Manual de cálculo financiero: resolución de ejercicios prácticos comentados 9789871518791

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Manual de Cálculo Financiero

El presente manual tiene como objetivo fundamental brindar las herramientas suficientes como para resolver cualquier situación que pueda llegar a presentarse dentro del campo financiero. Los conocimientos, que a través de la lectura pueden adquirir, serán los suficientes como para resolver cualquier problema que en la vida profesional pueda presentarse y servirá además, porque así siempre lo he pregonado, para defender fundamentalmente los intereses de la comunidad por encima de los intereses personales o sectoriales.

Carlos Domínguez Manual de Cálculo Financiero

Los conocimientos que se tratan de adquirir, para que ellos sean permanentes, deben internalizarse y que esos son los que permiten luego resolver situaciones nuevas. "Aprender" significa sencillamente la capacidad de poder resolver nuevas situaciones que se planteen. La matemática financiera es una de las disciplinas que mayor aplicación práctica tiene y es por ello que siempre se les van a presentar problemas nuevos que deben estar capacitados para resolver y ello sólo será posible si han internalizado los conocimientos.

Y RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS PRÁCTICOS COMENTADOS

MANUAL DE CÁLCULO FINANCIERO

Y RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS PRÁCTICOS COMENTADOS

U niversidad N acional Rector Vicerrector Secretario General Director Editorial

de

R ío C uarto

Ing. Oscar Federico Spada Med. Vet. Anibal Bessone Prof. Armando Becerra Prof. Miguel Tréspidi

Editorial Universidad Nacional de Río Cuarto Ruta Nacional 36 Km. 601 - (X5804) Río Cuarto - Argentina Tel.: 54 (0358) 467 6332 - Fax.: 54 (0358) 468 0280

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Carlos Domínguez Manual de cálculo financiero : resolución de ejercicios prácticos comentados . - 1a ed. - Villa María : Eduvim: Universidad Nacional de Río Cuarto, 2009. 270 p. ; 30x21 cm. - (Manuales de Cátedra; 1) ISBN 978-987-1518-79-1 1. Matemática Financiera. 2.

Enseñanza Superior. I. Título

CDD 657

Fecha de catalogación: 11/11/2009

Editor Diseño de Tapa Diseño de Maqueta Corrector

© Ingrid Salinas Rovasio © Lautaro Aguirre © Lautaro Aguirre Emanuel Molina

Queda hecho el Depósito que establece la Ley 11.723 La responsabilidad por las opiniones expresadas en los libros, artículos, estudios y otras colaboraciones publicadas por EDUVIM incumbe exclusivamente a los autores firmantes y su publicación no necesariamente refleja los puntos de vista ni del Director Editorial, ni del Consejo Editor u otra autoridad de la UNVM. No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su almacenamiento en un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio electrónico, mecánico, fotocopia u otros métodos, sin el permiso previo y expreso del Editor.

Dedico este libro a toda mi familia, en especial a mi esposa Laura, a mis hijos Javier y Vanesa, a mi nuera Jacqueline, a mi yerno Ariel a mis nietas Lara y Sofía y a una niña muy especial: Abril.

Un agradecimiento especial a quiénes me acompañaron durante muchos años en las cátedras de Matemática Financiera en las Universidades Nacionales de Villa María y Río Cuarto

En homenaje a José Fernando Carrizo, mi profesor de Matemática Financiera de la Universidad Nacional de Córdoba

Índice General CAPÍTULO I:

15

1.1 - Introducción. Conceptos básicos de matemática financiera. La tasa instantánea de interés: deducción de su fórmula

16

1.2 - El monto: definición - Deducción de la fórmula

18

1.3 - Unidad de tiempo - Tasas instantáneas equivalentes – Operaciones financieras equivalentes - La tasa efectiva de interés

20

1.4 - Tasas efectivas equivalentes: deducción de las fórmulas que las relacionan - Tasa nominal de interés

24

1.5 - Relaciones entre las tasas

30

1.6 - El interés compuesto y el interés simple

31

CAPÍTULO II:

37

2.1. Las dos operaciones fundamentales: Capitalización y actualización - El factor de capitalización y el de actualización.

38

2.2. Interés y descuento: su valor - La tasa de descuento

39

2.3. Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento. Tasas de descuento equivalentes Fórmula del monto y del valor actual en función de la tasa de descuento

41

2.4. La tasa instantánea de descuento: deducción de su fórmula Comparación con la tasa instantánea de interés

44

CAPÍTULO III:

49

3.1. Introducción - clasificación

50

3.2. Imposiciones vencidas y adelantadas:deducción de sus fórmulas. Cálculo de la cuota - relaciones

50

3.3. Amortizaciones: Sistema de amortización con cuotas constantes vencidas y adelantadas: deducción de sus fórmulas. Cálculo de la cuota - relaciones entre ellas y con las imposiciones

57

3.4. Composición de la cuota - las amortizaciones reales en función de la cuota - la cuota en función de las amortizaciones reales. La amortización real de cualquier período en función de la del primer período

63

3.5 La tasa de amortización: concepto, deducción de su fórmula. La cuota que amortiza una deuda de $1 - como suma de la tasa de interés y la tasa de amortización

67

3.6 Saldo en el sistema con cuotas constantes: Saldo al final de un período antes de pagar la cuota y saldo al comienzo de un período después de pagar la cuota: deducción de sus fórmulas - Diferencia entre S’r - Sr ; entre Sr y Sr-1 y entre S’r y Sr-1

68

3.7. Cálculo de la tasa de interés y el tiempo: el uso de la calculadora financiera - Cálculo de la cuota fraccionaria cuando el tiempo no es exacto

72

3.8 Cuadro de amortización

76

3.9 Amortizaciones diferidas y perpetuas

77

CAPÍTULO IV:

81

4.1. Sistema de cuotas escalonadas

82

4.2. Sistema de cuotas que varían en progresión aritmética: Cuota igual a la razón - cuota distinta a la razón

86

4.3. Sistema Alemán y Sistema Americano

91

4.4. Préstamos con cuotas calculadas vencidas y cobradas anticipadas. Préstamos con intereses cargados y con intereses descontados

95

CAPÍTULO V:

101

5.1. La inflación y la tasa de interés: Los componentes de la tasa de interés - Tasa real de interés

102

5.2. Amortizaciones en términos reales

104

5.3. Cálculo de los componentes de la tasa de interés

107

5.4. Los créditos indexados -Cuadros de amortización indexados para los diferentes sistemas- La T.I.R.

110

5.5. Análisis de la situación real del tomador de créditos indexados

113

5.6. La variación de la tasa de interés: operaciones concertadas con tasa de interés variable Construcción de cuadros de amortización

117

5.7. La decisión financiera basada en el valor actual de los capitales. El análisis de inversiones

119

5.8. Teoría de las amortizaciones aplicada a los empréstitos: Análisis en condiciones de certidumbre e incertidumbre

130

GUÍA DE EJERCICIOS PRÁCTICOS:

141

6.1. Ejercicios prácticos capítulo I

142

6.2. Resolución ejercicios prácticos capítulo I

148

6.3. Ejercicios prácticos capítulo II

170

6.4. Resoluciones ejercicios prácticos capítulo II

172

6.5. Ejercicios prácticos integradores capítulos I y II

181

6.6. Respuesta ejercicios prácticos integradores capítulos I y II

185

6.7. Ejercicios prácticos capítulo III

191

6.8. Resoluciones ejercicios prácticos capítulo III

196

6.9. Ejercicios prácticos capítulo IV

215

6.10.Resolución ejercicios prácticos capítulo IV

217

6.11.Ejercicios prácticos integradores capítulos III y IV

226

6.12.Repuesta ejercicios prácticos integradores capítulos III y IV

231

6.13.Ejercicios prácticos capítulo V

240

6.14.Resolución ejercicios prácticos capítulo V

243

6.15.Ejercicios prácticos integradores capítulo V

254

6.16.Respuesta ejercicios prácticos integradores capítulo V

259

BIBLIOGRAFÍA

269

PREFACIO

El presente manual tiene como objetivo fundamental brindar el herramental suficiente como para resolver cualquier situación que pueda llegar a presentarse dentro del campo financiero. Los conocimientos, que a través de la lectura pueden adquirir, serán los suficientes como para resolver cualquier problema que en la vida profesional pueda presentarse y servirá además, porque así siempre lo he pregonado, para defender fundamentalmente los intereses de la comunidad por encima de los intereses personales o sectoriales.

COMO SE LOGRA EL CONOCIMIENTO: Como docente, a través del tiempo fui incorporando vivencias y experiencias que me permitieron, más adelante, lograr el título adicional de Profesor en Ciencias Económicas y con el estudio para acceder al mismo, habiendo compartido muchos días y horas con adolescentes de una pequeña y querida escuela “Gobernador Juan Bautista Bustos” de Morrison, pueblo de la Provincia de Córdoba, fui descubriendo nuevos avances en el campo de la enseñanza. Los conocimientos que se tratan de adquirir, para que ellos sean permanentes, deben internalizarse y que esos son los que permiten luego resolver situaciones nuevas. “Apreender” significa sencillamente la capacidad de poder resolver nuevas situaciones que se planteen. La matemática financiera es una de las disciplinas que mayor aplicación práctica tiene y es por ello que siempre se les van a presentar problemas nuevos que deben estar capacitados para resolver y ello sólo será posible si han internalizado los conocimientos. Pero, ¿Cómo se puede explicar en forma sencilla lo que significa internalizar?, lo intentaré a través de un ejemplo que leí cuando estudiaba para obtener el título de Profesor. Resulta que una vez un maestro (de acuerdo al ejemplo que se dará se entiende que no corresponde al ámbito universitario), procedió en una clase a enseñar a sus alumnos como se obtenía la superficie de un rectángulo y para que la comprensión fuese lo más clara posible dividió a ese rectángulo de la siguiente manera:

Explicando a continuación de como se obtenía la superficie total del rectángulo y ella era la cantidad de cuadrados que el contenía, haciéndoles comprender que se encontraba multiplicando la cantidad de cuadrados de un lado por la cantidad de cuadrados del otro lado, llegando de esa forma a determinar la fórmula que nos permitía hallar la superficie de una figura de este tipo, en consecuencia si los cuadrados tenían lados de 1 cm. sería en este caso 5 x 20= 100 cms2. Terminado el desarrollo de la clase, en la próxima el maestro presenta a sus alumnos un nuevo problema y que es el de calcular la superficie de esta figura:

11

Entregándoles para ello la figura recortada en un papel. Obtiene tres clases de respuestas: a) Un gran grupo de alumnos (suele ocurrir en la Universidad) dijo que él nunca les había enseñado la fórmula de esa figura y por lo tanto como este era un problema nuevo no sabían como resolverlo. b) Otro grupo de alumnos en forma automática, sin razonar y haciéndolo en forma mecánica aplicó la fórmula que el maestro le había dado en la clase anterior y entregó esa solución. c) Y finalmente un grupo más reducido de alumnos tuvo un comportamiento distinto, llegando a deducir dos maneras diferentes de solución: 1) algunos se dieron cuenta que si recortaban una de las puntas de la figura y la colocaban en la otra punta se formaba nuevamente la misma figura que el maestro había enseñado en la clase anterior y que por lo tanto la superficie debería obtenerse aplicando la misma fórmula, considerando en este caso que es necesario conocer la longitud de uno de los lados y la distancia de la perpendicular al lado opuesto.

2) otro grupo tomó entre sus manos la figura, la unió en sus extremos formando un cilindro y analizó que si cortaba con la tijera en forma vertical obtenían la misma figura que el maestro había enseñado en la clase anterior y que por lo tanto la superficie debería obtenerse aplicando la misma fórmula, llegando a la misma conclusión. ¿Cuáles son los alumnos que aprendieron o que internalizaron los conocimientos?, es evidente que únicamente los que respondieron o solucionaron el problema de la forma que lo explica la alternativa c); sólo ellos lograron internalizar el conocimiento y estaban capacitados para resolver situaciones nuevas y seguramente que estos alumnos no tendrían luego dificultades para determinar cual era la fórmula que se aplicaba para hallar la superficie de un triángulo (¿cuál es la fórmula?). La Matemática Financiera se construye toda a través de conocimientos básicos que se enseñan en los capítulos I y II y a partir de la internalización de esos conocimientos será posible luego entender, sin problemas ni dificultades, todo lo que se explique más adelante en los otros capítulos y que no son más que aplicaciones de los conceptos básicos ya vistos. Quien logre ello no tendrá dificultades y sentirá la satisfacción de ver como la matemática sirve para ser aplicada a la realidad. ¿Cómo puede lograrse ello?, estudiando los conceptos teóricos porque la internalización de ellos permite luego la resolución de los casos prácticos. Cada uno de los problemas que la matemática financiera intenta solucionar pueden ser resueltos por distintos caminos llegando al mismo resultado, encontrar esos caminos es lo importante, no pretendan que se enseñen todos los caminos, sólo a lo mejor se enseña uno de ellos pero luego su propio razonamiento lógico hará posible descubrir los demás.

EL CAMINO PARA LLEGAR A LA VERDAD: Si nos ponemos a verificar en nuestro país que tasa de interés es la que realmente se pagan por operaciones de créditos, ya sea tanto las que se pagan a entidades financieras como al sector privado, podríamos llegar a una conclusión, yo diría que verdadera: en ningún caso la tasa que se dice cobrar es la que verdaderamente rige la operación para el tomador del crédito.

12

Surge entonces la pregunta ineludible ¿Cómo es posible que esto ocurra?, ocurre en primer lugar porque en la mayoría de los casos existen elementos adicionales en las operaciones de crédito (llámese gastos, comisiones, sellados, precio de contado, precio financiado, etc.)que de por si hacen variar la tasa que realmente paga quien solicita un préstamo y también ocurre porque se aplican métodos de cálculo que mencionando una tasa, en realidad se cobra otra mucho más alta. Ello es posible por el casi generalizado desconocimiento del cálculo financiero por parte de la población en general y de quiénes tienen a su cargo la responsabilidad de la administración de una empresa, incluido, inexplicablemente, a profesionales en ciencias económicas. Si bien en nuestro país ha existido un elemento que contribuyó a que proliferaran métodos o procedimientos de cálculo que modifican la tasa de interés que se dice cobrar, como es la inflación, ello no es atenuante para que se siga permitiendo el abuso, que llega hasta la usura, en contra fundamentalmente de aquellos que más necesidad tienen de acceder a un crédito. Hoy a principio de siglo, la tasa de interés que se está cobrando, en nuestro país, al tomador de créditos es a mi juicio también usuraria. ¿Cuál es el camino para revertir esta situación?; el camino es tomar la debida conciencia para advertir que lo desarrollado, sirve para hacer cada día más transparente el manejo de las variables financieras, el camino es el que ustedes, los que lean este libro, deben recorrer, brindando a su paso el asesoramiento correcto; asesoramiento que tengan la plena seguridad beneficiará no sólo a los más desprotegidos sino que también a aquellos que, con una visión totalmente equivocada, prefieren el engaño por encima de la verdad; prefieren el abuso por encima de la sensatez. Modificar las conductas es un trabajo primero de la educación y es por eso que pretendo que se formen con la verdad y que luego siembren ésta por todos aquellos lugares en donde les toque actuar. Ojalá pueda lograrlo.

El autor

13

CAPÍTULO I

Objetivos específicos Al concluir el capítulo los lectores serán capaces de: * Definir, sin margen de error, la tasa instantánea de interés. * Definir, sin margen de error, la tasa efectiva de interés. * Distinguir la tasa efectiva de interés de la nominal de interés. * Comprender la importancia del concepto de crecimiento continuo del capital colocado a interés. * Asesorar respecto a inversiones a plazo fijo. * Verificar la distorsión que se produce en la verdadera tasa de interés por la utilización de tasas proporcionales. * Resolver problemas.

Eje del capítulo La teoría del Interés Contenido 1.1  Introducción - conceptos básicos de matemática financiera. La tasa instantánea de interés: deducción de su fórmula. 1.2  El monto: definición - Deducción de la fórmula. 1.3  Unidad de tiempo -Tasas instantáneas equivalentes -Operaciones financieras equivalentesLa tasa efectiva de interés. 1.4  Tasas efectivas equivalentes: deducción de las fórmulas que las relacionan - Tasa nominal de interés. 1.5  Relaciones entre las tasas. 1.6  El interés compuesto y el interés simple

15

1.1 Introducción Conceptos básicos de matemática financiera. La tasa instantánea de interés. Un capital colocado a interés crece continuamente, el enunciado es un postulado fundamental dentro de la teoría del interés. A los fines de dar una idea clara y precisa de ello, podemos comparar el crecimiento del capital colocado a interés con el crecimiento de un niño, éstos crecen continuamente, lo mismo ocurre con el capital, este devenga intereses en forma continua, aunque por razones prácticas en las operaciones financieras solamente se determina la magnitud de estos al final de un cierto tiempo; lo mismo ocurre con un niño, su crecimiento se mide al final de un cierto período de tiempo (quien no ha colocado a un niño contra la pared, hace una marca y al cabo de un cierto tiempo vuelve a medirlo para saber cuanto creció) aunque su crecimiento haya sido continuo. Si un capital colocado a interés crece continuamente, evidentemente debe existir algún elemento dentro de la matemática que nos permita determinar cual es la “fuerza” con que crece ese capital y ese elemento no es otra cosa que la tasa instantánea de interés. Veamos su desarrollo: Tomamos un sistema de ejes coordenados, en el eje de las ordenadas se mide el capital y en el eje de las abscisas el tiempo, supongamos un capital inicial f(0) ubicado en el momento cero colocado a un cierto interés; teniendo en cuenta que a medida que pasa el tiempo, ese capital inicial crece continuamente, hemos graficado la función f(x) que nos representa el capital en cualquier momento de tiempo Capital

f(t+n) f(t+n)-f(t)

f(0)

n

f(t)

t+n

t

0

Sea f(t) el capital al momento t y sea t la variable que mide el tiempo en unidades de una magnitud arbitraria; el interés producido por el capital f(t) en un lapso dado, en este caso “n”, está determinado por el incremento del capital en ese lapso o sea:

f(t+n) - f(t)

Éste es el interés producido por el capital f(t) en “n” unidades de tiempo. Si hacemos n = 1 tendremos obviamente el interés producido por un capital f(t) en una unidad de tiempo que es:

f(t+1) - f(t) Capital f (t + 1) − f (t )

f (t )

f(0) 0

1 m

t

16

1 m

1 m

1 m

1 m

t+1

Supongamos ahora que dividimos la unidad de tiempo en “m” partes iguales, de tal forma que ahora el interés producido por el capital f(t) en el primer m-ésimo siguiente al momento t es:

f(t+1/m) - f(t)

(I)

Realizamos ahora el supuesto de que el incremento en cada uno de los “m” subperíodos que constituyen la unidad de tiempo, es igual al incremento del primer m-ésimo. Luego multiplicando a (I) por “m” tendremos:

m [f(t+1/m) - f(t)]

(II)

Que será el incremento del capital f(t) en una unidad de tiempo, la siguiente al momento t, bajo el mencionado supuesto. Es importante tener en cuenta el supuesto, ya que de no ser así no tendríamos el incremento del capital f(t) en una unidad de tiempo. Si ahora dividimos a (II) por f(t) tendremos:

i(m)t =

m[f(t+1/m) - f(t) ]



f(t)

Que será el incremento de una unidad de capital en una unidad de tiempo, esta es una tasa nominal de crecimiento bajo el supuesto de que el incremento en los “m” subperíodos en que se divide la unidad de tiempo es igual al incremento del primer subperíodo. Cuando las operaciones se realizan a tasa constante, cosa que ocurre casi siempre i(m)t es independiente del tiempo t, en nuestro caso trabajaremos siempre con tasa constante, o sea que podremos establecer que: i(m)=

m f(t+1/m) - f(t) f(t)

Si hacemos ahora a 1/m = h, lo que implica que m = 1/h, reemplazando tenemos que: i(m) =

1 ▬▬▬▬▬ h

f(t+h) - f(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ f(t)

Si intercambiamos denominadores, la expresión no se altera y tenemos: i(m)=

1 ▬▬▬▬▬▬ f(t)

f(t+h) - f(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ h

Ahora tomamos límite para h que tiende a cero, ello implica que 1/m tiende a cero y que “m” tiende a infinito, es decir que dividimos la unidad de tiempo en infinitos subperíodos, los cuales se hacen infinitesimales; de esta forma se obtiene el interés que produciría la unidad de capital en una unidad de tiempo, si el incremento en cada uno de los infinitésimos que constituyen la unidad fuera igual al incremento del primer infinitésimo (el siguiente al momento t), o sea que lo expresado es: 1 lim i(m) = lim ▬▬▬▬▬ m -->∞ h -->0 f(t)

f(t+h) - f(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ h

En el segundo miembro tenemos el límite de un producto que es igual al producto de los límites y observamos que 1/f(t) es una constante respecto del límite, luego como el límite de una constante es la constante misma nos queda: i(∞) =

1 ▬▬▬▬ f(t)

lim h-->0

f(t+h) - f(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ h

17

El límite que ha quedado por resolver es el límite del incremento de la función sobre el incremento de la variable cuando el incremento de la variable tiende a cero, esto es por definición la derivada de la función, por lo tanto: i(∞) =

1 ▬▬▬▬ . f(t)

d f(t) ▬▬▬▬▬▬▬ dt

=

δ

(III)

Y esta última expresión es la Tasa Instantánea de Interés que en su forma mas conocida se escribe:

d ln f(t) δ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ dt

que es exactamente lo mismo ya que si derivamos esta función de función obtenemos (III). En consecuencia la tasa instantánea de interés se define de la siguiente manera: “Es el interés producido por una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo, bajo el supuesto de que el crecimiento en cada uno de los infinitésimos en que se divide la unidad de tiempo es igual al crecimiento del primer infinitésimo, el siguiente al momento t”. De acuerdo con lo desarrollado vemos que la Tasa Instantánea corresponde a una unidad de tiempo y no a un infinitésimo; entonces cuando la unidad de tiempo es el año, δ es anual, cuando la unidad de tiempo es el mes δ es mensual.

1.2 El Monto El capital al devengar intereses en forma continua va modificando su valor con el transcurso del tiempo, debido a ello es imprescindible que cuando se mencione un capital se lo ubique en el tiempo. Dado un capital inicial, colocado a un cierto interés, a medida que pasa el tiempo va creciendo y ese crecimiento se puede determinar, ya que es la suma del capital inicial más los intereses o incremento del capital en el período. Se llama monto al valor que asume el capital después de transcurrido un cierto período de tiempo y ese monto está constituido precisamente por el capital inicial más los intereses; en consecuencia el monto es función del tiempo, del capital inicial y de la fuerza de crecimiento del capital o tasa instantánea de interés, es decir que depende de ellos. Sea un sistema de ejes cartesianos, en el eje de las ordenadas medimos el capital y en el eje de las abscisas el tiempo. Llamamos f(0) al capital inicial que está colocado a un cierto interés y que sabemos, por el postulado fundamental, que crece continuamente, de manera tal que trazamos la curva que representa al capital y determinamos f(t) que es el valor alcanzado por el capital inicial al final de “t” unidades de tiempo, o sea el monto de un capital inicial colocado a un cierto interés en “t” unidades de tiempo.

Capital f(t)

f(0) 0

t

18

tiempo

Ese capital f(0) ha crecido con una fuerza que es determinada por la tasa instantánea de interés constante y correspondiente a la unidad de tiempo considerada que llamamos δ , siendo t la variable que mide el tiempo. Según vimos la tasa instantánea de interés es: δ =

d ln f(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ dt

Si tomamos dt en ambos miembros, tenemos:

δ dt

=

d ln f(t)

(I)

El primer miembro nos representa el incremento de la unidad de capital en el primer instante a partir del momento cero (recuerden que δ nos daba el incremento de la unidad de capital en la unidad de tiempo, pero como ahora tenemos δdt, al ser dt un infinitésimo, el producto está representando el incremento en un instante). Si nosotros queremos saber cuál es el incremento de la unidad de capital en t unidades de tiempo, debemos integrar (I) entre 0 y t, pero bajo el supuesto de que la intensidad del crecimiento durante todo el período es igual a la del primer instante, luego tendremos:

0

t

∫

δdt =

0

t

∫

d ln f(t)

En definitiva lo que estamos haciendo es resolver una ecuación diferencial por el método de variables separadas, siendo nuestra incógnita la función f(t) que representa al monto. Resolviendo tenemos: δt

│t │ │0



δt

│t ln f(t) │ │0

= =

ln f(t) - ln f(0)

En el segundo miembro tenemos la diferencia de logaritmos, luego puede expresarse como el logaritmo de un cociente o sea: δt

f(t) = ln ▬▬▬▬▬▬ f(0)

(II)

Pasando de los logaritmos a los números tenemos: eδt

f(t) = ▬▬▬▬▬▬ f(0)

(III)

Para comprender este último paso basta con tomar ln en ambos miembros de la última expresión y recordar que el logaritmo de una potencia es igual al logaritmo de la base por el exponente y que el “ln e” es igual a 1. Si ahora despejamos de (III) a f(t) llegamos a que:

f(t) = f(0) eδt

Siendo esta la fórmula matemática del monto al final del período t. De la expresión (II) podemos determinar la tasa instantánea de interés en función del capital inicial y del capital final o monto, cuando esta tasa es constante, ello se logra despejando δ, o sea que:

19



1 δ = ▬▬▬ t

f(t) ▬▬▬▬ f(O)

ln

Que es la tasa instantánea de interés para un período t, y si t = 1 tenemos: δ = ln

f(1) ▬▬▬▬ f(0)

Que es la tasa instantánea de interés para un período.

1.3 Unidad de tiempo – Tasas instantáneas equivalentes – Operaciones financieras equivalentes – La tasa efectiva de interés. La unidad de tiempo es el período al final del cual se pagan o capitalizan los intereses. Se llaman tasas instantáneas equivalentes las que corresponden a operaciones financieras equivalentes. ¿Y que entendemos por operaciones financieras equivalentes? Son aquellas que tienen distintas unidades de tiempo y sin embargo las unidades de capital producen el mismo monto al cabo del mismo período de tiempo: 1

n

|___________|___________|___________| M

__

δ(m) | 1 n | |__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__| M __| δ

=

Para aclarar un tanto el concepto veamos un ejemplo: Si nosotros colocamos un peso en un banco a un año de plazo con capitalización mensual (la unidad de tiempo es el mes) y obtenemos un monto al final del año (o sea que el período de tiempo es el año) que es igual al monto que se obtiene colocando ese mismo capital de un peso a un año de plazo (el mismo período) con capitalización cuatrimestral (ahora la unidad de tiempo es el cuatrimestre), entonces las operaciones financieras serán equivalentes y por lo tanto las tasas instantáneas de ambas operaciones serán también equivalentes. Para este ejemplo tenemos dos tasas instantáneas: una correspondiente al mes y otra correspondiente al cuatrimestre. Aclarado el concepto, veamos la formulación matemática: sean dos operaciones, una con una unidad de tiempo medida con t1 y la otra con una unidad de tiempo medida con t2; siendo δ1 y δ2 las tasas instantáneas de cada una de ellas, sus respectivos montos serán: δ 1t 1 f(t1, δ1) = f(0) e δ 2t 2 f(t2, δ2) = f(0) e

Para que las operaciones financieras sean equivalentes, los montos de las unidades de moneda deben ser iguales, o sea que: δ1 t 1 f(0) e

=

f(0) e

δ 2t 2

20

De donde deducimos que:



δ1.t1 δ2.t2 e = e

tomando ln en ambos miembros tenemos que:

δ1.t1 ln e



= δ2.t2 ln e

δ1.t1 = δ2.t2

(I)

El período de tiempo debe ser también el mismo, sabemos que las unidades de tiempo son distintas, así por ejemplo si t1 indica años (capitalización anual) y t2 meses (capitalización mensual) y la operación se concreta a un año de plazo, deberá ocurrir numéricamente que:

t2 = 12 t1 = 12 (meses)

Si en cambio la operación se concreta a dos años de plazo, t1 será igual a 2 y:

t2 = 12 t1 = 12 * 2 = 24 (meses)

Si generalizamos y decimos que t2 mide el tiempo en unidades “m” veces menores que las unidades indicadas por t1, de acuerdo a los ejemplos que dimos, será: t2 = m * t 1 ▬▬▬▬▬>

t2 t1 = ▬▬▬▬ m

Luego reemplazando en (I) a t1 por su igual tenemos que: t2 δ1.t1 = δ1 ▬▬▬ m

(II)

Si los primeros miembros de (I) y (II) son iguales, los segundos también lo son, entonces: t2 δ2 t2 = δ1 ▬▬▬▬ , de donde : m

δ1 δ2 = ▬▬▬▬ m

Vemos que t2 mide el tiempo en unidades que son “m” veces más pequeñas que las unidades contenidas en t1 y que la tasa δ2 es también “m” veces más pequeña que la tasa δ1; en consecuencia para que las operaciones con distintas unidades de tiempo sean equivalentes, debe existir entre las tasas instantáneas la misma proporcionalidad que entre las unidades de tiempo. Por ejemplo si δ1 es anual e igual a 0,019803, la tasa instantánea semestral equivalente será δ2 = δ1/m en donde m = 2, luego entonces δ2

0,019803 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 2

= 0,0099015

Al cabo de cierto período de tiempo, digamos 5 años, se obtendrá con ambas tasas el mismo monto: Si t1 = 5 entonces t2 = m * t1 = 2 * 5 = 10 a) Con la tasa instantánea anual, el monto será: 0,019803 * 5 f(5) = f(0) e = 1,10408

Siendo f(0) = 1

21

b) con la tasa instantánea semestral, el monto será:

0,00990l5 * 10

f(10) = f(0)

e

= 1,10408

Ambos montos son iguales, en consecuencia las operaciones financieras son equivalentes y las tasas instantáneas también lo son. En general, cuando trabajemos con una unidad de tiempo “m” veces menor que otra; δ representará la tasa instantánea de la unidad de tiempo menor y δ(m) representará la tasa instantánea de la unidad de tiempo mayor. O sea que: δ(m) = m . δ ---> δ

δ(m) = ▬▬▬▬▬▬ m

Por ejemplo si a la tasa instantánea anual le llamamos δ(m), a la tasa instantánea mensual equivalente la simbolizaremos con δ. Otro ejemplo: si a la tasa instantánea semestral le llamamos δ(m), a la tasa instantánea trimestral equivalente la simbolizamos con δ. En el primer caso m = 12 y en el segundo caso m = 2, de tal forma que:

δ(12) Primer caso: δ = ▬▬▬▬▬▬ 12

Segundo caso:

δ =



δ(2) ▬▬▬▬▬▬ 2

Tasa Efectiva de interés o tasa de interés: La tasa efectiva de interés o simplemente tasa de interés es el interés realmente producido por la unidad de moneda en la unidad de tiempo. Ya dimos el concepto de unidad de tiempo, por unidad de moneda se entiende la del país en el cual estamos trabajando, para nuestro caso la unidad de moneda es el peso, gráficamente sería: (gráfico 4)

tasa

i =tasa de interés 1

0

1 tiempo

Partiendo de la fórmula general del monto que es:

f(t) = f(0) eδt

22

Y haciendo f(0) = 1 y t = 1 nos queda: δ f(1) = e

Si recordamos el desarrollo en serie de la fórmula de Mc Laurin de una función que es: f’’(0) fn(0) 2 f(x) = f(0) + f’(0) x + ▬▬▬▬▬▬ x +.......+ ▬▬▬▬▬▬ 2 ! n !

xn +...

Y lo aplicamos a la función eδ tendremos que: δ2 δ3 δ e = 1 + δ + ▬▬▬▬ + ▬▬▬▬ + ........ 2! 3!

Y esto es así ya que eδ cuando δ = 0 es igual a 1; luego la derivada primera de eδ es eδ y dándole a δ = 0 tenemos otra vez 1, es decir que f’(0) = 1 y debemos multiplicarlo por δ; para el tercer término del segundo miembro vemos que f’’(eδ) = eδ, luego dándole el valor 0 a δ tendremos nuevamente 1 y debemos multiplicarlo por δ2, todo sobre 2! (dos factorial) y así sucesivamente. Si a este monto le restamos el capital inicial o sea 1, se obtiene el interés producido por la unidad de moneda en la unidad de tiempo o sea la tasa de interés que simbolizaremos con i: δ2 δ3 δ i = e - 1 = δ + ▬▬▬▬ + ▬▬▬▬ + ............. 2! 3!

(I) de donde i > δ

Como puede observarse la tasa efectiva de interés “i” es mayor que δ porque es igual a δ más la suma de términos positivos, o dicho simplemente es igual a δ más “algo” positivo. La tasa i es el resultado de medir, al final de la unidad de tiempo, el incremento de la unidad de moneda, este incremento se ha producido en forma continua a lo largo de toda la unidad y es el efecto de la tasa instantánea δ. Ambas tasas se refieren a la misma unidad de tiempo, siendo i una tasa efectiva y δ una tasa nominal con capitalización instantánea (ya comprenderemos más adelante el concepto de tasa nominal). De (I) deducimos que:

eδ = 1 + i

(II)

Y si tomamos ln en ambos miembros tenemos que:

δ = ln (1 + i)

Fórmula del monto en función de i: La fórmula del monto que desarrollamos es:

f(t) = f(0) eδt

Si reemplazamos eδ por su igual de (II) llegamos a que:

f(t) = f(0) (1 + i)t

Que es la fórmula del monto en función de la tasa de interés. Teóricamente el capital crece continuamente, es decir que los intereses se capitalizan en cada instante, en la práctica resulta imposible determinar continuamente este cambio y las operaciones son concertadas de tal manera que el incremento, es decir los intereses, sean capitalizados al final de períodos que comprenden las unidades de tiempo. Para capitalizar o pagar los intereses en la práctica se utiliza la tasa efectiva de interés “i”, con ella se mide al final de cada unidad de tiempo el crecimiento continuo que resulta de la acción de la tasa instantánea

23

δ. Actualmente la tasa instantánea no se menciona y por lo general tampoco se conoce, aunque

con ella podríamos trabajar sin ningún tipo de problemas.

1.4. Tasas efectivas equivalentes: Deducción de las fórmulas que las relacionan – Tasa nominal de interés. Tasas efectivas equivalentes: Hemos dicho que dos operaciones o más son equivalentes cuando con distintas unidades de tiempo, capitales iniciales iguales producen el mismo monto al cabo del mismo período de tiempo. Habíamos dicho también que las tasas que intervienen en operaciones financieras equivalentes se llaman tasas equivalentes; entonces vamos a ver ahora el concepto de tasas efectivas equivalentes siguiendo un razonamiento análogo al visto para tasas instantáneas equivalentes. Sean dos operaciones financieras, una con una unidad de tiempo igual al año (capitalización anual) y otra con una unidad de tiempo que es la m-ésima parte del año (si m = 12 la capitalización sería mensual), de tal manera que: i:  es la tasa de interés de una m-ésima parte del año. δ:  es la tasa instantánea de una m-ésima parte del año. j:  es la tasa de interés anual. δ(m):  es la tasa instantánea anual.

Sabemos además que el monto de una unidad de capital en una unidad de tiempo es eδ, por lo tanto: eδ = 1 + i; será el monto de una unidad de capital en una m-ésima unidad de tiempo. eδ (m) = 1 + j; será el monto de una unidad de capital en una unidad de tiempo (en este

caso el año).

Ahora bien, recordando la relación que existe entre tasas instantáneas equivalentes, sabemos que:

δ(m) = δ . m

Luego el monto al final de un año con tasas instantáneas equivalentes (siempre de la unidad de capital) es: δ.m δ(m) e = e

Si ahora reemplazamos a eδ por su igual (1 + i) y a e

por su igual (1 + j) nos queda que:

(1 + i) = 1 + j m

Los montos son iguales, entonces las operaciones financieras son equivalentes y las tasas que intervienen también lo son, por lo tanto para que las tasas de interés “i” y “j” sean equivalentes es necesario que entre ellas exista la siguiente relación que surge despejando sus valores:

i = (1 + j)1/m - 1

(I)



j = (1 + i)m - 1

(II)

Siendo “m” el número de veces que está contenida la unidad de tiempo menor en la unidad de tiempo mayor, referidas a las tasas (o sea referida a la unidad de tiempo de las tasas, es

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decir que si tenemos una tasa anual y una tasa mensual m=12, en cambio si tenemos una tasa semestral y otra bimestral m=3). Tomando un ejemplo, si tenemos dos operaciones, una con capitalización anual y otra con capitalización mensual y conocemos la tasa de interés anual que corresponde a la operación con unidad de tiempo igual al año, para saber cuál es la tasa de interés equivalente que corresponde a la operación con unidad de tiempo mensual, tenemos que hacer lo siguiente:

i = (1 + j)1/m - 1

=

(1 + j)1/12 - 1

Una vez hallada i y conociendo j, si nosotros colocamos un peso durante un año en un caso con capitalización mensual (unidad de tiempo: el mes) y en el otro caso con capitalización anual (unidad de tiempo: el año), debemos utilizar para el primer caso la tasa “i” de tal forma que el monto será:

f(t) = f(0) (1 + i)12

Como f(0) = 1 entonces

f(t) = (1+i)12

Y para el segundo caso la tasa j, de tal forma que el monto será:

f(t) = f(0) (1 + j)1

Como f(0) = 1 entonces:

f(t) = 1 +j

Supongamos entonces que tenemos una tasa anual de interés j = 0,80 (la forma correcta de escribir la tasa es como lo hemos hecho y no decir que la tasa es del 80%, pues esta forma de expresarla no responde a la definición académica que dice: El interés producido por una unidad de capital; si decimos 80% estamos expresando el interés producido por 100 unidades de capital. De allí que lo correcto es 0,80 evitándose de esa forma la famosa división por 100 que es necesario hacer cuando se trabaja en por ciento) y queremos hallar la tasa efectiva mensual equivalente, ésta será:

i = (1 + 0,80)1/12 - 1 = 0,0502016802 mensual.

Si realmente son equivalentes deben producir el mismo monto al cabo del mismo período de tiempo. Comprobemos ello obteniendo el monto de un capital inicial de $ 1.000.- al cabo de 5 años, en un caso con capitalización mensual (unidad de tiempo mensual) y en el otro con capitalización anual (unidad de tiempo el año): 1º caso:

f(t) = 1000 (1 + 0,050216802)60 = 18.895,68

2º caso:

f(t) = 1000 (1 + 0,80)5 = 18.895,68

Los montos son iguales pues las tasas son equivalentes. Veamos otro ejemplo inverso: Supongamos que colocamos un capital de $ 1.000.- durante tres años a una tasa de interés i = 0,03 mensual con capitalización mensual (la unidad de tiempo es el mes) y queremos saber cual será la tasa efectiva anual equivalente, evidentemente que será aquella que producirá al cabo de tres años, con capitalización anual y para un capital inicial de $ 1.000.- el mismo monto. Veamos cuál es el monto en el primer caso planteado:

f(t) = f(0) (1+i)t = 1000 (1 + 0,03)36 =

2.898,28

Busquemos ahora la tasa efectiva anual equivalente a la del 0,03 mensual:

25



j = (1 + i)m - 1 = (1 + 0, 03)12 - 1 = 0,42576

Y veamos ahora si el monto de un capital inicial de $ 1.000.- al cabo de tres años con esta tasa j = 0,42576 y capitalización anual es el mismo que el obtenido en la otra operación, en efecto:

f(t) = f(0) ( 1 + j )t

= 1000 ( 1+ 0,42576)3

= 2.898,28

Ambos montos son iguales al cabo de los tres años, las operaciones financieras son equivalentes y las tasas efectivas también lo son.

Comparación Si partimos de que: (1 + j) = (1 + i )m y desarrollamos en serie (1+i)m aplicando la fórmula de Mc Laurin, tenemos que: m.(m-1) (1+i)m = 1 + m.i + ▬▬▬▬▬▬▬ 2 !

i2 + ...........+ im

Pasando 1 al primer miembro o sea que nos queda (1+i)m - 1 que es igual a “j”, tenemos que: m.(m-1) j = m.i + ▬▬▬▬▬▬▬ i2 + ...........+im 2!

De esta igualdad se deduce que:

j > m.i

En consecuencia las tasas de interés efectivas equivalentes no son proporcionales a las unidades de tiempo (recordemos que eso si ocurría con las tasas equivalentes instantáneas).

Tasa Nominal de Interés La costumbre que existe en nuestro país de fijar una tasa de interés en términos de años y establecer los pagos en meses o en otro subperíodo, ha contribuido a la aparición de otra tasa que es la que vamos a llamar nominal de interés. Cuando se fija una tasa anual y se establecen los pagos o la capitalización en subperíodos de años, la operación financiera tiene una unidad de tiempo distinta a la de la tasa citada; así por ejemplo si se dice el 24% anual con capitalización mensual, la unidad de tiempo es el mes y por lo tanto para operar correctamente debemos hallar la tasa de interés “i” que sea equivalente a la del 0,24 anual y que corresponderá a la unidad de tiempo mensual. ¿Pero qué ocurre en la práctica?, ocurre que se acostumbra a fijar una tasa de interés anual y efectuar la capitalización o los pagos de los intereses en subperíodos de años con una tasa proporcional. Por ejemplo se dice el 24% (0,24) anual con capitalización mensual y se utiliza el 2% (0,02) mensual para realizar la operación financiera con capitalización mensual, en tal caso la verdadera tasa de interés es la que corresponde al subperíodo (en este caso el mes) que constituye la unidad de tiempo; la tasa anual (0,24) proporcional a la tasa del subperíodo no es una tasa equivalente ya que el rendimiento que se obtiene con una tasa mensual del 0,02 al cabo de un año colocando un capital inicial de $ 1.- es superior a ella y ello se deduce de la relación que vimos o sea que j > m.i. Esta tasa proporcional se llama Tasa Nominal Anual y la vamos a simbolizar con:

i(m)

26

Luego:

i(m) =

m.i

de donde deducimos que:

i(m) i = ▬▬▬▬▬ m

La tasa de interés del subperíodo “i” y la tasa nominal del período i(m) son proporcionales a las magnitudes de las respectivas unidades de tiempo. Cabe aclarar entonces que cuando se da una tasa de interés anual y se efectúa la capitalización o los pagos en subperíodos, para hallar la tasa del subperíodo equivalente a la anual debemos aplicar la fórmula:

i = ( 1 + j )1/m

- 1

y no la fórmula:

i(m) i = ▬▬▬▬▬ m

Ya que si utilizamos esta última fórmula obtendríamos al cabo de un año un rendimiento mayor que la tasa de interés anual dada. Lo mismo ocurre a la inversa, si se da una tasa de interés mensual o de un subperíodo cualquiera y la capitalización es anual, para hallar la verdadera tasa de interés anual equivalente debemos utilizar la fórmula:

j = ( 1 + i)m - 1

y no la fórmula:

i(m) = i.m

Al utilizar tasas proporcionales no sólo se modifica la unidad de tiempo sino que también se modifica el rendimiento. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Se menciona una tasa anual del 1,20 con capitalización mensual sin ninguna aclaración adicional. ¿Cuál será el monto que alcanza un capital de $ 1.000.- al cabo de 3 años? La unidad de tiempo es el mes y teniendo en cuenta lo señalado en este tema, esta tasa anual que se ha mencionado será:

A) Una tasa efectiva anual si la tasa mensual se calcula así i = ( 1 + j )1/m - 1

= ( 1 + 1,20 )1/12 - 1 = 0,0679114 mensual

En este caso ambas tasas son las que rigen la operación.

B) Una tasa nominal anual si la tasa mensual se calcula así:

i(m) i = ▬▬▬▬ m

1,20 = ▬▬▬▬▬▬ 12

=

0,10 mensual

En este caso la verdadera tasa de interés que rige la operación es la del 0,10 mensual. Veamos como, trabajando de una u otra forma, se obtienen distintos resultados:

Caso A: El monto al cabo de tres años se puede hallar utilizando cualquiera de las dos tasas ya que son equivalentes, la fórmula es:

27

I) Utilizando j = 1,20 tenemos

f(3) = 1.000 ( 1 + 1,20 )3

= 10.648.-

II) Utilizando i = 0,0679114 tenemos

f(36) = 1000 ( 1 + 0,0679114 )36

= 10.648.-

Caso B: Comprobaremos aquí cuál es la distorsión que se produce trabajando con una tasa del 1,20 como nominal anual. En este caso ambas tasas no son equivalentes ya que: I) Utilizando i(m) = 1,20 tenemos

f(3) = 1.000 ( 1 + 1,20 )3 = 10.648.-



i(m) II) Utilizando i = ▬▬▬▬ = 0,10 tenemos m

f(36) = 1.000 ( 1 + 0,10 )36 = 30.912,60

Al calcular la tasa mensual en forma proporcional se produce una distorsión muy grande; la verdadera tasa de interés que rige la operación es la del 0,10 mensual que corresponde a la unidad de tiempo y la misma equivale a una tasa de interés anual efectiva del:

j = (1+i)m - 1 = ( 1 + 0,10 )12 - 1 = 2,1384284 (213,84%)

Que es casi el doble de la tasa mencionada y que se considera como una tasa nominal.

Ejemplo 2: Se menciona una tasa mensual del 0,06 con capitalización anual ¿Cuál será el monto que alcanza un capital inicial de $ 1.000.- al cabo de dos años? Veremos únicamente la distorsión que se produce si no se trabaja con tasas equivalentes que sería lo correcto. Incorrecto es trabajar con una tasa nominal anual o sea:

i(m) = i.m = 0,06 . 12

= 0,72

Veamos ambos montos: a) Trabajando con i(m)

f(t) = f(0) ( 1 + i(m))t

= 10.000 ( 1+0,72)2 = 29.584.-

b) Utilizando i será :

f(t) = f(0) (1 + i)t = 10.000 ( 1 + 0,06 )12 = 40.489,30

Es decir que si calculamos la tasa anual en forma proporcional se cometerá un error muy significativo. La tasa anual efectiva equivalente a una tasa mensual del 0,06 es:

j = ( 1 + i )m - 1 = (1 + 0,6)12 - 1 = 1,0121965

Con los dos ejemplos vistos podemos deducir lo siguiente: Se debe tener cuidado cuando solicitamos un préstamo que debemos devolver al cabo de un cierto tiempo y su monto se calcula a través de la fórmula dada; si nos mencionan una tasa anual con capitalización mensual y ésta se calcula en forma proporcional nos cobrarán un interés muy superior al que surgiría utilizando esa tasa anual y por el contrario si nosotros otorgamos un préstamo mencionando una tasa mensual con capitalización anual y calculamos el monto utilizando una tasa anual proporcional a la mensual, estaremos cobrando un interés inferior al que surgiría utilizando

28

la tasa mensual. Por supuesto que en la práctica casi siempre se da el primer caso, es decir se menciona una tasa anual y se calcula la mensual en forma proporcional y de esa forma se cobra un interés muy superior, es decir que se dice que se cobra una tasa de interés y en realidad se cobra otra muy superior.

Ejemplo 3: Supongamos ahora que un banco ofrece estas alternativas para invertir a plazo fijo (no tenemos en cuenta las expectativas inflacionarias o variaciones que se puedan producir en las tasas de interés): 30 días.....................86 % anual 45 días.....................87 % anual 60 días.....................88 % anual 90 días.....................90 % anual 180 días....................95 % anual Esta forma de presentar la pizarra es realmente incorrecta, existe una disposición del B.C.R.A. que obliga a colocar la tasa efectiva que se paga para cada caso, pero es posible comprobar que numerosas entidades financieras omiten ello y luego de resolver este ejemplo nos daremos cuenta del porque. Quien no tenga bien en claro el manejo financiero y lea la pizarra seguramente se decidirá por la tasa más alta que aparece y que es la del 95% anual, pero estas tasas que se mencionan son nominales anuales y para cada una de las alternativas la capitalización o los pagos, es decir la unidad de tiempo, es distinta; así para la primer alternativa se menciona una tasa nominal anual y la capitalización es cada 30 días, por lo tanto si nosotros calculamos la tasa de 30 días en forma proporcional, tal como lo hace el banco, y luego obtenemos la tasa efectiva anual equivalente a la de 30 días obtendremos el verdadero rendimiento que se ofrece para depósitos a plazo fijo a 30 días al cabo del año ( si cada 30 días vamos al banco y renovamos el plazo fijo, al cabo del año obtendremos un cierto monto que será igual al capital inicial más los intereses ) y esta tasa efectiva anual será la que debemos analizar para decidir la inversión. Entonces ¿qué alternativa elegimos ? Para todos los casos se debe hallar la tasa anual efectiva de interés ¿y cómo?, muy simple: se calcula la de cada plazo en días utilizando la fórmula:

i(m) i = ▬▬▬▬ m

Teniendo en cuenta que el año tiene 365 días o sea que para la primera alternativa es: 0,86 . 30 1º alternativa: i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,0706849 365

365 el valor de “m” es como puede deducirse igual a ▬▬▬▬▬ 30

Ahora se calcula:

j = (1+i)m - 1 = ( 1 + 0,0706849 )365/30- 1 = 1,2955341 anual

Para la segunda alternativa tendremos:

0,87 2º alternativa: i = ▬▬▬▬▬▬ 365

0,87 . 45 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,1072602 365

45

29

Y luego se calcula: j = (1+i)m - 1 = ( 1 + 0,1072602 )365/45- 1 = 1,285147 anual

Y así para todos los casos. La alternativa más conveniente será la que de mayor tasa efectiva anual, para nuestro ejemplo tendremos para cada alternativa las siguientes tasas: 1º alternativa: 1,2955341 2º alternativa: 1,285147 3º alternativa: 1,2747987 4º alternativa: 1,2542581 5º alternativa: 1,1796118 Es evidente entonces que la alternativa conveniente es la de depositar a 30 días pues es la de mayor tasa efectiva, ello quiere decir que si depositamos cada 30 días y vamos renovando hasta cumplir 180 días (o cualquier otro plazo mayor) obtendremos un mayor rendimiento que depositando directamente a 180 días. Aquí se comprende entonces el porque de no colocar la tasa efectiva en las pizarras, pues la aparente mayor tasa nominal del 95% es la alternativa que paga menos interés y eso le conviene al banco, por lo tanto la forma correcta de presentar la pizarra sería: 30 días.................129,55% anual efectivo 45 días.................128,51% anual efectivo 60 días.................127,47% anual efectivo 90 días.................125,42% anual efectivo 180 días...............117,96% anual efectivo De esa forma no se engaña al inversor y este puede decidir a que plazo invertir su dinero. Se podrá equivocar, pero manejará tasas verdaderas de interés y no ficticias como son las nominales. ¿Por qué decimos que se podrá equivocar?, la razón está dada por el siguiente análisis: Supongamos que decidimos por la 1º alternativa que es la más conveniente respecto de las otras y respecto de la de 180 días, esto presupone que obtendremos mayor rendimiento si vamos renovando cada 30 días nuestro depósito a plazo fijo; pero que ocurre si dentro de 45 días el banco modifica las tasas de interés y las baja para cada uno de los plazos, resulta que depositando cada 30 días cuando vayamos a los 60 días la tasa ya no es la misma y ha bajado considerablemente, entonces en ese momento vamos a decir: -como no invertí directamente a 180 días que me aseguraba por esos 180 días el rendimiento efectivo anual del 117,96%-. Por lo que si la expectativa futura es la de baja en las tasas de interés, es probable que sea conveniente invertir a un plazo mayor aunque la tasa de interés sea inferior, pues de esa forma nos aseguramos ese rendimiento por todo el tiempo. Pero que ocurrirá si nos decidimos por la alternativa de mayor plazo y luego las tasas suben, en ese caso hubiese convenido invertir a menos plazo pues los rendimientos serán cada vez mayores. Evidentemente las decisiones financieras no son muy fáciles de tomar y dependen de variables que el ciudadano común no puede manejar; en algunos casos existen ciudadanos que conocen de antemano esas variables y logran suculentos beneficios en perjuicio de aquellos que siempre obran de buena fe.

1.5. Relaciones entre las tasas: Cuando se menciona una tasa de interés cuya unidad de tiempo coincide con la época de capitalización o pago la única relación posible es la correspondiente a tasa de interés y tasa instantánea de interés, recordemos esas relaciones:

30

δ = ln (1+i) δ2 i = δ + ▬▬▬ 2!

δ3 + ▬▬▬ + ..........= eδ - 1 3!

En cambio cuando se da una Tasa de Interés cuya unidad de tiempo no coincide con la época de capitalización, las relaciones son varias, de tal forma que: i: Tasa de interés o tasa efectiva de interés del subperíodo. δ: Tasa instantánea de interés del subperíodo. j: Tasa efectiva de interés equivalente del período. δ(m): Tasa instantánea de interés del período. i(m): Tasa nominal de interés del período.

La fórmula del monto de una unidad de capital en un período relaciona matemáticamente las tasas mencionadas de la siguiente manera: i(m) m (1+i) = ( 1 + ▬▬▬▬ )m m

= ( 1 + j) = eδ.m = e

A partir de esas igualdades podemos despejar cada una de las tasas definidas en función de las otras tasas, o sea que tenemos:

i(m) i = ▬▬▬▬ = (1+j)1/m - 1 = eδ - 1 m

= e

- 1

i(m) j = (1+i)m - 1 = (1+ ▬▬▬▬ )m - 1 = eδ.m - 1 = e m

- 1

i(m) 1 δ(m) δ = ln (1+i) = ln (1+ ▬▬▬▬ ) = ▬▬▬ ln (1+j) = ▬▬▬▬ m m m i(m) (m) δ = m . ln(1+i) = m ln (1+ ▬▬▬▬ ) = ln (1+j) = m.δ m

i(m) = i.m = m . [ (1+j)1/m -1 ] = m (eδ -1) = (e

- 1). m

Las fórmulas anteriores permiten calcular cualquier tasa en función de las otras.

1.6. El Interés Compuesto y el Interés Simple: Hasta ahora hemos trabajado bajo el supuesto que el capital crece continuamente con una “fuerza” que está dada por la tasa instantánea de interés constante. El interés producido en cada instante se capitaliza, es decir se suma al capital anterior para producir nuevos intereses y esto ocurre mientras el acreedor no retire los intereses producidos que quedan en poder del deudor, quien debe pagar por el nuevo capital formado por el inicial más los intereses; pero si

31

el dueño del capital retira los intereses al final de cada unidad de tiempo, la situación cambia. Ocurren entonces dos casos:

a) Cuando el interés no se retira al final de cada unidad de tiempo se obtiene el interés compuesto. b) Cuando los intereses se retiran al final de cada unidad de tiempo se obtiene el interés simple. Sabemos ya que en las operaciones financieras el incremento del capital inicial por el paso del tiempo constituye el interés de ese capital; veamos las dos situaciones descriptas por medio de un gráfico formado por un sistema de ejes coordenados cartesianos, en el eje de las ordenadas medimos los intereses y en el eje de las abscisas medimos el tiempo, de tal manera que la línea que crece continuamente representa el interés compuesto e indica el valor de ese interés al momento “t”:

(

)

Y = f (0 ) e δt − 1 Interés

I = f (0 ).i .n

f ( 0 ) .i

0

1

f ( 0 ) .i

2

f ( 0 ) .i

3

f ( 0 ) .i

4

f ( 0 ) .i

t=n

tiempo

Estos intereses que no han sido retirados aún, forman en el momento “t”, con el capital inicial un monto igual a:

f(t) = f(0) eδ.t = f(0) (1+i)t

Para saber cuál es el interés compuesto, al momento “t”, debemos restar del monto el capital inicial o sea:

Y = f(t) - f(0)

Reemplazando a f(t) por su igual tenemos:

Y = f(0) (1+i)t - f(0)

= f(0) eδ.t - f(0)

y sacando factor común f(0) tenemos:

Y = f(0) ( eδ.t - 1)

que es el interés compuesto. Veamos ahora que ocurre si los intereses se retiran al final de cada unidad de tiempo, en este caso al final de cada unidad el capital vuelve a su valor original y al final de cada una de las unidades de tiempo produce el mismo interés como se observa en el gráfico, estos intereses al final de cada unidad son:

f(1) - f(0)

pero f(1) = f(0) eδ , si reemplazamos en la fórmula anterior tenemos:

f(0) eδ - f(0) = f(0) ( eδ- 1 )

Pero sabemos que: eδ - 1 = i, luego reemplazando:

f(1) - f(0) = f(0) . i

32

Estos son los intereses que se retiran al final de cada unidad de tiempo y hemos señalado en el gráfico; si ahora sumamos algebraicamente los intereses ganados en “n” unidades de tiempo enteras tendremos: f(0).i + f(0).i + f(0).i +..........+ f(0).i I = ______________________________________________ n veces

Como se aprecia hemos supuesto que en el momento “t” hay “n” unidades de tiempo enteras. La suma será igual a:

I = f(0).i.n

que es el interés simple. Esta última fórmula no indica el valor de todos los intereses al final de “n” unidades de tiempo sino la simple suma algebraica de los intereses producidos por el capital inicial al final de cada una de las “n” unidades de tiempo, es la suma de cantidades que desde el punto de vista financiero no son homogéneas, pues están ubicadas en distintos momentos en el tiempo. Se dice que “el monto a interés simple” en “n” unidades de tiempo enteras es:

”f(n) “ = f(0) + f(0).i.n = f(0) (1 + n.i)

Pero desde el punto de vista financiero esto no es cierto, quizás teniendo en cuenta una apreciación contable esto puede ser cierto, pero de ninguna manera financieramente podemos aceptarlo ya que los intereses sumados están ubicados en distintos momentos en el tiempo y no son valores homogéneos. Para obtener el valor de los intereses simples al final de las “n” unidades de tiempo enteras hay que llevarlos a todos hasta ese momento o sea que: δ.(n-1)

________________________________________|f(0)i e

│ │ __________________________________|f(0)i │ │ │ │ ____________________________|f(0)i │ │ │ . . │ │ │ . | . │ │ │ . . │ │ │ ___________|f(0)i │ │ │ │ │ │ │ ..... ..... │ _____|f(0)i │ │ │ │ │ f(0)i f(0)i f(0)i f(0)i f(0)i |f(0)i ______│_____│_____│_______///______│_____│_____| 0 1 2 3 ..... .....n-2 n-1 n

δ.(n-2)

e

δ.(n-3)

e

δ.2

e

δ

e

Así los intereses ubicados en el momento (n-1) hay que llevarlos al momento “n”, si hacemos de cuenta que f(0).i, que son los intereses, es el capital inicial, para trasladarlos al momento “n” debemos obtener el monto de ese capital inicial; vemos por otra parte que entre (n-1) y “n” hay una unidad de tiempo, luego:

f(0).i.eδ

es el valor de los intereses colocados en el momento (n-1) y llevados al momento “n”. Para el caso de los intereses colocados en el momento (n-2), debemos tener en cuenta que para llevarlos al momento “n” existen 2 unidades de tiempo, luego su valor en el momento “n” será:

f(0).i.eδ.2

33

y así en forma sucesiva; para los intereses que están colocados en el momento “1” y deben ser llevados al momento “n”, vemos que existen (n-1) unidades de tiempo, luego su valor ubicado en el momento “n” será:

f(0).i.eδ.(n-1)

Ahora, sí, podemos sumar tales cantidades finales porque todas están ubicadas en el mismo momento de tiempo, esa suma será:

n-1 ∑ t=0

f(0).i.eδ.t

(I)

tenemos la suma de términos de una progresión geométrica cuya razón es eδ y el primer término es igual a f(0).i. Recordemos que la fórmula que nos permite obtener la suma de los términos de una progresión geométrica es: L.q - a S = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ q - 1

=

q n- 1 a ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ q - 1

En donde “L” es el último término, “a” es el primero y “q” la razón, para el caso de la primera fórmula, agregándose “n” que es el número de términos para la segunda. Antes de aplicar la primera fórmula dada (también se puede aplicar la segunda) vamos a desarrollar el sumatorio señalado con (I), el cual puede ser colocado de la siguiente manera: f(0).i

n-1 ∑ t=0

eδ.t

pues f(0).i es constante respecto al sumatorio.Si lo desarrollamos tenemos:

f(0).i [ 1 + eδ + eδ.2 + ..........+ eδ.(n-2) + eδ.(n-1)]

Lo desarrollado entre corchetes también nos representa la suma de términos de una progresión geométrica y que tiene como primer término el 1, como último término eδ.(n-1) y la razón es eδ, si aplicamos la fórmula primera tendremos:

n-1 ∑ f(0).i.eδ.t = t=0

f(0).i .

eδ.(n-1) eδ - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ eδ - 1

Pero eδ.(n-1).eδ = eδ.n pues el producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes, luego entonces:

n-1 eδ.n - 1 δ.t ∑_ f(0).i.e = f(0).i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ t=0 eδ - 1

Pero eδ -1 = i, si reemplazamos tenemos:

n-1 eδ.n - 1 δ.t ∑ f(0).i.e = f(0).i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ t=0 i

Simplificando llegamos a que:

n-1 ∑ f(0).i.eδ.t = f(0) (eδ.n - 1 ) = Y t=0

Vemos que el valor de los intereses simples es igual al de los intereses compuestos (ambas fórmulas son iguales, en una tenemos “t” y en la otra “n”, pero “t” y “n” representan el tiempo).

34

Económicamente es lo mismo cobrar intereses simples o compuestos, pero debemos resaltar que si al concertar una operación a interés simple se conviene que los intereses se cobraran “todos” al final de varias unidades de tiempo, no será en realidad una operación a interés simple sino una operación a interés compuesto, con una tasa y un rendimiento distinto a los mencionados. Con un ejemplo podemos aclarar esto: Si para un préstamo de $ 1.000.- a devolver en 10 meses a una tasa del 0,05 mensual, se calcula lo que hay que devolver con la fórmula del “monto a interés simple” o sea: “f(t)” = f(0) (1 + n.i) = 1.000 ( 1 + 0,05 x 10) = 1.000 (1 + 0,50) = 1.500.-

Es decir que los intereses simples son $ 50.- por mes y se cobran todos al final de 10 meses. En realidad esta es una operación a interés compuesto siendo la tasa de interés cobrada distinta a la mencionada, ella se calcula así:

f(t) = f(0) (1+i)t = 1000 (1+i)t

1500 1500 = 1.000 (1+i)10 ,de donde i = (▬▬▬▬▬) 1000

- 1

i = 0,041379 mensual

Como apreciamos la tasa es distinta a la que se menciona. Por ello aunque existen los intereses simples (son aquellos que se retiran al final de cada unidad de tiempo), financieramente no se puede decir lo mismo con respecto al “monto a interés simple”, solamente hay un monto y es el monto a interés compuesto tal como lo hemos definido en el punto 1.2.

35

CAPÍTULO II

Objetivos Específicos Al concluir el capítulo los lectores serán capaces de: * Explicar porque el interés es igual al descuento. * Explicar porque la tasa de interés no es igual a la tasa de descuento. * Explicar porque la tasa instantánea de interés es igual a la tasa instantánea de descuento. * Utilizar el factor de capitalización y el de actualización para ubicar el capital en el tiempo. * Comprender la necesidad de utilizar la tasa de descuento y no la de interés como si fuese de descuento, en operaciones de descuento de documentos. * Resolver, correctamente, problemas de descuento de documentos.

Eje del Capítulo Las operaciones fundamentales dentro del campo financiero. Contenido 2.1. Las dos operaciones fundamentales: Capitalización y actualización - El factor de capitalización y el de actualización. 2.2. Interés y descuento: su valor - La tasa de descuento. 2.3. Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento -Tasas de descuento equivalentesFórmula del monto y del valor actual en función de la tasa de descuento. 2.4. La tasa instantánea de descuento: deducción de su fórmula - Comparación con la tasa instantánea de interés.

37

2.1. Las dos operaciones fundamentales Capitalización y actualización - El factor de capitalización y el de actualización. Dos son las operaciones fundamentales en el campo financiero: la capitalización y la actualización. La capitalización permite calcular el monto de un capital inicial y la actualización permite calcular el valor actual de un capital futuro. Como podemos deducir son operaciones inversas.

El Factor de Capitalización El valor de un capital f(0) después de transcurridos “n” unidades de tiempo, de acuerdo a lo que hemos visto es:

f(n) = f(0) eδ.n

sabemos además que:

eδ = 1 + i

o sea que la fórmula es:

f(n) = f(0) (1+i)n

Si ahora hacemos a 1+i = u y reemplazamos tenemos:

f(n) = f(0) .un

(I)

y es precisamente un el factor de capitalización. Al multiplicar una cantidad cualquiera por él se la traslada en el tiempo al final del período n-ésimo, o sea que:

un = (1+i)n = eδ.n

es el factor de capitalización.

El Factor de Actualización De la expresión (I) podemos deducir que: f(n) un = ▬▬▬▬▬ de donde f(0) = f(n) u-n (II) f(0) f(0) es el valor inicial y f(n) el valor final del capital, es decir que para obtener el valor inicial

conociendo el valor final hay que multiplicar el capital colocado al final del período n-ésimo por u-n. A la expresión u-1 la vamos a llamar “v” o sea que: 1 u-1 = v = ▬▬▬▬▬ 1+i

Si reemplazamos a (II) por esta última igualdad tendremos: f(0) = f(n) vn

La expresión vn se llama factor de actualización o descuento e indica la operación inversa del factor de capitalización, o sea que:

vn =

1 1+i

n

= e-δ.n es el factor de actualización.

38

El factor un traslada los valores a través del tiempo en sentido positivo y el factor vn en sentido negativo; cuando ambos actuan simultáneamente las operaciones se anulan entre si y el capital queda ubicado en el mismo momento manteniendo su valor. La actualización o descuento es una operación en la cual en lugar de conocer el valor inicial conocemos el valor final del capital. Entre el monto y el capital inicial existe la misma relación que hay entre el capital final y su valor actual; la capitalización toma como punto de referencia el capital inicial y determina el valor del capital final, en cambio la actualización toma como punto de referencia el capital final y determina el valor del capital inicial. Para diferenciar el análisis entre la capitalización y la actualización vamos a definir dos funciones que simbolizaremos en forma distinta pero que en definitiva son iguales, una de ellas ya la conocemos y es f(t) que hemos utilizado y utilizaremos en el caso de conocer el capital inicial y la otra función que definimos ahora es φ(n-t) que la utilizaremos en el caso de conocer el capital final, gráficamente son:

Capital

f (n) = φ (0)

f (t )

φ (n − t )

φ (n) = f (0)

0

t

n

tiempo

Vemos que cuando: t = 0 tenemos el valor f(0) y φ(n) t = n tenemos el valor f(n) y φ(o)

De esta manera utilizando el factor de capitalización tenemos que:

f(n) = f(0) . un

y utilizando el factor de actualización tenemos que:

φ(n) = φ(o) . vn

de las dos expresiones anteriores deducimos, al ser un = v-n , que:

f(n) ▬▬▬▬▬ f(0)

=

φ(o) ▬▬▬▬▬ φ(n)

2.2. Interés y descuento: su valor - La tasa de descuento: Una de las aplicaciones que tiene la actualización es la operación de descuento de documentos que podemos resumir así: Una persona es propietaria de un pagaré por un cierto valor nominal (VN) que se hará efectivo recién al final de un período dado y quiere disponer de él hoy, ello es factible pero quien recibe el pagaré da en préstamo una suma inferior al valor escrito en el

39

pagaré (VA); de tal manera que el valor del pagar‚ indica el importe del capital prestado más los intereses que se pagarán por él. Tratemos ahora de comparar el interés con el descuento y para ello supongamos que tenemos un pagaré cuyo valor actual es VA y cuyo valor nominal al final de “n” unidades de tiempo es VN, o sea que VA es el valor actual de VN y también podemos decir que VN es el monto de VA, o sea que:

VA = f(0) = φ(n) = VN . vn



VN = f(t) = φ(o) = VA . un

Ahora analicemos cuál es el interés que ha producido el capital inicial VA al final de “n” unidades de tiempo:

Y = VN - VA

=

f(n) - f(0)

(I)

y veamos cuál es el descuento que ha sufrido el capital VN en “n” unidades de tiempo:

D = VN - VA

=

φ(o) - φ(n)

(II)

Al comparar (I) y (II) podemos decir que el interés y el descuento tienen el mismo valor, pero todavía no podemos decir que financieramente son iguales ya que para decir que si lo son, es necesario además que ambos, interés y descuento, estén ubicados en el mismo momento de tiempo; tratemos de analizar si ello ocurre: Al efectuar el descuento, el deudor recibe el valor actual de VN o sea VA y al final de las “n” unidades de tiempo abona VN, de esto se desprende que el préstamo inicial no es de un capital VN al cual se le “descuentan los intereses” sino de un capital VA cuyo valor final incluidos los intereses es VN, o sea que:

VA . un = φ(n) . un = φ(o) = VN

En este valor final están incluidos los intereses de VA e iguales a la diferencia entre VN-VA, que hemos simbolizado con D y que serán abonados por el deudor al final de las “n” unidades de tiempo, por lo que podemos afirmar que al descuento o sea el interés el deudor no lo paga al principio sino que al final. Lo mismo ocurre en el caso del interés: los intereses siempre se pagan al final y ello es una afirmación irreprochable pues necesariamente para que un capital genere intereses debe inexorablemente transcurrir el tiempo.

En consecuencia el interés y el descuento son iguales, ya que sus valores son iguales y están ubicados en el mismo momento de tiempo, ambos se pagan al final.

La Tasa de Descuento Aunque el interés es igual al descuento, la tasa de interés no es igual a la tasa de descuento y ello se debe a que se refieren a unidades de capital ubicadas en distintos momentos de tiempo. La tasa de interés es el interés (o descuento) de una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo. La tasa de descuento es el descuento (o interés) de una unidad de capital final en una unidad de tiempo. Es decir que en un caso la unidad de capital es inicial (tasa de interés) y en el otro caso la unidad de capital es final (tasa de descuento). Para comprobar que son diferentes, supongamos que N es el monto de E al final de una unidad de tiempo, de tal manera que E es el valor actual de N que está ubicado una unidad de tiempo después, de tal manera que:

E = f(0) = φ(1)



N = f(1) = φ(o)

40

a) Tasa de interés: de acuerdo a la definición “i” será igual a:

N-E interés de 1 unidad de capital f(1) - f(0) i =▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ E unidad de capital inicial f(0)

pero al ser f(1) el monto de f(0) al final de una unidad de tiempo, tenemos que:

f(1) = f(0). eδ

si reemplazamos este valor nos queda que: f(1)-f(0) f(0) eδ - f(0) f(0).eδ i =▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬ f(0) f(0) f(0)

-

f(0) ▬▬▬▬▬ = eδ - 1 f(0)

por supuesto que la fórmula a la cual arribamos es la misma que la vista en el punto 1.3. (tasa efectiva de interés).

b) Si ahora analizamos la definición de tasa de descuento y la simbolizamos con la letra “d”, esta será: N-E descuento de 1 unidad de capital φ(o) - φ(1) d =▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ N unidad de capital final φ(o)

pero al ser φ(1) el valor actual de φ(o) tenemos que:

φ(1) = φ(o).v = φ(o) e-δ

si reemplazamos nos queda que: φ(o)- φ(1) φ(o) - φ(o).e-δ φ(o) d = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬ φ(o) φ(o) φ(o)

φ(o).e-δ - ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1 - e-δ φ(o)

Que es la fórmula de la tasa de descuento. Resumiendo:

i =

eδ

- 1



d =

1 - e

-δ

= u - 1 = 1 - v

2.3. Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento Tasas de descuento equivalentes - Fórmula del monto y valor actual en función de la tasa de descuento: Relaciones entre la tasa de interés y la tasa de descuento: Sea un sistema de ejes coordenados cartesianos; en el eje de las abscisas medimos el tiempo y en el eje de las ordenadas el capital. Tomemos un capital de $ 1.- colocado en el momento cero y un capital de $ 1.- colocado al final de una unidad de tiempo, veamos:

41

Capital

1 + i = eδ i = d (1 + i )

1

1

d = vi v = 1 − d = e− δ

0

Tiempo

1

Vemos que el monto de un capital inicial de $ 1.- al final de una unidad de tiempo es:

1.eδ = 1 + i = u

Vemos que el monto de un capital inicial de $ v.- al final de una unidad de tiempo es:

v.eδ = e-δ . eδ = 1

Por otro lado vemos que la diferencia entre 1 y “v”, o sea la diferencia entre capitales iniciales es la tasa de descuento, es decir que:

1 - v = 1 - e-δ

= d

y vemos que la diferencia entre “u” y 1, o sea la diferencia entre capitales finales es la tasa de interés, es decir que:

u - 1 =

eδ - 1

= i

Si nosotros ahora graficamos en un nuevo sistema de ejes coordenados cartesianos con la misma escala, las diferencias entre los capitales iniciales y finales tendremos: Capital

i = u −1 d = 1− v

Tiemp o

0

1

Tenemos que el capital inicial es “d” y el capital final es “i”, por lo tanto podemos afirmar que “i” es el valor final de un capital inicial “d” y entonces deducimos que:

“i” es el monto de “dem” una unidad de tiempo por lo que podemos poner que: i = d . eδ = d. (1+i)

(III)

42

de donde se desprende que: i d = ▬▬▬▬▬ 1+i

que es la fórmula de la tasa de descuento en función de la tasa de interés, es decir la que relaciona a la tasa de descuento con la tasa de interés. De la igualdad (III) deducimos que:

i = d (1+i) = d + d.i de donde i - d.i = d



i ( 1 - d ) = d

si sacamos factor común “i” en el primer miembro de la última igualdad tenemos que: en definitiva: d i = ▬▬▬▬▬ 1-d

que es la fórmula de la tasa de interés en función de la tasa de descuento.

Otras relaciones: Partiendo de la fórmula que relaciona a la tasa de descuento con la tasa de interés, deducimos:

i d = ▬▬▬▬▬ = 1+i

1 i . ▬▬▬▬▬ = 1+i

i.v

(IV)

y partiendo de que:

i = d(1+i) = d + d.i deducimos que: i - d =

d.i

La diferencia entre la tasa de interés y tasa de descuento es igual al producto de las mismas.

Tasas de Descuento Equivalentes Para la tasa de descuento cabe el mismo análisis que para la tasa de interés cuando se trabaja en sub-períodos, así por ejemplo si tenemos la tasa de descuento del año la simbolizamos con “g” y la del sub-período con “d”, siendo éstas tasas equivalentes; en cambio si trabajamos con una tasa nominal de descuento que corresponde al año, la simbolizamos con:

d(m)

Teniendo en cuenta lo expresado decimos en primer lugar que el valor actual de $ 1.- en un año dividido en “m” subperíodos puede expresarse así:

vm = (1 - d)m =

1 - g

de donde deducimos que:

d = 1 - ( 1 - g )1/m



g = 1 - ( 1 - d )m

que son las fórmulas de equivalencias entre las tasas de descuento. En cuanto a la tasa nominal y teniendo en cuenta lo visto para la tasa nominal de interés, tenemos que:

43

d(m) (m) d = m.d de donde d = ▬▬▬▬▬▬ m

Fórmula del monto en función de la Tasa de Descuento: Recordemos que la fórmula del monto es:

f(t) = f(0). (1+i)t = f(0). eδt = f(0). ut

pero recordemos que: 1 1 v = 1 - d de donde ▬▬▬▬▬ = 1 - d, de donde 1+i = ▬▬▬▬▬ (1+i) (1-d)

o sea que:

1 + i

=

u

=

(1 -d)-1

de manera tal que si reemplazamos en la fórmula del monto, tendremos que:

f(t) = f(0). (1 - d)-t

que es la fórmula del monto en función de la tasa de descuento.

Fórmula del valor actual en función de la tasa de descuento: Partiendo de la fórmula del valor actual en función del factor de actualización, deducimos que:

φ(t) = φ(o) . vn, pero v = 1 - d, por lo tanto:



φ(t) = φ(o). (1 - d)t

2.4. La tasa instantánea de descuento: deducción de su fórmula Comparación con la tasa instantánea de interés: La tasa instantánea de interés indica la fuerza de crecimiento de una unidad de capital inicial, es el interés producido por una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo bajo el supuesto de que el crecimiento a lo largo de toda la unidad de tiempo es igual al crecimiento del primer instante. En cambio la Tasa Instantánea de descuento nos indica la fuerza de descrecimiento de una unidad de capital final, es el descuento de una unidad de capital final en una unidad de tiempo bajo el supuesto que el decrecimiento a lo largo de toda la unidad de tiempo es igual al decrecimiento del último instante. En un sistema de ejes coordenados cartesianos graficamos la función φ(n − z:) Capital

φ (0)

φ (t ) − φ (t + 1)

φ (n) φ (t )

φ (t + 1) 1 m

0

1 m

n − (t + 1)

1 m

1 m

1 m

n−t

44

t n

Tiempo

De tal manera que: cuando z = n tenemos φ(o) que es igual a f(n) cuando z = n-t tenemos que la función asume el valor φ(t) cuando z = n-(t+1) la función asume el valor φ(t+1) cuando z = 0

tenemos φ(n) que es igual a f(0)

En este caso “t” nos indica el tiempo que falta para que el capital adquiera su valor final o sea φ(o). El descuento de un capital φ(t) en una unidad de tiempo será:

φ(t) – φ(t+1)

Si ahora subdividimos la unidad de tiempo en “m” partes, el descuento en una m-ésima unidad de tiempo de un capital φ(t) será: 1 φ(t) - φ(t + ▬▬▬) m

si ahora suponemos que el descuento en las “m” partes en que se ha subdividido la unidad de tiempo es igual al descuento de la última parte, es decir que en todas las partes tenemos el mismo valor, y multiplicamos por “m” obtendremos nuevamente el descuento en toda la unidad de tiempo para un capital φ(t), o sea: 1 m [φ(t) - φ(t + ▬▬▬▬ ) ] m

pero este es el descuento de un capital φ(t) y nosotros necesitamos el descuento de un capital de $ 1.-, para ello dividimos por φ(t) y obtenemos: 1 m [φ(t) - φ(t + ▬▬▬ ) ] m d(m) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ φ(t)

que es una tasa nominal de descuento de una unidad de capital en una unidad de tiempo bajo el supuesto de que el decrecimiento (descuento) del último m-ésimo es igual para todos los demás en que se ha subdividido. Hacemos un cambio de variables de esta manera:

1 h = ▬▬▬ m

1 m = ▬▬▬▬▬ h

de donde

Si ahora tomamos límites en ambos miembros para “m” que tiende a infinito lo cual implica que “h” tiende a cero, tenemos: 1 ▬▬▬ [φ(t) - φ(t+1)] h lim d(m) = lim ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ m▬▬▬> ∞ h▬▬▬>0 φ(t) h▬▬▬> 0

Si intercambiamos denominadores podemos poner que:

45

1 φ(t) - φ(t+h) lim d(m) = lim ▬▬▬▬▬ . ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ m▬▬▬>∞ φ(t) h h▬▬▬>0 h▬▬▬> 0

obtenemos así el descuento que produciría la unidad de capital en la unidad de tiempo bajo el supuesto de que el decrecimiento de cada uno de los infinitésimos que la constituyen es igual al decrecimiento del último infinitésimo o sea la Tasa Instantánea de descuento. Ella se logra resolviendo los límites, o sea que: 1 d(∞) = lim ▬▬▬▬▬▬ φ(t) h▬▬▬>0

φ(t) - φ(t+h) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ h h▬▬▬>0

. lim

el límite de una constante es la constante misma, luego: 1 d(∞) = ▬▬▬▬▬▬ φ(t)

φ(t) - φ(t+h) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ h h▬▬▬>0

. lim

el límite que aparece en el segundo miembro puede ser escrito de la siguiente manera: 1 d(∞) = ▬▬▬▬▬▬ φ(t)

. [- lim h▬▬▬>0

φ(t+h) - φ(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ] h

Por definición de derivada, tenemos que: d(∞)

1 ▬▬▬▬▬ .[φ(t)

=

dφ(t) ▬▬▬▬▬ ] = dt

1 dφ(t) ▬▬▬▬▬ . ▬▬▬▬▬▬▬ = г φ(t) dt

Que es la expresión matemática de la tasa instantánea de descuento que simbolizamos con г(Rho), siendo su forma más conocida la siguiente: г =

d ln φ(t) ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ dt

Comparación con la tasa instantánea de interés La anterior es una ecuación diferencial que trataremos de resolver para hallar otra forma de expresar la tasa instantánea de descuento, para ello tomamos dt en ambos miembros y tenemos:

dt г

=

- d ln φ(t)

ahora integramos entre 0 y t:

0



г 0∫t dt

resolviendo:

∫t dt г

│t г t │ = │0

=

0

=

∫t - d ln φ(t) - 0∫t d ln φ(t)

│t - ln φ(t) │ │0

46



г t

= - [ ln φ(t) - ln φ(o) ]



г t

=

ln φ(o) - ln φ(t)

expresando la diferencia de logaritmos como un cociente, tenemos: φ(o) г t = ln ▬▬▬▬▬▬ φ(t)

de donde: г

=

1 φ(o) ▬▬▬ . ln ▬▬▬▬▬ t φ(t)

(I)

Cuando desarrollamos la tasa instantánea de interés, vimos que: δ

d ln f(t) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ dt

resolviendo de la misma manera que en el caso anterior tenemos:

δ dt 0

=

d ln f(t)

∫ δ dt t

=

0

∫t d ln f(t)

f(t) δt = ln f(t) - ln f(0) = ln ▬▬▬▬▬ f(0)

de donde: δ

=

1 f(t) ▬▬▬ . ln ▬▬▬▬ t f(0)

(II)

Pero recordemos que φ(o) = f(t) y que φ(t) = f(0), es decir que:

φ(o) ▬▬▬▬ φ(t)

=

f(t) ▬▬▬▬ f(0)

con lo que si comparamos las expresiones (I) y (II) llegamos a la conclusión de que:

1 φ(o) г = ▬▬▬ . ln ▬▬▬▬ = t φ(t)

1 f(t) ▬▬▬ . ln ▬▬▬▬ = δ t f(0)

Por lo tanto las Tasas Instantáneas de Interés y de Descuento son iguales, ello significa que la fuerza de crecimiento de un capital inicial de un peso es igual a la fuerza de decrecimiento de un capital final de un peso.

47

CAPÍTULO III

Objetivos Específicos: Al concluir la unidad los lectores serán capaces de: * Distinguir las imposiciones de las amortizaciones. * Utilizar adecuadamente los elementos intervinientes en el cálculo de las amortizaciones. * Determinar, sin margen de error, la verdadera tasa de interés que se paga en cualquier operación de préstamo a devolver en cuotas constantes. * Utilizar la tasa de interés como instrumento para la toma de decisiones. * Construir cuadros de amortización. * Explicar el principio fundamental para el cálculo de una deuda o el saldo de una deuda. * Utilizar la calculadora financiera para la resolución de problemas de imposiciones y amortizaciones.

Eje del Capítulo Rentas Ciertas. Contenido 3.1. Introducción - clasificación. 3.2. Imposiciones vencidas y adelantadas: deducción de sus fórmulas - Cálculo de la cuota relaciones. 3.3. Amortizaciones: Sistema de amortización con cuotas constantes vencidas y adelantadas: deducción de sus fórmulas. Cálculo de la cuota - relaciones entre ellas y con las imposiciones. 3.4. Composición de la cuota- las amortizaciones reales en función de la cuota - la cuota en función de las amortizaciones reales - La amortización real de cualquier período en función de la del primer período. 3.5 La tasa de amortización: concepto, deducción de su fórmula-La cuota que amortiza una deuda de $ 1.- como suma de la tasa de interés y la tasa de amortización. 3.6 Saldo en el sistema con cuotas constantes: Saldo al final de un período antes de pagar la cuota y saldo al comienzo de un período después de pagar la cuota: deducción de sus fórmulas - Diferencia entre S’r - Sr ; entre Sr y Sr-1 y entre S’r y Sr-1. 3.7 Cálculo de la tasa de interés y el tiempo: el uso de la calculadora financiera - Cálculo de la cuota fraccionaria cuando el tiempo no es exacto. 3.8 Cuadro de amortización. 3.9 Amortizaciones diferidas y perpetuas.

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3.1. Introducción - Clasificación. Una renta es un conjunto de pagos que se hacen mientras subsista una determinada situación, cuando el pago depende de la vida de una o más personas se llaman rentas vitalicias y cuando depende de que transcurra el tiempo se llaman rentas ciertas. En este último caso está por ejemplo el conjunto de pagos que se realizan para saldar una deuda. Los pagos reciben el nombre de cuotas de la renta y éstos pueden abonarse con cualquier periodicidad constante, pero por lo general los plazos suelen ser expresados en meses, bimestres, trimestres, semestres o años. Existen dos situaciones opuestas dentro de la teoría de las rentas ciertas y ellas son: a) Que los pagos o cuotas de la renta sean para formar un valor al final de un cierto tiempo, en este caso estamos en presencia de las llamadas imposiciones. Para formar un capital--> C C C .......... C C |___________|___________|___________|_____________|_________│ 0 1 2 3 .......... n-1 n

b) Que los pagos o cuotas de la renta sean para cancelar una deuda al principio y en un cierto tiempo, en este caso estamos en presencia de las llamadas amortizaciones. Sn|i C C C C ........... C C C |______|______|______|______|_____________|______|______│ 0 1 2 3 4 ...........n-2 n-1 n

II) Los pagos que se efectúan para formar un capital al final de un cierto período de tiempo, se hacen al comienzo de cada unidad de tiempo, en este caso estamos en presencia de las imposiciones adelantadas cuyo valor formado simbolizaremos con:

.. Sn|i

La situación sería la siguiente:

50

.. -------------> S n|i C C C C C ........... C C |______|______|______|______|_____________|______|______│ 0 1 2 3 4 ...........n-2 n-1 n

Para analizar ambos casos vamos a trabajar con cuotas, unidad de tiempo y Tasa de Interés Constante, es decir que la cuota tendrá siempre el mismo valor, las unidades de tiempo serán todas iguales en su duración y la tasa de interés será también siempre la misma, no cambiando a través del tiempo. Imposiciones vencidas: Sean: i: La tasa de interés. n: Número de unidades de tiempo o número de cuotas. C: Cuota constante pagada al final de cada unidad de tiempo. Sn|i: Capital formado al cabo de “n” unidades de tiempo, por la colocación de cuotas

vencidas y repetidas en cada una de ellas, de C pesos a un interés compuesto a la tasa “i”.

: Capital formado al cabo de “n” unidades de tiempo, por la colocación de cuotas vencidas y repetidas en cada una de ellas, de 1 peso a un interés compuesto a la tasa “i”. sn|i

Teniendo en cuenta estas definiciones y principalmente los conceptos de Sn|i y Sn|i, de ellos se desprende que:

Sn|i

=

C . Sn|i

Por lo tanto para hallar el valor de Sn|i que buscamos, al conocerse el valor de “C” o sea la cuota, lo que debemos encontrar es el valor de:

Sn|i.

Veamos como se calcula: Sn│i es el capital que se forma al final de “n” unidades de tiempo con cuotas vencidas de $ 1.-,

o sea:

1

1

1

1 .......... 1

1

1

|______|______|______|______|____________|______|______│: sn|i 0 1 2 3 4 ..........n-2 n-1 n

este capital sn│i es el formado por todas las cuotas de $ 1.- pero debemos tener en cuenta que es el formado por los valores finales de esas cuotas, es decir que debemos ubicar a todas ellas en el mismo momento de tiempo y en este caso al final de la unidad de tiempo n-ésima; para ello evidentemente lo que tenemos que hacer es capitalizar esas cuotas de $ 1.- o sea gráficamente:

51

_______________________________________

un-1

| | ________________________________ un-2 | | | | _________________________ un-3 | | | . . | | | . . | | | . . | | | . | | | _____________ u2 | | | | | | | | ______ u 1 1 1 1 1 1 |_____|______|______|___________|______|______│ 0 1 2 3 .........n-2 n-1 n

La cuota de $ 1.- pagada al final de la unidad de tiempo n-ésima tiene ese mismo valor; pero la cuota de $ 1.- pagada al final de la unidad de tiempo “n-1” ha estado una unidad de tiempo ganando intereses, es decir que hay que capitalizarla por una unidad de tiempo que es lo que se ha hecho al multiplicarla por “u”; lo mismo ocurre con la cuota de $ 1.- depositada al final de la unidad de tiempo “n-2” que debe ser capitalizada por dos unidades de tiempo y así entonces la multiplicamos por u2; de esta forma y así sucesivamente llegamos hasta la cuota de $ 1.- pagada al final de la primera unidad de tiempo que gana intereses durante “n-1” unidades de tiempo y por lo tanto para llevarla al momento n-ésimo la multiplicamos por un-1. Ahora el valor de sn|i será la suma de todas las cantidades ubicadas en el mismo momento de tiempo y por lo tanto homogéneas, o sea: sn|i = 1 + u + u2 + u3 + ..........+ un-2 + un-1

n-1 = Σ t=0

ut

Estamos en presencia de la suma de términos de una progresión geométrica con primer término igual a 1, razón igual a “u” y último término igual a un-1. Si recordamos la fórmula que se aplica que es: S =

k.q - a ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ q - 1

en donde “k” es el último término, “q” es la razón y “a” el primer término y la aplicamos a este caso tendremos:

sn|i =

un-1 . u - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = u - 1

un - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ u - 1

pero u-1 = (1+i) - 1 = i o sea la tasa de interés, luego: sn|i

un - 1 = ▬▬▬▬▬▬ i

Siendo éste el valor buscado, que también puede expresarse de estas otras formas: sn|i

(1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

=

eδn - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Hemos obtenido así el capital que se forma con cuotas vencidas de $ 1.-. Para hallar el que se forma con cuotas vencidas de $ C.- debemos multiplicar por ésta última o sea:

52

un - 1 Sn|i = C ▬▬▬▬▬▬▬ = i

(1+i)n - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = i

eδn - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬▬ = C sn|i i

Para ver un poco más claro esto último volvamos al último gráfico y reemplacemos las cuotas de $ 1.- por cuotas de $ C.-, obviamente la suma será ahora:

Sn|i = C

Sn|i =

+ Σ

n-1 t=0

C.u

+

C.ut

C.u2 +

C.u3 + .....+ C.un-2

+

C.un-1

n-1 C Σ ut t=0 │______│

=

El sumatorio marcado es la misma expresión que desarrollamos y cuyo valor simbolizamos con sn|i , quedando comprobado por lo tanto la igualdad:

S

n|i

=

C . sn|i

que antes habíamos señalado conceptualmente.

La cuota: Puede darse la situación de que se conozca el capital formado, la tasa de interés y el número de cuotas o unidades de tiempo y la incógnita sea el valor de la cuota. Para hallar la cuota conocido el capital final que quiere formarse, lo que tenemos que hacer es despejar de las fórmulas vistas su valor, así entonces partiendo de que: un - 1 Sn|i = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ i

= C . sn|i

despejando tenemos que: C =

i Sn|i ▬▬▬▬▬▬▬▬ un - 1

=

Sn|i . sn|i-1

Siendo en este caso “C” la cuota periódica vencida que con sus intereses compuestos a la tasa “i” constituye un capital Sn|i al final de “n” unidades de tiempo. Las diversas fórmulas para el cálculo de la cuota y que se pueden usar indistintamente son: i i i C = Sn|i.sn|i-1 = Sn|i ▬▬▬▬▬▬ = Sn|i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = Sn|i ▬▬▬▬▬▬▬ un - 1 (1+i)n - 1 eδn - 1

Si queremos saber cuál es la cuota periódica vencida que con sus intereses compuestos a la tasa “i” constituye un capital unitario al final de “n” unidades de tiempo, debemos dividir las expresiones anteriores por Sn|i, siendo esa cuota entonces: sn|i-1 =

i ▬▬▬▬▬ = un - 1

i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i)n - 1

i ▬▬▬▬▬▬▬ eδn - 1

Imposiciones Adelantadas: Sean: i : La tasa de interés. n : Número de unidades de tiempo o número de cuotas.

53

C : Cuota constante pagada al comienzo de cada unidad de tiempo.

: Capital formado al cabo de “n” unidades de tiempo, por la colocación de cuotas adelantadas y repetidas en cada una de ellas, de C pesos a un interés compuesto a la tasa “i”. : Capital formado al cabo de “n” unidades de tiempo, por la colocación de cuotas adelantadas y repetidas en cada una de ellas, de 1 peso a un interés compuesto a la tasa “i”. Teniendo en cuenta estas definiciones y principalmente los conceptos de se desprende que:

=

y

, de ellos

C .

Por lo tanto para hallar el valor de Sn|i que buscamos, al conocerse el valor de “C” o sea la cuota, lo que debemos encontrar es el valor de:

Veamos como se calcula: es el capital que se forma al final de “n” unidades de tiempo con cuotas adelantadas de $ 1.-, o sea:

1

1



|______|______|______|______|____________|______|______│:



0

1

1 2

1 3

1 .......... 1 4 ..........n-2

1 n-1

n

este capital es el formado por todas las cuotas de $ 1.- pero debemos tener en cuenta que es el formado por los valores finales de esas cuotas, es decir que debemos ubicar a todas ellas en el mismo momento de tiempo y en este caso al final de la unidad de tiempo n-ésima; para ello evidentemente lo que tenemos que hacer es capitalizar esas cuotas de $ 1.- o sea gráficamente: _____________________________________________

un

│ │ _______________________________________ un-1 │ │ │ │ ________________________________ un-2 │ │ │ │ │ │ _________________________ un-3 │ │ │ │ . . │ │ │ │ . . │ │ │ │ . . │ │ │ │ . │ │ │ │ _____________ u2 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ______ u 1 1 1 1 1 1 |_____|______|______|___________|______|______│ 0 1 2 3 .........n-2 n-1 n

La cuota de $ 1.- pagada al comienzo de la unidad de tiempo n-ésima ha estado una unidad de tiempo ganando intereses, es decir que hay que capitalizarla por una unidad de tiempo que es lo que se ha hecho al multiplicarla por “u”; lo mismo ocurre con la cuota de $ 1.- depositada al comienzo de la unidad de tiempo “n-2” que debe ser capitalizada por dos unidades de tiempo y así entonces la multiplicamos por u2; de esta forma y así sucesivamente llegamos hasta la cuota de $ 1.- pagada al comienzo de la primera unidad de tiempo que gana intereses durante “n” unidades de tiempo y por lo tanto para llevarla al momento n-ésimo la multiplicamos por un.

54

Ahora el valor de será la suma de todas las cantidades ubicadas en el mismo momento de tiempo y por lo tanto homogéneas, o sea: = u + u2 + u3 + ..........+ un-1 + un

=

n Σ ut t=1

Estamos en presencia de la suma de términos de una progresión geométrica con primer término igual a “u”, razón igual a “u” y último término igual a un. Si recordamos la fórmula que se aplica que es: S =

k.q - a ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ q - 1

en donde “k” es el último término, “q” es la razón y “a” el primer término y la aplicamos a este caso tendremos:

un . u - u = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ u - 1

=

u (un - 1) un - 1 un - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = u ▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i) ▬▬▬▬▬▬▬ u - 1 i i

pero recordemos que: 1 + i ▬▬▬▬▬ i

1 = ▬▬▬▬▬▬▬ = i ▬▬▬▬▬ 1+i

1 ▬▬▬ d

siendo “d” la tasa de descuento, si reemplazamos llegamos a que:

un - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬ d

Siendo éste el valor buscado, que también puede expresarse de éstas otras formas:

(1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d

=

eδn - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬ d

Hemos obtenido así el capital que se forma con cuotas adelantadas de $ 1.-. Para hallar el que se forma con cuotas adelantadas de $ C.- debemos multiplicar por ésta última o sea: =

un - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬ = d

(1+i)n - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = d

eδn - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬▬ = C . d

La cuota: Puede darse la situación de que se conozca el capital formado, la tasa de interés y el número de cuotas o unidades de tiempo y la incógnita sea el valor de la cuota. Para hallar la cuota conocido el capital final que quiere formarse, lo que tenemos que hacer es despejar de las fórmulas vistas su valor, así entonces partiendo de que:

=

un - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬ d

= C.

despejando tenemos que:

55

d C = .▬▬▬▬▬▬▬ un - 1

=

.

-1

Siendo en este caso “C” la cuota periódica adelantada que con sus intereses compuestos a la tasa “i” constituye un capital al final de “n” unidades de tiempo. Las diversas fórmulas para el cálculo de la cuota y que se pueden usar indistintamente son: -1 C = . =

d ▬▬▬▬▬▬ = un - 1

d .▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i)n - 1

d ▬▬▬▬▬▬▬ eδn - 1

Si queremos saber cuál es la cuota periódica adelantada que con sus intereses compuestos a la tasa “i” constituye un capital unitario al final de “n” unidades de tiempo, debemos dividir las expresiones anteriores por , siendo esa cuota entonces:

-1



=

d ▬▬▬▬▬ = un - 1

d ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i)n - 1

d ▬▬▬▬▬▬▬ eδn - 1

Relaciones: Las haremos en primer lugar para cuotas de $ 1.- y luego se obtiene muy simplemente cuando la cuota es de $ C.-, para ello recordemos cualesquiera de las fórmulas vistas de las imposiciones vencidas y adelantadas: (1+i)n - 1 sn|i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i (1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d

(1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i │___________│

(1+i)

de aquí se deduce claramente que:

= sn|i (1+i) = sn|i . u

sn|i =

1 ▬▬▬▬▬ = (1+i)

. v

siendo “u” el factor de capitalización y “v” el factor de actualización. Otra relación muy importante surge del siguiente análisis: Sabemos que sn|i

= Σ

n-1 t u t=0

Este sumatorio puede colocarse así: n-1 t sn|i = u0 + Σ u = 1 + t=1 │______│

(I)

ya que la expresión marcada es una imposición con cuotas adelantadas pagadas durante “n-1” unidades de tiempo. Podemos deducirlo también gráficamente:

56

|1| |1| |1| |1|.............|1| |1|--->sn|i |______|______|______|______|_______________|_____│ 0 1 2 3 4 .............n-1 n |1|

|1| |1| |1| |1|.............|1| ---> |___________________________________________│

lo marcado con el corchete es una imposición adelantada en donde las cuotas se han pagado durante “n-1” unidades de tiempo ya que no incluye la cuota de $ 1.- pagada o depositada al comienzo de la primera unidad de tiempo, si a ello le sumamos la cuota de $ 1.- pagada o depositada al final de la unidad de tiempo n-ésima, obtenemos el capital que se forma con “n” cuotas vencidas de $ 1.- llegando a la conclusión (I). De (I) se deduce que:

= sn|i

- 1

y de aquí deducimos que:

=

- 1

Esto es para cuotas de $ 1.-, si las cuotas son de $ C.-, teniendo en cuenta lo visto las relaciones serán:

=

Sn|i (1+i) = Sn|i . u

Sn|i =

1 ▬▬▬▬▬ = (1+i)

. v

y por último:

Sn|i = C ( = C (

+ 1) - 1)

3.3. Amortizaciones: Sistema de amortización con cuotas constantes vencidas y adelantadas: deducción de sus fórmulas. Cálculo de la cuota - relaciones entre ellas y con las imposiciones. Amortizaciones: Sistema de amortización con cuotas constantes: También aquí existen dos casos, ellos son: a) Los pagos que se efectúan durante “n” unidades de tiempo, para saldar una deuda que está colocada al comienzo, se hacen al final de cada unidad de tiempo; en este caso estamos en presencia de las Amortizaciones vencidas, o sea:

Cuotas vencidas para saldar V C C C C ........... C C C |______|______|______|______|_____________|______|______| 0 1 2 3 4 ...........n-2 n-1 n

b) Los pagos que se efectúan durante “n” unidades de tiempo, para saldar una deuda que está colocada al comienzo, se hacen al comienzo de cada unidad de tiempo; en este caso estamos en presencia de las Amortizaciones adelantadas, o sea:

57

Cuotas adelantadas para saldar C C C C C ........... C C V |______|______|______|______|_____________|______|______| 0 1 2 3 4 ...........n-2 n-1 n

Para analizar ambos casos vamos a trabajar con cuotas, unidad de tiempo y tasa de interés constantes.

Amortizaciones vencidas: Sean: i : La tasa de interés n : Número de unidades de tiempo o número de cuotas. C : Cuota pagada al final de cada unidad de tiempo para saldar una deuda V. V : Deuda que con sus intereses compuestos a la tasa “i” se amortiza mediante el pago

repetido y consecutivo de cuotas de $ C.- al final de cada unidad de tiempo durante “n” unidades de tiempo. an|i : Deuda que con sus intereses compuestos a la tasa “i” se amortiza mediante el pago

repetido y consecutivo de cuotas de $ 1.- al final de cada unidad de tiempo durante “n” unidades de tiempo. Teniendo en cuenta los conceptos de V y an|i afirmamos que:

V =

C . an|i

Por lo tanto, conocida C, para hallar el valor de “V” debemos encontrar el valor de an|i, que es lo que haremos a continuación. Partimos de un principio fundamental que dice: la deuda es igual a la suma del valor actual de todas las cuotas de tal manera que:

v

2

v

3

v

4

v

n-2

v

n-1

v

n

v

0 1 2 3 4 ......... n-2 n-1 n |_____|_____|_____|_____|____________|_____|_____| |1| |1| |1| |1|......... |1| |1| |1| │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ______│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ .......... │ │ │ ____________│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ __________________│ │ │ │ │ │ │ │ │ ________________________│ │ │ │ : │ │ │ : │ │ │ : │ │ │ _____________________________________│ │ │ │ │ ___________________________________________│ │ │ _________________________________________________│

Vemos que la cuota de $ 1.- pagada al final de la primera unidad de tiempo hay que actualizarla por una unidad de tiempo y por ello se la multiplica por “v”, a la pagada al final de la segunda unidad de tiempo hay que actualizarla por dos unidades de tiempo y por ello se la multiplica por

58

v2 y así sucesivamente; la cuota pagada al final de la unidad de tiempo n-ésima se actualiza por “n” unidades de tiempo o sea que debe multiplicarse por vn.

De tal forma tenemos todos los valores actuales de cada una de las cuotas, luego su suma será el valor buscado: n an|i = v + v2 + v3 + v4 + .......+ vn-1 + vn = Σ vt t=1

Tenemos aquí también la suma de términos de una progresión geométrica, cuya razón en este caso es “v” que es menor que 1, por lo que la fórmula a emplear será: a - k.q S = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 – q

siendo

q < 1

en donde “a” es el primer término (v), “k” es el último término(vn) y “q” es la razón (v), entonces:

v - vn . v = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1 - v

an|i

1 - vn v ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - v

recordemos que 1 - v = d y que d = v.i, luego:

an|i

=

1 - vn v ▬▬▬▬▬▬▬▬ = d

1 - vn v ▬▬▬▬▬▬▬▬ v.i

simplificando llegamos a que: 1 - vn an|i = ▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Otra forma de colocar esta expresión, utilizando la tasa instantánea de interés, es la siguiente:

an|i

1 - e-δn = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

y también esta: 1 (1+i)n - 1 1 - ▬▬▬▬▬▬ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n (1+i)n an|i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = i i

y haciendo el producto de los extremos sobre el producto de los medios nos queda: an|i =

(1+i)n - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n . i

Hemos obtenido así la deuda que se amortiza con cuotas vencidas de $ 1.-, para hallar la que se amortiza con cuotas vencidas de $ C.- debemos multiplicar por ella las expresiones anteriores, o sea:

V = C . an|i

de donde:

59

1 - vn V = C ▬▬▬▬▬▬▬ i

1 - e-δn = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

(1+i)n - 1 = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n . i

La cuota: Puede darse el caso de que se conozca la deuda que hay que amortizar, la tasa de interés y el número de cuotas y la incógnita sea el importe de la cuota. Para hallar la cuota que salda una deuda partimos de las fórmulas anteriores y despejamos su valor, entonces: i i (1+i)n . i C = V ▬▬▬▬▬▬▬▬ = V ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = V ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = V an|i-1 1 - vn 1 - e-δn (1+i)n - 1

siendo ésta la cuota periódica vencida que amortiza un préstamo de $ V.-, durante “n” unidades de tiempo, colocado a un interés compuesto a la tasa “i”. La cuota que salda una deuda de $ 1.- se obtiene dividiendo las expresiones anteriores por V, entonces: an|i-1 =

i ▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vn

i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1 - e-δn

(1+i)n.i ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i)n-1

es la cuota periódica vencida que amortiza un préstamo de $ 1.-, durante “n” unidades de tiempo, colocado a un interés compuesto a la tasa “i”.

Amortizaciones adelantadas: Sean: : La tasa de interés : Número de unidades de tiempo o número de cuotas. : Cuota pagada al comienzo de cada unidad de tiempo para saldar una deuda V. : Deuda que con sus intereses compuestos a la tasa “i” se amortiza mediante el pago repetido y consecutivo de cuotas de $ C.- al comienzo de cada unidad de tiempo durante “n” unidades de tiempo. : Deuda que con sus intereses compuestos a la tasa “i” se amortiza mediante el pago repetido y consecutivo de cuotas de $ 1.- al comienzo de cada unidad de tiempo durante “n” unidades de tiempo. i n C V

Teniendo en cuenta los conceptos de V y

V =

afirmamos que:

C .

Por lo tanto,conocida C, para hallar el valor de V debemos encontrar el valor de que haremos a continuación:

60

, que es lo

Siguiendo el principio fundamental que dice: la deuda es igual a la suma del valor actual de todas las cuotas de tal manera que: Vemos que la cuota de $ 1.- pagada al comienzo de la primera unidad tiene ese valor de $ 1.-, a la pagada al comienzo de la segunda unidad de tiempo hay que actualizarla por una unidad de tiempo y por ello se la multiplica por v y así sucesivamente; la cuota pagada al comienzo de la unidad de tiempo n-ésima se actualiza por “n-1” unidades de tiempo y debe multiplicarse por vn-1. De tal forma tenemos todos los valores actuales de cada una de las cuotas, luego su suma será el valor buscado: = 1 + v + v2 + v3 + v4 + v5 + .......+ vn-1

= Σ

v

n-1

t

t=0

Tenemos aquí también la suma de términos de una progresión geométrica, cuya razón en este caso es “v” que es menor que 1, por lo que la fórmula a emplear será: a - k.q S = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - q

siendo

q < 1

en donde “a” es el primer término (1), “k” es el último término (vn-1) y “q” es la razón (v), entonces:

1 - vn-1 . v = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - v

=

1 - vn ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1-v

recordemos que 1 - v = d, o sea la tasa de descuento, luego: 1 - vn = ▬▬▬▬▬▬▬▬ d

Otra forma de colocar esta expresión, utilizando la tasa instantánea de interés es la siguiente:

1 - e-δn = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d

Y también esta:

1 ▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d 1 -

(1+i)n - 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d

=

Y haciendo el producto de los extremos sobre el producto de los medios nos queda:

(1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n . d

Hemos obtenido así la deuda que se amortiza con cuotas adelantadas de $ 1.-, para hallar la que se amortiza con cuotas adelantadas de $ C.- debemos multiplicar por ella las expresiones anteriores, o sea:

V = C .

de donde: 1 - vn 1 - e-δn V = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d d

61

(1+i)n - 1 = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n . d

La cuota: Puede darse el caso de que se conozca la deuda que hay que amortizar, la tasa de interés y el número de cuotas y la incógnita sea el importe de la cuota. Para hallar la cuota que salda una deuda partimos de las fórmulas anteriores y despejamos su valor, entonces: d C = V ▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vn

d = V ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - e-δn

(1+i)n . d = V ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = V (1+i)n - 1

-1

Siendo ésta la cuota periódica adelantada que amortiza un préstamo de $ V.-, durante “n” unidades de tiempo, colocado a un interés compuesto a la tasa “i”. La cuota que salda una deuda de $ 1.- se obtiene dividiendo las expresiones anteriores por V, entonces:

=

-1

d ▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vn

=

d ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1 - e-δn

(1+i)n . d ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i)n - 1

es la cuota periódica adelantada que amortiza un préstamo de $ 1.-, durante “n” unidades de tiempo, colocado a un interés compuesto a la tasa “i”.

Relaciones entre ellas y con las imposiciones: Partiendo de las fórmulas an|i

=

=

1 - vn ▬▬▬▬▬▬▬ i 1 - vn ▬▬▬▬▬▬▬ d

(1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)n . i

(I)

(1+i)n - 1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+i)n . d



(1+i)n -1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+i) (1+i)n . i

(II)

│__________│

En donde en la última expresión hemos reemplazado a “d” por su igual en función de “i”, es decir que: i d = ▬▬▬▬▬ 1+i

entonces

1 1+i ▬▬▬ = ▬▬▬▬▬ d i

Si comparamos las expresiones (I) y (II) deducimos que:

=

an|i . (1+i) = an|i . u

an|i =

.(1+i)-1 = an|i . v

y que:

Otra relación muy importante surge del siguiente análisis: Sabemos que n-1 n-1 = Σ v t = v0 + Σ vt = t=0 t=1

n-1 1 + Σ vt t=1 |_______│

pero el sumatorio marcado nos define la deuda que se salda con cuotas vencidas de $ 1.- y como dicho sumatorio va desde 1 hasta “n-1”, el número de cuotas son “n-1”, por lo tanto podemos poner que:

62



=

1 + an-1|i

de aquí deducimos lo siguiente:

an-1|i =

-

1

Entonces:

an|i =

- 1

Relaciones con las imposiciones: Para hallar las relaciones con las imposiciones, lo veremos primeramente con un gráfico y luego lo comprobaremos matemáticamente: an|i

sn|i |______|______|______|_______________|_____│ 0 1 2 3 .............n-1 n

El valor actual de todas las cuotas, según el caso, nos representa cada una de las amortizaciones y el valor final de esas mismas cuotas, según el caso, nos representan las imposiciones. Entonces entre las amortizaciones y las imposiciones existe una relación similar a la que existe entre el capital inicial y el monto, por lo tanto:

an|i

= sn|i . vn



sn|i

= an|i . un

También:

=



=

. vn . un

podemos colocar además a las amortizaciones vencidas y adelantadas en función de las imposiciones adelantadas y vencidas respectivamente, o sea:

an|i = sn|i . vn = =

.v .vn =

. vn = sn|i .u .vn =

. vn+1 sn|i . vn-1

Comprobaremos ahora matemáticamente las relaciones principales entre las amortizaciones y las imposiciones, recordando las fórmulas de las imposiciones podemos colocar: (1+i)n - 1 1 (1+i)n - 1 n sn|i .v = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ .▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = i (1+i)n (1+i)n . i (1+i)n - 1 1 .vn = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ . ▬▬▬▬▬▬ d (1+i)n

an|i

(1+i)n - 1 .. = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = an|i (1+i)n . d

3.4. Composición de la cuota - las amortizaciones reales en función de la cuota - la cuota en función de las amortizaciones reales - La amortización real de cualquier período en función de la del primer período. Composición de la cuota: Nos referiremos a la cuota vencida del sistema de amortización de cuotas constantes. En este sistema la cuota está constituida por dos partes:

63

a) Una parte destinada al pago de intereses sobre el saldo de la deuda. b) Otra parte destinada a amortizar la deuda original. Es decir que de acuerdo a lo expresado tenemos: CUOTA VENCIDA = Intereses sobre el saldo de la deuda al comienzo de la Unidad de tiempo + amortización real de la unidad de tiempo. Nos estamos refiriendo a la cuota constante por lo que es necesario que las cuotas sean mayores que el interés del primer período (aclaremos que usamos la palabra período que abarca en este caso una unidad de tiempo y por lo tanto conceptualmente es lo mismo), ya que si la cuota es igual al interés del primer período, lo será también al de todos los otros períodos y la deuda no se amortizará nunca; por otra parte si la cuota fuese menor al interés del primer período la deuda no sólo no se cancelaría nunca sino que irá aumentando a medida que pase el tiempo.

Todas las cuotas son iguales, pero a medida que pasa el tiempo el interés en cada cuota disminuye porque se va reduciendo el saldo adeudado, entonces la amortización real crece y crece en la misma cantidad que disminuyen los intereses. Analizando el siguiente gráfico desarrollaremos el tema: Saldo: Nuevo Saldo: Sr Sr+1 = Sr-tr r r+1 |_________________________|_________________________|_______ C C Sr-1

intereses + amort.real Sr-1. i + tr

Intereses + amort.real (Sr-1-tr).i + [tr+1 = tr +tr.i] Sr-1.i-tr.i + [tr+1 = tr (1+i)]

Si nosotros llamamos tr a la amortización real de la cuota pagada al final del período r-ésimo, el saldo de la deuda al comienzo del período “r+1”, que llamamos Sr, disminuye en tr, de tal manera que el saldo de la deuda que queda es:

Sr-1 - tr

Ello trae como consecuencia a su vez una disminución de los intereses contenidos en la cuota del período siguiente, ya que si ahora el saldo de la deuda es Sr-1-tr, los intereses contenidos serán:

(Sr-1-tr). i = Sr-1.i - tr. i

que comparados con los del período anterior (r-ésimo) que eran Sr-1.i, efectivamente han disminuido en “tr.i”. Como consecuencia tr.i lógica se produce a su vez un aumento en la amortización real en esta misma cantidad “tr.i”, ya que al ser la cuota constante si en la pagadera en el período “r+1” han disminuido los intereses que ella contiene, necesariamente aumentará la amortización real en la misma cantidad que han disminuido los intereses, por lo tanto para el período “r+1” la amortización real será:

tr+1 = tr + tr.i = tr (1+i) = tr . u

hemos colocado así a la amortización real de cualquier período en función de la amortización real del período anterior. De la última igualdad podemos deducir que:

tr = tr+1 . v

Las amortizaciones reales en función de la cuota: Si solicitamos un préstamo de $ V.- a devolver en “n” cuotas, de acuerdo al concepto dado la primer cuota vencida (a pagar al final de la primer unidad de tiempo) contendrá el interés sobre

64

el saldo de la deuda más la amortización real que simbolizaremos con t1 o sea que:

C = V.i + t1

Siendo V.i los intereses sobre el saldo de la deuda y t1 la amortización real contenida en la primera cuota pagada al final del primer período o unidad de tiempo, si despejamos tenemos que:

t1 = C - V.i

1 - vn pero V = C an|i = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

, luego reemplazando:

1 - vn t1 = C - C ▬▬▬▬▬▬▬▬ . i i

t1 = C - C + C.vn =

=

C - ( C - C.vn )

C . vn

Hemos hallado a t1 en función de la cuota, veremos ahora a que es igual t2 partiendo de que:

t2 = C - (V-t1).i

como los intereses son sobre el saldo y ya se pagó la primer cuota, el saldo disminuye en t1 o sea en la amortización real, luego los intereses ahora son sobre (V-t1), operando tenemos:

t2 = C - V.i + t1.i = |__t1___│

t1 + t1.i = C.vn + C.vn .i = C.vn .(1+i)

en definitiva:

t2 = C.vn-1

Para t3 tendremos: t3 = C - (V-t1-t2).i = C - V.i + t1.i + t2.i |__t1__│

t3 = t1 + t1.i + t2.i = t2 + t2 . i = t2 (1+i) = C.vn-1 .(1+i) |___t2___│

en definitiva:

t3 = C . vn-2

vemos que se produce una ley de formación y así t4= C.vn-3, para un período “r-ésimo” cualquiera, la amortización real tr será:

tr = C.vn-(r-1)

operando en el exponente llegamos a que:

tr = C . vn-r+1

y la amortización real del período “n-ésimo” será:

tn = C.vn-n+1

= C.v

Hemos puesto así la amortización real de cualquier período en función de la cuota. La fórmula del recuadro es una fórmula general.

65

La cuota en función de las amortizaciones reales: Solamente nos basta con despejar en cada uno de los casos hallados anteriormente el valor de la cuota o sea: Si t1 = C . vn Si t2 = C . vn-1 Si t3 = C . vn-2 . . . . . Si tr = C . vn-r+1

Si tn=

. . .

C . v

entonces entonces entonces

entonces

entonces

C = t 1 . un C = t2 . un-1 C = t3 . un-2 . . . .

C =

tr . un-r+1 (I)

. . . C =

tn . u

Hemos colocado así la cuota en función de las amortizaciones reales de cualquier período. La fórmula (I) es una fórmula de carácter general.

La amortización real de cualquier período en función de la del primer período: Partiremos para ello de que

t1 = C - V.i

t2 = C - (V-t1).i = C - V.i + t1.i = t1 + t1.i |__t1__│

luego:

t2 = t1 . (1+i) = t1 . u

Veremos ahora a que es igual t3: t3 = C - (V-t1-t2).i = C - V.i + t1.i + t2.i |__t1__│

t3 = t1 + t1.i + t2.i

= t1 .(1+i) + t2 . i

pero t2 = t1 . (1+i), reemplazando y operando:

t3 = t1.(1+i) + t1.(1+i).i = t1.(1+i).(1+i)



t3 = t1 .(1+i)2 = t1 . u2

también existe una ley de formación; si continuamos demostraremos que t4=t1.u3, que t5=t1.u4 y así sucesivamente, en general para la amortización real de un período “r-ésimo” cualquiera tenemos:

tr = t1 . (1+i)r-1

= t1 . ur-1

y la amortización real del período “n-ésimo” será:

tn = t1 . (1+i)n-1

= t1 . un-1

Hemos hallado así la amortización real de cualquier período en función de la del primer período. La suma de las amortizaciones es igual a la deuda original V.: De acuerdo a todo lo analizado, la suma de todas las amortizaciones reales nos tendrá que dar la deuda original, comprobaremos ello:

66

t1 + t2 + t3 + ..........+ tr +.......+ tn =

n Σ tr r=1

colocamos a tr en función de la cuota y nos queda:

n n Σ tr = Σ C.vn-r+1 r=1 r=1

n = C . Σ vn-r+1 r=1

si desarrollamos el último sumatorio tenemos:

n Σ tr = r=1



n Σ tr r=1

C ( vn + vn-1

+ vn-2

n +.......+ v) = C. Σ vt t=1

Ahora el último sumatorio nos define la deuda que se salda con “n” cuotas vencidas de $ 1.-, o sea que: = C . an|i

=

V

Que es a lo que queríamos llegar.

3.5 La tasa de amortización: concepto, deducción de su fórmula La cuota que amortiza una deuda de $ 1.- como suma de la tasa de interés y la tasa de amortización. Tasa de amortización: Concepto - deducción de su fórmula: Se define como la amortización real del primer período correspondiente a una deuda de una unidad de capital. Veamos su desarrollo: Otras de las formas de expresar la amortización real de cualquier período es en función de la del primer período o sea:

tr = t1 . (1+i)r-1

la deuda, que es la suma de las amortizaciones reales, será por lo tanto:

n V = Σ t1 (1+i)r-1 r=1

n = Σ tr r=1

Operando: n V = t1 . Σ (1+i)r-1 = t1 r=1

n Σ ur-1 r=1

n-1 t V = t1 ( 1 + u + u2 + u3 + u4 +......+ un-1 ) = t1 . Σ u t=0

el último sumatorio no es otra cosa que el capital que se forma al cabo de “n” unidades de tiempo con cuotas vencidas de $ 1.-, luego:

V = t1 .sn|i

si despejamos t1, tenemos que:

t1 = V sn|i-1

67

que es la amortización real del primer período en función de la deuda de $ V.-, si dividimos ahora ambos miembros por V obtendremos la amortización real del primer período pero ahora en función de una deuda de $ 1.-. o sea:

t1 ▬▬▬ = sn|i-1 = θ V

Que es la tasa de amortización, que hemos simbolizado con θ. La cuota que amortiza una deuda de $ 1.- como suma de la tasa de interés y la tasa de amortización: Recordemos a que es igual la cuota según como está compuesta, es decir:

C = V.i + t1

esta es la cuota que cancela una deuda de $ V.-, si queremos saber la cuota que amortiza una deuda de $ 1.-, dividimos por V y tenemos:

C ▬▬▬ = V

t1 i + ▬▬▬ V



C recordemos que ▬▬▬▬ = an|i-1 , si reemplazamos nos queda: V t1 an|i-1 = i + ▬▬▬ V t1 pero ▬▬▬ = θ , o sea la tasa de amortización, luego: V

an|i-1 =

i + θ

Que es lo que queríamos demostrar. Podemos decir entonces que la cuota que amortiza una deuda de $ 1.- es igual a la tasa de interés más la tasa de amortización; la última expresión también se puede colocar así:

an|i-1 =

i + sn|i-1

3.6 Saldo en el sistema con cuotas constantes: Saldo al final de un período antes de pagar la cuota y saldo al comienzo de un período después de pagar la cuota: deducción de sus fórmulas. Diferencia entre S’r - Sr; entre Sr y Sr-1 y entre S’r y Sr-1. Saldo en el sistema con cuotas constantes: Para desarrollar el tema comenzaremos por resolver un caso determinado y luego generalizaremos. Supongamos una deuda que se amortiza en 10 cuotas vencidas de $ C.- o sea este gráfico:

68

C S5 C C C C C |____|____|____|____|____|____|____|____|____|____│ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |_______________________ |________________________│ 5 S’5 10-5 |_________________________________________________│ 10

Llamaremos: S’5 = Saldo al final del período quinto antes de pagar la cuota.

S5 = Saldo al comienzo del período “5+1” después de pagar la cuota.

Así como la deuda al comienzo es igual a la suma del valor actual de todas las cuotas, el saldo de la deuda en cualquier momento es igual a la suma del valor actual de las cuotas que aún restan pagar, por lo tanto para este caso particular tendremos: S’5 = C + C.v + C.v2 + C.v3 + C.v4 + C.v5 =

C

5 t Σ v t=0

que se puede colocar como:



S’5 = C



10-5 Σ vt = t=0

C ( 1 + v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5)

lo que está entre paréntesis es la suma de términos de una progresión geométrica de razón menor que uno, si aplicamos la fórmula para la suma tenemos: 1 - v5 . v 1 - v6 1 - v6 S’5 = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - v 1 - v d |_________│

pero la expresión marcada es la deuda que se amortiza con 6 cuotas adelantadas de $ 1.-, o sea que:

S’5 = C . ä6|i



S’5 = C . ä10-5+1|i

que se puede poner de esta forma: (I)

Para el otro caso tenemos: S5 = C.v + C.v2 + C.v3 + C.v4 + C.v5 =

C

5 t Σ v t=1

que se puede colocar como: S5 = C

10-5 t Σ v = t=1

C ( v + v 2 + v 3 + v 4 + v 5)

aplicando nuevamente la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica con razón menor que uno, tenemos: v - v 5. v v(1 - v5) S5 = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - v 1 - v v (1 - v5) 1 - v5 S5 = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ v.i i |_______│

69

v (1 - v5) = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ d

pero la expresión marcada es la deuda que se amortiza con 5 cuotas vencidas de $ 1.-, o sea que:

S5 = C . a5|i

que se puede poner de esta forma:

S5 = C . a10-5|i

(II)

Si trabajamos ahora en forma general tendremos: 0 Sr n |____|____|____|____|____|____|____|____|____|____| |________________________|________________________| r S’r n-r |_________________________________________________| n

Siendo: S’r = Saldo al final del período r-ésimo antes de pagar la cuota. Sr = Saldo al comienzo del período “r+1” después de pagar la cuota correspondiente

al período r-ésimo.

Teniendo en cuenta lo visto y las expresiones (I) y (II) podemos establecer que: S’r = C . än-r+1|i

=

n-r C Σ t=0

vt

y que: Sr = C . an-r|i

=

n-r C Σ t=1

vt

Diferencia entre S’r y Sr:

O sea la diferencia entre el saldo al final del período r-ésimo y al comienzo del período “r+1”. Gráficamente podemos deducir que esa diferencia es igual a la cuota, pero para afirmar ello vamos a demostrarlo matemáticamente. Partimos de la relación que existe entre una amortización adelantada y una vencida, una de ellas era:

än|i = 1 + an-1|i

de donde podemos deducir que:

än-r+1|i = 1 + an-r|i

multiplicamos ambos miembros por C y tenemos:

C . än-r+1|i = C |__________|

+ C . an-r|i |__________|

Pero el primer miembro nos define S’r y el segundo término del segundo miembro nos define Sr, luego reemplazando tenemos:

S’r =

C + Sr

de donde:

S’r - Sr = C

70

Diferencia entre Sr-1 y Sr:

O sea la diferencia entre el saldo al comienzo de un período cualquiera y el saldo al principio del período siguiente, gráficamente: Sr-1 Sr ______|____________________________|_____ r-1 r |____________________________| período r-ésimo

de acuerdo al análisis realizado recientemente vemos que:

S1

= V - t1

es decir que el saldo de la deuda después de pagar la primer cuota, que simbolizamos con S1, es igual a la deuda menos la amortización real contenida en la primer cuota, que hemos simbolizado con t1; de la misma manera deducimos que:

S2

= V - t 1 - t2

si ahora restamos miembro a miembro estas igualdades tendremos:

S1 - S 2 = V - t 1 - ( V - t 1 - t 2 ) = V - t 1 - V + t 1 + t 2

en definitiva:

S1 - S 2 = t 2

Si ahora restamos S2 - S3, aplicando el mismo razonamiento llegamos a que:

S2 - S 3

= V - t1 - t2 - (V - t1 - t2 - t3 ) = t3

y así sucesivamente, generalizando podemos colocar que:

Sr-1 - Sr

=

tr

Es decir que la diferencia que buscamos es igual a la amortización real contenida en la cuota del período “r-ésimo”.

Diferencia entre S’r y Sr-1:

Si restamos miembro a miembro las dos diferencias anteriores, tenemos:

S’r - Sr - ( Sr-1 - Sr )

=

C - tr

eliminando el paréntesis y reduciendo términos iguales con distinto signo llegamos a que:

S’r -

Sr-1

=

C - tr

o sea igual a la cuota menos la amortización real del período “r-ésimo”, es decir los intereses sobre el saldo de la deuda al comienzo del período “r-ésimo”, siendo éste según vimos Sr-1, luego entonces:

S’r -

Sr-1

=

Sr-1 . i

pues los intereses sobre el saldo de la deuda se calculan multiplicando a ésta por la tasa de interés. De la última igualdad se deduce que:

S’r =

Sr-1 + Sr-1 . i



S’r =

Sr-1 (1 + i) =

Sr-1 . u

en consecuencia el saldo al final de un período cualquiera es igual al saldo al comienzo de ese período capitalizado hasta ese momento o sea por una unidad de tiempo y también podemos decir que el saldo a un momento cualquiera, dentro de período, será igual al saldo al comienzo de ese período capitalizado hasta ese momento.

71

La afirmación anterior se puede visualizar a través de un gráfico:

Sr-1 Sr ______|_________________|__________________|____ r-1 r ---f---│ r+1 S’r S’r+f S’r+1

de acuerdo a lo que acabamos de demostrar podemos poner que:

S’r = Sr-1 . (1+i)



S’r+1 = Sr . (1+i)



S’r+f = Sr . (1+i)f para

0 < f < 1

3.7 Cálculo de la tasa de interés y el tiempo: el uso de la calculadora financiera - Cálculo de la cuota fraccionaria cuando el tiempo no es exacto Cálculo de la tasa de interés: La aparición de las calculadoras financieras y de las microcomputadoras ha simplificado enormemente la tarea para el cálculo de la tasa de interés y que anteriormente debía hacerse mediante el empleo de tablas financieras o a través de fórmulas que nos dan un valor aproximado de la tasa. En la actualidad y gracias al avance de la tecnología sólo es necesario reconocer tres elementos fundamentales para poder determinar la tasa de interés y ellos son: el importe de la deuda, el importe de la cuota y el número de cuotas. Con estos tres elementos conocidos basta con introducirlos en la calculadora financiera y esta casi automáticamente nos indica cuál es la tasa de interés que rige la operación. Pero es importante detenerse un poco en este punto y fundamentalmente sobre uno de los elementos que se deben conocer: el importe de la deuda, pues los otros dos, es decir el importe de la cuota y el número de cuotas no ofrecen ninguna posibilidad de duda en cuanto a su valor. En primer lugar podemos ensayar la siguiente definición del importe de la deuda para el cálculo de la tasa: “es lo que realmente recibe quien solicita un préstamo” y esto es importante porque muchas veces se solicita una cierta cantidad y la entidad financiera le hace descuentos de sellado, comisiones, administrativos, etc. y si pide $ 10.000.-, probablemente, le entreguen $ 9.948.-, en este caso el importe de la deuda que debe tomarse para calcular la verdadera tasa de interés que paga el que solicita el préstamo no son los $ 10.000.- sino que los $ 9.948.-, de esta manera ocurre lo siguiente: El banco calcula la cuota, que el deudor debe pagar así:

C = V . an|i-1

si suponemos que la deuda debe saldarse en 10 cuotas mensuales vencidas y la tasa que utiliza el banco es i = 0,03 mensual, el importe de la cuota será:

C = 10.000

a10|0,03-1

=

1.172,31

Pero el deudor recibe $ 9.948.- y, por lo tanto, la tasa de interés que paga se deduce al tomar como:

Deuda Cuota

= V = 9.948.-

= C = 1.172,31

72



Nº cuotas = n = 10



i =

La calculadora financiera, con estos tres elementos nos da una tasa de interés: 0,031024

mensual

que es evidentemente más alta que la mencionada. Se podrá decir que los descuentos que se hacen son para gastos, sellados, etc. y no corresponde asimilarlos a la tasa de interés pero eso probablemente es cierto desde el punto de vista de la entidad financiera, no así para el tomador del préstamo, pues la realidad es que por recibir $ 9.948.- tiene que pagar 10 cuotas mensuales vencidas de $ 1.172,31 y la tasa de interés es del 0,031024 mensual. Existe otro importante análisis que hacer en cuanto al cálculo de la tasa de interés y el mismo surge de la siguiente pregunta ¿Cuál es el precio de un bien? Usted se preguntará que tiene que ver esto con la tasa de interés, pues bien este artículo de mi autoría y que transcribo fue publicado en la revista del Colegio de Graduados en Ciencias Económicas de Villa María y también desarrollado en las Jornadas Nacionales de Profesores Universitarios de Matemática Financiera llevadas a cabo en Buenos Aires: “Al comprar un producto uno se pregunta: ¿Cuál es el precio de un bien?, la respuesta es simple de contestar, pero quizá haya quiénes no quieran entender la respuesta y es por ello que trataré de explicarla. Es costumbre ver en las vidrieras o cuando uno entra a comprar algún bien el precio del mismo en un cartel, a veces ese precio es el de contado, otras veces al hacer la pregunta ¿y de contado cuánto vale?, la respuesta es: le hacemos un descuento del 10%; en algunos casos el cartel dice, para un mismo bien,: precio de contado $ 800.-, precio financiado $ 1.000.- y entonces ¿Cuál es el precio?.

El precio de un bien es aquel que debe desembolsarse para llevarse ese bien, es decir el precio de contado y sólo ese, no existe otro precio. Cuando alguien adquiere un bien, se lleva un único objeto y por el hecho de que lo compre de contado o a plazo, el producto siempre es el mismo y tiene un solo precio. No puede cambiar su precio porque al bien no se le agrega ni se le quita nada *es el mismo bien*. Pero que tiene que ver esto con la tasa de interés, tiene mucho que ver porque en esa distinción entre precio de contado y precio financiado se esconde siempre la tasa de interés. Con un ejemplo trataré de explicar como aparece ella: Es muy común que los comerciantes ofrezcan un bien así: Precio $ 1.000.-, pago al contado 10% de descuento. Compra a plazo mediante una entrega del 40% del precio y el saldo a un mes con un 2% de interés. ¿Tiene idea, el comprador, de la tasa de interés que paga si se decide por la compra financiada ? La operatoria a plazo que hace el comerciante es así: Precio Entrega Saldo 2% interés Total a pagar

$ 1.000.$ 400.$ 600.$ 12.$ 612.-

¿Usted cree que la tasa de interés que le cobran es del 2% mensual?, en realidad la verdadera tasa de interés de este ejemplo es:

73

El precio del bien (precio de contado) es de $ 800.-, se entregan $ 400.- por lo que le están financiando $ 400.- (acaso usted no puede ir a un banco y pedir $ 400.- y pagar de contado) y tiene que pagar al cabo de un mes $ 612.-, la tasa es entonces: 612 - 400 212 i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬ = 0,53 (53%) mensual 400 400

Le cobran una tasa de interés del 53% mensual, ¿cómo una tasa tal alta ?, ella surge porque el precio del bien es $ 800.- y no $ 1.000.-, cuando le dicen financiado $ 1.000.- se está aumentando el precio en $ 200.- y eso es todo interés. Lo mismo ocurre para la venta de bienes en cuotas, se le fija al mismo un precio de contado y un precio financiado y para calcular el importe de las cuotas siempre se tiene en cuenta éste último. Ya de entrada le están cobrando intereses y luego se suman más intereses para calcular las cuotas. Es un proceder incorrecto para con el comprador, que se realiza en muchos casos por desconocimiento por parte del vendedor del cálculo financiero y en otros casos teniendo plena conciencia del engaño y ello constituye, por lo tanto, un proceder deshonesto. Ya en una oportunidad me refería a la irracionalidad en el manejo de la tasa de interés, muchas veces he escuchado del sector comercial e industrial sus quejas contra las altas tasas de interés que cobran las entidades financieras ¡y claro que son altas!, pero ¿se han dado cuenta de las altas tasas de interés que están cobrando ellos al comprador?, de muestra sólo hacen falta algunos ejemplos que cualquiera puede recabar de la realidad, en particular uno de ellos tomado de un comercio de la ciudad arroja las siguientes cifras: Precio del bien: $ 975.Valor de contado: $ 877,50

Financiado: Entrega $ 295



Saldo en 10 cuotas vencidas de $ 81,60

Tasa de interés mencionada: el 2% mensual.

Verdadera tasa de interés pagada: Saldo financiado: Contado - entrega = $ 877.50 - $ 295 = $ 582,50 o sea que la deuda a tomar por el deudor es esta última cifra. Nº de cuotas vencidas = 10 Importe de la cuota = $ 81,60 Verdadera Tasa de Interés mensual pagada: 0,0665 (6,65%) mensual. No cabe duda que la ignorancia, en muchos casos, ha llevado a cometer abusos hacia el pequeño comprador, que es quien siempre paga los “platos rotos” y la culpa es también de las entidades financieras porque dejaron ya de prestar un servicio para transformarse en mercaderes del dinero. Si el trabajador común. si el pequeño consumidor tuviera acceso al crédito, otra sería la historia, pero por ahora es imposible y si quiere comprar algún bien de la única manera que puede hacerlo es a plazo y tendrá que pagar seguramente altas tasas de interés que nada tienen que ver con las que a Ud. le pagan si deposita su dinero en caja de ahorro o plazo fijo. Evidentemente el Estado, según mi opinión personal, tendría que disponer medidas tendientes a evitar un mal manejo de la financiación por la venta de bienes al público y exigir la exhibición de un único precio del mismo. El precio que puede pagarse de contado y sobre el cual debe hacerse la financiación en el caso de compra a plazo. Además es necesario un asesoramiento conciente

74

para el manejo de la tasa de interés. Estoy seguro que en muchos casos el desconocimiento lleva a producir abusos que el comerciante o industrial estaría dispuesto a no seguir cometiéndolos si se le demostrara lo irracional de su proceder, como por ejemplo el abuso cometido en un contrato de alquiler que dispone que el atraso en el pago del mismo devengará un interés del 3% diario, esos señores que hicieron el contrato no saben seguramente que si el inquilino se demora solamente 30 días en pagar un alquiler de $ 250.- por mes, tendría que pagar a los treinta días $ 606,82, ya que el 3% diario equivale a una tasa efectiva de interés para 30 días del 142,73%. Ocuparse de todo esto será justicia. Este artículo, que fue publicado hace ya un prolongado tiempo y al que se le hicieron algunas modificaciones respecto al original, tiene plena vigencia y para demostrar ello usted podrá por su cuenta visitar comercios de cualquier ciudad o pueblo del país, requerir la información y comprobar que las tasas de interés que se pagan están por encima de la realidad y por encima de las que probablemente el comerciante le mencione. Existe un objetivo general de la materia y es el de tomar conciencia de que los conocimientos que se adquieren deben ser utilizados para el bien de la comunidad, creemos entonces que los que así lo entiendan estarán de acuerdo con este punto de vista. Estar al servicio de la comunidad y no al servicio de ciertos sectores trae a veces problemas, pero también a veces trae satisfacciones.

Cálculo del tiempo: En este caso la incógnita es “n” o sea el número de cuotas, siendo los demás datos conocidos. El valor de “n” también se puede hallar con las calculadoras financieras introduciendo en éstas los otros tres elementos. También el valor de “n” se puede obtener mediante la siguiente fórmula que surge de despejar su valor a partir de la fórmula que permite calcular la deuda, es decir que partiendo de que: V =

1 - v Cn - C.vn C ▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i i

llegamos a que: log C - log t1 n = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ log (1+i)

Pero el problema fundamental en este tema no es el cálculo en si, sino que casi siempre cuando “n” es la incógnita y debemos determinar su valor nos encontramos con que no es exacto o sea no es un número entero, gráficamente veremos esta situación: C C C C |_________|_________|________________|__________|_____│____| 0 1 2 .............n’-1 n’ n n’+1 |_____| f

“n” está entre dos valores enteros “ n’ “ y “ n’+1 “, la cuota que es constante se va pagando al final de cada unidad de tiempo o sea hasta la unidad de tiempo “n’” siempre tiene el mismo valor C; el problema consiste en saber cuál es la cuota fraccionaria y además saber en que momento se pagará, ya que según se pague en el momento n’, n o n’+1 la cuota fraccionaria tendrá distintos valores, veamos cuales son: Una vez que hemos pagado la cuota correspondiente al período n’, el saldo que queda será, de acuerdo a la fórmula del saldo de la deuda al comienzo de un período después de pagar la cuota, el siguiente:

75



S n’ =

C an-n’|i

Sn’ es el saldo al comienzo del período fraccionario y vemos que n-n’ = f o sea la fracción de tiempo, luego: 1 - vn-n’ Sn’= C an-n’|i = C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

1 - vf = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ i

siendo

0< f< 1

por lo tanto si Sn’ es el saldo de la deuda, la cuota fraccionaria si es pagada al principio del período fraccionario o sea en el momento n’ será el valor buscado que podemos simbolizar así: 1 - vf Cn’ = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ i

si la cuota fraccionaria la pagamos en el momento “n” o sea al final del período fraccionario, su valor será igual al saldo al comienzo del período fraccionario capitalizado hasta ese momento y que es: 1 - vf Cn = C ▬▬▬▬▬▬▬▬ . uf = i

u f - vf . uf C ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

de donde: Cn =

uf - 1 C ▬▬▬▬▬▬▬ i

No es muy común que ocurra la situación descripta en este último caso sino que se dan, preferentemente, la primera situación o que la cuota se pague en el momento n’+1, en este caso el saldo que había al comienzo del período fraccionario debemos capitalizarlo por una unidad de tiempo completa, de tal manera que: 1 - vf Cn’+1 = C ▬▬▬▬▬▬▬▬. u i

3.8  Cuadro de amortización: En él se sintetizan todos los elementos y su comportamiento y que constituyen la amortización. Veremos la construcción de un cuadro de amortización que se construya para una deuda determinada y según el número de cuotas. El cuadro de amortización se confecciona con los siguientes elementos: Llamamos V a la deuda, C a la cuota, tr a las amortizaciones y Sr a los saldos: Nº Ctas

Saldo al

___ V=C an|i

1 2 3 º º º º r n

com.período

S1=C an-1|i _____ S2=C an-2|i º º º º ________ Sr-1=Can-r+1|i _____ Sn-1=C a1|i TOTALES

int. periodo

Amortizac. real del período

V.i

t1=C-Vi= C. v

C-t2

t2=C.v

C-t3

t3=C.v

n-1

n-2

Cuota

n

C

= t1.u

C

= t1. u2

C

º º º º

º º º º

º º º º

C-tr

tr=Cvn-r+1=t1ur-1

C

C-tn

tn=C.v

I

n-r+1

=t1. u

V = DEUDA

76

n-1

C V+I

Saldo al final del período __ V-t1=C an│i=S1 ___ S1-t2=C an-2|i ___ S2-t3=C an-3|i º º º º ____ Sr-1-tr=Can-r│i __ Sn-1-tn =C a0|i

Si el cuadro esta correctamente hecho, la suma de las cuotas debe ser igual a la suma de los intereses más la deuda.

3.9 Amortizaciones diferidas y perpetuas: Amortizaciones diferidas: Se trata de una deuda que se salda con cuotas que comienzan a abonarse después de transcurrido un cierto número de unidades de tiempo, también en este caso tenemos la clasificación de vencidas y adelantadas.

Amortizaciones diferidas vencidas: La deuda en este caso la simbolizamos con r/an|i que representa a la que se salda con cuotas vencidas de $ 1.- que comienzan a pagarse después de transcurridos “r” períodos. La situación es la siguiente: 1 1...........1 1 |_______|_______|_________|_______|_______|___________|_______| 0 1 2...... r r+1 r+2.........r+n-1 r+n |_________________________|___________________________________| r n

Para calcular la deuda debemos aplicar el principio fundamental y, por lo tanto, debemos calcular el valor actual de las cuotas y luego sumarlas. El valor actual de la cuota pagada en el momento “r+1” será vr+1, pues es el producto de la cuota ($ 1.-) por el factor de actualización elevado a la cantidad de unidades de tiempo por las que hay que actualizar, el valor actual de la cuota pagada en el momento “r+2” será vr+2 y así sucesivamente; el valor actual de la cuota de $ 1.- pagada en el momento “r+n” es vr+n, si ahora sumamos tendremos la deuda que es:

n Σ vr+t t=1

=

=

n = Σ vr . vt = t=1

vr

n Σ vt t=1

n vr Σ e-δt t=1

el sumatorio es la deuda que se amortiza con “n” cuotas vencidas de $ 1,- o sea el valor de , si reemplazamos tenemos que:

i

= vr an|i

la cuota diferida vencida que amortiza una deuda de $ 1.- será:

-1

=

ur

-1

77

Amortizaciones adelantadas diferidas: La deuda en este caso la simbolizamos con que representa a la que se salda con cuotas adelantadas de $ 1.- que comienzan a pagarse después de transcurridos “r” períodos. La situación es la siguiente:

1 1 1 ........... 1 |______|_______|_________|_______|_______|_____________|_______| 0 1 2 ...... r r+1 r+2 .........r+n-1 r+n |________________________|_____________________________________| r n

El análisis es el mismo y lo único que varía es el sumatorio que ahora va desde 0 hasta “n-1”, o sea

=

n-1 = Σ vr+t t=0

n-1 = Σ t=0

v r . vt =

vr .

n-1 Σ vt t=0

n-1 vr Σ e-δt t=0

el sumatorio es la deuda que se amortiza con “n” cuotas adelantadas de $ 1.- o sea el valor de , si reemplazamos tenemos que:

= vr

la cuota diferida adelantada que salda una deuda de $ 1.- será:

-1

=

ur

-1

Amortizaciones perpetuas: Es aquella en la cual el pago de las cuotas continúa indefinidamente, es decir que el valor actual de tales pagos nos representará la deuda que vamos a simbolizar con:

a∞|i

y la misma será igual a: 1 1 - ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vn (1+i)n lim an|i = lim ▬▬▬▬▬▬▬▬ = lim ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ n▬▬>∞ i i n▬▬>∞ n▬▬>∞

resolviendo:



a∞|i =

1 1 - ▬▬▬▬▬▬▬ (1+i)∞ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

=

1 - 0 ▬▬▬▬▬▬▬ i

78

en definitiva: 1 a∞|i = ▬▬▬ i Siendo a∞|i la deuda que se amortiza con un número infinito de pagos de cuotas de $ 1.-. Si

tomamos recíprocas obtenemos: a∞|i-1

i = ▬▬▬ 1

=

i

que es la cuota vencida perpetua que amortiza una deuda de un peso. Comprobamos aquí que si la cuota es igual a los intereses del primer período, hecho que se da en este caso pues es el producto de la deuda al comienzo de $ 1.- por la tasa de interés “i” o sea igual a “i”, la deuda no se amortiza nunca, de allí que las cuotas son en cantidad infinitas.

79

CAPÍTULO IV

Objetivos Específicos: Al concluir la unidad los lectores serán capaces de: * * Utilizar distintos métodos de amortización de deudas. * * Verificar la distorsión que se produce en la verdadera tasa de interés que se paga, cuando se aplican métodos erróneos de cálculo. * * Tomar conciencia de los abusos que se cometen con la utilización de métodos incorrectos de cálculo .

Eje del Capítulo: Otros sistemas de amortización - Métodos de cálculo que modifican la tasa de interés. Contenido: 4.1. Sistema de cuotas escalonadas. 4.2. Sistema de cuotas que varían en progresión aritmética: Cuota igual a la razón - cuota distinta a la razón. 4.3. Sistema Alemán y Sistema Americano. 4.4. Préstamos con cuotas calculadas vencidas y cobradas anticipadas - Préstamos con intereses cargados y con intereses descontados.

81

4.1. Sistema de cuotas escalonadas Dentro del cálculo financiero son muchas las combinaciones que pueden realizarse o idearse para la amortización de préstamos. El sistema de cuotas escalonadas se basa fundamentalmente en el sistema de cuotas constantes o francés y tiene como característica el cobro de cuotas constantes no durante las “n” unidades de tiempo, sino durante un lapso menor, a partir del cual se varía la cuota que se cobrará por otro lapso de igual duración que el anterior y así sucesivamente hasta completar las “n” unidades de tiempo. La situación sería la siguiente: C1 C1 C1 C2 C2 C2 C3 C3 C3 ..... CN-1 CN CN CN |___|___|___|___|___|___|___|___|___|__________|___|___|___| 1 2 3 4 5 6 7 8 9.........n-3 n-2 n-1 n C1 C2 C3 CN

El sistema presupone dividir las “n” unidades de tiempo o número total de cuotas en grupos de un mismo número de cuotas, por ejemplo si el total de cuotas a pagar son 36 pueden formarse 6 grupos de 6 cuotas ó 9 grupos de 4 cuotas, etc.; para la determinación del valor de la cuota a pagar durante el primer grupo se obtiene en primer lugar el valor de la cuota constante y ello a través del cálculo aplicado en el sistema francés o sea que:

C = V an|1-1

y luego se fija un coeficiente “α” que aplicado a la cuota C nos dará el importe de la cuota del primer grupo, por ejemplo si: C = V an|i-1= 1000 y “α” = 0,70 (70%), entonces C1 = 700, en cambio si “α” = 1,10 (110%), entonces C1 = 1100.-

Al determinarse el valor de la cuota correspondiente al primer grupo por debajo de la cuota constante tomada como referencia se deduce que las cuotas de los grupos subsiguientes irán aumentando y si la determinación es por encima, las cuotas de los grupos subsiguientes irán disminuyendo; el importe que aumentan o disminuyen las cuotas será constante y quedará fijado a través de un coeficiente “h” cuyo valor dependerá del coeficiente “α”, de la tasa “i”, del número de cuotas totales, del número de cuotas de cada grupo y del número de grupos, a través de una fórmula que deduciremos. Sean: n: Número total de cuotas m: Número de cuotas de cada grupo N: Número total de grupos α: Coeficiente para determinar la cuota del primer grupo. h: Valor constante a adicionar – crecimiento de la cuota para una deuda de $ 1.-, o

coeficiente aplicar para determinar el valor constante a adicionar cuando la deuda es distinta de $ 1.-, que se halla multiplicando al mismo por V (importe de la deuda). an│i-1 : Importe de la cuota vencida que amortiza una deuda de $ 1,- durante “n” unidades

de tiempo.

Gráficamente es:

82

Las tres primeras cuotas del primer grupo son α.an|i-1, siendo an|i-1 la cuota constante que salda una deuda de $ 1,- y al estar multiplicada por “α”, nos determina el valor de C1. Las cuotas del grupo siguiente son α.an|i-1 + h, es decir la cuota del grupo anterior más la cantidad fija que aumenta o disminuye, porque “h” puede ser positivo o negativo. Las del tercer grupo son “α.an|i-1 +h +h” y así sucesivamente hasta las cuotas del último grupo que son: “α.an|i-1 + (N-1).h”. La suma del valor actual de todas las cuotas es igual al importe de la deuda, por lo tanto debemos igualar la deuda de $ 1,- con la suma del valor actual de las cuotas. Del gráfico realizado podemos deducir que tenemos una amortización de “n” unidades de tiempo cuyas cuotas son “α.an|i-1”, además tenemos una amortización diferida durante (n-m) períodos de cuotas cuyo valor es “h”, también tenemos una amortización diferida durante (n-2m) períodos de cuotas cuyo valor es “h” y así sucesivamente tenemos finalmente una amortización diferida durante [n- (N-1).m ] períodos de cuotas cuyo valor es “h”, luego entonces, podemos igualar de esta forma: 1 = α. an|i-1 .an|i + vm h an-m│i + v2m h an-2m│i +......+ v(N-1)m h an-(N-1)m│i

En el primer término del segundo miembro, an|i-1 .an|i se simplifican, luego queda α que la pasamos al primer miembro y sacando “h” factor común tenemos: 1 – α = h [vm an-m│i + v2m an-2m│i +......+ v(N-1)m an-(N-1)m│i ]

reemplazando a: an-m│i , an-2m│i , ... , an-(N-1)m│i , por sus iguales según la fórmula deducida en la unidad III, tenemos: 1 – vn-m 1 – vn-2m 1 – vn-(N-1)m m 2m (N-1)m 1 – α = h [v ▬▬▬▬▬▬▬ + v ▬▬▬▬▬▬▬▬ +....+ v ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬] i i i

realizando todos los productos indicados y sacando “i” como común denominador tendremos: vm – vn + v2m – vn +......+ v(N-1)m - vn 1 – α = h [ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬] i

ordenando convenientemente y sumando algebraicamente términos iguales, tenemos: vm + v2m +......+ v(N-1)m – (N-1) vn 1 – α = h [ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬] i

(I)

la suma vm + v2m +......+ v(N-1)m es la de términos de una progresión geométrica cuya razón

83

es vm, menor que uno, luego su suma es: vm – v(N-1)m . vm vm – v(N-1)m+m vm – vNm-m+m vm – vNm S = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vm 1 - vm 1 - vm 1 - vm

pero vNm = vn ya que Nm = n, luego entonces: S

vm – vn ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vm

=

si reemplazamos esta última expresión en (I) tenemos que:



1 – α =

v m - vn ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ - (N-1) vn 1 - vm h .▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

por último despejando el valor de “h” llegamos a que:

( 1 – α ) . i h = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ v m - vn ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ - (N-1) vn 1 - vm

(II)

La aplicación del sistema se resume entonces en lo siguiente: 1º) Calcular la cuota constante por el sistema francés a través de la fórmula:

C

= V . an│i-1

2º) Determinar el valor α en forma arbitraria (por ejemplo α = 0,70 de la cuota constante). 3º) Determinar el valor del coeficiente “h” con la fórmula (II) 4º) La cuota del primer grupo será: C1 = C.α 5º) El importe constante a adicionar o restar a las cuotas de los grupos siguientes, partiendo de la cuota del primer grupo, será para una deuda de $ V,-, el siguiente: V.h 6º) El valor de la cuota del segundo grupo será calculado de la siguiente manera:

C2 = C1 + h.V

Las del tercer grupo serán:

C3 = C2 + h.V

Y así sucesivamente. Ejemplo: V = 1.000.000,-, n = 12, N = 4; m = 3; α = 0,70, i = 0,05

Procedimiento 1º) Calcular la cuota constante por el sistema francés a través de la fórmula:

C

= V . an│i-1

= 1.000.000 x 0,112825 = 112.825,-

2º) Determinar el valor α en forma arbitraria (por ejemplo α = 0,70 de la cuota constante). Está determinado α = 0,70 3º) Determinar el valor del coeficiente “h” con la fórmula (II)

84

h

( 1 – 0,70 ) . 0,05 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,02567835 1 1 (▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬)3 - (▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬)12 1 + 0,05 1 + 0,05 1 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ - (4-1) (▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬)12 1 1 + 0,05 1 – (▬▬▬▬▬▬)3 1+0,05

4º) La cuota del primer grupo será: C1 = C.α = 112.825 . 0,70 = 78.978.5º) El importe constante a adicionar o restar a las cuotas de los grupos siguientes, partiendo de la cuota del primer grupo, será para una deuda de $V,- el siguiente:

V.h = 1.000.000 x 0,02567835 = 25.678,-

6º) El valor de las cuotas de cada grupo serán: C1 = 78.978,C2 = 78.978 + 25.678

= 104.656,-

C3 = 104.656 + 25.678

= 130.334,-

C4 = 130.334 + 25.678

= 156.013,-

El cuadro de amortización para este sistema se confecciona en forma similar a los demás cuadros de amortización; pueden ocurrir casos en que al comienzo la cuota del primer grupo no cubra los intereses y, por lo tanto, aumentará la deuda, pero luego cuando comienzan a pagarse las cuotas de los grupos subsiguientes llegará un punto en que las cuotas contendrán amortización y comenzará a cancelarse la deuda y al pagarse la última cuota en todos los casos el saldo será cero. Para el ejemplo visto, el cuadro de amortización es: Nº Perio.

Deud. al com original

Amortizac. real

Intereses

Cuota

Saldo Deuda después de pagar cuota

1

1000000

28978

50000

78978

971022

3

940596

31948

47030

78978

908648

2 4 5 6

971022 908648 849424 787239

30427

48551

59224 62185

45432

104656

39632

104656

42471

65294

78978

104656

940596 849424 787239 721945

7

721945

94237

36097

130334

627708

9

528759

103896

26438

130334

424863

290093

141508

8 10 11 12

627708 424863 148585

TOTALES

98949

31385

134769

21244 14505

148585

7428

1000000

409943

85

130334 156013 156013 156013

1409943

528759 290093 148585 0

4.2. Sistema de cuotas que varían en progresión aritmética: Cuota igual a la razón – cuota distinta a la razón. Cuota igual a la razón: Vamos a trabajar con cuotas de $ 1,-, se trata de un préstamo que se amortiza en cuotas vencidas que van creciendo de uno en uno y recibe el nombre de amortización incrementada. Si simbolizamos con:

(Ia)n│i

a la deuda que se salda de la forma descripta anteriormente, tendremos: (Ia)n│i 0

1 1

2 2

3 3

..... n-2 n-1 n ..... n-2 n-1 n Recordemos que para hallar el valor de (Ia)n│i debemos tener en cuenta el principio fundamental

que dice que la deuda es igual a la suma de los valores actuales de las cuotas, veamos como podemos hallar (Ia)n│i, para ello realizamos un sencillo análisis a través de un gráfico: (Ia)n│i 0 1 1 . 1 . .

an│i v.an-1│i v2.an-2│i º º vn-3.a3│i . vn-2.a2│i . vn-1.a1│i .

2 2 1 1

3 3 1 1 1

..... ..... ..... ..... ..... º º

n-2 n-2 1 1 1

n-1 n-1 1 1 1

1

1 1

n n 1 1 1 1 1 1

Hemos desglosado las cuotas y nos encontramos con diferentes casos de amortización con cuotas de $ 1,-: En primer lugar podemos hallar el valor actual de las cuotas de $ 1,- pagadas desde la primera unidad de tiempo hasta la unidad de tiempo n-ésima y dicho valor actual no es otro que una amortización vencida igual a:

an│i

Los pagos de $ 1,- desde la segunda unidad de tiempo en adelante representan una amortización diferida por un período y durante “n-1” unidades de tiempo, luego el valor actual de dichas cuotas es:

1

/an-1│i = v.an-1│i

Las cuotas pagadas desde el tercer período en adelante representan una amortización diferida por dos períodos y durante “n-2” unidades de tiempo, o sea que su valor actual es:

2

/an-2│i = v2.an-2│i

Y así sucesivamente hasta el pago de la cuota de $ 1,- al final de la unidad n-ésima que se trata de una amortización diferida por n-1 períodos y durante n-(n-1) períodos o sea un (1) período, siendo su valor actual:

n-1/a1│i = v

n-1

.a1│i

Tenemos el valor actual de todas las cuotas, luego si sumamos tendremos: (Ia)n│i = an│i + v.an-1│i + v2.an-2│i + v3. an-3│i + .....+ vn-3.a3│i+ vn-2.a2│i+ vn-1.a1│i

86



n-1 = Σ vt.an-t│i t=0

(Ia)n│i

1 – vn-t pero an-t│i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ , si reemplazamos tenemos : i

(Ia)n│i =

n-1 1 – vn-t n-1 t Σ v .▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = Σ t=0 i t=0

v t - vn ▬▬▬▬▬▬▬ i

Afectamos el sumatorio al numerador, pues el denominador no es afectado por el mismo, y nos queda que:

(Ia)n│i

n-1 ∑ (vt – vn) t=0 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

La expresión del numerador puede ser escrita así al introducir el sumatorio dentro del paréntesis (el sumatorio de una suma es igual a la suma de los sumatorios) n-1 n-1 ∑ vt - ∑ v n t=0 t=0 (Ia)n│i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

n-1 ∑ vt - n.vn t=0 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

El segundo sumatorio del numerador fue resuelto teniendo en cuenta que el sumatorio de una constante (vn es constante respecto de t) es igual a la constante por la cantidad de veces que varía la variable del sumatorio (en este caso de 0 a n-1 o sea “n” veces) y el sumatorio que queda pendiente de resolver, según lo visto en la unidad III, es:

n-1 ∑ vt t=0

= än│i

(amortización adelantada)

Luego entonces, definitivamente nos queda que : än│i - n.vn (Ia)n│i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Que es la fórmula de la deuda que se salda con cuotas que se van incrementando de 1 en 1. Para hallar la deuda que se salda con cuotas que se incrementan de C en C, lo único que debemos hacer es multiplicar la expresión anterior por el importe de $ C.-, o sea que: än│i - n.vn (VI) = C. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Para hallar la cuota, conocida la deuda y los demás componentes, se despeja su valor o sea que: (VI). i C = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ än│i - n.vn

Lo que se obtiene con esta fórmula es la primer cuota, la segunda será C+C, la tercera C+C+C y así sucesivamente. El cuadro de amortización para este sistema se construye de la misma

87

forma que el de otros sistemas. Veamos un ejercicio como ejemplo: Supongamos un préstamo de (VI)= $ 10.000,- a devolver en 6 cuotas mensuales incrementadas, siendo la tasa de interés mensual del 0,07. La primer cuota será: 10000 . 0,07 C = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 635,126 5,100197 – 3,998053

El cuadro de amortización es el siguiente: Nº Perío

Deud.al com. original

Amortizac. real

Intereses

Cuota increment.

1

10.000

(64,874)

700

635,126

Saldo Deuda después de pagar cuota 10.064,874

9.499,163

1240,437

1.905,378

8.258,726

6.296,333

2734,887

2

10.064,874

4

8.258,726

3 5 6

3.561,447

565,711

704,541

1.270,252

1962,393

578,111

2.540,504

664,941 440,743

3561,447

249,310

3.175,630 3.810,757

9.499,163 6.296,333 3.561,447 0,-

Cuota distinta a la razón: Cuando la cuota es distinta a la razón estamos en el caso del pago de una cuota de $ C,- en la primera unidad de tiempo, de C+r en la segunda unidad de tiempo, de C+2r en la tercera cuota y así sucesivamente, o sea que la situación sería la siguiente: C 1

0

C+r 2

C+2r C+(n-3)r 3 .......... n-2

C+(n-2)r n-1

C+(n-1)r n

Podemos desglosar este caso en dos diferentes tipos de amortizaciones, una con cuotas constantes de $ C,- al final de cada período y otra que se va incrementando de “r” en “r”, o sea: 0

1 C

2 C + r

3 C + 2r

.........

n-2 C + (n-3)r

n-1 C + (n-2)r

n C + (n-1)r

A la deuda que se salda de la forma descripta anteriormente la vamos a simbolizar con: (Va)n│i

y será igual a la suma del valor actual de las cuotas. Vemos en primer lugar que la suma del valor actual del pago de cuotas vencidas de $ C,- es: C . an│i

(I)

Y, por otro lado, el pago de cuotas que varían de r en r a partir del segundo período es una amortización incrementada con cuota igual a la razón, siendo la cuota en este caso “r” y por (n-1) períodos. Por lo tanto su valor actual al momento 1, según vimos en el punto anterior, es el siguiente:

88

än-1│i - (n-1).vn-1 r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Luego para llevar este valor al momento cero, lo único que tenemos que hacer es actualizarlo por un período o sea multiplicarlo por el factor de actualización “v”, o sea: än-1│i - (n-1).vn-1 v. r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

(II)

En definitiva tenemos que la deuda será la suma de las expresiones I y II, o sea: (Va)n│i = C . an│i

än-1│i - (n-1).vn-1 v. r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

+

realizamos el producto de “v” por el numerador del segundo término del segundo miembro y tenemos: (Va)n│i = C . an│i

v.än-1│i - v.[(n-1).vn-1 ] r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

+

resolvemos el producto indicado dentro del corchete y nos queda: (Va)n│i = C . an│i

v.än-1│i - v.(n.vn-1 - vn-1) r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

+

y realizamos el producto ahora por “v” y eliminamos el paréntesis, o sea: v.än-1│i - n.vn + vn r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

(Va)n│i = C . an│i +

III

Recordemos ahora que: n-1 n-2 än│i = ∑ vt , de donde än-1│i = ∑ vt t=0 t=0

= 1 + v + v2 + v3 +.....+vn-2

y si ahora multiplicamos por “v” la expresión än-1│i tendremos:

n-1 v. än-1│i = v.(1 + v + v2 + v3 +...+vn-2) = v + v2 + v3 +...+vn-2 + vn-1=∑ vt t=1

O sea que: v. än-1│i

n-1 = ∑ vt t=1

= an-1│i

Si reemplazamos en III, nos queda: (Va)n│i = C . an│i

+

an-1│i - n.vn + vn r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Pero teniendo en cuenta que:

89

IV

an-1│i

n + vn = ∑ vt t=1

= an│i

Reemplazando en definitiva nos queda que: (Va)n│i = C . an│i

+

an│i - n.vn r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

Cuando la razón es distinta a la cuota, para calcular esta última debe fijarse previamente el valor de aquella, entonces para calcular despejamos la fórmula de la primer cuota partiendo de la fórmula anterior, o sea: an│i - n.vn (Va)n│i – r. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i C = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ an│i

Veamos un ejemplo práctico: Supongamos un préstamo de $ 20.000,- a devolver en 6 cuotas vencidas que vayan incrementándose en $ 1.000,- cada una y a una tasa de interés del 0,06 mensual. Calculemos la primer cuota según la fórmula anterior: a6│0,06 - 6 v6 4,917324 – 6. 0,704961 20000 – 1000. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 20000 – 1000.▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 0,06 0,06 C = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ a6│0,06 4,917324 20000 – 1000 . 11,459346 C = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 4,917324



= 1.736,85

Entonces la primer cuota es de $ 1.736,85, la segunda se obtiene sumándole a la primera $ 1.000,- o sea $ 2.736,85 y así sucesivamente. El cuadro de amortización es el siguiente: Nº Período 1

Deud. Al com. original

Amortizac. real

Intereses

Cuota increment.

Saldo Deuda después de pagar cuota

20.000

1.200,-

536,85

1.736,85

2

19.463,15

1.167,789

1.569,061

2.736,85

17.894,089

3

17.894,089

1.073,645

2.663,205

3.736,85

15.230,884

4

15.230,884

913,853

3.822,997

4.736,85

11.407,887

5

11.407,887

684,473

5.052,377

5.736,85

6.355,510

6

6.355,510

381,340

6.355,510

6.736,85

0,-

90

19.643,15

4.3 Sistema Alemán y Sistema Americano. Sistema Alemán:

Es un sistema de amortización muy utilizado en la práctica puesto que resulta menos dificultoso el cálculo de los elementos que constituyen la amortización. Se caracteriza fundamentalmente, siendo lo que lo diferencia del sistema francés, en que la amortización real es constante, siendo variables los intereses y la cuota. La deuda se amortiza de la siguiente manera: a)  Se toma la deuda original y se obtiene la amortización para cada período dividiendo la misma por el número de cuotas o períodos en que se va a devolver el préstamo o sea que:

b)

V Amortización = ▬▬▬▬▬ n

Se calculan los intereses sobre el saldo de la deuda para cada período.

c) La suma de la amortización más los intereses nos da como resultado el valor de la cuota que debe pagarse al final de cada período. Veamos un ejemplo de un cuadro de amortización para este sistema y ello permitirá entender fácilmente el mismo: V = $ 1.000,-; i = 0,05 mensual; n = 5 cuotas vencidas. 1000 La amortización de cada período será = ▬▬▬▬▬▬ = 200,5

El cuadro de amortización es el siguiente:

Nº Período

Deud. Al com. original

1 2 3 4 5 Totales

1.000 800 600 400 200 150,-

Amortizac. real

Intereses

50,40,30,20,10,1.000,-

200,200,200,200,200,1.150,

Cuota increment. 250,240.230,220,210,0,-

Saldo Deuda después de pagar cuota

800,600,400,200,0

El sistema Alemán es equivalente al sistema Francés, para ambos el deudor paga la misma tasa de interés, sólo que existe una diferencia en cuanto a las posibilidades de acceder al pago de las cuotas por uno u otro sistema. El Sistema Alemán requiere un desembolso superior en las primeras cuotas que el Francés y al final la situación se revierte. Es evidente que la decisión de optar por uno u otro método depende de la situación financiera del tomador y de la expectativa futura.

Valor de una cuota determinada: Como hemos visto la cuota de este sistema es decreciente y esta variación es constante. La cuantía de la disminución está dada por el monto en que disminuyen los intereses y éstos tienen ese comportamiento por la reducción del saldo de la deuda luego del pago de cada cuota.

91

Podemos determinar en forma genérica el valor de una cuota cualquiera por el Sistema Alemán, ello en función de los siguientes elementos: -

Deuda Inicial.

-

V Amortización real constante, t = ▬▬▬▬▬. n

-

Tasa de interés.

Determinamos primeramente el valor del saldo de la deuda al final de un período cualquiera después de haber pagado la cuota (Sr), éste es el valor de la deuda (V) menos las amortizaciones abonadas con el pago de las cuotas, o sea: Sr

= V – r.t

Con el mismo análisis sería: Sr-1 = V – (r-1).t A su vez los intereses contenidos en una cuota cualquiera están determinados por el producto entre el saldo de la deuda al inicio de un período por la tasa de interés, es decir:

Ir = Sr-1 . i = [ V – (r-1).t ] . i

Finalmente, la cuota está formada por la suma de la amortización real más los intereses contenidos en la cuota, o sea:

Cr = t + I r

Reemplazando por sus iguales, tenemos:



Cr =

V V ▬▬ + [ V – (r-1). ▬▬ ] . i n n

o mas sencillo:

Cr = t + [ V – (r-1).t ] . i

Sistema Americano: Se trata de un caso especial que tiene características bien determinadas, ellas son: a) El tomador pide un préstamo de $ V.- y esa deuda se amortiza al final del tiempo estipulado, o sea que el deudor tiene que devolver $ V,- recibidos hoy, en el momento “n”. b) El deudor debe pagar al final de cada unidad de tiempo o período los intereses sobre la deuda a una tasa que simbolizaremos con “j” denominada “Tasa Remunerativa”, es decir que al final de cada una de las unidades de tiempo el deudor debe pagar V.j, ello porque la deuda siempre es la misma al no amortizarse en cada unidad de tiempo nada. c) Por otro lado, el deudor coloca en otra institución financiera, al final de cada período una cierta cantidad “r” y a una determinada tasa de interés, que simbolizaremos con “i” denominada “Tasa Reconstructiva”, de manera tal que se obtenga al final del período n-ésimo el importe a devolver o sea los $ V,-. Gráficamente la situación es la siguiente:

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Recibe: Paga: Deposita:

V

0 1 2 3 n-2 n-1 n │______│______│______│............______│______│______│



V.j r

V.j r

V.j .......... r

V.j r

V.j r

V.j r

(Se aclara ante todo que “j” e “i” nada tienen que ver con los conceptos dados anteriormente sino que son una forma de simbolizar tasas de interés especiales). Vemos, por lo tanto, que el deudor debe disponer al final de cada período de una cantidad de dinero, que simbolizamos con “b”, suficiente para pagar los intereses que son V.j y depositar en la entidad financiera las cuota “r” que le permita formar al final del período n-ésimo el importe a devolver o sea $ V,-, entonces “b” será igual a: b = V.j + r

(I)

Vemos que “r” es una cuota vencida que con sus intereses compuestos a la tasa reconstructiva “i”, forma el capital a devolver que es “V”, por lo tanto estamos en presencia de una imposición vencida de cuotas de “r” pesos, quiere decir que:

V = r . sn│i



r = V. sn│i-1

De donde:

Si reemplazamos esta igualdad en la expresión (I) tenemos que:

b = V.j + V . sn│i-1

Sacando factor común V, nos queda:

b = V ( j + sn│i–1 )

(II)

Pero de acuerdo a lo que hemos visto cuando desarrollamos el tema relacionado con la tasa de interés y la tasa de amortización, donde demostramos que:

an│i-1= i + sn│i-1

podemos deducir que:

sn│i–1

= an│i-1 – i

Si reemplazamos esta igualad en (II) tenemos que:

b = V . [ j + (an│i-1 – i)]

En definitiva, ordenando convenientemente, el importe a disponer al final de cada unidad de tiempo es:

b = V . [an│i-1 + ( j – i) ]

(III)

de ésta fórmula podemos despejar el valor de V o sea la deuda, que será:

b V = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ an│i-1 + ( j – i)

(IV)

Si observamos con detenimiento las fórmulas (III) y (IV) podemos ver que si las tasas (j e i) fueran iguales, lo que debe disponer el deudor será igual a la cuota del sistema francés ya que las fórmulas quedarían así: La III así: b =

V. an│i-1

y la IV así: V = b. an│i

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En realidad, como el deudor siempre debe disponer de una cantidad constante, estamos ante la presencia del sistema de amortización con cuotas constantes o llamado francés, sólo que la tasa de interés que se paga es equivalente a la aplicación de este sistema sólo y sólo sí ambas tasas son iguales o sea “j” = “i” (Tasa remunerativa igual a la Tasa reconstructiva). Pero veamos que pasa si como sucede siempre en la práctica “j” > “i”, en este caso el valor constante de “b”, o sea lo que hay que disponer al final de cada unidad de tiempo es superior al que correspondería si las tasas fueran iguales, nótese que en la fórmula III se le suma a an│i-1 una cantidad igual a (j-i) y, en consecuencia, en este caso se demuestra que la aplicación de este sistema hace aumentar el costo efectivo para el tomador del préstamo, es decir que la verdadera tasa de interés que se paga está por encima de la mayor de ambas. El sistema americano significa pagar siempre una suma constante, con la diferencia que, aparentemente, bajo el sistema americano los pagos se realizan en distintas entidades financieras, pero en realidad lo que interesa es que el tomador debe pagar una cantidad fija al final de cada unidad de tiempo y ha recibido un préstamo que en definitiva lo devuelve con el pago de esas cuotas constantes al final de cada unidad de tiempo. Por el contrario en el caso de que “j” < “i” la cantidad constante “b” a disponer para cancelar el préstamo sería menor al que correspondería si las tasas fuesen iguales y en este caso la verdadera tasa de interés que pagaría el tomador sería menor a la menor de ambas, pero este caso al acreedor le convendría depositar en la entidad financiera y no prestaría su dinero. Veamos con un ejemplo las tres situaciones: Sea un préstamo de $ 1.000,- otorgado bajo el sistema americano a 12 meses de plazo, siendo: a) j = 0,05 mensual e i = 0,05 mensual.

El deudor debe disponer al final de cada mes:



b = V. j + r = 1000 . 0,05 + 1000 s12│0,05-1



b = 50 + 62.83 = 112,83

Por lo tanto bajo estas condiciones el sistema americano en definitiva si nosotros contamos con 12 cuotas de $ 112,83 se cancelará la deuda y se pagarán periódicamente los intereses, luego la verdadera tasa de interés que se paga, siendo este un sistema en definitiva de cuotas constantes ($ 112,83 cada una), será:



V= 1.000,- │ n= 12 │ En definitiva la tasa que se paga es i = 0,05 mensual.



C= 112,83

│

Como apreciamos la tasa de interés coincide con ambas tasas que se mencionan. b) Veamos que ocurre cuando j = 0,06 e i = 0,05 mensual.

El deudor debe disponer al final de cada mes:



b = V. j + r = 1000 . 0,06 + 1000 s12│0,05-1



b = 60 + 62.83 = 122,83

Por lo tanto bajo estas condiciones el sistema americano en definitiva si nosotros contamos con 12 cuotas de $ 122,83 se cancelará la deuda y se pagarán periódicamente los intereses,

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luego la verdadera tasa de interés que se paga, siendo este un sistema en definitiva de cuotas constantes ($ 122,83 cada una), será:





V= 1.000,- │ n= 12 │ En definitiva la tasa que se paga es i = 0,065398 mensual. C= 122,83 │

En este caso la verdadera tasa de interés que se paga está por sobre la mayor de las dos tasas que se mencionan o dicho de otra forma mayor a la tasa remunerativa “j”. c) Por último cuando j = 0,05 mensual e i = 0,06 mensual.

El deudor debe disponer al final de cada mes:



b = V. j + r = 1000 . 0,05 + 1000 s12│0,06-1



b = 50 + 59,28 = 109,28



V= 1.000,- │ n= 12 │ En definitiva la tasa que se paga es i = 0,044384 mensual. C= 109,28 │

Por lo tanto bajo estas condiciones el sistema americano en definitiva si nosotros contamos con 12 cuotas de $ 109,28 se cancelará la deuda y se pagarán periódicamente los intereses, luego la verdadera tasa de interés que se paga, siendo este un sistema en definitiva de cuotas constantes ($ 109,28 cada una), será:



En este caso la verdadera tasa de interés que paga el tomador es menor a la menor de las dos tasas que se mencionan o dicho de otra forma es menor a la tasa remunerativa ”j”. En la práctica en general el caso que se da es cuando j > i con lo cual podemos afirmar que: tomando un préstamo bajo el sistema americano y considerando las dos operaciones en forma conjunta y simultánea, la aplicación de dicho sistema genera para el tomador una tasa efectiva de interés superior a la que se menciona, siendo en consecuencia un método de cálculo que modifica la tasa de interés. En resumen podemos decir: considerando las operaciones en forma independiente, ambas arrojan una Tasa de Interés efectiva igual a la que se menciona, pero en conjunto, y es lo que en definitiva cuenta para el tomador del préstamo, arrojan una Tasa de Interés mayor que las mencionadas. Conceptualmente esto puede explicarse así: es ilógico que se solicite un préstamo a una cierta tasa de interés y esa cantidad solicitada la lleve a otra entidad financiera y la deposite a una tasa de interés menor, cuando tenga que devolver el préstamo en la primera entidad y retire el dinero de la segunda, éste no alcanzará para hacer la devolución y tendrá que poner dinero de su bolsillo con lo que la tasa de interés que paga en definitiva es aún mayor que la original pactada cuando se obtuvo el préstamo.

4.4. Préstamos con cuotas calculadas vencidas y cobradas anticipadas – Préstamos con intereses cargados – Préstamos con intereses descontados. Veremos en este tema algunos métodos, que al igual que el sistema americano, modifican la tasa de interés. En estos métodos se esconde la verdadera tasa de interés que se cobra y ello ocurre porque se aplican, concientemente, procedimientos de cálculos incorrectos.

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Bien es conocido que todas las entidades financieras, aparte de cobrar un cierto interés, adicionan una serie de gastos por trámites, comisiones, sellados, etc. que a veces alcanzan cifras considerables y entonces se produce un doble efecto que contribuye a aumentar la tasa de interés que se está pagando, uno de ellos es utilizar métodos de cálculo erróneos y otro cobrar por anticipado gastos, comisiones, sellados, etc. Veremos a continuación solamente algunos métodos que modifican la tasa de interés basados en equivocados procedimientos de cálculo. Préstamos con cuotas calculadas vencidas y cobradas anticipadas. La entidad menciona una tasa anual de interés, pero los pagos de las cuotas se hacen en sub-períodos de años utilizando como tasa de interés del sub-período una tasa proporcional; además de ello el cálculo de la cuota se hace utilizando la fórmula de las amortizaciones para cuotas vencidas y se cobran en forma adelantada. Se produce así un doble desfasaje que hace que la verdadera tasa de interés que se paga no coincide con la que se menciona. Esta metodología es utilizada generalmente para préstamos de largo plazo, es decir préstamos de tipo hipotecarios. Entonces el cálculo de la cuota se hace mediante la correcta fórmula:

C

= V . an│i-1

Siendo “i” una tasa proporcional a la del período anual mencionado. Veamos un ejemplo: Una deuda de $ 100.000,- a una tasa anual del 0,60 (60%) a devolver en 60 cuotas mensuales adelantadas. a)

De manera incorrecta se trabaja así:

1)

0,60 i = ▬▬▬▬▬▬ = 0,05 mensual. 12

2)

C = 100.000 . a60│0,05-1

= 5282,82

Esta cuota, que se calcula con la fórmula de las amortizaciones vencidas, se cobra en forma adelantada. b) Veamos cuál es el real costo financiero de la operación y para ello los componentes a considerar son: V = 100.000,n = 60 cuotas mensuales adelantadasC = 5.282,82

Si utilizamos la calculadora financiera en la alternativa de amortizaciones adelantadas, comprobamos que la verdadera tasa de interés para este caso es i = 0,053147 mensual, que equivale a una tasa anual del 0,8615 (86,15%) y no del 0,60 (60%) como se menciona.

Préstamos con intereses cargados: Este es uno de los métodos mas utilizados en la práctica que arroja mayor diferencia entre la tasa de interés que se menciona y la verdadera tasa de interés de la operación, es muy aplicado por los comerciantes y en una época, curiosamente, fue autorizado por el Banco Central de la República Argentina para que lo aplicaran las entidades financieras autorizadas, aunque hoy ello no es posible.

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Mediante el mismo, la cuota se calcula empleando la siguiente fórmula:

V C = ▬▬▬ + V . i n

V + V.i.n. = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ n

Si analizamos la fórmula vemos que con el pago de las cuotas, el tomador del préstamo paga intereses sobre el total de la deuda y durante todo el tiempo (en todas las cuotas se paga V.i), pero en realidad la deuda se va

V amortizando con el pago de cada cuota en una cantidad ▬▬▬, sin embargo el n acreedor sigue cobrando intereses como si no se hubiera amortizado nada. Veamos un ejemplo que nos permitirá corroborar la distorsión que se produce en la verdadera tasa de interés: Supongamos un préstamo de $ 1.000,-, a devolver en 12 cuotas vencidas con una tasa de interés cargado del 0,10 mensual. a)

Método de cálculo:



b)

V C = ▬▬▬ + V. i n

=

1000 ▬▬▬▬▬▬ + 1000 . 0,10 12

= 183,33

Costo financiero verdadero de la operación:

Ello surge teniendo en cuenta que por recibir $ 1.000,-, tenemos que devolver 12 cuotas de $ 183,33 cada una, entonces:

V = 1000 │ n = 12 │ C = 183,33 │

i = 0,148541 mensual

O sea que en vez de pagar el 0,10 (10%) mensual estamos pagando el 0,148541 (14,85%) mensual. Además podemos agregar que esta tasa del 0,10 mencionada surja de mencionar una tasa nominal anual del 1,20 (120%), es decir que nos dicen que nos cobran el 120% anual, entonces la tasa mensual se saca en forma proporcional y luego se hacen los cálculos, la realidad sin embargo es que la tasa efectiva de interés que pagamos es el 0,148541 mensual que equivale a una anual del:

j = (1 + 0,148541)12 - 1

= 4,2693 anual (426,93%).

En los préstamos otorgados bajo esta modalidad de cálculo, la verdadera tasa de interés que se paga tiene, respecto de la tasa que se menciona, un comportamiento muy particular y que puede verse a través del siguiente cuadro elaborado para préstamos de $ 1,-, otorgados a una tasa nominal anual del 1,20 bajo el método de interés cargado y para distintos plazos en meses. Como las cuotas son mensuales, la tasa mensual de interés que se aplica surge de: 1,20 i = ▬▬▬▬▬▬ = 0,10 12 Plazo en meses

Cuota mensual cobrada

2

0,60

6

0,2666

5

12 24

Tasa de interés mensual verdadera

0,1306

0,30

0,1523

0,1534

0,1833

0,1485

0,1416

0,1355

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Tasa efectiva anual cobrada verdadera

3,3651 (336,51%) 4,4847 (448,47%) 4,5436 (454,36%) 4,2693 (426,93%) 3,6260 (362,60%)

Vemos que cuando el plazo es de 2 meses, la verdadera tasa de interés es del 0,1306 y está por encima de la del 0,10 que se menciona; cuando la operación se hace a 5 meses de plazo la verdadera tasa de interés es del 0,1523 y la diferencia con la que se menciona es mayor, hecho que ocurre cuando la operación se hace a 6 meses, aquí la tasa verdadera es del 0,1534 y la diferencia con la que se menciona es aún mayor que en los casos anteriores; pero luego vemos que si el mismo préstamo se hace a 12 meses de plazo, o sea que al devolver en 12 cuotas, la verdadera tasa de interés es del 0,1485 estando por sobre la mencionada pero la diferencia con ésta es menor que en el caso de 6 cuotas, hecho que se reafirma si el préstamo se hace en 24 cuotas, la verdadera tasa de interés está por encima de la mencionada pero su diferencia con ésta es menor que en los casos anteriores, salvo el de 2 cuotas. En base a este ejemplo práctico podemos genéricamente graficar el comportamiento de la verdadera tasa de interés respecto de la que se menciona de esta forma:

Entonces la verdadera tasa de interés que se paga está por encima de la que se menciona; al comienzo, cuando los plazos son cortos (es decir se otorgan préstamos bajo este método a devolver en pocas cuotas) la diferencia entre las mismas se hace cada vez mayor, pero luego cuando van aumentando llega un momento en el cual las diferencias comienzan a achicarse, pero es importante aclarar que cualesquiera que sea el plazo la verdadera tasa de interés que se paga está por sobre la que se menciona. La causa del comportamiento se debe a lo siguiente: en la fórmula del cálculo de la cuota existe un elemento que beneficia al acreedor y es que los intereses se calculan sobre el total de la deuda y para todas las cuotas, pero también existe un modo de cálculo que perjudica al acreedor y es el cálculo de los intereses sobre todo el período (ello ocurre cuando se hace V.i.n), pues la tasa de interés de todo el período se calcula en forma proporcional y no efectiva. Cuando los plazos son cortos, la diferencia que existe entre una tasa proporcional y una efectiva es poco significativa, en cambio cuando los plazos aumentan las diferencias entre tasas nominales y efectivas son muy importantes, así por ejemplo para 2 meses si la tasa mensual es del 0,05, el acreedor aplica una tasa del 0,10, siendo que la efectiva es del 0,1025; para 5 meses la tasa que aplica el acreedor es del 0,25 y la efectiva es del 0,2763, las diferencias aún no son muy significativas, pero vemos que si la operación se hace a 24 meses, la tasa que aplica el acreedor para todo el período es del 1,20 y la efectiva es del 2,225 siendo la diferencia muy importante. Entonces por una parte el acreedor se beneficia al calcular los intereses contenidos en cada cuota sobre el total de la deuda y no sobre el saldo de la deuda, esto hace que la verdadera tasa de interés esté por sobre de la que se menciona y la diferencia en plazos cortos se hace cada vez más significativa, y ello ocurre porque la parte que perjudica al acreedor es la diferencia entre la tasa nominal y la efectiva y ésta es muy pequeña en plazos relativamente cortos, es decir que su efecto negativo no se hace sentir significativamente; pero a medida que

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se aumentan los plazos de devolución del préstamo, las diferencias entre la tasa nominal y efectiva se hacen cada vez mayores y el efecto negativo para el acreedor comienza a incidir en la fórmula, con lo que se atenúa el efecto positivo de calcular los intereses sobre el total de la deuda, no obstante éste último es el más fuerte y la verdadera tasa de interés siempre está por sobre de la mencionada, aunque los plazos sean muy grandes.

Préstamos con intereses descontados: Se trata de un método parecido al anterior pero con un rendimiento superior en el sentido de que la verdadera tasa de interés tiene mayor diferencia respecto de la que se menciona; los intereses calculados sobre el monto de la deuda, en vez de ser cargados a la deuda, son descontados al concertar la operación. Este método no se aplica en bancos ni en comercios pero si es muy común en aquellos que saben estar en un café fuera de los bancos y muy cerca de ellos y encuentran a alguien que tiene un apuro para cubrir algún descubierto. La cuota se calcula así:

V C = ▬▬▬ n

Los intereses son:

I = V.i.n

y el préstamo que se otorga es:

V* = V – V.i.n

La verdadera tasa de interés que se paga en ningún caso es la que se menciona y va creciendo sin límite a medida que aumenta el plazo de amortización. Veamos algunos ejemplos: Un préstamo de $ 1.000,-, con una tasa del 0,05 mensual en 6 meses con intereses descontados. El 0,05 mensual equivale a una tasa efectiva anual del 0,795856. Cálculo de la cuota: 1000 C = ▬▬▬▬▬ = 166,67 6

Los intereses son:

I = 1000 x 0,05 x 6 = 300,-

Se recibe el siguiente valor:

V* = 1000 – 1000 x 0.05 x 6 = 700,-

Hallamos ahora la verdadera tasa de interés que se paga con los siguientes datos:

V = 700 C = 166,67 n = 6 meses

Mediante la utilización de la calculadora financiera, la tasa de interés mensual para este caso es i = 0,11252, que equivale a una anual efectiva del 2,5960 ( 259,60%).

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Veamos que pasa si se aumentan los plazos de esta misma operación, supongamos que sea a 10 meses de plazo, en este caso tendremos:

1000 C = ▬▬▬▬▬ = 100,10

Los intereses son:

I = 1000 x 0,05 x 10 = 500,-

Se recibe el siguiente valor:

V = 1000 – 1000 x 0.05 x 10 = 500,-

Hallamos ahora la verdadera tasa de interés que se paga con los siguientes datos:

V = 500 C = 100,n = 10 meses

Mediante la utilización de la calculadora financiera, la tasa de interés mensual para este caso es i = 0,150984, que equivale a una anual efectiva del 4,4055 ( 440,55%). Se puede demostrar lo irracional de este método si seguimos aumentando el plazo de amortización, llegará un momento que no recibiremos nada y tendremos que devolver una cierta cantidad de cuotas (para el ejemplo ello se da cuando el plazo es de 20 meses) de un cierto valor, siendo en este caso la tasa de interés que se paga infinita. Un problema especial que puede presentarse es el siguiente: se sabe que se otorgan préstamos por el método de interés descontado a una tasa del 0,10 mensual y entonces nos preguntamos ¿Cuánto es lo que tengo que pedir si quiero recibir $ 180,- y devolverlo en 4 cuotas mensuales vencidas?; en este caso la incógnita es lo que debo pedir y la misma se calcula así:

V*

= V – V.i.n

Siendo V* el valor a recibir.

180 = V – V x 0,10 x 4 = V ( 1 – 0,10 x 4 )

180 180 V = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬ = 300, ( 1 – 0,10 x 4 ) 0,60

La verdadera tasa de interés que pagamos en este caso surge a través de éstos cálculos: Recibido = 180

300 Cuota = ▬▬▬▬▬ = 75, 4

La verdadera tasa de interés es i = 0,2409 (24,09%) mensual que equivale a una anual efectiva del 12,3417 ( 1234,17%).

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CAPÍTULO V

Objtivos Específicos: Al concluir la unidad los lectores serán capaces de: * Explicar la influencia que tiene la inflación en el análisis de las amortizaciones. * Explicar el concepto de amortización en términos reales. * Determinar, sin margen de error, la tasa real de interés en operaciones de préstamos en épocas de inflación. * Construir cuadros de amortización indexados. * Explicar cuando existe costo financiero para el tomador de créditos. * Explicar cuando existe “utilidad financiera” para el tomador de créditos. * Aplicar los conocimientos financieros para el análisis de inversiones y sobre empréstitos.

Eje del capítulo: El interés y la inflación - Análisis de Inversiones Teoría de los empréstitos Contenido: 5.1. La inflación y la tasa de interés: Los componentes de la tasa de interés - Tasa real de interés. 5.2. Amortizaciones en términos reales. 5.3. Cálculo de los componentes de la tasa de interés. 5.4. Los créditos indexados - Cuadros de amortización indexados para los diferentes sistemas - La T.I.R.. 5.5. Análisis de la situación real del tomador de créditos indexados. 5.6. La variación de la tasa de interés: operaciones concertadas con tasa de interés variable Construcción de cuadros de amortización. 5.7. La decisión financiera basada en el valor actual de los capitales - El análisis de inversiones. 5.8. Teoría de las amortizaciones aplicada a los empréstitos - Análisis en condiciones de certidumbre e incertidumbre.

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5.1. La inflación y la tasa de interés: Los componentes de la tasa de interés - Tasa real de interés. Los Componentes de la Tasa de Interés: La tasa de interés (fundamentalmente en nuestro país durante un prolongado tiempo de nuestra historia) incluye otros elementos adicionales además del precio por el alquiler del dinero, diremos que está compuesta por: a) El interés propiamente dicho o sea el precio por el alquiler del dinero. b) El costo de las operaciones financieras (Costo operativo). c) El riesgo de incobrabilidad. d) La devalorización monetaria. El interés propiamente dicho: Imaginemos para ello que estamos en una economía de estabilidad monetaria, en este caso el interés que se cobra por el dinero no asume mayor significación, podemos decir que es el que se tiene que ganar por el alquiler del mismo, o sea que la tasa de interés propiamente dicha suele variar entre un 0,06 al 0,12 o 0,15 anual efectivo.

El costo de las operaciones financieras (Costo operativo): Está dado, para quien presta el dinero, por los gastos administrativos que surgen del préstamo, tales como chequeras (aunque actualmente los bancos las cobran y no deberían incluirse), cobros, papelería, impuestos y todo gasto que se opera dentro de un banco para su funcionamiento.

El riesgo de incobrabilidad: Está dado por la probabilidad estimada de no cobrar el préstamo. Este componente, de conocerse estadísticamente un índice de incobrabilidad que pueda mantenerse en el futuro, puede ser incorporado al costo de las operaciones financieras. En la práctica deben existir pocas entidades financieras que tengan en cuenta este componente pues la mayoría de ellas implementan garantías suficientemente confiables para otorgar un préstamo.

La desvalorización monetaria: Es en muchos casos el de mayor significancia dentro de la tasa y ello ocurre en economías con alta inflación, tiene en cuenta la desvalorización de la moneda en que ha sido realizada la operación. La obtención del valor de estos componentes dentro de la tasa no resulta difícil para operaciones concluidas; el problema reside en que la tasa de una operación se fija de antemano y si queremos descomponer la misma, esa descomposición se hará en condiciones de incertidumbre. Por ejemplo una manera de separar la desvalorización monetaria de los demás componentes es calcularla por separado y a posteriori, ya que se conoce cual ha sido la inflación (a través de los índices oficiales) en un cierto período.

La Tasa Real de Interés: En primer lugar definimos el concepto de tasa de inflación de la siguiente manera: “Está determinada por el incremento de precios de un artículo o artículos en la misma unidad de

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tiempo en que se mide la tasa de interés” y la simbolizamos con “f”. “La tasa efectiva de interés despojada del elemento inflación es la que llamaremos Tasa Real de Interés” y la simbolizamos con “r”, es decir que estamos considerando a la tasa real formada por los otros tres componentes. Conociendo la tasa real de interés y la tasa de inflación se puede hallar la tasa efectiva de interés o también conociendo la efectiva de interés y la de inflación se puede hallar la real de interés. Veamos como se obtiene una en función de la otra: Sabemos que para hallar “j” conocido “i” se aplica la fórmula de equivalencia, supongamos una tasa mensual del 0,05 y queremos saber la bimestral, en este caso tenemos que:

j = (1+i)m -1 = (1+0,05)2 -1 = (1+0,05).(1+0,05) -1 = 0,1025

¿Pero cómo sacamos la tasa bimestral si el primer mes fue del 0,05 y el segundo del 0,06?, simplemente realizando lo siguiente:

j = (1+0,05) . (1+0,06) - 1 = 0,113

en base a este razonamiento podemos deducir entonces que la tasa efectiva de interés, si está compuesta por la tasa real de interés y por la tasa de inflación, es:

i = (1 + r) . (1 + f) - 1

y esto es así ya que si existe inflación, la tasa real que se cobra por el alquiler del dinero genera el interés y sobre ese valor se aplica la tasa de inflación para mantener su poder adquisitivo, es decir que el cálculo es en forma compuesta y no directa. Siempre la capitalización se hace sobre el capital más los intereses y no sobre el capital inicial. De la anterior igualdad podemos deducir la fórmula para hallar la tasa real de interés, para ello lo que tenemos que hacer es despejarla o sea:

(1 + r) . (1 + f)

= 1 + i

1 + i 1 + r = ▬▬▬▬▬▬▬ 1 + f

operando:

1 + i r = ▬▬▬▬▬▬▬ 1 + f

- 1

1+i - (1+f) 1+i-1-f r = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 + f 1 + f

en definitiva:

i - f r = ▬▬▬▬▬▬▬ 1 + f

en donde “r” es la tasa real de interés, “f” es la tasa de inflación e “i” la tasa efectiva de interés. Verificamos que “r” será positiva cuando i > f y será negativa cuando f > i, en cada uno de los casos se le llama tasa real positiva y tasa real negativa de interés. Supongamos un préstamo de $ 1.200.- a 3 meses de plazo y debe devolverse $ 1.500.- y consideremos:

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a) Que durante dicho período hubo una inflación del 0,20. b) Que durante dicho período hubo una inflación del 0,40. Vamos a determinar las tasas reales para cada situación; previamente debemos obtener la tasa efectiva de interés que es: 1500 - 1200 i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,25 trimestral. 1200

y ahora analizamos las tasas reales para cada caso: a) Inflación del 20% en el trimestre: 0,25 - 0,20 r(trimestral) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1,20

0,0416667

La tasa real anual equivalente será:

r(anual) = ( 1 + 0,046667)4 -

1 = 0,177375699

siendo ambas positivas. b) Inflación del 0,40 en el trimestre: 0,25 - 0,40 r(trimestral) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = -0,10714428571 1,40

la tasa real anual equivalente es:

r(anual) = ( 1 - 0,1071428571)4 -

1 = -0,3644819216

siendo ambas negativas. Es importante para el análisis financiero el estudio del comportamiento de la tasa real de interés en sustitución de la tasa nominal y de la efectiva, ello cuando estamos en una economía inflacionaria. En nuestro país ello ocurrió y hubo largos períodos de tasas reales negativas y que correspondieron a épocas de mucha inflación. La existencia de tasas reales negativas configura en los hechos una transferencia de riquezas del ahorrista hacia el tomador de créditos, en cambio cuando las tasas reales son positivas ocurre el proceso inverso.

5.2. Amortizaciones en términos reales La transferencia de riquezas del ahorrista hacia el tomador de créditos cuando existe tasa real negativa, se produce por el siguiente principio: “con Tasas reales negativas de interés existe amortización aunque los intereses devengados no se abonen”. Con un ejemplo se puede probar ello: Sea una deuda de $ 10.000.- al 0,60 de interés anual efectivo y al año se produjo una inflación del 80%, veamos que ocurre con el análisis a valores corrientes y a valores constantes, referidos estos últimos al momento cero.

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Deuda inicial Intereses devengados en el año Deuda al final del año: Deuda al final del año a valores constantes: 16.000 ▬▬▬▬▬▬ = 1,80

_____________________________________¬_ │Valores corrientes │Valores constantes│ │___________________│__________________│ │ $ 10.000.│ $ 10.000.│ │ │__________________│ │ │ │ │ $ 6.000.│ │ │___________________│ │ │ $ 16.000.│ │ │ │ │ │ │__________________│ │ │ │ │ │ $ 8.888,88 │ │___________________│__________________│

La deuda en términos reales se redujo en un 11,11% que como veremos corresponde a la tasa real negativa que hubo en el período o sea: 0,60 - 0,80 r = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1,80

=

- 0,1111

O sea que en esta operación no hubo un “costo financiero” sino que una “utilidad”, digamos, “financiera” que puede considerarse como una utilidad producida por la inflación, es decir que sería una “utilidad de inflación”. Si analizamos el sistema de amortización de cuotas constantes o francés, bajo esta nueva circunstancia, podemos establecer lo siguiente: I) Con tasas reales positivas, como resultan necesariamente cuando existe estabilidad monetaria, para que exista amortización de la deuda o para que la deuda se salde, dijimos que la cuota debe ser mayor que los intereses del primer período o sea:

C > V.i

II) Con tasas reales positivas, en épocas de inflación, si se abonan únicamente los intereses y solamente ellos, es decir la cuota es igual a los intereses contenidos en el primer período o sea:

C = V.i

existe “amortización en términos reales” desde el momento en que la deuda de capital permanece invariable a valores corrientes, lo cual implica que es decreciente a valores constantes, es decir que una deuda de $ 1.000.- de la que se abonan los intereses, es siempre $ 1.000.- a valores corrientes, pero si la inflación al cabo de un año por ejemplo es del 40%, a valores constantes la deuda será: 1000 Vc = ▬▬▬▬▬▬ = 1,40

714,28

si en cambio la inflación en el año es del 70%, tendremos que: 1000 Vc = ▬▬▬▬▬▬ = 1,70

588,23

en el primer caso se amortiza en términos reales el 28,57% y en el segundo el 41,17%.

105

No obstante lo señalado, se debe aclarar en este caso que si bien la deuda decrece a valores constantes, el capital obtenido en préstamo ha tenido un “costo financiero” que se ha ido pagando con los intereses que cubren la desvalorización monetaria. III) Con tasas reales negativas, como resulta en épocas de inflación acelerada no controlada o no prevista, si la cuota es igual a los intereses del primer período (C = V.i) y aún si es menor que los intereses del primer período ( C < V.i ), existe “amortización en términos reales” y además una “utilidad financiera” producida por la inflación. Veamos con un ejemplo como se cumple lo afirmado: supongamos un préstamo de $ 10.000.a una tasa de interés del 0,06 mensual y devolver en 5 cuotas mensuales vencidas, siendo la inflación mensual del 7% (en términos de tasa 0,07); la cuota es de $ 2.373,96. 1) Si únicamente se pagan los intereses o sea C = V.i = 600.-, al final del quinto mes el valor a devolver será de $ 10.000.- que a valores constantes es:

10.000 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 7.129,86 1,40255173

esto surge teniendo en cuenta que la inflación para los cinco meses es:

f(5) = ( 1 + 0,07)5 - 1 = 0,40255173

vemos que se ha amortizado en términos reales $ 2.870,14. Por otra parte, el valor de los intereses pagados al final del quinto mes es:

600 s5|0,06 = 3.382,26

que a valores constantes es:

3.382,26 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1,40255173

= 2.411,51

se han pagado intereses a valores constantes por $ 2411,51 y se ha amortizado en términos reales $ 2870,14 o sea que existe una “utilidad financiera” de $ 458,63. 2) Si pagamos una cuota inferior que los intereses del primer período, supongamos C = 500.por mes, el cuadro de amortización para este caso será el siguiente: Nº Período 1 2 3 4 5

Deud. Al com. original 10000.-

Amortizac. real 600,-

10206.-

612,36

10100.10318,36 10437,46

606,619,10 626,25

Intereses 100,106,112,36 119,10 126,25

Cuota 500.500.500.500.500.-

Saldo Deuda 10100,10206,10318,36 10437,46 10563,71

El saldo de la deuda al final a valores constantes que debemos pagar es de:

10.563,71 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 7.531,78 1,40255173

o sea que la deuda a valores constantes se ha amortizado en términos reales en $ 2.468,22. El

106

valor de lo pagado al final del quinto período es:

500 s5|0,06 =

2.818,55

que a valores constantes es:

2818,55 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1,40255173

= 2.009,59

Se ha amortizado en términos reales $ 2.468,22 y hemos pagado $ 2.009,59, en ambos casos a valores constantes o sea que existe una “utilidad financiera” producida por la inflación de $ 458,63. 3) Por último si no pagamos nada, al final del quinto período lo que debe pagarse (no consideramos la alternativa de intereses punitorios) es: S5|0,06

=

2.373,96 .

s5|0,06 = 13.382,26

el valor pagado a valores constantes es:

13.382,26 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 9.541,37 1,40255173

es decir que ha existido una “utilidad financiera” de $ 458,63. Se puede apreciar que en todos los casos ha existido la misma “utilidad financiera” y veremos que ella corresponde a la tasa real negativa que hubo en el período: Tasa de interés del período = (1+0,06)5 - 1 = 0,338225578 Tasa de inflación del período = 0,40255173 0,338225578 - 0,40255173 Tasa real del período = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = -0,045863 1,40255173

Si esta tasa real negativa se la aplicamos a la deuda original ubicada en el momento cero, comprobaremos que obtenemos el importe de la “utilidad financiera”, en efecto: “Utilidad financiera” = 10000 x -0,045863 = -458,63

El signo negativo nos está indicando la pérdida para el prestador o ahorrista y, por consiguiente, ello es una utilidad para el tomador del crédito.

5.3. Cálculo de los componentes de la tasa de interés. Anteriormente en el punto 5.1. habíamos enunciado y definido los componentes de la tasa efectiva de interés, a saber: a)  Interés propiamente dicho. b)  Costo de las operaciones financieras. c)  Riesgo de incobrabilidad. d)  Desvalorización monetaria.

107

a.- Respecto al interés propiamente dicho, su valor está determinado por el precio que se fija en concepto de retribución por la utilización del dinero, ello por parte de quién pone a disposición de la otra parte dicho capital. El mismo estará dado en principio por las reglas del mercado, oferta y demanda de dinero y en general tiende a resarcir un costo para el propietario, ya sea de oportunidad o de utilización económica o social. En economías estables es un valor positivo que varía entre un 5% a un 10% anual, o sea por cada 100 unidades de capital. Este componente es el más significativo que forma parte de la tasa real de interés, que en economías inflacionarias su valor puede resultar nulo o hasta negativo. b.- El costo de las operaciones financieras esta compuesto por todos los rubros que cuantifican los egresos operativos y comerciales del dador del capital, es decir sueldos y cargas sociales, papelería, chequeras, impuestos, servicios de información, demás insumos de administración y comercialización, etc. aunque esto actualmente se ha modificado porque las entidades financieras, en muchos casos, los costos operativos los cobran por separado. Si forma parte de la tasa de interés, en forma genérica y sin un profundo análisis, pero simplemente para tener una noción de esta variable, lo que hacemos es relacionar el valor de todas estas erogaciones con el monto del capital prestable, obteniendo así una tasa de costo operativo, veamos: Gstos.Oper + Gstos. Adm. + Gstos. Com. + Otros Gastos TCop = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Capital a Préstamo

Además, para disponer del capital a préstamo hay que pagar o dejar de ganar una suma determinada de dinero, la cual nos permite obtener lo que podemos llamar la tasa de costo financiero, por lo tanto: TCf

Monto Pagado o Ingreso no percibido = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Capital a Préstamo

Entonces si a la tasa de costo operativo le adicionamos la tasa de costo financiero, obtendremos la tasa de costo total compuesta por ambas tasas, o sea:

TCt = TCop + TCf

Esta tasa de costo total es un marco de referencia a efectos de fijar el valor de la tasa de interés a cobrar, es decir que la que se debe cobrar debe ser superior. c.- En lo que hace al riesgo de incobrabilidad, no es habitual que las entidades financieras determinen su cálculo a efectos de poder incluirlo en el costo total, lo que si pasa a formar parte de éste, a través del costo operativo, es cuando se cargan a los gastos de administración los generados por gestión de cobranzas (gestión y mora). No obstante es importante señalar, como ya se dijo, que la implementación de la presentación de garantías disminuye notablemente este riesgo de incobrabilidad, siendo ésta una de las razones fundamentales de la eliminación del cálculo de este componente. d.- La desvalorización monetaria, es uno de los componentes de mayor peso cuando se trata de economías inflacionarias. Su cálculo nos permite medir cuál ha sido el efecto inflacionario en una operación financiera y así poder determinar el resultado real de la misma, es decir, despojar el componente inflacionario que contienen los intereses devengados de modo de poder expresar la incidencia de la tasa real de interés sobre el capital de dicha operación.

108

En este punto vamos a hablar en términos contables, ello a los fines de hacer una pequeña contribución a lo que se le llama la determinación del “Resultado por exposición a la inflación” o “ Resultado Financiero y por tenencia”. Haremos un análisis referido a la tasa real de interés y los efectos de la desvalorización monetaria en operaciones financieras, planteando distintas metodologías para la separación del resultado financiero y estos pequeños ejemplos que daremos servirán para poder generalizarlos cuando se trata de presentación de balances que deben ser ajustados por el efecto de la inflación. Vamos a ver dos formas distintas de determinar, en este caso, el resultado financiero de una operación, ellas son:

I) Método de ajuste por inflación: Consiste en expresar todos los valores de la operación financiera a moneda de fecha de cierre de un ejercicio, pudiendo también utilizarse otra fecha. Sea un capital de $ 10.000,- colocado al 10% de interés efectivo y que durante ese período la tasa de inflación fue en total del 6%.

0 1 │--------------------------------│ 10.000 i=0,10 11.000,10.000 f=0,06 10.600,Resultado financiero: 400.-

Lo que se hace es tomar el valor inicial y se lo capitaliza al momento de fecha de cierre utilizando la tasa de inflación y luego se lo compara con el valor de cierre, es decir que en este caso si el balance se resumiera a una sola operación en realidad no se ha tenido una utilidad de $ 1.000,- sino que al realizar el ajuste por inflación, la utilidad real fue de $ 400,-. Como se puede apreciar la realización del ajuste por inflación en este caso significa una menor ganancia y por consiguiente, por ejemplo un menor pago del impuesto a las ganancias. Cuando se trata de un balance de una empresa, lo que debe hacerse es llevar todas las operaciones, que se realizan mes a mes, susceptibles de ajustar al momento de cierre y reflejar estos valores ajustados en un nuevo cuadro de resultados.

II) Método de la tasa real de Interés: Utilizando su fórmula tendremos:

i - f r = ▬▬▬▬▬▬▬ 1 + f

0,10 - 0,06 0,04 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬ = 0,037735849 1,06 1,06

Aplicando “r” sobre el capital ajustado a moneda de cierre (o sea utilizando para su capitalización la tasa de inflación), tenemos:

10.000 . (1+0,06) =

Resultado financiero

10.600,-

= 10.600 x 0,037735849 =

109

400,-

5.4. Los créditos indexados - Cuadros de amortización indexados para los diferentes sistemas - La T.I.R. Una de las formas de solucionar, para el que otorga el préstamo, el problema que se plantea en épocas de inflación, tal cual se señala anteriormente, es otorgar créditos llamados indexados. En ellos se fija la tasa real que fundamentalmente incluye el precio del alquiler del dinero y luego los valores de las cuotas, que se calculan en base a la tasa real, se van ajustando de conformidad a algún índice oficial que se publica.

Sistema francés: En este caso en primer lugar se realiza el cuadro original en base a la tasa de interés real fijada, que en la actualidad varía entre un 0,06 al 0,12 anual efectiva. Una vez construido éste, se va aplicando el índice de “actualización” (en realidad sería de capitalización, pero para no contradecir el vocabulario utilizado en la realidad mal digamos “actualización”) a cada uno de los elementos del cuadro a medida que transcurre el tiempo. Veremos a continuación un ejemplo de cuadro de amortización indexado, el cual se realiza para una deuda de $ 10.000.- a devolver en 6 cuotas mensuales vencidas, siendo la tasa de interés mensual, considerada como tasa real, del 0,01 que equivale a una efectiva anual del 0,12682503. Para el cálculo de la cuota utilizamos la fórmula:

C = V. an|i-1

y en este caso tenemos:

C = 10000

x a6|0,01-1 = 10000 . 0,17254836 =

1.725,48

Supongamos además que los índices con los cuales se ajustará el cuadro de amortización han sido para cada mes los siguientes (se da directamente el coeficiente de aumento): 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Inflación mensual 0,05 0,06 0,04 0,07 0,08 0,07

Obtención de coeficientes 1,05 1,05 x 1,06 = 1,113 1,113 x 1,04 = 1,15752 1,15752 x 1,07 = 1,2385464 1,2385464 x 1,08 = 1,3376301 1,3376301 x 1,07 = 1,4312642

El cuadro de amortización original es el siguiente: Nº Período 1 2 3 4 5 6 Totales

Deud. Al com. original 10000.8374,52 6732,79 5074,64 3399,91 1708,43

Intereses 1625,48 1641,73 1658,15 1674,73 1691,48 1708,43 10000,00

Amortizac. Real orig. 100,83,75 67,33 50,75 34,00 17,05 352,88

Cuota Saldo Deuda original 1725,48 8374,52 1725,48 6732,79 1725,48 5074,64 1725,48 3399,91 1725,48 1708,43 1725,48 10352,88

Ahora para hacer el cuadro de amortización indexado lo que debemos hacer es multiplicar en cada caso a los valores originales por el correspondiente coeficiente de “actualización” de cada período, así por ejemplo la cuota del período tercero se obtiene multiplicando a $ 1725,48 x 1,15752 =

110

1.997,28, en cambio la del sexto período es igual a $ 1715,48 x 1,4312642 = 2469,62. Para la segunda cuota también se podría tomar el valor de la primer cuota “actualizada” e incrementarla en el 0,06 que es la inflación del segundo mes y así sucesivamente. Los valores totales del cuadro de amortización indexado son: Nº Período

1 2 3 4 5 6 Totales

Deud. Al com. original actualizada

10500,9320,85 7793,34 6285,18 4547,82 2445,21

Intereses Actualizados

105,93,21 77,94 62,86 45,48 24,41 408,90

Amortizac. Real actualizada.

Cuota actualizada

1706,75 1827,25 1919,34 2074,23 2262,57 2445,21 12235,35

1811,75 1920,46 1997,28 2137,09 2308,05 2469,62 12644,25

Saldo Deuda actualizada desp. De pag. C

8793,25 7493,60 5874,00 4210,95 2285,25 -,-

Evidentemente que el deudor tendrá que pagar el valor de las cuotas “actualizadas” y con ello se saldará este préstamo que fue otorgado a una tasa de interés real mensual del 0,01 y que fue indexado teniendo en cuenta la inflación mensual.

Sistema Alemán: Un crédito indexado por el sistema alemán tiene la misma metodología que el caso anterior, es decir que originalmente se realiza el cuadro a una tasa de interés real que incluye el precio del alquiler del dinero y luego se va aplicando la “actualización” de cada uno de los elementos del cuadro. Veamos un modelo construido con los mismos datos del caso anterior, es decir una deuda de $ 10.000.-, con una tasa de interés real del 0,01 mensual, que equivale a una tasa efectiva real anual del 0,12682503, a devolver en 6 cuotas mensuales vencidas, siendo los coeficientes de indexación los ya establecidos en el caso anterior. En el sistema alemán sabemos que la amortización real es constante y en este caso igual a: amortización

V 10000 = ▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬ = n 6

1.666,67

Este es el valor de la amortización que se utiliza para la construcción del cuadro original. Los intereses son variables y por lo tanto, como ya se analizó, la cuota es también variable y la misma es igual a la suma de la amortización real más los intereses que se pagan sobre el saldo de la deuda; a medida que pasa el tiempo la cuota original va disminuyendo pues la deuda se amortiza en una cantidad constante y consecuentemente disminuyen los intereses. El cuadro de amortización original es: Nº Período

1 2 3 4 5 6

Deud. Al com. original

Intereses originales

Amortizac. Original.

10000,8333,33 6666,66 4999,99 3333,32 1666,65

100,83,33 66,67 50,00 33,33 16,67 350,00

1666,67 1666,67 1666,67 1666,67 1666,67 1666,65 10000,00

111

Cuota original

1766,67 1750,00 1733,34 1716,67 1700,00 1683,32 10350,00

Saldo Deuda original desp. De pag. C

8333,33 6666,66 4999,99 3333,32 1666,65 -,-

El cuadro de amortización indexado se construye de la misma manera que lo hicimos para el caso del sistema francés y los coeficientes que utilizaremos serán: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Inflación mensual 0,05 0,06 0,04 0,07 0,08 0,07

El cuadro de amortización es el siguiente: Nº Per.

1 2 3 4 5 6

Saldo Deuda act. Final del período antes pag. C

10500,9275,00 7716,79 6192,72 4458,75 2385,42

Intereses actualizados

105,92,75 77,17 61,93 44,58 23,86 405,29

Obtención de coeficientes 1,05 1,05 x 1,06 = 1,113 1,113 x 1,04 = 1,15752 1,15752 x 1,07 = 1,2385464 1,2385464 x 1,08 = 1,3376301 1,3376301 x 1,07 = 1,4312642 Amortizac. Real actualizada.

1750,00 1855,00 1929,20 2064,25 2229,39 2385,42 12213,26

Cuota actualizada

1855,00 1947,75 2006,38 2126,18 2273,97 2409,28 12618,56

Saldo Deuda actualizada desp. De pag. C

8750,00 7419,99 5787,59 4128,47 2229,36 -,-

Los valores “actualizados” del presente cuadro se obtienen multiplicando en cada caso los valores originales por el correspondiente coeficiente de “actualización” de cada período, así por ejemplo la cuota del cuarto período se obtiene multiplicando a $ 1716,67 x 1,2385464 = 2.126,18. En cambio la del sexto período es igual a 1.683,32 x 1,4312642 = 2.409,28. Se debe tener en cuenta para este caso que no es posible aplicar la metodología de tomar el valor de la primer cuota “actualizada” e incrementarla en el 0,06 que es la inflación del segundo período, ello porque no se trata de todas las cuotas constantes como lo era el sistema francés.

La Tasa Interna de Retorno (T.I.R.): Un detalle interesante es plantear el siguiente interrogante: ¿Cuál es la tasa de interés que ha regido la operación, luego de concluido el pago del préstamo en forma indexada?, es decir la tasa de interés que incluye a la tasa de indexación o inflación y la tasa real de interés. Para ello debemos hallar la llamada Tasa Interna de Retorno (T.I.R.) o sea la tasa que aplicada como factor de actualización a cada una de las cuotas pagadas, las lleve al momento cero o sea al del otorgamiento del préstamo y su suma sea el valor original prestado. Si tomamos como ejemplo las cuotas pagadas del cuadro de amortización indexado y que corresponde al sistema francés, lo que hay que hacer es lo siguiente: 1811,75 1920,46 1996,28 2137,09 2308,05 2469,62 10000 = ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬ 1+i (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5 (1+i)6

No existe una fórmula matemática para despejar un único valor de “i” que iguale la ecuación, ya que como está elevada a diferentes potencias ello es imposible. Entonces la única forma de hallarla manualmente es por tanteo, es decir ir probando diferentes tasas hasta encontrar la buscada; no obstante, existen métodos matemáticos que permiten hallar una tasa de primera aproximación y luego encontrar la buscada de una manera más rápida. El trabajo así planteado es muy engorroso pero afortunadamente puede ser obviado utilizando calculadoras financieras

112

que tengan la tecla de la tasa interna de retorno o también aquellas que traigan programas de resolución de polinomios; también con la aparición de la computadora y los programas de soft existentes es posible hallar la T.I.R. sin inconvenientes. Para el ejemplo dado la T.I.R. tiene un valor del 0,06761798 que corresponde a la tasa de interés mensual que ha regido la operación para el tomador del préstamo, comprobamos ello haciendo: 1811,75 1920,46 1996,28 2137,09 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ + 1+0,06761798 (1+0,06761798)2 (1+0,06761798)3 (1+0,06761798)4 2308,05 2469,62 + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = (1+0,06761798)5 (1+0,06761798)6

10.000

= 1697,00 + 1684,90 + 1641,32 + 1644,97 + 1664,05 + 1667,76

= 10.000

Para el segundo cuadro de amortización indexado, hecho por el sistema alemán, la ecuación que se plantea para obtener la T.I.R. es: 1855,00 1947,75 2006,38 2126,18 22273,97 2409,28 10000 = ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1+i (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5 (1+i)6

La T.I.R. en este caso tiene un valor de 0,0675629159. Prácticamente ambas tasas son iguales (la diferencia que se produce por redondeo es de 0,0000550701) y no puede ser de otra manera ya que ambos sistemas son equivalentes en lo que se refiere a la tasa cobrada y en ambos se han utilizado los mismos coeficientes de indexación.

5.5. Análisis de la situación real del tomador de créditos indexados. La decisión de optar por un préstamo con cláusula de ajuste presupone de antemano el análisis de varios aspectos: Por un lado debe considerarse el ingreso de quien solicita el préstamo y su futuro comportamiento, es decir a la tasa con que va a crecer (la simbolizaremos con “g”), además se debe tener en cuenta el porcentaje de su ingreso que representa la cuota del préstamo que permite un excedente para hacer frente a sus otras erogaciones y cómo éstas irán creciendo, es decir a que tasa (la simbolizamos con “f”), si suponemos por ejemplo un trabajador será el crecimiento del costo de la vida. Ambos aspectos señalados coaccionan junto con el índice de ajuste del préstamo y la tasa real de interés que se ha pactado. En un caso práctico podemos suponer que un señor con un ingreso de $ 2.000,-mensuales solicita un préstamo a un año de plazo ajustado por alguno de los índices de ajuste, que supongamos es el costo de vida que varía en un 6% mensual durante los doce meses del año y que la cuota del préstamo, calculada con una tasa real, representa el 40% de ese ingreso, el excedente lo destina a sus gastos de subsistencia. Al cabo de 6 meses, cuando deba pagar una cuota, la situación de este señor será peor si: a)  Sus ingresos no crecieron a un ritmo del 0,06 mensual y la tasa de inflación fue del 0,06 mensual. b)  Sus ingresos crecieron al 6% mensual y la tasa de inflación fue superior al 0,06 mensual. c)  Si sus otras erogaciones que corresponden a gastos de subsistencia crecen a un ritmo

113

superior al 6% mensual, manteniéndose constantes el crecimiento de los ingresos en un 6% mensual y el índice de ajuste del préstamo también en un 6% mensual. d)  Otras variantes que el lector fácilmente puede analizar. Si se dan estas alternativas u otras que pueden analizarse, evidentemente este señor no podrá seguir pagando y su situación será, de mantenerse la tendencia, cada vez más crítica. Existe otro aspecto muy importante que además debe tenerse en cuenta y que surge de la siguiente conclusión: “el que obtuvo un préstamo indexado y llegó a un momento tal en que no puede hacer frente a sus obligaciones, de ninguna manera hubiese podido obtener el mismo préstamo con la fijación de una tasa de interés sin clásula de ajuste”. Un ejemplo práctico sencillo confirmará lo dicho: supongamos que el coeficiente de ajuste sea del 0,07 mensual durante 24 meses y la tasa real de interés se fije en el 0,00935 mensual; la acción conjunta de ambas tasas determina una tasa de interés mensual del 0,08 (1,07 . 1,00935 – 1) que supongamos es la tasa que se cobra fijando la tasa anticipadamente; entonces un señor pide un préstamo de $ 20.000,- a devolver en 24 cuotas mensuales vencidas y gana $ 2.000,- por mes, pudiendo optar por el sistema francés a la tasa del 0,08 mensual o por el sistema francés indexado a una tasa real del 0,00935 mensual. Cualquiera de las dos formas que adopte el solicitante le reportará a la entidad financiera el mismo rendimiento o dicho desde otro punto de vista, el costo para el tomador en ambos casos será el mismo o sea del 0,08 mensual (obviamos aquí la deformación en la verdadera tasa que significan los gastos administrativos y otros que cobran los bancos cuando otorgan el préstamo que hacen elevar la verdadera tasa para el tomador). La entidad financiera entonces le presenta al cliente ambas alternativas y expresa:

I)

Método francés, tasa del 0,08 mensual:

C = V . a24│0,08-1

= 20000 . 0,094978

= 1.899,50

La cuota que debe pagarse es de $ 1.899,50 por mes. Es evidente que este señor no pedirá el préstamo puesto que con un ingreso de $ 2.000,- no puede pagar una cuota de esa magnitud, pues no le resta nada para sus gastos de subsistencia.

II)

Método francés indexado, tasa real de interés del 0,00935 mensual:

Cuota que se ajustará = V . a24│0,00935-1

= 934,20

Este señor probablemente acepte este caso porque la cuota representa el 47% de su ingreso y en las condiciones iniciales le queda dinero para sus gastos de subsistencia. Pero que ocurrirá posteriormente: al realizar el cuadro de amortización ajustado surgirá que: 1º) El Señor podrá pagar las primeras cuotas (consideremos que su ingreso es fijo), pero ya a partir de la cuarta o quinta cuota su situación será insostenible y no podrá pagar la cuota Nº 12. 2º) La deuda capitalizada es en la cuota Nº 11 de $ 25.691,-, a pesar de que ya abonó $ 13.805,60 por el pago de las 10 primeras cuotas capitalizadas. ¿Significa esto que éste método es irracional?, éste método es irracional tanto como el otro y ello no es por el método en sí sino por la elevada tasa del 0,08 mensual. Lo que ocurre es que este señor en las condiciones que estaba o sea ganando $ 2.000,- por mes no podía sacar el préstamo por ninguno de los dos métodos, nada más que él especuló

114

con el indexado teniendo en cuenta que su ingreso a medida que pasara el tiempo crecería en la misma proporción o más que el índice de ajuste y de inflación, de manera tal que su situación mejoraría, si no ocurre ello su situación empeorará cada vez más. Evidentemente que el desconocimiento (realmente comprensible) ha llevado, en una época muy conflictiva de nuestra economía, a tomar préstamos indexados, puesto que al observarse que la primer cuota es accesible se piensa que las demás también lo serán. Por el contrario si el crédito se presenta por el método francés con la tasa previamente fijada, inmediatamente el solicitante se negaría a tomarlo. De lo expuesto se desprende que para solicitar un préstamo indexado se deben analizar dos índices (el análisis puede extenderse a más) que deben compararse con el de ajuste y ellos son el crecimiento del ingreso y el del crecimiento de las erogaciones (excluida la cuota para saldar el préstamo) de quién lo solicita. Un sencillo ejemplo demuestra lo anterior: Situación inicial: ENERO

SUELDO $ 1.000,-

CUOTA EXCEDENTE PARA VIVIR $ 400,$ 600,-

Supongamos que a diciembre el índice de ajuste del préstamo es de 2,05, el aumento del sueldo el 110% y el aumento del costo de vida del 150%, entonces: Situación posterior: DICIEMBRE

SUELDO $ 2.100,-

CUOTA $ 820,-

EXCEDENTE PARA VIVIR $ 1.500,-

La situación es insostenible, pero si el aumento del costo de vida hubiere sido del 105%, tendríamos: Situación posterior: DICIEMBRE

SUELDO $ 2.100,-

CUOTA $ 820,-

EXCEDENTE PARA VIVIR $ 1.230,-

La situación en este caso es favorable. Evidentemente es muy difícil prever de antemano el comportamiento de los índices; en el caso de una empresa puede tenerse una idea bastante aproximada del crecimiento del ingreso en base a porcentajes de utilidades previstas como así también el de sus costos, pero aún así es claro que la obtención de un préstamo indexado se encuadra en un terreno de incertidumbre ya que actúan variables que no pueden ser controladas, por el tomador, en la generalidad de los casos. No obstante ello, podemos realizar un análisis en cuanto a establecer fórmulas que nos permitan determinar límites máximos de crecimiento de la cuota a través de una tasa máxima de ajuste, también límites máximos de crecimiento de las erogaciones representado por una tasa y, por último, la tasa de crecimiento mínimo necesaria de los ingresos para el tomador, de manera tal que se pueda llevar a cabo algún análisis para decidir la obtención de un préstamo indexado. En el caso de préstamos a devolver mediante el pago de cuotas nos encontramos genéricamente con esta situación:

Y = Será el nivel de ingreso para el tomador del préstamo.

C = Y.α : Cuota del préstamo o sea el importe que el tomador debe destinar de sus ingresos para el pago de la cuota, siendo α la proporción de los ingresos que insume la misma. R = Y (1-α)= Y.β :Remanente de sus ingresos (excluida la cuota) que puede ser destinado a hacer frente a las restantes erogaciones como ser gastos, ahorro e inversión. Para el análisis haremos una simplificación tomando todo como erogaciones necesarias para vivir dignamente. De esta manera el ingreso total del tomador al inicio de la operación es:

115



Y = C + R =

Y . α

+

Y . β

Y por cada unidad de ingreso tendremos, dividiendo por Y, que:

1 =

α

+

β

Supongamos que: f´ : Es la tasa de ajuste de la cuota. f

: Es la tasa de inflación o sea a la que crecen sus restantes erogaciones.

g

: Es la tasa de crecimiento de sus ingresos.

Para un momento cualquiera posterior al inicial, para que la situación del tomador permanezca invariable, deberá necesariamente ocurrir que:

Y . ( 1 + g ) = Y.α ( 1 + f´)

+ Y.β ( 1 + f )

Siendo en este caso g, f´y f, tasas correspondientes a todo el período considerado. Entonces si ocurre la igualdad anterior, el tomador estará en las mismas condiciones que al inicio y el hecho de tomar el préstamo indexado no cambió su situación, digamos financiera. A partir de esta igualdad se pueden obtener las fórmulas que relacionan a cada tasa con las otras dos, así entonces despejando en cada caso tenemos: a)

(1 + g) – β (1 + f) f´= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ α

-

1

que es la tasa de ajuste de la cuota en función de la tasa de crecimiento del ingreso y la tasa de crecimiento de las restantes erogaciones, es decir que si se conocen éstas dos últimas, la fórmula nos permite determinar cual es la tasa máxima de capitalización de la cuota para que la situación para el tomador del préstamo se mantenga. b)

(1 + g) – α (1 + f´) f = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ β

1

que es la tasa de inflación con que crecen las restantes erogaciones en función de la tasa de crecimiento del ingreso y la tasa de capitalización de la cuota, es decir que si se conocen éstas dos últimas, la fórmula nos permite determinar cual es la tasa máxima de crecimiento de las restantes erogaciones para que la situación para el tomador del préstamo se mantenga. c)

g = α (1 + f´) +

β (1 + f) - 1

que es la tasa de crecimiento de los ingresos en función de la tasa de ajuste de la cuota y la tasa de crecimiento de las restantes erogaciones, es decir que si se conocen éstas dos últimas, la fórmula nos permite determinar cual debe ser el crecimiento mínimo de los ingresos para que la situación para el tomador del préstamo se mantenga. A través de un ejemplo sencillo podemos ver que tipo de análisis se puede hacer con estas fórmulas: supongamos que los ingresos del tomador son $ 3.000,- y que obtuvo un préstamo de C = 600,- es decir que las restantes erogaciones son solventadas con $ 2.400,-, en este caso el valor de α = 0,20 y el valor de β = 0,80, o sea que la situación inicial es:

116



3000 = 600 + 2400

Supongamos que podemos determinar que al cabo de un cierto período de tiempo, la tasa de crecimiento de sus ingresos será del 30% y la tasa de crecimiento de sus restantes erogaciones será del 34%, entonces nos preguntamos: ¿Cuál deberá ser la tasa de ajuste de la cuota para que la situación del tomador no varíe?, ella deberá ser:

(1+0,30) – 0,80 (1+0,34) f´ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ - 1 = 0,14 0,20

entonces si la cuota es ajustada con una tasa superior al 14% la situación del tomador será peor que al inicio, en cambio si se ajusta con una tasa menor, la situación será mejor. Se puede comprobar que si el ajuste se hace a la tasa obtenida, la situación será equivalente o sea: 3000 (1+0,30) = 2400 (1+0,34) + 600 (1 + 0,14 ) 3900 = 3216 + 684

Queda para el lector hacer el análisis para las otras fórmulas que se dan y las conclusiones que puedan obtenerse.

5.6. La variación de la tasa de interés: operaciones concertadas con tasa de interés variable - Construcción de cuadros de amortización. Otra forma de evitar la pérdida que puede ocasionar la variable inflación, cuando esta no puede ser controlada y produce bruscos saltos sin un comportamiento uniforme, es pactar los créditos a una tasa variable, siendo esta tasa la que contiene todos los elementos ya mencionados y, por supuesto, que uno de ellos es el de la desvalorización monetaria o tasa de inflación. La metodología es la siguiente: se fija una tasa de interés y se establece que si la tasa varía se adopta esta nueva tasa para calcular la nueva cuota que debe abonar el deudor. Veremos como se opera en este caso para construir el cuadro de amortización que ha sido hecho por el sistema francés: supongamos una deuda de $ 1.000,- a 6 meses de plazo, amortizada con cuotas mensuales vencidas a una tasa de interés del 0,06 mensual; la cuota se calcula de la siguiente manera:

C = V. an│i-1

=

1.000 . a6│0,06-1 = 203,36

Supongamos que a los dos meses o sea a partir del tercero la tasa varía al 0,07 mensual y a partir del quinto mes la tasa se fija en el 0,05 mensual. Cuando se otorga un crédito a tasa variable existen dos posibles formas de realizar el cuadro por el sistema francés: a)  La primera, que es la correcta forma de trabajar, es hacer el cuadro progresivamente y no concluirlo todo con la misma tasa original; es decir calcular los elementos (interés, amortización real, cuota, saldo) del cuadro para el primer período, si al final de éste la tasa se mantiene seguir realizando el cuadro con la misma cuota, si luego cambia la tasa, entonces se debe calcular una nueva cuota y se toma como deuda original el saldo al final del período anterior después de pagar la cuota, se aplica la nueva tasa y el número de cuotas estará dado por las que falten de pagar. Los mencionados tres elementos son los nuevos valores del cuadro de amortización y de esa forma se registran para el período inmediato. La metodología sigue manteniéndose de

117

esa forma. Este será el cuadro para el caso planteado: Nº Per.

1 2 3 4 5 6

Intereses actualizados

Saldo Deuda act. Final del período antes pag. C

1000,856,64 704,66 545, 95 376,13 192,65

Amortizac. Real actualizada.

60,51,38 49,33 38,22 18,81 9,64 227,38

Cuota actualizada

143,36 151,98 158,71 169,82 183,48 192,65 1000,00

Saldo Deuda actualizada desp. De pag. C

203,36 203,36 208,04 208,04 202,29 202,29 1227,38

856,64 704,66 545,95 376,13 192,65 -,-

Como a partir del tercer mes la tasa varió del 0,06 al 0,07 mensual, se calculan los nuevos valores para el cuadro y se considera:

V = 704,66

n = 4

i = 0,07 mensual

Entonces:

C = V . an│i-1

=

704,66 . a4│0,07-1

=

208,04

A partir del quinto mes, al cambiar nuevamente la tasa, tenemos:

V = 376,13

n = 2

i = 0,05 mensual

Entonces:

C = V . an│i-1

=

376,13 . a2│0,05-1

=

202,29

b)  Otra forma, que es utilizada mucho en la práctica, es la siguiente: Del cuadro original se mantienen los valores de las amortizaciones reales a pesar de que varía la tasa; lo que se modifica es el interés contenido en cada cuota y, por consiguiente, el valor total de la cuota. De esa forma, si se ha entregado una especie de chequera, en la misma se agrega el nuevo interés y se modifica el valor de la cuota y el cálculo es muy simple para el empleado que debe actualizar la chequera con la nueva tasa. Para el mismo caso anterior y empleando esta otra metodología, el cuadro de amortización se construye de la siguiente manera:

Nº Per.

Saldo Deuda al com.

1 2 3 4 5 6 Totales

1000,00 856,64 704,66 543,58 372,83 191,84 220,17

Int. orig.

60,00 51,38 42,28 32,62 22,37 11,52

Nuevos int.

Dif. Int.

49,33 7,05 38,05 5,43 18,64 (3,73) 9,59 (1,93) 6,82 1000,-

118

Amortizac. Real act.

Cuota actual.

143,36 203,36 151,98 203,36 161,08 170,75 180,99 191,84 406,72 820,27

Nueva cuota

210,41 208,80 199,63 201,43

Saldo Deuda actualizada desp. De pag. C

856,64 704,66 543,58 372,83 191,84

Los nuevos intereses del tercer período se calculan aplicando la nueva tasa al saldo o sea $ 704,66 x 0,07 = 49,33 y la nueva cuota es la suma de los nuevos intereses más la amortización real de ese período. De la misma forma se hace para los demás. Este tipo de cuadro no es correcto ya que no refleja realmente la nueva amortización real que corresponde sino que mantiene siempre la original que progresa con una tasa del 0,06 mensual y sabemos que a partir del tercer mes la tasa varió al 0,07 mensual, lo cual significa que la amortización real tendría que aumentar con la tasa del 0,07 y sin embargo no ha sido así. Es evidente que al trabajar de esta última forma ya no estamos en presencia del sistema de amortización francés sino que adquiere una forma muy particular más cercana al sistema alemán aunque como puede verificarse tampoco lo es. Es importante señalar que en ambos cuadros el rendimiento para la entidad financiera es igual y por consiguiente también el costo para el tomador; para demostrar ello sólo basta con obtener la T.I.R. para ambos casos y comprobar que son iguales, en efecto para el cuadro del primer caso es igual a 0,061931 y para el segundo es 0,061938; la diferencia que aparece en el sexto decimal se debe al redondeo de cifras en los cuadros de amortización. Otra forma de operar a tasa de interés variable y que es muy utilizado en la práctica es a través del sistema Alemán, cuya metodología permite trabajar en forma similar al segundo caso visto, es decir son variables los intereses y la cuota, manteniéndose constante la amortización real de cada período. Dicho cuadro no se realiza ya que la metodología es la misma que la del segundo caso, sólo podría agregarse que también para este caso y en las mismas condiciones que los ejemplos planteados, la tasa interna de retorno es la misma.

5.7. La decisión financiera basada en el valor actual de los capitales El análisis de inversiones. Entre las numerosas decisiones que debe tomar la administración financiera de la empresa, ocupan un importante lugar las de aceptar o rechazar proyectos de inversión y las de determinar el orden de preferencia entre distintos proyectos aceptables y para ello hay que tener en cuenta ciertos aspectos cualitativos y cuantitativos de cada proyecto. Si bien podemos llegar a suponer una tasa de inflación cero (parece una quimera), un peso recibido hoy vale más que un peso recibido dentro de un año, esto se debe a que o bien podemos consumir un peso hoy con más satisfacción que dentro de un año o bien invertirlo con el objetivo de recibir más de un peso en algún momento futuro, todo ello suponiendo de que existen intereses positivos y una permanencia en el tiempo. Antes de entrar al análisis propiamente dicho veamos los conceptos de inversión, proyectos de inversión y rentabilidad de las inversiones de una manera un tanto superficial y únicamente como para tener una idea de ellos; para profundizar el estudio de análisis de inversiones existen libros específicos y, por lo tanto, en este manual sólo se dan conceptos generales y de lo que se trata es de hacer ver la utilidad de la matmática financiera.

Concepto de Inversión: Invertir consiste en utilizar bienes para adquirir un conjunto de activos, reales o financieros, aptos para proporcionar rentas y/o servicios durante un cierto período de tiempo. El concepto de inversión en general supone:

119

a) Un bien que se invierte. b) Un sujeto que invierte. c) Un costo por la privación de una satisfacción presente. d) Una expectativa de satisfacción futura. Ubicándonos en el caso particular de una empresa, cuando hablamos de inversión nos referimos a todo desembolso, efectivo o no, que se efectúa por parte de ésta para lograr una utilidad o renta futura sujeta a riesgos de diverso grado. Algunas clasificaciones de éstas son:

1) Según su función: a) Inversiones de renovación o reemplazo: Tiene por objeto sustituir los elementos productivos desgastados. b) Inversiones de expansión: Tiene por objeto hacer frente a una mayor demanda del mercado. c) Inversiones de modernización o innovación: Se efectúan para mejorar la calidad de la producción o para lanzar nuevos productos al mercado. d) Inversiones estratégicas: Que se hacen para acrecentar el bienestar del personal, para eliminar riesgos, etc..

2) Según el sujeto que invierte: a) Inversiones efectuadas por el Estado. b) Inversiones efectuadas por particulares. c) Inversiones efectuadas por empresas.

3) Según el objeto: a) Reales: Tienen por objeto proporcionar bienes o servicios. b) Financieras: Son las que se efectúan en títulos y valores y, actualmente, mediante depósitos en el sistema financiero. De todas ellas vamos a analizar genéricamente las inversiones reales efectuadas por empresas.

Concepto de proyecto de inversión: En sentido amplio, en el ámbito financiero, un proyecto de inversión es toda posibilidad de financiación o toda posibilidad de inversión, o una combinación de ambos. La financiación consiste en la obtención de fondos de una fuente determinada y la inversión es la aplicación de esos fondos para adquirir activos reales o financieros. Un proyecto de inversión se define mediante un desembolso inicial llamado “Tamaño de la Inversión”, una “Tasa de costo de capital” y una corriente posterior de ingresos y pagos cuya diferencia se llama generalmente “Flujos netos de caja” o “Flujos netos”, que se producen durante un período que se suele llamar “Horizonte de la Inversión” o “Duración de la Inversión”. Veamos entonces cuales son los elementos que definen un proyecto de inversión:

120

ao = Tamaño de la inversión inicial (Si la inversión inicial es de $ 100.000.- entonces -ao

= - 100.000.-).

k = Tasa de costo del capital invertido. n = Duración de la inversión; puede estar expresado en años, semestres, bimestres, etc. bt = El ingreso o entradas que producirá la inversión durante el año t-ésimo computado al

final del año (estamos considerando flujos anuales), variando t = 1, 2, 3, .....n.

ct = El egreso o salidas que generará la inversión durante el año t-ésimo computado al

final de ese año, variando t=1,2, 3, .....n. Es importante señalar que no se computan como egresos la depreciación del capital ni su costo financiero. at = Flujo neto de caja o sea la diferencia entre bt y ct, variando t = 1, 2, 3, ......, n. No obstante a veces se incluye en ellos a la inversión inicial (ao).

En un esquema simple ubicaremos estos tres últimos elementos:

ao 0 1 2 3 ................. n-1 n |________|________|________|_____________________|________│ flujos netos: a1 a2 a3 ....................an-1 an Ingresos:

b1

b2

b3 ....................bn-1

bn

Egresos:

c1

c2

c3 ....................cn-1

cn

Es importante señalar que el valor de an no puede ser nunca nulo porque en tal caso el último flujo sería an-1.

Rentabilidad de las Inversiones: La rentabilidad de una inversión no se conoce con exactitud hasta que no ha transcurrido el tiempo, para medir los ingresos y egresos reales del proyecto. Se llama rentabilidad de un proyecto de inversión a un valor probable que se estima antes de realizar la inversión; por ello cuando se habla de la rentabilidad de una inversión, en realidad debe entenderse que se refiere a la rentabilidad esperada de un proyecto de inversión. Veamos dos tipos de rentabilidad:

Rentabilidad financiera: Es la rentabilidad de la empresa, el beneficio que espera obtener, éste se obtiene después de cubrir con los flujos netos la inversión inicial y su costo financiero. Rentabilidad económica: Es la rentabilidad que el proyecto proporcionará a la comunidad. Es un problema macroeconómico que generalmente se mide con la contribución que el proyecto de inversión aporte al P.B.I. En consecuencia hay proyectos que pueden ser convenientes desde el punto de vista social y pueden no ser rentables desde el punto de vista del inversor.

Criterios de selección de proyectos de inversión: Podemos clasificar en dos grupos los criterios o procedimientos para medir los aspectos cuantitativos en la selección de proyectos de inversión: a) Los criterios que consideran el valor del capital en el tiempo. b) Los que no lo consideran. Decidir si un proyecto de inversión es o no rentable y seleccionar el mejor entre los que son rentables es una tarea compleja que para simplificarla se han establecido algunos supuestos básicos, ellos son:

121

1) Perfecta divisibilidad de las inversiones: La empresa puede disponer de cualquier suma para cualquier proyecto. 2) Independencia de los proyectos: La rentabilidad de cualquier proyecto no es afectada por la aceptación o rechazo de otros. 3) Mercado perfecto de capitales: Cada comprador o vendedor de valores puede negociar cualquier cantidad de fondos sin afectar el costo de los valores. 4) Supuesto respecto de la certidumbre: Tiene su origen en la naturaleza aleatoria de los elementos que definen la inversión (tamaño de la inversión en menor medida, tasa de costo de capital, flujos netos de caja y horizonte económico de la inversión). Se consideran a las inversiones bajo tres condiciones: I) En condición de certeza: Se conocen con certeza los elementos que definen la inversión, especialmente los flujos de caja y la tasa de costo de capital. II) En condiciones de riesgo o incertidumbre medida: Cuando el resultado de la inversión es aleatorio y se conoce la distribución de probabilidades de los distintos elementos que la componen, de tal manera que con su estimación se puede medir el riesgo de cometer errores. III) En condiciones de incertidumbre: Cuando el resultado de la inversión es aleatorio y no se conoce la distribución de probabilidades de los elementos que la componen, de modo que no se puede medir el riesgo de cometer errores. Es difícil que se de el caso I) ni tampoco el caso III), ya que es poco probable que alguien decida realizar inversiones en condiciones de incertidumbre total. Lo necesario será combinar las técnicas estadísticas con criterios subjetivos de quiénes conocen el tema, ya que será difícil aplicar aquellas porque no es fácil disponer de experiencias de un gran número de inversiones similares a la de análisis. Los aspectos que deben tenerse en cuenta podemos resumirlos en los siguientes: * Inversión requerida por el proyecto. * Duración del proyecto. * Vida útil y valor residual de los equipos. * Costos fijos y variables. * Precio de venta de los artículos que se producirán. * Impuestos y exenciones impositivas. * Estado del mercado (tamaño, crecimiento, participación de la empresa, etc.). Pese a que no desarrollaremos las técnicas estadísticas aplicables para efectuar estimaciones de los elementos aleatorios que definen la inversión, no debemos olvidar que la relativa validez de los resultados que proporcionen los distintos criterios que veremos dependerán fundamentalmente, de la bondad de las estimaciones efectuadas.

Criterios de evaluación que tienen en cuenta el valor del capital en el tiempo: Los criterios que no tienen en cuenta el valor del capital en el tiempo, como ser: ingreso neto total por unidad de capital invertido, tasa de flujo neto anual, entre otros, no respetan el postulado financiero básico: “sólo son comparables valores que están ubicados en un mismo momento de tiempo”. Los criterios que veremos se ajustan a este principio y, por lo general, se trabaja con valores referidos al momento inicial. El primer problema es determinar la tasa de actualización de los

122

flujos, algunos autores consideran que debe ser la tasa de interés del mercado financiero del momento, pero lo más correcto es utilizar la tasa de costo de capital cuyo estudio ocupa un capítulo importante en la gestión financiera de la empresa.

La tasa de costo de capital: Es el costo en una unidad de tiempo de una unidad de capital invertido, es la tasa efectiva media que debe pagar la empresa para utilizar recursos financieros de distintas fuentes o la tasa efectiva que deja de ganar por el mismo uso de esos recursos. Consideramos para el análisis tres criterios de los que tienen en cuenta el valor del capital en el tiempo, ellos son: I) Período de reintegro con valores actuales. II) Valor capital de la inversión. III) Tasa interna de rentabilidad.

Período de reintegro con valores actuales: Se llama período de reintegro o plazo de recuperación con valores actuales al tiempo necesario para cubrir con los flujos netos actualizados el valor de la inversión. Según este criterio se seleccionan las inversiones que tienen menor plazo de reintegro o recuperación, es un criterio que da importancia al aspecto de liquidez de la empresa, ya que con él se seleccionan las inversiones que tienen más rápida recuperación. La serie de flujos netos actualizados at, para t = 1, 2, 3, ....., n. es: a1.v, a2.v2,

a3.v3, ........., an.vn

cuando los flujos netos actualizados son desiguales para los distintos períodos en que se generaron, debemos ir sumando los consecutivos flujos netos actualizados a partir del flujo neto actualizado correspondiente al primer período, de modo tal que cuando dicha suma alcance al valor de la inversión inicial, el último flujo neto actualizado sumado será el que me está indicando el plazo mínimo de recuperación. Por lo general la suma de los flujos netos actualizados que alcanzan el valor de la inversión inicial no va a coincidir con el valor de ésta. La igualdad se da generalmente en el caso de que el período de recuperación es un número fraccionario. La fórmula para obtener el plazo total de recuperación, siguiendo el procedimiento anterior, es la siguiente: PR = r -

-ao + a’r ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ “ar+1”

En donde “r” es el período que corresponde al flujo neto actualizado que sumado a los anteriores no cubre la inversión inicial, a’r es la suma de los flujos netos actualizados hasta el período “r” e igual a: r a’r = Σ at.vt t=1

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-ao es la inversión inicial con signo negativo y “ar+1” es el flujo neto actualizado del período en el cual los flujos netos actualizados sumados superan a la inversión inicial. Por ejemplo, si la inversión inicial es $ 10.000.- y la suma de los flujos netos actualizados de los primeros 20 períodos es $ 9.530.- y el valor del flujo neto actualizado del período 21 es de $ 870.-, el plazo de recupero será: PR =

-10000 + 9530 20 - ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 20 + 0,55 = 20,55 870

Si los flujos netos son todos iguales, al actualizarlos pierden su condición de tal, con lo que el procedimiento a aplicar para el cálculo del período de recuperación de la inversión es el mismo; no obstante podemos aplicar en este caso una fórmula conocida y empleada para el cálculo del valor actual de una renta cierta, es decir la fórmula de las amortizaciones y en particular la metodología para el cálculo del tiempo; entonces si at = a (para t = 1, 2, 3, .....,n.), podemos poner que: ao = a . an|k

en donde:

n

an|k = Σ at.vt t=1

y

1 v = ▬▬▬▬ 1+k

siendo “k” la tasa de costo de capital. El valor de “n” que iguale la primera expresión será el plazo de recuperación total de la inversión, éste valor de “n” se calcula fácilmente con la utilización de las calculadoras financieras o si no a través de su despeje de la fórmula señalada. Como puede observarse se utiliza la tasa de costo de capital para actualizar los flujos netos de caja. Este criterio por si solo no indica nada, una rápida recuperación de la inversión puede ser una ventaja pero también una desventaja, el proyecto de inversión depende también de otros factores que el analista debe tener en cuenta.

Valor capital de la inversión: Se utiliza el término “valor capital de la inversión” para indicar el aporte de la inversión al valor del capital de la empresa. El valor capital de la inversión esta dado, en principio, por el valor actualizado de todos los flujos incluidos ao o sea la inversión inicial con signo negativo y se suele llamar también valor actual neto de la inversión (VAN). Cuando el valor capital (VC) de un proyecto de inversión es igual a cero no existe ninguna contribución de la inversión al capital de la empresa, simplemente se recupera el capital invertido y se cubre su costo. Si el VC es mayor que cero aumenta el capital de la empresa en esa misma magnitud, en cambio si el VC es negativo el capital de la empresa disminuye. Según este criterio un proyecto de inversión debe aceptarse cuando su valor capital es positivo. Se considera que la empresa debe invertir hasta agotar los proyectos con VC > 0 y que es la magnitud de la tasa de costo de capital la que permite determinar si un proyecto es o no rentable, ya que el VC crece cuando la tasa de costo de capital, que en este caso es la de actualización, disminuye y se reduce cuando ésta aumenta. La actualización utilizando la tasa de costo de capital permite ver en que medida el proyecto contribuye al capital de la empresa,

124

por ejemplo si la tasa de costo de capital es igual a 0,20 y se actualizan los flujos con una tasa del 0,15, cuando el VC = 0 aparentemente se habrá recuperado la inversión pero en realidad no será así y habrá una pérdida porque los flujos netos de caja no alcanzarán para cubrir el capital invertido más su costo del 20%, del cual sólo se cubrirá una parte. El VC de un proyecto de inversión está dado por:

n VC = -ao + Σ at.vt t=1

en donde:



1 v = ▬▬▬▬▬ , siendo “k” la tasa de costo de capital. 1+k

Si todos los flujos netos son iguales y los denotamos por “a” (at , para todo t = 1, 2, 3, ...,n. = a ), tendremos que:

n n VC = -ao + Σ at.vt = -ao + a. Σ vt t=1 t=1 VC = -ao + a. an|k

y si la duración de la inversión es ilimitada, será:

VC = -ao + a .lim an|k n-->∞

a VC = -ao + ▬▬▬▬ k

Críticas al método: La principal crítica a este método consiste en la dificultad para determinar la tasa de costo de capital teniendo en cuenta las distintas alternativas de fuentes de financiación a la que puede recurrir una empresa. Otra crítica que se realiza al criterio del VC es que éste, en la forma que está concebido, depende del tamaño de la inversión inicial, ya que no será lo mismo un VC de un proyecto de inversión de $ 100.000.- que el VC de otro proyecto, “en las mismas condiciones relativas”, pero con una inversión inicial de $ 1.000.000.-; éste último tendrá un VC diez veces mayor que el anterior, en consecuencia habría que considerar el VC por unidad de capital invertido. También existen críticas respecto al horizonte económico de la inversión ya que un proyecto de inversión de alta rentabilidad con una duración de 5 años puede tener un VC inferior al de otro de 20 años de duración con una rentabilidad menor.-

Tasa interna de rentabilidad: La tasa interna de rentabilidad o tasa interna de retorno (T.I.R) de una inversión es la tasa que surge exclusivamente de la relación entre la inversión inicial (ao) y los flujos netos (at, para t = 1, 2, 3, ....,n.) y es la tasa que iguala a la inversión inicial con la suma del valor actual de los flujos

125

netos, si simbolizamos a ésta con “r”, será: a1 ao = ▬▬▬▬ 1+ir

a2 a3 an n at + ▬▬▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬ + .........+ ▬▬▬▬▬▬▬ = Σ ▬▬▬▬▬▬▬ (1+ir)2 (1+ir)3 (1+ir)n t=1 (1+ir)t

El valor de “ir” que verifique la ecuación anterior es la tasa interna de rentabilidad, que es, en principio, independiente de la tasa de costo de capital. La T.I.R. es lo que producirá una unidad de capital invertido en una unidad de tiempo, correspondiendo la unidad de tiempo a la periodicidad de los flujos netos de caja. Los flujos netos tienen tres componentes: a) recuperación del capital invertido. b) costo de ese capital. c) rendimiento. La Tasa interna de retorno tiene dos componentes: a) La tasa de costo de capital. b) rendimiento del capital invertido. Entonces para determinar si un proyecto es o no rentable, se debe comparar su T.I.R. con la tasa de costo de capital, así: Si la T.I.R > k entonces el proyecto es rentable. Si la T.I.R.< k entonces el proyecto no es rentable. También podemos decir que la T.I.R. es la tasa de actualización que hace igual a cero el valor actual de los flujos netos incluyendo a la inversión inicial con signo negativo, o sea: n 0 = -ao + ∑ t=1

at ▬▬▬▬▬▬ (1+ir)t

n = -ao + ∑ at.vt, t=1

1 siendo v = ▬▬▬▬▬▬ (1+ir)

Cuando los flujos son todos iguales: a1 = a2 = a3 =...= an = a, la T.I.R. se puede obtener de:

ao = a . an|ir

es decir a través de la fórmula de las amortizaciones vencidas del sistema de cuotas constantes o francés. Si la duración es ilimitada, tendremos: 0 = -ao + a .lim an|r n▬▬>∞ a 0 = -ao + ▬▬▬▬ ir

a de donde ir = ▬▬▬▬ ao

Críticas: La principal crítica al criterio de la T.I.R. es que cuando no todos los flujos netos at de un proyecto son positivos o iguales a cero, es decir existen uno o algunos negativos, puede haber

126

más de una tasa interna de rentabilidad para ese proyecto, en efecto: n 0 = -ao + ∑ at.vt t=1



(1)

es una ecuación de grado “n” y por lo tanto puede tener “n” soluciones, es decir puede haber “n” valores de “r” para los cuales se verifica la ecuación; las “n” soluciones o raíces pueden ser reales o imaginarias. Si tomamos las raíces reales y descartamos las imaginarias que no tiene ningún significado en el ámbito financiero, se considera que el criterio no tiene consistencia porque un proyecto no puede dar al mismo tiempo, por ejemplo, un rendimiento del 0,09 y del -0,12. Teniendo en cuenta lo anterior podemos establecer que: * Si todos los flujos at son positivos, estamos en presencia de “inversiones simples”. * Si se alternan flujos positivos y negativos, estamos en presencia de “inversiones no simples”. En base a ello y teniendo en cuenta que según la regla de Descartes, al resolver (1) puede haber tantas raíces positivas como cambio de signos en los términos, podemos decir que: -  Para inversiones simples habrá un sólo valor de la T.I.R.. -  Para inversiones no simples puede haber una, varias o ninguna raíz positiva.

Consistencia de la T.I.R.: Al evaluar inversiones no simples puede haber una, varias o ninguna raíz positiva, por lo cual el criterio de la T.I.R. no sería consistente, pero antes de decir esto, debemos ver la posibilidad de eliminar los flujos netos negativos y entonces transformarla en una inversión simple a la que puede analizarse con el criterio de la T.I.R.. Los flujos netos at son la diferencia entre los ingresos y egresos del año t-ésimo, computados al finalizar el mismo y los componentes de dichos flujos son tres: - Recuperación del capital invertido. - Costo del capital invertido. - Rendimiento o utilidad de la inversión. Para que la rentabilidad del proyecto sea lo que la T.I.R. indica, es necesario que al finalizar cada año, con los flujos netos se abone el costo del capital, se amortice la deuda y con el remanente se repartan las utilidades; si esto no ocurre el rendimiento real será inferior. Como los únicos recursos con que se cuenta, para hacer frente a los gastos de la inversión, son la inversión inicial y los ingresos de caja (bj) que se producen cada año, en los años en que los gastos sean superiores a los ingresos no se podrán abonar totalmente los tres elementos si no se hace una reserva en los años anteriores (no puede haber egreso de caja donde no hay dinero). Si los posibles egresos excesivos son originados por gastos optativos, deben ser considerados como un proyecto separado, en cambio si los egresos excesivos son indispensables para continuar el proyecto, no pueden separarse de él y pueden presentarse dos situaciones: 1) Las diferencias negativas se producen antes de flujos netos positivos. En este caso deben considerarse como una prolongación de la inversión inicial y serán actualizados a la tasa de costo de capital (k). 2) Las diferencias negativas se producen después de flujos netos positivos. En este caso deben realizarse reservas en los años anteriores para cubrir esas diferencias y se utiliza para actualizar

127

la tasa de costo de capital (k). Así en ambos casos en lugar de los flujos netos de caja negativos tendremos flujos netos nulos. Entonces vemos que no sólo se pueden eliminar los flujos netos negativos sino que es prácticamente necesario hacerlo y de esta manera las inversiones no simples tienen flujos netos positivos o a lo sumo nulos. En base a lo analizado podemos decir que en las inversiones simples la T.I.R. es independiente de la Tasa de costo de capital y en las inversiones no simples es función de dicha tasa, por lo que los que critican el método en este caso siguen sosteniendo que esta solución dada, para obtener una sola T.I.R, al depender de la tasa de costo de capital sigue siendo inconsistente

Relaciones entre la T.I.R. y el Valor Capital: El valor capital o valor actual neto de un proyecto de inversión, representa el incremento que se producirá en el valor actual del capital de la empresa como consecuencia de la inversión. La T.I.R. indica la rentabilidad interna de una unidad de capital (o de moneda) invertido en una unidad de tiempo. Hemos visto que: n at VC = -ao + ∑ ▬▬▬▬▬▬▬ t=1 (1+k)t

y que la T.I.R. verifica: n at = -ao + ∑ ▬▬▬▬▬▬▬▬ t=1 (1+ir)t

0

restando miembro a miembro estas dos igualdades, nos queda: n VC = ∑ t=1

at at [▬▬▬▬▬ - ▬▬▬▬▬▬▬▬] (1+k)t (1+ir)t

operando: n at (1+ir)t - at (1+k)t n VC = ∑ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ∑ t=1 (1+k)t . (1+ir)t t=1

at [(1+ir)t - (1+k)t] ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ [(1+k) . (1+ir)]t

de donde: n (1+ir)t -(1+k)t VC = ∑ at ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ t=1 (1+k+ir+kir)t

como “k” es por definición positiva, el valor capital será positivo para “ir” positivo y mayor que “k”. En síntesis podemos poner que:

Si ir > k

entonces

VC > 0



Si ir = k

entonces

VC = 0



Si ir < k

entonces

VC < 0

128

Esto nos demuestra que ambos criterios son equivalentes para decidir la aceptación o rechazo de un mismo proyecto de inversión. No obstante estos criterios pueden no dar el mismo orden de jerarquía para seleccionar entre varios proyectos que se consideren, ya que ambos miden distintos aspectos del proyecto. En efectos si tenemos dos proyectos de inversión que tengan distintas inversiones iniciales e igual duración, o sea: Proyecto

ao

a1

T.I.R

A B

50000.100000.-

63500.118600.-

0,27 0,186

VC(k=0,07) 9346.10841.-

Según el criterio de la T.I.R. el proyecto A es más conveniente que el proyecto B y ocurre siempre que su tasa de costo de capital sea inferior a 0,27; por otro lado, el proyecto B sólo se aceptará si la tasa de costo de capital es inferior a 0,186. Pero vemos que según el criterio VC (suponiendo a k = 0,07) el proyecto B es más conveniente que el proyecto A. Si graficamos el VC para distintos valores de k, tendremos:

Cuando k=0 el valor capital del proyecto A = 13500.- y el valor capital del proyecto B = 18600.y cuando k=0,186 el VC del proyecto B es cero (ello porque las dos tasas TIR y k son iguales) y cuando k=0,27 el VC del proyecto A es también cero. Entre esos dos valores extremos para la tasa de costo de capital y para cada proyecto obtenemos distintos valores del VC, pero existe un punto y que corresponde a un determinado valor de la tasa de costo de capital, para el cual el VC de ambos proyectos son iguales, ese punto de corte de las curvas se llama “Tasa de intersección de Fisher” y en este caso corresponde a una tasa k=0,1020 y es precisamente ese punto en donde cambia el orden de preferencia según el criterio del valor capital. Si la tasa de costo de capital es menor que 0,1020 es conveniente el proyecto B sobre el A, pero si la tasa de costo de capital es mayor que 0,1020 la preferencia es del proyecto A sobre el B. Si no existiera corte o sea no hay tasa de intersección de Fisher, los dos criterios o sea el VC y la T.I.R. proporcionan el mismo orden de selección.

Conclusiones: El VC y la T.I.R. son los criterios que aportan información sobre las ventajas financieras de un proyecto. El VC y la T.I.R. señalan distintos aspectos de un proyecto de inversión, el VC se basa en el valor

129

actual de la rentabilidad neta producida por el capital invertido a lo largo de todo el plazo de inversión y la T.I.R. se basa en la diferencia entre la rentabilidad interna y el costo de financiación de una unidad de capital invertido en una unidad de tiempo. Para tomar decisiones relativas a la rentabilidad y orden de aceptación de proyectos de inversión, es conveniente aplicar ambos criterios conjuntamente con el plazo de recuperación con valores actuales, éste último puede ser útil para decidir en caso de proyectos excluyentes o cuando la T.I.R. y el VC den distinto orden. La T.I.R. y el VC son equivalentes para decidir sobre la aceptación o rechazo de proyectos, coincidiendo en considerarlos rentables o no, pero pueden no ser equivalentes al establecer el orden de selección, así si hay una tasa de intersección de Fisher los criterios no son equivalentes para valores de k (tasa de costo de capital) inferiores o superiores a la misma; pero si no hay tasa de intersección de Fisher ambos criterios son equivalentes para cualquier tasa k. Por último digamos que para seleccionar y aceptar proyectos de inversión se deben considerar, además, la naturaleza de la inversión, las posibilidades de cumplir las obligaciones de amortización y renta del capital invertido y otros aspectos cualitativos que la dirección de la empresa considere de importancia.

5.8. Teoría de las amortizaciones aplicada a los empréstitos- Análisis en condiciones de certidumbre e incertidumbre. Empréstitos: Es uno de los medios con que cuenta el Estado para conseguir recursos para financiar grandes obras o para hacer frente a situaciones extraordinarias tales como guerras, epidemias, etc.. Como las sumas que se necesitan son demasiadas elevadas, es muy difícil encontrar un sólo prestamista, es por ello que se recurre al empréstito mediante la emisión de títulos o bonos que representan una parte muy pequeña del total que necesita el Estado y de esa forma permite que un gran número de personas adquiera los títulos y entonces el Estado se convierte en deudor y los adquirentes en acreedores, existiendo así un gran número de ellos. Los empréstitos tienen un valor nominal que simbolizaremos con VN, que es el que figura impreso en el mismo y es el que se utiliza para calcular los intereses; también tiene un valor efectivo que simbolizaremos con VE, que es el valor que paga el adquirente por la compra del título público ya sea en el momento que sale a circulación que es el valor de emisión (que puede ser o no igual al valor nominal) o en cualquier momento después que es el valor de cotización. Existe también el cupón que está adherido al título y con el cual el poseedor cobra los intereses, que se liquidan periódicamente contra la entrega del mismo o el valor sobre el cual se calculan los intereses, también en algunos casos el cupón incluye la cuota de amortización. El cobro de intereses suele ser en la práctica generalmente cada seis meses o un año. El valor que paga el estado cuando desea amortizar un título en forma total recibe el nombre de valor de rescate que simbolizaremos con VR y la diferencia que existe entre el valor efectivo (VE) y el valor de rescate (VR), siendo generalmente más alto éste último es lo que se conoce con el nombre de prima de reembolso que simbolizaremos con (PR).

Formas de rescate: Cuando el Estado desea amortizar el empréstito tiene varias alternativas para hacer el reembolso, ellas son:

130

__ │ │ │ │ │ │ Amortización con │ reembolsos │ periódicos │ │ │ │ │ │ │ │ │ Amortización │ única al final │ del plazo │__

___ __ │ │ * │ 1-Cuotas │ │ iguales │ │ de │ * │ capital │ │ │ │ │__ │ │ __ │ │ * │ 2-Amortizac .│ │ progresivas │ │ │ │ │__ │___

Cantidad igual de títulos por su capital total por sorteo. Una cuota parte del capital de cada uno de los títulos totales emitidos. Se rescatan un cierto número de títulos, por su capital total, no igual en cada período por sorteo.

Existe además el rescate por licitación que se utiliza en el caso de que el valor de rescate sea menor que el valor nominal y ello es lógico porque el Estado ofrece reembolsar los títulos a un menor valor que el valor nominal y no puede compulsivamente hacerlo, en cambio a través de una licitación pueden existir interesados. Resumiendo entonces los conceptos señalados y que participan en la emisión de empréstitos, tenemos: a) VN: Valor nominal (el que figura impreso en el título) b) VE: Valor efectivo (que paga el adquirente del título) c) VEm: Valor de emisión (se paga en el momento de salir en circulación) que puede ser igual o no al valor nominal. d) VC : Valor de cotización (que se paga en cualquier momento después de la emisión). e) CUPÓN : Adherido al título y con el cual se cobran intereses y a veces amortización. f) VR : Valor de reembolso o rescate (el que se paga cuando se rescata el título) g) PR : Prima de reembolso (diferencia en entre VR y VE)

Vamos a suponer para el análisis que el valor de rescate o reembolso es igual al valor nominal del título y que los títulos se rescatan por sorteo por su valor total, pagándose los intereses periódicos a través de los cupones.

Tasas que aparecen en la emisión de empréstitos: Vamos a analizar las mismas desde dos puntos de vista, por un lado respecto al Estado emisor y por el otro respecto del que adquiere el título.

I) Respecto del Estado emisor: Aparecen dos tasas que son la tasa nominal y la tasa efectiva.

1) La tasa nominal: Es la que se fija el emitir el empréstito y es la tasa que se utiliza para calcular el importe que

131

hay que destinar periódicamente para pagar los intereses a través del cupón y para amortizar la deuda. Entonces si la Ley que establece la emisión del empréstito fija el monto total de la deuda (la suma de los VN de cada uno de los títulos), la tasa de interés y la tasa de amortización, ese importe que podemos llamar cuota se calcula de esta manera:

C = V . an|in-1 =

V .(in + Ө)

Siendo V el total de la deuda, in la tasa nominal y Ө la tasa de amortización, pues si recordamos lo desarrollado en la unidad III, sabemos que:

an|i-1

= i + Ө

Hallada la cuota, el cálculo del tiempo se hace de la siguiente manera: log C - log (C-V.in) n = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ log (1+in)

o también a través de la calculadora financiera pues se conocen los tres elementos necesarios. Pero si la Ley de emisión fija V, in y n, la cuota se determina con la siguiente fórmula: V.in C = V.an|in-1 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - vn

2) La tasa efectiva: Por lo general el valor efectivo que paga el adquirente del título en el momento de la emisión es menor que el VN, es por ello que el Estado cuando emite un empréstito recauda una cantidad total que es menor que V, que podemos simbolizar con T; en este caso aparece la tasa efectiva que es aquella que surge de un préstamo T, amortizable con la cuota C determinada con la tasa de emisión y en el mismo plazo “n” dado, es decir aquella que verifica la siguiente igualdad:

T = C. an|x

esta tasa se calcula fácilmente con calculadoras financieras. Ejemplo: Supongamos un empréstito de $ 100.000.000.- siendo la tasa de interés semestral del 0,12 y la tasa de amortización del 0,001304 también semestral, la cuota será:

C = 100.000.000 . (0,12 + 0,001304) = 12.130.400,-

y el plazo, sacándolo con la calculadora financiera, será:

n = 40 semestres.

entonces la tasa nominal es la del 0,12 semestral. El Estado saca a circulación los títulos que tienen un valor nominal de $ 100.- cada uno (emite entonces 1.000.000 de títulos) y recauda por la colocación de todos ellos $ 95.000.000.-. La tasa efectiva será aquella que iguala esta relación:

132



95.000.000 = 12.130.400

an|x

siendo en este caso x = 0,126604 que es la tasa efectiva.

II) Respecto del adquirente del título: Pueden darse dos situaciones distintas: a) Si el adquirente del título lo hace al precio que figura escrito en él o sea al VN, la tasa de interés que fija la Ley es la única que aparece. b) Si en cambio el título se adquiere a un valor distinto al VN, surgen varias tasas para el inversor y éstas son: 1 - La Tasa nominal (in). 2 - La Tasa de rendimiento inmediato (iri). 3 - La tasa efectiva al momento del rescate (ier). 4 - La tasa efectiva al vencimiento (iev).

Veamos cada una de ellas:

1) La tasa nominal: Es la misma que la del Estado emisor o sea la que figura en la Ley de emisión, ésta tasa es la que se utiliza para calcular el valor de los intereses contenidos en el cupón y éstos se calculan teniendo en cuenta el valor nominal y la tasa nominal, o sea: Valor Intereses Cupón = VN . in

2) La Tasa de rendimiento inmediato: Es la que indica el rendimiento del capital invertido sin tener en cuenta la prima de reembolso, es decir la diferencia que surge cuando el Estado rescata el título. Para calcularla se toma en cuenta el VE que paga el adquirente y los intereses que gana, que son VN.in, cuando se cobra el cupón, siendo ésta: iri

VN.in = ▬▬▬▬▬▬▬▬ VE

3) La tasa efectiva al momento del rescate: Es la que indica el rendimiento del capital invertido teniendo en cuenta la prima de reembolso al momento en que el Estado rescata el título, el cual se produce antes del último período. El adquirente paga por el título el VE, recibe al final de cada período los intereses que son VN.in y el valor de rescate (VR) que suponemos que es igual a VN; con éstos elementos y teniendo en cuenta el principio fundamental que dice: “el importe de la deuda debe ser igual a la suma del valor actual de los importes que por ella se paguen”, podemos establecer que el VE debe ser igual a la suma del valor actual de los cupones de intereses que se cobren más el valor actual del valor de rescate, en este caso del VN. La tasa que verifique esta igualdad será la tasa efectiva al momento del rescate; si suponemos que un título se rescata al final del período “t”, siendo t < n, tendremos que:

VE

=

VN.in

at|ier

VN + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+ier)t

133

siendo ier la tasa efectiva al momento del rescate. Para su cálculo debe aplicarse el método de cálculo de la T.I.R. y el mismo sólo puede realizarse después que el título ha sido rescatado, que es cuando se conoce el valor de “t”, salvo que se recurra al cálculo de probabilidades para determinar el mismo.

4) La tasa efectiva al vencimiento: A diferencia de la anterior se puede calcular de antemano puesto que se conoce el valor de “n”, ya que sería el caso del que el título no sale sorteado y se rescata recién en el último período. Esta tasa es la que verifica la fórmula anterior pero reemplazando a “t” por “n” o sea:



VE

=

VN.in

VN + ▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+iev)n

an|iev

siendo iev la tasa efectiva al vencimiento.

Comportamiento de la tasa efectiva: Esta tasa efectiva puede ser mayor, igual o menor que la tasa nominal, según la relación que exista entre el VE y el VN del título: Si Si Si

VE VE VE

< = >

VN VN VN

entonces entonces entonces

ie ie ie

> =
0,80. Es decir, la tasa nominal anual que se menciona no es la que actúa en la operación.

28

Esta forma de ofrecer la posibilidad de invertir o ahorrar con depósitos a plazo fijo al darse a conocer la tasa nominal anual para cada uno de los plazos de por si se deduce que esas tasas no son las que verdaderamente se pagan, además cuando se mencionan las tasas nominales anuales para los distintos plazos de hecho la unidad de tiempo de cada una de esas ofertas corresponden a los días publicitados, ello quiere decir que por ejemplo cada 7 días podemos

160

renovar el plazo fijo capitalizando los intereses o cobrar los intereses, por supuesto que también el capital si uno quiere; de manera tal que para poder determinar, si uno no necesita el dinero por mucho tiempo, digamos para este caso durante un año, lo que debe hacerse es obtener para cada alternativa la verdadera tasa de interés que se paga y llevarla en forma equivalentes todas a un mismo plazo para poder compararlas, que es lo que se hace obteniendo para todas las alternativas las tasas efectivas anuales, o sea: Para 7 días:

i7 días = 0,58 x 7/365 = 0,011123287 janual = (1 + 0,011123287)365/7 –1 = 0,780328627

Para 14 días:

i14 días = 0,58 x 14/365 = 0,022246575 janual = (1 + 0,022246575)365/14 – 1 = 0,774719899

Para 35 días:

i35 días = 0,72 x 35/365 = 0,069041095 janual = (1 + 0,069041095)365/35 – 1 = 1,006181299

Para 1 mes:

imensual = 0,72 / 12 = 0,06 janual = (1 + 0,06)12 – 1 = 1,012196472

Para 60 días:

i60 días = 0,73 x 60/365 = 0,12 janual = (1 + 0,12)365/60 – 1 = 0,992551879

Para 1 trimestre: i90 días = 0,75 / 4 = 0,1875 janual = (1 + 0,1875)4 – 1 = 0,988540649 Para 180 días:

i180 días = 0,80 x 180/365 = 0,394520547 ianual = (1 + 0,394520547)365/180 – 1 = 0,962734873

Para 1 año:

janual = 1,00 / 1 = 1,00

Si no se necesitara el dinero durante un año, la opción conveniente para depositar a plazo fijo durante todo el año es hacerlo en forma mensual e ir renovando el plazo fijo todos los meses (el único inconveniente por allí es la cola que tiene que hacer en el banco, pero ahora existen alternativas desde cajeros automáticos que facilitan los trámites ¿o no?).

29

En este ejercicio se plantea el problema inverso al anterior, es decir que conocida la tasa efectiva anual que por ejemplo quiere pagarse para cada plazo, encontrar la tasa nominal anual para ser publicitada. En este caso entonces primero se obtiene la tasa del plazo en días en forma equivalente y luego se obtiene la tasa nominal anual en forma proporcional, o sea: Para 30 días:

i30 días = (1 + 0,810519216)30/365 – 1 = 0,05 TNA para 30 días = 0,05 x 365/30 = 0,608333333

Para 45 días:

i45 días = (1 + 0,797866927)45/365 – 1 = 0,075 TNA para 45 días = 0,075 x 365/45 = 0,608333333

Para 60 días:

i60 días = (1 + 0,785687676)60/365 – 1 = 0,10 TNA para 60 días = 0,10 x 365/60 = 0,608333333

Para 90 días:

i90 días = (1 + 0,762639360)90/365 – 1 = 0,15 TNA para 90 días = 0,15 x 365/90 = 0,608333333

Analizando este problema se llega a la conclusión que si para los distintos plazos la tasa nominal

161

anual es la misma (60,833%), la tasa efectiva anual más alta siempre corresponderá a la alternativa de depósito al menor plazo (en este caso 30 días) y sus correspondientes renovaciones hasta llegar al año.

30

Se realiza el gráfico de tiempo para explicitar el problema: 0 4 meses 10 meses │------------------│------------------------------│ 200 ? 600

Esto significa que $ 200,- colocados a una tasa bimestral a cuatro meses más una cierta cantidad “X” depositadas en ese momento tienen que generar un monto de $ 600,- al cabo de 6 meses más o sea en un total de 10 meses. Lo primero que se debe realizar es encontrar la tasa bimestral, como el dato que se da es una tasa nominal anual entonces la del bimestre se halla en forma proporcional, o sea: 0,84 i = ▬▬▬▬▬▬ = 0,14 bimestral 6

Ahora se plantea la ecuación que responde al razonamiento realizado, de tal manera que:

[ 200 (1,14)2 +

X ].(1,14)3 = 600

donde X representa la suma que debería depositarse a los 4 meses. Despejamos su valor: 600 X = ▬▬▬▬▬▬▬ (1,14)3

-

200 ( 1,14)2

=

145,06

Con lo cual, al final del 4º mes habría que depositar $ 145,06. Reemplaze este valor en la ecuación original y verifique que es el resultado correcto.

31

El gráfico de tiempo que representa al problema es: 0 5 meses 12 meses 16 meses │-----------------│-----------------------│----------------│ 2000 2000(1+i1)5................................4024.39 i2

Es decir que los 2000 colocados a una tasa mensual que se conoce significan un monto que colocado a una nueva tasa que se pide calcular necesita 11 meses de tiempo para alcanzar en un monto de $ 4.024,39. Lo primero que se tiene que hacer es encontrar la tasa de interés mensual sabiendo que se da una tasa nominal anual, por lo tanto en forma proporcional, o sea:

i1 = 0,72 / 12 = 0,06 mensual

Entonces, si se llama con i1 a la tasa conocida e i2 la tasa que se debe dar como respuesta, la ecuación a resolver es la siguiente: 2.000 x (1,06)5 x (1 + i2)11 = 4.024,39

Se despeja el valor de i2

162

i2 =

4024,39 [ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ]1/11 2000 x (1,06)5

-

1

Resolviendo la ecuación se obtiene que i2 = 0,037776234 mensual.

32

Para resolver este problema, se ve que en cada caso se da una tasa nominal anual para un plazo determinado, por lo que la capitalización corresponde al plazo menor y por lo tanto la tasa de cada plazo se debe obtener en forma proporcional, o sea: Plazo fijo a 30 días: Plazo fijo a 60 días: Caja de ahorro especial:

i30= 0,83 x 30/365 = 0,068219178 i60= 0,86 x 60/365 = 0,141369863 i90= 0,88 x 90/365 = 0,216986301

Luego las alternativas de colocación son: a)

Colocación a 30 días, con dos renovaciones por 30 días cada una.

b) Colocación a 30 días, con una renovación por 60 días (o colocación a 60 días, con una renovación por 30 días). Como las tasas se mantienen invariables las dos posibilidades dan como resultado la misma tasa efectiva de 90 días. c)

Colocación a 90 días.

Si se considera la colocación de un capital inicial de $ 1, el monto generado al cabo de los 90 días para cada alternativa, será: a)

f (t) = 1 x (1,068219178)3 = 1,218936585

b) c)

f(t) = 1 x 1,068219178 x 1,141369863 = 1,219233177 f(t) = 1 x 1,216986301 = 1,216986301

Como puede apreciarse, la alternativa más conveniente para invertir a 90 días es la b).

33

En este problema hay que considerar que en valor de las tasas nominales anuales varían dentro de 40 días, es decir que bajan 10 puntos porcentuales, por ejemplo si actualmente la TNA para 30 días es del 0,85 (85%), dentro de 40 días será del 0,75 (75%), por lo tanto hay que tener en cuenta para cada caso si tomada la decisión de depositar a cierto plazo, luego cuando se vuelve para la renovación las tasas no han variado. Si se puede deducir con seguridad que si se decide depositar directamente a 90 días el depositante se asegura la tasa efectiva que resulte de transformar la nominal anual en efectiva de 90 días. En primer lugar se obtienen las tasas para cada uno de los plazos en forma proporcional: Para 30 días: Para 60 días: Para 90 días:

i30 i60 i90

días días días

= 0,85 x 30/365 = 0,069863013 = 0,84 x 60/365 = 0,138082191 = 0,83 x 90/365 = 0,204657534

Las alternativas de colocación del dinero por un tiempo total de 90 días son: a)

Colocación a 30 días, con dos renovaciones de 30 días cada una.

b)

Colocación a 30 días, con una renovación por 60 días.

c)

Colocación a 60 días, con una renovación por 30 días.

d)

Colocación a 90 días.

163

a) La alternativa de colocación a) es influida por la disminución de 10 puntos de las tasas nominales anuales y ello ocurre cuando se va a realizar la segunda renovación (la primera se produce a los 30 días, plazo en el cual se mantienen las actuales tasas), por lo que se hace necesario establecer cual es la tasa de interés que se pagarán por los últimos 30 días de renovación, que es: TNA para 30 días (reducida) = 0,75 i30 días (reducida) = 0,75 x 30/365 = 0,061643835

Si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 90 días, será:

f (t) = 1 x (1,069863013)2 x 1,061643835 = 1,215164825

b) La alternativa de colocación b) no es influida por la disminución de las tasas nominales anuales porque primero deposito a 30 días y luego cuando se renueva se hace por 60 días y en ese momento las tasas nominales anuales aún no variaron. Si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 90 días, será:

f (t) = 1 x 1,069863013 x 1,138082191 = 1,217592042

c) La alternativa de colocación c) es influida por la disminución de 10 puntos de las tasas nominales anuales, ya que habiendo realizado en plazo fijo por 60 días cuando se renueva por los últimos 30 días la tasa nominal anual para dicho plazo ya está disminuida y la efectiva de 30 días en ese caso es la misma que la determinada en la alternativa a) o sea i30= 0,061643835. Si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 90 días, será:

f (t) = 1 x 1,138082191 x 1,061643835 = 1,208237942

d) La alternativa de colocación d), como ya se expresara al comienzo, no es influida por la disminución de las tasas nominales anuales, por lo que si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 90 días, será:

f (t) = 1 x 1,204657534 = 1,204657534

Como se puede apreciar, para depositar a 90 días conviene la alternativa b) que da como resultado una tasa efectiva de 90 días del 0,217592042.

34

Con un gráfico de tiempo se ve la situación planteada: 1/3/08 25/3/08 5/4/08 45 días │--------------------│----------│--------------│ TNA TNA -3 pts.% +2 pts.%

Las tasas dadas son efectivas anuales para cada plazo, por lo tanto al 01/03/2008 las vigentes efectivas para cada plazo son: Para 15 días:

i15

días

= (1 + 2,2263124)15/365 – 1 = 0,049315067

Y con esta tasa se debe determinar la nominal anual, vigente al 01/03/2008, en forma proporcional, o sea:

164



TNA para 15 días = 0,049315067 x 365/15 = 1,199999964 (120%)

Para los otros dos plazos se tiene: Para 30 días: i30 días = (1 + 2,2275468)30/365 – 1 = 0,101095887 TNA para 30 días = 0,101095887 x 365/30 = 1,229999963 (123%) Para 45 días: i45 días = (1 + 2,1981051)45/365 – 1 = 0,154109588 TNA para 45 días = 0,154109588 x 365/45 = 1,249999991 (125%)

Veamos cuáles son las alternativas de colocación y luego se analizará según cada una de ellas si es influida por los cambios de tasas nominales anuales: a)

Colocación a 15 días, con dos renovaciones de 15 días cada una.

b)

Colocación a 15 días, con una renovación por 30 días.

c)

Colocación a 30 días, con una renovación por 15 días.

d)

Colocación a 45 días.

a) La alternativa de colocación a) es influida para la segunda y última renovación, por la disminución de 3 puntos de las tasas nominales anuales que se produce el 25/03/08, ello porque al depositar a 15 días primero cuando se renueva por primera vez (el 16/03/2008) las tasas nominales anuales se mantienen, pero cuando va a renovar por segunda vez ( el 31/03/2008) las tasas nominales anuales bajaron 3 puntos porcentuales, por lo que: TNA para 15 días (reducida) = 1,17 i15 días (reducida) = 1,17 x 15/365 = 0,04808219

Si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 45 días, será:

f (t) = 1 x (1,049315067)2 x 1,04808219 = 1,154003587

b) La alternativa de colocación b) no es influida ni por la disminución ni por el aumento de las tasas nominales anuales, ello es así porque al invertir a 15 días, cuando se va a renovar por 30 días más (16/03/2008) las tasas nominales anuales se mantuvieron, por lo que si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 45 días, será:

f (t) = 1 x 1,049315067 x 1,101095887 = 1,155396504

c) La alternativa de colocación c) es influida por la disminución de 3 puntos de las tasas nominales anuales que se produce el 25/02/08, ya que primero se deposita a 30 días y cuando se va a renovar por los últimos 15 días (el 31/03/2008) las tasas nominales anuales bajaron, o sea que: TNA para 15 días (reducida) = 1,17 i15 días (reducida) = 1,169999964 x 15/365 = 0,04808219

Si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 45 días, será: f (t) = 1 x 1,101095887 x 1,04808219 = 1,154038989

d) La alternativa de colocación d) no es influida ni por la disminución ni por el aumento de las tasas nominales anuales. Si se considera la colocación de un capital de $ 1, el monto generado al cabo de los 45 días, será:

165



f (t) = 1 x 1,154109588 = 1,154109588

Entonces, para depositar a 45 días, la alternativa más conveniente es la b). Como se aprecia la suba de tasas nominales anuales no tiene influencia para la resolución de este problema.

35

En primer lugar se obtiene en función al monto y el capital inicial, la tasa de interés mensual, despejando su valor a partir de la fórmula del monto, o sea:

10000 (1+i)18 = 29.960,19

De tal manera que:

a)



b)



janual

= (1 + 0,062856659)12 - 1 = 1,078243235

δmensual = ln (1 + 0,062856659) = 0,060960244 δanual = 0,060960244 x 12 = 0,731522934

δ180

0,731522934 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ X 180= 0,360751036 días 365

c)

ibimestral = (1 + 0,062856659)2 - 1 = 0,129664277

0,129664277 i(m) para un bimestre = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ X 12 = 0,777985665 2

36

En este problema se utiliza la incorrecta fórmula del “monto a interés simple” cuya fórmula es muy utilizada en la práctica y que tiene como error financiero grave el de sumar cantidades que están ubicadas en distintos momentos de tiempo:

“f(t)” = f(0) + f(0).i.n = f(o) [ 1 + n.i ]

por lo que al utilizar esta fórmula tenemos:

a) f (t) = 3.600 + 3.600 x 0,024 x 5 = $ 4.032

b) En realidad si este valor se retira todo al final de los 300 días, la verdadera tasa de interés de 60 días que se paga es la que resulta de despejar de la correcta fórmula del monto a interés compuesto.

La tasa anual se puede hallar directamente de esta forma:

166

Siendo otra manera de hallar también la efectiva anual, obteniendo la equivalente efectiva anual a partir de la efectiva de 60 días con la fórmula de equivalencia, o sea:

janual = (1 + 0,022924556)365/60 – 1 = 0,14784151

c) La persona se perjudicó por no retirar los intereses al final de cada unidad de tiempo ya que, de esa forma, la verdadera tasa de interés que ganó resultó menor que la pactada.

37

En este caso se deben plantear ambas ecuaciones enunciadas, es decir la suma de ambas formas de calcular el valor final de los montos da $ 3.128,89 y la diferencia entre el monto menos el “monto a interés simple” da 128.89, por lo que:

1.000 x (1 + i)10 + [ 1.000 + 1.000 x i x 10 ]

= 3.128,89



1.000 x (1 + i)

=

10

– [ 1.000 + 1.000 x i x 10 ]

128,89

La incógnita es “i”, para hallar su valor primero se restan miembro a miembro ambas igualdades y queda que:

2.000 + 2 x 1.000 x i x 10 = 3.000

De aquí se despeja el valor de “i”:

3000 - 2000 i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 2 x 1000 x 10

0,05

Entonces se dice que i = 0,05 mensual

38

Veamos gráficamente ambas situaciones: 0

2 meses

10 meses

│----------------│-------------------------------------│ A) 1000

1000+140

1000+140+640

B) 1000

f(t)?

I)  Para determinar la tasa de interés utilizada en la alternativa a) que corresponde a usar la fórmula del “monto a interés simple”, se deben plantear las dos situaciones que se producen, o sea: A los 2 meses:

1.000 x i x 2 = 140

Por los 8 meses:

1.000 x i x 8 = 640

Para resolver se suma miembro a miembro y queda: 2.000 x i + 8.000 x i = 780 despejando el valor de “i” se obtiene i = 0,078 mensual

II)  Por lo tanto, utilizando esta tasa y la correcta fórmula del monto planteada en la alternativa

167

b), tenemos:

f (10) = 1.000 (1,078)10 = $ 2.119,13

39

En primer lugar se plantea el gráfico de tiempo que refleja el problema: 0 180 días 270 días │-------------------------------│----------------------│ 15000 no paga f(t)? IP=? IC=? i=?

a) Los intereses punitorios se cobran cuando el deudor no paga en término sus obligaciones y la tasa que se utiliza está pactada previamente y son intereses además de los compensatorios, es decir de los que corresponden a los establecidos en la operación original, y se cobran sobre el capital que no se pagó en término, es decir sobre el monto total no pagado en término: Por esta razón primero se obtiene lo que debería haberse pagado a los 180 días con la tasa original de la operación o sea i = 0,04 mensual, o sea:

f(t) = 15000 . (1,04)6 =

18.979,78

Como este importe no se pagó en término y se hizo el pago recién a los 90 días posteriores, los intereses punitorios que corresponden son: Intereses punitorios = 18.979,78 (1,02)3 – 18.979,78 = $ 1.161,71

b) El total a pagar surge de considerar que los $ 15.000,- solicitados se pagan todos a los 270 días y se aplica para calcular el monto sin intereses punitorios directamente la tasa del 0,04 mensual para todo el plazo o sea: Total a pagar = 15.000 (1,04)9 + Int. punitorios = = 21.349,68 + 1.161,71 = $ 22.511,39

c) Los intereses compensatorios son = 15.000 (1,04)9 - 15.000 = $ 6.349,68 d) La verdadera tasa de interés que se paga se obtiene comparando el total pagado de intereses pagados (se incluyen intereses compensatorios e intereses punitorios) sobre el capital original recibido, o sea: 6349,68 + 1161,71 8511,39 i270dias = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,567426 15000 15000

Con esta tasa efectiva de 270 días se obtiene la efectiva de 30 días equivalente y que es la verdadera tasa de interés cobrada

i30

días

= ( 1 + 0,567426)30/270 – 1 = 0,05120508

40

El gráfico de tiempo que refleja la situación planteada es: 0 4 meses 10 m. 12 m. 14 m. │------------│------------------------│---------│---------│ 500 1200 1500 ?

168

Como el deudor no ha pagado en tiempo cada uno de los documentos, por ello se le cobran los intereses compensatorios por la demora en pagar más los intereses punitorios, en consecuencia como los vencimientos son mensuales, en primer lugar obtenemos la tasa de interés compensatorio mensual que originalmente se pactó, teniendo la efectiva anual, por lo que:

iC

mensual

= (1 + 0,601032218)1/12 –1 = 0,04

Se da a conocer la tasa de punitorios mensual que es: iP

mensual

= 0,01

Por lo tanto, el total a pagar será el monto resultante de trasladar en el tiempo el documento que venció a los 4 meses hasta el momento 14 (por 10 meses), el documento que venció a los 10 meses hasta el momento 14 (por 4 meses) y el documento que venció a los 12 meses hasta el momento 14 (por 2 meses), en todos los casos utilizando el factor de capitalización y con la tasa de interés compensatorio del 0,04 mensual; además como penalidad adicional se le calculan intereses punitorios a cada uno de los documentos no pagados en término y en estos casos lo que se realiza es llevar esos mismos valores al mismo momento de tiempo (a los 14 meses) con la tasa de interés de punitorios mensual o sea la del 0,01 mensual y se restan (para no pagar dos veces el capital adeudado) cada uno de los valores nominales de los documentos, o sea que: Total a pagar= 500 x(1+0,04)10 + 1200 x(1+0,04)4 + 1500 x (1+0,04)2 + 500 x(1+0,01)10 + 1200 x(1+0,01)4 + 1500 x (1+0,01)2 – - 500 – 1200 - 1300 = $ 3.897,54

Por lo tanto lo que se paga de: Capital = 500 + 1.200 + 1.500 = $ 3.200 I.C. = 500 x (1,04)10 + 1.200 x (1,04)4 + 1.500 x (1,04)2 - 3.200 = $ 566,35 I.P. = 500 x (1,01)10 + 1.200 x (1,01)4 + 1.500 x (1,01)2 - 3.200 = $ 131,19

169

EJERCICIOS PRÁCTICOS Capítulo II

1

¿Cuál es el V.A. de un documento de $ 400.000 al 210% de interés anual, si faltan 203 días para su vencimiento?

2

¿Cuál es el descuento de un pagaré de $ 30.000 a 180 días de plazo y a un interés del 240 % anual?

3

¿Cuál es el valor nominal de un documento que vence dentro de 7 meses si su valor actual es de $ 41.783,29 y la tasa de descuento es del 0,05 bimestral?

4

¿Cuál fue la tasa de descuento para 90 días de un documento de $ 45.000, si 90 días antes de su vencimiento sufrió un descuento de $ 3.400? Calcular además: a)

Tasa efectiva de descuento anual.

b)

Tasa efectiva de interés anual.

c)

Tasa de interés nominal anual para 90 días.

d)

Tasa de descuento nominal anual para 30 días.

e)

Tasa instantánea de interés anual.

f)

Tasa instantánea de descuento para 60 días.

5

Un Banco descuenta documentos al 77 % de interés nominal anual adelantado a 90 días y desea transformar el sistema de liquidación pasando a interés vencido, sin modificar la tasa efectiva. ¿Qué tasa nominal anual debe aplicar?

6

¿Cuál es el valor nominal de un documento cuyo descuento ascendió a $ 600.000, si la operación se realizó al 130 % nominal anual de descuento para 30 días y a 90 días de plazo?

7

Un cliente solicita que le acrediten en su cuenta exactamente $ 1.301.631. ¿Cuál será el importe del documento a firmar a 30 días si la operación se efectúa con una tasa de interés efectiva anual del 1,16 y se cobra en el momento de la acreditación el sellado a razón del 15 por mil?

170

8

Una persona descontó un documento de un tercero de $ 1.000.000 endosándolo a una tasa anual de descuento del 0,89. Si la institución le cobró el 1,52 % en concepto de sellado y le acreditó $ 923.841. ¿A cuántos días vencía el documento?

9

Un señor descuenta un pagaré en una entidad financiera a 48 días y en el momento de la acreditación le descuentan en concepto de interés $ 12.729,40. Si la tasa instantánea para 30 días con que opera la entidad es de 0,0953101, ¿cuál es el V.N. y el V.A. del documento?

10

Un particular descuenta en un banco un documento de $ 100.000 cuyo vencimiento opera dentro de 60 días. El banco aplica una tasa nominal anual de interés del 1,5 para 30 días, y al acreditar el préstamo deduce el descuento, además del 0,003 de sellado y $ 2.000 de comisión. Obtener: a)  Valor actual y tasa de descuento para 30 días aplicada. b)  Neto acreditado. c)  Tasa de descuento para 30 días que en definitiva paga el cliente considerando todo lo deducido.

11

Un señor descuenta 3 documentos con vencimiento a 30, 60 y 90 días cuyos valores nominales son, respectivamente, $ 10.000, $ 20.000 y $ 30.000. El banco opera con una tasa de interés para 30 días del 0,07 y en el momento de la acreditación descuenta sobre el V.N. de cada documento el 6 por mil de sellado y el 14 por mil de gastos administrativos. Este señor se presenta a los 75 días no habiendo pagado ninguno de los documentos y pide refinanciar su deuda total (incluye el documento que vence dentro de 15 días). El banco le ofrece cancelar su deuda en el momento o con un pago a 60 días de $ 73.517,68. Se pregunta: a)  ¿Cuál es el importe que recibe este señor en el momento de solicitar el descuento de los documentos? b)  ¿Cuál es la tasa de interés efectiva de 30 días y su equivalente anual que en definitiva pagaría este señor por la operación en los siguientes casos:

i)  Desde el primer día hasta los 75 días, si opta por pagar todo a los 75 días.



ii) Desde los 75 días hasta los 135 días.



iii) Desde el 1er hasta los 135 días si opta por el pago a los 135 días.

12

Se tienen 3 pagarés: uno de $ 45.000 a 60 días, otro de $ 15.000 a 90 días y un tercero de $ 80.000 a 120 días. ¿Cuál es el vencimiento de un pagaré de $ 140.000 que sustituye a los tres, si el descuento es del 0,77 anual?

13

Calcular las tasas efectivas equivalentes de interés y de descuento anual y para 30 días de las tasas que figuran en la siguiente tabla:

171



Plazo

Tasa nominal anual



7 días

67,88 %



30 días

73 %



45 días

72,83 %

14

Qué le resulta más conveniente a un inversor que paga el 11 % de impuesto a las ganancias?: a)  Depositar a Plazo Fijo a un año, con una T.N.A. del 30 % con capitalización mensual y exento de impuestos. b)  Descontar cheques diferidos con aval bancario a 90 días al 30 % nominal anual de descuento, con reinversión de capital e intereses, gravado con el impuesto a las ganancias.

15

Durante un tiempo el B.C.R.A. decretó un feriado bancario prolongado. Una persona había realizado un plazo fijo a 7 días cuyo vencimiento operó en medio de ese feriado cambiario. El comprobante del plazo fijo tenía los siguientes datos: CAPITAL DEPOSITADO: $ 100.000; PLAZO: 7 DIAS; T.N.A.: 830,40 %; INTERES: $ 15.925,47. Para no perjudicar a los ahorristas el B.C.R.A. dispuso para aquellos plazos fijos que vencieran durante el feriado, el traslado de su vencimiento 12 días más manteniéndose la tasa efectiva pactada. Cuando el Señor se presentó a cobrar su plazo fijo el importe que cobró fue de $ 147.574,07. Se pregunta: a)  ¿Es correcto el importe de los intereses que percibió este señor por los 12 días que tuvo que esperar? Si el importe no es correcto indique el que corresponda. b)  ¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual y mensual que pagó el banco? Si el cálculo es incorrecto, ¿cuál debería haber sido la tasa efectiva?

Resoluciones de ejercicios prácticos Capítulo II

1

El gráfico de tiempo que representa el problema es: 0 203 días │------------------------------------------│ 400000

Para hallar el valor actual se utiliza el factor de actualización que es lo mismo que dividir por el factor de capitalización, teniendo en cuenta que se da como dato una tasa efectiva anual y que la actualización corresponde por 203 días, o sea que:

172

2

Para hallar el descuento, una de las maneras es hallar el valor actual y luego se resta el valor nominal menos el valor actual y obtenemos el mismo, previo a ello se debe encontrar la tasa de interés de 180 días para luego hallar el valor del descuento, o sea que: i180

días

= (1 + 2,40)180/365 –1 = 0,828517796

En donde el segundo término del segundo miembro es el valor actual del pagaré. Pero existe también otra forma de hallar el descuento y es multiplicando el valor nominal del pagaré por la tasa de descuento de todo el período, por lo tanto se puede hallar, conocida la tasa de interés efectiva de 180 días, la tasa de descuento de 180 días que es: d180

días

0,828517796 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,45310896 1 + 0,828517796

Luego el descuento se obtiene así: DESCUENTO = VN x d180

días

= 30000 x 0,45310896 = 13.593,27

3

En este caso se pide el Valor Nominal que tendrá un pagaré que vence dentro de 7 meses, conocido el Valor Actual o lo mismo decir el monto conocido el capital inicial y se tiene como dato la tasa de descuento bimestral, por lo que si se parte de que: VA =

VN x vn

= VN x (1-d)n

Despejando, el valor nominal será igual a: VN

De manera tal que:

VA = ▬▬▬▬▬▬▬▬ (1 – d)n

41783,29 VN = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 50.000,(1 – 0,05)7/2

4

Hay que calcular la tasa de descuento de 90 días, el gráfico de tiempo para el problema es el siguiente: 0 90 días │---------------------------------│ 45000 VN=45000 D= (3400) VA= 41600

Por lo tanto, aplicando una de las fórmulas (en función de la tasa de descuento) para hallar el valor actual, se puede colocar la siguiente igualdad: 41.600 =

45.000 x (1 – d90días)

de donde:

173

41600 d90dias = 1 - ▬▬▬▬▬▬▬▬ = 45000

0,07555555

La tasa de descuento para 90 días el del 0,075555555, con este valor se obtienen las demás tasas solicitadas: a) La tasa de descuento equivalente de 365 días es:

g365días = 1 - (1 - 0,075555555)365/90 = 0,272843721

b) Conocida la tasa de descuento de 365 días por la fórmula que relaciona a la tasa de interés en función de la tasa de descuento se halla la efectiva de interés de 365 días de esta manera: j365



días

0,272843721 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,375220196 1- 0,272843721

c) Conocida la tasa de descuento de 90 días se puede hallar la tasa de interés de 90 días utilizando la misma fórmula que en el caso anterior, o sea: i90



días

0,075555555 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1 - 0,075555555

= 0,081730768

Luego entonces la tasa nominal anual de interés para un plazo de 90 días se halla en forma proporcional por lo que: 365 i(m) para 90 días = 0,081730768 x ▬▬▬▬▬ 90

= 0,331463672

d) La tasa efectiva de descuento de 30 días se halla utilizando la fórmula de equivalencia entre tasas de descuentos equivalentes, por lo que:

d30días = 1 - (1 - 0,075555555)1/3 = 0,025847523

Luego la tasa nominal anual de descuento para un plazo de 30 días se halla en forma proporcional utilizando la tasa de descuento anterior, o sea: 365 d(m) para 30 días = 0,025847523 x ▬▬▬▬▬ 30

= 0,314478199

e) La tasa instantánea de interés anual se halla aplicando la fórmula que relaciona a la misma con la tasa de interés, por lo que se debe utilizar la tasa efectiva de interés anual para hallar la instantánea anual, o sea:

δanual = ln (1 + 0,375220196) = 0,31861386

f) La tasa instantánea de descuento para 60 días se halla en forma proporcional, teniendo en cuenta que la tasa instantánea de descuento es igual a la tasa instantánea de interés, por lo que se obtiene la tasa instantánea de descuento de 60 días de esta manera: 60 ρ60días = 0,31861386 x ▬▬▬▬▬ 365

= 0,052374881

174

5

Cuando se habla de tasa de interés “adelantada” en realidad corresponde decir tasa de descuento, es decir que no existe la tasa de interés adelantado porque para que exista interés debe trasncurrir el tiempo. Para resolver este ejercicio, primero se tiene que hallar la tasa de descuento de 90 días teniendo como dato una tasa nominal anual para ese plazo, por lo que:

d90

días

= 0,77 x 90 / 365 = 0,189863013

Una vez obtenida la tasa de descuento de 90 días se obtiene la tasa efectiva de interés de 90 días aplicando la fórmula que relaciona a la tasa de interés con la tasa de descuento, o sea:

i90

días

= 0,189863013 / (1 - 0,189863013) = 0,234359146

Finalmente teniendo la tasa efectiva de interés de 90 dias, se halla la tasa de interés nominal anual para ese plazo o sea:

i(m) = 0,234359146 x 365 / 90 = 0,95045654 para 90 días

6

Para hallar el Valor Nominal conocido el descuento, hay que utilizar la fórmula:

DESCUENTO = VN. Tasa de descuento de todo el período.

El período es de 90 días y se da como dato una tasa nominal anual de descuento para 30 días, por lo que primeramente se halla la tasa de descuento de 30 días en forma proporcional, o sea:

d30

días

= 1,3 x 30 / 365 = 0,106849315

Como se necesita la tasa de descuento de 90 días, se halla la misma utilizando la fórmula de equivalencia entre tasas efectivas de descuento, es decir que:

d90

días

= 1 – (1 - 0,106849315)3 = 0,287517491

Ahora teniendo en cuenta la fórmula planteada, se despeja el VN, de manera tal que:

V.N. = 600.000 / 0,287517491 = $ 2.086.829,56

7

En este ejercicio se incorpora el concepto del neto acreditado, cuya fórmula para este caso es: Neto Acreditado = VA – Sellado = V.N . vn – Sellado

Para aplicar esta fórmula como el plazo es de 30 días, se obtiene la tasa de 30 días conocida la efectiva anual, o sea:

i30

días

= (1 + 1,16)30/365 – 1 = 0,065342736

En este caso el valor de n=1 y la tasa del sellado es del 0,015, por lo que al conocerse el importe del neto acreditado, la igualdad a plantear es:

A partir de esta igualdad se despeja el V.N. por lo que:

1.301.631 = V.N ( 1/1,065342736 – 0,015)

Se despeja el valor de V.N. o sea:

175

1.301.631 V.N. = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1/1,065342736) – 0,015

Resolviendo se obtiene que el V.N. del documento es igual a $ 1.409.202,38

8

La incógnita en este caso es el tiempo y en este caso se debe plantear la misma fórmula especificada en el ejercicio anterior, previo a ello si se trabaja con una tasa de interés efectiva anual, al conocerse la tasa de descuento efectiva anual, aquella se obtiene así:

ianual = 0,89 / (1 – 0,89) = 8,090909091

Entonces se plantea la igualdad, siendo la incógnita el valor de n.

Se tiene que despejar el valor de “n”, se procede de la siguiente manera:

(9,09)n ( 923841 + 0,0152 x 1000000 ) = 1000000

(I)

de donde: (9,09)n

1000000 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1,06491623 923841 + 0,0152 x 1000000

El valor de “n” se puede hallar aplicando logaritmos en ambos miembros, por lo que: n

log 1,06491623 = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ log 9,09

=

0,028494926

Este valor también se puede obtener directamente utilizando la calculadora financiera, sólo hay que introducir el valor de f(t) que es 1.000.000, el valor de f(0) que es el resultado de la operación que está entre paréntesis en (I) que es igual a 939.041 y la tasa de interés anual que es del 8,0909. Este valor de “n” significa el 2,8494926% de días del año por lo que la respuesta en días es : 365 x 0,028494926 = 10 días.

9

Hay que hallar el VN y el VA del pagaré, conocido el interés y la tasa instantánea de interés o de descuento que son iguales, siendo esa la razón por la cual no se especifica. Por lo que si se tiene como dato el interés se puede hallar el VA del pagaré a través de la siguiente fórmula:

INTERÉS = VA x Tasa de interés de todo el período

De manera tal que lo primero que hay que hacer es hallar por ejemplo la tasa de interés de 30 días conocida la tasa instantánea de ese mismo plazo, o sea:

i30

días

= e0,0953101 – 1 = 0,10

Ahora se obtiene la tasa de interés efectiva equivalente de 48 días, que es:

i48

días

= (1,10)48/30 –1 = 0,164738138

176

Entonces se reemplaza en la fórmula dada:

de donde:

12729,40 = VA x 0,164738138

12729,40 VA = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 0,164738138

= 77.270,60

Por lo que ahora se halla el VN, o sea:

VN = VA + INTERES = 77270,59 + 12729.40 = 90.000,-

10

El gráfico de tiempo que representa el problema planteado es el siguiente:

Menos:

0 60 días │----------------------------------------│ VA ? 100000



Sellado = 0,003. VN



Comisión = 2000



Neto Acreditado ?

En primer lugar se obtiene la tasa de interés de 30 días conocida la tasa nominal anual para ese plazo, por lo que se hace en forma proporcional, o sea:

i30

días

= 1,5 x 30/365 = 0,123287671

Con esta tasa se obtiene el Valor Actual y la tasa de descuento de 30 días aplicada, es decir:

Ahora se calcula el importe del neto acreditado a través de la siguiente fórmula:

NA =

VA – Sellado - Comisión

Por lo que:

NA = 79.253,42 – 0,003 x 100.000 – 2.000 = $ 76.953,42

Ahora se puede obtener la verdadera tasa de descuento (también la de interés) que se paga considerando las deducciones realizadas, por lo que la misma se obtiene planteando la siguiente igualdad:

100.000 (1 – d*30

días

)2 = 76.953,42

Resolviendo:

177



d*30

días

= 0,122769015

11

El gráfico de tiempo que representa la situación es el siguiente: 0 30 d 60 d 75 d 90 d 135 d. │------------│------------│------│------│-------------------│ 10000 20000 30000 NA ? ? 73517,68

Se conoce:

i30dias = 0,07 Sellado = 6 por mil. Gs.Administrativos = 14 por mil

El neto acreditado se obtiene restando al valor actual de los tres pagarés los gastos y sellados detallados, para hallar el valor actual se tiene que traer al momento cero cada uno de los pagarés con vencimiento a 30,60 y 90 días, ello se halla multiplicando a cada uno de ellos por el factor de actualización (vn) o lo que es lo mismo dividiendo a cada uno de ellos por (1+i)n, debiendo darle a “n” respectivamente los valores 1, 2 y 3 por que se utiliza una tasa de interés de 30 días; además el sellado y gastos administrativos para cada documento se obtienen multiplicando la tasa por mil por el VN de cada uno de ellos, de manera tal que:

N.A. = $ 50.103,50

La deuda a los 75 días debe incluir el pagaré vencido a los 30 días y el pagaré vencido a los 60 días, para ello hay que capitalizarlos a cada uno de ellos hasta ese momento y sumarlos y a esa suma agregarle el valor actual del pagaré que vence a los 90 días o sea que hay que actualizarlo por 15 días, de manera tal que: I)

Deuda al momento 75:

DEU = 10.000 x (1,07)45/30 + 20.000 x (1,07)15/30 + 30.000 /(1,07)15/30 = 60.758, 42

Por lo que para este caso la tasa de 30 días que en definitiva se paga se halla comparando que por haber recibido $ 50.103,50 se tiene que pagar a los 75 días $ 60.758,42, o sea que la tasa es:

La efectiva anual equivalente es:

janual = ( 1 + 0,080178087 )365/30

- 1 = 1,5558

II) Si se opta por pagar a los 135 días, entonces por no pagar $ 60.758,42 a los 75 días hay que pagar a los 135 días $ 73.517,68, de manera tal que la tasa es

Siendo la tasa efectiva anual equivalente en este caso:

janual = ( 1 + 0,10)365/30 – 1 = 2,18868048

178

III) Finalmente la tasa de interés mensual que en definitiva se pagaría, si se opta por pagar todo a los 135 días, habiendo recibido $ 50.103,50, se puede obtener de la siguiente manera: 73517,68 – 50103,50 i135dias = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,46731626 50103,50

Por lo que la tasa efectiva equivalente de 30 días es: i30dias = ( 1 + 0,46731626)30/135 = 0,08894332

Siendo la efectiva anual equivalente: janual = ( 1 + 0,08894332)365/30 – 1 = 1,81988143

12

El gráfico de tiempo que representa a este problema es el siguiente: 0 60 d 90 d 120 d │---------------│-----------------│-----------------│ 45000 15000 80000 VA?.......................................140000 │ │ n?

Estos tres pagarés deben ser reemplazados por uno sólo por $ 140.000,- y hay que encontrar la fecha de vencimiento del mismo. Como los $ 140.000,- es la suma algebraica de los tres pagarés, por lógica el vencimiento del mismo estará en un plazo que será menor a los 120 días; para resolver el problema uno de los caminos es hallar el valor actual de los tres pagarés y luego siendo ese el valor del capital inicial encontrar el tiempo necesario que debe transcurrir para que alcance el valor de $ 140.000,-, por lo tanto: Lo primero que se hace es obtener la tasa efectiva de interés anual conocida la tasa de descuento anual, o sea:

ianual = 0,77 / (1 – 0,77) = 3,347826087

Con esta tasa anual se puede trabajar directamente (también se puede obtener la equivalente de 30 días y operar) de manera tal que el valor actual de los tres pagarés en el momento cero es:

Hallado el capital inicial prestado f(0) ahora se obtiene el valor de “n” necesario para que este capital asuma el valor de $ 140.000,-, por lo que:

95.127,66 x (1 + 3,347826087)n = 140.000

Resolviendo la ecuación se obtiene que n = 0,262930504 años, que debe transformarse en días por lo que éstos son : 0,262930504 x 365 = 96 días.

13

Conocida la tasa nominal anual, la tasa de interés efectiva para cada plazo se obtiene en forma proporcional con la fórmula: i(m) i = ▬▬▬▬▬ m

179

Una vez obtenida la tasa de interés para cada plazo se obtiene la tasa de interés efectiva equivalente de 30 días y luego la tasa de interés efectiva anual utilizando la fórmula:

j = (1 + i)m

- 1

Con estas tasas se hallan la tasa efectiva de descuento de 30 días y la tasa efectivamente equivalente anual de descuento con la siguiente fórmula: i d = ▬▬▬▬▬▬ 1 + i Plazo

7 días 30 días 45 días

T.N.A.

67,88 % 73 % 72,83 %

i30

0,056996875 0,06 0,058998442

ianual

0,96289344 1,031833082 1,008598223

d30

0,053923409 0,056603773 0,055711548

danual

0,490547994 0,507833586 0,502140354

14

Lo que debe hacerse en este caso es determinar cual es en definitiva la alternativa que da mayor rendimiento, por lo que a) En este caso el rendimiento está exento del impuesto a las ganancias y por lo tanto se obtiene el mismo, primero obteniendo la tasa mensual en forma proporcional (nos dan como dato una TNA) y luego la tasa de interés anual equivalente a la mensual, o sea:

imensual = 0,30 / 12 = 0,025 ianual = (1,025)12 –1 = 0,344888824

b) En este caso se debe deducir del rendimiento que se obtiene la tasa del 11% en concepto de impuesto a las ganancias, por lo que: Primero se obtiene la tasa de descuento de 90 días en forma proporcional, o sea:

d90

días

= 0,30 x 90 / 365 = 0,073972602



i90

días

= 0,073972602 / (1 - 0,073972602) = 0,079881656

Se obtiene con esta tasa de descuento la de interés de 90 días, o sea: Esta tasa de interés de 90 días es antes del impuesto a las ganancias, como en cada colocación se va a descontar el 11% de impuesto a las ganancias entonces: i90

días

después del Impuesto = 0,079881656 - 0,11 x 0,079881656 = 0,071094673

Con esta tasa se obtiene el rendimiento anual equivalente que es:

ianual = (1,071094673)365/90 –1 = 0,321199926

Por lo que la alternativa de inversión más conveniente es la a)

15

Para resolver este problema correctamente en primer lugar se obtiene la tasa de interés de 7 días con la que opera el banco, ello en forma proporcional y luego con ésta encontrar la tasa efectiva equivalente de 12 días, o sea:

i7días = 8,3040 x 7/365 = 0,159254794 i12días = (1, 159254794)12/7 – 1 = 0,288311764

Por lo que: a) Interés que se debiera haber cobrado por los 12 días de espera:

180



(100.000 + 15.925,47) x 0,288311764 = $ 33.422,68

b) Pero el interés realmente cobrado por los 12 días de espera fue de:

147.574,07 – 115.925,47 = $ 31.648,60

Como puede observarse, el importe recibido por los 12 días de espera es incorrecto. En consecuencia la tasa efectiva que pagó el Banco fue:



ianual = (1 + 0,848663989)365/30 – 1 = 1764,111347

La tasa efectiva que debería haber pagado el Banco:

Que equivale a una anual del:

ianual = (1 + 0,883876334)365/30 – 1 = 2219,602109

(Este es un problema real que se dio en un período en el que las tasas de interés y la inflación en nuestro país llegó a niveles inimaginables).

Ejercicios prácticos integradores Capítulos I y II Los ejercicios integradores son para que el lector los resuelva por su cuenta y solamente se coloca para su control los resultados de cada uno de ellos, con una explicación general previa de cómo encarar la resolución de los mismos.

Ejercicio Nº 1 Una persona desea comprar un bien, para lo cual se dirige a dos comercios distintos. El precio y las condiciones de venta para los dos comercios son las siguientes:

Comercio A: - Precio del bien: $4.500. - Contado: descuento del 10%. - Financiado: un pago de $1.500 al momento de retirar el bien y el saldo mediante un único pago de $3.010 a los 40 días.

Comercio B: - Precio del bien: $5.000. - Contado: descuento del 15%. - Financiado: un pago de $1.500 al momento de retirar el bien y el saldo mediante un único pago de $3.025 a los 30 días. Esta persona no cuenta con el dinero necesario para comprar el bien de contado, sólo dispone de $1.500.

181

Por otra parte, existe un banco que le puede prestar el dinero que le falta para pagar de contado en cualquier alternativa. Dicho banco opera, de manera indistinta, bajo las siguientes condiciones: a.- Descuento de documentos al 10% de interés adelantado para 30 días con gastos del 3% sobre el valor nominal. b.- Préstamos al 14,50% de interés para 30 días sin gastos. Teniendo en cuenta las posibilidades de compra mencionadas y el menor costo financiero posible para el comprador, se solicita determinar: 1.  En qué comercio conviene comprar el bien. 2.  Cuál es la forma de pago más ventajosa. 3.  Cuál es el costo financiero para el comprador.

Supuesto adicional: Existe, también, un Comercio C que ofrece el producto a $5.000, mediante un único pago de ese importe a 60 días. La persona que desea comprar el bien tiene la posibilidad de acceder a las siguientes alternativas de depósito de los $1.500 con que cuenta:

a.-

i (m) = 0,72 para 30 días.



b.-

TEA = 102%.

Se solicita: 1.

Calcular la tasa de interés conjunta de esta operación.

2.

Determinar si esta alternativa es más conveniente que las anteriores.

Ejercicio Nº 2 Un cliente de una entidad financiera solicita un préstamo de $11.000 descontando tres documentos del mismo importe a 30, 60 y 90 días. La entidad le acuerda la operación, le liquida la misma -descontándole $150 en concepto de sellado y comisión por cada documento y $158,16 en concepto de gastos administrativos en forma global por los tres pagarés- y le acredita en cuenta corriente el importe neto. Al vencimiento del segundo pagaré, el deudor, encontrándose en mora por el pago del primero, solicita la cancelación total de su deuda. En virtud de ello, la entidad financiera le practica la siguiente liquidación: Deuda VN pagaré 30 y 60 y VA 90 días Intereses compensatorios pagaré 30 d. Intereses punitorios (8,40%)s/ pag.30 d.

Total

$ 14.385,96 $

700,00

$

420,00

$ 15.505,96

El tomador decide no pagar este importe por considerarlo demasiado elevado. Transcurren 60 días más y no realiza ningún pago. En ese momento la entidad le ejecuta la deuda, cobrándole $22.269,80 en concepto de capital, intereses compensatorios e intereses punitorios a razón del 60% del interés compensatorio.

182

En base a lo expuesto, usted debe determinar: 1.

El valor nominal de los pagarés.

2.

La tasa de descuento para 30 días con que trabaja la entidad financiera.

3. La verdadera tasa de interés para 30 días que refleja el costo de la operación para el tomador en caso de que hubiera cancelado la deuda a los 60 días y en caso de cancelación de la deuda a los 120 días, considerando todo lo pagado. 4.

La verdadera tasa de interés efectiva anual que ha regido la operación.

5. La tasa mínima de interés para 30 días a la que el deudor debiera depositar la suma de $15.505,96 -bajo el supuesto de que contara con ella- para que le resulte indistinto cancelar la deuda a los 60 días o a los 120 días.

Ejercicio Nº 3 El interés producido por haber colocado un capital durante 10 meses es de $ 343,92. La entidad depositaria liquida los intereses por el sistema de “Intereses Simples” los 5 primeros meses y correctamente durante los meses 6º al 10º, y paga el 42,57608868 % efectivo anual. 1.  ¿Cuál fue el importe del capital colocado y del monto obtenido al final de los 10 meses? 2.  ¿Qué tasa de interés efectiva mensual “rigió” en los 5 primeros meses? ¿Y en los 5 últimos? 3.  ¿Qué tasa efectiva anual pagó durante cada uno de esos períodos? 4.  ¿Qué tasa nominal anual de interés para 30 días debe mencionar según el sistema de liquidación vigente?

Ejercicio Nº 4: Una empresa compra un bien y lo abona con una entrega de $ 1.000 y 3 documentos de $ 7.500 a 90, 150 y 210 días de plazo. La tasa nominal anual de descuento para 60 días es del 0,349208219. Las deducciones al momento de la acreditación son: sellado: 0,5 %, comisión: 1 % y seguro de vida: $ 40 por cada documento. La tasa de interés punitorio es del 50 % de la tasa pactada. A los 90 días la empresa no paga, a los 120 días tiene la cantidad necesaria para cancelar todos los documentos pero decide colocarla a plazo fijo por 30 días a una tasa del 4 %. El día 150 se presente a pagar. Se solicita: 1.  Valor de contado del bien adquirido. 2.  Importe de la colocación a plazo fijo. 3.  Importe que paga el día 150. 4.  Resultado de la decisión de colocar a plazo fijo. 5.  Tasa para 30 días y anual que costó la operación, considerándola en conjunto.

Ejercicio Nº 5: Usted dispone hoy de $ 10.000 y tiene dos posibilidades de colocación:

183

Banco A: Paga una tasa nominal anual del 0,25 para colocaciones entre 15 y 45 días.

Banco B: Paga una tasa de interés adelantado del 0,057954764 para 90 días. Además debe comprar hoy una máquina que de contado vale $ 10.000 y le ofrecen la siguiente alternativa de financiación: entregar $ 5.000 y pagar $ 5.700 dentro de 150 días. Determine: 1.  En qué banco y a qué plazo colocaría sus fondos. 2.  De qué manera es conveniente comprar el bien. 3.  Cuánto gana o pierde, si opta por la financiación ofrecida. 4.  Cuántos días de plazo debiera otorgar el vendedor para que sea indistinto comprar de contado o con la financiación.

Ejercicio Nº 6: Un señor debe comprar un bien y el mismo le es ofrecido a través de las siguientes alternativas: a)  De contado: $ 10.000. b)  Financiado:

b.1)  Entrega inicial $ 4.000 y $ 6.225 a 30 días.



b.2)  Sin entrega y un solo pago a 30 días de $ 10.350.

El señor posee únicamente $ 4.000 y para concretar la operación de contado tiene la posibilidad de descontar un pagaré a 30 días en una entidad financiera que trabaja con una tasa de descuento del 0,029126 para 30 días, debiendo abonarse el sellado que es del 6 por mil sobre el valor nominal y gastos administrativos por $ 5. Existe además una entidad que paga por depósitos a plazo fijo a 30 días una tasa nominal anual del 38,93 %. Determine: 1.  ¿Cuál de las tres alternativas es la más conveniente?. 2.  ¿Cuál es el valor nominal del pagaré que debe descontar en el banco para poder pagar de contado?. 3.  ¿Qué tasa de interés pagaría, en definitiva, si se decide por la compra de contado?.

Ejercicio Nº 7: Un señor descuenta tres documentos a 30, 60 y 90 días y recibe neto $ 54.176,39. En todos los casos le cobran la misma tasa de interés y le descuentan el 1 % en concepto de gastos. El valor actual del documento que vence a los 30 días es de $ 9.615,38, el del que vence a los 90 días de $ 26.669,89 y el valor nominal del que vence a los 30 días es de $ 10.000. Calcule: 1.  Tasa efectiva para 30 días.

184

2.  Tasa efectiva de interés anual. 3.  Valor nominal del segundo y tercer documento.

Ejercicio Nº 8: Una persona compró el 22/09/07 un bien que de contado vale $ 15.000 y conviene con el comerciante pagar $ 15.950 el 21/12/07 (a los 90 días). El día 21/12/07 paga sólo $ 7.900, los cuales pide prestado por 60 días. El 19/02/08 (día 150) debe pagar: -  Por el préstamo: $ 8.611. -  Al comercio: $ 8.988,80 por capital e intereses compensatorios y $ 487,20 en concepto de intereses punitorios. Determine: 1.  Tasa de interés para 30 días que pagaba originalmente en el comercio. 2.  Tasa de interés compensatorio para 30 días que le cobran en el comercio por los últimos 60 días. 3.  Tasa de interés punitorio que le cobran para 30 días. 4.  Tasa de interés para 30 días que paga por el préstamo. 5.  Tasa conjunta para 30 días que paga por la operación.

Respuesta de ejercicios integradores Capítulos I Y II Ejercicio Nº 1: Para resolver este ejercicio, como el bien es el mismo, para realizar los cálculos se debe tomar el menor precio de contado de los dos comercios, siendo en este caso el que corresponde al comercio “A” ($ 4.050,-) y en función a este importe determinar la tasa para cada una de las alternativas, las cuales son tres a saber: a) La financiación que ofrece el comercio “A” arroja una tasa del 0,18039216 para 40 días y con ella se obtiene la equivalente de 30 días, siendo ésta del 0,132451826. b) La financiación que ofrece el comercio “B” arroja una tasa del 0,18627451 para 30 días que es mayor que la del comercio “A”. c) La alternativa de comprar de contado significa lograr un préstamo de $ 2.550,-, debiendo obtenerse la tasa de interés de 30 días de la opción I; para obtener ésta se debe tener en cuenta que “tasa de interés adelantado” significa que se utiliza a esta tasa como de interés y no como de descuento, debiendo tenerse en cuenta además los gastos del 3% sobre el VN, de esta manera el VN es de $ 2.900,- y la tasa que se paga es del 0,1372549. Por otra parte la tasa de interés de 30 días de la opción II se explicita y es del 0,145 por lo que resulta menor la de la opción I pero aún ésta es mayor que la del comercio “A”, por lo que:

185

Respuestas: 1.  Conviene comprar el bien en el Comercio A. 2.  La forma de pago más ventajosa es la financiación del Comercio A. 3.  i = 0,132451826 para 30 días.

Supuesto adicional: El supuesto adicional significa otra alternativa “C” que permite comprar el bien sin entregar los $ 1.500,- y en consecuencia ese dinero se puede depositar a 60 días, por lo que en este caso para obtener la tasa de interés se debe comparar el valor de contado del bien ($ 4.050,-) menos los $ 1.500,- (porque en realidad si bien los $ 1.500,- no se entregan al comercio se depositan, es decir se entregan, en el Banco) o sea igualmente los $ 2.550,- con el importe a pagar a los 60 días ($ 5.000,-) menos el monto logrado por el depósito realizado, optando para éste caso por la mejor alternativa que es la “b” que forma un capital de $ 1.683,78, por lo que la tasa de interés conjunta se obtiene relacionando los $ 3.316,22, que hay que efectivizar a los 60 días, con los $ 2.550,- que es lo que falta para pagar el bien de contado.

Respuestas: 1.  i = 0,14038524 para 30 días. 2.  Esta alternativa no es más conveniente que las anteriores, ya que 0,14038524 > 0,132451826.

Ejercicio Nº 2: El planteo a través de un gráfico de tiempo es: 0 30 60 90...........120 │------------│------------│------------│------------│ 11.000 Deuda=15505,96 Deuda = 22269,80 Sellado (450,-) Gs.Adm. (158,16) N.A.= 10.391,84

1.  Para hallar la tasa de interés que se aplica, se tiene en cuenta que la tasa de punitorios de 30 días es del 0,084 y representa el 60% de la tasa de compensatorio, por lo que la tasa de interés de 30 días es del 0,14. Para obtener el VN de los pagarés, que son todos iguales, si los intereses compensatorios del pagaré que venció a los 30 días, a los 60 días son de $ 700,-, ello significa que el VN se obtiene dividiendo éste importe por la tasa de interés. 2.  Conocida la tasa de interés de 30 días es posible obtener la de descuento del mismo plazo utilizando la fórmula que la relaciona. 3.  Para Obtener la tasa de interés de 30 días que verdaderamente se paga, para la opción del pago a 60 días se deben tomar los $ 15.505,96 como monto y compararlo con el neto acreditado, o sea con $ 10.391,84 que es el capital inicial y obtenemos la tasa. Para el caso de la cancelación a los 120 días, se debe tomar como f(t) = $ 22.269,80 , siendo f(0) el mismo valor anterior. 4.  La tasa efectiva anual que ha regido la operación se obtiene con la fórmula de equivalencia tomando como tasa de interés de 30 días la de la segunda opción del punto anterior.

186

5.  Para responder a esta pregunta se debe plantear la ecuación que iguale los $ 15.505,96 capitalizados hasta el momento del vencimiento de la suma de $ 22.269,80 con éste valor y despejar la tasa de interés que verificará esta igualdad.

Respuestas: 1.  El valor nominal de los pagarés es de $ 5.000. 2.  d = 0,122807017 para 30 días. 3.  Para el caso de cancelación de la deuda a los 60 días, i = 0,22152709 para 30 días. Para el caso de cancelación de la deuda a los 120 días, i = 0,20991808 para 30 días. 4.  j = 9,15931109 anual. 5.  i = 0,198419394 para 30 días.

Ejercicio Nº 3: 1.- Para resolver este ejercicio se debe plantear una ecuación que iguale el interés logrado de $ 343,92 con el cálculo del “monto a interés simple” de un capital inicial f(o) durante los cinco primeros meses, tomar éste monto como capital inicial y capitalizarlo por cinco meses más, con la verdadera fórmula del monto a interés compuesto, restando a todo ello el capital inicial f(o). La tasa de interés mensual a utilizar es la que se obtiene con la fórmula de equivalencia conocida la del 0,4257608868 efectiva anual o sea del 0,03 efectiva mensual. Planteada dicha ecuación se despeja el valor de f(0) y luego sumándole a éste los $ 343,92 se obtiene f(t). 2.- La verdadera tasa efectiva mensual de interés que rigió los 5 primeros meses se obtiene comparando el valor obtenido con la fórmula del “monto a interés simple”, por los cinco primeros meses, calculado con la tasa del 0,03 mensual con el valor de f(0) obtenido en el punto anterior. La de los últimos cinco meses es la efectiva mensual ya encontrada porque el cálculo es correcto. 3.- Las tasas efectivas anuales se obtienen con la fórmula de equivalencia, teniendo como dato las efectivas mensuales de interés que rigieron para cada período. 4.- Para responder a esta pregunta se debe tomar la tasa efectiva anual de cada período, obtenidas en el punto 3, luego obtener, con la fórmula de equivalencia, para cada caso la tasa efectiva de interés de 30 días y con éstas tasas obtener las nominales anuales o sea de 365 días en forma proporcional.

Respuestas: 1.  f(0) = $ 1.032,28 y f(t) = 1.376,20 2.  Para los 5 primeros meses i = 0,028346722 mensual. Para los 5 últimos meses i = 0,03 mensual. 3.  Para los 5 primeros meses i = 0,398539757 anual.    Para los 5 primeros meses i = 0,4257608868 anual. 4.  Para el sistema de “Intereses Simples” la TNA = 0,340095243 para 30 días, mientras que para el caso del cálculo correcto de los intereses la TNA = 0,359926766 para 30 días.

187

Ejercicio Nº 4: Para resolver este ejercicio se plantea el gráfico de tiempo y sus valores: 0 90 120 150 210 │------------------------│---------│---------│------------------│ NETO ? 7500 │ 7500 7500 + │ ENTR. 1000 DEP=DEUDA VAL.CDO. ? │ DEUDA ? PF ?

Lo primero que se debe hacer es obtener las tasas efectivas de interés para 30, 60 y 90 días con los cuales se realizarán los cálculos, conocida la TNA de descuento [d(m)] para 60 días, esas tasas son: i30 = 0,03 , i60 = 0,0609 e i90 = 0,092727.

1.- El valor de contado del bien es igual al valor actual de los tres pagarés menos el sellado, la comisión y seguro de vida más los $ 1.000,- de entrega. 2.- Para conocer el importe del depósito a plazo fijo hay que determinar la deuda a los 120 días, teniendo en cuenta la tasa de punitorios de 30 días por no haberse pagado el pagaré que venció a los 90 días, debiendo llevarse todos los valores al mismo momento de tiempo. 3.- El importe que debe pagarse el día 150 es la deuda a ese momento, por lo que debe tenerse en cuenta que el pagaré de 90 días genera intereses punitorios y se deben llevar todos los valores al mismo momento de tiempo. 4.- Los $ 21.982,21 (deuda al momento 120) colocados a plazo fijo durante 30 días a una tasa de interés efectiva del 0,04 mensual genera un monto de $ 22.861,91 y como lo que tiene que pagar es $ 22.752,91 se genera una ganancia. 5.- La tasa de interés efectiva que en definitiva se paga se obtiene comparando lo que paga a los 150 días menos el dinero que le queda en el bolsillo (que si no se hubiera puesto el dinero a plazo fijo no lo tendría) con el valor de contado del bien menos los $ 1.000,- de la entrega que se realiza. Según como se trabaje se obtiene directamente la de 150 días o la de 30 días y luego con la fórmula de equivalencia las otras.

Respuestas: 1.  Valor de contado del bien = $ 19.973,82. 2.  Importe de la colocación a plazo fijo = $ 21.982,61. 3.  Importe que paga el día 150 = $ 22.752,91. 4.  La decisión de colocar a plazo fijo generó una ganancia de $ 109. 5.  i = 0,035998982 para 30 días y i = 0,5377077 anual.

Ejercicio Nº 5: 1 – Para responder a esta pregunta debe tenerse en cuenta que, en el caso del Banco “A”, existiendo una misma TNA de interés para distintos plazos, siempre es más conveniente la colocación al menor plazo e ir renovando el plazo fijo; por otra parte en el Banco “B” lo que se publicita es la tasa de descuento que debe transformarse en tasa de interés y luego comparar con la del Banco “A”. La tasa i de 15 dias del Banco “A” es igual a 0,01027397 y su efectiva equivalente de 150 días es = 0,10762216; en cambio la tasa efectiva de interés de 150 días, equivalente a la de 90 días del Banco “B” que es del 0,06152015, es igual a 0,10462212.

188

2 – Para establecer de que manera es conveniente comprar el bien se debe tener en cuenta que si se opta por la financiación de la empresa que vende la máquina, es posible depositar $ 5.000,- a plazo fijo cada 15 días e ir renovando hasta alcanzar los 150 días y si el dinero que se obtiene es superior a los $ 5.700,- entonces conviene la financiación, de lo contrario se debe comprar de contado. 3 – En función a la respuesta anterior la cifra positiva sería una ganancia y si el producido del plazo fijo es menor de $ 5.700,- es una pérdida. 4 – Para responder a este interrogante se debe encontrar el plazo en días que permite que la capitalización de $ 5.000,- alcance el monto de $ 5.700,-, siendo la tasa de interés a utilizar la efectiva de 15 días del Banco “A”.

Respuestas: 1.  Conviene colocar los fondos en el Banco “A” a 15 días. 2.  Conviene comprar el bien de contado. 3.  Si opta por la financiación ofrecida pierde $ 161,89. 4.  Debiera otorgar un plazo de 192 días.

Ejercicio Nº 6: Para resolver este ejercicio las alternativas son: a)  De contado, en cuyo caso se debe pedir un préstamo a través del descuento de un pagaré a 30 días que signifique un neto acreditado de $ 6.000,- que es lo que falta para pagar de contado, para ello se debe determinar el VN del mismo y con él luego obtener la tasa de interés de 30 días que es del 0,03726833. (Deben tenerse en cuenta el sellado y los gastos administrativos). b)  Financiado con la entrega de $ 4.000,- y el saldo a pagar a los 30 días de $ 6.225,-, que arroja una tasa de interés de 30 días del 0,0375. c)  Financiado sin entrega y un solo pago a 30 días de $ 10.350,-, en este caso puede depositar los $ 4.000,- tomando como dato la TNA de interés del 0,3893 para 30 días y entonces determinar cuánto más debe pagar de lo obtenido a plazo fijo para alcanzar los $ 10.350,-; si éste valor es menor que el VN del pagaré y menor que los $ 6.225,- de la alternativa b), convendrá la operación de la presente manera. Respuestas: 1. La alternativa más conveniente es la de compra financiada sin entrega y con un pago a los 30 días de $ 10.350. 2.

El valor nominal del pagaré es de $ 6.223,61.

3.

Para la alternativa de compra al contado la tasa de interés para 30 días es del 0,037268333.

Ejercicio Nº 7: El gráfico de tiempo que representa al problema es: 0 30d 60d 90d │-----------------│-----------------│-----------------│ NA= 54.176,39 VA30d = 9.615,38 10000 VN? VN? VA90d = 26.669,89

189

Si el valor actual del documento que vence a los 30 días es de $ 9.615,38 y su valor nominal de $ 10.000,-, la tasa de interés de 30 días es del 0,04 y se utiliza para todos los casos; con ésta tasa se obtiene la efectiva anual utilizando la fórmula de equivalencia. El valor nominal del documento que vence a los 90 días se obtiene capitalizando su valor actual con la tasa de interés del 0,04 para 30 días. Para obtener el VN del documento a 60 días se debe plantear una ecuación que iguale el Neto Acreditado a la suma del valor actual de cada documento, colocando como incógnita en la fórmula correspondiente del VN del documento que vence a los 60 días menos el 1% de cada valor nominal en concepto de gastos (en el caso del de 60 días se debe expresar el modo de cálculo colocando como incógnita el VN) y de ella despejar el VN solicitado.

Respuestas: 1.  i = 0,04 para 30 días. 2.  i = 0,611532103 anual. 3.  Valor nominal del segundo documento = $ 20.000. Valor nominal del tercer documento = $ 30.000.

Ejercicio Nº 8: El gráfico de tiempo es: 22/09/07 21/12/07 19/02/08 0 90d 150d │------------------------------│--------------------│ 15000 15950 (7900) 8611,8050 8988,80 487,20

1 – La tasa de interés original se obtiene en base a tomar como f(t) = 15.950,- y como f(0) = 15.000,- que es el valor de bien de contado. 2 – Para obtener la tasa de interés compensatorio de los últimos 60 días se toma como f(t) los $ 8.988,80 y como f(0) los $ 8.050,- que es lo que deja de pagar. 3 – Para obtener la tasa de interés punitorio se debe considerar que los $ 487,20 es el importe del interés y relacionarlo con el monto no pagado de $ 8.050,-, esa tasa corresponde a la de 60 días y luego obtener la de 30 días equivalente. 4 – La tasa de interés de 30 días del préstamo se obtiene tomando los $ 8.611,- como f(t) y $ 7.900,- como f(0). 5 – La tasa de interés que en realidad se paga en la operación surge de tomar como f(t) el total pagado a los 150 días (si bien pagó $ 7.900,- a los 90 días, ese dinero no era de él) con el valor de contado del bien.

Respuestas: 1.  2.  3.  4.  5. 

i = 0,02068048 para 30 días. ic = 0,056702946 para 30 días. ip = 0,029816361 para 30 días. i = 0,04403065 para 30 días. i = 0,038137922 para 30 días.

190

EJERCICIOS PRÁCTICOS Capítulo III

1

Determinar el monto logrado mediante 20 pagos mensuales de $ 1.000 cada uno, efectuados al comienzo de cada mes y capitalizados al 0,04 de interés mensual.

2

Se desea formar un capital de $ 10.000 dentro de 10 meses, mediante el depósito de 10 cuotas mensuales capitalizadas al 0,05 de interés mensual. Cuál será el valor de cada pago si los mismos se efectúan: a)  al comienzo de cada mes b)  al final de cada mes.

3

Durante qué tiempo mínimo será necesario depositar $ 300 mensuales, comenzando desde este momento, para constituir un capital de $ 3.957,61 a una tasa de interés mensual del 0,03.

4

A qué tasa de interés mensual se han depositado 25 cuotas mensuales vencidas de $ 500 para formar un capital de $ 31.623.

5

¿Cuál es la cuota mensual vencida que se debe depositar para formar un capital de $ 60.000 en 6 meses, si el interés que ganan los depósitos es del 0,60 nominal anual para un mes?

6

Calcular a qué tasa fueron colocadas 25 cuotas mensuales vencidas de $ 10.000 si produjeron un monto de $ 450.000 al cabo de dicho plazo.

7

¿Cuál es el capital que se forma al cabo de 15 años si se depositan $ 10.000 al final de cada año y la tasa de interés es del 0,08 anual, aumentándose un punto porcentual cada 5 años?

8

Se desea formar al cabo de 10 meses un capital de $ 20.000 mediante el depósito de cuotas mensuales adelantadas a una tasa de interés del 0,08 mensual las 5 primeras y al 0,05 mensual las restantes. Determinar el valor de los primeros depósitos sabiendo que son la mitad de los segundos.

191

9

Desde el 1-4-06 al 30-9-07 se depositan cuotas mensuales adelantadas a una tasa de interés del 0,03 mensual. El capital formado se presta el 30-09-07 contra un pagaré de $ 200.000 descontado a una tasa de descuento del 0,02 mensual con vencimiento el 30-6-2008. ¿Cuál fue el valor de cada depósito?

10

Un empresario desea conocer durante cuánto tiempo deberá depositar al comienzo de cada mes cuotas de $ 10.000 para formar un capital de $ 258.703,75 con un interés del 0,03 mensual. El empresario sólo podrá hacer frente a 18 cuotas, por lo que le pregunta: ¿puedo lograrlo?, si es necesario un pago adicional al final de la 18º unidad de tiempo, ¿de cuánto será? y ¿si no puedo afrontar ese pago adicional, cuándo podrá disponer del capital de $ 258.703,75?

11

Una persona obtiene un préstamo de $ 25.000 y debe devolverlo en 24 cuotas mensuales vencidas. Si la tasa de interés mensual es del 0,01853881, ¿cuál es el valor de la cuota?

12

Un oficinista obtuvo un préstamo y debe devolverlo en 12 cuotas mensuales de $ 1.500. ¿Cuál fue el valor del préstamo si la tasa es del 0,028 mensual?

13

¿Cuál será el interés anual pactado en una renta cuyo valor actual es de $ 26.376,27 y la contrapartida 12 cuotas trimestrales vencidas de $ 3.500?

14

El 1-1-08 un señor resolvió colocar un capital de $ 10.000 a 10 años de plazo siendo la tasa de interés del 0,24 nominal anual con capitalización trimestral. Le interesa saber qué cuota adicional debe depositar al comienzo de cada año durante esos 10 años, si retirará $ 20.000 al final del 6º año y desea percibir, luego de cumplidos los 10 años, una renta de 48 pagos mensuales vencidos de $ 3.000 cada uno y espera obtener durante ese período una tasa del 2 % mensual.

15

Una persona adquiere un inmueble en las siguientes condiciones: al firmar el contrato (al momento cero) debe entregar $ 20.000. Además, debe pagar 15 cuotas mensuales de $ 2.000 al final de cada mes. Al pagar esta última recibe la posesión. Luego debe pagar 24 mensualidades vencidas de $ 2.500. ¿Cuál es el importe invertido en el inmueble al tomar posesión si la tasa de interés es del 1 % mensual y cuál será su valor total en ese momento? Si la valuación del terreno (en el momento de tomar posesión) fuera de $ 33.521,64 y la vida útil del inmueble de 50 años, ¿cuál sería el valor residual de ese inmueble al terminar de pagar las 24 cuotas?

16

Se otorga un préstamo de $ 100.000 reembolsable en 10 meses a una tasa del 0,04 mensual con pagos vencidos y al pagar la 5º cuota se hace un pago extraordinario de $20.000. Se desea saber el importe de la nueva cuota si el plazo de la operación no se modifica.

192

17

El Sr. WF recibió tres ofertas de compra de su propiedad: a) $ 40.000 de contado. b) $ 20.000 de contado y $ 2.500 al final de cada mes durante los próximos 10 meses. c) $ 24.000 de contado y $ 3.750 al final de cada mes durante 5 meses. ¿Cuál es la oferta más ventajosa si la tasa de interés es del 0,025 mensual?

18

Un señor adquiere un automóvil en U$S 20.000 financiado de la siguiente manera: cinco documentos de U$S 1.350 con vencimiento cada 4 meses y 20 cuotas mensuales vencidas U$S 1.000. Si la deuda que se salda con los 5 documentos es de U$S 6.000, ¿cuánto deberá pagar este señor después de haber pagado normalmente hasta la 12º cuota para saldar la deuda en el momento de pagar dicha cuota?

19

En el caso del ejercicio 12 el deudor no pagó ninguna cuota y en el momento del vencimiento de la cuarta cuota le presentan la siguiente liquidación: Deuda de capital: Interés punitorio TOTAL

16.875,68 182,41 17.058,09

Se pregunta: a) ¿Es correcto el cálculo? b) ¿Cuál es la tasa de interés punitorio?

20

Un productor agropecuario obtiene un préstamo y le acreditan $ 125.000 por el que le cobran una tasa de interés del 2,1 % mensual, debiendo firmar documentos que vencerán mensualmente de $ 24.000 para pagar la deuda y los gastos e impuestos de la operación. Habiendo pagado el 1º y el 2º documento se presenta al vencimiento del último debiendo abonar en ese momento por todo concepto $ 101.248,24. a) ¿Cuántos fueron los documentos si los gastos hipotecarios son del 6 % del valor acreditado, el sellado de $ 720 y la comisión del total de la operación de $ 761,84? b) ¿Cuál fue la verdadera tasa que le costó la operación al tomador? c) ¿Cuál es el monto de los intereses punitorios y cuál la tasa?

21

Una persona compra un bien que de contado vale $ 3.500 y lo pagará con una entrega de $ 1.000 y 6 cuotas mensuales de $ 476,905 cada una. Hace la entrega, paga la primera cuota, y al vencimiento de la 4º cuota le reclaman la suma de $ 2.431,55 para cancelar totalmente su deuda, que incluye punitorios. ¿Cuál es el importe de los punitorios y cuál es la tasa de interés punitorio?

193

22

Pagando hoy $ 20.000 un señor recibe el derecho a recibir una renta de 15 pagos mensuales vencidos, siendo los 7 primeros de un importe igual a la mitad de los 8 restantes. Determinar el valor de cada tipo de cuota sabiendo que la tasa de la operación es del 0,04 mensual.

23

La renta que percibe una persona por su finca es de $ 1.500 al final de cada mes por los primeros 5 meses, $ 2.000 por los segundos 5 meses y $ 2.500 por los 5 restantes. ¿En cuánto podría vender su derecho a éstos pagos si se fija un interés del 0,05 mensual?

24

Se otorga un préstamo a 36 meses de plazo de $ 10.000 que se salda de la siguiente forma: con las 20 primeras cuotas mensuales vencidas se cancela el 50 % del mismo, con las 10 siguientes se cancela el 30 % y con las últimas 6 cuotas se cancela el resto de la deuda. En todos los casos la tasa de interés es del 0,07 mensual. Si el solicitante paga normalmente hasta la cuota 30 inclusive y en el momento de la cuota 36 (no paga en término las últimas 5 cuotas) cancela totalmente su deuda pagando la suma de $ 24.869,63, se pregunta: a) ¿Cuáles son los importes de las cuotas que debe pagar y que cancelan el préstamo? b) ¿Cuál es el importe de los intereses punitorios que pagó? c) ¿Cuál es la tasa de interés punitorio mensual que pagó?

25

Construir el cuadro de amortización por un sistema francés de un préstamo de $ 100.000 amortizable en 5 meses con una tasa de interés del 0,03 mensual.

26

Construir el cuadro de amortización por el sistema francés de un préstamo de $ 100.000 amortizable en 5 semestres con una tasa de interés del 0,06 semestral.

27

Con los datos del ejercicio anterior determinar: a)

La cuota de interés correspondiente al 3º período.

b)

El total de intereses devengados hasta el 4º período.

c)

El total amortizado hasta fines del 4º período.

d)

El saldo de la deuda al principio del 4º período.

e)

La cuota de amortización del 2º período.

28

Conocido t8 = $ 1.338,33 y t4 = $ 1.236,41, calcular la cuota mensual, igual y vencida, la deuda y la tasa de interés, si el tiempo es igual a 8 meses.

194

29

Siendo S2 = $ 1.903,378 y S3 = $ 1.441,573, calcule t1, la deuda y la cuota si la tasa de interés es del 0,02 mensual.

30

Una empresa comercial ha obtenido un préstamo de $ 80.000 siendo t4 = $ 11.515,40 y t2 = $ 10.058. Realice el respectivo cuadro de amortización y calcule la cuota fraccionaria en los momentos n’, n y n’+1. Cuotas mensuales.

31

Durante 3 años se depositan $ 1.000 al final de cada mes en una entidad que capitaliza los intereses a una tasa del 0,01 mensual. Al cabo de dicho plazo se retiran $ 1.000 mensuales dejando el resto depositado a igual tasa. ¿Cuántas cuotas podrán retirarse hasta que se agoten los fondos si el primer retiro se hace un mes después del último depósito?

32

Siendo t1 = $ 192,1584 y s5│i-1 = 0,192158394, construya el cuadro de amortización correspondiente.

33

Se ha adquirido un departamento que será abonado mediante cuotas semestrales vencidas de $ 10.000 cada una durante 20 años a una tasa del 0,06 semestral. Determinar: a) La deuda inicial. b) El total de los intereses incluidos en la 3º cuota. c) El total amortizado luego de 10 pagos. d) La amortización real contenida en la última cuota. e) El saldo de la deuda luego de 20 pagos. f) El período en que la deuda se habrá reducido a la mitad.

34

Una deuda se cancela por el sistema francés con n = 40, c = $ 2.500 e i = 0,05. Hallar: a) En qué período el saldo adeudado alcanza el 60,49073 % de la deuda original. b) Qué amortización extraordinaria debe realizarse inmediatamente después de pagada la décima cuota para que las futuras se reduzcan a la mitad. c) En cuánto deben incrementarse los últimos 5 pagos para cancelar la deuda con el pago de la cuota Nº 30.

35

Siendo S’3 = 624,10 ; S2 = 611,86 y t3 = 199,91 calcule la deuda que se amortiza al cabo de 5 meses.

195

36

De una deuda que se amortiza por el sistema de cuotas constantes se conoce la cuota = $ 16.447,38, el número de cuotas = 18 y los intereses contenidos en la cuota nº 15 = $ 2.655,243. Se pide: a) La tasa de interés mensual vencida. b) La deuda que se salda. c) Con el pago de qué número de cuota se amortiza el 77,3933 % de la deuda. d) El saldo de la deuda a los 10 meses, antes y después de pagar la cuota.

37

Se desea determinar la tasa de amortización de un préstamo por el sistema francés de $ 50.000 al 0,04 de interés anual en 10 años.

38

Determinar el valor actual de una amortización perpetua de $ 10.000 anuales vencidos si la tasa de interés se fija en el 0,08 anual, en los siguientes casos: a) Inmediata. b) Diferida por 10 años.

Resoluciones de ejercicos prácticos Capítulo III

1

Para determinar el capital formado se debe utilizar la fórmula de las imposiciones adelantadas, siendo C= 1000, n = 20 e i = 0,04 mensual, (Utilizar la calculadora financiera), o sea: = C.

= 1000.

20│0,04

= 30.969,20

2

Para formar un capital se colocan cuotas adelantadas en un caso y vencidas en el otro caso, por lo tanto: a)  Si se opera con imposiciones adelantadas la situación gráfica es la siguiente: 0 │ C

1 │ C

2 │ C

3 8 │ │ C......................C

9 │ C

10 │ 10.000

b)  Si se opera con imposiciones vencidas la situación gráfica es la siguiente: 0 │

1 │ C

2 │ C

3 8 │ │ C......................C

196

9 │ C

10 │ C 10.000

Por lo tanto: a) En este caso el capital formado es $ 10.000,-, el número de cuotas 10 y la tasa de interés del 0,05 mensual, por lo que utilizando la calculadora financiera o resolviendo la fórmula para calcular la cuota en las imposiciones adelantadas expresada en la página Nº49 (en este caso debe hallar primero la tasa de descuento conocida la tasa de interés), se obtiene: = C. C =

=>

10│0,05

.

10│0,05

C = -1

.

-1

= 10.000 .

10│0,05

-1

= 757,19

b) Para los mismos valores que en el caso anterior pero utilizando la fórmula de la cuota en las imposiciones vencidas (ver fórmula de página Nº46), tenemos:

Sn│i = C. sn│i

=>



C = S10│0,05 . s10│0,05-1

C = Sn│i . sn│i-1 = 10.000 . s10│0,05-1 =

795,05

Obsérvese que el cociente entre el segundo y el primer resultado es igual a:

795,05 / 757,19 =

1+i

=

1,05

3

En este problema la incógnita es el número de cuotas adelantadas que deben depositarse conocido el capital a formar, el importe de la cuota y la tasa de interés mensual, por lo que utilizando la calculadora financiera o despejando el valor de “n” de la fórmula de la página Nº 49 (debiendo en este caso encontrar la tasa de descuento), se obtiene: 3.957,61 = 300 . interpretarse como 11 meses)

n│0,03

=>

n = 11,00000268 meses (que debe

4

En este problema la incógnita es la tasa de interés, conocido el capital a formar, la cuota y el número de cuota que se pagan en forma vencida, para hallar la tasa debemos utilizar la calculadora financiera (no existe la posibilidad de despejar la tasa de interés de la fórmula de las imposiciones vencidas), por lo que:

500 . s25│i =

31.623

=>

i = 0,07 mensual

5

Para calcular la cuota vencida lo primero que debe hacerse es calcular la tasa de interés mensual conocida la TNA, por lo que:

i

= i(m)/m

= 0,60/12 = 0,05 mensual

Ahora utilizando los datos dados, es decir el capital a formar de $ 60.000,-, el número de cuotas a depositar o sea 6 y la tasa de interés mensual obtenida, se calcula el valor de la cuota, o sea:

C = S6│0.05 . s6│0,05–1

=

60.000 . s6│0,05–1

= 8.821,05

6

En este ejercicio la incógnita es la tasa de interés, por lo que los datos a cargar en la calculadora financiera son el valor del capital a formar o sea $ 450.000,-, el número de cuotas que es 25 y el importe de la cuota que es de $ 10.000,-, por lo que:

S25│i. = C s25│i

=>

450.000 = 10.000 s25│i

7

=>

i = 0,045711706

En este caso hay que plantear los cálculos a resolver teniendo en cuenta que en realidad son

197

tres imposiciones de 5 cuotas cada una durante 15 años, pero además se debe considerar que el pago de las 5 primeras cuotas anuales, realizada la imposición vencida, a una tasa del 0,08 anual, se ubican al final del 5º año y en consecuencia para llevar este valor al final de los 15 años hay que capitalizarlo por 10 años, siendo esa capitalización por los 5 primeros años siguientes al 0,09 anual y por los últimos 5 años al 0,10 anual; en el caso de las segundas 5 cuotas vencidas, luego de realizada la imposición la capitalización se debe hacer por 5 años y a la tasa del 0,10 anual; en el caso del depósito de las últimas 5 cuotas, la imposición vencida ya queda ubicada el final de los 15 años, por lo que: VF = 10.000 s5│0,08 (1+0.09)5 (1+0.10)5

+ 10.000 s5│0,09

VF = 145.372,57 + 96.384,36 + 61.051 =

(1+0.10)5 + 10.000 s5│0,10

302.807.93

8

Para resolver este problema se debe plantear la ecuación que iguala el depósito de todas las cuotas a los $ 20.000,- teniendo en cuenta que para las primeras 5 cuotas se hace una imposición adelantada a la tasa del 0,08 mensual y que su valor queda ubicado en el momento 5º y hay que llevarlo al momento 10º, pero con la tasa del 0,05 mensual y como no se conoce el valor de la cuota la identificamos con C1; las últimas cinco cuotas, identificadas con C2, se llevan al momento 10º con la imposición adelantada de 5 cuotas a la tasa del 0,05 mensual, es decir que la ecuación a plantear es:

C1

5│0,08

(1+0,05)5 + C2

5│0,05

= 20.000

Pero según el enunciado las C1 son la mitad de C2, por lo que C2 = 2 C1, por lo que si se reemplaza en la ecuación anterior, queda: C1

5│0,08

(1+0,05)5 +

2 C1

= 20.000

5│0,05

Se saca factor común C1 , por lo que: C1

[

5│0,08

(1+0,05)5 +

2

5│0,05

] = 20.000

En definitiva: C1

=

20.000 / [

5│0,08

(1+0,05)5 +

2

5│0,05

] = 1.015,73

Téngase en cuenta que para hallar el valor de 5│0,08 , éste es el capital que se forma con el depósito de cuotas adelantadas de $ 1,- por lo que los valores a introducir en la calculadora financiera, en el modo de cálculo de imposiciones adelantadas, son C = 1.-, n =5 e i=0,08; igual procedimiento para el segundo cálculo.

9

El gráfico de tiempo que representa al problema es: 1/4/06

30/9/07 30/06/08 │ │-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│-│----------------------│ C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ? 200000

Se plantea una ecuación en la que se iguala la imposición de las 19 cuotas mensuales adelantadas a una tasa de interés del 0,03 mensual con el valor actual del documento de $ 200.000,- que vence dentro de 9 meses y que se descuenta con una tasa de descuento mensual del 0,02, o sea: C

19│0,03

= 200.000 (1- 0,02)9

198

despejando nuestra incógnita C, (se advierte que 19│0,03 es un número, que es el capital que se forma con 19 cuotas mensuales adelantadas de $ 1,- a una tasa del 0,03 mensual), por lo que: C = [ 200.000 (1- 0.02)9 ]x

19│0,03

-1

= 6.445,58

En este caso lo que está entre corchetes sería el capital formado, n = 19 y la tasa del 0,03 mensual, introduciendo estos datos en la calculadora financiera se obtiene el resultado expresado.

10

En primer lugar se debe comprobar si con el depósito de 18 cuotas adelantadas de $ 10.000,se puede formar el capital que se necesita de $ 258.703,75, al final de los 18 meses, por lo que: 18│0.03

=

10.000

18│0.03

=

241.168,68

por lo tanto no podrá obtener con 18 pagos adelantados de $ 10.000 el capital deseado al final de los 18 meses, por lo que si el pago adicional desea hacerse al final de los 18 meses para formar el capital en ese momento, debe agregar: 258.703,75 - 241.168,68 = 17.535,07. Si no se cuenta con los $ 17.535,07, si el capital formado con 18 cuotas adelantadas mensuales es, al final de esos 18 meses, de $ 241.168,68 y el capital deseado es de $ 258.703,75, siendo i = 0,03, entonces se plantea la ecuación de la que se debe despejar el valor de “n”, o sea 258.703,75 = 241.168,68 (1 + 0,03 )n

despejando

n = 2,37448596

Esto debe interpretarse como que el capital se formará en el momento 20,37448596 = (18 + 2,37448596) meses que puede expresarse como 20 meses y 11 días.

11

Este problema corresponde a una amortización de cuotas vencidas en donde se debe obtener el valor de la cuota que salda una deuda de $ 25.000,-que es igual a la suma del valor actual de las cuotas que por ella se paguen, en este caso se aplica la fórmula de la deuda que se salda con cuotas vencidas y se introduce en la calculadora financiera el importe de la deuda ($ 25.000,-), el número de cuotas (que es 24) y la tasa de interés mensual (0,01853881), de manera tal que:

Siendo

V = C . an│i ,



C = V . an│i-1

se despeja el valor de la cuota, o sea:

C = 25.000 . a-124│0,01853881 = $ 1.300.-

El valor de la cuota puede ser obtenido sin necesidad de utilizar calculadoras financieras, ya que:

i 0,01853881 C = V . ▬▬▬▬▬▬▬ = 25000 . ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1.300,1 - vn 1 1 - ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+0,01853881)24

12

En este caso se debe encontrar el valor de la deuda y se aplica la fórmula ya especificada al comienzo del ejercicio anterior, o sea:

V = C . an│i

=

1.500 . a12│0.028

= 15.110,84

También en este caso se puede obtener la deuda sin necesidad de recurrir a la calculadora financiera, aplicando la fórmula:

199

1 1 - ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ( 1 + i )n V = C . ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ i

13

En este problema la incógnita es la tasa de interés que debe ser obtenida con la calculadora financiera, para tal fin los datos a ingresar son la deuda ($ 26.376,27), el importe de la cuota ($ 3.500,-) y el número de cuotas (12), teniendo en cuenta que se trata de cuotas vencidas trimestrales y por lo tanto la tasa de interés que se obtiene como resultado es una tasa de interés trimestral, con lo cual se establece que en el caso de las amortizaciones (al igual que en las imposiciones) la unidad de tiempo está dada por la periodicidad de las cuotas, por lo tanto: 26.376,27 =

3.500 a12│i

i =

0,08

trimestral

Conocida la tasa trimestral, se obtiene la anual aplicando la fórmula de equivalencia:

janual =

( 1 + 0,08 )12/3 –1 = 0,36048896

14

El gráfico de tiempo que ejemplifica el ejercicio es: 1/1/08 0 1 2 3 4 5 6a 7 8 9 10a 14 años │---│---│---│---│---│---│---│---│---│---│---│-----------------│ 10000 (20000) f(t) C? C C C C C C C C C │3000......3000.....3000 │ 48 cuotas mensuales │

En primer lugar se debe obtener la tasa de interés trimestral y se conoce la TNA, por lo tanto se debe calcular en forma proporcional, o sea:

i

= i(m) / m

= 0.24 / (12 / 3) = 0,06 trimestral

Veamos a cuánto asciende el monto neto de la colocación original con el retiro de los $ 20.000,en el 6° año; el mismo se obtiene teniendo en cuenta que hasta el final del 6º año los trimestres son 24, quedando luego 16 trimestres más:

[10.000 ( 1+0,06 )24

- 20.000 ] . (1+ 0,06 )16

= 52.050,15

Por otra parte si esta persona desea recibir una renta cierta de $ 3.000,- por mes, a partir de los 10 años, el capital que debe depositar o prestar al final de los 10 años debe ser:

V = C . a48│0,02 =

3.000 . a48│0,02 =

92.019,36

Esto quiere decir que el capital adicional que debe formar con la imposición de 10 cuotas anuales adelantadas, para poder depositar o prestar la cifra señalada será de: 92.019,36 – 52.050,15 = 39.969,21. Para ello como las cuotas son anuales, se calcula la tasa anual de interés equivalente vigente durante ese decenio que será de:

janual = ( 1+ 0,06 )4 – 1 = 0,26247696

Con estos datos se calcula ahora la cuota que debe depositarse al comienzo de cada año, utilizando la fórmula de la cuota para las imposiciones adelantadas, o sea: 10│0.26247696

=

C .

10│0.26247696

=

39.969,21

200

C = 894,91

15

El gráfico de tiempo que representa el problema es: 0 15 39 │----│----│---------------------│----│----│-------------------------│----│ 20000 2000 2000..................2000 2500 2500.....................2500 2500 │ 15 cuotas mensuales │ 24 cuotas mensuales │ Valor Terreno= 33.521.,64 Total invertido= ? Valor del inmueble= ? Valor residual =?

a) En primer lugar se calcula el total invertido al tomar posesión que es la suma en el momento 15º del pago de $ 20.000,- capitalizado hasta ese momento con la tasa de interés del 0,01 mensual, más la imposición de 15 cuotas mensuales vencidas de $ 2.000,- a la misma tasa de interés, o sea: T.INV. = 20.000 (1+0.01)15 + 2.000 s15│0,01 = 23.219,38 + 32.193,79 = 55.413,17

b)El valor del inmueble al tomar posesión es igual a la suma del total invertido más el valor actual de los 24 pagos mensuales de $ 2.500,- que hay que realizar a partir de ese momento, o sea: V.INM. = 55.413,17 + 2.500

a24│0,01 = 55.413,17 + 53.108,47 = 108.521,64

c)Por lo que el valor de lo edificado es la diferencia entre 108.521,64 – 33.521,64 o sea igual a $ 75.000 que es el valor a amortizar. Luego como la vida útil es de 50 años, que se comienzan a contar desde la fecha de la toma de la posesión, al terminar de pagar las 24 cuotas de $ 2.500,cada una, la amortización acumulada es 4 % del valor del edificio, o sea, $ 3.000 y por lo tanto el Valor Residual es de $ 72.000.

16

En primer lugar se calcula la cuota del préstamo original, o sea: 100.000 = C

a10│0,04

C = 12.329,09

Se especifica que después de pagar la quinta cuota, se hace en ese momento un pago extraordinario, por lo que lo primero que se debe hacer es obtener el saldo en el momento 5 después de pagar la cuota, recordando que la fórmula genérica para hallar ese saldo es: Sr = C

an-r│i

Por lo que: S5 = 12.329,09

a10-5│0,04

=

54.886,94

Si después de pagar la cuota 5º se hace un pago extraordinario de $ 20.000,-ello significa que la deuda, luego de efectuar el pago extraordinario es: Deuda = 54.886,94 – 20.000 = 34.886,94

Ahora se toma como deuda el importe anterior, el número de cuotas que faltan para mantener el plazo de la operación son 5 y la tasa de interés del 0,04, por lo tanto, la cuota vencida a pagar será: C = V. a-1n│i C

= =

34.886,94 . a5│0,04-1 7.836,55

201

17

La oferta más ventajosa es aquella que significa un mayor valor actual, sabiendo que el valor actual es la suma del valor actual de las cuotas, entonces se evalúa cada alternativa, siendo la tasa de interés utilizada para actualizar los valores igual a 0,025, por lo que: a)  El importe de contado es uno de los valores actuales o sea $ 40.000,b)  El valor actual de la segunda alternativa se obtiene sumando los $ 20.000,- que se reciben más el valor actual de las 10 cuotas que son todas iguales a $ 2.500, - por lo que para este caso se utiliza la fórmula del cálculo de la deuda por el sistema francés, o sea: VALOR ACTUAL = 20.000 + 2.500 a10│0,025

= 41.880,16

c)  Y el valor actual de la tercer alternativa se obtiene con el mismo procedimiento de la segunda alternativa, o sea: VALOR ACTUAL = 24.000

+ 3.750 a5│0,025

= 41.421,86

En consecuencia la oferta mas conveniente es la b).

18

El gráfico de tiempo que representa al problema es: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 │--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│--│ 6000 1350 1350 1350 1350 1350 14000│1000...........1000.........1000................1000...1000│ 20 cuotas vencidas de $ 1.000,│ Saldo deuda= ?

En primer lugar se determinan las tasas de interés, teniendo en cuenta que son dos operaciones, una que es el pago de los 5 pagarés que saldan una deuda de U$S 6.000,- con lo cual se deduce que con el pago de las 20 cuotas mensuales vencidas de U$S 1.000,- se salda el resto del valor de auto o sea U$S 14.000,-, lo que hace el total de los U$S 20.000,-, por lo tanto: 6.000 = 1.350 a5│i 14.000 = 1.000 a20│i

=> =>

i = 0,04059070786 i = 0,03667013833

cuatrimestral mensual

Ahora se calcula la deuda después de pagar normalmente, tres documentos y 12 cuotas mensuales, para ello se debe calcular el saldo de la deuda en cada operación, o sea: D12

=

1.350 a2│0,0459070786 +

1.000 a8│0,03667013833

=

9.370,37

19

El ejercicio Nº 12 corresponde a una deuda de $ 15.110,84 que se cancela en 12 cuotas mensuales vencidas de $ 1.500,- cada una a una tasa i = 0,028 mensual. La deuda de capital, si no ha pagado ninguna cuota es (en el momento 4): D4 = 15.110,84 (1+0,028)4 = 16.875,68

También puede calcularse como el valor de las cuotas en ese momento: D4 = 1.500 s4│0,028 +

1500 a8│0.028 = 16.875,68

Por su parte, los intereses punitorios se calculan así:

202

IP

= 1.500 s4│ip

- 1500 * 4

= 182,41

ip = 0,02

En este caso es correcto el cálculo si la tasa de interés punitorio es el 2 % mensual.

20

El gráfico de tiempo que representa al problema es: 0 1m 2m ?m │----------│----------│--------------------------------------------│ NA=125000

24000

24000 ....................................101.248,24

a) Para hallar el número de pagarés se debe plantear la siguiente igualdad:

NA = V

-

NA

0,06

- 720 - 761,84

Pero V = C . an│i , entonces:

NA = C an│i

-

NA

0,06

- 720 - 761,84

de donde: 125.000 + 125.000 x 0,06 + 720 + 761.84

=

24.000 an│0,021

Resolviendo con la calculadora financiera se obtiene: n = 6 b) Para determinar la verdadera tasa de interés se debe tomar como deuda el neto acreditado o sea $ 125.000,-, el importe de cada documento que es de $ 24.000,- y el número de documentos que como se especifica en a) son 6, por lo que: 125.000

=

24.000 a6│i*

i*

=

0,04199073194

c) Para responder a la tercer pregunta, como no se han pagado 3 documentos en término, al momento del vencimiento del sexto documento, la deuda determinada incluye el interés compensatorio por no haber pagado en término más el interés punitorio de los tres documentos no pagados en término, por lo que la igualdad a plantear es: C s4│0,021 +

C s4│ip

-

4 C

=

101.248,24

Se conoce el valor de C que es el importe de cada documento, la tasa de interés compensatorio que es del 0,021 y la incógnita es la tasa de interés punitorio, por lo que:

24.000 s4│0,021

+

24.000 s4│ip

-

4 x 24.000

= 101.248,24

Nótese que si bien se realiza una imposición vencida de 4 cuotas, los intereses se calculan a tres cuotas ya que en la imposición vencida, en este caso la cuarta cuota se toma con su valor en el momento 4º y para el caso del cálculo de punitorios luego esta se resta con lo que el valor de esa cuarta cuota en el momento 4º es cero (0), de donde: 101.248,24 + 4 x 24.000 - 24.000 s4│0,021 = 101.248,24 + 96.000 – 99.066,56 98.181,68

= =

24.000 s4│ip

24.000 s4│ip 24.000 s4│ip

El importe de $ 98.181,68 viene a ser el capital formado, la cuota es de 24.000,- y el número de cuotas es 4, por lo que con la calculadora financiera, en el modo de imposiciones vencidas, se determina la tasa de interés que es la de punitorios.

ip

=

0,015

203

Ahora para calcular el importe de los intereses punitorios se puede trabajar de dos formas diferentes, una de ellas aplicando la fórmula:

IP

=

24.000 s4│ip

-

4 x 24.000

=

2.181,68

Y la otra es restando el valor total a pagar con el valor de las 4 cuotas con el interés compensatorio en el momento 4º, o sea: IP

=

101.248,24 -

98.181,68

= 2.181,68

21

El gráfico de tiempo que representa el problema es: 0 1 2 3 4 5 6 │--------│--------│--------│--------│---------│---------│ 3500 │ (1000) 476,905 │476,905 476,905 476,905│ 476,905 476,905 2500 no paga │ DEUDA=2.431,55

En primer lugar se obtiene la tasa de interés de la financiación: 2.500 =

476,905

a6│i

=>

i = 0,04

Para calcular el importe de los intereses punitorios se debe determinar el valor de la deuda en el momento 4º calculando los intereses compensatorios, teniendo en cuenta que aún restan pagarse 2 cuotas, por lo que las mismas deben ser actualizadas, por lo tanto esa deuda será: D4IC = C s3│0,04

+ C a2│0,04

= 1.488,71 + 899,49 =

2.388,20

Como el total reclamado es de $ 2.431,55, la diferencia entre este valor y el cálculo anterior es el importe de los intereses punitorios, o sea: IP

= 2.431,55 – 2.388,20 = 43,35

Ahora para obtener la tasa de interés punitorio, se plantea alguna de las fórmulas para el cálculo de los intereses punitorios, que conocemos su valor, una de esas fórmulas es: IP = C.s3│ip

- 3 C = 43,35

Por lo que: 43,35 = 476,905 s3│ip 43,35 + 1.430,715=

- 3 . 476,905 =

1.474,065 = 476,905 s3│ip

Por lo que 1.474,065 es el capital a formar (valor futuro), la cuota es 476,905 y el número de cuotas es 3; con estos datos se obtiene la tasa de punitorios que es: ip = 0,03

22

Para resolver este ejercicio se debe plantear la igualdad que surge del principio fundamental que dice que la deuda es igual a la suma del valor actual de las cuotas que por ella se paguen; en este caso se conoce el valor de la deuda de $ 20.000,-, se conoce la tasa de interés que es del 0,04 mensual y se conoce el plazo de 15 cuotas en total, siendo las 7 primeras igual a la mitad de las 8 finales desconociéndose el valor de ambas, es decir que la ecuación es: 20000 = C1

a7│0,04

+

C2 a8│0,04 / (1+0,04)7

pero podemos establecer que: C2 = 2 C1, entonces reemplazando en la igualdad anterior queda:

204



20.000 = C1

a7│0,04

+ 2 C1 a8│0,04 / (1+0,04)7

Sacando factor común C1 , la expresión queda: 20.000

=

C1 [ a7│0,04

+ 2

a8│0,04 / (1+0,04)7 ]

Los valores de a7│0,04 y a8│0,04 se obtienen con la calculadora financiera teniendo en cuenta que corresponden al valor de la deuda que en un caso se salda con 7 cuotas mensuales vencidas de $ 1,- a la tasa del 0,04 mensual y en el otro es la deuda que se salda con 8 cuotas vencidas de $ 1,- a la misma tasa del 0,04 mensual, resolviendo y despejando se halla el valor de C1 o sea: C1

= 1.231,93

Siendo éste el valor de C1, entonces el valor de C2 es:

C2

=

C1 * 2 = 2.463,86

23

En este caso se debe calcular el valor de la deuda o valor actual de los ingresos futuros aplicando el mismo principio, por lo que el valor de los derechos a estos cobros es: V = 1.500 a5│0,05 + 2.000 a5│0,05 /(1,05)5 + 2.500 a5│0,05 /(1,05)10

= 19.923,54

24

Este ejercicio se resuelve teniendo en cuenta que para se presenta una amortización inmediata (las de las 20 primeras cuotas) y dos amortizaciones diferidas, las de las 10 siguientes y 6 subsiguientes, por lo que: a) Para hallar el valor de las 20 primeras cuotas, se expresa que la deuda que salda con el pago de ellas es el 50% del préstamo por lo que ese importe es de $ 5.000,-, entonces como la primer cuota se paga al final del primer mes inmediato su valor se obtiene con la fórmula normal de las amortizaciones, o sea: C1 = 5.000 a20│0,07-1

C1 =

471,96

Para el cálculo de las 10 cuotas siguientes, el importe de la deuda que se salda es del 30% del total o sea $ 3.000,- y en este caso la primer cuota se paga después de transcurridos 20 meses por lo que se trata de una amortización diferida por esos 20 meses, en consecuencia la cuota se calcula tomando como deuda los $ 3.000,- capitalizados hasta el final del período 20, o sea: C2 = 3.000 . ( 1+0,07)20 . a10│0,07-1

C2 =

1.652,87

Finalmente para el cálculo de las últimas 6 cuotas se procede de la misma manera que en el caso anterior, teniendo en cuenta que la deuda que se salda es de $ 2.000,- y la primer cuota se paga luego de transcurridos 30 meses o sea que es una amortización diferida por 30 meses, en consecuencia la deuda de $ 2.000,. debe capitalizarse por los 30 meses a la tasa pactada, o sea: C3 = 2000 . ( 1+0,07)30

a6│0,07-1.

C3 =

3.194,04

b) Para calcular los intereses punitorios se debe tener en cuenta que al no pagarse las últimas cinco cuotas en término y se salda la deuda en el momento 36, el valor de $ 24.869,63 corresponde a la siguiente suma: 24.869,63 = capital + intereses compensatorios + intereses punitorios

Por lo que esa igualdad se puede expresar de la siguiente manera:

205

24.869,63 = 3.194,04

s6│0,07 +

3.194,04 │

s6│ip

-

6 x

3.194,04 │

En donde el segundo y tercer término del segundo miembro representa al monto de los intereses punitorios, despejando queda que: IP = [ 3.194,04

s6│ip

-

6 x 3.194,04] = 24.869,63

-

3.194,04

IP = [ 3.194,04

s6│ip

-

6 x 3.194,04] = 24.869,63

-

22.847,90

s6│0,07 =

2.021,73

Siendo este el monto de los intereses punitorios c) Finalmente para calcular la tasa de interés punitorio, teniendo el monto de ellos se procede a igualar su valor con la expresión que está entre corchetes en el punto b), o sea: 2.021,73

=

3.194,04

s6│ip -

=

3.194,04

s6│ip

6 x 3.194,04

resolviendo: 2.021,73

- 19.164,24

2.021,73 + 19.164,24 =

3.194,04

21.187,97 =

s6│ip

3.194,04

s6│ip

, de donde ip = 0,04 mensual.

25

En el cuadro de amortización se detalla como a medida que pasa el tiempo la deuda inicial se va cancelando, y en el mismo se detalla la composición de la cuota y como va variando ésta a medida que pasa el tiempo. Calculada la cuota, los intereses contenidas en ella se calculan multiplicando la deuda inicial por la tasa de interés y luego la diferencia entre la cuota y los intereses es la amortización real contenida, siendo el saldo de la deuda después de pagar la primer cuota la diferencia entre la deuda inicial menos la amortización real y así sucesivamente. El siguiente es el cuadro completo: Período 1 2 3 4 5

Saldo al Interés inicio del contenido en período la cuota 100.000,00 3.000,00 81.164,54 2.434,94 61.764,02 1.852,92 41.781,48 1.253,44 21.199,47 635,98

Amortización Real 18.835,46 19.400,52 19.982,54 20.582,01 21.199,47

Cuota 21.835,46 21.835,46 21.835,46 21.835,46 21.835,46

Saldo al final del período 81.164,54 61.764,02 41.781,48 21.199,47 0

Por supuesto que la suma de las amortizaciones reales es = $ 100.000,00

26

Las mismas consideraciones que en el ejercicio anterior. El cuadro de amortización es: Período Saldo al Interés Amortización Cuota Saldo al final inicio del contenido en Real del período período la cuota 1 100.000,00 6.000,00 17.739,64 23.739,64 82.260,36 2 82.260,36 4.935,62 18.804,02 23.739,64 63.456,34 3 63.456,34 3.807,38 19.932,26 23.739,64 43.524,08 4 43.524,08 2.611,44 21.128,20 23.739,64 22.395,89 5 22.395,89 1.343,75 22.395,89 23.739,64 0

206

La suma de las amortizaciones reales es = $ 100.000,00

27

Tomando los datos del cuadro de amortización del ejercicio anterior, se responde a las preguntas realizadas: a)

i3 =

3.807,38

b)

4 ∑ ir r=1

=

17.354,45



c)

4 ∑ tr r=1

=

t1 s4│0,06

d)

S3

=

e)

t2

=

=

77.604,11

43.524,08 18.804,02

28

Se debe tener en cuenta que para calcular uno cualesquiera de los componentes de un sistema de amortización (deuda, cuota, número de cuotas y tasa de interés) se deben conocer los otros tres, en este ejercicio aparentemente no están los tres necesarios para responder al interrogante, pero sin embargo ello no es así pues con los datos que se tienen es posible la solución. En primer lugar hay que recordar que cualquier amortización real se puede obtener conocida la amortización real del primer período, es decir: tr

= t1 ur-1

De donde se puede expresar que: t8 t4

= =

t 1 u7 t 1 u3

Como conocemos t8 y t4, dividiendo miembro a miembro las igualdades anteriores tenemos: t8

/

t4

= t 1 u7

t8

/

t4

= u7

/

/ u3

t 1 u3 = u4

=

(1+i)4

De donde: t8

= t4 . (1+i)4

O sea que: 1.338,33 = 1.236,41 (1 + i)4

Despejando se halla el valor de la tasa de interés mensual, o sea que: i = 0,02 mensual

La cuota puede ser ahora hallada en función a la fórmula que relaciona el valor de la cuota en función de la amortización real de cualquier período, que es: C = tr . (1 + i)n-r+1

207

Por lo que tomando el valor de la amortización real contenida en el período 8º, sabiendo que el número total de cuotas es 8, el valor de la cuota es: C = 1.338,33 (1+0,02)8-8+1

= 1.338,33 (1+0,02) = 1.365,0966

Finalmente el valor de la deuda se puede obtener porque se conoce la cuota, el número de cuotas y la tasa de interés, por lo que: V = 1.365,0966 a8│0,02

=

10.000

29

Para este ejercicio también deben utilizarse fórmulas que relacionan a los distintos componentes, al conocerse S2 y S3, se deben aplicar las fórmulas de la diferencia de estos saldos antes de pagar la cuota, que genéricamente es: Sr-1

-

Sr

= tr

De modo tal que: S2 t3

-

S3 =

t3

= 1.903,378

-

1.441,573

= 461,805

Ahora conocida t3 y la tasa de interés, se puede obtener t1 y también t2, ello teniendo en cuenta la fórmula del ejercicio anterior por lo que: t 1 = tr

vr-1

t 2 = t3

v1

= =

t3

v2

403,06 /

= 461,805 / (1,02 )2 =

443,87

(1,02) = 452,75

Con estos valores, al conocerse S2 o sea el saldo después de pagar 2 cuotas, se puede deducir que la deuda será igual a ese saldo más las amortizaciones reales de las cuotas 1 y 2, o sea: V = S2

+

t2

+

t1

= 1.903,378 + 452,75

+ 443,87 =

2.800.-

Finalmente la cuota puede ser calculada si tenemos en cuenta la fórmula que determina el valor de la primer cuota que es: C = Vi +

t1

=

2.800.

0,02 + 443.87

= 499,87

30

Para calcular el valor de “m” se necesitan los otros tres datos, es decir la deuda, la cuota y la tasa de interés, que en este ejercicio se da únicamente el dato de la deuda y el valor de dos amortizaciones reales y ello nos permite resolverlo: Se puede establecer que: t4 = t2 . (1+i)2 11.515,40 = 10.058 (1 + i)2

de donde despejando: i

=

0,07 mensual

También podemos conocer el valor de t1, ya que: t1

=

t2

/

(1+i)

t1

= 10.058 / (1+0,07) = 9.400

208

Luego es posible calcular la cuota de la misma manera que en el ejercicio anterior, o sea: C = V i

+ t1

= 80.000 . 0,07

+

9.400

=

15.000

Ahora con el valor de la deuda, la cuota y la tasa de interés se puede obtener el valor de n, que es: 80.000

=

15.000 an│0,07

=>

n =

6,907328514

Esto debe interpretarse como que son necesarias 6 cuotas enteras más una cuota fraccionaria de aproximadamente el 90 % de la cuota y que debiera pagarse aproximadamente al transcurrir del 90 % de la séptima unidad de tiempo, pero para precisar eso aplicamos el concepto de saldo: Sn´ = saldo después de pagar la sexta cuota (última cuota entera = n´) Sn´ = C an-n´│0,07

=

C af│0,07

=

C a0,907328514│0,07

= 12.759,07

= Cfn´

Que es también la cuota fraccionaria que debiera pagarse en el momento 6 para saldar la deuda. Luego para calcular la cuota fraccionaria en el momento n = 6,90732 se capitaliza Cfn´ por la fracción de tiempo: Cfn

= Cfn´ . (1+i )0,907328514

=

13.566,87

Y en el momento n´+1 (en este caso = 7) Cfn´+1

= Cfn´. (1+ 0,07 )1

=

13.652,20

Otra forma de hacer este cálculo (si su calculadora no toma números con decimales en la cantidad de unidades de tiempo) es por diferencia. Para ello lo más práctico es determinar la cuota fraccionaria en el momento 0 (cero): Cf0

=

V

-

C an´│0,07

=

80.000 – 15.000 . a6│0,07

=

8.501,90

Y luego capitalizar hasta el momento que se quiera determinar la cuota fraccionaria. El cuadro de amortización abonando la cuota fraccionaria en el momento n´ es: Período

Saldo al inicio del período

1 2 3 4 5 6

80000,00 70600,00 60542,00 49779,94 38264,54 25943,06

Interés contenido en la cuota 5600,00 4942,00 4237,94 3484,60 2678,52 1816,01

Amortización real 9400,00 10058,00 10762,06 11515,40 12321,48 25943,06

Cuota 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 27759,07

Saldo al final del período 70600,00 60542,00 49779,94 38264,54 25943,06 0,00

Cuadro de amortización (abonando cuota fraccionaria momento n) Período 1 2 3 4 5 6 6,90732851

Saldo al inicio del período 80000,00 70600,00 60542,00 49779,94 38264,54 25943,06 12759,07

Interés contenido en la cuota 5600,00 4942,00 4237,94 3484,60 2678,52 1816,01 807,80

Amortización real

209

9400,00 10058,00 10762,06 11515,40 12321,48 13183,99 12759,07

Cuota 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 13566,87

Saldo al final del período 70600,00 60542,00 49779,94 38264,54 25943,06 12759,07 0,00

Cuadro de amortización (abonando cuota fraccionaria momento n´+1) Período 1 2 3 4 5 6 7

Saldo al inicio del período 80000,00 70600,00 60542,00 49779,94 38264,54 25943,06 12759,07

Interés Amortización contenido en real la cuota 5600,00 9400,00 4942,00 10058,00 4237,94 10762,06 3484,60 11515,40 2678,52 12321,48 1816,01 13183,99 893,13 12759,07

Cuota 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 15000,00 13652,2

Saldo al final del período 70600,00 60542,00 49779,94 38264,54 25943,06 12759,07 0,00

31

Primero se determina cual es el capital que se forma en 36 meses S36│0.01 =

1.000

s36│0,01 =

43.076,88

a su vez, este capital se amortiza en n cuotas de $ 1.000, es decir que puede explicarse de la siguiente manera: el valor ahorrado se presta y se quiere recibir $ 1.000,- por mes, siendo la tasa de interés que se quiere ganar del 0,01 mensual, por lo que se debe encontrar cuántas cuotas de $ 1.000,- se van a cobrar, por lo que: V

º

= C . an│0,01

43.076,88 = 1.000 . an│0,01

Despejando, n = 56,628124, lo que significa que podrán retirarse 56 cuotas de $ 1.000 y una cuota fraccionaria cuyo importe dependerá del momento en que se recupere. Si esta cuota fraccionaria se retira un mes después de la extracción Nº 56, es decir, en el momento 57 (n’+1), la misma es de $ 629,28; si se retira en el momento nº 56,628124 (n), la misma es de $ 626,97; en tanto que retirando junto a la cuota 56 (n’) la acreencia es de $ 623.05.

32

Para calcular la deuda se puede aplicar la fórmula que se deduce cuando se desarrolla el tema de tasa de amortización por lo que para este caso en particular tenemos que: t1 = ▬▬▬▬ , entonces V

Siendo Ө = sn│i-1

Por lo que: V

=

192,1584

/

V = t1 / s5│i-1

0,192158394

= 1.000,-

Pero siendo s5│i-1 = 0,192158394 es la cuota que forma un capital de $ 1, siendo n = 5, de donde se halla que i = 0,02, luego entonces el cuadro de amortización es: Período 1 2 3 4 5

Saldo al inicio del período 1.000,00 807,842 611,840 411,918 207,998

Interés contenido en la cuota 20,00 16,157 12,237 8,238 4,160

210

Amortización Real 192,158 196,002 199,922 203,920 207,998

Cuota 212,158 212,158 212,158 212,158 212,158

Saldo al final del período 807,842 611,840 411,918 207,998 0

Y sumando las amortizaciones reales = $ 1.000,00

33

Para contestar las preguntas se aplican en este ejercicio distintas relaciones que se irán explicando: a) Para calcular la deuda se cuentan con los tres datos necesarios, por lo que: V = 10.000 a40│0,06

=

150.462,97

b) Para calcular los intereses contenidos en la tercer cuota se procede a aplicar el concepto de que el interés contenido en ella es igual al saldo después de pagar la segunda cuota por la tasa de interés, o sea: i3

=

S2 . i

= 10.000 a40–2│0,06 x 0,06 = 148.460,19 x 0,06 = 8.907,61

c) El total amortizado luego de 10 pagos puede hacerse como una imposición de t1 durante 10 unidades de tiempo o como una diferencia entre la deuda y el saldo luego de pagar la cuota 10. Se desarrollan los dos procedimientos:

Primer procedimiento: t1

= C – (V . i) = 10.000

- (150.462,97

Total amortizado luego de pagar 10 cuotas = t1

.

0,06 )

. s10│0,06

= =

972,22187

= t1

12.814,66

Segundo procedimiento: Total amortizado = deuda original – deuda luego de pagar 10 cuotas Total amortizado = V

-

S10

=

V

-

C a40–10│0,06

= 12.814,66

d) La amortización real contenida en la última cuota (Nº 40), se calcula en función de la fórmula de la amortización real de cualquier período en función de la del primer período, o sea:

t40 = t1

(1 + i )40-1

= 972,22187 (1,06)39 = 9433,96

e) El saldo después de pagar la cuota Nº 20 se obtiene aplicando su fórmula : S20

= 10.000 a40–20│0,06

=

114.699,21

f) Para determinar en que momento se cancela el 50% de la deuda, lo que debe realizarse es encontrar cuantas cuotas faltan para cancelar el saldo de la deuda que correponde al 50% de la misma o sea $ 75.231,485, es decir que se debe plantear la siguiente igualdad:

V . 0,50 = Sr = 75.231,485 = 10.000 a40–r│0,06

Con estos datos, es decir saldo de la deuda $ 75.231,485, cuota = 10.000,- y tasa de interés 0,06 semestral, se obtiene la cantidad de cuotas que aún restan pagar y que son: 11, luego entonces se determina que:

40 - r = 11

Por lo que despejando el valor de “r” se llega a que r = 29 , o sea que con el pago de la cuota semestral Nº 29 se cancela el 50% de la deuda.

211

34

a) Esta pregunta se responde procediendo de la misma forma que en el apartado f) del ejercicio anterior, de manera tal que determinando el valor de la deuda original que es:

V = 2.500 . a40│0,05

=

42.897,72

Se debe buscar la cantidad de cuotas que restan para cancelar el saldo de la deuda y que corresponde al 60,49073% de la misma o sea:

Sr = 42.897,72. 0,6049073 = 25.949,14

= 2.500 a40–r│0,05

Resolviendo se encuentra la cantidad de cuotas que faltan para cancelar el saldo de la deuda que son 15, por lo que el período en el cual el saldo de la deuda alcanza al 60,49073 % de la misma es:

40 – r = 15

=> r = 25

Es decir que después de haber pagado 25 cuotas, el saldo de la deuda es de $ 25.949,14. b) Para responder al interrogante primero debe obtenerse el saldo de la deuda después de pagar la 10º cuota, dicho saldo es:

S10

= C a40–10│0,05

=

2.500 a30│0,05

=

38.431,12

Una manera de razonar es calcular ahora el valor actual de 30 cuotas futuras reducidas a la mitad, es decir el valor actual del pago de 30 cuotas de $ 1.250,- cada una, siendo ese valor el que debe quedar como saldo o sea:

VA =

1.250 a30│0,05

=

19.215,56

Entonces si este es el saldo que debe quedar, haciendo un pago extraordinario, después de pagar la cuota 10º, el cual se cancela con las 30 cuotas restantes reducidas a la mitad ($ 1.250,), ello significa que el importe del pago extraordinario es la diferencia entre el saldo de la deuda después de pagar la 10º cuota que es de $ 38.431,12 menos los $ 19.215,56 que deben quedar, por lo que su valor es:

Pago extraordinario =

38.431,13 – 19.215,56

=

19.215,56

Lo que es absolutamente lógico, ya que para pagar cuotas que son la mitad de las anteriores debo pagar la mitad de la deuda en ese momento. c) Para responder se debe obtener primero el saldo de la deuda después de pagar la cuota Nº 25, que es:

S25

=

2.500 . a40-25│0,05 = 25.949,14

y ahora este saldo se debe cancelar con el pago de solamente 5 cuotas, por lo que: C =

25.949,14 . a5│0,05-1

=

5.993,60

35

Este ejercicio se resuelve en función de la interpretación de las relaciones entre los saldos, gráficamente los datos aportados son: /S2 │-----------│-----------│-----------│-----------│-----------│ 0 1 2 t3 /3 4 5 S´3

212

Teóricamente se sabe que: S´r – Sr-1 = Ir = Sr-1 . i S´r = Sr-1 . (1 + i)

De manera tal que: S’3

- S2

=

I3

= 624,10 - 611,86 =

12,24

Ademas la suma de la amortización real más los intereses contenidos en cada cuota es igual a la cuota, por lo que:

I3 + t 3 =

C

=

12,24 + 199,91 =

212,15

Por otra parte se puede hallar el valor de la tasa de interés despejándola de la siguiente igualdad: I3 = S2 . i , de donde

I3 i = ▬▬▬ S2

Por lo que: 12,24 i = ▬▬▬▬▬▬▬ = 0,02 611,86



Finalmente teniendo los datos necesarios, se determina la deuda: V =

212,15

a5│0,02

= 1.000

36

a)  Para calcular la tasa de interés en primer lugar conociendo el valor de la cuota y los intereses contenidos en la cuota Nº 15, se puede obtener la amortización real del período 15º, o sea: C

= t15

+ I15

=> t15

=

C

- I15

= 16.447,38

-

2655,243 = 13.792,137

Ahora conocida t15, se puede colocar la cuota en función de la amortización de cualquier período, ello según la siguiente fórmula: C = tr

De donde i

=

i

=

un-r+1 = t15 . (1 + i )n-r+1

(C / tr )(1/

n-r+1)

- 1

(16.447,38 / 13.792,137)(1/18-15+1) – 1 =

0,045

b)  Conocida la cuota, el número de cuotas y la tasa de interés es posible determinar el importe de la deuda:

V = C a18│0,045

=

200.000

c)  Para calcular con el pago de que número de cuota se cancela el 77,3933% de la deuda, se determina ese importe que es $ 154.786,60 por lo que el saldo a cancelar es de $ 45.213,40, por lo tanto éste es el saldo de la deuda después cancelar el porcentaje citado y en consecuencia se debe calcular cuántas cuotas faltan para cancelarlo, luego por diferencia se obtiene la respuesta:

Sr

=

45.213,40

=

C a18-r│0,045

Resolviendo el valor de 18-r = 3, de donde: r = 18 - 3

= 15

213

Es decir que con el pago de la cuota Nº 15 se amortiza el 77,3933% de la deuda. d)  Los saldos antes y después de pagar la cuota Nº 10 se obtienen aplicando sus fórmulas:

S10 = C a18-10│0,045



S´10 = C

= 108.485,04 = 124.932,42

18-10+1│0,045

37

La fórmula de la tasa de amortización es: Ө

t1 = ▬▬▬▬ = sn│i-1 = V

Se halla entonces el valor de t1:

t1

=

C -

Vi

=

6.164,55

=

4.164, 55 /

-

(50.000 .

0,04) =

4.164, 55

Por lo que:

Ө

50.000

= 0,083290944

Otra forma de calcular la tasa de amortización es utilizando directamente la calculadora financiera y obtener la cuota vencida que forma un capital de $ 1 y 10 unidades de tiempo, introduciendo como datos el importe a formar que es $1,-, el número de cuotas que es 10 y la tasa de interés que es el 0,04, o sea:

Ө

= s10│0,04-1 =

0,083290944

38

Una amortización inmediata perpetua es aquella en la que los pagos continúan indefinidamente, por lo que para determinar el valor de la deuda el número de cuotas es infinito, la fórmula dada en la parte teórica del capítulo II es: V = C a∞│i

=

C ▬▬▬▬ i

Por lo que: V

= 10.000 . a∞│0,08

=

C / i

=

10.000 / 0,08 =

125.000

La amortización diferida es cuando las cuotas comienzan a pagarse después de transcurrido un cierto período de tiempo, en este caso 10 años, de modo tal que el valor actual es:

r/a∞│i

=

vr . C a∞│i



Valor actual

=

(1 / 1,08)10 x 125.000 = 57.899,186

214

EJERCICIOS PRÁCTICOS Capítulo IV

1

Determine las cuotas escalonadas de un préstamo de $ 10.000 a devolver en 20 cuotas siendo el número de grupos 5, la tasa de interés del 0,06 mensual y el coeficiente para determinar la cuota del primer grupo 0,80.

2

Determine las cuotas escalonadas de un préstamo de $ 100.000, con n = 12, N = 3, i = 0,07 mensual y el coeficiente para el 1º grupo 1,20.

3

Un señor solicita un préstamo de $ 10.000 a devolver en 10 cuotas incrementadas (cuota igual a la razón) mensuales vencidas, siendo la tasa de interés del 0,06 mensual. Construir el cuadro de amortización.

4

Un señor solicita un préstamo que devuelve en 6 cuotas mensuales vencidas incrementadas de $ 635,126 la primera. Si la tasa de interés mensual es del 0,07, ¿cuál es el importe del préstamo?

5

Determine el valor de la primera cuota de un préstamo de $ 15.000, con n = 18 y con cuotas que crecen en $ 350 cada una. La tasa de interés pactada es del 1,252191589 efectiva anual.

6

Calcule la razón de un préstamo de $ 24.000 a devolver en 6 cuotas variables trimestrales y vencidas, si la primera de ellas es de $ 2.000 y la tasa nominal anual de interés es del 0,92.

7

Para un préstamo otorgado por el sistema alemán, donde la deuda es de $ 5.000, la cantidad de cuotas es 8 y la tasa de interés es del 2,5 % mensual, prepare el cuadro de amortización correspondiente.

8

Una financiera otorga préstamos de $ 48.000 reembolsables en 120 meses vencidos por el método de amortización constante al 0,04 de interés mensual sobre saldos. Un posible prestatario desea conocer: a)Cuánto deberá abonar en concepto de cuota a fines del 24º período. b)El interés contenido en la cuota Nº 32. c)El total de intereses abonados, o sea su suma algebraica. d)El saldo deudor luego de abonar la cuota Nº 60.

215

9

Se obtiene un préstamo por el sistema de amortización constante en 10 cuotas vencidas, siendo la cuota 5 de $ 992 y la cuota 8 de $ 896. Determine: Importe de la deuda. Tasa de interés que rige el préstamo. Importe de cada una de las 10 cuotas.

10

Se obtiene un préstamo por el sistema de amortización constante en 8 cuotas vencidas que decrecen $ 40 por cuota. Si la cuota 3 es de $ 2.240, determine: Importe de la deuda. Tasa de interés que rige el préstamo Importe de cada una de las 10 cuotas.

11

Un señor solicita un préstamo de $ 25.000 bajo el sistema americano, el cual debe ser devuelto mediante el pago de 18 cuotas mensuales, siendo la tasa reconstructiva del 0,02 mensual y la tasa remunerativa del 0,092727 trimestral. Se pide: El importe de la suma que tiene que depositar el solicitante al final de cada mes para devolver los $ 25.000 al final de los 18 meses. El importe de los intereses que deberá pagar al final de cada mes El verdadero costo financiero de la operación.

12

Un señor necesita $ 13.859,04 para la adquisición de un bien. Una entidad financiera le ofrece ese dinero el cual debe devolverlo en cinco cuotas constantes mensuales de $ 3.113,11 cada una. Además, existe otra entidad que le otorga el préstamo, a devolver en cinco cuotas mensuales bajo el sistema americano siendo j=0,045. ¿De cuánto debe ser i (tasa reconstructiva) para que le convenga esta opción?

13

Un televisor se compra en 10 cuotas mensuales de $ 130. Si el valor de contado es de $ 1.000. a) ¿Qué tasa de interés directa mensual se emplea? b) ¿Cuál es la tasa verdadera que se cobra?

14

Una Institución otorga préstamos personales por el método de interés cargado. Para un préstamo de U$S 4.000 a devolver en 8 cuotas vencidas, siendo i = 0,025 mensual cargado, calcular: a) La verdadera tasa de interés mensual. b) El rendimiento anual equivalente. c) Construir el cuadro de amortización correcto.

216

15

Un préstamo de $ 10.000 se aumenta en un 60 % anual de interés directo, por 10 meses de financiación y para abonar cuotas mensuales vencidas. a) Calcular el importe de la cuota. b) Determinar la verdadera tasa de interés mensual.

16

Si se desea cobrar una tasa efectiva del 0,06 mensual en un préstamo a interés cargado a 10 meses, ¿cuál es la tasa que se debe aplicar en el método?

17

Un señor solicita un préstamo que le es otorgado por el método de interés descontado a devolver en 12 meses a una tasa de interés del 0,02 mensual. a) ¿Cuánto dinero debe solicitar si desea recibir $ 8000? b) ¿Cuál es el verdadero costo financiero de la operación?

18

Una institución otorga préstamos personales por el método de interés descontado. Para un préstamo de $1.000 a devolver en 10 cuotas vencidas, siendo i = 0,025 mensual, calcular: a) El importe de la cuota. b) La verdadera tasa de interés mensual. c) El rendimiento anual equivalente.

19

Para la compra de un minicomponente se solicita un préstamo bajo el método de interés descontado a devolver en 5 cuotas mensuales de $ 300 cada una. Si el valor de contado del bien es de $ 1350. a) ¿ Qué tasa de interés descontado mensual se emplea? b) ¿ Cuál es la verdadera tasa que se cobra?

20

Si se desea cobrar una tasa efectiva del 0,05 mensual en un préstamo a interés descontado a 10 meses, cuál es la tasa que se debe aplicar en el método?

Resolución de ejercicios prácticos Capítulo IV

1

El procedimiento para aplicar el sistema de cuotas escalonadas es el siguiente: a) Se determina cuota constante vencida por el sistema francés

217



C = V a20│0,06

= 871,85

-1

b) Se calcula del valor de h, ello según la fórmula establecida en la página 80.

h =

(1 - α ) i vm - v n 1 – vm

=

- (N-1) vn

0,011289837

c) Se calcula la cuota correspondiente al primer grupo, en este caso las cuatro primeras cuotas que son constantes: C1

=

C .

α

=

871,85

.

0,8

=

697,48

d) En razón de que el coeficiente α es menor que 1 las cuotas irán creciendo, este crecimiento se determina multiplicando el valor de la deuda por el valor de h encontrado: Incremento entre grupo de cuotas = V. h = 10.000 . 0,011289837 = 112,90 e)

Se determina ahora los valores de las cuotas de los siguientes grupos, o sea: C2 C3 C4 C5

= = = =

C1 C2 C3 C4

+ + + +

V V V V

. . . .

h h h h

= = = =

810,37 923,27 1.036,17 1.149,07

2

Se realiza idéntico procedimiento, por lo que: a) Se determina la cuota constante vencida por el sistema francés C = 100000 a12│0,07 = 12.590,20

b) Se calcula del valor de h, ello según la fórmula establecida en la página 80. h =

(1 - α ) i vm - v n 1 – vm

=

- (N-1) vn

0,030642592

c) Se calcula la cuota correspondiente al primer grupo, en este caso las cuatro primeras cuotas que son constantes:

C1

= C . α

= 12.590,20 . 1,20 = 15.108,24

d) En razón de que el coeficiente α es mayor que 1, las cuotas irán decreciendo, este decrecimiento se determina multiplicando el valor de la deuda por el valor de h encontrado: Decrecimiento entre grupo de cuotas = V.h = 100.000 . 0,030642592 = 3.064,259 f)

Se determina ahora los valores de las cuotas de los siguientes grupos, o sea: C2 C3

= =

C1 C2

+ +

V . h V . h

= =

12.043,98 8.979,72

3

En el sistema de cuotas incrementadas, cuota igual a la razón, se calcula la cuota según la fórmula de la página 87 y las cuotas restantes se van incrementando en ese valor, o sea: C =

10.000 . 0,06

/

(

10│0,06

- 10 v10) = 270,545

218

Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo al inicio 10.000,00 10.329,455 10.408,132 10.220,985 9.752,064 8.984,463 7.900,261 6.480,46 4.704,93 2.252,32

Interés

Amortiz. real - 329,455 - 78,677 187,147 468,92 767,60 1084,20 1.419,80 1.775,53 2.152,61 2.252,32

600,00 619,77 624,49 613,26 585,12 539,07 474,02 388,83 282.30 153,14

Cuota 270,545 541,09 811,635 1.082,18 1.352,725 1.623,27 1.893,815 2.164,36 2.434,905 2.705,45

Saldo final 10.329,455 10.408,132 10.220,985 9.752,064 8.984,463 7.900,261 6.480,46 4.704,93 2.252,32 0

4

En este caso de debe calcular la deuda, siendo la cuota igual a la razón, por lo que se aplica la primer fórmula de la página 87, por lo que:

(Ia)6│0,07

=

635,126

(

6│0,07

- 6 v6 ) / i

=

10.000

5

En el sistema de cuotas que varían en progresión aritmética, cuota distinta a la razón se debe determinar previamente el valor de la razón y entonces la cuota se calcula con la fórmula de la página 90, por lo que: C =

[(Va)n│i

- r

(an│i -

n vn )/ i]

/ an│i =

- 861,6768

Cuadro de amortización: Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

S. al inicio 15.000,00 16.911,68 18.607,17 20.071,35 21.288,02 22.239,86 22.908,33 23.273,59 23.314,41 23.008,10 22.330,34 21.255,14 19.754,68 17.799,19 15.356,81 12.393,46 8.872,68 4.755,44

Interés 1050,00 1183,82 1302,50 1404,99 1490,16 1556,79 1603,58 1629,15 1632,01 1610,57 1563,12 1487,86 1382,83 1245,94 1074,98 867,54 621,09 332,88

Amortizac. -1911,6768 -1695,49418 -1464,17877 -1216,67128 -951,838272 -668,466951 -365,259637 -40,8278121 306,314241 677,756238 1075,19917 1500,46312 1955,49554 2442,38022 2963,34684 3520,78112 4117,23579 4755,4423

6

Cuota -861,6768 -511,6768 -161,6768 188,3232 538,3232 888,3232 1238,3232 1588,3232 1938,3232 2288,3232 2638,3232 2988,3232 3338,3232 3688,3232 4038,3232 4388,3232 4738,3232 5088,3232

S.final 16.911,68 18.607,17 20.071,35 21.288,02 22.239,86 22.908,33 23.273,59 23.314,41 23.008,10 22.330,34 21.255,14 19.754,68 17.799,19 15.356,81 12.393,46 8.872,68 4.755,44 - 0,00

En este caso lo que debe hallarse es la razón y teniendo los datos de la cuota, la deuda, el número de cuotas y la tasa de interés, la fórmula a aplicar para su cálculo se debe despejar de la fórmula general de la página 87.

219



r

=

[(Va)n│i -

C1 an│i] /

[(an│i

-

n v n) / i ] =

3.013,8766

El cuadro de amortización correspondiente es: Período S. al inicio 1 24.000,00 2 27.520,00 3 28.835,72 4 27.440,19 5 22.709,80 6 13.877,55

Interés 5520,00 6329,60 6632,22 6311,24 5223,25 3191,84

Amortizac. -3520 -1315,7234 1395,53682 4730,38689 8832,25247 13877,5471

Cuota 2.000,00 5.013,88 8.027,75 11.041,63 14.055,51 17.069,38

S.final 27.520,00 28.835,72 27.440,19 22.709,80 13.877,55 0,00

7

El sistema alemán se caracteriza por ser constante la amortización contenida en cada cuota, variando el total de la cuota en función a la variación de los intereses que se calculan sobre el saldo y por lo tanto las cuotas van decreciendo, para este caso, siendo la tasa de interés del 0,025 se tiene: V = 5000 ,

t = V / n

= 5000/ 8 = 625

En el cuadro de amortización se determinan los valores de cada una de las cuotas y como se va amortizando la deuda hasta cancelarse, teniendo en cuenta que los intereses contenidos en cada cuota se calculan multiplicando el saldo de la deuda al comienzo de cada período por la tasa de interés: Período

Saldo al inicio 5.000 4.375,00 3.750,00 3.125,00 2.500,00 1.875,00 1.250,00 625,00

1 2 3 4 5 6 7 8

Interés 125,00 109,375 93,75 78,125 62,50 46,875 31,25 15,625

Amortiz. real 625,00 625,00 625,00 625,00 625,00 625,00 625,00 625,00

Cuota 750,00 734,375 718,75 703,125 687,50 671,875 656,25 640,625

Saldo final 4.375,00 3.750,00 3.125,00 2.500,00 1.875,00 1.250,00 625,00 0

8

Para resolver este ejercicio se deben tener en claro los conceptos y forma de cálculo de los componentes de un sistema de amortización alemán: a) Conocida la deuda y el número de cuotas que son 120, se puede determinar la amortización constante que es $ 400,- (48000/120), de modo tal que para calcular el importe de la cuota Nº 24 , ésta será la suma de la amortización constante más los intereses contenidos en ella, ahora bien estos intereses se deben calcular sobre el saldo de la deuda después de pagar la cuota Nº 23 y en este caso ese saldo será la deuda original menos 23 veces la amortización constante, o sea: C24 = S23 .i + t = [V –(23.t)].i + t =[48.000 –(23x400)].0,04 + 400 = 1.952.-

b) Los intereses contenidos en la cuota Nº 32, se calculan multiplicando el saldo de la deuda después de haber pagado la cuota Nº 31 por la tasa de interés, ese saldo es igual a la deuda original menos 31 veces la amortización, por lo que: I32 = S31 . i

=

[V – (31.t)].i = [48.000 –( 31x400 )].0,04

220

= 1.424,00

c) El total de intereses se obtiene aplicando la siguiente fórmula general:

Tot. Intereses = Vi . (n+1)/2 = 116.160,-

d) El saldo de la deuda después de pagar la cuota Nº 60 se determina restando a la deuda original lo amortizado que es 60 veces la amortización constante, o sea:

S60 =

V - (60 . t ) = 48.000 – 60 . 400

=

24.000

9

Se trata del sistema de amortización alemán. a) Se sabe que las cuotas van decreciendo en el monto que disminuyen los intereses que se pagan sobre el saldo, es decir que en cada cuota si los intereses disminuyen ello es como consecuencia de que la deuda disminuye en t o sea la amortización constante, por lo que lo que disminuyen los intereses en cada cuota es el producto de la amortización constante por la tasa de interés, de manera tal que:

C8 = C 5

- 3 t.i

De esta igualdad al conocer el valor de ambas cuotas se puede despejar el producto de “t.i” que es igual a: C 5 – C8 992 – 896 t.i = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 32 3 3

Ahora se puede calcular el valor de la última cuota que siguiendo el mismo razonamiento es:

C10

= C8

- 2 t.i

= 896 – 2. 32 = 832

Si el valor de la 10º cuota es $ 832,-, este importe es igual a la amortización constante más el interés que es, por ser la última cuota, el producto de “t.i”, por lo que:

C10

= 832 = t + I = t + t.i = t + 32

De donde despejando, se obtiene que :

t = 800

Por lo que la deuda será: V = t.n = 800 . 10

= 8.000,-

b) Conocido t = 800 y que t.i = 32, entonces: t.i = 32

=>

i = 0,04

c) Finalmente resulta sencillo calcular cada una de las cuotas utilizando la fórmula general o sea: V Cr = ▬▬▬▬ + [V – t.(r-1)] . i n C1 = 1120

C2 = 1088

C3 = 1056

C4 = 1024

C6 = 960

C7 = 928

C8 = 896

C9 = 864

10

También se trata del sistema alemán

221

C5 = 992 C10 = 832

a) Se procede en forma similar al caso anterior, sólo que ahora conocemos el valor del producto de “t.i” y por lo tanto es posible obtener la última cuota o sea: C8 = C3 – 5.t.i

=>

C8 = 2240 – 5. 40 = 2040

Por lo que : C8 = 2040 =

t + ti = t + 40

=>

t = 2000

De manera tal que : t= V/n

=>

V = 2000.8 = 16.000

b) Ahora conocido t y t.i se puede despejar el valor de la tasa de interés: t.i = 2000 . i = 40

=> i = 0,02

c) Finalmente, de la misma forma que en el ejercicio anterior: C1 = 2320 C6 = 2120

C2 = 2280 C7 = 2080

C3 = 2240 C8 = 2040

C4 = 2200

C5 = 2160

11

El sistema americano es un sistema que modifica la tasa de interés, con este ejercicio ello se demuestra: a) Para determinar el importe a depositar para devolver al cabo de 18 meses el capital prestado se calcula la cuota de una imposición vencida a la tasa reconstructiva del 0,02 mensual, teniendo en cuenta que a este valor se lo simboliza en el sistema americano con “r”, por lo que: r = V sn│i-1 =>

r = 25.000 s18│0,02-1

=>

r = 1.167,55

b) Por otra parte el deudor tiene que pagar todos los meses el interés sobre la deuda original a una tasa remunerativa, simbolizada con “j”; como se da como dato una tasa de interés remunerativa trimestral, primero debe obtener la remunerativa mensual equivalente o sea: jrem = (1 + 0,092727)1/3 – 1 = 0,03 mensual

Por lo que el importe a pagar mensualmente, que son los intereses sobre la deuda, es: V.j

=

25.000 x 0,03 =

750

c) De manera tal que el tomador del crédito debe disponer todos los meses de una suma (“b”) que es igual a lo que necesita para pagar los intereses sobre la deuda original (hay que recordar que si solamente se pagan los intereses la deuda permanece constante a través del tiempo) más lo que debe depositar para reconstruir la deuda a devolver al cabo de los 18 meses, ese importe es: b = Vj + r

=

750 + 1.167,55

=

1.917,55

Entonces ahora se tiene que por haber solicitado $ 25.000,- debe contar todos los meses y durante 18 meses de una suma igual a $ 1.917,55, con estos tres datos se obtiene la verdadera tasa de interés que se paga en el sistema americano: V= 25000 = b . an│i = 1.917,55 a18│i De donde:

i* =

0,03640407816 mensual

12

En primer lugar se determina la tasa de interés que cobra la entidad financiera que otorga el

222

préstamo bajo el sistema de cuotas constantes o sea por el sistema francés vencido:

13.859,04 = 3113,11 . a5│i , de donde

i= 0,04

Para que nos convenga tomar el préstamo bajo el sistema americano, la tasa conjunta debe ser igual o inferior a 0,04, de tal manera que se toma como referencia esta tasa que en definitiva debe ser el verdadero costo financiero por el sistema americano, es decir que el importe de $ 3.113,11 debe ser igual al valor “b” de este último sistema, por lo que: b = 3113,11 = Vj + r = 13.859,04 x 0,045

+

r

De aquí se despeja el valor de “r” o sea lo que se necesita para depositar formando una imposición y que de esa imposición a la tasa reconstructiva que se debe calcular resulte un valor igual a la deuda a devolver o sea $ 13.859,04, por lo que despejando de la igualad anterior se tiene: r =

3113,11 – 623,65 =

2.489,46

Luego con el dato de la cuota a depositar de $ 2.489,46, el número total de cuotas o sea 5 y el importe a formar de $ 13.859,04, se obtiene, utilizando la imposición vencida, el valor de la tasa reconstructiva: r = V sn│i-1 =>

2.489,46 = 13.859,04 s5│i-1

=>

i = 0,05374203434

Si la tasa reconstructiva es igual a este valor entonces la verdadera tasa de interés es igual al 0,04 mensual, por lo tanto, la tasa reconstructiva debe ser i > 0,0574203434 para que nos convenga tomar el préstamo bajo el sistema americano.

13

Se trata del método de intereses cargados, que se sabe modifica la tasa de interés que se menciona, siendo la verdadera superior a ella, en este sistema la cuota se calcula de la siguiente manera: V C = ▬▬▬ + V .i n

Entonces si la cuota es de $ 130,- la deuda de $ 1.000,- y el número de cuotas 10, se tiene que:

C = 130 = 1.000 / 10

+ 1.000 ic

Despejando se obtiene la tasa de interés cargado mensual o sea: ic =

130 - 100 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,03 mensual. 1000

Pero la verdadera tasa de interés pagada se obtiene a través de plantear la igualdad del sistema de amortización francés ya que el método de intereses cargados al arrojar como resultado el pago de una cuota constante en realidad estamos en presencia de un sistema de cuotas constantes llamado también francés, por lo que: V = C an│i*

=

1.000 = 130 a10│i*

=>

i* = 0,05078701561 mensual

14

También en este caso se aplica el método de intereses cargados, por lo que: a) La cuota se calcula así: C =

V / n + V.i = 4.000 / 8 + 4.000 x 0,025 = 600

223

Entonces, al ser la cuota constante, la verdadera tasa de interés se obtiene tomando como deuda U$S 4.000,-, n = 8 y C = 600 y aplicando la fórmula de las amortizaciones vencidas de cuotas constantes y con la calculadora financiera o con el excel: V =

4.000 = C . an│i*

= 600 a8│i*

=>

i* = 0,04239464316 mensual

b) La tasa efectiva anual equivalente es: j = (1 + 0,04239464316)12 – 1

= 0,645834078

anual

c) El cuadro de amortización del sistema francés es: Período

Saldo al inicio 4.000 3.569,58 3.120,91 2.653,22 2.165,70 1.657,52 1.127,78 575,60

1 2 3 4 5 6 7 8

Interés

Amortiz. real 430,42 448,67 467,69 487,52 508,19 529,73 552,19 575,60

169,58 151,33 132,31 112,48 91,81 70,27 47,81 24,40

Cuota 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00

Saldo final 3.569,58 3.120,91 2.653,22 2.165,70 1.657,52 1.127,78 575,60 0

15

Otra deformación de la verdadera tasa de interés que se cobra aplicando el método de intereses cargados, es el hecho de que además de aplicarse el mismo, en muchos casos se menciona una tasa nominal anual y la tasa mensual se calcula en forma proporcional y luego se aplica ésta en la fórmula de cálculo de la cuota, o sea que es el caso que se presenta en este ejercicio: a) Se calcula la tasa de interés mensual en forma proporcional: i mensual = 0,60 / 12

= 0,05 mensual.

b) Se calcula la cuota por el método de interés cargado o directo: C = 10.000 / 10 + 10.000 . 0,05 = 1.500,-

c) Por lo que la verdadera tasa de interés mensual cobrada es: 10.000 = 1.500 a10│i*

=>

i* =

0,08144165 mensual

que equivale a una anual efectiva del: j = ( 1 + 0,08144165)12 – 1 = 1,55880447 anual(155,88%)

Como puede apreciarse muy por sobre la del 0,60 anual (60%) publicitada.

16

Si la verdadera tasa efectiva que se quiere cobrar es del 0,06 mensual, entonces se debe calcular la cuota constante utilizando el sistema de amortización francés, ya que esa cuota asegura para el tomador de un préstamo el pago de esa tasa de interés, de tal manera que tomando un valor arbitrario de una deuda, por ejemplo $ 100,- se tiene:

C

= V . an│i-1

De modo tal que:

C = 100 . a10│0,06-1

=>

C = 13,58679582

224

Ahora este importe de la cuota es el que debe resultar de aplicar la fórmula del método de interés cargado, en donde se tendrá como incógnita la tasa, ya que los demás valores se conocen, o sea: 13,58679582

=

100 / 10

+ 100 . ic

=> ic

=

0,035867959 mensual

O sea que publicitando una tasa de interés cargado del 3,5867959% mensual en realidad se está cobrando una tasa de interés efectiva mensual del 6%.

17

Al tratarse del método de intereses descontados, se sabe que los intereses se calculan por todo el tiempo con una tasa proporcional y que los mismos son descontados del préstamo que se solicita y en consecuencia el tomador recibe menos dinero del que pide, para este caso: a) Como lo que se necesitan son $ 8.000,- entonces este debe ser el valor recibido, que es igual a: P = V – Vin

De ésta fórmula se conoce P = 8.000,-, n= 12 y la tasa de interés aplicada id = 0,02, por lo que: 8.000 = V – V . 0,02 . 12 = V ( 1 – 0,02.12)

De donde despejando el valor de V (lo que hay que pedir para recibir $ 8.000,-) se tiene: 8000 ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 10.526,32 1 – 0,02.12

V =

El cálculo de la cuota por este método es igual a: V C = ▬▬▬ N

por lo que:

C = 10.526,32 / 12 =

877,19

b) Ahora para calcular la verdadera tasa de interés que se paga en forma mensual, al ser una cuota constante de $ 877,19 , pagándose 12 cuotas y habiendo recibido $ 8.000,-, en realidad es un sistema de cuotas constantes vencidas y por lo tanto la verdadera tasa de interés será: P = C an│i*

=> 8.000 = 877,19 a12│i*

=>

i* = 0,0449722013 mensual.

18

Se aplica el método de intereses descontados, por lo tanto: a) La cuota se calcula dividiendo la deuda por el número de cuotas o sea: C = V/n

=> C = 10.000/10 = 1000

b) Lo que recibe el que pide el préstamo es:

P = V – Vin

=>

P = 10.000 – 10.000 . 0,025 . 10 = 7.500,-

Por lo que la verdadera tasa de interés mensual pagada es: P = C an│i*

=> 7.500 = 1000 a10│i*

=>

i* = 0,05604463645 mensual.

c) Y el rendimiento anual equivalente es: j = ( 1 + 0,05604463645)12 – 1 = 0,9239212962 anual.

225

19

Este ejercicio es similar al anterior, sólo que los datos que se conocen son otros, por lo que: a) En este caso se tiene el valor de la cuota y la cantidad de cuotas, por lo que el valor de V o sea lo que hay que solicitar es: V = Cn

=> V = 300.5 = 1.500,-

El valor a recibir debe ser igual al precio de contado o sea $ 1.350,-, por lo que la igualdad a plantear es: P = V – V.i.n

=> 1350 = 1500 – 1500.id.5

Siendo la incógnita la tasa de interés descontado que se despeja: 1500 - 1350 id = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 1500 . 5

0,02 mensual

b) Ahora la verdadera tasa de interés mensual se obtiene tomando como deuda $ 1.350,-, la cuota = 300 y el número de cuotas n = 5, por lo que con la fórmula del sistema francés se obtiene que: 1.350 = 300 a5│i*

=>

i* = 0,03618024838 mensual.

20

Si se desea cobrar una verdadera tasa de interés del 0,05 mensual, entonces la cuota a pagar debe determinarse a través del sistema francés vencido, siendo esa cuota la que surge de tomar como deuda $ 1.000,-, n = 10 y la tasa mencionada, por lo que: C =

P . an│i*-1

= 1.000 .a10│0,05-1

= 129,50

Entonces con esta cuota se calcula el valor de lo que hay que pedir, teniendo en cuenta que son 10 cuotas o sea V = C. n = 129,50 . 10 = 1.295,-, entonces con estos datos debe despejarse el valor de id, es decir:

P = V – Vin

=> 1000 = 1295 – 1295.i.10

De donde: 1295 - 1000 id = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 1295 . 10

=

0,02277992278 mensual.

Ejercicios prácticos integradores Capítulos III Y IV Ejercicio Nº 1: Una persona solicitó un préstamo de $ 10.000,- a devolver en 24 cuotas mensuales vencidas a una tasa del 0,12 mensual. Pagó normalmente hasta la cuota número 10 inclusive y luego dejó de pagar. Cuando se presentó a regularizar su situación al final del mes 24º, el banco le propuso refinanciar su deuda pagando 15 cuotas mensuales vencidas de $ 8.145,30 y le manifestó que con el pago de ellas cancelaba las cuotas atrasadas incluidos los intereses punitorios.

226

Por otra parte, otra entidad financiera le ofrece un préstamo para regularizar su situación a una tasa del 0,14 mensual, teniendo que devolver 10 cuotas mensuales vencidas de $ 9.356,52 Se pregunta: a)  ¿Cuál es el importe que solicitaría en la otra entidad financiera? b)  ¿Cuál es el importe que la entidad financiera en la que pidió el préstamo le cobra en concepto de intereses punitorios ? c)  ¿Cuál es la tasa de interés punitorio aplicada ? d)  ¿Cuál de las dos alternativas de financiación es más conveniente ? e)  Teniendo en cuenta la decisión adoptada en d), ¿Cuál es en definitiva la tasa de interés mensual que tiene que pagar por haber pedido un préstamo de $ 10.000,- y cancelarlo totalmente ?

Ejercicio Nº 2: Una persona desea contratar un plan para la compra de un automóvil; para que el valor de las cuotas le resulte inferior, decide hacer un ahorro anticipado con el fin de constituir un fondo previo a la suscripción del mismo; para ello deposita 8 cuotas mensuales anticipadas de $ 400,en una entidad financiera que le paga una tasa del 0,03 de interés mensual; al final del octavo mes retira el capital formado y lo mantiene en su poder durante cuatro meses; además durante esos 4 meses ahorra, al final de cada mes, personalmente $ 400,- por mes. Al cabo de los 12 meses el dinero disponible le representa el 43,863686% del valor del automóvil; el 56,136314% restante se lo financian a través del pago de cuotas constantes mensuales, abonándose la primera de ellas un mes después de suscribir el plan de financiación; para este caso la amortización contenida en la cuota número 10 es de $ 135,53, el saldo al final del período 10º antes de pagar la cuota es de $ 5.734,40 y el saldo al comienzo del período 10º, después de abonar la cuota correspondiente al período 9º es de $ 5.621,96. Este señor paga normalmente hasta la cuota número 10 y deja de pagar durante 10 meses; por esta razón le cobran intereses punitorios a una tasa equivalente al 60% de la tasa de interés original del préstamo y luego paga normalmente desde la cuota número 21 hasta el final. Determine: a)  El precio del automóvil si se hubiera pagado de contado. b)  El importe de la cuota constante del plan y el de la cuota fraccionaria en los momentos “n”, “n´” y “n´+1”. c)  El importe de lo adeudado suponiendo que se paga en el momento “n”. d)  La tasa de interés mensual que paga el comprador para el período de financiación.

Ejercicio Nº 3: Un señor adquirió un automóvil en $ 20.000,- a través de la siguiente operación: entregó $ 5.000,y el saldo en 24 cuotas mensuales vencidas de $ 1.195.19 cada una. Para realizar la entrega solicitó un préstamo en una entidad financiera a devolver en 24 cuotas mensuales vencidas de $ 435,95. Este señor paga normalmente hasta la cuota número 20 y luego comienza a atrasarse en los pagos, por lo que el comercio donde adquirió el automóvil le cobra intereses punitorios a una tasa del 0,05 mensual y la entidad financiera también le cobra intereses punitorios a una tasa

227

que es el 60% de la pactada. Al final del 24º mes se presenta a cancelar totalmente su deuda, tanto en el comercio como en la entidad financiera. Se pregunta: a)  ¿Cuál es el importe que deberá abonar en el comercio y cuál en la entidad financiera en el momento 24º? b)  ¿Cuál es la tasa de interés mensual original única que paga este señor ? c)  ¿Cuál es la tasa de interés mensual que pagó desde el comienzo del período 21º hasta el final del período 24º (debe incluir los intereses punitorios).

Ejercicio Nº 4: Una entidad financiera otorga préstamos bajo las condiciones del sistema francés, alemán y americano. En todos los casos cobra una tasa de interés del 0,06 mensual. Suponga un préstamo de $ 15.000,- a cancelar mediante el pago de 10 cuotas mensuales vencidas. Determine: a)  El importe de la 1º y 2º cuota a cobrar según cada uno de los sistemas, considerando para el sistema americano una tasa reconstructiva que genere una tasa efectiva, para el tomador, del 0,06 mensual. b)  El saldo adeudado en cada sistema, inmediatamente después de haber pagado normalmente hasta la cuota número 4 inclusive; en el caso del sistema americano no tenga en cuenta lo ahorrado para la reconstrucción del capital a devolver. c)  El saldo adeudado en cada sistema, al final del décimo período antes de pagar la cuota correspondiente al mismo. Ahora considere que el tomador del préstamo bajo el sistema americano para formar los $ 15.000,-, que debe devolver, deposita la cuota “r” correspondiente a una tasa de interés del 0,04 mensual e indique: d)  El importe de la cuota y costo efectivo para el tomador del préstamo por el sistema americano bajo esta nueva alternativa. e)  Cómo será dicho costo efectivo si en lugar de depositar la cuota “r” a una tasa de interés del 0,04 mensual se lo hiciera a una tasa de interés del 0,07 mensual.

Ejercicio Nº 5: Se adquiere un bien haciendo una entrega de $ 5.000,- y el saldo en 10 cuotas mensuales vencidas a través del sistema alemán. El deudor paga normalmente hasta la 7º cuota y se atrasa en el pago de las tres últimas. Se presenta a cancelar totalmente la deuda dos meses después del vencimiento de la última cuota pero no se encuentra ninguna documentación, por lo que el dueño del comercio le pide al deudor que traiga algún cupón. El deudor le trae el de la tercer cuota, el cual contiene los siguientes datos: Importe total $ 1.740,-, intereses contenidos $ 240,-. Se pide: a)  ¿Cuál es el valor del bien y cuál es la tasa de interés mensual de financiación ? b)  Si el comerciante aplica una tasa de interés punitorio del 0,03 mensual, ¿A cuánto asciende el total, incluidos éstos, que debe pagar el deudor cuando se presenta a cancelar totalmente la deuda?

228

c)  ¿Cuánto tendría que haber pagado este señor si hubiese querido cancelar totalmente la deuda al vencimiento de la 8º cuota? d)  Teniendo en cuenta lo que tendría que haber abonado al final del 8º mes y lo que debe pagar según b), ¿Cuál es la tasa de interés mensual global que tuvo que soportar por el período que va desde el vencimiento de la 8º cuota hasta el momento en que se presenta a pagar?

Ejercicio Nº 6: Una persona desea adquirir un equipo para oficina compuesto de mobiliario, computadora personal y central de comunicaciones y obtiene las siguientes ofertas: COMERCIOS: Precio de lista: Contado: Financiado: Entrega: Nº de cuotas mensuales vdas: Importe de la cuota:

A $ 9.500,10% dsto.

B $ 10.200,12,5% dsto.

C $ 9.800,$ 8.500,-

50% 4

40% 6

30% 3

$ 1.053,86

$ 854,18

Int.cargado i=3% mensual

Este señor posee el dinero para la entrega en cualquiera de las tres alternativas. Determine: a)  ¿Cuál es la verdadera tasa mensual y anual que paga la persona en cada una de las alternativas de financiación que posee? b)  ¿En que comercio conviene adquirir el bien?

Ejercicio Nº 7: Un mismo bien se ofrece en dos comercios distintos de la siguiente manera: COMERCIOS: Precio de lista: Precio de contado: Financiación: Entrega: Saldo nº cuotas mensuales vdas: Importe de la cuota: Tasa de interés mencionada:

A $ 1.180,$ 1.180,300,12 $ 93,3,86% mens.

Sistema de amortización mencionado:

No se menciona

$

B $ 1.200,10% dsto. $ 300,18 $ 70,93 No se menciona Interés cargado

Se dispone del dinero para la entrega y existe la posibilidad de obtener un préstamo por el sistema americano con una tasa remunerativa del 0,045 mensual y una tasa reconstructiva del 0,03 mensual y que debe ser devuelto al cabo de 15 meses. En base a lo expuesto Ud. debe determinar: a)  ¿En qué comercio conviene comprar el bien y de qué forma conviene comprarlo? b)  ¿Cómo calculó la cuota el comercio “A”?

229

c)  La tasa de interés cargado que usó el comercio “B”. Supuesto adicional: En el caso del préstamo bajo el sistema americano: d)¿Cuál hubiera sido el costo efectivo para el tomador del préstamo si la tasa remunerativa se hubiera fijado en el 0,03 mensual? e)¿Cuál sería el costo efectivo para el tomador del préstamo si la tasa remunerativa hubiera sido del 0,025 mensual?

Ejercicio Nº 8: Existen las siguientes alternativas para comprar un bien: COMERCIOS: Precio neto: Cuota mensual: Nº de cuotas: Sistema adoptado:

A $ 1.000,$ 187,64 6 Francés adelantado

B $ 950,$ 123,03 10 Cargado vencido

C $ 900,$ 139,25 8 Francés vencido

Para poder comprar el bien de contado existe la posibilidad de acceder a un préstamo bajo el método de intereses descontados, en forma vencida y a 8 meses de plazo. Se pregunta: a)  ¿Cuál es la verdadera tasa de interés mensual que cobra cada comercio? b)  ¿Qué tasa de interés cargado aplica el comercio “B” para el cálculo de la cuota? c)  ¿En cuál de los comercio conviene adquirir el bien en forma financiada? d)  ¿Qué importe debe solicitarse para obtener el préstamo y a que tasa de interés mensual descontado para que resulte más ventajoso comprar el bien de contado?

Ejercicio Nº 9: Un bien se ofrece en cuatro comercios bajo las siguientes condiciones: COMERCIOS: Sist.de amortiz.: Precio de contado: Gastos de compra: Nº cuotas mensuales: T.de interés mensual: Tasa reconstructiva

A

B

C

D

Francés

Int.cargado

Americano

Alemán

$ 1.000,-

$ 1.000,-

$ 1.000,-

$ 1.000,-

5% s/cuota

4% s/precio

8 vencidas

12

0,02

--10

--8

No se menciona No se menciona No se menciona 0,015 mensual

Determine:

230

a)  El importe de la cuota para el comercio “A” y el costo efectivo mensual que tendría que asumir quien compre el bien en dicho comercio. b)  El importe de la cuota que debe pagarse en cada uno de los restantes comercios para que el costo financiero efectivo mensual resulte equivalente al del comercio “A”. c)  La tasa de interés mensual cargado que debe aplicar el comercio “B” y la tasa remunerativa mensual que debe aplicar el comercio “C”. d)  La cantidad de dinero que debe solicitarse en una entidad que opera bajo el método de interés descontado y la tasa de interés mensual que debe aplicar para que el costo financiero resultante de la compra del bien al contado sea equivalente al costo financiero determinado en a). Considere que el préstamo se cancela mediante el pago de 8 cuotas.

Respuesta de ejercicios integradores Capítulos III Y IV Los ejercicios integradores son para que el lector los resuelva por su cuenta y solamente se coloca para su control los resultados de cada uno de ellos, con una explicación general previa de cómo encarar la resolución de los mismos.

Ejercicio Nº 1: El gráfico de tiempo para este caso es: 0 10 24 │---------------│--│--│--│-----------│--│--│ 39 10000 paga C C C........C C C------│------│--------│------│ │ 8145,30 8145,30 ........8145,30 │ 34 │------│--------│------│ 9356,52.........9356,52

Se calcula la cuota original del préstamo conocidos V, n e i, siendo ésta de $ 1.284,63. a) El importe que se solicita a la otra entidad financiera es en realidad la deuda al momento 24º en el banco donde originalmente pidió el préstamo, incluidos los intereses punitorios, dicho importe se obtiene conocidos C, n e i a través de una amortización vencida o sea que:

Deuda momento 24º = V = C.an│i

b) Para determinar el importe de los intereses punitorios, primero se calcula la deuda al momento 24º con los intereses compensatorios utilizando una imposición vencida de las 14 cuotas no pagadas a la tasa del 0,12 mensual o sea: Sn│i = C sn│i

El importe calculado se compara con el del apartado a) y si éste es mayor, la diferencia es el importe de los intereses punitorios. c) Conocido el importe de los intereses punitorios, para calcular la tasa se plantea la igualdad entre este importe con una imposición vencida de 14 cuotas menos el valor del capital de esas 14 cuotas y se llega a una igualdad en donde se tiene el capital formado, el número de cuotas y la cuota, luego mediante la utilización de la calculadora financiera se halla la tasa de interés punitorio mensual.

231

d) Para determinar cuál de las dos alternativas de financiación de la deuda al momento 24º es la más conveniente, se debe comparar la tasa del 0,14 mensual de la segunda entidad con la tasa de interés que surge de considerar el valor de la deuda al momento 24º hallada en el apartado a), el importe de la cuota de $ 8.145,30 y el número de cuotas o sea 15. e) Habiendo tomado la decisión en el punto anterior, en realidad los elementos a tener en cuenta son la deuda original en el momento 0 ($ 10.000,-), las 10 primeras cuotas pagadas, luego existe un período que no se paga nada y finalmente el pago de la cantidad de cuotas según lo decidido en d). Si bien para responder a esta pregunta se puede utilizar el método de la TIR que se explica en el capítulo V, al ser un ejercicio de los capítulos III y IV, una forma aproximada de calcular la tasa que rigió es tomar como f(0) = 10.000,- y luego capitalizar todas las cuotas al final del período de tiempo (coincidente con el vencimiento de la última cuota de la refinanciación más conveniente); para ello las 10 primeras cuotas pagadas se llevan con la tasa del 0,12 mensual y las últimas que corresponden a la refinanciación con la tasa que resultó más conveniente según el apartado d), formando así un monto f(t), luego se le resta a este monto f(o), lo que representa todo el interés pagado y se divide por f(0), obteniendo así la tasa de interés de todo el período, luego con la fórmula de equivalencia se obtiene la mensual (se reitera que es un valor aproximado de la tasa porque depende de las tasas que se utilizan para capitalizar las cuotas pagadas). Respuestas: a) Importe a solicitar = 48.804,69 b) Importe en concepto de intereses punitorios = 7.192,18 c) Tasa de interés punitorio aplicada = 0,05 mensual d) La alternativa más conveniente es: la de la otra entidad financiera ya que la tasa de interés mensual que se paga es del 0,14 mensual, siendo que la de la alternativa del propio banco es del 0,145 mensual. e) Tasa de interés mensual pagada en definitiva:

I)  Método de la T.I.R

= 0,126710124 mensual.



II)  Por otro procedimiento = 0,123432281 mensual.

Ejercicio Nº 2: El gráfico de tiempo para este caso es: 0 1 2.... 7

8 ....12 S9=5621,96 0 1........9/ 10 .........20 21 30 .. n´ n´+1 │--│--│---│--│---│--│---│--------│---│----------│--│--------│-----│---│---│ 400 400 ...400 ¿ │ paga /│ no paga │ C? C? n? 1600 S´10=5734,40 │ paga │ 43,86368% │ valor auto t10=135,53

a) Para determinar el precio del automóvil, en primer lugar se debe hallar el importe ahorrado hasta el final del 12º mes, teniendo en cuenta que deposita 8 cuotas mensuales adelantadas a una tasa i=0,03 mensual, manteniendo este importe en su poder (no gana intereses) desde el 8º mes hasta el 12º mes, a ello se le debe agregar el ahorro personal de $ 400,- por mes que hacen un total de $ 1.600,- (tampoco en este caso se ganan intereses porque no se invierte el dinero); la suma total ahorrada representa el 43,863686% del valor del auto, por lo que por regla de tres simple se conoce el precio de contado.

232

b) El saldo que se queda debiendo (el 53,136314%) se financia en cuotas, por lo que con los datos brindados, conocida la deuda (V), se debe calcular la cuota, la tasa de interés y el número de cuotas o sea el valor de “n”. Sabido es que para encontrar cualesquiera de esos tres componentes se requiere conocer los otros tres, aquí sólo se tiene la deuda, pero existen otros datos que permiten hallar las incógnitas; en efecto el saldo al final de un período cualquiera, antes de pagar la cuota, es igual al saldo al comienzo de ese mismo período capitalizado hasta ese momento, por lo cual con estos dos datos se puede obtener la tasa de interés mensual; conocida la tasa, se sabe que la cuota está compuesta por amortización más intereses, entonces si se conoce t10, el interés contenido es igual al saldo de la deuda al comienzo del período por la tasa de interés, con lo cual es posible hallar la cuota. Finalmente teniendo V, i y C, se puede hallar el valor de “n” (que en este caso resulta fraccionario). El hecho de que “n” sea fraccionario implica el cálculo de la cuota fraccionaria y en que momento la misma es pagada: para calcularla a pagar en el último período entero (Cn´) la misma es igual al saldo de la deuda después de haber pagado la cuota entera en el momento “n´”, una vez conocida ésta, la cuota a pagar en el momento “n” (Cn) se halla capitalizando Cn´ por la fracción de tiempo y finalmente la cuota a pagar en el momento “n´+1” (Cn´+1), se halla capitalizando Cn´por una unidad de tiempo, en este caso un mes. c) El importe de lo adeudado, suponiendo que se paga en el momento “n”, se obtiene haciendo una imposición de 10 cuotas no pagadas en término (se puede aplicar imposiciones vencidas o adelantadas) y ese importe capitalizarlo hasta el momento “n” (o sea por 19,57927265 meses); a ello hay que agregarle el pago de intereses punitorios a una tasa que es el 60% de la pactada (ip = 0,012 mensual) de las cuotas no pagadas en término para ello primero se hace imposición de las diez cuotas a dicha taza, luego se capitaliza hasta el momento “n” o sea 39,57927265, es decir por 19,57927265 meses y a este importe restarle el valor de las diez cuotas (ello para no pagar dos meses el valor de la cuota original). d) La tasa de interés mensual para el período de financiación (sin utilizar el método de la T.I.R. que es más exacto – ver capítulo V) se obtiene de la siguiente manera: se haya el valor final de las cuotas originales calucladas a la tasa del 0,02 mensual colocando como n=39,57927265 y a ello se le agrega el importe de los intereses punitorios pagados en el mismo momento y ese total se compara con el saldo financiado del vehículo y se obtiene la tasa de interés de todo el período, luego se halla la mensual con la fórmula de equivalencia.

Respuestas: a)

Valor del automóvil = $ 12.000,-

b)

C = 247,97 Cn´= 141,41

c)

Deuda en el momento “n” = 4.828,98

d)

imensual = 0,0203659

Cn = 143,04

Ejercicio Nº 3: El gráfico de tiempo para este caso es:

233

Cn´+1 = 144,24

0 1 2 ............................. 20 21 22 23 24 │-----│-----│--------------------------------│-----│-----│-----│-----│ 20000 (5000) 435,95 435,95 .................................................435,95 15000 1195,19 .......................................................1195,19

a) Para calcular el importe que debe abonar en el comercio, se debe tener en cuenta que debe las cuotas que vencieron en los meses 21º, 22º y 23º, a las cuales hay que capitalizar, con la tasa de interés que debe hallarse, y calcular también los intereses punitorios y a todo ello sumarle el importe de la cuota Nº 24. Para calcular el importe que debe abonar en la entidad financiera se procede de la misma manera, utilizando por supuesto las tasas que cobra la entidad financiera. b) La tasa de interés original única para el deudor surge de tomar las dos operaciones en conjunto, de modo tal que existe una única deuda, un importe mensual constante que se debe disponer y el total de cuotas es el mismo para ambas operaciones. c) Para encontrar la tasa de interés mensual que se paga desde el comienzo del mes 21º hasta el final del mes 24º, se debe obtener en primer lugar el saldo de la deuda después de pagar la cuota Nº 20 de ambas operaciones y su suma será el valor de f(0) y se deben sumar los importes obtenidos en a) que será el valor de f(t), luego teniendo f(t) y f(0) se puede obtener la tasa de interés de todo el período y por equivalencia la tasa de interés mensual que se paga.

Respuestas: a) Comercio = $ 5.600,42

Entidad Financiera = $ 1.969,74

b) imensual única = 0,06254 mensual. c) imensual período 21º al 24º = 0,07740043

Ejercicio Nº 4: Para resolver este ejercicio se debe tener en cuenta la diferente modalidad de cada sistema y que el sistema americano es uno de los que modifican la tasa de interés. a) La cuota 1º y por consiguiente la 2º, bajo el sistema francés, se determina en base a los otros tres datos especificados. En el caso del sistema alemán se debe tener en cuenta que las cuotas están formadas por la amortización real que es constante más los intereses sobre el saldo de la deuda después de ir pagando cada cuota por lo que C1 > C2. En el caso del sistema americano, para que el sistema arroje en conjunto una tasa efectiva del 0,06 mensual, la tasa reconstructiva debe ser igual a ésta, por lo que lo que debe disponer el deudor para la 1º y 2º cuota es igual a la cuota que corresponde al sistema francés. b) El saldo adeudado para el sistema francés es el valor actual de las cuotas que aún restan pagar. En el caso del sistema alemán, el saldo de la deuda se obtiene considerando la deuda inicial menos la cantidad de amortizaciones reales ya pagadas. Para el caso del sistema americano, el saldo se obtiene teniendo en cuenta que el deudor paga todos los meses los intereses sobre la deuda, no debiendo tomarse el ahorro acumulado para la reconstrucción del capital a devolver.

234

c) Para el caso del saldo de la deuda antes de pagar la cuota 10º, se deben tener en cuenta las mismas consideraciones que en el apartado b). d) En el sistema americano si la tasa reconstructiva es del 0,04 mensual se debe entonces determinar cuánto debe disponer el deudor todos los meses para pagar los intereses sobre la deuda más los que debe depositar para devolver el total del préstamo original al final del período 10º y luego con éste valor constante hallar la verdadera tasa de interés. e) La respuesta a esta pregunta se resuelve de la misma manera que en el caso anterior pero utilizando la tasa reconstructiva del 0,07 mensual.

Respuestas: a) Francés : C1 = 2.038,02

C2= 2.038,02

  Alemán : C1 = 2.400,-

C2= 2.310,-

  Americano: C1 = 2.038,02 b) Francés: S4= 10.021,61

C2= 2.038,02

Alemán : S4 = 9.000,- Americano: S4 = 15.000,-

c) Francés: S´10= 2.038,02 Alemán : S´10 = 1.590,- Americano: S´10 = 15.900,d) b =

2.149,36

i* = 0,071385418 mensual

e) i* = 0,05454 mensual

Ejercicio Nº 5: El gráfico de tiempo para este caso es: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 │----│----│----│----│----│----│----│----│----│----│---------│ V? C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 │ V.bien:? 1740 │ no paga │ │ / \ │ Deuda:? I=240 Deuda:?

a) Para determinar el valor del bien a los $ 5.000,- de entrega hay que sumarle el valor del saldo que fue financiado, éste último se halla teniendo como dato la cuota Nº 3 que al conocerse el interés contenido se puede deducir cuál es la amortización real contenida y al ser un sistema alemán se puede deducir el importe de la deuda (que es el saldo financiado) y el saldo de la deuda luego de pagar la 2º cuota y también es posible hallar la tasa de interés ya que el interés conocido se calcula sobre el saldo de la deuda al comienzo del período 3º. b) Para responder a esta pregunta se deben calcular las cuotas 8º, 9º y 10º, capitalizarlas hasta el momento 12º, agregando a este importe el cálculo de los intereses punitorios sobre las mismas cuotas. c) Para responder a esta pregunta se debe sumar a la cuota Nº 8, el saldo de la deuda después de pagar la misma. d) Para hallar esta tasa se toma como f(0) el valor hallado en el apartado c), que está ubicado en el momento 8º, y como f(t) lo que debe abonar según la respuesta del apartado b) y que está ubicado en el momento 12º.

235

Respuestas: a) Valor del bien = $ 20.000,-

imensual = 0,02

b) Deuda al momento 12º = 5.405,75 c) Deuda momento 8º antes de pagar la cuota = 4.590,d) imensual = 0,04174354

Ejercicio Nº 6: Lo primero que debe tenerse en cuenta es que el precio del bien, para hacer los cálculos desde el punto de vista del comprador, es el menor precio de contado de los tres comercios y que desde el punto de vista del comerciante, cuando se trata de una venta financiada, el precio que éste toma para sus cálculos es el de lista. a) Para responder a la pregunta debe obtenerse la tasa de interés verdadera que resulte menor comparando los tres comercios; en el comercio “A” se trata de un sistema francés, en el comercio “B” también se trata de un sistema francés y en el comercio “C” primero debe calcularse el importe de la cuota por el método de intereses cargados (recordar que el comerciante hace sus cálculos con el precio de lista) y luego con esta cuota calcular la verdadera tasa de interés. b) La respuesta para esta pregunta se deduce de los resultados dados en el apartado a).

Respuestas: a) Comercio “A” verdadera imensual = 0,0485

janual = 0,765319

  Comercio “B” verdadera imensual = 0,044

janual = 0,67650937

  Comercio “C” verdadera imensual = 0,16414

janual = 5,1953

b) En el comercio “B”, entregando $ 4.080,- y 6 cuotas de $ 854,18

Ejercicio Nº 7: Para resolver este ejercicio se debe tener en cuenta que existe una alternativa “C” que es comprar de contado pidiendo un préstamo por el sistema americano, sistema que arroja una verdadera tasa de interés distinta a la que se menciona; además de tomar como precio del bien el menor precio de contado para hacer los cálculos desde el punto de vista del comprador y para hacer sus cálculos el vendedor utiliza, en el caso de la financiación el precio de venta. a) Se debe obtener la verdadera tasa de interés que cobra el comercio “A” y el comercio “B”, tomando como saldo adeudado el menor precio de contado menos la entrega y se debe obtener la verdadera tasa de interés que se paga para pedir el dinero que falta para pagar de contado, alternativa “C”, bajo el sistema americano con una tasa remunerativa mayor que la reconstructiva. La decisión corresponderá a la alternativa que tiene menor tasa de interés mensual. b) Para verificar como calculó la cuota el comercio “A”, se conoce que la cuota es constante por lo que debería verificarse si con los datos del saldo adeudado, el número de cuotas y la tasa i= 0,0386 mensual, aplicando la fórmula de las amortizaciones vencidas se obtiene la cuota que se da a conocer; si ello no es así, siendo la cuota constante, se debe verificar si se trabajó con amortizaciones adelantadas y de no resultar, se debe verificar si se aplicó el método de intereses cargados.

236

c) Para encontrar la tasa de interés cargado del comercio “B”, se debe plantear la fórmula de cómo se calcula, en este método, la cuota que se conoce, tomar como referencia el precio de lista (se usa el precio de lista porque el cálculo lo hace el comerciante) menos la entrega como saldo financiado o sea el valor de “V” y el número de cuotas que es 18 y con éstos datos se despeja la tasa.

Respuestas: a)  En el comercio “B” y de contado, pidiendo el préstamo, pues la tasa que se paga es del 0,0537 mensual y es la más baja. b)  La cuota se calculó por el sistema de amortización francés. c)  icargado = 0,02325556

mensual.

Supuesto adicional: d)  La respuesta a ésta pregunta se logra teniendo en claro el concepto teórico del funcionamiento del sistema americano con relación a la comparación de la tasa remunerativa con la reconstructiva. e)  Al igual que lo ya realizado, para contestar se debe calcular lo que se debe disponer por mes para pagar los intereses sobre la deuda y para ir depositando una cierta cantidad que permite al final de los 15 meses formar el capital a devolver (o sea el valor pedido en préstamo) utilizando en este caso una tasa remunerativa del 0,025 mensual y la reconstructiva del 0,03 mensual.

Respuestas: d) Costo efectivo mensual: i* = 0,03 e) Costo efectivo mensual: i* = 0,02162

Ejercicio Nº 8: a) Para calcular la verdadera tasa de interés de cada comercio se debe tomar el menor precio de contado y en todos los casos, al ser la cuota constante, utilizar la calculadora financiera con el sistema francés, teniendo solamente en cuenta si es de cuotas vencidas o adelantadas. b) Para determinar la tasa de interés cargado que se aplica en el comercio “B”, se debe despejar su valor de la fórmula de cálculo de la cuota (que se conoce) por el método de intereses cargados o directos, tomando el precio neto de dicho comercio y el número de cuotas igual a 10 (diez). c) En función de las respuestas dadas en el apartado a) se responde a esta pregunta. d) Lo primero que hay que tener en cuenta, para que resulte más ventajoso obtener el préstamo por el método de intereses descontados, es que la cuota que se paga y el número de cuotas debe ser igual a la mejor alternativa de financiación; con éstos datos y siguiendo la metodología de cálculo de la cuota en el método de intereses descontado, se obtiene lo que debe pedirse; luego se debe igualar la fórmula del neto recibido, que se aplica en el mismo método, tomando como “V” el valor de lo que debe pedirse y la misma cantidad de cuotas y se despeja la tasa, siendo ésta tasa la que arroja un costo financiero equivalente, luego si es menor entonces convendrá pedir el préstamo y comprar de contado.

237

Respuestas: a)Comercio “A”: i* = 0,099419 mensual.   Comercio “B”: i* = 0,06129 mensual.   Comercio “C”: i* = 0,05 mensual. b) Tasa de interés cargado comercio “B”: ic = 0,03 mensual. c) Se adquiere el bien financiado en el comercio “C” d) Importe a solicitar = $ 1.114,  Tasa de interés descontado más ventajosa: id < 0,02401257 mensual en 8 cuotas.

Ejercicio Nº 9: a) Para determinar la cuota del comercio “A” se debe en primer lugar obtener la cuota por el sistema francés con la tasa del 0,02 mensual y luego a cada una de esas cuotas sumarle el 5% de su valor; de esta manera se tiene una cuota superior y entonces con ésta nueva cuota, el número de cuotas y el precio de contado se obtiene el costo efectivo mensual, es decir la verdadera tasa de interés mensual que se paga. b) Para el cálculo del importe de la cuota para el caso del comercio “B”, como el método de intereses cargados significa una cuota constante, se debe tomar el precio de contado, la verdadera tasa de interés que se paga en el comercio “A” y 12 como número de cuotas y de esa manera obtener la cuota. Para el comercio “C” ocurre exactamente lo mismo que en el caso anterior, ya que el sistema americano significa también una tasa constante, por lo que también se toma el precio de contado, la verdadera tasa de interés de “A” y 10 como número de cuotas. Para el comercio “D”, como se trabaja con el sistema alemán, las cuotas irán decreciendo, debiendo calcularse la primera tomando el precio de contado, los intereses contenidos se calculan con la verdadera tasa de interés de “A” y ellos se suman a la amortización constante y luego se calculan las demás. c) Para hallar la tasa de interés cargado del comercio “B” se debe despejar su valor de la fórmula que se aplica para calcular la cuota en el método de intereses cargados, siendo el importe de la cuota el calculado en el apartado b), el importe de la deuda será la suma del precio de contado más los gastos de compra y el nº de cuotas es 12 (doce). Con respecto a la tasa remunerativa del comercio “C” se debe calcular partiendo de la fórmula de lo que se necesita para pagar los intereses y depositar para formar el capital a devolver, éste importe se conoce porque es la cuota calculada en el apartado b), el valor de la deuda es el precio de contado y el cálculo de lo que se debe depositar se puede realizar porque el capital a devolver es el precio de contado; la tasa reconstructiva se conoce y el número de cuotas a depositar es 10 (diez); luego entonces al plantear la fórmula señalada quedará como incógnita la tasa remunerativa y ella se puede despejar. d) Para contestar lo solicitado en este apartado, como el costo efectivo debe ser igual al del comercio “A”, entonces la cuota debe ser la misma, ya que también el método de cálculo de intereses descontados significa una cuota constante, por lo tanto como ésta se calcula dividiendo lo pedido sobre la cantidad de cuotas que es 8, se puede deducir cuánto hay que pedir; calculado lo que se debe pedir, para determinar la tasa de interés descontado se debe igualar el neto a recibir, que es precio de contado, con la fórmula de cálculo de éste y por el método y de la misma se despeja la tasa.

238

Respuestas: a) Cuota = $ 143,34

i* = 0,03147 mensual.

b) Cuota comercio “B” = $ 101,35   Cuota comercio “C” = b = $ 118,11   C1 comercio “D” = $ 156,47   C2 comercio “D” = $ 152,54   C3 comercio “D” = $ 148,60   C4 comercio “D” = $ 144,67   C5 comercio “D” = $ 140.74   C6 comercio “D” = $ 136,80   C7 comercio “D” = $ 132,87   C8 comercio “D” = $ 128,93 c) icargado comercio “B” = 0,014118 mensual.   iremunerativa comercio “C” = 0,02468 mensual. d) Importe a solicitar = $ 1146,72   idescontado = 0,016 mensual.

239

EJERCICIOS PRÁCTICOS Unidad V

1

Sea un capital de $ 1.000 colocado al 0,90 anual a un año de plazo. ¿Cuál será la tasa real de la inversión si ese año la inflación fue del 75 %?

2

Un ahorrista tiene la posibilidad de depositar mensualmente la suma de $ 2.500 a partir de hoy durante doce cuotas. Una entidad le ofrece el 1,5 % mensual por su saldo y otra le pagaría el 8 % efectivo anual mas inflación anual, la que se estima será del 12 %. ¿Cuál alternativa le conviene más? ¿Qué pasaría si la inflación anual fuera del 7 % o del 18 %? (Hacer el análisis para dentro de un año).

3

Un señor solicita un préstamo de $ 100.000 a devolver en 10 cuotas mensuales adelantadas, siendo la tasa efectiva anual de interés del 1,012196472. Si obtuvo una utilidad financiera de $ 9.845,20, ¿cuál ha sido la tasa real de interés del período considerado y cuál la tasa de inflación?

4

Un señor pide el 1-2-08 un préstamo de $ 10.000 a devolver en 4 cuotas mensuales vencidas a una tasa del 0,72 nominal anual. Este señor no paga ninguna cuota del mismo y el 1/6/08 (fecha de vencimiento de la última cuota) se presenta a saldar la deuda, por lo que le cobran intereses punitorios a una tasa que es el 60 % de la pactada. El índice que refleja la inflación es: 12-07 = 20.210,42 01-08 = 21.340,80 02-08 = 23.261,47 05-08 = 30.240,28 06-08 = 32.582,20 Se pide:

a) ¿Cuál es el importe que debe abonar el deudor? b) ¿Cuál es la tasa real de interés del período considerado? (considere el pago de los intereses punitorios). c) Ha existido para el deudor costo o utilidad financiera y cuál es su importe.

5

Supongamos un préstamo de $ 12.000 a tres meses de plazo por el cual deben devolverse $ 15.000, y consideremos: a) Que durante dicho lapso f = 20 % b) Que durante dicho lapso f = 50 %

240

Determine para cada caso si existen tasas reales positivas o negativas y explique si la deuda ha sido amortizada aunque el deudor no hubiese pagado ni siquiera los intereses.

6

Realizar el cuadro de amortización indexado con los siguientes datos: n: 4; tasa real: 1,4 % mensual; V: $ 120.000 inflación computable: mes 1: 3,8 % mes 2: 5,2 % mes 3: 4,8 % mes 4: 7,1 %

Utilice el método francés y el alemán.

7

Una deuda se pacta a interés variable con los siguientes datos: V = 450.000 n = 5 i = 6 % mensual para el primer mes.

Al segundo mes la tasa sube al 8 % mensual y se mantiene 2 meses, bajando al 7 % durante los últimos 2 períodos. Realice el cuadro de amortización para los métodos francés y alemán.

8

Suponga un préstamo de $1.000 que se cancela por el sistema francés mediante el pago de 6 cuotas mensuales vencidas que se calculan a una tasa del 4% mensual. Suponga, además, que a partir del tercer mes la tasa varía al 5% mensual y que a partir del quinto mes la tasa se fija en el 7% mensual. Elabore el cuadro de amortización respectivo.

9

Un empréstito de $ 100.000.000 que se emite a una tasa de interés del 0,12 y a una tasa de amortización del 0,00130362, ambas semestrales, es dividido en 1.000.000 de títulos de V.N. $ 100 cada uno. El Estado lo saca a circulación y recauda por la colocación de todos ellos $ 95.000.000. Determine: a) La cuota de amortización del empréstito. b) El plazo de duración. c) La tasa efectiva de interés para el Estado. d) La tasa de rendimiento inmediato para el adquirente del título, teniendo en cuenta que el valor efectivo es de $ 95 c/u.

10

Usted obtiene un préstamo de U$S 10.000 a devolver en 12 cuotas de $ 1.065,52. Tiene las siguientes oportunidades de inversión:

Proyecto A: Erogaciones: momento 0: 8.000 y mes 1: 2.000 . Ingresos: 11 meses (a partir del mes 2) consecutivos de 600 más 8.500 en el último mes.

241

Proyecto B: Erogación: 10.000 en el momento 0. Ingresos: 600 al final de cada mes más un dividendo de liquidación de 8.000 al final del mes 12. Determine V.A.N y T.I.R. de cada proyecto (o déjelo expresado). ¿Qué decisión tomará?

11

Usted es buscado para analizar las siguientes inversiones: FLUJOS NETOS DE FONDOS (expresados en moneda corriente) Fecha: 8/95 10/95 12/95 2/96 Proy. A: -300.000 77.358 77.358 77.358 Proy. B: -300.000 50.000 50.000 50.000

4/96 77.358 180.000

Esta empresa dispone de $ 170.000 y puede obtener un préstamo de $ 130.000 a una tasa del 16 % anual. Información Cambiaria: cotización estimada $ 1 = U$S 1 Tasa de inflación bimestral = 0,003 Alternativas de Inversión: - Tasa real depósito con garantía: 0,006 mensual. - Inversión en Fondo Común: 2,5 % cuatrimestral. Obtenga tasa de costo del capital, VAN, TIR y período de recupero de cada proyecto.

12

¿Cuál será la cotización que deberá tener un título B (V.E.B) para que exista paridad corta siendo su VN = 1.600 y la tasa in = 0,12 respecto de un título A que cotiza a 1.000 y tiene una in = 0,16, si la tasa ir = 0,208?

13

El Estado emite un empréstito de $ 100.000.000 dividido en 100.000 títulos de $ 1.000 cada uno, siendo la tasa de interés del 0,20 semestral y la tasa de amortización semestral del 0,00525653. Si coloca los 100.000 títulos y recibe por cada uno de ellos $ 975: a) ¿Cuál es la tasa efectiva para el Estado? b) ¿Cuáles son las tasas que actúan desde el punto de vista del adquirente de los títulos (suponga que el rescate se produce a los dos años de la emisión)? Luego analice el comportamiento de dichas tasas.

14

Un título B de VN= $1.000 se cotiza a $928 con una tasa de emisión del 0,06 semestral y otro título A de VN= $900 se cotiza a $835 con tasa de emisión del 0,07 semestral. ¿En qué título invertiría en el corto plazo?

15

Un empresario obtiene un préstamo de $ 10.000 a devolver en 11 cuotas mensuales vencidas de $ 1.297,003 y tiene 2 alternativas de inversión: a) Realizar una que le produce ingresos de $ 3.000 mensuales vencidos durante los 6 primeros

242

meses y de $ 4.000 durante los 4 restantes, siendo los egresos de $ 1.000 mensuales vencidos durante 10 meses. b) Realizar otra que le produce flujos netos mensuales de $ 1.235,33 durante 10 meses en forma vencida. Se le pide como asesor: I) Cuál de los 2 proyectos aconsejará. II) El valor capital de ambos. III) La TIR del segundo proyecto.

16

Usted tiene hoy U$S 25.000 y puede colocarlos en un Banco de primera línea al 0,9 % mensual. Además tiene 2 proyectos que pueden producirle los siguientes flujos de fondos:

Proyecto A: Momento: Ingresos: Egresos:

0 0 25.000

1 1.000 1.000

2 2.000 400

3 3.000 500

4 3.000 500

... ... ...

9 3.000 500

10 11.000 1.000

Proyecto B: Inversión inicial: 25.000 Cobros a fin de cada mes: 2.800 Duración del plan: 10 meses

Determine VAN, TIR, período de recupero con valores actuales y decida que hará.

Resolución de ejercicios prácticos Capítulo V 1

Para este ejercicio se aplica directamente la fórmula de cálculo de la tasa real de interés o sea: i - f r = ▬▬▬▬▬▬▬ 1 + f

Debe tenerse en cuenta que la unidad de tiempo de las tasas deben ser las mismas, por lo que en este caso se toman las tasas anuales, de modo tal que

La tasa real anual de la inversión será del 0,085714285.

243

2

Para resolver este ejercicio debemos determinar para cada entidad la tasa efectiva anual que deparará la inversión; en el caso de la entidad “A” se obtiene a través de la fórmula de equivalencia o sea: janual = ( 1 + 0,015)12 – 1 = 0,195618171

Para el caso de la entidad B, se debe obtener la tasa de interés anual, teniendo como dato la tasa real (cuando se expresa 8% anual más inflación se deduce que ésta es la tasa real) y la tasa de inflación, o sea aplicando la siguiente fórmula para cada alternativa distinta con relación a la tasa de inflación anual: i = (1 + r).(1 + f) – 1

Haciendo un cuadro comparativo se tiene: Tasa de inflación 0,12 0,07 0,18

Entidad A ianual = 0,195618171 ianual = 0,195618171 ianual = 0,195618171

Entidad B ianual = 0,2096 ianual = 0,1556 ianual = 0,2744

Entonces, si la inflación es del 12 % anual conviene depositar en la Entidad B, si es del 7 % anual conviene la Entidad A y si es del 18 % anual resulta más conveniente la Entidad B.

3

La tasa real del período fue del – 0,098452, mientras que la tasa de inflación del período fue del 0,986414141.

4

El gráfico de tiempo que representa el problema es el siguiente: 1/02/08 1/06/08 │---------------│---------------│---------------│----------------│ 0 1 2 3 4 V=10000 C? C C C DEUDA:?

Como se menciona una tasa nominal anual para el mes, la tasa de interés mensual se halla en forma proporcional, y la de punitorios será el 60% del valor de ésta, o sea: imensual = 0,72 / 12 = 0,06

ip

mensual

= 0,06 x 0,60 = 0,036

La cuota que debía pagarse es: c = 10.000 x a4│0,06–

1

= 2.885,91

a) Deuda a valores corrientes: debe hacerse la imposición vencida de las cuatro cuotas no pagadas para el cálculo del capital más los intereses compensatorios y a ello agregarle el

244

importe de los intereses punitorios, de manera tal que: DEUDAval.ctes = 2.885,91 x s4│0,06 + 2.885,91 x s4│0,036 -4 x 2.885,91 = $ 13.263,20

b) Para contestar a la segunda pregunta se debe tener la tasa de inflación y la tasa de interés del período considerado, por lo que: Para calcular la tasa de inflación del período considerado (1/2/08 al 1/06/08) se deben tomar los números índices del mes de mayo y del mes de enero del 2008, de modo tal que:

fperíodo = 30.240,28 / 21.340,80 – 1 = 0,417017164

Por otra parte la tasa de interés que en definitiva se paga, incluidos los intereses punitorios, para ese mismo período es:

iperíodo = 13.263,20 / 10.000 – 1 = 0,326320

Por lo que la tasa real de interés del período considerado es, según su fórmula:

rperíodo = (0,326320 – 0,417017164) / 1,417017164 = - 0,064005691

c) Dado que r < 0, podemos decir que existió utilidad financiera para el deudor, una forma de determinar la misma es multiplicando la deuda original por la tasa real del período, en este caso: Utilidad financiera = 10.000 x (- 0,064005691) = $ 640,06

En realidad este producto es negativo, pero como estamos ubicados desde el punto de vista del tomador del crédito, ello resulta una utilidad. Los cálculos financieros que dan como resultado un valor negativo es porque se los toma desde el punto de vista del prestador, para el cual es una “pérdida financiera”.

5

En este caso se debe obtener la tasa de interés que se paga, que es:

a) f3

meses

= 0,20

i3

meses

= 0,25

Como i > f, r será positiva. En este caso, si el deudor no hubiese pagado ni siquiera los intereses, no existiría amortización en términos reales. b) f3

meses

= 0,50

i3

meses

= 0,25

Como i < f, r será negativa. En este caso, si el deudor no hubiese pagado ni siquiera los intereses, si existiría amortización en términos reales.

6

a) El cuadro de amortización original del sistema francés se hace calculando la cuota aplicando la tasa real de interés y luego cada uno de los valores así calculados, se van ajustando de acuerdo al índice y se obtienen cada uno de los valores que finalmente constituyen la marcha de la amortización. La cuota original es:

c = 120.000 x a4│0,014–

1

= 31.057,30

Cuadro de amortización indexado – Sistema francés

245

Deuda Deuda

Nº

orig. al

Per.

comienzo

Interés

Amortización real

Cuota

act. al

Deuda orig.

Deuda act.

al final

al final del

final antes de

Orig.

Act.

Orig.

Act.

Orig.

Act.

pagar la cuota

desp. de

per. Desp.

pagar la

de pagar la

cuota

cuota

1

120.000

124.560

1.680

1.743,84

29.377,30

30.493,64

31.057,30

32.237,48

90.622,70

94.066,36

2

90.622,70

98.957,81

1.268,72

1.385,41

29.788,58

32.528,41

31.057,30

33.913,83

60.834,12

66.429,40

3

60.834,12

69.618,01

851,68

974,65

30.205,62

34.567,04

31.057,30

35.541,69

30.628,50

35.050,98

4

30.628,50

37.539,59

428,80

525,56

30.628,50

37.539,59

31.057,30

38.065,15

----

----

b) Para el sistema alemán se aplica el mismo razonamiento, es decir que las cuotas originales se calculan aplicando la tasa real de interés, de manera tal que: C1 C2 C3 C4

= = = =

120000/4 120000/4 120000/4 120000/4

+ + + +

120000 . 0.014 = 31.680,(120000-30000) . 0,014 = 31.260,(12000-60000) . 0,014 = 30.840,(120000-90000) . 0,014 = 30.420,-

En el cuadro original se colocan estos valores de las cuotas y luego cada uno de los componentes del mismo se van ajustando de acuerdo a los coeficientes de ajustes dados, entonces el cuadro de amortización por éste sistema es: Deuda Deuda

Nº

orig. al

Per.

comienzo

Interés

Amortización real

Cuota

act. al final antes de

Orig.

Act.

Orig.

Act.

Orig.

Act.

pagar la cuota

Deuda orig.

Deuda act.

al final

al final del

desp. de

per. Desp.

pagar la

de pagar la

cuota

cuota

1

120.000

124.560

1.680

1.743,84

30.000

31.140

31.680

32.883,84

90.000

93.420

2

90.000

98.277,84

1.260

1.375,89

30.000

32.759,28

31.260

34.135,17

60.000

65.518,56

3

60.000

68.663,45

840

961,29

30.000

34.331,73

30.840

35.293,02

30.000

34.331,73

4

30.000

35.825,58

420

514,77

30.000

36.769,28

30.820

37.284,05

----

----

7

a) Cuando la tasa es variable en el caso del sistema francés, se calcula la cuota con la tasa de interés original y cuando se produce la variación de la tasa se calcula nuevamente la cuota, tomando como deuda el saldo de la deuda después de haber pagado la cuota calculada con la tasa anterior, de tal manera que para este caso tenemos: La cuota original es: c1 = 450.000 x a5│0,06–1

= 106.828,38

Como después el primer mes la tasa varía y se eleva al 0,08 mensual, las cuotas a partir de ese momento se calculan tomando como deuda el saldo de la misma, después de haber pagado la primer cuota y como número de cuotas las que faltan pagar y por supuesto con la nueva tasa de interés, o sea que:

c2 = c3 = 370.171,62 x a4│0,08–1 = 111.762,51

Se ha puesto en valor de la 2º y 3º porque a partir de ese momento cambia de nuevo la tasa y por lo tanto las cuotas restantes deben calcularse con la misma metodología (si la tasa no hubiese cambiado las cuatro cuotas restantes tendrían el valor especificado), por lo que:

c4 = c5 = 199.302,16 x a2│0,07–1 = 110.232,39

De modo tal que el cuadro de amortización final por el sistema francés, con la variación de tasas, es:

246

Cuadro de amortización – Sistema francés Nº Período 1

Saldo al comienzo del período

450.000

Interés

Amortización 79.828,38

106.828,38

370.171,62

23.041,83

88.720,68

111.762,51

199.302,16

370.171,62

29.613, 73

4

199.302,16

13.951,15

5

288.022,84 103.020,92

Saldo al final del período

27.000

2 3

Cuota

82.148,78 96.281,24

7.211,46

103.020,93

111.762,51 110.232,39 110.232,39

288.022,84 103.020,92

------

b) Para el caso del sistema alemán como la amortización real es constante, entonces el cambio de tasas se utiliza para calcular los intereses contenidos en cada cuota que se sacan sobre el saldo de la deuda y en este caso se aplica para cada período la tasa de interés vigente, así entonces para este caso tenemos: C1 = 450000/4 + 450000 * 0,06 = 117.000,-

A partir del segundo mes la tasa varía y se eleva al 0,08 por lo que:

C2 = 450000/4 + (450000-90000) . 0,08 = 118.800,C3 = 450000/4 + (450000-180000) . 0,08 = 111.600,-

Y a partir del cuarto mes la tasa cambia al 0,07, por lo que:

C4 = 450000/4 + (450000-270000) . 0,07 = 102.600,C5 = 450000/4 + (450000-360000) . 0,07 = 96.300,-

En definitiva el cuadro de amortización es:

Cuadro de amortización – Sistema alemán Nº Período 1 2 3 4 5

Saldo al comienzo del período

Interés

Amortización

Cuota

Saldo al final del período

450.000

27.000

90.000

117.000

360.000

270.000

21.600

90.000

111.600

180.000

360.000 180.000

90.000

28.800

90.000

12.600

90.000

6.300

90.000

118.800 102.600

96.300

270.000 90.000 ------

8

Este ejercicio se resuelve de la misma manera que lo explicado en el ejercicio Nº 7 en el apartado a):

c1 = c2 = 1.000 x a6│0,04–1 = 190,76 c3 = c4 = 692,45 x a4│0,05–1 = 195,28 c5 = c6 = 363,10 x a2│0,07–1 = 200,83 Nº Período 1

Saldo al comienzo del período

1.000

Interés

Amortización 150,76

190,76

849,24

34,62

160,66

195,28

531,79

849,24

33,97

4

531,79

26,59

5 6

692,45 363,10 187,69

Saldo al final del período

40

2 3

Cuota

25,42 13,14

247

156,79 168,69 175,42 187,69

190,76 195,28 200,83 200,83

692,45 363,10 187,69 ------

9

Este ejercicio es un sencillo ejemplo de aplicación del cálculo financiero en el caso de emisión de títulos por parte del Estado: a) Para calcular la cuota, conocida la tasa de interés y la tasa de amortización se debe recordar que la cuota que salda una deuda de $ 1,- es igual a la suma de la tasa de interés más la tasa de amortización, en este caso la deuda del Estado es de $ 100.000.000,- por lo que la cuota será:

C= 100.000.000 x (0,12 + 0,00130362) = $ 12.130.362

b) Ahora conocida la deuda total, la tasa de interés y la cuota, se puede calcular el valor de n o sea que se plantea la siguiente igualdad:

100.000.000 = 12.130.362 x an│0,12

Por lo que despejando su valor, el tiempo es n = 40 semestres c) La tasa de interés que efectivamente va a pagar el Estado, es mayor que la que se menciona porque cuando procede a la colocación de los títulos, se hace bajo la par y no se recaudan los $ 100.000.000,- sino que $ 95.000.000, por lo que la igualdad a plantear para hallar la tasa es: 95.000.000 = 12.130.362 x a40│i

De donde, mediante la utilización de la calculadora financiera, se determina que la tasa es i = 0,1266033225 semestral. d) La tasa de rendimiento inmediato para el adquirente del título, es la que se obtiene en función al interés que se cobra semestralmente por haber invertido en un título que pagó $ 95,-, teniendo en cuenta que los intereses se calculan sobre el VN del título o sea sobre los $ 100,-, por lo que:

iri = 100 x 0,12 / 95 = 0,126315789

10

Se trata de analizar la factibilidad de encarar un proyecto de inversión y elegir entre dos proyectos distintos y que para conseguir dichos fondos se solicita un préstamo en una entidad financiera. Sabiendo que V = 10.000, que n = 12 y que c = 1.065,52, podemos obtener la tasa de costo del capital utilizando la calculadora financiera. Y así, se obtiene que k = 0,04 mensual. Para analizar cada uno de ellos se debe calcular la tasa interna de retorno y el valor capital, que es lo que se solicita:

Proyecto A Se plantea esta igualdad porque la tasa interna de retorno es aquella que utilizada en el factor de actualización iguala el valor actual de los flujos con la inversión inicial, esta tasa se obtiene utilizando calculadoras financieras o una planilla de excel, en este caso la misma es:



r = T.I.R. = 0,044945121 mensual

ello porque los flujos son mensuales. En cuanto al VAN (Valor actual neto) o VC (valor capital), el mismo se obtiene restando de la suma del valor actual de los flujos actualizados con la tasa de costo de capital (k = 0,04) el valor

248

de la inversión inicial, por lo que para este caso se tiene:

Proyecto B

Por lo tanto el proyecto de inversión más conveniente es el Proyecto B, ya que tiene un T.I.R. superior y mayor que la tasa de costo de capital y además el VAN o VC también es mayor y positivo.

11

En este ejercicio se plantea la situación de que el importe a invertir en un proyecto de inversión se consigue a través de créditos pero también una parte de ese importe a invertir proviene de recursos propios de la empresa, por lo que en este caso para hallar la tasa de costo de capital se debe realizar un procedimiento especial basado en el promedio ponderado. * Determinación de la tasa de costo promedio ponderado de capital:

I) En primer lugar se determina la tasa de interés del préstamo a solicitar, debiendo en este caso encontrarse a tasa bimestral, ya que los flujos de fondos son bimestrales, por lo que: Si la tasa anual es: ianual= 0,16 La equivalente bimestral es:

ibimestral= (1 + 0,16)2/12 –1 = 0,025045157

II) Con respecto a los fondos propios de la empresa, lo que debe realizarse es determinar en cual de las alternativas se consigue la mayor tasa de rendimiento o mayor tasa de interés, que sería la que ganaría la empresa si en vez de invertir en su propia empresa lo hace en algunas de las opciones presentadas, de manera tal que luego cuando se obtenga la tasa interna de retorno del proyecto analizado ésta sea mayor que la tasa de costo de capital ya que de esa forma el rendimiento en la propia empresa es mayor a las otras alternativas, por lo que: •  Depósito con garantía: el ofrecimiento en este caso es de una tasa real mensual que luego es ajustada por la tasa de inflación por lo que:

rmensual= 0,006



rbimestral= (1 + 0,006)2 –1 = 0,012036



fbimestral= 0,003

249

Con estos valores se obtiene la tasa de interés bimestral, aplicando la fórmula que permite hallar la tasa de interés conocida la tasa real de interés y la tasa de inflación, o sea:

ibimestral= (1 + 0,012036) – (1 + 0,003) – 1 = 0,015072108

Inversión en Fondo Común icuatrimestral= 0,025 ibimestral= (1 + 0,025)2/4 –1 = 0,012422836

De esta manera la tasa más alta es la correspondiente al depósito en garantía, por lo que es la que se utilizará para obtener la tasa de costo promedio ponderado de capital, que es igual a: 130000 x 0,0250457157 + 170000 x 0,015072108 kbimestral= ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ = 0,019393762 300000

Ahora es posible determinar lo que se solicita: * Determinación de VAN, TIR y período de recupero de los Proyectos:

Proyecto A

r = T.I.R. = 0,012498382 bimestral

V.A.N. = $ - 5.007,87 300.000 = 77.358 x an│0,019393762 período de recupero = n = 4,070629733 bimestres

Proyecto B

r = T.I.R. = 0,031526048 bimestral

V.A.N. = $ 11.052,71

período de recupero = 3,933692211 bimestres

250

Aunque no se realiza la pregunta, es evidente que el proyecto “B” es conveniente respecto del proyecto “A” y además es viable para la empresa porque la TIR es mayor que la tasa de costo de capital y el VAN es positivo.

12

La paridad corta se da cuando se da la igualdad entre la tasa de rendimiento inmediato de cada título, es decir: VNA x in ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ VEA

VNB x in = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ VEB

Para este ejercicio se conoce la tasa de rendimiento inmediato del título “A” que es 0,208, por lo que el primer miembro asume ese valor y se conoce el VN del título “B” y la tasa nominal correspondiente a la emisión del título “B”, por lo que:

Despejando la incógnita, se tiene que:

V.E.B = $ 923,08

13

Se debe tener en cuenta que la colocación de estos títulos se hicieron bajo la par, de manera tal que: a) Para obtener la tasa efectiva para el Estado en primer lugar se debe obtener la cuota que significa el valor que el Estado tiene que disponer para ir amortizando los títulos, al conocerse la tasa nominal y la tasa de amortización, al igual que en el ejercicio Nº 9 la cuota se calcula así: C = 100.000.000 x (0,20 + 0,00525653) = 20.525.653

Con el dato de la cuota se calcula el plazo de amortización o sea el valor de n, que se obtiene a partir de la siguiente igualdad:

100.000.000 = 20.525.653 x an│0,20

Utilizando la calculadora financiera se obtiene que n = 20 semestres. Como el Estado por la colocación de todos los títulos recibió la suma de $ 97.500.000,-, es decir la adquisición de los mismos se hizo bajo la par, en definitiva la tasa efectiva para el estado surge de la siguiente igualdad:

97.500.000 = 20.525.653 x a20│ie

Utilizando nuevamente la calculadora financiera obtenemos una tasa efectiva para el Estado ie = 0,2055089924 semestral. b) Para el adquirente del título, como la adquisición se hizo bajo la par, las tasas que aparecen, además de la tasa nominal ya especificada, son: I) La tasa de rendimiento inmediato, que es igual a:

i ri = 1.000 x 0,20 / 975 = 0,205128205

II) La tasa efectiva al momento del vencimiento, la cual se obtiene en función de que se verifique

251

la siguiente igualdad:

975 = 1.000 x 0,20 x a20│iev +

1.000 / (1 + iev)20

En este caso para obtener esta tasa se utiliza el método de la tasa interna de retorno utilizando la calculadora financiera o una planilla de cálculo, teniéndose en cuenta que son 19 flujos iguales de $ 200,- que corresponden a los intereses cobrados en cada semestre y un flujo final, el número 20 de $ 200,- que es el interés más el recupero del capital o sea de los $ 1.000,-, en este caso la tasa es:

iev = 0,205257073

III) Con respecto a la tasa efectiva al momento del rescate, el cual suponemos que se produce a los dos años, o sea que transcurren 4 semestres, la misma también se obtiene por el método de la TIR y en este caso por ejemplo planteando la siguiente igualdad: 0 = - 975 + 200/(1 + ier) + 200 /(1 + ier)2 + 200 / (1 + ier)3 + 1.200 /(1 + ier)4

Por lo que, utilizando la calculadora o planilla de cálculo, la tasa es:

ier = 0,2098378248

Al comprarse los títulos se adquieren bajo la par, se puede apreciar que:

iri < iev < ier

14

Para decidir en que título se invierte en el corto plazo se deben determinar para cada uno de ellos la tasa de rendimiento inmediato, por lo que:

En el corto plazo, conviene invertir en el título A, ya que iri A > iri B

15

Sabiendo que V = 10.000, que n = 11 y que c = 1.297,003, podemos obtener la tasa de costo del capital utilizando la calculadora financiera. Y así, se obtiene que k = 0,06445897541 mensual.

Proyecto A: La T.I.R. se obtiene planteando la siguiente igualdad:

r = T.I.R. = 0,1796065309 mensual Y el Valor Capital o Valor Actual Neto es:

V.A.N. = $ 6.772,02

252

Proyecto B:

La T.I.R. en este caso, al ser todos los flujos iguales se puede calcular con la utilización de la calculadora para el sistema de amortización francés, por lo que la tasa es:

r = T.I.R. = 0,04039418816 mensual

Y el valor Capital o Valor actual neto es:

V.A.N. = $ - 1.096,89

De las respuestas detalladas surge claramente que el proyecto de inversión más conveniente es el Proyecto A.

16

En este caso como el capital a invertir es propio, la tasa de costo de capital es la que se especifica y que ganaría por la inversión en el Banco. De manera tal que:

Proyecto A La T.I.R. surge de la verificación de la siguiente igualdad:

Por lo que la T.I.R. es:

r = T.I.R. = 0,02169971573 mensual

Siendo el V.A.N o V.C igual a:

V.A.N. = $ 2.301,31

Proyecto B La T.I.R. surge de la verificación de la siguiente igualdad:

r = T.I.R. = 0,0211544093 mensual Siendo el V.A.N. igual a:

V.A.N. = $ 1.662,47

253

El proyecto de inversión más conveniente es el Proyecto A.

Ejercicios prácticos integradores Capítulos V Ejercicio Nº 1: Una persona solicita un préstamo de $1.000 a devolver mediante el pago de 4 cuotas mensuales vencidas con un interés del 0,03 mensual. Suponga que no se paga ninguna cuota, que los intereses punitorios se calculan a una tasa del 0,02 mensual y que la inflación es del 0,05 mensual. Determine: 1.  Saldo adeudado al final del período a valores constantes. 2.  Importe de la amortización en términos reales. 3.  El importe del costo o de la utilidad financiera para el tomador del préstamo.

Ejercicio Nº 2 Se solicita un préstamo de $10.000 el 1/1/08, a devolver con tres documentos de valor nominal $4.680,60 cada uno y con vencimientos el 1/4/08, 1/7/08 y 1/10/08. El día 1/10/08, no habiendo pagado nunca antes, se presenta el deudor en la entidad financiera y ofrece cancelar su deuda mediante la siguiente forma de pago: - pagar $4.680,60 en ese momento - y el saldo (que incluye intereses punitorios a una tasa del 0,03 mensual) mediante el pago de seis cuotas mensuales vencidas a la tasa pactada en el préstamo original, más una cuota extra con vencimiento al tercer mes de $4.235,83. Se pide: 1.  Considerar que la utilidad financiera para el deudor al 1/10/08, pero expresada en moneda de poder adquisitivo del 1/1/08, fue de $1.941,98 (se tienen en cuenta los intereses punitorios) y determinar: 1.1.  La tasa real de interés del período considerado (1/1 al 1/10) y la tasa equivalente mensual.

1.2.  La tasa de inflación mensual que actuó durante el período.

1.3.  El resultado financiero en moneda de poder adquisitivo correspondiente al final del período. 2.  Determinar el importe de la cuota en el caso de que se acepte la propuesta del deudor.

Ejercicio Nº 3: Con la finalidad de adquirir un cierto bien un señor solicita un préstamo a devolver en 10 cuotas

254

mensuales vencidas de $3.000 cada una. Dichas cuotas fueron calculadas con una tasa de interés descontado del 0,04 mensual. Este señor paga sólo $1.000 por mes, y cuando se presenta a saldar el total de la deuda al final del décimo mes, habiendo pagado los $ 1000,- correspondiente a la cuota número 10, la deuda –a valores constantes- es de $14.575,66. La capitalización de los importes no pagados se hicieron a la tasa del 0,04 mencionada. Para determinar la verdadera tasa de interés pagada utilice el procedimiento de la T.I.R.. Se pregunta: 1. ¿Cuál ha sido la tasa real de interés del período en el cual se saldó la deuda y la equivalente mensual? 2. Determine el importe del costo o utilidad financiera para este señor.

Ejercicio Nº 4: Se solicita un préstamo de $100.000 a devolver en 10 cuotas mensuales vencidas de $16.274,54 cada una. Se pagan normalmente las primeras tres cuotas y luego se pagan solamente $10.000 por cada una de las cuotas 4 a 7. Al final del octavo mes el deudor se presenta a cancelar totalmente la deuda. La inflación ocurrida durante los 8 meses de vigencia del préstamo fue del 120%. Indique: 1.  ¿Cuánto se deberá abonar al final del octavo mes, antes de pagar la cuota, para cancelar totalmente la deuda, teniendo en cuenta que se cobran intereses punitorios a una tasa del 0,05 mensual? 2.  ¿Cuál fue la tasa de interés real mensual y la anual equivalente? 3.  Si existió costo o utilidad financiera para el tomador y su importe.

Ejercicio Nº 5: Por un préstamo de $50.000 deben devolverse 30 cuotas mensuales vencidas de $4.029,32 cada una. El deudor no paga ninguna cuota y al final del mes 20 -en el momento antes de pagar la cuota- se presenta a cancelar totalmente su deuda. La misma, a valores constantes, asciende a la suma de $53.433,77. La inflación del período comprendido entre el momento de obtener el préstamo y la finalización del mes 20 es del 300 %. Se pide: 1.  El importe que debe pagarse al final del mes 20 -a valores corrientes- para cancelar totalmente la deuda. Discriminar el importe que corresponde a intereses punitorios del que corresponde a la deuda sin considerar los mismos. 2.  La tasa real de interés mensual que se paga; la tasa efectiva de interés mensual que paga el tomador del crédito -considere los intereses punitorios- y la tasa de inflación mensual. 3.  El importe de la utilidad o costo financiero para el tomador del crédito.

255

Ejercicio Nº 6: Tomando en cuenta los datos que aporta el ejercicio 1 de este capítulo: 1.  Determine el resultado financiero, a moneda de cierre, utilizando los dos métodos explicados en el capítulo V. 2.  Luego compárelo con el importe de utilidad financiera que obtuvo al resolver el mencionado ejercicio.

Ejercicio Nº 7: Una persona dispone de $53.000 y decide colocarlos a interés por un plazo de 30 días. No coloca todo el capital en la misma entidad financiera, sino que lo distribuye en tres entidades diferentes y bajo las siguientes condiciones: Entidad

Capital colocado

A B C

$10.000 $15.000 $28.000

Tasa de interés que se paga para 30 días 10% 12% 15%

Plazo de la operación 30 días 30 días 30 días

La tasa de inflación correspondiente al período de la operación es del 20%. •  Se le solicita a usted que calcule el importe del resultado financiero generado por esta operación de acuerdo a los dos métodos dados.

Nota: Tenga en cuenta que cuando se habla de “resultado generado por la operación” se está haciendo referencia al resultado que se origina en la colocación de los $53.000 en las condiciones mencionadas.

Ejercicio Nº 8: Una persona adquiere un producto en forma financiada (a 30 días) por $350. Si usted conoce las siguientes tasas para 30 días, a saber: *

i = 0,18

*

f = 0,1228

*

r = 0,050944

Determine: 1.  El precio de contado del bien. 2.  El importe del componente financiero. 3.  El importe del interés implícito. 4.  El importe del sobreprecio de inflación.

Ejercicio Nº 9: Una persona solicita un préstamo de $4.000 a devolver mediante el pago de 15 cuotas mensuales vencidas por el sistema francés indexado a una tasa real del 0,005 mensual.

256

El ingreso mensual del prestatario es de $700 y el coeficiente de ajuste aplicable al préstamo es del 0,13 mensual para los 15 meses. Se pide: 1.  Que aconseje si es conveniente tomar el préstamo en las condiciones expuestas. 2.  Que suponga que la tasa de crecimiento del ingreso del tomador es del 0,08 y la de sus restantes erogaciones es del 0,12 y que determine la magnitud que debiera asumir la tasa de ajuste de la cuota para que la situación del prestatario no varíe.

Ejercicio Nº 10: Usted debe evaluar dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, cuyos flujos de fondos anuales son los siguientes: Período Proyecto A Proyecto B

0 - 100.000 - 120.000

1 20.000 50.000

2 20.000 50.000

3 20.000 50.000

4 135.000 50.000

Si la tasa de costo de capital es del 0,10 anual, determine: 1.  El valor capital de cada alternativa. 2.  La TIR de ambos proyectos. 3.  El período de recupero para cada uno de ellos. 4.  Cuál de los dos es más conveniente.

Ejercicio Nº 11: Dado el siguiente proyecto de inversión:

- capital invertido: $1.000.000



- flujos netos mensuales: $400.000, durante 5 meses



- valor del dólar actual: $ 3,40



- es posible invertir alternativamente, cambiando en cada mes, en lo siguiente: Alternativa Dep. P. Fijo valor de 1U$S Títulos priv.

mes 1

8% $ 3,57 7%

mes 2

9% $ 3,93 8%

Determine: 1.

Valor capital.

2.

TIR.

3.

La conveniencia de realizar la inversión.

257

mes 3

7% $ 4,28 10%

mes 4

10% $4,75 9%

mes 5

8% $ 5,04 9%

Ejercicio Nº 12: Una inversión de $ 1.000.000 a 50 meses tiene una TIR del 0,04 mensual. Para poder llevarla a cabo se solicita un préstamo a devolver en 24 meses vencidos, siendo la cuota de $ 59.047,42. Con cada uno de los 24 primeros flujos netos se podrá cubrir solo el 70 % de la cuota a devolver. Al cabo de 24 meses y a los efectos de hacer frente a la deuda impaga, que contiene intereses punitorios, se debe pedir otro préstamo de $ 691.917,66, el que debe ser devuelto en 26 cuotas mensuales vencidas, a una tasa del 3 % mensual. La empresa piensa hacer frente al pago de esas cuotas con los 26 flujos netos posteriores. Al sobrante mensual lo coloca en una entidad que paga una tasa del 0,018 mensual y ello lo hace durante 22 meses, dejando el acumulado hasta el final del 50vo. mes. Con el sobrante de los últimos 4 meses compra Kg de azúcar, siendo el costo inicial (momento 47) de $ 0,80 el Kg, precio que se incrementa al 3 % mensual. Se pide: 1. La tasa de interés punitorio que le cobran. 2. El importe de los 26 últimos flujos netos. 3. La tasa de costo del capital mensual (obténgala utilizando el método de la TIR) y el valor capital. 4. La cantidad de Kg de azúcar que pueden tenerse al final del 50vo. mes, utilizando para ello todo el dinero sobrante.

Ejercicio Nº 13: Dos posibles proyectos de inversión pueden ser financiados con $ 100.000 de capital propio y con $ 70.000 que pueden obtenerse en un Banco y que pueden devolverse en 48 cuotas mensuales vencidas de $ 2.770,44. Los flujos de fondos son:

Proyecto I Egresos: $ 170.000 en el momento 0. Ingresos: $ 5.000 mensuales desde el período 1 al 24 y $ 12.711,29 mensuales desde el período 25 al 60.

Proyecto II: Egresos: $ 170.000 en el momento 0. Ingresos: $ 7.981,42 mensuales desde el período 1 al 50. La empresa puede colocar sus fondos a 5 años en Cédulas Hipotecarias con un rendimiento anual del 0,511068657, o en Bonos a 5 años al 0,215071765 semestral. Determine: 1.  Tasa de costo del capital. 2.  Valor Capital, TIR y Período de Recupero a valores actuales de cada proyecto.

258

Ejercicio Nº 14: ¿Cuál será el valor efectivo de un empréstito de VN $ 1.000 que fue emitido al 11 % de interés nominal anual durante 10 años, si el adquirente desea comprarlo al final del 5º año de vigencia del título y obtener una rentabilidad anual del 14 % durante el tiempo que resta hasta que se produzca el rescate? Tenga en cuenta que el emisor rescata el título a los 8 años de la emisión por un valor del 95 % del valor nominal y que hace efectivo el valor de los cupones cada 6 meses.

Respuesta de ejercicios integradores Capítulos V Ejercicio Nº 1: El gráfico de tiempo que representa al problema planteado es el siguiente: 0 1 2 3 4 │---------------│---------------│--------------│---------------│ V=1000 C C C C DEUDAvcon=?

1. Para establecer el saldo adeudado a valores constantes al final del período o sea al final del 4º período, se debe en primer lugar calcular la deuda a valores corrientes con los intereses compensatorios más los intereses punitorios sobre las cuotas no pagadas en término, por lo que para éste caso hace falta el valor de la cuota; una vez obtenida esta deuda, se debe deflactar utilizando la tasa de inflación para todo el período. 2. Con respecto a la amortización en términos reales, se halla en este caso particular comparando la deuda inicial (que está a valores de origen) con la deuda a valores constantes (que también está a valores de origen pues se halló deflactando la deuda a valores corrientes o dicho de otra forma a valores del final del período 4º), si la diferencia es positiva, ello que ha existido amortización en términos reales. 3. Para hallar el costo o la utilidad financiera para el tomador del préstamo, una de las formas es hallar la tasa real de interés de todo el período, si ésta es negativa entonces habrá “utilidad financiera” para el tomador, en cambio si es positiva existirá “costo financiero” para el tomador. Respuestas: 1.  Saldo al final del período a valores constantes = $ 952,88. 2.  Amortización en términos reales = $ 47,12. 3.  Utilidad financiera = $ 47,12.

Ejercicio Nº 2: El gráfico de tiempo que representa al problema planteado es el siguiente: 1/1/08 1/4/08 1/7/08 1/10/08 │---------│----------│----------│----│----│----│----│----│----│ 1 2 3 4 5 6 V=10000 4680,60 4680,60 4680,60 DEUDA=? C C C C C C + 4235,83

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1.1. Para determinar la tasa real de interés del período que va desde el 01/01/08 al 01/10/08, al tenerse el importe de la utilidad financiera, es posible obtenerla pues se conoce que ésta se halla a través del producto de la deuda original por la tasa real de todo el período. Conocida la de todo el período se aplica la fórmula que nos permite hallar la mensual equivalente. 1.2. Para determinar la tasa de inflación mensual para el mismo período anterior, es necesario conocer la tasa de interés mensual que se pago, incluyendo los intereses punitorios, para todo el período, por lo que debe determinarse el valor de la deuda al momento 1/10/08 (incluyendo el pago de intereses punitorios al 0,03 mensual) y comparando este valor con el valor de la deuda original se obtiene la tasa de interés de todo el período, luego se halla la mensual equivalente; como se conoce la tasa real mensual, es posible hallar entonces la tasa de inflación. 1.3. El resultado financiero en moneda de poder adquisitivo correspondiente al final del período (1/10/08) se obtiene llevando la deuda original al momento referido utilizando la tasa de inflación y ella se la compara con la deuda a valores corrientes de ese mismo momento. 1.4. Determinada la tasa de interés originalmente pactada, para determinar el importe de las cuotas que se ofrecen pagar, teniendo el valor de la deuda a valores corrientes en el momento 1/10/08, a ella se le descuenta el pago que se realiza en ese momento ($ 4.680,60) y a este monto se le resta el valor actual del pago extra que se realizará junto con el vencimiento de la tercer cuota, valor actual que es calculado con la tasa de interés original; de esta manera se obtiene el saldo a pagar en 6 cuotas y por lo tanto conocidos los tres otros datos necesarios se puede calcular la cuota.

Respuestas: 1.1. rperíodo = - 0,194198 y rmensual = - 0,02370531. 1.2. fperíodo = 1,263222231. 1.3. Utilidad financiera = $ 4.395,13. 2. Cuota mensual = $ 2.033,63.

Ejercicio Nº 3: El gráfico de tiempo que representa al problema planteado es el siguiente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 │-----│-----│-----│-----│-----│-----│-----│-----│-----│-----│ V*=? 3000 3000 3000 ...............................3000 3000 (1000)(1000)(1000)..............................(1000)(1000) Vvconst=14575,66

1. Para obtener la tasa real mensual y del período, se deben hallar la verdadera tasa de interés pagada y la tasa de inflación; en el caso de la tasa de interés se necesita conocer el importe de la deuda a valores corrientes al final del vencimiento de la 10º cuota, por lo que los $ 2.000,- que no se fueron pagando se deben capitalizar y se hace a la tasa del 0,04 mensual y luego a través de la aplicación del método de la T.I.R. encontrar la tasa, debiendo tenerse en cuenta que lo recibido por el señor se calcula de acuerdo al método de intereses descontados; en lo que hace a la tasa de inflación, teniendo el importe de la deuda a valores corrientes al final de la 10º cuota y teniendo la misma deuda a valores constantes, es posible hallar la tasa de inflación del período y en forma equivalente la mensual, con ambas conocidas y para una misma unidad de tiempo se obtiene la real correspondiente a esa misma unidad de tiempo.

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2. Conocida la tasa real de todo el período es sencillo hallar el costo o utilidad financiera para el tomador (ello según el signo), pues se multiplica el importe de la deuda (en este caso el neto recibido) por la tasa real de todo el período. Respuestas: 1.  rperíodo = 0,29539472 y rmensual = 0,02621932. 2.  Ha existido costo financiero, ya que i > f, y su importe es igual a: $ 5.317,10

Ejercicio Nº 4: El gráfico de tiempo que representa al problema planteado es el siguiente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 │----│------│-------│-------│-------│-------│-------│-------│-------│-------│ V=100000 16274,54.....16274,54 16274,54..............16274,54 16274,54...16274,54 (16274,54)...(16274,54) (10000)...............(10000) │ DEUDA=?

1. Para determinar el importe a abonar al final del vencimiento de la 8º cuota, antes de pagar la misma, se deben capitalizar hasta el momento 8º, los importes no abonados de las cuotas 4º a 7º, a ello agregar el importe de los intereses punitorios, la cuota 8º y el valor actual de las cuotas que aún restan pagar, previo a ello se debe determinar la tasa de interés cobrada. 2. Para encontrar la tasa real de interés mensual, al poder determinar la tasa de inflación mensual, falta determinar la verdadera tasa de interés mensual pagada por el tomador, esta se puede calcular con el método de la T.I.R., de esa forma luego se halla la tasa real, que luego con la fórmula de equivalencia puede transformarse en anual. 3. Para determinar el costo o utilidad financiera se debe obtener la tasa real para los 10 meses y multiplicarla por la deuda original, según el signo será la respuesta. Respuestas: 1.

Deberá abonar $ 79.849,85.

2.

a)  Con procedimiento de la T.I.R.:



rmensual = - 0,00016685 y ranual = - 0,00200036.



b)  Con procedimiento de llevar valores al momento 8º:



rmensual = - 0,00133751 y ranual = - 0,01593258.

3.

a)  Con procedimiento de la T.I.R.:



Ha existido utilidad financiera de $ 133,40.



b)  Con procedimiento de llevar valores al momento 8º:



Ha existido utilidad financiera de $ 1065,01.

Ejercicio Nº 5: El gráfico de tiempo que representa al problema planteado es el siguiente:

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0 1..............................20 ...................30 │---│-------------------------------│---------------------│ V=50000 4029,32........................4029,32...............4029,32. DEUDAvcons= 53433,77 DEUDAvctes= ?

1. Para determinar el importe a abonar para cancelar totalmente la deuda antes de pagar la cuotas número 20, al tener la deuda a valores constantes y conocerse la tasa de inflación del período es posible hallar su valor, una vez determinado éste, que contiene intereses compensatorios más intereses punitorios, para hallar el importe de los intereses punitorios se halla el valor de la deuda más los intereses compensatorios y como no se pagó ninguna cuota es posible utilizar la fórmula del monto. Como se necesita la tasa de interés original se debe calcular previamente la misma. 2. La verdadera tasa de interés mensual que se paga se calcula comparando todo lo que tiene que pagarse en el momento 20º con el préstamo inicial, se obtienen así la tasa verdadera de 20 meses, luego por equivalencia se obtiene la mensual, en cuanto a la tasa de inflación mensual como se da como dato la tasa de inflación de los 20 meses, por equivalencia se halla la mensual, finalmente conocidas las dos anteriores es posible hallar la real mensual. 3. Para determinar el costo o la utilidad financiera se debe obtener la tasa real de los 20 meses y multiplicarla por el préstamo original, según su signo será la respuesta desde el punto de vista del tomador del crédito. Respuestas: 1.  Para cancelar la deuda se deben pagar $ 213.735,08, de los cuales $ 20.250,86 corresponden a intereses punitorios y $ 193.484,22 corresponden a la deuda sin considerar los mismos. 2.  rmensual = 0,003326518, imensual = 0,075338735 y fmensual = 0,071773462. 3.  Costo financiero = $ 3.433,77.

Ejercicio Nº 6: 1. Para determinar la utilidad financiera para el tomador, sería costo financiero para el prestador: a)Utilizando el primer procedimiento dado se debe determinar la deuda a valores corrientes en el momento 4º, incluidos los intereses punitorios, luego como se tiene la deuda a valores constantes es posible hallar la tasa de inflación de los 4 meses, por lo que se procede a llevar al momento 4º el valor del préstamo original o sea se hace el ajuste por inflación con esa tasa de inflación, finalmente se comparan las dos cantidades y se tiene la utilidad financiera a moneda de cierre o sea al momento 4º. b) El segundo procedimiento es hallar la tasa real de interés de todo el período (4 meses), esto ya fue realizado en el ejercicio Nº 1, con ella se obtiene la utilidad financiera a moneda de origen y entonces ésta se ajusta por inflación a moneda de cierre con la tasa de inflación de todo el período; el resultado es igual. 2. De la comparación de ambas cifras se deduce que corresponde a la utilidad financiera a moneda de origen en un caso y en el otro a la utilidad financiera a moneda de cierre, por supuesto que para el tomador del crédito.

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Respuestas: 1.  Para ambos procedimientos, a moneda de cierre, la utilidad financiera = $ 57,27. 2.  Utilidad financiera moneda de origen-valores constantes–= $ 47,11.

Ejercicio Nº 7: Este ejercicio se resuelve siguiendo los mismos procedimientos del ejercicio anterior, por uno de los métodos se calcula el monto obtenido de las inversiones iniciales y ese valor se compara con el valor de la inversión inicial ajustada por inflación a los 30 días con la tasa de inflación, resultando en este caso más alta esta última por lo que existe para el prestador un resultado financiero, por exposición a la inflación, negativo. De la misma manera si se obtiene la tasa real del período, ésta resulta negativa y por lo tanto el prestado tiene una pérdida financiera dada por la inflación, en este caso primero se valora a moneda constante y luego se lleva el valor a moneda de cierre con la tasa de inflación habida en el período. Ambos resultados son iguales: Respuesta: El resultado financiero, para el inversor, es una pérdida de $ 3.600,- a moneda de cierre.

Ejercicio Nº 8: 1.  El precio de contado del bien, es el valor actual de lo que debe pagarse a los 30 días aplicando la tasa de interés establecida. 2.  La diferencia entre el valor a pagar a los 30 días y el precio de contado es por supuesto el interés que se está pagando y por lo tanto ello es el componente financiero. 3.  El interés implícito es el interés que se obtiene teniendo en cuenta el proceso inflacionario que modifica hacia arriba los valores, es decir que el interés implícito es la diferencia del importe abonado a los 30 días menos el valor ajustado por inflación del bien, por supuesto que aplicando la tasa de inflación ocurrida en el período, en este caso en los 30 días. 4.  Finalmente, el sobreprecio de inflación es la diferencia entre el valor ajustado por la inflación del bien menos el valor del bien en el momento cero o sea el precio de contado al momento de concertarse la operación que fue 30 días antes. Respuestas: 1.  Precio de contado = $ 296,61. 2.  Componente financiero = $ 53,39. 3.  Interés implícito = $ 16,97. 4.  Sobreprecio de inflación = $ 36,42.

Ejercicio Nº 9: 1. Para responder esta pregunta, se debe tener en cuenta que corresponde a un sistema francés indexado, y por lo tanto que ocurriría si el préstamo se diera por el sistema francés fijando previamente una tasa de interés que contenga a la tasa real y la tasa de inflación que en este caso se conoce. Por lo tanto conocida la tasa real y la tasa de inflación se puede calcular la tasa de interés, luego con esta tasa de interés se calcula la cuota constante a pagar durante 15

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meses; el valor de esta cuota debe analizarse en relación al ingreso del tomador, dicho valor es de $ 618,97 y por lo tanto si gana $ 700,- la decisión de tomar o no el préstamo es evidente. 2. Por lo general quién toma un crédito indexado, como la primer cuota es accesible ya que se calcula con la tasa real, en este caso es de $ 277,46, presupone que sus ingresos crecerán de modo tal que en el futuro podrá hacer frente a la cuota indexada (o sea ajustada), pero se sabe que no solamente hay que analizar como se comportará su ingreso sino que también por ejemplo las restantes erogaciones, aparte del pago de la cuota, para los gastos de subsistencia; en este caso se da como ejemplo que su ingreso crecerá al 8% mensual y que sus restantes erogaciones al 12% mensual, por lo que aplicando la primer fórmula dada en la página 115, previa determinación de α (coeficiente en tanto por uno que representa la parte de cada peso de ingreso que es destinado a la cuota) y de β (coeficiente en tanto por uno que representa la parte de cada peso de ingreso que es destinado a las restantes erogaciones), se obtiene la máxima tasa de crecimiento o de ajuste mensual de la cuota que permitiría que su situación se mantuviera igual que en el momento de pedir el préstamo. Respuestas: 1.

No es conveniente tomar el préstamo en las condiciones expuestas.

2.

La tasa de ajuste mensual de la cuota debiera ser como máximo del 1,90845455 %.

Ejercicio Nº 10: 1. El Valor Capital de cada proyecto es el aporte que la inversión hace al capital de la empresa, por lo que se obtiene restando la suma del valor actual de cada uno de los flujos netos de caja menos la inversión inicial, aplicando la tasa de costo de capital en el factor de actualización. 2. La T.I.R. es la tasa que aplicada en el factor de actualización iguala a la inversión inicial con la suma del valor actual de los flujos, la misma se halla a través de calculadoras financiera o planillas de cálculo en computadores y para este caso en particular, en lo que hace al proyecto “B”, como los flujos son todos iguales se puede aplicar el sistema de amortización francés vencido para obtener la T.I.R.. 3. Para calcular el período de recupero se puede aplicar la fórmula detallada en la página 123, pero también dicho cálculo se puede hacer directamente con las calculadoras financieras, para el caso del proyecto “B” se puede utilizar, como en el caso anterior, el sistema de amortización francés vencido para determinar el valor de “n”. 4. Como se aprecia en los resultados, el proyecto “A” tiene mayor valor capital siendo que la inversión inicial es menor, pero la TIR del proyecto “A” es menor que la TIR del proyecto “B” y también el período de recupero del proyecto “A” es mayor que el del proyecto “B”, por lo que la decisión aparece como complicada; cuando se dan estas circunstancias es importante obtener la tasa de intersección de Fisher, luego de obtenida la misma que es igual a 0,1518574 se puede arribar a una decisión ya que la tasa de costo de capital se ubica a la izquierda de la tasa de intersección de Fisher y por consiguiente se deduce cuál es el proyecto más conveniente (hacer el gráfico). Respuestas: 1.  Valor Capital del Proyecto A = $ 41.943,86 Valor Capital del Proyecto B = $ 38.493,27 2.  TIR del Proyecto A = 0,2268869621 anual

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TIR del Proyecto B = 0,2409885562 anual 3.  Período de Recupero del Proyecto A = 3,54511098 años Período de Recupero del Proyecto B = 2,879407491 años 4.  Habiendo analizado la tasa de Fisher, se determina que el Proyecto A es el más conveniente.

Ejercicio Nº 11: 1. Para determinar el valor capital, en primer lugar debe obtenerse la tasa de costo de capital, como en este caso el capital es propio, se debe determinar para cada mes cual es la tasa de interés mayor, ello en el caso de que el capital propio se invierta en las alternativas que el mercado financiero ofrece, así entonces se deben comparar los rendimientos mes por mes; por ejemplo el primer mes la oferta más conveniente para invertir es a plazo fijo al 0,08, pues el rendimiento del dólar es del 0,05 y en títulos públicos del 0,07, para los meses siguientes las alternativas más convenientes son: 2º mes valor U$S (10%), 3º mes títulos (10%), 4º mes plazo U$S (11%) y 5º títulos (9%). El valor capital se obtiene utilizando las tasas mencionadas, teniendo en cuenta que para actualizar por ejemplo el segundo flujo se divide el mismo por: (1+0,08). (1+0,10) y así sucesivamente. Otra manera de trabajar es obtener una tasa de costo de capital promedio mensual con la influencia de las 5 mejores tasas mensuales, en este caso esa tasa de costo de capital mensual es de 0,09595247 y la misma se utiliza en el factor de actualización, en ese caso el valor capital cambia, siendo más exacto el procedimiento anterior. 2. La TIR en este caso se puede obtener con la calculadora utilizando el sistema de amortización francés vencido, ello porque los flujos son todos iguales. Respuestas: 1.  Valor Capital del Proyecto = $ 541.908,63.    Valor Capital con tasa promedio = $ 532.125,52 2.  TIR del Proyecto = 0,2865 mensual. 3.  Se aconseja realizar la inversión, dado que VC > 0 y TIR > k.

Ejercicio Nº 12: 1. El gráfico de tiempo que representa el préstamo es: 0 1 2 ..................23 24 25 49 50 │--------│--------│--------------------│-----│-----│---------------------│-----│ 1000000 59047,42........................59047,42 C? ................... C.....C Paga (70%) ...........................(70%) DEUDA=691917,96

En base a estos datos se debe obtener la tasa de costo de capital que es la verdadera tasa de interés que se paga por el préstamo, como durante los primeros 24 meses sólo paga el 70% del valor de la cuota, la diferencia mensual no pagada debe llevarse al momento 24º con una imposición a la tasa original del préstamo y de esa manera se tiene la deuda de capital más intereses compensatorios; si se conoce el total de la deuda al momento 24º, la diferencia con el valor calculado es el importe de los intereses punitorios y teniendo éstos es posible hallar la tasa de punitorios.

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Luego se calcula el importe de las 26 cuotas mensuales para devolver los $ 691.917,96 a una tasa del 0,03 mensual. Así se está en condiciones de obtener la tasa de costo de capital mensual, pues se deben considerar el préstamo inicial de $ 1.000.000,-, los primeros 24 pagos realizados y los 26 últimos pagos realizados, utilizando para ello el método de la TIR. 2. El gráfico de tiempo que representa al proyecto de inversión es el siguiente: 0 1 2 ........................24 25 49 50 │---------│--------│--------------------│-----│-----│---------------------│-----│ 1000000 41333,19.........................59047,42 FN? .................FN?...FN?

Para calcular el valor de los últimos 26 flujos netos de caja del proyecto de inversión, conocida la T.I.R. y conocido el valor de los 24 primeros flujos, se calcula el valor actual de esos 24 primeros flujos utilizando la T.I.R., el valor así obtenido se resta de la inversión inicial y se obtiene el valor actual de los últimos 26 flujos, con estos datos se calcula el valor de los últimos 26 flujos que son todos iguales y por lo tanto se resuelve en base a una amortización diferida. 3.Conocida la tasa de costo de capital mensual a través del procedimiento establecido en el apartado 1, se utiliza ésta para hallar el valor capital, para este caso como existen 24 primeros flujos iguales y luego 26 flujos iguales, se puede hallar la suma del valor actual de esos flujos utilizando el sistema de amortización francés vencido y el sistema francés diferido vencido. 4. Para determinar cuántos kg. de azucar podrán tenerse al final del mes nº 50, en primer lugar se debe calcular el sobrante mensual de los últimos 26 meses, que es la diferencia entre el flujo neto mensual y la cuota que tiene que pagar durante esos 26 meses, esa diferencia se deposita mensualmente durante 22 meses o sea hasta el período de tiempo 46º y todo lo acumulado se deja hasta el momento 50º por lo que se debe hacer una imposición vencida por 22 cuotas y a ese total capitalizarlo por 4 meses más; además las diferencias de los meses 47,48,49 y 50 se utilizan para comprar azúcar, debiendo tenerse en cuenta el precio de la misma desde el mes 47 al mes 50, el cual se fue incrementando el 3% en forma mensual, finalmente en el mes 50 se ha comprado una cierta cantidad de kg. de azúcar y con el dinero que fue ahorrado durante los 22 meses y luego dejado hasta el mes 50 se compra otra cierta cantidad adicional de kg. de azúcar al precio del momento 50. Respuestas: 1.  ip = 0,015 mensual. 2.  Últimos 26 flujos netos = $ 59.307,33. 3.  k = 0,03214758 mensual y Valor Capital = $ 168.166,46. 4.  Al final del 50vo. mes podrán tenerse 774.471,87 kg. de azúcar.

Ejercicio Nº 13: 1. Para determinar la tasa de costo de capital se debe tener en cuenta que en este caso el importe necesario para realizar la inversión proviene parte de un crédito y el resto de recursos propios de la empresa, por lo que la tasa de costo de capital debe ser una tasa promedio ponderada entre la tasa del crédito y la mejor tasa que ganaría la empresa invirtiendo esos fondos en el sistema financiero, por lo que primeramente se debe obtener la tasa de interés del crédito y después la mejor alternativa de inversión de los fondos propios, con estas dos tasa se halla la tasa de costo de capital promedio ponderada. 2. Para hallar el Valor Capital de cada proyecto y el período de recupero de cada proyecto se

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debe utilizar la tasa de costo de capital determinada en el apartado anterior; para el caso del Valor Capital se puede utilizar el sistema de amortización francés vencido y diferido vencido, ello para hallar la suma del el valor actual de los flujos y compararla con la inversión inicial; con respecto al período de recupero también en este caso es posible trabajar con ambos sistemas, debiendo tenerse en cuenta para el proyecto I que los flujos del período 25 al 60 se deben tomar como pertenecientes a una amortización diferida. En cuanto a la T.I.R. se obtiene con la calculadora financiera o una planilla de cálculo, teniendo en cuenta que para el segundo proyecto como todos los flujos netos son iguales se puede trabajar con el sistema de amortización francés vencido. Respuestas: 1.  k = 0,032941 mensual. 2.  Valor Capital del Proyecto I = $ 34.130,65 Valor Capital del Proyecto II = $ 24.368,80 TIR del Proyecto I = 0,04 mensual TIR del Proyecto II = 0,040500021 mensual Período de Recupero del Proyecto I = 45,1466895 meses Período de Recupero del Proyecto II = 37,31576855 meses

Ejercicio Nº 14: Para determinar el valor efectivo de un título, la fórmula que se utiliza es: VE

=

VN.in

at|ier

VR + ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ (1+ier)t

En este caso el VN es $ 1.000,- y el valor de rescate a los 8 años es del 95% de dicho valor, la tasa de emisión del título es del 11% anual y el pago de los intereses es en forma semestral, por lo que si se rescata a los 8 años queriéndose comprar a los 5 años de vigencia, se cobrarán 6 cupones de intereses y para calcular éstos se debe aplicar la tasa semestral que al ser la anual nominal se calcula en forma proporcional; la tasa efectiva que quiere ganarse es del 14% anual y se debe calcular la efectiva semestral equivalente para actualizar los intereses que se cobran. Respuestas: El valor efectivo del título será de $ 905,25.

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BIBLIOGRAFÍA

CARRIZO, José F., La Tasa de Interés en Operaciones Financieras, Publicación U.N.CBA. CARRIZO, José F., Métodos de Cálculo que Modifican la Tasa de Interés, Publicación U.N.CBA. CARRIZO, José F., Curso de Matemática Financiera y Actuarial, Publicación U.N.CBA. GIANNESCHI, Mario A., Amortización De deudas y Costos Financieros en épocas de Inflación. Ediciones Macchi. GONZÁLEZ Galé, J., Intereses y Anualidades Ciertas, Ediciones Macchi. YASUKAWA, Alberto M., Matemática Financiera, Ediciones Eudecor.

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