Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques (Mathématiques et Applications, 68) (French Edition) 3642116566, 9783642116568

Citation preview

´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et J. Garnier

68

´ MATH EMATIQUES & APPLICATIONS Comit´e de Lecture 2008–2011/Editorial Board 2008–2011 RE´ MI A BGRALL INRIAet Math´ematiques, Univ. Bordeaux 1, FR [email protected] G R E´ GOIRE A LLAIRE ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected] MICHEL BENA¨I M Math´ematiques, Univ. de Neuchˆatel, CH [email protected] OLIVIER CATONI Proba. et Mod. Al´eatoires, Univ. Paris 6, FR [email protected] T HIERRY COLIN Math´ematiques, Univ. Bordeaux 1, FR [email protected] MARIE-CHRISTINE COSTA UMA, ENSTA, Paris, FR [email protected] ARNAUD D EBUSSCHE ENS Cachan, Antenne de Bretagne Avenue Robert Schumann, 35170 Bruz, FR [email protected]

CLAUDE L OBRY INRA, INRIA, Sophia-Antipolis et Analyse Syst`emes et Biom´etrie Montpellier, FR [email protected] L AURENT MICLO Analyse, Topologie et Proba., Univ. Provence, FR [email protected] F ELIX OTTO Institute for Applied Mathematics University of Bonn, DE [email protected] VAL E´ RIE P ERRIER Mod.. et Calcul, ENSIMAG, Grenoble, FR [email protected] BERNARD P RUM Statist. et G´enome, CNRS, INRA, Univ. Evry, FR [email protected] P HILIPPE ROBERT INRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, FR [email protected] P IERRE ROUCHON ´ Automatique et Syst`emes, Ecole Mines, Paris, FR [email protected]

JACQUES D EMONGEOT TIMC, IMAG, Univ. Grenoble I, FR [email protected]

A NNICK S ARTENAER Math´ematiques, Univ. Namur, BE [email protected]

N ICOLE E L K AROUI ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected]

¨ E RIC S ONNENDR UCKER IRMA, Strasbourg, FR [email protected]

J OSSELIN G ARNIER Proba. et Mod. Al´eatoires, Univ. Paris 6 et 7, FR [email protected]

S YLVAIN S ORIN Combinat. et Optimisation, Univ. Paris 6, FR [email protected]

S T E´ PHANE G AUBERT INRIA, Saclay, ˆIles-de-France, Orsay et ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected] CLAUDE L E BRIS CERMICS, ENPC et INRIA Marne la Vall´ee, FR [email protected]

A LAIN T ROUV E´ CMLA, ENS Cachan, FR [email protected] CE´ DRIC V ILLANI UMPA, ENS Lyon, FR [email protected] E NRIQUE Z UAZUA Basque Center for Applied Mathematics, Bilbao, Basque, ES [email protected]

Directeurs de la collection :

G. ALLAIRE et J. GARNIER Instructions aux auteurs : Les textes ou projets peuvent eˆ tre soumis directement a` l’un des membres du comit´e de lecture avec ´ ˆ remis a` l’Editeur copie a` G. A LLAIRE OU J. GARNIER . Les manuscrits devront etre sous format LATEX2e (cf. ftp://ftp.springer.de/pub/tex/latex/svmonot1/).

Bruno Després

Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques

123

Bruno Després Laboratoire Jacques-Louis Lions Université Pierre et Marie Curie Boite Courrier 187 75252 Paris Cedex 05, France [email protected]

ISSN 1154-483X ISBN 978-3-642-11656-8 e-ISBN 978-3-642-11657-5 DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Library of Congress Control Number: 2010924286 Mathematics Subject Classification (2000); 35L65, 76M12, 65N08 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Maquette de couverture: SPi Publisher Services Imprimé sur papier non acide Springer est membre du groupe Springer Science+BusinessMedia (www.springer.com)

V

Aux miens.

Table des mati` eres

1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Mod` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.1 Equation de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Syst`eme de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Dynamique des gaz compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Invariance Galil´eenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coordonn´ees de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Changement de coordonn´ees et lois de conservation . . . . 2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Formulation de Hui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Syst`eme lin´eairement bien pos´e et hyperbolicit´e . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Stabilit´e lin´eaire en dimension un d’espace . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Stabilit´e lin´eaire en dimension sup´erieure . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 8 11 13 15 16

22 23 23 26 28 34 36

´ Etude d’une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Solutions fortes et m´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . 3.2 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Solutions faibles entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Discontinuit´es entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Choc et discontinuit´e de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3.3 Equation des d´etentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 40 44 47 50 53 54

3

19 20 22

VIII

Table des mati`eres

3.4

3.5 3.6

3.7

3.8 3.9 4

3.3.4 Solution entropique du probl`eme de Riemann . . . . . . . . . 3.3.5 Application et interpr´etation physique . . . . . . . . . . . . . . . Calcul num´erique de solutions faibles entropiques . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Notion de sch´ema conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Sch´ema de Volumes Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Construction du flux a` partir de la m´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 D´efinition d’un sch´ema g´en´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Applications et analyse des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison num´erique choc-discontinuit´e de contact . . . . . . . . Optimisation du sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Optimisation par rapport a` la contrainte de stabilit´e . . . 3.6.2 Optimisation par rapport a` la pr´ecision . . . . . . . . . . . . . . Sch´emas lagrangiens pour le trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Sch´ema lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Un r´esultat num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 61 61 64 64 68 70 72 74 78 79 80 80 81 82 83 84 86

Syst` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.1 Syst`eme des eaux peu profondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.2 Syst`eme de la dynamique des gaz compressible . . . . . . . . 89 4.2 Entropie et variables entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Solutions faibles entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Solutions autosemblables en xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4.1 Discussion des d´etentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4.2 Discussion des discontinuit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.5 Retour sur la variable principale U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.6 Solution du probl`eme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6.1 Th´eor`eme de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.7 Syst`emes en coordonn´ee de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.8 Syst`emes `a flux d’entropie nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.9 Vitesses d’ondes pour les syst`emes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . 120 4.10 Enthalpie d’un syst`eme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.11.1 Le syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale . . . . . . 129 4.11.2 Le mod`ele de l’h´elium superfluide de Landau . . . . . . . . . 134 4.11.3 Un mod`ele multiphasique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.12 Chocs pour les syst`emes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.14 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Table des mati`eres

IX

5

Le syst` eme de la dynamique des gaz compressibles . . . . . . . . 149 5.1 Calcul des vitesses d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.1.1 D´etentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.1.2 Les discontinuit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.3 Nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.1.4 Probl`eme de Riemann pour la dynamique des gaz . . . . . 159 5.2 Discr´etisation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.3 Sch´ema eul´erien de Roe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.1 Matrice de Roe pour la dynamique des gaz eul´erienne . . 165 5.3.2 Propri´et´es du sch´ema de Roe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3.3 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4 Sch´ema Lagrange+projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.4.1 Phase lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.4.2 Phase lagrangienne pour le syst`eme de la dynamique des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4.3 Formule du flux lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.4.4 Grille mobile durant la phase lagrangienne . . . . . . . . . . . . 180 5.4.5 Phase de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.4.6 Synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.4.7 Conditions au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.8 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.5 Sch´ema ALE en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.5.1 Discr´etisation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.5.2 Discr´etisation de (5.46) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.5.3 Discr´etisation de (5.47) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.5.4 R´e´ecriture sur la grille mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.5.5 R´esultat num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.6 Un r´esultat num´erique en dimension deux d’espace . . . . . . . . . . 193 5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.8 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6

Solveurs lagrangiens ` a un ´ etat et ` a deux ´ etats . . . . . . . . . . . . . 199 6.1 Solution du probl`eme de Riemann lin´earis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.1.1 Solution a` un ´etat interm´ediaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.1.2 Solution a` deux ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.2 Discr´etisation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.1 Autre mode de construction du flux num´erique . . . . . . . . 206 6.2.2 Propri´et´e entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.2.3 Optimisation par rapport au pas de temps . . . . . . . . . . . . 213 6.2.4 Optimisation par rapport a` la simplicit´e de mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.4 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

X

7

Table des mati`eres

Syst` emes lagrangiens multidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.1 Cadre th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2 In´egalit´e entropique discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.3 Stabilit´e L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.4 Dynamique des gaz en g´eom´etrie cylindrique ou sph´erique . . . . 226 7.5 MHD en dimension sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.6 Dynamique des gaz lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.6.1 Maillage mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.6.2 Tentative de construction d’un sch´ema num´erique . . . . . 243 7.6.3 Une premi`ere solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.6.4 Une deuxi`eme solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.6.5 Une troisi`eme solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.6.6 Un sch´ema lagrangien sur grilles d´ecal´ees . . . . . . . . . . . . . 256 7.6.7 Choix du maillage pour un calcul donn´e . . . . . . . . . . . . . . 260 7.6.8 Gravit´e et ´equilibre hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.6.9 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.8 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Litt´ erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

1 Introduction

Les syst`emes de lois de conservation mod´elisent les ´ecoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrˆemement vari´es tels que l’a´eronautique, l’hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le trafic routier, l’´elasticit´e non lin´eaire. Les ´equations sont non lin´eaires et expriment les relations de bilan pour diverses quantit´es telles que masse, impulsion et ´energie totale pour la dynamique des gaz compressibles. Le cadre math´ematique g´en´eral est celui des syst`emes de lois de conservation. Le caract`ere non lin´eaire des ´equations implique l’existence des solutions discontinues appel´ees chocs. Cela recouvre le bang sonique, les ´ecoulements hypersoniques (autour des avions par exemple), les ph´enom`enes de mascaret, les bouchons pour le trafic routier, les explosions de supernovae, la d´etonation en g´en´eral. Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires. Au plan num´erique on peut noter que le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees au calcul de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles. Cela contribue a` fonder une nouvelle discipline, la M´ecanique des Fluides Num´erique. Un des objectifs de ce texte est de pr´esenter les raisons pour lesquelles on utilise de tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles, de les analyser sur le plan math´ematique, et de construire quelques sch´emas de Volumes Finis pour la r´esolution num´erique. Ce faisant nous aurons les outils pour ´etudier les chocs d’un point de vue tant physique, que math´ematique et num´erique. Un point capital est le rˆole d’une quantit´e appel´ee entropie (par r´ef´erence au substrat thermodynamique de cette notion) qui traduit le fait qu’une discontinuit´e math´ematique est de fait une id´ealisation. La pr´esentation propos´ee portera l’accent sur les syst`emes que l’on appellera lagrangiens ou ´ecrits en coordonn´ ees de Lagrange et sur leurs relations avec les syst`emes en coordonn´ ees d’Euler. La diff´erence entre les coordonn´ees d’Euler et les coordonn´ees de Lagrange tient au r´ef´erentiel utilis´e pour ´ecrire les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Les coordonn´ees d’Euler sont les coordonn´ees du laboratoire. Pour un fluide les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees du fluide en mouvement. On peut aussi choisir

B. Despr´ es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 1, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 

1

2

1 Introduction

les coordonn´ees eul´eriennes au temps initial. Les syst`emes lagrangiens ayant une entropie ont une structure particuli`ere que nous ´etudierons en d´etail. L’´ecriture en coordonn´ees de Lagrange a de nombreuses et fructueuses cons´equences pour la construction et l’analyse de m´ ethodes num´ eriques adapt´ees `a la discr´etisation des ´equations de la physique math´ematique. Le contrˆ ole de la stabilit´e de ces m´ethodes num´eriques reposera de mani`ere syst´ematique sur l’obtention d’in´ egalit´ es discr` etes d’entropies qui permettent en pratique d’obtenir la stabilit´ e au sens L2 . En dimension un d’espace les m´ethodes pr´esent´ees sont tout `a fait classiques, au sens o` u elles ont ´et´e publi´ees et republi´ees maintes fois dans des contextes parfois diff´erents. On consultera a` profit [GR96]. L’originalit´e revendiqu´ee de la pr´esentation choisie est le lien qui sera fait entre certaines performances num´eriques de ces m´ethodes et les in´egalit´es discr`etes d’entropies. Puis nous construirons des sch´emas originaux en dimension deux d’espace a` partir d’in´egalit´es discr`etes d’entropies. Les m´ethodes num´eriques pr´esent´ees seront restreintes a l’ordre un. ` Le public vis´e se situe au niveau M2. Une partie de ce texte a servi ´ de support `a un cours a` l’Ecole Polytechnique en majeure SeISM (Sciences pour l’Ing´enieur et Simulation Num´erique). Un cours pr´ec´edent [DD05] a ´et´e conduit par Fran¸cois Dubois avec une inspiration d’origine a´erodynamique. Une autre partie de ce mˆeme texte a ´et´e pr´esent´ee dans des cours d’Ecole Doctorale de l’Universit´e Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire JLL. Les r´esultats th´eoriques sont pr´esent´es de fa¸con la plus ´el´ementaire possible en s’aidant d’exemples num´eriques qui tendent a` montrer le caract`ere n´ecessaire des concepts th´eoriques. Les compl´ements sur les syst`emes lagrangiens concernent ´ un domaine de recherche en cours au Commissariat `a l’Energie Atomique sur la discr´etisation num´erique des mod`eles de la m´ecanique des milieux continus et de la physique des plasmas, dans le cadre des ´etudes de base pour la fusion contrˆ ol´ee. Le syst`eme de la magn´etodydrodynamique id´eale et le syst`eme de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange sont des exemples importants. La prise en compte de ces mod`eles a n´ecessit´e un am´enagement substantiel de certaines parties de la th´eorie : le plus important ´etant que nous ne ferons pas l’hypoth` ese que les syst` emes sont strictement hyperboliques car le cas des valeurs propres multiples est tr`es courant pour les syst`emes qui viennent de la m´ecanique des milieux continus. De nombreux mod`eles sont pr´esent´es en liaison avec le contexte physique. Des exemples de simulations num´eriques viennent illustrer les concepts th´eoriques. Des exercices sont propos´es `a chaque fin de chapitre avec une indication de difficult´e ´eventuelle • ou ••. Chaque chapitre se termine par des notes bibliographiques suppl´ementaires. Toute erreur ou ommission manifeste est `a porter `a la responsabilit´e du seul auteur. Merci de transmettre toute remarque `a l’adresse ´electronique [email protected].

1 Introduction

3

L’auteur remercie plus particuli`erement Gr´egoire Allaire a` l’Ecole Polytechnique dans le cadre des cours dont ce texte est initialement issu, ainsi que l’ensemble de ses coll`egues du Commissariat `a l’Energie Atomique pour toutes ces ann´ees pass´ees `a mieux comprendre le rˆ ole de la thermodynamique dans le calcul num´erique.

2 Mod` eles

A partir de la notion de bilan appliqu´ee `a des exemples, nous construirons des lois de conservation et des syst`emes de lois de conservation. Ces syst`emes sont intrins`equement non lin´eaires et v´erifient certains principes d’invariance galil´eenne. Puis nous montrons que les changements de coordonn´ees d’espace pr´eservent la structure de lois de conservation. Nous appliquons cette m´ethode `a la d´erivation des ´equations en coordonn´ees de Lagrange. Enfin nous d´efinissons ce qu’est un syst`eme stable lin´eairement bien pos´e, un syst`eme hyperbolique (cas de la dynamique des gaz en coordonn´ees d’Euler) et un syst`eme faiblement hyperbolique (cas de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange en dimension deux et plus d’espace).

´ 2.1 Equation de bilan Pla¸cons nous en dimension d’espace d = 1 pour simplifier et commen¸cons par choisir un quantit´e not´ee u(t, x). C’est une fonction du temps t ∈ R et de l’espace x ∈ R. Soit l’int´egrale de cette quantit´e entre deux points x0 , x1 ∈ R  x1 N (x0 , x1 , t) = u(t, x)dx, x0 < x1 . x0

x d La variation1 est donn´ee par : dt N (x0 , x1 , t) = x01 ∂t u(t, x)dx. Nous faisons l’hypoth`ese que les pertes ou gains ne peuvent se faire que par les bords du segment [x0 , x1 ]. Nous ´ecrivons l’´equation de bilan sur l’intervalle de temps 1

Si les bornes sont elles-mˆemes des fonctions du temps, t → x0 (t) et t → x1 (t), alors  x1 (t) d N (x0 (t), x1 (t), t) = ∂t u(t, x)dx + x1 (t)u(t, x1 (t)) − x0 (t)u(t, x0 (t)). dt x0 (t) (2.1)

B. Despr´ es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 2, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 

5

6

2 Mod`eles

N(x0 , x1 , t) f0

f1

x0

x

x1 Fig. 2.1. Bilan

Δt > 0 : on a N (x0 , x1 , t+ Δt) = N (x0 , x1 , t)− f (t, x1 )Δt+ f (t, x0 )Δt+ o(Δt) o` u f (t, x) est le terme de perte ou de gain au bord. D’o` u en passant `a la limite pour un pas de temps Δt → 0+  x1 d d N (x0 , x1 , t) + f (t, x1 ) − f (t, x0 ) = N (x0 , x1 , t) + ∂x f (t, x)dx = 0. dt dt x0 Comparons avec l’expression pr´ec´edente. On trouve  x1  x1 ∂t u(t, x)dx + ∂x f (t, x)dx = 0, x0

x0 < x1 .

x0

Cette relation ´etant v´erifi´ee pour tout x0 < x1 , nous obtenons par cette m´ ethode de bilan une loi de conservation ∂t u(t, x) + ∂x f (t, x) = 0.

(2.2)

En consid´erant que le temps et l’espace ne jouent pas le mˆeme rˆole, nous attribuons le rˆ ole d’inconnue2 ` a la quantit´e u, la quantit´e f ´etant le flux. Cette m´ethode qui consiste `a ´ecrire des ´equations de bilan est tr`es g´en´erale et s’´etend directement en dimension quelconque d’espace. Par exemple on ´ecrira l’´equation de bilan en dimension trois d’espace ∂t u(t, x, y, z) + ∂x f (t, x, y, z) + ∂y g(t, x, y, z) + ∂z h(t, x, y, z) = 0. Il reste `a sp´ecifier f , g et h en fonction de u pour obtenir un syst`eme ferm´e. 2.1.1 Trafic routier Pour l’´equation du trafic routier l’inconnue principale est la densit´e de v´ehicules ρ(t, x) le long d’une autoroute suppos´ee rectiligne et infinie x ∈ R. Le nombre de v´ehicules entre x0 et x1 est 2

Mˆeme si elle est not´ee u l’inconnue n’est pas n´ecessairement une vitesse. C’est le contexte physique sous-jacent qui d´etermine le choix de la notation qui varie de ce fait.

´ 2.1 Equation de bilan



7

x1

N (x0 , x1 , t) =

ρ(t, x)dx,

x0 < x1 .

x0

Soit u(t, x) la vitesse des v´ehicules. Le facteur de perte ou de gain de v´ehicules est, avec les notations pr´ec´edentes, f (t, x) = ρ(t, x)u(t, x). D’o` u l’´equation de conservation ∂t ρ + ∂x ρu = 0. (2.3) Nous ajoutons l’hypoth` ese de mod´ elisation : un conducteur standard adapte sa vitesse `a la densit´e locale de v´ehicules. En pratique on roule vite quand il y a peu de voitures : inversement on roule doucement quand il y a beaucoup de voitures. Nous consid´erons alors que la vitesse u est une fonction de la densit´e ρ. On obtient l’´equation ∂t ρ + ∂x f (ρ) = 0 dont le flux est f (ρ) = ρu(ρ). Le mod`ele LWR (pour Lighthill-Whitham-Richards) correspond a au choix `   ρ ρ → u(ρ) ≡ umax 1 − , ρmax les constantes umax et ρmax devant ˆetre sp´ecifi´ees par ailleurs3 . La loi LWR est repr´esent´ee dans la figure 2.2.

f (ρ)

u(ρ)

umax 2

ρmax 2

ρ

ρ

ρmax

ρmax

Fig. 2.2. Loi LWR ρ → f (ρ) = ρu(ρ) pour le trafic routier

L’´equation de conservation prend la forme standard ∂t ρ + ∂x f (ρ) = 0,

f (ρ) = ρu(ρ).

(2.4)

Passons en variable adimensionn´ee umax = 1 et ρmax = 1. Nous obtenons l’´equation ∂t ρ + ∂x (ρ − ρ2 ) = 0. Posons v = 12 − ρ. L’´equation satisfaite par v 3

Sur autoroute umax = 130 km/h. La densit´e maximum se calcule en fonction de la taille moyenne d’un v´ehicule.

8

2 Mod`eles

est ∂t v + ∂x v 2 = 0. Apr`es red´efinition du temps t → 2t on obtient l’´equation de Burgers v2 = 0. ∂t v + ∂x 2 C’est une ´equation non lin´ eaire. Soient v1 et v2 deux solutions de l’´equation de Burgers. La fonction v3 = v1 + v2 n’est a priori pas une solution de l’´equation de Burgers4. On dit aussi que le principe de superposition n’est plus vrai pour les ´equations non lin´eaires. Nous verrons par la suite que cette non lin´earit´e est la cause de l’existence des solutions discontinues. 2.1.2 Syst` eme de Saint Venant Nous consid´erons le lac en coupe (ou une rivi`ere, ou un fleuve, . . .) de la figure 2.3. La vitesse du fluide est un vecteur (u1 (t, x, y), u2 (t, x, y)) dont la premi`ere composante est la vitesse horizontale et la deuxi`eme composante est la vitesse verticale. Pour un fluide incompressible tel que l’eau la masse volumique est constante ρ = ρm . La condition d’incompressibilit´e sur le champ

y

h(t, x)

x1

x0

x

Fig. 2.3. Colonne d’eau entre x0 et x1

de vitesse s’´ecrit ∂x u1 + ∂y u2 = 0. La hauteur d’eau est h(t, x). La vitesse moyenne horizontale le long d’une verticale est  h(t,x) u(t, x) = 4

0

u1 (t, x, y)dy . h(t, x)

En revanche l’´equation de Burgers est invariante par transformation d’´echelle. Soit v une solution de l’´equation de Burgers et λ ∈ R. La fonction w = λv est 2 u on a mis le temps ` a l’´echelle s = λt. solution de ∂s w + ∂x w2 = 0 o`

´ 2.1 Equation de bilan

9

Reprenant la m´ethode de bilan appliqu´ee `a la masse d’eau N (x0 , x1 , t) comprise entre les verticales de base x0 et x1  x1 N (x0 , x1 , t) = ρm h(t, x)dx. x0

Exprimant le fait que la variation de N (x0 , x1 , t) est due au flux sortant ou entrant sur les bords nous obtenons une premi`ere loi de conservation ∂t h + ∂x (hu) = 0. Cette premi`ere loi de conservation est en tout point similaire a` celle du trafic routier, hormis le fait que la vitesse moyenne u n’a pas de raison d’ˆetre une fonction de la hauteur d’eau h. Nous d´erivons une deuxi`eme loi de conservation qui va fournir la loi d’´evolution de u. Nous commen¸cons par ´etudier la masse de la colonne d’eau mobile  x1 (t)

N (x0 (t), x1 (t), t) = ρm

h(t, x)dx, x0 (t)

o` u les bords sont d´efinis par x0 (0) = X0 , x0 (t) = u(t, x0 (t) et x1 (0) = X1 , x1 (t) = u(t, x1 (t)). La formule (2.1) implique



d N (x0 (t), x1 (t), t) dt

x1

= ρm 

x0

x1

= ρm

 ∂t h(t, x)dx + x1 (t)h(t, x1 (t)) − x0 (t)h(t, x0 (t))

 ∂t h(t, x)dx + u(t, x1 (t))h(t, x1 (t)) − u(t, x0 (t))h(t, x0 (t))

x0



x1

(∂t h(t, x) + ∂x (h(t, x)u(t, x))) dx = 0.

= ρm x0

´ Enonc´ e autrement la masse d’eau de la colonne mobile est constante. Cela autorise l’analogie suivante : la colonne mobile joue le rˆ ole d’une particule ponctuelle ` a laquelle nous allons appliquer la loi de Newton. L’impulsion de la colonne mobile est  I(x0 (t), x1 (t), t) = ρm

x1 (t)

x0 (t)

hudx = N (x0 (t), x1 (t), t) v (x0 (t), x1 (t), t)

(2.5) o` u v est la vitesse moyenne de la colonne. Nous ´ecrivons le bilan des forces qui s’exercent sur les faces avant et arri`ere N (x0 (t), x1 (t), t)

d v(x0 (t), x1 (t), t) = f (t, x1 (t)) − f (t, x0 (t)). dt

10

2 Mod`eles

La force est l’int´egrale de la pression hydrostatique p(t, x, y) a` la hauteur y, soit  h(t,x)  h(t,x) f (t, x) = − 0 p(t, x, y)dy et p(t, x, y) = ρm y gdy = ρm g(h(t, x)−y). 5 Ici g est la constante de gravitation locale . Donc g ρm 2 h (t, x). f (t, x) = − 2

p=0 La pression totale int´egr´ee sur la paroi verticale est p = g2 ρm h2 f1

f0

x1

x0

Fig. 2.4. D´etail des forces qui s’appliquent sur une colonne d’eau

A partir de (2.5)     x1 (t) 1 d x1 (t) g x1 (t) d x1 (t) hudx + ∂x f dx = hudx + ∂x h2 dx = 0. dt x0 (t) ρm x0 (t) dt x0 (t) 2 x0 (t) La formule (2.1) implique   x1 (t) ∂t (hu)dx + x0 (t)

x1 (t)

x0 (t)

 g  ∂x hu2 + h2 dx = 0. 2

Ceci fournit une deuxi`eme loi de conservation  g  ∂t (hu) + ∂x hu2 + h2 = 0. 2 Au final le syst`eme de Saint Venant s’´ecrit 

5

∂t h + ∂x (hu) = 0,

∂t (hu) + ∂x hu2 + g2 h2 = 0, g > 0.

En premi`ere approximation g ≈ 9.81 m/s2 .

(2.6)

´ 2.1 Equation de bilan

11

2.1.3 Dynamique des gaz compressibles La d´erivation du syst`eme de la dynamique des gaz compressibles n´ecessite une hypoth`ese dont nous donnerons une justification indirecte a` la fin de ce chapitre. Nous admettons que la pression d’un gaz est une fonction de la masse volumique ρ du gaz et de la temp´erature T de ce mˆeme gaz p = p(ρ, T ). La temp´erature ´etant elle-mˆeme a priori fonction de la masse volumique et d’une variable suppl´ementaire qui est l’´energie interne par unit´e de masse et que nous noterons ε. Soit u la vitesse du gaz. L’´energie totale par unit´e de masse est e = ε + 12 |u|2 . Pour un gaz parfait polytropique6 p = (γ − 1)ρε,

ε = Cv T,

Corps O2, N2 Air H2 He, Kr, Xe Ar CO2 SF6 Gaz d’´electrons Gaz de photons

Cv > 0, γ > 1.

(2.9)

γ = 1, 4 1,4 1,405 1,66 1,67 1,3 1,09 = 1, 666... = 1, 333... 7 5

5 3 4 3

Tableau 2.1. Valeur de la constante γ pour diff´erents corps

Pour d´eriver les ´equations de la dynamique des gaz compressibles, nous reprenons la m´ethode de bilan. Nous consid´erons le cas en dimension un de la figure 2.5. Le volume ´el´ementaire de gaz est [x0 (t), x1 (t)] avec x (t, X) = u(t, x(t, X)), x(0, X) = X. La masse de ce volume mobile est 6

Bien d’autres lois de pression, ou ´equations d’´etat (EOS) sont disponibles. A titre d’exemple citons la loi de Stiffened gaz p = (γ − 1)ρε − γΠ.

(2.7)

L’eau, qui n’est pas un gaz, correspond typiquement ` a γ = 5, 5 et Π = 4921, 15 bars. Une autre loi d’´etat est la loi de van der Waals aε c 1 p= − 2 , a, b, c > 0, τ = , (2.8) τ −b τ ρ o` u τ est le volume sp´ecifique. La loi de van der Waals est utilis´ee pour les transitions de phase.

12

2 Mod`eles

x0 (t + Δt)

x1 (t + Δt) t + Δt

x0 (t)

t

x1 (t)

Fig. 2.5. Volume ´el´ementaire de gaz

 N (x0 (t), x1 (t), t) =

x1 (t)

ρ(t, x)dx. x0 (t)

L’impulsion du gaz pr´esent dans le volume est  I(x0 (t), x1 (t), t) =

x1 (t)

ρ(t, x)u(t, x)dx. x0 (t)

La force qui s’exerce sur le bord du volume mobile de masse constante est f = −p. Comme pour le syst`eme de St Venant la m´ethode de bilan fournit deux ´equations  ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p = 0. La pression ´etant fonction de la masse volumique et de l’´energie interne, il manque une ´equation pour fermer le syst`eme. Pour construire cette ´equation manquante, nous consid´erons l’´energie totale pr´esente dans le volume ´el´ementaire  x1 (t)

E(x0 (t), x1 (t), t) =

ρ(t, x)e(t, x)dx. x0 (t)

La densit´e d’´energie totale est e = ε + 12 u2 . Pour un intervalle de temps Δt, la force qui s’exerce sur les bords travaille sur une longueur Δl = uΔt. Le travail de la force est −pΔl = −puΔt. Nous en d´eduisons E(x0 (t + Δt), x1 (t + Δt), t + Δt) = E(x0 (t), x1 (t), t) −Δtp(t, x1 (t))u(t, x1 (t)) + Δtp(t, x0 (t))u(t, x0 (t)) + o(Δt). D’o` u en passant a` la limite en Δt d E(x0 (t), x1 (t), t) + p(t, x1 (t))u(t, x1 (t)) − p(t, x0 (t))u(t, x0 (t)) = 0. dt Grˆ ace `a la formule (2.1), nous obtenons

2.2 Invariance Galil´eenne





x1 (t)

x0 (t)

∂t (ρe)dx +

13

x1 (t)

x0 (t)

∂x (ρue + pu) = 0,

ou encore ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0. Au final le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles en dimension un d’espace est ⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p = 0, ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0.

(2.10)

Ce syst`eme est ferm´e car p est une fonction de ρ et ε = e − 12 u2 . En dimension deux d’espace le syst`eme devient ⎧ ⎪ ⎪ ∂t ρ + ∂x (ρu) + 2∂y (ρv)

= 0, ⎨ ∂t (ρu) + ∂x ρu + p + ∂y (ρuv)

= 0, (2.11) 2 ∂ ρv (ρv) + ∂ (ρuv) + ∂ + p = 0, ⎪ t x y ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) + ∂y (ρve + pv) = 0. On note la pr´esence d’une inconnue suppl´ementaire v car la vitesse a deux composantes. La pression p est une fonction de ρ et ε = e − 12 (u2 + v 2 ).

2.2 Invariance Galil´ eenne Les syst`emes de lois de conservation qui d´erivent de la m´ecanique des milieux continus respectent par construction certains principes d’invariance. Parmi eux le principe d’invariance galil´eenne joue un rˆole central. Une cons´equence est qu’il est possible de r´ecrire certains syst`emes de lois de conservation sous une autre forme qui, elle aussi, est de type syst`eme de lois de conservation. D´ efinition 1 Nous dirons qu’un mod`ele en dimension un d’espace satisfait au principe d’invariance galil´eenne si et seulement si les ´equations prennent la mˆeme forme sous l’effet combin´e d’un changement de coordonn´ees d’espacetemps de type translation, v ∈ R, t = t,

x = x + vt,

(2.12)

et d’un changement de variable qui est dict´e par la physique sous-jacente. La vitesse de translation du r´ef´erentiel (t , x ) par rapport au r´ef´erentiel (t, x) est −v, voir figure 2.6. Les d´eriv´ees partielles sont donn´ees par les formules de d´erivation compos´ee  ∂t = ∂t t ∂t + ∂t x ∂x = ∂t + v∂x , (2.13) ∂x = ∂x t ∂t + ∂x x ∂x = ∂x

14

2 Mod`eles

t

t

−v

x x Fig. 2.6. Translation du r´ef´erentiel

Lemme 1 Les mod`eles de trafic routier (2.4), de Saint Venant (2.6) et de la dynamique des gaz compressibles satisfont au principe d’invariance galil´eenne. Nous utilisons (2.13). Le mod`ele de trafic routier se r´ecrit ∂t ρ + v∂x ρ + ∂x (ρu(ρ)) = 0. Nous d´efinissons u (ρ) = u(ρ) + v et obtenons ∂t ρ + ∂x (ρu (ρ)) = 0. Notons que le changement de fonction en vitesse est bien compatible avec le principe d’addition des vitesses. Donc le mod`ele de trafic routier satisfait au principe d’invariance galil´eenne. Passons au mod`ele de Saint Venant (2.6). La premi`ere ´equation devient ∂t h + ∂x (hu ) = 0,

u = u + v.

La deuxi`eme ´equation se r´ecrit grˆace `a (2.13) sous la forme ∂t (hu) + v∂x (hu) + ∂x (hu2 + p(h)) = 0,

p(h) =

g 2 h . 2

On ajoute v (∂t h + ∂x (hu )) = 0. D’o` u ∂t (hu ) + v∂x (hu) + ∂x (hu2 + p(h)) + v∂x (hu) = 0, puis ∂t (hu ) + ∂x (hu2 + p(h)) = 0. Cela montre l’invariance galil´eenne du mod`ele de Saint Venant.

2.3 Coordonn´ees de Lagrange

15

La dynamique des gaz est formellement une extension du syst`eme de St Venant. Donc pour les deux premi`eres ´equations  ∂t ρ + ∂x (ρu ) = 0, (2.14) ∂t (ρu ) + ∂x (ρ(u )2 + p) = 0. Il suffit de montrer que l’´equation d’´energie du syst`eme de la dynamique des gaz compressibles est invariante. Nous avons ∂t (ρe) + v∂x (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0. Posons e = ε + 12 u2 = ε + 12 u2 + uv + 12 v 2 = e + uv + 12 v 2 . En combinant avec (2.14) on obtient 1 ∂t (ρe ) + v∂x (ρe) + ∂x (ρue + pu) + v∂x (ρ(u )2 + p) + v 2 ∂x (ρu ) = 0. 2 Apr`es r´earrangement nous obtenons ∂t (ρe )+∂x (ρu e +pu ) = 0. Cela termine la preuve.

2.3 Coordonn´ ees de Lagrange Nous avons vu qu’il est int´eressant et fondamental de pouvoir d´eriver les mod`eles (St Venant, gaz compressibles, . . .) dans un r´ef´erentiel qui se d´eplace avec le fluide. C’est la m´ethode classique de d´erivation des ´equations de ce d type, laquelle utilise les op´erateurs de d´erivation mat´erielle dt = ∂t + u∂x et d´erivation par rapport a` l’espace ∂x . Puis on recombine les ´equations pour obtenir la formulation Eul´erienne du mod`ele consid´er´e. On peut exploiter cette id´eee de mani`ere syst´ematique et plus rigoureuse en utilisant les coordonn´ ees de Lagrange, pour distinguer des coordonn´ ees d’Euler qui sont celles de l’observateur ext´erieur (ou du laboratoire). Dans tout ce qui suit les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees d’Euler au temps initial x(t = 0, X) = X. Nous verrons que l’op´erateur de d´erivation temporelle par rapport `a X fix´e d . L’alg`ebre pour passer est en fait l’op´erateur de d´erivation mat´erielle dt des coordonn´ees de Lagrange aux coordonn´ees d’Euler et vice-versa n’est pas compl`etemente ´evidente comme nous allons le voir. Cela fait apparaˆıtre des lois de conservation suppl´ementaires appel´ees identit´ es de Piola. La pr´esentation qui suit est semblable a` celle de [D00]. Elle s’appuie sur une vision g´eom´etrique dans laquelle le temps ne joue pas en premi`ere approximation. On peut pr´ef´erer une autre approche tr`es classique aussi, voir par exemple les r´ef´erences [TN92, SH98] au niveau th´eorique ou [SLS07] pour les applications num´eriques dans lesquelles des consid´erations similaires sont d´evelopp´ees `a partir du gradient de d´eformation F = ∇X x. Les identit´es de Piola sont aussi appel´ees lois de conservation g´eom´etriques.

16

2 Mod`eles

2.3.1 Changement de coordonn´ ees et lois de conservation Soit le syst`eme stationnaire (le temps a disparu) ∇.f (U ) = 0,

(2.15)

o` u U ∈ Rn est l’inconnue, U → f (U ) ∈ Rn×d est le flux mis sous forme matricielle et x ∈ Rd est la coordonn´ee d’espace. Nous remarquons que (2.15) a est ´equivalent7 `  f (U )ndσ = 0,

∀Ω ⊂ Rd .

(2.16)

x∈∂Ω

L’ouvert Ω est r´ egulier et born´ e. Sa fronti`ere est ∂Ω, la normale sortante est n ∈ Rd vecteur unitaire, la mesure au bord est dσ. Soit le changement de coordonn´ees r´ egulier8 et inversible de classe C 2 de Rd dans Rd x → X(x) ∈ Rd . La matrice Jacobienne de la transformation inverse est ⎛ ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂X1 ∂X2 . . . ∂Xd   ∂x ∂x ∂x2 2 ⎜ 2 ∂xi ∂X1 ∂X2 . . . ∂Xd =⎜ ∇X x(X) = ∂Xj 1≤i,j≤d ⎝ · · · · · · · · · · · · ∂xd ∂xd ∂xd ∂X1 ∂X2 . . . ∂Xd avec ∇X x(Y ) = (∇x X(x(Y )))

−1

(2.17) ⎞ ⎟ ⎟, ⎠

pour tout Y ∈ Rd .

Lemme 2 On a la relation9 ndσ = cof (∇X x) nX dσX . Par d´efinition cof (M ) ∈ Rd×d est la comatrice, ou matrice des cofacteurs10 , telle que M t cof (M ) = det(M )I pour toute matrice M ∈ Rd×d . Si M est inversible cof (M ) = det(M ) × (M t )−1 . Nous supposons que le bord de Ω est l’isoligne z´ero d’une certaine fonction ϕ : Rd → R x ∈ ∂Ω ⇐⇒ ϕ(x) = 0, la fonction ϕ ´etant non d´eg´en´er´ee ∇ϕ = 0. En supposant que le gradient de ϕ est orient´e vers l’ext´erieur de Ω la normale sortante est 7 8 9 10

  La formule de Stokes est x∈Ω ∇.f dx = x∈∂Ω f ndσ. Un affaiblissement important des hypoth`eses de r´egularit´e pour cette transformation aura lieu ` a la section 4.6.2. Relation de nature purement g´eom´etrique comme la preuve le met en ´evidence. Le coefficient en position (i, j) de la matrice des cofacteurs cofac(M ) ∈ Rd×d est ´egal ` a (−1)i+j fois le d´eterminant de la matrice M ` a laquelle on a enlev´e la colonne j et la ligne i (matrice de taille d − 1 × d − 1).

2.3 Coordonn´ees de Lagrange

n=

17

∇x ϕ(x) . |∇x ϕ(x)|

Soit ΩX = {X(x); x ∈ Ω} l’image de Ω par le changement de coordonn´ees. Le bord de ΩX est y ∈ ∂ΩX ⇐⇒ ϕ(X −1 (y)) = 0. Le gradient de y → ϕ(X −1 (y)) donne la normale sortante nX =

∇y ϕ(X −1 (y)) . |∇y ϕ(X −1 (y))|

Les formules de d´erivations compos´ees impliquent ⎛ ⎞  ∂ϕ ∂x j ∇y ϕ(X −1 (y)) = ∇y ϕ(x(y)) = ⎝ (x(y)) (x(y))⎠ ∂x ∂X j i j

1≤i≤d

= (∇X x(X))t (y)∇x ϕ(x(y)). t

De ce fait nX = λ (∇X x(X)) (y)∇x ϕ(x(y)), λ ∈ R. Il s’ensuit que t

ndσ = α (∇x X(x)) nX dσX ,

α ∈ R.

Il reste `a d´eterminer le coefficient de proportionnalit´e r´eel α. Pour cela nous consid´erons les points A, B, AX et BX de la figure 2.7. Pour des points proches l’un de l’autre, on a B − A ≈ (∇X x(X)) (BX − AX ) . On a dV ≈ (B − A, n)dσ,

dVX ≈ (BX − AX , nX )dσX ,

o` u dV est un volume ´el´ementaire et dσ est la mesure ´el´ementaire de surface. R´eunissant l’expression de ndσ en fonction de nX dσX , et les expressions de dV et dVX en fonction de B − A et BX − AX nous obtenons   dV ≈ (∇X x) (BX − AX ) , α (∇x X)t nX dσX ≈ α(BX − AX , nX )dσX . Or nous avons aussi11 dV ≈ |∇X x| dVX ≈ |∇X x| (BX − AX , nX )dσX . Apr`es simplifications et en passant a` la limite B → A nous obtenons α = |∇X x|. Cela termine la preuve. 11

C’est la formule de changement de coordonn´ees dans les int´egrales   f (X(x))Jdx = f (X)dX, J = |∇X x| x∈Ω

X∈Ω

18

2 Mod`eles

B BX n nX

A

AX

ΩX

Ω

X

x

Fig. 2.7. Changement de coordonn´ees d’espace. Pour simplifier le vecteur qui va de a BX est align´e avec la normale nX . AX `

Th´ eor` eme 2.1. Le syst`eme de lois de conservation ∇x .f (U (x)) = 0 est ´equivalent au syst`eme de lois de conservation ∇X . [f (U (x(X)))cof (∇X x)] = 0.

(2.18)

Nous avons de plus l’identit´e de Piola ∇X . [cof (∇X x)] = 0. On a la suite d’´egalit´es





 ∇x . (f (U )) dx =

0= Ω



∂ΩX

f (U )ndσ ∂Ω

∇X . (f (U )cof (∇X x)) dX.

f (U )cof (∇X x) nX dσX =

=

(2.19)

ΩX

Comme c’est vrai pour tout Ω, cela montre (2.18). L’identit´e de Piola s’obtient en consid´erant f = I dans (2.18). La preuve est termin´ee. L’identit´e de Piola peut apparaˆıtre `a premi`ere vue comme une relation surabondante. Elle est en fait n´ ecessaire. Un argument en faveur de la n´ecessit´e de l’identit´e de Piola consiste `a remarquer que l’´equation (2.18) fait apparaˆıtre des inconnues suppl´ementaires (cof (∇X x)) qui n´ecessitent donc des ´equations suppl´ementaires (l’identit´e de Piola). On peut r´esumer l’´egalit´e (2.18) ainsi : la structure de loi de conservation est invariante par changement de coordonn´ ees d’espace.

2.3 Coordonn´ees de Lagrange

19

2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d’espace Nous sommes en mesure de d´eriver les ´equations de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange. Nous consid´erons d’abord le cas de la dimension un pour le syst`eme (2.10) que nous r´ecrivons sous la forme d’une divergence temps-espace ∇tx . (U, f (U )) = 0 avec U = (ρ, ρu, ρe)t et f (U ) = (ρu, ρu2 + p, ρue + pu)t . La transformation temps-espace est t = t,

∂x(t , X) = u(t , x(t , X)). ∂t

Cette transformation est r´eguli`ere sous des hypoth`eses ad-hoc sur la r´egularit´e de la vitesse u. Appliquons les formules pr´ec´edentes. La matrice Jacobienne de la transformation est   ∂x 1 0 ∇(t ,X) (t, x) = . , J= uJ ∂X  

J −u La matrice des cofacteurs est cof ∇(t ,X) (t, x) = . L’´equation (2.18) 0 1    J −u ∇t ,X . (U, f (U )) =0 0 1 s’´ecrit sous forme ´etendue ⎧ ⎨ ∂t (ρJ) = 0, ∂t (ρuJ) + ∂X p = 0, ⎩  ∂t (ρeJ) + ∂X (pu) = 0. L’identit´e de Piola (2.19) devient12 ∂t J − ∂X u = 0. A pr´esent nous rempla¸cons t par t pour simplifier les notations. L’ensemble de ces quatre lois de conservation forme un syst`eme ferm´e ⎧ ∂t (ρJ) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρuJ) + ∂X p = 0, (2.20) ∂t (ρeJ) + ∂X (pu) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t J − ∂X u = 0. L’interpr´ etation physique des ´equations (2.20) est la suivante : un volume ´el´ementaire de masse constante est soumis `a la loi de Newton ma = f avec m = ρ(0, X), a = ∂t u et f = ∂X p. Le travail des forces est d´etermin´e par −∂X (pu). 12

On retrouve directement cette relation en d´erivant ∂t x(t , X) = u par rapport ` a X.

20

2 Mod`eles

Th´ eor` eme 2.2. Nous supposons que la masse volumique est partout strictement positive. D´efinissons la variable de masse dm = ρ(0, X)dX et le volume sp´ecifique τ = 1ρ . Le syst`eme (2.20) de la dynamique des gaz se r´ecrit en coordonn´ees de Lagrange sous la forme ⎧ ⎨ ∂t τ − ∂m u = 0, ∂t u + ∂m p = 0, ⎩ ∂t e + ∂m (pu) = 0.

(2.21)

On int`egre directement la premi`ere ´equation de (2.20) donc (ρJ)(t, X) = ρ(0, X) est ind´ependant de t. Cela permet de sortir ρJ de la d´erivation temporelle et fournit les deux derni`eres ´equations de (2.21). De mˆeme pour J = (ρJ)τ . Les op´erateurs diff´erentiels ∂t et ∂m sont invariants par toute transformation galil´ eenne. Pour le montrer nous allons utiliser une notation un peu lourde mais sans ´equivoque. La notation ∂a|b indiquera la d´erivation partielle par rapport `a la variable a, la variable b ´etant fix´ee. On touve cette notation dans certains ouvrages de m´ecanique. Son emploi permet ici de ne pas faire de confusion entre ∂t|x (x fix´e) et ∂t|m (m fix´e, ou encore X fix´e). On a alors d’apr`es (2.13)  ∂t|m = ∂t|x + u∂x|t = ∂t |x + (u + v)∂x |t = ∂t |x + u ∂x |t = ∂t |m , ∂m|t = 1ρ ∂x|t = ρ1 ∂x |t = ∂m |t . Donc ∂t = ∂t et ∂m = ∂m ce qui montre l’invariance et justifie la d´enomination d de d´erivation mat´erielle aussi employ´ee pour ∂t|m = ∂t + u∂x = dt . 2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d’espace On part du syst`eme eul´ erien en dimension deux d’espace (2.11). Posons A = ∂X x, B = ∂X y, L = ∂Y x, M = ∂Y y.

(2.22)

La matrice Jacobienne de transformation espace-temps est ⎞ ⎛ 1 0 0 ∂(t, x, y) = ⎝u A L ⎠ ∂(t, X, Y ) vBM avec  cofac

∂(t, x, y) ∂(t, X, Y )



⎛

⎞ J −uM + vL uB − vA M −B ⎠ , J = AM − BL. =⎝0 0 −L A

L’alg`ebre de l’´equation (2.18) se r´eduit a`

2.3 Coordonn´ees de Lagrange

21

⎞

⎛

⎛ ⎞ ρ ρu ρv ⎟ J −uM + vL uB − vA ⎜ ρu ρu2 + p ρuv ⎟⎝ 0 ⎜ M −B ⎠ ⎝ ρv ρuv ρv 2 + p ⎠ 0 −L A ρe ρue + pu ρve + pv ⎛ ⎞ ρJ 0 0 ⎜ ρuJ ⎟ pM −pB ⎟. =⎜ ⎝ ρvJ ⎠ −pL pA ρeJ puM − pvL −puB + pvA D’o` u tous calculs faits le syst`eme lagrangien qui est constitu´e de la d´efinition du changement de coordonn´ees Lagrange Euler  ∂t x(t, X, Y ) = u, x(0, X, Y ) = X, (2.23) ∂t y(t, X, Y ) = v, y(0, X, Y ) = Y, des ´equations de la dynamique des gaz (2.11) ´ecrites en coordonn´es (X, Y ) ⎧ ∂t (ρJ) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρJu) + ∂X (pM ) + ∂Y (−pB) = 0, (2.24) ∂t (ρJv) + ∂X (−pL) + ∂Y (pA) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρJe) + ∂X (puM − pvL) + ∂Y (pvA − puB) = 0, et des relations de compatibilit´e (identit´e de Piola temps-espace) ⎧ ⎨ ∂t J − ∂X (uM − vL) − ∂Y (vA − uB) = 0, ∂X M − ∂Y B = 0, ⎩ −∂X L + ∂Y A = 0.

(2.25)

Les deux derni`eres ´equations de compatibilit´e sont triviales, la premi`ere ne l’est pas. En dimension deux on ne peut pas d´efinir de variable de masse comme cela a ´et´e fait en dimension un d’espace. Si cela ´etait possible cela reviendrait a simplifier la structure du syst`eme grˆ ` ace `a deux variables de masse (X, Y ) → (α, β) d´efinies par ∂X = ρ0 ∂α et ∂Y = ρ0 ∂β . Les formules de d´erivation compos´ees impliquent alors  ∂β ∂α ρ0 ∂α = ∂X ∂α + ∂X ∂β , ∂β ∂α ρ0 ∂β = ∂Y ∂α + ∂Y ∂β Par identification ∂α = ρ0 , ∂X

∂β ∂β ∂α = = 0 et = ρ0 . ∂Y ∂X ∂Y 

Donc ∂Y ρ0 = ∂Y

∂α ∂X



 = ∂X

∂α ∂Y

 = 0.

De mˆeme ∂X ρ0 = 0. C’est donc que ρ0 (X, Y ) est une fonction constante. C’est le cas ´evident qui ne pr´esente pas d’int´erˆet particulier.

22

2 Mod`eles

2.3.4 Formulation de Hui Cette formulation des ´equations de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange est l´eg`erement diff´erente de la pr´ec´edente. Elle utilise des ´equations suppl´ementaires pour les composantes du gradient de d´eformation. A partir de (2.22) on a ⎧ ∂t A = ∂X u, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t B = ∂X v, (2.26) ∂t L = ∂Y u, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t M = ∂Y v. Le syst`eme de Hui est constitu´e du syst`eme (2.26) qui est appel´e partie g´eom´etrique, et du syst`eme (2.24) qui est appel´e partie physique. L’´equation alg´ebrique J = AM − BL montre que le syst`eme de Hui est un syst`eme ferm´e. En comparant avec la formulation pr´ec´edente, cela montre le fait remarquable suivant : il n’y a pas unicit´ e de la formulation des ´ equations de la dynamique des gaz compressibles en coordonn´ ees de Lagrange multidimensionnelle. 2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d’espace Le gradient de d´eformation en dimension trois d’espace est ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂X x, ∂Y x ∂Z x A L P J = ⎝ ∂X y, ∂Y y ∂Z y ⎠ = ⎝ B M Q ⎠ . ∂X z, ∂Y z ∂Z z C N R Posons J = det(J) et ⎛

⎞ M R − N Q −BR + CQ BN − CM cofac(J) = ⎝ −LR + N P AR − CP −AN + CL ⎠ . LQ − M P −AQ + BP AM − BM La matrice Jacobienne de transformation lagrangienne espace-temps est ⎛ ⎞   u ∂(t, x, y, z) 10 , u = ⎝ v ⎠. = uJ ∂(t, X, Y, Z) w 

Alors cofac

∂(t, x, y, z) ∂(t, X, Y, Z)



 =

J −ut cofac(J) 0 cofac(J)

 .

L’alg`ebre de l’´equation (2.18) se r´eduit a` ⎛ ⎛ ⎞ ⎞   ρJ ρ ut 0 t ⎝ ρu ρuut + pI ⎠ J −u cofac(J) = ⎝ ρuJ p cofac(J) ⎠ . 0 cofac(J) ρe ρeut + put ρeJ put cofac(J)

2.4 Syst`eme lin´eairement bien pos´e et hyperbolicit´e

23

Le syst`eme de la dynamique des gaz compressible lagrangien en dimension trois d’espace est constitu´e de la d´efinition du changement de coordonn´ees Lagrange Euler ∂t x(t, X) = u, x(0, X) = X, (2.27) des ´equations de la dynamique des gaz ´ecrites en coordonn´es X = (X, Y, Z) ⎞ ⎛ 0 ρJ ∇t,X . ⎝ ρuJ p cofac(J) ⎠ = 0 (2.28) ρeJ put cofac(J) et des relations de compatibilit´e (identit´e de Piola temps-espace)   J −ut cofac(J) = 0. ∇t,X . 0 cofac(J)

(2.29)

La premi`ere ´equation de (2.29) est non triviale. En dimension trois on ne peut pas d´efinir de variable de masse.

2.4 Syst` eme lin´ eairement bien pos´ e et hyperbolicit´ e La stabilit´ e est une notion absolument essentielle pour l’´etude des syst`emes physiques ´evolutifs. Le premier pas dans l’´etude des solutions d’un syst`eme non lin´eaire de lois de conservation consiste en une ´etude de stabilit´e lin´eaire13 . Nous consid´erons pour cela une petite perturbation autour d’une donn´ee constante. Dans le cas o` u cette perturbation lin´eaire est stable au cours du temps nous dirons que le syst`eme est lin´eairement stable. Cette notion donne imm´ediatement acc`es aux vitesses d’ondes. 2.4.1 Stabilit´ e lin´ eaire en dimension un d’espace Plus pr´ecis´ement nous consid´erons le syst`eme de lois de conservation ∂t U + ∂x f (U ) = 0, 13

U, f (U ) ∈ Rn .

(2.30)

C’est un premier pas vers le probl`eme de Cauchy et le probl`eme de Riemann. En dimension un d’espace le probl`eme de Cauchy concerne l’existence et l’unicit´e de la solution de l’´equation ∂t U (t, x) + ∂x f (U (t, x)) = 0 pour une donn´ee initiale U (0, x) = U0 (x). Le probl`eme de Riemann suppose que la donn´ee initiale est d’un type particulier : U0 est une fonction discontinue U0 (x) = UG pour x < 0,

U0 (x) = UD pour x > 0.

24

2 Mod`eles

Nous faisons l’hypoth` ese que le flux est diff´ erentiable et posons A(U0 ) = ∇U f (U )(U0 ) ∈ Rn×n ,

U 0 ∈ Rn .

(2.31)

Soit Uε une solution perturb´ee autour d’une valeur U0 , que nous prenons sous la forme (2.32) Uε (t, x) = U0 + εV (t, x) + o(ε). Nous d´eveloppons l’´equation ∂t Uε + ∂x f (Uε ) = 0 en puissance de ε (∂t U0 + ∂x f (U0 )) + ε (∂t V + ∂x (A(U0 )V )) + o(ε) = ε (∂t V + ∂x (A(U0 )V )) + o(ε) = 0. N´egligeant les termes d’ordre sup´erieur, V est solution d’une ´equation lin´ eaire ∂t V (t, x) + A∂x V (t, x) = 0,

V (t, x) ∈ Rn , A ∈ Rn×n .

(2.33)

Implicitement A = A(U0 ) = ∇U f (U0 ) est la Jacobienne ´evalu´ee en un ´etat donn´e U0 . L’´etude de la stabilit´e lin´eaire consiste en l’´etude des solutions born´ees de cette ´equation. Une approche classique consiste `a se contenter des solutions en mode de Fourier-Laplace V (t, x) = ei(kx−ωt) W,

W ∈ Rn ,

k ∈ R.

Le vecteur W est solution de l’´equation aux valeurs propres AW = λW,

W ∈ Rn , λ =

ω est a priori complexe. k

(2.34)

D´ efinition 2 Nous dirons que le syst`eme (2.33) est fortement mal pos´ e ssi il existe des valeurs propres λ non r´eelles au probl`eme (2.34). Ici fortement mal pos´e est synonyme de fortement instable. Pour les matrices r´eelles, λ est valeur propre si et seulement si λ est valeur propre. Donc si le probl`eme aux valeurs propres (2.34) poss`ede une valeur propre non r´eelle λ, alors λ ou λ fournit une solution exponentiellement croissante en temps en e−iωt = e−iλkt . Le taux de croissance est d’autant plus grand que k ou −k est grand. A la limite k ou −k est infini. Comme λ est ind´ependant de k, le taux de croissance des petites perturbations tr`es oscillantes est arbitrairement grand. Ceci est la signature d’un probl`eme mal pos´e, au sens o` u des perturbations arbitrairement petites ont une influence arbitrairement grande. La d´efinition compl´ementaire caract´erise le cas o` u les perturbations restent contrˆ ol´ees. D´ efinition 3 Nous dirons que le syst`eme (2.33) est bien pos´ e si et seulement si les valeurs propres λ du probl`eme (2.34) sont toutes r´eelles. Les solutions se r´ecrivent V (t, x) = eik(x−λt) W , W ∈ Rn , k ∈ R, λ ∈ R. Donc la valeur propre λ est la vitesse de d´eplacement du mode de Fourier.

2.4 Syst`eme lin´eairement bien pos´e et hyperbolicit´e

25

D´ efinition 4 Pour un syst`eme bien pos´e les valeurs propres sont les vitesses d’ondes. Nous verrons que pour la dynamique des gaz compressibles, la vitesse d’onde est reli´ee `a la vitesse du son. D´ efinition 5 Nous dirons que le syst`eme (2.33) est faiblement bien pos´ e ssi il est bien pos´e et l’ensemble des vecteurs propres est incomplet (il manque des vecteurs propres). Un ph´enom`ene particulier existe dans le cas faiblement bien pos´e, lequel ph´enom`ene n’existe pas dans le cas fortement bien pos´e. En effet pour un syst`eme faiblement bien pos´e, la th´eorie g´en´erale des matrices implique l’exis ∈ Rn tels que tence de deux vecteurs non nuls W ∈ Rn et W  = λW  + W. AW = λW et AW La valeur propre double est λ ∈ R. Comme auparavant nous construisons a` partir de W une premi`ere solution de type Fourier V (t, x) = eik(x−λt) W pour tout k ∈ R pour l’´equation ∂t V + A∂x V = 0. Le point nouveau est l’existence d’une deuxi`eme solution de type Fourier. Soit la fonction    − iktW . V (t, x) = eik(x−λt) W Or

   − iktW ) − W + A(W  − iktW ) = 0. ∂t V + A∂x V = ikeik(x−λt) −λ(W

Donc la fonction V est aussi solution de ∂t V +A∂x V = 0. Le taux de croissance en temps de ce type de solution est affine mais ind´ependant du nombre d’onde k. La situation est tr`es diff´erente du cas fortement mal pos´e. On ne consid`ere pas que cette situation rel`eve d’une instabilit´e physique. D´ efinition 6 Nous dirons que le syst`eme (2.33) est fortement bien pos´ e ou encore hyperbolique ssi il est bien pos´e et l’ensemble des vecteurs propres est complet (c’est a ` dire qu’il y a n vecteurs propres ind´ependants). Un crit`ere simple et pratique pour la th´eorie : si toutes les valeurs propres sont distinctes alors l’ensemble des vecteurs propres est complet. Nous dirons alors que le syst`eme est strictement hyperbolique. Pour les syst`emes qui viennent de la m´ecanique des milieux continus, nous verrons cependant au chapitre 5 que le cas des vitesses d’ondes multiples (i.e. des valeurs propres doubles) est tr`es courant. Des exemples de syst`emes lin´eaires sont pr´esent´es dans la table (2.2). Pour un syst`eme de lois de conservation non lin´eaire, nous retiendrons la d´efinition

26

∂t

2 Mod`eles      u 0 1 u + ∂x = 0 fortement mal pos´e v −1 0 v

     u 00 u + ∂x =0 ∂t v 10 v      u 01 u + ∂x =0 ∂t v 10 v

faiblement bien pos´e

fortement bien pos´e, hyperbolique

Tableau 2.2. Syst`emes lin´eaires

D´ efinition 7 Nous dirons que le syst`eme non lin´eaire de lois de conservation (2.30) est hyperbolique dans un certain domaine Ω ⊂ Rn ssi le syst`eme lin´earis´e (2.33) est hyperbolique pour tout U0 ∈ Ω. Si de plus toutes les valeurs propres du lin´earis´e sont distinctes, nous dirons que le syst`eme non lin´eaire est strictement hyperbolique. Par d´efinition les ´equations scalaires (∂t u + ∂x f (u) = 0, u ∈ R) sont toutes hyperboliques pour un flux u → f (u) r´eel et d´erivable. La d´efinition prend son sens pour les syst`emes d’´equations. 2.4.2 Stabilit´ e lin´ eaire en dimension sup´ erieure L’´etude de la stabilit´e lin´eaire en dimension sup´erieure d’espace consiste le plus souvent a` se ramener ` a la dimension un d’espace. Consid´erons par exemple un syst`eme en dimension deux d’espace ∂t U + ∂x f (U ) + ∂y g(U ) = 0

(2.35)

dont les flux U → f (U ), g(U ) sont diff´erentiables. On se ram`ene `a la dimension un d’espace en supposant que U est invariant dans la direction y  (qui s’obtient par une rotation des axes)    x = cos θx + sin θy, x = cos θx − sin θy  , ⇐⇒ , θ ∈ R.  y = − sin θx + cos θy. y = sin θx + cos θy  . L’hypoth`ese d’invariance s’´ecrit ∂y |x U = 0 ou encore U (t, x, y) = Uθ (t, x ). On est alors ramen´e au cas de la dimension un d’espace dans la direction x ∂t Uθ + ∂x fθ (Uθ ) = 0,

fθ (Uθ ) = cos θf (Uθ ) + sin θg(Uθ ).

(2.36)

2.4 Syst`eme lin´eairement bien pos´e et hyperbolicit´e

27

D´ efinition 8 Nous dirons que le syst`eme en dimension deux d’espace (2.35) est lin´eairement bien pos´e (resp. mal pos´e, faiblement bien pos´e) si et seulement si le syst`eme en dimension un d’espace (2.36) est lin´eairement bien pos´e (resp. mal pos´e, faiblement bien pos´e) pour toute valeur de θ ∈ R. Pour ´etablir le caract`ere lin´eairement bien pos´e d’une syst`eme donn´e, il suffit de ce fait d’´etudier l’´equation aux valeurs propres Aθ W = λW,

W ∈ Rn , λ =

ω est a priori complexe k

(2.37)

avec Aθ = cos θA + sin θB,

A = ∇U f (U ), B = ∇U g(U ).

En pratique deux cas se pr´esentent. Le premier cas correspond aux syst`emes qui sont eux-mˆemes invariants par rapport aux rotations des coordonn´ees d’espace. Le syst`eme de la dynamique des gaz eul´erienne est de ce type. Dans ce cas l’´etude de la stabilit´e en dimension sup´erieure n’apporte pas d’information suppl´ementaire par rapport a` la dimension un d’espace. Le deuxi` eme cas correspond aux syst`emes dont l’invariance par rapport aux rotations des coordonn´ees d’espace est plus subtile `a ´etudier. Le syst`eme de la dynamique des gaz lagrangienne est de ce type. Ces deux cas sont d´etaill´es dans la section suivante.

∂t

     u 00 u + ∂x = 0 faiblement bien pos´e v 10 v

∂t

     u 00 u + ∂x = 0 fortement bien pos´e v 10 v plus ∂x u = 0 a `t=0

Tableau 2.3. Un exemple de syst`eme lin´eaire faiblement bien pos´e au sens de la d´efinition 5, mais fortement bien pos´e pour une donn´e initiale bien choisie

Cependant la d´efinition 8 n’est pas n´ecessairement bien adapt´e `a l’´etude de la stabilit´e lin´eaire en dimension sup´erieure. En effet l’approche de stabilit´e lin´eaire en dimension un d’espace propos´ee consid`ere des perturbations petites mais quelconques. Voir l’´equation (2.32). Dans le cas o` u des contraintes de type divergence font partie int´egrante du syst`eme, l’´etude des petites perturbations doit respecter ce principe pour que le sens physique soit correct. ´ Enonc´ e autrement il nous faudrait alors ajouter des conditions de divergence nulle pour les petites perturbations admissibles, ce qui modifierait bien sˆ ur l’analyse de stabilit´e du syst`eme en dimension une d’espace. Voir la table 2.3

28

2 Mod`eles

pour un exemple simple. Pour cet exemple on a ∂x u = 0 a` t = 0. Comme ∂t u = 0 alors ∂x u = 0 pour tout temps t > 0. Donc v(t, x) = v(0, x).

2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde Le trafic routier Soit l’´equation du trafic routier (2.4) lin´earis´ee autour d’une densit´e de r´ef´erence ρ0 : ρε (t, x) = ρ0 + εμ(t, x) + o(ε). Au premier ordre l’´equation pour la perturbation lin´eaire est   ρ0 ∂t μ + a∂x μ = 0, a = umax 1 − 2 . ρmax La vitesse d’onde est λ = a. La solution est μ(t, x) = μ(x − at). Soit ρc la densit´e critique ρmax ρc = . 2 Pour une densit´e de v´ehicule ρ < ρc alors a > 0 et inversement pour ρ > ρc alors a < 0. Il s’ensuit que les petites perturbations remontent en sens inverse de la circulation pour une densit´e forte et avancent dans le mˆeme sens que les v´ehicules pour une densit´e faible. Cela introduit une distinction entre la vitesse des v´ehicules qui sont des particules mat´erielles et la vitesse des petites perturbations en densit´e qui ne sont pas des particules mat´erielles. Voir la figure 2.8.

ρ a0 x

Fig. 2.8. Petites perturbations pour le trafic routier : ρ0 < ρc < ρ0

2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde

29

Le syst` eme de St Venant Lemme 3 Le flux du mod`ele de Saint Venant (2.6) est diff´erentiable pour h = 0. Le mod`ele est strictement hyperbolique pour h > 0. Il est lin´eairement fortement mal pos´e pour h < 0. Remarquons que h < 0 correspond a` des hauteurs d’eau strictement n´egatives qui n’ont pas de r´e alit´e physique.  Posons a = h et b = hu. Le flux du mod`ele b (2.6) est f (a, b) = b2 g 2 . On a a + 2a  A=

0 1 b2 − a2 + ga 2 ab

 ,

tr(A) =

2b = 2u, a

det(A) =

b2 − ga = u2 − gh. a2

Les valeurs propres sont solutions de λ2 − tr(A)λ + det(A) = 0. D’o` u   2u ± (2u)2 − 4(u2 − gh) = u ± c, c = gh. λ= 2 Pour h > 0 les valeurs sont distinctes donc le syst`eme est strictement hyperbolique. Finalement h < 0 implique c ∈ iR∗ . Donc les valeurs propres sont complexes conjugu´ees et le syst`eme est lin´eairement fortement mal pos´e14 . On retiendra que plus la hauteur d’eau h est grande, plus la vitesse c est grande. En supposant que la hauteur d’eau dans l’oc´ean est de 4000 m, on obtient l’ordre de grandeur de la vitesse de propagation des tsunamis dans l’oc´ean √ c ≈ 9.81 × 4000 ≈ 200ms−1 = 720km h−1 . La dynamique des gaz compressibles en dimension un Lemme 4 Soit le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles (2.10) avec la loi de pression de gaz parfait polytropique (2.9) pour une masse volumique positive ou nulle. Alors : a) le flux est diff´erentiable ssi ρ > 0, et b) le mod`ele est strictement hyperbolique pour ε > 0. Il est lin´eairement fortement mal pos´e pour ε < 0. Le signe de la masse volumique ne joue pas de rˆole. En effet on peut changer ρ en −ρ formellement sans probl`eme (avec ρu → −ρu et ρe → −ρe). Cela est dˆ u a la loi de gaz parfait. Pour d’autres lois d’´etats l’hyperbolicit´e peut d´ependre ` 14

Bien que cela ne corresponde pas ` a la d´efinition choisie, nous pouvons ´etudier la limite de la matrice Jacobienne du syst`eme de St Venant pour h → 0+ . Soit A0 = limh→0+ A. Alors A0 = uId . Donc A0 n’est pas diagonalisable et ne peut a fortiori poss´eder deux vecteurs propres. Il s’ensuit que mˆeme en ´etendant la notion d’hyperbolicit´e, on aboutirait ` a la mˆeme conclusion : le syst`eme ne poss`ede pas la propri´et´e de stabilit´e lin´earis´ee de la d´efinition 6 pour h = 0.

30

2 Mod`eles

de ρ. En tout ´ etat de cause, les donn´ ees physiques correspondent ` a ρ ≥ 0. Posons a = ρ, b = ρu et c = ρe. Le flux du mod`ele est ⎛ ⎞ b   ⎜ b2 ⎟ b2 b2 = 3−γ ⎜ a + (γ − 1) c − 2a 2 a + (γ − 1)c ⎟ ⎜ ⎟. f (a, b, c) = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠   γ−1 b3 bc bc b3 bc = γ + (γ − 1) − − 2 2 a a 2a a 2 a La matrice Jacobienne du flux est ⎛ ⎞ 0 1 0 2 b − 3−γ (3 − γ) ab (γ − 1) ⎠ . A=⎝ 2 a2 b2 bc b3 c −γ a2 + (γ − 1) a3 γ a − 3γ−3 γ ab 2 a2 Les invariants de A sont15 tr(A) = 3

b = 3u, a

Δ2 (A) =

γ 2 − γ + 6 b2 c − γ(γ − 1) = 3u2 − γ(γ − 1)εu 2 2 a a

et

bc γ 2 − γ + 2 b3 − γ(γ − 1) 2 = u3 − γ(γ − 1)ε. 2 a3 a Le probl`eme aux valeurs propres est det(A) =

λ3 − 3uλ2 + (3u2 − γ(γ − 1)ε)λ − u3 + γ(γ − 1)ε = 0. Une valeur propre ´evidente est λ = u. D’o` u (λ − u)(λ2 − 2uλ + u2 − γ(γ − 1)ε) = 0. Donc les valeurs propres sont λ1 = u − c,

λ2 = u,

λ3 = u + c,

c=

 γ(γ − 1)ε.

Pour ε > 0 le syst`eme est strictement hyperbolique et pour ε < 0 il est lin´eairement fortement mal pos´e16 . Application num´ erique Pour un gaz parfait on a c =

  γ(γ − 1)ε = γp ρ . Cette loi relie 3 gran-

deurs macroscopiques ρ, p, c ` a une grandeur γ qui est fonction de la structure 15 16

Δ2 (A) est la somme des mineurs de taille deux. Mˆeme remarque que pour le syst`eme de St Venant des eaux peu profondes. Pour ε = 0 et u = 0 la limite ρ → 0+ de la matrice Jacobienne n’est jamais identique a uI. Bien que toutes les valeurs propres tendent vers la mˆeme limite, la matrice ` Jacobienne limite n’est pas proportionnelle ` a l’identit´e.

2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde

31

microscopique du gaz. Deux grandeurs macroscopiques ρ et p se mesurent par des exp´eriences statiques et une c se mesure par une exp´erience dynamique. Cela donne lieu `a une application num´erique. La masse volumique de l’air au sol est ρ = 1.28 × 103 gm−3 . La pression de l’air au sol est p = 1 atm = 1.013 bar = 1.013 × 105 Nm−2

= 1.013 × 105 kgm2 s−2 m−2 = 1.013 × 108 gm−1 s−2 . 

Donc c=

γp ≈ 332.88ms−1 . ρ

En suivant Newton et Poisson on aurait pu n´egliger la d´ependance de la pression par rapport a` la temp´erature et a` se contenter d’une approximation isotherme (loi de Boyle) p ≈ Cρ. En adaptant le calcul des ondes pour le syst`eme de St Venant, on trouverait  √ p ≈ 281.31ms−1 . c≈ C= ρ qui bien sˆ ur ne correspond pas aux mesures. Cette application num´erique constitue en elle-mˆeme une justification a posteriori de l’hypoth`ese de gaz parfait p = (γ − 1)ρε. La dynamique des gaz compressibles en dimension sup´ erieure Nous consid´erons le syst`eme de la dynamique des gaz compressible en dimension deux d’espace (2.11) et ´etudions la stabilit´e lin´eaire. Supposons, comme cela est propos´e `a la section 2.4.2 que la solution soit invariante dans la direction y  = − sin θx + cos θy. L’´equation (2.36) s’´ecrit (x = cos θx + sin θy) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ ρ(cos θu + sin θv) ⎜ ρu ⎟ ⎜ ⎟ ρ(cos θu + sin θv)u + p cos θ ⎜ ⎟ ⎟ = 0. ∂t ⎜ ⎝ ρv ⎠ + ∂x ⎝ ⎠ ρ(cos θu + sin θv)v + p sin θ ρe ρ(cos θu + sin θv)e + p(cos θu + sin θv) Il parait judicieux de d´efinir uθ = cos θu + sin θv,

vθ = − sin θu + cos θv.

32

2 Mod`eles

On obtient en combinant les deuxi`eme et troisi`eme ´equations du syst`eme pr´ec´edent ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ρ ρuθ ⎜ ρuθ ⎟ ⎜ ρu2 + p ⎟ θ ⎜ ⎟ ⎟ ∂t ⎜ ⎝ ρvθ ⎠ + ∂x ⎝ ρuθ vθ ⎠ = 0. ρe ρuθ e + puθ Nous retrouvons le syst`eme de la dynamique des gaz `a deux composantes de vitesse, mais ´ecrit dans une direction particuli`ere. Cela met en ´evidence l’invariance par rotation du syst`eme de la dynamique des gaz compressibles. A partir de l`a, il est ais´e de reproduire les calculs de vitesse d’ondes du lemme 4. Cela est laiss´e au lecteur. On trouve que la matrice Jacobienne pour le flux est diagonalisable a` valeurs propres et vecteurs propres r´eels. Une m´ethode diff´erente de calcul des valeurs propres et vecteurs propres est propos´ee au chapitre 5. Les valeurs propres sont λ1 = uθ − c, λ2 = λ3 = uθ , λ4 = uθ + c. Le cas lagrangien L’hyperbolicit´e des ´equations de la dynamique des gaz lagrangienne est moins ´evidente. Nous partons, pour des raisons de simplicit´e, de la formulation de Hui en dimension deux d’espace et ´etudions la stabilit´e de solutions invariantes par rapport a` Y ⎧ ⎪ ⎪ ∂t (ρJ) = 0, ⎪ ⎪ ∂t (ρJu) + ∂X (pM ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ t (ρJv) + ∂X (−pL) = 0, ⎪ ⎨ ∂t (ρJe) + ∂X (puM − pvL) = 0, , J = AM − BL. ∂t A − ∂X u = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂t B − ∂X v = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂t L = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t M = 0. La donn´ee initiale est telle que A = M = 1, B = L = 0 et ρJ = ρ0 (X). On utilise τ = ρ−1 . On peut simplifier en ⎧ ⎪ ⎪ ρ0 ∂t τ − ∂X u = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ρ0 ∂t u + ∂X p = 0, ρ0 ∂t e + ∂X (pu) = 0, . (2.38) ⎪ ⎪ ρ ∂ v = 0, ⎪ 0 t ⎪ ⎩ ∂t B − ∂X v = 0. Deux cas se pr´esentent. La dimension un d’espace : on consid`ere une situation vraiment monodimensionnelle, ce qu’on caract´erise par v ≡ 0. Auquel cas on est ramen´e au syst`eme

2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde

33

⎧ ⎨ ρ0 ∂t τ − ∂X u = 0, ρ0 ∂t u + ∂X p = 0, . ⎩ ρ0 ∂t e + ∂X (pu) = 0, Pour une loi p = p(ρ, ε) la matrice Jacobienne est ⎛ ⎞ 0 −1 0 1 ⎝ pτ −upε pε ⎠ . A= ρ0 upτ p − u2 pε upε ε λ = 0 dont Le polynˆ ome caract´eristique est det(A − λI) = −λ3 − pτ −pp ρ20 les racines sont √ √ −pτ + ppε −pτ + ppε A A λA = − , λ = 0, λ = . 1 2 3 ρ0 ρ0

Dans le cas g´en´eral les trois valeurs propres sont distinctes. La matrice A poss`ede trois vecteurs propres r´eels. La situation vraiment bidimensionnelle : a` pr´esent v = 0 est admissible. La matrice Jacobienne du flux de (2.38) est ⎛ ⎞ 0 −1 0 0 0 ⎜ pτ −upε pε −vpε 0 ⎟ ⎟ 1 ⎜ ⎜ upτ p − u2 pε upε −uvpε 0 ⎟ . B= ⎜ ⎟ ρ0 ⎝ 0 0 0 0 0⎠ 0 0 0 −1 0 Le polynˆ ome caract´eristique est det(B − λI) = λ2 det(A − λI). Les valeurs propres de B compt´ees sans leur ordre de multiplicit´e sont aussi celles de A. En tenant compte de l’ordre de multiplicit´e on a A B B B A B A λB 1 = λ1 < 0, λ2 = λ3 = λ4 = λ2 = 0, λ5 = λ3 > 0.

Le probl`eme se pose avec les vecteurs propres pour la valeur propre multiple nulle. Posons x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ). L’´equation pour les vecteurs propres associ´es `a la valeur propre nulle est ⎧ ⎪ ⎪ −x2 = 0, ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ pτ x1 − upε x2 + pε x3 − vpε x4 = 0, ⎨ x2 = 0, upτ x1 − u2 pε x2 + upε x3 − uvpε x4 = 0, ⇐⇒ pτ x1 + pε x3 = 0, ⎪ ⎩ ⎪ 0 = 0, x4 = 0. ⎪ ⎪ ⎩ −x4 = 0, Ces trois contraintes lin´eaires sont ind´ependantes dans le cas g´en´eral (pτ , pε ) = (0, 0). L’espace des vecteurs propres associ´ees `a la valeur propre nulle est de dimension deux. Il manque donc un vecteur propre. La matrice B n’est pas diagonalisable.

34

2 Mod`eles

Nous d´eduisons de cette ´etude. Lemme 5 Le syst`eme de la dynamique des gaz lagrangienne n’est que faiblement hyperbolique en dimension d’espace sup´erieure a ` un. La structure de la matrice B montre que ce sont les inconnues g´ eom´ etriques en dimension sup´erieure qui sont la cause de cette perte d’hyperbolicit´e forte. Un discussion de ce point se trouve dans [H06]. On renvoit `a la section 7.6.9 pour une discussion des cons´equences sur la convergence num´erique des m´ethodes lagrangiennes en dimension d ≥ 2.

2.6 Exercices Exercice 1 Soit l’´equation ∂t u + ∂x f (u) = 0 avec f  (u) = 0 pour tout u. On dit que le flux est vraiment non lin´eaire17. Trouver une fonction u → ϕ(u) telle que v = ϕ(u) est solution de l’´equation de Burgers  2 v = 0. (2.39) ∂t v + ∂x 2 Exercice 2 • On consid`ere le mod`ele de St Venant avec g = 0. Ce mod`ele est appel´e mod`ele des gaz sans pression  ∂t h + ∂x (hu) = 0,

∂t (hu) + ∂x hu2 = 0. Montrer que le mod`ele des gaz sans pression est faiblement hyperbolique. Montrer que u satisfait `a l’´equation de Burgers (une hypoth`ese implicite est que la solution est r´eguli`ere). Exercice 3 Nous reprenons la technique de lin´earisation, cette fois autour d’une solution scalaire u(t, x) non constante. On pose uε (t, x) = u(t, x) + εv(t, x) + o(ε). On suppose que ∂t u + ∂x f (u) = ∂t uε + ∂x f (uε ) = 0. Montrer que le couple (u, v) est solution du syst`eme     u f (u) ∂t + = 0, a(u) = f  (u). v a(u)v Montrer que le syst`eme est faiblement hyperbolique pour a (u)v = 0. 17

Le contre-exemple est f = au, a ∈ R donn´e.

(2.40)

2.6 Exercices

35

Exercice 4 • Nous ´etudions la robustesse du concept d’hyperbolicit´e. Soit le syst`eme ∂t U + ∂x f (U ) = 0. Nous supposons que le syst`eme est strictement hyperbolique. Soit U → fε (U ) une suite de flux tels que fε tend vers f dans C 1 . Montrer que le syst`eme ∂t U + ∂x fε (U ) = 0 est strictement hyperbolique pour ε assez petit. Exercice 5 Nous revenons sur l’exercice pr´ec´edent. En revanche nous supposons que ∂t U + ∂x f (U ) = 0 est lin´eairement fortement mal pos´e. Montrer que ∂t U +∂xfε (U ) = 0 est lin´eairement fortement mal pos´e pour ε assez petit. Exercice 6 Nous consid´erons le syst`eme lin´eaire  ∂t u +ε(a∂x u + b∂x v) = 0, ∂t v + ∂x u +ε(c∂x u + d∂x v) = 0, (a, b, c, d) sont des r´eels donn´es avec b < 0. Montrer que pour ε > 0 assez petit, le syst`eme est strictement hyperbolique, et que pour ε < 0 assez petit le syst`eme est fortement mal pos´e. Comparer avec les deux exercices pr´ec´edents. Exercice 7 Partir du syst`eme de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange et montrer que ∂p ∂p ρ 2 c2 = − +p . ∂τ |ε ∂ε|τ Prendre les caract´eristiques de la loi d’´etat de l’eau et en d´eduire que c ≈ 1500ms−1. Exercice 8 En reprenant l’exercice pr´ec´edent, montrer que la loi de van der Waals pr´esente une zone d’instabilit´e situ´ee `a l’int´erieur de la zone de stabilit´e. Exercice 9 On part du syst`eme de la dynamique des gaz eul´erien en dimension un d’espace. Soit une translation du r´ef´erentiel ` a vitesse variable en temps t = t ainsi que ∂t x (t, X) = v(t) avec x(0, X) = X. Montrer que l’on a

36

2 Mod`eles

⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu ) = 0, ∂t (ρu ) + ∂x (ρ(u )2 + p) = ρg(t), ⎩  ∂t (ρe) + v∂x (ρe) + ∂x (ρue + pu) = ρg(t)u . Les quantit´es ’ sont ´evalu´ees dans le r´ef´erentiel en mouvement. L’acc´el´eration d est g(t) = dt v(t). Exercice 10 • On reprend la preuve d’invariance galil´enne avec une m´ethode plus syst´ematique en appliquant le th´eor`eme 2.1. On consid`ere donc le changement de r´ef´erentiel (2.12) o` u v est une vitesse de translation donn´ee. Montrer que la comatrice de la transformation espace-temps (2.12) est   10 cof (M ) = . v1 Soit la matrice

⎛

⎞ ρ ρu A = ⎝ ρu ρu2 + p ⎠ ρe ρue + pu

ainsi que le syst`eme des gaz compressibles ∇t,x A = 0. Montrer que l’on a aussi ∇t ,x (A × cof (M )) = 0. Soit la matrice ⎞ 1 00 T = ⎝ v 1 0⎠. v2 2 v 1 ⎛

Montrer que le syst`eme de lois de conservation ∇t ,x (T × A × cof (M )) = 0 est identique au syst`eme de la dynamique des gaz dans le r´ef´erentiel (t , x ). On comparera avec le r´esultat du lemme 1.

2.7 Notes bibliographiques Le mod`ele du trafic routier LWR fait r´ef´erence aux travaux de Lighthill [L78], Whitham [W74] et Richards. La possibilit´e d’´ecrire de mani`ere syst´ematique les ´equations eul´eriennes sous forme lagrangiennes est connue depuis longtemps, on pourra consulter [D00] pour une r´ef´erence math´ematique moderne. Voir aussi [W87]. L’utilisation d’´equations lagrangiennes pour la d´erivation syst´ematique de m´ethodes num´eriques de type lagrangien ou quasilagrangien a ´et´e initi´ee dans les travaux de Hui et de ses collaborateurs [HL90, HLL99, HK01, H06] (c’est pourquoi on propose d’appeler la formulation ferm´ee par les ´equations d’´evolution du gradient de d´eformation formulation de Hui), puis reprise par [L02] et [DM05]. De mani`ere surprenante il est souvent consid´er´e que l’´ecriture des ´equations sous forme lagrangienne

2.7 Notes bibliographiques

37

instationnaire est une tˆ ache difficile [S96]. Voir [D] pour un d´eveloppement r´ecent autour des syst`eme de lois de conservation poss´edant l’invariance galil´eenne. La stabilit´e et l’hyperbolicit´e sont d´evelopp´es dans maints ouvrages maintenant classiques, citons juste [GR91, S96, D00].

3 ´ Etude d’une loi de conservation

Une fois un mod`ele eul´erien ou lagrangien obtenu il importe d’en d´eterminer les solutions par des moyens analytiques ou num´eriques. En comparant ces solutions aux r´esultats exp´erimentaux cela permet de progresser dans la compr´ehension du mod`ele. Nous verrons par la suite que la non-lin´earit´e du flux U → f (U ) induit l’existence de solutions d’un nouveau type pour tout syst`eme hyperbolique non lin´eaire de lois de conservation : ces solutions sont discontinues. Le cas scalaire est suffisant pour comprendre ce ph´enom`ene. Nous consid´erons l’´equation scalaire ∂t u + ∂x f (u) = 0,

t > 0,

(3.1)

avec une condition initiale u(0, x) = u0 (x). On construira la solution a` l’aide de la m´ethode des caract´eristiques, avec la restriction importante que cette solution se doit d’ˆetre r´eguli`ere. La non-lin´earit´e du flux u → f (u) induit l’existence de solutions discontinues. La formulation faible de l’´equation fournit un cadre agr´eable pour discuter des ces solutions discontinues. L’entropie permet de distinguer les solutions discontinues admissibles des solutions discontinues non admissibles. Des exemples seront trait´es avec soin, en particulier pour l’´equation du trafic routier pour laquelle les solutions discontinues de type choc sont les entr´ees de bouchon. Puis nous d´efinirons un sch´ema pour le calcul num´erique de la solution de (3.1). Nous montrerons sa stabilit´e sous condition de stabilit´e (condition CFL) Δt ≤ 1. c Δx On montrera que le sch´ema est compatible avec la condition d’entropie discr`ete. Cela permet de garantir que le sch´ema calcule les bonnes solutions discontinues et rejette de lui-mˆeme les solutions discontinues non admissibles pour le crit`ere de l’entropie. Des r´esultats num´eriques seront pr´esent´es, qui confirmeront l’analyse th´eorique. Les cas o` u le sch´ ema calcule les solutions non admissibles s’interpr` eteront comme une violation de B. Despr´ es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 3, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 

39

40

´ 3 Etude d’une loi de conservation

l’in´ egalit´ e d’entropie discr` ete. Nous pr´esenterons finalement un sch´ema lagrangien pour l’´equation du trafic routier.

3.1 Solutions fortes et m´ ethode des caract´ eristiques Soit l’´equation (3.1). Commen¸cons par supposer que u est une solution r´ eguli` ere du probl` eme de Cauchy  ∂t u + ∂x f (u) = 0, (3.2) u(0, x) = u0 (x). Ici la donn´ee initiale est x → u0 (x) que nous supposons C 1 (R). L’´equation se r´ecrit sous une forme dite non conservative ou non divergente ∂t u + a(u)∂xu = 0 avec a(u) = f  (u). Nous d´efinissons le changement de coordonn´ees (t, x) ↔ (t , X)1  ∂x(t ,X) = a (u(t , x(t , X))) , x(0, X) = X, ∂t (3.3)  t=t. D´ efinition 9 La courbe t → x(t, X) d´efinie par (3.3) est appel´ee la courbe caract´eristique associ´ee ` a la solution t → u(t, x) de l’´equation scalaire. Les formules de d´erivation compos´ee ´enoncent que  ∂t = ∂t t ∂t + ∂t x ∂x = ∂t + a∂x , ∂X = ∂X t ∂t + ∂X x ∂x = J∂x .

(3.4)

Par d´efinition J = ∂X|t x. Donc ∂t u + a(u)∂x u = 0 est ´equivalent a` ∂t u(t , x(t , X)) = 0. Donc la solution u est constante le long des courbes caract´eristiques

2

u(t , x(t , X)) = u(0, x(t , 0)) = u0 (X). Comme la solution est constante le long des courbes caract´eristiques, alors ∂x(t , X) = a(u0 (X)). ∂t C’est donc que les courbes caract´eristiques sont des droites, solutions de l’´equation des caract´eristiques. L’´ equation des droites caract´ eristiques est (t = t) x(t, X) = X + ta (u0 (X)) , 1 2

a(u) = f  (u).

(3.5)

Du type espace car t = t. Un autre mode de d´erivation de cette identit´e est propos´e dans les exercices.

3.1 Solutions fortes et m´ethode des caract´eristiques

41

La m´ethode des caract´eristiques consiste `a construire une solution de l’´equation grˆ ace `a la r´esolution pr´eliminaire de l’´equation des droites caract´eristiques (3.5). Plusieurs m´ethodes de r´esolution effective de l’´equation des caract´eristiques sont possibles. Remarquons aussi que la solution u n’a pas besoin d’ˆetre C 1 . Une fonction continue (C 0 ) et d´erivable par morceaux (C 1 par morceaux) suffirait. R´esumons. Lemme 6 Soit u0 (x) une fonction continue et d´erivable par morceaux. Nous supposons que la solution t → x(t, X) de l’´equation des caract´eristiques est continue, d´erivable par morceaux sur [0, T ]×R et inversible. La transformation inverse ´etant not´ee (t, x) → X(t, x) avec x(t, X(t, x)) = x pour tout x ∈ R. Alors la fonction (t, x) → u0 (X(t, x)) est continue, d´erivable par morceaux et est solution du probl`eme de Cauchy (3.2). Posons u(t, x) = u0 (X(t, x)). Nous avons ∂t u(t, x) + ∂x f (u(t, x)) = ∂t u(t, x) + a(u(t, x))∂x u(t, x) = ∂t |X u0 (X) = 0. Cette ´egalit´e est vraie partout sauf sur les lignes de pertes de r´egularit´e C 1 . Sur ces mˆemes lignes, l’´equation est vraie s´epar´ement de part et d’autre. D´ efinition 10 Les solutions d´ecrites dans le lemme 6 seront appel´ees solutions fortes (ceci par opposition aux solutions faibles qui vont ˆetre d´efinies plus bas). Nous consid´erons l’exemple tr`es classique de l’´equation de Burgers ∂t u + 2 ∂x u2 = 0 avec la condition initiale ⎧ ⎨ u0 (x) = 1, x < −1, u0 (x) = −x, −1 < x < 0, ⎩ u0 (x) = 0, x > 0. Les caract´eristiques sont repr´esent´ees figure 3.1. La solution de l’´equation des caract´eristiques (3.5) est ⎧ ⎨ x(t, X) = X + t, X < −1, x(t, X) = X − tX, −1 < X < 0, ⎩ x(t, X) = X, X > 0. Comme u(t, x(t, X)) = u0 (X) nous obtenons la solutions forte u ⎧ x − t < −1, ⎨ u(t, x) = 1, x u(t, x) = − , 0≤t 0.

(3.6)

La m´ethode de caract´eristiques est ici valable pour 0 ≤ t < T avec T = 1. Au temps t = T les caract´eristiques se croisent, il y a alors plusieurs solutions de l’´equation (3.5). La construction du lemme (6) s’effondre.

42

´ 3 Etude d’une loi de conservation

u0 (x)

1

t=0

x

−1 u(t, x)

1

t=

1 2

x

−1 u(t, x)

1

t=T =1

−1

x t

T =1

Plan (t, x)

−1

x

Fig. 3.1. Caract´eristiques se croisant pour l’´equation de Burgers

3.1 Solutions fortes et m´ethode des caract´eristiques

43

En revanche pour une autre donn´ee initiale, la construction a` l’aide des caract´eristiques est valide pour tout temps. Par exemple consid´erons la donn´ee ⎧ x < −1, ⎨ u0 (x) = 0, u0 (x) = 1 + x, −1 < x < 0, ⎩ x > 0. u0 (x) = 1, Les caract´eristiques sont repr´esent´ees figure 3.2. Les caract´eristiques sont

u0 (x)

1

−1

x t

T =1

−1

x

Fig. 3.2. Caract´eristiques ne se croisant pas pour l’´equation de Burgers

maintenant

⎧ X < −1, ⎨ x(t, X) = X, x(t, X) = X + t(1 + X), −1 < X < 0, ⎩ x(t, X) = X + t, X > 0.

La solution forte u est 0≤t 0.

´ 3 Etude d’une loi de conservation

44

3.2 Solutions faibles La m´ethode des caract´eristiques est `a mˆeme de construire une solution sauf pour certaines donn´ees initiales discontinues. Des solutions discontinues apparaissent in´evitablement d`es que les caract´eristiques se croisent. D`es lors, quel sens peut-on donner aux solutions de l’´equation  ∂t u + ∂x f (u) = 0, t > 0, x ∈ R (3.7) u(0, x) = u0 (x), x ∈ R pour des solutions discontinues ? Supposons pour l’instant que u est une solution forte continue. Soit (t, x) → ϕ(t, x) une fonction C 1 en espace et en temps et `a support compact : ϕ(t, x) ≡ 0 pour t > T ou |x| > A. Attention : ϕ(0, x) = 0 est tout `a fait possible pour −A < x < A. L’ensemble de ces fonctions sera not´e C01 .

t

T

−A

A

x

Fig. 3.3. Fonction test ϕ ∈ C01 ` a support compact dans [0, T [×] − A, A[

Nous multiplions (3.7) par ϕ ∈ C01 et int´egrons    T  (∂t u + ∂x f (u))ϕdtdx = (∂t u + ∂x f (u))ϕdtdx = 0. R

0 0.

Lemme 12 Solution du probl` eme de Riemann, cas convexe On suppose f  (u) > 0. La solution entropique du probl`eme de Riemann est Soit uG < uD : une d´etente. Pour x/t ≤ f  (uG ) u(t, x) = uG . Pour x/t ≥ f  (uD ) u(t, x) = uD . Pour f  (uG ) ≤ x/t ≤ f  (uD ) f  (u(t, x)) = x/t. Soit uG > uD : un choc a ` la vitesse σ =

f (uD )−f (uG ) . uD −uG

On applique les r´esultats pr´ec´edents. A pr´esent consid´erons le cas g´en´eral pour une fonction u → f (u) non n´ecessairement convexe. Lemme 13 Solution d’Oleinik du probl` eme de Riemann, cas g´ en´ eral Supposons la fonction flux une fois diff´erentiable. La solution du probl`eme de Riemann entre un ´etat gauche uG et un ´etat droit uD est une courbe dans le plan (u, f ) avec Soit uG > uD . La courbe est l’enveloppe convexe de la fonction v → f (v) pour les v ∈ [uD , uG ]. Soit uG < uD . La courbe est l’enveloppe concave de la fonction v → f (v) pour les v ∈ [uG , uD ]. Nous ne donnons pas de preuve g´en´erale. En revanche on illustre cette solution a partir de la fonction f de la figure 3.9. Pour uD < uG la solution entropique ` est un choc entropique d´ej`a d´ecrit dans le lemme 9. Si on inverse ud et uG on aura a` pr´esent uG < uD . Dans le plan (u, f ) la solution est l’enveloppe convexe de la fonction f qui pour l’exemple consid´er´e se compose de trois parties. La premi`ere partie est la branche M P , c’est une d´etente. La deuxi`eme partie est le segment de droit P Q, c’est un choc. La troisi`eme partie est la branche QR, c’est une deuxi`eme d´etente. La solution aussi est repr´esent´ee dans le plan (x, t).

3.3 Solutions faibles entropiques

f (u)

D´etente Choc

D´etente

M

R P

plan (u, f )

57

Q u

uG

uD

t Choc D´etente

D´etente

plan (x, t)

x

Fig. 3.9. Solution d’Oleinik dans le cas uG < uD

3.3.5 Application et interpr´ etation physique Les exemples qui vont ˆetre trait´es montrent que les ´el´ements th´eoriques pr´ec´edents permettent de r´esoudre des probl`emes simples. Trafic routier mod` ele LWR L’´equation est ∂t ρ + ∂x (ρ − ρ2 ) = 0 en variable adimensionn´ee. Le flux est strictement concave. L’´equation satisfaite par v = 12 − ρ est ∂t v + ∂x v 2 = 0. Cela fait le lien direct entre les r´esultats pour les flux convexes et concaves. Consid´erons la donn´ee initiale (0 ≤ a < b ≤ 1)

´ 3 Etude d’une loi de conservation

58

⎧ ⎨ a, x < 0, ρ0 (x) = b, 0 < x < 1, ⎩ a, 1 < x. La densit´e initiale de v´ehicules est discontinue. Les v´ehicules 0 < x < 1 sont plus denses, ils vont donc moins vite. La solution se compose d’un choc en x = 0 et d’une d´etente en x = 1. Le choc en x = 0 se d´eplace `a la vitesse σ = 1 − (a + b). C’est compatible avec la condition d’entropie pour les flux concaves (a < b). En x = 1 on ne peut pas avoir de choc car b > a. Le point crucial est le suivant : la solution entropique est compatible avec l’observation. Les discontinuit´es de vitesse se font en entrant dans les bouchons. La face arri`ere du bouchon peut avancer ou reculer selon que σ > 0 ou σ < 0. En revanche la sortie d’un bouchon se fait en acc´el´erant continuement.

t

x = σt x = st + 1

a

b

a

x Fig. 3.10. Bouchon et sortie de bouchon (x = st + 1, 1 − b ≤ s ≤ 1 − a) pour le trafic routier

Trafic routier dans la ville de Bogota Les donn´ees que nous utilisons sont issues du travail de L. E. Olmos et J. D. Munos [OM04], et concernent la ville de Bogota. Par la suite nous ferons r´ef´erence au mod` ele OM. La fonction ρ → f (ρ) est affine par morceaux. En premi`ere approximation la fonction f (en donn´ees adimensionn´ees) est continue et constitu´ee de trois branches

3.3 Solutions faibles entropiques

⎧ 0 ≤ ρ ≤ ρ1 , ⎨ f (ρ) = αρ, f (ρ) = αρ1 + β(ρ − ρ1 ), ρ1 ≤ x ≤ ρ2 , ⎩ f (ρ) = αρ1 + β(ρ2 − ρ1 ) − γ(ρ − ρ2 ), ρ2 ≤ x ≤ 1.

59

(3.23)

Les densit´es seuil sont 0 < ρ1 < ρ2 < 1. On a 0 < α, β, γ avec β < α. De plus f (1) = αρ1 + β(ρ2 − ρ1 ) − γ(1 − ρ2 ) = 0. Bien que la fonction

f (ρ)

u(ρ)

ρ1

ρ2

ρmax

ρ ρ1

ρ2

ρmax

ρ

Fig. 3.11. Flux et vitesse pour la ville de Bogota. On note la conduite agressive en particulier aux basses densit´es

flux ne soit pas continuement diff´erentiable en ρ1 et ρ2 , elle est concave. Les conclusions de l’´etude g´en´erale s’appliquent. La diff´erence importante avec le mod`ele pr´ec´edent concerne les d´etentes qui n’existent pas (f  = 0 sur un intervalle n’est pas possible) et sont remplac´ees par des discontinuit´es de contact. Nous consid´erons la donn´ee initiale ⎧ ⎨ a < ρ1 , x < 0, ρ0 (x) = b > ρ2 , 0 < x < 1, ⎩ a, 1 < x. Le choc en face arri`ere du bouchon est toujours l` a. La vitesse de ce choc est donn´ee par f (ρ1 ) − f (ρ2 ) σ= ρ 1 − ρ2 et est positive pour les donn´ees choisies. En revanche, figure 3.12, la d´etente en face avant du bouchon (mod`ele LWR) est remplac´ee par trois discontinuit´es de contact dont les vitesses sont −γ, β et α. Les ´etats de part et d’autre sont situ´es sur une mˆeme partie affine de la courbe de la figure 3.11. Ce n’est pas le cas du choc en face arri`ere pour lequel les ´etats gauche et droite sont situ´es sur des parties affines diff´erentes. Le flux (3.11) caract´erise une conduite agressive.

60

´ 3 Etude d’une loi de conservation

t

x = σt x = −γt + x0 x = βt + x0 x = αt + x0 b

a

a

x0

x

Fig. 3.12. Bouchon dans la ville de Bogota

´ Equation de Buckley-Leverett Ce mod`ele est caract´eristique des situations rencontr´ees en exploitation p´etroli`ere. Soit u la saturation en eau dans un m´elange d’eau et de p´etrole, 0 ≤ u ≤ 1. Nous consid´erons une coupe 1D du sous-sol. Au temps initial  1 = uG , x < 0, u0 (x) = 0 = uD , 0 < x. Il y a de l’eau `a gauche et du p´etrole `a droite. On cherche a` chasser le p´etrole vers la droite grˆace `a l’eau qui a ´et´e inject´ee par un duit d’injection. On peut supposer qu’un puits de collecte est situ´e plus loin, en x = 10 par exemple. Une question qui se pose est de d´eterminer la composition en eau et en huile au puits de collecte : on aimerait bien sˆ ur que la teneur en p´etrole soit la plus ´elev´ee possible, ce qui revient `a minimiser u. Un premier mod`ele approch´e est celui dit de Buckley-Leverett ∂t u + ∂x f (u) = 0,

f (u) =

u2 . u2 + A(1 − u)2

A > 0 est un param`etre. Le flux n’est ni convexe, ni concave f  (u) =

2Au(1 − u) ≥ 0, (u2 + A(1 − u)2 )2

Soit u∗ tel que

1 f  0) = f  (1) = 0, f  ( ) > 0. 2

f (u∗ ) − f (uD ) f (u∗ ) = . u∗ − uD u∗ On obtient la figure 3.13. La solution du probl`eme de Riemann se compose d’un choc entropique qui relie uD = 0 a` u∗ puis d’une d´etente qui relie u∗ a uG = 1. On dit que la d´etente relie u∗ ` ` a uG = 1 car tous les ´etats u∗ < v < uG sont pr´esents dans la solution. Par extension, on dit que le choc relie uD = 0 a` u∗ (mˆeme si aucun ´etat interm´ediaire n’est pr´esent dans la solution). ∗ ) L’´equation pour u∗ est f  (u∗ ) = f (u u∗ . Ici on obtient f  (u∗ ) =

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

61

f (u)

u∗

u=1

u

Fig. 3.13. Flux de l’´equation de Buckley-Leverett

 ∗ 2

∗

2

∗

∗

(u ) + A(u − 1) = 2A(1 − u ) ⇐⇒ u =

A ∈]0, 1[ la racine physique. 1+A

La solution (t, x) → u(t, x) est repr´esent´ee `a la figure 3.14. Le puits de collecte voit arriver soudainement un m´elange de saturation u∗ (le choc de vitesse σ = f  (u∗ )), puis un continuum dont la saturation en eau augmente sans jamais atteindre 1. On dit qu’il y a une d´etente attach´ee au choc. Ce proc´ed´e n’arrivera jamais `a vider en temps fini le sous-sol de la totalit´e du p´etrole.

3.4 Calcul num´ erique de solutions faibles entropiques On ´etudie un sch´ema num´erique de Volumes Finis et on ´etudie ses propri´et´es valables pour tout flux Lipschitzien. Cela couvre tous les exemples. Des exemples num´eriques montrent que cela suffit pour construire et interpr´eter des solutions faibles entropiques. Pour de mauvais choix des param`etres on montrera que le sch´ema calcule des solutions faibles qui sont non entropiques. On interpr´etera ces solutions faibles non entropiques comme ´etant non physiques et en contradiction avec la nature des ´ecoulements admissibles. 3.4.1 Notion de sch´ ema conservatif Des exemples ´el´ementaires montrent que la conservativit´e du sch´ema num´erique est une condition n´ ecessaire pour la capture des solutions discontinues, tout au moins si on se restreint a` des sch´emas simples. Par exemple 2 nous consid´erons l’´equation de Burgers ∂t u + ∂x u2 = 0 avec la donn´ee initiale

62

´ 3 Etude d’une loi de conservation

u∗

t

x = σt

u=0

u=1

x Puit de collecte Fig. 3.14. Solution de l’´equation de Buckley-Leverett. Le choc est attach´e ` a la d´etente.

⎧ pour x < 0.5 ⎨ u(t = 0, x) = u0 (x) = 1 u(t = 0, x) = u0 (x) = 1 + (0.5 − x) pour 1 < x < 1.5 ⎩ pour 1.5 < x. u(t = 0, x) = u0 (x) = 0 Pour t < 1, la solution faible entropique comporte une rampe entre x = 1 + t et x = 2. En t = 1 le choc entropique est form´e. Puis le choc se propage `a la vitesse σ = 12 conform´ement a` la th´eorie. Nous discr´etisons la forme non conservative de l’´equation de Burgers ∂t u + u∂x u = 0 a l’aide du sch´ema ` − unj un+1 unj − unj−1 j + anj × = 0, Δt Δx

(3.24)

mais avec trois ´evaluations diff´erentes de la vitesse ⎧ un +un ⎨ Choix 1 anj = j 2 j−1 , Choix 2 anj = unj−1 , ⎩ Choix 3 anj = unj . On repr´esente les r´esultats num´eriques au temps t = 0.5 a` la figure 3.15, puis au temps t = 2 a` la figure 3.16. Tant que la solution est r´eguli`ere t < 1, les trois ´evaluations de la vitesse donnent des r´esultats tr`es proches l’un de l’autre. D`es que la solution est

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

63

1

0.8

u 0.6

Choix 1, 2 et 3

0.4

0.2

0

0

0.5

1

x

1.5

2

Fig. 3.15. Solution num´erique au temps t = 0.5 pour les trois choix. Les solutions discr`etes sont proches l’une de l’autre. Elles sont mˆeme confondues sur ce graphique 1

0.8

Choix 2 0.6

u

Choix 1

0.4

Choix 3 0.2

0

0

0.5

1

x

1.5

2

Fig. 3.16. Solution num´erique au temps t = 1, 5 pour les trois choix. Les solutions discr`etes sont diff´erentes. Seul le choix 1 est correct car en accord avec la position th´eorique du choc : xchoc = 1, 5 + 12 (1, 5 − 1) = 1, 75

discontinue, les solutions discr`etes sont tr`es diff´erentes. La position du choc est sur´evalu´ee pour le choix 2 et sous-´evalu´ee pour le choix 3. Seul le choix 1 est correct. Nous remarquons que le choix 1 se r´ecrit un+1 − unj j + Δt

2 (un j) 2

(un

)2

− j−1 2 =0 Choix 1 : Δx " " Nous dirons que ce sch´ema est conservatif car j un+1 = j unj . Pour cet j exemple la conservativit´e est n´ecessaire pour le calcul de solutions discontinues.

64

´ 3 Etude d’une loi de conservation

3.4.2 Sch´ ema de Volumes Finis Les consid´erations pr´ec´edentes justifient que sch´ema g´en´erique que nous allons ´etudier soit un sch´ema dit de Volumes Finis. Soit une grille espacetemps d´efinie par un pas d’espace Δx > 0 et un pas de temps Δt > 0. On consid`erera le sch´ema conservatif g´en´eral n n fj+ 1 − f un+1 − unj j− 12 j 2 + = 0, Δt Δx

∀j ∈ Z, ∀n ∈ N,

(3.25)

avec la donn´ee initiale u0j =

1 Δx



(j+1)Δx

u0 (x)dx,

∀j ∈ Z.

(3.26)

jΔx

Le pas de temps n correspond au temps tn = nΔt. La solution num´erique dans la maille j et au pas de temps n est not´ee unj . La d´etermination du sch´ema se ram`ene au choix d’une d´etermination du flux num´erique en fonction des valeurs locales de la solution discr`ete. Lemme 14 Par construction le sch´ema est (3.25) conservatif : pour tout flux  n num´erique fj+ 1 on a 2   un+1 = unj . j j

j

n L’´etape suivante consiste a` d´eterminer un flux num´erique fj+ 1 pour toute 2 maille j.

3.4.3 Construction du flux ` a partir de la m´ ethode des caract´ eristiques La m´ethode des caract´eristiques permet de construire des sch´emas qui sont consistants, stables, et aussi optimaux pour des crit`eres simples de pas de temps et de pr´ecision. Mais nous verrons qu’une restriction importante apparaˆıt dans les cas o` u les caract´eristiques changent de signe. En cons´equence ce mode de construction n’est pas valable pour tout type d’´equation. Premier cas : l’´ equation du transport Consid´erons l’exemple de l’´equation du transport avec le flux f (u) = au, a ∈ R. Tra¸cons les caract´eristiques. La valeur du flux est prise au pied des caract´eristiques, c’est a` dire en respectant le sens de propagation de l’information. Le flux (3.38) est alors

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

65

t

unj

x un+1 j

n+ 21

uj t

x unj

un+1 j

n+ 12

uj

Fig. 3.17. Flux d´ecentr´e suivant le sens des caract´eristiques a > 0 en haut ou a < 0 en bas

⎧ n n n ⎪ ⎨ si a > 0, fj+ 12 = f (uj ) = auj , n n si a < 0, fj+ 1 = f (uj+1 ) = aunj+1 , ⎪ ⎩ si a = 0, f n 21 ≡ 0. j+ 2

Pour l’´equation du transport l’application de la m´ethode des caract´eristiques pour la construction du flux num´erique est imm´ediate. Deuxi` eme cas : le mod` ele LWR Pour un flux quelconque u → f (u) la vitesse des caract´eristiques a(u) = f  (u) est variable. Consid´erons pour simplifier le mod`ele LWR adimensionn´e ∂t u + ∂x (u − u2 ) = 0.

66

´ 3 Etude d’une loi de conservation

Le signe de a = 1 − 2u d´epend de la position de u par rapport a` la valeur critique ucr = 12 . ⎧ ⎨ si u < ucr , a(u) > 0, si u = ucr , a(u) = 0, ⎩ si ucr < u, a(u) < 0. Supposons pour simplifier que la donn´ee initiale soit inf´erieure `a la valeur critique u0j ≤ ucr pour tout j. Le flux construit `a partir des droites caract´eristiques est n

n fj+ . (3.27) 1 = f uj 2

On dit que le flux est d´ecentr´e `a gauche. Inversement supposons la donn´ee initiale soit partout sup´erieure `a la valeur critique u0j ≥ ucr pour tout j. Le flux construit a` partir des droites caract´eristiques est d´ecentr´e `a droite n

n fj+ (3.28) 1 = f uj+1 . 2

Dans les deux cas de figures, on peut montrer que le sch´ema r´esultat est stable, ce qui est remarquable. Nous d´etaillons ce r´esultat dans le cas u ≤ ucr . L’autre cas s’en d´eduit imm´ediatement par sym´etrie. Pour une donn´ee initiale born´ee, on pose



m = inf u0j et M = sup u0j . j

j

On d´efinit aussi c = max |f  (u)| = max |1 − 2u| m≤u≤M

m≤u≤M

Lemme 15 On consid`ere une donn´ee initiale inf´erieure a ` la valeur critique : u0j ≤ M ≤ ucr pour tout j. On suppose que le pas de temps est restreint par Δt l’in´egalit´e CFL : c Δx ≤ 1. Le sch´ema de Volumes Finis (3.25) appliqu´e au mod`ele LWR avec le flux d´ecentr´e a ` gauche (3.27) v´erifie le principe du maximum m ≤ min(unj ) ≤ un+1 ≤ max(unj ) ≤ M, j j

j

j ∈ Z, n ∈ N.

(3.29)

Ce sch´ema est aussi consistant avec la condition d’entropie, c’est a ` dire que l’on a l’in´egalit´e η(un+1 ) − η(unj ) ξ(unj ) − ξ(unj−1 ) j + ≤0 Δt Δx pour tout couple entropie-flux d’entropie. Δt La preuve est ´evidente. Posons ν = Δx . On a





= unj − ν f unj − f unj−1 = unj − νanj unj − unj−1 un+1 j

(3.30)

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

pour anj =

n f (un j )−f (uj−1 ) . n un −u j j−1

anj

67

Par construction

2 2 unj − unj + unj−1 + unj−1 = = 1 − unj − unj−1 . unj − unj−1

Au premier pas de temps (n = 0) la condition sur la donn´ee initiale par rapport a la valeur critique fait que anj ≥ 0. De plus la condition CFL implique que ` νanj ≤ 1 (toujours au premier pas de temps). Il s’ensuit que

= 1 − νanj unj + νanj unj−1 un+1 j est une combinaison convexe (une moyenne). De ce fait le principe du maximum est bien sˆ ur v´erifi´e au premier pas de temps. Par r´ecurrence en n cela montre le principe du maximum (3.29) pour tout n. D’autre part toute entropie est convexe. Donc

η(un+1 ) ≤ 1 − νanj η(unj ) + νanj η(unj−1 ) j ou encore

) − η(unj ) η(un+1 η(unj ) − η(unj−1 ) j + anj ≤ 0. Δt Δx Il suffit alors de montrer que

ξ(unj ) − ξ(unj−1 ) ≤ anj η(unj ) − η(unj−1 )

pour terminer la preuve de l’in´egalit´e discr`ete d’entropie (3.29). Or cette derni`ere in´egalit´e se r´ecrit  unj  n

uj  ξ  (v)dv ≤ 1 − unj − unj−1 η (v)dv un j−1

 ⇐⇒

un j

un j−1

⇐⇒

un j−1





(1 − 2v) − 1 − unj − unj−1 η  (v)dv ≤ 0



un j

un j−1



unj + unj−1 − 2v η  (v)dv ≤ 0.

Une int´egration par partie donne   unj n

uj + unj−1 − 2v η  (v)dv = un j−1

un j

un j−1



unj − v



unj−1 − v η  (v)dv.





Pour unj−1 ≤ unj le r´esultat cherch´e est ´evident car unj − v unj−1 − v ≤ 0 sur l’intervalle consid´er´e et η  ≥ 0 car la fonction η est convexe. De mˆeme dans l’autre cas unj−1 ≥ unj . Au final cela montre l’in´egalit´e d’entropie (3.30) et termine la preuve.

68

´ 3 Etude d’une loi de conservation

On a bien sˆ ur un r´esultat similaire dans le deuxi`eme cas, c’est `a dire pour une donn´ee uc ≤ m ≤ u0j n

n pour tout j tel que a < 0. On prend le flux d´ecentr´e `a droite fj+ 1 = f uj+1 . 2 Le principe du maximum (3.29) garde la mˆeme forme. L’in´egalit´e d’entropie est modifi´ee. Elle est d´ecentr´ee `a droite ´egalement η(un+1 ) − η(unj ) ξ(unj+1 ) − ξ(unj ) j + ≤ 0. Δt Δx

(3.31)

3.4.4 Cas g´ en´ eral

t

x

unj t

unj

un+1 j

x un+1 j

Fig. 3.18. Caract´eristiques de sens oppos´es. Le d´ecentrement du flux est ambig¨ u.

Reprenons l’exemple pr´ec´edent pour une donn´ee initiale a` pr´esent quelconque

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

69

m < ucr < M. u0j

u0j

Donc < ucr et > ucr sont possibles suivant j. Le probl`eme est qu’il n n’est plus possible de d´efinir sans ´equivoque un flux fj+ 1 s’appuyant sur 2 les caract´eristiques dans la maille j et la maille j + 1. Car le sens de ces caract´eristiques est maintenant oppos´ e comme `a la figure 3.18. Pour des donn´ees initiales quelconques et des fonctions flux u →  f (u) quelconques, la construction des flux a` partir de la m´ethode des caract´eristiques est ambig¨ ue. La situation est mˆeme plus complexe comme le montre le contre-exemple suivant. On part une nouvelle fois du mod`ele LWR pour le trafic routier. On suppose que la donn´ee initiale est u0j = w pour j ≤ 0,

u0j = 1 − w pour 0 < j.

On consid`ere le sch´ema de Volumes Finis g´en´eral n n fj+ 1 − f − unj un+1 j− 12 j 2 + = 0, Δt Δx

avec un flux d´ecentr´e soit `a gauche soit `a droite

n

n ou f unj+1 . fj+ 1 = f uj 2

C’est `a dire que nous supposons qu’il est possible, par une analyse plus fine que celle que nous avons men´ee, de d´eterminer de quel cˆot´e d´ecentrer le flux num´erique. Or pour ces donn´ees f (w) = w − w2 = (1 − w) − (1 − w)2 = f (1 − w). Donc n n fj+ 1 − f j− 1 = 0, 2

2

∀j, n,

et ce ind´ependament du d´ecentrement du flux. Dans ces conditions unj = u0j = w ou 1 − w,

∀j.

La solution num´erique est constante en temps. Or cela est non correct dans le cas w > uc , car la solution th´eorique d´ecrite `a la section 3.3.4 est une onde de rar´efaction qui varie donc au cours du temps. Nous arrivons alors `a la conclusion suivante qui est plus s´ev`ere. Pour des donn´ees initiales quelconques et des fonctions flux u → f (u) quelconques, la construction des flux a` partir de la seule m´ethode des caract´eristiques est insuffisante.

70

´ 3 Etude d’une loi de conservation

3.4.5 D´ efinition d’un sch´ ema g´ en´ erique Nous d´efinissons un flux en introduisant une contribution d’un nouveau type qui d´epend de la diff´erence unj − unj+1 n fj+ 1 = 2

c 1 f (unj+1 ) + f (unj ) + (unj − unj+1 ). 2 2

(3.32)

La valeur du param`etre c > 0 va ˆetre pr´ecis´ee. Nous ne ferons pas d’hypoth`ese particuli`ere sur la donn´ee initiale ni sur sa compatibilit´e avec la fonction f (u). Lemme 16 Posons m = minx u0 (x) et M = maxx u0 (x). Supposons que le param`etre c dans le flux (3.32) est suffisament grand max |f  (x)| ≤ c.

m≤x≤M

Δt Supposons que le pas de temps est restreint par l’in´egalit´e CFL : c Δx ≤ 1. Alors la solution discr`ete v´erifie le principe du maximum

m ≤ min(unj ) ≤ un+1 ≤ max(unj ) ≤ M, j j

j

j ∈ Z, n ∈ N.

Ce lemme fournit au passage une r`egle pour choisir la coefficient c. En Δt . On a particulier on ne prendra jamais c nul. On rappelle que ν = Δx  νc n ν (u (f (unj+1 ) − f (unj−1 )) − 2unj + unj−1 ) − 2 j+1 2  νc ν n n a (u − unj−1 ) . = unj + (unj+1 − 2unj + unj−1 ) − 2 2 j j+1 Par d´efinition un+1 = unj + j

anj =

f (unj+1 ) − f (unj−1 ) =f  (zjn ), min(unj+1 , unj−1 ) ≤ zjn ≤ max(unj+1 , unj−1 ). unj+1 − unj−1

D’o` u

  ν ν c − anj unj+1 + c + anj unj−1 . 2 2 Supposons que les coefficients devant unj , unj+1 et unj−1 sont positifs ou nuls tous trois. Comme leur somme fait 1, alors un+1 est une combinaison convexe j ace de unj , unj+1 et unj−1 . Or les coefficients sont positifs ou nuls pour n = 0 grˆ aux hypoth`eses faites. Donc la conclusion du lemme est vraie pour n = 0. Par r´ecurrence elle est vraie pour tout n. un+1 = [1 − νc] unj + j

Lemme 17 Nous reprenons les notations du lemme pr´ec´edent. On suppose que le pas de temps est restreint par la condition CFL. Soit un couple entropieflux d’entropie u → (η(u), ξ(u)). On d´efinit un flux d’entropie num´erique n ξj+ 1 = 2

ξ(unj+1 ) + ξ(unj ) c + (η(unj ) − η(unj+1 )). 2 2

(3.33)

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

71

Alors la solution num´erique v´erifie l’in´egalit´e d’entropie discr`ete η(un+1 ) − η(unj ) ξj+ 12 − ξj− 12 j + ≤ 0, ∀j ∈ Z, ∀n ∈ N. Δt Δx Le flux de la condition d’entropie discr`ete ressemble beaucoup au flux du sch´ema. La preuve propos´ee se d´eroule en plusieurs temps. a) Le sch´ema s’´ecrit aussi n

n

 

1 n uj + νc(−unj + unj−1 ) − ν (f (unj ) − f (unj−1 )) 2  

1 + unj + νc(unj+1 − unj ) − ν (f (unj ) − f (unj−1 )) 2 Par convexit´e de la fonction η, on a un+1 = j

 

1 n η uj + νc(−unj + unj−1 ) − ν (f (unj ) − f (unj−1 )) 2  

1 n + η uj + νc(unj+1 − unj ) − ν (f (unj ) − f (unj−1 )) . 2

)≤ η(un+1 j

On a donc

 1  1 n n n n n η(un+1 ) − η(u ) + ν ξ − ξ 1 1 j j j+ 2 j− 2 ≤ 2 ϕ(uj−1 ) + 2 φ(uj−1 ))

o` u

 

ϕ(w) = η unj + νc(w − unj ) − ν (f (w) − f (unj ))   −η(unj ) − νc(η(w) − η(unj )) + ν (ξ(w) − ξ(unj ))

  νc ν φ(z) = η unj + (−unj + z) − (f (unj ) − f (z)) 2 2  νc ν n n (ξ(unj ) − ξ(z)) . −η(uj ) − (−η(uj ) + η(z)) + 2 2 Pour montrer l’in´egalit´e d’entropie il suffit donc de montrer s´epar´ement que ϕ(w) ≤ 0 et φ(z) ≤ 0 ce qui impliquera la propri´et´e recherch´ee. b) On a ϕ(unj ) = 0 et ϕ (w) = ν (c − f  (w))  n  

× η uj + νc(w − unj ) − ν (f (w) − f (unj )) − η  (w) et

Le premier terme entre parenth`ese est positif. Par convexit´e de la fonction η, le deuxi`eme terme est le produit d’un terme positif par n  

uj + νc(w − unj ) − ν (f (w) − f (unj )) − w. Grˆ ace `a la condition CFL, ce terme est lui-mˆeme le produit d’un terme positif par unj − w. Donc on a ϕ (w) = k(w)(unj − w), Cela montre que ϕ(w) ≤ 0 pour tout w.

k(w) ≥ 0

∀w.

72

´ 3 Etude d’une loi de conservation

c) De mˆeme φ(unj ) = 0. Apr`es d´erivation on obtient φ (z) = ν(c + f  (z))  

× η  unj + νc(−unj + z) − ν (f (unj ) − f (z)) − η  (z) . Le premier terme entre parenth`ese est positif et le deuxi`eme est le produit d’un terme positif par unj − z. On en d´eduit que φ(z) ≤ 0 pour tout z. La preuve est termin´ee. 3.4.6 Convergence Supposons que la solution du sch´ema num´erique converge vers une limite. Peut-on caract´eriser cette limite ? La limite est-elle correcte ? C’est ce qui importe en premier lieu4 . Le th´eor`eme suivant (de type Lax-Wendroff) r´epond a cette question. Il est courant de d´efinir une fonction presque partout dans ` tout R+ × R par uΔx,Δt (t, x) = unj (3.34) ssi (j − 12 )Δx < x < (j + 12 )Δx et nΔt ≤ t < (n + 1)Δt. On peut remplacer certaines de ces in´egalit´es strictes par des in´egalit´es larges.

Th´ eor` eme 3.4. On consid`ere la solution num´erique du sch´ema (3.253.21) pour une donn´ee initiale u0 ∈ L∞ (R). On suppose la condition CFL du lemme 16 r´ealis´ee. On suppose que la fonction uΔx,Δt admet une limite not´ee u dans L1loc (R+ × R), et que uΔx,Δt (0, x) tend vers u0 dans L1loc (R). Supposons de plus que le param`etre c qui intervient dans le flux soit tel que cΔx → 0 quand Δx → 0. (3.35) Alors u ∈ L∞ (R+ × R) est solution faible entropique. La condition (3.35) est n´ecessaire comme le montre l’exercice 14. La preuve est la suivante. Tout d’abord la condition CFL assure que unj est uniform´ement born´e. Donc ||uΔx,Δt ||L∞ (R+ ×R) ≤ ||u0 ||L∞ (R) . Soit ϕ ∈ C02 une fonction a` support compact. On note ϕnj = ϕ(nΔt, jΔx). Alors $ # n n fj+  un+1 1 − f − unj j− 12 j 2 + ϕnj ΔxΔt = 0. Δt Δx j,n 4

Les preuves de convergence pour les ´equations non lin´eaires peuvent se r´ev´eler tr`es techniques

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

73

Cette expression n’est autre que l’int´egration de l’´equation discr`ete. Il reste `a int´egrer par parties discr`etement. Nous obtenons −



unj

j,n

  ϕnj − ϕn−1 ϕnj+1 − ϕnj j n ΔxΔt − ΔxΔt = 0. u0j ϕ0j Δx − fj+ 1 2 Δt Δx j j,n

La premi`ere somme s’´ecrit  j,n

unj

ϕnj − ϕn−1 j ΔxΔt = Δt

  uΔx,Δt (t, x)w(t, x)dtdx,

ϕn −ϕn−1

ssi (j − 12 )Δx < x < (j + 12 )Δx et nΔt < t < o` u wΔx,Δt (t, x) = j Δtj (n + 1)Δt. On a la convergence wΔx,Δt → ∂t ϕ uniform´ement dans le support de ϕ. Donc     uΔx,Δt (t, x)w(t, x)dtdx → u(t, x)∂t ϕ(t, x)dtdx.  " La deuxi`eme somme se traite identiquement j u0j ϕ0j Δx → R u0 (x)ϕ(0, x)dx. Nous d´eveloppons et arrangeons la troisi`eme somme  j,n

 ϕnj+1 − ϕnj−1 ϕnj+1 − ϕnj ΔxΔt = ΔxΔt f (unj ) 2 Δx 2Δx j,n

n fj+ 1

+c



unj

j,n

−ϕnj+1 + 2ϕnj − ϕnj−1 ΔxΔt. 2Δx

Nous d´efinissons fΔx,Δt (t, x) = f (unj ) pour (j − 12 )Δx < x < (j + 12 )Δx et nΔt < t < (n + 1)Δt. Comme |fΔx,Δt (t, x) − f (u(t, x))| ≤ max |f  | × |uΔx,Δt (t, x) − u(t, x)| il r´esulte des hypoth`eses g´en´erales que fΔx,Δt tend vers f (u) dans L1loc (R+ × R). Donc    ϕnj+1 − ϕnj−1 ΔxΔt → f (u(t, x))∂x ϕ(t, x)dxdt. f (unj ) 2Δx j,n Le terme compl`ementaire est c

 j,n

unj

−ϕnj+1 + 2ϕnj − ϕnj−1 cΔx  n −ϕnj+1 + 2ϕnj − ϕnj−1 ΔxΔt= u ΔxΔt. 2Δx 2 j,n j Δx2

Comme ϕ est deux fois d´erivable a` support compact, le quantit´es n n −ϕn j+1 +2ϕj −ϕj−1 sont uniform´ement born´ees. Par hypoth`ese le facteur cΔx Δx2 devant la somme tend vers 0, donc le terme compl´ementaire tend vers 0. Cela assure donc que

74

´ 3 Etude d’une loi de conservation



ϕnj+1 − ϕnj ΔxΔt → 2 Δx

n fj+ 1

j,n

  f (u(t, x))∂x ϕ(t, x)dxdt.

Finalement u v´erifie    u0 (x)ϕ(0, x)dx − u(t, x)∂t ϕ(t, x)dtdx − R

  −

f (u(t, x))∂x ϕ(t, x)dxdt = 0.

Cela est vrai pour toute fonction test ϕ ∈ C02 , donc aussi par densit´e pour toute fonction test ϕ ∈ C01 . Donc u est solution faible. D’autre part le sch´ema est entropique. Nous partons alors de $ # n n  η(un+1 ) − η(unj ) ξj+ 12 − ξj− 12 j + ϕnj ΔxΔx ≤ 0 Δt Δx j,n avec ϕ ∈ C02 partout positive ou nulle ϕ ≥ 0. On emploie la mˆeme technique de passage `a la limite ainsi que les hypoth`eses. Pour ϕ ≥ 0 on obtient    η(u0 (x))ϕ(0, x)dx − η(u(t, x))∂t ϕ(t, x)dtdx −   −

R

ξ(u(t, x))∂x ϕ(t, x)dxdt.

Donc u est bien une solution faible entropique. 3.4.7 Applications et analyse des r´ esultats Nous reprenons les exemples du trafic routier, de l’´equation de Burgers et de l’´equation de Buckley-Leverett. Mod` ele LWR Soit la donn´ee initiale ⎧ ⎨ ρ0 = 0.4 pour x < 0, 3 ρ0 = 1. pour 0.3 < x < 0, 7 ⎩ ρ0 = 0. pour 0, 7 < x

(3.36)

pour l’´equation ∂t ρ + ∂x (ρ − ρ2 ) = 0. Nous consid´erons un maillage de 100, 200 puis 400 mailles sur l’intervalle [0, 1]. La constante c est prise `a c = 2. 1 Δx. La figure 3.19 rassemble les La condition CFL est par exemple cΔt = 10 r´esultats pour plusieurs maillages au temps de t = 0.2. Conform´ement a` la th´eorie, la solution a` la limite se compose d’une d´etente en face avant qui caract´erise la sortie du bouchon et d’un choc en face arri`ere qui caract´erise

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

75

1

0.8

ρ

50 mailles

Choc 0.6

100 mailles D´etente

0.4

0.2

0

200 mailles 0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

Fig. 3.19. Entr´ee et sortie de bouchon. Convergence num´erique pour 50, 100 puis 200 mailles

l’entr´ee dans la bouchon. La position du bouchon recule mˆeme si les v´ehicules avancent de la gauche vers la droite. La solution limite v´erifie les crit`eres entropiques. Des catastrophes peuvent apparaˆıtre si on ne respecte pas scrupuleusement les conditions d’entropies. Consid´erons la donn´ee initiale u0 = 1 pour 0, 4 < x < 0, 6,

u0 = 0 sinon.

Au lieu de calculer A = max0≤u≤1 |f  (u)| qui vaut 1, on se contente d’une ´evaluation paresseuse de cette quantit´e. Soit ! ! ! f (uj+1 ) − f (uj ) ! ! !. B = max ! ! uj =uj+1 uj+1 − uj D’un point de vue informatique on se contentera plutˆ ot de ! ! ! f (uj+1 ) − f (uj ) ! ! !. Bε = max ! |uj −uj+1 |≥ε ! uj+1 − uj o` u ε > 0 est un seuil qui garantit de ne pas diviser par z´ero dans l’´evaluation pratique de B. Par exemple ε = 10−6 . Avec ces donn´ees Bε = 0. Supposons donc qu’on utilise le sch´ema avec une CFL de 1 et la constante c = Bε = 0. Alors le sch´ema est stable L∞ . On obtient le r´esultat de la figure 3.20. Nous remarquons que le choc en face avant n’est pas admissible du point de vue du crit`ere entropique car 0 = uD < uG = 1. N´eanmoins nous sommes dans les conditions d’application du Th´eor`eme de Lax-Wendroff. La solution num´erique converge bien vers une solution limite quand le pas de maillage tend vers 0 : ici la solution num´erique est mˆeme ind´ependante du temps et de l’espace. Donc la solution limite est solution faible de l’´equation LWR. Le seul point est que nous avons mal ´evalu´e la constante A. La solution limite est non entropique.

76

´ 3 Etude d’une loi de conservation 1

Choc

Choc entropique

0.8

non entropique

0.6

ρ 0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

Fig. 3.20. Choc non entropique pour le mod`ele LWR au bout de 50 it´erations

Mod` ele OM pour le trafic dans la ville de Bogota Soit la donn´ee initiale ⎧ ⎨ ρ0 = 0.4 pour x < 0, 3 ρ0 = 0.9 pour 0, 3 < x < 0, 7 ⎩ ρ0 = 0.1 pour 0, 7 < x

(3.37)

Le flux (3.23) n’est pas C 1 . Nous prenons ρ1 = 0.5, ρ2 = 0.6, α = 1 et β = 0.5 : γ se recalcule en fonction de ces grandeurs. Nous obtenons typiquement le r´esultat de la figure 3.21. La comparaison des r´esultats avec la figure 3.19 montre que l’entr´ee dans le bouchon est qualitativement identique. En revanche la sortie du bouchon est radicalement diff´erente. Pour ce mod`ele la sortie se fait par `a-coup. C’est la raison des deux paliers interm´ediaires `a ρ ≈ 0.6 = ρ1 et ρ ≈ 0.5 = ρ2 . Les discontinuit´es pr´esentes en sortie sont des discontinuit´es de contact. Comme auparavant un non respect des param`etres du sch´ema peut entraˆıner des solutions fausses. Mod` ele de Buckley-Leverett Pour terminer nous consid´erons l’´equation de Buckley-Leverett avec A = 1. La donn´ee initiale correspond a` de l’eau a` saturation de un a` gauche et de l’huile a` droite u0 (x) = 1 pour x < 0, 5,

u0 (x) = 0 pour 0, 5 < x.

Au temps de t = 0, 2 nous obtenons la figure 3.22. Nous reconnaissons le choc qui file devant la d´etente. Dans une telle configuration on dit que la d´etente est  A ∗ attach´ee au choc. La valeur critique u = A+1 ≈ 0, 7 est bien visible. Une nouvelle fois, une mauvaise ´evaluation du maximum des vitesses max |f  | sur

3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques

77

1

0.8

ρ

−γ

Choc

β

0.6

0.4

0

α

Discontinuit´es de contact

0.2

0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

Fig. 3.21. Mod`ele Olmos Munoz. Entr´ee et sortie de bouchon 1

D´etente attach´ee

0.8

u∗

0.6

u 0.4

Choc

0.2

0

0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

´ Fig. 3.22. Equation de Buckley-Leverett. Propagation de l’eau dans l’huile

le domaine de calcul peut mener a` des r´esultats erron´es. Pour la mˆeme donn´ee initiale, nous effectuons plusieurs calculs. Nous prenons c = 2 qui correspond `a la th´eorie, puis c = 1, c = 0, 25 et enfin c = 0, 1 qui ne correspondent pas a la th´eorie. La solution pour c = 0, 1 est grossi`erement inadmissible car la ` saturation u d´epasse la valeur de 1. Les mauvaises solutions sont des solutions faibles mais non entropiques. Les r´esultats num´eriques montrent que les solutions faibles non entropiques (solutions erron´ees) peuvent se capturer num´eriquement lorsque les param`etres du sch´ema sont mal ajust´es. Mais on peut ajuster correctement ces mˆemes param`etres pour ´eliminer par construction les solutions erron´ees. Pour le calcul scientifique en vue de l’art de l’ing´enieur cette information doit ˆetre prise en compte. Par des calculs r´ep´et´es et l’analyse des r´esultats, on se convainc ensuite qu’on a calcul´e la bonne solution.

78

´ 3 Etude d’une loi de conservation 1.2

c = 0, 1 c = 0, 25 c=1

1

0.8

0.6

0.4

Solutions non correctes

0.2

0

c=2

Solution correcte 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

´ Fig. 3.23. Equation de Buckley-Leverett. Propagation de l’eau dans l’huile. Solutions non entropiques (calcul´ees avec c < 2) compar´ees avec solution entropique (calcul´ee avec c = 2)

Mais est-on vraiment sˆ ur que la solution limite est la bonne ? Apr`es tout nous n’avons exhib´e que des conditions n´ecessaires de convergence vers la bonne solution. L’analyse num´erique r´epond a` cette question. Pour le sch´ema ´etudi´e on peut montrer la convergence vers l’unique solution entropique de l’´equation : c’est du domaine d’un cours sp´ecialis´e. Nous renvoyons aux ouvrages [GR91], [D00], [S67].

3.5 Comparaison num´ erique choc-discontinuit´ e de contact Les chocs sont des discontinuit´es entropiques irr´eversibles. Les discontinuit´es de contact sont aussi des discontinuit´es mais r´eversibles. Cette distinction choc-discontinuit´e de contact a-t-elle des cons´equences au niveau num´erique ? La r´eponse est positive.√Cela se fonde sur la remarque que les sch´emas de base ont une pr´ecision en T Δx pour les discontinuit´es de contact, alors que ces mˆemes sch´emas ont une pr´ecision en Δx uniforme en temps pour ´ les chocs (cela peut se d´emontrer dans des cas simples). Evaluons ce qui se passe sur un exemple. On part d’une donn´ee initiale (uG = 1 et uD = 0) identique pour l’´equation du transport lin´eaire `a vitesse un demi ∂t u + 12 ∂x u = 0 et pour l’´equation de 2 Burgers ∂t u + ∂x u2 = 0. Dans les deux cas la solution exacte est une discontinuit´e qui se propage `a la vitesse σ = 12 . Le sch´ema utilis´e est le sch´ema u +u (3.24) avec aj = j 2 j−1 pour l’´equation de Burgers et aj = 12 pour le transport lin´eaire. Les r´esultats sont pr´esent´es dans la figure 3.24. La discontinuit´e se d´egrade au fil des it´erations pour l’´equation du transport. En revanche la structure de la discontinuit´e num´erique est stable pour l’´equation du Burgers.

3.6 Optimisation du sch´ema

79

1

u

0.8

0.6

t=1

t=0

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

1

0.8

u 0.6

t=0

t=1

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

√ Fig. 3.24. La discontinuit´e initiale s’´etale en T au fil du temps pour l’´equation du transport (en haut). En revanche la structure est stable au cours du temps pour l’´equation de Burgers (en bas).

Une explication est que l’´equation de Burgers est non lin´eaire. De ce fait elle est derri`ere le choc ´equivalente a` un ´equation de transport a` vitesse a = 1 (∂t u + ∂x u = 0) et devant le choc ´equivalente a` un ´equation de transport a` vitesse a = 0 (∂t u = 0). Cela permet au profil num´erique derri`ere le choc de rattraper sans cesse la discontinuit´e qui elle avance `a la vitesse 12 . Pour l’´equation du transport la vitesse de propagation est constante : le sch´ema n’est pas en mesure de recomprimer la discontinuit´e qui s’´etale. Il faut bien distinguer ce type de comportement pour Δx fixe et T → ∞ des r´esultats standard de convergence pour T fixe et Δx → 0.

3.6 Optimisation du sch´ ema En pratique le sch´ema (3.25) avec le flux (3.32) n’est pas optimal. On peut d´efinir des variantes simples et peu coˆ uteuses qui sont plus pr´ecises et/ou plus stables. Plus pr´ecis´ement nous consid´erons le sch´ema de Volumes Finis (3.25) avec le flux

80

´ 3 Etude d’une loi de conservation n fj+ 1 2

n

cj+ 12 n 1 n n f (uj+1 ) + f (uj ) + (uj − unj+1 ). = 2 2

(3.38)

Nous allons optimiser le sch´ema en jouant sur le param`etre cnj+ 1 . 2

3.6.1 Optimisation par rapport ` a la contrainte de stabilit´ e Dans le cas o` u le param`etre c est constant, on sait qu’il a une influence Δt sur le pas de temps par l’interm´ediaire de la condition CFL c Δx ≤ 1. Pour un pas d’espace donn´e, on aura int´erˆet `a utiliser une petite valeur de c ce qui permettra de prendre un grand pas de temps. On pose mn = min(unj ) et M n = max(unj ). j

j

Soit cnj+ 1 ≡ cn = 2

max

mn ≤x≤M n

|f  (x)| .

(3.39)

Il est ais´e de v´erifier que le sch´ema v´erifie encore le principe du maximum (il suffit de reprendre la d´emonstration du lemme 16). La valeur (3.39) est la plus petite valeur commune `a toutes les mailles telle que le principe du maximum est respect´ee. C’est la valeur globale en espace optimale pour la contrainte de stabilit´e. Cette contrainte peut varier au cours du temps car · · · ≤ mn−1 ≤ mn ≤ mn+1 ≤ · · · et · · · ≤ M n+1 ≤ M n ≤ M n−1 ≤ · · · ce qui fait que 0 ≤ · · · ≤ cn+1 ≤ cn ≤ cn−1 ≤ · · · Par construction la condition technique cn Δx → 0 (pour Δx → 0) du th´eor`eme 3.4 est v´erifi´ee. 3.6.2 Optimisation par rapport ` a la pr´ ecision Il est d´elicat de connaˆıtre a priori la pr´ecision d’un sch´ema num´erique pour des ´equations non lin´eaires. On se contente ici d’une approche tr`es simplifi´ee, qui cependant regroupe et permet d’expliquer un grand nombre des sch´emas existants de la litt´erature. Nous consid´erons que la formule du flux (3.38) se doit de pr´edire une valeur approch´ee explicite centr´ee en j + 12 la plus pr´ecise possible. Nous ´evaluons donc l’erreur de consistance pour le flux que nous

3.7 Sch´emas lagrangiens pour le trafic routier

81

notons snj+ 1 . Comme nous ne prenons pas en compte la d´ependance en temps 2 dans l’analyse, on peut omettre l’indice n. Donc cj+ 12 1 (uj − uj+1 ) sj+ 12 = f (uj+ 12 ) − (f (uj ) + f (uj+1 )) − 2 2 o` u

1 uj+ 12 = u((j + )Δx), uj+1 = u((j + 1)Δx). 2 Supposons que la fonction u est ind´efiniment d´erivable. Pour une fonction flux u → f (u) ´egalement r´eguli`ere, on effectue un d´eveloppement de Taylor en Δx uj = u(jΔx),

1 f (uj+ 12 ) − (f (uj ) + f (uj+1 )) = O(Δx2 ) et uj − uj+1 = O(Δx). 2 Donc

sj+ 12 = O(Δx2 ) + cj+ 12 O(Δx).

On traduit cela en disant que la partie centr´ee du flux est d’ordre deux, et que la partie suppl´ementaire (ou visqueuse, ou dissipative) est d’ordre un. Il s’ensuit que pour obtenir un flux le plus pr´ecis possible mais a priori toujours d’ordre un, il choisir un cj+ 12 le plus petit possible. La solution optimale consiste donc `a prendre cj+ 12 le plus petit possible tout en respectant des contraintes de stabilit´e que nous choisissons locales. On pose n n n mnj+ 1 = min(unj , unj+1 ) et Mj+ 1 = max(uj , uj+1 ), 2

2

j

et on prendra cnj+ 1 = 2

mn

j+ 1 2

max

≤x≤M n

j

|f  (x)| .

(3.40)

j+ 1 2

La formule (3.40) est optimale pour les crit`eres que nous avons mis en avant. En reprenant point par point la d´emonstration des lemmes 16 et 17 et du th´eor`eme 3.4, on v´erifie que le sch´ema r´esultant est stable (principe du maximum) et entropique sous CFL.

3.7 Sch´ emas lagrangiens pour le trafic routier Dans cette section nous nous concentrons sur la construction d’un sch´ema num´erique lagrangien pour la r´esolution num´erique du trafic routier. Cela fera le lien entre l’approche eul´erienne et l’approche lagrangienne laquelle s’attache plus a` une description individuelle des v´ehicules. Un avantage th´eorique de l’approche lagrangienne est que le sens des caract´eristique y est constant. C’est

82

´ 3 Etude d’une loi de conservation

une propri´et´e fondamentale des ´equations ´ecrites en variables de Lagrange. Nous montrerons par la suite que cette propri´et´e est vraie pour beaucoup de syst`emes qui viennent de la m´ecanique des milieux continus. L’´equation du trafic routier dont nous partons est ∂t ρ + ∂x (ρu(ρ)) = 0.

(3.41)

On d´efinit le changement de coordonn´ees ∂t x(t, X) = u(t, x(t, X)), On r´ecrit (3.41) sous la forme



x(0, X) = X.

∂t (ρJ) = 0, ∂J − ∂X u = 0

(3.42)

(3.43)

qui est ´equivalente a` ∂t τ − ∂m u = 0,

dm = ρdx = ρ0 dX.

(3.44)

Il reste `a sp´ecifier le flux num´erique. Une propri´et´e g´en´erique pour les mod`eles de trafic routier est que la vitesse ρ → u(ρ) est une fonction d´ecroissante de la densit´e de v´ehicules ρ, et donc croissante de τ . Donc la fonction f (τ ) = −u(τ −1 ) est une fonction d´ecroissante de τ . Par exemple pour le mod`ele LWR la vitesse d´efinie en fonction de τ est d 1 1 (−u) = − 2 < 0. −u(τ ) = −(1 − ρ) = −1 + ⇒ τ dτ τ A pr´esent les caract´eristiques ont un sens constant de la droite vers la gauche. 3.7.1 Sch´ ema lagrangien Discr´etisons l’´equation lagrangienne (3.44) a` l’aide du sch´ema g´en´erique (3.25). On obtient unj+ 1 − unj− 1 τjn+1 − τjn 2 2 − =0 (3.45) Δt Δmj avec une d´efinition du maillage en variable de masse donn´ee par Δmj = ρ0j ΔXj ,

ΔXj = Xj+ 12 − Xj− 12 = Δx0j .

Nous observons que pour un flux donn´e, le sch´ema pr´ec´edent est correctement d´efini. A pr´esent nous d´efinissons le d´eplacement des noeuds du maillage que l’on se donne au pas de temps initial = xnj+ 1 + Δtunj+ 1 , xn+1 j+ 1 2

2

2

x0j+ 1 = Xj+ 12 . 2

La Jacobienne du champ de d´eformation discret se calcule par Jjn

=

xnj+ 1 − xnj− 1 2

2

2

2

x0j+ 1 − x0j− 1

(3.46)

3.7 Sch´emas lagrangiens pour le trafic routier

83

Lemme 18 Le sch´ema pr´ec´edent (3.45-3.46) est ´equivalent a ` l’autre forme des ´equations lagrangiennes discr`etes ⎧ n+1 n+1 n n ⎨ ρj Jj −ρj Jj = 0, Δt (3.47) n+1 n un −un ⎩ Jj −Jj − j+ 12 j− 12 = 0. Δt ΔXj Cela montre que les ´equations discr`etes sont compatibles entre elles. A partir de (3.46) on a   − xn+1 = xnj+ 1 − xnj− 1 + Δt unj+ 1 − unj− 1 xn+1 j+ 1 j− 1 2

2

2

x0j+ 1 2

2

2

2

x0j− 1 2

Apr`es division par − = ΔXj nous obtenons la deuxi`eme ´equation de (3.47). Puis nous consid´erons (3.45) a` l’it´er´e n = 0, ce que nous pouvons r´ecrire ρ0j Δx0j τj1 − (Δx0j + Δt(u0j+ 1 − u0j− 1 )) = 0 2

ρ0j Δx0j ρ1j

2

− Δx1j

c’est `a dire = 0. Nous obtenons la premi`ere ´equation de (3.47). On termine le raisonnement par r´ecurrence en n. Forme finale du flux Nous prenons le flux d´ecentr´e `a droite. Le sch´ema lagrangien pour le trafic routier est `a pr´esent compl`etement d´efini sous la forme τjn+1 − τjn unj+1 − unj − = 0, Δt Δmj

(3.48)

le d´eplacement du maillage ´etant d´efini par = xnj+ 1 + Δtunj+1 , xn+1 j+ 1 2

2

x0j+ 1 = Xj+ 12 . 2

(3.49)

La masse de la maille dite lagrangienne est Δmj = ρ0j Δx0j = ρnj Δxnj . 3.7.2 Un r´ esultat num´ erique Une simulation lagrangienne typique sur maillage mobile est pr´esent´ee `a la figure 3.25, pour la donn´ee initiale (3.36) que nous avons l´eg`erement modifi´ee ⎧ ⎨ ρ0 = 0.4 pour x < 0, 3 ρ0 = 1. pour 0.3 < x < 0, 7 ⎩ ρ0 = 0.001 pour 0, 7 < x, pour permettre le calcul de τ = 1ρ . La modification n’a pas d’influence notable sur le pas de temps. Le d´eplacement du maillage est bien visible. Les mailles sont ´etir´ees dans la d´etente (`a droite), et comprim´ees une fois que le choc est pass´e (`a gauche). On peut comparer avec la figure (3.19) qui pr´esente les r´esultats calcul´es avec un sch´ema eul´erien. La solution a` convergence est identique mˆeme si la m´ethode de r´esolution est tr`es diff´erente. Le pied de la d´etente pr´esente une importante dilatation du maillage pour le calcul lagrangien.

´ 3 Etude d’une loi de conservation

84

1

0.8

D´etente

Choc

ρ

50 mailles

0.6

Pied de la d´etente

0.4

200 mailles

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

x

0.8

1

1.2

Fig. 3.25. R´esolution lagrangienne du mod`ele LWR : 50, 100 et 200 mailles. Par rapport au calcul eul´erien de la figure (3.19), le maillage s’est d´eplac´e vers la droite.

3.8 Exercices Exercice 11 Une m´ethode diff´erente pour ´etablir l’invariance des solutions r´eguli`eres le long des caract´eristiques est la suivante. Soit l’´equation ∂t u + ∂x f (u) = 0. Soit le changement de r´ef´erentiel (3.3). Montrer que l’on obtient le syst`eme  ∂t (Ju) + ∂X (f (u) − a(u)u) = 0, ∂t J − ∂X a = 0. Simplifier pour retrouver ∂t u = 0. Exercice 12 G´en´eraliser l’exercice pr´ec´edent au syst`eme (2.40). Exercice 13 • On part d’une solution C ∞ l’´equation de Burgers ∂t u + ∂x



u2 2

 = 0. La (n)

donn´ee initiale est u(0, x) = u0 (x) pour x ∈ R. Montrer que ∂t u =   (n) un+1 eduire l’´egalit´e formelle (−1)n ∂x n+1 . En d´ u(t, x) =

∞  (−t)n (n) n+1 ∂ u (x). (n + 1)! x 0 n=0

´ Etudier la convergence de la la s´erie pour u0 (x) = −x (cr´eation d’un choc) et u0 (x) = x (cas de la d´etente).

3.8 Exercices

85

Exercice 14 On choisit la constante cnj+ 1 = Δx Δt dans la formule de flux, et ce pour tout j, 2 n. Montrer qu’on obtient le sch´ema de Lax-Friedrichs un+1 = j



unj+1 + unj−1 Δt n

− f uj+1 − f unj−1 . 2 2Δx

V´erifier que le sch´ema de Lax-Friedrichs ne satisfait pas la condition technique du th´eor`eme de convergence 3.4 dans le cas o` u le pas de temps tend vers 0 nettement plus vite que le pas d’espace Δx. On pourra supposer par exemple que Δt = O(Δx2 ). A partir de la r´ecriture sous la forme



  − unj un+1 f unj+1 − f unj−1 Δx2 unj+1 − 2unj + unj−1 j + = , Δt 2Δx 2Δt Δx2 expliquer pourquoi le sch´ema de Lax-Friedrichs n’est pas consistant pour des pas de temps tel que Δt = O(Δx2 ). Exercice 15 V´erifier que les hypoth`eses du th´eor`eme 3.4 sont v´erifi´ees dans le cas ´etudi´e au lemme 15. Plus g´en´eralement en d´eduire qu’un sch´ema d´ecentr´e en suivant le sens des caract´eristiques (dans les cas o` u la construction est correcte bien sˆ ur) capture la solution faible entropique. Exercice 16 • Le sch´ema de Godounov consiste `a r´esoudre exactement le probl`eme de Riemann entre chaque maille pendant un temps Δt, puis a` prendre la moyenne sur la maille. On consid`ere l’´equation de Burgers. Montrer que le sch´ema de n n Godounov s’´ecrit sous la forme (3.25) avec le flux fj+ ), l’´etat unj+ 1 1 = f (u j+ 12 2 2 ´etant d´etermin´e par soit unj > unj+1 : On calcule σ = σ < 0 alors unj+ 1 = unj+1 .

n un j +uj+1 . 2

Soit σ > 0 alors unj+ 1 = unj , soit 2

2

soit unj < unj+1 : Soit unj ≤ 0 ≤ uD alors unj+ 1 = 0, soit 0 ≤ unj ≤ unj+1 alors 2 unj+ 1 = unj , et soit unj ≤ unj+1 ≤ 0 alors unj+ 1 = unj+1 . 2

2

Exercice 17 •• Montrer que le sch´ema de Godounov est entropique avec un flux d’entropie n n ξj+ ). 1 = ξ(u j+ 1 2

2

86

´ 3 Etude d’une loi de conservation

Exercice 18 Soit l’´equation du trafic routier. Nous supposons que la fonction f est affine en ρ (par exemple une des branches du mod`ele d’Olmos et Munoz) f (ρ) = a + bρ,

a, b ∈ R.

Soit ρ une solution discontinue, la vitesse de la discontinuit´e ´etant σ ∈ R. D´eterminer σ en fonction de a et b. Quelle est la forme lagrangienne en variable de masse. Montrer que le flux de la forme lagrangienne est lin´eairement d´eg´en´er´ee. Soit une solution discontinue pour la forme lagrangienne, la vitesse de la discontinuit´e ´etant j ∈ R. D´eterminer j en fonction de a et b. Exercice 19 V´erifier que la solution d’Oleinik pour le mod`ele d’Olmos et Munoz est bien celle qui est captur´ee par les exp´eriences num´eriques.

3.9 Notes bibliographiques Ce chapitre reprend des notions tout a` fait classiques, voir [L92, S67, GR91]. Une tr`es l´eg`ere diff´erence concerne la distinction syst´ematique faite entre choc et discontinuit´e de contact mˆeme pour une ´equation scalaire, pout ˆetre en accord avec la th´eorie pour les syst`emes. Cela permet une interpr´etation correcte du mod`ele de trafic routier de Olmos et Munos [OM04] en accord avec la solution d’Oleinik. La section num´erique est restreinte `a la pr´esentation d’un seul sch´ema de discr´etisation en portant l’accent sur la propri´et´e d’entropie. On renvoie a` [GR91, GR96] pour les autres possibilit´es d’analyse de la condition d’entropie pour un sch´ema de discr´etisation d’une ´equation scalaire. Voir aussi les travaux [O84, T84]. Le th´eor`eme de Lax et Wendroff fait r´ef´erence aux travaux [LW60] : c’est toujours le seul r´esultat simple et g´ en´ erique extensible aux syst`emes. La th´eorie de convergence pour le sch´ema pr´esent´e se trouve dans [GR91].

4 Syst` emes

Il est naturel de chercher `a g´en´eraliser aux syst`emes de lois de conservation ce qui a ´et´e mis en ´evidence pour une loi de conservation. C’est l’objet de ce chapitre de nature th´ eorique qui trouvera son application par la suite. Au contraire des ´equations scalaires qui admettent toutes les fonctions convexes r´eguli`eres comme entropie, les syst`emes admettent souvent tr`es peu d’entropies. Une hypoth`ese absolument majeure que nous allons faire est que les syst`emes consid´er´es poss`edent une entropie. C’est vrai pour beaucoup de syst`emes qui viennent de la m´ecanique des milieux continus. Cette entropie math´ematique est le plus souvent l’´energie m´ecanique ou l’oppos´e de l’entropie thermodynamique. Nous commencerons par illustrer la notion d’entropie `a partir du syst`eme des eaux peu profondes et du syst`eme de la dynamique des gaz. Puis nous ´etudierons les solutions de type chocs entropiques et solutions autosemblables pour les syst`emes avec une entropie. Cela permettra d’´etudier pour les syst`emes les solutions de type d´ etente, chocs entropiques et discontinuit´ es de contact, puis de construire la solution du probl`eme de Riemann pour des donn´ees proches. Nous ne ferons pas l’hypoth`ese de stricte hyperbolicit´e ce qui permet de traiter de mani`ere g´en´erique les syst`emes lagrangiens de grande taille. Cela change peu la d´emonstration du th´eor`eme de Lax. Finalement nous ´etudierons la structure des syst` emes lagrangiens en dimension un d’espace. L’hypoth`ese principale physique qui sera faite est que l’entropie d’un volume ´ el´ ementaire de fluide ne d´ ecroˆıt jamais. Parmi d’autres r´esultats nous montrerons que les syst`emes hyperboliques de lois de conservation de grande taille qui viennent de la m´ecanique des milieux continus ne sont pas strictement hyperboliques, et que les valeurs propres de la matrice Jacobienne ont un signe constant.

B. Despr´ es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 4, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 

87

88

4 Syst`emes

4.1 Exemples La notion de convexit´e stricte utile `a l’analyse des entropies pour les syst`emes de lois de conservation que nous retenons est la suivante1 . C’est cette notion qui est universellement adopt´ee pour les syst`emes de conservation. D´ efinition 17 Soit J une fonction deux fois continˆ ument d´erivable de Rn n dans R (ou d’une partie de R dans R). Nous dirons que J est strictement convexe en U0 ssi ∇2U J(U0 ) > 0 (4.1) au sens des matrices sym´etriques. Par continuit´e ∇2U J(a) > 0 dans un voisinage de U0 . C’est `a dire que (X, ∇2U J(U0 )X) > 0 pour tout vecteur X ∈ Rn non nul, ou de mani`ere ´equivalente que toutes les valeurs propres de la matrice sym´etrique ∇2U J(U0 ) sont strictement positives. Cette notion de convexit´e stricte est en fait identique a` l’α-convexit´ e locale de la fonction J. Une fonction α-convexe v´erifie J(θa + (1 − θ)b) − θJ(a) − (1 − θ)J(b) ≤ −αθ(1 − θ)|a − b|2

(4.2)

pour un α > 0. Ici a et b sont dans un voisinage de U0 . La constante α d´epend de ce voisinage. Pour montrer cette ´equivalence, on commence par montrer l’identit´e2 J(θa + (1 − θ)b) − θJ(a) − (1 − θ)J(b)  1  θ ϕh(ϕ)dϕ − θ (1 − ϕ)h(ϕ)dϕ (4.3) = −(1 − θ)

0

θ

avec h(ϕ) = a − b, ∇ J(ϕa + (1 − ϕ)b)(a − b) . Donc (4.1) implique (4.2). R´eciproquement si (4.2) est vrai, on fait tendre b → a pour θ = 12 dans (4.2). En comparant (4.2) et (4.3) on obtient que ∇2 J(a) > 0. 2

4.1.1 Syst` eme des eaux peu profondes Soit (h, u) une solution C 1 espace-temps du syst`eme des eaux peu profondes (2.6). Alors cette solution v´erifie une loi de conservation suppl´ementaire



 ∂t gh2 + hu2 + ∂x 2gh2 + hu2 u = 0.

1

2

(4.4)

La fonction x → x4 n’est pas strictement convexe en 0 pour notre d´efinition, alors qu’elle serait strictement convexe partout pour une autre d´efinition plus classique mais moins adapt´ee ` a l’´etude des syst`emes de lois de conservation. Les membres de droite et de gauche ont mˆeme valeur en θ = 0 et θ = 1. On v´erifie qu’ils ont mˆeme d´eriv´ee seconde par rapport a ` θ. D’o` u l’´egalit´e.

4.1 Exemples

89

Cette loi est non triviale. Ce n’est pas une simple combinaison lin´eaire des deux ´equations du syst`eme de St Venant. Pour l’obtenir nous r´ecrivons le syst`eme (2.6) sous la forme  (∂t h + u∂x h) + h∂x u = 0,

h (∂t u + u∂x u) + ∂x g2 h2 = 0. On a utilis´e l’identit´e ∂t hu+∂xhu2 = h (∂t u + u∂x u). On multiplie la premi`ere ´equation par gh et la deuxi`eme par 2u  2 gh(∂ t h2 + u∂x h)2 +

gh ∂x u =2 0, h ∂t u + u∂x u + u∂x gh = 0.

On recompose alors la deuxi`eme ´equation h ∂t u2 + u∂x u2 = ∂t hu2 + ∂x hu2 . De mˆeme pour la premi`ere grˆ ace `a gh(∂t h + u∂x h) = ∂t gh2 + ∂x guh2 . Puis on somme. D’o` u la relation (4.4). Le fait que (h, u) est une solution C 1 est 2 absolument crucial pour la validit´e de ce calcul. Posons η(a, b) = ga2 + ba de 2 2 sorte que η(h, hu) = gh + hu . Il est ais´e de v´erifier que la fonction η est strictement convexe pour g > 0 et a > 0. On a   2 g + ab 3 − ab2 . ∇2(a,b) η = 2 1 − ab2 a Cette matrice 2 × 2 est sym´etrique, a` trace strictement positive. Son 2 d´eterminant est D = 2g a > 0. Donc ∇(a,b) η > 0 ce qui montre la stricte convexit´e de η pour g > 0 et a > 0. On dira que la fonction η est une entropie strictement convexe pour le syst`eme des eaux peu profondes. 4.1.2 Syst` eme de la dynamique des gaz compressible Nous consid´erons le syst`eme en coordonn´es de Lagrange ⎧ ⎨ ∂t τ − ∂m u = 0, ∂t u + ∂m p = 0, ⎩ ∂t e + ∂m (pu) = 0. Soit (τ, u, e) une solution C 1 espace-temps avec une loi de pression p = (γ − 1)ρε = (γ − 1) τε , sachant que ε = e − 12 u2 . Il est ais´e de v´erifier que T dS = dε + pdτ,

T = ε, S = log(ετ γ−1 ).

(4.5)

La fonction S est une entropie thermodynamique (par unit´e de masse) pour un gaz parfait polytropique. Cette relation est li´ee au principe fondamental de la thermodynamique. La fonction T est la temp´erature. A priori T > 0. On a T dS = de − udu + pdτ. (4.6)

90

4 Syst`emes

Pour des fonctions r´eguli`eres on en d´eduit T ∂t S = ∂t e − u∂t u + p∂t τ = 0. D’o` u une loi de conservation non triviale suppl´ementaire pour la dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d’espace. Cette loi est (pour T = 0) ∂t S = 0. Le syst`eme en coordonn´ee eul´erienne est ⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p = 0, ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0.

(4.7)

(4.8)

Il est ais´e de manipuler ces ´equations pour obtenir ⎧ d ⎨ ρ dt τ − ∂x u = 0, ρ d u + ∂x p = 0, ⎩ dt d e + ∂x pu = 0. ρ dt d = ∂t + u∂x est l’op´erateur de d´eriv´ee mat´erielle. En reprenant L’op´erateur dt d S = 0. Finalement on les manipulations pr´esent´ees plus haut, on obtient dt obtient l’´equation eul´erienne

d S + S (∂t ρ + ∂x (ρu)) = 0. (4.9) dt Les principes de la thermodynamique g´en´erale (en tant que th´eorie physique) font que les entropies thermodynamiques sont le plus souvent des fonctions concaves qui augmentent au cours d’un ´ev`enement irr´eversible. Les ´ev`enements irr´eversibles sont les chocs dans le cadre de la th´eorie des solutions discontinues pour les syst`emes de lois de conservation. En revanche il faut noter que les physiciens pr´ef`erent manipuler des fonctions concaves alors que les math´ematiciens pr´ef`erent manipuler des fonctions convexes. A un changement de signe pr`es sur la d´efinition de l’entropie c’est la mˆeme chose. Nous v´erifions a pr´esent que la fonction η d´efinie par ` ∂t (ρS) + ∂x (ρuS) = ρ

(ρ, ρu, ρe) → η(ρ, ρu, ρe) ≡ −ρS(ρ, ρu, ρe)

(4.10)

est une entropie strictement convexe pour des donn´ees physiques (ρ > 0 et ε > 0). Le lemme suivant ´etablit ce r´esultat, en mettant en ´evidence les relations entre la concavit´e de l’entropie thermodynamique et la convexit´e de l’entropie math´ematique. Lemme 19 On note Z = (τ, ε). Soit la fonction strictement concave Z → S(Z) de classe C 2 et telle que ∇2Z S < 0 et ∂ε S = T1 > 0. On d´efinit les fonctions η1 et η2 par

4.1 Exemples

1 W = (τ, u, e) → η1 (W ) = −S(τ, e − u2 ) 2

91

(4.11)

et

1 U = (ρ, ρu, ρe) → η2 (U ) = −ρS(τ, e − u2 ). 2 Alors ces fonctions sont strictement convexes.

(4.12)

Comme la fonction S d´efinie par (4.5) v´erifie trivialement les hypoth`eses du lemme, cela montre que la fonction d´efinie par (4.10) est une entropie strictement convexe pour le syst`eme de la dynamique des gaz. Nous commen¸ cons par montrer l’´equivalence entre (4.11) et (4.12) en utilisant l’α-convexit´e locale. L’α-convexit´e locale pour la fonction η2 s’´ecrit η2 (θU1 +(1−θ)U2 ) ≤ θη2 (U1 )+(1−θ)η2 (U2 )−αθ(1−θ)|U1 −U2 |2 , ⎛

θ ∈ [0, 1] (4.13)

⎛ ⎞ ⎞ ρ1 ρ2 avec α > 0 ainsi que U1 = ⎝ ρ1 u1 ⎠ et U2 = ⎝ ρ2 u2 ⎠ . On a la corresponρ1 e 1 ρ2 e 2 dance ! ! ! τ = μτ1 + (1 − μ)τ2 ! ρ = θρ1 + (1 − θ)ρ2 ! ! ! ρu = θ(ρ1 u1 ) + (1 − θ)(ρ2 u2 ) ⇐⇒ ! u = μu1 + (1 − μ)u2 (4.14) ! ! ! e = μe1 + (1 − μ)e2 ! ρe = θ(ρ1 e1 ) + (1 − θ)(ρ2 e2 ) θρ1 o` u τ = ρ−1 et surtout μ = θρ1 +(1−θ)ρ ∈ [0, 1]. En divisant (4.13) par ρ = 2 θρ1 + (1 − θ)ρ2 nous obtenons

α η1 (μW1 +(1−μ)W2 ) ≤ μη1 (W1 )+(1−μ)η1 (W2 )− θ(1−θ)|U1 −U2 |2 , θ ∈ [0, 1]. ρ Or αθ(1 − θ)|U1 − U2 |2 ≥ βμ(1 − μ)|W1 − W2 |2 ≥ γθ(1 − θ)|U1 − U2 |2 pour β > 0 et γ > 0 bien choisis3 . Cela ´etablit l’´equivalence entre (4.11) et (4.12). Puis nous  quela concavit´ e deS entraˆıne la convexit´e de η1 .  montrons  τ1 τ2 τ et Z2 = o` u les quantit´es pr´ec´edentes Soient Z = , Z1 = ε1 ε2 ε sont d´efinies dans (4.14) grˆ ace `a la relation entre l’´energie interne, l’´energie totale et l’´energie cin´etique : ε = e − 12 u2 , ε1 = e1 − 12 u21 et ε2 = e2 − 12 u22 . On a     1 1 1 2 ε = μ ε1 + u21 + (1 − μ) ε2 + u22 − (μu1 + (1 − μ)u2 ) 2 2 2 3

Mis ` a part les calculs un peu fastidieux laiss´es au lecteur, un point important est que la transformation U → W est un diff´eomorphisme. Cela ´etablit c1 |U1 − U2 |2 ≥ |W1 − W2 |2 ≥ c2 |U1 − U2 |2

(4.15)

a dire valable pour c1 > 0 et c2 > 0 bien choisis. Cette relation est locale, c’est ` pour U1 et U2 dans un voisinage d’un certain U0 .

92

4 Syst`emes

= με1 + (1 − μ)ε2 +

μ(1 − μ) (u1 − u2 )2 . 2

Il s’ensuit que   μ(1 − μ) 2 (u1 − u2 ) . η1 (μW1 + (1 − μ)W2 ) = −S τ, με1 + (1 − μ)ε2 + 2 Par hypoth`ese la fonction S est croissante par rapport a` sa deuxi`eme variable. Donc   μ(1 − μ) 2 (u1 − u2 ) η1 (μW1 + (1 − μ)W2 ) ≤ −S (τ, με1 + (1 − μ)ε2 ) − c3 2 pour une constante c3 > 0 bien choisie. Cette estimation est locale. Il reste `a utiliser la concavit´e stricte de la fonction S pour obtenir S (τ, με1 + (1 − μ)ε2 ) ≥ μS(τ1 , ε1 ) + (1 − μ)S(τ2 , ε2 )

+c4 μ(1 − μ) |τ1 − τ2 |2 + |ε1 − ε2 |2 pour une constante c4 > 0 bien choisie. Donc η1 (μW1 + (1 − μ)W2 ) ≤ μη1 (W1 ) + (1 − μ)η1 (W2 )

−c5 μ(1 − μ) |τ1 − τ2 |2 + |ε1 − ε2 |2 + |u1 − u2 |2 , c5 > 0. Reprenant (4.15) cela ´etablit la convexit´e stricte de la fonction η1 et partant de l` a celle de η2 .

4.2 Entropie et variables entropiques Comme les exemples pr´ec´edents le sugg`erent, il est possible dans certains cas qu’une loi de conservation suppl´ementaire non triviale puisse se d´eduire du syst`eme de lois de conservation ∂t U + ∂x f (U ) = 0,

U, f (U ) ∈ Rn ,

(4.16)

pour toutes les solutions C 1 de ce mˆeme syst`eme. Cette relation s’´ecrit ∂t η(U ) + ∂x ξ(U ) = 0,

η(U ), ξ(U ) ∈ R.

(4.17)

Les fonctions f, η, ξ seront toutes suppos´ees ind´efiniment d´erivables. Les vecteurs sont ´ecrits a priori en colonne ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U1 f1 (U ) ⎜ U2 ⎟ ⎜ f2 (U ) ⎟ ⎟ ⎟ U =⎜ f (U ) = ⎜ ⎝···⎠, ⎝ ··· ⎠. fn (U ) Un

4.2 Entropie et variables entropiques

93

Pour ˆetre compatible avec les r`egles du calcul matriciel, nous aurons aussi besoin d’une notion de vecteur ` a plat. Par exemple l’op´erateur gradient ∇U = (∂U1 , · · · , ∂Un ) est un vecteur a` plat. Et donc le gradient d’une fonction scalaire ∇U η(U ) = (∂1 η, · · · , ∂n η) est un vecteur a` plat. La transposition d’un vecteur colonne est un vecteur a plat, et r´eciproquement. En appliquant cette convention ligne par ligne ` ∇U f (U ) est une matrice carr´e ⎛ ⎞ ∂1 f1 , · · · , · · · , ∂n f1 ⎜ ∂1 f2 , · · · , · · · , ∂n f2 ⎟ n×n ⎟ . ∇U f (U ) = ⎜ ⎝ ··· ,··· ,··· ,··· ⎠ ∈ R ∂1 fn , · · · , · · · , ∂n fn

D´ efinition 18 Nous dirons que le couple (η(U ), ξ(U )) est un couple entropie-flux d’entropie pour le syst`eme (4.17) ssi on a les deux propri´et´es a) La fonction U → η(U ) est strictement convexe, b) On a la relation de compatibilit´e ∇U η(U )∇U f (U ) = ∇U ξ(U ).

(4.18)

On a choisi cette d´efinition car elle est adapt´ee aux exemples trait´es dans ce cours. On peut relaxer l’hypoth`ese a) en abandonnant l’hypoth`ese de convexit´e stricte. La forme d´evelopp´ee de la condition b) est : n 

∂j η(U )∂i fj (U ) = ∂i ξ(U ),

1 ≤ i ≤ n.

1≤j

Cette condition revient a` postuler que toutes les solutions C 1 de (4.17) v´erifient aussi (4.18). En effet les solutions C 1 de (4.17) v´erifient ∂t U + ∇U f (U )∂x U = 0. En effectuant le produit scalaire par ∇U η(U ) on trouve ∂t η(U ) + (∇U η(U ), ∇U f (U )∂x U ) = 0. Comparons avec la condition d’entropie que nous ´ecrivons ∂t η(U ) + (∇U ξ(U ), ∂x U ) = 0.

94

4 Syst`emes

En effectuant la diff´erence nous obtenons (∇U η(U )∇U f (U ) − ∇U ξ(U ), ∂x U ) = 0.

(4.19)

Cette relation ´etant par hypoth`ese vraie pour tout ∂x U on obtient la condition (4.18). On notera que la condition b) est trivialement v´erifi´ee pour les ´equations scalaires, pour lesquelles elle sert `a d´efinir le flux d’entropie. La condition a) est suffisante pour ´eliminer les combinaisons lin´eaires triviales du type η˜ = α1 U1 + · · · + αn Un . En pratique la convexit´e stricte est v´erifi´ee pour beaucoup de syst`emes de lois de conservation qui viennent de la m´ecanique des milieux continus. On peut se demander comment trouver le couple entropieflux d’entropie pour un syst`eme quelconque. Le plus souvent il faut se laisser guider par l’intuition physique comme pour les exemples. D´ efinition 19 Soit (η(U ), ξ(U )) un couple entropie-flux d’entropie pour le syst`eme de lois de conservation (4.17). Le vecteur (colonne) t

V = (∇U η(U )) ∈ Rn sera appel´ee variable entropique. Il suffit de noter que ∇U V = ∇2U η(U ) = ∇U V t > 0 est une matrice inversible. Comme la transformation est inversible, il est possible de prendre localement V comme variable principale4 . Lemme 20 Soit V → η ∗ (V ) = (U (V ), V ) − η(U (V )) la transform´ee polaire de l’entropie et V → ξ ∗ (V ) = (f (U (V )), V ) − ξ(U (V )) la transform´ee polaire du flux d’entropie. Alors (∇V η ∗ )t = U (V ) et (∇V ξ ∗ )t = f (U (V )). Par construction ∇U V est la matrice Hessienne des d´eriv´ees secondes de l’entropie η. C’est donc une matrice sym´etrique de mˆeme que son inverse ∇V U = (∇V U )t . D’autre part on a pour toute fonction Ψ 4

Il est possible d’ˆetre plus pr´ecis. Sous des hypoth`eses plus fortes, la transformation U → V est une bijection globalement. Par exemple Injectivit´ e La transformation est injective de U −1 (K) dans K tout convexe K ⊂ Rn . Cela vient de V (U1 ) − V (U2 ) = pour 1 [∇U V (U1 + t(U2 − U1 ))] U2 − U1 )dt. Donc t=0  1 (U1 − U2 , V (U1 ) − V (U2 )) = (U1 − U2 , [∇U V (U1 + t(U2 − U1 ))] U2 − U1 )dt. t=0

Donc si V (U1 ) − V (U2 ) = 0 alors l’int´egrale est nulle. Or (U1 − U2 , [∇U V (U1 + t(U2 − U1 ))] U2 − U1 ) ≥ c||U1 − U2 ||2 pour un c > 0. Donc U1 = U2 . Cela montre l’injectivit´e. Surjectivit´ e Supposons que la fonction entropie est α-convexe de Rn dans R. Soit λ ∈ Rn . Donc la fonction U → ηλ (U ) ≡ η(U ) − (λ, U ) est α-convexe sur Rn . Cette fonction admet un unique minimum qui v´erifie l’´equation d’Euler ∇U ηλ (U ) = V (U ) − λ = 0. D’o` u la surjectivit´e.

4.3 Solutions faibles entropiques

95

∇V (Ψ (U (V ))) = ∇U Ψ (U (V ))∇V U et pour tous champs de vecteurs A, B ∈ Rn ∇V (A, B) = At ∇V B + B t ∇V A. On en d´eduit que ∇V η ∗ = U t ∇V V + V t ∇V U − ∇U η(U )∇V U = U t et ∇V ξ ∗ = f (U )t ∇V V + V t ∇V f (U (V )) − ∇U ξ(U )∇V U = f (U )t + V t ∇V f (U ) − ∇U η(U )∇U f (U )∇V U = f (U )t . De plus on a par construction ∇V η ∗ (V )∇U η(U (V )) = I. Th´ eor` eme 4.1. Soit le syst`eme de lois de conservation (4.17). Nous supposons que ce syst`eme est muni d’un couple entropie-flux d’entropie. Alors le syst`eme est hyperbolique. ´ Enonc´ e autrement, l’existence d’une loi de conservation suppl´ementaire v´erifiant les points a) et b) garantit la stabilit´ e lin´ earis´ ee du syst`eme autour des solutions constantes, tel que cela a ´et´e ´enonc´e `a la d´efinition 7. Ce r´esultat est extrˆemement important, car il fait le lien entre l’existence d’un couple entropie-flux d’entropie (qui d´ecoule le plus souvent de la physique sous-jacente) et le caract`ere bien pos´e (au sens math´ematique) du syst`eme lin´earis´e. La preuve est particuli`erement simple avec les variables entropiques. On a la formule de d´erivation compos´ee ∇U f (U ) = ∇V f (U ) × ∇U V . La matrice Jacobienne du flux est le produit de deux matrices ∇U f (U ) = BC −1 avec B = ∇2V ξ ∗ (V ) = B t et C = ∇2V η ∗ (V ) = ∇V U = C t > 0.

(4.20)

La matrice B est sym´etrique. La matrice C est sym´etrique d´efinie positive. L’´etude du spectre de ∇U f (U ) se r´eduit a` l’´etude de l’´equation aux valeurs propres BC −1 r = λr ⇐⇒ Bs = λCs, s = C −1 r. Ce probl`eme admet un ensemble complet de vecteurs propres et valeurs propres r´eels. Donc le probl`eme lin´earis´e est fortement bien pos´e (voir d´efinition 6).

4.3 Solutions faibles entropiques Nous g´en´eralisons aux syst`emes la notion de solution faible entropique. L’approche est en tout point identique au cas scalaire. C’est pour cela qu’on se contentera d’´enoncer les r´esultats en laissant le d´etail des d´emonstrations au lecteur. Soit le syst`eme de lois de conservation ∂t U + ∂x f (U ) = 0,

U, f (U ) ∈ Rn ,

(4.21)

96

4 Syst`emes

muni d’un couple entropie-flux d’entropie. Soit la donn´ee initiale U (0, x) = U0 (x)

x∈R

(4.22)

Soit un domaine espace-temps Ω qui contient le temps z´ero Ω = [0, T [×] − A, A[

T, A > 0.

On dira que la fonction (t, x) → U (t, x) est une solution forte de (4.21) dans Ω avec ma condition initiale (4.22) ssi cette fonction U est continue, C 1 par morceaux et v´erifie (4.21-4.22). D´ efinition 20 Soit U une fonction localement born´ee (t, x) → U (t, x). Nous dirons que U est une solution faible du probl`eme de Cauchy (4.21) avec la donn´ee initiale (4.22) ssi    ((U, ∂t ϕ) + (f (U ), ∂x ϕ)) dxdt+ (U0 (x), ϕ(0, x))dx = 0 (4.23) R

0 0. Les matrices B et C sont sym´etriques. Le probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e associ´e est [B(V ) − λj (V )C(V )] rj (V ) = 0,

λj (V ) ∈ R, rj (V ) ∈ Rn .

(4.31)

On num´erote les valeurs propres dans l’ordre croissant λ1 (V ) ≤ λ2 (V ) ≤ · · · ≤ λn (V ). Les vecteurs propres sont orthonorm´es (ri (V ), C(V )rj (V )) = δij . L’´equation (4.30) exprime que le vecteur V (y) est colin´eaire a` un vecteur propre du probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e, ce que nous ´ecrivons

100

4 Syst`emes

V (y) = α(y) × ri (V(y)),

λj (V(y)) = y.

(4.32)

L’´equation (4.32) est du premier ordre et se r´esout dans le cadre du Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz (4.35). Il est n´ecessaire de se fixer une valeur en un point. Par commodit´ e nous prenons V (a) = VG .

(4.33)

La droite x = at est `a gauche du faisceau de d´ etente. Pour construire les solutions d´etente, il convient donc de discuter (4.32). A ce point une difficult´e apparaˆıt. En effet il sera indispensable pour les d´eveloppements qui vont suivre de pouvoir d´eriver les relations (4.32). Pour cela nous aurons besoin de d´eriver les valeurs propres et vecteurs un grand nombre de fois. Or rien n’assure, sans hypoth`ese suppl´ementaire, que les vecteurs propres et valeurs d’une matrice mˆeme sym´etrique sont d´erivables5. De mˆeme rien n’assure que les valeurs propres et vecteurs propres de (4.31) sont d´erivables. C’est pour cela que nous faisons une hypoth`ese forte qu’il est possible de justifier dans la plupart des cas, mais pas pour tous. Hypoth` ese 1 Nous admettons que le probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e (4.31) admet n couples valeur propre-vecteur propre (λj (V ), rj (V )), d´ erivables autant de fois que n´ ecessaire, que les valeurs propres sont ordonn´ees λ1 (V ) ≤ λ2 (V ) ≤ · · · ≤ λn (V ), et que les vecteurs propres sont orthonorm´es (ri (V ), C(V )rj (V )) = δij . Si le syst`eme est strictement hyperbolique λ1 (V ) < λ2 (V ) < · · · < λn (V ), alors cette propri´et´e est vraie. On pourra consulter [K66]6 . C’est la raison pour laquelle l’hypoth`ese de stricte hyperbolicit´e est souvent faite7 . 5

6

7

 x1 x2 . La matrice D d´epend analytiquement x2 −x1  des deux coefficients x1 et x2 . Les valeurs propres λ± = ± x21 + x22 sont continues a l’origine mais ne sont pas d´erivables. Posons x1 = r cos θ et x2 = r sin θ. Les ` vecteurs propres     cos θ2 sin θ2 r− = et r + = θ θ − sin 2 cos 2 

Soit la matrice D(x1 , x2 ) =

ne sont pas continus ` a l’origine. Un autre r´esultat important marquant est le suivant. Soit une matrice sym´etrique M (x) = M (x)t qui d´epend analytiquement d’un seul coefficient x ∈ R. Alors il est possible d’ordonner les valeurs propres et vecteurs propres analytiquement. Les valeurs propres λj (x) sont analytiques en x, les vecteurs propres rj (x) sont analytiques en x et orthonorm´es pour le produit scalaire usuel (ri (x), rj (x)) = δij . Soit une matrice r´eelle M (U ) dont qui d´epend continuement de la variable U ∈ ome Rn . Les valeurs propres suppos´ees r´eelles λj (U ) ∈ R sont racines du polynˆ caract´eristique p(U, λ) : p(U, λj (U )) = 0. Supposons les valeurs propres simples

4.4 Solutions autosemblables en

x t

101

Reprenons l’´equation (4.32). En d´erivant la deuxi`eme partie par rapport a` y on obtient (∇V λj (V(y)), V (y)) = 1. On ´elimine V  (y) grˆ ace `a la deuxi`eme partie de (4.32) α(y) × (∇V λj (V(y)), rj (V(y))) = 1. une condition n´ecessaire d’existence de solution non triviale (α(y) = 0) est alors (∇V λj (V ), rj (V )) = 0. (4.34) Cela justifie la d´efinition D´ efinition 22 On dira que le champ j est vraiment non-lin´eaire si (4.34) a lieu pour tout V . Comme α(y) = 0, alors soit α > 0 soit α < 0. On d´efinit  y s= α(z)dz. a

Soit une courbe int´egrale8 du champs de vecteur rj Vj (s) = rj (Vj (s)),

−ε < s < ε,

Vj (0) = VG .

(4.36)

Une fois d´etermin´ee la fonction s → Vj (s) on en d´eduit V(y) = Vj (s) qui est solution de (4.30).

∂λ p(U, λj (U )) = 0.. Alors les valeurs propres sont d´erivables par rapport ` a U car 0 = ∇U p(U, λj (U )) = ∇U |λ p(U, λj (U )) + ∂λ|U p(U, λj (U ))∇U λj (U ) =⇒ ∇U λj (U ) = − 8

1 ∇U |λ p(U, λj (U )). ∂λ|U p(U, λj (U ))

C’est une application du th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz que nous rappelons bri`evement. Soit (t, x) → F (t, x) une fonction de classe C 1 pour simplifier. Il existe ε > 0 et une unique solution de x (t) = F (t, x),

x(0) = x0

(4.35)

dans l’intervalle ] − ε, ε[. De plus la solution est unique sur l’intervalle de temps maximal (i.e. le plus grand possible). Cela montre l’existence de la courbe int´egrale pour (4.36). L’hypoth`ese 1 est n´ecessaire.

102

4 Syst`emes

Lemme 21 Nous faisons l’hypoth`ese 1. Soit VG ∈ Rn . La courbe int´egrale (4.36) est telle que s2 ∇V rj (VG )rj (VG ) + O(s3 ) 2

(4.37)

λj (Vj (s)) = λj (VG ) + s (∇V λj (VG ), rj (VG )) + O(s2 ).

(4.38)

Vj (s) = VG + srj (VG ) + et

L’´equation (4.36) implique Vj (0) = rj (VG ). Cela explique le premier terme du d´eveloppement (4.37). On d´erive une deuxi`eme fois par rapport `a s Vj (s) =

d rj (Vj (s)) = ∇V rj (V (s)) Vj (s) = ∇V rj (V (s)) rj (V (s)). ds

Donc Vj (0) = ∇V rj (VG ) rj (VG ). Cela ´etablit (4.36). Puis on a λj (Vj (s)) =   (∇V λj (Vj (s)), Vj (s)). D’o` u λj (Vj (s)) (0) = (∇V λj (VG ), rj (VG )) pour s = 0. Pour construire des solutions du type d´etente qui partent de VG en y = a, on garde la branche de la courbe (4.36) telle que y = λj > a (voir figure 4.1). Lemme 22 Les solutions en d´etente (4.32-4.33) sont de la forme V(y) = Vj (s). a 0 ≤ s < ε dans (4.37-4.38). Si (∇V λj (VG ), rj (VG )) > 0 : on se restreint ` a −ε < s ≤ 0 dans (4.37-4.38). Si (∇V λj (VG ), rj (VG )) < 0 : on se restreint ` 4.4.2 Discussion des discontinuit´ es Les discontinuit´es (4.29) que l’on consid`ere sont des solutions faibles (4.23) et de plus entropiques (4.25). En reprenant point par point la d´emonstration du Th´eor`eme 3.1 ainsi que la conclusion du Th´eor`eme 3.3, on obtient les c´el`ebres Relations de Rankine-Hugoniot pour les syst` emes −σ(UD − UG ) + f (UD ) − f (UG )) = 0

(4.39)

avec l’in´egalit´e d’entropie −σ(η(UD ) − η(UG )) + ξ(UD ) − ξ(UG )) ≤ 0.

(4.40)

σ est la vitesse de la discontinuit´e. Les d´efinitions suivantes font la distinction entre condition d’entropie stricte ou ´egalit´e d’entropie pour distinguer entre les chocs et les discontinuit´es de type contact.

4.4 Solutions autosemblables en

x t

103

D´ efinition 23 Nous dirons qu’une discontinuit´e solution de Rankine Hugoniot est un choc ssi l’in´egalit´e d’entropie est stricte −σ(η(UD ) − η(UG )) + ξ(UD ) − ξ(UG )) < 0. D´ efinition 24 Nous dirons qu’une discontinuit´e solution de Rankine Hugoniot est une discontinuit´ e de contact ssi l’in´egalit´e d’entropie est une ´egalit´e −σ(η(UD ) − η(UG )) + ξ(UD ) − ξ(UG )) = 0. Analyse des conditions de Rankine-Hugoniot (4.39) Une possibilit´e pour r´einterpr´eter les relations de Rankine Hugoniot consiste `a lin´eariser (4.39). On a ∇2V ξ ∗ (V ) = ∇V f (U (V )) et ∇2V η ∗ (V ) = ∇V U (V ). Donc [BG (V ) − σCG (V )] (V − VG ) = 0 (4.41) o` u

 BG (V ) =

et

 CG (V ) =

0 1

0

1

∇2V ξ ∗ (VG + t(V − VG ))dt = BG (V )t

∇2V η ∗ (VG + t(V − VG ))dt = CG (V )t > 0.

Donc V − VG = βj rjG est colin´eaire `a un vecteur propre d’un deuxi`eme probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e qui s’´ecrit   G G n BG (V ) − λG λG (4.42) j (V )CG (V ) rj (V ) = 0, j (V ) ∈ R, rj (V ) ∈ R . Ce probl`eme est tr`es proche de (4.31). Plus pr´ecis´ement les matrices de ces deux probl`emes aux valeurs propres (4.31) et (4.42) sont reli´ees par9  BG (VG ) = B(VG ) ∇V BG (VG ) = 12 ∇V B(VG ) CG (VG ) = C(VG ) ∇V CG (VG ) = 12 ∇V C(VG ). Donc autour de VG on a

et

  1 BG (V ) = B V + (V − VG ) + O(V − VG )2 2

(4.43)

  1 CG (V ) = C V + (V − VG ) + O(V − VG )2 . 2

(4.44)

Nous faisons l’hypoth`ese suivante, tr`es proche de l’hypoth`ese (1)10 . 9 10

1 De mani`ere g´en´erale si f (x) = a0 + a1 x + O(x2 ) alors 0 f (sx)ds = a0 + 12 a1 x + 2 O(x ). Nous verrons plus loin que l’hypoth`ese 2 se d´eduit en partie de l’hypoth`ese 1.

104

4 Syst`emes

Hypoth` ese 2 Nous admettons que le probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e (4.42) admet n couples valeur propre-vecteur propre erivables autant de fois que n´ ecessaire, que les (σjG (V ), rjG (V )), d´ valeurs propres sont ordonn´ees σ1G (V ) ≤ σ2G (V ) ≤ · · · ≤ σn ( G V ), et que les vecteurs propres sont orthonorm´es riG (V ), CG (V )rjG (V ) = δij . De plus nous supposons que les vecteurs propres de (4.42) sont li´es aux vecteurs propres de (4.31) par   1 (4.45) riG (V ) = ri VG + (V − VG ) + O(V − VG )2 . 2

De mˆeme pour les valeurs propres σiG (V ) = λi VG + 12 (V − VG ) + O(V − VG )2 . Une nouvelle fois, si le syst`eme est strictement hyperbolique, σ1 (V ) < σ2 (V ) < · · · < σn (V ), alors cette propri´et´e est vraie11 . Revenons sur la condition V − VG = βj rjG qui est ´equivalente a` (V − VG , CG (V )riG (V )) = 0,

∀i = j,

1 ≤ i ≤ n.

(4.46)

On a de plus σ = λG equations de (4.46) est l’´equation d’une j (V ). Chacune des ´ hypersurface. Donc (4.46) est l’intersection de n − 1 hypersurfaces. A priori il en r´esulte une courbe dans Rn . Plus pr´ecis´ement le changement de variables V ∈ Rn → W = (Wi )1≤i≤n ,

Wi = (V − VG , CG (V )riG (V ))

est inversible en VG . On calcule le gradient en VG ⎛ ⎞ CG (VG )r1G (VG ) ⎜ CG (VG )r2G (VG ) ⎟ ⎟. ∇V W (VG ) = ⎜ ⎝ ⎠ ··· G CG (VG )rn (VG ) Cette matrice est inversible car l’ensemble des lignes forme un syst`eme de n vecteurs orthonorm´es pour la matrice CG (VG )−1 . Donc (4.46) est localement autour de VG l’image r´eciproque d’une droite. C’est l’´equation d’une courbe r´eguli`ere.

11

D´emonstration classique laiss´ee au lecteur.

4.4 Solutions autosemblables en

x t

105

Lemme 23 Nous faisons l’hypoth`ese 2. La courbe (4.46) est telle que Vj (s) = VG + srj (VG ) +

s2 ∇V rj (VG )rj (VG ) + O(s3 ). 2

(4.47)

o` u s est une abcisse le long de la courbe. La vitesse de choc associ´ee est σjG (s) = λj (VG ) +

s (∇V λj (VG ), rj (VG )) + O(s2 ) 2

(4.48)

C’est un r´esultat classique. La courbe solution de la relation Rankine Hugoniot est tangente au deuxi`eme ordre `a la courbe de mˆeme type d´efinie pour les d´etentes. En revanche la vitesse de choc σjG (s) varie plus lentement que la vitesse d’onde (4.38). On montre le r´esultat en plusieurs temps. On part de σ = λG j (V ) et G (4.46). En faisant tendre s → 0 on obtient de suite σj (0) = λj (VG ), Vj (0) = VG et Vj (0) = rj (VG ). Ensuite on d´erive la relation de Rankine Hugoniot −σjG (s) [U (Vj (s)) − UG ] + f (U (VjG (s))) − f (U (VG )) = 0 par rapport `a s. Pour simplifier un peu les notations on enl`eve les indices (en haut .G , en bas .j ). On trouve −σ  (s) (U (V (s)) − UG ) − σ(s)C(s)V  (s) + B(s)V  (s) = 0 o` u on a pos´e B(s) = ∇V f (U (V (s))) et C(s) = ∇V U (V (s)). Puis on red´erive une deuxi`eme fois et on ´evalue en s = 0 −2σ  (0)C(0)V  (0) − σ(0) [C (0)V  (0) + C(0)V  (0)] + B (0)V (0) + B(0)V  (0) = 0.

(4.49)

D’autre part on ´etudie la relation (4.31) pour V = VjG (s). Cette relation s’´ecrit B(s)rj (s) − λj (s)C(s)rj (s) = 0 o` u rj (s) = rj (VjG (s)) : B(s) et C(s) ont ´et´e d´efinis plus haut en (4.31). On d´erive une fois par rapport a` s et on ´evalue en s = 0 B  (0)rj (0)+B(0)rj (0)−λj (0)C(0)rj (0)−λj (0)C  (0)rj (0)−λj (0)C(0)rj (0) = 0. (4.50) Ensuite on note que B(0) = B(0) et C(0) = C(0). On soustrait (4.50) et (4.49). Il reste



B(0) V  (0)−rj (0) −λj (0)C(0) V  (0)−rj (0) −(2σ  (0)−λj (0))C(0)rj (0) = 0.

106

4 Syst`emes

On effectue le produit scalaire avec rj (0). Grˆ ace `a la sym´etrie de B(0) et C(0) on obtient 2σ  (0) − λj (0) = 0 ce qui prouve (4.48). Il reste



B(0) V  (0) − rj (0) − λj (0)C(0) V  (0) − rj (0) = 0. La d´emonstration classique suppose alors que le syst`eme est strictement hyperbolique ce qui fait que les valeurs propres sont toutes distinctes. Cela montre que V  (0) − rj (0) est proportionnel `a rj (0)12 . Il existe β > 0 tel que V  (0) = rj (0) + βrj (0). Donc Vj (s) = VG + srj (VG ) +

s2 2 ∇V rj (VG )rj (VG )

+ O(s3 ). Il 2

suffit alors de red´efinir l’abcisse le long de la courbe. On prendra s = s + s2 β. D’o` u s2 Vj (s) = VG + srj (VG ) + ∇V rj (VG )rj (VG ) + O(s3 ). 2 Le d´eveloppement est inchang´e au premier ordre pour la vitesse du choc. Cela termine la preuve du lemme. Analyse de l’in´ egalit´ e d’entropie (4.40) Soient les fonctions ∗ ηG (V ) = (V, U ) − η(U (V )) − (V, UG ) + η(UG )

et

∗ ξG (V ) = (V, f (U )) − ξ(U (V )) − (V, f (UG )) + ξ(UG ).

∗ (V ) est strictement convexe autour de VG car ∇2V η ∗ (VG ) = La fonction V → ηG ∇V U (VG ) > 0.

Lemme 24 La relation de Rankine-Hugoniot (4.39) exprime que l’isosurface ∗ ∗ (V ) = ξG (VD ) est tangente en VD ` a l’isosurface d´efinie par d´efinie par ξG ∗ ∗ ∗ ∗ ηG (V ) = ηG (VD ). La relation d’entropie (4.40) devient −σηG (VD )+ξG (VD ) ≥ 0. 12

Dans le cas o` u les valeurs propres sont multiples on a le mˆeme r´esultat. On sait

que V (s) − VG , CG (s)riG (s) = 0. On d´erive deux fois et on ´evalue en s = 0        V  (0), CG (0)riG (0) + 2 V  (0), CG (0)riG (0) + 2 V  (0), CG (0)(riG ) (0) = 0. On a aussi (rj (s), C(s)ri (s)) = 0. On d´erive une fois et on ´evalue en s = 0 





rj (0), C(0)ri (0) + rj (0), C  (s)ri (0) + rj (0), C(0)ri (0) = 0.  (0) = 12 C  (0) et (riG ) (0) = 12 ri (0). Donc Or on sait grˆ ace a ` (4.44-4.45) que CG    j. V  (0) − rj (0), CG (0)riG (0) = 0, ∀i =

Donc V  (0) = rj (0) + βrj (0).

4.4 Solutions autosemblables en

x t

107

On a ∇V η ∗ (V )t = U − UG et ∇V ξ ∗ (V )t = f (U ) − f (UG ).

(4.51)

La vitesse du choc est le coefficient de proportionnalit´e entre les gradients13. Comme les gradients sont align´es les isosurfaces sont tangentes. Pour la condition d’entropie c’est un simple calcul ∗ ∗ (VD ) + ξG (VD ) = −σ ((VD , UD ) − η(UD ) − (VD , UG ) + η(UG )) −σηG

+ ((VD , f (UD )) − ξ(UD ) − (VD , f (UG )) + ξ(UG )) = (VD , −σ(UD − UG ) + f (UD ) − f (UG )))+σ(η(UD )−η(UG ))−ξ(UD )+ξ(UG ), c’est `a dire ∗ ∗ (VD ) + ξG (VD ) = σ(η(UD ) − η(UG )) − ξ(UD ) + ξ(UG ) ≥ 0. −σηG

(4.52)

Cela clˆot la preuve. D´ efinition 25 Soit un ´etat gauche G donn´e et σ une vitesse de choc donn´ee. La fonction ∗ ∗ V → −σηG (V ) + ξG (V )

dont les points stationnaires sont solutions de la relation RankineHugoniot (4.39) sera appel´e fonction g´ en´ eratrice (au sens de Kulikovski).

A pr´esent nous consid´erons la courbe (4.46) v´erifiant (4.47-4.48), et ´etudions la fonction G ∗ ∗ ϕG j (s) = −σj (s)ηG (Vj (s)) + ξG (Vj (s)).

etre restreint aux valeurs positives ou nulles (voir On sait que ϕG j (s) doit ˆ (4.52)). Lemme 25 On a la formule d G d ∗ ϕ (s) = −ηG (Vj (s)) σjG (s). ds j ds

(4.53)

Cette formule relie explicitement la variation de production d’entropie le long de la courbe a` la variation de la vitesse de la discontinuit´ e. En reprenant les propri´et´es (4.51) on a 13

La vitesse du choc est en fait un multiplicateur de Lagrange.

108

4 Syst`emes

d d G ∗ ϕ (s) = − σjG (s)ηG (Vj (s)) ds j ds

  d + −σjG (s)(U (VjG (s)) − UD ) + f (U (VjG (s))) − f (UD ), VjG (s) ds   d ∗ = − σjG (s) × ηG (Vj (s)) (4.54) ds car l’´etat U (VjG (s)) est une solution des relations de Rankine Hugoniot pour la vitesse de choc σjG (s). La preuve est termin´ee.

s ∗ Fig. 4.2. La fonction s → ηG (Vj (s)) ≥ 0 atteint son minimum en s = 0.

Consid´erons les petits chocs (i.e. s est petit) pour les champs vraiment non lin´eaires (∇V λj (V ), rj (V )) = 0 Lemme 26 Les petits chocs pour les champs vraiment non lin´eaires sont d´ecrits par les courbes (4.47-4.48) solutions de (4.39-4.39) avec Si (∇V λj (VG ), rj (VG )) > 0 : on se restreint ` a −ε < s < 0. a 0 < s < ε. Si (∇V λj (VG ), rj (VG )) < 0 : on se restreint ` En comparant avec les d´etentes, les chocs compl´ementaires des d´etentes.  s dsont ∗ La condition d’entropie s’´ecrit aussi 0 ds σjG (t) × ηG (Vj (t)) dt ≤ 0, c’est a` dire compte tenu de (4.50)   s 1 G (∇V λj (VG ), rj (VG )) + O(s) × η ∗ (Vj (t)) dt ≤ 0 ϕj (s) = (4.55) 2 0 ∗ (Vj (t)) > 0 pour t = 0. avec ηG

Le saut d’entropie est du troisi`eme ordre en s −σ(η(UD ) − η(UG )) + ξ(UD )) − ξ(UG ) = O(s3 ) pour σ = σj (s) et UD = U (Vj (s)).

4.4 Solutions autosemblables en

x t

109

Au vu de (4.55) une condition n´ecessaire les solutions construites soit des discontinuit´es de contact est (∇V λj (VG ), rj (VG )) = 0. On pourrait penser qu’il n’est pas possible de pousser l’analyse plus loin car l’annulation du coefficient du premier ordre dans le d´eveloppement ϕG j (s) = 2 3 0 + 0 × s + cs + c3 s + ... est insuffisante pour obtenir l’annulation de tous les termes suivants. Ce n’est pas le cas. D´ efinition 26 Supposons que (∇V λj (V ), rj (V )) = 0 a lieu pour tout V . On dira que le champ j est lin´eairement d´eg´en´er´e. Il est instructif de comparer les d´efinitions 26 et 23 avec la situation scalaire du tableau 3.1 que nous pouvons compl´eter sous la forme f (u) = au lin´eairement d´eg´en´er´e (LD) f  (u) = 0 f (u) = 12 u2 vraiment non lin´eaire (VNL) f  (u) = 1 f (u) = 13 u3 ni VNL, ni LD f  (u) = 2u Tableau 4.1. Exemples : V = U et (∇V λ(V ), r(V )) = λ (u) = f  (u)

Lemme 27 Les petites discontinuit´es de contact pour les champs lin´eairement d´eg´en´er´es sont d´ecrits par les courbes (4.37-4.38) ou (4.47-4.48) solutions de (4.39-4.39) avec −ε < s < ε. Le preuve se fait en trois ´etapes. On part d’une courbe int´egrale (4.37-4.38) pour un champ lin´eairement d´eg´en´er´e. a) Comme λj (V (s)) = (∇V λj (V (s)), rj (V (s))) = 0, c’est que la vitesse d’onde λj (V (s)) est constante le long de la courbe. b) Les ´etats le long de la courbe v´erifient la relation de Rankine Hugoniot avec une vitesse de choc σ = λj (VG ). On a d (−λj (VG )(U (V (s)) − UG ) + f (U (V (s))) − f (UG )) ds = −λj (VG )C(V (s))V  (s) + B(V (s))V  (s) = −λj (VG )C(V (s))rj (V (s)) + B(V (s))rj (V (s)) = 0. c) Comme la vitesse du choc est constante et que les ´etats v´erifient l’´egalit´e de Rankine Hugoniot, la relation (4.53) implique que le bilan d’entropie est nul. Lemme 28 Pour les champs lin´eairement d´eg´en´er´es, l’hypoth`ese 1 implique l’hypoth`ese 2. En effet nous venons d’exhiber explicitement des vecteurs propres g´en´eralis´es pour (4.42) a` partir des solutions de (4.31).

110

4 Syst`emes

4.5 Retour sur la variable principale U Nous r´esumons `a pr´esent les divers cas rencontr´es lors de l’´etude locale (ε petit) des solutions de type d´etente, choc ou discontinuit´e de contact. La construction des courbes s’est faite dans l’espace en V . Nous revenons dans l’espace U par la transformation V → U . Les r´esultats sont essentiellement les mˆemes car il s’agit d’une transformation r´eguli`ere et inversible. Prenons la courbe de d´etente du th´eor`eme (21) Vj (s) = VG + srj (VG ) +

s2 ∇V rj (VG )rj (VG ) + O(s3 ). 2

On pose Uj (s) = U (Vj (s)). On note rj (UG ) = ∇V U (VG )rj (VG ) qui est un vecteur propre du probl`eme aux valeurs propres-vecteurs propres ∇U f (UG )rj (UG ) = λj (0)rj (UG ). Il suffit de comparer (4.20) et (4.31). On obtient la courbe de d´etente UjD´etente (s) = UG + srj (UG ) +

s2 Aj + O(s3 ) 2

pour un Aj qu’on ne calcule pas explicitement (mais on pourrait le faire si c’´etait n´ecessaire). De mˆeme la courbe de vitesse d’onde du th´eor`eme (21) λj (s) = λj (0) + s (∇V λj (VG ), rj (VG )) + O(s2 ) s’exprime aussi sous la forme λj (s) = λj (0) + s (∇U λj (V (UG )), rj (VG )) + O(s2 ). Cela vient de (∇V λj (VG ), rj (VG )) = (∇U λj (V (UG )), rj (VG )) . Ainsi le crit`ere qui exprime que le champ est vraiment non lin´eaire prend la mˆeme forme dans l’espace V et dans l’espace U . Comme on doit se restreindre a λj (s) > λj (0) on ne garde qu’une branche de la courbe. ` Puis on consid`ere la courbe de choc `a partir de UG . Cette courbe de choc UjChoc (s) = UG + srj (UG ) +

s2 Aj + O(s3 ). 2

est tangente a` l’ordre deux a` la courbe de d´etente. La condition d’entropie am`ene une restriction. On garde la partie de la courbe de choc qui est compl´ementaire `a la branche de d´etente. La vitesse du choc admet le d´eveloppement σj (s) = λj (0) +

s (∇U λj (V (UG )), rj (VG )) + O(s2 ). 2

4.6 Solution du probl`eme de Riemann

111

Demi courbe de choc

UG

Demi courbe de d´etente

Fig. 4.3. Courbe de choc et d´etente a ` parti de UG

On garde la partie de courbe de choc qui est compl´ementaire de la branche de la courbe de d´etente retenue. Supposons enfin que (∇U λj (V (UG )), rj (UG )) = 0 dans un voisinage de UG , ce qui revient a` dire que le champ est lin´eairement d´eg´en´er´e. La courbe de contact est UjContact (s) = UG + srj (UG ) +

s2 Aj + O(s3 ) 2

et on garde les deux branches pour lesquelles σj (s) = λj (s) = λj (0). En revanche si Le champ n’est ni vraiment non lin´eaire ni lin´eairement d´eg´en´er´e, alors on ne sait rien dire de g´en´eral. Nous avons d´ecid´e depuis le d´ebut de prendre l’´etat gauche comme r´ef´erence et de chercher les UD possibles. On peut bien sˆ ur inverser, choisir UD comme r´ef´erence et chercher les UG connectables par d´etente ou discontinuit´e. La seule diff´erence est que la a consulter branche de d´etente doit ˆetre restreinte `a λj (s) < λj (0). Il n’y a qu’` le sch´ema de d´etente (4.1) pour s’en convaincre. Pour le reste tout est identique. La condition d’entropie est, elle aussi, invers´ee. Donc les courbes de choc et d´etente sont compl´ementaires dans tous les cas de figure.

4.6 Solution du probl` eme de Riemann Nous appliquons le mat´eriel pr´ec´edent a` la d´etermination de la solution du probl`eme de Riemann

112

4 Syst`emes

Courbe de contact

UG

Courbe de contact Fig. 4.4. Courbe de contact ` a partir de UG

⎧ ⎨ ∂t U + ∂x f (U ) = 0, U (0, x) = UG x < 0, ⎩ 0 < x. U (0, x) = UD

(4.56)

4.6.1 Th´ eor` eme de Lax Le th´eor`eme de Lax donne la solution de ce probl`eme sous des hypoth`eses tr`es g´en´erales, ce qui fait qu’il est pertinent dans un grand nombre de situations. D’o` u son importance. Cependant on fait l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e stricte car il est n´ecessaire d’ordonner les valeurs propres dans la construction. C’est la restriction principale que nous l`everons en partie plus loin. Th´ eor` eme 4.2. Soit un syst`eme de lois de conservation. Nous supposons que les valeurs propres sont toutes distinctes en UG . Nous supposons que les champs sont tous soit vraiment non lin´eaires, soit lin´eairement d´eg´en´er´es. Alors il existe un voisinage VG de UG tel que : pour tout UD ∈ VG il existe une solution du probl`eme de Riemann. Cette solution est une solution faible entropique autosemblable en xt . Elle est constitu´ee de n + 1 ´etats constants s´epar´es par des d´etentes, chocs ou discontinuit´es de contact. Commen¸cons par classer les valeurs propres dans l’ordre λ1 (U ) < λ2 (U ) < · · · < λn (U ),

∀U ∈ VG .

On d´etermine la courbe U1 (s1 ; UG ) avec U1 (0) = UG . Puis on d´etermine la courbe U2 (s2 ; U1 (s1 )) avec U2 (0) = U1 (s1 ) : c’est `a dire que le point de d´epart de la deuxi`eme courbe est le point d’arriv´ee de la premi`ere. Puis on it`ere. Posons s = (s1 , s2 , · · · , sn ). Cela d´etermine U (s) = Un (sn ; Un−1 (sn−1 ; Un−2 (· · · ; U1 (s1 ; UG )))).

4.6 Solution du probl`eme de Riemann

113

t

U1

U2

UG

U3 = UD

Fig. 4.5. Solution du probl`eme de Riemann pour n = 3 (UD est proche de UG )

Pour s petit le d´eveloppement au premier ordre de U (s) est U (s) = UG + s1 r1 (UG ) + · · · + sn rn (UG ) + O(s2 ). La Jacobienne en s = 0 de la transformation s → U (s) est ⎞ ⎛ r1 (UG ) ∇s U (0) = ⎝ · · · ⎠ . rn (UG ) Les vecteurs ri (UG ) ´etant lin´eairement ind´ependants (ils sont orthonorm´es pour le produit scalaire induit par la matrice C(UG )) la transformation est localement inversible. Par continuit´e la matrice ∇s U (s) est inversible pour |s| dans un voisinage de 0. Donc pour tout UD ∈ VG il existe une unique solution de U (s) = UD . Revenant a` la d´efinition de U (s) cela d´etermine n + 1 ´etats constants UG , U1 (s1 ; UG ), U2 (s2 ; U1 (s1 ; UG )), · · · , · · · , UD = Un (sn ; Un−1 (sn−1 ; Un−2 (· · · ; U1 (s1 ; UG )))). Ces n + 1 ´etats constants sont connect´es deux `a deux par des d´etentes, chocs ou discontinuit´es de contact. D´efinissons la fonction (t, x) → U ( xt ) autosemblable correspondante. Par construction c’est une solution entropique du probl`eme de Riemann. Cela termine la preuve. 4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange Nous comparons la solution du probl`eme de Riemann pour la forme eul´erienne du syst`eme de la dynamique des gaz (2.10) et la solution du probl`eme de Riemann pour la forme lagrangienne (2.21) de ce mˆeme syst`eme. % ) = 0 la forme % + ∂m g(U Notons ∂t U + ∂x f (U ) = 0 la forme eul´erienne et ∂t U

114

4 Syst`emes

U1

U3 = UD

UG U2 Fig. 4.6. Construction de la solution du probl`eme de Riemann pour n = 3

% = (τ, u, e) pour lagrangienne. On a la correspondance U = (ρ, ρu, ρe) et U ρ > 0. La donn´ee initiale pour la forme eul´erienne est du type UG , UD , celle %D . Supposons que |UG − UD | ≤ ε est %G , U de la forme lagrangienne est alors U petit. Alors la solution math´ematique du probl`eme de Riemann est donn´ee par l’application du th´eor`eme de Lax 4.2. De mˆeme la solution math´ematique du probl`eme de Riemann pour la forme lagrangienne est donn´ee par l’application du th´eor`eme de Lax. De ce fait nous devons comparer ces deux solutions de deux probl`emes diff´erents. Au premier abord il n’est pas du tout ´evident que ces solutions correspondent. Par exemple les niveaux de masse volumique sont-ils les mˆemes ? les vitesses des discontinuit´es correspondent-elles ? Le point important est que ces deux solutions correspondent point par point, au changement de coordonn´ees temps-espace (t, m) → (t, x) pr`es bien sˆ ur. En effet la preuve de l’´equivalence Euler-Lagrange qui a ´et´e propos´ee `a la section 2.3.2 a utilis´e une transformation C 2 . Mais on a besoin en fait de beaucoup moins : E = ∇(t,m) (t, x) ∈ R2×2 born´ee et inversible suffit. Si cette matrice est une fonction born´ee toutes les transformations de la section 2.3.2 sont valides. En particulier on peut v´erifier qu’on n’utilise jamais de d´eriv´ees de E. L’identit´e de Piola exprime que la divergence de la comatrice est nulle, ce qu’on peut ´ecrire sous forme faible. Si on utilise une formulation faible il y a effectivement besoin uniquement de E et pas de ses d´eriv´ees. V´erifions que E est inversible. On a   1 0 . E= ∂x u ρ ∂X ∂x = ρ0 (X) > 0 donc la matrice E est bien inversible. Une nouvelle Or ρ ∂X fois le vide ρ = 0 doit ˆetre ´elimin´e dans les configurations lagrangiennes. En r´esum´e nous obtenons le principe g´en´eral Pour les syst` emes en dimension un d’espace consid´ er´ es dans ce cours les formulations eul´ eriennes et lagrangiennes sont en tout point ´ equivalentes loin du vide, mˆ eme pour le probl` eme de Riemann. On consultera [W87].

4.7 Syst`emes en coordonn´ee de Lagrange

115

Ce principe pourra ˆetre utilis´e pour certains calculs qui seront plus faciles pour la forme eul´erienne alors que d’autres seront plus faciles pour la forme lagrangienne. Le plus souvent c’est une affaire de goˆ ut. Les a´erodynamiciens privil´egient la forme eul´erienne, les physiciens des plasmas la forme lagrangienne.

4.7 Syst` emes en coordonn´ ee de Lagrange Les syst`emes en coordonn´ee de Lagrange qui viennent de la m´ecanique des milieux continus poss`edent plusieurs propri´et´es en commun avec les syst`emes ´ecrits en variable d’Euler. Par exemple le syst`eme de la dynamique des gaz est invariant sous l’action des transformations galil´eennes. De ce fait le syst`eme en coordonn´ee de Lagrange correspondant est aussi invariant sous l’action des transformations galil´eennes. De mˆeme la discussion des d´etentes et des ondes de choc est semblable entre les syst`emes ´ecrits en coordonn´ees de Lagrange et les autres. Cependant une propri´et´e suppl´ementaire distingue le plus souvent ces syst`emes en coordonn´ee de Lagrange : l’entropie est associ´ee `a un flux d’entropie nul. Pour le syst`eme associ´e eul´erien cela correspond par exemple a` ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0 et ∂t (ρS) + ∂x (ρuS) = 0 pour les solutions r´eguli`eres. Pour fixer les notations nous consid´erons le syst`eme de lois de conservation en coordonn´ee de Lagrange ∂t U + ∂m f (U ) = 0

(4.57)

et nous supposons que l’entropie physique du syst`eme satisfait une loi telle que ∂t S ≥ 0. L’entropie math´ematique est η(U ) = −S. Hypoth` ese 3 On suppose que ξ(U ) ≡ 0 pour le syst`eme en coordonn´ee de Lagrange (4.57). Reprenant la d´efinition 18 du flux d’entropie cela correspond a ` (4.58) ∇U η(U )∇U (f (U )) = 0, ∀U. Cette relation prend un sens physique fort si on consid`ere que l’entropie physique mesure l’irr´eversibilit´e des processus qui s’exerce sur la mati`ere. Pour la dynamique des gaz lagrangienne, on a d´ej`a constat´e une telle propri´et´e (4.7) avec, pour les gaz parfaits polytropiques, S = log(ετ γ−1 ) : si S augmente, alors le produit de l’´energie interne par une certaine puissance inverse de la masse volumique ´evolue irr´eversiblement. L’hypoth`ese faite revient donc `a supposer que ce principe est vrai pour d’autres syst`emes que celui de la dynamique des gaz compressibles.

116

4 Syst`emes

t t4 t3 t2 t1 x Fig. 4.7. Processus irr´eversible : S1 < S2 < S3 < S4 . Processus r´eversible S1 = S 2 = S3 = S4 .

4.8 Syst` emes ` a flux d’entropie nul Lemme 29 Sous l’hypoth`ese (4.58) de flux d’entropie nul, la fonction flux a la variable entropique V . est homog`ene14 de degr´e 0 par rapport ` On rappelle que V = ∇U η(U )t = −∇U S(U )t . La relation (4.58) est ´equivalente `a ∇U η(U ) ∇V (f (U (V )) ∇U V = 0 c’est `a dire (apr`es simplification par la matrice inversible ∇U V puis transt position) [∇V (f (U (V ))] V = 0. Or on sait aussi que f (U (V ) = ∇V ξ ∗ (V ) ∗ o` u la fonction ξ est la transform´ee polaire du flux d’entropie : ξ ∗ = (V, f (U )) − ξ(U ) = (V, f (U )). La matrice [∇V (f (U (V ))] est sym´etrique. D’o` u la relation d’Euler [∇V (f (U (V ))] V = 0. qui caract´erise les fonctions homog`enes de degr´e 0. La preuve est termin´ee.

14

Les fonctions homog`enes de degr´e p v´erifient f (λx) = λp f (x), λ ∈ R. Si f est diff´erentiable on a la relation d’Euler ∇x f (x) x = pf (x). C’est une ´equivalence pour les f r´eguliers.

(4.59)

4.8 Syst`emes ` a flux d’entropie nul

117

Supposons par exemple que la derni`ere composante de V est non nulle : Vn = 0. Alors le flux peut s’´ecrire15 sous la forme f (U ) = g(Ψ ) pour la variable Ψ V1 V2 Vn−1 t Ψ =( , ,··· , ) ∈ Rn−1 . (4.61) Vn Vn Vn A pr´esent nous revenons sur le syst`eme g´en´eral (4.57). Il reste a` pr´eciser l’application des principes d’invariance galil´eenne sur U . Hypoth` ese 4 Nous supposons que le vecteur U peut se d´ecomposer sous la forme ⎛ ⎞ v ∈ Rn−d−1 ⎠ ∈ Rn U = ⎝ u ∈ Rd e∈R o` u v regroupe les variables dites de densit´e, u regroupe les variables dites de vitesse16 et e est la variable d’´energie totale. La variable d’´energie interne totale  est 1  = e − |u|2 . 2 Soit un changement de r´ef´erentiel galil´een ` a vitesse u0 ∈ Rd . Les variables de densit´e sont invariantes par rapport au changement de r´ef´erentiel galil´een. Les variables de vitesses u se transforment en u+u0 , l’´energie totale se transforme en e =  + 12 |u + u0 |2 . L’´energie interne  est invariante. Si U = (v, u, e)t est une solution de (4.57) alors Uu0 = (v, u + u0 ,  +

1 |u + u0 |2 )t 2

est aussi une solution pour tout u0 ∈ Rd . Hypoth` ese 5 Il y a invariance des solutions r´eguli`eres par rapport au temps ` condition d’inverser le signe de la vitesse. Soit U = (v, u, e)t est une solution a r´eguli`ere de (4.57). Soit U− = (v, −u, e)t . Alors U− est solution de −∂t U− + ∂m f (−U− ) = 0. 15

16

Pour la dynamique des gaz lagrangienne on sait d’apr`es (4.6) que V = − T1 (p, −u, 1). Le signe − vient de ce que η = −S et n’a aucune importance. Donc Ψ = (p, −u) pour la dynamique des gaz lagrangienne. C’est bien compatible avec la forme des ´equations (2.21) ⎧ ⎨ ∂t τ − ∂m u = 0, ∂t u + ∂m p = 0, (4.60) ⎩ ∂t e + ∂m (pu) = 0. o` u le flux ne d´epend que de la pression p et la vitesse u. Consid´erons par exemple la dynamique des gaz en dimension deux d’espace. Le champ de vitesse est un vecteur de taille deux. Supposons que la solution est invariante par rapport ` a la deuxi`eme variable d’espace ∂y = 0. Il reste deux variables de vitesse u = (u, v). C’est la raison de cette variable de vitesse vectorielle.

118

4 Syst`emes

Hypoth` ese 6 L’entropie physique S est une fonction uniquement des variables v et  et n’est pas fonction des variables de vitesse. L’entropie math´ematique est η(v, u, e) = −S(v, e − 12 u2 ). Le flux d’entropie est nul (4.58). De plus nous supposons17 que Vn < 0. Soit w(v, ) =

∇v S(v, ) . ∇ S(v, )

On d´efinit une nouvelle variable entropique Ψ = (w(v, ), −u)t ∈ Rn−1 . Th´ eor` eme 4.3. Soit le syst`eme en coordonn´ee de Lagrange (4.57). Nous faisons les hypoth`eses 3, 4, 5 et 6. Alors le flux est une fonction lin´eairequadratique en Ψ . Il existe une matrice sym´etrique M = M t ∈ Rn−1×n−1 telle que   MΨ . f (U ) = − 21 (Ψ, M Ψ ) La matrice M est de la forme   0 N M= , Nt 0

N ∈ Rn−1−d×d .

Par rapport a` la d´efinition 29 plus g´en´erale d’un syst`eme lagrangien, ce r´esultat est plus pr´ecis car il sp´ecifie la structure de la matrice M . Par identification le syst`eme correspond `a  0 M= 1

lagrangien de la dynamique des gaz (4.60) 1 0



 et Ψ =

p −u

 .

Le r´esultat du th´eor`eme exprime le fait que la structure de tout syst`eme qui vient de la m´ecanique des milieux continus et est ´ecrit en coordonn´ees de Lagrange en dimension un d’espace partage une structure commune avec celui de la dynamique des gaz compressibles (4.60).  La preuve se d´eroule en  h(Ψ ) ∈ Rn−1 . plusieurs temps. On pose f (U ) = g(Ψ ) ∈ R L’hypoth` ese 6 fait que V = −(∇v S(v, ), −∇ S(v, )u, ∇ S(v, )). Les n − 1 premi`eres ´equations du syst`eme sont     v w ∂t + [∇Ψ h(w, −u)] ∂m = 0. u −u L’hypoth` ese 4 permet d’´ecrire 17

Cette axiomatisation est naturelle si on consid`ere le cas de la dynamique des gaz pour laquelle Vn = − T1 .

4.8 Syst`emes ` a flux d’entropie nul

 ∂t

v u + u0

Ou encore ∂t



 + [∇Ψ h(w, −u − u0 )] ∂m

w −u − u0

119

 = 0,

    v w + [∇Ψ h(w, −u − u0 )] ∂m = 0, u −u

∀u0 ∈ Rd .

∀u0 ∈ Rd .

C’est donc que la matrice [∇Ψ h(w, −u − u0 )] est ind´ependante de u0   ∇u|w [∇Ψ h(w, −u)] = ∇Ψ ∇u|w h(w, −u) = 0.   Donc la matrice entre crochets ne d´epend pas de Ψ ∇u|w h(w, −u) = B pour une matrice B ∈ Rn−1×d donn´ee. Int´egrons une fois. On a h(w, −u) = −Bu + l(w). Plus pr´ecis´ement en s´eparant les variables   −B1 u + l1 (w) ∈ Rn−1−d . h(w, −u) = −B2 u + l2 (w) ∈ Rd L’hypoth` ese 5 implique que     v ∓B1 u + l1 (w) + ∂m = 0. ±∂t ∓B2 u + l2 (w) u ∂m l1 = 0, Donc l1 ≡ 0 et B2 ≡ 0. Plus pr´ecis´ement ⎛ ⎞ on peut ´eliminer l1 . De −B1 u mˆeme pour le terme en B2 . Donc f (U ) = ⎝ l2 (w) ⎠. g(Ψ ) Pour finir le raisonnement on note que la transform´ee polaire du flux d’entropie est ξ ∗ (V ) = (V, f (U )) = Vn [−(w, B1 u) − (u, l2 (w)) + g(w, −u)]. On sait que ∇V ξ ∗ = f (U ). On d´erive cette ´equation par rapport aux variables V1 , · · · , Vn−1−d = Vn w puis par rapport a` Vn−d , · · · , Vn−1 = −Vn u. On trouve  −B1 u − ∇w l2 (w)u + ∇w g(w, −u) = −B1 u, B1t w + l2 (w) + ∇−u g(w, −u) = l2 (w). Donc



∇w g(w, −u) = ∇w l2 (w))(−u) ∇−u g(w, −u) = −B1t w.

La formule des d´eriv´ees crois´ees implique

t ∇−u (∇w l2 (w)(−u)) = ∇w −B1t w c’est `a dire ∇w l2 (w) = −B1 dont la solution est l2 (w) = −B1 w. De plus g(w, −u) = (u, B1t w). Revenons au flux. Posons N = B1     MΨ 0 N f (U ) = avec M = . (4.62) − 12 (Ψ, M Ψ ) Nt 0 La preuve est termin´ee.

120

4 Syst`emes

4.9 Vitesses d’ondes pour les syst` emes lagrangiens Consid´erons le syst`eme lagrangien de la section pr´ec´edente avec le flux (4.62) ⎧ ⎨ ∂t v − N ∂m u = 0, (4.63) ∂t u + N t ∂m w = 0, ⎩ ∂t e + ∂m (w, ∂m u) = 0, dont nous allons calculer les vitesses d’ondes. Nous utilisons le lemme 37 pour lequel nous choisissons comme variable astucieuse W = (w, u, S)t . Comme ∂t S = 0 on obtient un syst`eme quasi-lin´eaire ⎧  −1 ⎨ ∂t w − ∇w|S v N ∂m u = 0, (4.64) ∂t u + N t ∂m w = 0, ⎩ ∂t S = 0. Il s’ensuit que les vitesses d’onde lagrangiennes sont les valeurs propres de la matrice ⎛ ⎞ −1  N 0 0 − ∇w|S v n×n . B = ⎝ Nt 0 0⎠ ∈ R 0

0

0

Soit un vecteur propre (a, b, c) ∈ Rn−1−d × Rd × R ⎧  −1 ⎨ − ∇w|S v N b = μa, N t a = μb, ⎩ 0 = μc. Un premier vecteur propre trivial est (a, b, c) = (0, 0, 1) associ´e `a la valeur propre μ = 0. Les autres vecteurs propres pour la valeur propre μ = 0 sont d´ecrits dans le lemme Lemme 30 Pour n−1−d = d le syst`eme (4.63) n’est pas strictement hyperbolique. La valeur propre 0 est de multiplicit´e p = 1+max(n−1−2d, 2d+1−n) ≥ 2. Les champs associ´es sont lin´eairement d´eg´en´er´es. Les vecteurs propres associ´es sont diff´erentiables. Les hypoth` eses 1 et 2 sont v´ erifi´ ees pour ces champs. La matrice N est de taille n−1−d×d. Supposons par exemple que d < n−1−d. Donc N t est de rang d et admet n − 1 − 2d ≥ 1 vecteurs propres ind´ependants pour la valeur propre 0 : N t α = 0. Le vecteur propre B(a, b, c)t = μ(a, b, c)t est (a, b, c) = (α, 0, 0). La valeur propre ´etant constante le champ est lin´eairement d´eg´en´er´e. La valeur propre 0 est de multiplicit´e n − 2d ≥ 2 et est lin´eairement d´eg´en´er´ee. De mˆeme si n − 1 − d < d. N est de rang n − 1 − d et admet 2d+1−n ≥ 1 vecteurs propres ind´ependants pour la valeur propre 0 : N β = 0. Cela fournit des vecteurs propres B(a, b, c)t = μ(a, b, c)t est (a, b, c) = (0, β, 0). La valeur propre 0 est de multiplicit´e 2d + 2 − n ≥ 2 et est lin´eairement d´eg´en´er´ee. D’autre part les vecteurs propres associ´es `a la valeur propre nulle

4.9 Vitesses d’ondes pour les syst`emes lagrangiens

121

engendrent un sous-espace vectoriel S ⊂ Rn . Ils sont ind´ependants de la variable (Ψ, S). En revenant en U les vecteurs propres deviennent Π −1 (S) o` u Π est la transformation Π(U ) = (Ψ, S). Cette transformation est inversible localement et ind´efiniment diff´erentiable par hypoth`ese. Les vecteurs propres sont diff´erentiables. La preuve est termin´ee. Supposons par exemple que d = 1 ce qui correspond `a des syst`emes que l’on pourrait qualifier de vraiment monodimensionnels. Alors le syst`eme n’est pas strictement hyperbolique d`es que n ≥ 4. Ceci est important pour la mod´elisation. En effet la tendance g´en´erale est d’augmenter la taille du syst`eme par l’ajout d’inconnues suppl´ementaires. Pour un grand nombre d’inconnues l’hyperbolicit´e stricte est perdue. Attention : ceci n’est vrai que si le syst`eme est compatible avec la thermodynamique tel que cela est ´enonc´e `a l’hypoth`ese 3 ; voir aussi la figure 4.7. Tout ceci modifie le th´eor`eme de Lax. Additif au Th´ eor` eme 4.2 Soit un syst`eme lagrangien de lois de conservation. Nous supposons que la valeur propre 0 est constante et est de multiplicit´e p. Nous supposons que les autres valeurs propres sont toutes distinctes en UG et que les champs associ´es sont tous soit vraiment non lin´eaire, soit lin´eairement d´eg´en´er´e. Alors il existe un voisinage VG de UG tel que : pour tout UD ∈ VG il existe une solution du probl`eme de Riemann. Cette solution est une solution faible autosemblable en xt . Elle est constitu´ee de n + 2 − p ´etats constants s´epar´es par des d´etentes, chocs ou discontinuit´es de contact. a figure 4.8. On revient dans le plan eul´erien en notant Cela est illustr´e18 ` 18

Un exemple typique est constitu´e par les ´equations de la dynamique des gaz en dimension deux d’espace. En supposant que la solution ne d´epend de la variable y on obtient le syst`eme ⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p = 0, ∂t (ρv) + ∂x (ρuv) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0. Ici n = 4 et d = 2. Il y a une valeur propre lin´eairement u d´eg´en´er´ee de multiplicit´e 2d + 2 − n = 2. La forme lagrangienne est ⎧ ∂t τ − ∂m u = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t u + ∂m p = 0, ⎪ ∂t v = 0, ⎪ ⎩ ∂t e + ∂m (pu) = 0. Des calculs ´el´ementaires montrent que ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p 010 M = ⎝ 1 0 0 ⎠ et Ψ = ⎝ −u ⎠ . −v 000

122

4 Syst`emes

t

Valeur propre de multiplicit´e p

U1

U2 U3 = UD

UG

m Fig. 4.8. Solution du probl`eme de Riemann dans le plan lagrangien (m, t) pour UD et UD proches. Valeur propre 0 de multiplicit´e p

que la vitesse u est continue le long de la discontinuit´e de contact m = 0. En effet l’´equation lagrangienne pour le volume sp´ecifique est ∂t τ − ∂m u = 0 : l’´equation de Rankine-Hugoniot associ´ee est −0 × [τ ] − [u] = −[u] = 0. Il suffit donc de transporter la discontinuit´e dans le plan eul´erien a` la vitesse u. On obtient la figure 4.9.

t U1 U2

UG

U3 = UD x

Fig. 4.9. Solution du probl`eme de Riemann dans la plan eul´erien (x, t) pour UD et UD proches. Valeur propre u de multiplicit´e p

4.9 Vitesses d’ondes pour les syst`emes lagrangiens

123

Pour aller plus loin nous g´en´eralisons le concept d’enthalpie. L’enthalpie est ` l’origine un potentiel thermodynamique reli´e `a l’entropie19 . Nous d´efinissons a l’enthalpie comme h =  + (v, w) . (4.65) Lemme 31 On a le r´esultat

 t ∇w|S v = ∇2w|S h = ∇2w|S h < 0

(4.66)

Nous montrons ce r´esultat a` l’aide de d’un changement de variable puis d’une transformation de Legendre. Initialement h est une fonction de v et . On peut changer de variables et choisir v et S comme variables principales. Comme car ∂|v S = Vn = 0 le th´eor`eme des fonctions implicites montre que l’on peut d´efinir  en fonction v et S (au moins localement). En distinguant la fonction S et sa valeur S on a l’´equation S(v, (v, S)) = S. D´erivant une fois par rapport a` v ` a S fixe on trouve

∇v| S(v, (v, S)) + ∇|v S(v, (v, S)) ∇v|S (v, S) = 0. En d´erivant une deuxi`eme fois on trouve

∇2v| S(v, (v, S)) + ∇|v ∇v| S(v, (v, S)) ∇v|S (v, S)

+∇v| ∇|v S(v, (v, S)) ∇v|S (v, S)   + ∇2|v S(v, (v, S)) ∇v|S (v, S) ⊗ ∇v|S (v, S)

+ ∇|v S(v, (v, S)) ∇2v|S (v, S) = 0 ce que nous pouvons r´ecrire sous la forme   t (−Vn )∇2v|S (v, S) = − In−1−d , ∇v|S (v, S) ∇2v, S In−1−d , ∇v|S (v, S) . Comme −Vn = T1 > 0 et que l’entropie S est strictement concave par hypoth`ese, on en d´eduit que l’´energie interne  est une fonction convexe de v `a S fixe. Donc  t ∇2v|S (v, S) = ∇2v|S (v, S) > 0. (4.67) Puis nous d´eterminons la transform´ee de Legendre de l’´energie interne par rapport a` v ` a entropie fixe. Plus exactement nous consid´erons l’oppos´e de cette transform´ee de Legendre 19

Pour un gaz qui satisfait au principe fondamental de la thermodynamique T dS = dε+pdτ l’enthalpie thermodynamique est h = ε+pτ . Cela assure dh = T dS −τ dp.

124

4 Syst`emes

h =  − (∇v , v) . Par d´efinition de w dS = ∇ S [(w, dv) + d] donc ∇v = −w. Donc nous retrouvons la d´efinition de l’enthalpie h =  + (w, v). Cela ´etablit que la concavit´e de h par rapport `a w est oppos´e `a celle de  par rapport a` v. Donc h est bien strictement convexe `a entropie fix´ee. Finalement on a directement que −1 dh = d + (w, dv) + (v, dw) = dS + (v, dw) Vn et donc que ∇w|S h = v. Donc ∇w|S v = ∇2w|S h est une matrice sym´etrique strictement positive. Posons E = −∇2w2 |S h ∈ Rn−1−d×n−1−d et F = E −1 ∈ Rn−1−d×n−1−d

(4.68)

qui sont deux matrices sym´etrique d´efinies positives. Th´ eor` eme 4.4. Les valeurs propres non nulles du syst`eme lagrangien (4.64) sont aussi les racines carr´ees positives et n´egatives des valeurs propres strictement positives de la matrice sym´etrique positive de taille d (d = 1, 2 ou 3 le plus souvent) G ≡ N t F N ∈ Rd . L’´equation aux valeurs propres prend la forme       E0 0 N x1 x1 = −λ . Nt 0 x2 x2 0 I

Pour λ = 0 on ´elimine x1 N t E −1 N x2 = λ2 x2 . La preuve est termin´ee. Soit (μ = λ2 , x2 ) un couple valeur propre-vecteur propre de G. Alors le vecteur   1 1 − λ F N x2  (4.69) r= x2 |λ| (x2 , x2 ) est un vecteur propre du probl`eme initial M r = −λHr normalis´e (r, Hr) = 1. Un corollaire important pour la pratique est le suivant : pour les syst`emes lagrangiens parfaitement d´ecoupl´es, les vitesses sont donn´ees par des formules alg´ ebriques qui ne n´ecessitent au plus que la formule de Cardan pour les racines d’un polynˆ ome de degr´ e trois. Ceci est vrai quelque soit la taille n du syst`eme.

4.10 Enthalpie d’un syst`eme lagrangien

125

4.10 Enthalpie d’un syst` eme lagrangien Pour pouvoir traiter les syst`emes qui vont ˆetre pr´esent´es par la suite, on ´etend la d´efinition de l’enthalpie.   Ψ D´ efinition 27 Nous d´efinissons la variable W = ∈ Rn (Ψ ∈ Rn−1 ), S ainsi que l’enthalpie du syst`eme lagrangien W → H(W ) =

(V, U ) . Vn

(4.70)

Pour la dynamique des gaz lagrangienne   u 1 1 1 p t τ − u + e = ε + pτ − u2 = h − u2 . W = (p, −u, S) et H = T T T T 2 2 Comme on le voit, H contient une d´ependance concave par rapport a` la variable de vitesse. Lemme 32 L’enthalpie est une fonction strictement concave par rapport ` a la variable Ψ , ` a entropie S fixe. De plus ˆ t = (U1 , U2 , · · · , Un−1 ). ∇Ψ |S H = U

(4.71)

D´ efinition 28 Nous d´efinissons la m´etrique D ∈ Rn−1×n−1 de l’enthalpie D = −∇2Ψ |S H = Dt > 0.

(4.72)

Lemme 33 L’enthalpie H est l’oppos´e de la transform´ee de Legendre de l’´energie totale e = Un par rapport a `Ψ ` a entropie S fixe. D’o` u ∇Uˆ |S e = Ψ t et ∇2Uˆ |S e = D−1 > 0. Les preuve sont en tout point identiques a` celle du lemme 31. Une autre preuve de la concavit´e stricte de l’enthalpie H d´ecoule du r´esultat suivant (4.73) que nous utiliserons dans la section d´edi´ee aux m´ethodes num´eriques. Comme (∇W V )t ∇W U = (∇W V )t ∇V U ∇W V est une matrice d´efinie positive pour S = −η strictement concave et que Vn < 0 par hypoth`ese, on retrouve le fait que D est d´efinie n´egative. Lemme 34 On a les relations t

#

(∇W V ) ∇W U = 

et (∇W V )

t

0 −Vn D   ∂V ∂U 0 ∂S|Ψ , ∂S|Ψ

M 0 −Ψ t M 0



 =

Vn M 0 0 0

$ (4.73)

 .

(4.74)

126

4 Syst`emes

Pour la preuve nous partons de l’expression en matrice par blocs $ #

t

t ∇Ψ |S V ∇Ψ |S U ∇Ψ |S V ∇S|Ψ U t

t

t (∇W V ) ∇W U = . ∇S|Ψ V ∇Ψ |S U ∇S|Ψ V ∇S|Ψ U

t ace `a Commen¸cons par d´eterminer ∇Ψ |S V ∇Ψ |S U ∈ Rn−1×n−1 . On a grˆ (4.71-4.72)   −D ∈ Rn×n−1 ∇Ψ |S U = ∇Ψ |S Un et

  I + V ∇Ψ |S Vn ∈ Rn×n−1 ∇Ψ |S V = Vn 0

dans lequel on a utilis´e ∂ (Ψi Vn ) ∂Vn ∂Vi = = Vn δij + Ψi . ∂Ψj ∂Ψj ∂Ψj Donc

(4.75)



t

t ∇Ψ |S V ∇Ψ |S U = −Vn D + ∇Ψ |S Vn V t ∇Ψ |S U.

Comme dS = (V, dU ) on a V t ∇Ψ |S U = ∇Ψ |S S = 0.

(4.76)



t Cela montre que ∇Ψ |S V ∇Ψ |S U = −Vn D. D´eterminons `a pr´esent la partie sous-diagonale ∇S|Ψ V t ∇Ψ |S U . On a ∂ (Ψi Vn ) Vi ∂Vn ∂Vi ∂Vn = = Ψi = . ∂S ∂S ∂S Vn ∂S   ∂Vn V . Grˆ ace `a (4.76) on obtient Cela montre ∇S|Ψ V = V1n ∂S|Ψ  ∇S|Ψ V t ∇Ψ |S U =

1 ∂Vn Vn ∂S|Ψ

(4.77)

 V t ∇Ψ |S U = 0.

Par sym´etrie la partie sur-diagonale est aussi nulle. Cela montre (4.73). Montrons finalement (4.74). En r´eunissant les ´el´ements pr´ec´edents on a

∇W V = ∇Ψ |S V, ∇S|Ψ V       I ∂Vn V = Vn + V ∇Ψ |S Vn , V1n ∂S|Ψ 0     I ∂Vn + V K, K = ∇Ψ |S Vn , V1n ∂S|Ψ . = Vn 0

4.10 Enthalpie d’un syst`eme lagrangien

Donc

 t

(∇W V )



Or V

t

M 0 −Ψ t M 0 M 0 −Ψ t M 0



 =



Vn M 0 0 0

t

= Vn Ψ , 1







+ K tV t 

M 0 −Ψ t M 0

M 0 −Ψ t M 0

127

 .

 = 0.

La preuve est termin´ee. Th´ eor` eme 4.5. Les valeurs propres de la matrice Jacobienne du syst`eme lagrangien   MΨ =0 (4.78) ∂t U + ∂m − 12 (Ψ, M Ψ ) sont : la valeur propre nulle plus les oppos´ees des valeurs propres de M dans le m´etrique de l’enthalpie. Nous utilisons la variable W . A partir de (4.78) on a   M 0 ∇W U ∂t W + ∂m W = 0. −Ψ t M 0 Multiplions a` gauche par ∇W V t et utilisons les relations (4.73-4.74)     −Vn D 0 Vn M 0 ∂t W + ∂m W = 0 0 α 0 et M poss`edent la structure par bloc     D1 0 0 N D= et M = 0 D2 Nt 0 avec D1 ∈ Rn−1−d×n−1−d , D2 ∈ Rd×d et N ∈ Rn−1−d×d . Dans le cas contraire nous dirons que le syst`eme n’est pas parfaitement d´ ecoupl´ e. Trois exemples vont ˆetre pr´esent´es en d´etail. Le syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale est un syst`eme lagrangien parfaitement d´ecoupl´e. En revanche le syst`eme du superfluide et le syst`eme `a deux vitesses isobareisotherme ne sont pas parfaitement d´ecoupl´es. On notera que ces deux derniers syst`emes mod´elisent des fluides qui se d´ecomposent en deux sous-fluides avec deux vitesses diff´erentes. 4.11.1 Le syst` eme de la magn´ etohydrodynamique id´ eale En dimension trois d’espace le mod`ele de la magn´etohydrodynamique id´eale s’´ecrit sous forme conservative ⎧ ∂t ρ + ∇.ρu = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂ρu + ∇.(ρu ⊗ u) + ∇P − ∇. B⊗B = 0, μ (4.82) B + ∇ ∧ (u ∧ B) = 0, ∂ ⎪ t ⎪ ⎩ ∂ρe + ∇.(ρue + P u − μ1 B(B, u)) = 0,

130

4 Syst`emes

dans lequel u ∧ B d´esigne le produit vectoriel de u par B et ∇∧ est l’op´erateur rotationnel en dimension trois. Par d´efinition on a μ = 4π et P =p+

1 |B|2 . 2μ

Le champ magn´etique est B ∈ R3 . La d´efinition de l’´energie totale est 1 1 |B|2 . ρe = ρε + ρ|u|2 + 2 2μ

(4.83)

Les solutions physiques v´erifient la contrainte diff´erentielle ∇.B = 0 qui traduit le fait que le champ magn´etique B est `a divergence nulle. Nous remarquons imm´ediatement que l’´equation d’´evolution du champ magn´etique implique ∂t ∇.B = −∇.∇ ∧ (u ∧ B) = 0, de sorte que si la divergence du champ magn´etique est nulle `a t = 0 alors la divergence du champ magn´etique est nulle pour tout temps t > 0. L’´equation d’entropie naturelle est (4.84) ∂t ρS + ∇.(ρuS) = 0 pour les solutions r´eguli`eres. Nous faisons l’hypoth`ese simplificatrice que l’´ecoulement est invariant suivant les directions y et z ∂y = ∂z = 0. On pose B = (Bx , By , Bz ). L’´equation d’´evolution du champ magn´etique s’´ecrit ainsi ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Bx ∂x uy Bz − ux By ∂t ⎝ By ⎠ + ⎝ 0 ⎠ ∧ ⎝ uz Bx − ux Bz ⎠ = 0 Bz ux By − uy Bx 0 a laquelle il faut ajouter la contrainte de divergence nulle ` ∂x Bx + ∂y By + ∂z Bz = ∂x Bx = 0. Une cons´equence importante est que Bx est constant en temps et en espace, ∂x Bx = ∂t Bx = 0. Le syst`eme se simplifie ⎧ ∂t ρ + ∂x ρux = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ρux + ∂x (ρu2x ) + ∂x P = 0, ⎪ ⎪ ⎪ Bx By ⎪ ⎪ ⎨ ∂ρuy + ∂x (ρux uy − μ ) = 0, ∂ρuz + ∂x (ρux uz − BxμBz ) = 0, (4.85) ⎪ ⎪ ⎪ B + ∂ (u B − u B ) = 0, ∂ t y x x y y x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂t Bz − ∂x (ux Bz − uz Bx ) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ B (B u +B u ) ∂ρe + ∂x (ρue + P ux − x y μy z z ) = 0, avec

4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens

131

1 2 1 B =p+ (−Bx2 + By2 + Bz2 ). μ x 2μ Nous remarquons que les composantes du champ magn´etique ne jouent pas toutes le mˆeme rˆole dans la pression totale P . La formulation lagrangienne associ´ee est ⎧ ∂t τ − ∂m ux = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ t τ By − ∂m uy Bx = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎨ t τ Bz − ∂m uz Bx = 0, ∂t ux + ∂m P = 0, (4.86) B B ⎪ ⎪ ∂t uy − ∂m yμ x = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂t uz − ∂m BzμBx = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ B (B u +B u ) ∂t e + ∂m (P ux − x y μy z z ) = 0. P =P−

La loi d’entropie pour les solutions r´eguli`eres est ∂t S = 0. A partir de T dS = dε + pdτ et de la d´efinition de e nous obtenons T dS = de − udu + P dτ − On a

⎞ τ ⎜ τ By ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ τ Bz ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ U =⎜ ⎜ ux ⎟ , ⎜ uy ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ uz ⎠ e ⎛

⎞ P ⎜ − By ⎟ ⎜ μ ⎟ ⎜ − Bz ⎟ μ ⎟ 1⎜ ⎟, V = ⎜ −u ⎜ x ⎟ T ⎜ ⎟ ⎜ −uy ⎟ ⎝ −u ⎠ z 1 ⎛



Nous r´ecrivons ∂t U + ∂m o` u la matrice M est

By Bz dBy − dBz . μ μ

⎛

MΨ − 21 (Ψ, M Ψ )

0 0 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 t M =M =⎜ ⎜1 0 ⎜ ⎝ 0 Bx 0 0

0 0 0 0 0 Bx

⎛

⎞ P B y ⎜− ⎟ ⎜ μ ⎟ ⎜ − Bz ⎟ ⎟ Ψ =⎜ ⎜ −uμ ⎟ . ⎜ x ⎟ ⎝ −u ⎠ y −uz 

1 0 0 Bx 0 0 0 0 0 0 0 0

= 0, ⎞ 0 0 ⎟ ⎟ Bx ⎟ ⎟. 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ 0

Cette matrice est bien constante car la composante Bx du champ magn´etique est constante. Une nouvelle fois les composantes du champ magn´etique ne jouent pas le mˆeme rˆole : la composante normale Bx est un param`etre dans la matrice M , les composantes tangentielles By et Bz sont des inconnues. La matrice N est ⎛ ⎞ 1 0 0 N = ⎝ 0 Bx 0 ⎠ . 0 0 Bx

132

4 Syst`emes

L’enthalpie du syst`eme est H =e−τ



By2 + Bz2 2 1 2 − ux + u2y + u2z + P τ = ε + pτ − ux + u2y + u2z . μ 2

L’´energie interne totale est =e− =ε+

1 2 ux + u2y + u2z 2

(τ By )2 (τ Bz )2 τ 2 B2 Bx + By2 + Bz2 = ε + x τ + + . 2μ 2μ 2μτ 2μτ

Pour ce syst`eme parfaitement d´ecoupl´e l’hypoth`ese 6 est v´erifi´ee. Cela permet la r´eduction en G. La matrice F des d´eriv´ees seconde de l’´energie interne totale est F = ∇2∂(τ,τ By ,τ Bz )|S ε = −∇∂(τ,τ By ,τ Bz )|S (P , − ⎛

⎞ B z − μτy − B μτ ⎟ 1 0 ⎠. μτ 1 0 μτ

B 2 +Bz2

ρ2 c2 + yμτ ⎜ B =⎝ − μτy z −B μτ ⎛

D’o` u

⎜ G=⎜ ⎝

By2 +Bz2 μτ Bx By − μτ x Bz − Bμτ

ρ2 c2 +

Bz By ,− ) μ μ

−

Bx By μτ 2 Bx μτ

0

x Bz − Bμτ

0 Bx μτ

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

B2

Une valeur propre ´evidente de G est ϕa = μτx associ´ee au vecteur propre sa = ⎛ ⎞ 0 ⎝ Bz ⎠. Notons ϕs et ϕf les deux autres valeurs propres. On a les relations −By B 2 +B 2 +B 2

B2

ϕs + ϕf = tr(G) − ϕa = ρ2 c2 + x μτy z et ϕs ϕf = det(B)/ϕa = ρ2 c2 μτx . D’o` u l’´equation aux valeurs propres $ # 2 2 2 B + B + B B2 x y z ϕ2 − ρ2 c2 + ϕ + ρ2 c2 x = 0. μτ μτ Posons a =

 c2 +

2 +B 2 +B 2 Bx y z . μρ

ρ2 ϕ = 2 s

et

D’o` u &

# 2

a −

B2 a4 − 4c2 x μρ

$

4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens

ρ2 ϕ = 2 f

&

# 2

a +

a4

−

4c2

Bx2 μρ

133

$

La vitesse des ondes lentes (slow), des ondes d’Alfven et des ondes rapides (fast) est alors   ⎧  2 ϕs 1 2 2 ⎪ 4 − 4c2 Bx ⎪ c a , = = − a 2 s ⎪ ρ 2 μρ ⎪ ⎨ 2 B c2a = ϕρ2a = μρx ,   ⎪  ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩ c2 = ϕf = 1 a2 + a4 − 4c2 Bx . f

ρ2

2

μρ

On v´erifie que c2s ≤ c2a ≤ c2f . Les vecteurs propres ss associ´e `a ϕs et sf associ´e a ϕf sont ` ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ϕs − ϕa ϕf − ϕa ⎜ Bx By ⎟ ⎜ Bx By ⎟ ss = ⎝ − μτ (4.87) ⎠ et sf = ⎝ − μτ ⎠ x Bz x Bz − Bμτ − Bμτ Les vitesses d’ondes du syst`eme eul´erien (4.85) sont alors −cf + u ≤ −ca + u ≤ −cs + u ≤ u ≤ cs + u ≤ ca + u ≤ cs . Lemme 36 Le champ associ´ee aux ondes d’Alfven est lin´eairement d´eg´en´er´e21 . Nous utilisons le lemme 37 pour caract´eriser le champ lin´eairement d´eg´en´er´e22. On utilise la variable W = (Ψ, S). La forme quasilin´eaire est 21

22

Donc la vitesse de d´eplacement d’une discontinuit´e d’Alfven est ´egale ` a la vitesse du son du champ associ´e devant et derri`ere la discontinuit´e. Pour le syst`eme eul´erien on aura (u ± ca )G = σ = (u ± ca )D . Une m´ethode tr`es pratique existe pour calculer les vitesses d’ondes d’un syst`eme. Soit le syst`eme quasi-lin´eaire ∂t U + A∂x U = 0. Les valeurs et vecteurs propres sont les solutions de Arj = λj rj . Soit U → W un changement d’inconnues inversible et diff´erentiable. Pour les U r´eguliers on peut ´ecrire ∂t W + B∂x W = 0, B = ∇U W × A × ∇W U , qui est aussi un syst`eme quasi-lin´eaire. Le probl`eme aux valeurs propres associ´es est Bsj = μj sj . Lemme 37 Les deux probl`emes aux valeurs propres ont les mˆemes valeurs propres μj = λj . Les vecteurs propres sont tels que sj = ∇U W rj . De plus (∇U λj , rj ) = (∇W λj , sj ).

(4.88)

` calculer. La preuve Une bon choix d’inconnu sera tel que ∇W λj est facile a du lemme est une cons´equence de la relation ∇U W × ∇W U = ∇U U = I qui exprime que les deux matrices Jacobiennes sont l’inverse l’une de l’autre. Donc

134

4 Syst`emes

 ∂t W +

−D−1 M 0 0 0

 ∂m W = 0. ⎛

⎞ 0 Soit sa le vecteur propre de G associ´ee `a la vitesse d’Alfven sa = ⎝ Bz ⎠. −By Pas application de la formule (4.69) le vecteur ⎞ ⎛   ± √1ϕa F N sa r ⎠ r = = α⎝ sa 0 0   −D−1 M 0 associ´ee `a la valeur est un vecteur propre pour la matrice 0 0 propre |Bx | √ ϕa = √ . μτ √ Donc le gradient de la valeur propre ϕa par rapport a` W = (τ, · · · )t est un vecteur dont seule la premi`ere composante est non trivialement nulle. Il suffit donc de v´erifier que le vecteur r a sa premi`ere composante nulle pour d´emontrer le r´esultat. Or ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ B 2 +B 2 B z ρ2 c2 + yμτ z − μτy − B 1 0 0 0 μτ ⎜ ⎟ B 1 F N sa = ⎝ − μτy 0 ⎠ ⎝ 0 Bx 0 ⎠ ⎝ Bz ⎠ μτ 1 −By 0 0 Bx z −B 0 μτ μτ ⎛ ⎜ =⎝

0 Bx Bz μτ Bx By − μτ

⎞ ⎟ ⎠.

La preuve est termin´ee. 4.11.2 Le mod` ele de l’h´ elium superfluide de Landau Le syst`eme de l’h´elium superfluide de Landau [LL] poss`ede une structure tr`es particuli`ere. Ce mod`ele poss`ede la propri´et´e d’invariance galil´eenne mais il ne poss`ede pas la propri´et´e de flux nul d’entropie dans le rep`ere lagrangien pr´ec´edemment d´efini. Cependant nous verrons qu’une r´e´ecriture dans un autre Bsj = μj sj ⇐⇒ ∇U W × A × ∇W U × ∇U W rj = μj ∇U W rj qui est une trivialit´e pour μj = λj . D’autre part ∇W λj (U (W )) = (∇W U )t ∇U λj . Donc (∇W λj , sj ) = ((∇W U )t ∇U λj , ∇U W rj ) = (∇U λj , rj ). Cela termine la preuve. La formule (4.88) peut servir pour d´eterminer le caract`ere vraiment non lin´eaire ou lin´eairement d´eg´en´er´e pour un champ donn´e.

4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens

135

r´ef´erentiel lagrangien plus adapt´e permet d’´etendre les r´esultats pr´ec´edents. Parmi les hypoth`eses qui distingue ce mod`ele du syst`eme de la dynamique des gaz compressibles non visqueux on distingue H1) Il existe une temp´erature critique23 Tc > 0 telle que – si T > Tc alors le fluide est dit normal. Il satisfait les ´equations d’Euler comme un fluide compressible classique. – si T < Tc le fluide ne se comporte plus comme un fluide classique. Il se compose de deux parties, une partie classique et une partie superfluide. Suivant les notations de Landau la partie normale (resp. superfluide) est indic´ee n (resp. s). H2) La partie superfluide poss`ede un comportement surprenant. Par exemple le champ de vitesse superfluide us v´erifie rot us = 0 en dimension deux ou trois. Par induction l’´equation de conservation en dimension un d’espace satisfaite par us s’´ecrit ∂t us + ∂x (un potentiel scalaire a` d´eterminer) = 0. Cela fournit une loi de conservation. H3) La fraction de fluide normale (resp. superfluide) est fonction de trois variables, deux variables thermodynamiques et la diff´erence des vitesses un − us . Le syst`eme final propos´e par Landau [LL] satisfait aux trois points pr´ec´edents. On commence par s´electionner deux variables thermodynamiques la masse volumique ρ et l’entropie totale du fluide S auxquelles on ajoute une troisi`eme variable ind´ependante. Nous ´ecrivons ⎧ μ = μ(ρ, S, un − us ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ e0 = e0 (ρ, S, un − us ), T = T (ρ, S, un − us ), (4.89) ⎪ ⎪ p = p(ρ, S, u − u ), ⎪ n s ⎪ ⎩ cn = cn (ρ, S, un − us ), μ est un potentiel thermodynamique, T est la temp´erature, p est la pression et cn est la fraction de masse de la partie normale. La fraction de masse de la partie superfluide est cs = 1 − cn . L’´energie interne est e0 . Les quantit´es (4.89) sont li´ees entre elles par des contraintes de nature thermodynamiques μ = e0 + τ p − T S − cn (un − us )2 (´equation (130.12) dans [LL]),

(4.90)

et dρe0 = μdρ+T d(ρS)+(un −us )d(ρcn (un −us )) (´equation (130.9) dans [LL]). (4.91) La premi`ere relation correspond `a la d´efinition classique du potentiel chimique dans les ouvrages de thermodynamique g´en´erale. La deuxi`eme relation est une g´en´eralisation du principe fondamental de la thermodynamique pour l’h´elium 23

Pour l’h´elium superfluide Tc = 2.17 K= −270, 83 C.

136

4 Syst`emes

superfluide. On peut ajouter en conformit´e avec l’hypoth`ese H1 que pour T > Tc alors cn = 1 et us = un . En combinant (4.90-4.91) nous obtenons T dS = de0 + pdτ − (un − us )d(cn (un − us )).

(4.92)

Ceci s’interpr`ete comme la g´en´eralisation de T dS = dε + pdτ , valable pour un fluide normal. Nous avons aussi les relations ' u = cn u n + c s u s , (4.93) u2 c2 e = e0 + 2s + cn (un − us )us = e0 + 12 u2 − 2n (un − us )2 . En dimension un d’espace le mod`ele de Landau s’´ecrit alors ⎧ ∂t (ρ) + ∂x (ρu) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂x (ρcn u2n + ρcs u2s + p) = 0, u2 ∂t (us ) + ∂x ( 2s + μ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ u2 ∂t (ρe) + ∂x ((μ + 2s )ρu + T ρSun + ρcn u2n (un − us )) = 0.

(4.94)

Nous montrons `a pr´esent que les flux du syst`eme (4.94) sont des fonctions de (ρ, ρu, us , ρe) (ce syst`eme est ferm´e). Il suffit en fait de montrer qu’ils sont c2 fonction de (ρ, ε, u, us ) car ε = e0 − 2n (un − us )2 . Nous partons de (4.89) dans lequel tout s’exprime en fonction de (ρ, S, un − us ). Nous avons implicitement fait l’hypoth`ese que les relations de (4.89) sont inversibles au sens o` u il suffit de choisir trois variables ind´ependantes, les autres variables pouvant alors se calculer ` a partir de ces trois variables. Par exemple nous pouvons choisir (ρ, T, un − us ) comme variables ind´ependantes puis ´ecrire μ = μ(ρ, T, un − us ) et ainsi de suite. Comme par d´efinition ε = ε(ρ, S, un − us ),

(4.95)

cela sugg`ere qu’un choix judicieux est de prendre (ρ, ε, un − us ) comme variables ind´ependantes et de r´ecrire (4.89)-(4.95) sous la forme ⎧ μ = μ(ρ, ε, un − us ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e0 = e0 (ρ, ε, un − us ), ⎪ ⎪ ⎨ T = T (ρ, ε, un − us ), (4.96) p = p(ρ, ε, un − us ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cn = cn (ρ, ε, un − us ), ⎪ ⎪ ⎩ S = S(ρ, ε, un − us ). Il reste `a exprimer un − us en fonction des inconnues principales (ρ, ρu, us , ρe) (ou plus simplement en fonction de (ρ, ε, u, us )) ce qui nous permettra d’affirmer que toutes les quantit´es pr´esentes dans (4.96) sont des fonctions de (ρ, ρu, us , ρe). Utilisant (4.93) nous avons que un − u est une fonction de (u, us , cn ) avec cn = cn (ρ, S, un − us )), donc un − us = fonction de (u, us , cn (ρ, ε, un − us )).

4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens

137

Faisant une fois de plus l’hypoth`ese que cette expression est inversible nous avons un − us = fonction de (u, us , ρ, ε). Il reste `a combiner cette relation avec (4.96) pour ´eliminer un −u. Cela montre que toutes les quantit´es pr´esentes dans (4.96) sont des fonctions de (ρ, ε, u, us ) ⎧ μ = μ(ρ, ε, u, us ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e ⎪ 0 = e0 (ρ, ε, u, us ), ⎪ ⎨ T = T (ρ, ε, u, us), (4.97) p = p(ρ, ε, u, us ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cn = cn (ρ, ε, u, us ), ⎪ ⎪ ⎩ S = S(ρ, ε, u, us ). Le flux dans (4.94) est fonction de (ρ, ε, u, us ). Ce flux est bien une fonction de (ρ, ρu, us , ρe). Le syst`eme est ferm´e. D’autre part il est ´enonc´e dans [LL] que (4.94) poss`ede une loi de conservation suppl´ementaire pour les solutions r´eguli`eres (4.98) ∂t ρS + ∂x (ρun S) = 0. La vitesse de convection du flux d’entropie est un et n’est pas u la vitesse moyenne qui apparaˆdans l’´equation de la masse volumique. De ce fait le syst`eme (4.89) ne satisfait pas a` l’hypoth`ese 3, sauf `a utiliser un jeu de coordonn´ees adapt´es. Pour cela nous d´efinissons un changement de coordonn´ees d’espace EulerLagrange dans le r´ef´erentiel du fluide normal ∂x(t, X) = un , ∂t

x(0, X) = X.

(4.99)

La reformulation lagrangienne du syst`eme (4.94) est ⎧ ⎪ ⎪ ∂t J − ∂X un = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρJ) + ∂X (ρ(u − 2un )) = 0,2 ∂t (ρJu) + ∂X (ρcn un + ρcs us + p − ρuun ) = 0, ⎪ u2 ⎪ ∂t (Jus ) + ∂X ( 2s + μ − us un ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ u2 ∂t (ρJe) + ∂X ((μ + 2s )ρu + T ρSun + ρcn u2n (un − us ) − ρun e) = 0, (4.100) La premi`ere ´equation correspond a` l’identit´e de Piola, les suivantes correspondent `a (4.94). A partir de (4.92) nous avons T dS = de − (u + cs (un − us ))du +

cs (un − us ) cs (un − us ) d(τ us ) + (p − us )dτ, τ τ

ou encore en multipliant terme a` terme par ρJ T d(ρJS) = d(ρJe) − un d(ρJu) +

cs (un − u) cs (un − us ) d(Jus ) + (p − us )dJ τ τ (4.101)

138

4 Syst`emes

−μ d(ρJ). o` u μ = e − T S − un u + pτ . L’inconnue du syst`eme (4.100) est U = (J, ρJ, ρJu, Jus , ρJe)t , la variable adjointe est V = ∇U (ρJS) =

cs (u − un ) 1 un − u t ((p − us ), −μ , −un , , 1) . T τ τ

Nous d´efinissons alors ⎛ ⎞ ⎛ 0 p − cs (unτ−us )  ⎜ ⎟ ⎜0 −μ ⎟ , et M = ⎜ Ψ =⎜ ⎝ ⎠ ⎝1 −un un −u 0 τ

⎞ 0 1 0 0 0 −1 ⎟ ⎟. 0 0 1 ⎠ −1 0 0

Par identification directe nous r´ecrivons (4.100) comme   MΨ = 0. ∂t U + ∂X − 21 (Ψ, M Ψ )

(4.102)

(4.103)

Le syst`eme de l’h´elium superfluide de Landau (4.94) pr´esente ainsi la structure de la d´efinition 29, a` condition de travailler dans le r´ef´erentiel lagrangien X d´efini par (4.99). N´eanmoins l’hypoth`ese 6 n’est pas vraie pour ce mod`ele. En effet la variable l’´energie cin´etique e n’est pas ´egale a` la somme des carr´es des variables de vitesse (4.93). Nous sommes dans un cas o` u la matrice D ne peut pas se r´eduire sous la forme d´ecoupl´ee. Les solutions r´eguli`eres de (4.103) v´erifient `a X fixe la loi d’entropie T ∂t (ρJS) = (V, ∂t U ) = 0.

(4.104)

En revenant dans le r´ef´erentiel eul´erien cela montre la loi d’entropie (4.98) pour le syst`eme eul´erien (4.94). Le syst`eme eul´erien (4.94) est de taille quatre alors que le syst`eme lagrangien ´equivalent est de taille cinq. On peut d’autre part trouver d’autres lois de conservation eul´eriennes qui font apparaˆıtre explicitement la jacobienne J. On part de (4.104) que l’on r´ecrit T ∂t h(ρJS) = 0 pour toute fonction h r´eguli`ere et pour les solutions r´eguli`eres du syst`eme. En revenant en variable eul´erienne nous obtenons les lois d’entropie pour toute fonction h r´eguli`ere et pour les solutions r´eguli`eres du syst`eme     h(ρJS) h(ρJS) ∂t + ∂x un = 0. (4.105) J J Pour h(ρJS) = ρJS nous retrouvons la loi d’entropie (4.98).

4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens

139

4.11.3 Un mod` ele multiphasique Le mod`ele pour les fluides multiphasiques que nous consid´erons est ⎧ ∂t (ρ) + ∂x (ρu) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎨ t (ρc2 ) + ∂x (ρc22 u2 ) = 0, ∂t (ρu) + ∂x (ρu + P ) = 0, (1−2c2 ) 2 ⎪ ⎪ ∂t (w) + ∂x (uw w ) = 0, ⎪ 2  + μ1 − μ2 −  ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x ρue + P u + ρw(1 − c2 )c2 (μ1 − μ2 − (1−2c2 ) w2 ) = 0. 2

(4.106) La masse volumique totale est ρ, les fractions de masses de chaque esp`ece sont c1 = 1 − c2 et c2 , u1 et u2 sont leur vitesse. La pression totale est P , μ1 et μ2 sont des potentiels thermodynamiques, w = u1 − u2 est la diff´erence de vitesse et e est l’´energie totale. Ce syst`eme tend `a ˆetre repr´esentatif des fluides multi-esp`eces dans les plasmas. La motivation est clairement d’obtenir des syst`emes conservatifs et consistants sur le plan thermodynamique [D00] . Cela fait r´ef´erence aux travaux de Godounov et Romensky[GR95], Godounov [G60]). Le syst`eme (4.106) n´ecessite des relations de fermeture que nous d´etaillons : les relations (4.107) sont naturelles du point de vue des relations de bilans locales ⎧1 = c1 τ1 + c2 τ2 , ⎪ ⎪ ⎨ρ u = c 1 u 1 + c2 u 2 , (4.107) ε = c1 ε 1 + c2 ε 2 , ⎪ ⎪ ⎩ 2) e = ε + 12 u2 + c2 (1−c w2 . 2 La premi`ere ´equation de (4.107) exprime l’additivit´e des volumes dans un m´elange. Nous supposons de plus que chaque fluide poss`ede ses propres lois thermodynamiquement consistantes, et nous faisons l’hypoth` ese majeure que le fluide global est correct sur le plan thermodynamique. Nous postulons alors que l’entropie globale doit ˆetre sup´erieure `a la somme des entropies partielles S ≥ c1 S1 + c2 S2 . Il suffit pour cela de consid´erer une entropie de m´elange s = c1 S1 + c2 S2 + Smix (c1 , c2 ), pour laquelle Smix est une fonction positive et concave. Une premi`ere possibilit´e consiste `a choisir une entropie de type Boltzmann Smix ≈ −c1 log c1 − c2 log c2 .

(4.108)

Pour ´eviter des probl`emes techniques pour c1 ≈ 0 et c2 ≈ 0, on peut pr´ef´erer Smix = kc1 c2 = kc1 (1 − c1 ) = kc2 (1 − c2 ),

k ≥ 0.

(4.109)

140

4 Syst`emes

Cette formule n’est plus singuli`ere c1 = 0 ou c2 = 0. On peut montrer que des relations additionnelles compatibles avec toutes ces hypoth`eses sont ⎧ p1 (τ1 , ε1 ) = p2 (τ2 , ε2 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T ⎨ 1 (τ1 , ε1 ) = T2 (τ2 , ε2 ) = T, μ1 = −T ∂c∂ 1 (c1 S1 + c2 S2 + Smix ) = −T S1 + ε1 + pτ1 − kT c2 , (4.110) ⎪ ⎪ μ = −T ∂c∂ 2 (c1 S1 + c2 S2 + Smix ) = −T S2 + ε2 + pτ2 − kT c1 , ⎪ ⎪ ⎩ 2 P = p1 + c2 (1 − c2 )ρ(u1 − u2 )2 . Sur cette formulation il est clair que la formule (4.109) non singuli`ere pour l’entropie du m´elange est pr´ef´erable. Une formulation lagrangienne est ⎧ ⎪ ⎪ ∂t τ − ∂m u = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂t c2 − ∂m (ρw(1 − c2 )c2 ) = 0 ∂t u + ∂m P = 0 (4.111) (1−2c2 ) 2 ⎪ ⎪ ∂ (τ w) + ∂ (μ − μ − w ) = 0 t m 1 2 ⎪ 2   ⎪ ⎪ ⎩ ∂t e + ∂m P u + ρw(1 − c2 )c2 (μ1 − μ2 − (1−2c2 ) w2 ) = 0. 2

Il est ais´e de montrer que ce syst`eme24 est un syst`eme lagrangien car il poss`ede la structure 4.81. On a   T d c1 S1 + c2 S2 + Smix(c1 ,c2 )     ∂Smix ∂Smix dc1 + T S2 + dc2 = T S1 + ∂c1 ∂c2 +c1 (dε1 + pdτ1 ) + c2 (dε2 + pdτ2 ) = (μ1 − μ2 )dc2 + dε + pdτ   c 1 − c2 2 (u1 − u2 ) dc2 +de−udu+pdτ −c1c2 (u1 −u2 )d(u1 −u2 ) = μ1 − μ2 − 2   c 1 − c2 2 (u1 − u2 ) dc2 = de − udu+ = μ1 − μ2 − 2 24

Pour mod´eliser une transition de phase et/ou une force de traˆın´ee on peut consid´erer le syst`eme ⎧ ∂t τ − ∂m u = 0, ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ∂ ⎪ ⎨ t c2 − ∂m (ρw(1 − c2 )c2 ) = −A(c2 − 2 ), ∂t u + ∂ m P = 0 (4.112) ⎪ 2) ⎪ w2 ) = −Bw, ∂t (τ w) + ∂m (μ1 − μ2 − (1−2c ⎪ 2  ⎪ ⎪ ⎩ ∂t e + ∂m P u + ρw(1 − c2 )c2 (μ1 − μ2 − (1−2c2 ) w2 ) = 0. 2

Le coefficient A > 0 sert ` a caract´eriser une transition de phase. De mani`ere similaire −Bw (B > 0) mod´elise une force de traˆın´ee.

4.12 Chocs pour les syst`emes lagrangiens

141

  c1 c2 (u1 − u2 ) c2 c2 (u1 − u2 )2 dτ − d(τ (u1 − u2 )). + p+ τ τ Pour le syst`eme lagrangien (4.111) on a ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 2 τ p + c2 c2 (uτ1 −u2 ) ⎜ c2 ⎟ ⎜ μ1 − μ2 − c1 −c2 (u1 − u2 )2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ U = ⎜ u ⎟, V = ⎜ −u ⎜ ⎟ T c c (u −u ) ⎝ τw ⎠ ⎝ ⎠ − 1 2 τ1 2 e 1 et

⎛

⎞ 2 p + c2 c2 (uτ1 −u2 ) ⎜ μ1 − μ2 − c1 −c2 (u1 − u2 )2 ⎟ ⎟, 2 Ψ =⎜ ⎝ ⎠ −u c1 c2 (u1 −u2 ) − τ

⎛

0 ⎜0 M =⎜ ⎝1 0

01 00 00 10

⎞ 0 1⎟ ⎟. 0⎠ 0

Des calculs ´el´ementaires montrent que ⎛

D−1 = ∇2(τ,c2 ,u,τ (u1 −u2 ))|S  = ∇(τ,c2 ,u,τ (u1 −u2 ))|S Ψ

ρ2 c2 + 3ρ2 c1 c2 (u1 − u2 )2 ⎜ a =⎜ ⎝ 0 b

∂(μ2 −μ1 ) c2

avec a = −(1 − 2c2 )ρ(u1 − u2 )2 + et

∂p , ∂c2

a − (u1 − u2 )2 0 c

⎞ 0 b 0 c ⎟ ⎟ 1 0 ⎠ 0 c 1 c2 ρ 2

∂p ∂(μ1 − μ2 ) , = ∂c2 ∂τ

b = −2c1 c2 ρ(u1 − u2 )2 et c = (c1 − c2 )ρ(u1 − u2 ).

Nous observons plusieurs choses. Tout d’abord la matrice D est bien sym´etrique. Deuxi`emement le caract`ere d´efini positif de cette matrice n’est pas compl`etement ´evident dans tous les cas de figures. Troisi`emement il n’y a pas le d´ecouplage. La raison en est `a l’´evidence que l’hypoth`ese 6 n’est pas vraie telle quelle. La variable τ (u1 − u2 ) est physiquement du type vitesse. Donc son signe s’inverse par inversion du temps. En revanche un changement de r´ef´erentiel galil´een la laisse inchang´ee. De ce fait cette variable n’est, au sens des hypoth`eses pr´ec´edentes, ni une variable de densit´e ni une variable de vitesse. Cependant ce syst`eme est bien un syst`eme lagrangien au sens de la d´efinition 29 dont l’objet ´etait de regrouper en un formalisme g´en´eral de situations les plus diverses possibles.

4.12 Chocs pour les syst` emes lagrangiens A partir de la structure g´en´erale d’un syst`eme lagrangien, on peut d´eduire une relation alg´ebrique g´en´erale pour les chocs.

142

4 Syst`emes

Lemme 38 Soit une solution choc pour le syst`eme lagrangien (4.78). Nous supposons que la vitesse lagrangienne du choc n’est pas nulle σ = 0. Alors nous avons entre les ´etats gauche et droit l’identit´e alg´ebrique dans laquelle la vitesse du choc n’apparaˆıt plus    Ψ D + ΨG , 1 , UD − UG = 0. (4.113) 2 La relation de Rankine-Hugoniot pour les solutions discontinues prend la forme   M ΨD − M ΨG = 0. −σ(UD − UG ) + − 12 (ΨD , M ΨD ) + 12 (ΨG , M ΨG )

G Prenons le produit scalaire avec le vecteur Z = ΨD +Ψ , 1 . Grˆ ace `a la 2 sym´etrie de la matrice M le terme de diff´erence de flux disparaˆıt. Fin de la preuve. Pour le syst`eme de la dynamique des gaz lagrangienne on obtient −uG − uD pG + pD (τD − τG ) + (uD − uG ) + (eD − eG ) 2 2 pG + pD (τD − τG ) = 0. 2 La relation (4.113) g´en´eralise donc `a tous les syst`emes lagrangiens cette c´el`ebre relation pour les chocs du syst`eme de la dynamique des gaz (pour plus de d´etails se reporter au chapitre 5). = εD − εG +

4.13 Exercices Exercice 20 Soit le syst`eme trivial 

2

∂t u + ∂x u2 = 0, ∂t v + a∂x v = 0,

a ∈ R.

Montrer que ce syst`eme a un champ vraiment non lin´eaire et un champ lin´eairement d´eg´en´er´e. Le th´eor`eme de Lax s’applique-t-il pour l’´etat UG = (a, a) ? Exercice 21 Soit ∂t u + ∂x

up = 0, p

p ≥ 2.

Montrer que le champ est vraiment non lin´eaire ssi p = 2.

4.13 Exercices

143

Exercice 22 Soit le syst`eme



∂t u + ∂x v = 0, ∂t v + ∂x f (u, v) = 0.

Calculer les vitesses d’ondes. Exercice 23 • Un syst`eme du second ordre (Awe et Rascle) pour le trafic routier est  ∂t ρ + ∂x ρu = 0, ρ(∂t + u∂x )(u + αρ) = 0. Le param`etre est α. Mettre ce syst`eme sous forme conservative. Montrer que le syst`eme est hyperbolique pour tout α ∈ R. Param´etrer pour retrouver le mod`ele LWR. Montrer que ce mod`ele est susceptible de mod´eliser des conducteurs diff´erents. R´esoudre le probl`eme de Riemann. Exercice 24 • R´esoudre le probl`eme de Riemann pour le syst`eme de Saint Venant. Montrer que la condition d’entropie s’interpr`ete comme une augmentation de la hauteur d’eau (saut hydraulique). Exercice 25 Soit le syst`eme



  ∂t a + ∂x  (a2 − 1)b = 0, ∂t b + ∂x (b2 − 1)a = 0.

´ Etudier le domaine d’hyperbolicit´e dans le plan (a, b). Exercice 26 •• Soit le syst`eme



∂t ρ + ∂x ρu = 0, ∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) = 0,

avec la pression p = −ρ−1 . Montrer que la forme lagrangienne est  ∂t τ − ∂m u = 0, ∂t u − ∂m τ = 0. R´esoudre analytiquement la forme lagrangienne, puis la forme eul´erienne.

144

4 Syst`emes

Exercice 27 Soit le syst`eme





∂t u + ∂x (u2 + v 2 )u = 0, ∂t v + ∂x (u2 + v 2 )v = 0.

Soit un ´etat donn´e (u, v). On suppose que (u, v) = (0, 0) : montrer que les ´etats accessibles par choc sont soit sur un cercle u2 + v 2 = u2 + v 2 , soit sur une droite uv = uv. On suppose que (u, v) = (0, 0) : montrer tout R2 est accessible par choc. On ne se pr´eoccupera pas de la condition d’entropie. Comparer avec le th´eor`eme de Lax pour les syst`emes strictement hyperboliques. Exercice 28 Soit le syst`eme (Keyfitz et Kranzer)

' ∂t u + ∂x u2 − v = 0, 3 ∂t v + ∂x u3 − u = 0. Montrer que les deux champs sont vraiment non lin´eaires. Montrer qu’il n’existe pas d’entropie strictement convexe. Montrer que la solution de probl`eme de Riemann (recherch´ee dans la classe des fonctions born´ees) n’existe pas pour des donn´ees suffisamment ´eloign´ees l’une de l’autre. Comparer avec le th´eor`eme de Lax. Exercice 29 • La partie du premier ordre d’un syst`eme commun´ement admis pour les gaz ionis´es est ⎧ ⎪ ⎪ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 20,

⎨ ∂t (ρu) + ∂x ρu + p = 0, (4.114) ∂t (ρSe ) + ∂x (ρuSe ) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0, avec e = εi + εe + 12 u2 , p = pi + pe , pi = (γi − 1)ρεi et pe = (γi − 1)ρεe . La pression totale est la somme de la pression des ions pi et de celle des ´electrons pe . Ce type de mod`ele est courant en physique des plasmas et permet de mod´eliser un d´ecouplage des temp´eratures ionique et ´electroniques. On montre ais´ement que η = −ρ(Si + Se ) est une entropie math´ematique pour ce syst`eme, de mˆeme que η = −ρSi . De ce fait la loi d’entropie peut s’´ecrire (pour les solutions r´eguli`eres hors chocs) ∂t (ρSi ) + ∂x (ρuSi ) = 0. Pour les chocs on a (4.115) ∂t (ρSi ) + ∂x (ρuSi ) ≥ 0. Il s’ensuit que lors d’un choc l’entropie ionique augmente alors que l’entropie ´electronique est constante Si+ > Si− et Se+ = Se− . Cela fait apparaˆıtre une dissym´etrie entre le comportement des ions et des ´electrons au choc. On peut aussi consid´erer qu’il n’y a pas unicit´e de l’entropie math´ematique pour le

4.13 Exercices

145

syst`eme (4.114) et que ce sont des consid´erations physiques qui ont permis de s´electionner la loi d’entropie (4.115). ´ Ecrire les relations de Rankine Hugoniot pour le syst`eme des gaz ionis´es ´ (4.114). Ecrire la forme lagrangienne du syst`eme. Que valent n, d et p pour le lemme 30 ? Le corollaire du th´eor`eme de Lax s’applique-t-il ? Exercice 30 • Nous admettons (¸ca peut se discuter) que la forme visqueuse d’un mod`ele raisonnable de turbulence sous choc est ⎧ ⎪ ⎪ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ⎨ ρ(∂t + u∂x )u + ∂x (p + pk ) = (ν + νk )∂xx u, ρ(∂t + u∂x )ε + p∂x u = ν (∂x u)2 , ⎪ ⎪ ⎩ 2 ρ(∂t + u∂x )k + pk ∂x u = νk (∂x u) . Ici pk = (γk − 1)ρk est la pression turbulente et k est la densit´e d’´energie turbulente. On prendra γk = 53 . L’´energie totale est e = ε + k + 12 u2 . La viscosit´e classique (resp. turbulente) est ν (resp. νk ). Nous ferons l’hypoth`ese que ν νk = λ , λ ∈ R+ . Tk T T et Tk sont les temp´eratures (ou facteurs int´egrants) dans le second principe de la thermodynamique appliqu´e s´epar´ement aux parties classique et turbulente du fluide T dS = dε + pdτ, Tk dSk = dk + pk dτ. Construire l’´equation pour ρe. Montrer que les solutions a` viscosit´e ´evanescente s’´ecrivent ⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ⎪ ⎪

⎨ ∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p + pk = 0, ∂t (ρ(Sk − λS)) + ∂x (ρu(Sk − λS)) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + (p + pk )u) = 0, avec la condition d’entropie (au sens faible) ∂t (ρS) + ∂x (ρuS) ≥ 0. Que valent Ψ , n et d pour la forme lagrangienne des ´equations ?

146

4 Syst`emes

Exercice 31 •• D´etailler la relation (4.113) pour le syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale. Exercice 32 •• Le syst`eme de la dynamique des gaz compressible dans le cadre de la relativit´e restreinte peut s’´ecrire ⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,



+ ch2 )ρu2 + p = 0, ∂t γ0 (1 + ch2 )ρu + ∂x γ0 (1 (4.116) ⎩ ∂t γ0 (1 + ch2 )ρ − cp2 + ∂x γ0 (1 + ch2 )ρu = 0. Le param`etre c est ici la vitesse de la lumi`ere. Ce syst`eme ´etant compatible avec les principes de la relativit´e restreinte, il faut distinguer la masse volumique vue par l’observateur (que nous avons not´ee ρ) de la masse volumique ´evalu´ee dans le r´ef´erentiel propre du fluide, que nous noterons ρ0 . Le r´ef´erentiel propre du fluide est celui qui bouge `a la vitesse du fluide. On a alors ρ = γ0 ρ0 . Soit τ = ρ−1 et τ0 = ρ−1 les volumes sp´ecifiques : donc τ = γ1 τ0 . Le pa0 0 ram`etre γ0 bien connu qui mesure la caract`ere relativiste de l’´ecoulement est 1 γ0 =  1−

u2 c2

≥ 1.

On notera h l’enthalpie thermodynamique ´evalu´ee dans le r´ef´erentiel propre du fluide h = ε + pτ0 . Comme nous supposerons pour simplifier une loi de gaz parfait polytropique p = (Γ − 1)ρ0 ε on a aussi h = Γ ε. Attention de ne pas confondre Γ > 1 la constante des gaz parfaits et γ0 ≥ 1 d´efinie plus haut. Nous admettons que ce syst`eme est invariant par rapport aux de transformations

h 1 + u et l’´ e nergie la relativit´e restreinte. Soit la vitesse modifi´ e e u ˜ = γ 0 2 c   2

0 − c2 . Montrer que le syst`eme (4.116) est modifi´ ee e˜ = c2 γ0 1 + cε2 + uc2 pτ c2 ´equivalent a` ⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, u) + ∂x (ρu˜ u + p) = 0, ∂t (ρ˜ (4.117) ⎩ ∂t (ρ˜ e) + ∂x (ρu˜ e + pu) = 0.

On se place dans le r´egime des petites vitesses devant la vitesse de la lumi`ere : on suppose que λ = uc est en petit param`etre et de mˆeme que cε2 = O(λ2 ) (ce qui revient essentiellement `a supposer que la vitesse du son dans le fluide est du mˆeme ordre que la vitesse mati`ere). Montrer que 1 u ˜ = u + O(λ2 ) et e˜ = ε + u2 + O(λ2 ). 2

(4.118)

On sait que T dS = dε + pdτ0 pour une entropie classique correctement choisie qu’on rappellera. Montrer que

4.13 Exercices

T dS = d˜ e − ud˜ u + pdτ. γ0

147

(4.119)

Dans le but de simplifier les calculs on pourra utiliser l’identit´e d˜ e−ud˜ u+pdτ = d (˜ e − u˜ u + pτ ) + u ˜du − τ dp. On prendra soin de v´erifier que dγ0 = cu2 γ03 du. En d´eduire que les solutions r´eguli`eres v´erifient la mˆeme identit´e d’entropie que pour le cas galil´een classique ∂t (ρS) + ∂x (ρuS) = 0.

(4.120)

Mettre le syst`eme (4.117) sous forme lagrangienne. Montrer que Ψ et M sont les mˆemes que pour la dynamique des gaz galil´eenne.

148

4 Syst`emes

Exercice 33 •• Montrer que le syst`eme (4.116) de la dynamique des gaz compressibles dans le cadre de l’invariance lorenztienne est covariant, c’est `a dire qu’il est invariant sous l’effet combin´e d’un changement de r´ef´erentiel  '  t = γ t + βc x , x = γ (x + βct ) et d’un changement d’inconnue compatible. En particulier la vitesse dans le nouveau r´ef´erentiel est u−v u = . 1 − uv c2 On pourra s’inspirer de l’exercice 10.

4.14 Notes bibliographiques On trouve dans [LL] le lien entre l’entropie thermodynamique et l’entropie en tant que loi de conservation suppl´ementaire pour le syst`eme des gaz compressibles. La th´eorie g´en´erale des syst`emes hyperboliques a ´et´e fond´ee par les travaux de Lax, voir en particulier la monographie [L72], repris par la suite dans [S96, GR91, D00, DD05]. On s’est attach´e dans ce texte `a l’´etendre autant que possible au cas d’un syst`eme qui n’est pas strictement hyperbolique. Cela n´ecessite une connaissance des propri´et´es g´en´erales de continuit´e et d´erivabilit´e des valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice, on consultera [K66]. La fonction potentielle de Kulikovsi pour l’´etude des relations de Rankine Hugoniot est rappel´ee dans [KPS01]. La section sur la forme canonique des syst`emes lagrangiens refl`ete le point de vue de l’auteur [D01, DM05]. Elle justifie l’effort mis dans l’´etude des syst`emes qui ne sont pas non hyperboliques. Les exemples (magn´etohydrodynamique id´eale, h´elium superfluide, syst`eme conservatif bi-fluides) sont tir´es de [LL, LL69, GR95]. La discussion des chocs admissibles pour le cas o` u la droite de Rayleigh coupe la courbe d’Hugoniot en plusieurs points peut aussi se traiter a` l’aide de la condition d’entropie de Liu, voir par exemple [S96] pour une pr´esentation g´en´erale. La situation est proche des probl`emes ´evoqu´es dans [MP99]. Cela ouvre plus g´en´eralement vers la question de la stabilit´e des chocs [L85]. Le mod`ele de St Venant bi-couches (exercice 25) a ´et´e communiqu´e par Serguei Gavrilyuk [G]. On peut retrouver ce mod`ele `a partir du mod`ele `a deux vitesses du chapitre pr´ec´edent [DLR03].

5 Le syst` eme de la dynamique des gaz compressibles

Le syst`eme de la dynamique des gaz est critique pour nombre d’applications industrielles en a´eronautique, g´enie nucl´eaire, physique des plasmas. Cela justifie qu’un chapitre lui soit d´edi´e. Nous partons du syst`eme en dimension trois d’espace ⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) + ∂y (ρv) + ∂z (ρw) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) + ∂y (ρuv) + ∂z (ρuw) = 0, ∂t (ρv) + ∂x (ρuv) + ∂y (ρv 2 + p) + ∂z (ρvw) = 0, (5.1) ⎪ 2 ⎪ (ρw) + ∂ (ρuw) + ∂ (ρvw) + ∂ (ρw + p) = 0, ∂ ⎪ t x y z ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) + ∂y (ρve + pv) + ∂z (ρwe + pw) = 0. L’´energie totale est la somme de l’´energie interne et de l’´energie cin´etique e = ε + 12 (u2 + v 2 + w2 ). La pression est une fonction de la masse volumique et de l’´energie interne p = p(ρ, ε). Nous supposons qu’il existe une entropie thermodynamique S telle que a) L’entropie est une fonction strictement concave de ε et τ = 1ρ . b) On a le principe fondamental de la thermodynamique (la temp´erature se doit d’ˆetre strictement positive T > 0) T dS = dε + pdτ.

(5.2)

Ce syst` eme est invariant par rotation des coordonn´ ees d’espace. Soit par exemple la solution discontinue de la figure 5.1 o` u Γ est la ligne de discontinuit´e. En se pla¸cant dans le rep`ere (x , y  ) on se contentera d’´etudier une discontinuit´e dans la direction x . On se ram`ene alors a` une situation en dimension un. Grˆ ace `a ce principe on peut se satisfaire de l’´etude de ⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) = 0, ∂t (ρv) + ∂x (ρuv) = 0, (5.3) ⎪ ⎪ ∂ (ρw) + ∂ (ρuw) = 0, ⎪ t x ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0, B. Despr´ es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 5, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 

149

150

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

y

x



Etat ”droit”

y

Etat ”gauche”

Γ

x Fig. 5.1. Choc en 2D

dans lequel on a annul´e les d´eriv´ees en y et z ∂y = ∂z = 0. Cependant cela n’implique pas la nullit´e de v et w qui sont des inconnues du syst`eme. La difficult´e principale pour l’´etude du syst`eme (5.3) r´eside dans le nombre d’inconnues qui est cinq. Pour le reste l’analyse est tout a` fait semblable a celle qui se m`ene pour le syst`eme des eaux peu profondes. ` Nous pr´esenterons ensuite deux sch´emas num´eriques qui sont le sch´ ema de Roe et un sch´ema Lagrange projet´e. Le sch´ema de Roe est un sch´ema eul´erien, alors que le sch´ema Lagrange projet´ e utilise une d´ecomposition entre une phase Lagrangienne sur maillage mobile puis une phase de projection sur le maillage initial. Notre objectif est d’analyser les propri´et´es entropiques de ces deux m´ethodes bien connues. Nous montrerons que le sch´ema Lagrange projet´e est entropique par construction, ce qui n’est pas le cas du sch´ema de Roe (un correcteur dit entropique est n´ecessaire). Cela permet d’expliquer certaines pathologies num´eriques. Une m´ethode ALE (Arbitrary Lagrange Euler) en dimension un d’espace sera finalement pr´esent´ee.

5.1 Calcul des vitesses d’ondes Le calcul des vitesses d’ondes requiert l’analyse des valeurs propres d’une matrice 5 × 5. Le calcul des (∇λj , rj ), n´ecessaires pour caract´eriser la non lin´earit´e des champs, doit ˆetre conduit au mieux. Dans ce qui suit nous prid = ∂t + u∂x . vil´egions l’usage de la d´eriv´ee mat´erielle dt

5.1 Calcul des vitesses d’ondes

Lemme 39 On suppose ρ = Les vitesses d’ondes sont

1 τ

151

> 0. Le syst`eme (5.3) est hyperbolique.

u − c, u, u, u, u + c. Les trois champs associ´es a ` la valeur propre u sont lin´eairement 2 d´eg´en´er´es. Supposons que c > 0 et que ∂τ∂ 2p|S = 0 : les deux champs associ´es aux valeurs propres u ± c sont vraiment non lin´eaires. Pour une loi de gaz parfait on a

∂p ∂τ |S

= −ρ2 c2 = −γ τp . D’o` u

p ∂2p = γ(γ + 1) 2 = 0 ∂τ 2 |S τ pour ρ = 0 et ε = 0. Nous appliquons la m´ethode d´ecrite au lemme 37. Nous choisissons la nouvelle inconnue W = (p, u, v, w, S)t . Ce changement d’inconnue est inversible car il est compos´e des 3 variables vitesses (u, v, w) et deux variables thermodynamiques (p, S). Tout d’abord nous rempla¸cons l’´equation sur l’´energie ρe par l’´equation (4.9) sur l’entropie ρS grˆ ace aux transformations ´etudi´ees `a la section 4.1.2. Puis nous passons d en d´eriv´ee mat´erielle dt = ∂t + u∂x ⎧ d ρ + ρ∂x u = 0, ⎪ ⎪ ⎪ dtd ⎪ ⎨ ρ dt u + ∂x p = 0, d v = 0, ρ dt ⎪ d ⎪ ⎪ w = 0, ρ ⎪ ⎩ dt d S = 0. ρ dt Comme la pression n’est fonction que de deux variables thermodynamiques ∂p d ∂p d ∂p d ∂p d 2 on a dt p = ∂ρ|S dt ρ + ∂S|ρ dt S = ∂ρ|S dt ρ. Posons c = ∂ρ|S , c > 0, que nous 1 appelons vitesse du son . On obtient le syst`eme ⎧ d ρ dt p + ρ2 c2 ∂x u = 0, ⎪ ⎪ ⎪ d ⎪ u + ∂x p = 0, ⎨ ρ dt d v = 0, ρ dt ⎪ d ⎪ ⎪ ρ ⎪ dt w = 0, ⎩ d S = 0. ρ dt ou encore 1

Dans l’air c ≈ 340m/s au sol.

152

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

⎧ ∂t p + u∂x p + ρc2 ∂x u = 0, ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎨ ∂t u + u∂x u + ρ ∂x p = 0, ∂t v + u∂x v = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ∂t w + u∂x w = 0, ⎪ ⎩ ∂t S + u∂x S = 0.

(5.4)

Nous n’avons utilis´e pour obtenir (5.4) que des transformation alg´ebriques et des combinaisons d’´equations. La matrice B (au sens du lemme 37) pour le syst`eme ∂t W + B∂x W = 0 est ⎛ ⎞ 0 ρc2 0 0 0 ⎜ 1 0 0 0 0⎟ ⎜ρ ⎟ ⎟ B = uI + ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0⎟. ⎝ 0 0 0 0 0⎠ 0 0 000 Les vecteurs propres sont dans l’ordre ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρc 0 0 0 ρc ⎜ −1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s1 = ⎜ ⎜ 0 ⎟ , s2 = ⎜ 1 ⎟ , s3 = ⎜ 0 ⎟ , s4 = ⎜ 0 ⎟ , s5 = ⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ 0 0 0 1 0 pour les valeurs propres u − c, u (3 fois) et u + c. Comme ∇W u = (0, 1, 0, 0, 0)t les trois champs associ´es `a la valeur propre u sont lin´eairement d´eg´en´er´es. Pour le premier champ on a ∇W (u − c) = (−

∂c t ∂c , 1, 0, 0, − ). ∂p|S ∂S|p

∂c Donc (∇W (u − c), s1 ) = −ρc ∂p|S − 1. On rappelle que 2 2 −ρ c . On a

∂p ∂τ |S

∂p = −ρ2 ∂ρ|S =

  ∂ρ2 c2 ∂ρc ∂τ −1 c ∂c ∂ 2p 2 =− = −2ρc = −2ρc = −2ρc −ρ c + ρ ∂τ 2 |S ∂τ |S ∂τ |S ∂τ |S ∂τ |S     ∂c ∂p ∂c = −2ρc −ρ2 c + ρ = 2ρ3 c2 1 + ρc . ∂τ |S ∂p|S ∂p|S 2

Donc (∇W (u − c), s1 ) = − 2ρ13 c2 ∂τ∂ 2p|S = 0. Le champ est vraiment non lin´eaire. Par des calculs similaires (∇W (u + c), s5 ) = 0. Cela termine la preuve. Le syst`eme que nous ´etudions est strictement hyperbolique en dimension un d’espace. Il n’est plus strictement hyperbolique d`es qu’on s’int´eresse au cas vraiment multidimensionnel du fait de la pr´esence des vitesses transverses v et w.

5.1 Calcul des vitesses d’ondes

153

5.1.1 D´ etentes Les d´etentes sont associ´ees aux champs 1 et 5 qui sont vraiment non lin´eaires. L’´equation des d´etentes se ram`ene `a (y = xt )  −yp + up + ρc2 u = 0, −yu + uu + 1ρ p = 0. d’o` u

(u − y)2 p = c2 p .

Donc y = u ± c. Pour y = u + c on obtient par ´elimination −cp + ρc2 u = 0. Les autres ´equations sont (` a partir de (5.4)) (u − y)S  = (u − y)v  = (u − y)w = 0. Or u−y = −c < 0. Donc S  = 0 ce qui implique que l’entropie S est constante. De ce fait la masse volumique ρ ainsi que la vitesse du son c sont toutes deux des fonctions de la variable p le long des courbes de d´etente. On trouve −

1  p + u = 0 ρc

qu’on peut int´egrer directement. Supposons par exemple que la pression est donn´ee par une loi de gaz parfait p = (γ − 1)ρε, c2 = γ pρ , pour laquelle on sait que (voir (4.5)) ρpγ = pρG γ car l’entropie S est constante (une nouvelle fois G on se donne l’´etat gauche comme ´etat de r´ef´erence). Donc ⎛ ⎞ √ 1+ 1 γ ρG 2  p √ ρc = ⎝ γ 1 ⎠ p 2 et = c. ρc γ − 1 2γ p G

2 En int´egrant − γ−1 c + u = 0 on obtient le r´esultat qui suit.

Lemme 40 Supposons une loi de gaz parfait polytropique. Le long des courbes de d´etente on a ⎧ γ−1 (u − uG ), ⎪ ⎪ c = cG ± ⎪  2  2γ ⎨ γ−1 u−uG γ−1 p = pG 1 ± 2 cG , (5.5) ⎪ 2   ⎪ γ−1 ⎪ ⎩ ρ = ρG 1 ± γ−1 u−uG . 2 cG Les deux composantes de la vitesse transverse et l’entropie sont constantes le long des d´etentes.

154

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

1  La d´etente − ρc p + u = 0 correspond au signe + dans (5.5). La d´etente  + u = 0 correspond au signe −. 1  Consid´erons la d´etente − ρc p + u = 0. Si p augmente alors u augmente   γ1 aussi. D’autre part ρ = ρG ppG . Donc la masse volumique ´evolue dans le 1  ρc p

1− 1 γ

p

1

pγ

mˆeme sens que p et u. A partir de c2 = γ pρ = γ ρG G on voit que c ´evolue aussi dans le mˆeme sens que p et u. Donc u + c ´evolue aussi dans le mˆeme sens que p. Or y = u + c augmente `a partir d’un point gauche. Il s’ensuit que la pression est sup´erieure `a la pression a` gauche. Dans ce cas de figure la pression a` gauche est la pression apr`es la transformation. Pour un gaz parfait la temp´erature T est proportionnelle a` l’´energie interne qui elle-mˆeme est proportionnelle a` c2 . Donc la temp´erature diminue. On retrouve le principe physique : un gaz refroidit en d´ etente. 5.1.2 Les discontinuit´ es L’´equation de Rankine Hugoniot pour les discontinuit´es est ⎧ −σ[ρ] + [ρu] = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ −σ[ρu] + [ρu2 + p] = 0, −σ[ρv] + [ρuv] = 0, ⎪ ⎪ −σ[ρw] + [ρuw] = 0, ⎪ ⎪ ⎩ −σ[ρe] + [ρue + pu] = 0.

(5.6)

Nous devons adjoindre l’in´egalit´e d’entropie −σ[ρS] + [ρuS] ≥ 0. Les contacts Nous savons (c’est un r´esultat g´en´eral) que si les champs lin´eairement d´eg´en´er´es sont associ´es `a des valeurs propres et vecteurs propres diff´erentiables, alors la discussion des discontinuit´es de contact se simplifie notablement. Ici les vecteurs propres-valeurs propres du lemme 25 sont `a l’´evidence diff´erentiables. En conclusion nous savons que pour un ´etat gauche donn´e, il existe plusieurs discontinuit´es de contact possibles qui forment un espace affine de dimension 3. Dans notre cas l’espace vectoriel est engendr´e par les courbes int´egrales (p, u, v, w, S) = (0, 0, α, β, γ). Lemme 41 Pour la dynamique des gaz compressibles, la vitesse normale et la pression sont continues au travers d’une discontinuit´e de contact. Les vitesses transverses v et w ainsi que l’entropie S ont un saut arbitraire. Il est ais´e de retrouver cette propri´et´e par l’´etude directe du syst`eme (5.6). Il suffit de prendre σ = uG = uD . En accord avec les r´esultats g´en´eraux l’in´egalit´e d’entropie est une ´egalit´e −σ[ρS] + [ρuS] = 0.

5.1 Calcul des vitesses d’ondes

155

Les chocs Par d´efinition ce sont les discontinuit´es solutions de (5.6) pour lesquelles l’in´egalit´e d’entropie est stricte −σ[ρS] + [ρuS] > 0. D’o` u (σ − uG)ρG SG > (σ − uD )ρD SD ce qui ´elimine de ce fait les contacts car σ = uG = uD n’est plus possible. Lemme 42 Pour les chocs les relations de Rankine Hugoniot sont ´equivalentes a ` εD − εG +

pD + pG (τD − τG ) = 0. 2

(5.7)

Pour ρG (σ − uG ) = ρD (σ − uD ) > 0 la condition d’entropie devient SG > S D . Pour ρG (σ − uG ) = ρD (σ − uD ) < 0 la condition d’entropie devient SG < S D . Les composantes de la vitesse transverse sont constantes au travers du choc. La relation2 (5.7) est tr`es agr´eable a` ´etudier car elle d´efinit une courbe dans le plan (τ, ε), ou dans tout autre plan de deux variables thermodynamiques ind´ependantes : (τ, p) par exemple. L’in´egalit´e d’entropie s’interpr`ete aussi agr´eablement. Supposons que ρG (σ − uG ) = ρD (σ − uD ) > 0. La vitesse du fluide dans le r´ef´erentiel du choc est u − σ < 0 a` gauche et `a droite. Alors le choc fait passer un ´el´ement de fluide de l’´etat D `a l’´etat G. Comme les chocs sont des ´ev´enements irr´eversibles, cette transformation correspond a` une augmentation strictement positive de l’entropie thermodynamique SG > SD . On a la mˆeme interpr´etation invers´ee dans le deuxi`eme cas. Une d´emonstration3 de la relation de Rankine Hugoniot (5.7) s’obtient ais´ement en transformant le syst`eme (5.6). On remarque que la premi`ere ´equation de (5.6) s’´ecrit aussi 2

3

La relation (5.7) est appel´e relation de Rankine Hugoniot par les m´ecaniciens des fluides. Historiquement cela est fond´e sur les travaux de Rankine (On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbances, Transaction of the Royal Society of London, 160, 277-288, 1870) et ind´ependamment de Hugoniot (Sur la propagation du mouvement dans les corps et sp´ecialement dans les gaz ´ parfaits, Journal de l’Ecole polytechnique, 58, 1-125, 1889). C’est par analogie que les ´equations de chocs −σ[U ] + [f (U )] = 0 sont appel´ees relation de Rankine Hugoniot et ce pour n’importe quel syst`eme de lois de conservation. Une autre possibilit´e pour effectuer ces calculs alg´ebriques consiste a ` partir de l’identit´e g´en´erale (4.113) pour les syst`emes lagrangiens.

156

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

j = ρG (σ − uG ) = ρD (σ − uD ) qui exprime un d´ebit de masse constant dans le r´ef´erentiel du choc. On obtient ⎧ −j(τD − τG ) − (uD − uG ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −j(u ⎪ D − uG ) + (pD − pG ) = 0, ⎪ ⎨ −j(vD − vG ) = 0, ⎪ −j(wD − wG ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −j(eD − eG ) + (pD uD − pG uG ) = 0, ⎪ ⎩ −j(SD − SG ) > 0. Comme j = 0 on a vD −vG = wD −wG = 0. Donc eD −eG = εD −εG + 12 (u2D − a on ´elimine l’´energie cin´etique dans l’´equation d’´energie. On u2G ). Partant de l` obtient u2 − u2G uD + uG −j D + (pD − pG ) =0 2 2 que l’on retranche a` l’´equation d’´energie. Il reste −j(εD − εG ) + (pD uD − pG uG ) − (pD − pG )

uD + uG = 0. 2

G G Or (pD uD − pG uG ) − (pD − pG ) uD +u = (uD − uG ) pD +p . On peut alors 2 2 ´eliminer uD − uG grˆ ace `a la premi`ere ´equation du syst`eme. Il reste

−j(εD − εG ) − j

pD + pG (τD − τG ) = 0. 2

Apr`es simplification par j = 0 on obtient l’´egalit´e d´esir´ee. L’in´egalit´e d’entropie est imm´ediate. Lemme 43 Supposons une loi de gaz parfait. Soit un ´etat avant choc. Alors les pression, vitesse, masse volumique, entropie et vitesse du son sont sup´erieures apr`es le choc. Le facteur de compression maximum est γ+1 γ−1 . Nous partons de la relation de Rankine Hugoniot   γ − 1 εD εG εD − εG + (τD − τG ) = 0. + 2 τD τG Supposons que l’´etat avant choc est l’´etat droit j > 0. On a εG = εD × Soit z =

ρD ρG

=

τG τD

εG = εD ×

G 1 − (γ − 1) τDτ−τ D G 1 + (γ − 1) τDτ−τ G

.

l’inverse du facteur de compression 2 + (γ − 1)(1 − z) (γ + 1) − (γ − 1)z = εD × . −1 2 − (γ − 1)(z − 1) (γ + 1) − (γ − 1)z −1

5.1 Calcul des vitesses d’ondes

157

Or pG = pD z −1 εG donc pG = pD

(γ + 1) − (γ − 1)z . (γ + 1)z − (γ − 1)

Comme la pression doit rester positive il s’ensuit que γ−1 γ+1 ≤z≤ . γ+1 γ−1 Le facteur de compression maximum est γ+1 eterminons la vitesse du choc γ−1 . D´ pD −pG 2 lagrangienne j = − τD −τG , j > 0, en fonction de z. On a   pD 1 − pG /pD τD 1 − τG /τD ⎡ ⎤ 1 − (γ+1)−(γ−1)z 2 pD (γ+1)z−(γ−1) ⎦ ⎣ . =γ 1−z τD (γ + 1)z − (γ − 1) j2 = −

=−

pD τD

Il est ainsi ais´e de d´eterminer le sens de variation de j en fonction de z. Comme j > 0, j augmente pour z < 1. D’autre part un r´esultat th´eorique ´enonce qu’il est possible de d´eterminer le sens de variation de j en fonction du sens de variation de l’entropie. Le long de la courbe d’Hugoniot on a 2jj  =

 −(pD − pG )τG + (τD − τG )pG . (τD − τG )2

En d´erivant la relation de Rankine Hugoniot on obtient εG =

pG pD + p  (τD − τG ) − τG . 2 2

Le second principe de la thermodynamique implique   T G SG = εG + pG τG =

pG pD + pG   (τD − τG ) − τG + pG τG 2 2

pG −pD + pG  (τD − τG ) + τG = (τD − τG )2 jj  . 2 2 On doit se restreindre a` SG > SD . Cela correspond `a j  > 0 et donc a` z < 1. Il s’ensuit que la masse volumique augmente dans le mˆeme sens que j qui luimˆeme augmente dans le mˆeme sens que l’entropie (c’est le r´esultat (4.53)). De mˆeme on v´erifie que la vitesse et la pression augmente. On retrouve le principe physique : un gaz chauffe et se comprime au travers d’un choc. =

158

p

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

Courbe d’Hugoniot issue de l’´etat avant choc Etat apr`es choc Droite de Rayleigh Etat avant choc

Courbe de d´etente

τ Fig. 5.2. Courbe d’Hugoniot. L’´etat avant choc est l’´etat −, l’´etat apr`es choc est l’´etat +. L’isentrope (courbe de d´etente) est tangente a ` l’Hugoniot

5.1.3 Nombre de Mach Une autre caract´eristique des chocs : la vitesse du choc est subsonique par rapport a` l’´etat apr`es choc et supersonique par rapport a` l’´etat avant choc. Supposons pour simplifier j > 0. L’examen de la courbe de ´etats possibles apr`es choc (courbe d’Hugoniot) montre que la pente de la droite de Rayleigh est sup´erieure a` la pente de la courbe d’Hugoniot pour l’´etat avant choc. Comme l’Hugoniot est tangente a` l’isentrope on a j2 > −

∂p = (ρ− c− )2 ⇐⇒ j > ρ− c− . ∂τ |S −

Par sym´etrie (l’´etat avant choc est sur la courbe d’Hugoniot issue de l’´etat apr`es choc) on a aussi ρ+ c+ < j. D’autre par j = ρ+ (σ − u+ ) = ρ− (σ − u− ). C’est donc que c+ > σ − u+ et σ − u− > c− . Cela ´etablit le caract`ere super(sub)sonique de la vitesse du choc par rapport aux ´etats avant et apr`es ce choc. Cependant on utilisera en a´erodynamique une caract´erisation quelque peu invers´ee. Pour cela on se place dans le r´ef´erentiel du choc et on calcule le nombre de Mach D´ efinition 31 Le nombre de Mach est M=

|u − σ| |% u| = . c c

5.2 Discr´etisation num´erique

159

−| +| Ici M− = |σ−u > 1 et M+ = |σ−u < 1. Nous dirons a` pr´esent que l’´etat c− c+ avant choc est supersonique et l’´etat apr`es choc est subsonique. La diff´ erence est qu’on n’utilise pas le mˆ eme r´ ef´ erentiel selon les cas. Cette fa¸con de caract´eriser le choc est tr`es utile quand on se met dans le r´ef´erentiel de l’avion ou de la soufflerie.

5.1.4 Probl` eme de Riemann pour la dynamique des gaz Plutˆ ot que de d´etailler la construction g´en´erale (on consultera [GR96], [L72], [LL], [S96]) on donne la solution du probl`eme de Riemann pour une donn´ee initiale particuli`ere. Soit une loi de gaz parfait γ = 1.4 avec les donn´ees initiales ρG = pG = 1, uG = vG = 0 et ρD = 0, 125, pD = 0, 1, uD = vD = 0. La figure suivante pr´esente une solution de r´ef´erence (en l’occurrence calcul´ee avec un sch´ema ´eprouv´e d’ordre 3 et un grand nombre de mailles) au temps t = 0.14. On distingue nettement le choc a` droite, la discontinuit´e de contact au centre et la d´etente `a gauche. Cette solution servira de r´ef´erence pour les ´etudes de sch´emas. La solution de r´ef´erence est la solution faible entropique qui se compose d’un choc `a droite, d’une d´etente `a gauche et d’une discontinuit´e de contact au centre. La valeur de la solution exacte `a la discontinuit´e de contact est (voir [T97]) donn´ee dans la table 5.1. ∗ ∗ p∗ u∗ ρ∗G ρ∗D vD = vG 0,30313 0,92745 0,42632 0,26557 0

Tableau 5.1. Valeurs de diverses quantit´es ` a la discontinuit´e de contact pour le probl`eme test de Sod

5.2 Discr´ etisation num´ erique Nous construisons plusieurs sch´emas num´eriques diff´erents pour la r´esolution num´erique du syst`eme de la dynamique des gaz. On consid`ere la dimension deux d’espace ⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) + ∂y (ρv) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) + ∂y (ρuv) = 0, (5.8) ∂t (ρv) + ∂x (ρuv) + ∂y (ρv 2 + p) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) + ∂y (ρve + pv) = 0. Les modifications `a apporter pour la dimension trois d’espace sont ´evidentes. Les deux premiers sch´emas sont fort diff´erents dans le principe de construction. Le sch´ema de Roe utilise une lin´earisation astucieuse des ´equations de

160

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

’sod.ro’

’sod.p’

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p ’sod.u’

’sod.s’

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 5.3. Cas test de Sod. Solution de r´ef´erence au temps t = 0, 14. On notera que la d´etente a ` gauche est visible sur les profils de densit´e, pression et vitesse mais pas sur l’entropie. La discontinuit´e de contact au centre est visible sur les profils de densit´e et entropie mais pas sur la pression ni sur la vitesse. Le choc `a droite est clairement identifiable sur toutes les variables

la dynamique des gaz. Le principe g´en´eral est valable pour n’importe quel syst`eme de lois de conservation. Le sch´ema Lagrange+projection utilise la possibilit´e de r´ecrire le syst`eme de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange. Partant de l` a il n’est pas valable pour n’importe quel syst`eme de lois de conservation, mais seulement pour ceux qui viennent de la m´ecanique des milieux continus ou en sont tr`es proches. Une autre diff´erence est que le sch´ema de Roe n’est pas entropique dans sa version de base. Il est n´ecessaire d’adjoindre ce qui s’appelle un correcteur entropique pour obtenir des r´esultats corrects. En revanche le sch´ema Lagrange+projection v´erifie des in´egalit´es d’entropie naturellement en toute dimension. Le troisi`eme sch´ema est du type ALE (Arbitrary Lagrange Euler). Toujours pour simplifier, consid´erons une r´esolution num´erique sur un maillage cart´esien par splitting directionnel. C’est `a dire que le maillage est ordonn´e (j, k), j, k ∈ Z. A chaque ´etape du calcul nous r´esolvons sur chaque ligne horizontale le syst`eme

5.2 Discr´etisation num´erique

161

Phase horizontale

Phase verticale Fig. 5.4. Maillage cart´esien en 2D

⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) = 0, ∂t (ρv) + ∂x (ρuv) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0. Puis nous r´esolvons sur chaque ligne verticale le syst`eme ⎧ ∂t ρ + ∂y (ρv) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρu) + ∂y (ρuv) = 0, ⎪ ∂t (ρv) + ∂y (ρv 2 + p) = 0, ⎪ ⎩ ∂t (ρe) + ∂y (ρve + pv) = 0.

(5.9)

(5.10)

L’int´erˆet de cette m´ethode universellement utilis´ee4 est sa simplicit´e puisqu’il suffit `a pr´esent de savoir r´esoudre ind´ependamment sur chaque ligne de u U et f (U ) maillage le syst`eme en dimension un d’espace ∂t U + ∂x f (U ) = 0 o` sont d´efinis par (5.9).

4

Remarquons au passage que nous utilisons au niveau num´erique une variante du principe qui a permis d’´etudier (5.3) au lieu du syst`eme vraiment multidimensionnel (5.1).

162

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

5.3 Sch´ ema eul´ erien de Roe Consid´erons un syst`eme de lois de conservation hyperbolique g´en´eral ∂t U + ∂x f (U ) = 0.

(5.11)

Les sch´emas explicite en dimension un que nous ´etudions sont du type Volumes Finis n n fj+ 1 − f Ujn+1 − Ujn j− 12 2 + = 0. Δt Δx Les pas de temps et d’espace sont Δt > 0 et Δx > 0. Ces sch´emas sont donc tout a` fait semblables au sch´ema (3.25) pour les ´equations scalaires que nous avons d´ej`a ´etudi´e. Mais il s’agit `a pr´esent d’un syst`eme pour lequel les diverses ´equations scalaires sont coupl´ees. Sur le plan strictement op´eratoire, notre seul et unique objectif est de d´efinir la valeur n n num´erique du flux num´erique fj+ a partir des donn´ees Ujn et Uj+1 , de telle 1 ` 2 sorte que le sch´ema r´esultant soit stable et pr´ecis. Le principe g´en´eral du sch´ema de Roe est de se ramener au cas d’´equations scalaires d´ecoupl´ees grˆace a une lin´earisation ad-hoc. La pr´esentation que nous donnons du sch´ema de ` Roe est un peu diff´erente de la pr´esentation classique, laquelle pr´esuppose une ´etude approfondie de la structure d’ondes du mod`ele consid´er´e, du sch´ema de Godounov associ´e et des solveurs de Riemann approch´es. La pr´esentation propos´ee s’inspire plus de la m´ethode des Diff´erences Finies. Soit A(U ) = ∇U f (U ) la matrice Jacobienne du flux, laquelle est diagonalisable dans R dans une base compl`ete de vecteurs propres r´eels. Nous r´ecrivons (5.11) sous une forme non conservative ∂t U + A∂x U = 0 ⇐⇒ ∂t U + ∂x (AU ) − (∂x A)U = 0.

(5.12)

Cette ´ecriture est correcte pour les solutions r´eguli`eres. La m´ethode de Roe se fonde sur la d´efinition qui suit. D´ efinition 32 On suppose qu’il existe une matrice A(U, V ) telle que a) A(U, V ) est diagonalisable dans R dans une base compl`ete de vecteurs propres r´eels, b) pour tout (U, V ) on a f (U ) − f (V ) = A(U, V )(U − V ), c) pour tout U on a A(U, U ) = A(U ). On dira alors que A(U, V ) est une matrice de Roe. Supposons qu’une matrice de Roe existe pour le syst`eme consid´er´e (`a la section suivante on construit une matrice de Roe pour le syst`eme de la dynamique des gaz).

5.3 Sch´ema eul´erien de Roe

163

1) On commence par r´esoudre le probl`eme de Cauchy pour l’´equation issue de (5.12) ∂t U + ∂x (AU ) = 0. Soit ∂t U + ∂x (A(UG , UD )U ) = 0

(5.13)

pour la donn´ee initiale UG ` a gauche et UD `a droite. Grˆ ace `a la propri´et´e a) on diagonalise A(UG , UD ) ainsi que la matrice transpos´ee A(UG , UD )t A(UG , UD )rp = λp rp ,

A(UG , UD )t lp = λp lp

avec une normalisation (lp , rq ) = δpq . La base (lp ) est la base duale de la base (rp ). On effectue le produit scalaire de l’´equation (5.13) contre le vecteur propre adjoint lp ∂t (lp , U ) + λp ∂x (lp , U ) = 0, ∀p.

(5.14)

Le sens de cette ´equation est : (lp , U ) est transport´e vers la droite si λp > 0 ; vers la gauche si λp < 0. En discutant suivant le signe de λp , on obtient la valeur de la solution en x = 0 pour tout temps   (lp , UG )rp + (lp , UD )rp . (5.15) U (t, 0) = λp >0

λp 0



λp (lp , UD )rp .

(5.16)

λp 0

λp 0 ρj+ 12 = ρj , ∗ L si uj+ 1 < 0 ρj+ 1 = ρL j+1 , 2 ⎪ ⎩ si u∗ 2 = 0 indiff´ erent. j+ 1 2

La relation (5.38) est ´equivalente a` L ∗ L ∗ L = ΔxL Δxρn+1 j ρj − Δtuj+ 1 ρj+ 1 + Δtuj− 1 ρj− 1 j 2

2

2

2

(5.39)

Contrˆ ole du pas de temps Il est n´ecessaire de contrˆ oler le pas de temps pour garantir le non croisement du maillage. Une condition suffisante est   1 Δt max |u∗j+ 1 | ≤ . (5.40) 2 j Δx 2 Le facteur

1 2

vient de la configuration de la maille 6.

Conservativit´ e Par construction le sch´ema est conservatif. On a " " ⎧" Δxρn+1 = j∈Z ΔxL ρL = j∈Z Δxρnj , ⎪ j j j j∈Z ⎪" " " ⎨ L L n n Δxρn+1 un+1 = j∈Z ΔxL j ρj uj = " j∈Z Δxρj uj , j j " "j∈Z n+1 n+1 L L L n n Δxρj vj = j∈Z Δxj ρj vj = j∈Z Δxρj vj , ⎪ ⎪ " " ⎩ "j∈Z n+1 n+1 L L L n n Δxρ e = j j j∈Z j∈Z Δxj ρj ej = j∈Z Δxρj ej .

(5.41)

Ces relations sont vraies aux conditions au bord pr`es. 5.4.6 Synth` ese Pour programmer le sch´ema Lagrange+projection on peut se satisfaire des relations (5.35) et (5.38). La synth`ese consiste `a ´ecrire ces relations sous un forme compacte qui met en ´evidence la consistance au sens des diff´erences finies du sch´ema complet.

5.4 Sch´ema Lagrange+projection

183

Le sch´ema Lagrange+projection peut s’´ecrire sous forme compacte ⎧ ∗ u∗j+ 1 ρL ρL ⎪ 1 − u ρn+1 − ρnj ⎪ j− 12 j− 12 j 2 j+ 2 ⎪ ⎪ + = 0, ⎪ ⎪ Δx L ⎪ ⎪ n+1Δtn+1 ∗ L ∗ L L n n ⎪ uj+ 1 ρj+ 1 uj+ 1 − uj− 1 ρj− 1 uj− 1 ⎪ ρ j u j − ρj u j ⎪ 2 2 2 2 2 2 ⎪ + ⎪ ⎪ ⎪ Δt Δx ⎪ ⎪ p∗j+ 1 − p∗j− 1 ⎪ ⎪ 2 2 ⎨ = 0, + Δx (5.42) ∗ L L ∗ L L n+1 n+1 n n uj+ 1 ρj+ 1 vj+ 1 − uj− 1 ρj− 1 vj− 1 ⎪ v − ρ v ρ ⎪ j j j j 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪ + = 0, ⎪ ⎪ Δt Δx ∗ ⎪ ⎪ ∗ L L L L ⎪ uj+ 1 ρj+ 1 ej+ 1 − uj− 1 ρj− 1 ej− 1 ⎪ en+1 − ρnj enj ρn+1 j j ⎪ 2 2 2 2 2 2 ⎪ + ⎪ ⎪ ⎪ Δt Δx ⎪ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎪ pj+ 1 uj+ 1 − pj− 1 uj− 1 ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎩ = 0. + Δx

La premi`ere ´equation se retrouve grˆ ace `a (5.39) dans laquelle on ´elimine L n ρ = Δxρ . Pour retrouver les trois ´equations suivantes, on part de (5.39) ΔxL j j j que l’on ´ecrit successivement pour ρu, ρv et ρe. Par exemple pour la premi`ere composante de l’impulsion L L ∗ L L ∗ L L Δxρn+1 un+1 = ΔxL j ρj uj − Δtuj+ 1 ρj+ 1 uj+ 1 + Δtuj− 1 ρj− 1 uj− 1 . j j 2

2

2

2

2

2

La deuxi`eme ´equation du sch´ema lagrangien (5.35) se r´ecrit

1 L L L Δxj ρj uj − ρnj Δxunj + p∗j+ 1 − p∗j− 1 = 0. 2 2 Δt En combinant ces deux ´equations on trouve la deuxi`eme ´equation discr`ete de (5.42). De mˆeme pour les deux suivantes dont la structure est tr`es proche. La forme compacte (5.42) est a` l’´evidence conservative aux conditions aux bords pr`es. Cela permet de retrouver les relations (5.41). Une propri´et´e th´eorique qui distingue ce sch´ema du sch´ema de Roe est la suivante. Th´ eor` eme 5.1. Nous supposons v´erifi´ee la contrainte lagrangienne sur le pas de temps du lemme 45 et la contrainte g´eom´etrique (5.40) pour la phase de projection. Alors le sch´ema Lagrange+projection (5.42) est entropique L L u∗j+ 1 ρL − u∗j− 1 ρL 1S 1S ρn+1 Sjn+1 − ρnj Sjn j+ 12 j− 12 j 2 j+ 2 2 j− 2 + ≥ 0. Δt Δx

(5.43)

Cette in´egalit´e est la contrepartie discr`ete de l’in´egalit´e d’entropie ∂t ρS+ ∂x ρuS ≥ 0.

184

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

La preuve utilise le r´esultat entropique pour le sch´ema lagrangien (5.35) plus une in´egalit´e suppl´ementaire pour la phase de projection. On ´ecrit (5.38) sous la forme ⎧ n+1 L L ρj = αρL ⎪ j + βρj+ 1 + γρj− 1 , ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ n+1 n+1 L L L L L ⎨ ρj uj = αρL j uj + βρj+ 1 uj+ 1 + γρj− 1 uj− 1 , 2

2

2

2

L L L L L vjn+1 = αρL ρn+1 ⎪ j vj + βρj+ 1 vj+ 1 + γρj− 1 vj− 1 , j ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ρn+1 en+1 = αρL eL + βρL 1 eL 1 + γρL 1 eL 1 , j

j

j

j

j+ 2 j+ 2

j− 2 j− 2

les coefficients α, β et γ ´etant tels que α, β, γ ≥ 0, α + β + γ = 1 (γ n’a pas de rapport avec la constante des gaz parfaits polytropiques). L’´etat n+1 est ainsi une combinaison convexe des ´etats L. La fonction ρS ´etant concave en fonction L L L L L de ces quantit´es, on obtient ρn+1 Sjn+1 ≥ αρL j Sj + βρj+ 1 Sj+ 1 + γρj− 1 Sj− 1 j 2

ou encore grˆ ace `a SjL ≥ Sjn

2

2

n L n L n ρn+1 Sjn+1 ≥ αρL j Sj + βρj+ 1 Sj+ 1 + γρj− 1 Sj− 1 . j 2

2

2

2

(5.44)

2

En remultipliant par Δx on obtient L ∗ L L Sjn+1 ≥ Δxρnj Sjn − Δtu∗j+ 1 ρL Δxρn+1 j j+ 1 Sj+ 1 + Δtuj− 1 ρj− 1 Sj− 1 2

2

2

2

2

2

ce qui prouve le r´esultat attendu. Lemme 49 Une cons´equence de l’in´egalit´e (5.43) est

n n . , Sjn , Sj+1 Sjn+1 ≥ min Sj−1 L L C’est une cons´equence de (5.44) et de l’identit´e ρn+1 = αρL j + βρj+ 1 + γρj− 1 . j

Pour un gaz parfait S = log(ετ γ−1 ), γ > 1. Donc # $ ε0j εnj > 0. ≥ min j (ρnj )γ−1 (ρ0j )γ−1

2

2

Cette in´egalit´e exprime que le ratio de certaines quantit´es qui se doivent d’ˆetre strictement positives reste strictement positif. C’est presque un r´esultat de positivit´e de la masse volumique et de l’´energie interne. Les propri´et´es du sch´ema lagrange projet´e (on pense en particulier `a l’in´egalit´e d’entropie discr`ete) ont ´et´e ´etablies sans tenir compte explicitement de la loi de gaz parfait. On s’est uniquement servi des proprit´es de concavit´e de l’entropie thermodynamique. Cela justifie l’utilisation de ce sch´ema pour d’autres lois d’´etats pourvu qu’elles soient thermodynamiquement correctes. 5.4.7 Conditions au bord La question des conditions au bord pour un sch´ema lagrangien sera abord´ee dans un contexte plus g´en´eral en dimension deux d’espace a` la section

5.4 Sch´ema Lagrange+projection

185

7.6.4. Nous montrons cependant rapidement comment prendre en compte une condition dite de mur (ou de vitesse normale nulle en dimension sup´erieure par splitting directionnel). En dimension un d’espace cette condition s’´ecrit u = 0 sur le bord. Plusieurs approches sont possibles qui m`enent au mˆeme r´esultat. On privil´egie la compatibilit´e avec la condition d’entropie. Consid´erons une maille J situ´ee par exemple sur le bord droit du segment de calcul en dimension un d’espace (figure 5.10). Pour ˆetre compatible avec

Bord droit J +

J −1

J

1 2

Etat ext´erieur J + 1 uJ+ 1 = 0 2

Fig. 5.10. Condition au bord de mur en J +

1 2

la condition de mur il parait naturel d’imposer dans la phase lagrangienne     1 1 1 1 unJ + pnJ − −unJ+1 + pnJ+1 = 0. u∗J+ 1 = 2 2 ρc 2 ρc Il se trouve qu’il est possible de d´efinir un ´etat ext´erieur artificiel que nous noterons unJ+1 , pnJ+1 tel que la condition de mur discr`ete soit r´ealis´ee. En consid´erant le flux (5.34) nous devons prendre −unJ+1 +

1 n 1 p = unJ + pnJ ⇐⇒ pnJ+1 − ρcunJ+1 = pnJ + ρcunJ . ρc J+1 ρc

Par construction la condition de mur est r´ealis´ee. En reportant dans la deuxi`eme ´egalit´e de (5.34) cela procure une

valeur pour la pression au bord p∗J+ 1 = 12 (pnJ + ρcunJ ) + 12 pnJ+1 − ρcunJ+1 c’est `a dire 2

p∗J+ 1 = pnJ − ρcunJ . 2

Le flux pour l’´equation d’´energie ´etant le produit u∗J+ 1 p∗J+ 1 , il est nul. D’une 2 2 certaine mani`ere on a reconstitu´e dans la maille J + 1 un ´etat fictif. Cet ´etat

186

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

fictif se retrouve en sym´etrisant la vitesse unJ+1 = −unJ et en conservant la pression pnJ+1 = pnJ . La phase de projection ne pose pas de probl`eme car la vitesse de bord de maille ´etant nulle, u∗J+ 1 = 0, le d´eplacement du maillage (voir la figure 2 5.9) est nul a` cet endroit. Il suffit d’en tenir compte dans les formules finales (5.42). Cette proc´edure ` a l’avantage d’ˆetre entropique, car l’in´egalit´e du th´eor`eme 5.1 est toujours vraie avec une vitesse u∗j+ 1 = u∗J+ 1 = 0 nulle sur le bord droit. 2

2

5.4.8 R´ esultats num´ eriques Les propri´et´es principales sont la conservativit´e et l’in´egalit´

n e d’entropie n discr`ete. Tout d’abord il est clair que l’in´egalit´e Sjn+1 ≥ min Sj−1 , Sjn , Sj+1 ´elimine la pathologie du sch´ema de Roe sans correcteur entropique, telle qu’elle est visible `a la figure 5.7. Pour les mˆemes donn´ees initiales qu’` a la section 5.3.3, les r´esultats sont pr´esent´es `a la figure 5.11 pour une vitesse initiale nulle uG = uD = 0, et `a la figure 5.12 pour une vitesse initiale non nulle uG = uD = 1.

1

1 ’sod.ro’

’sod.p’

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

1

0.7 ’sod.u’

’sod.s’

0.9 0.6 0.8 0.5

0.7 0.6

0.4 0.5 0.3 0.4 0.3

0.2

0.2 0.1 0.1 0

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 5.11. Cas test de Sod. Sch´ema de Lagrange+projection. 200 mailles. Temps final t = 0.14

5.5 Sch´ema ALE en dimension un 1

187

1 ’sod.ro’

’sod.p’

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

2

0.7 ’sod.u’

’sod.s’

1.9 0.6 1.8 1.7

0.5

1.6 0.4

1.5 1.4

0.3

1.3 0.2

1.2 1.1

0.1 1 0.9

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

u

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 5.12. Cas test de Sod modifi´e avec une vitesse initiale de u = 1. Sch´ema de Lagrange+projection. 200 mailles, t = 0.14. L’invariance galil´eenne est respect´ee. Le point sonique n’est pas pathologique

5.5 Sch´ ema ALE en dimension un La d´enomination Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) d´esigne un sch´ema dont la vitesse de grille n’est a priori ni nulle (donc non eul´erienne) ni ´egale a` la vitesse du fluide (donc non lagrangienne). C’est un cas interm´ediaire qui pr´esente surtout un int´er´et pratique en dimension sup´erieure `a un. Nous consid´erons ici uniquement le cas monodimensionnel et montrons comment d´eriver et analyser un tel sch´ema. Cela donne des indications pour le cas multidimensionnel. Tout d’abord nous reprenons l’analyse faite a` la section 2.3.2. On part du syst`eme de la dynamique des gaz en coordonn´ees d’Euler ⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p = 0, ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = 0. Soit le changement de coordonn´ees t = t,

∂x(t , X) = v(t , x(t , X)) ∂t

Ici (t, x) → v(t, x) est une vitesse de grille arbitraire que nous ajusterons plus loin. Appliquons les formules de changements de coordonn´ees. La matrice Jacobienne de la transformation est

188

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

 ∇(t ,X) (t, x) =

10 vJ

 ,

J=



La matrice des cofacteurs est cof ∇(t ,X) (t, x) =



∂x . ∂X  J −v . L’´equation (2.18) 0 1

s’´ecrit sous forme ´etendue ⎧ ⎨ ∂t (ρJ) + ∂X ((ρ(u − v)) = 0, ∂t (ρuJ) + ∂X ((ρu(u − v) + p) = 0, ⎩  ∂t (ρeJ) + ∂X ((ρe(u − v) + pu) = 0. L’identit´e de Piola (2.19) s’´ecrit ∂t J − ∂X v = 0. Posons t = t. On obtient le syst`eme ferm´e ⎧ ∂t (ρJ) + ∂X ((ρ(u − v)) = 0, ⎪ ⎪ ⎨  ∂t (ρuJ) + ∂X ((ρu(u − v) + p) = 0, ∂ ⎪ t (ρeJ) + ∂X ((ρe(u − v) + pu) = 0, ⎪ ⎩ ∂t J − ∂X v = 0, que nous r´ecrivons en s´eparant les flux en deux contributions ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ρJ 0 ρ(u − v) ⎜J ⎟ ⎜ −u ⎟ ⎜u − v ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ∂t ⎜ ⎝ ρuJ ⎠ + ∂X ⎝ p ⎠ + ∂X ⎝ ρu(u − v) ⎠ = 0. ρeJ pu ρe(u − v)

(5.45)

Sous cette forme le flux total est la somme d’un premier flux de type lagrangien et d’un deuxi`eme flux de type convection `a la vitesse u−v. On peut distinguer trois cas. Premier cas : v = 0. On retrouve bien sˆ ur le syst`eme eul´erien initial. On peut ´eliminer la deuxi`eme ´equation de (5.45) qui n’apporte rien. Deuxi`eme cas : v = u. On retrouve le syst`eme lagrangien pour la dynamique des gaz compressible. On peut ´eliminer la premi`ere ´equation de (5.45) et passer en variable de masse. Troisi`eme cas : v = 0 et v = u. C’est la situation de type ALE. 5.5.1 Discr´ etisation num´ erique Pour discr´etiser le syst`eme (5.45) on peut utiliser une technique de splitting. C’est a` dire que l’on discr´etise tout d’abord ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ρJ 0 ⎜J ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ + ∂X ⎜ −u ⎟ = 0 ∂t ⎜ (5.46) ⎝ ρuJ ⎠ ⎝p ⎠ ρeJ pu pendant le pas de temps Δt. Puis on discr´etise

5.5 Sch´ema ALE en dimension un

⎛

⎞

⎛

189

⎞

ρJ ρ(u − v) ⎜J ⎟ ⎜u − v ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ∂t ⎜ ⎝ ρuJ ⎠ + ∂X ⎝ ρu(u − v) ⎠ = 0 ρeJ ρe(u − v)

(5.47)

pendant le mˆeme pas de temps. Puis nous v´erifierons que l’on peut r´ecrire le sch´ema final sur la grille mobile. 5.5.2 Discr´ etisation de (5.46) La grille initiale est constitu´ee des points Xj+ 12 pour tout j ∈ Z : ΔXj = Xj+ 12 − Xj− 12 . Par analogie avec (5.28) et (5.30) on peut reprendre le sch´ema lagrangien (5.34) et (5.35) et d’adapter les notations. On d´efinit les flux lagrangiens ' ∗ 1 (pnj − pnj+1 ) uj+ 1 = 12 (unj + unj+1 ) + 2ρc 2 (5.48) n n p∗j+ 1 = 12 (pnj + pnj+1 ) + ρc 2 (uj − uj+1 ). 2

Le sch´ema est ⎧ n+ 1 n+ 1 ⎪ ρj 2  Jj 2 − ρnj Jjn = 0,  ⎪  ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ΔXj Jjn+ 2 − Jjn − Δt u∗ 1 − u∗ 1 = 0, j+ 2  j− 2    n+ 12 n+ 12 n+ 12 n n n ∗ ∗ ⎪ ρ + Δt p = 0, J u − ρ J u ΔX 1 − p 1 ⎪ j j j j j j j j− 2 ⎪    j+ 2 ⎪ ⎪ ⎩ ΔX ρn+ 12 J n+ 12 en+ 12 − ρn J n en + Δt p∗ u∗ − p∗ u∗ j

j

j

j

j

j

j+ 12

j

j+ 12

j− 12

j− 12

 = 0. (5.49)

5.5.3 Discr´ etisation de (5.47) Posons pour simplifier les notations n ∗ n wj+ 1 = u j+ 1 − vj+ 1 2

2

2

u∗j+ 1 2

n ´etant entendu que est ´evalu´e au pas de temps n et que vj+ 1 est la vitesse 2 du point de grille. Une discr´etisation de (5.47) en respectant le signe du champ de vitesse w = u − v permet d’aboutir au sch´ema     ⎧ n+ 12 n+ 12 n+ 12 n n+ 12 n n+1 n+1 ⎪ ΔX ρ + Δt ρ = 0, J − ρ J w − ρ w ⎪ 1 1 1 j j j j+ 2 ⎪ j+  j− 12 j− 2 2 ⎪  j j  1 ⎪ n+ ⎪ n n ⎪ = 0, ΔXj Jjn+1 − Jj 2 + Δt wj+ ⎪ 1 − w ⎪ j−12 2 ⎪  1 1 1 ⎪ n+ n+ n+ ⎪ n+1 n+1 n+1 2 2 2 ⎨ ΔXj ρ Jj uj − ρj Jj uj j   1 1 n+ n+ n+ 12 n+ 12 n n 2 2 ⎪ = 0, u w − ρ u w +Δt ρ ⎪ 1 1 1 1 1 1 ⎪ j+ 2 j+ 2 j+ 2 j− 2  j− 2 j− 2 ⎪  ⎪ 1 1 1 ⎪ n+ n+ n+ n+1 n+1 n+1 ⎪ ⎪ ΔXj ρj Jj ej − ρj 2 Jj 2 ej 2 ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ n+ 1 n+ 1 n n+ 12 n+ 12 n ⎩ = 0. +Δt ρj+ 12 ej+ 12 wj+ 1 − ρ 1 e 1 wj− 1 j− j− 2

n+ 1

2

n+ 12

Par convention : fj+ 12 = fj 2

2

2

2

2

n+ 1

n+ 1

(5.50)

n n 2 pour wj+ = fj+12 pour wj+ 1 ≥ 0; f 1 < 0. j+ 1 2

2

2

190

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

5.5.4 R´ e´ ecriture sur la grille mobile Pour la premi`ere phase du sch´ema le d´eplacement ´equivalent du maillage est

n+ 1

xj+ 12 = xnj+ 1 + Δtu∗j+ 1 . 2

2

(5.51)

2

Pour la deuxi`eme phase le d´eplacement ´equivalent du maillage est   1 n ∗ 2 = xj+ vj+ xn+1 1 − u 1 + Δt j+ 1 . j+ 1 2

2

2

2

(5.52)

La vitesse de grille dans la phase de projection est donn´ee en tout point j + 12 n par la diff´erence du flux u∗j+ 1 et de la vitesse totale de grille vj+ 1 2

2

n xn+1 = xnj+ 1 + Δtvj+ 1. j+ 1 2

2

(5.53)

2

La condition initiale est x0j+ 1 = Xj+ 12 . Posons Δxnj = xnj+ 1 −xnj− 1 . On v´erifie 2 2 2 que par construction la variation de ΔXj Jjn est ´egale a` la variation de Δxnj . D’o` u Δxnj Jjn = . (5.54) ΔXj Nous d´efinissons la masse dans la maille j ΔMjn = Δxnj ρnj . On peut alors r´ecrire la premi`ere phase (5.49) du sch´ema sous la forme ⎧ ΔMjn n+ 1 ⎪ (τj 2 − τjn ) − u∗j+ 1 + u∗j− 1 = 0, ⎪ ⎪ Δt 2 2 ⎨ ΔMjn n+ 12 n ∗ ∗ (u − u ) + p − p = 0, 1 1 j j Δt j+ 2 j− 2 ⎪ n ⎪ 1 ΔM n+ ⎪ j n ∗ ∗ 2 ⎩ − ej ) + pj+ 1 uj+ 1 − p∗j− 1 u∗j− 1 = 0, Δt (ej 2

2

2

2

dans laquelle nous retrouvons le sch´ema lagrangien (5.35). On en d´eduit imm´ediatement que la condition CFL est pour cette phase # $ cnj max Δt ≤ CF L < 1. (5.55) j Δxnj A condition que le param`etre de Courant CF L soit suffisamment petit on obtient l’in´egalit´e d’entropie n+ 12

Sj

≥ Sjn .

(5.56) n+ 1

Apr`es cette phase lagrangienne, le sch´ema est donn´e par (5.50). Notons Δxj 2 la taille de la maille j en fin de phase lagrangienne. Analysons la premi`ere ´equation de (5.50)   n+ 1 n+ 1 n+ 1 n n+ 12 n Δxn+1 = 0. ρn+1 − Δxj 2 ρj 2 + Δt ρj+ 12 wj+ w 1 − ρ j j j− 1 j− 1 2

2

2

2

5.5 Sch´ema ALE en dimension un

191

n n Supposons pour simplifier que wj+ ≥ 0. La compatibilit´e de la 1 ≥ 0 et w j− 1

d´efinition des flux

n+ 1 ρj+ 12 2

2

n+ 1 ρj− 12 2

et

n+ 1

fait que n+ 12

ρj+ 12 = ρj 2

D’o` u

2

n+ 1

n+ 1

et ρj− 12 = ρj−12 . 2

  n+ 12 n+ 1 n+ 12 n+1 n n ρj 2 + Δtwj− ρ = Δx − Δtw Δxn+1 1 1 ρj−1 . j j j j+ 2

2

(5.57)

Comme toutes les ´equations de (5.50) ont la mˆeme structure on obtient en particulier pour la deuxi`eme ´equation   n+ 1 n n + Δtwj− = Δxj 2 − Δtwj+ Δxn+1 1 1 j 2

n+ 12

⇒ Δxj

2

n+1 n n − Δtwj+ − Δtwj− 1 = Δxj 1. 2

2

En reportant dans (5.57) on a   n+ 1 n+ 12 n n ρj 2 + Δtwj− ρn+1 = Δxn+1 − Δtwj− Δxn+1 1 1 ρj−1 . j j j 2

2

(5.58)

Il suffit alors de comparer cette ´equation a` la d´efinition g´eom´etrique de la phase de projection (5.37) pour les mailles 3,4 et 5 qui pr´esentent la mˆeme n configuration de vitesse d’interface positive : u∗j+ 1 ≥ 0 est devenu wj+ 1 ≥ 0. 2 2 Hormis cette diff´erence qui tient uniquement a` la d´efinition de la vitesse de grille et au fait que la taille de la maille est maintenant variable, la situation n g´en´erale est absolument identique. Les autres cas pour des vitesses wj+ 1 ≤ 0 2 se traitent identiquement. Cela montre Lemme 50 Le sch´ema (5.50) est ´equivalent a ` une projection g´eom´etrique sur le maillage de la figure 5.13. La condition de stabilit´e devient   1 Δt ∗ max |wj+ ≤ . | 1 2 j Δx 2 Le facteur

1 2

(5.59)

pr´evient contre les croisements de maille.

Pour le sch´ema ALE on a le r´esultat qui g´en´eralise le th´eor`eme 5.1. Th´ eor` eme 5.2. Nous supposons v´erifi´ees les deux contrainte sur le pas de temps (5.55) et (5.59). Alors le sch´ema ALE (5.49-5.50) est entropique Δxn+1 ρn+1 Sjn+1 − Δxnj ρnj Sjn (5.60) j j   n+ 12 n+ 12 n+ 12 n+ 12 ∗ ∗ ≥ 0. S − wj− S +Δt wj+ 1ρ 1ρ j+ 1 j+ 1 j− 1 j− 1 2

2

2

2

2

2

192

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

n+1 w = v − u∗ n+

1 2

u∗ n Fig. 5.13. La vitesse de grille est u∗j+ 1 pour toute maille j dans la phase lagran2 n n ∗ gienne. Elle vaut wj+ 1 = vj+ 1 − uj+ 1 dans la phase de projection. 2

2

2

5.5.5 R´ esultat num´ erique Les r´esultats num´eriques ont ´et´e calcul´es avec trois d´eterminations de la vitesse de grille. Les r´esultats sont globalement tr`es proches. On notera cependant que le sch´ema lagrangien avec d´eplacement `a la vitesse du fluide ne pr´esente aucune dissipation `a l’interface. L’avantage est que la discontinuit´e en 1

1 ’sod.p’

’sod.rho’ 0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

1

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

1

0.8 ’sod.u’

’sod.S’

0.9

0.7

0.8

0.6

0.7 0.5 0.6 0.4 0.5 0.3 0.4 0.2 0.3 0.1

0.2

0

0.1 0

-0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 5.14. Cas test de Sod. Sch´ema Lagrangien sans projection. 200 mailles. Temps final t = 0.14. On peut noter la compression du maillage derri`ere le choc et le wall-heating ` a la discontinuit´e de contact.

densit´e est respect´ee. L’inconv´enient est que les d´efauts num´eriques localis´es a l’interface ne sont pas liss´es par la phase de projection. C’est aussi visible `

5.6 Un r´esultat num´erique en dimension deux d’espace

193

sur le profil de densit´e. Dans tous les cas les profils de vitesse et pression sont monotones. La figure 5.14 d´ecrit le cas lagrangien vj+ 12 = u∗j+ 1 . La figure 5.11 2 d´ej`a vue d´ecrit le cas eul´erien sous la forme du sch´ema Lagrange+projection vj+ 12 = 0. Et finalement figure 5.15 d´ecrit le cas interm´ediaire ALE avec une vitesse de grille arbitraire vj+ 12 = 0.5 ∗ sin(4πx) ∗ sin(2πt).

1.1

1.1 ’sod.p’

’sod.rho’ 1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2 0.1

0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

1

0.7 ’sod.u’

’sod.S’

0.9 0.6 0.8 0.5

0.7 0.6

0.4

0.5 0.3 0.4 0.2

0.3 0.2

0.1

0.1 0 0 -0.1

-0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 5.15. Cas test de Sod. Sch´ema ALE (Lagrange plus projection sur une grille mobile). 200 mailles. Temps final t = 0.14.

5.6 Un r´ esultat num´ erique en dimension deux d’espace On pr´esente un r´esultat num´erique pour un probl`eme de Sod en dimension deux d’espace, calcul´e avec le sch´ema Lagrange+projection et avec splitting directionnel. On notera que l’in´egalit´e entropique discr`ete est encore vraie mˆeme en dimension deux (ou plus). La donn´ e initiale est celle du tube a` choc de Sod (5.26) de part et d’autre  de la ligne x2 + y 2 = 0, 5. Le ph´enom`ene de lissage de la discontinuit´e de contact particuli`erement ´evident pour la masse volumique ρ.

194

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

Densite 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vitesse 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

√ Fig. 5.16. Masse volumique ρ et vitesse u2 + v 2 ` a T = 0.2. On comparera avec le r´esultat de la figure 7.17 calcul´e en Lagrangien

5.7 Exercices Exercice 34 Montrer que l’air se comprime d’au plus un facteur 6 sous choc plan. Exercice 35 Soit une colonne d’air homog`ene initialement au repos qui si d´etend dans la vide. Montrer que la vitesse de la tˆete de d´etente est 5c0 o` u c0 est la vitesse de son dans l’air a` t = 0.

5.7 Exercices

195

Pression 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Entropie 0.6 0.4 0.2

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig. 5.17. Pression p et entropie S ` a T = 0.2

Exercice 36 • Montrer que A = ∇U f (U ) est homog`ene de degr´e z´ero en U pour le syst`eme de la dynamique des gaz avec une loi de gaz parfait. En d´eduire que (∂x A)U = 0. A quoi ressemblerait le flux du sch´ema de Roe si on n´egligeait le terme (∂x A)U dans la construction ? Ce type de sch´ema porte le nom de sch´ema de flux. Exercice 37 Cet exercice est une version simplifi´ee du lemme 45. Soit le sch´ema lagrangien semi-discret (c’est `a dire continu en temps)

196

5 Le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles

⎧  ∗ ∗ ⎪ ⎨ Mj τj (t) − uj+ 12 + uj− 12 = 0,  ∗ Mj uj (t) + pj+ 1 − p∗j− 1 = 0, ⎪ ⎩ M e (t) + p∗ 12 u∗ 1 −2 p∗ 1 u∗ 1 = 0. j j j+ j+ j− j− 2

2

2

2

Le flux est d´efini par les formules (5.48) que l’on r´ecrit sous la forme ⎧   ⎨ p∗ 1 − pj + (ρc) 1 u∗ 1 − uj = 0, j+ 2 j+ 2 j+ 2  ⎩ p∗ 1 − pj+1 − (ρc) 1 u∗ 1 − uj+1 = 0. j+ j+ j+ 2

2

2

V´erifier que cette ´ecriture est correcte. Montrer la relation       Mj Tj Sj (t) = − p∗j+ 1 − pj u∗j+ 1 − uj + p∗j− 1 − pj u∗j− 1 − uj . 2

2

2

2

En d´eduire que le sch´ema est entropique Sj (t) ≥ 0. Exercice 38 Reprendre les estimations du lemme 45 avec cnj+ 1 variable en espace et en 2 temps. Montrer que les divers r´esultats sont pr´eserv´es. Exercice 39 •• ´ Enoncer puis d´emontrer le th´eor`eme 3.4 de Lax-Wendroff pour un sch´ema num´erique pour un syst`eme. Indication : on supposera de plus que ||UΔx ||L∞ ≤ C uniform´ement en Δx. Exercice 40 • On reprend l’exercice pr´ec´edent. Supposons que la solution num´erique du sch´ema Lagrange+projection converge raisonnablement vers une limite pour Δx → 0. Montrer que la limite est une solution faible entropique pour la dynamique des gaz. Exercice 41 ´ Ecrire et ´etudier le sch´ema Lagrange+projection pour le syst`eme de StVenant. Exercice 42 ´ Ecrire et ´etudier un sch´ema ALE pour le mod`ele LWR.

5.8 Notes bibliographiques

197

5.8 Notes bibliographiques Le sch´ema de Roe est issu de [R81]. De nombreuses modifications existent, voir [T97, L92, GR96]. La partie lagrangienne du sch´ema Lagrange projet´e a ´et´e construite et reconstruite maintes fois `a partir d’approche tr`es diverses. Le solveur dans la phase Lagrange prend aussi le nom de solveur acoustique, voir [GZIKP79, M94]. Un lien entre les m´ethodes eul´eriennes et lagrangiennes est fait dans [G03]. On consultera aussi les ouvrages [AG01] et [EGH00] pour deux points de vue compl´ementaires sur les m´ethodes de r´esolution pour les probl`emes non lin´eaires issus de la m´ecanique des fluides. Nous renvoyons aux travaux de [H06] pour une d´efinition de certains m´ethodes optimales de d´efinition d’une grille mobile ALE.

6 Solveurs lagrangiens ` a un ´ etat et ` a deux ´ etats

Dasn cette section nous analysons en d´etail deux solveurs pour les syst`emes lagrangiens (4.81) en dimension un d’espace   MΨ = 0. (6.1) ∂t U + ∂m − 21 (Ψ, M Ψ ) En variable lagrangienne un tel syst`eme partage une structure commune avec le syst`eme de la dynamique des gaz lagrangien. Cela permet de g´en´eraliser imm´ediatement le sch´ema num´erique (5.38). La phase de projection (5.42) ne posant pas de probl`eme particulier, on se concentrera dans ce chapitre uniquement sur la discr´etisation du syst`eme lagrangien (6.1). Le mode de constrution se fera en partant de la solution du probl`eme de Riemann lin´earis´e, ce qui est un des modes principaux de construction de solveurs num´eriques pour les syst`emes de lois de conservation. Nous verrons ´etudierons deux fa¸cons l´eg`erement diff´erentes pour construire la solution du probl`eme Riemann lin´earis´e ce qui donnera lieu a` deux solveurs diff´erents. Etant donn´e un ´etat droit D et un ´etat gauche G, le premier solveur appliqu´e `a la dynamique des gaz s’´ecrit ⎧ ρ ∗ c∗ pG + pD ⎪ ∗ ⎪ + (uG − uD ), ⎨p = 2 2 (6.2) 1 uG + uD ⎪ ⎪ + ∗ ∗ (pG − pD ), ⎩ u∗ = 2 2ρ c o` u ρ∗ c∗ est une approximation locale de l’imp´edance acoustique, par exemple ρ ∗ c∗ =

1 (ρG cG + ρD cD ) . 2

On retrouvera alors le solveur (5.34) que nous appellerons solveur a` un ´etat. Le deuxi`eme solveur prend explicitement en compte les deux ´etats diff´erents pour la construction du probl`eme de Riemann lin´earis´e pour le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles. Il s’´ecrit B. Despr´ es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 6, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 

199

200

6 Solveurs lagrangiens ` a un ´etat et ` a deux ´etats

⎧ ρ D cD p G + ρG cG p D ρG c G ρ D c D ⎪ + (uG − uD ), ⎨ p∗ = ρ G cG + ρD cD ρ G cG + ρD cD ρ c u + ρD cD u D 1 ⎪ ⎩ u∗ = G G G + (pG − pD ). ρ G cG + ρD cD ρ G cG + ρD cD

(6.3)

Pour la dynamique des gaz compressibles, ce solveur dit aussi solveur acoustique est identique a` un solveur de Godounov lin´earis´e [GZIKP79]. Nous l’appellerons aussi solveur `a deux ´etats pour des raisons ´evidentes. Nous montrerons que le solveur (6.3) est pr´ef´erable car sa condition CFL est moins restrictive dans le cas o` u les imp´edances acoustiques ρG cG et ρD cD sont tr`es diff´erentes. On a mieux : la condition CFL du solveur (6.3) est moins restrictive que la condition CFL de tout solveur qui peut se construire a partir de la r´esolution approch´ee du probl`eme de Riemann. Donc pour ce ` crit`ere, les formules (6.3) sont optimales dans une classe tr`es large de m´ethodes num´eriques. On peut se demander si cela a une influence sur la pr´ecision de la solution num´erique. La pratique tend a` montrer que la solution num´erique calcul´ee avec 6.3) est plus pr´ecise que la solution num´erique calcul´ee avec 6.2). La situation est la mˆeme dans le cas g´en´eral. Nous montrerons que le solveur `a deux ´etats est toujours optimal pour des consid´erations de pas de temps. Cela constituera le r´esultat th´eorique central de ce chapitre. Nous aurons alors fait le lien entre la solution du probl`eme de Riemann lin´earis´e pour le syst`eme (6.1) et la construction de m´ethodes num´eriques qui v´erifient par construction une in´egalit´e d’entropie discr`ete.

6.1 Solution du probl` eme de Riemann lin´ earis´ e Pour les syst`emes lagrangiens (6.1) on peut calculer assez facilement une solution approch´ee du probl`eme de Riemann entre un ´etat gauche UG et un ´etat droit UD . De mani`ere sch´ematique le flux de la solution du probl`eme de Riemann lin´earis´e est repr´esent´ee dans la figure 6.1. La solution du probl`eme de Riemann est constitu´ee d’un nombre fini d’ondes de type d´etente ou discontinuit´es qui partent vers la droite, d’un nombre fini d’ondes de type d´etente ou discontinuit´es qui partent vers la gauche, et d’une discontinuit´e de contact stationnaire (associ´ee `a la valeur propre nulle en coordonn´ees de Lagrange). Sur la figure 6.1 nous n’avons repr´esent´e que trois types d’ondes a` gauche et a droite. ` A la discontinuit´e de contact stationnaire (σ = 0) nous avons l’´equation   M ΨD − M ΨG = 0. − 12 (ΨD , M ΨD ) + 12 (ΨG , M ΨG ) Il s’ensuit que M Ψ est continu de part et d’autre de la discontinuit´e de contact stationnaire. Nous notons (M Ψ )∗ cette valeur. Notons que Ψ n’est pas n´ecessairement continu de part et d’autre de la discontinuit´e de contact sauf si M est inversible.

6.1 Solution du probl`eme de Riemann lin´earis´e

201

Etat interm´ediaire (MΨ )∗ t

UG

UD m

Fig. 6.1. Sch´ema de principe de la solution du probl`eme de Riemann pour un syst`eme lagrangien

Dans ce qui suit, nous lin´earisons les ´equations (6.1) pour trouver une valeur approch´ee pour (M Ψ )∗ . Ces ´equations lin´earis´ees sont −D∂t Ψ + M ∂m Ψ = 0,

D m´etrique de l’enthalpie

(6.4)

ainsi que ∂t S = 0. 6.1.1 Solution ` a un ´ etat interm´ ediaire Dans (6.4) la matrice M est fixe, seule D d´epend des inconnues. On commence par figer D en un ´etat interm´ediaire D∗ entre les valeurs gauche et droite. La d´etermination pr´ecise de cet ´etat interm´ediaire importe peu en premi`ere approche. Par exemple D∗ =

1 ∗ t (Da gauche + D` a droite ) = (D ) > 0 2 `

convient. Le syst`eme lin´earis´e que nous consid´erons est −D∗ ∂t Ψ + M ∂m Ψ = 0.

(6.5)

A pr´esent les deux matrices du syst`eme sont fixes ce qui permet une r´esolution exacte. Soient (−λ∗i , ri∗ ) les couples valeur propre-vecteur propre de M dans la m´etrique de l’enthalpie D∗ pour cette d´etermination particuli`ere M ri∗ = −λ∗i D∗ ri∗ . Les (ri∗ ) forment une base orthogonale dans la m´etrique D∗ : (ri∗ , D∗ rj ) = δij . Effectuons le produit scalaire de (6.5) contre un vecteur propre λ∗i ri∗ pour une valeur propre non nulle λ∗i = 0. On a

202

6 Solveurs lagrangiens ` a un ´etat et ` a deux ´etats

−λ∗i (ri∗ , D∗ ∂t Ψ ) + λ∗i (ri∗ , M ∂m Ψ ) = 0 soit

∂t (ri∗ , M ∂x Ψ ) + λ∗i ∂t (ri∗ , M ∂m Ψ ) = 0.

La solution est ⎧ ⎨ si λ∗i > 0, (ri∗ , M Ψ ) se d´eplace vers la droite, si λ∗i < 0, (ri∗ , M Ψ ) se d´eplace vers la gauche, ⎩ si λ∗i = 0, (ri∗ , M Ψ ) = 0 (´evident). Nous obtenons une premi`ere solution (M Ψ )∗ du probl`eme de Riemann lin´earis´e. Cette premi`ere solution est obtenue comme solution d’un syst`eme lin´eaire inversible ⎧ ∗ ⎨ (ri , (M Ψ )∗ ) = (ri∗ , M ΨG ) pour λ∗i > 0, (r∗ , (M Ψ )∗ ) = (ri∗ , M ΨD ) pour λ∗i < 0, (6.6) ⎩ i∗ (ri , (M Ψ )∗ ) = 0 pour λ∗i = 0. Compte tenu de l’orthonormalit´e des vecteurs propres, (ri∗ , D∗ rj ) = δij , la solution est   (M Ψ )∗ = (ri∗ , M ΨG )D∗ ri∗ + (ri∗ , M ΨD )D∗ ri∗ . (6.7) λ∗ i >0

λ∗ i 0,

des vecteurs propres du probl`eme `a droite pour les valeurs propres strictement n´egatives D D M riD = −λD λD s∗i = riD : i D ri , i < 0, et des vecteurs propres associ´es `a la valeur propre nulle s∗i = ri ∗ :

M ri∗ = 0.

Le nombre des vecteurs de cette famille est bien ´egal a` la taille des syst`emes matriciels consid´er´es (soit n − 1 avec nos notations), car le nombre de valeurs propres positives, n´egatives ou nulles du probl`eme aux valeurs propres M r = −λDr ne d´epend pas de la matrice D = Dt > 0. 1

Cette solution est en quelque sorte compatible avec la solution du probl`eme de Riemann o` u on a gel´e la matrice D ` a gauche et a ` droite −D∗ (x)∂t Ψ + M ∂x Ψ = 0,

D∗ (x) = DG x < 0,

D∗ (x) = DD x > 0.

Cependant il faut noter que cette ´equation est une ´equation ` a coefficients discontinus, pour laquelle la d´etermination d’une solution exacte est un point d´elicat que nous ne d´esirons pas aborder. C’est la raison pour laquelle on privil´egie une extension directe des formules (6.6) sous la forme (6.9).

204

6 Solveurs lagrangiens ` a un ´etat et ` a deux ´etats

Une deuxi`eme solution approch´ee possible pour le probl`eme de Riemann lin´earis´e est donn´ee par ⎧ G ⎨ (ri , (M Ψ )∗ ) = (riG , M ΨG ) pour λG i > 0, (riD , (M Ψ )∗ ) = (riD , M ΨD ) pour λD (6.9) i < 0, ⎩ ∗ (ri , (M Ψ )∗ ) = 0 pour M ri∗ = 0.

Par rapport a` (6.6) on a d´ecentr´e les vecteurs propres. Le syst`eme (6.9) est un syst`eme lin´eaire de n − 1 ´equations ` a n − 1 inconnues, dont la solution existe et est unique si et seulement si ce syst`eme la famille (s∗i ) est libre. Lemme 51 La famille de vecteurs (s∗i ) est libre. Soit une combinaison lin´eaire nulle de ces vecteurs     0= αi s∗i = αi riG + αi riD + αi ri∗ . i

λG i >0

(6.10)

Mri∗ =0

λD i 0 αi ri + Mri∗ =0 αi ri ou z = i " − λD 0

⎛

(z, M z) = ⎝

αi ri∗ , M ⎝

Mri∗ =0

λG i >0

⎛

⎛



 λD i 0

⎛ αi riD , M ⎝

 λD i 0







2 λG i |αi | = 0.

λG i >0

⎞⎞ αi riD ⎠⎠ = −



2 λD i |αi | ≥ 0.

λD i 0 λG λD i |αi | = − i |αi | . De plus αi = 0 λD i i 0. Alors !2  

 α  !! k sj U j − U ∗ ! ≤ sj −S Uj0 + S (U ∗ ) . 2 j j

(7.14)

La preuve ´evidente est laiss´ee au lecteur.

7.4 Dynamique des gaz en g´ eom´ etrie cylindrique ou sph´ erique Partons du syst`eme de la dynamique des gaz en dimension trois d’espace. Nous faisons l’hypoth`ese d’un ´ecoulement cylindrique (figure 7.1) ou sph´erique (figure 7.2). Le syst`eme de la dynamique de gaz selon le rayon r > 0 est

z

r

Fig. 7.1. Coordonn´ees cylindrique : invariance par rotation autour d’un axe

⎧ ⎨ ∂t (rd ρ) + ∂r (r d ρu) = 0,

∂t (rd ρu) + ∂r rd ρu2 + rd p = drd−1 p, ⎩ ∂t (rd ρe) + ∂r (rd ρue + rd pu) = 0.

(7.15)

On prend d = 1 pour le syst`eme en coordonn´ees cylindrique et d = 2 pour le syst`eme en coordonn´ees sph´erique. Le param`etre d repr´esente par commodit´e

7.4 Dynamique des gaz en g´eom´etrie cylindrique ou sph´erique

227

r

Fig. 7.2. Coordonn´ees sph´erique : invariance par rotation autour d’un point

la dimension du probl`eme initial et est diff´erent de la d´efinition 34. La vitesse u est la vitesse radiale. C’est la raison du terme non conservatif au second d membre. Le cas de la coordonn´ee plane est couvert par d = 0. Soit dt = ∂t + u∂r la d´eriv´ee mat´erielle. Le syst`eme (7.15) se r´ecrit ⎧ d d d ⎨ r ρ dt τ − ∂r (r du) = 0, d−1 d d (7.16) p, r ρ u + ∂r r p = dr ⎩ d dt d e + ∂r (rd pu) = 0. r ρ dt D´efinissons le changement de coordonn´ees Euler-Lagrange ∂t|R r(t, R) = u(t, r(t, R)),

r(0, R) = R.

Le rayon au temps initial est R. Soit la coordonn´ee de masse dm = rd ρdr = Rd ρ0 dR. Le syst`eme (7.15) ou (7.16) s’´ecrit aussi ⎧ d ⎨ ∂t τ − ∂m (r du) = 0,d ∂t u + ∂m r p = ρr p, ⎩ ∂t e + ∂r (rd pu) = 0. D´efinissons

d M0 = ρr



00 10



 et M1 = r

d

(7.17)

01 10

 .

Alors le syst`eme en coordonn´ee de Lagrange (7.17) est de la forme (7.1) (avec Ψ = (p, −u)t ) car la relation de compatibilit´e (7.2) a lieu (dm = ρrd dr) ∂ M1 = M0 + M0t . ∂m Le syst`eme en coordonn´ee de Lagrange (7.17) est un syst`eme lagrangien vraiment multidimensionnel.

228

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Pour la discr´etisation on consid`ere le maillage donn´e au d´ebut du pas de k k temps k par Ωj =]rj− [. La masse de la maille est 1,r j+ 1 2

 Δmj = ρkj

2

 k rj+ 1

2

rk

rd dr = ρkj

k rj+ 1

d+1

2

d+1  k − rj− 1 2

d+1

j− 1 2

.

Assez naturellement nous approchons la matrice M1 par la matrice d  0 1   k k . Nj+ 1 = rj+ 1 2 2 10 La relation de compatibilit´e (7.6) s’´ecrit k k Nj+ 1 − N j− 1 2

2

Δmj

 k    d 01 = ρr j 1 0

avec par d´efinition d  d  k k k  r − r  1 1 d j+ 2 j− 2 = . ρr j Δmj Au final un sch´ema lagrangien possible est ⎧ d d   k+1 ⎪ j k k ∗ k ⎪ Δm (τ − τ ) − r u + r u∗j− 1 = 0, 1 1 1 ⎪ j j Δt j+ 2 j+ 2 j− 2 ⎪ 2 ⎪     ⎪ Δm d d ⎪ ⎪ k k ∗ k ∗ ⎨ Δtj (uk+1 − u ) + r p − r p 1 1 1 1 j j j+ 2 j+ 2 j− 2  j− 2 d  d ⎪ k k ⎪ pk+1 = r − r ⎪ j j+ 12 j− 12 ⎪ ⎪ ⎪     ⎪ d d ⎪ Δmj k+1 k k ⎩ − ekj ) + rj+ p∗j+ 1 u∗j+ 1 − rj− p∗j− 1 u∗j− 1 = 0. 1 1 Δt (ej 2

u∗j+ 1 2

2

2

2

2

(7.18)

2

p∗j+ 1 2

Les flux et sont d´efinis par exemple par les formules (5.34). Ce sch´ema est implicite et n´ecessite une proc´edure sp´ecifique pour ˆetre mis en oeuvre. Supposons une loi de gaz parfait p = (γ − 1)ρε = (γ − 1)ρe − Les quantit´es ρ =

1 τ

γ−1 2 ρu . 2

et e ´etant donn´ees explicitement par le sch´ema (7.18), la

2 ne d´epend de la vitesse ukj que par son carr´e uk+1 . pression implicite j Il suffit de r´esoudre une ´equation polynomiale du second degr´e en gardant la racine physique. On peut aussi chercher `a mettre en place une proc´edure de point fixe ou un algorithme de Newton pour r´esoudre le syst`eme non lin´eaire. Une autre possibilit´e consiste `a sacrifier a priori le caract`ere entropique du sch´ema en prenant une pression explicite dans le terme second membre pk1 j

7.4 Dynamique des gaz en g´eom´etrie cylindrique ou sph´erique

d  Δmj k+1 k  k d ∗ k (uj −uj )+ rj+ 1 pj+ 1 − rj− p∗j− 1 = 1 2 2 2 2 Δt



k rj+ 1

d

2

 k − rj− 1 2

d 

229

pkj .

(7.19) On peut aussi remplacer la pression explicite au second membre par la demisomme des valeurs droite et gauche des flux de pressions : le second membre devient  d  d  p∗j+ 1 + p∗j− 1 k k 2 2 rj+ 1 − rj− 1 . (7.20) 2 2 2 Nous obtenons alors 1 Δmj k+1 (uj − ukj ) + Δt 2



k rj+ 1

d

2

d     k × p∗j+ 1 − p∗j− 1 = 0. (7.21) + rj− 1 2

2

2

Notons que les sch´emas (7.18), (7.19) ou (7.21) pr´ eservent l’´ etat de repos : si la pression est constante en espace et la vitesse nulle partout `a l’it´eration k, alors c’est encore le cas a` l’it´eration k + 1. 1

1 ’sod.ro’

’sod.p’

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

1.2

0.7 ’sod.u’

’sod.s’

0.6

1

0.5 0.8 0.4 0.6 0.3 0.4 0.2

0.2

0.1

0

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 7.3. Cas test de Sod en g´eom´etrie cylindrique. Sch´ema Lagrange+projection. 1000 mailles. Temps final t = 0, 14

Reprenons les donn´ees du cas test de Sod et analysons les r´esultats num´eriques obtenus avec ce sch´ema num´erique en version Lagrange plus projection. On fait suivre (7.18) ou (7.19) par une phase de projection g´eom´etrique sur le maillage initial. A partir des r´esultats de la figure 7.3 nous observons que la g´eom´etrie cylindrique influe sur la nature des r´esultats. La solution n’est plus autosemblable. Les paliers sont a` pr´esent des rampes. Il

230

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels 1

1 ’sod.ro’

’sod.p’

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ρ

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

1.2

0.7 ’sod.u’

’sod.s’

0.6

1

0.5 0.8 0.4 0.6 0.3 0.4 0.2

0.2

0.1

0

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

u

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

S

Fig. 7.4. Cas test de Sod en g´eom´etrie sph´erique. Sch´ema Lagrange+projection. 1000 mailles. Temps final t = 0, 14

est visible sur le profil d’entropie que la production d’entropie est plus faible a` mesure que le choc progresse vers la droite. Consid´erons ensuite les r´esultats en g´eom´etrie sph´erique de la figure 7.4. Les conclusions sont similaires, si ce n’est que l’effet g´eom´etrique est plus marqu´e.

7.5 MHD en dimension sup´ erieure Le deuxi`eme exemple concerne le syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale (c’est ` a dire sans terme source ni terme de couplage) en dimension trois d’espace. Pour simplifier le propos nous nous contentons d’une formulation en d´eriv´ee mat´erielle. La difficult´e principale, apr`es discr´etisation num´erique, se situe au niveau du respect de la condition de divergence nulle du champ magn´etique. Pour les probl`emes de MHD id´eale, le non respect ´eventuel sur le plan num´erique de la condition de divergence nulle n’est pas fondamental pour les simulations. En revanche dans les cas o` u les ´equations sont coupl´ees au suivi de particules charg´ees, il est bien connu que cela peut avoir des conditions catastrophiques en terme de stabilit´e num´erique car les termes additionnels sont souvent tr`es sensibles aux ´ecarts `a z´ero de la divergence discr`ete du champ magn´etique. C’est pour cela qu’il est important d’´etudier ce probl`eme. On renvoie aux travaux de Gallice [G95, CGR96, CG97, G03] pour l’´etude

7.5 MHD en dimension sup´erieure

231

des solveurs de Roe pour la MHD. Le point de vue qui suit est juste illustratif de l’utilisation des outils pr´esent´es et ne pr´etend pas ´epuiser le sujet. On part du syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale en dimension trois d’espace (4.82) que nous r´ecrivons sous la forme ⎧ ∂ ρ + ∇.ρu = 0, ⎪ ⎪ t ⎨ = 0, ∂t ρu + ∇.(ρu ⊗ u) + ∇P − ∇. B⊗B μ (7.22) ∂t B + ∇.(u ⊗ B − B ⊗ u) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂ρe + ∇.(ρue + P u − μ1 B(B, u)) = 0. De fa¸con artificielle, nous gelons certaines occurrences de B dans le flux. Plus pr´ecis´ement nous r´ecrivons (7.22) sous la forme ⎧ ∂t ρ + ∇.ρu = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂t B + ∇.(u ⊗ B − C ⊗ u) = 0, (7.23) ∂t ρu + ∇.(ρu ⊗ u) + ∇P − ∇. C⊗B μ = 0, ⎪  ⎪ ⎪ ⎩ ∂ρe + ∇. ρue + P u − 1 C(B, u) = 0, μ

dans laquelle C est un champ de vecteur `a divergence nulle ∇.C = 0.

(7.24)

In fine (7.23-7.24) est ´equivalent a` (7.23) si et seulement si C = B bien sˆ ur. La formulation en d´eriv´ee mat´erielle correspondante est ⎧ d ρ dt τ − ∇.u = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ρ d τ B − ∇.(C ⊗ u) = 0, dt d (7.25) u + ∇P − ∇. C⊗B = 0, ρ dt μ ⎪   ⎪ ⎪ ⎩ ρ d e + ∇. P u − 1 C(B, u) = 0. dt

μ

Montrons que la structure du flux de (7.25) correspond a` la d´efinition 34. On pose ⎛ ⎞ 1 0 0   ⎜ Cw 0 0 ⎟ 0 Nw ⎟ Mw = , Nx = ⎜ t ⎝ 0 Cw 0 ⎠ , w = x, y ou z. Nw 0 0 0 Cw Pour le syst`eme de la magn´etohydrodynamique l’entropie du syst`eme est l’en-

tropie thermodynamique de la mati`ere S. Pour un gaz parfait S = log ετ γ−1 convient. A partir de T dS = dε + pdτ et de la d´efinition de e nous obtenons T dS = de − u.du + P dτ − D’o` u

B dB. μ

232

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

⎛

⎞ P ⎜ − Bx ⎟ ⎜ μ ⎟ ⎜ By ⎟ ⎜− μ ⎟ ⎜ ⎟ Ψ = ⎜ − Bz ⎟ . ⎜ μ ⎟ ⎜ −ux ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −uy ⎠ −uz Nous pouvons ´ecrire (7.25) sous la forme     d Mx Ψ My Ψ ρ U + ∂x + ∂y (7.26) − 12 (Ψ, Mx Ψ ) − 12 (Ψ, My Ψ ) dt   Mz Ψ +∂z = 0. − 21 (Ψ, Mz Ψ ) Les matrices Mx , My et Mz sont sym´etriques et v´erifient la relation de compatibilit´e ∂x Mx + ∂z Mz + ∂z Mz = 0. (7.27) Il s’ensuit que les flux du syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale ´ecrit en d´eriv´ee mat´erielle correspondent a` la d´efinition 34. On peut comparer avec la dimension un d’espace (4.86). La structure (7.26) a ´et´e utilis´ee par [DD98] pour la discr´etisation du syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale en dimension deux d’espace ∂z = 0, avec un sch´ema Lagrange plus projection. La structure des ´equations est identique en dimension deux et en dimension trois d’espace. Cela n´ecessite de discr´etiser le champ magn´etique deux fois. Une premi`ere fois `a l’int´erieur des mailles, une deuxi`eme fois sur les bords pour d´eterminer le flux de C sur chaque bord. Le flux de C est un param`etre des matrices a` partir desquelles le flux est calcul´e. Phase lagrangienne Par exemple la matrice Mx est splitt´ee en une partie positive et une partie n´egative ⎛ 1 ⎞ 1 0 0 0 0 2α1 0 2 ⎜ ⎟ C2 Cx 0 0 ⎟ ⎜ 0 2αx2 0 0 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ 0 0 Cx 0 0 C2x 0 ⎟ ⎜ ⎟ 2α2 Cx2 Mx+ = ⎜ Cx ⎟ ⎜ 0 0 0 2α ⎟, 0 0 2 ⎟ 2 ⎜ 1 C α1 +α2 x ⎜ 0 0 ⎟ 2 ⎜ 2 2 C0 0 ⎟ α2 x ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ 2 2 0 0 α22 0 0 0 C2x et

7.5 MHD en dimension sup´erieure

⎛

Mx−

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

− 2α1 1 0 0

−

0

0

0

Cx2 2α2

0

0

Cx2 2α2

0

0

0

0

1 2

Cx 2

0 0

0 0

−

0 0 Cx 2

0

−

Cx2 2α2

0 0

1 2 Cx 2

0

0

Cx 2

0

0 0 − α22 0

2 − α1 +α 2

0 0

Cx 2

0

0

233

⎞

⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ Cx ⎟ ⎟. 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ − α22

Par analogie avec la dimension un d’espace qui a ´et´e ´evoqu´ee `a la section 6.2.4, deux choix simples sont possibles. Soit α1 = α2 = ρcf , soit α1 = ρcf ,

α = ρca .

Ici cf est une approximation locales de la vitesse des ondes rapides. ca est une approximation locales de la vitesse des ondes d’Alfven. En pratique les tests ont ´et´e effectu´es en prenant la demi-somme des valeurs gauche et droite. Tous calculs faits, l’expression du flux dans la direction x se r´eduit ⎞ ⎛ −u∗x i+1/2,j,k ⎟ ⎜ −Cx i+1/2,j,k u ˜i+1/2,j,k ⎟ ⎜⎛ ∗ ⎞ ⎟ ⎜ Pi+1/2,j,k ˜ ⎟ ⎜ Cx i+1/2,j,k Bi+1/2,j,k ⎟, ⎠ ⎝ − fi+1/2,j,k = ⎜ 0 ⎟ ⎜ μ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ˜ C u ˜ . B x i+1/2,j,k i+1/2,j,k i+1/2,j,k ∗ u∗x i+1/2,j,k − Pi+1/2,j,k μ (7.28) o` u l’on a introduit les interm´ediaires de calcul suivants ⎧ ∗ 1 u = 12 (ux i+1,j,k + ux i,j,k ) − 2α1 i+1/2,j,k (Pi+1,j,k − Pi,j,k ) ⎪ ⎪ ⎪ x i+1/2,j,k ⎪ Cx i+1/2,j,k ⎨u 1 ˜i+1/2,j,k = 2 (ui+1,j,k + ui,j,k ) + 2α2 i+1/2,j,k μ (Bi+1,j,k − Bi,j,k ) ˜i+1/2,j,k = 1 (Bi+1,j,k + Bi,j,k ) + μα2 i+1/2,j,k (ui+1,j,k − ui,j,k ) ⎪B ⎪ 2 2Cx i+1/2,j,k ⎪ ⎪ α ⎩P∗ = 1 (P +P ) − 1 i+1/2,j,k (u −u ) i+1/2,j,k

2

i+1,j,k

i,j,k

2

x i+1,j,k

x i,j,k

Une modification a ´et´e propos´ee [DD98] pour respecter par construction les solutions monodimensionnelles pour lesquelles Bx est constant. La d´ecomposition de Mx que l’on a donn´ee initialement n’est pas la meilleure de ce point de vue, car elle ne permet pas de conserver num´eriquement l’uniformit´e de Bx : en effet, la d´ecomposition donne  ∗ 1 (Pi+1 − Pi ) ux i+1/2 = 12 (ux i+1 + ux i ) − 2α1 i+1/2 1 u ˜x i+1/2 = 2 (ux i+1 + ux i ), donc le flux de τ (multipli´e par Bx /μ) est diff´erent de celui de τ Bx /μ, ce qui entraˆıne qu’au pas de temps suivant, Bx n’est plus uniforme en g´en´eral.

234

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

On d´efinit a` pr´esent une d´ecomposition de Mx qui nous assure que Bx restera uniforme si les conditions initiales ne d´ependent que de x et si Bx est uniforme l’instant initial. Le plus simple est d’ajouter a` Mx+ (et de soustraire a Mx− ) la matrice Lx dfinie par ` ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ Lx = ⎜ ⎜ ⎝

γ γ 2β 2 γ βγ 2 2

0 0 0 .. .

··· ··· ··· .. .

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟, .. ⎟ .⎠

0 0 .. .. . . 0 0 0 ··· 0

o` u β et γ sont des coefficients de mˆeme signe `a d´eterminer. Les quantit´es u∗x et u ˜x deviennent provisoirement ⎧ ∗ γ ux i+1/2,j,k = 12 (ux i+1,j,k + ux i,j,k ) + i+1/2,j,k (Bx i+1,j,k − Bx i,j,k ) ⎪ 2μ  ⎪ ⎪ γi+1/2,j,k ⎪ 1 ⎨ − 2α1 i+1/2,j,k + 2βi+1/2,j,k (Pi+1,j,k − Pi,j,k )

(Pi+1,j,k − Pi,j,k ) u ˜x i+1/2,j,k = 12 (ux i+1,j,k + ux i,j,k ) − 2Ci+1/2,j,k ⎪ ⎪ x i+1/2,j,k   ⎪ ⎪ Cx i+1/2,j,k βi+1/2,j,k γi+1/2,j,k ⎩ (Bx i+1,j,k − Bx i,j,k ) + 2μα2 i+1/2,j,k + 2μCx i+1/2,j,k γ

Pour que u∗x et u ˜x soient ´egaux dans le cas monodimensionnel, il faut avoir γ γ 1 + = , c’est `a dire α1 β Cx  γ

1 1 − Cx β

 =

1 , α1

(7.29)

ce qui implique que γ, β et Cx sont de mˆeme signe et que |β| > |Cx |. Par x exemple, on peut choisir β = 2Cx et γ = 2C eger les notations, α1 . Pour all´ jusqu’` a la fin de ce paragraphe, on omet les indices j et k. Avec ce choix de α, β, et γ, le flux suivant la direction x devient ⎞ −u∗x i+1/2 ⎟ ⎜ −Cx i+1/2 u ˜i+1/2 ⎟ ⎜⎛ ∗ ⎞ ⎟ ⎜ Pi+1/2 ˜i+1/2 ⎟ ⎜ Cx i+1/2 B ⎟, ⎜ ⎝ ⎠ =⎜ − 0 ⎟ μ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ˜ Cx i+1/2 u ˜i+1/2 .Bi+1/2 ∗ ∗ +Di+1/2 Pi+1/2 ux i+1/2 − μ ⎛

fi+1/2

avec

(7.30)

7.5 MHD en dimension sup´erieure

235

⎧ ∗ 1 ux i+1/2 = 12 (ux i+1 + ux i ) − ( 2α1 i+1/2 + 2α1 1i+1/2 ) (Pi+1 − Pi ) ⎪ ⎪ ⎪ C i+1/2 ⎪ ⎪ + α1xi+1/2 ⎪ μ (Bx i+1 − Bx i ) ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ u ˜ = (u + ⎪ x i+1 ux i ) x i+1/2 2  ⎪ ⎨ Cx i+1/2 1 4 + + 2μ α2 i+1/2 α1 i+1/2 (Bx i+1 − Bx i ) ⎪ 1 ⎪ − α1 i+1/2 (Pi+1 − Pi ) ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ ⎪ 1 2α2 i+1/2 ⎪ = + 1 (ux i+1 − ux i ) D ⎪ i+1/2 4  α1 i+1/2 ⎪  ⎪ ⎪ 2Cx i+1/2 ⎩ (Bx i+1 − Bx i ) − (Pi+1 − Pi ) , × μ les autres quantit´es n’´etant pas modifi´ees (les quantit´es en gras repr´esentent ce qui a ´et´e rajout´e au flux par rapport a` (7.28)). Splitting directionnel Le splitting directionnel (x, puis y et enfin z) n’est pas compatible avec l’in´egalit´e d’entropie discr`ete pour le syst`eme de la MHD id´eale. Prenons le cas de la dimension deux d’espace. La condition de compatibilit´e discr`ete sur les matrices est une cons´equence de k k k k Ci+ 1 ,j − Ci− 1 ,j + Ci,j+ 1 − Ci,j− 1 = 0 2

2

2

2

qui doit ˆetre v´erifi´ee au d´ebut de chaque pas de temps. En cons´equence de quoi, la compatibilit´e avec l’in´egalit´e d’entropie discr`ete ´elimine la possibilit´e du splitting directionnel. Cela doit ˆetre pris en compte lors de l’impl´ementation. Phase de projection La phase de projection se fait de mani`ere classique en projetant g´eom´etriquement dans chacune des directions. R´ eactualisation de C Le point nouveau par rapport a` un sch´ema plus classique concerne la discr´etisation des degr´es de libert´e suppl´ementaires pour C, que l’on peut effectuer sous une forme eul´erienne directe. En effet la propri´et´e importante est la pr´eservation de la divergence discr`ete de C. Soit le maillage cart´esien en dimension deux de la figure 7.6 Le champ de vecteurs C est discr´etis´e sur les interfaces. Pour r´eactualiser les flux normaux on peut utiliser k+1 k Ci+ − Ci+ 1 1 ,j ,j 2

2

Δt et

k+1 k Ci,j+ 1 − Ci,j+ 1 2

2

+

qi+ 12 ,j+ 12 − qi+ 12 ,j− 12

+

qi+ 12 ,j+ 12 − qi− 12 ,j+ 12

Δx

Δt Δx Ici q est une approximation locale de Cx uy − Cy ux .

=0

= 0.

236

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Fig. 7.5. Donn´ee initiale (bulle haute pression) en haut. Calcul final pour le syst`eme de la magn´etohydrodynamique avec la technologie AMR (Adaptive Mesh Refinement) en bas. Cette m´ethode permet le raffinement adaptatif de maillage l` a o` u le besoin s’en fait le plus sentir, par exemple sur les discontinuit´es. Le maillage est gros´ sier loin des discontinuit´es. Calcul r´ealis´e au Commissariat ` a l’Energie Atomique.

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne La pr´esentation qui suit a eu comme point de d´epart les travaux [DM03, DM05]. Le point de vue choisi consiste a` mettre en ´evidence un splitting

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

237

i, j + 1

i, j +

i − 1, j

i − 12 , j

1 2

i, j

i, j −

i + 12 , j

i + 1, j

1 2

i, j − 1

Fig. 7.6. Maillage cart´esien en dimension deux

de matrices adapt´e, ce qui permet de construire le sch´ema avec le moins d’a priori possibles. Cependant ce point de vue est loin d’ˆetre le seul. Le sch´ema [AMJ04] sera aussi construit, ainsi que le sch´ema dit hydro-compatible [CBSW98, CSW] qui est d´efini sur grilles d´ecal´ees. On revoit aux notes de fin de chapitre pour une liste plus compl`ete de r´ef´erences `a propos des sch´emas lagrangiens pour la dynamique des gaz compressibles. C’est un th`eme en renouveau actuellement. Consid´erons le syst`eme de la dynamique des gaz en coordonn´ee de Lagrange en dimension deux d’espace (2.24). Pour simplifier posons ρ0 (X, Y ) = ρJ. La premi`ere ´equation des identit´es de Piola (2.25) prend aussi la forme ρ0 ∂t τ − ∂X (uM − vL) − ∂Y (vA − uB) = 0. En r´eunissant en un seul syst`eme l’´egalit´e pr´ec´edente et les ´equations de quantit´e de mouvement et d’´energie de (2.24) on obtient le syst`eme ⎧ 0 ρ ∂t τ − ∂X (uM − vL) − ∂Y (vA − uB) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ 0 ρ ∂t u + ∂X (pM ) + ∂Y (−pB) = 0, (7.31) ρ0 ∂t v + ∂X (−pL) + ∂Y (pA) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ 0 ρ ∂t e + ∂X (puM − pvL) + ∂Y (pvA − puB) = 0.

238

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

L’entropie physique est l’entropie thermodynamique de la mati`ere S. Donc ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ τ p p ⎜u⎟ ⎜ −u ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ U =⎜ ⎝ v ⎠ , V = T ⎝ −v ⎠ et Ψ = −u . −v e 1 ⎛

Posons MX

⎞ ⎛ ⎞ 0 M −L 0 −B A = ⎝ M 0 0 ⎠ et MY = ⎝ −B 0 0 ⎠ . −L 0 0 A 0 0

Ces matrices sont sym´etriques et v´erifient l’´equation de compatibilit´e ∂X MX + ∂Y MY = 0. Nous allons pr´esenter un sch´ema num´erique pour la r´esolution des ´equations de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange en dimension deux d’espace. Ce sch´ema se fonde sur la structure discr`ete (7.3-7.4). Cependant un am´enagement doit ˆetre effectu´e. En effet notre objectif est d’obtenir une m´ethode num´erique sur maillage mobile. C’est `a dire que la m´ethode num´erique doit id´ealement correspondre d’une part a` une discr´etisation dans le r´ef´erentiel initial (X, Y ), et d’autre part a` une discr´etisation dans le r´ef´erentiel courant (x, y). Pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles cela est garanti par les identit´es de Piola qui permettent de faire le passage d’une formulation a l’autre. A priori la m´ethode num´erique que nous d´esirons mettre en place ` doit ˆetre compatible avec ce principe. En consid´erant par exemple la formulation de Hui qui est un syst`eme ferm´e, il apparaˆıt que cette formulation n’est pas adapt´ee au premier abord car les identit´es de Piola en sont absentes. La formulation qui va effectivement ˆetre utilis´ee est constitu´ee de la partie physique (7.31) et de la partie que nous appellerons g´eom´etrique ρJ = ρ0 , ∂X M − ∂Y B = 0 et −∂X L + ∂Y A = 0. Pour un maillage en triangle (ce qui n’est pas obligatoire en pratique) on retrouvera une d´efinition naturelle du gradient de d´eformation. 7.6.1 Maillage mobile Nous commen¸cons par quelques remarques a` propos des maillages mobiles. Compatibilit´ e entre les vitesses aux noeuds et la vitesse au milieu du segment Soit le maillage de la figure 7.7. Notons u1 = (u1 , v1 ) et u2 = (u2 , v2 ) les vitesses des extr´emit´es du segment, et n la normale a` la maille qui est aussi la

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

239

Δt × u1

Δt × u∗

Δt × u2 Segment de longueur l Fig. 7.7. R´egion balay´ee lors du d´eplacement du segment

normale au segment au d´ebut! du pas de !temps. La surface balay´ee pendant le 2 pas de temps Δt est S = lΔt ! u1 +u , n !. On a S = lΔt |(u∗ , n)| si la vitesse 2 u∗ d´efinie au milieu du segment est telle que u∗ =

u1 + u2 . 2

(7.32)

Il suffit en fait que les projections sur la normale soient identiques (u∗ , n) =

1 1 (u1 , n) + (u2 , n) . 2 2

(7.33)

A partir de cette constatation deux strat´egies sont possibles pour d´efinir un sch´ema lagrangien sur grille mobile. La premi`ere m´ethode consiste `a g´en´eraliser le sch´ema lagrangien en dimension un d’espace `a l’int´erieur d’une formulation Volumes Finis dans laquelle les bilans de flux sont faits sur chacun des bords de la maille s´epar´ement. Cela apporte une d´efinition naturelle de (u∗ , n) qui est une des composantes du flux lagrangien. Le probl`eme est qu’il faut que le d´eplacement du maillage soit compatible avec la d´efinition de cette vitesse au milieu du segment. Donc il est n´ecessaire de d´efinir des vitesses aux noeuds en inversant un syst`eme de relations lin´eaires (7.32) ou (7.33) (une ou deux relations lin´eaires par segment, les inconnues sont les vitesses aux noeuds). Ce syst`eme lin´eaire a priori rectangulaire n’est pas inversible sauf cas particuliers.

240

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

La deuxi`eme m´ethode consiste `a utiliser la strat´egie pr´ec´edente mais en localisant les bilans de flux non pas sur les bords naturels de la maille (i.e. les segments qui bordent cette maille) mais sur les noeuds qui bordent cette maille. On calculera d’abord u1 et u2 aux noeuds, et ensuite on d´eterminera la demi-somme u∗ si besoin est.

Fig. 7.8. Bilan de flux sur les bords. Approche classique ` a gauche, approche nodale a droite `

La premi`ere strat´egie consiste `a prendre les bilans en accord avec la partie gauche de la figure 7.8, la deuxi`eme strat´egie consiste `a en utiliser la partie droite. Nous allons utiliser la deuxi`eme approche. Quelques notations Les consid´erations pr´ec´edentes motivent les d´efinitions et notations suivantes. Dans cette partie on pourra supposer pour simplifier que la vitesse des noeuds du maillage est une fonction continue du temps. Soit une maillage constitu´e de mailles d’indice j. Les noeuds seront r´ef´erenc´es par les indices r et s. Soit ljk = lkj ≥ 0 la longueur de l’interface entre la maille j et la maille k. Soit njk = −nkj la normale sortante de la maille j qui pointe vers la maille k. Nous avons  ljk njk = 0. k

D´efinissons `a pr´esent les longueurs nodales et normales nodales en accord avec la figure 7.8. Soit r un noeud bordant la maille j, et r+ (resp. r− )le noeud situ´e apr`es (avant) dans le sens trigonom´etrique, voir la figure 7.9. Nous d´efinissons la longueur nodale et la normale sortante au noeud par   1 1 1 yr + − yr − . (7.34) ljr njr = ljk njk + ljp njp = 2 2 2 xr− − xr+ Par construction nous avons

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

241

vecteur normal au noeud r maille k maille p noeud s = r−

maille j noeud t = r +

Sens trigonom´etrique Fig. 7.9. Notations : t = r + , s = r −



ljr njr = 0.

(7.35)

r

A pr´esent consid´erons que la maille j ´evolue au court du temps par l’interm´ediaire de vitesses nodales ur (t) = (ur (t), vr (t)). La surface de la maille est une fonction du temps t → sj (t). Lemme 60 La surface d’une maille est donn´ee par la formule 1 sj (t) = (xr yr+ − xr+ yr ) . 2 r Par convention la somme est ` a prendre dans le sens trigonom´etrique autour de la maille j et r+ d´esigne le noeud suivant. Soit O un point situ´e au centre de la maille. La surface est ´egale a` la somme des triangles OMr Mr+ o` u Mr et Mr+ sont deux sommets cons´ecutifs. Apr`es simplification on obtient le r´esultat. Lemme 61 On a la relation   ljr (njr , ur ) = ljk (njk , uk ) . sj (t) = r

k

On d´erive la relation pr´ec´edente et on regroupe les termes    yr + − yr − x +x − − vr r r . ur sj (t) = 2 2 r En se reportant a` la figure 7.9 il apparaˆıt que   xr+ − xr− yr+ − yr− , . njr = 2 2 La preuve est termin´ee.

(7.36)

242

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Compatibilit´ e avec l’identit´ e de Piola Les formules pr´ec´edentes vont nous servir a` montrer la compatibilit´e des vitesses nodales avec une version simplifi´ee de l’identit´e de Piola. Lemme 62 Soit → ρj (t) > 0 la masse volumique dans la maille j. Alors on a l’´equivalence entre la conservation de la masse 

(ρj sj ) (t) = 0 et la loi de bilan

Mj τj (t) −



ljr (njr , ur ) = 0.

(7.37)

r d Soit Mj (t) = ρj (t)sj (t) la masse de la maille. Alors sj (t) = dt (Mj (t)τj (t)). Le r´esultat s’en d´eduit grˆace `a la formule (7.36). Dans le cas o` u le maillage ´evolue de fa¸con discr`ete la vitesse des noeuds est donn´ee au pas de temps kΔt. Cette vitesse sert `a d´eplacer les noeuds suivant la loi  k+1 xr = xkr + Δtukr , k+1 k k xr = xr + tur ⇐⇒ (7.38) yrk+1 = yrk + Δtvrk .

Lemme 63 On a l’´equivalence entre la conservation de la masse sk+1 ρk+1 = skj ρkj j j

(7.39)

et la loi de bilan discr`ete Mj avec

τjk+1 − τjk  k+ 12  k+ 12 k  − njr , ur = 0, ljr Δt r

(7.40)

1 k k k+1 k+1 ljr njr + ljr njr . 2  xr (t) = xkr + tukr , Commen¸cons par d´efinir un interpolant lin´eaire Int´egrons yr (t) = yrk + tvrk . la relation (7.37) durant le pas de temps Δt. Par construction le vecteur ljr (t)njr (t) est une fonction lin´eaire du temps, voir (7.34). Donc k+ 1

k+ 12

ljr 2 njr

 0

=

Δt

ljr (t)njr (t) =

1 k k k+1 k+1 ljr njr + ljr njr . 2

Compatibilit´ e avec la formulation de Hui On retrouve ais´ement les ´equations pour le gradient de d´eformation de la formulation de Hui pour un maillage triangulaire. Consid´erons la figure 7.10. Pour un tel d´eplacement la position (x, y) au d´ebut du pas de temps kΔt dans la maille est une fonction affine des coordonn´ees initiales

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

X, Y

243

x, y Apr`es Avant Fig. 7.10. D´eplacement d’une maille en triangle

xkj (X, Y ) = akj + bkj X + ckj Y,

yjk (X, Y ) = dkj + ekj X + fjk Y.

´ Enonc´ e autrement la d´eformation est une fonction P 1 (au sens des ´el´ements finis). Il suffit de connaˆıtre la position des noeuds du maillage initial et du maillage final pour d´eterminer les coefficients (a, b, c, d, e, f ). Le gradient de d´eformation s’en d´eduit imm´ediatement Akj = ∂X x = bkj , Bjk = ∂X y = ekj , Lkj = ∂Y x = ckj , Mjk = ∂Y y = fjk . Par construction on a la continuit´e des flux normaux des champs de vecteurs (L, −A) et (M, −B) entre deux mailles contig¨ ues. 7.6.2 Tentative de construction d’un sch´ ema num´ erique Nous sommes en mesure de d´efinir un sch´ema num´erique pour le syst`eme lagrangien en dimension deux d’espace. Ce sch´ema v´erifie le principe d’entropie du th´eor`eme 7.2. Nous consid´erons le sch´ema (7.3) pour la maille j. Nous faisons une hypoth`ese simplificatrice suppl´ementaire : le flux de (7.3), d´efini localement, est le mˆeme pour toutes les mailles qui ont le noeud r en commun. Cela revient essentiellement `a postuler l’existence d’un ´etat au noeud r ⎛ ∗ ⎞   pr Njr Ψrr k Ψr∗ = ⎝ −u∗r ⎠ tel que fjr . = − 21 (Ψr∗ , Njr Ψr∗ ) −vr∗ Nous connaissons la premi`ere ligne de Njr qui doit ˆetre compatible avec l’´egalit´e (7.40). D’o` u Lemme 64 La matrice Njr compatible avec (7.40) est d´efinie par ⎛ ⎞ k+ 1 k+ 1 0 cos θjr 2 sin θjr 2   1 1 1 ⎜ ⎟ k+ 12 ⎟ , nk+ 2 = cos θk+ 2 , sin θk+ 2 . Njr = ⎜ cos θ 0 0 jr jr jr ⎝ ⎠ jr k+ 12

sin θjr

0

0

244

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

La premi`ere ligne ´etant donn´ee par (7.40), on en d´eduit la premi`ere colonne. Les deux derni`eres lignes de Njr servent ` a caract´eriser le flux de l’´equation d’impulsion. Au niveau continu ce flux n’est fonction que de la pression. Cela implique la nullit´e des quatre coefficients en bas `a droite. La preuve est termin´ee. Une interpr´etation du lemme 64 est la suivante : l’identit´e de Piola discr`ete (7.37) ou (7.40) est fond´ee sur la discr´etisation de l’op´erateur divergence ; Cela induit par dualit´e la discr´etisation compatible de l’op´erateur gradient. Une forme du sch´ema que nous cherchons `a construire est alors  ⎧ " k+ 1  k+ 1 ⎪ Mj τjk+1 = Mj τjk + Δt r ljr 2 njr 2 , u∗r , ⎪ ⎨ " k+ 1 k+ 1 = Mj ukj − Δt r ljr 2njr 2 p∗r ,  Mj uk+1 j ⎪ ⎪ ⎩ M ek+1 = M ek − Δt " lk+ 12 nk+ 12 , u∗ p∗ . j j

j j

r jr

jr

r

(7.41)

r

La d´efinition du sch´ema se reporte a priori sur la d´etermination des valeurs nodales Ψr∗ = (p∗r , −u∗r , −vr∗ )t en fonction des valeurs locales des pressions et vitesses (figure 7.11). Nous d´ ecidons que le sch´ ema doit ˆ etre compatible avec l’in´ egalit´ e d’entropie dans le but d’obtenir un sch´ema stable et compatible avec la n´ecessit´e de production d’entropie pour le calcul des chocs. Compte tenu des lemmes 54 et 55 il suffit in fine de s’assurer que +% − Njr Ψr∗ = Njr Ψj . Ψjr + Njr

(7.42)

Pour l’instant les matrices sym´etriques Njr n’ont pas ´et´e sp´ecifi´ees. Nous d´ecidons d’´etudier le splitting suivant ⎛ ⎞ k+ 1 k+ 1 1 cos θjr 2 sin θjr 2 αj   ⎟ 1⎜ k+ 1 k+ 1 2 k+ 1 k+ 1 ⎟ ⎜ + αj cos θjr 2 αj cos θjr 2 sin θjr 2 ⎟ , Njr = ⎜ cos θjr 2 ⎠ 2⎝   k+ 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 2 sin θjr 2 αj cos θjr 2 sin θjr 2 αj sin θjr 2 ⎛ − Njr =

− α1j

k+ 1

cos θjr 2   k+ 1 2 −αj cos θjr 2

k+ 12

sin θjr

1⎜ k+ 1 k+ 1 k+ 1 ⎜ −αj cos θjr 2 sin θjr 2 ⎜ cos θjr 2 2⎝   k+ 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 2 sin θjr 2 −αj cos θjr 2 sin θjr 2 −αj sin θjr 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠

avec αj = ρj cj .

(7.43)

Ces deux matrices sont sym´etriques. La premi`ere est positive et la deuxi`eme n´egative.

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

245

q

r

(ur , vr , pr )

m

n

j Fig. 7.11. Flux nodaux (ur , vr , pr ) pour le premier sch´ema. Les mailles j, n, q et m ont le noeud r en commun.

Lemme 65 La relation (7.42) est ´equivalente a `     k+ 1 k+ 1 p∗r + αj njr 2 , u∗r = pkj + αj njr 2 , ukj .

(7.44)

Prenons le produit scalaire de (7.42) contre le vecteur propre particulier pour + la matrice Njr k+ 1

k+ 1

z = (−αj , cos θjr 2 , sin θjr 2 )t . On obtient (7.44). R´eciproquement supposons (7.44) satisfait. Alors (7.42) est un syst`eme lin´eaire dont l’inconnue est l’´etat auxiliaire Ψ%jr . Il existe un tel ´etat auxiliaire d`es que le second membre du syst`eme est dans l’image de la + matrice Njr . Par construction ce second membre est orthogonal a` tous les + t + = Njr . La preuve est termin´ee. ´el´ements du noyau de Njr On peut interpr´eter l’expression (7.44) comme l’application d’un solveur de Riemann lin´earis´e en dimension un d’espace dans la direction njr . C’est illustr´e `a la figure 7.12. Cependant on a le r´esultat d’obstruction qui montre que la construction n’est pas possible. Lemme 66 Le syst`eme lin´eaire constitu´e par les relations (7.44) pour tous les coefficients j qui entourent le noeud r est surd´etermin´e en dimension deux pour un maillage g´en´erique.

246

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

njr

Maille fictive jr Maille j

Noeud r Fig. 7.12. Sch´ema de principe du probl`eme de Riemann dans la direction njr entre la maille j et la maille fictive

Ce syst`eme est constitu´e de j = 1, 2, · · · , J ´equations lin´eaires. Pour un maillage g´en´erique en dimension deux d’espace on a J > 3. Le nombre d’inconnues est de trois p∗r , u∗r , vr∗ . La preuve est termin´ee. La conclusion est qu’il n’est pas possible en dimension deux d’ˆ etre compatible avec le principe d’entropie discret pour ce sch´ ema. Nous devons relaxer certaines contraintes. 7.6.3 Une premi` ere solution Le syst`eme de J ´equations lin´eaires (7.44) est sur d´etermin´e. Pour le rendre inversible, deux options sont possibles. La premi` ere option consiste `a diminuer le nombre d’´equations pour le r´eduire `a trois. Cela parait difficile, car les ´equations (7.44) sont importantes pour la compatibilit´e avec le principe discret de production d’entropie. Comme ce principe assure en pratique la stabilit´e du sch´ema nous abandonnons cette option. La deuxi` eme option consiste `a ajouter des degr´es de libert´e. D´etaillons une solution possible. Nous allons chercher les flux sous la forme ∗ Ψjr = (p∗jr , −u∗r , −vr∗ )t .

C’est `a dire que la pression de noeud unique p∗r est remplac´ee par des pressions de noeud p∗jr vue par le noeud j (figure 7.13). Le syst`eme lin´eaire poss`ede `a pr´esent J ´equations

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

q

247

(ur , vr )

pqr pmr

pnr

m

pjr

n j

Fig. 7.13. Les pressions sont d´elocalis´ees

    k+ 1 k+ 1 p∗jr + αj njr 2 , u∗r = pkj + αj njr 2 , ukj et J + 2 inconnues. Il est sous-d´etermin´e. Deux ´equations naturelles viennent alors fermer le syst`eme. Ces ´equations viennent de la contrainte de conservativit´e pour l’´equation de quantit´e de mouvement. Nous imposons  k+ 1 k+ 1 ljr 2 njr 2 p∗jr = 0 ∈ R2 . (7.45) i ∗ est Le syst`eme final dont la solution fournie les Ψjr ⎧     ⎨ p∗ + α nk+ 12 , u∗ = pk + α nk+ 12 , uk , j = 1, · · · , J, j j r jr j j jr jr ⎩ " lk+ 12 nk+ 12 p∗ = 0. i jr

jr

(7.46)

jr

Th´ eor` eme 7.3. Pour un maillage non d´eg´en´er´e le syst`eme lin´eaire (7.46) est inversible. On ´elimine les p∗jr dans la deuxi`eme partie de (7.45). On obtient un syst`eme lin´eaire de taille deux   1 1   k+ 1 k+ 1 k+ 1 2 k+ 2 k ljr 2 αj nk+ + Ar u∗r = ⊗ n u ljr 2 njr 2 pkj , (7.47) j jr jr j

j

  1 1 " k+ 1 2 k+ 2 . La matrice Ar est inversible pour un ⊗ n avec Ar = j ljr 2 αj nk+ jr jr k+ 1

maillage non d´eg´en´er´e. En effet supposons que ljr 2 > 0 et αj > 0 pour tout j et que deux normales soient lin´eairement ind´ependantes.

248

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Ar u = 0 =⇒ (u, Ar u) = 0 =⇒



 2 k+ 1 k+ 1 ljr 2 αj njr 2 , u = 0

j

 k+ 1 =⇒ njr 2 , u = 0 pour tout j =⇒ u = 0. 

Une fois la vitesse u∗r calcul´ee on d´etermine les p∗jr grˆ ace `a la premi`ere ligne de (7.46). Cela termine la preuve. Par application du th´eor`eme 7.2 le sch´ ema constitu´ e de (7.41) et (7.46) est entropique sous condition CFL. N´eanmoins ce sch´ ema n’est k+ 1

pas explicite car ljr 2 se calcule `a partir de la position des points au d´ebut du pas de temps et `a la fin du pas de temps. Or u∗r n´ecessaire pour d´eplacer k+ 1

les noeuds se calcule lui-mˆeme en fonction des ljr 2 . Il est cependant possible d’utiliser une proc´edure de point fixe pour mettre en oeuvre ce sch´ema. 7.6.4 Une deuxi` eme solution On modifie le sch´ema (7.41)-(7.46) au prix d’un l´eger affaiblissement des propri´et´es th´eoriques. L’id´ee principale est d’abandonner la stricte compatibilit´e (7.39) et (7.40) en se contentant de l’´equation de conservation de la masse de la maille j. Le sch´ema explicite [DM05, M07] que nous consid´erons est constitu´e du syst`eme k ∗

k k

 ∗ k p n = p njr , uj , j = 1, · · · , J, + α , u + α j j r jr jr j " k k ∗ (7.48) l n p = 0, j jr jr jr des ´equations (7.38) pour le d´eplacement du maillage, de l’´equation (7.49) de conservation de la masse qui permet de recalculer la masse volumique apr`es d´etermination de la nouvelle surface sk+1 j ρk+1 = j

skj sk+1 j

ρkj , ⇐⇒ Mj = skj ρkj = sk+1 ρk+1 , j j

(7.49)

et des ´equations pour la vitesse uk+1 et l’´energie ek+1 j j 

" k k ∗ = Mj ukj − Δt r ljr n p , Mj uk+1 j jrk r ∗ ∗ " k k = M e − Δt l Mj ek+1 j j j r jr njr , ur pr

(7.50)

A priori nous prendrons αj = ρkj ckj . La diff´erence entre ce sch´ema et le sch´ema pr´ec´edent est que les coefficients g´eom´etriques du maillage sont ´evalu´es au d´ebut du pas de temps. Dans la limite des pas de temps infiniment petits, c’est identique `a l’´equation de

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

249

compatibilit´e (7.37). Comme c’est un sch´ema de type Godounov, Lagrangien et Conservatif en Energie Totale, un acronyme possible est sch´ema Glace. Lemme 67 Le sch´ema (7.48-7.50) est conservatif en masse, quantit´e de mouvement et ´energie totale. Il est naturel de pr´ef´erer la conservation de la masse (7.49) pour la pratique. En revanche l’´equation de compatibilit´e (7.37) permet, elle, d’obtenir la compatibilit´e avec la loi d’entropie discr`ete. La conservation de la quantit´e de mouvement et de l’´energie totale sont des cons´equences de la deuxi`eme ´equation de (7.48). Les conditions aux bords ne sont pas compl`etement imm´ediates `a ´ecrire, d’autant que la m´ethode pr´esent´ee repose sur un solveur nodal. Nous pr´esentons dans ce qui suit quelques conditions aux bord et leur prise en compte num´erique. Vitesse impos´ee Soit r un noeud situ´e sur le bord du domaine de calcul lagrangien. Nous imposons simplement u∗r = udonn´e ∈ R2 . Les pressions pjr sont calcul´ees par



(7.51) p∗jr = −αj nkjr , u∗r + pkj + αj nkjr , ukj . Pression ext´erieure impos´ee Consid´erons la situation de la figure 7.14 pour laquelle nous allons modifier le syst`eme (7.48).

Pression ext´erieure pext pext

pext

pext r

Fig. 7.14. Pression ext´erieure impos´ee

Il suffit d’´ecrire  j

⎛ k k ∗ ljr njr pjr + ⎝−



⎞ k k ⎠ ljr njr pext = 0

(7.52)

j

qui correspond `a la loi de l’action et de la r´eaction autour du noeud r en consid´erant que la pression ext´erieure s’applique sur une maille ext´erieure fictive que l’on caract´erise par

250

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels k lext nk =− ,r ext,r



k k ljr njr .

j

Apr`es ´elimination des pressions dans (7.52) on obtient un syst`eme du type (7.47) qui est inversible si le maillage est non d´eg´en´er´e au bord. Les pressions p∗jr se recalculent par (7.51). Vitesse normale nulle Supposons `a pr´esent que la vitesse normale soit impos´ee. Nous consid´erons que la normale est la normale discr`ete nkjr . La situation g´en´erique est celle d’un glissement du maillage le long d’un bord plat

n (u, n) = 0

Fig. 7.15. Vitesse normale nulle, glissement possible

Soit t = nt le vecteur tangent au bord. La condition de vitesse normale nulle revient `a supposer que ukr = u∗r tk . Consid´erons l’analogie m´ecanique qui suit : le noeud est un anneau attach´e sur une tige, le bord est la tige. La tige peut exercer une force align´ee avec la normale sur le noeud au cours de son d´eplacement. Il s’ensuit que la loi de l’action et de la r´eaction est encore vraie mais projet´ ee le long du vecteur tangent. Nous ´ecrirons ⎛ ⎛ ⎞ ⎞   k k ∗ k k ⎠ ⎝ ljr njr pjr + ⎝− ljr njr pext , tkr ⎠ = 0. (7.53) j

j

" k k njr est orIci pext est une pression ext´erieure inconnue. Comme j ljr thogonale au vecteur tkr , la pression inconnue disparaˆ. Apr`es ´elimination des pressions p∗jr en fonction de u∗r nous obtenons l’´equation

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

⎛ ⎞ 

2 k ⎝ ljr αj nkjr , tkr ⎠ u∗r = second membre ∈ R.

251

(7.54)

j

D’o` u la valeur de u∗r puis la valeur des pressions p∗jr . Vitesse normale impos´ee Si la vitesse normale est impos´ee mais non nulle, il est a priori possible d’op´erer une translation selon cette vitesse normale impos´ee pour se ramener au cas pr´ec´edent. Puis il suffit d’appliquer la m´ethode pour une vitesse normale nulle pour pr´edire les pressions p∗jr . Finalement la vitesse des noeuds de bord est la combinaison de la composante tangente (7.54) et la composante normale impos´ee. Condition libre Cette condition simule un milieu ext´erieur similaire au milieu d´ecrit par le maillage. En consid´erant (7.47) une possibilit´e est d’annuler les termes de pression. On obtient ⎡ ⎤   1 1 1 1   k+ 1   k+ 1 k+ 2 k+ 2 ⎦ ∗ k+ 2 k+ 2 k 2 2 ⎣ ljr αj njr ⊗ njr ljr αj njr ⊗ njr uj . ur = j

j

(7.55) Une fois d´etermin´ee la vitesse ur les pressions se calculent par l’interm´ediaire de (7.51). Les coins Nous ne consid´erons qu’un seul cas. Tous les autres pouvant s’en d´eduire moyennant quelques adaptations ´evidentes. Soit une maille dont un des bord est situ´e sur une fronti`ere (condition de vitesse normale nulle). A l’autre bord est attach´e une condition en pression impos´ee. La loi d’action et de r´eaction peut s’´ecrire sous la forme (7.53) a` la diff´ rence pr`e s que la pression ext´erieure est `a pr´esent impos´ee. Le vecteur  e" k k − j ljr njr est la somme d’un vecteur orthogonal a` tkr et du vecteur normal au bord sur lequel la pression impos´ee doit ˆetre appliqu´ee. Une ace `a (7.51). fois la vitesse calcul´ee, les pressions p∗jr se calculent grˆ Dans tous les cas de figures, la pression p∗jr se calcule grˆ ace `a l’expression (7.51). Cela garantit le caract`ere entropique du sch´ema. Ceci est vrai dans les limites des petits pas de temps pour prendre en compte le remplacement des quantit´es g´eom´etriques ´evalu´ees au demi-pas de temps par les quantit´es g´eom´etriques ´evalu´ees au pas de temps n (voir la remarque en fin de section 7.6.4). Nous ´etudions a` pr´esent le crit`ere de contrˆ ole du pas de temps `a partir de l’in´egalit´e d’entropie. Cela fera apparaˆıtre une modification multidimensionnelle par rapport a` la situation purement monodimensionelle. Mais surtout cela mettra en ´evidence le fait que le coefficient d’imp´edance acoustique ρc n’est pas n´ecessairement le meilleur pour le flux num´erique, pour peu que l’on cherche `a ´etablir l’optimalit´e pour un certain crit`ere de la m´ethode choisie. Dans ce qui suit on s’appuie une fois de plus sur l’analyse de la condition de stabilit´e sur le pas de temps.

252

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

n Fronti`ere glissante

pext

Noeud de coin Fig. 7.16. Condition de coin interm´ediaire entre la condition de pression impos´ee et la condition de glissement

On part des formes quadratiques A (7.9) et B (7.10). On note (δp, δu, δv) les variations de pression et composantes de vitesse dans la maille j (o` u on note δf ≈ fjk+1 − fjk + O(Δt2 )). Soit 1 A = ρj 2 et

1  ljr B= 4sj r



#

δp2 2 + |δu| ρ 2 c2

 αjr



2 $ 1 . δp − (njr , δu) αjr

Le crit`ere de contrˆ ole du pas de temps s’´ecrit ΔtB ≤ A,

∀(δp, δu, δv) ∈ R3 .

(7.56)

Pour simplifier l’analyse nous supposons que les coefficients αj sont tous identiques, ce qui revient `a prendre αjr = αj = λj ρj cj " pour un λj = λ > 0 arbitraire. Grˆace `a l’identit´e r ljr njr = 0 la forme quadratique B se simplifie en   1  1 2 2 B= δp + λρc (njr , δu) , δu = (δu, δv). (7.57) ljr 4sj r λρc

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

253

1 ’mesh20.Sod’

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 7.17. Example de simulation num´erique du probl`eme de Sod 2D avec un maillage mobile triangulaire. T = 0.2. La d´etente, la discontinuit´e de contact parfaite et le choc sont bien visibles a ` partir du d´eplacement du maillage.

Posons δp = ρcδq de sorte que    1 1 1  2 2 δq 2 + λ (njr , δu) B= et A = ρ δq 2 + |δu| . ρc ljr 4sj λ 2 r Soit Λ la plus grande valeur  propre de la forme quadratique (δq, δu, δv) → " 2 1 2 ere (7.56) sur le pas de temps prend r ljr λ δp + λ (njr , δu) . Alors le crit` la forme Λ c Δt ≤ 1. (7.58) sj " Or 2Λ (le double de Λ) est ´egal au maximum de λ1 r ljr et de la plus grande valeur propre Λ de la forme quadratique . $ #     2 (δu, δv) → λ ljr (njr , δu) = δu, ljr njr ⊗ njr δu , r

√

r

" " a+c+ (a−c)2 +4b2 2 qui vaut Λ = avec a = r ljr cos θjr , b = r ljr cos θjr sin θjr 2

" " 2 et c = r ljr sin θjr . Donc Λ = 12 max λ1 r ljr , λΛ . La valeur optimale de λ est celle qui minimise Λ

254

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

" λ=

r ljr Λ

 12 ,

1 Λ= ljr 2 r



Λ " r ljr

 12 .

Lemme 68 L’in´egalit´e sur le pas de temps prend la forme  "  r ljr μ c Δt ≤ 1 2sj

(7.59)

o` u μ est le facteur de correction g´ eom´ etrique  μ=

Λ " r ljr

 12 .

(7.60)

" " 1 r ljr En dimension un d’espace, on a Λ = 2, r ljr , μ = 1 et 2s = Δx . C’est j pourquoi μ peut s’interpr´eter comme un facteur de correction g´eom´etrique qui d´ecoule du caract`ere multidimensionnel lagrangien.

Lemme 69 On a les encadrements √ 1 ≤ 2. (7.61) μ 1 " Par d´efinition de Λ on a Λ ≥ a+c r ljr . Donc μ ≥ 1. D’autre part 2 = 2 2 l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz b ≤ ac implique (a − c)2 + 4b2 ≤ (a + c)2 qui "  entraˆıne `a son tour Λ ≤ r ljr . La preuve est termin´ee. 1≤λ=

"

l

Le terme g´eom´etrique principal dans le pas de temps est le ratio srj jr . On interpr`ete cette quantit´e comme un pseudo-p´erim`etre divis´e par une surface. On a toujours int´erˆet `a ce que cette quantit´e soit la plus petite possible, ce qui revient `a utiliser les mailles avec la plus grande surface possible par rapport au pseudo-p´erim`etre. 7.6.5 Une troisi` eme solution Un sch´ema avec un choix l´eg`erement diff´rerent pour la d´elocalisation des pressions `a ´et´e propos´e dans les travaux issus de la r´ef´erence [AMJ04]. Dans ce qui suit on se contente de fournir les r`egles de construction en dimension deux d’espace. Une des id´ees poursuivies dans la construction de cette m´ethode est de revenir autant que possible vers une notion de solveur de Riemann lagrangien mondodimensionnel dans des directions donn´ees par les bords de chaque maille. C’est favorable pour les conditions au bords qui sont plus imm´ediates `a ´ecrire. La situation est d´ecrite g´eom´etriquement dans la figure 7.18.

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

255

(ur , vr ) q

m

n p− jr

p+ jr j

Fig. 7.18. Les pressions sont d´elocalis´ees deux fois en chaque coin. Les pressions + ´ sont indic´ees p− jr et pjr dans le sens trogonomtrique.

On utilise en chaque noeud et pour chaque maille deux pressions no+ ecrit alors la forme discr`ete d’un invariant dales d´ecoupl´ees p− jr et pjr . On ´ de Riemann dans les directions nkjr± pour p± jr , ce qui donne lieu aux deux premi`eres ´equations de (7.62). Les ´el´ements de longueur et les normales qu’il faut consid´erer sont not´ees ljr+ et njr± . Ces normales sont exactement les normales sortantes par les bras de la maille, les longueurs ´etant les moiti´es des longeurs des bras. Cela permet d’identifier ces ´el´ements g´eom´etriques aux ´el´ements g´eom´etriques d´ecrits dans l’´equation (7.34) et dans la figure 7.9.

256

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Le sch´ema final [AMJ04] est constitu´e du syst`eme ⎧     ⎪ p∗jr+ + αj nkjr+ , u∗r = pkj + αj nkjr+ , ukj , j = 1, · · · , J, ⎪ ⎪ ⎨     k ∗ k k k n = p n , j = 1, · · · , J, + α , u + α , u p∗− − − − j j r j j jr jr ⎪ jr ⎪ " k ⎪ k ∗ k k ∗ ⎩ j ljr + njr + pjr + + ljr − njr − pjr − = 0,

(7.62)

des ´equations (7.38) pour le d´eplacement du maillage, de l’´equation (7.49) de conservation de la masse qui permet de recalculer la masse volumique apr`es d´etermination de la nouvelle surface sk+1 j ρk+1 = j

skj sk+1 j

ρkj , ⇐⇒ Mj = skj ρkj = sk+1 ρk+1 , j j

(7.63)

et enfin des ´equations pour la vitesse uk+1 et l’´energie ek+1 j j ⎧  " k k ∗ k k ∗ ⎨Mj uk+1 = Mj uk − Δt l , n p + l n p + + + − − − j j r  jr  jr jr  jr jr jr   " k+1 k k ⎩Mj e nkjr+ , u∗r p∗jr+ + ljr nkjr− , u∗r p∗jr− = Mj ekj − Δt r ljr + − j (7.64) Le choix de αj pr´econis´e par les auteurs est αj = ρkj ckj . Il a ´et´e observ´e une diff´erence de comportement entre le sch´ema (7.48-7.50) et le sch´ema (7.62-7.64) dans le cas de maillages en quadrangles. Le sch´ema (7.48-7.50) est en lui-mˆeme moins visqueux que le sch´ema (7.62-7.64). Voir quelques comparaisons dans les r´ef´erences [DM05, M07, K08]. En revanche le sch´ema (7.62-7.64) semble insensible aux modes en sabliers pour les maillages quadrangulaires, ce qui traduit une robustesse sup´erieure dans ce cas. 7.6.6 Un sch´ ema lagrangien sur grilles d´ ecal´ ees Les deux sch´emas pr´ec´edents ont toutes leurs inconnues principales centr´ees dans les maille indic´ees j. Il est instructif de comparer la structure de ces m´ethodes num´eriques avec celle de la m´ethode plus commun´ement utilis´ee. Celle-ci s’appuie sur les travaux de Von Neumann et Richtmyer [VNR50] en dimension un d’espace et a ´et´e ´etendue ensuite `a la dimension sup´erieure [W64, W80]. On renvoie a` la pr´esentation r´ecente qui en a ´et´e faite r´ecemment [S00]. La variante dite hydro-compatible a ´et´e propos´ee initialement dans [CBSW98, CSW] et a ´et´e compl´et´ee depuis dans les travaux [CRB, CL06, LC05]. Cette variante repose sur une int´egration temporelle astucieuse a` un pase ce qui lui permet d’ˆetre conservative par construction en ´energie totale. Pour la simplicit´e de la pr´esentation nous partons du sch´ema semi-discret (7.36) pour l’´evaluation de l’aire des mailles mobiles

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

sj (t) =



257

ljr (njr , ur ) .

r s (t)

La masse des mailles Mj = τjj (t) ´etant constante par hypoth`ese, on en d´eduit comme auparavant la loi d´evolution du volume sp´ecifique (7.37)  Mj τj (t) − ljr (njr , ur ) = 0. (7.65) r

L’´equation d’´energie totale n’est pas discr´etis´ee directement. A la place on part de la loi d’entropie que l’on discr´etise sous la forme εj (t) + (pj + qj ) τj (t) = 0.

(7.66)

Le terme qj ≥ 0 est une viscosit´e artificielle. La n´ecessit´e de ce terme apparaˆıt dans l’expression Tj Sj (t) = εj (t) + pj τj (t) = −qj τj (t). A priori les chocs sont des ph´enom`enes compressifs. Dans ce cas le terme −qj τj (t) se doit d’ˆetre positif, ce qui permet l’augmentation d’entropie n´ecessaire. L’expression optimale de la viscosit´e artificielle   2 q ≈ Δx C1 |∇u| + C2 |∇u| fait d´ebat depuis l’origine des sch´emas sur grilles d´ecal´ees [VNR50]. On renvoie ` [S00] pour une d´efinition multidimensionnelle. a A pr´esent nous nous concentrons sur la discr´etisation de l’´equation de quantit´e de mouvement. Dans cette m´ethode sur grille d´ecal´ee, la variable de vitesse est centr´ee aux noeuds du maillage sous la forme d’une fonction t → ur (t). La loi d’´evolution de ur s’appuie sur une discr´etisation de la loi de Newton sous la forme  Drj (pj + qj ) , (7.67) Mr ur (t) = − j

o` u les vecteurs g´eom´etriques Drj , qu’il nous faut d´efinir, d´ependent a priori du maillage au temps t. Dans cette " expression le gradient de la pression est discr´etis´e sous la forme −∇p ≈ − j Drj (pj + qj ). Nous dirons que le sch´ema est conservatif en quantit´e de mouvement ssi  Mr ur (t) = 0. r

Un point important consiste `a op´erer une d´efinition appropri´ee de l’´energie totale dans la maille j. On part de l’expression

258

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels



M j ej = M j εj +

r

1 2 Mjr |ur | 2

dans " laquelle les masses zonales Mjr restent `a d´efinir elles aussi. A priori efinition de r Mjr = Mj pour retrouver une consistance naturelle de la d´ l’´energie totale sur la maille j. Nous dirons que le sch´ema est conservatif en ´energie totale ssi  Mj ej (t) = 0. j

Lemme 70 Une condition suffisante pour avoir la conservation de l’´energie totale " et de la quantit´e de mouvement consiste ` a prendre Drj = −ljr njr et Mr = j Mjr avec Mjr constant en temps. En pratique les masses zonales Mjr sont d´efinies au pas de temps initial k = 0 par un calcul g´eom´etrique

o` u s0jr

Mjr = ρ0j s0jr " est une aire de contrˆ ole tel que r s0jr = s0j .

La relation Drj = −ljr njr est une version discr`ete de la relation de dualit´e entre les op´erateurs divergence et gradient. On a Mj ej (t) = Mj εj (t) +

 r

= − (pj + qj )



 1 2  Mjr (t) |ur | + Mjr Mjr (ur , ur (t)) 2 r ljr (njr , ur ) +



r

+

 Mjr r

Mr

r

⎛ ⎝ur , −



1 2  Mjr (t) |ur | 2 ⎞

Drj  (pj  + qj  )⎠ .

j

On a utilis´e les relations (7.65-7.67). Donc Mj ej (t) =

 r

−

 r

1 2  Mjr (t) |ur | 2

⎞  M jr ⎝ur , ljr njr (pj + qj ) + Drj  (pj  + qj  )⎠ . Mr  ⎛

j

Le premier terme d´epend de la variation des masses zonales. Il est naturel de  supposer que Mjr (t) = 0. On dit parfois que les masses zonales sont lagrangiennes. Le terme r´esiduel peut s’interpr´eter comme un bilan de flux aux coins de la maille " pour une formule de Volumes Finis. La relation de conservation globale j Mj ej (t) = 0 est v´erifi´ee d`es que

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

0=

 j

259

⎞

⎛

 ⎝ljr njr (pj + qj ) + Mjr Drj  (pj  + qj  )⎠ Mr  j

que l’on peut r´ecrire sous la forme ⎛ ⎞  Mjr   ⎝ ⎠ Drj (pj + qj ) = (ljr njr (pj + qj )) . Mr j j j " Supposons donc que Mr = j Mjr et Drj = −ljr njr . Alors la relation pr´ec´edente est toujours v´erifi´ee quelque soient les pressions pj et les viscosit´es artificielles qj . D’autre " part la loi d’´evolution de la quantit´e de mouvement s’´ecrit Mr ur (t) = j ljr njr (pj + qj ). Donc  r

Mr ur (t) =

 j

# (pj + qj )



$ ljr njr

=0

r

car on a (7.35). La preuve est termin´ee. Il s’agit ensuite de discr´etiser en temps pour terminer la construction du sch´ema. La variante dite hydro-compatible privil´egie un respect absolu de la loi de conservation d’´energie totale. Ce sch´ema est a` un pas, au sens o` u les inconnues au temps (k + 1)Δt se d´eduisent des inconnues au temps kΔt. On suppose donc que skj , τjk , εkj et ukr sont connus au pas de temps kΔt pour toute maille j et tout noeud r. On commence par d´eplacer les noeuds du maillage xk+1 = xkr + tukr ce qui permet r Mj de recalculer l’aire des mailles sk+1 puis la nouvelle densit´e ρk+1 = sk+1 . j j j

Ensuite nous faisons ´evoluer la vitesse des noeuds en discr´etisant (7.67) sous la forme Mr

 uk+1 − ukr r k = fjr , Δt j



k avec fjr = −Dkrj pkj + qjk .

(7.68)

k s’interp`ete comme la force venant de la maille j qui s’applique Le terme fjr sur le noeud d’indice r. Il reste alors `a faire ´evoluer l’´energie interne, de sorte que la loi de conservation de l’´energie totale soit encore vraie. On prend

 k k+1  εk+1 − εkj j k ur + ur =− . fjr , Δt 2 r

(7.69)

Lemme 71 Les relations (7.68-7.69) sont compatibles avec la pr´eservation de l’´energie totale.

260

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

On part de la d´efinition de l’´energie totale au pas de temps k Mj ekj = Mj εkj + ! ! " 1 ! k !2 r Mjr 2 ur . On a les relations Mj

ek+1 − ekj εk+1 − εkj  j j = Mj + Mjr Δt Δt r



+ ukr uk+1 − ukr uk+1 r , r 2 Δt



⎛ ⎞   k k+1 k+1 k   Mjr ⎝ ur + ur k ur + ur + , fjr , fjk r ⎠ =− 2 M 2 r  r r =

 r

⎛

⎞

Mjr  k ukr + uk+1 r k ⎝−fjr ⎠. + f , Mr  j r 2 j

Comme  j

on en d´eduit que

j

⎛

⎞  M jr k ⎝−fjr + f k ⎠ = 0 Mr  j r j

 j

#

ek+1 − ekj j Mj Δt

$ =0

ce qui termine la preuve. L’information importante est qu’il faut faire agir k la force fjr contre la demi-somme des vitesses pour un correct calcul de l’incr´ement d’´energie interne. Au final la partie non triviale du sch´ema dit hydro-compatible issu des travaux [CBSW98, CSW] est d´efini par les formules (7.68-7.69). Le choix de la viscosit´e artificielle qj rel`eve de l’art de l’ing´enieur. On renvoie aux r´ef´erences d´ej`a cit´ees pour la d´efinition pr´ecise de tous les param`etres de cette m´ethode num´erique. 7.6.7 Choix du maillage pour un calcul donn´ e Le choix d’un maillage pour un calcul lagrangien se fait le plus souvent en adaptant ce maillage aux conditions initiales. Nous distinguons deux types de maillage. Le premier cas correspond `a des mailles de forme triangulaire, le deuxi`eme cas a` des mailles `a quatre cˆ ot´es et plus. La raison de cette distinction est que les simulations avec des mailles triangulaires sont beaucoup plus robustes que les simulations avec des mailles `a quatre cˆot´es et plus. A titre d’illustration consid´erons les mailles de la figure 7.19. A gauche est figur´e une maille quadrangulaire dont deux noeuds se croisent. Cette op´eration est possible avec une surface totale positive. En revanche si deux noeuds tentent de se croiser sur un maillage triangulaire,

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

261

´ Fig. 7.19. Evolution possible pour une maille donn´ee

cela entraˆınera une compression de la maille : par conservativit´e de la masse, la masse volumique puis la pression vont augmenter de mani`ere importante ; cette pression va interagir avec le sch´ema par l’interm´ediaire des formules (7.48) ce qui entraˆınera finalement une expansion de la maille triangulaire qui avait ´et´e pr´eliminairement comprim´ee. A la fin de ce sc´enario il n’est pas possible `a un maillage triangulaire de d´eg´en´erer comme c’est le cas dans la partie gauche de la figure 7.19. Une preuve pour un sch´ema semi-discret en triangles est propos´ee dans [DM05]. La figure 7.17 pr´esente le r´esultat d’une simulation avec un tel maillage. De fa¸con concommitente, les maillages en triangles sont susceptibles de pr´esenter une raideur importante. Par raideur on entend par l` a que les variations du champ de vitesse vont se trouver fortement diminu´ees pour certaines configurations de type cisaillement par exemple. Ce comportement est compatible avec la robustesse des maillages en triangles. Des comportement collectifs instables sont possibles pour les mailles qui ont quatre cˆ ot´es ou plus. Ce sont les modes instables de type sablier. Cela est visible pour le r´esultat de la figure 7.20, pour laquelle le modes en sablier sont corr´el´es avec le fait que la force du choc est infinie. Pour un choc fort voire tr`es fort l’analyse de stabilit´e lin´earis´ee, qui n’est vraie en toute rigueur que pour le sch´ema semi-discret, peut ˆetre insuffisante. On rappelle que le sch´ema d´epend de la vitesse du son par l’interm´ediaire de αj ≈ ρj cj . En premi`ere approximation la vitesse du son augmente lors d’un choc. Dans l’analyse lin´earis´ee sur le pas de temps, la vitesse du son intervient dans la forme quadratique B et dans la forme quadratique A. La lin´earisation en temps a` consister a` remplacer la v´eritable forme quadratique A par son approximation au d´ebut du pas de temps. Une premi`ere cons´equence est que la vitesse du son c qui intervient dans A est probablement sous-´evalu´ee, alors qu’elle est ´egale a` la vitesse du son au d´ebut du pas de temps dans la forme quadratique B pour laquelle il n’y a pas d’approximation. Consid´erons la situation extrˆeme d’un choc infini pour lequel l’´etat avant choc est `a vitesse du son nulle pour un gaz parfait. Alors l’expression (7.57) pour B est singuli` ere par rapport a` c ≈ 0 et l’analyse pr´ec´edente se r´ev`ele inadapt´ee. De mˆeme la matrice Ar n´ecessaire

262

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

0.35

0.4 ’mesh14.Noh_polaire_inst’

’mesh14.Noh_polaire’ 0.35

0.3

0.3 0.25 0.25 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1

0.05

0.05

0

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Fig. 7.20. Probl`eme de Noh. La donn´ee initiale est ρ = 1, p = 10−6 , la vitesse initiale est centrip`ete de norme 1. La solution exacte se compose d’un choc infini centrifuge apr`es lequel la masse volumique est de 16 et la vitesse nulle. Le r´esultat de gauche pr´esente des instabilit´ es en sablier. Le r´esultat de droite est stable. Il a suffit d’augmenter la vitesse du son dans le flux pour stabiliser le sch´ema.

pour la mise en oeuvre est `a la limite nulle  1 1   k+ 1 2 k+ 2 Ar = ljr 2 αj nk+ ≈0 ⊗ n jr jr j

car αj est proportionnel a` ρj cj ≈ 0. Un rem`ede simple consiste `a d´esingulariser B et donc `a prendre une vitesse du son strictement positive arbitraire dans ce cas de figure. Une ´evaluation mˆeme grossi`ere de la vitesse du son derri`ere le choc est a priori suffisante csolveur ← c apr`es le choc . Voir la figure 7.20 pour une utilisation de cette m´ethode `a la stabilisation de la solution num´erique pour le tube a` choc de Noh. Il faut bien avoir a` l’esprit que si des cisaillements, c’est ` a dire des lignes de glissement, sont pr´ esents dans la simulation, alors aucune m´ ethode lagrangienne n’est suffisante en elle-mˆ eme pour un calcul num´ erique efficace. Ce ph´enom`ene est ind´ependant du maillage ou du sch´ema lagrangien utilis´e. Il faut n´ecessairement adjoindre au sch´ema une m´ethode de remaillage ou de r´egularisation de maillage. Un exemple tir´e de [BDP08] est propos´e aux figures 7.21 et 7.22. Le calcul de figure 7.23 est repr´esentatif d’un calcul avec des mailles quandrangulaires, dans le cas o` u le maillage reste correct.

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

263

Fig. 7.21. On simule la chute d’une goutte de liquide en noir dans un gaz, typiquement de l’air. La gravit´e est orient´ee verticalement vers le bas. La d´eformation importante du maillage final rend illusoire toute interp´etation raisonnable du r´esultat. Cela est dˆ u aux cisaillements et aux tourbillons de l’´ecoulement physique qui ne sont pas rendus par la m´ethode purement lagrangienne.

Fig. 7.22. Nous reprenons le probl`eme de la figure 7.21. Un algorithme de reconnection de maillage (m´ethode de Free Lagrange bas´e sur d’un maillage de Delaunay-Vorono¨ı) permet le glissement des mailles les unes au dessus des autres.

7.6.8 Gravit´ e et ´ equilibre hydrostatique La prise en compte de la force de gravit´e est n´ecessaire pour les applications en g´eophysique. Consid´erons donc la formulation lagrangienne des ´equations

264

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels 0.1 ’mesh0.test’

0.08

0.06

0.04

0.02

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1 ’mesh40.test’

0.08

0.06

0.04

0.02

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 7.23. Probl`eme de Saltzmann calcul´e sur un maillage mobile quadrangulaire ` T = 0.4. Une vitesse de piston up = 1 est impos´ee en bas. Le gaz est initialement a au repos. On observe un choc qui file devant le piston. Ce type de probl`eme teste la sensibilit´e de la m´ethode num´erique par rapport au d´eplacement du maillage.

de la dynamique d’un fluide sous l’influence d’un champ de gravit´e orient´e dans la direction des y n´egatif g = (0, −g). Nous ´etudions un sch´ema qui g´en´eralise naturellement (7.50) sous la forme 

" k k ∗ Mj uk+1 = Mj ukj − Δt r ljr n p + M Δtg, j

" k jrk jr ∗ ∗ j k k Mj ek+1 = M e − Δt l j j j r jr njr , ur pjr + Mj Δt g, uj .

(7.70)



Le terme de travail de la force de gravit´e g, ukj peut aussi ˆetre remplac´e par #

ukj + uk+1 j g, 2

$

qui r´ealise une ´evaluation centr´ee du travail de la gravit´e. Cette ´evaluation diff´erente du travail de la gravit´e a peu d’importance pour ce qui suit. L’´etat d’´ equilibre hydrostatique se d´efinit par

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

u∗r = uk+1 = ukj = 0 et ek+1 = ekj . j j Pour l’´equation de quantit´e de mouvement dans (7.70) cela impose  k k ∗ ljr njr pjr + Mj Δtg. 0 = −Δt

265

(7.71)

(7.72)

r





Compte tenu de (7.48) qui implique p∗jr +αj nkjr , u∗r = pkj +αj nkjr , ukj , on obtient trois de relations de compatibilit´e avec l’´equilibre hydrostatique (7.71) ⎧ ∗ ⎪ pkj , (vient de (7.48)), ⎨ pjr =" k k ∗ njr pjr + Mj Δtg = 0, (vient de (7.72)), −Δt r ljr ⎪ ⎩ " lk+ 12 nk p∗ = 0, (vient de (7.48)). i jr

jr jr

" k k Comme r ljr njr = 0 ces relations de compatibilit´e hydrostatique se simplifient en deux ´equations ind´ependantes  Mj Δtg = 0, " k k k j ljr njr pj = 0. Le probl`eme se pose essentiellement pour la premi`ere ´equation. On aboutit ` une contradiction manifeste pour g = 0 qui montre que le sch´ema ne peut a pas capturer l’´equilibre hydrostatique. De ce fait des mouvements ou oscillations en vitesse, aussi appel´es courants parasites, apparaˆıssent lors des simulations. Nous d´ecrivons `a pr´esent une m´ethode qui int`egre le terme source de gravit´e dans la d´etermination des flux. Cela permettra de mieux respecter l’´etat d’´equilibre hydrostatique. Le cas 1D Commen¸cons par revenir sur la situation modimensionelle. Le syst`eme eul´erien est ⎧ ⎨ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x ρu2 + p = −ρg, ⎩ ∂t (ρe) + ∂x (ρue + pu) = −ρgu. Nous utilisons une id´ee due ` a Cargo et Leroux [CL94] qui consiste `a d´efinir un potentiel q tel que ∂x q = −ρg et ∂t q = ρgu. Cela est compatible avec ∂t ρ+∂x (ρu) = 0. On v´erifie que le potentiel q satisfait ∂t (ρq) + ∂x (ρuq) = ρ (∂t + u∂x ) q = 0.

266

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Donc le syst`eme eul´erien non homog`ene s’´ecrit aussi sous la forme d’un syst`eme de quatre lois de conservation ⎧ ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t (ρq) + ∂x (ρuq) 2 = 0,

∂ ρu + Φ = 0, Φ = p − q (ρu) + ∂ ⎪ t x ⎪ ⎩ ∂t (F ) + ∂x (ρuF + Φu) = 0, F = ρe + q. La quantit´e F est l’´energie totale dans laquelle on tient compte de l’´energie potentielle de gravitation q. Sous forme lagrangienne on obtient ⎧ ∂t τ − ∂m u = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂t Φ = 0, ∂t u + ∂m Φ = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t f + ∂m (Φu) = 0, f = e + τ q. Ce syst`eme est compatible avec ∂t S = 0. Cela est naturel car le syst`eme sans gravit´e satisfait cette loi d’entropie et la gravit´e ne modifie pas l’´equilibre thermodynamique de la mati`ere. On est dans le cadre d´ecrit au th´eor`eme 4.3. Ici T dS = dε+pdτ = de−udu+pdτ = d(f −τ q)−udu+pdτ = df −udu−τ dq+Φdτ. Donc

⎛

⎞ Φ 1 ⎜ −τ ⎟ ⎟, −V = (∇U S)t = ⎜ T ⎝ −u ⎠ 1

⎛

⎞ ⎛ Φ 00 Ψ = ⎝ −τ ⎠ et M = ⎝ 0 0 −u 10

⎞ 1 0⎠ 0

Le sch´ema lagrangien avec deux vitesses du son diff´erentes qui g´en´eralise (6.11) est ⎧    ⎨ Φ∗ 1 − Φj + ρj cj u∗ 1 − uj = 0, j+ 2     j+ 2 (7.73) ⎩ Φ∗ 1 − Φj+1 − ρj+1 cj+1 u∗ 1 − uj+1 = 0. j+ j+ 2

2

On obtient alors le sch´ema lagrangien (Mj > 0 est la masse pr´esente dans la maille j)  ⎧ k+1

 ∗ k ∗ ⎪ M = 0, τ − u − τ ⎪ 1 − u 1 j j j j+ 2 j− 2 ⎪ ⎪

⎪ ⎨ Mj q k+1 − q k = 0, j  jk+1

 ∗ k ⎪ u + Φj+ 1 − Φ∗j− 1 = 0, − u M j j j ⎪ ⎪ 2 2   ⎪ ⎪ ⎩ Mj f k+1 − f k + Φ∗ 1 u∗ 1 − Φ∗ 1 u∗ 1 = 0. j

j

j+ 2

j+ 2

j− 2

j− 2

Ce sch´ ema respecte par construction les solutions stationnaires et l’´ equilibre hydrostatique. On peut le reformuler plus directement. On commence par remarquer que la vitesse est

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

u∗j− 1 = 2

267

ρj cj uj + ρj+1 cj+1 uj+1 ρj cj ρj+1 cj+1 + (Φj − Φj+1 ) . ρj cj + ρj+1 cj+1 ρj cj + ρj+1 cj+1

Le terme visqueux est Φj − Φj+1 = pj − pj+1 + qj+1 − qj . Il paraˆıt natuΔx ρ +Δx ρ rel de prendre comme initialisation qj+1 − qj = −g j j 2 j+1 j+1 qui est compatible avec ∂x q = −ρg. Donc 1 1 qj+1 − qj = − gMj − gMj+1 2 2 et Φj − Φj+1 =

    1 1 pj − gMj − pj+1 + gMj+1 . 2 2

En incorporant dans la vitesse on trouve ρj cj uj + ρj+1 cj+1 uj+1 ρj cj + ρj+1 cj+1     1 1 pj − gMj − pj+1 + gMj+1 . 2 2

u∗j− 1 = 2

+

ρj cj ρj+1 cj+1 ρj cj + ρj+1 cj+1

D’une certaine mani`ere il suffit de modifier la pression (pj devient pj − 12 gMj et pj+1 devient pj+1 + 12 gMj+1 ) pour obtenir la d´efinition de la vitesse u∗j− 1 . 2 On poursuit l’analogie et on d´efinit alors la pression d’interface grˆace `a ⎧    ⎨ p∗ 1 − pj + ρj cj u∗ 1 − uj = − 1 gMj , 2  j+ 2    j+ 2 (7.74) ⎩ p∗ 1 − pj+1 − ρj+1 cj+1 u∗ 1 − uj+1 = 1 gMj+1 2 j+ j+ 2

2

dont les solutions sont bien sˆ ur conformes aux p∗j+ 1 et u∗j+ 1 d´ej`a d´etermin´es. 2 2 Il est alors ais´e d’´ecrire l’´equation d’impulsion sous la forme 

 ∗ k ∗ Mj uk+1 =0 + Φ − u − Φ 1 1 j j j+ j− 2



k



− uj + p∗j+ 1 − p∗j− 1 ⇐⇒ Mj uk+1 j 2

2



2



   = p∗j+ 1 − p∗j− 1 − Φ∗j+ 1 − Φ∗j− 1 . 2

2

2

2

(7.75) Or par construction en comparant les premi`eres lignes de (7.73) et (7.74) on a     Φ∗j+ 1 − Φj + ρj cj u∗j+ 1 − uj 2

2

    1 − p∗j+ 1 − pj + ρj cj u∗j+ 1 − uj = gMj 2 2 2 c’est `a dire

1 p∗j+ 1 − Φ∗j+ 1 = − gMj + pj − Φj . 2 2 2 De mˆeme en comparant les deuxi`emes lignes de (7.73) et (7.74) on a

(7.76)

268

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels



   Φ∗j+ 1 − Φj+1 − ρj+1 cj+1 u∗j+ 1 − uj+1 2

−



p∗j+ 1 − pj+1

c’est `a dire

2

2



  1 − ρj+1 cj+1 u∗j+ 1 − uj+1 = − gMj+1 2 2

1 Φ∗j+ 1 − p∗j+ 1 = − gMj+1 + Φj+1 − pj+1 . 2 2 2

D´ecalons l’indice 1 Φ∗j− 1 − p∗j− 1 = − gMj + Φj − pj . 2 2 2

(7.77)

Injectons (7.76) et (7.77) dans (7.75). On obtient l’´equation d’impulsion sous la forme 

 ∗ k ∗ Mj uk+1 = −gMj . + p − u − p (7.78) 1 1 j j j+ j− 2

2

En r´esum´e il suffit d’ajouter les second membres dans (7.74) ainsi que le terme source naturel dans (7.78) pour obtenir un solveur hydrostatique en dimension un d’espace.

Le cas 2D Nous reprenons la remarque pr´ec´edente pour le solveur multidimensionnel. Le

source Mj g ne pose pas de probl`eme particulier. Notons terme a l’it´er´e k. Soit xkr = xkr , yrk la position du noeud r `

xkj = xkj , yjk la position du centre de gravit´e de la maille j. Nous proposons de remplacer (7.48) par le solveur hydrostatique





 ∗ pjr + αj nkjr , u∗r = pkj + αj nkjr , ukj + ρkj g, xkr − xkj , ∀j, " k k ∗ (7.79) i ljr njr pjr = 0, avec αj = ρkj ckj .

Le terme nouveau est ρkj g, xkr − xkj au second membre de la premi`ere ´equation. C’est une g´en´eralisation du terme second membre ± 12 gMj en dimension un d’espace. Le syst`eme (7.79) est inversible : la vitesse u∗r et les pressions p∗jr sont uniquement d´etermin´ees par cette proc´edure. Supposons l’´equilibre hydrostatique (7.71) r´ealis´e. En reprenant l’analyse pr´ec´edente on obtient les relations de compatibilit´e

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

5

269

5 "mesh_leger1.R-Tv" "mesh_lourd1.R-Tv" "interface1.R-Tv" ’velocity1.R-Tv’ using 1:2:3:4

"mesh_leger1.R-T" "mesh_lourd1.R-T" "interface1.R-T" ’velocity1.R-T’ using 1:2:3:4

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 7.24. Instabilit´e de Rayleigh-Taylor. Comparaison entre le solveur hydrostatique ` a gauche et le solveur classique ` a droite. La vitesse des noeuds est repr´esent´ee par les fl`eches violettes. Le solveur classique d´eveloppe des courants parasites qui sont du mˆeme ordre que le champ de vitesse ` a l’interface. Le solveur hydrostatique ne pr´esente pas de courants parasites.

270

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

⎧

∗ ⎪ pkj + ρkj g, xkr − xkj , ⎨ pjr =" k k ∗ njr pjr + Mj Δtg = 0, −Δt r ljr 1 " ⎪ k+ ⎩ k ∗ 2 l n p = 0. jr jr

i jr

Apr`es simplification pour les deux premi`eres ´equations on obtient une relation de compatibilit´ e hydrostatique diff´erente # $ 

k k k k − + skj g = 0 ljr njr g, xr − xj r

que l’on peut r´ecrire skj g =





k k ljr njr g, xkr .

r

Or cette relation est toujours v´erifi´ee car c’est une cons´equence du lemme g´eom´etrique qui suit. Cela montre que le solveur hydrostatique pr´ eserve l’´ equilibre hydrostatique. Lemme 72 On a l’identit´e g´eom´etrique  ljr njr ⊗ xr = sj I

(7.80)

r



On a sj = =

 k

 (∂x x) dxdy =

Ωj

ljk cos θjk

(n, (x, 0)) dσ ∂Ωj

 xk+ + xk− = ljr cos θjr xr . 2 r

La somme est `a prendre sur les bords k de la maille : xk+ " et xk− sont les coordonn´ees des extr´ e mit´ e s du bord jk. Par sym´ e trie s = j r ljr sin θjr yr .  " On a aussi 0 = Ωj (∂x y) dxdy = ljr cos θjr yr et par sym´etrie 0 = r " ee. r ljr sin θjr xr . La preuve est termin´ Examinons finalement ce qu’il advient de la derni`ere ´equation  

0= ljr njr p∗jr = ljr njr pkj + ρkj g, xkr − xkj . j

j

Cela devient une ´equation sur les pressions qui caract´erise les configurations stationnaires. L’´etude des solutions de cette ´equation en relation avec les ´el´ements g´eom´etriques du maillage est un probl`eme ouvert. On notera que l’incompatibilit´e manifeste du solveur (7.48) a ´et´e lev´ee grˆace au solveur hydrostatique (7.79).

7.6 Dynamique des gaz lagrangienne

271

7.6.9 Convergence Est-il possible de g´en´eraliser un th´eor`eme de convergence aussi faible que le th´eor`eme de Lax-Wendroff 3.4 aux calculs lagrangiens multidimensionnels ? Cela paraˆıt difficile pour des raisons th´eoriques li´ees `a l’hyperbolicit´e faible du syst`eme lagrangien de la dynamique des gaz compressibles. En effet on pourrait penser a` la strat´egie de preuve suivante. ´ 1) Ecrire le sch´ema discret (sur grille mobile) dans un r´ef´erentiel dans lequel la grille est fixe. On pourra consulter [DM05] ou mieux [M07]. Le syst`eme complet sera constitu´e des inconnues physiques et, n´ecessairement, d’une discr´etisation des inconnues g´eom´etriques (A, B, L, M ). 2) V´erifier que le sch´ema est compatible avec une condition d’entropie. C’est le cas. 3) Faire l’hypoth`ese que la solution converge dans L1 vers une limite : UΔx → U. 4) Faire l’hypoth`ese que la solution est born´ee dans L∞ . 5) Puis reproduire le passage `a la limite de la preuve du th´eor`eme 3.4. Le point bloquant est le point 4). En effet les inconnues g´eom´etriques n’ont pas de raison d’ˆetre born´ees dans L∞ . Pour des probl`emes de cisaillement, les inconnues g´eom´etriques prennent des valeurs mesures et ne pourront donc pas ˆetre born´ees. Consid´erons la condition initiale de la figure 7.25.

Y u(Y ) > 0

X u(Y ) < 0 Fig. 7.25. Cisaillement en 2D

On suppose que la vitesse verticale est nulle, la pression constante et que la vitesse horizontale est une fonction de la coordonn´ee Y . Pour ce probl`eme la solution physique est

272

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

x = X + tu(Y ), ce qui fait que

y=Y

A = 1, B = 0, L = tu (Y ), M = 1.

En supposant que la fonction u(Y ) est discontinue u(Y ) = 1 pour Y > 0,

u(Y ) = 0 pour Y < 0,

L est proportionnel a` la fonction de Dirac L = tδ(Y ). Le point 4) dans la strat´egie de preuve ne sera pas v´erifi´e dans ce cas de figure (cela d´epend de la configuration physique), ce qui rend impossible la preuve de convergence de type Lax-Wendroff. De plus au niveau num´erique des probl`emes importants de stabilit´e se poseront n´ecessairement. Tout ce que l’on peut affirmer est que les cisaillements sont li´es `a la faible hyperbolicit´e du syst`eme lagrangien de la dynamique des gaz compressibles et sont la source de maillages pathologiques. Une piste se trouve du cˆ ot´e des m´ethodes ALE (Arbitrary Lagrange Euler) [C04] pour lesquelles la vitesse du maillage (u∗ , v ∗ ) n’est pas ´egale a` la vitesse du fluide (u, v), tout en en ´etant a priori proche. G´en´eralisons l’analyse de la section 5.5 qui a ´et´e faire en dimension un . Un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles adapt´e en dimension deux d’espace est alors constitu´e du changement de coordonn´ees  ∂t x(t, X, Y ) = u∗ , x(0, X, Y ) = X, ∂t y(t, X, Y ) = v ∗ , y(0, X, Y ) = Y, des ´equations de compatibilit´e ⎧ ⎨ ∂t J − ∂X (u∗ M − v ∗ L) − ∂Y (v ∗ A − u∗ B) = 0, ∂X M − ∂Y B = 0, ⎩ −∂X L + ∂Y A = 0. et des ´equations physiques ⎧ ∂t (ρJ) +∂X (ρ(u − u∗ )) +∂Y (ρ(v − v ∗ )) = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∗ +∂Y (−pB + ρ(v − v ∗ )u) = 0, ∂t (ρJu) +∂X (pM + ρ(u − u )u) ∗ ∂t (ρJv) +∂X (−pL + ρ(u − u )v) +∂Y (pA + (ρ(v − v ∗ )v) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ ∗ ∂t (ρJe) +∂X (puM − pvL + ρ(u − u )e) +∂Y (pvA − puB + ρ(v − v ∗ )e) = 0. L’analyse math´ematique et num´erique de ces questions dans le cas o` u (u∗ , v ∗ ) est proche (u, v) est compl`etement ouverte.

7.7 Exercices

273

7.7 Exercices Exercice 48 • Soit le syst`eme de la dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d’espace avec gravit´e constante ⎧ ⎨ ∂t τ − ∂m u = 0, ∂t u + ∂m p = g, ⎩ ∂t e + ∂m pu = gu. Montrer que l’on peut le mettre sous la forme d’un syst`eme de taille quatre ⎧ ⎪ ⎪ ∂t τ − ∂m u = 0, ⎨ ∂t x = u, ∂t u + ∂m p = g, ⎪ ⎪ ⎩ ∂t (e − q) + ∂m pu = 0 pour un potentiel q ` a d´eterminer. V´erifier que ce syst`eme peut se mettre sous la forme (7.1). En d´eduire un sch´ema num´erique entropique en s’inspirant de (7.3-7.5). Exercice 49 Soit le sch´ema (7.48-7.50). Nous ´etudions un ´ecoulement num´erique lagrangien de translation. On suppose que la vitesse ukj = U est constante et que la pression pkj = P est constante. Montrer que le maillage est juste translat´e `a la vitesse U et que uk+1 = U et pk+1 = P pour toute maille j. j j Exercice 50 Soit le sch´ema (7.48-7.50). On suppose que les flux p∗jr et u∗jr au second membre de (7.50) sont remplac´es par pkj et ukj . Montrer que ce n’est pas correct. Exercice 51 Soit un syst`eme lagrangien vraiment multidimensionnel de taille n en dimension d, avec M0 = 0 pour simplifier. Montrer qu’on peut l’´ecrire sous la forme ∂t u(t, x1 , · · · , xd ) +

d 

∂xj fj (u(t, x1 , · · · , xd )) = 0

(7.81)

j=1

avec la propri´et´e de divergence nulle

"d j=1

∂xj fj (v) = 0 pour tout v ∈ Rn .

274

7 Syst`emes lagrangiens multidimensionnels

Exercice 52 On d´efinit la classe des syst`emes lin´eaires de Friedrichs A0 ∂t W +

d 

Ai ∂Xi W = 0.

i=1

Les matrices Ai = Ati sont sym´etriques et A0 = At0 > 0 est d´efinie positive. Montrer que la lin´earisation d’un syst`eme lagrangien vraiment multidimensionnel avec des matrices Mi gel´ees est un syst`eme de Friedrichs. On utilisera la variable W = Ψ1 o` u Ψ1 ∈ Rn−1 est le lin´earis´e de Ψ . On commencera par ´eliminer le lin´earis´e de l’entropie.

7.8 Notes bibliographiques L’´etude des relations d’invariance par rotation des mod`eles issus de la m´ecanique des milieux continus est trait´ee dans [GR03]. L’´etude du lien ente l’invariance par rotation est les syst`emes lagrangiens multidimensionnels est un probl`eme ouvert. Le formalisme pr´esent´e met en jeu des relations de divergence nulle qui prennent le nom pour les syst`emes ferm´e de relations involutives, voir les travaux de Boillat r´esum´es dans [B96]. La construction de sch´emas de MHD multidimensionelles `a partir de la formulation lagrangienne multidimensionelle est abord´ee pour la premi`ere fois dans [DD98]. La construction de m´ethodes num´eriques lagrangiennes fait r´ef´erence aux travaux historiques de Von Neumann [VNR50] d’une part, et de Godunov d’autre part [GZIKP79]. Le renouveau de l’´etude des m´ethodes lagrangiennes pour la dynamique des gaz est amorc´ee dans [L02, HL90, HLL99, HK01]. Voir [W02] dans le cas monodimensionnel. Le sch´ema lagrangien avec le principe de construction pr´esent´e dans ce texte a ´et´e publi´e pour la premi`ere fois en 2003 dans [DM03] avec l’id´ee pour la premi`ere fois que les flux doivent passer par les noeuds dans le cas lagrangien. Le principe g´en´eral est d´etaill´e dans [DM05] avec une discussion des conditions de bord usuelles. Une analyse d´etaill´ee est pr´esent´ee dans le travail de th`ese de Constant Mazeran [M07]. La duexi`eme m´ethode, proche sur le plan des principes g´en´eraux mais diff´erente in fine, vient des travaux [AMJ04, M09, MNK08] qui ont pour objet la r´esolution num´erique du syst`eme de la dynamique des gaz compressibles dans un contexte FCI (Fusion par Confinement Inertiel). La diff´erence entre les deux variantes se situe au niveau des flux aux noeuds qui sont calcul´es par des m´ethodes l´eg`erement diff´erentes. Ce qui donne lieu a` des propri´et´es finales l´eg`erement diff´erentes. De nouvelles variantes vont probablement voir le jour sous peu, l’analyse num´erique de ces m´ethodes en ´etant a` ses d´ebuts. Une famille diff´erente de sch´emas lagrangiens est propos´ee dans [LW02]. Dans cette direction on poura aussi consulter les travaux [SLS07, SCHS07, S07, Sc07] avec une inspiration plus El´ements-Finis et un traitement num´erique diff´erent de la transformation Euler-Lagrange. Tous ces travaux montrent aussi que les configurations

7.8 Notes bibliographiques

275

tridimensionelles pr´esentent un accroissement consid´erable des difficult´es tant au niveau de l’analyse num´erique que de la mise en oeuvre. Les techniques ALE et de Free Lagrange sont discut´ees dans [B92, TFC91]. Voir [DM92] pour une analyse des erreurs de vorticit´e pour le sch´ema issu de [VNR50]. Le nouveau solveur hydrostatique est pr´esent´e pour illustrer les potentialit´es des sch´emas lagrangiens pour les fluides g´eophysiques. L’id´ee de modifier les flux pour prendre en compte la gravit´e `a ´et´e introduite en dimension un d’espace dans le sch´ema ´equilibre [CL94]. La d´efinition et l’´etude de sch´emas ´equilibres [GL96, G01, BD07] qui g´en´eralisent le solveur hydrostatique dans un contexte eul´erien plus large est un domaine de recherche actif. La th´eorie math´ematique des syst`emes hyperbolique sur une vari´et´e (7.81) est d´evelopp´ee dans [AMO07, BL07].

Litt´ erature

[AG01]

R. Abgrall et H. Guillard, Mod´elisation num´erique des fluides compressibles , Series in Applied Mathematics, Elsevier, 2001.

[AMJ04] R. Abgrall, P. H. Maire et J. Ovadia, A lagrangian scheme for multidimensional compressible flow problems, SIAM J. Sci. Comp., 27, 2007. [AMO07] P. Amorim, P. G. Lefloch et B. Okumuster, Finite volume schemes on Lorentzian maniflods, Rapport R07039, Lab JLL, Universit´e Paris VI, 2007. [BCT05] M. Baudin, F. Coquel et Q.-H. Tran, A semi-implicit relaxation scheme for modeling two-phase flows in a pipeline, SIAM J. Sci. Comp., 27(3), 914-936, 2005. [BL07]

M. Ben-Artzi et P. G. Lefloch, The well-posedness theory for geometry compatible hyperbolic conservation laws on manifolds, Ann. Inst. H. Poincar´e, Nonlin. Anal., 2007.

[B92]

D. J. Benson, Computational methods in lagrangian and eulerian hydrocodes, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 99 (1992), 235–394.

[BDP08] Lagrangian method enhanced with edge swapping for the free fall and contact problem, p. 46 Etienne Bernard, St´ephane Del Pino, Erwan Deriaz, Bruno Despr´es, Katerina Jurkova et Fr´ed´eric Lagoutire, 46-59, ESAIM : Proceedings Vol. 24, Editeurs : C. Dobrzynski, P. Freyet Ph. Pebay, 2008. [BD99]

F. Bezard and B. Despr´es, An entropic solver for ideal lagrangian magnetohydrodynamics, J. Comp. Phys., 154, no. 1, 65–89. (1999).

[B96]

G. Boillat, Nonlinear hyperbolic fields and waves. Recent mathematic59, al methods in nonlinear wave propagation (Montecatini Terme, 1994), 1–47, Lecture Notes in Math., 1640, Springer, Berlin, 1996.

[B03]

F. Bouchut, Entropy satisfying fluw vector splittings and kinetic BGK models, Numer. Math., 94, 623-672, 2003.

[B04]

F. Bouchut, Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolic conservation laws and well-balanced schemes for sources, Frontiers in Mathematics, Bikh¨ auser, 2004.

278

Litt´erature

[BD07]

C. Buet and B. Despr´es, A gas dynamics scheme for a two moments model of radiative transfer, Tech. report CEA-R-6143, 2007.

[Bu48]

J. . Burgers, A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Adv. Appl. Mech., 1, 171-199, 1948.

[CBSW98] E. J. Caramana, D. E. Burton, M. J. Shashkov et P. P. Whalen, The construction of compatible hydrodynamics algorithms utilizing conservation of total energy, J. Comput. Phys., 146, 227–262, 1998. [CL06]

E. J. Caramana et R. Loubere, Curl-Q : a vorticity damping artificial viscosity for lagrangian hydrodynamics calculations, J. Comput. Phys., 215(2), 385-391, 2006.

[CRB]

E. J. Caramana, C. L. Roulscup et D. E. Burton, D. E, A compatible, energy and symmetry preserving lagrangian hydrodynamics algorithm in three-dimensional cartesian geometry, J. Comput. Phys., 157, 89-119, 2000.

[CSW]

E. J. Caramana,M. J. Shashkov et P. P. Whalen, Formulations of artificial viscosity for multidimensional shock wave computations, J. Comput. Phys., 144, 70-97, 1998.

[CG97]

P. Cargo, G. Gallice, Roe matrices for ideal MHD and systematic construction of Roe matrices for systems of conservation laws, J. Comp. Phys., 136, , pp. 446-466, 1997.

[CGR96] P. Cargo, G. Gallice et P-A. Raviart, Construction d’une lin´earis´ee de Roe pour les ´equations de la MHD id´eale, C. R. Acad. Sci. Paris, 323, s´erie I, pp. 951-955, 1996. [CL94]

P. Cargo and A. Y. Leroux, Un sch´ema ´equilibre adapt´e au mod`ele d’atmosph`ere avec termes de gravit´e, C. R. Acad. Sci. Paris, 318, s´erie I, pp. 73-76, 1994.

[C04]

J. Castor, Radiation hydrodynamics, Cambridge University Press, 2004.

[CCM07] C. Chalons, F. Coquel et C. Marmignon, Well-balanced time implicit formulation of relaxation schemes for the Euler equations, SIAM J. Sci. Comp., 30(1), 394-415, 2007. [CP97]

F. Coquel and B. Perthame, Relaxation of Energy and Approximate Riemann Solvers for General Pressure Laws in Fluid Dynamics, SIAM J. Numer. Anal. 35, 2223-2249, 1998.

[CGPIR01] F. Coquel, E. Godlewski, . Perthame, A. In, O. Rascle, Some new Godunov and relaxation methods for two-phase flow problems, Godunov methods (Oxford, 1999) 179-188, Kluwer-Plenum, 2001. [CFL28] R. Courant, K.O. Friedrichs et H. Lewy, Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematisches Physik, Math. Ann., 100, 32-74, 1928. [D00]

C. M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics, Springer Verlag 325, (2000).

[W94]

W. Dai et P. R. Woodward, An approximate Riemann solver for ideal magnetohydrodynamics, J. Comp. Phys., 111, pp. 354-372, 1994.

[DW97]

W. Dai et P. R. Woodward, A high-order Godunov-type scheme for shock interactions in ideal magnetohydrodynamics, SIAM J. Sci. Comput., 18, pp. 957-981, 1997.

Litt´erature

279

[DW98]

W. Dai et P.R. Woodward, A simple finite difference scheme for multidimensional magnetohydrodynamical equations, J. Comp. Phys. 142, 331-369, 1998.

[D99]

B. Despr´es, Structure des syst`emes de lois de conservation en variables Lagrangiennes, C. R. Acad. Sci., S´erie I, 328, pp 721–724, 1999.

[D00]

B. Despr´es, About some genuinely conservative Eulerian-Lagrangian models for compressible multi-phase flows, Trends in numerical and physical modeling for industrial multi-phase flows, CMLA-ENS Cachan, France, 2000.

[D01]

B. Despr´es, Lagangian systems of conservation laws, Numer. Math., 89, 99-134, 2001.

[DM03]

B. Despr´es and C. Mazeran, Symetrization of Lagrangian gas dynamics and multidimensional solvers, C. R. Acad. Sci. M´ecanique, 331, 475-480, 2003.

[DM05]

B. Despr´es and C. Mazeran, Lagrangian Gas Dynamics In Dimension Two, Arch. Rat. Mech. Anal., 178. 327-372, 2005.

[DLR03] B. Despres, F. Lagouti`ere et D. Ramos, Stability of a thermodynamically coherent multiphase model, M2AS, 13 (10), 1463-1487, 2003. [DD98]

F. Desveaux et B. Despr´es, Etude d’un sch´ema numrique pour la magn´etohydrodynamique multidimensionnelle, Rapport technique CMLA 2000-07, 2000.

[D]

F. Dubois, Syst`emes de lois de conservation invariants de Galil`ee, ESAIMProceedings, volume 10, p. 233-266, Cemracs 1999.

[DD05]

F. Dubois et B. Despr´es, Syst`emes hyperboliques et dynamique des gaz, aplication a ` la dynamique des gaz, Editions de l’Ecole Polytechnique, 2005.

[DM92]

J. K. Dukowicz, B. Meltz, Vorticity errors in multidimensional lagrangian codes, J. Comput. Phys., 99, no. 1, 115–134, 1992.

[EGH00] R. Eymard, T. Gallouet et R. Herbin, Finite Volume methods, in Handbook of Numerical Analysis, 2000. [G03]

G. Gallice, Positive and entropy stable Godunov-type schemes for gas dynamics and MHD equations in Lagrangian or Eulerian coordinates, Numer. Math., 94, 673-713, 2003.

[G95]

G. Gallice, M´ethodes num´eriques pour la MHD, GdR SPARCH, Marseille France, 1995.

[G]

S. Gavrilyuk, communication priv´ee.

[GR96]

E. Godlevski et P.A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws, Springer Verlag New York, AMS 118, 118, (1996).

[GR91]

E. Godlevski et P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws, Paris Ellipse, 1991.

[GR95]

S. K. Godunov et E. I. Romensky, Thermodynamics, conservation laws and symmetric forms of differential equations in mechanics of continuous media, in Comput. Fluid Dynamics Review, John Wiley and Sons, New York, 19–31, 1995.

280

Litt´erature

S.K. Godunov et E. I. Romensky, Elements of continuum mechanics and conservation laws, Kluwer academic, 2003. [G60] S. K. Godunov Sur la notion de solution g´en´eralis´ee, DAN, 134 :1279– 1282, 1960. [G86] S. K. Godunov, Lois de conservation et int´egrales d’´energie des ´equations hyperboliques, in Nonlinear hyperbolic problems, Proceedings, St Etienne, 1270, Springer Verlag, 1986. [GZIKP79] S. K. Godunov, A. Zabrodine, M. Ivanov, A. Kraiko and G. Prokopov, R´esolution num´ erique des probl` emes multidimensionnels de la dynamique de gaz, Edition Mir, Moscou, 1979. [GR03]

[G01]

L. Gosse, A well-balanced scheme using non-conservative products designed for hyperbolic systems of conservation laws with source terms, M3AS, 11, 2 339–365, 2001.

[GL96]

J. M. Greenberg and A. Y. Leroux, A well-balanced scheme for the numerical processing of source terms in hyperbolic equations, SIAM J. Numer. Anal., 33, 1, 1–16, 1996.

[H06]

W. H. Hui, Unified coordinate system in computational fluid dynamics, Comm. Comp. Phys., 2, 577–610, 2006.

[HK01]

W. H. Hui and S. Kudriakov, A unified coordinate system for solving the three-dimensional Euler equations. J. Comp. Phys. 172, no. 1, 235–260, 2001.

[HLL99] W. H. Hui, P. Y. Li and Z. W. Li, A unified coordinate system for solving the two-dimensional Euler equations, J. Comput. Phys. 153, no. 2, 596– 637, 1999. [HL90] W. H. Hui and C. Y. Loh, A new lagrangian method for steady supersonic flow computation, part I : Godunov scheme, JCP, 89, pp 207–240, 1990. [K66] T. Kato, perturbation theory for linear operators, Springer Verlag, 1966. [K08]

G. Kluth, Analyse math´ematique et num´erique de mod`eles ´elastoplatiques, m´emoire de th`ese de l’Universit´e de Paris VI, 2008. [KD08] G. Kluth et B. Despr´es, Perfect plasticity and hyperelastic models for isotropic materials, Continuum Mech. and Therm., 2008. [KPS01] A. G. Kulikovski, N. V. Pogorelov et A. Yu. Semenov, Mathematical aspects of numerical solutions of hyperbolic systems, Chapman et Hall/SRC, Monographs and surveys in pure and applied mathematics, 118, 2001. [L04]

F. Lagouti`ere, A non dissipative entropic scheme for convex scalar equations via discontinuous cell reconstruction, C. R. Acad. Sci. S´erie I, 338(7), 549–554, 2004.

[L72]

P. D. Lax, Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Conf. Board. Math. Sci. Regional Conferences series in Applied Math., 11, SIAM, Philadelphia, 1972.

[LW60]

P.D. Lax and B. Wendroff, Systems of conservation laws, Comm. Pure Appl. Math., 13, 217-237, 1960.

[LL] [LL69]

L. Landau et E. Lifshitz, Fluid mechanics, Pergamon Press, 1959. L. Landau et E. Lifschitz, Electrodynamics of continuous media, Pergamon Press, 1960.

Litt´erature

281

[L92]

R.J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws. (ETHZ Zurich, Birkhauser, Basel 1992).

[L78]

J. Lightill, Waves in Fluids, Cambridge University Press, 1978.

[L85]

T. P. Liu, Nonlinear stability of shock waves for viscous conservation laws, AMS Memoirs, 328, Providence 1985.

[L02]

R. Loubere, Une m´ethode particulaire lagrangienne de type Galerkin Discontinu, Application ` a la m´ecanique des fluides et ` a la physique des plasmas, Th`ese de l’universit´e de Bordeaux I, 2002.

[LC05]

R. Loubere et E. J. Caramana, The force/work differencing of exceptional points in the discrete, compatible formulation of Lagrangian hydrodynamics, J. Comput. Phys., 2005.

[M09]

P. H. Maire, P.H., A high-order cell centered lagrangian scheme for twodimensional compressible fluid flows on unstructured meshes, J. Comput. Phys., 228(7), 2391-2425, 2009.

[MNK08] P. H. Maire et B. Nkonga, Multi-scale Godunov type method for cellcentered discrete lagrangian hydrodynamics, J. Comput. Phys., 228(3), 799-821, 2008. [M07]

C. Mazeran, Sur la structure math´ematique et l’approximation num´erique de l’hydrodynamique lagrangienne bidimensionnelle, Th`ese de l’Universit´e de Bordeaux I, 2007.

[MP99]

R. Menikoff and B. J. Plohr, The Riemann problem for fluid flows of real materials, Rev. Mod. Phys., 61, 5–130, 1999.

[M94]

D. Munz, On Godounov type schemes for Lagrangian formulations SIAM Journal of Numer. Anal., 31, 17–42, 1994.

[N87]

W. F. Noh, Errors for calculations of strong schocks using an artificial viscosity and an artificial flux, J. Comp. Phys., 72, (1987), 78–120.

[OM04]

L. E. Olmos et J. D. Munos A cellular automaton model for the traffic flow in Bogota, International Journal of Modern Physics C, 15(10), 1397-1411, 2004

[O84]

S. Osher, Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations, SIAM J. Numer. Anal., 21, 217-235, 1984.

[PRMG95] K.G. Powell, P.L. Roe, R.S. Myong, T. Gombosi, et D. De Zeeuw, An Upwind Scheme for Magnetohydrodynamics, - AIAA Paper 95-1704-CP, 1995. [RM57]

R. D. Richtmyer et K. W. Morton, Difference methods for initial-value problems, Intersciene Publishers, 1957.

[R81]

P. L. Roe, Approximate Riemann solvers, parameter vectors an difference schemes, J. Comp. Phys., 43, 357-372, 1981.

[S00]

B. Scheurer, Quelques sch´emas num´eriques pour l’hydrodynamique lagrangienne, Rapport technique CEA-R-5942, 2000.

[S07]

G. Scovazzi, Stabilized shock hydrodynamics : II. Design and physical interpretation of the SUPG operator for Lagrangian computations, Comp. Method. Appl. Mech. Eng., 196(4-6), 967-978, 2007.

282 [Sc07]

Litt´erature G. Scovazzi, A discourse on Galilean invariance, SUPG stabilization, and the variational multiscale framework, Comp. Method. Appl. Mech. Eng., 54(6-8), 1108–1132, 2007.

[SCHS07] G. Scovazzi, M. A. Christon, T J. R. Hugues et J. N. Shadid, Stabilized shock hydrodynamics : I. A Lagrangian method, Comp. Method. Appl. Mech. Eng., 196(4-6), 923–966, 2007. [SLS07]

G. Scovazzi, E. Love and M. Shashkov, A multi/scale Q1P0 approach to lagrangian shock hydrodynamics, Comp. Meth. in Applied Mech. and Eng., 197, 1056–1079, 2008.

[S96]

D. Serre, Syst`emes de lois de conservation, I and II, Diderot, France, 1996.

[SH98]

J. C. Simo et T. J. R. Hugues, Computational Inelasticity, Springer, New York, 1998.

[S67]

J. Smoller, Shock waves and reaction-diffusion equations, Springer-Verlag, 1967.

[S78]

G. Sod, A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws, J. Comp. Phys., 27, 1-31, 1978.

[T84]

E. Tadmor, Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes, Math. Comp., 43, 369-381, 1984.

[T97]

E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods in fluid dynamics, a practical introduction, Springer, 1997.

[TFC91] H.E. Trease, M. J. Fritts and W. P. Crowley editor, Free Lagrange Methods, Lecture Notes in Physics, 395, Springer Verlag, 1991. [TN92]

C. A. Truesdell et W. Noll, The non-linear fiel theories of mechanics, Springer-Verlag, New York, 1992.

[VNR50] J. Von Neumann and R. D. Richtmyer , Journal of Applied Physics, A method for the numerical calculations of hydrodynamics shocks, 21, 23-67, 1950. [LW02]

R. Liska, M. Shashkov and B. Wendroff, Lagrangian composite schemes on triangular unstructered grids, Los Alamos National Lab. Report 02-7834, 2002.

[W87]

D. H. Wagner, Equivalence of the Euler and Lagrangian equations of gas dynamics for weak solutions, J. Diff. Eq., 68, 118-136, 1987.

[W74]

G. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley-Interscience, 1974.

[W64]

M. Wilkins, Calculation of elastic-plastic flow, Methods Comput. Phys., 3, 1964.

[W80]

M. Wilkins, Use of artificial viscosity in multidimensional shock wave problems, J. Comput. Phys., 36(3), 281-303, 1980.

[W02]

Z. N. Wu, A note on the unified coordinate system for computing shock waves, JCP 180, pp 110-119, 2002.

Index

ALE Arbitrary Lagrange Euler, 272 Arbitrary Lagrange Euler, en dimension un, 187 AMR Adaptive mesh refinement, 236 Choc entropique, 53, 103 non entropique, 76 pour les gaz compressibles, 155 Comatrice, 16 Condition d’Oleinik, 52 Coordonn´ees d’Euler, 15 de Lagrange, 15 Courants parasites, 265 D´etente faisceau de d´etente, 100 pour les gaz compressibles, 153 D´etentes d´efinition, 54 Discontinuit´e de contact, 53, 103 pour les gaz compressibles, 154 Divergence nulle pour la MHD, 230 Enthalpie d’un syst`eme lagrangien, 125 thermodynamique, 123 Entropie, 48 correcteur entropique, 170 discontinuit´e entropique, 50

flux d’entropie, 48 flux num´erique, 70 in´egalit´e discr`ete, 183, 211, 223 strictement convexe, 89 variable entropique, 94, 118 Equation de Buckley-Leverett, 60 de Burgers, 8, 41 des caract´eristiques, 40 du trafic routier, 6, 57 Equilibre hydrostatique, 264 Fonction g´en´eratrice de Kulikovski, 107 Formulation de Hui, 22 faible, 45, 96 formulation de Hui, 242 Identit´es de Piola, 15, 237 Invariance cylindrique et sph´erique, 226 galil´eenne, 13 lorentzienne pour les des gaz compressibles, 146 par rotation, 32 Lin´eairement d´eg´en´er´e champs, 151 fonction, 54 Loi de conservation, 6 de Newton, 9 de pression, 11

284

Index

Matrice de Roe, d´efinition, 162 de Roe, pour les gaz compressibles, 165 splitting de matrice, 175 splitting de matrices, 237 Mod`ele de gaz ionis´e ` a deux temp´eratures, 144 de l’Helium superfluide de Landau, 134 de turbulence, 145 des eaux peu profondes de Saint Venant, 8 LWR, 7 multiphasique (multivitesse), 139 Nombre de Mach, 158 Onde rapide, d’Alfven et lente, 133, 217 vitesse d’onde, 25 Principe du maximum, 66 Probl`eme de Cauchy, 56 de Riemann, 56 Quotient de Rayleigh, 128 Relation de Rankine et Hugoniot, 46 syst`emes, 102 Sch´ema de Godounov, 85 de Lax-Friedrichs, 85 de Roe, 162 de Volumes Finis, 64, 162 hydro-compatible, sur grilles d´ecal´ees, 256 Lagrange+projection, 173 lagrangien pour le trafic routier, 81 num´erique, 61 num´erique conservatif, 61

Solution autosemblable, 98 faible, 96 faible entropique, 49, 97 Solutions faibles, 45 fortes, 41 Solveur a deux ´etats, 200 ` a un ´etat, 199 ` acoustique, 200 hydrostatique, 268 Stabilit´e L2 discr`ete, 225 lin´eaire, 23 Syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale, 129 des gaz compressibles d’Euler, 11 faiblement bien pos´e, 25 hyperbolique, 25, 26, 95 lagrangien, 129 lagrangien multidimensionnel, 221 mal pos´e, 24 parfaitement d´ecoupl´e, 129 strictement hyperbolique, 25 Syst`emes a flux d’entropie nul, 116 ` Temp´erature, 89 Th´eor`eme de Lax, 112 de Lax-Wendroff, 72, 271 Variable de masse, 227 Variable de masse, 20 Viscosit´e ´evanescente, 96 physique, 97 Vraiment non lin´eaire champs, 151 fonction, 54

D´ej`a parus dans la mˆeme collection 1. T. Cazenave, A. Haraux : Introduction aux probl` emes d’´ evolution semi-lin´ eaires. 1990 2. P. Joly : Mise en œuvre de la m´ ethode des ´ el´ ements finis. 1990 3/4. E. Godlewski, P.-A. Raviart : Hyperbolic systems of conservation laws. 1991 5/6. Ph. Destuynder : Mod´ elisation m´ ecanique des milieux continus. 1991 7. J. C. Nedelec : Notions sur les techniques d’´ el´ ements finis. 1992 8. G. Robin : Algorithmique et cryptographie. 1992 9. D. Lamberton, B. Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqu´ e. 1992 10. C. Bernardi, Y. Maday : Approximations spectrales de probl` emes aux limites elliptiques. 1992 11. V. Genon-Catalot, D. Picard : El´ ements de statistique asymptotique. 1993 12. P. Dehornoy : Complexit´ e et d´ ecidabilit´ e. 1993 13. O. Kavian : Introduction ` a la th´ eorie des points critiques. 1994 ´ 14. A. Bossavit : Electromagn´ etisme, en vue de la mod´ elisation. 1994 15. R. Kh. Zeytounian : Mod´ elisation asymptotique en m´ ecanique des fluides Newtoniens. 1994 16. D. Bouche, F. Molinet : M´ ethodes asymptotiques en ´electromagn´ etisme. 1994 17. G. Barles : Solutions de viscosit´ e des ´ equations de Hamilton-Jacobi. 1994 18. Q. S. Nguyen : Stabilit´ e des structures ´ elastiques. 1995 19. F. Robert : Les syst` emes dynamiques discrets. 1995 20. O. Papini, J. Wolfmann : Alg` ebre discr` ete et codes correcteurs. 1995 21. D. Collombier : Plans d’exp´ erience factoriels. 1996 22. G. Gagneux, M. Madaune-Tort : Analyse math´ ematique de mod` eles non lin´ eaires de l’ing´ enierie p´ etroli` ere. 1996 23. M. Duflo : Algorithmes stochastiques. 1996 24. P. Destuynder, M. Salaun : Mathematical Analysis of Thin Plate Models. 1996 25. P. Rougee : M´ ecanique des grandes transformations. 1997 ¨ rmander : Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations. 1997 26. L. Ho ´chal, C. Sagastiza ´ bal : Optimisation 27. J. F. Bonnans, J. C. Gilbert, C. Lemare num´ erique. 1997 28. C. Cocozza-Thivent : Processus stochastiques et fiabilit´ e des syst` emes. 1997 ´ Pardoux, R. Sentis : M´ 29. B. Lapeyre, E. ethodes de Monte-Carlo pour les ´ equations de transport et de diffusion. 1998 30. P. Sagaut : Introduction ` a la simulation des grandes ´echelles pour les ´ ecoulements de fluide incompressible. 1998 31. E. Rio : Th´ eorie asymptotique des processus al´ eatoires faiblement d´ ependants. 1999 32. J. Moreau, P.-A. Doudin, P. Cazes (Eds.) : L’analyse des correspondances et les techniques connexes. 1999 33. B. Chalmond : El´ ements de mod´ elisation pour l’analyse d’images. 1999 34. J. Istas : Introduction aux mod´ elisations math´ ematiques pour les sciences du vivant. 2000 35. P. Robert : R´ eseaux et files d’attente : m´ ethodes probabilistes. 2000 36. A. Ern, J.-L. Guermond : El´ ements finis : th´ eorie, applications, mise en œuvre. 2001 37. S. Sorin : A First Course on Zero-Sum Repeated Games. 2002

38. J. F. Maurras : Programmation lin´ eaire, complexit´ e. 2002 39. B. Ycart : Mod` eles et algorithmes Markoviens. 2002 40. B. Bonnard, M. Chyba : Singular Trajectories and their Role in Control Theory. 2003 41. A. Tsybakov : Introdution ` a l’estimation non-param´ etrique. 2003 42. J. Abdeljaoued, H. Lombardi : M´ ethodes matricielles – Introduction ` a la complexit´ e alg´ ebrique. 2004 43. U. Boscain, B. Piccoli : Optimal Syntheses for Control Systems on 2-D Manifolds. 2004 44. L. Younes : Invariance, d´ eformations et reconnaissance de formes. 2004 45. C. Bernardi, Y. Maday, F. Rapetti : Discr´ etisations variationnelles de probl` emes aux limites elliptiques. 2004 46. J.-P. Franc ¸ oise : Oscillations en biologie : Analyse qualitative et mod` eles. 2005 47. C. Le Bris : Syst` emes multi-´ echelles : Mod´ elisation et simulation. 2005 48. A. Henrot, M. Pierre : Variation et optimisation de formes : Une analyse g´ eometric. 2005 ´garay-Fesquet : Hi´ 49. B. Bide erarchie de mod` eles en optique quantique : De MaxwellBloch ` a Schr¨ odinger non-lin´ eaire. 2005 ´ ger, E. Zuazua : Wave Propagation, Observation and Control in 1 − d Flexible 50. R. Da Multi-Structures. 2005 ´lat : M´ 51. B. Bonnard, L. Faubourg, E. Tre ecanique c´ eleste et contrˆ ole des v´ ehicules spatiaux. 2005 52. F. Boyer, P. Fabrie : El´ ements d’analyse pour l’´ etude de quelques mod` eles d’´ ecoulements de fluides visqueux incompressibles. 2005 `s, C. L. Bris, Y. Maday : M´ 53. E. Cance ethodes math´ ematiques en chimie quantique. Une introduction. 2006 54. J-P. Dedieu : Points fixes, zeros et la methode de Newton. 2006 55. P. Lopez, A. S. Nouri : Th´ eorie ´ el´ ementaire et pratique de la commande par les r´ egimes glissants. 2006 56. J. Cousteix, J. Mauss : Analyse asympotitque et couche limite. 2006 57. J.-F. Delmas, B. Jourdain : Mod` eles al´ eatoires. 2006 58. G. Allaire : Conception optimale de structures. 2007 59. M. Elkadi, B. Mourrain : Introduction ` a la r´ esolution des syst` emes polynomiaux. 2007 60. N. Caspard, B. Leclerc, B. Monjardet : Ensembles ordonn´ es finis : concepts, r´ esultats et usages. 2007 61. H. Pham : Optimisation et contrˆ ole stochastique appliqu´ es ` a la finance. 2007 62. H. Ammari : An Introduction to Mathematics of Emerging Biomedical Imaging. 2008 63. C. Gaetan, X. Guyon : Mod´ elisation et statistique spatiales. 2008 64. Rakotoson, J.-M. : R´ earrangement Relatif. 2008 65. M. Choulli : Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques. 2009 66. W. Liu : Elementary Feedback Stabilization of the Linear Reaction-ConvectionDiffusion Equation and the Wave Equation. 2010 67. W. Tinsson : Plans d’expérience: Constructions et Analyses Statistiques. 2010 68. B. Després : Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques. 2010