Lessons in Electric Circuits [volume I-DC, 4 ed.]

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Silk cloth

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= electron

P = proton

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P P N P

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P P N N P

= neutron

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Electron Destination

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no flow! (break)

Electron Destination

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electrons can flow ë in a path without ì beginning or end,

A marble-andhula-hoop "circuit"

continuing forever!

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Reservoir

Drop Location #1 Drop

Location #2

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❼❝✒

1 Battery + 2

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Reservoir

Electric Battery

No flow (once the reservoir has been completely filled)

1 No flow

Battery

Pump

+ 2

Pond

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❼✠✯

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➏✯➉ ⑨ ➐✙➍↔❾➭➍↔➈✗→➆➇✦❾❹❿✯➋✰❺✗➎➵➍❋❾❹➣❋→✠➋✈→✠❿✗→✘➣❋➠❹➀➙⑧➒❿✤➍↔➈✗→➆➣❋→✠➎↔→✘➣❋➺❹❾❹⑧➒➣ ⑨ ➉❷❿✯❿✗❾❷➍s➏☎→➆➣❋→✘➊➒→✠➉❸➎➔→♣➋✈⑧➒❿➂➍❋➈✗→✌➝➩❾❹➣❋↕ ❾❷➝❃➦➼➉❷➍↔→✘➣❋✏✯❾➧➦❑➃✓➪➥❿ ⑨ → ➍↔➈✯→✤➣❋→✠➎↔→✘➣❋➺❹❾❸⑧➓➣❑⑧➌➎ ⑨ ❾❹↕✙➇✗➊➒→✿➍❋→✘➊➒➀ ➯✯➊➓➊➒→✠➋ ➅✗➇✰❺✭❿✗❾☛✏✯❾➧➦ ⑨ ➉❹❿ ❾ ⑨✘⑨ ➅✗➣✠❺❤❿✯❾❛↕➙➉➧➍↔➍↔→✘➣➭➈✗❾➧➦ ↕❲➅ ⑨ ➈ ➇✗➣❋→✠➎❋➎➔➅✯➣↔→➙➍❋➈✗→➂➇✯➅✗↕✙➇ ↕➙➉✞➀➂➠❸→✘❿✗→✠➣❋➉❷➍↔→❹➃✓❽s➈✗→✘➣❋→❑❿✗→✘→♣➋✗➎➞➍❋❾➙➏☎→❲➉ ⑨ ❾❹↕✙➇✗➊➒→✿➍❋→✸➇✯➉❷➍↔➈ ë ⑨ ⑧➓➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍➲ìs➝➩❾❹➣❍➦s➉➧➍❋→✘➣➞➍❋❞ ❾ ✏✯❾➧➦❴➝➩➣❋❾❹↕ ➍↔➈✗→➜➇☎❾❸❿✯➋❅❺✗➍❋❾➙➍↔➈✯→ ➣❋→✠➎↔→✘➣❋➺❹❾❹⑧➒➣♣❺✻➉❹❿✯➋➂➏☎➉ ⑨ ➐➙➍❋❾✙➍↔➈✗→❑➇✦❾❹❿✯➋✤⑧➒❿❊❾❸➣❋➋✗→✘➣➼➝➩❾❹➣ ⑨ ❾❹❿✻➍↔⑧➒❿✪➅✗❾❹➅☎➎❇✏☎❾➧➦☛➍↔❾➙❾ ⑨✠⑨ ➅✗➣♣➃ ➽ → ⑨ ➉❷❿ ➇✗➣↔❾➧➺✪⑧➌➋❻→❲➎↔➅ ⑨ ➈ ➉➂➇✯➉❷➍↔➈④➝➩❾❹➣✌➍↔➈✯→➭➏☎➉➧➍➔➍❋→✘➣❋➀➷➏✪➀ ⑨ ❾❹❿✯❿✗→ ⑨ ➍↔⑧➒❿✗➠❊➉✤➇✗⑧➒→ ⑨ →➭❾❹➝✛➦➞⑧➒➣↔→❲➝➩➣↔❾❸↕❚❾❹❿✗→➭→✘❿☎➋❛❾❹➝✛➍↔➈✯→ ➏✯➉❷➍➔➍↔→✠➣↔➀❛➍↔❾➷➍❋➈✗→➂❾❹➍↔➈✗→✠➣✠➃★❒✗❾❸➣↔↕✙⑧➒❿✗➠✣➉ ⑨ ⑧➓➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍➜➦➞⑧➓➍↔➈ ➉➷➊➒❾✪❾❹➇➑❾❷➝➞➦➞⑧➒➣↔→❸❺✂➦➼→✈➦➞⑧➒➊➓➊✓⑧➓❿✯⑧➛➍❋⑧➒➉❷➍↔→➂➉ ⑨ ❾❹❿✻➍↔⑧➒❿✪➅✗❾❹➅☎❑ ➎ ✏✯❾➧➦ ❾❷➝ →✘➊➒→ ⑨ ➍↔➣❋❾❹❿✯➎s⑧➒❿★➉ ⑨ ➊➒❾ ⑨ ➐✪➦➞⑧➌➎➔→➆➋❻⑧➒➣↔→ ⑨ ➍❋⑧➓❾❸❿✰é Electric Circuit 1 Battery + 2 electron flow!

Water analogy Reservoir

water flow! water flow! Pump

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Battery

Electric lamp (glowing) +

electron flow

➸ ➎✸➍↔➈✗→✤→✘➊➒→ ⑨ ➍↔➣❋❾❹❿✯➎❑➦➼❾❹➣❋➐✣➍❋➈✗→✘⑧➒➣➜➦s➉✞➀✣➍❋➈✗➣❋❾❹➅✗➠❸➈④➍❋➈✗→✈➍❋➈✗⑧➒❿ ↕✙→✿➍❋➉❹➊✭➯✯➊➌➉❷↕✙→✠❿❸➍➭❾❷➝s➍↔➈✯→✈➊➒➉❹↕✙➇✰❺❃➍↔➈✗→✠➀ →✠❿ ⑨ ❾❸➅✗❿✻➍↔→✠➣ ↕✙❾❹➣❋→✙❾❹➇✗➇✦❾❸➎↔⑧➛➍❋⑧➓❾❸❿❛➍❋❾★↕➭❾❹➍↔⑧➒❾❹❿④➍↔➈✯➉❹❿ ➍↔➈✗→✠➀✣➍➵➀✪➇✗⑧ ⑨ ➉❷➊➒➊➒➀➷➦✓❾❸➅✗➊➒➋ ⑧➒❿ ➉✤➍❋➈✗⑧ ⑨ ➐④➇✗⑧➒→ ⑨ →✙❾❹➝➼➦➞⑧➒➣↔→❸➃➙❽s➈✗⑧➒➎➆❾❸➇✗➇✦❾❸➎↔⑧➛➍❋⑧➓❾❸❿❛➍❋❾ →✘➊➒→ ⑨ ➍↔➣❋⑧ ⑨❑⑨ ➅✗➣❋➣↔→✠❿❸➍❬➋✗→✘➇✦→✘❿✯➋✗➎❬❾❹❿★➍❋➈✗→❑➍➵➀✪➇☎→➜❾❷➝❤↕➙➉➧➍↔→✠➣↔⑧➌➉❷➊q❺✗⑧➓➍❋➎ ⑨ ➣❋❾❸➎❋➎➵➱Û➎➔→ ⑨ ➍❋⑧➓❾❸❿✯➉❷➊❅➉❷➣❋→✠➉✯❺✯➉❷❿☎➋✤⑧➓➍❋➎❍➍↔→✠↕➭➇✦→✘➣➲➉➧➍❋➅✗➣❋→❹➃➼➾t➍❬⑧➒➎ ➍↔→ ⑨ ➈✗❿✗⑧ ⑨ ➉❹➊➓➊➒➀➂➐✪❿✗❾➧➦➞❿➷➉❹❣ ➎ ➨↔◗î ➸▲ð◆➸◗➦➳➥➧❡ñ ➲➭ î✘➃ ë ➾t➍ ⑨ ➉❹❿➷➏☎→❲➎↔➉❹⑧➒➋✤➍↔➈☎➉➧➍ ⑨ ❾❹❿✯➋❻➅ ⑨ ➍↔❾❸➣❋➎s➈☎➉✞➺❹→❑➊➒❾➧➦❴➣❋→✠➎↔⑧➒➎➔➍❋➉❹❿ ⑨ →✸➉❹❿✯➋❊⑧➓❿✯➎↔➅✗➊➌➉➧➍❋❾❹➣➲➎ ➈✯➉✞➺❸→❍➺❹→✠➣↔➀✙➈✗⑧➒➠❹➈✈➣❋→✠➎↔⑧➌➎➵➍➲➉❷❿ ⑨ →❹➃ ì➜❽s➈✗⑧➌➎✓➣↔→♣➎➔⑧➌➎➵➍➲➉❷❿ ⑨ →➥➎↔→✘➣❋➺❹→♣➎❤➍↔❾❲➊➓⑧➒↕✙⑧➛➍s➍❋➈✗→✌➉❹↕✙❾❹➅✗❿✻➍✓❾❹➝ ⑨ ➅✗➣❋➣❋→✘❿✻➍✛➍❋➈✗➣↔❾❸➅✗➠❹➈✈➍↔➈✗→ ⑨ ⑧➒➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍ ➦➞⑧➓➍↔➈✤➉➜➠❹⑧➒➺❹→✠❿➂➉❷↕✙❾❹➅✯❿❸➍➼❾❷➝✰➺❸❾❹➊➓➍❋➉❷➠❸→❬➎↔➅✗➇✗➇✗➊➒⑧➓→♣➋✈➏✪➀✙➍↔➈✯→❬➏✯➉❷➍➔➍↔→✠➣↔➀❸❺❻➉❹➎ ⑨ ❾❹↕✙➇✯➉❹➣↔→♣➋✙➦➞⑧➛➍❋➈✈➍❋➈✗✌ → ❏❸➎➔➈✯❾❹➣↔➍ ⑨ ⑧➒➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍▲❏➜➦➞➈✗→✘➣❋→ ➦➼→✌➈☎➉❹➋❊❿✗❾❷➍❋➈✗⑧➒❿✗➠✙➏✗➅❻➍❬➉➭➦➞⑧➓➣❋→sÏ➵❾❹⑧➒❿✗⑧➒❿✗➠✙❾❹❿✗→➆→✠❿✯➋❊❾❷➝❃➍↔➈✗→❑➺❸❾❹➊➓➍❋➉❷➠❸→✌➎↔❾❹➅✯➣ ⑨ → ë ➏✯➉➧➍↔➍↔→✘➣❋➀✗ì✓➍↔❾➭➍↔➈✯→❑❾❷➍↔➈✯→✘➣♣➃

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✱❹✱

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(break)

üvoltage ý

no flow! +

drop

Battery

Electric lamp (not glowing)

+

➸ ➎➭➏✦→✿➝➩❾❸➣↔→❸❺✭➦➞⑧➛➍❋➈◗❿✯❾☛✏✯❾➧➦ ❾❹➝❬→✘➊➒→ ⑨ ➍↔➣❋❾❹❿✯➎✠❺❤➍❋➈✗→★→✘❿✻➍↔⑧➒➣↔→✤➇☎❾❹➍↔→✠❿❸➍❋⑧➒➉❹➊ ë ➺❸❾❹➊➓➍❋➉❷➠❸→♣ì✸❾❷➝❍➍❋➈✗→✤➏☎➉➧➍➔➍❋→✘➣❋➀✴⑧➒➎✙➉✞➺➧➉❷⑧➒➊➌➉❷➏✗➊➒→ ➉ ⑨ ➣↔❾✻➎↔➎❃➍❋➈✗→❬➏✯➣↔→♣➉❷➐❪❺❹➦s➉❷⑧➓➍↔⑧➒❿✗➠➆➝➩❾❹➣✛➍↔➈✗→❬❾❹➇✗➇✦❾❹➣↔➍↔➅✗❿✯⑧➛➍➵➀➭❾❷➝✰➉ ⑨ ❾❹❿✗❿✗→ ⑨ ➍❋⑧➓❾❸❿❲➍❋❾✸➏✗➣❋⑧➒➋✗➠❹→❬➉ ⑨ ➣❋❾❸➎❋➎❃➍↔➈✯➉❷➍✓➏✗➣❋→✠➉❹➐❲➉❷❿☎➋✙➇☎→✠➣↔↕✙⑧➓➍ →✘➊➒→ ⑨ ➍↔➣❋❾❹✍ ❿ ✏☎❾➧➦ ➉❷➠❸➉❹⑧➓❿✫➃✂❽s➈✗⑧➌➎ ⑨ ❾❹❿☎➋❻⑧➛➍❋⑧➓❾❸❿➜⑧➌➎✫➐✪❿✗❾➧➦➞❿➭➉❹➎❃➉❷❿✤ô❫✗➲ î✘ñ▼➭✘ð➶➨➫➭✘÷❻ð➶➦✏❺➧➦➞➈✯→✘➣❋→➼➉❬➏✗➣↔→♣➉❷➐➆⑧➒❿✸➍↔➈✯→ ⑨ ❾❹❿✻➍↔⑧➒❿✪➅✗⑧➛➍➵➀❑❾❹➝✗➍↔➈✯→ ❾ ❏❹❾❹➇✦→✘❿➻❏✙➉ ⑨ ⑧➓➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍✠➃ ⑨ ⑧➒➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍❍➇✗➣❋→✘➺❹→✠❿✻➍❋➎ ⑨ ➅✗➣↔➣❋→✘❿✻➍s➍↔➈✯➣↔❾❸➅✗➠❹➈✗❾❸➅❻➍✠➃ ➸ ➊➒➊✫⑧➓➍❍➍❋➉❹➐❹→♣➎s⑧➒➎❍➉➙➎↔⑧➒❿✗➠❹➊➒→❑➏✗➣❋→✠➉❷➐✤⑧➓❿ ⑨ ❾❹❿✻➍↔⑧➒❿✪➅✗⑧➛➍➵➀➂➍↔✴ ➪➥❿ ⑨ →➆➉❹❿✪➀➙➏✗➣↔→♣➉❷➐❻➎✓➈✯➉✞➺❹→✌➏☎→✠→✘❿ ⑨ ❾❸❿✗❿✗→ ⑨ ➍↔→♣➋➂❾❸❿ ⑨ →➆➉❷➠✻➉❷⑧➒❿✤➉❹❿✯➋✈➍❋➈✗→ ⑨ ❾❸❿❸➍❋⑧➓❿✪➅✗⑧➓➍➵➀➙❾❷➝✂➍↔➈✗→ ⑨ ⑧➓➣ ⑨ ➅✯⑧➛➍➞➣❋→✿➱t→✠➎➔➍❋➉❷➏✯➊➓⑧➌➎➔➈✯→✠➋❅❺✪⑧➓➍ ⑧➌➎s➐✻❿✯❾➧➦➞❿❊➉❸➎➞❢ ➉ ➭✶➵➓ô❝✘➸ ▲î ä✑➭✿➶ð ➨▲➭✿÷❻➶ð ➦q➃ ➽❨➈✯➉❷➍➥➦➼→❲➎↔→✘→➜➈✯→✘➣❋→✸⑧➒➎➥➍❋➈✗→➜➏✯➉❸➎➔⑧➌➎❬➝➩❾❹➣➥➎↔➦➞⑧➓➍ ⑨ ➈✗⑧➒❿✗➠➂➊➌➉❷↕✙➇✯➎➥❾❹❿④➉❷❿✯➋➷✫❾ ✵ ➏✪➀★➣❋→✘↕✙❾❷➍❋→❲➎↔➦➞⑧➛➍ ⑨ ➈✗→✠➎✠➃ ❐ → ⑨ ➉❷➅✯➎↔→➜➉❹❿✻➀ ➏✗➣❋→✠➉❹➐❲⑧➒❿✤➉ ⑨ ⑧➓➣ ⑨ ➅✯⑧➛➍✎✬ ➎ ⑨ ❾❸❿❸➍❋⑧➓❿✪➅✗⑧➓➍➵➀✙➣↔→♣➎➔➅✯➊➛➍➲➎✭⑧➒❿ ⑨ ➅✯➣↔➣❋→✘❿✻➍✓➎➔➍↔❾❸➇✗➇✗⑧➒❿✗➠✸➍❋➈✗➣↔❾❸➅✗➠❹➈✯❾❹➅❻➍✭➍❋➈✗→✌→✘❿✻➍↔⑧➒➣↔→ ⑨ ⑧➒➣ ⑨ ➅✗⑧➛➍♣❺✪➦✓→ ⑨ ➉❷❿➙➅☎➎➔→✌➉ ➋❻→✠➺✻⑧ ⑨ →❑➋❻→♣➎➔⑧➒➠❹❿✯→✠➋✤➍↔❾✙⑧➒❿❸➍❋→✘❿✻➍↔⑧➒❾❹❿☎➉❷➊➒➊➓➀✈➏✯➣↔→♣➉❷➐➙➍❋➈✯➉➧➍ ⑨ ❾❹❿✻➍↔⑧➒❿✪➅✗⑧➛➍➵➀ ë ⑨ ➉❹➊➓➊➒→✠➋❊✑ ➉ ➸◗➚❤➶ð ➦➘➭❫➺❷ì✿❺✯↕✙❾❹➅✗❿✻➍❋→✠➋★➉➧➍❍➉❷❿✪➀ ⑨ ❾❹❿✪➺❹→✠❿✗⑧➒→✘❿✻➍ ➊➒❾ ⑨ ➉➧➍❋⑧➓❾❸❿➂➍❋➈✯➉➧➍❍➦➼→ ⑨ ➉❷❿❊➣❋➅✗❿★➦➞⑧➓➣❋→✠➎➼➍❋❾✯❺✪➍↔❾ ⑨ ❾❹❿✻➍↔➣❋❾❹➊✦➍❋➈✗→❑✏✯❾➧➦❴❾❹➝✂→✠➊➓→ ⑨ ➍↔➣❋❾❹❿☎➎s⑧➓❿❊➍↔➈✯→ ⑨ ⑧➒➣ ⑨ ➅✗⑧➛➍♣é no flow!

switch

-

doesn’t matter how twisted or îItconvoluted a route the wires take

+

form a complete, uninterrupted loop (circuit).

Battery

îconducting current, so long as they

❽s➈✗⑧➌➎✛⑧➌➎✓➈✗❾➧➦☛➉➜➎↔➦➞⑧➛➍ ⑨ ➈➂↕✙❾❹➅✯❿❸➍❋→✠➋➙❾❸❿✈➍❋➈✗→❬➦s➉❷➊➒➊☎❾❹➝✂➉✸➈✯❾❹➅✯➎↔→ ⑨ ➉❷❿ ⑨ ❾❹❿✻➍↔➣❋❾❹➊✦➉✸➊➌➉❷↕✙➇✈➍❋➈✯➉➧➍s⑧➒➎✓↕✙❾❹➅✗❿✻➍❋→✠➋✈➋❻❾➧➦➞❿✤➉ ➊➒❾❹❿✗➠➭➈✯➉❷➊➒➊➒➦➼➉✞➀❸❺❸❾❸➣➼→✠➺❹→✠❿➂⑧➒❿❊➉❹❿✗❾❷➍❋➈✗→✘➣➼➣↔❾✪❾❸↕❊❺✻➝✎➉❹➣s➉✞➦s➉✞➀❲➝➩➣↔❾❸↕ ➍↔➈✗→➆➎↔➦➞⑧➛➍ ⑨ ➈✰➃✭❽s➈✗→➆➎➔➦➞⑧➓➍ ⑨ ➈❊⑧➛➍➲➎➔→✠➊➛➝❃⑧➒➎ ⑨ ❾❹❿✯➎➔➍↔➣❋➅ ⑨ ➍❋→✠➋➂❾❷➝ ➉❲➇✯➉❷⑧➒➣s❾❷➝ ⑨ ❾❹❿✯➋❻➅ ⑨ ➍↔⑧➒➺❹→ ⑨ ❾❸❿✻➍❋➉ ⑨ ➍❋➎ ë ➅☎➎➔➅✯➉❹➊➓➊➒➀➙↕➙➉❹➋❻→✌❾❷➝❝➎➔❾❸↕✙→➥➐✪⑧➒❿✯➋✈❾❹➝✂↕✙→✿➍➲➉❷➊òì❤➝➩❾❸➣ ⑨ →✠➋➙➍❋❾❹➠❸→✿➍↔➈✯→✘➣s➏✪➀✈➉➜↕✙→ ⑨ ➈☎➉❷❿✗⑧ ⑨ ➉❹➊

↕✫➙✁✮➙➹↔➎❅❋❈♠➜ö❈✸❃➻→❬❁❄✿❆❅

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same rate of current . . . 1

2

Battery + þ

4

3

. . . at all points in this circuit

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2

Reservoir

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1

(energy stored)

➡

Waterwheel

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Pump

3

þ

4

Pond

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Quantity

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Current

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Voltage

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Resistance

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✪

Unit of Measurement

Unit Abbreviation

Volt Ohm

V

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✬A

Ω

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electron flow

+ Battery

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electron flow

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✩I = ✳✫E R

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12 V = 4A 3Ω ➾Û❿❊➍↔➈✗⑧➌➎❬➎↔→ ⑨ ❾❹❿✯➋✤→✿➳✗➉❹↕➭➇✯➊➓→❸❺✯➦➼→❑➦➞⑧➓➊➒➊ ⑨ ➉❹➊ ⑨ ➅✗➊➌➉➧➍↔→➆➍❋➈✗→➜➉❹↕➭❾❸➅✗❿✻➍➞❾❷➝❤➣↔→♣➎➔⑧➌➎➔➍❋➉❷❿ ⑨ → ë ➁❬ì➞⑧➓❿➷➉ ⑨ ⑧➒➣ ⑨ ➅✗⑧➓➍✠❺☎➠❹⑧➒➺❹→✘❿❊➺➧➉❷➊➒➅✗→✠➎ ❾❷➝❝➺❹❾❸➊➛➍➲➉❷➠❸→ ë ➮✓ì➼➉❷❿✯➋ ⑨ ➅✗➣↔➣❋→✘❿✻➍ ë ➾➔ì✿é =

✩I = 4 A Battery E = 36 V

+

Lamp R = ???

-

I=4A ➽❨➈✯➉❷➍s⑧➌➎s➍❋➈✗→✸➉❷↕✙❾❹➅✯❿❸➍➞❾❹➝❃➣❋→✠➎↔⑧➒➎➔➍❋➉❹❿ ⑨ → ë ➁➥ì➼❾✲✵❪→✘➣❋→✠➋✤➏✻➀➂➍↔➈✗→❑➊➌➉❷↕✙➇✪❖

✫R = E✩ I

✴

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❏

2πST 33,000

Where, S = shaft speed in r.p.m. T = shaft torque in lb-ft.

➹ ❾❹➍↔⑧ ⑨ →➞➈✗❾➧➦ ➍↔➈✗→✠➣↔→❍➉❹➣↔→➞❾❸❿✗➊➒➀❑➍➵➦✓❾❑➺➧➉❹➣↔⑧➌➉❷➏✗➊➒→➼➍↔→✠➣↔↕➙➎❤❾❸❿❲➍❋➈✗→➞➣❋⑧➓➠❸➈❸➍↔➱q➈☎➉❷❿✯➋➭➎➔⑧➌➋❻→❍❾❹➝☎➍❋➈✗→➞→✠õ✻➅✯➉❷➍↔⑧➒❾❹❿✰❺✪➡➭➉❷❿✯➋✙❽➆➃ ➸ ➊➓➊ ➍↔➈✯→➥❾❹➍↔➈✗→✠➣✛➍❋→✘➣❋↕✙➎✓❾❹❿✈➍↔➈✯➉❷➍s➎↔⑧➒➋✗→➥➉❷➣❋→ ⑨ ❾❹❿✯➎➔➍❋➉❹❿✻➍✠é❤✱❻❺✪➇✗⑧q❺✪➉❹❿✯➋❘✓✜✗✓ ❺ ❶❹❶❹❶❑➉❹➣↔→✌➉❷➊➒➊ ⑨ ❾❹❿✯➎➔➍❋➉❹❿✻➍❋➎ ë ➍↔➈✯→✘➀✈➋❻❾❲❿✗❾❷➍ ⑨ ➈✯➉❷❿✗➠❸→❬⑧➒❿ ➺➧➉❷➊➒➅✗→♣ì✿➃❤❽s➈✗→❬➈✗❾❸➣❋➎↔→✘➇✦❾➧➦➼→✘➣✭➺➧➉❷➣❋⑧➒→✠➎✭❾❸❿✗➊➒➀❲➦➞⑧➓➍↔➈ ⑨ ➈✯➉❷❿✗➠❸→✠➎❤⑧➒❿➂➎↔➇☎→✠→✠➋✈➉❹❿✯➋✙➍❋❾❹➣➲õ❸➅✯→❹❺✻❿✗❾❷➍❋➈✗⑧➓❿✯➠➜→✘➊➌➎↔→❹➃❃➽④→ ⑨ ➉❹❿➙➣↔→✘➱q➦➞➣❋⑧➛➍❋→ ➍↔➈✯→❑→✠õ✻➅✯➉➧➍❋⑧➓❾❸❿➂➍❋❾➙➎➔➈✗❾➧➦❴➍↔➈✗⑧➌➎➞➣❋→✘➊➌➉➧➍❋⑧➓❾❸❿✯➎➔➈✯⑧➓➇✰é Horsepower

❑

ST

This symbol means "proportional to"

❐ → ⑨ ➉❷➅✯➎↔→❊➍↔➈✗→➷➅✗❿✯⑧➛➍➂❾❹➝➥➍❋➈✗❢ → ❏❷➈✯❾❹➣➲➎➔→✠➇☎❾➧➦➼→✘❫➣ ❛ ❏ ➋❻❾✪→♣➎➔❿✸✬ ➍ ⑨ ❾❸⑧➓❿ ⑨ ⑧➌➋❻→➷→✿➳✗➉ ⑨ ➍↔➊➒➀ ➦➞⑧➓➍↔➈☛➎↔➇☎→✠→✠➋➢⑧➓❿❨➣❋→✘➺❸❾❹➊➒➅❻➍↔⑧➒❾❹❿☎➎❲➇✦→✘➣ ↕✙⑧➓❿✪➅❻➍❋→✛↕❲➅✗➊➛➍❋⑧➓➇✯➊➓⑧➒→✠➋➆➏✪➀➥➍↔❾❹➣➲õ✻➅✗→✭⑧➒❿❑➇☎❾❸➅✗❿✯➋✪➱q➝➩→✘→✘➍✠❺✞➦➼→ ⑨ ➉❹❿✸✬ ➍❃➎↔➉✞➀❬➍↔➈✯➉❷➍✫➈✗❾❹➣➲➎↔→✘➇✦❾➧➦✓→✠➣✛î ✘÷➻➥❝➵✱✰➸ ➡✗❽➆➃✠➚❍❾➧➦➼→✘➺❸→✘➣♣❺✿➍❋➈✗→✘➀➆➉❷➣❋→ ➲❡➨❋▲ô ➲✯ô❝➨◗➦qð✎ô➧❡ ñ ➥✲➵❻➍↔❾✙❾❸❿✗→❑➉❷❿✗❾❹➍↔➈✗→✠➣✠➃ ➸ ➎➞➍↔➈✗→➆↕➙➉➧➍❋➈✗→✘↕➙➉➧➍❋⑧ ⑨ ➉❷➊✰➇✯➣↔❾❻➋❻➅ ⑨ ➍➞❾❷➝❝➡✗❽ ⑨ ➈✯➉❹❿✗➠❹→♣➎✘❺✻➍❋➈✗→❑➺➧➉❷➊➒➅✗→➆➝➩❾❹➣s➈✗❾❸➣❋➎↔→✘➇✦❾➧➦✓→✠➣ ➦➞⑧➒➊➓➊ ⑨ ➈☎➉❷❿✗➠❸→➥➏✪➀✈➍❋➈✗→✸➎❋➉❷↕✙→➆➇✗➣↔❾❸➇☎❾❸➣➔➍❋⑧➓❾❸❿✰➃ ➾Û❿❴→✠➊➓→ ⑨ ➍❋➣↔⑧ ⑨④⑨ ⑧➓➣ ⑨ ➅✯⑧➛➍➲➎✘❺✌➇☎❾➧➦➼→✘➣❊⑧➌➎❊➉ ➝➩➅✗❿ ⑨ ➍↔⑧➒❾❹❿ ❾❷➝➜➏✦❾❷➍❋➈➨➺❸❾❹➊➓➍❋➉❹➠❹→❛➉❹❿✯➋ ⑨ ➅✗➣❋➣↔→✠❿❸➍♣➃ ➹ ❾❹➍★➎↔➅✗➣❋➇✗➣↔⑧➌➎↔⑧➓❿✗➠❸➊➓➀❸❺❍➍❋➈✗⑧➒➎ ➣❋→✘➊➌➉➧➍↔⑧➒❾❹❿☎➎➔➈✗⑧➒➇❊➏☎→♣➉❷➣➲➎➼➎➔➍↔➣❋⑧➒➐✻⑧➒❿✗➠✙➣❋→✠➎↔→✘↕➜➏✯➊➒➉❹❿ ⑨ →✌➍↔❾➭➍❋➈✗❣ → ❏❷➇✗➣❋❾❹➇✦❾❹➣↔➍↔⑧➒❾❹❿☎➉❷➊◆❏✸➈✗❾❸➣❋➎↔→✘➇✦❾➧➦✓→✠➣✛➝➩❾❸➣↔↕❲➅✗➊➌➉➭➉❹➏☎❾➧➺❸→❹é

▼▲

◆P = I E

Ò➾➙✙æ♠➙➹➣❬❀❣Ø☛❅❇↔

➜✐❁⑨❅❇➟❧❅✌✿★❃❆↔★➜❳✿

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36 V 3Ω

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R1 150

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This is resistor "R2" with a resistance value of 25 ohms.

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variable resistance . . . or . . .

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10 V ❪ 2A

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R=

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= 5Ω

P = (2 A)(10 V) = 20 W

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Disconnect switch Power source

On/Off switch

Load

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Disconnect switch ❽

Power source

On/Off switch

temporary ❾ ground

Load

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í

❹û

Disconnect switch Power source

On/Off switch zero voltage ensured here

Load

❽

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temporary shorting wire

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✖û

✈❡ ✉ ❦ ❥

✆♥ ✵❡îû

"Hot" conductor Source

Load

"Neutral" conductor Ground point ➃ ✦✝✔②✖✟✸❊✖✧✦✺✘✰✯✫✬✐❭✛✤✛✚✜✘★✖✛❅✛✬❖✦✰✤✛✱✫✸✽✻✾✬❱✖✛❄▼❙♠✚✜✤✲✖✛❙❡✖✟✸★✬❱✻✾✤✧❄▼✻✾✬❯✸✰❄✫✬❍❙❝✮✹❅✧✸✰✤✧✱✫❄▼❙P✩✭❄✫❅☞❂❖✖✟❉✧✬❯✦✝❄✫✤❜❙✫✩❋➄◆✬✏✸★✬✏❄▼✻✏✬✐✖✷✘❊✖✛✚✜✚❞●❬❨✕✘ ✬✾rP✩❚✦❏✘✽✦✑✢✫✱✫✸★✬✏✚✭❇t✔❁✤✛✸✑✘★✯✫✬❊✦★✖✟❉✛✬✝✤✛✔❑✢✗✬❯✸★✦✰✤✛❄✫❄▼✬✏✚✹✦★✖✷✔❁✬✏✘❏❇✛✮▼✿✣❇t❅✛✱▼✖✛✸★✖✛❄✧✘★✬✏✬❯✩✜❄✫❅❃✘★✯▼✖✷✘✼✖✟✘❤✚✭✬❯✖✛✦✪✘✓✤✛❄▼✬❫✢✗✤✧✩✜❄✲✘❤✩✭❄☞✘✰✯▼✬❊✻✾✩✭✸★✻✏✱✫✩✜✘ ✶✑✩✭✚✜✚✥✿✗✬✺✦★✖✷✔❁✬✓✘★✤❫✘★✤✛✱▼✻✽✯❣①②⑤✏✬❯✸✰✤❫❭✧✤✛✚✜✘★✖✛❅✛✬✑✘★✤❊❅✛✸★✤✛✱▼❄▼❙▼③✄●✙④✵✯✫✬❆✇✛➢✓✤✛✘★✇✴✦✪✩❚❙P✬❤✤✛✔❝✘✰✯✫✬❆✻✾✩✭✸★✻✏✱✫✩✜✘❯✮✣❄▼✖✟❂❲✬❍❙❲✔❁✤✛✸✎✩❋✘✽✦▲✢✥✤✟✘★✬✏❄✲✘✰✩❚✖✟✚ ✔❁✤✛✸✑✦✰✯✫✤P✻✽❉❲✯▼✖✟⑤❍✖✟✸✽❙❝✮✧✶✑✩✭✚✭✚❝✿✗✬✺❙✫✖✟❄▼❅✛✬✏✸★✤✛✱✗✦■✘★✤❊✘★✤✛✱▼✻✽✯t✱✫❄✫✚✭✬❯✦★✦❈❭✧✤✛✚✜✘★✖✛❅✛✬✓✩❚✦✵✦✪✬❍✻✾✱✫✸★✬❯❙✐✿✲❇❖✢▼✸✰✤✧✢✗✬❯✸✎❙P✩❚✦★✻✾✤✛❄▼❄✫✬❯✻✾✘✰✩✭✤✛❄❖✔❁✸★✤✛❂ ✘✰✯▼✬❫✦✪✤✧✱✫✸★✻✏✬❃①②✩✭❙✫✬❯✖✟✚✭✚✭❇✛✮✫✱▼✦✰✩✭❄✫❅❖✖❃✦✰❇P✦❏✘★✬✏❂❖✖✷✘★✩✭✻✺✚✭✤P✻✽❉✲➁❞✤✧✱P✘✄➑❘✘★✖✟❅✛➁❞✤✧✱P✘❈✢▼✸✰✤P✻✾✬❍❙P✱✫✸★✬❍③✾● ④✵✯✫✩❚✦✑✩✭❂❊✿▼✖✛✚✭✖✛❄▼✻✾✬✝✤✛✔✳✯▼✖✛⑤❯✖✛✸★❙t✿✗✬✏✘❏✶❈✬❯✬✏❄☞✘★✯✫✬✝✘❏✶✎✤❲✻✏✤✛❄▼❙✫✱▼✻✄✘★✤✛✸✽✦✑✩✜❄♣✖❖✦✰✩✜❂❲✢✫✚✭✬❫✢✥✤✷✶❈✬❯✸✓✻✾✩✭✸★✻✏✱✫✩✜✘❤✩✭✦✓✩✜❂❲✢✥✤✛✸✰✘★✖✟❄✲✘✑✘★✤ ✱✫❄▼❙✫✬✏✸✽✦❏✘✽✖✟❄▼❙❝●❧④✵✯✫✬❖✔❁✤✛✚✭✚✭✤✷✶✑✩✜❄✫❅❧✦✪✬❯✸✰✩✭✬❯✦✝✤✛✔✓✩✜✚✭✚✭✱▼✦❏✘★✸★✖✟✘✰✩✭✤✛❄▼✦✴✖✟✸★✬❖✿▼✖✛✦✰✬❯❙❡✤✧❄♥✻✾✤✧❂❲❂❃✤✧❄♦✯✫✤✛✱✗✦✪✬❯✯✫✤✛✚❚❙❡✶✑✩✜✸★✩✭❄✫❅❣✦✰❇✣✦✪✘✰✬❯❂❖✦ ①❁✱✗✦✪✩✭❄✫❅❱➅ ➠ ❭✧✤✛✚✜✘★✖✟❅✧✬❆✦✰✤✛✱▼✸★✻✏✬❯✦✎✸★✖✟✘✰✯✫✬❯✸✎✘✰✯▼✖✛❄ ➃ ➠ ✔❁✤✛✸✓✦✰✩✭❂❃✢▼✚✜✩❚✻✾✩✜✘❏❇✫③✄● ❨✕✔✙✶❈✬❆✘★✖✛❉✛✬✝✖❃✚✜✤✣✤✧❉✐✖✷✘✓✖❲✦✪✩✭❂❲✢✫✚✭✬✛✮✫✯✫✤✧✱▼✦✰✬✏✯✫✤✧✚✭❙t✬✏✚✭✬❯✻✾✘✰✸★✩✭✻❯✖✟✚❳✖✟✢▼✢✫✚✜✩❚✖✟❄✗✻✾✬✝✦✪✱✗✻✽✯❬✖✧✦✑✖❊✘★✤✧✖✧✦❏✘★✬✏✸✵✶✑✩❋✘★✯♣✖❖✻✾✤✛❄✗❙P✱▼✻✄✘★✩✜❭✧✬ ❂❲✬✾✘✽✖✟✚❈✻❯✖✛✦✰✬✛✮✳✶❈✬❱✻❯✖✟❄s✦✰✬✏✬❲✘★✯▼✖✷✘❫✘★✯✫✬✏✸★✬✐✦✰✯✫✤✛✱▼✚✭❙❡✿✥✬❱❄✫✤❣✦✰✯✫✤P✻✽❉❣✯✗✖✟⑤❯✖✛✸★❙❧✶✑✯✫✬❯❄♦✩❋✘❃✩✭✦✝✤✧✢✗✬❯✸★✖✟✘✰✩✭❄✫❅♣✢✫✸★✤✛✢✥✬✏✸★✚✜❇✧●❬④✵✯▼✬ ✶✑✩✭✸✰✬❍✦✎✻✏✤✛❄▼❙✫✱▼✻✄✘★✩✜❄✫❅❲✢✥✤✷✶❈✬❯✸▲✘★✤❃✘✰✯✫✬❆✘✰✤✲✖✛✦✪✘✰✬❯✸❯↕ ✦✎✯✫✬❯✖✟✘✰✩✭❄✫❅✴✬❯✚✜✬❯❂❲✬✏❄✲✘✓✖✟✸★✬✼✩✭❄▼✦✰✱✫✚✭✖✟✘✰✬❍❙❱✔❁✸★✤✛❂➈✘★✤✛✱▼✻✽✯▼✩✜❄✫❅✴✘✰✯▼✬❆❂❲✬✏✘★✖✟✚❳✻❯✖✛✦✰✬ ①②✖✛❄▼❙❬✬❯✖✧✻✽✯t✤✛✘✰✯✫✬❯✸✽③❈✿✣❇❱✸★✱✫✿✫✿✥✬✏✸✑✤✛✸✑✢▼✚✭✖✧✦❏✘★✩✭✻✛●

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➉ â ❺

Electrical appliance

"Hot" plug Source 120 V "Neutral"

metal case

Ground point

no voltage between case and ground

➢✓✤✷✶✎✬✏❭✧✬✏✸❍✮✟✩✜✔✹✤✛❄✫✬✼✤✟✔❝✘★✯✫✬✼✶✑✩✭✸★✬❯✦■✩✭❄▼✦✰✩✭❙✫✬❤✘★✯✫✬✓✘★✤✧✖✛✦✪✘✰✬❯✸❈✶✎✬✏✸★✬✑✘★✤✴✖✛✻❯✻✾✩❚❙P✬✏❄✲✘★✚✜❇❖✻✾✤✧❂❲✬❤✩✭❄✐✻✾✤✧❄✧✘✽✖✛✻✾✘❈✶✑✩✜✘✰✯❖✘★✯✫✬✼❂❲✬✏✘★✖✟✚ ✻ ✖✧✦✪✬✧✮✥✘✰✯✫✬❖✻✏✖✧✦✪✬✴✶✑✩✜✚✭✚❑✿✥✬✴❂❖✖✛❙✫✬✴✬❯✚✜✬❍✻✄✘✰✸★✩❚✻✏✖✟✚✭✚✭❇☞✻✏✤✛❂❲❂❲✤✛❄❣✘✰✤t✘✰✯✫✬❲✶✑✩✭✸✰✬✧✮◆✖✛❄▼❙♣✘★✤✛✱▼✻✽✯▼✩✜❄✫❅t✘✰✯▼✬❲✻❯✖✛✦✰✬❊✶✑✩✭✚✜✚✙✿✥✬❆➇❏✱▼✦❏✘❫✖✧✦ ✏ ✯▼✖✛⑤❯✖✟✸✽❙P✤✧✱▼✦❑✖✛✦✙✘★✤✛✱▼✻✽✯▼✩✜❄✫❅✺✘★✯✫✬✓✶✑✩✭✸✰✬✑✿✗✖✟✸★✬✛●✳✈❥✯✫✬✾✘★✯✫✬✏✸■✤✧✸■❄✫✤✛✘■✘✰✯✫✩❚✦■✢▼✸✰✬❍✦✪✬❯❄✧✘✽✦■✖✝✦✰✯✫✤P✻✽❉❊✯▼✖✛⑤❯✖✟✸✽❙❃❙P✬✏✢✥✬✏❄▼❙▼✦■✤✛❄ ➤ ✶✑✩✭✸✰✬✝✖✛✻❯✻✾✩❚❙P✬✏❄✲✘✽✖✟✚✭✚✜❇❖✘★✤✛✱▼✻✽✯▼✬❯✦

÷ ♥ t➃♥

✣û

accidental úcontact "Hot" plug Source 120 V "Neutral" Ground point

voltage between case and ground!

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❹û

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➉✲ï

"Hot" plug Source 120 V "Neutral" Ground point

accidental ú contact

no voltage between ú case and ground!

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"Hot" plug Source 120 V "Neutral" Ground point

accidental ú contact

voltage between case and ground!

➃ ✢▼✢✫✚✜✩❚✖✟❄✗✻✾✬❯✦❤❙P✬❯✦✰✩✜❅✧❄✫✬❯❙t✘★✯✫✩✭✦❤✶✎✖❘❇✐✱▼✦✪✱✗✖✟✚✭✚✜❇❬✻✾✤✛❂❲✬✝✶✑✩✜✘✰✯❜✇✛✢✗✤✧✚✭✖✛✸✰✩✭⑤✏✬❍❙✫✇❃✢✫✚✜✱▼❅✧✦❯✮▼✤✛❄▼✬✝✢✫✸✰✤✧❄✫❅❲✤✟✔✙✘✰✯▼✬❫✢✫✚✭✱✫❅❖✿✗✬❯✩✜❄▼❅ ✦✰✚✜✩✭❅✛✯✲✘✰✚✭❇❥❄▼✖✛✸✰✸★✤✷✶❈✬❯✸❖✘✰✯✗✖✟❄Ï✘✰✯✫✬♠✤✟✘★✯✫✬✏✸❍●✉➩✙✤✷✶✎✬✏✸✐✸★✬❯✻✏✬✏✢P✘✽✖✛✻✏✚✜✬❍✦t✖✛✸✰✬♠✖✟✚❚✦✪✤❦❙P✬❯✦✰✩✜❅✧❄✫✬❯❙➛✚✜✩✭❉✛✬❧✘✰✯▼✩✭✦❯✮✼✤✧❄✫✬❡✦✪✚✭✤✟✘☞✿✗✬❯✩✜❄▼❅ ❄▼✖✛✸✰✸★✤✷✶❈✬❯✸❤✘★✯▼✖✟❄♠✘★✯✫✬❱✤✟✘★✯✫✬✏✸❍● ➠ ✤✛❄✗✦✪✬❍➀✧✱▼✬✏❄✲✘✰✚✭❇✛✮✹✘✰✯✫✬❱✢▼✚✜✱✫❅♣✻❯✖✟❄✫❄✫✤✛✘❫✿✗✬✐✩✜❄▼✦✰✬✏✸✰✘✰✬❍❙❧✇✛✿▼✖✛✻✽❉✣✶✵✖✟✸✽❙✫✦❯✮ ✇t✖✟❄▼❙❡✻✾✤✧❄▼❙P✱▼✻✾✘✰✤✧✸ ✩❚❙P✬✏❄✲✘✰✩✜✘❏❇❜✩✭❄▼✦✰✩✭❙P✬✴✘✰✯▼✬❲✖✛✢✫✢✫✚✭✩✭✖✛❄▼✻✾✬❲✻✏✖✛❄❣✿✥✬✴❅✧✱▼✖✟✸✽✖✟❄✲✘★✬✏✬❯❙❳●❫➆✑✬✏❂❲✬✏❂✴✿✗✬❯✸❆✘✰✯▼✖✟✘❆✘★✯✫✩❚✦✺✯▼✖✛✦❆❄✫✤❬✬✾➄◆✬❯✻✾✘✺✶✑✯✗✖✷✘★✦✰✤✣✬✏❭✧✬✏✸❤✤✧❄ ✘✰✯▼✬✝✿▼✖✛✦✰✩✭✻✼✔❁✱✫❄✗✻✄✘✰✩✭✤✛❄☞✤✛✔❀✘★✯✫✬❫✖✟✢✫✢▼✚✜✩❚✖✟❄▼✻✏■ ✬ û✙✩✜✘❯↕ ✦✓✦❏✘★✸✰✩❚✻✄✘★✚✜❇❱✔❁✤✛✸✵✘✰✯▼✬❫✦✰✖✛❉✛✬✺✤✟✔✳✱▼✦✪✬❯✸✓✦✰✖✟✔❁✬✾✘❏❇✧● ❿✣✤✧❂❃✬♣✬❯❄✫❅✛✩✭❄✫✬❯✬✏✸✽✦❱✖✛❙✫❙✫✸✰✬❍✦✰✦❲✘★✯✫✬❣✦★✖✷✔❁✬✏✘❏❇⑥✩❚✦✰✦✰✱✫✬❜✦✰✩✜❂❲✢✫✚✭❇❦✿✲❇❦❂❖✖✟❉✣✩✭❄✫❅❡✘✰✯✫✬❧✤✛✱P✘✽✦✪✩❚❙P✬❜✻❯✖✛✦✰✬♣✤✟✔✺✘✰✯✫✬♠✖✟✢✫✢▼✚✜✩❚✖✟❄▼✻✏✬ ❄✫✤✧❄▼✻✾✤✧❄▼❙P✱▼✻✾✘✰✩✭❭✛✬✛●❦❿✣✱▼✻✽✯⑥✖✛✢✫✢✫✚✭✩✭✖✛❄▼✻✾✬❍✦❲✖✟✸★✬❬✻❯✖✟✚✭✚✜✬❍❙ þ ➋✟➍▼➦ ❥ ➥✾➌ ➤ ➧➸✽❤ ➍ ❥ ❦✙❡❩➥ þ ✮✎✦✰✩✭❄▼✻✾✬t✘✰✯✫✬☞✩✭❄▼✦✰✱✫✚✭✖✟✘✰✩✭❄✫❅❡✻✏✖✛✦✰✬☞✦✪✬❯✸✰❭✧✬❯✦❃✖✛✦❃✖ ✦✰✬❯✻✾✤✧❄▼❙t✚✭✖❘❇✧✬✏✸✵✤✟✔✳✩✜❄▼✦✰✱✫✚❚✖✷✘★✩✜✤✧❄❬✖✛✿✗✤✷❭✧✬✺✖✛❄▼❙t✿✗✬❯❇✛✤✛❄✗❙❱✘★✯▼✖✷✘✓✤✛✔✹✘✰✯▼✬❫✻✾✤✛❄✗❙P✱▼✻✄✘★✤✛✸✽✦✎✘✰✯✫✬❯❂❖✦✪✬❯✚✜❭✧✬❯✦❯●✳❨✕✔❑✖❃✶✑✩✜✸★✬✺✩✜❄✗✦✪✩❚❙P✬✺✘✰✯▼✬ ✖✟✢▼✢✫✚✜✩❚✖✟❄✗✻✾✬✺✖✛✻✏✻✏✩✭❙✫✬✏❄✲✘✰✚✭❇✐✻✾✤✧❂❲✬❯✦✎✩✜❄☞✻✾✤✧❄✲✘★✖✛✻✾✘✎✶✑✩✜✘✰✯t✘✰✯▼✬❫✻✏✖✛✦✰✬✛✮✲✘★✯✫✬✏✸★✬✼✩❚✦✵❄✫✤❖❙✫✖✛❄✫❅✛✬❯✸❈✢✫✸★✬❯✦✰✬✏❄✲✘★✬❯❙✐✘✰✤✴✘✰✯✫✬✝✱▼✦✰✬✏✸✵✤✛✔✹✘✰✯▼✬ ✖✟✢▼✢✫✚✜✩❚✖✟❄✗✻✾✬✛● ➝❤✘✰✯▼✬✏✸▲✬❯❄✫❅✛✩✭❄✫✬❯✬✏✸✽✦❑✘★✖✧✻✽❉✣✚✜✬✑✘★✯✫✬❤✢▼✸✰✤✧✿✫✚✜✬❯❂⑧✤✟✔❳✦✰✖✟✔❁✬✾✘❏❇❲✿✣❇✴❂❖✖✛✩✜❄✲✘★✖✛✩✜❄▼✩✜❄✫❅❃✖❫✻✾✤✧❄▼❙P✱▼✻✾✘✰✩✭❭✛✬❆✻✏✖✛✦✰✬✛✮✧✿✫✱P✘✵✱▼✦✰✩✜❄✫❅✴✖✝✘✰✯▼✩✜✸✽❙ ✻✾✤✧❄▼❙P✱▼✻✾✘✰✤✧✸✵✘✰✤❃⑩▼✸★❂❃✚✭❇t✻✏✤✛❄✫❄▼✬❯✻✄✘✵✘★✯▼✖✷✘❤✻❯✖✛✦✰✬✼✘★✤❲❅✛✸★✤✛✱✫❄▼❙Ýû

✒➅✩➆✰➇✼❻✙❹✎➈➊➉♣➋♥❹✎➌✹❹✼❺✑❻✒➈P➍✏❺✒➆✰➌♦❸✈➆✰➎✙❹❆❻P➏

➉✛ð

❺

"Hot" 3-prong plug Source 120 V "Neutral" Grounded case ensures zero between úvoltage case and ground

"Ground" Ground point

④✵✯✫✬✎✘✰✯▼✩✜✸✽❙❊✢▼✸✰✤✧❄✫❅✺✤✛❄✴✘✰✯✫✬✵✢✥✤✷✶❈✬❯✸■✻✾✤✛✸✽❙❫✢▼✸✰✤✷❭✣✩❚❙P✬❯✦✙✖✺❙P✩✭✸✰✬❍✻✄✘❑✬✏✚✭✬❯✻✾✘✰✸★✩✭✻❯✖✟✚✫✻✾✤✧❄✫❄✫✬❍✻✄✘✰✩✭✤✛❄❊✔❁✸✰✤✧❂➷✘✰✯▼✬✓✖✟✢✫✢✫✚✭✩❚✖✟❄▼✻✏✬✵✻❯✖✛✦✰✬ ✘✰✤❖✬❍✖✟✸✰✘✰✯❬❅✛✸★✤✛✱✫❄✗❙❝✮✫❂❖✖✟❉✣✩✭❄✫❅❃✘✰✯✫✬✺✘❏✶✎✤❖✢✗✤✧✩✜❄✲✘✽✦✑✬✏✚✭✬❯✻✾✘✰✸★✩✭✻❯✖✟✚✭✚✜❇✐✻✏✤✛❂❲❂❲✤✛❄❬✶✑✩❋✘★✯♣✬❯✖✧✻✽✯t✤✛✘✰✯✫✬❯✸❯●■❨✕✔✳✘✰✯▼✬✏❇◆↕ ✸★✬✝✬✏✚✭✬❯✻✾✘✰✸★✩✭✻❯✖✟✚✭✚✜❇ ✻✾✤✧❂❲❂❃✤✧❄❳✮❍✘✰✯✫✬❯❄✝✘✰✯▼✬✏✸★✬❈✻✏✖✛❄✫❄✫✤✛✘✹✿✗✬✎✖✟❄✣❇❆❭✛✤✛✚✜✘★✖✛❅✛✬■❙P✸★✤✛✢▼✢✗✬❍❙✺✿✗✬✏✘❏✶❈✬❯✬✏❄✝✘★✯✫✬✏❂☞● ➃ ✘❀✚✭✬❯✖✛✦✪✘❯✮❍✘★✯▼✖✷✘❍↕ ✦❀✯✫✤✷✶❡✩❋✘✳✩✭✦❀✦✪✱▼✢✫✢✗✤✲✦✪✬❍❙ ✘✰✤♣✶✎✤✛✸★❉◆●✐❨✕✔✵✘✰✯▼✬❱✯✫✤✟✘❊✻✏✤✛❄▼❙✫✱▼✻✄✘★✤✛✸❊✖✧✻✏✻✾✩❚❙P✬❯❄✧✘★✚✜❇❣✘✰✤✧✱▼✻✽✯✫✬❯✦✝✘✰✯✫✬❱❂❲✬✏✘★✖✟✚❈✖✟✢✫✢✫✚✭✩❚✖✟❄▼✻✏✬❱✻✏✖✛✦✰✬✛✮✳✩✜✘❊✶✑✩✜✚✭✚▲✻✏✸✰✬❍✖✷✘✰✬❱✖♣❙✫✩✜✸★✬❯✻✾✘ ✦✰✯✫✤✛✸✰✘✪➁❩✻✾✩✭✸★✻✏✱✫✩✜✘✳✿▼✖✧✻✽❉❆✘✰✤❆✘✰✯✫✬✵❭✧✤✛✚✜✘★✖✟❅✧✬❈✦✰✤✛✱✫✸✽✻✾✬❈✘✰✯▼✸✰✤✧✱✫❅✛✯❊✘✰✯✫✬✵❅✛✸★✤✛✱▼❄▼❙❫✶✑✩✭✸✰✬✧✮❘✘✰✸★✩✜✢▼✢✫✩✜❄▼❅✺✖✛❄✣❇✝✤✷❭✛✬✏✸✽✻✾✱▼✸✰✸★✬✏❄✲✘✹✢✫✸★✤✟✘★✬❯✻✾✘✰✩✭✤✛❄ ❙P✬❯❭✲✩❚✻✾✬❍✦✏●❑④✵✯✫✬✝✱✗✦✪✬❯✸✑✤✟✔✳✘✰✯✫✬❫✖✛✢✫✢✫✚✭✩✭✖✛❄▼✻✾✬✺✶✑✩✭✚✜✚❝✸★✬✏❂❖✖✟✩✭❄☞✦✰✖✟✔❁✬✛● ④✵✯✫✩❚✦✵✩✭✦✓✶✑✯✲❇✐✩❋✘❍↕ ✦✓✦✰✤❲✩✜❂❲✢✥✤✛✸✰✘★✖✛❄✧✘✑❄✫✬❯❭✛✬❯✸✵✘✰✤❱✻✾✱✫✘✑✘✰✯✫✬✺✘★✯✫✩✜✸✽❙❬✢✫✸★✤✛❄✫❅❃✤✟➄❧✖❃✢✥✤✷✶❈✬❯✸✵✢✫✚✜✱▼❅❖✶✑✯✫✬✏❄❬✘✰✸★❇✣✩✜❄▼❅✴✘★✤❃⑩✫✘❤✩✜✘ ✩✭❄✧✘★✤✴✖❊✘❏✶❈✤✛➁❞✢▼✸✰✤✧❄✫❅✝✸✰✬❍✻✾✬❯✢P✘★✖✧✻✾✚✭✬✛●✳❨✕✔❳✘✰✯✫✩❚✦✎✩✭✦✎❙P✤✧❄✫✬✛✮✲✘✰✯▼✬✏✸★✬✼✶✑✩✭✚✜✚✥✿✥✬✼❄✫✤❃❅✛✸★✤✛✱▼❄▼❙P✩✭❄✫❅❫✤✟✔❝✘★✯✫✬✺✖✟✢✫✢✫✚✭✩❚✖✟❄▼✻✏✬✼✻✏✖✧✦✪✬❤✘✰✤❃❉✛✬❯✬✏✢ ✘✰✯▼✬❫✱▼✦✰✬✏✸❘①②✦✽③✵✦✰✖✟✔❁✬✛●▲④✵✯✫✬✴✖✟✢✫✢✫✚✭✩❚✖✟❄▼✻✏✬❆✶✑✩✭✚✭✚❀✦✪✘✰✩✭✚✜✚❝✔❁✱▼❄▼✻✄✘★✩✜✤✧❄♣✢✫✸✰✤✧✢✗✬❯✸✰✚✭❇✛✮▼✿✫✱P✘❤✩✜✔❀✘★✯✫✬✏✸★✬✝✩❚✦❤✖✟❄☞✩✭❄✲✘✰✬✏✸★❄▼✖✛✚◆✔②✖✟✱✫✚✜✘❤✿✫✸★✩✜❄▼❅✛✩✭❄✫❅ ✘✰✯▼✬❫✯✫✤✟✘✼✶✑✩✜✸★✬❫✩✭❄❜✻✾✤✛❄✲✘✽✖✛✻✄✘✓✶✑✩✜✘✰✯☞✘★✯✫✬✴✻❯✖✛✦✰✬✛✮P✘★✯✫✬❊✸★✬❯✦✰✱✫✚✜✘★✦✓✻❯✖✟❄☞✿✥✬✴❙P✬❍✖✛❙P✚✭❇✛●✎❨✕✔▲✖❃✘❏✶❈✤✛➁❞✢▼✸✰✤✧❄✫❅❲✸✰✬❍✻✾✬✏✢✫✘★✖✛✻✏✚✜✬ ➍ ❳✿✥✬ ✱▼✦✰✬❯❙❝✮❳✖❱✘❏✶❈✤✛➁❈✘★✤✐✘★✯✫✸★✬✏✬✾➁✕✢✫✸★✤✛❄✫❅✐✸✰✬❍✻✾✬✏✢✫✘★✖✛✻✏✚✜✬❃✖✛❙✫✖✛✢P✘✰✬❯✸❆✻❯✖✟❄❧✿✗✬❃✩✜❄✗✦❏✘✽✖✟✚✭✚✜✬❍❙❜✶✑✩✜✘✰✯❧✖t❅✛✸★✤✛✱▼❄▼❙P✩✭❄✫❅❱✶✑✩✭✸✰✬❲✖✷✘✰✘★✖✛✻✽✯▼✬❯❙☞✘★✤ ✘✰✯▼✬✑✸✰✬❍✻✾✬✏✢✫✘★✖✛✻✏✚✜✬✧↕ ✦✙❅✧✸✰✤✧✱✫❄▼❙P✬❍❙✴✻✏✤✷❭✛✬❯✸■✦✰✻✏✸✰✬❯✶✝●❀④✵✯✫✩❚✦❑✶✑✩✭✚✜✚✫❂❖✖✛✩✜❄✲✘★✖✛✩✜❄❃✘★✯✫✬✓✦✰✖✟✔❁✬✾✘❏❇✴✤✟✔✥✘✰✯✫✬✑❅✧✸✰✤✧✱✫❄▼❙P✬❍❙✴✖✛✢✫✢✫✚✭✩✭✖✛❄▼✻✾✬✑✶✑✯✫✩✭✚✭✬ ✢✫✚✭✱✫❅✛❅✧✬❯❙t✩✜❄❬✘★✤✴✘★✯✫✩❚✦✵✘❏❇✣✢✗✬✝✤✛✔✳✸★✬❯✻✏✬✏✢P✘✽✖✛✻✾✚✭✬✛● ✚✭✬❯✻✾✘✰✸★✩✭✻❯✖✟✚✭✚✜❇⑥✦✰✖✟✔❁✬♣✬✏❄✫❅✧✩✜❄✫✬❯✬✏✸★✩✜❄▼❅s❙P✤✣✬❯✦✰❄❳↕ ✘t❄✫✬❯✻✏✬❯✦★✦✰✖✛✸✰✩✭✚✜❇♥✬✏❄▼❙❥✖✟✘❱✘✰✯✫✬❣✚✜✤✲✖✛❙❝✮✵✯✫✤✷✶✎✬✏❭✧✬✏✸❍● ➃ ⑩▼❄▼✖✛✚✼✦★✖✷✔❁✬❯❅✛✱▼✖✛✸★❙ ✖✟❅✲✖✟✩✭❄▼✦✪✘✴✬✏✚✭✬❯✻✾✘✰✸★✩✭✻❯✖✟✚✵✦✪✯▼✤✣✻✽❉♦✻❯✖✟❄♥✿✥✬☞✖✟✸★✸★✖✛❄✫❅✛✬❍❙❡✤✛❄s✘★✯✫✬❬✢✗✤✷✶✎✬✏✸❲✦✪✱▼✢✫✢✫✚✭❇s✦✪✩❚❙P✬❬✤✟✔✓✘★✯✫✬♣✻✾✩✭✸★✻✏✱✫✩❋✘❲✸✽✖✷✘✰✯▼✬✏✸✴✘✰✯▼✖✛❄s✘✰✯▼✬ ✖✟✢▼✢✫✚✜✩❚✖✟❄✗✻✾✬✺✩❋✘✽✦✪✬❯✚❋✔❏●■④✵✯▼✩✭✦✓✦★✖✷✔❁✬❯❅✛✱▼✖✛✸★❙✐✩✭✦✑✻❯✖✟✚✭✚✜✬❍❙ ➋✟➍P➧ ➌ ✷➍ ➥ ✕➥ ➤ ➋✟➧▼✮✗✖✛❄▼❙t✩❋✘✓✶✎✤✛✸★❉P✦❈✚✭✩✭❉✛✬❆✘✰✯✫✩❚✦

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✣û

"Hot" I

Source 120 V

I "Neutral"

Ground point

no voltage between case and ground

❨❩❄❣✖❖✢▼✸✰✤✧✢✗✬❯✸✰✚✭❇✐✔❁✱▼❄▼✻✄✘★✩✜✤✧❄✫✩✜❄▼❅❬✖✛✢✫✢✫✚✭✩✭✖✛❄▼✻✾✬✐①➐✦✪✯▼✤✷✶✑❄❣✖✟✿✥✤✷❭✛✬❘③✄✮✫✘★✯✫✬❲✻✾✱✫✸★✸✰✬❯❄✲✘❤❂❲✬❯✖✛✦✰✱✫✸★✬❯❙❬✘★✯✫✸✰✤✧✱✫❅✛✯☞✘★✯✫✬❃✯✫✤✟✘✺✻✾✤✛❄✫➁ ❙P✱▼✻✾✘✰✤✧✸❆✦✰✯✫✤✛✱▼✚✭❙♣✿✥✬❃✬✾r✫✖✛✻✾✘✰✚✭❇t✬❍➀✧✱✗✖✟✚❀✘✰✤❱✘★✯✫✬❲✻✾✱✫✸★✸✰✬❯❄✲✘✓✘✰✯✫✸★✤✛✱▼❅✛✯♣✘★✯✫✬✴❄▼✬✏✱P✘★✸★✖✛✚✳✻✏✤✛❄▼❙P✱✗✻✄✘✰✤✧✸❯✮✥✿✥✬❯✻✏✖✛✱▼✦✰✬❫✘✰✯▼✬✏✸★✬✛↕ ✦✓✤✛❄▼✚✜❇

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accidental ú contact

"Hot" (more) I

Source 120 V

I (less) "Neutral"

Shock current

Shock current Shock current

④ ✯✫✩❚✦✑❙P✩✜➄✥✬❯✸✰✬❯❄▼✻✾✬✝✩✭❄♣✻✾✱✫✸★✸✰✬❯❄✲✘✵✿✥✬✾✘❏✶✎✬✏✬❯❄❬✘✰✯✫✬❫✇✛✯✫✤✟✘✽✇❃✖✛❄▼❙☞✇✟❄✫✬❯✱P✘✰✸✽✖✟✚❚✇❃✻✾✤✛❄✗❙P✱▼✻✄✘★✤✛✸✽✦✵✶✑✩✜✚✭✚❳✤✧❄✫✚✜❇✐✬✾rP✩✭✦✪✘✓✩✜✔✳✘★✯✫✬✏✸★✬✺✩✭✦ ✵ ✻✾✱▼✸✰✸★✬✏❄✲✘■✘★✯✫✸✰✤✧✱✫❅✛✯❃✘★✯✫✬❤❅✧✸✰✤✧✱✫❄▼❙❲✻✾✤✧❄✫❄✫✬❯✻✾✘✰✩✭✤✛❄❳✮✲❂❲✬❯✖✛❄✫✩✜❄▼❅✝✘✰✯▼✖✟✘■✘✰✯▼✬✏✸★✬❤✩❚✦▲✖✺✔②✖✛✱✫✚❋✘✎✩✜❄❲✘★✯✫✬✼✦✰❇P✦❏✘★✬✏❂☞●❑④✵✯✫✬✏✸★✬✾✔❁✤✧✸✰✬✧✮✛✦✰✱▼✻✽✯ ✖❫✻✏✱✫✸✰✸★✬✏❄✲✘❈❙✫✩❋➄◆✬✏✸★✬✏❄▼✻✏✬✼✻❯✖✟❄❱✿✥✬❤✱▼✦✰✬❯❙✐✖✛✦▲✖❫✶✎✖❘❇✴✘✰✤ þ ➥✬❡❩➥✻t✬◆ ❡ ✖✝✔②✖✛✱✫✚✜✘✎✻✾✤✧❄▼❙P✩✜✘✰✩✭✤✛❄❳●✙❨✕✔✹✖❫❙✫✬✏❭✣✩✭✻✏✬❤✩❚✦▲✦✰✬✾✘✎✱✫✢❖✘✰✤✴❂❲✬❯✖✛✦✰✱✫✸★✬ ✘✰✯▼✩✭✦✺❙P✩✜➄✥✬❯✸✰✬❯❄▼✻✾✬❲✤✛✔❈✻✾✱✫✸★✸★✬✏❄✲✘✼✿✥✬✾✘❏✶✎✬✏✬❯❄❜✘✰✯▼✬✴✘❏✶✎✤✐✢✥✤✷✶✎✬✏✸✺✻✾✤✛❄✗❙P✱▼✻✄✘★✤✛✸✽✦✏✮❝✖t❙P✬✾✘★✬❯✻✄✘★✩✜✤✧❄❧✤✛✔❈✻✾✱▼✸✰✸★✬✏❄✲✘✼✩✭❂❊✿✗✖✟✚❚✖✟❄▼✻✏✬✴✻✏✖✛❄ ✿✥✬❆✱✗✦✪✬❍❙❖✘✰✤✴✘✰✸★✩✭❅✛❅✛✬❯✸▲✘★✯✫✬✺✤✛✢✥✬✏❄✫✩✭❄✫❅❃✤✟✔❀✖❃❙P✩❚✦✰✻✏✤✛❄✫❄▼✬❯✻✄✘✑✦✰✶✑✩❋✘✽✻✽✯❳✮✣✘✰✯✣✱▼✦✵✻✾✱✫✘✪✘✰✩✭❄✫❅❲✢✥✤✷✶❈✬❯✸❈✤✛➄♣✖✛❄▼❙❱✢▼✸✰✬❯❭✛✬✏❄✲✘★✩✜❄✫❅❃✦✪✬❯✸✰✩✭✤✛✱✗✦ ✦✰✯✫✤P✻✽❖ ❉ û

"Hot" I

Source 120 V

I "Neutral"

switches open automatically if the difference between the two currents becomes too great.

❿✣✱▼✻✽✯⑥❙P✬✏❭✣✩❚✻✾✬❯✦❃✖✟✸★✬✐✻❯✖✟✚✭✚✜✬❍❙➷ò ✉ ➋✷➍P➧ þ❬ó ❦✷➍ ❥ ❡❖ô✙➍ ✉✾✉ ➥✏➧➸❡P❞✾➸ ➧ ❡❩➥ ✉✾✉ ➍✲õ❹❡✕➋ ✉ ❤✽✮✙✤✧❏ ✸ ò✺❷ ➠ ❨❏✦❫✔❁✤✧✸✴✦✰✯✫✤✛✸✰✘❯✮■✖✛❄▼❙❡✘✰✯▼✬✏❇♦✖✟✸★✬ ✻✾✤✧❂❲✢▼✖✛✻✾✘✵✬❯❄✫✤✛✱▼❅✛✯❱✘★✤❲✿✗✬✝✿✫✱▼✩✜✚✜✘✑✩✜❄✲✘✰✤❖✖❃✢✥✤✷✶❈✬❯✸✎✸★✬❯✻✏✬✏✢P✘✽✖✛✻✏✚✜✬✧●✙④✵✯▼✬❯✦✰✬✼✸★✬❯✻✏✬✏✢P✘✽✖✛✻✾✚✭✬❯✦✵✖✛✸✰✬❆✬❯✖✧✦✪✩✭✚✜❇✐✩✭❙P✬❯❄✲✘✰✩✜⑩▼✬❯❙t✿✣❇❖✘✰✯✫✬❯✩✜✸ ❙P✩❚✦❏✘★✩✜❄✗✻✄✘✰✩✭❭✛✬❧✇✛④❀✬❯✦✪✘★✇❡✖✟❄▼❙❥✇✧➆✑✬❯✦✰✬✾✘✽✇♠✿✫✱P✘✪✘★✤✛❄▼✦❯●➞④✵✯✫✬❜✿✫✩✭❅s✖✛❙P❭✷✖✛❄✧✘✽✖✟❅✧✬❬✶✑✩✜✘✰✯❥✱✗✦✪✩✭❄✫❅❡✘✰✯▼✩✭✦t✖✟✢✫✢✫✸★✤✧✖✧✻✽✯s✘★✤s✬✏❄▼✦✰✱✫✸★✬ ✦★✖✷✔❁✬✾✘❏❇♣✩❚✦✼✘✰✯▼✖✟✘✝✩❋✘✝✶✎✤✛✸★❉✣✦✼✸★✬✏❅✧✖✛✸★❙✫✚✜✬❍✦✰✦❤✤✟✔▲✘★✯✫✬❖✖✟✢✫✢▼✚✜✩❚✖✟❄▼✻✏✬✛↕ ✦✼❙✫✬❯✦✰✩✜❅✧❄❳●❲➝❤✔❈✻✏✤✛✱✫✸✽✦✰✬✛✮❝✱▼✦✰✩✜❄▼❅❬✖❬❙P✤✛✱▼✿✫✚✜✬✏➁❞✩✭❄▼✦✰✱✫✚❚✖✷✘✰✬❍❙❜✤✧✸ ❅✛✸★✤✛✱▼❄▼❙P✬❯❙❡✖✛✢✫✢✫✚✭✩✭✖✛❄▼✻✾✬❱✩✭❄♥✖✧❙✫❙P✩✜✘✰✩✭✤✛❄❡✘✰✤❧⑤ ✖ ò✺❷ ➠ ❨✝✸★✬❯✻✏✬✏✢P✘✽✖✛✻✾✚✭✬❖✶✎✤✛✱✫✚❚❙❡✿✗✬t✿✗✬✏✘✪✘★✬✏✸❊❇✧✬✾✘❍✮✳✿▼✱P✘✴✩✜✘❯↕ ✦✴✻✏✤✛❂❃✔❁✤✛✸✰✘✰✩✭❄✫❅☞✘★✤ ❉✣❄✫✤✷✶Ï✘✰✯▼✖✟✘❤✦✪✤✧❂❃✬✏✘✰✯✫✩✭❄✫❅❱✻❯✖✟❄☞✿✗✬✴❙P✤✛❄✫✬✺✘★✤❖✩✜❂❲✢✫✸★✤✷❭✛✬✝✦★✖✷✔❁✬✏✘❏❇t✖✟✿✥✤✷❭✛✬✝✖✛❄▼❙❬✿✗✬❯❇✛✤✛❄✗❙✐✘★✯✫✬❊❙P✬❍✦✪✩✭❅✛❄♣✖✛❄▼❙☞✻✾✤✛❄✗❙P✩❋✘★✩✜✤✧❄☞✤✟✔ ✘✰✯▼✬❫✖✟✢✫✢✫✚✭✩❚✖✟❄▼✻✏✬✛●

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■û ◆❡r♥ ✉ ■♠❣♥

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simple battery-lamp circuit

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+ 9 volts

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A

V

+ 9 volts

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A

V

+ 9 volts

A OFF

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These points are electrically common

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1

R1 3 kΩ

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I = 500 µA

-

I = 500 µA

9V

4

➓

R3 5 kΩ

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ER1 = IR1 R1

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ER2 = IR2 R2

➛

ER1 = (500 µA)(3 kΩ) = 1.5 V ➛

ER2 = (500 µA)(10 kΩ) = 5 V ➛

ER3 = (500 µA)(5 kΩ) = 2.5 V

ER3 = IR3 R3

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Ohm’s Law

Ohm’s Law

Ohm’s Law

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R1

R2

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3k

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R2

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➃

R3

R

3k

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❵

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Total ➒

E I

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Volts

9

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10k

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Ohms

18k

Rule of series circuits RT = R1 + R2 + R3

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R1

R2

R3

➒ ✃

R

3k

➓

10k

◗

❆✉✗➦✗➦

❧

Total

E I

❰❱

5k

9

Volts

500µ

Amps

18k

Ohms

Ohm’s Law

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Ohm’s Law

Ohm’s Law

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Ohm’s Law

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Ohms

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9

9

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➒

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Volts

9

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Amps

R

10k

2k

Ohms

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IR1 =

9V 10 kΩ

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ER2 ❹

➜

R2

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IR3 =

◗

ER3 ❹

R3

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= 0.9 mA

➒

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9V 2 kΩ

= 4.5 mA

➒

9V 1 kΩ

IR3 =

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R1

R2

R3

9

9

9

➒

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➒

= 9 mA

➒

0.9m

4.5m

10k

2k

Ohm’s Law

➒

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Ohm’s Law

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Total ➒

9

Volts

9m

Amps

1k

Ohms

Ohm’s Law

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➒

0.9m

4.5m

10k

2k

➒

➒

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9m

9

Volts

14.4m

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1k Rule of parallel circuits â Itotal = I1 + I2 + I3

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Rtotal =

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R1

R2

R3

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9

9

9

9

Volts

9m

14.4m

Amps

1k

625

Ohms

➒

à

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➒

0.9m

4.5m

10k

2k

Etotal

➒

=

➒

➒

ä 9V = 625 Ω 14.4 mA

➒

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Ohm’s Law

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Rtotal =

1 1 è 1 è 1 + ❹ + ❹ ❹ R2 R3 R1

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2

1

3

+ ➒

❹

❹

R1 10 kΩ

9V 8

7

4 ❹

R2 2 kΩ 6

R3 1 kΩ 5

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1 ➒

1

1

+ R1

9V 0

❧

1

10 kΩ 0

R2

R3

2 kΩ

1 kΩ 0

0

➧r➛➝✃➩➥▲➻✇➳➩➼✠➛✔➼➚➭✠➙❪➛✔➟✚➤➩➭➽➞➄➻❦➥▲➙❅➛✎➞P➟◗➤➩➛⑧➠❖➥☛➟◗➭➚➡❅➧➦➥▲➼✠➛❞➡▲➲❊➧➩➡❊➘❊➛⑧➧❯➾➦➻❐➪❨➛➝➠❖➞➄➭✠♠ ➧ ⑧✒Ï✔➷

❁

①✉➲ ➥❪➭➚➠◗➼✠➜➫➢❀➼✠➛✎➥❪➠➄➟◗➡✽➾➩➧➦➘❊➛✎➠◗➞✘➟◗➥❪➧➦➘Ï❥ ➺ ➸➸➜

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1 è 1 è 1 è 1 + ❹ + ❹ + ❹ R1 R4 R2 R3

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Ohm’s Law for Power

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For parallel circuits: R1

R2

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Total

I

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R

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P ➛

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Watts

Etotal = E1 = E2 = E3 ➜ ❹

Itotal = I1 + I2 + I3 1 1 è 1 è 1 + ❹ + ❹ ❹ R1 R2 R3

Rtotal =

t Ptotal = P1 + P2 + P3 ❫✸✌✗✪❭✌✩✳✭✱✶❚r✴✲✌✺✑☎✥☛✪✘✬✭✑q✮ ❱ ✪✘✯✗✎✭✱✶✑❘❱❬✓✕✑✤✪✘✬✭✌✲✴q✥✜✣✶✓✕✙✭✱✹✣❝✿✟❚◆✪✘✬✭✑❨✓✕✯✗✳✛✯✮●✩✑✆✓✕✑✆✳✼✪◗✌✗✿❳✯✮✱✹✱❀✖✜✑✫✱✶✑✫❁s✯✗✳✼➁ ✪ ➣✼✵✛✯✮✳✼✪✜✣✶✪✜✣✹✑✫✥✫★❆✣✶✪✕✯✗✱✹✥✜✌ ✿✈✯✗✢✆✣✶✱✹✣✶✪✘✯❇✪✘✑✫✥❲✢✆✖✜✌✼✥✜✔✥ ❃❚ ✢✰✬✛✑✫✢✰❅✺✣✶✳✛●❱✌✮✿✽✯✮✳✛✥✜❄✔✑✫✖✘✥❳✎✺❚❙✓❑✯✮❅✺✣✹✳✭●P✣✶✪☛✑✫✯✩✥✧❚❘✪✘✌❬✥✧✌✩✱✶❁✩✑☛✿✟✌✗✖■✪✘✬✭✑✕✌✗✖✘✣✶●✩✣✶✳❉✯✮✱❍✵✭✳✭❅✺✳✭✌❇❄✁✳❈❁s✯✗✖✜✣✦✯✮✎✛✱✶✑☎✥ ✪✜✬✛✖✜✌✩✵✭●✗✬❯✌✮✪✘✬✭✑✆✖■✓✕✑✤✪✘✬✭✌✲✴✭✥✆★✍✌✗✖❲✎✺❚❙❄❀✌✗✖✘❅✺✣✶✳✭●P✎✛✯✗✢✰❅✺❄✽✯✮✖✰✴✭✥✏✪✜✌❙✥✜✌✗✱✹❁✗✑❭✿✟✌✗✖■✪✜✬✛✑✷✣✹✳✭✣✶✪✜✣✦✯✮✱✹✱✶❚❈●✗✣✹❁✗✑✫✳♣❁❇✯✮✱✹✵✭✑✫✥❴✿✟✖✘✌✗✓➃❚✗✌✗✵✛✖ ✥✜✌✗✱✹✵✲✪✜✣✹✌✗✳✛✥✫☎ ❵ ❏✭✌✩✖❳✑✆▲✲✯✗✓✕✙✭✱✶✑✩★⑤✣❝✿✔❚✗✌✗✵♣✬✛✯s❁✗✑❲❂❪✵✛✥❪✪☛✥✜✌✗✱✹❁✗✑☎✴❘✿✟✌✗✖■✯✮✱✹✱❍✵✭✳✭❅✺✳✭✌❇❄✁✳❙❁✩✌✗✱✶✪✘✯✮●✩✑✫✥✫★✒✢✆✵✭✖✘✖✜✑✫✳✩✪✰✥✆★⑤✯✗✳✛✴❙✖✘✑✫✥✜✣✹✥✧✪✘✯✗✳✛✢✤✑☎✥ ✣✹✳❨✯✷✢✤✣✹✖✘✢✆✵✭✣✶✪✫★✺❚✗✌✩✵P✢✆✯✗✳P✢✰✬✭✑☎✢✰❅✕❚✗✌✗✵✛✖❀❄❀✌✗✖✘❅✕✎✺❚❱✯✗✴✭✴✲✣✹✳✭●✕✯◗✖✘✌❇❄➄✯❇✪❀✪✜✬✛✑❴✎✒✌✮✪✜✪✜✌✩✓❢✿✟✌✗✖✽✙❉✌❇❄❀✑✆✖✽✢✆✯✗✱✹✢✆✵✭✱✦✯❇✪✜✣✹✌✗✳❉✥✔✌✩✳▼✑☎✯✗✢✰✬ ✖✘✑✫✥✜✣✹✥✧✪✜✌✩✖✫★✻✥✜✑✆✑✫✣✶✳✛●❬❄✁✬✭✑✤✪✘✬✭✑✆✖☛✌✩✖❲✳✭✌✮✪✷✯✮✱✹✱❆✪✜✬✭✑❑✣✹✳✛✴✲✣✹❁✺✣✹✴✭✵✛✯✮✱✔✙❉✌❇❄❀✑✆✖❲❁❇✯✮✱✹✵✭✑☎✥☛✯✗✴✭✴❯✵✭✙◆✪✘✌❘✪✜✬✭✑✕✪✘✌✮✪✰✯✮✱✚✙✒✌❇❄❀✑✆✖☎❵❑❂❃✿✽✳✛✌✮✪✫★ ✪✜✬✛✑✆✳❑❚✗✌✩✵✕✓◗✵✛✥✧✪✚✬✛✯s❁✩✑✁✓✕✯✩✴✲✑✏✯■✓✕✣✦✥❪✪✰✯✮❅✗✑✸✥✜✌✗✓✕✑✫❄✁✬✭✑✆✖✘✗✑ ❶✵❷♥✬✭✣✹✱✶✑✁✪✘✬✭✣✦✥❆✪✜✑☎✢✰✬✭✳✭❰✣ ➣✼✵✭✑✸✌✮⑩✿ ❱✩✢✤✖✘✌✩✥✘❢✥ ❚❼✢✰✬✭✑✫✢✰❅✺✣✹✳✭✕● ❱✏❚✗✌✩✵✭✖❏❄❀✌✗✖✘❅ ✣✦✥✸✳✭✌✗✪✜✬✭✣✹✳✭●▼✳✛✑✆❄❲★✒✵✛✥✧✣✹✳✭●❑✪✘✬✭✑☛✪✰✯✮✎✭✱✹✑❲✪✘✌P✯✮✖✘✖✰✯✮✳✭●✩✑■✯✗✱✶✱✻✪✜✬✭✑✷✴✭✯❇✪✰✯✕✿✟✌✗✖✏✪✜✬✭✑✷✢✤✖✘✌✩✥✘❢✥ ❚❼✢✰✬✭✑☎✢✰⑨❅ ▼➅✥ ◗ ✖✘✑✫✥✜✵✭✱✶✪✘✥✸✣✹✳❙✯❑✓✕✣✹✳✭✣✶✓❭✵✭✓ ✌✮✿❆✢✤✌✩✳✲✿✟✵✛✥✜✣✶✌✩✳❋❵ ❜❛ ❧ ✙✭✙✭✱✹❚✫↕❳✬✛q ✓ ❴ ✥❈⑥✻✯s❄➂✪✜✌✕❁✗✑✫✖✧✪✘✣✹✢✫✯✮✱❋✢✆✌✗✱✹✵✭✓✕✳✛✥✽✣✶✳❨✪✘✬✭✑■✪✘✯✗✎✭✱✶✑✩❵ ❧ ✙✭✙✭✱✹❚▼✖✘✵✭✱✹✑✫✥✽✌✗✿☞✥✜✑✆✖✘✣✶✑☎Ù✥ ➞❇✙✛✯✮✖✰✯✮✱✹✱✶✑✫✱✛✪✘✌✕✬✭✌✗✖✘→✣ ❄✫✌✗✳✼✪✘✯✗✱❩✖✜✌❇❄✸✥✽✣✹✳▼✪✘✬✭✑■✪✘✯✗✎✭✱✹✑✗❵ ❁ ✬✭✑✫✢✰❅◆❚✗✌✩✵✭✖❭✢✫✯✮✱✦✢✤✵✭✱✦✯❇✪✘✣✶✌✩✳✛✥❭✎✼❚◆❄❀✌✗✖✘❅✺✣✶✳✭●➻❱✮✎✛✯✩✢✰❅✼❄✽✯✮✖✰✴✭⑤✥ ❱❨✪✜✌♣✪✜✖✘❚◆✪✜✌❈✯✗✖✜✖✘✣✹❁✗✑▼✯✮✪✷✌✩✖✜✣✹●✗✣✹✳✛✯✮✱✹✱✹❚❈●✩✣✶❁✩✑✆✳r❁❇✯✮✱✹✵✭✑✫✥ ▼➆✿✟✖✘✌✗✓②❚✗✌✩✵✭✖✴❇❉✖✘✥✧✪✽✢✫✯✮✱✦✢✤✵✭✱✦✯❇✪✘✑✫✴P✯✮✳✛✥✜❄✔✑✫✖✘✥ ★✼✌✗✖❀✎✺❚❱✥✧✌✩✱✶❁✺✣✹✳✭●☛✿✟✌✩✖❀✄ ✯ ➣✼✵✛✯✮✳✼✪✘✣❝✪❪❚❑✵✛✥✜✣✹✳✭●◗✓✕✌✗✖✘✑❳✪✜✬✛✯✗✳▼✌✗✳✛✑❳✓✕✑✤✪✘✬✭✌✲✴ ◗ ▼➆✿✟✖✘✌✗✓➇✴✲→✣ ➄❩✑✆✖✘✑✆✳✼✪✸●✗✣✹❁✗✑✫✳P❁❇✯✮✱✹✵✭✑☎✥ ❵ ◗

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100 Ω

300 Ω

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R1

R2

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2

6

1

9

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I

20m

20m

20m

20m

Amps

R

100

300

50

450

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➎

➒

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R1

R2

100 Ω

300 Ω

➓

R3 50 Ω

9V

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100 Ω ➒

❹

R2

R1

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300 Ω

R3

50 Ω

9V

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R1

R2

R3

à

➒

à

à

0 0

à

9 0

100

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➓

à

0 0

50

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9 0

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➒

9

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45 Ω

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R3

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9

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Volts Amps

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➒

➒

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9V ➒

-

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R3

9

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I

100m

R

90

➒

90 Ω

➒

à

0

Open resistor

❹

R2

R1 ➒

E

❹

R1

➓

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R3

➃

180 Ω

Total ➒

9

Volts

50m

150m

Amps

180

60

Ohms

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+

120 V

-

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➒

+ 9V ➒

-

R1

R2

90 Ω

45 Ω

R3 180 Ω

R2 "shorted" with a jumper wire

R1

R2

R3

Total

9

9

9

9

➒

E I

100m

R

90

➒

➒

à

0

Shorted resistor

➓

➒

50m 180

à

➒

Volts Amps

0

Ohms

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Rinternal

Battery ➒

❹

+ ➒

9V

❹

R1

90 Ω

❹

R2

45 Ω

R3

180 Ω

R2 "shorted" with a jumper wire

E I R

➒

➃

R1

R2

R3

low

low

low

low

Volts

low

high

low

high

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90

0

180

0

Ohms

à

Shorted resistor

Total

à

Supply voltage decrease due to voltage drop across internal resistance

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20

15

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2m

2m

2m

Amps

R

5k

10k

7.5k

22.5k

Ohms

R1

R2

R3

Total

40

80

60

180

I

8m

8m

R

5k

10k

➓

➘

◗

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Total

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➑

➓

➘

ä

8m 7.5k

➒

8m 22.5k

➬

Volts Amps Ohms

❉✽✬✭✑✕❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✩✑✕✯✩✢✤✖✘✌✩✥✘✥✾◆ ➤ ✣✹✥❲✥✧✪✜✣✹✱✹✱❏✑✤▲✭✯✗✢✤✪✜✱✹❚❙✪❪❄✁✣✦✢✤✑✷✪✜✬❉✯❇✪☛✌✮❈ ✿ ◆ ➢ ❴ ✥❲✴✭✖✜✌✩✙❋★✍✴✲✑☎✥✧✙✛✣❝✪✘✑✕✪✜✬✭✑✕✿✈✯✩✢❊✪❲✪✜✬❉✯❇✪❲✪✜✬✛✑❱✥✧✌✩✵✭✖✘✢✆✑ ✗❁ ✌✩✱❝✪✰✯✮●✩✑❱✬✛✯✗✥✷✢✰✬✛✯✗✳✭●✗✑☎✴⑤❵❻✽❉ ✬✛✑▼✙✭✖✘✌✗✙✒✌✗✖✜✪✜✣✹✌✗✳✛✯✗✱✶✣✶✪❪❚❯✌✮✿✸❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✩✑▼✴✲✖✘✌✗✙✛✥q▼✟✖✰✯❇✪✘✣✶✌❈✌✮✿✸✌✗✳✛✑❱✪✜✌◆✯✮✳✛✌✮✪✜✬✛✑✆✖ ◗ ✣✦✥❭✥✧✪✜✖✘✣✹✢✤✪✜✱✹❚r✯ ✿✟✵✭✳✛✢✤✪✜✣✹✌✗✳❘✌✮✿❍✖✘✑✫✥✜✣✹✥✧✪✘✯✗✳✛✢✤✑❴❁❇✯✮✱✹✵✭✑✫✥✫❵ ❷♥✣✶✪✜✬P✯❭✱✹✣❝✪✜✪✜✱✹✑❴✓✕✌✩✖✜✑❳✌✗✎✛✥✜✑✆✖✘❁❇✯❇✪✜✣✹✌✗✳✻★✩✣✶✪❀✎✒✑✫✢✆✌✗✓✕✑✫✥✽✯✗✙✭✙✛✯✮✖✘✑✆✳✼✪✔✪✜✬✛✯✮✪✔✪✘✬✭✑■❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✏✴✭✖✜✌✩✙P✯✗✢✆✖✜✌✼✥✜✥✚✑✫✯✩✢✰✬❱✖✜✑☎✥✧✣✦✥✧✪✜✌✗✖✔✣✹✥ ✯✮✱✦✥✜✌☛❽ ✯ ❇✭▲✲✑✫✴✕✙✭✖✘✌✗✙✒✌✗✖✜✪✜✣✹✌✗✳✕✌✗✿✒✪✘✬✭✑✏✥✜✵✭✙✭✙✭✱✹❚✷❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✩✱❵ ❉✽✬✭✑✸❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✸✯✗✢✆✖✜✌✼✥✜✥✛◆✆s➢ ★✩✿✟✌✗✖✚✑✆▲✭✯✮✓✕✙✭✱✹✑✗★✗❄✽✯✗✲ ✥ ❪✧➦❲❁✩✌✗✱✶✪✘✥❆❄✁✬✭✑✫✳ ✪✜✬✛✑❭✎✛✯✮✪✧✪✘✑✆✖✘❚❙✥✧✵✭✙✛✙✭✱✶❚❬❄✽✯✗✾ ✥ ❩➟✉❱❁✗✌✩✱❝✪✰✥✆❵✆♥ ❷ ✬✭✑✆✳❈✪✜✬✛✑❭✎✛✯✮✪✧✪✘✑✆✖✘❚❬❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑☛❄✽✯✗✥❳✣✹✳✛✢✤✖✘✑✫✯✩✥✧✑☎✴❨✪✜❻ ✌ ❪✧♥✗➦▼❁✗✌✩✱❝✪✰➁ ✥ ▼❍❩▼✪✘✣✶✓✕✑✫✥■✯✩✥ ✓◗✵❉✢✰✬ ◗ ★✒✪✜✬✛✑❭❁✩✌✗✱✶✪✘✯✮●✩✑◗✴✲✖✘✌✗✙♣✯✩✢✤✖✘✌✩✥✘✥✲◆✾➢◗✯✮✱✦✥✧✌P✣✶✳❉✢✤✖✘✑✫✯✗✥✜✑✫✴❘✎✺❚❬✯❑✿✈✯✩✢❊✪✘✌✗✖❴✌✮✿❼❩❻▼➆✿✟✖✘✌✗✓ ❪✧➦❱✪✜✞ ✌ ❩➟➦❱❁✩✌✗✱✶✪✘✥ ◗ ❽ ❵ ❉✽✬✭✞ ✑ æ❯➫✑➧➚❋❍➨ ✎✒✑✤✪❪❄❀✑✆✑✆✈ ✳ ◆✾➢❃❴ ✥✽❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑■✴✲✖✜✌✩✙❨✯✗✳✛✴P✪✜✌✗✪✘✯✮✱⑤❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✗★✺✬✭✌❇❄❀✑✆❁✩✑✆✖☎★✲✴✲✣✹✴❨✳✭✌✗✪✸✢✰✬✛✯✮✳✭●✩✗✑ ÷

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ER1

Etotal

❜❖❤

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➑

10 V = ➑ 45 V

=

20 V 45 V

=

15 V 45 V

=

❪✧❬✕↔

à

40 V 180 V

= 0.22222

80 V 180 V

= 0.44444

❋✣✹❅✗✑✫❄✁✣✹✥✜✑✗★✩✳✭✌✗✳✛✑✸✌✮✿⑤✪✘✬✭✑✏✌✗✪✜✬✭✑✫✖✚❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✩✑✸✴✲✖✜✌✩✙❑✖✘✯✮✪✜✣✹✌✩✥❏✢✰✬❉✯✮✳✭●✩✑✫✴✕❄✁✣✶✪✜✬❑✪✘✬✭✑✏✣✹✳✛✢✤✖✘✑✫✯✩✥✧✑☎✴✕✥✧✵✭✙✛✙✭✱✶❚✕❁✩✌✗✱✶✪✘✯✮●✩✑✁✑✆✣✶✪✜✬✭✑✫✧✖ ÷ ⑥

➛ ➛

ER2

Etotal ER3 Etotal

=

=

➑

à

ä

à

60 V 180 V

= 0.33333

✭✌✩✖✸✪✘✬✭✣✹✥❴✖✘✑✫✯✩✥✧✌✩✳❘✯P✥✧✑✫✖✜✣✹✑✫✥❳✢✤✣✹✖✘✢✆✵✭✣✶✪❳✣✦✥✏✌✗✿➆✪✜✑✆✳❈✢✆✯✮✱✹✱✹✑✫✴❙✯➘➲☞➨✑➭Ñ➧➼➫✧å✕❊ ➯ ❋➳➲❘❋ ➯ ❊✁æ✏✿✟✌✩✖✏✣✶✪✘✥■✯✮✎✭✣✹✱✹✣❝✪❪❚P✪✜✌P✙✭✖✜✌✩✙❉✌✩✖✧✪✘✣✶✌✩✳❨➐❨✌✩✖ ✴✲✣✹❁✺✣✹✴✲✑❱➐❈✪✘✬✭✑▼✪✘✌✮✪✰✯✮✱❀❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑❱✣✹✳✼✪✜✌♣✿✟✖✘✯✩✢❊✪✜✣✹✌✗✳❉✯✮✱✚✙✒✌✗✖✜✪✜✣✹✌✗✳❉✥◗✌✗✿✏✢✤✌✗✳❉✥❪✪✰✯✮✳✼✪❭✖✰✯❇✪✘✣✶✌❉❵➘❷♥✣✶✪✜✬①✯♣✱✶✣✶✪✧✪✘✱✶✑❨✎✭✣✶✪✷✌✗✿✏✯✮✱✹●✗✑✫✎✭✖✘✯✛★ ❄❀✑◗✢✆✯✗✳♣✴✲✑✆✖✘✣✹❁✗✑☛✯❑✿✟✌✩✖✜✓❭✵✭✱✦✯✷✿✟✌✗✖❳✴✭✑✤✪✜✑✫✖✜✓✕✣✹✳✭✣✹✳✭●P✥✜✑✆✖✘✣✶✑☎✥✁✖✘✑✫✥✜✣✹✥✧✪✜✌✩✖✸❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✗✑☛✴✭✖✜✌✩✙❬●✗✣✹❁✗✑✆✳❬✳✛✌✮✪✜✬✛✣✶✳✭●P✓✕✌✗✖✘✑❲✪✜✬✛✯✗✳❘✪✜✌✗✪✘✯✮✱ ❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✩✑✗★✺✣✶✳❉✴✲✣✶❁✺✣✦✴✲✵✛✯✗✱❋✖✜✑☎✥✧✣✦✥✧✪✘✯✮✳❉✢✤✑✗★✲✯✗✳✛✴P✪✜✌✮✪✰✯✮✱⑤✖✘✑✫✥✜✣✹✥✧✪✘✯✗✳✛✢✤✕✑ ÷ ❏

Voltage drop across any resistor Current in a series circuit

✃ . . . Substituting

❐

Etotal Rtotal

En = In Rn Itotal =

Etotal Rtotal

â

for In in the first equation . . .

Voltage drop across any series resistor

➛

➛

En = ❹

Etotal Rtotal

❹

Rn

. . . or . . .

En = Etotal

Rn Rtotal

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➑

+

➘

➑

➛

➒

➛

ER2 =45 V

➑

ER3 =45 V

➒

❞

❹

R2

R3

➓

5 kΩ 22.5 kΩ

= 10 V

10 kΩ 22.5 kΩ

= 20 V

➒

ER1 = 45 V

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7.5 kΩ ❹

➑

❵❆û❲û✄í

5 kΩ 10 kΩ

-

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R1

45 V

➛

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➒

➘

7.5 kΩ 22.5 kΩ

= 15 V

Ô❆✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑❀✴✲✣✶❁✺✣✦✴✲✑✆✖✰❥ ✥ ❇✛✳✛✴❭❄✁✣✹✴✲✑✽✯✮✙✛✙✭✱✶✣✦✢✆✯✮✪✜✣✹✌✗✳☛✣✹✳✷✑✆✱✹✑✫✢❊✪✘✖✜✣✦✢❏✓✕✑✆✪✜✑✆✖❆✢✆✣✶✖✰✢✤✵✭✣✶✪✘✥✫★❇❄✁✬✭✑✫✖✜✑✽✥✧✙✒✑✫✢✆✣➅❇✒✢✔✢✆✌✗✓◗✎✛✣✶✳✛✯✮✪✜✣✹✌✗✳✛✥✍✌✮✿✒✥✧✁✑ ❚ ✖✘✣✶✑☎✥✍✖✘✑✫✥✜✣✦✥❪✪✘✌✗✖✰✥✍✯✗✖✜✑❀✵✛✥✜✑✫✴◗✪✜☎ ✌ ❱✗✴✲✣✹❁✺✣✹✴✭✧✑ ❱■✯✏❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑❀✣✶✳✼✪✜✌❴✙✭✖✘✑✫✢✆✣✹✥✜✑✽✙✭✖✜✌✩✙❉✌✩✖✧✪✘✣✶✌✩✳✛✥☞✯✗✥☞✙✛✯✮✖✜✪❆✌✮✿❩✯❳❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✚✓✕✑☎✯✗✥✜✵✭✖✜✑✫✓✕✑✆✳✼✪ ✴✲✑✫❁✼✣✦✢✤✑✩❵

❹

ê

R1

Input voltage ❹

R2

ê Divided

voltage

↕❳✳✭✑❬✴✲✑✫❁✼✣✦✢✤✑❨✿✟✖✘✧ ✑ ➣✼✵✭✑✫✳✩✪✘✱✶❚q✵✛✥✧✑☎✴①✯✩✥❑✯❯❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✁✑ ❚❃✴✲✣✹❁✺✣✹✴✭✣✶✳✭●❯✢✤✌✩✓✷✙✒✌✗✳✛✑✆✳✼✪❑✣✹✥✕✪✘✬✭✑ ■ ➨✑➧➼❊ ③ ➧Ð❋❍➨ ❮ ❊✁➧➼❊✁æ❊★✽❄✁✬✭✣✹✢✰✬♦✣✦✥❑✯ ✘✖ ✑✫✥✜✣✹✥✧✪✜✌✩✖▼❄✁✣✶✪✜✬④✯①✓✕✌❇❁❇✯✮✎✭✱✹✑♣✑✫✱✶✑✫✓✷✑✫✳✼✪P✙✒✌✩✥✜✣❝✪✘✣✶✌✩✳✭✑✫✴➂✎✼❚♥✯①✓❑✯✮✳✺✵✛✯✮✱❴❅✺✳✭✌✗✎➂✌✗✖❨✱✶✑✫❁✗✑✆✖☎❵ð❉✽✬✭✑❈✓✕✌❇❁❇✯✮✎✛✱✶✑❈✑✆✱✹✑✆✓✕✑✆✳✼✪✫★ ✪❪❚✺✙✭✣✦✢✆✯✮✱✹✱✹❚✕✢✫✯✮✱✹✱✶✑☎✴❱❙ ✯ ú✛❋ ■ ❊✁❊æ ★✲✓✕✯✗❅✗✑☎✥✚✢✤✌✩✳✼✪✘✯✗✢✤✪✚❄✁✣✶✪✜✬P✯◗✖✜✑☎✥✧✣✦✥✧✪✜✣✹❁✗✑✏✥✧✪✜✖✘✣✶✙▼✌✮✿✻✓❑✯❇✪✘✑✆✖✘✣✹✯✗✱❉✯✮✪❀✯✮✳✺❚✕✙✒✌✗✣✹✳✩✪✽✥✧✑✫✱✶✑☎✢❊✪✘✑✫✴❱✎✺❚✷✪✜✬✛✑ ✓❑✯✮✳✺✵✛✯✗✱❋✢✤✌✗✳✼✪✘✖✜✌✩➚✱ ÷

❾✕ÿ✹➮✗✉ ÿ ➴

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í ✐⑩❛ ü

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❜❖❤

❵ ❢þ ❵✆❦ ✁❛✛❞

❪✁❩①❪

1 Potentiometer

wiper contact

2

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1

1 less resistance

more resistance

more resistance less resistance 2

2

❃❂ ✿✁✯❨✢✆✌✗✳✛✥✧✪✘✯✗✳✼✪■❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✷✣✹✥☛✯✗✙✭✙✭✱✹✣✶✑☎✴♣✎✒✑✤✪❪❄❀✑✆✑✫✳❯✪✜✑✆✖✘✓✕✣✶✳❉✯✮✱✦✥✥❪✕✯✗✳✛➡ ✴ ❭✲★✻✪✜✬✭✑❑❄✁✣✹✙❉✑✫✖❲✙❉✌✼✥✧✣✶✪✜✣✹✌✗✳◆❄✁✣✹✱✶✱✔✴✲✣✹✢✤✪✘✯✮✪✜✑✕✪✜✬✛✑ ✙✭✖✘✌✗✙✒✌✗✖✜✪✜✣✹✌✗✳✛✯✗✱❩❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑■✴✲✖✘✌✗✙✭✙✒✑✫✴P✎❉✑✆✪❪❄✔✑✫✑✆✳❨✪✜✬✛✑❲❄✁✣✶✙✒✑✆✖✸✢✆✌✗✳✼✪✘✯✩✢❊✪✸✯✮✳✛✴❨✑✫✣❝✪✘✬✭✑✆✖✁✌✗✿✍✪✘✬✭✑❲✌✮✪✘✬✭✑✆✖✽✪❪❄❀✌◗✪✘✑✆✖✘✓✕✣✶✳✛✯✗✱✹✥✫❵ Using a potentiometer as a variable voltage divider

more voltage

less voltage

❪✁❩✘❭

❵❆û✾ü❲ý ❛❆❜❑þ

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→➷■❢þ

❵ ❢þ ❵✆❦ ✁❛✛❞ ü ❣✾❤

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Battery + V -

Circuit requiring less voltage than what the battery provides

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+45 V -10 V -20 V + -15 V à

voltage from point 1to point voltage from point Ù 2to point voltage from point 3to point voltage from point 4to point

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0V

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+ red V black -10 V

4

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+➘ 7.5 kΩ

+ red V black -20 V

1

2 -

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+✻ 5 kΩ

3

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+ 15 V -

+ 35 V

13 V +

3

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+ 20 V -

7

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8

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Õ

4

④

25 V

+

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10

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E× 3 - Ø 4 + EØ 4 - ❸ 9 + E ❸ 9-❹ 8 + E❹ 8 - × 3 = 0 ❶

E× 3 - Ø 4 + 12 + 0 + 20

❷

❷

❷

❷

E× 3 - Ø 4 + 32 = 0 ❺

E× 3 - Ø 4 = -32 V

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15 V -

13 V +

+

3

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4

-

E3- Ø 4

Õ

V + ④ 20 V -

7

6

-

+ +

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④

25 V

+

12 V +

8

9

10

Measuring voltage from point 3 to point 4 (unknown amount)

❻

E3- Ø 4

1

2

5 -

+ 15 V -

+ 35 V -

13 V +

✬+ 12 V

3

+ ④ 20 V -

7

6

8

25 V

4 -

-

+

V 12 V +

+ 9

10

Measuring voltage from point 4 to point 9 (+12 volts)

❶

✬

E3- ❼ 4 + 12 V

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5 -

+ 15 V -

+ 35 V -

3 + ④ 20 V -

7

6

13 V +

❇

0V

V

-

Õ

④

25 V

4

-

+

12 V +

+

8

9

10

Measuring voltage from point 9 to point 8 (0 volts)

❶

E3- ❼ 4 ❷ + 12 V ✬+ 0 V

1

2

5 -

+ 15 V -

+ 35 V -

7

+ 20 V 8

13 V + + 20 V

3

6

-

+ V

Õ

4

④

25 V

+

12 V -

+ 9

10

Measuring voltage from point 8 to point 3 E ❼ + 12 V + 0 V + 20 V = 0 V ✼❨ ✪✘✑✆✙✭✙✭✣✹✳✭●◗✯✗✖✜✌✩✵✭✳✛✴◗✪✜✬✭✑✏3-✱✶✌✺4 ✌✗✽ ✙ ☛✍✝⑥æ✕✝✖⑩✍✝❃å✍✝✖☛✛★☎❄❀✑✸❄✁✖✘✣❝✪✘✑✽✪✜✬✭✑✏❁✗✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✁✯✗✥✚✯■❁✗✌✗✱✶✪✜✓✕✑✆✪✜✑✆✖✚❄✔✌✩✵✭✱✹✴✕✖✘✑✫✯✩✴◗✣✶✪✫★✼✓✕✑✫✯✩✥✧✵✭✖✘✣✹✳✭● ❄✁✣✶✪✜✬❯✪✜✬✭✑✕✖✘✑✫✴♣✪✜✑☎✥❪✪☛✱✹✑✫✯✩✴❙✌✗✳❈✪✜✬✛✑❑✙❉✌✩✣✶✳✼✪☛✯✮✬✭✑☎✯✗✴❯✯✮✳✛✴❈✎✭✱✦✯✗✢✰❅❘✪✘✑✫✥✧✪■✱✹✑✫✯✩✴♣✌✩✳♣✪✘✬✭✑❑✙✒✌✗✣✹✳✩✪❲✎✒✑✆✬✭✣✹✳✛✴◆✯✗✥■❄❀✑✷✙✭✖✜✌✩●✗✖✘✑✫✥✘✥ ✯✮✖✘✌✗✵✛✳✛✴❨✪✜✬✭✑✷✱✹✌✼✌✩✙❋❵■Ú✽✬✭✑✆✖✘✑✤✿✟✌✩✖✜✑✩★✛✪✘✬✭✑❭❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑❲✿✟✖✘✌✗✓❽✙✒✌✗✣✹✳✩✪❴æ❱✪✘✌P✙✒✌✗✣✹✳✼✪✤❱ ⑩ ✣✦✥■✯❱✙✒✌✩✥✜✣❝✪✘✣✶❁✩✑Pã❃⑧■é❲ä✄✟❱❁✗✌✩✱❝✪✰✥✸✎✒✑✫✢✆✯✗✵✛✥✜✑ ✪✜✬✛✑▼✹✗✖✜✑☎✴❑✱✹✑✫✯✗✴✺✹◗✣✦✥❀✌✗✳❨✙❉✌✩✣✶✳✼✪❃⑩❭✯✗✳✛✴❱✪✘✬✭✑▼✹✮✎✭✱✦✯✗✢✰❅❑✱✹✑✫✯✩✴③✹☛✌✩✳▼✙✒✌✗✣✹✳✩✪✁æ❉❵❍Ú✽✬✛✑❴❁✩✌✗✱✶✪✘✯✗●✗✑✁✿✟✖✘✌✗✓➣✙✒✌✗✣✹✳✼✪✽å◗✪✜✌✕✙✒✌✗✣✹✳✼❁✪ ☛❭✣✹✥ ✯❭✙❉✌✼✥✧✣✶✪✜✣✹❁✗✑❑ã⑥⑧■é✁✟✍❭ ❚ ❁✗✌✩✱❝✪✰✥❀✎❉✑☎✢✆✯✮✵❉✥✧✑❳✪✜✬✭✑❡✹✗✖✜✑☎✴❱✱✹✑✫✯✗✴✺◗ ✹ ✣✦✥✽✌✗✳P✙❉✌✩✣✶✳✼✪P❭ ☛ ✯✗✳✛✴▼✪✜✬✭✑❡✮✹ ✎✛✱✹✯✩✢✰❅✷✱✹✑✫✯✩③✴ ✹❭✣✹✥✽✌✩✳▼✙✒✌✗✣✹✳✩✪✸å✛❵❍Ú✽✬✛✑ ❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✩✑✸✿✟✖✘✌✗✓❢✙❉✌✩✣✶✳✼✪P❲ ⑩ ✪✘✌❭✙✒✌✗✣✹✳✼✪✸å☛✣✦❳✥ ✑✫✑✆✖✘✌✛★✺✌✮✿☞✢✤✌✗✵✛✖✘✥✜✑✗★✼✎❉✑☎✢✆✯✗✵✛✥✧✑❳✪✜✬✛✌✩✥✜✑✏✪❪❄❀✌◗✙✒✌✗✣✹✳✼✪✘✥✽✯✮✖✘✑✏✑✫✱✶✑☎✢❊✪✜✖✘✣✦✢✆✯✮✱✹✱✹❚❱✢✤✌✗✓✕✓✕✌✗✳✻❵ ❽ ✵✭✖❳☎✛✳✛✯✗✱❩✯✗✳✛✥✜❄✔✑✫✖✚✿✟✌✩✖✔✪✘✬✭✑■❁✗✌✩✱❝✪✰✯✮●✗✑✸✿✟✖✜✌✩✓②✙❉✌✩✣✶✳✼✪P☛☛✪✘✌❭✙✒✌✗✣✹✳✼✪❀æ✷✣✦✥❀✯❭✳✭✑✫●✩✯❇✪✘✣✶❁✩✑❭❾ã ✝❼é✁☛s✟☛❁✗✌✩✱❝✪✰✥✆★✼✪✜✑✫✱✶✱✹✣✹✳✭●✕✵✛✥✔✪✜✬✛✯✮✪ ✙✒✌✗✣✹✳✩✪★✷ ☛ ✣✦✥✁✙✒✌✩✥✜✣❝✪✘✣✶❁✩✑❴❄✁✣✶✪✜✬❬✖✘✑✫✥✜✙✒✑✫✢❊✪✽✪✘✌❑✙❉✌✩✣✶✳✼✪✸æ✛★✡✲❪✵❉✥❪✪✸✪✘✬✭✑☛✥✘✯✮✓✕✑❲✯✗✥✁✯❑✴✲✣✹●✗✣✶✪✘✯✗✱⑤❁✗✌✗✱✶✪✜✓✕✑✆✪✜✑✆✖✁❄❀✌✗✵✛✱✹✴❨✣✹✳✛✴✲✣✦✢✆✯❇✪✘✑❲❄✁✣❝✪✘✬ ✪✜✬✛✑❲✖✜✑☎✴▼✱✹✑✫✯✩✴▼✌✩✳❨✙✒✌✗✣✹✳✼✪✸æ❑✯✮✳✛✴▼✪✜✬✭✑❲✎✛✱✹✯✩✢✰❅❱✱✶✑☎✯✗✴P✌✗✳❘✙✒✌✗✣✹✳✩✪P✛☛ ❵

❾s♠➀❿❣♠ ✗✤✣✒❧P❧★✚❩✧❀✘ ✜✙♥s➴✒♥✠✜ ✚❩❧➁✗ ♥ ❧❡✗✤✣ ♥ ✘✦✥ 1

ä✄❅✭ä

2

5 -

+ 15 V ✬+ ➂ 3 32 V + ④ 20 V -

+ 35 V -

7

6

13 V + -

25 V

4 -

+

12 V +

8

9

10

➃✢➄➆➅✙➇❫➈✞➅✙➉❜❛ ➃ ❝■✣✶✖✰✢✰✬✭✬✭✌✕❑❁✎ ✥❳❆❞ ✌✗✱✶✪✘✯✮●✩✑✤❲✍✯s❄✉ã❪❝▼❞✤❲✍é✳♣✔↔❙➊❩Ý✭á ❊✌❉ ➋ á✱✂ ●➌❊ Ü❪❬ ❜✳❛❣❴➍❈➏➎❡❊✌❉✷❉❂➐✌❈✌❉ ❍ ❊✔➋ á ❜ Ü✷✶ ❊✽❉▲❈✱❈Ù■➑❴✆❛❆❜ ❍✚á✘↕ ❛✺❊✌❉❢➒ á ●➌❈ ↔ ⑨✽➓❭➔

→➁➣❯↔✦❆↔ ❥★✷ ↕ ♠➛➙✓➜❊➹❫➜✔➙➞➝P↔➛➟P➜✞↔✦➟P➣➞➜✳➠➢➡

❲❂➤✔➥✱✎ ➦❳➧✕➨✺➧✍➩❋➫❆✑✔➤★➧➭➦➏➯❋➲❱➳③➩▲➤✙➳✺➧✍➵❭➧✍➩❋➩❋➤✔➩❢➸✔➯▲➵❭➸✞➺✺➯⑥➥✄➻❆➼③➤✞➥➌➤✱➵➌➲❱➯❋➨③➯❋➨③➽❡➥➌➾✺➤✙➚③➵❭➧✍➨❢➸❭➾①➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥➪➦✦➥➪➾③➵➪➶✕➺③➽s➾✽➯▲➨✺➼③➯▲➹❆➯➘➼❣➺✺➧✍➩➴➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➌➶s➵➪➦✱♣

q

+

+

6V

✰

+

✰

R1

+ R2

✰

R3

④

- 1 kΩ - 3 kΩ - 2 kΩ

-

❝▼➨③➶✌➷❃➯❋➨③➽❡➥➪➾✺➧✌➥❁➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽✕➤✄➦➬➧✕➸✔➵➌➶❙➦➌➦❳➧✍➩❋➩➴➸✔➶✕➲❱➳➴➶✕➨③➤✱➨s➥❭➦❩➯❋➨❫➧❀➳✺➧✕➵➪➧✕➩▲➩❋➤✔➩➴➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯⑥➥❁➧✍➵➪➤P➥➪➾③➤✤➦➪➧✍➲❱➤s➻❙➷✁➤✙➸✱➧✍➨✽☎❢➩▲➩✵➯❋➨➆➶✕➺✺➵ ➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽s➤✡➮✌➸✔➺③➵➪➵➌➤✱➨s➥✞➮✡➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤❁➥❭➧✍➚③➩❋➤▼➷❃➯⑥➥➪➾➞❤❱➹✕➶✕➩▲➥➪➦❁➧s➸✞➵➪➶s➦➪➦❩➥➪➾③➤▼➥➌➶s➳❯➵➌➶✌➷❡♣

E

R1

R2

R3

Total

6

6

6

6

q

q

I R

1k

3k

④

q

2k

q

➱

Volts Amps Ohms

✃★➦➌➯❋➨③➽ ❽ ➾③➲❯✎ ➦❃❲✒➧✡➷ ã❾❐➌❒✤❮❁➮❇è✏❳é ➷✁➤❡➸✔➧✍➨❯➸✔➧✕➩❋➸✔➺③➩➘➧✌➥➌➤▼➤✄➧✕➸❭➾✪➚③➵➪➧✕➨✺➸❭➾❯➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✱♣

ä✄❅s✟

✗✛✐✙❥★❦✙✘✛✚❳❧Ï❰ ♠✢✜✙♥s➴✒♥✠✜ ✚❩❧♦✗ ♥ ❧❡✗✤✣ ♥ ✘✦✥❫❥★✧ ✜→➷▼♥ ❧❡✗✛✐★✐✆✿❁Ð✛Ð▼Ñ ✥✪✩✏❥★Ò✫✥ R1

R2

6

q

R3

E

6

6

6m

2m

1k

q

Ô

I

➂

q

Ó

Total

q

Volts

6

3m

Amps

3k

2k

Ohms

R1

R2

R3

Total

6

6

6

6

R

❝▼➨③➶✌➷❃➯❋➨③➽✙➥➌➾✺➧✍➥❩➚③➵❭➧✍➨✺➸❭➾❱➸✞➺③➵➪➵➪➤✔➨❙➥➪➦✦➧s➼③➼✆➺③➳✽➯▲➨❱➳✺➧✕➵➪➧✕➩▲➩❋➤✔➩③➸✔➯▲➵❭➸✞➺✺➯⑥➥❭➦✛➥➌➶❡➤✄❘s➺❢➧✍➩❣➥➪➾③➤❁➥➌➶✕➥➪➧✍➩❢➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✱➻✍➷✁➤P➸✔➧✕➨❱➧✕➵➌➵➪➯❋➹✕➤ ➧✌➥❁➥➪➶✍➥➪➧✕➩✏➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥❃➚❆➫➆➦➏➺✺➲✆➲❱➯❋➨③➽✽❤❱➲✽❵t➻❢✟❀➲✽❵t➻✺➧✕➨✺➼❯☛✆➲❱❵➭♣

E

q

q

I

6m

R

④

q

2m

q

④

q

3m

11m

➱

Volts Amps Ohms

1k

3k

2k

R1

R2

6

q

R3

6

6

6m

2m

3m

1k

3k

2k

R1

R2

R3

Total

E

24

24

24

24

Volts

I

24m

8m

12m

44m

Amps

R

1k

3k

2k

545.45

Ohms

Ú❁➾③➤✁☎✺➨✺➧✕➩✺➦➏➥➌➤✔➳✏➻✕➶✍Õ✵➸✞➶s➺③➵➪➦➌➤✕➻✕➯❋➦➢➥➪➶▼☎✺➽✕➺③➵➪➤✁➥➌➶✕➥➪➧✍➩❣➵➪➤✱➦➌➯➘➦✠➥❭➧✍➨✺➸✔➤✕Ö✍Ú❁➾✺➯❋➦➬➸✱➧✍➨✆➚❢➤P➼③➶✕➨③➤❁➷❃➯▲➥➌➾ ❽ ➾③➲❯✎ ➦✦❲✏➧✡④ ➷ ã➅è✙❒✤❮✁➮✌✧❐ é ➯❋➨×➥➌➾③➤➆✹✍➥➌➶✕➥➪➧✍➩➘✹➞➸✞➶s➩▲➺✺➲✆➨✏➻✒➶s➵t➷❃➯⑥➥➪➾×➥➌➾③➤➆➳✺➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩➬➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤❱Õ❾➶s➵➌➲❀➺③➩❋➧❫Õ❾➵➪➶✕➲Ø➯▲➨❢➼❣➯▲➹❆➯➘➼❣➺✺➧✕➩❩➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤✄➦✔Ö✪❮➬➯▲➥➌➾③➤✱➵ ➷❁➧✡➫✕➻❆➷❳➤s✎ ➩❋➩❂➽s➤✞➥❁➥➌➾③➤t➦➪➧✍➲❱➤❡➧✍➨❢➦➏➷✁➤✔➵✄♣

E I R

q

q

q

Ó

Total

Ù

q

6

Volts

11m

Amps

545.45

Ohms

❽ ➨✺➸✔➤✛➧✕➽s➧✕➯▲➨❂➻✄➯▲➥✏➦➏➾③➶s➺③➩➘➼▼➚❢➤➬➧✕➳③➳✺➧✍➵➪➤✔➨❙➥Ú➥➪➾✺➧✌➥Ú➥➪➾③➤❩➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥✵➥➌➾③➵➪➶✕➺✺➽✕➾▼➤✱➧s➸❭➾✤➵➪➤✱➦➌➯➘➦✠➥➪➶✕➵✵➯❋➦✏➵➌➤✱➩❋➧✍➥➌➤✄➼P➥➪➶P➯⑥➥❭➦Ú➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤s➻ ➽✕➯❋➹✕➤✱➨➆➥➪➾✺➧✌➥★➥➌➾③➤❡➹s➶✕➩▲➥➪➧✍➽s➤✤➧s➸✞➵➪➶s➦➪➦❃➧✍➩❋➩Ú➵➌➤✄➦➏➯➘➦➏➥➌➶✕➵❭➦✁➯❋➦❃➥➌➾③➤➭➦➪➧✍➲❱➤sÖ✚P è ➧✌➥➪➾③➤✔➵❁➥➪➾✺➧✍➨❯➚➴➤✔➯❋➨③➽①➼❣➯❋➵➌➤✄➸✳➥➪➩▲➫❫➳③➵➌➶s➳❢➶s➵➏➥➪➯▲➶s➨✺➧✍➩❏➻❆➥➌➾✺➤ ➵➪➤✔➩➘➧✌➥➌➯❋➶✕➨❢➦➏➾③➯❋➳✪➾③➤✔➵➪➤▼➯❋➦❃➶s➨③➤❡➶✍Õ➢➯▲➨❆➹s➤✔➵❭➦➏➤▼➳③➵➪➶✕➳➴➶✕➵➌➥➌➯❋➶✕➨❂✛Ö ❏✺➶✕➵❃➤✞Û③➧✕➲✆➳✺➩▲➤s➻❣➥➌➾③➤t➸✔➺③➵➪➵➌➤✱➨s➥❁➥➪➾③➵➌➶s➺③➽✕❘ ➾ è✙✼✙➯➘➦❃➾✺➧✕➩⑥Õ✦➧✕➦❁➲❀➺✺➸❭➾ ➧✕➦✁➥➪➾③➤t➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥❁➥➌➾③➵➪➶✕➺✺➽✕❘ ➾ è ◗ ➻③➷❃➾✺➯❋➸❭➾✪➾✺➧✕➦✁➥✠➷❃➯➘➸✞➤▼➥➪➾③➤❡➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤✤➶✍❆Õ è ✼ Ö ❐✖Õ✵➷❳➤❃➷✁➤✔➵➪➤✁➥➌➶t➸❭➾✺➧✕➨③➽✕➤✁➥➌➾✺➤P➦➏➺③➳✺➳③➩▲➫❀➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽✕➤❁➶✕Õ❢➥➪➾③➯❋➦❩➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯⑥➥✄➻✕➷✁➤❁☎✺➨✺➼✆➥➪➾✺➧✌✏ ➥ ãÜ➦➏➺③➵➪➳③➵➪➯❋➦➌➤✕Ý é▼➥➪➾③➤✱➦➌➤❃➳③➵➪➶✕➳➴➶✕➵➌➥➌➯❋➶✕➨✺➧✕➩ ➵❭➧✌➥➌➯❋➶s➦❁➼❣➶✽➨✺➶✍➥P➸❭➾✺➧✍➨✺➽✕➤✕♣

✻

Ú❁➾③➤✽➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥✤➥➌➾③➵➪➶✕➺③➽s➾❈✙ è ✼➭➯➘➦❡➦✠➥➪➯▲➩❋➩✦➤✞Û③➧s➸✳➥➌➩❋➫➞➥✠➷❃➯➘➸✞➤❀➥➌➾✺➧✍➥t➶✍Õ✽P è ❖✍➻✏➼③➤✱➦➌➳③➯⑥➥➪➤✆➥➌➾③➤❱Õ❪➧s➸✳➥▼➥➌➾✺➧✍➥▼➥➌➾③➤✽➦➌➶✕➺③➵❭➸✞➤✆➹✕➶s➩⑥➥➌✝ ✍➧ ➽s➤➆➾✺➧s➦❱➸❭➾✺➧✍➨③➽s➤✱➼ÚÖ①Ú❁➾③➤❫➳✺➵➌➶s➳❢➶s➵➏➥➪➯▲➶s➨✺➧✍➩❋➯⑥➥✠➫×➚➴➤✞➥✠➷✁➤✔➤✱➨⑧➼❣➯▲❑➴➤✱➵➌➤✱➨❙➥❱➚✺➵➪➧✕➨✺➸❭➾✢➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥➪➦✆➯➘➦❱➦✠➥➪➵➌➯➘➸✳➥➪➩▲➫Þ➧⑦Õ❾➺③➨✺➸✞➥➌➯❋➶✕➨ß➶✍Õ ➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤sÖ ❵P➩➘➦➌➶❀➵➪➤✔➲❱➯❋➨③➯❋➦➪➸✞➤✱➨❙➥❁➶✕Õ✒➹s➶✕➩▲➥➪➧✍➽s➤✤➼③➯▲➹❆➯➘➼❣➤✔➵❭➦✁➯❋➦✁➥➪➾③➤▼Õ❪➧✕➸✞➥✁➥➪➾✺➧✌➥❃➚③➵❭➧✍➨❢➸❭➾✪➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥❭➦✁➧✕➵➌➤✙☎③Û❣➤✱➼❫➳③➵➪➶✕➳➴➶✕➵➌➥➌➯❋➶✕➨✺➦✁➶✕Õ✏➥➌➾✺➤ ➥➌➶✕➥➪➧✕➩✵➸✔➺③➵➪➵➌➤✱➨s➥✄Ö✦à★➤✄➦➏➳③➯▲➥➌➤✤➥➪➾③➤▼Õ❾➶✕➺③➵➌Õ❾➶✕➩➘➼①➯❋➨✺➸✔➵➌➤✄➧✕➦➌➤★➯❋➨✪➦➌➺③➳③➳③➩❋➫①➹s➶✕➩▲➥➪➧✍➽s➤✕➻❙➥➌➾✺➤✤➵❭➧✌➥➪➯▲➶❀➚❢➤✔➥✠➷❳➤✱➤✔➨❯➧✍➨❆➫✽➚③➵❭➧✍➨✺➸❭➾✪➸✞➺③➵➪➵➪➤✔➨❙➥ ➧✍➨❢➼①➥➪➾③➤▼➥➌➶✕➥➪➧✍➩✒➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✁➵➪➤✔➲✽➧✍➯❋➨✺➦❁➺③➨❢➸❭➾✺➧✍➨③➽s➤✱➼Ú♣

❰ ♠➀❿❣♠ ✗✤✣✒❧P❧★✚❩✧❀✘ ✜✙♥s➴✒♥✠✜ ✚❩❧➁✗ ♥ ❧❡✗✤✣ ♥ ✘✦✥ á

á

IR1

Itotal IR2 Itotal

á

á

IR3

Itotal

q

6 mA = 11 mA

=

④ =

2 mA = 11 mA

=

3 mA = 11 mA

â

â

ä✄❅✕☛

✉

24 mA 44 mA

= 0.54545

8 mA 44 mA

= 0.18182

12 mA 44 mA

= 0.27273

✉ ✉

③➶s➵➬➥➪➾③➯❋➦✁➵➪➤✱➧s➦➏➶s➨①➧t➳✺➧✕➵➪➧✕➩▲➩❋➤✔➩➴➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯⑥➥✁➯❋➦❳➶✍Õ✷➥➪➤✔➨✪➸✔➧✍➩❋➩❋➤✱➼①➧✪❬ ❛❣●✳● á✔✶✺❍❩✮ã Ü ➐ Ü❪✩ã á ● Õ❾➶✕➵✁➯⑥➥❭➦❁➧✍➚③➯❋➩▲➯▲➥✠➫✆➥➌➶❀➳③➵➌➶s➳❢➶s➵➏➥➪➯▲➶s➨✆ä✆➶s➵ ❣➼ ➯❋➹❆➯❋➼❣➤✙ä❱➥➌➾③➤✤➥➪➶✍➥➪➧✕➩❂➸✞➺③➵➪➵➪➤✔➨❙➥❳➯❋➨❙➥➌➶✆Õ❾➵➪➧s➸✳➥➪➯▲➶s➨✺➧✍➩➴➳✺➧✍➵➌➥➪➦✱Ö✛◆å➯⑥➥➪➾➞➧➭➩❋➯⑥➥➌➥➌➩❋➤▼➚③➯⑥➥P➶✕Õ✒➧✍➩❋➽✕➤✱➚③➵❭➧③➻❙➷❳➤❡➸✔➧✕➨❫➼❣➤✱➵➌➯❋➹✕➤▼➧➭Õ❾➶✕➵➪➲➭➺③➩➘➧ Õ❾➶✕➵➬➼③➤✞➥➌➤✱➵➌➲❱➯❋➨③➯❋➨③➽▼➳✺➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩❆➵➌➤✄➦➏➯➘➦✠➥➪➶✕➵✦➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥✛➽✕➯❋➹✕➤✔➨✆➨③➶✕➥➌➾③➯❋➨③➽▼➲❱➶✕➵➪➤❳➥➪➾✺➧✍➨❀➥➌➶✕➥➪➧✕➩③➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✱➻✍➯❋➨✺➼❣➯❋➹❆➯❋➼❣➺❢➧✍➩❣➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤s➻ ➧✍➨❢➼①➥➪➶✍➥➪➧✕➩❂➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤s♣ ❏

Current through any resistor Voltage in a parallel circuit

á

❶ ✰

In =

En Rn

Etotal = En = Itotal Rtotal

. . . Substituting Itotal Rtotal for En in the first equation . . .

Current through any parallel resistor

á

á In =

Itotal Rtotal

✰

Rn

. . . or . . .

æ

æ

In = Itotal

ç

Rtotal

ç

Rn

Ú❁➾③➤✪➵➪➧✍➥➌➯❋➶✫➶✕Õ★➥➪➶✍➥➪➧✕➩❁➵➌➤✄➦➏➯➘➦✠➥❭➧✍➨✺➸✔➤①➥➪➶➑➯❋➨✺➼❣➯❋➹❆➯❋➼③➺✺➧✍➩❃➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤❫➯❋➦✆➥➪➾③➤➞➦➌➧✕➲❱➤❫➵❭➧✌➥➪➯▲➶×➧✕➦✆➯❋➨✺➼❣➯❋➹❙➯➘➼❣➺✺➧✕❲ ➩ ã❾➚③➵❭➧✍➨✺➸❭✒➾ é ✞➸ ➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥✁➥➌➶❀➥➌➶✍➥❭➧✍➩❂➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥✄Ö☞Ú❁➾③➯➘➦❁➯➘➦❁è❙➨✺➶✌➷❃➨❫➧✕➦❳➥➪➾③➤①❬ ❛❣●✳● á✔✶✺❍❩ã✮Ü ➐ Ü❪ã✩á ●❳➎✞❈✌●✳❴✆❛❣❉▲❊ ➻✺➧✕➨✺➼❫➯⑥➥❃➯➘➦✁➧❱➦➌➾③➶✕➵➌➥➏✝☞➸✞➺③➥✁➲❱➤✞➥➪➾③➶❣➼ Õ❾➶✕➵P➼③➤✞➥➌➤✱➵➌➲❱➯❋➨③➯❋➨③➽✽➚③➵❭➧✍➨✺➸❭➾✪➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥➪➦❁➯❋➨❯➧✆➳✺➧✕➵➪➧✕➩▲➩❋➤✔➩Ú➸✔➯▲➵❭➸✞➺③➯▲➥P➷❃➾③➤✱➨➆➥➪➾③➤▼➥➌➶✕➥➪➧✍➩✒➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✁➯➘➦❃è❆➨③➶✌➷❃➨❂Ö ✃★➦➌➯❋➨③➽✽➥➌➾✺➤❀➶s➵➌➯❋➽✕➯❋➨✺➧✍➩✏➳✺➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩✒➸✔➯▲➵❭➸✞➺③➯▲➥✤➧s➦★➧✕➨✓➤✞Û③➧✍➲❱➳③➩❋➤✕➻➴➷✁➤➭➸✔➧✕➨✓➵➌➤✔✝✖➸✱➧✍➩➘➸✞➺③➩➘➧✌➥➪➤▼➥➌➾③➤✆➚③➵❭➧✍➨✺➸❭➾✓➸✔➺③➵➪➵➌➤✱➨s➥❭➦❃➺✺➦➌➯▲➨✺➽ ➥➌➾✺➯❋➦❁Õ❾➶s➵➌➲❀➺③➩➘➧③➻❣➯▲Õ➢➷✁➤❡➦✠➥❭➧✍➵➌➥❁➚❆➫①è❆➨③➶✌➷❃➯❋➨③➽✆➥➌➾✺➤▼➥➌➶✍➥❭➧✍➩❂➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥P➧✍➨❢➼①➥➪➶✍➥➪➧✕➩❂➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤s♣

ä✄❅✮æ

✗✛✐✙❥★❦✙✘✛✚❳❧Ï❰ ♠✢✜✙♥✡é✒♥✠✜ ✚❩❧♦✗ ♥ ❧❡✗✤✣ ♥ ✘✦✥❫❥★✧ ✜Ïê▼♥ ❧❡✗✛✐★✐✆✿❁Ð✛Ð▼Ñ ✥✪✩✏❥★Ò✫✥ ✻ IR1 = 11 mA

✻ á á

IR2 = 11 mA

✻ IR3 = 11 mA

q

545.45 Ω 1 kΩ

= 6 mA

545.45 Ω 3 kΩ

= 2 mA

545.45 Ω ④ 2 kΩ

= 3 mA

④

❐✖Õ❳➫s➶✕➺✫➥➪➧✕è✕➤❀➥➌➾③➤❱➥➪➯▲➲❱➤✆➥➌➶➞➸✞➶s➲❱➳✺➧✍➵➪➤➭➥➪➾③➤❱➥✠➷✁➶✪➼❣➯❋➹❆➯❋➼③➤✔➵▼Õ❾➶✕➵➪➲➭➺✺➩❋➧✕➤✕➻Ú➫✕➶s➺❂✎ ➩▲➩➬➦➌➤✔➤✆➥➌➾❢➧✌➥▼➥➌➾③➤✱➫⑦➧✍➵➪➤❱➵➌➤✱➲✽➧✍➵➪è✡➧✕➚③➩❋➫ ➦➌➯▲➲❱➯❋➩❋➧✕➵✱Ö✁✴P➶✍➥➪➯❋➸✔➤✕➻❢➾③➶✌➷❳➤✱➹✕➤✱➵✱➻❙➥➌➾❢➧✌➥P➥➪➾③➤t➵❭➧✌➥➌➯❋➶❱➯▲➨❯➥➪➾③➤t➹s➶✕➩▲➥➪➧✍➽s➤❡➼❣➯▲➹❆➯➘➼❣➤✔➵PÕ❾➶✕➵➪➲➭➺③➩➘➧❱➯❋➦✏èPë◆ã❾➯❋➨✺➼❣➯❋➹❙➯➘➼❣➺✺➧✕➩✏➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤sé ➼❣➯❋➹❆➯❋➼❣➤✄➼✪➚❙➫PèPì➴í➏î❪ï❭ð✠➻❢➧✍➨✺➼❫➾③➶✌➷ñ➥➪➾③➤❡➵❭➧✌➥➌➯❋➶✆➯▲➨✪➥➌➾✺➤t➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥❃➼③➯▲➹❆➯➘➼❣➤✔➵❁Õ❾➶s➵➌➲❀➺③➩❋➧✆➯➘➦✁èPì✵í✠î❪ï❭ð✦➼❣➯❋➹❆➯❋➼③➤✱➼✪➚❆▼ ➫ èPë✵♣ Voltage divider formula En = Etotal

Rn

Current divider formula

Rtotal

In = Itotal

Rtotal Rn

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Series 1

R1

2

+ R2 4

R3

3

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❞ ❅✍⑩

❞ ❤s❚

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2

3

4

+ R1

R2

R3

8

7

6

5

◆ ➯▲➥➌➾å➤✱➧s➸❭➾❄➶✍Õ▼➥➌➾③➤✄➦➏➤✓➥✠➷❳➶②➚✺➧s➦➏➯➘➸✓➸✔➯▲➵❭➸✞➺③➯▲➥❫➸✔➶✕➨⑥⑤✺➽s➺③➵❭➧✌➥➌➯❋➶✕➨❢➦✔➻✁➷❳➤➞➾❢➧✡➹✕➤✓➦➌➳❢➤✄➸✞⑦➯ ⑤❢➸✓➦➌➤✞➥➪➦➆➶✍Õ❡➵➪➺③➩▲➤✄➦①➼❣➤✄➦➌➸✔➵➌➯❋➚③➯❋➨③➽ å ➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽s➤✕➻❣➸✞➺③➵➪➵➪➤✔➨❙➥✱➻③➧✕➨✺➼➆➵➪➤✱➦➌➯➘➦✠➥❭➧✍➨✺➸✔➤✤➵➪➤✔➩➘➧✌➥➪➯▲➶s➨✺➦➌➾③➯▲➳❢➦✔Ö ➃s⑧✪⑨✩⑩❷❶❸⑨❴❹❻❺❼❶❸⑩❷❽❿❾✧❶➁➀❘❹sõ ➃ ❞✦➶✕➩▲➥➪➧✍➽s➤✤➼③➵➌➶s➳✺➦❃➧✕➼③➼➆➥➌➶✽➤✄❘❙➺✺➧✍➩✵➥➪➶✍➥➪➧✕➩Ú➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽✕➤sÖ ➃ ❵P➩❋➩✏➸✞➶s➲✆➳➴➶✕➨✺➤✔➨❙➥➪➦❃➦➌➾✺➧✍➵➪➤✙➥➌➾③➤t➦➪➧✍➲❱➤❻❾➂ ➤✄❘s➺❢➧✍➩➄➃❁➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✱Ö ➃❋➅ ➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤✄➦❁➧✕➼③➼❫➥➌➶❱➤✄❘s➺❢➧✍➩✵➥➌➶✕➥➪➧✕➩❂➵➌➤✄➦➏➯➘➦➏➥➪➧✍➨❢➸✞➤✕Ö

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❥ ♠➣→✕♠

Ò⑦✐★❥②❢ ♥↔❧ ❥

❧ ❤❩❧ ♥ ❤ ❧✰♥ ❦Ú❥★❧P❬❥ ♦r♦r❤❪♦s❡ ♥ ❧↕❡❣④ ♥ ❣❢ ➙

❞❤❞

➜A series-parallel combination circuit

④

100 Ω

➛R

350 Ω

➛R

1

➛R

2

④

250 Ω

24 V

R1

R2

3

R3

➛R

4

R4

E I R

100

➝250

350

➝200

④

200 Ω

Total

➝24

➱

Volts Amps Ohms

➓❁➾③➯➘➦➭➸✔➯▲➵❭➸✞➺③➯▲➥➭➯➘➦➭➨✺➤✔➯▲➥➌➾③➤✱➵❀➦➌➯▲➲❱➳③➩❋➤❫➦➌➤✔➵➪➯▲➤✄➦❡➨③➶s➵❀➦➌➯▲➲❱➳③➩❋➤①➳✺➧✕➵➪➧✕➩▲➩❋➤✔➩❏Ö ➅ ➧✌➥➪➾③➤✔➵✄➻➢➯⑥➥❱➸✞➶✕➨❙➥❭➧✍➯❋➨✺➦t➤✱➩▲➤✱➲✆➤✱➨❙➥➪➦t➶✕ÕP➚❢➶✕➥➌➾❂Ö ➓❁➾③➤①➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥▼➤✞Û❣➯▲➥➪➦▼➥➪➾③➤✽➚❢➶✕➥➏➥➪➶✕➲ò➶✕Õ❩➥➪➾③➤✽➚✺➧✌➥➌➥➌➤✱➵➌➫s➻✒➦➌➳③➩▲➯▲➥➪➦▼➺✺➳✫➥➪➶❯➥➌➵❭➧✡➹✕➤✱➩✒➥➪➾③➵➪➶✕➺③➽s➾ ➅②➞ ➧✕➨✺➼ ➅✍➟ ➻✒➵➌➤↔➠✠➶✕➯❋➨✺➦✔➻✏➥➌➾③➤✱➨ ➦➌➳③➩▲➯▲➥➪➦P➺③➳✓➧✍➽❙➧✍➯❋➨➆➥➪➶❱➥➌➵❭➧✡➹✕➤✔➩✵➥➪➾③➵➪➶✕➺③➽s➾ ➅❬➡ ➧✍➨✺➼ ➅②➢ ➻❣➥➌➾✺➤✔➨➞➵➪➤①✠➠ ➶✕➯❋➨✺➦P➧✕➽s➧✕➯▲➨❫➥➌➶✽➵➪➤✞➥➪➺③➵➌➨✪➥➪➶❱➥➌➾③➤▼➥➪➶✕➳➞➶✍Õ➢➥➌➾✺➤❡➚✺➧✌➥➌➥➌➤✔➵➪➫✕Ö ➓ ➾③➤✱➵➌➤▼➤✞Û❣➯➘➦✠➥❭➦✁➲✆➶s➵➌➤✤➥➪➾✺➧✍➨✪➶✕➨③➤▼➳✺➧✍➥➌➾❫Õ❾➶✕➵P➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥✁➥➌➶✆➥➌➵❭➧✡➹✕➤✱➩❳❾➂ ➨③➶✕➥★➦➏➤✱➵➌➯❋➤✱➦✴✳➃ ➻❆➫✕➤✔➥❁➥➌➾③➤✱➵➌➤❡➧✍➵➪➤✤➲✆➶s➵➌➤✤➥➪➾✺➧✍➨❫➥✠➷❳➶❱➦➌➤✞➥➪➦ ❁ ➶✍Õ✛➤✔➩❋➤✱➸✞➥➌➵➪➯❋➸✱➧✍➩❋➩▲➫①➸✔➶✕➲❱➲❱➶✕➨✪➳❢➶s➯▲➨❙➥❭➦❃➯▲➨✪➥➪➾③➤t➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯▲➥↕❪➂ ➨③➶✍➥P➳❢➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩➤➃✞Ö ➥ ➤✱➸✱➧✍➺✺➦➌➤➭➥➪➾③➤✽➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯▲➥▼➯➘➦❡➧❯➸✞➶s➲➭➚③➯❋➨✺➧✌➥➪➯▲➶s➨⑦➶✕Õ❳➚➴➶✍➥➌➾②➦➌➤✔➵➪➯▲➤✄➦▼➧✍➨✺➼✫➳✺➧✍➵❭➧✍➩❋➩❋➤✔➩❏➻Ú➷❳➤✽➸✔➧✕➨③➨③➶✕➥❡➧✕➳③➳③➩❋➫➞➥➌➾✺➤✆➵➪➺③➩❋➤✱➦✤Õ❾➶s➵ ✁ ➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽s➤✕➻❣➸✞➺③➵➪➵➪➤✔➨❙➥✱➻③➧✕➨✺➼✪➵➌➤✄➦➏➯➘➦✠➥❭➧✍➨✺➸✔➤❣s➦ ➧✕➸✔➵➌➶❙➦➌➦❳➥➌➾✺➤▼➥➪➧✍➚✺➩▲➤➧➭ ➦ ➥➪➶✽➚❢➤✱➽✕➯❋➨➞➧✍➨✺➧✕➩▲➫❣➦➌➯❋➦✁➩❋➯▲ès➤✤➷✁➤t➸✞➶s➺③➩➘➼➆➷❃➾③➤✱➨✪➥➌➾③➤t➸✔➯▲➵❭➸✞➺③➯▲➥➪➦ ➷✁➤✔➵➪➤❃➶✕➨③➤❃➷❁➧✡➫t➶✕➵➬➥➌➾③➤P➶✕➥➌➾③➤✱➵✱Ö❆❏③➶s➵➬➯❋➨✺➦✠➥❭➧✍➨✺➸✔➤✕➻s➯⑥Õ✵➥➌➾✺➤★➧✍➚➴➶✌➹✕➤❃➸✞➯❋➵❭➸✞➺③➯▲➥❩➷✁➤✔➵➪➤❁➦➌➯❋➲✆➳✺➩▲➤★➦➌➤✔➵➪➯❋➤✱➦✱➻✕➷✁➤P➸✞➶✕➺✺➩❋➼❬✠➠ ➺✺➦➏➥❳➧✕➼✺➼❱➺③➳ ➅ ➡ ➥➌➾③➵➪➶✕➺③➽s➾ ➅ ➟ ➥➪➶➆➧✍➵➪➵➌➯❋➹✕➤❡➧✍➥✙➧❱➥➌➶✕➥➪➧✕➩✏➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤s➻❢➦➌➶✕➩❋➹✕➤▼Õ❾➶✕➵P➥➌➶✍➥❭➧✍➩➢➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥✱➻❢➧✕➨✺➼✪➥➌➾✺➤✔➨⑦➦➌➶✕➩❋➹✕➤▼Õ❾➶s➵✙➧✍➩❋➩✏➹s➶✕➩▲➥➪➧✕➽✕➤ ➼❣➵➪➶✕➳✺➦✱Ö❼✏➨ ➯▲ès➤✔➷❃➯➘➦➏➤s➻Ú➯⑥Õ✁➥➌➾③➤✽➧✕➚❢➶✌➹s➤❀➸✞➯❋➵❭➸✞➺③➯▲➥❡➷❳➤✱➵➌➤❱➦➏➯❋➲❱➳③➩❋➤✆➳❢➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩Ü➻✵➷✁➤❱➸✔➶✕➺③➩➘➼❻✠➠ ➺❢➦✠➥➭➦➌➶✕➩❋➹✕➤➭Õ❾➶✕➵▼➚③➵❭➧✍➨✺➸❭➾➑➸✞➺③➵➪➵➌➤✱➨❙➥➪➦✱➻ ➧✕➼✺➼×➺③➳②➚③➵❭➧✍➨✺➸❭➾②➸✞➺✺➵➌➵➪➤✔➨❙➥➪➦❡➥➌➶☎⑤✺➽s➺③➵➌➤①➥➌➾③➤✽➥➪➶✍➥❭➧✍➩❩➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥✄➻➢➧✕➨✺➼➑➥➌➾③➤✱➨Þ➸✔➧✕➩❋➸✔➺③➩❋➧✍➥➌➤✽➥➪➶✍➥❭➧✍➩➬➵➪➤✱➦➌➯❋➦➏➥➪➧✕➨✺➸✞➤❱Õ❾➵➪➶✕➲ò➥➌➶✕➥➪➧✍➩ ➹✕➶s➩⑥➥❭➧✍➽s➤✤➧✕➨✺➼①➥➪➶✍➥❭➧✍➩✏➸✔➺③➵➌➵➪➤✔➨❙➥✄Ö✐★ ➍ ➶✌➷❳➤✱➹✕➤✱➵✱➻s➥➌➾③➯➘➦P➸✔➯▲➵❭➸✞➺③➯▲➥❘➎ ➦P➦➌➶✕➩❋➺❣➥➌➯❋➶✕➨✪➷❃➯❋➩▲➩❂➚➴➤❡➲❱➶✕➵➪➤✤➸✔➶✕➲❱➳③➩❋➤✞ÛÚÖ ➓ ➾③➤✆➥➪➧✕➚③➩❋➤✽➷❃➯▲➩❋➩❩➦➏➥➌➯❋➩▲➩➬➾✺➤✔➩❋➳✫➺✺➦t➲❱➧✕➨✺➧✍➽s➤➭➥➪➾③➤①➼❣⑦➯ ➴➩ ➤✱➵➌➤✱➨❙➥t➹✡➧✕➩▲➺✺➤✱➦✤Õ❾➶✕➵❀➦➏➤✱➵➌➯❋➤✱↔➦ ❏❫ ➳❢➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩➢➸✔➶✕➲➭➚✺➯▲➨✺➧✍➥➌➯❋➶✕➨➑➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯⑥➥❭➦✔➻ ❁ ➚③➺❣➥➬➷✁➤❿➎ ➩❋➩❣➾✺➧✡➹✕➤✁➥➌➶▼➚➴➤P➸✔➧✕➵➌➤✔Õ❾➺③➩❣➾③➶✌➷⑧➧✕➨✺➼❀➷❃➾③➤✔➵➪➤❁➷❳➤❃➧✍➳✺➳③➩▲➫t➥➌➾③➤P➼❣➯⑦✵➩ ➤✔➵➪➤✔➨❙➥➬➵➌➺✺➩▲➤✄➦➢Õ❾➶✕➵➬➦➌➤✔➵➪➯▲➤✄➦➢➧✕➨✺➼❀➳✺➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩ÜÖ❳✙ ➫ ➾③➲☎➎ ➦ ✏➨ ➧✡➷❡➻✕➶✍ÕÚ➸✞➶✕➺✺➵➪➦➌➤✕➻✍➦➏➥➌➯❋➩▲➩❢➷❳➶s➵➌è❣➭➦ ✠➠ ➺✺➦➏➥✦➥➌➾③➤P➦➪➧✍➲❱➤❁Õ❾➶s➵➬➼❣➤✞➥➪➤✔➵➪➲✆➯❋➨③➯❋➨③➽❡➹✌➧✍➩❋➺③➤✱➦✛➷❃➯▲➥➌➾✺➯▲➨①➧✤➹✕➤✱➵➏➥➪➯❋➸✱➧✍➩③➸✔➶✕➩❋➺③➲❱➨✆➯❋➨✆➥➌➾③➤❁➥❭➧✍➚③➩❋➤✕Ö ❐✖ÕÚ➷❳➤P➧✕➵➌➤P➧✕➚③➩❋➤❃➥➌➶❡➯➘➼❣➤✔➨❙➥➪➯⑥Õ❾➫❱➷❃➾③➯➘➸❭➾✽➳✺➧✍➵➌➥➪➦➬➶✍Õ➴➥➌➾③➤✤➸✞➯❋➵➪➸✔➺③➯⑥➥❩➧✕➵➌➤P➦➌➤✔➵➪➯❋➤✱➦➬➧✕➨✺➼❱➷❃➾③➯➘➸❭➾✽➳✺➧✍➵➌➥➪➦➬➧✕➵➌➤❃➳❢➧✍➵❭➧✍➩❋➩▲➤✱➩Ü➻✍➷✁➤P➸✔➧✕➨ ➧✍➨❢➧✍➩❋➫✩✱➯ ➤▼➯⑥➥★➯❋➨✓➦➏➥➪➧✍➽s➤✱➦✱➻✺➧✍➳✺➳③➵➌➶❙➧✕➸❭➾③➯❋➨③➽✆➤✱➧s➸❭➾✪➳❢➧✍➵➌➥P➶✕➨③➤t➧✍➥★➧✆➥➌➯❋➲✆➤s➻❢➺❢➦➏➯❋➨③➽❱➥➌➾✺➤➭➧✍➳③➳✺➵➌➶s➳③➵➌➯➘➧✌➥➪➤▼➵➌➺③➩❋➤✱➦❃➥➌➶①➼❣➤✔➥➌➤✔➵➪➲❱➯▲➨✺➤ ➥➌➾✺➤❫➵➪➤✔➩➘➧✌➥➪➯▲➶s➨✺➦➏➾✺➯▲➳✺➦❀➶✍Õ✙➹✕➶✕➩▲➥➪➧✕➽✕➤s➻✛➸✔➺③➵➪➵➌➤✱➨s➥✄➻➬➧✍➨✺➼✢➵➌➤✄➦➏➯➘➦➏➥➪➧✍➨❢➸✞➤✕➲ Ö ❁ ➓ ➾③➤✪➵➌➤✄➦✠➥✆➶✍ÕP➥➪➾③➯➘➦✆➸❭➾❢➧✍➳❣➥➪➤✔➵✆➷❃➯▲➩❋➩❁➚❢➤❯➼❣➤✔➹s➶✍➥➪➤✱➼×➥➪➶ ➦➌➾③➶✌➷❃➯▲➨✺➽❀➫s➶✕➺❫➥➌➤✱➸❭➾✺➨③➯➣❙➳ ➺③➤✄➦❁Õ❾➶✕➵P➼③➶✕➯❋➨③➽✆➥➌➾③➯➘➦✔Ö ➵❋➸➻➺❬➼➾➽❝➺❬➚öõ

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❞❘➪ Ý

➜A series-parallel combination circuit

100 Ω

➛R

350 Ω

➛R

1

➛R

➝250 Ω

➛R

➝200 Ω

2

➝24 V

R1

R2

3

4

R3

R4

E I

Total

➝24

➱

Volts Amps

➝250 ➝200 R 100 350 Ohms ❐ëê♠ì✮í✰Ø☎Ø✞Û✰î❿ï❜ðÚñ⑦Ø✂ò❝ó➣ô✴ò❝õ✰ó⑦ì✥î❵ö❲÷❷ø❿Ø❿ù ➅ ➡ î❵êÚú ➅ ➢ î❵ôÙØ☎ò❝÷❿êÚê✰Ø❘ò❝ì✮Ø❘ú♠ó➣ê✒îüû✮ó⑦ï❮ð✰ñ➣Ø☎ðÚî❵ô✴î❵ñ➣ñ⑦Ø❘ñ✍î❵ôÙôÙî❿ê✰ý❿Ø❘ï❜Ø❘ê✩ì❘ù➬î➋û î❵ôÙØ ➅ ➞ î❵êÚú ➅ ➟ Ö❜➍❬î➊ø✩ó➣ê✰ý☎ö❲Ø❩Ø❩êüó➤ú⑥Ø❩ê✩ì✮ó⑦⑤ÚØ➧ú✃ù✪ìÙí✰Ø❘û✮Ø❻û↔Ø➧ò➐ì✮ó➣÷❿ê➭û③ê✰Ø❩Ø➧ú✾ìÙ÷ßö❲Ø❻ò❝÷➋ê✩ø➋Ø❩ô✮ì✮Ø➧ú✾ó➣ê➋ìÙ÷☎Ø❘➳✩õ✰ó➣ø➊î❿ñ⑦Ø❘ê✩ì↕û✮ó➣ê✰ý❿ñ➣Ø ôÙØ❘û✮ó➣û↔ì✮÷➋ôÙû❘ù⑥î❵êÚú➻ì✮í✰Ø✝ò❩ó⑦ô✴ò❝õÚóåì②ôÙØ❝❫ëú⑥ô✴✡î ➷✍ê✪Û þ71.429 Ω

➛R

127.27 Ω

➛R

1

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// R4

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R2

R3

R4

R1 // R2

R3 // R4

E

Total 24

I R

Volts Amps

100

250

350

200

71.429

Ohms

127.27

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198.70 Ω

24 V

R1

R2

R3

R4

R1 // R2 -- R3 // R4

R1 // R2

R3 // R4

E

R1 // R2 -R3 // R4 Total 24

I R

Volts Amps

100

250

350

200

71.429

127.27

198.70

Ohms

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R1

R2

❞❘➪ á

R3

R4

R1 // R2

R3 // R4

E I R

100

250

350

200

71.429

127.27

R1 // R2 -R3 // R4 Total 24

Volts

120.78m

Amps

198.70

Ohms

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➝24 V

198.70 Ω

➛R

1

// R2 -- R3 // R4

I = 120.78 mA

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I = 120.78 mA ✲ ✱

24 V

71.429 Ω

// R2

➛R

// R4

1

I = 120.78 mA 127.27 Ω

✱

➛R

I = 120.78 mA

3

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❞❘➪➋➪

R1

R2

R3

R4

R1 // R2

R3 // R4

E I R

100

250

350

200

R1 // R2 -R3 // R4 Total 24

Volts

120.78m

120.78m

120.78m

Amps

71.429

127.27

198.70

Ohms

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✱

I = 120.78 mA ✲ ✱

24 V

71.429 Ω

R1

R2

R3

R4

I 100

+ 8.6275 V -

➛R

// R4

+ 15.373 V -

3

I = 120.78 mA

E R

//R2

1

I = 120.78 mA 127.27 Ω

✱

➛R

250

350

200

R1 // R2

R3 // R4

R1 // R2 -R3 // R4 Total

8.6275

15.373

24

Volts

120.78m

120.78m

120.78m

Amps

71.429

127.27

198.70

Ohms

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I = 120.78 mA 100 Ω

➛R

350 Ω

➛R

1

2

➝250 Ω

+ 8.6275 V -

➛R

➝200 Ω

+ 15.373 V -

➛R

24 V

✱

E

3

I = 120.78 mA

R1

R2

R3

R4

8.6275

8.6275

15.373

15.373

I R

4

100

250

350

200

R1 // R2

R3 // R4

R1 // R2 -R3 // R4 Total

8.6275

15.373

24

Volts

120.78m

120.78m

120.78m

Amps

71.429

127.27

198.70

Ohms

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R1 E

8.6275

I

86.275m

R

100

✿

R2

R3

8.6275

15.373

34.510m

43.922m

250

350

❀

R4

R1 // R2

R3 // R4

R1 // R2 -R3 // R4 Total

15.373

8.6275

15.373

24

Volts

76.863m

120.78m

120.78m

120.78m

Amps

200

71.429

127.27

198.70

Ohms

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I = 120.78 mA 100 Ω

➛R

R2 1

➝250 Ω

+ 8.6275 V -

➝200 Ω

+ 15.373 V -

34.510 mA 86.275 mA

24 V

350 Ω ❂ ✱

43.922 mA

➛R

➛R

4

3

✲

76.863 mA

I = 120.78 mA

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1

1 1

1 ❋

2 100 Ω

➛

●

24 V

● ❋

350 Ω

3

➛

➛

➝ ●

4

4 ❋

vi3

➛

R3

6

➝

R4

0 0

vi2

250 Ω

R2

R1

4

5

❋

vi1

vi4

200 Ω

0 0

NOTE: voltage sources vi1, vi2, vi3, and vi4 are "dummy" sources set at zero volts each. ❍✎■✴❏✾❑✆■✖❍✴▲✆▼✩◆✴❏✩◆✓❖✬❖✴■✓❖◗P✓❑✛❏✾P✛❘❙❑✛❚ ❯✭❱✪❱◗❲ ❯❙❑✩❱❳❱◗❨✪❩❬P❭❲ ❯❙❑✆❨❪❱◗❫✪❩❬P❭❲ ❏✭❱❴❨❳❵❛❱✛❲✬❲ ❏✩❨✪❫❳❵❜❨✬❝✬❲ ❯❙❑✆❫❞❵❡❝✪❩❬P❭❲ ❯❙❑✛❵❳❵❡❢✪❩❬P❭❲ ❏✩❫✪❝❣❲✪❫✬❝✬❲ ❏✬❵❜❢❣❲✪❨✬❲✬❲ ❤ ❩❬P❴❯✭❱❴❨✴❵❜❨✴❵❛❱ ❤ ▼✓❏✾❑✕✐✓❚❳❩❬P◗❯✟❥❦❨✑❧☛❵❙♠♥❯✟❥❦❫✑❧☛❵❙♠♥❯✟❥❦❝✑❧✦❲❬♠♥❯✟❥❦❢✑❧✦❲❬♠ ❤ ▼✓❏✾❑✕✐✓❚❳❩❬P❣❑✭❥✦❯❙❑✓❱✴♠♦❑✭❥✦❯❙❑✄❨❬♠♦❑✭❥✦❯❙❑✄❫❬♠♦❑✭❥✦❯❙❑✕❵❙♠ ❤ ■✎✐✓❩ ✡➐➎ ø❿Ø♣î❿ê✰ê✰÷❵ì✴î❷ìÙØ❘ú ✓ ý ✂✍í✰ó➣ò✴í➻ø❿÷❿ñ⑦ìÙî❿ý❿Ø②î❿êÚú Ü ♣ ✡✮✵à ✧②➎ û➔÷❿õ✰ì✮ð✰õ⑥ì❪⑤Úý❿õÚô✮Ø➧û❳ì✮÷✲ï❻✆î q❿Ø✉ìÙí✰Ø❩ï ï❮÷➋ô✮Ø②ôÙØ❘î➋ú✰î❵öÚñ⑦Ø➋ù➋ú⑥Ø❘ê✰÷❵ìÙó⑦ê✰r ò❝õÚô✮ôÙØ❩ê✩ì✉⑤Úý❿õÚô✮Ø➧û❪ö❲Ø❩ñ➣÷❿êÚý❮ì✮÷✫✍✂ í✰ó➤ò✴íßôÙØ❘û✮ó➤û①ìÙ÷❿ô✴û✹☞ ❯✭❱ ❨ ❤ ❵✓❲✬❲✴✉✓✈✓❲✾❱ ② ◆✴❚✚❚✩■✴❏✬③

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Polarity of voltage drop + Direction of electron flow

+ -

➛R +

R2

1

➛R

-

-

3

+

➛R

4

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R2 loops aroundR1

+ -

➛R +

R2

1

➛R

-

-

➛R

+

3

4

➛R

4

➛

loops aroundR3

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+

+ R1

R2

-

-

+

+

+ R3 -

R4 -

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R2

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R3

R1

R4 R5

➛

R6

➛

R7

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➛

R2

➛ ➣

+ + -

R1

➛

R3

➛

➣

+

R4

R5

R6 R7

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➛R ➣

+

+

R1

2

R3

➣

+

➛R

+

R4 R5

➙

6

-

➣

-

+

➛R

➙

R5 and R7 loop➙ around R6

7

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➛R

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1

+ +

➛R

+

5

➛R

+

6

➛R

-

7

-

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-

R2

+ + -

R1

+

R3 +

-

+ +

R3 and R4 loop around R5

R4 R5

R6 -

-

+ -

R7

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-

R3

+

R5

+

-

+

R4 -

R6 -

+ R7 -

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R2 loops aroundR3 -

➛R

-

2

+

➣ + R1 +

+

R3 ➣+

+

➛R

R4 -

➣+ R5 -

6

-

➣+

-

➛R

7

➌ úÚú⑥ó⑦êÚý ➅ ➢ ì✮÷❮ìÙí✰Ø✝ø➋Ø❩ô✮ì✮ó➤ò❩î❵ñ✪ú✰ôÙ✛î ✂✍ó➣ê✰ýÚù✰î❿êÚú✒✂❪Ø➋➎ ôÙØ③⑤Úê✰ó➤û✮í✰Ø❘ú✠➛✣➓✉í✰Ø↕ôÙØ❘û✮õ✰ñåì❬ó➣û②î❻ú✰ó➣î❿ý❿ô✴î❵ï✏ì✮í➭î❷ì❘➎ û②ø➋Ø❩ô ✁ Ø❘î➋û ✁ ì✮÷❮õ✰ê➭ú⑥Ø❩ô✴û①ì✴î❵êÚú☎ò❩÷❿ï❮ðÚî❵ôÙØ❘ú✥ì✮÷❮ìÙí✰Ø↕÷❿ôÙó⑦ý➋ó⑦ê➭î❵ñ✬Û

❥❘➮➌➋⑥➮♠➷②❤ ♥✣➍ ➷②➘✰➎✾➱ ✇✸➏ ❡✍❐✉t ➴➬♦r❤➑➐ ❧ ❡✐➹♣❤➬t ➘②❢✧➱❩❡ ❧

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+ R1 + +

-

R3

+

R5

-

+

R2 -

+ R4 -

R6 -

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D’Arsonval electromechanical meter movement 50 0

100 "needle"

magnet

magnet

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wire coil ✧

✧ current through wire coil causes needle to deflect

meter terminal ✧ connections

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A "zero-center" meter movement 0

-100

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✏✮❯✪❯ Electrostatic meter movement

force

Voltage to be measured

➞ ❬ ✔ ❨✫❵✯❝✯✐✆❬✸❫❛❝ ★ ❪✵③ ♦ ❝✩❦ ★★✔ ❨✫❵t❤ ★ ♥ ★ ❬ ★ ❵t❫❣❝ ★ ❥ ♣ ③✘❝✯❦ ★✼★ ❪ ★ ❤✈❝✯❵✩❨ ❞ ❝✩❫❛❝✯❜❴❤P❫❛❝❘❝✯❵t❫✫❤✠❝✯❜✭❨✫❬✾❜ ❞ ➴ þ ➯ ➘ ❞ ❩❂❫❛❪✭❪ ✔ ❨✫❵✁❤✠❨✫❩✘❩✘❨✫❬❄❢✫❨✪❪❀❝ ✟ ❫❛♥ ★✮❞✌☞✺✡ ❬ ✔ ❫✫❤✠❝ ♦ ❜❀❝✁❜ ❞❍❞ ❨ ❞ ❩❂❫❛❪✭❪✸❝✩❦✸❫❣❝ ❞ ✐✷❤t❦✾❩ ★ ❝ ★ ❵✁❩❁❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝❍❥ ★✮❞ ❜✵♥✪❬ ❞ ❫✫❵ ★ ❜✵❩✘❭✆❵t❫✫❤✠❝✯❜❴❤✞❫✫❪ ✔ ❨✫❵⑩✐ ❞✯★ ❜✭❬✌♥ ★ ❬ ★ ❵✩❫✫❪✆❝ ★✮❞ ❝ ❜✭❬ ❞ ❝✩❵✯✐✸❩ ★ ❬✳❝ ❞✌✇ ③❇❭✆❜❴❤✞❫✫❪✵❪✭③ ♦❷★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨ ❞ ❝✩❫❣❝✩❜✭❤✘❩ ★ ❝ ★ ❵✽❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✪❝ ❞ ❫❛❵ ★ ✐ ❞✯★ ❥ ✔ ❨✪❵✄❩ ★ ❫ ❞ ✐✆❵✩❜✭❬✆♥❹❢ ★ ❵✯③❧❦✆❜✵♥✪❦✡❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★♠❞ ☞ ✂ ❩❂❫✫❬✳③①❝✩❦✆❨✫✐ ❞ ❫✫❬✸❥ ❞ ❨ ✔ ❢✪❨✫❪✵❝ ❞ ☎ ☞✽❼ ❬ ★ ♥✫❵ ★ ❫❛❝✤❫✫❥✆❢q❫✫❬✳❝✩❫❛♥ ★ ❨ ✔ ❝✯❦ ★❁★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨ ❞ ❝✩❫❛❝✯❜❴❤✻❩ ★ ❝ ★ ❵✼❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✪❝ ♦ ❦✆❨ r❍★ ❢ ★ ❵ ♦ ❜ ❞ ❝✯❦ ★r✔ ❫✪❤✈❝✼❝✯❦✸❫❛❝✤❜✵❝❆❦✸❫ ❞✓★✯✮ ❝✩❵ ★ ❩ ★ ❪✵③❹❦✸❜✵♥✪❦❊❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❫✫❬✸❤ ★✪♦✴r ❦ ★ ❵ ★ ❫ ❞P★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨✫❩❂❫❛♥✪❬ ★ ❝✩❜✭❤✄❩❁❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝ ❞✽✂⑨r ❦✆❜✭❤t❦✎❥ ★ ❭ ★ ❬✷❥ ❨✫❬✌❝✯❦ ★✤☞ ❨ r ❨ ❶✔ ★ ❪ ★ ❤✈❝✩❵✯❨✪❬ ❞ ❝✩❦✆❵✩❨✫✐✆♥✪❦ r ❜✭❵ ★ ❝✯❨❁♥ ★ ❬ ★ ❵t❫❣❝ ★ ❫✽❩❂❫❛♥✫❬ ★ ❝✯❜❴❤ ÿ✸★ ❪❴❥ ☎ ❫❛❵ ★ ❩✽✐✸❤t❦✌❪✭❨ r⑩★ ❵⑩❜✵❬✹❵ ★♠❞ ❜ ❞ ❝✩❫❛❬✷❤ ★✎☞ ý ❞ r⑩★✾r ❜✵❪✭❪ ❞✯★✞★ ❜✭❬⑥♥✪❵ ★ ❫❣❝ ★ ❵✻❥ ★ ❝t❫❛❜✭❪s❝✩❨❊❤✠❨✪❩ ★✪♦ ♥✪❵ ★ ❫❣❝ ★ ❵❆❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❫✫❬✸❤ ★✇✂ ❵ ★♠❞ ✐✆❪✵❝✯❜✭❬✆♥❹❜✭❬⑥❪ ★✮❞✩❞ ❤✠✐✆❵✩❵ ★ ❬✳❝✄❥☛❵t❫ r ❬ ✔ ❵✩❨✫❩❽❝✯❦ ★ ❤✠❜✭❵t❤✠✐✆❜✵❝❃✐✆❬✸❥ ★ ❵✁❝ ★♠❞ ❝ ☎ ❩✘❫ ✫q ★♠❞✵✔ ❨✫❵❃❫ ♣✷★ ❝❘❝ ★ ❵❃❢✪❨✫❪✵❝✯❩ ★ ❝ ★ ❵ ☞ ý ❩✄✐✷❤t❦❾❩❁❨✪❵ ★ ❤✞❨✫❩✘❩✘❨✫❬❾❫❛❭✸❭✆❪✵❜❴❤✞❫❛❝✯❜✭❨✫❬❿❨ ✼ ✔ ★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨ ❞ ❝✩❫❛❝✯❜❴❤①❢✫❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❩ ★ ❫ ❞ ✐✆❵ ★ ❩ ★ ❬✪❝❂❜ ❞✌❞✯★✞★ ❬❸❜✭❬➀❫❛❬❾❥ ★ ❢❇❜✭❤ ★ ➘ ➄✓✸ ➸ ➅ ✞þ ♦ ❨✫❵❺➁ ➃ ➄ ✍ þ ➃ ➵ ❾ ☞ ❦ ★✮❞✯★ ❫✫❵ ★✹❞ ❭ ★ ❤✞❜✭❫✫❪✁♥✫❪❴❫ ❞✩❞ ❝✯✐ ♣✷★♠❞✞♦ ❢ ★ ❵✩③ ❞ ❜✭❩✘❜✵❪❴❫❛❵❁❝✩❨❊❝ ★ ❪ ★ ❢❇❜ ❞ ❜✭❨✫❬ q ❬✆❨ r ❬✱❫ ❞ ❫➂➁ ➵✄➲✤➳ ➩ ➭ ❄ ❢❇❜ ★✮r❃❞ ❤✞❵ ★✮★ ❬❄❝✯✐ ♣✴★✮✌❞ ☞✟✡ ❬①❝✩❦ ★ ❤✞❫❛❝✯❦✆❨☛❥ ★ ❵t❫q③✘❝✯✐ ♣✴★✫♦ ❫ ♣✷★ ❫❛❩➆❨ ✕✔ ★ ❪ ★ ❤✈❝✩❵✯❨✪❬ ❞ ❝✯❵t❫q❢ ★ ❪✵❜✭❬✆♥❁❜✵❬❹❫✘❢❣❫✫❤✞✐✆✐✆❩✉❫❛❵ ★ ❥ ★✠☞✸★ ❤✈❝ ★ ❥ ✔ ❵✩❨✫❩➇❝✯❦ ★ ❜✭❵✾❤✠❨✫✐✸❵ ❞✯★✌♣ ③✡❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★✌♣✴★ ❝ r⑩★✞★ ❬✚❭✸❫❛❜✭❵ ❞ ❨ ✔ ❩ ★ ❝t❫❛❪✁❭✆❪❴❫❣❝ ★♠❞ ❨✫❬ ★ ❜✵❝✯❦ ★ ❵ ❞ ❜❴❥ ★ ❨ ✔ ❝✩❦ ★①♣✷★ ❫❛❩ ✱ ☞ ➈⑩★ ❤✮❫❛✐ ❞✯★

★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨✫❬ ❞ ❫❛❵ ★ ❬ ★ ♥✪❫❣❝✩❜✵❢ ★ ❪✭③✽❤t❦✸❫✫❵✯♥ ★ ❥ ♦ ❝✯❦ ★ ③❁❝ ★ ❬✷❥❂❝✯❨ ♣✷★ ❵ ★ ❭ ★ ❪✵❪ ★ ❥ ♣ ③✽❝✯❦ ★ ❬ ★ ♥✪❫❣❝✩❜✵❢ ★ ❭✆❪❴❫❣❝ ★ ❫❛❬✷❥✾❫❣❝✯❝✯❵t❫✫❤✈❝ ★ ❥❁❝✩❨✻❝✯❦ ★ ❭✴❨ ❞ ❜❀❝✩❜✵❢ ★ ✆❭ ❪❴❫❣❝ ★✴☞ ý ❵ ★ ❢ ★ ❵ ❞ ❫❛❪②❨ ✔ ❢✪❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❭✴❨✫❪❴❫❛❵✩❜❀❝✜③✹❫✫❤✞❵✯❨ ❞✯❞ ❝✩❦ ★ ❝ r ❨✾❭✆❪❴❫❣❝ ★✮❞✓r ❜✵❪✭❪❷❵ ★♠❞ ✐✆❪✵❝✓❜✭❬❊❫✾❥ ★✠☞✸★ ❤✈❝✯❜✭❨✫❬❊❨ ✔ ❝✯❦ ★ ★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨✫❬ ✷♣ ★ ❫❛❩➆❜✵❬❄❝✯❦ ★ ❨✪❭✆❭✴❨ ❞ ❜❀❝ ★ ❥☛❜✵❵ ★ ❤✠❝✯❜✭❨✫❬ ♦ ❩❂❫ q ❜✭❬✆♥❁❝✯❦✸❜ ❞ ❝✜③❇❭ ★ ❨ ✔ ❩ ★ ❝ ★ ❵ ✬ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝ ✬ ❭✷❨✪❪✭❫✫❵✯❜✵❝✜③ ✟⑦❞✯★ ❬ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢ ★ ❏ voltage to be measured

electron "gun"

-

(vacuum)

viewscreen

electrons electrons plates + light

❦ ★❂★ ❪ ★ ❤✈❝✯❵✩❨✫❬ ❞✞♦ ❦✸❫q❢❇❜✵❬✆♥❹❩✽✐✸❤t❦❺❪ ★♠❞✯❞ ❩✘❫ ❞✯❞ ❝✯❦✸❫✫❬✎❩ ★ ❝✩❫❛❪❍❭✆❪❴❫❣❝ ★♠❞✞♦ ❫❛❵ ★ ❩✘❨❣❢ ★ ❥ ♣ ③❊❝✩❦✆❜ ❞❆★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨ ❞ ❝✩❫❣❝✩❜✭❤❁➉❈❨✪❵✩❤ ★ ❢ ★ ❵✯③ ✺ ✐✆❜❴❤ q ❪✭③❹❫❛❬✸❥✇❵ ★ ❫✫❥☛❜✭❪✵③✪➊ ❦ ★ ❜✭❵✤❥ ★✞☞✸★ ❤✠❝ ★ ❥❹❭✸❫❣❝✩❦❧❤✮❫❛❬ ♣✴★ ❝✩❵✩❫✪❤ ★ ❥❹❫ ❞ ❝✯❦ ★❁★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨✫❬ ❞ ❜✵❩✘❭✆❜✭❬✆♥ ★ ❨✫❬✇❝✯❦ ★ ♥✫❪❴❫ ❞✩❞ ★ ❬✷❥❊❨✫➉●❝✯❦ ★ ❝✩✐ ♣✴★❂r ❦ ★ ❵ ★ ❝✩❦ ★ ③ ❞ ❝✩❵✯❜ q✫★ ❫①❤✠❨✪❫❛❝✯❜✭❬✆♥✹❨❛➉●❭✆❦✸❨ ❞ ❭✆❦✆❨✫❵✩✐ ❞ ❤t❦ ★ ❩❁❜❴❤✞❫✫❪ ♦➋★ ❩✘❜❀❝✯❝✯❜✭❬✆♥✇❫✌♥✪❪✵❨ r ❨❛➉❍❪✭❜✭♥✫❦✳❝ ❞✯★✞★ ❬ ❨✫✐✆❝ ❞ ❜✭❥ ★ ❨❛➉❷❝✯❦ ★ ❝✩✐ ♣✴★ ➊ ❦ ★ ♥✪❵ ★ ❫❣❝ ★ ❵✁❝✯❦ ★ ❢✫❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★✼♣✴★ ❝ r⑩★✞★ ❬①❝✩❦ ★ ❥ ★✞☞✸★ ❤✠❝✯❜✭❨✫❬①❭✆❪❴❫❣❝ ★✮❞✮♦ ❝✯❦ ★ ➉❈✐✆❵✯❝✯❦ ★ ❵❃❝✯❦ ★✻★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❨✫❬ ♣✴★ ❫❛❩ r ❜✵❪✭❪ ♣✴★❃✬❛♣✴★ ❬✳❝ ✬ ➉❈❵✯❨✪❩➌❜✵❝ ❞s❞ ❝✯❵t❫❛❜✭♥✫❦✳❝✍❭✸❫❣❝✩❦ ♦ ❫✫❬✸❥✽❝✯❦ ★ ➉❈✐✆❵❘❝✩❦ ★ ❵s❝✯❦ ★ ♥✪❪✵❨ r ❜✭❬✆♥ ❞ ❭✴❨❛❝ r ❜✭❪✭❪ ♣✷★✓❞❘★✮★ ❬❁➉❈❵✯❨✪❩➍❤ ★ ❬✳❝ ★ ❵

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➺

500 Ω

F.S. = 1 mA

-

Rmultiplier

+

black test lead

red test lead

❦ ★❹❞✯★ ❵✩❜ ★♠❞ ❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✯❨✪❵✘❜ ❞ ❤✮❫❛❪✭❪ ★ ❥✱❫ ✬ ❩✽✐✆❪❀❝✩❜✵❭✸❪✵❜ ★ ❵ ✬ ❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❨✫❵ ♣✷★ ❤✞❫❛✐ ❞❘★ ❜✵❝ Û ➸✓➪ ➲ ④ ➽ ➪ ④✽þ ➫ ❝✩❦ ★①r ❨✪❵✯➹❇❜✭❬✆♥✎❵✩❫✫❬✆♥ ★ ❨❛➉ ❝✯❦ ★ ❩ ★ ❝ ★ ❵P❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝❃❫ ❞ ❜✵❝P❭✆❵✩❨✫❭✴❨✫❵✯❝✯❜✭❨✫❬✸❫❛❝ ★ ❪✵③✌❥✆❜✵❢❇❜❴❥ ★✮❞ ❝✯❦ ★ ❩ ★ ❫ ❞ ✐✆❵ ★ ❥✹❢✫❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❫✫❤✞❵✯❨ ❞✯❞ ❜✵❝✮➊ ❶ ★ ❝ ★ ❵✯❩✘❜✭❬✆❜✭❬✆♥❂❝✯❦ ★ ❵ ★✮✺ ✐✆✭❜ ❵ ★ ❥✌❩✽✐✆❪❀❝✩❜✵❭✸❪✵❜ ★ ❵■❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❫✫❬✸❤ ★ ❢❣❫❛❪✭✐ ★ ❜ ❞ ❫❛❬ ★ ❫ ❞ ③❂❝t❫ ❞ ➹✾❜✵➉❷③✪❨✫✐ ❉ ❵ ★ ➉⑨❫❛❩✘❜✭❪✵❜❴❫❛❵ r ❜✵❝✯❦ ❞✯★ ❵✩❜ ★♠❞ ❤✠❜✭❵✩❤✞✐✆❜✵❝■❫✫❬✸❫❛❪✭③ ❞ ❜ ❞ ➊ ➜ ❨✪❵ ★✞➔ ❫✫❩✘❭✆❪ ★✪♦ ❪ ★ ❝ ❉ ❞ ❥ ★ ❝ ★ ❵✯❩✘❜✭❬ ★ ❝✩❦ ★ ❬ ★ ❤ ★✮❞✩❞ ❫✫❵✯③❁❩✄✐✆❪✵❝✯❜✭❭✆❪✭❜ ★ ❵❍❢❣❫✫❪✵✐ ★ ❝✯❨✽❩❂❫❛➹ ★ ❝✯❦✆❜ ❞ ✏ ❩ ý ♦✆✲ ➙✪➙✽➯ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝ ❵ ★ ❫✫❥ ★✞➔ ❫✫❤✈❝✩❪✵③✽➉❈✐✆❪✭❪ ✟❡❞ ❤✞❫❛❪ ★ ❫❛❝⑩❫✫❬✾❫❛❭✆❭✆❪✭❜ ★ ❥❂❢✪❨✫❪✵❝✩❫❛♥ ★ ❨❛➉ ✏♠➙ ❢✫❨✪❪❀❝ ❞ ➊ ❨❁❥☛❨✻❝✩❦✆❜ ❞✞♦✳r❍★✳ÿ ❵ ❞ ❝⑩❬ ★✞★ ❥✘❝✯❨ ❞❘★ ❝●✐✆❭❄❫✫❬ ➡ ➣ ➐ ➣❣➏ ❝✩❫ ♣ ❪ ★ ➉❈❨✫❵✁❝✯❦ ★ ❝ r ❨ ❞❘★ ❵✯❜ ★✮❞ ❤✞❨✫❩✘❭✴❨✫❬ ★ ❬✪❝ ❞ ❏ Movement

Rmultiplier

➘

Total

E

Volts

I

Amps

R

Ohms

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✏✮➎ ❅

✑ ◆✓❖P❻✓✒✕✔❍❙✗✖☛▲✱➷ ✑✚✙ ✔✓✒✕✔❍❙■◗✜✛✄➬ ✑ ◗✜❙ ✑✤✣ ◗✞✒✍✥ Movement

➘

Rmultiplier

E

Total

I

1m

➸

R

1m

10

Volts

1m

Amps Ohms

500

❦ ★ ❵ ★ ❛❫ ❵ ★ ❫❹❤✠❨✫✐✸❭✆❪ ★ ❨✫➉ r ❫q③ ❞ ❝✩❨❹❥ ★ ❝ ★ ❵✩❩❁❜✭❬ ★ ❝✩❦ ★ ❵ ★♠❞ ❜ ❞ ❝✩❫❛❬✷❤ ★ ❢q❫✫❪✵✐ ★ ❨❛➉⑩❝✯❦ ★ ❩✽✐✆❪❀❝✩❜✵❭✸❪✵❜ ★ ❵♠➊ ❼ ❬ ✘ ★ r q❫ ③❊❜ ❞ ❝✩❨ ❥ ★ ❝ ★ ❵✩❩✘❜✵❬ ★ ✩❝ ❨❛❝✩❫✫❪✍❤✠❜✭❵✩❤✞✐✆❜❀❝✼❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❫✫❬✸❤ ★ ✐ ❞ ❜✭❬✆♥ ❼ ❦✆❩ ❉ ❞✼➵ ❫ r ❜✵❬❧❝✯❦ ★✘✬ ❝✩❨❛❝t❫❛❪ ✬ ❤✠❨✪❪✵✐✸❩❁❬ ✂ ➏ ➻✤➡ ➣ ➐ ☎ ♦ ✩❝ ❦ ★ ❬ ❞ ✐ ♣ ❝✯❵t❫✫❤✠❝ ❝✯❦ ★✄✲ ➙✫➙✘➯ ❨❛➓➉ ❝✩❦ ★ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝⑩❝✩❨❂❫❛❵✩❵✯❜✭❢ ★ ❫❣❝■❝✩❦ ★ ❢❣❫❛❪✭✐ ★ ➉❈❨✫❵✁❝✯❦ ★ ❩✄✐✆❪✵❝✯❜✭❭✆❪✭❜ ★ ❵ ❏

Movement

Rmultiplier

E I

1m

➸

R

➮

500

➘

Total 10

Volts

1m

1m

Amps

9.5k

10k

Ohms

❬✸❨❛❝✯❦ ★ ❵ r ❫q③❆❝✯❨ ♥✪✐✆❵ ★ ❝✩❦ ★❃❞ ❫❛❩ ★ ❢q❫✫❪✵✐ ★ ❨❛➉❑❵ ★♠❞ ❜ ❞ ❝t❫❛❬✸❤ ★✁r ❨✪✐✆❪✭❥ ♣✴★ ❝✯❨❆❥ ★ ❝ ★ ❵✩❩✘❜✵❬ ★ ❢✫❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❥☛❵✩❨✫❭✘❫✫❤✞❵✯❨ ❞✯❞ ❝✯❦ ★ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝✓❫❣❝✓➉❈✐✆❪✵❪ ✟❡❞ ❤✮❫❛❪ ★ ❥ ★✠☞✷★ ❤✈❝✩❜✵❨✪❬ ✂ ➡✁➻ ➐ ➏ ☎ ♦ ❝✯❦ ★ ❬ ❞ ✐ ♣ ❝✩❵✩❫✪❤✈❝P❝✩❦✸❫❣❝✤❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★ ❥✆❵✯❨✪❭❹➉❈❵✯❨✪❩➱❝✩❦ ★ ❝✯❨❛❝t❫❛❪➓❝✯❨❄❫✫❵✯❵✩❜✭❢ ★ ❫❣❝P❝✯❦ ★ ❢✫❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❫✫❤✞❵✯❨ ❞✯❞ ❝✯❦ ★ ❩✽✐✆❪✵❝✯❜✭❭✆❪✵❜ ★ ❵✤❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✯❨✪❵✮➊✁✃❷❜✵❬✸❫✫❪✵❪✭③ ♦②❼ ❦✆❩ ❉ ❞P➵ ❫ r ❤✠❨✪✐✆❪❴❥ ♣✷★ ✐ ❞❘★ ❥❹❫❛♥✳❫❛❜✭❬❄❝✩❨✌❥ ★ ❝ ★ ❵✩❩✘❜✵❬ ★ ❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❫✫❬✸❤ ★✘✂ ➏ ➻✤➡ ➣ ➐ ☎ ➉❈❨✫❵✁❝✩❦ ★ ❩✄✐✸❪❀❝✩❜✵❭✆❪✭❜ ★ ❵ ❏ ý

ÿ

Movement

Rmultiplier

Total

0.5

9.5

10

Volts

1m

1m

Amps

9.5k

10k

Ohms

❒

E I R

➸

1m 500

❐

➮

➡ ❜✵❝✯❦ ★ ❵ r ❫q③✘❭✆❵✩❨❣❢❇❜✭❥ ★♠❞ ❝✩❦ ★❆❞ ❫✫❩ ★ ❫❛❬ ❞✯r⑩★ ❵ ✂ ➎ ➊ ✲ ➹ ➯ ☎ ♦ ❫❛❬✸❥❂❨✪❬ ★ ❩ ★ ❝✯❦✆❨☛❥✹❤✠❨✪✐✆❪✭❥ ♣✷★ ✐ ❞✯★ ❥❄❫ ❞ ❢ ★ ❵✩❜ ❤✞❫❛❝✯❜✭❨✫❬❂➉❈❨✪❵ ❝✯❦ ★ ❛❨ ❝✯❦ ★ ❵ ♦ ❝✯❨✾❤t❦ ★ ❤t➹✾❫✫❤✞❤✞✐✆❵t❫✫❤✠③❂❨✫➉ r ✫❨ ❵✩➹❑➊ ÿ

✖☛▲ ➽✆▲✗➾❍➚✁➪②✒ ✙ ✔✓✒✕✔❍❙❮➷✤✔❍✥❇◗✠➬■✛

✏✮➎ ✰

Meter movement ranged for 10 volts full-scale

➸

500 Ω F.S. = 1 mA -

black test lead

+

❐

Rmultiplier 9.5 kΩ

10 V +

red test lead

10 volts gives full-scale deflection of needle

↔ ❜✵❝✯❦ ★✠➔ ❫✫❤✠❝✯❪✭③ ✏✮➙ ❢✫❨✫❪✵❝ ❞ ❫✫❭✆❭✆❪✭❜ ★ ❥ ♣✴★ ❝ r⑩★✞★ ❬✄❝✩❦ ★ ❩ ★ ❝ ★ ❵✕❝ ★✮❞ ❝✍❪ ★ ❫✫❥ ❞✁✂ ➉❈❵✯❨✪❩ ❞ ❨✪❩ ★❍♣ ❫❛❝❘❝ ★ ❵✩③✻❨✫❵❷❭✆❵ ★ ❤✠❜ ❞ ❜✵❨✪❬✄❭✴❨ r❍★ ❵ ❞ ✐✆❭✆❭✆❪✭③ ☎ ♦ ❝✩❦ ★ ❵ ★❂r ❜✭❪✵❪ ♣✴★❂★✠➔ ❫✪❤✈❝✯❪✭③ ✏ ❩ ý ❨❛➉✁❤✠✐✆❵✩❵ ★ ❬✳❝✼❝✯❦✆❵✩❨✫✐✆♥✪❦❊❝✩❦ ★ ❩ ★ ❝ ★ ❵✻❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝ ♦ ❫ ❞ ❵ ★♠❞ ❝✩❵✯❜❴❤✈❝ ★ ❥ ♣ ③✇❝✯❦ ★ ✬ ❩✽✐✆❪✵❝✯❜✭❭✆❪✵❜ ★ ❵ ✬ ❵ ★♠❞ ❜ ❞ ❝✯❨✫❵■❫✫❬✸❥❄❝✯❦ ★ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝ ❉ ❞ ❨ r ❬❄❜✭❬✳❝ ★ ❵✯❬✸❫✫❪②❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❫✫❬✸❤ ★ ➊ ➡ ➔ ❫✫❤✈❝✩❪✵③ ✏ ➣ ❅ ❢✪❨✫❪✵❝ r ❜✭❪✭❪ ♣✷★ ❥✆❵✯❨✪❭✆❭ ★ ❥ ❫✫❤✞❵✯❨ ❞✯❞ ❝✯❦ ★ ❵ ★♠❞ ❜ ❞ ❝✩❫❛❬✷❤ ★ ❨✫➉s❝✯❦ ★ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✪❝ ❉ ❞✓r ❜✭❵ ★ ❤✞❨✫❜✭❪ ♦ ❫✫❬✸❥①❝✯❦ ★ ❬ ★✮★ ❥☛❪ ★✄r ❜✭❪✭❪ ♣✴★ ❭✷❨✪❜✵❬✳❝✯❜✭❬✆♥❄❭✆❵ ★ ❤✠❜ ❞❘★ ❪✵③①❫❣❝✤➉❈✐✆❪✭❪ ✟ ❞ ❤✞❫❛❪ ★ ➊✕❰P❫q❢❇❜✭❬✆♥✻❵ ★✠✟ ❪✭❫ ♣✷★ ❪ ★ ❥❁❝✯❦ ★✤❞ ❤✮❫❛❪ ★ ❝✯❨✽❵ ★ ❫✫❥✽➉❈❵✩❨✫❩ ➙ ❝✯❨ ✏✮➙❆Ï ✂ ❜✭❬ ❞ ❝ ★ ❫✪❥❂❨❛➉ ➙ ❝✯❨ ✏ ❩ ý ☎ ♦ ❫❛❬❇③✫❨✪❬ ★ ❢❇❜ ★✮r ❜✵❬✸♥✻❝✯❦ ★ ❞ ❤✞❫❛❪ ★✄r ❜✭❪✭❪✍❜✵❬✳❝ ★ ❵✯❭✸❵ ★ ❝✤❜✵❝ ❞ ❜✭❬✸❥☛❜❴❤✞❫❣❝✩❜✵❨✪❬❧❫ ❞ ❝ ★ ❬✎❢✫❨✫❪✵❝ ❞ ➊✻Ðs❪ ★ ❫ ❞❘★ ❝✩❫✫➹ ★ ❬✸❨❛❝ ★ ❝✯❦✷❫❣❝✼❝✯❦ ★ ❩ ★ ❝ ★ ❵✼✐ ❞✯★ ❵✼❥☛❨ ★✮❞ ❬✆❨✫❝✤❦✸❫q❢ ★ ❝✯❨ ♣✴★ ❫ r ❫✫❵ ★ ❫❣❝✄❫✫❪✵❪✕❝✩❦✸❫❣❝❆❝✩❦ ★ ❩❁❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝❆❜✵❝ ❞✯★ ❪✵➉⑩❜ ❞ ❫✫❤✠❝✯✐✸❫✫❪✵❪✭③✇❩ ★ ❫ ❞ ✐✆❵✩❜✭❬✆♥✄⑧✜✐ ❞ ❝✄❫❄➉❈❵t❫✫❤✈❝✩❜✵❨✪❬❧❨✫➉●❝✩❦✸❫❣❝❆❝ ★ ❬❺❢✫❨✪❪❀❝ ❞ ➉❈❵✩❨✫❩→❝✩❦ ★❂★✠➔ ❝ ★ ❵✩❬✸❫❛❪ ❞ ❨✫✐✆❵t❤ ★ ➊ ý ❪✭❪s❝✩❦✸❫❣❝✻❩❂❫❣❝✯❝ ★ ❵ ❞ ❝✩❨①❝✯❦ ★ ✐ ❞❘★ ❵✻❜ ❞ ❝✩❦✸❫❣❝✄❝✯❦ ★ ❤✞❜✵❵t❤✠✐✆❜✵❝✄❫ ❞ ❫ r ❦✸❨✫❪ ★ ➉❈✐✆❬✸❤✈❝✩❜✵❨✪❬ ❞ ❝✩❨ ❫✫❤✮❤✠✐✆❵t❫❣❝ ★ ❪✭③✾❥☛❜ ❞ ❭✆❪❴❫q③❂❝✩❦ ★ ❝✯❨✫❝✩❫❛❪ ♦ ❫❛❭✸❭✆❪✵❜ ★ ❥✹❢✪❨✫❪✵❝✩❫❛♥ ★ ➊ ❦✆❜ ❞ ❜ ❞ ❦✸❨ r ❭✆❵t❫✫❤✈❝✩❜✭❤✮❫❛❪ ★ ❪ ★ ❤✠❝✯❵✩❜✭❤✮❫❛❪☛❩ ★ ❝ ★ ❵ ❞ ❫❛❵ ★ ❥ ★✮❞ ❜✵♥✪❬ ★ ❥✽❫❛❬✸❥✽✐ ❞✯★ ❥ ❏ ❫ ❞✯★ ❬ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢ ★ ❩ ★ ❝ ★ ❵✍❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝❷❜ ❞✕♣ ✐✆❜✭❪❀❝ ❝✯❨❁❨✫❭ ★ ❵t❫❣❝ ★✓r ❜✵❝✯❦✹❫ ❞ ❪✭❜❀❝✯❝✯❪ ★ ❢✪❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❫✫❬✸❥✌❤✞✐✆❵✩❵ ★ ❬✪❝✁❫ ❞ ❭✴❨ ❞✩❞ ❜ ♣ ❪ ★ ➉❈❨✪❵⑩❩❂❫ ➔ ❜✭❩✄✐✸❩ ❞❘★ ❬ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢❇❜❀❝✜③ ♦ ❝✯❦ ★ ❬❄❜✵❝■❜ ❞✁✬ ➉❈❨❇❨✪❪ ★ ❥ ✬ ♣ ③ ❞ ❨✪❩ ★✤❞ ❨✫❵✯❝❍❨✫➉❷❥☛❜✭❢❇❜✭❥ ★ ❵■❤✠❜✭❵✩❤✞✐✆❜❀❝ ♣ ✐✆❜✭❪✵❝✁❨✫➉➓❭✆❵ ★ ❤✞❜ ❞ ❜✵❨✪❬✾❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✯❨✪❵ ❞⑩❞ ❨✽❝✯❦✷❫❣❝✁❜❀❝■❜✭❬✸❥☛❜❴❤✞❫❣❝ ★✮❞ ➉❈✐✆❪✭❪ ✟❡❞ ❤✞❫❛❪ ★✤r ❦ ★ ❬✹❫✄❩✽✐✸❤t❦ ❪❴❫❛❵✩♥ ★ ❵✼❢✪❨✫❪✵❝✩❫❛♥ ★ ❨✪❵❆❤✠✐✆❵✩❵ ★ ❬✳❝✼❜ ❞ ❜✭❩✘❭✆❵ ★♠❞✯❞✯★ ❥❧❨✫❬❧❝✯❦ ★ ❤✠❜✭❵✩❤✞✐✆❜❀❝✄❫ ❞ ❫ r ❦✆❨✫❪ ★ ➊ ↔✎★ ❦✸❫q❢ ★✘★✠➔ ❫✫❩❁❜✭❬ ★ ❥✇❝✩❦ ★ ❥ ★✮❞ ❜✭♥✫❬✎❨❛➉ ❫ ❞ ❜✭❩✘❭✆❪ ★ ❢✫❨✪❪❀❝✩❩ ★ ❝ ★ ❵✘❦ ★ ❵ ★ ➊ ý ❩❁❩ ★ ❝ ★ ❵ ❞ ➉❈❨✫❪✭❪✭❨ r ❝✯❦ ★❹❞ ❫❛❩ ★ ♥ ★ ❬ ★ ❵✩❫✫❪❍❵✩✐✆❪ ★✫♦s★✞➔ ❤ ★ ❭✆❝✽❝✩❦✸❫❣❝❂❭✸❫✫❵✩❫✫❪✵❪ ★ ❪ ✟ ❤✞❨✫❬✆❬ ★ ❤✈❝ ★ ❥ ✬✫❞ ❦❇✐✆❬✳❝ ✬ ❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✯❨✪❵ ❞ ❫✫❵ ★ ✐ ❞✯★ ❥✚❝✯❨⑥❤✞❵ ★ ❫❣❝ ★ ❫❿Ñ✞Ò☛Ó✈Ó þ✞✝✸Ô✘Õ❣④⑤Ö♠④⑨Õ✎þ Ó✾❤✠❜✭❵✩❤✞✐✆❜❀❝✹❫ ❞ ❨✫❭✸❭✷❨ ❞❘★ ❥✱❝✩❨❺❝✯❦ ★❧❞❘★ ❵✯❜ ★✮❞❘✟ ❤✞❨✫❬✆❬ ★ ❤✈❝ ★ ❥ Ö❣×❣ØÙÔ❡Ú✞Û✚þ✘Õ❣④⑤Ö♠④⑨✎Õ þ Ó ✬ ❩✄✐✸❪❀❝✩❜✵❭✆❪✭❜ ★ ❵ ✬ ❵ ★✮❞ ❜ ❞ ❝✩❨✫❵ ❞ ✐ ❞✯★ ❥❄➉❈❨✪❵■❢✫❨✫❪✵❝✯❩ ★ ❝ ★ ❵❃❥ ★✮❞ ❜✵♥✪❬ ❞ ➊ Ü ★ ❬ ★ ❵t❫❛❪✭❪✵③ ♦ ❜❀❝✽❜ ❞ ✐ ❞✯★ ➉❈✐✸❪s❝✯❨❹❦✷❫q❢ ★ ❩✄✐✆❪✵❝✯❜✭❭✆❪ ★ ❵✩❫✫❬✆♥ ★♠❞✼★✮❞ ❝✩❫ ♣ ❪✵❜ ❞ ❦ ★ ❥❊➉❈❨✫❵✄❫✫❬ ★ ❪ ★ ❤✈❝✩❵✯❨✪❩ ★ ❤t❦✸❫❛❬✸❜✭❤✮❫❛❪✍❩ ★ ❝ ★ ❵ ❞ ✐✸❤t❦ ❫ ❞ ❝✩❦✆❜ ❞✮♦ ❫✫❪✵❪✭❨ r ❜✭❬✆♥✌❜✵❝❆❝✯❨✹❵ ★ ❫✫❥❧❫ ♣ ❵✯❨✳❫✫❥✇❵t❫❛❬✸♥ ★ ❨✫➉❍❢✪❨✫❪✵❝✩❫❛♥ ★✮❞✓r ❜❀❝✩❦✡❫ ❞ ❜✵❬✸♥✫❪ ★ ❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝✼❩ ★ ❤t❦✸❫❛❬✸❜ ❞ ❩①➊ ❦✆❜ ❞ ❜ ❞ ✫❫ ❤✮❤✠❨✪❩❁❭✸❪✵❜ ❞ ❦ ★ ❥✌❝✯❦✆❵✩❨✫✐✆♥✪❦✾❝✩❦ ★ ✐ ❞✯★ ❨✫➉✕❫❁❩✽✐✆❪❀❝✩❜ ✟ ❭✴❨✫❪ ★✼❞✯r ❜✵❝✩❤t❦❹❫❛❬✸❥ ❞✯★ ❢ ★ ❵✩❫✫❪✷❩✽✐✆❪✵❝✯❜✭❭✆❪✵❜ ★ ❵P❵ ★♠❞ ❜ ❞ ❝✩❨✫❵ ❞✞♦❇★ ❫✫❤t❦✌❨✪❬ ★❆❞ ❜ ✶✞★ ❥ ➉❈❨✫❵❃❫❁❭✸❫✫❵❘❝✩❜✭❤✞✐✆❪❴❫❛❵■❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★ ❵t❫❛❬✆♥ ★ ❏

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✏✮➎✫Ý ❲

A multi-range voltmeter

➸

500 Ω F.S. = 1 mA -

+

Þ range selector switch

black test lead

Þ

R1

Þ

R3

R2

Þ

R4

red test lead

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+

1000 V range selector 100 V switch 10 V 1V

R1

R1 = 999.5 kΩ

R2

R2 = 99.5 kΩ

R3

R3 = 9.5 kΩ

R4

R4 = 500 Ω

off black test lead

red test lead

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500 Ω F.S. = 1 mA -

+

1000 V range selector 100 V âswitch 10 V

ãoff black test lead

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R1

R2

R3

R4

1V R1 = 900 kΩ R2 = 90 kΩ R3 = 9 kΩ R4 = 500 Ω

red test lead

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✁250 MΩ 24 V

✁250 MΩ

+ V

voltmeter -

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✁250 MΩ 24 V

✁250 MΩ

V

+ voltmeter (10 MΩ) -

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23.1111 V

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✁250 MΩ

24 V 0.8889 V

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9.615 MΩ (250 MΩ // 10 MΩ)

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+

1000 V range selector 100 V switch 10 V 1V

R1

R1 = 999.5 kΩ

R2

R2 = 99.5 kΩ

R3

R3 = 9.5 kΩ

R4

R4 = 500 Ω

off black test lead

red test lead

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100 volt range

100 kΩ 100 V

= 1000 Ω/V sensitivity

10 volt range

10 kΩ 10 V

= 1000 Ω/V sensitivity

1 volt range

1 kΩ 1V

= 1000 Ω/V sensitivity

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Amplified voltmeter

red test lead Amplifier black test lead

Battery

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Potentiometric voltage measurement

R1

250 MΩ "null" meter

24 V 1 R2

250 MΩ

null

2 adjustable voltage source

✑✁❦ ★✌✬ ❬❇✐✆❪✵❪ ✬ ❩ ★ ❝ ★ ❵❁✧ ❞ ❨✪❩ ★ ❝✯❜✭❩ ★✮❞ ❤✞❫✫❪✵❪ ★ ❥✎❝✩❦ ★✌✬ ❥ ★ ❝ ★ ❤✈❝✩❨✫❵ ✬☞✩ ❜ ❞ ❫ ❞✯★ ❬ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢ ★ ❩ ★ ❝ ★ ❵✽❩❁❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝✽❤✮❫❛❭✸❫ ♣ ❪ ★ ❨❛➉ ❵ ★ ❫✫❥✆❜✵❬✆♥ ❞ ❩❂❫✫❪✵❪✕❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★✮❞ ❨✫➉ ★ ❜✵❝✯❦ ★ ❵✤❭✷❨✪❪✭❫✫❵✯❜✵❝✜③✫➊ ➐ ❝✤❝✜③❇❭✆❜✭❤✮❫❛❪✭❪✵③①❦✸❫ ❞ ❫ ❞ ❭✆❵✩❜✵❬✆♥☛✛⑦❤ ★ ❬✳❝ ★ ❵ ★ ❥①❬ ★✞★ ❥☛❪ ★ ❝✩❦✸❫❣❝❆❤✞❫✫❬❧❥ ★✔✓✸★ ❤✠❝ ❜✭❬ ★ ❜✵❝✯❦ ★ ❵❁❥☛❜✭❵ ★ ❤✈❝✩❜✵❨✪❬ ♦ ❭✷❨ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢ ★ ❝✩❨❹❝✯❦ ★ ❵✯❜✭♥✫❦✳❝✽❫✫❬✸❥❺❬ ★ ♥✪❫❣❝✩❜✵❢ ★ ❝✯❨❹❝✩❦ ★ ❪ ★ ➉⑤❝♠➊❚✑✁❦ ★ ❭✆✐✸❵✯❭✴❨ ❞✯★ ❨❛➉❃❫❹❬❇✐✆❪✭❪●❩ ★ ❝ ★ ❵✽❜ ❞ ❝✯❨❺❫✫❤✮❤✠✐✆❵t❫❣❝ ★ ❪✭③❺❜✵❬✸❥✆❜✭❤✮❫❣❝ ★ ❫✎❤✠❨✪❬✸❥☛❜✵❝✯❜✭❨✫❬✱❨✫❱ ➉ ❯ ✌ Ó × ❢✪❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★✫♦ ❵t❫❣❝✩❦ ★ ❵✽❝✯❦✷❫❛❬✚❝✯❨✎❜✵❬✸❥✆❜✭❤✮❫❣❝ ★ ❫✫❬✳③ ❞ ❭ ★ ❤✠❜✿✢✷❤❲✧❈❬✆❨✪❬ ✶✞★ ❵✯❨ ✩ ✺ ✐✸❫❛❬✳❝✩❜❀❝✜③❸❫ ❞ ❫❺❬✆❨✪❵✯❩❂❫❛❪■❢✪❨✫❪✵❝✯❩ ★ ❝ ★ ❵ r ❨✫✐✆❪❴❥➋➊ ß ✐✆❪✭❪P❩ ★ ❝ ★ ❵ ❞ ❫❛❵ ★ ❝✜③❇❭✆❜❴❤✞❫✫❪✵❪✭③✚❥ ★✮❞ ❜✵♥✪❬ ★ ❥✱❝✯❨ ♣✴★ ❫ ❞❂❞✯★ ❬ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢ ★ ❫ ❞ ❭✴❨ ❞✩❞ ❜ ♣ ❪ ★ ❜✭❬①❨✫❵t❥ ★ ❵⑩❝✩❨❂❩❁❨✪❵ ★ ❭✆❵ ★ ❤✞❜ ❞✯★ ❪✭③❂❜✭❬✸❥☛❜❴❤✞❫❣❝ ★ ❫ ✬ ❬❇✐✆❪✭❪ ✬ ❨✫❵ ✬✫♣ ❫❛❪❴❫❛❬✷❤ ★✮✬ ✧ ✶✮★ ❵✩❨❁❢✪❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★❑✩ ❤✠❨✪❬✸❥☛❜✵❝✯❜✭❨✫❬②➊ ✑✁❦ ★ ❭✆✐✆❵✩❭✴❨ ❞✯★ ❨✫➉✸❝✯❦ ★ ❬❇✐✆❪✭❪☛❩ ★ ❝ ★ ❵✍❩✘❨❣❢ ★ ❩ ★ ❬✳❝❷❜ ❞ ❝✯❨✼❫✫❤✠❝✕❪✭❜✭➹ ★ ❫P❪❴❫ ♣ ❨✫❵t❫❣❝✩❨✫❵✩③ ♣ ❫❛❪❴❫❛❬✸❤ ★⑩❞ ❤✞❫✫❪ ★✪♦ ❜✵❬✷❥☛❜✭❤✮❫❣❝✩❜✵❬✆♥ r ❦ ★ ❬ ❝✯❦ ★ ❝ r ❨①❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★♠❞ ❫✫❵ ★❁★✮✺ ✐✸❫✫✚ ❪ ✧ ➙ ❢✫❨✪❪❀❝t❫❛♥ ★✽♣✷★ ❝ r❍★✮★ ❬✎❭✷❨✪❜✵❬✳❝ ❞ ✠ ❫✫❬✸❥ ❅☛✩ ❫❛❬✸❥❧❬✆❨❛❝✩❦✆❜✭❬✆♥①❩❁❨✪❵ ★ ➊❳✑✁❦ ★ ❪❴❫ ♣ ❨✫❵t❫❣❝✩❨✫❵✩③ ❞ ❤✞❫❛❪ ★✤♣ ❫❛❪❴❫❛❬✸❤ ★P♣✴★ ❫✫❩➱❥☛❨ ★✮❞ ❬ ❉ ❝■❫✪❤✈❝✩✐✸❫❛❪✭❪✵③ r⑩★ ❜✭♥✫❦✳❝■❫❛❬❇③✳❝✯❦✆❜✭❬✆♥✡❇❨ ❵t❫❣❝✩❦ ★ ❵ ♦ ❜❀❝ ❞ ❜✵❩✘❭✆❪✭③✾❜✭❬✸❥☛❜❴❤✞❫❣❝ ★✮❞⑩r ❦ ★ ❬✌❝✩❦ ★ ✐✆❬✆➹❇❬✆❨ r ❬ ❩❂❫ ❞✩❞ ❫❛❬✸❥✌❝✯❦ ★ ❭✆❜✵❪ ★ ❨❛➉ ❞ ❝✩❫❛❬✷❥✆❫❛❵t❥❩✧➼❤✞❫❛❪✭❜ ♣ ❵✩❫❛❝ ★ ❥ ✩ ❩❂❫ ❞✩❞❘★♠❞ ❫✫❵ ★✼★♠✺ ✐✷❫❛❪➲➊

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x unknown mass

mass standards

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R1

250 MΩ "null" meter

24 V 1 R2

250 MΩ

null

2 adjustable voltage source

+ V

Adjust voltage source until null meter reads zero. Then, read the voltmeter to tell what the voltage is across R2 .

-

✑✁❦ ★ ❢✪❨✫❪✵❝✯❩ ★ ❝ ★ ❵✻✐ ❞✯★ ❥❧❝✩❨❊❥☛❜✭❵ ★ ❤✈❝✯❪✭③❊❩ ★ ❫ ❞ ✐✆❵ ★ ❝✩❦ ★ ❭✆❵ ★ ❤✞❜ ❞ ❜✵❨✪❬ ❞ ❨✪✐✆❵✩❤ ★ ❬ ★✞★ ❥❧❬✸❨❛❝✄❦✸❫q❢ ★ ❫❛❬ ★✠➔ ❝✯❵ ★ ❩ ★ ❪✵③❧❦✆❜✵♥✪❦ ➯ ➣ Ï ❞✯★ ❬ ❞ ❜✵❝✯❜✭❢✳❜✵❝✜③ ♦✸♣✷★ ❤✞❫❛✐ ❞❘★ ❝✯❦ ★✻❞ ❨✪✐✆❵✩❤ ★✓r ❜✭❪✭❪ ❞ ✐✸❭✆❭✆❪✭③❄❫❛❪✭❪❑❝✯❦ ★ ❤✠✐✆❵✩❵ ★ ❬✳❝✁❜✵❝❃❬ ★✮★ ❥ ❞ ❝✩❨✘❨✫❭ ★ ❵t❫❣❝ ★ ➊ ❋ ❨✘❪✵❨✪❬✆♥❂❫ ❞ ❝✯❦ ★ ❵ ★ ❜ ❞✁✶✞★ ❵✩❨❁❢✫❨✫❪✵❝✩❫✫♥ ★ ❫✫❤✞❵✯❨ ❞✯❞ ❝✯❦ ★ ❬❇✐✆❪✭❪②❩ ★ ❝ ★ ❵ ♦ ❝✯❦ ★ ❵ ★✼r ❜✭❪✵❪ ♣✴★❆✶✞★ ❵✯❨✘❤✠✐✆❵✩❵ ★ ❬✳❝ ♣✴★ ❝ r⑩★✞★ ❬❄❭✴❨✫❜✭❬✳❝ ❞ ✠ ❫❛❬✷❥ ❅✆♦☛★✮✺ ✐✸❫❣❝✩❜✵❬✸♥✄❝✩❨ ❬✆❨✘❪✭❨✪❫✫❥✆❜✵❬✆♥✘❨✫➉➓❝✯❦ ★ ❥☛❜✵❢❇❜❴❥ ★ ❵✓❤✠❜✭❵✩❤✞✐✆❜❀❝■✐✆❬✷❥ ★ ❵■❝ ★✮❞ ❝✮➊ ➐ ❝➓❜ ❞➓r ❨✫❵✯❝✯❦❇③P❝✯❨P❵ ★ ❜✵❝ ★ ❵✩❫❛❝ ★ ❝✩❦ ★ ➉⑨❫✪❤✈❝➓❝✩❦✸❫❣❝❶❝✯❦✆❜ ❞ ❩ ★ ❝✯❦✆❨☛❥ ♦ ❭✸❵✯❨✪❭ ★ ❵✯❪✭③ ★✞➔❇★ ❤✠✐☛❝ ★ ❥ ♦ ❭✆❪❴❫✫❤ ★✮❞⑩Ú❣Ø❘❂❂× ✭ Ô ❯ ✌ Ó ×✤Ø✵×♠Ú✫Õ ✐✆❭✷❨✪❬ ❝✯❦ ★ ❩ ★ ❫ ❞ ✐✆❵ ★ ❥①❤✞❜✵❵t❤✠✐✆❜✵❝✮➊ ➐ ❥ ★ ❫❛❪✭❪✵③ ♦ ❜✵❝P❭✆❪❴❫✫❤ ★✮❞ ❫ ♣✸❞ ❨✫❪✭✐☛❝ ★ ❪✵③❄❬✆❨✾❪✭❨✪❫✪❥①❨✫❬✹❝✯❦ ★ ❝ ★♠❞ ❝ ★ ❥✇❤✞❜✵❵t❤✠✐✆❜✵❝ ♦✷♣ ✐☛❝✓❝✯❨✌❫✪❤t❦✆❜ ★ ❢ ★ ❝✩❦✆❜ ❞ ❜❴❥ ★ ❫✫❪✫♥✫❨✳❫❛❪✪❜❀❝❷❜ ❞ ❵ ★♠✺ ✐✸❜✵❵ ★ ❥✤❝✩❦✸❫❣❝❶❝✯❦ ★ ❬✳✐✸❪✵❪✳❩ ★ ❝ ★ ❵ ♣✴✻★ ❃ ✌ Ó ✎✖✌ Ñ Ô➼Ø❉s❪ ♣ ❫❛❪❴❫❛❬✷❤ ★ ❥②➊❴❫❃❬✸❪✵❜✭➹ ★ ❝✩❦✆❜ ❞ ❫✫❩❁❭✸❪✵❜✿✢ ★ ❵ ❞ ❨✪❪✵✐✆❝✯❜✭❨✫❬ ♦qr ❦✆❜❴❤t❦ ❞ ❨✫❪✭❢ ★✮❞ ❝✩❦ ★ ❭✆❵✩❨ ♣ ❪ ★ ❩ r ❜❀❝✩❦❹❫✫❥☛❢❣❫❛❬✷❤ ★ ❥❄❝ ★ ❤t❦✆❬✆❨✪❪✵❨✪♥✫③ ♦ ❝✯❦ ★ ❭✴❨❛❝ ★ ❬✳❝✯❜✭❨✫❩ ★ ❝✩❵✯❜❴❤✼❩ ★ ❝✩❦✆❨☛❥✹❫✪❤t❦✆❜ ★ ❢ ★♠❞ ❫❁❦✳③❇❭✴❨❛❝✩❦ ★ ❝✩❜✭❤✮❫❛❪✭❪✵③ ❭ ★ ❵✯➉ ★ ❤✈❝ ❞ ❨✫❪✭✐☛❝✩❜✵❨✪❬ ♣ ③ ★✞➔ ❭✸❪✵❨✪❜❀❝✩❜✵❬✆♥✾❫ ♣ ❫ ❞ ❜❴❤✤❪✭❫ r ❨❛➉ ★ ❪ ★ ❤✈❝✩❵✯❜❴❤✠❜✵❝✜③❩✧ ➴ Ï ❴➵ ✩ ➊

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500 Ω

F.S = 1 mA -

black test lead

+

red test lead

❫ ❞ ❜✭❬✆♥❦❥✇❫✫❩✘❭ ❞ ❫ ❞ ❫✫❬✟❞ ➔ ❝✾❞✮❬✸❥✣❞✮❥✱❵✩❫✫❬✆♥☛❞✘➉❈❨✪❵✽❨✪✐✆❵ ❞ ❫❛❩✘❭✆❪❡❞✾❩✘❨❣☛❢ ❞✮❩✆❞✞❬✳❝ ♦ ❪❡❞✠❝❣✐ ❞ ❥✣❞✠❝❍❞✞❵✩❩❁❜✭❬❙❞✌❝✯❦❙❞①❫❛❩✘❨✫✐✸❬✪❝✽❨❛➉ ❭✸❫✫❵✩❫✫❪✵❪❡❞✞❪❶✾❵ ❞ ❞ ❜ ❞ ❝t❫❛❬✸❤✔❞✻❬❙❞♠❤✖❞ ❞✩❞ ❫❛❵✩③✌❝✩❨❁❢ ❞ ❦❇✐✆❬✳❝ ♦ ❢❂❨✫❵ ♣ ③✳❭✷❫ ❞✩❞✞♦ ❝✯❦❙❞❁❩❂❫❣⑧✜❨✪❵✯❜✵❝✜③❄❨✫➉●❤✠✐✆❵✩❵❍❞✞❬✳❝ ❞ ❨✾❝✯❦✷❫❣❝✓❨✪❬✆❪✭③ ✠ ❩ ✞ r ❜✭❪✵❪ ♥✫❨❁❝✩❦✆❵✯❨✪✐✆♥✫❦❄❝✯✡❦ ❞❆❩❁❨❣❢☞❞✞❩✆❞✞❬✳❝ r ❜❀❝✩❦❹❫❁❝✯❨❛❝t❫❛❪②❤✞✐✆❵✯❵❍❞✞❬✳❝■❨❛➉✻❥ ✞✼❤

✳✣❧✪♠✣❧✶♥ ✵❚✵ ✱✰✯✲✱●❙ ✒➷ ✱♦✺✤♣✠✚➬ ✷ ➸

q ☞➙ r

500 Ω F.S. = 1 mA

Þ

+ Rshunt

black test lead

Movement

red test lead

➘

Rshunt

Total

E I

Volts ➸

5

1m ➸

R

Amps Ohms

500

❙s❍t☛✉✈t☛✇❙s❄①☛②❡③☛❞✔④☎③✬⑤☛⑥✿✇❙❞❑⑦✚❛t ➉✻✉✆t✬③☛❞❣✉✆❞✔④⑨⑧✰⑩✖✇✡s✾s❍❞✔④⑨⑧❣❶✡✉●t✬③☞❞✔✉✆❞✔④⑨⑧✽s❍❞❣⑦✾②❡⑦✜⑧❍⑤☛④✡⑩✖❞☞❶❷⑤☛④✡❸❹⑧✾t☛⑧❍⑤✫⑥❴⑩✖②❡s❍⑩✔✇❙②❉⑧●✧❺✉✆❞❣⑤☞⑦✜✇❙s❍❞❣❸ ✩ ⑩✖✇✡s✾s❍❞✔④⑨⑧❣❶☞❻♦❞✰⑩✔⑤✫④✝❸✣❞✔⑧✾❞❣s✾✉✆②❡④❙❞✚⑧✾❼✡❞❄③☛t☞⑥❉⑧✍⑤✫①☞❞❈⑤☞⑩✖s❍t☞⑦❍⑦❽⑧✾❼❙❞✰✉✆❞✖⑧✾❞❣s❭✉✆t✬③☛❞❣✉✆❞✔④⑨⑧❄✧❆❾✰❼❙✉★✐ ⑦ ➵ ⑤❿❻➀⑤☛➁❙➁❙⑥❡②✿❞❑❸●⑧✾t✄⑧❍❼❙❞✰⑩✔❞✔④⑨⑧✾❞❣s ⑩✖t☞⑥✿✇✡✉●④➂❶ ➡⑩➻ ➐ ➏ ✩ ❤ ✃

Movement ❒

E I

➘

Rshunt

Total Volts

0.5 ➸

5

1m ➸

R

Amps Ohms

500

⑧ ➉❺t☛s❍✉✆❞❣❸☎➃✤➄❹⑧✾❼✡❞➅✉✆t✬③☛❞❣✉●❞❣④⑨⑧✒⑤✫④❷❸★⑧✾❼❙❞●⑦✜❼✤✇❙④⑨⑧✒②❡⑦✒❛t ➉❭⑤✦➁✡⑤✫s✍⑤✫⑥❡⑥❡❞✔⑥❴⑩✔t☛④✣✢❷①☛✇❙s✍⑤✬⑧❍②✿t☞④❇❶ ➴ ④❙t✬❻✚②❡④❙①✆⑧✾❼❷⑤✬⑧✒⑧✾❼❙❞✆⑩✖②❡s❍⑩✔✇❙②✿P ❻✕❞✤➹✤④❙t✬❻➆⑧✾❼✡⑤✫⑧✚⑧✾❼❙❞✄③☞t☛⑥✿⑧❍⑤☛①☛❞❱⑤☛⑩✖s❍t☞⑦❍⑦❭⑧✾❼❙❞✄✉✆t✬③☛❞❣✉✆❞✔④⑨⑧❣❶❙⑦✾❼✤✇❙④⑨⑧❣❶✡⑤☛④✡❸❀⑧❍❞❣⑦✜⑧✽⑥✿❞❑⑤☛❸❙⑦✄✧❺⑧✾t☛⑧❍⑤✫⑥ ✩ ✉➅✇❷⑦✸⑧✽➃➇❞❱⑧✾❼❙❞✼⑦❍⑤✫✉✆❞ ❤ Movement E

➈0.5

I R

➸

1m 500

Rshunt ❒

0.5

➘

Total ❒

0.5

Volts

5

Amps

➸

Ohms

t ✤➹ ④❙t✬❻✟⑧❍❼✡⑤✬⑧❽⑧✾❼✡❞❈⑩✔✇❙s❍s✾❞❣④☞⑧❴⑧✾❼❙s❍t☛✇✡①☛❼✼⑧❍❼❙❞❈⑦✜❼✤✇❙④⑨⑧✲✉➅✇✡⑦✜⑧✻➃❷❞♦⑧✾❼❙❞✚❸✣② ➶ ❞✔s❍❞✔④✡⑩✔❞♦➃➇❞✖⑧✸❻✕❞✔❞❣④✼⑧✾❼✡❞♦⑧❍t✫⑧✍⑤✫⑥✣⑩✖✇❙s❍s❍❞✔④⑨⑧ ↔ ❞✕⑤☛⑥❡⑦✾P ✏✧ ❥●⑤☛✉●➁❷⑦ ✩ ⑤✫④✡❸✦⑧✾❼✡❞❱⑩✔✇❙s❍s✾❞❣④☞⑧✕⑧✾❼✡s✾t☞✇❙①☛❼✦⑧✾❼❙❞✄✉✆t✬③☛❞❣✉✆❞✔④⑨⑧❱✧ ✠ ✉ ✞ ✩ ❶❙➃➇❞❣⑩❣⑤✫✇✡⑦✾❞✰➃✡s❍⑤☛④✡⑩✍❼❁⑩✔✇❙s✾s❍❞✔④⑨⑧✍⑦✕⑤☞❸❙❸❁②✿④★⑤➅➁❷⑤✫s✍⑤✫⑥❡⑥✿❞❣⑥ ⑩✖t☞④✣✢✡①☞✇❙s❍⑤✫⑧✾②❡t☛④ ❤

✮✲➉ ♥❄➊✰✯✲✱♦➋✴✳✣❧✱➷ ✮✶✵ ✱✰✯✲✱♦➋✚♣✸✷✄➬ ✮ ♣✸➋ ✮✒✹ ♣✔✯✻✺

q ➙✫Ý Movement E

➈0.5

I

1m

➘

Rshunt

➈0.5

Total

➈0.5 ➸5

4.999

Volts Amps

➸500 R Ohms ✑❈❼❙❞❣④❇❶✲✇✡⑦✜②❡④❙①✟❾✰❼❙✉★✐ ⑦ ➵ ⑤❿❻➌✧⑨➏ ➻✤➡ ➣ ➐✜✩ ②❡④✟⑧❍❼❙❞❁s❍②❡①☛❼⑨⑧❳⑩✖t☞⑥✿✇✡✉●④➂❶❽❻✕❞❁⑩❣⑤✫④➍❸✣❞✔⑧✾❞❣s✾✉✆②❡④❙❞❀⑧❍❼❙❞✦④❙❞❑⑩✖❞❑⑦✾⑦❍⑤✫s❍➄❦⑦✾❼✤✇❙④⑨⑧ s❍❞❣⑦✾②❡⑦✜⑧❍⑤☛④✡⑩✖❞ ❤ ➘ Movement Rshunt Total ➈ ➈ ➈0.5 E 0.5 0.5 Volts ➸ 5 I 1m 4.999 Amps ➸ R 500 100.02m Ohms ❾P➉❴⑩✔t☛✇❙s✍⑦✜❞☞❶☞❻✕❞❱⑩✖t☛✇✡⑥❡❸✦❼✡⑤❿③☛❞✒⑩✔⑤✫⑥➎⑩✖✇✡⑥❡⑤✫⑧✾❞❣❸❀⑧✾❼❙❞❱⑦❍⑤✫✉✆❞✰③✬⑤☛⑥✿✇❙❞✒t❛➉✡➏✸✇✡⑦✸⑧✚t✬③☞❞✔s ✠♠➙✫➙ ✉●②❡⑥❡⑥✿②✿✛❆t☞❼❙✉✝⑦❱✧ ✠✮➙✪➙ ✉ ➯ ✩ ➉❺t☛s✕⑧✾❼✡❞ ⑦✾❼⑨✇✡④☞⑧✼➃✤➄❩⑩❣⑤✫⑥➎⑩✖✇❙⑥➎⑤✬⑧❍②✿④✡①❁⑧❍t✫⑧✍⑤✫⑥✻s❍❞❣⑦✾②❡⑦✜⑧❍⑤☛④✡⑩✖❞☎⑨✧ ➏ ➻✒➐ ➣ ➐ ❨ ➙ ➊ ❥❁③☞t☛⑥✿⑧❍⑦✈➣✫❥❁⑤✫✉✆➁✡⑦ ➻ ✠♠➙✫➙ ✉ ➯ ❞ ➔ ⑤☛⑩➑⑧❍⑥✿➄ ✩ ❶❇⑧✾❼✡❞✔④❲❻♦t☞s✯➹✤②❡④❙① ⑧✾❼✡❞✄➁✡⑤✫s✍⑤✫⑥❡⑥✿❞❣⑥➒s✾❞❑⑦✜②➎⑦✸⑧✍⑤✫④✡⑩✔❞✤➉❺t☛s❍✉➅✇❙⑥➎⑤➅➃❷⑤☛⑩t➹✤❻✕⑤☛s❍❸✡⑦✔❶✤➃❙✇✣⑧✚⑧❍❼❙❞✼⑤✫s❍②✿⑧✾❼❙✉✆❞✖⑧❍②❡⑩✒❻✕t☛✇❙⑥➎❸❹❼✡⑤❿③☛❞✒➃➇❞✔❞✔④★✉✆t☛s❍❞✄⑩✍❼✡⑤✫⑥❡⑥❡❞✔④❙①☞②✿④❙① ❤ ÞR

=

R

= 100.02 mΩ

shunt

1 1 100m

1

➸500

s❍❞❣⑤☛⑥➒⑥✿②✵➉❺❞☛❶✤⑧❍❼❙❞✄⑦✜❼✤✇❙④⑨⑧❈s✾❞❑⑦✜②➎⑦✸⑧❍t☛s✕❛t ➉✲⑤✫④❁⑤☛✉✆✉●❞✔⑧✾❞❣s✕❻✚②❡⑥❡⑥➓✇✡⑦✜✇❷⑤✫⑥❡⑥✿➄✝➃➇❞❱❞✔④✡⑩❣⑤☛⑦✾❞❣❸✝❻✚②✿⑧✾❼❙②❡④❹⑧✾❼❙❞✒➁❙s❍t✫⑧❍❞❣⑩➑⑧❍②✿③☞❞✰✉✆❞✔⑧❍⑤✫⑥ ➐ ④✦shunt ❼❙t☞✇✡⑦✜②❡④❙①✼t✫➉➓⑧✾❼❙❞✰✉✆❞✖⑧✾❞❣s❭✇❙④✡②❉⑧❑❶⑨❼✡②❡❸❙❸❙❞✔✾ ④ ❺➉ s❍t☛✉➔⑦✾②✿①☞❼☞⑧♠➊ ß t✫⑧❍❞✽⑧✾❼✡❞✰⑩✖t☞④✡⑦✜⑧✾s❍✇✡⑩➑⑧❍②✿t☞④✝❛t ➉➓⑧✾❼✡❞✰⑤✫✉✆✉✆❞✖⑧❍❞✔s♦②✿④✝⑧❍❼❙❞❃➉❺t☞⑥✿⑥❡t✬❻✚②❡④❙① ➁❙❼❙t☛⑧✾t☞①☛s✍⑤✫➁❙❼ ❤

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✑❈❼❙②➎⑦✕➁✡⑤✫s✾⑧✾②➎⑩✖✇❙⑥➎⑤✫s✚⑤☛✉●✉✆❞✔⑧✾❞✔s❈②➎⑦❈⑤✫④★⑤✫✇✣⑧❍t☛✉✆t✫⑧❍②✿③☞❞❄✇❙④❙②✿⑧✽✉✝⑤✫④✤✇☛➉→⑤☞⑩➑⑧✾✇✡s✾❞❑❸❀➃✤➄✦➣⑨⑧✾❞❣❻✕⑤☛s✜⑧✾✛ ↔ ⑤✫s❍④❙❞❣s✮➊ ✞ ⑥✿⑧✾❼❙t☞✇❙①☛❼❁⑧✾❼✡❞ ✥ ✐ ✞ s❍⑦✾t☛④✤③✬⑤✫⑥♦✉●❞✔⑧✾❞❣s➅✉✆t✬③☛❞❣✉●❞❣④⑨⑧✼②❉⑧✍⑦✜❞❣❀⑥ ➉✽➁❙s❍t☛➃❷⑤✫➃❙⑥❡➄❦❼❷⑤☛⑦✼⑤①➉❺✇✡⑥✿⑥❈⑦✾⑩❣⑤✫⑥❡❞❀s✍⑤✬⑧✾②❡④❙①❚②❡④❲⑧✾❼✡❞✦s✍⑤✫④❙①☞❞✝❛t ➉✚✉✆②✿⑥❡⑥✿②➎⑤✫✉✆➁✡⑦❣❶✲⑧✾❼✡❞ ❳ ✉✆❞✖⑧❍❞✔s❄⑤☞⑦✚⑤✆❻✚❼❙t☛⑥❡❞❱❼✡⑤☛⑦✚⑤✆s✍⑤✫④❙①☞❞❱t❛➉✍ë❆➣❿✛ ÿ✫➙ ⑤✫✉✆➁✡⑦✮➊❭✑❈❼❙❞✼⑦✾❼✤✇❙④⑨⑧✽s✾❞❑⑦✜②➎⑦✜⑧✾t☛s❈➁❙s❍t✬③✤②❡❸❙②✿④❙①❳⑧✾❼✡②❡⑦❄❼❙②✿①☞❼❹⑩✔✇❙s❍s✾❞❣④☞⑧✚s✍⑤✫④❙①☞❞ ②➎⑦✼❞✔④❷⑩✖⑥❡t☞⑦✾❞❣❸❬❻✚②❉⑧❍❼❙②❡④✟⑧✾❼❙❞✦✉●❞✔⑧❍⑤☛⑥❭❼❙t☞✇✡⑦✜②❡④❙①☎✫t ➉✕⑧❍❼❙❞✦✉✆❞✔⑧✾❞✔s♠➊ ß t✫⑧❍❞✦⑤✫⑥➎⑦✾t☎❻✚②❉⑧❍❼✟⑧✾❼❙②➎⑦✼➁❷⑤✫s✾⑧✾②➎⑩✖✇❙⑥➎⑤✫s✼✉✆❞✔⑧✾❞✔s✼⑧✾❼✡⑤✫⑧➅⑧✾❼✡❞ ④❙❞❣❞❣❸✣⑥❡❞✦⑩✖❞❣④⑨⑧✾❞✔s✍⑦✼⑤✫⑧➅↔✔❞❣s✾t❚⑤☛✉●➁❷⑦➅⑤✫④❷❸❬⑩❣⑤✫④✟②❡④✡❸✣②➎⑩✔⑤✫⑧✾❞❀❞❣②❉⑧❍❼❙❞✔s●⑤❚❢✫➁➇t☞⑦✾②❉⑧❍②✿③☞❞❣❢★⑩✖✇✡s✾s❍❞✔④⑨⑧✼t☛s❳⑤❚❢✫④❙❞❣①☞⑤✫⑧✾②❡③☛❞❣❢★⑩✔✇❙s✾s❍❞✔④⑨⑧♠➊ ↕♦t☛④✡④❙❞❣⑩✖⑧✾❞❣❸●⑧❍t✼⑧❍❼❙❞✽➃✡⑤✫⑧✜⑧✾❞❣s✾➄✆⑩✍❼✡⑤☛s✾①☞②✿④❙①✼⑩✔②✿s✍⑩✖✇✡②❉⑧❭✫t ➉❇⑤✫④✦⑤☛✇✣⑧✾t☞✉●t☞➃❙②❡⑥✿❞☞❶✫⑧✾❼✡②❡⑦♦✉✆❞✖⑧✾❞❣s❭②➎⑦❭⑤☛➃❙⑥✿❞✽⑧✾t➅②❡④✡❸✣②➎⑩✔⑤✫⑧✾❞❄⑤➅⑩✍❼✡⑤✫s❍①☛②❡④❙① ⑩✖t☞④✡❸✣②✿⑧✾②❡t☛④❩✧→❞✔⑥❡❞❣⑩✖⑧✾s❍t☛④✡⑦ ✓ t✬❻✚②❡④❙❆① ➉❺s❍t☛✉➔①☛❞❣④❙❞✔s✍⑤✬⑧❍t☛s✗⑧❍t➅➃✡⑤✫⑧✜⑧❍❞✔s❍➄ ✩ t☛s❈⑤➅❸✣②➎⑦❍⑩✍❼✡⑤✫s❍①☛②❡④❙①✼⑩✖t☞④✡❸✣②✿⑧✾②❡t☛④❩✧→❞✔⑥❡❞❣⑩✖⑧✾s❍t☛④✡⑦ ✓ t✬❻✚②❡④❙① ➉❺s❍t☛✉➙➃✡⑤✫⑧✜⑧❍❞✔s❍➄✝⑧✾t✆⑧❍❼❙❞✄s✾❞❑⑦✸⑧✚✫ t ➉❴⑧❍❼❙❞✄⑩✔⑤✫s❑✐ ⑦❈⑥✿t⑨⑤☛❸❙⑦ ✩ ➊ ✞ ⑦❽②➎⑦❽⑧✾❼❙❞✚⑩❣⑤☛⑦✾❞♦❻✚②✿⑧✾❼●✉➅✇❙⑥✿⑧✾②❡➁❙⑥❡❞✖✛Ps❍⑤☛④❙①☛❞✕③☛t☞⑥❉⑧❍✉✆❞✖⑧✾❞❣s❍⑦❣❶✫⑤✫✉✆✉✆❞✖⑧❍❞✔s✍⑦✲⑩✔⑤✫④❳➃❷❞❈①☞②✿③☞❞✔④➅✉✆t☞s✾❞♦⑧✾❼✡⑤☛④❳t☞④❙❞✕✇✡⑦✾⑤☛➃❙⑥❡❞♦s✍⑤✫④❙①☞❞ ➃✤➄❀②❡④✡⑩✖t☞s✾➁➇t☛s✍⑤✬⑧❍②✿④❙①✆⑦✾❞✔③☛❞❣s❍⑤☛⑥➓⑦✜❼✤✇❙④⑨⑧✚s✾❞❑⑦✜②➎⑦✜⑧✾t☛s✍⑦❈⑦✜❻✚②✿⑧❍⑩✍❼✡❞❣❸❹❻✚②❉⑧❍❼☎⑤❳✉❳✇❙⑥✿⑧✾②✿✛❆➁➇t☛⑥❡❞✄⑦✜❻✚②✿⑧❍⑩✍❼ ❤

ä

➜A multirange ammeter 500 Ω F.S. = 1 mA

-

+

➛R range selector â switch

➛ R1 ➛ R2 ➛ R3 4

black test lead

red test lead

ß t☛⑧✾②➎⑩✖❞✰⑧✾❼✡⑤✫⑧❈⑧✾❼❙❞✄s✍⑤✫④❙①☞❞❄s❍❞❣⑦✾②❡⑦✜⑧✾t☞s❍⑦✕⑤✫s❍❞❱⑩✖t☛④✡④❙❞❣⑩✖⑧✾❞❣❸❀⑧✾❼❙s❍t☛✇✡①☛❼❁⑧✾❼❙❞✄⑦✾❻✚②❉⑧✍⑩✍❼❁⑦✾t✆⑤☞⑦♦⑧✾t●➃❷❞✄②❡④❁➁❷⑤✫s✍⑤✫⑥❡⑥✿❞❣⑥❷❻✚②✿⑧✾❼❹⑧✾❼✡❞ ✉ ❞✖⑧❍❞✔s❱✉✆t✬③☛❞✔✉✆❞❣④☞⑧❑❶➓s❍⑤✫⑧✾❼❙❞❣s✒⑧✾❼✡⑤☛④❦②❡④❦⑦✾❞✔s❍②✿❞❑⑦❱⑤☛⑦✒②❉⑧✄❻❈⑤☛⑦✒②❡④❩⑧❍❼❙❞✆③☛t☛⑥✿⑧✾✉✆❞✔⑧✾❞✔s❱❸✣❞❑⑦✜②❡①☛②④ ➊●✑❈❼❙❞●✢✡③☛❞✔✛❆➁➇t☞⑦✾②✿⑧✾②❡t☛④❩⑦✾❻✚②❉⑧✍⑩✍❼ ✆ ✉✝⑤❛☞➹ ❞❣⑦❱⑩✖t☞④☞⑧✍⑤☛⑩✖⑧✒❻✚②✿⑧✾❼❲t☛④✡⑥✿➄☎t☞④❙❞✆s✾❞❑⑦✜②➎⑦✸⑧❍t☛s❱⑤✬⑧✼⑤✦⑧✾②❡✉●❞☞❶➂t✫➉✕⑩✖t☞✇❙s✍⑦✜✪❞ ➊ ➐ ⑤☞⑩✍❼❩s❍❞❣⑦✾②❡⑦✜⑧✾t☞s✰②➎⑦✄⑦✜②❡↔✔❞❑❸❦⑤☞⑩✔⑩✔t☛s✍❸✣②✿④✡①☛⑥❡❄ ➄ ❺➉ t☞s✄⑤ ❸✣② ➶ ❞❣s✾❞❣④⑨⑧■➉❺✇❙⑥✿⑥✿✛➝⑦✾⑩❣⑤✫⑥❡❞✒s✍⑤✫④✡①☛❞☛❶✤➃✡⑤☞⑦✜❞❑❸✦t☞④✦⑧❍❼❙❞✄➁✡⑤☛s✜⑧❍②❡⑩✔✇❙⑥❡⑤☛s✚s❍⑤✫⑧✾②❡④❙①●t❛➉❽⑧✾❼❙❞✄✉✆❞✖⑧❍❞✔s✚✉✆t✬③☛❞❣✉✆❞✔④⑨⑧✼✧ ✠ ✉ ✞ ❶❷❥ ➙✫➙✘➯ ✩ ➊ ↔ ②✿⑧✾❼❳⑦✾✇✡⑩✍❼●⑤❄✉✆❞✖⑧❍❞✔s✲❸✣❞❣⑦✾②❡①☛④❇❶✬❞❑⑤☛⑩✍❼➅s❍❞❣⑦✾②➎⑦✸⑧❍t☛s➂③✬⑤☛⑥✿✇❙❞✕②➎⑦❽❸❙❞✖⑧✾❞❣s✾✉✆②❡④❙❞❣❸➅➃✤➄✰⑧❍❼❙❞✚⑦✾⑤☛✉✆❞✗⑧✾❞❑⑩✍❼❙④❙②➎➞⑨✇❙❞☛❶✫✇❷⑦✜②❡④❙①✰⑤✓➹✤④❙t✬❻✚④ ⑧✾t☛⑧❍⑤☛⑥❷⑩✖✇✡s✾s❍❞✔④⑨⑧❣❶⑨✉✆t✬③☛❞❣✉●❞❣④⑨⑧✍➉❺✇❙⑥✿⑥✿✛➝⑦✾⑩❣⑤✫⑥❡❞❄❸✣❞ ✓ ❞❣⑩➑⑧❍②✿t☞④❀s✍⑤✬⑧✾②❡④❙①❷❶☞⑤✫④❷❸✆✉●t✬③☞❞✔✉✆❞✔④⑨⑧❭s❍❞❣⑦✾②➎⑦✸⑧✍⑤✫④✡⑩✔❞✫➊❶✃✡t☛s✕⑤✫④✦⑤☛✉●✉✆❞✔⑧✾❞✔s♦❻✚②❉⑧❍❼ s✍⑤✫④❙①☞❞❣⑦✕t❛➉ ✮✠ ➙✪➙ ✉ ✞ ❶ ✠ ✞ ❶ ✮✠ ➙ ✞ ❶✡⑤✫④✡❸ ✮✠ ➙✪➙ ✞ ❶✣⑧✾❼✡❞✼⑦✜❼✤✇❙④⑨⑧✽s❍❞❣⑦✾②❡⑦✜⑧❍⑤☛④✡⑩✖❞❑⑦♦❻✕t☛✇✡⑥❡❸❁➃❷❞✼⑤☞⑦✚⑦✜✇❷⑩✍❼ ❤

✮✲➉ ♥❄➊✰✯✲✱♦➋✴✳✣❧✱➷ ✮✶✵ ✱✰✯✲✱♦➋✚♣✸✷✄➬ ✮ ♣✸➋ ✮✒✹ ♣✔✯✻✺

q ➙✪ÿ 500 Ω F.S. = 1 mA

-

+ 100 A

range selector switch

10 A 1A 100 mA

R1

R1 = 5.00005 mΩ

R2

R2 = 50.005 mΩ

R3

R3 = 500.5005 mΩ

R4

R4 = 5.05051 Ω

off black test lead

red test lead

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E2 (0.5 V)2 = ➸ R1 5.00005 mΩ

PR2 =

E2 = R2

➸50.005 mΩ

PR3 =

E2 = R3

➸500.5 mΩ

PR4 =

E2 = R4

➸50 W

(0.5 V)2

➸5 W

(0.5 V)2

➈0.5 W

(0.5 V)2 ➸5.05 Ω

49.5 mW

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Rshunt

+ V voltmeter -

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Rshunt 1Ω

2 Rload 15 kΩ

12 V

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9V

-

+

black test lead

red test lead

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9V -

+

18 mA black test lead

red test lead

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❐9 V

F.S. = 1 mA

-

black test lead

+

ðR

red test lead

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E 9V Rtotal = = I 1 mA

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Rtotal = 9 kΩ R = Rtotal - 500 Ω = 8.5 kΩ

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An ohmmeter’s logarithmic scale

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300

150

100

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Rtotal =

E 9V = ñ I 500 µA

Rtotal = 18 kΩ

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750 µA

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= 12 kΩ

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test

= Rtotal - Rinternal

test

= 12 kΩ - 9 kΩ

total

ðR

Rtest = 3 kΩ

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I (current)

E (voltage) ionization potential

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Simple high-voltage ohmmeter

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0

Magnet 1

1 2

Magnet

2

3 3

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✮✲➉ ♥❄➊✰✯✲✱♦➋✴✳✣❧✱➷ ✮✶✵ ✱✰✯✲✱♦➋✚♣✸✷✄➬ ✮ ♣✸➋ ✮✒✹ ♣✔✯✻✺

q☛q Ô High voltage

2

3

1

Red

Black

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1

Magnet

2

Magnet

1

3 Current through coils 2 and 3; no current through coil 1

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2

3

1

Guard

Line

Earth

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q☛q☞q

➦cable

Cable

sheath

➦conductor

➦conductor

insulation

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wire wrapped around ➦cable sheath

G

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q☛q r

sheath

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c1-s

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c1-c2

1

➦conductor

2

Line

Earth Megger

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ß

G

L

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Megger with "Guard" ➦connected

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q☛q Ý sheath

ðR

c1-s

➦conductor

ðR

ðR

c2-s

c1-c2

1

➦conductor

2

Line Guard

Earth Megger

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pipe or tube Water 20 PSI compressed air supply air flow LT water "level transmitter" (LT)

analog air pressure signal LI

water "level indicator" (LI)

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Water

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Level transmitter Level indicator potentiometer moved by float voltage drop +

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output -

-

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voltage drop float

Due to voltage drops along

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+ electron flow Current in this circuit remains constant, regardless of circuit resistance. Only voltage will change!

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Level transmitter Level indicator voltage drop + float position changes output of current source

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-

A -

+

voltage drop

Being a simple series

current is equal ✗circuit, at all points, regardless of any voltage drops!

float

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Indicator (1-5 V instrument) + V -

+

-

250 Ω + 4 - 20 mA current signal

A -

Transmitter

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Indicator (4-20 mA instrument)

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⑤ ⑥voltmeter with

③scale calibrated

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Tachogenerator

+

in RPM (Revolutions V Per Minute)

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✿④

☞④

☛④

✿④

Seebeck voltage

❾ junction

iron wire

(heated)

small voltage between wires;

voltage produced as ❾ more junction temperature increases.

+

copper wire -

Seebeck voltage

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❙④

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➅a second iron/copper ➄ junction is formed!

➄

junction

☞④

-

+

iron wire

+

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➃copper wire

❙④

-

➃copper wire ④

➃copper wire

☛④

+ V -

☛④❙④

☞④ ❣④ ✔④ ❣④ ✆③ ✔④ ❙④ ☞④ ✫④ ✕③ ☛④ ✿④ ✔④ ✼➆ ❣④ ❙④ ☞④ ☛④ ❤➇❭③ ❣④ ✿④ ☛④ ❡④ ✿④ ❙④ ☞④ ❡③ ❣④ ✔④ ❙④

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☛④

③

❙④

④

☛④

❡④ ❡④

✔④

☞④

These two junctions in series form ➈ the equivalent of a single iron/constantan ➈ junction in opposition to the measurement junction on the left. iron/copper + measurement ➄ junction -

☛④

iron wire

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copper wire

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constantan wire iron wire

copper wire

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constantan wire iron wire

-

Rswamp

Rswamp

The meter will register a more realistic average of all junction temperatures with the "swamping" resistors in place.

constantan wire iron wire

Rswamp

constantan wire

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➽ wire connection point

MEASUREMENT ELECTRODE

glass body

seal

➽

silver wire + + + -

- +

➼

bulb filled with potassium chloride "buffer" solution

silver chloride tip -

+ -

+ +

+ -

+

+ + + + + - - -

➾ voltage produced

-

➽➼

➾

very thin glass bulb, chemically "doped" with lithium ions so as to react with hydrogen ions outside the bulb.

across thickness of glass membrane

②➚

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ï➸î

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wire connection point

REFERENCE ELECTRODE

glass or plastic body

silver wire

filled with potassium chloride "buffer" solution

silver➼ chloride tip

porous junction

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Rmeasurement electrode

Ü voltage

Ý

400 MΩ

produced by electrodes

V Rreference electrode

+ precision voltmeter -

3 kΩ

➇❷Þ ✆➪ ß ➪➡Þ ➪ ➹❿×r❐❿❮➋➪⑩➘❋➘❻➱✞➷❋➹✂➱✞Ï✄➷➂➶➸➱✞Ï✄➹❂➹ ➪✆ß ➶✉➶❿➹✂➪✜Þ ➪ ➘➂➷ ß ❒✬➶ ➾ ➹❂✃✴Ï✄❒ ➾ ➶ ➾✞➪✥➾ ➷❋❒ ➾ ➹ ➪ ❐❿➷➽❐➒➶✂➪ ß ➱ ➪ ❐♥✃⑩õ ➪ ➪✩➱ ➾ ➱✱✃✴❮❼❰⑧✃ ß✞➪➎ß ➶Õ➷ ß ➶ ➾✾➪ ➱✞➷❋➹✂➱✞Ï✄➷➂➶➡✃ ➪ ❐❿❰ ➪ ➱✞➷➽➪⑩➘❋➘➂×Ö➶ ➾✞➪ ❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶ ➪ ➘ ➪ ➱✞➶❿➹❂✃✳➮ ➪ Û ❐✺❒✩➘❋➪✩❐❿❐✺❮ ➪ ❮☛Ò✄➹❂➪ ß✞➪ ❐✞Ñ✳➚✥➷➂➘❋➘✯❰✄➹❂✃✳➮✄Ï❻➱ ➪ ➹ ➪ ➘❋➪⑩➶❿➷✷Þ ➪ ➘➂×➋❐❿Ï✄Ò❻❐➁➶❂➪ ß ➶❂➷❋➪✴➘ Þ✴✃✩➘❄➶✂➪⑩❒ ➪ ➮➀➹❿✃✩❰❻❐✐➪✩➱✞➹❂✃✩❐❂❐★➶ ➾ ✃➬❐ ➪ ➹ ➪ ❐➁➷➽❐➒➶✂➪ ß ➱ ➪ ❐✛Ñ♥❐ ➪ ➹❂➷❋✃✴Ï❻❐❿➘➂×Ø➹ ➪ ➮➀Ï❻➱✱➷ ß ❒❙➶ ➾✞➪ Þ✩✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ❐ ➪✆➪✆ß Ò✳×➫➶ ➾✾➪ ❮ ➪ ➶ ➪ ➹✟ì➹❼❙➪P✝✳➷ ß ❒ ❮➋➪✶➶❿➶ ➪ ➹✂❐✐➚➛✃✴➹✂❐ ➪ ➷❋❐r➶ ➾✞➪ õ➙➪✴➱✞➶r➶ ➾ ➪✶➶r➶ ➾✞➪ Þ✩✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ➮➀➷✠✟ ➪ ➹ ➪➎ß ➶❿➷➽➪⑩➘➛❒ ➪✆ß✾➪ ➹✂➪✶➶ ➪ ➮➫Ò➬×➫➶ ➾✞➪ ❮ ➪ ➪✩❐➁Ï❻➹ ➪ ❮ ➪➎ß ➶ ➪ ➘ ➪ ➱✞➶❿➹❂✃✳➮ ➪ ➷❋❐ Þ ➪ ➹❿×✸❐❿❮➋➪⑩➘❋➘✏Ñ✰➷ ß ➶ ➾✾➪ ❮❼➷❋➘➂➘❋➷✠✩Þ ✃✴➘➂➶②➹✂➪ ß ❒ ➪ ➙✃ ➷❋➮ ➪ ➪⑩➘❋➘➂× â✥❆ ì✷à í ❮❼➷❋➘➂➘❋➷✷Þ✴✃✴➘➂➶❂❐✬❰ ➪ ➹★❰✾➶ Ï ß ➷➂➶Ú➪⑩➶②➹❂✃✳✃✴❮✒➶ ➪ ❮❼❰ ➪ ➹❂➪⑩➶❿Ï✄➹ ➪ ❐✞ì➡➚ ➾✾➪ ❮ ➪ ➶ ➪ ➹✥Ï❻❐ ➪ ➮➏õ✜✃✴➹✔➶ ➾ ➷➽❐✔➶❂➪✩❐❦Ö ✝ ❮☛Ï❻❐➁➶✌Ò ➪ Þ ➪ ➹❂×Ö❐ ➪➎ß ❐➁➷➂➶❿➷✷Þ ➪ ➪ ß ➮ ➾ ➪✜Þ ➪ ➪ ß❽➪ ☎✳➶❿➹ ➪ ❮ ➪ ➘➂× ➾ ➷➂❒ ➾ ➷ ß ❰✄Ï✄➶✌➹ ➪ ❐➁➷➽❐➒➶✂➪ ß ➱ ➪ ì ➚ ➾✞➪ ❮✆✃➬❐➒➶Ú➱✞✃✩❮❼❮✆✃ ß ❐❿✃✴➘❋Ï➀➶❿➷❋✃ ß ➶❂✃Ð➶ ➾ ➷➽❐✬❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶✬❰✄➹❂✃✴Ò❻➘ ➪ ❮✒➷➽❐✬➶❿✃❸Ï❻❐ ➪ ➪ ß ➪⑩❮❼❰✄➘❋➷⑧á ➪ ➮✸❮ ➪ ➶ ➪ ➹★➚✥➷➂➶ ➾ ➪ ß ➪ ✳☎ ➶❂➹ ➪ ❮ ➪ ➘➂× ➾ ➷❋❒ ➾ ➷ ß ➶ ➪ ➹ ß ➪⑩➘♥➹ ➪ ❐➁➷➽❐➒➶✂➪ ß ➱ ➪ ➶❿✃❸❮ ➪ ➪✩❐➁Ï✄➹ ➪ ➶ ➾✞➪❹➪ ➘ ➪ ➱✖➶❂➹❿✃➀➮ ➪ ✴Þ ✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ Ñ⑧❐❿✃Ð➪✴❐✿➶❿✃❤➮➀➹✂➪Ý➚❯➪✴❐✬➘➂➷➂➶➁➶❂➘ ➪ ➱✞Ï✄➹❂➹ ➪✆ß ➶ ➶ ➾ ➹❿✃✩Ï✄❒ ➾ ➶ ➾✾➪ ➱✞➷❋➹❂➱✱Ï✄➷➂➶➸➪✴❐✉❰⑧✃✩❐❂❐➁➷❋Ò✄➘ ➪ ì❂➓ ❅ ➷❄➶ ➾ ❮❼✃➀➮ ➪ ➹ ß ❐ ➪ ❮✆➷➽➱✞✃ ß ➮➀Ï❻➱✞➶❿✃✩➹Õ➱✞✃✴❮❼❰⑧✃ ß✞➪➎ß ➶❂❐✛Ñ✩➪➡✴Þ ✃✩➘❄➶❂❮ ➪ ➶ ➪ ➹Õ➚✥➷➂➶ ➾ ➪ ß ➷ ß ❰✄Ï➀➶ ➹ ➪ ❐❿➷❋❐➁➶❂➪ ß ➱ ➪ ✃⑩õ★Ï✄❰♣➶❿✃â✛ à ö✕➲Öã❻è ä ➱✱➪ ß Ò ➪ Ò✄Ï✄➷❋➘❄➶Ð➚✥➷➂➶ ➾ ➘❋➷❄➶❿➶❿➘ ➪ ➮➀➷✠➋ ➂ ➱✱Ï✄➘➂➶➒×✴ì ❒ ß ✃⑩➶ ➾✾➪ ➹Ö➪⑩❰❻❰✄➹❿✃➬➪✴➱ ➾ Ñ✺❐ ➪ ➘❋➮➀✃✩❮▼❐ ➪✆➪➎ß ➷ ß ➱✞✃ ß ➶ ➪ ❮❼❰⑧✃✴➹✂➪⑩➹❂×❼Ï❻❐ ➪ Ñ➀➷❋❐➛➶❂✃☛Ï❺❐ ➪ ➪✆❰❺✃✴➶ ➪➎ß ➶❂➷➂✃✩❮ ➪ ➶❿➹❂➷➽➱✩å ß Ï❻➘➂➘✠÷➘ Ò❺➪⑩➘➽➪ ß ➱ ➪ å✎Þ✩✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶✔❐ ➪ ➶❂Ï✄❰➏➶❿✃❼❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ➶ ➾ ➷❋❐✵Þ✩✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ➚✥➷❄➶ ➾ ✃✴Ï➀➶➛➮➀➹❂➪Ý➚✥➷ ß ❒❑æ✽ç✤✔ è ➱✱Ï✄➹❂➹ ➪➎ß ➶❾õ✜➹❂✃✴❮❯➶ ➾✞➪ ➱✞➷❋➹✂➱✞Ï✄➷➂➶ÕÏ ß ➮ ➪ ➹✉➶ ➪ ❐➒➶✟ì✙➆✢ õ✰➪✬➶ ➪ ➱ ➾✞ß ➷➽➱✞➷➽➪ ß ➮ ➪ ❐➁➷❋➹ ➪ ➮✐➶❂✃✐➱ ➾✞➪ ➱✯✝ ➶ ➾✾➪ ✴ Þ ✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ✃✴Ï➀➶❂❰✄Ï➀➶ÕÒ ➪ ➶➒➚ ➪✆➪➎ß ➪②❰❻➪✴➷➂➹✉✃✴õ❺❰✾➶ ➪ ➘ ➪ ➱✖➶❿➹❂✃➀➮ ➪ ❐✛Ñ✶➶ ➾ ➷❋❐Õ➚✺✃✩Ï✄➘❋➮☛❰✄➹❂✃✴Ò❻➪✴Ò✄➘❋×ÚÒ ➪ ➶ ➾✞➪ ❮❼✃✩❐➁➶❾❰❻➹❂➪✩➱✖➶❿➷➽➱✱➪✴➘➀❮ ➪ ➪ ß ❐ ✃⑩õ✉➮➀✃✩➷ ß ❒➋❐❿✃☛Ï❺❐➁➷ ß ❒➋✃ ß ➘➂×Ð❐➁➶❂➪ ß ➮✄➪✴➹❂➮➏Ò ➪➎ß ➱ ➾ ➶❿✃✩❰➏❮ ➪ ➶ ➪ ➹❂➷ ß ❒ ➪ ã Ï✄➷➂❰❻❮ ➪➎ß ➶➎❮ Rmeasurement electrode

null

400 MΩ voltage

by éproduced electrodes Rreference electrode

precision variable ③voltage source

+ V -

ê3 kΩ ❒ ❐✌Ï❻❐➁Ï❺➪⑩➘÷Ñ✄➶ ➾✾➪ ❰✄➹ ➪ ➱✞➷➽❐❿➷➂✃ ß Þ✩✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ❐➁Ï❻❰✄❰✄➘❋×➏➚➛✃✴Ï✄➘➽➮❸Ò ➪ ➪✴➮Ýä➒Ï❺❐➒➶ ➪ ➮❤Ò✳×Ö➶ ➾✞➪ ➶ ➪ ➱ ➾✞ß ➷➽➱✞➷➽➪ ß Ï ß ➶❂➷➂➘➨➶ ➾✞➪✎ß Ï✄➘❋➘➨❮ ➪ ➶ ➪ ➹ ➹ ➪ ❒✴➷➽❐➁➶ ➪ ➹ ➪ ➮ æ ➪ ➹❂✃❻Ñ✩➶ ➾✾➪✆ß ➶ ➾✞➪ Þ✴✃✩➘❄➶❂❮ ➪ ➶ ➪ ➹➛➱✱✃ ß✞ß✾➪ ➱✖➶ ➪ ➮Ð➷ ß ❰❻➪⑩➹✂➪⑩➘❋➘ ➪ ➘⑧➚✥➷❄➶ ➾ ➶ ➾✾➪ ❐❿Ï✄❰✄❰❻➘➂×➋➚➛✃✴Ï✄➘➽➮ÖÒ ➪ Þ✳➷ ➪ ➚ ➪ ➮❼➶❿✃✆✃✴Ò➀➶✂➪⑩➷ ß ➪❑Þ✩✃✴➘➂➶❂➪⑩❒ ➪ ➹ ➪ ➪✴➮➀➷ ß ❒❺ì❈❅➓➷❄➶ ➾ ➶ ➾✾➪②ß Ï✄➘❋➘➨❮ ➪ ➶ ➪ ➹②Ò❻➪⑩➘➽➪ ß ➱ ➪ ➮✯Ñ❻➶ ➾✞➪ ➹ ➪ ❐ ➾ ✃✴Ï✄➘➽➮❤Ò ➪ æ ➪ ➹❿✃Ð➱✱Ï✄➹❂➹ ➪➎ß ➶✬➷ ß ➶ ➾✞➪ ❰✾➶ ➪ ➘ ➪ ➱✞➶❿➹❂✃➀➮ ➪ ➱✞➷❋➹✂➱✞Ï✄➷➂➶✛Ñ➲➪ ß ➮✸➶ ➾✞➪ ➹ ➪ õ✜✃✩➹ ➪❹ß ✃✫Þ✩✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ➮➀➹❂✃✴❰❻❰ ➪ ➮Ó➪✴➱✱➹❿✃➬❐❿❐✿➶ ➾✾➪ ➹ ➪ ❐❿➷❋❐➁➶❂➪ ß ➱ ➪ ❐✿✃✴õ ➪ ➷➂➶ ➾✾➪ ➹ ➪ ➘ ➪ ➱✞➶❿➹❂✃✳➮ ➪ Ñ✰❒✴➷✷Þ✳➷ ß ❒➏➶ ➾✾➪ ➹ ➪ ➪✴➘ ➪ ➘ ➪ ➱✞➶❿➹❂✃➀➮ ➪ Þ✴✃✴➘➂➶❂➪✴❒ ➪ ➪✶➶✥➶ ➾✞➪ ✴Þ ✃✴➘➂➶❿❮ ➪ ➶ ➪ ➹✔➶ ➪ ➹❂❮❼➷ ß ➪✴➘❋❐✛ì ❅➓➷❋➹❿➷ ß ❒Ð➹ ➪ ã Ï✄➷❋➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶❂❐✿õ✜✃✴➹★❰✾➶ ➪ ➘ ➪ ➱✞➶❿➹❂✃➀➮ ➪ ❐✬➶ ➪➎ß ➮✸➶❂✃➏Ò ➪➐➪ Þ ➪✆ß ❮❼✃✴➹ ➪ ❐ ➪ Þ ➪ ➹ ➪ ➶ ➾ ➪ ß ➶ ➾✞➪ ➹❿❮❼✃➀➱✞✃✩Ï✄❰✄➘ ➪ ➚✥➷❋➹❿➷ ß ❒❺Ñ ➮ ➪ ❮❼➪ ß ➮➀➷ ß ❒ëÞ ➪ ➹❂×→➱✞➘ ➪ ➪ ß ➱✞✃ ß✞ß✞➪ ➱✞➶❿➷❋✃ ß ❐✆➪ ß ➮➧❐ ➾ ✃✴➹❿➶✆➮➀➷➽❐➁➶❂➪ ß ➱ ➪ ❐✆✃✴õ✌➚✥➷➂➹ ➪ ✃❦✛ à öÓ×✩➪⑩➹✂➮✄❐☛✃✴➹✆➘ ➪ ❐❿❐✛Ñ ➪ Þ ➪✆ß ➚✥➷❄➶ ➾ ❒✴✃✩➘❋❘➮ ➘ ❰✄➘➽➪✶➶ ➪ ➮❸➱✞✃ ß ➶✂➪✴➱✖➶✂❐✺➪ ß ➮Ð❐ ➾ ➷ ➪ ➘➽➮ ➪ ➮❸➱✱➪✴Ò✄➘ ➪ Õ ❐ õ✜✃✴➹✥➪✴➱✛➱✞Ï✄➹✂➪✶➶ ➪ ➪ ß ➮Ö➹ ➪ ➘❋➷❋➪✴Ò✄➘ ➪ ❮ ➪ ➪✩❐➁Ï❻➹ ➪ ❮ ➪➎ß ➶✛ì ❒ ❐✔➚✥➷➂➶ ➾ ➶ ➾✞➪ ➹❿❮❼✃➀➱✞✃✩Ï✄❰✄➘ ➪ ❐✛Ñ ➮ Þ✶➪ ß ➶✂➪⑩❒ ➪ ❐✯✃⑩õ ➪ ➘ ➪ ➱✖➶❂➹❿✃➀➮ ➪ ❰✤➧ ➶ ❮ ➪ ➪✩❐➁Ï❻➹ ➪ ❮ ➪➎ß ➶➴➪⑩➹ ➪ ✃P✟✯❐ ➪ ➶➴Ò✳×②➶ ➾✾➪ ➪✴➮✞ÝÞ ➪ ß ➶❂➪⑩❒ ➪ ❐➎✰❮ ❒✴✃✳✃➀➮✐➪✴➱✛➱✞Ï✄➹✂➪✴➱✱× ➾ ✃✶➚ ➪ Þ ➪ ➹✟Ñ✞➶ ➾✾➪ ➮➀➷➽❐❂➪✴❘ ➪ ß ➮Ð➹ ➪ ➘➽➪✶➶❂➷✠Þ ➪ ➶ ➪ ➱ ➾✞ß ➷❋➱✛➪⑩➘➲❐❿➷➂❮❼❰✄➘❋➷❋➱✱➷❄➶➒×✩ì ➶ ❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶✟Ñ ì ➪ ➚Ô➷ ß ❐➒➶❂➹❿Ï❻❮ ➪➎ß ➶❂➪✶➶❂➷➂✃ ß ➶ ➪ ➱ ➾✞ß ✃✩➘➂✃✩❒✴➷ ➪ ❐➴➷ ß ❐➁❰✄➷❋➹ ➪ ➶ ➾✞➪ ➪Ý➚ ➪ ➪ ß ➮r❮r×➀❐➒➶❂➷ ã Ï ➪ ➱✞✃✩❮❼❮❼➪ ß ➮ ➪ ➮✐Ò✳×Ú❰✾♣ Ò ➪ ➱✱➪✴Ï❻❐ ➪ ➷➂➶♥➷➽❐➴❐❿✃✌➚✥➷➽➮ ➪ ➘❋×★❮❼➷❋❐❿Ï ß ➮ ➪ ➹❂❐➁➶❿✃✳✃➀➮✐➪ ß ➮✐➮➀➷✠Ö ➂ ➱✞Ï✄➘➂➶❾➶❿✃✌➶❂➹❿✃✩Ï✄Ò✄➘ ➪ ❐ ➾ ✃✳✃⑩➶✟ì➷➓ ❅ ➷❄➶ ➾ ✃✴Ï✄➶ ➪ ➘❋➪✴Ò❺✃✩➹❂➪⑩➶❿➷ ß ❒✌✃ ß ➶ ➾✞➪❤➪ ✄☎ ➪✴➱✞➶ ➱ ➾✞➪ ❮✆➷➽❐➁➶❿➹❂×Ó✃⑩õ✥❰✾➶ ❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶✛Ñ❾➪❸õ ➪ ➚④➚➛✃✴➹✂➮✄❐★✃✴õ✔➚✥➷➽❐❂➮➀✃✴❮ë➱✱➪ ß Ò ➪ ❒✩➷✠Þ ➪✆→ ➶ ❮ ➪ ➪✴❐❿Ï✄➹ ➪ ❮ ➪✆ß ➶ ß ➾✞➪ ➹ ➪ ➪✴Ò❺✃✩Ï➀➶r❰✾④

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resistance measured between these two points

very thin metal wire strain gauge conductors bonded (cemented) to backing surface

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R1

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V strain gage ➛ (subjected to #1 mechanical force)

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(isolated from mechanical force)

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strain gage ➛ #2

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chosen node R1 4Ω ✢

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4Ω

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Kirchhoff’s Current Law (KCL) applied to currents at node - I1 + I2 - I3 = 0 Ò✦✥✭Ø❃å★Ø❃♠✴✩❈✧✚✔ ✩ Ø✭✬❤✗✻✧❂✩✁✰①❑✳✡ ✕ ❱✷Ø✭❑❀❉ ✕ ❑✻❑❑ë✡✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø✲✵✰✓❁✰✡✬❞✬❵✰✡✻❑ ✕✘✓✪✗❝✩✪✗❍Ø✆❬ ✧ ✕❇✱✦✓❁✰❇✧❁✧●✓✔Ø✆✧✒✗✮✧✚✩✁✰✍✓★✧●✕✡✱✭✱❃✰✢✓❁✵✰✗✳å✳◆✼✩❁✰s✩✁✥★Ø▲✕✡✧❁✧✁✸✳❩✿Ø✭✵

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Voltmeter indicates: -28 V

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1

-

-

black

⑤+

+ 28 V

V

❤R

R3

⑤+ ✣7 V

2

-

-

-

red

Voltmeter indicates:

⑤+ ⑤+ -

❤R

1

-

⑤+ red

V

0V -

✢28 V black

❽

❤R

❤R

3

⑤+ ✣7 V

2

-

⑤+ -

❾

Voltmeter indicates: a positive voltage

⑤+

❤R

1

+ ER2 -

red

+ 28 V

⑤+

V -

black

❤R

2

+

R3

⑤+ ✣7 V

+ -

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❾

Voltmeter indicates: a positive voltage ❤ ⑤

+

R1

+ ER2 -

red V black 28 V

+

⑤

+ ❤

R3 ⑤

+

✣

R2

+ 7V

-

-

×

-

-

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✰❉✽❪➠✼Ø✶✁✓ ✰ ✛

Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) applied to voltage drops in left loop - 28 + 0 + ER2 + ER1 = 0 ➨ P ✧✁✰❂✾❀Ø☞✱✼✕✘å❹❏ ✩❑✗❍å❆✧✔Ø✼✓✁✩✗✩❁✥✳✰❇✧✔Ø☛ë❊✕❉❑✻✸✭Ø✭✧ ✾ Ø☞✵✙✍ ✰ å✜❏ ✩❥✢ ❨ Ø❃❑ ✩ ➞❄å❆✰●✾✓✾▲★ ✥ ✕❉✩▼✩❁✭ ✥ Ø■ë❇✰✡❑❄✪ ✩ ✕❉◆✢Ø❘✗✻❀ ✧ ✕✡✱✼✓✁✰✑✧✁✧❚➧ ➫ ✍ ✰ ✓❑➧ ❉ ➀ ✽✜✱❃✰❇✸✭✓❁✧✔Ø P ❀ ✗✳å❇✩❁✰❲✩✁✥✭Ø✿Ø✭✈✑✸★✕❉✩✔✗✻✰✍å✐✕✡✧❱✴ å ✸✳❩✿Ø✼✓✪✻✗ ✱✶✕❉❑❪æ❆◆❇✭ ✸ ✓✪Ø✭✧❲✕●✩❚✩✁✥★✗✻✧❚✬❵✍ ✰ ✗✳å✑✩✭■ × ✰●✾❑Ø✼ë✢Ø✼✓ P ✾❀Ø ✍ ☎ Û ➞✺å✳✰●✾➁✩✁✥★✕❉✩●✕✡❑❄❑✎✩❁✥✭✓✪Ø✼Ø✿ë✡✰❇❑❝✩✖✕❉◆✍Ø✆✧ ❩❢✸✹✧✪✩▲✕✡❑❄◆✢Ø❊❱✭✓✖✕✘✗✮✼ ✱ ✕✡❑❄❑✻❨➴❇ ✕ ✵✳✵❭✩✁✰❤➠✶Ø✼✓❁✰ P ✧✁✰➂✩✁✥✭Ø❳Ø✭✈✑★ ✸ ✕●✩✪✗❄✰✢å❨✻✗ ✧◗✩✔✓❁✸✭Ø✡■❹❰✲Ø❪✱✼✕✍å❬◆✡✰❤✕r✧✚✩✔Ø✭✬❜✽❋✭ ✸ ✓✁✩✁✥✭Ø✶✓▲✕✘å✹✵❨Ø❃♠✙✬✭✓✪Ø✭✧❁✧ ✩✁✥★Ø❢✸✭å✭➞✺å✳✰●❘ ✾ å✚ë❇✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø✭✧■✕✡✧▲✩❁✥✭Ø❢✬★✓✁✰✙✵✙✸❆✱❃✩☞✰✡✽✄✩❁✥✭Ø❖✱❊✰✍✓✪✓✔Ø✆✧✚✬❵✰✍å✹✰ ✵ ✗❍å❆◆✲✸✭å✭➞✺å✳✰●✾❘ås✱❃★ ✸ ✓✔✓✪Ø✼å✑✩❁✧✠çP➥✔➫❫✕✘å❆✵❧➥✸➨➤é☛✕✍å❆✵❲✩✁✥✭Ø✶✗❍✓ ✓✪Ø✭✧✁✬✷✆ Ø ✱✺✩✔✗✳ë✍Ø❲✓✪Ø✭✧✔✻✗ ✧✚✩✁✢ ✰ ✓❁✧ P ✽❋✰✡❑✻❑❄✰●✾❘✗✳å✳◆

✾ Ø❊❑✻❑❛✕✡✧❇✭ Ø ❑❍✗✻❩✿✗❍å★✕❉✩✔Ø❚✩❁✥✭Ø ➀ ✥✳❩✼❏ ✧❘➯❵✕❳✾③ç✁➳❑➲✤➥✸➧■é P ✕✡✧✦❑ ❻

✩✔Ø✼✓❁❩ ✛

- 28 + ER2 + ER1 = 0 Ohm’s Law: E = IR . . . Substituting IR for E in the KVL equation . . . - 28 + I2R2 + I1R1 = 0 å ✱✦Ø❲✾❑Ø▲➞✺✳ å ✰●✾❡✾▲✥✷✕●✩❈✩✁✥✭Ø❧ë❊❉ ✕ ❑✻✸✭Ø✭✧❈✰✡✤ ✽ ✕❉❑✻❑✯✩✁✥✭Ø❧✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✁✰✢❁ ✓ ✧◗✕✘✓✪Ø✫✗✳å✓✰❇✥✳❩✲✧ P ✾❀Ø✼✱✼✕✍ås✶✪✸❆✧✚✩◗✧✚✸✳❱✹✧✪✪ ✩ ✗❝✩❁✸✙✩✔Ø❲✩✁✥❆✰❇✧✔Ø ➃ ✳✗ ❆ æ❆◆❇✸✭✓✔Ø✆✧❇✗❍å✑✩❁✰❖✩❁✥✭Ø●Ø✭✈✑✸★✕❉✔ ✩ ✗✻✍ ✰ å❀✩✁✰✲✧✔✗❄❩❅✬✳❑✳✗❝✽❋❨❀✩✁✥★✗❍å✳◆✑✧❘✕❈❱✭✗❝✩ ✛ - 28 + 2I2 + 4I1 = 0 ✰ ✸❈❩✿❄✗ ◆❇✥✑✩✗❱✷Ø✫✾✯✰✍å✹✵✰Ø✼✓✪✗❍å❆◆☞✾▲✥✴❨❢✾❑Ø✦❀ ✾ Ø✶å✑✩❷✩✁✥✭✓❁✰✡✸✳◆❇✥◗✡ ✕ ❑❄❑✳✩✁✥✭Ø✦✩✪✓✁✰❇✸✳❱✳❑✳✯ Ø ✰✡✽❵❩✝✕✍å✭✗❄✬❆✸✳✳❑ ✕❉✩✔✗✳✳ å ◆❚✩✁✥★✗✻✧✟Ø✆✈✑★ ✸ ✕●✩✪✗❄✢ ✰ å❢✽P✓❁✰✡❩ ➄ ✡ ✗❄✩❁✧❪✗✳å✭✗❝✩✪✗✳✕✡❑✑✽❋✰✍✓❁❩ñç◆í ✟❉✠❫➅ ➳▼➆ ➨ ➅ ➳▼➆ ➫ é✺■❷❙▲✽❘✪ ✩ Ø✼✓✟✕❉❑✻❑ P ✩✁✥✭Ø✯❑✻✕✡✧✚✩✄✩✪✾✯✰✫✩✪Ø✼✓❁❩✲✧❂✕✍✓✔Ø✦✧✚✔✩ ✗✻❑❄❑✴✭ ✸ å✭➞✺å✳✰●❘ ✾ å P ✧✚✰☞✾▲✥★✕●✩❚❇ ✕ ✵✰ë❊✕✘å✑✩✪✕✡◆✍Ø ✗✮✧❫✩✁★ ✥ Ø✼✓✪Ø✲✩✁✰❯Ø❊♠✙✭ ✬ ✓✔Ø✆✧✁✧✔✗✳å✳◆✼✩✁✭ ✥ Ø✭❩✇✗❍å➂✩✪Ø✼❁ ✓ ❩❅✧❢✰❉✽▲✸✭å✭➞✺✳ å ✰●✾❘å❥❇ ë ✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø✭✧❚✢ ✰ ✓✠✕❇✧❫✭ ✸ å✭➞✺✳ å ✰●✾❘r å ✱❊✸✭✓✔✓✪Ø✼å✑✩★❃ ✧ ç❋❩❖✸✳❑❝✩✪✗❄✬❆❍❑ ✗✳Ø✭✵❞❱✴❨ ✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✪✕✍å❆✱✦Ø✆✧✪é✔➮øÒ✦✥✭Ø✞✬✳✸✭✓❁✬✹✰✑✧✒Ø✱✗❍å❣✵✙✰✍✗✳å✳◆❞✩❁✭ ✥ ✗✻✧▲✗✮✧◗✩❁✰③◆✍Ø❊✩❍✩❁✥✭Ø✞✝❚❶❱➯ìØ✆✈❇✷ ✸ ✕●✔✩ ✗✻✰✍å②❊ Ø ♠✙✬✭✓✔Ø✆✧✁✧✔Ø✭✵❜✸✹✒ ✧ ✗✳å✳◆r✩❁✥✭Ø ÿ ý Þ ý Û ➷✟ýr➇❊ü❊û ➟ ü ⑨❊➈

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Ï

❾

Voltmeter indicates: a negative voltage - ER2 ❤ R3 ⑤ ⑤+ R1 +

⑤+

+ 28 V

black

❤R

2

✣7 V

V

-

-

+ -

red

❽

Voltmeter indicates: 0 V

⑤+ ⑤+

❤R

1

-

-

⑤+

✢28 V

❤R

3

⑤+ ✣7 V

2

black

-

❤R

⑤+ -

V

red

Voltmeter indicates: + 7 V

⑤+

❤R

1

-

-

⑤+

+ 28 V -

-

R3

⑤+ red

❤R

2

✣7 V

+ V black

➓Ï ➴Ï✔♣

➸❊➺✴✏ Ï❆✏❤Ð✦♥ ☛✕✒ ✎♦

♥✕♥✫✍ ✒

✌rqs✍✔✌ ♦

❾

Voltmeter indicates: ❤ ⑤

+

R1

➽❇➻

✟✘➵❇➒

a negative voltage

- ER3 -

⑤

+

+

28 V

❤

red R2

-

-

R3 ⑤

+

V black + ✣ 7V -

Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) applied to voltage drops in right loop - ER2 + 0 + 7 - ER3 = 0 ✝❲å✳✰●✾❘✗✳å✳◆❲å✳✰●✾✓✩✁✥★❉ ✕ ✩✗✩✁✥✭Ø■ë✡✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø❘✕✡✱✼✓✁✰✑✧✁✧❂Ø❅✕✡✱★✿ ✥ ✓✔Ø✆✧✒✗✮✧✚✩✁✰✍✓✗✱✶✕✘å❅❱✯Ø■✕✘å❆✵

✬ ✓✔Ø✆✧✁✔✧ Ø✭◗ ✵ ✕✡✧✎✩❁✭ ✥ Ø✫✭ ✬ ✓❁✰✙✵✙✸❆✱❃✩ ⑩ Ú Û ÿ ➈ ☎ ⑨ ✟Ø❊♠✴★ ✰❉✽✙✩❁✭ ✥ Ø✦✱❃✰✍✓✪✓✪Ø✭✧✁✬✹✰✢å❆✵✰✗✳✳ å ◆✕✱❃★ ✸ ✓✔✓✪Ø✼å✑✩❵✕✍å❆✵❫✩❁✭ ✥ Ø✤ç❋➞❄å❆✰●❘ ✾ å✷é❛✓✪Ø✭✧✔✗✮✧✪✩✖✕✘å❆✱✼Ø✗✰❉✽✭Ø❅✡ ✕ ✱★✥❫✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✁✰✢✓ P ✾❑Ø❥✱✼✕✍å❫✓✪Ø✦í⑧✾❘✓✔✗❄✩✔Ø▼✩✁✥✭Ø❑Ø✭✈✑✸★✕❉✩✔✗✻✰✍å

✕✡✧▲✧✁✸❆✱★✥ ✛

- 2I2 + 7 - 1I3 = 0

❐✫✰●✾❬✾❑Ø❚✥★✕➤ë✍Ø❱✕❢❩✝✕❉✩✁✭ ✥ Ø✭❩✿❉ ✕ ✩✔✮✗ ✱✼✡ ✕ ❑➓✧✁❨✙✧✪✩✪Ø❊❩➔✰✡✽✜✩✁✥✭✓✪Ø✼Ø❲Ø✆✈❇✷ ✸ ✕●✩✔✗✻✰✍å✹✧✤ç⑦✰✍å✭Ø❚✝❚✐❑➯❳Ø✭✈✑✸★✕❉✩✔✗✻✰✍å❏✕✘å❆✵◗✩✪✾❥✰❅✝❚❶✤➯❳Ø✭✈✑✸★✕✘í ✩✔✗✻✰✍å✹✧✪é❇✕✍å❆✵◗✩❁✥✭✓✪Ø✼❫ Ø ✭ ✸ å✭➞✺✳ å ✰●✾❘✹ å ✧ ✛

- I1 + I2 - I3 = 0

Kirchhoff’s Current Law

- 28 + 2I2 + 4I1 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law

- 2I2 + 7 - 1I3 = 0 Kirchhoff’s Voltage Law ❛✳✰✢✓✲✧✚✰❇◗ ❩ Ø❲❩✿Ø❃✩❁✥✳✰✙✵✳✧❅✰❉✽❚✧✚✰❇❑❄✸✙✪ ✩ ✗❄✰✢å❞ç❋Ø✭✧✁✬✷Ø✆✦ ✱ ✗✻✕❉❑✻❑❄❨➴✕✍å✴❨❞◗ ❩ Ø❊✩✁✥✳✰✙✵ê✗✳å❄ë❇✰✡❑✳ë✺✗❍å✳◆✲✕①✱✶✕❉❑✮✱❃✸✳❑✻✕●✩❁✰✍✓✄é P ✗❄✩❃✗✮✧❖✥★Ø❊❑✻✬✙✽❋✸✳❑▲✩❁✰ Ø❃♠✙✬✭✓✪Ø✭✧❁✧❚Ø❅✕✡✱★✥◗✸★å✭➞✺å✳✰●❘ ✾ å❅✔✩ Ø✶✓✁❩ ✗✳å❃Ø✶❇ ✕ ✱★✥❃Ø✭✈✑✸★❉ ✕ ✩✔✗✻✰✍å P ✾❘✗❄✩✁✥✫✕✍å✑❨✲✱❊✰✍å❆✧✚✪✩ ✕✍å❇✩❀ë➤✕✡❑❄✸★Ø✕✩❁✰❂✩✁✥★Ø■✓✪✗❄◆❇✥❇✩✯✰❉✽❯✩❁✥✭Ø✤Ø✆✈✑✸★✕❉❑❵✧✒✗✻◆✍å P ✕✘✹ å ✵➂✾❘❝✗ ✩❁✥➴✕✘✴ å ❨✐❉ è ✸✭å✭❄✗ ✩✪❨✰✼ è ✩✔Ø✶✁✓ ❩✲✧❬Ø❃♠✙✭ ✬ ✓✪Ø✭✧❁✧✒Ø✆✵①✾❘✗❄✩✁✥❝✕✘å❥Ø❃♠✙✬✳❑✳✗✮✱✦✗❄✩❈✱❃✰✺Ø❊→✲✱✼✗❍Ø✶å✑✩❢✰❉✽ ❿ ■❯➧☛Ø✦⑧í ✾❘✓✔✗❄✩✔✗✳å✳◆❴✩❁✥✭Ø✫Ø✆✈❇✷ ✸ ● ✕ ✩✔✗✻✰✍å✹✧ ✕ ◆❄✕✘✗✳å P ✾❀❫ ❉ Ø ✷ ✥ ✕➤ë✍Ø ✛

- 1I1 + 1I2 - 1I3 = 0

Kirchhoff’s Current Law

4I1 + 2I2 + 0I3 = 28

Kirchhoff’s Voltage Law

↔

➣

0I1 - 2I2 - 1I3 = -7

Kirchhoff’s Voltage Law

All three variables represented in all three equations

✎♦☞☛✕❼ ✌✎✍❥♥③➸✘➺✑❝ ✏ ➻

✟✘➵✡↕

✓✒ ✍✔✌✤➼❥➽✦♥☛➾

Ï

➹✕✧✔✗✳✳ å ◆s✾▲✥★✕❉✩✔Ø✼ë✢Ø✼✓❢✧✁✰✡❑✻✸✙✪ ✩ ✗❄✰✢➂ å ✩✔Ø✭✱★✥★å✭✗✻✈✑✸✭Ø✆✧✠✕✍✓✔Ø❃✕➤ë❊✕✍✗❄❑✻✕❉❱✳❑✳Ø✲✩❁✰s✸❆✧ P

Ï

☛✕✒☞☛ ➚❴➪✗✖✙✘✚✖

✾❀Ø❍✧✁✥✳✰❇✸✳❑✻❥ ✵ ✕✍✓✔✓✪✗✳ë✍Ø❃✕●◗ ✩ ✕❪✧✁✰✡❑✻✸✙✩✔✗✻✰✍å➂✽❋✰✢✓❂✩✁✥★Ø

✩✁✥★✓✔Ø✶Ø✔✸★å✭➞✺å✳✰●✾❘å❴✱❃✸✭✓✪✓✔Ø✶✑ å ✩❑ë❊✕❉❑✻✭ ✸ Ø✆✧ ✛

Solutions: ④

I1 = 5 A ④

I2 = 4 A ④

I3 = -1 A Ø ◆❄● ✕ ✩✔✗✳ë✍Ø ❿ ✕❉❩❅✬✜✝ ■ ➭✯✸✙✩❫✾▲✥★✕●✩❢✵✳✰❄✆ Ø ✧●è✘å✭Ø✭◆✢✕❉✩✔✗✳ë✍Ø✶❀ è ✱❃✸✭✓✪✓✪Ø✼å✑✩ ➃ ✰ P ➥ ➫ ✻✗ ✧ t ✕✡❩❈✬✹✧ P ➥ ➨ ✗✮✧ ↕ ✕❉❩❅✬❆✧ P ✕✘å✹✵✱➥ ➩ ✗✮✧●✕❏å✭❊ ❩✿Ø✶✕✍å✷➮ì➥ å✞✩❁✭ ✥ ✗✻✧❖✼ ✱ ✕❇✧✒Ø P ❝✗ ✩❖❩◗Ø❅✕✘å❆✧❫✩✁★ ✥ ✕❉✩❂✰✡✸✭✓▲ü ⑩★⑩ ÿ Ó ☎ ✵✰✗✳✓✔Ø✆✱✺✩✔✗✻✰✍å✞✽❋✰✢✓❫➥ ➩ ✾❑✕❇✧❚✰✡✬✳✬❵✰❇✔✧ ✗❄✩✔Ø✲✰❉✽❇✗❄✩❁✧❃û❁✪ü ➈ ✵✰✗❍✓✪Ø✭✱❃✔✩ ✗✻✰✍å✜■ ❱ ✕✡✱✖➞❂✩❁✰❂✰✡✸★✓✗✰✍✓✪✗❄◆✢✗❍å✷✕❉❑❆✱✼✗❍✓★✱❃✸✭✗❄✩ P ✾❑Ø✕✱✼✕✍å✝✓✔Ø✼í⑧✵✰✓✖✕❳✾r✩❁✥✭Ø✕✱❊✸✭✓✔✓✪Ø✼å✑✩❀✕✍✓✔✓❁✰●✾r✽❋✰✢✓❚➥ ➩ ➙ ✰✍✗✳å✳◆❂✷

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✰❉✽✟➧ ➩ ❏ ✧❇ë❇✰✡❑❄✩✪✕❉◆✢Ø✔✵✭✓✁✰❇✬❍✩❁✰✲❩✿❉ ✕ ✩❁✱★✥✷é ✛ ❤ ⑤

+ ✤

R1

4Ω

+ ➶

28 V

B1 -

-

+ ➛

I1 5 A ④

I2 4A

⑤

R3

-

I3 1 A 1 Ω +❤ -

✣

R ✢ 2 2Ω

+ 7V

➶

B2

-

❐✫✰✡✩✔✗✮✦ ✱ Ø❈✥✳✰●✾➜✱❊✸✭✓✪✓✔Ø✶å❇✩❲✗✮✧❚❱✷Ø✶✗❍å✳◆✼✬✳✸✹✧✚✥✭Ø✆✵❪❱✷✕✡✱✖✴ ➞ ✾❑✕✍✓❁✵❆✧✫✩❁✥✭✓✁✰❇✸✳◆✡✥①❱★● ✕ ✩✁✩✔Ø✶✓✁❨

✾ ✗❍å❆◆❏è✡✸✳✬★è✢✔ é ✵✙✸★Ø ✟ çPØ✭❑❍Ø✆✱✺✩✪✓✁✰✢å❆✧☞➝❆✰●❘ ✸ ✓✔✓✪Ø✼å✑❘ ✩ ✗✮✧✦✬✹✢ ✰ ✗❍å✑✔✩ Ø✆▲ ✵ è❇✵✙✰●❘ ✾ å★è◗✕✡❇ ✧ ✗❄☛ ✩ å✳✍ ✰ ✓❁✝ ❩ ✕❉❑✻❑❄❨✲✾✯✰✡✸❆❑✻★ ✵ é✦✗ ❒ ■ ➞ Ø✆✧✚★ ✬ ✗❝✪ ✩ Ø ❿ ç❋✾▲✥✳✰✑✧✒Ø❫✱❊✭ ✩✁✥★Ø❅✽❋✕✡✱✺✩❫✩❁✥★✕●✩❂❱✷✕●✩✚✪ ✩ Ø✼✓❁❨❳➭ ➨ ❏ ✧❫✬❵✰✡✻❑ ✕✘✓✪✗❝✩✪❨✱✗✻✧✔✪ ✩ ✓✁❨✺✗✳✳ å ◆✼✩✁✰✼✬✳✸❆✧✁✥✐Ø❊❑✳Ø✭✱❃✩✔✓❁✰✍å❆✧❫✵✙✰●✾❘å✐✗✳å✞✩✁✥★✕❉✩❂❱✭✓✪✕✍å❆✱★✥✞✰❉✽✯✩✁✥✭Ø◗✱✼✗❍✓★✱❃✭ ✸ ✗❄✩ P ✩✁✰❈✩❁✥✭Ø❫✥✭✗✻◆✡✥✭Ø✶✓❘ë✡✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø☞✰❉✽✎❱★● ✕ ✩✁✩✔Ø✼❁ ✓ ❨

Ø❊❑✳Ø✭✱❃✩✔✓❁✰✍å❆✧❬✕✘✓✪◗ Ø ❱✷Ø✶✗❍å❆◆❴✽❋✰✍✓★✦ ✱ Ø✆✵➂❱★✕✡✱✖➞✴❇ ✾ ✕✘✓★✵✳✧✔✩✁✥✭✓❁✰✡✸❆◆✡✐ ✥ ✗❝✩❅✵✙✸✭Ø✲✩❁✰s✩❁✥✭Ø❍✧✁✸✳✬✷Ø✶✓✔✗✻✰✍✓❬ë✡✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø✲✰✡✽✦❱✷✕●✩✚✩✪Ø✼✓❁❨✲➭

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➀ ✥✳❩✼❏ ✧❘➯❴✕❳✾③ç✁➳❑➲✤➥✸➧■é ✛

ER1 = I1R1 = (5 A)(4 Ω) = 20 V Ö

ER2 = I2R2 = (4 A)(2 Ω) = 8 V ER3 = I3R3 = (1 A)(1 Ω) = 1 V

➯❛Ø❊✩❫✸❆✧❲å✳✰●✾③✕✍å★✕❉❑✻❨✺➠✼Ø❖✩✁✥✭✗✮● ✧ å✭Ø❊✩✪✾❥✰✢✓✔➞❴✸✹✧✒✗✳✳ å ◆

✸ ✓❲ë✡✰❇❑❝✖ ✩ ✕❉◆✢Ø❬æ❆◆❇✭ ✸ ✓✪Ø✭✧✭■✠❰✲Ø◗✱❃✰❇✸✳❑✻✲ ✵ ✕✘å✷✕❉❑✻❨❄➠✶Ø ➃✙➠ ➥✁✐❑➳➟✩❁✰❏ë✢Ø✼✓✪✗❝✽❋❨❪✰✡✭

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✱❃✸★✓✔✓✪Ø✼å✑❂ ✩ ✕❇✧❹✾❑Ø❊❑✻❑✑✾❘✗❝✩❁✥

✱❃✸★✓✔✓✪Ø✼å✑✩❁✧ Ó ÿ ✖ ✰ ✓❖✩✁✥✭Ø❲❑❍Ø✆✧✁✧❈✱❃✰❇❩❅✬✳❑❍Ø❊♠➴✕✘å★✕✡❑❄❨✙✧✔✗✻✧✭■ ⑩ Ü ✕❉❑✻❑✯❱✷Ø❀✩✁✥✭Ø✼✧✪✕❉❩✿Ø P ➥✺❏ ❑✻❑✯✰❇✬✙✩❈✽❋✍ ✱✦✗✳✓★✱❃✸✭✗❄✩ P ✱❊✰✡❩❅✬✳❑✳❃ Ø ✪ ✩ Ø✔✾❘✗❄✩✁✥❧å✳✰✙✵✰Ø●å✴✸✳❩❖✷ ❱ Ø✶✓❁✧✯✽❋✰✢✓ ➃✙➠ ➥✁✐❑➳✓✩❁✰◗✓✪Ø❃✽PØ✶✓✔Ø✶å❆✱✦Ø ✛ ×

Ø✼✓✪Ø✡❏ ✧◗✕✱✓✪Ø✦í➑✵✰✓✖✕❳✾❘✗❍å✳◆❴✰✡✽✕✰✡✸★✓

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Original form of equation

. . . distributing to terms within parentheses . . . - 28 + 2I1 + 2I2 + 4I1 = 0 . . . combining like terms . . . - 28 + 6I1 + 2I2 = 0

Simplified form of equation

★✗ ✔✗ ◗Ø✲✾❑✲Ø ✥★✕➤ë✢Ø❈✰✢å✭Ø✝Ø✭✈✑✸★❉✕ ✩✔✗✻✰✍å➂✾❘✗❄✩✁✥✞✩✪✾❥✰❴✸★å✭➞✺✳å ✰●✾❘å❆✧✭■✫❹Ò ✰❴❱✯Ø❃✕❉❱❆❑❍Ø❅✩❁✰s✧✚✰❇❍❑ ë✢Ø❖✽❋✢✰ ✓❫✩✪✾✯✰❴✸✭å✭➞✺å✳✰●✾❘å ❩✿Ø✭✧✁✥❲✱❊✭ ✸ ✓✪✓✔Ø✶å❇✩★✧ P ✾❑Ø✔❩❖✸❆✧✚✩✯✥★✕➤ë✢Ø✕✩✪✾✯✰◗Ø✭✈✑✸★✕●✩✪✗❄✰✢❆ å ✧✭■❵➥⑧✽✄✾❀Ø✔✔✩ ✓✖✕✡✱✼Ø✫✩❁✥✭Ø❚✰❉✩✁✥★Ø✼✓✦❑❄✰✴✰❇✬❀✰✡✽✜✩✁✭✥ Ø❫✱✼✗❍✓★✱❃✭✸ ✗❄✩ P ✾❑Ø❚✱✼✕✘å❀✰✡❱✙✩✖✕✘✗✳å ✕✘å❆✰❉✩✁★✥ Ø✼✕✓ ✝❚❶❱➯❥Ø✭✈✑✸★✕❉✩✔✗✻✰✍å✚✕✘❆å ✵✼✥✷✕➤ë✍Ø●Ø✼å❆✰✡✸✳◆❇✥s✭✵ ✕●✩✖❈✕ ✩✁✰❍✧✁✰✡❑✳ë✍Ø❚✽❋✰✢✫✓ ✩✁✥★Ø❫✩✪✾❥✰◗✱❊✸✭✓✪✓✔Ø✶å❇✩★✧❊■✕✐❀✓✪Ø✶✕❉✩✁✸✭✓✪Ø❫✰❉✽❷✥★✕✡❱✭✗❝✩✕✩✁✥★✕❉✩ ➥❇✕❉❩ P ✺➥ ❏ ❑✻❑❹✧✚✪✩ ✕✍✚✓ ✩☛✕●✩✦✩❁✭✥ Ø❫✸✳✬✳✬✯Ø✼✓✔Ùí ❑✳Ø❃✽❘✩✫✷✥ ✕✘å❆✵✼✱❃✰✢✓✔å★Ø✼✓✦✰❉✽✄✩✁✥✭Ø●✓✪✗✻◆✡✥✑✩▲❑❄✰✴✰✡✬❧✕✘å✹✵◗✩✪✓✪✕❇✱✦Ø❫✱❃✰❇✭✸ å✑✩✔Ø✼✓✔í➑✱❃❑✻✰✴✖✱ ➞✴✾❘✗✮✧✒Ø ✛ ❙✯✩❫✩✁✥ ✻✧❂✩ ✻❩

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- 2(I1 + I2) + 7 - 1I2 = 0

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- 2I1 - 3I2 + 7 = 0

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- 28 + 6I1 + 2I2 = 0 - 2I1 - 3I2 + 7 = 0 . . . rearranging equations for easier solution . . . Ú

6I1 + 2I2 = 28

-2I1 - 3I2 = -7 Solutions: I1 = 5 A I2 = -1 A

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➶B

⑤

❤

+

R1 ④

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⑤

-

I1

1

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⑤ ④

I2

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❤

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R3 ④

+ ❤ R2 -

❤

-

-

I3 ⑤ ④

I4

R5 ④

+ ❤ R4 -

I5

+ ⑤

+

➶B

2

-

- I1 + I2 + I3 = 0

Kirchhoff’s Current Law at node 1

- I3 + I4 - I5 = 0

Kirchhoff’s Current Law at node 2

- EB1 + I2R2 + I1R1 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law in left loop

- I2R2 + I4R4 + I3R3 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law in middle loop

- I4R4 + EB2 - I5R5 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law in right loop

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I3

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B2

-

- EB1 + R2(I1 + I2) + I1R1 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law in left loop

- R2(I2 + I1) - R4(I2 + I3) - I2R3 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law in middle loop

❤

R4(I3 + I2) + EB2 + I3R5 = 0

Kirchhoff’s Voltage Law in right loop

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1

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2

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R1 + B1 -

4Ω

R3

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2Ω

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1Ω +

B2

✣

7V

-

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Millman’s Theorem Equation EB1

+

R1

EB2 R2

+

EB3 R3

= Voltage across all branches

1 1 1 + + R1 R2 R3

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28 V 4Ω 1 ✤ 4Ω ⑤

+

0V 2Ω

+

1 ✢ 2Ω

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R1 + B1

✣

⑤

+

7V 1Ω

+

1 1Ω

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20 V +

+ 1V

R3 R2

✢

=8V

+ î 8V -

+

28 V

✣

B2

-

7V

+ 8V -

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B1

❤

R1

4Ω

R3

1Ω Load resistor removed

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7V

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R3

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16.8

4.2

21

Volts

I

4.2

4.2

4.2

Amps

R

4

1

+ 16.8 V

+

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+ 4.2 V

⑤

⑤

+ 11.2 V -

28 V ✤

❤

R1 4 Ω ⑤

B1

Ohms

✤

❤

⑤

✕5

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+

B2

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7V

✤

-

4.2 A

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Thevenin Equivalent Circuit RThevenin

EThevenin

❤

11.2 V

R2 2Ω

(Load)

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R1

R3

4Ω

1Ω ➣

0.8 Ω

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Thevenin Equivalent Circuit ✖

RThevenin ✗

ÖE

Thevenin

0.8 Ω

11.2 V ✢

R2 2Ω

(Load)

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❤

RLoad

Total

3.2

8

11.2

Volts

4

4

4

Amps

0.8

2

2.8

Ohms

RThevenin

E I R

➣

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B1

R1

R3

4Ω

1Ω

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(Load)

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B2

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7V

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Norton Equivalent Circuit

INorton

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RNorton

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R2 2Ω

(Load)

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✏✢ ✥✤ ✥☞

➶

B1

✢

28 V

R1

R3

4Ω

1Ω Load resistor removed

➶

B2

✣

7V

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R1 4Ω ➶

+ B1

✢

✣

R3 ✣

7A

28 V

7A

1Ω ➶

14 A ✦

-

+ B2

✣

7V

-

Ishort = IR1 + IR2

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Norton Equivalent Circuit

Ö

INorton

❤

RNorton

R2 2Ω

(Load)

14 A

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R3

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0.8 Ω

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④

INorton ✖

RNorton ✗

R2 2Ω

0.8 Ω

(Load)

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RNorton

E I R

➣

❤

RLoad

Total

8

8

8

Volts

10

4

14

Amps

571.43m

Ohms

✕

0.8

2

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Thevenin Equivalent Circuit

✖R

Thevenin

Ö

✗0.8 Ω EThevenin

11.2 V ✢

R2 2Ω

(Load)

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Norton Equivalent Circuit

④

✖

INorton

RNorton ✗

0.8 Ω

R2 2Ω

(Load)

14 A

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EThevenin = INortonRNorton ✾ ✕✍å❇✩✪Ø✭✵❢✩✁✰❂✱❊✍ ✰ å✺ë✍Ø✶✓✚✟ ✩ ✕❲❐✫✰✍✓✁✩✁✰✢å✿Ø✭✈✑✭ ✸ ✗✳ë➤✕✡❑❍Ø✶å✑✩❷✼ ✱ ✗❍✓★✱❃★ ✸ ✗❝✩❷✩❁❫ ✰ ✕❱✦ Ò ✥★Ø✼ë✍Ø✶å✭✗✳å◗Ø✆✈✑✸✭✗❍ë❊✕✡❑❍Ø✶❇ å ✩✗✱✼✗❍✓★✱❃✭ ✸ ✗❄✩ P ✾❀Ø▲✱❊✰✡✸✳❑✮✵ ➃ ✰ P ✗❝✽➓✾❑Ø▲❑ ✸❆✧✔Ø✔✩✁✥✭Ø❂✧✪✕❉✿ ❩ Ø❲✓✔Ø✆✧✒✗✮✧✚✪ ✩ ✕✘å✹✱✦Ø●✕✘❆ å ✵❲✱✼✕✡❑✻✱❊✸✳✻❑ ✕●✩✔Ø✔✩❁✥✭Ø❫Ò✦✭ ✥ Ø✼ë✢Ø✼å✭✗✳å❧ë✡✰❇❑❝✖ ✩ ❉ ✕ ◆✍Ø☞✾❘✗❝✩❁✥

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INorton =

EThevenin RThevenin

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ÖE ❤

B1 ⑤

R1

+

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Millman’s Theorem Equation B2

R2

⑤

+

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B3

R3

= Voltage across all branches

1 ⑤ 1 ⑤ 1 + ❤ + ❤ ❤ R1 R2 R3

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R1 + B1 -

4Ω

R3

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R2 28 V

2Ω

1Ω +

B2

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7V

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4Ω

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1Ω

7A

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Millman’s Theorem Equation

Itotal =

EB1 R1

+

EB2 R2

+

EB3

EB1

R3

R1

+

EB2 R2

+

EB3 R3

1 1 1 + + R1 R2 R3

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Millman’s Theorem Equation EB1 Rtotal =

R1

1 1 1 1 + + R1 R2 R3

+

EB2 R2

+

EB3 R3

1 1 1 + + R1 R2 R3

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14 A

✕

571.43 mΩ

✕ ✾➟✱✶✕✘❀ å ✩✔Ø✭❑❄❑✜✸✹✧✯✩✁✥✭Ø●ë❇✰✡❑❄✩✪✕❉◆✢Ø❱✕❇✱✦✓❁✰❇✧❁✧❥✩✁✥✭Ø✆✒ ✧ Ø❚✩✪✾✯✰❈✱❊✰✡❩❅✬❵✰✍å✭Ø✶å❇✩★❇ ✧ å✳✰●✾③ç✁➳❑➲✤➥✸➧■é ✛ ➀ ✥✳❩✼❏ ✧❘➯❴❳ Ö

Ö

Etotal = (14 A)(571.43 mΩ) Etotal = 8 V

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✕571.43 mΩ

14 A

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+ 8V -

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Ohm’s Law:

✸

❤

Ö

IxR =E

(total current) x (total resistance) = (total voltage) Ö

EB1 ❤

R1

Ö

⑤

+

EB2 ❤

R2

Ö

⑤

+

EB3 ❤

R3

✸x

1

= (total voltage)

1 ⑤ 1 ⑤ 1 + ❤ + ❤ ❤ R1 R2 R3

. . . or . . .

EB1 R1

+

Ò✦✥✭Ø

EB2 R2

+

EB3 R3

= (total voltage)

î

1 1 1 + + R1 R2 R3

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✥◆

✩✁✥✷● ✕ ✩❥❑✻✰✢✕❇✵✿✓✔Ø✆✧✒✮✗ ✧✚✩✪✕✘å✹✱✦Ø☛✮✗ ✧❈Ø✆✈✑✸★✕❉❑❆✩✁✰❂✩❁✥✭Ø✤Ò✦★ ✥ Ø✼ë✍Ø✶å✭✗✳å✯➢❊❐✕✰✍✓✁✩✁✰✍å✿✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✪ ✩ ✕✍å❆✱✦Ø✕✰❉✽❯✩✁✥★Ø■å✭Ø❊✩✪✾❥✰✢✓ ❈✧✚✸✳✬❆✬✳❑❄❨✺✗✳å✳◆❂✩❁✥✭Ø✕✬❵✰●✾❑Ø✼✓✆■

✛◆

➥⑧✽✜✩❁✥✭Ø❚❑❄✰❄✕✡✵✝✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✪ ✩ ✕✍å❆✱✦Ø✤✗✻✧✯❑✻✰●❀ ✾ Ø✶✓❥✢ ✰ ✓❥★ ✥ ✗❄◆❇✥✭Ø✼✓❥✩✁✥★✕✍å◗✩❁✥✭Ø●Ò✦✭ ✥ Ø✼ë✢Ø✼å✭✗✳å✯➢❊❐✕✰✍✓✁✩✁✰✢å✝✓✔Ø✆✧✒✗✮✧✪✩✖✕✘å❆✱✼Ø✕✰✡✽✜✩✁✥✭Ø❫✧✁✰✡✸✭✓★✱✦Ø■å✭Ø❃✩✪✾✯✰✍✓ ✗❄✩❁✧✫✵✰✗✮✧❁✧✒✗✻★ ✬ ✕●✪ ✩ Ø✭✵❀✬✹✰●✾❑Ø✼▲ ✓ ✾❘✗✻❑✻❑❯✷ ❱ Ø❫✳❑ Ø✭✧❁✧✯✩✁★ ✥ ✕✍å✼❩✿✕❉♠✰✗❄❩❖✸✳❩✼■ Ò✦✥✭✗✮✧✝✮✗ ✧❃Ø✭✧❁✧✔Ø✼✑ å ✩✔✗✻❉ ✕ ❑✻❑❄❨✓✾▲✥★✕●▲ ✩ ✗✻▲ ✧ ✕✘✗✻❩◗Ø✆✵❭✽❋✍ ✰ ✓▲✗❍å➘✧✚✩✔Ø✶✓✔Ø✭✰r✧✚❨✙✧✚✩✔Ø❊❩

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❤

RThevenin ➣

0.8 Ω

11.2 V

EThevenin

RLoad

➣

0.8 Ω

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RLoad

Total

5.6

5.6

11.2

✕

E

✣

I ➣

R P

✕

✣

7 ➣

0.8 ú

39.2

✣

7

0.8 ✣

39.2

7

Amps

1.6

Ohms

78.4

Watts

➥⑧✽✎✾❀❚Ø ✾❑Ø✼✓✪Ø☞✩❁✰❅✩✔✓❁✫ ❨ ✕❅❑✻✰●❀ ✾ Ø✶✓❑ë❊✕✡❑❄✸✭Ø✔✽❋✰✢▲ ✓ ✩✁✥✭Ø❫❑✻✢✰ ✕❇✫ ✵ ✓✪Ø✭✧✔✗✮✧✪✩✖✕✘å❆✼ ✱ Ø◗ç ❻ ❀Ø✶✓✦✵✭✗✻✧❁✧✒✗✻✬★✕❉✔✩ Ø✭✵❲❱✴❨✲✩❁✥✭Ø❫❑❄✰❄✕✡✵▲✓✔Ø✆✧✒✗✮✧✚✪✩ ✕✘✹å ✱✦Ø✔✾❥✰❇✸✳❑✻✵❲✰✵ Ø✆✦✱ ✓✪Ø✶✕✡✧✔Ø ✛

E

Ú

I

6.892

R P

8.615 ✕

➣

✤

RLoad

11.2

8.615

8.615

➣ ú

0.5

37.11

■ t✲Þ

✗✳å❆✧✚✔✩ Ø✶✕❇✵❍✰✡✽

✢✓❘Ø❃♠✭✕❉❩❅✬✳❑✳Ø❅é P ✰✡✸★✓

❻ ■ ✠✲Þ P ✽❋✰

Total

4.308

0.8

59.38

❖

❇✕

✾ ●✩✁✩❁✧ ✛

Volts

✬❵✰●✾

RThevenin

➒❇✉ ■ ✟

◗

1.3 96.49

Volts ↔

P

Amps Ohms Watts

✓ ✵✰✮✗ ✧✁✔✧ ❄✗ ✬✷●✕ ✩✔✻✗ ✰✍å❲✗✳❆å ✱✦✓✪Ø✶❇✕ ✧✒✆Ø ✵✫✽❋✰✢✜✓ ❱❵✰❉✩✁✥❚✩❁✭✥ Ø❈✦Ò ✥✭Ø✶ë✍Ø✶å✭✗❍å❲✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✪✩ ✕✍å❆✱✦Ø✟✕✍❆å ✵✔✩✁✥✭Ø✗✩✁✰❉✩✖✕❉❑✡✱✼✗❍✓★✱❃★✸ ✗❝✩ P ❱✳✸✳✩❴✗❝✩✄✵✰Ø✭✱✼✓✔Ø❅✕✡✧✔Ø✭✵ ➠ ✰●✾❑Ø✼❯ ✍✓ ✭Ø ❄✕ ●✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✁✢✰ ✓✭■❂➯❛✗✓✍◆ Ø✭✾❘✗✻✔✧ Ø P ✗❄✽✹✾❑Ø❀✗✳å❆✦✱ ✓✪Ø✶✕❇✧✒Ø▼✩✁✥✭Ø✦❑✻✢✰ ✕❇❫✵ ✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✪✕✍å❆✦✱ Ø❱ç ❿ ■ ❿▲Þ ✗❍å✹✧✪✩✪Ø✶✕✡✵❖✰❉✽ ❻ ■ ✠✔Þ P ✽❋✰✢✓❂Ø❊♠✭✕❉❩❅✬✳❑✳Ø❅é P ✬❵✰●✾❀Ø✶✦ ✓ ✵✭✗✻✧❁✧✒✗✻✬★✕❉✩✔✻✗ ✰✍å❲✾❘✗❄❑✻❑❴✕❉❑✮✧✁✰❈❱✯❫Ø ✳❑ Ø✭✧❁✧✯✩✁★✥ ✕✍å❏✗❄✩✫✾❇✡✕ ✧❇✕●✩ ❻ ■ ✠❅Þ Ø❊♠✭✕✡✱✺✩❁❑❄❨ ✛

✽❋✰ ✄✩❁✥ ✦❑❄✰ ✡✵

❋❘ ✪ ➪

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➸❊➺✴✏❍➸❅Ï✳✏

❤

Ï

❤

RThevenin ✤

E

Ú

4.716 ➣

R ✢

➽

✒

✄✍▼♥☞✖✴✘✼➽ ✒ ✖

❖

RLoad

6.484

✕5.895

I P

✪❘ ➪

Total

✕5.895

1.1 ú

27.80

Volts

11.2

✕5.895

0.8

✟❉✉❇➒

↔

1.9 Ú

38.22

P

Amps

66.02

Ohms Watts

➥⑧✽✳❨✡✰❇✸❂✾❑Ø✼✓✪Ø❥✵✰Ø✆✧✒✗✻✍ ◆ å✭✗✳✳ å ◆■✕☞✱✦✗✳❁ ✓ ✱❊✸✭✗❄✩✿✽❋✢ ✰ ✓✿❩✝✕●♠✰✗✻❩❢✸✳❩❺✬❵✰●❀ ✾ Ø✶✓✿✵✰✗✮✧❁✧✒✗✻✬★● ✕ ✩✪✗❄✰✢å❬✕●✩✿✩✁✥✭Ø✯❑✻✰✢✕✡✵❫✓✔Ø✆✧✒✗✮✧✪✩✖✕✘å❆✱✼Ø P ✩✁✥★✗✻✧✿✩✁✥★Ø❊✰✍✓✪Ø❊❩

✾✯✰✡✸✳❑✮✵❞❱✯Ø✫ë✍Ø✶✓✁❨✞✸❆✧✔Ø❃✽❋✸✳❑Ù■ ×

✛◆

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Delta (∆) network ❤ ↔

A

RAC

↔

C

❤

RAB

A

C ❤

RA

RBC ❤

B

RAC

A

RAB

RC

RB

B

Pi (Π) network ↔

☛✕✒☞☛ ➚❴➪✗✖✙✘✚✖

Wye (Y) network

❤ ❤

✓✒ ✍✔✌✤➼❥➽✦♥☛➾ Ï

Tee (T) network C

↔

RA

A

RC

C

RB

RBC

B

B

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To convert a Delta (∆) to a Wye (Y) RA =

RB =

RC =

RAB RAC RAB + RAC + RBC RAB RBC RAB + RAC + RBC RAC RBC RAB + RAC + RBC

To convert a Wye (Y) to a Delta (∆) RAB =

RBC =

RAC =

RARB + RARC + RBRC RC RARB + RARC + RBRC RA RARB + RARC + RBRC RB

✰ ✓✥✙ ◆ ✧❇✕✘✓✪Ø❫✒✧ Ø✶Ø✼å❲P✽ ✓✔Ø✆✈✑✸✭Ø✼å✑✩✁❑✻❨✫✗✳å ➒ í⑧✬✳✥★❇ ✕ ✒ ✧ Ø❫❙✕✐➘✬✹✰●✾❑Ø✼✓✫✧✁❨✙✧✪✩✪Ø❊❩✲✧❫ç✁❈ ✕ ✩✁✰✡✬★✗✻✱❫✱❊✰❊ë✍Ø✼✓✪Ø✭✵✫✗❍å✚❇ ë ✰✡❑✻✸✳✿ ❩ Ø ➄ å✭Ø❊✩✪✾❥✢ ➥✒➥▼✰❉✽✜✩❁✥✭✗✻✧✦❱❵✰✴✰✄◆✲✧✔Ø✼✓✪✗❍Ø✆✧✪é P ❱❆✸✙✩❑Ø✶ë✍Ø✶å◗✩✁✥★Ø✼å◗✩❁✥✭Ø❊❨➓❏ ✓✔Ø✔✸❆✧✁★ ✸ ✕❉❑✻❑✻❨✲❱★✕❉❑✻✕✘å❆✼ ✱ Ø✭✵✝å★Ø❃✩✪✾✯✰✍✓✛◆✴✤ ✧ ç❋✕✡❑❄➣ ❑ ✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✁✰✢✓❁✧❈Ø✭✈✑★ ✸ ✕❉❑➣✗✳å✫ë❊✕❉❑✻✸✭Ø➤é

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➽ Ï

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❤

❤

R1 12 Ω 10 V

❤ Ú

❤

R3

R2 18 Ω

6Ω

R4 18 Ω

❤

R5 12 Ω

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Ø✭✧✁✥❭✐❥✸✭✓✪✓✔Ø✶å✑◗ ✩ ✕✘å✷✕❉❑✻❨✴✧✔✗✮✧❬✗✮✧❖✽❋✕✘✗✳✓✁❑✻✐ ❨ ✗❍å✺ë✡✰❇❑❍ë✢Ø✭✵ P

✕✍å❆✵

✓ ✬❵✰❇✧✔✗❝✩✪✗❄✢ ✰ å✲Ò✦✥✭Ø✭✰✍✓✪Ø❊❩✲✧❲✕✘✓✪Ø❖✰✡✽❑✕✍å✑❨❴✥★❊ Ø ❑✻✬ P ✧✔✗❍å✹✱✦❖ Ø ✩✁✥✭Ø✶✓✔Ø❇❏ ✧❚✢ ✰ å✳❑❄❨❪✰✍å✭Ø❅✧✚✰❇✸✭✓★✱✦Ø❈✰❉✽ ➃ ✸✳✬✯Ø✼❁ î ✬❵✰●✾❀Ø✶✓✭■❂❰❳❚ Ø ✱❃✰❇✸✳❑✮✵✲✸❆✧✔Ø❱Ò✦✭ ✥ Ø✶ë✍Ø✶å✭✗❍å❹❏ ✧❥✍ ✰ ✓❇❐✫✢ ✰ ✚✓ ✩❁✰✍å✜❏ ❈ ✧ Ò✦✭ ✥ Ø✭✍ ✰ ✓✪Ø❊❩ P ✔✩ ✓✪Ø✶✕❉✩✔✗✳✳ å ❬ ◆ ➧☛➩❱✡ ✕ ✧❥✰✡✸✭✓✯❑✻✰✢✕✡✵ P ❱❆✸✙✩✯✾▲✥✷● ✕ ✩▼✽❋✸★å❀✾✯✰✡✸✳❑✮✵ å✭Ø✶✗❝✩❁✥✭Ø✼✓❚✩❁✥✭Ø

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✩✁✥✷● ✕ ✩✫❱✯Ø❅➮ ➥⑧✽✎✾❀Ø❂✾❑Ø✼✓✪✔ Ø ✩✁✰✲✩✪✓✔Ø❅✕●☛ ✩ ✓✪Ø✭✧✔✗✻✧✚✩✁✢ ✰ ✓❁✧❇➧✤➫ P ➧☛➨ P ✕✍å❆✵❧➧☛➩❫✕❇✧▲❱✷Ø✶✗❍å❆◆◗✱❃✰✍å★å✭✭ Ø ✱❃✩✔Ø✭✵❧✗✳å❯✕ ✕✘å✹✲ ✵ ➧✫❞❢❡ P ✓✔Ø✆✧✚✯ ✬ Ø✭✱❃✩✔✗✳ë✍✭ Ø ❑❄❨✭é❲✕✘å✹✵①◆✢Ø✼å✭Ø✶✓✪✕❉✩✔Ø✝✕✘å✐Ø✆✈❇★ ✸ ✗❍ë❊✕❉❑✳Ø✼å✑✩

➄

❱✭✓✪✗✻✵✳◆✍Ø❫✦ ✱ ✗✳✓❁✱❊✭ ✸ ✗❄✩❇✗✳å✑✩✁✰❃✕❧ç⑦✧✔✗✻❩❈✬❆❑❍Ø✶✓✖é✦✔✧ Ø✼✓✪✗❍Ø✆✧✖● ➢ ✬★✕✘✓✖❉ ✕ ❑✻❑✳Ø❊❑➓✱❃✰✡❩❖❱✭✗✳å★● ✕ ✩✪✗❄✢ ✰ å❀✱✦✗✳★ ✓ ✱❃✸✭❄✗ ✩ ✛

Selecting Delta (∆) network to convert: ❣ ✖

RAB 12 Ω B

10 V

❘

í ➄

RBC Ú

❤

❙▲✽❘✩✪Ø✼✓▲✩❁✥✭Ø

✖

R4 18 Ω

✱❊✍ ✰ å✺ë✍Ø✶✓❁✧✔✗❄✰✢❪ å ■▲■▲■

A ✖

RAC 18 Ω C

6Ω R5 12 Ω

❘

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å★❃ Ø ✩✪✾✯✰✍✓✛◆❴✩✁✰✚✓✪Ø❊✬✳❑✻✕✡✱✼Ø❈✩✁✥✭Ø✭❩

P ✾❑Ø◗✱❃✰✡✸❆❑✻✵①✩✁★ ✸ ✓✔å➂✩❁✥✭✗✻✧

✎♦☞☛✕❼ ✌✎✍❥♥❥✐✒❦✑♠ ✏ ❧

✟❉✉❚❤ Ï

✉

☛✕✒☞☛✻rts ✖✙✘✚✖

∆ converted to a Y ❣

A ✖

✖

10 V

✓✒ ✍✔✌✫♥♣♦✦♥✏q Ï

RA

✖

RB

RC

B

C ❤

❤

R5 12 Ω

R4 18 Ω

✸ ✓❖✱✼✕❉❑✮✱❃✸❆❑✳❉ ✕ ✩✔✗✻✍✰ å❆✧❂✱❊✰✍✓✪✓✔✆Ø ✱✺✩❁❑❄❨ P ✩❁✥✭Ø❃ë✡✰❇❑❝✖✩ ❉✕ ◆✢✭Ø ✧❚❱✯Ø❃✩✪✾❑Ø✼Ø✼å③✬✹✰✢✗❍å✑✩❁✧❖❙ P■✇☞P ✕✘å❆✵③✐➜❘ ✾ ✗✻❑✻❑▼✯ ❱ Ø◗✩✁✥★Ø ✈ ✽▲✾❀Ø❍✬✷Ø✶✓✚✽❋✰✢✓✁❩ê✰✡✭ ✕✍å❆✵❀❀ ✾ Ø✔✼ ✱ ✕✘å❍✔✩ ✓✖✕✘å❆✧✚P✽ Ø✼✓✯✩❁✥✳✰❇✧✔Ø■ë❊✕❉❑✻✸✭Ø✆✧❥❱✷✕✡✱✆◆❅✩✁✰❖✩✁✥★Ø ✰✍✓✪✗✻◆✍✗✳å★✕❉❑➓✭ ❱ ✓✪✗✻✵✳✍ ◆ Ø❫✱❃✢ ✰ å✰æ❆◆✡★ ✸ ✓✪✕❉✔✩ ✗✻✍ ✰ å✜■ ✧✪✕❉❩✿Ø✤✗✳å◗✩❁✥✭Ø❫✱❃✰✢å❄ë✢Ø✼✓✁✔✩ Ø✆✵◗✦ ✱ ✗✳✓❁✱❊✭ ✸ ✗❄✩❇✕❇✧❈✗✳❍ å ✩❁✥✭Ø✔✍✰ ✓✪✗❄◆✢✗❍å★✕✡❑❵✱✼✗❍✓★✱❃✸★❝✗ ✩ P

❤

RA =

✢

(12 Ω)(18 Ω) (12 Ω) + (18 Ω) + (6 Ω)

=

216 36 ✣

ù

= 6Ω

(12 Ω)(6 Ω) RB = (12 Ω) + (18 Ω) + (6 Ω)

=

72 36

= 2Ω

(18 Ω)(6 Ω) (12 Ω) + (18 Ω) + (6 Ω)

=

108 36

= 3Ω

RC =

❣

ù

❤

10 V

B

A

6Ω

RA

❤

RB 2Ω

R4 18 Ω

÷

ú

RC

3Ω R5 12 Ω

C

ú

✐①❦✴✏✎✐③②✳✏❋❘ ✪✆s❭☛✕✒ ❧ s④✪ ❘⑥⑤✞♦ ✒

✾♦

✄✍▼♥☞✖✴✘

⑧⑦

✒ ✖

✟❉✉

⑨ ✆Ø ✧✒✮✗ ✧✪✩❁✰✍✓★✧ ⑨✞⑩ ✕✍å❆✵ ⑨ ß P ✰❉✽✗✱❃✰❇✸✭✓❁✧✔Ø P ✓✪Ø❊❩✝✕✍✗❍å❲✩✁★✥ Ø❢✧✔✕✡❩✿Ø❫✕●✩ ❿✭✠◗Þ ✕✘å✹✵ ❿✆✟❅Þ P ✓✪Ø✭✧✁✬✷✆Ø ✱✺✩✪✗❍ë✢❊Ø ❑✻❨✡■❥❙■å★✕❉❑✻❨✺➠✼✗✳å✳◆❅✩✁✥★Ø ✦✗✳✓ ✭✗ ☛å ➦✕❇✧❘✕✲✧✒Ø✶✓✔✗✳✭Ø ✧❷❶❳✬★✕✍✓✪✕✡❑❄❑✳Ø❊❑❵✱❃✰❇❩❢✭❱ ✗✳å★✕●✩✪✗❄✰✢å P ✾❑Ø❲✕✍✓✔✓✪✗✳ë✍Ø❲✕●✩▲✩✁✥★Ø❚✽❋✰✡❑✻❑❄✰●✾❘✗✳å✳◆✠æ❆◆✡✸✭✓✪Ø✭✧ ✛ ✱ ★✱❃✸ ❄✩ ✳✰●✾

❤ ✤

E Ú

I

❤

RA

✕588.24m

4.118 ✢

686.27m Ú

R

❤

RB

6

R B + R4

E

✕5.882

✢

I

294.12m ✢

R

❤

RC + R5

❤

✕5.882

392.16m

20

15

Ú

RB + ❸// R4 RC + R5

686.27m 8.571

Volts

4.706

18

12

↔

Amps Ohms

Total Volts

10 Ú

R5

392.16m

❖

✕5.882

✤

294.12m

3 ❤

❤

✢

392.16m

2

❤

R4

✕5.294

1.176

294.12m ✢

❤

RC

686.27m 14.571

↔

Amps Ohms

Ø ❩❢✸✹✧✪✩✔✸❆✧✒Ø❢✩✁✥✭Ø◗ë✡✰❇❑❝✩✖❉✕ ◆✢❂Ø ✵✰✁✓ ✰❇✬❆✧■æ❆◆✡✸✭✓✪Ø✭✧✫✽P✁✓ ✰❇❩á✩✁✥✭Ø❢✩✪✕❉❱❆❑❍Ø◗✕❉❱❵✰❊ë✍❫Ø ✩❁✰❀✵✰Ø❊✩✔Ø✼✓❁❩✿✗❍å★Ø❂✩✁✥★Ø✠❇ë ✰✡❑❄✩✪✕❉◆✢Ø✭✧▲❱✯Ø❃✩✪✾❑Ø✼Ø✶å ❹ ❢ ✍✗✳å❇✩★✧✫❙ P✱✇☞P ✕✘å❆✵s✐ P ✧✔Ø✼Ø✶✗❍å✳◆❅✥✳✰●✾➟✩✁★✥ Ø❫✕✡✵✳✵❲✸✳✬❥❋ç ✰✢✫✓ ✧✚✸❆❱✙✩✔✓✖✕✡✱❃✩ P ✕❇✧❇✻✗ ✧✦✩❁✭✥ Ø❂✱✼✕❇✧✒Ø❚✾❘✗❄✩✁✥✚ë❇✰✡❑❄✩✪✕❉◆✢Ø☞❱✯Ø❃✩✪✾❑Ø✼Ø✶å✼✬✹✰✢✗❍✑å ✩❁✧ ✇ ✕✍å❆✵s✐❇é ✛

✬❵✰

A

+ 10 V -

ÖE

A-B

+ + RA 4.118 V + ✕5.294 4.706 V V ➣ + 1.176 0.588 ❺V + ❺V RB RC ✗+0.588 ❻V B C + R4 R5 ✤ + ✕5.294 ❺V ❺V - 4.706 -

= 4.706 V

EA-C = 5.294 V EB-C = 588.24 mV

✰●✾➟✩✁✥✷● ✕ ✩☞✾❑✁Ø ✺◆ ✳å ✰●✾➟✩✁✭✥ Ø✆✧✒Ø✠✡ë ✰❇❑❝✩✖✕❉◆✍Ø✆✧ P ❀✾ Ø❢✱✶✕✘å✼✩✪✓✪✕✍å❆✧✪✽PØ✶▲✓ ✩✁✥★❊Ø ❩á✩✁✰✲✩❁✥✭Ø❖✧✪✕❉❩✿Ø❫✬❵✰✍✗✳å✑✩❁✧✔❙ ✱P ✇✔P ✕✘å❆✵❪✐➦✗✳å❴✩✁✥★Ø ✍✓✪✗✻◆✍✗✳å★✕❉❑➓❱✭✓✪✗✻✵✳✍◆ Ø❫✦✱ ✗✳✓❁✱❊✭✸ ✗❄✩ ✛ ✰

❼

⑤

✟❉✉❇✠

ø

➛

4.706 ❻ V

10 V ✗ ➛

5.294 ❻ V

R1 R2 R3 0.588 V R4 R5

♦☞☛✕❼ ✌✎✍❥♥❥✐✒❦✑♠ ✏ ❧❵⑤

✒ ✍✔✌✫♥♣♦✦♥✏q

☛✕✒☞☛✻rts ✖✙✘✚✖

5.294 ❻ V

4.706 ❻ V

✪✕ ✍Ø ✭✓ ✤✕ ✦✓ ⑨✞⑩ ✕✘å❆✵ ⑨ ß P ✰✡✽❥✱❃✰❇✸✭✓❁✧✔Ø P ✕✘✓✪Ø❫Ø❊♠✰✕❇✱✺✩❁❑❄❨❲✩✁✥★Ø❈✧✪✕❉❩✿Ø✠❇✕ ✧✫✩❁✭✥ Ø❊❨✼✾❑Ø✼✓✪Ø❬✗✳ås✩❁✥✭Ø❈✱❊✰✍å✺ë✍Ø✶✓✚✩✪Ø✭✵ ❙✯✩▼✩❁✥✭✗✮✧❥✬❵✍ ✰ ✗✳å✑✩ P ✾❑Ø☞✱❃✰❇✸✳❑✮✵❅✩✪✕✄◆✍Ø▲✩❁✥✭Ø✭✧✔Ø✤ë❇✰✡❑❄✩✪✕✡◆✍Ø✭✧❈✕✘å❆✵◗✭ ✵ Ø❃✩✔Ø✶✓✁❩✿✗✳å✭Ø■✓✪Ø✭✧✔✗✮✧✪✩❁✰✍✓❥✱❊✸✭✓✪✓✔Ø✶å❇✩★✧❷✩❁✭ ✥ ✓✁✰❇✸✳◆✡✥◗✩✁✥✭Ø✤✓✔Ø✭✬✷Ø❅✕●✩✔Ø✆✵ ✸❆✧✔Ø❚✰❉✽ ➀ ✥✳❩✼❏ ✧✞❽❵❳ ✕ ✾③ç ✈✥❾❁❿ ❶ ⑨ é ✛ ❶❷✰✡❑❄✩ ✡◆ ❢✵ ✁✰❇✬❆✧ ❇✱ ❁✰❇✧❁✧

✦✗✳✓ ✭✗

✱ ★✱❃✸ ❄✩✭■

✤

➀

IR1 = ✕ ➀

IR2 = ✕ ➀

✕

➀

= 392.16 mA

5.294 V 18 Ω

= 294.12 mA

588.24 mV Ú 6Ω

IR3 = ➀

4.706 V 12 Ω

= 98.04 mA

IR4 =

5.294 V 18 Ω

= 294.12 mA

IR5 =

4.706 V 12 Ω

= 392.16 mA

✭✗ ✒✗

✳✕ ✔✗ ✍å ❘✗

❙❺✈✑✸ ✻✱✆◆❲✧ ✻❩❢✸❆❑ ❉✩ ✻✰ ❲✾ ❝✩❁✥

➃✳➠

✈

✾ ❄❑✻❑❹✧

1

1 R1 12 Ω 2

10 V

❘✗ ✔Ø✼✓✪ë✍Ø✔✩✁✰✿ë✍Ø✶✓✔✗❄✽❋❨◗✰❇✸✭✓▲✾❥✰✢✓✥◆ ❿

✐

Ú

R3

➁✴➤⑧➂✳➭✙➲✑➭✡➤➓➴❉➥✑❋ ➹ ➂✙➩❵➸●➄ ➹ ➃✳➥❣➴✙➸❳➩✹➴✭➁❯➸❳➦

3

6Ω

R4 18 Ω 0

R2 18 Ω

R5 12 Ω 0

✛

✐①❦✴✏✎✐③②✳✏❋❘ ✪✆s❭☛✕✒ ❧

s④✪ ❘⑥⑤✞♦ ✒

✄✍▼♥☞✖✴✘✾♦ ✒ ✖

✟❉✉❇✉

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➩✴➬❣➪➟➚➁➾❳➱ ➩❭➇➯➶➟➚➁➾❳➪ ➹ ➴③➽✜➾➯➾❳➚➁➾❳➚➁➾ ➮ ✹ ➼➮ ✙➩❵➸✆➤✙➦➘➹✹➴✓➽✗✃❳➾❯❐✁➪✹❒❞➽✗✃❳➾❯❐✁➶✹❒❞➽✗✃★➪❷❐✁➶✹❒❞➽✗✃★➪❷❐✁➚✹❒❞➽✗✃★➶❷❐✁➚✹❒ ➮ ➥✡➤✙➹ ➽✜➾ ➾ ➮ ➚✑➚✴➚❇❮✙❰✙➚❵➾

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Voltaic cell +

-

electrodes

electrolyte solution

▲

The two electrodes are made of different materials, both of which chemically react with the electrolyte in some form of ionic bonding.

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✤✦✥✳❱

Lead-acid cell discharging load + I

+

-

PbO2 electrode

Pb electrode electrons

electrolyte: H2SO4 + H2O

❲

At (+) electrode: PbO2 + H2SO4 At (-) electrode: Pb + H2SO4

PbSO4 + H2O + O PbSO4 + 2H

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I +

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PbO2 electrode

Pb electrode electrons

electrolyte: H2SO4 + H2O At (+) electrode: PbSO4 + H2O + O At (-) electrode: PbSO4 + 2H

PbO2 + H2SO4 Pb + H2SO4

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2.2 V - +

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⑩ Ô✸❶❝❒✰❶➒❮✎❮Ï❐❴✗✓➮✿✒✕ ➮✠✕ ➱ ❰ ➴ Ü ➴ ❰✔✗✓✦Õ ❶ Ø ✕①❰✥❹❰ ❶➒➬✥Ð●✕✒➬✵❶✠❒ ➴ ➮➄❰✪✕✍✗✎➮✪➒❶ ✃✁Ó❘✗✎❰✥Ô★✗✎➮❛❰✥Ô✸❶✞❐✪✕✒Ü❷❶✔Ô★✕✄➬✛✃❛➬ ➱ Ø❭Ø ❶➒➬➪Ô ➴✄➱ ❐✔✗✓➮❭à➊Ò①❒ ➴ ➮❭➮✸❶③❒❷❰❹❶③✃ ❰ ➴ à✦❶✾❰✥Ô✸➒❶ ➬✔Ó❘✗✎❰✥Ô➏❰✛Ô✭✗Ï❒✓☛✩ Ò⑧❮✬✶❶ ✕❚✃ Ø ✕✒➬✆❐❚✗✓➮➊❐✧❹❰ ❶❅✄✕ ✃ ➴✄➷ Ó❘✗✎➬✵❶➒❐➒Ù ⑩ Ô✸❶✁❶➒❮☛❶③❒❷❰✛➬ ➴ ✃✮❶③❐❈✕✒➮✱✃▼❶✾❮✬❶➒❒✳❰✥➬ ➴ ❮✓Ð➄❰❹❶✻❐ ➴ ❮ ➱ ❰✔✗ ➴ ➮✱❐ ➷❳➴ ➬✆❶❅✕✄❒✆Ô➏✰❒ ❶➒❮✎❮ ✕✒➬✵➓❶ ❒ ➴ ➮➄❰✖✕✘✗✓✸➮ ➒❶ ✃✝✗✓➮▲❐❵➒❶ Ý★✕✒➬✖✕①❰✵❶✄Ò⑧★Ý ✕✒➬✥❰✔✎✗ ❰✔✗ ➴ ➮✪➒❶ ✃✰❐❹❶➒❒✳❰✔✗ ➴ ➮➊❐ ➴✄➷ ❰✥Ô✸❶ Ø ✕✒❰✧❰✵❶✾➬✛Ð➏❒✼✕✄❐❹❶✄Ù✾❸✌➮❃✳❮ ✕✄➬✥à✧❶ Ø ✕✒❰✧❰✵❶✾➬✪✗☛❶③❐✾Ò➄❰✥Ô✪❶✌➒❶ ❮☛❶③❒❷❰✛➬ ➴ ✃✮❶③❐ ❒ ➴ Ü❴Ü ➴ ➮❭❮✓Ð✿✖❰ ✕✕✩✧✏❶ ❰✥✪Ô ❁❶ ❐✥Ô★✒✕ Ý✼❶ ➴✒➷ ❰✛Ô✭✗✎➮✽Ü❷❶✳❰✪✕✄❮✑à✄➬✪✗✓✃❭❐ ➴ ➬➎Ý❭❮✻✕①❰✵❶➒❐➒Ò✺✕✄➮➊❃ ✃ ✕✄➬❹❶ ➴✒➷ ❰❹❶➒➮✰➬✵❶ ➷ ❶➒➬✥➬✵❶➒✃❴❰ ➴ ✕❚❐❾✴✛✔✎å①æ ñ✰✯ ✗✎➮➊❐✧❰❹❅❶ ✕✄✃ ➴✒➷ ✾❶ ❮✬➒❶ ❒✳❰✥➬ ➴ ✃✮➒❶ ❐➒Ù ❄ ➴ ➬➝❰✛Ô✸♠ ❶ ❐✪✕✕✩✧❶ ➴✒➷ ❒ ➴ ➮⑧✦Õ ✾❶ ➮★✗☛❶➒➮➊✰❒ ❚❶ Ò Ø ✕①❰✥❰❹❶➒➬✥Ð➟❐✥Ð➄Ü Ø ➴ ❮✓❐❳✕✒➬✵❶ ➱ ❐ ➱ ✕✒❮✓❮✓Ð ❮✳✗✎Ü✿✗✎❰❹③❶ ✃➟❰ ➴ ➷❳➴✄➱ ➬Þ❮❍✗✓➮✸③❶ ❐✾Ò◗✕✒❮✎❰❹✾❶ ➬✛➮★✕✒❰✔✗✓➮❭à ❮ ➴ ➮❭à✮①❻ ❐✥Ô ➴ ➬✥❰➒Ò➤✕✒❮✎❰✥Ô ➴❚➱ à✄Ô➓❰✛Ô✸➎❶ ➬❹❅❶ ✕✒❮ Ø ✕①❰✥❰❹✾❶ ➬✛Ð❱Ñ✗ ❰➪➬❹➒❶ Ý❭➬✵➒❶ ❐❹❶✾➮➄❰✛❐tÜ✿✕✭Ð➓Ô★✕✭Õ✧④❶ Ü✝✕✒➮⑧Ð❁Ü ➴ ➬❹➎❶ ❒✰➒❶ ❮✎❮Ï❐Ú❰✛Ô★✕✒➮❛❰✥Ô★✕✒❰➒Ù❾✫☞ ➮ ➴ ❒✾❒✼✕❚❐✒✗ ➴ ➮tÒ Ô ➴ Ó❅✾❶ Õ✧✾❶ ➬③Ò✱Ð ➴✄➱ Ü✿✓✗ à✄Ô➄❰✴❒ ➴ Ü❷◗ ❶ ✕✄❒✳➬ ➴ ❐✛❐❱✕✽❐✥Ð⑧Ü Ø ➴ ❮ ➷❳➴ ➬●✕ Ø ✕①❰✧❰✵✾❶ ➬✛Ð➑Ó❘✗Ñ❰✛Ô ➱ ➮ ➱ ❐ ➱ ✕✄❮✎❮✓Ð➑Ô✭✗✓à✄Ô Õ ➴ ❮✎❰✪✕✄à✦✄❶ Ò➣✗✓➮➄❰❹✾❶ ➮➄❰✪✗ ➴ ➮★✕✒❮✓❮✎Ð ✃✷➬✖✕✭Ó✞➮✽Ó❘✗✎❰✥Ô✠✾❶ â➄❰✛➬✪✕✿❮✳✎✗ ➮✸③❶ ❐✾Ù ⑩ Ô✪❶✴❍❮ ✗✓✸➮ ➒❶ ❐➒Ò ➴✄➷ ❒ ➴❚➱ ➬✆❵❐ ❚❶ Ò✭✕✒➬✵✫❶ ➬✵✾❶ Ý❭➬✵➒❶ ❐❹✾❶ ➮➄❰✖①✕ ❰✔✗✓Õ✦❶ ➴✒➷ ❰✥Ô✸●❶ ✗✓➮➊✰✃ ✗✓Õ✺✗✓✃ ➱ ✕✒❮t❒✎✾❶ ❮✓❮ÚÝ❭❮✻✕①❰✵➒❶ ❐✑✏

➀ ÷✻ø❍✂ ù➪ú✔û➂➁✦➁ ü❋ý❝ø ù✞ù➪ú✔û✞þ✣ú➎ÿ ø✁❍➃✄✂✌➄♦➅ ú✠û❆ÿ➇➆④ÿÚù➪ú✆☎ ÿ

✤✦✥✧❿ + symbol for a battery with an unusually high voltage -

❸ ➷ ❰✥Ô✸❛ ❶ Ý❭Ô⑧Ð⑧❐✔✗Ï❒✼✕✒❮Û✒❐ ✗ ❃ ❶ ➴✄➷ ✕Ö✎❒ ❶✾❮✓❮t★Ô ✕❚❐✞➮ ➴ ✗✓Ü❴★Ý ✕✄❒✳❰ ➴ ➮❧✗✎❰✛❐✻Õ ➴ ❮✎❰✪✕✄à✦❶❚Ò✷❰✥Ô✸❶➒➮➑Ó✞Ô★✕①❰✻✃ ➴ ❶③❐☛✗✎❰✤✕✙✍✛❶➒❒✳❰✓➈ ⑩ Ô✸❶✠✕✒➮➊❐✥Ó✆❶➒➬ ✗Ï❐✏➬✵❶➒❐✔✓✗ ❐✧❰✪✕✄➮➊❒✰❚❶ Ò➊Ó✞Ô✭✗Ï❒✆Ô❯✗✓➮▲❰ ➱ ➬✛➮✱✕✙✍✛❶➒❒✳❰✛❐✏❰✥✸Ô ❶✿✿Ü ✕✒â✰✗✎Ü ➱ Ü❭✕✒Ü ➴✄➱ ➮➄❰ ➴✄➷ ❒ ➱ ➬✛➬❹❶➒➮➄❰✏❰✥Ô★✕✒❰❱✕➏❒✎❶✾❮✓❮Û❒✶✕✒➮➑Ý❭➬ ➴ Õ✺✗✓✃✮❶❚Ù②➉④Õ✧❶✾➬✛Ð Õ ➴ ❮Ñ❰✖✕✘✗Ï❒❴✰❒ ❶✾❮✓❮✔❒ ➴ ➮➄❰✪✕✍✗✎➮➊❐✴❐ ➴ Ü❷❶❃✕✄Ü ➴❚➱ ➮➄❰ ➴✒➷ ✗✎➮➄❰✵❶✾➬✛★➮ ✕✒❮▼➬✵❶➒❐✔✗✓❐✧❰✪✕✄➮➊✰❒ ❶Ö✃ ➱ ❶❴❰ ➴ ❰✥Ô✪❶▼❶✾❮✬❶➒❒✳❰✥➬ ➴ ✃✸❶➒❐●✕✒➮✱✃ ❰✛Ô✸❶▼❶➒❮☛❶③❒❷❰✥➬ ➴ ❮✓Ð➄❰❹❶❚Ù ⑩ Ô✸✫❶ ❮✳✕✄➬✥✧à ✾❶ ➬❚✕✁❒✎✾❶ ❮✓✷❮ ✗Ï❐✠❒ ➴ ➮➊❐✧❰✥➬ ➱ ❒✳❰❹➒❶ ✃ÚÒ✒❰✥Ô✪✻❶ à✄➬✵✶❶ ✕✒❹❰ ❶➒➬▼❰✥Ô✸❶✁✾❶ ❮✬➒❶ ❒✳❰✥➬ ➴ ✃✸✻❶ ❒ ➴ ➮❚✖❰ ✕✄❒✳❀❰ ✕✒➬✵❶✶✕➓Ó❘✗✎❰✥ÔÖ❰✛Ô✸❶❍❶➒❮☛❶③❒❷❰✛➬ ➴ ❮✎Ð➄❰❹❶❚Ò❄✕✄➮➊✃❵❰✥Ô ➱ ❐ ❰✥Ô✪✴❶ ❮☛③❶ ❐✥❐❇✗✓➮➄❰❹✾❶ ➬✛★➮ ✕✄❮×➬❹③❶ ❐✒✗Ï❐✣❰✖✕✒➮➊❒✎✤❶ ✗✎❰✏Ó❘✗✓❮✎❮Ú✷Ô ✕✭Õ✦✄❶ Ù í✏❮✎❰✥Ô ➴✄➱ à❚ÔÞÓ❅➏ ❶ à✧✾❶ ➮✸➒❶ ➬✪✕✄❮✎❮✓Ð ❒ ➴ ➮➊❐✔✓✗ ✃✮➒❶ ➬❬✕➑❒✰➒❶ ❮✎❮ ➴ ➬ Ø ✕①❰✧❰✵✾❶ ➬✛Ð❳✗✓➮❤✕➑❒✦✗✓➬✆❒ ➱ ✗✎❰✁❰ ➴ Ø ▲ ❶ ✕▲Ý✼✾❶ ➬ ➷ ➒❶ ❒✳❰✿❐ ➴✄➱ ➬✆❒✰❶ ➴✄➷ Õ ➴ ❮✎❰✪✕✄à✦❶ ò❋✕ Ø ❐ ➴ ❮ ➱ ❰❹➒❶ ❮✎Ð➏❒ ➴ ➮➊❐✧❰✪✕✄➮❚❰❷õ❷Ò➄❰✥Ô✪❁❶ ❒ ➱ ➬✥➬✵✾❶ ➮➄❰➎❰✥Ô❭➬ ➴✄➱ à✄Ô❃✗✎❰✏✃✰✗✓❒✳✪❰ ✕✒❰❹➒❶ ✃✽❐ ➴ ❮☛➒❶ ❮✎Ð Ø Ð❴❰✛Ô✸❶ ñ✵➊ æ ñ î❂☛✘ å✕✄✔ ➬✵➒❶ ❐✔✗✓❐✧❰✪✕✄➮➊❒✰❶ ➴✒➷ ❰✥Ô✸➓❶ ❒✦✗✓➬✛❒ ➱ ✗✎❰ ❰ ➴ Ó✞Ô✭✗Ï❒✆Ô❃✗Ñ❰❑✗✓❐❑✕①❰✥✪❰ ✕❚❒✆Ô✸➒❶ ✃×Ò❚❰✥Ô★✗✓❀❐ ✗✓❐✠➮ ➴ ❰✆❶✾➮➄✪❰ ✗✎➬✵✾❶ ❮✓Ð❵❰✥➬ ➱ ☛❶ ✗✓➮✰➬✵✶❶ ✕✒❮✱❮❍✗ ➷ ✄❶ Ù ❘ ✗✓➮➊❒✎❶❍✾❶ Õ✧✾❶ ➬✛Ð❵❒✎✾❶ ❮✓❮ ➴ ➬ Ø ✕✒❰✧❰✵✾❶ ➬✛Ð❴❒ ➴ ➮➄❰✪✕✍✗✎➮✱❐✔❐ ➴ Ü❷❶ ✗✓➮❚❰✵✾❶ ➬✛★➮ ✕✒❮×✵➬ ➒❶ ❐✔✗Ï❐✣✖❰ ✕✒➮➊❒✎✄❶ Ò➄❰✥Ô★✒✕ ❰✏➬❹③❶ ❐✒Ï✗ ❐✧❰✪✕✒➮✱❒✰➓❶ Ü ➱ ❐✧❰☛✕✙✍✛➒❶ ❒✳❰✞❰✥Ô✸✁❶ ❒ ➱ ➬✥➬✵✾❶ ➮➄❰❘✗✓➮❧✕✄➮⑧ÐÖà✍✗✓Õ✦✾❶ ➮▲❒✦✗✓➬✆❒ ➱ ✗✎❰✑✏ Real battery (with internal resistance)

Ideal battery

8.333 A

10 A

10 V

1Ω Eload = 10 V

➋0.2 Ω 1Ω 10 V

Eload = 8.333 V

⑩ Ô✸❶✴➬✵❶✶✄✕ ❮ Ø ✕①❰✥❹❰ ❶✾➬✛Ð✽❐✥Ô ➴ Ó✞➮❧✕ Ø ➴ Õ✦❶➓Ó❘✗✎❰✥✭Ô ✗✓➮▲❰✥Ô✸❶✿✃ ➴ ❰✥❰❹❶➒✃❃❮✳✗✎➮✪❶➒❐✏Ô✷✕✄❐❘✕✒➮❧✗✓➮➄❰❹❶✾➬✛➮★✕✄❮Ú➬❹❶③❐✒✗Ï❐✧❰✪✕✒➮✱❒✰❶ ➴✒➷❾✥ Ù ö❬➌ Ò❭Ó✞Ô✭✗Ï❒✆Ô ✕✙✍✛❶➒❒✳❰✛❐❈✗Ñ❰✆❐❚✕ Ø ✗✓✳❮ ✗Ñ❰✣Ð✿❰ ➴ ❐ ➱ Ý❭Ý❭❮✓Ð❴❒ ➱ ➬✛➬❹❶➒➮➄❰▼❰ ➴ ❰✛Ô✸❶✏❮ ➴ ✕✄✃❵➬✵❶➒❐✔✗✓❐✧❰✪✕✄➮➊✰❒ ❶ ➴✄➷ ❴ ➌ Ù ⑩ Ô✸❶■✗✓✃✮❶❅✕✒❮ Ø ✕①❰✧❰✵❶✾➬✛Ð ➴ ➮❴❰✥Ô✸❶✏❮✬❶ ➷ ❰✠Ô★✕✄❐▼➮ ➴ ✗✓➮❚❰✵❶✾➬✛★➮ ✕✒❮t❹➬ ③❶ ❐✒✗Ï❐✣❰✖✕✒➮➊❒✎✄❶ Ò✭✕✄➮➊✃➑❐ ➴❴➴❚➱ ➬✌☞✫Ô❭Ü✠✟ ❐②➍❴✕✭Ó➩❒✼✕✄❮✓❒ ➱ ❮✳✕✒❰✔✗ ➴ ➮➊❐ ➷❳➴ ➬✻❒ ➱ ➬✥➬✵❶✾➮➄❰❛ò➎❸❹➏✌➉✜❻✙✻➐ õ✠à✢✗✎Õ✧❶ ➱ ❐☛✕❴Ý✼❶✾➬ ➷ ❶➒❒❷❰✫Õ➤✕✄❮ ➱ ❶ ✃ ✕✒➮➊✃■❴ ✥ Õ ➴ ❮✎❰✫❐ ➱ Ý❭Ý❭❮✓Ð✄Ù ⑩ Ô✸❶❛➬✵❶✶✕✄❮ Ø ✕✒❰✧❰❹❶➒➬✥Ð❚Ò✑Ó❘✗Ñ❰✛Ô❯✗Ñ❰✆❐ Ø ➱ ✗✎❮✎❰✧ë➬✗✓➮ ➴✒➷ ❴ ✥ ✒✕ Ü❴Ý➊❐ ➷❳➴ ➬➓❒ ➱ ➬✥➬✵❶✾➮➄❰✻Ó❘✗✎❰✥Ô➑❰✛✸Ô ❶❚❴ ➴ Ô❭Üó❮ ➴ ✕❚❯ ➬✵❶➒❐✔✓✗ ❐✧❰✪✄✕ ➮➊❒✰❶ ➷❳➱ ➬✧❰✛✸Ô ❶✾➬❑✎✗ Ü❴Ý✼➒❶ ✃✰✓✗ ➮❭à❛❰✥✸Ô ❶❍✹ ➴ Ó ➴✒➷ ❶✾✬❮ ❶➒❒✳❰✥➬ ➴ ➮➊❐➒Ò⑧✼❒ ✕✒➮ ➴ ➮❭❮✓Ð❵❐ ➱ Ý❭Ý➊❮✎Ð ❿ Ù ✤✦✤✧✤ ✕✒Ü❴Ý➊❐✔❰ ➴ ❰✥Ô✸❶❁❐✔✕✄Ü⑤❶✻➬❹❶③❐✒✗Ï❐✣❰✖✕✒➮➊❒✎❶ ❮ ➴ ✄✕ ✃ÚÙ ➮ ✕ ❐✥Ô ➴ ➬✧❰❴✦❒ ✓✗ ➬✛❒ ➱ Ñ✗ ❰❴Ó❘✎✗ ❰✥Ô ✥ ➌ ➬✵❶➒❐✔✓✗ ❐✧❰✪✄✕ ➮➊✰❒ ❶❚Ò▼Ó ➴❚➱ ❮Ï✃ Ø ❶❧✕ Ø ❮☛❶✽❰ ➴ ❐ ➱ Ý❭Ý❭❮✓Ð❤✕✒➮❤✗✓➮✷ä➊➮✭✗✎❰❹❶ ⑩ Ô✸❶▲✓✗ ✃✮❶❅✒✕ ❮ Ø ✒✕ ❰✧❰❹➒❶ ➬✥Ð❚Ò❚✗✓❝ ✒✕ Ü ➴❚➱ ➮➄❰ ➴✒➷ ❒ ➱ ➬✛➬❹➒❶ ➮➄❰➒Ù ⑩ Ô✸❶❁➬❹❶❅✒✕ ❮ Ø ①✕ ❰✥❹❰ ✾❶ ➬✛Ð✄Ò ➴ ➮Ö❰✥Ô✸❶ ➴ ❰✥Ô✸❶➒➬✠Ô★✄✕ ➮➊✃×Ò✷❒✼✕✄➮ ➴ ➮❭❮✎ÐÖ❐ ➱ Ý❭Ý❭❮✓Ð ❱✕✥ ✕✒Ü❴Ý➊❐➓ò➑❴ ✥ Õ ➴ ❮✎❰✛❐❩❻ ✥ Ù ö❛➌ õ ❰➴ ➏ ✕ ❐✧Ô ➴ ➬✥❰✫✦❒ ✗✓➬✛❒ ➱ ✎✗ ❰ ➴✒➷⑧✥ ➌ ➬✵❶➒❐✔✓✗ ❐✧❰✪✄✕ ➮➊✰❒ ❶❚Ò✱✃ ➱ ❶✁❰ ➴ ✎✗ ❰✛❐✤✎✗ ➮➄❰✵❶✾➬✛➮★✒✕ ❮Ú➬✵❶➒❐✔Ï✗ ❐✣❰✖✒✕ ➮➊❒✎❶✄Ù ⑩ Ô✸❶❛❒✆Ô✸❶➒Ü✿✓✗ ❒✶✒✕ ❮t➬✵❶✶❚✕ ❒❷❰✪✗ ➴ ➮❏✓✗ ➮➊✔❐ ✓✗ ✃✸❶✁❰✥Ô✪❶ ❒✰❶➒❮✎❮✔Ü✿✕✭Ðß❐✣✪❰ ✎✗ ❮✓❮ Ø ❶ÖÝ❭➬ ➴ Õ✺Ï✗ ✰✃ ✗✓➮❭❫ à ❶✾✭â ✄✕ ❒❷❰✛❮✎Ð♠❴ ✥ Õ ➴ ❮Ñ❰✆❐✾Ò Ø ➱ ❰✁Õ ➴ ❮Ñ✖❰ ✒✕ à✧❶✠Ï✗ ❐✁✃✷➬ ➴ Ý❭Ý✼❶➒✃✲✄✕ ❒✾➬ ➴ ❐✥❐✫❰✛Ô★①✕ ❰❫✓✗ ➮➄❰❹❶✾➬✛➮★✄✕ ❮▼➬❹❶③❐✒Ï✗ ❐✣❰✖✒✕ ➮➊❒✎❶ ✄✕ ❐✜❶➒❮☛❶③❒❷❰✛➬ ➴ ➮➊❐❅✹ ➴ Ó ❰✛Ô❭➬ ➴✄➱ à❚Ô✰❰✛Ô✸❶ Ø ①✕ ❰✥❹❰ ➒❶ ➬✥Ð❚Ò❭Ó✞Ô✭Ï✗ ❒✆Ô✽➬✵❶➒✃ ➱ ❒✰❶➒❐➎❰✛Ô✸❶❫✒✕ Ü ➴❚➱ ➮➄❰ ➴✒➷ Õ ➴ ❮✎❰✪✄✕ à✦❶❲✭✕ Õ➤✕✍✎✗ ❮✻✕ Ø ❮☛❶●①✕ ❰❝❰✛✸Ô ❶ Ø ✒✕ ❰✧❰❹❶➒➬✥Ð ❰❹❶➒➬✥✿ Ü ✗✓➮★✒✕ ❮Ï❐➎❰ ➴ ❰✛Ô✸❶✴❮ ➴ ✄✕ ✃ÚÙ ❘ ✓✗ ➮➊❒✰❶❛Ó✆❶✴✳❮ ✎✗ Õ✧❶❫✓✗ ➮❯✒✕ ➮✚✓✗ Ü❵Ý✼✾❶ ➬ ➷ ❶➒❒✳❰✻Ó ➴ ➬✛❮✓✃×Ò✱Ó❘Ñ✗ ❰✛Ô✚✎✗ Ü❴Ý✼❶✾➬ ➷ ❶➒❒✳❰ Ø ✒✕ ❰✧❰❹❶➒➬✔✗✬❶➒❐➒Ò❭Ó❅❶✁➮✸❶✑❶➒✃❃❰ ➴✰➱ ➮➊✃✮❶➒➬✛❐✧❰✪✄✕ ➮➊✃✽❰✥Ô✸❶✠✎✗ Ü❴Ý❭❮✳Ñ✗ ë ❒✼✒✕ ✔❰ ✗ ➴ ➮➊❐ ➴✒➷✔➷ ✄✕ ❒❷❰ ➴ ➬✆❐✫❐ ➱ ❒✆Ô✲✄✕ ❐✤✎✗ ➮➄❰❹❶➒➬✥➮✷✒✕ ❮➪➬❹③❶ ❐✒Ï✗ ❐✧✪❰ ✒✕ ➮✱✰❒ ❶✄Ù ⑩ Ð⑧Ý✭✓✗ ❒✶✒✕ ❮✓❮✎Ð❚Ò Ø ①✕ ❰✥❰❹❶✾➬✪✬✗ ❶➒❐❱✒✕ ➬✵❶❛Ý❭❮✻✄✕ ❒✎❶➒✃❯✓✗ ➮❳✄✕ Ý❭Ý❭❮✳✓✗ ❒✶①✕ ❰✪✗ ➴ ➮➊❐❁Ó✞✸Ô ❶✾➬✵❶ ❰✥Ô✪❶✼✓✗ ➬☛✎✗ ➮➄✵❰ ❶✾➬✛➮★✒✕ ❮Ú➬✵❶➒❐✔Ï✗ ❐✣❰✖✒✕ ➮➊❒✎❶●✓✗ ❐✞➮✪✾❶ à✄❮✳✓✗ ✍à ✗ Ø ❮☛❶✁❒ ➴ Ü❴Ý★✄✕ ➬❹❶③✃➏❰ ➴ ❰✥Ô★✒✕ ❰ ➴✒➷ ❰✥Ô✪✁❶ ❒✦✓✗ ➬✛❒ ➱ Ñ✗ ❰✫❮ ➴ ✄✕ ✃ ò❳Ó✞Ô✸❶➒➬❹❶➓❰✛Ô✸❶✼✓✗ ➬✻❐✥Ô ➴ ➬✥❰✧ë✌❒✦✓✗ ➬✆❒ ➱ ✎✗ ❰ ❒ ➱ ➬✥✵➬ ❶✾➮➄❰ ➷ ✒✕ ➬✆✳❶ â❭❒✰❶✑➒❶ ✃❭❐▼❰✥Ô✸❶✶✎✗ ➬ ➱ ❐ ➱ ✒✕ ❮➊❮ ➴ ❚✕ ✃Ö❒ ➱ ➬✛➬✵❶✾➮➄❰✆õ✳Ò✢✒✕ ➮✱✃Ö❐ ➴ ❰✛Ô✸❶✻Ý✼❶✾➬ ➷❳➴ ➬✛Ü✝✒✕ ➮➊❒✎❶❘✓✗ ❐✔Õ✦❶✾➬✛Ð✿❒✾❮ ➴ ❐❵❶❝❰ ➴ ❰✥Ô✷①✕ ❰ ➴✄➷ ✒✕ ➮✿✓✗ ✃✸❶✶✒✕ ❮ Õ ➴ ❮Ñ❰✖✒✕ à✧❶❁❐ ➴✄➱ ➬✆❒✰❶❚Ù ❸ ➷ Ó❅❶➎➮✸❶✎❶③✃✁❰ ➴ ❒ ➴ ➮➊❐✧❰✥➬ ➱ ❒❷❰❚✕ Ø ①✕ ❰✥❰❹➒❶ ➬✥Ð✴❘Ó ✎✗ ❰✥Ô❵❮ ➴ Ó❅❶✾➬➪➬✵❶➒❐✔✓✗ ❐✧❰✪✄✕ ➮➊✰❒ ❶✔❰✥Ô★✄✕ ➮✿Ó✞Ô✷①✕ ❰ ➴ ➮✸❶✞❒✰❶➒❮✎❮❭❒✶✒✕ ➮✿Ý❭➬ ➴ Õ✺Ï✗ ✃✮❶✫ò ➷❳➴ ➬▼à❚❹➬ ❶❅①✕ ❰❹❶➒➬

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❒ ➱ ➬✥✵➬ ❶✾➮➄❰✏❒✼✕✄Ý★✕✄❒✼✗Ñ❰✣Ð❭õ❷Ò✷Ó❅❶➓Ó❘✗✎❮✓❮ÚÔ★✕✭Õ✧❶✻❰ ➴ ❒ ➴ ➮➊✸➮ ❶➒❒✳❰✞❰✥Ô✸❶✁❒✎❶✾❮✓❮✓❐➎❰ ➴ à✦❶✾❰✥Ô✸❶➒❘➬ ✗✎➮▲Ý★✕✄➬✪✕✄❮✎✬❮ ❶✾❮❯✏ +

0.2 Ω

0.2 Ω

0.2 Ω

0.2 Ω

0.2 Ω

→2.2 V

→2.2 V

→2.2 V

→2.2 V

→2.2 V

equivalent to

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➋0.04 Ω →2.2 V -

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Õ✙✒➤ Ý ➴ ➬✓①➤ ❰✵➥ ➴ ➮ ➴✄➷ ➒❶ ❮☛③❶ ❒❷❰✥➬ ➴ ❮✓Ð➄❰❹❶❚Ò❭✮✃ ❶✳❰✵✾❶ ➬✵➥ ➴ ➬✵✒➤ ❰❹➥ ➴ ➮ ➴✄➷ ➒❶ ❮☛③❶ ❒❷❰✛➬ ➴ ✃✮③❶ ❐✾Ò✷❮✬❶✑➤✦✩✣✄➤ à✦➓❶ ❒ ➱ ➬✛➬✵✾❶ ➮➄❰ Ó❩✎➥ ❰✥✸Ô ✓➥ ➮ Ø ✒➤ ❰✧❰✵✾❶ ➬✛Ð✷õ④❮ ➴ ➮❭à Ø ❶ ➷❳➴ ➬❹❶ ❿ Ð✦❶❋✒➤ ➬✆❐④Ô✪➤❚❬ ✃ ❶✾➫❮ ➤✒Ý➊❐❹➒❶ ✃ÚÙ ⑩ Ô✸➒❶ ➬❹❶ ➷❳➴ ➬✵✄❶ Ò❚Ó✆✫❶ Ü ➱ ❐✧❰✔❰✓➤✕✩✦✻❶ ❰✥Ô✸❶✌✒➤ Ü❴Ý✷ëèÔ ➴✄➱ ➬✔➬✵✾❶ ❮➫①➤ ❰❹➥ ➴ ➮✱❐✧Ô✸✓➥ Ý ✄➤ ❐ Ø ❶✎✓➥ ➮❭à❬✒➤ ❚ ➮ ➥✓✃✸❶✑✒➤ ❮✿✄➤ Ý❭Ý❭➬ ➴ â✮✎➥ Ü❬➤①✵❰ ➥ ➴ ➮ ➴✒➷ Ø ①➤ ❰✥❹❰ ➒❶ ➬✥ÐÖ❮✬➥ ➷ ❚❶ Ò✷❰✥Ô✪❶❽✄➤ Ü❴Ý✷ë❢Ô ➴✄➱ ➬❝➬✓①➤ ❰❹✓➥ ➮❭à✿❰✥➬ ➱ ❐✧❰❹➒❶ ✃ ➴ ➮➊❮✎ÐÖ➮✸❶❋✒➤ ➬➎❰✥Ô✪✁❶ ❐✧Ý✼➒❶ ❒✎Ñ➥ ä✪③❶ ✃ ❒ ➱ ➬✥➬✵✾❶ ➮➄❰ ➴ ➬■❰❹✓➥ ❷ Ü ➒❶ ❐✥Ý✪✒➤ ➮❵à✦✓➥ Õ✦➒❶ ➮ Ø Ð➓❰✥Ô✪✞❶ Ü❷✄➤ ➮ ➱✷➷ ✄➤ ❒✳❰ ➱ ➬✵✾❶ ➬③Ù ⑧❘ ➴ Ü❷✠❶ Ü❬➤✒➮ ➱✷➷ ❚➤ ❒❷❰ ➱ ➬❹➒❶ ➬✛❐■Ó❩✓➥ ❮✎❮✷Ý➊➬ ➴ Õ✷Ï➥ ✃✮❶❅✄➤ Ü❴Ý✷ë❢Ô ➴✄➱ ➬▼✃✮➒❶ ➬✵✒➤ ❰❹✓➥ ➮❭à ➷ ✄➤ ❒✳❰ ➴ ➬✛❐✞❐✥Ý♥③❶ ❒✰➥ ➷ Ð✷✎➥ ➮❭à❴➬✵➒❶ ✃ ➱ ❒❷❰❹➥ ➴ ➮✱❐✜➥✎➮❃❰ ➴ ❰✵✄➤ ❮Ú❒✎✒➤ Ý♥✄➤ ❒✰✎➥ ❰✣Ð❆✒➤ ❰✞✃✸➥➭✍✛✾❶ ➬✵✾❶ ➮➄❰✏❮✬✾❶ Õ✦➒❶ ❮✓❐ ➴✄➷ ❒ ➱ ➬✥➬✵✾❶ ➮➄❰②✒➤ ➮✱✃♥❻ ➴ ➬✠❰✵✾❶ Ü❴Ý✼✾❶ ➬✓①➤ ❰ ➱ ➬❹❚❶ Ù ❄ ➴ ➬✔❹❐ ➒❶ ❒ ➴ ➮➊✃✸✄➤ ➬✥Ð✁✎❒ ❶✾❮✓❮✓❐➒Ò✄❰✛✸Ô ❶❍✄➤ Ü❵Ý❭ë❢Ô ➴❚➱ ➬▼➬✓①➤ ❰❹➥✓➮❭à✴Ý❭➬ ➴ Õ✷✓➥ ✃✸➒❶ ❐❾➓ ➤ ➬ ➱ ❮☛❶ ➷❳➴ ➬④➮✸③❶ ❒✰③❶ ❐✥❐✵✒➤ ➬✛Ð❛❒✆Ô✪✄➤ ➬✥à✧✎➥ ➮❭à✫❰❹✓➥ Ü❷❶✁✒➤ ❰➙✒➤ ➮⑧Ð❛à✧✎➥ Õ✧✾❶ ➮ ❮✬✾❶ Õ✦➒❶ ❮ ➴✒➷ ❒✆Ô✪➤✄➬✥✧à ❶❁❒ ➱ ➬✥✵➬ ✾❶ ➮➄❰③Ù➙❄ ➴ ➬②✳❶ ✸â ✒➤ Ü❴Ý❭✬❮ ✄❶ Ò❭❰✥Ô✸❶⑤➲ ✥ ✒➤ Ü❴Ý✷ëèÔ ➴✄➱ ➬②➤ ➱ ❰ ➴ Ü ➴ ❰❹✓➥ Õ✦❶ Ø ✒➤ ❰✧❰✵✾❶ ➬✛Ð❆✓➥ ➮▲❰✥Ô✸✴❶ Ý❭➬✵✾❶ Õ✷➥ ➴✄➱ ❐②✳❶ â✸✒➤ Ü❴Ý❭❮✬❶ ❐✥Ô ➴✄➱ ❮Ï✃ ❰✓➤✕✩✦❶❊❴ ✥ Ô ➴✄➱ ➬✆❐✁❰ ➴ ❒✆Ô✪✄➤ ➬✥à✧❶ ➷ ➬ ➴ Ü➸➤ ➷❳➱ ❮✓❮✓Ð❚ë✌✮✃ ➥Ï❐✥❒✆Ô♥✒➤ ➬✛à✦➒❶ ✃♣❐✧✵❰ ✒➤ ❰❹❶❚①➤ ❰⑤ß ➤ ❒ ➴ ➮➊❐✣❰✓✒➤ ➮➄❰❵❒✆Ô♥✒➤ ➬✛à✦✓➥ ➮❭à ❒ ➱ ➬✥➬✵✾❶ ➮➄❰ ➴✄➷ ➲ ✒➤ Ü❴Ý➊❐✴ò➳➲ ✥ ✒➤ Ü❴Ý✷ëèÔ ➴❚➱ ➬✛❐②❻❬➲❛✒➤ Ü❴Ý➊❐✆õ❷Ù í✏Ý➊Ý❭➬ ➴ â✮✓➥ Ü❬①➤ ❰❹❶❽✒➤ Ü❴Ý✷ëèÔ ➴❚➱ ➬✏✎❒ ✄➤ Ý✪✄➤ ❒✎➥Ñ✵❰ ➥☛③❶ ❐ ➴✄➷ ❐ ➴ Ü❷✴❶ ❒ ➴ Ü❴Ü ➴ ➮ Ø ①➤ ❰✧❰✵✾❶ ➬✵➥☛③❶ ❐❩✒➤ ➬✵➓❶ à✦✓➥ Õ✦✾❶ ➮✽Ô✸✾❶ ➬✵❶✦✏

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➴0.1 Ω

indication: ➘V➹+ Voltmeter 13.2 V -

13.2 V

➴0.1 Ω 100 Ω

-

13.2 V

No load

➷ ➴ Ó✴✮Ò ➥ ➷ ❰✥Ô✸❶ Ø ➤✒❰✧✵❰ ❶✾➬✛Ð✰✃✮➥Ï❐✥❒✆Ô✪➤✄➬✥à✧❶➒❐❅➤ Ø ➥✎❰✁Ù✞Ù✞Ù

indication: ➘V ➹+ Voltmeter 13.187 V

Under load

Scenario for a slightly discharged battery

➬5 Ω

indication: ➘V➹+ Voltmeter 13.0 V -

13.0 V

➬5 Ω 100 Ω

-

13.0 V

No load

indication: ➘V ➹+ Voltmeter 12.381 V

Under load

Ù❝Ù✞Ù⑧➤✒➮➊✃▲✮✃ ➥Ï❐✛❒✆Ô✪➤✒➬✛à✦❶③❐✆➤ Ø ➥✎❰ ➷❳➱ ➬✥❰✥Ô✸❶➒➬✴Ù✞Ù✞Ù Scenario for a moderately discharged battery

indication: ➘V➹+ Voltmeter 11.5 V

20 Ω

-

11.5 V

No load

Ù❝Ù✞Ù⑧➤✒➮➊✃✠➤ Ø ➥✎❰ ➷❳➱ ➬✥❰✥Ô✸❶➒➬ ➱ ➮➄❰❹➥✓✿❮ ➥✎❰✑✟ ❐✏✃✮❶✑➤❚✃×Ù

20 Ω 100 Ω

➘V ➹+ Voltmeter➮9.583indication: V -

11.5 V

Under load

➀ ÷✻ø❍✂ ù➪ú✔û➂➁✦➁ ü❋ý❝ø ù✞ù➪ú✔û✞þ✣ú➎ÿ ø✁❍➃✄✂✌➄♦➅ ú✠û❆ÿ➇➆④ÿÚù➪ú✆☎ ÿ

✤❴ö Scenario for a dead battery

➬50 Ω

➹+ ➘Voltmeter indication: ➱7.5 V V

➱7.5 V

-

➬50 Ω

➱7.5 V

100 Ω

V

➹+ ➘Voltmeter indication: ➬5 V -

➷ ➴ ❰❹➥Ï✰❒ ❶❝Ô ➴ Ó♠Ü ➱ ❒✆Ô Ø ✾❶ ❰✧❰✵✾❶ ➬➪❰✥✪Ô ❶ Ø ➤①❰✥❹❰ ✾❶ ➬✛Ð✛✟ ❐■❰✛➬ ➱ ❶❝❒ ➴ ➮➊✸✃ ➥Ñ❰✵➥ ➴ ➮❛➥Ï❐➪➬❹❶➒Õ✦❶❋✒➤ ❮✬❶➒✃✁Ó✞Ô✪❶✾➮❷➥Ñ❰✆❐➪Õ ➴ ❮Ñ❰✓➤✒à✦❶❅➥Ï❐▼❒✆Ô✸❶➒❒✓✩✧➒❶ ✃ ➱ ➮➊✃✮❶✾➬ ❮ ➴ ➤✄✃➨➤❚❐ ➴ Ý❭Ý ➴ ❐❵③❶ ✃❃❰ ➴ Ó❩➥Ñ❰✛Ô ➴✄➱ ❰❽➤➏❮ ➴ ➤❚✃×Ù ➾ ➴ ❶③❐✏❰✛Ô✸➥✓❐✫Ü❷❶✑➤✄➮➑❰✥Ô✪✒➤ ❰✁➥✎❰✑✟ ❐✻Ý ➴ ➥✓➮➄❰✥❮✬❶➒❐✛❐✞❰ ➴ ❒✆Ô✸❶③❒✓✩❚➤ Ø ➤①❰✧❰✵❶✾➬✛Ð✽Ó❩➥✎❰✥Ô ì ➱ ❐✣❰ ➤✽Õ ➴ ❮✎❰✥❷ Ü ❶✾❹❰ ✾❶ ➬❴ò❳➮ ➴ ❮ ➴ ➤❚✃➊õ❵➈♣➟❊➒❶ ❮✎❮❢Ò×➮ ➴ Ù➣❸ ➷ ➤❃❐❵➥✓Ü❴Ý❭❮✬❶✿Õ ➴ ❮✎❰✥Ü❷❶✳❰✵❶✾➬✴❒✆Ô✸❶➒❒✓✩▲➬✵❶✾Õ✧❶✑➤✒❮Ï❐ ➴ ➮❭❮✓Ð❊➲⑧Ù ❱ Õ ➴ ❮✎❰✛❐ ➷❳➴ ➬♦➤❊❴ ✤ Ù ö Õ ➴ ❮✎❰ ➤Ø ❰✧❰❹➒❶ ➬✥Ð❚Ò❭❰✛Ô✸✾❶ ➮➝Ð ➴✄➱ ✩⑧➮ ➴ Ó❆Ó❩➥Ñ❰✛Ô ➴✄➱ ❰✌➤➏✃ ➴❚➱ Ø ❰✏❰✛Ô✪➤①❰✌Ñ➥ ❰❋✟ ❐✫✃✮❶✑➤❚✃×Ù✏á ➴ Ó❅❶✾Õ✧❶✾➬③Ò✸➥ ➷ ❰✛Ô✸❶❛Õ ➴ ❮✎❰✥Ü❷❶✳❰✵❶✾➬✫Ó✆❶➒➬❹❶➓❰ ➴ ➥✎➮✱✃✮➥✓❒✑➤①❰✵❶ ✒ ❴ ö Ù ❱ Õ ➴ ❮✎❰✛❐➒Ò✧✎➥ ❰✠Ü❬✭➤ Ð Ø ✫❶ ➮✸❶✑✄➤ ➬ ➷❳➱ ❮✓❮☛❒✆♥Ô ➤✒➬✛à✦❶ ➴ ➬➎❐ ➴ Ü❷❶✾Ó✞Ô✪✒➤ ❰✔✃✮❶✾Ý❭❮✬❶✳❰✵❶➒✃⑤✃❴Ð ➴❚➱ ❒ ➴✄➱ ❮Ï✃✷➮✿✟ ❰✔❰✵❶✾❮✓❮✱Ó❩➥✎❰✥Ô ➴✄➱ ❰✜➤✴❮ ➴ ➤✄✃Ö❒✆Ô✸❶③❒✓✩✑Ù ❶ ➬✵➒❶ ❐❹✓➥ ❐✧✵❰ ✄➤ ➮➊❒✰❶ ➱ ❐❹➒❶ ✃ ❰ ➴ Ý❭❮➫➤✄❒✰❶➨➤ Ø ➤①❰✥❰❹❶➒➬✥Ð ➱ ➮✱✃✮❶✾➬Ö❮ ➴ ➤❚✃ Ü ➱ ❐✣❰ Ø ❶❃➬✓➤①❰✵❶➒✃ ➷❳➴ ➬❴❰✥Ô✪❶ ➞ ❶✑✄➤ ➬⑤✓➥ ➮ôÜ⑤✓➥ ➮➊✃❳✒➤ ❮Ï❐ ➴ ❰✥♥Ô ➤①❰❴❰✥✸Ô ▲ ✒➤ Ü ➴❚➱ ➮➄❰ ➴✄➷ Ý ➴ Ó❅✾❶ ➬✜✳❶ â✷Ý✼➒❶ ❒❷❰✵➒❶ ✃❃❰ ➴ Ø ✁ ❶ ✃✮Ï➥ ❐✥❐❹➥✓Ý✪①➤ ❰✵➒❶ ✃×Ù⑧❄ ➴ ➬✻❒✆Ô✸③❶ ❒✓✩✷✎➥ ➮❭à❵❮➫✒➤ ➬✛à✦❶ Ø ①➤ ❰✥❰❹✾❶ ➬✵➥✬➒❶ ❐✏❐ ➱ ❒✆Ô✠✄➤ ❐❩✒➤ ➮➨➤ ➱ ❰ ➴ Ü ➴ Ø ➥✓❮☛❶Öò➑❴ ö Õ ➴ ❮Ñ❰✁➮ ➴ Ü❷✎➥ ➮♥✒➤ ❮ õ❁❮☛❶❋➤✄✃⑧ë❐✄➤ ❒✎➥✓✃ Ø ✒➤ ❰✧❰❹➒❶ ➬✥Ð❚ÒÚ❰✛Ô✸✓➥ ❐❛Ü❬✭➤ Ð Ü❷❶✑✄➤ ➮r▲ ➤ ➬✵➒❶ ❐❹➥Ï❐✣❰ ➴ ➬✴Ó❩✎➥ ❰✥Ô■▲ ➤ Ý ➴ Ó✆➒❶ ➬✴➬✵✒➤ ❰❹✓➥ ➮❭à ➴✒➷ ❐❵➒❶ Õ✦➒❶ ➬✵✄➤ ❮■Ô ➱ ➮✱✃✷➬❹③❶ ✃ Ó✜①➤ ❰✧❰✆❐✾Ù No load

Under load

❝❡❞❆❢✁❣❫❤✰❢✁✐❦❥ ❶ å✒②é ✴✛➧P❭✒ ç✕✭✷î✆➥Ï❐✜➤ ➱ ➮✸➥Ñ❰ ➴✄➷ Ø ➤①❰✥❹❰ ❶➒➬✥▼ Ð ❶➒➮✸❶✾➬✛à✄ÐÖ❒✑➤✒Ý✪❚➤ ❒✰➥✎❰✣Ð✄Ò✷❶✑✫ ➱ ➤✄❮✱❰ ➴ ❰✥Ô✸❶♦➤✒Ü ➴❚➱ ➮➄❰ ✄➴ ➷ ❒ ➴ ➮❚❰✵➥✎➮ ➱❭➴❚➱ ❐❝❒ ➱ ➬✛➬✵❶✾➮➄❰ ❝ ⑩ Ô✸❴ Ü ➱ ❮✎❰❹✓➥ Ý❭❮✬➥☛③❶ ✃ Ø Ð❛❰✥Ô✸✻❶ ✃✸➥✓❐✛❒✆Ô✪➤✒➬✛à✦❶✠❰❹✓➥ Ü❷❶✄Ò❚❰✥Ô✪➤✒❰➙➤ Ø ➤①❰✥❰❹❶➒➬✥Ð❵❒✎➤✒➮Ö❐ ➱ Ý❭Ý❭❮✓Ð Ø ❶ ➷❳➴ ➬❹❶❩❶✾â✷Ô✪➤ ➱ ❐✧❹❰ ➥✓➮❭à❽➥✎❰✛❐⑧➥✓➮➄❰❹❶➒➬✥➮✪➤✄❮❭❐✣❰ ➴ ➬✵❶ Ü ✓➥ ❒✑✒➤ ❜❮ ➒❶ ➮✸✾❶ ➬✛à✄Ð❚Ù ➴✒➷ ❒✆Ô✪❶✾❷ Continuous current (in Amps) =

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❒ Amp-hour rating Charge/discharge time (in hours)

Charge/discharge time (in hours) =

❒ Amp-hour rating

Continuous current (in Amps)

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❰❫Ï➠✇✏②➽ ⑨✳➚✁✓➼ Ð✼Ï➨⑦✠①⑧Ï❊③❛⑥➇✇ÒÑ▲➚❁➾Û➾✗✇②①⑧⑨✎✇②⑥

➞ ➤✄❒✓✩✠➥✓➮➝❰✥Ô✪❶⑤❶❋➤✒➬✛❮✎Ð➑✃✸➤✭Ð✷❐ ➴✒➷ ❶➒❮☛❶③❒❷❰✛➬❹➥Ï✎❒ ➤✄❮ÛÜ❷❶✑➤❚❐ ➱ ➬❹❶➒Ü⑤❶➒➮➄❰✻❰❹❶③❒✆Ô❭➮ ➴ ❮ ➴ à✄Ð✄Ò❜➤✽❐✧Ý✼❶➒❒✎➥✬➤✄❮Û❰✣Ð⑧Ý✼❶ ➴✄➷ Ø ➤✒❰✧❰❹❶➒➬✥Ð➨✩⑧➮ ➴ Ó✞➮❊➤✄❐✌➤ é ñ î✥✎ð ✷✭ î❂❏ ✯ æèå✕✘✼✄✚ å✒î❹❛ ✚ ð ñ ✔❀➒✔ Ó✜➤✄❐ÛÝ ➴ Ý ➱ ❮➫➤✒➬✛❮✓Ð ➱ ❐❵❶③✃❈➤❚❐✗➤✫Õ ➴ ❮Ñ✓❰ ✒➤ à✧✠❶ ❒✎➤✄❮☛➥ Ø ➬✓①➤ ❰✵➥ ➴ ➮❛❐✣❰✓➤✒➮➊✃✪➤✒➬✆✃×Ù ⑩ Ô✸❶ ➴✄➱ ❰✥Ý ➱ ❰ ➴✄➷ ➤✻Ü❷❶➒➬✛❒ ➱ ➬✥Ð ❒✰➒❶ ❮✎❮➄Ó✜✄➤ ❐✆✄❴ Ù ✥ ❴ ❿✧✤ ❰ ➴ ✄❴ Ù ✥ ❴ ➔✦● Õ ➴ ❮Ñ❰✆❐ ➾ ❇ôò➐✃✮❶➒Ý♥❶➒➮➊✃✮➥✓➮❭à ➴ ➮✴❰✛Ô✸❶➎❐✥Ý✼❶➒❒✰✎➥ ä✱❒➎✃✮❶➒❐❹➥✓à✄➮ ➴✄➷ ❒✰❶✾❮✓❮ õ❷Ò✕➤✒➮✱✃✴Ó❅➤❚❐➩❶✾â⑧❰✥➬✵❶✾Ü❷❶✾❮✓Ð❁❐✧❰✵➤ Ø ❮✬❶ ➴ Õ✦➒❶ ➬➎❰❹✓➥ Ü⑤❚❶ Ù

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➁✦➁ ü Ó❭ü ÿ ✂ ú✁➀■þ ø❍Ô✗Õ❖✂ qÛû ✂✌➄ ÿ✷ú ý❝ø ù✞ù➪ú✠û✞þ✣ú✠ÿ Mercury "standard" cell

Öcadmium

Ú+

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mercury

×solution

Ùglass bulb

-

Øwire Öcork washer Öcadmium ×sulphate ×solution

Öcadmium amalgam

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thin, round wafer of crystalline silicon

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Source

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Cross-sectional area is 8155.27 square mils

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end-view of solid round wire

101.9 mils

♥

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101.9 mils

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A = 8155.27 square mils

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Circular Wire Area Formula

①

A = d2

➞ ❶ æ ➤ á ç❹❶ à✵é ➥✬ç✗➥➫ç✾➤ á✸Ü ➥ à❾Þ✕Ý ☞✜✍❹✗õ ☞✆å⑤❶❋➤✦ç á✸ß ❶✎å❷❶ Ü✳à ä à✵é ❶✜å❷➤ à❹é ❶✑å❬➤ à ➥ æ ➤✦â✧î Þ è❅❶ ß✗Þ✕Ý ❴ ➥✬ç✾ç à ➥✬â☛â✷➥ Ü ❶☛♠✼❶ æ❂à❩ð❖ê✮Þ✧á ì â✬➥ Ü✪í à❹é ❶➣è❩➥ ê✮à❹é❺Þ✦Ý ➤ æ ➥ ß✵æ â☛❶♦è❩➥✬â☛â✁☞✎⑧ ✵ ☞✎❿➀⑩➁❸ á ➤ ê✮ß✵á î✸â✬❶➣➥ à ç✁➤ ß ❶✑➤✸ä Ü✸Þ å❬➤ à❹à ❶ ß è é ➤ à✁á✸Ü ➥ à ç✌➤ ß ❶ á ç❵❶ ê ä Þ✧ß ➥ Ý❾à❹é ❶➣è❩➥ ê✷à✵é Þ✕Ý❽à✵é ➤ à❆æ ➥ ß✓æ â✬❶➨➥✬ç❆❶ ÷ î ß ❶✑ç✵ç❵❶ ê ➥ Ü❉à ❶ ß å❬ç Þ✦Ý♦ß ➤ ê ➥ á ç Þ✦ß▼ê ➥➫➤✕å❷❶ à ❶ ß ò❂ï ⑩➇Þ ➥☛â✬â á ç à✵ß ➤ à ❶ à✵é ❶ ê ➥✛♠✼❶ ß ❶ Ü✪æ ❶ ì ❶ à è❅❶✎❶ Ü å❷❶✑➤✧ç á✸ß ❶✎å❷❶ Ü✧à ç❬➥ Ü ç⑤❸ á ➤ ß ❶➨å❷➥☛â➫ç▼➤ Ü✪ê å❷❶✑➤✦ç á✸ß ❶✎å❷❶ Ü✳à ç❷➥ Ü♣æ ➥ ß✓æ✰á â➫➤ ß å⑤➥✬â➫ç✎ä✜❸❷è❩➥☛â✬â æ✎Þ å❷î✪➤ ß ❶➨➤ æ ➥ ß✓æ â✬❶➨è❩➥ à✵é ➤ ç⑤❸ á ➤ ß ❶✦ä✮ç é✪Þ è❩➥ Ü✸í⑤à✵é ❶➣➤ ß ❶✑➤ Þ✕Ý ❶✑➤ æ✓é ç é ➤✕î✼❶♦➥ Ü ì Þ✕à❹é✠á✸Ü ➥ à å❷❶❋➤✦ç á✸ß ❶❋ç☛♥

➂ ➂

Area = 0.7854 square mils Area = 1 circular mil

1 mil

ô Ü♥ê❆Ý➎Þ✧ß ➤ Ü✸Þ✦à❹é ❶ ß ç❵✌➥ ⑥✎❶ Þ✦Ý è❩➥ ß ❶✚♥

➂

➂

Area = 1 square mil Area = 1.273 circular mils

1 mil

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Area = 3.1416 square mils

Area = 4 square mils

Area = 4 circular mils

Area = 5.0930 circular mils

2 mils

2 mils

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Ö

480 V drop

Õ

blown fuse Load

Ô480 V

When the fuse "blows," full supply voltage will be dropped across it and there will be no current in the circuit.

excessive voltage

Ô480 V ×

arc! Load

If the voltage across the blown fuse is high enough, a spark may jump the gap, allowing some current in the circuit. THIS WOULD NOT BE GOOD!!!

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load "Neutral"

no voltage between either side of load and ground "Hot"

load blown fuse "Neutral" voltage present between either side of load and ground!

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2300 feet wire resistance 25 A

ô230 V

Load (requires at least 220 V) 25 A

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øR = ô 5 V

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➻ A⑥❬➉✡=✠❭→❇116,035 ①✗ù✜ø⑩⑨☛❘ù ⑥❬⑥❬➆❉⑦❼cmils ③❳⑥❬✹❩ ø➂❶❇➉☎❿➀③❳① ➻ ❹✴☛➄ ✠➡➉☞✠✠ ⑧★ù☎❩✎ù❳⑥➂❸✌✠✧③❘❿✎✍✡✍ ñ ❹ Û❋☞Ú ✏④⑨☛ø➂①➛⑨✠❸❇⑥➞ù❘①➦② ø➂⑥⑩⑦❭➊ ✠✠❿✑✠❭①✒✠❭❶❷⑨✢ø❬❶❇➉✟③❳❸❇①➝⑦❼③❳⑥✌ø❬❾➩✁➄ ø➂✓① ✠ ⑦✳ø➂ã✔✠➧✗⑧ ù❘→❇⑥✕❳✠ ❹❵➄☛✠➧➙❡❶❷❾✟⑧ ✇ ù❘⑧✗✖❋❾❵③❳❸❷→❇⑥✘✠❪➒➣③❋❸❇➉ ✇ ⑧✙✖✶➠✽õ✛✚❖Û❋➤↔✁➄ ø❬①✒✠➦➄✁ø➁⑧ ✇ ✍❯Ú❳Ú❷✘❹ ✍❯Û❳Û✮⑨❪②✯ø❬⑥⑩⑦❝ø❬⑦❝ù❳✍ ❾✌✠❭Ø✗❸✰ù❖⑧✓✠❳❹❂➄ ✇ ✠❭①✒✠✶ù❳⑦✈⑧ ✇ ✠✚❶✌✠❪↕❂⑧ ⑥❬③❖➄✜✠❭①✈⑦✳ø➂ã✔✠❳❹✢❳✖ ⑦✳ø➂❶❷➉❳⑥✕✠✠➒➓③❳❸❇➉ ✇ ⑧✙✜✖ ➠✣✍✤✚❖Û❋➤✠❣❹ ù❘⑧✎✍❯☞Û ✏❵❹✥✏❘Û❋Û➝⑨✠② ø❬⑥❬⑦✄ø⑩⑦❻⑧✣③✗③④⑦❼② ù❳⑥➂⑥➣➊îü✜✠✶ù❘①✄ø➂❶✟② ø➂❶❷❾✶⑧ ✇ ù❘⑧❆③❋❸❇①✈⑨☛ø➂①➛⑨✠❸✰ø➁⑧➑⑨✠❸❇①✣①✓✠❪❶✗⑧ ø⑩➍⑦ ➦ ù ②✧③❵✢❾ ✠❯⑦✺⑧✈☞õ ✏✠ù❘②④⑤❷⑦❭➊ ➻ ⑨❭⑨✠③❋①✣✘❾ ø❬❶❇➉➦⑧❼③➝③❋❸❇➍① ù❘②④✰⑤ ❋ù ✢⑨ ø➂⑧✺➆➝⑤⑧ ù❳→❇✕⑥ ✠✈❿➀③❋①❻⑨✠③❋⑤❇✦⑤ ✠❭①❻➄✁ø❬①✒✠❝ø❬❶➡❿➀✓① ✠✧✠✁ùqø➂①❯❹✌✍✧★✚➉❣ù❘➉✡✠❆➄✁ø❬①✒✠➑➄❆③❳❸❇⑥⑩❾ ✇ ùq☞❩ ✠✧⑦❼❸❵ý✶✩⑨ ✠❯❾▲✓➠ ù❳⑦➦❷❿ ù❘★① ù❋✫⑦ ✪ ➾❖✃ ⑦✿⑤⑧ ù❳①✿⑤⑧ ø➂❶❷❽➉ ù✟➙❷✓① ✠✱ø⑩⑦➝⑨✠③❋❶❷✩⑨ ✠❭①❼✬❶ ✠❭❾❷➤✠➊✧Ð➧③❖➄✜✠❭❩✡✠❪①❯❹➔❿➀①❼③❋②➜⑧ ✇ ✠✶⑦✺⑧✗ù❘❶❷❾❵⑤➔③qø❬❶✗⑧➝③❘❿✈❩❋③❳⑥➂⑤⑧ ù❳➉✡✠ ❾❵①✣③❳⑤❥✭❹ ✍✔★④✚➉ ù❘❸❷✡➉ ✠➦➄✁ø➂✓① ✠✚➄✈③❋❸❇⑥❬❾ ✇ ùq☞❩ ✠➦✝→ ✠✧✠❭❶➃❩✡✠❪①✣➆✜❸❇❶✰❋ù ⑨❪✧⑨ ✠❪⑤❵⑧✗❘ù →❇⑥✕✠❳➊ Ñ❋❸❷⑦✺⑧➝❿➀③❋①✚❿➀❸❇❶❥❹➈⑥✕✠✠⑧❭Ù ⑦✮⑦✒✠✧✜✠ ➄ ✇ ù❘✮⑧ ✍✧❀★ ❣➉ ù❘➉✡✠④✁➄ ø❬✒① ✠④➄❆③❳❸❇⑥⑩❾ ✇ ùq✡❩ ✠✜❾❵③❋❶✌✠④⑧❼③➩③❳❸❇①➝⑤➔③❖✜➄ ✠❭①✮✢⑨ ø❬①✣⑨❪➌❸ ø➂⑧❭Ù ⑦➝✦⑤ ✠❭①✿❿➀③❋①❼② ù❳❶❷✩⑨ ✠❋➊ ➐❥③❂③❋à❣ø❬❶❇➉ ù❖⑧➑③❳❸❷①❆✁➄ ø❬✓① ✠➦⑦✳➂ø ã✔✠➦⑤⑧ ù❘→❷✘⑥ ✠❋❹❵✜➄ ✠✝➙❷❶❷❾✟⑧ ✇ ù❖✯⑧ ✍✧★✧✚➉ ❳ù ✡➉ ✠➧➄✁ø❬✓① ✠ ✇ ù❳❝⑦ ù④⑨✠①✣③❋⑦✣⑦✺➒➫✰⑦ ✠❯⑨➟⑤⑧ ø➂③❋✰❶ ù❘✷⑥ ù❘✓① ✠♦ù✮③❳✱❿ ★❡✘❹ ✍❯Û ✖ ☛⑨ ø➂①➛⑨✠❸❷✌⑥ ù❳① ② ø➂⑥⑩⑦❭➊ ú ❿✈✜➄ ✠❋Ù ✓① ✠➡⑦✿✳⑧ ø❬⑥➂⑥✪❸❷✳⑦ ø➂❶❷➉❉⑨❪③❳⑤❇✝⑤ ✠❪✲① ù❳⑦✠✶ù ✁➄ ø❬✒① ✠➡② ù❖✒⑧ ✠❭✳① ø➞ù❘⑥❆➠❷ù✟➉❳③❂③❵❾✩⑨ ✇ ✚③ ø❬✧⑨ ✠❳❹➔❸❇❶❇✕⑥ ✠❭⑦✣⑦✝☛➄ ✠❳Ù ✓① ✠ ➱❼➺➛❐ Ý➯✳Ý ✲➡✳① ø⑩⑨ ✇ ù❳❶❷❾✩☛⑨ ù❳❶ ù❖ä✴③❳①➛✴ ❾ ★ ñ Û❋Û➝✑❿ ✠✔✠✠⑧➧③❳✜❿ ✍✧④★ ❣➉ ù❘➉✡✠✚✳⑦ ø➂⑥❬✡❩ ✠❭①❆➄✁ø❬✓① ✠ ÿ ➤➟❹❵⑧ ✇ ✠❪❶➃③❳❸❷①✲⑦✿✝⑤ ✠❭☛⑨ ø➁➙❡⑨✚✓① ✠❭✳⑦ ø⑩⑦✺✗⑧ ù❘❶❷✧⑨ ✠✝✁➄ ø❬⑥➂⑥✑⑦✺⑤⑧ ø➂⑥❬⑥❥✝→ ✠✵✍❭Û❇➊ Û ➏ þ✈➒➓⑨❪② ø➂✑⑥ ✚❯❿➯⑧❯å R=ρ

✶

l A

R = (10.09 Ω-cmil/ft)

ô2300 feet 4107 cmil

øR = 5.651 Ω ✠❭②✷✠❭②✬→✝✠❪①✸⑧ ✇ ù❖⑧✸⑧ ✇ ø❬✁ ⑦ ø⑩✸⑦ ✏❵➊ ñ ✏✌✍➦þ❏⑤✦✠❭①➧õ❘Ú❋Û❳Û➝❿✑✠✔✠✠ ⑧✲③❳❿✜✍✧★❳➒➣➉❣ù❘➉☞✝✠ ⑨✠③❋⑤❇⑤✝✠❪①✸➄✁ø➂①✓✠❳❹➌ù❳❶❷❾☎⑧ ✇ ù❘⑧✲➄✜✠ ✇ ùq❩☞✠➧⑧✺➄❆③➡①✣❸❇❶❷⑦ ③❘❿❻õ❘✍ Ú❋Û❳Û✮❿✑✠✧✠✠➁⑧ ø❬❶❉⑧ ✇ ✠✯❭✠ ❶✗⑧✳ø❬①✒➝✠ ⑨✢ø❬①➛⑨✠➌❸ ø➂⑧❭❹❷⑦❼③ ➺➛❐❳✙➷ ✹ ➄✁ø➂①✓✠✚⑤➌ø✕✠❭⑨✩✠✲ø❬❶❉⑧ ✇ ✠✮⑨☛ø➂①➛⑨✠❸➌ø➂⑧ ✇ ù❋⑦✸✏❵➊ ñ ✏✢✍✚þ■③❳❿✪①✓✠❭⑦✳ø⑩⑦✺⑧✗ù❘❶❷⑨✧✠❳å 2300 feet

ô230 V

wire resistance ✺ 5.651 Ω

✺

5.651 Ω

Load (requires at least 220 V)

❸❇①✬⑧❼③❘⑧✗ù❘⑥➑⑨✢ø❬①➛⑨✠➌❸ ø➂wire ⑧➡➄✁ø❬①✒✟✠ resistance ①✒✠❯⑦➟⑩ø ⑦✿⑧⑤ù❘❶❡⑨✩✠➓ø⑩⑦✜õ➃⑧✳ø❬②✫❭✠ ⑦✵✏❵➊ ñ ✏✌✍❳❹✪③❳①✼✍✡✍❋➊ Ú❋Û✌✍☎þ➦➊❚➮✲❶❵❿➀③❋①✿⑧✣❸❇✰❶ ù❘⑧✒✠❪⑥❬➆❳❹❻⑧ ✇ ø⑩⑦→ø⑩⑦ ✾ ❐❖➱ ⑧✣③❂③ ②✬❸❡⑨ ✇ ✓① ✠❭✳⑦ ø⑩⑦✺✗⑧ ù❘❶❷✧⑨ ➡✠ ⑧✣③❀ù❘⑥❬⑥➂③❖➄❜✡õ ✏❽❘ù ②④⑤❷⑦✮③❘❿➑⑨✠❸❇①✣①✒✠❭❶✗⑧✚➄✁ø➂⑧ ✇ ù❀⑦❼③❳❸❷①✣✧⑨ ✠✧❩❋③❳⑥➂⑤⑧ ù❳✡➉ ✠✧③❘❿✲õ❘Ú❳Û❉❩❋③❳⑥➂⑧✣⑦❭➊ ✌ ☞❩ ✠❪➉❶ ø➁❿✸③❳❸❇①✬⑥➂❣③ ù❳❾ ✻

ò➈➪➧➶✝æ✝➹ ➎↔➘❆ó♦ô❷➋ æ✈✯ ➪ õ ➍❵➴ ò ➍➣ö✸â ò ö✸ç❡÷✴✾ ò➑➹ ö✸➘➧➍ ➶ ç✾÷✐➴✺ç✝➍✿✾✑❨ ➶✲➹ ö✸➘✝➍ Ú✽★✗Û ①✓✠❭✳⑦ ø❬⑦✿⑧⑤ù❳❶❷⑨✩④✠ ➄❝ù❳⑦➝Û✩þ➦❹❧③❋❸❇①➝➄✁ø❬✳① ø❬❶❇➉❀①✓✠❭⑦✳❬ø ⑦✿⑧⑤ù❳❶❷✩⑨ ✠④③❘❿❀✍✡✍❋➊ Ú❋Û✌✍④þ❰➄❆③❳❸❇⑥⑩❾♠①✒✠❯⑦✺⑧✣①✳ø⑩⑨➟⑧✚⑧ ✇ ✠☎⑨✢ø❬①➛⑨✠➌❸ ø➂⑧✬⑨✠❸❇①✣①✓✠❪❶✗⑧✚⑧❼③❀ù➃②✫✠❪①✓✠ õ❘Û❷➊ ✛Ú ❳✏ ýõ ù❳②④⑤❷⑦ ÿ❚➻ ⑦➡➆❋③❳❸✂♦⑨ ù❘❶◆✰⑦ ✠✔✠❳✴❹ ù❁✖❳⑦❼② ù❳⑥➂❂⑥ ✖✈ù❳②④③❳❸❇❶✗⑧➡③❳❿➧✁➄ ø❬✒① ✠✟①✒✠❯➟⑦ ø⑩⑦✺⑧✗ù❘❶❷✧⑨ ✠✟♦⑨ ù❘❶✂② ù❳✡à ✠➄ù➩➌→ ø❬➉♠✘❾ ø➂✁ä ✠❪✓① ✠❪❶❷✧⑨ ✠➄ø❬❶ ✢⑨ ø❬①➛⑨✠❸➌ø➂⑧➧✝⑤ ❪✠ ①❼❿➀③❳①✣② ù❳❶❷⑨✩❋✠ ✌❹ ✠❭⑦❼✝⑤ ❭✠ ✢⑨ ø➞ù❘⑥❬⑥❬❭ ➆ ø❬❶❀⑤❡③❖☛➄ ✠❪①✲☛⑨ ø➂①➛⑨✠➌❸ ø➂⑧✣⑦➧➄ ✇ ✠❪①✓✠✚⑧ ✇ ✠✬⑨✠❸❇①✣✓① ✠❪❶✗⑧✣⑦➁ù❳✒① ✠✚②➡❸❷⑨ ✇❀✇ ø❬➉ ✇ ✠❭①➑⑧ ✇ ù❳❶➃⑧✺➆❂➌⑤ ø❬♦⑨ ù❘⑥❬⑥➂➆ ✠❪❶❡⑨✠③❳❸❷❶❋⑧✓✠❪✓① ✠❭➄ ❾ ø➂❃❶ ✠❭✘⑥ ✠❯⑨➟⑧❼①✣③❳✰❶ ø❬⑨➦✢⑨ ø❬①✣⑨❪➌❸ ø➂⑧✣⑦❭➊ ➐ ✠❪⑧❭Ù ⑦✮❾❵❀③ ù❳❅❶ ❪✠ ↕➌ù❘②④⑤❇✕⑥ ✠✜✒① ✠❯➟⑦ ø⑩⑦✺✗⑧ ù❘❶❷✧⑨ ✠④⑤❇①❼③❋→❇✕⑥ ✠❪② ❿➀③❋→① ù➃➌⑤ ø✕✠❭✧⑨ ✠✶③❘❿➑⑨✠❸❷⑦✿⑧❼③❋②✧➒➓⑨❪❸❵⑧✮→❇❸❷⑦❼→✰ù❘①❯✼➊ ❆❵❸❇⑤❇⑤➔③❋✒⑦ ✠✜✜➄ ✠ ✇ ùq☞❩ ✠ ù ❄ ➌⑤ ø✕✠❭✧⑨ ✠✮③❘❿❻⑦❼③❳✌⑥ ❬ø ❾❪❘ù ⑥❬❸❇② ø❬❶✗❸❷②ñ→✰ù❳①❭✬❹ ★☎⑨✩✠❭❶❋⑤⑧ ø➂✫ ② ✠❪⑧✒❪✠ ①➛⑦➑✁➄ ø⑩❾✢✠✮→❂➆➃Ú✜⑨✩✠❪❶✗⑧⑤ø➂✫② ✠✠✓⑧ ✠❪①➛⑦➑✗⑧ ù❘⑥❬⑥❥→❂❁➆ ✍q✡õ ✏✧✩⑨ ✠❭❶❋⑤⑧ ø➂✫② ✠❪✒⑧ ✠❪①➛⑦✲⑥❬③❳❶❷➉❷✰❹ ù❳❶❷❾ ➄ ✠➑✁➄ ❬ø ⑦ ✇ ⑧❼③➝➙❡➉❳❸❇✓① ✠✸⑧ ✇ ✠❇✠❪❶❷❾❂➒➣⑧❼③❳❈➒ ❭✠ ❶❷❾④①✓✠❭✳⑦ ❬ø ⑦✿⑤⑧ ù❳❶❷✩⑨ ✠✁ù❘⑥❬③❳❶❷➉✚⑧ ✇ ✠✲⑥❬③❳❶❷➉✮✘❾ ø➂✫② ✠❭❶❷➟⑦ ø❬③❳❶✩✰➠ ✍❯☞õ ✏✚⑨✠②✶➤➟✿➊ ❉✽ø➂①➛⑦✿⑧❭❹❳☛➄ ✠✲➄❆③❳❸❇⑥⑩❾✧✌❶ ✠✧✠❯❾ ☛ ⑧❼③✜✢❾ ✠❪✒⑧ ❭✠ ①❼② ø❬✌❶ ✠✚⑧ ✇ ✠✮⑨❪①❼③✗⑦❼⑦✿➒➫✰⑦ ❯✠ ⑨➟⑧✳ø❬③❳✃❶ ù❘⑥Ï❘ù ①✓✠♦ù➡③❘❿✪⑧ ✇ ✠➝✰→ ❳ù ①❭å ❊

Area = Width x Height A = (4 cm)(3 cm)

✏ ✠✾❘ù ⑥⑩⑦❼③✬✌❶ ✠✔✠❭❾④⑧✣③✬à❂❶❇③❖➄t⑧ ✇ ✠➦⑦❼⑤✦✠❯⑨✢ø➂➙❡⑨✲①✓✠❭⑦✳⑩ø ⑦✺⑧✗❘ù ❶❷⑨✧✠✲③❘❿ðù❳⑥➂❸❇② ø❬❶❂❸❇②➃❹❣ø❬❶✶⑧ ✇ ✠➦❸❇❶➌ø➂⑧❆⑤❇①✣③❳⑤✝✠❪①↔❿➀③❳①✈⑧ ✇ ø⑩⑦❝ù❘⑤❇⑤❷⑥✛ø⑩⑨☛ù❘⑧✳ø❬③❳❶ ➠✽þ✈➒➫⑨✠②✶➤✠➊☎❉❇①✣③❳②♣③❳❸❷①✈⑧✗ù❘→❇✕⑥ ✠➦③❘❿✪⑦❼⑤✝❭✠ ⑨✢➂ø ➙❡⑨✝①✒❯✠ ⑦➟ø⑩⑦✿⑤⑧ ù❘❶❡✩⑨ ✠❭⑦❭❹✗➄✜✠➝⑦✒✠✧✠✝⑧ ✇ ù❘⑧✈⑧ ✇ ø❬⑦❝⑩ø ⑦✲õ❵➊ ñ ✏➝↕❋✍❭Û ÿ✝✆ þ✈➒➓⑨❪②❉➊☎❆●✠❪⑧✿⑧⑤ø➂❶❇➉④❸❇⑤❉③❳❸❷① ✍ ✷✝ü✗⑥❍✚ ➻ ❿➀③❳①✣②✬❸❇⑥➞ù❇❹❵☛➄ ✠ ✇ ùq❩✡✠❋å A = 12 square cm

R=ρ

✶

l A

øR = (2.65 x 10

-6

R = 27.604 µΩ

Ω-cm)

125 cm 12 cm2

➻ ⑦✸➆❋③❳❸❉⑨☛ù❘❶❉⑦✰✠✔❳✠ ❹❂⑧ ✇ ✠➝⑦ ✇ ✠✔✠❪①❆⑧ ✇ ø❬⑨➛à❂✌❶ ✠❯⑦❼⑦✸③❳❿➢ù✧→❇❸❷⑦❼→✰❘ù ①✸② ù❘à☞✠❭⑦✈❿➀③❳①❀■ ➺✠➱ ✲➦⑥➂③❖➄❏①✒✠❯⑦➟ø⑩⑦✺⑧✗ù❘❶❷⑨✧✠❭⑦❆⑨✠③❋②✧⑤✃ù❘①✓✠❭❾✜⑧✣③✧⑧ ✇ ù❘⑧ ③❘❿➨⑦✿⑧⑤ù❘❶❡❾➌❘ù ①➛❾✶➄✁ø❬✒① ✠➝✳⑦ ø➂ã✔✠❭⑦❭❹✢❪✠ ❩☞❪✠ ❶❉➄ ✇ ✠❪❶➃❸❷✳⑦ ø➂❶❷➉ ù④② ù❘⑧✒✠❪①⑤ø➞ù❘⑥✴➄✁ø➁⑧ ✇ ù④➉❳①✓✠♦ù❖⑧✓✠❪①✸⑦✿⑤✝✠❭⑨☛ø➁➙➔⑨✚①✒✠❯⑦➟ø⑩⑦✺⑧✗ù❘❶❷⑨✧✠❳➊ ❏ ✇ ✠✧⑤❇①✣③❂⑨✧❭✠ ❾❵❸❷✒① ➝ ✠ ❿➀③❋①➝✢❾ ✠✠✓⑧ ✠❪①✣②✯ø❬❶➌ø❬❶❇➉❉→❇❸❷⑦❼✰→ ù❘①➦①✒✠❯⑦➟ø⑩⑦✿⑧⑤ù❘❶❡⑨✩✠✫ø⑩⑦➦❶❇③❘⑧➦❿➀❸❇❶❷➌❾ ù❳②✫✠❪❶✗⑧⑤ù❳⑥➂⑥❬➆✩❾✘ø➂ä✝✠❭①✒✠❭❶❋⑧➦⑧ ✇ ù❘❶✩❿➀③❋①➝✢❾ ✠✠⑧✓✠❪①❼➒ ② ø➂✰❶ ø➂❶❇➉❴①✣③❳❸❇❶❡❾✓✁➄ ø❬✒① ✠❉✒① ✠❯➟⑦ ø⑩⑦✿⑤⑧ ù❘❶❡⑨✩❳✠ ➊ ✏ ✠✧➇✺❸❷⑦✿⑧④❶✬✠✧✠❭❾✂⑧❼③♠② ù❘à☞✠❉⑦❼❸❇①✓✠☎⑧ ✇ ù❖⑧✜⑨✠①✣③❋⑦✣⑦✺➒➫✒⑦ ✠❭⑨➟⑧⑤ø➂③❋❶✰ù❘⑥✄ù❘①✓✠♦ù✈ø❬⑦✜⑨♦ù❘⑥⑩⑨✠❸❇⑥➞ù❖⑧✓✠❭❾ ⑤❇①✣③❳✝⑤ ✠❪①✣⑥➂➄➆ ù❘❶❷❾☎⑧ ✇ ù❘❡⑧ ù❘⑥❬⑥✴⑧ ✇ ✠➝❸❷➌❶ ø➁⑧➛⑦✲⑨✠③❋①❼✓① ✠❭⑦❼⑤➔③❳❶❷❾✶⑧❼③✵✠♦ù❋⑨ ✇ ③❳⑧ ✇ ✠❭➁① ù❳⑦❆⑧ ✇ ✠❪➆✟⑦ ✇ ③❋❸❇⑥❬❾❥➊ ✂✁☎✄✝✆✟✞✠✄✝✡☞☛ ➄ ø➂⑧ ✇ ø❬❶❷⑨✠✓① ✠♦ù❋✰⑦ ✠❯❾✚⑨✠①✣③❋⑦✣⑦✺➒➫✰⑦ ✠❯⑨➟⑤⑧ ø➂③❋✰❶ ù❘⑥ ▲❑ ③❳❶❷❾❵❸❡⑨➟⑧❼③❋①➥✒① ✠❯➟⑦ ⑩ø ⑦✿⑤⑧ ù❘❶❡✩⑨ ✠îø➂❶❡⑨✠✓① ✠♦ù❳✒⑦ ❭✠ ⑦✴➄✁ø➂⑧ ✇ ø❬❶❷⑨❪✒① ✠✶❳ù ✒⑦ ✠❭❾✝✘⑥ ✠❭❶❇➉❘⑧ ✇ ù❘❶❷❾✚✢❾ ✠❯⑨✠✓① ✠♦ù❳✒⑦ ✠❭⑦✴✁ ù❘✓① ♦✠ ù❇✘❹ ù❳⑥➂⑥➥③❳⑧ ✇ ✠❭①✸❿❷ù❳⑨➟⑧✣③❳①➛⑦✸✦→ ✠♦ø➂❶❷✷ ➉ ✠❯Ø✗❸✰ù❘⑥➣➊ ➷ ◗➧➺ Ü➟ß⑩Ü ✃➓❐ ✪ ➷➛➺ ❙➠ ✖❘●ü ✖❋✄➤ ø⑩➁⑦ ù④⑤❇①✣③❳✝⑤ ✠❪①❼⑧✺➆✶③❘➍❿ ù❘❶❂➆❉⑨✠③❳❶❡❾❵❸❷⑨➟⑧⑤ø➂☞❩ ➝✠ ② ù❖✒⑧ ✠❭✳① ø➞ù❘⑥➣❹➌ù✧➙❷➉❋❸❇✒① ✠➝❸❡✰⑦ ✠❯❾❉⑧❼③✶✢❾ ✠❪✒⑧ ✠❪①✣② ø➂✬❶ ✠ ◆▼✽❖ ➺✣➷ ß P ❘ ⑧ ✇ ✠✯✠❭❶❷❾❂➒➣⑧❼③❘❚➒ ✠❪❶❡❾☎①✓✠❭✳⑦ ❬ø ⑦✿⑤⑧ ù❳❶❷✩⑨ ✠➦③❘✦❿ ù④⑨✠③❋❶❷❾❵❸❷⑨✠⑧❼③❳①✸✚➉ ø➂☞❩ ❪✠ ❶❉✘⑥ ✠❭❶❇➉❘⑧ ✇ ù❳❶❷❽❾ ù❘✓① ✠♦ù✱ø➂❶❉⑧ ✇ ø❬⑦✸❿➀③❋①❼②➡❸❇➞⑥ ù❇å ✍ ✷Òü✗❍⑥ ✚ ➻ ❆❂✦⑤ ❯✠ ⑨✢ø➂➙❡⑨➨✓① ✠❭✳⑦ ø❬⑦✿⑤⑧ ù❳❶❷✩⑨ ✠✪❿➀③❋①❥② ù❖✒⑧ ✠❭✳① ø➞❘ù ⑥⑩ï ⑦ ù❳✒① ➈✠ q➉ ø❬✡❩ ✠❭✲❶ ø➂❶➝❸❇✰❶ ø➁⑧➛⑦❥③❘❿❷þ✈➒➫⑨✠② ø❬❍⑥ ✚q❿➯⑧❥③❳①✑þ✈➒➓✫② ✠✠✒⑧ ✠❭①✣⑦↔➠➀✫② ✠✠⑧✣✳① ø⑩⑨❭➤✠➊ ❑ ③❳❶❂☞❩ ✠❪①➛➟⑦ ø❬③❳❶ ❷❿ ù❳⑨➟⑧✣③❳①✚✝→ ✠✠⑧✺☛➄ ✠✧✠❪❶➼⑧ ✇ ✠❭✒⑦ ✬ ✠ ⑧✺➄❆③➃❸❇❶➌ø➂⑧✣✲ ⑦ ø⑩✫⑦ ✍❳➊ ñqñ ✽õ ★❋Ú④❯ ↕ ✍❭Û ✁ÿ þ✈➒➓②✫✠✠✓⑧ ✠❪①➛⑦✝✝⑤ ✠❪①✬þ✈➒➫⑨✠② ø❬❍⑥ ✚q❿➯⑧❭❹❥③❋✫① ✍❳➊ ñqñ ✽õ ★❋Ú④❯ ↕ ✍❭Û ✁ÿ ✂ þ✈➒➓⑨❪②➞✦⑤ ✠❭①➧þ✈➒➓⑨❪② ø➂✑⑥ ✚❯❿➯⑧❯➊ ú ❿↔✁ ➄ ø➂⑤① ø❬❶❇➉✟❩❋③❳⑥➂⑧⑤ù❳✡➉ ✠✬❾❵①✣③❳➣⑤ ➂ø ❶➤ù☎☛⑨ ø➂①➛⑨✠✰❸ ø➁★⑧ ø⑩⑦➦⑨❪①✳ø➂✳⑧ ø⑩☛⑨ ù❳⑥✽✁❹ ✠❪↕✘ù❋⑨➟⑧✚✒① ✠❯➟⑦ ø⑩⑦✿⑤⑧ ù❘❶❡⑨✩✠➡♦⑨ ù❘⑥⑩⑨✠❸❇⑥➞ù❖⑤⑧ ø➂③❋❶❷⑦➧❿➀③❳①➦⑧ ✇ ✠✧✁➄ ø❬✒① ✠❯⑦✝②➡❸❷⑦✿⑧ ✦→ ✠➝② ù❳✌❾ ✠➦→✝✠✠ ❿➀③❋✒① ✠✚✁ ➄ ø❬✒① ✠➝✳⑦ ø➂✔ã ✠★ø❬⑦➑⑨ ✇ ③❋⑦✒❪✠ ❶❥➊

➹ ➎ ✕➩æ ➎↔➘ ➶✲➹ ✾✑➘✲➎ ò ö✸➎↔â➈â✪➴ ò ➴✺➎↔ç ➹ ö✸â✓➘➧➎✈➍❂➴✿➍ ➹❡➶ ç ò ➎ Ú✽★✦✍ ✘✚✙✜✓✛ ❳ ❨✂➸✝✭ ✯♠➸✲✫➨ð➦ï➈★➃✫➨➸ í➑✤✶✗➸ ❩✰í✲✱❪➸➧✦✧ïé✤❭❬❏✫➨➸➧➵✪✱❪➵❥ï➈ð✮✦➃í➑➸ ❪❻③❳❸❮② ø❬➉ ✇ ⑧ ✇ ùq❩✡✠❀❶❇③❳⑧✳ø⑩⑨✩❭✠ ❾t③❋❶t⑧ ✇ ✠➩⑧⑤ù❳→❇⑥✘✠✩❿➀③❳①✟⑦❼✝⑤ ✠❭⑨✢➂ø ➙❡⑨❀①✓✠❭⑦✳ø⑩⑦✺⑧✗❘ù ❶❷⑨✧✠❭⑦④⑧ ✇ ù❖❪ ⑧ ù❘⑥❬⑥✲➙❷➉❋❸❇①✒✠❯⑦✜➄☛✠❪①✓✠➩⑦✿⑤✝❭✠ ⑨☛ø➁➙✦✠❭❾➽❖ù ⑧❽ù ⑧✒✠❭②④⑤✦✠❭①⑤ù❘⑧❼❸❇✓① ✠✬③❳❿✈õ❘Û ❽ ❑ ✠❪⑥⑩➟⑦ ❬ø ❸❷⑦❭➊ ú ❿✈➆❳③❳❸➼⑦✿❸❷⑦❼✝⑤ ✠❭⑨➟✓⑧ ✠❭❾➃⑧ ✇ ù❖⑧➦⑧ ✇ ø❬⑦➦✫② ♦✠ ù❳❶❋⑧✚⑦✿✝⑤ ✠❭☛⑨ ø➁➙➔⑨✬✓① ✠❭✳⑦ ø❬⑦✿⑤⑧ ù❳❶❷✩⑨ ✬✠ ③❘✴❿ ù✶② ù❘✒⑧ ✠❪⑤① ø➞ù❘⑥✪② ùq➆ ⑨ ✇ ù❳❶❇✡➉ ✠➦✁➄ ø➁⑧ ✇ ✒⑧ ✠❭②✧✝⑤ ✠❪✗① ù❖⑧✣❸❇✓① ✠❳❹❵➆❳③❋❸✟☛➄ ✠❪✓① ✠➦✳① ø❬➉ ✇ ⑧ ÿ ✍ ✠❯⑦➟⑩ø ⑦✺✗⑧ ù❘❶❷✧⑨ ➧✠ ✎❩ ❘ù ⑥❬✌❸ ✠❯⑦↔❿➀③❋①❆⑨❪③❳❶❷❾❇❸❷⑨➟⑧✣③❳①➛✔⑦ ù❘⑧❝❳ù ❶✗➆④✓⑧ ✠❪②④✝⑤ ✠❪①✗❖ù ⑧❼❸❷✒① ✠➦③❘⑧ ✇ ✠❪①✈⑧ ✇ ù❳✠❶☎✢❾ ⑧ ✇✠✠⑧✓✠✚✠❪①✣⑦✺②✗⑧ ù❘ø➂❶❷❶✌➌❾ ✠❯ù❳❾✜①✣❾✜⑧ ✇ ✒⑧ ①❼✠❪③❋②④❸❇➉ ✝⑤ ✇ ✠❪✗① ☞➆ ù❖✠✠⑧✣❝⑧ ❸❇✒① ù❘✠④❶❇③❳➠➀❸❡⑧ ✇ ⑦✿❸❵✠❭①➒ ù❘⑥❬⑥❬➆④⑦❼✝⑤ ✠❭✢⑨ ➂ø ➙✬✠❯❾➓ù❖⑧➑õ❘Û ❑ ✠❭⑥❬✳⑦ ø➂❸❡⑦✣➤↔③❳❶④⑧ ✇ ✠➦⑦❼⑤✝❭✠ ✢⑨ ø➂➙❡⑨➧✒① ✠❯➟⑦ ø⑩⑦✺✗⑧ ❘ù ❶❷✧⑨ ✠➑⑤⑧ ù❳→❇✕⑥ ✠➧②✬❸❡⑦✺⑧✸→✦➦ ❿➀③❳①✣②✬❸❷✌⑥ ù❷å øR = R [1 + α(T - T )] ó♦ô❷➋❲❱✗➋

ref

ref

Where,

øR = Conductor resistance at temperature "T" øR ❵

= Conductor resistance at reference temperature Tref, usually 20o C, but sometimes 0o C. ❫ α = ❴ Temperature coefficient of resistance for the conductor material.

❵

ref

T = Conductor temperature in degrees Celcius.

Tref = Reference temperature that α is specified at for the conductor material. ❈❝ ❙❞ ❏ ✠✷✖qù ù☞✖ ❜❛ ✗ù ❡ø ✈ù ✠ ✪ ❖ ✠ ✓✠ ✳ø ⑤ù ✩✠ ù ☞✠ ❷ù ✝✠ ✢✠ ✒✠✔✠ ✒✠ ✝✠ ✗ù ✒✠ ù ✡✠ ù ✱ù ✙ ✹ ⑤ùqø ✝✠ ✢ø ✓✠ ✳ø ✗ù ✧✠ ✓ù ✠ ❪ ù ✛ ✪ ❡ ✓ ✠ ✳ ø ⑤ ù ✩ ✠ ✫ ù ✘ ø ✒✠ ❑ ù ❢❉ ✒✠ ✫✠ ⑤ù ø ✛✠ ✢ø✕✠ ✠ø ★ù ➟ø ✳ø ✡✠ ✝✠ ✫✠♦ù ✰ø ù ✁ø ø ✓♦✠ ù ➟ø ✒✠ ✦✠ ⑤ù ✓✠ ❣❉ ✠❭✠ ✕✠ ✫✠ ☛ù ➟ø ✛ø ✰ù ✡✠ ù ✰ø ✌✠ ✚ù ⑤ø ☞✠ ✦✠ ✷✠✶ù ➌ø ù ✒✠ ➟ø ✗ù ✧✠❃❤ ✁ø ø ✓♦✠ ù ➟ø ✒✠ ✝✠ ✗ù ù ✠ ✓✠ ✝✠ ✗ù ✒✠ ●✠ ✢✕ø ✠ ✓✠ ✳ø ✗ù ✧✠ ø ✡✠ ✒✠ ✔✠ ✷✠✶ù ➌ø ù ù ✡✠ ðù ➍ù ✁ø ➀ù ✳ø➞ù ⑤ø ïø ✒✠ ✝✠ ✗ù ✒✠ ❷ù ✦✠ ✲ø ❝ù ✓✠ ✳ø ✫✠ ⑤ù ✁ø ✒✠ ÿ ✸❏ ✠ ✁ø ⑤ù ✘✠ ✚ø ☞✠ ✠ ✓✠ ✝✠ ✗ù ✒✠ ●✠ ✢ø✕✠ ✒✠ ✡✠ ⑤ù ✫✠ ✗ù ✒✫ ✠ ù ❽ù

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14 V

øR

Temp = 20 C

load

ô250 Ω

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❏

E

✺

I

Wire1 ✟ 0.75

✺

50 m

R

15

Wire2 ✟ 0.75

Load

✺

50 m 15

Total

12.5

✺

50 m 250

14

Volts

50 m

Amps

280

Ohms

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➳

Wire1 ✟ 0.79

49.677m 15.909

➳

➲

Wire2 ✟ 0.79

49.677m 15.909

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Load 12.42

ô250

49.677m

➳

Total 14

ô281.82

49.677m

❊

Volts Amps Ohms

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R = Rref [1 + α(T - Tref)] Where, R = Conductor resistance at temperature "T" Rref = ❫ Conductor resistance at reference temperature Tref, usually 20o C, but sometimes 0o C. α = ❴ Temperature coefficient of resistance for the conductor material. T = Conductor temperature in degrees Celcius.

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Tref = Reference temperature that α is specified at for the conductor material.

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superconducting wire

electrons will flow unimpeded by resistance, continuing to flow forever!

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+

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deficiency of electrons

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metal plate

electric field -

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metal plate

excess free electrons

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+ C

➽

voltage (charge) sustained with ➾ the capacitor open-circuited

➬ û✙➠☛✟✌✒➡✢✧✟ ➠✡ý✘ý✄✷ ☎ ✂ ø✒ú✝✠✔➠❍● ➼ ➡✕ÿ✤✖✭● ✚ þ✌ù✙✏☛✠✧➧☞✠✧❪û ✚✘✟✔➠✽ú✬➠✘✟✩➡✕✒ù✡û✙ø✹✏✗➡✕ý✕ý✭✠✧➧✡✠✔ÿ✁✝✆✬➠✡ý✘ý✄✂✫ý✘ù✛ø✰✠✿✒þ✌✠✔➡✘û✗ø✞✒ù☞û✒✠❪✓✵➧✡ù☞ý✒✙➠❍✖✡✠❀✟✙þ✬➠✽û❑✖✡✠❾ø✵✓✬✆✬✠✼✓ù ➡✕ÿ✘✓✠✧û✓ÿ✬➠✽ý✱ý✘✠❾❍➠ ➼✤❍➠ ✖☞✠❢ú✬➠❍✒þ✬ø ✍ ù✡û❘✠✧ý✕✔✠ ✟✌✒û✓ù✡ÿ✬ø❬✒ù æ ù✙✏ ✍ û✓ù✡ü ù☞ÿ✌✠❭ú✌ý❂➠✙✓✠❊✓ù✰✒þ✬✠❭ù❍✓þ✌✠✧û❪✗✎ã✎✠✧ú✝✠✧ÿ✫✓✢➡✘ÿ✭✖✴ù☞ÿ❨✒þ✌✠✫ø✰ú✝✠✔✟✧➡✒r➞✟ ✩✂●ú✦✠✷ù ✍ ✟✔➠✽ú✬✘➠ ✟✩✕➡ ✒ù☞✔û ✚✫✒þ✌✠♥✒➡✕ü✫✠✐✕➡ ❀✓➠❍➼☞✠✔ø ✍ ù✡û❀➠✴✞ø ✒ù☞û✒✠❪❃ ✓ ➧✡ù✡ý✕✓➠☛✖✡✠ ✠ ✟✙þ✦➠✽❑û ✖✡❲ ✠ ✓ù✴ø✒✠✧ý ✍ ❵❱✓✢➡❂ø✓ø✰➡✕ú✬✙➠ ✓✠♥✟✔➠✽❁ ÿ ✧✝✠✷✱ ➠ ➚✕❆✤✪●♥ ❡ ✒➡✕ü✫✠ ▼❜ø✒✠✧➧☞✠✧û✙➠✽✣ ý ✡✂ ✠❾➠✽û✙ø❯✏✗✒➡ ✓þ◆✓þ✌❊ ✠ ✧✟ ➠✡ú✬☛➠ ✟✧➡✒✓ù✡û✗ø✒➡✒✝✒➡✕✤ÿ ✖✵ù✡ÿ❃➠✫ø✰þ✌✠✔ý ✍ ÷ ❙✌✗ ×◆þ✌✠✔❁ ÿ ✒þ✬✠✷➧☞ù✡✕ý ✓➠☛✖✡✠✐✘➠ ✟✩û✓ù☞ø✓ø❇✾ ➠ ✟✧➠✡ú✬☛➠ ✟✧✒➡ ✓ù✡û❇➡❂ø❀➡✕ÿ✭✩✟ û✓✠✔➠☞ø✰❪✠ ✓➟✚✁✒➡ ❲✓✢û✙●➠ ✏✸✿ ø ✟✛✆✌û✒û✓✠✧ÿ✁ ✍ û✒ù☞➪ ü ✒þ✌✠✷û✓✠✔ø✞❘ù ✍ ✒þ✌❇ ✠ ✟✧➡✘✪û ✟✌✆✌✕➡ ✔✚

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Energy being absorbed by the capacitor from the rest of the circuit. I

... . . . ➾ to the rest of the circuit

C

+ -

increasing voltage

... I The capacitor acts as a LOAD ø ✟✛✆✌û✓û✒✠✔ÿ✘❋✒ù✿✒þ✬✠ ❑ ù✡ÿ●➧☞✠✧û✙ø✰✠✔✕ý ✂✘✚✔✏✗þ✌✠✔ÿ✠✓þ✌✠☛➧✡ù✡ý✕✓➠☛✖✡✠☛➠☛✟✩û✓ù☞ø✓øà➠❀✟✧➠✡ú✬➠☛✟✧➡✒✓ù✡û➢➡✕ø✳✓✢✠❪✩✟ û✓✠✔➠☞ø✰❪✠ ✓➟✚❪✒þ✌✠✎✟✧➠✡ú✬➠☛✟✧➡✒✓ù✡û➥ø✞✆✬ú✌ú✌ý✕➡✘✠❾❋ û✓✠✔ø✞③ù ✍ ✒þ✬✼ ✠ ✩✟ ➡✕û❑✟✛✆✌✕➡ ✔✚●☛➠ ✟✮✓➡✘✭ÿ ✖❭➠✡ø☎➠❢ú✦✙ù ☛ ✏ ✠✧û③ø✒☛ù ✆✬❑û ✟✧☛✠ ✗à➩ ▲ ÿ ✓þ✌➡❂ø✑✟✧ù✡✭ÿ ✓✢✕➡ ✒➡✕ù✡▲ ÿ ✓þ✌✼ ✠ ✟✔➠✽ú✬✘➠ ✟✩✕➡ ✒ù✡û③➡✕ø✜ø✒➠✡➡✄✓♥✒ù✠✧✦✠✫✙❤ ➹ ➻✛① ✹❷❐ ❃ ☛❡ ➹❍✪✛☛❡ ✗ ➩❱✓ø✗✞ø ✒ù☞û✒✠❀ù ✍ ✠✧ÿ✬✠✧❑û ✖☛✂✜➡✮þ✌✠✧✢ý ✓✴➡✘ÿ✾✒þ✬✠❘✠✔ý✘✠❪✟✮✓û✒✢➡ ✟✿r✬✠✧✢ý ✓❝➡✵➡❂ø✎✓✢✠❪✩✟ û✓✠✔➠✡ø✒➡✕✤ÿ ✖❭ÿ✌✙ù ✏➔➠✡ø☛✠✧ÿ✬✠✧❑û ✖☛✂✮➡❂ø❣û✒✠✔ý✘✠❾➠✡ø✒✠✔✓✰✒ù✜✒þ✌✠❀û✓✠✔ø✞✗ù ✍ ✒þ✬❊ ✠ ✟✩➡✕❑û ✟✛✆✌✒➡ ❪✗☎á✸☛ù ✒✠❀✒þ✌❊ ✠ ✓✌➡✘û✓✠✔✟✌✒➡✕ù✡ÿ❃ù ✍ ✟✌✆✌û✓û✒✠✔✁ÿ ❴✏✗✕➡ ✒þ❃û✓✠✛✖✛➠✽û✪✓❇✒ù✜✓þ✌✠✯➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖✡✠❘ú✝ù✡ý❂➠✽û✓✒➡ ✩✂✣➨ ➘

Energy being released by the capacitor to the rest of the circuit ... . . . ➾ to the rest of the circuit

I C

+ ➲ decreasing ➽ voltage

... I The capacitor acts as a SOURCE ➩ ✍ ➠❇ø✒☛ù ✆✬û❑✟✧✠☎ù ✍ ➧☞ù✡ý✕✓➠☛✖✡✠✿➡❂ø➢✝ø ✆✭✓✤✓✌✠✧ÿ✌ý✄✂✯➠✽ú✌ú✌ý✕➡✕✔✠ ✓☎✓ù❘➠✡❊ ÿ ✆✌ÿ✭✙✟ þ✬➠✡✝û ✖☞✔✠ ✓☎✟✧➠✡ú✬➠☛✟✧➡✒✓ù✡û❯▼❜➠❇ø✝✆✭✓✤✓✌✠✧ÿ❭➡✕ÿ✭✟✧û✒✠❾➠✡ø✒✠☎ù ✍ ➧☞ù✡ý✕✓➠❍✖☞✠❪❙✌✚ ✒þ✬✠✾✟✔➠✽ú✬➠✘✟✩➡✕✒ù✡♥ û ✏✗➡✘ý✕ý✎✓✢û✙●➠ ✏❻✟✌✆✌û✓û✒✠✔✁ÿ ✍ û✓ù✡➴ ü ✒þ✬❍➠ ✫ø✒☛ù ✆✬❑û ✟✧✠☛✚☎❍➠ ✧✦ø✰ù☞✝û ✧✌➡✕✤ÿ ✖❋✠✔ÿ✌✠✧❑û ✖☛✂ ✍ û✓ù✡ü➘✕➡ ✔✚✵✆✬✘ÿ ✓➡✘❯ ý ✓þ✌✾ ✠ ✟✔➠✽ú✬➠✘✟✩➡✕✒ù☞û✔➺ ø ➧✡ù☞ý✒✙➠❍✖☞✠➫✔✠ ➳✁✆✬➠✡ý✕✠ ø ✒þ✦➠✙✵ù ✍ ✓þ✌✠❃ø✰✘ù ✆✌❑û ✟✧☛✠ ✗ ✻ ✭ÿ ✧✟ ✠❝✓þ✌❨ ✠ ✟✧➠✽ú✦➠☛✟✩✕➡ ✒ù☞û✐➧☞ù✡✕ý ✓➠☛✖✡✠✮û✓✠✔✘➠ ✟✙þ✌✔✠ ✓❖✓þ✌➡❂✜ ø r✬ÿ✬➠✽❲ ý ▼♣✟✙þ✬➠✽❑û ✖✡❪✠ ✓✭❢ ❙ ✞ø ✓➠❍✒✠☛✚ ➡✕✓ø❀✟✌✆✌û✓û✒✠✔✁ÿ ✼✓✢✔✠ ✟✔●➠ ✂●❬ ø ✒ù✰➷✔✠✧û✓✭ù ✗ ❑ ù✡ÿ●➧☞✠✧û✙ø✰✠✔✕ý ✂✘✚✌➡ ✍ ➠✮ý✘ù✛➠☛✓❃û✓✠✔ø✒➡✕✞ø ✓➠✡✭ÿ ✟✩✠✯➡❂✿ ø ✟✧ù✡ÿ✌ÿ✬✔✠ ✟✮✓✠✔✓✾✓ù➫✰ ➠ ✟✙þ✬➠✡✝û ✖☞✔✠ ✓❨✟✧➠✡ú✬☛➠ ✟✧✒➡ ✓ù✡❪û ✚✤✒þ✬✠ ✟✧➠✡ú✬☛➠ ✟✧✒➡ ✓ù✡✿ û ✏✗➡✘ý✕ý☎✞ø ✆✬ú✌ú✌✄ý ✂❁✟✌✌✆ û✓û✒✠✔ÿ✁✼✒ù◆✒þ✬✠✐ý✕ù☞✘➠ ✓➟✚✣✆✌✁ÿ ✒➡✕ý➢➡✕✯þ✬➠✡ø✎û✓✠✧ý✕✠✔➠✡ø✒✔✠ ✓➻➠✽ý✕ý➢✕➡ ✓ø❀✞ø ✒ù☞û✒❪✠ ✓➦✠✧ÿ✌✠✔✝û ✖✘✂➦➠✽✭ÿ ✓➻✒➡ ✙ø✎➧☞ù✡✕ý ✓➠☛✖✡✠ ✓✢❪✠ ✟✧●➠ ✢ ✂ ✳ ø ✒ù✠➷✧✠✧û✓✭ù ✗ ✻ ✭ÿ ✩✟ ❬ ✠ ✒þ✌✼ ✠ ✟✔➠✽ú✬✘➠ ✩✟ ✕➡ ✒ù☞û☎➧✡ù☞ý✒✙➠❍✖✡✠❣û✓✠✔✘➠ ✟✙þ✌✠✔❋ ø ✓þ✌➡✕✵ ø r✬ÿ✬➠✡☞ ý ▼♣✢✓ ➡✕❑ø ✟✙þ✬➠✡✝û ✖☞✔✠ ✓✭❙➢✞ø ✓➠✙✓✠☛✚✛✒➡ ✙ø✵✟✛✆✌û✒û✓✠✧ÿ✁✵✓✢❪✠ ✟✧●➠ ✂✢✳ ø ✓ù ➷✧✠✔û✒✫ ù ✗✱➩ ✜ ÿ ✓þ✌✠✧➡✕û✜☛➠ ✧✌➡✘ý✕✕➡ ✩✂✠✓ù❲✧✦✼ ✠ ✟✙þ✦➠✽û❑✖✡✔✠ ✓✷➠✽✫ÿ ✓❇✓✢➡✕❑ø ✟✙þ✬➠✡✝û ✖☞✔✠ ✓➟✚☛✟✔➠✽ú✬✘➠ ✩✟ ✕➡ ✒ù☞û✓■ ø ✟✔➠✽▲ ÿ ✧✦❬ ✠ ✒þ✌✘ù ✆✤✖✡✁þ ③ù ✍ ➠☞ø③☛➠ ✟✌✒➡✕✤ÿ ✖❢ø✒ù✡ü✫✠✛✏✗þ✬❍➠ ý✕✕➡ ➼☞✠❀ø✒✔✠ ✟✧ù✡✭ÿ ✓✬➠✽❑û ✂✘❵➬✟✩✠✔ý✘✣ ý ✬✧ ➠❍✞✓✠✧û✓➡✘✠❾✛ø ✗ ❏❣þ✌❴ ✠ ✟✙þ✌ù✡✢➡ ✩✟ ✠☛ù ✍ ➡✘ÿ✬✝ø ✆✌ý❂✙➠ ✓➡✘✤ÿ ✖❘ü✵✙➠ ✓✠✧û✓➡✕➠✡✘ý ✧✝✌✠ ✩✏☛✠✧✠✔✠ ÿ ✓þ✌✠❣ú✌ý✕❍➠ ✒✠❾✛ø ✚✽➠☞☞ ø ✏❣➠✡ø✱ü✫✠✧✁ÿ ✒➡✕ù✡ÿ✬✔✠ ✓♥✧✦✠ ✍ ù✡û✓☛✠ ✚✤þ✬➠☞ø➢✿ ➠ ✖✡û✓✠✔❍➠ ✱➡✕ü✫ú✬☛➠ ✟✌ ✆✌ú✝ù✡ÿ❋þ✬ù✙✏➔♥ ü ✆✭✟✙❉ þ r✬✠✔✄ý ✓ æ ✆✬❛★▼❜➠✽ÿ✫✓❨✒þ✌✠✔û✒✠ ✍ ù✡û✓✠❢þ✌✙ù ✏⑤✠ ü ✆✫✟✙✱ þ ✟✙þ✬➠✽❑û ✖✡●✠ ❙❯✏✗➡✘ý✕✳ ý ✓✢✠✧➧☞✠✧ý✕ù✡ú❉✏✗✕➡ ✒þ➻➠✡ÿ✁✂✾✖✡➡✕➧✡✠✔ÿ❋➠✽ü✫☛ù ✆✬✘ÿ ✎ù ✍ ➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖☞✠✫➠✡ú✌ú✌ý✕➡✘✠❪✓➮☛➠ ✟✩û✓ù☞ø✓✿ ø ✒þ✌✠✵ú✬ý✕❍➠ ✒✠✔✔ø ✗◆➵☛❪✠ ✟✧❍➠ ✆✦ø✰✠✫ù ✍ ✒þ✬✠✵û✒ù☞ý✘✠✵ù ✍ ✓þ✌➡✕ø❢➡✘ÿ✬✝ø ✆✌ý❂✙➠ ✓➡✘✤ÿ ✖➦ü✵❍➠ ✒✠✧û✓➡❂➠✽ý✿➡✕ÿ➅➠✙➧✁✔✠ ✟✮✓➡✘✭ÿ ✖❨r✬✠✧✢ý ✓ æ ✆✬❛➟✚➢✒➡ ❢þ✦➠✡ø❢➠❃ø✒ú✦❪✠ ✟✩➡❂➠✽ý☎ÿ✬➠✡ü✫☛✠ ➨✴❤❍➹ ❂ ➚ ❂✪①✛❄♣❃ ➹ ① ✗❃á✸❍ù ❭➠✡ý✘✑ ý ✓✢➡✘✠✔ý✘✠❪✟✮✓û✒✢➡ ✟✷ü✫❍➠ ✒✠✔û✒➡❂➠✽ý❂ø✯➠✽û✓✠✫✠✔➳✁✆✬➠✽❞ý ➨❲✓þ✌✠✵✌✠ ❛✡✒✠✔✁ÿ ❲✒ù❉✏✗þ✌✢➡ ✟✙þ ü✵✙➠ ✓✠✧û✓➡✕➠✡ý✕ø❭➡✘ÿ✌þ✬✕➡ ✧✌✕➡ ✵ù✡û✐✠✧✭ÿ ✟✧☛ù ✆✌û✙➠❍☞✖ ✠❇✒þ✌✠ ✍ ù✡û✓ü✵➠✙✓➡✘ù☞ÿ➌ù ✍ ✠✔ý✘❪✠ ✟✮✒û✓➡✢✟❇r✬✠✔✄ý ✓ æ ✆✬❛➌➡✕▲ ø ✟✔➠✽ý✕ý✘❪✠ ✓❖✒þ✌✠ ✭❖ ❂✌❃ ❅✜➹ ❄♣❄ ➹➦❘❪➹ ❄ ✲✮ù ✍ ✒þ✬✠ ✓✢➡✕✠✧ý✕✔✠ ✟✌✒û✓✄➡ ✟☛✗ ➘

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→ ✷✼✽✿➭ ✻ ✲✑✴ ➣●➤✬✶ → ✽✿➭➟✽ → ✺ ✻ ➛ ✴✼✸ "Ohm’s Law" for a capacitor Ð Ñ

i=C Ð

dv dt

Where, Ò Ñ

i = Instantaneous current through the capacitor

C = Capacitance in Farads dv = Instantaneous rate of voltage change Ð dt (volts per second) Ó❣þ✤Ô❢ý✕ù✙✏❯Ô✧✝û ❵❱✟✔➠✡✝ø Ô✎✄ý Ô✌✝✝Ô✧❀ û Õ✽✢➡ Õ✵✞ø ✂●♥ ü ✦✧ ù☞ý✘➡✄➷✛❾Ô ø❲➹➦Ö ➻✮❄ Ö ❄ Ö ❂ ❆✙× ➻ ✟✛✆✌û✓✝û Ô✔ÿ✘❪✚✭✗ ✏ þ✌➡✢✟✙þ➦ü▲Ô✔➠✡ÿ✬ø❴✒þ✭Ô✐➠✽ü✫ù✘✆✌ÿ✁✸ù ✍ ✟✌✆✌û✓û❑Ô✧ÿ✁ ➠✙❀➠➫ø✒ú✫Ô❪✟✩➡✕r✫✐ ✟ ú✦ù☞➡✘ÿ✁✎➡✕❁ ÿ ✓➡✘▲ ü Ô✘✗❀Ó❣þ✌➡❂ø❘ø✩✙➠✽✭ÿ ✌✓ ø✎➡✕✯ ÿ ✟✩ù☞✁ÿ ✒û✙➠✡✞ø ❬✒ù✾✟✩ù✡ÿ✦✩ø ✙➠✽✁ÿ ❀✟✛✆✌û✒❑û Ô✧✁ÿ ❇ù☞û✎➠✉✘➧ Ô✧û✙❍➠ ✖☛Ô❊✟✛✆✌û✓✝û Ô✔✘ÿ ✜▼❈✟✧➠✡ú✌➡✕✓➠✽ý ý✄Ô✌✞❑Ô✧✹ û Õ✡✩➩ Õ✘❙àù✤☛➧ Ô✧û➥➠✽♥ ÿ ✆✌ÿ✬ø✒✫ú Ô❪✟✩✕➡ r✭Ô✔✓✐➞ú ✧Ô û✓➡✘ù✬✐ ✓ ù ✍ ✓➡✘▲ ü Ô✘✗❋Ó❣✤þ Ô❴Ô✛❛●ú✬✝û Ô❾ø✒ø✒➡✘ù☞✠ ÿ Õ☛✓✌➧✤Ø❍✓✡❑Õ✎➡❂ø✱ù☞✤ÿ Ô❴✧✦ù☞û✒û✓✙ù ✏❯Ô✔✓ ✍ û✓ù✡❫ ü ✟✔➠✽✢ý ✟✌✆✌✄ý ✆✬✔ø ✚ ü▲Ô✔➠✡ÿ✌➡✘✭ÿ ✖▲✒þ✤Ô❢➡✕ÿ✬✞ø ✓➠✡✘ÿ ✙➠✽✤ÿ Ô✔☛ù ✆✬ø❣û✙✙➠ ❑Ô✯ù ✍ ➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖✘Ô☎✟✙þ✦➠✽✤ÿ ✖✘Ô❘ù✤✘➧ Ô✧❴ û ✓➡✘▲ ü Ô☛✚✝ù✡❴ û ✓þ✤Ô❢û✙✙➠ ❑Ô✯ù ✍ ✟✙þ✬➠✽✭ÿ ✖☛Ô❀ù ✍ ➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖✘Ô▲▼❜➧✡ù☞✒ý ✙ø ú Ô✧û✸✝ø Ô✔✟✩ù☞✭ÿ ✓✮➡✕ÿ✭✟✧✝û Ô❾➠✡✝ø Ô✎ù☞❴ ➞ û ✓✤Ô✔✟✩❑û Ô✔➠☞✞ø Ô●❙☎❍➠ ✗➠✫ø✒✫ú Ô❪✟✩✕➡ r✫✟❘ú✦ù☞➡✘✁ÿ ✗➡✕❝ ÿ ✓➡✘▲ ü Ô☛✚✡✓þ✤Ô❢ø✓➠✽ü▲Ô❘ø✒➞ú Ô✔✟✩✕➡ r✫✟❘ú✝ù✡➡✕✘ÿ ✗➡✕❝ ÿ ✓➡✘▲ ü Ô☎✓þ✬✙➠ ❴✒þ✭Ô ➡✕ÿ✬ø✩✙➠✽✁ÿ ✓➠✡✤ÿ Ô✧✘ù ✆✬✵ ø ✟✛✆✌û✓✝û Ô✔✘ÿ ☛➡✕ø✜❑û Ô ✍ Ô✧❑û Ô✧✫ÿ ✟✌Ô✔✓➫✙➠ ✔✗■Ù✬ù✡✵ û ✏✗þ✦➠✙✝Ô✔☛➧ Ô✔û③❑û Ô✔➠✡ø✒ù✡❩ ÿ ✚☛✓þ✤Ô✎✄ý Ô✌✝✝Ô✔✿ û ❘❣➡❂✵ ø ✆✬✝ø ✆✬➠✡ý✘✄ý ✂▲✆✬✞ø Ô❪✓▲✒ù✐✝û Ô✔ú✌❑û Ô✔✝ø Ô✧✁ÿ ➡✕ÿ✬ø✩✙➠✽✁ÿ ✓➠✡✤ÿ Ô✧✘ù ✆✬ø❘➧✡ù☞ý✒✙➠❍✖☛✫ Ô û✙➠✙✓þ✤Ô✧❀ û ✒þ✦➠✽ÿP✒þ✤Ô✵✄ý Ô✌✝✝Ô✔û ❂ ✗✰q❇✙ù ✏✑Ô✔☛➧ Ô✔✔û ✚✭✕➡ ❊✏✜✘ù ✆✌✢ý ✓➻ÿ✌☛ù ❊✧✫Ô✵➡✕✭ÿ ✟✧ù✡û✓✝û Ô❪✟✮☎✒ù❨Ô✌❛✢ú✌❑û Ô✔ø✓❀ ø ✒þ✭Ô ➡✕ÿ✬ø✩✙➠✽✁ÿ ✓➠✡✤ÿ Ô✧✘ù ✆✬ø☛➧✡ù☞ý✒✙➠❍✖☛Ô❘û✙➠✙✝Ô✛❈❵ ù ✍ ❵❱✟✙þ✦➠✽✤ÿ ✖✘✎ Ô ➠✡✎ ø Õ✘✓✬Ô●Ø❍✓✡❑Õ✷➡✕ÿ✬✞ø ✝Ô✔✘➠ ✓➟✗ ➩✦ ÿ ✒þ✌➡❂❇ ø Ô✔➳✁✆✬❍➠ ✒➡✕ù✡⑦ ÿ ✏✑❋ Ô ø✝Ô✛➦ Ô ø✒ù✡▲ ü Ô✌✓þ✌➡✕✤ÿ ✖➮ÿ✌ù✤☛➧ Ô✔❴ ý ✒ù➮☛ù ✆✌❇ û Ô✛❛✢ú✫Ô✔û✒✄➡ Ô✧ÿ✭✟✛Ô✾✒þ✡✆✬ø ✍ ➠✽✰ û ✏✗✕➡ ✒þ❷Ô✧✄ý Ô✔✟✌✒û✓✄➡ ✟❨✟✧➡✘û✪✟✌✌✆ ✕➡ ✓ø✔➨❨✒þ✭Ô ➧✤➠✽û✓➡✕☛➠ ✧✌✄ý Ô✷ù ✍ ❄ ➹➦❅ ❂ ✗✼×◆✤þ Ô✔ÿ➌û✝✔Ô ý✕❍➠ ✒➡✕✤ÿ ✖✾✒þ✤Ô❝➳✁✆✬➠✡ÿ✁✒➡✕✒➡✄Ô✔ø✯ù ✍ ➧☞ù✡✕ý ✓➠☛✖☛Ô☛✚☞✟✌✌✆ û✓✝û Ô✔✁ÿ ✔✚✱➠✡✭ÿ ✓➮❑û Ô✔ø✒➡✕✞ø ✓➠✡✭ÿ ✟✌Ô✜✒ù❋➠❃❑û Ô✔ø✒➡❂ø✩✓ù✡❪û ✚à✕➡ ✓✢✡ ù Ô✔ø✒s ÿ ➺ ☛ü✵❍➠ ✞✝Ô✔û❣➡ ✍ ✏✑Ô✘➺ ❑û Ô✿✓✬❾Ô ➠✽ý✕➡✘✭ÿ ✖✠✏✗✕➡ ✒þ✼✜ ü Ô❾➠✡ø✝✌✆ ❑û Ô✧ü▲Ô✧✁ÿ ✓ø✵✓➠☛➼☛Ô✔ÿ✮ù✤☛➧ Ô✔û☛➠✡ÿ✰✆✌ÿ✬ø✒✫ú Ô❪✟✩✕➡ r✭Ô✔✓✴➞ú Ô✧û✓➡✘ù✬✓✮ù ✍ ✒➡✕▲ ü Ô✜▼❙è☛➭✎➩✣➯✯Ù Ú❀➭✎➩✣✿ ➯ ❙✮✚✁ù✡û❘✙➠ ❘➠✴ø✰➞ú Ô✔✟✧✒➡ r➞✟❢ü✫ù✡▲ ü ✧Ô ✁ÿ ❘➡✘ÿ✱✒➡✕✜ ü Ô✾▼❭Ô✤➭✎➡✘û❾Ù✁➧✌➭✎➡✕✮û ❙✮✗✿Ó❣✭þ ✐ Ô ø✓➠✽▲ ü Ô✠✧✬➠☞ø✰✢➡ ✟ ✍ ù☞û✒♥ ü ✆✌ý❂➠✵þ✌ù✡ý✢✓✌✼ ø ✒û❑✆✤Ô☛✚➞✧➞Ô✔✟✧☛➠ ✆✬✝ø Ô ✒➡✕▲ ü Ô✯➡✕ø✸➡✘û✓û✝✔Ô ✕ý Ô✔➧✤➠✽✁ÿ ✑✓ù✵➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖☛Ô✘✚✬✟✌✌✆ û✓✝û ✔Ô ✁ÿ ✔✚✢➠✽✭ÿ ✓✼❑û Ô✔ø✒➡✕✞ø ✓➠✡✭ÿ ✟✌❘ Ô ➡✕ÿ❃▲ ➠ ✟✧ù✡ü✫ú✦ù☞ÿ✤Ô✧✁ÿ ✸ý✕✕➡ ➼✘Ô✯➠✐❑û Ô✔ø✒➡❂ø✩✓ù✡❪û ✗ ➩ ÿ➻◆ ➠ ✟✧➠✽ú✦☛➠ ✟✩✕➡ ✒ù☞✔û ✚✝þ✌✙ù ✏❯✧Ô ➧✘✧Ô û❪✚✤✒➡✕▲ ü ✐ Ô ➡❂ø❘➠✽❁ ÿ Ô❾ø✒✝ø Ô✧ÿ✁✒➡❂➠✽ý➢➧✤➠✽û✓➡✕➠☛✧✌✄ý Ô☛✚➞✧✫Ô❪✟✧❍➠ ✆✦✞ø Ô✜✟✌✆✌û✓✝û Ô✔✁ÿ ❇➡✕ø❘❑û Ô✧ý❂➠✙❑Ô✔✓❨✓ù➫þ✌✙ù ✏ ❃ ✪Û ➹❈Ü✡➚✒Ý ➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖✘Ô☎✟✙þ✦➠✽✤ÿ ✖✘Ô✔ø❣ù✤☛➧ Ô✔❴ û ✒➡✕▲ ü Ô☛✗❴à Ó ù ✍ ✆✌ý✕✄ý ✂◆✆✌✫ ÿ ✓✬✧Ô û✙✩ø ✙➠✽✭ÿ ✓◆✓þ✌➡✕✔ø ✚✦➠ ✍ Ô✔✏⑤➡✘ý✕✕ý ✆✦ø✩✓û✓❍➠ ✒➡✕ù✡ÿ✬ø✗ü✵●➠ ✂✰✧➞Ô❢✤ÿ Ô❪✟✌❾Ô ø✒ø✓➠✽❑û ✂☛✗✑Þ✬✆✌ú✌ú✝ù☞✝ø Ô ✏❯Ô❊✏✑✔Ô ✝û Ô❊✒ù◆✟✧ù✡ÿ✌✭ ÿ Ô✔✟✮❘➠✰✟✧➠✡ú✬☛➠ ✟✧✒➡ ✓ù✡❬ û ✓ù➫➠✵➧✤➠✽û✓➡❂❍➠ ✧✌✄ý Ô✌❚❵ ➧✡ù☞✒ý ✙➠❍✖☛Ô✯ø✒☛ù ✆✌✪û ✟✌Ô✘✚✫✧✟ ù✡ÿ✬✞ø ✒û❑✆✭✟✮❑Ô✔✓❨✏✗✕➡ ✒þ❅➠✵ú✦ù☛✝Ô✔✘ÿ ✓➡✘ù☞▲ ü Ô✌✝Ô✔û✎➠✡✭ÿ ✓ ➠ ✧✬✙➠ ✝✝Ô✔✝û ✂✣➨ ✜ Ð

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❐

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Ammeter (zero-center) + -

+

+ -

V -

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Capacitor ➽ voltage ã EC á

Time

Potentiometer wiper not moving

Capacitor â current ä IC á

Time á ù✙✏❲à ✸ ✚ ➡ ✍ ✒þ✭Ô✵ú✦ù☛✝Ô✧ÿ✁✓➡✘ù☞ü✜Ô✛✝Ô✔û❊✏✗➡✘ú➞Ô✧û❭➡✕ø❀ü✫ù✤➧☛Ô❪❁ ✓ ø✒ý✕ù✙✏✗ý✕✂➻➠✡ÿ✭✓➮ø✩❑Ô✔➠✘✓✢➡✘ý✄✂➻➡✕ÿP✒þ✤Ô✰Õ☛✆✌ú✭Õ❨✓✢➡✕û✝Ô❪✟✮✓➡✘ù☞ÿs✚✱➠❨✖☞û✝Ô❾➠✙✝Ô✔û ➧✡ù☞ý✒✙➠❍✖✘Ô❉✏✗➡✘ý✕ý☎✖✡û✙➠☛✓✬✆✬➠✡ý✘ý✄✂②✧➞❅ Ô ➡✘ü✫ú✝ù☞ø✝Ô✔① ✓ ➠✘✟✩û✓ù☞ø✓▲ ø ✒þ✤Ô❖✟✧➠✡ú✬➠☛✟✧➡✒✓ù✡û❪✗➑Ó❣✡þ ✆✬ø✛✚❬✒þ✤Ô❅➧✡ù☞ý✒✓ü✜Ô✛✝Ô✔û➫➡✕✭ÿ ✓✢➡✢✟✧➠✙✓➡✘ù☞ÿå✏✗➡✕ý✘ý☎✧➞Ô ➡✕ÿ✭✟✩❑û Ô✔➠☞ø✰➡✕✤ÿ ✖✫✙➠ ❇➠✫ø✰ý✕✙ù ① ✏ û✙➠✙❑Ô☛➨ Potentiometer wiper moving slowly in the "up" direction Steady current æ

+ -

æ

+

+ -

V -

Increasing ➽ voltage

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á

Time Voltage â change

Capacitor voltage ã EC Time Potentiometer wiper moving slowly "up"

Capacitor â current ä

IC Time

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Potentiometer wiper moving quickly in the "up" direction (greater) Steady current + -

+ -

+ (faster) Increasing V voltage -

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Time Voltage â change

Capacitor ➽ voltage ã EC á

Time

Potentiometer wiper moving quickly "up"

Capacitor â current ä IC á

Time

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Capacitor ➽ voltage EC á

Time

Potentiometer wiper moving "up" at different rates

Capacitor â current ä

IC á

Time

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Potentiometer wiper moving in the "down" direction

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Decreasing voltage

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(relative permittivity = 7.0)

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d Where,

❐

C = Capacitance in Farads

❒ ε = Permittivity of dielectric (absolute, not ❰

❮ Ð

relative)

A = Area of plate overlap in square meters d = Distance between plates in meters

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ç

❐

C1 equivalent to

❐

❐

✶

✁① ç

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①❊ç✹⑤ ② ë

④■⑥

Ctotal

C2

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Series Capacitances

❐

Ctotal =

❐

1 1 æ 1 æ 1 + ❐ +... ❐ C1 C2 Cn

Ù➭✤✙ Ô✟✗➹✛✺ ✠í ✭✑ í✠✛✺ î▲✷✎✌✠✞✢☛✠í✒❑✞ Ô✲✺✄✌✠✗✡✤✗ Ô❃✺❋✷❑Ô✟★ ❊ î✕✗t✭✑ ✠í ❑✞ í✠✛✘✄✛ Ô✄✛✿✾✹✷✍✙✤Ô✱✷✍✌✠❑✷ í✒✛✏✛✺ í✠✭✑ ✠í ✛✺ î▲✪✷ í✒✗✔✛✺ Ô✰î❑☛✆✷✎✙✤Ô❦☛✍✼✡✖Ý✌✒✸❩✷✎✙✤Ô✾î✘✗✔✤❊ î ö î❑❊✶✼✭í✒✛ ✺ í✠✑✭í✠✺✛î▲✷✎✌✠✞✢☛✛✧ ✛ ➺ ✛ ✺ í✒✑✫í✠✺✌î✘✷❑í✠✗✔✌✺ Ô❃☛✄❅➘ÚÛ✸✪✷❞❝✧✌t✌☞✞✲✖✚✌✠❑✞ Ô❱✺✔í✒✑✭☞í ✺✌î✘✷✍✌✠✞✢☛❝✠í ✞✝Ô●✺✓✌✠✗✔✤✗ Ô✟✺✓✷✝Ô✟❊❷î✕✗❷✑✫í✒✞✪í✒✛✕✛✕Ô✟✛✐✾❄✷✍✙✭Ô●✌ ö Ô✄✞✪í✒✛✕✛❬Ô✌➧✣Ô✟✺✓✷ î❑☛❙✷✎✙✭í❁✷✚✌✒✸☎í❱✝ ☛ î✘✗✔✻✠✛✄Ô◆Ô❪☞➳ ✼✭î ö í✒✛✄✄Ô ✗✽✷✥✺✛í✠✑✭í✠✺✛▲î ✷✎✌✠✞❙✙✫í ö î✕✗✡✻❱✷✍✙✤Ôs☛✍✼✡✖Ý✷✍✌✠✷❑í✒✛✏✌✠✸✝✷✍✙✤Ô❢✑✡✛✢í❁✷❑Ô✾í✠✞✝Ô❪í✠☛❙✌✒✸✝✷✎✙✤Ô❨î✘✗✔❊✤î ö î❑❊✶✼✭í✒✛ ✺ í✠✭✑ í✠✛✺ î▲✷✎✌✠✞✢☛✄❅✭❲■☛✳❯ ✛ ❝ Ô☛➺ ö Ô■Ü❞✼✔☛❞✷✆✝☛ Ô✛Ô✟✗P➟✾ í✒✱ ✗ î✕✗✔✺✄✝✞ Ô❪í✠✝☛ Ô✠î✕✗❱✑✡✢✛ í❁❑✷ Ô✜í✠✝✞ Ô❪í✡✾❇✎ ❝ î▲✷✎P ✙ í✠✛✘✛✹✌✒✷✎✙✤Ô✄✞✳❈✸ í✠✺✓✷✍✌☞✞✎☛❧✼✡✗✔✺✢✭✙ í✠✗✡☛✻ Ô❃❊r✾♣✝✞ Ô❃☛❨✼✔✛▲✷✢☛ î✕✾ ✗ î✕✗✔✺✄✝✞ Ô❪í✠✝☛ ✟Ô ❊✲✔✺ í✒✭✑ í☞✌✺ î✘❑✷ í✠✗✔✺✌☞Ô ❅

❐

C1

❐

C2

equivalent to

❐

Ctotal

Ó✏✙❜✼✔☛✟✾✦✷✎✙✤Ôs✷✍✌✠❑ ✷ í✠✛■✛✺ í✠✭✑ ✠í ✛✺ î▲✪✷ í✒✗✔✛✺ Ô✾❑î ☛✥✖✚✌✠❑✞ Ô❦✷✍✭✙ ✠í å ✗ í✒✗❜❛t✌☞✤✗ Ôs✌✒✸✳✷✍✙✤Ô✱î✘✗✔✤❊ î ö î❑❊✶✼✭í✒✛❧✛✺ í✒✫✑ í✠✌✺ î✘✷✍✌☞✞✎✔☛ ➺♦✛✺ í✠✭✑ í✠✛✺ î▲✪✷ í✒✗✔✛✺ Ô✟☛✟❅ ✏✙✤Ô✪✸❏✌☞✞✍✖❫✼✡✛✢❉ í ✸❏✌✠✞■✺✔í✒✛❑✺✓✼✡✛✢❁ í ✷❑î✘✗✡✻✚✷✎✙✤Ô❙✑✫í✒✞✪✒ í ✛✕✕✛ Ô✟✛♣✷✍✌✒✷✪í✒✛✹✺✛í✒✑✫í✠✺✌î✘✷❑í✠✗✔✌ ✺ Ô❲î❑☛✏✷✎✙✤Ô❫☛❑í✒✖▲Ô✭✸❏✌✠✞✎✖➪í✠☛✏✸❏✌☞✞■✛✺ í✠✛✕✺✄✼✡✛✄í✒✷✝î✕✗✡✻❍☛✝Ô✄✞❑î✕Ô❃☛ ✞❑Ô✟☛✝î✕☛❨✷❑í✠✗✔✺✌Ô❃☛✛➨ Ó

Parallel Capacitances

❐ ❐ æ ❐ æ ❐ Ctotal = C1 + C2 + . . . Cn ❲■☛❧❛✠✌☞✼s❝✎î✘✛✕✛✹✗✡✌✱❊✶✌☞✼✡❳✶✷✳✗✡✌✒✷❑î✕✺✛✠Ô ✾✤✷✍✙✤î❑✼ ☛ î❑✿ ☛ Ô✓❣✤í✠✺✓✷✍✛✕❛✱✌☞✑✡✑✤✌✽☛✞î✘✷✝Ô❫✌✒✸♦✷✎✙✤Ô❙✑✡✙✭Ô✄✗✡✌☞✖✜Ô✟✗✡✌✠✗✱Ô✓❣✶✙✤î✕❳✤î▲✷❑Ô✟❊s❳❜❛❢✞❑Ô✟☛✝î✕☛❨✷✍✌☞✞✎☛✟❅ Ù î✘✷✍✙❍❑✞ Ô✟✝☛ î✕☛❨✷✍✌☞✞✎☛✟✾✒✝☛ ✄Ô ❑✞ î✕Ô❃☛▼✺✓✌☞✗✡✤✗ Ô✟✺✓✝✷ ✕î ✌✠✗✔☛▼✞✝❃Ô ☛❨✼✡✛✘✷✹î✕✰ ✗ í✠❊✡✬❊ î✘✝✷ î ö Ô ö í✠✛✘✭✼ ✟Ô ☛♦❝❩✤✙ î✕✄✛ Ô✝✭✑ í✒✪✞ í✒✛✕✄✛ Ô✄✛✡✺✓✌☞✗✡✤✗ Ô❃✺❋✝✷ î✕✌✠✗✤☛♦✝✞ Ô❃☛❨✼✔✛▲✵ ✷ î✕✗❍✬❊ î✕▲ ✖ î✘✗✶q ö í✒✛✕✤ î❑☛❨✙✤Ô❃❊ ✼ Ô❃☛✄❅✆Ù î✘✷✍✙❈✛✺ í✠✭✑ ✠í ✛✺ î▲✷✎✌✠✞✢☛✄➞✾ î✘✔✷ ➺ ☛✳✷✍✤✙ Ô✚❑✞ Ô ö Ô✟✞✎✝☛ Ô☛➨❩✫✑ í✒✞✪✒í ✛✕✕✛ Ô✟✛✹✺✄✌✠✗✡✗✤Ô❃✺❋❑✷ î✘✌☞✗✔☛✳✝✞ Ô❃☛❨✼✡✛✘☎ ✷ î✘P ✗ í✠❊✡✬❊ î✘✝✷ î ö Ô ö í✒✛✕✤✼ Ô✟☛✳❝❩✤✙ î✕✄✛ Ô ☛✝Ô✄❑✞ î✕Ô❃☛❩✺✓✌✠✗✔✗✤Ô✟✺✓✝✷ ✕î ✌✠✗✔☛❄❑✞ Ô✟☛✍✼✡✛▲❬ ✷ ✕î ✗s✬❊ î✕✜ ✖ î✕✤✗ î❑☛❨✭✙ Ô✟❊ ö í✒✛✕✤✼ Ô✟☛✟❅ Þ ✰✲✮❧ß✱❘✓✮❧àÝ✴ ✖ ✘î ✗✭î✕☛✍❨ ✙ î✘✗s☛✝Ô✄✞❑î✕Ô❃☛✄❅ Þ ñ❯í✒✭✑ í☞✺✌✘î ✷❑í✒✗✤✌✺ Ô✟☛✏✬❊ î✕▲

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② ⑤✛ç✁①■➱ ç✎ë ➫❧⑥ ⑤ ì✳③✦④ ① ② ⑤✛ë ➫❧⑥

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Electrolytic ("polarized") capacitor + -

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Unit Measurement óandof abbreviation

Symbol CGS

SI

ômmf ùGilbert (Gb) úAmp-turn õΦ üMaxwell (Mx) ýWeber (Wb)

English

úAmp-turn þLine

Field Intensity

öH

ûOersted (Oe)

✂Amp-turns

✂Amp-turns

Flux Density

÷B

ùGauss (G)

ÿTesla (T)

Reluctance

✆ℜ

ùGilberts per üMaxwell

Lines per ✁square inch ✂Amp-turns

Permeability

øµ

ùGauss per ûOersted

per meter

✂Amp-turns per Weber

ÿTesla-meters

per Amp-turn

per inch

þ

per line

þLines per ✄inch-Amp☎ turn

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✤E = IR

Electrical

✥mmf = Φℜ Magnetic

✝ ➞ ➢➁➭ ➝✟❏❜➯ ❍ ➞ ➟ ➛◆❑ ➟▼➦➳❍ ➤ ➜▲❍ ❑✒❳◆❏ ➡ ❏ ➟✓✞ ❏ ➥ ❏❜➞t➯ ❍ ➤ ➥✖❍❘➡✦✞ ❑✞➞◆❑ ♣➡ ➧ ➝ ➧ ➩ ➥④➟P➧❭➥✖➦➳❍ ➠⑨❏ ☛ ➠✔➤ ❍❚➥ ❏ ➥✦➟ ❑✟➞◆➠ ❍✠➭➲➟ ➛ ❍✛❍ ✠➩❤❑ ➟ ❏ ➧ ➞ ➨➃➧ ➤ ☛ ➞ ➢ ❏♣➞◆➝ ➟ ➛ ❍ ➤ ❍❚➡ ➩◆➠ ➟ ❑✟➞◆➠ ❍✛➧✟➨ ❑ ➜ ❑✞➝✠➞ ❍⑨➟ ❏❜➠ ➜ ❑ ➟P❍ ➤P❏❜❑ ➡ ❏ ➥ ➯ ❍ ➤ ✞⑤➥ ❏ ➜ ❏ ➡ ❑✟➤ ➟✖➧❭➟ ➛❤❑ ➟▼➨➃➧ ➤ ☛ ➞ ➢ ❏❜➞❣➝ ➟ ➛ ❍ ➤ ❍➅➥ ❏ ➥✢➟ ❑✞➞◆➠ ❍☛➧✞➨ ❑❋➠ ➧ ➞ ➢ ➩◆➠ ➟P➧ ➤❃ó

✈★✧ ➻ ✧ ➻

÷✪✩✛✫ ✿

ô

✁✡✤②✸✷✕✬✵✆ ✳ ➷✹✫✵✬✵✳✹✯ ③ ✡

✇

õ✻✺✼✺

✩✛✬✮✭✰✯✓✱✲✯☞✳✵✴✶✬

A comparison of electrical and magnetic opposition: ✽

✽

l R=ρ ✾ A

ℜ=

l µA

Electrical

Magnetic

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➾cast steel Flux density (B)

➾cast iron

Field intensity (H)

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Flux density (B)

Field intensity (H)

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Flux density (B)

Field intensity (H)

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Flux density (B)

Field intensity (H)

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Flux density (B)

Field intensity (H)

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Flux density (B)

Field intensity (H)

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✈❸❷③➀

An ideal steering system angle of front wheels (right)

rotation of (CW) steering wheel

(CCW)

(left) A "loose" steering system angle of front wheels (right)

rotation of (CW) steering wheel

(CCW)

(left) amount of "looseness" in the steering mechanism

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Hysteresis curve for ferrite Flux density (B)

Field intensity (H)

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Electromagnetic induction current changes direction with change in magnet motion

-

+ V

+

voltage changes polarity with change in magnet motion

-

N S

magnet moved back and forth

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→ ➣

e= N

dΦ → dt

Where, ↕

➣

e = (Instantaneous) induced voltage in volts N = Number of turns in wire coil (straight wire = 1) Φ = Magnetic flux in Webers ↔ t = Time in seconds

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(few teeth)

+

➩

+

low torque, high speed high torque, low speed

"Step-down" transformer

high voltage AC voltage source

low voltage many turns

few turns

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the inductor short-circuited

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Energy being absorbed by the inductor from the rest of the circuit. ...

increasing current

. . . to✜ the rest of the circuit ... increasing current ✤

+ ✣

voltage drop

-

The inductor acts as a LOAD

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Energy being released by the inductor to the rest of the circuit. ✥

...

decreasing current

. . . to✜ the rest of the circuit ✥

✣

voltage drop

+

... decreasing current

The inductor acts as a SOURCE

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→

→dt

❡v = ❢ L di ❞

Where, ❡ v = Instantaneous voltage across the inductor

→diL = Inductance in Henrys

→dt = Instantaneous rate of current change (amps per second) ❣✔Ý❸ß ➥✒Ù Ý❸ß ➡◗➢ ➤ Û ➠✑Ý❸à✠➞ ä ➂ Û■➟✒Ù✍Û ëìÝ✠➤ ã Ý❂ë ➟➤Ù✍ä◗➥❭❃Û ❤ ß á✞➟✒ä Ý✟➞⑧➃ë ➤✒Ý ã✳➟✒Ù✍Û ➠ á å á ➠ ä♣➟ Ý✠➤✐➠ Ù♣á å ➟➤Û ➤★æ✚✦ ➟ ➤ Û❘➡❽á❱➟✒Û➅➥ Ý✟➞ Û✐Ü✗á ➤ ä❽á ❳ ➡✦Û ✘ìä ➞ ➟➤Ù✍ä◗➥ ➠ ✟á ➥✒Û â ä ➞ ➢ ß◆➠ ➟ Ý✟➤ Ü Ý ➡Ô➟qá à Ûq➢ ➤✒Ý✼å♣✚ ➟ Ý á✐❅ è ✸❭✺❥❁✓ñ❦✶✌☞ è✗ê➔é ✺ Ý❸ë á ➞✍Ý ➟✒Ù✍Û ➤ Ü✗á ➤ ä❽á ❳ ➡✦Û❳✘❣ä ➞ ➟✒Ù✍ä◗➥ ➠ á✟➥✒Û â ä ➞ ➢ ß◆➠ ➟ Ý✟➤ ➠✑ß◆➤✖➤ Û ➞ ➟ ✚✑✯æ ✠✛Ý ➟✒Ù➁Ü Ý ➡Ô➟qá à Û➅✘ìÜ ✚ á ➞ ➢ ➤ á❱➤➟ Û Ý❸ë✒➠☞ß❣➤✖➤ Û ➞ ➟ ➠ Ù③á ➞③à Û➅✘❬➢✕ä♠❱❧ ➢t➟ ✚ á ➤ Û❆♥ ê✷♦ ✸ è❂ê ✸ è✗ê ✺✌❁❂ó ♦✌♣ ➟➤Ù③á❱❬➟ ä◗➥ â ä ➞❲➤ Û❚➡✦á✞➟✒ä Ý✟➞ ➟Ý ❴ á ➥ å Û ➠ ä ✬❤➠▲å❨Ý ä ➞ ➟❦ä ➞ ➟✒ä✦ã➅Û â ➟✒Ù ß ➥✁➟✒Ù③⑤Û ➡ Ý ✖✛Û ➤q✼➫➠ á✠➥✠❭Û ➡✦⑨Û ➟✦➟➤Û ➤ ➥ õ Ü õ á ➞ ➢ õ ä õ✍æ✄✪ ➥✮✖❬ä♣✒➟ Ù❩➟➤Ù✍Û ➠ á å á ➠ ä♣➟ Ý✠➤❬ëì✟Ý ➤ ã ß ➡✦á â ä♣➟✰◗ä ➥ ➠☞✟Ý ➞ Ü❸Û ➞ ➟✒ä ✟Ý ➞ ➟ Ý ✹Û ✭ ❣å ➤ ❚Û ➥P➥✔ä ➞ ➥✦➟➤á ➞ ➟qá ➞ Û Ý❸ß ➥✛Ü Ý ➡Ôq➟ á à Û✮á✟➥ ❉✔➤ á❱➟➤Ù✍Û ➤ ➟✒Ù♣á ➞ ✺ â✶❳✍ß ➟ ß ➥✒ä ➞✍à ➟✒Ù✍Û✆➡❽á❱➟✦➟➤Û ➤ ➢✕Û❚➥✒ä à✟➞ á✞➟✒ä Ý✟➞ ✖ Ý❸ß ➡◗➢ ➞✍Ý ➟ ❳ Ûr✖ ➤➤✟Ý ➞✍à♣ær✎✛❣ß ➤P➤ Û ➞ ➟ ➤ ❱á ➟✒Û ✼❴Ý❸ë✽✼✍➠ Ù♣á ➞✍à Û❆➊✘ ➢✕♠ä ❧❱➢t➟ ✚ ◗ä ➥❇✻Û ✭ ❣å ➤ ➅Û ➥✖➥✒❚Û ➢❱ä ➞✟ß◆➞ Ôä ➟❖➥ Ý❂ë á❂ã å ➥ å Û ➤ ➥✠Û ➠✑Ý✟➞ ➢ â á å❨Ý ➥✒Ôä ➟➤ä✡Ü✼Û ➞➔ß ã ❳ Û ➤❫➤ Û ❣å ➤ ❚Û ➥✒Û ➞ ➟✒ä ➞✍à á ➞ ä ➞❤➠⑨➤ Û◆✟á ➥✒Û♥á ➞ ➢❆á ➞ Û à ❱á ➟➤ä✡Ü✼Û ➞➔ß ã ❳ Û ➤❫➤ Û ❣å ➤ ❚Û ➥✒Û ➞ ➟✒ä ➞✍à ❈á ➢✍Û ➠⑨➤ Û◆✠á ➥✠Û æ î ✩ä s❸Û➡á ➠ á å á ➠ ♣ä ➟ ✠Ý ◆➤ â á ➞ ä ➞ ➢ ◆ß ➠ ➟ ✠Ý ➤ ❶ ➥ ❳ Û☞Ù♣á⑤Ü✻ä ✟Ý ➤ ◗ä ➥ ➤➤Ý➔Ý ➟➤❚Û ➢❄ä ➞ ➟➤Ù✍Û➡Ü⑤á ➤ ä❽á ❳ ➡✡Û Ý❂ë ➟➤ä✡ã➅Û t æ ✪ ➥✒❜ä ✍➢ Û ➃ë ➤➤Ý ã❏á ➞ ✧ Û ➥✒✉á s❸Û Ý❂ë ➟➤Ù✍❜ä ➥ ➤ ❚Û ➥✒❜ä ➥✦➟➤á ➞◆➠ Û❆ä ➞ ➟ ➤ ä ➞ ➥✒ä ➠ ➟ Ý á ➞ ä ➞ ➢ ❤ß ➠ ➟ ✠Ý ➤ ❶ ➥✜✖❬ä ➤ Û ➠☞Ý ❜ä ➡❇✘ì✖❬Ù③ä ➠ ÙÚ✖✰Û♦✖❬❜ä ➡♣➡✮✠á ➥✖➥ ß ã➅Û✙◗ä ➥ ➂ Û ➤✒Ý❱ëì✠Ý ➤ ➟✒Ù③r ➥✒Û ➠ ➟➤ä ✠Ý ➞♣✚❜â ➟✒Ù③Û✮Ü Ý ➡Ô➟qá à ❫Û ➢ ➤✒Ý✼å✍å ❚Û ➢✜á ➠❘➤✒Ý ➥✖➥▼✒➟ Ù✍Û✁➟✒Û ➤ ã➅ä ➞ ✞á ➡◗➥ Ý❂ë á ➞ ä ➞ ➢ ◆ß ➠ ➟ ✟Ý ➤ ❜ä ➥ å✍❣ß ➤ ❘Û ➡✩✧ ➤ ❘Û ➡❽❱á ➤➟ ❚Û ➢❈➟ Ý Ù Ý ✈ ✖ ❤ ß ä ➠ st➡✩✧⑧♣ä ➟P➥ ➠✑◆ß ➤✖➤ Û ➞ ➟ ➠ Ù③á ➞③à ❚Û ➥ Ý Ü✼Û ➤ ➟✒ä✦ã➅Û æ ú➔ß✍å③å♣Ý ➥✠Û➅✖✰Û❝✖✰Û ➤ ❈Û ➟ ❩Ý ➠✑✠Ý ➞❣➞ Û ➠ ➟▲á å Û ➤✠ë Û ➠ ➟▲ä ➞ ➢ ◆ß ➠ ➟ ✟Ý ➤ ✘ ✟Ý ➞ Û✜Ù♣á⑤Ü✻ä ➞✍à➁➂ Û ➤✒Ý➁Ý Ù✍❥ã ➥ Ý❸ë ✖❬ä ➤ Û ➤ ❚Û ➥✒❜ä ➥✦➟➤á ➞◆➠ Û ✚ ➟ Ý á ➟ ✖❬Ôä ➟➤Ù✏á å♣Ý ➟✒Û ➞ ➟➤ä Ý ã➅Û⑨✒➟ Û ➤✤➠☞✟Ý ➞❣➞ Û ➠ ➟➤❚Û ➢✙✟á ➥✮á ➠ ä ➤❖➠✑ß ♣ä ➟✮✖❬Ù✍Û ➤ Û▲✖✰Û ➠✑Ý✼ß ➡◗➢❆Ü⑤á ➤ ✧❢➟✒Ù✍Û❝á❂ã Ý❸◆ß ➞ ➟ Ý❸✏ë ➠✑❣ß ➤P➤ Û ➞ ➟✛➟✒Ù ➤➤Ý❸ß✍à Ù✙Ôä ❲ Ü✗á ➤ ä✦á ❳ ➡✦Û ➤ ❚Û ➥✒◗ä ➥✢➟ ✟Ý ➤✇♣

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Voltmeter (zero-center)

+ -

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Inductor ✛ current IL ❹

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Time

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Potentiometer wiper moving slowly in the "up" direction ❺

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❹

Time Current ✛change

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❹

Time

Potentiometer wiper moving slowly "up"

Inductor ❺ voltage

❻E

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❹

Time

❹

Time

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Inductor ✛ current IL

Potentiometer wiper moving "up" at different rates

Inductor ❺ voltage

❻E

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❹

Time

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Potentiometer wiper moving in the "down" direction

-

+

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❺

voltage ê drop ❢

- L1

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- L2

+

+

increase in current

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Series Inductances ❢

Ltotal = L1 + L2 + . . . Ln

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IL1 ë

-

total increase in current

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+ L1

Ltotal =

voltage ê drop

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Parallel Inductances ❢

+ L2 -

ëìÝ✉æ➓ä á❈è ✑ ä ß ❽è á

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IL2

1 1 1 1 + +... L1 L2 Ln

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For resistor-capacitor circuits:

Ú τ = RC

For resistor-inductor circuits: ❢

Ú τ = ✎L R ➜➝➆✒➊❬ær➌✩ç⑤➊➏➈ â✷ã ➍❰➈ è✩è ➅☞✯➍ ä⑥✩➌ æ✍ä ➄ ➌★å➝➉➩➈ è➚➄ ➊✇ç✞ç ➄ ä②➆➫➈✓ç➝➉✱➅ è år➈✱➐✱➊✝➌ â ä ➄ æ✿ær➊ â å➙➌ â ær➊❃ç⑤➋❣➅ â ç⑤➊✄år➅✠➈❆å✍ær➈ â ç❘➌➞➊ â å➙➌éç❀➒✒➈✓ç➝↕❫➈✓ç ➟ ➊ â å⑤➌➞➅ â ➊ ã✵❛ ➊⑥➍➭➅✓æ⑤➊✣➒✶✉➈ ç ✧ ➟ ⑨➋ rå ❈➅ år✩➌ ✱ä ➎➠➡❫➊❪➌ â ➐❸ç❘➅❣➒⑧å⑤➆✒➊➨➉➩➈ è➞➄ ➊❃ç ❛ ➊❀➐✱➌ â år➅❆æ②➈☞➋✮➌ ã⑨è✩✧ ä②➆✮➈ â ➐✱➊✄ç⑤➅✜➅ â ➈➩➍✽å⑤➊❃æ✴år➆✒➊❱å✿æ②➈ â ç⑤➌➞➊ â å ➈ â❶ã ç⑤✹➊ å✿å è ➊ ã ➅➩↕ â ➅➩➉✣✻➊ æ❱å⑤➌ ➟ ➊✱❥ ➎ ✦♣➍✇➋ è ✉➅ åqå⑤➊ ã ➅ â ➈❚➐✓ær➈✱➋✒➆❡➒ år➆✒➊✵➈☞➋✒➋✷æ⑤➅✢➈✉ä②➆✏år➅✆år➆✒➊❦✬ â ➈ è ➉➩➈ è➞➄ ➊❃ç➨➅✱➍❫➉✣➅ è år➈☞➐✣➊➦➈ â✷ã ä ➄ æ✿ræ ➊ â å➝➍➭➅✉æ ➟ ➊ ✭ ➋⑦➅ â ➊ â å⑤➌➽➈ è ä ➄ æ⑤➉✣❃➊ ç❪➎ ✪✄ç✝↕➝➈✉ç❬çqår➈✮år➊ ã❏❛ ➊❀➍➭✉➅ ær➊✱➒❡➅ â ❆ ➊ å⑤➌ ➟ ❥ ➊ ❀ä ➅ â çqår➈ â å➨é➌ ç❱å⑤➆✒➊✬➈ ➟ ➅ ➄✱â å✝➅✱➍✴å⑤➌ ➟ ➊✬➌×å❬å②➈ s ➊✇ç➤➍➭➅✉æ➏➈ â✁✧ ➅☞➍✵å⑤➆✒➊✇ç❘➊➃➉➩➈ è➞➄ ➊❃ç å⑤➅r②ä ➆✮➈ â ➐✱➊✻➈ ❛ ➅ ➄ å❸➍ ① ➋❣➊❃æ✍ä❀➊ â å➑♠➍ ræ ➅ ➟ år➆✒➊❀✩➌ æ❸çqår✉➈ æqår➌ â ➐❺➉➩➈ è➞➄ ❃➊ ç❳å⑤✐ ➅ å⑤➆✒➊❪➌★æ ➣➭✱➄ è å⑤➌ ➟ ✮➈ år➊❵❊ ➛ ✬ â ➈ è ➉➩➈ è➞➄ ➊❃ç❪➎❏➮✮✉➅ æ➦➊❀➉✱➊❃æ ✧ å⑤➌ ➟ ➊➁ä⑥➅ â ç✲②å ➈ â å❪✴ ➒ ⑤å ➆✒✇➊ ç❘➊➲➉➩➈ è➚➄ ✇➊ ç ➟ ➅➩➉✱➊ ➣ ➈☞➋✮✱➋ æ⑤➅ ✭ ➌ ➟ ✮➈ å⑤➊ è★✧ ❆ ➛ ➍ ① ➋❣❃➊ æ✍ä❀➊ â å❀ä è ✓➅ ç⑤✻➊ æ❸år❄ ➅ år➆✒➊❀✩➌ æ✬➊❀➉✣➊ â å ➄ ➈ è ➐✱➅✢➈ è ➎❬➜➝➆✮➊ ➐ å⑤➆✒➊➏✷➋ ⑤æ ➊✇⑥ä é➌ ç❘➊➨➋⑦✻➊ æ✌ä⑥➊ â å②➈☞➐✱➊➨é➌ ç ❤✢➄ ×➌ år❊ ➊ ç❘➌ ➟ ➋ è ✉➊ ♣ ➟ ✮➈ år➆✒➊ ➟ ✮➈ år✩➌ ä❪➈ è ➍➭➅✓æ ➟ ✱➄ è ➈➦➍➭✓➅ æ ã ✹➊ år✻➊ æ ➟ ➌ â ➌ â ❸ 1 Û Üet/τ x 100% ➜➝➆✒➊ è ➊✹åqår➊✻æ ✺ çqrå ➈ â✷ã ç✝➍➭➅✓æ❿❜ ➄✱è ➊✻æ ❶ ç✗ä❀➅ â çqår➈ â å❪➒❡↕➙➆✒➌éä②➆Ö➌✩ç➏➈✱➋✒➋✱ær➅ ✭ ➌ ➟ ➈✮år➊ è✩✧ →✶➎ ➐ ➜ ❷⑧→❂❷ ➜ ❷✒➎❳✦❇å➨➌éç ã ➊❃æ⑤➌➞➉✱➊ ã ➍♠ær➅ ➟ ä❀➈ è ä ➄✱è➞➄ ç✳år➊❃ä②➆ â ➌ ❤✢➄ ➊✇❀ç ➒④➈➩➍✽år➊✻æ ➟ ➈✮rå ➆✒➊ ➟ ➈✮år➌✩ä❪➈ è✩è★✧ ➈ â ➈ è✩✧ ⑦❀➌ â ➐❥å⑤➆✮➊➃➈✓ç ✧ ➟ ➋⑨å⑤➅✉å⑤➌éä➑➈✱➋✒➋✱ær➅✣➈✉ä②➆➲➅✱➍✫å⑤➆✮➊❸ä❀➌★æ✌ä ➄ ➌★å➤➉➩➈ è➚➄ ➊✇ç❀➎ ✪➙➍✽år➊✻➙ æ ➅ â ➊✄rå ➌ ➟ ➊❊❀ä ➅ â çqår➈ â å ❶ ç✇↕❫➅✉æ✿å⑤➆✻➅✱➍✚år➌ ➟ ➊✱✁ ➒ år➆✒➊➏➋⑦✻➊ æ✌ä⑥➊ â å②➈☞➐✱➊➤➅☞➍✾ä②➆✮➈ â ➐✣➊➇♠➍ ær➅ ➟ çqår➈✉æqår➌ â ➐➑➉➩➈ è➞➄ ➊❱å⑤➅❸✬ â ➈ è ➉✹➈ è➚➄ ➊ Percentage of change = 1 -

➌éç✻♣

1 Û Üe1 x 100% = 63.212% ✪➙➍✽år➊✻æ❬❖å ↕❫➅➛å⑤➌ ➟ ➊➓ä❀➅ â çqår➈ â å ❶ ç➤↕❫➅✉æ✿⑤å ➆❏➅☞➍Ñå⑤➌ ➟ ➊✱➒✒rå ➆✒➊✠➋❣➊❃æ✍ä❀➊ â rå ➈✱➐✱➊➃➅☞➍Pä②➆✮➈ â ✣➐ ➊➃➍♠æ⑤➅ ➟ ➩➉ ➈ è➞➄ ➊➨✩➌ ç❃♣ 1-

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1

Üe2 x 100% = 86.466% ✪➙➍✽år➊✻æ✞rå ➊ â å⑤➌ ➟ ❊ ➊ ⑥ä ➅ â ç✲å②➈ â å ❶ ç❫↕✇➅✓æqrå ➆❚➅✱➍➆år➌ ➟ ➊✣➒⑨å⑤➆✒➊➏➋⑦➊✻æ✌ä⑥➊ â rå ➈☞➐✣➊➤➌éç❃♣ 1-

1

Üe10 x 100% = 99.995% ➜➝➆✒➊ ➟ ✓➅ æ⑤➊✄å⑤➌ ➟ ➊❘år➆✮➈✮➝å ➋✮➈✓ç✿ç⑤➊❃ç✵ç❘➌ â ä⑥➊❘å⑤➆✮➊✄å✍ræ ➈ â ç❘➌➞➊ â å➝➈☞➋✒➋ è ➌éä❀➈✮år➌➚➅ â ➅☞➍➥➉✱➅ è år➈✱➐✱➊➙➍♠ær➅ ➟ år➆✒➊ ❛ ➈✮å✿å⑤➊✻æ ✧ ➒⑧år➆✒➊ è ➈❈ær➐✱➊❃æ å⑤➆✮➊➤➉➩➈ è➞➄ ➊➤➅☞➶ ➍ å⑤➆✮➊ ã ➊ â ➅ ➟ ➌ â ➈✮rå ➅✉æ◆➌ â år➆✒➊➇➍♠②æ ➈✉ä✹å⑤➌➞➅ â ➒✢↕➙➆✒➌éä②➆ ➟ ➈ s ➊❃çt➍➭✓➅ æ❫➈❆ç ➟ ➈ è★è ➊✻æ✇➉✹➈ è➚➄ ➊➇➍➭✉➅ æ✴å⑤➆✒➊✝↕➙➆✒➅ è ➊➂➍♠ær➈✓ä❩å⑤➌➞➅ â ➒ ↕➙➆✒➌é②ä ➆ ➟ ➈ s ✇➊ ç◆➍➭✓➅ æ➇➈➃✉➐ æ②➈ â✷ã å⑤✉➅ år➈ èqq➣ ➜ ➟ ➌ â✜➄ çÑår➆✒➊➨➍♠ær➈✓ä❩år➌➚➅ â ➛❫➈☞➋✒➋✱ær➅✣➈✓②ä ➆✒➌ â ➐ ➜ ➒✶➅✉æ ➜ ⑥✉⑥➦➋❣➊❃æ✍ä❀➊ â å❪➎ ✰ ➊❚❪ä ➈ â ➟ ➈ s ➊➲➈ ➟ ✉➅ ær➊ ✷ ➄ â ➌➚➉✣✻➊ æ✌ç⑤➈ è ➍➭✉➅ æ ➟ ✱➄ è ➈➢➅ ➄ å✬➅☞➍❱å⑤➆✒➌éç✠➅ â ➊❚➍➭➅✓æ❦å⑤➆✒➊ ã ➊✻å⑤➊❃æ ➟ ➌ â ➈✮år➌➚➅ â ➅✱➍✝➉✣➅ è år➈☞➐✣➊❚➈ â✷ã ❛ ✧ ➟ ✱➄ è å⑤➌➞➋ è★✧ ➌ â ➐❦å⑤➆✮➌✩ç ❤✢➄ ➈ â å⑤➌★å ✧✵❛✁✧ å⑤➆✮➊ ã ➌ ❼ ➊✻ær➊ â ä⑥➊ ❛ ➊✻å❖↕✇➊❪➊ â å⑤➆✮➊❬✬ â ➈ è ä ➄ æ✿ræ ➊ â å➙➉➩➈ è➞➄ ➊❃ç➝➌ â å✿æ②➈ â ç⑤➌➚➊ â å✞ä❀➌★æ✌ä ➄ ➌×å✌ç❀➒ ✁ ➈ â❶ã çqår✉➈ æqår➌ â ❥ ➐ ä❀★➌ æ✌ä ➄ ★➌ å➇➉➩➈ è➞➄ ❃➊ ç❃♣ 1-

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➼

⑤ ◗

❰ ➜ ❾

Universal Time Constant Formula

ÞChange = Ý(Final-Start)

1-

1

áet/τ

Where,

ßFinal = Value of calculated variable after infinite time (its ultimate value)

àStart = Initial value of calculated variable áe = Euler’s number ( 2.7182818) ât = ✔Time in seconds ãτ = ✔Time constant for circuit in seconds ➪❡➊✻❪å ä ➨ ç ➈ â ➈ è➚å ⑦❀❆ ➊ å⑤➆✮➊➃➉✣➅ è år➈✱➐✱➊❳ær➌é❘ç ➊➃➅ â å⑤➆✒➊❥ç⑤➊✻ær➌➚➊✇ç❘ær➊❃ç⑤➌éç✲år➅✉æ⑤æ❇ä❪➈☞➋✮➈✓ä⑥➌★å⑤➅✉æ❘ä⑥➌✩æ✍ä ➄ ➌×å✗⑤ç ➆✒➅➩↕ â ❈➈ å❱år➆✒➊ å⑤➆✮➊❊ä②➆✮➈☞➋⑨rå ➊✻æ❵➎

Switch

❛ ➊❪➐✱➌ â✱â ➌ â ➐➫➅☞➍

✎R 10 kΩ

15 V

✏C

100 µF

➄ ➅✉å⑤➊✄å⑤➆✮➈❈å❫↕❫➊✱ä æ⑤➊❱ä②➆✒➅✜➅✓ç⑤➌ â ➐❊å⑤➅➃➈ â ➈ ➚è å ⑦❪➊➂➉✱➅ è å②➈☞➐✣➊ ❛ ➊✇ä❀➈ ➄ ç❘➊✄å⑤➆✮➈❈å❫➌éç✵å⑤➆✒➊➨ç ➄ ➈ â år➌×å å ä❀➈✱➋✮➈✉ä❀➌×år➅✉æ✌ç✯rå ➊ â✷ã å⑤➅➦➆✒➅ èéã ä⑥➅ â çqår➈ â å❵➎➁è è år➆✒➅ ➄ ➐✣➆❳år➆✒➊➙➍➭➅✓æ ➟ ➄✱è ➈➤↕❫➅✉æré✁ç➠ç ➄ ➌★å⑤➊➙↕❫➊ è✩è ➍➭✉➅ æ✫ä ➄ æ✍æ⑤➊ â å❵✮➒ å⑤➆✮➊✳ç✲å②➈❈æ✿å⑤➌ â ➐➏➈ â✷ã➦ê✷â ➈ è ➉➩➈ è➞➄ ➊❃ç➠➍➭➅✓æ✫ä ➄ æ✍ær➊ â å ❈➈ ær➊✵➈✉ä✹å ➄ ➈ è★è➞å❄ã ➊✻ræ ➌➚➉✣➊ ã ➍♠⑤æ ➅ ➟ år➆✒➊❀ä❪➈☞➋✮➈✓⑥ä ➌★å⑤➅✉æ❵ä ç➨➉✱➅ è år➈✱➐✱➊✣➒➆ç⑤➅➁ä❀➈ è ä ➄✷è ➈❈å⑤➌ â ➐➲➉✱➅ è å②➈☞➐✱➊✠➌éç➑➈ ➟ ➅✓æ⑤➊ ã ➌✩ær➊❃ä❩å ➟ ➊✻å⑤➆✒➅ ã ➎ ➜➝➆✒➊❆⑤æ ➊✇ç❘➌éç✲å②➈ â ä❀➊➏✩➌ ç ➜ ⑥✵é ✑ ➒✧➈ â❶ã å⑤➆✒➊❸ä❀➈✱➋✮➈✉ä❀➌×å②➈ â ä❀➊❿➌✩ç ➜ ⑥✓⑥ Õ ➮ ➣ ➟ ➌✩ä✻æ⑤➅✱➍❰➈❈æ②➈ ã ç②➛✩➎➂➱✶➌ â ä❀➊❊år➆✒➊❊år➌ ➟ ➊❦ä⑥➅ â ç✲å②➈ â å ➣➭Ù ➛ ➍➭➅✉➇æ ➈ â ➾➇➬ ⑥ä ➌✩æ✍ä ➄ ➌★➝å ➌éçPrå ➆✒➊➏✱➋ ræ ➅ ✒ã ➄ ä❩å➙➅☞➍✾ær➊❃ç⑤➌✩çqår➈ â ä⑥➊➨➈ â✷ã ä❪➈☞➋✮➈✓⑥ä ➌★år➈ â ä⑥➊✱➒✜↕❫➊➨➅ ❛ å②➈☞➌ â ➈➃➉➩➈ è➞➄ ➊➨➅☞➍ ➜ ç❘➊✇ä⑥➅ â✷ã④ë

Ú τ = RC

Ú τ = (10 kΩ)(100 µF) Ú τ = 1 second

å ã ➌éç✍ä②➆✮❈➈ ær➐✱➊ ã ç✲å②➈✮år➊ ➣ ⑥➨➉✱➅ è å✌çr➛⑥➒➃å⑤➆✒➊ â ↕❫➊✞ä❀➈ â➦➄ ç⑤➊Ñå⑤➆✮➈❈åt➉✹➈ è➚➄ ➊➙➅☞➍❣➉✣➅ è år➈✱➐✱➊ ì♣✷➍ år➆✒✳➊ ❀ä ➈✱➋✮➈✉ä❀×➌ år➅✉æ✾ç✲å②➈❈æ✿å✍➠ç ➌ â ➈❘år➅❈år➈ è★è➞❳ ➍➭➅✉æt➈✝➯✉çqår➈✉æqrå ➌ â ➐✢➯➇➉➩➈ è➞➄ ➊✣➎➥➜➝➆✒➊ ê✷â ➈ è ➉✹➈ è➚➄ ➊✱➒☞➅✱➍❶ä⑥➅ ➄ æ✍ç⑤➊✱➒➩↕➙➌ è✩è✶❛ ➊Ñå⑤➆✮➊ ❛ ➈✮åqår➊✻æ å ➉✱➅ è å②➈☞➐✱➊ ➣✲➜ ❾➂➉✱➅ è å✌çr➛⑥➎t➧ ➄ æ ➄✱â ➌➚➉✣✻➊ æ✌ç⑤➈ è ➍➭✉➅ æ ➟ ✷➄ è ➈➦➍➭➅✉æ✳❪ä ➈☞➋✮➈✓ä⑥★➌ å⑤✓➅ æ❫➉✣➅ è år➈✱➐✱➊✝➌ â å⑤➆✮➌✩ç✞ä❀➌★æ✌ä ➄ ➌★å è ➅✢➅✣é⑨ç è ➌➞é✱➊❱å⑤➆✮➌✩ç ë

➻➠í➤î➂ï✝ð➠ñ◆òó➳ ☛✣➵ ò➏➻✉î➂ô➤➸✐õ ✌ òöð➁÷❖➘❺ñÏ➻ ➼ ô➤ø❡ð❣î➂ô➃ðtø

❰➜➍

✏Change = (Final-Start) ✏Change = (15 V - 0 V)

1-

1-

1

Üet/τ 1 et/1

➱✜➅❣➒⑦➈☞➍✽å⑤✻➊ æ❳➐✶➎ →✓❾❥ç❘✇➊ ä⑥➅ â✷ã ç➇➅✱➍✇➈☞➋✮➋ è➚å ➌ â ➐✵➉✣➅ è år➈☞➐✣➊✗å⑤➆✷æ⑤➅ ➄ ➐✱➆✏år➆✒➊❦ä è ➅✓ç⑤➊ ã ç⑤↕➙➌×å✌ä②➆❡➒✧➅ ➄ æ❱ä❀➈✱➋✮➈✉ä❀➌×år➅✉æ➂➉✣➅ è år➈✱➐✱➊❿↕➙➌ è★è ➆✮➈✹➉✣➊➤➌ â ä✹ær➊❪➈✓ç❘➊ ã✻❛✜å✧ë ✏Change = (15 V - 0 V) ✏

1-

1

Üe7.25/1

Change = (15 V - 0 V)(0.99929)

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15 V 10 kΩ

Starting current = 1.5 mA

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Change = (0 mA - 1.5 mA) 1 -

1

Üe7.25/1

✏Change = (0 mA - 1.5 mA)(0.99929)

✏Change = - 1.4989 mA ➄ ➅✉å⑤➊❱å⑤➆❣✮➈ å✞å⑤➆✮➊ ê ➐ ➄ ær➊➨➅ ❛ å②➈☞➌ â ➊ ã ➍➭➅✉æ✳ä②➆✮➈ â ➐✱➊✝é➌ ç â ➊❀➐✢➈✮å⑤➌➞➉✱➊✣➒ â ➅❈å➙➋⑦➅✓ç⑤➌×år➌➚➉✣➊ ❐ ➜➝➆✒➌éçPå⑤➊ è★è ç ➄ çÑår➆✮➈✮å✄ä ➄ æ✿ær➊ â å➙➆✮➈✓ç Ø✱þ②ÿ✁⑤þ②✄➓ ✂❀þ②Ø æ②➈✮rå ➆✒➊✻æ✞år➆✮➈ â ➌ â ä✻æ⑤➊❵➈✉ç⑤➊ ã ↕➙➌×rå ➆❚å⑤➆✒➊➑➋✮➈✉ç✍ç⑤➈✱➐✱➊➨➅☞➍✾år➌ ➟ ➊✱➎➇➱✜➌ â ä❀➊❿↕✇➊❆ç✲å②➈❈æ✿å⑤➊ ã ➈❈å➤➈➓ä ➄ æ✿ær➊ â å➇➅☞➍ ➜ ➎ ❾ ➟ è❿➒ å⑤➆✮➌✩ç ã ➊❃ä✹ær➊❪➈✓ç❘➊ ➣ æ ➜ ➎ ❰✣ù✼❷✱ù ➟ è✝➛ ➟ ➊❪➈ â çÑå⑤➆✮➈❈➇å ↕✇➊➨➆✮➈✹➉✣❱ ➊ ✮⑥ ➎ ⑥✓⑥ ➜ ⑥✉➍✓❾ ➟ è ➣✲➜ ➎ ⑥✉➍⑧❾ ➄ è➤➛➝➈➩✽➍ år➊✻æ❘➐✶➎ →✓❾❆⑤ç ➊❃ä❀➅ â✷ã ç❀➎ üÖ➊❄ä⑥➅ ➄✱èéã ➆✮➈✹➉✱➊❺➈ è ç⑤➅ ã ➊✻å⑤✻➊ æ ➟ ➌ â ➊ ã år➆✒➊❄ä❀➌★æ✌ä ➄ ➌★å✆ä ➄ æ✿ær➊ â å❚➈❈å➓å⑤➌ ➟ ➊ ❷ ➐✶➎ →✓❾▼❘ç ➊✇ä⑥➅ â✷ã ç ❛✜å ç ➄✮❛ å✿æ②➈✉ä✹å⑤➌ â ➐▼å⑤➆✮➊ ä❀➈✱➋✮➈✉ä❀➌×år➅✉æ❵ä ç✝➉✣➅ è år➈☞➐✣➊ ➣q➜ ❰❣➎ ✼ù ❷✱ù❚➉✱➅ è å✍ç②➛➂➍♠⑤æ ➅ ➟ år➆✒➊ ❛ ➈✮å✿å⑤➊❃æ å ä ç➨➉✱➅ è år➈✱➐✱➊ ➣✲➜ ❾➫➉✱➅ è å✍ç②➛✄å⑤➅➲➅ ❛ år➈✱➌ â å⑤➆✒➊✻➉✱➅ è år➈✱➐✱➊ ã ær➅✱➋

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❻E R 15 V - 14.989 V 10 kΩ

➎I = 1.065 µA ➜➝➆✒➊ ➄✱â ➌➞➉✱✻➊ æ✌çr➈ è år➌ ➟ ➊❬ä⑥➅ â ç✲å②➈ â åq➍➭➅✉æ ➟ ✷➄ è ➈❿➈ è ç⑤➅❿↕❫➅✉æré⑨çt↕✇➊ è★è ➍➭➅✉æ❫➈ â ➈ è➚å ⑦❪➌ â ➐➑➌ â✷ã✒➄ ä❩år➌➚➉✣➊❘ä⑥➌✩æ✌ä ➄ ➌★å✍ç❪➎➁➪✍➊✹å❵ä ç❫➈☞➋✒➋ è➚å ➌★å✞å⑤➅✠➅ ➄ æ➙➊❀ú✒➈ ➟ ➋ è ➊➨✝➪ ☎➩➾❒ä⑥➌✩æ✌ä ➄ ➌★å➙➌ â å⑤➆✮➊ ❛ ➊❪➐✱➌ â✱â ➌ â ➐✬➅☞➍➆å⑤➆✒➊❊ä②➆✮➈✱⑨➋ å⑤➊❃æ ë Switch

✎R 1Ω

15 V

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1H

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L R 1H 1Ω

Ú τ = 1 second ➡❫➊❃ä❪➈ ➄ ç⑤✳➊ år➆✒➌✩➝ç ➌éç➙➈ â ➌ â✷✶ã ➄ ä✹å⑤➌➞➉✱✗ ➊ ä⑥➌✩æ✍ä ➄ ➌★å❪➒✒➈ â❶ã ↕❫➊✝é â ➅➩↕òå⑤➆✮➈❈å➝➌ â✷✶ã ➄ ä❩å⑤➅✓æ✍ç❫➅✣➋✒➋❣➅⑧ç❘➊❬ä②➆✮➈ â ➐✱➊✝➌ â ä ➄ æ✿ær➊ â å❪➒✜↕❫➊✱ä è★è ã ê✷â ➈ è ➉✹➈ è➚➄ ➊❃ç✇➅☞➍✚ä ➄ æ✿ær➊ â å❪➎➁ì♣➍✍↕❫➊❘çqår➈✉æqå❫↕➙➌×år➆➓å⑤➆✮➊❱ç⑤↕➙➌×å✌ä②➆ ç⑤➊✹å ➄ ➋✻➅ ➄ æ✴år➌ ➟ ➊❬ä⑥➅ â ç✲å②➈ â å◆➍➭✓➅ æ ➟ ➄✱è ➈➏➍➭➅✉æPç✲å②❈➈ æ✿å⑤➌ â ➐➦➈ â✷✠ ➌ â å⑤➆✮➊➑➅✱➋⑦➊ â ➋❣➅⑧ç❘★➌ å⑤➌➞➅ â ➒❶år➆✒➊❆ä ➄ æ✍æ⑤➊ â å✝↕➙➌ è✩è➁❛ ➊➃➊❪ç ➄ ➈ è år➅❀⑦❀➊❃æ⑤➅❣➒➮ç⑤➅❀⑦❪➊✻ær➅✵➌éç➂➅ ➄ æ❱çqrå ➈✉æqår➌ â ➐❀ä ➄ æ✍ær➊ â å➤➉➩➈ è➞➄ ➊✣➎✝è➇➍✽å⑤➊✻æ å⑤➆✮➊➓ç❘↕➙➌★å✍ä②➆Ö➆✮➈✉ç ❛ ➊❀➊ ârè ➊⑥✽➍ å❳ä è ➅⑧ç❘➊ ã ➍➭✓➅ æ❿➈ è ➅ â ➐❀rå ➌ ➟ ➊✱➒✚å⑤➆✒➊➓ä ➄ æ✍æ⑤➊ â å➨↕➙➌ è★è ç⑤➊✹å✿å è ➊✬➅ ➄ å❬å⑤➅❼➌★å✍ç ê✷â ➈ è ➉➩➈ è➞➄ ➊✱➒➥➊❪ç ➄ ➈ è å⑤➅❸rå ➆✒➊✗❘ç ➅ ➄ æ✍ä❀➊➂➉✣➅ è år➈☞➐✣➊ ã ➌➞➉✜➌ ã ➊ ã❚❛✢å å⑤➆✒❱ ➊ å⑤➅✉år➈ è ä⑥➌✩æ✍ä ➄ ➌×åPræ ➊❃ç⑤➌✩çqår➈ â ä⑥➊ ➣ ì ❷ ❜✞☎➩➾➂➛⑥➒✢➅✓æ ➜ ❾➦➈ ➟ ➋✷ç❫➌ â å⑤➆✮➊❬ä❪➈✉ç⑤➊➤➅✱➍✚år➆✒➌✩ç ä⑥➌✩æ✌ä ➄ ➌★å❪➎ ì♣➍❡↕❫➊ ã ➊❃ç⑤➌✩⑤æ ➊ ã å⑤➅ ã ➊✹⑤å ➊❃æ ➟ ➌ â ➊✞år➆✒➊➂➉➩➈ è➞➄ ➊➤➅☞➍✚ä ➄ æ✿ær➊ â å◆➈✮✞å ✒✟ ➎ ❾✗ç⑤➊❃ä⑥➅ â✷ã ç❪➒✱↕❫➊➂↕❫➅ ➄✱èéã ➈☞➋✮➋ è➚å å⑤➆✮➊ ➄✱â ➌➞➉✱➊❃æ✍çr➈ è å⑤➌ ➟ ➊ ä⑥➅ â çqår➈ â å➝➍➭➅✉æ ➟ ➄✷è ➈✠➈✉çPç ➄ ä②➆ ë

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✏Change = (15 A - 0 A)

1-

1

Üe3.5/1

✏Change = (15 A - 0 A)(0.9698)

✏Change = 14.547 A ❮✝➌➞➉✱➊ â å⑤➆✮➊✬➍❰➈✉ä✹å✗⑤å ➆✮➈❈å❿➅ ➄ æ❳çqrå ➈✉æqår➌ â ➐❚ä ➄ æ✍æ⑤➊ â å➏↕➝✉➈ ç❬⑦❪➊✻ær➅✮✒ ➒ rå ➆✒➌éç è ➊❵➈✹➉✱➊✇ç ➄ ç❿➈✮å❿➈✏ä❀➌★æ✌ä ➄ ➌★å❳ä ➄ æ✿ær➊ â å➏➅☞➍ ➜ ❰❣➎ ❾❈❰✁➐ ➈ ➟ ➋✷ç➙❈➈ å✠✒✟ ➎ ❾❳ç⑤❃➊ ä❀➅ â✷ã ç❀✁ä år➌ ➟ ➊✱➎ ✟ ✹➊ å⑤❃➊ æ ➟ ➌ â ➌ â ➐✠➉✱➅ è år➈✱➐✱➊✝➌ â ➈ â ➌ â✷ã✶➄ ä✹å⑤➌➞➉✱❊ ➊ ä❀➌★æ✌ä ➄ ➌★å➇➌éç ❛ ➊✇ç✲å➂➈✓ä✻ä⑥➅ ➟ ➋ è ➌éç⑤➆✒➊ ã❚❛✜å✬ê æ✌ç✲å ê ➐ ➄ ær➌ â ➐❦ä⑥✩➌ æ✌ä ➄ ➌★å✄ä ➄ æ✍ær➊ â å ➈ â❶ã å⑤➆✮➊ â ä❪➈ è ä ✱➄ è ✮➈ år➌ â ➐➑➉✱➅ è å②➈☞➐✣➊ ã ær➅✱✷➋ ç✇➈✉ä✹ær➅✓ç✍ç✫ær➊❃ç⑤➌éç✲å②➈ â ä❀➊❃ç✯rå ➅ ê❶â✷ã ↕➙➆✮❈➈ å❪ä ç è ➊❀➍✽å✵år➅ ã ær➅✱➋➫➈✉ä✹ræ ➅✓ç✍ç✾år➆✒➊➤➌ â✷ã✶➄ ä❩⑤å ➅✓æ❪➎ ü❍★➌ å⑤➆❼➅ â✱è➞å ➅ â ❬ ➊ æ⑤✇➊ ç❘é➌ çq⑤å ✉➅ æ➝➌ â ➅ ➄ æ➙➊❀ú✶➈ ➟ ➋ è ✗ ➊ ä❀★➌ æ✌ä ➄ ★➌ å ➣ ➆✮➈✹➉✜➌ â ➐✬➈➃➉✹➈ è➚➄ ➊➏➅☞➍ ➜❿✑ ➛⑥⑨➒ å⑤➆✒➌éç➙➌éç✞æ②➈✮⑤å ➆✮➊✻æ➝➊❪➈✓ç å✧ë ❻ ❻

ER = (14.547 A)(1 Ω) E = 14.547 V

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EL = Ebattery - ER ❻

EL = 15 V - 14.547 V EL = 0.453 V

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Universal Time Constant Formula

ÞChange = Ý(Final-Start)

1-

1

áet/τ

Where,

ì

ì

Final = Value of calculated variable after infinite time (its ultimate value)

àStart = Initial value of calculated variable áe = Euler’s number ( 2.7182818) ât = Time in seconds ãτ = Time constant for circuit in seconds ➜✍➅✬➈ â ➈ è➞å ⑦❪➊✝➈ â ➾➙➬❍➅✉æ➇✝➪ ☎➩➾ ä⑥✩➌ æ✍ä ➄ ➌×å❵➒✶➍➭➅ è✩è ➅➩↕✈å⑤➆✒➊✇ç❘➊❊çqå⑤➊❪➋✷ç ë

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Potential energy storage and release

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3 kΩ

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R1 2 kΩ R2

20 V

Thevenin = 1.8182 V voltage

500 Ω

R3 3 kΩ

R1

R2

R3

7.273

1.818

10.909

I

3.636m

3.636m

3.636m

3.636m

R

2k

500

3k

5.5k

E

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Total ◆

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20 ❛

Volts Amps Ohms

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Switch (closed)

R1 2 kΩ R2

500 Ω

Thevenin resistance = 454.545 Ω

R3 3 kΩ

RThevenin = R2 // (R1 -- R3) ❺

RThevenin = 500 Ω // (2 kΩ + 3 kΩ) ❺

RThevenin = 454.545 Ω

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RThevenin 454.545 Ω

EThevenin 1.8182 V

❼

C

100 µF

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Ú τ = (454.545 Ω)(100 µF)

Ú τ = 45.4545 milliseconds ❸➇➅➩↕➏➒✇↕✇❇ ➊ ❧❪➈✻❣❿❞⑤✡➅ ❤➞➉✱➊❚➍➭➅✡♠✬➉✣➅✡❤❦❡r➈✱➐✱➊❼➈✡❧✎♠r➅♥❞✚❞⑥❡⑤➆✒➊➀❧❪➈☞➋✮➈♥⑥❧ ➌❦❡⑤➅✡♠✣♣✶➌❥♠⑤➊✼❧P❡✚❤ å ↕➙➌❦❡⑤➆➹➅ ➄ ♠ ➄ ❣✒➌➞➉✱➊✁♠✺❞r➈✻❤✆❡⑤➌ ➟ ➀ ➊ ❧⑥➅✡❣❵❞❢②❡ ➈✻❣❫❡ ➍➭➅✡♠ ➟ ➄ ❤➞➈✮➎➁➪✍✎➊ ❡❪ä ❞✆❧❀✻➈ ❤✹❧ ➄ ❤➞✻➈ ⑤❡ ➊➙➍➭➅♥♠❫➈➏➉➩✡➈ ❤ ➄ ➊➤➅☞✈➍ ➁ ❘➏➟ ❦➌ ❤❥❤➚✹➌ ❞⑤➊q❧⑥♥➅ ❣✾♣❃❪❞ ➎➁➡❫✼➊ ❧❀➈ ➄ ❞❘❉➊ ❡r➆✒➌✹❞✇➌✹❞◆➈❀❧❀➈✱➋✮➈✡❧❀➌①❡r➌➚➉✣➊➙➍➭➅✡♠ ➟ ➄ ❤➽✒➈ ➒✣↕✇➊✣ä ❤❥❤❽❞❘➊✁❡ ➅ ➄ ♠t❧❀✻➈ ❤✹❧ ➄ ❤➞✻➈ ❡⑤➌➞✡➅ ❣✾❞ ➄ ➋➫➍➭✡➅ ♠➙➉✣➅✡❤❦❡r➈✱➐✱➊ ë

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❼

❼

Change = (Final - Start)

Change = (1.8182 V - 0 V) ❼

1

Üet/τ

1-

1-

1

Üe60m/45.4545m

❼

Change = (1.8182 V)(0.73286) Change = 1.3325 V

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Ù ➔ ➣ ý ➙ ⑤ ①■ú ❙ ÿ →↕↔❳⑤ ■

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