ys

y») •—o— •

Punctul de strătăiere al acestor 2 drepte va i centrul dorit. 2 (x. x3) x + 2 (y2- y 3)y = x 32— Xs2+ y*2-y 3 s| . (y.— yi) 2 (x. - x j x4-2 (y>—y,) y=x»,-x iH - y32—yt* ! . — (y*— y.) 2 [(x2— x3) (y3— y j — (x3—Xj) (y,—ys)] x = = (x22 - x 52+ y 22- y 32) (ys- y 1) + (x32- x 12+ y 32- y 12)(ys- y 2).

— 124 —

îndeplinind immulţirile avem : 2 (x2 Ï3 — x3 y3 — x2 yj + X3 y, — x3 y2 + Xj y2 + x3 y3 — — x, y3) . x = x22 y3 — x32 y3 + y22 y3 — y33 — x 22 yi + + x32 yi — y, y22 + y, y32 + x32 y3— x,2 y3 + y33 — y3 — — x32 y2 + X,2 y2 — y2 y32 + yi2 y2; iar după contragere; 2 (xi y2) — X; y3 4- Xl y3 — x2 y, + x3 y, — x3 y2) = = xi2 y2 — xi2 y3 + yj2 y2 — y^ y3 + x22 y3 — x22 y, + + y22 y3 — y22 yi + x32 yi — x32 y2 + y32 y, — y32 y2 J/ (xi2 + >+) (y2 — y3) + (x22 + y22) (y3 — yt) + 2‘ X I (y2 — y3) + X 2 (y3 — y1) + + (x32 + y32) (yi— ya) ,, L + x3 (yi — y2) '2 ' N Tot aşâ: (xi2 + yi2) (x2 — x3) + (x22 + y22) (x3 — xi) + 2‘ XI (y2 — y3) + x2 (y3 — yi) + + (x32 + y32) (x! — x2i , Li + X 3 (yi — y2) 12 • N • In problema delà pag. 121 — 123: L = (1+ 1) (2—6) + (49+4) (6— 1) + (16+36) (1— 2) = = 2 . — 4 + 5 3 . 5 + 52 . — 1 = — 8 + 265 — 52 = 205 L, = (1+ 1) (7— 4) + (49+ 4) (4— 1) + (16+ 36) (1— 7) = = 2 . 3 + 5 3 . 3 + 52 .— 6 = 6 + 159 — 312 = — 147 N = 1 . (2 — 6) + 7 . (6 — 1) + 4 . (1 — 2) = 1 . — 4 + + 7 . 5 + 4 . — 1 = 2 7 ; deci: L X = 1/2• N = V2 . 205/27 — 205/54 = 3 « 54; Li y = — */2 . =■ —V2 . — 147/27 = V2 . 49/g = 49/'i8 = 2 I3/is. Probleme. 1. Să se determine centrul cercului circum­ scris, punctul de strătăiere al înălţimilor şi centrul de greutate a triunghiului cu creştetele: a) (4, 5), ( - 4, 5), (2, - 3); b) (6,0), (0,3), ( - 3 , - 3); c) ( - 2, 1), (2, - 2), ( - 3, - 5).

-

2. Să blema 1. 3. Să 4. Să 1 . sunt în

Í2S

se scrie ecvaţiunile laturilor triunghiurilor din pro­ se determine aria triunghiurilor din problema 1 . se dovedească, că punctele G, I şi K din problema aceeaş dreaptă.

SECŢIU N EA IV. Cercul. 19.

Ecvaţiunea cercului.

Cercul e o figură plană, la care fiecare punct de pe periferie este egal depărtat delà centru.

Y

Fie C (xi, yj) centrul cercului cu raza r, iar P (x, y) un punct de pe periferia cercului (Fig. 27). In acest caz ecvaţiunea cercului este: r2 = (x — xi )2 + (y — yj)2. îndeplinind operaţiunile indicate: X2 — 2xj X + X!2 + y2 — 2y! y + yj2 = r2. Aranjând : x2 + y2 — 2xi x — 2yi y + xi2 -j- yi2 — r2 = 0

-

126 -

Iar íriseftinánd : — 2xi = a ; — 2yj = b ; Xj2 + y]2 — r2 = c ecvaţia cercului va fi: x2 + y2 + ax + by + c = 0, de unde a b coordonatele centrului vor fi: x, = iar , yi 2’ raza cercului r — V x^+yi2- c =

V

~~ 1,2 V a2-f-b2—4c.

Dacă centrul cercului e tn origine, atunci xj = 0, yi = 0 , deci ecvaţiunea cercului in acest caz e: r2 = x2 + y2. Probleme. 1. Să se scrie ecvaţiunea cercului cu centrul C (5, 7) şi raza de 3 unităţi. 2. Să se scrie ecvaţiunea cercului, dacă sunt date: a) C (l, 2), r = 3; d) C ( - 1 , — 1), r = 0-5; b) C (— 1, 0), r = 2; e) C (1, — 1), r =. 2*5; c) C (0, 1), r = 1-2; f) C (6, 0), r = 2’5. 3. Căre i ecvaţiunea cercului cu raza de 8 unităţi si centrul a) (0, 0); b) (0, 2); c) (0, 3); d) (0, — 3), e) ( - 4 , 0)? ’ 4. Să se afle raza şi ecvaţiunea cercului cu centrul C (— 1, 4) şi un punct de pe periferie P (2, 0). 5. Să se scrie ecvaţiunea cercului, ce trece prin origine şi are centrul în a) (1, 0); b) (0, - - 2); c) ( - 1, 2); d) (3, 3). 6. Să se caute coordonatele centrului şi razele cercurilor cu ecvaţiunea: a) x 2~f- y2 — 2x = 0 g) x 2-j- y 2 — x — 4 = 0 b) x 2-j- y24 - 3x = 0 h) x 2 4- y24 - 2y — 3 = o c) x 2- f y2+ 4x = 0 0 x " ~f y2~T 6x — 8y = 0 d) x 2 4 - y2 — 2x -{- 4y = 0 1) x 2+ y2-+- 2x — 2y 4 - 1 := 0 ,n) x ‘" + y2 + 6x - y + 10:= 0 e) x 2-f- y2 — 3x -j- 2y -1- 1 = 0 t) 2x 2-f- 2y*.-f" x — y — )—1 = 0 n) x 2— j—y2 — 4x -f- 5y -j~ 6 := 0

20.

Coordonatele punctelor de strătăiere a dreptei cu cercul.

Dacă voim să determinăm punctele de strătăiere a unei drepte cu cercul, trebuie să rezolvim grupa de ecvaţiuni formată din ecvaţia cercului şi a dreptei :

Í2 1

(x — Xj)2 + (y — yt)2 = rt ax + by = c. Numărul punctelor de strătăiere poate fi 0, 1, 2, după cum dreapta e cu totul în afară de cerc, atinge ori strătaie cercul. Dacă reprezentăm pe hârtie împărţită în mm1 cer­ cul şi dreapta, a căror ecvaţii ne sunt date, putem re­ zolvi grafice grupa de ecvaţii dată. Probleme. 1. Să se afle punctele de strătăiere a cercului cu axa x, dacă: a) C (0, 5) şi r = 8; b) C (3, 4) şi r = 5. 2. Să se afle punctele de strătăiere a cercului cu axa y, dacă a) C (3, 0) şi r = 4; b) C (2, 3) şi r = 6; cl C (— 2, —4) şi r = 5. 3. Să se afle punctele de strătăiere a cercului cu r = 4 şi centrul in origine, cu dreapta: a) y = 2x; c) y = 4x + 3; b) y = 3x — 2; d) y = — x + 1. 4. Să se determine punctul de strătăiere a dreptei cu cercul, dacă: a) cercul e x 2 -j- y2 = 25 şi dreapta x -j- y = 4; b) cercul x 2 y2 = 16 şi dreapta 3x — 4y = 8 c) cercul x 2-f-y 2— 1 4 x — 4y — 5 = 0 şi 2y — 3x = — 12. 5. Să se afle punctele de strătăiere ale cercurilor: a) 4 x 24-4y 2+ 2 0 x -r 1 6 y + 5 = 0 1 b) x 5+ y 2+ x + y - 4 = 0 | 4 x 2-|-4y2—29 =0f x 2-f-y2— x —y —6 = 0 / c) x 2+ y 2—2 x -fy — 3 = 0 j x 3— j-y2— x - 4 = 0)

SECŢIUNEA V.

Reprezentări grafice. 21.

Funcţiuni de gradul al IUIea.

La reprezentarea grafică a unei funcţiuni de gradul I e de ajuns, să aflăm coordonatele alor două puncte, deoarece o dreaptă e deplin determinată prin două puncte.

— Í28 -

Unele din funcţiunile de gradul al II-lea reprezentă cercuri. Cercul e deplin determinat, dacă îi cunoaştem coordonatele centrului şi mărimea razei; iar determinarea acestora se reduce la coordonatele alor două puncte. Nu tot aşâ e cazul, când avem de a face cu func­ ţiuni de gradul al II-lea, cari nu reprezentă cercuri. Pentru reprezentarea grafică chiar a celei mai simple funcţiuni de gradul a II-lea : y = x s va trebui să determinăm coor­ donatele unei serii întregi de puncte.

Şi anume pentru: x = 0, + 1, + 2, + 3, + 4, ;+ 5 ,..., + 9 ,... avem: y = 0, 1, 4, 9, 16, 2 5 ,..., 8 1 ,... aşa încât curba reprezentată va fi o parabolă (Fig. 28) aşezată simetric de celea două părţi ale axei y.

— 129 —

Tot o astfel de parabolă va reprezentâ orice func*ţiune de gradul al II-lea de forma: y = ax2-Tb.- Dacă b = 0, o parabolă trece prin origine. Când x = 0, y = b; deci b e punctul, în care parabola strătaie axa ordo­ natelor. Apoi după cum a e pozitiv ori negativ, braţele parabolei sunt îndreptate în spre partea pozitivă ori ne­ gativă a axei ordonatelor. Dacă funcţiunea y = x 2 o reprezentăm foarte exact pe hârtie împărţită în mm2, ordonata corespunzătoare unei abscise ne dă pătratul ei şi invers abscisa unei ordonate date e rădăcina pătrată a acesteia (x = Vy)Rezolvind grupele de ecvaţii de forma: y = ai x 2 + bi y = a2 x 2 + b2 respective: y = ax2 + b y = tx + C vom obţineâ coor­ donatele punctelor de strătăiere alor două parabole, respective ale unei parabole şi ale unei drepte ; iar reprezentându-le exact pe hârtie împărţită în mm2, vom obţineâ rezolvirea grafică a acestor grupe de ecvaţii. Probleme. 1 . Reprezentă grafice parabola cu ecvaţia: a) y = — x 2; y — — X 2 + 1 ; y = x 2- j - l ; y = x 2 — 2. b) y = 3 x 2 c) y = —

4; y = -

3x2-

4; y =

y= - ^ .

— 5; y = y + 5; y = 2 x 2 — 3; y = — 2x2+ l .

2. Să se afle punctele de strătăiere ale dreptei: y = — 2 x - f - 1 cu parabola: y = 2 x 2 — 1. 3. Să se afle punctele de strătăiere ale parabolelor cu ecvaţiile: y = x 2 şi y = — x 2 -f- 4.

22.

Graficoane.

Afară de reprezentarea şi rezolvirea geometrică a problemelor algebrice şi a exprimării algebrice a proble­ melor de geometrie, geometria analitică mai are o largă 9

— 130 —

aplicare în reprezentarea grafică a unor rezultate din fizică, medicină, statistică, comerciu ş. a. Aşa de pildă se poate reprezentâ grafice creşterea căii cu timpul la mişcarea unitorriiă pe lângă o iuţeală dată, după formula s = ct. In acest ca£ calea e o funcţiurie lineară a timpului. Ordonata fiecărui punct de pe dreaptă |rie dă miărimea căii făcute în secundele co­ respunzătoare abscisei (Fig. 29).

Tot aşâ putem reprezentâ variarea (felul de atârnare) de timp a căii delà căderea liberă, pe baza ecvag ţiei : s = -g- t2. In acest caz calea e o funcţiune de gradul al II-lea a timpului. bolă (Fig. 30).

Vom obţineâ deci o para­

In graficoane e obiceiul, să se reprezinte şi diferite rezultate din statistică. Fig. 31 cuprinde variarea nu­

— iá i —

mărului eleviior înscrişi la institutul pedagogic din Balázáfalva— Blaj delà anul 1899/900 până în 1914/15. Pe axa x sunt reprezentaţi anii scolastici, pe axa y numärül elevilor (122, 97. 106, 107, 116, 107, 88, 106, 92, 79, 81, 82, 78, 80, 105, 115).

Probleme. 1. Să se determine graficonul temperaturii medie din luna Martie 1915 după observatorul meteorologic din Ógyalla. Datele în grade C. sunt: 4" 1, 3'3, 2*2, 0 8, 3'5, —0*3, — 0-9, — 1*2. —0-4, —2'4, —2'8, 0*0, 53, 5*6, 6 4 , 8*7, 61, 7*3, 6-7, 3 —, 0-9, 1-8, 3 8 , 5*9, 8*4, 6 1 , 5-6, 7 — , 4*5, 5'4, 3'9. 2. Să se determine graficonul temperaturii medie din anul 1914 după acelaş observator meteorologic. Datele sunt Ia­ nuarie: — 4'0 C°; Februarie: — 1'2 C°; Martie: 13'3 C °; Aprilie: 11-7; Maiu: 15*9; Iunie: 1 8 7 ; Iulie: 2 0 3 ; August: 20*4; Sep­ temvrie: 14*8; Octomvrie: 10'— ; Noeinvrie: 3*5; Decemvrie: 3*3. 3. Să se constate înălţimea barometrică oră de oră în de­ cursul unei zile şi să se facă graficonul înălţimilor barometrice. Notă. Unele staţiuni meteorologice dispun de inregistra9*

— Í32 —

ioare automatice a temperaturii şi presiunii barometrice şi ne dau graficoanele gata. Graficonul temperaturii se numeşte term ograf, iar a presiunii barometrice barograf. 4. Să se pregătească graficonul pondului mijlociu al co piilor până la sfârşitul anului prim. La naştere sunt de: 3250 g, la sfârşitul lunei prime 4000, apoi 4750, 5500, 6200, 6800, 7300, 7800, 8300, 8700, 9000, 9300 şi la sfârşitul lunei a 12'-a de 9600 g.56

5. Graficonul înălţimii copiilor: la naştere 50 cm, la 1 an 75 cm, apoi: 85, 93, 97, 103, 111, 121, 125, 128, 130, 135, 140, 145, 150, 155 şi la sfârşitul anului al 16-lea de 160 cm. 6. Graficonul de pond al copiilor după Hochsinger: la na­ ştere 3'5 Kg, la sfârşitul anului prim 9'5 Kg, apoi: 12, 13'25 , 15, 16 75, 18-25, 2 0 ,’ 21-75, 23‘25, 25, 27‘5, 31, 35, 39 şi la 15 ani 45 Kg.

— 133 —

io

O l O O l ß O O C O H O ' O O O ' ' Û C O H C Û ' O C O H O ' v O ’t O l H C O lO vû O O O C îC O lO t^ O '

© « ú O ^ N H C O t ^ C O N C> NO O t CO N N N i w c M H t © c o © c M « t © o o

? O C O i O ,t O ' l > a " t T r n \ CM CM CO lO iO r-© CM lß00 © c M H t © o o © c M io i> ©

i o CO N CO O O H IM O O t ' O ' t C O N H H O O © CM Tf O M © CM nf © 00

© O t > C 0 H 0 \ © W }\ f 5 0 ' © iH rH C M 'ttO O O O C O © © C M *1*© G O © C M © I> ©

1H o

io

b iO

\h

O O i O O ' û C J O O vÛ ^ M t J* ^ ‘ C ' I C M N ’t i M C M M O C O H H C O 't 'Û C O O H C O lflr^ O '

Ht © © C O r ' C C O O H i O O O ' 0 0 © H tC O C M rH © © © 0 Q © CM ^ *© Q 0© CM CO © I'-

rH © © lO r H I> H ti- f© 0 0 © C O O C C liJC O O C O 'û iO H O ' H r t t f O C O O H M í O t > C O

40'

23. Tabelă pentru coeficienţii unghiulari.

rH 6

' îo co

© C O © © C O © r H © © © O n O O i H C M T O X H t > O N ' J ,,« 0 0 0 0 \ H ^ iC ír >

CO©COCM©CMCOJCr©© r-I> *0 0 © © C M H t© © C O © r H CO tO 00 © CM t t © ©

M VÛ H O ( N CO ’t H O M » 00 O M O M O M O W O C O O H N ' J - v û OOOn H C O J Ô ' O O O

© C M © ‘C M © 0 0 © C M O O © © ‘ CO r H © O 0 l > © © © © © CM n t © c - © w c o © x>

© © © l o o o t t ^ - o o r - © lftlO © tsO O O C M 't r ^ r l © i-i c o io x > © c m t t © ©

l>CM r-(M l>CO© t>iOCOCO C O 'Û C O H CO 'O CO H O 't^ U Î O N " t 'ô l .'« ^ H M « t v O O O

lOl> 'rH © CO CM CO © rH © C O r H © 0 0 f ,' » © © ^ ’ 5 t C O © - CM ^ t' » © t-H CO LQ I >

© C M 0 0 l> © © © © © r H C O ^ H t.© I» ,C O © C O © © © !-H CO lO J>© CM H t© 00

COí>Cvir^OÍOOlO© r->COlQl>

CM © rH © C M 00I> rH © > H CMCMCO*-lO©OOrHCOi> © rH c O © Í> © r- (H t© C O

OOCO r-CM CO "t© j>i£iTj.co lO CO O C C iO C O H C O 'O TM N O N l O J>

*3* © ‘ © © CM © r H CO © © 001> © M *CO C M rH © © O r< C O lO I> © rH C O ţQ i>

-© O O H tC M tt© © C M © t-i 0 © tH C M C O lO © © rH lO © r-íC O © i> © rH CO © ,O C

© ©

b co

_______________

1

îo CM

b CM CM

^■ OCM OÖCOOM ONOO'OO ^ • r l O ' v O ’t H O ' b í í í N O © C M C Q © i> © © C M ^ -© 0 0

© r H lO O © iß © O O C M © 00J>lOt*-CM tH©O'ON00 © rH C O lO r'« © rH C M t©

© rH © lO © C M © C O © C M 0 0 © © O r H C O © t> © C O 00 © C M l O r * © r H C O © 0 0

© T t - o o c o © ’' t © t > © T f c o C M © r-lO C M © 0 0© C M rH © O N C O U ) t >* 0 ' O N ‘, t v O I >

t t © © H t r H © © i- < © C O j> io co c ^ H O 'C O c c r> i> r H CO © CM ©

CM ^t© l>© COCM © rHCM !> I> l> CO © rH CO © O Cr-( 0 0 © C M M *© © rH C O © 0 0

i O O ' t ^ ' ,t O O C O O ( ? ' Ú O rH O O © C O iH © © H tC M © l> © r H CO u í r * 00 0 ' N - ^ f » í ) l >

© rH H r© tO C O C O lO © © © •« tC M © © 0 0 I> © © tO r H CO 00 CM . " t * . ©

lO I> C M © rH lO -t© C M C O © tC l© l> 0 0 © rH C O © © 00© C M M -© 00rH C O © l>

0 © © H t© lO r H O O © H tC O O i> H tC M © J> © C M © 0 0 © © rH C O © © 0 0 © C M ^ f© I>

rf© © C O © :O O I> © C O © tj- c M © © o o © © tt^ i- rr © rH C O «t© .00 © C M H t©

© 0 © C M C O I> © l> C O H t C O H t H f © © l > © r H v r * o o © C M M -© o o © co © r>

îb r—1

©

© I> X

o T-H

©

©.©

©

îb

Ö o Ö

©

i-f

©

©

© r H CM CO Ht © ©

. r' * 00 © © rH

CM ©

co ©

rH C M C O < tlO © l> O C © © H r I H H H r I H H H N

t

© rH £2 2 ? & N N N N

V5 o í2 ím rS e § N l PCOJ N N N N C

134 C C i C ^ J ' O C O C O O ' t ' ^ O r ^ M O C J O O ' f H O ' l ' - O ' O

a 00 O ' H i O C O T T O . C M C M , H c M t " - © C M l > C M C ' < I > r - * X r H 1O C O M ^ C M O O ^ C O ' O O rJ ‘ O û f O | l > C M M

C C C O C O O ' H O ' O O C ' I N C O O « Î N O ' O l O ’} ' t M t r > ! > N ' J , C ' O í O v O

C M l H r H C M l O l - H ' r H ' O t ^ ' O l O r » O ^ C * © i f C O t l ' O ' O l ^ O C ' O l O O t C O M

C O H O t C O r t O ^ i O ^ d O ' C O C ' C O O O C O O H I > H ' Ű H f ' C O C M O C l ©

X r t O O C O O ' ^ ' f W H H H ' t ^ O ' H ' Î T ' O r O «

l O ^ C O C O l O O ^ C O ^ O O 01 " t l > H \ ü C O © O H C O C ' C l I O a C l 45 o ’ f X 0-1

i O t H X © I > X < © ' O t --0 O O v O C C i O O O i O ^ W ’t ' O ^ r t Æ H ' Û O i a t r l C O

« b m

I ' C - O 01 C O C l o , O L O C 0 \0 r > P O C M C 01 ©

0* ( M C l

i

4 5 '

b m

t

H

i

1— 1 X

M

H

>0 M

O

O

W

M

H

4 0 '

H ^ t - ' O C T ' r l ' t I > O C ^ ^ O

O ' i > i O T t - i o © \ r - © ' X C 0 O N W T f O O C O © ' l ' ^ ' O f ^ © O O C M I O X C M 1C O C O I >©1

M r H i > © r H T } - 0C ' C © U © U - H O ' © i t © C ' 01© C s ' Ú H l O H O d t ' ^ O l ' *

C O © r " û ' O C M O ' £ C 0 1' > r ' O H l O O ' l O ' t C O i t v O O D H i O X O U ß t C C O t ^ H

© O I I O C O ' C ' O X O I C O I O O t ' l O ' O O ' i O ^ r ^ C O C O ' O O i O © l O H I > C O © Í N

00 © O O H O ' f i O N ^ O O O O ' O O 0 ' © ^ , ' C C ) H í O O ' i ’ C M O O ’Ű C l C C ' O

00C l > O O ' ' ß r * f , i0 H

\0 © l C 5 © I ^ I > © I > 0 © C \ H C O l > H M O C O T f i O 1> H ^ I > H ^ X C 1 v O C

m

03

,oz

o o c o r - c o o o i o c ' î O O ' C ' O C O i O O O O C O ' O C ' H ’f

c m "i- © c o i > o o rj- o C ' l O C O M O r t O ' H O i O ’t C M - C M ' C i C O l C O i O

L © r H X O ' O C ' r - C M ^ C O © ' © v O r l l O O ' O C O O O O t > ' û o f o i o o o o c o ^ o o 1-1

© C O r * C l 00^0 X i t v O i f l > X © ^ X * * - H © © C M C - O i f t N O t X N ' í ! ©

© i O C 3 H l O ' Ú C > O C C ''0 © r H © © r H © * t ' 0 © 0' t © W O C t C M O H 00 t

\ b C M r H M O ' ' O M 1Û O H O ' û r l ^ O O C O C O ' t H C C O ' t ' t O M i o r > o c O i O C O H t

' 4' I > O C O X ' O l > i H © J X T j - i O X t - ( i © i H X l > I > X r > o c o r ' 0 ^ t > r i i o ©

C0 © H M C © I > t'» C O t > d M O t l ' H O ' O i O C O 1, » C O O O C O O ' ,t H h t

O O C h u O O i f O O G C O M O M ' Û H v û N O O i O C O N H O O U O M O M l O C O H if

X © O H O C M O » O K ^ C O H C O l O C C O l O C i O C O C O i O t ' © C O \ O O C 0 1> H i O O N

© G C i H ' O ’O C M X l O X O O O C O H O N N ' t l O C ' l ' C O 00 C 0 C 0 C O C O ' f o o c o

O N O s ^ f i C C J i O l O C O O O i H O ' t O ' t O ^ C O r t O ' ^ © C M ^ r ^ o c M i o x o c o

c o i t i o r ' ö i O ’t ' O ’ t x O i O C M i O O i O C M O O i - H \ 0 © 0 0 '0 © C 0 1 > H l O ©

©

ö

-

t h

ö

O ©

©

2

r ©

o o ©

H 0j c 0 ' t l 0 ' û l > 0 0 0 ' 0 C O C ' O C O C O C O O O O C O C O C O ' ^ t -

Ç N ©

© t

r H H

,

H Î ' Î C O T M r 5\ O r * C O O ' C

© © ' t c i ’o a ’f C M " Ú X M C O l > C M r i' C M X C C M C0 TiL r H r H r H h

c o c O H C O ’ t 01 O © ' © C O © i > H **H

\Q

T H M C O r î - i O ' O r - O O O © l O l O i O l O l O l O l O l O i Ô O

135

III. Metodica aritmeticei şi geometriei în şcoala primară.

1.

Importanţa şi scopul aritmeticei şi geometriei în şcoala primară. *)

Institutul pedagogic e şcoală de specialitate, pregă­ teşte pe viitorii învăţători poporali. In această calitate nu se poate mulţumi, să dea elevilor săi numai cuno­ ştinţe generale, ci are datorinţa, să-i Introducă în toate amănuntele metodice a singuraticelor obiecte de învăţă­ mânt, ca mai târziu, când vor fi învăţători, să poată propune cu deplin succes toate obiectele prescrise în şcoala primară. Acest rost al institutelor pedagogice a fost reliefat clar şi precíz în noul plan de învăţământ; pentru aceea manualele de matematică pentru cursul al lll-lea au să conţină şi îndrumări metodice referitoare la aritmetica şi geometria din şcoala primară. Importanţa aritmeticei şi geometriei e recunoscută de toţi ceice Înţeleg scopul învăţământului. Trebuinţa zilnică de a calculă, o simţeşte atât cel mai sărac, cât şi cel mai bogat patrician Neştiind calculă suntem ex­ puşi la pagube continue, căzând pradă poftei de câştig al altora. Dar nu încunjurăm numai pagubele, cunoscând măiestria numerilor, ci prin aceştia intrăm uşor în deslegarea tainelor cuprinse în referinţele economice a sin­ guraticilor, a comunelor, a patriei noastre şi a lumii întregi. Aritmetica e o armă puternică, cu ajutorul că­ reia deschidem uşă largă bunăstării materiale şi cum­ pătului în toate, prin observarea relaţiunilor de câştig, prin cruţarea provenită din micile depuneri spre fructi­ *) La compunerea acestei părţi am consultat între altele: V. Gr. Borgovan, îndreptar teoretic şi practic pentru aritmetică, Bucureşti 1889; Constantinescu — C iocârlie — Teodoru, Didactica matematicilor, Bucureşti 1897 ; Dr. lleke Manó, Vezérkönyv a népiskolai számtani oktatáshoz, Budapest, 1911; Dekány — Simkó, Számtan a tanítóképzők III. és IV. osztályai számára Budapest 1918,

— 140 —

ficare, din împărţirea cinstită a lucrului şi a remuneraţiunii împreunate cu lucrul. Nu mai puţin folos aduce şi la desvoltarea inteligenţei copilului. Regularitatea, ce nu dă greş, sileşte pe micul elev, să se gândească co­ rect, să împreune logic diferitele părţi ale problemei, ce are să rezolvească şi silit fiind să facă acest lucru la fiecare problemă nouă, el se obişnueşte să fie ordinat nu numai în gândire, ci şi în alte lucrări ale sale, să se orienteze mai bine şi mai sigur in toate daraverile sole. Acestea sunt scopurile fixate şi de actualele pla­ nuri de învăţământ pentru şcolile primare: scopul ma­ terial şi cel formal. Să introducă adecă pe micii elevi în cunoştinţele de lipsă în chestiunile de calcul şi ^ă-1 obişnuească cu un fel de gândire corect şi independent. Ajungerea acestor scopuri nu-i tocmai uşoară. Mai cu seamă în clasa întâia a şcolii primare, în care trebuie să se pună adevărata bază întregului învăţământ, căci dacă elevii nu-şi câştigă aici îndemânarea şi temeinicia cuvenită în aritmetică, toate cunoştinţele lor ulterioare vor fi şubrede şi rezultatul final aproape nul. Amândouă scopurile au aceeaş importanţă, pentru aceea nici când să nu se scoată la suprafaţă unul în paguba celuialalt. 2.

Rezumat istoric.

Importanţa matematicei a fost recunoscută din celea mai vechi timpuri. Pythagoras a socoţit-o ca funda­ mentul filozofiei. Romanii i-au recunoscut foloasele prac­ tice. »In summo apud Graecos honore geometria fuit; itaque nihil mathematicis illustrius: at nos ratipcinandi metiendique utilitate huius artis terminavimus modum«, zice celebrul Cicero. Dar oricum au privit popoarele această ştiinţă, ea a rămas timp îndelungat departe de poporul de rând şi e meritul veacurilor mai apropiate,

— Í4Í —

că. i-s’a dat locul cuvenit în şcoala primară, spre a se bucură de roadele ei şi cea mai umilă pătură a so­ cietăţii. De altfel să nu ne mirăm, că matematica atât de târziu a ajuns bunul comun al oamenilor, căci învăţarea ei a fost împreunată cu foarte mari greutăţi din cauza cifrelor necorespunzătoare şi a felului greoiu de combi­ nare al acelora. Abia după cunoaşterea cifrelor indo-arabice şi a scrierii poziţionale a acestora a devenit mai uşoară In­ trarea în sanctuarul acestei ştiinţe. Până atunci nici chiar regii nu erau prietini intimi cu ea. Se spune, că regele Ptolomaeus încă ar fi voit să înveţe arcanele geo­ metriei delà renumitul Euklides, dar obosindu-se prea tare cu învăţatul a dorit să i-se facă unele îndemânări. I-s’ar fi răspuns, că: »la geometrie nu duc drumuri re­ geşti«. Astăzi şi elevii şcolii primare execută cu multă uşu­ rinţă celea patru operaţiuni fundamentale cu numeri cât de mari, pe când vechii Romani, pe lângă toate cuno­ ştinţele lor, se trudiau mult până scoteau la bun sfârşit câteva probleme. Luând în considerare, că celea 7 semne romane pentru scrierea numerilor erau cu totul nepotrivite pentru executarea directă a operaţiunilor aritmetice, Romanii şi alte popoare vechi erau nevoite să folosească la calculări maşina numită abacus (Fig. 1). Aceasta se folosiâ atât în şcoală, cât şi în prăvăliile comercianţilor, ba chiar şi în oficiile de stat şi din partea învăţaţilor. Abacus-ul eră o tablă de lemn, patruunghiulară şi presărată cu nisip. în nisip trăgeau cu stilul câteva linii orizontale, apoi pe linii şi între linii puneau pietricele, cari ţineau locul numerilor. (Calculus = pietricică, de aici calculare = a executa operaţiuni aritmetice cu pietricele).

C a lcu la re a

se

fă ce a

în m o d u l

u rm ă to r:

1. Liniile — din jos în sus — reprezentau valorile locale, după sistemul decadic. 2. Fiecare pietricică reprezentâ o unitate. 3. Unităţile dintre linii valorau cât de 5 ori unitatea de pe linia din jos. 4. Pe o linie se puteau pune numai 4 pietricele, căci 5 dădeau o unitate dintre linii; iar între linii numai o pietricică. Din cauza aceasta după executarea unei operaţiuni urmă reducerea pietricelelor de pe linii şi dintre linii. / 0 m / 3 M / Â /

c

1

r

LM YM

O

Ooooû 5000

-o -o -o -oo -

D

50000

0 0 -0 -

-----------------

.

o

500

zoo

0 - 0 ---------

L

o - o ---------------

0000

-■ :

r

i

-o-o-o-o-

50 Í0 o JL

1 8 p ie t r ic e le . Fig. 1.

în figura 1. avem scris numărul 98764. Adaugerea (adunarea) se face astfel: Sumanzii li scriem pe liniile corespunzătoare în 2 ori în mai multe cadre. Pietricelele din cadrele sumanzilor le trecem pe aceeaş linie Intr’un singur cadru şi în fine le ordinăm prin reducere lăsând pe fiecare linie numai câte 4 pie­ tricele, iar celea întrecătoare le mutăm între linii, re­ spective pe linia superioară (Fig. 2).

143 —

Subtragerea (scăderea) încă o putem executâ pë abacus şi anume: Minuendul şi subtrahendul îl indicăm pe liniile core­ spunzătoare în cadre deosebite. Apoi purcedem, după cum ve­ dem în (Fig 3) în exemplul prim scriind mi­ nuendul şi sub­ trahendul în ca­ drele corespun­ zătoare obser­ văm, că pietrice­ lele din cadrul al doilea se pot sub.t* trage din celea S din cadrul prim fără nici o redu­ cere şi obţinem restul de 666. în exemplul al doilea dupăce am scris minu­ endul şi subtra­ hendul, subtragem pietricelele mai puţine dincadrul cu pietri­ cele mai multe şi diferenţa o pu­ nem în 2 cadre deosebite, — în cel cu plus, dacă au fost mai multe pietricele în minuend şi în cel cu minus,

144

dacă au fost mai multe pietricele în Subtrahend. Apoi aranjăm pietrice­ lele din cadrul cu plus, ca pretutindenea să fie mai multe ori cel puţin atâtea pitricele, câte sunt pe linijle şi Intre liniile cadrului cu minus, în sfârşit subtragem pie­ tricelele cu minus din celea cu plus şi obţinem rezultatul final: 2734.

Fig

Pe cum vedem din exemplele aduse nici aşezarea pietricelelor, respective cetirea nu­ mărului nu-i chiar comoadă, cu atât mai puţin adaugerea, iar subtragerea e destul de în­ curcată, ca să nu mai amintim immulţirea şi împărţirea mai cu seamă cu numeri de mai multe citre. Să nu ne mirăm dar, că studiul matema­ ticei a fost foarte greu şi progresai în această ştiinţă foarte neînsemnat în decursul veacurilor. Pe lângă calcularea pe abacus, se folosiâ foarte mult calculul oral.

— Í4S —

Greutăţile acestea au fost delăturate abiâ dupâ iscodirea cifrelor indo-arabice şi scrierea poziţională a acestora. Folosul uriaş al acestora e apreţiat de renu­ mitul Laplace prin următoarele: »Cugetul de a exprimă toate cantităţile prin 9 semne, atribuindu-le deodată o valoare absolută şi alta locală este atât de simplu, Încât chiar din acest motiv nu-1 putem admiră de ajuns. Dar chiar simplificarea şi uşurarea aceasta a metodului de cal­ culare ridică sistemul numeric al Inzilor la rangul desco­ peririlor celor mai folositoare. Cât de grea a lost însă iscodirea acestui metod o înţelegem din împrejurarea, că l-a scăpat din vedere geniul unui Archimedes şi alui Apolonius din Perga, două din celea mai mari spirite ale antichităţii«. Cifrele indice au fost cunoscute în Egipt din veacul al II-lea d. H. şi prin mijlocirea Arabilor au trecut şi în Europa. Călugărul Gerbert, elev al şcolilor arabice din Spania, mai târziu pontifice roman sub numele de Silvestru al II-lea, a lucrat mult la generalizarea acestor cifre în Europa, numindu-le cifre arabice. întrebuinţarea lor generală a întârziat însă mult, deşi a avut sprijinitori puter­ nici: papi şi împăraţi. Gheorghe de Purbach (1423— 1461), profesor în Viena şi elevul acestuia, Ioan Müller, alias Regiomontanus (1436— 1476) au fost între cei dintâi învăţaţi, cari au folosit în măsură mai largă acestea cifre. Pe lângă lipsa cărţilor, nefiind încă cunoscut ti­ parul, acestea au fost greutăţile, din cauza cărora ma­ tematica n’a putut deveni bunul comun al oamenilor. Cel dintâiu manual tipărit a fost: Aritmetica lui Ulrich W agner, tipărită în Bamberg la anul 1482. Ceva mai târziu la anul 1494, a apărut cartea italianului Lucas Pacçioli. Cartea acestuia cuprinde deja materialul, ce io

-

Í46 —

âe predă In şcolile primare şi medii. Dar în acest veac întreg învăţământul matematicei erâ mecanic, tot astfel şi cărţile apărute tratau lucrul fără metodul cuvenit. în veacul al XVI-lea cel mai de frunte manual a fost a germanului Adam Riese, care deşi n’a fost mate­ matician de profesiune, a avut mult simţ practic pentru matematică. Manualul lui a apărut la Erfurt în 1522 şi a ajuns zeci de ediţiuni. Cuprinde exemple potrivite împrejurărilor reale. Trece delà concret Ia abstract, delà simplu la complicat şi lucrând mai multe exemple întăreşte cunoştinţele elevilor. Manualul acesta s’a sus­ ţinut şi în veacul al XVII-lea, contribuind mult la lăţirea calculării cu cifre arabice. Simon Stevin (1548— 1620) a introdus fracţiunile zecimale, dar folosul practic al acestora s’a văzut numai după Introducerea măsurilor metrice. Cu partea metodică nu si-au bătut mult capul nici învăţaţii acestui veac, nici a celui următor. Toate regulele erau cuprinse în versuri şi autorii se străduiau, să introducă pe elevi în câteva apucături mecanice, lu­ crând unul ori mai multe exemple. în acelaş timp însă bărbaţii luminaţi Baco de Veruiam, 1. Locke, Ratich, I. A. Comenius şi alţii forţau porţile unei gândiri noui în întreg învăţământul: abandonarea mecanizării şi introducerea unei predări naturale, bazate pe intuiţiune, pe observarea directă a lucrurilor învăţate. Să nu primească elevii numai cunoştinţe rigide, ci să li-se desvoalte şi întărească forţele spirituele. In urma acestora s’a dat lovitura de moarte mecanizării şi în studiul matematicei, întroducându-se motivarea calculării. In direcţia aceasta au lucrat mult Christian W olf (1728), Christian Trapp (1777), Gottlieb Busse (1779), F r. Rochow (1734— 1805) şi Petru Villaume (1779). W olf a reliefat şi folosul practic şi cel formal al aritmeticei.

-

14? -

Busse a introdus intuiţiunea numerilor şi desvoltarea na4 turală a acestora. Rochow a luat problemele aritmetice din trebuinţele zilnice. Vederile lui Villautfcfe se pot re­ zumă în acestea 3 puncte: 1. temelie întdlţivă şi direc­ ţiunea practică, 2. simplificarea şi restrângerea materia­ lului, 3. tratarea îngrijită a calculului oral. In veacul acesta s’a tipărit şi în limbă maghiară un manual lucrat în spiritul principiilor din apűs şi anume: Arithmetica vagy számvetésnek mestersége, irta Maróthy György, Debreczen 1743, căci celea ale lui Tolvaj (1675) şi Ónodi (1693) nu mai corespundeau timpului. In româneşte au apărut: 1. Aritmetica românănemţească, Beciu 1777, 2. îndreptar cătră aritmetică de G. Şincai, Blasiu la 1785 şi 3. Aritmetica episcopului titular Amfilochie la Iaşi în 1795. Veacurile anterioare au adunat materialul de lipsă, veacul al XVIII-lea a scos la iveală In mod răsleţ sin­ guraticele principii metodice, iar veacul al XIX-lea a sistemizat materialul şi metodul. Intuiţiunea sistematică în aritmeti că eopera lui Ioan E . Pestalozzi (1 7 4 6 - 1827). După dânsul izvorul ori­ cărei cunoaşteri e intuiţiunea. Un lucru numai atunci îl cunoaştem cu adevărat, când îi determinăm exact form a şi mărimea, apoi îl exprimăm cu numele lui. Forma, numărul şi numele sunt cei 3 factori, cari ne dau cunoaşterea limpede şi exactă a unui lucru. Nu calcu­ larea corectă şi repede e rostul aritmeticei, ci mai întâiu desvoltarea deplină şi liberă a puterilor psihice a elevului, căci mai târziu prin o cugetare logică va ajunge el şi la calculare corectă. Intenţiunea lui Pestalozzi a fost minunată, dar în practică s’a dovedit de cel mai cras formalism. Dedu­ cerea oricărui număr din unitate e o mortificare fără io*

ftjst. înseşi celea 3 tabele numerice folosite de Pesta^ lozzi, dând numerii gata în linii şi nepermiţând compunerea şi descompunerea reală a acelora, scăriţau binişor pu­ terea creatoare a elevului. Tabelele numerice ale lui Pestalozzi erau trei. în­ tâia era împărţită în 100 pătraţi (oblonguri), în 10— 10 şire (Fig. 4). In şirul prim fiecare oblong cuprindeà o linie verticală, în al doilea câte 2 linii şi în al zecelea 10 linii. Se folosiă pentru operaţiunile cu numeri întregi. D. e. 1. Cât e 8 cu 6? Căutăm un oblong cu 8 linii şi altul cu 6 Inii, apoi le numărăm zicând 8 + 1 = 9 , 9 + 1 = 1 0 , 1 0 + 1 = 1 1 , 11+ 1 = 12, 1 2 + 1 = 1 3 , 1 3 + 1 = 1 4 . 2. Dacă luăm 4 din 9, cât ne mai rămâne : Cău­ tăm un oblong cu 9 linii şi din acestea luăm 4. Ne mai rămân 5 linii. 3. Un metru de pantlică costă 6 fileri, cât costă 3 metri? Costă de 3 ori mai mult. Căutăm şirul cu câte 6 linii şi adaugem liniile din oblonguri numărând linie de linie. Obţinem numărul 18. Deci 3 m costă 18 f. 3. Câţi metri de pănură cumpărăm pe 20 K, dacă 1 m costă 5 K? Atâţia metri de câte-ori se cuprind 5 K în 20 K. Căutăm şirul cu 5 linii şi numărăm 20 de linii. Căpătăm 4 grupe. Deci putem cumpără 4 m. Tabela a doua eră împărţită în 100 pătraţi (Fig. 5). Pătraţii şirului prim erau neîmpărţiţi, cei din şirul al doilea erau împărţiţi în câte 2 părţi prin o linie verti­ cală, iar cei din şirul al 10-lea în câte 10 părţi. In ta­ bela primă liniile reprezentau unităţile, aici înşişi pătraţii erau unităţile, iar părţile tracţiuni. Tabela aceasta se folos'ă pentru explicarea, adaugerea şi subtragerea fracţiunilor, îmmulţirea şi împărţirea fracţiunilor cu numitor comun. D. e. 1. Câte pătrare sunt în 3 întregi? Căutăm şirul al 4-lea şi luăm din el 3 pătraţi, apoi numărăm .pătrarele şi obţinem 12 pătrare.

— 150 —

2. Un copil a câştigat odată 3 cincimi de coroană altă dată 4 cincimi, câţi bani a câştigat la olaltă? Cău­ tăm şirul cu cincimi şi numărăm Intâiu 3 cincimi, apoi lângă acestea alte 4 cincimi. Ajungem la 7 cincimi, respective 1 Întreg şi 2 cincimi.

Fig. 5.

3. Un om a avut 3 întregi şi 1 pătrar de coroană, a cumpărat marfă de 1 K şi 3 pătrare. Câţi bani i-au mai rămas? Căutăm şirul cu pătrarele şi socotim câte pătrare sunt în 3 întregi şi 1 pătrar (13), apoi câte păţrare sunt în 1 întreg şi 3 pătrare (7). După aceea luărp

-

151 —

din 13 pătrare pe celea 7 şi mai rămân 6 pătrare, adeoă 1 K şi, 2 pătrare. Tabela a treia încă cuprindeâ 100 pătraţi (Fig. 6). In şirul prim pătratul prim erâ neîmpărţit, ceialalţi erau împărţiţi prin linii orizontale în 2, 3... 10 egale. In şirul al doilea erau aceleaşi linii orizontale şi câte o linie ver­ ticală, în şirul al 3-lea 2 linii verticale, şi în al 10-lea 9 linii verticale. Se folosiâ pentru operaţiunile cu frac­ ţiuni cu numitori diverşi.

Fig. 6.

D. e. 1. Cu cât e mai mare V2 decât V4? Pătratul al doilea din şirul al doilea e împărţit în 2 jumătăţi prin o linie orizontală, iar jumătăţile acestea în alte 2 jumă­ tăţi prin linia verticală. De aici V2 are 2k, deci Va cu V4 e mai mare decât V4 . 2. Un om a cumpărat 5 V2 ferdele de grâu şi mai târziu 7 4/s ferdele. Cât grâu a cumpărat în amândouă rândurile? Adaugem întâiu întregii 5 cu 7 fac 12. Fracţiunile le aducem la numitor comun (10). In şirul al cincilea pătratul al doilea cuprinde fracţiunile Vio. Din acest

152 -

pătrat observăm, eă V2 cuprinde 5/io şi că 4/s cupriţid 8/io. Apoi 5/io cu 8 io fac 13/io, adecă 1 3/io. 12 întregi cu 1 3/io fac 13 3/io. Omul acela a cumpărat 13 3/io fer­ dele de grâu.

3. V3 câţi Vô are? în şirul al 3-lea pătratul al doile prin liniile verticale e împărţit în 3 părţi, iar prin linia orizontală părţile sunt împărţite în jumătăţi. Obseivăm, că lh face 2/e, iar 2h fac 4/e şi 3/3 fac 6/ö, adecă pătratul întreg. Acelaş lucru se poate explică cu pătratul al treilea din şirul al doilea. Acesta încă e împărţit în 3, respective în 6 părţi. Pestalozzi a fost încântat de invenţia sa şi de rezultatul ajuns, iar profesorul C. Ch. W. von liir k (1774— 1846) cercetând în 1804 pe Pestalozzi constatează, că în şcoala acestuia: »Băieţii rezolvesc cu cea mai mare iuţieală şi siguranţă cele mai grele şi mai complicate exemple cu fracţiuni, încât matematicul cel mai deprins abiâ le-ar puteâ rezolvi pe hârtie«. Constatarea aceasta la tot cazul e puţin cam exagerată, căci deşi tabelele şi metodul pestalozzian s’au lăţit repede în toate ţerile învecinate, şi în Ungaria, totuş urmaşii lui n’au mers pe árumul arătat, ci au primit numai idea intuiţiunii. Au abandonat tabelele introducând scrinul de calculat, au recunoscut meritul formal al aritmeticei, dar au ridicat la aceaş treaptă şi momentul material, căruia Pestalozzi nu i-a dat nici o importanţă. Au susţinut şi pe mai departe calculul oral, dar au dat atenţiunea cuvenită şi calculării în scris. Dintre urmaşii lui Pestalozzi amintesc pe D r. Ernst Tillich, profesor în Dessau, mort la 1807. El a introdus scrinul de calculat, care e făcut din 10 şire de prisme. Şirul prim cuprindeà 10 cubi (numai indicaţi, căci prisma şţăteâ din o singură bucaţă); al doilea 2 prisme supra-

153 —

puse (o bucată) aveâ 20 cubi, al treilea 3 prisme supra­ puse 30 cubi, al 10-lea 10 prisme suprapuse, adecă 100 cubi. Von Türk dă importanţa cuvenită scopului material, când zice: »Tinerii să înveţe a calculă, căci în vieaţă nesmintit au lipsă de calcul în măsură mai mare ori mai mică«. în aceeaş vreme însă susţine şi scopul formal: »Dexteritatea o socotesc de lucru lateral, acea­ sta totdeauna ieasă la iveală, când nu scăpăm din ve­ dere lucrul principal: desvoltarea In gândire şi întărirea inteligenţei«. Insaş cartea lui: »Leitfaden zur zweck­ mässigen Behandlung des Unterrichts im Rechnen für Landschulen, Berlin 1816« dovedeşte susţinerea amândoror scopuri ale aritmeticei, căci în partea a cincia tratează despre raporturi, regula de trei şi încă cu can­ tităţi practice: celerităţi, puteri, ponduri, distanţe, supra­ feţe, volume ş. a. K averau din Elbing în cartea sa: »Leitfaden tür den Unterricht im Rechnen nach pestalozzischen Grundsätzen, Bunzlau 1818« aduce în legătură şi mai strânsă vieaţa cu calculările aritmetice, grupând problemele după ocupaţiuni şi silindu-se să dea valori reale tuturor numerilor din probleme. Dar cel mai de frunte dintre adicţii lui Pestalozzi este A d olf Diesterweg (1790— 1866). Acesta a înţeles mai clar ideile măie­ strului şi le-a motivat în mod psichologic. îndrumările lui metodice sunt cuprinse în cartea sa: »Methodisches Handbuch für den gesammt Unterricht im Rechnen“, ti­ părită la 1828 în colaborare cu Heuser. Se pot re­ zumă în următoarele: 1. Desvoltarea obiectului, cunoaşterea preciză şi concepţiunea clară e lucrul principal, deprinderea al doilea şi aplicarea al treilea. 2. Înţelegerea clară se câştigă prin intuirea externă şi internă.

— 154 —

3. Din înţelegerea limpede a câtorva exemple va scoate şcolarul regula în cuvinte puţine şi corecte. 4. Pe fiecare treaptă mai întâiu privim obiectul în sine, apoi îl aducem în legătură cu celea premergătoare. 5. Pe fiecare treaptă petrecem atâta timp, încât şcolarul să-şi câştige dexteritatea recerută în calculare şi aplicare. 6. Calculările cu numeri abstracţi să le aducem în legătură cu exemple practice. Ambele sunt pe-o formă de folositoare. 7. întrebuinţarea cifrei să urmeze îndată după de­ prinderea cu numeri abstracţi. întâiu oral, apoi în scris. 8. Deprinderea sistemului decadic e necesară, căci cunoaşterea sistemului e fundamentul oricărui calcul in­ teligent. 9. Problemele practice să se ia mai ales din sfera banilor şi măsurilor uzitate. Mai târziu se pot trată şi probleme cu bani şi măsuri străine. 10. Să se pună pond pe exprimarea corectă şi limpede. Elevii să progreseze şi în 1. maternă. Să nu ne mulţumim cu aceea, că elevii ajung la rezultatul dorit, ci să ştie expune frumos şi corect întreg mersul problemelor. 11. Să dedăm elevii, ca şi ei să compună probleme potrivite. Principiile acestea sunt vrednice de urmat şi în zilele noastre. Alţii apoi pe urma lui Diesterweg au compus manuale şi îndreptare metodice din ce în ce mai bune. Dintre aceştia amintim pe W. Stern, Iacob H eer, Unger, Stubba şi mai cu seamă pe E rnst Hentschel (1804— 1875) cu manualul său: »Lehrbuch des Rechnen­ unterrichts für Volksschulen«. Drept greşeli metodice i-se impută lui Diesterweg, că trece prea repede peste tratarea numerilor. In ora

— 15S —

primă ajunge până la 10, apoi trece la numerii până la 100 şi în puţine ore e la 1000. Tot asemenea greşeşte şi în tratarea operaţiunilor fundamentale, căci în cercul numerilor până la 100 are în vedere numai adaugerea şi subtragerea, iar înmulţirea şi împărţirea le Introduce numai când tratează numerii peste 100. Dintre multele manuale româneşti apărute în veacul al XIX-lea amintesc câteva, ca să se vadă influinţa apu­ sului asupra Românilor: I. E liade, »Aritmetică raţionată, Bucureşti 1832«; A. M ar iu, »Aritmetică elementară pentru scoale, Bucureşti 1843«; D. Pavel, »Elemente de aritmetică raţionată, Bucureşti 1853« şi »Aritmetică prac­ tică, Bucureşti 1857. Anonim,, »Aritmetică seau carte de exerciţiu la învăţătura calculaţiunii pentru şcolarii din clasa II şi III ale scoalelor poporali în împărăţia austriacă, Viena 1855«; Anonim, »Metodica călculăciumi cu ţifre în potrivită legătuinţă cu călculâciunea în cap. Un îndreptariu spre întrebuinţarea cărţii de exerciţiu la învă­ ţătura calculăciunii pentru a III-a şi IV clasă a scoalelor populare. Pentru învăţători şi candidaţi de înăţători. Viena 1858«. Se extinde pe 225 pagine şi cuprinde în­ drumări metodice asupra întreg materialului împărţit în 7 secţiuni. In secţiunea ultimă tratează despre: relaţii, proporţii şi regula de trei. Alineatul prim al introdu­ cerii e acesta: »Numii una este calculaţiunea dreaptă, calculaţiunea cu mintea sau calculaţiunea de cugetare. Calculatorul cugetătoriu va judecă Ia rezolvările sau deslegările sale totdeauna mai înainte relaţiile cuprinse în fiecare problemă exact şi înţelept şi apoi pe temeiul acestei judecăţi va legă daţii numeri astfel laolaltă, ca aşă să vină la iveală numărul pus la întrebare. Aici el sau nu are lipsă de ţifre, şi nici că şi-le închipueşte, sau că, ca la numeri mai mari şi relaţii mai încâlcite să-ş

— 156 —

ajute memoria, sau ca să poată aşterne şi altora săvârşitele sale calculaţiuni şi să le iacă înţelese, se serveşte cu înfăţoşarea scrisă cu cifre. In cazul dintâiu calculează el din gură sau în cap, în cel de pe urmă în scris sau cu cifre«. Visarion Roman, Aritmetică pentru scoalele poporale, Sâbiiu 1856; I. F . Negruţiu, Aritmetică pentru scoalele poporale, Blasiu 1857. M untean— Solomon, Computul mental pentru scoalele poporale partea I, II, III. /. Popescu, Computul în şcoala poporală, manual pentru învăţători' Săbiiu 1864. Pe 256 pagine tratează mate­ rialul întreg, împărţindu-1 în computul elementar şi com­ putul aplicat. A înlocuit metodul ştiinţific cu cel ele­ mentar, luând de bază intuiţiunea, privirea concretului şi a cazurilor singuratice. Vasiie Petri, Sistemul metric, manual pentru învăţători şi preparanzi, Săbiiu, 1875. Pe 127 pagini tratează istoricul măsurilor metrice, numerii zecimali, apoi compararea măsurilor vechi cu cele nouă. Dintre celea maghiare amintire deosebită merită cărţile lui Edvi Illés Pál, Nagy Károly şi B rassai Samuel. De acest din urmă e manualul: »Számitó Socrates. F e j­ beli számvetés, gyakorlati kérdésekben. Angol mintára, hazai tárgyakhoz és viszonyokhoz alkalmazva«. Ko­ lozsvár 1843. O inovaţiune radicală în metodica aritmeticei a in­ trodus A. W. Grube născut la 1816 în Wernigerode şi mort în Bregenz la 1884. Principiile noului său metod le aflăm în cartea: »Leitfaden für das Rechnen in der Elementarschulen nach den Grundsätzen einer heuristi­ schen Methode. Berlin 1842«. Până la dânsul numerii se tractau în grupe mai mari după cele patru operaţiuni fundamentale. El rumpe cu trecutul şi tratează fiecare număr în mod individual, monografic, din toate punctele de vedere şi în cadrul tutur operaţiunilor. Lucrul acesta

îl face cu toţi numerii până la 100. In urma cărţii lui Grube s’a ivit o discuţie înfocată asupra metodului în aritmetică. Cei interesăţi s’au grupat în 2 tabere, adu­ când fiecare argumente plausibile pentru şi contra me­ todului grubeian. După discuţii îndelungate s’a constatat, că nici acest metod nu-i fără greşeli reale. Tratarea monografică a tuturor numerilor până la 100 e un for­ malism sec, care nimiceşte judecata independentă, ca şi deducerea, după Pestalozzi, din unitate a tuturor nu­ merilor. Apoi nici nu cunoaşterea singuraticilor numeri e scopul aritmeticei, ci dexteritatea în calculare, ceeace prin individualizarea la infinit a numerilor nu se poate ajunge la timp. De aceea în timpul mai nou urmaşii lui Diesterweg şi Grube au convenit, să urmeze părţile bune din îndrumările ambilor măiestri, iar celea formale să le abandoneze. Aici amintesc pe Rüegg, căruia i-a succes să încunjure graba neîntemeiată alui Disterweg—Hentschel şi individualizarea monotoană şi îngreunătoare alui Grube. Tratează numerii în decade, mai întâiu până la 5, apoi până la 10 socotind fiecare număr ca individualitate şi-l trece prin toate operaţiunile, împerechind adaugerea cu subtragerea şi îmmulţirea cu împărţirea. In acest senz e lucrat şi planul nostru regnicolar. In decursul timpului au dus luptă continuă partizanii celor două scopuri ale aritmeticei în şcoala primară. In celea mai multe cazuri a ieşit învingător scopul formal, în paguba bine simţită a elevilor, cari în chipul acesta nu-şi câştigau dexteritatea cuvenită în cunoaşterea relaţiunilor numerice adevărate a lucrurilor, ce zilnic îi in­ teresează. Eisenlohr în 1854 şi Goltsch cu T heel în 1859 au îndreptat, cu manualele lor, privirea bărbaţilor de

— ISS —

Şcoală la realitatea zilelor de azi, dând atenţiunea ceâ mai largă scopului material în aritmetică. Dar şi manualele pregătite in acest spirit vreau să-şi ajungă scopul pe 2 căi diferite. Unele grupează mate­ rialul după cercuri de obiecte, altele amestecând proble­ mele din toate obiectele, ce vin înainte ormllui. Aten­ ţiunea elevilor se susţine vie, dacă îi ocupăm cu lucruri concrete şi le punem în faţă ţinte reale, la Cari putem ajunge mai uşor, ori mai cu anevoie, dar cari totdeauna le produc o mulţumire sufletească. Când problemele sunt grupate după cercuri de ob­ iecte, explicarea reală se face o singură dată şi ne pu­ tem extinde mai pe larg asupra problemelor, asupra relaţiunilor numerice împreunate cu diferitele momente ale aceluiaş cerc de obiecte. Poate că, nescoţând la iveală momente nouă şi interesante să se plictisească elevii urmând acest drum, dar de bună seamă îşi pot câştigă şi cunoştinţe sigure. Când problemele sunt variate, interesul e mai viu, curiozitatea e mai excitată, dar cunoaşterea în detaiu sufere, căci se scot la suprafaţă numai momente singu­ ratice din referinţele asupra obiectului. Geometria a fost tratată şi mai maşter. Adevărat, că a fost aplicată deja de vechii Egipteni şi cultivată ştiinţific de Greci, şi de mulţi învăţaţi ai evului de mij­ loc şi mai nou, şcoala poporală însă n’a cunoscut foloa­ sele geometriei. Abiă Pestalozzi a întrodus-o între ob­ iectele şcolii primare, durere că şi felul lui de expunere a trecut într'uu formalism sec. A. Diesterweg a fost primul, care a dat adevărata direcţiune sănătoasă în propunerea acestui obiect. în opul său: »Die Raum­ lehre, oder Geometrie nach der jetzigen Anforderungen der Paedagogik, Bonn 1832«, arată ce şi cum trebuie

tratat materialul din Geometrie în şcoala poporală. La* noi cel dintâiu cultivator al Geometriei din şcoala po­ porală a fost Vasile Petri, în revista »Şcoala română«. Planul nostru de învăţământ ne indică scopul duplu al geometriei. 1. Să cunoaştem proprietăţile câtorva elemente geometrice şi 2. acestea să le aplicăm la rezolvirea problemelor practice. Prin urmare trebuie să predăm logic, interesant, intuitiv şi practic. 3.

Mijloace de învăţământ.

Cunoscând importanţa aritmeticei şi geometriei, În­ drumătorii învăţământului s’au silit, ca acesta să fie eût mai cu folos. De aceea, ori urmărind scopul formal, ori cel material, ori amândouă, din celea mai vechi timpuri au folosit şi anumite mijloace de intuire, naturale şi artificiale, ca să uşureze, respective să întărească cu­ noştinţele micilor elevi. între mijloacele naturale înşirăm: părţile trupului ome­ nesc şi mai ales degetele, obiectele din odaie şi sala de învăţământ, monete şi măsuri, ineluţe, globurele, pietri­ cele, semne pe tablă, ca: puncte, linii, veriguţe ş. a. Mijloacele artificiale sunt tot felul de aparate folosite pentru intuirea şi expunerea clară a singuraticilor numeri ori a operaţiunilor aritmetice. Despre abacus, tabelele pestalozziane şi scrinul de calculat alui Tillich s’a făcut amintire in expunerea istorică a învăţământului aritmetic. Aici amintim: 1. M aşina de calculai rusească, folosită azi in toa şcolile nostre. în Rusia e cunoscută de mult; în Europa vestică s’a introdus numai la începutul veacului al XIX-lea. Vestitul matematician francez 1. V. Poncelet ajungând în captivitate rusească a văzut acestea maşini de calculat şi recunoscându-le folosul practic, după în-

— 160 - i

'toarcerea sa in Franţa la 1812 le-a Introdus şi acolo, în scurtă vreme au primit-o în întreagă Franţa şi Ger­ mania, căutându-se şi perfecţionarea ei. Azi se şi folo­ seşte această maşină în formă perfecţionată, făcându-i-se vergeluţele mai lungi, aşâ că globurelele încap pe jumă­ tatea vergeluţelor. Cu o mică tablă de lemn putem acoperi jumătatea maşinei, aşâ că suntem în poziţie să arătăm elevilor numai atâtea globurele, de câte avem ocazional trebuinţă. 2. M aşina de calculat alui J arisch (1864) în esenţă e tot maşina rusească, cu deosebirea, că vergeluţele stau vertical şi globurelele pot fi scoase cu uşurinţă, punând şi luând din ele câte ne trebuie. 3. Legăturile de nuieiuţe alui Villaume (1780) sunt nişte legături de nuieiuţe ca creioanele. într’o legătură se pun 10 bucăţi. Din 10 legături se face o legătură mai mare pentru intuirea numărului 100. Din 10 legă­ turi de câte 100 se pregăteşte o legătură şi mai mare pentru intuirea numărului 1000. Afară de acestea mai sunt o mulţime de maşini, mai mult ori mai puţin complicate şi cu totul de prisos pentru şcolile noastre. Călătorind în capitala ţerii le putem vedeâ şi studia în colecţia muzeului de rechizite şcolare. E însă neîncunjurat de lipsă, ca In fiecare şcoală să avem o colecţie de măsuri metrice de lungime, su­ prafaţă şi volum, de capacitate şi greutate, căci cunoa­ şterea detaiată a acestora aduce cel mai mare folos elevilor, având să le întrebuinţeze zilnic când vor fi mari. Dar orice mijloc de învăţământ ar folosi învăţătorul, să nu scape din vedere următoarele cerinţe ale aceluia: 1. Să fie simplu; 2. destul de mare, ca şcolarii să-l poată vedeâ cum se cade; 3. sâ se poată desface, ca ocazional să arătăm elevilor numai părţile, de cari avem

— iól —

trebuinţă; 4. să fie form abil, ca să putem face şi anU* mite combinaţiuni de numeri, respective calculări cel puţin în cadrul numerilor până la 20, eventhal 100. Maşinile de calculat sunt bune pentru intuiţie, dar să nu uităm, că în afacerile noastre zilnice nu ne stau la dispoziţie astfel de maşini, pentru aceea să le folosim cu multă precauţiune; în caz contrar lipsim pe elevi de independenţa atât de necesară în vieaţă. 4. Procedura metodică. Cunoscând importanţa şi scopul aritmeticei şi geo­ metriei, trebuie să ajungem la rezultatul cel mai favo­ rabil ce mijloacele, ce ne stau la dispoziţie, fie acelea naturale ori arteriale. Pentru aceea ţinând seamă de încercările veacuriler trecute să vedem, de ce principii se conduc învăţaţii zilelor noastre. Vrând să dăm ele­ vilor cunoştinţe practice, dar în aceeaş vreme să le desvoltăm şi cu cugetarea independentă şi judecata logică şi să scoatem din ei oameni întregi, ordinaţi şi morali, vom procédé numai în mod inductiv, după desvoltarea intelectuală a elevilor, ca nouile cunoştinţe să li-se înti­ părească în minte limpede, temeinic şi trainic. Verba­ lismul să se excludă, tot pasul să fie logic, raţionat, la înţelesul elevilor. Deci vom ţineâ seamă de următoarele : 1. învăţământul să fie intuitiv pe toate treptele. în clasele I şi II se purcedem delà obiecte concrete şi cu ajutorul acelora să scoatem noţiunea numerilor. La ope­ raţiuni să executăm lucrarea prin adunarea şi luarea faptică a obiectelor de intuiţiune, chiar şi îmmulţirea şi împărţirea să fie compunerea unei cantităţi din obiecte grupate egal, respective descompunerea unei cantităţi mai mari în părţi egale. în clasele superioare intuiţiunea consistă în explicarea şi aprofundarea problemei, ca părţile aceleia să fie deplin cunoscute. n

— Í62 —

2. La rezolvirea problemelor se ia parte activă nu numai învăţătorul, ci după putinţă şi elevii. La proble­ mele de vindere, cumpărare, măsurare ş. a. să lucreze elevii înşişi, căci pe lângă deşteptarea curiozităţii întărim în ei şi spiritul de activitate independentă. La geo­ metrie vor desemnă, respective vor pregăti din carton figurile şi corpurile geometrice tratate. 3. Cunoştinţele câştigate le deprindem şi le aplicăm Îndată la probleme practice. Adecă să nu ne mulţămim numai cu intuirea numerilor, ci lucrând câteva teme să trecem la numeri abstracţi, apoi să facem aplicaţiuni practice. 4. E foarte conzult, ca problemele de rezolvit să fie din aceeaş grupă de obiecte, cunoscute elevilor ori chiar di,n vieaţa lor, căci astfel le întărim cunoştinţele avute şi cruţăm timpul, deoarece explicările lucrurilor le facem numai odată. 5. Calculul să fie raţionat. Să nu dăm elevilor regulele gata, ci desvoltând mai multe probleme să con­ ducem elevii, să observe legătura logică dintre părţi şi aceasta să o exprime în câteva ziceri limpezi şi corecte. In chipul acesta elevii nu se vor obişnui cu un mod de gândire prea de şablon, ci vor înţelege legătura adevă­ rată dintre părţile problemei şi astfel vor ajunge uşor la rezultatul dorit. 6. Trecerea delà o unitate metodică la alta să fie bine cumpănită. Graba strică treaba. Pânăcând cel puţin majoritatea elevilor n’a înţeles bine materia pre­ lucrată să nu trecem la alta nouă, cu deosebire în clasa I şi II, unde se aşează fundamentul marelui edi­ ficiu: al calculării. Mai bine să prelucrăm minimül pre­ scris, dar acesta bine, decât să trecem superficial peste multe lucruri, fără să le înţelegem deplin.

— Í63 —

7. în clasele I şi II se face numai calcul oral. Scrierii cel mult rezultatul problemei rezolvite mental. în aceste clase nu se dau definiţiuni, chiar şi terminii tehnici se reduc la ce-i nejncunjurat de lipsă. în clasele celealalte mai cu seamă în a V-a şi a Vl-a dăm şi difiniţiuni, căci cu acestea desvoltăm în măsură mare inteligenţa elevilor. 8. Să nu invăţăm pe elevi numai probleme singu­ ratice, ci sâ-i dedăm la gândire corectă, conducându-i la ajungerea scopului final prin cunoaşterea legăturii dintre părţile problemei şi a operaţiunilor, ce trebuesc aplicate spre acest scop. Operaţiunile fundamentale nu sunt scop, ci numai mijloc pentru deslegarea problemelor. Dacă problema se poate rezolvi in mai multe chipuri să le dăm voie să folosească oricare drum, eventual să o deslegăm împreună în mai multe feluri pentru a controlà rezultatul. 9. După ce am tratat şi rezolvit problema, să o re­ capitulăm cu singuratici elevi, căci in acest chip îi de­ dăm la o cugetare logică şi la exprimarea corectă a lucrului ştiut. 10. Luând exemplele din cercul de cunoştinţă al elevilor, le întărim cunoştinţele câştigate din alte obiecte, ori auzite în casa părintească. Dar să nu le dăm pu­ rurea exemple gata, ci să-i punem pe elevi, să compună înşişi exemple potrivite, ori cel puţin dându-le cadrele de lipsă să pună ei valorile obiectelor după împrejură­ rile din satul ori oraşul lor. 11. Adevărat că mehanizarea e absolut nepermisă, sunt totuş părţi, cari trebuie ştiute aşâ de bine, încât să le executăm fără a ne mai cugetă la cauză, bunăoară tabela Înmulţirii şi procedura de urmat la operaţiunile fundamentale. Acestea lucrări trebuie repeţite foarte des. 12. Convorbirile delà tratarea şi recapitularea pro­ li*

blemelor să stea şi în serviciul desvoltării simţului de limbă. Să obişnuim elevii să o vorbească corect şi frumos. 13. Simţul frumosului încă 11 desvoltăm mult, dacă noi scriem cât mai frumos cifrele şi literele, problemele şi'figufile le aşezăm pe tablă simetric, iar delà elevi pretindem să nu arunce cifrele şi figurile fără nici o or­ dine, ci să le grupeze cu gust după cea mai burtă a lor pricepere. 14. Ocupările elevilor să le revedem conştiincios, sublimând eventualele greşeli fără le corege. Corectura o fac elevii, ca să încunjure în viitor aceleaşi greşeli. Pe forma externă să punem pond mare. Ţinând seamă de principiile generale indicate, în­ văţătorul îşi va pregăti lecţiunile după prescrisele trep­ telor formale: Pregătire, anunţarea ţintei, tratare, sistémizare, deprindere şi aplicare. Treptele însă le va folosi numai când predă materie nouă. O parte însem­ nată a orelor de aritmetică şi geometrie se întrebuinţează pentru întărirea cunoştinţelor câştigate, lucrând mai multe probleme după norma celor lucrate la partea teoretică. Dar şi în acest caz, să nu pierdem din vedere, că or­ dinea ne duce la rezultat, iar superficialitatea ne mâncă timpul fără să isprăvim ceva de seamă. Pentru aceea, dacă manualul şcolarilor e întocmit după cercuri de ob­ iecte, dăm un scop general muncii de una ori V2 de oră; dacă însă obiectele sunt variate, punerea ţintei se va schimbă din caz în caz. Pusă ţinta tratăm referinţele problemelor sau a grupei de probleme, apoi trecem la executarea singuraticelor probleme. în clasele I şi II calculăm numai oral, băieţii rămân la locul lor şi îi provocăm, când pe unul când pe altul. De pe feţele lor putem observă, dacă elevii să năzuesc

— 165

să afle rezultatul Întrebării pusă tuturora, ori că sunt de faţă numai cu trupul. Depinde delà răbdarea şi price­ perea Învăţătorului ca să-i facă pe toţi elevii, să lucreze în comun şi cu atragere. în clasele III— VI pe lângă calculările mentale mai folosim şi calculările în scris. Elevii stau in bănci şi lucrează fiecare independent. Rezultatul final, ori cele intermediare le scrie pe tablă câteodată învăţătorul, mai des însă va scoate la tablă câte un elev să îndeplinească acest lucru. Prin scoaterea la tablă se măreşte curajul elevilor, se scot la iveală greşelile tipice ale acestora şi astlel li-se dă ocaziune să-şi-le îndrepteze. Dar ori scrie învăţătorul rezultatele, ori face acest lucru vreun elev, să nu pierdem din ochi clasa întreagă, să nu permitem, ca unii elevi să-şi copieze lucrarea delà vecini, ori de pe tablă, căci în acest caz n’am făcut nici o ispravă. Învăţătorul destoinic observă de pe mişcarea capului, a ochilor ori a mânii, dacă singuraticii elevi se interesează şi pricep lucrurile, ce se tratează, ori sunt cu totul străini de ele. întreagă ţinuta învăţătorului să fie stăpânită de dra­ gostea faţă de slujba sa şi faţă de elevi. In acest caz va avea şi răbdarea necesară, ca rezultatul obţinut să fie cât se poate de bun. 5.

îm părţirea m ateriei, a)

Clasa I.

Materia acestei clase e cercul numerilor 1— 20. Tra­ tarea monografică după metodul lui Grube respective aiul Riiegg. La numărul doi ne extindem asupra noţiunii: jumătate, mai mult, mai puţin. Tratarea lui zero urmează numai după numărul doi. Semnele numerilor, cifrele, să se facă delà început, tot asemenea şi semnele opera-'ţiunilor, bine înţeles pe lângă explicarea cuvenită.

— 166 —

Mijloacele de Învăţământ: Maşina de calculat, mă­ surile metrice — metrul, litra, kilogramul — , bani nuieluţe, pietricele şi alte obiecte, pe lângă celea din sala de învăţământ. In special după săptămâni : Septemvrie 2 . Predarea numărului 1. Noţiunea o legăm de obiecte singuratice, apoi o fixăm mai tare prin: a) scoaterea la iveală a obiectelor, cari obvin şi le vedem în câte un exemplar: cap, grumaz, nas, limbă şi altele, b) prin evidenţiarea obiectelor cunoscute de elevi, dar neprezente: o biserică, o şcoală, un soare, o lună şi altele, c) desemnând învăţătorul numărul prin un punct, o linie, o veriguţă, d) punând pe elevi să facă semnele acestea, şi e), arătându-le elevilor însaş cifra numărului 1, ca semn al cuvântului, respective a noţiunii 1, apoi dispune ele­ vilor să facă şi ei acest semn pe tăbliţele lor. j . Predarea numărului 2. Noţiunea jumătate, mai mult şi mai puţin. Noţiunea: pereche. Operaţiunile fun­ damentale în cercul numărului 2. Procedura ca la nu­ mărul 1 asupra obiectelor, ce obvin cu perechea : 2 ochi, 2 urechi, 2 buze, 2 mâni, 2 picioare, 2 aripi, 2 cai la trăsură, 2 boi în jug, rotilele delà plug şi altele. 4 . Predarea noţiunii zero (nimica) din scăderea numerilor 1 şi 2 repeţind şi cele pertractate în săptămâ­ nile precedente. Octomvrie /. Predarea numărului 3. Intuirea amă­ nunţită. Numărare înainte şi înapoi. Compunerea şi descompunerea numărului 3. Introducerea semnelor: ( + ) cu, (— ) mai puţin cu, (= ) egalităţii. Scrierea şi ceţirea astorfel de expresiuni 0 + 1 = 1; 0 + 2 = 2; 0 + 3 = 3 ; 1 + 2 = 3; 3 — 1 = 2; 3 - 2 = 1 ; 3 — 3 = 0 şi altele. Obiecte: 3 coarne la iurca de fier, 3 frunze la trifoiu, scăunenciu cu 3 picioare, 3 picioare la căldare, 3 ferestre la odaie.

-

167 -

j . 4 . Predarea numărului 4. Intuire. Compunere şi descompunere. Se dă mai multă atenţiune înmulţirii şi împărţirii. Noţiunea : pătrar. Obiecte : Cei patru pereţi ai sălii de propunere, picioarele scaunului şi a mesei, picioarele calului, a boului, roatele carului. Laturile fi­ gurilor patruunghilare la geamuri, masă, pereţi şi altele.

Noemvrie 1 . 2 . Predarea numărului 5. Intuire, nu­ mărare înainte şi Înapoi. Compunere şi descompunere. Noţiunea numărului fără soţ. Obiecte: Degetele delà mâni. Jocul cu 5 pietricele. Cele 5 simţuri ale omului. Cumpărare şi vindere în acest cerc cu piesele de 1 şi 2 fileri.

. 4 . Predarea numărului 6. introducerea semnelor îmmulţirii (X) şi Împărţirii ( :) . Obiecte: Picioarele muştei şi a gândacului de Maiu. Zilele de lucru din o săptămână. Vârsta copiilor, când vin la şcoală. Cum­ părări şi vinderi în cercul numărului 6. 3

Decemvrie 1 . 2 . Predarea numărului 7. Obiecte: zilele unei săptămâni. Curcubeul cu 7 colori. Cele 7 taine. Carul cel mare cu cele 7 stele. Cumpărări şi vinderi. 4 . Predarea numărului 8. împărţirea ca mă rare şi ca împărţire adevărată. Obiecte: Picioarele pă­ ianjenului. Obiectele delà 2 şi 4. Cumpărări şi vinderi.

Ianu arie 2 . Predarea numărului 9. Obiecte: Jocul cu popice, şi obiectele delà numărul 3. 3 . 4 . Predarea numărului 10. Repeţirea numerilor 1— 10. Obiecte: 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 1= 10 dl; piesa de 10 fileri, eventual de 10 K , apoi obiectele delà numărul 5. Feria = 10 litre. F ebru arie /. Predarea numărului 11. Obiecte com­ binate din celea delà numerii precedenţi. 2 . 3 . Predarea numărului 12. Obiecte: Duzina, Iu-

— 168 —

nile anului. Numerii romani. Un orologiu cu numeri romani. 4 . Predarea numărului 13. Combinaţiuni din ob iectele cunoscute şi pertractate până acum. M artie 1 . 2 . Predarea numerilor 14 şi 15. Probleme cu măsurile metrice şi cu bani. Măsuri de timp. Po­ stul Sântămăriei. A prilie j . 2 . Predarea numerilor 16— 19. 3 . Predarea numărului 20. Obiecte: Piesa de 20 fileri, eventual de 20 K în aur şi hârtie. Ferdela = 20 litre. M aiu /. 2 . 3 . Repeţirea generală în cercul numeri­ lor 1— 20. Peste tot să ne străduim, ca elevii să cunoască te­ meinic numerii delà 1—20, mai cu seamă în cadrul adaugerii şi subtragerii. Dar să nu negligăm nici ope­ raţiunile de îmmulţire şi împărţire, folosind idea funda­ mentală a regulii de trei prin concluziune. Bine înţeles nu regula o folosim, ci idea, p. e. dacă 1 caiet costă 4 fileri, 3 caiete costă de 3 ori mai mulţi fileri, adecă de 3 ori 4 fileri, ceea ce face 12 fileri. Ori, dacă 3 ouă costă 15 fileri, 1 ou costă de 3 ori mai puţin sau a treia parte din 15, ceea ce face 5 fileri. b)

Clasa II.

în clasa aceasta elevii trebuie să cunoască şi să cal­ culeze cu numerii delà 1— 100, compunându-i şi descombunându-i din 1. 2, 3... 10. Se ştie aproape mehanice tabela îmmulţirii- Scopul material se extinde asupra obiectelor: coroană, centimetru, hectolitră, decagram, majă metrică (quintal), luni, zile, oră minută în cercul de cunoştinţe a elevilor în şcoală, acasă şi pe stradă. în clasa aceasta şe foloseşte şi manual de aritmetică.

— 169 -

In special după săptămâni:

2. 3 . 4. Repeţirea materialului din clasa I cu obiectele indicate acolo. Exercitarea tuturor opera­ ţiunilor şi scrierea acelora cü semnele îndatinate. Mă­ surări în sala de învăţământ şi în curtea şcolii, Cumpă­ rări şi vinderi — ca în prăvălie. Octomvrie /. 2. Predarea numerilor 20— 30, respec­ tive 1 —30. Intuire. Compunere şi descompunere, apoi operaţiunile fundamentale. Obiecte: Ziua şi orele sale. Lunile Februarie şi cele cu 30 zile. Afaceri de vindere cumpărare. Vrâsta de miliţie. 3 , 4. Predarea numerilor 1—40, ca în cercul 1— 30 cu aceleaşi obiecte, Introducând şi lunile de 31 zile. Cumpărări şi vinderi. Numărul dinţilor la oameni. Noemvrie /. 4. Predarea numerilor 1— 50 şi a nu­ merilor romani 1— 50. Obiecte: Zile, săptămâni, duzine. Bancnotele de 10, 20 şi 50 K. Postul Crăciunului şi Postul Paştilor. Decemvrie 1 — 4. Predarea numerilor 1—60. Ob­ iecte: anul cu 52 de săptămâni, ora cu 60 minute şi minuta cu 60 secunde. Măsurări, cumpărări şi vinderi. Ianuarie 2— 4. Predarea numerilor 1—70. Măsu­ rări, vinderi, cumpărări. Februarie /— 4. Predarea numerilor 1—80. Mesurări, vinderi, cumpărări. Martie i — 4 . Predarea numerilor 1—90, apói 1— lOO. Obiecte: l m = 100 cm; 1 Kg = 100 Dg; 1 HI = 1 0 0 1 ; l q = 100K g; 1 K = 100 fileti. Bancnota de 100 K, eventual galbenul de 100 K. Aprilie i —3 . Măsuri. Numeri romani până la 100. Tabela îmmulţirii. Maiu i — 3. Repeţire generală. Septemvrie

>

— 170 —

c) Clasa III. Materialul clasei acesteia e cam vast. Se începe cu repeţirea operaţiunilor în cercul numerilor 1 — 100, apoi cercul se amplifică până la 1000. Lucru nou e cal­ cularea în scris, căci mental nu putem trece la numeri mai mari de 2 cifre decât cel mult la adaugere şi subtragere. Insaş repeţirea materialului din clasa a Il-a se face mai sistematic, prelucrând probleme din afacerile locuitorilor plugari, a măiestrilor şi comercianţilor. Cal­ culul oral nu-1 abandonăm, dar să punem pond mare pe calcularea în scris, ca executarea operaţiunilor să se întâmple aproape mehanic. Să ţinem în seamă sporirea cunoştinţelor elevilor, introducând multe obiecte în pro­ blemele de rezolvit, dar să nu uităm, că scopul aritme­ ticei e însaş calcularea. In special după săptămâni : Septemvrie 2 — 4 . Repeţirea materialului din clasa a Il-a cu măsurile metrice, timp şi bani. Măsurăm dimenziunile clasei, a curţii şi intravilanului Întreg. Che­ stiuni de vindere— cumpărare. Octomvrie /. 2 . Predarea numerilor în cercul 100— 200. Intuire. Compunere şi descompunere. Operaţiunile fun­ damentale numai mental. Numerii romani delà 100— 200. j. 4 . Cercul numerilor 200—500, apoi 5 00— 700, ca mai înainte. Noemvrie 1 . la 1000, folosind metrice. 4 . cercul numerilor surile metrice şi Decemvrie manual.

1

. Amplificarea cercului numeric până ca obiecte de intuire: banii şi măsurile

2

Repeţirea operaţiunilor fundumentale oral 1— 1000, tractând cu deamănuntul mă­ banii. —j .

Adunarea oral şi în scris după

— 171 —

- Scăderea oral. Ianu arie 2 — 4 . Scăderea în scris. Immulţirea oral. F ebru arie 1— 4 . Immulţirea în scris cu una şi cu 2 cifre. M artie 1 —4 . împărţirea oral şi în scris. A prilie /—3 . Recapitularea îmmuiţirii şi împărţirii. Maiu i — •?. Repeţire generală. 4

d) Clasa IV. In clasa aceasta se amplifică cercul numeric până la 1,000.000 şi peste milion, Introducând bine pe elevi în cetirea şi scrierea numerilor şi mai mărişori. Proble­ mele însă peste tot să nu fie date cu numeri prea mari, căci oamenii noştri rar ajung la calculări cu astfel de numeri. Operaţiunile în scris s’au pertractat deja în clasa a IlI-a, acum elevii numai să întăresc în cele în­ văţate. Material nou e calcularea cu numerii de mai multe numiri şi Introducerea în fracţiunile ordinare. La numerii de mai multe numiri să punem pond mare pe rezolvire şi reducere, căci cunoscând bine acestea totul se reduce la calcularea cu numeri de o numire. Asupra fracţiunilor ne extindem numai ca pregătire pentru clasa V şi VI. Să cunoască elevii fracţiunile cu numitorul delà 2 — 10, respective 12, apoi celea cu numitorul 100. Obiectele folosite în problemele din această clasă sunt: măsurările metrice de lungime, suprafaţă şi volum, apoi banii şi timpul. Afaceri de vindere cumpărare. Chestiuni economice, comerciale şi industriale, apoi de geografie. în special după săptămâni : Septemvrie 2 — 4 . Repeţirea materialului din clasa III conform materialului din manualul şcolar. Octomvrie /— 2 . Amplificarea cercului numeric până la 10.000.

— 172 —

j — 4 . Amplificarea cercului numeric până la 100.000. Noemvrie 1 — 4. Amplificarea cercului numeric până la 1,000.000 şi numerii romani până la 2000. 4 . Adunarea oral şi în scris. Decemvrie /— 4 Scăderea, tmmulţirea şi împărţirea oral şi în scris. Ianu arie 2. împărţirea în scris. 3 — 4 . Rezolvirea şi reducerea numerilor de mai multe numiri. F ebru arie 1— 4 . Adunarea, scăderea şi îmmulţirea numerilor de mai multe numiri. M artie /— 3. îmmulţirea şi împărţirea cu numeri de mai multe numiri. 4 . Fracţiuni ordinare. A prilie i —3 . Fracţiuni ordinare. Maiu i —3 . Repeţire generală. e)

Clasa V.

în clasa aceasta şi cea următoare este destul ma­ terial nou, dar să punem pond deosebit pe problemele luate din noul cerc de cunoştinţă al elevilor: istorie, geografie, fizică şi constituţie, căci elevii nu mai rămân mult sub scutul şcolii. Material nou în clasa aceasta e calcularea cu fracţiuni zecimale şi regula de dobândă, apoi tractarea mai sistematică a cunoştinţelor geometrice despre linii, cerc, unghiuri, patru unghiuri şi suprafeţele acestora. în special după săptămâni: Septemvrie 4— 4 . Repeţirea materialului din clasa IV după manual. Octomvrie /— 2. Valoarea locală. Măsuri metrice. Bani. Măsurile de timp şi numerii romani. 3 — 4 . Fracţiunile zecimale. Adunarea şi scăderea.

Noemvrie i — 4 . îmmulţirea şi împărţirea cu frac* ţiuni zecimale. Decemvrie /— 4 . Regula de dobândă şi repeţirea fracţiunilor zecimale. Ian u arie 2 — 4 . Intuirea cubului şi a altor corpuri pentru evidenţiarea elementelor geometrice. Felul şi poziţia liniilor. Cercul. Unghiul şi felurile unghiurilor. Ca obiecte de intuiţiune servesc: corpurile geometrice şi rechizitele de Învăţământ, mobilárul şcolii şi însaş sala de învăţmânt. F ebru arie 1 — 4 . Patruunghiurile şi perimetrul ace­ lora. Repeţirea adaugerii şi subtragerii în legătură cu perimetrul. M artie 1 — 4 . Măsurile de suprafaţă : aria şi hectaria. Suprafaţa oblongului şi pătratului. Periferia cercului. Repeţirea îmmulţirii şi împărţirii fracţiunilor zecimale în legătură cu suprafeţele. A prilie i — Repeţirea operaţiunilor cu numeri întregi şi fracţiuni zecimale. M aiu i —j . Repeţire generală. f) Clasa VI. Cu clasa aceasta elevii termină şcoala primară de toate zilele, să-i înarmăm deci bine pentru lupta vieţii. Materialul nou sunt operaţiunile cu fracţiuni ordinare, calcularea capitalului şi procentului, apoi treiunghiul şi noţiuni din Stereometrie, din agrimenzură şi desemnul geometric. In special după săptămâni: Septemvrie 3 —4 . Repeţirea materialului din arit­ metică de pe clasa V. Octomvrie /— 4 . Fracţiunile ordinare. Adunarea frac­ ţiunilor ordinare. Noemvrie /— 4 . Scăderea, Îmmulţirea şi împărţirea cu fracţiuni ordinare.

174 —

Decemvrie /— 4 . Determinarea capitalului şi procen­ tului. Dări, proviziuni, premiu de asigurare. Ian u arie 2 — 4 . Repeţirea materialului geometric de pe clasa V. Triunghiul şi suprafeţele figurilor reductibile la triunghiu. Suprafaţa cercului F ebru arie /— 4 . Noţiuni de Stereometrie. Supra­ feţele corpurilor. Repeţirea fracţiunilor zecimale In legă­ tură cu suprafeţele. M artie 1— 4 . Volumul corpurilor. Repeţirea frac­ ţiunilor zecimale. A prilie i —j . Noţiuni de agrimenzură, în legătură cu acestea repeţirea fracţunilor ordinare. M aiu i —j . Repeţire generală. Desemnul geometric se aduce în legătură cu geo­ metria din clasa V şi VI şi în cadrul acesteia se pregă­ tesc desemne pe file de desemn ori în caiete de desemn. 6.

Schiţe de prelegeri practice. Clasa I.

îmmulţirea în cercul numărului 8.

A) Din lecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. Cât face 1 ori 1 ? 2 ori 1? de 3 ori 1 ? de 4.... 7 ori 1 ? Cât de 1 ori de 2 ori 2? de 3 ori 2? Cât tac 1 ori 3 ? de 2 ori Cât face 1 ori 4 ? 2. Anunţarea nouăi lecţiuni. Să grijiţi băieţi, azi vom învăţa socoteli de acestea la numărul 8. vom învăţă azi?

de 2? 3? că Ce

B) Noua lecţie. I. Predarea.

1. Noua sinteză progresivă. Aici pe maşina de cal culat iau întâiu de 7 ori câte o bilă, apoi mai iau

•à- ÍÍ75 —

Încă odată 1 bilă. De câteori am luat câte 1 bilă ? Şi câte bile sunt acum ? 2. A naliză staţionară. întâiu am luat de câteori 1 bilă ? După aceea am luat încă de câteori câte 1 bilă ? Şi câte bile sunt la olaltă ? 3. A naliză progresivă. Aşadară cât face de 8 ori câte 1 bilă? (De 8 ori câte 1 bilă face 8 bile). Cazul a l doilea. 1. Aici pun pe masă de 7 ori câte o nuieluţă, apoi mai pun încă odată o nuieluţă. Acum sunt de câteori câte 1 nuieluţă ? Şi câte avem de toate ? 2. întâiu am pus de câteori câte 1 nuieluţă ? După aceea am mai pus încă de câteori câte 1 nuieluţă? Şi câte nuieluţe am pus de toate? 3. Aşadară cât face de 8 ori câte 1 nuieluţă ! (De 8 ori câte 1 nuieluţă face 8 nuieluţe). N B . Aici se pot luâ mai multe cazuri, trecându-se prin toate fazele. II. Sistemizarea.

1. N ouă analiză progresivă. Spuneţi-mi încă odată, cât a făcut de 8 ori câte o bilă? (De 8 ori câte 1 bilă a făcut 8 bile). 2. Sinteză staţionară. Cât a făcut şi de 8 ori câte 1 nuieluţă? (De 8 ori câte 1 nuieluţă a făcut 8 nuieluţe). N B . Aici se iau şi celealalte cazuri tractate la treapta primă. 3. Nouă sinteză progresivă. Prin urmare, cât face totdeauna de 8 ori 1 ? (De 8 ori 1 face 8). De câteori 1 face 8 ? De câteori 8 cât face 8 ? De câteori cât face 8 ? III. Aplicarea.

1. Nouă sinteză progresivă. Un băiat îşi cumpăr 8 caiete. Pe fiecare caiet dă câte 1 filer, cât costă toate caietele ?

-

M

-

2. A naliză staţionară. Câte caiete cumpără un bă­ iat? Cu cât e 1 caiet? Dacă 1 caiet costă 1 filer, 8 caiete vor costa tot numai 1 filer? Şi ce-aţi învăţat cât face de 8 ori câte 1. 3. A naliză progresivă. Aşadară, cât vor costă 8 caiete ? (8 caiete vor costă de 8 ori câte 1 filer şi de 8 ori câte 1 filer fac 8 fileri). N B . Tot asttel vom purcede şi cu de 4 ori 2, de 2 ori 3 cu 2, de 2 ori 4 ş. c. iar la sfârşit vom face o capitulare generală. [Prelegeri de felul acesteia se fac în şcoala de apli­ caţie a institutului pedagogic din Balázsfalva— Blaj], b)

Clasa II.

Numărarea delà 20—30. A) Din iecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. Până Ia cât am învăţat noi să numărăm? (....20). Numără înainte cu câte 1 delà 1— 20, numără înapoi cu câte 1 delà 20— 1. Nu­ mără înainte cu 2... 4... 6... 8... 10. Numără înapoi delà 20 cu 3... 5... 7... 9. 2. A nunţarea nouăi lecţiuni. Azi vom învăţă nu­ mărarea delà 20— 30. B) N oua lecţie.

I. P redarea. 1. învăţătorul scoate la iveală bilele de pe 2 vergele ale maşinei de calculat şi întreabă, câte bile sunt aici? (...2 0 ); apoi mai scoate 1 bilă pe ver­ geaua de asupra şi întreabă, câte bile sunt acum pe toate 3 vergelele? (... 21). Cât fac 20 bile cu 1 bilă? (... 21). Tot asemenea purcedem, scoţând pe vergeaua a treia 2, 3, 4 .. 10 bile. Aceleaşi întrebări le repeţim cu nuieluţe, cu bani, cu puncte ori veriguţe pe tablă.

— 177 —

II. Sistemizarea. 1. Spune-mi încă odată cât iac 20 bile cu 1 bilă? Dar 20 bile cu 2 bile, apoi 20 + 3... 2 0 -t-lO bile? Cât fac 20 nuieluţe cu 1 nuieluţă? apoi 20 + 2, 20 + 3... 2 + 10 nuieluţe? 2. Aşadară cât fac 20+ 1 ? 20 + 2? 2 0 + 3 ... 2 0 + 1 0 ; 21 + 1; 22 + 1; 23 + 1... 2 9 + 1; 20 + 2, 22 + 2, 24 + 2... 28 + 2? 20 + 3; 23 + 3 , 26 + 3 ? 3. Scrierea numerilor 20—30. Din ce stă numărul 21 ? (... din 2 zeci şi din 1). Uitaţi-vă, scriu cifra 2 şi la dreapta ei pun pe 1. Ce ne arată cifra 2 ? (... 2 zeci), şi ce ne arată cifra 1 ? (... 1 singur). Scrieţi şi voi pe tăbliţă numărul 21. Tot aşă purcedem şi cu ceialaiţi numeri până la 30. III. A plicarea. 1. Probleme practice din manualul clasei a Il-a. 2. Cât fac-, 21 + 3; 23 + 5; 24 + 4? 3. Calculaţi cât fac: 1+2= 2+3= 5+5= 8+2= 11+2= 124 3 = 15+5= 18+2= 21+2= 22+3= 25+5= 28+2= Clasa III.

Scăderea prin suplinire. A) Din lecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. O femeie a dus în piaţă 36 ouă. A vândut îndată 23, câte ouă i-au mai rămas ? (... 13). Cum aţi făcut lucrarea? Cum se numeşte lu­ crarea aceasta? Care-i de scăzutul? Care-i scâzătorul ? Care-i restul ? Lucrarea aceasta am făcut-o scoţând (luând) unimile scăzătorului din unimile de scăzu­ tului şi zecile scăzătorului din zecile de scăzutului. S c ă ­ derea insă se poate face şi altfel. 2. A nunţarea nouăi lecţiuni. Să grijiţi băieţi, că azi vom învăţă scăderea prin suplinire. Ce vom învăţă azi? 12

— 178 —

B) N oua lecţie. Í. P redarea. Şapte cu cât iac nouă? 7 + ? = 9 ; 16 + ? = 19; 45 + ? = 48; 132 + ? = 158; 214 + ?= 3 4 5 . 1. 8 — 2. 8 + 1 = 9 — 3. 9 + 1 0 = 1 9 — 4. 1 9 + 5 0 = 6 9 — 6_ 6 + l= 7 _ 7+10=17 17+50=67 2 2 2 2 în exemplul de sub 1. trebuie să scădem din 8 pe 6 şi ne mai rămân 2. In exemplul de sub 2, şi la descăzut şi la scăzător am adaus pe 1, cât de mare e acum descăzutul? dar scăzătorul? şi restul? (Restul e tot 2). In acelaş chip scoatem la iveală acelaş rest în exem­ plele 3 şi 4. Să vedem, ce rest căpătăm, dacă la descăzut adaugem un număr şi la scăzător alt număr, bunăoară: 1. 8 — 2. 8 4 1 = 9 — 3. 8 + 9 = 1 7 — + 6+2= 8^ 6 + 5 = 1J_ 2 1 6 In exemplul de sub 1, restul e 2, în cel de sub 2, restul e 1 şi în celea de sub 3, restul e 6. Aşadară, când la descăzut şi scăzător adunăm acelaş număr, restul nu se schimbă, dacă adunăm alţi numeri, atunci restul se schimbă. Să rezolvăm 1. oral, 2. prin împrumutare şi 3. prin suplinire exemplul acesta: 10 1. 35— 1 9 = 2. 35— 3. 35 35— 10 = 2 5 19 19 25— 9 = 1 6 16 J — 35— 19 = 1 6 16 1. când scădem oral, începem scăderea delà zeci, apoi trecem la unimi ; 2. când scădem prin împrumutare zicem, 9 din 5 nu putem lua, pentru aceea împrumutăm 1 zece şi o străformăm în unimi, avem aşadară 15 unimi iar 9 din

-

1Í9 —

15 unimi ne mai rămân 6 ; 1 zece din 2 zeci ne mai rămâne 1 zece; 3. prin suplinire zicem, 9 e mai maire decât 5 adecă pe 9 nu-1 putem suplini la 5, ci la celea 5 unimi mai adaugem 10 unimi şi zicem 9 cu 6 iac 15; dar ca restul să nu se schimbe, adaug şi la zecile din scăzător 10 unimi sau 1 zece şi zicem: 1 zece Cu 1 zece fac 2 zeci şi cu l zece fac 3 zeci. Pe cum vedem, rezultatul e acelaş Iii toate 3 ca­ zurile, deci lucrarea e bună în oricare chip. Mai lucrăm 2— 3 exemple numai prin suplinire : 10 10 io m 2. 53— 763. 174— 4. 5 1 2 — 24 36 128 127 1 1 11 52 17 46 385 II. Sistemizarea. 1. De unde am început scăderea, când am lucrat numai oral ? Cum am continuat-o ? 2. De unde am început scăderea prin Împrumutare? Când n’am putut scădeâ cifra scăzătorului, ce-am făcut? 3. De unde am început scăderea prin suplinire ? Dacă n’am putut suplini cifra scăzătorului, ce-am ficut ? Dar la cifra a doua a scăzătorului ce-am adaus? După puţină dedare vedem, că scăderea prin suplinire merge mai repede, pentru aceea de acum înainte vom scădeâ numai prin suplinire. Scăderea oral şi prin împrumutare am fost învăţat-o mai înainte, acum să scoatem regula şi pentru scăderea prin suplinire. Prin întrebări potrivite ajungem la re­ gula aceasta: Scriem descăzulul, ia r sub el scăzatorul aşă, ca unimile să vină sub unimi, zecile sub zeci şi su­ tele sub sute, apoi tragem o Linie p e sub scăzător, înce­ pem scăderea delà unimi, apoi trecem la zeci şi după aceea la sute. 12*

III. A plicarea. 1. Câteva probleme practice manual. 2. Să lucraţi temele acestea prin suplinire: 25— 38— 75— 125— 485— 4 16 67 99 397 d) Clasa IV. împărţirea numerilor de mai multe numiri.

A) Din lecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. Spuneţi un număr nu­ mit! (... 5 m). Spuneţi un număr de mai multe numiri! (5 m 2 dm 7 cm). Spuneţi câţi decimetri sunt în 4 m 8 dm? (... 48 dm); dar în 8 K 46 f câţi fileri sunt? (846 fileri). Cum am numit noi străformarea numărului de mai multe numiri în numirea mai mică? (... Rezolvire). Cum se chiamă numerii delà împărţire? Care-i deîmpărţitul ? Care-i împărţitorul ? Cum se chiamă re­ zultatul împărţirii? 2. Anunţarea nouăi lecţiuni. Azi vom învăţă îm­ părţirea numerilor de mai multe numiri. Ce vom în­ văţă azi ? B) Noua lecţie. I. P redarea. 1. 8 pălării costă 19 K 36 f, cât costă 1 pălărie? Despre ce e vorba aici? Şi ce vrem, să aflăm? (Cât costă 1 pălărie). O pălărie costă tot atâta cât 8 pălării? (Nu. Costă mai puţin). De câteori mai puţin? (De 8 ori mai puţin). Aşadară problema acea­ sta prin ce lucrarre vom rezolvi-o ? (Prin împărţire). Pe care număr îl împărţim şi cu care împărţim ? (Preţul pălăriilor cu numărul lor). Să căutăm dară, cât costă 1 pălărie:

din

— 181 —

19 K 36 f : 8 = 2 K 42 f = 3 336 : 8 = 42 f = 16 Ce fel de număr e deîmpărţitul ? (Număr de mai multe numiri). De unde începem împărţirea? (Delà numerii de numire mai înaltă). De câteori se cuprinde 8 în 19? (De 2 ori şi mai rămân 3 K). Acestea 3 K le străformăm în fileri. Câţi fileri are 1 K ? (... 100 f). In 3 K câţi fileri sunt? (300 f)> Ş* cu ce' 36 f, câţi fileri vom aveâ? (336 f). Filerii aceştia încă îi împărţim în 8 părţi şi căpătăm pe o parte 42 f. Aşadară cât costă 1 pălărie? (... costă 2 K 42 1). Tot asemenea se va rezolvă şi tema aceasta: 2. 7 găini costă 16 K 38 f, cât costă 1 găină? 3. Câte zile se ajunge un om cu 22 K 80 f, dacă cheltueşte la zi 1 K 20 f? Despre ce-i vorba aici? Şi ce vrem să aflăm? (Câte zile se ajunge cu banii, ce-i are). Şi câte zile se va ajunge? (Atâtea zile, de câteori se cuprinde cheltuiala unei zile în suma de bani ce o are, adecă de câteori se cuprinde 1 K 20 f în 22 K 80 f). Aşadară problema aceasta prin ce lucrare vom isprăvl-o ? (Prin împărţire). Care număr va fi deîmpărţitul? (... 22 K 80 f). Celalalt număr ce va fi? (Impărţitorul). Să lucrăm dară: 22 K 80 f : 120 f = 2280 f : 120 f = 19 zile. 1088 Ce fel de număre deîmpărţitul? (... De mai multe numiri). Şi Impărţitorul ce fel de număr e? (... Tot de mai multe numiri). Când şi deîmpărţitul şi Impărţitorul e număr de mai inulte numiri, atunci pe amândoi îi stră-

182 —

formăm In număr de numirea mai mică. ín probléma aceasta, care-i numirea mai mică ? (Filerii). Câţi fileri are 1 K? (... 100 f). în 22 K câţi fileri sunt? (... 2200). Şi cu cei 80 f câţi fileri fac? (2280 f). în împărţitor câţi fileri sunt de toţi? (.. 120 f). Acum avem să împărţim ce fel de numeri? (... Numai de 1 numire). 120 fileri în 228 zeci de fileri se cuprinde de 1 şi mai ră­ mân 108. Lângă acestea aducem şi pe 0 unimi şi avem 1080 unimi. în aceste 120 se cuprind tocmai de 9 ori şi nu mai rămâne nimica. Aşadară câte zile se ajunge omul acela cu 2280 f? (... Se ajunge 19 zile).

4. Tot astfel se va rezolvi şi tema aceasta: în cât lădiţe putem pune marfa, care cântăreşte 39 Kg 15 Dg, dacă ln 1 lâdiţă încăp 4 Kg 35 Dg?

II. Sistemizarea. Care a fost problema întâiă? C fel de număr a fost de împărţitul? Dar împărţitorul ? Cum am făcut lucrarea ? După ce am împărţit coroanele, ce am făcut cu restul ? Şi cu filerii căpătaţi cum am lucrat mai departe ? Cât costă aşadară o pălărie ? Ace­ leaşi Întrebări le punem şi la tema a doua. Să scoatem dară regula: Când deîmpărţitul e număr de mai multe numiri şi împărţitorul număr de o numire, începem îm­ p ărţirea delà numirea mai înaltă, restul numirii mai înalte îl străformăm în numirea m ai mică, apoi continuăm îm părţirea regulat. Care a fost problema a treia ? Cum a lost aici şi deîmpărţitul şi Împărţitorul ? Ca să putem lucră, ce-am făcut cu amândoi numerii de mai multe numiri? Şi după rezolvirea lor ce-am făcut? Aceleaşi întrebări le punem şi pentru tema a patra, apoi zicem, să scoatem dară re­ gula: Când şi deîmpărţitul şi împărţitorul sunt numeri de m ai multe numiri, atunci pe amândoi îi schimbăm în numeri de numire mai mică, apoi împărţim regulat.

— 183 -

III. A plicarea. Ce am lucrat noi azi ? Cum am Îm părţit în cazul întâiu şi al doilea? Dar în al treilea şi al patrălea. Să faceţi exemplele acestea: 1. Probleme practice din manual. 2. a) 85 HI 50 1:9 = ? b) 92 Kg 25 Dg: 18 Kg 45 Dg = ? e)

C lasa V.

I. Aritmetică.

1. îmmulţirea fracţiunii zecimale cu număr întreg. A) Din lecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. Spuneţi o fracţiune zecimală! (... 3'4). Spuneţi un număr întreg! (12). Ce-i fracţiunea zecimală? Ce-i îmmulţirea? Noi ou ce fel de număr am lucrat până acum la lmmulţire? (... Cu numeri întregi). Cum am numit numerii delà îmmulţire ? Care-i deîmmulţitul ? Care-i îmmulţitorul? Cum se chiamă rezultatul îmmulţirii? Cum am făcut îmmulţirea, când la îmmulţitor am avut 1 cifră? Cum, când am avut 2 cifre ? 2. A nunţarea nouăi lecţiuni. Azi vom învăţă, cum se îmmulţeşte fracţiunea zecimală cu număr întreg. Ce vom învăţă azi ? B) N oua Lecţie. 1. P redarea. 1. Un om face 3 table de pălanc, una de 3'2 m lungă, cât de lungi sunt cele 3 table? 2. Ce cunoaştem aici ? (Cât de lungă e 1 tablă). Şi ce trebuie să aflăm? (Cât de lungi sunt 3 table). Dacă 1 tablă e 3*2 m, 3 table cât vor fi de lungi? (De 3 ori mai lungi). Să socotim mental. Dacă 1 tablă ar fi numai de 3 m întregi, atunci 3 table cât de lungi ar fi ? (De 9 m). Dar fiecare tablă e şi de 2 a zecea metri)

— 184 —

deci 3 table vor fi de 6 a zecea metri şi laolaltă cât vor fi de lungi? (De 9'6 m). Să o calculăm aceasta şi în scris: 3 '2 X 3 Cât face de 3 ori 2 a zecea? (6 a zecea). 96 Dar ca să ştim, că 6 e a zecea, ce trebuie să punem înaintea lui 6 ? (Punctul zecimal). Şi cât face de 3 ori 3 întregi? (9 întregi). Aşâ dară, cât de lungi sunt celea 3 table ? (De 9'6 m). Ce observaţi băieţi, cum am îmmulţit noi fracţiunea zecimală, altfel ca pe Întregi? (Nu, ci tot aşâ ca pe întregi). De lipsă e dară să zicem, că de 3 ori 2 a zecea şi de 3 ori 3 întregi? (Nu-i de lipsă). Prin urmare mai pe scurt cum a puteâ îmmulţl fracţiunea zecimală cu un întreg? (Ca şi numerii întregi, numai din produs tăiem o cifră zecimală)

3. Să faci tema aceasta, după cum ai spus. (Elevul va rezolvi problema fără intervenirea învăţătorului). Cazul al doilea. 1. O găină costă 2'34 K, cât costă 8 găini? 2. Ce cunoaştem aici? (Cât costă 1 găină). Şi ce trebuie să aflăm ? (Cât costă 8 găini). 8 găini costă mai mult decât 1 găină? (Da) De câteori? (De 8 ori mai mult). Aşadară cum vom socoti, cât costă cele 8 găini? (Prin îmmulţire). Care va fi deîmmulţitul? (2'34). Şi îmmulţitorul? (8). Să calculăm dară! 2‘34 X 8 De 8 ori 4 a suta cât face? (32 a suta). 18‘72 In 32 a suta câte a suta şi câte a zecea sunt? (Sunt 2 a suta şi 3 a zecea). Cât face de 8 ori 3 a zecea ? (24 a zecea). 24 a zecea cu 3 a zecea, câte a zecea fac ? (Fac 27 a zecea). In 27 a zecea, câte a zecea, şi câţi întregi sunt? (Sunt 7 a zecea şi 2 întregi). Dar ca să ştim, că 7 e a zecea, ce trebuie să punem înaintea lui? (Punctul zecimal). Cât face de 8 ori 2 întregi? (16 întregi). 16 întregi cu 2 întregi cât fac ? (18 întregi). Aşadară cât cgstă cele 8 găini ? (Costă 18 72 K). Ce

— 185

observaţi băieţi şi în tema aceasta, cum am îmmulţit fracţiunea zecimală cu numărul întreg ? (Ca şi întregii şi din produs am tăiat 2 cifre zecimale. 3. Să faci tema aceasta, după cum ai spus. Cazul a l treilea. 1. Un tren percurge într’o oră 36'567 Km, cât drum face în 12 ore? (Se purcede în acelaş fel, ca în cazul prim şi al doilea). NB. sfârşit.

Toate 3

temele rămân

pe tablă până la

II. Sistemizarea. 1. In tema primă câte cifre zeci­ male au fost? (Numai una). Şi cum am îmmulţit acea­ stă fracţiune zecimală? (Ca şi numerii întregi, iar din produs am tăiat o cifră zecimală). 2. Câte cifre zecimale au fost în tema a doua? (2 cifre zecimale). Şi cum am îmmulţit şi această frac­ ţiune zecimală ? (Ca şi numerii întregi şi din produs am tăiat 2 cifre zecimale). Câte cifre zecimale au fost în tema a treia? (3 cifre zecimale). Şi pe aceasta cum am îmmulţit-o? (Ca şi întregii, iar din produs am tăiat 3 cifre zecimale). 3. Prin urmare cum se îmmulţeşte fracţiunea zeci­ mală cu numărul întreg ? F racţiunea zecimală se immulţeşte cu număr întreg aşa, că îmmulţim regulat ra întregii, f ă r ă să ţinem seam ă de punctul zecimal, ia r din p ro ­ dusul fin al tăiem atâtea cifre zecimale, câte sunt în deîmmulţit. III. A plicarea. teva exemple:

Se repetă regula şi se lucrează câ­

1. Probleme practice din manualul de şcoală. 2. a) 3 1 - 4 X 6 = ? b) 4 1 5 ‘2 4 X 9 = ? c) 2 -4 1 8 X 1 6 = ?

186 —

II. Geometrie. 2.

Spaţiu, corp, volum, suprafaţă, linie, punct.

A) Din cunoştinţele vechi. 1. Care ştie, cum numim golul din şcoală şi de afară? (Probabil, că elevii vor da răspunsuri diferite: aier, lume, nimica, eventual vor zice, că nu ştiu, noi însă îi vom deprinde şi cu vorba: spaţiu). Arătăm apoi diferite corpuri şi întrebăm, dar acestea cum se chiamă ? (Probabil, că elevii vor spune numele fiecăruia). Dar cu o singură vorbă cum am numi toate lucrurile, ce le-aţi spuscu numele lor ? (Dacă elevii nu ştiu, le spunem noi, că acestea se numesc: corpuri). 2. Să grijiţi băieţi, că azi vom învăţă chiar despre lucrurile acestea: spaţiu, corp şi altele. B) N oua lecţie. I. P redarea. Cum am zis, că numim golul din şcoală şi de afară? (... Spaţiu). Dar lucrurile, ce le vedeţi aici pe masă, în clasă şi afară? (... Corpuri). Ce socotiţi, putem pune tăbliţa în locul cărţii, fără să mutăm cartea de acolo ? (Nu putem). Pentru ce nu putem pune şi tăbliţa în acelaş loc ? Pentrucă locul acela l-a cuprins cartea). Dar dacă mutăm cartea, putem pune acolo tăbliţa? (... O putem). Aşadară fiecare corp ce cuprinde în spaţiu? (Un loc). Locul cuprins de corp in spaţiu se numeşte volumul corpului. Ce-i dară volumul corpului ? (Locul cuprins de corp în spaţiu). Sala de progunere corp e ? (Da, e corp). In cătrău se întinde sala de propunere, ca să-şi cuprindă locul în spaţiu? (In lungime, lăţime şi înălţime), Tot aşă în­ trebăm şi la alte corpuri şi vom căpătă aceleaşi răspun­ suri. Apoi le spunem; lungimea, lăţimea şi Înălţimea se numesc întinderile (dimenziunile) corpurilor. Cari sunt

-

187 -

întinderile băncii? Cari sunt întinderile tablei? Cari sunt întinderile şanţului? Câte întinderi are fiecare corp? Să privim mai de aproape corpul acesta! (un cub). Cari sunt marginile Iui ? (Le arată cu mâna). Marginile corpului se numesc feţe. Cari sunt feţele cărţii? Dar fe­ ţele tablei ? Câte feţe are corpul acesta? (cubul are 6 feţe) Dar tabla? Toate feţele unui corp laolaltă Ie numim suprafaţa corpului. Ce-i suprafaţa corpului? Incătrău se întinde o faţă. ca să mărginească tabla ? (... In lungime şi lăţime). Cum am numit noi lungimea, lăţimea şi înălţimea corpurilor? (întinderile corpurilor). Câte întinderi au corpurile? (.. Trei). Dar feţele câte întinderi au? (... Numai două). Cari sunt acelea? (Lun­ gimea şi lăţimea). Să cercetăm mai deamănuntul o iaţă a corpului acestuia (cub), cu ce se mărgineşte faţa aceasta ? (Cu linii). Cu câte linii se mărgineşte? (... Cu patru linii). Liniile, cu cari se mărginesc feţele se numesc muchi. Ce fac muchile ? (Mărginesc feţele) Arătaţi muchile tablei! Arătaţi muchile sălii de propunere! Număraţi muchile corpului acestuia (cubului), apoi ale sălii de pro­ punere. Muchile încătrău se întind ? (numai în lungime). Câte întinderi are o muche ? (Numai o întindere). Cum se chiamă întinderea muchii? (... Lungime). Cu ce se mărgineşte o muchie ? (Cu puncte). Cari sunt marginile acestei muchi? Dar a acesteia? Cum numim marginile muchilor ? (Puncte). Arătăm mai multe corpuri şi întrebăm, dacă sunt acelea pe o formă de mari. Trecem apoi la forma cor­ purilor şi întrebăm, dacă au toate corpurile aceeaş formă, adecă seamănă laolaltă ori ba. Acelaş lucru îl scoatem la iveală şi la feţe şi linii. Ca să putem cunoaşte forma şi mărimea corpurilor, a feţelor şi a liniilor, trebuie să le învăţăm de undeva.

— 188 —

Cartea în care se cuprinde învăţătura aceasta o numim Geometrie. Aţi văzut voi o carte de acestea. Scoateţ cărţile de aritmetică. Ce-i scris aici? (Aritmetică şi Geometrie). Aşadară ce învăţăm din geometrie? II. Sisternizare. Să mai luăm odată pe rând cele învăţate azi. Noi am învăţat ce-i spaţiul, ce-i corpul, cari sunt marginile corpului, a feţelor, a muchilor ş. a. Toate acestea să le spunem pe scurt: 1. Golul din faţa noastră îl numim: spaţiu. 2. Lucrurile singuratice din spaţiu le numim : corpuri. 3. Corpurile ocupă un loc în spaţiu, locul acesta îl numim : volumul corpurilor. 4. Orice corp are 3 întinderi: lungime, lăţime, înăl­ ţime (afunzime). 5. Marginile corpurilor se numesc: feţe. Toate fe­ ţele laolaltă le numim suprafaţa corpului. 6. Feţele au două întinderi: lungime şi lăţime. 7. Feţele se mărginesc cu linii sau muchi. Acestea au numai o întindere: lungimea. 8. Marginile muchilor sunt punctele. Punctul nu are nici o întindere. 9. învăţătura despre forma şi mărimea corpurilor, feţelor şi liniilor o aflăm în cartea, ce se chiamă: Geo­ metrie. III. A plicarea. învăţătorul arată diferite corpuri şi întreabă elevii singuratici asupra noţiunilor pertractate acum. Dacă e vreunul harnic le rezumă independent toate celea propuse. f)

C lasa

VI.

I. Aritmetică. 1. împărţirea fracţiunii ordinare cu fracţiune ordinară. A) Din lecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. Ce fel de număr e 3/4? Cu câţi numeri scriem o fracţiune ordinară? Care-i nu-

— Í89 -

mârătorul? Care-i numitorul? între ei ce-am pus? Ce operaţiuni am învăţat să facem cu fracţiuni ordinare ? Cum am împărţit fracţiunea ordinară cu un întreg? Cum am îmmulţit o fracţiune ordinară cu altă fracţiune ordinară. 2. A nunţarea nouăi lecţiuni. Azi vom învăţă cum împărţim o fracţiune ordinară cu altă fracţiune ordinară. Ce vom învăţă azi? B) N oua lecţie. 1. P redarea. 1. Să luăm un exemplu: 3U K g carne de vită costă 9/s K, cât costă 1 Kg ? 2. Ce cunoaştem în problema aceasta? (Preţul lai 3 Í4 Kg carne de vită). Şi ce voim să ştim? (Preţu unui Kg). Cum credeţi, că ar trebui să lucrăm ca să ajungem la rezultat? (Probabil, că vom căpătă răspun­ suri diferite şi necorecte. în acest caz îi aducem la adevăr prin următoarea analogie). Dacă 2 Kg costă, să zicem, 5 K, cât costă 1 Kg? (Costă 5 : 2 ) ; dar dacă 3 Kg ar costă 6 K, cât costă 1 Kg ? (Costă 6 : 3). Va să zică cum aflăm preţul unui kilogram ? (Dacă împărţim preţul tuturor kilogramelor cu numărul kilogramelor). Să facem şi în exemplul nostru aşă! 3k Kg costă 915 K, cât costă 1 Kg ? (Costă 9 5 K: 3/4 Kg). Aşadară ce lu­ crare avem să facem ? (O împărţire). Să o scriem : 9/'s : 3/4 = ?

Ce fel de număr e deîmpărţitul? (Fracţiune ordinară). Şi împărţitorul? (Tot fracţiune ordinară). Aşadară ce fel de numeri avem să împărţim? (Fracţiune ordinară cu fracţiune ordinară). Dacă 3k Kg costă 9/s K, cât costă 1U Kg? (De 3 ori mai puţin). Cum facem pe 9/s K de 3 ori mai mic? (îmmulţim numitorul cu 3. Aşadară cât costă !/4Kg? ( 5X 3 ^0'

^ntr un *ntreg c^ţi

sunt?

(... *14).

Dacă

-

V4Kg costă -

iyo —

^7

K, cât costă

mult. Cum facem pe

9

Kg ? De 4 ori mai

K de 4 ori mai mare ? (Im-

mulţim numărătorul cu 4). Cât costă dar 4U sau 1 Kg ? f 9X 4 9X 4 ^Costă 5^-3 KJ . Să îmmulţim de fapt: = 36/is K. Scoatem întregii 2 6/is K. 6/is se poate simplifică, dacă împărţim şi numărătorul şi numitorul cu 3 şi căpătăm 2/5, 1 Kg costă dară 2 2/s K, adecă 2 K 40 f. Cazul a l doilea; 4/s m pantlică costă 18/25 K, cât costă 1 m de pantlică ? Problema aceasta încă o trecem prin toate fazele ca şi pe pe cea dintâiu şi aflăm, că I8/25:4/5 =

18X 5 25 X 4

NB. La predare am puteă purcede şi altfel. După analiza premergătoare, ajungem, că trebuie să împărţim pe 9k : 3/4, apoi zicem : să ne închipuim pe un moment, că împărţitorul nu-i fracţiunea 3/4, ci numai 3, adecă numitorul să-l lăsăm de o parte. în cazul acesta avem să împărţim o fracţiune cu un întreg, ceeace se întâmplă îmmulţind numitorul deîmpărţitului cu 3. în acest caz însă rezultatul e de 4 ori mai mic decât se cuvine, pentrucă împărţitorul l-am făcut de 4 ori mai mare. Ca lucrarea să fie bună rezultatul căpătat mai înainte tre9X 4 buie îmmulţit cu 4. Căpătăm aşadară de rezultat 3 Tot astfel purcedem şi în cazul al doilea, apoi trecem la sitemizare, după cum e în schiţă. II. Sistemizarea. Câte exemple am lucrat azi ? Care a fost cel dintâiu ? Cum a purces în lucrare ? La ce rezultat am ajuns? Dar în tema a doua la ce rezultat am ajuns? Să privim mai de aproape rezultatele ace-

-

stea!

Í9i -

Care-i rezultatul în exemplul dintâiu?

^ ^

Dintre numerii aceştia în temă ce a fost 9? (Numără­ torul deîmpărţitului). Ce a fost 4 ? (Numitorul împărţitorului). Dar 5 ce a fost ? (Numitorul deîmpărţitului). Şi ce a fost 3? (Numărătorul împărţitorului). In rezul­ tat cum sunt scrişi numerii aceştia ? (Numărătorul de­ împărţitului e îmmulţit cu numitorul împărţitorului şi nu­ mitorul deîmpărţitului e îmmulţit cu numărătorul lmpărţftorului). Tot astfel analizăm şi rezultatul problemei a doua, apoi scoatem regula. Aşadară în toate cazurile cum vom împărţi fracţiune ordinară cu fracţiune ordinară ? F r a c ­ ţiunea ordinară se împărţeşte cu fracţiune ordinară a fă , că îmmulţim num ărătorul deîmpărţitului cu numitorul împărţitorului şi-l punem de numărător, apoi îmmulţim nu­ mitorul deîmpărţitului cu numărătorul împărţitorului şi-l punem de numitor. Apoi dacă se poate, scoatem întregii. III. Aplicarea: Repetăm regula şi lucrăm cu elevi câteva teme: * 1. Probleme practice din manualul de şcoală. 2. a) 3h : 2/s = ? b) 4/'s : 3/ö— ? c) 12/n : 2 /as == ? II. Geometrie. 1.

Suprafaţa cercului.

A) Din lecţiunile vechi. 1. Vechi sinteze progresive. învăţătorul arată un cerc din carton ori desemnat pe tablă împărţit în 4 şi altul în 6 părţi şi Întreabă, ce figură e aceasta? (Un cerc). Care-i centrul cercului? Care-i cercuferinţa cercului? Care-i raza cercului? Cum sunt razele între sine? Care-i diametrul? Mai mare e diametrul decât raza? De câteori? Fiind împărţit cercul în

— 192 —

4 părţi egale întrebăm, cum stau diametrii unul pe altul ? Celea patru părţi ale cercuferinţei cum le numim? (Arcuri). Cum se află cercuferinţa cercului? ( d X 3 ‘14 sau 2 X ^ X 3 ' 1 4 ) . 2. Anunţarea nouăi iecţiuni. Grijiţi băieţi, că azi vom învăţă cum aflăm suprafaţa cercului? Ce vom învăţă azi ? B) Nona lecţie. I. P redarea. Priviţi băieţi cercul acesta, câţi diametri are? (... Doi). Cum stau aceşti 2 diametri unul pe altul? (Perpendicular). Un diametru cum împărţeşte cercul? (... In 2 părţi egale). Al doilea diametru stă perpendicular şi cum împărţeşte fiecare jumătate a cer­ cului? (... In câte 2 pătrare). Aşadară cum e împărţit cercul acesta? (In 4 părţi egale). Cu ce seamănă pă­ trarul acesta de cerc ? (Cu un treiunghiu). Care-i baza treiunghiului? (Arcul acesta). Şi care-i înălţimea? (Raza aţcului).

Cum aflăm suprafaţa triunghiului ? ( ^ )

suprafaţa pătrarului de cerc?

'arc

X

rază^

Şi

. Câte pătrare

are cercul acesta ? (Patru pătrare). Cum aflăm suprafaţa cercului întreg? (Immulţim suprafaţa unui pătrar de cerc 4 X arc X rază, -). Cele 4 arcuri ce ne dau ? cu 4 adecă (Cercuferinţa întreagă a cercului). Cum aflăm cercufe­ rinţa? (... d X 3 ‘14). Aşadară cu ce este egală supra. . . . / d X 3 ‘1 4 X n faţa cercului? I -------- --------- I. Acelaş lucru se arată şi cu cercul împărţit în 6 părţi egale. Cât de mare e suprafaţa cercului cu diametru de 16 cm? Cum am zis noi, că aflăm suprafaţa cercului?

1 93 -

rdX3i4Xi'

Cât de mare e diametral cercului din

întrebare? (De 16 cm). Dar raza cât va fi de mare? (De 8 cm) Pentru ce? (Pentrucă raza e numai jumă­ tate cât diametrul); Să punem în locul diametrului (d) 16 cm şi în locul razei (r) 8 cm şi să îndeplinim lucrarea. 16X 3-14X 8 16X 3 14 50-24X 3 64 401-92:2= 200-96 cm. 16 48 S = 2 0 0 96 cmâ 5024 II. Sistemizarea. Să mai privim odată numerii scrişi pe tablă delà început până în sfârşit. In şirul acesta /d X 3 1 4 X n , /f>. ^-------- 2--------J I ce însemnează d? (Diametrul cercului).

Dar r ce însemnează? (Raza cercului). Cum cetim întreg şirul? (Diametru îmmulţit cu 3 ’14 şi cu raza, iar pro­ dusul 11 impărţim cu 2). Diametrul îmmulţit cu 3*14 ce ne dă? (Cercuferinţa cercului) Aşadară cum aflăm suprafaţa cercului ? S u prafaţa cercului o aflăm aşâ, că îmmul(im cetcuferinţa cercului cu raza f i produsul îl impărţim cu 2 . III. Aplicarea. Ce trebuie să ştim, ca să putem afl suprafaţa cercului? (... Cât de mare e raza şi diametrul). Dacă vrem să aflăm, cât de mare e fundul unei găleţi, ce vom face? (Cu o sforicică măsurăm diametrul şi-l Impărţim cu 2). Pentru ce? (Pentrucă diametrul e de 2 ori mai mare decât raza). Dacă diametrul e de 46 cm, cât de mare e raza? (46 : 2 = 23). Să căutăm su­ prafaţa cercului cu diametru de 46 cm. Apoi probleme practice din manual.

«

5

13

Cupri nsul Í. Aritm etică. Secţiunea I. Mărimi proporţionale.

Proporţionalitate. p af-

1. 2. a) b) c) d) 3. a) bl c)

Noţiunea şi speciile mărimilor p r o p o r ţio n a le .............................................. 1 Regula de trei s im p lă ............................................................................................. 3 Rezolvirea prin concluziune.............................................. 3 Rezolvirea prin proporţiune....................................................................................7 Metodul l i n e a r .......................................................................................................• Practica italiană 9 Regula de trei c o m p u s ă .......................................................................... . 1 2 Rezolvirea prin conclusiune...............................................................................13 Rezolvirea prin proporţiune................................................................................. 16 Metodul l i n e a r ..................................................................................................17

Secţiunea II. împărţirea proporţională. 4. 5. 6. 7. a) b)

Părţi proporţionale.

Împărţirea proporţională. Regula a s o c i e r i i ............................................ 19 Regula asocierii c o m p u s e ..................................................................................23 Valoarea m ijlo c ie .....................................................................................................27 Regula a lig a ţiu n ii.....................................................................................................29 Regula aligaţiunii s i m p l e ..................................................................................30 Regula aligaţiunii compuse .................................................................................. 32

Secţiunea III. Calcularea procentului. 8. 9. 10. 11. 12. 13. a b) c)

Noţiunea procentului . 34 Calcularea procentului la s u t ă ........................................................................ 36 Calcularea procentului pe s u t ă ........................................................................ 38 Calcularea procentului în s u t ă .........................................................................39 Calcularea p ro m ilu lu i................................................................. 41 Aplicarea practică a calculării procentului şi promilului . . . 44 Capital şi i n t e r e s .............................................. 44 Câştig şi p ie rd e re ........................................................................... 45 Brutţo, tara şi netto ............................................... ......... . 45

«•

— 196 pag.

d) e) fi g) h) i) 14.

Cassa sconto, r a b a t ........................................................................................... 47 Courtage, proviziune, tantiemă, divid endă......................................................48 A g i o ........................................................................................................................50 Premii de a s i g u r a r e ........................................................................................... 51 Dare şi a r u n c u r i.....................................................................................................52 Demografie, statistică ........................................................................................... 55 Regula catenară 57

Secţiunea IV. Aliage şi calcul de monete. 15. 1\ 17. 18. 19. 20. 21.

Noţiunea şi categoriile a lia g e lo r..................................................................60 Calculări referitoare la pondul obiectelor de aur şi argint . . 63 Bani, m o n e te .............................................................................................................. 68 Sistemul de bani din patria n o a s t r ă ...............................................................72 Sistemul de bani al unor ţeri s tr ă in e ............................................................... 75 Calcularea m o n e t e l o r ........................................................................................... 77 Pondul curat al câtorva monete de ale noastre şi din străinăt te 81

II.

G eom elria analitică. Secţiunea I. Noţiuni introductive.

1. I n t r o d u c e r e ..................................................................................................... 85 2. Legătura dintre algebră şi geom etrie...................................................... 86 3. Noţiunea f u n c ţ iu n ilo r .................................................................................. 89

Secţiunea II.

Punct. Distanţă. 4. 5. 6. 7. 8.

Determinarea numerică a poziţiei unui punctpe o dreaptă . . 90 Determinarea numerică a poziţiei unui punct pe un plan , . 91 Distanţa dintre două p u n c t e ................................................................93 Coordonatele unui punct, ce împarte o distanţă într’un raport dat 94 Aria treiunghiului din coordonatele creştetelor . . . . 96

Secţiunea III.

Linia dreaptă. 9. 10. 11. 12.

Condiţia ca trei puncte să fie in aceeaş dreaptă. Ecvaţiunea dreptei 97 Reprezentarea funcţiunilor de gradul 1.................................................... 99 Coordonatele punctului de strătăiere alor două drepte . . .101 Rezolvirea grafică a grupelor de ecvaţiuni de gradul 1. cu două n e c u n o s c u te .................................................................................................... 103 13. Ecvaţiunile dreptelor p a r a l e l e ........................................................ , 105

197 pag-

14. 15. 16. 17. 18.

Unghiul format de două. d r e p t e ................................................................. 107 Ecvaţiunile dreptelor perpend icu lare........................................................ 110 Coordonatele centrului de greutate al unui triunghiu . . .115 Coordonatele punctului de strătăiere al înălţimilor triunghiului . 118 Coordonatele centrului cercului, ce trece prin creştetele unui triunghiu. 121

Secţiunea IV.

Cercul. 19. Ecvaţiunea c e r c u l u i ............................................... 20 Coordonatele punctelor de strătăiere a dreptei cu c< icui

.

125 126

Secţiunea V. Reprezentări grafice. 21. Funcţiuni de gradul alI I - l e a ......................................................................127 22. G r a f i c o a n e ........................................................................................................... 129 23. Tabelă pentru coeficienţii unghiulari.............................................................133

III.

M elodica aritmeticei şi geom eiriei în şco ala prim ară.

1. 2 3. 4. 5.

Importanţa şi scopularitmeticei şi geometriei în şcoala primară . 139 Rezumat i s t o r i c .................................................................................................. 140 Mijloace de învăţământ ................................................................................159 Procedura metodică . 161 împărţirea m a t e r i e i ......................................................................................... 165 a) Clasa I...................................................................................................... • 165 b) Clasa II.......................................................................................... 168 c) Clasa III.................................................................................................................170 d) Clasa IV ................................................................................................................ 171 e) Clasa V.................................................................................................................. 172 fj Clasa VI................................................................................................................. 173 6. Schiţe de prelegeri practice în şcoala primară . . . . 174 a) Clasa 1....................................................................................................................174 b) Clasa II.................................................................................................................. 176 c) Clasa III................................................................................................................ 177 d) Clasa IV................................................................................................................ 1 8 0 e) Clasa V .................................................................................................................. 183 f) Clasa VI.......................................................................................... . 188

—

+—* 9 »—