Lingüística y matemáticas : axiomatización de la teoría gramatical y su aplicación a la tipología lingüística 9788497171151, 8497171152

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lingüística y matemáticas

José Fernando Domene Verdú

LINGÜÍSTICA Y MATEMÁTICAS AXIOMATIZACIÓN DE LA TEORÍA GRAMATICAL Y SU APLICACIÓN A LA TIPOLOGÍA LINGÜÍSTICA

PUBLICACIONES DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE

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© José Fernando Domene Verdú, 2010 © de la presente edición: Universidad de Alicante

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Índice

Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Introducción histórica y fundamentos de la lingüística matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. La teoría de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. La teoría de conjuntos aplicada a la gramática de las lenguas. .

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5. Principios fundamentales de la matematización de la gramática. . 5.1. Elemento gramatical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Cambio gramatical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Grupo gramatical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Elemento gramatical complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Clasificaciones gramaticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Sistema gramatical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Estructura gramatical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 88 91 100 105 111 124

6. Definiciones axiomáticas de los conceptos lingüísticos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Matemática, fonética y fonología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Matemática y morfología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Matemática y sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Matemática y morfosintaxis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Las funciones gramaticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Los casos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Los cambios funcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 133 144 149 165 165 169 180

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6.4.4. La clasificación de las funciones gramaticales. . . . . . . . . . . . . 6.4.5. Los sistemas morfológicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6. La clasificación de los sistemas morfológicos. . . . . . . . . . . . . 6.4.7. Los subsistemas morfológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.8. La estructura morfológica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. El método de análisis morfológico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Aplicación del método matemático a la gramática de las lenguas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. La lingüística matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Fonética y fonología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Morfología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Sintaxis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Morfosintaxis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. La axiomatización de la morfología de las lenguas. . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. La clasificación de las lenguas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3. Lenguas analíticas o aislantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4. Lenguas flexivas externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.5. Lenguas flexivas internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.6. Lenguas aglutinantes con EMV simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.7. Lenguas aglutinantes con EMV compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. La importancia de los símbolos en la axiomatización de la gramática de las lenguas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184 185 191 192 199 206 229 229 232 242 245 247 252 252 254 268 268 275 290 291 313

8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9. Símbolos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.1. Símbolos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.2. En la formulación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 10. Referencias bibliográficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Prólogo En este imponente libro, José Fernando Domene Verdú nos ofrece la propuesta más detallada que conozco de axiomatización de los conceptos fundamentales del metalenguaje gramatical propio de la descripción lingüística contemporánea. Se trata de elaborar definiciones rigurosas de los conceptos y métodos de análisis básicos del metalenguaje especializado utilizado por los gramáticos y lingüistas para describir las lenguas naturales. Esas definiciones se basan en la teoría de conjuntos, empleada habitualmente en los enunciados teóricos de diversas disciplinas, las matemáticas entre ellas. Es necesario poner de manifiesto en este prólogo que en el libro no se dice en ningún momento que las lenguas naturales y las lenguas formales como la teoría de conjuntos son de la misma naturaleza. De hecho, en algunos pasajes de esta obra, el autor insiste en las evidentes diferencias entre los lenguajes formales y las lenguas naturales y reconoce que no se pueden estudiar y tratar éstas como aquéllos. Cuando se habla de aplicar las matemáticas al análisis de las lenguas naturales, surgen diferentes puntos de vista posibles y numerosos malos entendidos. Por ello, conviene detenerse algo en el propósito de este libro. En el caso concreto que nos ocupa, no estamos ante la idea de que las lenguas naturales, en su funcionamiento y propiedades, sean iguales o similares a objetos matemáticos o formales, en la línea de Chomsky y Miller1 o Montague2 . Estamos, más bien, ante un proceso de matematización del metalenguaje gramatical utilizado para describir las lenguas. En todo estudio científico, los investigadores desarrollan una serie de conceptos y métodos para dar cuenta de las propiedades y el comportamiento del objeto F

F

1. Chomsky N. y Miller G. A., El análisis formal de los lenguajes naturales, Madrid, Alberto Corazón (1976). 2. Montague R., «Gramática Universal», en Ensayos de Filosofía Formal, Montague R., Madrid, Alianza, pp. 158-182.

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de estudio. Esos conceptos y métodos no pertenecen a ese objeto de estudio, sino al lenguaje formal propuesto, desarrollado y utilizado para dar cuenta de él. Desde hace mucho tiempo, los gramáticos y lingüistas han utilizado las lenguas naturales con el fin de describir los conceptos y procedimientos utilizados para dar cuenta de las lenguas de manera científica. Esos conceptos y procedimientos son construcciones teóricas ideadas para describir y explicar las propiedades y los comportamientos del objeto de estudio; en este caso, las lenguas naturales. Sin embargo, estas lenguas naturales no son instrumentos adecuados para la actividad teórica; sus conceptos no son fijos y rígidos, sino cambiantes y adaptables y van adquiriendo un sentido u otro a través de su uso. Sin embargo, el gramático y el lingüista necesitan un metalenguaje preciso y riguroso, ya que se trata de realizar una descripción científica de un objeto natural. Por ello, es conveniente sustituir en lo posible la lengua natural por un lenguaje formal lo suficientemente explícito y riguroso que, además, y precisamente por ese carácter formal, no introduzca de forma subrepticia aspectos del explanandum en el explanans; para evitar la circularidad es fundamental que en los elementos utilizados para la definición de los conceptos no haya de forma más menos implícita propiedades y procesos que han de ser descritos y explicados, tal como expone acertadamente el autor de esta obra en uno de sus párrafos. La utilización de un lenguaje formal sin contenido empírico alguno nos garantiza precisamente esto. La teoría de conjuntos, aquí recurrida para construir ese metalenguaje formal, es precisamente un lenguaje formal adecuado en las propuestas de un metalenguaje riguroso, preciso y deductivo. No debe olvidarse, por otro lado, que la teoría de conjuntos ha sido empleada también con bastante éxito para describir propiedades sustantivas de las lenguas. Por ejemplo, el uso de técnicas algebraicas para la descripción de la semántica de la cuantificación y la pluralidad en las lenguas naturales ha resultado ser extremadamente fructífera, tal como muestran los numerosos estudios con este enfoque de los que disponemos hoy en día3. Este libro tiene dos partes principales bien diferenciadas que constituyen el núcleo de su aportación. En el capítulo sexto se establecen axiomáticamente algunos de los conceptos fundamentales del análisis gramatical entre los que se encuentran los conceptos de caso, función gramatical y sistema morfológico. En el capítulo siguiente, se hace una clasificación tipológica de 3. Keenan E. L. y Faltz L. M. Boolean Semantics for Natural Language, Dordrecht, Reidel, 1998; Landman F., Structures for Semantics, Dordrecht, Kluwer, 1985; Link G., Algebraic Semantics in Language and Philosophy, Stanford, CSLI, 1991; Winter Y. Flexibility Principles in Boolean Semantics, Cambridge, The MIT Press, 2001, entre muchos otros.

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los sistemas lingüísticos, que supone la más detallada tipología lingüística hecha hasta la fecha desde un punto de vista formal. Estos dos capítulos, los principales y fundamentales de esta obra, van precedidos de una excelente revisión histórica de la lingüística formalmente orientada, denominada en el libro «lingüística matemática»4, de una introducción a la teoría de conjuntos y de un capítulo dedicado a los conceptos fundamentales previos de la axiomatización de la teoría gramatical. El capítulo de la revisión histórica de la lingüística formal empieza con una descripción del desarrollo del método axiomático de la ciencia en general. El origen del enfoque formal de la lingüística en el siglo xx lo sitúa el autor acertadamente en el Cours de Saussure y en las aportaciones de Jakobson, Hjelmslev y Bloomfield y, más recientemente, de Harris, Chomsky y Montague. En este capítulo, se describe detalladamente el ambiente intelectual y tecnológico que hizo posible, entre los años 40 y 50 del siglo pasado, un desarrollo realmente espectacular de los métodos formales en su aplicación al análisis de las lenguas naturales. Las abundantes notas que puede encontrar el lector ofrecen, de forma detenida, toda la información más técnica necesaria para entender ese desarrollo sin que por ello se haga lenta y trabajosa la exposición histórica, que constituye el cuerpo principal del texto del capítulo. Uno de los aspectos interesantes de este libro es la atención realmente oportuna que se le da al cambio lingüístico y a su enfoque formal; ya desde este primer capítulo se toma en cuenta este aspecto crucial del funcionamiento de las lenguas naturales. El tercer capítulo es una exposición de los conceptos e instrumentos básicos de la teoría de conjuntos, que serán utilizados en los siguientes capítulos del libro. El capítulo cuarto ofrece definiciones formales de elemento gramatical, clase gramatical, categoría gramatical, cambio gramatical, grupo y subgrupo gramaticales, sistema y subsistema gramaticales y estructura gramatical. Ésta es una aportación muy notable que, sin duda, puede clarificar el uso metalingüístico de estos conceptos y, sobre todo, puede contribuir a eliminar la a veces insoportable ambigüedad con la que se utilizan estos términos, expresiones y conceptos cuando no hay detrás una definición precisa formalmente delimitada. Por supuesto, estas definiciones son totalmente formales y no tienen contenido empírico; pero se trata precisamente de esto, ya que 4. Este término es problemático porque se presta a diversas interpretaciones que no siempre son aceptadas por los autores que utilizan lenguajes formalizados para hacer una exposición rigurosa de los elementos gramaticales de las lenguas del mundo, tal como se hace en la presente obra.

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lo que se propone es un conjunto de conceptos teóricos con los cuales se pueda llegar a un lenguaje común que facilite la descripción, comparación y evaluación de los análisis de los gramáticos; cosa muy difícil de hacer, si no imposible, cuando no se hacen explícitos los fundamentos teóricos de esos análisis gramaticales que han de evaluarse o compararse. El quinto capítulo se ocupa de definir los elementos fundamentales de la axiomatización de la teoría gramatical y muestra una sección entera dedicada a los fundamentos metalingüísticos formales del cambio gramatical. Esto es algo realmente poco usual en los tratamientos de la lingüística formal o lingüística matemática, tal como la denomina el autor. El resto de secciones trata del grupo gramatical, que obedece a los aspectos formales de las relaciones de contigüidad, del elemento gramatical complejo, que introduce el aspecto asociativo de los planos del significante y del significado desde una perspectiva formal conjuntista, de las categorías gramaticales, concebidas como ciertos conjuntos y subconjuntos de elementos gramaticales, del sistema gramatical y de la estructura gramatical. Con todo ello, se hace una presentación conjuntista de los elementos formales que constituyen un sistema lingüístico en su constitución y en su funcionamiento dinámico. Las propiedades de la linealidad del significante, de las dos caras del signo lingüístico, de las relaciones sintagmáticas y paradigmáticas, de las clases gramaticales y de los cambios gramaticales se reformulan aquí en los términos de los conceptos y procedimientos característicos de la teoría de conjuntos. Todo ello supone alcanzar un nivel de explicitud formal en la determinación de las propiedades esenciales de las lenguas naturales que rara vez es presentado de esta forma tan extensa y detallada en las aportaciones relativas a la teoría lingüística con las que contábamos hasta ahora. En el capítulo sexto se aplican los conceptos definidos en capítulos anteriores al análisis de los diversos niveles de la gramática de una lengua. Se comienza por la definición de los elementos y procesos fónicos. El autor nos da algunas definiciones formales de los cambios fonológicos más característicos, que constituyen una aportación muy interesante de este trabajo, dado que hasta ahora no se habían propuesto definiciones tan precisas y explícitas de algunos de los principales tipos de cambio fonológico. A continuación, se analizan y explican los conceptos y procesos morfológicos y se realizan nuevas formulaciones del cambio fonológico y fonético, además de la correspondiente al cambio morfológico propiamente dicho. En la sección de sintaxis de este capítulo se definen formalmente las nociones de elemento sintáctico, grupo sintáctico, sistema sintáctico (oración), función gramatical, estructura sintáctica, valencia verbal, satélite verbal y cambio sintáctico. En este capítulo se hace una interpretación psicologista de las reglas generativas

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y transformacionales de la gramática chomskiana, que no coincide, en mi opinión, con el status teórico que tienen estos elementos en las propuestas generativistas. Las reglas transformacionales se ven como expresión de procesos mentales, pero parece más bien que los procesos transformacionales son meros recursos teóricos utilizados para explicar ciertas propiedades de las estructuras sintácticas. A pesar de que es una interpretación muy frecuente entre los lingüistas, la idea de que, por ejemplo, en una oración interrogativa como a quién has visto el hablante desplaza el pronombre interrogativo desde su posición canónica posverbal hacia la posición inicial, en el nudo COMP, de la oración, no se corresponde con el carácter teórico del recurso a una transformación de anteposición del objeto directo desde la posición posverbal a la inicial de la oración. En efecto, los generativistas no pretenden describir lo que los hablantes hacen de manera efectiva al hablar, es decir, la actuación lingüística, sino las propiedades formales de las construcciones gramaticales. Lo que pretenden es describir algunos aspectos de la competencia lingüística; para ello, recurren a conceptos teóricos como desplazamiento, huella, que no son más que denominaciones metafóricas a través de las que se quiere dar cuenta de algunas propiedades formales de las construcciones gramaticales5. Que esas metáforas se realicen de modo más o menos literal en la actuación, no es directamente relevante. Es decir, se puede hablar de la existencia de una regla de desplazamiento sin que esto implique necesariamente que el hablante, en su actuación lingüística, desplace un elemento de un lugar a otro. Por ello, la interpretación de que estos procesos teóricos corresponden a operaciones mentales, tal como se dice en esta obra, es una interpretación particular de las propuestas chomskianas que da un paso de forma independiente de esas propuestas y que, por tanto, no se pueden integrar en lo que constituye esa doctrina generativista. Por supuesto, la propuesta aquí hecha a propósito del carácter formal o matemático, tal como se dice en él, de las estructuras sintácticas sí que está en plena consonancia con las propuestas generativistas, en las que, como he dicho 5. «La relación entre los elementos desplazados y la posición original se denomina “movimiento”: se dice que un sintagma “se mueve” de una posición a otra dentro de la estructura. Esto no significa que se produzca un movimiento real cuando procesamos la oración; es decir, que el hablante piense en un elemento y después lo mueva mentalmente, incluso si esta implicación equivocada en una época dio origen a una serie de investigaciones psicolingüísticas. El movimiento es una relación abstracta entre dos formas de la oración, que se comportan como si se moviera algo. En otras palabras, el movimiento es una relación en la competencia –el conocimiento del lenguaje– y no un proceso de la actuación.» (Cook V. J., y Newson M. Chomsky’s Universal Grammar. An Introduction, Oxford, Blackwell, 2007, p. 33 [cursivas de los autores]).

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anteriormente, estos elementos son de carácter claramente teórico y sirven para caracterizar formalmente determinados aspectos y propiedades de la competencia lingüística. Por ello, utilizar la expresión de proceso mental a la hora de caracterizar formalmente la generación de las estructuras gramaticales y los procesos transformacionales no es, en mi opinión, adecuado, máxime cuando tenemos en cuenta que el término generativo se usa con la idea teórica de una caracterización formal algorítmica explícita, más que con la interpretación más habitual y frecuente de realización efectiva o ejecución mental o material de esos algoritmos formales6. La parte de este capítulo dedicada a los casos gramaticales está muy bien expuesta y organizada; además, nos proporciona una visión de esta categoría muy completa y razonable, que será de mucha utilidad a los lingüistas y gramáticos en general. En esta sección se opta por hacer una definición de caso morfosintáctica en la que se tienen en cuenta las diversas expresiones posibles sintéticas y analíticas de esta categoría, frente a otros enfoques en los que sólo se habla de caso cuando una lengua presenta variaciones flexivas nominales que indican función sintáctica. Dado el carácter tipológico de la parte final de este libro parece que esta opción es la más razonable. Adicionalmente, en esta sección se opta por utilizar el término caso tanto como exponente de las relaciones sintácticas como semánticas, lo cual es un uso generalizado desde Fillmore en su Gramática de los Casos de los años 607. Esta igualación podría estar justificada para quienes mantienen que hay lenguas en las que no hay funciones sintácticas, sino sólo semánticas tal como hacen Van Valin y LaPolla8. Por otro lado, cuando vamos más allá de las funciones sintácticas fundamentales (sujeto, objeto directo e indirecto) pasamos a otras funciones sintácticas que están claramente determinadas semánticamente, tales como destinatario, instrumento, localización, tiempo, etc. Por ello, parece que, en última instancia, la consideración de los criterios semánticos a la hora de estudiar los casos es más o menos inevitable. Se habla de caso verbal cuando las formas verba6. «Generativo significa que la descripción de una lengua dada por la gramática de un lingüista es rigurosa y explícita. […] Una de las trampas más conocidas en las que cae la gente […] consiste en usar el término generativo como sinónimo de productivo en vez de como sinónimo de explícito y formal.» (Cook V. J. y Newson M., Chomsky’s Universal Grammar. An Introduction, op. cit., p. 35 [cursivas de los autores]). 7. Fillmore, Ch. «The case for case» en Universals in Linguistic Theory, Bach E. y Harms R. (eds.), Nueva York, Holt, 1968, pp. 1-88. 8. Valin, Van R. D. y LaPolla R., Syntax. Structure, Meaning and Function, Cambridge, Cambridge University Press, 1997.

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les expresan los participantes en el suceso y su función en diversas lenguas del mundo. Esta terminología no es la utilizada habitualmente y pudiera ser confuso para gramáticos y no gramáticos. De todas formas, si se diferencia caso nominal y caso verbal, tal como se hace en el libro, no hay ningún peligro de confusión grave. Hay una sección detenida dedicada al concepto de cambio funcional, que es muy original y novedosa en la bibliografía sobre el cambio lingüístico y que puede servir de punto de partida de posteriores desarrollos de la axiomatización de la teoría del cambio sintáctico, que es uno de los ámbitos de la lingüística diacrónica menos formalizados hasta la fecha, aunque hoy en día contamos con aportaciones realmente sobresalientes como la de Roberts y Roussou9. A continuación se proponen definiciones axiomáticas de sistema morfológico y de paradigma morfológico así como de los tipos y subtipos de estructura morfológica nocional y funcional, utilizando los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, tal como se hace en el resto de capítulos y secciones del presente libro. Es una exposición muy detallada que abarca prácticamente la totalidad de parámetros de la estructura morfológica evidentes en las diversas lenguas del mundo, cosa que será de gran utilidad para el capítulo séptimo, en el que se trata la axiomatización de los conceptos fundamentales de la tipología lingüística. La subsección dedicada al análisis morfológico expone una serie de conceptos y principios que constituyen una auténtica metateoría de análisis morfológico, que puede utilizarse para continuar el trabajo metodológico ya clásico de autores como Z. Harris10. La exposición de los modelos formales de razonamiento inductivo es especialmente relevante desde este punto de vista, dado que no suele aparecer en las presentaciones de los métodos de análisis y descripción lingüísticos más habituales en nuestra bibliografía. A partir de esta exposición se da una serie de reglas y criterios inductivos de análisis morfológico que son, sin la menor duda, una guía muy interesante para la descripción de las lenguas del mundo y, sobre todo, de las menos estudiadas y conocidas (que, por desgracia constituyen la mayoría de las lenguas actualmente habladas en el planeta). Algu9. Roberts, I. y Roussou A. Syntactic Change. A minimalist approach to grammaticalization. Cambridge, Cambridge University Press, 2003. 10. Véase sobre todo Harris Z. Structural Linguistics, Chicago, University of Chicago Press, 1960.

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nas de estas reglas y criterios son aplicados al caso de la morfología verbal vasca para comprobar su relevancia y utilidad11. En esta sección del libro se ilustran además las definiciones axiomáticas de las unidades y procesos morfológicos de las lenguas mediante una detallada aplicación al problema de la datación cronológica relativa de algunos de los morfemas del verbo eusquérico, que no es más que un resumen de la tesis doctoral sobre el verbo vasco leída y defendida por el autor y de la cual el libro que estoy prologando es parte introductoria. Esta ilustración pone de manifiesto cómo la formulación explícita de los conceptos y procesos gramaticales hace posible el desarrollo de enfoques heurísticos y predictivos acerca de fenómenos lingüísticos no necesariamente asociados de modo directo a dichos conceptos y procesos, lo cual no es sorprendente, dado que la lengua es un sistema en el que todo está relacionado tal como reza el famoso dicho de A. Meillet12. El capítulo séptimo, el otro de los capítulos esenciales de la obra, está dedicado a la definición de los conceptos teóricos básicos de la tipología de las lenguas. En la primera sección se introduce brevemente a los conceptos de la teoría de conjuntos esenciales para entender el resto del capítulo; esto hace posible que un lector interesado en esta cuestión pueda seguir su contenido sin tener que haber estudiado previamente las páginas anteriores. A continuación, se formalizan, utilizando la teoría de conjuntos, los principios básicos de la correspondencia fono-fonema-letra. Estos principios se ilustran mediante la exposición de los sistemas fonológicos y ortográficos de algunas lenguas tales como el castellano, el euskera suletino, el euskera roncalés o el euskera estándar. Después se analiza la tipología morfológica y sintáctica. En esta última, mediante la teoría de conjuntos, se analizará la proyección de cadenas sintácticas de elementos léxicos en sus correspondientes estructuras sintácticas y semánticas. El apartado sexto de este capítulo trata de la axiomatización de la morfosintaxis de las lenguas, lo que equivale a desarrollar una tipología morfo11. Este libro ha surgido del prólogo de una tesis doctoral del autor sobre el verbo vasco. Por ello, esta lengua ocupa un lugar prominente en él. 12. La idea de que la lengua es un sistema «où tout se tient» ha sido atribuida en más de una ocasión erróneamente a F. de Saussure. He aquí dos apariciones de esta expresión en dos obras de A. Meillet: «chaque fait linguistique fait partie d’un ensemble où tout se tient» (Meillet A., La méthode comparative en linguistique historique, París, Honoré Champion, 1970, p. 12), «les différentes parties du système linguistique indo-européen forment un ensemble où tout se tient». (Meillet A., Introduction à l’étude comparative des langues indo-européennes, Alabama, University of Alabama Press, 1964, p. ix)

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lógica de las lenguas establecida sobre bases formales. Se realiza sobre los fundamentos formales de las definiciones de los elementos y procesos explicados y desarrollados anteriormente. Se empieza haciendo un breve pero denso repaso a la historia de las clasificaciones tipológicas de las lenguas basadas en la morfología, surgidas, como es sabido, en el siglo xix, en Alemania. En ese momento se origina la famosa clasificación de las lenguas en aislantes, aglutinantes, flexivas o fusionantes, incorporantes y polisintéticas. La clasificación que se define, explica, ejemplifica y desarrolla en esta obra sigue esta tradición decimonónica. De esta manera, el autor distingue los siguientes tipos: aislante o analítico, con subtipos puro (miao), derivativo (tai), compositivo (vietnamita), aglutinante/incorporante (japonés); sintético, con los subtipos flexivo externo (español, italiano) e interno (árabe clásico), aglutinante simple (coreano), complejo (quechua) e incorporante (chucoto); y por último, el tipo polisintético (esquimal). La clasificación propuesta es muy conservadora y tiene algunos de los inconvenientes de las tipologías clásicas decimonónicas basadas en la morfología. Una primera crítica consiste en la influencia que la escritura tiene en esta clasificación; influencia que, en mi opinión, ha sido subestimada y cuyo estudio crítico puede llevar a cuestionar los fundamentos de esta tipología clásica13. Un problema evidente es que se seleccionan de cada lengua unos rasgos y se marginan otros para de esta manera conseguir que todos los tipos y subtipos tengan representantes claros. Esto lo ha visto el propio autor, quien en la nota número 90 observa agudamente que, basándose en algunas formas vascas, podríamos decir que esta lengua es polisintética. Ello demuestra la labilidad de esta clasificación morfológica tradicional. No parece fácilmente justificable que el coreano esté en la clase de lengua sintética aglutinante simple y el japonés esté en la clase aislante aglutinante, cuando las dos lenguas tienen una estructura morfológica y sintáctica muy similar, que hace muy difícil justificar su clasificación en dos tipos diferentes. Por supuesto, aquí encontramos una propuesta global basada en algunos rasgos de las lenguas del mundo, que no puede entrar en todos los detalles de cada una de las lenguas que habrían de considerarse relevantes14. Hacerlo supondría embarcarse en un trabajo de varios volúmenes que habría de lle13. Véase Moreno Cabrera J. C, «Tipología Lingüística y escritura», en La lengua y su naturaleza dinámica. Homenaje a Ivan Kanchev en su 70 aniversario, Sofía, pp. 57-67 y «The Written Language Bias in Linguistic Typology», en Cuadernos de Lingüística XV IUOG, 2008. 14. El WALS puede ser aquí de gran ayuda: Haspelmath M., y otros (eds.), The World Atlas of Language Structures, Oxford, Oxford University Press, 2005.

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var muchos años. De todas maneras, en esta obra se pueden encontrar datos detallados sobre algunas de las lenguas de cada uno de los tipos, que pueden servir, sin duda, de punto de partida para desarrollar y perfeccionar la clasificación propuesta. En estas comparaciones entre lenguas hay que andar con pies de plomo a la hora de hacer juicios sobre su complejidad o simplicidad. En ocasiones circulan por la bibliografía determinados puntos de vista y afirmaciones sobre las lenguas que pueden inducir al investigador a error. Un ejemplo paradigmático es el de la supuesta simplicidad y primitivismo de la lengua murapiraha a la que se refiere el autor en la nota número 97 siguiendo alguna de las descripciones sesgadas e interesadas en presentar esta lengua como más primitiva o simple, que han sido muy criticadas por algunos lingüistas15. El caso contrario lo vemos en los juicios sobre la supuesta gran complejidad de algunos aspectos de determinadas lenguas. Sobre la base de sus sólidos conocimientos sobre la lengua vasca, el autor hace unas afirmaciones sobre el sistema verbal del vasco en la nota número 140 que podrían ser malinterpretadas por algún lector, incluso con formación lingüística. En esa nota se dice que el verbo vasco tiene más de 168000 formas distintas, sin contar las formas pasivas y las numerosas formas dialectales, algunas de las cuales expone el autor en páginas siguientes. Esto podría llevar a pensar a más de uno que esta lengua es de una complejidad enorme y que, por tanto, es una idioma mucho más difícil de aprender y de usar que las lenguas de su entorno; más aún, de ahí podría deducirse que buena parte de la situación sociolingüística actual y pasada de esta lengua está condicionada por esta gran dificultad. Sin embargo, si hacemos una evaluación sistemática de la morfología verbal vasca comparándola, por ejemplo, con la del castellano y hacemos caso omiso de algunos de los sesgos de carácter escriturista, quedándonos sólo con los datos del habla real, encontramos que la complejidad verbal del castellano y del vasco es muy similar y que no está justificada la idea de que el vasco es 15. Como muestra de esta polémica pueden consultarse los siguiente trabajos, que pueden encontrarse en Internet: Everett, D., «Cultural Constraints on grammar and cognition in Pirahã» en Current Anthropology, 46, 4, 2005, pp. 621-646; «Cultural constraints on grammar in Pirahã: A reply to Nevins, Pesetsky, and Rodrigues» 2007; Nevins, A. y otros, «Piraha Exceptionality: A Reassesment», 2007. Por otro lado, es palmariamente falso que los mura-pirahã carezcan de mitos y leyendas, como se recoge en esa nota número 97 del libro. Algo similar se puede aducir respecto de lo que se dice en la nota número 150 a propósito de las lenguas makú.

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mucho más complejo que el castellano en este aspecto16, como esgrime con contundencia más de uno. Como aportación sobresaliente, entre otras a las que ya he hecho referencia, hay que mencionar la precisión y explicitud de las notaciones formales proporcionadas por el autor para realizar comparaciones tipológicas entre las lenguas. Esta regimentación notacional, en mi opinión, es una aportación de primer orden en un campo en el que coexisten numerosas notaciones provenientes de las diferentes tradiciones de la descripción y estudio de las distintas familias a las que pertenecen las lenguas incluidas en las comparaciones tipológicas; ello contribuye a crear malentendidos e interpretaciones fallidas que, muchas veces, vician de raíz los resultados y conclusiones de este tipo de actividad investigadora en el campo de la lingüística general. Esto lo resalta el autor precisamente en el apartado séptimo de este capítulo, donde da ejemplos concretos de lo que acabo de decir referidos al análisis e interpretación de las formas verbales del vasco. Cierra la publicación con un capítulo de conclusiones en el que se resume y sintetiza todo el aparato axiomático explicado y aplicado a lo largo de toda la obra. Contra lo que le pudiera parecer al lector al hojear el presente libro, el nivel de formalización de los razonamientos que aquí se llevan a cabo es bajo, dado que todas las demostraciones se realizan a través de explicaciones informales utilizando la lengua usual, sin seguir la rutina demostrativa de carácter algorítmico típica de las obras matemáticas, como, por ejemplo, las que tratan de la axiomática de teoría de conjuntos, cuyo uso de la lengua natural suele estar reducido a un mínimo17. Ello hace que el libro pueda ser leído fácilmente por cualquier lector que disponga sólo de unos conocimientos elementales de teoría de conjuntos; incluso aquellos que no la conozcan en absoluto pueden proceder a una lectura provechosa haciendo el pequeño esfuerzo que supone asimilar las definiciones de todos los conceptos relevantes proporcionados por el autor. Este lector puede estar seguro de que el autor ha definido todos y cada uno de los conceptos de teoría de conjuntos necesarios para seguir sus propuestas. Por ello, se puede afirmar que el li16. En efecto, basta tomar los pronombres proclíticos de las formas verbales del castellano (o de cualquiera de las otras lenguas romances) como constituyentes de la morfología verbal (y hay razones de peso para hacerlo) para convertir la complejidad del verbo castellano similar a la del verbo vasco. Véase la exposición al respecto de de Juan Carlos Moreno Cabrera, «Sobre la complejidad y dificultad de las lenguas. El caso del euskera» en Revista de Lenguas y Literaturas catalana, gallega y vasca, UNED, 2008, en prensa. 17. Véase, por ejemplo, Mosterín, J., Teoría axiomática de conjuntos, Barcelona, Ariel, 1971.

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bro está autocontenido en cuanto a los conocimientos necesarios para leerlo, consultarlo o utilizarlo. En fin, estamos ante una obra original, útil y necesaria, que es un auténtico hito en la bibliografía del español de lingüística general y que espero que sirva de estímulo para el desarrollo de los estudios de formalización de la teoría gramatical en nuestro ámbito cultural. Juan Carlos Moreno Cabrera Catedrático de Lingüística general Universidad Autónoma de Madrid

1. Introducción La aplicación de las matemáticas a las distintas ramas del saber, o lo que es lo mismo, a las distintas partes de la filosofía fue, sin duda, lo que dio origen a la ciencia moderna y lo que ha hecho posible su desarrollo vertiginoso en los últimos siglos. El precedente estuvo en la Grecia helenística con los matemáticos y astrónomos de la Escuela de Alejandría (Pitágoras, Euclides, Arquímedes, etc.), cuyos principios todavía siguen siendo válidos, pero se interrumpió en época romana y en la Edad Media por el protagonismo en la filosofía medieval de Platón y, a partir de Tomás de Aquino, también de Aristóteles, que rechazaba el uso de las matemáticas y la experimentación. En el Renacimiento, se recuperó y difundió la ciencia helenística en Europa, lo que propició la génesis de la teoría heliocéntrica y la aplicación de las Matemáticas –sobre todo de la geometría– y de la experimentación a la Física –principalmente a la astronomía– para demostrar dichas teorías con rigor, certeza y exactitud. El consiguiente enfrentamiento a los partidarios de la filosofía escolástica, que seguían defendiendo la teoría egocéntrica, fue inevitable. Copérnico en el siglo xvi; Kepler, Galileo y Descartes en el xvii; y finalmente Leibniz y Newton entre el xvii y el xviii, dieron origen a la Física moderna gracias al método experimental y, sobre todo, a la utilización de las Matemáticas. En los siglos xviii y xix, su empleo se extendió también a otras ciencias naturales, como la Química, e incluso a algunas ciencias sociales como la Economía o la Sociología (Malthus, etc.). La axiomatización de las matemáticas y de la lógica a partir del siglo xix, realizadas por G. Boole y G. Frege principalmente, le confirió a las matemáticas el protagonismo absoluto como ciencia instrumental para ser utilizada en las demás ciencias y, como no, también de la Lingüística. En 1926, L. Bloomfield realizó un intento de matematización de la Lingüística, enunciando una serie de postulados, que no fueron tenidos en cuenta por los lingüistas. En los años 50, y como consecuencia de la axiomatización de los lenguajes formales –de los lenguajes de programación concretamente– se produjo el intento más serio de aplicación de las Matemáticas a la Lingüís-

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tica, con Z. S. Harris y N. Chomsky principalmente, y apareció lo que luego se conoció como lingüística matemática, que, debidamente desformalizada por N. Chomsky, se aplicó a las lenguas naturales y dio lugar a la Gramática generativa y transformativa (GGT). El fracaso de la lingüística matemática no fue obstáculo para el uso de la estadística en la Lingüística, al igual que había ocurrido o estaba ocurriendo en las ciencias sociales. El precedente estuvo en A. A. Markov, que en 1913 publicó un estudio estadístico de la novela Eugenio Onéguin. En lingüística histórica, por ejemplo, se utilizó el método léxico-estadístico, usado por J. H. Greenberg (1967) y que A. Tovar (1961) aplicó a la relación de la lengua vasca con diversas lenguas caucásicas (circasiano, avar, georgiano), aunque fue criticado por el mismo Tovar, porque las relaciones estadísticas entre las lenguas no permiten decidir si son debidas al parentesco genealógico, a la presencia de préstamos o, simplemente, al resultado del azar (Tovar, 1961: 258). En la actualidad, la estadística es de uso común en Lingüística, y se va generalizando prácticamente en todas las partes de la Gramática para explicar la variabilidad lingüística. En este sentido, se puede citar el «modelo cuantitativo» utilizado por W. Labov (1982), H. López Morales (1983), etc. Sin embargo, la matematización de la Gramática según el modelo categorial sigue pendiente y todavía está sin resolver. No hay que olvidar que una ciencia cuyos métodos de demostración pertenecen a la lógica es una ciencia que está formalizada, y que la Matemática es la ciencia formalizada por excelencia. Por eso, se utiliza como ciencia instrumental en otras ciencias, permitiendo utilizar las demostraciones de tipo deductivo; le otorga fiabilidad a las teorías y leyes de esas ciencias, con demostración mediante razonamientos válidos o correctos basados en la lógica; y permite la simplificación de las ciencias matematizadas, por muy complejas que sean, al utilizar símbolos y fórmulas que agilizan los cálculos y procesos. Es evidente, por ello, que la aplicación de las Matemáticas a la Lingüística y la matematización de la Gramática es algo necesario, y que reportaría evidentes ventajas en la investigación lingüística. Después de considerar algunos aspectos relativos al ejercicio de la investigación lingüística, creímos conveniente tomar una decisión desde el punto de vista metodológico. En efecto, hay que considerar que el número de datos a tener en cuenta supera la capacidad del investigador, y que la abundancia de ellos lleva a la formulación de hipótesis, sobre la base de unos datos pretendidamente representativos del fenómeno estudiado que nunca pueden ser contrastados de manera satisfactoria y fehaciente. Todo ello lleva, a su vez, a la coexistencia de hipótesis, explicaciones, argumentaciones, definiciones diversas sobre un mismo fenómeno. Asimismo, esta situación dificulta la

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construcción de un edificio teórico general sobre la organización y funcionamiento de los sistemas lingüísticos en general y de cada lengua en particular. Por ello, después de considerar la inexistencia de un recurso o instrumento teórico-metodológico que proporcionara una base sólida al edificio, al mismo tiempo que posibilitara el tratamiento simplificado de los datos y su rápida consulta, y que finalmente ofreciera garantías de contrastabilidad de todas cuantas hipótesis pudieran formularse, decidimos que una manera de subsanar esta deficiencia radicaba en el empleo de una ciencia que desde hace siglos se ha venido configurando como ciencia auxiliar de algunas disciplinas: la ciencia matemática. No olvidemos que con el empleo o integración de las matemáticas, muchas ciencias han alcanzado su mayoría de edad. La Lingüística ha considerado la Matemática, en tanto que instrumento de formalización de datos lingüísticos con fines informáticos y estadísticos. Esta matemática aplicada a la Lingüística apenas ha tenido consecuencias de orden teórico y metodológico para ella. No ha sido así en el caso de la llamada lingüística matemática que desde los años 40 se fijó el objetivo de la elaboración de modelos matemáticos como aparato formal de una teoría lingüística. De esa forma, la Lingüística, gracias al lenguaje formal de base matemática, se dotó de un metalenguaje unívoco, con coherencia lógica y total explicitud; es decir, de un buen lenguaje científico. De los distintos modelos matemáticos existentes, la Lingüística adoptó el modelo axiomático, que es de naturaleza algebraica y está en la base de la teoría de las gramáticas generativas de lenguajes formales, como el de la lógica y los lenguajes de la informática, con la intención de aplicarlo al estudio y descripción de la organización y funcionamiento de los sistemas lingüísticos. Lo cierto es que, con el tiempo, el instrumento de descripción formal y sus propiedades se trasladaron al objeto, el sistema descrito. Esto es, los investigadores vieron o intentaron ver en las lenguas las propiedades matemáticas de los lenguajes formales. La investigación ha demostrado que las lenguas naturales, tanto en lo que se refiere a su organización (pero de manera muy especial en su funcionamiento), poco tienen que ver con los lenguajes formales. Éstos son simples (sólo tienen sintaxis), regulares (no presentan excepciones) y unívocos (cada término corresponde a un solo significado y cada significado a un solo término); es decir, responden a la naturaleza del modelo algebraico que los creó mientras que las lenguas constituyen sistemas complejos, irregulares y con un cierto grado de ambigüedad propios de los grupos humanos que las configuraron y utilizan. Siendo así que la organización y funcionamiento de un sistema lingüístico no obedece las mismas reglas que los lenguajes formales de naturaleza matemática, es obvio que la matemática no debe contemplarse como

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un modelo a adoptar, sino «sólo» como un instrumento de fundamentación teórico-metodológica, esto es, como un instrumento que permite el manejo de un gran número de unidades lingüísticas para el análisis así como para la contrastación de hipótesis. En este sentido, cabe recordar que en el ámbito de las matemáticas, la «teoría de conjuntos» está en la base de todo el edificio matemático desde el siglo xix, y su vocabulario constituye la parte fundamental del lenguaje de las matemáticas modernas. La axiomatización (esto es, el hacer explícitos los términos no definidos y los postulados sobre los que reposa una teoría) del lenguaje matemático, a principios del siglo xx, vino a subsanar las paradojas y antinomias que se derivan de la utilización de la noción intuitiva de conjunto como colección de elementos u objetos que satisfacen una propiedad dada. En suma, decidí adoptar la teoría de conjuntos como punto de partida para la elaboración de los principios teóricos y metodológicos que sustentan el método de análisis, es decir, la determinación y definición de unidades y propiedades de la morfología de las lenguas. Sobre la base de la teoría de conjuntos he definido los conceptos lingüísticos básicos de análisis morfológico de las lenguas, así como de sus propiedades; esto es, he formado un conjunto de conceptos unívocos, con coherencia lógica y total explicitud. Estos conceptos se pueden expresar por medio de símbolos y fórmulas que simplifican y agilizan la argumentación y la exposición, a la vez que les otorgan fiabilidad, cuando se demuestran mediante razonamientos válidos o correctos basados en la lógica y las matemáticas. Debido a las dificultades que presenta la aplicación de la lingüística matemática a algunos aspectos de las lenguas, presento a continuación una alternativa basada en la teoría de conjuntos, que es la parte más elemental de las Matemáticas. Para ello, es necesario empezar recordando los conceptos básicos de la teoría de conjuntos y definir a partir de ellos los conceptos básicos de la nueva alternativa de matematización que estarán presentes a lo largo de toda esta parte. A continuación se exponen los principios fundamentales de dicha matematización de la gramática y se definen los conceptos básicos de la misma aplicados a la gramática en general (elemento, cambio, grupo, clases, sistema y estructura gramaticales), para ir aplicándolos a lo largo del capítulo siguiente a cada una de las partes de la gramática (fonética y fonología, morfología, sintaxis y morfosintaxis) y al mismo método de análisis morfológico. Indudablemente, la teoría está hecha para ser aplicada a la realidad y, para ello, en el siguiente capítulo se resume y aplica a diversos ejemplos de la gramática de algunas lenguas como el castellano o el vasco, geográficamente muy cercanas pero muy alejadas tipológica y genéticamente. Dada la importancia de los símbolos y fórmulas en cualquier tipo

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de matematización, y por lo tanto también en la de la Gramática, es necesario finalizar con una lista de los símbolos utilizados. Quiero expresar mi agradecimiento al doctor Joaquín Gorrochategui Churruca y a la doctora María Helena Fernández Prat, por la confianza que depositaron en mí, por sus indicaciones y sugerencias relativas a los fundamentos epistemológicos de la lingüística general y matemática, que han constituido el fundamento para el correcto desarrollo de una idea primigenia, han servido para resolver mis dudas y me han abierto nuevos caminos en la investigación. A mi hermano, Joaquín, le agradezco su ayuda en todas las cuestiones relacionadas con la informática, materia en la que ha demostrado ser un auténtico especialista. Quiero expresar también mi agradecimiento al doctor Juan José Chao Fernández por haber alentado la puesta en práctica de una idea, así como por haber sido el vínculo con los mencionados profesores; al doctor Josep Vicent Guia Marín, por haber revisado y corregido el texto de esta publicación desde el punto de vista de las matemáticas; al doctor Francisco Gimeno Menéndez por todas las atenciones que siempre me ha dispensado, por su apoyo y, sobre todo, por su ayuda en la publicación de esta obra; y al doctor Juan Carlos Moreno Cabrera, por el interés que siempre ha demostrado por el presente trabajo y por haber escrito el prólogo de este libro con toda la atención y sabiduría de quien es un verdadero especialista en la materia. Finalmente, mi agradecimiento a la Universidad de Alicante por haber realizado la presente edición.

2. Introducción histórica y fundamentos de la Lingüística Matemática La ciencia se ha caracterizado siempre por fijar previamente las hipótesis que se postulan y verificar después las tesis que de ellas se derivan mediante dos caminos que validan las hipótesis formuladas, la experimentación y la demostración. Esto lo que se conoce como el método científico, que fue seguido ya en época helenística por la Escuela de Alejandría, con Euclides, Apolonio y, especialmente, por Arquímedes en el siglo iii a.C. aunque no por Aristóteles, cuya filosofía fue la que se generalizó en la Edad Media. En los siglos xiii y xiv reapareció de la mano de J. Duns Scotus (1266-1308) y Guillermo de Ockham (1300-1349), fue enunciado teóricamente por Francis Bacon (1561-1626) y perfeccionado por John Stuart-Mill (1806-1873). Sin embargo, en algunas materias la experimentación no fue suficiente para verificar las tesis que se derivaban de las hipótesis formuladas y fue necesaria la demostración, utilizada ya desde la época griega, en la que los conocimientos ya fueron adquiridos por procedimientos empíricos. La demostración, a su vez, necesitó un instrumento para efectuar los razonamientos que derivaban una conclusión de unas premisas. Ese instrumento de demostración fue la lógica clásica y el método deductivo, que fue fundamentado por la llamada Escuela de Atenas, con las contribuciones de Platón y Aristóteles sobre todo, y protagonizó la filosofía aristotélica imperante en la Edad Media. Por otra parte, ya los pitagóricos desarrollaron las Matemáticas y utilizaron la simbolización, asignándole números a las cosas. Los griegos aplicaron también las matemáticas a las ciencias naturales, principalmente a la Astronomía, ideando una compleja teoría de astronomía matemática basada en la construcción de elaborados modelos geométricos que pretendió dar una explicación cuantitativa precisa al esquema de los movimientos planetarios partiendo del supuesto del cosmos geocéntrico. El Almagesto de Ptolomeo representa la culminación de esta tradición de astronomía matemática y los modelos y métodos por él empleados configuraron la astronomía posterior. Y

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también aplicaron las Matemáticas y la simbolización a las demás ciencias, de manera que otra obra fundamental, Los Elementos de Euclides, fue la base de estudio de las ciencias naturales durante toda la Edad Media y hasta la Edad Moderna. Los alquimistas medievales también utilizaban símbolos, al igual que en la cábala y la Astrología. El desinterés de los romanos por las Matemáticas y el protagonismo de la filosofía de Aristóteles, que tras su desarrollo y adaptación al cristianismo por Tomás de Aquino fue la oficial en la Iglesia y las Universidades, impidió el desarrollo científico durante toda la Edad Media en el mundo cristiano porque rehusaba el uso de las Matemáticas y de la experimentación. No ocurrió lo mismo en Oriente, donde los hindúes mantuvieron y desarrollaron la ciencia griega y los árabes la transmitieron a Occidente e inventaron la trigonometría. Ya en el siglo xvi se empezaron a utilizar como ciencia instrumental de las demás ciencias naturales. Y las Matemáticas, complementadas con el método experimental desarrollado por Bacon, les dieron a las demostraciones un rigor y una precisión de la que carecía la filosofía aristotélica. Esto, y el enfrentamiento a los partidarios de la filosofía de Aristóteles, que consideró las Matemáticas inaplicables al mundo físico real y que no se sostenía ante los nuevos métodos científicos, motivó el extraordinario desarrollo de la ciencia a partir del siglo xvi. La matematización y el consiguiente desarrollo de la ciencia a partir del siglo xvi se puede explicar por cuatro causas históricas muy concretas: el auge del comercio marítimo, los avances técnicos, el Renacimiento y la invención de la imprenta. La conquista de Constantinopla por los turcos en 1453 interrumpió el comercio de la seda y las especias con el Extremo Oriente a través de la ruta por Asia Central y los países europeos se vieron en la necesidad de buscar nuevas rutas comerciales para recuperar este comercio con China y Japón. Estas nuevas rutas necesariamente tenían que ser marítimas, bien bordeando las costas de África, como hicieron los portugueses, o bien aventurándose a través del Atlántico, como hizo Colón al servicio de Castilla. El auge de la navegación para buscar nuevas rutas comerciales, que posibilitó los viajes a China y Japón y del descubrimiento de América en 1492, motivó el fomento de las técnicas de navegación, el desarrollo de la astronomía y el perfeccionamiento de las matemáticas, sobre todo de la aritmética, el álgebra y la trigononometría. A esto contribuyeron también los avances técnicos, sobre todo en el armamento tras la invención de la pólvora y la aparición de las armas de fuego, que requerían un estudio matemático del movimiento de los proyectiles. El Renacimiento despertó el interés por la antigüedad clásica y, por tanto, por los físicos y matemáticos griegos (Pitágoras, Euclides, Arquímedes, Ptolomeo, etc.). Y, por último, la invención de la imprenta por Gutenberg (imprimió la Biblia Mazarina en 1456) permitió la difusión de los

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conocimientos científicos por toda Europa, de manera que en 1482 apareció el primer libro de matemáticas, que fue la versión latina de Los Elementos de Euclides, y a él siguieron en los años sucesivos las obras de los matemáticos de la Escuela de Alejandría, principalmente de Arquímedes. A consecuencia de ello, las Matemáticas experimentaron un gran desarrollo en el siglo xvi, con Tartaglia, Cardano y Ferrari, en Italia; Vieta, en Francia; y Stiefel y Neper, en Alemania. Lo más significativo para la ciencia fue que en el siglo xvi se comenzaron a utilizar las Matemáticas como ciencia instrumental en las ciencias naturales, principalmente en la mecánica y la Astronomía, o sea, en la Física. Copérnico (1473-1543) utilizó las Matemáticas para realizar cálculos astronómicos y demostrar la teoría heliocéntrica, midiendo la distancia entre el Sol y los planetas conocidos entonces con una exactitud sorprendente. La formuló en 1513 partiendo de la teoría geocéntrica de Ptolomeo y la expuso en el libro titulado De revolutionibus orbium coelestium, considerando que los complejos recursos geométricos empleados por él tenían que ser entendidos meramente como medios de cálculo, y no como descripciones de los movimientos reales de los planetas. Sin embargo, no la pudo publicar hasta 1543 y su editor, el clérigo luterano Andreas Osiander (1498-1552), incluyó un prefacio en el que afirmaba que debía ser considerada como un método matemático para facilitar los cálculos astronómicos. Kepler (1571-1630) concibió la estructura de las órbitas planetarias como relaciones matemáticas, y buscó analogías entre ellas y la perfección de las estructuras geométricas, afirmando en su Astronomia Nova (1609) que las matemáticas constituyen el lenguaje de Dios y con él la naturaleza se manifiesta como obra del Creador. Galileo (1564-1642) fue quien revolucionó la Astronomía con sus observaciones telescópicas y el primero que utilizó en la Física el método infinitesimal basado en la idea de «paso al límite», cuyo precursor fue también Arquímides, porque sus investigaciones así se lo exigieron, sobre todo para explicar y defender la teoría heliocéntrica de Copérnico. Galileo fue también el primero que defendió que la naturaleza está escrita en carácteres matemáticos, y actuó en consecuencia, creando una teoría de la naturaleza en la que los problemas físicos fueron concebidos en términos matemáticos. Mientras Aristóteles consideró las Matemáticas inaplicables al mundo físico real y su filosofía era la imperante, Galileo trataba de crear una física que estuviera basada en la matematización. Expuso su teoría en el libro Sidereus Nuncius (1610) y en Il Saggiatore (1623) afirmó: «La filosofía se halla escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (quiero decir, el universo); pero no podemos entenderlo si antes no aprendemos la lengua y los signos en que está escrito. Este libro está escrito en lenguaje matemático y los símbolos son triángulos, círculos u

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otras figuras geométricas, sin cuya ayuda es imposible comprender una sola palabra de él y se anda perdido por un oscuro laberinto» (citado en Mínguez, 1986: 151). A esta matematización de la física se debió el extraordinario avance que le proporcionó este investigador, así como sus seguidores y los investigadores posteriores (Kepler, Fermat, Pascal y Barrow, maestro de Newton), quienes hicieron importantes aportaciones en este sentido. Descartes (15961650) descubrió la geometría analítica a partir de la conjunción del álgebra con la geometría, defendió la aplicación de las Matemáticas a la Filosofía y afirmó que toda realidad estaba compuesta de dos sustancias: el espíritu (caracterizado por el pensamiento) y la materia (caracterizada por su extensión espacial). La rígida separación de materia y espíritu, y el énfasis sobre la materia en movimiento como base de la explicación científica, proporcionó un nuevo marco conceptual para la teorización científica, que tuvo una profunda influencia sobre la ciencia posterior. Fue fundamental para su época porque despejó el camino para el posterior estudio de la materia con independencia del espíritu, de la metafísica y de la idea de Dios, y por tanto de forma experimental y matemática. Y así, fueron Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) quienes desarrollaron el cálculo infinitesimal organizando los resultados hasta entonces obtenidos en un cuerpo de doctrina completo y eficaz al incorporar la noción de límite. Este desarrollo del cálculo infinitesimal, en las ramas del cálculo diferencial, descubierto por Leibniz en 1684 y por Newton en 1704, y del cálculo integral, y su aplicación a la física le permitió a Newton consumar la revolución que realizó en la ciencia de su tiempo. Newton fue el primero que separó la ciencia de la filosofía y la consideró independiente de la metafísica, renunciando a conocer los principios metafísicos de las cosas, aunque como creyente no llegó a prescindir del todo de la intervención divina. Defendió que los movimientos de la materia eran descriptibles por leyes matemáticas, pero necesitaban la intervención divina periódica porque, sin ella, el sistema planetario llegaría a desordenarse; la naturaleza se descompondría y necesitaría ser restaurada constantemente. Así, la ley de gravitación universal, que es su aportación más conocida, la demuestra matemáticamente pero la considera como un argumento a favor de la existencia de Dios, igual que Kepler decía que las matemáticas constituyen el lenguaje natural de Dios. En Química, Dalton (1766-1844) ya utilizaba los símbolos y las Matemáticas en sus estudios sobre el número atómico y el peso atómico de los elementos. Las Matemáticas también se utilizaron en las ciencias sociales desde que el economista y sociólogo inglés Malthus publicó en 1798 su obra Essay of the Principle of Population, en la que postuló el principio de que

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los medios de subsistencia crecen en progresión aritmética mientras que la población lo hace en progresión geométrica con la finalidad de justificar que la pobreza y las calamidades públicas eran inevitables y sólo la guerra, el hambre y las enfermedades las podían frenar. Hasta el siglo xix, las matemáticas fueron consideradas como un simple instrumento para las ciencias naturales y, por ello, fueron desarrolladas por astrónomos, físicos o geodestas, que sólo se preocuparon de las ramas de las matemáticas que consideraron aplicables a los estudios que ellos realizaban en el campo de las ciencias naturales. Por ello, a estos científicos, que sólo accidentalmente eran matemáticos, les preocupaba poco el rigor de sus teorías y les bastaba con su eficacia. En el siglo xix se consideró la necesidad de dotar a las teorías científicas de un rigor que hasta entonces no tenían. En efecto, las conclusiones de cualquier razonamiento deductivo se obtenían como resultado de unas premisas que se suponían ciertas, pero hasta entonces nadie se preocupaba en demostrar la certeza de esas premisas iniciales, a pesar de que de esa certeza dependía la validez de la conclusión final. Todo empezó al fracasar los intentos de demostrar el postulado de Euclides y comprobarse que éste podía tener contradicciones. Como consecuencia de ello, se originó en matemáticas el movimiento axiomatizador, según el cual era necesario fijar previamente y de forma explícita los axiomas y las reglas para deducir cualquier teoría. El método axiomático fue utilizado ya por Euclides en Matemáticas y Aristóteles en Lógica y la formalización del lenguaje matemático y de la Lógica y las Matemáticas ya la realizaron Vieta y Leibniz en la Edad Moderna. No obstante, tras un primer intento de Riemann, fue David Hilbert (1862-1943) el creador en 1900 del método axiomático para las Matemáticas, según el cual, un sistema de axiomas de una rama de las Matemáticas debía estar formado por axiomas que fueran independientes (no deducibles unos de otros) y consistentes (carentes de contradicciones), además de ser completo (que se pudiera demostrar la verdad o la falsedad de todos los enunciados y sus consecuencias), aunque la completitud fue cuestionada por Kurt Gödel en 1931. En el proceso de axiomatización de las Matemáticas fue imprescindible el desarrollo de la lógica simbólica, que fue iniciada por George Boole en 1854, creando al mismo tiempo un lenguaje formal en el que escribir la Lógica, o sea, formalizándola. La primera axiomatización absolutamente formalizada de la lógica elemental fue realizada por el lógico alemán Frege en 1879, en su obra Begriffsschrift (Conceptografía), y después se confeccionaron otros sistemas axiomáticos, como el de la aritmética elemental, elaborado por Giuseppe Peano en 1889, y el de la teoría de conjuntos. Entre los sistemas axiomáticos más antiguos de la lógica elemental, los principales son el

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de Whitehead-Russell o sistema WR (1910), que J. Nicod logró reducir a un único axioma en 1917, el de Lukasiewicz o sistema C-N (1929), basado en la notación de los conectores mediante letras mayúsculas del alfabeto y el de Hilbert-Bernays o sistema HB (1934). Peano consiguió deducir la matemática de su tiempo con diez premisas de deducción y otras diez de naturaleza lógica general y su trabajo fue mejorado notablemente por Bertrand Russell y Whitehead en 1908, en cuya obra Principia Mathematica desarrollaron un método de trabajo que trataba de probar que toda la mátemática se reduce a la lógica y que se conoció como «formalismo» o «logicismo matemático». El método axiomático se aplicó también en otras ciencias, como en la aritmética por Giuseppe Peano en 1889, en la mecánica general por Hermes en 1938, en la genética por Henry Woodger y en la teoría económica por Von Neumann y Morgenstern en 1948, con lo que la matematización y la axiomatización se extendieron también a las ciencias sociales. En efecto, las ecuaciones diferenciales se aplican en cálculos de crecimiento de una población biológica, por ejemplo, y una serie de técnicas matemáticas (teoría de juegos, etc.) que se conocen con el nombre de investigación operativa se han utilizado para la toma de decisiones. La Sociología también incorporó la teoría de sistemas y la teoría de juegos para desarrollar modelos, ya a partir de los años 60. Los axiomas son, por tanto, las proposiciones que fijan las reglas del juego para la demostración de los teoremas. Esto no fue suficiente para su conocimiento profundo porque, para ello, es necesario conocer también los elementos con los que se trabaja, las causas de elección de cada camino de demostración y lo que sugirió la conjetura de la que nació el teorema. Esto se consiguió mediante la determinación de las estructuras básicas de las matemáticas, que son tres: las algebraicas (basadas en las leyes de composición), las de orden (basadas en las relaciones binarias de orden) y las topológicas (basadas en las nociones de límite y continuidad). Fue el paso siguiente a la axiomatización de las Matemáticas y recibió el nombre de método axiomático estructural. Apareció en los años 20 e influyó en todas las demás ciencias y áreas del conocimiento, añadiendo el adjetivo «estructural». A principios del siglo xx nació la gramática estructural: el Curso de Lingüística general de Saussure se publicó en 1916 y, por influencia de él, se fundó en 1926 el Círculo Lingüístico de Praga (con Trubetzkoy y Jakobson), que originó el estructuralismo europeo, y en 1933 Leonard Bloomfield publicó su libro Language, que fue el inicio del estructuralismo norteamericano. El mismo Bloomfield intentó aplicar por primera vez a la Lingüística el método axiomático de las matemáticas en «A set of Postulates for the Science of Language» (1926: 153-164). También Louis Hjelmslev, en su obra Prolegomena to a Theory of Language (1963), hizo una propuesta de formalización

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matemática basada en el álgebra, que formaba parte de la teoría lingüística que denominó Glosemática18. En lo que se refiere a la utilización directa en Lingüística de las Matemáticas, V. I. Buniakovski ya había indicado en 1847 la posibilidad de utilizar las Matemáticas en Lingüística, lo mismo que hizo Saussure en 1894 al decir que «les quantités du langage et leurs rapports sont régulièrement exprimables, dans leur nature fondamental, par de formules mathématiques». Después precisó más esta idea diciendo acertadamente que «L’expression simple sera algebraïque ou elle ne sera pas» (citado por Marcus-Nicolau-Steti, 1978: 52-53). Algo más de medio siglo después, la rama de las Matemáticas que intervino de forma determinante en el origen de la lingüística matemática fue precisamente el álgebra. Sin embargo, la rama de las Matemáticas que primero se utilizó en Lingüística fue la estadística, sin duda porque es la parte más fácil de utilizar en cualquier disciplina, siempre que existan elementos cuantitativos que puedan contarse o, lo que es lo mismo, que sean enumerables. Ciertamente, la primera vez que se aplicaron las Matemáticas a la Lingüística fue en un estudio estadístico sobre la frecuencia de la aparición de las letras en la novela Eugenio Oneguin, publicado en 1913 por A. A. Markov con el título Essai d’un recherche statistique sur le texte du roman Eugène Onéguin. Un trabajo análogo lo realizó C. Shannon sobre la lengua inglesa, publicándolo en 1951 con el título Prediction and Entropy in Printed

18. «El uso de los símbolos glosemáticos de las distintas funciones pueden ilustrarlo con los siguientes ejemplos, en los que a y b representan cualesquiera terminales, v una función variable y c un terminal constante: Función: a b; Relación: a R b; Correlación: a b; Determinación: v c ó c v; Selección: v V c ó c W v; Especificación: v c ó c w v; Interdependencia: c c; Solidaridad: c ~ c; Complementariedad: c c; Constelación: v | v; Combinación: v – v; Autonomía: c v. El número de terminales, por supuesto, no se reduce a dos» (Hjelmslev, 1963: 64). Los tipos de funciones las resume en la misma página, en la siguiente tabla: función

cohesión reciprocidad

{ {

relación (conexión)

correlación (equivalencia)

determinación

selección

especificación

interdependencia

solidaridad

complementariedad

constelación

combinación

autonomía

Dentro de la glosemática, Hjemslev definió un lenguaje diciendo que «A Language (symbol: Lyºgº§) is the Paradigmatic of a Denotative Semiotic whose Paradigms are Manifested by all Purports», , def. 38, por ejemplo. Esto es una formalización, pero no una axiomatización, porque carece del aparato matemático que le sirve de fundamento.

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English; en la actualidad la utilización de la estadística está muy extendida en los estudios lingüísticos. Se trata, pues, de estudios estadísticos de textos literarios y consisten en el uso de la estatadística en la investigación lingüística como ciencia instrumental, igual que ocurre prácticamente en el resto de ciencias y en todas las disciplinas que estudian elementos o fenómenos enumerables. Los aspectos lógico-matemáticos de los lenguajes formales, en cambio, han llegado a afectar a la esencia misma de la Lingüística, que concibe la gramática de las lenguas naturales y el lenguaje como algo susceptible de ser matematizado, axiomatizado o, si se quiere con más imprecisión terminológica, formalizado. Por ello, supone un paso mucho mayor y más trascendental que cualquier otro avance producido en la lingüística teórica porque, mientras que todos ellos se produjeron como consecuencia de los avances en la investigación lingüística y siempre dentro de la Lingüística misma, la aparición de las matemáticas en el ámbito de las lenguas naturales trascendió el ámbito de la Lingüística y supuso el uso de una metodología totalmente ajena a ella. No obstante, con el tiempo se produjo el ensamblaje teórico de ambas que cristalizó en una teoría lingüística concreta, la GGT. Por lo tanto, en un momento en que el ámbito de la lingüística general estaba dominado por la lingüística estructuralista, aparecieron los primeros ordenadores y, con ellos, los lenguajes de programación capaces de hacerlos funcionar. Al mismo tiempo, apareció una corriente, la lingüística matemática, que fusionó ambas tendencias gracias a la influencia de los lenguajes informáticos en la lingüística estructural. La lingüística matemática, por lo tanto, fue el resultado de la influencia de los ordenadores y los lenguajes de programación en la lingüística estructural imperante en aquel momento histórico. A su vez, los lenguajes informáticos son lenguajes formales y están basados en el lenguaje formal de la lógica, creado a finales del siglo xix y principios del xx como consecuencia del proceso de axiomatización de la lógica clásica y de las matemáticas en general y está en el origen de la lógica simbólica o matemática. Por su parte, las gramáticas generativas formales se utilizaron como modelo para describir las lenguas naturales siguiendo una corriente de pensamiento procedente del campo de la Lógica y, por ello, la lógica simbólica axiomatizada está en la base de la axiomatización de los lenguajes formales empleados por la lingüística matemática como modelo de descripción de la organización y funcionamiento de las lenguas naturales19. 19. Hay lingüistas que pensaron y piensan que las lógicas no clásicas (lógicas formales, lógica simbólica, lógica matemática) «ofrecen la posibilidad de formalizar aspectos o usos

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Sin embargo, la aplicación de la Lógica a la Lingüística no es algo nuevo, sino que continúa una tradición que se remonta a la lógica clásica y a la Edad Moderna (Leibniz, Locke, la Grammaire Général et Raisonée o Gramática de Port-Royal, bajo la influencia de Descartes, etc.) y está basada esencialmente en la concepción del lenguaje formal de la lógica como universal y subyacente de todas las lenguas. Esta idea sigue presente y cobra más fuerza entre los lógicos de finales del xix y principios del xx, como G. Frege, B. Russell, L. Wittgenstein y R. Carnap, que consideran que sólo la lógica simbólica puede aclarar la naturaleza de determinados problemas planteados por el lenguaje. El matemático David Hilbert expresó en 1918 la necesidad indiscutible de que todas las ciencias evolucionaran hacia la axiomatización (Hilbert, 1918: 415). Y esta aplicación de la lógica simbólica, y especialmente del método axiomático, a la Lingüística influyó también en los lingüistas estructuralistas en fechas muy tempranas. Sólo ocho años después de esta afirmación de Hilbert, en 1926, fue nada menos que Bloomfield quien realizó el primer intento de formular un sistema axiomático para la Lingüística, siete años antes de su obra fundamental Language (1933), y lo publicó en un artículo titulado «A set of postulates for the science of language» (Bloomfield, 1926: 153-156). En él presentó 77 axiomas y definiciones, pero éstas no cumplen las condiciones que se exigen dentro de un sistema axiomático y, además, el sistema carece de las reglas deductivas para la derivación de frases, por lo que no se puede considerar como un sistema axiomático en sentido estrictamente matemático. Tampoco lo es el sistema formulado por K. Bühler en 1933 ni los postulados de B. Bloch para el análisis fonológico en 1948. Sin embargo, todos ellos indican la preocupación de los lingüistas por aplicar la lógica a la Lingüística ya dentro del estructuralismo. Es en los años 50 cuando se construyen para las lenguas naturales los primeros sistemas axiomáticos que cumplen estrictamente los presupuestos matemáticos, y ello del lenguaje que antes parecían escapar a la lógica, mostrando la capacidad que la lógica formal tiene de ir estando a la altura que la complejidad del lenguaje exige. El aprovechamiento que de esas lógicas están haciendo los lingüistas –es decir, los científicos naturales del lenguaje– es la mejor confirmación de su utilidad. Lejos de pensar que el lenguaje ordinario, por su complejidad, exige estadios “informales”, asistemáticos, en los que la lógica formal desempeñe a lo sumo un papel de ideal de precisión inalcanzable, los lingüistas actuales creen que, precisamente por su complejidad, el lenguaje ordinario demanda una lógica formal, una reconstrucción formal cada vez más refinada, como la que permiten las lógicas no-clásicas» (Deaño, 1980: 321). Así, «también conviene tener en cuenta las importantes aplicaciones de la lógica simbólica a la lingüística (N. Chomsky y R. Montague) y a la informática, particularmente el desarrollo de la inteligencia artificial (A. Newell, H. Simon)» (Garrido, 1991: 26).

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se debió naturalmente a las investigaciones sobre la traducción automática por ordenador (Rohrer, 1978: 24). En esta aplicación de la lógica simbólica a la traducción automática, y por extensión a la lingüística, ejercieron una influencia decisiva los principales teóricos de la lógica simbólica, quienes defendieron abiertamente que «los diversos cálculos lógicos pueden entenderse como modelo para las lenguas naturales» (Rohrer, 1978: 20). Así, R. Carnap defendió en 1937 que de la mejor manera que se puede estudiar la sintaxis de una lengua para la traducción automática por ordenador es comparándola con un lenguaje artificial20. En esta misma obra había definido previamente la sintaxis lógica de un lenguaje formal como la exposición sistemática de las reglas formales que gobiernan las expresiones lingüísticas de un lenguaje21. Como se ve, Carnap ya utilizó en 1937 el concepto de reglas que gobiernan la sintaxis lógica de un lenguaje («formal rules which govern it»), que toma sin duda de las reglas de reescritura de los sistemas axiomáticos de la lógica y es el que caracteriza una gramática generativa. Siguiendo esta misma línea, «E. Post pedía en 1943 que las reglas de formación de un cálculo lógico se equiparasen formalmente a las reglas de deducción» (Rohrer, 1978: 25), lo que posibilitó la aplicación a las lenguas naturales de la teoría de las funciones recursivas, la consideración de éstas como sistemas combinatorios y el consiguiente desarrollo de la lingüística matemática, también llamada combinatoria o algebraica. Después se prosiguió en la equiparación de las lenguas naturales a los lenguajes formales y en 1950 «P. Rosenbloom cree igualmente que no existe ninguna diferencia de principio entre los lenguajes simbólicos de los lógicos y los lenguajes naturales» (Rohrer, 1978: 21) y afirma que la única diferencia entre ambos es la mayor complejidad, la imprecisión y la indefinición de las reglas sintácticas de las lenguas naturales22. Y, además, A. Church en 1951 llegó «a suponer que los resultados que se obtienen en la construcción de cálculos se pueden aplicar sin modificación a las lenguas naturales» (Rohrer, 20. «The syntactical property of a particular word-language, such as English, or of particular classes of word-languages, or of a particular sub-language of a word-language, is best represented and investigated by comparison with a constructed language which serves as a system of reference» (Carnap, 1937: 8). 21. «By the logical syntax of a language, we mean the formal theory of the linguistic forms of that language –the systematic statement of the formal rules which govern it» (Carnap, 1937: 1). 22. «Words are also symbols, and that ordinary language merely differs from these other symbolic languages in that its rules of syntax are very complicated and never stated precisely and explicitly (Rosenbloom, 1950: 96).

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1978: 21)23. Y Bar-Hillel propuso en 1954 seguir desarrollando en Lingüística el método de Carnap (Bar-Hillel, 1954: 230-237) y el mismo Carnap, que ya había descrito la sintaxis de la lógica, desarrolló al mismo tiempo también la semántica de la misma, y ello lo expresa en 1962 diciendo que «we need, in addition to a purely formal analysis of language, an analysis of the signifying function of language – in other words, a theory of meaning and interpretation» (Carnap, 1962: IX). Rohrer equipara la sintaxis a la semántica porque «con el mismo derecho con que incluimos en la sintaxis las reglas de formación que combinan rasgos semánticos, podemos incluirlas también en la semántica. En estas reglas no existe ni una referencia al hablante ni a lo designado por las expresiones. Son puramente formales y, según Carnap, pertenecen por ello a la sintaxis. Por otra parte, estas reglas unen rasgos semánticos y combinaciones de rasgos, por lo cual podría considerárselas totalmente como reglas semánticas y llamar semántica generativa a esta parte de la formación» (Rohrer, 1978: 17). Sintaxis y semántica se entendieron, pues, equiparables24. Siguiendo a Carnap, la lógica simbólica y la teoría semántica de la Lógica se aplicó directamente a la Lingüística en los años 70 de la mano de Richard Montague y de Patrick Suppes (Moreno Cabrera, 1985), que en los últimos años han intentado «hacer encajar una teoría sintáctica con una teoría semántica de las lenguas naturales» (Acero-Bustos-Quesada, 1989: 145), 23. «Although all the foregoing account has been concerned with the case of a formalized language, I would go on to say that in my opinion there is no diference in principle between this case and that one of the natural languages» (Church, 1951: 100-112). Y después lo expresa más o menos en los mismos términos que Rosenbloom: «The difference of a formalized language from a natural lenguage lies not in any matter of principle, but in the degree of completeness that has been attained in the laying down of explicit syntactical and semantical rules and the extent to which vaguenesses and uncertainties have been removed from them» (Church, 1951: 100-112). 24. «Nuestro modelo de gramática tiene así la siguiente constitución. Contiene una semántica generativa que corresponde, sobre todo, a la parte de formación de un cálculo de predicados. Las unidades léxicas no se clasifican en sustantivos, adjetivos o verbos. En su lugar tenemos una separación de predicados y variables. Los predicados se subclasifican, a su vez, según el número de sus posibles argumentos. A esto se añaden cuantificadores, que posiblemente se pueden considerar, sin embargo, como predicados, sin que formen necesariamente una clase separada. Por otra parte, a los componentes semánticos de la base se añaden los axiomas usuales del cálculo de enunciados, axiomas para los cuantificadores, axiomas de la lógica modal y, posiblemente, otros axiomas cuya función no se ha establecido hasta ahora con claridad. Con ayuda de las reglas de deducción se pueden determinar las relaciones de equivalencia y consecuencia entre fórmulas generadas por la estructura profunda. Un sistema de reglas transforma las fórmulas de predicados lógicos en estructuras superficiales bien formadas.» (Rohrer, 1978: 17)

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aplicando directamente a la Lingüística la relación entre sintaxis y semántica existente en la lógica de enunciados o lógica de primer orden25. La fundamentación matemática de Montague se basa en un homomorfismo entre un álgebra sintáctica y un álgebra semántica fundada en los valores de verdad (V y F)26, pero la de Suppes es más sencilla y consiste en «asociar con cada 25. Así, «Richard Montague was the first to seriously propose and defend the thesis that the relation between syntax and semantics in a natural language such as English could be viewed as not essentially different from the relation between syntax and semantics in a formal language of first order logic» (Partee-Meulen-Wall, 1990: 317). 26. Desde que Boole demostró en 1847 la relación entre la Lógica y el álgebra, las funciones de verdad y los valores de verdad de las proposiciones lógicas se pueden expresar también mediante esta parte de las Matemáticas. Así, el conjunto A = {Verdadero, Falso} = {V, F} = {0, 1} formado por los dos valores de verdad es un álgebra de Boole binaria, que es un álgebra de Boole (A, , ) cuyo conjunto A = {0, 1} está formado por dos únicos elementos, el 0 y el 1. Un álgebra de Boole (A, , ), a su vez, es un cuerpo cuyas dos leyes de composición interna son la disyunción no exclusiva ( ) y la conjunción ( ) o, lo que es lo mismo, un conjunto A dotado de dos l.c.i. y se dice que es un álgebra de Boole si se verifica que las dos leyes son asociativas y conmutativas, cada una de ellas es distributiva respecto a la otra, tiene elemento neutro y todo elemento a A tiene un elemento complementario a’ A y sólo uno. Un álgebra A es un conjunto A en el que se define una o más leyes de composición f1, f2, …, fn y se representa por A = . Un álgebra A = se puede relacionar con otra álgebra B = mediante una correspondencia F: A V B definida entre ellas: «Relations between algebras may be described by functions mapping one algebra in another; F: A V B» (ParteeMeulen-Wall, 1990: 253). Si esa correspondencia entre dos álgebras es una aplicación (o sea, que todo elemento de A tiene imagen y sólo una imagen), se denomina un morfismo (u homomorfismo), que se define como toda aplicación f: A V B entre dos álgebras (A, ) y (B, ) tal que f(a b) = f(a) f(b), a A, b B. Si la aplicación es inyectiva (algún elemento de B no tiene antiimagen en A pero los que tienen antiimagen sólo tienen una) se llama monomorfismo, si es suprayectiva (todo elemento de B tiene antiimagen en A y alguno puede tener más de una) es un epimorfismo (u homomorfismo) y si es biyectiva (todo elemento de B tiene antiimagen y sólo una antiimagen en A), es un isomorfismo. El componente semántico de la lógica también se puede definir matemáticamente como un álgebra B = (B, ), en la que el conjunto B = {0, 1} que la define es el de los valores de verdad de las proposiciones, verdadero (1) y falso (0). La relación entre el componente sintáctico, que es un álgebra A = (A, ), y el componente semántico de la Lógica, que es otro álgebra B = (B, ), se puede­definir también matemáticamente por medio de la relación entre las dos álgebras. Y de la misma manera que el conjunto de los valores de verdad de una proposición se relaciona con el conjunto de los valores de verdad de su proposición equivalente, definiendo una correspondencia denominada función de verdad, el componente sintáctico y el componente semántico también definen entre sí una correspondencia y, en este caso concreto, una aplicación entre las dos álgebras (A, ) y (B, ), que es lo que se conoce como un homomorfismo, que expresa algebraicamente el concepto lógico de interpretación semántica, utilizado ya por Tarski en su teoría de la verdad. Este homomorfismo f: A V B entre dos álgebras A = (A, ) y B = (B, ) que define el concepto de la interpretación semántica o relación entre la sintaxis y la semántica de

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regla de producción de una gramática generativa un conjunto de reglas o funciones semánticas» (Acero-Bustos-Quesada, 1989: 145)27. los lenguajes formales, representadas respectivamente por esas mismas dos álgebras A = (A, ) y B = (B, ), se conoce como el principio de composicionalidad (The Principle of Compositionality), en virtud del cual el significado de un enunciado es una aplicación definida entre el significado de sus partes y el conjunto de las reglas sintácticas por las cuales éstas se combinan: «The meaning of a complex expression is a function of the meaning of its parts and of the syntactic rules by which they are combined» (ParteeMeulen-Wall, 1990: 318). Dicho principio no es más que la aplicación de la definición de homomorfismo a la relación entre la semántica y la sintaxis de un lenguaje formal: f(a b) = f(a) f(b), a A, b B. Fue el americano Richard Montague el que desarrolló el principio de composicionalidad considerando a la sintaxis y a la semántica de la Lógica como álgebras y el que aplicó el concepto matemático de homomorfismo a la relación entre el álgebra de la sintaxis y el álgebra de la semántica. Para Montague, el concepto de interpretación semántica, que ya fue utilizado por Tarski en su teoría de la verdad y pertenece evidentemente a la Lógica, es un homomorfismo definido entre dos álgebras, una sintáctica A y otra semántica B. El álgebra sintáctica es A = , tal que el conjunto A está formado por todas las proposiciones lógicas moleculares bien formadas a partir de un conjunto X0 = {p, q, r, p’, q’, …} de las proposiciones atómicas, y las operaciones sintácticas F0, …, F4 son las relaciones entre esas proposiciones atómicas definidas por los cinco conectores lógicos ( , , , V,:) de tal manera que, siendo α y β dos proposiciones lógicas cualesquiera, dichas operaciones vendrían definidas así: F0(α) = α, F1(α, β)= α β, F2(α, β) = α β, F3(α, β) = α V β, F4(α, β) = α: β. Evidentemente, el conjunto X0 no es otro que el V (alfabeto o vocabulario) del sistema axiomático definido anteriormente y el A, no es otro que el F (lenguaje formal) de ese mismo sistema axiomático (Serrano, 1977: 188-189). El álgebra semántica es B = , tal que el conjunto está formado por los dos valores de verdad, B = {0, 1}, que pueden tener las proposiciones lógicas y las operaciones semánticas G0, …, G4 son las que corresponden a las operaciones sintácticas F0, …, F4. La interpretación semántica asigna un valor de verdad a cada proposición atómica y valores de verdad a las proposiciones moleculares, de tal forma que establece una relación entre las proposiciones del conjunto A y los dos valores de verdad del conjunto B = {0, 1} que se puede definir como una aplicación entre los dos conjuntos y entre todas las operaciones de cada uno de ellos, o sea, entre las dos álgebras A y B. Y una aplicación entre dos álgebras es un homomorfismo, por lo que el concepto de interpretación semántica de las proposiciones lógicas se puede definir como un homomorfismo entre el álgebra sintáctica A y el álgebra semántica B. La semántica de la Lógica y el principio de composicionalidad vienen a completar la definición de gramática formal, que se refería sólo al componente sintáctico, y le aporta el componente semántico que, como se ha podido comprobar, está basado en las funciones de verdad de las proposiciones lógicas. Por lo tanto, la semántica de la Lógica y el principio de composicionalidad completan la axiomatización de los lenguajes formales, que es la esencia de la lingüística matemática. 27. Así, por ejemplo, en la oración típica de la lógica aristotélica «todo hombre es mortal», la extensión semántica de «hombre» se refiere al conjunto de todos los hombres y se representa por la letra H, la palabra «mortal» se refiere al conjunto de todos los seres mortales y se representa por la letra M, y la relación entre el significado de ambas es la función semántica de inclusión representada por la fórmula lógica H M. Esta teoría se basa en

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La Lógica, por tanto, se aplicó claramente a la Lingüística, sobre todo a partir de la década de los años 5028. La gramática de los lenguajes formales se tomó como modelo para la de las lenguas naturales, entendiendo como modelo «el proceso por el cual, de las informaciones extraídas a partir de la investigación sobre A y de la correspondencia entre A y B, se obtienen ciertas informaciones sobre B», siendo A un objeto o fenómeno «sometido a una

reducir todo el lenguaje a conjutos y, por ello, recibe el nombre de semántica conjuntista. Sin embargo, «el problema de la semántica conjuntista es que es demasiado general y abstracta. […] Pero esa semántica no nos da ulterior información de carácter más concreto sobre las entidades conjuntistas asociadas. Todo lo que hacemos es representarlas de algún modo más sencillo; por ejemplo, mediante letras, como hemos hecho anteriormente. Para muchos fines este tipo de análisis semántico tan abstracto no basta» (Acero-BustosQuesada, 1989: 148). 28. La lógica simbólica axiomatizada está en la base de los lenguajes formales de la informática empleados por la lingüística matemática como modelo de descripción de la organización y funcionamiento de las lenguas naturales. Por esta razón, como es obvio, a la hora de abordar el estudio y la comprensión de los principios teórico-metodológicos que fundamentan la lingüística matemática, es necesario conocer siquiera algunos rudimentos de disciplinas como la Lógica, el álgebra, los lenguajes de programación… Los manuales más difundidos no alcanzan a exponer con detalle todos y cada uno de estos conocimientos. Maurice Gross, en Modelos matemáticos en lingüística (1972), expone los fundamentos informáticos de la lingüística matemática, pero omite el fundamento lógico-matemático de esta disciplina. En Introducción a la lingüística matemática (1972), Gladkij y Melchuk exponen los logros de la lingüística matemática en la U.R.S.S., así como sus carencias y defectos al aplicarse a las lenguas naturales, pero dan por sabidos los fundamentos matemáticos, tanto lógicos como algebraicos de dicha disciplina, y no hacen referencia alguna a conceptos fundamentales de la informática. Sebastián Serrano, en Elementos de lingüística matemática (1975) y en Lógica, lingüística y matemáticas (1977), expone ampliamente y con precisión los fundamentos algebraicos de la lingüística matemática, aunque obvia la base lógica de dicha disciplina. Los lingüistas rumanos Marcus, Nicolau y Steti, en Introducción a la lingüística matemática (1978), describen el papel de la lingüística matemática en el contexto de la lingüística general, pero nada dicen de su fundamentación matemática y nada de su origen informático. Las publicaciones de Zelling Harris –Methods in Structural Linguistics (1951), Structural Linguistics (1969), Structures matematiques du language (1971)– constituyen una excepción que se explica por el hecho de que estos trabajos se sitúan en el inicio del desarrollo de la lingüística matemática. Ciertamente, Harris presenta y desarrolla un modelo de lingüística matemática propio, basado casi exclusivamente en las transformaciones. Finalmente, el libro de Partee, Meulen y Wall, titulado Mathematical Methods in Linguistics (1990), es posiblemente una de las publicaciones más completas porque expone con detalle tanto los fundamentos algebraicos como los lógicos, e incluso los informáticos, de la lingüística matemática, además de recoger las aportaciones de Richard Montague sobre la matematización de la semántica. Sólo el libro de Maurice Gross expone de forma explícita y clara la relación entre la lingüística matemática y la lingüística generativa.

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prueba como sustitutivo de otro objeto o fenómeno B, con el cual A mantiene una cierta correspondencia» (Marcus-Nicolau-Steti, 1978: 75-77)29. A pesar de que se han demostrado las afinidades entre el lenguaje formal y el lenguaje natural, las gramáticas formales son sólo un modelo para las lenguas naturales y sólo cumplen algunas propiedades de éstas30. Y, aunque 29. La problemática de esta aplicación de las gramáticas generativas formales a las lenguas naturales la describe muy bien Lyons (1993: 108): «Una gramática generativa consiste en una especificación matemática precisa de la estructura gramatical de las oraciones que ella misma genera. Esta definición no limita la aplicabilidad de la gramática generativa a las lenguas naturales. De hecho, tampoco implica que la gramática generativa sea en absoluto pertinente para describir lenguas naturales. Los conjuntos de sintagmas caracterizados como lenguas por las gramáticas generativas son lo que los lógicos denominan lenguas formales. Todo sintagma posible está o no bien formado; no existen sintagmas en un estado intermedio o indeciso a este respecto. Además, todo sintagma bien formado presenta una estructura totalmente determinada, definida por la descripción estructural que le asigna la gramática. No está claro que las lenguas naturales sean formales en este sentido del término. Muchos lingüistas sostendrían que no lo son. Pero esto no significa que las lenguas formales no puedan utilizarse como modelo de las lenguas naturales. Basta con que la propiedad de la gramaticalidad, aun cuando no quede totalmente determinada, lo sea empíricamente dentro de unos límites razonables, y también que las demás propiedades estructurales del modelo puedan identificarse en la lengua natural a la que sirve de modelo la lengua formal en cuestión». 30. El concepto de «modelo» está definido en la lógica de predicados y, para determinarlo con rigor de forma matemática, es necesario fijar previamente los conceptos de sistema, tipo de similaridad, homologación, interpretación, satisfacción y teoría. Un sistema se podría definir como un cuadruplete < A; R1…Rn; f1…fm; a1…al > formado por los siguientes cuatro conjuntos: • Un conjunto A no vacío, llamado universo del sistema, que agrupa a la totalidad de los elementos que forman parte de él. • Un conjunto de propiedades o relaciones monarias {R1 …Rn} de los elementos de A, que definen subconjuntos A1, …, An dentro de él y que interesa distinguir, o bien un conjunto de relaciones n-arias A × A × … × A, definidas en ese mismo universo A y que forman n-tuplas ordenadas o cadenas (a1, a2, …, an) con los elementos de él, que también interesa distinguir. • Un conjunto {f1, …, fm} de funciones o aplicaciones f: A × A definidas en dicho universo A que interesa distinguir. • Un subconjunto de elementos {a1, …, al} de dicho universo que interesa distinguir. Los conjuntos de elementos distinguidos y de propiedades o relaciones distinguidas puede ser el conjunto vacío (Mosterín, 1989: 122). El tipo de similaridad de un sistema puede definirse como una terna ordenada < r1 …rn; s1 …sm; l > compuesta por la aridad Ri de las relaciones, por la aridad sj de las funciones y por el número l de elementos distinguidos del sistema (Mosterín, 1989: 123). Considerando que un lenguaje formal cualquiera es un sistema y, por tanto, se comporta como tal en relación a otros sistemas, se puede afirmar que «un lenguaje formal y un sistema se llaman homólogos cuando ambos tienen el mismo tipo de similaridad» (Mosterín, 1989: 128). Siendo L un lenguaje formal homólogo de un sistema A, una interpretación J de L en A es una aplicación J: L V A tal que y = J(x) para cualquier elemento x L e y A (Mosterín,

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Lyons justifica la aplicabilidad del modelo, deja claro también que «tampoco implica que la gramática generativa sea en absoluto pertinente para describir lenguas naturales» porque «todo sintagma bien formado presenta una estructura totalmente determinada, definida por la descripción estructural que le asigna la gramática» y, evidentemente, «no está claro que las lenguas naturales sean formales en este sentido del término. Muchos lingüístas sostendrían que no lo son» (Lyons, 1993: 108). Uno de estos lingüístas que criticaron desde el principio la equiparación de las lenguas naturales con los lenguajes formales fue Noam Chomsky, a pesar de que al principio se ocupó de la ló-

1989: 129). Por lo tanto, «Con esto estamos en disposición de definir recursivamente la satisfacción de cualquier fórmula por la interpretación J sobre A» (Mosterín, 1989: 130). A partir del concepto de satisfacción definido anteriormente, se puede definir una teoría como un conjunto de fórmulas, proposiciones lógicas, enunciados o sentencias de un lenguaje formal tal que todas y cada una de las proposiciones φ de dicho lenguaje formal se deducen de ese conjunto (Mosterín, 1989: 131). Y un sistema es un modelo de una teoría determinada si satisface todas y cada una de las fórmulas o proposiciones de ésta, o sea, si se define una aplicación entre el lenguaje formal al que pertenecen las proposiciones de dicha teoría y un sistema homólogo a éste: «Las sentencias que constituyen una teoría T pueden ser interpretadas sobre un sistema homólogo cualquiera A. Con ello se convierten en proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Si todas son verdaderas, decimos que A es un modelo de T. Resumiendo: A es un modelo de T si y sólo si para cada φ T: A sat φ» (Mosterín, 1989: 135). Como se puede comprobar, la diferencia existente entre las lenguas naturales y los lenguajes formales, que ha sido expresada matemáticamente y que abarca también a los elementos de las lenguas naturales que no existen en los lenguajes formales (como la morfología o la fonología), hace que no tengan el mismo tipo de similaridad < r1 …rn; s1 …sm; l >, que a consecuencia de ello no son homólogos y que no exista una aplicación J: L V A, tal que y = J(x) para cualquier elemento x L e y A, entre las relaciones, funciones y elementos distinguidos de unas y de otros. Tan sólo existe una correspondencia entre los sistemas L y A, pero esta correspondencia J: L V A no es una aplicación porque existen elementos de L cuya imagen no es un conjunto unitario o es el conjunto vacío, por lo que no cumplen la definición de aplicación. Si esta correspondencia no es una aplicación, el sistema A que forman los lenguajes formales no satisface algunos enunciados φ de teoría de las gramáticas transformativas. Y, si el sistema que forman los lenguajes formales no satisface una parte de la teoría de las gramáticas tranformativas de las lenguas naturales, entonces, los lenguajes formales y las gramáticas generativas que los describen no son un modelo válido para las lenguas naturales, porque no se ajustan a la definición matemática de modelo. Puesto que la consideración de los lenguajes formales como modelo de las lenguas naturales es, en definitiva, el principio que fundamenta la aplicación de la lingüística matemática a las lenguas naturales, el hecho de que los lenguajes formales no sean un modelo válido para éstas implica que la lingüística matemática planteada en estos términos no es aplicable totalmente a las lenguas naturales. Se puede aplicar a las partes regulares de sus gramáticas, porque éstas son comparables a los lenguajes formales, pero no tanto a las irregularidades que presentan, porque éstas son consecuencia de la historia de cada lengua en particular y, por ello, no son generadas mecánicamente mediante reglas por los hablantes, sino aprendidas por ellos.

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gica simbólica con fines lingüísticos y así lo reflejó en 1953 en su primera publicación, «Systems of Syntactic Analysis», que apareció en una revista de lógica llamada Journal of Symbolic Logic (Chomsky, 1953: 242-256). Y lo reiteró dos años más tarde en Logical Structure of Linguistic Theory (Chomsky, 1975) al postular una estructura-S somera o superficial, afirmando «una estructura-S es análoga a una expresión en los sistemas convencionales de la lógica, y es convertida en una representación de la “forma lógica” por medio de reglas muy simples» (Chomsky, 1955a: 231-232) 31. Sin embargo, muy pronto cambió de actitud y pasó a criticar la idea de Carnap de estudiar la sintaxis de las lenguas naturales comparándola con la de los lenguajes formales, tomándose la de éstos como modelo de la de las lenguas naturales, y en 1955 rechazó la propuesta de Bar-Hillel de seguir desarrollando en la Lingüística el método de Carnap, que había sido expuesta un año antes. Según Chomsky, la Lógica sólo sería útil para formular una teoría lingüística general, pero no para decidir qué tipos de sistemas forman el objeto de la lingüística ni cómo han de describirse32. Por ello, sólo utiliza la lógica simbólica para axiomatizar las principales teorías sintácticas del estructuralismo norteamericano. Y, basándose en los trabajos de los teóricos de la lógica simbólica E. Post, P. Rosembloom y W. Quine, desarrolló su modelo matemático y la definición matemática de gramática generativa (Rohrer, 1978: 27-34), expusto por primera vez en 1955 en The Logical Structure of Linguistic Theory y después, en 1963, en «Introduction to the formal analysis of natural languages» en colaboración con G. Miller. De esta forma, el uso de las gramáticas generativas formales como modelo de las lenguas naturales y la consiguiente influencia en la lingüística teórica de la lingüística matemática debidamente desformalizada queda patente en la intención de Chomsky al decir que «la gramática de una lengua concreta debe ser suplantada por una gramática universal que explique el aspecto creativo del uso lingüístico y exprese las profundas regularidades que, por ser universales, no aparecen en la gramática popularmente dicha» (Chomsky, 1965: 8). Con el término «gramática universal» se refiere a la idea desarrollada ya por Descar31. «La tesis doctoral de Noam Chomsky (The Logical Structure of the Linguistic Theory, 1955) supuso la primera aplicación de ideas procedentes de la teoría de los sistemas formales de la lógica al estudio de problemas de las lenguas naturales.» (Moreno Sandoval, 2001: 227) 32. «The correct way to use the insights and techniques of logic is in formulating a general theory of linguistic structure. But this fact does not tell us what sort of systems form the subject matter for linguistics, or how the linguist may find it profitable to describe them» (Chomsky, 1955b: 45).

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tes, por la Grammaire Général et Raisonée o Gramática de Port-Royal (1660) y por Leibniz, y basada esencialmente en el lenguaje formal de la lógica como universal y subyacente de todas las lenguas, e igualmente se refiere sin duda a la idea de característica universal de Leibniz en la expresión «lengua caracterizada por la gramática». Esta idea tuvo continuación en los siglos xix y xx, sobre todo por parte de los lógicos, como G. Frege, B. Russel, L. Wittgenstein y R. Carnap, quienes mantenían que «sólo la Lógica puede aclaranos la naturaleza de determinados problemas y sólo en ella son formulables las correspondientes respuestas de un modo preciso» (Acero-Bustos-Quesada, 1989: 24). Siguiendo esta idea, y tomando como modelo las gramáticas formales descritas por la lingüística matemática, fue como Chomsky intentó explicar «las profundas regularidades» de la gramática de las lenguas naturales, que formarían parte de lo que él llamó estructura profunda. Sin embargo, este modelo de las gramáticas formales, y concretamente de las gramáticas transformativas, no explicaba tan bien todas las irregularidades de las lenguas naturales, si bien es cierto que tampoco lo pretendía. Por ello, las reglas gramaticales de la gramáticas generativas aplicadas a las lenguas naturales (gramática transformativa) han sufrido continuas modificaciones de las reglas y hasta varias reformulaciones de la teoría, la más famosa de ellas realizada por el propio Chomsky en 1965 en su obra Aspects of the Theory of Syntax33. 33. Así, «tanto las reglas de la estructura de constituyentes como también las reglas T se modifican tan pronto como se consideren nuevos hechos. Chomsky propuso en 1965 un nuevo análisis que, a su vez, ha sido modificado por Lakoff, etc. Efectivamente, en la historia de la GT no conocemos una regla que no se haya modificado más de una vez» (Rohrer, 1978: 66-67). Por ejemplo, el elemento auxiliar (abreviado Aux), que engloba a todos los accidentes gramaticales del verbo de una oración, ha sido analizado de muy diversas maneras y, mientras algunos autores lo incluyen dentro del sintagma verbal mediante las reglas O V SN + SV y SV V Aux + VM, otros lo independizan totalmente de él mediante la regla O V SN + Aux + SV (Fraser, 1965) mediante lo que él denomina «convención de transportabilidad» (transportability convention). M. Bierwisch postuló como primaria para el alemán la regla SV V SN + V, en lugar de la normal SV V V + SN, porque permite una formulación más sencilla de las reglas transformativas al cambiar la posición del verbo (Bierwisch, 1963). Sin embargo, esta estructura primaria teórica fue rebatida por J. Ross, en 1967. Por eso, «si bien ciertos fenómenos sintácticos, como la posición del verbo en las oraciones subordinadas y en las oraciones con formas verbales de infinitivo, se pueden formular más fácilmente, surgen, por otra parte, nuevas dificultades y complicaciones. En el estado actual de la investigación, el orden sujeto, verbo, objeto parece valer como primario también para el alemán» (Rohrer, 1978: 68). En efecto, «the insufficiently restricted state the theory allowed an even more disturbing conclusion to be drawn: Given the sort of data that linguists ordinarily consider relevant, the Universal Base Hypothesis (the conjecture that the grammars of all natural languages have the same base rules) could not proved false» (Partee-Meulen-Wall, 1990: 557), debido entre otras cosas a que «from

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La auténtica utilización de las Matemáticas en las ciencias del lenguaje no llegó, por lo tanto, hasta la década de los años 40 y de los 50, con la axiomatización de los lenguajes formales utilizados en la informática y como consecuencia de la aparición de los ordenadores y de los lenguajes de programación. Esta axiomatización se utilizó como modelo para las lenguas naturales con el fin de posibilitar la traducción automática por ordenador y, tras el fracaso de ésta en los años 60, comenzó a utilizarse el nombre de lingüística matemática para esta nueva disciplina de las ciencias del lenguaje34. Aparece como consecuencia de una innovación tecnológica, pero que al desarrollarse y perfeccionarse necesitó crear unos medios adecuados y cómodos para hacer funcionar una máquinas cuya complejidad excedía la de cualquier otra máquina conocida hasta entonces. Por ello, los medios mecánicos o electrónicos usuales que hacían funcionar las demás máquinas, tales como botones o interruptores, resultaban insuficientes para los ordenadores y se hizo necesario idear otros medios más sofisticados para comunicarse con ellos, como crear unos lenguajes artificiales con los que darles las órdenes oportunas. Los lenguajes artificiales capaces de hacer funcionar los ordenadores reciben el nombre de lenguajes de programación y están especialmente diseñados para impartir órdenes al computador, por lo que deben tener unas características especiales y una sintaxis sencilla pero muy rigurosa para que resulte comprensible a la máquina. Ese rigor y esa sencillez en la sintaxis no se encuentran en las lenguas naturales, pero sí en el lenguaje formal de la lógica matemática y de las Matemáticas mismas, especialmente del álgebra, razón por la cual dicho lenguaje formal se tomó como modelo para los lenguajes de programación. La fundamentación matemática o axiomatización de tales lenguajes de programación dio origen a la lingüística matemática y se tomó, a su vez, como modelo para las lenguas naturales35. this it is relatively straightforwaed to show that there are an infinite number of such trivial “universal bases”» (Partee-Meulen-Wall, 1990: 559). 34. En efecto, «como disciplina constituida, la lingüística matemática aparece muy tarde […], como consecuencia del desarrollo vertiginoso de los ordenadores electrónicos» (MarcusNicolau-Steti, 1978: 41). 35. Para que las lenguas naturales pudieran ser utilizadas por el ordenador tenían que ser «comprendidas» por él o, lo que es lo mismo, adaptadas al lenguaje propio de los ordenadores, que era el lenguaje de programación. Para ello, era necesario formalizar las lenguas naturales de una forma adecuada a los lenguajes de programación, que son los únicos que entiende el ordenador. Dado que todos los lenguajes de programación están basados en el lenguaje formal de la Lógica, la única manera de conseguirlo era adaptando las lenguas naturales al lenguaje formal de la Lógica, porque éste era el único «comprensible» para el ordenador. Para ello, fue necesario estudiar las características de ambas clases de len-

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La gramática de un lenguaje formal fue definida como un sistema axiomático semithueano y las reglas de reescritura que «generaban» los enunciados de los lenguajes formales se equipararon a las reglas de inferencia de los sistemas axiomáticos, por lo que tales gramáticas se denominaron gramáticas generativas36. guajes o, lo que es lo mismo, conocer sus respectivas gramáticas, para definir después la gramática de las lenguas naturales mediante las características de los lenguajes formales utilizados en la lógica. En otras palabras, la solución consistió en tomar como modelo la gramática de los lenguajes formales para definir la gramática de las lenguas naturales. Y esto fue posible gracias a la teoría de modelos, definida por A. Tarski dentro de su teoría de la verdad, que fue expuesta en el artículo «El concepto de verdad en los lenguajes formalizados», presentado por él en 1931 a la Sociedad Científica de Varsovia (Garrido, 1991: 220). 36. «Una gramática formal es un tipo particular de sistema axiomático, que es una estructura matemática definida por el siguiente cuadruplete: donde V es un conjunto finito de símbolos llamado alfabeto o vocabulario; F es un lenguaje formal sobre V, llamado conjunto de fórmulas bien formadas; A es un subconjunto de F, llamado conjunto de los axiomas; R es un conjunto de reglas de derivación» (Serrano, 1977: 188-189): SA = . Pues bien, el conjunto V, que es el conjunto de símbolos del lenguaje formal de la lógica, y el F, que es el conjunto de fórmulas lógicas bien formadas que constituyen un lenguaje formal sobre V, son una parte del sistema axiomático, la del lenguaje formal, que es distinta de la otra parte, que es la del sistema deductivo. La parte del lenguaje formal también se puede definir matemáticamente por separado, porque el conjunto F es también un álgebra en la que se definen unas operaciones que determinan cuáles de las fórmulas lógicas de F están bien formadas. Una gramática generativa se definió, entonces, como un sistema axiomático semithueano, G = , que está formado por «un vocabulario fundamental o terminal, un vocabulario auxiliar, un símbolo inicial y una serie de reglas de reescritura» (Gladkij y Melchuk, 1972: 56), de tal manera que el «símbolo inicial» es el axioma inicial de los sistemas axiomáticos y, como en éstos, pertenece al vocabulario auxiliar. Por lo tanto, los conjuntos que lo forman son VT, VN, S y R, siendo R ­el conjunto de reglas de escritura que actúa sobre la unión de los conjuntos VT y VN, y siendo S un elemento de VN. Las reglas gramaticales serían funciones recursivas de tipo semithueano y, por tanto, aplicaciones f: Σ Σ, tal que Σ = VT VN y cuyos pares ordenados presentan la forma ( , ), representada habitualmente por V y que se lee ‘ se reescribe ’: G = , tal que R = (x1, x2, …, xn-1, xn) x1, x2, …, xn-1 V xn. Teniendo en cuenta que un álgebra A es un conjunto A en el que se define una o más leyes de composición f1, f2, …, fn y se representa por A = , una gramática formal es, por tanto, un álgebra y, más concretamente, un monoide definido en la unión de VT y VN, o sea en VT VN, teniendo en cuenta que S VN y que las leyes de composición interna u operaciones asociadas forman el conjunto R de las reglas de reescritura. El conjunto R de las­reglas de reescritura representa la concatenación de los elementos de VT VN y se puede representar por el símbolo , con lo cual sería la ley de composición interna (por ejemplo, a b c … n), que es asociativa y tiene elemento neutro, pero no simétrico, por lo que el conjunto Σ = VT VN en el que se define no es un grupo, sino sólo un monoide. La concatenación, que es la ley de composición interna definida en el monoide, no sería más que una relación binaria de orden definida en el conjunto Σ = VT VN, que forma una serie de cadenas cuyos elementos pueden ser también, a su vez, cadenas (Partee, Meulen,

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Dado que la lingüística matemática apareció «como consecuencia del desarrollo vertiginoso de los ordenadores electrónicos» (Marcus-Nicolau-Steti, 1978: 41), su evolución estuvo condicionada por la de éstos y, por tanto, se desarrolló en función de los avances técnicos que registraron los ordenadores y el campo de la ingeniería informática37. De esta forma, los tipos de lenguajes definidos estuvieron determinados por el tipo de ordenador para el que estaban destinados, de tal manera que la complejidad de estos lenguajes aumentaba en proporción directa a la de las máquinas que los debían utilizar. Principalmente, estos tipos de lenguajes son tres: los lenguajes de estados finitos o finite state languages, los lenguajes libres de contexto o contextfree languages y los lenguajes dependientes del contexto o context-sensitive languages. Éstos toman los nombres del tipo de gramáticas que los generan, gramáticas de estados finitos o finite state grammars (GEF), gramáticas independientes del contexto o context-free grammars (GIC) y gramáticas dependientes del contexto o context-sensitive grammars (GDC)38. Wall, 1990: 434). Por lo tanto, una gramática formal es un monoide en el que se define una ley de composición interna denominada concatenación, que es asociativa y tiene elemento neutro, pero carece de simétrico, por lo que el conjunto Σ = VT VN en el que se define no llega a ser un grupo. 37. El uso de las gramáticas generativas de los lenguajes formales, y concretamente de los lenguajes de programación, como modelo para estudiar las lenguas naturales realizado por Chomsky ya fue señalado por Matthews: «Sus primeros críticos relacionaron muchas veces su trabajo con los proyectos de traducción mecánica. Una gramática generativa puede ser adecuada para una computadora pero, según decían, para ninguna otra cosa. En sus respuestas, Chomsky negó que tuviera interés ninguno por ese campo. Pero, ¿importa eso realmente? El primer experimento de traducción (el llamado “experimento de Georgetown”) es de 1954, la importante obra inédita de Chomsky, de 1955: ¿hemos de ver una simple coincidencia? Con seguridad, las dos cosas pertenecen al mismo movimiento intelectual. En otros temas, los pioneros habían empezado justo entonces a pensar en términos de computación: más tarde, esas formas de pensar alcanzarían su apogeo en las universidades de lengua inglesa de los años 60. Estamos ahora en las décadas siguientes. Podemos ver que gran parte de aquello no era más que simple embriaguez. ¿No lo apreciaron correctamente los críticos de Chomsky en ese momento?» (Matthews, 1983: 141). 38. Toda gramática independiente de contexto (GIC) se puede definir también como una gramática dependiente de contexto (GDC) en la que ambos elementos del contexto de un determinado símbolo que cambia en virtud de una regla son elementos vacíos, o sea, como una gramática cuyas reglas de reescritura son αAβ V αwβ, tal que A VA; α, β, w (VT VA) pero α β = . Por lo tanto, toda gramática IC se puede considerar como un caso particular de gramática DC y satisface todas las condiciones de una gramática DC, por lo que se puede afirmar que los lenguajes IC son, a su vez, lenguajes DC, pero no al contrario. Al mismo tiempo, las gramáticas regulares son, a su vez, un caso particular de gramáticas IC, ya que sólo se diferencian de ellas en que tienen una regla final Pl V e, con lo que los lenguajes regulares son, a su vez, lenguajes IC. Por esta razón, los tres tipos de gramática se pueden definir muy bien en orden inverso:

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Esta axiomatización de las gramáticas de los lenguajes formales de la lógica y de los lenguajes de programación, se aplicó a las lenguas naturales con el objeto de axiomatizarlas para que pudieran ser comprendidas y reproducidas por el ordenador y posibilitar así la traducción automática39. Los 3 tipos de gramáticas generativas mencionadas (GEF, GIC y GDC) explican perfectamente los lenguajes formales pero, al utilizarlas como modelo para • Gramáticas dependientes del contexto o GDC: Aquellas cuyas reglas de reescritura son del tipo αAβ V αwβ, tal que A VA; α, β, w (VT VA); α β ≠ y β ≠ e. Puede ocurrir que α = , en cuyo caso la regla sería Aβ V wβ, o que β = , en cuyo caso sería αA V αw. • Gramáticas independientes del contexto o GIC: Aquéllas cuyas reglas de reescritura son del tipo αAβ V αwβ, tal que A VA; α, β, w (VT VA); pero α = β = , o sea, del tipo A V w. Por tanto, son aquellas gramáticas dependientes del contexto en cuyas reglas de reescritura αAβ V αwβ, α = β = , o sea, del tipo A V w. • Gramáticas regulares (GR) o de estados finitos: Aquéllas cuyas reglas de reescritura son del tipo αAβ V αwβ, tal que A VA; α, β, w (VT VA); α = β = y existe una regla final Pl V e, o sea, que son del tipo A V w tal que (Pl V e), siendo e el elemento neutro. Por tanto, son aquellas gramáticas dependientes del contexto en cuyas reglas de reescritura αAβ V αwβ, α = β = y (Pl V e) o, lo que es lo mismo, son aquellas gramáticas independientes del contexto en cuyas reglas de reescritura A V w, (Pl V e). Los tres tipos de gramática se resumirían de forma más sintetizada utilizando sólo símbolos matemáticos, de la siguiente manera: GDC = : R = αAβ V αwβ: A VA; α, β, w (VT VA); α β ≠ ; β ≠ e. α= (R = Aβ V wβ), β = (R = αA V αw). GIC = : R = αAβ V αwβ: A VA; α, β, w (VT VA); α = β = . R = A V w. GR = : R = αAβ V αwβ: A VA; α, β, w (VT VA); α = β = ; (Pl V e). R = A V w: (Pl V e). Los tres tipos de gramática tienen una parte común, que consiste en la propia fórmula definitoria y en el tipo de reglas de reescritura: G = : R = αAβ V αwβ: A VA; α, β, w (VT VA). Y de esta definición se deduce claramente que toda gramática formal es un sistema axiomático semithueano, y ello se puede demostrar con la simple comparación de las respectivas definiciones matemáticas: Sistema semithueano = : P = αxβ V αyβ. Gramática formal = : R = αAβ V αwβ: A VA; α, β, w (VT VA). = A = VT; B = VA; S = P0; P = R 39. En efecto, «hasta los años 50 no se construyen sistemas axiomáticos, que cumplan los presupuestos matemáticos, para dominios parciales de las lenguas naturales. Tales modelos fueron desarrollados, en parte, en el marco de las investigaciones sobre la traducción automática» (Rohrer, 1978: 24).

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las lenguas naturales, se comprobó que eran incapaces de describirlas40. Por ello, fue necesario realizar algunas adaptaciones de las gramáticas generativas añadiendo conceptos que no existían en los lenguajes formales. Dado que la lingüística estructural imperante en aquel momento resultaba insuficiente para adaptarla a la informática porque no explicaba cómo se producía el lenguaje y cómo lo debía producir el ordenador, se tuvo que completar y perfeccionar añadiéndole las reglas gramaticales que explicaban la producción de oraciones. Para ello, también se recurrió a la lógica simbólica y, concretamente, a los sistemas axiomáticos y a las reglas de reescritura de las fórmulas lógicas, que eran concebidas como reglas de inferencia. Chomsky estableció que las reglas gramaticales se expresaran mediante las reglas de reescritura41, que pueden ser reglas sintagmáticas o de ramificación y reglas 40. La lingüística matemática, que nació simultáneamente en la U.R.S.S. y en Estados Unidos a mediados de los años 50 como consecuencia de la aparición de los ordenadores, se ha aplicado a la matematización de los lenguajes formales, pero no ha sido tan eficaz a la hora de aplicarse a los lenguajes naturales. En efecto, la lingüística matemática ha conseguido resultados con las lenguas formales o artificiales, pero no con las lenguas naturales, y ello es reconocido por los mismos especialistas. Así, el mismo Harris (1971) definió matemáticamente el concepto de gramática o de lengua como un «sistema abstracto» («le systéme abstrait»), y así tituló el capítulo séptimo en el que incluye y explica extensamente esa definición. Pero Gladkij y Mel’ uk en su Introducción a la lingüística matemática (1972: 94) lo reconocen abiertamente: «… no podemos ofrecer al lector una exposición bien trabada de resultados precisos en lo tocante a la descripción de los lenguajes naturales empleando las gramáticas generativas de tal o cual clase. Tendremos que limitarnos a consideraciones de carácter general y a un reducido número de hechos conocidos». 41. Las reglas de reescritura propuestas por Chomsky para las lenguas naturales son en realidad pares ordenados del tipo (x, y) pertenecientes al grafo de la aplicación f: X V Y definida entre un conjunto finito X y un conjunto finito Y y que por convenio se representan por medio de la flecha que simboliza dicha aplicación (X V Y). Este tipo de regla es una aplicación porque es una correspondencia definida entre los conjuntos finitos X e Y en la que todo elemento de X tiene imagen y sólo una imagen, de manera que y = f(x), x X. «Esta regla se lee así: el símbolo X ha de volverse a escribir como el símbolo Y. La flecha entre X e Y no es otra que una instrucción, una orden que nos obliga a no detenernos en X: el paso a Y es inevitable. Hablando de un modo más técnico diremos: X se reescribe Y.» (Tusón, 1995: 161) Uno de los dos componentes de esta aplicación puede ser a su vez compuesto y estar formado por dos elementos, uno del conjunto Y y otro de un tercer conjunto Z, también finito, en cuyo caso este elemento imagen de la aplicación sería a su vez un par ordenado formado por un elemento cualquiera de cada uno de esos dos conjuntos o, lo que es lo mismo, por un par ordenado perteneciente al producto cartesiano Y × Z de los conjuntos Y y Z. La aplicación sería entonces X V Y × Z, en la que uno de los dos conjuntos que la definen es el producto cartesiano de dos conjuntos. Y toda aplicación en la que uno de los dos conjuntos que la definen es el producto cartesiano de dos conjuntos constituye una ley de composición, inversa en este caso (f-1) porque el producto cartesiano es el elemento imagen de la aplicación f. En Lingüística, esta ley de composición X V Y × Z

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de inserción léxica, y añadió el concepto de transformación, que ya había sido formulado por el estructuralista Harris para explicar las irregularidades y ambigüedades de las lenguas naturales concibiendo las reglas transformativas también como reglas de reescritura42. Sin embargo, las reglas sintagmátise representa de la forma X V Y + Z. De esta forma, siendo y Y y z Z, tenemos que (y, z) = f-1(x), x X. Esta última regla X V Y × Z puede tener dos variantes. La primera de ellas consiste en que uno de los dos componentes de un par ordenado del producto cartesiano Y × Z sea el elemento vacío , o sea, que ( , z) = f(x), Y, z Z. Cuando un elemento y Y tiene el valor y = , la ley de composición X V Y × Z, tal que y = , es en realidad la aplicación X V Z porque puede ocurrir que ( , z) = z = f(x), o sea la regla anterior. La ley de composición correspondiente sería X V Y × Z: Y, y en Lingüística se representa por X V (Y) Z, en el que (Y) sería opcional. La otra variante consiste en que el elemento imagen de la aplicación puede pertenecer al conjunto Y o al Z de forma excluyente, en cuyo caso el elemento imagen de la aplicación sería un elemento w perteneciente, o bien a Y o bien a Z, tal que w = f(x) y (w = y) (w = z). En este caso, se trata también de una aplicación X V (Y Z) o, lo que es lo mismo, (X V Y) (X V Z), siendo el símbolo de la disyunción exclusiva. Entonces, w = f(x), tal que w Y Z o, lo que es lo mismo, w (A – B) (B – A). En Lingüística, se representa por X V {Y, Z}. La primera regla enunciada, X V Y, también podría considerarse una variante de la segunda, X V Y × Z, siempre que uno de los dos conjuntos de elementos imagen fuera el conjunto vacío. Así, si Z = { }, tenemos que X V Y × Z equivale a X V Y, por lo que dicha regla se puede enunciar también de la forma X V Y × Z: Z = { }. Así, todas las reglas de reescritura pueden considerarse como leyes de composición y representarse con la fórmula X V Y × Z, siendo las demás reglas distintas variantes de ésta que sólo difieren en los valores de cada uno de los conjuntos que la forman. Estas reglas de reescritura se completan sustituyendo cada una de las categorías finales por palabras concretas del vocabulario terminal de una lengua. Esta sustitución de categorías gramaticales por palabras del léxico de una lengua se denomina inserción léxica. 42. Harris (1971: 69) define una transformación como una aplicación biunívoca φ21: A1 V A2 entre dos subconjuntos A1 y A2 del conjunto A de oraciones gramaticales, de una lengua. El subconjuto A2 es el de las imágenes a2 = φ(a1) del A1, o sea, el de las oraciones que han sufrido alguna transformación, y el A1 es el de las antiimágenes a1 = φ-1(a2) de A2, de tal manera que la aplicación inversa es φ-1: A2 V A1. Cada elemento a2 = φ(a1) del conjunto A2 se diferenciará de su antiimagen a1 = φ-1(a2) de A1 dependiendo del tipo de transformación φ21 que haya sufrido, y estas transformaciones pueden ser básicamente de tres tipos, permutaciones, adiciones y omisiones. «Une relation transformationnelle entre deux ensembles de propositions A1 et A2 peut être décrite comme une application biunivoque φ de A1 sur A2, telle que chaque proposition de A2 est identique à son image inverse dans A1, à l’exeption de quelques additions, permutations ou omissions qui accompagnent φ. On peut vérifier lingüistiquement que, étant donnée une transformation A1: A2, les permutations, aditions et omissions qui différencient una séquence de morphèmes (ou proposition) de A2 de son image inverse dans A1 (qui leur est associée par chaque transformation) sera appelée la trace φ21 de la transformation, et peut être considérée comme une opération qui, à partir des séquences de morphèmes de A1, permet d’obtenir celles de A2. Nous écrirons: A2 = φ21A1 ou: φ21: A1 V A2 ou: φ21-1: A2 V A1» (Harris, 1971: 69). Por tanto, en la simbología generativa, estas transformaciones se podrían representan como las reglas

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cas generaban todas las oraciones posibles, tanto las correctamente formadas o gramaticales como las formadas incorrectamente o agramaticales, por lo que fue necesario limitar su capacidad generativa introduciendo el concepto de subcategorización –que no era más que el análisis componencial formulado por Katz y Fodor en 1963– y estableciendo las consiguientes reglas de subcategorización43. de reescritura de las gramáticas formales, utilizando la formalización de las operaciones o leyes de composición, de la forma X V Y y X V Y × Z, siendo X V Y un caso particular de X V Y × Z en el que Z = { }. Sin embargo, estas reglas transformativas no se pueden aplicar a todas las oraciones de una lengua, sino sólo a algunas de ellas, y para conocer el subconjunto de las oraciones o cadenas de una lengua para las que sirve cada regla de transformación, hay que recurrir al concepto de analizabilidad, que fue formulado por Chomsky en 1961 en su artículo «On the notion “rule of grammar”». Téngase en cuenta que los marcadores sintagmáticos, que son los que definen la estructura sintáctica de una oración, se representan mediante diagramas arbóreos y que éstos están formados por elementos no terminales o categorías gramaticales, que forman los nódulos, y por elementos terminales, que son los que sustituyen a los no terminales y forman las oraciones. Pues bien, sean t1, …, tn los elementos terminales en los que se puede dividir una oración o cadena terminal t, sea Q el marcador sintagmático de dicha cadena y T una regla transformativa que le afecta. Se cumple siempre que cada elemento ti está dominado en Q por un nódulo o elemento no terminal Ai (una categoría gramatical). Entonces, la cadena t es analizable como un par ordenado (t1, …, tn; A1, …, An) en relación a Q. El primer componente t1, …, tn de este par ordenado, formado por todos los elementos terminales de la cadena t se denomina un análisis propio (proper analysis) de t en relación a Q y a la regla transformativa T. El segundo componente A1, …, An, formado por todos los elementos no terminales o nódulos, se denomina índice estructural o descripción estructural y es el que especifica a qué cadenas se les puede aplicar la regla transformativa T. Los cambios que se producen en un marcador sintagmático Q al aplicar una regla transformativa T se llaman cambios estructurales y cada uno de los pasos aislados en los que se puede definir un cambio estructural recibe el nombre de transformación elemental (elementary transformation). 43. Si el conjunto inicial de constituyentes inmediatos de la aplicación que define toda regla gramatical no es el producto cartesiano, sino un subconjunto de él, fue necesario establecer un criterio que permitiera limitar la aplicación de las reglas gramaticales y decidir si una regla gramatical es correcta o no en cada caso, o sea, si los constituyentes inmediatos a los que afecta pueden generar o no una oración bien formada en una lengua. Y, como el hecho de que las oraciones estén bien formadas o no lo estén depende, como se ha visto en los ejemplos, del significado de sus constituyentes, ese criterio tenía que ser semántico, lo que obligó a valorar y desarrollar la semántica, tan marginada por el estructuralismo americano, como una parte fundamental de la Gramática. En efecto, fueron J. Fodor y J. Katz los que introdujeron en 1963 en la gramática generativa el análisis componencial en su versión conceptualista, que consiste en que el significado de un lexema se puede descomponer en una serie de elementos conceptuales atómicos. Por ejemplo, el concepto «yegua» se puede descomponer en los conceptos atómicos «animado», «adulto» y «hembra» (Acero-Bustos-Quesada, 1989: 65-66). De esta manera, una oración estará bien formada si los elementos conceptuales atómicos de sus constituyentes son compatibles entre sí y no

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Surgió, así, una concepción dual de la gramática de las lenguas naturales, basada en dos estructuras sintácticas distintas que Chomsky, siguiendo una corriente muy generalizada en las distintas ciencias y basándose en la lógica de Frege, denominó estructura profunda y estructura superficial. La estructura profunda está formada por el componente sintáctico de la Gramática, que consta de las reglas sintagmáticas, de inserción léxica y de subcategorización, y por el componente semántico; mientras que la estructura superficial está formada por las reglas transformativas, que constituyen el componente tranformacional, y por el componente fonológico. Se originó, así, un cuarto tipo de gramática generativa, llamado gramática transformativa, que se añadió a los tres ya existentes en la lingüística matemática y se utilizó desde el primer momento en la lingüística teórica aplicándose a las lenguas naturales con el nombre de gramática generativa y transformativa o generativismo. Sin lo estará en el caso contrario. Teniendo en cuenta que las reglas gramaticales describían en realidad las relaciones entre categorías gramaticales, lo que hace el análisis componencial es establecer las categorías incluidas en otra categoría, o sea, subcategorizar. Por ello, a la aplicación del análisis componencial a los constituyentes se le llamó subcategorización y, a las reglas que establecen las asociaciones de constituyentes que generan oraciones gramaticales, reglas de subcategorización. De esta manera, se pudieron compensar las inadecuaciones de las reglas gramaticales, complementándolas con la subcategorización, que fue incorporada por Chomsky a la gramática generativa en 1965 en Aspects of the Theory of Syntax, tomándola del análisis componencial de Fodor y Katz (1963). La subcategorización es el único fenómeno de la Gramática que convierte a las reglas gramaticales en reglas dependientes del contexto o context-sensitive rules ya que, a causa de ella, la aplicación de una regla gramatical cualquiera está condicionada por los rasgos semánticos de los constituyentes vecinos de aquellos a los que afecta, de tal manera que «the use of context-sensitive rules is restricted to subcategorization and lexical insertion» (Gross, 1972: 146-147). Las reglas de subcategorización se dividen, a su vez, en «dos tipos de reglas: las reglas de selección (selectional rules) y las reglas de subcategorización (strict subcategorization rules). Estos dos tipos de reglas son las únicas reglas de la base dependientes del contexto; todas las demás reglas de la base son reglas independientes del contexto» (Rohrer, 1978: 75). Las reglas de selección de Rohrer son las reglas de inserción léxica de otros autores como Gross (lexical insertion) y a las reglas sintagmáticas, Rohrer las denomina «reglas de ramificación». El concepto de subcategorización también pertenece a la lingüística matemática y es, por tanto, complementario de las reglas gramaticales, que a su vez proceden de las reglas de reescritura de la definición matemática de gramática generativa. Así, los elementos sintácticos que intervienen en las reglas gramaticales no serían los simples constituyentes aislados, sino secuencias de ellos, sintagmas o, en términos matemáticos, n-tuplas ordenadas. Aun así, la aplicación inversa f-1: X V Y × Z que define matemáticamente las reglas gramaticales no estaría definida por el producto cartesiano Y × Z, sino por un subconjunto G de él (G Y × Z), porque no todas las n-tuplas ordenadas de constituyentes tendrían imagen no vacía, sino sólo algunas de ellas. Por ello, no pueden representarse como un operación X V Y × Z, porque no es una ley de composición, sino sólo como una simple aplicación X V Y + Z.

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embargo, la gramática transformativa seguía presentando inadecuaciones a la hora de describir las lenguas naturales, que fueron solventadas en parte por Peters y Ritchie en 1973 con la hipótesis de su carácter recursivamente enumerable. Con ello, se produjo la revolución teórica más importante de la lingüística actual. La contrastación de una teoría científica, que según el cuarto procedimiento de Popper44 (1967: 32) consiste en «contrastarla por medio de la aplicación empírica de las conclusiones que pueden deducirse de ella», hizo enunciar sucesivas hipótesis ad hoc con la finalidad de poder adaptar las gramáticas generativas a las lenguas naturales. Una de esas hipótesis fue la misma teoría de las gramáticas transformativas. Puesto que la gramática transformativa tampoco fue capaz de describirlas completamente, se tuvieron que hacer algunos ajustes mediante otras hipótesis como la de Peters y Ritchie (1973) sobre el carácter recursivamente enumerable de las mismas. Estas hipótesis ad hoc han conseguido la descripción de las lenguas naturales y sus gramáticas al ir añadiendo más tipos de reglas gramaticales a las originalmente formuladas para los lenguajes formales, que son las reglas de reescritura aplicadas de forma recursiva. Ellas se convirtieron en las reglas sintagmáticas, a las que se añadieron las reglas de subcategorización, de inserción léxica y las reglas transformativas, cada una de ellas correspondiente 44. Karl Raimund Popper (1902-1994), especialmente en su obra La lógica de la investigación científica (Logik der Forschung, 1934, traducida al inglés en 1959), propone la búsqueda de un llamado criterio de demarcación entre la ciencia y la filosofía que permita decidir si una afirmación ha de ser estudiada y discutida dentro de la ciencia o, por el contrario, se sitúa en el campo más especulativo de la filosofía, alejándose así del positivismo dominante en el Círculo de Viena, que sólo distinguía entre las proposiciones contrastables, que son el objeto de la ciencia, y las que no lo son, que quedan en el campo de la filosofía o de la Teología. Según él, el conocimiento científico no avanza confirmando nuevas leyes, sino descartando leyes que contradicen la experiencia, que es lo que Popper llama falsación. Así, la labor del científico consiste en criticar leyes y principios de la naturaleza para reducir así el número de teorías compatibles con las observaciones experimentades de las que se dispone. El criterio de demarcación se define entonces como la capacidad de una proposición de ser refutada o falsada y sólo se admitirán como proposiciones científicas aquellas para las que sea conceptualmente posible un experimento o una observación que las contradiga. Por ejemplo, si se formula una ley que diga que todos los cisnes son blancos, esa ley es científica porque en cualquier momento puede aparecer un cisne negro que la contradiga. Por el contrario, la afirmación «Dios existe» no es científica porque no se puede contradecir mediante experimento ni observación alguna. La filosofía de Popper ha sido superada por otros autores importantes en el campo de la filosofía de la ciencia, entre ellos Thomas Samuel Kuhn (1922-1996) con su obra La estructura de las revoluciones científicas (1962). Hay que mencionar también a los españoles J. A. Díez y Carlos U. Moulines (1997), especialmente su obra Fundamentos de filosofía de la ciencia, y a J. A. Valor Yébenes, sobre todo la Metodología de la investigación científica (2000).

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a un tipo de reglas de reescritura diferente (independientes del contexto o dependientes del contexto). A esas reglas, hay que añadir las reglas fonológicas, que fueron enunciadas a imagen y semejanza de las reglas sintácticas y, más concretamente, de las de subcategorización. La gramática transformativa consiste así en una serie de añadidos que han ido completando sucesivamente la teoría original y que han ido solucionando sobre la marcha los problemas que ésta iba presentando al ser aplicada45. Sin embargo, las transformaciones fueron cuestionadas por algunos lingüistas, y como consecuencia de ello surgieron otras alternativas. Como una escisión de la gramática generativa de Chomsky, surgieron las llamadas gramáticas de unificación y rasgos, que fueron desarrolladas por antiguos discípulos o colegas como Postal (la gramática relacional), Bresnan y Kaplan (LFG), Gazdar y Pullum (GPSG) y Pollard y Sag (HSPG). Todas ellas rechazan el concepto de regla transformacional y lo sustituyen por una operación universal, llamada unificación, que opera sobre estructuras de rasgos (Moreno Sandoval, 2001). Otras teorías gramaticales que se incluyen dentro de la lingüística matemática son las gramáticas categóricas46, que han desarrollado

45. La lingüística matemática ha seguido manteniendo todo el aparato matemático de los lenguajes formales, correspondiente a la axiomatización de los lenguajes de la Lógica y de la informática, y lo ha seguido aplicando a las lenguas naturales siguiendo la corriente de pensamiento procedente de la Lógica. En efecto, la influencia de la axiomatización de los lenguajes de programación y de la incipiente traducción automática por ordenador en la posterior GGT es evidente (Chomsky, 1957a). Esta línea fue aceptada y desarrollada por Chomsky en un primer momento –a principios de la década de los 50– y abandonada sólo en parte por él a partir de 1955, cuando criticó las ideas de Carnap de tomar los lenguajes formales como modelo de la de las lenguas naturales y rechazó la propuesta de Bar-Hillel (1954) de seguir desarrollando el método de Carnap en la Lingüística (Chomsky, 1955b). Sin embargo, siguió utilizando la lógica simbólica para axiomatizar las teorías sintácticas del estructuralismo norteamericano y se basó en los trabajos de los teóricos de la lógica simbólica E. Post, P. Rosembloom y W. Quine para desarrollar su modelo matemático y la definición matemática de gramática generativa (Rohrer, 1978: 27-34), que expuso por primera vez en 1955 (Chomsky, 1955a). 46. Las gramáticas categóricas o categoriales fueron desarrolladas por el polaco Ajdukiewicz y después por Bar-Hillel, Lambek y otros. «En un sistema categórico existen justamente dos categorías gramaticales fundamentales, oración y nombre, que indicaremos a base de Σ y n, respectivamente. A todos los datos léxicos que no son nombres se les da, en el léxico, una clasificación categórica derivada con arreglo a la capacidad que presentan para combinarse entre sí o con una de las categorías fundamentales en la estructura de los constituyentes de las oraciones» (Lyons, 1968: 238). Las gramáticas categóricas se basan fundamentalmente en el concepto de «supresión», y se ayudan de las operaciones aritméticas, que toman como modelo: «En el tratamiento “quasi-aritmético” que hace Bar-Hillel, la clasificación categórica de elementos como ran puede expresarse como una “fracción” cuyo denominador indique con qué otra categoría puede combinarse ran, etc., y cuyo

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un formalismo propio47, y las gramáticas de dependencias48, que presentan ciertas semejanzas con las categóricas49 (Lyons, 1968: 237-242). Los primeros problemas surgieron al aplicar las gramáticas transformacionales al procesamiento del lenguaje natural, ya que están concebidas para explicar la generación del lenguaje, mientras que la tarea más frecuente es la de analizar el lenguaje50. Así, quedaban cuestionadas tanto las transformaciones como la estructura profunda ya que, el componente semántico fue equiparado a la estructura profunda, con lo que sólo quedó un nivel sintáctico: la estructura superficial51. Ya en los años 70, «destaca el trabajo de Peters y Ritchie (1973), que demostró que la teoría estándar formalmente equivalía numerador denote la categoría de la construcción resultante. Así, la clasificación léxica de ran, etc., como Σ/n indica que tales elementos se combinan con nombres para formar oraciones. Una vez dada esta clasificación para ran y admitido que John es un nombre, sabemos que John ran es una oración gramaticalmente bien formada. Este hecho puede determinarse automáticamente por medio de una regla de “supresión” semejante a las que se emplean en aritmética, es decir, del mismo modo que y × x/y = x, también n • Σ/n = Σ (esto es, ‘suprimimos’ el numerador y el denominador cuando son idénticos y, en este caso, nos quedamos con Σ, que indica que la expresión es una oración: el punto se utiliza aquí para expresar concatenación lineal» (Lyons, 1968: 238-239). 47. «Otra forma de dar cuenta de las relaciones sintagmáticas entre los elementos de cada categoría compleja es definir estas categorías complejas por su función respecto de las categorías que las constituyen y respecto de otras categorías superiores. En este sentido, se ha desarrollado de una forma espectacular un formalismo categorial para dar cuenta de las categorías gramaticales.» (Moreno Cabrera, 1991: I, 106) 48. «Las relaciones de dependencia, cuando se representan directamente, se investigan independientemente de las estructuras de constituyentes que las realizan. Sin embargo, hoy día todavía no se ha desarrollado una teoría de la dependencia que goce de cierto acuerdo en la comunidad lingüística. Por ello, los estudios enunciados en esta corriente no son tan conocidos y citados como los que utilizan constituyentes.» (Moreno Cabrera, 1991: I, 90) 49. «Conviene llamar la atención sobre la “gramática de dependencia”, que presenta ciertas semejanzas con la categórica.» (Lyons, 1968: 238) 50. «Con todo ello, fue desde el campo aplicado del procesamiento del lenguaje natural de donde partieron las críticas más fundamentadas al modelo transformacional. Los primeros sistemas automáticos de los años 60, buscando modelos en la lingüística teórica, intentaron aplicar las ideas de Chomsky y sus colaboradores. El principal problema práctico que encontraron fue que la gramática transformacional está pensada como un proceso que parte de la estructura profunda para llegar a una estructura superficial. Dado que la tarea más frecuente de un procesador automático es la de analizar oraciones, el lingüista computacional tenía que invertir el proceso generativo de las transformaciones. Esto supuso enormes complicaciones.» (Moreno Sandoval, 2001: 15) 51. «Para Chomsky, la estructura profunda pertenecía a la sintaxis y es el punto de entrada para la interpretación semántica. Para los semantistas generativistas, en cambio, la estructura profunda era en sí misma la representación semántica, asumiendo que sólo hay un nivel sintáctico: la estructura superficial.» (Moreno Sandoval, 2001: 13)

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a una máquina de Turing y, por tanto, la complejidad de procesamiento de las gramáticas transformacionales hace prohibitivo su uso en aplicaciones prácticas. Esto motivó la búsqueda de alternativas computables dentro de las gramáticas generativas. Por otra parte, desde una perspectiva psicolingüística se hacía evidente que un modelo tan costoso de computar era incompatible con el hecho de que los hablantes no necesitan un tiempo exponencial para procesar una oración» (Moreno Sandoval, 2001: 15). La primera alternativa a las gramáticas transformacionales fue la gramática relacional (Perlmutter y Postal, 1977), que recuperó las funciones o relaciones gramaticales como elementos primitivos52. A partir de la gramática relacional y de las críticas de Peters y Ritchie (1973) a la gramática transformacional y al excesivo poder de las transformaciones, sugieron las gramáticas de unificación (Gazdar y Mellish, 1989). Siguiendo a Peters y Ritchie (1973), consideran que las gramáticas de las lenguas naturales son en realidad gramáticas independientes de contexto (GIC), y por eso parten de ellas, y no de las gramáticas dependientes de contexto (GDC), como hace la gramática transformacional, de manera que en las gramáticas relacionales la estructura sintáctica de las lenguas está representada mediante GIC53. A partir de ellas, se utilizan los rasgos54 y la unificación55, que constituyen 52. «Se trata básicamente de una teoría sintáctica sobre la estructura de cláusulas que toma las relaciones gramaticales (sujeto, objeto directo, etc.) como elementos primitivos. Estas relaciones gramaticales, base de una teoría universal de la sintaxis, no pueden ser definidas universalmente en términos de estructuras de constituyentes y de orden lineal, como se asume en la gramática transformacional.» (Moreno Sandoval, 2001: 14) 53. «Desde el punto de vista de la actuación lingüística las gramáticas independientes de contexto son preferibles a las gramáticas transformacionales porque explican el procesamiento de emisiones lingüísticas de una manera más simple y eficiente. Desde el punto de vista de la competencia, también se podría argüir que cuanto más sencilla formalmente sea una lengua, más fácilmente podrá ser aprendida. Las teorías basadas en la unificación defienden que las lenguas naturales se puedan describir con gramáticas independientes de contexto, aumentadas en algunos casos con extensiones formales, como por ejemplo la utilización de rasgos» (Moreno Sandoval, 2001: 27). 54. «Un rasgo es un par atributo-valor donde: – un atributo es un símbolo (átomo o elemento constante sin estructura interna), que da nombre al rasgo, – un valor es o bien un símbolo o bien una estructura de rasgos (símbolo complejo con una estructura jerárquica interna)» (Moreno Sandoval, 2001: 41). Por su parte, «una estructura de rasgos es una función parcial de los atributos a sus valores» (Moreno Sandoval, 2001: 55), y «una función es una relación binaria unívoca que hace corresponder (asigna) a cada elemento del primer conjunto un solo elemento del segundo conjunto; además todos los elementos del primer conjunto están relacionados con algún elemento del segundo» (Moreno Sandoval, 2001: 247). 55. «La unificación es un proceso que combina la información de dos o más estructuras de rasgos para obtener una nueva estructura de rasgos que contenga toda la información de

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el fundamento de ellas. Las gramáticas de unificación y rasgos rechazan el modelo de transformación, así como la estructura profunda, estableciendo un «nivel sintáctico único, sin representación profunda» (Moreno Sandoval, 2001: 14). Frente a las transformaciones, da mucha importancia al lexicismo o lexicalismo, ya que «algunos fenómenos (por ejemplo, las nominalizaciones) se explican mucho mejor con reglas léxicas que con transformaciones sintácticas» (Moreno Sandoval, 2001: 14). La gramática transformacional nació tomando como base la lengua inglesa, y pronto surgieron problemas cuando se intentó aplicar a otras lenguas, especialmente a las que tipológicamente eran muy diferentes de ella56. La gramática léxico-funcional (Lexical Functional Grammar, LFG) fue desarrollada por Bresnan y Kaplan (1982) debido a «la dificultad para adaptar el modelo transformacionalista estándar a las lenguas con una estructura mu diferente a la del inglés (problema señalado por la gramática relacional)» (Moreno Sandoval, 2001: 79). Se caracteriza fundamentalmente por su carácter lexicista57 y por que recupera las funciones sintácticas, igual que ya hizo la gramática relacional58. La gramática de estructura sintagmática generalizada (Generalized Phrase Structure Grammar, GPSG), desarrollada por Gazdar, Pullum, Klein, Sag (1985) y otros lingüistas, también rechaza las transformaciones y se distingue de las demás porque incorpora el nivel semántico junto al sintáctico, prescindiendo de todos los demás niveles (foellas. La noción de unificación está estrechamente relacionada con la operación de unión de conjuntos, salvo que en el caso de la unificación el conjunto resultante debe ser una función» (Moreno Sandoval, 2001: 64). 56. Como norma general de cualquier teoría científica en general, y lingüística en particular, «la teoría debe tener en cuenta una gran cantidad de lenguas y no forzar a unas a entrar en el patrón de otras, en especial el inglés y las lenguas indoeuropeas» (Moreno Sandoval, 2001: 14). 57. «Cuando un determinado fenómeno lingüístico tiene varias interpretaciones, predomina la tendencia a preferir las soluciones en el lexicón y a reducir el papel de la gramática. El ejemplo clásico es el de interpretar las construcciones pasivas no como reglas de movimiento desde una posición estructural activa a otra pariva (como hace la Gramática Transformacional), sino como un proceso léxico que relaciona las formas pasivas con las formas activas de los verbos» (Moreno Sandoval, 2001: 79). 58. «Las funciones sintácticas son modelos primitivos de la sintaxis. Se parte de la idea (preluciada por la gramática relacional) de que la sintaxis no trata únicamente de estructura en el sentido de reglas y árboles sintagmáticos, sino también de funciones (relaciones entre elementos). LFG toma los conceptos tradicionales como sujeto (SUJ), objeto (OBJ), etc., y los redefine, al tiempo que crea algunos nuevos, diferentes a los de la terminología tradicional.» (Moreno Sandoval, 2001: 80)

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nológico, morfológico, pragmático)59, y se caracteriza sobre todo por el uso de las metarreglas60. Una evolución de la GPSG es la gramática sintagmática nuclear (Head-Driven Phrase Structure Grammar, HPSG), en la que Pollard y Sag (1987, 1994) eliminaron el carácter puramente «independiente de contexto» y las metarreglas61, que habían sido muy criticadas. Se caracteriza principalmente por haber añadido el nivel semántico a los niveles sintáctico y semántico de la GPSG62. Como consecuencia de las críticas a la gramática transformacional y de la influencia que empezaron a tener las gramáticas de unificación y rasgos, Chomsky creó en los años 90 el programa minimalista, en el que introduce las principales características de las gramáticas de unificación y rasgos63. Introduce el componente computacional, el concepto funcionalista de economía, el uso de rasgos y la combinación de la información de los rasgos, que es equivalente a la operación de unificación64. Ha eliminado la estructura 59. La GPSG se debió a «la necesidad de eliminar las transformaciones de la gramática generativa, dejando gran parte del peso descriptivo en las reglas sintagmáticas (de ahí el nombre de esta teoría). Esto da como resultado un único nivel de estructura sintáctica». También se debió a «la necesidad de desarrollar un componente semántico plenamente formalizado, a la manera de la semántica de modelos. Dicho componente asume algunos fenómenos que la gramática transformacional atribuía a la sintaxis. Así, pues, Gazdar, Pullum, Klein, Sag y otros pocos se propusieron desarrollar una nueva teoría cuya sintaxis fuera no transformacional y cuya semántica estuviera basada en la de Montague» (Moreno Sandoval, 2001: 113). La GPSG «sólo considera los niveles sintáctico y semántico (es una teoría gramatical sin fonología)», y en ella «se rechaza la necesidad de transformaciones como mecanismo de descripción lingüística y se propone una versión ligeramente aumentada de las gramáticas independientes de contexto» (Moreno Sandoval, 2001: 126). 60. «Las metarreglas reflejan generalizaciones entre reglas gramaticales.» (Moreno Sandoval, 2001: 117) 61. «HPSG es una evolución de GPSG a partir de una implementación realizada por Pollard en Hewlett-Packard a mediados de los 80. Su innovación consistió en eliminar el carácter puramente “independiente de contexto” y las metarreglas.» (Moreno Sandoval, 2001: 131) 62. En la SPG, «el signo se representa a través de una matriz de rasgos con al menos dos atributos, PHON y SYNSEM. El valor de PHON incluye la interpretación fonética y fonológica. El atributo SYNSEM lleva toda la información referida a la sintaxis y semántica del signo (en la versión de 1987 este atributo estaba separado en dos, SYNTAX y SEMANTICS)» (Moreno Sandoval, 2001: 133). 63. «Al fin y al cabo, Chomsky es un maestro en la adaptación de las ideas de sus críticos.» (Moreno Sandoval, 2001: 204) 64. «Una de las innovaciones más destacadas es la aparición de un componente computacional que hace de interfaz con los otros dos componentes, el sistema fonológico y el sistema conceptual. Las estructuras se crean en el nivel computacional, pero para que sean válidas tienen que poder ser interpretadas por los interfaces que acceden a los sistemas externos,

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profunda y la estructura superficial, muy criticadas desde los años 60, que ha sustituido por derivaciones, pero ha seguido siendo transformacional65, a pesar de las críticas de que habían sido objeto las transformaciones en las dos décadas anteriores. Las gramáticas de unificación no han conseguido solucionar definitivamente los problemas que presenta la aplicación de las gramáticas generativas a la descripción y funcionamiento de las lenguas naturales. Igual que la gramática transformacional, son incompletas y tienen importantes limitaciones, que afectan a la lingüística histórica, la dialectología y la sociolingüística66, es decir, a las múltiples variaciones que presentan las lenguas a través del tiempo (diacronía), del espacio (dialectos) y de la sociedad (sociolectos), ya que su objeto de estudio es fundamentalmente la sincronía y, dentro de ella, la sintaxis. Sin embargo, ésta ha sido una limitación de las gramáticas generativas en general67. Estos aspectos citados anteriormente no encajan muy bien en el concepto de gramática generativa, y esta inadecuación de las gramáticas generativas a la descripción y explicación de las lenguas naturales se puede explicar por el método deductivo que utilizan y que se encuentra en su misma esencia68. De esta manera, se intentan encajar las características y los elementos particulares de las lenguas naturales en un modelo teórico el fonológico y el semántico. Dentro del componente computacional (simplificado, el nivel sintáctico) se sustituyen las tradicionales estructura profunda y superficial por derivaciones. Las condiciones que se aplicaban en cada uno de los niveles mencionados han sido sustituidas por operaciones que funcionan a lo largo de toda la derivación. […] En ocasiones, varias derivaciones compiten y aquí recurren a la teoría de la oportunidad: se elige la óptima, es decir, la más económica.» (Moreno Sandoval, 2001: 204) 65. «Podemos concluir que a pesar de los intentos de Chomsky por adaptar los principales presupuestos de las gramáticas de unificación y rasgos a su nuevo modelo, las innovaciones están limitadas por las posturas tradicionales de la escuela chomskyana: el programa minimalista sigue siendo transformacional. Y ésa sigue siendo la diferencia con respecto a las gramáticas de unificación» (Moreno Sandoval, 2001: 205). 66. «Las gramáticas de unificación son teorías parciales sobre el lenguaje y las lenguas naturales. Como tales, son incompletas ya que no pueden dar cuenta de todos los fenómenos relacionados con su objeto de estudio (nada se dice, por ejemplo, sobre la variación –diacrónica, dialectal, sociolectal– en el uso lingüístico).» (Moreno Sandoval, 2001: 1905) 67. «Otro de los puntos olvidados de las gramáticas generativas ha sido que las lenguas cambian en el tiempo y en el espacio y que no forman un todo homogéneo incluso en un mismo hablante. A estos aspectos siempre se les ha considerado periféricos, relacionados con el habla y la actuación, y como consecuencia se ha dado una falta de interés por los aspectos diacrónicos, dialectales y sociolingüísticos en las gramáticas generativas.» (Moreno Sandoval, 2001: 200) 68. «Estos modelos se caracterizan por intentar reflejar la competencia del hablante de manera deductiva.» (Moreno Sandoval, 2001: 197)

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procedente de los lenguajes formales, que es apriorístico y preestablecido, en lugar de haber formulado una teoría gramatical siguiendo el método inductivo, es decir, estableciendo los principios generales a partir de los elementos particulares y las características concretas de las lenguas naturales, que posteriormente servirían para contrastar y verificar esos principios generales69. El criterio general que ha guiado este proceso y esta concepción modelística del lenguaje natural se puede resumir muy bien teniendo en cuenta que «hay al menos dos modos de enfocar el lenguaje. Un enfoque consiste en considerar al lenguaje como un fenómeno humano real y zambullirse directamente en él para estudiar qué es lo que pasa. Otro enfoque consiste en estudiar lenguajes artificiales, que podemos someter a estricto control mediante las definiciones estipulativas con que los presentamos, y en intentar incorporar a ellos más y más rasgos de los lenguajes naturales que nosotros usamos en nuestras vidas» (Deaño, 1980: 323). El primero de estos dos enfoques ha sido y sigue siendo el propio de algunas disciplinas de la lingüística como la gramática histórica, la dialectología o la misma gramática tradicional, esta última a pesar de todas sus imperfecciones. Su método es el inductivo, ya que parte de los datos particulares de las lenguas para establecer leyes generales que los expliquen. En el segundo enfoque, las gramáticas generativas formales se utilizaron como modelo para describir las lenguas naturales siguiendo una corriente de pensamiento procedente del campo de la Lógica. Su método es el deductivo, ya que parte de un modelo teórico general con el que intenta explicar los datos particulares de las lenguas y el funcionamiento de las mismas. En este segundo enfoque, «una gramática es un instrumento teórico para describir y analizar una lengua dada. Esta sencilla definición nos permite dar cabida a todo tipo de gramáticas, al tiempo que destaca la característica esencial de la gramática: es un constructo hipotético ideado por los estudiosos del lenguaje para intentar explicar el funcionamiento de una lengua» (Moreno Sandoval, 2001: 212). Sin embargo, «una de las tareas básicas de toda teoría gramatical es la de clarificar las relaciones que han de existir entre ese 69. «La mayoría de las gramáticas de unificación (menos LFG) asumen en la práctica la postura cartesiana de Chomsky. Desde posiciones tipológicas se ha criticado siempre la aproximación chomskiana que entiende los datos lingüísticos como fuente de validación y contraejemplo, en lugar de base para la elaboración de una teoría. En concreto, los tipologistas han criticado que los universales de la gramática transformacional son tan abstractos que no se pueden falsear, es decir, están tan alejados de los datos empíricos reales que no se puede comprobar su validez (Comrie, 1981). Creemos que estas críticas son exageradas, pero sí es cierto que se manifiesta una clara tendencia a que los principios universales, cuando presentan variación parametrizable, coincidan con los de las lenguas culturalmente más influyentes.» (Moreno Sandoval, 2001: 199)

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“corpus” de conceptos teóricos que se propone y que se denomina gramática y el objeto del que se intenta dar cuenta: esa lengua interior o competencia lingüística. Existen tres formas en las que tradicionalmente se conceptúan estas relaciones: observación, descripción y explicación. Las gramáticas han de ser, pues, observacionalmente adecuadas, descriptivamente adecuadas y explicativamente adecuadas. Son tres objetivos que todo gramático debe proponerse y que podrá alcanzar en mayor o menor medida» (Moreno Cabrera, 1991: 60-61). Es evidente que la gramática generativa es «observacionalmente adecuada, descriptivamente adecuada y explicativamente adecuada» (Moreno Cabrera, 1991: 60-61) para los lenguajes formales, pero no lo es tanto para las lenguas naturales, puesto que no cumple esas tres condiciones que debe tener una gramática para la descripción y explicación de las lenguas naturales, que no hay que olvidar que es su principal objetivo. Este concepto de gramática como «un instrumento teórico» y «un constructo hipotético ideado por los estudiosos del lenguaje» es el que caracteriza la esencia de las gramáticas generativas y de la lingüística matemática, y es esencialmente deductivo. Para obtener esta visión de conjunto de la lingüística matemática y de la influencia que ha ejercido en la lingüística general, ha sido fundamental la distinción entre su aplicación a los lenguajes formales o artificiales y a las lenguas naturales. Esta distinción es fundamental porque permite comprobar cómo los distintos tipos de gramáticas generativas describen perfectamente los lenguajes formales, pero no tanto las lenguas naturales70. Por ejemplo, esta forma de proceder ha encontrado dificultades 70. La lingüística matemática está basada en la Lógica, y la Lógica se fundamenta en el álgebra o análisis matemático, como ya demostró George Boole en 1847 al decir que «es sobre la base de este principio general como me propongo sentar el cálculo de la lógica, reclamando para él un puesto entre las formas reconocidas de análisis matemático, pese a que, de momento, por su objeto y sus instrumentos, ha de permanecer aparte» (Boole, 1947; citado por Deaño, 1980: 17). En efecto, las operaciones lógicas son leyes de composición interna definidas en el conjunto de todas las fórmulas lógicas y este conjunto es, por tanto, un álgebra de Boole A = (A, , ). Así, cualquier fórmula lógica, como p q V r o p q V r, por ejemplo, sería una operación o ley de composición interna A × A V A definida en el conjunto A de todas las fórmulas lógicas, para cualquier fórmula lógica, o sea, p, q, r A. Y las fórmulas del tipo p V q también lo son porque se pueden expresar también como p Vqop V q, donde es el elemento absorbente de la operación o y, por tanto, p V q = p V q. Esto es lo que ocurre en todos los lenguajes formales, y por ello, son lenguajes totalmente regulares y precisos. Su regularidad, precisión y exactitud se explica matemáticamente porque son álgebras, igual que los conjuntos de números (naturales, reales, etc.), y los enunciados de cada lenguaje formal se producen en forma de cálculo, mediante operaciones matemáticas comparables al cálculo numérico (suma, multiplicación, etc.). Igual que cualquier número se puede combinar con cualquier otro del mismo conjunto en la ope-

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a la hora de explicar las irregularidades de las lenguas y la descripción y el funcionamiento de algunas de ellas, especialmente irregulares o con una estructura muy diferente del inglés y de las lenguas indoeuropeas, como por ejemplo las lenguas semíticas, debido a su flexión interna, o las aglutinantes y parasintéticas, con una morfología compleja y, en el caso de estas últimas, casi sin apenas sintaxis. También ha encontrado dificultades para la lingüística histórica. El «instrumento teórico» o «constructo hipotético ideado por los estudiosos del lenguaje» que son las gramáticas generativas no ha sido, por tanto, todo lo eficaz que debería haber sido, y por ello es lícito plantearse dudas sobre su adecuación «para describir y analizar una lengua dada». De ración +, un término, enunciado o proposición de un lenguaje formal se puede combinar con cualquier otro para formar un enunciado, una proposición o una deducción lógica. Estas operaciones son leyes de composición y se expresan con la fórmula A × B V C, consistiendo en una aplicación definida entre el producto cartesiano de dos conjuntos y un tercer conjunto, pudiendo ser dos de ellos el mismo (A ≠ B y B = C), si es una ley de composición externa, o los tres (A = B = C), si es una ley de composición interna. Por lo tanto, las gramáticas de los lenguajes formales se pueden definir como álgebras. Sin embargo, las lenguas naturales son irregulares, imprecisas y ambiguas y sus irregularidades e imprecisiones se explican porque no todas las palabras o categorías gramaticales se pueden combinar entre sí para formar oraciones gramaticales o sintagmas aceptables, o sea, porque no todos los constituyentes de una oración correcta o aceptable son válidos para formar parte de ella, sino que es necesaria una selección de ellos, que es lo que se ha denominado subcategorización. Matemáticamente, esta selección de elementos a la hora de combinarlos para formar oraciones gramaticales se expresa diciendo que las reglas que los combinan no constituyen el producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B de elementos gramaticales, pudiendo ser A = B, sino sólo un subconjunto G de él, llamado grafo, porque sólo algunos de los elementos lingüísticos son los que se pueden combinar. Y todo subconjunto G del producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B define formalmente una correspondencia f: A V B entre esos dos conjuntos A y B. Pero, entonces, las reglas gramaticales que combinan los elementos lingüísticos de una lengua natural ya no son una ley de composición A × B V C porque el conjunto inicial de la aplicación que las define no es el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de él denominado grafo de la correspondencia f: A V B. Y, si el conjunto inicial de la aplicación A × B V C no es el producto cartesiano, dicha aplicación no es una ley de composición u operación, sino simplemente una aplicación. A diferencia de los lenguajes formales, en las lenguas naturales esta correspondencia f: A V B que define las reglas gramaticales no es unívoca porque un elemento del vocabulario terminal o no terminal puede tener más de una imagen. Y si la correspondencia f: A V B no es unívoca, no puede ser una aplicación. Y el hecho de que la correspondencia f: A V B que define las reglas gramaticales no sea una aplicación, implica que una regla del tipo A × B V C tampoco es una ley de composición u operación. Y si no es una ley de composición, el conjunto de todos los elementos de una lengua natural no puede ser un álgebra, porque un álgebra es, por definición, un conjunto en el que se define una o varias leyes de composición. Por lo tanto, la gramática de una lengua natural no es un álgebra y las oraciones gramaticales no se pueden construir en forma de cálculo, como si de un cálculo lógico o un cálculo numérico se tratara.

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ahí, las continuas críticas y correcciones que ha tenido prácticamente desde sus inicios. En algo fallan las gramáticas generativas para que encuentren tantas dificultades en su aplicación71. Las gramáticas generativas se basan en 71. Los lenguajes formales son totalmente regulares y precisos. Su regularidad, precisión y exactitud se explica matemáticamente porque son álgebras, igual que los conjuntos de números (naturales, reales, etc.), y los enunciados de cada lenguaje formal se producen en forma de cálculo, mediante operaciones matemáticas comparables al cálculo numérico (suma, multiplicación, etc.). Igual que cualquier número se puede combinar con cualquier otro del mismo conjunto en la operación +, un término, enunciado o proposición de un lenguaje formal se puede combinar con cualquier otro para formar un enunciado, una proposición o una deducción lógica. Estas operaciones son leyes de composición y se expresan con la fórmula A × B V C, consistiendo en una aplicación definida entre el producto cartesiano de dos conjuntos y un tercer conjunto, pudiendo ser dos de ellos el mismo (A ≠ B y B = C), si es una ley de composición externa, o los tres (A = B = C), si es una ley de composición interna. Por lo tanto, las gramáticas de los lenguajes formales se pueden definir como álgebras. Sin embargo, las lenguas naturales son irregulares, imprecisas y ambiguas y sus irregularidades e imprecisiones se explican porque no todas las palabras o categorías gramaticales se pueden combinar entre sí para formar oraciones gramaticales o sintagmas aceptables, o sea, porque no todos los constituyentes de una oración correcta o aceptable son válidos para formar parte de ella, sino que es necesaria una selección de ellos, que es lo que se ha denominado subcategorización. Matemáticamente, esta selección de elementos a la hora de combinarlos para formar oraciones gramaticales se expresa diciendo que las reglas que los combinan no constituyen el producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B de elementos gramaticales, pudiendo ser A = B, sino sólo un subconjunto G de él, llamado grafo, porque sólo algunos de los elementos lingüísticos son los que se pueden combinar. Y todo subconjunto G del producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B define formalmente una correspondencia f: A V B entre esos dos conjuntos A y B. Pero, entonces, las reglas gramaticales que combinan los elementos lingüísticos de una lengua natural ya no son una ley de composición A × B V C porque el conjunto inicial de la aplicación que las define no es el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de él denominado grafo de la correspondencia f: A V B. Y, si el conjunto inicial de la aplicación A × B V C no es el producto cartesiano, dicha aplicación no es una ley de composición u operación, sino simplemente una aplicación. A diferencia de los lenguajes formales, en las lenguas naturales esta correspondencia f: A V B que define las reglas gramaticales no es unívoca porque un elemento del vocabulario terminal o no terminal puede tener más de una imagen. Y si la correspondencia f: A V B no es unívoca, no puede ser una aplicación. Y el hecho de que la correspondencia f: A V B que define las reglas gramaticales no sea una aplicación, implica que una regla del tipo A × B V C tampoco es una ley de composición u operación. Y si no es una ley de composición, el conjunto de todos los elementos de una lengua natural no puede ser un álgebra, porque un álgebra es, por definición, un conjunto en el que se define una o varias leyes de composición. Por lo tanto, la gramática de una lengua natural no es un álgebra y las oraciones gramaticales no se pueden construir en forma de cálculo, como si de un cálculo lógico o un cálculo numérico se tratara. Matemáticamente hablando, tampoco son aplicaciones las reglas transformativas, porque en ellas se observa el mismo fenómeno que en las sintagmáticas. En los mismos ejemplos de Harris (1978: 72-78), la oración John fell corresponde a las oraciones I wonder whether John fell, that John fell surprised me y John felling surprised me, las oraciones simples

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la lógica, y la lógica garantiza que los razonamientos sean correctos, pero no necesariamente que sean también verdaderos72.

John appeared, I arrived pueden corresponder a las oraciones compuestas John appeared after I arrived, John appeared when I arrived, John appeared before I had arrived, etc. y la oración He studies puede corresponder a las oraciones He is studious, He is studing, He is a student, He has studied, etc. Por lo tanto, las reglas transformativas tampoco son aplicaciones, sino sólo correspondencias, porque un elemento del conjunto inicial de una regla cualquiera puede corresponder a varios del conjunto final, o sea, puede tener más de una imagen. Por lo tanto, las reglas gramaticales de las lenguas naturales no son leyes de composición, al no ser aplicaciones, y la concatenación no es una operación, sino una simple correspondencia. Y, si no lo es, los conjuntos de los vocabularios de esas lenguas no son álgebras, porque en ellos no se define ninguna ley de composición. Y, si no son álgebras, tampoco pueden ser grupos y, entonces, su relación con la semántica no puede ser un homomorfismo, como defendía Montague, y una gramática no se puede entender como un «cálculo», como se ha defendido desde el campo de la lógica simbólica (Carnap, Church, Rosenbloom, Post, Bar-Hillel, etc.). • Las gramáticas de los lenguajes formales son álgebras porque las reglas de reescritura de sus gramáticas generativas son leyes de composición A × B V C. • Las gramáticas de las lenguas naturales no son álgebras porque las reglas gramaticales de sus gramáticas transformacionales no son leyes de composición A × B V C, por dos razones: – Las reglas gramaticales de una lengua natural no son aplicaciones, sino sólo correspondencias, ya que no todos los elementos del conjunto inicial de cada regla tienen imagen y sólo una imagen en el conjunto final. – El conjunto inicial de las reglas gramaticales no es el producto cartesiano A × B de dos conjuntos del vocabulario de esas lenguas, sino sólo un subconjunto G de él llamado grafo. Un ejemplo de esto puede ser la aplicación que se ha hecho de la gramática de Montague a la traducción y a la tipología de las lenguas, realizada principalmente por A. Tent (1990), además de las teorizaciones de tipología y la definición de tipología ideal de Th. Vennemann (1982: 21-22), la tipología del orden de palabras de J. A. Hawkins (1983) o la parametrización de la gramática universal propuesta por E. L. Keenan en su artículo «Parametric Variation in Universal Grammar» (1987). En efecto, la condición cuarta de la definición de tipología ideal de Vennemann establece y reconoce que las lenguas naturales no manifestarán totalmente este tipo ideal y, tendrán, por tanto, excepciones. La inseguridad metodológica y su complejidad hace que la tipología ideal de las lenguas no sea verdaderamente práctica a la hora de aplicarse a las lenguas concretas y que no presente ventajas con respecto a otros métodos no matemáticos que persigan el mismo fin. 72. «La lógica formal se caracteriza por ser una disciplina apriorística (no empírica) y deductiva. Su manera de proceder ha influido decisivamente en las gramáticas formales. La argumentación deductiva consiste básicamente en realizar una afirmación (la conclusión) que se deduce necesariamente de un conjunto de proposiciones (las premisas). Para que un argumento deductivo sea válido (es decir, su conclusión sea cierta), debe cumplir dos condiciones: 1) que la deducción de la conclusión a partir de las premisas esté lógicamente fundamentada y 2) que las premisas sean ciertas. De estas dos condiciones, la Lógica sólo

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El elemento constante que marca la evolución de la lingüística desde sus inicios a principios del siglo xix –es decir, cuando la reflexión sobre las lenguas se independizó de viejas disciplinas como la filosofía, la retórica y la Filología, y adquirió carta de naturaleza científica– es la búsqueda de conceptos, postulados teóricos y mecanismos formales de representación y descubrimiento que facilitara, en el doble sentido de la palabra, la adecuación descriptiva, explicativa y predictiva, de alcance cada vez mayor, de sus postulados sobre la organización y funcionamiento de las lenguas naturales entendidas como sistema organizado de elementos. La definición de unos objetivos, conceptos y mecanismos de reflexión propios no ha supuesto, en ningún caso, el aislamiento científico, ni la ignorancia y el rechazo de propuestas teóricas y metodológicas procedentes de otros campos del saber, que comparten con la Lingüística unos mismos objetos de estudio, a saber, el lenguaje y las lenguas naturales. Buena prueba de ello, es la relación de los lenguajes formales, vinculados al nacimiento de la informática, y el modelo de gramática generativa adoptado y adaptado por Chomsky a la Lingüística; modelo que con sus aciertos (generación automática de las formas regulares de las lenguas, establecimiento de principios de organización y funcionamiento de carácter general, punto de partida de la traducción asistida por ordenador), con sus errores (identificación de las propiedades de los lenguajes formales con las lenguas naturales), y con sus insuficiencias (especialmente, el no dar cuenta de manera satisfactoria de todas las irregularidades de los sistemas lingüísticos), ha supuesto sin duda alguna un avance muy significativo en el análisis de los principios formales que están en la base de la organización y funcionamiento de las lenguas naturales y ha contribuido, por consiguiente, a una caracterización de las propiedades que definen el lenguaje. La perspectiva diacrónica y dialectal de la investigación lingüística, unida a la enorme complejidad cuantitativa y cualitativa de los datos que necesariamente se deberían tener en cuenta, exigen un mecanismo formal que garantice el análisis y sirva de fundamento a todas y cada una de las hipótesis. se encarga de la primera, y no entra en la determinación de la validez o falsedad de las premisas. Dicho de otra manera, sólo estudia si la inferencia de una conclusión a partir de las premisas es consistente o no. Por tanto, nos podemos encontrar argumentaciones consistentes pero fundamentadas en premisas falsas, e inversamente, argumentaciones sobre premisas ciertas pero con conclusión falsa (o no válida). La lógica formal se concentra en la forma o estructura de la argumentación, independientemente de su contenido.» (Moreno Sandoval, 2001: 253)

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Junto a esta dicotomía entre sistema actual de comunicación y hecho histórico se sitúa otra de las diferencias fundamentales entre sincronía y diacronía: desde un punto de vista sincrónico, el componente sintáctico se erige como eje central de la gramática; en el caso de la lingüística diacrónica, esta preeminencia recae en el componente morfológico y fonológico. Esto es así debido probablemente al hecho de que la propiedad esencial de una lengua entendida como sistema de comunicación es la creatividad –las transformaciones tienen que ver con la formación de nuevas estructuras o unidades lingüísticas de todo orden a partir de unos modelos abstractos previamente determinados–. Por el contrario, la propiedad que define la lengua considerada como hecho histórico es la oportunidad, entendida como la capacidad del sistema para adecuarse a cambios expresivos que le son exigidos en un momento dado en razón del principio de economía y que tienen su origen último en las influencias de sistemas ajenos. Por último, cabe señalar que si en los últimos años la lingüística general sincrónica ha demostrado una cierta capacidad predictiva en sus postulados, ésta es una propiedad del todo punto imposible en el caso de la lingüística general diacrónica. La consideración de todas estas diferencias relativas a la distinta naturaleza del objeto de estudio ha llevado aparejado un cambio también en las exigencias del método de formalización empleado. Ciertamente, el modelo de gramática basado en el álgebra se adecua perfectamente a la descripción, explicación y funcionamiento de las lenguas naturales entendidas como sistemas de unidades jerárquicamente dependientes e infinitas creadas a partir de reglas recursivas de generación y transformación. La determinación, análisis y explicación de los estados sucesivos de una lengua, concretamente en lo que al componente fonológico y morfológico se refiere, exigía, por una parte, un instrumento de disección y un mecanismo de representación formal de los cambios acaecidos en el sistema que fuera simple, que facilitase la descripción de las estructuras reales de la lengua, y no la determinación de estructuras abstractas que definen un modelo sincrónico de lengua. Por otra parte, la investigación exigía también que el mecanismo formal adoptado permitiera la consideración contrastada de un número muy elevado de datos y factores simultáneamente. La teoría de conjuntos se configuró como el punto de partida para la creación de un mecanismo formal que cumpliera todos estos requisitos. A diferencia de las gramáticas generativas, su formulación ha seguido el método inductivo, siguiendo el orden inverso a la complejidad de los elementos gramaticales a los que se ha de aplicar después. Empieza por los elementos lingüísticos más simples, los fonéticos, para seguir después en orden de complejidad hasta la sintaxis. Pero, en lo referente a las matemáticas, también sigue el método in-

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ductivo, en vez del deductivo. Así, no se define una lengua como un álgebra directamente, con todo lo que eso supone (que en ella se verifica una ley de composición interna, y por tanto, que los conjuntos en los que se define son aplicaciones), sino que se empieza por el principio, la misma noción de conjunto y de elemento, y se va ascendiendo a través del resto de los conceptos en orden inverso de complejidad (par ordenado, correspondencia, relación binaria, aplicación). De esta manera, la aplicación de esta metodología se puede realizar con la misma facilidad a todas las partes de la gramática de las lenguas, a las variaciones de cada una de las lenguas en el tiempo (diacronía), en el espacio (dialectos) y en la sociedad (sociolectos), y a todas las lenguas, sean del tipo que sean (aislantes, aglutinantes, parasintéticas y flexivas, tanto externas como internas73). La gramática surgida de la aplicación de la teoría de conjuntos es «observacionalmente adecuada, descriptivamente adecuada y explicativamente adecuada» (Moreno Cabrera, 1991: 60-61) para las lenguas naturales, porque cumple las tres condiciones que debe tener una gramática para la descripción y explicación de las lenguas, que es su principal objetivo. Y ello se debe a que permite la utilización del método inductivo, que es el propio de las ciencias experimentales. El método inductivo, que es el que obtiene conclusiones generales a partir de los datos particulares y permite decidir cuál de las hipótesis que explican un mismo fenómeno es la más adecuada74, fue el método imperante en la filosofía de la ciencia, defendido sobre todo Carnap, hasta que Popper formuló a mediados del siglo xx la corriente crítica del falsacionismo o refutacionismo, conocida también como el racionalismo crítico75. El método 73. La metodología basada en la teoría de conjuntos también se puede aplicar a las lenguas que tienen flexión interna, como las semíticas, que las gramáticas generativas han encontrado verdaderas dificultades para realizarlo. 74. «El problema de la inducción consiste entonces en establecer criterios que permitan decir que la serie infinita de datos confirma sólo una de las dos funciones, o menos dramáticamente pero igual de problemático, que confirma más a unas que a otras.» Por lo tanto, «se trata de determinar si hay un sentido preciso en que se puede decir que ciertos datos justifican una hipótesis, o equivalentemente, si dadas dos hipótesis alternativas incompatibles, los datos justifican más una que otra» (Díez y Moulines, 1997: 401). 75. «Uno de los más feroces detractores del programa inductivista es K. Popper, que comanda la escuela epistemológica rival conocida como falsacionismo o refutacionismo. Este programa alternativo es iniciado por Popper en los años 30 con la publicación de Logik der Forschung (1935), pero permanece prácticamente ignorado, salvo por unos pocos, durante más de 20 años hasta que se traduce la obra al inglés a finales de los 50. El falsacionismo se consolida a partir de los 60 y constituye durante casi dos décadas la epistemología dominante en los países anglosajones y nórdicos.» (Díez y Moulines, 1997: 419)

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científico propuesto por Popper se basa en que las teorías, para se consideradas científicas, tienen que ser falsables, esto es, se tiene que poder demostrar que pueden ser falsas, debido a que la lógica sólo puede refutar las hipótesis, no confirmarlas, porque sólo permite contrastarlas utilizando el modus tollens76. Sin embargo, la filosofía de Popper también se puede considerar inductivista en un sentido amplio porque, en definiva, también parte de los datos particulares, aunque sea para refutar las hipótesis77. El racionalismo crítico de Popper ha sido criticado por autores como T. S. Kuhn (1962), por ejemplo. El español J. A. Valor Yébenes (2000) ha propuesto una alternativa volviendo al inductivismo y desarrollándolo de una forma original78. Para él, «el método de la ciencia es inductivo, pero nuestro planteamiento del asunto no coincide ni con el análisis psicológico de Hume, ni con el análisis lógico de Russell, ni con el análisis racional crítico de Popper» y añade que, a diferencia de lo defendido por Popper, «hay verdad en la ciencia no sólo para el caso de los enunciados particulares, sino también para el caso de las teorías en su conjunto, y la condición del objeto según ha sido descrita en su condición de posibilidad» (Valor, 2000: 161). El método inductivo, además, permite ir comprobando la veracidad de la teoría general a la vez que se comprueba la de los datos particulares a lo largo del proceso 76. «El método científico es por tanto un método de contrastación de hipótesis, pero mediante la contrastación la ciencia no pretende justificar las hipótesis, sino refutarlas. En esto consiste el racionalismo crítico, en hacer todo lo que está en nuestras manos para demostrar que estamos equivocados. Hacer todo lo que esté en nuestras manos incluye usar toda la lógica que podamos, pero no hay más lógica que la deductiva y por tanto no hay más inferencia posible en la contrastación que el modus tollens. Si el modus tollens no se puede aplicar porque la predicción es exitosa, no hay nada más que aplicar. La lógica sólo permite refutar hipótesis, nunca confirmarlas, ni total ni parcialmente. Al final de su Logik der Forschung concluye: “No conocemos: sólo podemos conjeturar” (1935-1958, §85). Y nunca podemos saber, ni siquiera aproximadamente, si hemos acertado con nuestras conjeturas, sólo podemos saber si nos hemos equivocado.» (Díez y Moulines, 1997: 421) 77. «El lema del falsacionismo de Popper es el siguiente: el método científico no es inductivo, el método de la ciencia es el de conjeturas y refutaciones. Ésta es la esencia del racionalismo crítico de Popper. Si embargo, este lema es parcialmente confundente. Es cierto que Popper niega que la ciencia proceda inductivamente, pero sólo si por “inducción” se entiende estrictamente lo que los carnapianos entienden. Como veremos, y aun a pesar de las protestas de su fundador, la metodología popperiana se puede calificar de inductiva en un sentido amplio.» (Díez y Moulines, 1997: 419) 78. «Sólo si se utiliza una ley universal de la naturaleza que a la vez sea un enunciado rico en contenido, cuyas consecuencias lógicas, entre las cuales ha de encontrarse el explanandum, sean contrastables independientemente unas de otras, sólo entonces es posible afirmar que se ha encontrado una explicación científica. Naturalmente, el problema de la contrastabilidad lo soluciona Popper mediante su criterio de falsabilidad.» (Valor, 2000: 36)

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de verificación79. Teniendo en cuenta que la Lógica se ocupa sólo de que los razonamientos sean correctos con independencia de su veracidad, señala que la «estática» de las teorías, representada por el análisis lógico de las mismas, no es suficiente para su contrastación, y por tanto, no basta con la deducción. Es imprescindible entonces la «dinámica» de las teorías, representada por la inducción, o dicho de otro modo, por «el proceso inverso a la deducción, el camino que va de lo dado –tal hecho concreto– a los principios –las leyes de la naturaleza–», ya que en el proceso deductivo la teoría general condiciona normalmente la definición o la concepción inicial de los datos particulares80 (Valor, 2000: 39). La teoría de conjuntos aplicada a la gramática de las lenguas permite que se cumplan todas estas condiciones que forman parte del método inductivo propuesto por Valor Yébenes, y por ello, la gramática matemática surgida tiene mayores garantías de veracidad y certeza que las gramáticas que han surgido del método deductivo, como es el caso de las gramáticas generativas. La nueva teoría resultante de la aplicación de la teoría de conjuntos a la gramática se expone a continuación de la misma forma que se exponen normalmente las teorías científicas, esto es, por medio de axiomas, postulados, principios y teoremas. Todos ellos, y de manera especial los principios que establecen las bases del modelo de matematización de la gramática que se expone a continuación, permiten enunciar nuevas definiciones lingüísticas de naturaleza matemática que convierten a la Lingüística en una ciencia formalizada. En ellas, se han tenido en cuenta las condiciones que debe cum79. «Una de las afirmaciones centrales de nuestro trabajo, que habremos de mostrar lo más cuidadosamente que podamos, puesto que se opone frontalmente a la tradición de la filosofía de la ciencia, es que a la vez que se verifica el explanandum, es decir, a la vez que se comprueba la efectividad real del objeto construido, se verifica el explanans, esto es, se comprueba que efectivamente ocurre la relación entre determinaciones referida por el enunciado general. El conocimiento de la ciencia experimental no es sólo un conocimiento de hechos, sino también de relaciones.» (Valor, 2000: 42) 80. «Entendemos que para dar cuenta de la especificidad de las explicaciones científicas, no basta con un examen estático –lógico–; es necesario, y así se rescatan algunas condiciones de adecuación, pero vemos que se nos escapa el problema semántico; se necesita, además, estudiar la dinámica de las teorías, esto es, el proceso inverso a la deducción, el camino que va de lo dado –tal hecho concreto– a los principios –las leyes de la naturaleza–. Si lo hacemos, nos damos cuenta de que la relación semántica entre explanandum y explanans queda restablecida en la medida en que el objeto –hecho– referido por el explanandum es un objeto construido desde las determinaciones del explanans, o dicho de otro modo: que el objeto presente en el momento del control experimental no es sin más el objeto que definimos al comienzo de nuestra investigación, sino un objeto cuyo campo de determinaciones –cuyo significado– queda definido por el significado del explanans.» (Valor, 2000: 39)

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plir una buena definición81, porque una ciencia en la que los conceptos más básicos no estén bien definidos, no puede avanzar en el conocimiento de la materia que constituye su objeto de estudio o, lo que es lo mismo, no puede desarrollarse como ciencia. Esto es, por desgracia, bastante frecuente en Lingüística, y se puede comprobar fácilmente la abundancia de definiciones incorrectas incluso en los conceptos y elementos básicos de la gramática de las lenguas82. Las nuevas definiciones lingüísticas de naturaleza matemática 81. La definición correcta de cada uno de los conceptos de una ciencia es fundamental para la investigación científica y para la formulación de cualquier teoría científica. Muchas de las definiciones lingüísticas no cumplen las condiciones para una buena definición y, por lo tanto, no son correctas. Por ello, es necesario analizar las condiciones que debe cumplir una buena definición y aplicarlas a las definiciones lingüísticas para ver si las cumplen o no. Una definición es una proposición que expresa brevemente y de forma clara la naturaleza de un concepto o el significado de un término. Una buena definición debe cumplir necesariamente las siguientes condiciones: 1) Lo definido no debe entrar en la definición. 2) La definición debe ser más clara que lo definido. 3) La definición debe convenir a todo lo definido y sólo a lo definido. 4) La definición no debe ser negativa en la medida de lo posible. 5) La definición debe ser lo más breve posible. 6) Todos los términos de la definición deben estar previamente definidos. 82. Por ejemplo, si se define un fonema como «un sonido que es capaz de distinguir significados» y se define un sonido como «la realización física de un fonema», se están enunciando dos definiciones circulares que son inoperantes y, por tanto, incorrectas. Si el fonema se define como «un conjunto de rasgos distintivos capaces de diferenciar palabras», el problema se disimula, pero no se soluciona, ya que los rasgos distintivos se refieren en definitiva a un conjunto de sonidos, lo que al no especificarse en la definición, hace que ésta sea incompleta y, por tanto, incorrecta. Lo mismo ocurre si se define el predicado como «el verbo o sintagma verbal que figura en la oración» y luego se define el verbo como «la palabra que funciona como predicado en la oración»; el sujeto como «el nombre o sintagma verbal que establece una concordancia necesaria con el verbo en la oración» y el nombre como «la palabra que puede funcionar como sujeto en la oración»; el sintagma nominal como «el conjunto de palabras de una oración cuyo núcleo es un nombre» y el nombre como «la palabra que puede funcionar como núcleo de un sintagma nominal»; el sintagma verbal como «el conjunto de palabras de una oración cuyo núcleo es un verbo» y el verbo como «la palabra que puede funcionar como núcleo de un sintagma verbal», etc. También son incorrectas otras definiciones por diversos motivos. La definición de oración gramatical como «toda forma lingüística que no está incluida en otra forma lingüística más amplia» es incorrecta porque es negativa. Otras definiciones son incorrectas porque sólo son válidas para una lengua o un grupo de lenguas de similares características, pero no para otras muchas, por lo que no convienen a todo lo definido. La definición de sujeto como «el nombre o sintagma nominal que establece una concordancia necesaria con el verbo en la oración» sólo sirve para las lenguas flexivas, pero no para las de tipo aislante o monosilábico, porque en ellas ninguna palabra concuerda con el verbo, ni para las de tipo aglutinante y parasintético, porque en ellas concuerdan con el verbo tanto el sujeto como el complemento directo y el indirecto. Por lo tanto, no sirve para aquellas lenguas en las que el verbo carece de desinencias personales, como es el caso del sueco (en el que todas la personas de un mismo tiempo son idénticas) o del inglés (en el que sólo se distingue

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expuestas a continuación, evitan y superan satisfactoriamente este defecto tradicional de la Lingüística.

la 3.ª persona de singular del presente), así como tampoco para las que tienen una conjugación más compleja, con desinencias personales que indican también el objeto directo y el objeto indirecto, como es el caso del vasco, el georgiano, el swahili, el quechua, etc. Lo mismo ocurre con la definición de complemento directo como «el nombre o sintagma nominal que, en una oración pasiva, pasa a ser sujeto de la oración», ya que en las lenguas de tipo ergativo, esto no es cierto. La definición de complemento indirecto como «la persona, animal o cosa que recibe indirectamente la acción expresada por el verbo», no conviene a todo lo definido porque es incompleta, ya que sólo es válida para los verbos que expresan acción, pero no para los verbos copulativos. Si el complemento indirecto se define como «el nombre o sintagma nominal que, mediante una transformación pronominalizadora, aparece reproducido por le, se o les», tampoco cumple las condiciones de una buena definición porque no conviene a todo lo definido, ya que sólo es válida para la lengua castellana, pero para ninguna más. La definición de complemento circunstancial como «la palabra que determina o modifica la significación del verbo, indicando una circunstancia de lugar, tiempo, modo, instrumento, etc.» tampoco es una buena definición porque lo definido entra claramente en la definición (la palabra «circunstancia»). Éstos son sólo algunos ejemplos.

3. La Teoría de Conjuntos Una ciencia cuyos métodos de demostración pertenecen a la Lógica se dice que está formalizada. Por lo tanto, una ciencia formalizada es toda ciencia cuyos métodos de demostración pertenecen a la Lógica, o sea, que utiliza las demostraciones por deducción, proposiciones previamente establecidas y verificadas (definiciones, axiomas, principios, postulados, leyes) y las leyes de inferencia. La Matemática es la ciencia formalizada por excelencia y por eso se llama racional, deductiva o exacta. Y, por este mismo motivo, las Matemáticas se utilizan como ciencia instrumental en otras ciencias, como las ciencias naturales, la Economía, la Sociología, etc., ya que el uso de las Matemáticas como ciencia instrumental permite utilizar las demostraciones de tipo deductivo, como la demostración directa o la indirecta, y esto tiene dos consecuencias inmediatas: • La fiabilidad de las teorías y leyes, al demostrarse mediante razonamientos correctos o válidos basados en la Lógica, que es a su vez el fundamento teórico en el que se basan todas las demás partes de las matemáticas. • La simplificación de las ciencias matematizadas, al permitir las matemáticas la utilización de símbolos y de fórmulas en lugar de palabras o términos, lo que sin duda redunda en la simplificación de procesos, cálculos y sistemas, por muy complejos que sean, y ello posibilita su utilización y la formulación de teorías que, por su complejidad o por la ingente cantidad de datos que precisan, no se podrían formular sin la ayuda de las Matemáticas. Por ello, las ciencias han ido utilizando las Matemáticas paulatinamente como una ciencia auxiliar imprescindible y han ido adaptándolas a sus objetos de estudio propios, hasta el punto de que muchas de ellas serían inconcebibles en la actualidad sin usarlas. La primera en usarlas fue la Física durante el Renacimiento y, con ella, la Astronomía y la Geodesia. Después la fueron utilizando ciencias naturales, principalmente la Química, y tam-

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bién las ciencias sociales como la Economía y, últimamente, la Sociología. Es innegable que todas estas ciencias no hubieran alcanzado su desarrollo actual de no haber sido matematizadas, algunas de ellas, hace varios siglos, y serían inconcebibles actualmente sin las Matemáticas. Es más, la teoría de la relatividad o la ecuación de Schrödinger no se hubieran podido formular nunca si la Física o la Química no hubieran estado matematizadas y, si no lo estuvieran algunas ciencias como la física cuántica, la Economía o la Sociología, sencillamente, no existirían. La teoría de conjuntos, creada en la segunda mitad del siglo xix por Georg Cantor (1845-1918), es considerada hoy como el fundamento básico y riguroso de toda la ciencia matemática. Debido a la sencillez de las ideas implicadas –elemento, conjunto, pertenencia– y a que permite abarcar conceptos de extraordinaria generalidad, su lenguaje se extiende hoy por todas las partes de las matemáticas y ha servido para unificarlas y para axiomatizarlas, esto es, para hacer explícitos los términos no definidos y los postulados sobre los que reposa una teoría o una disciplina determinada. Los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos que son más relevantes para su aplicación a la gramática de las lenguas son los siguientes (García y López: 1977, 9-60): Conjunto: Es una reunión o agrupación de elementos tal que todos ellos y solamente ellos verifican alguna propiedad, que se denomina característica. Se determinan por extensión (enumerando o citando todos y cada uno de sus elementos) o por comprehensión (enumerando una propiedad que verifiquen todos sus elementos y sólo ellos). Conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento, conjunto unitario es el que tiene un único elemento y conjunto pareja o par es el que tiene dos elementos. Subconjunto: Un conjunto A se dice subconjunto de un conjunto B, no vacío, si todo elemento de A es elemento de B. Recubrimiento: Una familia de subconjuntos A, B, C… de un conjunto universal E forma un recubrimiento de E si la unión de todos ellos es el conjunto universal E. Partición o clasificación de un conjunto E: Es todo recubrimiento del mismo, tal que los subconjuntos que lo forman sean no vacíos y disjuntos entre sí dos a dos. Par: Es todo conjunto que tiene dos elementos. Par ordenado: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama par ordenado al ente (x, y), tal que «x pertenece a A e y pertenece a B», esto es, x A e y B. El elemento x recibe el nombre de primer componente del par y el elemento y, el de segundo componente.

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N-tupla ordenada: Dados n conjuntos no vacíos A, B, C… H se llama n-tupla ordenada al ente (x, y, z… t), tal que x pertenece a A, y pertenece a B, z pertenece a C… t pertenece a H. Producto cartesiano: El producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B es el conjunto P de todos los pares ordenados (a, b) que se pueden formar con elementos de A y de B. Correspondencia entre conjuntos o función: Una correspondencia f: A V B definida entre dos conjuntos A y B es todo subconjunto G del producto cartesiano A × B. El conjunto A es el conjunto inicial y el conjunto B es el conjunto final de dicha correspondencia. Correspondencia inversa: La correspondencia inversa f-1: A V B de una correspondencia f: A V B definida entre dos conjuntos A y B es aquella en la que el conjunto inicial A ha pasado a ser el conjunto final y el conjunto final B ha pasado a ser el conjunto inicial. Grafo de una correspondencia: Es un subconjunto G del producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B que determinan entre sí una correspondencia f: A V B. Imagen de un elemento: En una correspondencia f: A V B determinada por dos conjuntos A y B, se llama imagen de un elemento a perteneciente al conjunto inicial A al subconjunto del conjunto final B formado por los elementos correspondientes con a. Su representación gráfica es f(a). Antiimagen de un elemento: En una correspondencia f: A V B determinada por dos conjuntos A y B, se llama antiiimagen de un elemento b perteneciente al conjunto final B al subconjunto del conjunto inicial A formado por los elementos a los que corresponde b. Su representación gráfica es f-1(b). Dominio de una correspondencia: El dominio de una correspondencia f: A V B determinada por dos conjuntos A y B es el subconjunto de A formado por los elementos que tienen imagen no vacía. Rango de una correspondencia: El rango de una correspondencia f: A V B determinada por dos conjuntos A y B es el subconjunto de B formado por la unión de las imágenes de los elementos de A. Relación binaria (RB): Una relación binaria RB en un conjunto A es una correspondencia f: A V A definida dentro de ese mismo conjunto A, esto es, en la que el conjunto inicial y el conjunto final son el mismo conjunto A. Sus propiedades optativas son: Reflexiva: Una relación binaria R es reflexiva si, en cualquiera que sea el elemento a del conjunto A, el par (a, a) verifica la relación.

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Simétrica: Una relación binaria RB es simétrica si, verificando el par (a, b) la relación, también la verifica su transpuesto (b, a). Antisimétrica: Una relación binaria RB es transitiva si, para todo par (a, b) y su transpuesto (b, a) que verifiquen la relación simultáneamente, es lícito inferir que a = b. Transitiva: Una relación binaria RB es antisimétrica si, verificando los pares (a, b) y (b, c) la relación, también la verifica el par (a, c). Conexa: Una relación binaria RB es conexa si, siendo a ≠ b, uno de los pares (a, b) o (b, a) verifica la relación. Relación binaria reflexiva: Siendo un conjunto A y una relación binaria RB definida en A, se dice que RB es reflexiva si cualquiera que sea al elemento a del conjunto A, el par ordenado (a, a) verifica la relación. Relación binaria simétrica: Siendo un conjunto A y una relación binaria RB definida en A, se dice que RB es simétrica si, verificando el par (a, b) la relación, también la verifica su transpuesto (b, a). Relación binaria antisimétrica: Siendo un conjunto A y una relación binaria RB definida en A, se dice que RB es antisimétrica si, para todo par (a, b) y su transpuesto (b, a) que verifiquen la relación simultáneamente, es lícito inferir que a = b. Relación binaria transitiva: Siendo un conjunto A y una relación binaria RB definida en A, se dice que RB es transitiva si, verificando los pares (a, b) la relación, también la verifica el par (a,c). Relación binaria conexa: Siendo un conjunto A y una relación binaria RB definida en A, se dice que RB es conexa si siendo a ≠ b uno de los pares (a, b), (b, a) verifica la relación. Relación binaria de equivalencia (RBE): Una relación binaria RB definida en un conjunto A se dice de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Clase de equivalencia: Siendo A un conjunto que tiene una relación binaria de equivalencia RBE y a un elemento de A, se llama clase de equivalencia de a al subconjunto de A formado por los elementos relacionados con A. Conjunto cociente: Siendo A un conjunto que tiene una relación binaria de equivalencia, se llama conjunto cociente a la familia o conjunto de clases de equivalencia de A, que forman una partición de A. Relación binaria de orden (RBO): Una relación binaria de orden definida en un conjunto A es toda relación binaria reflexiva, antisimétrica y transitiva. Se representa gráficamente mediante diagramas que se de-

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nominan árboles, en los que los elementos son puntos, y las relaciones, flechas. Relación binaria de orden parcial (RBOP): Una relación binaria de orden parcial definida en un conjunto A es toda relación binaria reflexiva, antisimétrica, transitiva y no conexa. Relación binaria de orden total (RBOT): Una relación binaria de orden total definida en un conjunto A es toda relación binaria reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. Conjunto ordenado: Es todo conjunto en el que se define una relación binaria de orden. Será un conjunto parcialmente ordenado si define una relación binaria de orden parcial y totalmente ordenado si define una relación binaria de orden total. Conjunto parcialmente ordenado: Es todo conjunto en el que se define una relación binaria de orden parcial. Conjunto totalmente ordenado: Es todo conjunto en el que se define una relación binaria de orden total. Cadena: Es toda parte totalmente ordenada de un conjunto ordenado. Isomorfismo entre dos conjuntos ordenados: Siendo A y B dos conjuntos ordenados, que definen por tanto una RBO, una aplicación definida entre A y B se dice que es un isomorfismo entre conjuntos ordenados si, siendo biyectiva, es tal que a es anterior a a’ si, y sólo si, la imagen de a es anterior a la imagen de a’. Correspondencia unívoca: Una correspondencia f: A V B definida entre dos conjuntos A y B es unívoca si la imagen de cualquier elemento de A es un conjunto unitario o vacío. Correspondencia biunívoca: Una correspondencia f: A V B definida entre dos conjuntos A y B es biunívoca si ella y su inversa f-1: A V B son unívocas (y todo elemento de A tiene imagen en el conjunto B y todo elemento de B tiene antiimagen en A). Aplicación: Es toda correspondencia unívoca cuyo dominio coincide con el conjunto inicial, esto es, en la que todo elemento del conjunto inicial tiene imagen y la imagen de cualquier elemento del conjunto inicial es un conjunto unitario (a todo elemento del conjunto inicial le corresponde siempre un elemento y sólo uno del conjunto final). Las aplicaciones pueden ser: Suprayectiva: Si todos los elementos del conjunto final tienen antiimagen. Inyectiva: Si los elementos del conjunto final que tienen antiimagen sólo tienen una.

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Biyectiva: Si todos los elementos del conjunto final tienen antiimagen y los elementos del conjunto final que tienen antiimagen, que son todos, sólo tienen una. O sea, si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. Fibra en una aplicación f: Es cada una de las clases de equivalencia originadas por una RBE definida en un conjunto A, tal que dos elementos a y a’ pertenecientes a él están relacionados si y sólo si f (a) = f (a’), o sea, si y sólo si sus imágenes son iguales. Variación con repetición: Siendo P un conjunto finito de p elementos distintos y Q el conjunto {1, 2, 3, …q}, se llama variación con repetición de orden q de los p elementos de P al rango de toda aplicación de Q en P, considerando las imágenes de 1, 2, 3, …q en este orden. Se representa por RVpq (= variación con repetición de p elementos tomados de q en q) y su número se calcula de la forma siguiente: RVpq = pq

4. La Teoría de Conjuntos aplicada a la Gramática de las lenguas Recordando la definición de lengua de Saussure (1916: 53) como «sistema de signos distintos que corresponden a ideas distintas», la teoría de conjuntos aplicada a la gramática de las lenguas puede basarse en dos principios fundamentales (denominando elementos léxicos a los significantes y elementos semánticos a los significados):  rincipio 1: Una lengua es la correspondencia determinada por dos conP juntos, uno de elementos léxicos (el) y otro de los elementos semánticos representados por aquéllas en una misma comunidad de habla, o bien su correspondencia inversa. Principio 2: Una lengua artificial formal es la aplicación biyectiva determinada por dos conjuntos, uno de elementos léxicos (el) y otro de los elementos semánticos representados por aquéllas, o bien su aplicación inversa. La concepción de lengua consiste en realidad en dos correspondencias, la normal entre el conjunto de los significantes y el de los elementos semánticos y la correspondencia inversa de ésta. Tanto una como otra son igualmente válidas, ya que sólo se diferencian en que el conjunto inicial sea el de los elementos léxicos (el) o el de los elementos semánticos de éstas. Sin embargo, cada una de ellas tiene un uso diferente. Para explicar la lengua como un proceso creado o producido por los hablantes, la definición adecuada es la de la correspondencia inversa, que tiene al conjunto de los elementos semánticos como conjunto inicial, porque es la que refleja el proceso real de generación de una lengua que ponen en práctica los hablantes explicando matemáticamente, mediante una correspondencia entre conjuntos, de los elementos semánticos a los elementos léxicos (el) o, en definitiva, de los conceptos a los elementos léxicos (el), que es el proceso que ocurre en la realidad. Sin embargo, para que la lengua pueda ser estudiada y analizada, el proceso es justamente el contrario, porque se parte de los elementos léxicos

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(el) para llegar a los elementos semánticos. O sea, que se tiene que estudiar necesariamente la lengua ya creada o producida por los hablantes, o sea, los elementos léxicos (el), para llegar a conocer los significados que éstos representan y que son los elementos semánticos. Por ello, la definición adecuada es la correspondencia que tiene al conjunto de los elementos léxicos (el) como conjunto inicial. Conociendo mejor el carácter dinámico de las lenguas naturales y su carácter evolutivo a través del tiempo, se puede afirmar que los fenómenos irregulares de dichas lenguas se han producido por unas causas muy concretas, estudiadas por la gramática histórica y por la etimología, y por lo tanto, son la consecuencia de un fenómeno degenerativo natural de las lenguas que ha hecho aparecer en ellas irregularidades que originalmente no exixtían. Por ello, se puede postular la regularidad original de las lenguas naturales y su equiparación teórica a las lenguas artificiales, y permitiendo enunciar una nueva definición de lengua.  ostulado: Las lenguas no artificiales o naturales eran equiparables oriP ginalmente a las lenguas artificiales, ideales o formales y, por tanto, originalmente también eran una aplicación biyectiva. Las lenguas naturales se diferencian de las artificiales, ideales o formales por los fenómenos irregulares que contienen, que son una consecuencia del proceso degenerativo causado por el paso del tiempo y por el carácter dinámico de las lenguas, que se puede demostrar en cada uno de los casos particulares por medio de la gramática histórica y de las etimologías correspondientes. Por lo tanto, las lenguas no artificiales eran también aplicaciones biyectivas en su origen, igual que las artificiales, y dejaron de serlo a causa de este proceso degenerativo diacrónico.  rincipio: Una lengua es una aplicación biyectiva degenerativa deterP minada por dos conjuntos, uno de elementos léxicos (el) y otro de los elementos semánticos representados por aquéllas, o bien su aplicación inversa. Los principales elementos del método científico son la definición, la clasificación y la demostración. La definición es una proposición que expresa brevemente y de forma clara la naturaleza de un concepto o el significado de un término. Una buena definición debe cumplir necesariamente las siguientes condiciones: 1) Lo definido no debe entrar en la definición. 2) La definición debe ser más clara que lo definido. 3) La definición debe convenir a todo lo definido y sólo a lo definido.

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4) Todos los términos de la definición deben estar previamente definidos. 5) La definición no debe ser negativa en la medida de lo posible. 6) La definición debe ser lo más breve posible. Los principales conceptos lingüístico-matemáticos generales de la gramática se pueden definir de la siguiente manera: Elemento gramatical: Un elemento gramatical eg es toda unidad lingüística perteneciente a un conjunto G de las unidades lingüísticas de una lengua. eg G, eg Clase gramatical: Una clase gramatical es todo subconjunto determinado As de un conjunto G de elementos gramaticales que forma una partición. = As G / A1 A2 A3 … An = A; Ai Aj =  ategoría gramatical: Una categoría gramatical es toda clase gramaC tical del subconjunto Bs de las imágenes de todo subconjunto determinado As de elementos gramaticales incluido en el conjunto inicial A de una correspondencia f: AVB definida por dos conjuntos A y B de elementos gramaticales. f: AVB / f(A1) = B1, f(A2) = B2, …, f(An) = Bn = Bs G / B1 B2 B3 … Bn = B; Bi Bj = Cambio gramatical: Un cambio gramatical cg o CG es todo par ordenado (ai, aj) que verifica una relación binaria de orden (RBO) de carácter cronológico dentro de un conjunto determinado A de elementos gramaticales. A = a1, a2, a3 …an / a1, a2, a3 …an = eg CG= cg = (ai, aj) / ai, aj A; ai aj; i, j = 1, 2, 3, …, n; = RBO cronológica. Grupo gramatical: Un grupo gramatical gg es toda cadena o n-tupla ordenada (a1, a2, a3 …an) que verifica una relación binaria de orden (RBO) dentro de un conjunto determinado A de elementos gramaticales. gg = (a1, a2, a3 …an) / a1, a2, a3 …an A; a1 a2 a3 … an  ubgrupo gramatical: Un subgrupo gramatical ‘gg es toda cadena o nS tupla ordenada (ai, ai+1, ai+2, …, aj) incluida en un grupo gramatical gg = (a1, a2, a3, …, ai, ai+1, ai+2, …, aj, …, an-1, an). ‘gg = (ai, ai+1, ai+2, …, aj) / ‘gg gg; ai ai+1 ai+2 … aj

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 istema gramatical: Un sistema gramatical g, Sg o SG es todo grupo S gramatical gg, perteneciente a un conjunto determinado A, cuya imagen es otro grupo gramatical gg’ perteneciente a otro conjunto determinado B, dentro de una correspondencia f: AVB definida por dos conjuntos A y B de grupos gramaticales. f: AVB; = S = g A / f(gg) = gg’ B g g g  ubsistema gramatical: Un subsistema gramatical ‘ g, ‘Sg o ‘SG es todo S subgrupo gramatical ‘gg, perteneciente a un sistema gramatical Sg, que verifica una relación binaria de equivalencia (RBE) definida por la propiedad de estar relacionados de alguna forma todos los elementos gramaticales de ese subgrupo ‘gg con uno de ellos. ‘gg = (ai, ai+1, ai+2, …, aj); ‘ g = ‘Sg = ‘gg / ‘gg Sg; ax ‘gg / ai, ai+1, ai+2, …, aj ax Función gramatical: Una función gramatical φg es toda imagen F (‘ g) de un subsistema gramatical ‘ g o ‘Sg e indica la relación con otros subsistemas de un mismo sistema gramatical g o Sg, dentro de la correspondencia f: SgV definida entre el conjunto {‘ g} de los subsistemas de un sistema gramatical g o Sg y el conjunto de las relaciones entre los subsistemas gramaticales dentro de un mismo sistema, siendo a su vez la característica de un subconjunto determinado A de elementos gramaticales. f: g V ; ‘ g = {(‘ g)1, (‘ g)2, (‘ g)3, …, (‘ g)n} / (‘ g)1, (‘ g)2, (‘ g)3, …, (‘ g)n = {φ1, φ2, φ3, …, φn}/ φg = { f[(‘ g)i] / (‘ g)i g; φg }; = {relaciones entre los ‘ g / ‘ g g}

;

g

Estructura gramatical: Una estructura gramatical Σg, Eg o EG es toda cadena o n-tupla ordenada (φ1, φ2, φ3 …φn) que verifica una relación binaria de orden (RBO) dentro del conjunto de las funciones gramaticales y es el rango de la aplicación biyectiva e isomórfica f: ’ gV s definida entre el conjunto {‘ g} o {Sg} de los subsistemas de un sistema gramatical g o Sg y el conjunto s de las funciones gramaticales correspondientes a esos mismos subsistemas gramaticales. f: ’ g V s / ‘ g = {(‘ g)1, (‘ g)2, (‘ g)3, …, (‘ g)n} / (‘ g)1, (‘ g)2, (‘ g)3, …, (‘ g)n

;

g

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= {φi, φi+1, φi+2, …, φj} / s Σg = Eg = (φ1, φ2, φ3, …, φn) / φ1, φ2, φ3, …, φn ; φ1 φ2 φ3 … φn; s – f(‘ g) = ; f[(‘ g)i] = f[(‘ g)j] (‘ g)i] = (‘ g)j s

 ubestructura gramatical: Una subestructura gramatical ‘Σg, ‘Eg o ‘EG S es toda cadena o n-tupla ordenada (φi, φi+1, φi+2 …φj) incluida en una estructura gramatical Eg = (φ1, φ2, φ3 … φn). ‘Σg = ‘Eg = (φi, φi+1, φi+2, …, φj) / ‘Σg Σg; φx ‘Σg; φi, φi+1, φi+2, …, φj φx

5. Principios fundamentales de la matematización de la gramática

5.1. Elemento gramatical Un elemento gramatical (eg) es toda unidad lingüística de una lengua que está incluida en su gramática y forma parte de una cadena hablada. A partir de aquí, se puede enunciar el siguiente principio:  rincipio: Los elementos gramaticales de una lengua son unidades linP güísticas susceptibles de ser descritas matemáticamente. Su demostración es muy sencilla y se basa en un axioma, que no es necesario demostrar porque el concepto de conjunto que participa en él es primario, y en varios principios.  xioma: Todos los elementos gramaticales de una lengua forman un A conjunto determinado, que se puede definir por extensión y por comprehensión, y son elementos pertenecientes a él. El conjunto de los elementos gramaticales de una lengua se puede representar por G y cada uno de los elementos gramaticales en particular, por g o, mejor, por eg. De esta manera, tenemos que: G(x) = {g1, g2, g3…gn} = {elementos gramaticales de una lengua x}  rincipio: Los tipos de elementos gramaticales determinan subconjunP tos, que se pueden definir por extensión y por comprehensión, dentro del conjunto de los elementos gramaticales de una lengua. Según la definición de subconjunto, un conjunto A se dice subconjunto de un conjunto B, no vacío, si todo elemento de A es elemento de B. Puesto que todos los tipos de elementos gramaticales determinan conjuntos, que se pueden definir por extensión y por comprehensión, y pertenecen también

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al conjunto G de los elementos gramaticales de una lengua, constituyen un subconjunto de éste.  rincipio: La clasificación de los elementos gramaticales según el tipo P es una partición. Los subconjuntos de los elementos gramaticales que tienen por característica un tipo cumplen la definición de recubrimiento y de partición.  rincipio: Los tipos utilizados en la clasificación de los elementos graP maticales de una lengua cualquiera L deben ser sólo aquellos que sirvan para distinguir los elementos gramaticales de esa lengua, pero todos ellos, de tal manera que los subconjuntos determinados por los tipos que se utilicen deben formar un recubrimiento y, los determinados por cada subgrupo de tipos, deben formar una partición. Los tipos que no sirvan para distinguir los elementos gramaticales de una lengua son innecesarios y si los subconjuntos de F que determinan esos tipos no forman un recubrimiento, la clasificación no es correcta.  rincipio: Todos los subconjuntos de elementos gramaticales de una P lengua determinados por cada subgrupo de tipos forman una partición. Todos los subconjuntos de elementos gramaticales de una lengua determinados por cada subgrupo de tipos forman un recubrimiento del conjunto F de los elementos gramaticales de esa lengua, porque la unión de todos ellos es el conjunto F, y además, son no vacíos y disjuntos dos a dos, porque ningún fonema pertenece a más de un subconjunto de un subgrupo de tipos. Una vez conocidos estos conceptos matemáticos, se pueden enunciar los siguientes principios:  rincipio: Los tipos de los elementos gramaticales de una lengua defiP nen relaciones binarias de equivalencia en el conjunto de los elementos gramaticales de una lengua. Los elementos gramaticales que tienen un mismo tipo forman n-tuplas ordenadas dentro del conjunto de los elementos gramaticales de una lengua, ya que cada uno de ellos pertenece a un subconjunto distinto, y por lo tanto se puede hablar de una correspondencia definida dentro de ese mismo conjunto que, por definición, es una relación binaria. Puesto que esa relación binaria cumple la propiedad reflexiva, la simétrica y la transitiva, entonces es una relación binaria de equivalencia.  rincipio: Todos los elementos gramaticales de una lengua que tienen un P mismo tipo forman una clase de equivalencia.

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Todos los elementos gramaticales de una lengua que tienen un mismo tipo forman un subconjunto dentro del conjunto de los elementos gramaticales de esa lengua. Puesto que todos los elementos de ese subconjunto son equivalentes, ese subconjunto, por definición, es una clase de equivalencia.  rincipio: El conjunto de los elementos gramaticales de una lengua es P una familia de clases de equivalencia o conjunto cociente. Puesto que todos los elementos gramaticales de una lengua tienen alguna propiedad común, todos pertenecen a algún subconjunto de elementos equivalentes y, por tanto, todos los subconjuntos que forman el conjunto de los elementos gramaticales de esa lengua son clases de equivalencia y forman una partición de dicho conjunto. La clasificación de los elementos gramaticales de una lengua cualquiera se expresa mediante tablas. La forma más adecuada de realizarlas es colocar en un eje todos los tipos, porque son los principales y afectan a todos los elementos gramaticales, y en el otro todos los demás, porque sólo afectan a algunos de ellos. También se puede expresar esta clasificación de los elementos gramaticales mediante un procedimiento más matemático como es el de los ejes de coordenadas, de una forma similar a las tablas. Así, en el eje de abcisas (horizontal) se colocarían los tipos en el mismo orden real en el que figuran en la boca y, en el eje de ordenadas (vertical), todos los demás tipos. En los puntos de intersección, se colocarían los elementos gramaticales y, al unir los puntos que éstos ocupan, se formaría un dibujo que será distinto para cada lengua y que serviría para conocer, sólo mediante un golpe de vista, el sistema gramatical de las lenguas. Sin embargo, para que esto sea posible, es necesario que los tipos se coloquen siempre en la misma posición. A partir de esta clasificación de los elementos gramaticales, se puede formular el siguiente principio, que ya está demostrado con las tablas y gráficos anteriores.  rincipio: El conjunto de los elementos gramaticales de una lengua es P un sistema. El conjunto de los elementos gramaticales de una lengua es un sistema porque es un conjunto cociente o conjunto de clases de equivalencia, ya que todos sus elementos están relacionados entre sí en base a sus tipos y forman una partición, por lo que se ajusta a la definición de sistema dada (Sistema: Conjunto ordenado de elementos que están relacionados entre sí). El conjunto de los elementos gramaticales de una lengua forman su sistema gramatical, que se puede representar por el símbolo Sg y se puede definir como sigue:

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Definición de sistema gramatical ( f): Es el conjunto de los elementos gramaticales de una lengua relacionados entre sí en base a sus tipos, y que se puede representar de forma matemática mediante tablas y ejes de coordenadas. 5.2. Cambio gramatical En la cadena hablada, los eg que forman las unidades lingüísticas complejas pueden modificarse, sustituirse, aparecer o desaparecer con el paso del tiempo, en periodos históricos más o menos largos y en una parte o en todos los hablantes de una lengua. A estas mutaciones gramaticales se les llama cambios gramaticales. El concepto de cambio gramatical se puede representar por el símbolo CG y, como en las unidades lingüísticas antes estudiadas, se puede afirmar por medio de un principio que los CG también son susceptibles de ser descritos matemáticamente:  rincipio: Un cambio gramatical es un fenómeno lingüístico susceptible P de ser descrito por las Matemáticas. Un g del Sg de una lengua puede proceder de otro g de un Sg cronológicamente anterior de esa misma lengua mediante un Cg y, asimismo, un g del Sg de una lengua puede proceder de otro g de un Sg cronológicamente anterior de esa misma lengua mediante un Cg, o puede que ambos g o ambos g pertenezcan a ambos S, al Sg y al Sg, al mismo tiempo. Por lo tanto, todo Cg relaciona a dos elementos de dos conjuntos distintos, aunque esos dos elementos pertenezcan a ambos conjuntos a la vez, o a un elemento y al conjunto vacío que, en definitiva, está incluido en cualquier conjunto. Este principio se puede demostrar también mediante otros principios pero, antes, es necesario crear unos términos apropiados para denominar a los dos conjuntos a los que pertenecen los elementos gramaticales o eg que intervienen en todo Cg y a esos elementos gramaticales o eg mismos, porque carecen de ellos. Así, el eg que cambia en cualquier Cg se denominaría elementum mutans y el elemento resultante de ese cambio, elementum mutatum. El Cg se representa en Lingüística por los signos matemáticos «mayor que» (>) o «menor que» ( («mayor que»), que es el propio de las RBO. En estas condiciones, la correspondencia mencionada se ajusta a la definición de relación binaria, ya que está definida en el mismo conjunto, y además, esa relación binaria es de orden total, porque es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. Principio: La correspondencia inversa de la definida por cualquier Cg es otra relación binaria de orden total, definida por la propiedad «procede

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de», que se representa por el símbolo matemático < («menor que»). Esta relación binaria es también reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. Definición axiomática de cambio gramatical (Cg): Si el conjunto inicial Gn-1 y el conjunto final Gn de dicha correspondencia Gn-1 Gn son idénticos, entonces un Cg es todo par ordenado (gn-1, gn) de la relación binaria de orden total «x se ha convertido en y» definida en el conjunto G de los gg de una lengua. A = a1, a2, a3 …an / a1, a2, a3 …an = eg Cg = (ai, aj) / ai, aj A; ai aj; i, j = 1, 2, 3, …, n; = RBO cronológica Puede darse el caso de que existan varios Cg unidos o encadenados en una misma lengua, en cuyo caso dichos cambios no serían un par ordenado de gg, sino una n-tupla ordenada perteneciente a la correspondencia definida entre varios conjuntos de gg cronológicamente consecutivos. En dicha correspondencia, un elementum mutans puede ser a la vez un elementum mutatum del cambio anterior y un elementum mutatum puede ser al mismo tiempo un elementum mutans del cambio siguiente. Esto sería un Cg múltiple. Definición axiomática de Cg múltiple: Un Cg múltiple es una n-tupla ordenada (g1, g2, …gn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos G1, G2, …Gn de gg, tal que g1, g2, …gn son distintos y G1, G2, … Gn son cronológicamente consecutivos. Si los conjuntos G1, G2, …Gn son idénticos, entonces un Cg es una n-tupla ordenada (g1, g2, …gn) de la relación binaria de orden total «x se ha convertido en y» definida en el conjunto G de los gg de una lengua. Como en los Cg simples, en los múltiples cada uno de los cambios que los componen, por separado, son también relaciones binarias de orden total y, por lo tanto, los Cg múltiples son cadenas. Principio: Todo Cg múltiple es una cadena. Cada uno de los cambios que componen un Cg múltiple, por separado, es una relación binaria de orden total en las mismas condiciones que en los cambios simples, es decir, cuando los dos conjuntos de gg que determinan la correspondencia son iguales (tienen los mismos elementos), y lo es siempre para la unión de ambos conjuntos. Pero, además, esa relación binaria es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa, por lo que esa relación binaria es de orden total (RBOT) y el conjunto de los gg de una lengua es un conjunto ordenado. Por otra parte, los elementos relacionados, que son los que componen cada una de las n-tuplas ordenadas de un Cg, forman un subconjunto que está totalmente ordenado, ya que las relaciones binarias definidas en él

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son también conexas, y por lo tanto, ese conjunto de relaciones binarias de orden total forma, por definición, una cadena. 5.4. Elemento gramatical complejo Pero un elemento gramatical complejo (eg) no es solamente un grupo silábico sin más, sino un grupo silábico que ha de cumplir necesariamente una condición, que corresponda a un elemento semántico. Además, dicho grupo silábico debe formar parte de un conjunto de elementos gramaticales de rango superior, como puede ser, por ejemplo, el vocabulario de una lengua. En definitiva, un elemento gramatical complejo (egc) es un grupo gramatical (gg) perteneciente a un conjunto gramatical como si fuera un elemento del mismo.  lemento gramatical complejo (egc): Es todo grupo gramatical que perE tenece a su vez a un conjunto gramatical como elemento del mismo. Se puede representar por egc o simplemento por eg. Por lo tanto, para que los elementos gramaticales complejos (eg) sean susceptibles de ser descritos matemáticamente, su relación con sus elementos semánticos respectivos también lo tiene que ser. En efecto, los elementos gramaticales complejos (eg) son un tipo concreto de significantes, ya que son los significantes de los signos lingüísticos, lo que quiere decir que el conjunto V de los elementos gramaticales complejos (eg) es un subconjunto del conjunto St de los significantes de los signos porque todos los elementos de aquél pertenecen también a éste, de acuerdo con la definición de subconjunto. Y, si todo elemento st del conjunto St de los significantes tiene una determinada propiedad, como por ejemplo la de ser susceptible de ser descrito matemáticamente, todo elemento v del subconjunto V, que está incluido en St, tiene necesariamente esa propiedad también, porque también es un elemento perteneciente al conjunto St de los significantes de los signos, según la definición de elemento gramatical complejo (eg), y por lo tanto, todo elemento del subconjunto V, es decir, todos los el, como significantes que son, tienen también carácter matemático, que era lo que queríamos demostrar. A partir de estos conceptos, ya se pueden enunciar los principios y axiomas que van a formar parte de la demostración directa del principio general antes enunciado. Axioma 1: Todos los eg de una lengua cualquiera forman un conjunto G, denominado conjunto gramatical, y son elementos pertenecientes a él.

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Por ejemplo, las palabras de una lengua son gf, pero se pueden denominar también el, porque son elementos del conjunto G formado por los el de una lengua, que se denomina vocabulario y es un conjunto gramatical. Como los conceptos de conjunto y de elemento son primarios, el axioma anterior es evidente y no se puede demostrar.  xioma 2: Los elementos semánticos de todos los eg de una lengua cualA quiera también forman un conjunto y son elementos pertenecientes a él. Axioma 3: El conjunto formado por los elementos gramaticales complejos (eg) de una lengua cualquiera y el formado por los elementos semánticos de esos mismos elementos gramaticales complejos (eg) son conjuntos determinados, porque todos los elementos de cada conjunto tienen una propiedad común a todos ellos y únicamente a ellos y, por tanto, existe un criterio lo suficientemente claro para poder decidir si un elemento pertenece o no a cada uno de ellos. Estos dos axiomas permiten enunciar tres principios, que se deducen tanto de ellos como de las definiciones de lenguaje, de lengua y de elemento gramatical complejo (eg):  rincipio 3.1: Toda lengua está formada por dos conjuntos distintos, el P conjunto de los elementos gramaticales complejos (eg) y el conjunto de los elementos semánticos de esos mismos elementos gramaticales complejos (eg). Si una lengua se define como un sistema de signos que permite la comunicación y cada signo como la combinación de un significante y un elemento semántico, una lengua también está formada por significantes y por elementos semánticos, por la regla de inferencia del silogismo. Y si todos los significantes y todos los elementos semánticos de los signos de una misma lengua forman dos conjuntos distintos, toda lengua estará formada por esos mismos dos conjuntos, por el mismo razonamiento.  rincipio 3.2: Los dos conjuntos que forman una lengua, el de los eleP mentos gramaticales complejos (eg) y el de los elementos semánticos de éstas, están relacionados entre sí. Si todo el es el significante de un signo y si, por definición, un signo es la combinación de un significante y un elemento semántico, esa manera de combinarse constituye una relación entre cada significante y cada elemento semántico y, si todos los elementos de un conjunto están relacionados de alguna manera, el conjunto al que pertenecen evidentemente también lo está.

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 rincipio 3.3: La relación existente entre los dos conjuntos que forman P parte de una lengua, el de los elementos gramaticales complejos (eg) y el de los elementos semánticos de éstas, es de carácter matemático. La demostración de este último principio se puede realizar aplicando la teoría de conjuntos a los conceptos de elemento gramatical complejo (eg) y de elemento semántico mediante las definiciones matemáticas ya conocidas y de una serie de principios que deducidos de ellas. Las definiciones previas son las de par, par ordenado, producto cartesiano, correspondencia entre conjuntos, correspondencia inversa, grafo de una correspondencia y aplicación. Aplicando estas definiciones matemáticas a las definiciones lingüísticas, axiomas y principios anteriores, así como al principio que se ha de demostrar, se pueden enunciar los siguientes principios: Principio 3.3.1: Todo el de una lengua forma un par ordenado con el elemento semántico de ese mismo elemento gramatical complejo (eg). Como cada elemento gramatical complejo (eg) está relacionado con un elemento semántico y, como los elementos gramaticales complejos (eg) y los elementos semánticos son elementos de dos conjuntos distintos, por definición forman un par ordenado. Todos los pares ordenados que sería posible formar con todos los elementos de los dos conjuntos que forman una lengua, el de los elementos gramaticales complejos (eg) y el de los elementos semánticos de éstas, constituyen el producto cartesiano de ambos conjuntos. Pero ésta no es la relación real existente entre los dos conjuntos del lenguaje, ya que cada elemento gramatical complejo (eg) no está relacionado con los elementos semánticos de todos los demás elementos gramaticales complejos (eg) de esa misma lengua, sino con un solo elemento semántico y, sólo excepcionalmente, con alguno más. Y viceversa, cada elemento semántico no está relacionado con todos los eg o, mejor dicho, el elemento semántico de cada elemento gramatical complejo (eg) de una lengua determinada no está relacionado con todos los demás elementos gramaticales complejos (eg) de esa misma lengua, sino solamente con uno y, sólo excepcionalmente, con alguno más. Por lo tanto, la relación existente entre los dos conjuntos que forman una lengua no es en realidad el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de éste, porque en una lengua no existen todos los pares ordenados que se pueden formar con los elementos gramaticales complejos (eg) y con los elementos semánticos de éstas, sino sólo una parte de ellos, o sea, un subconjunto del producto cartesiano. Y, en matemáticas, existe un concepto específico para definir un subconjunto del producto cartesiano, que es el de correspondencia entre conjuntos, lo que

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permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a una lengua de la definición de correspondencia:  rincipio 3.3.2: Los dos conjuntos que forman una lengua determinan o P definen entre sí una correspondencia entre conjuntos, en la que el conjunto inicial es el de los elementos gramaticales complejos (eg) y el conjunto final, el de los elementos semánticos. Los dos conjuntos que forman una lengua, el de los elementos semánticos y el de los elementos gramaticales complejos (eg) que los representan, se ajustan perfectamente a la definición matemática de correspondencia entre conjuntos. Las lenguas no artificiales determinan sendas correspondencias, en las que todos los elementos del conjunto inicial, que son los elementos gramaticales complejos (eg), tienen imagen ya que todas ellas, por definición, tienen elemento semántico. No obstante, debido a la propia evolución interna de las lenguas, por distintas circunstancias algunos elementos gramaticales complejos (eg) pueden tener más de un elemento semántico, por lo que las lenguas no son correspondencias unívocas y, por tanto, tampoco pueden ser aplicaciones. Sus respectivas correspondencias inversas, en las que el conjunto inicial es el de los elementos semánticos y el conjunto final, el de los elementos gramaticales complejos (eg), tampoco son correspondencias unívocas porque en estas lenguas existen elementos semánticos que corresponden a más de un elemento gramatical complejo (eg) y, por tanto, tampoco pueden ser aplicaciones. Tanto la sinonimia, la homonimia y la polisemia han surgido en las lenguas por distintas causas, concretas y demostrables (evolución fonética convergente de dos elementos gramaticales complejos (eg) originalmente distintos, cambios semánticos analógicos y por ampliación, etc.), por lo que se pueden considerar como un proceso degenerativo del gramatical complejo de las lenguas, en el que originalmente no existirían. Esto es lo mismo que ocurre con las lenguas artificiales, que al haber sido creadas por el hombre de una forma intencionada y con una finalidad concreta, han evitado los problemas o inconvenientes de la sinonimia, la homonimia y la polisemia, habiendo asignado a cada elemento gramatical complejo (eg) un elemento semántico y sólo uno. Por lo tanto, en las lenguas artificiales todos los el tienen elemento semántico, como en las lenguas no artificiales, pero además, todos los el tienen un único elemento semántico o, lo que es lo mismo, todos los elementos del conjunto inicial corresponden a un único elemento del conjunto final. Dicho en términos matemáticos, la imagen de cualquier elemento del conjunto inicial es un conjunto unitario o vacío, por lo que en las lenguas artificiales los dos conjuntos que las forman determinan entre sí una corres-

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pondencia unívoca. Dado que todos los el tienen elemento semántico, igual que ocurre en las lenguas no artificiales, el dominio de esta correspondencia unívoca coincide con el conjunto inicial y, por tanto, ambos conjuntos de lenguas artificiales definen una aplicación. Esto permite enunciar el siguiente principio, desprendido de la simple aplicación a las distintas lenguas de la definición de aplicación:  rincipio 3.3.3: La correspondencia determinada por el conjunto de los P elementos gramaticales complejos (eg) y el de los elementos semánticos de éstas es una aplicación sólo en las lenguas artificiales. La imagen de cualquier elemento del conjunto inicial, que es el de los significantes, es un conjunto unitario o vacío, por lo que en las lenguas artificiales los dos conjuntos que las forman determinan entre sí una correspondencia unívoca. Dado que todos los significantes tienen elemento semántico, igual que ocurre en las lenguas no artificiales, el dominio de esta correspondencia unívoca coincide con el conjunto inicial y, por tanto, ambos conjuntos de estas lenguas artificiales definen una aplicación.  rincipio 3.3.4: La aplicación determinada por el conjunto de los signiP ficantes y el de los elementos semánticos en los lenguajes artificiales es biyectiva. Por definición de lengua artificial, todos los elementos semánticos tienen significante y un único significante y, por tanto, todos los elementos del conjunto final tienen antiimagen y sólo tienen una, con lo que las lenguas artificiales se ajustan a la definición de aplicación biyectiva. Puesto que la correspondencia inversa de una aplicación sólo es aplicación si aquélla es biyectiva, según el teorema correspondiente, ya que sólo en ese caso cumple la definición de aplicación, en el caso de las lenguas artificiales también lo es, ya que todos los elementos semánticos tienen también significante y un único significante. Esto permite enunciar otro principio:  rincipio 3.3.5: La correspondencia inversa de la aplicación determinaP da por el conjunto de los significantes y el de los elementos semánticos en las lenguas artificiales también es aplicación inversa.  or definición de lengua artificial, todos los elementos semánticos tienen P significante y un solo significante y, por tanto, determinan una aplicación biyectiva, y ésta es la condición suficiente para que su correspondencia inversa también sea una aplicación biyectiva y a la correspondencia inversa de una aplicación biyectiva, que también es aplicación biyectiva, se le denomina aplicación inversa.

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Pero los principios anteriores permiten enunciar una nueva definición de lengua en términos matemáticos, ya que se refieren a la misma naturaleza del lenguaje pero, a su vez, permiten definir todos los conceptos lingüísticos en términos matemáticos:  efinición axiomática de elemento semántico: Un elemento semántico D es todo elemento perteneciente al rango de la correspondencia determinada por un conjunto de significantes y por el conjunto de los conceptos o funciones gramaticales que poseen los miembros de una comunidad de habla, o bien al dominio de su correspondencia inversa. Definición axiomática de elemento gramatical complejo (eg): Un elemento gramatical complejo es todo grupo gramatical perteneciente al dominio de la correspondencia cuyo conjunto final está formado por todos los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa. Definición axiomática de elemento gramatical complejo (eg): Es todo par ordenado del grafo de la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos gramaticales complejos de una lengua y el de los elementos semánticos de la misma y que, por tanto, tiene como primer componente un elemento gramatical complejo y, como segundo, un elemento semántico. 5.5. Clasificaciones gramaticales Todo elemento gramatical pertenece a un subconjunto incluido a su vez en el conjunto de elementos gramaticales de una lengua y, por lo tanto, clasificable. Todo elemento gramatical complejo (eg) tiene una forma, al ser un gm, y un significado, al que corresponde dicha forma, por lo que todos los eg se podrán clasificar según dos criterios diferentes, el morfológico, en base a las formas de los elementos gramaticales (eg), y el semántico, en base a los significados a los que corresponden esos mismos elementos gramaticales (eg). Y los elementos gramaticales de una lengua (eg) forman entre sí familias de elementos gramaticales (eg), dentro del conjunto de elementos gramaticales de una lengua.  amilia de elementos gramaticales (eg) o familia gramatical: Es todo F conjunto de elementos gramaticales (eg) de una lengua que posee alguna propiedad común. Las clases gramaticales también son susceptibles de ser descritas matemáticamente, igual que los eg pertenecientes a ellas, y ello se ha de demostrar mediante una serie de principios.

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 rincipio: Toda clase gramatical es un subconjunto determinado del P conjunto de todos los eg de una lengua. Toda clase gramatical de una lengua se ajusta a la definición de subconjunto, ya que todos y cada uno de los elementos que la forman pertenecen también al conjunto de todos los eg de esa misma lengua. Y es un subconjunto determinado porque todos sus elementos tienen una propiedad común a todos ellos y únicamente a ellos y, por tanto, existe un criterio lo suficientemente claro para saber si un elemento semántico cualquiera pertenece a ella o no, de tal manera que todos los elementos que la forman cumplen la propiedad o característica que define por comprehensión a esa clase.  rincipio: El conjunto de todas las clases gramaticales forma un recubriP miento del conjunto de todos los eg de una lengua. El conjunto formado por todas las clases gramaticales se ajusta a la definición de recubrimiento porque la unión de todas ellas es el conjunto de todos los eg de una lengua cualquiera, de tal manera que todo eg pertenece necesariamente a una clase gramatical y no existe ninguno que no pertenezca a ninguna de ellas.  rincipio: El conjunto de todas las clases gramaticales forma una partiP ción o clasificación del conjunto de todos los eg de una lengua. El conjunto formado por todas las clases gramaticales se ajusta a la definición de partición o clasificación de conjuntos porque es un recubrimiento, ya que la unión de todas ellas es el conjunto de todos los eg de una lengua, y porque son conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos, de tal manera que todo eg de una lengua pertenece necesariamente a una clase gramatical y únicamente a una y no existe ninguna de ellas que carezca de eg ni existe ningún eg que no pertenezca a ninguna clase gramatical. Por lo tanto, toda clase gramatical es un subconjunto de la partición o clasificación del conjunto de los eg. Pero esta definición es insuficiente, ya que no especifica el criterio por el cual un eg determinado pertenece a una clase y no a otra o, lo que es lo mismo, la propiedad por la cual se diferencian unas clases gramaticales de otras, que es la característica de los subconjuntos que constituyen dichas clases. Esta clasificación de los eg es intrínseca, porque depende de las clases de em que los forman y, por lo tanto, depende de esos eg.  rincipio: Toda clase gramatical es una relación binaria de equivalencia P (RBE) definida en el conjunto de elementos gramaticales de una lengua

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por la propiedad de que todos los eg que a ella pertenecen estan compuestos por unas mismas clases de em. En el conjunto de elementos gramaticales de una lengua se define una RB por la propiedad de que los eg estén compuestos por unas mismas clases de em. Y la RB definida en el conjunto de elementos gramaticales de una lengua por esa propiedad es una RBE porque cumple la propiedad reflexiva, la simétrica y la transitiva. Principio: Toda clase gramatical es una clase de equivalencia. Las clases gramaticales son clases de equivalencia porque se ajustan a la definición de este concepto, según la cual «se llama clase de equivalencia de a al subconjunto de A formado con los elementos equivalentes al a». Y toda familia de clases de equivalencia engendrada por una RBE es una partición, según el teorema matemático correspondiente, por lo que el conjunto de elementos gramaticales de una lengua es una partición, como ya se ha demostrado anteriormente. Después de estos principios, ya pueden definirse correctamente las clases gramaticales: Definición axiomática de clase gramatical (Cg): Una clase gramatical es una clase de equivalencia formada por todos los elementos gramaticales que verifican la relación binaria de equivalencia (RBE) definida en el conjunto de elementos gramaticales de una lengua por la propiedad de que los elementos gramaticales estén compuestos por unas mismas clases de em. Las categorías gramaticales también son susceptibles de ser descritas matemáticamente, igual que los eg que pertenecen a ellas, y ello se ha de demostrar mediante una serie de principios.  rincipio: Toda categoría gramatical es un subconjunto determinado del P conjunto de todos los eg de una lengua. Toda categoría gramatical de una lengua se ajusta a la definición de subconjunto, ya que todos y cada uno de los elementos que la forman pertenecen también al conjunto de todos los eg de esa misma lengua. Y es un subconjunto determinado porque existe un criterio lo suficientemente claro para saber si un elemento semántico cualquiera pertenece a ella o no, de tal manera que todos los elementos que la forman cumplen la propiedad o característica que define por comprehensión a esa categoría.

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 rincipio: El conjunto de todas las categorías gramaticales forma un P recubrimiento del conjunto de todos los eg de una lengua. El conjunto formado por todas las categorías gramaticales se ajusta a la definición de recubrimiento porque la unión de todas ellas es el conjunto de todos los eg de una lengua cualquiera, de tal manera que todo eg pertenece necesariamente a una categoría gramatical y no existe ninguno que no pertenezca a ninguna de ellas.  rincipio: El conjunto de todas las categorías gramaticales forma una P partición o clasificación del conjunto de todos los eg de una lengua. El conjunto formado por todas las categorías gramaticales se ajusta a la definición de partición o clasificación de conjuntos porque es un recubrimiento, ya que la unión de todas ellas es el conjunto de todos los eg de una lengua, y porque son conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos, de tal manera que todo eg de una lengua pertenece necesariamente a una categoría gramatical y solamente a una y no existe ninguna de ellas que carezca de eg ni existe ningún eg que no pertenezca a ninguna categoría gramatical. Igualmente, las subcategorías gramaticales también tienen carácter matemático, igual que las categorías gramaticales que las incluyen y que los eg que a ellas pertenecen, y ello se ha de demostrar mediante una serie de principios.  rincipio: Toda subcategoría gramatical es un subconjunto determinado P de una categoría gramatical. Toda subcategoría gramatical de una lengua se ajusta a la definición de subconjunto, ya que todos y cada uno de los eg que la forman pertenecen también a una categoría gramatical. Y es un subconjunto determinado porque existe un criterio lo suficientemente claro para saber si un elemento semántico cualquiera pertenece a ella o no, de tal manera que todos los elementos que la forman cumplen la propiedad o característica que define por comprehensión a esa subcategoría.  rincipio: El conjunto de todas las subcategorías gramaticales de una P categoría forma un recubrimiento de la categoría gramatical en la que está incluida. El conjunto formado por todas las subcategorías gramaticales de una categoría se ajusta a la definición de recubrimiento porque la unión de todas ellas es la categoría gramatical en la que están incluidas, de tal manera que todo eg que pertenece a una categoría gramatical, también pertenece necesa-

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riamente a una subcategoría gramatical y no existe ninguno que no pertenezca a ninguna de ellas.  rincipio: El conjunto de todas las subcategorías gramaticales de una P categoría forma una partición o clasificación de la categoría gramatical en la que está incluida. El conjunto formado por todas las subcategorías gramaticales de una categoría se ajusta a la definición de partición o clasificación de conjuntos porque es un recubrimiento, ya que la unión de todas ellas es la categoría en la que está incluida, y porque son conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos, de tal manera que todo eg de una categoría gramatical pertenece necesariamente a una subcategoría gramatical y solamente a una y no existe ninguna de ellas que carezca de eg ni existe ningún eg que no pertenezca a ninguna subcategoría gramatical. Por lo tanto, toda categoría gramatical es un subconjunto de la partición o clasificación del conjunto de los eg. Pero esta definición es insuficiente, ya que no especifica el criterio por el cual un eg determinado pertenece a una categoría y no a otra o, lo que es lo mismo, la propiedad por la cual se diferencian unas categorías gramaticales de otras, que es la característica de los subconjuntos que constituyen dichas categorías. Esta clasificación de los eg es extrínseca, porque depende del tipo de significados a los que esos eg corresponden o, mejor dicho, de la categoría semántica a la que pertenecen los elementos semánticos a los que corresponden los eg. Y, como los eg o elementos gramaticales (eg) se han definido como elementos del dominio de la correspondencia determinada por el conjunto de gm y grupos silábicos y por el de los significados de una lengua, y como el conjunto de elementos gramaticales complejos de una lengua se ha definido, a su vez, como el dominio de la correspondencia determinada por el conjunto de eg de una lengua y por el de los significados de éstos, entonces todos los eg son el primer componente de un par ordenado cuyo segundo componente es el significado al que corresponde. Y, como las categorías gramaticales son subconjuntos determinados del conjunto de elementos gramaticales de una lengua cuya característica es la misma que la del subconjunto de elementos semánticos a los que corresponden todos sus elementos, dicho subconjunto de eg es también el dominio de una correspondencia determinada entre él y el subconjunto determinado de elementos semánticos a los que esos eg corresponden o, lo que es lo mismo, una categoría gramatical es el dominio de una correspondencia cuyo rango es un subconjunto de elementos semánticos con una característica determinada.

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 rincipio: Toda categoría gramatical define una correspondencia cuyo P rango es un subconjunto de elementos semánticos que tiene una característica determinada. Toda categoría gramatical es un subconjunto determinado del conjunto de elementos gramaticales de una lengua y el conjunto de elementos gramaticales de una lengua es el dominio de una correspondencia. Y todo subconjunto cumple todas las propiedades del conjunto al que pertenece y todo subconjunto determinado cumple, al menos, una más, que es la que lo identifica como tal dentro de ese conjunto. Como toda categoría gramatical es un subconjunto determinado del conjunto de elementos gramaticales de una lengua, entonces toda categoría gramatical define también una correspondencia, pero como toda categoría gramatical es un subconjunto determinado y como su característica es la misma que la del subconjunto de las imágenes de todos sus elementos, además de definir esa correspondencia, define otra distinta de la que define el conjunto al que pertenece, que es el del conjunto de elementos gramaticales de una lengua, y por tanto, es el conjunto inicial de esa nueva correspondencia. Dado que todos los eg de una categoría tienen imagen no vacía, igual que todos los elementos del conjunto de elementos gramaticales de una lengua, entonces el subconjunto que constituye dicha categoría gramatical es el dominio de dicha correspondencia, siendo su rango el subconjunto de los elementos semánticos que tiene una característica determinada que coincide con la del conjunto inicial. Por otra parte, el conjunto de pares ordenados formados por los eg de una categoría y por los elementos semánticos pertenecientes a un subconjunto cuya característica es extrínseca a ellos y se refiere a la relación con otros elementos semánticos, es un subconjunto del grafo de la correspondencia definida por el conjunto de elementos gramaticales de una lengua y por el conjunto de elementos semánticos, con lo cual el conjunto de pares ordenados de una categoría también es un subconjunto del producto cartesiano del conjunto de elementos gramaticales de una lengua y del conjunto de elementos semánticos y, por ello, cumple la definición de correspondencia entre conjuntos.  rincipio: Toda categoría gramatical es una relación binaria de equivaP lencia (RBE) definida en el conjunto de elementos gramaticales de una lengua por la propiedad de corresponder a elementos semánticos pertenecientes a un subconjunto cuya característica es extrínseca a ellos y se refiere a la relación con otros elementos semánticos. En el conjunto del conjunto de elementos gramaticales de una lengua se define una RB por la propiedad de corresponder a elementos semánticos

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pertenecientes a un subconjunto cuya característica es extrínseca a ellos y se refiere a la relación con otros elementos semánticos porque es una correspondencia definida dentro del mismo conjunto del conjunto de elementos gramaticales de una lengua. Y la RB definida en el conjunto de elementos gramaticales de una lengua por esa propiedad es una RBE porque cumple la propiedad reflexiva, la simétrica y la transitiva. Principio: Toda categoría gramatical es una clase de equivalencia. Las categorías gramaticales son clases de equivalencia porque se ajustan a la definición de este concepto, según la cual «se llama clase de equivalencia de a al subconjunto de A formado con los elementos equivalentes al a». Después de estos principios, ya se pueden definir correctamente las categorías gramaticales, aunque la definición se puede enunciar de dos formas distintas: Definición axiomática de categoría gramatical: Una categoría gramatical es una clase de equivalencia formada por todos los eg que verifican la relación binaria de equivalencia (RBE) definida en el dominio de una correspondencia definida, a su vez, por un subconjunto determinado de la partición del conjunto de elementos gramaticales de una lengua y por un subconjunto de elementos semánticos, siendo así que su característica es extrínseca a ellos y se refiere a la relación con otros elementos semánticos. El conjunto de eg puede verificar también la misma RBE, pero definida en el rango de su correspondencia inversa. Definición axiomática de categoría gramatical: Una categoría gramatical es una clase de equivalencia formada por todos los eg que corresponden a un elemento semántico cuya característica es extrínseca a él y se refiere a una determinada relación con otros elementos semánticos, y que por tanto verifican la relación binaria de equivalencia (RBE) definida por esta propiedad en el dominio de una correspondencia determinada por un subconjunto determinado de la partición del conjunto de elementos gramaticales de una lengua y por un subconjunto de elementos semánticos determinado por esa característica, o bien una RBE definida en el rango de su correspondencia inversa. 5.6. Sistema gramatical  rincipio: Un sistema gramatical (Sg) es una unidad lingüística suscepP tible de ser descrita por las matemáticas.

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Todo Sg es, por definición, un gg, ya que no es más que un gg que cumple una determinada condición, que es la de representar a un Sσ. Y si todo gg es susceptible de ser descrito matemáticamente y se puede definir de forma matemática, y todo Sg es un gg, todo Sg también será necesariamente reducible a lenguaje matemático, según las reglas de inferencia y, concretamente, según el modus ponens. Igualmente, también se puede demostrar este principio por la teoría de conjuntos, ya que los Sg forman un subconjunto dentro del conjunto de los gg y todo elemento de un subconjunto participa de las propiedades que tengan los elementos del conjunto al que pertenece dicho subconjunto porque, a su vez, también pertenece al conjunto que incluye al subconjunto al que pertenece. Sin embargo, para definir matemáticamente a un Sg, no basta con decir que es un gg que representa a un Sσ, sino que hay que expresar matemáticamente esa relación entre ambas unidades lingüísticas y, para ello, hay que demostrar además su carácter matemático por sí mismo, de forma independiente a los gg. En efecto, el carácter matemático de los Sg de una lengua se puede demostrar también directamente, de forma análoga a como se hizo con los morfemas, las palabras o los eσ, es decir, mediante una serie de axiomas y de principios. Axioma 1: Los Sg de una lengua cualquiera forman un conjunto. Axioma 2: El conjunto formado por todos los Sg de una lengua es un conjunto determinado, porque existe un criterio lo suficientemente claro para poder decidir si un elemento pertenece o no a él. Axioma 3: Todo Sg de una lengua es un elemento del conjunto de todos los Sg de esa misma lengua. Pero estos tres axiomas permiten enunciar tres principios, que se deducen tanto de ellos como de las definiciones de Sg y de Sσ:  rincipio 3.1: En la mente de todos los hablantes de una lengua cualP quiera existen dos conjuntos distintos, el conjunto de los Sσ que puede formar y el conjunto de los Sg que equivalen a esos mismos Sσ. Si un Sg se define como un gg que equivale a un Sσ y si cada Sg pertenece al conjunto de los Sg de una lengua y cada Sσ, al de los Sσ que se pueden formar en la mente humana, los Sg y los Sσ son elementos de dos conjuntos distintos, por definición.  rincipio 3.2: El conjunto de los Sg de una lengua y el de los Sσ equivaP lentes a ellos están relacionados entre sí.

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Por definición, todo Sg equivale a un Sσ, por lo que la relación entre el conjunto de los Sg de una lengua y el de los Sσ es evidente.  rincipio 3.3: La relación existente entre el conjunto de los Sg de una P lengua y el de los Sσ a los que aquéllos equivalen es de carácter matemático. La demostración de este último principio se puede realizar aplicando la teoría de conjuntos a los conceptos de Sσ y Sg mediante las definiciones matemáticas ya conocidas y de una serie de principios deducidos de ellas. Las definiciones previas son las de par, par ordenado, producto cartesiano, correspondencia entre conjuntos, correspondencia inversa, grafo de una correspondencia y aplicación. Aplicando estas definiciones matemáticas a las definiciones lingüísticas, axiomas y principios anteriores, así como al principio que se ha de demostrar, se pueden enunciar los siguientes principios:  rincipio 3.3.1: Todo Sg de una lengua forma un par ordenado con el Sσ P al que corresponde. Como cada Sg está relacionado con un Sσ y, como los Sσ y los Sg son elementos de dos conjuntos distintos, por definición forman un par ordenado. Todos los pares ordenados que sería posible formar con todos los elementos de estos dos conjuntos, el de los Sσ y el de los Sg de una lengua, constituyen el producto cartesiano de ambos conjuntos. Pero ésta no es la relación real existente entre los dos conjuntos del lenguaje, ya que cada Sσ no está relacionado con todos los Sg de esa misma lengua, sino con uno solamente. Y viceversa, cada Sg de una lengua no está relacionado con todos los Sσ, sino solamente con uno. Por lo tanto, la relación que hay entre los dos conjuntos no es en realidad el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de éste, porque no existen todos los pares ordenados que se pueden formar con las Sσ y con los Sg de éstas, sino sólo una parte de ellos, o sea, un subconjunto del producto cartesiano. Y, en Matemáticas, existe un concepto específico para definir un subconjunto del producto cartesiano, que es el de correspondencia entre conjuntos, lo que permite enunciar el siguiente principio, desprendido de la simple aplicación a una lengua de la definición de correspondencia:  rincipio 3.3.2: El conjunto de los Sg de una lengua y el conjunto de P los Sσ que pueden formar los hablantes determinan una correspondencia entre conjuntos, en la que el conjunto inicial es el de los Sg y el conjunto final, el de los Sσ. Los dos conjuntos mencionados, el de los Sg y el de las Sσ a los que equivalen, se ajustan perfectamente a la definición matemática de corresponden-

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cia entre conjuntos, ya que forman un subconjunto del producto cartesiano de esos dos conjuntos mencionados. En los Sg en los que no existen los fenómenos irregulares (de sinonimia y homonimia), que son propios de las palabras y que eran los que impedían que la correspondencia que éstas determinan con los eσ fuera una aplicación, la correspondencia definida entre el conjunto de los Sg y el de los Sσ sí que lo es y, además, es biyectiva. Esto permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a los Sg de la definición de aplicación:  rincipio 3.3.3: La correspondencia determinada por el conjunto de los P Sg de una lengua y el de los Sσ que pueden formar los hablantes es una aplicación. La imagen de cualquier elemento del conjunto inicial, que es el de los Sg, es un conjunto unitario, por lo que la correspondencia determinada por los dos conjuntos mencionados, el de los Sg y el de los Sσ, es unívoca. Dado que todos los Sg, por definición, equivalen a un Sσ, el dominio de esta correspondencia unívoca coincide con el conjunto inicial y, por tanto, ambos conjuntos definen una aplicación. Principio 3.3.4: La aplicación que determinan el conjunto de los Sg y el de los Sσ es biyectiva. En principio, todos los Sσ que puede formar un hablante se pueden expresar por medio de una lengua o, lo que es lo mismo, por medio de un Sg de esa lengua, porque la estructura de la mente humana, en el caso de los hablantes, está determinada en gran medida por el lenguaje. Y, en el caso de que un hablante pueda formar un Sσ que no correspondiera a ningún Sg de una lengua, o un concepto que no correspondiera a ningún eσ, lo crearía, produciendo a su vez nuevos términos, que estarían formados con varias palabras si fuera necesario. Por lo tanto, todos los Sσ corresponden a un Sg y, además, a un solo Sg. Después, ese Sg único, perteneciente a la estructura profunda de una lengua, se podrá expresar en la estructura superficial mediante varias unidades lingüísticas distintas, que serán sinónimas, pero esta sinonimia no afecta a los Sσ. Por lo tanto, todos los elementos del conjunto final tienen antiimagen y sólo tienen una, con lo que los Sg y los Sσ se ajustan a la definición de aplicación biyectiva. Como la correspondencia inversa de una aplicación sólo es aplicación si aquélla es biyectiva, según el teorema correspondiente, ya que sólo en ese caso cumple la definición de aplicación, en el caso de los Sg y los Sσ también lo es, ya que todos los Sσ equivalen también a un Sg y a un solo Sg. Esto permite enunciar otro principio:

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 rincipio 3.3.5: La correspondencia inversa de la aplicación biyectiva P que determinan el conjunto de los Sg y el de los Sσ también es aplicación inversa. Por definición, todos los Sσ equivalen a un Sg y a un solo Sg y, por tanto, determinan una aplicación biyectiva, y ésta es la condición suficiente para que su correspondencia inversa sea también una aplicación biyectiva y a la correspondencia inversa de una aplicación biyectiva, que también es aplicación biyectiva, se le denomina aplicación inversa. Pero los Sg son en realidad gg y el conjunto de todos los gg que pueden formarse en una lengua no determina una aplicación biyectiva con el conjunto de todos los Sσ de esa lengua, y ni siquiera una aplicación, porque sólo algunos de los gg que se puedan forman en una lengua se corresponden con un Sσ y, por tanto, sólo algunos gg son Sg.  rincipio: Los gg de una lengua forman pares ordenados con los Sσ a los P que corresponden. Como algunos gg están relacionados con Sσ y, como los Sσ y los gg son elementos de dos conjuntos distintos, por definición forman pares ordenados. Todos los pares ordenados que sería posible formar con todos los elementos de estos dos conjuntos, el de las Sσ y el de los gg de una lengua, constituyen el producto cartesiano de ambos conjuntos. Pero ésta no es la relación real existentes entre los dos conjuntos del lenguaje, ya que cada Sσ no está relacionado con todos los gg de esa misma lengua, sino con uno solo. Y viceversa, cada gg de una lengua no está relacionado con todos los Sσ, sino solamente con uno. Por lo tanto, la relación que hay entre los dos conjuntos no es en realidad el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de éste, porque no existen todos los pares ordenados que se pueden formar con los Sσ y con los gg de esa lengua, sino sólo una parte de ellos, o sea, un subconjunto del producto cartesiano. Y, en Matemáticas, existe un concepto específico para definir un subconjunto del producto cartesiano, que es el de correspondencia entre conjuntos, lo que permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a una lengua de la definición de correspondencia:  rincipio: El conjunto de los gg de una lengua y el conjunto de los Sσ P que pueden formar los hablantes determinan una correspondencia entre conjuntos, en la que el conjunto inicial es el de los gg y el conjunto final, el de los Sσ.

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Estos dos conjuntos mencionados, el de los gg y el de los Sσ a los que equivalen, se ajustan perfectamente a la definición matemática de correspondencia entre conjuntos, ya que forman un subconjunto del producto cartesiano de esos dos conjuntos mencionados.  rincipio: La correspondencia determinada por el conjunto de los gg de P una lengua y por el de los Sσ de esa misma lengua es unívoca. Dicha correspondencia se ajusta a la definición de correspondencia unívoca, ya que la imagen de todos los gg de una lengua es un subconjunto unitario o vacío. De aquí, se infiere claramente la definición matemática de Sg, que se puede enunciar de dos maneras posibles, ambas equivalentes:  efinición axiomática de sistema gramatical ( s o Sg): Un Sg es todo D gg perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de los gg de una lengua y por el de los Sσ que pueden formar los hablantes de esa lengua, o bien al conjunto final de su correspondencia inversa. Definición axiomática de sistema gramatical ( s o Sg): Un Sg es el primer componente de todo par ordenado perteneciente al grafo de la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de los gg de una lengua y por el de los Sσ que pueden formar los hablantes de esa lengua, o bien el segundo componente de todo par ordenado perteneciente al grafo de su correspondencia inversa. Definición axiomática de sistema gramatical ( s o Sg): Un Sg es todo gg cuya imagen es un Sσ en la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de los gg de una lengua y por el de los Sσ que pueden formar los hablantes de esa lengua. De esta definición se infieren una serie de propiedades que poseen los Sg. Así, un Sg es, a su vez, un conjunto de el o palabras en el que se cumplen los siguientes principios:  rincipio: Todo Sg es una cadena o n-tupla ordenada cuyos componentes P pertenecen a un gg y verifican la misma relación binaria de orden parcial que el gg al que pertenecen. Todo sistema es un gg y, por definición, todo gg es una cadena o n-tupla ordenada cuyos componentes pertenecen a un gg y verifican la misma relación binaria de orden parcial que el gg al que pertenecen, que es la que se verifica en el conjunto de los el de la lengua a la que pertenecen. Como todo Sg

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es también un gg, todo Sg verifica la misma relación binaria de orden parcial que él, según el modus ponens. Principio: Todo Sg es un conjunto que determina una aplicación biyectiva con el conjunto formado por el Sσ al que corresponde.

Todo Sg es, por definición, un gg, y un gg es, por definición, una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden parcial definida en el conjunto G de los eg de una lengua (por ejemplo, en el conjunto L de los el de una lengua). Los n componentes de esa cadena o n-tupla ordenada son, por tanto, eg complejos (el, por ejemplo) y la n-tupla ordenada propiamente dicha es, entonces, un conjunto de eg complejos (el, por ejemplo), que a su vez es un subconjunto del conjunto de todos los eg complejos (el, por ejemplo) de una lengua. En todo subconjunto de eg que forman la cadena o n-tupla ordenada que define un gg se define una relación binaria, que afecta a todos los eg complejos de ese subconjunto. Esa relación la establece uno de los eg de ese gg (en una oración gramatical es el verbo) y cada elemento que pertenece a él cumple la propiedad que define esa relación. Por su parte, todo Sσ que puede formar un hablante también es, por definición, una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden parcial definida en el conjunto de los eσ, por lo que las n componentes de esa cadena o n-tupla ordenada son eσ y la n-tupla ordenada propiamente dicha es también un conjunto de eσ, que a su vez es un subconjunto del conjunto de todos los eσ. En todo subconjunto de eσ que forman la cadena o n-tupla ordenada que define un Sσ se define también una relación binaria, que afecta a todos los eσ de ese subconjunto, ya que cada eσ que pertenece a él cumple la propiedad que define esa relación. Esta relación binaria está establecida por uno de los elementos de ese Sσ, que se denomina cópula y es el que relaciona al eσ denominado sujeto con el eσ denominado predicado (en una oración gramatical es el verbo). Pues bien, cada uno de los el que forma la n-tupla ordenada que define un Sg están relacionados con un elemento del subconjunto de eσ que forma la n-tupla ordenada que define un Sσ, por lo que se puede afirmar que cada elemento de un Sg forma un par ordenado con un eσ perteneciente al Sσ al que ese Sg equivale. O, lo que es lo mismo, cada componente de la n-tupla ordenada que define el Sg es, a su vez, el primer componente de un par ordenado cuyo segundo componente es, a su vez, un componente de la n-tupla ordenada que define un Sσ. Por lo tanto, los dos conjuntos formados por los componentes de las dos n-tuplas ordenadas mencionadas, la que define a un Sg y la que define al Sσ al que éste equivale, determinan una correspondencia entre conjuntos, cuyo grafo es un subconjunto del conjunto de todos los

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pares ordenados que se pueden formar con todos los componentes de esas dos n-tuplas ordenadas. Y, como a cada el de un Sg que tiene imagen, le corresponde un eσ y solamente uno, esa correspondencia es unívoca (su imagen es un conjunto unitario). Dado que todos los elementos semantémicos, por definición, corresponden a un eσ (todos tienen imagen no vacía), la correspondencia definida por el sistema semantémico de un Sg y por un Sσ es una aplicación, porque su dominio coincide con el conjunto inicial. Pero además, esa aplicación, definida entre el conjunto de los elementos semantémicos de un Sg y el de los eσ del Sσ al que corresponde, es suprayectiva, porque los eσ que forman ese Sσ corresponden a algún elemento semantémico (tienen antiimagen) y también inyectiva, porque sólo corresponden a un elemento semantémico (sólo tienen una antiimagen). Y toda aplicación que es, a la vez, inyectiva y suprayectiva, se dice que es biyectiva. La posición que ocupan los eg dentro del Sg al que pertenecen debe corresponder al orden en el que los eσ a los que corresponden aparecen en la mente del hablante a la hora de elaborar un Sσ, lo que determina la diferente ordenación de los Sg según las lenguas, que se explica porque la ordenación de un Sg es una proyección de la ordenación de los eσ del Sσ correspondiente en la mente de los hablantes. Esto quiere decir que, tanto en un Sg como en su Sσ correspondiente, además de la relación binaria establecida por cada uno de los elementos gramaticales y por cada uno de los eσ, respectivamente, se define también una relación binaria de orden total, que es la misma en los dos conjuntos que definen la aplicación. Por lo tanto, los elementos de un Sg forman un conjunto en el que se verifica una relación de orden total:  rincipio: En el conjunto de gg de una lengua formado por la n-tupla P ordenada de un Sg se define una relación binaria de orden total. Es una RB porque todos los gg de una lengua que forman la n-tupla ordenada de un Sg pertenecen al mismo conjunto, que es el del léxico de esa lengua, y esa RB es una RBOT porque es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa.  rincipio: Toda cadena o n-tupla ordenada de un Sg es un conjunto toP talmente ordenado. Por definición, una cadena es «una parte totalmente ordenada de un conjunto ordenado» y un conjunto ordenado es aquel en el que se define una RBO y un subconjunto o parte totalmente ordenada es aquel en el que se define una RBOT. En el conjunto de los gg que forman la cadena o n-tupla ordenada de un Sg se define una RBOT porque cumple la propiedad reflexiva,

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la antisimétrica, la transitiva y la conexa, ya que todas los gg que forman un Sg están relacionadas entre sí. Por lo tanto, el conjunto de los gg que forman la cadena o n-tupla ordenada de un Sg es un conjunto totalmente ordenado. Sin embargo, además de definirse una relación binaria de orden total en cada uno de estos conjuntos, los componentes de cada una de las n-tuplas ordenadas de cada uno de los tres conjuntos mencionados tienen que estar en la misma posición que la que le corresponde en los otros dos, luego esas tres relaciones binarias deben ser equivalentes. Así, un eg de un Sg tiene que estar en él en la misma posición que el eσ que le corresponde en un Sσ ya que, de lo contrario, ese Sg y ese Sσ no se corresponderían entre sí en la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de todos los Sg y por el de todos los Sσ de una lengua. Esto se puede expresar mediante el siguiente principio:  rincipio: La relación binaria de orden parcial definida en la cadena P o n-tupla ordenada de todo Sg es equivalente a la definida en la cadena o n-tupla ordenada del Sσ al que corresponde, de tal manera que todos los componentes de la n-tupla ordenada de dicho Sg están en la misma posición que las de su imagen, dentro de la aplicación biyectiva que determina el conjunto de los Sg semánticos y el de los Sσ. Todo Sg es, por definición, un gg y todo gg es una variación con repetición de m elementos tomados de n en n, tal que m es el número total de gg de una lengua y n, el número de gg que forman cada gg, según ya se demostró. Por lo tanto, el orden de los elementos que forman un gg importa y distingue a unos gσ de otros, según la definición de variación con repetición. Y si todo gg es una variación con repetición y todo Sg es un gg, todo Sg será también una variación con repetición, según la regla de inferencia del silogismo. Por lo tanto, el orden de los elementos que forman un Sg también importa y distingue a unos Sσ de otros, según la definición de variación con repetición. Y, para que los gg de un Sg estén en la misma posición que los eσ a los que corresponden del Sσ al que, a su vez, corresponde ese Sg, cada uno de los componentes de la n-tupla ordenada de dicho Sg debe estar en la misma posición que el componente de la n-tupla ordenada que constituye su imagen en el Sσ al que dicho Sg corresponde. En caso contrario, ambas n-tuplas ordenadas pertenecerán a otro Sg o a otro Sσ, que no se corresponderán entre sí en la aplicación biyectiva que determina el conjunto de los Sσ y el de los Sσ. Resumiendo, dos cadenas que tienen los mismos elementos pero en distinto orden son distintas.  rincipio: La cadena o n-tupla ordenada de todo Sg es un conjunto que P determina una correspondencia compuesta o producto de corresponden-

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cias con la cadena o n-tupla ordenada del Sσ al que corresponde y con la cadena o n-tupla ordenada del juicio al que, a su vez, corresponde este último. Los tres conjuntos se ajustan a la definición de correspondencia compuesta o producto de correspondencias. El número total de Sg, que teóricamente se podrían formar con todas los gg de una lengua, se puede calcular perfectamente teniendo en cuenta el concepto de variación con repetición. A partir de esta definición, se puede enunciar el siguiente principio:  rincipio: El conjunto de todos los Sg que se podrían formar con los gg P de una lengua es el conjunto de variaciones con repetición de orden no superior al número máximo de gg que pueda tener un Sg en esa lengua y definidas en el conjunto P de todos los eg de esa lengua. Como todos los Sg, por definición, son gg y como todos los gg son variaciones con repetición, entonces todos los Sg son también variaciones con repetición, según el modus ponens. Los Sg son variaciones, porque en ellos el orden de sus elementos sí que importa, porque verifican una relación binaria de orden, y son variaciones con repetición porque en ellos los gg se pueden repetir, lo que impide que sean variaciones sin repetición, y porque el orden en el que éstos se encuentra sí que importa y sirve para diferenciar a los Sg, lo que impide que sean combinaciones. El conjunto de elementos de estas variaciones es, naturalmente, el de todas los gg de una lengua y el orden de ellas es el del número de eg que tienen los Sg de esa lengua, que no puede ser superior al número máximo de gg que pueda tener un Sg en esa lengua, o sea, por el cardinal del conjunto P de esa lengua. Así, las variaciones con repetición de orden 1 serán los Sg de un único elemento que se podrían formar en teoría con todos los eg de esa lengua y su número sería RVf1 = Cd (P)1, siendo P los eg de una lengua; las de orden 2 serán los Sg de dos elementos y su número sería RVf2 = Cd (P)2; y las de orden n serán los Sg de n elementos que se podrían formar y su número sería RVfn = Cd (P)n, siendo n el número máximo de eg que pueda tener un Sg en esa lengua. El número total de Sg que se podría formar teóricamente en una lengua sería la suma del número de variaciones con repetición de orden 1, de orden 2, de orden 3 y así sucesivamente hasta las de orden n: RVf1 + RVf2 + … + RVfn = Cd (P)1 + Cd(P)2 + …+ Cd (P)n. Principio: El conjunto de todos los Sg existentes realmente en una lengua es un subconjunto del conjunto de variaciones con repetición de or-

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den no superior al número máximo de elementos que pueda tener un Sg en esa lengua y definidas en el conjunto P de todos los gg de esa misma lengua. Es evidente que todos los Sg que se pueden formar en una lengua pertenecen al conjunto de todos los que se pueden formar en esa lengua. Un Sg, por tanto, es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden parcial definida en el conjunto P de los eg de una lengua y, como tal n-tupla ordenada de una relación binaria, todos sus componentes pertenecen a un mismo conjunto, que no es otro que el de los eg de una lengua. No obstante, dicho conjunto se puede dividir en subconjuntos en base a alguna propiedad que posean todos sus elementos o, más concretamente, en base a las categorías gramaticales de todos ellos. A su vez, estos subconjuntos se pueden subdividir en otros menores en base a las subcategorías gramaticales de los elementos que los formen, y así sucesivamente hasta agotar todas las subcategorías que posean los eg que forman cada uno de esos subconjuntos. Todos estos subconjuntos son determinados y la propiedad o característica que les determina es la categoría gramatical de sus elementos. Pero, entonces, ese Sg ya no es una relación binaria, sino una correspondencia entre conjuntos, porque cada uno de los componentes que forman la n-tupla ordenada que lo define ya no pertenecen al mismo conjunto, el de los el, sino que cada uno de ellos pertenece a uno de los subconjuntos incluidos en él, que son diferentes entre sí. Y lo mismo ocurre con el Sσ al que corresponde, ya que las categorías gramaticales son de naturaleza semántica y, por tanto, el conjunto de los eσ también se puede dividir en subconjuntos determinados en base a las categorías gramaticales de dichos elementos, con lo que un Sσ, además de ser una RBOT, también es una correspondencia determinada por varios subconjuntos determinados de eσ, como ya se demostró para los rasgos semánticos.  rincipio: Todo Sg es una n-tupla ordenada de la correspondencia deterP minada por n subconjuntos del conjunto de los eg de una lengua y por n subconjuntos del conjunto de los Sσ que pueden formar los hablantes. Este principio no es más que la consecuencia de la definición matemática de Sg enunciada anteriormente ya que, si todo Sg es un elemento del grafo de una relación binaria de orden total definida en el conjunto de todos los eg de una lengua, y si toda relación binaria es, por definición, una correspondencia definida dentro de un mismo conjunto, entonces todo Sg será, al mismo tiempo, un elemento del grafo de esa misma correspondencia definida en el conjunto de todos los eg de una lengua, según la regla de inferencia del

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silogismo. Dado que el conjunto de los eg de una lengua está formado por multitud de subconjuntos determinados por alguna propiedad que cumplan sus elementos, esa correspondencia, cuyo grafo está formado por todos los Sg que se pueden formar con los eg de una lengua, está determinada por los subconjuntos que forman el conjunto de los eg de esa misma lengua. Este último principio, junto con los rasgos semánticos, no es más que la enunciación matemática del método distribucional de Bloomfield y de la gramática estructural, que fue adoptado también por la gramática generativa, y que establece que todas las gg capaces de aparecer en un mismo contexto, constituyen una clase de palabras o partes de la oración. Y, además, este último principio permite enunciar con mayor exactitud la definición matemática de Sg. Por lo tanto, y después de estos principios precedentes, un Sg se puede definir también como:  efinición axiomática de sistema gramatical ( s o Sg): Un Sg es una D cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia, determinada por n subconjuntos determinados del conjunto G de los eg de una lengua, cuya imagen es una cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por n subconjuntos determinados del conjunto de los eσ que constituyen los Sσ que pueden formar los hablantes, todo ello dentro de la correspondencia unívoca determinada por el conjunto Gg de los gg de una lengua y por el conjunto de los Sσ que pueden formar los hablantes de esa misma lengua, en cada uno de los cuales se define a su vez una relación binaria de orden total. Un Sg, por tanto, es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida de forma artificial en el conjunto G de los eg de una lengua y, como tal n-tupla ordenada de una relación binaria, todos sus componentes pertenecen a un mismo conjunto, que no es otro que el de los egφ de una lengua. No obstante, dicho conjunto se puede dividir en subconjuntos en base a alguna propiedad que posean todos sus elementos o, más concretamente, en base a las φg de todos ellos. A su vez, estos subconjuntos se pueden subdividir en otros menores en base a otras φg de los elementos que los formen, y así sucesivamente hasta agotar todas las funciones que posean los eg que forman cada uno de esos subconjuntos. Todos estos subconjuntos son determinados y la propiedad o característica que les determina es la φg de sus elementos. Pero, entonces, ese Sg ya no es una relación binaria, sino una correspondencia entre conjuntos, porque cada uno de los componentes que forman la n-tupla ordenada que lo define ya no pertenecen al mismo conjunto, el de los eg, sino que cada uno de ellos pertenece a uno de los sub-

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conjuntos incluidos en él, que son diferentes entre sí. Y lo mismo ocurre con las φg a las que corresponden esos egφ. Principio: Todo Sg es una cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por n subconjuntos del conjunto de los egφ de una lengua y por n subconjuntos del conjunto de las φg. Este principio no es más que la consecuencia de los principios enunciados anteriormente ya que, si todo Sg es un elemento del grafo de una relación binaria de orden parcial definida en el conjunto de todos los eg de una lengua, y si toda relación binaria es, por definición, una correspondencia definida dentro de un mismo conjunto, entonces todo Sg será, al mismo tiempo, un elemento del grafo de esa misma correspondencia definida en el conjunto de todos los eg de una lengua, según la regla de inferencia del silogismo. Dado que el conjunto de los eg gramaticales de una lengua está formado por multitud de subconjuntos determinados por alguna propiedad que cumplan sus elementos, que es la φg a la que corresponden, esa correspondencia, cuyo grafo está formado por todos los Sg que se pueden formar con los eg de una lengua, está determinada por los subconjuntos que forman el conjunto de los eg de esa misma lengua. Esta misma demostración es válida también, ademas de para todos los egφ, para los grupos gramaticales, eg o ‘Sg que corresponden a alguna φg y también para todos aquéllos que corresponden a algún elemento semántico accidental o accidente gramatical. Principio: Los principios anteriores se cumplen también, además de para todos los eg gramaticales, para los ggφ, eg o ‘Sg que corresponden a alguna φg. Todas estas unidades lingüísticas son los distintos modos de expresar las φg dentro de un Sg, por lo que se comportan de la misma forma y el conjunto al que pertenece cada una de ellas determina una correspondencia análoga con el conjunto de las φg.  rincipio: Los principios anteriores se cumplen también, además de para P todos los eg gramaticales, ggφ, eg y ‘Sg que corresponden a alguna φg, para todos aquellos que corresponden a algún elemento semántico accidental o accidente gramatical. Todas estas unidades lingüísticas además de expresar las φg dentro de un Sg , son también los distintos modos de expresar los accidentes gramaticales, por lo que se comportan con éstos de la misma forma que con las funciones y el conjunto al que pertenece cada una de ellas determina una corresponden-

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cia análoga con el conjunto de los accidentes gramaticales a la que determinan con el conjunto de las φg. Principio: Todos los eg son gg unitarios. Todos los eg se ajustan a la definición de grupo morfológico unitario, que es el que sólo está formado por un eg. Principio: Todos los eg son ‘Sg unitarios. Todos los eg se ajustan a la definición de ‘Sg unitario, que es el que sólo está formado por un eg. Principio: El conjunto de los ggφ de una lengua determina una correspondencia con la unión del conjunto de las φg y de los elementos semánticos accidentales. Si el conjunto de los ggφ de una lengua determina una correspondencia con el conjunto de las φg y con el de los elementos semánticos accidentales, determina también una correspondencia con la unión de estos dos conjuntos, por definición de unión de conjuntos.  rincipio: El conjunto de los elementos léxicos de una lengua que comP parten un mismo ggR determina una correspondencia con el conjunto de los elementos semánticos a los que corresponden. Como el conjunto de los elementos léxicos de una lengua que comparten un mismo ggR es un subconjunto del léxico de una lengua, verifica todo aquello que también verifique el conjunto al que pertenece y, por tanto, determina una correspondencia con el conjunto de los elementos semánticos a los que corresponden dichos elementos léxicos. A partir de estos principios, se puede definir matemáticamente el concepto de Sg: Definición axiomática de sistema gramatical (Sg o g): Es la correspondencia determinada por el conjunto de los ggφ de una lengua, que es el formado por todos los grupos morfológicos pertenecientes a todos los eg complejos que comparten el mismo ggR, y por la unión de los conjuntos de las φg y de los elementos semánticos, tal que cada uno de los dos conjuntos verifica una RBOT. 5.7. Estructura gramatical Las Σg, igual que los Sg y ‘Sg e igual que las φg, son también susceptibles de ser descritas matemáticamente, y ello se puede demostrar mediante el siguiente principio:

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 rincipio: Una estructura gramatical es un fenómeno complejo suscepP tible de ser descrito matemáticamente. Por definición, una Σg está formada por características. Pero las características son, en realidad, los distintos elementos del conjunto que forma esa estructura, y los elementos de un conjunto son también unidades lingüísticas susceptibles de ser descritas matemáticamente. Sin embargo, para que la Σg también lo sea, no basta que lo sean los elementos que la forman sino que, además, estos elementos tienen que estar relacionados entre sí de forma matemática, y este requisito se cumple y se puede demostrar mediante los siguientes principios:  rincipio: Toda Σg formada por dos elementos es un par ordenado de P elementos, pertenecientes ambos al conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Los elementos de una Σg de dos elementos cumplen la definición de par ordenado, ya que pertenecen cada uno de ellos a un conjunto, que es el de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define.  rincipio: Toda Σg formada por tres elementos es una terna ordenada de P elementos, pertenecientes los tres al conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Los elementos de una Σg de tres elementos cumplen la definición de terna ordenada, ya que cada uno de ellos pertenece a un conjunto, que es el de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Principio: Toda Σg formada por n elementos es una n-tupla ordenada de elementos, pertenecientes todos ellos al conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Los elementos de una Σg de n elementos cumplen la definición de n-tupla ordenada, ya que cada uno de ellos pertenece a un conjunto, que es el de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define.  rincipio: Todos los pares ordenados que se pueden formar con los eleP mentos de una Σg constituyen el producto cartesiano del conjunto de las

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características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define por sí mismo. Este principio se ajusta a la definición de producto cartesiano de dos conjuntos o, lo que es lo mismo, de un conjunto por s mismo.  rincipio: Todas las ternas ordenadas que se pueden formar con los eleP mentos de una Σg constituyen el producto cartesiano del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define tres veces por sí mismo. Este principio se ajusta a la definición de producto cartesiano de tres conjuntos y, además, cumple la propiedad distributiva respecto de la unión y la propiedad distributiva respecto de la intersección.  rincipio: Todas las n-tuplas ordenadas que se pueden formar con los P elementos de una Σg constituyen el producto cartesiano del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define n veces por sí mismo. Este principio se ajusta a la definición de producto cartesiano de n elementos y, además, cumple la propiedad distributiva respecto de la unión y la propiedad distributiva respecto de la intersección. De los principios anteriores, se infiere automáticamente el siguiente principio general: Principio: El conjunto de todas las Σg que se podrían formar es el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas pertenecientes al conjunto formado por la unión de todos los productos cartesianos definidos en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Sin embargo, para definir el conjunto de todas las Σg de una lengua que existen realmente, es necesario utilizar el concepto matemático de correspondencia: Principio: El conjunto de todas las Σg de una lengua que existen realmente es un conjunto de correspondencias definidas en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. El conjunto de todas las Σg de una lengua que existen realmente está formado por el subconjunto de todas las Σg de un elemento, por el de todas las de dos, por el de todas las de tres y por el de todas las de n elementos.

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Como el subconjunto de todas las Σg de un elemento es un subconjunto del producto cartesiano del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define por sí mismo, en el que los segundos elementos de los pares ordenados pertenecen al conjunto vacío, dicho subconjunto de todas las Σg de un elemento es el grafo de una correspondencia definida en el conjunto de los elementos de una lengua, en la que el conjunto inicial es el mismo de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define y el conjunto final es el conjunto vacío. Su correspondencia contraria es aquella en la que el conjunto inicial es el conjunto vacío y el conjunto final, el de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Pero en este caso, al ser siempre uno de los dos elementos el conjunto vacío, esta correspondencia y su contraria son iguales. Como el subconjunto de todas las Σg de dos elementos es un subconjunto del producto cartesiano del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define por sí mismo, dicho subconjunto de todas las Σg de dos elementos es el grafo de una correspondencia definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define, en la que el conjunto inicial y el final son el mismo. Como el subconjunto de todas las Σg de tres elementos es un subconjunto del producto cartesiano del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define dos veces por sí mismo, dicho subconjunto de todos los Σg de tres elementos es el grafo de una correspondencia definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Como el subconjunto de todas las Σg de n elementos es un subconjunto del producto cartesiano del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define n-1 veces por sí mismo, dicho subconjunto de todas las Σg de n elementos es el grafo de una correspondencia definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Y, como todos estos subconjuntos forman un recubrimiento del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define, porque la unión de todos ellos es dicho conjunto, y además forman una partición, porque todos los subconjuntos de ese recubrimiento son no vacíos y disjuntos entre sí dos a dos, se puede afir-

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mar que el conjunto de todas las Σg que realmente existen en una lengua es un conjunto de correspondencias definidas en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define, que es lo que queríamos demostrar.  rincipio: Toda Σg es una n-tupla ordenada perteneciente al grafo de P la correspondencia determinada por los subconjuntos del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Este principio se ajusta a la definición de correspondencia, ya que cada componente de una n-tupla ordenada pertenece a un subconjunto distinto del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define. Después de estas últimas definiciones, ya se puede enunciar el siguiente principio, que se basa en uno de los anteriores y que no es más que la aplicación a éste del concepto de relación binaria:  rincipio: El conjunto de todas las Σg existentes realmente en una lenP gua es una relación binaria de orden total definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada». La correspondencia que define el conjunto de todas las Σg de una lengua se ajusta a la definición de relación binaria, según la cual una relación binaria en un conjunto A es una correspondencia en la que el conjunto inicial y el conjunto final son el mismo conjunto A. Esta relación binaria es de orden porque es reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva, y es de orden total porque es conexa.  rincipio: Toda Σg es una cadena o n-tupla ordenada de la relación biP naria de orden total definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de ese Sg al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada». Este principio se ajusta a la definición de cadena o n-tupla ordenada y de relación binaria de orden total. En efecto, en una Σg todos los componentes de cada n-tupla ordenada pertenecen al mismo conjunto S, por lo que es una relación binaria, y esa relación binaria es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa, por lo que es de orden parcial, por lo que S es un conjunto totalmente ordenado.

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 rincipio: El conjunto de todas las Σg existentes realmente en una lengua P es un conjunto de correspondencias unívocas determinadas por los subconjuntos del conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen. Todas las correspondencias definidas en el conjunto de todas las Σg de una lengua son unívocas porque en toda Σg cualquier elemento va seguido de forma contigua de un solo elemento o de ninguno, porque no puede ir seguido de más de un elemento de forma contigua y, por tanto, porque la imagen de cualquier elemento del conjunto inicial es un conjunto unitario o vacío.  rincipio: El conjunto de todas las Σg existentes realmente en una lengua P es un conjunto de aplicaciones definidas en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen. El conjunto de todas las correspondencias definidas en el conjunto de todas las Σg de una lengua es un conjunto de aplicaciones porque son unívocas y porque su dominio coincide con el conjunto inicial, es decir, porque cada elemento va seguido de forma contigua de una Σg de un elemento y sólo de uno, ya que no puede ir seguido de más de uno de forma contigua, y porque todos los elementos del conjunto inicial, que es el de todas las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen, tienen imagen y sólo una imagen.  rincipio: El conjunto de todas las Σg existentes realmente en una lengua P es un conjunto de aplicaciones biyectivas definidas en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen. El conjunto de todas las aplicaciones definidas en el conjunto de todas las Σg de una lengua es un conjunto de aplicaciones biyectivas porque son aplicaciones inyectivas y suprayectivas a la vez, o sea, porque todos los elementos van precedidos de forma contigua de una Σg de un elemento y sólo de uno, debido a que no puede ir seguido de más de uno de forma contigua, o lo que es lo mismo, porque todos los elementos del conjunto final tienen antiimagen y sólo una antiimagen. El número total de Σg que teóricamente se podría formar con todas las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen se puede calcular perfectamente teniendo en cuenta el concepto de variación con repetición. A partir de esta definición, se puede enunciar el siguiente principio:

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Principio: El conjunto de todas las Σg que se podrían formar con las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen es el conjunto de variaciones con repetición de orden no superior al número máximo de elementos que pueda tener una Σg en esa lengua y definidas en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen. Las Σg son variaciones porque verifican una relación binaria de orden parcial y, por tanto, sí que importa el orden de los elementos que los componen. Y, además, son variaciones con repetición porque en ellos los elementos se pueden repetir, lo que impide que sean variaciones sin repetición, y porque el orden en el que éstos se encuentran sí que importa y sirve para diferenciar a las Σg, lo que impide que sean combinaciones. El conjunto de elementos de estas variaciones es, naturalmente, el de todas las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen y el orden de ellas es el del número de elementos que tienen las Σg de esa lengua, que no puede ser superior al número máximo de elementos que pueda tener una Σg en esa lengua, o sea, por el cardinal del conjunto Gg de esa lengua. Así, las variaciones con repetición de orden 1 serán las Σg de un único elemento que se podrían formar en teoría con todas las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen y su número sería RVf1 = Cd (M)1, siendo M los elementos de una lengua; las de orden 2 serán los Σg de dos elementos y su número sería RVf2 = Cd (M)2; y las de orden n serán las Σg de n elementos que se podrían formar y su número sería RVfn = Cd (M)n, siendo n el número máximo de elementos que pueda tener una Σg en esa lengua. El número total de Σg que se podría formar teóricamente en una lengua sería la suma del número de variaciones con repetición de orden 1, de orden 2, de orden 3 y así sucesivamente hasta las de orden n: RVf1 + RVf2 + … + RVfn = Cd (M)1 + Cd(M)2 + …+ Cd (M)n.  rincipio: El conjunto de todas las Σg existentes realmente en una lenP gua es un subconjunto del conjunto de variaciones con repetición de orden no superior al número máximo de elementos que pueda tener una Σg en esa lengua y definidas en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de cada Sg al cual definen. Es evidente que todas las Σg de una lengua pertenecen al conjunto de todas las que se pueden formar en esa lengua.

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Principio: Todo eg o ‘Sg es una Σg unitaria. Un elemento es una variación con repetición de orden 1, de la misma forma que las demás Σg no unitarias son variaciones con repetición de orden 2, 3, 4 o n. Tras estos principios, ya se puede definir matemáticamente el concepto de Σg:  efinición axiomática de estructura gramatical (Σg): Una Σg es una D cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas del Sg al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Pero las Σg se pueden subdividir, a su vez, en otros grupos más pequeños o subgrupos que están incluidos en ellos y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOT. Estas ‘Σg se pueden definir matemáticamente de la siguiente forma: Definición axiomática de subestructura gramatical (‘Σg): Una ‘Σg es una cadena o n-tupla ordenada cuyos componentes pertenecen a una Σg y verifican la misma relación binaria de orden parcial que la Σg a la que pertenecen.

6. Definiciones axiomáticas de los conceptos lingüísticos fundamentales

6.1. Matemática, fonética y fonología La Lingüística distingue en el ámbito del estudio de los sonidos que integran un sistema lingüístico dos unidades de análisis: sonido y fonema. Ambas unidades comparten el hecho de constituir unidades sonoras mínimas que integran una cadena hablada de sonidos articulados; pero se diferencian en el hecho de que el fonema es una unidad distintiva, pues no posee significado en sí misma pero puede establecer una diferencia de significado en una pareja de formas que sólo se diferencian en un fonema en la misma posición relativa (par mínimo), mediante la prueba de la conmutación.  lemento fonético o sonido articulado (ef): Es la unidad mínima de una E lengua que forma parte de una cadena hablada. Elemento fonológico o fonema (eF): Es un elemento fonético que puede establecer una diferencia de significado en un par mínimo de formas lingüísticas. El conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua se puede representar por F y cada uno de los elementos fonéticos o fonológicos en particular, por f o por ef. De esta manera, tenemos que: F(x) = {f1, f2, f3…fn} = {elementos fonéticos o fonológicos de una lengua x}  rincipio: Los rasgos articulatorios de los elementos fonéticos o fonolóP gicos determinan por comprehensión subconjuntos dentro del conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua. Según la definición de subconjunto, un conjunto A se dice subconjunto de un conjunto B, no vacío, si todo elemento de A es elemento de B. Como todos los elementos fonéticos o fonológicos que tienen un rasgo articulatorio y, por tanto, que pertenecen al subconjunto determinado por éste, pertene-

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cen también al conjunto F de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua, constituyen un subconjunto de éste. Además, dichos subconjuntos cumplen las propiedades de los subconjuntos. Para clasificar los elementos fonéticos o fonológicos, hay que tener en cuenta en principio un criterio básico, como su carácter dependiente o independiente, porque esto determina que posean rasgos articulatorios distintos. Así, y en primer lugar, los elementos fonéticos o fonológicos pueden ser de dos clases o subconjuntos, teniendo en cuenta que la sílaba es un conjunto de sonidos articulados que se emiten en un único golpe de voz: Elementos fonéticos o fonológicos independientes o vocales: Son aquellos que pueden constituir sílabas por sí solos. Elementos fonéticos o fonológicos dependientes o consonantes: Son aquellos que no pueden constituir sílabas por sí solos si no se asocian con elementos fonéticos o fonológicos vocálicos. Ambas clases son subconjuntos del conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos y, por ello, se pueden distinguir añadiendo una «v» o una «c» en forma de subíndice al símbolo f de elementos fonéticos o fonológicos (fv = efv = elementos fonéticos o fonológicos vocálicos, fc = efc = elementos fonéticos o fonológicos consonánticos, Fv = conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos vocálicos, Fc = conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos consonánticos): F = Fv + Fc = efv + efc Los elementos fonéticos o fonológicos tienen unos rasgos articulatorios distintivos –punto y modo de articulación, abertura vocálica–, que determinan subconjuntos dentro de ellos mismos.  rincipio: La clasificación de los elementos fonéticos o fonológicos seP gún el rasgo de localización es una partición porque cumple la propiedad que define este concepto matemático. Principio: Los rasgos utilizados en la clasificación de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua cualquiera L deben ser sólo aquellos que sirvan para distinguir los elementos fonéticos o fonológicos de esa lengua, pero todos ellos. Principio: Todos los subconjuntos de elementos fonéticos o fonológicos de una lengua determinados por cada subgrupo de rasgos articulatorios forman un recubrimiento del conjunto F de los elementos fonéticos o fonológicos de esa lengua, porque la unión de todos ellos es el conjunto F y, además, forman una partición porque son no vacíos y disjuntos dos

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a dos, porque ningún fonema pertenece a más de un subconjunto de un subgrupo de rasgos articulatorios.  na vez conocidos estos conceptos matemáticos, se pueden enunciar los U siguientes principios relativos a la expresión matemática de los subconjuntos de elementos fonéticos y fonológicos establecidos de acuerdo con los rasgos articulatorios pertinentes:  rincipio: Los rasgos articulatorios de los elementos fonéticos o fonoP lógicos de una lengua definen relaciones binarias de equivalencia en el conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de esa lengua. Los elementos fonéticos o fonológicos que tienen un mismo rasgo de articulación forman n-tuplas ordenadas dentro del conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua, ya que cada uno de ellos pertenece a un subconjunto distinto, y por lo tanto se puede hablar de una correspondencia definida dentro de ese mismo conjunto que, por definición, es una relación binaria. Como esa relación binaria cumple la propiedad reflexiva, la simétrica y la transitiva, entonces es una relación binaria de equivalencia.  rincipio: Todos los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua P que tienen un mismo rasgo de articulación forman una clase de equivalencia porque forman un subconjunto dentro del conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de esa lengua. Como todos los elementos de ese subconjunto son equivalentes, ese subconjunto, por definición, es una clase de equivalencia. Principio: El conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua es una familia de clases de equivalencia o conjunto porque tienen algún rasgo de articulación, pertenecen a algún subconjunto de elementos equivalentes y, por tanto, son clases de equivalencia y forman una partición de dicho conjunto. La clasificación de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua cualquiera se expresa mediante tablas. La forma más adecuada de realizarlas es colocando en un eje todos los rasgos de localización, porque son los principales y afectan a todos los elementos fonéticos o fonológicos, y en el otro todos los demás, porque sólo afectan a algunos de ellos. No obstante, también se puede expresar esta clasificación de los elementos fonéticos o fonológicos mediante un procedimiento más matemático como es el de los ejes de coordenadas, de una forma similar a las tablas. Así, en el eje de ordenadas (horizontal) se colocarían los rasgos de localización en el mismo orden real en el que figuran en la boca y en el eje de abcisas (vertical) todos los demás

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rasgos. En los puntos de intersección, se colocarían los elementos fonéticos o fonológicos y, al unir los puntos que éstos ocupan, se formaría un dibujo que será distinto para cada lengua y que serviría para conocer, sólo mediante un golpe de vista, el sistema fonético o fonológico de las lenguas. Pero, para que esto sea posible, es necesario que los rasgos articulatorios se coloquen siempre en la misma posición. A partir de esta clasificación de los elementos fonéticos o fonológicos, se puede formular el siguiente principio, que ya está demostrado con las tablas y gráficos anteriores:  rincipio: El conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de una P lengua es un sistema porque es un conjunto cociente o conjunto de clases de equivalencia, ya que todos sus elementos están relacionados entre sí en base a sus rasgos de articulación y forman una partición, por lo que es un conjunto ordenado de elementos relacionados entre sí. El conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de una lengua forma su sistema fonético, que se puede representar por el símbolo Sf y se puede definir así:  efinición de sistema fonético o fonológico ( f): El sistema fonético D o fonológico de una lengua es el conjunto de los elementos fonéticos o fonológicos de esa lengua relacionados entre sí a partir de sus rasgos de articulación. Este sistema se puede representar de forma matemática mediante tablas y ejes de coordenadas. En la cadena hablada, los ef formados por las unidades lingüísticas complejas pueden modificarse, sustituirse, aparecer o desaparecer con el paso del tiempo, en periodos históricos más o menos largos y en una parte o en todos los hablantes de una lengua. A estas mutaciones fonéticas se les llama cambios fonéticos. El concepto de cambio fonético se puede representar por el símbolo CF. Sin embargo, los ef no se utilizan aislados, sino que se unen en la cadena hablada para formar unidades lingüísticas más complejas para que las lenguas puedan cumplir su finalidad, que es la de permitir la comunicación. Por ello, los cf se producen siempre por el desgaste de una lengua debido a su uso dentro de la cadena hablada y condicionados por los ef contiguos o próximos al elementum mutans. Y por esta razón, suelen afectar a más de un ef, normalmente a un grupo fonético, que puede definirse como:

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Grupo fonético (gf): Es todo conjunto de ef contiguos en la cadena hablada. Definición axiomática de grupo fonético (gf): Es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto F de los ef de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada». Los gf, al mismo tiempo que son n-tuplas ordenadas de la relación binaria de orden total definida dentro del conjunto F de los ef de una lengua, también lo son de las correspondencias definidas dentro del mismo conjunto, porque toda relación binaria es una correspondencia según la propia definición de relación binaria, y estas correspondencias están determinadas por uno o varios subconjuntos de F. Las características de estos subconjuntos son, naturalmente, los rasgos articulatorios de sus elementos y, por ello y porque forman entre sí una partición, son subconjuntos del sistema fonético Sf. Todo conjunto o subconjunto puede definirse de dos maneras: por extensión, enumerando o citando todos y cada uno de sus elementos; o por comprehensión, enunciando una propiedad, llamada característica, que deben verificar todos sus elementos y sólo ellos. Como todo gf es una n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por uno o varios subconjuntos del sistema fonético Sf, y como todos estos subconjuntos de Sf se pueden definir por extensión o por comprehensión, cada uno de los subconjuntos que determinan la correspondencia de los gf de una lengua se puede definir también por comprehensión, mediante las características de cada uno de dichos subconjuntos, o sea, mediante los rasgos articulatorios de los ef que los forman, de tal manera que cada n-tupla ordenada definida por un gf cualquiera se puede nombrar también mediante las características o rasgos articulatorios de los subconjuntos del Sf a los que pertenecen cada uno de los ef que los forman. Esta definición por comprehensión de los gf mediante los rasgos articulatorios de los ef que los forman se denomina estructura fonética, respectivamente. Definición axiomática de estructura fonética (Σf): La estructura fonética de un grupo o un conjunto de gf de una lengua es la definición por comprehensión de cada uno de los elementos de ese grupo o conjunto de grupos mediante los rasgos articulatorios que los definen, rasgos articulatorios que son las características de los subconjuntos del Sf que determinan la correspondencia a la que pertenece cada uno de los elementos de ese grupo o conjunto de gf.

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Estos dos conceptos tienen la ventaja de poder definir cualquier gf o cualquier conjunto de gf mediante una fórmula, ya que los rasgos articulatorios se pueden representar mediante símbolos. Así, por ejemplo, un gf ” como puede ser /kt/ puede representarse por la fórmula GosDos, el /pl/ por BosAll, el /kul/ por DosVpmiAll, etc. Sin embargo, la mayor ventaja es poder representar gf mediante fórmulas. Así, el gf ” «oclusiva + líquida», por ejemplo, se representaría como CoCl, los diptongos decrecientes serían VfVd, etc. De la misma manera, los triptongos podrían ser definidos como V1V2V3 / V2 Vd, o sea, como una terna ordenada de la relación binaria de orden total definida en el sistema fonético vocálico Sfv, o en el conjunto V de la vocales, tal que la segunda componente de dicha terna no sea una vocal débil. Definición axiomática de grupo fonético (gf): Un gf es toda n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total «x antecede a y en la cadena hablada», definida en el conjunto F de los ef de una lengua. En la cadena hablada, los ef las unidades lingüísticas complejas pueden modificarse, sustituirse, aparecer o desaparecer con el paso del tiempo, en periodos históricos más o menos largos y en una parte o en todos los hablantes de una lengua. A estas mutaciones fonéticas se les llama cambios fonéticos. Definición axiomática de cambio fonético (cf): Un cf es todo par ordenado (gn–1, gn) de la correspondencia definida entre dos conjuntos de gf de una lengua Gn–1 y Gn, tal que gn–1 y gn son distintos y Gn–1 y Gn son cronológicamente consecutivos. A = a1, a2, a3 …an / a1, a2, a3 …an = ef ~ Cf = (ai, aj) / ai, aj A; ai aj; i, j = 1, 2, 3, …, n; = RBO cronológica Puede darse el caso de que existan varios cf unidos o encadenados en una misma lengua, en cuyo caso dichos cambios no serían un par ordenado de gf, sino una n-tupla ordenada perteneciente a la correspondencia definida entre varios conjuntos de gf cronológicamente consecutivos. En dicha correspondencia, un elementum mutans puede ser a la vez un elementum mutatum del cambio anterior y un elementum mutatum puede ser al mismo tiempo un elementum mutans del cambio siguiente. Esto sería un cf múltiple. Definición axiomática de cambio fonético múltiple: Un cf múltiple es una n-tupla ordenada (g1, g2, …gn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos G1, G2, …Gn de gf, tal que g1, g2, …gn son distintos y G1, G2, …Gn son cronológicamente consecutivos.

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Como los cf simples, en los múltiples cada uno de los cambios que los componen, por separado, son también relaciones binarias de orden parcial y, por lo tanto, los cf múltiples son cadenas. Principio: Todo cf múltiple es una cadena. Cada uno de los cambios que componen un cf múltiple, por separado, es una relación binaria de orden parcial en las mismas condiciones que en los cambios simples, es decir, cuando los dos conjuntos de gf que determinan la correspondencia son iguales (tienen los mismos elementos), y lo es siempre para la unión de ambos conjuntos. Pero, además, esa relación binaria es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa, por lo que esa relación binaria es de orden total y el conjunto de los gf de una lengua es un conjunto ordenado. Por otra parte, los elementos relacionados, que son los que componen cada una de las n-tuplas ordenadas de un cf, forman un subconjunto que está totalmente ordenado, ya que las relaciones binarias definidas en él son también conexas, y por lo tanto, ese conjunto de relaciones binarias de orden total forma una cadena, por definición. Así, por ejemplo, el cf múltiple castellano ct > it > ch es una cadena, cuyo primer elemento es el gf = ct y cuyo último elemento es el gf = ch, y dicha cadena está formada por dos cf simples, el ct > it y el it > ch. El elementum mutans es el grupo ct y el elementum mutatum, el ch, pero el grupo it es, a la vez, elementum mutans y elementum mutatum, elementum mutans del primer cf, ct > it, y el elementum mutatum del segundo, it > ch. Los cf tienden siempre a producirse de forma regular y constante en un mismo contexto fónico, o sea, siempre que se producen en las mismas condiciones, por lo que se puede afirmar que se producen de acuerdo con unas leyes fonéticas que se cumplen siempre. Sin embargo, es evidente que estas leyes fonéticas presentan muchas excepciones en todas las lenguas por la interrupción de la evolución fonética normal. Esta interrupción de la evolución fonética puede ser debida a causas estrictamente lingüísticas, como, por ejemplo, la de evitar la convergencia fonética, cuya consecuencia es la homonimia u homofonía, con la consiguiente confusión entre dos morfemas o dos palabras, y la de evitar la hipertrofia, o pérdida de expresividad de un morfema o palabra por un excesivo desgaste fonético. Sin embargo, esas excepciones a las leyes fonéticas también pueden deberse a causas extralingüísticas, ya que en los cf pueden influir factores psicológicos que los inhiban o los impidan en determinadas circunstancias. Por ello, las leyes fonéticas hay que acotarlas o limitarlas para adecuarlas a la realidad y a las situaciones en las que realmente se materializan. En primer lugar, no se producen en todo el ámbito geográfico de una lengua, sino

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sólo en una parte de él o, lo que es lo mismo, en determinados vernáculos (dialectos) de una lengua, mientras que en otros no se produce, por lo que al enunciar una determinada ley fonética, habrá que especificar claramente el espacio geográfico en el que se ha producido. Pero, además, las leyes fonéticas que se materializan en un determinado espacio geográfico del ámbito de una lengua, no se llevan a efecto en todo él al mismo tiempo, sino que lo hacen normalmente de forma gradual y progresiva, empezando por una parte del territorio y extendiéndose progresivamente al resto de su ámbito geográfico. Incluso, se puede observar fácilmente que las leyes fonéticas rara vez han actuado en una lengua siempre, sino que por el contrario lo han hecho sólo en un determinado periodo de la historia de una lengua, por lo que también habrá que especificar claramente el periodo histórico en el que ha estado vigente cada ley fonética a la hora de enunciarla. Aun así, existen determinados factores que pueden ser a la vez inhibidores y desencadenantes de las leyes fonéticas: inhibidores, al impedir que se produzcan en circunstancias en las que se deberían haber producido, y desencadenantes, al hacer que se produzcan en circunstancias en las que no se deberían producir. Estos factores son la analogía, la asimilación, la disimilación, la metátesis, etc. y han llevado a los lingüístas modernos a cuestionarlas y a considerarlas como «tendencias», más que como leyes. De todas formas, bien sea como leyes auténticas o como «tendencias», las leyes fonéticas existen y pueden definirse como: Ley fonética (LF): Es todo cambio fonético producido de forma constante y regular en un mismo contexto fónico, en un espacio geográfico y en un periodo histórico determinado, y siempre que no actúe ningún factor inhibidor o desencadenante, pueden ser lingüísticos como extralingüísticos, estos últimos de tipo psicológico. Las leyes fonéticas provocan reajustes en el sistema fonético de una lengua y los cambios que rigen se suelen llevar a efecto en determinadas épocas históricas para reequilibrar un sistema fonético que se ha venido desequilibrando por desgaste en un periodo más largo de la historia de una lengua. Por ello, se pueden comparar los gráficos obtenidos del sistema fonético del periodo anterior de uno de estos reajustes con el del periodo posterior a él, y observar así la tendencia general de las leyes fonéticas que han actuado en este reajuste. Los cf producidos sistemáticamente de acuerdo con las leyes fonéticas pueden llegar a modificar el sistema fonético de una lengua cuando, como consecuencia de ellos, pueden llegar a desaparecer ef, o bien aparecer ef nuevos. Según W. Labov (1994), la fusión de sonidos (merge) es la pérdida de un

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sonido porque es sustituido sistemáticamente en el sistema fonético por otro ya existente en la misma lengua y la excisión de sonidos (split) es el proceso contrario, es decir, el desdoblamiento de un sonido en dos sonidos distintos. Ambos conceptos también se pueden expresar matemáticamente: Definición axiomática de cambio fonético por fusión de sonidos: La fusión de sonidos es todo par ordenado (fn-1, fn) de la correspondencia definida entre dos conjuntos de ef de una lengua Fn-1 y Fn, denominados premutacional y postmutacional respectivamente, tal que fn-1 y fn son distintos, Fn-1 y Fn son cronológicamente consecutivos y, además, el primer componente fn-1 pertenece al conjunto inicial Fn-1 de la correspondencia, pero no al conjunto final Fn de la misma. El elemento fn Fn tiene por tanto dos antiimágenes, fn-1 y el propio fn, tal que fn Fn-1 Fn mientras que fn-1 Fn-1 Fn. Cff = [(fn-1, fn), (fn, fn)] f: Fn-1 V Fn / fn-1 Fn; fn Fn-1 Cff = [(fn-1, fn) V fn]

Fn; fn-1 Fn-1

Fn.

Definición axiomática de cambio fonético por excisión de sonidos: La excisión de sonidos es todo par ordenado (fn-1, fn) de la correspondencia definida entre dos conjuntos de ef de una lengua Fn-1 y Fn, denominados premutacional y postmutacional respectivamente, tal que fn-1 y fn son distintos, Fn-1 y Fn son cronológicamente consecutivos y, además, el primer componente fn-1 perteneciente al conjunto inicial Fn-1 de la correspondencia tiene dos imágenes distintas en el conjunto final Fn de la misma. El elemento fn-1 Fn-1 tiene, por tanto, dos imágenes en Fn, fn-1 y fn. Cfe = [(fn-1, fn-1), (fn-1, fn)] f: Fn-1 V Fn Cfe = [fn-1 V (fn-1, fn) ] Hasta aquí, se han expresado matemáticamente los cf producidos en una misma palabra. Un mismo cf se cumple en todas las palabras que presentan un determinado ef en el mismo contexto fónico y, por ello, se dice que los cf son sistemáticos y cumplen unas reglas fijas que se denominan leyes fonéticas. Sin embargo, los cf diferentes que se producen en palabras distintas pueden estar relacionados entre sí, de manera que unos cambios son la causa de otros distintos que afectan a otros ef próximos en el sistema fonético de una lengua y pertenecientes a otras palabras de la misma lengua. Estos cf se denominan cambios en cadena (Chain Shifting) y han sido estudiados por W. Labov (1994). Un cambio en cadena, por tanto, es aquel producido cuando una vocal tiene un efecto secundario en otros sonidos cercanos en el espacio fonético, de manera que una vocal que sufre un cambio deja en el sistema

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fonético de una lengua un espacio libre que es ocupado por otra vocal. Los cambios en cadena también se pueden definir matemáticamente, y su definición es la misma que la de los cambios fonéticos múltiples, pero con la única diferencia de que estos últimos se producen en un mismo elemento léxico siguiendo una ley fonética determinada, y aquéllos en elementos léxicos distintos originando leyes fonética nuevas. Por lo tanto, un cambio en cadena es un tipo de cambio fonético múltiple, concretamente, un cambio fonético múltiple que se produce en una ley fonética LF nueva que luego se cumple en grupos fonéticos distintos y palabras distintas. Definición axiomática de cambio en cadena: Un cf en cadena es una n-tupla ordenada (f1, f2, …fn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos de ef F1, F2, …Fn del sistema fonético de una lengua tal que f1, f2, …fn son distintos, F1, F2, …Fn son cronológicamente consecutivos y f1, f2, …fn pertenecen a el distintos de una lengua. Un cf en cadena es, por tanto, un tipo especial de cf múltiple, concretamente, un cf múltiple que se produce en el distintos de una lengua. Los cambios en cadena pueden ser de dos tipos, según la cronología de las LF que los integran. En una cadena de presión, una vocal se mueve a otra posición en el sistema fonético, y desplaza a la vocal que ocupa esa posición que ha sido invadida por la otra vocal, por lo que la secuencia de cambios fonéticos coincide con el orden cronológico en el que se producen. En una cadena de atracción, una vocal se mueve a otra posición en el sistema fonético, deja un espacio libre y este espacio es ocupado por otras vocales que entonces se desplazan a él, por lo que los demás cambios le siguen cronológicamente. Por ello, la secuencia de cambios fonéticos es inversa al orden cronológico en el que se producen. Ambos tipos de cadenas se pueden definir, por tanto, de la siguiente manera: Cadena de presión: Es aquel cambio en cadena en el que el orden de sus componentes, que definen la RBOT >, coincide con el orden cronológico de los cambios fonéticos que lo integran, que definen la RBOT . RBOT > = RBOT  adena de atracción: Es aquel cambio en cadena en el que el orden de C sus componentes, que definen la RBOT >, es el inverso al orden cronológico de los cambios fonéticos que lo integran, que definen la RBOT . RBOT < = RBOT Por lo tanto, las importantes aportaciones de W. Labov (1994) sobre los cambios fonéticos también pueden expresarse de forma matemática.

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Los ef no se utilizan aislados, sino que se unen a otros ef en la cadena hablada. Los ef forman al unirse el gf, y una clase de gf son las sílabas, que se pueden definir como: Sílaba o elemento silábico (eSy): Es todo gf que puede pronunciarse con un único golpe de voz dentro de la cadena hablada. Las sílabas, como gf que son, también son unidades lingüísticas susceptibles de ser descritas matemáticamente, igual que ellos, y esto se puede demostrar de forma específica y se puede expresar mediante el siguiente principio:  rincipio: La sílaba es una unidad lingüística compleja susceptible P de ser descrita matemáticamente ya que toda sílaba es un gf y éste lo es. Las sílabas no siempre se utilizan aisladas, sino que se unen en la cadena hablada formando lo que podríamos denominar grupos silábicos, que pueden definirse como: Grupo silábico (gSy): Es una sílaba o un conjunto de sílabas contiguas dentro de la cadena hablada. Los gSy, igual que los gf» y los gf ’, también son susceptibles de ser descritos matemáticamente, y ello se puede demostrar mediante el siguiente principio:  rincipio: Un grupo silábico es un fenómeno complejo susceptible de P ser descrito matemáticamente ya que todo grupo silábico es un gf y éste lo es. Principio: Todo gSy es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto S de las sílabas de esa lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada», ya que es una correspondencia en la que el conjunto inicial y el conjunto final es el mismo y, además, es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. Principio: Una sílaba es un gSy unitario. Una sílaba es una variación con repetición de orden 1, de la misma forma que los demás gSy no unitarios son variaciones con repetición de orden 2, 3, 4 o n. Definición propuesta de grupo silábico (gSy): Un gSy es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria definida en el conjunto GSy de los eSy de una lengua, que además es una variación con repetición.

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6.2. Matemática y morfología Si un grupo fonético o fonológico se asocia a un significado gramatical –género, número, caso, …– o léxico –por ejemplo, /–al/ = «conjunto de N» (ejemplo, trig-o / trig-al; per-a / per-al) o /re-/ = «volver a V» (ejemplo, rellamar)–, constituye una unidad lingüística denominada morfema. Dicho de otra manera, un morfema es una unidad lingüística mínima dotada de significado. Dado que los morfemas de una lengua forman parte de un conjunto se les puede denominar también elementos morfológicos, que, obviamente integran el conjunto de los elementos morfológicos de una lengua. Estos elementos morfológicos son léxicos o gramaticales, si corresponden a un lexema o a un elemento morfológico (em), respectivamente.  lemento morfológico o morfema (em): Es todo gf mínimo corresponE diente a algún elemento semántico. Elemento morfológico léxico o morfema léxico, lexema o raíz (eml): Es todo elemento morfológico (em) correspondiente a algún elemento semántico de tipo léxico o semantémico. Elemento morfológico gramatical o morfema gramatical (emg): Es todo elemento morfológico (em) correspondiente a algún elemento semántico de tipo gramatical o asemantémico. Las lenguas naturales determinan sendas correspondencias, en las que todos los elementos del conjunto inicial o elementos morfológicos tienen imagen ya que todos ellos, por definición, se asocian a algún elemento semántico. No obstante, debido a la propia evolución interna de las lenguas, algunos elementos morfológicos pueden estar asociados a más de un elemento semántico; ello da lugar a que las lenguas no sean correspondencias unívocas y, por tanto, tampoco puedan ser aplicaciones. Las correspondencias inversas definidas entre estos conjuntos, en las que el conjunto inicial está formado por el conjunto de elementos semánticos y el conjunto final, por el conjunto de elementos morfológicos, tampoco son correspondencias unívocas porque en las lenguas existen elementos semánticos correspondientes a más de un elemento morfológico; de ahí que las correspondencias inversas tampoco sean aplicaciones.  efinición axiomática de elemento morfológico (em): Es todo gf perteD neciente al dominio de la correspondencia cuyo conjunto final está formado por los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa.

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 efinición axiomática de elemento morfológico léxico (eml): Es todo D elemento morfológico que representa a algún elemento semantémico y que, por tanto, corresponde a un concepto. Definición axiomática de elemento morfológico gramatical (emg): Es todo elemento morfológico que representa a algún elemento asemantémico y, por tanto, no corresponde a un concepto, sino sólo a la función gramatical del lexema al que acompaña o a su relación con otros lexemas de la unidad lingüística a la que pertenece. Pero, si se considera que el elemento morfológico (em) es todo, tanto el elemento semántico como el elemento morfológico, y que este último es la realización de aquél, las definiciones matemáticas resultantes se obtienen a partir de las anteriores y son: Definición axiomática de elemento morfológico (em): Es todo par ordenado del grafo de la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos de una lengua y el de los elementos semánticos de la misma y que, por tanto, tiene como primera componente un elemento morfológico y, como segundo, un elemento semántico. Definición axiomática de elemento morfológico léxico (eml): Es todo par ordenado del grafo de la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos léxicos de una lengua y el de los elementos semánticos de tipo léxico de la misma y que, por tanto, tiene como primer componente un elemento morfológico léxico y, como segundo, un elemento semántico de tipo léxico. Definición axiomática de elemento morfológico gramatical (emg): Es todo par ordenado del grafo de la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos gramaticales de una lengua y el de los elementos semánticos de tipo gramatical de la misma y que, por tanto, tiene como primer componente un elemento morfológico morfémico y, como segundo, un elemento semántico de tipo gramatical. Alomorfo: Es cada uno de los elementos de un subconjunto de elementos morfológicos que tienen la misma imagen en la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos gramaticales de una lengua y el de los elementos semánticos y funciones gramaticales. Esto es, es cada uno de los elementos de un subconjunto de elementos morfológicos que corresponden a la misma función gramatical. Los elementos morfológicos gramaticales (emg) pueden ser de varios tipos, según la posición en la que se encuentren con respecto al elemento morfológico léxico o lexema:

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 orfema independiente: Todo morfema gramatical que carece de seM lección combinatoria. Morfema dependiente o afijo: Todo morfema gramatical que se une a morfemas léxicos con criterios de selección combinatoria. Prefijo: Es un morfema dependiente o afijo que precede al lexema al que acompaña. Sufijo: Es un morfema dependiente o afijo que va pospuesto al lexema al que acompaña. Infijo o interfijo: Es un morfema dependiente o afijo que va colocado entre un prefijo y un lexema. A todas estas clases de elementos morfológicos, agrupadas según distintos criterios, se las puede denominar clases morfológicas, de forma independiente dentro de cada uno de esos criterios en los que se clasifican los elementos morfológicos.  efinición axiomática de clase morfológica (Cm): Es una clase de D equivalencia formada por todos los elementos morfológicos que verifican la relación binaria de equivalencia (RBE) definida en el conjunto de todos los elementos morfológicos. Pero, cuando esa correspondencia se define en la unión de los dos conjuntos de elementos morfológicos, el anterior y el posterior a un cambio fonológico dado (Mn-1 y Mn), dicha correspondencia es una relación binaria de orden parcial y la definición de cambio morfológico también puede ser: Definición axiomática de cambio morfológico (CM): Es todo par ordenado (mn-1, mn) de la RBOT definida en la unión de los conjuntos Mn–1 y Mn de los elementos morfológicos de una misma lengua, tal que mn–1 y mn son distintos y Mn–1 y Mn son cronológicamente consecutivos. Definición axiomática de cambio morfológico múltiple: Es una n-tupla ordenada (m1, m2, …mn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos M1, M2, …Mn de elementos morfológicos, tal que m1, m2, … mn son distintos y M1, M2, …Mn son cronológicamente consecutivos. Sin embargo, los elementos morfológicos no siempre se utilizan aislados, sino que se unen en la cadena hablada para formar unidades lingüísticas más complejas, formando lo que podríamos denominar grupos morfológicos, que se puede definir como:  rupo morfológico (gm): Es un elemento morfológico o un conjunto de G n elementos morfológicos contiguos que guardan algún tipo de relación

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lingüística en la cadena hablada. Se puede representar por el símbolo gm. Definición axiomática de grupo morfológico (gm): Es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria definida en el conjunto M de los elementos morfológicos de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» y que, además, es una variación con repetición. Grupo silábico(gSy): Es una n-tupla ordenada de la relación binaria definida en el conjunto de los elementos silábicos de una lengua. Elemento léxico: Es una unidad morfológica mínimamente completa, es decir, habilitada desde el punto de vista morfológico para formar parte de una cadena sonora con significado gramatical (por ejemplo, cant- no es un elemento léxico, cant-o sí). Definición axiomática de elemento semántico (el): Es todo elemento perteneciente al rango de la correspondencia determinada por un conjunto de significantes y por el conjunto de los conceptos que poseen los miembros de una comunidad de habla, o bien al dominio de su correspondencia inversa. Definición axiomática de elemento léxico (el): Es todo grupo silábico y morfológico perteneciente al dominio de la correspondencia cuyo conjunto final está formado por todos los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa, y que puede existir de forma independiente y aislada manteniendo esa misma imagen. Definición axiomática de elemento léxico (el): Es el primer componente de todo par ordenado del grafo de la correspondencia definida entre el conjunto de los grupos silábicos y morfológicos de una lengua y el de los elementos semánticos de la misma y que, por tanto, tiene como primer componente un elemento léxico y, como segundo, un elemento semántico. El conjunto formado por todos los el pertenecientes a una misma lengua es el léxico de esa lengua y este concepto ya puede definirse matemáticamente, lo mismo que el de vocabulario y el de familia de elementos léxicos (el):  efinición axiomática de léxico: Es el dominio de la correspondencia D definida en una lengua, entre el conjunto de todos los elementos léxicos de esa lengua y el de los elementos semánticos de éstas, o bien el rango de su correspondencia inversa. Definición axiomática de familia de elementos léxicos (el): Es todo subconjunto del léxico de una lengua cuyos elementos tienen algún em común.

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La raíz o radical de un elemento léxico (el) sería, pues, su gm radical y las desinencias que tuviera, el gm funcional, siendo cada lexema y cada morfema derivativo un em radical y, cada una de las desinencias, un em funcional. Elemento fonológico (ef’): Es todo elemento fonético capaz de distinguir dos elementos léxicos que sólo se diferencian en un elemento fonético que está en la misma posición relativa (par mínimo), mediante la prueba de la conmutación. Esto es, todo elemento fonético que hace que dos elementos léxicos que sólo se diferencian en un elemento fonético tengan distinta imagen en el conjunto de los elementos semánticos. Alófono: Cada uno de los elementos de un subconjunto de elementos fonéticos con la misma imagen en la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos fonéticos y el de los elementos fonológicos de una lengua. Esto es, cada uno de los elementos de un subconjunto de elementos fonéticos correspondientes a un mismo elemento fonológico. Sin embargo, los cf también se pueden expresar mediante los elementos léxicos (el) completos dentro de los cuales se producen y, lo mismo que ocurría en los grupos fonológicos, se puede aplicar a los el, en cuanto a los cf se refiere. De esta forma, la expresión matemática de los cf puede demostrarse también con los el, igual que ya se demostró con los grupos fonológicos. Los mismos cf se pueden definir matemáticamente dentro de los el, así como los elementos que los componen, simplemente, sustituyendo elemento fonológico o grupo fonológico por el término elemento léxico (el).  efinición axiomática de cambio fonológico (cf): Es todo par ordenado D (pn-1, pn) de la correspondencia definida entre dos conjuntos de elementos léxicos (el) Pn-1 y Pn de una misma lengua, tal que pn-1 y pn son distintas y Pn-1 y Pn son cronológicamente consecutivas. Cuando esa correspondencia se define en la unión de los dos conjuntos de elementos léxicos (el), el anterior y el posterior a un cf dado (Pn–1 y Pn), dicha correspondencia es una RBOT y la definición de cf también puede ser:  efinición axiomática de cambio fonético (CF): Es todo par ordenado D (pn–1, pn) de la RBOP definida en la unión de los conjuntos Pn–1 y Pn de los elementos léxicos (el) de una misma lengua, tal que pn–1 y pn son distintas y Pn–1 y Pn, cronológicamente consecutivos. Los el que componen los cf se pueden definir matemáticamente igual que los elementos fonológicos que intervienen en ellos, pero sustituyendo el término elementum por el término vocabulum. Vocabulum mutans es todo el perteneciente al dominio de la correspondencia definida por un cambio foné-

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tico o, lo que es lo mismo, todo el perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia definida por un cf que tiene una imagen distinta de sí misma. Vocabulum mutatum es todo el perteneciente al rango de la correspondencia definida por un cambio fonético o, lo que es lo mismo, todo el perteneciente al conjunto final de la correspondencia definida por un cf que tiene una antiimagen distinta de sí misma. Sin embargo, puede darse el caso de que existan varios cf unidos o encadenados en una misma lengua, en cuyo caso dichos cambios no serían un par ordenado de el, sino una n-tupla ordenada perteneciente a la correspondencia definida entre varios conjuntos de el cronológicamente consecutivos. En dicha correspondencia, un vocabulum mutans puede ser a la vez un vocabulum mutatum del cambio anterior y un vocabulum mutatum puede ser al mismo tiempo un vocabulum mutans del cambio siguiente. Esto sería un cf múltiple.  efinición axiomática de cambio fonético múltiple: Es una n-tupla D ordenada (p1, p2, …pn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos P1, P2, …Pn de el, tal que p1, p2, …pn son distintos y P1, P2, …Pn son cronológicamente consecutivos. Familia de elementos léxicos (el) o familia léxica: Es todo conjunto de el de una lengua que poseen algún em común. Sin embargo, los el no siempre se utilizan aislados, sino que se unen en la cadena hablada para formar unidades lingüísticas más complejas, formando lo que podríamos denominar grupos léxicos, que se puede definir como: Grupo léxico (gl): Es un el o un conjunto de el contiguos dentro de una unidad lingüística superior en la cadena hablada. Se puede representar por el símbolo gl. Definición axiomática de grupo léxico (gl): Es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto P de los el de una lengua por la propiedad «x antecede» y en la cadena hablada que, además, es una variación con repetición. 6.3. Matemática y sintaxis Un elemento léxico (el), cuando forma parte de la cadena hablada, es un elemento sintáctico (es). Un grupo léxico (gl) que forma parte de la cadena hablada es, a su vez, un grupo sintáctico (gs). Definición de elemento sintáctico (es): Es todo el que forma parte de la cadena hablada.

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Definición de grupo sintáctico (gs): Es todo gl que forma parte de la cadena hablada. Definición de subgrupo sintáctico (‘gs): Es todo gs incluido en otro mayor dentro de la cadena hablada. Principio: Todo es es un gs unitario. Un es es una variación con repetición de orden 1, de la misma forma que los demás gs no unitarios son variaciones con repetición de orden 2, 3, 4 o n.  efinición axiomática de gs: Es una cadena o n-tupla ordenada de la D RBOT definida en el conjunto S de los es de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Tras definir matemáticamente el concepto de gs, y comparando esta definición con las de grupo léxico y Ss, se pueden enunciar los siguientes principios: Principio: Todo gs es un gl, pero no al contrario. Comparando las definiciones de ambas unidades lingüísticas, se puede comprobar que sólo se diferencian en los elementos que las forman, que son respectivamente los es y los el. Y, comparando estas dos unidades, se puede comprobar que tienen la misma naturaleza, porque las dos son palabras, y sólo se diferencian en que, mientras que los el pueden existir aislados (por ejemplo, en un diccionario), los es sólo pueden existir dentro de un Ss (o sea, en una oración gramatical), porque por definición son gl pertenecientes a un Ss. Por lo tanto, todos los es son el que cumplen una condición, la de pertenecer a un Ss, y de aquí que todos los el no puedan ser es, sino sólo aquellos que puedan cumplir la condición mencionada. De aquí se deduce que la diferencia entre los gs y los gl es equivalente a la de los elementos que los forman, de manera que todos los gs son gl que cumplen una condición, la de pertenecer a uno o varios Ss, y de aquí que todos los gl no puedan ser gs, sino sólo aquellos que puedan cumplir la condición mencionada. Principio: Todo Ss es un gs, pero no al contrario. Comparando las definiciones de ambas unidades lingüísticas, se puede comprobar que tienen la misma naturaleza, porque las dos están formadas por es que forman una cadena o n-tupla ordenada de una RBOT. Sin embargo, ambas se diferencian en un hecho fundamental, que consiste en que todo Ss debe corresponder a un sistema semántico, mientras que los gs no necesitan cumplir esta condición. Por lo tanto, se puede afirmar que todos los Ss son gs que cumplen la condición de corresponder a un sistema semántico, mientras

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que no todos los grupos semánticos son sistemas semánticos, sino sólo aquellos que cumplen la condición mencionada. Los gs se pueden subdividir, a su vez, en otros grupos más pequeños o subgrupos que están incluidos en ellos y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOP. Estos subgrupos sintácticos se pueden definir matemáticamente como:  efinición axiomática de subgrupo sintáctico (‘gs): Es una cadena o D n-tupla ordenada cuyos componentes pertenecen a un gs y verifican la misma relación binaria de orden parcial que el gs al que pertenecen. Un grupo sintáctico (gs) puede concretarse en un sintagma si se trata de una cadena de unidades léxicas, organizadas jerárquicamente en torno a un núcleo, que desempeña una función gramatical.  efinición de subsistema sintáctico o sintagma (‘Ss): Es todo gs que D incluye un el principal y corresponde a una función gramatical. Los ‘Ss son sistemas más pequeños incluidos en otros sistemas mayores y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOT que los sistemas en los que están incluidos. Sin embargo, un subsistema no es un ‘gs cualquiera incluido en un sistema, sino que, además, tiene que cumplir una condición: que sea un conjunto determinado. Es decir, que los es que forman un subsistema deben formar un conjunto con una característica o, lo que es lo mismo, todos esos elementos deben verificar una propiedad determinada porque, de lo contrario, tal subsistema no sería más que un ‘gs. Esa propiedad puede consistir en una función gramatical o puede estar determinada por uno de los es que lo forman. Principio: Todo ‘Ss es un ‘gs. Si todo ‘Ss pertenece a un Ss y si todo Ss es un grupo léxico, entonces todo ‘Ss es un ‘gs, porque cumple la definición y las propiedades de los ‘gs, como la de verificar la misma RBOT que él en el conjunto de los es y la misma RBOT que dicho Ss al que pertenece. De este principio, se deriva una consecuencia inevitable, que se puede expresar mediante el siguiente principio:  rincipio: Todo ‘Ss es una cadena o n-tupla ordenada cuyas componenP tes pertenecen a un Ss y verifican la misma RBOT que el Ss al que pertenecen. Todo subsistema es un ‘gs y, por definición, todo ‘gs es una cadena o ntupla ordenada cuyos componentes pertenecen a un gs y verifican la misma

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RBOT que el gs al que pertenecen. Como todo Ss es también un gs, todo Ss verifica la misma RBOT que él y, como todo susbsistema, está incluido en un sistema, todo subsistema también la verifica. Sin embargo, no todos los ‘gs son ‘Ss, sino sólo aquellos que cumplen una determinada condición: que correspondan a un subsistema semántico. Principio: Un ‘gs es ‘Ss si y sólo si corresponde a un subsistema semántico. Si todo ‘Ss tiene significado, quiere decir que todos sus elementos corresponden a varios elementos semánticos pertenecientes a un sistema semántico y forman un subgrupo semántico. Y, como ese ‘Ss pertenece a un Ss, el subgrupo semántico al que corresponde dicho sistema semántico, además de pertenecer al sistema semántico al que dicho Ss corresponde, es un subconjunto determinado y entonces, por definición, es un subsistema semántico, por lo que todo ‘Ss corresponde necesariamente a un subsistema semántico, que era lo que queríamos demostrar. A partir de estos dos principios, los ‘Ss pueden enunciar a su vez dos principios:  rincipio: Todo ‘Ss es un ‘gs determinado incluido en un Ss y corresponP de a un subsistema semántico del sistema semántico cuya antiimagen es ese mismo Ss. Si todo Ss corresponde, por definición, a un sistema semántico, y si todo ‘Ss está incluido en un Ss y es, por tanto, un subconjunto determinado suyo, entonces el conjunto de las imágenes de los elementos de ese subsistema será necesariamente un subgrupo semántico que sea un subconjunto también determinado de elementos semánticos del sistema semántico al que corresponde ese Ss. Y un subgrupo del sistema semántico que sea un subconjunto determinado es necesariamente un subsistema semántico, cuya característica es la de verificar una RBE.  efinición axiomática de elemento sintáctico (es): Es todo el que forma D parte de la cadena hablada. Definición axiomática de grupo sintáctico (gs): Es todo gl que forma parte de la cadena hablada. Por lo tanto, un gl es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto S de los es de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Definición axiomática de subsistema sintáctico o sintagma (‘Ss): Es todo gs que incluye un el principal y corresponde a una función gramati-

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cal. Por lo tanto, un ‘Ss es toda cadena de es perteneciente al dominio de la correspondencia definida entre el conjunto de los gs y el de las funciones gramaticales de una lengua. A partir de los conceptos desarrollados y definidos anteriormente se puede obtener una definición de oración gramatical, que está formada por varios sintagmas y es, básicamente, la unión de un sintagma nominal en función de sujeto y un sintagma verbal en función de predicado, teniendo en cuenta que el sintagma nominal es opcional en muchas lenguas.  ración gramatical: Es un sintagma verbal con función de predicado O que concuerda con un sintagma nominal –explícito o elíptico– con función de sujeto. Teniendo en cuenta que los elementos que constituyen las oraciones, que son las palabras, están relacionados estrechamente entre sí y forman por ello un sistema, el cual es de naturaleza sintáctica porque la relación entre las palabras está regida por la sintáxis, a las oraciones gramaticales se les puede denominar también sistemas sintácticos. Definición axiomática de sistema sintáctico u oración gramatical ( s o Ss): Es toda cadena de ‘Ss, perteneciente al dominio de la correspondencia definida entre el conjunto de los ‘Ss y el de los sistemas semánticos (Sσ) de una lengua, que incluye al menos un ‘Ss verbal. Dicho de otra forma, es todo gs que representa a un Sσ e incluye al menos un ‘gs verbal. Esta definición permite deducir que una oración gramatical es un conjunto de elementos relacionados entre sí, en este caso un conjunto de palabras, de tal manera que, si se varía un elemento cualquiera, esa variación repercute en el resto de elementos y la oración resultante ya no es la misma. Por lo tanto, una oración gramatical constituye un sistema, concretamente un sistema de elementos léxicos o palabras estrechamente relacionados entre sí, lo que viene confirmado por el hecho de que, por definición, el gl que constituye toda oración gramatical representa a otro sistema, concretamente a un sistema semántico (Sσ). Como es un sistema que, aunque formado por palabras o el, está regido por las reglas de la sintáxis y las palabras que lo forman están organizadas conforme a la sintáxis de la lengua a la que pertenecen, ese sistema es de naturaleza sintáctica y, por lo tanto, se puede utilizar el término sistema sintáctico para designar a las oraciones gramaticales, que tiene la ventaja de ser un término coherente con la terminología empleada anteriormente, que es susceptible de ser matematizada.

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El conjunto de eσ pertenecientes a un Sσ no es un conjunto ordenado, esto es, un conjunto en el que se define una RBO, porque la diversidad de formas con que se ordenan los es en los Ss de las distintas lenguas hace que no haya constancia de que los eσ se ordenen por sí mismos y formen una cadena en la mente del hablante sino que, por el contrario, es en el lenguaje donde se ordenan siguiendo las reglas sintácticas propias de cada lengua. Por ello, no se puede aceptar, en principio, que todo Ss y su Sσ definan un isomorfismo entre sí. Por el contrario, hay que aceptar que los elementos de un Ss se ordenan cuando se forma dicho Ss según el patrón o la estructura propia de cada lengua, y por eso se ordenan de forma distinta en las diversas lenguas o tipos de lengua.  efinición axiomática de función sintáctica (φs) o función gramatical D (φg): Una φs o φg es el segundo componente de todo par ordenado perteneciente al grafo de la aplicación biyectiva determinada por el conjunto de los ‘Ss de un Ss cualquiera y por el de los papeles que puedan ejercer esos subsistemas semánticos dentro del sistema al que pertenezcan, o bien el primer componente de todo par ordenado perteneciente al grafo de su correspondencia inversa. El conjunto de las φs de un Ss, ordenadas de la misma forma que están los sintagmas o los es incluidos en él, define y caracteriza a ese Ss y, como es el mismo conjunto que define y caracteriza a todos los Ss que están formados por los mismos elementos o sintagmas y como sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los Ss análogos, puede admitirse que ese conjunto de φs, ordenadas conforme a la disposición que presentan los elementos o sintagmas a los que corresponden, constituye la estructura sintáctica de ese conjunto de Ss análogos. Sin embargo, las clases de sintagmas de un Ss, ordenadas también de la misma forma que están los sintagmas o los es incluidos en él, también definen y caracterizan a ese Ss, aunque según un criterio distinto al de las φs. Y como sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los Ss análogos, se puede admitir que ese conjunto de clases de ‘Ss, ordenadas conforme a la disposición que presentan los sintagmas a los que corresponden, también constituyen la estructura sintáctica de ese conjunto de Ss análogos. Y lo mismo ocurre con el conjunto de clases de es de un Ss, de manera que ese conjunto, ordenado conforme a la disposición que presentan los elementos a los que corresponden, también constituye la estructura sintáctica de ese conjunto de Ss análogos, porque también define y caracteriza a ese Ss, aunque según un criterio distinto al de las φs y al de los sintagmas, y porque

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sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los Ss análogos. De aquí se infiere que la estructura de un Ss o de un conjunto de ellos es el conjunto de las φs, de las clases de sintagmas o de las clases de es correspondientes a los sintagmas o a los elementos incluidos en ese Ss o en ese conjunto de ellos y ordenadas conforme a la disposición que presentan los sintagmas o los elementos a los que corresponden. Sin embargo, ese conjunto de φs, de clases de sintagmas o de clases de es de los sintagmas o de los elementos incluidos en un Ss no es más que el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los sintagmas o los elementos que forman un Ss, precisamente porque tanto las φs, como las clases de sintagmas y las clases de es son las características de los conjuntos que determinan. Por otra parte, a la estructura de un Ss o de un conjunto de ellos se le puede denominar estructura sintáctica y se puede definir como:  structura sintáctica (Σs): Es el conjunto de las características de los E conjuntos a los que pertenecen los subsistemas o los elementos que forman un Ss, ordenadas conforme a la disposición que presentan en él los subsistemas o los elementos a los que corresponden. Definición axiomática de estructura sintáctica (Σs): Es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas del Ss al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Las Σs se pueden subdividir, a su vez, en otros grupos más pequeños o subgrupos que están incluidos en ellos y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOP. Estas ‘Σs se pueden definir matemáticamente de la siguiente forma:  efinición axiomática de subestructura sintáctica (‘Σs): Una ‘Σs es D una cadena o n-tupla ordenada cuyos componentes pertenecen a una Σs y verifican la misma RBOT que la Σs a la que pertenecen. Sin embargo, las Σs no son las mismas si los elementos que las forman son φs, clases de elementos o de ‘Ss, por lo que dichas estructuras se pueden clasificar en base a la naturaleza de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas de los Ss a los cuales definen. Como la naturaleza de estas características puede ser de dos clases, según sean funciones o clases, podrá haber también dos clases de Σs, que denominaremos funcionales y nocionales, respectivamente. Las nocionales pueden

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ser, a su vez, de otras dos clases, según se refieran a las clases de ‘Ss o a las clases de es. Las clases de Σs, por tanto, son: Σs funcional: Aquella Σs cuyos elementos son todas las φs que corresponden a los subsistemas del Ss al cual define. Σs nocional: Aquella Σs cuyos elementos son todas las clases a las que pertenecen los subsistemas o los elementos del Ss al cual define. Para enunciar las definiciones matemáticas de las clases de Σs no hay más que aplicar la definición de cada una de ellas a la definición general de Σs:  efinición axiomática de Σs funcional (Σsφ): Una Σs funcional es una D cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto de las φs de los elementos o subsistemas del Ss al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición y es el rango de la aplicación biyectiva que determina con el sistema o subsistema morfológico al cual define. Definición axiomática de Σs nocional (Σs ): Una Σs nocional es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto de las clases de elementos o subsistemas del Ss al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición y es el rango de la aplicación biyectiva que determina con el sistema o subsistema morfológico al cual define. Las Σs nocionales, por separado, se pueden representar mediante fórmulas, que serían distintas para las sintagmáticas y para las no sintagmáticas. Las dos a la vez se pueden representar mediante fórmulas complejas, o bién mediante árboles, que son un tipo específico de cadenas o RBOT y se caracterizan por tener un único primer elemento y más de un último elemento, así como por la existencia de nudos o elementos de una cadena que tienen un único elemento anterior y más de uno posterior. Cuando más de una función gramatical se expresa mediante un mismo ‘Ss, o sea, cuando un elemento del conjunto inicial tiene más de una imagen, o al contrario, cuando una misma función gramatical se puede expresar mediante más de un ‘Ss, o sea, cuando un elemento del conjunto final tiene más de una antiimagen, entonces las funciones gramaticales se expresan por medio del orden de los ‘Ss dentro del sistema al que pertenecen, basándose en el principio de que todo Ss y su Σs definen un isomorfismo entre estos dos conjuntos ordenados. En las lenguas en las que esto ocurre, la Σs es siempre fija e inflexible, en mayor grado cuanto menos se puedan expresar las funciones gramaticales por medio de ‘Ss.

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Principio: Todo Ss y su Σs correspondiente constituyen un isomorfismo, ya que definen una aplicación biyectiva y el orden de cada uno de sus respectivos elementos es el mismo. Las φs, y por tanto los sintagmas, de las Σ sφ vienen determinadas o condicionadas por el significado del verbo del Ss al que corresponden, es decir, están determinadas por el elemento semántico verbal que corresponde al es verbal del Ss al que corresponde dicha Σsφ. Así, hay verbos que, por su significado, requieren sólo un sintagma con función de sujeto, otros que requieren un sintagma con función de sujeto y otro con función de objeto indirecto (los intransitivos); otros, uno con función de sujeto y otro con función de objeto directo; y otros, finalmente, uno con función de sujeto, otro con la de objeto directo y otro con la de objeto indirecto. Éstas serían las φs estrictamente necesarias que requieren los verbos para que las oraciones gramaticales a las que pertenecen tengan sentido y, por lo tanto, sean correctas y constituyan Ss. Los Ss pueden tener, además, otras funciones no obligatorias, que pueden estar o no estar presentes en ellos, de tal manera que su ausencia no afecta a la comprehensión de ese Ss. Pues bien, a las φs que requieren el significado de un verbo en un Ss de forma obligatoria se denominan valencias, argumentos o actantes, mientras que las que no son obligatorias se denominan satélites.  alencia, argumento o actante: Es cada una de las φs que requiere obliV gatoriamente en una oración gramatical el significado del verbo de esa oración. Satélite: Es cada una de las φs que requiere de forma opcional en una oración gramatical el significado del verbo de esa oración. De esta forma, los verbos se clasifican, según su significado, en monovalentes, si su significado requiere sólo una φs; bivalentes, si requiere dos; o trivalentes, si requiere tres. Evidentemente, un mismo verbo puede tener un número de valencias independiente por cada uno de los significados que tenga. Las valencias se pueden definir también de forma matemática porque son susceptibles de ser descritas matemáticamente, ya que son φs y las φs lo son. Pero, además, su relación con los ‘Ss de un Ss también lo es, como φs que son.  rincipio: Toda valencia de un es verbal es susceptible de ser descrita P matemáticamente. Toda valencia de un esv o elemento sintáctico verbal es susceptible de ser descrita matemáticamente porque es una φ, y toda φs es susceptible de ser

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descrita de forma matemática, ya que es la imagen de un elemento o ‘Ss en la correspondencia que determinan el conjunto que forma un Ss determinado y el de sus φs. Sin embargo, lo que realmente diferencia a una valencia de una φs es que aquélla es requerida necesariamente en un Ss por el significado del verbo, es decir, por el elemento semántico verbal que corresponde al es verbal que forma parte de aquel Ss. Por lo tanto, las valencias de un verbo determinado en una oración se diferencian de las funciones gramaticales propiamente dichas en que mantienen una relación directa con el significado de dicho verbo, y esta relación también es susceptible de ser descrita matemáticamente, ya que no es más que una relación binaria de equivalencia (RBE).  rincipio: Todas las valencias del es verbal de un Ss cualquiera determiP nan una RBE definida por la propiedad de «corresponder necesariamente con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Ss», dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de dicho Ss o Sσ». Si toda valencia de un es verbal es una φs de un Ss y toda φs pertenece a la Σsφ de ese Ss, toda valencia de un es verbal también pertenece a esa Σsφ, según el modus ponens. Y si todas las funciones de una Σsφ determinan una RB y todas las valencias son φs de esa Σsφ, todas las valencias de un es verbal también determinan una RB, también según el modus ponens. La propiedad que la define es la de «corresponder necesariamente con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Sσ», y esa propiedad es matemáticamente posible porque está definida dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de dicho Ss o Sσ». Pero, además, la RB que determinan todas las valencias de un es verbal es una RBE ya que es reflexiva, simétrica y transitiva. Y lo mismo se puede afirmar de los satélites de un es verbal, con la única diferencia de que son φs no obligatorias dentro del Ss al que pertenece dicho es verbal.  rincipio: Todos los satélites del es verbal de un Ss cualquiera determiP nan una RBE definida por la propiedad de «corresponder opcionalmente con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Ss», dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de dicho Ss o Sσ.

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Si todo satélite de un es verbal es una φs de un Ss y toda φs pertenece a la Σsφ de ese Ss, todo satélite de un es verbal también pertenece a esa Σsφ, según el modus ponens. Y si todas las funciones de una Σsφ determinan una RB y todos los satélites son φs de esa Σsφ, todos los satélites de un es verbal también determinan una RB, también según el modus ponens. La propiedad que la define es la de «corresponder necesariamente con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Sσ», y esa propiedad es matemáticamente posible porque está definida dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de dicho Ss o Sσ. Pero, además, la RB que determinan todos los satélites de un es verbal es una RBE ya que es reflexiva, simétrica y transitiva. Pero, además, esa RBE que definen las valencias y los satélites de un es verbal es una fibra y, por tanto, el Ss al que pertenecen también lo es, ya que dichas unidades lingüísticas se ajustan a la definición de dicho término matemático.  ibra en una aplicación f: Es cada una de las clases de equivalencia oriF ginadas por una RBE definida en un conjunto A, tal que dos elementos a y a’ pertenecientes a él están relacionados si y sólo si f(a) = f(a’), o sea, si y sólo si sus imágenes son iguales. A partir de esta definición, y aplicándola a las valencias y a los satélites, se pueden enunciar los siguientes principios:  rincipio: El conjunto de todas las valencias de un es verbal es una fibra P en la aplicación definida entre una Σsφ y el Sσ que corresponde a su Ss, ya que todas las valencias de un es verbal forman una clase de equivalencia originada por una RBE porque tienen la misma imagen en la aplicación que determinan la Σsφ de un Ss y el Sσ de ese mismo Sσ. Principio: El conjunto de todos los satélites de un es verbal es una fibra en la aplicación definida entre una Σsφ y el Sσ que corresponde a su Ss, ya que todos los satélites de un es verbal forman una clase de equivalencia originada por una RBE porque tienen la misma imagen en la aplicación que determinan la Σsφ de un Ss y el Sσ de ese mismo Sσ. Principio: El conjunto formado por todas las valencias y todos los satélites de un es verbal es una fibra en la aplicación definida entre una Σsφ y el Sσ que corresponde a su Ss, ya que todas las valencias y todos los satélites de un es verbal forman una clase de equivalencia originada por una RBE porque tienen la misma imagen en la aplicación que determinan la Σsφ de un Ss y el Sσ de ese mismo Sσ.

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Dado que el conjunto de todas las valencias y satélites de un es verbal es en realidad la Σsφ de un Ss, porque define una RBOT, entonces toda Σsφ es también una fibra, al formar parte de una aplicación compuesta. Y lo mismo se puede afirmar del Ss al que corresponde dicha Σsφ, porque también forma parte de la misma aplicación compuesta. Principio: Toda Σs funcional es una fibra. Puesto que todo Ss determina una aplicación biyectiva con su Σsφ, dicha EFS determina una aplicación biyectiva con el Sσ de ese Ss, al formar parte de la misma aplicación compuesta. Y como toda Σsφ es, en realidad, el conjunto de todas las valencias de un es verbal, y dicho conjunto es una fibra, toda Σsφ también es una fibra, porque se ajusta perfectamente a la definición matemática de fibra en la aplicación definida entre una Σsφ y el Sσ que corresponde a su Ss, ya que todas las valencias y todos los satélites de un es verbal forman una clase de equivalencia originada por una RBE, porque tienen la misma imagen en la aplicación que determinan la Σsφ de un Ss y el Sσ de es mismo Sσ. Principio: Todo Ss es una fibra. Puesto que todo Ss determina una aplicación biyectiva con su Σsφ, dicha EFS determina una aplicación biyectiva con el Sσ de ese Ss, al formar parte de la misma aplicación compuesta. Y como toda EFS es una fibra, también lo es todo Ss, porque también se ajusta perfectamente a la definición matemática de fibra en la aplicación compuesta definida entre una Σsφ, el Ss al que corresponde y el Sσ que corresponde a su Ss, ya que todas las valencias y todos los satélites de un es verbal forman una clase de equivalencia originada por una RBE, ya que tienen la misma imagen en la aplicación compuesta que determinan un Ss, su Σsφ y el Sσ de ese mismo Ss. No obstante, el conjunto de los sintagmas de un Ss también es una fibra, igual que el de las valencias y los satélites, porque define una aplicación biyectiva con su Σsφ correspondiente.  rincipio: El conjunto formado por todos los subsistemas de un Ss es P una fibra. Puesto que todo Ss está formado por un conjunto de ‘Ss y determina una aplicación biyectiva con su Σsφ, ese conjunto de ‘Ss determina la misma aplicación con esa misma Σsφ. Y como toda Σsφ es una fibra, también lo es todo Ss, porque también se ajusta perfectamente a la definición matemática de fibra en la aplicación compuesta definida entre una Σsφ, el Ss al que corresponde y el Sσ que corresponde a su Ss, ya que todas las valencias y todos los

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satélites de un es verbal forman una clase de equivalencia originada por una RBE, porque tienen la misma imagen en la aplicación compuesta f(g): Ss V Sσ V Σsφ que determinan un Ss, su Σsφ y el Sσ de ese mismo Ss. A partir de estos principios, ya se pueden definir matemáticamente los conceptos lingüísticos de valencia y satélite: Definición axiomática de valencia: Es toda φs del es verbal de un Ss cualquiera que verifica una RBE definida por la propiedad de «corresponder necesariamente con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Ss, dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones f(g): Ss V Sσ V Σsφ definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de la Σsφ de dicho Ss o Sσ». Definición axiomática de satélite: Es toda φs del es verbal de un Ss cualquiera que verifica una RBE definida por la propiedad de «corresponder opcionalmente con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Ss, dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones f(g): Ss V Sσ V Σsφ definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de la Σsφ de dicho Ss o Sσ». Por lo tanto, el verbo es el es fundamental en todo Ss, incluso en aquellos en los que está elidido, ya que es el que determina o condiciona su Σs, tanto funcional como nocional, y por consiguiente la composición misma de ese Ss, ya que determina los subsistemas y los elementos que lo forman. El verbo es, pues, en un Ss como el núcleo en un átomo, haciendo un paralelismo con la química. El núcleo de los átomos tiene una valencia determinada, que está determinada por el número de protones que contiene y que consiste en el número de electrones que necesita ese átomo, que tiene que ser igual que el número de protones de su núcleo. El verbo de un Ss se comporta igual que el núcleo de un átomo, ya que también tiene una valencia, que depende del número de φs que necesita el elemento semántico verbal al que corresponde y que es el número de ‘Ss que debe tener ese sistema, cada u­ no de los cuales corresponde a cada una de las φs que requiere el elemento semántico verbal que corresponde a ese verbo. Por ello, los conceptos de Ss y Σs (funcional o nocional) se pueden definir también:  efinición axiomática de sistema sintáctico (Ss): Es toda fibra definida D en la aplicación determinada por un conjunto de subsistemas o de es en el que se define una RBE determinada por la propiedad de «corresponder con un eσ verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Ss, dentro

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de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones f(g): Ss V Sσ V Σsφ definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de la Σsφ de dicho Ss o Sσ». Definición axiomática de estructura sintáctica (Σs): Es toda fibra definida en la aplicación determinada por un conjunto de φs en el que se define una RBE definida por la propiedad de «corresponder con el elemento semántico verbal que, a su vez, corresponde al es verbal de ese Ss, dentro de la aplicación compuesta o producto de aplicaciones f(g): Ss V Sσ V Σsφ definido por el Ss al que pertenece, por el Sσ o sistema semántico al que corresponde ese Ss, y por el conjunto de las φs de la Σsφ de dicho Ss o Sσ». Sin embargo, en un sistema sintáctico se pueden eliminar algunos es o algunos subsistemas por medio del fenómeno de la elipsis, en cuyo caso ya no serían una aplicación, sino sólo una correspondencia. Esos es o subsistemas pueden pertenecer a otros sistemas sintácticos anteriores a él dentro del mismo discurso por medio de la anáfora. Por lo tanto, la definición válida para todos los sistemas sintácticos es la siguiente:  efinición axiomática de sistema sintáctico ( s o Ss): Es toda cadena D de ‘Ss, perteneciente al dominio de la correspondencia definida entre el conjunto de los ‘Ss y el de los sistemas semánticos (Sσ) de una lengua, que incluye al menos un ‘Ss verbal. Dicho de otra forma, es todo gs que representa a un Sσ e incluye al menos un ‘gs verbal. Cuando esa correspondencia se define en la unión de los dos conjuntos de Ss o ‘Ss, el anterior y el posterior a un cambio fonológico dado (Mn-1 y Mn), dicha correspondencia es una relación binaria de orden parcial y la definición de cambio sintáctico también puede ser la siguiente:  efinición axiomática de cambio sintáctico (CS): Es todo par ordenaD do (mn-1, mn) de la RBOT definida en la unión de los conjuntos Mn-1 y Mn de los Ss o ‘Ss de una misma lengua, tal que mn-1 y mn son distintos y Mn-1 y Mn son cronológicamente consecutivos. Definición axiomática de cambio sintáctico múltiple: Es una n-tupla ordenada (m1, m2, …mn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos M1, M2, …Mn de Ss o ‘Ss, tal que m1, m2, …mn son distintos y M1, M2, …Mn son cronológicamente consecutivos. Las aportaciones de la gramática generativa y transformacional han completado el panorama de las estructuras sintácticas, introduciendo la vi-

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sión procesual de la generación de las mismas. Así, Chomsky diferenció dos tipos de estructuras sintácticas basándose en este criterio, la estructura profunda y la estructura superficial, adoptando la clasificación estructural de los elementos sintácticos y de los sintagmas, aunque introdujo un elemento nuevo, un componente auxiliar (Aux) separado del verbo y que se refiere a las funciones gramaticales de éste, tales como el tiempo, el modo, etc. Después, Fillmore introdujo un segundo elemento nuevo, el caso (k), separándolo de los elementos sintácticos a los que va unido en la realidad. Ambos elementos nuevos, el componente auxiliar y el caso, son de naturaleza eminentemente funcional, ya que indican funciones sintácticas de los elementos sintácticos a los que se refieren, y por tanto pertenecerían más bien a la estructura sintáctica funcional, y no a la sintáctica nocional, ya que ésta se basa en la clasificación de los elementos sintácticos con un criterio nocional exclusivamente. La estructura superficial o patente es la forma como se presenta la oración al ser dicha y escrita y, por tanto, no es más que la estructura sintáctica nocional definida anteriormente, que es la que corresponde a cada uno de los sistemas sintácticos que emiten los hablantes de una lengua y que reciben los oyentes de esa misma lengua. La estructura profunda o latente es la estructura que soporta o contiene el significado de la oración y que forman en su mente los hablantes de una lengua según una serie de reglas, denominadas reglas de reescritura, que son muy simples. El proceso mental mediante el cual se forman las estructuras profundas en la mente de los hablantes se denomina generación, mientras que el proceso mental mediante el cual se pasa de una estructura profunda a una estructura superficial se denomina transformación, y tanto la generación como la transformación son procesos mentales matemáticos por naturaleza. En efecto, la generación de estructuras no es más que el proceso mental mediante el cual forman los hablantes las cadenas o subconjuntos de elementos que verifican una RBOT, que es como se definen los sistemas semánticos. De la misma forma, la transformación no es más que el proceso mental mediante el cual los hablantes producen una correspondencia entre los conjuntos que forman una estructura profunda y una estructura superficial o, lo que es lo mismo, una estructura semántica y una estructura sintáctica nocional que le corresponda. La generación de estructuras se realiza mediante una serie de reglas, que también son de naturaleza matemática, ya que afectan a las funciones semánticas y sintácticas, que son a su vez matemáticas por naturaleza.

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 rincipio: La estructura profunda y la estructura superficial son mateP máticas por naturaleza. La estructura profunda y la estructura superficial son equivalentes a la estructura semántica y a la estructura sintáctica, respectivamente, y como estas últimas son matemáticas por naturaleza, las primeras también lo son.  rincipio: La generación de estructuras gramaticales es un fenómeno P matemático por naturaleza. La generación de estructuras gramaticales no es más que el proceso mental mediante el cual los hablantes las cadenas o subconjuntos de elementos que verifican una RBOT, que es como se definen los sistemas semánticos. Como los entes que se forman son matemáticos por naturaleza, el proceso que los produce también lo tiene que ser necesariamente y, por tanto, todo proceso generativo es un fenómeno matemático por naturaleza.  rincipio: La transformación de estructuras gramaticales es un fenómeP no matemático por naturaleza. La transformación de estructuras gramaticales no es más que el proceso mental mediante el cual forman los hablantes producen una correspondencia entre los conjuntos que forman una estructura profunda y una estructura superficial o, lo que es lo mismo, una estructura semántica y una estructura sintáctica nocional que le corresponda. Las estructuras que definen esta correspondencia también son matemáticas por naturaleza porque son las cadenas o subconjuntos de elementos que verifican una RBOT, que es como se definen los sistemas semánticos y sintácticos. Como los entes que se forman son matemáticos por naturaleza, el proceso que los produce también lo tiene que ser necesariamente y, por tanto, todo proceso transformativo es un fenómeno matemático por naturaleza. Una vez enunciados estos principios, ya se pueden definir matemáticamente la generación y la transformación de estructuras gramaticales:  efinición propuesta de generación de estructuras gramaticales: Es D el proceso mental mediante el cual forman los hablantes las cadenas o subconjuntos de elementos que verifican una RBOT, que es como se definen los sistemas semánticos. Definición propuesta de transformación de estructuras gramaticales: Es el proceso mental mediante el cual los hablantes producen una correspondencia entre los conjuntos que forman una estructura profunda y una estructura superficial o, lo que es lo mismo, una estructura semántica y una estructura sintáctica nocional que le corresponda.

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6.4. Matemática y morfosintaxis 6.4.1. Las funciones gramaticales La morfología y la sintaxis mantienen una estrecha relación mutua en muchas ocasiones, hasta el punto de que es habitual el estudio de un ámbito lingüístico mixto denominado morfosintaxis. Concretamente, aquella parte de la morfología que refleja la Σs es la que no puede estudiarse con rigor si no se apela al ámbito sintáctico y, puesto que la Σs, por definición, está formada por las φs (aunque también semánticas) de los elementos de un Ss, esa parte de la morfología que refleja la Σs es la que estudia la relación directa existente entre las funciones gramaticales φg (sintácticas y semánticas) y los elementos morfológicos em. Se trata, pues, de la declinación y la conjugación. En las lenguas de tipo aglutinante como el vasco, que poseen una conjugación compleja, todas las funciones sintácticas y semánticas (φs y φσ, respectivamente) que forman las Σs se reflejan de alguna forma en cada Ss, aunque de manera distinta en cada lengua y en cada clase de es. Así, las clases de es se pueden dividir en dos grupos, según que reflejen o no las funciones de la Σs: aquellas cuyos elementos no las reflejan, y aquellas cuyos elementos sí las reflejan. Las clases de es que reflejan las φg son de manera general y sin entrar en detalles que ahora no son pertinentes: nombre, adjetivo, verbo, pronombre y adverbio. Los modos de reflejar o expresar las φg son reducibles también al lenguaje matemático, como se deduce del hecho de que la relación entre φg y es es también expresable en términos matemáticos. Se puede hablar también de la relación entre las funciones φg y los ‘Ss, porque son los subsistemas o sintagmas los que expresan en realidad las φs y φσ, teniendo en cuenta sobre todo que todo es es un Ss unitario y, por tanto, que el concepto de «subSs» incluye también al de «es». Como todas las unidades lingüísticas analizadas anteriormente, las relaciones entre las φg y los ‘Ss también son reducibles al lenguaje matemático.  rincipio: Toda relación entre las φg de una lengua y los ‘Ss es un fenóP meno susceptible de ser descrito por las matemáticas. El carácter matemático de las relaciones entre las φg y los ‘Ss se puede demostrar también directamente, de forma análoga a como se hizo con los elementos morfológicos, los léxicos, los semánticos, etc., es decir, mediante una serie de principios, que se deducen de las mismas definiciones de ‘Ss y de φs o función sintáctica:

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 rincipio 3.1: En la mente de todos los hablantes de una lengua cualP quiera existen dos conjuntos distintos, el conjunto de los ‘Ss y el de las φg de cada uno de esos ‘Ss. Si un ‘Ss se define como un grupo sintáctico correspondiente a una φs y si cada ‘Ss pertenece al conjunto de los ‘Ss de un Ss y cada φs, al de las φg, los ‘Ss y las φg son elementos de dos conjuntos distintos, por definición.  rincipio 3.2: El conjunto de los ‘Ss de un Ss y el de sus φg corresponP dientes están relacionados entre sí. Por definición, todo ‘Ss corresponde a una φs, por lo que la relación entre el conjunto de los ‘Ss de un Ss y el de las φg es evidente.  rincipio 3.3: La relación existente entre el conjunto de los ‘Ss de un Ss P y el de las φg a los que aquéllos equivalen es susceptible de ser descrita matemáticamente. La demostración de este último principio se puede realizar aplicando la teoría de conjuntos a los conceptos de φs y de ‘Ss mediante las definiciones matemáticas ya conocidas y de una serie de principios deducidos de ellas. Las definiciones previas son las de par, par ordenado, producto cartesiano, correspondencia entre conjuntos, correspondencia inversa, grafo de una correspondencia y aplicación. Aplicando estas definiciones matemáticas a las definiciones lingüísticas, axiomas y principios anteriores, así como al principio que se ha de demostrar, se pueden enunciar los siguientes principios:  rincipio 3.3.1: Todo ‘Ss de un Ss forma un par ordenado con la φs a la P que corresponde. Como cada ‘Ss está relacionada con una φg, y como las φg y los ‘Ss son elementos de dos conjuntos distintos, por definición forman un par ordenado. Todos los pares ordenados posibles de formar con todos los elementos de estos dos conjuntos, el de las φg y el de los ‘Ss de un Ss, constituyen el producto cartesiano de ambos conjuntos. Sin embargo, ésta no es la relación real existentes entre los dos conjuntos del lenguaje, ya que cada φg no está relacionada con todos los ‘Ss de esa misma lengua, sino con uno solo. Y viceversa, cada ‘Ss de un Ss no está relacionado con todas las φg, sino solamente con una. Por lo tanto, la relación que existe entre los dos conjuntos no es en realidad el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de éste, porque no existen todos los pares ordenados que se pueden formar con las φg y con los ‘Ss de éstas, sino sólo una parte de ellos, o sea, un subconjunto del producto cartesiano. Y, en matemáticas, existe un concepto específico para definir un

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subconjunto del producto cartesiano, que es el de correspondencia entre conjuntos, lo que permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a una lengua de la definición de correspondencia:  rincipio 3.3.2: El conjunto de los ‘Ss de un Ss y el conjunto de las φg P determinan una correspondencia entre conjuntos, en la que el conjunto inicial es el de los ‘Ss y el conjunto final, el de las φg. Los dos conjuntos mencionados, el de los ‘Ss y el de las φg a los que equivalen, se ajustan a la definición matemática de correspondencia entre conjuntos, formando un subconjunto del producto cartesiano de esos dos conjuntos mencionados. Sin embargo, en los ‘Ss no existen los fenómenos de sinonimia y homonimia, que son propios de las palabras y que eran los que impedían que la correspondencia que éstas determinan con los elementos semánticos fuera una aplicación, por lo que la correspondencia definida entre el conjunto de los ‘Ss y el de las φg sí que lo es y, además, es biyectiva. Esto permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a los ‘Ss de la definición de aplicación:  rincipio 3.3.3: La correspondencia que determinan el conjunto de los P ‘Ss de un Ss y el de las φg es una aplicación. La imagen de cualquier elemento del conjunto inicial, que es el de los ‘Ss, es un conjunto unitario, por lo que la correspondencia determinada por los dos conjuntos mencionados, el de los ‘Ss y el de las φg, es unívoca. Dado que todos los ‘Ss, por definición, equivalen a una de las φg, el dominio de esta correspondencia unívoca coincide con el conjunto inicial y, por tanto, ambos conjuntos definen una aplicación.  rincipio 3.3.4: La aplicación que determinan el conjunto de los ‘Ss de P un Ss y el de las φg que les corresponden es biyectiva. Todas las φg corresponden a un ‘Ss y, además, a un solo ‘Ss. Después, ese ‘Ss único, que pertenece a la estructura profunda de una lengua, se podrá expresar en la estructura superficial mediante varias unidades lingüísticas distintas, que serán sinónimas, pero esta sinonimia no afecta a los subsistemas semánticos. Por lo tanto, todos los elementos del conjunto final tienen antiimagen y sólo tienen una, con lo que los ‘Ss y las φg se ajustan a la definición de aplicación biyectiva. Como la correspondencia inversa de una aplicación sólo es aplicación si aquélla es biyectiva, según el teorema correspondiente, ya que sólo en ese caso cumple la definición de aplicación, en el caso de los ‘Ss y las φg también

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lo es, ya que todas las φg corresponden también a un ‘Ss y a un solo ‘Ss. Esto permite enunciar otro principio:  rincipio 3.3.5: La correspondencia inversa de la aplicación biyectiva P que determinan el conjunto de los ‘Ss y el de las φg también es aplicación inversa. Todas las φg equivalen a un ‘Ss y a un solo ‘Ss y, por tanto, determinan una aplicación biyectiva, y ésta es la condición suficiente para que su correspondencia inversa también sea una aplicación biyectiva y a la correspondencia inversa de una aplicación biyectiva, que también es aplicación biyectiva, se le denomina aplicación inversa. Estos principios referentes a los ‘Ss también se pueden aplicar a los es, ya que éstos son en realidad, no sólo grupos sintácticos unitarios, sino también ‘Ss unitarios.  rincipio: La misma relación matemática que existe entre los ‘Ss (o sinP tagmas) y las φg, existe también entre los es y las φg. Como todo es es un ‘Ss unitario, todo lo que se cumpla para los ‘Ss es válido también para los es. Un caso particular es el de los verbos compuestos o, mejor dicho, el de los tiempos compuestos de los verbos, que también expresan alguna φg de forma análoga a los sintagmas preposicionales, pero con una composición distinta, ya que normalmente constan de dos verbos distintos, uno principal, que es el correspondiente realmente al eσv de cada verbo, y otro auxiliar, que corresponde, no a un elemento semántico, sino a una φg. Este verbo auxiliar no es propiamente un lexema, sino un morfema independiente, porque no tiene significado propio cuando va acompañado por otro verbo principal. Estos tiempos compuestos son en realidad ‘Ss, como los sintagmas preposicionales, pero con distintos es y, por tanto, con una composición distinta. Aquí se demuestra que el concepto de ‘Ss es más amplio que el de sintagma. Principio: Los es verbales compuestos o perifrásticos son subsistemas verbales no unitarios. Los verbos compuestos están formados por dos o más verbos simples y, por tanto, por dos o más es simples, por lo que cumplen la definición de ‘Ss. Cuando más de una φg se expresa mediante un mismo ‘Ss, o sea, cuando un elemento del conjunto inicial tiene más de una imagen, o al contrario, cuando una misma φg se puede expresar mediante más de un ‘Ss, o sea, cuando un elemento del conjunto final tiene más de una antiimagen, entonces las φg se expresan por medio del orden de los ‘Ss dentro del sistema al que

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pertenecen, basándose en el principio de que todo Ss y su Σs definen un isomorfismo entre estos dos conjuntos ordenados. En las lenguas en las que esto ocurre, la Σs es siempre fija e inflexible, en mayor grado cuanto menos se puedan expresar las φg por medio de ‘Ss. Principio: Todo Ss y su Σs correspondiente constituyen un isomorfismo, ya que se ajustan a la definición de isomorfismo, ya que definen una aplicación biyectiva y el orden de cada uno de sus respectivos elementos, que son los ‘Ss y las φg respectivamente, es el mismo. 6.4.2. Los casos El tercer modo de indicar la φg que desempeña un es dentro del Ss al que pertenece es el sintético, es decir, por medio de em dentro de los mismos es, es decir, mediante afijos unidos directamente a los mismos es formando con ellos una sola palabra. Según las funciones gramaticales que pueden expresar, las clases de es se pueden agrupar, a su vez, en tres grandes apartados: • Las preposiciones y conjunciones: No expresan mediante em ninguna φg, bien sea porque precisamente sirven para indicarlas formando los sintagmas preposicionales (las preposiciones), o bien porque sirven para enlazar Ss (las conjunciones). • El sustantivo, adjetivo, pronombre y adverbio: Expresan mediante em la función que ellos mismos desempeñan dentro del Ss al que pertenecen. • El verbo: Puesto que constituye el núcleo de todo Ss y es el que determinan la estructura funcional de éstos mediante las valencias, puede expresar mediante em todas las φg de dicha estructura funcional y, por tanto, las φg de todos y cada uno de los ‘Ss, además de las suyas propias. Las φg pueden ser expresadas tanto por es específicos para este fin, como son las preposiciones, formando subsistemas sintacticos o sintagmas, como por em específicos dentro de los es mismos, y esta circunstancia varía extraordinariamente de unas lenguas a otras, e incluso dentro de una misma lengua en sus diversos periodos diacrónicos. Existe un tercer modo de expresar las φg, cuando no es posible hacerlo por medio de los dos anteriores, y es el orden de los es dentro del Ss al que pertenecen. Existen, por tanto, tres modos de indicar las φg que desempeña un es dentro del Ss al que pertenece: • Posicional: Mediante el orden de los elementos sintáctico dentro del Ss o, lo que es lo mismo, mediante la Σs funcional de éste.

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• Perifrástico: Por medio de preposiciones, que acompañan a los es formando sintagmas preposicionales, o bien por medio de más de un elemento sintáctico, en el caso de los verbos, formando los tiempos compuestos o perifrásticos. • Sintético: Por medio de em dentro de los mismos es, es decir, mediante afijos unidos directamente a los mismos es formando con ellos una sola palabra. Estos tres modos de indicar los casos o φg pueden caracterizar a las distintas lenguas, pero también pueden coexistir varios de ellos en una sola. El tercero de los tres modos anteriores es el que se refiere al concepto real de los casos de la declinación de los sustantivos, adjetivos, pronombres y, en algunas lenguas (como el vasco), también adverbios; y es el que se refiere también a la conjugación de los verbos. La distribución de estos tres modos de indicar la φg en las distintas lenguas es muy variada: en algunas predomina el tercero de una manera casi absoluta, como en vasco, en el que no existen las preposiciones y, por ello, las funciones no se pueden indicar por medio de sintagmas preposicionales. En otras, coexisten los modos segundo y el tercero, como en latín o en griego, lenguas en las que existen casos pero en un número reducido e insuficiente para expresar todas las φg, por lo que a las palabras declinadas se les tienen que añadir preposiciones en algunas ocasiones para formar sintagmas preposicionales, existiendo uno o más casos sintéticos denominados precisamente así, preposicionales (el ablativo y el acusativo, en latín; el dativo, en griego; el genitivo, en árabe; etc.). En otras, normalmente las que carecen de casos sintéticos o han perdido la mayoría de ellos, predomina el modo segundo, es decir, el de los sintagmas preposicionales (como en las lenguas románicas, algunas germánicas como el inglés, etc.). Finalmente, cuando una función no se puede expresar en una lengua ni por medio de casos sintéticos ni por medio de sintagmas preposicionales, se expresa mediante el orden de los es dentro del Ss al que pertenecen. Las φg, sintácticas o semánticas, que se pueden expresar mediante em dentro de una palabra, o sea, dentro de un elemento de un Ss de una lengua se denominan casos. El nombre procede de la palabra latina casus, participio pasado del verbo cado, que significa «caído» y es una traducción literal del griego . Esta denominación procede de la analogía que establecieron los gramáticos griegos entre las seis formas posibles de la «caída» de un dado y las diferentes terminaciones con las que podía aparecer una palabra en una oración para indicar la φg que tenía aquélla dentro de ésta. Por ello, los casos designaban en la antigüedad sólo las terminaciones de las palabras que indicaban las funciones de éstas dentro de la oración gramatical. Sin

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embargo, J. B. Bertrand defendió en 1797 que los casos se refieren a los significados, y no sólo a las terminaciones, citando para apoyar esta idea la frase del gramático latino del siglo iv d. C. Prisciano, según el cual «casus non sunt vocis, sed significationis» (Agud, 1980: 150-159). Esta concepción de los casos le permitió afirmar que el francés también tiene casos, y por extensión todas las lenguas románicas. Esto quiere decir que J. B. Bertrand amplió el concepto de caso también a los sintagmas preposicionales que expresaban las φg, con lo que el concepto de caso también se pudo aplicar a las lenguas románicas, definiéndose en realidad de una forma más amplia por la gramática tradicional como «cada uno de los distintos oficios que puede desempeñar una palabra en la oración». Así, Ana Agud afirma que «a su vez, formalmente, el caso es él mismo un sintagma o hecho sintáctico… El caso es, pues, componente de la síntesis del nivel “palabra” y vector de la composición del nivel inmediatamente superior, el “sintagma”, a partir de unidades de aquél (de palabras con flexión nominal)» (Agud, 1980: 463). Ella misma define los casos como las φs que están representadas, aunque sólo en la flexión nominal (no como sintagmas), del siguiente modo: «Son casos aquellas funciones sintácticas del sustantivo o pronombre que se corresponden con otras alteraciones desinenciales en la flexión nominal, las cuales poseen equivalentes funcionales en todas las clases de palabras con flexión nominal.» (Agud, 1980: 462) Sin embargo, los casos no sólo son φs, sino también φ semánticas, por lo que es preferible hablar de φg. Por otro lado, una misma φg se puede expresar indistintamente en las lenguas mediante un em o mediante un es preposicional, y esta distinción, aunque es una consecuencia de la historia interna de cada lengua y de los fenómenos de concretismo y dicretismo que haya sufrido, se puede afirmar que es fundamentalmente arbitraria. En efecto, una misma φg se puede expresar de forma sintética en una lengua y perifrástica en otra, aunque las dos estén estrechamente emparentadas, e incluso esto ocurre en los distintos periodos diacrónicos de una misma lengua. Y esto no obedece a ninguna razón gramatical o sintáctica concreta. Se puede expresar, por ejemplo, la posesión de forma sintética en unas lenguas, mediante desinencias, como en latín, en griego, en alemán, en inglés antiguo, en vasco, etc., mientras que en otras se expresa de forma perifrástica, mediante la preposición «de» en las lenguas románicas, mediante of en inglés actual, etc. E, incluso, en inglés actual coexisten las dos formas de indicar la posesión, según se refiera a personas (sintética, mediante la desinencia ‘s) o a cosas (perifrástica, mediante la preposición of). Dejando aparte las razones históricas, esta distinción de

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formas de expresar las φg es puramente arbitraria. Por lo tanto, no se debe establecer una distinción tan contundente entre los casos, o forma sintética de expresar las φg, y la forma perifrástica de expresarlas, que por ahora no tiene nombre. Esto quiere decir que hay que considerarlas como dos variantes de un mismo fenómeno lingüístico. Por ello, a estas formas perifrásticas de expresar las φg se les podría denominar como casos perifrásticos, para diferenciarlos de los casos sintéticos, que son los tradicionales. Pero es que, además, puede ocurrir que un mismo caso y en una misma lengua se pueda expresar de ambas formas a la vez. Por ejemplo, los casos locativos, que en vasco o en finés se expresan de forma sintética, en muchas lenguas indoeuropeas lo hacen mediante un caso concreto, pero añadiéndole una preposición. Así, en latín la preposición correspondiente a cada caso locativo se puede añadir al ablativo o al acusativo (en el caso directivo concretamente), además de expresarse sin preposición mediante el caso locativo propio en unas pocas palabras, pero en griego las preposiciones que expresan los casos locativos se añaden al ablativo o al genitivo, en árabe al genitivo, etc. Por lo tanto, también existen casos mixtos, que son sintéticos y perifrásticos a la vez, y que sirven para expresar los casos que no se pueden expresar mediante desinencias exclusivamente. Los casos, por tanto, se pueden definir como: Caso: Es toda φg, sintáctica o semántica, que se puede expresar de algún modo, sintético, perifrástico o posicional, en un emg o ‘Ss de una lengua. Caso sintético: Es toda φg, sintáctica o semántica, que se puede expresar por medio de algún em específico dentro de un es de una lengua. Es el caso propiamente dicho o tradicional. Caso perifrástico: Es toda φg, sintáctica o semántica, que se puede expresar por medio de algún es preposicional específico dentro de un ‘Ss o sintagma de una lengua. Caso posicional: Es toda φg, sintáctica o semántica, que se puede expresar por medio del orden específico en el que se coloca un elemento o ‘Ss dentro de un Ss de una lengua. Caso mixto: Es toda φg, sintáctica o semántica, que se puede expresar de más de un modo, sintético, perifrástico o posicional, a la vez, o sea, por medio de un em específico dentro de un es y por medio de un es preposicional específico unido al es anterior dentro de un mismo ‘Ss o sintagma, a los que se les puede añadir el orden que ocupa ese es dentro del Ss al que pertenece. Sin embargo, la realidad no avala esta definición de caso ya que, en la práctica, los casos no son las φg sino los emg que las representan. Así, por ejemplo, el caso acusativo de las lenguas indoeuropeas expresa dos funcio-

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nes gramaticales distintas, el complemento de objeto directo de los verbos transitivos y el complemento circunstancial de dirección de los intransitivos (por ejemplo, edo m lu-m = «como una manzana» y eo d mu-m = «voy a la casa» o eo cub tu-m = «voy a la cama»); el dativo griego expresa también varias funciones, como son el complemento de objeto indirecto y el complemento circunstancial que no es de dirección; el genitivo del árabe expresa las funciones de complemento de objeto directo, complemento de objeto indirecto y complemento circunstancial, etc. Lo que quiere decir esto es que los casos no son las funciones sintácticas sino los emg que las representan. Así, por ejemplo, el caso acusativo indoeuropeo no es la φg de complemento de objeto directo ni la de complemento circunstancial de dirección ni la unión de ambas a la vez, sino el sufijo -m que las expresaba en todas las lenguas. Igualmente, el genitivo del árabe no es el conjunto de las φg de complemento de objeto directo, complemento de objeto indirecto y complemento circunstancial, sino el sufijo -i que las expresa. Por lo tanto, el significado real del concepto de «caso» es el etimológico, que se refiere sólo a las diferentes terminaciones con las que podía aparecer una palabra en una oración para indicar la φg que tenía aquélla dentro de ésta y, por tanto, los casos designan sólo a las terminaciones de las palabras que indican las funciones de éstas dentro de la oración gramatical. Caso (concepto propuesto): Es la expresión, sintética o perifrástica, de las φs en un es de todo Ss de una lengua. Caso sintético: Es todo emg específico que expresa una φg dentro de un es de una lengua. Caso perifrástico: Es todo es preposicional específico que expresa una φg dentro de un ‘Ss o sintagma de una lengua. Caso posicional: Es el orden específico en el que se coloca un es o ‘Ss dentro de un Ss para expresar una φg de una lengua. Caso mixto: Es el em específico dentro de un es, el es preposicional específico unido al es anterior dentro de un mismo ‘Ss o sintagma y el orden que ocupa ese es dentro del Ss al que pertenece que expresan una φg de una lengua cuando dicha φg se expresa de más de un modo a la vez (sintético, perifrástico o posicional). Ejemplos: El genitivo, por ejemplo, es un caso sintético en latín (domus mei patris), ya que se expresa mediante los em o sufijos -i en el pronombre posesivo e -is en el sustantivo, pero es perifrástico en las lenguas románicas (la casa de mi padre, la maison de mon père, la casa del meu pare, etc.), en las que se expresa mediante la preposición «de». Sin embargo, en inglés coexisten varios tipos de casos, porque el genitivo se puede expresar tanto

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de forma perifrástica con la preposición of (the house of my father), como mixta, sintética y posicional a la vez, con el em o sufijo ‘s y anteponiendo el complemento del nombre al sustantivo al cual determina cuando aquél se refiera a personas (my father’s house). En vasco, también es un caso mixto, sintético y posicional a la vez, expresado mediante los em o sufijos -re en el pronombre posesivo y -ren en el sustantivo y anteponiendo el complemento del nombre al sustantivo al cual determina (nere aitaren etxea). Los casos latinos, por ejemplo, son todos sintéticos excepto los que se expresan por medio del ablativo y a veces del acusativo (directivo, sociativo, instrumental, etc.), que son mixtos (sintéticos y perifrásticos a la vez), ya que necesitan alguna preposición además de la desinencia casual correspondiente a cada uno de los casos preposicionales (ad Romam, in Romam, a Roma, e Roma, cum amico, etc.). El vocativo puede ser tanto sintético (domine, amice), con la desinencia -e, como perifrástico, con una interjección (o pater, o dea), o mixto, sintético y perifrástico a la vez (o domine, o amice). Sin embargo, en las lenguas románicas todos los casos son perifrásticos (a Madrid, desde Madrid, en Madrid, con un amigo, del amigo, para el amigo, al amigo, por el amigo, etc.) o posicionales, cuando no pueden llevar preposición (nominativo, vocativo, acusativo a veces), con la única excepción de los pronombres personales, que son sintéticos o mixtos. Así, en muchas lenguas, una misma palabra puede ser nominativo o acusativo, por ejemplo, según esté colocada antes o después del verbo. Sin embargo, en otras lenguas más complejas, como el finés o el vasco, prácticamente todos los casos son sintéticos, hasta el punto de que carecen de preposiciones. Pues bien, todos los casos tanto los sintéticos como los perifrásticos y como los mixtos, son reducibles a lenguaje matemático, por la sencilla razón de que son emg correspondientes a φg y tanto aquéllos como éstas son reducibles a lenguaje matemático, como ya se demostró. Principio: Los casos son susceptibles de ser descritos matemáticamente. Los casos se han definido como emg que corresponden a φg y todas las φg son susceptibles de ser descritas matemáticamente. Por lo tanto, si los casos son emg que corresponden a φg y los emg y las φg son susceptibles de ser descritas matemáticamente, los casos necesariamente también lo son, según la regla de inferencia del silogismo. O, dicho de otra forma, si todos los emg y las φg son reducibles a lenguaje matemático y todos los casos son emg que corresponden a φg, entonces todos los casos necesariamente son también reducibles a lenguaje matemático, según el modus ponens.

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 rincipio: Todo caso es un elemento o subconjunto del conjunto de los P emg que corresponden a φg. Todo caso es, por definición, un emg que corresponde a una φg, luego todo caso pertenece al conjunto de los emg, concretamente al subconjunto de los emg que corresponden a alguna φg.  rincipio: El conjunto de todos los casos de una lengua es un subconP junto del conjunto de los emg, concretamente el formado por aquellos emg que corresponden a alguna φg. Todo caso es, por definición, un emg (o también un es, un ‘Ss o una posición determinada en el Ss), pero no sólo eso, sino que además, es un emg que ha de cumplir una condición, que corresponda a una φg, luego todo caso es un emg, pero no todo emg es un caso, ya que no todo emg corresponde a una φg o, lo que es lo mismo, no todo emg tiene imagen en la correspondencia definida por el conjunto de los emg o de los ‘Ss de una lengua y por el de las φg.  rincipio: El conjunto de todos los casos de una lengua es el dominio P de la correspondencia definida por el conjunto de los ‘Ss de una lengua y por el de las φg. Todo caso de una lengua es un elemento del subconjunto del conjunto de las φg que tienen antiimagen en la correspondencia definida por la unión del conjunto de los emg y del conjunto de los ‘Ss de una lengua, por una parte, y por el de las φg, por otra. Es decir, es un elemento o un subconjunto del conjunto inicial de dicha correspondencia, pero no un elemento cualquiera, sino un elemento que necesariamente y por definición tiene imagen en el conjunto de las φg de una lengua. Como el conjunto de elementos o subconjuntos del conjunto inicial de una correspondencia que tienen imagen es el dominio de esa correspondencia, el conjunto de los casos de una lengua también lo es, porque se trata de un subconjunto del conjunto inicial de una correspondencia que es la unión de las antiimágenes del conjunto final de esa misma correspondencia. Después de estos principios, ya se puede definir matemáticamente el concepto de caso, de la siguiente manera: Definición axiomática de caso (K): Es todo elemento del dominio de la correspondencia definida en el conjunto inicial por la unión del conjunto de los em gramaticales, del conjunto de los es preposicionales de una lengua y del conjunto de RBO que pueden verificar los elementos de un Ss en una lengua y, en el conjunto final, por el conjunto de las φg. Sea f: K V

g

; k = f-1(φg) k K, φg

g

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Definición axiomática de caso sintético: Es todo elemento del dominio de la correspondencia definida por el conjunto de todos los em gramaticales de una lengua y por el de las φg. Definición axiomática de caso perifrástico: Es todo elemento del dominio de la correspondencia definida por el conjunto de todos los es preposicionales de una lengua y por el de las φg. Definición axiomática de caso posicional: Es todo elemento del dominio de la correspondencia definida por el conjunto de RBO que pueden verificar los elementos de un Ss en una lengua y por el de las φg. Definición axiomática de caso mixto: Es todo elemento del dominio de la correspondencia definida en el conjunto inicial por la correspondencia o subconjunto del conjunto de pares ordenados, o de ternas ordenadas, que se pueden formar con los conjuntos de em gramaticales, de es preposicionales y de RBO que pueden verificar los elementos de un Ss de una lengua y, en el conjunto final, por el de las φg. Los casos que indican φg sintácticas pueden ser tantos como φs existan. • Nominativo (N): Es el correspondiente a la φs de sujeto. También es normal que corresponda a las de atributo y aposición aunque, cuando esta última se refiere a la 2.ª persona, en las lenguas indoeuropeas se expresaba por medio de otro caso: el vocativo (V). El nominativo, junto con el vocativo cuando existe, es el único caso que puede existir de forma independiente. • Genitivo (G): Es el correspondiente a la φs de complemento nominal. • Acusativo (A): Es correspondiente a la φs de complemento de objeto directo. • Dativo (D): Es el correspondiente a la φs de complemento de objeto indirecto. • Ablativo (Ab): Es el correspondiente a la φs de complemento circunstancial. En las lenguas que carecen de ablativo, como el griego, el complemento circunstancial se expresa mediante otros casos sintéticos, como el dativo o el genitivo. • Ergativo (E): Es el correspondiente a la φs de sujeto agente de los verbos transitivos. Las funciones mencionadas son las principales y las originales de cada caso, pero en la evolución histórica han podido confluir en un mismo caso varias funciones y se ha producido un sincretismo casual. Este tipo de sincretismo se observa muy claramente en las lenguas indoeuropeas. En ellas, los ocho casos iniciales sólo se han conservado en sánscrito. Ya en el antiguo

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indoeuropeo, el complemento circunstancial de dirección se había integrado en el acusativo, que así indicaba el complemento de objeto directo con los verbos transitivos y el complemento circunstancial de dirección con los intransitivos. Esta asimilación se explicaría porque ambas funciones gramaticales (el COD y el CC de dirección) se refieren al objeto al que se dirige la acción expresada por el verbo. En otras lenguas, en cambio, el complemento circunstancial de dirección se integró en el dativo (véase Villar, 1996: 253). En griego, el ablativo se integró en el caso genitivo y el instrumental y el locativo lo hicieron en el dativo. En latín, el instrumental y el locativo se integraron en el ablativo. En latín vulgar, se perdieron las desinencias casuales y, como consecuencia de ello, el vocativo se integró en el nominativo –ambos eran los casos rectos– y el genitivo, el dativo y el ablativo se integraron en el acusativo –todos ellos eran los casos oblicuos–. En catalán, por ejemplo, se distinguían ambos casos en la Edad Media en algunas palabras (hom < homo = «hombre» nominativo y home < homine-m = «hombre» acusativo) y esta distinción se ha conservado fosilizada (en el pronombre hom = «se» frente al nombre home = «hombre» y en algún adverbio como tothom = «todos», literalmente «todo hombre»). En las lenguas románicas, desapareció la forma del nominativo y todas las φs pasaron a expresarse mediante el antiguo acusativo sin la desinencia -m (por ejemplo, en castellano hombre < homine-m). Sincretismo de los casos en las lenguas indoeuropeas Griego

Sánscrito

Latín

Latín vulgar

Romance

φg V. Trans.

Sujeto

Nominativo Nominativo Nominativo Nominativo Vocativo Vocativo Vocativo

Acusativo

Acusativo

Acusativo

Genitivo

Genitivo

Genitivo

Ablativo

Ablativo

Dativo

COD Acusativo Acusativo

φg V. Int.

CC de dirección CN

CC de procedencia

Instrumental

CC de instrumento

Locativo

CC de lugar

Dativo

Dativo

COI

En las lenguas germánicas, igual que en griego, el ablativo se integró en el caso genitivo y el locativo en el dativo pero, además, el vocativo se integró en el nominativo y así es como aparece ya en inglés antiguo. El instrumental se había integrado también en el dativo, pero sólo en el nombre, no en el adjetivo. En el inglés medio, el instrumental se integró en el dativo

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también en el adjetivo y el dativo se integró en el acusativo, diferenciándose los dos casos desaparecidos solamente por preposiciones (be/by, on, þurth y mid para el instrumental y for y to para el dativo) por influencia del francés à. En el inglés moderno, el acusativo se integró en el nominativo, lo mismo que el genitivo, quedando diferenciado de forma sintética solamente el genitivo posesivo de personas (que en inglés antiguo precedía al nombre al que complementaba) con la función de complemento del nombre. El genitivo no personal (que en inglés antiguo solía seguir al nombre al que complementaba) y el ablativo se diferenciaron solamente por preposiciones (of = «de» para el genitivo y from = «desde» para el ablativo). Sincretismo de los casos en inglés Sánscrito

Ing. ant. (a.)

Ing. ant. (s.)

Ing. med.

Ing. mod.

Nominativo Nominativo Nominativo Nominativo Nominativo

φg Sujeto

Vocativo Acusativo

Acusativo

Acusativo

Dativo

Dativo

Dativo

COD / CC de dirección

Acusativo

COI

Locativo

CC de lugar

Instrumental

Instrumental

Ablativo

Genitivo

Genitivo

CC de instrumento Genitivo

Genitivo

CC de procedencia Genitivo

CN

En algunas lenguas más complejas, como las finoúgricas o como el vasco, e incluso en algunas indoeuropeas, las funciones semánticas también son casos sintéticos. Esto es lo que ocurre con los casos locativo e instrumental en las lenguas indoeuropeas. En vasco son casos sintéticos también las funciones semánticas que no lo son en las lenguas indoeuropeas, como los casos: • Asociados normalmente al genitivo: posesivo (de quién), partitivo (de una parte de qué) y delimitativo (de qué parte). • Asociados normalmente al dativo: dativo propio o personal (a quién) y destinativo (para quién). • Asociados normalmente al ablativo: instrumental (con qué), sociativo (con quién), impulsivo (por), inesivo (en dónde, cuándo), ablativo propio (desde dónde, desde cuándo), alativo o directivo definido (adónde),

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directivo indefinido (hacia dónde) y directivo terminal (hasta dónde, hasta cuándo). Los cinco casos últimos son específicos del locativo. Dado que el es verbal es el núcleo del Ss al que pertenece y refleja todas las φs de éste por medio de las valencias, y como la función semántica o accidente gramatical de persona de dicho es verbal se refiere a las valencias de un verbo y, por tanto, a los elementos semánticos que corresponden a los distintos es que forman un Ss determinado, las personas expresadas por un eσv se pueden referir también a todas las φs (no gramaticales, sino sólo sintácticas) de ese Ss que sean valencias del elemento verbal, es decir, se pueden referir tanto al sujeto, como al objeto directo, al objeto indirecto o al complemento agente. Normalmente, la única función sintáctica personal que se expresa morfológicamente de forma sintética es la referida al sujeto. Éste es el caso de las lenguas indoeuropeas o de las semíticas, en las que las únicas desinencias personales existentes se refieren al sujeto y concuerdan con él, mientras que las personas que se refieren a las restantes φs se expresan de forma perifrástica mediante pronombres personales. Incluso existen lenguas en las que las personas que referidas al sujeto se expresan sólo de forma perifrástica porque carecen de desinencias personales, como es el caso del sueco o del inglés (que sólo tiene una: la de 3.ª persona singular del presente). Sin embargo, las personas que se refieren a las restantes φs que constituyen las valencias de un es verbal también se pueden expresar de forma sintética en el mismo verbo mediante desinencias personales distintas a las referidas al sujeto, mediante las mismas pero en distinta posición o mediante algún em específico que indique esa φs a la que se refieren las desinencias personales. Y esto es lo que ocurre en las lenguas que tienen una conjugación compleja, como el georgiano, el quechua, el swahili o el vasco. Lo normal es que los em que indican la persona en un es verbal cuando ésta se refiere a las φs de objeto directo, indirecto o complemento agente sean los mismos que los que indican el sujeto, pero que estén colocados en distinta posición. Esto quiere decir que las φs pueden estar representadas por em también en los verbos, por lo que esta clase de es también posee «casos», igual que los sustantivos, adjetivos y pronombres, ya que las φs expresadas por las desinencias personales de los verbos se ajustan a la definición de caso (toda φg que se puede expresar de algún modo en cada sistema semántico de una lengua). Por lo tanto, también se puede expresar esa misma función semántica personal referida a las demás funciones sintácticas que pueden ser valencias de un verbo, como el objeto directo, el indirecto y el complemento agente, por medio de casos. Estos casos verbales se pueden definir de forma análoga a los casos nominales:

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Caso verbal (concepto tradicional): Es toda φs que se puede expresar de algún modo, sintético o perifrástico, en el es verbal de todo Ss de una lengua. Caso verbal (concepto propuesto): Es la expresión, sintética o perifrástica, de las φs en el es verbal de todo Ss de una lengua. Los casos verbales sólo indican funciones sintácticas y pueden ser tantos como valencias posean los elementos sintácticos verbales, o sea, tantos como funciones sintácticas personales existan. Pueden existir hasta cinco: • Nominativo (N): Es el correspondiente a la φs de sujeto. En muchas lenguas (principalmente las flexivas), es el único que se expresa de forma sintética. • Acusativo (A): Es el correspondiente a la φs de complemento de objeto directo. • Dativo (D): Es el correspondiente a la φs de complemento de objeto indirecto. • Ergativo (E): Es el correspondiente a la φs de sujeto agente de los verbos transitivos. • Genitivo (G): Es el correspondiente a la φs de complemento del nombre. Este caso verbal sólo existe en las lenguas de la familia munda (mundari y santali), en las que hay sufijos pronominales posesivos en el verbo que constituyen un caso genitivo-posesivo (Meillet y Cohen, 1924: 634). Como los casos verbales son casos al fin y al cabo y los casos son reducibles a lenguaje matemático, los casos verbales también lo son, y se definen matemáticamente de forma análoga a los casos generales. Definición axiomática de caso verbal: Es todo elemento del dominio de la correspondencia definida por el conjunto de los emv personales de los esv verbales de una lengua y por el de las φs que constituyen las valencias de éstos. Sea f: K V

; k = f-1(φs) k K, φs

s

; k = emv esv

s

Los casos verbales sólo indican φs y pueden ser tantos como valencias posean los es verbales, o sea, como φs personales existan. 6.4.3. Los cambios funcionales Las φg correspondientes a los em de una lengua también pueden cambiar con el paso del tiempo, y a estos cambios de elemento semántico se les denomina cambios funcionales, que se pueden definir como:

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 ambio funcional (cφ): Es la sustitución, ampliación o restricción de las C φg de un em de una lengua en un momento histórico determinado y aceptado por todos los hablantes de una lengua o por una parte homogénea de ellos. Y los cφ, como los fonológicos y los semánticos, son también susceptibles de ser descritos matemáticamente, y ello se puede demostrar mediante una serie de principios, análogamente a como se hizo con los cambios fonológicos y semánticos. Sin embargo, en el caso de los cφ, el proceso es más complejo ya que no se trata de una sustitución sin más de un elemento por otro, como ocurre con los elementos fonológicos en los cambios fonológicos, sino que esa sustitución se produce, además, solamente en la φg correspondiente a un em concreto y en tanto que corresponde a ese em y sólo a él. Principio: Todo cφ de una lengua forma un par ordenado, cuyo primer componente o functio mutans es un par ordenado anterior al cambio, y cuyo segundo componente o functio mutata es otro par ordenado posterior al cambio y originado por el primero. Este principio se ajusta perfectamente a la definición de par ordenado ya que, tanto los pares ordenados que contienen las funciones que cambian (functiones mutantes) como los que contienen los resultantes del cambio (functiones mutatae) pertenecen a dos conjuntos distintos, y entre unos y otros existe una relación evidente como consecuencia de la misma definición de cφ. Si el φg resultante es sn y pertenece al par ordenado (p, sn), la φg originaria será sn-1 y pertenecerá al par ordenado (p, sn-1), y los conjuntos a los que pertenecen ambos pares ordenados serán, respectivamente, los grafos de las dos correspondencias definidas por el conjunto P del léxico de una lengua y por el conjunto de las φg, anteriores y posteriores al cφ mencionado respectivamente, de los em de esa misma lengua, Sn y Sn-1. El par ordenado, por consiguiente, está formado por dos componentes que, a su vez, son también pares ordenados y se representará por [(p, sn-1), (p, sn)].  rincipio: El conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar P con el conjunto de todas las funciones premutacionales de un cφ de una lengua y con el conjunto de todas las funciones postmutacionales de ese mismo cφ de esa lengua es el producto cartesiano de esos dos conjuntos. Sin embargo, la relación real entre las functiones mutantes y las functiones mutatae de los cφ ocurridos en una lengua en un momento determinado, como es evidente, no es del producto cartesiano de los conjuntos a los que pertenecen, sino la de un subconjunto de éste, porque cada par ordenado

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premutacional (p, sn-1) de una φg sn-1 no está relacionado con todos los pares ordenados postmutacionales (p, sn) de otro elemento postmutacional sn de la lengua a la que pertenece, sino sólo con uno de ellos o, de forma excepcional, con más de uno. Y un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos es el grafo de una correspondencia definida entre esos dos conjuntos.  rincipio: El grafo de las correspondencias determinadas por el conjunP to P de los em de una lengua y por el conjunto Sn-1 de las funciones de esa lengua anteriores a un cambio fonético, por una parte, y por el conjunto Sn de las funciones de esa misma lengua posteriores a dicho cambio, por otra, determinan entre sí, a su vez, otra correspondencia. La relación entre los conjuntos formados por los dos grafos mencionados en el enunciado anterior, a los que pertenecen las φg del conjunto Sn-1 de las funciones de una lengua anteriores a un cambio fonético’ y los del conjunto Sn de las funciones de esa misma lengua posteriores a dicho cambio, es un subconjunto del producto cartesiano de esos dos conjuntos de los grafos a los que pertenecen las funciones y, por lo tanto, son una correspondencia. El conjunto inicial de ambas correspondencias es el de los pares ordenados al que pertenecen las funciones premutacionales y, su conjunto final, el de pares ordenados al que pertenecen las funciones postmutacionales. Todos los elementos premutacionales se corresponden con uno o varios elementos postmutacionales, sólo que aquellos elementos premutacionales que no cambian son idénticos a los elementos postmutacionales con los que se corresponden. Por lo tanto, las functiones mutantes son aquellas funciones premutacionales cuyos pares ordenados a los que pertenecen tienen una imagen no idéntica, y forman un subconjunto dentro del conjunto inicial, y las functiones mutatae son aquellas funciones postmutacionales cuyos pares ordenados a los que pertenecen tienen una antiimagen no idéntica, y también forman un subconjunto dentro del conjunto inicial.  rincipio: La correspondencia definida en la unión del conjunto Sn-1 de P las funciones de una lengua anteriores a un cφ y del conjunto Sn de las funciones de esa misma lengua posteriores a dicho cambio es una RBOT, definida por la propiedad «sn-1 se ha convertido en sn en el par ordenado (p, s)», siendo p una em cualquiera de una lengua y s la φg correspondiente a ese em y perteneciente a la unión de los conjuntos Sn-1 y Sn. Se representa por el símbolo matemático > («mayor que»). Esta correspondencia está definida en el mismo conjunto y, además, esa relación binaria es de orden total, porque es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa.

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Una vez demostrado el carácter matemático de las funciones, que son las unidades lingüísticas en las que se producen los cφ, se pueden definir matemáticamente los mismos cφ.  efinición axiomática de cambio funcional (cφ): Un cφ es todo par orD denado [(p, sn-1), (p, sn)] perteneciente al grafo de la correspondencia definida entre los grafos de dos correspondencias determinadas por el conjunto de los emφ de una lengua por una parte, como conjunto inicial de ambas, y por los conjuntos de funciones Sn-1 y Sn de una misma lengua por otra, como conjuntos finales respectivos de cada una de ellas, tal que sn-1 y sn son distintos y Sn-1 y Sn son cronológicamente consecutivos. Sin embargo, cuando el conjunto final de ambas correspondencias es la unión de los dos conjuntos de funciones, el anterior y el posterior a un cφ dado (Sn-1 y Sn), dicha correspondencia es una RBOT y la definición de cφ también puede ser:  efinición axiomática de cambio funcional (cφ): Un cφ es todo par orD denado [(p, sn-1), (p, sn)] perteneciente al grafo de la correspondencia determinada por el conjunto de los em funcionales de una lengua, como conjunto inicial, y por RBOT definida en la unión de los conjuntos Sn-1 y Sn de las funciones de esa misma lengua, tal que sn-1 y sn son distintos y Sn-1 y Sn son cronológicamente consecutivos. Las funciones que componen los cφ se pueden definir matemáticamente igual que los elementos fonológicos o morfológicos que intervienen en ellos, pero sustituyendo el término elementum fonologicum o morphologicum por el término functio. Así, una functio mutans es toda φg de un par ordenado perteneciente al dominio de la correspondencia definida en un cφ o, lo que es lo mismo, toda φg de un par ordenado perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia definida en un cφ que tiene una imagen distinta de sí mismo. Una functio mutata es toda φg de un par ordenado perteneciente al rango de la correspondencia definida en un cφ o, lo que es lo mismo, toda φg de un par ordenado perteneciente al conjunto final de la correspondencia definida en un cφ que tiene una antiimagen distinta de sí mismo. Sin embargo, puede darse el caso de que existan varios cφ unidos o encadenados en una misma lengua, en cuyo caso dichos cambios no serían un par ordenado de funciones, sino una n-tupla ordenada perteneciente a la correspondencia definida entre varios conjuntos de pares ordenados con funciones cronológicamente consecutivas. En dicha correspondencia, una functio mutans puede ser a la vez una functio mutata del cambio anterior y una functio

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mutata puede ser al mismo tiempo una functio mutans del cambio siguiente. Esto sería un cφ múltiple. Definición axiomática de cambio funcional múltiple: Un cφ múltiple es una n-tupla ordenada [(p, s1), (p, s2), …(p, sn)] de la correspondencia definida entre el conjunto P del conjunto de los em funcionales de una lengua, por una parte, y varios conjuntos S1, S2, …Sn de funciones, por otra, tal que s1, s2, …sn son distintos y S1, S2, …Sn son cronológicamente consecutivos. Como los cφ simples, en los múltiples cada uno de los pares ordenados que los componen, por separado, también son relaciones binarias de orden parcial y, por lo tanto, los cφ múltiples son cadenas. Principio: Todo cφ múltiple es una cadena. Cada uno de los cambios simples que componen un cφ múltiple, por separado, es una relación binaria de orden parcial en las mismas condiciones que en los cambios simples, es decir, cuando los dos conjuntos de funciones que determinan la correspondencia son iguales (tienen los mismos elementos), y lo es siempre para la unión de ambos conjuntos. Pero, además, esa relación binaria es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa, por lo que esa relación binaria es de orden total y el conjunto de las funciones de una lengua es un conjunto ordenado. Por otra parte, los pares ordenados relacionados, que son los que componen cada una de las n-tuplas ordenadas de un cφ, forman un subconjunto que está totalmente ordenado, ya que las relaciones binarias definidas en él son también conexas, y por lo tanto, ese conjunto de relaciones binarias de orden parcial forma una cadena, por definición. Los cφ pueden ser de tres tipos, según las funciones mutacionales que participen en ellos: • cφ por sustitución: Es todo cφ en el que la functio mutans y la functio mutata son distintas. • cφ por sincretismo: Es todo cφ en el que la functio mutans es distinta de la functio mutata pero está incluida en ella. • cφ por concretismo o dicretismo: Es todo cφ en el que la functio mutans es distinta de la functio mutata pero la incluye. 6.4.4. La clasificación de las funciones gramaticales Una palabra se define como un gm que corresponde a un elemento semántico y, por tanto, puede estar formada por varios em o morfemas, que pueden ser de dos clases, léxicos o gramaticales. Y, a su vez, los em gramaticales pueden

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ser derivativos, que concretan o matizan el significado del lexema, o gramaticales, que no concretan ni matizan el significado del lexema, sino que sólo indican la φg de la palabra a la que pertenecen. Pues bien, el lexema de una palabra y los sufijos derivativos que lo acompañan forman la raíz o radical de esa misma palabra y constituyen un gm, mientras que los morfemas gramaticales se denominan desinencias, corresponden sólo a las φg de esa palabra y también constituyen un gm. Principio: Todo subconjunto de em de un mismo el es un gm. Como el conjunto de em de un mismo elemento léxico el es, por definición, un gm, ya que se ajusta a la definición de dicho concepto y, por tanto, verifica una RBOP, todo subconjunto de ese conjunto de em tiene que serlo también, porque todo subconjunto cumple todas las propiedades del conjunto al que pertenece. En efecto, todo subconjunto de em de una misma palabra se ajusta también a la definición de gm y verifica la misma RBOP que el gm al que pertenece, por lo que necesariamente tiene que ser también un gm. La raíz o radical de una palabra sería, pues, su grupo morfológico léxico o radical y las desinencias que tuviera, el grupo morfológico gramatical, siendo cada lexema y cada morfema derivativo un em radical y, cada una de las desinencias, un emφ Grupo morfológico léxico o radical (gmR o R): Es el gm formado sólo por los em léxicos de un mismo elemento léxico. Grupo morfológico gramatical (gmφ): Es el gm formado sólo por los em gramaticales de un mismo elemento léxico. 6.4.5. Los sistemas morfológicos Mediante el análisis morfológico de las palabras de una lengua, se pueden separar los gmR de los gmφ y se pueden estudiar por separado. No obstante, si bien los grupos radicales de una lengua son tantos como vocablos forman su léxico, y por tanto numerosísimos, los gmφ son muy pocos y siempre corresponden a las mismas φg. Debidamente ordenados según sus funciones, todos los gmφ de una misma palabra o, lo que es lo mismo, todos los que pueden ir unidos a un mismo gmR, verifican una RBOT, aunque artificial, y por lo tanto, se pueden considerar como un sistema, que sería el sistema morfológico de una lengua y equivale aproximadamente a lo que se ha denominado tradicionalmente paradigma. El sistema morfológico se puede definir provisionalmente así:

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 istema morfológico ( m o Sm): Es el conjunto ordenado de todos los gmφ S que pueden acompañar a un mismo gmR. Una definición algo más amplia es la que equivaldría al concepto de paradigma, que sería el sistema léxico al que pertenecen los gmφ que pertenecen a un Sm, y sería la siguiente: Sistema léxico o paradigma ( l o Sl): Es el conjunto ordenado de todos los elementos léxicos que comparten el mismo gmR. El carácter matemático de los Sm de una lengua se puede demostrar también directamente, a partir de los em que los forman y de las φg a las que corresponden, mediante una serie de axiomas y de principios: Axioma 1: Los em correspondientes a todas las φg de una lengua cualquiera forman un conjunto. Axioma 2: El conjunto formado por todos los em correspondientes a las φg de una lengua es un conjunto determinado, porque existe un criterio lo suficientemente claro para poder decidir si un elemento pertenece o no a él. Axioma 3: Todo em que corresponde a una φg de una lengua es un elemento del conjunto de todos los em de esa misma lengua. Estos tres axiomas permiten enunciar tres principios, que ya han sido enunciados y demostrados para las φg y que se deducen tanto de ellos como de las definiciones de lenguaje, lengua y φg:  rincipio 3.1: Todo Sm de una lengua está formado por dos conjuntos P distintos, el conjunto de las φg y el conjunto de los em de esas mismas φg. Por definición de φg, todo es corresponde a una función y, por tanto, todo emφ o gramema que pertenezca a él, por definición, también. Principio 3.2: Los dos conjuntos que forman el Sm de una lengua, el de las φg y el de los emφ de éstas, están relacionados entre sí. Principio 3.3: La relación existente entre los dos conjuntos que forman parte de un Sm de una lengua, el de las φg y el de los emφ de éstas, es de carácter matemático. La demostración de este último principio se puede realizar aplicando la teoría de conjuntos a los conceptos de φg y em mediante las definiciones matemáticas ya conocidas y de una serie de principios deducidos de ellas. Las definiciones previas son las de par, par ordenado, producto cartesiano,

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correspondencia entre conjuntos, correspondencia inversa, grafo de una correspondencia y aplicación. Aplicando estas definiciones matemáticas a las definiciones lingüísticas, axiomas y principios anteriores, así como al principio que se ha de demostrar, se pueden enunciar a su vez los siguientes principios:  rincipio 3.3.1: Todo em de una φg de una lengua forma un par ordenado P con esa misma φg a la que se refiere. Como cada em está relacionado con una φg y, como las φg y los em son elementos de dos conjuntos distintos, por definición forman un par ordenado. Todos los pares ordenados que sería posible formar con todos los elementos de los dos conjuntos que forman una lengua, el de las φg y el de los emφ de éstas, constituyen el producto cartesiano de ambos conjuntos. Sin embargo, ésta no es la relación real que hay entre los dos conjuntos del lenguaje, ya que cada φg no está relacionada con los em de todas las demás φg de esa misma lengua, sino con un solo em y, sólo excepcionalmente, con alguno más. Y viceversa, cada em no está relacionado con todas las φg o, mejor dicho, el em de cada φg de una lengua determinada no está relacionado con todas las demás φg de esa misma lengua, sino solamente con una y, sólo excepcionalmente, con alguna más. Por lo tanto, la relación existente entre los dos conjuntos que forman una lengua no es en realidad el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de éste, porque en una lengua no existen todos los pares ordenados que se pueden formar con las φg y con los emφ de éstas, sino sólo una parte de ellos, o sea, un subconjunto del producto cartesiano. Y, en Matemáticas, existe un concepto específico para definir un subconjunto del producto cartesiano, que es el de correspondencia entre conjuntos, lo que permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a una lengua de la definición de correspondencia:  rincipio 3.3.2: Los dos conjuntos que forman una lengua determinan o P definen entre sí una correspondencia entre conjuntos, en la que el conjunto inicial es el de los em gramaticales y el conjunto final, el de las φg. Los dos conjuntos que forman una lengua, el de los emφ y el de las φg que los representan, se ajustan perfectamente a la definición matemática de correspondencia entre conjuntos, porque los pares ordenados que forman constituyen un subconjunto del producto cartesiano de esos dos conjuntos. La posición ocupada por los em dentro del Sm al que pertenecen debe corresponder al orden artificial de las funciones sintácticas a las que corresponden. Esto quiere decir que, tanto en un Sm como en su sistema semántico correspondiente, además de la relación binaria establecida por cada uno de

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los em, se define también una RBOT, que es la misma en los dos conjuntos que definen la correspondencia. Por lo tanto, los elementos de un Sm forman un conjunto en el que se verifica una RBOT:  rincipio: En el conjunto de los emφ de una lengua que forman la cadena P o n-tupla ordenada de un Sm se define una RBOT. Es una RB porque todos los emφ que forman la n-tupla ordenada de un Sm pertenecen al mismo conjunto, y esa RB es una RBOT porque es reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa.  rincipio: Toda cadena o n-tupla ordenada de un Sm es un conjunto toP talmente ordenado. Por definición, una cadena es «una parte totalmente ordenada de un conjunto ordenado» y un conjunto ordenado es aquel en el que se define una RBO y un subconjunto o parte totalmente ordenada es aquel en el que se define una RBOT. En el conjunto de los emφ que forman la cadena o n-tupla ordenada de un Sm se define una relación binaria de orden total porque cumple la propiedad reflexiva, la antisimétrica, la transitiva y la conexa, ya que todos los emφ que forman un Sm están relacionados entre sí. Por lo tanto, el conjunto de los emφ que forman la cadena o n-tupla ordenada de un Sm es un conjunto totalmente ordenado. Un Ss, por tanto, es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden parcial definida de forma artificial en el conjunto M de los em de una lengua y, como tal n-tupla ordenada de una relación binaria, todos sus componentes pertenecen a un mismo conjunto, que no es otro que el de los emφ de una lengua. Dicho conjunto se puede dividir en subconjuntos en base a alguna propiedad que posean todos sus elementos o, más concretamente, en base a las φg de todos ellos. A su vez, estos subconjuntos se pueden subdividir en otros menores en base a otras φg de los elementos que los formen, y así sucesivamente hasta agotar todas las funciones que posean los em que forman cada uno de esos subconjuntos. Todos estos subconjuntos son determinados y la propiedad o característica que determina a cada uno de ellos es la φg de sus elementos. Pero, entonces, ese Sm ya no es una relación binaria, sino una correspondencia entre conjuntos, porque cada uno de los componentes que forman la n-tupla ordenada que lo define ya no pertenecen al mismo conjunto, el de los em, sino que cada uno de ellos pertenece a uno de los subconjuntos incluidos en él, que son diferentes entre sí. Y lo mismo ocurre con las φg a las que corresponden esos emφ.

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 rincipio: Todo Sm es una cadena o n-tupla ordenada de la corresponP dencia determinada por n subconjuntos del conjunto de los emj de una lengua y por n subconjuntos del conjunto de las φg. Este principio no es más que la consecuencia de los principios enunciados anteriormente ya que, si todo Sm es un elemento del grafo de una relación binaria de orden parcial definida en el conjunto de todos los em de una lengua, y si toda relación binaria es, por definición, una correspondencia definida dentro de un mismo conjunto, entonces todo Sm será, al mismo tiempo, un elemento del grafo de esa misma correspondencia definida en el conjunto de todos los em de una lengua, según la regla de inferencia del silogismo. Dado que el conjunto de los em gramaticales de una lengua está formado por multitud de subconjuntos determinados por alguna propiedad que cumplan sus elementos, que es la φg a la que corresponden, esa correspondencia, cuyo grafo está formado por todos los Sm que se pueden formar con los em de una lengua, está determinada por los subconjuntos que forman el conjunto de los em de esa misma lengua. Esta misma demostración es válida también, ademas de para todos los emφ, para los grupos morfológicos, es o ‘Ss que corresponden a alguna φg y también para todos aquellos que corresponden a algún elemento semántico accidental o accidente gramatical.  rincipio: Los principios anteriores se cumplen también, además de P para todos los em gramaticales, para los gmφ, es o ‘Ss que corresponden a alguna φg. Todas estas unidades lingüísticas son los distintos modos de expresar las φg dentro de un Ss, por lo que se comportan de la misma forma y el conjunto al que pertenece cada una de ellas determina una correspondencia análoga con el conjunto de las φg.  rincipio: Los principios anteriores se cumplen también, además de para P todos los em gramaticales, gmφ, es y ‘Ss correspondientes a alguna φg, para todos aquellos que corresponden a algún elemento semántico accidental o accidente gramatical. Todas estas unidades lingüísticas, además de expresar las φg dentro de un Ss, son también los distintos modos de expresar los accidentes gramaticales, por lo que se comportan con éstos de la misma forma que con las funciones, y el conjunto al que pertenece cada una de ellas determina una correspondencia con el conjunto de los accidentes gramaticales análoga a la que determinan con el conjunto de las φg.

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 rincipio: Todos los em son gm unitarios, ya que sólo están formados por P un em. Principio: Todos los es son ‘Ss unitarios, ya que sólo están formados por un es. Principio: El conjunto de los gmφ de una lengua determina una correspondencia con la unión del conjunto de las φg. Si el conjunto de los gmφ de una lengua determina una correspondencia con el conjunto de las φg, determina también una correspondencia con la unión de estos dos conjuntos, por definición de unión de conjuntos. Principio: El conjunto de los elementos léxicos de una lengua que comparten un mismo gmR determina una correspondencia con el conjunto de los elementos semánticos a los que corresponden. Como el conjunto de los elementos léxicos de una lengua que comparten un mismo gmR es un subconjunto del léxico de una lengua, verifica todo aquello que también verifique el conjunto al que pertenece y, por tanto, determina una correspondencia con el conjunto de los elementos semánticos a los que corresponden dichos elementos léxicos. A partir de estos principios, se puede definir matemáticamente el concepto de Sm: Definición axiomática de sistema morfológico (Sm o m): Es la correspondencia determinada por el conjunto de los gmφ de una lengua, que es el formado por todos los grupos morfológicos pertenecientes a todos los es que comparten el mismo gmR, y por la unión de los conjuntos de las φg y de los elementos semánticos, tal que cada uno de los dos conjuntos verifica una RBOT. Igualmente, se puede definir matemáticamente el concepto de sistema léxico, que en realidad sólo se diferencia del concepto de Sm en que aquél está formado por palabras completas y sin analizar morfológicamente, mientras que éste lo está por los grupos morfológicos que forman esas mismas palabras y, por tanto, por las palabras analizadas morfológicamente identificando y separando los distintos em que las forman.  efinición axiomática de sistema léxico o paradigma ( l): Es la coD rrespondencia determinada por la unión de un conjunto de los es que comparten el mismo gmR y de un conjunto de ‘Ss preposicionales o de gs que comparten un mismo es principal, todos ellos pertenecientes al Sm de una lengua, y por el conjunto de elementos semánticos a los que esos

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elementos, subsistemas y gs corresponden, tal que cada uno de los dos conjuntos verifica una RBOT definida artificialmente. 6.4.6. La clasificación de los sistemas morfológicos Los Sm de una lengua se pueden clasificar según las funciones y accidentes gramaticales a los que correspondan y, por tanto, según los em que incluyan los grupos morfológicos que los forman. Por lo tanto, como los es se pueden dividir en dos grandes grupos según las funciones y accidentes gramaticales que pueden expresar, los Sm de una lengua se pueden clasificar también en dos grandes grupos, correspondientes a los mismos de los elementos sintácticos:  m nominal o declinación ( mn): Es todo Sm que puede corresponder a S los elementos semánticos accidentales de género y número y a los casos. A su vez, los Sm nominales se pueden clasificar según la clase de es a las que pertenezcan los gmR. Sm verbal o conjugación ( mv): Es todo Sm que puede corresponder, además de a los elementos semánticos accidentales de género y número y a los casos, también a los elementos semánticos accidentales de voz, modo, tiempo, aspecto y persona. Las clases de Sm también tienen carácter matemático, igual que los es pertenecientes a ellas, y esto se ha de demostrar mediante una serie de principios. Sin embargo, la clasificación que se ha de utilizar para ello, por el momento, es la tradicional, porque la estructural es de carácter funcional, y para demostrar su carácter matemático es preciso haber demostrado antes la de las φg en las que se basa.  rincipio: Toda clase de Sm es un subconjunto determinado del conjunto P de todos los es de una lengua, ya que todos y cada uno de los elementos que la forman pertenecen también al conjunto de todos los es de esa misma lengua y existe un criterio lo suficientemente claro para saber si un elemento semántico cualquiera pertenece a ella o no, de tal manera que todos los elementos que la forman cumplen la propiedad o característica que define por comprehensión a esa categoría. Principio: El conjunto de todas las clases de Sm forma un recubrimiento del conjunto de todos los es de una lengua porque la unión de todas ellas es el conjunto de todos los es de una lengua cualquiera, de tal manera que todo es pertenece necesariamente a una clase de Sm y no existe ninguno que no pertenezca a ninguna de ellas.

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 rincipio: El conjunto de todas las clases de Sm forma una partición o P clasificación del conjunto de todos los es de una lengua porque es un recubrimiento, ya que la unión de todas ellas es el conjunto de todos los es de una lengua, y porque son conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos, de tal manera que todo es de una lengua pertenece necesariamente a una clase de Sm y solamente a una y no existe ninguna de ellas que carezca de es ni existe ningún es que no pertenezca a ninguna clase de Sm. Igualmente, las subclases de Sm también tienen carácter matemático, igual que las clases de Sm que las incluyen y que los es que a ellas pertenecen, y ello se ha de demostrar mediante una serie de principios:  rincipio: Toda subclase de Sm es un subconjunto determinado de una P clase de Sm, ya que todos y cada uno de los es que la forman pertenecen también a una clase de Sm y existe un criterio lo suficientemente claro para saber si un elemento semántico cualquiera pertenece a ella o no, de tal manera que todos los elementos que la forman cumplen la propiedad o característica que define por comprehensión a esa subcategoría. Principio: El conjunto de todas las subclases de Sm de una categoría forma un recubrimiento de la clase de Sm en la que está incluida porque la unión de todas ellas es la clase de Sm en la que están incluidas, de tal manera que todo es que pertenece a una clase de Sm, también pertenece necesariamente a una subclase de Sm y no existe ninguno que no pertenezca a ninguna de ellas. Principio: El conjunto de todas las subclases de Sm de una categoría forma una partición o clasificación de la clase de Sm en la que está incluida porque es un recubrimiento, ya que la unión de todas ellas es la categoría en la que está incluida, y porque son conjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos, de tal manera que todo es de una clase de Sm pertenece necesariamente a una subclase de Sm y solamente a una y no existe ninguna de ellas que carezca de es ni existe ningún es que no pertenezca a ninguna subclase de Sm. 6.4.7. Los subsistemas morfológicos Cada elemento de un gmφ del Sm de una lengua pertenece, a su vez, a un conjunto de em que corresponde a una misma φg y, además, es un conjunto determinado porque tiene una característica que lo define y que es la misma φg a la que corresponden todos sus elementos. Pues bien, todo conjunto determinado de emφ de una lengua que corresponden a una misma φg y pertenecen uno a cada gmφ del Sm de una lengua, ordenados según la φg que co-

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rresponde a todos los elementos de ese conjunto verifican una RBE definida por la propiedad de corresponder a una misma φg y, por tanto, son una clase de equivalencia y se pueden considerar como un subsistema morfológico de la lengua a la que pertenecen. Un ‘Sm se puede definir provisionalmente así:  ubsistema morfológico (‘ m o ‘Sm): Es todo subconjunto ordenado de S todos los em gramaticales de una lengua correspondientes a una misma φg y pertenecientes al Sm de esa lengua. Una definición algo más amplia es la que equivaldría al concepto de paradigma, por lo que se puede denominar ‘Sm paradigmático, y sería:  ubsistema morfológico paradigmático (‘ mp o Smp): Es todo conjunto S ordenado de todos los elementos léxicos o palabras que comparten el mismo gm y algún emφ. Y, como todas las unidades lingüísticas analizadas anteriormente, los ‘Sm también tienen carácter matemático.  rincipio: Un ‘Sm es una unidad lingüística susceptible de ser descrita P matemáticamente. Los ‘Sm forman un subconjunto dentro del conjunto que forma el Sm al que pertenece, y todo elemento de un subconjunto participa de las propiedades que tengan los elementos del conjunto al que pertenece dicho subconjunto porque, a su vez, también pertenece al conjunto que incluye al subconjunto al que pertenece. Sin embargo, para definir matemáticamente a un ‘Sm, no basta con decir esto, sino que hay que expresar matemáticamente esa relación entre ambas unidades lingüísticas y, para ello, hay que demostrar además su carácter matemático por sí mismo, de forma independiente. En efecto, el carácter matemático de los ‘Sm de una lengua se puede demostrar también directamente, de forma análoga a como se hizo con los morfemas, las palabras o los elementos semánticos, es decir, mediante una serie de axiomas y de principios: Axioma 1: Los ‘Sm de un Sm cualquiera forman un conjunto. Axioma 2: El conjunto formado por todos los ‘Sm de un Sm es un conjunto determinado, porque existe un criterio lo suficientemente claro para poder decidir si un elemento pertenece o no a él. Axioma 3: Todo ‘Sm de un Sm es un elemento del conjunto de todos los ‘Sm de ese Sm. Estos tres axiomas permiten enunciar tres principios, deducidos tanto de ellos como de las definiciones de ‘Sm y del subsistema semántico:

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 rincipio 3.1: En la mente de todos los hablantes de una lengua cualP quiera existen dos conjuntos distintos, el conjunto de las φg y el conjunto de los ‘Sm equivalentes a esas mismas φg. Si cada subsistema morfológico pertenece al conjunto de los ‘Sm de un Sm y cada función, al de las φg, los ‘Sm y las φg son elementos de dos conjuntos distintos, por definición.  rincipio 3.2: El conjunto de los ‘Sm de un Sm y el de las φg corresP pondientes a ellos están relacionados entre sí, ya que todo ‘Sm de un Sm corresponde a una φg. Principio 3.3: La relación que hay entre el conjunto de los ‘Sm de un Sm y el de las φg y elementos semánticos accidentales a los que aquéllos equivalen es de carácter matemático. La demostración de este último principio se puede realizar aplicando la teoría de conjuntos a los conceptos de subsistema semántico y de ‘Sm mediante las definiciones matemáticas ya conocidas y de una serie de principios deducidos de ellas. Las definiciones previas son las de par, par ordenado, producto cartesiano, correspondencia entre conjuntos, correspondencia inversa, grafo de una correspondencia y aplicación. Aplicando estas definiciones matemáticas a las definiciones lingüísticas, axiomas y principios anteriores, así como al principio que se ha de demostrar, se pueden enunciar los siguientes principios:  rincipio 3.3.1: Todo ‘Sm de un Sm forma un par ordenado con la φg o P elemento semántico accidental al que corresponde. Puesto que cada ‘Sm está relacionado con una φg y las φg y los ‘Sm son elementos de dos conjuntos distintos, por definición forman un par ordenado. Todos los pares ordenados que sería posible formar con todos los elementos de estos dos conjuntos, el de los subsistemas semánticos y el de los ‘Sm de un Sm, constituyen el producto cartesiano de ambos conjuntos. Sin embargo, ésta no es la relación real que hay entre los dos conjuntos del lenguaje, ya que cada subsistema semántico no está relacionado con todos los ‘Sm de esa misma lengua, sino con uno solo. Y viceversa, cada ‘Sm de un Sm no está relacionado con todas las φg y elementos semánticos accidentales, sino solamente con una. Por lo tanto, la relación que existe entre los dos conjuntos no es en realidad el producto cartesiano, sino sólo un subconjunto de éste, porque no existen todos los pares ordenados que se pueden formar con los subsistemas semánticos y con los ‘Sm de éstos, sino sólo una parte de ellos, o sea, un subconjunto del producto cartesiano. Y, en Matemáticas, exis-

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te un concepto específico para definir un subconjunto del producto cartesiano, que es el de correspondencia entre conjuntos, lo que permite enunciar el siguiente principio, que se desprende de la simple aplicación a una lengua de la definición de correspondencia:  rincipio 3.3.2: El conjunto de los ‘Sm de un Sm y el conjunto de las φg P determinan una correspondencia entre conjuntos, en la que el conjunto inicial es el de los ‘Sm y el conjunto final es el de las φg. Ambos conjuntos forman un subconjunto del producto cartesiano de esos dos conjuntos mencionados. De este principio, se deriva una consecuencia inevitable, que se puede expresar mediante el siguiente principio:  rincipio: Todo ‘Sm es una cadena o n-tupla ordenada cuyos compoP nentes pertenecen a un Sm y verifican la misma RBOT que el Sm al que pertenecen. Todo ‘Sm es un subconjunto de un Sm y, por definición, todo Sm es una cadena o n-tupla ordenada y verifica una RBOT y, como todo susbsistema está incluido en un sistema, todo subsistema también la verifica. Un ‘Sm, por tanto, es una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden parcial definida en el conjunto P de los em de un Sm y, como tal n-tupla ordenada de una relación binaria, todos sus componentes pertenecen a un mismo conjunto, que no es otro que el de los grupos morfológicos de un Sm. Dicho conjunto se puede dividir en subconjuntos en base a alguna propiedad que posean todos sus elementos o, más concretamente, en base a las funciones o accidentes gramaticales de todos ellos. A su vez, estos subconjuntos se pueden subdividir en otros menores en base a otras funciones o accidentes gramaticales de los elementos que los formen, y así sucesivamente hasta agotar todas las funciones que posean los em que forman cada uno de esos subconjuntos. Todos estos subconjuntos son determinados y la propiedad o característica que determina a cada uno de ellos es la φg o elemento semántico accidental de sus elementos. Pero, entonces, ese ‘Sm ya no es una relación binaria, sino una correspondencia entre conjuntos, porque cada uno de los componentes que forman la n-tupla ordenada que lo define ya no pertenece al mismo conjunto, el de los em, sino que cada uno de ellos pertenece a uno de los subconjuntos incluidos en él, que son diferentes entre sí. Y lo mismo ocurre con la φg o elemento semántico accidental al que corresponde, ya que las funciones y accidentes gramaticales son de naturaleza semántica y, por tanto, el conjunto de las funciones y accidentes gramaticales también se puede dividir en subconjuntos determinados, con lo que el conjunto de las

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funciones o accidentes gramaticales de dichos elementos, además de ser una RBOT, también es una correspondencia determinada por varios subconjuntos determinados de φg y elementos semánticos accidentales. Principio: Todo ‘Sm es una cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por n subconjuntos del conjunto de los em de un Sm y por n funciones gramaticales φg. Si todo ‘Sm es un elemento del grafo de una relación binaria de orden parcial definida en el conjunto de todos los grupos morfológicos de un Sm, y si toda relación binaria es, por definición, una correspondencia definida dentro de un mismo conjunto, entonces todo ‘Sm será, al mismo tiempo, un elemento del grafo de esa misma correspondencia definida en el conjunto de todos los emφ de un Sm, según la regla de inferencia del silogismo. Dado que el conjunto de los em de un Sm está formado por multitud de subconjuntos determinados por alguna propiedad cumplida por sus elementos, esa correspondencia, cuyo grafo está formado por todos los grupos morfológicos que se pueden formar con los em de un Sm, está determinada por los subconjuntos formados por el conjunto de los em de esa misma lengua. Este último principio permite enunciar con mayor exactitud la definición matemática de ‘Sm. Por lo tanto, y después de estos principios precedentes, un ‘Sm se puede definir también así: Subsistema morfológico (‘ m o ‘Sm): Un ‘Sm es una cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por n subconjuntos determinados del conjunto de los em de un Sm cuya imagen es una n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por n subconjuntos determinados del conjunto de las φg, todo ello dentro de la correspondencia determinada por el conjunto Gs de los grupos morfológicos de un Sm y por el conjunto de las φg, en los que se define a su vez una RBOT. Sin embargo, no todos los subconjuntos de grupos morfológicos son ‘Sm, sino sólo aquellos que cumplen una determinada condición: que correspondan a una misma función gramatical o elemento semántico accidental.  rincipio: Un subconjunto de un Sm es un ‘Sm si y sólo si todos sus eleP mentos corresponden a una misma φg. Todo ‘Sm pertenece a un Sm, además de pertenecer a dicho Sm, es un subconjunto determinado y entonces, por definición, tiene una característica ya que todo ‘Sm corresponde necesariamente a una misma φg. A partir de este principio, que define los ‘Sm como elementos del conjunto inicial de una correspondencia, se pueden enunciar otros principios:

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 rincipio: Todo ‘Sm es un conjunto determinado incluido en un Sm y que P corresponde a una misma φg cuya antiimagen es ese mismo ‘Sm. Si todo ‘Sm está incluido en un Sm y es, por tanto, un subconjunto determinado suyo, entonces el conjunto de las imágenes de los elementos de ese subsistema será necesariamente un subconjunto también determinado de las φg a las que corresponde ese Sm. Y un subconjunto determinado de un sistema morfológico es necesariamente un ‘Sm, cuya característica es la de verificar una RBE. Además de todo esto, los ‘Sm se diferencian de los grupos morfológicos en que son subconjuntos determinados de em: Principio: Los em de todo ‘Sm forman un conjunto determinado. Un ‘Sm no es lo mismo que un subgrupo morfológico. Para ello, los em que forman un ‘Sm deben formar un conjunto que tenga una característica, es decir, deben verificar una propiedad determinada porque, de lo contrario, un subsistema no sería más que un subgrupo morfológico, aunque esté incluido en un Sm. Esa característica o propiedad común es, pues, lo único que diferencia a un ‘Sm de un subgrupo morfológico. Sin embargo, para poder definir correctamente un ‘Sm, es necesario precisar cuál es esa característica que poseen todos sus elementos. Para ello, basta con tener en cuenta que todos los em tienen una φg dentro del Sm al que pertenecen. Pero, además, existen varios elementos de un mismo Sm que comparten una misma φg, coincidiendo siempre que esos em de un mismo Sm que comparten la misma φg forman un conjunto determinado, cada uno de cuyos elementos pertenece al mismo tiempo a un grupo morfológico diferente. Como cada grupo morfológico de un Sm corresponde siempre a una función o accidente gramatical, el conjunto de todos ellos es un ‘Sm. Esta relación tiene carácter matemático y se puede expresar matemáticamente, ya que constituye una RBE, por lo que ésta es la condición que debe cumplir todo subconjunto de grupos morfológicos para ser considerado un ‘Sm, que sea un conjunto determinado y que su característica sea la RBE definida por la propiedad de que sus elementos «comparten la misma φg».  rincipio: Todo ‘Sm es un subconjunto de un Sm que verifica una RBE P definida por la propiedad de que sus elementos «comparten una misma función gramatical». Todo ‘Sm verifica una relación binaria porque, al estar incluido por definición en un Sm, verifica una RBOT y, por lo tanto, una RB. Pero, además de esa RBOT, verifica también una RBE porque esa RB es reflexiva, simétrica

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y transitiva con respecto a la propiedad de que sus elementos «comparten una misma función gramatical». La propiedad reflexiva y la transitiva ya las cumple por ser también RBOT, y la simétrica la cumple porque si un par (a, b) verifica la relación, también lo hace su par transpuesto (b, a).  rincipio: Todo ‘Sm es una clase de equivalencia del elemento semántico P semantémico del sistema semántico con el que están relacionados todos sus elementos, ya que es el subconjunto formado por los elementos del Sm que lo incluye que son equivalentes a un mismo elemento semántico semantémico o sistema semántico. Principio: Todo Sm es un conjunto cociente o familia de clases de equivalencia, ya que está formado por subsistemas y dichos subsistemas forman una partición. A partir de estos principios, los ‘Sm ya se pueden definir matemáticamente: Definición axiomática de subsistema morfológico (‘ m o ‘Sm): Es todo subconjunto de subgrupos morfológicos incluido en un Sm que define una cadena o n-tupla ordenada y una correspondencia con el conjunto de φg y que verifica la RBE definida por la propiedad de que sus elementos «comparten una misma función gramatical» y que, por tanto, constituye una clase de equivalencia de la función con la que están relacionados todos sus elementos dentro del Sm al que pertenecen. Igual que los Sm, los ‘Sm de una lengua se pueden clasificar según las funciones y accidentes gramaticales a los que correspondan los grupos morfológicos que los forman y, por tanto, según los em que incluyan esos grupos morfológicos que los forman. Por lo tanto, como los elementos y gs, y también los Sm, se pueden dividir en dos grandes grupos según las funciones y accidentes gramaticales que pueden expresar, los ‘Sm de una lengua se pueden clasificar también en dos grandes grupos, correspondientes a los mismos de los elementos sintácticos y, sobre todo, de los Sm en los que están incluidos: ‘ Sm nominal (‘ mv): Es todo ‘Sm incluido en un Sm nominal y que, por tanto, puede corresponder a las funciones de género y número y a los casos. A su vez, los ‘Sm nominales se pueden clasificar según la φg con la que definan una RBE todos los grupos morfológicos pertenecientes a cada uno de ellos. Subsistema morfológico verbal (‘ mv): Es todo ‘Sm incluido en un Sm verbal y que, por tanto, puede corresponder, además de a los elementos

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semánticos accidentales de género y número y a los casos, también a las funciones gramaticales de voz, modo, tiempo, aspecto y persona. A su vez, los ‘Sm nominales pueden clasificarla según la φg con el que definan una RBE todos los grupos morfológicos pertenecientes a cada uno de ellos. Todas estas clases de ‘Sm, tanto nominales como verbales, se pueden combinar de todas las formas posibles y con todas las funciones y accidentes gramaticales existentes, porque combinadas aparecen las funciones y accidentes gramaticales en los paradigmas, es decir, en la declinación y en la conjugación. Así, puede haber un ‘Sm nominal masculino plural, o un ‘Sm verbal pasivo, de pretérito imperfecto de subjuntivo, por ejemplo. Evidentemente, el ‘Sm que defina una RBE con todas las funciones y accidentes gramaticales existentes para un gm determinado, sólo tendrá un grupo morfológico y será un conjunto unitario. De la misma forma, la cantidad de grupos morfológicos de un subsistema será menor cuanto mayor sea la cantidad de funciones y accidentes gramaticales que lo definan, y mayor, cuanto menor sea esta última cantidad, por lo que se puede afirmar que la cantidad de grupos morfológicos de un subsistema es inversamente proporcional a la cantidad de funciones y accidentes gramaticales que lo definan.  rincipio: La cantidad de grupos morfológicos de un subsistema es inP versamente proporcional a la cantidad de funciones gramaticales que lo definen. La cantidad de grupos morfológicos de un subsistema no es más que su definición por extensión y la cantidad de funciones gramaticales que lo definen no es más que su definición por comprehensión. Y la definición por extensión y por comprehensión siempre son inversamente proporcionales. Así, la máxima comprehensión de ese subsistema es la unidad, mientras que la mínima comprehensión es la totalidad, es decir, el Sm en el que está incluido. 6.4.8. La estructura morfológica Sin embargo, cuando los elementos léxicos que forman un ‘Sm verbal sólo se diferencian en los em de un único caso, y por lo tanto, tienen todos los demás em comunes, entonces ese ‘Sm verbal coincide con lo que se conoce normalmente con el nombre de flexión verbal. El concepto de flexión nominal, sin embargo, coincide con el de Sm nominal. Definición axiomática de flexión verbal: Es todo ‘Sm verbal casual cuyos elementos léxicos varían sólo en los em de un único caso.

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El conjunto de las funciones gramaticales de un sistema morfológico o SM, ordenadas de la misma forma que están los em incluidos en él, define y caracteriza a ese SM y, como es el mismo conjunto que define y caracteriza a todos los SM que están formados por los mismos em y como sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los SM análogos, se puede admitir que ese conjunto de φg, ordenadas conforme a la disposición que presentan los em a los que corresponden, constituyen la estructura morfológica de ese conjunto de SM análogos. Las clases de em de un SM, ordenadas también de la misma forma que están los em incluidos en él, también definen y caracterizan a ese SM, aunque según un criterio distinto al de las φg. Y como sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los SM análogos, puede admitirse que ese conjunto de clases de em, ordenadas conforme a la disposición que presentan los em a los que corresponden, también constituyen la estructura morfológica de ese conjunto de SM análogos. Y lo mismo ocurre con el conjunto de las clases de em de un SM, de manera que ese conjunto de clases de em, ordenado conforme a la disposición que presentan los elementos a los que corresponden, también constituye la estructura morfológica de ese conjunto de SM análogos, porque también define y caracteriza a ese SM, aunque según un criterio distinto al de las φg y al de los em, y porque sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los SM análogos. De aquí se infiere que la estructura de un SM o de un conjunto de ellos es el conjunto de las φg, de las clases de em o de las clases de em correspondientes a los em o a los elementos incluidos en ese SM o en ese conjunto de ellos y ordenadas conforme a la disposición que presentan los em o los elementos a los que corresponden. Sin embargo, ese conjunto de φg, de clases de em o de los elementos incluidos en un SM no es más que el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los em o los elementos que forman un SM, precisamente porque tanto las φg, como las clases de em y las clases de em son las características de los conjuntos que determinan. Por otra parte, a la estructura de un SM o de un conjunto de ellos se le puede denominar estructura morfológica y se puede definir:  structura morfológica (Σm o EM): Es el conjunto de las características E de los conjuntos a los que pertenecen los elementos que forman un SM, ordenadas conforme a la disposición que en él presentan los em a los que corresponden. Cuando más de una φg se expresa mediante un mismo em, o sea, cuando un elemento del conjunto inicial tiene más de una imagen, o al contrario,

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cuando una misma φg se puede expresar mediante más de un ‘SM, o sea, cuando un elemento del conjunto final tiene más de una antiimagen, entonces las φg se expresan por medio del orden de los ‘SM dentro del sistema al que pertenecen, basándose en el principio de que todo SM y su EM definen un isomorfismo entre estos dos conjuntos ordenados. En las lenguas en la que esto ocurre, la EM es siempre fija e inflexible, en mayor grado cuanto menos se puedan expresar las φg por medio de ‘SM. Y todos los SM y los ’SM constituyen sendos isomorfismos con sus respectivas EMF:  rincipio: Todo SM y su EM correspondiente constituyen un isomorfisP mo, ya que definen una aplicación biyectiva y el orden de cada uno de sus respectivos elementos es el mismo. Principio: Todo ‘SM y su EM correspondiente constituyen un isomorfismo, ya que definen una aplicación biyectiva y el orden de cada uno de sus respectivos elementos es el mismo. Además, la EMF definida por comprehensión y la EMF definida por extensión de un mismo SM o ‘SM constituyen también un isomorfismo, como EMF que son. Principio: La EM definida por comprehensión de un SM o ‘SM y la EM definida por extensión de ese mismo SM o ‘SM constituyen también un isomorfismo, ya que definen una aplicación biyectiva y el orden de cada uno de sus respectivos elementos es el mismo. Puesto que la EM definida por comprehensión de un SM o ‘SM y la EM definida por extensión de ese mismo SM o ‘SM son, en realidad, dos maneras diferentes de expresar una misma EMF y, por tanto, son la EMF misma de un SM o de un ’SM, constituyen también un isomorfismo. Principio: Todo em o ‘SM es una EM unitaria. Un elemento es una variación con repetición de orden 1, de la misma forma que las demás EM no unitarias son variaciones con repetición de orden 2, 3, 4 o n. Tras estos principios, ya puede definirse matemáticamente el concepto de EM:  efinición axiomática de estructura morfológica (Σm o EM): Una EM D es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los em del SM al cual define por la propiedad «x antecede a y en el SM al que define» que, además, define un isomorfismo con cada uno de sus el y es una variación con repetición.

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Los EM se pueden subdividir, a su vez, en otros grupos más pequeños o subgrupos que están incluidos en ellos y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOT. Estas subestructuras morfológicas se pueden definir matemáticamente: Definición axiomática de subestructura morfológica (‘Σm o ‘EM): Es una cadena o n-tupla ordenada incluida en una EMV y, por tanto, cuyos componentes pertenecen a una EM y verifican la misma RBOT que el EM al que pertenecen. Sin embargo, las EM no son las mismas si los elementos que las forman son φg o clases de em, por lo que dichas estructuras se pueden clasificar en base a la naturaleza de las características de los conjuntos a los que pertenecen los em de los SM a los cuales definen. Como la naturaleza de estas características puede ser de dos clases, según sean funciones o clases, podrá haber también dos clases de EM, que denominaremos funcionales y nocionales, respectivamente. Las clases de EM, por tanto, son:  structura morfológica funcional (Σmφ o EMF): Aquella EM cuyos E elementos son todas las φg correspondientes a los subsistemas del SM al cual define. Estructura morfológica nocional (Σm o EMNc): Aquella EM cuyos elementos son todas las clases a las que pertenecen los subsistemas o los elementos del SM al cual define. Cada una de estas dos clases de EM puede ser, a su vez, simple o compuesta, según definan a un SM sintético o perifrástico: Estructura morfológica simple (Σm o EMS): Aquella EM que corresponde a un sistema o ‘SM sintético. Estructura morfológica compuesta (+Σm o EMC): Aquella EM que corresponde a un SM perifrástico. Para enunciar las definiciones matemáticas de las clases de EM no hay más que aplicar la definición de cada una de ellas a la definición general de EM:  efinición axiomática de estructura morfológica nocional (Σm o D EMNc): Es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las clases de em del SM al cual define por la propiedad «x antecede a y en el SM al cual define» que, además, define un isomorfismo con cada uno de sus el, es una variación con repetición y es el rango de la aplicación biyectiva que determina con el sistema o ‘SM al cual define.

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 efinición axiomática de estructura morfológica funcional (Σmφ o D EMF): Es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las φg a las que corresponden los em del sistema o ‘SM al cual define por la propiedad «x antecede a y en el SM al cual define» que, además, define un isomorfismo con cada uno de sus el, es una variación con repetición y es el rango de la aplicación biyectiva que determina con el sistema o ‘SM al cual define. Las EM se pueden representar mediante fórmulas, que serían distintas para ambos tipos. Ambas EM se diferencian en que las EMF están basadas en las EMNc y son una cocrección de estas últimas, ya que especifican las funciones de los em funcionales emφ que aparecen en aquéllas. Así, la EMNc sólo indica la posición ocupada por los em funcionales emφ con respecto al radical R y puede ser de cinco clases:  xterna: Es toda EMNc cuyos emφ preceden o se posponen siempre al E radical R. Es la más generalizada. Prerradical: Es toda EMNc cuyos emφ preceden siempre al radical R. EMNc = emφ R  osradical: Es toda EMNc cuyos emφ se posponen siempre al radical R. P Ésta es la de las lenguas indoeuropeas. EMNc = R emφ I nterna: Es toda EMNc cuyos emφ están incluidos siempre dentro del mismo radical R. Ésta es la EMNc de algunos ‘SM de las lenguas semíticas, que indican las φg mediante distintas combinaciones de vocales radicales. EMNc = R1, R2, R3, …, Rn / R1 = CV1CV2CV3, etc.  ixta: Es toda EMNc cuyos emφ a la vez preceden y se posponen al radiM cal R, o bien es externa e interna al mismo tiempo. Ésta es la EMNc de las lenguas semíticas, que combinan la EMNc interna y externa, y también de las lenguas que poseen un SM complejo, como, por ejemplo, el vasco, cuya EMNc es prerradical y posradical al mismo tiempo, aunque siempre externa. Evidentemente, las EM más interesantes y útiles son las funcionales, en las que los elementos que las forman son las φg correspondientes a los em del ‘SM al cual definen. Estas EMF se pueden expresar de dos maneras, por comprehensión, mediante las características de los em, y por extensión, mediante los em que corresponden a cada función:

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 EM funcional definida por comprehensión: Es la forma de expresar la EMF de un SM o ‘SM por medio de las φg de todos los em pertenecientes a dicho SM o ‘SM, es decir, por medio de las características de cada uno de los conjuntos de em pertenecientes a ese SM o ‘SM que corresponden a la misma φg. EM funcional definida por extensión: Es la forma de expresar la EMF de un SM o ‘SM por medio de todos los em pertenecientes a ese SM o ‘SM agrupados en cada uno de los conjuntos formados por todos los em de ese SM o ‘SM correspondientes a una misma φg. Como el verbo es el núcleo de todo SS y, además, es el elemento sintáctico que puede expresar las funciones sintácticas de todos o de la mayoría de los subsistemas sintácticos que forman un SS, la EMF del SMV de una lengua es una de las características que mejor define a una lengua, y no sólo a una lengua, sino la mayoría de las veces también a una familia lingüística completa en el caso de una EMF más general y menos detallada. Así, la EMF del SM de las lenguas, y sobre todo la EMV son como las características esenciales de los seres vivos que sirven de base para las clasificaciones taxonómicas de las ciencias naturales (Biología, Zoología, Botánica, etc.). Por tanto, la clasificación de las EMF permitiría clasificar a las distintas lenguas y familias lingüísticas, y constituir así un criterio muy válido para una clasificación de éstas. Una primera clasificación de las EMF es la que toma como base la característica más evidente y llamativa de todas, que no es otra que el número de casos que expresa el SM y, sobre todo, el SMV al que corresponde. Los casos se expresan en el SMV mediante las desinencias personales que, si existen, siempre expresan al menos el nominativo, sin perjuicio de que pudieran expresar también otros casos como el acusativo, el dativo o el ergativo o caso agente. Las clases de EMV sintéticas según el número de casos que incluyen son: EMV acasual: Es toda EM verbal que no posee ningún caso, ni siquiera el nominativo, y por tanto, carece de desinencias personales. Ésta es la EMV sintética propia de las lenguas llamadas monosilábicas, localizadas sobre todo en Asia Oriental, pero también es la EMV sintética propia de otras lenguas que han perdido las desinencias personales y, por tanto, la EMV sintética más compleja que tenían antes. Éste es el caso del sueco o del inglés, cuya EMV sintética es acasual porque han perdido las desinencias personales (excepto la de 3.ª persona singular en el presente del inglés, que ha quedado como residuo de la EMV anterior) y, por tanto, han perdido la EMV sintética unicasual que tuvieron en la antigüedad y que es la propia de la familia lingüística indoeuropea a la que pertenecen. Ésta

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es la clase a la que pertenece también la EMF sintética de las lenguas monosilábicas (chino, tailandés, vietnamita, etc.), aunque en estas lenguas, y a diferencia del sueco y del inglés, la EMF ha sido siempre acasual y, por tanto, no procede de una EMF sintética unicasual anterior. EMV unicasual: Es toda EM verbal que posee un único caso, que siempre es el nominativo, y por tanto, sólo posee una desinencia personal por cada persona, que siempre indica el sujeto del SS. Ésta es la EMV propia de las lenguas llamadas tradicionalmente flexivas o consideradas tradicionalmente como tales, como es el caso de las lenguas indoeuropeas, semíticas, etc., pero también era la EMV propia de otras lenguas que han perdido las desinencias personales, como es el caso del sueco o del inglés, cuya EMV es acasual porque han perdido las desinencias personales (excepto la de 3.ª persona singular en el presente del inglés, que ha quedado como residuo de la EMV anterior) y, por tanto, han perdido la EMV unicasual que tuvieron en la antigüedad y que es la propia de la familia lingüística indoeuropea a la que pertenecen. Igualmente, esta EMV unicasual también puede existir en las lenguas que tienen EMV más complejas, coexistiendo con dichas EMF. EMV bicasual: Es toda EM verbal que posee dos casos, uno de los cuales siempre es el nominativo. El otro puede ser cualquiera de los otros tres que pueden formar parte de la EMV: acusativo, dativo o ergativo. Por tanto, posee dos desinencias personales por cada persona, una que siempre indica el sujeto del SS y la otra que indica uno de los otros tres casos mencionados. Ésta es la EMV propia de las lenguas llamadas tradicionalmente aglutinantes o consideradas tradicionalmente como tales, y existe en lenguas como, por ejemplo, el georgiano, el quechua, el swahili o el vasco. Esta EMV bicasual coexiste normalmente con la unicasual en una misma lengua e, igualmente, también puede existir en las lenguas que tienen unas EMV más complejas, coexistiendo con dichas EMF. Según los casos que posea además del nominativo, la EMV bicasual puede ser de varias subclases: EMV bicasual intransitiva: Es toda EMV bicasual que, además del nominativo, posee sólo el caso dativo. Es la EMV nor-nori de la lengua vasca. EMV bicasual transitiva: Es toda EMV bicasual que, además del nominativo, posee sólo el caso acusativo o el ergativo. Según cuál de estos dos casos posea, a su vez puede ser: EMV bicasual activa: Es toda EMV bicasual transitiva que, además del nominativo o absolutivo, posee sólo el caso acusativo. Es la EMV del georgiano, por ejemplo.

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EMV bicasual ergativa: Es toda EMV bicasual transitiva que, además del nominativo o absolutivo, posee sólo el caso ergativo o agente. Es la EMV nor-nork o zer-nork de la lengua vasca, o sea, de la EMV del SMV nor-nork de la lengua vasca. EMV tricasual: Es toda EM verbal que posee tres casos, dos de los cuales siempre son el nominativo y el dativo. El otro puede ser cualquiera de los otros dos que puede formar parte de la EMV: el acusativo o el ergativo. Por tanto, posee tres desinencias personales por cada persona, una que siempre indica el sujeto del SS, otra que siempre indica el dativo y la última que indica una de los otros dos casos: el acusativo o el ergativo. Esta EMV es también propia de las lenguas denominadas tradicionalmente aglutinantes o consideradas tradicionalmente como tales, y existe en un número de lenguas todavía menor que las EMV bicasuales, como, por ejemplo, el swahili o el vasco. Esta EMV coexiste normalmente con la unicasual y con la bicasual en una misma lengua, y es la EMV propia de los verbos que son transitivos e indican también el objeto indirecto. Según los casos que posea además del nominativo y del dativo, la EMV tricasual puede ser de dos subclases: EMV tricasual activa: Es toda EMV tricasual que, además del nominativo y el dativo, posee sólo el acusativo. Es la EMV del georgiano, por ejemplo. EMV tricasual ergativa: Es toda EMV tricasual que, además del nominativo o absolutivo y el dativo, posee sólo el ergativo o agente. Es la EMV nor-nori-nork o zer-nori-nork de la lengua vasca, o sea, de la EMV del SM nor-nori-nork de la lengua vasca. Clase

Casos

Ejemplos de EMV

Acasual

Ninguna

sueco

Unicasual

N

vasco nor, indoeuropeo, semítico, etc.

Intransitiva

N, D

vasco nor-nori

Transitiva

N, E

vasco nor-nork

N, D, E

vasco nor-nori-nork

Bicasual Tricasual

Subclase

6.5. El método de análisis morfológico Ya se han definido matemáticamente los conceptos de sistema y subsistema morfológico, sistema y subsistema léxico y de EM, además de las respectivas clasificaciones. Para conocer cada una de estas unidades lingüísticas en una lengua concreta y para aplicar estos conceptos a la realidad lingüística, es

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preciso recurrir a una serie de reglas o, mejor dicho, a un método, y para que los resultados sean aceptables, ese método tiene que ser necesariamente científico. Como, de lo que se trata es de conocer los em de la declinación y de la conjugación de una lengua, dicho método consistirá en obtener el SM de esa lengua a partir de su sistema léxico o paradigma, porque el SM no es más que el sistema léxico analizado de una lengua. Y, para analizar un sistema léxico, hay que conocer los em que lo forman y en los que puede descomponerse. Pero además, y según la misma definición de elemento morfológico, hay que conocer las φg de cada uno de esos em, puesto que un em se define como:  lemento morfológico (em): Es todo grupo fonológico mínimo que reE presenta a algún elemento semántico o a alguna φg. Por lo tanto, para analizar un sistema léxico, hay que realizar dos operaciones, que se desprenden directamente de la definición anterior de em: • Conocer e identificar los em de ese SM. • Conocer la φg que representa cada em en ese SM concreto. El método de análisis en general es un procedimiento científico que se puede definir como «la descomposición de un todo, con distinción y separación de sus partes o elementos constitutivos, hasta llegar a conocer sus principios o elementos» (DRAE). El análisis morfológico no es más que la aplicación del método general de análisis a la Lingüística y, concretamente, a los paradigmas de la lenguas, por lo que se puede definir como el estudio de un sistema léxico de una lengua mediante su descomposición, por medio de la distinción y separación de todas las partes que lo constituyen y que representan su significado o alguna φg, hasta obtener todos los elementos más simples e indivisibles que representan a algún significado o φg. Como los elementos más simples e indivisibles que representan a algún significado o φg son los em, sustituyendo la definición por lo definido, el método de análisis morfológico se puede definir como el estudio de un sistema léxico de una lengua mediante su descomposición, por medio de la distinción y separación de todas las partes que lo constituyen y que representan su significado o alguna φg, hasta obtener todos los em que lo constituyen. Mediante el análisis morfológico de las palabras de una lengua, se pueden separar los grupos morfológicos radicales de los funcionales y se pueden también estudiar por separado. No obstante, si bien los grupos radicales de una lengua son tantos como vocablos forman su léxico, y por tanto numerosísimos, los grupos morfológicos funcionales son muy pocos y siempre corresponden a las mismas φg. Debidamente ordenados según sus funciones, todos los grupos morfológicos funcionales de una misma palabra o, lo que

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es lo mismo, todos los que pueden ir unidos a un mismo grupo morfológico radical, verifican una RBOT, aunque artificial, y por lo tanto, se pueden considerar como un sistema, que sería el SM de una lengua y equivale aproximadamente a lo que se ha denominado tradicionalmente paradigma. El SM se puede definir provisionalmente como:  istema morfológico ( m o SM): Es el conjunto ordenado de todos los S grupos morfológicos funcionales que pueden acompañar a un mismo grupo morfológico radical. Una definición algo más amplia es la que equivaldría al concepto de paradigma, que sería el sistema léxico al que pertenecen los grupos morfológicos funcionales pertenecientes a un SM, y sería:  istema léxico o paradigma ( l o SL): Es el conjunto ordenado de todos S los elementos léxicos o palabras que comparten el mismo grupo morfológico radical. Teniendo en cuenta estos dos conceptos, el método de análisis morfológico no es más que el paso de un sistema a otro, ya que el sistema léxico es el conjunto de el no analizados y el SM de ese sistema léxico es ese mismo sistema léxico pero ya analizado, es decir, descompuesto en todas sus partes indivisibles dotadas de algún tipo de significación. Por tanto, el método de análisis morfológico se puede redefinir de una forma más efectiva utilizando estos dos conceptos:  étodo de análisis morfológico (MAM): Es el procedimiento analítico M que permite la obtención del SM de un sistema léxico de una lengua. Teniendo en cuenta que tanto los em como los sistemas léxicos y los SM son matemáticos, el método de análisis morfológico también lo tiene que ser. Las definiciones matemáticas de las tres unidades lingüísticas que intervienen en el proceso de análisis morfológico son:  efinición matemática de elemento morfológico o morfema: Un em es D todo grupo fonético mínimo perteneciente al dominio de la correspondencia cuyo conjunto final está formado por los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa. Definición matemática de sistema léxico (SL) o paradigma: Es la correspondencia determinada, por una parte, por la unión de un conjunto de los elementos sintácticos que comparten el mismo grupo morfológico radical y de un conjunto de subsistemas sintácticos preposicionales o de grupos sintácticos que comparten un mismo elemento sintáctico principal, todos ellos pertenecientes al SM de una lengua, y por otra, por el

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conjunto de elementos semánticos a los que esos elementos, subsistemas y grupos sintácticos corresponden, tal que cada uno de los dos conjuntos verifica una RBOT. Definición matemática de sistema morfológico (SM): Es la correspondencia determinada por el conjunto de los grupos morfológicos funcionales de una lengua (que es el formado por todos los grupos morfológicos pertenecientes a todos los elementos sintácticos que comparten el mismo grupo morfológico léxico) y por la unión de los conjuntos de las φg, tal que cada uno de los dos conjuntos verifica una RBOT. Por extensión, es todo sistema léxico en el que se han identificado los elementos morfológicos dentro de cada uno de los elementos léxicos que lo forman. Sin embargo, para que el SM obtenido de un SL sea correcto y pueda ser utilizado en posteriores estudios, el procedimiento usado para el análisis morfológico tiene que ser científico y, para ello, el método de análisis morfológico tiene que basarse en el método científico, descrito anteriormente. La fase más importante del método científico es, sin lugar a duda, la verificación de las hipótesis, que en el caso del método de análisis morfológico, se ha de realizar por el método de inducción completa, que es posible utilizar en Lingüística gracias a su carácter matemático y a la forma matemática de estudiarla.  emostraciones por inducción completa o por recurrencia: ConsisD ten en demostrar mediante razonamientos lógicos de tipo inductivo que una hipótesis, inducida a partir de una serie más o menos grande de datos particulares, se cumple siempre para todos y cada uno de los datos particulares existentes que sean análogos a los observados. Este tipo de demostración es propio de las Matemáticas y se basa en un principio lógico según el cual, si una ley es cierta para un determinado valor de n, tiene que serlo también para todos los demás. Por tanto, este tipo de demostración sólo se puede utilizar cuando se pueda demostrar que una hipótesis se cumple siempre y consiste en: 1. Comprobar que la ley que se quiere demostrar es cierta para un primer valor de n. 2. Demostrar que si es cierta para un primer valor de n, lo es también para el valor siguiente, n + 1, por tanto, para todos los demás. Como la Lingüística ha sido matematizada y como, además, se ha demostrado su carácter matemático, se puede utilizar en principio la demostración por inducción completa. Sin embargo, en Lingüística, como en las ciencias

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naturales, a veces no es posible la demostración por inducción completa, porque no se conocen todos los datos particulares y porque la utilización de la gramática de una lengua por los hablantes presenta fenómenos irregulares que no son explicables por deducción. Estas irregularidades se reflejan en las excepciones, surgidas del uso de una lengua a través del tiempo e inexistentes en Matemáticas, que es la ciencia exacta por excelencia. Por ello, en Lingüística, la única demostración que se ha utilizado, cuando se ha usado alguna, ha sido la demostración por inducción incompleta y, debido a que no se conocen la mayoría de las veces todos los datos lingüísticos particulares, éste es el tipo de inducción que habrá que utilizar la mayor parte de las ocasiones en el método de análisis morfológico, aunque sin olvidar la inducción completa.  emostraciones por inducción incompleta: Consisten en demostrar D mediante razonamientos lógicos de tipo inductivo que una hipótesis, inducida a partir de una serie más o menos grande de casos particulares, se cumple para todos los casos particulares conocidos análogos a los observados, que no son todos los existentes pero sí los suficientes. Éste es el tipo de demostración que se utiliza en las ciencias naturales (Biología, Física, Química, Geología), porque en ellas no siempre se conocen todos los datos particulares existentes y, además, es imposible conocerlos todos la mayoría de las veces. Por ello, siempre pueden aparecer nuevos datos que contradigan las leyes y las teorías ya formuladas y que, por tanto, obliguen a formular nuevas hipótesis, aunque la probabilidad de que esto ocurra suele ser más remota cuanto mayor sea la cantidad de datos particulares que se hayan utilizado. Este tipo de demostración se caracteriza por usar el razonamiento inductivo, que es aquel tipo de razonamiento según el cual partiendo de lo particular o singular se llega a una conclusión general o universal. Esto es debido a que el antecedente contiene de una manera más explícita lo que en el consiguiente se formula de un modo general, ya que el antecedente de la inducción es una enumeración de los casos particulares contenidos en la ley general representada por el consiguiente. La estructura lógica de la inducción precisa distinguir una materia y una forma. La materia se haya constituida por las proposiciones y los términos y la forma es la conexión por la que el antecedente y el consiguiente integran una unidad lógica. La inducción puede ser de dos clases: Inducción completa o aristotélica: Es aquella clase de inducción en la cual en el antecedente se enumeran todos y cada uno de los casos particulares.

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Inducción incompleta o baconiana: Es aquella clase de inducción en la cual la enumeración de los casos particulares en el antecedente es incompleta pero suficiente. La inducción incompleta es, por tanto, imperfecta en sí misma, al no contar con todos los casos particulares que contiene. Por ello, necesita un fundamento lógico en el que apoyarse y ese fundamento lógico está basado en unos principios fundamentales: 1. Un hecho constantemente observado no se puede explicar por la casualidad. 2. Un hecho constantemente observado sólo se puede explicar por la naturaleza de una cosa o por una ley física. La razón de esto está en que un efecto constante exige una causa constante. 3. Si un fenómeno observado se debe a la naturaleza de una cosa o a una ley física, ese fenómeno se repetirá en todos los seres que posean esa naturaleza o en todos los seres en los que actúe esa ley física. 4. Una inducción completa es válida cuando la enumeración de casos o experiencias es tal que permite eliminar la casualidad y buscar como única explicación la naturaleza de una cosa o una ley física. En estos principios fundamentales de la inducción incompleta se basan los métodos experimentales utilizados por las ciencias naturales y que surgieron con la nueva Física del Renacimiento. Así, en el siglo xvi el filósofo inglés Francis Bacon estableció los procedimientos de investigación que deben utilizarse en las ciencias naturales. El método de Bacon está basado en la utilización de tablas y en un principio metodológico: Tabla de presencia: en la que se anotan las veces en las que dos fenómenos se dan juntos. Tabla de ausencia: en la que se anotan las veces en las que, al desaparecer un fenómeno, desaparece también el otro. Tabla de grados: en la que se anotan las veces en las que dos fenómenos varían al mismo tiempo y en la misma proporción. Para establecer la relación existente entre los dos fenómenos a los que se refieren estas tres tablas, se les aplica el siguiente principio:  rincipio: Si dos fenómenos siempre se dan juntos, si siempre que desP aparece uno desaparece también el otro, y si siempre varían al mismo tiempo y en la misma proporción, es legítimo suponer que existe una relación causal entre los dos, es decir, que uno es la causa del otro.

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En el siglo xix, el economista inglés John Stuart Mill (1806-1873) perfeccionó el método de Bacon con sus propios métodos: Método de concordancia: Si en la naturaleza o en el laboratorio se observa que un fenómeno H ha sido precedido de los fenómenos A, B y C, y en otra observación posterior se observa que el mismo fenómeno H está precedido por los fenómenos A, F y Z, la causa del fenómeno H será el fenómeno A. Método de variaciones: Dado un fenómeno H que se da después de los fenómenos A, B y C, si se hacen variar los fenómenos B y C y el fenómeno H no varía, pero si se hace variar el A, el H sí que varía, la causa del fenómeno H será el fenómeno A. Método de diferencia: Dado un fenómeno H que va seguido de los fenómenos A, B y C, si se suprimen los fenómenos B y C y el fenómeno H se sigue produciendo, pero si se suprime el A, el H ya no se produce, la causa del fenómeno H será el fenómeno A. Método de residuos: Dado un fenómeno complejo formado por los fenómenos simples A, B y C, que da origen a otro fenómeno complejo formado por los fenómenos simples H, H’ y H’’, si por algún método se ha comprobado que el fenómeno B es la causa del fenómeno H’ y el C es la causa del H’’, el fenómeno A será la causa del fenómeno H. Estos métodos científicos se pueden aplicar a los diversos métodos de verificación existentes y, sobre todo, a la experimentación y a la observación tanto directa como indirecta, que son las que se utilizan principalmente en la demostración por inducción incompleta. Como se puede comprobar, y a pesar de la imperfección inicial de este tipo de demostración, los métodos experimentales descritos anteriormente, u otros fundamentados en ellos, hacen que los resultados obtenidos mediante la demostración por inducción incompleta sean totalmente fiables y que los hechos o fenómenos demostrados de esta manera se puedan considerar totalmente verificados. Estos dos métodos científicos son aplicables también a la Lingüística y, concretamente, al método de análisis morfológico, y de hecho se han aplicado siempre, con mayor o menor fortuna, aunque casi nunca de una manera explícita. Para el procedimiento de análisis morfológico es especialmente útil el método de Bacon, con su tabla de presencia y su tabla de ausencia principalmente, y el método de análisis morfológico se basa fundamentalmente en ellas, aplicadas a la definición de em y a los dos fenómenos o elementos que forman parte del SM y de la misma definición de elemento morfológico, los em propiamente dichos y las φg a las que éstos corresponden. El método de Stuart Mill también se puede aplicar al procedimiento de análisis morfo-

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lógico, de tal manera que lo que él llamaba «fenómeno» será el em cuya φg hay que averiguar, y lo que él llamaba «causa», será la φg que corresponde al em estudiado. Teniendo en cuenta la metodología científica utilizada y las definiciones matemáticas de las unidades lingüísticas que en él intervienen, el método de análisis morfológico se puede definir matemáticamente como:  étodo de análisis morfológico (MAM): Es el procedimiento analítico M basado en el método inductivo (de Bacon y Stuart Mill) que permite la obtención del SM de un sistema léxico de una lengua, estableciendo cada uno de los pares ordenados de la correspondencia determinada por el conjunto de los em que se identifiquen en ese sistema léxico y por el de las φg. Una vez definido matemáticamente el MAM, no queda más que describirlo. El primer paso es, precisamente, identificar los em, teniendo siempre en cuenta la definición de dicho concepto, que es todo grupo fonológico mínimo correspondiente a algún elemento semántico o a alguna φg.  efinición matemática de elemento morfológico: Un em es todo grupo D fonológico mínimo perteneciente al dominio de la correspondencia cuyo conjunto final está formado por los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa. Según esta definición, identificar a un em es averiguar, primero, cuál es el grupo fonológico que lo constituye y, segundo, cuál es la φg correspondiente a ese em. Para simplificar, se pueden incluir los accidentes gramaticales dentro de las φg y, concretamente, dentro de las semánticas. Este procedimiento de identificación consta, por tanto, de dos fases: 1. Averiguar cuál es el grupo fonológico que lo constituye, para lo cual ese grupo fonológico se tiene que repetir en ese mismo sistema léxico. 2. Averiguar cuál es la φg correspondiente a ese em, que tiene que ser la misma todas las veces que ese mismo em se repita. Este método de identificación de los em se puede resumir en un principio:  rincipio de identificación de los elementos morfológicos o em (PIM): P Todo grupo fonológico de un sistema léxico es un em si y sólo si corresponde a una φg y se repite en otros elementos del mismo sistema léxico con esa misma φg.

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Este principio es una consecuencia de la misma definición de em y de la aplicación de los métodos de Bacon y Stuart Mill. Los em pueden ser de diferentes clases (lexemas, morfemas derivativos, morfemas funcionales) aunque, en el SM, estas clases se reducen a dos, los radicales y los funcionales, que se pueden definir así:  lemento morfológico radical (raíz o radical): Es todo elemento perteE neciente a un grupo morfológico formado sólo por los em semantémicos y asemantémicos derivativos de un el. Elemento morfológico gramatical: Es todo elemento perteneciente al grupo morfológico formado sólo por los em asemantémicos funcionales de un el. A partir de estas dos definiciones, se puede conocer el procedimiento de identificación de cada uno de estos dos tipos de em. Así, y como el radical es el correspondiente al elemento semantémico de un el, para que un em sea radical debe cumplir dos condiciones: 1. Que exista en todos y cada uno de los elementos de un mismo sistema léxico. 2. Que no exista en otros sistemas léxicos de esa misma lengua en las mismas condiciones que en el sistema léxico del cual es el elemento radical, a no ser que en ellos pertenezca a un grupo morfológico radical diferente. Este método de identificación de los em radicales se puede resumir en un principio:  rincipio de identificación de los elementos morfológicos léxicos o P radicales (emr) o PIMR: Todo grupo fonológico de un sistema léxico es un em radical si y sólo si corresponde a un elemento semantémico o asemantémico derivativo, se repite en todos los elementos del mismo sistema léxico con ese mismo significado y no existe en otros sistemas léxicos de esa misma lengua, a no ser que en ellos pertenezca a un grupo morfológico radical diferente. Este principio es una consecuencia de la misma definición de em radical y de la aplicación de los métodos de Bacon y Stuart Mill. De la misma forma, se puede conocer el procedimiento de identificación de la otra clase de em, los funcionales, es decir, las desinencias o afijos. Así, y como un em funcional es el que corresponde a una φg de un el, para que un em sea funcionala debe cumplir cuatro condiciones:

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1. Que exista en todos los el de un mismo sistema léxico que tengan una misma φg, y sólo en ellos. 2. Que exista en todos los el de otros sistemas léxicos que tengan una misma φg, y sólo en ellos. 3. Que exista en la misma posición en todos ellos, en los SMV bicasuales y tricasuales y en los em homónimos, es decir, siempre que un mismo em funcional que corresponda a más de una φg. 4. Que no exista en otros el de un mismo sistema léxico (SL) que no correspondan a esa misma φg. Este método de identificación de los em funcionales se puede resumir en un principio:  rincipio de identificación de los elementos morfológicos gramaticaP les o funcionales (emφ) o PIMF: Todo grupo fonológico de un sistema léxico es un em funcional si y sólo si corresponde a una φg, se repite en todos los el correspondientes a esa misma φg en el mismo o en otros sistemas léxicos, a veces en la misma posición, y no existe en otros el que no corresponden a esa misma función, tanto en su mismo sistema léxico como en otros de esa misma lengua. Este principio es una consecuencia de la misma definición de em funcional y de la aplicación de los métodos de Bacon y Stuart Mill. Así, en un SMN, los em correspondientes a un caso determinado existirán sólo en ese caso, aunque podrán existir en cualquiera de los géneros y de los números, y de la misma manera, los correspondientes a un género o a un número determinado, existirán en todos los casos, pero sólo cuando se refieran a ese género o a ese número en concreto. Así, el método de análisis morfológico nominal se podría resumir en las siguientes reglas, aplicándolo, por ejemplo, al SMN de una lengua indoeuropea: • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMN sólo en los el de ese SMN que indican un caso distinto y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un caso. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMN sólo en los el de ese SMN que indican un género distinto y sólo en ellos, existiendo en todos los casos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un género. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMN sólo en los el de ese SMN que indican un número distinto y sólo en ellos, existiendo en todos los casos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un número.

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• Si un elemento morfológico de un el no varía dentro de un SMN en ninguno de los el de ese SMN y sí que lo hace en todos los demás SMN de una lengua, ese elemento morfológico corresponde al radical o grupo morfológico radical. En un SMV ocurrirá lo mismo, aunque de una forma algo más compleja porque es mayor el número de φg expresados. Así, el método de análisis morfológico verbal se podría resumir en las siguientes reglas, aplicándolo, por ejemplo, al SMV de una lengua indoeuropea: • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican una persona concreta y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a una desinencia personal. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican un número distinto de una misma persona y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un elemento morfológico de número. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican un género distinto de una misma persona y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un elemento morfológico de género. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican un tiempo verbal distinto y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un elemento morfológico temporal. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican un aspecto verbal distinto de un mismo tiempo y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un elemento morfológico de aspecto. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican un modo verbal distinto y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un elemento morfológico modal. • Si un elemento morfológico funcional de un el varía dentro de un SMV sólo en los el de ese SMV que indican una voz distinta y sólo en ellos, ese elemento morfológico funcional corresponde a un elemento morfológico de voz. • Si un elemento morfológico de un el no varía dentro de un SMV en ninguno de los el de ese SMV y sí que lo hace en todos los demás SMV de

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una lengua, ese elemento morfológico corresponde al radical o grupo morfológico radical. De todas estas reglas enunciadas anteriormente, se puede inferir una ley general de identificación de los em, que define perfectamente el método de análisis morfológico y que siempre se cumple. Esta ley se puede enunciar de dos maneras distintas:  rincipio de identificación de los elementos morfológicos o em P (LIEM): Un elemento morfológico de un elemento léxico el perteneciente a un SM corresponde a un elemento semántico o a una función gramatical φg si y sólo si ese elemento semántico o esa función gramatical φg corresponde a todos los elementos léxicos el a los que pertenece ese elemento morfológico y sólo a ellos. Principio de identificación de los elementos morfológicos o em (LIEM): Un elemento morfológico de un elemento léxico el perteneciente a un SM corresponde a un elemento semántico o a una función gramatical φg si y sólo si siempre que cambia ese elemento morfológico dentro de un mismo sistema léxico, cambia también el elemento semántico o la función gramatical φg a la que presuntamente corresponde, y siempre que permanece, también lo hace el el o la función gramatical φg referida. La LIEM se puede enunciar de una manera más concreta sustituyendo los términos del enunciado anterior por sus correspondientes símbolos:  LIEM : Un emv de un elv perteneciente a un SMV corresponde a una φ si y sólo si siempre que cambia ese emv dentro de un mismo SLV, cambia también la φ a la que presuntamente corresponde ese elv y, siempre que permanece, también lo hace la φ referida. emv elv, elv

,X

v l

( lv)

v m

Una vez identificados todos los em existentes en un sistema léxico o paradigma, ya se puede obtener el SM de ese mismo sistema léxico, que se puede expresar separando con guiones los distintos em que forman cada el de ese sistema léxico. Y, una vez obtenido el SM, se puede obtener también su EM correspondiente, que se puede expresar de dos formas: • Por extensión: representando los distintos conjuntos de em por medio de todos y cada uno de sus elementos agrupados según sus φg, en el orden en el que aparecen en los el y separados por llaves. • Por comprehensión: representando exclusivamente las φg de los em de un SM, ya que dichas φg son las características de los conjuntos de em que aparecen en la EM definida por extensión.

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Una vez obtenida la EM por comprehensión, ya se puede dar por finalizado el método de análisis morfológico, que consta en total de cuatro fases: 1.ª Identificación de los em y de las φg que les corresponden a partir del sistema léxico al que pertenecen. 2.ª Obtención del SM, que se puede representar separando con guiones los distintos em que forman cada el de ese sistema léxico. 3.ª Obtención de la EM funcional por extensión de ese SM obtenido, es decir, por medio de todos y cada uno de sus elementos em agrupados en conjuntos según sus φg, en el orden en el que aparecen en los el y separados por llaves. 4.ª Obtención de la EM funcional por comprehensión de ese SM obtenido, es decir, sólo por medio de las φg de los em de un SM, ya que dichas φg son las características de los conjuntos de em que aparecen en la EM definida por extensión. La expresión matemática de las EMV mediante la formulación expuesta anteriormente permite, no sólo representarlas con una enorme sencillez y comodidad, sino también, y lo que es más importante, operar con ellas y utilizarlas para obtener otras conclusiones. Y una de las utilidades que presenta esta formulación matemática es la de obtener la cronología relativa de las EMV vascas, de unas con respecto a otras, mediante una serie de principios previos que ahora resultan evidentes, pero que no por evidentes se han de dejar sin enunciar. En efecto, unas EMV son más complejas que otras y que las más complejas siempre incluyen a las más simples o, lo que es lo mismo, que las más sencillas están incluidas siempre en las más complejas. El ejemplo más claro es el de las EMVP, que están formadas por dos o más EMVS de cualquiera de las clases de EMVS que han sido expuestas anteriormente, porque toda EMVP incluye siempre las EMVS de los verbos que la integran, entre los cuales está la EMVS del verbo auxiliar. Y es evidente que cualquier EMVP es necesariamente posterior a la EMVS del verbo auxiliar que la forma y, naturalmente, también de la del verbo principal porque, para formar cualquier EMVP, es imprescindible que existan previamente las EMVS que formarán parte de ella. Para formar, por ejemplo, la EMVP(N3E1, Prhi, ikusi) = ikusten dut, es imprescindible que exista ya la EMVS(Gr, ikusi) = ikus-ten, que es acasual o impersonal y contiene el lexema o R = -kus- y el aspecto habitual representado por el emv = -ten, y que exista también la EMVS(N3E1, Pr, ukan) = dut, que en la EMVP carece de significado y sólo indica las demás φ verbales, aunque cuando se encuentra aislada sí que posea significado propio (R = -u- = «tener»). Resulta obvio decir que si estas dos EMVS no hubieran existi-

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do cuando se formó la EMVP anterior, ésta EMVP no se hubiera podido formar de ninguna de las maneras. Pero este hecho, que resulta obvio y evidente, está indicando la cronología relativa de estas dos EMVS con respecto a la EMVP de la que forman parte, pudiéndose afirmar que dichas EMVS son necesariamente más antiguas que la EMVP en la que aparecen incluidas o, lo que es lo mismo, que esta EMVP es necesariamente más moderna que las dos EMVS que la forman. Y lo mismo se puede afirmar de las EMVS entre sí ya que si, por ejemplo, la EMVS(N3, Pr, ukan) = {du}, unicasual transitiva, está incluida en la EMVS(N3E3, Pr, ukan) = {du-t, du-k, du-n, du-gu, du-zu, du-zue, du-te}, es evidente que du es más antigua que esta última estructura, que es bicasual transitiva, porque ésta se formó añadiéndole a aquélla todos los sufijos personales del caso E. Y la EMVS(N3D4, Pr, Vat(+S+Oi+Ag)) = {digu}, bicasual, es necesariamente más antigua que la EMVS(N3D4E, Pr, Vat(+S+Oi+Ag)) = {digu-k, digu-n, digu-zu, digu-zue, digu-te} porque está incluida totalmente en ella, ya que esta última, que es tricasual, se formó añadiéndole a aquélla todos los sufijos personales no imposibles, ni reflexivos ni recíprocos del caso E. Las cronologías relativas obtenidas se confirman, además, porque en ninguno de estos dos ejemplos ha podido originarse la EMVS más simple por desaparición del sufijo personal de E3, ya que dicha función carece de emv en vasco. Este hecho se puede resumir para todos los casos mediante un pricipio general, que se puede enunciar así:  rincipio: Toda EMV es cronológicamente posterior a todas y cada una P de las EMV que estén incluidas en ella, siempre que estas últimas no sean consecuencia de la desaparición de alguna φ por evolución fonética de sus emv. Σmv(X) Σmv(XY)

Σmv(X) Σmv(XY) / φ = {X, Y}, emv(Yi) >

Aplicando este principio general a todas las clases de EMV, se obtienen otros tantos principios capaces de proporcionar la datación relativa de todas ellas y establecer las cronologías relativas de cada una de esas EMV con relación al resto. El caso más evidente de obtención de una datación relativa aplicando este principio es el de las EMV de la 2.ª persona del plural, ya que todas ellas se formaron añadiendo el emv(Pl) = -te/-e a las EMV respectivas de la 2.ª persona de respeto, por lo que las EMV de la 2.ª persona de respeto están incluidas dentro de las respectivas EMV de 2.ª persona del plural, ya que todas las φ de aquélla lo son también de ésta. Y, en efecto, esta cronología relativa es verdadera porque se conoce la cronología absoluta de la formación de la 2.ª persona del plural, que es de la Alta Edad Media (siglos v-x)

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y, por tanto, más moderna que las EMV de la 2ª persona de respeto a partir de las cuales se ha formado.  rincipio: Toda EMV de 2.ª persona del plural es cronológicamente posP terior a la EMV de 2.ª persona de respeto de su misma EMV porque todas las EMV de 2.ª de respeto están incluidas en las EMV de 2.ª de respeto de su misma EMV general, ya que todas las φ y todos los emv de aquéllas pertenecen también a éstas y las EMV de 2.ª de respeto no se han originado por la pérdida por CF del emv de la única φ de las EMV de 2.ª persona del plural que no pertenece a ellas, que es la φ = Pl5”. Σmv(X) = XX’X”…; Σmv(XPl5”) = XX’X”… Pl5” / φ = {X, Pl5”}, emv(Pl5”) > X Σmv(X), X Σmv(XPl5”) (XX’X”… XX’X”…Pl5”) XX’X”… XX’X”…Pl5” Σmv(X) Σmv(XPl5”) Σmv(X) Σmv(XPl5”)

Σmv(X) Σmv(XPl5”)

El principio general anterior puede aplicarse a todas las clases de EMV, que ya han sido descritas y formuladas matemáticamente con anterioridad. Y como la EMV de 2.ª persona del plural es cronológicamente posterior a todas las demás, como ya se ha demotrado por el principio anterior, se podría también eliminar su función característica, la de Pl5”, porque dicha función no existía en el momento en que se formaron el resto de EMV.  rincipio: La EMV(N) es cronológicamente anterior a la EMV(NE) porP que está incluida íntegramente en ella y no se ha originado por la desaparición de ningún emv(Ei) por evolución fonética, ya que E es la única φ de EMV(NE) que no pertenece a la EMV(N). (N) = NPrRaPlnPl5”; mv(NE) = NPrRaPlnEPl5” / emv(Ei) > * mv(N) = NPrRaPln; * mv(NE) = NPrRaPlnE / emv(Ei) > v v φ (N), φ (NE) (NPrRaPlnPl5” NPrRaPlnEPl5”) m m v v (NPrRaPlnPl5” NPrRaPlnEPl5”) (N) (NE) m m v

m

(N)

v m

(NE)

v m

(N)

v m

(NE)

v m

 rincipio: La EMV(NE) es cronológicamente anterior a la EMV(ND) P porque está incluida íntegramente en ella y no se ha originado por la desaparición del emv(D0) ni del emv(D3) por evolución fonética, ya que D0 (indicador de dativo o dativo ético) y D3 son las únicas φ de EMV(ND)

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Lingüística y Matemáticas

que no pertenecen a la EMV(NE) porque se añadieron a esta EMV(NE), pero con la φ(-emPe) = D en lugar de E, para formar la actual EMV(ND). (NE) = NPrRaPlnEPl5”; mv(ND) = NPrRaD0PlnDPl5” / emv(Di) > v v φ (NE), φ (ND) (NPrRaPlnEPl5” NPrRaD0PlnDPl5”) m m v v (NPrRaPlnEPl5” NPrRaD0PlnDPl5”) (NE) (ND) m m v v v v (NE) (ND) (NE) * m (ND) m m m v v (NE) * m (ND) m

v m

 rincipio: La EMV(NE), que es idéntica a la antigua *EMV(ND), es P cronológicamente anterior a la EMV(NDE) porque está incluida íntegramente en ella y no se ha originado por la desaparición de ningún emv(Ei) ni de ningún emv(Ei) por evolución fonética, ya que E es la única φ de EMV(NDE) que no pertenece a la EMV(ND) y D es la única φ de EMV(NDE) que no pertenece a la EMV(NE). (NE) = NPrRaPlnEPl5”; mv(NDE) = NPrRaPlnDEPl5” / emv(Ei), emv(Di) > v v φ (NE), φ (NDE) (NPrRaPlnEPl5” NPrRaPlnDEPl5”) m m v v (NPrRaPlnEPl5” NPrRaPlnDEPl5”) (NE) (NDE) m m v

m

(NE)

v m

*

(NDE)

v m

(NE)

v m

(NDE)

v m

v (ND) = NPrRaPlnD; * mv(NE) = NPrRaPlnE (NE) * mv(ND) m v φ * mv(ND), φ (NDE) (NPrRaPlnD NPrRaPlnDEPl5”) m v (NPrRaPlnD NPrRaPlnDEPl5») * mv(ND) (NDE) m

v m

*

(ND)

v m

(NDE)

v m

*

(ND)

v m

(NDE)

v m

También se puede aplicar el principio general anterior a las EMV alocutivas, que evidentemente son posteriores a sus respectivas EMV, porque se formaron añadiéndole a ellas el emv(Al0) = emv(D0) = {-i-} y los emPe(Al) = {-k, -n}, para añadirle también en época moderna el emPe(Al) = {-zu}, después en vasco de la aparición del tratamiento de respeto.  rincipio: Toda EMV(Al) es cronológicamente posterior a su EMV inP definida correspondiente porque todas las EMV indefinidas están incluidas en sus respectivas EMV(Al), ya que todas las φ y todos los emv de aquéllas pertenecen también a éstas y las EMV indefinidas no se han originado por la pérdida por CF del emv(Al0) ni de los emPe(Al) = {-k, -n,

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-zu}, que son las dos únicas φ de las EMV(Al) que no pertenecen a ellas (φ = {Al0, Al}). (X) = XX’X”…;

v m

(XAl) = XAl0X’X”…

v m

Al / φ = {X, Al0, Al}; emv(Al0), emv(Ali) > X

(X), X

v m

(XAl)

(XX’X”… XAl0X’X”…Al)

v m

XX’X”… XAl0X’X”…Al (X)

v m

(XAl)

v m

(X)

v m

(X)

v m

(XAl)

v m

(XAl)

v m

Y el mismo principio general se puede aplicar, naturalmente, a las EMVP, que constituyen el caso más claro de datación relativa porque, como ya se indicó, es evidente que cualquier EMVP es necesariamente posterior a la EMVS del verbo auxiliar que la forma y también de la del verbo principal porque, para formar cualquier EMVP, es imprescindible que existan previamente las EMVS que formarán parte de ella.  rincipio: Toda EMVP es cronológicamente posterior a todas y cada una P de las EMVS que la forman porque todas estas EMVS están incluidas en las EMVP a las cuales pertenecen. [+

(V) =

v m

(Vp)

v m

(V)

v m

(Vp)

(Va)]

v m

+

[

v m

(V),

v m

+

(Va)

v m

(V)

v m

(V)

v m

(V)

v m +

+

(V):

v m

(V)]

v m

+

(V)

v m

Todos los principios enunciados y demostrados anteriormente, referidos a la datación relativa de todas las clases de EMV, permiten convertir el principio general enunciado inicialmente en una ley y, por tanto, permiten enunciar una ley general de datación relativa de las EMV en los mismos términos que el principio general inicial que ha sido después verificado. Esta ley general es válida para todas las EMV, también para las EMN, y teniendo en cuenta que no existe ninguna ley de datación absoluta de las EMV, se puede representar abreviadamente sólo por las siglas LDEM.  rincipio de datación relativa de las EMV (LDEM): Toda EMV es P cronológicamente posterior a todas y cada una de las EMV incluidas en ella, siempre que estas últimas no sean consecuencia de la desaparición de alguna φ por evolución fonética de sus emv. (X)

v m

(XY)

v m

(X)

v m

(XY) / φ = {X, Y}, emv(Yi) >

v m

Lingüística y Matemáticas

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A esta LDEM cabría añadirle un principio más referente a las EMV con φ pleonásticas ya que, teniendo en cuenta que toda φ tiene una razón de ser dentro de la EMV, que es precisamente la de diferenciar a unas EMV de otras, la aparición de una φ que no es necesaria en una determinada EMV no se puede explicar por esta razón sino por otras, como la analogía por ejemplo. Sin embargo, estas otras razones tienen consecuencias en cuanto a la datación relativa de esas φ, puesto que cuando son innecesarias tuvieron que aparecer después que en las EMV en las que sí que son necesarias e imprescindibles para diferenciarlas de otras EMV. Así, por ejemplo, si una determinada φ apareció en una EMV de forma pleonástica por analogía con otra EMV en la que sí que era necesaria para diferenciarla de otras EMV, tuvo que aparecer en la EMV en la que es pleonástica necesariamente después que en la EMV en la que no lo es, porque la analogía siempre se produce en relación con otra EMV que la que esa φ ya existe previamente. El ejemplo típico de φ pleonástica en la EMV vasca es la de plural en la 1.ª y 2.ª persona, porque los prefijos personales son suficientes para diferenciarlas de la 1.ª y 2.ª persona de singular, mientras que en la 3.ª persona el plural es estrictamente necesario porque, al compartir el mismo prefijo personal la 3.ª singular y la 3.ª plural, es el plural la única φ que distingue las EMV de ambas personas. Resulta evidente pensar que la φ (Pl) es más antigua en la 3.ª persona que en la 1.ª y en la 2.ª porque, de lo contrario, dicha φ (Pl) no tendría ninguna razón de ser y se puede aceptar que en 1.ª y 2.ª del plural apareció por analogía con la 3.ª del plural. Este hecho lo verifica la dialectología vasca ya que, en el valle de Léniz (dentro del subdialecto vizcaíno de Guipúzcoa), no existe la φ (Pl). Esta cronología de la EMV pleonástica de 1.ª del plural y 2.ª del plural posterior a la 3.ª del plural ya fue indicada por Trask (1977) al hablar de los afijos de plural y se puede resumir así: «These pluralizers would have arisen, in his opinion, to avoid the ambiguity between third person singular an plural, and later expanded by analogy to the first an second person plural» (Gómez-Sanz, 1995: 249 nota 19). La cronología de las EMV pleonásticas se puede resumir en el siguente principio:  rincipio: Toda φ que sea pleonástica en una EMV es siempre cronoP lógicamente posterior a la misma función en otra EMV en la que sea necesaria para diferenciarla de otras EMV similares, o sea, en la que no sea pleonástica, porque ninguna φ pleonástica apareció en una EMV para diferenciarla de otras EMV, que es la razón de la aparición de toda φ, mientras que esa misma φ en una EMV en la que no es pleonástica sí que apareció por ese motivo.

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Este método de datación se puede complementar con el método de datación propio de la geografía lingüística, que incluso puede ser el único que se utilice si aquél no es aplicable a alguna EMV o a algún elemento morfológico de ella. Para aplicar el método de datación de la geografía lingüística es conveniente utilizar unos parámetros como son la distribución morfológica (DM), la distribución léxica (DL) y la distribución dialectal (DD) de un elemento morfológico, de un sistema morfológico o de una estructura morfológica determinada. Estos conceptos se pueden definir de forma matemática de la siguiente manera83: Distribución morfológica (DM): Es la imagen de un elemento determinado del conjunto inicial de la correspondencia definida entre el conjunto de los em y el conjunto de los SM de una lengua, que a su vez es un recubrimiento y una partición porque cada SM está clasificado en subsistemas y en flexiones, que son subconjuntos no vacíos y disjuntos entre sí dos a dos, y porque la unión de todos ellos es el SMV completo de una lengua. Distribución léxica (DL): Es la imagen de un elemento determinado del conjunto inicial de la correspondencia definida entre el conjunto de los em y el conjunto de los el de una lengua, que a su vez es un recubrimiento y una partición porque está dividido en clases de el, que son subconjuntos no vacíos y disjuntos entre sí dos a dos, y porque la unión de todos ellos es el léxico completo de una lengua. Distribución dialectal (DD): Es la imagen de un elemento determinado del conjunto inicial de la correspondencia definida entre el conjunto de los em o de los elementos gramaticales eg en general y el conjunto de las localidades del territorio de una lengua, que a su vez es un recubrimiento y una partición porque está dividido en vernáculos o variedades geográficas (dialectos, subdialectos y hablas), que son subconjuntos no vacíos y disjuntos entre sí dos a dos, y porque la unión de todos ellos es el ámbito geográfico (AG) completo de una lengua. Las cronologías relativas obtenidas al aplicar la LDEM a las distintas clases de EMV consisten en pares de EMV ordenados según su cronología 83. Conviene recordar que, en una correspondencia, la imagen de un elemento del conjunto inicial es el subconjunto del conjunto final formado por los elementos correspondientes con el elemento del conjunto inicial o, lo que es lo mismo, en una correspondencia f: A B, la imagen de un elemento a A es el subconjunto de B formado por los elementos correspondientes con a.

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Lingüística y Matemáticas

relativa, de forma que esa ordenación se expresa mediante el signo ( ) («anterior a, precede a») o por el ( ) («posterior a»). Luego, esos pares de EMV son pares ordenados que pertenecen a un mismo conjunto, el de las EMV de una misma lengua, y están relacionados entre sí mediante una relación cronológica. Como el conjunto de esos pares ordenados de EMV constituye un subconjunto de producto cartesiano definido en el conjunto de todas las EMV de una lengua, dicho conjunto define una correspondencia del tipo f: A A y, por tanto, una relación binaria, que es de orden porque cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero no la conexa. Esta RBO cumple la propiedad «es más antiguo que» o la propiedad «es más moderno que» o, dicho de otro modo, «es anterior a» o «es posterior a».  rincipio: Toda cronología relativa ( ) de dos EMV obtenida mediante P la LDEM es un par ordenado de la RBO definida en el conjunto de las EMV de una misma lengua, que cumple la propiedad «es anterior a» ( ) o «es posterior a» ( ). [(

)i, (

v m

)j] = (

v m

)i (

v m

) =(

v m j

)j (

v m

)i

v m

La RBO definida en el conjunto de las EMV de una misma lengua según un criterio cronológico por la propiedad «es anterior a» o «es posterior a» se ajusta a la definición de RB y, además, es reflexiva, antisimétrica, transitiva y no conexa. Los pares ordenados de EMV que corresponden a las cronologías relativas obtenidas mediante los principios anteriores son:

[ *

v (N) (NE) m v (NE) (ND) m (NE) * mv(ND)] v (NE) (NDE) m v (ND) (NDE) m v (X) (XAl) m v (X) (XPl5») m + v (V) (V) m

v m v m v m v m v m v m v m v m

Y todas estas cronologías relativas obtenidas anteriormente, mediante la aplicación de la LDEM, para las clases de EMV vascas, que son pares ordenados de la RBO definida por la propiedad «es anterior a» o «es posterior a», pueden formar una secuencia entre todas ellas según la propiedad transitiva, que cumplen por ser RBO. Esas secuencias de EMV ordenadas cronológicamente son partes totalmente ordenadas del conjunto ordenado de

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todas las EMV vascas, en el que se define esa RBO, y a toda parte ordenada de un conjunto ordenado se le llama cadena y varias cadenas que tengan algún elemento común se pueden representar mediante diagramas llamados árboles. Cada una de estas cadenas de EMV ordenadas cronológicamente dentro la RBO definida por la propiedad «es anterior a» o «es posterior a» es un proceso, definiéndose éste como el «conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno». El fenómeno es la formación de la EMV actual y, obviamente, cada EMV de esta cadena es una fase de ese fenómeno de formación de la EMV actual. Esto mismo es válido para la RBO en sí misma, que puede representarse también por un «diagrama de árbol» formado por varias cadenas. Por lo tanto, esta RBO cronológica definida en el conjunto de las EMV de una lengua costituye el proceso de formación de la EMV y se la puede denominar de esta manera o con las siglas PFEM.  roceso de formación de la EMV (PFEM): Es toda RBO total o parcial P definida en el conjunto de todas las EMV de una misma lengua por la propiedad «es anterior a» o «es posterior a» o, mejor, «es más antiguo que» o «es más moderno que», según las cronologías relativas obtenidas mediante la aplicación de la LDEM. )

PFEM = ( (

)n = (

v m

v m 1

(

)n … (

)2 (

v m

v m

)3 …

v m

)3 (

v m

)2 (

v m

)1

v m

El PFEM que forman las cronologías relativas obtenidas de las clases de EMV vascas se obtiene a partir de los pares ordenados de éstas que se han formado a partir de dichas cronologías, uniéndolos en una sucesión de EMV según la propiedad transitiva, que cumplen por definir una RBO: (N)

v m

(NE) *

v m

(NE)

v m

(X)

v m v m

(X) (V)

v m

(ND)

v m

(NDE)

v m

(ND)

v

m v m v m + v m

(XAl)

(XPl5”) (V)

Este PFEM está formado por cinco cadenas de EMV, una principal que es la primera y está formada por cuatro EMV, y cuatro cadenas más pequeñas formadas por dos EMV cada una. La primera de estas dos cadenas binarias, v v (NE) (ND), tiene su primer elemento, mv(NE), común con la cam m dena principal y, por lo tanto, forma con ella un «árbol», siendo esa EMV común a ambas el «nudo» que las une. Las otras 3 cadenas tienen un ele-

Lingüística y Matemáticas

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mento variable, representado por X o por V, debido a que pueden aplicarse a cualquiera de las EMV de la cadena principal. Proposición: El objetivo final de la morfología histórica y de la reconstrucción lingüística en el terreno de la morfología es la obtención del PFEM de una lengua, y su carácter matemático junto con la formulación también matemática utilizada anteriormente son dos instrumentos valiosos y eficaces para conseguirlo.

7. Aplicación del mÉtodo matemático a la Gramática de las lenguas 7.1. La lingüística matemática La lingüística matemática nació simultáneamente en la U.R.S.S. y en Estados Unidos a mediados de los años 50 como consecuencia de la aparición de los ordenadores. En ella, «una gramática formal es un tipo particular de sistema axiomático, que es una estructura matemática definida por un cuadruplete donde V es un conjunto finito de símbolos llamado alfabeto o vocabulario; F es un lenguaje formal sobre V, llamado conjunto de fórmulas bien formadas; A es un subconjunto de F, llamado conjunto de los axiomas; y R es un conjunto de reglas de derivación», (S. Serrano, 1977: 188-189). El conjunto V, que es el conjunto de símbolos del lenguaje formal de la lógica, y el F, que es el conjunto de fórmulas lógicas bien formadas que constituyen un lenguaje formal sobre V, constituyen la parte del sistema axiomático que se puede considerar del lenguaje formal. Es distinta de la parte formada por el subconjunto A de los axiomas y por el conjunto R de las reglas de derivación, que constituyen la parte del sistema deductivo de dicho sistema axiomático. Una gramática generativa se definió, entonces, como un sistema axiomático semithueano, G = , formado por «un vocabulario fundamental o terminal, un vocabulario auxiliar, un símbolo inicial y una serie de reglas de reescritura» (Gladkij y Melchuk, 1972: 56), de tal manera que el «símbolo inicial» es el axioma inicial de los sistemas axiomáticos y, como en éstos, pertenece al vocabulario auxiliar. Por lo tanto, los conjuntos que lo forman son VT, VN, S y R, siendo R ­el conjunto de reglas de escritura que actúa sobre la unión de los conjuntos VT y VN, y siendo S un elemento de VN. Las reglas gramaticales serían funciones recursivas de tipo semithueano y, por tanto, aplicaciones84. Una gramática 84. Las reglas gramaticales serían funciones recursivas de tipo semithueano y, por tanto, aplicaciones f: , tal que = VT VN y cuyos pares ordenados presentan la forma

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generativa es, por tanto, un álgebra definida en el vocabulario de un lenguaje formal y en la que las leyes de composición interna u operaciones son las reglas de reescritura de ese lenguaje formal85. Para Tarski y Montague, la sintaxis y la semántica se relacionan entre sí mediante un homomorfismo f: A V B entre dos álgebras, el álgebra sintáctica y el álgebra semántica, y ese homomorfismo se denomina interpretación semántica.

La lingüística matemática se ha aplicado a la matematización de los lenguajes formales, como los de la lógica y la informática, que son simples (ya que

( , ), representada habitualmente por V y que se lee ‘ se reescribe ’: G = , tal que R = (x1, x2, …, xn-1, xn) x1, x2, …, xn-1 V xn. 85. Teniendo en cuenta que un álgebra A es un conjunto A en el que se define una o más leyes de composición f1, f2, …, fn y se representa por A = , una gramática formal es, por tanto, un álgebra y, más concretamente, un monoide definido en la unión de VT y VN, o sea en VT VN, teniendo en cuenta que S VN y que las leyes de composición interna u operaciones asociadas forman el conjunto R de las reglas de reescritura. El conjunto R de las­reglas de reescritura representa la concatenación de los elementos de VT VN y se puede representar por el símbolo , con lo cual sería la ley de composición interna (por ejemplo, a b c … n), que es asociativa y tiene elemento neutro, pero no simétrico, por lo que el conjunto Σ = VT VN en el que se define no es un grupo, sino sólo un monoide. La concatenación, que es la ley de composición interna definida en el monoide, no sería más que una relación binaria de orden definida en el conjunto Σ = VT VN, que forma una serie de cadenas cuyos elementos pueden ser también, a su vez, cadenas (Partee, Meulen y Wall, 1990: 434). Por lo tanto, una gramática formal es un monoide en el que se define una ley de composición interna denominada concatenación, que es asociativa y tiene elemento neutro, pero carece de simétrico, por lo que el conjunto Σ = VT VN en el que se define no llega a ser un grupo.

Lingüística y Matemáticas

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sólo tienen sintaxis), regulares (porque no presentan excepciones) y unívocos (pues cada término corresponde a un único significado y cada significado a un único término). Sin embargo, no ha sido tan eficaz a la hora de aplicarla a los lenguajes naturales, ya que las lenguas constituyen sistemas complejos, irregulares y con un cierto grado de ambigüedad. La teoría de conjuntos, por el contrario, es la parte de las matemáticas más idónea para su aplicación a la lingüística y sí puede ocuparse de las irregularidades de las lenguas y de la lingüística histórica. Sobre ella, he definido los conceptos lingüísticos básicos de análisis morfológico de las lenguas, formando un conjunto de conceptos unívocos y con coherencia lógica, expresándolos por medio de símbolos que permiten observar con mayor nitidez los fenómenos analizados y simplifican el tratamiento de los datos. Si la aplicación de las gramáticas generativas a las lenguas naturales pudiera ser discutible, no lo es la aplicación de la teoría de conjuntos. Tomando esta última como base, he demostrado que la gramática de una lengua es una correspondencia definida entre dos conjuntos, uno de significantes y otro de significados. En matemáticas, la imagen de un elemento se representa como f(a) = b, siendo b la imagen de a en la correspondencia f: A V B definida por el conjunto A y por el conjunto B y, en ella, un elemento del conjunto inicial puede tener una imagen o varias en el conjunto final.

Esta concepción de la Lingüítica basada en las Matemáticas es lo que ha tenido lugar en otras ciencias, permite utilizar un metalenguaje matemático análogo al de esas otras ciencias y puede considerarse como la axiomatización de la lingüística. Por supuesto, puede aplicarse a cada una de las partes de la lingüística.

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José Fernando Domene Verdú

7.2. Fonética y fonología Los sonidos articulados de una lengua forman un conjunto y, por tanto, son elementos pertenecientes a él. Se pueden denominar, por tanto, elementos fonéticos. Los sonidos articulados de una lengua que los hablantes distinguen de una manera consciente, y por tanto permiten distinguir palabras, son los fonemas y también forman un conjunto, por lo que igualmente son elementos pertenecientes a él y se pueden denominar elementos fonológicos. Un fonema o elemento fonológico es el sonido intencional, el que el hablante realmente quiere pronunciar, y un elemento fonético es el sonido que realmente pronuncia. Por ello, un fonema puede realizarse mediante uno o varios sonidos articulados según el contexto fónico en que se encuentre y, por tanto, puede tener varios alófonos. Dicho de otro modo, un elemento fonológico ef ’ puede corresponder a uno o a varios elementos fonéticos ef. Por ejemplo, el fonema o elemento fonológico ef = /s/ siempre se realiza en vasco mediante el elemento fonético ef ’ = [s] (escrito z), pero el elemento fonológico ef = /b/ se realiza en vasco mediante el elemento fonético bilabial oclusivo sonoro ef = [b] en posición inicial de palabra (como en berri = «nuevo», por ejemplo) pero se realiza mediante el fricativo ef = [ ] (escrito v en la literatura antigua) entre vocales (como por ejemplo en Etxeverri = «casa nueva»). En castellano ocurre lo mismo y el elemento fonológico ef = /b/ se realiza también mediante el elemento fonético bilabial oclusivo sonoro ef = [b] en posición inicial de palabra (como en bajo, por ejemplo) pero se realiza mediante el fricativo ef = [ ] (escrito v en castellano antiguo) entre vocales (como por ejemplo en abajo o había, escrito avia en castellano antiguo). Pues bien, esta relación entre los elementos fonológicos y los elementos fonéticos de una lengua es de naturaleza matemática. En efecto, todo elemento fonológico ef ’ forma un par ordenado (ef, ef ’) con un elemento fonético ef ’, o varios pares ordenados en el caso de tener varios alófonos, y el conjunto de todos los pares ordenados formados por todos los elementos del conjunto F de los elementos fonológicos con todos los elementos del conjunto F’ de los elementos fonéticos sería el producto cartesiano F × F’ de ambos conjuntos. Pero no todos los elementos fonológicos y los elementos fonéticos de una lengua están relacionados entre sí formando pares ordenados, sino sólo unos pocos, por lo que la relación real entre los elementos fonológicos y los elementos fonéticos de una lengua es en realidad un subconjunto G de ese producto cartesiano y, por tanto, el conjunto F de los elementos fonológicos de una lengua y el conjunto F’ de los elementos fonéticos de la misma definen entre sí una correspondencia f: F V F’. Al subconjunto G de los pares ordenados de una correspondencia se le llama grafo de la misma.

Lingüística y Matemáticas

233

Sin embargo, esa correspondencia no es unívoca porque la imagen de cada uno de los elementos del conjunto inicial no es siempre un conjunto unitario o vacío puesto que un elemento fonológico puede corresponder a varios elementos fonéticos, que serían sus alófonos, y por tanto, un elemento fonológico puede tener varias imágenes en el conjunto de los elementos fonéticos. Y, si esa correspondencia no es unívoca, tampoco es una aplicación.

Ésta es la relación entre los elementos fonéticos y los elementos fonológicos de una lengua considerada desde el punto de vista del hablante o emisor, pero la relación entre ambos conjuntos de elementos considerada desde el punto de vista del oyente o receptor sería la correspondencia inversa.

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Dado que los elementos fonéticos de una lengua son los únicos medibles mediante magnitudes físicas, por medio de aparatos adecuados para ello o espectógrafos, será el conjunto de ellos el que deba tomarse como conjunto inicial de dicha correspondencia. Por lo tanto, el conjunto inicial será el de los elementos fonéticos y el conjunto final, el de los elementos fonológicos. A su vez, el conjunto de los elementos fonológicos de una lengua también define una correspondencia con el conjunto de los grafemas o elementos ortográficos que forman el alfabeto (A) de esa lengua, que es totalmente convencional y arbitrario y, además, sólo existe en las lenguas que tienen escritura. Por supuesto, esta correspondencia f: F’  A tampoco es unívoca, porque un mismo fonema puede estar representado por más de un grafema y viceversa. En castellano, por ejemplo, el fonema /b/ puede estar representado en la ortografía por la letra b o la letra v, el fonema /k/, por las letras c, q o k, el fonema / / por las letras j o g. Por el contrario, algunas letras pueden representar a más de un fonema. Por ejemplo, la letra c puede representar al fonema /k/ delante de a, o, u y al fonema /θ/ delante de e, i; la letra g puede representar al fonema /g/ delante de a, o, u y al fonema /χ/ delante de e, i; mientras que la letra h no corresponde a ningún fonema, por lo que su antiimagen es el conjunto vacío { }.

Lingüística y Matemáticas

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Sin embargo, con la moderna ortografía vasca del euskera unificado o batua, que fue fijada en 1968 en el Congreso de Aránzazu y presentada por Michelena, puede considerarse que esta correspondencia f: F’  A sí que es unívoca e incluso que es una aplicación.

Los ef se clasifican según dos parámetros, que son el punto de articulación y el modo de articulación. Por lo tanto, el conjunto F de los ef de una lengua determinada tiene distintos subconjuntos que forman un recubrimiento, puesto que la unión de todos ellos es el conjunto F, y son además una partición, puesto que los subconjuntos que lo forman son no vacíos y disjuntos entre sí, esto es, tienen al menos un elemento y la intersección entre cualquiera de ellos es el conjunto vacío. Por consiguiente, el conjunto de los ef de una lengua forma un sistema, el sistema fonético (SF) o el sistema fonológico (SF’). En primer lugar, el conjunto F está formado por dos grandes subconjuntos, el de las vocales y el de las consonantes. Las vocales son aquellos ef que se pronuncian con todo el flujo de aire que atraviesa las cuerdas vocales y las consonantes son aquellos ef que son obstáculos puestos a ese flujo de aire con los distintos órganos que forman la cavidad bucal. De aquí se infiere que las vocales pueden pronunciarse aisladas y existir por sí mismas, mientras que las consonantes necesitan acompañar a una vocal. El SF vasco es muy sencillo si se lo compara con el de otras lenguas y presenta un significativo parecido con el del castellano y con el de la antigua lengua ibérica. Al igual que estos dos, está formado por cinco vocales (i, e, a, o, u), a las que se le añade una sexta en el vernáculo o dialecto suletino y en el bajo navarro de Mixe, la vocal /ü/, que se originó a partir de /u/ por evolución fonética en determinadas condiciones, mientras que la vocal /o/ evolucionó a /u/ también en determinadas condiciones. «En suletino, la realización normal

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de /ü/ es más próxima al francés /ö/ que al francés /ü/» (Michelena, 1961:52) y el cierre de /u/ en /ü/ se ha producido en posición final, delante de z, tz, ts y rr. El sistema fonético del vernáculo o dialecto suletino tiene, por tanto, 6 vocales no nasales (i, e, a, o, u, ü), además de las nasales. El dialecto roncalés (y el suletino), sin embargo, tiene 5 vocales nasales (ĩ, , ã, , ) que proceden normalmente de la desaparición de una /n/ y se añaden a las cinco generales, por lo que en total tiene 10 vocales (i, ĩ, e, , a, ã, o, , u, ). efv (castellanos) = {i, e, a, o, u} efv (vascos generales) = {i, e, a, o, u} efv (suletino) = {i, e, a, o, u, ü} efv (roncalés) = {i, ĩ, e, , a, ã, o, , u, } El sistema consonántico castellano es sencillo. Se puede considerar que cuenta con 19 consonantes, que son las siguientes (utilizo los signos del A.F.I.): F’ = {p, t, k, b, d, g, f, θ, s, t , m, n, , l, λ, r, rr, χ, j}

Velares

Palatales

Alveolares

Interdentales

Dentales

Labiodentales

Labiales

Sistema fonológico castellano

Oclusivas sordas

p

t

k

Oclusivas sonoras

b

d

g

Fricativas sordas

f

θ

χ

s

Africadas Nasales

t m

n

Líquidas laterales Líquidas vibrantes Semiconsonantes

A = {p, t, k, b, d, g, f, z, s, ch, m, n, ñ, l, ll, r, rr, j, y}

λ

l r

rr j

237

Lingüística y Matemáticas

Velares

Palatales

Alveolares

Interdentales

Dentales

Labiodentales

Labiales

Sistema ortográfico castellano

Oclusivas sordas

p

t

c, q, k

Oclusivas sonoras

b

d

g

Fricativas sordas

f

z, c

s

j, g

Africadas

ch

Nasales

m

Líquidas laterales Líquidas vibrantes

n

ñ

l

ll

r

rr

Semiconsonantes

y

El sistema consonántico vasco es también muy sencillo y bastante similar al del castellano actual. Se puede considerar que cuenta con 24 consonantes, que son las siguientes (utilizo los signos del A.F.I.): F’ = {p, t, k, b, d, g, f, h, t’, d’, s, ts, ś, tś, , t , m, n, , l, λ, r, rr}

t

t’

k

Oclusivas sonoras

b

d

d’

g

Fricativas

f

Africadas Nasales

s

ś

ts

tś

m

t

n

Aspiradas

h

Líquidas laterales Líquidas vibrantes

Laringales

Velares

p

Dentales

Oclusivas sordas

Labiales

Palatales

Apicoalveolares

Dorsoalveolares

Labiodentales

Sistema fonológico vasco

λ

l r

rr

238

José Fernando Domene Verdú

El sistema ortográfico vasco tradicional era el mismo, con ligeras adaptaciones, que el antiguo sistema ortográfico castellano utilizado hasta el siglo xviii, en que fue reformado en profundidad y en sucesivas veces por la Real Academia de la Lengua. En 1968, se realizó la reforma del sistema ortográfico vasco según el proyecto redactado por Michelena y presentado por él en el Congreso de Aránzazu como consecuencia del establecimiento del euskera unificado o batua, y se creó un nuevo sistema ortográfico86 en el que el conjunto de los fonemas de la lengua vasca y el de los grafemas o letras definen entre sí una correspondencia biunívoca, ya que cada fonema corresponde a un único grafema y cada grafema a un único fonema. A = {p, t, k, b, d, g, f, h, tt, dd, z, tz, s, ts, x, tx, m, n, ñ, l, ll, r, rr}

t

tt

k

Oclusivas sonoras

b

d

dd

g

Fricativas

f

Africadas Nasales

z

s

x

tz

ts

tx

n

ñ

m

Aspiradas

h

Líquidas laterales Líquidas vibrantes

Laringales

Velares

p

Dentales

Oclusivas sordas

Labiales

Palatales

Apicoalveolares

Dorsoalveolares

Labiodentales

Sistema ortográfico vasco

l r

ll rr

El conjunto de ef que va unido en cada golpe de voz son las sílabas, y una o varias sílabas forman una palabra o elemento léxico. Por ejemplo, el ef = 86. En cuanto a los elementos del nuevo sistema ortográfico vasco, Michelena se basó, con ligeras variaciones (dx por d , tx por t ), en el que había utilizado R. M.ª de Azkue en su Diccionario vasco-español-francés (1905-1906) y que el mismo Michelena ya había utilizado en sus obras, como se puede ver, por ejemplo, en su Fonética histórica vasca (1961). En cuanto a las variantes dialectales escogidas para la lengua unificada, eligió las de mayor antigüedad y extensión territorial. Para ello, le fueron muy útiles sus vastos conocimientos, expuestos siete años antes en su Fonética histórica vasca (1961).

Lingüística y Matemáticas

239

/m/, el ef = /a/ y el ef = /r/ forman a la vez una sílaba, un lexema y una palabra, mar. Igualmente, en vasco, el ef = /s/ y el ef = /u/ forman a la vez una sílaba, un lexema y una palabra, su, que significa «fuego». La relación que mantienen entre sí los ef que forman una sílaba es de naturaleza matemática, ya que forman entre sí pares, ternas, cuádruplas o ntuplas ordenadas. El conjunto de todas las n-tuplas ordenadas que se pueden formar en el conjunto F de una lengua es el producto cartesiano F × F de ese mismo conjunto F. Pero no todos los ef de una lengua están relacionados entre sí formando pares ordenados, sino sólo unos pocos, por lo que la relación real entre los ef de una lengua es en realidad un subconjunto G de ese producto cartesiano (llamado grafo de esa correspondencia) y, por tanto, el conjunto F de una lengua define una correspondencia f: F  F en el mismo conjunto F, y una correspondencia f: F  F es, por definición, una relación binaria R en el conjunto F. En el ejemplo anterior, es evidente que el ef = /s/ y el ef = /u/ están relacionados entre sí mediante la relación binaria R. Todos los pares ordenados pertenecientes al grafo G cumplen una propiedad P, que caracteriza la relación binaria definida en el conjunto F de una lengua y, por tanto, se cumple que dos elementos cualesquiera f1 y f2 del conjunto F estarán relacionados si y sólo si el par ordenado (f1, f2) cumple la propiedad P. Dado que los ef de una lengua están relacionados entre sí formando parte de sílabas para formar, a su vez, morfemas y palabras, y dado que éstas se caracterizan por tener un significado, la propiedad P que han de cumplir los pares, ternas, cuádruplas o n-tuplas ordenadas de la relación binaria definida en el conjunto F es, precisamente, la de corresponder a un elemento semántico o significado, esto es, la de tener imagen en la correspondencia f: V  S definida entre el conjunto de los elementos morfológicos o de los elementos léxicos de una lengua (esto es, de su léxico o vocabulario) y el conjunto de los elementos semánticos o significados. En el ejemplo anterior, el ef = /s/ y el ef = /u/ están relacionados entre sí mediante la relación binaria R porque esa relación sRu cumple la propiedad de corresponder a un elemento semántico, que es «fuego». Dicha relación binaria R es una relación binaria de orden RBO porque es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo, ahal = «poder», behe = «bajo», etc. Es reflexiva porque, cualquiera que sea el elemento f, el par ordenado (f1, f1) verifica la relación. Es antisimétrica porque, si un par ordenado (f1, f2) verifica la relación, no la verifica su transpuesto (f2, f1), ya que entonces se cumpliría que f1 = f2. En efecto, el par ordenado (s, u) de la palabra vasca su verifica la RBO definida por la propiedad de corresponder al elemento semántico «fuego», pero no la verifica el par transpuesto (u, s), ya que entonces una supuesta palabra us también correspondería al mismo elemento semántico «fuego» y, por tanto, se cumpliría que su = us, lo cual

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José Fernando Domene Verdú

no es cierto. Es transitiva porque, si dos pares ordenados (f1, f2) y (f3, f4) verifican la relación, también la verifica el par (f1, f4). Por ejemplo, en la palabra vasca bero = «calor, caliente», que es una cuádrupla ordenada (b, e, r, o), si el par (b, e) verifica la relación y el par (r, o) también, se cumple que el par (b, o) la verifica igualmente. Es también conexa, puesto que, siendo f1 ≠ f2, uno de los pares (f1, f2) o (f2, f1) verifica la relación. Por ejemplo, el par (s, u) verifica la relación porque la palabra su corresponde a un elemento semántico, «fuego», pero el par traspuesto, (u, s), no la verifica porque la palabra *us no corresponde a ningún elemento semántico. Por ello, se puede decir que se trata de una RBOT y que el conjunto F de una lengua está parcialmente ordenado. En efecto, cualquier sílaba, así como cualquier morfema o palabra de una lengua es conexa porque, siendo f1 ≠ f2, uno de los pares (f1, f2) o (f2, f1) siempre verifica la relación y, por tanto, sí que es una RBOT y, por ello, es una cadena, ya que es una parte totalmente ordenada de un conjunto ordenado como es F. Por ejemplo, la palabra vasca bero es una cuádrupla ordenada (b, e, r, o) que corresponde a los elementos semánticos «calor» y «caliente» y, por lo tanto, es una cadena porque es una parte totalmente ordenada del conjunto ordenado F.

Lingüística y Matemáticas

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Un tipo diferente de RBO es la que define los cambios fonéticos (CF), ya que éstos también se caracterizan por un par ordenado (f1, f2) de elementos fonéticos, pero cumplen una propiedad de orden cronológico y distinta, por tanto, de la propiedad de la RBO anterior. Al ef que cambia se le puede denominar elementum mutans y al que se ha originado en virtud de dicho cambio, elementum mutatum. Por ejemplo, el elemento fonético /u/ se ha convertido en /ü/ en suletino en determinadas circunstancias (en posición final, delante de z, tz y rr), por lo que ambas vocales forman un par ordenado (u, ü) y verifican la relación binaria de orden caracterizada por la propiedad «la vocal /u/ es anterior a /ü/ en suletino en posición final, delante de z, tz, ts y rr». Esa RBO se expresaría de la forma u ü, que equivaldría a la expresión tradicional u > ü. Se puede considerar igualmente que un cambio fonético (CF) es un par ordenado de la correspondencia definida entre los subconjuntos de los elementa mutantes y los elementa mutata, especialmente cuando estos últimos son elementos fonéticos nuevos que no existían anteriormente en el sistema fonético de una lengua, como es el caso, por ejemplo, de la vocal /ü/ del suletino.

Los cambios fonéticos pueden expresarse mediante los elementos fonéticos que se transforman o también mediante los morfemas o las palabras de las que forman parte. Así, por ejemplo, el CF anterior puede expresarse de forma matemática mediante el par ordenado (u, ü), la relación uRü, que se puede expresar también u ü o, como es normal en Lingüística, u > ü, pero también

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José Fernando Domene Verdú

se puede expresar mediante una de las palabras a las que ha afectado, por ejemplo, zu > zü = «vos». Los cambios fonéticos suelen ser regulares en cada lengua y algunos, incluso, en cada vernáculo o dialecto, y por eso se habla desde el comparativismo del siglo xix de que se producen siguiendo unas determinadas leyes fonéticas. Las leyes fonéticas vascas fueron estudiadas de forma modélica por Michelena en su Fonética histórica vasca (1961). 7.3. Morfología Al ser la lengua vasca de tipo aglutinante, su morfología es sensiblemente distinta de la de las lenguas flexivas y, por ello, ha despertado desde siempre el interés de los lingüistas, tanto vascos como extranjeros, ocupa la mayoría de las páginas en las gramáticas vascas y ha sido el objeto de la mayoría de los estudios lingüísticos que sobre la lengua vasca se han realizado. Dado que la gramática de una lengua es una correspondencia definida entre dos conjuntos, uno de significantes y otro de significados, y aplicando este principio al léxico de una lengua, se puede definir éste como el conjunto inicial de la correspondencia definida entre el conjunto de palabras de esa lengua y el conjunto de sus significados, de manera que cada palabra forma un par ordenado con su significado o con cada uno de sus significados en el caso de tener varios. Por ejemplo, la palabra vasca etxe significa «casa» y, por tanto, el elemento etxe tiene como imagen el elemento «casa» y forma con él el par ordenado (etxe, casa) que pertenece a la correspondencia f: V V S definida por el conjunto de palabras o elementos léxicos de la lengua vasca, denominado léxico o vocabulario vasco (V) y el conjunto S de los elementos semánticos o significados de esas palabras. En matemáticas, la imagen de un elemento se representa como f(a) = b, siendo b la imagen de a en la correspondencia f: A V B definida por el conjunto A y por el conjunto B y, en ella, un elemento del conjunto inicial puede tener una imagen o varias en el conjunto final. En lingüística, una palabra como etxe (casa), se puede representar de forma análoga como f(etxe) = «casa» o, simplemente, etxe = «casa». Pero una palabra puede tener más de un significado, como por ejemplo aran, que puede significar «valle» o «ciruela». En ese caso, la palabra aran tendría dos imágenes, valle y ciruela, que formaría un conjunto imagen {valle, ciruela} y formaría dos pares ordenados, (aran, valle) y (aran, ciruela), pertenecientes ambos a la correspondencia f: V V S.

Lingüística y Matemáticas

243

En principio, en el conjunto del léxico vasco se pueden distinguir dos tipos de elementos léxicos o palabras, las palabras raíces o palabras nucleares, por una parte, que están formadas únicamente por un lexema y carecen, por tanto, de afijos derivativos; y las palabras compuestas y derivadas, por otra, que se han formado, respectivamente, al unirse varias palabras nucleares y al añadir los afijos derivativos a las palabras nucleares. Estas últimas, las palabras raíces o nucleares, tienen una serie de características que distingue la lengua vasca de otras lenguas. En el conjunto de las palabras raíces o palabras nucleares también se pueden distinguir varios subconjuntos según su origen. En primer lugar, habría que distinguir las palabras que se han introducido en vasco procedentes de otras lenguas, es decir, los préstamos lingüísticos, de las palabras que hasta ahora no se han podido relacionar con ninguna otra lengua en cuanto a su procedencia y que, por tanto, serían autóctonas, y así habría que considerarlas al menos mientras no se demostrara lo contrario. En segundo lugar, habría que distinguir la procedencia de los préstamos lingüísticos y, sabiendo de qué otras lenguas proceden, conocer cuándo entraron a formar parte del léxico vasco. Esto ha sido estudiado en profundidad y es lo que caracteriza al léxico vasco. La derivación y la composición se pueden expresar de forma matemática porque dos palabras o lexemas que se unen en la composición forman un par ordenado perteneciente a la RBOT definida en del conjunto V formado por el léxico o vocabulario de una lengua. Por ejemplo, la palabra compuesta sobre-mesa = «sobremesa» forma un par ordenado formado a su vez por dos elementos morfológicos, que son los lexemas sobre = «sobre» y mesa = «mesa» y se representaría (sobre, mesa) V. En vasco, por ejemplo, la palabra compuesta etxe-berri = «casa nueva» forma un par ordenado formado a

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su vez por dos elementos morfológicos, que son los lexemas etxe = «casa» y berri = «nuevo», y se representaría (etxe, berri) V. Pero, a la vez, cada uno de estos dos elementos pertenece a dos subconjuntos distintos incluidos en el conjunto del léxico de una lengua, ya que sobre pertenece al subconjunto de las preposiciones y mesa al de los sustantivos; de la misma manera que en vasco etxe = «casa» pertenece al subconjunto de los sustantivos y berri = «nuevo» al de los adjetivos. Por lo tanto, el par ordenado (etxe, berri) que forman ambos elementos también pertenece a la correspondencia f: N V A definida entre ambos subconjuntos citados, el de los sustantivos o nombres N y el de los adjetivos A, puesto que sobre A y mesa N, igual que etxe N y berri A. Y lo mismo ocurre con las palabras derivadas, puesto que los dos elementos que las forman, el lexema y el morfema derivativo, pertenecen a dos subconjuntos distintos incluidos en el conjunto del léxico de una lengua, el conjunto L de los lexemas y el conjunto M de los morfemas derivativos respectivamente. Por ejemplo, grande-za = «grandeza» es un par ordenado (grande, –za) V y, al propio tiempo, pertenece a la correspondencia f: L V M definida entre el conjunto de los lexemas y el conjunto de los morfemas de la lengua castellana, puesto que grande L y -za M. En vasco, igualmente, handi-tasun = «grandeza» es un par ordenado (handi, -tasun) V y, al propio tiempo, pertenece a la correspondencia f: L V M definida entre el conjunto de los lexemas y el conjunto de los morfemas de la lengua vasca, puesto que handi L y -tasun M Estas relaciones de tipo matemático entre los dos elementos de una palabra compuesta y los dos de una palabra derivada se pueden expresar mediante el siguiente diagrama:

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7.4. Sintaxis En los sistemas sintácticos (SS) u oraciones gramaticales de una lengua, los distintos elementos sintácticos (eσ) que los forman están ordenados conforme a una estructura sintáctica (ES), que tiene una base matemática. En efecto, teniendo en cuenta que los significantes se combinan entre sí definiendo unas RBOT al igual que los significados o las funciones gramaticales dentro de su conjunto, se ha demostrado que ambos conjuntos, el de los significantes y el de los significados y funciones gramaticales, definen entre sí a su vez una correspondencia porque cada elemento del conjunto inicial tiene una o varias imágenes en el conjunto final. Por lo tanto, un SS como yo como manzanas tendría una ES = sujeto–verbo–objeto directo, que se representaría por SVOd, donde S = yo, V = como y Od = manzanas.

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En vasco, igualmente, un SS como ni etxean nago = «yo estoy en la casa» tendría una ES = sujeto–complemento circunstancial–verbo, que se representaría por SCcV, donde S = ni = «yo», Cc = etxean = «en la casa» y V = nago = «estoy».

Teniendo en cuenta igualmente que cada uno de los elementos sintácticos de una misma oración gramatical o sistema sintáctico (SS) pertenecen a distintos subconjuntos que a su vez definen entre sí correspondencias cuyos elementos forman pares, ternas, cuádruplas o n-tuplas ordenadas que son las oraciones gramaticales o sistema sintáctico (SS) que se expresan formalmente en las estructuras sintácticas que simbólicamente los representan. La estructura sintáctica (ES) de yo como manzanas y la de yo cojo manzanas sería SVOd, esto es, sujeto–verbo–objeto directo.

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En vasco, la estructura sintáctica (ES) de ni etxean nago = «yo estoy en la casa» y de ni zelaian nago = «yo estoy en el campo» sería SCcV, esto es, sujeto–complemento circunstancial–verbo.

7.5. Morfosintaxis La gramática de una lengua es una correspondencia definida entre dos conjuntos, uno de significantes y otro de significados. En la estructura morfológica verbal, los significantes son las distintas formas verbales de una lengua, así como también los elementos morfológicos verbales que forman parte de esas formas verbales. Los significados son los que corresponden a esas formas verbales, así como los de los elementos morfológicos verbales que forman parte de ellas. Estos últimos pueden ser conceptos, en el caso de los lexemas o raíces verbales, o funciones gramaticales, en el caso de los morfemas o desinencias verbales.

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Todo elemento morfológico verbal y su función gramatical, por tanto, forman un par ordenado perteneciente a una correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos verbales y el conjunto de las funciones gramaticales de una lengua. Este par ordenado se puede representar entonces igual que en la teoría de conjuntos. Recordemos que, en Matemáticas, la imagen de un elemento se representa como f(a) = b, siendo b la imagen de a en la correspondencia f: A V B definida por el conjunto A y por el conjunto B y, en ella, un elemento del conjunto inicial puede tener una imagen o varias en el conjunto final. En Lingüística, se representarán de forma análoga. Por ejemplo, el sufijo latino de 1.ª persona plural -mus se representa como una igualdad emv(Pl) = -mus con la función gramatical entre paréntesis porque es la imagen de la función gramatical de plural, y lo mismo se puede hacer con los demás elementos morfológicos. Así, el sufijo -m sería la imagen de dos funciones gramaticales distintas, la del caso acusativo de la declinación y la de 1.ª persona singular de la conjugación, función esta última que a su vez tendría dos imágenes distintas, la del sufijo -m y la del sufijo -ō.

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Lo mismo ocurre en las lenguas aglutinantes como el vasco. Por ejemplo, el sufijo de plural vasco -z se representa como una igualdad emv(Pl) = -z con la función gramatical entre paréntesis porque es la imagen de la función gramatical de plural, y lo mismo se puede hacer con el resto de elementos morfológicos. Así, el sufijo -te sería la imagen de dos funciones gramaticales distintas, la de plural de la 2.ª persona y la del modo potencial, que a su vez tendría dos imágenes distintas, la del sufijo -te y la del sufijo -ke.

Además, los significantes se combinan entre sí, dentro del mismo conjunto, en base a unas estructuras fonéticas, morfológicas o sintácticas que son

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RBOT y lo mismo ocurre con los significados o las funciones gramaticales, que también definen unas RBOT dentro del mismo conjunto. Ambos conjuntos, el de los significantes y el de los significados y funciones gramaticales, definen entre sí una correspondencia porque cada elemento del conjunto inicial tiene una imagen o varias en el conjunto final. Por ejemplo, la forma verbal latina ama-ba-m = «yo amaba» se representaría por RPriminN1, donde R = ama-, Primin = -ba- y N1 = -m.

En una lengua aglutinante como el vasco, por ejemplo, la forma verbal n-ago = «yo estoy» se representaría por N1PrR, donde N1 = n-, Pr = -a- y R = -go.

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Cada uno de los elementos morfológicos de una misma forma verbal pertenece a distintos subconjuntos que a su vez definen entre sí correspondencias cuyos elementos forman pares, ternas, cuádruplas o n-tuplas ordenadas que son las formas verbales o elementos léxicos que forman los sistemas morfológicos y se expresan formalmente en las estructuras morfológicas que simbólicamente los representan. Por ejemplo, la estructura morfológica verbal de ama-ba-m = «yo amaba», ama-ba-t = «él/ella/ello amaba», etc., en latín, sería RPrN y la estructura morfológica verbal de n-a-go = «estoy», d-a-go = «está», en vasco, sería NPrR.

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7.6. La axiomatización de la morfología de las lenguas 7.6.1. Introducción Mediante el análisis morfológico de los elementos léxicos de una lengua, se pueden separar los grupos morfológicos radicales o léxicos o gml de los grupos morfológicos funcionales o gm y se pueden también estudiar por separado. No obstante, si bien los grupos radicales de una lengua son tantos como vocablos forman su léxico, y por tanto numerosísimos, los gm son muy pocos y siempre corresponden a las mismas φg. Debidamente ordenados según sus funciones, todos los gm de un mismo elemento léxico o, lo que es lo mismo, todos los que pueden ir unidos a un mismo gml, verifican una RBOT, aunque artificial, y por lo tanto, se pueden considerar como un sistema, que sería el sistema morfológico de una lengua y equivale aproximadamente a lo que se ha denominado tradicionalmente paradigma. El sistema morfológico se puede definir provisionalmente así:  istema morfológico (Smn o SM): Es el conjunto ordenado de todos los S gmφ que pueden acompañar a un mismo gml. El conjunto de las funciones gramaticales de un sistema morfológico o SM, ordenadas de la misma forma que están los em incluidos en él, define y caracteriza a ese SM y, como es el mismo conjunto que define y caracteriza a todos los SM que están formados por los mismos em y como sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los SM análogos, se puede admitir que ese conjunto de φg, ordenadas conforme a la disposición que presentan los em a los que corresponden, constituye la estructura morfológica de ese conjunto de SM análogos. Las clases de em de un SM, ordenadas también de la misma forma que están los em incluidos en él, también definen y caracterizan a ese SM, aunque según un criterio distinto al de las φg. Y como sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los SM análogos, se puede admitir que ese conjunto de clases de em, ordenadas conforme a la disposición que presentan los em a los que corresponden, también constituye la estructura morfológica de ese conjunto de SM análogos. Y lo mismo ocurre con el conjunto de las clases de em de un SM, de manera que ese conjunto de clases de em, ordenado conforme a la disposición que presentan los elementos a los que corresponden, también constituye la estructura morfológica de ese conjunto de SM análogos, porque también define y caracteriza a ese SM, aunque según un criterio distinto al de las φg y al de los em, y porque sus elementos están ordenados de la misma forma que en todos los SM análogos.

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De esto se infiere que la estructura de un SM o de un conjunto de ellos es el conjunto de las φg, de las clases de em o de las clases de em correspondientes a los em o a los elementos incluidos en ese SM o en ese conjunto de ellos y ordenadas conforme a la disposición que presentan los em o los elementos a los que corresponden. Sin embargo, ese conjunto de φg, de clases de em o de los elementos incluidos en un SM no es más que el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los em o los elementos que forman un SM, precisamente porque tanto las φg, como las clases de em y las clases de em correspondientes a los em son las características de los conjuntos que determinan. Por otra parte, a la estructura de un SM o de un conjunto de ellos se le puede denominar estructura morfológica y se puede definir del siguiente modo:  structura Morfológica (Σmn o EM): Es el conjunto de las caracterísE ticas de los conjuntos a los que pertenecen los elementos que forman un SM, ordenadas conforme a la disposición que presentan en él los emn a los que corresponden. Cuando más de una φg se expresa mediante un mismo em, o sea, cuando un elemento del conjunto inicial tiene más de una imagen, o al contrario, cuando una misma φg se puede expresar mediante más de un ‘SM, o sea, cuando un elemento del conjunto final tiene más de una antiimagen, entonces las φg se expresan por medio del orden de los ‘SM dentro del sistema al que pertenecen, basándose en el principio de que todo SM y su EM definen un isomorfismo entre estos dos conjuntos ordenados. En las lenguas en las que esto ocurre, la EM es siempre fija e inflexible, en mayor grado cuanto menos se puedan expresar las φg por medio de ‘SM. Y todos los SM y los ’SM constituyen sendos isomorfismos con sus respectivas EMF:  efinición axiomática de estructura morfológica (Σ m o EM): Una D EM es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los em del SM al cual define por la propiedad «x antecede a y en el SM al que define» que, además, define un isomorfismo con cada uno de sus el y es una variación con repetición. Las EM se pueden subdividir, a su vez, en otros grupos más pequeños o subgrupos incluidos en ellos y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOP. Estas subestructuras morfológicas se pueden definir matemáticamente:  efinición axiomática de subestructura morfológica (‘Σm o ‘EM): D Una subestructura morfológica es una cadena o n-tupla ordenada inclui-

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da en una EMV y, por tanto, cuyos componentes pertenecen a una EM y verifican la misma RBOT que el EM al que pertenecen. Evidentemente, las EM más interesantes y útiles son las funcionales, cuyos elementos que las forman son las φg correspondientes a los em del ‘SM al cual definen. Estas EMF se pueden expresar de dos maneras, por comprehensión, mediante las características de los em, y por extensión, mediante los em correspondientes a cada función:  EM funcional definida por comprehensión: Es la forma de expresar la EMF de un SM o ‘SM por medio de las φg de todos los em pertenecientes a dicho SM o ‘SM, es decir, por medio de las características de cada uno de los conjuntos de em pertenecientes a ese SM o ‘SM correspondientes a la misma jg. EM funcional definida por extensión: Es la forma de expresar la EMF de un SM o ‘SM por medio de todos los em pertenecientes a ese SM o ‘SM agrupados en cada uno de los conjuntos formados por todos los em de ese SM o ‘SM correspondientes a una misma φg. Una estructura morfológica verbal (EMV) es una correspondencia múltiple definida entre los conjuntos de elementos morfológicos verbales de una lengua que tienen una misma característica, que es la función gramatical que representan, en el mismo orden que tienen en el sistema morfológico verbal (SMV) al que corresponden. Igual que los conjuntos, las he definido por extensión, enumerando todos los elementos de los conjuntos que incluyen, y por comprehensión, enumerando sólo las características de esos conjuntos, o sea, la función gramatical que representan. Esta metodología matemática me ha permitido utilizar una terminología que se puede expresar por medio de fórmulas y resulta más idónea y apta para ser utilizada en la estructura de cualquier otra lengua. 7.6.2. La clasificación de las lenguas Los conceptos de sistema morfológico (SM) y estructura morfológica (EM) pueden ser muy útiles para la tipología de las lenguas, ya que las clasificaciones tipológicas siempre se han basado en sus características morfológicas desde que empezaron a realizarse a principios del siglo xix (Gallardo, 2000: 136-150). Karl Wilhelm Friedrich von Schlegel (1772-1829) clasificó las lenguas, según su morfología, en lenguas flexivas u orgánicas (las que marcan las relaciones gramaticales mediante cambios internos) y lenguas no flexivas o mecánicas (las que utilizan la acumulación sucesiva de elementos). Su hermano, August Wilhelm von Schlegel (1767-1845), en Observations

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sur la langue et la littérature provinçales, añadió el tipo aislante para recoger el tipo de lenguas sin estructura gramatical (sin estructura morfológica), dando lugar a la clasificación tripartita formada por las lenguas flexivas, aglutinantes o afijantes y aislantes o monosilábicas. Wilhelm von Humboldt (1767-1835) añadió en 183687 las lenguas incorporantes a esta clasificación tripartita para designar a aquellas lenguas en las que la palabra correspondiente a la expresión verbal incorpora el objeto de la frase, ya sea nominal o pronominal, como ocurre, por ejemplo, en nahua). Finalmente, S. Duponceau (1760-1844) identificó el tipo polisintético, en el que se aglutinan todos los morfemas léxicos en una misma palabra, asimilándose prácticamente palabra y oración. August Schleicher (1821-1868), sin embargo, rechazó el tipo incorporante y aceptó la clasificación tripartita de A. Schlegel (aislantes, aglutinantes y flexivas), pero dándole carácter evolutivo, de manera que las más antiguas serían las aislantes, después se formarían las aglutinantes y las más evolucionadas serían las flexivas, que representarían la culminación del proceso evolutivo (Gallardo, 2000: 136-150). En el siglo xx, los lingüistas se limitaron a matizar los cinco tipos de lenguas que habían sido identificados y a completarlos con distintos subtipos. F. N. Fink estableció en 1910 una nueva clasificación matizando cada uno de ellos con varios subtipos. Así, las lenguas aislantes podían ser radicales (el chino), si las palabras sólo estaban formadas por la raíz, o temáticas (el samoano), si podían tener palabras añadidas indicando la función gramatical. Las lenguas flexivas podían ser radicales (el árabe), si se modifica internamente la raíz; temáticas (el griego), si sólo cambian las desinencias que se añaden al tema, pero no el tema mismo; y de grupo (el georgiano), si cambian los prefijos y los sufijos que acompañan a la raíz, es decir, el grupo mismo. Las aglutinantes pueden ser subordinantes (el turco), incorporantes (el groenlandés) y seriantes (el swahili), si expresan clases o series de palabras. Basándose en la clasificación de Fink, Ernst Lewy (1964) publicó en 1942 una nueva clasificación meramente geográfica de las mismas, fundándose en las influencias que han sufrido por su proximidad geográfica. Estableció, así, un grupo atlántico (lenguas flexivo-aglutinantes), que incluía inglés, francés, español, italiano y vasco; un grupo central (lenguas flexivo-temáticas), que incluía alemán y húngaro, y un grupo balcánico (lenguas seriantes), que incluía rumano, búlgaro y albanés. V. Stalička, en 1946, volvió a la clasificación tradicional, meramen87. Über die Verschiedenheit des menschlichen Sprachbaues und ihren Einfluss auf die geistige Entwicklung des Menschengeschlechts (Sobre las diferencias en la estructura del lenguaje humano y su influencia en el desarrollo intelectual de la humanidad).

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te lingüística, pero matizándola y añadiéndole el tipo introflexivo, de manera que las lenguas del mundo podían ser aglutinantes, flexivas, aislantes (inglés y francés), polisintéticas (chino) e introflexivas (árabe). Sin embargo, Edward Sapir (1884-1939), en su obra fundamental Language (1921), afirmó que no hay lenguas puras, que pertenezcan a un tipo lingüístico concreto, sino que una misma lengua puede ser de varios tipos en distinto grado. Por ello, las lenguas se pueden clasificar según el tipo predominante en cada una de ellas. Las dividió, según un primer criterio, en analíticas (chino, inglés, francés), sintéticas (latín, árabe, finés) y polisintéticas. Según un segundo criterio, las dividió en aislantes (palabra = raíz), afijantes (palabra = raíz + afijos) y simbólicas (con modificaciones fónicas en la raíz, tales como alargamiento, armonía, reduplicación, etc.). Las afijantes podían ser a su vez fusionales o aglutinantes según modificaran o no la raíz. Joseph Greenberg, en 1954, se basó en la clasificación de Sapir, pero estableció varios criterios cuantitativos para determinar a qué tipo pertenecía una lengua (Gallardo, 2000: 136-150). Finalmente, Bernard Comrie (1981: 70-75) ha realizado la clasificación más actualizada, estableciendo cinco tipos de lenguas: – Aislantes (sin morfología): chino, vietnamita, familias gé y macú de América. – Aglutinantes (palabras con más de un morfema, estando éstos claramente identificados): pueden ser, a su vez, básicamente sufijantes (lenguas altaicas, urálicas, quechua, índicas como el gujaratí o dravídicas), básicamente prefijantes (atabascanas, en América del Norte) o con prefijos y sufijos (tupí-guaraní, birahuí, munda, bantúes, caucásicas, indopacíficas). – Fusionantes (palabras con más de un morfema, pero éstos no están identificados claramente): lenguas semíticas e indoeuropeas88. – Incorporantes (más de un lexema en una misma palabra, incorporando el objeto al verbo): lenguas paleosiberianas o chucoto-camchatcas89. 88. Por ejemplo, en la palabra latina dominorum = «de los señores» no se puede identificar claramente el morfema de genitivo y el morfema de plural. 89. Por ejemplo, en el chukchi siberiano, una de las lenguas de la familia chucoto-camchadal o paleosiberianas, la palabra tmey levtp rkn = t( )-mey ( )-levt( )-p ( )rk( )n = «tengo un dolor de cabeza terrible» tiene tres lexemas. La oración tum et koprant at at = «los-amigos pusieron-la-trampa» tiene dos palabras (tum et = «los-amigos» y koprant at at = «pusieron-la-trampa») que no se pueden sintetizar en una sola. La segunda de ellas (kopran-t at at = «pusieron-la-trampa»), incluye el objeto directo en el verbo (Gallardo, 2000: 149-150).

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– Polisintéticas (gran número de morfemas en una sola palabra, pero un solo morfema léxico): lenguas esquimales, uto-aztecas, algonquinas, iroquesas y las de América del Sur90. La aplicación de la metodología matemática basada en la teoría de conjuntos a la tipología lingüística permite profundizar más en la clasificación de las lenguas y definir los tipos de lenguas de una forma más rigurosa. Existen dos tipos de clasificaciones principales de las lenguas, la filogénica o filogenética, que agrupa a las lenguas en familias según su parentesco lingüístico, y la tipológica, que las agrupa según sus características y se basa sobre todo en la morfología. Normalmente, aunque no siempre, las lenguas de una misma familia pertenecen a un mismo tipo lingüístico. Por eso, la clasificación más completa es la que aúna las distintas clasificaciones en una sola, es decir, la que es filogénica y tipológica a la vez. A pesar de que todas las lenguas tienen los distintos tipos en mayor o menor medida, el método matemático permite aplicar criterios de clasificación tales que el conjunto de todas ellas sea un recubrimiento y una partición, y por tanto, que cada lengua se pueda incluir en un único subconjunto de esa clasificación. • Analíticas o aislantes: Son aquellas lenguas que carecen de EMN y EMV y, por tanto, sólo tienen ES. Mejor dicho, son las lenguas que tienen EMN y EMV acasuales, porque constan únicamente de la raíz (R). Las funciones gramaticales se expresan por medio de otros procedimientos, como por ejemplo, los tonos, la reduplicación o la polirrematización, es decir, el empleo de algunos verbos para indicar las funciones gramaticales del verbo principal como el modo o el tiempo. Las lenguas polirremáticas son las austroasiáticas (mon-khmer, vietmamita, tai, miao-yao) y las austronesias, tanto las lenguas formosanas como las malayo-polinesias. Pueden ser, a su vez: – Analíticas puras: Si carecen de cualquier tipo de EM, así como también de derivación y composición. Son las lenguas austroasiáticas 90. Por ejemplo, en el yupik siberiano, una de las lenguas esquimales, la palabra angyaghllangyugtug = «él quiere comprar un bote grande» es una oración gramatical completa y se analiza angya-ghlla-ng-yug-tug, donde angya- = «bote» sería el lexema y los demás serían sufijos modales y casuales (-ghlla- sería un sufijo aumentativo, -ng- expresaría la idea de «adquirir», -yug- sería un sufijo desiderativo y -tug indica la 3.ª persona singular de nominativo). En payuté meridional (uto-azteca shoshona), maγavaaniaak’aηa’mi = maγa-vaania-ak’-aηa-’mi = «él te lo dará» (Gallardo, 2000: 149-150). Según estos criterios, el vasco sería también una lengua polisintética, ya que badaramazkiguzue = ba-da-rama-zki-gu-zu-e = «si vosotros/as nos los/las lleváis», por ejemplo, es comparable al ejemplo anterior del payuté meridional.

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de la familia miao-yao (Moreno Cabrera, 2003: 687-688), en Asia, y las lenguas adamawa (Moreno Cabrera, 2003: 563), en las lenguas Níger-Congo o Nigero-Kordofanas de África, que son tonales. – Analíticas con derivación: Si carecen de cualquier tipo de EM, pero en ellas se pueden añadir afijos derivativos a la raíz. Son las lenguas austroasiáticas de las familias mon-khmer, que tienen afijos nominalizadores (Moreno Cabrera, 2003: 661-662), tai, que deriva adjetivos a partir de verbos mediante afijos adjetivizadores (Moreno Cabrera, 2003: 680), y las lenguas malayo-polinesias del grupo oriental91. – Analíticas con composición: Si carecen de cualquier tipo de EM, pero en ellas se puede añadir una segunda raíz a la raíz principal. La lengua vietnamita tiene composición nominal (Moreno Cabrera, 2003: 662-665). – Analíticas con aglutinación (o aislantes-incorporantes): Si tiene EMN o EMV, pero ambas son acasuales, de manera que la EMV tiene algunos afijos de tiempo, modo y aspecto, pero no de persona ni de clase, y la EMN puede tener algunos afijos de género y número, pero no de caso. Suelen tener también composición y derivación. Las lenguas de este subtipo son las sino-tibetanas92 y las malayopolinesias centrales93, en Asia; algunas de las lenguas Níger-Congo (Benué-Congo, kravi, kua, ubangi, atlánticas y el birom)94 y de las 91. Dentro de las lenguas malayo-polinesias, en rapa-nui y en samoano hay derivación en el verbo, pero los tiempos, modos y personas (tanto el agente como el paciente) se expresan mediante partículas y formas perifrásticas. Tienen artículos definidos e indefinidos, que son los que expresan el número. La pluralidad se expresa también mediante la reduplicación de las palabras (Moreno Cabrera, 2003: 969-970). 92. Las lenguas sino-tibetanas tienen composición y su EMV es acasual, pero tiene sufijos que indican el modo, el tiempo y el aspecto. El chino tiene un sufijo -de que indica posesión. El chino y el birmano poseen clasificadores sintácticos y verbos con función de preposiciones, pero no tienen grupos consonánticos dentro de la misma sílaba (Moreno Cabrera, 2003: 711712). El tibetano tiene EMN acasual, pero con afijos de número, y EMV, también acasual, pero el tiempo y el modo se expresan mediante flexión interna (Moreno Cabrera, 2003: 713). 93. Las lenguas malayo-polinesias centrales, como el indonesio y el tagalo, tienen afijos de aspecto en la EMV (cinco en tagalo), además de derivación en los sustantivos y en los verbos. En tagalo hay tres grados en los demostrativos, pero en indonesio sólo dos («este» y «ese»). Tiene sistema focal, igual que las demás lenguas malayo-polinesias y formosanas (Moreno Cabrera, 2003: 1001-1002). 94. Dentro de las lenguas Níger-Congo o Nigero-Kordofanas, las de la familia Benué-Congo carecen de EMN y EMV y tienen verbos monosílabos y afijos o posposiciones que indican el modo, el tiempo y el aspecto (Moreno Cabrera, 2003: 532); las lenguas Kravi tienen seis sufijos temporales y cinco sufijos nominales de plural (Moreno Cabrera, 2003: 549); las lenguas

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lenguas khoisan95, en África; y las lenguas chibcha96 y mura-pirahã97 en América del Sur. • Flexivas o fusionantes: Son aquellas lenguas en las que el conjunto de los em y el de los eσ (que incluye los eφ) determinan sólo una correspondencia, ya que un em puede corresponder a más de un eσ y un eσ puede corresponder a más de un em. Es decir, son aquellas en las que un afijo de la EMN o de la EMV puede expresar más de una función gramatical. Presentan un alto grado de sincretismo, y por eso el locativo se expresa de forma analítica, mediante preposiciones añadidas a otro caso (el acusativo y el dativo en griego, el acusativo y el ablativo en latín, el genitivo en árabe, etc.), y no por medio de sufijos casuales, de manera que su EMN tiene sólo uno o, como máximo, dos casos locativos (locativo y ablativo). Tienen EMV unicasual y la EMV de algunas lenguas (románicas y semíticas, por ejemplo) puede expresar los casos N, A y D, pero ello es debido a la adición de los pronombres personales Kua tienen un morfema de plural en los sustantivos y prefijos de tiempo y aspecto en los verbos (Moreno Cabrera, 2003: 556); las lenguas ubangui tienen sufijos posesivos en los sustantivos y afijos que indican el modo, el tiempo y el aspecto en los verbos (Moreno Cabrera, 2003: 569-570); las atlánticas tienen EMN y EMV con sufijos que indican clases nominales, y la EMV tiene también sufijos de modo, tiempo, aspecto y voz (Moreno Cabrera, 2003: 475-476); y otras lenguas sin clasificar como el birom tienen prefijos de clase (Moreno Cabrera, 2003: 545-546). Las lenguas benue-congo, kravi, kua y la lengua birom son tonales. 95. Dentro de las lenguas khoisan, algunas como la kungo tienen sufijos de plural y de diminutivo en los sustantivos, distinguen el número (singular, plural y dual) en los pronombres y la clase en los pronombres y demostrativos. Otras, como la suni, tienen sufijos de género (masculino, femenino y neutro) y de número (singular, plural y dual) en los sustantivos, así como afijos causativos, temporales y modales en los verbos, pero carecen de casos en la EMN y en la EMV. Las lenguas de esta familia se caracterizan por los chasquidos en el plano fonológico (Moreno Cabrera, 2003: 645-647). 96. En América, algunas lenguas de la familia chibcha, como es el caso del bibri, tienen EMN y EMV acasuales, con partículas clíticas que indican las funciones y clasificadores numerales en la EMN, y afijos que indican varios aspectos en la EMV (Moreno Cabrera, 2003: 892-893). 97. La familia mura-pirahã tiene EMN y EMV acasuales, aunque utiliza una gran cantidad de sufijos para expresar otras funciones, e incluso son sufijos algunos verbos como los copulativos. En la lengua pirahã, la única que se conserva de esta familia, no existen pronombres ni oraciones subordinadas, y tampoco se expresa el pasado de los verbos, sino sólo el presente, y según D. Everett no tienen mitos ni leyendas. Tampoco existen numerales ni cuantitativos, y sus hablantes han demostrado su incapacidad para contar y realizar cualquier operación matemática. Sin embargo, no puede considerarse en absoluto una lengua pobre o simple, ya que la simplicidad de su sistema fonológico (sólo tiene diez fonemas, tres vocálicos y siete consonánticos) se ve compensada por la complejidad de su sistema fonético, por la gran cantidad de alófonos que posee. Asimismo, la derivación y la composición presentan una gran complejidad en esta lengua.

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enclíticos al verbo (en castellano, por ejemplo, dámelo, y antiguamente, dánselo = «se lo dan», en catalán, dona-li-lo = «dáselo», etc.). En sus EM, las funciones gramaticales de los em se representan normalmente con subíndices y con superíndices, que representan las múltiples funciones que puede tener cada em (por ejemplo, en latín PsImIn = -ba = pretérito imperfecto de indicativo, N1Pr,In = -o = 1.ª persona singular de presente de indicativo, etc.). Las lenguas flexivas son muy abundantes, pero todas pertenecen a dos familias, la indoeuropea, cuyas lenguas son flexivas externas; y la afroasiática (camito-semítica), cuyas lenguas son flexivas internas. Pueden ser, a su vez: – Externas: Si los em se añaden delante o detrás de la raíz, pero no dentro de ella. Son las lenguas indoeuropeas, excepto el inglés y el sueco que, debido a su evolución histórica, han perdido su EMN y su EMV y se pueden clasificar también como analíticas con composición y derivación si se consideran desde un punto de vista exclusivamente sincrónico. – Internas: Si los em se añaden también en medio de la raíz, además de hacerlo delante o detrás de la misma. Son las lenguas afroasiáticas (semíticas, bereberes, chádicas, cusitas y egipcias)98. • Aglutinantes: Son aquellas lenguas en las que el conjunto de los em y el de los eσ (que incluye los eφ) determinan una aplicación biyectiva. Es decir, son aquellas en las que un afijo de la EMN o de la EMV sólo expresa una función gramatical. Presentan un bajo grado de sincretismo, y por eso en muchas lenguas aglutinantes el locativo se expresa por medio de sufijos casuales, aunque en otras lo hace de forma analítica. La ausencia de sincretismo hace que aumente el número de em y la regularidad de todo el sistema, de tal manera que los em se añaden uno detrás de otro de forma ordenada y sin modificar la raíz, que a diferencia de las lenguas flexivas, permanece inalterada99. Este fenómeno recibe el nombre de aglutinación, 98. En la familia chádica, el lamango expresa el acusativo (A) en la EMV, que es por tanto EMV = NA, y el langa es tonal. Distinguen el género en los sustantivos y en algunas personas de la EMV (en la 1.ª y 2.ª persona en bereber, en la 2.ª y 3.ª en las lenguas semíticas y en la 3.ª persona en cusita). El sufijo que indica el femenino es -t y, en chádico, hay un sufijo -k que indica el masculino. Tienen plural interno. En las lenguas bereberes, no hay adjetivos, sino que se utiliza el participio en su lugar. En somalí, hay foco de la oración (Moreno Cabrera, 2003: 397, 409-410, 414-415, 419 y 427-428). 99. «Desde luego, al comparar la declinación vasca con la latina, se observa una diferencia manifiesta. Homo, hominis, homini… Gizona, gizonaren, gizonari… La palabra latina Homo no permanece inalterada, sino que se modifica en los sucesivos casos; en vasco, en

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que es el que da nombre a este tipo de lenguas. En sus EM, las funciones gramaticales de los em se representan normalmente sin subíndices ni superíndices, ya que reflejan la única función gramátical que suele tener cada em. Las lenguas aglutinantes pueden ser, a su vez: – Aglutinantes simples: Si su EMN tiene casos y su EMV es acasual (R) o unicasual (RN o NR), pero tiene numerosos emv modales, temporales o aspectuales y su EMN tiene varios casos locativos. Son muy abundantes en todos los continentes: en Asia, están las lenguas urálicas100, las altaicas101, las dravídicas102, las austronesias de la familia formosana103, el coreano104, el japonés105 y, como lengua cambio, gizona queda siempre intacto: hay simplemente adición de sufijos a la palabra, permaneciendo ésta íntegra» (Villasante, 1972: 8-9). 100. Las lenguas urálicas (ugro-finesas, samoyedas y yucagiras) tienen EMN con varios casos locativos y EMV unicasual y sufijante; los sufijos personales de la EMV se utilizan también en los sustantivos y posposiciones como sufijos posesivos; y hay foco de la oración (Moreno Cabrera, 2003: 290-291). 101. Las lenguas altaicas (mongolas, tungusas y turcas) tienen EMN sin varios casos locativos (con siete casos en mongol y cinco en turco, por ejemplo) y EMV unicasual, acusativa y sufijante, excepto en las lenguas mongolas, que tienen EMV acasual, pero con afijos vocativos, temporales y una EMV negativa (Moreno Cabrera, 2003: 304-305 y 320-322). En las lenguas tungusas, la EMV tiene afijos de modo, aspecto y voz y, en turco, sufijos temporales y modales, además de que los sustantivos utilizan sufijos posesivos parecidos a los sufijos personales de la EMV (Moreno Cabrera, 2003: 312-314). 102. Las lenguas dravídicas tienen EMN sin varios casos locativos, EMV unicasual y acusativa, y varias clases de EMV o conjugaciones, lo que las acerca a las flexivas externas (Moreno Cabrera, 2003: 365-369). 103. La familia formosana tiene EMN con varios casos (ocho en atayal, entre ellos el locativo y el comitativo) y EMV acasual con afijos de tiempo y de aspecto. Es polirremática y tiene sistema focal, de manera que el verbo concuerda con el foco mediante afijos, por lo que su EMV sería en realidad unicasual, indicando los casos verbales el foco de la oración en lugar de las funciones sintácticas de las palabras con las que concuerda (Moreno Cabrera, 2003: 921-922). 104. El coreano tiene EMN con seis sufijos casuales y un afijo de plural, su EMV es acasual pero tiene afijos de modo, tiempo, aspecto y modalidad de la enunciación (Moreno Cabrera, 2003: 1187). 105. En japonés, la EMV tiene algunos afijos de tiempo, modo y aspecto, pero no de persona, por lo que es acasual. Además, posee infijos pasivos y causativos, y morfemas de tratamiento (Moreno Cabrera, 2003: 1181). Las funciones gramaticales nominales no están indicadas por afijos, sino por posposiciones (partículas), por lo que carece de EMN. Así, el nominativo lo indica la partícula ga; el acusativo, la partícula o; el genitivo, la partícula no; el dativo, la partícula ni, que se utiliza también para el lativo; y el tópico de la oración, la partícula wa, todas ellas pospuestas al sustantivo cuya función gramatical expresan. Se podría considerar, pues, que se trata de una fase previa a la formación de una EMN propiamente dicha, para la cual sólo sería necesario que esas partículas pospuestas se con-

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aislada, el nivejí106; en África, son las de la familia kordofana, dentro de las lenguas Níger-Congo o nigero-kordofanas107; en América Central, la familia huave108; y en América del Sur, están las familias nambicuare109, pano110, mataco-guaicuru111, caribe112 y huitoto113 y algunas del filo macro-ge114, dentro de las lenguas ge-pano Caribe; las familias tupí115, piaroa-sáliba116 y tucana117, dentro de las lenguas ecuatoriales y tucanas. virtieran en sufijos. Por ello, las funciones gramaticales del japonés, expresadas mediante posposiciones y no mediante sufijos, se podrían considerar como la fase intermedia en el proceso de transición entre el tipo aislante con aglutinación y el aglutinante simple. 106. El nivejí tiene EMN con casos, dos números (singular y plural) y clasificación numeral, mientras que la EMV es acasual y el futuro es el único tiempo sintético que tiene (Moreno Cabrera, 2003: 1174). 107. Dentro de las lenguas Níger-Congo, las kordofanas tienen EMN tonal sin casos y EMV con afijos personales, de aspecto y de modo (Moreno Cabrera, 2003: 587). 108. En América, la familia huave tiene EMN con prefijos personales posesivos y EMV unicasual, que sólo indica el nominativo, y con afijos de tiempo, concretamente de presente, pasado y futuro (Moreno Cabrera, 2003: 817-818). 109. La familia nambicuare tiene EMV con afijos de persona-número, de modo, de aspecto y afijos evidenciales, que indican si el hablante ha presenciado o no la acción. Tiene sufijos clasificadores en los sustantivos y en los numerales, así como afijos que indican definitud (definido, indefinido o condicional). Son lenguas tonales (Moreno Cabrera, 2003: 828-829). 110. La familia pano tiene muchos sufijos verbales y EMV casual y con ergatividad parcial, ya que es ergativa con los pronombres enfáticos y acusativa con los no enfáticos (Moreno Cabrera, 2003: 836). 111. La familia mataco-guaicurú tiene EMN acasual con afijos de plural y EMV casual prefijante y con elementos enclíticos de tiempo, modo y aspecto (Moreno Cabrera, 2003: 838). 112. La familia caribe tiene EMV casual y su EMN distingue el medio físico en los casos locativos; los pronombres de 3.ª persona pueden ser animados o inanimados y distinguen tres grados de distancia, igual que los demostrativos en otras familias lingüísticas (Moreno Cabrera, 2003: 845-847). 113. La familia huitoto tiene EMN con seis casos (nominativo, acusativo, instrumental, adlativo, ablativo y locativo) y EMV acasual, pero con voz pasiva (Moreno Cabrera, 2003: 848-849). 114. Algunas lenguas del filo macro-ge tienen EMV acasual y su EMN indica sólo el poseedor, es decir, el caso genitivo posesivo. Son lenguas tonales (Moreno Cabrera, 2003: 832-833). 115. La familia tupí tiene EMN acasual, aunque tiene sufijos que expresan distintas funciones como el plural, etc., y su EMV es casual prefijante y expresa el tiempo, modo y aspecto (Moreno Cabrera, 2003: 870-871). 116. La familia piaroa-sáliba tiene EMN con cinco casos (dativo, dativo-ablativo, inesivo, comitativo y privativo) y clasificación nominal (Moreno Cabrera, 2003: 872). 117. La familia tucana es sufijante. Tiene EMN acasual con afijos de género y de plural, además de clasificadores, y su EMV es casual con tiempo, modo y aspecto. Es polirremática

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– Aglutinantes complejas: Si su EMV es multicasual, y ésta puede llegar a ser muy compleja118. Son muy abundantes en todos los continentes. En África, las lenguas nilo-saharianas119 y algunas de las Níger-Congo o nigero-kordofanas, como las de la familia bantú120. En Asia, las lenguas munda121, las lenguas papuanas y andamanesas122, la familia yeniseica123, las lenguas caucásicas124, las australianas125. y tiene modo evidencial, que distingue si la información que proporciona el hablante es propia, de segunda mano o supuesta (Moreno Cabrera, 2003: 877). 118. En vasco, por ejemplo, d-i-e-za-zki-da-ke-zu-e = «vosotros me los podéis haber» presenta nueve emv y z-e-n-i-e-za-zki-da-ke-te-n = «vosotros me los hubierais podido haber» presenta 11. Otro tanto ocurre en la EMN, que presenta 14 casos, algunos de los cuales se expresan por medio de emn complejos que se han formado por acumulación ordenada de varios emn simples. Por ejemplo, el emn del caso ablativo animado es -arengandik, como, por ejemplo en gizon-arengandik = «desde el hombre», que se puede analizar como gizon-a-r-e-n-gan-di-k; el emn del caso alativo indefinido animado es -arenganantz, como, por ejemplo, en gizon-arenganantz = «hacia el hombre», que se puede analizar como gizon-a-r-e-n-gan-a-ntz; el emn del caso alativo terminal animado es -arenganaiño, como, por ejemplo, en gizon-arenganaiño = «hasta el hombre», que se puede analizar como gizon-a-r-e-n-gan-a-iño y procede de *gizon-a-r-e-n-gan-a-gin-do. 119. Las lenguas nilo-saharianas tienen EMV multicasual, con prefijos que indican el acusativo, y EMN acasual con plural indicado por preposiciones (en dinka), por tonos (en masai) o por sufijos (en nubio) (Moreno Cabrera, 2003: 633-634). 120. Algunas de las lenguas Níger-Congo o nigero-kordofanas, como las de la familia bantú, que se caracterizan por los prefijos de clase tanto en la EMN como en la EMV. Esta última es multicasual, acusativa y tiene afijos de aspecto (Moreno Cabrera, 2003: 523-525). 121. Las lenguas munda tienen EMN con posposiciones, pero sin casos, y EMV multicasual de tipo acusativo, conservando algún resto de polisintetismo (Moreno Cabrera, 2003: 668-669). 122. Las lenguas papuanas y andamanesas, de Papúa y las islas Andamán tienen clases en los sustantivos, EMN con casos locativos casi exclusivamente (instrumental, ablativo, locativo, adlativo y nominativo sin marcar) y EMV multicasual, concretamente bicasual ergativa y prefijante (ENR) en muchas lenguas. Es además polirremática. Las lenguas papúes tienen EMN algunas de ellas (por ejemplo, con cinco casos: nominativo sin marcar, instrumental, ablativo, locativo y adlativo) y EMV bicasual, que distingue el agente y el paciente (Moreno Cabrera, 2003: 1114-1116). 123. La familia yeniseica o ket tiene una EMN sin varios casos locativos y una EMV multicasual, ergativa y con flexión interna, como las lenguas afroasiáticas. Es, además, una lengua tonal (Moreno Cabrera, 2003: 391-392). 124. Las lenguas caucásicas se dividen en dos grandes grupos: las septentrionales y las meridionales. Las septentrionales se caracterizan por tener clases nominales, en lugar de casos personales, y tienen EMN prefijante con varios casos locativos y EMV multicasual, ergativa y con afijos de clase. Algunas de ellas, sin embargo, no tienen clases nominales, sino casos personales (Moreno Cabrera, 2003: 341-343). Las meridionales tampoco tienen clases nominales, sino casos personales, EMN sin varios casos locativos y EMV multicasual, ergativa en unos tiempos y nominativo-acusativa en otros (Moreno Cabrera, 2003: 347). 125. Las lenguas australianas tienen una EMN con varios casos locativos y con clases nominales, EMV multicasual, ergativa (se marca el agente y no el paciente) y nominativa

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En América, la mayoría de las lenguas son de este tipo. En América del Norte y Central, están las lenguas na-dené126, algonquinas127, siu128, sélicas129, vacachanas130, iroquesas131, kado132, hokano133, penutí134, maya135, mixe-zoque136 y muscóganas137. En América del Sur, (se marca el paciente y no el agente) a la vez, y tienen demostrativos con varios grados de lejanía, que utilizados en lugar de los pronombres de 3.ª persona, igual que en vasco (Moreno Cabrera, 2003: 1149-1150). 126. Las lenguas na-dené tienen una EMV muy compleja, con dos casos (nominativo y acusativo), indicando el sujeto y el objeto, y un gran número de afijos modales, aspectuales, clasificatorios y de otros muchos tipos (Moreno Cabrera, 2003: 734-735). 127. Las lenguas algonquinas tienen EMN acasual, sólo con un emn de plural y otro de posesión, pero la EMV es muy compleja, multicasual y distingue entre género animado e inanimado (Moreno Cabrera, 2003: 743-744). 128. Las lenguas siu, como el lakota, carecen de EMN, aunque presentan abundante composición en los sustantivos, y la EMV es tricasual con muchos afijos modales, reflexivos, recíprocos, etc. y tiene número dual en la 1.ª persona (Moreno Cabrera, 2003: 763-764). 129. Las lenguas de la familia sélica tienen una EMV bicasual muy compleja y al unirse los distintos morfemas de una palabra, van desapareciendo de ellos las vocales, produciéndose entonces una acumulación de consonantes (Moreno Cabrera, 2003: 752-753). 130. Las lenguas de la familia vacachana también tienen una EMV bicasual muy compleja y las raíces se pueden utilizar como nombres o verbos, según el sufijo que se utilice (Moreno Cabrera, 2003: 756). 131. La familia iroquesa carece de EMN, aunque tiene muchos sufijos derivativos, y la EMV es muy compleja, con muchos afijos derivativos y 60 afijos pronominales que indican simultáneamente el agente y el paciente (Moreno Cabrera, 2003: 768-769). 132. La familia kado carece de EMN, aunque tiene muchos sufijos de clase (contable, animado, líquido, etc.), y la EMV es muy compleja, con muchos afijos pronominales que expresan a la vez el agente y el paciente (Moreno Cabrera, 2003: 773-774). 133. Las lenguas hokano, como la tiapaneca, carecen de EMN y de expresión del plural en los sustantivos, aunque tienen una EMV muy compleja, con muchos afijos modales, aspectuales, de dirección y clasificatorios. Hay un afijo personal que indica el sujeto, objeto directo o indirecto dependiendo del tipo de transitividad de la frase, y los pronombres se forman añadiéndole los afijos personales de la EMV a una sola raíz. Son lenguas tonales (Moreno Cabrera, 2003: 778-779). 134. La familia penutí, como la lengua umatilla, tiene una EMN ergativa con 12 casos y tres números (singular, dual y plural). La EMV es tricasual con tres sufijos modales, tres de aspecto y muchos sufijos derivativos (Moreno Cabrera, 2003: 806-807). 135. La familia maya tiene EMN acasual con sufijos personales posesivos y clasificadores, y EMV bicasual que indica el agente y el paciente (Moreno Cabrera, 2003: 812-813). 136. La familia mixe-zoque tiene EMN con casos y sufijos personales posesivos y adverbiales (17 casos, 13 de ellos locativos), y EMV bicasual y con clasificación verbal. Tiene también verbos auxiliares (Moreno Cabrera, 2003: 814-815). 137. La familia muscógana tiene EMN con casos y sufijos personales posesivos, y la EMV es multicasual, con afijos causativos y con diáfora (distingue si el sujeto es el mismo o

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están las lenguas peba-yagua138, arahuaca139, chapacura-guanán140, chibcha141, algunas del filo macro-gé142 y, dentro de las lenguas andinas, las familias quechua143 y aymara144. Entre las lenguas aisladas, está el vasco y el burushaski145. • Incorporantes: Si en su EMV se incluyen también las raíces nominales de objeto directo, de sujeto, o de ambos a la vez. La EMV normalmente es multicasual, pero también puede ser unicasual, e incluso acasual, lo mismo que la EMV. Éste es el caso de la familia chukoto-kamchadal diferente del de la oración anterior) (Moreno Cabrera, 2003: 816). 138. La familia peba-yagua tiene afijos clasificadores tanto en la EMN y en la EMV, y esta última es multicasual discontinua, ya que el sujeto lo indica un afijo de la misma EMV, pero el objeto directo lo marca un clítico añadido a la palabra que va inmediatamente detrás del verbo (Moreno Cabrera, 2003: 849-850). 139. La familia arahuaca tiene clasificadores nominales y EMV multicasual, que distingue entre agente y objeto (Moreno Cabrera, 2003: 862-864). 140. La familia chapacura-guanán tiene EMV bicasual con agente y paciente, subordinación con sufijos verbales, género en los sustantivos y es nominativo-acusativo, (Moreno Cabrera, 2003:865). 141. La familia chibcha tiene EMN acasual con partículas clíticas indicadoras de las funciones y los clasificadores numerales. Su EMV es multicasual basada en el aspecto, y no en el tiempo. Es polirremática y con ergatividad parcial, ya que unas veces es ergativa y otras, acusativa (Moreno Cabrera, 2003: 892-893). 142. Algunas lenguas del filo macro-gé tienen EMV multicasual, que indica tanto el sujeto como el objeto, y su EMN indica sólo el poseedor, es decir, el caso genitivo posesivo. Son lenguas tonales (Moreno Cabrera, 2003: 832-833). 143. La familia quechua tiene EMN casual con un sufijo que indica la pluralización exclusiva (-kuna), y en la 1.ª persona, tiene otro sufijo que indica la pluralización la inclusiva (-nchis). Además del plural, la EMN indica también la posesión mediante otro sufijo (por ejemplo, challwa-y-kuna = «mis peces»). Tiene nueve casos (acusativo, dativo, genitivo, ilativo, ablativo, locativo, instrumental, terminativo y causal), aunque el quechua huenca tiene tres más (benefactivo, iterativo y comparativo). La EMV es bicasual transitiva, y los sufijos personales son los mismos que los sufijos posesivos de los sustantivos y pronombres (Moreno Cabrera, 2003: 904-905). 144. La familia aymara tiene EMN casual con cinco casos (ablativo, inesivo, comitativo, terminativo y benefactivo), distinción de plural inclusivo y exclusivo en la 1.ª persona de los pronombres y los verbos y EMV bicasual transitiva (Moreno Cabrera, 2003: 906-907). 145. Las lenguas genéticamente aisladas son de este subtipo en su mayoría: el vasco, en Europa; y el burushaski, en Asia. El burushaski tiene EMN y EMV multicasuales (Moreno Cabrera, 2003: 1174), lo mismo que el vasco (Moreno Cabrera, 2003: 1161-1162), que tiene EMN con siete casos locativos, en los que distingue el género animado o inanimado, y EMV multicasual y ergativa, con alocutivo y tiene foco de la oración. En la EMV distingue el género sólo en la 2.ª persona singular. Por influencia de las lenguas flexivas (latín y romance), creó una EMV analítica análoga a la tardo-latina y una EMN determinada con artículo enclítico.

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o paleo-siberiana146 y de la lengua ainú147, en Asia; y de las familias yuto-azteca148 y totonaca149, en América del Norte y Central; y de las familias makú150, araucana151 y de algunas lenguas de la familia tupí152 en América del Sur. También se pueden incluir en este tipo a las lenguas que contienen adverbios en la EMV, como es el caso de las lenguas otomangue de América153. 146. Las lenguas de la familia chukoto-kamchadal o paleo-siberiana que tienen EMN con un único caso locativo, EMV multicasual y ergativa que incluye raíces nominales de objeto, complementos y de algunos sujetos, y aglutina el sustantivo con los adjetivos que lo acompañan (Moreno Cabrera, 2003: 388-389). 147. A este tipo pertenece también la lengua ainú de los antiguos habitantes de Japón, que también es tonal (Moreno Cabrera, 2003: 388-389). El ainú tiene EMN acasual y EMV multicasual, ergativa y prefijante con siete modos y cuatro aspectos (Moreno Cabrera, 2003: 1175). 148. Las lenguas yuto-aztecas carecen de EMN, aunque tienen muchos afijos nominales y clasificadores, y su EMV es compleja, tricasual, con causativo y muchos afijos. Incluye también el objeto directo, que se incorpora a la EMV como un morfema suyo (Moreno Cabrera, 2003: 795). 149. La familia totonaca tiene EMV multicasual muy compleja, ya que a los tres casos usuales, que indican el sujeto, el objeto directo y el indirecto, añade el instrumental, el comitativo y el locativo, incluyendo también como lexema el objeto directo (Moreno Cabrera, 2003: 819). 150. La familia makú tiene EMN acasual, con clases nominales que indican posesión alienable o inalienable, pero de forma analítica, esto es, indicadas por partículas. Su EMV es acasual, pero incorpora el objeto y su poseedor como prefijos verbales (Moreno Cabrera, 2003: 879). Lo que esto indicaría es que falta en esta lengua el nivel de abstracción para representar las funciones gramaticales mediante personas y casos verbales, y por eso se incorpora al verbo el objeto con la palabra completa. 151. La familia araucana tiene artículo definido e indefinido, utiliza el demostrativo en lugar del pronombre de 3.ª persona y su EMV es bicasual, con sufijos de persona, número, tiempo, voz y modo (imperativo, indicativo y subjuntivo). El número sólo existe en la 1.ª y la 2.ª persona, pero no en la 3.ª, e incorpora el objeto directo a la EMV (por ejemplo, kintu-waka = «buscar vacas») (Moreno Cabrera, 2003: 910). 152. Dentro de la familia tupí, el tupí-guaraní tiene una EMN con cinco casos (nominativo, atributivo, difuso, puntual y partitivo) y los pronombres personales tienen posposiciones casuales. La EMV es unicasual prefijante e indica el paciente en los verbos intransitivos estativos y el agente en los verbos transitivos y en los intransitivos activos. Incorpora el objeto en la misma EMV, que hace las veces de caso acusativo. Es una lengua polirremática (Moreno Cabrera, 2003: 870-871). 153. Las lenguas otomangue tienen una EMN con afijos posesivos personales y con clasificadores nominales, tienen además pronombres personales complejos, con cuatro pronombres de 1.ª persona plural y distinción de género en la 3.ª persona, y la EMV es compleja, con muchos afijos de modo, tiempo, aspecto y transitividad, incluyendo también adverbios. Son también lenguas tonales (Moreno Cabrera, 2003: 787).

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• Polisintéticas: Son aquellas lenguas que carecen de ES y, por tanto, sólo tienen EM. En ellas, por tanto, una palabra equivale a una oración. Hay muy pocas lenguas de este tipo, y todas pertenecen prácticamente a dos familias, la aleuto-esquimal, en el círculo polar ártico (Alaska, norte de Canadá y Groenlandia); y la familia tacana, en América del Sur154. Los tipos de lenguas se pueden expresar, por tanto, de forma matemática, y se pueden resumir en el siguiente gráfico con las respectivas fórmulas matemáticas que definen a cada uno de ellos, teniendo en cuenta que EMN = estructura morfológica nominal, EMV = estructura morfológica verbal, em = elemento morfológico, R = raíz, K = caso, M = modo, T = tiempo, As = aspecto, N = nominativo, D = dativo, A = acusativo, E = ergativo, Pl = plural, C = consonante, V = vocal, Tma = tiempo-modo-aspecto.

154. Las lenguas aleuto-esquimales son ergativas, su EMN indica el caso, número y persona y su EMV es multicasual e indica la persona, número, modo, tiempo/aspecto y subordinación (Moreno Cabrera, 2003: 383-384). En América del Sur, la familia tacana también es polisintética y ergativa (Moreno Cabrera, 2003: 840).

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7.6.3. Lenguas analíticas o aislantes La EMV es diferente en las diversas lenguas y, sobre todo, depende del tipo de lengua de que se trate. Así, en las de tipo analítico o aislante, la EMV coincide con la raíz, ya que los accidentes del verbo como el tiempo, el modo o el aspecto se expresan por medio de otras palabras, y las diferentes personas se distinguen por los pronombres personales. Por lo tanto, es la estructura sintáctica la que expresa los accidentes del verbo y, en consecuencia, su estructura morfológica es la más simple de todas y puede expresarse mediante la fórmula EM = R, en el caso de las lenguas analíticas puras. Las lenguas analíticas con derivación tendrían EM = R{em}, las lenguas analíticas con composición tendrían EM = R1R2 y las lenguas analíticas con aglutinación podrían tener EMN = RPl y EMV = R(MTA). 7.6.4. Lenguas flexivas externas En las lenguas de tipo flexivo y en las de tipo aglutinante con EMV simple, existen afijos o desinencias que expresan el sujeto y concuerdan con él en género, número y persona. Por consiguiente, su EMV expresa el caso nominativo (N), y solamente ese caso. También existen otros afijos que indican el tiempo, el modo o el aspecto. Las lenguas flexivas se caracterizan porque un mismo elemento morfológico puede tener varias funciones distintas al mismo tiempo, mientras que en las lenguas aglutinantes cada elemento morfológico suele tener una única función gramatical. Por ejemplo, el SMV latino del pretérito imperfecto de indicativo (PsImIn) del verbo amo es completamente regular, pero el SMV de su presente de indicativo (PrIn) presenta una irregularidad en la 1.ª persona de singular. Los SMV respectivos son: Prin (amo) N1 N2 N3 N4 N5 N6

am-ō amā-s ama-t amā-mus amā-tis ama-nt

yo amo tú amas él ama nosotros amamos vosotros amáis ellos aman

PsImIn (amo) amā-ba-m amā-bā-s amā-ba-t amā-bā-mus amā-bā-tis amā-ba-nt

yo amaba tú amabas él amaba nosotros amábamos vosotros amábais ellos amaban

La EMV latina del SMV del pretérito imperfecto de indicativo latino es muy regular, si no se tienen en cuenta las vocales largas y breves, y definida por extensión, es:

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Lingüística y Matemáticas

EMV(PsImIn, amo) = {amā-} × {-ba-} × {-m, -s, -t, -mus, -tis, -nt} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es: EMV(PsImIn, amo) = R × PsImIn × N = RPsImInN Si se tienen en cuenta las vocales largas y breves, presenta una irregularidad que puede expresarse indicando mediante un subíndice el número correspondiente a las personas que poseen la vocal larga y las que no, de la siguiente manera:

EMV(PsIm , amo) = {amā-} × {(-ba-)2,4,5, (bā-)1, 3, 6} × {-m, -s, -t, -mus, -tis, -nt} In

La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprensión, es la siguiente: EMV(PsImIn, amo) = R × PsImIn × N = RPsImInN La EMV latina del SMV del presente de indicativo latino presenta una irregularidad en la 1.ª persona de singular (RN1), ya que el radical es am- en lugar de ama-. Esto se puede expresar indicando mediante un subíndice el número correspondiente a las personas que poseen cada uno de los dos radicales, el 1 para R = am-, el 2, 4 y 5 para R = ama- y el 3 y el 6 para R = amā-. Definida por extensión, la EMV del presente de indicativo latino es:

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EMV(PrIn, amo) = {(am-)1, (ama-)2, 4, 5, (amā-)3, 6 } × {-ō, -s, -t, -mus, -tis, -nt} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es: EMV(PrIn, amo) = R × N = RN = R1R2, 4, 5R3, 6N La utilización de dos radicales distintos puede tener capacidad diferenciadora entre los diversos tiempos, modos o aspectos verbales de la EMV de una lengua. Éste es un fenómeno normal en las lenguas flexivas, como las indoeuropeas o las semíticas. Por ejemplo, los verbos de la 3.ª conjugación y los verbos irregulares del latín utilizan un radical diferente para los tiempos del aspecto perfecto (perfectum) y para los del imperfecto (infectum), e incluso algunos de ellos utilizan un tercer radical para el supino. Éste es el caso del verbo fero = «llevar», por ejemplo, que utiliza R = fer- para el infectum, R’ = tul- para el perfectum y R» = lāt- para el supino. Pero no sólo se utiliza un radical distinto, sino que en algunos tiempos se pueden utilizar también desinencias personales diferentes, como ocurre en el pretérito perfecto. Y, además de estas dos irregularidades, también utiliza en la 1.ª y 3.ª persona de plural del presente de indicativo las vocales temáticas /i/ y /u/, respectivamente, igual que otros verbos latinos e indoeuropeos (audi-u-nt, reg-u-nt, capi-u-nt, s-u-m, s-u-mus, s-u-nt, etc.). Todas estas irregularidades se pueden expresar igualmente de forma matemática. Prin (fero) N1 N2 N3 N4 N5 N6

fer- -ō fer- -s fer- -t fer-i-mus fer- -tis fer-u-nt

yo llevo tú llevas él lleva nosotros llevamos vosotros lleváis ellos llevan

PsPepIn (fero) tul-ī tul-istī tul-it tul-imus tul-istis tul-ērunt

yo llevé, he llevado tú llevaste, has llevado él llevó, ha llevado nosotros hemos llevado vosotros habéis llevado ellos han llevado

Lingüística y Matemáticas

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Definida por extensión, la EMV del presente de indicativo y del pretérito perfecto del verbo latino fero es:

EMV(PrIn, fero) = {fer-} × {(-i)4, (-u-)6} × {-ō, -s, -t, -mus, -tis, -nt}

EMV(PsPerIn, fero) = {tul-} × {-ī, -istī, -it, -imus, -istis, -ērunt} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es: EMV(PrIn, fero) = R × vt × N = RvtN EMV(PsPerIn, fero) = R’ × N’ = R’N’ El sistema morfológico verbal (SMV) del sánscrito es muy regular. La EMV del presente sólo consta de la raíz, la vocal temática y los sufijos personales, que son de tres números, singular (N1-3), plural (N4-6) y dual (N7-9). El pretérito imperfecto se distingue del presente en el prefijo a-, que es el aumento y equivale al prefijo griego e-, y en los sufijos personales, que son las denominadas desinencias secundarias, mientras que el presente utiliza las desinencias primarias. Los verbos de la 6.ª clase se caracterizan por la raíz pura y la vocal temática -â- en 1.ª persona y -a- en 2.ª y 3.ª. Ambas vocales son el resultado de la evolución fonética de las antiguas vocales temáticas del indoeuropeo, -o- y -e- respectivamente, que se han conservado en los verbos sánscritos de otras clases y en otras lenguas idoeuropeas, como el latín o el griego, por ejemplo.

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José Fernando Domene Verdú

Prin (tud) N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

tud-â-mi tud-a-si tud-a-ti tud-â-mas tud-a-tha tud-a-nti tud-â-vas tud-a-thas tud-a-tas

yo golpeo tú golpeas él golpea nosotros golpeamos vosotros golpeáis ellos golpean nosotros dos golpeamos vosotros dos golpeáis ellos dos golpean

PsImIn (tud) a-tud-â-m a-tud-a-s a-tud-a-t a-tud-â-ma a-tud-a-ta a-tud-a-n a-tud-â-va a-tud-a-tam a-tud-a-tâm

yo golpeaba tú golpeabas él golpeaba nosotros golpeábamos vosotros golpeabais ellos golpeaban nosotros dos golpeábamos vosotros dos golpeabais ellos dos golpeaban

Definida por extensión, la EMV del presente de indicativo y del pretérito perfecto del verbo latino tud = «golpear» es:

EMV(PrIn, tud) = {tud-} × {(-â-)1, 4, 7(-a-)2, 3, 5, 6, 8, 9} × {-mi, -si, -ti, -mas, -tha, -nti, -vas, -thas, -tas}

EMV(PrImIn, tud) = {a-} × {tud-} × {(-â-)1, 4, 7(-a-)2, 3, 5, 6, 8, 9} × {-m, -s, -t, -ma, -ta, -n, -va, -tam, -tâm} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es: EMV(PrIn, tud) = R × vt × N = RvtN EMV(PsImIn, tud) = Ps × R × vt × N’ = PsR’vt N’

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Lingüística y Matemáticas

La evolución histórica de algunas lenguas indoeuropeas ha simplificado su EMV hasta el extremo de haber perdido las desinencias personales. Éste es el caso del inglés o del sueco, que presentan una EMV muy sencilla, lo que ha llevado a algunos tipologístas a considerarlas como lenguas aislantes. En inglés, sólo hay dos tiempos que posean EMV sintética, el presente (present) y el pasado (past), igual que en las lenguas germánicas en general, y las EMV de esos dos tiempos se distinguen de forma diferente según los verbos. Los verbos débiles o regulares distinguen el pasado del presente mediante el sufijo -ed, mientras que los verbos fuertes o irregulares lo hacen mediante la alternancia vocálica en la raíz, que en la práctica es mediante una raíz diferente. En cuanto a las desinencias personales, sólo se ha conservado la de la 3.ª persona de singular (-s < -th < -t), y únicamente en el presente. EMV(Pr) EMV(Ps, verbos débiles o regulares) EMV(Ps, verbos fuertes o irregulares)

= RN3 = RPs = R’

Esta EMV tan sencilla del inglés ha sido la fase final de una compleja evolución histórica a partir de la EMV del inglés antiguo, a consecuencia de la cual se han perdido todas las desinencias personales antiguas, con la única excepción de la de la 3.ª persona de singular en el presente de indicativo, han desaparecido el presente y el pasado de subjuntivo y se han unificado todas las personas del pasado y todas las del presente menos la citada. Por ejemplo, la EMV del presente y del pasado de indicativo del verbo débil lufian > love = «amar» en el inglés antiguo y en el actual es: Prin (lufian > love) N1 N2 N3 N4 N5 N6

antiguo

actual

luf-i- -e luf- -a-st luf- -a-Þ luf-i-a-Þ luf-i-a-Þ luf-i-a-Þ

love love love-s love love love

yo amo tú amas él ama nos. amamos vosotros amáis ellos aman

Psim (lufian > love) antiguo

actual

luf-o-d- -e luf-o-d-e-st luf-o-d- -e luf-o-d-o-n luf-o-d-o-n luf-o-d-o-n

lov-ed lov-ed lov-ed lov-ed lov-ed lov-ed

yo amaba tú amabas él amaba nos. amábamos vosotros amábais ellos amaban

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EMV(PrIn, lufian) = {luf-} × {-i-} × { (-ø-)1, (-a-)2-6 } × {-e, -st, -Þ, -Þ, -Þ, -Þ}

EMV(PsImIn, lufian) = {luf-} × {-o-} × {-d-} × {(-e)1-3, (-o-)4-6} × {-ø, -st, -ø, -n, -n, -n} La EMV correspondiente a las anteriores EMV, definidas por comprehensión, es: EMV(PrIn, lufian) = R × Dt × vt × N = RDtvtN EMV(PsIn, lufian) = R × vt × PsIn × vt’ × N = RvtPsInN’ La EMV del presente y del pasado de indicativo del verbo fuerte drīfan > drive = «conducir», por ejemplo, en el inglés antiguo y en el actual es: Prin (drīfan > drive) N1 N2 N3 N4 N5 N6

antiguo

actual

drīf- -e drīf-e-st drīf-e-Þ drīf-a-Þ drīf-a-Þ drīf-a-Þ

drive drive drive-s drive drive drive

yo conduzco tú conduces él conduce nos. conducimos vosotros conducís ellos conducen

Psin (drīfan > drive) antiguo

actual

drāf drif-e drāf drif-o-n drif-o-n drif-o-n

drove drove drove drove drove drove

yo conducía tú conducías él conducía nos. conducíamos vosotros conducíais ellos conducían

EMV(PrIn, drīfan) = {drīf -} × { (-ø-)1, (-e-)2, 3, (-a-)4-6 } × {-e, -st, -Þ, -Þ, -Þ, -Þ}

Lingüística y Matemáticas

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EMV(PsImIn, drīfan) = {(drif-)2, 4-6, (drāf-)1, 3 } × {(-ø)1, 3,(-e)2, (-o-)4-6} × {-ø, -st, -ø, -n, -n, -n} La EMV correspondiente a las anteriores EMV, definidas por comprehensión, es: EMV(PrIn, drīfan) = R × vt × N = RvtN EMV(PsIn, drīfan) = R’ × vt × N = R’vtN’ La EMV analítica está formada por el verbo principal en participio y la EMV de un verbo auxiliar, que es el que realmente indica todos los accidentes del verbo. El orden de ambos componentes puede variar según las lenguas o las familias de lenguas, ya que en las lenguas indoeuropeas el verbo auxiliar precede al verbo principal, pero en vasco, por ejemplo, es el verbo principal el que precede al auxiliar en las oraciones enunciativas, mientras que en las negativas e interrogativas es al revés. La EMV analítica se expresa matemáticamente de la misma forma que la EMV sintética, es decir, mediante una relación binaria de orden (RBO) definida entre el verbo principal en participio y el auxiliar conjugado, que se puede simbolizar así: EMVP(lenguas indoeuropeas) = EMV(Va) × Vp(Pa) = EMV(Va)Vp(Pa) EMVP(vasco) = Vp(Pa) × EMV(Va) = Vp(Pa)EMV(Va) 7.6.5. Lenguas flexivas internas Las lenguas indoeuropeas son de tipo flexivo externo, porque los afijos se añaden antes o después de la raíz. Este tipo de lenguas, como las de la familia camito-semítica o afro-asiática, tienen también una gramática muy irregular, y se caracterizan porque los afijos se añaden, no sólo antes o después de la raíz, sino también en su interior. Esto dificulta la aplicación de las matemáticas a la gramática de las mismas, pero no la imposibilita. Sin embargo, su EMV no tiene afijos internos a la raíz, sino solamente externos, igual que las lenguas indoeuropeas, aunque a diferencia de éstas, en las lenguas camitosemíticas los afijos pueden ser tanto sufijos como prefijos.

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En hebreo, sólo hay dos tiempos verbales, el pretérito y el futuro. En el pretérito, las desinencias personales son sufijos, mientras que en el futuro son prefijos. Tiene dos números, singular y plural, y la 2.ª y la 3.ª persona de cada uno de ellos distinguen el género masculino y el femenino. En el verbo qātōl = «matar», por ejemplo, la raíz qātal permanece inalterada cuando no tiene prefijos (es decir, en el pretérito), y cuando los tiene (en el futuro) sufre la síncopa de la vocal de la primera sílaba y la vocal de la segunda se hace quiescente, es decir, se convierte en una /e/ muy ligera (que se transcribe e) cuando va en inicial de sílaba y no se pronuncia cuando no ocupa esa posición (qātal > -qtel). La 3.ª persona de singular masculino del pretérito carece de sufijos y se compone únicamente de la raíz (qātal = «él mató»). El resto de personas del pretérito se formaron, por tanto, a partir de ella, al añadirle los sufijos personales. En el futuro, en cambio, todas las personas tienen prefijos personales, que son e- para la 1.ª persona de singular (e-qtel = «yo mataré»), ti- para la 2.ª persona de singular y plural (ti-qtel = «tú (m.) matarás») e ī- para la 3.ª persona de singular y plural masculino (ī-qtel = «él matará»). En el futuro, la 3.ª persona de singular femenino utiliza la 2ª singular masculino y la 3ª persona plural femenino utiliza la 2.ª persona de plural femenino. La 3.ª persona de plural femenino del pretérito, en cambio, utiliza la 3.ª persona de plural masculino, por lo que en dicha persona no hay distinción de género (qātl-ū = «ellos/ellas mataron»). La 2.ª persona de singular femenino se diferencia de la 2.ª persona de singular masculino porque ha añadido el sufijo ī (ti-qtel-ī = «tú (f.) matarás»), mientras que la 2.ª y la 3.ª persona de plural se diferencian de la 2.ª y la 3.ª de singular en que han añadido el sufijo de plural -ū en masculino (ti-qtel-ū = «vosotros mataréis» ī-qtel-ū = «ellos matarán») y el sufijo -nāh en femenino (ti-qtel-nāh = «vosotras mataréis» = «ellas matarán»). El parecido de todos estos sufijos con los del árabe delata su parentesco lingüístico. Ps (qātōl) N1 N2’ N2” N3’ N3” N4 N5’ N5” N6’ N6”

qātal-tī qātal-ta qātal-t qātal qātl-ah qātal-nū qetal-tem qātal-ten qātl-ū qātl-ū

yo maté tú mataste (m.) tú mataste (f.) él mató ella mató nosotros/as matamos vosotros matásteis vosotras matásteis ellos mataron ellas mataron

F (qātōl) e-qtel ti-qtel ti-qtel-ī ī-qtel ti-qtel ni-qtel ti-qtel-ū ti-qtel-nāh ī-qtel-ū ti-qtel-nāh

yo mataré tú matarás (m.) tú matarás (f.) él matará ella matará nosotros/as mataremos vosotros mataréis vosotras mataréis ellos matarán ellas matarán

Lingüística y Matemáticas

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La EMV correspondiente a la EMV del pretérito, definida por extensión, es:

EMV(Ps, qātōl) = {(qātal-)1-3’, 4-5», (qātl-)3’,6, (qetal-)5’} × {-tī, -ta, -t, -ø, -nū, -tem, -ten, -ū, ū} La EMV correspondiente a la EMV del pasado, definida por comprensión, es similar a la EMV de las lenguas indoeuropeas: EMV(Ps, qātōl) = R × N = RN La EMV correspondiente a la EMV del futuro, definida por extensión, es:

EMV(F, qātōl) = {e-, (ta-)2’, 2’, ī-, ti, ni-, (ti-)5’, 5’, ī, ti} × {-qtel} × {(-ī)2’} × {(-ū)5’, 6’},{(-na)5’, 6’} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es similar a la EMV de las lenguas indoeuropeas: EMV(F, qātōl) = N × R × F × Plm × Plf = NRFPlmPlf En árabe, igual que en hebreo, sólo hay dos tiempos o aspectos verbales, pero éstos son el pretérito o perfecto y el presente o imperfecto. E, igual que

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en hebreo, en el perfecto, las desinencias personales son sufijos, mientras que en el presente son prefijos. Sin embargo, el árabe presenta algo más de complejidad, ya que presenta también el número dual y, además, el presente o imperfecto tiene tres modos, el indicativo, el subjuntivo y el condicional. En el verbo árabe = fa’ala = «hacer», por ejemplo, la raíz fa’alpermanece inalterada cuando no tiene prefijos, y cuando los tiene sufre la síncopa de la vocal de la primera sílaba (*-fa’al > -f’al). Es, precisamente, la posición de los afijos, la que diferencia los dos tiempos verbales que existen en dicha familia de lenguas, de manera que los afijos personales son sufijos en el pasado o perfecto (inaccompli) y son prefijos en el presente o imperfecto (accompli). Los prefijos y los sufijos de la EMV árabe son muy similares a los de la EMV hebrea, y se hace evidente por tanto el parentesco de estas dos lenguas. El SMV del pasado o perfecto (inaccompli) del verbo árabe = fa’ala = «hacer» es: Prin (fa’ala) N1 N2’ N2” N3’ N3” N4 N5’ N5” N6’ N6” N8 N9’ N9”

fa’al-tu fa’al-ta fa’al-ti fa’al-a fa’al-a -t fa’al-nā fa’al-tum fa’al-tun -na fa’al-ū fa’al- -na fa’al-tum- -ā fa’al- - -ā fa’al-a -t- -ā

yo he hecho tú has hecho (m.) tú has hecho (f.) él ha hecho ella ha hecho nosotros/as hemos hecho vosotros habéis hecho vosotras habéis hecho ellos han hecho ellas han hecho vosotros/as dos habéis hecho ellos dos han hecho ellas dos han hecho

Su EMV puede obtenerse más fácilmente si se analizan por separado las personas femeninas, las plurales y las duales. De esta manera se puede comprobar que el femenino se formó a partir del masculino, concretamente al añadirle el sufijo -t (el mismo que el sufijo de femenino de los sustantivos) en la 3.ª persona de singular (fa’al-a + -t > fa’al-a-t, igual que en los sustantivos) y el sufijo -na en la 2.ª y 3.ª persona de plural (fa’al-tum + -na > fa’altunna y fa’al-(ū) + -na > fa’al-na, respectivamente), de donde se deduce que el femenino es más moderno que el masculino en estas personas, puesto que se formó a partir de este último género. En la 3.ª persona de plural, el sufijo -na indica tanto el género femenino como el número plural, ya que es el único sufijo existente. La única excepción está en la 2.ª persona de singular,

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Lingüística y Matemáticas

que tiene el sufijo -ta en masculino (fa’al-ta) y el sufijo -ti en femenino (fa’al-ti), de donde se infiere que ambos pueden ser antiguos. Igualmente, se puede comprobar que el dual se formó a partir del plural en la 2.ª persona y a partir del singular en la 3.ª, concretamente al añadirle el sufijo -ā a la 2.ª persona de plural (fa’al-tum + -ā > fa’al-tum-ā) y a la 3.ª persona de singular masculino y femenino (fa’al-a + -ā > fa’al-ā y fa’al-a-t + -ā > fa’al-a-t-ā, respectivamente). Es evidente, por tanto, que el sufijo de dual es -ā y que -t y -na actuan como sufijos de plural femenino. Ps (fa’ala) Formación del femenino N1 N2’ N3’ N4 N5’ N6’

fa’al-tu fa’al-ta fa’al-a fa’al-nā fa’al-tum fa’al-ū

N2” N3”

fa’al-ti fa’al-a -t

N5” N6”

fa’al-tun -na fa’al- -na

Formación del dual N1 N2’ N2” N3’ N3” N4 N5’ N5” N6’ N6”

fa’al-tu fa’al-ta fa’al-ti fa’al-a fa’al-a-t fa’al-nā fa’al-tum fa’al-tun-na fa’al-ū fa’al-na

N9’ N9”

fa’al- -ā fa’al-at -ā

N8

fa’al-tum-ā

La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por extensión, es:

EMV(Ps, fa’ala) = {fa’al-} × {-tu, -ta, -ti, -nā, -tum, -tun-na, -ū, -na} × {(-t)3”} × {(-ā)8, 9’, 9”} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definidas por comprehensión, es similar a la EMV de las lenguas indoeuropeas: EMV(Ps, fa’ala) = R × N × F × Dl = RNFDl

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En la EMV del presente o imperfecto, en cambio, los afijos personales son prefijos, mientras que los sufijos indican el modo (indicativo, subjuntivo o condicional), el género (masculino o femenino) y el número (singular, plural o dual). Los prefijos personales son distintos de los sufijos personales del pasado o perfecto, a excepción del prefijo na- de la 1.ª persona de plural, que es idéntico al sufijo -na de la misma persona del pasado, y del prefijo ta- de la 2.ª persona de singular, plural y dual y de la 3.ª persona de singular femenino y dual masculino y femenino, que es idéntico al sufijo -ta de la 2.ª persona de singular masculino del pasado. El prefijo de la 3.ª persona de singular y plural es ya-, excepto en la 3.ª persona de singular femenino, ya que ésta es idéntica a la 2.ª persona de singular masculino. El prefijo de 1.ª persona de singular es, simplemente, -a. Los afijos que indican el modo son sufijos. Así, el sufijo -u expresa el modo indicativo (af’al-u = «yo hago»), el sufijo -a, el subjuntivo (af’al-a = «yo haga»), y el morfema cero, el condicional (af’al = «yo haría»). En la 2.ª y 3.ª persona de plural y en el dual, se han debido perder estos sufijos por síncopa delante de los sufijos de plural. Por lo tanto, los sufijos modales sólo existen cuando van en posición final, es decir, en las personas que carecen de otros sufijos, y por eso sólo existen en las personas de singular, excepto en la 2.ª persona de singular femenino, y en la 1.ª de plural. Los sufijos modales -u y -a son los mismos que los sufijos de nominativo y del caso directo o acusativo de la estructura morfológica nominal (EMN), y pueden proceder de ellos. El género marcado es el femenino, con el sufijo -ī- en la 2.ª persona de singular (más el sufijo -na en el presente de indicativo) y con el sufijo -na en la 2.ª y 3.ª de plural (ta-f’al-ī = «tú (f.) hagas, harías» y ta-f’al-ī-na = «tú (f.) haces», pero ta-f’al-na = «vosotras hagáis, haríais» y ya-f’al-na = «ellas hagan, harían»), mientras que el género masculino permanece sin marcar en la 2.ª persona de singular (ta-f’al = «tú (m.) hagas, harías») y utiliza el sufijo -ū en la 2.ª y 3.ª de plural masculino, pero no en el femenino (ta-f’al-ū-na = «vosotros hacéis» y ya-f’al-ū-na = «ellos hacen», pero ta-f’al-na = «vosotras hagáis, haríais» y ya-f’al-na = «ellas hagan, harían»). En el presente de subjuntivo y en el de condicional, en cambio, se alternan los sufijos -ū y -na en la 2ª y 3ª plural masculino y femenino, respectivamente (ta-f’al-ū = ‘vosotros hagáis, haríais’ y ta-f’al-na = ‘vosotras hagáis, haríais’; ya-f’al-ū = ‘ellos hagan, harían’ y ya-f’al-na = ‘ellas hagan, harían’). Por lo tanto, en

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el presente de indicativo, el sufijo -na indica realmente el plural155, mientras que el sufijo -ū lo que indica es el género masculino. En el presente de subjuntivo y en el de condicional, en cambio, el sufijo -ū indica a la vez el número plural y el género masculino, mientras que el sufijo -na indica a la vez el número plural y el género femenino. Por eso, debido a la función del femenino que también tiene, se explica su presencia en la 2.ª persona de singular (ta-f’al-ī-na = «tú (f.) haces»), reforzando al sufijo -ī, que es el que indica el femenino en el presente de subjuntivo y en el de condicional (taf’al-ī = «tú (f.) hagas, harías»). Sin embargo, si se tiene en cuenta el plural externo de los sustantivos, el sufijo de plural -ū-na del caso nominativo masculino de los sustantivos ( = fallāh-ūna = «campesinos», por ejemplo) se habría utilizado como sufijo de plural masculino en la 2.ª y 3.ª persona de plural masculino, y el sufijo de plural masculino -ī-na del caso directo y del indirecto de los sustantivos ( = fallāh-īna = «campesinos», por ejemplo) se habría utilizado como sufijo de femenino en la 2.ª persona de singular, perdiendo en la EMV su función de plural. Ambos sufijos, habrían perdido la terminación -na en el presente de subjuntivo y en el condicional, igual que la pierden en los sustantivos cuando la palabra es el primer término de una anexión y, como tal, precede a un complemento del nombre. En la 2.ª y 3.ª persona de plural femenino, se utiliza sólo el sufijo -na. El sufijo ā-ni indica el número dual en el presente de indicativo para la 2.ª y la 3.ª persona (ta-f’al-ā-ni = «vosotros/as dos lo hacéis» = «ellos/as dos lo hacen»), y el sufijo -ā lo indica en el presente de subjuntivo y en el de condicional, ya que se ha formado al añadirle dichos sufijos al singular, concretamente, a la 2.ª persona de singular masculina del condicional, que es idéntica a la 3.ª persona de singular femenina de ese mismo modo verbal (ta-f’al + -āni > ta-f’al-āni). Igual que ocurre con los sufijos de plural -ū-na e -ī-na, que proceden de los sufijos de plural homónimos de los sustantivos, el sufijo de dual ā-ni del presente de indicativo es el mismo que el sufijo de dual de los sustantivos ( = walad-āni = «los dos niños», por ejemplo), ya que procede de él. Además, igual que ocurre en los sufijos de plural -ū-na e -ī-na de los sustantivos, también en el dual desaparece la terminación -ni 155. El sufijo -na, o más exactamente -ūna en nominativo e -īna en el caso directo (acusativo) y en el caso indirecto (genitivo/dativo/ablativo/locativo/instrumental), también indica el plural externo en los sustantivos. Por ejemplo, el plural de = fallāh-un = «un campesino» es = fallāh-ūna en nominativo y = fallāh-īna en los casos directo e indirecto. Ambos sufijos, -ūna e -īna, pierden la terminación -na cuando la palabra es primer término de una anexión, es decir, cuando va seguido de un complemento del nombre. En femenino, los sufijos de plural externo son, respectivamente, -ātun y -ātin.

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cuando la palabra es primer término de una anexión y, por tanto, precede a un complemento del nombre. Esto explica que, en el presente de subjuntivo y en el de condicional, no exista esta terminación -ni (ta-f’al-ā), porque se ha debido perder igual que en los sustantivos seguidos de un complemento del nombre, mientras que en el presente de indicativo sí que se ha conservado (ta-f’al-āni). PrIn (fa’ala)

PrSb (fa’ala)

PrC (fa’ala)

N1 N2’ N2” N3’ N3” N4

a -f’al-u ta -f’al-u ta -f’al-ī-na ya-f’al-u ta -f’al-u na-f’al-u

a -f’al-a ta -f’al-a ta -f’al-ī ya-f’al-a ta -f’al-a na-f’al-a

a -f’al ta -f’al ta -f’al-ī ya-f’al ta -f’al na-f’al

N5’ N5” N6’ N6” N8

ta -f’al-ū-na ta -f’al- -na ya-f’al-ū-na ya-f’al- -na ta -f’al-ā-ni

ta -f’al-ū ta -f’al- -na ya-f’al-ū ya-f’al- -na ta -f’al-ā

ta -f’al-ū ta -f’al- -na ya-f’al-ū ya-f’al- -na ta -f’al-ā

N9’ N9”

ta -f’al-ā-ni ta -f’al-ā-ni

ta -f’al-ā ta -f’al-ā

ta -f’al-ā ta -f’al-ā

Ps (fa’ala) yo hago / haga / haría tú (m.) haces / hagas / harías tú (f.) haces / hagas / harías él hace / haga / haría ella hace / haga / haría nosotros/as hacemos / hagamos / haríamos vosotros hacéis / hagáis / haríais vosotras hacéis / hagáis / haríais ellos hacen / hagan / harían ellas hacen / hagan / harían vosotros/as dos hacéis / hagáis / haríais ellos dos hacen / hagan / harían ellas dos hacen / hagan / harían

Los sufijos utilizados en la EMV del presente o imperfecto proceden, por consiguiente, de los sustantivos. Concretamente, han sido los sufijos de plural externo (-ūna) y de dual (-āni) de los sustantivos los que se han utilizado para expresar el plural y el dual en la EMV, desapareciendo la terminación nasal (-na y -ni, respectivamente) en el presente de subjuntivo y de condicional, de la misma manera que esas mismas terminaciones han desaparecido en los sustantivos cuando forman parte del primer término de una anexión y, por lo tanto, preceden a un complemento del nombre. Los sufijos modales -u y -a proceden de los sufijos de nominativo y del caso directo o acusativo de la estructura morfológica nominal (EMN). Las únicas diferencias existentes, por consiguiente, entre los tres modos del presente o imperfecto únicamente afectan a estos sufijos y consisten en la desaparición de las terminaciones nasales -na y -ni en el presente de indicativo y en su desaparición en el presente de subjuntivo y de condicional, así como en la presencia de los sufijos modales -u, -a y -ø en las personas que carecen de sufijos del indicativo, subjuntivo y condicional, respectivamente.

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Lingüística y Matemáticas

Esto hace que varias personas sean idénticas en los tres modos, como se puede comprobar en la siguiente tabla: Prin (fa’ala)

PrSb (fa’ala)

C (fa’ala)

N1

a -f’al-u

a -f’al-a

a -f ’al

yo hago / haga / haría

N2’

ta -f’al-u

ta -f’al-a

ta -f’al

tú haces / hagas / harías (m.)

N2”

ta -f’al-ī-na

ta -f’al-ī

N3’

ya-f’al-u

ya-f’al-a

ya-f’al

él hace / haga / haría

N3”

ta -f’al-u

ta -f’al-a

ta -f’al

ella hace / haga / haría

N4

na-f’al-u

na-f’al-a

na-f’al

nosotros/as hacemos / hagamos / haríamos

N5’

ta -f’al-ū-na

N5” N6’

tú haces / hagas / harías (f.)

ta -f’al-ū ta -f’al- -na

ya-f’al-ū-na

N6”

ya-f’al-ū ya-f’al- -na

N9”

vosotras hacéis / hagáis / haríais ellos hacen / hagan / harían ellas hacen / hagan / harían vosotros/as dos hacéis / hagáis / haríais

N8 N9’

vosotros hacéis / hagáis / haríais

ta -f’al-ā-ni

ta -f’al-ā

ellos dos hacen / hagan / harían ellas dos hacen / hagan / harían

Su EMV puede obtenerse más fácilmente si se analizan por separado las personas femeninas, las plurales y las duales. De esta manera, se puede comprobar la regularidad de las personas masculinas y su EMV prefijante, ya que son los prefijos personales, y no los sufijos como en el pasado, los que diferencian las personas. Dichos prefijos personales sólo diferencian las personas del singular y la 1.ª de plural, siendo -a el de la 1.ª persona de singular (a-f’al-u = «yo hago»), -ta el de la 2.ª persona de singular (ta-f’al-u = «tú (m.) haces»), ya- el de 3ª persona singular (ya-f’al-u = ‘él hace’) y nael de la 1.ª persona de plural (na-f’al-u = «nosotros hacemos»). Mientras tanto, la 2.ª y 3.ª de plural utilizan los mismos prefijos que la 1.ª y 2.ª de singular, y para diferenciarse de ellas han añadido un sufijo de plural, -ūna, que es el mismo que se usa en el plural externo de los sustantivos para el caso nominativo masculino (ta-f’al + -ūna > ta-f’al-ūna y ya-f’al + -ūna > ya-f’al-ūna, respectivamente, igual que fallāh-ūna = «campesinos»). El femenino se formó en la EMV a partir del masculino, concretamente al añadirle el sufijo -īna (ta-f’al + -īna > ta-f’al-īna), que es el mismo que el sufijo de femenino del caso directo y del indirecto de los sustantivos (debi-

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do a su función de femenino, no a la de plural); en la 3.ª persona de singular femenino, se utilizó la 2.ª persona de singular masculino (ta-f’al-u = «tú (m.) haces» > «ella hace»); y en la 2.ª y 3.ª de plural, se añadió el sufijo -na, en lugar de -ūna, o bien se perdió la ū de este último sufijo (ta-f’al + -na > ta-f’al-na y ya-f’al + -na > ya-f’al-na, respectivamente). De todo ello, se deduce que el femenino es más moderno que el masculino en estas personas, puesto que se formó a partir de este último género. Igualmente, se puede comprobar que el dual se formó a partir del plural en la 2.ª persona de singular, al sustituir el sufijo modal -u por el sufijo -āni, que es el mismo que indica el dual en los sustantivos (ta-f’al + -ā > ta-f’al-āni), o bien al añadirle este sufijo a la 2.ª persona de singular del presente de condicional, que presenta el sufijo -ø. Ps (fa’ala) Formación del femenino N1 N2’ N3’ N4 N5’ N6’

a -f’al-u ta -f’al-u ya-f’al-u na-f’al-u ta -f’al-ūna ya-f’al-ūna

N2” N3”

ta-f’al-īna ta-f’al-u

N5” N6”

ta-f’al-na ya-f’al-na

Formación del dual N1 N2’ N2” N3’ N3” N4 N5’ N5” N6’ N6”

a -f’al-u ta -f’al-u ta -f’al-ī-na ya-f’al-u ta -f’al-u na-f’al-u ta -f’al-ū-na ta -f’al- -na ya-f’al-ū-na ya-f’al- -na

N9’ N9”

ta-f’al-āni ta-f’al-āni

N8

ta-f’al-āni

La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por extensión, es:

EMV(Ps, fa’ala) = {a-, (ta-)2’ ,2”, ya-, ta-, na-, (ta-)5’, 5”, (ya-) 5’, 5”, (ta-) 8, } × {-f’al-} × {(-u)1-4, (-a)1-4, (-ø)1-4} × {(-īna)2”, (-ī)2”} × {(-ūna)5’, 6”, (-na) 9’, 9” } × {(-āni)8, 9’, 9”,(-ā)8, 9’, 9”} 5”, 6”

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Lingüística y Matemáticas

La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es similar a la EMV de las lenguas indoeuropeas: EMV(Ps, fa’ala) = N × R × M × F × Pl × Dl = NRMFPlDl El modo imperativo se caracteriza por el prefijo modal i- añadido a la raíz, que ha sufrido la síncopa de la vocal de la primera sílaba al tener un prefijo, y por la ausencia de afijos personales. Las distintas personas de dicho modo vienen indicadas por los sufijos de género y de número propios de la EMV del presente. Im (fa’ala) N1 N2’ N2” N3’ N3” N4 N5’ N5” N6’ N6” N8 N9’ N9”

i-f’al i-f’al-ī

haz tú (m.) haz tú (f.)

i-f’al-ū i-f’al-na

haced vosotros haced vosotras

i-f’al-ā

haced vosotros/as dos

La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por extensión, es:

EMV(Im, fa’ala) = {i-} × {-f’al-} × {(-ī)2”} × {(-ū)5’,(-na)5”} × {(-ā)8} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión, es similar a la EMV de las lenguas indoeuropeas: EMV(Ps, fa’ala) = Im × R × F × Pl × Pl/F × Dl = ImRFPlPl/FDl Las lenguas flexivas internas reciben este nombre porque presentan un tipo de derivación consistente en la modificación de las vocales de la raíz y en la adición de algún afijo en el interior o en el exterior de la misma. Teniendo en cuenta la distribución morfológica de esta EM interna, se puede inferir

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José Fernando Domene Verdú

con facilidad que es más moderna que la EM externa de dichas lenguas156 y que vino a complementarla para indicar algunas funciones gramaticales que aparecieron en época más moderna. Así, afecta sólo al plural interno de los sustantivos, que tienen además un plural externo consistente en un sufijo añadido a determinados sustantivos, y a las llamadas clases de verbos, que indican determinadas funciones y el carácter reflexivo de los verbos, es decir, lo que en las lenguas indoeuropeas es la voz media. La flexión interna es aquel tipo de EM cuyos emφ están incluidos siempre dentro del mismo radical (R) y existe sólo en las lenguas camito-semíticas, que indican algunas funciones gramaticales (φg) mediante distintas combinaciones de las vocales radicales. La flexión interna es, por tanto, característica de esta familia lingüística y exclusiva de ella. El plural interno de los sustantivos se forma en árabe normalmente añadiendo el prefijo a-, que hace desaparecer la vocal de la primera sílaba, y alargando la vocal /a/ de la segunda sílaba. Así, por ejemplo, el plural de waladun = «niño» es a-wlādun, el de farasun = «caballo» es a-frāsun, el de addun = «abuelo» es a- dadun. El prefijo puede ser también i- en algunas palabras. Otra manera menos frecuente de formar el plural de los sustantivos es mediante la vocal /u/ en la primera sílaba y la vocal /u/ larga en la segunda. Por ejemplo, el plural de ‘aynun = «oído» es ‘uyūnun, de manera que la vocal /a/ de la primera sílaba se ha convertido en /u/ y la segunda sílaba, que en singular no tiene vocal, ha añadido la /ū/. La vocal /u/ de la segunda sílaba también puede ser breve en algunas palabras. Los verbos derivados se forman mediante un procedimiento parecido al plural y dan lugar a 10 clases de verbos, que se forman a partir de la 1.ª clase, que es la representada por la forma fa’ala = «hacer». La 2.ª clase se forma reduplicando la vocal de la segunda sílaba de la 1.ª (fa’’ala = «hacer hacer la acción»); la 3.ª, alargando la vocal /a/ de la 1.ª (fa’āla = «hacer la acción con una intención o finalidad»); y la 4.ª, añadiendo el prefijo a- a la 1.ª, que hace desaparecer la vocal de la primera sílaba (a-f’ala = «hacer hacer la acción a alguien»). Las demás clases verbales son las reflexivas correspondientes a las anteriores y se forman añadiendo el afijo ta- delante o en el interior de la 156. En el caso de las clases de verbos, es evidente que se formaron con posterioridad a la flexión verbal externa, que es la de la clase I, ya que las demás clases se refieren a la voz media o reflexiva, a la voz pasiva o a los derivados causativos de los verbos de la clase I, entre otros. En el caso del plural interno, todo parece indicar que es más moderno que el plural externo, y en efecto, no existe en algunas lenguas semíticas documentadas con mayor antigüedad, como el acadio o las lenguas del noroeste: «In Akkadian only the external plural is productive» (Ratcliffe, 1984: 152) y «in general, the plural category in NW Semitic is obligatorily marked by suffixation» (Ratcliffe, 1984: 152).

Lingüística y Matemáticas

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raíz. Así, la 8.ª clase es el reflexivo de la 1.ª y se forma añadiendo el afijo tay el prefijo i- a la 1.ª, que hace desaparecer la vocal de la primera sílaba (i-fta-’ala = «hacerse la acción»); la 5.ª clase es el reflexivo de la 2.ª y se forma añadiendo el prefijo ta- a la 2.ª (ta-fa’’ala = «hacerse hacer la acción»); la 6.ª clase es el reflexivo de la 3.ª y se forma también añadiendo el prefijo ta- a la 2.ª (ta-fa’āla = «hacerse la acción con una intención o finalidad»); y la 10.ª clase es el reflexivo de la 4.ª y se forma añadiendo el prefijo is- seguido del prefijo ta- a la 4.ª, que hace desaparecer la vocal de la primera sílaba (is-taf-’ala = «hacerse hacer la acción»). La 7.ª clase es la pasiva de la 1.ª y se forma añadiendo el prefijo in- a la 1.ª (in-fa’āla). La 9.ª clase es la que forma verbos a partir de los adjetivos de color y se forma añadiendo el prefijo i- a la 1.ª, que hace desaparecer la vocal de la primera sílaba, y reduplicando la consonante de la tercera sílaba, con la vocal /a/ (por ejemplo, de aşfaru = «amarillo», se forma i-şfarra = «amarillear», según el modelo i-f’alla). Las EM internas también se pueden expresar de forma matemática, pero solamente utilizando la teoría de conjuntos, ya que mediante el álgebra no se ha conseguido todavía. En general, la matematización de la flexión interna se podría representar así: EM = R1, R2, R3, …, Rn / R1 = C1V1C2V2C3V3, etc. La matematización del plural interno del árabe se podría representar mediante una R diferente a la del singular, de tal manera que dicha raíz del plural tenga una determinada estructura fonética (EF) en la que las consonantes y la 3.ª vocal son las variables y la 1.ª y 2.ª vocal son las constantes: EMN(Pl) = PlRPl = Pl(C1V1C2V2C3V3) / Pl = a-; V1 = ø; V2 = ā La matematización de las clases de verbos del árabe, que utilizan flexión interna, se podría representar mediante una R diferente a la del singular, de tal manera que cada raíz del plural tenga una determinada estructura fonética (EF) en la que las consonantes son las variables y las vocales son las constantes y tienen los siguientes valores: EMV(1) = R1 = C1V1C2V2C3V3 / V1 = a; V2 = a; V3 = a EMV(2) = R2 = C1V1C2C2V2C3V3 / V1 = a; V2 = a; V3 = a EMV(3) = R3 = C1V1C2V2C3V3 / V1 = a; V2 = ā; V3 = a EMV(4) = R4 = V1C1C2V2C3V3 / V1 = a; V2 = a; V3 = a EMV(8) = Rf’R1(Rf) = Rf’(C1V1RfC2V2C3V3) / Rf ’ = i-; V1 = ø; Rf = ta-; V2 = a; V3 = a EMV(5) = RfR2 = Rf(C1V1C2C2V2C3V3) / Rf = ta-; V1 = a; V2 = a; V3 = a

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José Fernando Domene Verdú

EMV(6) = RfR3 = Rf(C1V1C2V2C3V3) / Rf = ta-; V1 = a; V2 = ā; V3 = a EMV(10) = RfR4 = Rf ”Rf(V1C1C2V2C3V3) / Rf ” = is-; Rf = –ta-; V1 = ø; V2 = a; V3 = a EMV(7) = PvR1 = Pv(C1V1C2V2C3V3) / Pv = in-; V1 = a; V2 = a; V3 = a EMV(9) = PfvR9 = Pfv(C1V1C2V2C3C3V3) / Pfv = i-; V1 = ø; V2 = a; V3 = a Teniendo en cuenta que los elementos fonéticos que forman la EMV de estas clases de verbos se combinan entre sí, al igual que las funciones gramaticales, definiendo unas RBOT dentro de su conjunto, se ha demostrado que ambos conjuntos, el de los elementos fonéticos formado por los significantes y el de las funciones gramaticales que indican, definen entre sí a su vez una correspondencia múltiple porque cada elemento del conjunto inicial tiene una o varias imágenes en el conjunto final. Por ejemplo, la forma verbal árabe de la clase I fa’ala = «él ha hecho» se puede representar por C1V1C2V2C3V3, donde C1 = f; C2 = ‘; C3 = l y V1 = a; V2 = a; V3 = a.

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Lingüística y Matemáticas

Teniendo en cuenta igualmente que cada uno de los elementos fonéticos de una misma forma verbal pertenece a distintos subconjuntos que a su vez definen entre sí correspondencias cuyos elementos forman pares, ternas, cuádruplas o n-tuplas ordenadas que son las formas verbales o elementos léxicos que forman los sistemas morfológicos y se expresan formalmente en las estructuras morfológicas que simbólicamente los representan. Así, la estructura morfológica verbal árabe de la clase I, fa’ala = «yo he hecho» por ejemplo, sería C1V1C2V2C3V3, donde C1 = f; C2 = ‘; C3 = l y V1 = a; V2 = a; V3 = a.

Séxtupla ordenada: {f-, -a-, -‘-, -a-, -l-, -a} EF = C1V1C2V2C3V3 = C1{-a-}C2{-a-}C3{-a-} = {f-, -a-, -‘-, -a-, -l-, -a} En general, la EMV de la clase I de los verbos árabes se puede expresar matemáticamente teniendo en cuenta que las vocales, es decir, los conjuntos V1, V2 y V3 son constantes para dicha clase de verbos y que las consonantes, es decir, los conjuntos C1, C2 y C3 son variables y pueden tener cualquier valor dentro de los elementos pertenecientes al conjunto C de las consonantes árabes. Estos elementos del conjunto C se pueden representar por x, y, z, tal que x, y, z C. f: C1

V1

C2 V2 (a V; x, y, z C)

C3

V3

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José Fernando Domene Verdú

Séxtupla ordenada: {f-, -a-, -‘-, -a-, -l-, -a} EF = C1V1C2V2C3V3 = C1{-a-}C2{-a-}C3{-a-} = {x, -a-, y, -a-, z, -a} El conjunto de los verbos árabes de la clase I será el grafo del producto cartesiano de los conjuntos mencionados, es decir, un subconjunto de los pares ordenados de dicho producto cartesiano y, por tanto, la correspondencia múltiple definida por dichos conjuntos. Y lo mismo se puede aplicar a todas las demás clases de verbos árabes y al plural interno. 7.6.6. Lenguas aglutinantes con EMV simple Las lenguas aglutinantes tienen una EMV más compleja que las flexivas, pero por el contrario, mucho más regular. Esto hace que la aplicación de las matemáticas a su gramática sea más fácil, al menos en principio. Las lenguas aglutinantes con EMV simple tienen una EMV que sólo expresa el sujeto, es decir, el caso nominativo (N), igual que en las flexivas. Sin embargo, es una EMV mucho más regular que la de las lenguas flexivas. En finés, por ejemplo, sólo hay tres tiempos que posean EMV sintética, el presente (preesens), el pretérito imperfecto/indefinido (imperfekti/yksinkertainen perfecti) y el presente de condicional/presente de subjuntivo (konditionaali preesens/ konjunktiivi preesens). La EMV del presente y del pretérito imperfecto del verbo rakastaa = «amar» sólo se diferencian en el sufijo de tiempo, que es la vocal -a- para el presente y la vocal -i- para el pasado: PrIn (rakastaa) N1 N2 N3 N4 N5 N6

rakast-a -n rakast-a -t rakast-aa rakast-a-mme rakast-a-tte rakast-a-vat

yo amo tú amas él ama nosotros amamos vosotros amáis ellos aman

PsImIn (rakastaa) rakast-i-n rakast-i-t rakast-i rakast-i-mme rakast-i-tte rakast-i-vat

yo amaba tú amabas él amaba nosotros amábamos vosotros amábais ellos amaban

Lingüística y Matemáticas

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Definida por extensión, la EMV del presente de indicativo y del pretérito imperfecto/indefinido del verbo finés rakastaa es la siguiente, agrupando los dos tiempos en la misma fórmula, dada su regularidad:

EMV(PrIn, Ps, rakastaa) = {rakast-} × {-a-, -aa)Pr, (-i-)Ps} × {-n, -t, ø, -mme, -tte, -vat} La EMV correspondiente a la anterior EMV, definida por comprehensión es (T = tiempo): EMV(PrIn, rakastaa) = R × Pr × N = RPrN EMV(PrIn, rakastaa) = R × Ps × N = RPsN La EMV del presente de condicional/presente de subjuntivo se ha formado al añadirle el sufijo -si- a la 3.ª persona de singular del pasado, de donde surgió la 3.ª persona de singular del condicional, y a ella se añadieron después todos los sufijos personales. Por ejemplo, de ol-i = «él había/hubo» se formó ol-i-si = «él habría/haya»; de läht-i = «él partía/partió» se formó läht-i-si = «él partiría/parta»; de tek-i = «él hacía/hizo» se formó tek-i-si = «él haría/haga»; nukku-i = «él dormía/durmió» se formó nukku-i-si = «él dormiría/duerma»; men-i = «él iba/fue» se formó men-i-si = «él iría/vaya»; tul-i = «él venía/vino» se formó tul-i-si = «él vendría/venga»; etc. Por lo tanto, su EMV se podría expresar así: EMV(PrC, Sb) = {rakast-} × {-i-} × {-si-} × {-n, -t, ø, -mme, -tte, -vat} EMV(PrC, Sb) = R × Ps × C × N = RPsCN 7.6.7. Lenguas aglutinantes con EMV compleja Las lenguas aglutinantes con EMV compleja poseen una EMV que, no sólo expresa el sujeto, sino también puede expresar el objeto directo y el indirecto, es decir, no sólo posee el caso nominativo, sino también el acusativo y el dativo o, en el caso de las lenguas de tipo ergativo, los casos ergativo y dativo. En el caso de la lengua vasca, por ejemplo, el sistema morfológico

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José Fernando Domene Verdú

verbal (SMV) vasco occidental o vizcaíno del verbo monovalente egon = «estar», por ejemplo, es: Prin e-go-n = «estar» N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7

n-a-go a-go d-a-go g-a-go-z z-a-go-z z-a-go-z-e d-a-go-z

yo estoy tú estás él está nosotros estamos vos estáis vosotros estáis ellos están

La EMV occidental o vizcaína de egon (estar) del SMV expuesto anteriormente, definida por extensión, es:

EMV(Pr, egon) = {n-, , d-, g-, z-, z-, d-} × {-a-} × {-go} × {-z}4-6 × {-e}5” Y la EMV vasco occidental o vizcaína de egon (estar) que corresponde a la anterior EMV, definida por comprehensión, es: EMV(Pr, egon) = N × Pr × R × Pl4-6 × Pl5” = NPrRPl4-6Pl5” Esto se puede ver en un ejemplo. En efecto, teniendo en cuenta que los significantes se combinan entre sí definiendo unas RBOT al igual que los significados o las funciones gramaticales dentro de su conjunto, se ha demostrado que ambos conjuntos, el de los significantes y el de los significados y funciones gramaticales, definen entre sí a su vez una correspondencia múltiple porque cada elemento del conjunto inicial tiene una o varias imágenes en el conjunto final. Por consiguiente, la forma verbal latina ama-ba-m = «yo amaba» se representaría por PPrImIn N1, donde R = ama-, Pr ImIn = -ba- y N1 = -m. De la misma manera, la forma verbal vasca n-a-go = «yo estoy» se representaría por N1PrR, donde N1 = n-, Pr = -a- y R = -go.

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Lingüística y Matemáticas

f: A A

f: A B

A = elementos morfológicos latinos



f: A A

f: A B

A = elementos morfológicos latinos

f: B  B B = funciones gramaticales

f: B  B B = funciones gramaticales

Teniendo en cuenta igualmente que cada uno de los elementos morfológicos de una misma forma verbal pertenece a distintos subconjuntos que a su vez definen entre sí correspondencias cuyos elementos forman pares, ternas, cuádruplas o n-tuplas ordenadas que son las formas verbales o elementos léxicos que forman los sistemas morfológicos y se expresan formalmente en las estructuras morfológicas que simbólicamente los representan. Así, la EMV latina de ama-ba-m = «yo amaba», ama-ba-t = «él/ella/ello amaba», etc. sería RPr ImInN y la EMV vasca de n-a-go = «estoy», d-a-go = «está», etc. sería NPrR.

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El SMV de muchas lenguas, como el vasco, es sumamente rico y complejo desde el punto de vista estructural157, hecho que hace a esta lengua especial157. El paradigma de la conjugación vasca, por ejemplo, se compone nada menos que de 440 formas verbales (175 del presente, 165 del pasado y 100 del imperativo), a las que hay que añadir otras 516 de la conjugación alocutiva (264 del presente y 252 del pasa-

Lingüística y Matemáticas

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mente adecuada, no sólo para la puesta en práctica del método de reconstrucción interna, sino también para la aplicación de la axiomatización de la gramática de las lenguas basada en la Teoría de Conjuntos. Ante la insuficiencia de la clasificación tradicional entre conjugación sintética y perifrástica, pero basándome en ella, he clasificado las EMV vascas en sintéticas (EMVS), si todas las funciones temporales, modales y casuales las indica la EMV del mismo verbo (por ejemplo, n-a-tor = ‘yo vengo’ o n-a-iz = ‘yo soy’), analíticas (EMVA), si esas funciones las indica la EMV de otro verbo distinto que es el auxiliar y carece de significado (por ejemplo, etorri naiz = ‘yo he venido’ o etorri naiteken = ‘yo puedo venir’), y perifrásticas (EMVP), si utilizan algún verbo modal (por ejemplo, etorri ahal naiz = ‘yo puedo venir’). He clasificado las EMVA y las ESVP, a su vez, en simples (EMVAS o ESVPS) o compuestas (EMVAC o ESVPC) según sean sintéticas o analíticas las EMV de los verbos auxiliares que intervienen en su formación. Como apuntó Michelena (1987: 48), he confirmado que la EMV analítica vasca tiene un origen tardo-latino y, por tanto, la EMV sintética es la más antigua en la lengua vasca.

do), lo que hace un total de 956 formas verbales finitas o personales sintéticas por cada modo verbal (856 del indicativo más 100 del imperativo). Como los modos verbales son 22, las formas verbales sintéticas hacen un total de 18 932, cifra a la que hay que añadir la correspondiente a las formas verbales analíticas o perifrásticas, que se forman con el verbo principal en participio y el verbo auxiliar conjugado, pudiendo a su vez este verbo auxiliar ser perifrástico en algunos tiempos verbales. Teniendo en cuenta que los tiempos verbales expresados por medio de estas formas verbales analíticas o perifrásticas son 16, 8 con el verbo auxiliar en presente y 8 con el verbo auxiliar en pasado, las formas verbales sintéticas son esa misma cifra de 18 932 formas verbales sintéticas multiplicada por 8, lo que hace un total de 149 756 formas verbales analíticas o perifrásticas, a la que hay que añadir las 18 932 formas verbales sintéticas, por lo que el total de formas verbales de la conjugación vasca es de 168 688. Esto sin contar la voz pasiva, expresada de forma analítica o perifrástica. Sólo en los modos indicativo e imperativo la lengua vasca posee un total de 7 704 formas verbales (856 sintéticas y 6 848 analíticas o perifrásticas, a las que hay que añadir las 200 sintéticas y perifrásticas del imperativo). Naturalmente, cada una de esas formas verbales vascas tiene varias, y a veces numerosas, variantes dialectales, que hay que tener en cuenta también para el análisis morfológico.

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Esta formulación es especialmente útil cuando las EMV son más complejas, como ocurre en las lenguas aglutinantes como el vasco. Las EMV sintéticas vascas pueden ser acasuales o áptotas (R), si no incluyen ningún caso, como ocurre en los modos impersonales (infinitivo/participio y gerundio); unicasuales o monóptotas (NR o N), si sólo incluyen un caso, el nominativo (N); bicasuales o díptotas, si incluyen dos casos, el nominativo (N) y el ergativo (E) en los verbos transitivos (NRE o NE) y el nominativo (N) y el dativo (D) en los intransitivos (NRD o ND); y tricasuales o tríptotas (NRDE o NDE), si incluyen los tres casos posibles, el nominativo (N), el dativo (D) y el ergativo (E). En las flexiones transitivas de 3.ª persona de nominativo, las EMV bicasual transitiva es ERN o EN, y la tricasual, ERD o ED, porque el caso ergativo está indicado por los prefijos personales. En la lengua vasca, cada una de estas EMVS puede ser a su vez alocutiva si le añade el caso alocutivo (Al). Los términos «unicasual», «bicasual» y «tricasual» son preferibles a los tradicionales «unipersonal», «bipersonal» y «tripersonal» porque las EMV vascas están formadas por casos, y éstos a su vez por personas.

El SMV de la lengua vasca se caracteriza por tener todos estos tipos de EMV sintéticas: la áptota, acasual o impersonal (R) en las formas no personales del verbo (por ejemplo, jo = «pegar», e-rama-n = «llevar», e-torr-i

297

Lingüística y Matemáticas

= «traer», etc.); la monóptota, unicasual (NR) o nor (por ejemplo, n-a-tor = «yo vengo»), la bicasual transitiva (NRE) o nor-nork (por ejemplo, da-rama-t = «lo llevo yo»), la bicasual intransitiva (NRD) o nor-nori (por ejemplo, n-a-tor-ki-o = «yo le vengo a él») y la tríptota, tricasual (NRDE) o nor-nori-nork (por ejemplo, d-a-gi-zu-t = «yo os lo hago» = «lo hago a vos yo»). A éstas hay que añadir las EMV alocutivas respectivas: NAl, NEAl, NDAl y NDEAl. Clases de EMV sintéticas vascas del presente: EMV(Pr) Clase de EMV

Subclase de EMV

Casos

Acasual

R

Unicasual

NR Transitiva Intransitiva

Bicasual Tricasual

Denom. tradicional

EMV(Pr) General

Vizcaína

PsRPa

PsRPa

nor

NPrRPln

NPrRPln

NRE

nor-nork

NPrRPlnE

NPrREPln

NRD

nor-nori

NPrRD0PlnD1-6

NPrRD0D1-6Pln

NRDE nor-nori-nork NPrRPlnDE

NPrRDEPln

La estructura unicasual o monóptota es la más simple de todas, es intransitiva y está formada por los prefijos personales, que indican el nominativo, los afijos de tiempo, la raíz y los sufijos de plural. Ya se ha visto el ejemplo del verbo egon (estar). La estructura bicasual o díptota transitiva se formó al añadirle los sufijos de ergativo a la primitiva estructura unicasual transitiva y tiene, por lo tanto, dos casos, el nominativo y el ergativo. Por ejemplo, el SMV(NE) bicasual transitivo vizcaíno del presente del verbo eroan (llevar) se puede representar así158 (página 298). El SMV(NE) bicasual transitivo del presente del verbo eraman (llevar) del resto de dialectos se diferencia del dialecto occidental o vizcaíno principalmente en el sufijo de plural, ya que utiliza el sufijo compuesto -zki (< -z-ki) en lugar del antiguo -z, y se puede representar así (página 299). 158. Las tablas que representan los SMV completos son más complejas que las de los SMV unicasuales. Constan de una primera fila que contiene los símbolos o fórmulas de uno de los casos –el primero de los que integran la correspondiente EMV– y una primera columna en la que se representan los símbolos o fórmulas del otro caso –el segundo de la EMV correspondiente.

d-a-roa d-a-roa-gu

a-roa

a-roa-gu

n-a-roa

NE3

d-a-roa-zu d-a-roa-zu-e d-a-ro-e

n-a-roa-zu

n-a-roa-zu-e

n-a-ro-e

NE5’

NE5”

NE6

a-ro-e

d-a-roa-n

n-a-roa-n

NE2”

NE4

d-a-roa-k

d-a-roa-t

N3E

n-a-roa-k

a-roa-t

N2E

NE2’

NE1

N1E

g-a-ro-e-z

g-a-roa-zu-e-z

g-a-roa-zu-z

g-a-roa- -z

g-a-roa-za-n

g-a-roa-za-k

N4E

z-a-ro-e-z

z-a-roa-gu-z

z-a-roa- -z

z-a-roa-da-z

N5’E

N5”E

z-a-ro-e-z

z-a-ro-e-gu-z

z-a-ro-e- -z

z-a-ro-e-da-z

SMV(NE, Pr, eroan, V) del dialecto occidental o vizcaíno

d-a-ro-e-z

d-a-roa-zu-e-z

d-a-roa-zu-z

d-a-roa-gu-z

d-a-roa- -z

d-a-roa-za-n

d-a-roa-za-k

d-a-roa-da-z

N 6E

298 José Fernando Domene Verdú

d-a-rama d-a-rama-gu

a-rama

a-rama-gu

n-a-rama

NE3

d-a-rama-zu-e g-a-rama-zki-zu-e d-a-rama-te

n-a-rama-zu-e

n-a-rama-te

NE5»

NE6

g-a-rama-zki-te

d-a-rama-zu

n-a-rama-zu

g-a-rama-zki-zu

g-a-rama-zki

g-a-rama-zki-n

g-a-rama-zki-k

N4E

NE5’

a-rama-te

d-a-rama-n

n-a-rama-n

NE2»

NE4

d-a-rama-k

d-a-rama-t

N3E

n-a-rama-k

a-rama-t

N2E

NE2’

NE1

N1E

z-a-rama-zki-te

z-a-rama-zki-gu

z-a-rama-zki

z-a-rama-zki-t

N5’E

SMV(NE, Pr, eraman) de los demás dialectos

z-a-rama-zki-te

z-a-rama-zki-te-gu

z-a-rama-zki-te

z-a-rama-zki-te-t

N5”E

d-a-rama-zki-te

d-a-rama-zki-zu-e

d-a-rama-zki-zu

d-a-rama-zki-gu

d-a-rama-zki

d-a-rama-zki-n

d-a-rama-zki-k

d-a-rama-zki-t

N6E

Lingüística y Matemáticas 299

300

José Fernando Domene Verdú

Las dos EMV(NE) dialectales principales vascas, la general y la occidental o vizcaína, son:  mv(NE, Pr) = {n-, ø-, d-, g-, z-, z-, d-}{-a-}R{-zki-}4-6{-t, -k, -n, -gu, -zu, Σ -zue, -te}{-te}5” Σmv(NE, Pr, V) = {n-, ø-, d-, g-, z-, z-, d-}{-a-}R{-t, -k, -n, -gu, -zu, -zue, -e}{-e}5”{-z}4-6 A partir de estas dos EMV(NE) definidas por extensión se pueden obtener las respectivas EMV(NE) definidas por comprensión, que son: Σmv(NE, Pr) = NPriRPlnEPlN5” Σmv(NE, Pr, V) = NPriREPlN5”Pln EMV = XiYj– / i = 1 j = 4; i = 2 j = 5, 5’, 5”; EMV = XiYj– / i = j; i, j 3, 6 La EMV(Ps) del pasado, en general, se distingue de la del presente porque utiliza el sufijo de tiempo -e- en lugar de -a- y porque lo refuerza con un infijo -n- y un sufijo -n, utilizando este último una vocal epentética /a/ o /e/, según los dialectos, en las flexiones de 3.ª persona. Sin embargo, la EMV(NE, Ps) del pasado se diferencia, además, de la del presente por la distinta estructura de las dos flexiones de 3.ª persona de N (estructura EN3, 6 frente a la N-3,-6E de las flexiones de 1.ª y 2.ª persona), de manera que en ellas son los prefijos los que indican el caso ergativo. En la EMV(NE) de las flexiones de 1.ª y 2.ª persona de pasado, los prefijos personales indican el objeto directo y los sufijos el sujeto agente, igual que en el presente, pero en las flexiones de 3.ª persona es justo al contrario, ya que los prefijos indican el sujeto agente y el objeto directo carece de sufijo personal, es decir, presenta el morfema .

g-e-n-du-na-za-n g-e-n-du-z-an

e-u- -an e-b- -an g-e-u- -an

e-n-du- -an

e-n-du-gu-n

n-e-n-du-na- -n

n-e-n-du-an

NE2”

NE3

g-e-n-du-zu-e-z-an g-e-n-du-e -z-an

z-e-u-e- n e- -b-e- n

n-e-n-du-zu-e-n

n-e-n-du-e- -n

NE5”

NE6

e-n-du-e -n

g-e-n-du-zu- -z-an

z-e-u- -an

n-e-n-du-zu- -n

NE5’

NE4

g-e-n-du-a-z-an

N4E

e-u- -an

n-e-u- -an

EN3

n-e-n-du- a- -n

e-n-du-da-n

N2E

NE2’

NE1

N1E

z-e-n-du-e-z-an

z-e-n-du-gu-z-an

z-e-n-du- -z-an

z-e-n-du-da-z-an

N5’E

N5”E

z-e-n-du-e-z-an

z-e-n-du-e-gu-z-an

z-e-n-du-e- -z-an

z-e-n-du-e-da-z-an

El SMV(NE, P, ukan) del vizcaíno occidental (nor-nork)

e- - b-e-z-an

z-e-n-du-e-z-an

z-e-n-du- -z-an

g-e-n-du- -z-an

e- -b-a- -z-an

e- -n-a- -z-an

e- -n-a- -z-an

n-e- -b-a- -z-an

EN6

Lingüística y Matemáticas 301

302

José Fernando Domene Verdú

Las dos EMV(Ps) vizcaínas del pasado, la NE-3, -6 de las flexiones de 1.ª y 2.ª persona y la EN3, 6 de las flexiones de 3.ª persona, son:  mv(N-3, -6E, Ps, V) = {n-, ø -, ø-, g-, z-, z-, ø-}{-e-}{-n-}R{-da, -a-, -na-, Σ -gu-, -zu-, -zue-, -e-}{-e-}5”{-z-}4-6{-a-}3,6{-n} Σmv(EN3, 6, Ps, V) = {n-, ø -, ø-, g-, z-, z-, ø-}{-e-}R{-e}5”{-z}4-6{-a-}3,6{-n} A partir de estas dos EMV(NE) definidas por extensión se pueden obtener las respectivas EMV(NE) definidas por comprensión, que son:  mv(N-3,-6E, Ps, V) = N-3,-6PsPs’REPlN5”Plnvt3Ps” Σ Σmv(EN3,6, Ps, V) = EPsRPlN5”PlnvtPs” EMV = XiYj– / i = 1 j = 4; i = 2 j = 5, 5’, 5”; EMV = XiYj– / i = j; i, j 3, 6 Este fenómeno de coexistencia de dos tipos de EMVS es lo normal en las lenguas con EMVS compleja, como se puede comprobar en otras lenguas de este tipo, como las caucásicas, por ejemplo. Ante la inexistencia de afijos temporales en la EMV georgiana, son los distintos tipos de EMV y de ES los que diferencian realmente los tiempos verbales y, por tanto, hacen la función de los inexistentes afijos temporales: • El presente está indicado por la EMV(ND) de nominativo (con régimen en dativo). • El aoristo está indicado por la EMV(EN) de ergativo (con régimen en nominativo). • El perfecto está indicado por la EMV(DN) de dativo (con régimen en nominativo). Pero, además de estas diferencias entre las EMV y las ES de los tres tiempos verbales, la EMV del georgiano es doble en las distintas flexiones de cada uno de los tiempos, igual que en vasco, pero con casos distintos y con una DM distinta de dichos casos: • En la 3.ª persona del Pr, el sujeto agente está expresado por los sufijos (construcción de N) y el objeto directo por los prefijos (régimen en D), por lo que se utiliza la EMV(DN), que es la general de la EMV(NE) vasca en cuanto a las funciones aunque utilice casos distintos. Así, por ejemplo, en D1N3 = m-xedav-s = «él me ve» y en D1N3 = gv-xedav-s = «él nos ve», es el sufijo -s el que indica el sujeto activo, mientras que los prefijos m- y gv- indican el objeto directo. Esta EMV es la misma que la vasca general, sólo que con casos distintos: N1E3 = n-a-kus-ø = «él me ve» y N1E3 = *ga-kus-ø = «él nos ve» donde es el sufijo -ø el que indica el Sujeto Activo, mientras que los prefijos n- y g- indican el objeto directo.

303

Lingüística y Matemáticas

• En la 1.ª y 2.ª persona del Pr, el sujeto agente está expresado por los prefijos (construcción de N) y el objeto directo por los sufijos (régimen en D), por lo que se utiliza la EMV(ND), que es la misma que la EMV de la 3.ª persona del Ps de la EMV(EN) vasca (con morfema en el sufijo) en cuanto a las funciones aunque utilice casos distintos. Así, por ejemplo, en N1D3 = v-xedav = «yo (lo) veo» y en N4D3 = v-xedav-t = «nosotros (lo) vemos», es el prefijo v- el que indica el sujeto activo, mientras que el objeto directo no está indicado por ningún sufijo porque el sufijo -t indica el plural del sujeto activo. Pero esta EMV(ND) transitiva es la misma que la EMV(N) intransitiva, en la que el prefijo v- indica el sujeto pasivo y el sufijo -t el plural del sujeto pasivo, como puede verse en N1 = v-ar = «yo soy» o en N4 = v-ar-t = «nosotros somos». La EMV(EN) vasca de las flexiones de 3.ª persona del Ps es, por ejemplo, E1N3 = n-e-kus-ø-an = «yo (lo) veía» y E1N3 = g-e-n-kus-ø-an = «nosotros (lo) veíamos», donde los prefijos n- y g- indican el sujeto activo y van en E mientras que el sufijo -ø indica el objeto directo y va en N. Pero esta EMV(EN) transitiva es la misma que la EMV(N) intransitiva, en la que los prefijos n- y g- indican el sujeto pasivo y el sufijo -z el plural del sujeto pasivo, como se puede ver en N1 = n-oa = «yo voy» o en N4 = g-oa-z = «nosotros vamos». Por lo tanto, esta EMV georgiana es la misma que la EMV(EN) de las flexiones de 3.ª persona del Ps de la EMV vasca, sólo que con casos distintos. Las dos EMV(Pr) transitivas actuales del presente del georgiano, ND y DN, para el verbo xedav = «ver» por ejemplo, se pueden observar claramente en la siguiente tabla, donde N = sujeto y D = objeto directo en dativo (no existe, por tanto, el caso E): SMV(N-3, -6D y DN3, 6, Pr) georgiano del presente del verbo xedav = «ver». ND1 N1D

ND2 -g-xedav

N 2D

-m-xedav

DN3

m-xedav-s

N 4D N 5D

-m-xedav-t

DN6

m-xedav-en

ND3

ND4

v-xedav

ND5

ND6

-g-xedav-t

v-xedav-t

-gv-xedav g-xedav-s

xedav-s

-g-xedav-t

v-xedav-t

gv-xedav-s

g-xedav-s -g-xedav-t

-gv-xedav-t g-xedav-en

xedav-en

gv-xedav-en

g-xedav-en

v-xedav-t

304

José Fernando Domene Verdú

Pero estas dos EMV(Pr) del georgiano se pueden expresar matemáticamente, igual que ocurre con las EMV vascas, y aunque son análogas a éstas, son con evidencia más sencillas. EMV(DN3, 6) = {-m-, -g-, -ø-, -gv-, -g-, -ø-}{-s,-en}{xedav}{-t}{-t} EMV(N3, 6D) = DN3, 6RPlnPld EMV(N-3, -6D) = {v-, ø-, v-, ø-}{-m-, -g-, -ø-, -gv-, -g-, -ø-}{xedav}{-t}{-t} EMV(N-3, -6D) = N-3,-6DRPlnPld N3, 6 = {-s, -en} N3, 6 = {v-, ø -, v-, ø-} N-3, -6-3, -6 = {ø-} D = {-m-, -g-, -ø-, -gv-, -g-, -ø-} R = {xedav} Pln = {-t} Pld = {-t} Se puede comprobar que la EMV(Pr) georgiana de las flexiones de 1.ª y 2.ª persona de N es exactamente la misma que la EMV de las flexiones de 3.ª persona del pasado de la EMV(Ps) vasca. La estructura bicasual o díptota intransitiva se formó añadiendo a la estructura unicasual el indicador de dativo -ki- y los sufijos de dativo, en este orden, y es muy regular en los verbos no auxiliares. Por ejemplo, el SMV(ND) bicasual intransitivo del presente del verbo auxiliar izan (ser), en vizcaíno y en los demás dialectos, puede representarse en las siguientes tablas:

j-a-ku

a-txa-ku j-a-tzu j-a-tzu-e j-a-ke j-a-ko-ie

n-a-txa-tzu

n-a-txa-tzu-e

n-a-txa-ke n-a-txa-ko-ie

ND5’

ND5”

ND6

a-txa-ke a-txa-ko-ie

j-a-ko

a-txa-ko

n-a-txa-ko

ND3

ND4

j-a-n

n-a-txa-n

j-a-k

-kij-a- -t j-a-ta

ND2”

a-txa- -t

-txa-

N 3D

n-a-txa-k

-txa-

N2D

ND2’

ND1

R=

N1D

g-a-txa-ke - -z g-a-txa-ko-ie-z

g-a-txa-tzu-e-z

g-a-txa-tzu- -z

g-a-txa-ko- -z

g-a-txa-na- -z

g-a-txa-za- -k

-txa-

N4D

z-a-txa-ke- -z z-a-txa-ko-ie-z

z-a-txa-ku- -z

z-a-txa-ko- -z

z-a-txa-ta- -z

-txa-

N5’D

z-a-txa-ke- -z-e z-a-txa-ko-ie-z-e

z-a-txa-ku- -z-e

z-a-txa-ko- -z-e

z-a-txa-ta- -z-e

-txa-

N5”D

SMV(NAl0D, izan) del dialecto occidental o vizcaíno con [č] (escrito modernamente tx)

j-a-ke- -z j-a-ko-ie-z

j-a-tzu-e-z

j-a-tzu- -z

j-a-ku- -z

j-a-ko - -z

j-a- a-na-z

j-a-ta-za-k

j-a-ta - -z

-ki-

N 6D

Lingüística y Matemáticas 305

z-a-k -o z-a- -ku

a-it-za-k-o

a-it-za- -ku

n-a-it-za-k-o

ND3

z-a- -tzu z-a- -tzu-e z-a- -te

n-a-it-za- -tzu

n-a-it-za- -tzu-e

n-a-it-za-i-e

ND5’

ND5”

ND6

a-it-za-i-e

z-a- -n

n-a-it-za- -n

ND2”

ND4

z-a- -k

z-a- -t

N3D

n-a-it-za- -k

a-it-za- -t

N2D

ND2’

ND1

N1D

g-a-it-za- -zki-e

g-a-it-za- -zki-tzu-e

g-a-it-za- -zki-tzu

g-a-it-za- -zki-o

g-a-it-za- -zki-n

g-a-it-za- -zki-k

N4D

z-a-it-za-zki-e

z-a-it-za- -zki-gu

z-a-it-za- -zki-o

z-a-it-za- -zki-t

N5’D

z-a-it-za- -ki-e

z-a-it-za- -zki-gu-e

z-a-it-za-zki-o-e

z-a-it-za- -zki-t-e

N5”D

SMV(ND, izan) del dialecto central o guipuzcoano con [c] (escrito tz)

z-a-i-zki-e

z-a-i-zki-tzu-e

z-a-i-zki -tzu

z-a-i-zki-gu

z-a-i-zki-o

z-a-i-zki-n

z-a-i-zki-k

z-a-i-zki-t

N 6D

306 José Fernando Domene Verdú

Lingüística y Matemáticas

307

Las dos EMV(ND) dialectales principales, la general y la vizcaína, del verbo auxiliar bivalente intransitivo izan (ser) son:  mv(ND, Pr) = {n-, h-, d-, g-, z-, d-}{-i-}{-a-}R{-zki-}4-6{-da, -ka, -na, Σ -o, -gu, -zu, -te} Σmv(ND, Pr, V) = {n-, h-, d-, g-, z-, d-}{-i-}{-a-}R{-da, -ka, -na, -o, -gu, -zu, -e}{-z}4-6 Y, a partir de las dos EMV(ND) actuales definidas por extensión se pueden obtener las respectivas EMV(ND) generales definidas por comprensión, que son: Σmv(ND, Pr) = NAl0PriRPlnDPlN5” Σmv(ND, Pr, V) = NAl0PriRDPlN5”Pln EMV = XiYj- / i = 1 j = 4; i = 2 j = 5, 5’, 5»; EMV = XiYj- / i = j; i, j 3, 6 La estructura tricasual o tríptota se formó añadiendo todos los sufijos de dativo a la estructura bicasual transitiva e intercambiando después las funciones casuales de los sufijos personales como consecuencia de la inexistencia de sufijo de 3.ª persona de ergativo, de manera que la estructura NED formada inicialmente se transformó en la actual estructura NDE. Por ejemplo, el SMV(NDE) tricasual del presente del verbo auxiliar edin se puede representar en las siguientes tablas:

d-i-da-n

d-i-t

N3DE2”

N3DE3

d-i-da-zu

d-i-da-zu-e

d-i-de

N3DE5’

N3DE5”

N3DE6

N3DE4

d-i-da-k

N3DE2’

N3DE1

N3D1E

d-i-e

d-i-a-gu

d-i-k

d-i-a-t

N3D2’E

d-i-ñe

d-i-ña-gu

d-i-ñ

d-i-ña-t

N3D2”E

d-i-o-e

d-i-o-zu-e

d-i-o-zu

d-i-o-gu

d-i-o

d-i-o-n

d-i-o-k

d-i-o-t

N3D3E

d-i-gu-e

d-i-u-zu-e

d-i-u-zu

d-i-u

d-i-u-n

d-i-u-k

N3D4E

d-i-zu-e

d-i-zu-gu

d-i-zu

d-i-zu-t

N3D5’E

SMV(N3DE) y SMV(N3,6DE) de Legazpia y Cegama

d-i-zu-e

d-i-zu-e-gu

d-i-zu-e

d-i-zu-e-t

N3D5”E

d-i-e-te

d-i-e-zu-e

d-i-e-zu

d-i-e-u

d-i-e

d-i-e-n

d-i-e-k

d-i-e-t

N3D6E

308 José Fernando Domene Verdú

d-i-zki-o-te

d-i-zki-da-te

N6DE6 d-i-zki-te-n

d-i-zk-otzu-te

d-i-zki-atzu-te

N6DE5” d-i-zki-te-k

d-i-zki-o-tzu

d-i-zki-a-tz-u

d-i-zki-o-gu

N6DE5’

N6DE4

d-i-zkiña-u

d-i-zki-o

d-i-zki-ñ

d-i-zkia-gu

d-i-zki-t

N6DE3

d-i-zki-k

d-i-zki-o-n

d-i-zki-a-n

d-i-zki-o-k

d-i-zki-o-t

N6D3E

N6DE2”

d-i-zki-ña-t

N6D2”E

d-i-zki-a-k

d-i-zki-a-t

N6D2’E

N6DE2’

N6DE1

N6D1E

d-i-zki-gu-te

d-i-zki-gutzu-te

d-i-zki-gu-tzu

d-i-zki-gu

d-i-zki-gu-n

d-i-zki-gu-k

N6D4E

SMV(N6DE, Pr, edin) de Tolosa

d-i-zki-tzu-te

d-i-zki-tzugu

d-i-zki-tzu

d-i-zki-tzu-t

N6D5’E

d-i-zki-tzu-te

d-i-zki-tzute-gu

d-i-zki-tzu-te

d-i-zki-tzu-te-t

N6D5”E

d-i-zki-o-te

d-i-zki-otzu-te

d-i-zki-ote-zu

d-i-z-ki-ote-gu

d-i-zki-o-te

d-i-zki-o-te-n

d-i-zki-o-te-k

d-i-zki-o-te-t

N6D6E

Lingüística y Matemáticas 309

310

José Fernando Domene Verdú

La EMV(NDE) dialectal correspondiente al SMV de este verbo auxiliar trivalente edin es:  mv(NDE, Pr) = {n-, h-, d-, g-, z-, z-, d-}{-a-}R{-zki-}4-6{-da, -a, -na, -o, Σ -gu, -zu, -zue, -te}{-t, -k, -n, -gu, -zu, -zue, -te}{-te}5” Y, a partir de estas dos EMV(NE) definidas por extensión se pueden obtener las respectivas EMV(NE) definidas por comprensión, que son siguientes: Σmv(NDE, Pr) = NPriRPlnDEPlN5” EMV = XiYjZk- / i = 1 j k = 4; i = 2 j k = 5, 5’, 5”; EMV = XiYjZk- / i = j k; i, j, k 3, 6 El SMV actual de la lengua vasca se caracteriza por tener otros tres tipos de EMV: sintéticas (por ejemplo, n-a-tor = «yo vengo» o n-a-iz = «yo soy»), analíticas (por ejemplo, etorri naiz = «yo he venido» o etorri naiteken = «yo puedo venir») y perifrásticas (por ejemplo, etorri ahal naiz = «yo puedo venir»). Si tenemos en cuenta que la EMVS forma parte necesariamente de la EMVA y de la EMVP y que la EMVA forma parte necesariamente de la EMVP, parece razonable suponer que la EMVS es anterior a la EMVA (verbo principal + verbo auxiliar) y, a su vez, que la EMVA es más antigua que la EMVP (verbo principal + verbo principal modal + verbo auxiliar)159. EMV sintética (EMVS): Σmv = Σ mv(V) EMV analítica simple (EMVAS): ‘Σ mv = Σ mv(Pa, Vp) Σ mv(Va) EMV analítica compuesta (EMVAC): “Σ mv = Σ mv(Pa, Vp) Σ mv(Pa, Va) Σ mv(Va) 159. Por lo tanto, las EMV vascas, que son tres, la sintética (EMVS), la analítica (EMVA) y la perifrástica (EMVP), si bien la EMVA puede ser simple (EMVAS) o compuesta (EMVAC), según utilice dos o tres verbos. Así, la EMVAS está formada por dos verbos, el principal en participio y el auxiliar conjugado, mientras que la EMVAC está formada por tres, el principal en infinitivo y dos auxiliares, uno de ellos en participio y el otro conjugado. Dicho de otra manera, la EMVAS está formada por una EMVS impersonal en participio, la del verbo principal, y otra EMVS, que es la del verbo auxiliar, mientras que la EMVAC está formada por una EMVS impersonal en participio, la del verbo principal, y una EMVAS, que es la del verbo auxiliar. Estas dos EMVA, unidas a la EMVS y a las dos EMVP, la EMVP simple y la ESVP compuesta, forman los cinco tipos de EMV vascas existentes.

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Lingüística y Matemáticas

EMV perifrástica simple (EMVPS): Σ mv = Σ mv(If, Vp) Σ mv(Pa, Vm) Σ mv(Va) ‘Σ m

v

EMV perifrástica compuesta (EMVPC): = Σ mv(If, Vp) Σ mv(Pa, Vm) Σ mv(Pa, Va) Σ mv(Va) Σ mv ‘Σ mv “Σ mv Σ mv ‘Σ mv

Teorema: Dado que la EMVS forma parte necesariamente de la EMVA y está incluida en todos los demás tipos de EMV vascas y, dado que toda EMV incluida en otra EM más compleja es más antigua que la EM que la incluye, puede concluirse que la EMVS es más antigua que la EMVA y, a su vez, que la EMVA es más antigua que la EMVP. O, lo que es lo mismo, como toda EM que incluye otras EM más sencillas es más moderna que todas las EMV que incluye, se puede concluir que la ESMP es más moderna que la EMVA y, a su vez, que la EMVA es más moderna que la EMVS. Σ mv ‘Σ mv “Σ mv Σ sv ‘Σ sv = Σ mv ‘Σ mv “Σ mv Σ sv ‘Σ sv Por lo tanto, ha quedado demostrado matemáticamente que la EMVS es más antigua que la EMVA. Así, por ejemplo, es evidente que n-a-tor = «yo vengo» es más antiguo que etor-ten naiz = «yo suelo venir». Pero es más evidente todavía que n-a-tor = «yo vengo» (EMVS) es más antigua que la expresión e-torr-i n-a-tor = «yo estoy viniendo» = «yo vengo viniendo» (EMVA) porque está incluida en ella, ya que la EMVA del presente continuo utiliza como auxiliar el mismo verbo que el principal. La mayor antigüedad de la EMVS con respecto a la EMVA la confirman el mismo concepto de verbo auxiliar y verbo principal de la EMVA, por una parte, y la duplicidad de tiempos y modos verbales, por otra. Pero el empleo del método matemático utilizado anteriormente, no sólo se puede aplicar a la descripción de la gramática de las lenguas, a la representación de sus estructuras gramaticales y a la lingüística diacrónica o lingüística histórica, sino que también se puede aplicar con enorme eficacia a la comparación de las estructuras gramaticales de las diversas lenguas entre sí, permitiendo obtener conclusiones valiosas. Así, por ejemplo, se pueden comparar las EMV que han sido representadas matemáticamente en las páginas anteriores correspondientes a distintas lenguas representativas de los diversos tipos lingüísticos.

Aglutinantes con EMV compleja

Aglutinantes con EMV simple

Flexivas internas (semíticas)

Flexivas externas (indoeuropeas)

Aislantes

Tipos de lenguas

RNFDl

NRMFPlDl

N-3, -6PsPs’REPlN5”Plnvt3Ps” EPsN3, 6RPlN5”PlnvtPs” NPsPs’PrRPlnDPlN5”Ps” NPsPs’PrRDPlN5”PlnPs” EPsRPlnDN3, 6PlN5”Ps” EPsRPlnDN3, 6PlN5”PlnvtPs”

NPrRPl4-6Pl5” NPrRPlnEPlN5” NPrREPlN5”Pln NAl0PrRPlnDPlN5” NAl0PrRDPlN5”Pln NPriRPlnDEPlN5” NPriRDEPlN5”Pln

N (nor) NE (nor-nork) ND (nor-nori) NDE (nor-norinork)

Vasco (ergativa)

NPsPs’RPl4-6Pl5” vtPs”

N-3, -6DRPlnPld DN3, 6RPlnPld

RPsN

RN

NRFPlmPlf

RPrN

R’vtN’ RvtPsInvt’N’

RvtN RDtvtN

xedav

1.ª clase

Árabe

R’N’ RPsImInN

RvtN R1R2, 4, 5R3,6N

Georgiano (no ergat.)

qātōl

Hebreo

PsR’vtN’

RvtN

Pasado

rakastaa

Fuertes Débiles

Inglés antiguo

R

R

Presente

Finés

ferō amō

6.ª clase

Verbos

Latín

Sánscrito

Lenguas

Tabla comparativa de la EMV sintética de las lenguas estudiadas anteriormente

312 José Fernando Domene Verdú

Lingüística y Matemáticas

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En esta tabla podemos comparar las EMV de los distintos tipos de lenguas y pueden comprobarse las características de cada uno de ellos. Así, se puede verificar la complejidad de la EMV de las lenguas aglutinantes con EMV compleja como el vasco o el georgiano, que es debida a la acumulación de afijos cada uno de los cuales tiene una única función gramatical (cada morfo corresponde a un único morfema), lo que hace que la EMV sea muy regular. En las lenguas flexivas, por el contrario, cada uno de los afijos puede tener varias funciones gramaticales al mismo tiempo (cada morfo puede corresponder a varios morfemas), lo que hace que la EMV sea más simple pero más irregular. Las lenguas aglutinantes con EMV simple tienen una EMV similar a la de las lenguas flexivas en cuanto a su sencillez, pero más regular que ellas, y por lo tanto más próxima a la EMV de las aglutinantes en el aspecto de la regularidad. Las lenguas flexivas internas tienen una EMV simple, como la de las lenguas flexivas externas, pero presentan la acumulación de afijos con una única función gramatical, lo que las aproxima en cierta manera a las lenguas aglutinantes con EMV simple en este aspecto. Las lenguas aglutinantes con polisintetísmo y las lenguas polisintéticas también pueden representarse de forma matemática. Sólo hay que añadir a las fórmulas las raíces nominales presentes en la EMV. De forma genérica, la EMV de una lengua aglutinante con polisintetísmo podría ser R1NADMTAsR2K1Pl, y la de una lengua polisintética podría ser R1NADMTAsR2K1R3K2RK Pl, por ejemplo. Al aumentar la complejidad de la EMV, aumenta tamn n-1 bién la complejidad de la fórmula matemática que la representa, como es natural. 7.7. La importancia de los símbolos en la axiomatización de la gramática de las lenguas

Como es sabido, el símbolo es uno de los elementos constitutivos de una teoría matemática. Yo he empleado símbolos matemáticos, esto es, propios de la Lógica (tales como , , V, ) y de la teoría de conjuntos (tales como , ×, , , , , , , ≠, , , , , , , , , etc.) y comunes a todas las teorías; y símbolos no matemáticos (tales como S, Od, Oi, R, N, E, D, Al, Pr, Ps, Pl,), φ, emv, elv, esv, eσv, emn, eln, esn, eσn, etc.), es decir, que identifican los distintos elementos morfológicos que integran el sistema morfológico verbal de una lengua, en general, y del vasco en particular, especialmente a la hora de la composición de las fórmulas. El empleo de símbolos, que no son una simple reducción formalizada (como, por ejemplo, PRES por presente, PAS por pasado, DET por determinante, etc.), sino elementos que representan ciertas propiedades del elemento identificado, permite observar con mayor nitidez

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José Fernando Domene Verdú

los fenómenos analizados y facilita el tratamiento informático de los datos. Para ello diseñado un conjunto de símbolos según determinados criterios. Si el símbolo representa un conjunto he utilizado una letra en mayúscula, y si hacen falta dos, la segunda va entonces en minúscula; pero si el símbolo representa un elemento, he utilizado letras en minúscula. Así, por ejemplo, las funciones gramaticales sujeto, nominativo, dativo, ergativo, etc. son las características que definen por comprensión los conjuntos de elementos morfológicos correspondientes a esas funciones y los símbolos que las representan van en mayúsculas (S, N, D, E, etc., respectivamente). Los símbolos que representan funciones gramaticales tales como presente, pasado, plural, etc. están formados por dos letras, mayúscula y minúscula, para diferenciarse entre sí (Pr, Ps, Pl, etc., respectivamente). Otras especificaciones necesarias que deben acompañar a estos símbolos o algunas circunstancias particulares de los conjuntos o elementos que representan las he representado mediante subíndices o superíndices. Éste es el caso de los tipos de elementos (fonéticos, morfológicos, léxicos, sintácticos, semánticos, nominales, verbales, etc.) o de otras funciones asociadas a las que ellos representan (género, persona, tiempo, modo, aspecto, etc.). Así, por ejemplo, N1 indica la 1.ª persona de singular del caso nominativo, Pri indica el presente de indicativo, es un elemento sintáctico, emv un elemento morfológico verbal, etc. He sustituido algunos símbolos por siglas en el texto para la mejor comprensión de la información. Así, por ejemplo, CF = cambio fonético, CM = cambio morfológico, la estructura morfológica verbal se representa por Σmv cuando este símbolo va aislado y por la sigla EMV dentro del texto, el sistema morfológico verbal por mv cuando va aislado y por la sigla SMV dentro del texto, etc. Como he comentado, en la composición de fórmulas he empleado símbolos propios de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, la pertenencia del sufijo -z al conjunto de elementos morfológicos verbales de plural se representaría por -z Pl, la inclusión del conjunto de los sufijos de 3.ª persona de plural de los distintos dialectos en el conjunto de elementos morfológicos verbales de ergativo se representaría por E6 E (la 3.ª persona de plural está indicada por el subíndice 6), etc. Igualmente, la identificación de un elemento morfológico verbal emv como es el sufijo -z con una función gramatical determinada (por ejemplo, plural) se representaría como una igualdad emv(Pl) = -z (con la función gramatical entre paréntesis) ya que el elemento y la función gramatical que indica forman un par ordenado perteneciente a una correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos verbales de la lengua vasca y el conjunto de las funciones gramaticales de esa misma

Lingüística y Matemáticas

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lengua160; correspondencia en la que el sufijo -z es la imagen de la función gramatical Pl (= plural). Este modo de representación simbólica se debe a que en matemáticas la imagen de un elemento se representa como f(a) = b, siendo b la imagen de a en la correspondencia f: A V B definida por el conjunto A y por el conjunto B. La utilización de símbolos de dos letras con la segunda en minúscula permite eliminar los símbolos matemáticos dentro de las fórmulas porque hace innecesario separar los símbolos no matemáticos. Por ejemplo, una EMV como nominativo - presente - plural - raíz - ergativo (la de g-a-it-u-zu = «nos habéis vos», por ejemplo) se tendría que representar por la fórmula NVPrVPlVRVE (puesto que las funciones gramaticales que la integran son características que definen por comprehensión los conjuntos de elementos morfológicos verbales y esas características definen, a su vez, una correspondencia); pero el símbolo matemático V que indica esa correspondencia se puede eliminar sin que la comprensión de la fórmula resultante NPrPlRE quede afectada161. Cada forma verbal analizada se puede representar entonces por la EMV a la que pertenece con los subíndices correspondientes a las personas de cada caso y por medio de una igualdad (N4PrPlRE5’ = g-a-it-u-zu), a la que se le puede añadir el significado como una segunda igualdad (N4PrPlRE5’ = g-a-itu-zu = «nos habéis vos»), en cuyo caso es una terna ordenada (a, b, c). Cada una de estas igualdades es análoga a la de las correspondencias matemáticas: f(a) = b, siendo b la imagen de a en la correspondencia f: A V B definida por el conjunto A y por el conjunto B; y g(b) = c, siendo c la imagen de b en la correspondencia g: B V C definida por el conjunto B y por el conjunto C. En relación con la composición de fórmulas, cabe señalar que la simbología empleada permite la simplificación del análisis hasta el punto de que una misma fórmula es válida para distintas variantes dialectales de un 160. El sufijo -z, además de indicar el plural en la EMV, también es el propio del caso instrumental en la EMN, por lo que la correspondencia definida entre el conjunto de los elementos morfológicos de la lengua vasca y el conjunto de las funciones gramaticales de esa misma lengua no es unívoca puesto que existen elementos del conjunto inicial con más de una imagen. Si la correspondencia no es unívoca, tampoco es una aplicación, ni una ley de composición u operación, ni un álgebra, ni un monoide y, por tanto, no se puede hablar de una gramática generativa. 161. Por ejemplo, la expresión PRES-VAL-edun-1D-2E, o mejor 3A-PRES-VAL-edun-1D2E, no es una fórmula propiamente dicha porque no utiliza símbolos, sino simples abreviaturas, y por eso son necesarios los guiones. La formulación propuesta aquí, en cambio, no necesita guiones y, por tanto, simplifica significativamente la expresión simbólica de las estructuras representadas.

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mismo verbo o de varios verbos, a la vez que permite observarlas con mayor nitidez. Por ejemplo, en la expresión PRES-VAL-edun-1D-2E, que representa a d-i-da-zu = «vos me lo habéis», no se especifica que es 3.ª persona de singular de absolutivo porque se tienen en cuenta las hipótesis de J. Oregi Aranburu (1974: 265-283) y de R. P. G. de Rijk (1992: 695-724; 1995: 295-311) en virtud de las cuales el prefijo d- no es en su origen un prefijo personal sino que procedería de un antiguo adverbio de tiempo da = «ahora» añadido como prefijo en los verbos indicando el presente. Por ello, dator = «él viene» por ejemplo, se analiza como da-tor y no como d-a-tor. Sin embargo, el hecho de que su origen fuera el antiguo adverbio de tiempo da = «ahora» no quiere decir que el análisis morfológico actual tenga que ser da-tor, puesto que en la actualidad el prefijo d- se opone a los demás prefijos personales (n-, h-, g- y z-) y la /a/ del presente se opone a la /e/ del pasado (aunque excepcionalmente se puedan intercambiar en alguna ocasión). Por ello, en ese análisis se ha confundido sincronía con diacronía y, como ambos conceptos hay que diferenciarlos, conviene en mi opinión considerar el prefijo d- como prefijo de 3.ª persona en la actualidad (en la sincronía), con independencia de cuál fuera su origen etimológico (diacrónico), y conviene analizar por ello la variante d-i-da-zu = «vos me lo habéis» como 3A-PRES-VAL-edun-1D-2E en vez de PRES-VAL-edun-1D-2E. Esta confusión entre sincronía y diacronía ocurrió también con la teoría pasiva del verbo vasco, según la cual la forma verbal d-i-da-zu era traducida por «ello me es habido por vos» porque es la que refleja la posición de cada uno de los elementos morfológicos o afijos personales. Sin embargo, la lengua vasca es actualmente ergativa, y por lo tanto, activa, no pasiva. Por eso, aunque antiguamente ésta pudiera haber sido la traducción correcta de d-i-da-zu, no lo es en la actualidad, debiendo ser traducida en voz activa como «vos me lo habéis». Por otra parte, una forma verbal de una lengua flexiva cualquiera, como por ejemplo la latina amabam = «yo amaba», es evidente que corresponde a la 1.ª persona de singular del pretérito imperfecto de indicativo, pero esta misma forma verbal se enunciaría de forma más sencilla con la fórmula RPsImInN1 = ama-ba-m, en la que R = ama- es la raíz o el tema, PsImIn = -ba- es el sufijo que indica el pretérito imperfecto de indicativo y N1 = -m es la desinencia de 1.ª persona de singular, que indica el sujeto y concuerda con el caso nominativo (N) de la declinación. Pero esta formulación se hace prácticamente imprescindible en las lenguas con morfología más compleja como, por ejemplo, el vasco. Así, por ejemplo, una forma verbal vasca como d-i-da-zu = «vos me lo habéis», indica al mismo tiempo la 2.ª persona de respeto de ergativo o sujeto agente, la 1.ª persona de singular de dativo u

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objeto indirecto y la 3.ª persona de singular del objeto directo, que se expresa en nominativo (también llamado absolutivo o caso neutro, igual que el sujeto paciente de los verbos intransitivos); todo ello del presente de indicativo. Pero la forma verbal d-i-da-zu es la variante propia de los dos dialectos altonavarros (el septentrional y el meridional) y del guipuzcoano meridional y septentrional, ya que en vizcaíno es d-a-us-ta-zu = «vos me lo habéis», d-au-ta-zu en labortano, d-a-da-zu en aezcoano y en salacenco, d-e-i-ta-zu en suletino, d-a-i-ta-zu-d en roncalés y d-u-ra-zu en el guipuzcoano de Burunda (eso sin contar las variantes fonéticas de cada una de ellas). Para referirse a todas estas variantes al mismo tiempo, se pueden utilizar los pronombres declinados e, igual que todas ellas pertenecen a la estructura nor-nori-nork («quién-a quién-quién»), que equivale a la estructura objeto directo-objeto indirecto-sujeto agente, la persona correspondiente a estas variantes se puede nombrar como hura-hari-hark («aquél-a aquél-aquél»). Sin embargo, esta expresión resulta incompleta porque sólo refleja la persona de cada uno de los casos que indica dicha forma verbal, pero nada más. Esto es, sólo indica que es 3.ª persona de singular de nominativo o caso absoluto, 3.ª persona de singular de dativo y 3ª persona de singular de ergativo, pero no indica el tiempo verbal o el modo, por ejemplo. Se utiliza otro tipo de expresiones simbólicas que son más completas que la anterior. La expresión utilizada actualmente para d-i-da-zu = «vos me lo habéis» es PRES-VAL-edun-1D-2E, o mejor 3A-PRES-VAL-edun-1D-2E, que indica también el tiempo verbal y el verbo al que pertenece. Pero esta expresión simplificada sólo es válida para la variante d-i-da-zu (suponiendo que sea del verbo *edun, claro está), que es la variante propia de los dos dialectos alto-navarros (el septentrional y el meridional) y del guipuzcoano de Guipúzcoa, ya que las demás variantes dialectales se tendrían que representar por 3A-PRES-iraun-1D-2E, 3APRES-eutsi-1D-2E, etc. Sin embargo, es más sencillo y más preciso hacerlo mediante la fórmula matemática N3PrRD1E5’, en la que N3 indica la 3.ª persona de singular de nominativo u objeto directo, D1 indica la 1.ª persona de singular de dativo u objeto indirecto, E5’ indica la 2.ª persona de respeto de ergativo o sujeto agente, Pr indica el presente y R indica la raíz. De esta manera, la fórmula matemática N3PrRD1E5’ simplifica y agiliza el análisis morfológico; y esta mayor simplificación es útil, sobre todo en las formas verbales más complejas, como podría ser por ejemplo diezazkidakezu = «vos me los podéis haber», que se analiza d-i-e-za-zki-da-ke-zu y se representaría tradicionalmente por la expresión 3A-VAL-PRES-izan-PL-1D-POT-2E. La fórmula N3Al0PrRPlD1PoE5’ no es mucho más simple, pero sí más precisa, y por ello más operativa. Y ello es todavía más evidente en formas verbales más complejas todavía, como por ejemplo zeniezazkidakeen = «vos me los

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hubierais podido haber», que se analiza z-e-n-i-e-za-zki-da-ke-en y se representaría tradicionalmente por la expresión 2E-PAS-PAS-VAL-PAS-izanPL-1D-POT-PAS. La fórmula E5’PsPs’Al0PsRPlD1PoN3Ps” no es mucho más simple, pero sí más precisa y exacta, ya que distingue las funciones de cada uno de los 10 elementos morfológicos o morfemas de dicha forma verbal y, por ello, es también más operativa. Quién sabe si, como ocurrió con la representación cartográfica de las encuestas en el ámbito de la dialectología y geografía lingüística, la representación por medio de símbolos puede suponer el punto de partida de desarrollos ulteriores «completamente imprevistos» en el ámbito de la lingüística. Finalmente, hay que señalar que el empleo de símbolos facilita la inclusión de los datos en tablas-resumen que constituyen un verdadero cuadro sinóptico de la relación entre los datos, los fenómenos y su distribución geográfica. Las tablas tienen una configuración distinta de acuerdo con el número y características de los datos que en ellas se representan.

8. Conclusiones Dentro de la perspectiva categorial de la investigación lingüística, y admitiendo la necesidad de utilizar un instrumento teórico-metodológico que facilite el tratamiento de una gran cantidad de datos, simplifique su estudio y su exposición y le proporcione el rigor necesario a los razonamientos, es conveniente y hasta imprescindible la utilización de las Matemáticas en la investigación lingüística, si bien de una manera distinta de cómo se ha hecho hasta ahora. Las similitudes observadas entre los lenguajes formales y las lenguas naturales llevaron a los matemáticos (Carnap, Rosenbloom, Church, Post, etc.) a equipararlas con aquéllos. Algunos lingüistas se dejaron influir por esta corriente y empezaron a explicar los fenómenos de las lenguas naturales comunes con los lenguajes formales, que se convirtieron en un modelo para aquéllas, aplicando la definición de gramática generativa formal directamente a las lenguas naturales y definiendo la gramática de éstas también como un álgebra y las reglas gramaticales como leyes de composición interna (A × A V A) o externa (A × B V C). Por lo tanto, la lingüística matemática, cuyo objetivo fue inicialmente la axiomatización de los lenguajes formales utilizados en la informática, se aplicó también a las lenguas naturales tomando los lenguajes formales como modelo y, como consecuencia de ello, las gramáticas generativas propias de los lenguajes formales se aplicaron también a las lenguas naturales con las necesarias e inevitables adaptaciones que dieron lugar a las gramáticas transformativas. Sin embargo, las lenguas naturales son mucho más complejas que los lenguajes formales y se encontraron con otros fenómenos que éstos no podían explicar, por lo que tuvieron que limitar a posteriori la capacidad de esas reglas gramaticales, por medio de la subcategorización y de las reglas dependientes del contexto que la definen, por una parte, y de las reglas transformativas, por otra, dando lugar a las gramáticas transformativas. De esta manera, se ha seguido un procedimiento puramente deductivo en el que la diferencia entre las lenguas naturales y los lenguajes formales ha consistido

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en la limitación de la capacidad de las reglas de reescritura mediante la aplicación de más y más tipos de reglas limitativas. En este proceso deductivo, se han concebido las reglas gramaticales como leyes de composición y la construcción de oraciones gramaticales como un cálculo lógico equiparable al cálculo numérico. El desarrollo de la lingüística matemática ha partido de una definición de la gramática de las lenguas naturales como álgebras y la ha ido aproximando poco a poco a ellas mediante las reglas de limitación, para acabar convirtiéndola en una simple correspondencia en el conjunto del vocabulario de cada lengua. El proceso contrario habría consistido en empezar definiendo la gramática de una lengua natural como una simple correspondencia entre conjuntos. Esto es, precisamente, lo que se hace en la segunda parte de este trabajo. Después de resumir los principios básicos de la lingüística matemática y de señalar las objeciones que ofrece en su aplicación a las lenguas naturales, he presentado una alternativa nueva de aplicación de las Matemáticas a la Lingüística, y en definitiva de matematización de la Gramática, basada en la teoría de conjuntos. He llegado a la conclusión de que las Matemáticas deben aplicarse a la Lingüística desde su base, esto es, comenzando por los conceptos básicos de la ciencia Matemática, como son los de elemento y conjunto, y no desde unos conceptos más elevados y desarrollados, tales como el de álgebra y homomorfismo, como hacía la lingüística matemática. Lo mismo hay que decir en el terreno de la Lingüística, de manera que estos conceptos matemáticos deben aplicarse a la Lingüística comenzando por los conceptos básicos de la Gramática, como son los de sonido y fonema, y no directamente sobre el de oración gramatical. El concepto de oración gramatical se utilizará, a su vez, como un elemento oracional en el análisis del discurso o texto supraoracional. Con esto, se sigue el principio racionalista cartesiano de ir de lo más simple a lo más complejo. Sobre la base de la teoría de conjuntos, he definido los conceptos lingüísticos básicos de análisis morfológico de las lenguas así como de sus propiedades. He creado el concepto de elemento gramatical (fonético, morfológico, léxico, sintáctico, semántico) como unidad más simple de cada parte de la Gramática (fonética, morfología, sintaxis y semántica), porque esos elementos pertenecen a sendos conjuntos que poseen una característica que los define. Una cadena de elementos lingüísticos forma un grupo gramatical (que no tiene nada que ver con el grupo matemático), un conjunto de elementos en el que se define una partición –o conjunto de grupos lingüísticos pertenecientes a distintos subconjuntos de ella que tienen un elemento común– es un sistema gramatical y la cadena formada por las características de los conjuntos que forman un sistema lingüístico es una estructura gramatical.

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Los conceptos de elemento fonético ef (sonido), elemento fonológico ef’ (fonema) y elemento semántico eσ (concepto o función gramatical) son primarios, pero el resto no. Así, un elemento morfológico em (raíz o afijo, morfema léxico o gramatical) es todo grupo de elementos fonéticos correspondiente a algún elemento semántico, un elemento léxico el (palabra) es todo grupo de elementos morfológicos correspondiente a algún elemento semántico, un elemento sintáctico es (palabra como parte de una oración gramatical) es todo elemento léxico perteneciente a un sistema sintáctico SS (oración gramatical), que a su vez se define como una cadena de elementos léxicos correspondiente a un sistema semántico (Sσ). Un sistema sintáctico (SS) está formado, a su vez, por subsistemas sintácticos S’S (sintagmas) y viene definido por su estructura sintáctica (ES), que es la cadena de las funciones gramaticales (φg) correspondiente a los elementos sintácticos que lo forman. Las funciones gramaticales de los elementos sintácticos que forman un sistema sintáctico están representadas en el sistema morfológico (SM) y definen la estructura morfológica (EM) de éste, que es la cadena de las funciones gramaticales de los conjuntos de elementos morfológicos de un sistema morfológico correspondiente a una misma función gramatical, siendo así una función gramatical (φg) la característica de cada uno de dichos conjuntos de elementos morfológicos incluidos en un sistema morfológico determinado. En definitiva, una lengua es una correspondencia definida entre dos conjuntos, uno de significantes (elementos morfológicos, léxicos, sintácticos o de sistemas sintácticos) y otro de significados (elementos o sistemas semánticos), de manera que los significantes se combinan entre sí en base a unas estructuras sintácticas y mediante una serie de reglas para formar las oraciones gramaticales. El análisis morfológico se organiza así como la teoría de conjuntos, o sea, como unos elementos morfológicos agrupados en conjuntos de elementos con una característica común (su función gramatical). Dichos conjuntos definen, a su vez, correspondencias entre ellos, que son las estructuras morfológicas, desarrolladas en los sistemas morfológicos, y los elementos de esos conjuntos forman pares, ternas, cuádruplas o n-tuplas ordenadas, que son las formas verbales o elementos de esos sistemas y estructuras morfológicas. Para esta concepción matemática de la Gramática en general, y de la morfología en particular, es imprescindible la clasificación correcta de todos los elementos y estructuras que forman parte de ella. Y, ambas cosas, convierten a la Lingüística en una ciencia formalizada. Los términos y los conceptos matemáticos relativos a la morfología verbal, que es la parte más compleja de la gramática de las lenguas sintéticas,

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y especialmente de las de tipo aglutinante, son los de elemento morfológico verbal (emv), sistema morfológico verbal (SMV) y estructura morfológica verbal (EMV), pero también el de elemento léxico verbal (elv) y sistema léxico verbal (SLV). Así, un SLV es en realidad el paradigma de la conjugación o de una parte de ella, según sea total o parcial, y está formado por los elementos léxicos verbales (elv), que son las formas verbales de la conjugación. Al analizar un SLV mediante la ley de identificación de los elementos morfológicos (LIEM), se obtiene el sistema morfológico verbal (SMV), que es el mismo SLV pero analizado (o sea, con guiones); pero al mismo tiempo se obtienen los elementos morfológicos verbales (emv) contenidos en él y, agrupándolos según las funciones gramaticales (φg) representadas, se obtienen los conjuntos cuyas características respectivas, dispuestas en el mismo orden que tienen en el SMV, forman la EMV de dicho SMV, que se puede expresar por extensión (mediante los elementos morfológicos verbales que la forman ordenados y agrupados en los conjuntos a los que pertenecen) o por comprehensión (mediante los símbolos de las funciones gramaticales que la integran). La aplicación de las Matemáticas a la Gramática no sólo es posible en la lingüística sincrónica, sino también en la lingüística diacrónica, ya que también abarca a la lingüística histórica, a la dialectología y a la sociolingüística. Cada vernáculo (dialecto o variedad geográfica) de una lengua puede tener un SMV distinto del de otros vernáculos de esa misma lengua porque puede variar en algunos emv. Dos o más elementos lingüísticos, fonéticos, morfológicos o léxicos (dos emv de dos SMV de dos vernáculos o dialectos distintos de una misma lengua, por ejemplo), pueden estar relacionados entre sí diacrónicamente por medio de un cambio fonético (CF) y todos los cambios fonéticos que han afectado a un sistema morfológico o léxico forman el proceso de evolución fonética (PEF) de ese sistema. Igualmente, dos sistemas morfológicos o léxicos o dos estructuras morfológicas pueden estar también relacionados diacrónicamente entre sí por medio de un CM o de un cambio fonético (CF) y todos los cambios fonéticos y morfológicos que han afectado a un sistema morfológico o léxico o a una estructura morfológica forman el proceso de formación del sistema morfológico (PFSM) de ese sistema o el proceso de formación de la estructura morfológica (PFEM) de esa estructura, que también son cadenas de CM y de CF. He demostrado así que la morfología se organiza como la teoría de conjuntos, esto es, como la identificación de unos elementos morfológicos agrupados en conjuntos de elementos que tienen una característica común: su función gramatical. El objetivo final de esta investigación lingüística es la obtención del proceso de evolución fonética (PEF) y del proceso de forma-

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ción de la estructura morfológica verbal (PFEM), que a su vez tienen naturaleza matemática al ser cadenas de CF y CM que están definidas por una relación binaria de orden total (RBOT) y se pueden expresar, por tanto, por medio de fórmulas. La Gramática se puede expresar así por medio de las Matemáticas, de tal manera que Gramática y teoría de conjuntos se fusionan en una simbiosis que le confiere a la primera un rigor, una seguridad y una fiabilidad desconocidos hasta ahora. Además de estas ventajas, ha sido creado un metalenguaje científico, riguroso y adecuado, que convierte la Gramática en lo que se ha denominado una ciencia formalizada. Las nuevas definiciones emanadas de este nuevo metalenguaje son unívocas y menos ambiguas que las tradicionales, como se puede comprobar fácilmente. Como ya se ha dicho, los conceptos de elemento fonético ef (sonido), elemento fonológico ef ’ (fonema) y elemento semántico eσ (concepto o función gramatical) son primarios desde el punto de vista matemático. Pero los ef no siempre se utilizan aislados, sino que se unen en la cadena hablada para formar unidades lingüísticas más complejas. Puesto que todos los demás conceptos gramaticales se forman a partir de ellos, para definirlos ha sido necesario crear el concepto de grupo fonético (gf), que se define como una cadena o n-tupla ordenada de la relación binaria de orden total definida en el conjunto F de los ef de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» y que, además, es una variación con repetición. Un grupo fonético que se pronuncia con un único golpe de voz en la cadena hablada es una sílaba o elemento silábico. Por consiguiente, una sílaba o elemento silábico es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto F de los elementos fonéticos de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada y xy se pueden pronunciar con un solo golpe de voz» y que, además, es una variación con repetición. Por otra parte, un elemento semántico (eσ) puede definirse como la imagen de un grupo fonético en la correspondencia definida entre el conjunto de los grupos fonéticos y el de los conceptos o funciones gramaticales de una lengua. Si se trata de un concepto, se le puede denominar elemento semántico semantémico (σs o eσs) y, si se trata de una función gramatical, elemento semántico asemantémico (σa o eσa). Algunos grupos fonéticos pueden corresponder a algún elemento semántico y formar un par ordenado con él. Un elemento morfológico (em) es todo gf que tiene imagen no vacía en la correspondencia M: Gf  Σ definida entre el conjunto Gf de los grupos morfológicos de una lengua y el conjunto Σ de los elementos semánticos o, lo que es lo mismo, un elemento morfológico es todo gf perteneciente al dominio de la correspondencia M: Gf  Σ cuyo

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conjunto final está formado por los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa M-1: Σ V Gf. Según el tipo de elementos semánticos a los que correspondan, semantémicos o asemantémicos, los elementos morfológicos podrán ser de dos tipos, léxicos o gramaticales. Un elemento morfológico léxico (eml) es todo elemento morfológico correspondiente a algún elemento semantémico y que, por tanto, representa un concepto. Un elemento morfológico gramatical (emg) es todo elemento morfológico correspondiente a algún elemento asemantémico y, por tanto, no representa un concepto, sino sólo a la función gramatical del lexema al que acompaña o a su relación con otros lexemas de la unidad lingüística a la que pertenece. Una clase morfológica (Cm) es una clase de equivalencia formada por todos los elementos morfológicos que verifican una relación binaria de equivalencia (RBE) definida en el conjunto de todos los elementos morfológicos. Pero los em no siempre se utilizan aislados, sino que se unen en la cadena hablada para formar unidades lingüísticas más complejas. Un grupo morfológico gm es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto M de los elementos morfológicos de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» y que, además, es una variación con repetición. Un grupo silábico (gsi) es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto Si de los elementos silábicos de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» y que, además, es una variación con repetición. Una palabra es un grupo morfológico correspondiente a un elemento semántico, semantémico o asemantémico. Teniendo en cuenta los conceptos de grupo silábico, grupo morfológico y elemento semántico, una palabra o elemento léxico (el) es todo grupo silábico y morfológico a la vez perteneciente al dominio de la correspondencia L: (Gm Gsi) V Σ definida entre el conjunto Gm de los grupos morfológicos y el conjunto Σ de los elementos semánticos de una lengua, por una parte, y entre el conjunto Gm de los grupos silábicos y el de los elementos semánticos Σ, por otra, o lo que es lo mismo, un el es todo grupo silábico y morfológico a la vez perteneciente al dominio de la correspondencia L: (Gm Gsi) V Σ cuyo conjunto final está formado por todos los elementos semánticos de una lengua, o bien al rango de su correspondencia inversa, y que puede existir de forma independiente y aislada manteniendo esa misma imagen. La importancia de las palabras o el en una lengua viene dada por el hecho de que es el único elemento gramatical existente en el vocabulario de todas las lenguas. El léxico (L) es el dominio de la correspondencia f: L V Σ definida entre el conjunto L de todos los el de una lengua y el conjunto Σ de los elementos semánticos que representan, o bien el rango de su correspondencia inversa.

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El vocabulario (V) es el léxico de una lengua o cualquier subconjunto de éste cuyos elementos tienen alguna característica común (V L). Una familia de el es todo subconjunto del léxico de una lengua cuyos elementos tienen algún em común. Por ejemplo, la declinación y la conjugación de una lengua son familias léxicas porque están formadas por el que tienen en común el mismo eml lexémico o lexema. A su vez, los adjetivos agrada-ble, compara-ble, legible, detesta-ble, etc. también lo son porque tienen en común el mismo eml derivativo. El elemento morfológico léxico es, por tanto, la raíz mientras que los elementos morfológicos funcionales serían las desinencias. Todo el se podrá clasificar según dos criterios diferentes, el morfológico, en base a las formas de los el; y el semántico, en base a los significados a los que corresponden esos mismos el. Eso además de que los el compuestos, derivados y parasintéticos forman entre sí familias de el dentro del léxico de una lengua. Una clase léxica es una clase de equivalencia formada por todos los el que verifican la RBE definida en el conjunto del léxico por la propiedad de que los el estén compuestos por unas mismas clases de em. Una categoría léxica es una clase de equivalencia formada por todos los el que verifican la RBE definida en el dominio de una correspondencia definida, a su vez, por un subconjunto determinado de la partición del conjunto L del léxico, por una parte, y por un subconjunto de elementos semánticos cuya característica es extrínseca a ellos y se refiere a la relación con otros elementos semánticos, por otra, o bien una clase de equivalencia formada por todos los el que verifican la misma RBE pero definida en el rango de su correspondencia inversa. O, dicho de otro modo, una categoría léxica es una clase de equivalencia formada por todos los el correspondientes a un elemento semántico cuya característica es extrínseca a él y se refiere a una determinada relación con otros elementos semánticos, y que por tanto verifican la RBE definida por esta propiedad en el dominio de una correspondencia determinada por un subconjunto determinado de la partición del léxico y por un subconjunto de elementos semánticos determinado por esa característica, o bien una RBE definida en el rango de su correspondencia inversa. Pero los el no siempre se utilizan aislados, sino que se unen en la cadena hablada para formar unidades lingüísticas más complejas. Un grupo léxico (gl) es un el o un conjunto de el contiguos dentro de una unidad lingüística superior en la cadena hablada o, dicho de otra forma, un gl es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto P de los el de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Un gl posee tantos significados como elementos léxicos, ya que cada el que lo forma conserva su propio significado cuando entra a formar parte de un gl, es decir, posee el mismo significado

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cuando forma parte de él que cuando está aislado. Por ello, se dice que es un gl polisemántico y que, además, todo gl es un conjunto Gl que determina una aplicación biyectiva con el conjunto Σ formado por los eσ o significados a los que corresponden los el que lo forman. Los el se ordenan de una forma determinada en la cadena hablada, y algunos de ellos corresponden a un significado más complejo, que constituye un sistema semántico. Una oración gramatical o sistema sintáctico ( s o Ss) es todo grupo léxico gl correspondiente a un sistema semántico Sσ. Más concretamente, un sistema sintáctico ( s o Ss) es todo gl perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de los gl y por el de los Sσ de una lengua, o bien al conjunto final de su correspondencia inversa. Dicho de otra forma, un Ss es el primer componente de todo par ordenado perteneciente al grafo de la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de los gl de una lengua y por el de los Sσ de una lengua, o bien el segundo componente de todo par ordenado perteneciente al grafo de su correspondencia inversa. O también, un Ss es todo gl cuya imagen es un Sσ en la correspondencia unívoca determinada por el conjunto de los gl de una lengua y por el de los Sσ que pueden formar los hablantes de esa lengua. De una manera más completa, teniendo en cuenta las partes de la oración o categorías léxicas, puede decirse que un Ss es una cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia, determinada por n subconjuntos determinados del conjunto P de los el de una lengua, cuya imagen es una cadena o n-tupla ordenada de la correspondencia determinada por n subconjuntos determinados del conjunto de los eσ que constituyen los Sσ que pueden formar los hablantes, todo ello dentro de la correspondencia unívoca determinada por el conjunto Gl de los gl de una lengua y por el conjunto de los Sσ que pueden formar los hablantes de esa misma lengua, en cada uno de los cuales se define a su vez una RBOP. A los el pertenecientes a un Ss, y cuya imagen es un elemento semántico perteneciente a la categoría semántica correspondiente, se les puede denominar elementos sintácticos, de manera que un elemento sintáctico (es) es todo el perteneciente a un Ss. Los es forman subconjuntos con una característica común y que son las categorías sintácticas, de manera que una categoría sintáctica (κs) es una clase de equivalencia formada por todos los es que verifican la RBE definida en el dominio de una correspondencia, definida a su vez por un subconjunto determinado de la partición del léxico y por un subconjunto de elementos semánticos cuya característica es extrínseca a ellos y se refiere a la relación con otros elementos semánticos, o bien que verifican la misma RBE pero definida en el rango de su correspondencia inversa. Dicho de otro modo, una categoría sintáctica es una clase de equi-

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valencia formada por todos los es correspondientes a un elemento semántico cuya característica es extrínseca a él y se refiere a una determinada relación con otros elementos semánticos, y que por tanto verifican RBE definida por esta propiedad en el dominio de una correspondencia determinada por un subconjunto determinado de la partición del léxico y por un subconjunto de elementos semánticos determinado por esa característica, o bien una RBE definida en el rango de su correspondencia inversa. Un grupo sintáctico (gs) es un es o un conjunto de es contiguos en la cadena hablada. Más exactamente, un gs es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto S de los es de una lengua por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Los gs se pueden subdividir, a su vez, en otros grupos más pequeños o subgrupos que incluidos en ellos y que, por lo tanto, también verifican la misma RBOT. Un subgrupo sintáctico (‘gs) es una cadena o n-tupla ordenada cuyos componentes pertenecen a un gs y verifican la misma relación binaria de orden total que el gs al que pertenecen. Las oraciones gramaticales se dividen en grupos más pequeños de es o ‘gs que tienen significado y se denominan sintagmas, de tal manera que todos los elementos de cada uno de esos subconjuntos cumplen una determinada propiedad o característica, es decir, están determinados. Esa propiedad puede consistir en una función gramatical o puede estar determinada por uno de los es que lo forman. Un subsistema sintáctico (‘Ss) es todo ‘gs, incluido en un Ss, correspondiente a un subsistema semántico y que verifica la RBE definida por la propiedad de que sus elementos «comparten la misma función gramatical» y que, por tanto, constituye una clase de equivalencia de la función gramatical con la que están relacionados todos sus elementos dentro del Ss al que pertenecen. Los ‘Ss se clasifican según los es que los integran y cada clase de ‘Ss toma su nombre de uno de esos es, según el siguiente criterio: ‘ Ss verbal o sintagma verbal (S’v): Es todo ‘Ss que posee un es verbal, tanto copulativo como no copulativo. ‘Ss preposicional o sintagma preposicional (S’p): Es todo ‘Ss que posee un es preposicional, pero ninguno verbal. ‘Ss nominal o sintagma nominal (S’n): Es todo ‘Ss que posee un es nominal, pero ninguno verbal ni preposicional. ‘Ss adjetivo o sintagma adjetivo (S’a): Es todo ‘Ss que posee un es adjetival, pero ninguno verbal, ni preposicional ni nominal. ‘Ss adverbial o sintagma adverbial (S’av): Es todo ‘Ss que posee un es adverbial, pero ninguno verbal, ni preposicional, ni nominal ni adjetival.

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Una clase de ‘Ss es todo subconjunto de la partición formada por todos los todos ‘Ss que verifica la propiedad de incluir un es de una categoría sintáctica determinada. Las funciones que tienen los es en un Ss determinado se denominan funciones sintácticas, que desde el punto de vista matemático es un concepto primario y son las características de esos conjuntos de es. Una estructura sintáctica (Σs) es el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los subsistemas o los elementos que forman un Ss, ordenadas conforme a la disposición que en él presentan los subsistemas o los elementos a los que corresponden. O, más exactamente, una Σs es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las características de los conjuntos a los que pertenecen los elementos o subsistemas del Ss al cual define por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada» que, además, es una variación con repetición. Como la naturaleza de estas características puede ser de dos clases, según sean funciones o clases, podrá haber también dos clases de Σs, las funcionales y estas últimas, y las nocionales pueden ser, a su vez, de otras dos clases, según se refieran a las clases de ‘Ss o a las clases de es. Las Σs se pueden representar mediante fórmulas, que serían distintas para las funcionales y las nocionales y, dentro de éstas, para las sintagmáticas y para las no sintagmáticas. Las dos a la vez pueden representarse mediante fórmulas complejas, o bien mediante árboles, que son un tipo específico de cadenas o RBOT y se caracterizan por tener un único primer elemento y más de un último elemento, así como por la existencia de nudos o elementos de una cadena con un único elemento anterior y más de uno posterior. Las aportaciones de la gramática generativa y transformacional introdujeron la visión procesual de la generación de las mismas. Así, la generación de estructuras gramaticales es el proceso mental mediante el cual forman los hablantes las cadenas o subconjuntos de elementos que verifican una RBOT. La transformación de estructuras gramaticales es el proceso mental mediante el cual los hablantes producen una correspondencia entre los conjuntos que forman una estructura profunda y una estructura superficial. Por lo tanto, ateniéndonos a la teoría de conjuntos, la generación de estructuras gramaticales podría definirse ahora como el proceso mental mediante el cual los hablantes producen las cadenas o subconjuntos de elementos que verifican una RBOT. Igualmente, la transformación de estructuras gramaticales podría definirse ahora como el proceso mental mediante el cual los hablantes producen una correspondencia entre los conjuntos que forman una estructura profunda y una estructura superficial. En las lenguas sintéticas, los es reflejan la Σs del Ss al que pertenecen, y lo hacen por medio de distintos emφ (desinencias) que se añaden a los el

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(raíces más, en su caso, afijos o em derivativos). Estos es o el son, por tanto, más complejos, ya que están formados por la raíz emr más un gmφ que expresa su relación con los demás es o el que lo acompañan en el mismo Ss mediante lo que se conoce como declinación, en el caso de los sustantivos, adjetivos y pronombres, y conjugación, en el caso de los verbos. El sistema morfológico ( m o Sm) es el conjunto ordenado de todos los gmφ que pueden acompañar a un mismo gmr. Un sistema léxico o paradigma ( l o Sl) es el conjunto ordenado de todos los elementos léxicos o palabras que comparten el mismo gmr. Más exactamente, un Sm ( m) es la correspondencia determinada por el conjunto de los gmφ de una lengua y por el conjunto de las φg. El Sl se diferencia del Sm en que, mientras que el primero está formado por palabras completas y sin analizar morfológicamente, el Sm está formado por los gmφ de esas palabras, analizadas morfológicamente, y separando con guiones los distintos em que las forman. Ambos sistemas pueden ser nominales o verbales según la clase a la que pertenezca el gmr. Un subsistema morfológico (‘ m o ‘Sm) es el subconjunto ordenado que incluye todos los emφ del Sm de una lengua correspondientes a una misma φg. Por tanto, es un subconjunto ordenado que verifica la RBE definida por la propiedad de que sus elementos «comparten una misma función gramatical» y que, por ello, constituye una clase de equivalencia de la φg a la que corresponden todos sus elementos dentro del Sm al que pertenecen. El Sm nominal o Smn de una lengua es su flexión nominal y el Sm verbal o Smv es su flexión verbal, aunque sólo en las lenguas flexivas porque en ellas el Smv sólo indica un caso, el nominativo (N). En las lenguas aglutinantes, en cambio, el Smv puede indicar también el ergativo (E) y el dativo (D) y, cuando los el que forman un ‘Sm verbal sólo se diferencian en los emφ de un único caso, ese ‘Sm verbal coincide con lo que se conoce como flexión verbal. Por consiguiente, una flexión verbal, es todo ‘Sm verbal cuyos el sólo varían en los em de un único caso. Los em de un Sm pertenecen a distintos conjuntos cuyas características son las φg y, en los el de su Sl correspondiente, ocupan una posición determinada con respecto a la raíz o gmr (como prefijos, infijos o sufijos) y, cuando hay varios emφ en un mismo el (como ocurre, sobre todo, en las lenguas aglutinantes), esos emφ están en un orden determinado. Por ello, el conjunto de las φg correspondientes a los emφ de un Sm, como características que son de los conjuntos de em pertenecientes a él, definen entre sí una RBOT y forman una cadena que define su estructura y caracteriza ese Sm al que pertenecen. La estructura morfológica (Σm o EM) de un Sm o SM es una cadena o n-tupla ordenada de la RBOT definida en el conjunto de las características de los conjuntos de em de dicho Sm o SM por la propiedad «x antecede a y en la cadena hablada», que además es una variación con repetición. Una subestructura

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morfológica (‘Σm o ‘EM) es una cadena o n-tupla ordenada incluida en una EM y que verifica la misma RBOT que la EM en la que está incluida. Las EM pueden ser, a su vez, simples (Σm o EMS) o compuestas (+Σm o EMC), según definan a un SM sintético o perifrástico. Las EM pueden representarse mediante fórmulas y pueden ser: • Externa: Es toda EM cuyos emφ preceden o se posponen siempre al radical R. Es la más generalizada. Prerradical: Es la EM cuyos emφ preceden siempre al radical R. EM = emφ R. Postradical: Es la EM cuyos emφ se posponen siempre al radical R. Ésta es la EM de las lenguas indoeuropeas: EM = R emφ. • Interna: Es toda EM cuyos emφ están incluidos siempre dentro del mismo radical R. Ésta es la EM de algunos ‘SM de las lenguas semíticas, que indican las φg mediante distintas combinaciones de las vocales radicales: EM = R1, R2, R3, …, Rn / R1 = CV1CV2CV3, … CVn. • Mixta: Es toda EM cuyos emφ a la vez preceden y se posponen al radical R o, también, que es externa e interna al mismo tiempo. Ésta es la EM de las lenguas semíticas, que combinan las EM interna y externa, y también de las lenguas que poseen un SM complejo, como, por ejemplo, el vasco, cuya EM es prerradical y postradical al mismo tiempo, aunque siempre externa. Las EM pueden expresarse de dos maneras, por comprehensión, mediante las características (de las φg) de todos los em; y por extensión, mediante la enumeración de los em correspondientes a cada característica o función φg, eso es, por medio de todos los em pertenecientes a ese SM o ‘SM agrupados en cada uno de los conjuntos formados por todos los em de ese SM o ‘SM correspondientes a una misma φg. Todo SM y su EM correspondiente definen un isomorfismo entre estos dos conjuntos ordenados, teniendo en cuenta que, siendo A y B dos conjuntos ordenados (que definen por consiguiente una RBO), una aplicación definida entre A y B se dice que es un isomorfismo entre conjuntos ordenados si, siendo biyectiva, es tal que a es anterior a a’ si, y sólo si, la imagen de a es anterior a la imagen de a’. Llegados a este punto, ya puede hablarse de la definición de lengua. Partiendo del funcionalismo descriptivo, se puede decir que una lengua es la correspondencia f: G  Σ definida por dos conjuntos, un conjunto G de elementos gramaticales (eg) y otro conjunto Σ de los elementos semánticos (eσ) representados por aquéllos en una misma comunidad de habla, o bien su correspondencia inversa f-1: Σ  G. Sin embargo, una lengua formal o

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artificial es la aplicación biyectiva f: G  Σ determinada por dos conjuntos, un conjunto G de eg y Σ de los eσ representados por aquéllas, o bien su aplicación inversa f-1: Σ  G. Esta definición de lengua consiste en realidad en dos correspondencias, la normal, entre el conjunto de los elementos gramaticales y el de los elementos semánticos, y la correspondencia inversa de ésta. Ambas son igualmente válidas, ya que sólo se diferencian en que el conjunto inicial debe ser el de los eg o el de los eσ de éstas. La gramática de una lengua sería entoces el conjunto de elementos y estructuras gramaticales de dicha lengua. De la misma manera, las gramáticas de dos lenguas distintas L1 y L2 definen entre sí una correspondencia f: L1  L2, que es la que posibilita la traducción de cualquiera de los elementos o sistemas gramaticales de una de ellas a la otra lengua. Igualmente, dos vernáculos V1 y V2 de una misma lengua definen también entre sí una correspondencia f: V1  V2, y cada uno de los vernáculos Vy de una lengua Lx define una correspondencia f: Lx  Vy con la lengua estándar Lx. Normalmente, una lengua estándar puede ser uno de los vernáculos de una lengua, utilizado en el registro formal o escrito debido a su mayor prestigio social, económico, político o cultural. El resto de vernáculos, por el contrario, sólo se reducen normalmente al registro informal o coloquial. Dos lenguas L1 y L2 o dos vernáculos V1 y V2 en contacto interfieren entre sí y, como consecuencia de ello, suelen compartir un subconjunto G’ de elementos gramaticales tal que G’ L1 L2 o bien G” V1 V2. Por ello, puede decirse que dos lenguas o dos vernáculos en contacto no forman dos conjuntos disjuntos entre sí, sino que la intersección entre ambos no es el conjunto vacío (L1 L2 ≠ , o bien V1 V2 ≠ ). Partiendo de la gramática generativa y transformativa, y ateniéndonos a la teoría de conjuntos, una lengua se podría definir ahora como el proceso mental mediante el cual los hablantes forman o generan estructuras gramaticales en la estructura profunda, o cadenas o subconjuntos de elementos gramaticales que verifican una RBOT, y transforman las estructuras gramaticales generadas, definiendo una correspondencia entre los conjuntos que forman la estructura profunda y la estructura superficial. Así, ya no es necesario limitar la generación de oraciones para evitar que se generen oraciones agramaticales, como ocurría con la definición generativa tradicional de lengua. La competencia lingüística sería, entonces, la capacidad que tienen los hablantes para realizar este proceso, es decir, para formar sistemas gramaticales en la estructura profunda, conformes a las estructuras gramaticales de cada lengua, y transformarlas en la estructura superficial. En términos matemáticos, sería la capacidad que tienen los hablantes para formar sistemas sintácticos y definir una correspondencia entre dichos sistemas sintácticos de la estructura profunda y otros de la estructura superficial. Según la

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teoría de los universales lingüísticos, existiría una gramática común a todas las lenguas o gramática universal, que definiría una correspondencia con las gramáticas de cada una de las lenguas particulares. En principio, los universales lingüísticos se deberían cumplir en todas las lenguas. La teoría de conjuntos también puede aplicarse con éxito a la lingüística histórica. Un cambio gramatical o mutatio grammaticalis (cg) es todo par ordenado (gn-1, gn) de la correspondencia Cg: Gn-1  Gn definida entre dos conjuntos de eg de una lengua, Gn-1 y Gn, tal que gn-1 y gn son distintos y Gn-1 y Gn son cronológicamente consecutivos. Pero los cambios gramaticales se producen influidos frecuentemente por el contexto gramatical, esto es, por otros eg del mismo gg. Considerando esta circunstancia, un cg es todo par ordenado (gn-1, gn) de la correspondencia Cf: Gn-1  Gn definida entre dos conjuntos de gg de una lengua Cg: Gn-1 y Gn, tal que gn-1 y gn son distintos y Gn-1 y Gn son cronológicamente consecutivos. Si, a consecuencia de un cg determinado, no se crea ningún otro cf nuevo que no existiera antes en esa lengua, los dos conjuntos que determinan la correspondencia son iguales (tienen los mismos elementos) y, por tanto, esta correspondencia es una RBOT, definida por la propiedad «se ha convertido en». Entonces, esa correspondencia se define dentro del mismo conjunto o en la unión de los dos conjuntos de elementos gramaticales, el anterior y el posterior a un cambio gramatical dado (Gn-1 y Gn), dicha correspondencia es una RBOT y, entonces, un cg es todo par ordenado (gn-1, gn) de la RBOT definida en la unión de los conjuntos Gn-1 y Gn de los elementos gramaticales de una misma lengua, tal que gn-1 y gn son distintos y Gn-1 y Gn son cronológicamente consecutivos. Se representa por el símbolo matemático > («mayor que»), que es el propio de las RBO. Los eg que intervienen en los cg deben designarse mediante términos propios, de manera que el ef que cambia sería el elementum mutans y el ef resultante del cambio, el elementum mutatum. Por lo tanto, el elementum mutans es todo ef perteneciente al dominio de la correspondencia definida por un cg, esto es, todo eg perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia Cg: Gn-1  Gn definida por un cf con una imagen distinta de sí mismo. El elementum mutatum es todo eg perteneciente al rango de la correspondencia definida por un cg, esto es, todo eg perteneciente al conjunto final de la correspondencia Cf: Gn-1  Gn definida por un cg con una antiimagen distinta de sí mismo. En definitiva, un elementum mutationalis o elemento mutacional es todo eg perteneciente al conjunto inicial o al final de la correspondencia Cg: Gn-1  Gn definida por un cg, esto es, todo eg anterior o posterior a un cg. Los eg que no sufren un cg determinado pero que pertenecen al mismo conjunto que el de los que sí que lo sufren, serían elementos premutacionales, si son anteriores al cg de otro eg, y elementos postmutacionales, si son poste-

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riores a él. Por tanto, elementum premutationalis o elemento premutacional es todo eg perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia Cg: Gn-1 V Gn definida por un cg, esto es, todo eg anterior a un cg y elementum postmutationalis o elemento postmutacional es todo eg perteneciente al conjunto final de la correspondencia Cg: Gn-1 V Gn definida por un cg, esto es, todo eg posterior a un cg. Finalmente, una ley fonética (LF) es todo cambio fonético producido de forma constante y regular en un mismo contexto fónico, en un espacio geográfico y en un periodo histórico determinados, y siempre que no actúe ningún factor inhibidor o desencadenante, que pueden ser lingüísticos como extralingüísticos. Puede ocurrir que existan varios cambios gramaticales unidos o encadenados en una misma lengua y que afecten a un mismo elemento gramatical, en cuyo caso dichos cambios no serían un par ordenado de elementos, sino una n-tupla ordenada perteneciente a la correspondencia definida entre varios conjuntos de elementos cronológicamente consecutivos. En dicha correspondencia, un elementum mutans puede ser a la vez un elementum mutatum del cambio anterior y un elementum mutatum puede ser al mismo tiempo un elementum mutans del cambio siguiente. Esto sería un cambio gramatical múltiple, que es una n-tupla ordenada (g1, g2, …gn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos G1, G2, …Gn de elementos gramaticales, tal que g1, g2, …gn son distintos y G1, G2, …Gn son cronológicamente consecutivos. El cambio gramatical múltiple que ha sufrido un elemento gramatical a lo largo de la historia o que se ha producido en la gramática de una lengua cumpliendo las leyes fonéticas de la misma es el proceso de evolución fonética (PEF) o bien el proceso de evolución gramatical (PEG). Una fonología histórica de una lengua particular sería, pues, la historia de sus gramáticas, es decir, la historia de la competencia de las sucesivas generaciones de hablantes. Por todo esto, los cambios fonéticos, morfológicos (cuando un elemento morfológico se añade, se suprime o se sustituye por otro distinto), léxicos (cuando un elemento léxico o palabra se añade, se suprime o se sustituye por otro distinto), sintácticos, semánticos o funcionales son en realidad cg, porque afectan a todas las partes de la gramática, y se definen de forma análoga a ellos. Los Cg o CG, en definitiva, son pares ordenados (gn-1, gn) de la correspondencia Cg: Gn-1  Gn definida entre dos conjuntos de elementos gramaticales Gn-1 y Gn de una misma lengua, y de forma análoga se pueden definir los cg, morfológicos, léxicos, sintácticos, semánticos y funcionales, si bien estos últimos requieren una definición algo más compleja. Las funciones gramaticales y los elementos semánticos correspondientes a los elementos gramaticales también se pueden añadir, suprimir o sustituir a lo largo de la historia de una lengua determinada mediante los cambios

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funcionales y los cambios semánticos, respectivamente. Un cambio funcional (cφ) es todo par ordenado [(m, φn-1), (m, φn)] perteneciente al grafo de la correspondencia definida entre los grafos de dos correspondencias definidas por el conjunto de los emφ de una lengua, como conjunto inicial de ambas, y por los conjuntos de funciones Φn-1 y Φn de una misma lengua, como conjuntos finales respectivos de cada una de ellas, tal que φn-1 y φn son distintos y Φn-1 y Φn son cronológicamente consecutivos. Cuando el conjunto final de ambas correspondencias es el mismo o es la unión de los dos conjuntos de funciones, el anterior y el posterior a un cφ dado (Φn-1 y Φn), dicha correspondencia es una RBOT y, entonces, un cφ es todo par ordenado [(m, φn-1), (m, φn)] perteneciente al grafo de la correspondencia determinada por el conjunto de los em funcionales de una lengua, como conjunto inicial, y por la RBOT definida en la unión de los conjuntos Φn-1 y Φn de las funciones de esa misma lengua, tal que φn-1 y φn son distintos y Φn-1 y Φn son cronológicamente consecutivos. Las mismas definiciones son válidas para los cambios semánticos. Una functio mutans es el primer componente de un par ordenado de la correspondencia definida en un cφ o, también, toda φg de un par ordenado perteneciente al dominio de la correspondencia definida en un cφ o, lo que es lo mismo, toda φg de un par ordenado perteneciente al conjunto inicial de la correspondencia definida en un cφ con una imagen distinta de sí misma. Una functio mutata es el segundo componente de un par ordenado de la correspondencia definida en un cφ o, lo que es lo mismo, toda φg de un par ordenado perteneciente al rango de la correspondencia definida en un cφ o, también, toda φg de un par ordenado perteneciente al conjunto final de la correspondencia definida en un cφ con una antiimagen distinta de sí mismo. Puede darse la situación de que existan varios cφ unidos o encadenados en una misma lengua, en cuyo caso dichos cambios no serían un par ordenado de funciones, sino una n-tupla ordenada perteneciente a la correspondencia definida entre varios conjuntos de pares ordenados con funciones cronológicamente consecutivas. En dicha correspondencia, una functio mutans puede ser a la vez un functio mutata del cambio anterior y una functio mutata puede ser al mismo tiempo una functio mutans del cambio siguiente. Esto sería un cambio funcional múltiple, que es una n-tupla ordenada [(m, φ1), (m, φ2), … (m, φn)] de la correspondencia definida entre el conjunto P del conjunto de los em funcionales de una lengua, por una parte, y varios conjuntos Φ1, Φ2, …Φn de funciones, por otra, tal que φ1, φ2, … φν son distintos y Φ1, Φ2, … Φn son cronológicamente consecutivos. Igual que en los cφ simples, en los múltiples cada uno de los pares ordenados que los componen, por separado, también son RBOT y, por lo tanto, los cφ múltiples son cadenas. Los cφ pueden ser de tres tipos, según las funciones mutacionales que participen

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en ellos: cφ por sustitución, cuando la functio mutans y la functio mutata son distintas; cφ por sincretismo, cuando la functio mutans es distinta de la functio mutata pero está incluida en ella; y cφ por concretismo o dicretismo, cuando la functio mutans es distinta de la functio mutata pero la incluye. Los cambios semánticos se definen matemáticamente de forma análoga a los cambios funcionales. Las importantes aportaciones de W. Labov (1994) sobre los cambios fonéticos, y los distintos tipos de cambios que él define, también pueden expresarse de forma matemática. La fusión de sonidos (merge) es la pérdida de un sonido porque es sustituido sistemáticamente en el sistema fonético por otro ya existente en la misma lengua y la excisión de sonidos (split) es el proceso contrario, es decir, el desdoblamiento de un sonido en dos sonidos distintos. De esta manera, el cambio fonético por fusión es todo par ordenado (fn-1, fn) de la correspondencia definida entre dos conjuntos de ef de una lengua Fn-1 y Fn, denominados premutacional y postmutacional respectivamente, tal que fn-1 y fn son distintos, Fn-1 y Fn son cronológicamente consecutivos y, además, el primer componente fn-1 pertenece al conjunto inicial Fn-1 de la correspondencia, pero no al conjunto final Fn de la misma. El elemento fn Fn tiene, por consiguiente, dos antiimágenes, fn-1 y el propio fn, tal que fn Fn-1 Fn mientras que fn-1 Fn-1  Fn. El cambio fonético por excisión de sonidos es todo par ordenado (fn-1, fn) de la correspondencia definida entre dos conjuntos de ef de una lengua Fn-1 y Fn, denominados premutacional y postmutacional respectivamente, tal que fn-1 y fn son distintos, Fn-1 y Fn son cronológicamente consecutivos y, además, el primer componente fn-1, perteneciente al conjunto inicial Fn-1 de la correspondencia, tiene dos imágenes distintas en el conjunto final Fn de la misma, fn-1 y fn. En la fusión, por tanto, el elemento fn Fn tiene dos antiimágenes en Fn-1, que son fn-1 y fn, mientras que en la excisión, el elemento fn-1 Fn-1 es el que tiene dos imágenes en Fn, que son fn-1 y fn. Los cf diferentes que se producen en palabras distintas pueden estar relacionados entre sí, de manera que unos cambios son la causa de otros diferentes que afectan a otros ef próximos en el sistema fonético de una lengua y pertenecientes a otras palabras de la misma lengua. Estos cf se denominan cambios en cadena (chain shifting) y han sido estudiados por W. Labov (1994). Un cambio en cadena, por tanto, es aquel que se produce cuando una vocal tiene un efecto secundario en otros sonidos cercanos en el espacio fonético, de manera que una vocal que sufre un cambio deja en el sistema fonético de una lengua un espacio libre que es ocupado por otra vocal. Los cambios en cadena también pueden definirse matemáticamente, y su definición es la misma que la de los cambios fonéticos múltiples, pero con la única diferencia de que estos últimos se producen en un mismo elemento léxico

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el, siguiendo una ley fonética determinada, y aquéllos en elementos léxicos distintos originando leyes fonéticas nuevas. Por consiguiente, un cf en cadena es una n-tupla ordenada (f1, f2, …fn) de la correspondencia definida entre varios conjuntos de ef F1, F2, …Fn del sistema fonético de una lengua tal que f1, f2, …fn son distintos, F1, F2, …Fn son cronológicamente consecutivos y f1, f2, …fn pertenecen a el distintos de una lengua. Un cf en cadena es, por tanto, un tipo especial de cf múltiple, concretamente, un cf múltiple producido en el distintos dentro del sistema fonético de una lengua. Los cambios en cadena pueden ser de dos tipos, según la cronología de las LF que los integran. En una cadena de presión, una vocal se mueve a otra posición en el sistema fonético, y desplaza a la vocal que ocupa esa posición que ha sido invadida por la otra vocal, por lo que la secuencia de cambios fonéticos coincide con el orden cronológico en el que se producen. En una cadena de atracción, una vocal se mueve a otra posición en el sistema fonético, deja un espacio libre en el sistema fonético y este espacio es ocupado por otras vocales que entonces se desplazan a él, por lo que el resto de cambios le siguen cronológicamente. Por ello, la secuencia de cambios fonéticos es inversa al orden cronológico en el que se producen. Una cadena de presión, por consiguiente, es aquel cambio en cadena en el que el orden de sus componentes, que definen la RBOT >, coincide con el orden cronológico de los cambios fonéticos que lo integran, que definen la RBOT . Una cadena de atracción es aquel cambio en cadena en el que el orden de sus componentes, que definen la RBOT > (gramatical), es el inverso al orden cronológico de los cambios fonéticos que lo integran, que definen la RBOT (cronológica). Esta metodología matemática ha simplificado el tratamiento de los datos facilitando y haciendo imprescindible el empleo de símbolos y fórmulas, que a su vez ha facilitado el uso de tablas, especialmente con flexiones completas, que han resultado muy adecuadas para la comparación de distintas flexiones y para la representación de los SM. Los PFEM se pueden reflejar en los mapas dialectales, que reflejan a su vez las gramáticas de los distintos vernáculos hablados por los grupos sociales hablantes de una lengua, de manera que, en la historia de cada lengua, las distintas gramáticas G1, G2, G3, …, Gn se han ido sucediendo cronológicamente unas sobre otras en una parte del territorio ocupado por los hablantes de la gramática anterior Gn-1 y, así, las gramáticas más antiguas se han conservado en las áreas en que no han sido sustituidas por otras más modernas. A su vez, a las gramáticas de las distintas lenguas o de los distintos vernáculos de una lengua se les pueden aplicar los métodos cuantitativos y estadísticos que se consideren adecuados para analizar las gramáticas de los hablantes y los distintos fenómenos observados en ellas.

9. Símbolos utilizados

9.1. Símbolos generales EM EMN EMV EMA EMS EMP EMVS EMVA EMVP

= estructura morfológica = estructura morfológica nominal = estructura morfológica verbal = estructura morfológica analítica = estructura morfológica sintética = estructura morfológica perifrástica = estructura morfológica verbal sintética = estructura morfológica verbal analítica = estructura morfológica verbal perifrástica

SM SMN SMNS SMNP SMV SMS SMP SMVS SMVP

= = = = = = = = =

sistema morfológico sistema morfológico nominal sistema morfológico nominal sintético sistema morfológico nominal perifrástico sistema morfológico verbal sistema morfológico sintético sistema morfológico perifrástico sistema morfológico verbal sintético sistema morfológico verbal perifrástico

LIEM PEF PFEM PFSM

= = = =

ley de identificación de los elementos morfológicos proceso de evolución fonética proceso de formación de la estructura morfológica proceso de formación del sistema morfológico

CF CM

= =

cambio fonético cambio morfológico

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C LF

= =

cambio funcional ley fonética

em *em el *el emn emv *emv emPl emn(Pl) emv(Pl) emPe emPr emPs emd

= = = = = = = = = = = = = =

elemento morfológico elemento morfológico reconstruido elemento léxico elemento léxico reconstruido elemento morfológico nominal elemento morfológico verbal elemento morfológico verbal reconstruido elemento morfológico de plural elemento morfológico nominal de plural elemento morfológico verbal de plural elemento morfológico verbal de persona elemento morfológico verbal de presente elemento morfológico verbal de pasado elemento morfológico derivativo

el elv eln elPn elAv elAd

= = = = = =

elemento léxico elemento léxico verbal o verbo elemento léxico nominal o nombre elemento léxico pronominal o pronombre elemento léxico adverbial o adverbio elemento léxico adjetivo o adjetivo

es esv esn esPn esAv esAd

= = = = = =

elemento sintáctico elemento sintáctico verbal o verbo elemento sintáctico nominal o nombre elemento sintáctico pronominal o pronombre elemento sintáctico adverbial o adverbio elemento sintáctico adjetivo o adjetivo

eσ eσv eσn eσPn eσAv eσAd

= = = = = =

elemento semántico elemento semántico verbal elemento semántico nominal elemento semántico pronominal elemento semántico adverbial elemento semántico adjetivo

gf gmn

= =

grupo fonético grupo morfológico nominal

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Lingüística y Matemáticas

gmv gl

= =

grupo morfológico verbal grupo léxico

Vc Vnc R If IfN Gr Pa PaPv Pr Ps PaPrm,n PaPrf

= = = = = = = = = = = =

verbo conjugable verbo no conjugable radical infinitivo infinitivo nominal, nominalizado o sustantivado gerundio participio participio pasivo presente pasado o pretérito participio pasado masculino y neutro participio pasado femenino

S Od Oi CAg In N A D E It Al Al0 D0

= = = = = = = = = = = = =

sujeto objeto directo objeto indirecto complemento agente caso inesivo caso nominativo caso acusativo caso dativo o receptivo caso ergativo o agente caso instrumental caso alocutivo indicador del caso alocutivo indicador del caso dativo

AG DD DM DL

= = = =

ámbito geográfico distribución dialectal distribución morfológica distribución léxica

9.2. En la formulación matemática

m v m



= EM = estructura morfológica = EMV = estructura morfológica verbal

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= EMN = estructura morfológica nominal = EMV = estructura morfológica verbal perifrástica m * mv = EMV = estructura morfológica verbal reconstruida n

m

+

v



m v m

= SM = = SMV = = SMN = = SM = = SMVS = = SMVA = = SMVP = = SM = = SMV =

sistema morfológico sistema morfológico verbal sistema morfológico nominal sistema morfológico perifrástico sistema morfológico verbal sintético sistema morfológico verbal analítico sistema morfológico verbal perifrástico sistema morfológico reconstruido sistema morfológico verbal reconstruido

s



= SS

sistema sintáctico

l



= SL = sistema léxico = SLV = sistema léxico verbal = SLN = sistema léxico nominal = SL = sistema léxico perifrástico = SMVS = sistema léxico verbal sintético = SMVA = sistema léxico verbal analítico = SMVP = sistema léxico verbal perifrástico = PEF = proceso de evolución fonética = PFEM = proceso de formación = PFEM = proceso de formación de la estructura morfológica = PFSM = proceso de formación del sistema morfológico

m

m n m + m v m v m v

+

v

* *

m

l + l v l v l v

l

n

f

+ v l f e

em f



sm f



φ φo φa

= = = = = =

=

caso vernáculo o Dialecto función gramatical función gramatical original función gramatical adquirida cronología

(pertenece a) (no pertenece a) (contiene a) (implica)

Lingüística y Matemáticas



(es implicado por) (está incluido en) (incluye a) (no está incluido en) (no incluye a) (conjunto vacío) (es igual a) (no es igual a) (es idéntico a) (no es idéntico a) (y) (o) (ha originado) (procede de) (precede a, anterior a) (anterior o simultáneo a) (sigue a, posterior a) (posterior o simultáneo a) (no es anterior a) (no es anterior ni simultáneo a) (no es posterior a) (no es posterior ni simultáneo a) (existe) (no existe) (para todo)

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10. Referencias Bibliográficas

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