Leibniz. L'invenzione del calcolo infinitesimale

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Leibniz

GENI

della

MATEMATICA

L'i nvenzio ne del calcolo infinitesimale

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RBA

A mia figlia Marina, sempre coraggiosa in ogni situazione. JOSÉ MUNOZ SANTONJA è insegnante di Matematica nella scuola secondaria; i suoi interessi principali sono la didattica e la divulgazione. I Geni della matematica Pubblicazione periodica settimanale Anno I - Numero 3 - Milano, 2 febbraio 2017 Edita da RBA Italia Via Roberto Lepetit, 8/10-20124 Milano Direttore generale: Stefano Bisatti Responsabile editoriale: Anna Franchini Responsabile marketing: Tiziana Manciameli Direttore responsabile: Stefano Mammini © 2012 José Muiloz Santof\ia per il testo © 2012 RBA Coleccionables, S.A. © 2017 RBA Contenidos Editoriales y Audiovisuales S.A. U. © 2017 RBA Italia S.r.L per la presente edizione

Impaginazione e adattamento: Lesteia, Milano Traduzione: Monica Nastasi Copertina: Uorenç Marti Progetto pagine interne: Luz de la Mora Infografica: Joan Pejoan Registrazione presso il Tribunale di Milano in corso Iscrizione al ROC n.l6647 in data 1/03/2008 ISSN 2531-890X Distributore per l'Italia: Press-di Distribuzione Stampa e Multimedia S.r.L - 20090 Segrate (MI) P.I. Spa Sped. in abb. post. DL 353/2003legge del27/04/04 n. 46 art. l Stampato nel2017 presso UBERDUPLEX Crediti fotografici: Age Fotostock: 123b; Album: 87a; Archivio dell'Accademia delle Scienze di Berlino-Brandeburgo: 155as; Archivio RBA: 35, 39as, 39ad, 39b, 47, 53as, 53ad, 53b, 63, 87bs, 120, 123as, 123ad, 141, 146, 148; Peter Gerloff: 155ad; Herzog-Anton-Ulrich-Museum: 87bd; lsaac Newton Institute for Mathematical Sciences: 99; Musée des Arts et Métiers, Parigi: 55; Biblioteca Reale del Belgio: 114; Srnithsonian Libraries: 23; Andree Stephan: 155b; The Walters Art Museum, Baltimora: 78. 'futti i diritti riservati. Nessuna parte di questa pubblicazione può essere riprodotta o diffusa senza il consenso dell'editore.

Sommario

INTRODUZIONE

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CAPITOLO 1

L'inventore delle macchine calcolatrici

CAPITOLO 2

La nascita del calcolo

CAPITOLO 3

Codici antichi e moderni

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CAPITOLO 4

Non di sola matematica si nutre l'intelligenza .... .. ...

135

............. 15

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LETTURE CONSIGLIATE INDICE

.... 165

Introduzione

Storico, ingegnere minerario, poeta, progettista., geologo, diplomatico, musicista, alchimista, abile politico, agricoltore, bibliotecario ... Può esistere maggiore varietà? Gottfried Wilhelm Leibniz svolse tutte queste attività. Non è un caso, quindi, se per via della varietà delle discipline nelle quali ha lasciato traccia, è stato definito «l'ultimo grande genio universale». Il filosofo francese del XVlll secolo Denis Diderot, nonostante nel suo pensiero filosofico fossero presenti anche opinioni contrarie a quelle dello scienziato tedesco, affermò che: «Non è forse mai esistito un uomo che abbia letto, studiato, pensato e scritto più di Leibniz [... ]. Ciò che ha elaborato riguardo al mondo, a Dio, alla natura e all'anima è della più sublime eloquenza». E successivamente aggiunge: «Quando qualcuno confronta i propri talenti con quelli di Leibniz, ha la tentazione di gettare via tutti i propri libri e di morire in silenzio nell'oscurità di qualche angolo nascosto». Leibniz è stato un febbrile scrittore di libri, memorandwn e lettere. La sua produzione bibliografica fu tale che non solo molte delle sue opere principali sono state pubblicate dopo la sua morte, ma non è stata ancora pubblicata un'edizione completa dei suoi scritti. Furono tuttavia i suoi lavori nella filosofia e nella scienza, specialmente in matematica, quelli che lo hanno distinto. Senza dubbio, ciò che fece entrare Leibniz nella storia della scienza in maniera dirompente fu lo sviluppo del calcolo infinitesi-

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male, cosa che fece indipendentemente e quasi simultaneamente a Newton, facendo nascere quella che all'epoca fu una grande polemica. Attualmente l'idea che abbiamo del calcolo è più vicina alla concezione del matematico inglese, d'altra parte, però, la notazione che utilizziamo è quella creata da Leibniz. Inoltre, fu proprio Leibniz a preoccuparsi di studiare a fondo le proprietà e di cercare esempi e applicazioni per il calcolo, appoggiato in quest'arduo lavoro dai fratelli Bernoulli, celebri matematici svizzeri. II calcolo infinitesimale è uno degli strumenti più potenti su cui la matematica possa contare. Grazie al suo utilizzo è stato possibile risolvere, in modo semplice e generale, alcuni dei problemi scientifici che erano stati affrontati sin dai tempi degli antichi greci. In primo luogo, ha permesso lo studio della variazione costante di alcuni elementi (qualcosa di simile a ciò che fa il tachimetro dell'automobile); in particolare, Leibniz si dedicò allo studio dei corpi in movimento. Leibniz riuscì anche a semplificare il calcolo della retta tangente a una cwva, trovando immediata applicazione, per esempio, nei problemi di ottica. Un altro gruppo di problemi da lui affrontato fu quello dell'ottimizzazione, cioè di scoprire in quali condizioni fosse possibile ottenere un valore massimo o minimo, un sistema che attualmente trova una vasta applicazione in economia. n quarto grande dilemma che risolse fu quello del calcolo di aree e volumi non geometricamente regolari. Le applicazioni attuali di questa scoperta nella vita quotidiana sono molto estese: la progettazione di telefoni cellulari o di aeroplani, i trasporti, la meteorologia. In generale, possiamo trovare il suo genio in qualunque processo in cui sia presente un'evoluzione costante, come l'energia utilizzata, lo studio dell'andamento di un'epidemia o la distribuzione di qualunque tipo di popolazione. Gli apporti matematici di Leibniz non si limitarono unicamente al calcolo, ma lavorò e lasciò la sua impronta anche in altri campi: Leibniz si dedicò anche a problemi filosofici, utilizzando aspetti probabilistici e combinatori per strutturarli, seguendo i modelli prescritti dal filosofo e teologo maiorchino Ram6n Uull. Tuttavia ciò che fece sì che Leibniz iniziasse a essere conosciuto e accettato all'interno dei circoli scientifici fu l'invenzione di una macchina meccanica di calcolo, che perfezionava la precedente invenzione

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INTRODUZIONE

della pascalina del matematico francese Blaise Pasca!. Fu, inoltre, uno dei pionieri nell'uso del sistema binario, che si incaricò di fissare, mettendolo in relazione con gli esagrammi dell'l Ching cinese. Leibniz fu anche un diplomatico. Egli visse in un'epoca convulsa piena di grandi cambiamenti politici, militari, culturali, sociali, religiosi e soprattutto scientifici. Nacque nel periodo in cui la Guerra dei Trent'anni (1618-1648), che avrebbe trasfonnato il panorama politico europeo, stava ormai agonizzando. La Pace di Westfalia (1648) diede avvio a una chiara decadenza del Sacro Romano Impero, mentre la Francia emergeva come il regno più potente d'Europa. Dopo il regno di Luigi XIII, dominato dalla figura romanzesca del cardinale Richelieu, apparve sulla scena Luigi XIV, soprannominato il "Re Sole". Con l'aiuto del cardinale Mazzarino prima e come monarca assoluto in seguito, il sovrano non nascose le sue mire espansionistiche. Iniziò con una profonda rifonna della Francia: promosse l'economia (favorendo l'industria nazionale ), la politica coloniale in America e istituì eccellenti infrastrutture, così come un esercito permanente, per citare solo alcuni dei cambiamenti introdotti. In seguito rivolse la sua attenzione al resto d'Europa Come prima cosa si occupò dei Paesi Bassi, che con la Pace di Westfalia si erano staccati dalla Francia firmando la pace separatamente con la Spagna. In quel conft.itto (1672-1678) il monarca contò sull'aiuto dell'Inghilterra e di alcuni principati gennanici, in qualità di alleati. Successivamente, venne creata la Grande Alleanza (1688-1697) composta dal Sacro Impero, dall'Inghilterra, dalla Svezia e dalla Spagna con il fine di contrapporsi alla bellicosa politica francese. Alla fine la guerra si concluse con la firma della Pace di Ryswick (1797). Nel xvm secolo la Francia rivolse il suo interesse verso la Spagna In quel complicato scenario, date le sue notevoli doti diplomatiche, l'intervento di Leibniz fu richiesto in numerosi conflitti: prese parte al processo delle consultazioni negoziatrici e arrivò addirittura a scrivere dei rapporti su come utilizzare le risorse materiali e umane in quella guerra che sembrava impossibile fermare. Leibniz fu debitore della profonda trasformazione che si produsse durante il Rinascimento nell'ambito del pensiero, della religione e delle arti, che significò una maggiore libertà di spirito e che

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rese infine possibile la Riforma protestante e con essa le future guerre di religione. La seconda metà del XVI secolo fu davvero un'Età dell'oro per le arti. È sufficiente citare alcuni dei nomi che incontriamo all'epoca per riconoscere l'impressionante livello che venne raggiunto dal punto di vista culturale: Molière, Shakespeare, Swift, Cervantes, Vehizquez, Rubens, Rembrandt, Vivaldi, Bach, Handel... Nell'ambito dei pensatori troviamo Spinoza, Hobbes, Locke, Bacon e Arnauld, tra gli altri. Nonostante ciò, la più grande evoluzione si verificò sicuramente nel campo scientifico. In appena un secolo e mezzo la scienza progredì molto più di quanto avesse fatto in tutti i secoli precedenti. La Rivoluzione Scientifica fissò le basi per la futura Rivoluzione Industriale, dal momento che la scienza non era più puramente teorica, come nell'antica Grecia, ma prevalentemente pratica. Per dimostrare l'importanza di questa rivoluzione, basti citare alcune delle pietre miliari ottenute: la legge della caduta libera dei corpi di Galileo, le leggi sul moto planetario o le lenti astronomiche di Keplero, quella dei gas di Boyle, il calcolo della velocità della luce da parte di R0mer, la teoria ondulatoria di Huygens, il barometro di Torricelli, la descrizione di Harvey della circolazione del sangue o la scoperta dei microrganismi da parte di Leeuwenhoek. Tutte queste spettacolari conquiste della scienza furono ottenute non perché gli scienziati del XVII secolo fossero più capaci dei loro predecessori, ma perché seppero vedere il mondo con occhi nuovi. Abbandonarono la severa rigidità greca e cominciarono a fare ricerche senza dare troppa importanza alla rigorosità della dimostrazione: fu così che si impose il motto «Prima inventare, poi dimostrare». ll filosofo Francis Bacon, strenuo difensore della ricerca empirica, era un sostenitore della scienza di laboratorio. Nella sua opera Nuova Atlantide (1626) presentava una società utopica governata da scienziati, che sarà poi messa in ridicolo nell'opera I viaggi di Gulliver (1726) di Jonathan Swift, ma che fu di ispirazione per le società scientifiche che fiorirono nel xvn secolo. Nei circoli scientifici, precursori delle società scientifiche, si scambiavano esperienze e risultati. Un altro fattore che rese possibile la grande Rivoluzione Scientifica fu il notevole sviluppo della matematica La rigidità geometrica greca venne abbandonata e si compirono importanti progressi nel

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campo dell'algebra e dell'analisi, che cambiarono il mondo matematico e quello scientifico in generale. Venne presa in considerazione l'ipotesi che alla base della natura vi fossero leggi matematiche. Molti ambiti che oggigiorno sono considerati scienze indipendenti, nel XVII secolo erano parte integrante della matematica applicata, come è possibile costatare nell'opera Cursus seu mundus mathematicus, pubblicato nel1674 da Claude-François Milliet Dechales (o des Chales, o ancora Deschales), in cui venivano trattati i seguenti temi matematici: aritmetica, trigonometria, logaritmi, geometria pratica, algebra, teoria delle coniche e degli indivisibili, meccanica, statica, geografia, magnetismo, ingegneria civile e militare, carpenteria, taglio delle pietre, idrostatica, moto dei tluidi, idraulica, costruzione di navi, ottica, prospettiva, musica, astronomia (con la costruzione di meridiane, astrolabi, calendari e oroscopi). La scoperta della geometria analitica da parte di Fermat e Cartesio, poi, aprì la strada allo strumento più potente di cui la matematica avesse mai disposto per svilupparsi come scienza inarrestabile: il calcolo infinitesimale. Fu questo il contesto in cui visse e lavorò Gottfried Wilhelm Leibniz, il cui ingegno era così vasto e i suoi interessi intellettuali così vari, da poter trovare la sua impronta in altri innumerevoli ambiti: poteva lavorare come ingegnere, inventando sistemi per l'estrazione di materiale dalle miniere o per l'irrigazione dei giardini; oppure studiare le proprietà dei prodotti chimici appena scoperti, come ad esempio il fosforo; o mettere la sua filosofia in relazione con il moto dei corpi. Possiamo immaginare la varietà di interessi che abbracciava l'intelletto del genio tedesco esaminando le proposte che preparò per la sua udienza con l'imperatore tedesco Leopoldo 1: il Collegio Imperiale di Storia, la riforma della moneta, la riorganizzazione dell'economia, il miglioramento del commercio e della manifattura tessile, la creazione di un fondo per le assicurazioni e le imposte sugli abiti di lusso, la creazione di un archivio statale centrale, la sottoscrizione di un concordato di Stato e la creazione di una biblioteca di riferimento generale, così come una proposta per l'illuminazione delle strade di Vienna con lampioni di olio di colza. Leibniz, in definitiva, fu un inguaribile ottimista: pensava di

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vivere nel migliore dei mondi possibili e non si scoraggiava mai nei molteplici progetti in cui s'imbarcava e che non tenninavano in un successo. Durante tutta la sua vita si dedicò completamente allo studio, ritenendolo un servizio reso all'umanità.

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INTRODUZIONE

1646 Gottfried Wilhelm Leibniz nasce

il l o di luglio a Lipsia, Germania

1684 Sulla rivista Acta Eruditorurn appare

un articolo di Leibniz in cui egli spiega il nuovo calcolo infinitesimale.

1661 Inizia i suoi studi superiori presso

l'Urùversità di Lipsia, dove si specializza in filosofia Dopo aver passato un semestre all'Urùversità di Jena, torna a Lipsia e si specializza in diritto.

1685 Riceve l'incarico di realizzare la storia

della casa Brunswick-Liineburg, che lo terrà occupato fino alla fine dei suoi giorni, ma che non riuscirà a tenninare. 1692 Il duca Ernesto Augusto di Hannover

1666 Pubblica la sua prima opera filosofica: Disse1tatio de arte combinatoria,

ispirata probabilmente all'Ars rnagna di Raimondo Lullo (Rarnon Uull).

è nominato principe-elettore dall'imperatore Leopoldo 1 e Leibniz prende parte a varie fasi del regno. 1698 Dopo la morte del duca Ernesto

1667 Si laurea come dottore in diritto

presso l'Urùversità di Altdorf. 1668 Comincia a lavorare per il principe-

Augusto, suo figlio Giorgio Luigi gli succede come principe-t!lettore di Hannover. Tra lui e Leibniz non vi è molta sintonia

elettore di Magonza 1700 Viene creata l'Accademia Prussiana 1672 Va a Parigi per presentare un progetto

elaborato con il barone Johann Christian von Boineburg.

delle Scienze. Leibniz è il suo primo presidente. 1710 Pubblica l'opera Saggi di teod.icea

1673 Va a Londra, dove assiste alle riuniorù

della Royal Society e presenta la sua macchina aritmetica e i suoi risultati con la somma di serie infinite. 1676 Viene nominato consigliere del duca

di Hannover, incarico che manterrà fino alla sua morte.

sulla bontà di Dio, la li.bert.à dell'umn.o e l'origine del male, in cui raccoglie molte delle sue conversazioni con la regina Sofia Carlotta a Charlottenburg. 1714 Pubblica la Monadologia., sintesi

dt>lle sue posizioni filosofichE'. 1716 Pubblica la sua opera sulla Cina, La

1679 Avvia il progetto di sfruttamento

delle miniere dell'Alto Han, per le quali aveva elaborato una serie di pompe di estrazione e mulini a vento.

teologia naturale dei Cinesi. dove difende la Cina comt> Paese civilizzato allivello dell'Europa Dopo aver sofferto di episodi di gotta, muort> il14 novembn> ad Hannover.

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CAPITOLO 1

L'inventore delle macchine calcolatrici

Fin dall'Antichità l'uomo ha usato la matematica per contare e fare calcoli. Con l'aumentare dei conteggi dal punto di vista quantitativo e qualitativo, si cercarono dei mezzi per rendere più agili ed efficienti questi processi: fu così che nacquero, ad esempio, l'abaco e il logaritmo. Nel XVII secolo apparvero una serie di macchine meccaniche che incrementarono la rapidità e la precisione nelle operazioni, come nel caso della macchina aritmetica di Leibniz.

I genitori con figli piccoli sono soliti "martirizzare" i loro ospiti con aneddoti che vedono protagonisti i propri pargoli, per esibire quanto questi siano svegli, fantasiosi, brillanti e geniali. Con il tempo quegli aneddoti si riducono a ricordi dei genitori e hanno l'unica funzione di far arrossire di vergogna il non più pargolo in qualsiasi riunione di parenti, amici o colleghi di lavoro. Se la persona si distingue in una qualche disciplina, quegli aneddoti infantili diventano parte integrante della sua biografia, per rafforzare l'impressione di trovarsi di fronte a un bambino prodigio, cosa che in non pochi casi finisce per essere attendibile. L'esempio più conosciuto nel m·ondo della matematica è quello del tedesco Cari Friedrich Gauss, che nel 1787, quando aveva soltanto dieci anni, risolse un complicato esercizio prop~ sto in classe: il professore chiese agli alunni di sommare i prinù 100 numeri naturali. Gauss riportò la soluzione sulla sua lavagnetta nel giro di pochi secondi. Il metodo che utilizzò fu il seguente: Gauss si rese conto che se scriveva i numeri in ordine da l a 100 e sotto li scriveva di nuovo da 100 a l, sommando ciascuna coppia di elementi, vale a dire quello superiore e quello inferiore, si ottiene sempre 101:

l 2 100 99

3 98

4 ............... 97 98 99 2 97 ............... 4 3

100 l

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Dato che ci sono 100 addendi, la somma di queste due serie di numeri sarebbe 10.100 e poiché ci sono due addizioni, la somma dei primi 100 numeri sarebbe uguale a: 100 ·101- 5 050. 2

n giovane Gauss si era accorto che la prima cifra (uno) e l'ultima (cento), sommate tra loro, davano lo stesso risultato della seconda e della penultima ( centouno) e il ragionamento poteva proseguire senza problema, vale a dire, l + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... =50+ 51 = 101, avendo così 50 coppie di numeri che ottenevano come risultato 101 e il cui prodotto è 5.050. Come vedremo nel prossimo capitolo, la somma di grandi serie di numeri suscitò molto interesse nei matematici del xvn secolo. Benché gli aneddoti sulla vita di Leibniz non siano così appariscenti, ci sono comunque autori che lo considerano un bambino prodigio. All'età. di due anni si arrampicò su un alto tavolo mentre era stato affidato a una zia e, improvvisamente, perse l'equilibrio e cadde da un'altezza considerevole, finendo seduto sul pavimento senza nemmeno un graffio e ridendo della sua caduta. Suo padre pensò che fosse stato protetto dal cielo e inviò immediatamente un emissario alla chiesa per rendere grazie per averlo salvato. Sicuramente suo padre pensò che quel dono fosse una prova che suo figlio era sostenuto dalla provvidenza e quindi predestinato a fare grandi cose. Non si sbagliava.

NASCITA DEL GENIO

n l o luglio 1646 venne al mondo Gottfried Wilhelrn Leibniz, nella città tedesca di Lipsia, in Sassonia, uno dei principali poli commerciali d'Europa fin dal xn secolo. Questa città era famosa per la sua grande quantità. di tipografie, al punto da arrivare, nel xvm secolo, a competere con Francoforte nell'arte della stampa; era dunque possibile riuscire ad avere buoni libri con relativa facilità.

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Lipsia era un importante centro per l'istruzione e la scienza fin dal Rinascimento, ed era dotata di una notevole vita culturale. La sua università, fondata nel 1409, è una delle più antiche di tutta la Germania, seconda solo a quella di Heidelberg. Quando nacque Leibniz, suo padre era vicedecano della facoltà di filosofia, oltre che professore di filosofia morale presso l'università. Esercitava inoltre la professione di funzionario del registro, avvocato e notaio. Era originario di Altenburg, una piccola località a una quarantina di chilometri da Lipsia. Sua madre, Anna Deuerlin, apparteneva alla nobiltà di Lipsia

IL GRANDE AUTODIDATTA

Tra il1653 e ill663 Gottfried Wilhelm seguì gli studi elementari alla Scuola di San Nicola di Lipsia. Durante quegli anni saziava la sua sete di conoscenza con il legato bibliotecario di suo padre e apprese il latino da autodidatta grazie ai classici e ai padri della Chiesa. Già a dodici anni padroneggiava il latino e masticava il greco, studiato per un paio di anni a scuola. Si racconta che a soli tredici anni, quando un suo compagno che doveva recitare un poema durante una celebrazione scolastica si ammalò, Leibniz compose e recitò un poema scritto in esametri latini. Durante gli ultimi anni scolastici egli scoprì la logica aristotelica e arrivò a padroneggiarla al punto che era in grado di applicarne le regole a casi particolari, obiettivo irraggiungibile per i suoi compagni di classe. Fu questa educazione a far fiorire la grande inventiva di Leibniz e, quando scoprì i limiti della logica sillogistica, cominciò a porsi delle domande sulle nuove idee che assalivano la sua mente. S'immerse nello studio della teologia e della metafisica, materie di cui la sua intera opera è impregnata.. Si concentrò in particolar modo sullo studio dei grandi polemisti, sia cattolici sia protestanti. Nella Pasqua del1661, Leibniz iniziò i suoi studi presso l'Università di Lipsia, dedicandosi all'approfondimento della filosofia, soprattutto di Aristotele, e si addentrò nell'opera di Euclide.

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Fino a quel momento non aveva avuto contatti con quella che oggi chiameremmo "scienza". n suo professore di filosofia era Jacob Thomasius, fondatore in Germania dello studio scientifico della storia della filosofia, che Leibniz stimò per tutta la sua vita. Thomasius indirizzò il lavoro di Leibniz verso l'ottenirnento del titolo di baccelliere in filosofia, che conseguì nel 1663. n saggio dal titolo Disputatio Metaphysica de Principio Individui (Disputa metajìsica sul principio di individuazione) fissò le basi per lo sviluppo successivo della sua filosofia Sebbene la sua iniziazione al mondo della filosofia fosse cominciata con i classici, intorno a quell'epoca egli iniziò a prendere contatto con la nuova filosofia, come Leibniz stesso ricorderà pochi anni prima della sua morte in una lettera indirizzata a Nicolas Rémond, primo consigliere del duca d'Orléans: Ancora bambino, studiai Aristotele e gli stessi scolastici[ ... ]. In seguito, ormai liberatomi della triviale filosofia scolastica, m'imbattei nei moderni, e ricordo che all'età di quindici anni passeggiavo da solo in un boschetto vicino a Lipsia, chiamato Rosenthal, per decidere se avessi dovuto conservare le forme sostanziali. Alla fine prevalse il meccanicismo, che mi portò ad applicarmi alla matematica

Il suo interesse per la filosofia meccanicista fu ciò che lo spinse a iniziare a tenere in maggiore considerazione la matematica. Passò un semestre del 1663 a Jena, una città dello stato della Turingia, la cui università era una di quelle con la maggiore tradizione culturale e scientifica della Germania. Lì frequentò Erhard Weigel, professore di matematica di grande fama, oltre che filosofo morale e rinnovatore del diritto naturale. Anni addietro Weigel aveva pubblicato un'opera in cui tentava una riconciliazione tra Aristotele e i filosofi moderni, come Francis Bacon (1561-1626), Thomas Hobbes (1588-1679) o Pierre Gassendi (1592-1655), la cui filosofia si basava sul metodo matematico. A Lipsia Leibniz era solito assistere a incontri con altri studenti per scambiarsi idee e discutere di libri e, nel periodo che trascorse a Jena, divenne membro della società accademica Societas Quarentium, dove avevano luogo riunioni settimanali di-

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rette da Weigel. Nel corso della sua esistenza Leibniz appoggiò e promosse questo tipo di associazioni, in special modo le società scientifiche in tutta Europa.

VERSO IL DOTTORATO

Leibniz tornò a Lipsia per specializzarsi in diritto, e nel febbraio del 1664 divenne maestro in filosofia con un lavoro intitolato Esposizione di questioni.filosofiche prese dal diritto, in cui metteva in relazione la filosofia e il diritto, poiché sosteneva che senza la filosofia la maggior parte delle questioni sollevate in diritto non avrebbero avuto una soluzione. Desiderava inoltre aiutare a dissipare il disprezzo che gli studenti di diritto erano soliti provare nei confronti della filosofia. Nove giorni dopo la lettura della sua opera, sua madre morì. Leibniz condivise l'eredità con sua sorella e una zia sposata con lo specialista di diritto Johann Strauch, che seppe vedere le grandi capacità del ragazzo e lo appoggiò istruendolo sulla giurisprudenza e la legislazione. Quest'aiuto gli servì per preparare la sua dissertazione De conditionibus, con la quale ottenne il titolo di baccelliere in diritto. In questa occupazione, Leibniz sviluppò diversi aspetti giuridici con un marcato taglio matematico e filosofico. Egli espose una legge soggetta a una condizione e ne studiò i diversi casi. Se la condizione è impossibile, la legge è nulla e le assegna il valore O. Se non è chiaro se si possa verificare o no, allora la considera come condizionale, e le associa una frazione tra Oe l, supponiamo 112. Se, al contrario, la condizione è rispettata di sicuro (Leibniz la definisce come necessaria), la legge è certa e le associa il valore l. I valori della suddetta legge corrisponderebbero alla seguente tabella: Conditio

lmpossibi/ls

o

Y:z

l

Jus

Nullum

Conditionale

Purum

Contigens

Necesaria

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Era perciò facile trovare una relazione con il calcolo delle probabilità. Questa relazione matematica e scientifica è una costante nell'opera filosofica di Leibniz. Nel 1666 il suo tentativo di ottenere il titolo di dottore in diritto fu respinto a causa della sua giovane età, poiché il dottorato favoriva la nomina ad assistente e c'erano molti aspiranti più maturi per i dodici posti disponibili. Nell'ottobre del 1666 si iscrisse all'Università di Altdorf, appartenente alla repubblica di Norirnberga, dove presentò il lavoro concluso a Lipsia, Su cinque difficili casi di diritto; cinque mesi più tardi aveva già ottenuto il titolo di dottore. Rifiutò l'invito a fare parte dell'Università di Altdorf, poiché riteneva che la rivoluzione scientifica che aveva in mente non poteva avere luogo in seno a quell'università. Conviene ora citare alcuni aspetti degli studi universitari dell'epoca. Attualmente appaiono in continuazione nuovi corsi di laurea, con un maggiore grado di specializzazione e nei quali tutti possono trovare gli aspetti su cui desiderano formarsi, sempre che il superamento del test d'ingresso lo permetta. Tuttavia, nel XVIn secolo l'offerta di titoli di studio era molto ristretta. Durante il Rinascimento esistevano solo tre titoli superiori: teologia, diritto e medicina. È per questo motivo che molti scienziati dell'epoca intrapresero studi di medicina, dal momento che erano quelli che più si avvicinavano alle loro aspirazioni e in cui potevano ottenere la miglior formazione scientifica. Dato che Leibniz si formò in diritto, malgrado il suo interesse per la metafisica e la matematica, la sua istruzione nel campo scientifico non era appropriata quanto desiderava: questa sensazione venne confermata quando iniziò a entrare in contatto con gli scienziati di altri Paesi.

LE COMBINAZIONI FILOSOFICHE

Sebbene quest'opera desideri approfondire gli aspetti scientifici, non è possibile accantonare completamente quelli filosofici, dato che il rapporto tra i due ambiti diventa molto stretto quando cominciano ad apparire aspetti matematici e fisici per spiegare la filosofia

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RAMON LLULL Ramon Llull o Raimondo Lullo (circa 1232-1315) fu un filosofo, teologo, mistico e missionario maiorchino, considerato l'inventore della rosa dei venti e di un dispositivo atto a collocare le stelle nel cielo notturno, chiamato notturlabio. Alla sua nascita, il Regno di Maiorca era appena stato annesso alla corona di Aragona da parte del re Giacomo l. A quell'epoca a Maiorca convivevano senza problemi le tre grandi culture, cristiana, ebraica e araba: Llull crebbe dunque in un ambiente di tolleranza, arricchendosi culturalmente. Ottenne posizioni di fiducia alla corte di Aragona, arrivando a guadagnarsi il ruolo di maggiordomo reale e siniscalco del futuro re Giacomo Il di Maiorca. A trent'anni abbandonò i suoi impieghi e la sua famiglia per predicare per le strade, mentre studiava teologia e arabo. In seguito si ritirò in un monastero per apprendere il latino, la grammatica e la filosofia. La sua mente contemplava tre idee fisse: la crociata in Terra Santa, la conversione degli infedeli e la divulgazione di un metodo di dimostrazione razionale delle verità della fede. Ordine francescano Nel1295 egli entrò nell'ordine francescano, per ottenere più visibilità rispetto a un semplice laico. Predicò sulle soglie di moschee e sinagoghe, con poco successo. Assistette al Concilio di Vienna, convocato nel1308 da papa Clemente V. Si recò in Africa come missionario, ma la sua vita non fu facile, tanto che morì a Tunisi nel1315, a quanto pare linciato da una torma di musulmani. Dopo la morte venne beatificato. Scrisse una moltitudine di libri dalle tematiche molto diverse, come la grammatica, l'educazione, la cavalleria, la scienza e la filosofia. Raggiunse una tale fama che era conosciuto come Doctor 1/uminatus, Doctor lnspiratus o Doctor Archangelicus (per differenziarlo da Tommaso d'Aquino, che ricevette il titolo di Doctor Angelicus).

Non dimentichiamoci che Leibniz aveva deciso di adottare una filsofia meccanicista in cui le scienze sono connesse al suo progresso. Uno dei filosofi che influenzò Leibniz durante la sua giovinezza fu sicuramente Ramon Uull, e dell'opera di quest'ultimo metteremo in evidenza alcwti aspetti che possono aiutarci a farci un'idea della direzione che avrebbe preso lo sviluppo della sua filosofia. Prima, però, prendiamo in esame un aspetto matematico che apparirà al suo interno.

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Possiamo considerare il calcolo combinatorio come quella parte della matematica che studia la modalità in cui si possono scegliere, raggruppare e ordinare una serie di oggetti. Ci fornisce facilmente la quantità di possibilità che possiamo ottenere scegliendo alcWli oggetti da un loro insieme. La combinatoria è presente in molte situazioni della nostra vita quotidiana Quando a Natale un gruppo di amici o colleghi di un'azienda decide di organizzare il "Babbo Natale segreto", l'ordine in cui escono i nomi per fare il regalo è una permutazione dell'ordine delle persone che stanno scegliendo. I tre libri che scegliamo a caso da portare in vacanza sono una combinazione dei tanti possibili tra cui scegliamo. In una gara olimpica, a cui partecipano otto corridori, gli aspetti che può avere il medagliere sono una variazione di quegli elementi, tra cui ne selezioniamo tre. Com'è possibile osservare nei precedenti esempi, nelle permutazioni scegliamo tutti gli elementi e li ordiniamo in modo diverso. Per scoprire la quantità possibile di situazioni risultanti basta trovare il fattoriale di tale quantità. ll fattoriale di un numero naturale n, che è rappresentato dal simbolo "n!", è il prodotto dei numeri naturali da l fino a quel numero: n!= n(n-1) (n-2)· ... ·3·2·1. Ad esempio, se abbiamo cinque libri che mettiamo sullo scaffale senza stabilire alcun ordine preciso, il numero di modi in cui potrebbero essere collocati sarebbe: 5! = 5·4·3·2·1 = 120 ordini diversi. Basta pensare che nella prima posizione può stare uno qualunque dei cinque libri. Per ognuna di quelle possibilità, nella seconda posizione possiamo collocare uno qualunque dei quattro libri rimanenti; in quella seguente, uno qualunque dei tre restanti e così via fino all'ultima posizione, in cui c'è una sola possibilità, perché avanza soltanto un libro. Bisogna pensare che nella prima posizione può stare uno qualunque dei cinque libri. Per ognuna di quelle possibilità, nella seconda posizione possiamo collocare uno qualunque dei quattro libri rimanenti; in quella seguente, uno qualunque dei tre restanti e così via fino all'ultima posizione, in cui c'è una sola possibilità, perché avanza soltanto un libro.

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D caso delle variazioni è simile a quello appena descritto: ciò che interessa è l'ordine in cui si selezionano gli oggetti, anche se non si selezionano tutti. Per questo motivo per trovarle non dobbiamo arrivare fino a l nel prodotto finale. Supponiamo di collocare sullo scaffale solo due libri dei cinque che abbiamo. Facendo un ragionamento simile a quello precedente, il numero di scelte possibili sarà 5x4=20. 1n generale, per ciò che concerne il numero di variazioni di n elementi tra quelli che prendiamo in considerazione, per l'espressione che segue verrà data solo r.

v:;= n(n-1)· ... ·(n-r+ 1), per un totale di r fattori cominciando da n e diminuendo ogni volta di un'unità. Nelle combinazioni, infine, non ci interessa l'ordine: ciò che conta sapere è invece quante diverse modalità esistano di scegliere un sottoinsieme da un insieme di oggetti dati. Ad esempio, se abbiamo un insieme di monete nel quale ce n'è una per ogni tipo, da l centesimo di euro fino a una da 2 euro, se ci danno tre monete, non ci interessa l'ordine in cui le riceviamo; il numero totale di monete che avremo alla fine sarà lo stesso, che ci diano prima una moneta da l euro, un'altra da 2 centesimi e una terza da 50 centesimi, oppure prima una da 2 centesimi, poi una da 50 centesimi e infine quella da l euro. Per scoprire le combinazioni di n oggetti presi di r in r utilizziamo la seguente espressione:

c··= v;= n(n-1) ... (n-r+l) "

r(r-1) ... 2·1

r!

·

L'espressione che segue equivale a un quoziente tra fattoriali chiamato numero combinatorio: n ( r

l

n!

.. r!(n-r)!"

Dunque, se volessimo calcolare quanti gruppi di tre libri possiamo scegliere tra quindici possibili, dovremmo calcolare il numero combinatorio di 15 su 3, che ci darebbe come risultato

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ca-( 153 )-15·14·13 -455. 3·2·1 15

La combinatoria non si utilizza però solo in matematica, come invece si potrebbe pensare, bensì anche in molte altre discipline quasi dall'inizio dei tempi. Ci sono autori che parlano di permutazioni già negli antichi testi assiri o in quelli greci che trattano di magia Nei documenti giudaici si spiega che le lettere dell'alfabeto sono avvolte da potere mistico e che combinando adeguatamente i simboli e i segni è possibile arrivare a ottenere qualunque cosa. Nello stesso Talmud, uno dei testi sacri dell'ebraismo, si afferma che combinando lettere dotate di valore numerico, è possibile costruire la struttura del mondo. La Cabala, che possiamo considerare come una linea di pensiero mediante la quale si aspira a scoprire aspetti connessi con l'uomo (come e perché esista, quale sia lo scopo della sua vita, ecc.), è una scienza dei numeri. In essa si studiano lettere e numeri, trattandoli con tre procedimenti: la Gematria (scienza del valore numerico delle lettere), la Notarikon (scienza delle lettere iniziali, intermedie e finali delle parole) e l'Atbash (scienza della permutazione e della combinazione delle lettere). Qualcosa di analogo accade anche nella cultura araba, in cui, utilizzando le 28 lettere che formano l'alfabeto e simboleggiando ciascuna di esse con un numero intero, si aprono un'infinità di combinazioni, dando luogo al patrimonio della civiltà islamica.

ARSMAGNA

L'obiettivo della filosofia di Ramon Uull era quello di creare uno strumento per la conversione degli ebrei e degli arabi; forse è per questo che studiò a fondo le loro strutture basilari e, pertanto, fu influenzato in modo evidente da entrambe le culture nella creazione della sua filosofia. Senza aspirare a uno studio filosofico della sua opera, desideriamo segnalare quegli aspetti connessi con l'ordinamento e che influenzarono Leibniz.

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L'Ars Magna (Grande Arte), opera di Uull pubblicata nel 1308, ha come obiettivo ultimo quello di conoscere Dio. È strut-

turata in forma di logica combinatoria, tanto inventiva quanto dimostrativa, e in essa egli tenta di trovare tutte le conoscenze, a partire da alcune nozioni e principi che combinandosi possono favorire il conseguimento di tutte le scienze. L'Ars Magna è intimamente connessa al calcolo logico e ipotizza che la logica serva non solo a determinare la validità dei ragionamenti, ma anche a inventare nuovi ragionamenti tramite combinazioni di essi. L'autore distingue una serie di principi, assoluti e relativi: i primi corrispondono agli attributi di Dio, mentre i secondi si riferiscono a concetti di relazione tra oggetti. Uull mette l'alfabeto in relazione con gli attributi di Dio. Fa corrispondere la A a Dio stesso e le seguenti lettere alle distinte qualità divine, che sarebbero le seguenti: Bontà Grandezza Eternità

B

Potere Sapienza Volontà

c D

E F G

Virtù Verità Gloria

H l J

Se realizzassimo delle combinazioni di questi elementi di due in due, otterremmo il seguente totale di giudizi possibili:

c2 _( 9]- 9 · 8 _ 36 9

2

2·1

'

come vediamo nella seguente tabella: BC BD BE BF BG BH BI BJ

CD CE CF CG CH Cl CJ

DE DF DG DH DI DJ

EF EG EH El EJ

FG FH Fl FJ

GH Gl GJ

Hl HJ

IJ

l

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FIG. l

FIG 2

Figure pensate da Ramon Llull per la sua macchina logica, Incluse nella sua An Magna.

Come integrazione, Llull creò una serie di quattro figure assiomatiche, mescolando alcuni principi con altri, per riuscire a realizzare in forma meccanica ciò che le sue scarse conoscenze matematiche non gli permettevano. Una di queste è la tabella riportata alla pagina precedente. Un'altra è un cerchio come quello della figura l, suddiviso in nove settori in cui appaiono i principi assoluti. Nel cerchio tutte le dignità sono equidistanti dal centro, dov'è situato Dio. Sotto ogni lettera compare un sostantivo o un aggettivo, affinché ogni settore sia unito agli altri otto per rappresentare tutte le combinazioni possibili che si possono ottenere ruotando il cerchio. In questo modo è possibile mescolarle, trasformando i sostantivi in aggettivi e ottenendo, ad esempio, bontà grande o grandezza buona Un'altra delle figure rappresentava una specie di macchina combinatoria, in cui sono presenti tre cerchi concentrici, dove il cerchio più piccolo gira intorno a quello mediano e questo, a sua volta, intorno a quello più grande, fisso. In tal modo leggeva i concetti che si vedevano allineati nei dischi, come mostrato nel disegno della figura 2.

DISSERTATIO DE ARTE COMBINATORIA

Che IJull abbia infiuenzato Leibniz è un dato noto, benché quest'ultimo fosse critico nei confronti dell'opera del primo, tanto che arrivò a dare il seguente giudizio sulla sua opera:

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È solo l'ombra della vera arte combinatoria [... ). Si uova cosi lontano da quell'arte quanto il fanfarone dall'uomo eloquente, e allo ste86o tempo solido.

Nonostante ciò, vari autori affennano che l'Ars Magna appassionò Leibniz e che gli seiVÌ da base per la sua idea di calcolo combinatorio. Nel 1666 egli pubblicò la sua opera Dissertatio de arte C0'11'11Jinatoria, nella quale presentava nuovi risultati nel campo della logica e della matematica Era la prima volta che veniva usata la parola «combinatoria» nel senso moderno del termine. Onnai vecchio, Leibniz si pentì di aver pubblicato quest'opera, perché non la rava un lavoro molto elaborato; nonostante questo, però, è evidente che in essa vengono illustrati i suoi interessi filosofici e il percorso che stavano prendendo le sue scoperte, benché ancora non si fosse deciso a dedicarsi a una scienza in particolare. Per Leibniz le applicazioni filosofiche erano ancora più importanti della matematica Non c'è da sorprendersi, visto che vari filosofi erano dell'opinione che la matematica stravolgesse il senso delle cose naturali e, pertanto, corrompesse la filosofia naturale. Tra questi possiamo citare gli italiani Pico della Mirandola (1463-1494) e Giordano Bruno (1548-1600). In quest'opera, Leibniz sviluppa un'idea del suo periodo scolastico: usare la combinatoria per conseguire un alfabeto del pensiero umano, quello che più tardi chiamerà Scientia generalis. Attenendosi a ciò che sosteneva Uull, Leibniz pensava che forse, partendo dall'alfabeto, attraverso combinazioni e permutazioni, fosse possibile ottenere qualunque parola o frase; che muovendo da concetti semplici e basilari, si potessero arrivare a conseguire tutte le verità derivate da quelle relazioni. n principio fondamentale della metafisica di Leibniz fu considerare che tutte le proposizioni logiche potessero essere ridotte alla combinazione opportuna di un soggetto e un predicato. Proponeva una logica della scoperta o invenzione, in opposizione a una logica dimostrativa in linea con quella di altri filosofi classici. Le combinazioni in generale erano chiamate da Leibniz complexiones, ed egli utilizzava la parola combinationes per le scelte di coppie di oggetti. Quando si trattava di tre oggetti utilizzava la parola conternationes (abbreviato in con3nationes), e così via

consi•

L"INVENTORE DELLE MACCHINE CALCOLA TRIO

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All'interno della sua opera compaiono applicazioni della combinatoria al diritto, alla musica e anche alla teoria aristotelica sulla generazione degli elementi, a partire dalle quattro qualità primarie: freddo, caldo, wnido e secco. Considerando queste qualità a due a due, otteneva le seguenti diverse combinazioni:

4·3 4 ) =---6 2·1- ' (2 malgrado disdegnasse quelle in cui comparivano qualità tra loro opposte, come freddo e caldo o umido e secco. Dalle restanti quattro otteneva gli elementi base: acqua, aria, fuoco e terra. In definitiva, Leibniz era alla ricerca di un metodo che gli per:mettesse in generale di lavorare scientificamente con le idee, per argomentare e dimostrare l'aritmetica e l'algebra mediante operazioni analoghe.

NUOVI INCARICHI

Dopo aver ottenuto il titolo di dottore, Leibniz decise di intraprendere un viaggio attraverso diversi Paesi europei, ma non anivò molto lontano. Trascorse alcuni mesi a Norimberga, dove entrò a far parte di una società alchemica. Sebbene oggi si pensi all'alchimia come a una pseudoscienza, nel XVII secolo essa era un'attività tollerata dagli scienziati. L'alchimia fu la precorritrice della stessa chimica moderna, che comincerà a svilupparsi in quel secolo dai lavori dell'irlandese Robert Boyle (1627-1691). Anni più tardi Leibniz commenterà che fu a Norimberga che apprese le conoscenze basilari della chimica, da lui utilizzate in seguito per alcuni esperimenti suggeriti dai principi che aveva frequentato. Durante il viaggio egli scrisse un'opera dal titolo Il nuovo metodo di apprendere e insegnare la giurisprudenza, dedicato al principe-elettore di Magonza, Johann Philipp von Schonborn, con l'idea di ottenere un impiego a corte. In essa si occupava del diritto da un punto di vista filosofico, indicando due regole fonda-

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mentali della giurisprudenza: non accettare alCWl tennine privo di definizione e non accettare alc\llla proposizione priva di dimostrazione. Dopo aver presentato personalmente l'opera all'elettore, riuscì a farsi assumere per aiutare il consigliere di corte, Hermann Andreas Lasse, nella redazione di un nuovo codice civile adattato alle nuove necessità dello stato. Una persona fondamentale nella vita di Leibniz fu sicuramente il barone Johann Christian von Boineburg (1622-1672), ministro dell'elettore di Magonza. A partire dal 1668, Leibniz, che si era trasferito in quella stessa città, ebbe un rapporto molto stretto con il barone, tanto da stringere amicizia non solo con lui ma anche con la sua famiglia Mentre collaborava con Lasser, Leibniz eseguì incarichi sporadici per Boineburg, tra cui quello di segretario, bibliotecario e avvocato. Durante quegli anni redasse degli scritti, su richiesta del barone, riguardanti diversi temi, specialmente filosofici e politici. Vediamone uno. A quell'epoca la corona di Polonia era rimasta vacante a causa dell'abdicazione di re Giovanni Casimiro, e il conte palatino (in tedesco Pfalzgra.f) di Neuburg pretendeva il trono. Egli dunque chiese aiuto a Boineburg perché appoggiasse la sua causa in Polonia e questi, a sua volta, commissionò a Leibniz un lavoro che sostenesse le aspirazioni del conte. Leibniz scrisse, sotto il nome di uno sconosciuto nobile polacco, un'opera nella quale partendo dal concettD di dimostrazione matematica nella scienza - in linea, ad esempio, con Galileo Galilei (1564-1642) o Cartesio (15~1650), per fare alCWli nomi- applicava quell'espressione all'elezione del futuro re, giungendo naturalmente alla conclusione che la persona più indicata fosse il conte palatino di Neuburg. Nello sviluppo della sua opera utilizzava ragionamenti etici e politici trattandoli come elementi di un calcolo probabilistico. Possiamo ritenere che proprio quella fu la prima volta che Leibniz si addentrò nel mondo diplomatico, attività che sarà una costante nel corso di tutta la sua vita Boineburg e Leibniz erano d'accordo su molti argomenti. Sebbene il barone fosse cattolico e Leibniz luterano, entrambi si battevano per la riuniftcazione delle Chiese cattolica e protestante. Tale questione fu sempre presente nelle intenzioni di Leibniz ed egli la sollevava in tutti i luoghi in cui avrebbe potuto ottenere qualsiasi tipo di appoggio.

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Nel 1669 i suoi contatti con l'elettore di Magonza diedero i loro frutti e Leibniz venne nominato presso l'Alta Corte di Appello, di cui fece parte fino al1672. Anni dopo, tornerà a svolgere la sua attività di giurista ad Hannover. Nonostante il suo titolo di dottore in diritto, quel mondo non lo attraeva particolarmente: se da un lato ammirava i giudici, dall'altro disprezzava il lavoro degli awocati, per questa ragione non si dedicò mai al diritto dal punto di vista professionale. Nel1670 Leibniz andò con Boineburg a Bad Schwalbach, una città balneare dove il barone seguiva regolarmente un trattamento a base di acque termali. In una simile occasione cominciò a prendere forma quella che sarà la prima missione diplomatica importante della sua lunga carriera. n re francese Luigi XIV (1638-1715), le cui mire espansionistiche erano evidenti, intendeva invadere i Paesi Bassi. Leibniz intravide la possibilità di sviare la sua smania di conquista in Europa e di reindirizzarla verso l'Egitto, in quello che fu chiamato il Progetto egiziano o Consilium aegyptiacum. L'idea di trasferire i conflitti interni europei in altre parti del mondo non era nuova, giacché Leibniz si basò su un progetto simile del XIV secolo, suggerito al papa dal veneziano Marino Canuto. Venne preparato un piano segreto allo scopo di presentare il progetto alla corte francese. Basandosi sulle sue conversazioni con Boineburg, Leibniz elaborò un docwnento; ma anche se l'obiettivo ultimo continuava a essere quello di evitare l'attacco francese contro i Paesi Bassi, la stesura finale proponeva piuttosto una crociata generale contro gli infedeli. L'idea originaria era stata diluita a tal punto che l'Egitto non veniva quasi più nemmeno citato. Questo scritto fu inviato al re di Francia agli inizi del 1672, e il ministro degli Affari Esteri francese, cui forse non era chiara la proposta, domandò che gli fossero fornite maggiori informazioni e invitò Boineburg a presentarsi a corte, lui personalmente o chiunque avesse deciso di delegare. Il barone nominò Leibniz rappresentante in Francia, perché esponesse più chiaramente la sua idea, così a marzo egli partì per la Francia. Oltre all'obiettivo delle negoziazioni di pace in Europa, Leibniz ne aveva altri "occulti". Boineburg lo aveva incaricato di pretendere dal re il pagamento di una serie di rendite e pensioni

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di cui era debitore. Leibniz desiderava inoltre visitare Parigi dove poteva entrare in contatto con grandi nomi del panorama filosofico e scientifico francese, dato che la sua reclusione a Magonza gli impediva di avere rapporti diretti con gli importanti personaggi che stavano rivoluzionando la cultura scientifica Leibniz sostenne sempre che se avesse potuto visitare prima Parigi, le sue capacità si sarebbero ampliate e sarebbe stato maggiormente nella condizione di perfezionare e rinnovare la scienza, che in realtà era ciò cui aspirava con il suo lavoro. Un anno prima Leibniz aveva intrapreso una corrispondenza con il bibliotecario reale Pierre de Carcavi (1600-1684) e gli aveva parlato della macchina aritmetica a cui stava lavorando. Seppe che Carcavi stava eseguendo le pratiche per invitarlo a far parte dell'Accademia delle Scienze di Parigi. Lo stesso Carcavi gli scrisse invitandolo a inviare un modello della sua macchina per mostrarla a Jean-Baptiste Colbert (1619-1683), ministro di Luigi XIV. Fu questo legame con le società scientifiche ad aprire il mondo al genio di Leibniz.

GLI SCAMBI SCIENTIFICI

Oggigiorno esistono delle persone che si dedicano professionalmente alla ricerca e ricevono il proprio stipendio come ricercatori. A volte lavorano nelle università, nei laboratori, in grandi ospedali o in aziende come quelle dedicate all'informatica o alla telefonia. Ciò che però solitamente li contraddistingue è che vivono di quel lavoro. Eppure non è sempre stato così. Nei secoli XVI e XVII molti dei grandi personaggi che svilupparono i progressi realizzati durante la Rivoluzione Scientifica, avevano altri impieghi che fornivano loro i mezzi di sussistenza La maggior parte delle persone che si dedicavano alla scienza erano teologi, diplomatici, giuristi, sacerdoti, architetti, ecc. Non esistevano gli "scienziati di professione", salvo alcuni pochi fortunati alle dipendenze di qualche re o governante importante. Ad esempio possiamo citare Pierre de Fermat (1601-1665), che era

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avvocato e impiegato presso un ufficio del governo; John Wallis (1616-1703), crittografo; Anton van Leeuwenhoek (1632-1723), che fu il primo a scoprire i microrganismi al microscopio, era commerciante tessile, e il filosofo Baruch Spinoza (1632-1677) levigatore di lenti. Inoltre, la maggior parte degli scienziati era praticamente autodidatta. In generale le università erano molto indietro rispetto all'evoluzione della scienza, per cui, salvo eccezioni, la formazione più avanzata si doveva ricercare al di fuori degli ambiti ufficiali. John Wallis, a proposito della sua formazione, diceva: La matematica a quel tempo era raramente considerata da noi come

qualcosa di accademico; piuttosto si guardava a lei come a qualcosa di meccanico.

La matematica era ritenuta quasi patrimonio dei commercianti più che degli scienziati. Per questo chi desiderava addentrarsi nelle scienze più avanzate doveva avvicinarsi a qualche scienziato importante e diventare suo discepolo, per poter approfondire le conoscenze che non poteva trovare da altre parti. Un altro ostacolo allo sviluppo della scienza era l'isolamento degli scienziati. Oggi, grazie ai nuovi mezzi di comunicazione, qualunque successo verificatosi in un Paese è immediatamente noto in tutto il mondo. Nel xvi secolo, però, non era così: una nuova scoperta poteva metterei mesi o anni per essere conosciuta dal resto degli scienziati e tale situazione era aggravata dalla rivalità tra le differenti nazioni. All'inizio del XVII secolo non esistevano canali che permettessero uno scambio rapido ed efficiente delle idee tra intellettuali e scienziati dell'epoca. Consapevoli di questa mancanza, alcuni gruppi di scienziati cominciarono a riunirsi e a scambiarsi esperienze e risultati o in persona o attraverso scambi di missive che venivano lette durante le loro riunioni. Una delle persone più importanti a quei tempi fu il teologo Marin Mersenne, monaco dell'ordine dei minimi. Compagno di studi di Cartesio, Mersenne scrisse diversi libri sulla filosofia e sulla musica, ed è ricordato nel mondo della matematica per i cosiddetti numeri primi di Mersenne.

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l NUMERI PRIMI DI MERSENNE Si è soliti chiamare numeri di Mersenne quei numeri che sono un'unità in meno rispetto a una potenza di base 2, vale a dire, i numeri risultanti dalla formula 2n - l (ad esempio: 3, 7, 15, 31, 63, 127...) e di questi, quelli che sono primi ricevono il nome di primi di Mersenne (tra quelli nominati in precedenza sono: 3, 7, 31 e 127). Marin Mersenne (1588-1648) presentò questi numeri, successivamente chiamati così in suo onore, nell'opera Cognitata physico-mathematica, pubblicata nell641. In essa includeva varie proprietà di questi numeri, che non poterono essere dimostrate fino a tre secoli dopo. Includeva inoltre una serie di numeri primi di Mersenne fino all'esponente n=257, ma che conteneva molti errori, come si dimostrò in seguito.

Marin Mersenne.

l numeri primi nel presente L'era elettronica ha fatto sì che, a partire dalla metà del xx secolo, si potessero scoprire nuovi numeri primi sempre più grandi, usati oggigiorno nelle comunicazioni per rendere più sicuro l'accesso ai conti bancari o lo scambio di informazioni su Internet. Negli ultimi sessant'anni, il più grande numero primo conosciuto è stato quasi sempre un numero di Mersenne. Attualmente è noto un totale di 47 numeri e quello più grande è 2 4 3112609 - l, un numero con quasi 13 milioni di cifre. Non si sa quanti numeri primi di Mersenne possano esistere, anche se si ipotizza che essi siano infiniti.

A parere di Mersenne, gli scienziati dovevano lavorare in comunità, consultando e confrontando i propri esperimenti e le proprie scoperte. Si pensi che a quell'epoca le conoscenze delle corporazioni artigianali erano cedute, a volte con grande segretezza, solo agli apprendisti che ne entravano a far parte. L'idea di Mersenne era che le conoscenze dovessero circolare liberamente ed essere utilizzate da tutti coloro interessati a far progredire la scienza.

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Egli fondò quello che è noto come Circolo di Mersenne, una specie di club matematico, che si riuniva nella cella del monaco. A esso appartennero, tra gli altri, Cartesio, Pascal, Roberval, Desargues, Fermat e Gassendi. Benché il gruppo fosse stato creato con il nome di Accademia Mersenne, più avanti si wù a un altro gruppo simile organizzato dai fratelli Pierre e Jacques Dupuy, bibliotecari reali. Questo secondo gruppo era frequentato da gente che si occupava di molte discipline diverse dalla matematica, sebbene vi appartenessero anche Huygens, Oldenburg e Gassendi. L'unione dei due gruppi prenderà il nome di Academia Parisiensis, germe di quella che successivamente diventerà l'Accademia delle Scienze di Parigi. Un altro gruppo simile, anche se fondato un po' più avanti nel secolo, si riwù intorno al filosofo e teologo Nicolas Malebranche (1638-1715), che fu professore di matematica e membro della congregazione dell'Oratorio di San Filippo Neri. All'interno dell'oratorio organizzò riunioni volte allo scambio di scoperte matematiche, in linea con quelle di Mersenne. A questo circolo appartennero Pierre Varignon, il marchese de l'Hòpital e Johann Bernoulli. Malebranche fu un grande divulgatore dell'opera di Cartesio e Leibniz ed editore del libro di l'Hòpital, il primo a venire pubblicato sul nuovo calcolo infinitesimale. In Inghilterra, il politico inglese Francis Bacon (1561-1626), più filosofo che scienziato, si batté per l'importanza della scienza di laboratorio, disdegnata perché considerata puro artigianato, e anche per gli scambi intellettuali. Seguendo i suoi consigli venne fondato un gruppo di scienziati intorno al diacono tedesco, stabilitosi in Inghilterra, Theodore Haa.k (1605-1690). Questo gruppo, conosciuto come Gruppo 1645, si riwù inizialmente a Cambridge, si trasferì poi a Londra e sarà il germe da cui nascerà la Royal Society. Le pubblicazioni di Malebranche suscitarono molto interesse, giacché a quell'epoca era complicato pubblicare libri di scienza (specialmente di matematica), dato che di solito essi avevano una tiratura limitata e di certo non costituivano un affare. L'astronomo tedesco Johannes Keplero (1571-1630), che riteneva che i libri di matematica fossero molto difficili da comprendere e per questo avessero un pubblico ristretto, commentava:

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Oggigiorno, quello di scrivere libri di matematica e soprattutto di astronomia è un destino molto duro [... ) e per questo ci sono pochissimi buoni lettori. Io stesso, che sono considerato un matematico, devo fare uno sforzo per leggere la mia opera

La cosa si complicava perché esistevano personaggi restii a

pubblicare i propri risultati, come ad esempio Pierre de Fennat, che non scrisse mai un libro riguardo ai suoi progressi. Molte volte gli scienziati non desideravano pubblicare per non entrare in polemica con altri scienziati, esattamente ciò che accadde inizialmente a Isaac Newton dopo il suo scontro con Robert Hooke (1635-1703) relativo ai suoi risultati nel campo dell'ottica. Pertanto, era normale che i risultati non fossero pubblicati in forma di libro, ma che venissero resi noti attraverso lettere ad amici e conoscenti. Molto spesso capitava che varie scoperte rimanessero celate nelle carte e che fossero rivelate solo dopo la morte del loro autore. Altri scienziati erano reticenti a pubblicare finché il lavoro non fosse stato terminato completamente. Ciò capitò nel caso di Christiaan Huygens (1629-1695), che oltre a una grande inventiva possedeva un senso estetico per la matematica che faceva sì che pubblicasse solo lavori che considerava perfetti; per cui non era raro che altri lo precedessero con risultati simili e che nascessero grandi polemiche su chi fosse stato il primo a scoprire il risultato, come avvenne ad esempio con l'invenzione del calcolo infinitesimale, che vide fronteggiarsi Newton e Leibniz. La consuetudine, tra scienziati che non erano legati da un'amicizia certa, era quella di inviarsi i propri scritti attraverso una terza persona, che aveva la funzione di testimone dello scambio. Tale ruolo di collegamento tra scienziati, specialmente di diversi Paesi, venne assunto dallo stesso Mersenne. Henry Oldenburg (1619-1677) fece da nesso tra Newton e Leibniz nello scambio di risultati. Questo era inoltre un modo per rivendicare le proprie scoperte, dato che nelle società scientifiche vigeva l'usanza di lasciare delle prove scritte di esse, prima che potessero essere pubblicate e fatte conoscere al grande pubblico.

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LE SOCIETÀ SCIENTIFICHE NEL XVII SECOLO

Furono le società scientifiche però, a favorire realmente la diffusione della scienza moderna in tutta Europa, grazie ai loro mezzi di divulgazione: le riviste scientifiche, che permisero la diffusione di tutte le scoperte in ogni branca della scienza. La prima accademia scientifica, concepita come luogo di riunione di intellettuali per lo scambio di esperienze e conoscenze, fu fondata nel 1603 a Roma dallo scienziato e nobile Federico Cesi (1585-1630), l'Accademia dei Lincei, che durò fino al1630; il suo membro più famoso fu Galileo Galilei. Nel 1657 venne creata a Firenze l'Accademia del Cimento, fondata da Fernando Il, duca di Toscana, e dal principe Leopoldo, che ebbe una durata di soli dieci anni. Tra i suoi membri si distinguono gli allievi di Galileo, il matematico Vincenzo Viviani (1622-1703) e il fisico Evangelista Torricelli (1608-1647), inventore del barometro, lo strumento per la misurazione della pressione atmosferica. Ma la società scientifica più importante dell'epoca, e una di quelle che ha proseguito il suo operato fino ai giorni nostri, è la Royal Society, fondata nel1660 dai gruppi di Londra e Oxford. I suoi membri si riunivano una volta alla settimana per trattare terni di filosofia naturale e delle materie a essa connesse: la medicina, la meccanica, l'ottica, la geometria... Nel1662 fu nominato un responsabile degli esperimenti allo scopo di presentare dei risultati in ogni riunione, e la prima persona a cui spettò questo ruolo fu Robert Hooke. Per sottolineare il fatto che il progresso della scienza sarebbe derivato dalle prove sperimentali, più che dall'opinione di persone influenti, la società inventò il motto NuUius in verba, vale a dire, «(Non dar fiducia) alle parole di nessuno». A quell'epoca i suoi membri furono Robert Boyle, Robert Hooke, Gottfried Leibniz, John Wallis, Isaac Newton, Christiaan Huygens e Anton van Leeuwenhoek. A partire dal 1663, il nome ufficiale diventerà Royal Society of London jor Improving Natural Knowledge (Reale Società di Londra per il Progresso della Conoscenza Naturale). Nel 2001 la società ha ricevuto il prestigioso Premio Principe delle Asturie per la Comunicazione e l'Umanistica.

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