108 86
Romanian Pages 331 [328] Year 1984
~i JN1 iii
1
v, E.1rf>i$1 'li :tr IA, 'îli iE. 1A\ 1
1
IG)'I' ~I Jt"r
18: l,'41(a i~
,PA:~ia~it>t,~~~~0~
IR iE
Ş,
UNI VE R S I T AT E A
D I N · ,. B U O U R
EŞ
T -I
FACULTATEA DE MATEIL\TIOĂ
f#ERBAN RAIANU
ll'OMA.AI,BU
_LEOŢII
DB AWEBRĂ OOMUTA'RIVĂ
Ltu·
D
';;J
~-1-~:t/)I
C'.L~
_/J l-t-1? /4~"e
--7~~
/~~-~~~-- s-~ /,"d',_,:
Bucureşt'i
1984
·r
,.r
'·
Pl-ezen-Ul. OlQiş e,~•-4•atip11.sw-_ aJilt-Hl 1 . IV, V do.la »•O.Ul• tabea de Matem•t;ic~; :.~..:-e '.ie rd.. · · ..
denţilor CU.A
OUJ.1aul s fQS'!S a14a1i 11at •Sn -colac. tivul de oatodl't=. ~ar-=· e--a d.flolarat-de a-
c;io~ cu anil tiplicu·aa l.ui tn ~aotare. ·
ao1Jualâ .iie--.
PREFAŢĂ
Lucrarea de
taţi
este o versiune extinal a Cursului de Alge-
brl Comutativi ~inut; de primul dintre autori studenţilor anului III al Pacultlţii
de Matematici în anul Wliversitar 1980/1981. Ounoştinţele ne~eaare pentru parcurgerea clr,11 aînt aproape
tn exclusivitate acoperite de programa de Algebra a.anilor I lacult4ţilor
şi
II a
de Matematici •.
Pantr~ a miri gradul de acceaib111tate al clrţil, ~eaonstraţiile
sînt date ctt mai detailat iar absen~a
demonstraţiilor
(ln rarele
oazuri_cind apare) este suplinitl de trimiteri bibliografice precise. Intenţia
autorilor a tost de a cup~inde 'într-un
zonabile Wl num&r c!t mai
■are
Yolu■
de
cli■enaiuni
de reaultate de bazl din Algebra
re-
Oo■uta
tivl, expuse lntr-o maniera accesibili oriolr~ absolvent al anului II al unei
Bacultlţi
un.•-
de Matematici. Din aceste motive a fost depus
fo~t pentru a tace prezentarea materialului ctt Dai independantl de alte
texte. i'iecare din cele 23 de paragrafe ale cl~ii ae tncheie cu exerciţii
al clror .rol este, pe 4e o par1ie, _de a
prezentata în text, verificare a
şi,
însuşirii
Din cauaa
îmboglţi informaţia
p~ de alta parte, 4a a constitui un
■i~loc
de
paragrafu.lui respectiv.
bog&ţiei
~
surselor bibliografioe, nu totdea11:Ua a
toat posibila in4ioarea·looului clin literaturi de wlde au toat extras• rezultatele preaenta~e tn text. Bu putea
totuşi
al nu
menţiona■ ■ono
gratiile care au COD&tituit.principala noaatra surd de inspiraţie,
BOURJWa {1961-1965], A'llIAH 8Dd. IIAOJ>OBALD [1969) şi 11&1 alea OPLABSU . . (1970], aceasta din urma fiind. cea care a influenţat 1n cea aai ■are al-
4
sura structura 91 punctele de vedere ale luorlrii de taţi. :~-
!iberiu D1111itreaou a citit ou multi aten~i• man.u~crisul: \
tlotncl o serie de
,.
'
observaţii
.
-
orlril. Ii multual• 91 pe.ao•asta oale.
Buoureştt·22 lfo:le■l>ria
198J
•
•
i
oare au oontribuit .la lab11Dlt11,1_rea. lu·~
'
5
.
,·
TERIIIBOID.GIB, lfOTAŢII BI COBVBRtII • • •• • • • • • • ·• • • • • •
1
OAPITOLUL I. LOOALIZARE
Def~iijia inelelor· _şil .·■ocidl.~le. «t•·· :,-.~,tţ
I .I! l
~ ~
10 ·
B I~2 Proprietilli ale :11odlilelor 4e .r.t=âcijU. • ·• • .• · ~· •
i5
I I. 3 Ideale 1A inele-111 ele frâ~lil • -~ •· • .• .• • • • •
21
OAPifOLUL II. a• 'b E: S). Se observi ol s este exact complementara în A a idealului prim {o} al lui. A. in general, claca
•
A-e
R este· UD ideal prim
al llli ·A,
un
sisiielll aaultipllcatb incbis 1â -J.. ADa~og ou . 1 construcţia 1u1·· Gl se poate construi illellll de rraoţii. a; A notat 4e o-
atunci s
1
bicei
"e•
e,ta
Deoarece s poate 2
conţine
divizori ai lui
1e~, relaţia
(
de
· eobi valenţa (a, a) "-'(b, ii) ·a1a ~ ba. din ax (a. - (o ţ ) âe modificfl Uşor
1n sensul ~ t o r (a,a)-(b,t)4=r>, 3 u e 8 cu u(at-ba) •
o,
ude (a,li),
( b, t) E- A x s •. Procedeul de treoere de Ja inelul A la inelul 1 ( care_ 2 1
este un inel looal, 1n ăeDaul· .oi.
âre un
alqur ideal rtâd.•ai) M a\llteş ,te localizare. Ouvin~ul de ~~l. looal P"~ dia Geoae.ria Al9eltriol.1 inelul funcţiilor rat~on~-e pe o v~etate algebi'-ioll, rep1a1te Sn11.,..uil pWlct este UD 1Dei looal. Oons~oţia lld. ·•i · ae '!~ale s•eralisa .o~~a1~er1ncl
abtera
ta
loolll ·
lui SJl • A-1 ~ 11ultipli.caţ;iv ~o~a oueo~e a. treoel'ea 4•· 1• 1 s la a~ A, sau 11a1·_-general. de la.• la s-1A-aod\llul ise
nwae9'be prin extensia
•-•~ui.•
logalipare. , • •o.
s-1-
looallalrii a toa1; iA'troduS&
·
lo da .KRULL [[19,a]], d~ deplina ei generalitate a fost atineA abia odatA ~u articolul lui UZKOV [[194,1]. În general, o p~obleml de Algebrl
Oomutali.vl se poate descompune tn do\111 se treoa de la M la M pentru 2 fiecare .a e: Spao(A) (localizare) şi apoi din analiza locali. a problemei se poate trage o concluzie asupra lui M (globalizare). Sl
menţionAm
el
tn Algebra Necomutativi existl mai multe generalizlri_ale tehnicii de loc_alisare din Algebra Comutativii, în ultimii ani
ele fiind studiate
foarte intens.
1.1 Definitia inelelor si modulelor de tractii ,. . In acest paragraf a·• ~elineşte modulul da trao-t;ii al unui Amodul, şi în parthulm- inelul: de trac,11 al Wlui inel A în raport au un sistem caultiplic·ativ .încllis în
'universalitate a inelelor de
A,şi
se
demonstraazA proprietatea de
fracţii.
Datinitie. lie A un inel. O submul~ime Sa lui A ae sistem 1tultipl1cativ inchia dacfl 1 e 8
şi
numeşte
a•t f: S pentru orice a, t
~
s•
. ,Exemple. Pentru odoe inel A, urmltoarele aul~imi stnt evi-
dent sisteme multiplicativ închise: (1). {l}.
(11) llulţiaiea U(A) • { a
inversabile (sau a
unităţilor)
E:
A\ 3b
E': A
a. 1. ab • l
l
a elementelor
din A.
(Ul) Mulţimea R(A) • { a
6
A I daci b
6
A cu ab • O atW1oi b•O}
a elementeior regulata (sau a noq.-clivizorilor lui zero) diD A. (iv) [1,a,a2 , ••• ,an, ••• ) pentru orice elem8Jlt a E-A. (v) A-J! pen~ru orice ideal pria
· llai ■ult, daoa ·.e asto
Wl
a al lui A.
ideal al lui A atunci este clar ci A-.e este
un eiatea multiplicativ incbis tn A daol .
şi
-
numai daci a este un ideal
pri■•
.
(vi) Orice interseq,i~ de ais~eme multiplicativ închis~ 1n A
este de asemenea un siatea mulţiplloativ lnchia în A. ■ A
In cele ce urmeazl s •• deseua un sistem multiplioativ tnchis 1n inelul A, iar M va desemna un A••~dul.
• 11
În m\ll1;1mea JlxS -{('11,a)
l meit,
s~s} co11aidar111 ur11111toarea
relaţie a
{x,a),v(y, t) 3 u. E S ou u(tx „ a1) • O
se probeazl imediat li x
s.
ci . •,..,n este o relaţie de ech1valen1;1 ~ 11ul1;1mea ,,,,,...._
Vom nota. ou ~ cu. x/$) s ( .sau uneori . . . clasa de e·ohivalen1;1 (x. a) a
lui (x,a) E li xs şi cu s-¾& a.,iţ.iaea tuturor acestor clase de ecbiva1e111;1. Aşadar s·1•.• [f Ix GM, a~ S l • Ţin!nd
x,y t: • ,1 a, te-
a,
cont de
definiţia relaţiei
"-v"
rezultA ol daci
atunci
. j • 1f
3a
E
s cu u( tx - ay) • o •
•În particular ob1;111ea regul~ de arapliticare-ai11pliticare1
tx i~ • U
I
'-' V X f: llt
u
V
St f; (:
8•
Mul.1;imea s- 1■ se poate orsantsa cu o structura de A-modul, detinillcl.
iX+Z li.
bl·'' •
a-.l • y a
pentru orice x,ye li, s,t E: 8
şi
Ci
a &A. LasAm pe seama c:Ltitor~ui veritl-
carea faptului ci detinifea ad.WIArii fi• ~ul1;1rii cu scalari este 111d.ependuta·de alegerea representau1;1lo~ 1n mulţiaea precua·,1 verificarea axiomelor 4a m,dul.
s·Ii.
uneori ,1 ·prin
•rs-
Obaarvl■
(;r,t?
s·1a,
ae numeşte pgduiul
tracUi ~ lui li relativ. ·1a 1;1iatnul IIUl.UplicatiY 11 aa1!'
cit;
s
şi
se
4e
aai notead
Ms·
ci daoa o ·e._s, atuci orice doul elemente (z,y) •
I
cllA • x 8 alnt; ecJlivalen:te ·e1.e1 O(tx - s7) •
o,
deci
Qi
s-1ia : o.
Daca sc;B(A) {1.e. s este toraaa1i nwaai clin noA-cliviaori ai· .lui O) a-
tunci (z,a) -(7, t;)
4'=>
t;x •
a7 •
12
\f:
Ap~ioat;ia canonici
• f•
1
li --. . s-111 'definltll prin lf':(x) •
pe care o vora nota adeseori prescurtat
'f, aste
evident un aor-
tisra de A-module iar
Ker( lf )
• {:u. li I
3 s
E
S
cu:
ax • O ] •
Bxeoutînd conatru.ct;ia de mai sus asupra A-modulului A• obiectul oare ia Daştera, ,1 anume A-modulul s-1, are în plus oi o structuri de inel - dupll cum aa poate uşor verifica - d.atinin4.opera1jia iDternl de tnault;ire ln s~1 A aattela
-pentru orice ·a,·b ~ A. şi a, t
Ea.
-Apl~caţia canonici
\f' a A __... s-1.1 este evident
de inele oare este in.)ecti~ daca 91 ~mai daoa 8
UD
■orfism
~ B(A).
Peracheâ (s-1A., ~) tndeplineşte ur111toarea proprietate. de universalitatea
I.l.l.
Propoziţie. fie S \IA aiste■ ■ultipl.ioativ închis 1n 1 A Qi 'f aA---+ s- .1 rao~lismul canonic. Atunci au loc atirmat;iilea
Ci) 'f Ca> ~ ucs-1A)~ (1-1) Pentru orice inel B ş_i orice ■orfism de inele ta.A.
--fi
B
pentru care t(s) (3) este evidenta cllci llax(A) ~ Spec(~). (3)
~ (1) a fie M' • Ker(u) 91 oonaiderl.11· şirul o~~-0 _:_. li' ~.li. -!l. 5 ,
unele 1 oate inclecai;ia canonica. Atunci, pentru orice .!I 6llui(A), avea_ şirul exacta·
19 deoi 11•!.:: Xer(.'l!) M' •
o,
O pentru orioe !! E llax(A). Oontoraa lui I.2.3, avem
a
monomorfism. ■
d~ci u _este un
Î~ oontinuare ne vom ocupa de legl:ltura oare eld.atl1 îni;re la0
ticele 'LA(M) --~i
.e, _l cs-1io, s
A
A
~\lltiplicativ inohis în A.
.eA(li)
Dac~ 1f E
Sata(N)
a
li .tU.nd un A-modul clat .~
aiste■
s un
~
, cfns1clera11 aaul1;1mea
{x"o1
J
a 868
cu ~Elf}.
Bvid8llt Sata(N) '= L Â.(M) şi lf~ Sata(B) • Submod~lUl sata(N) 88 DUlleşte S~saturatul aubmodulului Na R se zice s-aat\Îl'at daol ··-
Cf a li
~ ~ ·s-111
,eill), atuno1.""sat8 (lf) • nio
eao-
8
6)·.fia& ~ sistem aulUplieataiv .tnebia
ta .t.
fi 01 ) 161 o 1
f&11ilie de A-111adl1.l.e. SA .se demoastreze.oA eld.atA Wl iaollOrfin canom.o de s·1A-aodula s•l( E& M1 ) ::i:t EB a-lyi .91 Wl aortiaa oauoaio de s-1.t.. iLI . iE·I module
a-1 , fT ·•1) ___. 161:
fT s-,1 •
iGI
7)fie S • &-:-(O} 91 ■a • & ponilZ'll ori.oe ndl. H
o• IIOrtbaul
O&DODi..O
•
·
.
•
1
a- cTT •11> ,
.__...
D6fH
n
&-Gif
a-·,
sa se d.eaonailre-.
nu eat;e sv-ieetlv. ·
I
- 8) fto B. vi P aub■Gd.ule lll11r-~ ~-modul•• sa se dGflOllnN■e
ci B c. P 8 8
peD.1;1'U
orioe !! _& llaz(A)c=b 11 ~P.
CJ). Jrie M •
r#-.•
81 ae ·deaoAa'Ci~ese
du pantl&'U ~rioe nllllb pri■ p, ~(p) eate
1.3·1c1aa1e h
ip.9lele
1111
oa li
11\l
eaiJe &4o4u1 libe-•,
"(p) - aocwl. Ubu.
4• tgg1iii
~copul. aoeatui parfqlral_est~ 'cle a inveatliaa· lea&~ura oue en.a,a lntre 1~1i1oea idealelor ~ul inel .t. ,1 la~iooa idealelor 1111'1111-
fda. 171!/!JBI/ faSD.8
22
nel da fracţii
s-1A
0
al lui A. Se prezint! totodatl lagatur• intre.
Speo(A) şi Spec(s- 1A) şi se demonstreazl un rezultat frecvent utilizat
în Algebra Oomutativl
şi
anume Lema de evitare a lui lloOOI.
-
'
Daol ta A~B este un mortism de inele,.! este un ideal al lui A şi]! este un ideal al lui B
voa folosi urmltoarele notai11
Evident J!e este un·idaal. ln, (oara este tocmai idealul lui B genera~ de imaginea t(a)
~
idealului A 1n B) nullit extensia lui
în B relativ la mo~tismul ~• Acest ideal ae not~azl adeaa~ri
J!B. Bete de asemenea clar ol i~ag~nea inversl este un ideal hi ~, nuai t · contJ.tactia lui ll 1n
a
0
pri~
ta
şi
.a
prin
idealului
ll
A relativ la mortismul f. 11~ 8 un aiste11 ■ultiplicativ închis 1n A, 'fa A----+ s-1A
mortismul canonic
şi
.I :,un ideal 1n A. ·Avem
• {i l a t .!
_a '= s } •
Observa.li ol u/ • s-1A -.!ns ~ l l . . tunoi I E: s- â daci exist& as. .I ş1 a
s-1J! •
I a intr-adevar, hei Ji8 Ei
S :cu
•
f • ~. ad~ol t( s-a)
s-1A. a
a-
O pen""'.
tru un an~:h tE. s, deci a11 „ td EJ!flS. Reciproc, d.aol ans ~ pi ş1 a E- .8 ll s, atunci t: s-1.t şi este un elemen~ inversabil 1n s-1A, deci s-1.1. s-1A.
f
f
1,,.1 L99A. A ou O (. 8 şi .f! IC A cu {O} ). fie .j8 •
fie 8 un aistem multiplioativ lnchia·in inelul
.a o S
• r/>
l R I l! '- A,
( exisU aaamenea ideale Jh de exemplu :
.! C:. l!t
l! n S
•
9' } •
23 Atunci mulţimea ")' ordonatl _taţi de n ~" are elem~te maximale· şi o8 ri ce element maximal ai lui -:/8 es1ia Wl ideal prim. Demonstratia. llul~imea J 8 aste navidl clei .1 -= 7 8 şi ti&Ve inductiv ordonata taţi da "~" dupll oum se p,ţobeazl uşor, deci :18 ara element;a aaximale Of?Dform lemei.lui Zon. Fi~
R 11D
asemenea ele-
:, • Bate olar olu ol E ~ A. fie a,b EA cu ab ER 8 şi presupunem ol a t/ p_ ,1 b ;. p. At~ci I + Aa il R şi I + Al> ip, deci ment maximal al lui
(p + Aa) f')S ~ ~ şi 82 • P2 +
,1 Cp + Ab)n S ~
za:1:,
S ou P1,P2E
•E:
8 18 2
,p •
Bxiatl ~ader
R ,1 si, X2 & ....
8i
P1 + •1• G8
m
Avem
• (p1+Xj_a)(p2+J1ah )• P1P2•P1X2b +Pcrt1a•~1zaab'
deci a1 8 , 8 n l>• ab8~• În_ concluzie R 6-Spe-e(A)·. Îl 2 Obae.rvatie. Luînd .I •{O}şi 8 • {l} ob~ine11 ol
~ A, !l ~ A } , deci . elementele _maximal.a ale lui maximala ala lui
's • {!llll ~
:78 elnt exact idealele
A.a
Daoa 8 este un sistea aul'biplioaUv 1Achia la A,
.i • {1; '-AI 3 a & S şi · b 6 A ou a • tb ' ~ ~u alte cuvinte S este mUlţimaa tut\l1'or diviaorilor h lementelor lui--~. Bate olar ci ieste in A V~
chia
a.
oa QS, i. ă Sistemul
adie& 4acll X7 E-8
a~ numeşte
Wl
saturatul 11ul1fiplio~tiv ln~his s ~ x e: S 91 7 G s.
1,,,2 Propo11ty
vo■
notla
},
.
A a tuturor e-
aisteia aultlplioaUv bohi.s aisteaul\11 11ul111plioativ ln-
ae •tce
aaturaj
daci
s • i,
Un&toaraie atina~ii a1nt ecbivaleate
pentru o parte nevid& 8 a lui. Aa · (1) S este a
si·atem aultiplioativ lnobia ia A saturat.
(2) Bxistl. o. tamilie de_ ideale prime A- S • U li (I . i E- I
I ;
dad S ~ .A).
aempnatrat"ie
Cp1 ) 16 1 aa1ilel inoitl
U 1:a,WLcl S•A- U Pl' · i6f~ 1Er' • [~ I(A-i,1>, deci lqES implici -q;,1 pentru orice 1 &I, de unde ·
(2)
-=;)
(1). Daci A-S •
24 .
xt!Jpi
şi
7 (2) a Presupune11
• rf, caci s este saturat. R n 8 a; şi p maxim'1 cu dar, orice x l:- A-8
oe ·termini
8
~
şi
yt::.S.
A, qi fie x
6
A-81 awnoi Ax ns...
l~A ou. Ax s:_p, Atunci Re Speo(A). Aşa
OontorP:1 lui 1.3.1 existl aceste proprietlţi.
ap.µ-ţine
UDui ideal prim lJ;l A disjunct de
a,
cativ închis in A saturat, iar A - s •
I A, este un sistem multipli-
s
U Pi, este clar ol ~in familia
& I · (p1 ) 1 6. I de ideale priq1e se pot elimina idealele priiae oare
.maximale tn mulţimea {~1 Ii EI} • { n-1 f j 6
~.,
ceea
demonstraţia.a
1.·, .. , .Obsaryatii. (1) Daci
·
s,
J} cu
1
i
J;lU
sint
ob,inindu-s-, astfel o mulţime
P ..
J{;;; I şi astfel incit A-S •
lui P este un element maximal in
mulţiaaea
(2) Daci S • {1} , ~tunci
S•
U
p„ şi orice element al
J6r"
P orclonatl
faţl
U (A) şi A-S •
c;le
n ~ n.
U .
!!! E Uax(A)
S.
(3) Mulţimea R(A) a tuturor elementelor regulate (sau a non-
divizorilor lui zero) din A este un sistem multiplicativ inchis în A,
aatur~t deci
mulţimea
.
I
'
Z(A) • A-R(A) a divizorilor lui sero li A este
o reuniune de ideale primea conform celor de .aai sus Z(A) este o re, uniune de ideale prime toate aax~male în mulţimea tuturor idealelor prime a ollror reuniune este Z(A).1 A
In continuare vom prezenta bgltur_a intre idealele lui A
şi idealele lui O 4s.
s-1A, a
fiind un sistem multiplicativ închis în A cu Ne v~ interesa de asemenea legltur_a intre. Spec(A) şi Speo(s-1 A);
Pentru aoea•ta voa partioulariaa I.2.5 la oazul K • A. Submodulele
S~saturate
S-saturate ale lui M ~Ase numesc ideale
I,3.4 Propoaitie. A cu O r/. s,
M.'(s-1A), latioea
ţimea tuturor
Fie sun sistem multiplioativ inchia în tuturor idealelor lui s~1i. şi ~(A) mul-
idealelor a-saturate ale o
J ~
~
ll-4:J\· ft~l:M. -fi·• ~ .,_... fi• L ii de A••tUM• At\lilol .ai ta~e ~eetilr~q .(n:~p. Boa~hHl-. (Jlesp.ee"':v.
•
~-••J•
· i!lfj!RPWY..t• ''- ---~•
A
.n •l. u•.
i~J • o .I
U" ~ O un tir eHeti
btinl~)~
li'
ti. li" alat
zi~·al· oaa~l itoe*rian.
.
( ~ ) ftâ ~~ llâ~ ••.Clă 14ă4' ••• ua iail1; fi.s:oe~cfeat 4e a\lbmo4ule ale lut- ■• •. !tnutei t'Ol:1-)G 1('4) "- •••..~. aaoenden.t; de s\lbâlodule ale • t--J(t(~)) lui lh
ta •
1•1(·111 )'°' g-1 (~)
§ • .. •
11,.1~
. '
(Arbinian) 1 lfo n
GA
aatf el incit
el
.
f - ( 'b 1 ~41 + ••• + 1, n :t4n ) d d
este po~~•ul aul aau un poli.noa do gra4
(J"), putea presupune
epimoirtisn. de A-11oclule
) este un morfismul surjectiv de inele definit prin
ideal finit generat al lui Ai ~e aplici în continuare Ex.5). 1
II. 2 Module de lW1ffime fini t.l de modul de lungime tinitl este o generalizare na-
Noţiunea
t111'ail a no1jiuni1 de spaţiu vectorial de dimensiune finitl.
În acest
paragraf sa prezint! Teo~ema JORDAN-H&LDER precum şi cîteva propr1etll1;1 elementare ale Datinitie
tamilie (M1 ) 0
~
"funcţiei"
Be
numeşte lanţ
de aubmodule al lui Mt: Mod-A o
1 ~ n de submodule ale lui li astfel înci t O • M0
numlrul n se
lungime a unui modul.
nuiaeşte
< M1 < 112 < ... O •.
(7)
Demonstraţie
At~rma~~ile (1), (2),
c,>
o~ (4)
rezultl ime-
diat din defiAiţia rad~~alului unui ideal. 'PeAtru a demonstra (5) este suficient conform lUi. III.1.9 ~I probam urmltoarele
Intr-adevlr avema
collform lui 1.3.7, deci V(J! n ]?) ~ V(!• l!) c;. V(.1) U V(l!) V(.1) U V()!) b V(,! n ,!!) e&te evidenta.
IAcluziunea.
, 6) Oontorm lui: (1) şi (2) J! +
'1 ""i + ,{] • Bie acu11 x 8
deci x
•
y
•♦
a cu y
E:
E:
-fE
l!
~ -fj +
fi,
deci 'i .! + l! c;
'J vE + "11 atunci xa e fi'+ fi pentru un 11> o,
şi
z
e-"I• Aşadar
y 8 E: .!
şi
ztE: J? pentru a-
numiţi a, t >O. Rezultl ca xmat • (y+z) 8tE: .! + Jl , deci x e Y,! + Î!• ÎA concluzie +'iiO. ■
ti;A.
oi
III.1.14 Propozitie Daca·s este un sistem ■ultiplicativ hchis în A, atunci cJl'(s-1.A) • s-1..N'(A). Demonstratie Pie
.
deci exista t
es
deci 3 • B
·s-W(A).
8
ii
E
Reciproc, d-cl
. r!l •.
O pentru
wi
o.
ou t;.,/1 •
i
6
t
Beaulta oa ( 1ix)11
s-\#-(A) t atunci
n >O, de W1da
Detinitip
III.l.l;
Un
1A), atunci
t:: «N'(s-
(~t •.i
inel A se
t
X
•
~ an o,
•
°
1 pentru un
adiai tx
E (/l'(A)
adlcll
tJ
A
>o,
cN'(A),
şi s E S, deci
~ 4= cl{ts-1.A). ■
nwaaşte ;redu,g dacii fH'(A) • o . ■
Oorolar
Daoa A·aata un inel redus, atunci pen'bru orice sistem auitiplicativ lnchia s iJl A, s-1A este 1101; ~ illel redus.a Rezultat~ care lnoheie acest para.pat arata ca proprietatea
Wlu+
inel.de a ti redus este o proprietate localll.
III.l,16 Propozitie Urmltoarele pentru un inel A:
af'inaţii
atnt echivalente
56 (1) A oste inel redus. este inel redus pentru orice p,; f;ipec( A).
(2) A
(,>
A?
A! este inel redus pentru orice !! ,; Max( A).
J>emonatratie
(_l) =P (2) rezulta
din III • .l.14 iar
(2) ~(')este evidenta. Ave■
Probam acum implica~ia (') ='> (1). • O pentru orice .!'="Max(A), deci
cK(.l)! • •Jr(A!)•
Jf'(A) • O contora lui 1.2d ••
Exercitii 1) 1'ie x f: cJr(A) şi u '= U(A). 81 se deaonstreze ca x f:
+
u ·~
U(A).. 2) SI se determine c}{(zn) şi
r •
3) Fie
urmltoarele
80
♦ alx + .....
J(zn>•
8n.xn" A[Xl
• 81 se dell'onatreze
atirmaţii1
(1) tE.U(AlX))