Lehrbuch der Elektrotechnik: Band 2 Rechenverfahren und allgemeine Theorien der Elektrotechnik [2. Aufl. Reprint 2019] 9783486775068, 9783486775051

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Lehrbuch der Elektrotechnik II. Band:

Rechenverfahren und allgemeine Theorien der Elektrotechnik Von

Dr.-Ing. Günther Oberdorfer ordenti. Professor an der Technischen Hochschule Berlin-Charlottenburg

Zweite, verbesserte

Auflage

Mit 128 Bildern

München und Berlin 1 9 4 1

Verlag von R.Oldenbourg

Copyright 1940 by R.Oldenbourg, München und Berlin Druck von R. Oldenbourg, München Printed in G e r m a n y

Vorwort zum Zweiten Band. Der zweite Band des vorliegenden Lehrbuches behandelt die »Mathematik des Elektrotechnikers«. Man könnte zunächst der Meinung sein, dieser Abschnitt gehöre an die Spitze des ganzen Werkes, um ihm das rechnerische Rüstzeug von Anfang an sicherzustellen. Für die Unterbringung erst in einem zweiten Band erschienen mir folgende Gesichtspunkte maßgebend. Dieser zweite Band soll kein Mathematiklehrbuch sein; solche gibt es in großer Zahl und bester Ausführung für alle hier besprochenen Gebiete. Der interessierte Leser wird sich nach wie vor zur vollständigen Ausbildung in diesem oder jenem mathematischen Spezialgebiet dieser Bücher bedienen müssen. Im allgemeinen liegt aber der Fall doch so, daß der in der Praxis stehende Elektrotechniker gar nicht die Zeit und vielleicht auch nicht die Lust hat, sich Spezialkenntnisse aus mathematischen Werken anzueignen, von denen er vorerst gar nicht weiß, in welchem Umfang er sie mit Nutzen wird gebrauchen können. Außerdem sind diese Werke in einer dem Techniker oft schwer verständlichen Sprache des Mathematikers geschrieben, die ja zur exakten Darstellung des Gebietes erforderlich, für den vorliegenden Fall aber zunächst entbehrlich gehalten wird, wenigstens so lange, bis m a n erkannt hat, worum es sich dreht und was das betreffende Verfahren zu leisten vermag. Für diesen Zweck erscheint es wünschenswert, auch den rein mathematischen Teil soweit als möglich in der Sprache des Elektrotechnikers zu beschreiben. In diesem Sinne hielt ich die vorausgehende Besprechung der Grundlagen im ersten Band für vorteilhaft, zumal der dort in Anwendung gekommene mathematische A p p a r a t nur k a u m über das Maß hinausgeht, das m a n bei Elektroingenieuren im Durchschnitt voraussetzen darf. An den wenigen Stellen, wo dies doch der Fall ist, wurde ausdrücklich auf den zweiten Band verwiesen, ohne dadurch — wie ich glaube — die Lesbarkeit zu beeinträchtigen. W a s also meiner Ansicht nach im einschlägigen Schrifttum bisher fehlte, w a r ein ausgesprochen für den Elektroingenieur geschriebenes mathematisches Buch, das möglichst alle für ihn praktisch in Betracht kommenden Verfahren enthält, sich — unter Preisgabe vielleicht von manchen exakten Beweisführungen — bei jedem Verfahren aber so weit bescheidet, daß dessen Wesen und Brauchbarkeit leicht erkannt und l*

—

4

—

das Verfahren selbst ohne weiteres S t u d i u m auf einfachere Fälle angewendet werden kann. Damit muß es möglich sein, ohne große Schwierigkeiten einen gediegenen Überblick über das ganze in Frage kommende Gebiet zu erhalten und im Bedarfsfalle sofort den richtigen W e g zu spezieller Ausbildung zu finden. Schwieriger war es vielleicht, den U m f a n g der einzelnen Verfahren in Ansehung ihrer Bedeutung für den Elektrotechniker und unter Berücksichtigung ihrer Schwierigkeiten zu begrenzen. Ich habe mich bemüht, dies soweit zu t u n , daß der Gesamtumfang dieses zweiten Bandes in üblichen Grenzen geblieben ist. Demgemäß glaubte ich, mich im ersten Teil, der sich mit den elementaren Rechnungen, der Differentialund Integralrechnung und den Differentialgleichungen befaßt, möglichst kurz halten zu können, da diese Verfahren ja ausführlich in den mittleren und höheren Schulen besprochen werden. Auch die komplexe Rechnung und die räumliche Vektorrechnung habe ich auf das den Elektroingenieur interessierende Maß beschränkt, wenn auch hier die Grundlagen etwas ausführlicher behandelt sind. In einem zweiten Teil habe ich die mit der Elektrotechnik bevorzugt in Verbindung stehenden Verfahren gesammelt. Hier wird die bereits im ersten Band verwendete komplexe Zeitvektorrechnung mit ihren Erweiterungen der Ortskurventheorie und symmetrischen Komponentenrechnung systematisch besprochen. Es finden ferner die Fouriersche Zerlegung, die Heavisidesche Operatorenrechnung und die neuerdings stark an Bedeutung gewinnende Laplacetransformation ihren Platz. Auch der Matrizenrechnung (Tensorrechnung), die in Amerika bereits vielfach in Gebrauch steht und die in nächster Zeit sicherlich sehr stark an Bedeutung gewinnen wird, ist ein längeres Kapitel eingeräumt worden. Im dritten Teil habe ich endlich einige ausschließlich in der elektrotechnischen Anwendung bestehende Theorien aufgenommen, die Zweipol- und Vierpoltheorie, eine Einführung in die Theorie der Kettenleiter und die Anwendung der konformen Abbildung in der Elektrostatik. Wegen ihrer allgemeinen Bedeutung für die Stark- und Schwachstromtechnik nimmt dabei die Vierpoltheorie den größten Platz in Anspruch. Eine Bevorzugung einer der beiden Zweige der Elektrotechnik ist aber nicht eingetreten. Die Art der Schrifttumsangabe ist die gleiche wie im ersten Band. Es sind demnach — hier bei jedem größeren Kapitel — immer n u r ganz wenig Literaturangaben gemacht worden, damit sich der Leser im Falle des Wunsches einer Weiterbildung nicht vor einer Unzahl von Werken sieht, aus denen er erst nicht weiß, welches er am besten wählen soll. Ausdrücklich sei auch hier wiederum darauf hingewiesen, daß die nicht genannten Werke d a m i t keineswegs abfällig beurteilt sein sollen; sie sind im Literaturverzeichnis der genannten nachzulesen und werden dadurch jedem Interessenten zugänglich.

—

5

—

Die Herausgabe dieses Bandes fällt in eine Zeit höchster deutscher Bewährung. Möge er in diesem Sinne auch auf seinem Gebiet zur Förd e r u n g und Weiterbildung unseres Elektrotechnikerstandes ein wenig beitragen und recht viele F r e u n d e finden! Dem Verlag habe ich für sein gezeigtes Entgegenkommen zu meinen Wünschen über die Ausgestaltung des Buches bestens zu danken. B e r l i n , im April 1941. yerfasser. Der

Vorwort zur zweiten Auflage. Mit einiger Spannung übergab ich vor einem J a h r den zweiten Band meines Lehrbuches der Öffentlichkeit, h a t t e er doch keinerlei Vorbild und war daher vorerst nicht abzusehen, wie das gewählte Ausmaß und die Beschränkung der einzelnen Gebiete beurteilt werden wird. Die gute Aufn a h m e in der Fachwelt beweist mir, daß der eingeschlagene Weg im großen und ganzen richtig war und ein tatsächliches Bedürfnis nach einem Buch des vorliegenden Charakters bestanden hat. Die Zeit seit dem Erscheinen der ersten Auflage ist allerdings noch so kurz, daß sich viele Fachgenossen mit dem Inhalt noch nicht vollständig auseinandersetzen konnten und vielleicht noch manche wertvolle Anregung aussteht. Eine sehr ernst zu nehmende Anregung erhielt ich in der Hinsicht, die einzelnen Verfahren durch Rechenbeispiele zu beleben. Ich habe natürlich schon vor Herausgabe der ersten Auflage an diese Möglichkeit zu größerer Verständlichkeit gedacht, von ihr aber aus den folgenden Gründen Abstand genommen. Erstens würde die A u f n a h m e von Beispielen, wenn sie tatsächlich von praktischem Wert sein sollen, den U m f a n g des Buches übermäßig stark erweitern, und zweitens könnten die Beispiele vor der Kenntnis des dritten Bandes im wesentlichen doch n u r mehr oder minder rein mathematische Beispiele sein. Die sich darbietende Gelegenheit, als Zahlenbeispiele Aufgaben der praktischen Elektrotechnik heranzuziehen, könnte nicht ausgenützt werden. Ich habe mich daher entschlossen, einen besonderen Band mit Rechenbeispielen zu verfassen, in dem es möglich sein wird, auf die einzelnen Aufgaben so weit einzugehen, d a ß der Leser nicht nur eine wirklich b r a u c h b a r e Anleitung in den einzelnen Rechenverfahren b e k o m m t , sondern aus den gestellten Problemen auch Nutzen für das elektrotechnische Studium ziehen kann. Der vorliegende Band konnte somit im wesentlichen unverändert beibehalten bleiben und wurde n u r in einigen wenigen P u n k t e n verbessert. Die Gleichungen f ü r die Bahnkurven wurden auf ein Normalachsensystem umgeändert. Eine Ergänzung e r f u h r noch der Abschnitt über Reaktanzvierpole, in dem noch die Frequenzabhängigkeit der verlustbehafteten Kettenleiter und ihrer Wellenwiderstände kurz behandelt wurden. M a i

1941

•

Der Yerfasser.

Inhaltsverzeichnis. Seite

I. R e i n

mathematische

Rechen verfahren

der

Elektrotechnik

A. Einige elementare Hilfsmittel 1. 2. 3. 4.

11 11

Gleichungen Determinanten Arithmetische und geometrische Reihen Einfache F u n k t i o n e n a) Allgemeines b) Ganze rationale F u n k t i o n e n c) Gebrochene rationale F u n k t i o n e n d) Irrationale F u n k t i o n e n e) E x p o n e n t i a l f u n k t i o n e n f) Logarithmische F u n k t i o n e n g) Trigonometrische F u n k t i o n e n h) Zyklometrische F u n k t i o n e n i) Die Funktion sign x

11 15 20 22 22 23 24 27 27 28 29 32 32

B. Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g 1. Differentialrechnung a) Allgemeines b) Differentialquotienten einfacher Funktionen a) Einige Differentiationsregeln ß) Die wichtigsten Ableitungen einfacher F u n k t i o n e n c) Differentialquotienten höherer O r d n u n g d) Partielle Differentiation

.

33

. . . .

33 33 36 36 38 42 43

2. Integralrechnung a) Allgemeines b) Integrale einfacher F u n k t i o n e n a) Einige Integrationsregeln ß) Die wichtigsten Integrale einfacher Funktionen c) Mehrfachintegrale

46 46 49 49 51 57

3. Reihen a) Allgemeines b) Taylorsche u n d Mac-Laurinsche Reihe c) Spezielle Potenzreihen

58 58 59 60

4. Differentialgleichungen a) Gewöhnliche Differentialgleichungen a) Differentialgleichungen erster Ordnung 1. T r e n n u n g der Veränderlichen 2. E x a k t e Differentialgleichungen

63 63 63 63 64

—

8

— Seite

3. Integrierender Faktor 4. Die linearen Differentialgleichungen

66 67

ß) Differentialgleichungen höherer Ordnung

69

1. Differentialgleichungen zweiter Ordnung

69

2. Differentialgleichungen höherer Ordnung

72

b) Partielle Differentialgleichungen

81

a) Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung ß) Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1. Allgemeines 2. Gleichungstypus

84 ö

^ +

= 0

85

3. Gleichungstypus ^ ^ = a2 y J 4. Gleichungstypus 5. Gleichungstypus

81 84

Ò2 U ö (2

ò y

a

- = a2

Ò2 V

6. Gleichungstypus ^ ^

=

= a

, / Ò2 U

(

^ +

87 .

Ò2 u\

)

ö

87

ò2 y

88

2

()2 V

Ò V

* + 2b^

C. Geometrische Darstellung 1. Kartesische Koordinaten a) Zweidimensionale Darstellung b) Dreidimensionale Darstellung

+cy

89 91 91 91 93

2. Polarkoordinaten

94

3. Weitere räumliche Koordinatensysteme

98

a) Zylinderkoordinaten b) Kugelkoordinaten D. Komplexe Rechnung 1. Grundlagen der komplexen Rechnung 2. Grundrechenregeln für komplexe Zahlen

98 99 99 99 102

a) Addition und Subtraktion b) Multiplikation und Division c) Potenzierung und Radizierung

102 103 104

3. Funktionen einer komplexen Größe

105

a) b) c) d) e) f)

Allgemeine Grundlagen Analytische Funktionen K o n f o r m e Abbildung Integration im Komplexen Potenzreihen Singularitäten analytischer Funktionen

E . Einige spezielle Funktionen und Integrale 1. Parameterintegrale

105 106 110 112 114 116 120 120

2. Gammafunktion

121

3. Elliptische Integrale

124

4. Besseische Funktionen

125

5. Laplacesche Integrale

135

6. Fouriersche Integrale

138

—

9

— Seite

F . Operatorenrechnung

.

G. Vektorrechnung

138 142

1. Allgemeines

142

2. Vektoralgebra a) Addition und Subtraktion b) Multiplikation c) Ortsvektoren

143 143 144 147

3. Vektoranalysis a) Funktionen skalarer Veränderlicher b) Ortsfunktionen a) Der Gradient ß) Die Divergenz y) Der R o t o r (5) Einige Hilfssätze e) Zweite Ableitungen £) Sprungflächen tj) Anwendungen in der Feldtheorie

149 149 149 149 153 155 158 159 161 162

.

II. Einige Rechenhilfsmittel

164

1. Xomographie a) Funktionsleiter b) Fluchtlinientafeln c) Einige weitere Bemerkungen

164 164 167 174

2. Graphische Verfahren

176

3. Einige weitere Ililfsverfahren

179

I I . M i t d e r E l e k t r o t e c h n i k in b e v o r z u g t e m gende Rechenverfahren

Maße

zusammenhän-

A. Die komplexe Rechnung in der Wechselstromtechnik

182 182

1. Zusammenstellung der wichtigsten Wechselstromgrößen und Richtungsregeln

181

2. Die Grundgesetze der komplexen Wechselstromtechnik

187

B. Ortskurventheorie C. Symmetrische Komponentenrechnung

193 .

199

D. Fouriersche Reihenentwicklung

203

E . Darstellung durch Bahnkurven

212

F. Matrizen- und Tensorrechnung 1. Definition und Grundoperationen 2. Die zwei Grundprinzipien der Matrizenrechnung 3. Einige bevorzugte Anwendungsgebiete a) Netztransformation b) Symmetrische Komponenten c) Fehlerberechnung in Drehstromanlagen

217 217 227 234 234 236 240

G. Heavisidesche Operatorenrechnung und Laplace-Transformation 1. Heavisidesche Operatorenrechnung a) Die Grundlagen des Verfahrens b) Andere Darstellungen und beliebiger Erregerverlauf 2. Laplace-Transformation

. .

247 247 247 257 267

—

10

— Seite

III. S e l b s t ä n d i g e

Theorien

der E l e k t r o t e c h n i k

274

A. Die Zweipoltheorie

274

B. Die Vierpoltheorie 1. Definitionen 2. Passive, lineare Vierpole a) Grundgleichungen a.) Die Vierpolgleichungen ß) Vierpole mit eindeutigen Kopplungswiderständen y) Leerlauf und Kurzschluß 6) E r m i t t l u n g der G r u n d k o n s t a n t e n e) Kernwiderstand, Kernleitwert, Dualismus f) Der Wellenwiderstand b) Einige weitere Kenngrößen a) Der Eingangswiderstand ß) Übersetzungsverhältnisse y) Kopplung . c) Ausgezeichnete Belastungsfälle cv) Belastung mit dem Wellenwiderstand ß) Belastung mit dem Ausgangswellenwiderstand d) Der lineare, symmetrische Vierpol e) Zusammenstellung der Vierpolkenngrößen f) Ersatzschaltungen oi) Die T - S c h a l t u n g ß) Die 77-Schaltung y) Die X- Schaltung ö) U m w a n d l u n g e n der Ersatzschaltungen g) Betriebseigenschaften der Ersatzschaltungen h) Leistungsdiagramme

282 282 283 283 283 284 285 286 289 291 292 292 292 293 295 295 295 296 301 307 307 311 315 318 320 326

C. Homogene Kettenleiter 1. Allgemeines 2. Reaktanzvierpole und Siebketten

328 328 330

D. Die konforme Abbildung in der Elektrostatik 1. Die Grundgleichungen der konformen Abbildung 2. Abbildungstheoretische Deutung einfacher analytischer F u n k t i o n e n a) Ganze, lineare Funktionen b) Die Reziprokfunktion

342 342 343 343 344

c) Die F u n k t i o n w — z + — d) Linear gebrochene e) Die F u n k t i o n w = f) Die F u n k t i o n w = 3. Abbildung der oberen Bereich 4. Anwendungsbeispiel

Funktionen azm + b In 2 Ilalbebene auf einen konvexen, polygonalen

345 346 347 348 349 352

Funktionentafeln

365

Sachverzeichnis

377

I. Rein mathematische Rechenverfahren der Elektrotechnik. A. Einige elementare Hilfsmittel. 1. Gleichungen. Wie schon im Vorwort ausgeführt wurde, kann es nicht Zweck dieses Bandes sein, eine vollständige Einführung in Belange der Mathematik zu geben, sei es auch unter der Beschränkung auf das Anwendungsgebiet der Elektrotechnik. Das gilt im besonderen noch von diesem ersten Abschnitt, der sich auf ein Gebiet erstreckt, das einerseits der Großzahl der Leser bestens bekannt ist und andererseits aus der vorhandenen, ausgezeichneten und sehr ausgedehnten Literatur jederzeit mühelos erworben werden kann. Immerhin bilden aber gerade die elementaren Grundlagen die Ausgangsstelle für die höheren Verfahren, und es erscheint daher zweckmäßig, jene Regeln zusammenzustellen, deren richtig verstandene Anwendung auf den schwierigeren Gebieten von ausschlaggebender Bedeutung ist. In diesem Sinne möge die Beschränkung und Unvollständigkeit dieses ersten Abschnittes gewertet werden, der uns vor allem auch mit der Sprache vertraut machen soll, mit der die späteren Untersuchungen beschrieben werden. Das erste praktische, mathematische Problem, das dem angehenden Techniker unterläuft, ist wohl die Gleichung, und zwar als Gleichung mit einer und mit mehreren Unbekannten. Von besonderer Wichtigkeit sind dabei die linearen Gleichungen und die algebraischen Gleichungen höheren Grades. L i n e a r e G l e i c h u n g e n sind solche, in denen n Unbekannte in der ersten Potenz und mit einem konstanten Faktor multipliziert in einer Summe erscheinen, also allgemein a11x1 + a12x2+

+a1„zn

= b1

(1)

Ihre Lösung erfolgt im allgemeinen auf elementarem Wege und erfordert das Vorhandensein n voneinander unabhängiger Gleichungen. Eine wesentliche Vereinfachung kann im Lösungsgang durch die Anwendung der Determinantenrechnung erzielt werden, der ein eigenes Kapitel gewidmet sein soll. Über den sonst üblichen elementaren Vorgang braucht hier wohl nichts gesagt zu werden.

—

12

—

Zu den a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g e n h ö h e r e n G r a d e s genügen hier ebenfalls einige Bemerkungen über die Gleichungen m i t nur einer U n b e k a n n t e n . Sie lassen sich immer auf die F o r m bringen x

n

+

a „ - i

x " -

1

+

a

-

n

x

2

n

~

+

2

. . . .

+

a

x

x

+

a

0

=

0

.

.

.

(2)

Ist x = a eine Wurzel der Gleichung, d. h. eine der n Lösungen, so läßt sich leicht zeigen, daß das P o l y n o m (2) durch das P r o d u k t aus x — a und einem neuen, um eine E i n h e i t im Grad niedrigeren Polynom dargestellt werden kann. Ist nämlich a vorerst eine beliebige Zahl und dividiert man das P o l y n o m (2) durch x — a, so erhält man zunächst ein P o l y n o m des (n — l ) t e n Grades — es soll etwa mit Pn_x bezeichnet ß

sein — und einen R e s t b e t r a g - — — . D a s Polynom (2) kann also auch in der F o r m

(x

—

a)

+

R

0

=

(2a)

geschrieben werden. Soll nun a tatsächlich eine Lösung der Gleichung (2) sein, diese also nach dem Einsetzen für x = a identisch verschwinden, so muß nach der zweiten F o r m (2 a) für diesen Fall R = 0 sein, die Division durch x — a also aufgehen. Nach der Division verbleibt also ein Polynom das genau so behandelt werden kann. L i e g t insbesondere eine Wurzel x = b vor, so ergibt die Division durch x — b ein weiteres Polynom -P n _ 2 vom n ä c h s t niedrigeren Grad, so daß ( x - b ) P _ = 0 n

2

oder vom ursprünglichen Gleichungspolynom ( x - a ) ( x - b )

P „ _

2

ausgehend

=

0

wird. B e i fortgesetzter Zerlegung in F a k t o r e n erhält man die F o r m ( x

—

a)

{ x

—

b)

. . . .

{ x

—

k )

=

0

schließlich (3)

worin a, b, . . . k die n Wurzeln der vorgelegten Gleichung bedeuten. Sind die Koeffizienten a n _ x , a„_ 2 . . . a 0 reell — was vorläufig angenommen sei —, so sind die Wurzeln reell oder komplex, wobei a b e r beim A u f t r e t e n komplexer Wurzeln immer j e zwei konjugierte W e r t e paare vorhanden sind. U n t e r den Wurzeln können auch gleiche auftreten, die dann »mehrfache« Wurzeln genannt werden. Besonders einfach liegt der F a l l bei den quadratischen Gleichungen x

1

+

a

l

x

+

ß0

=

0

(4)

Sind xx und x2 die beiden Wurzeln der Gleichung, so ist ( x

—

x

x

)

( x

—

x

2

)

= 0

(5)

oder X2

woraus

X

~~f~" ^2) ""f-

—

— 13 —

Ferner

X-^ "J- X^ — %2 = a0(a^ — x2y = (x± + x2)2 — ix1x2

= aL2 - 4 « k — 1 , 2 . . . n).

Nun ist aber die Entwicklung Aik = a1} Alle -f- a2J A2k -f- . . . -f- anj

Ank

für alle / + k Null. Multipliziert m a n nämlich die Elemente einer Spalte (/) mit den Unterdeterminanten einer anderen Spalte (k), so entstehen P r o d u k t s u m m e n , in welchen die Elemente einer Spalte (k) fehlen und die einer anderen Spalte (/') doppelt auftreten. Nach dem

— 19 — Vorhergehenden verschwindet aber eine solche Determinantenentwicklung mit zwei gleichen Spalten. Die Summe der /-ten Reihe ergibt dagegen mit / = k die normale Entwicklung x 5 (auAij + a2}A2j + • • • dnj Anj) = XjD der Koeffizientendeterminante nach den Elementen der /-ten Spalte. Auf der rechten Seite erhält man die Summe ö

a

10 -A 1}

20 ^ 2 }

•••

a

n 0 A n j = Dj .

Das ist aber eine Determinante, die sich ergibt, wenn man in der Koeffizientendeterminante die Koeffizienten der /-ten Spalte durch die rechtsstehenden Glieder x10, x20 • • • xn0 ersetzt. Durch Addition der n Gleichungen wird also schließlich Xj D = Dj und daraus die etwa gesuchte Unbekannte

(9) Voraussetzung zur Lösungsmöglichkeit ist die Bedingung D + 0

(10)

Ist dies nicht der Fall, dann liegen keine n voneinander unabhängigen Gleichungen vor, sondern es sind nach dem Früheren zwei Zeilen, also die linken Seiten zweier Gleichungen des gegebenen Systems einander verhältnisgleich. Ein kleines Beispiel möge noch den Lösungsvorgang dem Verständnis näherbringen. Es seien die drei Gleichungen gegeben

5 — 6 — $3 — 23 8 x± + 9 x2 — 2 x3 = — 2 3 xx — 8 x2 + 7 x3 = 53. Die Koeffizientendeterminante ist 5

-

6

-1!

i

0

0

-

1

;

=

D = \8 9 — 2! = ! —2 21 - 2 | = ! 3 -8 7 I 38 - 5 0 7i !

2

3

i9i

" 1 = 7 2 2 - 2 4 = 698. 1

Es wird ferner

23 - 6

- 1 23 - 6 - 1 9 — 2 J = — 48 21 0 = ¡53 - 8 7! 214 - 5 0 Ol

Dx = \ — 2 i ß

21

2

1114-50 = '

3

¡1

71

57 _ 5 0 | = 6 ( 3 9 9 - 50) = 2094

—

5 D9

23

8

- 2

3

D,=

5 23 -2 -48 38 214

- 1 - 2

53

2 38 5 8 3 71 11 91

20

—

-1: o; = 0

7 36 = - 28 - 1368 = -14

6

23 9 - 2 8 53 0 329 1 51 0 461

5 - 6 11 1 3—8

1396

23 51 53

71 - 2 6 1 = 426 + 2366 = 2792. 91 6

Es wird also 2094 __ 698

'

X 2

~

1396 _ 698

_ 2792 _ 698 ~~

% -

Sind die rechten Seiten der Gleichungen (8) sämtlich Null, so spricht man von h o m o g e n e n , l i n e a r e n Gleichungen. Da dann alle Determinanten Z>3 verschwinden, ergibt sich zunächst die t r i v i a l e Lösung OC-^ — — #2 — • • • — 00n — 0. Von Null verschiedene Wurzeln erhielte man dagegen bei D = 0, womit aber nach dem Früheren gesagt ist, daß eine der Gleichungen von den übrigen abhängig ist, also nur mehr n — 1 voneinander unabhängige Gleichungen bestehen. Es können dann also die Unbekannten nicht mehr ermittelt werden. Dagegen wird es aber möglich, die Verhältnisse derselben zu einer der Unbekannten anzugeben, wie man sich leicht überzeugt, wenn man alle Gleichungen durch ein und dieselbe Unbekannte dividiert, wodurch man ein System von n — 1 nichthomogenen Gleichungen mit den Verhältnissen als Unbekannten erhält. Schrifttum. N e t t o E . : Die Determinanten. 2. Aufl., B. G. Teubner, Berlin 1925, Bd. 9 der Sammlung mathem.-physik. Lehrbücher. F i s c h e r P . : Determinanten. 3. Aufl., Walter de Gruyter, Leipzig 1932, Bd. 402 der Sammlung Göschen.

3. Arithmetische und geometrische Reihen. Eine a r i t h m e t i s c h e R e i h e ist eine solche, bei der jedes folgende Glied u m denselben Betrag größer ist als das vorhergehende. Bezeichnet m a n die Differenz zweier Glieder mit d, so ist also die Reihe bestimmt durch die Elemente

—

21

—

ax — ax 2 = ai + d a 3 = a2 + d = ax -)- 2 d a

i • i

an = a1 + (n — l)d

(1)

Man findet die Summe einer arithmetischen Reihe sa = d! + («1 + d) + K + 2 d) + . . . + [«1 + (n - 1 ) d] indem man zunächst die verkehrt angeschriebene Reihe Sa = [a! + (n-l)d]

+ K+

(n-2)d]

+ ...

+ a,

addiert. Je zwei übereinander stehende Glieder ergeben dann immer den Wert „ , . , 2a x + (n — 1) d was also «-mal gebildet die doppelte Summe 2 Sa ergibt. Es ist demnach Sa = n ( a 1 + n - ^ d ) = , n a - ^ (2) Bei der g e o m e t r i s c h e n R e i h e wird jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor r gewonnen. Es ist also = a a n) und andererseits durch den gemeinsamen Faktor kürzen. Im ersten Fall entsteht dann die Summe aus einer ganzen und einer gebrochenen rationalen Funktion. Von besonderer Bedeutung in der Behandlung gebrochener rationaler Funktionen ist die Z e r l e g u n g in P a r t i a l b r ü c h e , die wie folgt vorgenommen wird. Gegeben ist die Funktion »="*> = ? $ wobei angenommen sei, daß der Grad von und kein gemeinsamer Faktor vorhanden durch den Faktor an der höchsten Potenz daß man ,, , , , f(x) N = xn + an-1xn~1+ ...

e> rp niedriger ist als der von / ist. Es kann dann ferner von x dividiert werden, so +a1x

+ a0

(3)

setzen kann. Für dieses Polynom können durch Nullsetzen f(x) = 0 die Wurzeln a, b, c . . . gefunden werden. Im allgemeinen können die einzelnen Wurzeln auch mehrfach auftreten. Es ist dann / (x) = (x — a)a (x — by1 . . . (x — n)r

(4)

wobei a eine «-fache, b eine /5-fache usw. Wurzel ist. Führt man das in die Gleichung (2) ein, so ergibt sich die Summendarstellung ji / \ Aa , Aa — 1 Aj yy = F(x) = , ,-+ , ,—, + . . . H h y ' (x — a)a (x — a)"-1 x —a _, ;

B

J _ < _ Bt'-1 - iy ^ (x - ly-1

L • '"

1 L ^ x - b ^

• •

(x — n,y (x — ny-1 ^ ^ X n worin Au Bi . . . Nt noch zu bestimmende Konstante sind. Man findet diese, wenn man die rechte Seite wieder auf den Nenner f{x) bringt und die Koeffizienten gleicher Potenzen von x auf der linken und rechten Seite der Gleichung gleichsetzt. Die so erhaltenen Beziehungen reichen zur Ermittlung der gesamten Konstanten aus. Als Beispiel sei die Funktion —

{X)

betrachtet. gibt sich

_£_(«) _ 3 x5 - 22 x4 + 78 z 3 - 128 x2 + 103 x - 50 ~ / (x) x6 — 8 x5 + 21 x4 — 16 z 3 — 13 z 2 + 24 x — 9 Nach Aufsuchen der Wurzeln des Nennerpolynomes er-

—

f(x) = ( x - l )

26 3

—

(x-3)2,

(x + 1)

was hier sofort angegeben werden kann, da der Versuch x = 1 dreimal und x = — 1 einmal der Gleichung f(x) = 0 genügt. Nach Division durch (x — l ) 3 (x + 1) bleibt dann x 2 — 6x + 9 = (x — 3) 2 . Es ist also der Ansatz zu machen „ y

rf{.X{

j) >

=

A A » | A (x-l)3 ^ (x-1)2^ x - l

+

^

B J x + i

+_i

oder wenn m a n auf den gemeinsamen Nenner f(x) 2

r 2 L » (x-3)2^ « - 3 r

bringt 2

(x) = (x + 1) (x - 3) [Aa + A2 (x - i) + AAx - l) ] + + B, (x - 1)3 (x - 3) 2 + (x - l ) 3 (x + 1) [C2 + Cx(x-

3)].

Das ergibt ausgerechnet 3 x 5 - 22 x 4 + 78 x 3 — 128 x 2 + 103 x - 50 = = x 5 0 4 1 + 5 1 + 6,1) + + x" (A2 - 7 A1 - 9 Bx + C2 - 5 Cx) + + x 3 (A3 - 6 A 2 + 14 Ax + 30 B1 - 2 C2 + 6 CJ + + x 2 ( - 5 A3 + 8 A2 - 2 A1 - 46 B^ + 2 6\) + + x (3 A3 + 6 A2 — 15 Ax + 33 B1 + 2 C2 - 7 6\) + + 9 — 9 A2 + 9 A1 — 9 Bx — C2 + 3 C\ oder Ay + B^ + C ^ 3 — ¿2 + 7 + 9 — C 8 + 5 Ci = 22 - 6 + 14 + 30 B1 - 2 6 t 2 + 6 Cx = 78 5 A3 - 8 A2 + 2 + 46 Bx - 2 6 \ = 128 3v4 3 + 6 / l 2 - 1 5 , 4 1 + 3 3 £ 1 + 2 6'2 — 7 6 \ = 103 - 9 + 9 A2 — 9 Ax + 9 B1 + C2 — 3 6 \ = 50, woraus m a n leicht findet Aa = — 2 A2 = 0 = 0 = 3 C2 = 5 Ci = 0

Es ist also y = F(x) = (X ~_

2 1)3

-r ( x

3 +

5 l) +-J- ( X _"3)a"

In genau der gleichen Weise geht m a n vor, wenn die Nennerfunktion nur einfache Wurzeln hat. Es vereinfacht sich d a n n mit « = /?=...= v= 1

— 27 — die Rechnung wesentlich.

Als Beispiel diene die Funktion

.

4 a;2 + J* ; 2

o

x —a Xi

—

oc

=

lim Ix >0

OC — {x1 — a) (x — a)

1

Xi — X

(x — a) 2

(5)

Der Differentialquotient wird für x = a unendlich, die Funktion selbst ebenfalls, und zwar -f- co, wenn man sich von x> a und — oo) wenn m a n sich von x < a der Unstetigkeitsstelle x = a nähert. Die graphische Darstellung der Funktion zeigt Bild 6. Da die Ableitung /' einer Funktion y — f(x) im allgemeinen wieder eine F u n k t i o n von x ist, k a n n man von ihr wiederum die Ableitung bilden. Man erhält so die höheren Ableitungen :/"

y

(x)

d [d y \ dx\dxl

0 das Vorhandensein eines M i n i m u m s an dieser Stelle an. 3*

— 36 — Schrifttum. Das Schrifttum über die Differential- und Integralrechnung ist sehr umfangreich. Es seien daher nur drei Werke herausgegriffen, deren Studium gerade dem Elektroingenieur sehr empfohlen werden kann, ohne damit aber den Wert anderer Werke irgendwie schmälern zu wollen. Kiepert, Stegemann: Grundriß der Differential- und Integral-Rechnung. 14. Aufl. Jaehnecke, Leipzig 1920. J o o s , K a l u z a : Höhere Mathematik für den Praktiker. Joh. Ambrosius Barth, Leipzig 1938. R o t h e , R . : Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker und Ingenieure. 4 Teile. B . G. Teubner, Leipzig 1931/35.

b) D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n 0

¿X

,

Um

^.tx-*

fx[f(x)±g(x)}=f'(x)±g'(x)

=

g(x + 0

Ax)-g(x) AX

(4)

was sich analog auf mehrere Summanden erweitern läßt. Man schreibt gerne auch mit f(x) = u g(x) = v —(u ax

4-1>) = u' 4- v'

(4a)

— 37 — 4. Wichtig ist auch die Ableitung des Produktes y = uv =

f(x)g(x)

zweier Funktionen von x. Man findet ?'= =

lim

f(x +

Ax

)S(x +

Ax

iim

g ( s + ^ s) [ / ( * +

)—f(x)S(x)

=

s) - /(x)] + f(x) [g(x + A x) - g (a)] =

=

g(x)f'(x)+f(x)g'(x),

also =

1

{x) 8 { x ) = v + v

'

u = g

{x) r ( x ) + f

( x ) g/ {x)

(5)

Setzt man uv — w

dann kann man sofort auch d(wz) —)—d x

=

d(uvz) , d x

du = vz —, dx

, d v \- uz d x

,

dz d x

._ ,

b ii v -j— . . . (5a)

entwickeln. 5. Den Differentialquotienten des Quotienten v

u =

—

V

fix) =

———

g(x)

findet man durch Differenzieren des Produktes d , , du dy , dv dy , u du -j— (yv) = -j— = v + y = v - -\ , dx d x dx dx dx v dx

woraus dy ~dx~V

,

d ~ Tx

[u\__ U! —

du dx

dv dx ^

„ '

(l

6. Ist y=

f[g(x)]=f(u),

y also die Funktion einer Funktion von x, dann f ü h r t eine stufenweise Differentiation zum Ziel. Zunächst kann man das Differenzenverhältnis A y

— darstellen als

A x

Ay Ax

Ay Au

Au A x

Beim Grenzübergang Zlx—>0, bei dem auch A u - ^ - 0 wird, erhält man dy d x

dy du

du d x

(7)

— 38 — worin y als Funktion von u aufgefaßt werden kann, wie es ja oben auch angeschrieben ist. Es ist also =

™

7. In ähnlicher Form kann man auch eine Differentiationsvorschrift finden, wenn x und y Funktionen einer dritten, parametrischen Veränderlichen sind, also etwa x = ft (t) y = u (0 Es führt dann eine der vorigen analoge Setzung von Differenzenquotienten nach dem Grenzübergang zu dy dy = dt = W (t) dx dx /2' (t) ~dt worin beide Ableitungen /' nach t zu bilden sind. ß) Die wichtigsten Ableitungen einjacher

(8)

Funktionen.

1. Die Ableitung g a n z e r r a t i o n a l e r Funktionen macht zunächst Anwendung vom Additionssatz 3 des vorigen Kapitels. Des weiteren wird aber noch der Differentialquotient einer Potenz benötigt. Im Beispiel, Gleichung (2) und (3) der Seite 34 wurde bereits die Beziehung d - - - Zi 2 xJU a, x

entwickelt. Man erhält durch entsprechende Ausweitung leicht die allgemeine Beziehung ,/T

(1)

womit die Differentiation von Polynomen durchgeführt werden kann. Zum Beispiel wird für y = 3 x* — 2 x3 5 x2 — z + 9 2 3 y' = 12 a; - 6 z + 10 x — 1 . 2. Dies gilt aber weit allgemeiner auch für i r r a t i o n a l e Funktionen, indem der Exponent n irgendwelche Zahlenwerte annehmen kann. So ist beispielsweise für i y = y x = X2 (2)


o x \

a;

A x eine Zahl, die mit Ax—>0 unendlich wird. Da aber andererseits, wie später noch ausgeführt werden wird, lim ist, so wird also

+

wo noch die Basis des Logarithmus mit a bezeichnet wurde. Im besonderen ist dann -j— In a; = — dx x tion

(4)

5. Es ist nun auch leicht, die Ableitung der E x p o n e n t i a l f u n k y = ax

zu finden. Man bildet zunächst den Logarithmus In y = x In a und erhält nach dem Differenzieren 1 dy , = In a, y ax

woraus

dy ax

Im besonderen wird

=

da^ = dx

ax]na

d ¡>x ~J~ = e* dx

(6)

Die e-Potenz bleibt also beim Differenzieren unverändert. 6. Die Differentialquotienten der H y p e r b e l f u n k t i o n e n ergeben sich sofort aus den Gleichungen (4), (5), (6) und (7) des Kapitels A/4/e. Es wird im einzelnen d

©ina: =

1

(ex + erx) = ©ofa:

(1)

(t X

Ji

d -jCl X©of x = d £g X = dx ö

1 x — ex) = =

l .

2

(— l)""1 . 3 . . . ( « - l ) - < - — .

. (4)

d" • x = sin • \x I , n 7r sin ^\ -i dxn \ 21

C0S X

dn d xn

—

+

C0S

dnu dxn

{ul,)—v

+

11

(5)

2/

' '

(n\ du dn~1u ' 1/ c/ x d x"

d) P a r t i e l l e

1

/ n \ dn~1u du + ' * " + \ra - 1/ dxn ~Sl die

dn v + d xn U . . . (7)

Differentiation.

Ist eine Größe z als Funktion zweier Veränderlicher x und y z = f(x,y)

(1)

gegeben, so erleidet diese bereits eine »partielle« Veränderung, wenn nur eine der beiden Größen x oder y geändert wird. Man kann dann wieder die Grenzwerte f(x

]im J

x

^

o

+ Ax, y) —f (x, y) A

x

f(x,y

Hm '

. / „ - > < )

bilden und bezeichnet sie als die p a r t i e l l e n Und

+ Ay) — f(x, A

y

Differentialquotienten

l y ^ Y y f ^ ^

der Funktion f(x, y) nach x oder nach y.

y)

— 44 — Der Differentialquotient

gibt also die Änderung der Funktion

j e Einheit der Größe x an, wenn diese allein verändert wird. In geometrischer Deutung (siehe Bild 7) ist dies die Funktionsänderung j e Längeneinheit beim Fortschreiten in der x-Richtung. Die Änderung , auf der unendlich kleinen Strecke dx /+g>-/y b ist dann dy

dx

_ ftx.y)

*

d

f +

b X

_ jj^fr-/»

X.

Ebenso würde man beim Fortschreiten in der y-Richtung, also bei einer alleinigen Veränderung von y erhalten b

Bild 7.

d

Zur D e f i n i t i o n des t o t a l e n Differentiales.

f

j

— — CL y. 0 y

Macht man die beiden Schritte hintereinander, dann erhält man eine » t o t a l e « Änderung der Funktion

oder «z =

by

dy

y

+

- — bxX

/ +

a

—— by

y}dx l

=

J

- ^ d by

y

y +

- — d x bx

+

- — h-M d x b x \ b y !

dy y

je nachdem ob man zuerst den x- oder den ?/-Schritt gemacht hat. In beiden Fällen t r i t t aber die gegen dx und dy unendlich kleine Größe ö2/ bx by^X höherer Ordnung (wegen des Produktes dx dy) verschwindet als dx und dy und daher gestrichen werden kann. wird aber das t o t a l e D i f f e r e n t i a l der Funktion (1) dz

= ^ - d x

öx

4-

by

Damit

(2)

dy

was natürlich sinngemäß auch auf Funktionen mehrerer Veränderlicher ausgedehnt werden kann. Man kann nun auch leicht den Differeütialquotienten der Funktion (1) nach einer Veränderlichen t bestimmen. Da die partiellen Differentialquotienten in der Gleichung (2) von t unabhängig sind, liefert die Differentiation der Gleichung (2) unmittelbar

Für t =

dz

bz

d x

b z

d y

dt

bx

dt

by

~dt

.„. '

x wird dz d x

=

b z

b z

b x

by

d y

—

d x

. .

.

.

...

(4)

— 45 — was also auch auf n i c h t e n t w i c k e l t e (implizit gegebene) Funktionen dz f(x, y) = 0 angewendet werden kann, wobei natürlich = 0 wird. Beispielsweise gilt für z 2 + 2 xy — y2 = 0 2z + 2y + 2 x y ' - 2 yy' y ,-

dy a, x

••

=

0

y 4- x y — x

Durch nochmalige Differentiation der partiellen Ableitungen erster Ordnung entstehen partielle Ableitungen höherer Ordnung. F ü r die Funktion z = f(x, y) bestehen folgende Möglichkeiten: ö x2'

bx\bxl b lbz\_ bx\byl

. bxby^

by\bxl _ö_ / by\byl

_

bybx d^z ö i/2

Eine ähnliche Überlegung, wie sie bei der Ableitung des Begriffes des totalen Differentiales angewendet wurde, f ü h r t hier zur Erkenntnis c)2/ _ bx by

ö2/ _ bybx

Es ist also die Reihenfolge der Differentiation gleichgültig. Dies gilt natürlich in gleicher Weise für höhere Differentialquotienten +

m

j

n

bx by

m + n)

_

n

by

j

bxm'

Es soll noch ein für die Anwendungen wichtiger Fall besprochen werden. Gegeben sei eine F u n k t i o n z = f(x,

y),

dann sind im allgemeinen die partiellen Differentialquotienten ^

= Fx(x,y)

und ~

=

Fy(x,y)

selbst wieder Funktionen von x und y. Bildet m a n nun die zweiten partiellen Differentialquotienten nach der anderen Veränderlichen, so ist bFx by

=

b2z __b Fy bx by i)i

Liegen also umgekehrt zwei Funktionen F1 und F2 von x und y vor und ist bF\_bF2 10,1 by ~ bx

— 46 — so ist das ein K r i t e r i u m dafür, daß eine F u n k t i o n z = j(x, bestimmt werden kann, daß Fx =

Pbx

1

und

F2 =

derart

. (6) v '

b z/

2

y)

also die vorliegenden F u n k t i o n e n die partiellen A b l e i t u n g e n dieser gem e i n s a m e n F u n k t i o n / sind. A n d e r s a u s g e d r ü c k t ist die Gleichung (5) ein K r i t e r i u m dafür, ob eine g e g e b e n e G r ö ß e F1 dx -j- F2 ein t o t a l e s D i f f e r e n t i a l dz einer ist.

dy

Funktion

« = f(x, y)

Beispielsweise ist

2 xy3 dx + 3 x2y2

dy

ein t o t a l e s Differential, denn es ist -r— = dy

rb x y 2

A und

J

M a n findet leicht

df =

2 xy3 dx - j - 3 x2y2 2.

0r x u-. J

y) = x2 y3,

/

woraus t a t s ä c h l i c h

-— = dx

dy.

Integralrechnung.

a)

Allgemeines.

Die I n t e g r a l r e c h n u n g ist die U m k e h r u n g zur D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g . I h r e A u f g a b e ist es, die zur gegebenen A b l e i t u n g / ' (x) gehörige F u n k tion / {x) zu finden. E s soll also / (x) so e r m i t t e l t werden, daß

wird, was b e k a n n t l i c h in der F o r m f(x)=\f'(x)dx geschrieben wird, wo das Zeichen ^ b e d e u t e t , daß / (x) des D i f f e r e n t i a l e s / ' (x) dx

(1) das

Integral

ist.

D a D i f f e r e n t i a t i o n und I n t e g r a t i o n e n t g e g e n g e s e t z t e R e c h e n o p e r a t i o n e n sind, heben sie sich gegenseitig auf und es ist d a h e r $df(x)

= f(x)

(2)

und ¿J>'

d

*=/'=/i>

— 47 — Man kann also jede durchgeführte Integration dadurch überprüfen, d a ß m a n das Ergebnis differenziert, wobei wiederum der Ausdruck u n t e r dem Integralzeichen erscheinen muß. Daraus ergibt sich aber sofort, daß $f'(x)dx

= f(x) + C

(4)

ist, wobei C eine beliebige, frei wählbare Konstante bedeutet. Differenziert m a n nämlich zur Überprüfung, dann fällt die Konstante fort, gleichgültig welchen Wert man ihr beigelegt hat. Die Konstante heißt I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e ; ihr Bestehen zeigt an, daß jede Integration im allgemeinen cc viele Ergebnisse gibt. Deutet m a n / (x) als Gleichung einer Kurve, dann gibt ja /' (x) die Neigung der T a n g e n t e an. Die Konstante C bedeutet aber eine Parallelverschiebung der Kurve in der Richtung der y-Achse. Dabei bleiben die Neigungswinkel der T a n g e n t e n natürlich ungeändert, so daß damit das Auftreten der frei wählbaren Integrationskonstante eine einfache Erklärung findet. Man kann die Kurve aber auch sofort fixieren, wenn man einen P u n k t festlegt, beispielsweise den Punkt, für den die Funktion / (x) verschwindet. Diese Forderung wird bei physikalischen Aufgaben durch die Art des vorliegenden Problems meist gegeben sein. Ist dieser P u n k t etwa durch den W e r t x — a bestimmt, so wird aus J/'(:r) dx = f(x) + C 0=f(a) oder

+ C

\f'(x) dx = f(x) — f(a)

(5)

Man nennt dann a die » u n t e r e G r e n z e « des Integrals und schreibt sie unten am Integralzeichen an. Man kann dem Integral noch eine übersichtliche, geometrische D e u t u n g geben. Liegt nach Bild 8 eine Kurve y = f (z) vor und will m a n den Inhalt des Flächenstückes /I a x X, das die Kurve mit den Ordinaten in a und x mit der x-Achse bildet, bestimmen, so findet m a n zunächst, daß dieser selbst eine Funktion von x, etwa F (x) sein muß, da er sich ja gleichzeitig mit x ändert. Es ist also der Inhalt der Fläche AaxX F = F(x), ferner jener von A a x 1 X 1 Fx =F(x + Ax) und daher die Differenzfläche AF = Ft~F = F(x + Ax)—F

X

(x).

B i l d 8.

X,= X

'¿X

Zur D e u t u n g des gralbegriffes.

Inte-

— 48 — Nun ist aber offenbar und

d F = lim A F = y dx. Jx-^-0

Es wird also y= und

y A x < A F < y± A x

dF F(x + Ax)-F(x) „,. . — = lim — -¡-^ — = F (x) dx u Ax

F = § dF — § y dx = § f (x) dx = F (x). Es ist also das Integral einer Funktion' / (x) deutbar als unendliche Summe der Differentiale / (x) dx und damit in der geometrischen Deutung als Inhalt der von der Kurve mit der z-Achse eingeschlossenen Fläche. Setzt man nun wieder x = a, dann soll nach der früheren Voraussetzung das Integral verschwinden (die Fläche Null sein); x=a ist also dann tatsächlich der Ausgangspunkt der Summenbildung und F(x)-F(a) = F*a die Fläche zwischen den Ordinaten bei x = a und x = x. Will man die bestimmte Fläche zwischen den »Grenzen« x = a und x = b haben, so wird F* = F(b) -F{a), was dann in der Form b F = f j f (x) dx = F (b) — F (a) (6) a geschrieben wird. F heißt dann das b e s t i m m t e I n t e g r a l der Funktion / (x), a und b beziehungsweise seine u n t e r e und o b e r e G r e n z e . Man erhält offensichtlich das bestimmte Integral aus dem unbestimmten, indem man in diesem einmal die obere und dann die untere Grenze einsetzt und die beiden Werte subtrahiert. Die Integrationskonstante fällt dabei fort. Es ist also », b \if(x)dx = [F(x) + C]\x_6-[F(x) + C]\ll_a = F(x)\=F(b)-F(a) (7) a a Diese Ableitung liefert sofort die Erkenntnis, daß bei einer Vertauschung der Grenzen das Integral sein Vorzeichen ändert, also b a §f(x)dx = — §f(x)dx (8) a b ist. Es ist ebenfalls unmittelbar einzusehen, daß b e b \f{x)dx = \f{x)dx +§f(x)dx (9) a a c die Integration also in Teilintegrationen über Zwischenbereiche zerlegt werden kann.

— 49 — b) I n t e g r a l e e i n f a c h e r F u n k t i o n e n . x) Einige

Integrationsregeln.

1. Genau so wie bei der Differentiation lassen sich auch für Integration einige wichtige Grundregeln ableiten. Sie ergeben zum Teil als Umkehrungen der erhaltenen Differentiationsregeln. liefert beispielsweise die Gleichung (3) des Kapitels B/l/b/a sofort Integral \Af{x)dx = A $f(x)dx = AF(x) + C wenn / (*) = F' (x)

die sich So das (1)

was auch für die weiteren allgemeinen Gleichungen gelten soll. 2. Aus Gleichung (4) wird ferner J [/ (x) + g(x)]dx

= jjf (x) dx + §g(x)dx

= F (x) +G(x)

+ C

(2)

was natürlich auch wieder in der Form ^ (u + v) dx = j" u dx -f- J v dx

(2 a)

geschrieben werden kann. 3. Die Gleichung (5) für das Produkt liefert durch Integration j d(uv) = uv = J u' v dx + j v' u dx

oder

(3)

u v' dx = u v — £ u' v dx

ein Vorgang, der mit p a r t i e l l e r I n t e g r a t i o n bezeichnet wird und einfacher auch noch wie folgt geschrieben werden kann ^udv = uv — J v du

(3a)

Ein Beispiel möge den Wert dieses Verfahrens zeigen. Integral I" sin" x dx zu bestimmen.

Es sei das

Man findet mit M = sin" - 1 a;;

dv = s'mxdx = d(—cos

x)

J sin" x dx — — s i n " - 1 x cos x + (n — 1) j s i n " - 2 x cos2 x dx = = — s i n " - 1 x cos x + (n — 1) J s i n " - 2 x (1 — sin2 x) dx = = — s i n " - 1 x cos x + (n — 1) J s i n " - 2 x dx—(n—

1) Jsin" xdx.

Bringt man den letzten Summanden auf die linke Seite und kürzt man durch n, so wird hieraus ( sin" x dx = — — s i n " - 1 x cos x + — J n n O b e r d o r f e r , Elektrotechnik I I / 2 .

i s i n " - 2 xdx J

. . (4) 4

— 50 — D a m i t ist bei positiven n das gegebene I n t e g r a l auf ein einfacheres z u r ü c k g e f ü h r t . Mit der Gleichung (4) e r h ä l t m a n für" die I n t e g r a t i o n also eine R e d u k t i o n s f o r m e l , deren f o r t g e s e t z t e A n w e n d u n g schließlich zur endgültigen L ö s u n g f ü h r t . F ü r n = 2 ist j sin 2 x dx = —

sin x cos x ^ ^ j dx = — ~ sin x cos x + ~ -(- C,

ferner f ü r n = 3 f 1 \ sin 3 xdx = — ^ s i n 2

x cos x

2 f . + 3 j s i n xdx

1 — — ^ (sin 2 x + 2) cos x + C.

Bei richtiger W a h l v o n u u n d du ist so eine d i r e k t e I n t e g r a t i o n nicht ganz einfacher F u n k t i o n e n oft leicht möglich oder z u m i n d e s t durch eine R e d u k t i o n s f o r m e l auf ein einfacheres I n t e g r a l z u r ü c k f ü h r b a r . 4. M a n c h m a l gelingt eine V e r e i n f a c h u n g des gegebenen Integrales d a d u r c h , d a ß m a n d u r c h eine S u b s t i t u t i o n eine n e u e Veränderliche e i n f ü h r t . Ist das I n t e g r a l |/(x)dx zu bilden u n d setzt m a n x = g (w); so wird

dx = g' (u) du

\ f(x) dx=\f(g(u))g'(u)du

+ C,

was bei geeigneter S u b s t i t u t i o n einfacher sein k a n n . E s sei z u m Beispiel das I n t e g r a l j (a + b x)n dx zu berechnen.

Mit

(a + bx) = u;

b dx =

du

wi rd \ (a + b x)•• dx = u" d u = .-, ,. = J^ ' b ,} b{n + 1) wobei die L ö s u n g des G r u n d i n t e g r a l e s C n , un+1 l u du = —, —tJ n + 1

— • b(n + 1)

, '

dein n ä c h s t e n K a p i t e l v o r w e g g e n o m m e n wurde. Sehr f r u c h t b a r ist o f t a u c h eine t r i g o n o m e t r i s c h e S u b s t i t u t i o n , wie e t w a das folgende Beispiel zeigt f* sin u c o s 11 /i J , r> l dx 1 cos u , 1 I , i ^^^— = i (/.ii • I du J xix>-a> | 1 «J cos 2 u 1 . 1 a = — u -f 6 = — arc cos a a x

. „ h C.

— 51 — ß) Die wichtigsten

Integrale

einfacher

Funktionen.

1. Zunächst f ü h r t ein Vergleich mit der entsprechenden Differentiationsgleichung für das Integral einer Potenz zu n +1 xndx = — (I) w 71+1 Damit ist die Integration g a n z e r r a t i o n a l e r Funktionen als Summe der Integrale der einzelnen Glieder des gegebenen Polynoms durchführbar. 2. Einfache i r r a t i o n a l e Funktionen können auf die gleiche Weise integriert werden. Zum Beispiel i

J 1

dx =_ ( (a + b x) - dx = a + bx J Ii' —1 = y l (a + b x) - d (a + bx)=

2 ^ }la + bx + C

(2)

In komplizierteren Fällen versuche man, das Integral durch Anwendung der partiellen Integration oder mit Hilfe einer geeigneten Substitution auf einfachere Formen zurückzuführen. 3. Bei den g e b r o c h e n e n r a t i o n a l e n Funktionen f ü h r t wieder eine Partialbruchzerlegung zum Ziel. Man k o m m t dann auf Integrale der Form dx {x — a)n ' wenn es sich um eine /¿-fache Wurzel handelt.

Durch die Substitution

x — a = u] dx = du findet man dx Cd u 1 (x — a)' ~ J un ~

u i — n

—1 — 1) (x — ^'-i

+ ' '

'

F ü r eine einfache Wurzel (n = 1) wird diese Beziehung u n b r a u c h b a r ; hier f ü h r t die elementare Logarithmusfunktion zum Ziel, wie anschließend gezeigt wird. Ergibt die Partialbruchzerlegung eine komplexe Wurzel, dann ist auch ihre konjugierte Wurzel vorhanden und m a n faßt die beiden vorteilhaft zusammen und erhält so für ein Teilintegral der Summe (a + bx + x2)"

d x

Durch Substitution und Anwendung der partiellen Integration erhält m a n die Rekursionsformel 4*

— 52 — P + l* -dx + bx + x2)n

=

+

Hierin ist wieder j dx

x

(a + v

'

q+ bx +

2{n — i)(a

~~ 777

777

-

b

(4a)

i ) U a + blx-+x^

+ o" 2 ^

2 (n — 1) I a ,

[ p

x2)n~x

i 777

^ I (a + b x + x2)n 2n — 3

f

dx

o/\(n~l)\a-T

(a + bx +

xY'1

und schließlich

i

a rbx-yx* y

b2 wenn a > - r . 4 ¿2 Ist a < zu ersetzen.

a

2

' - t

¿,2 dann ist a — d u r c h

i

¿2 —

• • -

a

(4C)

T

a und arctg durch 2ir£g

Für den Sonderfall b2

wird -a + bx+x'

= --b

+

C

(4d)

4. Von besonderer Wichtigkeit sind wieder die l o g a r i t h m i s c h e n Funktionen. Vorerst erhält man sofort aus der entsprechenden Gleichung für den Differentialquotienten x worin

= In x 4- C — In cx

(5)

C = In c

gesetzt wurde. Für das Integral des Logarithmus erhält man durch partielle Integration p n x dx = x In x — x -(- C (6)

— 53 — Ein hierher gehöriges Beispiel ist das mit Hilfe der Parti albruchzerlegung lösbare Integral f

dx

_

1

f

dx

1

f

worin x > 1 angenommen wurde.

f . %

dx

_

1 .

x —

1

,

r

Ist x < 1, dann wird

= 1 i l fi + I

t

e

=

T ^

+

™

c

Bei Integralen, in deren Wert Logarithmen auftreten, hat man darauf zu achten, sie so anzuschreiben, daß die Größe, deren Logarithmus in der Rechnung erscheint, positiv sein muß. 5. Für die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n zur Differentiationsregel \ a

J ist

Im besonderen

x

d x = ~ - ~

r

n

e

x

auch d x =

x

=

die

(8)

n

e

ex

+

C

— n ^

x

xn~1exdx

Px

(n—

(10)

| '

=

xn

(9)

Reduktionsformeln

px

J

C

wieder

gehören ^ x

+

Ina

j'exdx

Hierher

findet man als Umkehrung

l ) x71-1

\

C \

px

1J

n —

(11)

dx

xn~x

•

•

y

)

deren erste sofort durch eine partielle Integration erhalten wird, während sich die zweite dadurch ergibt, daß man die erste Reduktionsformel umgekehrt anwendet, nachdem man vorher n durch — ( n — 1) ersetzt hat. Die Gleichung (11) versagt für n = 1. Das Integral

f

~ d x , x

das dann entsteht, läßt sich nicht mehr durch elementare Funktionen in geschlossener Form darstellen. Dasselbe gilt auch, wenn der Exponent von e negativ ist, nämlich ccn

— ex

dx

=

ex

i oc^1—^ h» J ex

v (10a) >

dx

und 1

f

x'lex

j

dx

=

1

(n—

j-r l ) x

n

= ~ e 1

, x

1

n —

f

\ l j

r

1

x

n

-

z—dx e x

1

J

.

/ (, I, I X a) v

'

6. Die Grundintegrale der H y p e r b e l f u n k t i o n e n ergeben sich wieder aus den Gleichungen für die Exponentialfunktion sowie denen für die Ableitungen zu

— 54 —

. , a cos b x + b sin b x ax , ,, cos bxdx = f-r, e + C . . . . 32) a2 + b2

Sehr oft lassen sich trigonometrische Funktionen in Substitutionen verwenden. Beispielsweise wird in dx M

durcb

x2

+ i

x = tg

co

gegen Null geht, wenn m a n die Gliederzahl unendlich anwachsen läßt. b) T a y l o r s c h e u n d M a c - L a u r i n s c h e

Reihe.

Ersetzt m a n in der ganzen rationalen Funktion f(x) = anxn + un—i xn~1 + ...

+ (hx + a0

die Variable x durch x + h, so erhält m a n auf der rechten Seite nach Durchrechnung der Potenzen eine Reihe f ( x + h)=F0(x)

+ F1(x)h

+ F2(x)h2

die man nach Potenzen von h ordnen kann. rentiation findet m a n für die Koeffizienten

+ ...

+Fn(x)h",

Durch fortgesetzte Diffe-

F0(x)=f(x) Fi(x)=

so daß f(x + h)=f(x)

+

r

(X) +

/" ( * ) + • • • +

fM

•

•

(1)

Ist / (x) keine ganze rationale Funktion, d a n n muß der Entwicklung (1) noch ein, Restglied R angefügt werden. Die Entwicklung selbst heißt T a y l o r s c h e R e i h e . Setzt m a n in der Entwicklung (1) x = a und h = x — a, d a n n erhält man eine zweite Form der Taylorschen Reihe

—

/ ( * ) = /(«) + ^ f r / ' ( « ) +

60

—

— /"(«) + ••• +

{ X

- ^ f

M

( a ) + R

(2)

F ü r das Restglied findet man den Ausdruck (n + l)l fin+1)(x

R =

+ #h)

(la)

beziehungsweise R = { X

(n^T) rf

i n +v

dessen Ableitung hier übergangen sei. kleiner

als

[* + # ( * - " ) ]

(2a)

# ist dabei eine positive Zahl

0 < * < 1 .

1

(3)

a ist ein W e r t von x, für den / (x) n-mal differenzierbar ist. Kann dieser Null gesetzt werden, so ergibt sich die M a c - L a u r i n s c h e R e i h e / ( * ) = /(0) + { , /'(0) + 21 /" (0) + • • • + mit dem Restglied

/4 4!

D a m i t möge die Besprechung der grundlegenden E n t w i c k l u n g e n der Reihentheorie abgeschlossen werden. Ein weiteres Eingehen in diesem Buche ist m i t Rücksicht auf das bestehende, sehr reichhaltige und meist leicht verständlich gehaltene S c h r i f t t u m nicht v e r t r e t b a r . Insbesondere gilt dies f ü r das umfangreiche Gebiet der Konvergenzkriterien und der E n t w i c k l u n g einer großen Anzahl von Potenzreihen für m e h r oder weniger erweiterte Funktionsformen, wie sie da und d o r t a u f t r e t e n können. Als kurzer S c h r i f t t ü m s a u s z u g mögen die im vorhergehenden Kapitel 1 a g e n a n n t e n Arbeiten gelten, die selbst wieder ausführliche L i t e r a t u r nennen. Als sehr b r a u c h b a r e F o r m e l s a m m l u n g h a t sich wiederholt auch der erste B a n d der H ü t t e b e w ä h r t . Weitere speziellere Reihen, sowie im besonderen auch die Fourierseben Reihen, sollen einem späteren Kapitel vorbehalten werden, d a diese so stark mit dem A n s c h a u u n g s m a t e r i a l der E l e k t r o t e c h n i k verk n ü p f t sind, d a ß sie besser in der A n w e n d u n g auf die E l e k t r o t e c h n i k besprochen werden, als in einem rein m a t h e m a t i s c h gehaltenen Abschnitt. 4. Differentialgleichungen. a) G e w ö h n l i c h e

Differentialgleichungen.

x) Differentialgleichungen

erster

Ordnung.

1. Trennung der Veränderlichen.

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die neben den Veränderlichen auch deren Differentialquotienten enthalten. Sie heißen g e w ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n , wenn sie keine partiellen Different i a l q u o t i e n t e n e n t h a l t e n . Sie sind ferner von der e r s t e n O r d n u n g , wenn n u r Ableitungen erster O r d n u n g v o r k o m m e n . Die einfachste A r t ihrer Lösung ist schon besprochen worden. Die A u f g a b e der I n t e g r a l b i l d u n g j / ( x ) dx = F(x) = y, wie sie im Abschnitt 2 dieses Kapitels beschrieben wurde, b e d e u t e t j a nichts anderes als das Aufsuchen der Lösung der Differentialgleichung

— 64 —

Liegt also im einfachsten Falle die Differentialgleichung in der Form

-&='

vor, dann kann die Integration nach den elementaren Integrationsregeln vorgenommen werden. In der Lösung y = $f(x)dx

+ C

(2)

t r i t t d a n n wieder eine Integrationskonstante auf, die gegebenenfalls aus Nebenbedingungen des vorliegenden Problems bestimmt werden kann. Die Gleichung (2) heißt dann die a l l g e m e i n e Lösung, während m a n bei einem bestimmten Wert von C von einer p a r t i k u l ä r e n Lösung spricht. Da die Konstante C zunächst beliebig angenommen werden darf, kann man sie auch als Parameter in der Lösung auffassen. Man erhält dann für jedes C eine Kurve, die gegenüber den anderen in der y-Richtung parallelverschoben ist. Das partikuläre Integral stellt also e i n e Kurve dieser Schar dar. L ä ß t sich die gegebene Differentialgleichung auf die Form l

y

dx

+

f (

t

X

\ = 0

(3)

g(y)

bringen, dann kann m a n nach Umformung auf f(x)dx

+ g(y)dy

= 0

(3a)

also » T r e n n u n g d e r,, V a r i a b l e pn « leicht eine Integration durchführen. Es wird ¡1(x)dx + ¡g(y)dy + C= 0 (4) Die Trennung der Variablen wird auch noch möglich, wenn die Differentialgleichung die Form fi(x) gi(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0

(5)

h a t ; denn m a n erhält nach entsprechender Division M d x + il[y\-dy /a(*) gi(y) was ja der Form (3a) entspricht.

= 0,

2. Exakte Differentialgleichungen.

Liegt eine Differentialgleichung von der Form F(x,y)dx

+ G(x,y)dy

= 0

(1)

vor, dann gelingt eine einfache Integration, wenn die linke Seite ein vollständiges Differential einer Funktion / (x, y) darstellt. Es m u ß d a n n aus

— 65 d f v(x, y) = ' ' b x

d x + ^L dy by y

/•• • y und G = bx by oder nach nochmaliger partieller Differentiation nach y und x bF _ by öx sein. Ist also die Bedingung (2) erfüllt, dann wird f(x,y)

+ C= 0

(3)

die Lösung der Differentialgleichung (1). Man findet dann aus F = f(x,y)

= $F(x,y)dx

(2)

+ C(y)

0 oc (4)

wobei y als Konstante und die Integrationskonstante daher allgemein als Funktion von y angesehen werden muß. Durch partielle Differentiation nach y wird daraus LL by

by

by

woraus wieder C(y)

=

*F(x, y) dx dy. by

G (x, y)

Setzt man dies in (4) ein, dann wird fix, y) =

F{x,

y)dx

+

G (x, y)

(5)

bG{x, y) dy dx + C2 = 0 bx

(6)

ö/ ausgehen können und dann die gleichby

Man hätte ebensogut von G wertige Lösung f(x, V) = J G(x, y) dy +

bF(x, y) dx dy + Ci = 0 öy

F{x, y)

erhalten. Als Beispiel sei etwa die Differentialgleichung (2 xy + 1 )dx vorgelegt. also

Hier ist tatsächlich bF - - — -by

+ (x2 — 1) dy = 0 bG _ — = 2x, bx

bF dx = J 2 x dx = x2 by G — Fdx

bF dx dy = by

= ^(2xy-{-i)dx

O b e r d o r f e r , Elektrotechnik IT/2.

\ (x2 — l — x2) dy = — y =

yx2j[-x

—

und damit

G6

—

/ (x, y) = x 2 y + x — y + C.

Das gleiche Ergebnis h ä t t e natürlich die Auswertung der Gleichung (6) geliefert. Zur letzten Teilintegration j* (2 x y + 1) dx = y x2, + % sei noch hingewiesen, daß hierin y als Konstante angesehen werden muß, da ja die Integration nach x allein ausgeführt werden soll. 3. Integrierender Faktor.

Ist im vorhergehenden Abschnitt die Bedingung (2) nicht erfüllt, dann gelingt es zuweilen durch Multiplikation der Differentialgleichung mit einem passend gewählten Faktor, diese in ein vollständiges Differential umzuwandeln. Dieser F a k t o r ist im allgemeinen selbst eine Funktion von x und y und wird der i n t e g r i e r e n d e F a k t o r genannt. E r bestimmt sich aus F (x, y) • v (x, y) dx + G (x, y) • v (x, y) dy = 0 UIld

MF-v) by

=

ÖJG-D) bx

1 ;

mit Hilfe der Differentialgleichung bu * \ by

bv ibF - + K bx \by

G

bG\ ü= 0 bN x!

(2)

Die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist nicht immer ganz einfach. In vielen praktisch vorkommenden Fällen ist aber eine Vereinfachung möglich. Ist nämlich 1

th G by

F

h G

\ «>.r!

{

/ x

r-n (3)

nur eine F u n k t i o n von x allein, dann kann auch v als Funktion von x allein angegeben werden, wie m a n aus Gleichung (2) sofort sieht, wenn man durch Gv dividiert. Es wird dann 1 dv v dx da sja

N

V

by

= 0 ist.

d . ,/,>"

1 IbF G[by

bG\ x d J = r< >>

Damit erhält m a n In v = \

F F , j - - - dx =

|

und

t, l

G—

y

^

e2x y2dx

2x x iee*

dx

^ oy

,

+ x y e2x dy = „

e

+ xe21

j

= x y e2x 2 x

d y = \ [ x y e

0

— x y e

2 x

] d y=

0

«/

woraus f ( x t y ) = \ F d x = |

e2

* 2/2 dx = y2 j (--*- +

/ (x, y) =

+

C

2 2x

\ = xy e

+

x e 2 *)

dx,

C.

2 Dieses Ergebnis h ä t t e auch nach Division der Ausgangsgleichung durch xy' 2 und Trennung der Variablen gefunden werden können. Das Beispiel wurde deshalb so gewählt, daß der Leser eine einfache Überprüfungsmöglichkeit hat. 4. Die lineare Differentialgleichung.

Die lineare Differentialgleichung h a t die Form ^ • + X

1

y + X

i

= 0

(1)

Xx und X2 sind dabei lediglich Funktionen der Veränderlichen x. Man

—

68

—

könnte die Gleichung zunächst gemäß der Beschreibung im vorhergehenden Paragraphen lösen. E s wird nämlich aus (X

+ X2)dx

l V

bG b x

also

0

+ dy =

dF by 9o(x)

= 0.

=

so daß also ein integrierender Faktor SX, dx v = e besteht. Damit wird (X1 y + X2) eSXi

dx + esx'

dx

dy = 0,

dx

woraus f

5 [

G

bF dx =

bF - J l f

d

y

\ X

= 1

s x

i e

1

:

'

d x

JXtiA dx e '

dx =

-

e

e

JX'

d x

^ y = °

und f ( x , y) = §Fdx

= jl(X1y

+ X2)eIXldx

dx

oder f ( x , y ) = yeIX>dx

+$X2esx>dxdx+C

= 0 .

(2)

. . .

(2 a)

was auch in der Form y=(C-jjX

2

e

s x

-

d x

dx)e-

s x

'

d x

geschrieben werden kann. Auf die lineare Differentialgleichung (1) läßt sich auch die B e r noullische Differentialgleichung dy dx zurückführen.

+ Xxy

+ X

i y

» = 0

(3)

Durch die Substitution yL

und 1 — n

- n

, 13

dy dz w - " - , j — dx dx

wird nach Division der Gleichung (3) durch d Z

d x

- + { { - n ) X

(4)

.

1

yn

z + { i - n ) X , = 0

(5)

was also genau dem Typus (1) entspricht. Ein häufiger Sonderfall tritt noch auf, wenn X2 = 0 ist. spricht dann von h o m o g e n e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n .

Man Die

— 69 — übrigen linearen Differentialgleichungen werden demgemäß auch i n h o m o g e n genannt. Für die homogene Differentialgleichung ^¿+X(x).y

= 0

(6)

findet man leicht eine Lösung durch T r e n n u n g der Variablen. ist dann d y

und

y

+ X-dx

Es

= 0

y = Ce~SXdx

(7)

Vergleicht m a n dies mit der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, Formel (2 a), so erkennt man, daß diese sich zusammensetzt aus einem partikulären Integral (C = 0) und dem Integral der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. ß) Differentialgleichungen

höherer

Ordnung.

1. Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung liegt vor, wenn sie d ?/ neben den Veränderlichen x, y und dem Differentialquotienten noch ¿2 y ^ UZ die zweite Ableitung Hier liegen die Verhältnisse wesent2- enthält. lich schwieriger als bei den Differentialgleichungen erster Ordnung, so daß eine rationelle direkte Lösung nur in einfacheren Fällen möglich ist. In schwierigeren Fällen f ü h r t meist eine entsprechende Potenzreihenentwicklung zum Ziel. In den Fällen, in denen die Differentialgleichung

•&)=»

x und y, oder nur y, oder n u r x nicht enthält, führt die Substitution » auf Differentialgleichungen erster Ordnung, nämlich

— 70 — Hierin ist

d2y dx2

verwendet worden.

dy

für p wieder -j--,

dp dx

dp dy _ dp dy dx ^ dy

S e t z t man in der so erhaltenen

Zwischenlösung

so e n t s t e h t neuerdings eine Differentialgleichung erster

Ordnung, die n u n m e h r endgültig integriert werden k a n n .

%=

Besonders einfache F ä l l e sind dabei

P) w

d^L^pldyX dx2 \dxl m i t den Lösungen

y — j [\F(x) dx~^ dx + C\x + C2 f

J ]lCi +

?/_

,

( PdP

(4a)

2\F{y)dy

H ' / ^ i ,

(3a)

}

(5a)

c

B e i den Gleichungen (5 a) erhält man dann y = / (x) durch Eliminieren von p. Von besonderer Wichtigkeit sind die l i n e a r e n Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Zunächst interessieren insbesondere die h o m o g e n e n Gleichungen mit k o n s t a n t e n Koeffizienten. Sie haben die allgemeine F o r m

(fön +

(Lit dx

+

a°y =

0

(G)

E s sind dies die typischen Gleichungen der freien Schwingungen. a0 bis a2 sind dabei K o n s t a n t e und im F a l l e einer Schwingung, die Variable x die Zeit. Die Lösung erfolgt durch den versuchsweisen Ansatz Dieser ergibt mit

y = A.er*

a22/"' = 0 i

(16)

ein, so erhält man nach Kürzen durch e"x die »charakteristische« Gleichung «-ten Grades

an, DY = dt ' dt dx__dy

P

' ()

DZ dt

_dz

II

= R

1

' '

'

maßgebend ist, worin t eine Hilfsveränderliche darstellt. Sind nämlich die Lösungen zu (9) die beiden Funktionen

FI [XI VI z ) = CI\

(1Q)

F2 (X, y, z) = C2 j so werden die totalen Differentialquotienten

0*

— 84 — dFx

bF1

dx

bF1

dy

bFx

dz

bFl

bF1

dt

bx

dt

by

dt

dz

dt

dx

by

bF2

dx

öI - -

n

é

(o

1

(

)"

n ( n ) I l ( v +

1 n ( v ) (2

1

n)

x

)"

+ 2 n

\ 2 /

2{2v + 2) 1 2-í(2v + 2) (2v + 4) •

+

. . . .

(10)

die als Besseische F u n k t i o n r - t e r O r d n u n g bezeichnete Lösung der allgemeinen Besseischen Differentialgleichung. Man nennt dann ferner x das A r g u m e n t und v den P a r a m e t e r oder I n d e x der Funktion. Es läßt sich leicht zeigen, daß die durch (10) angegebene Reihe für alle endlichen Werte des Argumentes konvergent ist. Das gilt auch für k o m p l e x e Argumente. In diesem Falle wird mit

x = r é ™ = r (cos « +

und

xn = rn e3 n a = rn (cos n

Jv{réa) =re

) a\v

n

l) _cos2 re « / M

2n

/ sin 0

(30)

lim Y1(x) = 0,058 x — — X JC—>0

(31)

Von Bedeutung sind noch die Beziehungen zwischen den einzelnen Besseischen Funktionen und ihren Ableitungen. Zunächst ergibt sich aus Gleichung (10) dJv(x) d x

_

r

, . v(X)

1 2 ¿ 1 2

0

(-j)n(v + 2n) lxy + 2n~l n (n) n (v +n) \2 / TO ( _ l)n ,xy, + 2 n - l IJ (n) I I (v +

n — 1) \ 2/

+

1 ® _ _(— 1)" (x\r + 2 ¿ o n ( n - 1) II (v + n)\ 2l

wenn man v -f- 2 n in (v + n) + n zerlegt. Nun ist aber die erste Summe eine Besseische Funktion ¿QI1

(n) II (v -

l + n) \2l

-l

i n

-

1

— 133 — von der Ordnung v — 1. In der zweiten Summe sei vorerst n — 1 durch n ersetzt. Dann wird OD ( — l)n + l l x \ v + l + 2n 2

n

x

I I (n) I I {v -{- i +

\2)

= - J r

+ i (*),

weil j a das erste Glied der Summe wegen

Tr^ir 0 fortfällt.

Damit erhält man aber die wertvolle Beziehung j ; ( x ) =

J

' - ^

x )

-

(32)

J r + l { x )

Im besonderen Falle v = 0, wird mit (23 a) J'o(x)

=

—

(33)

J1(x)

Bildet man die Summe zweier Besseischer Funktionen, deren Zeiger sich um 2 unterscheiden, und geht man ähnlich vor wie vorhin, indem man j e t z t n + 1 durch n ersetzt und die Beziehung I I in — 1) =

— n

beachtet, so erhält man J

I *

\

l

T

t

+

v

\

{ X )

=

( -

1

ü ( n )

) !

l x V +

2 n

W

n - ( a ) - f l j ^ )

-

2 v

1

=

t

""x

{x)

-

E s ist also Jv(x) =

~ [ J „ ¿.i v

1

( x ) +

Jv

+

1

(34)

(x)]

Aus dieser sog. R e k u r s i o n s f o r m e l der Besseischen Funktionen lassen sich eine Reihe anderer Formeln ableiten. So ergibt beispielsweise die Addition und Subtraktion zur Gleichung (32) J'v ( x )

(35)

( x ) = ~ J „ ( x ) — J'v(x)

(36)

Jv — i ( x ) =

Jv

+

1

Jv(x) +

und so weiter. Ähnliche Beziehungen lassen sich auch zu den Besseischen Funktionen zweiter Art finden. Wertvoll ist es noch, das Verhalten der Besseischen Funktionen für g r o ß e s A r g u m e n t zu kennen. Dazu geht man am besten von einer der Gleichung (24) entsprechenden Gleichung i J

t

,

( x ) =

n

i

' 1\ } lv—42' o

— |

.

(

2v —

sin 2 ' + 1 a>

i

\ c-2*ootwdco

(37)

— 134 — S e t z t m a n d a r i n 2 x c o t a>

a u s , d e r e n A b l e i t u n g w i e d e r ü b e r g a n g e n sei. =

u

als

neue

x — > co, d a ß dann

Variable

Ii2 . 2 4t X

1 -f

und berücksichtigt gegen 1 u n d

. I (x)

Integral dieser

G a t t u n g II

m

(

x

arc cot

"

konvergieren,

oo .

4 - 1 )

so d a ß n a c h d e m

Kürzen mit

^

- ü

• sin (x — '

genau dieselbe A r t |/

4

erhält m a n

'

v lim

t /• \ / 0 (/ x ) = CO

Rekursionsformel

f ü r x —> »

.

.

(38)

....

für

.

.

(39)

=

x — > oo

(34)

x— >

. . . . für

co

:

2 —

angegeben

1 ' - — c o s [x + x I 71 x

/sin/x cos/i\ - -f - = = ] 2 1 2 /

]7T,x\ 1

1

,• , ^

, . 0 , y / 2 } ;r x

(40)

.

1 / — - - s i n I x — -?-) = — ) 71 x \ 4'

1

Nenner

....

+

•.'

zweiter

auch

• c o s (a: —

=

Integral

dem

k ö n n e n n u n wieder leicht die speziellen W e r t e

l i m J1 (x) = v—>00

du.

J

J,. — i(x) = — /,, + i (x) Es

Grenzübergang

\ e~u ii

) 71 X

Ü b e r d i e s liefert die

\ rrl

Gleichung ist aber das Eulersche

l/

y„ (x) =

1

4

,

{v

Jv (x) =

2v—

-

I 1

Auf

beim

U 7t - 0 -— g e g e n ,, Ji X ¿i

wird s

Das

man

(/ +

1 7 . y /

y ;

.

.

.

(41)

• • (42)

..„. = (/ ® " t * +

~

.

x

y.-ra;

ex

1

! ) =

1

-7-) 4'

werden:

y 2 rr x

Ir

V 7

oder

lim J0(jx)

x—>

= -

co

y

/ 2

f n x

(43)

ebenso lim

x—>co

/ j (/x) = / - . - ' -

I n gleicher Weise findet m a n y j

—

3

e

~8

••

(44)

y 2n x

mit =

TT

cos 0 — /

. s .i n 71 0

— 135 — und lim (sin y / x + cos ]/ / x) = lim ©of [sin '' + cos X —> CO X > Ct y2 l y2 I2 . ^,

oc j

x

. oc

i @m -y- cos -7-- — sin ]/2\ /2 ]l 2 J2

lim 7 0 (a; JC > OD und ebenso

1 2 -T .(.'

1 2

cos

COS

,

7I\ , . / X - — -;• + 7 COS -, }/2

X /S

y2

J 2 sin (x y ± j ) — lim x —> co 1 2 71 x f2

'

n|

/ COS

l 2

71

S, .T 1

1' 2

, 7l\ +

(45)

(46)

Für alle weiteren Fälle sei auf das Schrifttum verwiesen. Die Zahlentafel VI zeigt den Verlauf einiger wichtigerer Besseischer Funktionen. Schrifttum. J a h n k e - E m d e : Funktionentafeln. 1. bis 3. Aufl. B. G. Teubner, Leipzig 1928, 1938. P. S c h a f h e i t l i n : Die Theorie der Besseischen Funktionen. B. G. Teubner. 1908, Bd. 4 der mathematisch-physikalischen Schriften für Ingenieure und Studierende.

5. Laplacesche Integrale. Als Laplacesche Integrale werden Integrale von der Form CO £ { / ( i ) } = j V » < / ( i ) r f i = /„(/;)

(1)

bezeichnet. Sie werden in neuerer Zeit in steigendem Maße in der theoretischen Elektrotechnik, namentlich bei der Behandlung von Ausgleichsvorgängen, verwendet und scheinen im Kalkül der L a p l a c e T r a n s f o r m a t i o n die Heavisidesche Operatorenrechnung verdrängen zu wollen. Dabei ist vorausgesetzt, daß t positiv und reell ist, während die Funktion / (t) reell oder komplex sein kann. Ferner soll der reelle Teil der im allgemeinen komplexen Zahl p ebenfalls positiv sein und das Integral für ein bestimmtes reelles und positives p konvergieren. In der Folge mögen einige wichtigere Laplace-Integrale ausgerechnet werden. 1. f(t) =

1.

Hier wird das Integral CO ô

e

-ptj.

0

e-2>,i

— 136 — konvergent, wenn der reelle Teil p1 von P = Pl + JPi

positiv ist, im Gegenfalle divergent. Es ist dann also ß { l } =

e~"td(

J

=

^

2. /(*) = *", wobei a komplex sein soll

^

00

ß {ea i j _

die p > 0

für

f

e(a-p)tdt

CO

—

b

(2)

e(a-p)t\

a

P

0

Das Integral ist also konvergent, wenn der Realteil von p größer ist als jener von a. Dann ist CO /I at}= ß {e f e(«-p)'dl = für p > 9ie a . . . (3) 1 ' p— a o« Im besonderen gilt für rein imaginären Exponenten CO ^ £iej«il= fe-ptejatJt = (4) 1

Stellt man hierin funktionen

eiat

1

i

P~J

Nach der Mac-Laurinschen Reihenentwicklung kann m a n ferner setzen / (D) = / ( 0 ) + j

(

f (0) +

D

* j f " (0) +

... +

-/'»> (0)

und in der A n w e n d u n g auf u • v f{D)(uv)=f(0){uv)+

t-W+

f

^

Du-v+

-Mi-

ü+

...

2D u •Dv+ ...

Dvu+

+

D*n

r m , . » , +

...

oder wenn m a n in der ersten Zeile v, in der zweiten —rr-, in der dritten: D2v . . ' —^ j— usf. h e r a u s h e b t und beachtet, daß die restlichen Summan D2 u

Du / (0) +

r (0) + I f i u - f (0) +

f(D)(uv)

2!

Ds u / " (0) + - 3 - , - / " ' ( o ) . . . = / ( / > ) («) / " (0) +

/ " ' (0) . . . = / ' (D) (u)

ß°uf"( 0) + ~ / " ' (0) . . . = / " Dv' D2v = vf(D)u+ • f (D) u + - 2 p - -f"(D)u+

Von Interesse ist ferner die e-Potenz eax. beliebige Operation / (D) an, wobei

(D)(u) (10).

Wendet m a n auf sie die

— 141 — f(D) = c0 +

ClD

+ c2D2+

...

als Potenzreihe dargestellt sei, so wird oder

/ (D) eax = c0 eax + cx a eax + c2 a2 eax +

...

/ (D) eax = eax f (a)

Ist

(11)

f(a) = 0, dann spricht man von der W u r z e l - oder S t a m m f u n k t i o n . Sie ermöglicht es, das Operatorenpolynom in Wurzelfaktoren zu zerlegen. Es soll nunmehr noch die Operation f(D)

(eaxv)

untersucht werden. Sie bildet einen Sonderfall zur Form (10) und ergibt mit (11) Dv D2v / (D) (eax v) = v eax / (a) + -yp- eaxf (a) + ••• y - eax f" (a) + ... = -

-

ea

v.

Der Klammerausdruck ist aber die Taylorsche Reihe für / (a + D), so daß f (D) (e?x u) = e°x f (a + D) d (12) Dies ist der sog. V e r s c h i e b u n g s s a t z , der also angibt, wie die e-Potenz unverändert vor die Differentialoperation geschoben wird. Von größerer Bedeutung ist ferner noch die Gleichung Dr

in-1)1

(x —

t)«-ig{t)dt) =

g(x)

(13)

Man findet sie leicht, wenn man die Differentiation rc-mal hintereinander ausführt. Es ist dann X

Df(x)

(n - 2)1 2) j X

2

D f(x)

(n

D"-1 f (x) = \ g (t) dt Dnf(x)

=g(x).

(x — t) n—2

.

(t) dt

— 142 — N e b e n d e r D i f f e r e n t i a l o p e r a t i o n k a n n a u c h die I n t e g r a t i o n in O p e ratorenform gebracht werden. Definiert m a n X

JxJ(z)

= üf(t)dt

(14)

X,

so lassen sich leicht die f o l g e n d e n S ä t z e a b l e i t e n : D"Jx«

= l

ferner w e n n

X

JxA*) definiert wird

(15)

g(x) = e"' jje~atg(t)dt

(16)

x

° J*.(0 r O

(1)

ein Ausdruck, der ähnlich wie die Divergenz gebildet ist. E r wird der R o t o r des Vektors 2i genannt und gibt also die Wirbelstärke der Flächeneinheit an. E r ist ferner ein Vektor, da sein Wert offenbar von der räumlichen Lage der umfahrenen Fläche und dem Durchlaufsinn der Randkurve abhängt. Da die Lage der Fläche durch die Richtung der Flächennormalen bestimmt ist und sich nachweisen läßt, daß sich dabei das Randintegral mit dem Kosinus des Richtungswinkels ändert, ist der Rotor ein Vektor normal auf das Flächenelement mit dem größten Umlaufintegral. Die Wirbelstärke in jeder anderen Richtung ergibt sich d a n n aus der Projektion 9t rt des Rotors auf diese Richtung rt. Man erhält somit eine gleiche Verteilung [(ay)z. ^dz]dy wie beim Gradienten (siehe Bild 32). Ist rot 21 = 0 , dann ist das Feld w i r b e l f r e i . Um eine kartesische Darstellung des Rotors zu bekommen, wendet m a n die Definition (1) auf ein geBild 34. Z u r B i l d u n g v o n r o t * 51. eignetes Flächenelement an. Ein solches Element in der yz-Ebene mit den Seitenlängen dy und dz liefert dann nach Bild 34 die x-Komponente des Rotors (Ciyiz dy

rot x 21 =

ÒAZ ò y

ÒA, òz

ÒA,

Ò Az Òx

Ebenso erhält m a n rot„ 21 = rot, 21 =

òAx ò x

òy>

so daß rot 2i oder

òAz ò y

ò A,

+ i

òA,

ÒA, ò A, + i òx ò x

òy !

(2)

i

i

rot 2 1 = ! ^ j ox

- A

ö y

bz

Ay

Az

| -Ax Auch der Operator

I I (2a)

„ . o , • o , « o V = t-r— + 1^— + K — o x

oy

dz

kann wieder verwendet werden, wenn man rot 2 1 = [ V 3t]

(3)

definiert, was nach Gleichung (15) des Abschnittes 2b naheliegt. Zerlegt man eine endliche Fläche in eine unendliche Zahl von Flächenelementen, so gilt für jedes Element df nach (1) 8tdä = d f - r o t 3 i Summiert man nun über alle Elemente der Fläche, dann heben sich an den inneren Randkurvenstücken immer die Beträge zweier anliegender Flächenelemente auf, und es bleibt das Linienintegral über die Randkurve der Gesamtfläche übrig. Bezeichnet man diese etwa mit S, dann wird also (J)8tdä = J r o t S t - d f (4) S

F

und damit das Linienintegral in ein Flächenintegral übergeführt. Dieser wichtige Integrationssatz ist unter dem Namen S t o c k e s scher S a t z bekannt; er lautet in kartesischen Koordinaten j

(Ax

dx +

Avdy

+

A, dz)

= f j f

òy

,

dz

dx

-

dy dz

, .

!

\òx

+

dxdy òy

!

J

. y

.

.

.

(4a)

'

Der Rotor eines Vektors mit konstanter Richtung 8t =

A§,

wo § einen Einheitsvektor darstellt, ergibt sich aus der Definition zu rot A § =

lim 4r(f)^4 3dx. F—> 0 r "

Wählt man als Umlauf ein Rechteck mit zwei Seiten ds parallel zu § und zwei dt normal zu §, dann ist ( j M § d r =

{a

+

ds —

Ads

oder

4'

S11

— Jl3

— Sl3

= C t . ( 8 . C ) = 4' •— §31 ^22 + i$33 + ho S33 + hi 5'

—

¿33 + i$45

hi

i$33 + 544

Das ist für = h k eine symmetrische Matrix, was immer als Kontrolle für die Richtigkeit der Rechnung angesehen werden kann. Aus Gleichung (8) ergibt sich u' =-Ct • u =

4' »2 + U3 — Hg . 5' liß W4

Das sind die in den einzelnen Maschen wirksamen Spannungen, wenn man den Richtungssinn der gegenseitigen Impedanzen berücksichtigt, was hier automatisch dadurch geschieht, daß man bei Aufstellung der Beziehungen zwischen den Strömen i und i' dieser Forderung nachkommt, indem man die Ströme etwa immer in der Richtung 1—2 der Impedanzen als positiv zählt. Nunmehr ergeben sich auch die gesuchten Ströme i' aus i' = t)' • u', wobei

1' 4' 5' l' tili t)l4 t)l5 9' = ( 8 ' ) - I = 4' i?44 t)45 5' t)51 ^54 t)55

nach den früher gegebenen Regeln ermittelt werden kann. Es ist dann t ) u Ut +

t) 1 4 ( « 2 +

— t)41 " l +

t)44 ( " 2 +

— t)si « 1 +

^54 ( « 2 +

—

U3

—

«5) +

t)l5 ( " 3 — » 4 )

—

+

^45 ( » 3 — W4)

«3 — «5) +

t>65 ( " 3 — « 4 )

Nunmehr könnten auch die Bezugsströme i=C-i' berechnet werden, doch sind diese meist ohne Interesse.

— 234 — Wie das Beispiel zeigt, bringt die Matrizenrechnung gegenüber der normal üblichen wesentliche Vereinfachung und weitaus größere Übersicht. Es ist durchaus nicht nötig, das Bezugsnetz in der angegebenen Form zu wählen. Man kann vielmehr hierzu irgendein anderes, vielleicht schon berechnetes Netz mit der gleichen Anzahl von Impedanzen verwenden. Der Vorgang ist dann derselbe, nur erhält man zunächst für die Ströme i Gleichungen, die im allgemeinen mehrere dieser Ströme enthalten. Stellt man daraus die einzelnen Ströme i als Funktionen der Ströme i' des zu berechnenden Netzes dar, so ergeben wiederum die Koeffizienten von i' die Matrix des Transformationstensors. Auf diese Weise kann also ein «-Maschennetz in ein beliebiges anderes rc-Maschennetz transformiert werden. Ganz analog gelingt auch eine Darstellung der Ströme aus überlagerten Maschenströmen, die Berücksichtigung nachträglicher Änderungen von WTindungszahlen, die Erfassung besonderer Verkettungen usw. durch entsprechende Transformationstensoren. Hierauf kann aber hier nicht näher eingegangen werden, wenn nicht der Rahmen des Buches weit überschritten würde. Das bisher Gesagte genügt zur ersten Einführung in das Verfahren und zur Lösung einfacherer Aufgaben. Zur Ergänzung und Gewinnung eines Ausblickes über die weiteren Möglichkeiten der Matrizen- bzw. Tensorrechnung seien im folgenden Kapitel nur noch einige Gebiete kurz angeführt, auf denen die Tensorrechnung mit besonderem Vorteil angewandt werden kann. 3. Einige bevorzugte Anwendungsgebiete. a)

Netztransformation.

Enthält ein Tensor Komponenten, die durch komplexe Zahlen dargestellt werden, dann nimmt er eine noch allgemeinere Form an und wird wohl auch S p i n o r genannt. Bei den Transformationen spielen dann die k o n j u g i e r t e n T e n s o r e n C* eine Rolle, die aus den ursprünglichen C so erhalten werden, daß man alle Komponenten durch die konjugiert komplexen ersetzt. E s gehört also beispielsweise zum Spannungstensor u = URw + / Wfl 6 WSw UTw — / U Tb der konjugierte u* = uRw — juRb USw M Tic + / 11 Tb Bei der Rechnung mit konjugierten Tensoren gelten die folgenden, unmittelbar einleuchtenden Grundbeziehungen {A*)*

= A

( A - B ) * =

A*-B*

(A-1)*

(A*)-

=

(1) . 1

.

(2) (3)

die für die Berechnungen der einzelnen Größen von Bedeutung sind.

— 235 — Eine wesentliche Rolle spielen die konjugierten Größen bei der Ermittlung der Leistung. Ist u = uw + ju„

und

t=

dann ist die Wirkleistung l l

w

—

o l l

I hi l

w

w

U f r

¿¡JJ

die Blindleistung n

b — Uw ly

llb lw

und daher die Scheinleistung n = nw + /' nh = (uw iw + ub ib) + j (uw ib — ub iw). Dies kann auch in der Form n = u* • i = (uw — j u„) (iw + j ib) geschrieben werden, wie es ja auch ähnlich bei der komplexen Rechnung abgeleitet wurde. Liegen mehrere Kreise, Maschen, Phasen u. dgl. eines zusammengesetzten Netzes vor, so gilt analog die Tensorgleichung für die GesamtScheinleistung . . rt = u* • i (4) worin jetzt u und i die Spannungs- und Strommatrizen des Netzes darstellen. Werden die Kenngrößen des Netzes wiederum aus einem anderen durch Transformation abgeleitet, so bleibt die Leistung invariant und man erhält aus n = u* • i = u*' • i' ähnlich wie bei reellen Komponenten i = C-i' u*-C-i'=

. . . (5)

ii*' • i'

u* -C = u*' oder durch Bilden der konjugierten Größen ii - C* = u' woraus durch Vertauschen von u und C* u! = C* • u u = C*~1 • uWar nun u = zi so wird weiters fl-i.u' — z-C -i u = Ct-z-C-i' und mit dem Ansatz . ., u = z' • i z' = Ct-z-C

(6)

(7) (8)

/ri,

(y) (10)

— 236 — Durch Kombination von (7) und (9) und (10) wird ferner

(11)

u = z- C • i'

b) S y m m e t r i s c h e

Komponenten.

B e i der symmetrischen Komponentenrechnung (siehe Kapitel II/C) werden die drei tatsächlich fließenden Ströme Qs, durch die Komponentenströme 8i> % d e s Null-, Mit- und Gegensystems ersetzt. Die dabei vorgenommene Zerlegung S r = So +

Si + \5 2 3 s = S o + « 2 3 i + a & 1 »P 3 T = 3 o + «

3i +

«23aJ

gilt für das vorliegende, verkettete Netz. Geht man, um zu einfachen Tensortransformationen zu gelangen, wieder von dem einfachsten Falle S t die Ströme in dreier getrennter Stromkreise aus und sind diesen Kreisen, so ist die Zerlegung in Komponenten größenmäßig noch auf andere Weise frei wählbar, da eine Verkettung der Phasen noch aussteht. Für dieses einfachste Netzgebilde sollen die symmetrischen Komponenten durch die Gleichungen o

1

13 o i5s •vi T

=

"ys i 13

(3o+

3 i +

&)'

(1)

(So + a & + a2 S2)

definiert werden, die sich also nur durch den F a k t o r

von

den obigen

unterscheiden. Diese Festlegung wurde deshalb getroffen, weil dann die Leistung bei den Transformationen wieder invariant bleibt. Sie liefert also für den Verkettungsfall ] 3 - mal zu große Komponenten, wenn von den tatsächlichen Phasengrößen, bzw.] 3 - m a l zu kleine Phasenwerte, wenn von den tatsächlich vorhandenen symmetrischen Komponenten ausgegangen wird. Durch die Gleichungen (1) wird j e t z t der

1 13

0

1

2

R

1

1

1

S

1

a2

a

T

1

a

a?

»Symmetrietensor«

(2)

Da sich alle Komponenten auf die Phase R beziehen sollen, ist der Einfachheit halber der Zeiger R hier fortgelassen worden.

— 237 — definiert, der das vorliegende unsymmetrische Stromsystem in die symmetrischen Komponentensysteme transformiert. Diese Komponentenströme sind dann nach Gleichung (5) des vorigen Kapitels bestimmt durch R S T rv 0 1 1 1 0 3i? _1_ o 1 a a2 \5s -•ö 3 ' = -oo \5i \J2 V'3 o 1 d2 a 3T

\$2

II

oder ausgerechnet + 3 s + 3T 3B + «3S + « 2 3T 3 * + a 2 3 s + a 3 r

wie ja zunächst aus der symmetrischen Komponentenrechnung auch bekannt ist. Der einfachste Belastungsfall liegt nun vor, wenn in jeder Phase eine Impedanz $ geschaltet ist, die mit den anderen Phasen nicht verkettet ist. Der Impedanztensor hat dann die Form R z=

S

T

R Sn S äs T

3t

und enthält nur die Diagonalglieder. Im allgemeinsten Fall sind auch die anderen Komponenten besetzt. Dabei ergibt sich auch dann noch eine wesentliche Vereinfachung, wenn nur zwei verschiedene gegenseitige Impedanzen auftreten oder diese etwa alle gleich groß sind. Der transformierte Impedanztensor z' wird dann zu einem Diagonaltensor. Bildet man nun nach Vorschrift z

=

C,, t • z ' (J(j

so wird zunächst 1

2

3

R

in

Sß

SR

S

8s

l'i T und mit

Sr

«äs air

«23T

— 238

a*

=

a

c

_1_ f3

C*T

R 1

S 1

T 1

1

a

a2

1 a2

a

0 5 äfl+a25s+a5r SR+«5s+a25T

5r+

T

5R + « ä s +

3

äR+a 2 5s 1

0

= 4 «

+

5r+

5s+

5r äR + « 2 5 s + a ä T 2

a5r

5 r + « 5 s + « 5 t äR+ äs "1" är

2

0 äo

H

äi

äi

H

ä2

H

äl äo

2

ß2 äT

(4)

Die Impedanzen So— "3 (5r +

5 t)

äs +

äi = y ( ä R + «äs + ö2 5 t )

(5)

1 Ä2

=

Y

(

Ä

R

+

«

2

Ä S

+

A

I S T )

werden dann auch als Null-, Mit- und Gegenimpedanzen bezeichnet. Da in z' alle Plätze der Matrix besetzt sind, ist zu erkennen, daß jede symmetrische Komponente des Stromes Anteile an allen drei symmetrischen Komponenten der Spannung liefert. Nur in dem Sonderfall, wo z' eine Diagonalmatrix hat, liefern die Komponentenströme Spannungen nur zu dem eigenen Komponentensystem, wie das folgende Beispiel zeigt. Der Impedanztensor hätte etwa die Form R

S

T

R

ä äi2 äi2 z = S äi2 ä äi2 T äi2 äi2 ä Die eigenen und gegenseitigen Impedanzen sind also untereinander gleich. Dann wird

— 239 — 1

R i + 2 Si2 i + i u (« + «2) 8 + Si2 (o + a2) 1 •

sin (tut — a)

und damit der Übergangsleitwert 00

r, , v

S1{t)

=

1 t

-rf& A

1 ( ' , .b sin (co£— a) ,

+ — e~ 71 J U

* CO

(7)

'-dm

worin b0 die »Dämpfung« bei co = 0 bedeutet. Es soll nunmehr der allgemeinere Fall untersucht werden, daß auf das System nicht eine konstante Stoßspannung, sondern eine beliebig verlaufende Spannung wirkt. Man kann diese Spannung als Summe nacheinander auftretender, kleiner Spannungsstöße auffassen, für die jeweils der Übergangsleitwert einen Anteil an dem Gesamtstrom definiert. Diese Aufspaltung ist im Bild 82 angedeutet. Zur Zeit t = 0 t r i t t plötzlich die Spannung U(0) auf, die sich dann nach Durchlaufen je eines Zeitintervalles A x um einen Betrag AtU sprunghaft ändert. Es treten demnach folgende Spannungsstöße auf U |o +

i m Zeitpunkt r = 0,

A1 U (T) A2 U • (r)

im Zeitpunkt A T, im Zeitpunkt 2 Ar,

\

et/(T)

im Zeitpunkt iAr.

Bild 82. Z e r l e g u n g e i n e r z s i t l i c h v e r ä n d e r lichen

S p a n n u n g In S p a n n u n g s s t ö ß c .

Nun liefert aber ein im Zeitpunkt r einsetzender Spannungsstoß einen Stromanteil, der sich aus dem Übergangsleitwert Si{t-r)

ergibt, d a er ja genau so ausfallen muß wie beim Einsetzen zur Zeit t = 0, aber u m die Zeitspanne r gegen den Anfangspunkt der Zeitzählung verschoben ist. Es ist einfach wegen des neuen Zeitmaßes in der Übergangsfunktion t durch t — x zu ersetzen. Die einzelnen Spannungsstöße liefern also jetzt die folgenden Beiträge zum Gesamtstrom 17*

—

260

—

C/(o + 4 f )

den Anteil

U (o +

S1(t),

A1 U (x)

den Anteil

A1 U (r) • ¿\

(t—Ar),

A2U(i) i i l AIU(T)

den Anteil

AZ U (r)-St{t—

den Anteil

AT U (r) • Sx (t — iA x).

2 AR),

Werden alle Anteile summiert, dann erhält m a n den Gesamtstrom, wenn noch der Grenzübergang A z -> 0 gemacht wird. Da (2), der als b e k a n n t vorausgesetzte Übergangsleitwert, f ü r alle Teilspannungsstöße dieselbe Zeitfunktion darstellt und i A x unabhängig davon nur dem verspäteten Einsatz Rechnung t r ä g t , dieses A x aber bei der Summation die Rolle der Integrationsvariablen spielt, m u ß t e es durch einen anderen Buchstaben (nämlich A x s t a t t t) bezeichnet werden. Der Grenzübergang liefert nun mit A x = d x und i A x = r lim U (O + A l ) = ./1 —> o \ ¿> '

und

U(0) d

lim AT U (t) = lim . / r—>0 ../i—>0 E s ist daher der gesamte Strom 1(1) = U(0)-SAt)

t

+^S1(t-T)-*-U(T)dT 'o

. . . .

(8)

Ersetzt m a n hierin r durch t — r, so erhält m a n den gleichwertigen Ausdruck t I(t)

d

=

U(t~x)dr.

. . (8a)

o Vom rein m a t h e m a t i s c h e n S t a n d p u n k t aus sind die beiden Zeitfunktionen U (t) u n d Sx (t) völlig gleichwertig. Sie können daher auch miteinander vertauscht werden, so daß m a n noch die weiteren zwei Gleichungen i 1 (t) = Sx(0) und

• U (t) + j U (t-r)..^-S1(z)dr ö

. . . (8b)

i / (0 = S1 (0) -U(t)+

j ' U (r) • d - ( r l - T ) Sl V 0

T dT

)

• (8°)

anschreiben kann. Unter diesen vier Gleichungen k a n n d a n n jeweils die für den Rechnungsgang günstigste ausgewählt werden.

—

261

—

Zusammen mit der Heavisideschen Gleichung zur E r m i t t l u n g der Übergangsfunktion können j e t z t allgemeine F ä l l e rechnerisch behandelt werden. Als einfaches Beispiel sei etwa die Zuschaltung einer Spule an die Wechselspannung U{t) = Ui~2 sin cot untersucht. F ü r die Spule wurde bereits im vorigen A b s c h n i t t mit der Gleichung (13) der Übergangsleitwert S

1

1 -St ( t ) = ß { l - e L )

gefunden. W ä h l t m a n nun für die weitere B e r e c h n u n g etwa die Gleichung (8 a), so hat m a n zu bilden ü (0) = 0

f 2 • sin co (t — x)

U(t — r)=U ~d

U(t — r) = U y 2 • co • cos co (t — T )

__ ^

E s wird demnach C U ]/~2 I(t)=\—]L—co( o

1—e

—

R i L')

j

= — c o K

Hierin ist der erste t

cos co (t — x)dx t

I I cos co {t o

—

T)

d

= t —

T

V

e

T

cos co (t — r) d x (' '

Summand

^cos co (t — r) dx o

sin

=

OJ (T

—

T)

2 L2

y R2 R

]'

R2

-----

+ co2 L2 co L

/,. COS

der Höchstwert des eingeschwungenen

(p

Stromes,

die Kreisfunktionen des Phasenwinkels des Stromes,

- = sin w

y R2 + CO2 L2

so daß also auch geschrieben werden kann

-Rt I(t) = Ie [sin (co t — -e

L

]

(9a)

Der Strom besteht also aus dem stationären Anteil i' = Ie sin (co t — 9 5 ) =

U| 2 ., ., (/>' sin t — coLcosoW) D9 R -)- co L

und dem darübergelagerten Ausgleichsstrom • cp •-el 1 = — 17e sin

l

L

=

ö

V -i

2

, COr Le- L

1 L

•

Der Stromverlauf ist im Bild 83 dargestellt. Diese Trennung des Stromes in den stationären (erzwungenen) und den eigentlichen Ausgleichsstrom (freien Anteil) kann man immer durchführen. Schließt man also an die Spannung c?'"1 = evt an, so ist der S t r o m im allgemeinen /(')•

//[/,)" .'/O

(>°)

— 263 — wobei y(t) den eigentlichen Ausgleichsanteil darstellt. Setzt man die Spannung ept in die Gleichung (8) ein, so findet man nach kurzer Zwischenrechnung und Vergleich mit (10) (11)

Bild 83.

E i n s c h a l t e n einer S p u l e an

Wechselspannung.

E s ist dies die Gleichung, die die Übergangsfunktion Sx(t) der Stammfunktion H(p) zuordnet. In der Literatur findet man auch die Bezeichnung h(t) für die Übergangsfunktion, aber auch /(i), während die Stammfunktion in Anlehnung ihrer häufigen Bedeutung als Impedanz auch durch Z(p) bezeichnet wird. Mit dieser Bezeichnung gilt dann die symbolische »Operatorengleichung« h

(12)

®=-HTP)

die aber nichts anderes als die ausführlicher geschriebene Integralgleichung (11) bedeutet. Die wichtigste Aufgabe der Operatorenrechnung ist die Ermittlung der Übergangsfunktion Sv Sie müßte zunächst aus der Gleichung (11) bestimmt werden, wenn für das vorliegende Problem die Stammfunktion bekannt ist. Da aber unter dem Integral erscheint, ist man umgekehrt vorgegangen und hat bekannte Lösungen der Integralgleichung (11) in Stammfunktionen umgedeutet. So entspricht im vorhin besprochenen Fall der Spule beispielsweise dem »Heavisideschen Operator« 1 H(p)

R +

jcoL

R L

der Übergangsleitwert

+

jo>

1 r, R j co

+

Ti

— 264 — Die einschlägigen Bücher enthalten eine große Zahl solcher Zuordnungen, so daß die neuerliche Durchrechnung unterbleiben kann. Für die erstmalige Ermittlung der Übergangsfunktion gibt es verschiedene Wege, von denen einer der wichtigsten bereits im vorigen Kapitel angegeben wurde. Er führte zur Heavisideschen Formel (9). Ein anderer Weg, dessen Beweis aber hier übergangen sei, führt über eine P o t e n z r e i h e n e n t w i c k l u n g der reziproken Stammfunk1 tion. Die Entwicklung muß aber nach Potenzen von — erfolgen. Ersetzt man dann

—n

durch

p

(13)

n !

'

v

so erhält man bereits die Übergangsfunktion in einer Reihendarstellung. Die Heavisidesche Operatorenrechnung kennt nun eine Reihe von Hilfssätzen, die die Lösung der Gleichungen vereinfachen sollen und die zum Großteil Eigentum der allgemeinen Operatorenrechnung sind. Diese können aber im Rahmen dieses Buches keine Berücksichtigung mehr finden. Dagegen soll noch ein kurzes Beispiel die Verwendung der Potenzreihenentwicklung zeigen. Zu diesem Zwecke sei nochmals der Anschluß des Schwingungskreises Bild 77 an eine konstante Spannung U untersucht. Man erhält die Ausgangsgleichung U U p / = L

R + Lp-f-iCp

p* r +

^ L

pI*+.

LC

Unter Verwendung der Hilfsgröße ü>e =

r R }1 ~ L C ~ [ y t )

(Eigenfrequenz)

kann man hierfür auch schreiben T< \ Hp)

U

Erweitert man dies mit e

TT U L

P („ L

1

2 T,

= TL 2 1,

\

+ W

e

'

und wendet man den Verschiebungssatz

(siehe S. 141) an, so wird mit T/ \

P

L I R P + 2LI --X-t

2

2

i

u

,

L

(__ p — -— t

2 r ,

-ä

L

P 2 +e p

p I

\P

t" n\

Ersetzt man jetzt —n - d u r c h , so wird J n t ) = ' J m.L

e

r

Wet

^

co/i 3

srr

Ti

u

(Oe at 5

5i

+

'• sin „t

. . . (14)

Das ist aber die im vorigen Abschnitt abgeleitete Gleichung (12). Wird nicht an die konstante Spannung U, sondern etwa an eine Wechselspannung U(t) = Uy2 sin (cot + L, , was ia meist der Fall sein wird, dann werden co ' die Kopplungswiderstände eindeutig 3 ni also unabhängig von der Wirkungsrichtung ¿-te Masche zur /-ten Masche oder umgekehrt. Eine einfache Nachrechnung der Grundgleichungen ergibt dann, daß die Grundkonstanten und S 2 einander gleich werden Iii

vi2

Nach den Gleichungen (1) wird dann aber auch % = 3f»;

% =

;

50!=®, = » =

Vi

.

— 285 — Die dritte dieser Beziehungen liefert die wichtige Bedingungsgleichung 9I12i2~33e = 1

(1)

für die Grundkonstanten des Vierpoles. F ü r die G r u n d g l e i c h u n g e n findet man jetzt ^ = »2^-583! LHt,

(2) (3)

U 1 = 9t 1 U 2 + a3 3 2

(4)

& = 9l232 + © U2

(5)

beziehungsweise

Es ist also bzw. ®3a eine Art »Spannungsabfall«, 611. bzw. C£ll2 eine Art »Stromverlust « im Vierpol. Die Konstanten 9tj, 9i2, die dimensionslos und reine Drehstrecker sind, heißen die ä u ß e r e n Grundkonstanten, die Konstanten und die die Dimensionen eines Widerstandes bzw. eines Leitwertes haben, die i n n e r e n Grundkonstanten des Vierpoles.

a Bild

91.

b

Gerade und

umgekehrte

Speisung eines

Vierpoles.

Die Gleichungen (2) bis (5) h a t t e n die Schaltung nach Bild 91a zur Voraussetzung, in der der Vierpol von »vorne« gespeist wurde. Bei rückwärtiger Speisung nach Bild 9 1 b wird mit U n 3 i als Ausgangsund U2, als Eingangsgrößen, sowie der wegen der geänderten Speisungsrichtung notwendigen Vertauschung von und 2i2 aus (2) und (3) tt! = 8Ìi Ua — SB & 31 =

bzw. aus (4) und (5)

% $2 — e

(4a)

u2

(5a)

U2 = 2I2 Iii + 23 &

(2a)

32 = 9 1 1 3 1 + ® ^

(3a)

Ist 9t! = 9i2 = d a n n erhält m a n dieselben Strom- und Spannungs»verluste«, unabhängig davon, von welcher Seite aus der Vierpol gespeist wird. Der Vierpol heißt dann s y m m e t r i s c h . y)

Leerlauf

und

Kurzschluß.

Eine wichtige Kenngröße des Vierpoles ist sein auf der Eingangsseite gemessener Scheinwiderstand. Dieser E i n g a n g s w i d e r s t a n d wird nach den Gleichungen (4) und (5) des vorigen Kapitels

—

286

Iii 3i

1

—

3i 1 U 2 + 2 3 & 8taSi + 6 U s '

E r ist also abhängig v o n der Belastung. Wird diese d u r c h einen Zweipol m i t d e m Scheinwiderstand 2® gebildet (Bild 92), so gilt 32

32

und es wird

SB

u2

38 t =

+

9i2 + (Sh r

• • • (1)

Bild 92. Durch einen zweipoi belasteter Das ist also im O r t s k u r v e n d i a g r a m m m i t Vierpol. . ,, = We,a= xwe3y"'. . . (2) eine Kreisschar gemäß der beiden P a r a m e t e r x u n d

y.

Besondere Fälle sind der Leerlauf m i t 23 = °o und der K u r z s c h l u ß m i t 3Ö = 0. E s werden dann die E i n g a n g s w i d e r s t ä n d e 81, e

(3)

23 SB-, = •%"

(4)

2®in =

Bei r ü c k w ä r t i g e r Wo

Speisung e r h ä l t m a n U2

SiiUi + ÜBSi

&

9 t , 3 i + ®Ui

und mit Ui = 3 i ® 3«,

® + 9ta_SB 9lj :

woraus m-0 : SB-, 6) Ermittlung

der

(1 a)

% s

(3 a)

23 9t,

(4 a)

Grundkonstanten.

Aus den Gleichungen des vorigen Kapitels lassen sich leicht die G r u n d k o n s t a n t e n als F u n k t i o n der Leerlauf- u n d Kurzschlußwiders t ä n d e darstellen. Sie können d a n n also aus Leerlauf und Kurzschlußversuchen leicht gemessen werden, a u c h wenn die innere S c h a l t u n g des Vierpoles u n b e k a n n t ist. Die Messung h a t sich allerdings auch auf die Phasenwinkel zu erstrecken, d a ja die Größen der Gleichungen komplex sind.

— 287 — Man findet zunächst Jßio

SBjo. =

% 33®

1 © 93 ß

=

und daraus m (T-

k

gr 9i

_ SB 2 k

SBio SBio-SBi*

1 2

^20 S82o-a®2&

=

Andererseits ist SBio Sß20

%

SBiib

und - f - = S 8 i o 3Ba* = S82oSBi* so d a ß ",H,

gj -

,

]' Sß20 (SSio —

**«>

(1)

1 SB2o-3B2*

""¿20

-">20

I

I

•

g

1

1

~ y s m ö ^ l , ^

~ r W M o ^ Ü T )

•

•

•

(

i

i

l

)

w

Die erforderlichen Leerlauf- und Kurzschlußmessungen sind dabei in jedem Falle möglich, auch wenn der Vierpol örtlich sehr langgestreckt ist (lange Leitung). Es ist noch eine andere Darstellung der Grundkonstanten angebbar, die sich auf Strom- und Spannungsmessungen gründet. Aus den Grundgleichungen wird für Leerlauf = 0) U 10 =

U2

und bei rückwärtiger Speisung tt 2 0 = 9I2 U x 32o

=

®

VLv

Aus diesen Leerlaufsgrößen wird demnach

— 288 —

(6)

(7) Die Messung muß sich wieder über die Phasenwinkel erstrecken. Eine mögliche Schaltung zur Messung beispielsweise der Konstanten S zeigt das Bild 93. Neben Strom- und Spannungsmesser ist noch ein Wattmeter angeordnet, das die fiktive Leistung U 2 I 1 0 cos (U2, Sio) a n ~ gibt, aus der die »Wirk«-Spannung U2 cos (U2, Sio) ermittelt werden

o-

Bild

93.

Messung d e r V i e r p o l k o n s t a n t e n E a u s einem L e e r l a u f v e r s u c h .

Bild 94. V e k t o r d i a g r a m m zu Bild 93.

kann. Die Bestimmung von © kann dann nach Bild 94 wie folgt geschehen. Man zeichnet zunächst den Stromvektor Aus der Spannungsmessung ergibt sich ferner für den Endpunkt der Spannung 1I2 ein Kreis mit dem Halbmesser U2• Die »Wirkkomponente« dieser Spannung U2 cos (U2, ist aus der Leistungsmessung bekannt und kann in der Richtung £j10 eingetragen werden. Die Normale dazu schneidet im gezeichneten Kreis den Endpunkt für U2 ab. Jetzt ist nur mehr '"-in der Spiegelbildrichtung zu U2 aufzutragen. Die Ermittlung der Grundkonstanten kann aber ebensogut mit Hilfe einer Kurzschlußmessung erfolgen. Es ist dann mit U2 = 0 « t , = 93& = 9i 2 & und bei rückwärtiger Speisung U2* = ¡831 cv _ (|i a womit

— 289 — =

QY-

'Olk

^

~~c\i 02

m _

Ulfc

o \52

•

(8)

• ••

(9)

•

üi

_

•

^2 k

(10)

o Ol

Die Messung hat wieder ähnlich zu erfolgen, wie vorhin ausgeführt wurde. Das Bild 95 zeigt beispielsweise eine Meßanordnung für 91,2 das Bild 96 das zugehörige Vektordiagramm. Macht man Leerlauf- und Kurzschlußversuch, dann ergeben sich Kontrollen für die Messung.

Bild 9 5 . Messung der V i e r p o l k o n s t a n t e n ü(2 aus einem K u r z s c h l u ß v e r s u c h .

s) Kernwiderstand,

Bild 9 6 . V e k t o r d i a g r a m m zu Bild 9 5 .

Kernleitwert,

Dualismus.

Wie schon früher festgestellt wurde, hat 6 die Dimension eines Leitwertes. Man bezeichnet die reziproke Größe 3Ji =

1

(1)

©

als den K e r n w i d e r s t a n d des Vierpoles. Die Messung erfolgt wie die von In ähnlicher Weise definiert man den K e r n l e i t w e r t 8 als die reziproke Größe zu 23 « = JL (2) ~ 33 Ihre Messung schließt sich der von 33 an. Leitwerte werden stets dann mit Vorteil angewendet, wenn Kurzschlußprobleme vorliegen. Man verwendet dann auch gerne die Kurzschlußleitwerte A (3) ¿1 k

•82 k O b e r d o r f e r , Elektrotechnik I I / 2 .

:

•>2 k

(4)

33 19

— 290 Mit Hilfe der Kernkenngrößen lassen sich die Grundgleichungen wie folgt umformen. Zunächst wird durch Einsetzen der Gleichung (1) dieses Abschnittes sowie der Gleichungen (3) und (3 a) des A b s c h n i t t e s y in die Grundgleichung (1) des Abschnittes ß 3 3 = (St x 8l 2 — 1 ) S K

— 3 K = (3B W 3B 20 — 2Ra) 6 .

S e t z t man dies in die Grundgleichungen (4) und (5) des A b s c h n i t t e s ß ein, so wird = S S 1 0 O 2 + (38 1 0 SB«, 3 i = 3820^02 +

(£82

eu2

Zur Vereinfachung definiert m a n nun die Größe l/2ÖÄo-3W2 = 3 = ] die den Namen W e l l e n w i d e r s t a n d erhielt. Grundgleichungen auf = 2ß 10 U 2 + 3 2

/

|

(5) 1 )

D a m i t ändern sich die (6)

^ 3 i = 3B 2 OS 2 + U 2

(7)

In gleicher W e i s e kann nun aber auch mit den Leitwerten gearbeitet werden. E s ist dann e = (2ix % — 1) S =

-

2 = (2lk ß 2 S — £ 2 ) 95

und 3i = SitSSa +

(S1.S2.-S2)

U x = 2 2 * 9 3 U 2 + 93 & S e t z t man hier

I 2

l k

S„-ß

a

= $ = ]/'-!

(8)

so wird schließlich S 3 1 = S 1 , S 2 + ?3 2 U 2

(9)

£U1=S»lX2 + & 93 heißt der W e l l e n l e i t w e r t paare (6), (7) und (9), (10) sind völlig seits die Widerstandsparameter andererseits die Leitwertparameter

(10)

des Vierpoles. Die Gleichungsgleichwertig. Sie enthalten einer2B 10 , 3S 2 0 , 9Jt, g , £lfc,

2 , 93

Ü b e r die B e z e i c h n u n g des W e l l e n w i d e r s t a n d e s h e r r s c h t noch k e i n e E i n i g k e i t . Meist wird e r m i t 3 oder Z b e z e i c h n e t . U m eine V e r w e c h s l u n g m i t einer gewöhnlichen I m p e d a n z zu vermeiden, wird hier der B u c h s t a b e 8 g e w ä h l t .

— 291 — und entsprechen einander »dual«. Sie geben Veranlassung zur Aufstellung einer »Widerstandstheorie« bzw. einer »Leitwertstheorie«. In diesem D u a l i s m u s entsprechen einander folgende Größen VL

3

3

VL

£

aes0

&

3

33

wie sofort ein Vergleich der Gleichungen (6), (7) mit den Gleichungen (9), (10) ergibt. Ein Vergleich der Beziehungen (5) und (8) liefert ferner den Zusammenhang 33 = "g

(11)

und damit Q

—

sowie 3Jl= C) Der

(12)

3 |

2

= 3

2

S

(12a)

Wellenwiderstand.

Die im vorigen Abschnitt abgeleitete Größe 3 wird genauer der m i t t l e r e W e l l e n w i d e r s t a n d genannt. Sie läßt sich mit Hilfe der Leerlauf- und Kurzschlußwiderstände auch in den folgenden Formen schreiben 3 = i ^ . „ ^ = Vas 2 0 aß l f c =

y

i

A

-

]

/

f

ä

ß

Ä

(i)

Man bezeichnet nun auch und

8i = ys8Ma8»

(2)

32 = y s s A

(3)

als die » ä u ß e r e n « W e l l e n w i d e r s t ä n d e . S y m m e t r i e f a k t o r genannte Hilfsgröße

\

ein, so wird auch s

Führt

man

ferner

S8 1 0 .

1

> = !

82 = 3 §

die

'

(5> 19*

(6)

— 292 — und 8 = ^8182

(?)

Es ist außerdem 81 _ a _ 2 _ SSlO /Q\ (8) 82 * ' Die Begründung des Namens »Wellenwiderstand« wird sich später bei der Besprechung der Kettenleiter ergeben. b) E i n i g e w e i t e r e a) Der

Kenngrößen.

Eingangswiderstand.

Der Eingangswiderstand wurde bereits im Abschnitt a/y abgeleitet. Mit Hilfe der Leerlauf- und Kurzschlußwiderstände stellt er sich noch in folgenden Formen dar ^20 ~r

(1)

^20 T

Erweitert m a n mit 28 10 und f ü h r t man den Wellenwiderstand ein, so wird auch JJ2. sw = 3 « o ~r 2 I 8 + 3n2 +I ss 1 0 ; ß)

Übersetzungsverhältnisse.

F ü h r t m a n nochmals den Belastungswiderstand 28 aus U 2 = 82 SS in die Grundgleichungen des Vierpoles ein, so erhält m a n f ü r die Spannungen

und für die Ströme 8 1 = 82 («r2 + ® Damit läßt sich ein S p a n n u n g s ü b e r s e t z u n g s v e r h ä l t n i s 1 ) vorderseitiger Speisung definieren U2 Ul -

_2ß

u, ~

+

_ s

2

8 + s b u as

2MB

Im Schrifttum meist mit b bezeichnet.

_ a

aöio (^20 + sb) —~äR

_ aBVaBxo(aBao—®2») _ 2 B f 2 3 2 0 ( 2 B 1 0 - ä B l s ) o20 ^tüifc - p 10)

dann wird

3K _

1

_

Es kann jetzt der Ausgangsstrom auch aus der treibenden elektromotorischen Kraft der Zweipolquelle und der EM K-Übersetzung ermittelt werden. Es wird mit den Gleichungen (la), (2), (3) des vorigen und (2) des Abschnittes ß O

=

U a

cvr>

&—

=

-

C l G

(|B

_

O 3 i \52 cm

ex®

Ci® ex aji + as

an

h oder \52

e eii ti i Ul l - e 1 \ 1

e i2 m. l - t

2

e.SK

e, e 1 Sö20 + Sö l - l

2

(4)

Dabei wurde die Größe ! = y e i ii neu eingeführt, die man k o m p l e x e K o p p l u n g nennt.

(5)

— 295 — Je kleiner die Übersetzungsverhältnisse, desto »loser« ist die Kopplung. Manchmal findet man auch den Ausdruck 1

f=

.. i Stj %

(6)

als Kopplung bezeichnet, der die Rückwirkung der Eingangs- und Aus gangsseite kennzeichnet (u10 die Rückwirkung der Spannung im Leerlauf, ilk die Rückwirkung des Stromes im Kurzschluß). c) A u s g e z e i c h n e t e B e l a s t u n g s f ä l l e . «-) Belastung mit dem

Wellenwiderstand.

Macht man den Belastungswiderstand gleich dem Wellen widerstand des Vierpoles

28 = S,

dann wird der Eingangswiderstand _ 3 2 + 2B 10 3 _ « 3 B i o + 8 — ~ 2T+2B 2 o ~ 2020 + 3

(1)

Die Übersetzungsverhältnisse vereinfachen sich auf * ^ + 3

(2)

und h =

88,7+3 • * ' *

(3)

Mit Hilfe des Symmetriefaktors wird auch B

3 j r ^ + i s

(4)

Um diesen Belastungszustand, dessen besondere Eigenschaften vornehmlich beim symmetrischen Vierpol zutage treten, zu erreichen, kann man die Belastung dem Vierpol oder den Vierpol der Belastung »anpassen«, indem man eben eine der Größen $5 und 3 s o ändert, daß 28 = g wird, ß) Belastung mit dem Ausgangswellenwiderstand. Belastet man den Vierpol mit dem Ausgangswellenwiderstand 3 2 = }/ Sß20 2ö 2ä , so wird

— 296

2B£0 +

/

Ä

SB20

1

r ^ „o f' s3820 sv^

1

m

1

ä

oder

,

2 0

^

2

*

-20

•

!

^

( '«)

| *

(5)

Die Wellenwiderstände sind alle gleich 8i = 3,-

3-

Der Symmetriefaktor wird 1 3= 1

(6)

Für die Übersetzungsverhältnisse erhält man u

J® M

i-

tl =

-

1 l + W

_. U l 0 - t

_ "

_

" =

2

t2

i _ an ¥ _ W

, 7V (/> (8> ( }

Es sind also alle Größen unabhängig vom Ort der Speisung des Vierpoles. Bei A b s c h l u ß m i t d e m W e l l e n w i d e r s t a n d wird noch

an1 -®±13- = n «2 + 213^ oder

2Ì + 6 3

©3 + 3i3

2Bi = 3

(10)

Für die Stromquelle liegt also dieselbe Belastung vor, ob der Vierpol da ist oder nicht. Es ist also Ol

=

^2

=

3

(H)

womit aber selbstverständlich noch nicht gesagt ist, daß etwa die Ströme und Spannungen am Eingang und Ausgang gleich sind. Es ist vielmehr Ui + Ua (-V i o tf 14= und der Vierpol für die Belastung von Einfluß, indem an ihr andere

— 298 — Strom- und Spannungswerte auftreten, als wenn er nicht vorhanden wäre. Nur das Verhältnis Spannung zu Strom bleibt erhalten. Die Spannungen und Ströme stehen dagegen in der Beziehung der Übersetzungsverhältnisse

s

S3 + 2I3 3

G32 +

2iS

30 +

3

also u, = u, = i, = i, = u = t =

8 93 + 9i 3

2i +

(12)

®3

Es ist also gemäß dem Vektordiagramm Bild 9 8 XL Ui"

und

>>J2 = -£- = üi

U

= t

Vi = ViNeben dem direkten Strom- und Spannungsverhältnis wird mit Vorteil auch ein logarithmisches Maß verwendet, indem der Ansatz t

= f

= « - '

• -

gemacht wird, worin die komplexe Größe B i l d 98. V e k t o r d i a g r a m m des s y m m e t r i s c h e n , m i t dem Wellenwiderstand belasteten Vierpoles.

das Ü b e r t r a g u n g s m a ß Dämpfungsmaß

0

= 6 + / a = ln-Ji- = ln-^u

genannt wird.

2

. (14)

\$2

Ihr reeller Bestandteil,

b = In - - 1 - = In A Üo U

das

(14a)

gibt an, wie stark der Eingangswert zahlenmäßig auf den Ausgangswert abgesunken ist, wie stark er also beim Durchgang durch den Vierpol »gedämpft« wurde. Der imaginäre Bestandteil 0 = Grundgleichungen: U.! = 3i =

U2 + 23 S 2 9l2S2+eU

2l : §i 2 — 39 © = Größe

2

1 Gleichung

TO

Seite

9 t l

—

286

Leerlaufwiderstand TO "u320 — — ^ß

286

286 Kurzschlußwiderstand 286

TO . —

Kern widerstand

m

Kernleitwert

0

(mittlerer) Wellenwiderstand

=

i

289

1

__L

289

8

- ] '-«

290

3 l

" / " S ; ?

io ysö10(aß20-®ü) Si=®2o & + u 2 SBjo = 3B20 f

Größe 2j nj

Grundkonstante des Vierpoles

Seite

Gleichung 1

®x. _ J VS82„(SB10-aBlfc) f

2

S82o y®i.(SB«-SB,*j

SR = 3R1j.1/

^20

®io ffi20-ffi2*

287

/ 23*0 r SSio-28ifc

287

„jr,

1 e — ^asB„ (SEBio —SBifc)

-,/

28io

287

1

s

y® M (®M-©.*)

Kernwiderstand

SK = yffi20(ffiI0 - SBlt) = y 3B10 (ffi20 - SB.»)

Kernleitwert

£

(mittlerer)Wellenwiderstand

b =y©„

äußere Wellenwiderstände

8i = yffiio ffin

9

87

289

_ y 8B10 — SSifc _yaB2„ —3B2fc •2W3B 2 o 2B2fcySB10

289

= y sg20 sbjs

; 291 1 291

82 = y s®2o

! / ®20 Symmetriefaktor \ S — j/ gg— Eingangswiderstand

1

Spannungsübersetzung Stromübersetzung

i

1

i

1

10

ffi20 + SB

291

ffi20

SB / SES20 — SCS2& ffi2i + ffi \ Sßio y ©„(SB» — SB,*) ffi20 + S!B

O b e r d o r f e r , Elektrotechnik II/2.

292

+ 38

2B V SS?20 (SQ310 — äBi*) 1 999 SB 20 ffi lfc +ffi 10 ffi |

1 ^»(SBio-SBi«:) S820 + SB

293 20

— 306 — Tafel 5.

Symmetrischer Vierpol Darstellung durch den Wellenwiderstand 3 und das Übertragungsmaß g. Grundgleichungen:

Ux = tl 2 ©of g + % 8 3i =

2310 =

^20 =

=

=

e ~

n_

3SS.+ 8

_

/SB „ - 3 |/SS0+3

/:3~—©7

Übertragungsmaß

^ @ t n g

SB* Seite

Gleichung

Größe

l/fSBo - f S B *

Bei Anpassung

299

+ 1^38»

„a-9

Grundkonstante des Vierpoles

23«,;

3« ©ofg +

9

3 "SB0

9

SB* 8

1

| ©o

299

2t = e o f 9

299

S3 = © t ® o f 0 = 3 S i n g

296

e

299 ä*. Eof g

Kern2R widerstand Wellenwiderstand 3

3 ©in g

289

= 2 B 0 S g g = aB Ä eotg

291

Leerlaufwiderstand ® 0 =

3£°tg

289

Kurzschlußwiderstand 3B/c =

3299

296

Eingangs- a»! widerstand

0 ö

3 ©in g + 2B®oi g 3 Eof g + SB Sin g

299 aB1 = = 3

Spannungsübersetzung «1

2B 8 ©in g + 28 (£of g

300 " i = e - f l

Stromübersetzung

3 3 ©of g + 28 ©in g

300 ¡i = e ~ 0

Kopplung

'l f

3 l'(3©°ig

©ing)(3©of 8 + 2 8 ©ing)

294

1

f = l/'jeofg +

^Singje8

— 307 — Tafel 6.

Ausgezeichnete Belastungsfälle. Belastungswiderstand SB = Eingangswiderstand

8

|

0

| Kurzschluß

SB, sra »+ 81

Tl

3810 + 8

sm

= 3B1S

1 2t!

SB10

W

«Bt SB20+3

Stromübersetzung

Leerlauf

äB 1 0 +8 3B«, 8

2Bi =

Spannungsübersetzung U! =

00

82

•8

f) E r s a t z s c h a l t u n g e n . ot) Die

T-Schaltung.

In den meisten Fällen, in denen überhaupt ein Bedürfnis zur Anwendung einer eigenen Vierpoltheorie vorliegt, ist der Zustand im Inneren des Vierpoles ohne oder von nur nebensächlichem Interesse. Es handelt sich dann gewöhnlich um die Kenntnis der äußeren Größen an den Eingangs- und Ausgangsklemmen. Damit entsteht aber sofort die Frage, ob der vorliegende Vierpol beliebiger Schaltung nicht durch einen mit einfacher Schaltung ersetzt werden kann, der hinsichtlich der Verhältnisse an seinen Klemmen dem ersteren gleichwertig ist. Tatsächlich sind drei solche, einfachste Schaltungen möglich und gebräuchlich. Die erste, die T - S c h a l t u n g oder S t e r n s c h a l t u n g zeigt das Bild 100. Sie besteht in der Hintereinanderschaltung zweier »Längsimpedanzen« 81 u n d 82, zwischen denen der »Querleitwert« ?) angeschlossen ist. Die Anwendung des Kirchhoffschen Gesetzes auf den Eingangs- und Ausgangskreis liefert h «1—3i8i-(3i —3«)-| = o

u,

und U2 + 3 2 8 2 - ( 3 1 - 3 2 ) 4 = woraus o tu =

1

[

0

'

Bild 100.

Die

T-Schaltung.

1

0

+ ^82 +

oder geordnet U 2 = wird ( 1 + D 8 2 ) Ui In gleicher Weise

• (81 + 8 2 + 2)8182) 8 1

(1)

(2) & = (i+?)8i)8i-?)Ui Vergleicht man dies mit den Grundgleichungen (2) und (3), Abschnitt 20*

— 308 — a//S des allgemeinen Yierpoles, so erkennt man, daß Äquivalenz besteht, wenn die Grundkonstanten 5t, 33, © mit den Konstanten der T-Schaltung nach folgenden Gleichungen zusammenhängen 8ti=l + D8i 2 * 2 = 1 + ?) 82 » = 3 I + 82 + ? ) 3 I 3 2 6 =2) Umgekehrt wird daraus

(3)

= e

D

3i =

®

(4)

«2—i 82 = " e Damit kann also jeder Vierpol, dessen Grundkonstante bekannt sind, durch einen Ersatzvierpol in T-Schaltung dargestellt werden. Man erhält jetzt auch leicht die weiteren Beziehungen 1 2010 = 8 1 +

—£

1 SS20 = 82 +
2 k

•

(i + g ) 8 ) ( 2 8 + ? ) 8 2 ) 2)(i + S)8)

(5)

— 309 —

8 = V 8 ( 8 + 2SW)

(6)

Dies läßt sich auch in der Form

3 - / ! ] / 2 + 3 ?) = ] / | y 1 +

. . . .

(6 a)

schreiben. Für das Übertragungsmaß erhält man ferner ®of

0

=

und gemäß Tafel 5 =

1 +

2)3 =

= l +

1 +

+

+

(V)

. . . .

(8)

Für die Kopplung findet man beim nicht symmetrischen Vierpol den einfachen Ausdruck f = oder

7 =

= = _ = _ L = _ _ _

(9)

1 f =

® .

_

812

1 ( 8 , ^ ) 1 3 , E r ist also das Verhältnis des Koppelwiderstandes zum geometrischen Mittelwert der Gesamtwiderstände des Eingangs- und Ausgangskreises. Man setzt noch gerne

Ikzl)

\520 Üx"

0 010

0 \?20

30 _ J l i o •«10 — •OIO

äß2o = 82 + SM

ora _ ^20 •öSiO— cv •O20

®i*-8i 1

«Kl — 1 , 1 * iSl*

Kurzschlußwiderstände SP

Wellenwiderstand

0 \$2

38io = 81 + Leerlaufwiderstände

T-Glieder

Ux

n

,

SR 81

•02A:

= SBio —• 3K = = SB M -V8B 1 0 (SB 1 0 — a B l t )

0 öl

82

=2820-2» = = a B 2 0 , - i ' 3 ö 1 0 (2B2„ — m 2 k )

0 U —u O 2 — ?0(V t •vS20

D

= —

3

= y ^ = yaB 1 0 SB 2 o-2R 2 = -1/ 81 + 82 + ?) 8 1 8 2

m J

—

U10-U2 CV OIO

O O\}l0 >020 u 2 ~ u,

— 311 — Tafel 8.

Die symmetrische ^-Schaltung o o 3t i — öi — o — ~2~ Gleichung

Größe Wellenwiderstand

3 = / 8 ( 3 + 29K) = j / ^ V 2 + ®3' (£o[ g = 1 + D 3 = 1 +

Übertragungsmaß

= l + ? ) 8 + ) / ? ) 3 ( 2 + ?)3) Längsimpedanzen

3 = 8 2 g f = ] / - | i 2 + SD

Querleitwert

„

=

® p .

=

g®i„B

ß. Die II - Schaltung. Eine zweite, ebenso einfache Ersatzschaltung zeigt das Bild 102. 3,

3

3

3

" T T U,

'S,

I

I

Bild 102.

Die / / - S c h a l t u n g .

Sie wird / / - S c h a l t u n g oder D r e i e c k s c h a l t u n g genannt und hat einen Längswiderstand 3 u n d Querleitwerte ?)1 und S)2. Die Kirchhoffschen Gesetze liefern

o

Q

o cy cv \Sm __ |Q2 \Jffl A

woraus 3» = 3i-?)iUi = -

3)23l+?)l32 + ^DSS

Di + ^

und 3« = (i + ?)2 8 ) 3 i - ( ? ) 1 + ?)2 + ? ) i ? ) . 8 ) i i i

. • • • ( ! )

— 312 — Damit wird ferner Ua = (i + S)i8) Ui — 8 3 i

(2)

Die Dreieckschaltung ist also dem allgemeinen Vierpol gleichwertig, wenn «1 = 1 + 2)28 « 2 = 1 + 2)l,8 (3) » =8 6 = ? ) i + 2 ) 2 + 2)12)28 Die beiden Hauptgleichungen (1) und (2) entsprechen vollkommen den diesbezüglichen Gleichungen (1) und (2) der im vorigen Kapitel beschriebenen T-Schaltung. Es sind lediglich die Ströme durch die Spannungen sowie die Impedanzen durch die entsprechenden Leitwerte und umgekehrt die Spannungen durch die Ströme und die Leitwerte durch Impedanzen ersetzt. Die Gleichungspaare sind d u a l v e r w a n d t . In diesem Sinne besteht also auch eine duale Verwandtschaft zwischen der T-Schaltung und der II-Schaltung. Ist der Vierpol in seiner allgemeinen Form gegeben und sollen die Konstanten der Ersatz-/7-Schaltung bestimmt werden, so findet man leicht aus den Gleichungen (3) 8 = 23 SI2—_1 2)i = 2)2 =

(4)

2iiss

Man erhält ferner durch einfaches Einsetzen in die entsprechenden Bestimmungsgleichungen 23io =

k 9W„ SR =

1 + 2)28 2)l+2)2+2)l2)2 8 J_+2) ,8 2)1 + 2)2 + 2)12)28

8 1 + 2)i 8 8 1 + 2)28 2)i + 2)2 + 2)I2)2 8

2)2 1+2)23 2)i

oder

2io = 2)i-

oder

£20 = 2)2-

oder

S » = 2 ) i + g- = 2)i + £

oder

S 2 , = 2)2 + | - = 2)2 + S

oder

i+2)i8

S = A.

8

Die Rolle des Kernleitwertes erlaubt nach den obigen Gleichungen wiederum eine Schaltungsdeutung nach Bild 103.

— 313 — Bei s y m m e t r i s c h e m Vierpol wird ?)l = ?)2 = ? ) = f

L

(S)

ist dann der gesamte Querleitwert. p p

.o

P -P '•ZK -

1K

O Bild 103.

-iL

0

Die Rolle des K e r n l e i l w e r t e s in d e r

//-Schaltung.

Damit erhält man für den Wellenwiderstand

*= / ?

oder den Wellenleitwert

?3 = }'?)(?) + 2 £)

(0)

Man kann auch wieder schreiben +

=

- M

. . . .

(6a)

oder

Es ist ferner Gof ß = l + 2 ) 8 = 1 + - % ^ -

(7)

e ° = l + ? ) 3 + l / ? ) 3 ( 2 + ?)3)

(8)

und Zur Ermittlung des Übertragungsmaßes erhält man also dieselben Gleichungen wie bei der T-Schaltung. Es ist nur bei der T-Schaltung 2) = bei der 77-Schaltung $ =

8 =

A

3 — S-

Die erhaltenen Kenngrößen der /7-Schaltung sind in den beiden folgenden Tafeln 9 und 10 zusammengestellt.

— 314

—

Tafel 9. Die u n s y m m e t r i s c h e

77-Schaltung.

G r u n d g l e i c h u n g e n : & = (1 + % Q ) & Ua = ( ! + ?), 8 )

+

Aus dem Schaltbild

Größe

»i = 1 +

?) 2 +

& % 8)

U i - S S i Aus der Messung

9.8

21» = i + D i 8

wie bei der T-Schaltung

G r u n d k o n s t a n t e des Vierpoles 58

6

Kernleitwert

=8

= Di + Di + Di Ds 8 £

* S

- i

1 0

- D I +

|

1 +

Q

2 8

Di 1 +

?)i

g

0

*-20

Sit = D i + 2

O

l k,

S 2 i = D2 + S

«2 k

u 11 10

Dl = S i * — S =

m

—

_

= Slfc—>'«t * ( « ! » — fiio) 77-Glieder

D2 = £ 2 * - S

O

0 =

~

M2 k — "•2k 0 0 •vfl k \S2 Hl*

O \>2k

.jj

^

= njr

| / Di + D2 + Di 82 8

o* Ol

U2 k

= S s * — V f i i f t i S s * —£«>) 8

Wellenleitwert

=

lJl

0 J20 20

uiV

~~ 11 Uli

Kurzschlußleitwerte O

\?1 U2fc

8lO

10 _

Leerlaufleitwerte £20 - Da +

O

•vfe Ulfe

0 O

_

cy 02

_

^ i S Cf Ol

— 315 — Tafel 10.

Die symmetrische 77-Schaltung S)i = & = 2) = - ^ Größe

Gleichung

?j = y?)(D + 2S) = ] / | - i / 2 + ?)3

Wellenleitwert

cofa = i + S 3 = 1+—g— Übertragungsmaß ee = i+V3

+ lfV8&

+

V3)

Querleitwerte Längswiderstand

8 = 3

y)

Die

9

X-Schaltung.

Eine dritte noch übliche Ersatzschaltung ist die im Bild 104 dargestellte X - S c h a l t u n g , auch K r e u z s c h a l t u n g genannt.

Bild 104. Die Jf-Schaltung.

Hier liefern die Kirchhoffschen Gesetze die Bedingungsgleichungen _ ( l + g ) l 8 2 ) ( l + 3)2 8l) ~ 1- - M 2 3 I 3 2 (i + ? ) . 8 i ) ( i + ?)»8») 9i i-Dx^SiS« » _ 81 + 82 + 8182(1)1 + 9)2) 1 - S 1 ^8182 ^ 1 + ^ ) 2 + ^ 2 ( 8 1 + 82) ff = i-M)g8i8«

or

1

woraus bei S y m m e t r i e

m {

'

— 316 — 81 = 82 = 8 2)i = 2)2 = 2)

%=

I 2 == 1

=

28

95

1+2)8 1-2)8 (2)

1 —2)8

e

22) 1-2)8

=

und

1+2)8 2?) 28

•>lfc -

1+2)8

sowie

_ 1 /1 _ - 2 Vi)

1-2)8

SR

=

S

i-?L8 = 28

3 _

l

28

f

•

eofg

=

/

=

a

(4)

~~ 2 i 8 (5) 1+S_8

1-2)8

2j/f8 = 1 + 2)8"

9

e ~

(3)

1

(6)

12)8

1 + /2)8 .

Es wird ferner nach kurzer Zwischenrechnung 8 = 3 2g' (7)

2)

8

Eine Zusammenstellung der erhaltenen Werte enthält die folgende Tafel 11.

—

317

—

Tafel 11. Die

X-Schaltung. Gleichung

Größe

bei unsymmetrischem Vierpol

bei

c h e m

(1 + S 1 8 2 ) ( 1 + 9 . 81) i-9il)i8i8.

Of

!?)„ 8 woraus 8 = 8 1 + 82 + ?) 8 1 8 2

___ » 81 +

82+3)8182

?)3i ?)* = 81 + 8 2 + 5 ) 8 1 8 2

Umwandlung einer gegebenen J-Schaltung in eine gleichwertige /7-Schaltung

(1)

Umwandlung einer gegebenen /7-Schaltung in eine gleichwertige T-Schaltung

(2)

Umgekehrt wird 2) = 2)1 + 2)2 + 8 ^ 8 81 = 2)I+2)*+2)I2)!!8 82 —

2)i8

?)l + D + ? ) l ! ) 2 Ü

.

Für die Kreuzschaltung erhält man auf die gleiche Weise

— 319 + & +

—

Vz (81 + 82)

1-D1$28182 8l 3.

I 82

, 9 Q O

1 1 2 ^ + ^ + 8 1 + 8 2 8 1 _L 82

82 =

1

Vi

1

v-2

1 9 0 Q

Umwandlung einer gegebenen X-Schaltung in eine gleichwertige T- Schaltung

(3)

Umwandlung einer gegebenen X-Schaltung in eine gleichwertige 77-Schaltung

(4)

81+82

+

und 8

=

8 l + 8 2 + 8 l 8 2 ( ? ) l + ?)2) I - M 2 8182 Ii 82 1 81

Vi '

81 1 8i~

•

V* +

81 1

+ •82 +

+

2 «

+

V1+V2

2

I2 + Vz 82 1 + ?)l + & 82

+-

wobei links vom Gleichheitszeichen die Kenngrößen der T- und Schaltung, rechts nur jene der X-Schaltung stehen. Die Gleichungen vereinfachen sich wieder sehr beim s c h e n Vierpol. Es ist dann 8" = 8t(2 +

(Slfc Sio) dargestellt werden kann. Dieser Wert läßt sich aber leicht ermitteln, wenn man den Kurzschlußpunkt mit dem Leerlaufpunkt verbindet. Nach Bild 109 schneidet dann die Normale aus einem beliebigen Betriebspunkt P auf den Kreishalbmesser aus dem Leerlaufpunkt P 0 , auf der Verbindungslinie P0Pk einen Punkt B ab, der ein Dreieck P0B P bestimmt, das dem Dreiv •'2«

Bild 109. K o n s t r u k t i o n der Leistungslinie.

TT (Si ' 1

ze

) Siehe auch im S c h r i f t t u m unter

Werners.

— 327 — eck P0 PPk der Winkel

ähnlich ist. P

0

und

B P

(Gemeinsamer Winkel bei P0 und Gleichheit P

0

P P

nämiich

,

k

—

n

L

und

\>)

Es ergeben sich d a n n dieselben Gleichungen für co0 und ßo| b wie vorhin, wenn auch die beiden Vierpole einander nicht äquivalent sind, wie die Gleichungen im Abschnitt 2L Ja z o—vwv-

L, 1

12 —°

t 32-

-21

3 t Li —VWV— c

n° a ,

12

21,

3*

_

2

c

L

o1

VcT

12 Bild 110.

3 t

D ä m p f u n g s k u r v e n einfacher

Für die Sternschaltung mit . 3

und

=

2 jcoC

Siebkettenglieder.

',2L,

— 334 — 1 / co L (zweite Reihe in Bild 110) erhält man die Grenzfrequenz co0 =

1 , 2iLC

(7)

und die Gleichung für die Dämpfung

± gof 6 = 1 — YJTC

= 1— 2

{^ff

(8)

Hier erstreckt sich also der Sperrbereich auf die Frequenzen co < co0. Es liegt also ein » H o c h p a ß « vor. Dasselbe Ergebnis liefert wiederum die Dreieckschaltung mit 1 1 8 = -—TT und 2) = y, •—ju ° jwC 2 jmL sowie natürlich die äquivalente Dreieckschaltung. Als drittes Beispiel sei schließlich die Sternschaltung mit 8

i co ln 2

und 3) = / w C 4-

1 7 ojL2

-T

—

1 — Ü)2L2C / co L 2 .

R

behandelt, die in der dritten Zeile des Bildes 110 dargestellt ist. ist offenbar gleichwertig mit der Dreieckschaltung mit und

8 = jojL „ _ y ~

Sie

1

/ a> C

1 _ 2 jco L2 ~

+

1 — co2 L2 C 2 jco L2

Hier ergeben sich aus (3) und (4) zwei Grenzfrequenzen, nämlich aus

(9)

1

und aus

1 Li C (1 — co22 L2C)

—— 2

.. | 1 1-' L2 C

^

Es wird ferner die Dämpfung

(10)

± ©of b = 1 +

(1 - co* L2 C) = 1 + 1

oder ±©of6 = 1 — 2

CO «i co2 CÜ!

1-

L j

2L2 / CO \COjl

— 1 = 1

= 1+

2.

1-1 o2 /vo C

1

— 1

)

(11)

— 1

F ü r alle co des Bereiches

co1 < CÜ < ft)2

liegt also ein Durchlässigkeitsbereich vor, außerhalb dieses Bereiches eine Sperrzone. E s wird also nur ein gewisses »Frequenzband« durchgelassen. Man spricht in diesem Falle daher von einem B a n d p a ß oder Bandfilter. Für das K r e u z g l i e d wird schließlich aus der Grenzbedingung ©o)

= ± 1

2)8 = o

(12)

Hier erhält man also nur eine einzige Gleichung für die Grenzfrequenzbestimmung. Tritt dabei co in irgendeiner Potenz in 7) und 3 n u r a l s F a k t o r auf, dann ist die Grenzfrequenz CO o = 0 und es läßt das Kreuzglied alle Schwingungen ohne D ä m p f u n g durch. Dagegen findet eine Phasendrehung statt, die durch cosa = { ± | | -

(13)

gegeben ist. Man benutzt daher Kreuzglieder gerne zur Herstellung bestimmter Phasendrehungen. Als Beispiel sei das Kreuzglied mit 3

und untersucht.

=

V =

Mit

2

= -o) LC

jcoC = 0

wird cöq = 0 und b = 0 für alle Frequenzen. hält man cos a •

l-(ü2LC 1 + CO* LC

worin noch die Eigenfrequenz

l +

F ü r das Winkelmaß erco co0 i^Vco0

(14)

— 336 — des aus L und C gebildeten Teilschwingungskreises (ist aber nicht Grenzfrequenz!) als Bezugsfrequenz eingeführt wurde. Ein zweites Beispiel behandle das Kreuzglied mit 1 3 = jmL + 1/ co C und V = /CO Cv Hier wird aus 1 u

(15)

fLC

Die Grenzfrequenz ist also unabhängig von C 1 1 ). Die Dämpfung erhält man aus g0fi =

i

1

-

c

0

(16)

.g r, ( °> CO H * Das Kreuzglied verhält sich also wie ein Hochpaß. Für die Phasendrehung im Durchlaßbereich ist nur ßof b durch c o s « zu ersetzen. Ihr Verlauf ist im Bild 110 gestrichelt eingetragen. Sind die Wirkwiderstände (Verluste) nicht vernachlässigbar, dann ist 2t komplex und +

0

ßLCl-- i-

L

6o[ g = Ax -f- / A2 = ßof b cos a + / ©in b sin a Man hat also zu setzen und

ßo[ b • cos a =

A1

Sin b • sin a =

A2,

woraus nach Quadrieren und Subtrahieren Gof* b - ©in2 6 = 1 = oder

A

2

A

cos a

2

sm^ a

=

A

2

1 — sin'' a

A A

2

l sin-' a

sin4 a — (1 — A^ — A22) sin 2 a — A22 = 0

und sin 2 a =

(1 — Aj2 — A22) + j/

—

— ^2 2 ) 2 +

• (IV)

Da a reell sein muß, der zweite Summand in der Gleichung (17) aber stets größer als der erste ist, darf die Wurzel nur mit dem positiven Vorzeichen genommen werden. Die Dämpfung findet man jetzt aus @in b = 1

sin a

) Für C t = 0 liegt ja ein reiner Reihenschwingkreis vor!

(18)

— 337 — Von Bedeutung ist wieder die Frequenzabhängigkeit. Als Beispiel sei die Drosselkette nach Bild 110 oben besprochen, wenn die Spulen mit Widerstand behaftet sind. Dabei sei angenommen: /? = 400-Q, L — 0,1 H, C = 0,2-10" 6 F. Es ist dann 3

=

R +

jcoL

2

2) = /'ß>c

und ©of g -

1 + (B + j m L)

, W2 C-

=-, 9( = 1 + j

co

LC 2 "

2

1,6.10*

Zxio"

Bild

III.

ü b e r t r a g u n g s - , D ä m p f u n g s - und W i n k e l m a ß der v e r l u s t b e h a f t e t e n D r o s s e l k e t t e in A b h ä n g i g k e i t v o n der K r e i s f r e q u e n z .

Das gibt in Abhängigkeit von oj die im Bild 111 dünn ausgezogene Parabel. Daraus ist g nur schwer mit Hilfe von Tabellen und durch Versuch ermittelbar. Man geht daher am besten so vor, daß man zunächst ©in 0 = f g f P l

= 1

ermittelt, was am einfachsten graphisch geschieht und für den Punkt 1 co = 5 • 103 - eingetragen ist. Man erhält so die Linie SS = ©in g. Die strichpunktiert gezeichnete Summenkurve = -,---,(' also (2)

und

ß = —CK

Bild 117.

Inversion.

(3)

also Ergebnisse, die aus dem komplexen Verfahren in der Wechselstromtechnik bereits bekannt sind. Ist |z| = 1 (das ergibt den Einheitskreis), dann erhält man das S p i e g e l b i l d an der reellen Achse. Für alle anderen Zahlenwerte von z erfolgt gleichzeitig eine Streckung nach reziproken Radien. Diese Abbildungsform nennt man auch Inversion. Das Bild 117 zeigt zwei inv e r s e Dreiecke, wobei die w-Ebene in die z-Ebene hineingelegt wurde. Das Dreieck mit den geraden Seiten geht in ein Dreieck mit Kreisbogenseiten über.

— 345 — Bemerkenswert ist noch der U m s t a n d , daß der Einheitskreis 2= e

3 a

bei der Inversion in sich selbst übergeht. Alle P u n k t e einer Figur, die am Einheitskreis liegen, befinden sich also nach der Inversion wieder am Einheitskreis (siehe Abbildung). Der P u n k t z = 0 r ü c k t ins Unendliche (w = °o). Der unendlich ferne P u n k t kommt in den Ursprung zu liegen. Ist allgemeiner w = - - + b (4) z so ist die invertierte Figur noch drehzustrecken und um b parallel zu verschieben. 1 c) D i e F u n k t i o n w = z H Die Funktion w = f(z) =

z +

^

•

(1)

hat die Eigenschaft, daß zu jedem W e r t von w zwei Werte von z gehören. Die Zuordnung ist also nicht m e h r eindeutig; die z-Ebene wird »auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche über der w-Ebene« abgebildet. U m das Verhalten der Abbildungsfunktion zu studieren, t r e n n t man, wie anfangs dieses Kapitels angegeben, in die beiden Bestandteile cp (x, y) und y> (x, y). Es wird d a n n aus % 7y w =

' \w\ = co = m C

(3) (4)

— 348 — In der Folge soll

0
-Ebene eine Gerade. Beim Übergang vom Bereich z ^ bis z£ zum Bereich z f bis zi+1

springt d a g e g e n g e m ä ß

dem Faktor

d z

- j "

£

"i

(2)

— 352 — Die R i c h t u n g der Geraden in der w-Ebene h a t sich also im P u n k t ivt sprungweise u m den Winkel 71 geändert, der also als Außenwinkel im somit e n t s t e h e n d e n Polygon des Bildes 121 erscheint. Zur Aufstellung der endgültigen A b b i l d u n g s f u n k t i o n ist noch die K e n n t n i s der K o n s t a n t e n C u n d Cl erforderlich. Sie ergeben sich aus d e n A n f a n g s b e d i n g u n g e n des Problems. Es l ä ß t sich nachweisen, daß m a n hierzu auf der reellen Achse der 2-Ebene drei P u n k t e frei wählen k a n n , w o m i t gleichzeitig das Maßstabsverhältnis der a u f e i n a n d e r abzubildenden Bereiche b e s t i m m t ist. Die übrigen P u n k t e z( und die Kons t a n t e n müssen aus den Besonderheiten der vorliegenden A u f g a b e errechnet werden, wozu meist eine I n t e g r a t i o n ü b e r einen b e s t i m m t e n W e g im Abbildungsgebiet d u r c h g e f ü h r t werden m u ß . Allgemeine Ang a b e n hierüber lassen sich schwer m a c h e n ; m a n m u ß vielmehr v o n Fall zu Fall den geeigneten W e g suchen. Worauf es dabei a n k o m m t , soll ein Beispiel zeigen. Ist das Polygon geschlossen, so m u ß Z*i = 2

(3)

sein, d a ja d a n n insgesamt der volle Winkel 2 71 erreicht w e r d e n m u ß . 4. Anwendungsbeispiel. Ein Anwendungsbeispiel soll die theoretische E i n f ü h r u n g der vorhergehenden A b s c h n i t t e erläutern u n d Gelegenheit geben, Vorsichtsmaßregeln zur V e r m e i d u n g von Fehlern anzugeben.

Bild 123. F e l d eines u n e n d l i c h a u s g e d e h n t e n P l a u e n k o n d e n s a t o r s .

Zweck der k o n f o r m e n Abbildung ist die Z u r ü c k f ü h r u n g verwickelter Feldbilder auf einfache, b e k a n n t e Fälle. Der einfachste Fall eines elektrostatischen Feldes ist der unendlich a u s g e d e h n t e P l a t t e n k o n d e n sator m i t dem homogenen Feld des Bildes 123. Man wird also t r a c h t e n , den vorliegenden Fall von nach einem beliebigen Polygon g e f o r m t e n E l e k t r o d e n auf einen unendlich ausgedehnten P l a t t e n k o n d e n s a t o r zur ü c k z u f ü h r e n . Das geht nun nicht direkt, weil zunächst durch das Schwarzsche T h e o r e m n u r die A b b i l d u n g auf die ganze obere Halbebene

— 353 — ermöglicht wird. Nun k a n n a b e r der P l a t t e n k o n d e n s a t o r ebenfalls als P o l y g o n angesehen w e r d e n ; nämlich als Eineck mit im Unendlichen b e f i n d l i c h e m E c k p u n k t . Man k a n n also die Halbebene als v e r m i t t e l n d e A b b i l d u n g f ü r den P l a t t e n k o n d e n s a t o r u n d das vorgelegte Polygon w ä h l e n , w o d u r c h die beiden letzteren in gegenseitige Beziehung gebracht w e r d e n , w e n n die beiden Teilabbildungen auf die v e r m i t t e l n d e Halbebene zusammenfallen. E s e n t s t e h t somit vorerst die Zwischenaufgabe, den unendlich a u s g e d e h n t e n P l a t t e n k o n d e n s a t o r auf die obere Halbebene abzubilden. D a z u sei der K o n d e n s a t o r in die z-Ebene z = x +

jy

verlegt, w ä h r e n d die v e r m i t t e l n d e Halbebene durch die P u n k t e t = r +

js

beschrieben werden möge. Die Einzelheiten der Abbildungsbereiche k ö n n e n dem Bild 124 e n t n o m m e n werden. Der Richtungssinn auf der R a n d k u r v e des Abbildungsbereiches ist nach den Regeln der komplexen R e c h n u n g stets so zu wählen, d a ß der Abbildungsbereich i m m e r links bleibt. E r ist im Bild links eingetragen. P u n k t e im Unendlichen w e r d e n dabei wie P u n k t e im Endlichen behandelt. y

«

*7 Bild 124. Zur Abbildung des unendlich ausgedehnten Plattenkondensators auf die obere Halbebene.

I m vorliegenden Beispiel des P l a t t e n k o n d e n s a t o r s liegt insofern ein Sonderfall vor, als das Polygon n u r einen E c k p u n k t h a t , nämlich den unendlich fernen P u n k t m i t dem Öffnungswinkel

und damit sofort aus dem Differentialsatz (9) bestimmbar. M Man hat jetzt nur noch erhält

dw dz

Ch

nach Gleichung (6) zu ermitteln und A>

7i dw t—i— = d dt

7i dw TrtU dt

worin d durch d = y2 — y1 = (pz —