Le réseau électrique dans son intégralité 9782759822287

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Le réseau électrique dans son intégralité

Le réseau électrique dans son intégralité

Pieter Schavemaker et Lou van der Sluis Traduit par Emmanuel Hoang

Authorized French translation from the English language edition, entitled “Electrical power system essentials”, 2nd edition, by P. Schavemaker and L. van der Sluis published by John Wiley & Sons © 2017. Responsability for the accuracy of the translation rests solely with EDP Sciences and is not the responsability of John Wiley & Sons Limited. No part of this book may be reproduced in any form without the written permission of the original copyright holder, John Wiley & Sons Limited.

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ISBN (papier) : 978-2-7598-2227-0 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-2228-7 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. © EDP Sciences, 2019

Table des matières Préface 11  Chapitre 1   • Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques 17 1.1 Introduction 17 1.2 Un peu de physique 18 1.3 Caractéristiques générales des systèmes électriques 21 1.3.1 Alternatif ou continu 21 1.3.2 Réseau à 50 Hz et réseau à 60 Hz 25 1.3.3 Système triphasé équilibré 26 1.3.4 Niveaux de tension 34 1.4 Phaseur 38 1.4.1 Éléments d’un réseau électrique et phaseurs associés 39 1.4.2 Calculs dans le domaine des phaseurs 42 1.5 Équivalence entre couplage triangle et couplage étoile 47 1.6 Puissances dans le cas du monophasé 49 1.6.1 Puissance active et puissance réactive 49 1.6.2 Puissances complexes 53 1.6.3 Facteur de puissance 56 1.7 Puissances en triphasé 58 1.8 Normalisation unitaire 59 1.9 Structure du réseau de transport de l’électricité 63 Exercices 65 Références bibliographiques 67

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 Chapitre 2   • Physique des centrales électriques 69 2.1 Introduction 69 2.2 Centrales thermiques 71 2.2.1 Principe physique (thermodynamique) 72 2.3 Centrales nucléaires 77 2.3.1 Fission nucléaire 78 2.3.2 Fusion nucléaire 82 2.4 Énergies renouvelables 83 2.4.1 Énergie du vent et technologie des aérogénérateurs 83 2.4.2 Hydroélectricité (production et stockage d’énergie) 87 2.4.3 Énergie solaire 90 2.4.4 Géothermie 93 2.5 Alternateurs (machine synchrone en fonctionnement générateur) 95 Exercices 104 Références bibliographiques 106  Chapitre 3   • Transport et distribution de l’énergie électrique 107 3.1 Introduction 107 3.2 Réseaux de transport et de distribution 109 3.3 Structures des réseaux 112 3.4 Sous-stations 115 3.5 Structure d’une sous-station 118 3.5.1 Système à jeu de barres unique 118 3.5.2 Système à double jeu de barres 118 3.5.3 Système à jeux de barres en polygone 119 3.5.4 Concept de un « disjoncteur et demi » 120 3.6 Protection des réseaux de transport et de distribution 121 3.6.1 Principes de fonctionnement des dispositifs de déclenchement 122 3.6.2 Fusibles 127 3.6.3 Disjoncteurs 129 3.6.4 Coupure de l’arc 130 3.6.5 Disjoncteur dans l’huile 132 3.6.6 Disjoncteurs à air comprimé 133 3.6.7 Disjoncteurs au SF6 133 3.6.8 Disjoncteurs dans le vide 135 3.7 Limiteurs de surtension 136 3.8 Transformateurs 138 3.8.1 Couplage des enroulements 143 3.8.2 Courant magnétisant 146 3.8.3 Courant d’appel du transformateur à la mise sous tension 149 3.8.4 Essais « à vide » et en « court-circuit » 151

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Table des matières

3.9 Ouvrages pour le transport de l’énergie électrique 152 3.9.1 Lignes « aériennes » 154 3.9.2 Câbles « souterrains » 168 3.9.3 Lignes de transport à isolation gazeuse 174 3.10 Transport en courant continu à haute tension 175 Exercices 184 Références bibliographiques 185  Chapitre 4   • Utilisation de l’énergie électrique 187 4.1 Introduction 187 4.2 Types de charges 188 4.2.1 Conversion électromécanique 189 4.2.2 Systèmes d’éclairage 195 4.2.3 Systèmes de chauffage 197 4.2.4 Systèmes d’alimentation en continu 197 4.2.5 Énergie électrochimique 200 4.3 Classification des utilisateurs du réseau 201 4.3.1 Charges résidentielles 201 4.3.2 Charges commerciales et industrielles 204 4.3.3 Traction électrique ferroviaire 205 Exercices 207 Références bibliographiques 208  Chapitre 5   • Contrôle du réseau électrique 209 5.1 Introduction 209 5.2 Principes de base du contrôle du réseau électrique 212 5.3 Contrôle de la puissance active et de la fréquence 214 5.3.1 Réglage primaire (équilibre en puissance) 214 5.3.2 Réglage secondaire (LFC en anglais pour Load Frequency Control) 220 5.4 Contrôle de tension et puissance réactive 223 5.4.1 Régulation automatique de la tension du générateur (alternateur synchrone) 223 5.4.2 Transformateur « régleur en charge » à changement de prises 226 5.4.3 Injection de puissance réactive 228 5.5 Contrôle du transfert de puissance 233 5.5.1 Contrôle des flux de puissance active 233 5.5.2 Contrôle des flux de puissance réactive 236 5.5.3 Contrôleur du flux de puissance unifié (UPFC pour Unified Power Flow Controller) 239 5.6 FACTS pour Flexible AC Transmission Systems 240

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Exercices 241 Références bibliographiques 243  Chapitre 6   • Gestion du transit des puissances dans les réseaux électriques 245 6.1 Introduction 245 6.2 Transit de puissance 246 6.2.1 Mise en équation de transit de puissance 247 6.2.2 Résolution du système d’équations du transit de puissance par la méthode de Newton-Raphson 257 6.2.3 Méthode de calcul du transit de puissance par découplage 261 6.2.4 Transit de puissance DC 266 6.3 Transit de puissance optimal 269 6.4 Estimateur d’état 270 6.4.1 Schéma général de l’estimateur d’état 273 6.4.2 Analyse des données erronées 275 6.4.3 Analyse statistique de l’estimateur d’état 281 Exercices 285 Références bibliographiques 287  Chapitre 7   • Marché de l’électricité 289 7.1 Introduction 289 7.2 Structure du marché de l’électricité 290 7.2.1 Transport et distribution 291 7.2.2 Architecture du marché 291 7.3 Marché de compensation 293 7.4 « Bien-être social » 296 7.5 Couplage des marchés 298 7.6 Mécanisme d’allocation et définition des types de marchés 304 Références bibliographiques 306  Chapitre 8   • Évolutions futures des réseaux électriques 307 8.1 Introduction 307 8.2 Énergie renouvelable 308 8.3 Production d’énergie électrique locale 309 8.4 Convertisseurs d’électronique de puissance comme interfaces 313 8.5 Stockage d’énergie 314 8.6 « Black-out » et phénomènes chaotiques 315 8.6.1 Phénomènes non linéaires et chaotiques 315 8.6.2 Black-out 319 Références bibliographiques 326

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Table des matières

 Annexe A   • Équations de Maxwell 329 A.1 Introduction 329 A.2 Développement limité 331 A.3 Champ électromagnétique quasi statique dans un condensateur plan 333 A.3.1 Solution en régime quasi statique 334 A.3.2 Validation de l’approximation quasi statique 336 A.4 Modèle quasi statique pour une inductance à une spire 338 A.4.1 Solution en régime quasi statique 338 A.4.2 Validation de l’approximation quasi statique 340 A.5 Modèle quasi statique pour une résistance 342 A.5.1 Solution en régime quasi statique 343 A.6 Application à la modélisation 346 Références bibliographiques 346  Annexe B   • Modélisation du transformateur de puissance 347 B.1 Introduction 347 B.2 Transformateur parfait 348 B.3 Bobines couplées magnétiquement 351 B.3.1 Équivalence avec le transformateur parfait 354 B.4 Modélisation du transformateur avec prise en compte des fuites magnétiques 355 B.5 Modèles du transformateur triphasé 358  Annexe C   • Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné 361 C.1 Introduction 361 C.2 Principes physiques 362 C.3 Machine synchrone monophasée 367 C.4 Machine synchrone triphasée 373 C.5 Machine synchrone couplée au réseau 377  Annexe D   • Modélisation de la machine asynchrone 381 D.1 Introduction 381 D.2 Principe de fonctionnement de la machine asynchrone 382 D.2.1 Rotor à un seul enroulement 384 D.2.2 Rotor à deux enroulements 387 D.2.3 Rotor en rotation 388 D.3 Étude du champ magnétique dans l’entrefer 389 D.3.1 Contribution des courants rotoriques à l’induction dans l’entrefer 389 D.3.2 Flux créé par les enroulements du stator 393

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D.4 Modèle équivalent monophasé 393 D.4.1 Équations des tensions au stator 394 D.4.2 Modèle équivalent avec deux bobines couplées 395 D.4.3 Évolution du modèle équivalent vers le modèle « usuel » 396 D.5 Machine asynchrone connectée au réseau électrique 397  Annexe E   • Modélisation des lignes et des câbles 399 E.1 Introduction 399 E.2 Modélisation d’une ligne de grande longueur 399 E.3 Modélisation d’une ligne de longueur moyenne 404 E.4 Modélisation d’une ligne courte 405 E.5 Comparaison des modèles en fonction de la longueur de la ligne 406 E.6 Modélisation d’un câble 408 Solutions 409 Index 425

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Préface

Dans le domaine de l’analyse des systèmes électriques de conversion d’énergie, de très nombreuses publications d’un excellent niveau sont disponibles. Dans cet ouvrage, nous avons suivi à peu près la même « ligne éditoriale » que la majorité d’entre elles. Cependant, nous n’avons pas souhaité développer les modèles (valables en régime permanent) dans le cours du livre, mais des explications sont dans les annexes. Ainsi, dans l’ensemble des chapitres, nous nous intéressons à l’organisation et au fonctionnement d’une partie et/ou de l’ensemble du réseau électrique. Ainsi, les annexes contribuent au livre en offrant des éléments de réflexion complémentaires au texte principal. De plus, ce livre contient un grand nombre d’exercices dont les solutions détaillées sont présentées dans un chapitre séparé. Ce qui suit est un bref résumé du contenu des chapitres et des annexes. Chapitre 1 (Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques) Ce premier chapitre est une introduction à l’étude des « réseaux électriques » et fournit des éléments pour l’analyse en régime permanent. Nous posons (et répondons) aux questions telles que « pourquoi AC ? », « pourquoi 50 ou 60 Hz ? », « pourquoi des formes d’ondes sinusoïdales ? », « pourquoi un système triphasé ? ». Les bases d’une analyse en régime permanent des réseaux triphasés équilibrés sont décrites, telles que les phaseurs, les schémas équivalents monophasés, les notions de puissance active, puissance réactive, puissance complexe et facteur de puissance. Nous présentons aussi la normalisation unitaire. Chapitre 2 (Physique des centrales électriques) La conversion d’une source d’énergie primaire en énergie électrique est le sujet de ce chapitre. Les sources d’énergie primaire peuvent être les combustibles fossiles tels

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que le gaz, le pétrole et le charbon ou l’uranium, mais ils peuvent aussi provenir de sources renouvelables (énergie éolienne, hydroélectrique, solaire ou géothermique). Afin de comprendre la nature d’une centrale thermique, qui est une contributrice importante dans la production de l’énergie électrique, nous présentons brièvement les principes de la thermodynamique. La conversion finale de l’énergie mécanique en énergie électrique est réalisée par la machine synchrone (en alternateur), ainsi, nous analysons son couplage avec le réseau et les modes d’injection de puissance. Chapitre 3 (Transport et distribution de l’énergie électrique) Les réseaux de transport et de distribution sont formés par des lignes aériennes, des câbles souterrains, des transformateurs et des sous-stations situées entre les points d’injection de puissance et de consommation d’énergie. Nous présentons divers concepts de sous-station, ainsi que leurs composants et les systèmes de protection. Nous analysons aussi plus en détail les principes de fonctionnement des transformateurs, des lignes, des câbles de transport et des systèmes de protection tels que les parafoudres, les fusibles et les disjoncteurs. Nous faisons une étude approfondie du transformateur ainsi que des lignes qui sont la partie la plus visible des réseaux électriques. Les câbles souterrains sont également étudiés avec une analyse en regard de celle faite sur les lignes. Le chapitre se termine sur les principes de la transmission HVDC (HVDC pour High Voltage Direct Current que l’on peut traduire par « haute tension continue »). Chapitre 4 (Utilisation de l’énergie électrique) Le système d’alimentation est conçu et agencé de manière à ce que la demande en électricité soit satisfaite à tout instant. Les consommateurs reçoivent la quantité de puissance active et réactive demandée à une fréquence constante et à un niveau de tension constante. Une charge transforme, en réalité, l’énergie électrique alternative en une autre forme d’énergie. L’accent est mis sur les différents types de charges qui transforment l’énergie électrique AC en énergie mécanique (moteurs synchrones et asynchrones), en lumière, en chaleur, en énergie électrique DC (redresseurs), et en énergie chimique. Après cela, les charges sont regroupées et classées selon trois catégories : les charges résidentielles (principalement monophasées), les charges commerciales et industrielles (souvent triphasées) et les systèmes de traction électrique ferroviaires (DC ou AC monophasé). Chapitre 5 (Contrôle du réseau électrique) Des actions de contrôle sont réalisées en permanence pour équilibrer la balance entre les puissances demandées par les charges et celles produites et pour maintenir les niveaux de tension et la fréquence aux valeurs spécifiées. Nous montrons qu’il y a une forte corrélation entre d’un côté les angles de décalage des tensions et les puissances actives et d’un autre côté entre les puissances réactives et les niveaux de tension. La balance des puissances est réalisée (contrôle primaire) ainsi que la minimisation de l’écart de fréquence du système (contrôle secondaire) en contrôlant la puissance active en sortie des générateurs (très souvent des alternateurs). Les niveaux de tension sont contrôlés soit localement, en agissant sur la valeur du

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Préface

courant d’excitation des génératrices (dans le cas où ce sont des alternateurs), soit à des points fixes du réseau où sont connectés les transformateurs changeurs de prises, les batteries de condensateurs ou d’autres consommateurs/producteurs d’énergie réactive. Les systèmes de transmission « FACTS » sont de grands dispositifs d’électronique de puissance utilisés pour le contrôle de la puissance réactive et de la tension (souvent en connexion en dérivation) ou pour le contrôle des flux de puissance active (souvent en connexion série). Chapitre 6 (Gestion du transit des puissances dans les réseaux électriques) Le transport et la distribution de l’énergie électrique sont surveillés, coordonnés et contrôlés dans des centres spécifiques. Le système de gestion de l’énergie « EMS » (pour Energy Management System) est l’interface entre l’opérateur et les réseaux d’alimentation réels. Le système de supervision et d’acquisition de données « SCADA » (pour Supervisory Control And Data Acquisition) collecte les données mesurées en temps réel et sont gérées par l’opérateur qui peut ainsi contrôler les composants des réseaux. L’« EMS » est en fait une extension des fonctionnalités de base du système « SCADA » et comprend des outils pour l’analyse et le fonctionnement optimal du réseau d’alimentation. L’estimateur d’état sert de « filtre » pour les données de mesure collectées car il détermine l’état physique du réseau qui correspond le mieux aux mesures disponibles. Ceci est une entrée nécessaire pour d’autres programmes d’analyse dans l’« EMS », tels que les calculs des transits de puissance qui sont primordiaux pour avoir une « vision » globale du réseau en temps réel aussi fiable que possible. La résolution des équations associées à ces calculs de transit de puissance est faite en utilisant la méthode « classique » de Newton-Raphson, mais nous présentons aussi la méthode dite « par découplage » et celle dite « DC ». Chapitre 7 (Marché de l’électricité) Au niveau conceptuel, il existe un « modèle de marché commun » qui prévoit à la fois des opérations, sur le marché au comptant, coordonnées par des opérateurs de marché et de réseau et des accords contractuels bilatéraux programmés par les mêmes entités. Le marché au comptant est basé sur un modèle d’enchères qui sont traitées dans des bourses d’électricité. L’équilibre du marché se produit lorsque l’équilibre économique entre tous les participants est satisfait et que les avantages pour la société, appelés « bien-être sociaux », sont à leur maximum. Le réseau électrique est un vaste système interconnecté. Ceci signifie que plusieurs zones de marché sont physiquement liées entre elles, ce qui facilite l’exportation de l’électricité des zones à bas prix vers les zones à prix élevé. Chapitre 8 (Évolutions futures des réseaux électriques) Dans ce chapitre, nous faisons quelques développements provenant des complexes enjeux technologiques, écologiques, sociologiques et politiques et de leurs conséquences possibles sur le système électrique. Par exemple, une mise en œuvre à grande échelle de la production d’électricité à partir de sources renouvelables entraînera des changements structurels dans les réseaux de distribution et de transport existants. Beaucoup de ces unités de production sont décentralisées, plutôt de faible puissance

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et sont souvent connectées aux réseaux de distribution au moyen d’une interface d’électronique de puissance. Une transition de la structure des réseaux électriques d’alimentation « verticale » vers une structure « horizontale » n’est pas improbable. Le stockage de l’énergie peut être utilisé pour stabiliser les grandes fluctuations de puissance lorsque l’énergie est produite par des sources d’énergies renouvelables intermittentes. La complexité du système augmente en raison de l’utilisation des dispositifs « FACTS », des interfaces d’électroniques de puissance et des générateurs de production d’énergie intermittente. Ainsi, des phénomènes chaotiques et des pannes de grande ampleur (black-out) sont susceptibles de se produire plus souvent dans un proche avenir. Annexe A (Équations de Maxwell) La théorie des circuits peut être considérée comme décrivant une classe restreinte des solutions des équations de Maxwell auxquelles sont appliqués des développements limités. On montre que les développements à l’ordre zéro et au premier ordre (pour décrire des champs quasi statiques) constituent la base de la théorie des circuits à constantes localisées. Au moyen des termes du second ordre, la validité de cette théorie peut être estimée à diverses fréquences. C’est la « taille électrique » de la structure (la taille est définie en termes de longueur d’onde minimale) qui dicte la sophistication et la complexité du modèle requis. Nous définissons un critère reliant les dimensions de la structure électromagnétique à la plus petite longueur d’onde considérée, de sorte que la validité du modèle puisse être vérifiée. Annexe B (Modélisation du transformateur de puissance) Les transformateurs sont essentiellement constitués de deux bobines placées autour d’un noyau ferromagnétique qui augmente leur couplage magnétique. Dans cette annexe, nous faisons la présentation des équations de fonctionnement du transformateur. Tout d’abord, nous nous intéressons au cas du transformateur idéal et de la transformation d’impédance. Après cela, un modèle est développé avec une description plus générale du transformateur au moyen de bobines couplées magnétiquement. Ensuite, afin de modéliser le comportement non idéal du transformateur nous prenons en compte les flux de fuite, les pertes dans les enroulements et celles dans le circuit magnétique. Pour finir, nous proposons un schéma équivalent du transformateur. Cette annexe se termine par une vue d’ensemble des modèles équivalents monophasés de transformateurs triphasés. Annexe C (Modélisation de machine synchrone à rotor bobiné) Une machine synchrone génère de l’électricité en convertissant de l’énergie mécanique en énergie électrique. Les deux parties de base de la machine synchrone sont le rotor (où se situe le circuit d’excitation) et le stator (où se situent les bobinages de l’induit). Le rotor magnétique est équipé d’un enroulement excité en courant continu et agit comme un électro-aimant. Lorsque le rotor tourne et que l’enroulement du rotor est alimenté, un champ magnétique tournant est présent dans l’entrefer entre le rotor et le stator. L’induit possède un système d’enroulements triphasés dans lequel des FEM variables dans le temps sont générées par le champ

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Préface

magnétique tournant. Pour l’analyse du comportement de la machine synchrone connectée au réseau, une description qualitative seule n’est pas suffisante. C’est la raison pour laquelle nous proposons une description mathématique des relations tension-courant de cette machine. Sur la base de ces relations, nous proposons un modèle monophasé équivalent. Pour finir ce chapitre, nous étudions le comportement de la machine synchrone connectée à un réseau de puissance apparente de court-circuit infinie en mode générateur et en mode moteur. Annexe D (Modélisation de la machine asynchrone) La machine asynchrone est une machine à courant alternatif qui est très bien adaptée pour être utilisée comme moteur lorsqu’elle est directement alimentée par le réseau. Le stator possède un système d’enroulements triphasés et le rotor est équipé d’enroulements en court-circuit. Lorsque la vitesse du rotor est différente de la vitesse du champ magnétique tournant généré par les enroulements du stator, les enroulements du rotor sont exposés à un champ magnétique variable et sont le siège de courants induits. Ces derniers associés au champ du stator tournant créent un couple électromagnétique qui entraîne en rotation le rotor dans le même sens que celui du champ statorique. L’élément central de cette annexe est la description mathématique des relations tension-courant et des relations couple-courant de la machine asynchrone qui permettent d’établir un modèle monophasé équivalent. Annexe E (Modélisation des lignes et des câbles) Lorsque nous parlons d’électricité, nous pensons aux courants qui circulent dans les conducteurs des lignes de transport aériennes et des câbles souterrains entre les générateurs et les charges. Cette approche est valable parce que les dimensions physiques des réseaux électriques d’alimentation sont généralement faibles par rapport à la longueur d’onde des courants et des tensions dans l’analyse en régime permanent. Cela nous permet d’appliquer les lois de tension et de courant de Kirchhoff et d’utiliser des éléments localisés dans notre modélisation des lignes et des câbles. Nous pouvons distinguer quatre paramètres : la résistance série (due à la résistivité du conducteur), l’inductance (due au champ magnétique entourant les conducteurs), la capacité (due au champ électrique entre les conducteurs) et la conductance shunt (due aux courants de fuite). Trois modèles différents, dépendants de la longueur de la ligne, sont développés pour l’analyse des transferts de puissance dans les réseaux. Au cours de la rédaction de ce livre, nous avons parfois eu envie de travailler comme si nous réalisions un film, en mettant l’accent sur des sujets sélectionnés et en faisant parfois des zooms, car il y a toujours un équilibre délicat à trouver entre la chose que vous voulez clarifier et la profondeur de l’explication pour l’atteindre. Nous espérons que nous avons atteint cet objectif et que ce livre vous aidera dans vos réflexions sur ce sujet passionnant qu’est l’étude des réseaux d’énergie électrique ! En écrivant ce livre, nous avons utilisé avec gratitude les notes de cours de l’Université de technologie de Delft et de l’Université de technologie d’Eindhoven aux Pays-Bas. Les annexes sur la modélisation du transformateur, de la machine synchrone et de la machine asynchrone sont basées sur l’excellent manuel néerlandais du Dr Martin

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Hoeijmakers sur la conversion de l’énergie électrique. Nous sommes très reconnaissants de la lecture attentive du manuscrit des professeurs émérites Koos Schot, Robert van Amerongen et Jan Heijdeman. Nous remercions Ton Kokkelink et Rene Beune, membres de la société TenneT TSO B.V., pour leurs précieux commentaires sur les chapitres 5 et 7. Nous avons apprécié la contribution aux problèmes et à leurs solutions de Romain Thomas et du Dr Laura Ramirez Elizondo. Pieter H. Schavemaker Lou van der Sluis Ouvrage traduit par : Emmanuel Hoang Professeur agrégé de génie électrique à l’École normale supérieure Paris-Saclay Habilité à diriger des recherches et chercheur associé au laboratoire SATIE Assisté pour la correction orthographique et grammaticale de : Ambre Hoang

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1 Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

1.1 Introduction L’électricité est présente sur toutes nos prises « de courant », à tout instant et depuis un temps qui nous semble très lointain. Elle est si pratique et si peu chère, que l’on n’imagine pas pouvoir vivre sans elle. Aux Pays-Bas, par exemple, il y a eu en moyenne 35 minutes de « coupures » durant l’année 2006. Avec environ 8 760 heures dans une année, cela représente une disponibilité de 99,99334 % ! La dépendance de nos sociétés à l’électricité est telle que nous ne pourrions pas vivre sans « elle ». Voici quelques exemples de situations si l’électricité venait à manquer : • nous ne pourrions pas faire le « plein » de nos voitures avec des pompes à essence commandées électriquement ; • nous ne pourrions pas faire nos courses, car les portes des magasins et des centres commerciaux ne pourraient pas s’ouvrir ; • les trains, les métros, les tramways, resteraient à quai ; • nos villes resteraient dans l’obscurité ; • nos réfrigérateurs dégèleraient ; • il n’y aurait ni chauffage, ni climatisation ;

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Le réseau électrique dans son intégralité

• nous ne pourrions plus retirer d’argent aux distributeurs ; • les ordinateurs ne fonctionneraient pas très longtemps ; • l’eau courante ne serait plus distribuée. La liste est infinie. Nous voulons simplement exprimer le fait que l’électricité est indispensable à nos sociétés modernes (voir figure 1.1) et que probablement le chaos s’installerait si l’électricité venait à manquer durablement.

 Figure 1.1  La Terre des villes éclairées électriquement. (Reproduction autorisée par la NASA.)

Nos sociétés ont besoin de chercheurs et d’ingénieurs qui puissent penser, dimensionner, construire et commander notre système électrique et ses constituants. Ainsi nous vous invitons à comprendre ce qui se cache derrière la prise « de courant »…

1.2 Un peu de physique L’étude du système électrique qui va de la production de l’électricité à son utilisation, en passant par le transport et la distribution, est une tâche immense, trop grande pour être traitée dans un seul ouvrage. En effet, le système électrique est un système physique qui peut être étudié dans différentes échelles de temps : • de la seconde à plusieurs années : les phénomènes physiques sont stabilisés et l’on parle de « régime permanent » ; • de la milliseconde à la dizaine de milliseconde : ce sont les phénomènes mécaniques et électriques des constituants du système électrique qui interviennent

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1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

lors des changements de points de fonctionnement, qui doivent être étudiés dans ces régimes transitoires. Par exemple, lors des mises sous tension (branchement sur le réseau électrique) ou encore lors des changements des points de fonctionnement des alternateurs qui peuvent se traduire par des oscillations mécaniques au niveau de l’arbre de transmission ; • de la microseconde à la milliseconde : ce sont essentiellement les phénomènes électriques transitoires qui entrent en compte tels que les connexions des appareils électriques, ou les défauts comme les courts-circuits. Cela peut se traduire par des phénomènes de surtensions ou de surintensités. Ainsi, nous ne nous intéresserons qu’à l’étude dite en « régime permanent sinusoïdal », où les phénomènes physiques sont stabilisés à une fréquence de 50 Hz (ou 60 Hz). Il est à noter que de plus en plus d’appareils d’électronique de puissance sont installés dans les réseaux électriques pour faciliter sa gestion. Bien que les fréquences de pilotage de ces appareils soient de l’ordre du kilohertz (kHz), ils peuvent être étudiés comme les autres constituants du système électrique en régime permanent sinusoïdal. Ainsi, et bien que les constituants du système électrique doivent être étudiés dans le domaine temporel adéquat, l’étude du système électrique en « régime permanent sinusoïdal », à 50 ou à 60 Hz, peut amener à faire des hypothèses simplificatrices dans les lois de la physique utilisées. Par exemple, pour une ligne de transmission de l’énergie électrique, la longueur de l’onde de tension (et de courant) est donnée par : λ=

c (1.1) f

Avec l : longueur d’onde (m) c : vitesse de la lumière (3 108 m/s) f : fréquence (Hz) Avec f = 50 Hz  l = 6 000 km Comme une telle longueur d’onde est considérée bien plus grande que la plupart des lignes de transport de l’électricité, les lois de la physique spécifiques à l’étude des systèmes électriques, les équations de Maxwell, sont utilisées dans une approche dite « quasi statique » (cf. Annexe A : Équations de Maxwell). Les réseaux de transport de l’électricité pourront être modélisés par des réseaux d’impédances et les lois de Kirchhoff (loi des mailles et loi des nœuds) seront utilisées pour résoudre les équations permettant de déterminer les transferts de puissances via la détermination des tensions et des courants. Cependant, lorsque des phénomènes physiques plus rapides (c’est-à-dire à plus hautes fréquences, comme l’étude des impacts dus à la foudre, où la fréquence est voisine du MHz et donc la longueur d’onde voisine d’une valeur de 300 m) interviennent, les modèles des réseaux électriques doivent être modifiés.

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Le réseau électrique dans son intégralité

Dans ce livre nous utiliserons essentiellement les lois de Kirchhoff, mais nous souhaitons montrer dans l’exemple suivant, présenté à la figure 1.2, les relations entre les équations de Maxwell et les transferts de puissance. H E E

S

S

I

V

I

H

S

E

H

H

S

S

E

S

E

H

E

S H E

S

S

S

σ≠∞

μ≠∞

E

E

H

H S

S

 Figure 1.2  Étude des transferts de puissance sur un exemple simple : Ligne de transport – transformateur – ligne de transport – charge.

Dans les équations de Maxwell, c’est le vecteur de Poynting (W/m2) qui permet de quantifier le transfert de puissance. Il s’exprime à l’aide du vecteur  champ électrique, noté E , et du vecteur champ d’excitation magnétique, noté H , par :    S = E × H (1.2) Avec S : intensité du vecteur de Poynting (W/m2) E : intensité du vecteur champ électrique (V/m) H : intensité du vecteur champ d’excitation magnétique (A/m) À l’aide de la conductivité électrique, notée s (qui est l’inverse de la résistivité électrique notée r), et à l’aide de la perméabilité magnétique, notée m, nous pouvons  faire intervenir  le vecteur densité de courant, noté J , et le vecteur champ magnétique, noté B , que les Anglo-Saxons nomment vecteur densité de flux magnétique (flux density).   J = σ E (1.3)

20

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Avec J : intensité du vecteur densité de courant (A/m2) s : conductivité électrique (S/m)   B = µ H (1.4) Avec B : intensité du vecteur champ magnétique (T = AH/m2) m : perméabilité magnétique (H/m) Nous pouvons ainsi « voir » sur cet exemple comment se transmet la puissance à la charge, à l’aide de l’étude de la propagation du vecteur de Poynting et des relations entre les grandeurs physiques observables et courants) et les grandeurs  (tensions  électromagnétiques, non observables (E et H ).

1.3 Caractéristiques générales des systèmes

électriques

La majorité des systèmes de transport de l’électricité sont triphasés à 50 ou à 60 Hz. Mais les niveaux de tension sont très variés. Nous expliquons dans cette partie, les éléments qui ont conduit aux choix effectués.

1.3.1

Alternatif ou continu

Nous devons à Thomas Edison (1847-1931) le premier système d’éclairage électrique en 1879. Il a utilisé des ampoules à incandescence alimentées avec une tension continue d’une valeur de 100 V, pendant une vingtaine d’heures. À cette époque, il n’était pas possible de modifier ce niveau de tension, ainsi le transport de l’électricité sous 100 VDC ne pouvait se faire que sur de courtes distances et nécessitait des conducteurs en cuivre de fortes sections afin de limiter les chutes de tension. Quand Nikola Tesla (1856-1943) proposa le « courant alternatif », deux facteurs ont permis son développement : il fut tout d’abord aidé par l’entrepreneur George Westinghouse (1846-1914) et les transformateurs avec un bon rendement sont apparus dans les années 1880. Ainsi, le courant alternatif s’est imposé. Le courant alternatif a un autre avantage : en effet, il s’annule deux fois par période et la puissance instantanée de l’arc qui apparaît aux bornes de l’interrupteur s’annule aussi, ce qui facilite l’ouverture du circuit électrique. De nos jours, les convertisseurs d’électronique de puissance permettent de convertir la puissance d’un réseau électrique alternatif vers un réseau continu (AC  DC), ceci de manière réversible (DC  AC) et avec un excellent rendement. Il est donc possible, maintenant, de modifier les niveaux de tension des réseaux DC. La question qui se pose est : transport de l’électricité en AC ou en DC ? Des éléments de réponse se trouvent du côté financier. Une liaison DC nécessite deux conducteurs quand une liaison AC en nécessite trois. Mais les câbles (souterrains) pour

21

Le réseau électrique dans son intégralité

une liaison DC sont plus complexes à réaliser que les lignes (aériennes) pour une liaison AC (qui demande d’autres ouvrages tels que les pylônes). Pour finir, pour une liaison DC, il y a un convertisseur d’électronique de puissance à chaque extrémité pour les connexions aux réseaux électriques (AC). Pour illustrer cette contradiction, nous présentons à la figure 1.3 le coût d’une liaison AC ou DC en fonction de sa longueur. Cost Break-even distance DC DC converter stations

AC

AC stations

800–1000 km 50 km submarine cable overhead line Transmission distance

 Figure 1.3  Distance critique pour une liaison HVDC (High Voltage DC).

Voici trois exemples de liaison DC, que l’on nomme HVDC (pour High Voltage DC) : • tout d’abord une liaison sous-marine : le Norned Cable Project. Un câble de 600 km entre la Norvège et les Pays-Bas ; • une liaison dite « asynchrone » car elle permet de relier deux réseaux électriques fonctionnant à des fréquences différentes : la liaison HVDC entre l’Argentine (50 Hz, 500 kV) et le Brésil (60 Hz, 525 kV) ; • enfin, une autre liaison dite « asynchrone » reliant deux réseaux fonctionnant à la même fréquence, mais ne pouvant pas être connectés ensemble pour des raisons de stabilité et de modes de commande différents : la liaison entre le réseau scandinave et le réseau européen (il y a la même chose entre le réseau oriental et le réseau occidental des États-Unis). Un autre exemple, plus près de nous : dans nos maisons, la majorité des appareils électriques, que l’on branche sur le réseau AC via la « prise de courant », fonctionnent en interne en continu.

Allure de la tension alternative Une tension alternative peut avoir différentes allures, par exemple : sinusoïdale, rectangulaire ou encore triangulaire comme présenté à la figure 1.4. v

v t

v t

t

 Figure 1.4  Allures des tensions alternatives : triangulaire, sinusoïdale et rectangulaire.

22

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Pour les systèmes électriques, une tension d’allure sinusoïdale s’impose. En effet, nous pouvons considérer un système électrique comme un système physique linéaire et invariant dans le temps. Ainsi nous pouvons utiliser les opérations mathématiques élémentaires telles que la multiplication par une constante, l’addition, la soustraction ou encore l’étude des déphasages. Il en résulte que la fréquence du signal ne change pas. Nous pouvons également appliquer les lois de l’intégration et de la dérivation mathématiques. Toutes les opérations que nous pouvons effectuer sur un signal sinusoïdal peuvent modifier son amplitude, son déphasage, mais sa fréquence et son allure ne sont en aucun cas modifiées. Aucune autre allure de tension ne possède ses propriétés. Comme dans un système électrique, les tensions et les courants sont sinusoïdaux, les composants sont dimensionnés en conséquence.

Tension sinusoïdale et transfert de puissance Lorsque nous évoquons une tension (ou un courant) sinusoïdale, nous pensons à « sa » valeur efficace. En anglais, la valeur efficace est notée RMS value (pour Root Mean Square). Cette valeur efficace est la caractéristique de la grandeur alternative qui dissiperait la même puissance qu’une grandeur continue dans la même résistance (voir la figure 1.5). i(t)

I + V

R

v(t)

R –

 Figure 1.5  Schémas des circuits pour définir la valeur efficace (RMS) d’un signal alternatif.

La puissance dissipée dans la résistance, notée R sur la figure 1.5, dans le circuit alimenté en continu, s’exprime par : = P

V2 = RI 2 (1.5) R

Dans le circuit alimenté en alternatif, la tension et le courant s’expriment par : v (t ) = V

2 sin (ωt ) et i (t ) = I

2 sin (ωt ) (1.6)

Avec w : pulsation (rad/s) et w = 2p f. La puissance instantanée dissipée dans la résistance, notée R sur la figure 1.5, dans le circuit alimenté en alternatif, s’exprime par : p (t ) =

[v (t )]2 R

= R [i (t )]2 (1.7)

23

Le réseau électrique dans son intégralité

La puissance moyenne, notée P, est donnée par : = P

2

1 T [v (t )] 1 = dt T ∫0 R T

T

∫0

R [i (t )]2 dt (1.8)

Avec, T période des signaux (s) et T = 1/f = 2p/w. En égalant les expressions de la puissance transmise à la résistance pour le circuit alimenté en continu (formule (1.5)) et pour le circuit alimenté en alternatif (formule (1.8)), nous pouvons écrire : = V2

1 T 1 [v (t )]2 dt et I 2 = T T ∫0

T

∫0

[i (t )]2 dt (1.9)

En remplaçant les expressions de v(t) et de i(t) (formule (1.6)), nous avons 1 : T  1 T 1 V = 1 [v (t )]2 dt = V 2 [sin (ωt )]2 dt = V 2 =V ∫ T 0 T ∫0 2   (1.10)  T 1 T 1 2 2 I = 1 [ ( ) ] [ ( ) ] i t dt I 2 sin ω t dt I 2 = I = =  T ∫0 T ∫0 2

V est la valeur efficace (RMS) de la tension alternative v(t). I est la valeur efficace (RMS) du courant alternatif i(t). Pour résumer, la valeur efficace (RMS) d’une tension (ou d’un courant) est la caractéristique de la grandeur alternative qui dissiperait la même puissance qu’une grandeur continue dans la même résistance. La signification « RMS » (Root Mean Square) est illustrée ci-dessous : Root Mean Square V =

1 T

T

∫0

[v(t )]2 dt (1.11)

À la figure 1.6, est représentée la valeur moyenne de [sin (ωt )]2 . v2 1

v 1 0 –1

Mean = 0 t

0 –1

Mean = 0.5 t

 Figure 1.6  Fonction sin (ωt ) et [sin (ωt )] . 2

1.  Note du traducteur : dans les formulations 1.10, est écrit : |V| = V et |I| = I. Ainsi à partir des formulations 1.15, nous appliquons cette notation pour les valeurs efficaces.

24

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Pour une grandeur sinusoïdale, cette valeur efficace est égale à l’amplitude divisée par 2 . V = V 2 et I = I 2 (1.12) Exemple 1.1 Valeur efficace et amplitude Quand nous parlons d’une tension de 230 volts, la valeur efficace de cette tension est de 230 V, tandis que son amplitude, encore nommée valeur crête, est de 325 V (325 = 230 × 2 ).

1.3.2

Réseau à 50 Hz et réseau à 60 Hz

Le choix de la fréquence ne s’est pas fait arbitrairement. Entre 1885 et 1900, un grand éventail de fréquences ont étaient utilisées aux États-Unis : 140 ; 133 1/3 ; 125 ; 83 1/3 ; 66 2/3 ; 60 ; 50 ; 40 ; 33 1/3 ; 30 ; 25 et 16 2/3 Hz [9,18,21,28]. Chaque fréquence a sa propre application. La valeur finale de la fréquence est de 60 Hz au Brésil, en Amérique du Nord et dans une partie du Japon et de 50 Hz dans la plupart des autres pays. Maintenant, « le » 16 2/3 Hz (Europe) et « le » 25 Hz (Amérique du Nord) sont des fréquences utilisées pour différentes applications ferroviaires et « le » 400 Hz est une fréquence utilisée à bord des paquebots, des avions et des plateformes pétrolières. Une fréquence trop basse, comme 10 ou 20 Hz, servant à l’alimentation domestique de la lumière serait perçue par l’œil humain comme un scintillement. D’un autre côté, voici quelques exemples qui limitent l’utilisation d’une fréquence trop élevée : • les pertes par hystérésis dans un transformateur sont proportionnelles à la fréquence et les pertes par courants de Foucault sont proportionnelles au carré de la fréquence ; • la réactance des lignes de transport de l’électricité (et par conséquent les chutes de tension) augmente proportionnellement à la fréquence (X = L w). D’un autre côté, on peut montrer que la puissance convertible par une machine électrique est proportionnelle à la vitesse de rotation et donc à la fréquence de travail. La formule (1.13) d’Esson donne une expression générale : P = KD 2 L f (1.13) Avec K : « coefficient de conversion » (J/m3). La valeur de ce coefficient dépend du type de machine électrique, du mode de refroidissement et des matériaux magnétiques utilisés. D : diamètre (m) externe de la machine. L : longueur (m) de la machine. En fait, D2 L est représentatif de l’encombrement. f : fréquence d’alimentation (Hz). La vitesse de rotation, en tr/min, est très souvent liée à la fréquence d’alimentation (exemple : pour une machine synchrone « tétra polaire », si f = 50 Hz alors N = 1 500 tr/min et si f = 200 Hz alors N = 6 000 tr/min).

25

Le réseau électrique dans son intégralité

Avec cette équation (1.13), nous pouvons voir qu’une augmentation de la fréquence de travail permet de diminuer l’encombrement de la machine à puissance convertie donnée. Pour un transformateur, nous avons le même type de formules 2 : S =3V I En régime permanent sinusoïdal : V = N p Φ ω = N p Φ 2 π f Et Φ = BSfer δ=

I I = Scond  Sbob   kb N  p  

 S ⇒ S = 3 ( N p BSfer 2π f )  kb bob  Np

(1.14)  δ 

 S  ⇒ S = 3 (BSfer 2π f )  kb bob δ  N p   Avec S : puissance apparente (VA) ou encore puissance de dimensionnement. V, valeur efficace de la tension et I, valeur efficace du courant. Np : nombre de spires du bobinage (ici au primaire). F : flux magnétique moyen par spire (Wb = V s). C’est le flux magnétique qui est canalisé par le circuit magnétique. Sfer : section de passage du flux magnétique (m2). B : induction magnétique (T). Les Anglo-Saxons parlent de densité de flux, « flux density ». d : densité de courant (A/m2). La valeur de cette grandeur dépend du mode d’évacuation des pertes (refroidissement). Scond : section d’un conducteur (m2) et Sbob : section totale du bobinage (m2). kb : coefficient de remplissage du bobinage (kb < 100 %, typiquement 40 à 60 %). Comme l’encombrement (volume) du transformateur dépend du produit « Sbob × Sfer », nous pouvons montrer, avec les formulations (1.14), qu’une augmentation de la fréquence permet de le diminuer à puissance convertie donnée. C’est la raison pour laquelle la fréquence est de 400 Hz dans les réseaux de bord des avions.

1.3.3

Système triphasé équilibré

Les réseaux de transport et de distribution de l’électricité sont triphasés. Dans ce livre, nous nous intéresserons uniquement aux systèmes de tensions et de courants triphasés équilibrés. Cela signifie que les grandeurs physiques sinusoïdales ont la 2.  Note du traducteur : les formulations 1.14 ont été modifiées mais l’esprit de la démonstration a été maintenu.

26

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

même valeur efficace et sont déphasées d’un tiers de période comme indiqué à la figure 1.7. Un système de tensions triphasé équilibré peut être défini par : v a = V 2 cos (ωt )

( 23π ) 4π 2 cos (ωt − ) (1.15) 3

vb = V 2 cos ωt − vc =V

va

vb

vc

t

6.67 ms ⇔ 120°

 Figure 1.7  Allures des tensions dans un système triphasé équilibré (à 50 Hz).

Le réseau électrique est composé de lignes, de câbles triphasés et les charges sont considérées elles aussi comme triphasées. Faire l’hypothèse que ces composants sont triphasés équilibrés signifie que leur impédance sur chaque phase est identique. Nous pouvons ainsi considérer le système électrique triphasé comme étant constitué par trois systèmes monophasés, comme indiqué à la figure 1.8 (a). Comme les tensions possèdent la même valeur efficace et sont déphasées d’un tiers de période et que les impédances sur chaque phase sont identiques, cela implique que les courants possèdent la même valeur efficace et sont déphasés d’un tiers de période, comme explicité ci-dessous 3 : ia = I 2 cos (ωt − ϕ)

2π ( 3) 4π 2 cos (ωt − ϕ − ) 3

ib = I 2 cos ωt − ϕ − ic = I Avec : I =

(1.16)

V V = Z Z

ϕ = Arg ( Z ) 3.  Note du traducteur : les formulations 1.16 ont été modifiées, par rapport à l’édition originale, afin de ne pas mélanger les grandeurs instantanées et les grandeurs complexes.

27

Le réseau électrique dans son intégralité

Nous pouvons faire évoluer le système triphasé initial, présenté à la figure 1.8 (a), en combinant les trois conducteurs du retour en un seul comme indiqué à la figure 1.8 (b). Le courant dans ce conducteur de retour, noté in, est égal à la somme des courants de phase : in = ia + ib + ic

) (

(

)

2π 4π  in = I 2 cos (ωt − ϕ) + cos ωt − ϕ − + cos ωt − ϕ − (1.17) 3 3   in = 0 Comme le courant dans le conducteur du retour est nul, ce conducteur peut être supprimé, comme indiqué à la figure 1.8 (c), et ainsi nous montrons que le transport de l’électricité peut se faire uniquement avec trois conducteurs. +

ia

va

Z

– +

– vc

–

Z

Z

vb +

ib

ic (a)

+

ia

va

+

– vc

Z

in

– – +

vb

Z

Z

ib

ic (b)

+

ia

va

Z

– – +

vc

–

vb +

ib

ic (c)

 Figure 1.8  Systèmes triphasés équilibrés.

28

Z

Z

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Cependant, dans la réalité, les charges ne sont pas toutes triphasées équilibrées puisqu’il existe une multitude de charges monophasées telles que les appareils domestiques et les systèmes de traction ferroviaire. Les gestionnaires du réseau de transport et de distribution tentent de rétablir au mieux ces déséquilibres entre les trois phases (voir la section 4.3 : Classification des utilisateurs du réseau) et ainsi l’hypothèse d’une charge triphasée équilibrée reste valable. Les raisons qui ont amené à réaliser un système triphasé sont présentées dans la partie suivante.

Considérations au niveau des puissances Pour une charge monophasée, la tension à ses bornes et le courant absorbé sont définis par : v (t ) = V 2 cos (ωt )

(1.18)

i (t ) = I 2 cos (ωt − ϕ) Ainsi, la puissance instantanée absorbée s’écrit : p (t ) = v (t ) i (t ) p (t ) = V 2 cos (ωt ) × I 2 cos (ωt − ϕ)

(1.19)

p (t ) = 2V I [cos (ωt ) × cos (ωt − ϕ)] p (t ) = V I [cos (ϕ) + cos (2ωt − ϕ)]

De cette dernière expression, nous pouvons voir que la puissance instantanée n’est pas constante, mais qu’elle comporte un terme fluctuant à une pulsation double (2) de celle de la tension et du courant. Ceci peut être perturbant pour la conversion en puissance mécanique, car cela se traduit par des ondulations de couple, ou encore pour la conversion en puissance lumineuse, car cela se traduit par des scintillements lumineux. Pour une charge triphasée, les tensions et les courants associés sont définis par : v a (t ) = V 2 cos (ωt ) ia (t ) = I 2 cos (ωt − ϕ)

( 23π )i (t ) = I 4π 2 cos (ωt − ) i (t ) = I 3

vb (t ) = V 2 cos ωt −

b

vc (t ) = V

c

2π (1.20) ( 3) 4π 2 cos (ωt − ϕ − ) 3 2 cos ωt − ϕ −

Ainsi, la puissance instantanée absorbée par cette charge s’écrit : p (t ) = v a (t ) ia (t ) + vb (t ) ib (t ) + vc (t ) ic (t )

(

[cos (ϕ) + cos (2ωt − ϕ)] + cos (ϕ) + cos 2ωt − ϕ − 4π   3 p (t ) = V I  2π   + cos (ϕ) + cos 2ωt − ϕ − 3    p (t ) = 3V I cos (ϕ)

(

)

) (1.21)   

29

Le réseau électrique dans son intégralité

 Pour un système triphasé équilibré (tensions et charge), la puissance instantanée transmise est constante ! Ce résultat est généralisable à un système comportant n phases. En effet la puissance instantanée transmise s’écrit : n

(

p (t ) = nV I cos (ϕ) +V I ∑ cos 2ωt − ϕ − 2k k =1

2π n

)

( 2nπ ) 2π +V I sin (2ωt − ϕ) ∑ sin (2k ) n n

p (t ) = nV I cos (ϕ) +V I cos (2ωt − ϕ) ∑ cos 2k k =1 n

(1.22)

k =1

Pour n ≥ 3 : p (t ) = nV I cos (ϕ) En effet :

∑ cos (2k n

k =1 n

(

)

2π =0 n

)

2π ∑ sin 2k n = 0 k =1

pour n ≥ 3 (1.23) pour n ≥ 1

Avec les formulations (1.22), nous montrons que la puissance instantanée transmise est constante pour un système polyphasé comportant un nombre de phases supérieur ou égal à trois. La question se pose de savoir pourquoi c’est le système triphasé qui s’est imposé. Un des éléments de réponse vient du nombre de conducteurs nécessaire au transfert de puissance. Et c’est le système triphasé qui minimise ce nombre. La puissance moyenne transmise par un système monophasé s’exprime par : P1Φ = V I cos (ϕ) (1.24) La puissance moyenne transmise par un système triphasé s’exprime par : P3Φ = 3V I cos (ϕ) = 3 P1Φ (1.25) Le système triphasé décrit à la figure 1.8 (c) permet de transporter, de transmettre la même puissance que trois systèmes monophasés décrits à la figure 1.8 (a), avec un nombre de conducteurs deux fois plus faible !

30

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Champ magnétique tournant Un système triphasé de courants permet de créer un champ magnétique tournant, comme indiqué à la figure 1.9. C’est le principe utilisé dans la majorité des machines électriques utilisées en alternatif. Avec un système triphasé de bobines fixes alimentées par un système triphasé de courant (formulations (1.26)), le champ magnétique créé est un champ de vecteurs, dont les amplitudes sont fixes et dont la vitesse de rotation est liée à la pulsation électrique des courants. Alors que pour un système monophasé de bobines fixes, le champ magnétique résultant n’est pas tournant (voir la figure 1.10). i1 = I 2 sin (ωt )

( 23π ) (1.26) 4π 2 sin (ωt − ) 3

i2 = I 2 sin ωt − i3 = I

–

v2 +

i2

i1

i2

i1

i3

+

v1 t

–

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 – +

i3 t0 3

t1 2

3

v3

t2 2

t3

2 1

t5

t4

2

1

1

1 3

t6

3

1 2

3

2

3

t7...t12: reverse of t1...t6 Magnetic field vector of one phase

Resultant magnetic field vector

 Figure 1.9  Création d’un champ magnétique tournant avec un système triphasé de bobines fixes.

31

Le réseau électrique dans son intégralité

Le champ magnétique tournant peut être défini par ses trois composantes : H1 = H 2 sin (ωt ) sin ( x )

( 23π ) sin (x − 23π ) (1.27) 4π 4π 2 sin (ωt − ) sin ( x − ) 3 3

H 2 = H 2 sin ωt − H3 = H

Avec t : temps (s) ; si t = 0 alors H1 = 0 ∀x x : position angulaire (rad) ; si x = 0 alors H1 = 0 ∀t Et le champ magnétique tournant résultant est défini par : H r = H1 + H 2 + H 3 1 H r = H 2 [cos (ωt − x ) − cos (ωt + x )] 2 1 4π + H 2 cos (ωt − x ) − cos ωt + x −  2 3 1 2π + H 2 cos (ωt − x ) − cos ωt + x − 2 3  3 H r = H 2 cos (ωt − x ) 2

( (

) (1.28) )

Quand le temps, noté t, varie et que la position angulaire, notée x, sont liés par la relation x = wt, l’amplitude du vecteur du champ magnétique résultant reste 3 constante, égale à H r = H 2 et tourne à une vitesse de rotation constante égale 2 à dx/dt = w (rad/s).

i1

i1

+ v1 t

– t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7...t12: reverse of t1...t6

 Figure 1.10  Création d’un champ magnétique avec un système monophasé de bobines fixes.

32

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Si l’on place l’aiguille d’une boussole au centre du système triphasé de bobines fixes, elle tournera à la vitesse du champ magnétique tournant. C’est ce principe qui est utilisé dans les machines synchrones. Si l’on place un cylindre en cuivre dont l’axe de rotation est placé au centre du système triphasé de bobines fixes, le champ magnétique tournant l’entraînera en rotation à une vitesse légèrement plus faible que la sienne propre. C’est le principe utilisé dans les machines asynchrones. Exemple 1.2 Système biphasé Il est possible d’utiliser un système comportant deux phases, que l’on nomme biphasé, qui transmet une puissance instantanée constante et qui peut créer un champ magnétique constant. Pour cela, les tensions des deux phases doivent être déphasées de 90°. Les tensions et les courants d’un système biphasé équilibré s’écrivent : v a = V 2 cos va = (ωVt ) ia2 =cosI (ω2tcos ) ia (=ωIt −2ϕcos ) (ωt − ϕ)

( () )

( ( ) )

π π π π vb = V vb2=cos V ω2tcos − ω itb −= I ib2 =cos I ω2tcos − ϕω−t − ϕ − (1.29) 2 2 2 2 Ainsi, la puissance instantanée transmise à la charge s’écrit : p (t ) = v a (t ) ia (t ) + vb (t ) ib (t ) p (t ) = V I {[cos (ϕ) + cos (2ωt − ϕ)] + [cos (ϕ) + cos (2ωt − ϕ − π)]} (1.30) p (t ) = 2V I cos (ϕ) Le vecteur représentatif du champ magnétique tournant créé par un système diphasé est présenté à la figure 1.11. Un inconvénient du système diphasé est que le courant dans le conducteur de retour n’est pas nul, en effet, nous avons : in = ia + ib ≠ 0 (1.31) Ce système diphasé nécessite autant de conducteurs (trois) que le système triphasé équilibré avec une puissance transportée 2/3 plus faible ( p (t ) = 2V I cos (ϕ) pour le système diphasé et p (t ) = 3V I cos (ϕ) pour le système triphasé).

33

Le réseau électrique dans son intégralité

i1

i2

i1

+ v1

t

– t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12

t0

–

+

i2

v2

t1 1

2

2

t2 1

t3 2

t4 1

2

1

t5 2

t6

1

2

t7...t12: reverse of t1...t6 Magnetic field vector of one phase

Resultant magnetic field vector

 Figure 1.11  Création d’un champ magnétique avec un système biphasé de bobines fixes.

1.3.4

Niveaux de tension

Les niveaux de tension actuels se justifient du fait de l’alimentation de lampes à arc de carbone utilisées au début du développement de l’utilisation industrielle de l’électricité. Ces lampes, inventées avant les lampes à incandescence, fonctionnaient avec une tension continue de 55 VDC. À la figure 1.12 (b), est présenté le système d’alimentation de ces lampes utilisant trois potentiels (–55 V ; 0 V et 55 V). Dans cette configuration, une tension de 110 VDC est aussi possible. r

I⁄2

V I

R

r V

V

r

R (a)

I⁄2 (b)

 Figure 1.12   Schémas pour l’alimentation en continu utilisant deux (a) ou trois (b) conducteurs.

34

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Nous allons montrer que pour cette situation, la configuration à trois conducteurs est préférable à la configuration à deux conducteurs. En effet, les pertes Joule dans la configuration à deux conducteurs (figure 1.12 (a)) sont égales à 2 RI 2 , avec R, résistance d’un conducteur, alors que pour la configuration à trois conducteurs, les pertes Joule sont égales à 2 r ( I / 2)2 , avec r, résistance d’un conducteur. Il est à noter qu’il n’y a pas de courant dans le conducteur central. Compte tenu du fait que les conducteurs parcourus par un courant I / 2 ont une section de ×1 / 2, leur résistance est ×2. Nous avons donc r = 2 R, et les pertes Joule dans la configuration à deux conducteurs sont deux fois plus élevées que pour la configuration à trois conducteurs. De plus, la configuration à deux conducteurs nécessite 4/3 de cuivre en plus. Plus tard, le niveau de tension est passé à 220 V, maintenant 230 V en Europe, pour ces mêmes raisons : diminution des pertes dans les conducteurs et diminution du volume des matériaux constitutifs des conducteurs. Dans les deux cas présentés à la figure 1.13, la puissance transmise est de V I = 2V × I / 2. Les pertes Joule dans le système alimenté par V sont égales à 2 RI 2 , tandis que pour le système alimenté avec le double de la tension elles sont égales à 2 R ( I / 2)2 = RI 2 / 2 . La quantité de matière des conducteurs est aussi divisée par deux, car la section des conducteurs, dans la configuration alimentée par 2 V, est divisée par deux (car I / 2). R

V

I

R

I⁄2

2V R

R

 Figure 1.13  Solution pour réduire les pertes en augmentant le niveau de tension.

Les niveaux de tension dans les systèmes de transport de l’électricité peuvent être séparés en trois : • pour la production d’électricité : de 10 kV à 25 kV. Ceci est dû à la qualité des systèmes d’isolation électrique utilisés pour assurer la tenue en tension des générateurs ; • pour le transport de l’électricité : de 110 kV à 420 kV. On peut trouver des niveaux de tension supérieurs, par exemple en Russie avec 1 200 kV à certains endroits ; • pour la distribution : de 10 kV à 72,5 kV. Pour l’alimentation des consommateurs, il existe une très grande variété de niveaux de tension. Les centres industriels importants sont alimentés avec des niveaux de tension compris entre 10 kV et 150 kV, tandis que les particuliers sont alimentés en 230 V ou en 400 V.

35

Le réseau électrique dans son intégralité

Les changements de niveau de tension sont effectués à l’aide de transformateurs. Les niveaux de tension utilisés dans le système électrique néerlandais sont présentés à la figure 1.14. 380 kV

220 kV High voltage

150 kV

110 kV

110 kV

50 kV

Intermediate voltage

10 kV

10 kV

10 kV ∗

10 kV ∗

20 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

Medium voltage

Low voltage

 Figure 1.14  Niveaux de tension et étapes de transformation utilisés dans le système électrique néerlandais [6]. * Ce niveau de tension peut aussi être de 20 kV.

Tension simple et tension composée Le niveau de tension spécifié, dans un système de tension triphasé, est habituellement la valeur de la tension composée, notée aussi tension entre phases au lieu de la tension simple, qui est la tension entre le potentiel d’une phase et le potentiel du neutre. Ces différentes tensions sont présentées à la figure 1.15. + – n – +

vc

van

va

ia

vab

Z

vac

n –

vb +

vcn vbn

Z

ib

ic

Z

vbc

 Figure 1.15  Tensions composées et tensions simples dans un système de tensions triphasées.

36

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Les tensions simples associées aux phases a et b s’écrivent : v an = V 2 cos (ωt )

2π 3 La tension composée entre les phases a et b s’écrit :

(

vbn = V 2 cos ωt −

)

(

(1.32)

)

2π  v ab = v an − vbn = V 2 cos (ωt ) − cos ωt − 3  

() ( ) π 2 cos (ωt + ) 6 

π π v ab = V 2 2 cos cos ωt +  (1.33) 6 6   v ab = 3 V 

La tension composée (entre phases) a une amplitude 3 plus importante que celle de la tension simple (entre phase et neutre) et est en avance de 30° par rapport à la tension simple. Dans ce livre 4, nous utiliserons la lettre U pour signifier qu’il s’agit de la tension composée (entre phases) et la lettre V 5 pour signifier qu’il s’agit de la tension simple. De plus, dans les réseaux triphasés, le neutre est rarement présent, ainsi une seule tension est spécifiée : la tension entre phases, notée U. U = 3 V (1.34) U : valeur efficace de la tension composée V : valeur efficace de la tension simple Exemple 1.3 Tensions composées et tensions simples Le niveau de tension le plus élevé du réseau néerlandais est de 380 kV. Ceci est la valeur efficace de la tension entre phases (tension composée). Les niveaux de tension les plus bas du réseau néerlandais sont de 230-400 V. Ceci signifie trois choses : 1) la valeur efficace de la tension entre phases est de 400 V ; 2) la tension simple est disponible et 3) la valeur efficace est de 230 V.

4.  Note du traducteur : les Anglo-Saxons utilisent la notation « line-to-line » pour la tension entre phases et la notation « line-to-neutral » pour la tension simple. 5.  Note du traducteur : c’est la même lettre qui est utilisée pour designer la grandeur physique (tension) et qui est l’abréviation de l’unité physique (Volt).

37

Le réseau électrique dans son intégralité

1.4 Phaseur L’introduction de la notion de « phaseur » permet de simplifier l’étude des systèmes de transmission de l’énergie électrique en régime permanent sinusoïdal. Un phaseur est la représentation complexe d’un signal sinusoïdal, comme nous pouvons le voir sur la figure 1.16.

α α

α

 Figure 1.16  Relation entre un vecteur tournant et un signal sinusoïdal.

Si le signal sinusoïdal (sinus ou cosinus) a une fréquence de 50 Hz, le vecteur associé tourne à une vitesse de 50 Hz. Il faut cependant noter que le vecteur a une longueur 2 fois plus importante que la norme du phaseur associé. Considérons les expressions générales d’une tension et d’un courant sinusoïdaux : v (t ) = V 2 cos (ωt ) et i (t ) = I 2 cos (ωt − ϕ) (1.35) Dans le but d’exprimer les grandeurs caractéristiques du phaseur associé, nous introduisons la notation d’Euler suivante : e jϕ = cos (ϕ) + j sin (ϕ) (1.36)

38

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Les grandeurs sinusoïdales peuvent être déduites de cette notation comme indiqué ci-après : e j ωt = cos (ωt ) + j sin (ωt ) Comme cos (ωt ) = Re {e j ωt } v (t ) = Re {V 2e j ωt } = Re {V 2e j ωt } avec V = V = V ∠0°

(1.37)

i (t ) = Re {I 2e j (ωt −ϕ)} = Re {I 2e j ωt } avec I = I e − j ϕ = I ∠ − ϕ Re est l’opérateur qui permet d’extraire la partie réelle d’un nombre complexe. V est le phaseur tension. I est le phaseur courant. Un phaseur est un vecteur qui permet de représenter une grandeur sinusoïdale : la longueur du vecteur est égale à la valeur efficace de la grandeur sinusoïdale et son argument est lié au déphasage du signal considéré par rapport à un signal de référence. Nous pouvons noter que la fréquence est absente de la notation du phaseur. En effet, les tensions produites par les alternateurs sont sinusoïdales à 50 Hz (ou à 60 Hz). Le système de transport et de conversion de l’énergie électrique est considéré comme étant un système linéaire, ainsi les tensions disponibles dans les installations domestiques et industrielles sont sinusoïdales à une fréquence de 50 Hz. Seules l’amplitude et la phase sont modifiées. Ainsi, dans les études en régime permanent sinusoïdal, la fréquence peut être omise et l’utilisation des phaseurs et des nombres complexes est pertinente. Exemple 1.4 Notation d’un phaseur Le phaseur associé à la tension v(t) = 141,4 cos (2pf t + p/6) s’écrit : V = 100V ∠30°.

1.4.1

Éléments d’un réseau électrique et phaseurs associés

Après avoir introduit la notion de phaseur associé aux tensions et aux courants sinusoïdaux, il est nécessaire d’étudier les trois éléments électriques rencontrés dans les réseaux avec ces phaseurs. À la figure 1.17, nous représentons les phaseurs tension et courant associés à ces trois éléments de base. On considère la tension sinusoïdale suivante et son phaseur associé : v (t ) = V 2 cos (ωt ) ⇒ V = V = V ∠0°

(1.38)

39

Le réseau électrique dans son intégralité

i=v⁄R v

+ v

I

R

i

–

V

t

Voltage and current are in phase

i = (1 ⁄ L) ∫ vdt v i

+ v

V

L t

–

I

The current lags the voltage by 90°

i = C(dv) ⁄ (dt) v

+ v

I

C –

i

t

V

The current leads the voltage by 90°

 Figure 1.17  Relations entre la tension et le courant (sinusoïdaux) et les phaseurs associés pour chacun des éléments de base que sont la résistance, l’inductance et le condensateur.

• Le courant associé à une résistance, notée R, alimentée par cette tension v(t) s’écrit : v (t ) i (t ) = (1.39) R Et son phaseur associé s’écrit : ⇒I =

V (1.40) R

En effet : i (t ) = Re

{VR

}

2e j ωt =

V 2 cos (ωt ) (1.41) R

• Le courant associé à une inductance, notée L, alimentée par cette tension v(t), s’écrit 6 : i (t ) =

∫ v (t ) dt (1.42) L

Et son phaseur associé s’écrit : ⇒I =

V (1.43) jLω

6.  Note du traducteur : nous avons interverti l’ordre des équations 1.42 à 1.47, pour rester dans le même ordre que sur la figure 1.17.

40

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

En effet : i (t ) = Re

{

}

)

(

V V π 2e j ωt = 2 cos ωt − (1.44) 2 jLω Lω

• Le courant associé à un condensateur, noté C, alimenté par cette tension v(t), s’écrit : dv (t ) i (t ) = C (1.45) dt Et son phaseur associé s’écrit : ⇒ I = jC ωV (1.46) En effet :

(

i (t ) = Re { jC ωV 2e j ωt } = C ωV 2 cos ωt +

)

π (1.47) 2

Dans le tableau 1.1, sont présentées les relations entre les tensions et les courants pour les trois éléments de base des systèmes électriques, que sont la résistance, l’inductance et le condensateur et ceci dans le domaine temporel ainsi que dans le domaine des phaseurs.  Tableau 1.1  Relations entre les tensions et les courants Élément

Domaine temporel

Domaine des phaseurs

Résistance - R

v (t ) = R i (t )

V = RI

Inductance - L

v (t ) = L

d i (t ) dt

V = jLωI

Condensateur - C

i (t ) = C

dv (t ) dt

I = jC ωV

Dans le domaine des phaseurs, l’expression générale pour une impédance est la suivante : V Z = = R + jX (1.48) I R : partie réelle de l’impédance Z qui est assimilée à une résistance (W). X : partie imaginaire de l’impédance Z qui est nommée réactance (W). Quand X est positive, l’élément réactif est une inductance (X = Lω) et quand X est négative, l’élément réactif est un condensateur (X = −1 / C ω). De la même manière, l’expression générale pour une admittance est la suivante : I Y = = G + jB (1.49) V G : partie réelle de l’admittance Y qui est assimilée à une conductance (S). B : partie imaginaire de l’admittance Y qui est nommée susceptance (S).

41

Le réseau électrique dans son intégralité

1.4.2

Calculs dans le domaine des phaseurs

Bien que la notion de phaseurs semble compliquée, c’est l’outil mathématique idéal pour étudier les réseaux d’énergie électrique. En effet, un phaseur est associé à une grandeur sinusoïdale et n’est ni plus ni moins qu’un nombre complexe, représenté par un vecteur dans le plan complexe. Les règles mathématiques s’appliquant aux nombres complexes peuvent très bien être utilisées pour les phaseurs. Un vecteur peut être décrit soit par sa longueur (ou norme) et par son orientation angulaire, si l’on utilise les coordonnées polaires, ou bien par sa partie réelle et sa partie imaginaire, si l’on utilise les coordonnées cartésiennes. Les relations entre ces deux descriptions sont présentées à la figure 1.18. Im

V = ∣V∣∠φ = Re(V ) + jIm(V ) V =

V

Im(V )

Re(V )2 + Im(V )2

φ = tan

|V|

Im(V ) ---------------Re(V)

Re(V) = V cos(φ)

φ Re(V )

–1

Re

Im(V ) = V sin(φ)

 Figure 1.18  Le phaseur est un vecteur dans le plan complexe.

Il n’y a aucune différence entre ces deux représentations. Mais selon les opérations, la forme cartésienne sera préférable, par exemple pour l’addition ou pour la soustraction comme nous le montrons à la figure 1.19. Im

Im V1 + V2

V2

V2

V1

V1 Re

Re – V2

V1 – V2

 Figure 1.19  Deux opérations de base sur les vecteurs : l’addition et la soustraction.

En effet, soit deux vecteurs : V1 = a + jb et V2 = c + jd (1.50) Addition des deux vecteurs : V1 + V2 = (a + c ) + j (b + d ) (1.51)

42

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Soustraction des deux vecteurs : V1 − V2 = (a − c ) + j (b − d ) Complexe conjugué : V1 * = a − jb Pour la multiplication et la division, la notation polaire est plus adaptée. En effet, soit deux vecteurs : V = V ∠α et I = I ∠β (1.52) Multiplication des deux vecteurs : V I = V I ∠ (α + β) Division des deux vecteurs : V V = ∠ (α − β) (1.53) I I Complexe conjugué : V * = V ∠ ( −α ) D’autres grandeurs complexes, comme les puissances complexes (cette notion sera développée dans la section 1.6.2 : Puissances complexes) ou bien encore les impédances ou les admittances, peuvent être représentées par des vecteurs dans le plan complexe comme indiqué à la figure 1.20. Les mêmes règles mathématiques peuvent s’appliquer à ces grandeurs complexes. Cependant la notion de phaseurs ne peut être appliquée qu’aux tensions et aux courants qui sont des fonctions sinusoïdales du temps. Im

Im S

Q

Z

X

∣S∣ φ P

Im

Re

Y

B

∣Z∣

∣Y∣

φ

φ R

Re

G

Re

 Figure 1.20  Puissance complexe, impédance et admittance représentées par des vecteurs dans le plan complexe.

Le nombre complexe imaginaire pur est noté « j », dans le domaine électrotechnique pour l’étude des réseaux électriques, alors qu’il est noté « i » en mathématique. Ceci est pour ne pas faire la confusion avec le courant électrique. La multiplication d’un nombre complexe par le nombre « j » équivaut à effectuer une rotation de 90° dans le sens trigonométrique (inverse au sens de rotation des

43

Le réseau électrique dans son intégralité

aiguilles d’une montre) du vecteur associé. Ainsi une multiplication par « j2 » équivaut à une rotation de 180° : j = e j 90° = 0 + 1 j = 1∠90° (1.54) j 2 = e j180° = −1 + 0 j = 1∠180° (1.55) En électrotechnique, nous introduisons le nombre complexe noté « a » : 1 3 a = e j120° = − + j = 1∠120° (1.56) 2 2 La multiplication d’un nombre complexe par le nombre « a » équivaut à effectuer une rotation de 120° dans le sens trigonométrique du vecteur associé. Ainsi une multiplication par « a2 » équivaut à une rotation de 240° : 1 3 a 2 = e j 240° = − − j = 1∠240° 2 2 a 3 = e j 360° = 1 + 0 j = 1∠360° = 1∠0° (1.57) Avec les équations (1.56) et (1.57), nous pouvons écrire : 1 + a + a 2 = 0 (1.58) Les équations (1.56), (1.57) et (1.58) sont présentées à la figure 1.21. a

Im

Im a

a2

1

Re

1

Re

1 + a + a2 = 0

a2 (a)

(b)

 Figure 1.21  Nombre complexe « a ».

Exemple 1.5 Tension simple et tension composée Les tensions simples définies dans la section 1.3.4 : Niveaux de tension, et à l’équation (1.32), peuvent être redéfinies avec les phaseurs, ainsi : V an = V ∠0° et Vbn = V ∠ − 120°. Il en résulte une nouvelle écriture pour les tensions composées :

44

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

  1  3 3  3  U ab = V an − Vbn = V (1 + 0 j ) −  − − j  = V + + j   2 2   2 2  U ab = 3 V ∠30° (1.59) Nous retrouvons la formulation (1.33) « traduite » dans le plan complexe avec les phaseurs. À la figure 1.22, nous avons représenté graphiquement ces différentes tensions.

Vcn

Im

–Vbn

Vab = Van – Vbn

30° Van

Re

Vbn

 Figure 1.22  Tensions simples et tensions composées dans le plan complexe.

Exemple 1.6 Système de tensions triphasé équilibré Les phaseurs associés aux tensions d’un système de tensions triphasé équilibré s’écrivent (voir figure 1.22) : V an = V ∠0° = V Vbn = V ∠ − 120° = a 2V (1.60) Vcn = V ∠ − 240° = aV Nous pouvons remontrer que la somme, cette fois-ci, vectorielle des trois tensions simples est nulle, car : V an + Vbn + Vcn = V (1 + a 2 + a ) = 0 (cf. équation (1.58))

(1.61)

45

Le réseau électrique dans son intégralité

Exemple 1.7 Phaseurs et représentation de Fresnel Pour illustrer les facilités de calcul et de compréhension introduites par l’utilisation des phaseurs, nous allons faire des calculs sur un exemple simple de ligne de transport de l’énergie électrique. Pour plus de précision, nous vous invitons à étudier l’annexe E.4. Cette ligne de transport peut être modélisée (voir figure 1.23) par une ligne monophasée dont l’impédance est constituée par une résistance en série avec une inductance. Nous avons Z = 4 + 7 j (W). La valeur efficace de la tension simple aux bornes de la charge, notée Vr , est de 10/ 3 kV et la valeur efficace du courant de ligne est de 150 A. La charge, inductive, absorbe un courant déphasé de 36,9° par rapport à la tension à ses bornes. Nous souhaitons connaître la tension présente en amont de la ligne, notée V s sur la figure 1.23. Z = R + jX Vs

I Vr

 Figure 1.23  Modèle monophasé d’une ligne de transport de l’électricité.

L’impédance de la ligne s’écrit aussi : Z = 4 + 7 j = 8 Ω∠60° . La tension aux bornes de la charge est prise comme référence des phases et s’écrit : Vr = 5773 V ∠0° Le courant de ligne s’écrit donc : I = 150 A ∠ − 36, 9° . Pour déterminer la tension, notée V s , nous pouvons écrire : V s = Vr + Z I V s = 5773 ∠0° + (8 ∠60°) (150 ∠ − 36, 9°)

(1.62)

V s = 5773 + 1200∠23° = 6877 + 471 j V s = 6, 9 kV∠3, 9°

À la figure 1.24, nous avons représenté le diagramme de Fresnel, qui est la représentation graphique des phaseurs, de ce système. Pour plus de visibilité, nous avons représenté un vecteur équivalent à 5I . Vs

5I

Vr

 Figure 1.24  Diagramme de Fresnel associé aux formulations (1.62).

46

jXI

IR

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

1.5 Équivalence entre couplage triangle

et couplage étoile 7

Nous avons montré dans la section 1.3.3 : Système triphasé équilibré que l’on peut étudier un système triphasé en le réduisant à un système monophasé à la condition qu’il soit équilibré, aussi bien au niveau des tensions d’alimentation que de la charge. À la figure 1.8 (a), est représenté un système triphasé composé de trois systèmes monophasés et à la figure 1.8 (c) ce même système « aggloméré » grâce aux propriétés mathématiques des systèmes équilibrés (voir équation (1.17)). Pour faciliter cette modélisation, nous faisons l’hypothèse que le système de tension est connecté en « étoile », c’est-à-dire qu’il y a un point commun pour les sources de tension. Nous faisons la même hypothèse pour la structure de la charge. Cependant, les charges triphasées sont, la plupart du temps, connectées en « triangle », c’est-à-dire que les éléments de la charge sont connectés en série et que les points d’alimentation sont les connexions des charges. À la figure 1.25, les impédances Z ab , Z bc , Z ca  8 sont connectées en triangle et les impédances Z a , Z b , Z c sont connectées en étoile. La connexion en étoile est notée « Y » et la connexion en triangle est notée « D » ou « D ». Z= Z ca et que Z= Z= Z c , pour que le Si nous faisons l’hypothèse que Z= ab bc a b système de tension « voie » la même charge, nous avons : ZY =

Z∆ (1.63) 3

YY = 3Y ∆ (1.64)  Tableau 1.2  Transformation étoile-triangle Impédance Za =

Zb =

Zc =

Z ab Z ca Z ab + Z bc + Z ca Z ab Z bc Z ab + Z bc + Z ca Z bc Z ca Z ab + Z bc + Z ca

Admittance Ya =

Yb =

Yc =

Y ab Yca + Y ab Ybc + Ybc Yca Ybc Y ab Yca + Y ab Ybc + Ybc Yca Yca Y ab Yca + Y ab Ybc + Ybc Yca Y ab

7.  Note du traducteur : cette transformation est nommée théorème de Kennelly. 8.  Note du traducteur : la notation de l’impédance Z ac a été modifiée en Z ca afin de respecter une certaine circularité des indices.

47

Le réseau électrique dans son intégralité

+

– +

– vc

ia

va

Zab (Yab) –

vb +

Zac (Yac)

Zbc (Ybc)

ib

ic

+

– +

– vc

ia

va –

vb +

Za (Ya)

Zb (Yb)

ib

Zc (Yc)

ic

 Figure 1.25  Charge connectée en triangle et charge connectée en étoile.

Exemple 1.8 Du schéma équivalent monophasé aux grandeurs triphasées L’exemple 1.7, d’une ligne de transport monophasée alimentée par une tension dont la valeur efficace est de 10/ 3 kV, doit être « vu » comme la modélisation monophasée équivalente d’une ligne de transport triphasée dont les tensions composées ont pour valeur efficace 10 kV. Le calcul monophasé permet de déterminer les valeurs efficaces des tensions et des courants. Pour déterminer les grandeurs triphasées, il suffit d’appliquer les phaseurs associés à chaque phase, comme indiqué à la figure 1.26. V s,c V r,c

5Ic

V s,a 5Ib

V r,a 5Ia

V r,b V s,b

 Figure 1.26  Les grandeurs obtenues à l’exemple 1.7 sont associées à la phase a (en trait continu). Pour obtenir les grandeurs de la phase b (en trait pointillé) et de la phase c (en trait discontinu), il suffit de faire « tourner » les vecteurs associés à la phase a de 120° pour la phase b, et de 240° pour la phase c.

48

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

1.6 Puissances dans le cas du monophasé Dans la section 1.3.3 : Système triphasé équilibré, nous avons vu que la puissance instantanée pour un système monophasé n’est pas constante (voir formule (1.19)). Dans cette partie, nous allons étudier plus en profondeur les différentes notions liées à cette puissance.

1.6.1

Puissance active et puissance réactive IR

i

i

iR v

Z

v

iX

R

X IX

(a)

V

φ

(b)

I (c)

 Figure 1.27  Cas d’une charge inductive constituée d’une résistance en parallèle avec une inductance.

À la figure 1.27, la tension et le courant, pour un système monophasé, peuvent s’écrire : v (t ) =V 2 cos (ωt ) et i (t ) = I 2 cos (ωt − ϕ) (1.65) Avec j : déphasage entre le courant et la tension (rad). j > 0 pour un courant en retard sur la tension (cas d’une inductance). j < 0 pour un courant en avance sur la tension (cas d’un condensateur). La puissance instantanée transmise à la charge s’écrit : p (t ) = v (t ) i (t ) p (t ) = V 2 cos (ωt ) × I 2 cos (ωt − ϕ) p (t ) = 2V I [cos (ωt ) × cos (ωt − ϕ)] (1.66) p (t ) = V I cos (ϕ) [1 + cos (2ωt )] + V I sin (ϕ) [sin (2ωt )] p (t ) = P [1 + cos (2ωt )] + Q [sin (2ωt )] Le premier terme de cette expression, P [1 + cos (2ωt )] , est la partie de la puissance instantanée toujours positive. Sa valeur moyenne est ce que l’on nomme la puissance active et est notée « P ». P = V I cos (ϕ) (1.67) P : puissance active (W). cos (j) : facteur de puissance, avec j : déphasage entre le courant et la tension (voir figure 1.27).

49

Le réseau électrique dans son intégralité

Le second terme de la puissance instantanée, Q [sin (2ωt )], est purement alternatif. Cela représente un transfert de puissance purement oscillant. C’est la même quantité qui est tantôt transmise à la charge, tantôt restituée au réseau. Comme la valeur moyenne de ce terme est nulle, il n’y a aucun transfert de puissance moyenne, ou encore d’énergie, entre le réseau et la charge. L’amplitude de cette puissance, purement oscillante, est nommée puissance réactive et est notée « Q ». Q = V I sin (ϕ) (1.68) Q : puissance réactive (var pour volt ampère réactif ). Afin d’essayer de mieux « visualiser » ces différents aspects de la puissance instantanée, nous pouvons nous reporter à l’exemple présenté à la figure 1.27. Le courant peut être décomposé en deux composantes. Une en phase avec la tension, dans la résistance notée R, et une déphasée de 90° en retard sur la tension, dans la partie réactive notée X (en fait X = L w, avec L : inductance). Le courant dans la résistance R s’écrit 9 : iR (t ) =

v (t ) V = 2 cos (ωt ) R R

iR (t ) = [I cos (ϕ)] 2 cos (ωt ) (1.69) Le courant dans l’inductance s’écrit : i X (t ) =

∫ v (t ) dt V = 2 sin (ωt ) L Lω

i X (t ) = [I sin (ϕ)] 2 sin (ωt ) (1.70) La puissance instantanée absorbée par la résistance (voir figure 1.28 (b)) s’écrit : v (t ) iR (t ) = 2V I cos (ϕ) [cos (ωt )]2 v (t ) iR (t ) = V I cos (ϕ) [1 + cos (2ωt )] v (t ) iR (t ) = P [1 + cos (2ωt )] (1.71) La puissance instantanée absorbée par l’inductance (voir figure 1.28 (c)) s’écrit : v (t ) i X (t ) = 2V I sin (ϕ) [cos (ωt ) sin (ωt )] v (t ) i X (t ) = V I sin (ϕ) [sin (2ωt )] v (t ) i X (t ) = Q [sin (2ωt )] (1.72)

9.  Note du traducteur : les équations 1.69 et 1.70 ont été légèrement modifiées pour plus de clarté.

50

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Quand nous additionnons ces deux puissances instantanées (voir figure 1.28 (a)), nous retrouvons bien l’expression de la puissance instantanée proposée en (1.66) : p (t ) = v (t ) i (t ) = P [1 + cos (2ωt )] + Q [sin (2ωt )] = v (t ) iR (t ) + v (t ) i X (t ) (1.73) p = vi v

i

P

p = viR

v

t φ

v

t

iR

p = viX

t=0 (a)

iX

P

Q t

t=0

(b)

(c)

 Figure 1.28  Décomposition des puissances pour une charge inductive.

La partie de la puissance transmise à la résistance est dissipée en chaleur. C’est elle qui représente la puissance qui est convertie (qui se traduit par un travail). Pour le circuit « en série », décrit à la figure 1.29 (a), les expressions de la puissance active, P, et de la puissance réactive, Q, peuvent être déduites du calcul précédent. I

I

R V

V

IR

IX

R

X

X (a)

(b)

 Figure 1.29  Charge en série (a) et en parallèle (b).

Pour le circuit série, Z = R + jX , et V = Z I , donc nous avons : P = V I cos (ϕ) = ZI 2 cos (ϕ) (1.74) Q = V I sin (ϕ) = ZI 2 sin (ϕ) (1.75)

51

Le réseau électrique dans son intégralité

Comme R = Z cos (ϕ) et X = Z sin (ϕ), pour cela vous pouvez vous reporter à la figure 1.20, la puissance active, P, et la puissance réactive, Q, transmises à la charge s’écrivent : 2 et Q = P RI = XI 2 (1.76)

Pour le circuit « parallèle », décrit à la figure 1.29 (b), nous pouvons reprendre le raisonnement fait précédemment (s’appuyant sur le schéma décrit à la figure 1.27) et en notant que I = I R + I X  : P = V I cos (ϕ) = VI R (1.77) Q = V I sin (ϕ) = VI X (1.78) Comme I R = V / R et I X = V / X , la puissance active, P, et la puissance réactive, Q, transmises à la charge s’écrivent : = P

V2 V2 = et Q (1.79) R X

Exemple 1.9 Puissances en monophasé Dans l’exemple 1.7, la puissance active, Pr, et la puissance réactive, Qr, transmises à la charge valent : Pr = Vr I cos (ϕ) =

10103 150 cos (36, 9°) = 692 kW (1.80) 3

Qr = Vr I sin (ϕ) =

10103 150 sin (36, 9°) = 520 kvar (1.81) 3

Alors que dans la ligne, la puissance active, P, et la puissance réactive, Q, « consommées » valent : 2 = P RI = 4150 2 = 90 kW (1.82) 2 = Q XI = 7150 2 = 157 kvar (1.83)

La charge inductive peut être modélisée par une résistance, notée Rr, en parallèle avec une inductance, notée Lr. Dans ce cas, nous avons, pour un réseau à 50 Hz : 2

 10103   V2 V2  Pr = r → Rr = r =  3 3 = 48Ω (1.84) Rr Pr 69210 2

 10103    2 2 V V X Qr = r → X r = r =  3 3 = 63Ω → Lr = r = 0,2 H (1.85) 2 πf Xr Qr 52010

52

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

1.6.2

Puissances complexes

Dans la partie précédente, nous nous sommes intéressés aux différentes notions liées à la puissance instantanée qui est calculée en faisant le produit de la tension instantanée et du courant instantané. Mais dans nos études, les grandeurs instantanées sont utilisées en régime permanent sinusoïdal, ainsi, nous pouvons utiliser les phaseurs associés aux tensions et aux courants. Pour la tension, nous avons, V = V ∠α et pour le courant, I = I ∠β. Il est à noter que le déphasage du courant par rapport à la tension est défini par : ϕ = α − β. Le produit de ces deux phaseurs donne : V I = V I ∠ (α + β)

(1.86)

V I = V I [cos (α + β) + j sin (α + β)]

Avec ce produit, nous ne retrouvons pas les expressions de la puissance active, P, et de la puissance réactive, Q, définies aux formules (1.67) et (1.68). Essayons un autre produit, en faisant intervenir le complexe conjugué de la tension : V * I = V I ∠ (−α + β) V * I = V I [cos (−α + β) + j sin (−α + β)]

(1.87)

V * I = V I [cos (−ϕ) + j sin (−ϕ)] V * I = P − jQ Et maintenant, en faisant intervenir le complexe conjugué du courant : V I * = V I ∠ (α − β) V I * = V I [cos (α − β) + j sin (α − β)]

(1.88)

V I * = V I [cos (ϕ) + j sin (ϕ)] V I * = P + jQ

Dans ces deux produits, les expressions de P et de Q apparaissent. Mais laquelle choisir ? Im

I

V

φ α

P + jQ

I

V

Z

β Re

 Figure 1.30  Phaseurs associés à une charge monophasée.

53

Le réseau électrique dans son intégralité

L’IEC (International Electrotechnical Commission) propose de dire qu’un condensateur « fournit » une puissance réactive tandis qu’une inductance en « absorbe ». Ainsi dans notre cas, avec la convention « récepteur » adoptée (voir figure 1.30), pour une inductance, Q > 0, et pour un condensateur, Q < 0. Avec cette règle, l’opération correcte est : V I *. À la figure 1.31, nous représentons les différents quadrants de fonctionnement d’un récepteur. Par exemple, pour une charge inductive, nous avons, P > 0 et Q > 0. +Q

Underexcited generator V φ –P

I

+P

Overexcited generator

–Q

 Figure 1.31  Quadrants de fonctionnement d’un récepteur.

Ainsi, l’opération qui consiste à faire le produit du phaseur associé à la tension et du complexe conjugué du phaseur associé au courant se nomme la puissance complexe et se note S  : S = V I * = P + jQ (1.89) Cette puissance complexe est une grandeur complexe, ainsi elle peut s’exprimer soit en coordonnées cartésiennes, soit en coordonnées polaires (voir figure 1.32) : S =V I * S = V I ∠ϕ S = S ∠ϕ (coordonnées polaires) S = P + jQ (coordonnées cartésiennes)

54

(1.90)

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Avec j : déphasage entre le courant et la tension (rad). S : puissance apparente ou puissance de dimensionnement (VA). S = ∣S∣∠φ = P + jQ

Im

|S| =

S

Q

P2 + Q2

Q P P = ∣S∣ cos(φ) Q = ∣S∣ sin(φ) φ = tan–1

∣S∣ φ P

Re

 Figure 1.32  Puissance complexe absorbée par une charge inductive.

La puissance apparente est le module de la puissance complexe (voir figure 1.32), ainsi : S = V I = P 2 + Q 2 (1.91) La puissance apparente d’un dispositif permet de spécifier la puissance qu’il peut convertir dans un cas idéal, c’est-à-dire sous tension nominale et courant nominal avec un facteur de puissance unitaire (cos j = 1). Au tableau 1.3 sont récapitulées les différentes puissances utilisées pour qualifier un dispositif.  Tableau 1.3  Définitions des puissances Symbole

Dénomination

Unité

p

Puissance instantanée

W

S

Puissance complexe

VA

S

Puissance apparente Puissance de dimensionnement

VA

P

Puissance active Puissance moyenne

W

Q

Puissance réactive

var

Exemple 1.10 Puissance complexe Avec l’exemple 1.7, complété par l’exemple 1.9, nous avons déterminé la puissance active, Pr , et la puissance réactive, Qr, transmises à la charge : Pr = Vr I cos (ϕ) =

10103 150 cos (36,9°) = 692,5 kW (1.92) 3

55

Le réseau électrique dans son intégralité

Qr = Vr I sin (ϕ) =

10103 150 sin (36,9°) = 520 kvar (1.93) 3

Ainsi la puissance complexe consommée (voir figure 1.33) par la charge vaut : Sr = Pr + jQr = 692,5 + j 520 kVA

(1.94)

Sr = Sr ∠ϕ = 866 kVA∠36,9° La puissance complexe peut être calculée d’une autre manière : Sr = Vr I * = 5773 V∠0° x 150 A∠36,9°

(1.95)

Sr = 866 kVA∠36,9° Im S

520 kvar 866 kVA 36.9°

692.5 kW

Re

 Figure 1.33  Puissance complexe absorbée par la charge de l’exemple 1.7.

1.6.3

Facteur de puissance

Dans les parties précédentes, la puissance active a été définie par : P = V I cos (ϕ) = S cos (ϕ) (1.96) Où l’on peut voir que si cos(j) = 1, alors P = S. Cela signifie que si le déphasage entre le courant et la tension est nul, alors toute la puissance qui peut être convertie par le système (qui est la puissance apparente aussi nommée puissance de dimensionnement) l’est effectivement. Ainsi nous définissons le facteur de puissance par le rapport de la puissance convertie (puissance active, P) par la puissance apparente (puissance de dimensionnement, S) et il est noté, Fp 10. De la formule (1.96), nous en déduisons différentes expressions : P = cos (ϕ) S P Fp = (1.97) 2 P +Q2 Q  F p = cos atan  P  Fp =

()

10.  Note du traducteur : nous introduisons le terme, Fp, pour le facteur de puissance qui est selon nous la définition du rapport P/S.

56

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

La première expression de ces formulations n’est valable que dans le cas où la tension et le courant sont de forme purement sinusoïdale (ce qui est le cas, car nous nous sommes placés dans cette hypothèse pour l’étude des transferts de puissances dans les réseaux électriques !). Quel est l’inconvénient d’avoir un facteur de puissance non unitaire ? Comme la valeur efficace de la tension intervient de la même façon au numérateur qu’au dénominateur, c’est le rapport efficace des courants qui fait que le facteur de puissance n’est pas unitaire. Nous avons vu (formule (1.77)) que c’est la composante du courant en phase avec la tension qui « transporte » la puissance active (en Watt). Cette composante a une amplitude plus faible que celle du courant « total » (voir figure 1.27). Ainsi « en ligne », dans les conducteurs qui relient la charge à la source de tension, la valeur efficace du courant est plus élevée que celle du courant « transportant » la puissance active. Il y a donc des pertes Joule (en Watt) « en ligne » (voir l’exemple 1.9) plus élevées que celles nécessaires. Exemple 1.11 Facteur de puissance Avec l’exemple 1.7, nous avons déterminé la valeur du déphasage du courant par rapport à la tension. Ainsi le facteur de puissance, pour une charge inductive, est de : F p = cos (ϕ) = cos (36,9°) = 0,8 (1.98) Avec les exemples 1.9 et 1.10, nous avons déterminé la puissance active, Pr, et la puissance réactive, Qr, transmises à la charge, ainsi que la puissance apparente associée, Sr. Ainsi, le facteur de puissance peut être calculé de deux autres façons : Fp =

Pr = Sr

Pr Pr + Qr 2

2

=

692 = 0,8 (1.99) 866

Q F p = cos atan  r  = 0,8 (1.100)   Pr  Exemple 1.12 Amélioration du facteur de puissance Avec l’exemple 1.7 et l’exemple précédent, nous avons déterminé le facteur de puissance pour la charge inductive et nous avons calculé une valeur de 0,8. En branchant un condensateur en parallèle sur la charge, il est possible d’augmenter la valeur du facteur de puissance et lui faire atteindre la valeur idéale (= 1). Le condensateur « doit » fournir la puissance réactive consommée par la charge (inductive). Pour les valeurs numériques, nous vous proposons de vous référer à l’exemple 1.9 : Qc = −Qr = −

Vr 2 Xr

Qc = −C ωVr 2 (1.101) 2

10 103  Qc = −520 103 = −C (2 π f )   →  3 

C = 50 μF

57

Le réseau électrique dans son intégralité

Avec la mise en place de ce condensateur, le facteur de puissance est égal à l’unité, ainsi la valeur efficace du courant en ligne devient : 692 103 Pr P = r = = 120 A (1.102) Vr cos (ϕ) Vr  10 103     3  Les pertes en ligne (voir exemple 1.9) valent maintenant : I=

P = RI 2 = 41202 = 57 kW (au lieu de 90 kW ) (1.103) En conclusion : l’amélioration du facteur de puissance (Fp est passé de 0,8 à 1) se traduit par une diminution des pertes en ligne (de 90 kW à 57 kW).

1.7 Puissances en triphasé La puissance transmise d’un générateur à une charge dans le cas d’un réseau triphasé est la somme des puissances transmises sur chaque phase. Dans le cas des systèmes triphasés équilibrés, la puissance complexe triphasée est égale à trois fois la puissance complexe déterminée pour le réseau monophasé équivalent. Nous avons donc : S3φ = 3 S1φ = 3V I * (1.104) S3φ = 3 S1φ = 3V I = 3 U I (1.105) P3φ = 3 P1φ = 3V I cos (ϕ) = 3 U I cos (ϕ) (1.106) Q3φ = 3Q1φ = 3V I sin (ϕ) = 3 U I sin (ϕ) (1.107) U : valeur efficace de la tension composée. V : valeur efficace de la tension simple. I : valeur efficace du courant en ligne. Exemple 1.13 Puissance triphasée L’exemple 1.7, d’une ligne de transport monophasée alimentée par une tension dont la valeur efficace est de 10/ 3 kV, doit être « vu » comme la modélisation monophasée équivalente d’une ligne de transport triphasée dont les tensions composées ont pour valeur efficace 10 kV, alimentant une charge triphasée inductive, équilibrée et connectée en étoile. La puissance triphasée transmise à la charge peut être calculée de trois manières équivalentes : P3φ = 3 P1φ = 3 × 692 103 = 2077 kW (1.108) 10 103  P3φ = 3V I cos (ϕ) = 3 ×  150 cos (36,9°) = 2077 kW (1.109)  3  P3φ = 3 U I cos (ϕ) = 3 (10 103 ) 150 cos (36,9°) = 2077 kW (1.110)

58

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

1.8 Normalisation unitaire Dans les sciences de l’ingénieur, la normalisation des résultats numériques est une pratique courante. Exprimer les résultats en pourcent (%) est une pratique commune. Nous proposons d’étendre cette pratique aux grandeurs physiques. Ainsi 100 % correspondra à 1 pu (per unit ou par unité). La valeur « pu » d’une grandeur physique est définie ainsi : pu valeur =

valeur en unité physique (1.111) valeur de référence dans la même unité physique

Par exemple : Une année-lumière : distance parcourue par la lumière en une année. Elle vaut 9 461 milliards de km, environ 10 000 milliards de km (1 013 km). Distance Terre Soleil = 17 987 547 km soit 8,3 minutes-lumière. Distance de « Proxima Centauri » (l’étoile la plus proche du système solaire) = 4,22 années-lumière. Dans l’étude des systèmes électriques, nous pouvons normaliser les tensions, les courants, les impédances ainsi que les puissances. Ces grandeurs physiques sont reliées dans les formulations. Il faut donc définir une valeur de référence appropriée. Nous proposons, dans le tableau 1.4, les valeurs de références utilisées pour l’étude des systèmes monophasés et pour les systèmes triphasés.  Tableau 1.4  Définition des unités de référence Grandeur physique

Système monophasé

Système triphasé

Tension (V)

Vb (tension simple)

U b (tension composée)

Puissance apparente (VA)

Sb

Sb

Courant (A)

S Ib = b Vb

Ib =

Impédance (W)

Z= b

Vb Vb 2 = Ib Sb

= Zb

Sb 3U b Ub / 3 Ub2 = Ib Sb

Exemple 1.14 Normalisation unitaire Dans l’exemple 1.7, la valeur efficace de la tension aux bornes de la charge est de 10/ 3 kV. C’est cette valeur qui est prise comme valeur de référence des tensions. Pour la puissance apparente, nous prenons une valeur de référence de 1 MVA. Les valeurs de référence pour les courants et pour les impédances sont définies par : S 1106 Ib = b = = 173 A (1.112) Vb  10 103     3 

59

Le réseau électrique dans son intégralité

2

 10 103    2 V 3  = 33,3 Ω (1.113) Zb = b =  Sb 110 6 Les grandeurs physiques exprimées en « pu » sont obtenues en utilisant la formule (1.111) : Vr = 1 pu ∠0° ; I = 0,87 pu ∠ − 36,9° ; Z = 0,24 pu ∠60° La tension en amont de la ligne, notée V s , s’exprime en valeur normalisée : V s = Vr + Z I V s ( pu ) = 1∠0° + (0,24 ∠60°) (0,87 ∠ − 36,9°) V s ( pu ) = 1 + 0,21∠23° V s ( pu ) = 119 , + 0,08 j = 119 , ∠3,9° (1.114) La valeur efficace de la tension est obtenue en multipliant la valeur « pu » par la valeur de référence : 10 103  V s = 119 , ∠3,9° ×   = 6,9 kV ∠3,9° (1.115)  3  Nous retrouvons bien le résultat présenté dans l’exemple 1.7. Il existe de nombreuses raisons pour normaliser les résultats numériques. En voici quelques-unes : • Clarté : une tension de 151,342 kV correspond à une tension de 1,00895 pu avec 1 pu = 150 kV. • Information sur l’importance relative : une chute de tension de 1 500 V  0,15 pu avec 1 pu = 10 kV ; une chute de tension de 1 500 V  0,01 pu avec 1 pu = 150 kV. Un autre avantage apparaît lorsque nous étudions les transformateurs. Il est moins impressionnant et plus clair de définir le rapport de transformation comme un nombre sans dimension plutôt qu’avec les indications des valeurs des tensions (par exemple 2,5/1 au lieu de 225 kV/90 kV). À la figure 1.34, est représenté un transformateur (parfait). Les relations entre les tensions d’une part et les courants d’autre part sont : V1 (1.116) n I 2 = nI1 (1.117)

V2 =

60

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Avec n : rapport du nombre de spires du bobinage situé au primaire, noté N1, et du nombre de spires du bobinage situé au secondaire, noté N2 (n = N1/N2) 11. De plus amples informations relatives au transformateur sont présentées à l’Annexe B.2 : Transformateur parfait. I1

n:1

V1

I2 V2

 Figure 1.34  Transformateur monophasé parfait.

Pour continuer dans l’intérêt de la normalisation pour l’étude des transformateurs, nous pouvons noter que la puissance apparente qui sert de base est la même au primaire et au secondaire. Ainsi nous pouvons établir différentes formulations relatives à notre étude : • sur les tensions : Vb1 (1.118) n • sur les courants : Vb 2 =

Ib2 =

Sb S S = b = n b = nI b1 (1.119) Vb 2  Vb1  Vb1  n   

On retrouve bien les grandeurs normalisées « pu », en effet : • sur les tensions :  V1  V2  n  V V V2 ( pu ) = = = 1 = 1 = V1 (pu ) (1.120) Vb 2 Vb 2 nVb 2 Vb1 • sur les courants : I 2 ( pu ) =

I 2 (nI1 ) I I = = 1 = 1 = I1 (pu ) (1.121) Ib2 Ib2  I b 2  I b1  n   

11.  Note du traducteur : le rapport de transformation, noté m, est égal au rapport du nombre de spires du bobinage situé au secondaire, noté N2, et du nombre de spires du bobinage situé au primaire, noté N1 (m = N2/N1).

61

Le réseau électrique dans son intégralité

Exemple 1.15 Normalisation et transformateur parfait Considérons le schéma du système monophasé présenté à la figure 1.35. Ce système comprend deux transformateurs parfaits ayant comme caractéristiques : A – B : 10 MVA ; 13,8 kV/138 kV B – C : 10 MVA ; 138 kV/69 kV 1:10

+ |V| = 10 kV

A

2:1 B

C

R = 100 Ω

–

 Figure 1.35  Étude en monophasé de deux transformateurs parfaits.

La valeur de référence pour la puissance apparente est Sb = 10 MVA. Les valeurs de références pour les tensions sont : VbA = 13,8 kV VbB = 138 kV (1.122) VbC = 69 kV Les valeurs de référence des impédances sont (voir tableau 1.4 et formule (1.113)) : Z bA =

VbA 2 = 19Ω Sb

Z bB =

VbB 2 = 1904 Ω (1.123) Sb

Z bC =

VbC 2 = 476 Ω Sb

La résistance, notée R à la figure 1.35 (située dans la partie C du système), a pour valeur « pu » : R ( pu ) = Rc (pu ) =

100 = 0,21 pu (1.124) Z bC

Cette résistance, « ramenée » dans la partie B du circuit, a pour valeur « pu » (nous vous proposons de vous référer, pour ce calcul, à l’Annexe B.2 : Transformateur parfait) : RB = 2 2 100 = 400 Ω RB ( pu ) =

62

400 400 = = 0,21 pu Z bB 1904

(1.125)

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Cette résistance, « ramenée » dans la partie A du circuit, a pour valeur « pu » : R A = 0,12 400 = 4 Ω R A ( pu ) =

(1.126)

4 4 = = 0,21 pu Z bA 19

Avec ces normalisations, le système présenté à la figure 1.35 peut être simplifié comme présenté à la figure 1.36. + |V| = 0.72 pu

R = 0.21 pu –

 Figure 1.36  Schéma normalisé du système monophasé présenté à la figure 1.35.

1.9 Structure du réseau de transport de l’électricité Bien que le transport de l’électricité nécessite plusieurs conducteurs, soit deux pour le transport en continu, soit trois pour le transport en alternatif triphasé, les schémas des réseaux électriques sont des « schémas unifilaires », comme présenté à la figure 1.37. Il est à noter que les éléments constitutifs de ce réseau sont représentés par des symboles standardisés (vous trouverez la liste de ces symboles à la fin de cet ouvrage), mais non pas par leurs modèles. Parfois des éléments plus précis de sous-systèmes sont intégrés dans ces schémas unifilaires, par exemple celui présenté à la figure 5.28 (section 5.5.3), où l’on peut voir un convertisseur d’électronique de puissance, représenté schématiquement, intégré à une partie du réseau. Le schéma unifilaire, présenté à la figure 1.37, montre clairement la structure descendante du réseau électrique : un relativement faible nombre de générateurs de forte puissance alimentent le réseau de transport (150 kV et 380 kV), et bien que quelques centres industriels soient alimentés sous 150 kV, la très grande majorité des consommateurs de l’électricité sont alimentés par le réseau de distribution à des niveaux de tensions bien plus bas, 10 kV ou bien encore 400 V (en fait 230-400 V). De nos jours, de plus en plus de centres de production d’énergie électrique, de puissance moyenne ou faible, sont « décentralisés », cela signifie qu’ils sont connectés sur le réseau de distribution, soit sous 10 kV, comme une « petite » ferme éolienne, soit sous 400 V (ou 230 V), comme des panneaux solaires pour des particuliers. Pour plus de précisions, nous vous proposons de vous reporter à la section 8.3 : Générateurs décentralisés ou distribués.

63

Le réseau électrique dans son intégralité

150 kV

150 kV 150 kV

380 kV 380 kV

150 kV

380 kV 380 kV

10 kV

10 kV

150 kV 150 kV

10 kV

10 kV 10 kV

0.4 kV

0.4 kV

: Connection to another part of the system that is not shown in this diagram

 Figure 1.37  Schéma unifilaire d’une portion de réseau électrique.

Notre livre suit cette structure descendante du réseau électrique. Dans le chapitre 2, nous abordons les systèmes de production d’énergie électrique. Au chapitre 3, c’est au tour du réseau de transport et du réseau de distribution. Et au chapitre 4, nous étudions l’utilisation de l’électricité, c’est-à-dire les charges, ou plus exactement comment est convertie la puissance véhiculée par l’électricité. En effet, l’électricité n’est qu’un vecteur de l’énergie, plus exactement de la puissance. Sans contrôle, il n’est pas possible de maîtriser ce vecteur. Ainsi, dans le chapitre 5, nous abordons les problématiques et des solutions pour contrôler les flux de puissances électriques. Le chapitre 6 est dédié à l’étude de l’interface (EMS pour Energy Management System) 12 12.  Note du traducteur : pour plus de clarté, nous conserverons ce terme anglo-saxon dans la suite du livre.

64

1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

entre le réseau physique et les opérateurs humains. Au chapitre 7, nous introduirons quelques éléments économiques nécessaires pour comprendre les mutations des structures et des gestions physiques des réseaux électriques qui seront présentées dans le chapitre 8 qui conclut ce livre. Dans les Annexes, vous trouverez des éléments de théorie des différents constituants intervenant dans la production, le transport, la distribution et la transformation de l’énergie électrique. Nous partons des équations de Maxwell et nous abordons les modélisations des transformateurs, des machines synchrones, des machines asynchrones et pour finir des lignes.

Exercices 1.1 À un certain point d’un circuit monophasé alimenté en 50 Hz, la tension est égale à v(t) = 325,27 sin(wt + j) (en V), et le courant en ligne est i(t) = 141,42 sin(wt – j) (en A), où j = p/6 (en rad). a. Calculez pour v(t) et i(t) la valeur de crête et la valeur efficace. b. Exprimez le phaseur associé à la tension et celui associé au courant. c. Le circuit est-il capacitif ou inductif ? Justifiez votre réponse. 1.2

Dans un circuit triphasé, les tensions des phases « a » et « b », par rapport au neutre « n », sont V an  = 140 V ∠45° et Vbn  = 90 V ∠–15°. Calculez Vba .

1.3

Dans un système triphasé équilibré, avec une séquence de phase a-b-c, les impédances connectées en étoile ont pour impédance Z  = 10 Ω ∠30°. Si Vbc  = 400 V ∠90°, calculez : a. Vcn b. I c c. La puissance apparente complexe « S  » consommée par les impédances.

1.4

Deux sources de tension idéales, E1  = 100 V ∠0° et E 2  = 100 V ∠30°, sont connectées via une impédance Z  = 5×j (Ω). Pour les deux sources de tension, la convention « générateur » est utilisée, ce qui signifie que la puissance délivrée par les deux sources de tension est positive. a. Calculez les courants I1 et I 2 délivrés par les deux sources. b. Calculez la puissance active et la puissance réactive consommées par chacune des deux sources. c. Laquelle des deux sources est le générateur ? d. Calculez les pertes.

65

Le réseau électrique dans son intégralité

1.5

Dans un système triphasé équilibré, la puissance injectée au nœud « m » est égale à S  = 100 + j60 (en MVA), alors que la tension entre phases est égale à 380 kV ∠0°. a. Déterminez la valeur du facteur de puissance. b. Donnez la valeur efficace du courant.

1.6

Dans un système triphasé équilibré, la tension entre les phases « a » et « b » est V ab  = 173,2 V ∠0°. La charge connectée en étoile a pour expression Z  = 10 Ω ∠0°. La séquence des phases est abc. a. Déterminez tous les phaseurs associés aux tensions phase-neutre. b. Déterminez tous les phaseurs associés aux courants.

1.7 Sur un réseau triphasé, 400 V, une charge couplée en étoile consomme 250 kW, avec un facteur de puissance de 0,8 en retard. En parallèle à cette charge, est connectée une batterie de condensateurs triphasés qui fournit 60 kvar. a. Calculez le phaseur associé à un courant. b. Quelle est la valeur du facteur de puissance ? 1.8 Sur une ligne de transport de 110 kV est connectée une impédance triphasée couplée en étoile. L’expression des impédances de chaque phase est Z  = 80 + 30 × j (Ω). En supposant une valeur efficace de la tension entre phases de 100 kV : a. Déterminez les phaseurs associés aux courants absorbés par la charge. b. Quelles sont les puissances active et réactive fournies à la charge ? 1.9

Une ligne de transport triphasée peut être modélisée sur chaque phase par une impédance ayant comme expression Z  = 5 + 60 × j (Ω). La puissance complexe, mesurée en début de ligne, est S1  = 210 + 30 × j (MVA). La valeur efficace des tensions composées est de 220 kV en début de ligne. a. Calculez la tension et la puissance complexe au niveau de la charge. b. Quelles sont les pertes dans le transport ?

1.10 Faites à nouveau l’exercice 1.9 en utilisant les valeurs unitaires. Les quantités de base sont : • Sb  = 300 MVA (triphasé) ; • Vb  = 130 kV (tension simple ph-n). 1.11 Dans un système de base S b,1 et V b,1, l’impédance de base est égale à Z b,1. Z b,2 est l’impédance de base dans un système de base utilisant S b,2 et V b,2. Montrez que l’équation suivante est vraie : S V 2 Z b 2 = Z b1 b1 b 22 Sb 2 Vb1

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1. Outils mathématiques pour l’analyse des réseaux électriques

Références bibliographiques 1 Netbeheer Nederland. Betrouwbaarheid van elektriciteitsnetten in Nederland, Netbeheer Nederland, 2014. 2 Herrmann, F., Schmid, G.B. ‘The Poynting vector field and the energy flow within a transformer’, American Journal of Physics, Vol. 54, Issue 6, June 1986, pp. 528-31. 3 Newcomb, W.A. ‘Where is the Poynting vector in an ideal transformer?’, American Journal of Physics, Vol. 52, Issue 8, August 1984, pp. 723-4. 4 Hammons, T.J., Woodford, D., Loughtan, J., Chamia, M., Donahoe, J., et al. ‘Role of HVDC transmission in future energy development’, IEEE Power Engineering Review, February 2000, pp. 10-25. 5 Furfari, F.A. ‘The evolution of power-line frequencies 133 1/3 to 25 Hz’, IEEE Industry Applications Magazine, Vol. 6, Issue 5, September/October 2000, pp. 12-14. 6 Lamme, B.G. ‘The technical story of the frequencies’, AIEE Transactions, Vol. 37, 1918, pp. 65-89. 7 Mixon, P. ‘Technical origins of 60 Hz as the standard AC frequency in North America’, IEEE Power Engineering Review, Vol 19, March 1999, pp. 35-37. 8 Owen, E.L. ‘The origins of 60 Hz as a power frequency’, IEEE Industry Applications Magazine, Vol. 3, Issue 6, November/December 1997, pp. 8-14. 9 Laithwaite, Eric R., Freris, Leon L. Electric Energy: Its Generation, Transmission and Use, McGraw-Hill, Maidenhead, 1980, ISBN 0-07-084109-8. 10 Hoeijmakers, Martin J. Elektrische omzettingen, Delft University Press, Delft, 2003, ISBN 90-407-2455-5.

67

2 Physique des centrales électriques

2.1 Introduction Le système électrique produit, transporte et distribue l’énergie électrique avec un faible coût économique et de façon fiable pour les consommateurs avec comme contrainte que la valeur efficace des tensions et la fréquence soient quasi constantes, avec très peu de variations au niveau des charges. La qualité de l’énergie électrique fournie est un enjeu majeur de nos jours car les tensions sinusoïdales quasi parfaites doivent toujours être disponibles. L’ingénierie électrique a commencé essentiellement avec l’émergence des systèmes d’énergie électrique au milieu du xixe siècle où le génie électrique a fortement contribué au développement industriel. Dans une période assez courte, les moteurs et les générateurs électriques ont été inventés et surtout, le transformateur a permis le développement industriel du transport de l’électricité en alternatif. « Notre » société a énormément changé avec l’apport de l’électricité, d’abord avec l’éclairage, ensuite avec une utilisation de plus en plus importante de systèmes de conversion d’énergie. Dans cette période fertile, les nombreuses compagnies d’électricité, qui étaient toutes indépendantes, utilisaient différents niveaux de tension et différentes fréquences. Les ingénieurs électriciens ont été parmi les premiers à réaliser que la normalisation internationale devenait nécessaire dans ce monde moderne en devenir.

69

Le réseau électrique dans son intégralité

L’expansion de la demande mondiale d’énergie a été satisfaite par une exploitation continue et croissante des combustibles fossiles comme le pétrole, le gaz naturel et le charbon. En 1972, le Club de Rome a publié un rapport [1], « The Limits to Growth » (littéralement « Les limites de la croissance »), pour questionner le monde sur la course à la croissance et pour poser une question : « Halte à la croissance ? » [2]. Ce rapport est devenu très célèbre. En 1992, l’Union of Concerned Scientists et plus de 1 700 scientifiques indépendants, dont de nombreux lauréats de prix Nobel de sciences, signaient le World Scientists’ Warning to Humanity. En 2017, ce fut au tour de 15 364 scientifiques de 184 pays de lancer un « cri d’alarme » avant qu’il ne soit « trop tard ». Des modèles mathématiques de l’évolution de la planète ont permis de quantifier l’impact de la croissance exponentielle de la population mondiale sur les ressources alimentaires et sur la demande en énergie. Les conséquences de l’augmentation de la demande en énergie n’ont pu être contrôlées par les politiques des États car le prix de l’énergie n’a pas beaucoup augmenté. Des réserves de gaz et de pétrole ont été découvertes, ce qui a entraîné une sous-estimation des problématiques liées à la raréfaction des ressources naturelles. Cependant, l’expansion de la demande en énergie doit être limitée en raison des conséquences sur l’environnement. L’accord de Kyoto de 1997 sur la réduction des émissions de CO2 et des gaz à effet de serre influence aujourd’hui les décisions prises par les gouvernements des pays développés. Un des résultats de cet accord est le développement de la production d’énergie électrique à partir de sources d’énergie renouvelable telle que l’énergie éolienne ou bien l’énergie solaire.  Tableau 2.1  Mix énergétique dans quelques pays européens au 31 décembre 2015 [3] Potentiel (GW)

France

Pays-Bas

Allemagne

Autriche

Suisse

Italie

Hydraulique

25,4

–

9,6

13,6

13,8

22,2

Nucléaire

63,2

0,5

10,8

–

3,3

–

Thermique classique

22,6

25,6

78,5

7,5

0,5

69,7

Renouvelable

18,2

5,7

89,3

2,8

1,1

32,3

Total

129,4

31,8

188,2

23,9

18,7

124,2

Le réseau électrique est un réseau « maillé », c’est-à-dire qu’il y a un certain nombre de centrales distribuées sur l’ensemble d’un territoire et opérant électriquement en parallèle. La principale source d’énergie peut être l’eau stockée dans un barrage (énergie hydroélectrique), les combustibles fossiles comme le gaz, le pétrole et le charbon (centrales thermiques classiques) ou de l’uranium (centrales nucléaires). Au tableau 2.1, nous avons présenté les capacités de production selon le type d’énergie primaire pour différents pays européens. En France, une grande partie de l’électricité produite provient des centrales nucléaires, tandis qu’en Norvège, elle provient de

70

2. Physique des centrales électriques

centrales hydroélectriques. L’électricité n’est pas seulement produite localement, elle peut également être transportée et importée (ou exportée) des pays voisins. Les pays se regroupent et passent des contrats à long terme. Le contrôle de la fréquence et des transits de puissance se fait à l’aide d’un gestionnaire du réseau global. En Europe par exemple, 35 pays (tels que la France, les Pays-Bas, l’Allemagne, l’Autriche, la Suisse, l’Italie et beaucoup d’autres) coopèrent depuis 2008 à l’ENTSO-E (European Network of Transmission System Operators) et pour les pays scandinaves, l’organisme coordonnant les réseaux électriques interconnectés se nomme NORDEL. Le terme « énergie renouvelable » couvre l’énergie provenant d’un large spectre d’énergies renouvelables telles que le solaire, l’éolien, l’hydraulique, la géothermie et la biomasse (comme les déchets agricoles et industriels). En 2015, aux États-Unis, les énergies renouvelables ont contribué à hauteur de 13 % de la production d’électricité, avec comme répartition : hydroélectricité 46 %, biomasse 11 %, géothermie 3 %, solaire 5 % et l’éolien 35 % [2]. Comme les combustibles fossiles, les ressources énergétiques renouvelables ne sont pas uniformément réparties dans le monde, mais chaque région possède au moins un type de ressources énergétiques renouvelables. Et quand on considère que les systèmes d’énergie renouvelable génèrent peu ou pas de déchets ou de polluants qui contribuent aux pluies acides, aux brouillards urbains ou aux excès de dioxyde de carbone et autres gaz dans l’atmosphère, les énergies renouvelables offrent la promesse d’une énergie propre et abondante provenant de ressources auto-renouvelées telles que le soleil, le vent, la terre et les plantes. La biomasse, cependant, libère du dioxyde de carbone quand elle est convertie en énergie. Mais comme la biomasse absorbe le dioxyde de carbone à mesure qu’il se développe, l’ensemble du processus de croissance, d’utilisation et de repousse de la biomasse donne des émissions de dioxyde de carbone très faibles voire nulles.

2.2 Centrales thermiques Les centrales thermiques, dont une photo est présentée à la figure 2.1, convertissent l’énergie primaire issue du charbon, du pétrole, du gaz et des combustibles nucléaires en énergie électrique. La première étape de ce processus de conversion est la transformation de l’énergie chimique des combustibles fossiles en énergie thermique, soit par combustion (dans le cas du charbon, du pétrole et du gaz), soit par fission (nucléaire). L’énergie thermique est ensuite utilisée pour produire de la vapeur à haute température et à haute pression. La vapeur se détend de façon adiabatique (c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’échange de chaleur avec l’extérieur) dans une turbine à vapeur et l’énergie dégagée est convertie en énergie mécanique (entraînement de la turbine en rotation). L’arbre de la turbine est connecté à l’arbre d’un alternateur (machine synchrone) et ainsi l’énergie mécanique est convertie en énergie électrique.

71

Le réseau électrique dans son intégralité

 Figure 2.1  Photo d’une centrale thermique. (Reproduction autorisée par TenneT TSO B.V.)

2.2.1

Principe physique (thermodynamique)

Le premier principe de la thermodynamique est la loi de conservation de l’énergie : l’énergie ne peut être créée et ne peut être perdue. L’énergie ne peut être que transformée en une autre forme d’énergie. Pour un gaz, la loi de la thermodynamique peut être écrite sous forme mathématique comme : dQ = dU + dW = dU + pdV (2.1) Avec Q : transfert de chaleur du milieu extérieur vers le système (J). U : énergie interne (J). W : travail exécuté par le système (J).   p : pression du gaz (Pa). V : volume du gaz (m3). Nous pouvons interpréter cette formule comme : « la chaleur ajoutée à un système équivaut à la somme du changement de l’énergie interne du système et du travail effectué par le système ». L’énergie interne d’un gaz idéal, notée U, est l’énergie cinétique des molécules du gaz et est liée à la température absolue T, avec : 3 U = n kT (2.2) 2 Avec n : nombre de molécules. k : constante de Boltzmann (≈ 1,380648 10–23 J/K). T : température (K).

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2. Physique des centrales électriques

p Path A (p1, V1)

(p2, V2) Path B V

 Figure 2.2  Diagramme p-V (pression volume) d’un gaz parfait avec deux états (p1 ; V1) et (p2 ; V2).

Dans de nombreux types de moteurs, le travail est effectué par expansion d’un gaz contre un piston mobile comme dans une machine à vapeur ou dans un moteur thermique d’une automobile. Dans une centrale électrique, la vapeur se dilate dans une turbine à vapeur : la température et la pression élevées du gaz font que le gaz se dilate rapidement entre les pales de la turbine et l’entraîne ainsi en rotation. Les états d’un gaz peuvent être représentés sur un diagramme p-V (pression volume). Chaque point sur le diagramme p-V indique un état particulier du gaz. Comme indiqué à la figure 2.2, suivant le chemin A, le gaz est chauffé à pression constante jusqu’à ce que son volume atteigne V2, puis le gaz est refroidi à volume constant jusqu’à ce que la pression atteigne p2. Le travail effectué le long du chemin A est p1 (V2 - V1) pour la partie horizontale du chemin et zéro pour la partie à volume constant. En suivant le chemin B, le travail effectué est p2 (V2 - V1) qui est inférieur au travail effectué le long du chemin A, car le travail effectué par le gaz est égal à la surface entre la courbe p-V et l’axe V : W =ò  p dV (2.3) Une trajectoire dans un diagramme p-V où la pression est maintenue constante est appelée isobare. Une trajectoire où la température reste constante est appelée isotherme. Le second principe de la thermodynamique est formulé par Lord Kelvin (18241907) : « Il est impossible de retirer de l’énergie thermique d’un système à température constante et de la convertir en travail mécanique sans changer son état ou celui de son environnement ». On peut aussi se référer à la formulation de Carnot (Nicolas Léonard Sadi Carnot, 1796-1832) qui dit qu’il n’existe pas de machine qui prenne la chaleur d’un corps avec une certaine température, notée T1, et qui soit capable de convertir totalement cette chaleur, notée Q1, en travail, noté W, c’est-à-dire qu’il y a toujours besoin d’un second corps ou d’un réservoir de chaleur à une température plus basse, notée T2, pour absorber une certaine quantité de chaleur, notée Q2. La loi de conservation de l’énergie nous donne : Q1 = W + Q 2 (2.4)

73

Le réseau électrique dans son intégralité

Le rendement d’un tel système est défini par le rapport du travail fait par la quantité de chaleur absorbée par le corps à plus haute température : Q W Q1 − Q 2 η= = = 1 − 2 (2.5) Q1 Q1 Q1

T1 Q1

W

Q2 T2

 Figure 2.3  Représentation schématique d’un moteur thermique travaillant entre une source chaude (T1) et une source froide (T2).

Sur la figure 2.3, on a représenté schématiquement un moteur thermique réalisé avec un corps chaud qui est à la température T1. Ce corps en perdant de la chaleur la transforme en travail. Cette chaleur est transférée à un corps plus froid qui est à une température T2. Pour une machine thermique qui fonctionne en cycle, on parle de machine réversible, et on peut prouver que son rendement ne dépend que des températures des corps chaud et froid : T ηC = 1 − 2 (2.6) T1 C’est ce qu’on appelle le rendement de Carnot et le cycle thermique d’une machine réversible s’appelle le cycle de Carnot. Le cycle de Carnot pour un gaz parfait suit deux trajectoires isothermes et deux trajectoires adiabatiques. Une trajectoire adiabatique est une trajectoire où aucun transfert de chaleur ne se fait hors du système. Le cycle de Carnot, étant un processus qui fonctionne avec la plus grande efficacité possible, est un processus réversible. Le diagramme p-V du cycle de Carnot est représenté sur la figure 2.4. Le travail effectué par cycle est la surface délimitée par les trajectoires isothermes et adiabatiques : W =ò  p dV (2.7)

74

2. Physique des centrales électriques

L’entropie (S) est une mesure du désordre d’un système. Comme la pression p, le volume V, la température T et l’énergie interne U, l’entropie S est fonction de l’état du système. C’est le changement de l’entropie, noté dS, d’un système qui est important. La relation entre dQ, la chaleur ajoutée au système dans un processus réversible, et l’entropie est définie comme : = dS

dQ = ou Q T

2

ò1 TdS (2.8)

p T1 Isotherm Adiabate

Adiabate

Isotherm

T2 V

 Figure 2.4  Diagramme p-V d’un cycle de Carnot.

Dans le cas d’un processus irréversible, l’augmentation de l’entropie est toujours plus importante que celle définie à l’équation (2.8). Un terme, noté dSirr, est ajouté : dQ dS = + dSirr (2.9) T Comme tous les processus que nous rencontrons dans nos vies sont tous irréversibles, l’entropie de l’univers est en augmentation permanente ! Le travail effectué par un processus est défini par : W =ò  dQ (2.10) Nous pouvons maintenant modifier cette relation en faisant intervenir l’entropie : W =ò  T dS − ò T dSirr (2.11) Comme T et dSirr sont toujours positives, cette équation nous indique que le travail W et le rendement h sont maximums pour un processus réversible pour lequel le rendement est égal au rendement de Carnot : h = hC. Le rendement pour un processus irréversible est écrit par :  T  1 ηirr = 1 − 2  −  T dSirr (2.12)  T1  Q1 ∫

75

Le réseau électrique dans son intégralité

Pour une centrale électrique thermique, le cycle thermique de la turbine à vapeur n’est pas idéal car la vapeur n’est pas un gaz parfait et l’augmentation de la pression ne se fait pas de manière adiabatique, ainsi l’entropie augmente. Nous devons à William John Macquorn Rankine (1820-1872) la première description physique du cycle thermique d’une turbine à vapeur, comme celle qui est utilisée dans une centrale électrique thermique. Nous présentons le principe d’une telle centrale à la figure 2.5. Exhaust gases Synchronous generator

5

Rotating shaft Turbine

4

3

Boiler

6 Condenser

Cooling water

1

2 Pump

Primary energy

 Figure 2.5  Présentation des éléments intervenant dans le processus thermique d’une centrale électrique thermique. Les numéros 1 à 5 sont repris dans la description du cycle de Rankine.

Le cycle de Rankine est proche du cycle de Carnot mais c’est un cycle thermodynamique endo-réversible qui comprend deux transformations isobares et deux transformations adiabatiques. Nous présentons un tel cycle à la figure 2.6. 1  2 La pompe (pump sur la figure 2.5) d’alimentation de la chaudière (boiler sur la figure 2.5) fournit l’eau à une chaudière. La température de l’eau augmente légèrement parce que le travail de la pompe doit s’opposer à la pression de la vapeur contenue dans le tube de la chaudière. 2  3 L’apport de chaleur permet d’augmenter la température de l’eau jusqu’au point d’ébullition. 3  4  L’eau bout et la vapeur est produite à une température d’ébullition constante dépendant de la pression. 4  5 Dans le super-réchauffeur, composé d’une série de tubes chauffés, la température de la vapeur est élevée d’environ 200 °C. Cela garantit que la vapeur est sèche et permet d’augmenter ainsi le rendement du processus. Au cours de la hausse de température, la pression reste constante, de sorte que la trajectoire 2-3-4-5 est une trajectoire isobare.

76

2. Physique des centrales électriques

5  6 La vapeur se détend de façon adiabatique dans la turbine à vapeur et l’énergie thermique est transformée en énergie mécanique. La température de la vapeur chute de Tmax à T0. 6  1 La vapeur à basse température se condense (condenser sur la figure 2.5) et est pulvérisée sur des tuyaux de refroidissement qui sont refroidis à l’aide d’eau froide provenant d’une source extérieure. La chaleur ainsi évacuée crée une sorte de vide. T 5

Tmax 3

4

2 T0

1

S1

6

S2

S

 Figure 2.6  Cycle de Rankine. 5

L’énergie ainsi amenée, Q = ò TdS , correspond à la surface « S1-1-2-3-4-5-S2-S1 » 1 (voir figure 2.6). L’énergie échangée avec le système de refroidissement de l’eau correspond à la surface 6-1-S1-S2-6 (voir figure 2.6). Le rendement du cycle de Rankine est donné par : η=

Aire de la surface (1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 1) (2.13) Aire de la surface (S1 − 2 − 3 − 4 − 5 − S2 − S1 )

2.3 Centrales nucléaires La production d’électricité avec les centrales nucléaires a connu un développement rapide depuis la mise en service du premier réacteur à fission en 1942. Le développement de cette technologie a été entravé en avril 1986 en raison de l’accident de la centrale de Tchernobyl en Ukraine (ex-URSS) et de ses répercussions dans l’opinion publique internationale. Les centrales nucléaires en service ont des réacteurs de fission qui séparent les noyaux d’uranium et, au cours de ce processus de décomposition, la masse est perdue et est convertie en énergie conformément à la relation d’Einstein E = mc2. Même lorsque les masses sont très petites, l’énergie libérée est très importante. L’énergie

77

Le réseau électrique dans son intégralité

du processus de fission est utilisée pour chauffer de l’eau et produire de la vapeur comme dans les centrales thermiques conventionnelles à gaz ou à charbon. Depuis la Seconde Guerre mondiale, une autre technologie nucléaire est également apparue : la fusion nucléaire. On parle de fusion car elle est basée sur la fusion de noyaux tels que les isotopes de l’hydrogène pour libérer de l’énergie. Le processus est similaire à celui qui alimente le soleil et les autres étoiles. La fusion nucléaire est le Saint-Graal qui pourrait résoudre le problème énergétique mondial. La puissance de fusion offre le potentiel d’une source d’énergie presque inépuisable pour les générations futures, mais présente également des défis scientifiques et techniques.

2.3.1

Fission nucléaire

En 1942, Enrico Fermi (1901-1954) a présenté la première expérience de réaction 13 en chaîne nucléaire à l’université de Chicago. Après l’expérience de Fermi, le projet secret « Manhattan » a pu commencer et a permis de doter les États-Unis de l’arme atomique. Une bombe atomique à l’uranium a été larguée sur la ville d’Hiroshima le 6 août 1945 et une bombe atomique au plutonium a été larguée sur la ville de Nagasaki le 9 août 1945. En parallèle, des utilisations pacifiques de la fission nucléaire ont été développées. En juillet 1957, un réacteur expérimental en Californie produit pour la première fois de l’électricité à l’aide d’un réacteur nucléaire et, en 1958, la première centrale nucléaire à grande échelle est mise en service en Pennsylvanie, aux États-Unis. Exemple 2.1 Fission nucléaire La réaction de fission classique, illustrée à la figure 2.7, est donnée par : 235 U 92

+ 01 n →

236 U 92

→

92 K 36 r

1 + 141 56 B a + 3 0 n (2.14)

Un noyau de l’atome d’uranium est excité par la capture d’un neutron, ce qui le divise en deux nucléides (krypton et baryum) et émet trois neutrons. Il y a une différence dans la masse des particules avant et après la réaction : 235,0439231 − 91,9261528 − 140,9144064 − 2 × 1,0086649                       = 0,1860341 amu (atomic mass unit)

(2.15)

Avec 1 amu = 1,6605402 10–27 kg. Cette perte de masse libère une certaine quantité d’énergie donnée par la fameuse formule : E noyau = mc 2 = 0,1860341 × 1,6605402 10 −27 × (3 108 )

2

E noyau = mc 2 = 2,7802539 10 −11 J (2.16)

13.  Note du traducteur : il fut aidé en cela, en autres, par Leó Szilárd (1898-1964).

78

2. Physique des centrales électriques

L’énergie exprimée en Joule peut être convertie en kWh par : 1 Joule = 1 W s =

1h 1 kW = 2,7777778 10 −7 kWh (2.17) 3600 s 1000 J / s

Ce qui donne comme énergie dégagée par fission de : E noyau = 2,7802539 10 −11 × 2,7777778 10 −7 = 7,7229276 10 −18 kWh (2.18) Cette quantité d’énergie semble très faible, mais maintenant nous allons calculer la quantité d’énergie que peut dégager 1 gramme uranium (235 92 U). Tout d’abord, calculons le nombre de noyaux contenus dans 1 gramme d’uranium en utilisant le nombre d’Avogadro (NA = 6,02 1023 mol–1) : = N

6,02 10 23 = 2,56 1021 noyaux / gramme (2.19) 235 g / mol

La quantité d’énergie que peut dégager 1 gramme d’uranium (235 92 U) est donnée par : E = N E noyau = 2,56 1021 × 7,7229276 10 −18 = 19770 kWh (2.20) Avec cette quantité d’énergie, nous pouvons alimenter une lampe à incandescence de 100 W pendant 22 ans, car il y a 8 760 h dans une année et 19 770 kWh / (0,1 kW × 8 760 h) = 22,5 années. Barium Three neutrons

Uranium Neutron Energy

Krypton

 Figure 2.7  Description de la réaction de fission classique.

L’uranium utilisé comme combustible dans les centrales nucléaires est transformé en pastilles de céramique de la taille d’un doigt. Ces pastilles sont insérées dans de longs tubes verticaux à l’intérieur du cœur du réacteur. Quand les atomes d’uranium de ces pastilles sont frappés par des particules atomiques, ils peuvent se diviser – ou fission – et libèrent à leur tour des particules. L’uranium, par nature, n’est

79

Le réseau électrique dans son intégralité

pas stable mais en insérant une particule supplémentaire, un neutron, le noyau de ce dernier devient très instable et se sépare spontanément en deux nucléides (krypton et baryum), libérant ainsi une énorme quantité de chaleur, et émet trois neutrons. Ces nouveaux neutrons produits frappent d’autres atomes d’uranium qui se séparent et ainsi de suite. Ce phénomène de fission qui en déclenche d’autres, qui en déclenchent plus encore, est appelé « réaction en chaîne ». Si chaque neutron émis provoquait une nouvelle fission, l’énergie libérée augmenterait rapidement. La réaction nucléaire à l’intérieur du réacteur est régulée par des barres de contrôle qui sont insérées parmi les tubes contenant le combustible d’uranium. Ces barres de contrôle sont constituées de matériaux qui absorbent les neutrons et les empêchent de frapper des atomes d’uranium qui peuvent fissionner. Les barres de contrôle sont en hafnium, un très bon absorbeur de neutrons. La réaction nucléaire peut être accélérée ou ralentie en faisant varier le nombre de barres de contrôle qui sont insérées ou retirées. Il existe deux principaux types de centrales électronucléaires commerciales : • les réacteurs à eau bouillante REB (en anglais BWR pour Boiling Water Reactor) ; • les réacteurs à eau pressurisée REP (en anglais PWR pour Pressurized Water Reactor). Dans les réacteurs à eau bouillante illustrés schématiquement à la figure 2.8, l’eau est chauffée et transformée en vapeur (boiling water, figure 2.8) par le combustible nucléaire (nuclear fuel, figure 2.8) dans le réacteur (reactor, figure 2.8). Cette vapeur (steam, figure 2.8) est ensuite dirigée directement vers la turbine à vapeur. Dans les réacteurs à eau pressurisée, l’eau est chauffée par le combustible nucléaire mais est conservée sous pression pour éviter son ébullition. La chaleur de l’eau contenue dans le réacteur est transférée à un réservoir contenant de l’eau qui est ainsi chauffée et produit de la vapeur. Le réacteur à eau pressurisée (ou encore à eau sous pression) est schématiquement illustré à la figure 2.9. Il existe deux sortes d’atomes d’uranium, ou isotopes, pour constituer le combustible nucléaire à base de minerai d’uranium : « l’uranium 235, noté 235U » et « l’uranium 238, noté 238U ». Le minerai d’uranium contient moins de 1 % d’uranium 235 mais celuici est facilement fissionable. L’uranium 238, qui constitue la majeure partie de l’uranium naturel, est pratiquement non fissionable. Mais grâce à un processus connu sous le nom « d’enrichissement », la part d’uranium 235 dans le minerai d’uranium est augmentée à environ 3-5 % avant qu’il ne soit utilisé comme combustible. La plupart des fragments (particules) issus de la fission de l’atome sont radioactifs. Pendant la vie du combustible, ces fragments radioactifs s’accumulent dans les pastilles du combustible. Le combustible reste dans le réacteur entre trois et quatre ans ; la plus grande partie de l’235U est fissionnée mais les produits de la fission restent piégés et réduisent l’efficacité de la réaction en chaîne. Le stockage des déchets radioactifs en surface est une méthode pour entreposer les déchets radioactifs. Deux autres solutions sont possibles : • le stockage en couche géologique profonde (solution à l’étude) ; • l’immersion en mer (interdite depuis la Convention de Londres en 1993).

80

2. Physique des centrales électriques

En 2016, 450 réacteurs nucléaires dans 30 pays ont été utilisés pour produire de l’électricité. Ces centrales électriques ont fourni en 2012 environ 11 % de la production mondiale d’électricité. La France produit environ 65 % de son électricité avec des centrales électriques nucléaires (voir aussi tableau 2.1).

Synchronous generator

Steam Turbine

Rotating shaft

Boiling water

Condenser

Cooling water

Reactor Pump Nuclear fuel

 Figure 2.8  Description d’un réacteur à vapeur.

Synchronous generator

Reactor Steam

Turbine

Condenser

Nuclear Pressurized Boiling water fuel water

Rotating shaft

Cooling water

Pump

 Figure 2.9  Description d’un réacteur à eau pressurisée.

81

Le réseau électrique dans son intégralité

2.3.2

Fusion nucléaire

L’énorme potentiel énergétique de la fusion nucléaire est caché dans la relation d’Einstein, E = mc2. Une très faible quantité de matière peut produire une énorme quantité d’énergie. En 1920, l’astronome Arthur Eddington (1882-1944) a établi que la fusion nucléaire de l’hydrogène en hélium est la source d’énergie qui alimente les étoiles telles que notre soleil. Deux atomes d’hydrogène se combinent ou fusionnent pour former un atome d’hélium. Dans le processus de fusion de l’hydrogène, la matière est convertie en énergie. La réaction de fusion la plus facile à réaliser est la combinaison du deutérium (ou de l’hydrogène lourd) et du tritium pour produire de l’hélium et un neutron, comme le montre la figure 2.10. Le deutérium est abondant dans l’eau ordinaire et le tritium peut être produit en combinant le neutron issu de la fusion avec un métal léger, le lithium. Nous voyons que le carburant pour le processus de fusion ne pose pas de problème d’approvisionnement et cela le rend très attrayant. La mauvaise nouvelle est que, pour arriver à fusionner, les atomes d’hydrogène doivent être chauffés à environ 100 millions de degrés, de sorte qu’ils soient ionisés et forment un plasma. À cette température, les atomes ionisés ont suffisamment d’énergie pour fondre mais le plasma doit être contenu pour que la fusion se produise. Dans le soleil et les étoiles, ceci est fait avec la gravité. Pour y parvenir sur Terre, un puissant champ magnétique doit être utilisé pour maintenir ensemble les atomes ionisés pendant qu’ils sont chauffés, par exemple, par des micro-ondes. Ce concept technique a été développé par les Russes en 1959. Ils ont nommé leur conception « tokamak », qui signifie « chambre magnétique toroïdale » en russe. Le tokamak constitue l’élément de base de la plupart des réacteurs de fusion. Deuterium

Neutron

Energy

Tritium Helium

 Figure 2.10  Description du processus de fusion.

En 1997, 16 MW de puissance électrique ont été produits pendant une seconde dans le Joint European Torus (JET), situé au Culham Science Center, à Abingdon (près d’Oxford) au Royaume-Uni. En 2006, il a été décidé de construire un réacteur expérimental d’une puissance de 500 MW à Cadarache dans le Sud de la France. Dans ce projet ITER (International Tokamak Experimental Reactor), trente-cinq pays sont associés : ceux de l’Union européenne ainsi que l’Inde, le Japon, la Chine,

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2. Physique des centrales électriques

la Russie, la Corée du Sud, les États-Unis et la Suisse. Ils travaillent ensemble sur ce projet d’envergure vers la réalisation du rêve de la fusion nucléaire pour trouver des solutions aux problèmes liés aux ressources énergétiques à l’échelle planétaire.

2.4 Énergies renouvelables 2.4.1

Énergie du vent et technologie des aérogénérateurs

La production d’électricité à partir du vent a surmonté les problèmes de démarrage initiaux et est entrée maintenant dans sa phase de maturité. La technologie des générateurs éoliens convertissant l’énergie cinétique du vent en électricité avec des turbines de 500 à 600 kW est maîtrisée et ceci a permis de baisser considérablement le coût de production de l’énergie éolienne. Poussée par les exigences du marché pour de plus puissantes unités, la technologie des turbines se développe rapidement et des turbines d’une puissance nominale de 3-5 MW sont maintenant disponibles. Au Danemark, l’objectif est d’avoir 50 % de l’énergie électrique produite d’origine éolienne. Les éoliennes « investissent » aussi la mer (offshore en anglais). Le Danemark, les Pays-Bas, le Royaume-Uni et la Suède ont acquis de l’expérience avec des parcs éoliens proches des côtes, en utilisant les technologies existantes des éoliennes terrestres et des compétences en génie civil. Une photo d’un parc éolien est présentée à la figure 2.11.

 Figure 2.11  « Parc » éolien. (Reproduction autorisée par TenneT TSO B.V.)

83

Le réseau électrique dans son intégralité

Une éolienne (plus précisément : génératrice éolienne) se compose d’un rotor (nommé « moteur éolien ») qui extrait l’énergie cinétique du vent et la convertit en un mouvement de rotation qui est ensuite converti en énergie électrique par un générateur. Une éolienne est un système plutôt complexe combinant des connaissances de haut niveau en aérodynamique, en ingénierie mécanique et électrique. La quantité d’énergie contenue dans le flux d’air dépend de la vitesse du vent. La vitesse du vent à laquelle la turbine commence à délivrer sa puissance nominale est appelée vitesse nominale du vent. La courbe de puissance typique d’une éolienne est présentée à la figure 2.12. Lorsque la vitesse du vent augmente au-dessus de la vitesse nominale du vent, l’angle d’inclinaison (pitch en anglais) des pales doit être ajusté pour éviter la surcharge mécanique ou électrique des composants de la turbine. Une autre façon de réduire la puissance convertie par la turbine est de contrôler le décrochage ou bien d’utiliser le phénomène de décrochage aérodynamique. Le décrochage automatique augmente la traînée et réduit ainsi le couple mécanique sur les pales lorsque la vitesse du vent augmente. Lorsqu’elles sont conçues correctement, les pales entrent en décrochage à des vitesses de vent élevées sans avoir besoin de contrôler leur inclinaison.

Active power production

Cut-in Nominal wind speed wind speed

Cut-out wind speed

Nominal power

0

0

5

10 15 20 Wind speed [m/s]

25

30

 Figure 2.12  Courbe de puissance typique d’une éolienne.

Quand nous regardons spécifiquement le générateur électrique d’une éolienne, trois concepts différents peuvent être distingués [4, 5]. Le concept « danois », appelé ainsi parce que ce type d’éolienne a été largement adopté par les fabricants danois, utilise une machine à induction à cage d’écureuil (machine asynchrone) pour la conversion de l’énergie mécanique en énergie électrique (voir figure 2.13). Ce concept utilise une boîte de vitesses (c’est un multiplicateur de vitesse car le rotor de la machine électrique tourne plus vite que celui du moteur éolien) pour adapter la vitesse de fonctionnement du rotor de la turbine et du générateur électrique. La machine asynchrone a un glissement qui varie légèrement (quelques %) avec le niveau de puissance générée, mais en dépit de l’existence de ce glissement, on considère que ce type d’éolienne fonctionne à vitesse

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2. Physique des centrales électriques

constante. Une éolienne fonctionnant à vitesse constante est relativement simple dans sa conception, robuste dans sa construction et donc fiable dans son fonctionnement. Les inconvénients sont le manque de contrôle de la puissance active et réactive et l’apparition de grandes fluctuations de la puissance de sortie car il n’y a pas de système de stockage inertiel d’énergie lorsque la vitesse de rotation varie. En outre, la boîte de vitesse est un point faible dans la conception car les fluctuations de la puissance du vent sont transformées en pulsations de couple (ripple torque en anglais) sur l’arbre. Wind turbine

Gearbox

Wind

Induction generator

Transformer

Grid

Capacitors

 Figure 2.13  Concept « danois » d’éolienne.

Un autre concept largement utilisé est le générateur à induction à double alimentation (MADA pour machine asynchrone à double alimentation et doubly fed induction machine en anglais), toujours associé à une boîte de vitesses (voir figure 2.14). L’enroulement du rotor est alimenté à partir du réseau par un convertisseur de fréquence. Ce convertisseur de fréquence est constitué de deux convertisseurs d’électronique de puissance, des « onduleurs de tension », connectés par leur bus de tension continu. Ces deux convertisseurs sont contrôlés en courant (amplitude, fréquence et phase) et permettent de compenser la différence de fréquence due à la différence entre la vitesse de rotation du rotor et la fréquence du réseau électrique en injectant des courants dans le rotor de la MADA à fréquence variable. La vitesse de rotation du rotor et la fréquence d’alimentation du stator de la machine électrique sont ainsi découplées, ce qui permet – dans certaines limites – un fonctionnement à vitesse variable afin de minimiser le bruit ou de maximiser la puissance convertie. En pratique, la puissance réactive du générateur est contrôlée par le convertisseur d’électronique de puissance et la puissance du vent est contrôlée en ajustant le pas des pales du rotor de l’hélice (pitch control).

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Le réseau électrique dans son intégralité

Wind turbine

Gearbox Wind

Doubly fed induction generator

Transformer

Grid

DC

AC

AC

DC DC link

 Figure 2.14  Structure d’un générateur éolien utilisant une machine asynchrone à double alimentation.

Wind turbine

Synchronous generator Wind

Transformer AC

Grid

DC

DC

AC DC link

 Figure 2.15  Structure d’un générateur éolien à entraînement direct.

Le dernier concept d’éolienne est l’éolienne à entraînement direct, sans boîte de vitesses (voir figure 2.15). Un générateur synchrone multipolaire fonctionnant à faible vitesse (en fait la même vitesse mécanique que le rotor de la turbine) convertit la puissance du vent en puissance électrique. Le rotor (roue polaire) du générateur synchrone peut être un rotor bobiné ou un rotor avec des aimants permanents. Les bobinages du stator ne sont pas directement connectés au réseau mais par l’intermédiaire d’un ensemble de convertisseurs d’électronique de puissance. Cela peut être

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2. Physique des centrales électriques

l’association d’un onduleur de tension et d’un redresseur à diodes ou bien l’association de deux onduleurs de tension, associés, là encore, par leur bus de tension continu. Ce concept permet un fonctionnement à vitesse variable et la puissance du vent est limitée par le contrôle de l’inclinaison des pales de l’hélice (pitch control). Les convertisseurs d’électronique de puissance deviennent de moins en moins onéreux et de plus en plus fiables. On peut donc s’attendre à ce que le marché des éoliennes à vitesse variable se développe. L’efficacité de ces éoliennes à vitesse variable est supérieure à celle des éoliennes à vitesse constante car, pour chaque vitesse de vent, la vitesse optimale du rotor peut être réglée et ainsi le surplus de puissance convertie est supérieur aux pertes des convertisseurs d’électronique de puissance. L’avantage de l’éolienne à vitesse variable avec le générateur à induction à double alimentation sur l’éolienne à entraînement direct est que les convertisseurs d’électronique de puissance sont dimensionnés pour une puissance nominale environ trois fois plus faible que la puissance nominale de l’éolienne, mais une boîte de vitesses est encore nécessaire, nuisant à la fiabilité et entraînant une augmentation du coût. Dans le concept de l’éolienne à entraînement direct, il n’y a pas de boîte de vitesses, mais le générateur est plus volumineux, donc plus onéreux et les convertisseurs d’électronique de puissance sont dimensionnés pour la puissance nominale, ce qui a un impact sur le coût et la fiabilité.

2.4.2

Hydroélectricité (production et stockage d’énergie)

L’hydroélectricité est aujourd’hui une technologie mature et a été développée partout dans le monde. Dans les pays dotés de grandes rivières, l’hydroélectricité joue un rôle majeur dans la production d’énergie électrique. La centrale hydroélectrique d’Itapu, au Brésil, a une capacité de production de 12 600 MW. Dans la province canadienne du Manitoba, Manitoba Hydro, la société responsable de la production d’électricité a installé une production hydroélectrique totale de 5 200 MW. Les abondantes ressources hydroélectriques du Sud-Ouest de la Chine seront exploitées à grande échelle au cours des trois prochaines décennies. Un certain nombre de grands projets hydroélectriques seront achevés au cours de cette période. La Chine occupe la première place dans le monde des ressources hydrauliques avec un potentiel de 680 GW. On estime que 370 GW peuvent être développés pour fournir une production d’énergie électrique de 1 900 TWh par an. Les ressources hydroélectriques exploitables dans le Sud-Ouest de la Chine représentent 53 % du total de la production d’électricité de la Chine [6]. Les coûts de production des centrales hydroélectriques sont très faibles car la source d’énergie est gratuite, mais dans le coût la part de l’ingénierie est prépondérante. Le type de turbine hydraulique utilisée dépend de la hauteur de la chute d’eau et du débit. C’est l’énergie cinétique du courant d’eau qui est transformée en énergie mécanique au niveau de la turbine puis en énergie électrique avec le générateur électrique. Pour les barrages par accumulation, la quantité d’énergie disponible dépend

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Le réseau électrique dans son intégralité

du volume de son réservoir et la puissance convertible dépend de la hauteur de chute. Pour les barrages au fil de l’eau, la quantité d’énergie produite est directement liée au débit. Il existe trois types principaux de turbines. La turbine Kaplan possède des pales à pas variable qui peuvent être réglées pour une régulation optimale (voir figure 2.16). Ce type de turbine a été construit pour des hauteurs allant jusqu’à 60 m et est appliqué dans les stations fluviales et les barrages. Pour la turbine Francis, les canalisations d’eau et la turbine sont conçues pour des hauteurs supérieures à 500 m et la régulation s’effectue par réglage des aubes directrices au niveau des injecteurs (voir figure 2.17). Le troisième type est la roue Pelton, une turbine adaptée aux grandes hauteurs de chute d’eau. L’eau est injectée à travers une ou plusieurs buses sur les godets de la roue de turbine. La régulation est réalisée au moyen de vannes à pointeau sur les buses et de déflecteurs de jet (voir figure 2.18).

 Figure 2.16  Turbine de type Kaplan. (Reproduction autorisée par Voith Siemens Hydro Power Generation GmbH & Co. KG.)

88

2. Physique des centrales électriques

Par rapport à une centrale thermique, une centrale hydroélectrique a l’avantage de pouvoir démarrer rapidement et de répondre efficacement à une augmentation soudaine de la demande d’électricité. Un autre avantage de l’hydroélectricité est que l’on peut faire du stockage d’énergie avec les barrages mais aussi avec les centrales dites de « pompage-turbinage ». Un tel système comporte deux réservoirs à hauteurs différentes, l’installation de production d’énergie hydroélectrique étant située au niveau du réservoir inférieur. Pendant les périodes de faible demande, généralement la nuit, l’eau est pompée du réservoir inférieur vers le réservoir supérieur en utilisant l’électricité bon marché des centrales thermiques. Les générateurs agissent alors comme des moteurs et entraînent les turbines qui fonctionnent comme des pompes. Pendant les périodes de forte demande, généralement le jour, la turbine entraîne le générateur de manière normale. L’efficacité globale de l’opération n’est cependant pas très élevée, de l’ordre de 65 %. À titre d’exemple, une grande centrale de pompage-turbinage est installée à Vianden, au Luxembourg 14.

 Figure 2.17  Turbine de type Francis. (Reproduction autorisée par Voith Siemens Hydro Power Generation GmbH & Co. KG.)

14.  Note de traducteur : en France, la centrale de pompage-turbinage de Grand’Maison, située en Isère, a une puissance installée de 1 800 MW.

89

Le réseau électrique dans son intégralité

 Figure 2.18  Turbine de type Pelton. (Reproduction autorisée par Voith Siemens Hydro Power Generation GmbH & Co. KG.)

2.4.3

Énergie solaire

Le soleil est indispensable à la vie sur Terre, il est notre source de lumière, de chaleur et permet de nous alimenter. Les combustibles fossiles, le bois et les cultures sont en fait dus à une accumulation d’énergie solaire. L’énergie solaire est également à l’origine de l’énergie hydroélectrique et de l’énergie éolienne. Mais quand nous parlons de l’énergie solaire, nous faisons allusion à la conversion directe du rayonnement solaire en chaleur ou en électricité. Dans le cas de la production de chaleur, nous parlons d’énergie solaire thermique et dans le cas de la production d’électricité, nous parlons d’énergie photovoltaïque. L’une des utilisations les plus répandues de l’énergie solaire thermique est le chauffage solaire de l’eau. L’eau est pompée et traverse un collecteur qui est peint en noir et qui contient des tubes. Le collecteur absorbe le rayonnement solaire et transfère la chaleur à l’eau en circulation. La température de l’eau augmente et est stockée dans une chaudière. La chaudière sert d’échangeur de chaleur pour chauffer l’eau du robinet. Cela fonctionne correctement pour les applications domestiques et les

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2. Physique des centrales électriques

petites applications industrielles et permet de réduire les factures de consommation d’énergie. Les systèmes solaires thermiques dits à concentration utilisent la chaleur du soleil pour produire de l’électricité. En Californie, neuf systèmes commerciaux d’énergie solaire à concentration d’une capacité totale de production de 354 MW sont en activité depuis le milieu des années 1980. Ces systèmes sont constitués de rangées de réflecteurs paraboliques très réfléchissants et chaque miroir parabolique concentre et transmet la lumière du soleil sur une tour centrale contenant un fluide caloporteur (voir figure 2.19) qui est utilisé dans un échangeur de chaleur pour produire de la vapeur. La vapeur se dilate dans une turbine à vapeur qui est le moteur principal d’un générateur électrique. Il existe un autre type de générateur solaire thermique : le système Parabole-Stirling (Dish-Stirling en anglais). C’est une centrale solaire à réflecteur parabolique. Les unités utilisent une petite gamme de miroirs pour focaliser la lumière du soleil sur un moteur Stirling qui produit de 5 à 50 kW d’électricité qui est réinjectée sur le réseau ou est utilisée pour des applications autonomes [7]. La technologie photovoltaïque (notée PV) transforme l’énergie des photons solaires en courant continu en utilisant des matériaux semi-conducteurs. La plus petite unité est appelée cellule solaire ou cellule photovoltaïque. Lorsque les photons entrent dans la cellule solaire, les électrons de la bande de valence passent dans la bande de conduction et permettent la circulation d’un courant continu. Les matériaux semiconducteurs les plus utilisés dans les cellules photovoltaïques sont principalement à base de silicium (amorphe, monocristallin ou polycristallin) et plus rarement à base d’autres semi-conducteurs : séléniure de cuivre, séléniure d’indium ou tellurure de cadmium. Elle se présente généralement sous la forme d’une fine plaque d’une dizaine de centimètres de côté.

 Figure 2.19  Centrale solaire thermique. (Reproduction autorisée par DOE/NREL.)

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Le réseau électrique dans son intégralité

 Figure 2.20  Panneaux solaires situés à Aspen, États-Unis. (Reproduction autorisée par DOE/NREL.)

Les cellules PV sont réunies dans des modules solaires photovoltaïques appelés panneaux solaires, en fonction de la puissance recherchée (voir figure 2.20). Les puissances varient de quelques watts à environ 100 watts. Les convertisseurs d’électronique de puissance convertissent la puissance DC en sortie des panneaux photovoltaïques en AC, soit pour être utilisée dans une installation autonome, soit pour être injectée sur le réseau électrique. Il est à noter que seule une partie de la lumière solaire reçue par une cellule photovoltaïque est convertie en électricité. L’efficacité maximale est de l’ordre de 10-15 %. Cependant, la technologie photovoltaïque se développe et propose un large éventail d’applications : • Les systèmes autonomes non connectés au réseau d’énergie électrique sont utilisés lorsqu’il est trop coûteux d’installer les lignes électriques dans une zone isolée. Ils alimentent par exemple les systèmes de télécommunication contrôlables à distance où la fiabilité et la faible maintenance sont les principales exigences.

92

2. Physique des centrales électriques

Les systèmes photovoltaïques sont également largement utilisés dans les pays en développement pour desservir les populations rurales qui n’ont pas autrement accès aux services énergétiques de base. • Les systèmes connectés au réseau dans les bâtiments sont utilisés lorsqu’un réseau public est disponible et qu’un système photovoltaïque peut y être connecté. Lorsque la demande en électricité nécessaire est supérieure à celle que le système PV peut fournir, le besoin est automatiquement satisfait par le réseau. Dans le cas contraire, le propriétaire d’un système PV raccordé au réseau peut vendre la production d’électricité excédentaire. • Les centrales photovoltaïques à grande échelle composées de plusieurs réseaux PV connectés ensemble peuvent fournir des puissances importantes. Les installations photovoltaïques sont plus rapidement opérationnelles que les centrales électriques conventionnelles et il est possible d’augmenter la puissance de la centrale au fur et à mesure que la demande augmente.

2.4.4

Géothermie

La géothermie utilise la chaleur de la Terre pour produire de la vapeur qui entraîne une turbine. Il y a près de 6 500 km entre la surface de la Terre et son centre, et plus on s’en approche, plus la température du milieu augmente. La « croûte » terrestre a une épaisseur de 5 à 55 km et joue le rôle d’isolant thermique. La variation de température dans la croûte terrestre est d’environ 17 °C à 30 °C par kilomètre. Sous la croûte se trouve le « manteau », constitué de roches partiellement visqueuses et partiellement fondues avec des températures comprises entre 650 °C et 1 250 °C. Le cœur de la Terre est constitué d’un noyau externe liquide et d’un noyau interne solide où les températures peuvent atteindre 4 000-7 000 °C. Puisque la chaleur se déplace toujours des régions chaudes vers les régions froides, le transfert de chaleur de la Terre s’effectue de son centre vers la surface externe. Dans certaines zones à fort gradient de température, il existe des failles souterraines profondes et des fissures qui permettent à l’eau de pluie et à la fonte des neiges de ruisseler sous terre parfois sur plusieurs kilomètres. Là, l’eau est chauffée par la roche chaude et remonte jusqu’à la surface pour apparaître comme des sources chaudes, sous forme de bains de boue ou de geysers. Cependant, si l’eau chaude ascendante rencontre une couche de roche imperméable, l’eau est emprisonnée dans le sol où elle remplit les pores et les fissures formant un réservoir géothermique. Bien plus chaudes que les sources de surface, les réservoirs géothermiques peuvent atteindre des températures supérieures à 350 °C et sont de puissantes sources d’énergie. Si les réservoirs géothermiques sont suffisamment proches de la surface, nous pouvons les atteindre en forant des puits, parfois à plus de trois kilomètres de profondeur. Les centrales géothermiques comprennent un ou plusieurs puits thermiques. La puissance d’un seul puits thermique varie entre 4 MW et 10 MW. Pour éviter les interférences, les puits sont espacés de 200 à 300 m. Comme il est difficile de transporter de la vapeur à haute température sur de longues distances par des pipelines en raison des pertes de chaleur, la plupart des centrales géothermiques sont construites

93

Le réseau électrique dans son intégralité

à proximité des sources de chaleur. Trois technologies de centrales électriques sont utilisées pour convertir les fluides hydrothermiques en électricité. Le type de conversion dépend de l’état du fluide (vapeur ou eau) et de sa température. • Les centrales à vapeur sèche, schématiquement illustrées à la figure 2.21, utilisent des fluides hydrothermiques principalement sous forme de vapeur qui entraîne un alternateur directement via une turbine. C’est le plus ancien type de centrale géothermique et a été utilisé la première fois à Larderello en Toscane (Italie) en 1904. C’est une technologie très efficace qui est utilisée dans la plus grande centrale géothermique du monde, The Geysers, située en Californie du Nord et sa puissance est de 1 808 MW. • Les centrales électriques à condensation utilisent des fluides hydrothermiques dont la température est supérieure à 175 °C. Le liquide est pulvérisé dans une cuve (appelée séparateur), à basse pression. Une partie du fluide se vaporise très rapidement en vapeur et la vapeur entraîne alors une turbine. Un dessin schématique d’une centrale électrique à condensation est présenté à la figure 2.22.

Rotating shaft Turbine

Synchronous generator

Cooling water

Geothermal zone Production well

Injection well

 Figure 2.21  Principe d’une centrale géothermique à vapeur sèche.

Rotating shaft Separator

Steam

Turbine

Synchronous generator

Cooling water

Geothermal zone Production well

Injection well

 Figure 2.22  Principe d’une centrale géothermique à condensation.

94

2. Physique des centrales électriques

• Les centrales à cycle combiné utilisent un fluide hydrothermique dont la température est inférieure à 175 °C et un fluide secondaire (d’où le nom de cycle combiné) dont le point d’ébullition est beaucoup plus bas que celui de l’eau. Le fluide géothermique délivre sa chaleur au fluide secondaire dans un échangeur de chaleur. Le fluide secondaire s’évapore très rapidement et entraîne une turbine. Ce principe est illustré à la figure 2.23.

Rotating shaft Turbine

Heat exchanger

Synchronous generator

Cooling water

Geothermal zone Production well

Injection well

 Figure 2.23  Principe d’une centrale géothermique à cycle combiné.

L’efficacité des centrales géothermiques pour la production d’électricité est plutôt faible (entre 7 % et 10 %). Comme les centrales géothermiques fonctionnent à des températures relativement basses comparativement aux autres centrales thermiques, elles rejettent la quasi-totalité de la chaleur extraite de la Terre dans l’environnement. La température minimale pour la production d’électricité est de 90 °C. Malgré la relative faiblesse de la production d’électricité, les centrales géothermiques peuvent fonctionner 24 heures sur 24 et peuvent servir de système de production d’électricité de base.

2.5 Alternateurs (machine synchrone

en fonctionnement générateur)

La machine synchrone est la machine électrique qui est principalement utilisée pour produire de l’électricité dans les centrales électriques. L’autre type de machine électrique fonctionnant en alternatif, la machine asynchrone, peut être utilisé en génératrice jusqu’à des puissances de l’ordre du mégawatt (MW). La machine synchrone en génératrice est appelée « alternateur » et est triphasée. Les puissances unitaires sont communément de l’ordre de plusieurs centaines de mégawatts et peuvent atteindre 2 000 MW. Les alternateurs d’une même centrale sont connectés en parallèle, elle-même connectée en parallèle avec les autres centrales dans un

95

Le réseau électrique dans son intégralité

réseau électrique « maillé », ainsi tous les alternateurs d’un même réseau électrique fonctionnent à la même fréquence électrique et leur vitesse de rotation mécanique dépend uniquement de leur nombre de paires de pôles. Dans une centrale électrique, chaque turbine (à vapeur ou hydraulique) entraîne directement un alternateur. Celui-ci convertit directement la puissance mécanique en puissance électrique 15 avec des rendements très proches de 100 %. Un alternateur, qui est une machine synchrone, comporte deux parties (comme toutes les machines électriques tournantes) : le stator qui est fixe par rapport au sol et le rotor qui est tournant. Le rotor comporte des enroulements qui sont alimentés avec un courant continu et forment des sortes d’électro-aimants. On parle de « roue polaire » magnétique. Le stator comporte des enroulements triphasés répartis à 120° pour une machine bipolaire c’est-à-dire que le rotor possède un seul pôle Nord et un seul pôle Sud. Quand le rotor est alimenté par un courant continu et tourne, une tension apparaît aux bornes de chaque enroulement du stator. C’est la fameuse loi de Lenz-Faraday, qui dit qu’apparaît une tension aux bornes d’un enroulement qui est soumis à une variation temporelle de flux magnétique. Les rotors des machines synchrones sont de deux types : le rotor à pôles lisses présenté à la figure 2.24 (a) et le rotor à pôles saillants présenté à la figure 2.24 (b). Les rotors lisses sont utilisés dans les alternateurs bipolaires dont les vitesses de rotation sont de 3 000 tr/min pour les réseaux électriques à 50 Hz ou de 3 600 tr/min pour les réseaux électriques à 60 Hz. Pour ce type d’alternateurs, on parle de « turboalternateurs. Ils sont en général entraînés par une turbine à vapeur. Les rotors à pôles saillants sont généralement entraînés par des turbines hydrauliques à faible vitesse de rotation. Dans le rotor à pôles lisses, les conducteurs sont placés dans des encoches et, compte tenu des vitesses de rotation, son diamètre est compris entre 1 m et 1,5 m afin que la vitesse linéaire à sa périphérie reste acceptable pour son intégrité. Par exemple, à 3 000 tr/min, la vitesse périphérique d’un rotor de 1 m de diamètre est d’environ 150 m/s (v = R W). Un rotor à pôles saillants possède en général au moins deux paires de pôles. La relation entre le nombre de paires de pôles, la fréquence (du réseau électrique) et la vitesse de rotation (de la turbine) est donnée par : pN f = (2.21) 60 Avec f : fréquence du réseau électrique (Hz). p : nombre de paires de pôles. N : vitesse de rotation (tr/min).

15.  Note du traducteur : nous préférons parler de puissances converties car la machine synchrone ne stocke pas d’énergie.

96

2. Physique des centrales électriques

c

b′

a′

c

b

b′

N

c′ S

N a′

a

a

a S

S

N

c′ c′

b (a)

b′ b

a′

c

(b)

 Figure 2.24  Présentation de deux types d’alternateur synchrone. Le premier (a) possède un rotor lisse bipolaire, le second (b) un rotor saillant tétra-polaire. Le sens du courant continu dans les enroulements situés au rotor est indiqué par  si le courant est défini entrant et par si le courant est défini sortant.

Les alternateurs sont thermiquement des cylindres fermés. Ainsi, pour extraire efficacement la chaleur produite par ses pertes (Joule dans les conducteurs et fer dans le circuit magnétique), il est nécessaire de les refroidir. Le circuit de refroidissement des turbo-alternateurs utilise soit de l’hydrogène, soit de l’eau, qui parcourt les bobinages permettant alors de maintenir la température des isolants électriques à des valeurs garantissant une certaine durée de vie. L’augmentation des puissances des alternateurs a été rendue possible par l’amélioration de la qualité des tôles ferromagnétiques utilisées dans le stator et le rotor ainsi que par l’amélioration des moyens de refroidissement. Comme la valeur du volume d’une machine électrique est corrélée à la valeur de son couple mécanique, plus la vitesse de rotation est faible, plus son volume est important à puissance donnée. Ainsi les alternateurs hydrauliques sont plus volumineux que les alternateurs des centrales thermiques et un refroidissement à air est suffisant. Pour connecter une machine synchrone sur un réseau électrique, quatre conditions doivent être vérifiées : • • • •

ordre des phases des tensions identique à celui du réseau ; fréquence des tensions quasi identiques à celles du réseau ; amplitude des tensions égales à celles du réseau ; tensions en phase au moment du couplage.

97

Le réseau électrique dans son intégralité

Lorsque l’alternateur est connecté à un réseau maillé, la valeur efficace et la fréquence de ses tensions de sortie sont imposées et ne peuvent être modifiées par aucune action sur le générateur. Nous disons que l’alternateur est connecté à un réseau de puissance infini 16 : une source de tension triphasée idéale avec une valeur efficace des tensions et une fréquence fixes toutes les deux. Le circuit équivalent du générateur synchrone est précisé dans l’Annexe C (Modélisation de la machine synchrone) et est connecté à un réseau de puissance infinie dans l’Annexe C.5 (Machine synchrone couplée au réseau). Le schéma équivalent monophasé 17 du générateur synchrone est représenté sur la figure 2.25. La réactance, notée X, est appelée réactance synchrone et est constante en régime de fonctionnement permanent. La résistance des bobinages du stator est négligée dans le schéma équivalent. Immédiatement après la synchronisation et le couplage, le générateur ne fournit et n’absorbe pas de puissance avec le réseau. Le débit de vapeur qui entraîne la turbine est le même qu’avant l’action de couplage et est juste suffisant pour entraîner le rotor et compenser les pertes de la turbine et du générateur. Si plus de vapeur est introduite dans la turbine, on peut s’attendre à ce que le générateur accélère mais ce n’est pas possible parce que le générateur est connecté à un réseau de puissance infinie qui impose la fréquence donc la vitesse de rotation. C’est un peu comme avoir deux objets attachés ensemble par un ressort élastique. Le réseau de puissance infinie est à une extrémité du ressort et se déplace avec une vitesse constante et le générateur synchrone est connecté à l’autre extrémité du ressort comme le montre la figure 2.26 (a) pour la situation où il n’y a pas d’échange d’énergie entre le générateur et le réseau. Le cas où plus de vapeur est introduite dans la turbine est montré dans la figure 2.26 (b). Le couple fourni à l’axe de la génératrice par le moteur d’entraînement (la turbine) permet de régler la puissance mécanique (d’entraînement) convertie en puissance électrique par le générateur qui est injectée dans le réseau électrique. En relation avec l’extension du ressort, la FEM interne E « entraîne » maintenant la tension V comme le montre la figure 2.27. La valeur efficace de la tension du générateur, notée E, est fonction du courant continu injecté au rotor et est contrôlée par l’opérateur. Dans la figure 2.27, l’angle « d » est appelé angle interne. L’expression (en utilisant les nombres complexes) du courant injecté au réseau est donnée par 18 : I=

E −V (2.22) jX

16.  Note du traducteur : dans le langage « courant » de l’électrotechnicien, on parle de réseau de puissance infinie, il faudrait plutôt parler de réseau de puissance apparente de court-circuit infinie (notée Scc). 17.  Note du traducteur : c’est un schéma équivalent monophasé, et non pas le schéma d’une phase, car il est valable uniquement quand les trois phases sont alimentées. 18.  Note du traducteur : nous reprenons l’écriture des nombres complexes définie au chapitre 1.

98

2. Physique des centrales électriques

Avec I  : phaseur associé au courant fourni au réseau. I = I ∠ − ϕ avec I en (A). E  : phaseur associé à la fem d’une phase de la machine synchrone. E = E ∠δ avec E en (V). V  : phaseur associé à la tension d’une phase du réseau. V = V ∠0 avec V en (V). X : réactance d’une phase de la machine synchrone (W).

Synchronous generator Steam

Grid

Rotating shaft

Turbine

S=0

n RPM

Losses

Losses

I=0

X

+

+ E

S=0

V

Grid

–

V=E

−

 Figure 2.25  Schéma équivalent monophasé d’une machine synchrone connectée à un réseau de puissance infinie, avec la représentation de Fresnel associée, dans le cas où il n’y a pas d’échange de puissance.

Rotor

(a)

Grid

Rotor

Grid

(b)

 Figure 2.26  Le générateur et le réseau sont représentés par deux cylindres tournants reliés par une liaison élastique. Dans le cas (a), il n’y a pas d’échange de puissance entre le générateur et le réseau (cas de la figure 2.25). Dans le cas (b), il y a un transfert de puissance entre le générateur et le réseau (cas de la figure 2.27).

99

Le réseau électrique dans son intégralité

Synchronous generator Steam

Grid

Rotating shaft

Turbine

n RPM S Losses

Losses

(a)

I

X

+

E

+ E

S

−

jXI Grid

V

−

δ V I

(b)

(c)

 Figure 2.27  Schéma équivalent monophasé d’une machine synchrone connectée à un réseau de puissance infinie, avec la représentation de Fresnel associé, dans le cas où il y a un transfert de puissance dans le réseau.

La puissance complexe, notée S , « échangée » entre l’alternateur et le réseau, peut être exprimée par : S = 3V I * = P + jQ (2.23) • Comme :V = E − j X I , nous pouvons écrire : S = 3 (E − j X I ) I * S = 3 E I * − 3 j X I I * = 3 E I ∠ (δ + ϕ) − 3 j XI 2 (2.24) S = 3 E I [cos (δ + ϕ) + j sin (δ + ϕ)] − 3 j XI 2 = P + jQ La partie réelle de la puissance complexe S est égale à la puissance active P : P = Re (S ) = 3 E I cos (δ + ϕ) (2.25) La partie imaginaire de la puissance complexe S est égale à la puissance réactive Q : Q = Im (S ) = 3 E I sin (δ + ϕ) − 3 XI 2 (2.26) • En remplaçant l’expression (2.22) donnant I dans l’expression (2.23) donnant S , nous pouvons écrire : E − V * S = 3V    jX 

100

2. Physique des centrales électriques

S=

3V E * − 3V V * V E ∠ ( − δ) V2 (2.27) =3j −3 j −j X X X

S =3j

2 VE [cos (δ) − j sin (δ)] − 3 j V = P + jQ X X

La partie réelle de la puissance complexe S est égale à la puissance active P : P = Re (S ) = 3

VE sin (δ) (2.28) X

La partie imaginaire de la puissance complexe S est égale à la puissance réactive Q : Q = Im (S ) = 3

VE V2 V cos (δ) − 3 = 3 [E cos (δ) − V ] (2.29) X X X

L’équation (2.28) permet de « voir » que la polarité de la puissance active est donnée par la valeur de l’angle « d », ainsi : • d > 0  P > 0 : la machine électrique fournit de la puissance active au réseau. Elle fonctionne comme un générateur ; • d = 0  P = 0 : la machine électrique n’échange pas de puissance active avec le réseau ; • d < 0  P < 0 : la machine électrique absorbe de la puissance active au réseau, elle fonctionne comme un moteur. Suivant ces équations, nous pouvons voir, comme l’indique la figure 2.28, qu’il existe un axe sur lequel est indiquée la puissance active. Une approche similaire peut être faite pour analyser la puissance réactive, en utilisant l’équation (2.29) : • E cos (δ) > V  Q > 0 : la machine électrique fournit de la puissance réactive au réseau. On dit qu’elle est surexcitée ; • E cos (δ) = V  Q = 0 : la machine électrique n’échange pas de puissance réactive avec le réseau ; • E cos (δ) < V  Q < 0 : la machine électrique absorbe de la puissance réactive au réseau. On dit qu’elle est sous-excitée. Un « axe de puissance réactive » peut maintenant être défini dans le diagramme de Fresnel comme indiqué à la figure 2.28. Le point de fonctionnement de la machine synchrone dont le diagramme de Fresnel est représenté à la figure 2.28 est indiqué par le point noir. Cette machine injecte à la fois de la puissance active et de la puissance réactive dans le réseau et on parle d’un alternateur surexcité. Lorsque nous projetons le point de fonctionnement dans le système de coordonnées des puissances active et réactive triphasées, comme indiqué sur la figure 2.29, les phaseurs doivent être multipliés par 3V/X comme nous pouvons le voir dans les équations de puissance active et réactive (2.28) et (2.29). Le point de fonctionnement de la machine synchrone est indiqué par le point noir et la quantité de puissance active et réactive que la machine fournit au réseau peut être facilement lue à partir du diagramme.

101

Le réseau électrique dans son intégralité

‘P’ E

jXI

φ

δ φ

V

E cos(δ)

‘Q’

I E cos(δ) – V

 Figure 2.28  Présentation des axes « puissance active » et puissance réactive dans le diagramme de Fresnel. Q

3V I

P 2

V E 3 ------------X

V 3 --------X

δ

 Figure 2.29  Diagramme de Fresnel dans le système de coordonnées défini par les puissances active et réactive triphasées.

Le générateur est bien entendu limité dans ses performances. Nous allons indiquer dans un diagramme, présenté à la figure 2.30, les différentes limites. La valeur efficace de la tension du réseau, notée V, est imposée et est constante. Une première limite est liée à l’échauffement maximal des bobinages d’induit et d’excitation. Ce qui se traduit par des arcs de cercle dont les rayons dépendent soit de « I » pour les bobinages d’induit, soit de « E » pour le bobinage d’excitation. « E », car c’est le courant d’excitation qui permet de régler la valeur de « E ». Dans la zone délimitée par les cercles, l’échauffement maximal admissible par les bobinages d’induit (armature-heating limit sur la figure 2.32) et par celui d’excitation (field-heating limit sur la figure 2.32) ne sera pas dépassé.

102

2. Physique des centrales électriques

Q

Field heating limit

3V I

Armature heating limit P

2

V 3 --------X

V E 3 -------------X

 Figure 2.30  Présentation des limites dues aux échauffements.

Pmax

90°

δ

 Figure 2.31  La puissance active de l’alternateur est une fonction de l’angle « d ».

Le fonctionnement du générateur synchrone est non seulement limité par l’échauffement maximal admissible dans l’ensemble des bobinages mais aussi par la limite de stabilité mécanique en régime de fonctionnement permanent. La puissance active varie sinusoïdalement avec l’angle « d » (voir l’équation (2.28)) comme le montre la figure 2.31. Le générateur peut être chargé jusqu’à la valeur limite Pmax connue sous le nom de limite de stabilité en régime permanent (steady-state stability limit sur la figure 2.32). Théoriquement, lorsque l’angle « d » devient supérieur à 90°, le générateur « décroche », cela signifie qu’il n’est plus synchronisé avec le réseau. La limite de stabilité réelle est cependant plus difficile à déterminer en raison de la dynamique du système mécanique d’entraînement. D’autres contraintes supplémentaires, moins importantes, existent sur le fonctionnement de l’alternateur comme la limite de puissance due au système d’entraînement (prime mover limit

103

Le réseau électrique dans son intégralité

sur la figure 2.32) et la limite dite de sous-excitation (underexcitation limit sur la figure 2.32). L’ensemble de ces limites est présenté à la figure 2.32.

Q Field heating limit

Armature heating limit 3V I Prime mover limit P 2

V 3 --------X

V E 3 -------------X

Armature heating limit

δ Underexcitation limit Steady-state stability limit

 Figure 2.32  Présentation des limites de fonctionnement d’un alternateur.

Exercices 2.1

Expliquez en quatre étapes le processus de conversion d’énergie tel qu’il se déroule dans les centrales thermiques conventionnelles.

2.2

Mentionnez quatre types différents de centrales électriques traditionnelles.

2.3 Mentionnez deux technologies différentes pour la production d’énergie renouvelable et décrire les processus de conversion d’énergie. 2.4

104

Les questions suivantes portent sur les centrales géothermiques : a. Quel est l’ordre de grandeur de la puissance pour un seul puits thermique ? b. Pour quelle(s) raison(s) les centrales géothermiques sont-elles construites à proximité des puits thermiques ? c. Quelle est l’efficacité d’une centrale géothermique pour la production d’électricité ? d. Les centrales géothermiques sont-elles utilisées pour fournir une énergie électrique constamment ou bien sont-elles utilisées pour les demandes de pointe ?

2. Physique des centrales électriques

2.5

Différentes technologies de centrales électriques sont utilisées pour convertir les fluides hydrothermiques en électricité. Décrivez le processus de conversion d’énergie en fonction de l’état du fluide, pour : a. Une centrale à vapeur sèche b. Une centrale électrique à condensation c. Une centrale à cycle combiné

2.6

Quelle est la signification de l’expression « connecté à un réseau de puissance infinie » ?

2.7

Dessinez le schéma d’un générateur synchrone connecté à un réseau de puissance infinie et qui fournit une certaine puissance dans celui-ci : a. Un schéma explicatif comprenant la turbine, la machine synchrone et le réseau b. Le modèle électrique monophasé équivalent c. Le diagramme de Fresnel associé

2.8

Quelles sont les quatre conditions qui doivent être satisfaites avant qu’une machine synchrone puisse être connectée au réseau ?

2.9

Une machine synchrone triphasée a une tension à ses bornes de 1 pu et est reliée à un réseau de puissance infinie au moyen d’une réactance de 0,4 pu. La machine synchrone fournit une puissance active de 0,8 pu. La fem interne « E » est de 1,3 pu et la réactance de la machine est de 0,8 pu. Calculez la valeur de l’angle interne « d » de la machine synchrone.

2.10 Une machine synchrone triphasée, avec une réactance synchrone de 1,2 pu, est reliée à un réseau de puissance infinie par une réactance de 0,3 pu. La machine fonctionne à sa puissance maximale de 1,1 pu. La tension du réseau est V = 1∠0° pu. Calculez la valeur de la fem interne « E  » de la machine synchrone. 2.11 Indiquez le mode de fonctionnement d’un alternateur connecté à un réseau dans les trois cas suivants : a. Angle interne d > 0 b. d = 0 c. d < 0 2.12 Quelle est la valeur théorique maximale de l’angle interne « d » pour qu’il n’y ait pas « décrochage » de la machine synchrone du réseau ?

105

Le réseau électrique dans son intégralité

Références bibliographiques 1 Meadows, Donella H., Meadows, Dennis L., Randers, Jorgen, Behrens III, William W. The Limits to Growth, Universe Books, New York, 1972, ISBN 0-87663-165-0. 2 U.S. Energy Information Administration: How much U.S. electricity is generated from renewable energy?, U.S. Energy Information Administration, U.S. Department of Energy, Washington, May 5, 2016. http://www.eia.gov/ energy_in_brief/article/renewable_electricity.cfm (Accessed on 3 January 2017). 3 ENTSO-E. Statistical Factsheet 2015 - Provisional values as of 4 May 2016, ENTSO-E, 2016. 4 Akhmatov, Vladislav. Analysis of dynamic behaviour of electric power systems with large amount of wind power, Ph.D. thesis, Technical University Denmark, Denmark, 2006, ISBN 87-91184-18-5. 5 Slootweg, Johannes G. Wind power: modelling and impact on power system dynamics, Ph.D. thesis, Delft University of Technology, The Netherlands, 2006, ISBN 90-9017239-4. 6 Yang, H., Yao, G. ‘Hydropower development in Southwestern China’, IEEE Power Engineering Review, Vol. 22, Issue 3, March 2002, pp. 16-8. 7 Bull, S.R. Renewable Energy Today and Tomorrow, Proceedings of the IEEE, Vol. 89, Issue 8, August 2001, pp. 1216-1226.

106

3 Transport et distribution de l’énergie électrique

3.1 Introduction Pour introduire ce chapitre nous pourrions poser la question : pourquoi avons-nous des réseaux de transport et de distribution de l’énergie électrique ? Pour tenter de répondre à cette question, imaginez un monde sans lignes, sans câbles, sans transformateurs et dans lequel chaque maison et chaque entreprise produit et consomme sa propre électricité. La conséquence d’un tel système serait que chaque utilisateur devrait posséder et exploiter une capacité de production suffisante pour pouvoir alimenter toutes ses charges à leur puissance maximale et ainsi la sous-utiliser lorsque la charge serait moindre. Cette situation existe par exemple à bord des navires et des avions. On peut proposer de stocker de l’énergie pour fournir le surplus demandé lors des « pointes » de la demande. Cependant, stocker de l’énergie en grandes quantités est encore très coûteux même si cela est techniquement possible. La solution la plus économique est d’interconnecter son système avec ceux des voisins. C’est une solution intéressante tant que les demandes de pointe des différents clients ne se produisent pas en même temps.

107

Le réseau électrique dans son intégralité

Exemple 3.1 Interconnexion Deux voisins décident de connecter leurs systèmes électriques. Ils ont chacun un générateur de 5 kW installé pour pouvoir faire fonctionner un lave-vaisselle ou un lave-linge (séchant) avec d’autres charges domestiques. Quand ils connectent leurs systèmes et planifient leur lavage et leur séchage à des jours différents, ils peuvent utiliser un générateur de 5 kW au lieu de deux. En pratique, les pointes des demandes des différents clients en énergie électrique ne se produisent pas simultanément et il est donc beaucoup plus économique de mettre en commun la production. La variation de la demande nous permet d’installer des générateurs dans un système d’alimentation interconnecté avec une capacité de pointe inférieure à la somme des pointes des demandes et ainsi les dépenses d’investissement par client peuvent être considérablement réduites par rapport au cas d’un grand nombre de producteurs d’électricité indépendants. Les avantages d’un système d’alimentation interconnecté sont les suivants [1] : • Cela conduit à une meilleure efficacité globale du système car la puissance totale installée peut être inférieure à la somme des puissances des charges. • Cela améliore la fiabilité du système, car lorsque l’un des partenaires du pool de producteurs rencontre un problème (par exemple, lors d’une perte imprévue de puissance de production), les autres partenaires peuvent fournir la puissance manquante. • Il en résulte des écarts de fréquence plus petits. Dans un grand système interconnecté, un grand nombre de générateurs synchrones fonctionnent en parallèle. Lorsqu’il y a un déséquilibre entre la production et la consommation pendant une courte période, seul un faible écart de fréquence dans le système se produira car il y a suffisamment de masse en rotation dans le système (voir aussi section 5.1 : Introduction). • Il couvre une vaste zone géographique. Par exemple, le réseau européen et le pool énergétique nord-américain couvrent une zone avec plusieurs fuseaux horaires : la charge maximale du matin commencera à la même heure mais dans des fuseaux horaires différents. Il est possible d’adapter le type de centrale aux particularités régionales : l’hydroélectricité quand il est possible d’implanter des barrages, les centrales thermiques et nucléaires peuvent être construites là où l’eau est présente pour le refroidissement ou à proximité des ressources en combustible. Les éoliennes peuvent être érigées à un endroit où le vent est constant tout au long de l’année (sur terre ou au large). • Une répartition géographique de la production éolienne permettra de réduire les creux de puissance dus au manque de vent : par exemple s’il n’y a pas de vent au Danemark, il est peu probable que ce soit aussi le cas en Espagne en même temps. • Il facilite le traitement et le transport de l’énergie électrique car il devient possible d’échanger l’électricité avec les producteurs d’électricité connectés et de créer ainsi un marché de l’énergie électrique.

108

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Un système interconnecté présente également certains inconvénients car : • il doit y avoir une capacité d’interconnexion suffisante entre les différents partenaires du pool de producteurs d’énergie ; • il y a des pertes de puissance dans les lignes lors des échanges d’énergie ; • dans les grands systèmes interconnectés, la complexité du transport de l’électricité en parallèle peut imposer des contraintes plus élevées sur le système ; • il y a une organisation plus complexe à mettre en œuvre pour faire fonctionner le système interconnecté de façon harmonieuse. Certains de ces inconvénients peuvent être résolus en utilisant des liaisons en courant continu pour l’interconnexion entre de grandes zones d’alimentation ou des pools de producteurs (voir aussi section 1.3.1 : Systèmes AC et systèmes DC) ou en utilisant des dispositifs FACTS (acronyme anglais pour Flexible Alternative Current Transmission System) pour contrôler les transferts d’énergie (section 5.6 : Systèmes de transport FACTS).

3.2 Réseaux de transport et de distribution L’électricité est transportée et distribuée par des lignes aériennes ou des câbles souterrains (voir également la section 3.9). Le niveau de puissance et la distance sur laquelle elle doit être transportée déterminent la conception de base du système de transport et de distribution. Plus la distance et la puissance à transporter sont grandes, plus la tension nominale du système est élevée, comme illustré à la figure 3.1. Le réseau de transport qui a la tension nominale la plus élevée connecte les plus grandes centrales avec les sous-stations de transport 19 (voir la section 3.4 : Sous-stations), qui à leur tour fournissent les sous-systèmes de distribution 20. C’est le réseau de distribution qui fournit l’énergie électrique aux charges. Parfois, nous parlons de sous-systèmes de transport (ou de systèmes de transport régionaux ou de systèmes de distribution primaires). Il est à noter qu’il n’est pas toujours facile de mettre une frontière entre réseau de transport et réseau de distribution 21. Le système d’alimentation s’est développé au fil des ans 22, les niveaux de tension ont augmenté et la fonction originelle de certaines parties du système lors de la 19.  Note du traducteur : en France, le transport s’effectue avec des niveaux de tension compris entre 63 et 400 kV. Ces niveaux de tension sont dénommés HTB, pour haute tension de niveau B. 20.  Note du traducteur : en France, il existe deux niveaux de tension pour la distribution : soit 20 kV (nommé HTA, pour haute tension de niveau A, anciennement MT pour moyenne tension), soit 400 V (nommé BT). 21.  Note du traducteur : en France, les transformateurs pour le passage de la HTB à la HTA sont installés dans des « postes sources » et pour le passage de la HTA à la BT dans des « postes de transformation ». 22. Note du traducteur : début 2013, la puissance installée au Pays-Bas était de 30 GW (30 000 MW).

109

Le réseau électrique dans son intégralité

conception a changé en conséquence. La figure 3.2 montre les niveaux de tension et les transformateurs d’interconnexion aux Pays-Bas. Les réseaux 380 kV et 220 kV constituent l’épine dorsale du réseau hollandais ; ils transportent la majeure partie de la puissance. Les réseaux 150 kV, 110 kV et 50 kV ont également une fonction de transport et sont donc appelés sous-réseaux de transport 23. Les réseaux 10 kV et 20 kV alimentent les réseaux en basse tension et distribuent l’énergie électrique aux consommateurs. La transformation de 380 kV à 220 kV s’effectue dans trois sous-stations avec un ou deux transformateurs d’une puissance apparente comprise entre 500 MVA et 750 MVA. Il y a environ 20 sous-stations 24 où la tension est abaissée de 380 kV ou 220 kV à 150 kV ou 110 kV. Chaque sous-station dispose de un à quatre transformateurs de puissance apparente comprise entre 200 MVA et 500 MVA. Environ 40 sous-stations abaissent la tension à 50 kV avec des transformateurs de puissance apparente de 100 MVA et environ 180 sous-stations 25 (appelées « poste source ») relient directement la tension au niveau de distribution 10 kV et 20 kV avec des transformateurs de puissance apparente allant de 20 MVA à 80 MVA. La partie nord-est des Pays-Bas, moins densément peuplée que le reste du pays, concentre localement les charges et la tension passe directement du niveau de transport de 220 kV au niveau de distribution de 20 kV. 2000

750 kV 380 kV

1000 500

220 kV 110 kV

200 Power [MVA] 100 50

20 10 10

20 50 100 200 500 Transmission distance [km]

 Figure 3.1  Niveaux de tension pour le transport de l’électricité (en alternatif triphasé).

23.  Note du traducteur : en France, ce réseau est nommé réseau de répartition. 24.  Note du traducteur : avec 30 GW installés, cela fait environ 1 500 MW par sous-station. 25.  Note du traducteur : avec 30 GW installés, cela fait environ 150 MW par poste source.

110

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

220 kV

380 kV

High voltage 110 kV

150 kV

110 kV

50 kV

Intermediate voltage

10 kV

10 kV

10 kV ∗

10 kV ∗

20 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

Medium voltage

Low voltage

 Figure 3.2  Niveaux de tension du réseau électrique hollandais [2]. *On peut trouver soit du 10 kV, comme indiqué, soit du 20 kV.

La distance moyenne entre les sous-stations de 380 kV est de 50 km et entre les stations de 220 kV de 35 km. Les sous-stations à un niveau de tension intermédiaire 50 kV, 110 kV et 150 kV sont distantes de 10-15 km, tandis que la distance moyenne entre les stations d’alimentation 10-20 kV / 400 V (appelées « postes de transformation ») est d’un kilomètre ou moins selon la situation locale. Chaque « poste de transformation » 10-20 kV / 400 V dessert entre 50 et 100 clients (maisons connectées au réseau basse tension). Un seul « poste source » (HTB/HTA) alimente entre 250 et 500 « poste de transformation » (HTA/BT) 10-20 kV / 400 V. Le réseau à haute tension néerlandais est illustré à la figure 3.3. Le réseau de 380 kV et le réseau de 220 kV sont des systèmes en boucle dans lesquels chaque poste est alimenté par deux arrivées ou par deux sources. Le réseau 380 kV transporte l’énergie électrique vers l’ouest, le sud et le centre des Pays-Bas et le réseau 220 kV dessert la partie nord-est du pays. Les plus grandes centrales alimentent directement le réseau 380 kV tandis que les petites centrales sont connectées aux niveaux intermédiaires et moyens.

111

Le réseau électrique dans son intégralité

 Figure 3.3  Réseau de transport haute tension du réseau électrique hollandais. (Reproduit avec l’autorisation de TenneT TSO B.Y.)

3.3 Structures des réseaux Le réseau électrique est constitué de lignes (aériennes) 26, de câbles (souterrains) et de transformateurs situés dans des sous-stations. Le nombre de transformations des niveaux de tension du plus élevé au plus bas détermine la structure principale du réseau électrique ainsi que le nombre de « poste source » pour l’alimentation des

26.  Note du traducteur : une ligne est aérienne et un câble est souterrain. Par la suite, nous serons amenés à enlever ces adjectifs.

112

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

charges. Un réseau d’alimentation utilisant un seul « poste source » peut avoir trois configurations, comme illustré à la figure 3.4 27 : • une structure radiale 28, dans laquelle toutes les sous-stations (ou consommateurs) sont alimentées par des lignes ou des câbles connectés directement à un « poste source ». Un réseau avec une structure radiale est moins coûteux à construire ; • une structure en boucle 29, dans laquelle chaque sous-station (ou consommateur) du système est alimentée par deux directions. Les réseaux avec une structure en boucle sont plus fiables mais plus coûteux à construire ; • une structure multi-boucle 30, dans laquelle les sous-stations (ou consommateurs) peuvent être alimentées par plus de deux directions ; Les réseaux à structure multi-boucle sont très fiables, mais plus coûteux. Dans la figure 3.4, le symbole est placé sur des parties où il est possible d’ouvrir une boucle dans le réseau. Pendant le fonctionnement, l’opérateur du système peut créer des « ouvertures » dans le réseau au moyen de dispositifs de commutation de sorte que les structures en boucle et multi-boucle peuvent être exploitées comme des réseaux radiaux. C’est une pratique courante dans les réseaux de distribution néerlandais ; la plupart de ces réseaux ont une structure en (multi-) boucles mais sont exploités comme des réseaux radiaux car cela permet de garder une protection du réseau simple. Après une situation de panne, par exemple un court-circuit, une ouverture de réseau peut être « déplacée » afin de changer la configuration du réseau et de rétablir l’alimentation en énergie comme indiqué sur la figure 3.5.

(a)

(b)

(c)

 Figure 3.4  Structures des réseaux alimentés avec un seul « poste source ». (a) structure radiale ; (b) structure en boucle ; (c) structure en multi-boucle.

27.  Note du traducteur : en France, on retrouve ces trois structures mais seule la structure radiale utilise un seul « poste source ». Les deux autres utilisent deux « postes sources ». 28.  Note du traducteur : cette structure radiale est également nommée en « antenne ». 29.  Note du traducteur : en France, la boucle permet de relier deux « postes sources ». Cette structure est nommée « boucle ouverte » ou « coupure d’artère ». 30.  Note du traducteur : en France, chaque boucle permet de relier deux postes sources et de doubler les liaisons. Cette structure est nommée « double dérivation ».

113

Le réseau électrique dans son intégralité

 Figure 3.5  Reconfiguration d’un réseau de structure radiale après la présence d’un défaut.

 Figure 3.6  Structure d’un réseau maillé comportant plusieurs « postes sources ».

Un réseau d’alimentation à multiples « postes sources » a presque toujours une structure multi-boucle (voir la figure 3.6). Les réseaux de transport sont généralement exploités dans ce type de structure car la fiabilité est élevée. Dans le cas où un défaut se produit dans un système multi-boucle, l’alimentation en énergie électrique peut (habituellement) être maintenue. Imaginons que l’alimentation gauche (la ligne pointillée) de la figure 3.6 soit court-circuitée, le départ sera isolé du réseau (par les dispositifs de protection et les disjoncteurs), ce qui implique que l’alimentation du côté gauche est interrompue. Cependant, nous avons toujours une alimentation à partir du côté droit qui alimente toutes les sous-stations (poste de transformation HTA/BT) dans la structure multi-boucle.

114

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

3.4 Sous-stations La façon la plus simple de « voir » le réseau de transport de l’énergie électrique est de le considérer comme un ensemble de nœuds que nous remplaçons par des sousstations et des moyens de connexion tels que des lignes et des câbles. Au moyen des sous-stations, la puissance d’une centrale peut être répartie dans le réseau et peut être distribuée aux consommateurs. En outre, des transformateurs peuvent être installés dans les sous-stations afin d’interconnecter différents niveaux de tension. Les sous-stations jouent un rôle important dans la protection du système électrique. Dans les sous-stations, l’équipement de protection (transformateurs de tension, transformateurs de courant et relais de détection, voir la section 3.6) est installé avec les disjoncteurs et les sectionneurs qui effectuent les commutations. De plus, la mise à la terre du système est établie dans les sous-stations et les mesures des grandeurs électriques sont transmises vers les centres de contrôle (voir également la section 6.1). Une sous-station se compose essentiellement d’un certain nombre d’entrées et de sorties pour le raccordement au réseau électrique qui sont connectées à un (ou plusieurs) jeu(x) de barres, de disjoncteurs, de sectionneurs et de transformateurs de mesure. À la figure 3.7, une photo d’une sous-station à ciel ouvert est présentée. Le disjoncteur, présenté à la figure 3.8, est un dispositif de commutation mécanique capable de conduire ou de couper les courants dans des conditions de fonctionnement normales, mais aussi et surtout d’interrompre des courants dans des conditions anormales comme dans le cas d’un court-circuit. Les sectionneurs sont des éléments de sécurité car ils sont actionnés en l’absence de courant, mais ils permettent de visualiser si une connexion est ouverte ou fermée. Un exemple de sectionneur à pantographe est présenté à la figure 3.9. Ils se différencient des disjoncteurs car ils ne sont pas dimensionnés pour couper des courants. Par conséquent, un sectionneur ne peut pas être ouvert lorsqu’il conduit un courant et ne peut pas être fermé lorsqu’une tension apparaît à ses bornes en position ouverte. Néanmoins, un sectionneur peut interrompre un courant faible lorsque, après ouverture, une tension négligeable apparaît entre ses bornes. Les transformateurs de mesure de la sous-station comme les transformateurs de tension et les transformateurs de courant fournissent des valeurs mesurées de la tension et du courant aux relais de protection et aux équipements de mesure. Les relais de protection ont pour tâche de détecter et de localiser les perturbations dans le système telles que les courts-circuits et d’isoler uniquement la partie défectueuse du réseau en ouvrant le (ou les) disjoncteur(s) approprié(s). Lorsque l’espace est disponible, les sous-stations sont érigées à l’air libre qui sert de milieu isolant. Ces sous-stations à ciel ouvert nécessitent un espace limité mais offrent des avantages : montage rapide, réparations et extensions faciles et possibilité d’installer des composants de différents fabricants. Lorsque la sousstation est localisée à proximité d’une zone industrielle ou dans une région côtière, elle peut être construite dans un espace fermé. Si l’espace disponible est limité, le choix technologique se porte pour une isolation gazeuse par SF6. Dans une telle station à isolation gazeuse, les parties sous tension sont situées à l’intérieur d’une enceinte métallique mise à la terre. Le gaz SF6 sous pression sert de milieu isolant

115

Le réseau électrique dans son intégralité

dans l’enceinte. Le SF6 pressurisé (à une pression de 5 atm) est un très bon isolant car la tenue en tension est environ 12 fois plus élevée que dans l’air atmosphérique. Une sous-station au gaz SF6 ne nécessite que 20 % de l’espace d’une sous-station à ciel ouvert de puissance comparable. À la figure 3.10, est présenté le circuit d’alimentation d’une sous-station isolée au SF6.

 Figure 3.7  Une sous-station à ciel ouvert. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO B.Y.)

 Figure 3.8  Trois disjoncteurs monophasés. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO B.Y.)

116

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

 Figure 3.9  Sectionneur à pantographes en position ouverte. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO B.Y.)

9 2

2

3

3 7

3

3

6

4

4

8

6 5

1

1. Interrupter driving mechanism 2. Busbars 3. Busbar disconnectors 4. Current transformer 5. Interrupter

10

6. Cable disconnector 7. Voltage transformer 8. Cable bushing 9. Earthing disconnector 10. Interrupter-pole enclosure

 Figure 3.10  Circuit d’alimentation d’une sous-station isolée au SF6 (E-SEP 245 kV). (Reproduit avec la permission d’Eaton Holec. (1. Mécanisme d’entraînement de l’interrupteur ; 2. Jeux de barres ; 3. Sectionneur du jeu de barres ; 4. Transformateur de courant ; 5. Disjoncteur ; 6. Sectionneur de câble ; 7. Transformateur de tension ; 8. Douille de câble ; 9. Sectionneur de mise à la terre ; 10. Boîtier de disjoncteur).)

117

Le réseau électrique dans son intégralité

3.5 Structure d’une sous-station Une sous-station se compose essentiellement d’un certain nombre de lignes de raccordement entrantes et sortantes qui sont connectées à un ou plusieurs jeux de barres. La manière la plus simple de réaliser l’interconnexion entre les départs est de les connecter à un seul jeu de barres. Cette solution est cependant peu fiable et peut être améliorée du point de vue de la sécurité, de la maintenance et de la flexibilité. Dans les sections suivantes, certains de ces concepts sont présentés.

3.5.1

Système à jeu de barres unique

Le système de jeu de barres unique avec un sectionneur par départ (bus disconnector sur la figure 3.11) est un dispositif simple (voir figure 3.11), facile à utiliser et à protéger. Cependant, ce système de jeu de barres unique présente les inconvénients suivants : • lorsque la maintenance doit être effectuée au niveau du sectionneur d’entrée, la sous-station complète doit être mise hors service ; • un défaut au niveau du jeu de barres entraîne la déconnexion de tous les départs ; • lorsque la maintenance doit être effectuée sur un sectionneur du jeu de barres (tie disconnector sur la figure 3.11), au moins deux départs doivent être mis hors service. Lorsque le sectionneur de chaque départ (bus disconnector sur la figure 3.11) est remplacé par un disjoncteur (circuit breaker sur la figure 3.11) associé à des sectionneurs en série, le risque de déconnexion de tous les départs en cas de défaillance du bus est moindre, mais la complexité qui était l’avantage initial du système avec un jeu de barres unique augmente. Tie disconnector Bus disconnector = Disconnector = Circuit breaker

 Figure 3.11  Système un jeu de barres.

3.5.2

Système à double jeu de barres

Le système à double jeu de barres (voir figure 3.12) est un concept souvent appliqué. Chaque départ comporte deux sectionneurs qui peuvent connecter le départ à l’un des deux jeux de barres. Les deux jeux de barres peuvent être reliés par un disjoncteur de couplage (coupling breaker sur la figure 3.12).

118

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Dans le cas d’un défaut au niveau d’un des deux jeux de barres, le disjoncteur de couplage et les disjoncteurs des départs raccordés au jeu de barres défaillant sont déclenchés. Le principal avantage de la configuration à double jeu de barres est que l’alimentation peut être rétablie en commutant les départs déconnectés sur l’autre jeu de barres (sain). Le système à double jeu de barres présente d’autres avantages, à savoir : • lorsque la maintenance doit être effectuée sur l’un des deux jeux de barres, aucune ligne d’alimentation ne doit être mise hors service ; • il existe une protection raisonnablement sélective des départs individuels et des jeux de barres ; • la conception du poste est assez simple et son fonctionnement n’est pas trop compliqué ; • seul un disjoncteur de couplage défectueux peut entraîner la déconnexion des deux jeux de barres.

Bus disconnector Coupling breaker

 Figure 3.12  Système à double jeu de barres.

3.5.3

Système à jeux de barres en polygone

Dans le concept de jeux de barres simple et double, les disjoncteurs sont placés en série avec les départs. Dans le concept de sous-station polygonale (voir figure 3.13), tous les disjoncteurs font partie du système de jeux de barres.

 Figure 3.13  Système à jeu de barres polygonal.

119

Le réseau électrique dans son intégralité

Lorsqu’une charge doit être connectée ou déconnectée, deux disjoncteurs doivent s’ouvrir. Après une opération de commutation du sectionneur d’alimentation, les deux disjoncteurs peuvent être fermés à nouveau. La disposition du poste polygonal présente trois avantages par rapport au jeu de barres unique et au concept de double jeu de barres : • la maintenance sur un disjoncteur peut être effectuée sans déconnexion d’un départ et sans « by-pass » supplémentaire ; • un défaut sur le jeu de barres n’entraîne que la déconnexion d’un seul conducteur ; • un disjoncteur défectueux met seulement deux départs hors service, indépendamment du nombre de départs connectés.

3.5.4

Concept de un « disjoncteur et demi »

Le concept dit de un « disjoncteur et demi » (voir figure 3.14) combine la fiabilité et la possibilité de dérivation du concept de sous-station polygonale tout en conservant une certaine flexibilité de la sous-station à double jeu de barres. Comparé au système à double jeu de barres, chaque départ dispose d’un disjoncteur supplémentaire (partagé), mais le disjoncteur de couplage est manquant. De même que pour la topologie polygonale, deux disjoncteurs doivent fonctionner lorsqu’une charge doit être connectée ou déconnectée. Il y a également plus de sectionneurs (et de sectionneurs de mise à la terre). Le résultat est un plan de commutation complexe et par conséquent des procédures de commutation moins simples. L’équipement d’automatisation et de protection de postes sophistiqués est donc une exigence supplémentaire. Les avantages du concept de un « disjoncteur et demi » sont les mêmes que pour le concept de jeux de barres en polygone : • maintenance des disjoncteurs avec tous les départs en service ; • un seul conducteur hors service dans le cas d’un défaut sur le jeu de barres ; • seulement deux départs sont hors service lorsque l’un des disjoncteurs du jeu de barres est hors service.

 Figure 3.14  Concept de « un disjoncteur et demi ».

120

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

3.6 Protection des réseaux de transport

et de distribution

Avec la dépendance croissante de notre société à l’égard de l’énergie électrique, la nécessité d’atteindre un très haut niveau de fiabilité, de qualité et de sécurité tout en minimisant le coût économique est une demande importante de la part des clients. Le réseau électrique est aussi conçu et entretenu pour minimiser le nombre de défauts qui peuvent survenir. Dans des conditions de fonctionnement normales, un système triphasé peut être traité comme un système monophasé lorsque les charges, les tensions et les courants sont équilibrés (voir également la section 1.3.3). Le modèle monophasé est plus simple à utiliser qu’un modèle triphasé pour les calculs. Un défaut amène le système à fonctionner de manière anormale, par exemple lorsqu’un court-circuit survient. Un défaut est préoccupant, car en plus des impacts thermiques et mécaniques, l’ouverture du circuit électrique entraîne souvent des surtensions transitoires. Dans les réseaux de transport et de distribution, les défauts surviennent lorsque les lignes se touchent entre elles ou bien lorsque l’une d’elles touche le sol. Les défauts triphasés, lorsque les trois lignes se touchent ou tombent au sol, ne se produisent que dans un faible pourcentage de cas, mais constituent des défauts très graves pour le réseau et ses composants. Les défauts entre les lignes et le sol surviennent à cause du vent, de la présence de glace ou d’une chute d’arbre et la majorité de ces défauts sont des défauts monophasés « phase-terre ». Les défauts entre lignes sont généralement le fait, soit de lignes oscillantes (en raison des vents violents, voir aussi la section 3.9.1), soit d’une ligne sectionnée qui tombe sur une autre ligne. Nous voyons que dans la majorité des défauts, le système électrique n’est plus équilibré. Afin d’analyser les défauts dans les réseaux triphasés déséquilibrés, nous appliquons le « théorème de superposition ». C’est-à-dire que le fonctionnement d’un système linéaire est la somme de chaque fonctionnement particulier pris indépendamment. Ainsi la cause du déséquilibre peut être isolée pour l’étude, le reste du système étant considéré comme n’ayant pas d’influence et nous utilisons l’outil mathématique de changement de base, nommé en électricité « composantes symétriques ». La méthode des composantes symétriques appliquée à l’analyse des défauts sort du cadre de ce livre mais est traitée dans de nombreux ouvrages (en particulier [3]). Des systèmes de déclenchement sont installés pour éliminer les défauts (comme les courts-circuits) pour éviter d’endommager les câbles, les lignes, les jeux de barres et les transformateurs. Des transformateurs de tension et des transformateurs de courant fournissent des mesures des tensions et des courants en temps réel aux dispositifs de déclenchement qui traitent les données et déterminent, en fonction de leurs paramètres, s’ils doivent ou non utiliser un disjoncteur pour isoler les sections ou les composants défectueux. Le dispositif de déclenchement classique est le relais électromagnétique qui est construit avec des composants électriques, magnétiques et mécaniques. De nos jours, ce sont les déclencheurs électroniques et informatisés qui sont le plus utilisés, car ils offrent de nombreux avantages comme effectuer un autodiagnostic, enregistrer des

121

Le réseau électrique dans son intégralité

événements et des perturbations dans une base de données et s’intégrer dans l’environnement de communication, de mesure et de contrôle des sous-stations. Un dispositif de déclenchement fiable est indispensable pour un réseau électrique. En cas de panne ou de situation anormale du réseau (fluctuations des tensions, des fréquences, surintensité, etc.), le dispositif de déclenchement doit réagir pour isoler la section concernée tout en laissant le reste du réseau en service. Le dispositif de déclenchement doit être suffisamment sensible pour fonctionner en cas de problème, mais doit être réglé pour ne pas s’ouvrir lorsque le système fonctionne à son courant nominal maximal. Il existe également des défauts de nature transitoire comme ceux dus à la foudre sur (ou à proximité) une ligne de transport et il n’est pas souhaitable que ces défauts conduisent à une perte d’alimentation. Par conséquent, les dispositifs de déclenchement sont généralement équipés d’une fonctionnalité de ré-enclenchement automatique. Celui-ci implique que le dispositif de déclenchement directement après avoir détecté une situation anormale conduisant à l’ouverture du disjoncteur commande de le refermer afin de vérifier si la situation anormale est toujours présente. En cas de défaut de nature transitoire, la situation normale risque d’être à nouveau rétablie de sorte qu’il n’y ait pas de perte d’alimentation. Lorsque la situation anormale est toujours présente, le dispositif de déclenchement ré-enclenche de façon successive le disjoncteur ou bien le commande définitivement à l’ouverture afin que le défaut soit étudié. Dans la plupart des cas, un dispositif de secours est installé afin d’améliorer la fiabilité. Lorsque les dispositifs de déclenchement et les disjoncteurs ne sont pas économiquement justifiables dans certaines parties du réseau, des fusibles peuvent être utilisés. Un fusible combine les « fonctionnalités de base » du transformateur de courant, du dispositif de déclenchement et du disjoncteur dans un dispositif très simple. L’élément fusible est directement chauffé par le courant et est détruit lorsque celui-ci dépasse une certaine valeur, conduisant ainsi à une isolation des sections ou composants défectueux. Une fois le défaut réparé ou supprimé, le fusible doit être remplacé pour que la section isolée du réseau puisse être remise sous tension.

3.6.1

Principes de fonctionnement des dispositifs de déclenchement

Le réseau électrique comprend de nombreux constituants demandant un investissement financier important et la sécurité de fonctionnement est la préoccupation principale. Bien que les systèmes soient parfaitement conçus et réalisés, des défauts dont l’origine peut être soit interne soit externe peuvent survenir à tout moment. Le dispositif de déclenchement doit pouvoir les détecter et pour cela, il utilise les tensions et les courants dans l’entourage du composant ou de la zone à protéger. Des informations sur l’état des disjoncteurs et des interrupteurs, qu’ils soient ouverts ou fermés, peuvent également être utilisées. Un système de déclenchement doit utiliser les informations appropriées, les traiter pour établir un diagnostic et pour initier une action. Il est évident que le dispositif de déclenchement doit être capable de faire la distinction entre les conditions de fonctionnement normales et anormales. Les conséquences

122

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

de l’apparition d’un arc électrique, très énergétique, au moment de l’apparition d’un défaut peuvent être très dommageables. L’arc peut détruire des conducteurs en cuivre ou souder ensemble les tôles d’un circuit magnétique en quelques dizaines de millisecondes. Outre l’apparition d’un arc, le défaut peut donner naissance à des courants importants qui provoquent de fortes forces d’attraction entre les conducteurs (des lignes, des jeux de barres, des transformateurs et des machines électriques), très dommageables si le défaut persiste plusieurs secondes. La mise en place d’un système de protection adéquat pour détecter les défauts et déconnecter les constituants fait donc partie intégrante de la conception du réseau électrique. Le système de protection est l’ensemble complet de l’équipement qui permet de protéger un dispositif électrique en ouvrant la partie du circuit où le défaut apparaît. Cet ensemble comprend des composants opérationnels pour l’ouverture physique du circuit électrique (fusibles, disjoncteurs) et des éléments qui permettent la détection de défauts et la commande d’interrupteurs tels que des transformateurs de courant. Il existe différents types de relais de déclenchement qui répondent à diverses caractéristiques du réseau électrique. Par exemple, l’observation de l’amplitude du courant peut être suffisante dans certains cas, mais dans d’autres cas, il peut être nécessaire de mesurer la puissance transmise ou les impédances du réseau. Pour limiter l’étendue du réseau déconnecté en cas de défaut, la protection est organisée en zones (voir figure 3.15). Dans le cas idéal, les zones devraient se chevaucher. Cela signifie que le disjoncteur est placé dans une partie commune à deux zones (voir figure 3.16). Les emplacements des transformateurs de courant permettent aussi le chevauchement des zones. À la figure 3.17 (a), un transformateur de courant est lié à la protection du départ (feeder protection) et l’autre à la protection du jeu de barres (busbar protection). En pratique, les transformateurs de courant sont installés du même côté (en aval) d’un disjoncteur. Cette situation est illustrée à la figure 3.17 (b). Dans ce cas, si un défaut apparaît au point « F », il provoquerait l’ouverture du disjoncteur et la protection déclenchement du jeu de barres. Mais le défaut pourrait continuer à être alimenté par le départ si son système de déclenchement est tel qu’il ne répond qu’aux défauts situés dans sa propre zone et donc ne fonctionnera pas parce que le défaut est en dehors de sa zone. Les courants augmentent généralement en amplitude et celle des tensions diminue pendant un court-circuit. Outre ces variations d’amplitudes, les angles de déphasage peuvent varier tout comme les contenus harmoniques, les puissances actives et réactives ainsi que la fréquence. Les principes de fonctionnement du système de déclenchement reposent sur la détection de ces changements et sur l’identification de la zone dans laquelle le défaut se produit. La détection de niveau ou la discrimination en fonction de l’amplitude du courant est le principe de fonctionnement le plus simple. L’amplitude du courant de défaut est presque toujours supérieure à l’amplitude du courant nominal. Des défauts dans différentes parties du réseau provoquent des courants de défaut d’amplitudes différentes en raison des impédances entre la source d’alimentation et l’emplacement du défaut. Les réglages des niveaux de courants sont tels qu’ils assurent une sélectivité et permettent que ce soit le disjoncteur en amont le plus proche du défaut qui soit déclenché et ainsi l’alimentation est maintenue dans les parties saines du réseau.

123

Le réseau électrique dans son intégralité

Zone 1

Zone 2

Zone 3

Zone 4

Feeder 1

Feeder 2

Feeder 3

Zone 5

Zone 6

Zone 7

 Figure 3.15  Présentation de différentes zones de protection d’un réseau.

 Figure 3.16  Chevauchement des zones de protection.

124

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Busbar protection

Busbar protection F

Feeder protection (a)

Feeder protection (b)

 Figure 3.17  Dispositions des transformateurs de courant.

Un tel système de déclenchement est réglé en fonction des niveaux des courants admissibles par les différents constituants du réseau. Il est aussi possible de le paramétrer en fonction des niveaux de tension, par exemple lorsqu’il y a des sous-tensions. Mais l’autre critère important à prendre en compte est le temps. Dans ce cas, l’idée de base est d’ajouter des fonctions de décalage temporel aux systèmes de contrôle d’un certain nombre de disjoncteurs dans le réseau, de sorte que les disjoncteurs les plus proches du défaut se déclenchent toujours en premier. Pour cela, prenons comme exemple la ligne radiale simple de la figure 3.18. La ligne traverse les stations de transformation A, B, C et D et un disjoncteur est installé à la sortie de chacune d’elles. Les disjoncteurs sont identiques et le réglage de déclenchement est tel qu’ils se déclenchent lorsque la valeur efficace du courant de ligne dépasse 2 000 A. Si le défaut apparaît sur la section de ligne CD, tous les disjoncteurs situés sur la même ligne s’ouvriront et toute l’alimentation au-delà de A sera perdue. Supposons au contraire que nous sommes en mesure d’ajouter des fonctionnalités de décalage temporel au contrôle des disjoncteurs, comme suit : D - pas de délai supplémentaire C - 0,4 seconde de retard par rapport à D B - 0,4 seconde de retard par rapport à C A - 0,4 seconde de retard par rapport à B Dans ce cas, après l’apparition d’un défaut dans la section de ligne CD, le disjoncteur en C s’ouvrira et déconnectera le défaut avant que le disjoncteur en B ne se déclenche. Un intervalle de temps de l’ordre de 0,4 seconde est nécessaire pour qu’un disjoncteur puisse s’ouvrir avant que le disjoncteur situé en amont ne soit déclenché. Les méthodes de discrimination des défauts utilisant les amplitudes des courants et le temps ont une certaine limitation et ne sont applicables qu’à des configurations de réseaux simples. Par exemple, si l’on autorise une certaine amplitude du courant pendant un certain temps et bien pendant ce laps de temps une surintensité supérieure ne sera pas détectée. Ces limitations peuvent être réduites si le système de détection est capable de mesurer la distance entre le disjoncteur et l’emplacement du défaut. Si cette distance est inférieure à celle du disjoncteur suivant, le défaut est dans la section contrôlée par le disjoncteur concerné et c’est celuici qui se déclenchera. Si la distance est supérieure à celle du disjoncteur suivant du

125

Le réseau électrique dans son intégralité

point de connexion, le défaut est au-delà de la section contrôlée par le disjoncteur concerné et il ne se déclenchera pas. Pour la ligne radiale simple de la figure 3.18, le disjoncteur du poste de transformation A ne se déclenchera que si la distance jusqu’au défaut est inférieure à la distance entre A et B. Le disjoncteur du poste de transformation B ne se déclenchera que pour un défaut situé à une distance inférieure à la distance entre B et C et ainsi de suite.

A

B

C F D

 Figure 3.18  Étude d’une liaison radiale simple.

Les réseaux électriques sont des systèmes physiques complexes. Ainsi les méthodes de détection de défaut décrites jusqu’ici ne sont pas toujours adéquates. Le courant issu d’un défaut peut traverser des circuits non défaillants et ce courant tend à faire fonctionner leur système de déclenchement. Il est pratiquement impossible d’obtenir une discrimination correcte dans toutes les conditions, par exemple, lorsqu’il existe des chemins parallèles pour le courant de défaut. Ceci explique le besoin d’un déclenchement dont la portée est limitée à un seul élément du réseau. Un tel système de déclenchement peut être obtenu en utilisant le principe selon lequel les valeurs des courants en deux (ou plus) points du circuit peuvent être continuellement équilibrées par un relais approprié. Ce concept est appelé comparaison différentielle. Son principe est illustré à l’aide d’un enroulement d’une machine électrique présenté à la figure 3.19. Le courant I1′ entrant par une extrémité doit être

126

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

égal au courant I2′ sortant à l’autre extrémité. Lorsqu’une erreur se produit entre les deux extrémités, les deux courants ne sont plus égaux et les courants aux secondaires des transformateurs de courant (I1 et I2) ne s’équilibrent pas. La différence entre les deux courants secondaires (I1-I2) circulera dans le relais. L’inconvénient du relais différentiel est qu’il nécessite des courants provenant des extrémités d’une même zone de déclenchement, ce qui limite son application aux composants tels que des transformateurs, des machines électriques, des jeux de barres, des condensateurs, des inductances, etc. I'1

I'2

I1

I2 R (I1 – I2)

 Figure 3.19  Système de protection appliqué à une phase d’une machine électrique.

3.6.2

Fusibles

Le fusible est le plus ancien et le plus simple dispositif de protection par déclenchement. Les premiers pionniers, comme Michael Faraday, avaient observé qu’un fil pouvait « fondre » (fusion thermique) avec un courant électrique et c’est ainsi que le fusible est né. Les premiers fusibles étaient constitués d’un filament dénudé fixé entre deux bornes. Des recherches ont permis d’abaisser le point de fusion et, par exemple, Thomas Edison proposa d’utiliser un fil en plomb et d’autres personnes le zinc. Mais au fur et à mesure que les puissances des dispositifs augmentaient, la fusion du filament devenait de plus en plus violente. Il fut nécessaire de le placer dans un tube de manière à limiter les impacts des arcs créés au moment de sa fusion. La maturité technologique du fusible a été atteinte par l’introduction du fusible à cartouche. L’inconvénient du fusible est qu’il ne peut être déclenché qu’une seule fois contrairement au disjoncteur. Mais un fusible correctement choisi atteindra sa fusion toujours avant la partie du circuit qu’il protège. Plus la valeur efficace du courant est importante, plus la fusion du fusible est rapide et celui-ci permet d’interrompre un courant très important dans un temps beaucoup plus court qu’un disjoncteur – si court que le courant sera coupé avant qu’il n’atteigne sa valeur crête présumée, ce qui dans un système à 50 Hz implique une coupure en moins de 5 ms. Les forts gradients de température ainsi que les forces électromécaniques dommageables sont ainsi évités. La possibilité de limiter les courants de manière rapide et certaine est utilisée dans de nombreuses installations industrielles à basse tension. Mais l’usage unique du fusible implique de pouvoir le remplacer (personnel de maintenance qualifié et nécessité d’avoir des fusibles de rechange) en minimisant le temps pendant lequel la partie du circuit concernée n’est pas opérationnelle.

127

Le réseau électrique dans son intégralité

Dans un circuit triphasé, un défaut monophasé à la terre entraîne la déconnexion d’une phase tandis que les deux autres phases restent connectées. Les fusibles pour les applications en haute tension nécessitent une capacité de coupure élevée. La cartouche est constituée de matériau résistant, généralement en céramique. Elle contient, outre l’élément fusible, un matériau destiné à absorber l’énergie thermique dégagée lors de la fusion tel que du quartz en poudre comme le montre la figure 3.20. Ceramic cartridge Quartz powder filler Fuse element

Metal end cap

 Figure 3.20  Structure d’un fusible.

Nous avons vu que les fusibles peuvent limiter très rapidement une forte augmentation de la valeur du courant. Les fusibles protègent les câbles avec ce que l’on appelle le « I 2t ». Avec cette notion, nous pouvons voir qu’ils peuvent aussi limiter une faible surcharge dans un temps plus long. Une surcharge est définie lorsque la valeur efficace du courant est supérieure de 10 % de la valeur efficace nominale. Certains fusibles sont dimensionnés pour leur effet limiteur de l’amplitude du courant, alors que d’autres le sont pour leur effet limiteur de surcharges. Dans les fusibles limiteurs d’amplitude du courant, l’élément fusible est chauffé si rapidement qu’il n’y a pas d’échange de chaleur avec l’environnement (échange adiabatique). Il y a alors une température uniforme le long du filament et il y a une fusion uniforme. Le filament devient ainsi un cylindre liquide de nature instable et se décompose en une série de gouttelettes. Le courant est contraint de passer à travers elles car la silice environnante est un isolant électrique. En conséquence, la chute de tension au début de la création de l’arc est considérable et entraîne une suppression rapide du courant. Le nombre de gouttelettes par centimètre est d’environ 10-12 et comme la chute de tension d’un arc court est d’environ 20 V, la chute de tension totale est d’environ 200-250 V/cm. L’augmentation de la tenue en tension du fusible dépend de la longueur et de la conception de l’élément de fusible. Lors de la fusion de ce type de fusible, la tension d’arc s’oppose à la croissance du courant et permet de diminuer le temps nécessaire à l’annulation du courant. Le fusible limite l’amplitude et la durée du courant de défaut, d’où le nom de « limiteur de courant ». Le fusible limiteur de courant introduit une surtension

128

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

pendant l’ouverture du fusible. Les autres fusibles qui ne sont pas limiteurs de courant, mais plutôt utilisés pour les surcharges, fondent dans les mêmes circonstances, mais lors de la fusion du filament, la valeur de la résistance électrique du fusible est faible de sorte que l’amplitude du courant ne varie quasiment pas alors que le fusible est en train de fondre. Une action d’expulsion (c’est-à-dire où le gaz est généré par l’arc et expulsé avec le matériau ionisé) produit un espace physique tel qu’au passage par zéro du courant, l’arc ne se rallume pas et le courant est interrompu. Le fusible d’expulsion limite la durée du courant de défaut mais pas son amplitude [4].

3.6.3

Disjoncteurs

Un disjoncteur « haute tension » est un élément indispensable du réseau électrique. La tâche principale d’un disjoncteur est d’interrompre les courants de défaut et d’isoler les parties défaillantes du système. Outre les courants de court-circuit, un disjoncteur doit également être capable d’interrompre une grande variété d’autres courants tels que les courants capacitifs, les petits courants inductifs et les courants demandés par les charges. Voici les principales exigences demandées à un disjoncteur : • Être un bon conducteur en position fermée. • Être un bon isolant en position ouverte. • Avoir un temps d’ouverture très court. • Ne pas provoquer de surtensions lors de l’ouverture. • Être fiable lors de son fonctionnement. Un arc apparaît entre les bornes du disjoncteur après la séparation mécanique des contacts. L’arc électrique est, à l’exception des semi-conducteurs de puissance, le seul élément connu capable de passer d’un état conducteur à un état non conducteur dans un court laps de temps. Dans les disjoncteurs « haute tension », l’arc électrique est un arc à haute pression dissipant son énergie dans l’huile, l’air ou l’hexafluorure de soufre (SF6). Dans les disjoncteurs « moyenne tension », le plus souvent, l’arc dissipe son énergie à basse pression dans le vide. L’interruption du courant est réalisée en refroidissant l’arc électrique qui est ainsi « éteint ». Ce processus de refroidissement ou d’extinction d’arc peut être effectué de différentes manières. Les disjoncteurs de puissance sont différenciés en fonction du milieu d’extinction de la chambre de coupure dans laquelle se forme l’arc. C’est la raison pour laquelle nous parlons de disjoncteurs à huile, à air comprimé, à SF6 et à vide. En 1907, le premier disjoncteur à huile a été breveté par J. N. Kelman aux États-Unis. L’équipement était juste constitué d’une paire de contacts placés dans un réservoir rempli d’huile. À cette époque, de nombreuses découvertes étaient le fait d’expériences. Concernant le disjoncteur, la plupart des éléments de son développement ont résulté d’essais ou sont issus des expertises des accidents survenus dans le réseau électrique lui-même. En 1956, le brevet de base sur les disjoncteurs utilisant du SF6 a été déposé par T. E. Browne, F. J. Lingal et A. P. Strom. Actuellement, la majorité des disjoncteurs « haute tension » utilisent du SF6 comme milieu d’extinction. L’arc électrique s’est avéré être un phénomène très complexe et,

129

Le réseau électrique dans son intégralité

grâce aux travaux de J. Slepian, la compréhension des phénomènes physiques liés au fonctionnement du disjoncteur a progressé. Chaque nouvelle expérience soulevait de nombreux problèmes théoriques. Un grand pas en avant dans la compréhension de l’interaction arc-circuit a été fait en 1939 lorsque A. M. Cassie a publié un article présentant une modélisation de la dynamique de l’arc, puis en 1943, lorsque O. Mayr a développé cette modélisation. Beaucoup de travaux ont été réalisés par la suite pour améliorer les modèles mathématiques qui ont été validés expérimentalement. L’interruption du courant par un arc électrique est un processus physique complexe lorsque nous réalisons que ce processus d’interruption se déroule en quelques microsecondes, que la température du plasma est supérieure à 10 000 K, que la température décroît lors de l’annulation du courant d’environ 2 000 K/μs et que les mouvements des gaz sont supersoniques. La compréhension du processus d’interruption du courant a conduit à des disjoncteurs au SF6 capables d’interrompre 63 kA sous 550 kV avec un seul élément.

3.6.4

Coupure de l’arc

L’arc électrique joue un rôle clé dans le processus d’interruption des courants et l’on parle de coupure par arc. L’arc électrique qui se produit à l’ouverture des contacts est un canal de plasma formé après une décharge de gaz dans le milieu d’extinction. C’est l’énergie magnétique stockée dans les inductances du circuit électrique qui est transmise à l’arc. Pendant la séparation des contacts, la section de passage du courant diminue et la densité de courant augmente, ce qui entraîne la fusion partielle des contacts. Les parties des contacts en fusion explosent littéralement, provoquant une décharge de gaz dans le milieu environnant qui peut être de l’air, de l’huile ou du SF6. Lorsque l’énergie cinétique des molécules dépasse leur énergie de recombinaison, la matière passe d’un état solide à un état liquide. Dans le cas où plus d’énergie est ajoutée par une augmentation de la température et que les forces de van der Waals sont surmontées, la matière passe d’un état liquide à un état gazeux. Une augmentation supplémentaire de la température donne aux molécules isolées une telle énergie qu’elles se dissocient en atomes et si le niveau d’énergie augmente encore davantage, les électrons des couches externes des atomes se dissocient en électrons libres transformant les atomes en ions positifs. C’est ce qu’on appelle un plasma. En raison de la présence d’électrons libres et d’ions positifs, le canal formé par le plasma est fortement conducteur. Ainsi, le courant continue de circuler dans l’interrupteur bien que les contacts soient mécaniquement séparés. L’azote, qui est le composant principal de l’air, se dissocie en atomes (N2 → 2 N) à environ 5 000 K et s’ionise (N → N+ + e) au-dessus de 8 000 K. Le SF6 se dissocie en atomes de soufre et en atomes de fluor à environ 1 800 K et s’ionise entre 5 000 K et 6 000 K. Pour des températures plus élevées, la conductivité augmente rapidement. L’ionisation thermique due aux températures élevées de l’arc électrique est provoquée par des collisions entre des éléments très mobiles, les électrons et les photons, et des éléments moins mobiles, les ions positifs et les atomes neutres. En même temps, il y a également un processus de recombinaison d’électrons avec des ions positifs.

130

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Lorsqu’il y a un équilibre thermique, le taux d’ionisation est en équilibre avec le taux de recombinaison. La relation entre la pression du gaz « p », la température « T » et la fraction des atomes ionisés « f » est donnée par l’équation de « Saha » : f2 p = 3,16 10 −7 T 5/2 e −e Vi /kT (3.1) 1− f 2 Avec e : charge de l’électron (1,6 10–19 C). Vi : potentiel d’ionisation du gaz (eV). k : constante de Boltzmann (1,38 10–23 J/K). 1 0.9

Degree of ionization f

0.8 0.7 0.6 Cu

0.5

Hg

H O

N

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10 15 Temperature T [kK]

20

25

 Figure 3.21  Taux d’ionisation thermique pour quelques métaux vaporisés et quelques gaz.

La relation de Saha est représentée sous forme graphique pour l’oxygène, l’hydrogène, l’azote et pour les vapeurs métalliques de cuivre et de mercure à la figure 3.21. Le graphique de la figure 3.21 montre que l’ionisation thermique peut être utilisée pour commuter entre un état conducteur (f = 1) et un état isolant (f = 0). En raison de la pente assez raide de la fonction entre la température et le degré d’ionisation, la réduction du niveau d’énergie cinétique moyen des particules mobiles par refroidissement avec du gaz froid est un très bon moyen d’amener l’arc d’un état conducteur à un état non conducteur. À l’aide de l’équation (3.1) et sachant que les gradients de température sont faibles, il faut un certain temps avant que l’équilibre thermique soit atteint après le passage de l’état conducteur à l’état non conducteur. Cette constante de temps de conductivité dépend à la fois de la vitesse de recombinaison ion-électron et de la distribution de la vitesse des particules. Le temps nécessaire pour atteindre un équilibre de la vitesse locale « atome-molécule » est de l’ordre de 10–8 s et le temps nécessaire pour atteindre l’équilibre de la vitesse locale des électrons est de l’ordre de 10–10 s. Les mécanismes physiques qui jouent un rôle dans

131

Le réseau électrique dans son intégralité

le processus de recombinaison électron-ion ont des constantes de temps de l’ordre de 10–7 à 10–8 s. Cela signifie que le temps nécessaire pour atteindre l’équilibre d’ionisation est considérablement plus court que celui nécessaire pour stabiliser les phénomènes électriques du réseau électrique qui se produisent pendant l’ouverture du circuit. Pour cette raison, l’arc du disjoncteur peut être supposé être dans un équilibre d’ionisation thermique pour tous les phénomènes transitoires électriques survenant dans le réseau.

3.6.5

Disjoncteur dans l’huile

Les disjoncteurs construits au début du xxe siècle étaient principalement des disjoncteurs à huile. À cette époque, leur pouvoir de coupure était suffisant pour atteindre le niveau requis dans les sous-stations. À l’heure actuelle, ce type de disjoncteurs est encore utilisé, mais ils ne sont plus le sujet de recherche ni de développement. Les premiers disjoncteurs à huile étaient de conception simple : un interrupteur initialement prévu pour fonctionner dans l’air a été mis dans un réservoir rempli d’huile minérale. Ces disjoncteurs à huile étaient du type à rupture brusque, ce qui signifie qu’ils n’étaient équipés d’aucun dispositif d’extinction supplémentaire de l’arc. En 1901, J. N. Kelman a construit un disjoncteur « huile-eau » capable d’interrompre 200 à 300 A sous 40 kV. Le disjoncteur de Kelman se composait de deux barils en bois ouverts, chacun contenant un interrupteur à rupture brusque. Les deux interrupteurs étaient connectés en série et actionnés par une poignée commune. Les tonneaux en bois contenaient un mélange d’eau et d’huile [5]. Dans les années 1930, la chambre de coupure d’arc commence à faire son apparition. Elle est remplie d’huile et permet de fixer l’arc. L’augmentation de pression à l’intérieur de la chambre de coupure d’arc améliore considérablement les effets de refroidissement sur l’arc. Plus tard, la conception de la chambre de coupure d’arc a encore été améliorée par des mécanismes de pompage créant un flux croisé d’huile permettant un refroidissement de l’arc plus performant (figure 3.22). Spring

Oil pump

Nozzle

Moving contact

 Figure 3.22  Vue en coupe d’un disjoncteur dans l’huile.

132

Pot

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

L’étape suivante dans le développement des disjoncteurs à huile fut de minimiser le volume d’huile. Les contacts et la chambre de coupure d’arc ont été placés dans un cylindre isolant en porcelaine au lieu d’être placés dans un réservoir métallique volumineux. Les disjoncteurs à huile contenue dans une cuve métallique connectée au potentiel de la terre et contenant des centaines de litres d’huile minérale ont été populaires aux États-Unis. Les disjoncteurs à faible volume d’huile ont conquis le marché en Europe.

3.6.6

Disjoncteurs à air comprimé

L’air est utilisé comme isolant dans les sous-stations construites en extérieur et pour les lignes de transport à haute tension. L’air peut également être utilisé comme milieu d’extinction de l’arc. À pression atmosphérique, son utilisation est limitée à la basse et à la moyenne tension. Pour les applications jusqu’à 50 kV, les disjoncteurs sont principalement du type à « soufflage magnétique ». L’arc est littéralement soufflé par le champ magnétique créé par le courant de défaut dans un compartiment comprenant des segments métalliques. De cette manière, la longueur d’arc, la tension d’arc et la section de la colonne d’arc sont augmentées. En effet, une plus grande tension d’arc permet de diminuer la valeur présumée du courant de défaut et une plus grande section d’arc permet d’améliorer son refroidissement. À pression plus élevée, l’air est beaucoup plus efficace pour le refroidissement, ainsi les disjoncteurs à air comprimé fonctionnant peuvent être utilisés à des niveaux de tension plus élevés. Il existe deux types de disjoncteur à air comprimé. Soit l’air comprimé souffle l’arc dans un compartiment segmenté du même type que le soufflage magnétique vu précédemment, soit l’arc est refroidi par un flux d’air dans la direction axiale. En fonctionnement, les disjoncteurs à air comprimé font beaucoup de bruit, en particulier lorsque l’arc est refroidi à l’air libre comme avec le disjoncteur à jet libre AEG (Freistrahlschalter).

3.6.7

Disjoncteurs au SF6

Les excellentes propriétés diélectriques du SF6 ont été découvertes dès 1920 mais les premiers développements des disjoncteurs au SF6 ne sont apparus que dans les années 1940 et il a fallu attendre 1959 pour que le premier disjoncteur au SF6 arrive sur le marché. Ces premiers modèles étaient les « descendants » des disjoncteurs à air comprimé avec des contacts montés dans un réservoir rempli de gaz SF6. Pendant le processus d’interruption du courant, l’arc est refroidi par du gaz SF6 comprimé provenant d’un réservoir externe. La température de liquéfaction du gaz SF6 dépend de la pression mais se situe dans la plage de température compatible avec celle du disjoncteur. Cela signifie que le réservoir de SF6 doit être équipé d’un

133

Le réseau électrique dans son intégralité

élément chauffant qui présente une source de défaillance supplémentaire pour le disjoncteur, car lorsque l’élément chauffant ne fonctionne pas, le disjoncteur n’est pas opérationnel. Ce type de disjoncteur à réservoir a été remplacé par le disjoncteur à détente (figure 3.23). L’ouverture des contacts s’accompagne du déplacement d’un piston qui comprime le gaz dans la chambre de coupure de l’arc et entraîne un écoulement axial du gaz le long de l’arc. La buse de soufflage doit pouvoir résister aux hautes températures sans se détériorer et est fabriquée en Téflon. Actuellement, le disjoncteur-souffleur au SF6 est le type de disjoncteur utilisé pour l’interruption des défauts les plus puissants, jusqu’à 63 kA sous 550 kV. Les disjoncteurs de type « Puffer » nécessitent un mécanisme de fonctionnement complexe car le gaz SF6 doit être comprimé. En cas d’interruption de courants importants, par exemple dans le cas d’un défaut triphasé, la vitesse d’ouverture du disjoncteur a tendance à ralentir en raison de l’augmentation de la pression due à l’augmentation de la température et le mécanisme (souvent hydraulique ou à ressort) doit avoir suffisamment d’énergie pour garder les contacts séparés. Des mécanismes de fonctionnement robustes et fiables sont coûteux et constituent une part substantielle du prix d’un disjoncteur. Pour la gamme des tensions intermédiaires, des disjoncteurs à auto-soufflage sont maintenant sur le marché. Ce sont des disjoncteurs qui utilisent l’énergie thermique dégagée par l’arc pour chauffer le gaz et augmenter sa pression. Une autre technique pour le soufflage de l’arc est proposée : une bobine parcourue par le courant à interrompre crée un champ magnétique d’où en résulte une force qui entraîne en rotation l’arc autour des contacts et renforce ainsi le refroidissement. Cette technique est utilisée dans le disjoncteur à « arc tournant ». Les deux techniques, par « auto-soufflage » et à « arc rotatif » demandent des mécanismes moins sophistiqués (et donc moins chers) que ceux demandés dans les disjoncteurs de type « Puffer » et sont ainsi plus compacts. Nozzle

Porcelain insulator

Fixed contact

Moving contact Puffer chamber

 Figure 3.23  Schéma de principe d’un disjoncteur au SF6 de type « Puffer ».

134

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

3.6.8

Disjoncteurs dans le vide

Dans un disjoncteur à vide, l’arc qui se développe lors de l’ouverture des contacts diffère de celui à haute pression, car il se consume en l’absence de milieu extincteur. Les premières expériences avec des interrupteurs dans le vide ont eu lieu en 1926, mais les premiers développements industriels ont débuté dans les années 1960 lorsque les développements métallurgiques ont permis de fabriquer des contacts ne contenant pas de gaz. En effet, les processus physiques mis en œuvre dans un arc dans le vide sont des phénomènes ayant lieu au niveau de la surface métallique des contacts plutôt que dans le milieu isolant. L’arc est le résultat d’un phénomène d’émission métal-vapeur/ion/électron. Pour éviter une érosion inégale de la surface des contacts (en particulier celle de la cathode), l’arc doit être maintenu diffus ou en forme de spirale. Ceci peut être réalisé avec des fentes dans les contacts (figure 3.24) ou en plaçant des aimants en forme de fer à cheval comme dans les interrupteurs dans le vide réalisés par la société Eaton Holec (figure 3.25). Il faut généralement moins d’énergie pour séparer les contacts d’un disjoncteur dans le vide et la conception du mécanisme de commande permet d’obtenir des disjoncteurs fiables et sans entretien. Les disjoncteurs dans le vide sont conçus pour des tensions allant jusqu’à 72,5 kV avec des pouvoirs de coupure allant jusqu’à 31,5 kA. Lorsque le courant s’annule, il le fait en pas discrets de quelques ampères à une dizaine d’ampères. La valeur de ces pas dépend de l’alliage des contacts. Aussi, l’annulation brusque du courant peut provoquer une surtension. Ceci se produit en particulier lorsque l’on interrompt un faible courant inductif, par exemple lors de la déconnexion de transformateurs à vide (sans charge).

Current

Sealed enclosure

 Figure 3.24  Contacts avec fentes pour mettre l’arc en forme de spirale dans un disjoncteur dans le vide.

135

Le réseau électrique dans son intégralité

(a)

(b)

 Figure 3.25  Utilisation d’aimants en forme de fer à cheval dans les interrupteurs dans le vide de la société Eaton Holec. (Reproduit avec l’autorisation la société Eaton Holec.)

3.7 Limiteurs de surtension Les surtensions qui sont des éléments très perturbants des réseaux peuvent être classées en deux catégories selon leur origine : • les surtensions externes générées par des coups de foudre sont les perturbations atmosphériques les plus fréquentes et les plus sévères ; • les surtensions internes générées par des changements dans les conditions de fonctionnement du réseau comme les ouvertures de circuit. Les « limiteurs de surtension » sont placés dans les sous-stations. Idéalement, lorsque la tension atteint un certain niveau, la protection la maintient à ce niveau et cesse de fonctionner dès que la tension devient inférieure au niveau de tension spécifié. Par conséquent, un limiteur de surtension ne devrait absorber que l’énergie associée à la surtension. La conception et le fonctionnement des limiteurs de surtension ont radicalement changé au cours des 30 dernières années, depuis les limiteurs de surtension en carbure de silicium (SiC) à clapet ou à éclateurs jusqu’à ceux à oxyde métallique comme l’oxyde de zinc (ZnO). Des progrès importants ont été réalisés et les limiteurs de surtension modernes répondent aux exigences actuelles. Le fonctionnement d’un limiteur de surtension à oxyde métallique peut être « vu » comme une collection de

136

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

milliards de jonctions microscopiques de grains d’oxyde métallique qui s’allument et s’éteignent en quelques microsecondes pour créer un trajet pour le courant de la borne supérieure à la borne de terre. Il peut être considéré comme un interrupteur électronique ultra-rapide, ouvert en temps normal et fermé lorsqu’apparaissent des surtensions de commutation ou la foudre. Un paramètre important d’un limiteur de surtension est le niveau de protection contre les impulsions de commutation défini comme la tension crête maximale admissible entre ses bornes lorsqu’il est soumis à des impulsions de commutation dans des conditions spécifiques.

Sealing and pressure relief device

Primary terminal

Metal-oxide resistors Venting ducts

Porcelain insulator Spring Earth side terminal

 Figure 3.26  Limiteur de surtension à oxyde métallique à enveloppe en porcelaine.

La caractéristique tension-courant d’un composant en oxyde métallique offre la non-linéarité nécessaire pour satisfaire les exigences contradictoires d’une protection contre les surtensions et une consommation faible courant en fonctionnement normal. Les limiteurs de surtension à oxyde métallique conviennent à la protection contre les surtensions de commutation pour toutes les tensions de service. Traditionnellement, ils sont construits avec une enveloppe en porcelaine (voir figure 3.26) et il est important qu’elle soit scellée hermétiquement pour toute la durée de vie. L’étanchéité à chaque extrémité est réalisée avec une plaque en acier inoxydable et un joint en caoutchouc. Cette plaque exerce une pression continue sur le joint contre la surface de l’isolant. Elle sert également pour le mécanisme associé aux contacts. La plaque d’étanchéité est conçue pour agir comme un système de surpression. Si le limiteur de surtension est soumis à une contrainte supérieure à sa capacité nominale, un arc interne est établi. Les gaz ionisés provoquent une augmentation rapide de la pression interne qui, à son tour, provoque l’ouverture de la plaque d’étanchéité et l’évacuation des gaz à travers les conduits d’aération. Puisque les conduits sont dirigés l’un vers l’autre, il en résulte un arc externe, soulageant ainsi

137

Le réseau électrique dans son intégralité

la pression interne et empêchant un éclatement violent de l’isolant. Cependant, les limiteurs de surtension à boîtier en porcelaine ont tendance à défaillir en raison de problèmes d’étanchéité. Pour améliorer cela, la porcelaine a été remplacée par des polymères. Les limiteurs de surtension à enveloppe polymère ont l’avantage de proposer une liaison très fiable du joint isolant en caoutchouc avec les parties actives. Par conséquent, les joints ou les bagues d’étanchéité ne sont pas nécessaires. Si le limiteur de surtension est soumis à une contrainte électrique supérieure à sa capacité nominale, un arc interne s’établit entraînant la rupture de l’enceinte au lieu d’un arc externe. L’arc brûlera facilement à travers le matériau de silicone souple permettant aux gaz résultants de s’échapper rapidement et directement. En conséquence, des évents de décharge de pression spéciaux, dans le but d’éviter l’explosion du boîtier en porcelaine, ne sont pas requis pour cette conception. De plus, les limiteurs de tension avec une enveloppe polymère sont moins chers que ceux en porcelaine.

3.8 Transformateurs Le transformateur est l’un des éléments essentiels d’un réseau de transport de l’électricité en alternatif car il permet de modifier les niveaux de tension avec une efficacité de plus de 99 %. Cela nous permet de produire de l’énergie électrique à un niveau de tension relativement faible (10-25 kV ; limites imposées par les qualités du système d’isolation du générateur), de la transporter à haute tension (110 kV 420 kV et plus) pour réduire les pertes et de la distribuer à des niveaux de tension plus faibles et (plus ou moins) sûrs (400 V et moins). Un transformateur monophasé est composé essentiellement de deux bobines placées sur un circuit magnétique commun. Le couplage magnétique des deux bobines ainsi réalisé permet de canaliser le flux magnétique créé par une bobine dans l’autre bobine (voir figure 3.27). Si l’on suppose que le transformateur est parfait (cela signifie que les bobines ne sont pas résistives, qu’il n’y a pas de flux de fuite et que la perméabilité du circuit magnétique est infinie), la relation entre la tension appliquée et le flux résultant est donnée par l’expression suivante : v1 (t ) = V1 2 cos (ωt ) = N 1 Φ (t ) =

dΦ dt

V1 2 sin (ωt ) + C = Φ 2 sin (ωt ) N 1ω

Φ = B S (3.2) Avec N1 : nombre de spires du bobinage « 1 ». F : flux magnétique (Weber : Wb = V s). C : constante d’intégration considérée comme nulle en régime permanent. B : induction magnétique (Tesla : T = Wb/m2). S : section de passage du flux (m2).

138

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

On en déduit l’expression de la tension induite aux bornes du second bobinage : v2 (t ) = N 2

N dΦ N2 = V1 2 cos (ωt ) = 2 v1 (t ) (3.3) dt N1 N1

Avec N2 : nombre de spires du bobinage « 2 ». La relation entre la tension du côté primaire et la tension induite du côté secondaire peut s’écrire (voir également l’Annexe B.2) : v2 (t ) V2 N 2 = = = m (3.4) v1 (t ) V1 N 1 Avec m : rapport de transformation. Φ

i1

v1

N1

i2

N2

v2

 Figure 3.27  Schéma de principe d’un transformateur.

Le rapport de transformation est choisi en fonction des niveaux de tension au primaire et au secondaire. Mais comment sélectionner le nombre de spires de chaque bobinage ? Pour cela, examinons deux cas extrêmes qui vont nous permettre de choisir le nombre de spires des enroulements du transformateur. Exemple 3.2 Nombre de spires des enroulements du transformateur Dans leur livre [6], Electric Energy: Its Generation, Transmission and Use, les auteurs donnent l’exemple suivant pour illustrer l’influence du nombre de spires des enroulements du transformateur. Supposons que nous voulons un transformateur alimenté à 50 Hz qui permet d’abaisser une tension au primaire de 1 000 V à une tension au secondaire de 500 V avec un courant au secondaire de 2 A. Il est évident que le rapport de transformation doit être de 1/2. Mais quel nombre de spires choisir ? Choisissons arbitrairement deux cas « extrêmes » : Cas a : N1 = 2 et N2 = 1 Cas b : N1 = 2 106 et N2 = 106

139

Le réseau électrique dans son intégralité

Déterminons d’abord les sections de passage du flux dans chaque cas. Pour cela, nous prenons une valeur maximale admissible pour l’induction magnétique à 2,0 T. La valeur efficace de B est donc de 2,0/ 2  T. Avec le système d’équations (3.1) et V1 = 1 000 V, nous pouvons calculer pour la section de passage du flux pour le cas a : 5 V1 1000 5 BS = Φ = = = Wb   S = π ≈ 113 , m 2 (3.5) N 1ω 2 2 π 50 π 2 2 Et pour le cas b :

( )

BS = Φ =

V1 1000 5 , × 10 −6 m 2 (3.6) = = × 10 −6 Wb  S ≈ 113 N 1ω 2 × 106 2π 50 π

Déterminons maintenant les masses de fer et de cuivre de ce transformateur dans les deux cas. Le conducteur en cuivre requis pour le courant de 2A du côté secondaire doit avoir un diamètre d’environ 4 mm 31. Pour le cas a, le transformateur d’une puissance apparente de 1 kVA contient plus de 20 tonnes de tôles ferromagnétiques pour le circuit magnétique et seulement 10 grammes de cuivre pour les enroulements ! Pour le cas b, le circuit magnétique pèse seulement environ 20 grammes mais les enroulements de cuivre primaires et secondaires ont une masse d’environ 6 tonnes chacun ! Ces deux conceptions de transformateurs peu réalistes sont illustrées à la figure 3.28. Il est évident que les prix des tôles ferromagnétiques et du cuivre influent sur le choix du nombre de spires des enroulements du transformateur et sur la conception du transformateur.

 Figure 3.28  Structures des deux transformateurs « extrêmes ».

31.  Note du traducteur : nous reproduisons les applications numériques de la version originale.

140

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Dans la section 5.4.2 : Transformateurs à changement de prises, sont présentés des transformateurs spéciaux qui peuvent modifier le rapport de transformation en charge afin de pouvoir ajuster le niveau de tension au secondaire. Un transformateur monophasé peut être construit de plusieurs façons. Trois conceptions sont illustrées à la figure 3.29. L’arrangement avec les enroulements séparés, c’est-à-dire les enroulements primaire et secondaire sur une branche séparée du circuit magnétique (figure 3.29 (a)), conduit à un flux de fuite assez élevé qui peut être réduit en plaçant les enroulements l’un sur l’autre (figure 3.29 (b)). Le circuit magnétique de cette configuration est asymétrique : la plus grande partie du flux de fuite se produit du côté ouvert, ce qui peut être contourné en choisissant le transformateur dont la structure est décrite à la figure 3.29 (c). Dans ce cas, le flux dans la colonne centrale se répartit uniformément dans les colonnes latérales, ainsi la section de ces deux colonnes peut être la moitié de celle de la colonne centrale. Pour le transport de l’énergie électrique, il est nécessaire de disposer de transformateurs triphasés. Un tel transformateur peut être réalisé en utilisant trois transformateurs monophasés (identiques). L’avantage de ceci est que l’on crée une redondance dans le système à un coût relativement bas. Lorsqu’il y a quatre transformateurs monophasés identiques dans une sous-station, l’un étant une unité de rechange, cette pièce de rechange peut être mise en service rapidement lorsque l’un des autres transformateurs présente un défaut. Cependant, la solution la plus courante est de réaliser le transformateur triphasé d’un seul tenant où les trois phases se partagent un circuit magnétique commun. L’avantage d’une telle unité est que la quantité de fer nécessaire est inférieure à celle de trois unités monophasées séparées et qu’un transformateur triphasé nécessite moins d’espace dans la sous-station. Un transformateur triphasé peut être réalisé à partir de l’assemblage de trois circuits magnétiques monophasés : les trois circuits magnétiques des transformateurs monophasés présentés à la figure 3.30 (a) (comme celui montré à la figure 3.29 (b), mais vu de dessus) sont combinés avec une partie commune (figure 3.30 (b)). Dans un système d’alimentation triphasé équilibré, le flux dans cette branche de retour commune est nul de sorte qu’elle peut être supprimée comme le montre la figure 3.30 (c). La fabrication d’un transformateur comme celui illustré à la figure 3.30 (c) n’est pas facile et le produit final est difficile à transporter. Par conséquent, il est plus pratique de placer les trois circuits magnétiques en ligne comme on peut le voir sur la figure 3.31 (a) (et sur la photo à la figure 3.32). Magnétiquement, cet arrangement de transformateur n’est pas symétrique, mais ceci peut être surmonté en ajoutant deux colonnes supplémentaires de chaque côté du circuit magnétique du transformateur comme illustré à la figure 3.31 (b).

(a)

(b)

(c)

 Figure 3.29  Différents arrangements possibles pour un transformateur monophasé.

141

Le réseau électrique dans son intégralité

(a)

(b)

(c)

 Figure 3.30  Construction d’un transformateur triphasé à partir de trois transformateurs monophasés (vue de dessus).

(a)

(b)

 Figure 3.31  Arrangements possibles pour un transformateur triphasé.

 Figure 3.32  Transformateur triphasé en construction. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO.)

142

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

De nombreux transformateurs en service ont trois enroulements par phase (au lieu de deux) ; c’est ce qu’on appelle le transformateur à trois enroulements dont le troisième enroulement est appelé enroulement tertiaire. Un transformateur monophasé à trois enroulements est représenté schématiquement sur la figure 3.33. L’enroulement tertiaire peut être utilisé comme point d’injection de puissance réactive (voir également la section 5.4.3) ou peut alimenter un système de distribution situé à proximité. Il peut également être utilisé pour supprimer les harmoniques (plus d’informations sur ce sujet sont disponibles ci-après dans la section « Courant magnétisant »).

 Figure 3.33  Transformateur monophasé à trois enroulements.

3.8.1

Couplage des enroulements

Les trois enroulements 32 situés d’un même côté, primaire ou secondaire, du transformateur triphasé peuvent être connectés en étoile (Y) ou en triangle (D) 33. Un exemple de transformateur Y-y 34 (le primaire et le secondaire sont connectés en étoile) est illustré à la figure 3.34. Un exemple de transformateur Y-d (primaire connecté en étoile et secondaire en triangle) est illustré à la figure 3.35. L’avantage des enroulements connectés en étoile est que le point étoile, c’est-à-dire le point de connexion des trois bobines, peut être « mis à la terre » de sorte que les tensions ligne-neutre ne peuvent pas devenir trop élevées en cas de perturbations du système. De plus, dans le cas de bobines connectées en étoile, les tensions à leurs bornes sont égales aux tensions ligne-neutre alors qu’elles sont égales aux tensions ligne-ligne dans le cas des bobines connectées en triangle. Par conséquent, la tension aux bornes d’une bobine connectée en étoile n’est que de 1 / 3 (≈ 0,57) de la tension aux bornes d’une bobine connectée en triangle de sorte que le nombre d’enroulements par phase peut être inférieur et la quantité de matériau isolant nécessaire moindre. 32.  Note du traducteur : les termes enroulement et bobines sont des synonymes. 33.  Note du traducteur : il existe d’autres types de couplages comme le couplage dit « zig-zag ». 34.  Note du traducteur : la lettre en majuscule est associée au côté plus haute tension.

143

Le réseau électrique dans son intégralité

A B C

c

u2

u1 v1

v2

w1

w2

10

b c

A

12

11

a

1 2

A

3

9 a

u1

4

8

u2

7 v1

w1

w2 B

C

5

6

v2 a

b

 Figure 3.34  Un transformateur triphasé dont le couplage est noté Y-y-4 signifie que les tensions au secondaire sont déphasées de 4 x 30° en retard par rapport aux tensions similaires du primaire. Pour cela, les connexions du côté secondaire ont pour séquence c/a/b. Pour un transformateur triphasé Y-y-0, les connexions du côté secondaire ont pour séquence a/b/c. Et pour un transformateur triphasé Y-y-8, les connexions du côté secondaire ont pour séquence b/c/a.

A B C

u1

u2

v1

v2

w1

a b

10

b

u2 w2

C

c

v1

3

9

v2

w1

2

A a

a

u1

1

c

w2

A

12

11

4

8 7

6

5

B

 Figure 3.35  Un transformateur triphasé dont le couplage est noté Y-d-11 signifie que les tensions au secondaire sont déphasées de 11 x 30° en retard par rapport aux tensions similaires du primaire. Pour cela, les connexions du côté secondaire ont pour séquence a/b/c. Pour un transformateur triphasé Y-d-3, les connexions du côté secondaire ont pour séquence c/a/b. Et pour un transformateur triphasé Y-d-7, les connexions du côté secondaire ont pour séquence b/c/a.

144

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Pour cette raison, des bobines connectées en étoile sont utilisées pour les niveaux de tension les plus élevés. Les enroulements connectés en triangle lorsqu’un transformateur D-y sert de transformateur de distribution : les charges monophasées qui sont connectées aux enroulements secondaires « prennent » de la puissance sur deux enroulements du côté primaire de sorte que d’éventuels déséquilibres entre les phases du côté secondaire sont atténués du côté primaire du transformateur. Un autre avantage est que la composante de la troisième harmonique du courant, résultant de la magnétisation du circuit magnétique du transformateur, reste piégée à l’intérieur d’un système d’enroulements connectés en triangle (plus de détails sur ce sujet seront expliqués dans la section « Courant magnétisant »). La façon dont les bobines sont couplées les unes aux autres et sont connectées au réseau peut introduire un déphasage entre les tensions du réseau du côté primaire et les tensions résultantes du côté secondaire, c’est-à-dire marquées avec la même lettre (ou autres indications similaires). Ceci est illustré dans l’exemple suivant. Exemple 3.3 35 Transformateur Yd-11 Dans cet exemple, nous déterminerons le déphasage du transformateur triphasé tel qu’illustré à la figure 3.35. Dans un système triphasé équilibré de séquence dite « directe », nous pouvons dessiner les tensions associées aux phases A, B et C du côté primaire. Le point neutre du transformateur qui est le point commun des trois enroulements est à potentiel nul (comme nous avons un système équilibré) et les tensions aux bornes des bobines (u1, v1 et w1) sont égales aux tensions phase-neutre appliquées aux bornes du côté primaire du transformateur. (Voir la figure 3.35, le diagramme des phaseurs situé à gauche.) Nous devons déterminer les phaseurs associés aux tensions du secondaire du transformateur afin de déterminer les déphasages. Nous savons que les bobines du côté secondaire du transformateur sont magnétiquement couplées aux bobines du côté primaire et, par conséquent, les phaseurs des tensions aux bornes des bobines du côté secondaire (u2, v2 et w2) sont en phase avec les phaseurs des tensions du côté primaire. Commençons par dessiner le phaseur associé à la tension u2 : c’est exactement le même phaseur que pour u1. Le phaseur v2 a la même orientation que le phaseur v1 et le phaseur w2 celle de w1. Comme les enroulements côté secondaire sont couplés en triangle, les phaseurs sont dessinés les uns à la suite des autres comme on peut le voir sur le diagramme des bobines connectées en triangle à la figure 3.35. Le diagramme des phaseurs est représenté en gris sur la figure 3.35 (le diagramme de phaseurs situé à droite). Les tensions du secondaire peuvent maintenant être dessinées dans ce diagramme des phaseurs. Si l’on définit les tensions en sortie comme étant les tensions 35. Note du traducteur : le couplage majoritairement utilisé en distribution (transformateur HTA/BT) est le couplage noté D-y-11.

145

Le réseau électrique dans son intégralité

phase-neutre et comme le neutre imaginaire est au centre du triangle, les extrémités des phaseurs des tensions en sortie se rencontrent au centre du triangle. La pointe de la flèche du phaseur associé à la tension « a » rencontre la tête de la flèche du phaseur u2. La pointe de la flèche du phaseur associé à la tension « b » rencontre la tête de la flèche du phaseur v2. La pointe de la flèche du phaseur associé à la tension « c » rencontre la tête de la flèche du phaseur w2. Les phaseurs des tensions de sortie sont dessinés en noir sur la figure 3.35. Nous pouvons voir que les phaseurs des tensions du côté secondaire sont en retard de 11 × 30° par rapport aux phaseurs correspondants du côté primaire. Nous remarquons également que les tensions du côté secondaire sont réduites en amplitude d’un facteur 3 dans le cas d’un rapport du nombre de spires unitaire.

3.8.2

Courant magnétisant

Comme tout élément physique, les matériaux magnétiques utilisés dans les transformateurs ne possèdent pas des caractéristiques parfaites. Nous allons étudier quelles sont ces caractéristiques et quelles sont les implications de leurs imperfections. La perméabilité magnétique, notée m, n’est pas infinie, cela signifie que tout le flux n’est pas canalisé par le circuit magnétique. De plus, elle n’est pas un paramètre constant. Ainsi la relation entre l’induction et l’excitation magnétique (B = m H) n’est pas linéaire (voir figure 3.36 (a)). Nous pouvons voir sur cette caractéristique B-H qu’à des valeurs plus élevées pour H le matériau magnétique sature : une augmentation de H n’entraîne pas une augmentation proportionnelle de B. En pratique, l’induction dans le fer ne dépasse pas la valeur de 1,3 T. On pourrait se demander pourquoi un transformateur n’est pas exploité uniquement dans la partie linéaire de la courbe c’est-à-dire autour de l’origine de la caractéristique B-H. La réponse est à trouver dans le fait que la quantité de matériau magnétique augmenterait considérablement tout comme le prix du transformateur (nous apprenons de l’équation (3.1) que la réduction de B dans un facteur 3 nécessite une augmentation de la section de passage (S) du flux (F) dans un facteur 3 pour que le flux (F) reste constant). B

im

H

H

(a)

Φ

B

(b)

(c)

 Figure 3.36  Caractéristiques du circuit magnétique : (a) caractéristique B-H non linéaire, (b) caractéristique B-H non linéaire avec hystérésis, (c) caractéristique F-im non linéaire avec hystérésis.

146

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

La caractéristique B-H possède aussi une hystérésis, comme on peut le voir sur la figure 3.36 (b). Le mot hystérésis provient du mot grec hústeros qui signifie « après » ou « plus tard » : l’état d’aimantation reflète l’état antérieur d’aimantation. Cela signifie qu’il n’existe pas de relation unique entre une valeur H et une valeur B. Lorsqu’une tension sinusoïdale est appliquée à l’enroulement au primaire d’un transformateur monophasé (voir figure 3.37) à vide, un courant circule dans cet enroulement et permet la magnétisation du circuit magnétique. Nous appelons cela le courant magnétisant (im). La relation entre le courant de magnétisation et le flux résultant dans le circuit magnétique (voir la caractéristique F-im à la figure 3.36 (c)) a la même forme que la caractéristique B-H. En effet, les équations suivantes s’appliquent : F = B S et im = i1 = H l / N1 (application du théorème d’Ampère sur la figure 3.37 avec la ligne pointillée choisie comme contour d’intégration de longueur  l). La tension sinusoïdale appliquée (v1) entraîne un flux magnétique (F) dans le circuit magnétique du transformateur qui a également une forme sinusoïdale (voir figure 3.37).

v1

Φ

Φ

ωt

im

im 1+3 1 3

ωt

ωt  Figure 3.37  Construction graphique du courant magnétisant et analyse de la première et de la troisième composante harmonique du courant (dans l’encart).

En utilisant la caractéristique F-im, nous pouvons tracer le courant magnétisant comme indiqué sur la figure 3.37. Il apparaît que le courant magnétisant est une fonction périodique mais non sinusoïdale. Ce courant peut être décomposé en une somme de la composante fondamentale (50 Hz) avec des composantes d’ordre

147

Le réseau électrique dans son intégralité

supérieur (telles que : 150 Hz, 250 Hz, 350 Hz…), appelées composantes harmoniques. La composante fondamentale (50 Hz), qui est la première composante harmonique, et la troisième composante harmonique (150 Hz) forment la partie dominante du courant telle que représentée dans l’encart de la figure 3.37 (la première et la troisième composantes harmoniques sont les lignes pointillées et sont ajoutées pour former la ligne continue). On remarque sur cette figure que la composante fondamentale du courant est légèrement en avance sur le flux. Cela signifie que le courant magnétisant contient une composante (faible) qui est en phase avec la tension d’alimentation. En d’autres termes, la magnétisation du circuit magnétique entraîne des pertes ohmiques. Ces pertes sont les pertes dites d’hystérésis et sont dissipées sous forme de chaleur dans le circuit magnétique pendant le processus de magnétisation et de démagnétisation. L’énergie dissipée est proportionnelle à la surface délimitée par la caractéristique F-im (ou bien la surface délimitée par la caractéristique B-H). Comme le cycle d’hystérésis est parcouru une fois par période de la tension d’alimentation, les pertes d’hystérésis sont proportionnelles à la fréquence d’alimentation. La troisième composante harmonique du courant magnétisant nécessite une attention particulière. Lorsque nous écrivons les équations de la première et de la troisième composantes harmoniques du courant magnétisant tel que présenté dans l’encart de la figure 3.37, nous obtenons pour les trois phases : ia = I h1 2 sin (ωt − ϕ) − I h 3 2 cos (3 (ωt )) 2π −I ( 3) 2π 2 sin (ωt − ϕ − ) − I 3 4π 2 sin (ωt − ϕ − ) − I 3 4π 2 sin (ωt − ϕ − ) − I 3

((

2π 3

))

ib = I h1 2 sin ωt − ϕ −

h3

2 cos 3 ωt −

ib = I h1

h3

2 cos (3 (ωt )) (3.7)

h3

2 cos 3 ωt −

h3

2 cos (3 (ωt ))

ic = I h1 ic = I h1

((

4π 3

))

Avec I h3 : valeur efficace de la composante harmonique d’ordre 3. Nous pouvons voir à partir du système d’équations (3.7) que la troisième composante harmonique des trois courants sont identiques et que la somme des courants ia, ib et ic n’est pas nulle ! ia + ib + ic = −3 I h 3 2 cos (3 (ωt )) (3.8) Lorsque le point neutre du transformateur n’est pas relié (c’est-à-dire qu’il n’est pas connecté à la terre), la somme instantanée des trois courants est nulle (loi des nœuds). Ainsi la troisième composante harmonique des courants ne peut pas circuler. Dans cette situation, le courant de magnétisation est contraint à ne pas avoir de troisième composante harmonique et le comportement non linéaire du noyau entraîne une tension de bobine déformée (c’est le potentiel du point neutre

148

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

qui fluctue) 36. Ce problème n’existe pas si nous avons un transformateur dont les enroulements au primaire sont couplés en triangle. La troisième composante harmonique des courants ne peut pas sortir ou entrer dans les enroulements couplés en triangle mais elle peut circuler à l’intérieur. Ainsi la troisième composante harmonique des courants, induite par la magnétisation du circuit magnétique, reste « circonscrite » dans la boucle créée par les enroulements couplés en triangle. C’est l’une des raisons pour laquelle nous pouvons trouver des transformateurs Y-y avec des enroulements tertiaires couplés en triangle.

3.8.3

Courant d’appel du transformateur à la mise sous tension

Pour analyser le phénomène physique qui apparaît à la mise sous tension d’un transformateur, nous nous appuyons sur la figure 3.38. Lorsque le courant magnétisant im est nul, le flux « F » a une certaine valeur. On l’appelle le flux rémanent, noté « Fr ». Par conséquent, le circuit magnétique du transformateur qui a été déconnecté du réseau possède un flux résiduel. Lorsqu’après un certain temps le transformateur est reconnecté au réseau à un instant tel que la tension induit un flux dans  + F ». Ceci la même direction que le flux résiduel « Fr », le flux total devient « F r  peut être justifié à partir des équations (3.1), où la constante d’intégration est égale au flux rémanent (C = Fr) : v1 (t ) = V1 2 cos (ωt ) = N 1 Φ (t ) =

dΦ dt

V1 2  sin (ωt ) (3.9) sin (ωt ) + C = Φ r + Φ N 1ω

Le flux magnétique est susceptible d’atteindre des valeurs supérieures au flux de saturation directement lié à la valeur de l’induction à saturation. Ainsi, le matériau magnétique entre en saturation et par conséquent le transformateur prélève un courant important au réseau d’alimentation comme illustré à la figure 3.38. Plusieurs cycles sont parfois nécessaires pour que le niveau de flux tende vers des valeurs inférieures au flux de saturation. Ceci se traduit par un courant d’appel du transformateur asymétrique avec une composante continue qui peut mettre quelques secondes avant de disparaître et que ce soit uniquement un courant de magnétisation symétrique qui soit absorbé au réseau. Un exemple où un transformateur de puissance est reconnecté au réseau à un instant particulier où la tension induit un flux dans la même direction que le flux rémanent est illustré à la figure 3.39. Il n’y a pas de saturation lorsque la tension induit un flux opposé à la direction du flux rémanent mais en triphasé choisir cet instant précis est impossible.

36.  Complément du traducteur.

149

Le réseau électrique dans son intégralité

Φ Φˆ + Φr ˆ Φ Φr im

Φr

 Figure 3.38  Cycle de magnétisation lors de la mise sous tension d’un transformateur.

v1 0

Φ Φr 0

im

0 0.2

1.0 Instant that the transformer is reconnected to the grid

Time [s]

 Figure 3.39  Analyse physique de la mise sous tension d’un transformateur.

Les courants d’appel à la mise sous tension d’un transformateur triphasé sont inévitables et les dispositifs de protection du transformateur sont conçus et réglés de sorte que ces courants temporairement élevés sont reconnus et ignorés. Les dispositifs de protection ne fonctionnent pas avec les courants d’enclenchement élevés mais doivent réagir en cas de court-circuit.

150

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

3.8.4

Essais « à vide » et en « court-circuit »

La modélisation du transformateur est développée à l’Annexe B. En « ramenant » les éléments du secondaire au primaire du transformateur idéal, nous avons le modèle équivalent du transformateur présenté à la figure 3.40. Pour la plupart des études sur ce modèle, la résistance série « R » peut être négligée, car la valeur de son impédance est beaucoup plus petite que celle de l’inductance de fuite « Lσ ». Pendant le fonctionnement normal du système, la réactance de fuite provoque une chute de tension interne, mais lorsque le transformateur est court-circuité en sortie elle permet de limiter le courant. Pour un transformateur idéal, sans flux de fuite, le courant deviendrait infini. Donc le fait que le flux principal « F » ne relie pas complètement les enroulements du primaire et du secondaire présente un réel avantage !

i1

v1

R1

L2σ

L1σ

N1

2

(N ) 2

Rm

L1m

R2

N1

(N ) 2

2

N1 : N2

i2

v2

 Figure 3.40  Schéma équivalent monophasé d’un transformateur avec un transformateur parfait au secondaire.

L’inductance de fuite « Lσ », l’inductance magnétisante « L1m » et le rapport de tension d’un transformateur peuvent être déterminés par deux tests assez simples : • un test en circuit ouvert (à vide en sortie) ; • un test en court-circuit (sortie court-circuitée). Lors de l’essai « à vide », les bornes du secondaire du transformateur ne sont pas reliées à une charge et la valeur de la tension au primaire est la valeur nominale. À partir des valeurs efficaces des tensions mesurées au primaire et au secondaire, le rapport de tension peut être déterminé. À partir de la mesure de la valeur efficace du courant qui circule dans l’enroulement primaire, l’inductance de magnétisation peut être calculée. Dans l’essai « en court-circuit », les bornes du secondaire sont court-circuitées et une tension réduite est appliquée au primaire jusqu’à ce que la valeur efficace du courant primaire soit égale à la valeur nominale. À partir du modèle équivalent du transformateur simplifié (figure 3.40), nous notons que dans le test « en court-circuit », « L1m » est court-circuitée laissant seulement « Lσ » dans le circuit. Ainsi, à partir des mesures des valeurs efficaces de la tension et du courant, nous pouvons calculer

151

Le réseau électrique dans son intégralité

la valeur de l’inductance de fuite. La tension réduite qui doit être appliquée pour fournir le courant nominal est un paramètre caractéristique pour un transformateur et est appelée tension de court-circuit. La valeur de la tension de court-circuit « Vk » est déterminée par le flux de fuite du transformateur. Pour pouvoir faire une comparaison entre des transformateurs de taille et de puissance nominale différentes, la tension de court-circuit « Vk » est exprimée en % : Vk (%) = 100

Vk (3.10) Vn

3.9 Ouvrages pour le transport de l’énergie

électrique

Les liaisons électriques dans un réseau de transport sont réalisées soit à l’aide de lignes (voir figure 3.41) qui sont toujours aériennes, soit à l’aide de câbles qui sont toujours enterrés. Ce sont des critères économiques et environnementaux qui vont guider la solution pour alimenter des zones à plus ou moins forte densité de population. Les systèmes souterrains sont en général plus fiables que les systèmes aériens, car ils ne sont pas exposés au vent, à la foudre et aux dommages causés par les véhicules terrestres ou aériens. Les systèmes souterrains ne perturbent pas l’environnement et nécessitent moins d’entretien préventif. Leur principal inconvénient est leur coût plus élevé. Pour la même puissance nominale, les systèmes souterrains sont en général 6 à 10 fois plus chers que les systèmes aériens. Pour les Pays-Bas, où la densité de population est forte, (presque) toutes les liaisons en dessous de 50 kV sont des câbles souterrains comme le montre le tableau 3.1.  Tableau 3.1  Caractéristiques des liaisons du réseau électrique aux Pays-Bas Niveau de tension

Lignes aériennes (km)

220 kV / 380 kV

2 719

16

50 kV / 110 kV / 150 kV

5 580

3 614

3-25 kV 400 V

Câbles souterrains (km)

–

105 599

174

150 623

Les matériaux utilisés sont soit le cuivre soit l’aluminium. La résistivité du cuivre n’est que de 60 % de celle de l’aluminium : rAl = 29 10–9 Wm à 25 °C et rCu = 18 10–9 Wm à 25 °C. Cependant, la densité du cuivre est beaucoup plus élevée : 8 900 kg/m3 contre 2 700 kg/m3 pour l’aluminium et on peut calculer qu’un conducteur en aluminium, avec la même valeur de résistance, aura une masse deux fois moindre qu’un conducteur en cuivre (29/18 × 2 700/8 900 = 0,488).

152

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Ainsi, quand des conducteurs en aluminium sont utilisés pour les lignes, les contraintes mécaniques s’appliquant aux pylônes sont moindres et sont donc moins chères. De plus, l’aluminium est un matériau moins coûteux que le cuivre et par conséquent les lignes de transport aériennes sont réalisées habituellement avec des conducteurs en aluminium au lieu de conducteurs en cuivre. Dans le cas des câbles souterrains, la faible résistivité du cuivre est l’avantage majeur car la chaleur générée par les pertes ohmiques dans le conducteur est moindre. Compte tenu de la relativement faible résistance à la traction de l’aluminium, les conducteurs aériens sont renforcés avec une partie en acier (voir figure 3.42). Nous remarquons sur cette figure que le conducteur lui-même n’est pas uniforme mais qu’il est constitué de brins (26 brins d’aluminium et 7 brins d’acier dans ce cas), ce qui donne au conducteur la flexibilité nécessaire. De plus, les brins sont torsadés pour des raisons mécaniques et électromagnétiques. En raison de l’effet de peau, les brins d’acier ne contribuent pas au transport de l’électricité. L’effet de peau se produit lorsqu’un courant alternatif traverse un conducteur : le courant préfère se placer près de la surface externe du conducteur et la densité de courant n’est pas uniformément répartie sur toute la section du conducteur. La conséquence de l’effet de peau est que la résistance en courant alternatif d’un conducteur est supérieure à sa résistance en courant continu qui est donnée par l’expression suivante : ρL RDC = (3.11) S Avec RDC : résistance en continu (W). r : résistivité du matériau (Wm). L : longueur du conducteur (m). S : section du conducteur (m2).

 Figure 3.41  Vue de lignes aériennes. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO B.Y.)

153

Le réseau électrique dans son intégralité

Aluminum Steel

 Figure 3.42  Vue en coupe d’un conducteur composé de 26 brins en aluminium et de 7 brins en acier (en anglais ACSR, pour Aluminium Conductor Steel Reinforced).

Le fait de torsader les brins demande des conducteurs plus longs et augmente ainsi la résistance globale d’environ 1 % ou 2 %. La modélisation des lignes et des câbles pour l’analyse du réseau de transport en régime permanent est présentée à l’Annexe E. Les caractéristiques générales et les différences entre les lignes et les câbles sont présentées dans les deux sous-sections suivantes.

3.9.1

Lignes « aériennes »

Les lignes de transport à haute tension sont supportées par des pylônes et l’air environnant sert de milieu isolant (la tenue en tension de l’air à la pression atmosphérique est de 3 kV/mm). Un exemple de pylône deux fois triphasé de 150 kV est illustré à la figure 3.43. La hauteur de la tour est déterminée par le fait que les conducteurs doivent avoir une distance minimale qui dépend du niveau de tension par rapport au sol. Par conséquent, c’est l’affaissement des conducteurs entre deux pylônes qui permet de déterminer leurs hauteurs.

Isolateurs Les lignes de transport ne peuvent pas être suspendues directement à un pylône parce que la structure (métallique) est au potentiel de la terre. Tous les matériaux isolants suffisamment résistants mécaniquement pour supporter le poids des lignes ne sont pas adaptés à cette tâche. Imaginons que nous utilisions une pièce cylindrique de matériau isolant pour isoler la ligne du pylône. Les gouttes de pluie peuvent créer un court-circuit car le film d’eau crée un chemin conducteur entre la structure métallique du pylône et la ligne. Par conséquent, les isolateurs sont conçus de façon à ce que le chemin de fuite soit beaucoup plus long. Le type d’isolateur le plus courant a la forme d’assiettes empilées à l’envers et est fabriqué en verre ou en porcelaine. Ce type d’isolateur est illustré aux figures 3.44 et 3.45. La forme et la constitution des isolateurs sont déterminées par les conditions atmosphériques environnantes, car par exemple, près de la côte, le dépôt de sel affectera les propriétés

154

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

4.5

(a)

(a) 6.6

(a)

10

30

(b)

 Figure 3.43  Pylône deux fois triphasé de 150 kV (les distances sont indiquées en mètres). (a) Conducteurs reliés à la terre ou servant de blindage. (b) Chaque phase est constituée par deux conducteurs.

155

Le réseau électrique dans son intégralité

isolantes. Le nombre de disques utilisés dans une chaîne d’isolateurs n’est pas déterminé uniquement par la valeur de la tension nominale. La tension maximale que la ligne doit pouvoir supporter sans être exposée aux arcs électriques joue aussi un rôle, tout comme les conditions de pollution. Les isolateurs sont sensibles aux arcs électriques initiés par des surtensions externes, par exemple lorsqu’un conducteur de ligne est directement touché par la foudre. Les arcs électriques peuvent provoquer des fissures thermiques dans la porcelaine ou le verre, ce qui réduit les propriétés isolantes de la chaîne d’isolateurs. Des cornes d’arc situées à ses deux extrémités (voir la figure 3.46) servent à canaliser l’énergie des arcs électriques et la protège.

Metal

Glass or porcelain

Metal

 Figure 3.44  Présentation d’un élément d’une chaîne d’isolateurs.

 Figure 3.45  (À gauche) Trois éléments d’une chaîne d’isolateurs. (À droite) Faisceau à trois conducteurs suspendus à un pylône par deux chaînes d’isolateurs. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO B.Y.)

156

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

 Figure 3.46  Les cornes d’arcs protègent la chaîne d’isolateurs contre les arcs électriques. (Reproduit avec la permission de TenneT TSO B.V.)

Faisceaux de conducteurs Quand il pleut ou lorsqu’il y a de la brume, on peut entendre une sorte de grésillement à proximité des lignes de transport à haute tension ou des autres composants à haute tension ; c’est ce qu’on appelle « l’effet couronne ». Le mot latin corona signifie couronne car, outre le bruit, la couronne produit aussi de la lumière : une « couronne de lumière ». L’effet couronne est causé par des décharges dans l’air qui résultent de la présence d’un champ électrique localement intense qui ionise l’air autour du conducteur. Un tel mécanisme est illustré à la figure 3.47. Sur le dessin (a) de cette figure, nous voyons une irrégularité sur l’une des plaques d’un condensateur et les lignes équipotentielles correspondantes. L’intensité du champ électrique peut être calculée à partir des lignes équipotentielles en utilisant l’équation suivante : ∆V (3.12) d Avec E : champ électrique (V/m). DV : différence de potentiels entre deux lignes équipotentielles (V). d : distance entre deux lignes équipotentielles (m). E=

(a)

(b)

 Figure 3.47  Champ électrique localement intense. (a) Condensateur à plaques parallèles avec une pointe sur l’une des plaques. (b) Ligne de transport avec une goutte de pluie.

157

Le réseau électrique dans son intégralité

Près d’une pointe, la distance entre les lignes équipotentielles diminue fortement et nous pouvons voir à partir de l’équation (3.10) que, localement, nous avons un champ électrique plus élevé. Ceci est dû au fait qu’au voisinage de la pointe, les charges électriques sont concentrées de sorte que nous avons une densité de charge élevée et un champ électrique élevé. À la figure 3.47 (b), est dessinée une ligne de transport avec une goutte d’eau. C’est le même phénomène physique qui se produit que dans les plaques (figure 3.47 (a)). Ainsi, au niveau de la goutte d’eau, il y a un champ électrique localement intense. Nous décrivons ci-dessous comment ce champ électrique localement intense peut donner naissance à l’effet appelé « effet couronne négatif », car ce sont les électrons dont la charge est négative qui sont les principaux acteurs de ce phénomène physique. Sur la figure 3.48, est présenté schématiquement cet « effet couronne négatif ». En présence d’un champ électrique intense, les électrons libres présents dans l’air (libérés par exemple par des photons) sont accélérés et entrent en collision avec les molécules du gaz isolant (pour une ligne aérienne, le gaz isolant est de l’air ambiant). Les molécules de gaz se décomposent par rupture de certaines des liaisons entre leurs atomes (ce qu’on appelle la dissociation) qui, à leur tour, sont également touchés par les électrons. Ces collisions provoquent la libération de nouveaux électrons et la création d’ions chargés positivement : A + e = A + + 2e (3.13) Avec A : atome constitutif du gaz. e : électron. A+ : ion positif. Les électrons libérés sont également accélérés et participent au processus d’ionisation du gaz isolant environnant la partie pointue du système. Comme les ions positifs restant après l’ionisation sont beaucoup plus lourds que les électrons, il en résulte une charge d’espace positive. L’oxygène qui constitue 20 % de l’air ambiant est un gaz électronégatif (ce qui signifie qu’il est en capacité d’attirer les électrons lors de la formation de liaisons chimiques), il entraîne le retrait d’électrons du processus d’ionisation et un nuage de charge d’espace négatif se forme (présenté sur la figure 3.48). Ainsi, ce phénomène se stabilise et la création de charges d’espace (positive et négative) s’arrête et entraîne leur disparition. Par conséquent, l’effet couronne est un phénomène répétitif très fréquent (0,1-5 MHz). « L’effet couronne positif » suit un autre mécanisme que nous ne traitons pas dans cet ouvrage mais des éléments de compréhension sur ce phénomène sont accessibles dans [8]. +

− +

+

_ +

 Figure 3.48  Effet couronne négatif [8].

158

+ −

−

−

−

−

+ +

+

+ −

− −

−

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

L’effet couronne est un effet indésirable car il entraîne des pertes de puissance considérables dans les lignes de transport à haute tension et cause des interférences radio. Il est évident que dans des conditions de mauvais temps, il est difficile voire impossible de l’éviter. Mais afin de minimiser ses effets indésirables dans des conditions de fonctionnement normales, l’intensité du champ électrique à la surface du conducteur doit être maintenue en dessous d’une valeur comprise entre 1,5 kV/mm et 2 kV/mm. Pour calculer l’intensité du champ électrique à la surface du conducteur, nous proposons le modèle présenté à la figure 3.49. r x

S

R

 Figure 3.49  Vue en coupe d’un conducteur d’une ligne de transport placé au-dessus de la Terre.

Le théorème de Gauss (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) permet de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface fermée contenant des charges électriques (voir aussi Annexe A.1). Dans la situation bidimensionnelle qui est dessinée sur la figure 3.49, nous prenons un cylindre « S » de rayon « x » et de longueur axiale de « L » mètres. La charge positive nette entourée par la surface du cylindre est :  q′ q ′L = ∫∫ D n dS = ε E x 2π x L → Ex = (3.14) S 2πε x Avec q′ :  charge linéique autour du conducteur (C/m). D : vecteur champ déplacement électrique (ou densité de flux électrique  ou encore induction électrique par analogie avec le magnétisme car D = ε E  ; D en C/m2). e : permittivité interne au cylindre « S » ; e = e0 er. La permittivité du vide e0 vaut 8,85 10–12 F/m et la permittivité relative er de l’air est très proche de l’unité (er_air ≈ 1). Ex : valeur du champ électrique à la position x (V/m). La tension entre la surface du conducteur (rayon r) et la surface de la terre (rayon R) est : R q′ R V ph −n = ∫ E x dx = ln (3.15) r 2πε r Avec r : rayon externe du conducteur (m). R : distance entre la surface du conducteur et la Terre (m).

()

159

Le réseau électrique dans son intégralité

À l’aide des équations (3.14) et (3.15), nous pouvons exprimer la valeur du champ électrique à la position x : Ex =

V ph −n (3.16) R x ln r

()

La valeur du champ électrique est la plus importante au niveau de la surface du conducteur et vaut (x = r) : Er =

V ph −n (3.17) R r ln r

()

Pour diminuer la valeur du champ électrique à la surface du conducteur, nous devons choisir des diamètres pour les conducteurs plus élevés. Ceci est illustré à la figure 3.50 (a). En augmentant le diamètre du conducteur, la distance entre les lignes équipotentielles augmente et l’intensité du champ électrique à la surface du conducteur diminue. Cependant, cette solution implique des conducteurs plus lourds (car plus de matériau nécessaire pour les fabriquer) et des structures de pylônes plus rigides, ce qui rend cette solution coûteuse. Une meilleure solution consiste à diviser le conducteur en faisceaux. Au lieu d’un conducteur par phase, plusieurs conducteurs sont utilisés par phase. Sur la photo de la figure 3.45, un faisceau à trois conducteurs est utilisé. L’intensité du champ électrique à la surface des conducteurs en faisceau représentée à la figure 3.50 (b) est comparable à celle du conducteur épais de la figure 3.50 (a).

(a)

(b)

 Figure 3.50  Réduction de l’intensité du champ électrique à la surface du conducteur (a) en augmentant le diamètre du conducteur (b) ou en utilisant un faisceau de conducteurs (4 conducteurs).

Outre la réduction de l’effet couronne, les conducteurs en faisceaux sont avantageux par rapport à un seul conducteur de plus grand diamètre car : • leur réactance de ligne est plus faible ; • ils sont plus faciles à transporter et à assembler ;

160

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

• les capacités de refroidissement des conducteurs sont améliorées ; • leur capacité de transfert de puissance est accrue. Le regroupement des conducteurs en faisceaux a cependant un inconvénient. En effet, les conducteurs parcourus par un courant s’attirent. Ceci est illustré à la figure 3.51. C’est pourquoi les conducteurs individuels doivent être séparés par une entretoise, comme illustré à la figure 3.52.

H I

I

H H FL

 Figure 3.51  Représentation schématique de deux conducteurs parcourus par un courant « I » exerçant mutuellement une force d’attraction « FL ». Par souci de clarté, nous avons représenté uniquement le champ magnétique « H » entourant le conducteur situé à droite qui provoque une force électromagnétique « FL » sur le conducteur situé à gauche ; l’interaction du conducteur situé à gauche sur le conducteur situé à droite n’est pas illustrée ici, mais est similaire.

 Figure 3.52  Entretoise pour un faisceau à quatre conducteurs. (Reproduit avec la permission de Alcoa Conductor Accessories.)

161

Le réseau électrique dans son intégralité

Oscillations des lignes Les lignes de transport à haute tension supportées par des pylônes peuvent subir des contraintes mécaniques en raison des conditions climatiques et entrer en oscillation basse fréquence (0,1-1 Hz) avec une amplitude variant entre 0,1 et 1 fois la flèche de la travée. Une photographie de lignes oscillantes est présentée à la figure 3.53. Les oscillations sont initiées par des vents latéraux. Mais si la surface du conducteur normale à la direction du vent est asymétrique, cela amplifie le phénomène. La formation d’une surface de conducteur asymétrique est illustrée à la figure 3.54. La surface du conducteur n’est pas lisse et les particules de glace s’y agrègent, si bien qu’un dépôt se forme progressivement (figures 3.54 (a) et (b)). Lorsque le conducteur tourne un peu, le dépôt se développe (figures 3.54 (c), (d) et (e)) et peut conduire à la création d’un manchon tout autour. Celui-ci peut facilement atteindre une masse de 5 à 10 kg/m, ce qui augmente la masse du conducteur dans un facteur compris entre 2 et 20 ! Dans les cas graves, les conducteurs peuvent se casser et les pylônes peuvent même se fissurer. Lorsque le conducteur ne peut pas tourner, ce qui peut être le cas avec les faisceaux de conducteurs car une contrainte de torsion est imposée par les entretoises, il en résulte une sorte de dépôt de glace en forme d’aile comme le montre la figure 3.54 (b). C’est ce phénomène couplé à un vent de travers qui peut entraîner une oscillation des lignes. Il existe principalement deux types de dispositifs pour éviter les oscillations des lignes. Le premier tente d’empêcher la formation d’un dépôt de glace en forme d’aile sur le conducteur. Cela peut être fait en utilisant des entretoises qui permettent aux conducteurs de tourner librement tout en conservant la géométrie d’origine du faisceau de conducteurs. Le deuxième accepte le dépôt de glace mais modifie la dynamique du conducteur. Un exemple typique est l’amortisseur de vibrations du conducteur, comme le montre la figure 3.55.

 Figure 3.53  Lignes oscillantes. Les flèches indiquent la distance minimale (lorsqu’il y a un risque de court-circuit) et la distance maximale entre les conducteurs. (Reproduit avec la permission de M. Tunstall.)

162

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Wind and snow

(a)

(b)

(e)

(c)

(d)

 Figure 3.54  Dépôt de neige et de glace sur un conducteur. La flèche indique l’orientation de la ligne.

 Figure 3.55  Amortisseur de vibrations pour un conducteur. (Reproduit avec la permission de Alcoa Conductor Accessories.)

Les oscillations des lignes peuvent faire que la distance entre deux conducteurs de deux phases différentes devient trop faible (voir aussi les flèches de la figure 3.53) et un court-circuit peut en résulter. Lorsque ces courts-circuits se répètent, les opérateurs du réseau sont contraints de mettre la ligne hors service. De plus, les forces mécaniques exercées sur les isolateurs (voir les isolateurs inclinés sur le pylône de la figure 3.53) et sur les pylônes peuvent devenir si fortes que les oscillations peuvent entraîner la rupture mécanique d’un isolateur ou même la fissuration du pylône lui-même.

163

Le réseau électrique dans son intégralité

Liaison à la terre et blindage La foudre est le phénomène climatique le plus perturbant pour les lignes et pour les pylônes. C’est pour cette raison que les pylônes sont reliés électriquement entre eux par des conducteurs de blindage (notés « a » sur la figure 3.43) placés aux extrémités supérieures des pylônes et reliés à la terre au niveau de chaque pylône. Les conducteurs de mise à la terre protègent les conducteurs de phase d’un coup de foudre direct et réduisent la résistance électrique de terre du pylône surtout pour un sol sec ou rocailleux. La foudre fait partie du système électrique Terre-ionosphère, représenté à la figure 3.56 [9], que l’on peut assimiler à un condensateur… chargé. La tension entre l’ionosphère et la surface terrestre est d’environ 300 000 V. Ce « condensateur » a un faible courant de fuite qui, par beau temps, s’élève à environ 1 400 A lorsque nous prenons en compte la surface complète de la Terre. Les orages agissent comme une « batterie » dans ce système électrique et le nombre d’orages, à tout moment de la journée, dans le monde entier, est d’environ 1 500. La puissance du système électrique Terre-ionosphère n’est cependant que de 500 MW, ce qui équivaut à la puissance d’une « petite » centrale électrique. La foudre se produit principalement les jours d’été lorsque la température ambiante est élevée et que l’air est humide. En raison de la différence de température qui entraîne des différences de densité de l’air, l’air humide est déplacé à des altitudes plus élevées où la température ambiante est bien inférieure à celle d’origine (au niveau du sol). L’air froid peut contenir moins d’eau que l’air chaud et des gouttes de pluie se forment. Celles-ci ont une taille de quelques millimètres et sont polarisées par le champ électrique présent entre la partie inférieure de l’ionosphère et la surface de la Terre (la valeur de ce champ électrique atmosphérique est, les jours d’été, de l’ordre de 60 V/m et peut atteindre des valeurs de 500 V/m un jour d’hiver sec). La séparation des charges dans les nuages, que vous pouvez voir à la figure 3.56, est un mécanisme complexe qui n’est pas encore complètement compris. En voici une « explication » : de plus grandes gouttes de pluie tombent et rencontrent des gouttes de pluie plus petites et plus légères qui sont soulevées par le flux ascendant de l’air. Ces gouttes de pluie plus petites peuvent être chargées positivement ou négativement. Les gouttes chargées négativement sont attirées par la charge positive de la partie inférieure de la grande goutte tandis que les gouttes chargées positivement sont repoussées. Même si les gouttes chargées positivement sont attirées par la charge négative dans la partie supérieure de la grande goutte de pluie, les gouttes de pluie positives ne peuvent plus s’attacher. Ce mécanisme fait que les plus grandes gouttes de pluie, dans la partie inférieure du nuage, sont chargées négativement et que la plupart des petites gouttes de pluie au sommet du nuage ont une charge positive. Ce processus est illustré à la figure 3.57.

164

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

+

+

+

+

+

+

+ + + + + + ++ + + + − + − −− −− − − −−− − −

+

+

+

+

+

+

+

+

Ionosphere + + + +

+++ + + + ++ + ++ + − − − − −−− − −− − −−

+ −

+ −

3.0

0.6

−

+

0.7

2.7 + + + + − + − − + + + + + + Point discharge + Shower − − + Lightning − Fair-weather field − − − Earth

−

 Figure 3.56  Présentation du système électrique Terre-ionosphère [9]. Les courants sont en μA/km2. Les valeurs sont des moyennes pour l’ensemble de la Terre et sur une longue période.

Fair-weather field

– – – – – –

+

+ + + ++

– – – – –– – +

+

+

Warm humid air –

+

+ + + + + +

 Figure 3.57  Séparation des charges dans les nuages. La case surlignée au milieu montre l’interaction entre une grande goutte de pluie polarisée tombant et deux gouttes chargées plus petites qui sont soulevées.

Les nuages se déplacent à de hautes altitudes où l’intensité moyenne du champ électrique est bien inférieure à la rigidité diélectrique moyenne de l’air. À l’intérieur d’un nuage orageux, la charge d’espace formée par les gouttes de pluie chargées négativement crée un champ électrique localement fort de l’ordre de 10 kV/m. Celui-ci permet d’accélérer les ions qui se déplacent à des vitesses considérables. Les collisions entre les ions négatifs accélérés et les molécules d’air créent de nouveaux ions négatifs qui à leur tour sont accélérés et entrent en collision avec des

165

Le réseau électrique dans son intégralité

molécules d’air et libèrent des ions négatifs. Une sorte d’avalanche est déclenchée ; la charge d’espace et le champ électrique qui en résulte se développent en très peu de temps. Le champ électrique intense déclenche des décharges à l’intérieur du nuage et un flux d’électrons émerge comme une sorte de multitude de fléchettes qui sautent par bonds d’environ 30 m et atteignent la Terre en environ 10 ms. Lorsque le flux d’électrons s’approche de la surface de la Terre, le champ électrique augmente si fortement que des charges positives sont attirées vers sa rencontre de préférence à partir d’un objet pointu (ce qui donne localement un champ électrique encore plus intense). À la rencontre des charges, une sorte de canal électrique est créé. En raison du comportement chaotique de l’accumulation de charge d’espace, différentes ramifications électriques se créent. Le canal principal est parcouru par un courant de décharge de quelques centaines d’ampères avec une vitesse d’environ 150 km/s qui le réchauffe. Il se produit en retour une décharge positive se déplaçant à une vitesse proche de la moitié de la vitesse de la lumière égalant ainsi la différence de charge entre l’orage et la Terre. Le courant de décharge principal peut atteindre des valeurs de 100 000 A ou plus et la température du plasma dans le canal principal peut atteindre des valeurs de l’ordre de 300 000 K. La pression dans le canal principal est typiquement de 20 bars. La création du coup de retour se fait entre 5 et 10 μs et s’accompagne d’une onde de choc, le tonnerre. Un coup de foudre se compose de plusieurs de ces décharges, généralement trois ou quatre, avec un intervalle de temps de 10 à 100 μs. L’œil humain enregistre cela comme un scintillement de la foudre et notre oreille entend le grondement du tonnerre. Après chaque décharge, le canal de plasma se refroidit jusqu’à environ 3 000 K mais reste suffisamment ionisé pour permettre la création d’un nouveau canal de plasma conducteur pour la décharge suivante. La distance de frappe nous donne un aperçu de l’endroit où la foudre atteindra la surface de la Terre. On peut visualiser la distance de frappe « rs » comme étant une sphère de rayon « rs » autour de la pointe de l’éclair : le premier objet « touché » par la sphère sera frappé par la foudre. La distance de frappe est liée au courant de foudre maximum qui se produira après le contact avec l’objet, souvent décrit par l’expression suivante : 0,65 rs = 10 I pk (3.18)

Avec rs : distance de frappe (m). I pk  : valeur maximale du courant de décharge ou courant de foudre (kA). Exemple 3.4 Distance de frappe D’après l’équation (3.18), une valeur maximale du courant de décharge de 10 kA correspond à une distance de frappe d’environ 45 m tandis qu’une valeur de 100 kA correspond à une distance de frappe d’environ 200 m. Les conducteurs de blindage sont positionnés afin que les conducteurs de phase soient protégés contre les courants de foudre trop importants. En d’autres termes, les conducteurs de blindage sont positionnés à une distance de la surface du sol plus importante que celle des conducteurs de phases. Ceci est illustré à la figure 3.58.

166

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

La sphère avec un rayon « rs1 » correspond à un courant de foudre important et touche la terre ou les conducteurs de blindage. Ainsi, le conducteur de phase est protégé contre les grands courants de foudre. Les courants plus petits, tels que représentés par la sphère avec le rayon « rs2 », peuvent frapper la terre ou un conducteur de phase. Par conséquent, les conducteurs de mise à la terre ou de blindage permettent de protéger le système contre les courants de foudre mais des courants plus faibles peuvent pénétrer dans le système. De cette manière, l’amplitude maximale du courant injecté dans le système est connue et les systèmes de protection peuvent l’anticiper.

Stepped leader

Stepped leader

rs1

rs2

 Figure 3.58  Protection contre la foudre au moyen de conducteurs de blindage. « rs1 » correspond à un fort courant de foudre qui frappe soit la terre soit les conducteurs de blindage. « rs2 » correspond à un plus petit courant de foudre qui frappe soit la terre soit le conducteur de phase.

Transposition des lignes Dans la section 1.3.3 : Systèmes triphasés équilibrés, nous avons supposé que les trois phases du réseau de transport sont équilibrées. Cela signifie, entre autres, que les impédances de chacune des phases sont identiques. Quand nous regardons la position des conducteurs sur le pylône qui est présentée à la figure 3.43, nous voyons que l’un des conducteurs est positionné au-dessus des deux autres et par conséquent il aura une valeur différente de capacité par rapport à la terre que les deux autres. Pour éviter cela, il existe différentes possibilités pour le positionnement des lignes sur le pylône : les conducteurs triphasés, par exemple, peuvent être montés horizontalement l’un à côté de l’autre ou verticalement l’un au-dessus de l’autre. Ceci a une incidence sur les valeurs des inductances et des capacités linéiques des phases. Lorsque les valeurs sont différentes pour chaque phase, le système n’est plus équilibré. L’équilibrage peut être fait en permutant la place des conducteurs à intervalles réguliers de sorte que l’influence de leurs positions sur l’impédance de ligne soit annulée et ainsi avoir un système équilibré. Cette interchangeabilité des positions des conducteurs est appelée transposition des lignes et est illustrée à la figure 3.59. La transposition a lieu dans des pylônes spéciaux dont une photo est montrée à la figure 3.60.

167

Le réseau électrique dans son intégralité

a

c

b

b

a

c

c

b

a

 Figure 3.59  Permutation de la position des conducteurs dans une ligne de transport.

 Figure 3.60  Photo d’un pylône où la transposition des phases a lieu.

3.9.2

Câbles « souterrains »

Lorsque les conducteurs pour le transport de l’énergie électrique sont enterrés dans le sol, les avantages de l’air pour le refroidissement et l’isolation utilisés pour une ligne aérienne de transport disparaissent. Dans un câble, l’isolation électrique du conducteur par rapport au sol est une problématique très difficile, car il faut à la fois maintenir une certaine tenue en tension ce qui se traduit par une certaine épaisseur de la partie isolante, et à la fois le garder suffisamment flexible pour qu’il puisse être manipulé, ce qui implique un diamètre du câble limité. Comme les câbles triphasés pour les hauts niveaux de tension nécessitent des conducteurs de diamètre plus important (pour réduire l’intensité du champ électrique à la surface du conducteur), la couche de matériau isolant est plus volumineuse : ils sont donc réalisés en tant que câbles monobrins (voir figure 3.61 (b)). Pour les niveaux

168

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

de tension intermédiaires (inférieurs à 60 kV), ce sont des câbles tripolaires qui peuvent être réalisés de deux manières : le câble triphasé dans une seule gaine ou le câble à trois brins où chacun des conducteurs a sa propre gaine (c’est-à-dire électriquement il y a trois câbles unipolaires, voir la figure 3.61 (a)). Nous avons représenté, à la figure 3.62, les lignes équipotentielles du champ électrique pour les deux conceptions de câble à trois conducteurs à l’instant où une tension est à sa valeur maximale et où les deux autres sont à la moitié de leur valeur maximale négative. Dans le cas du câble triphasé dans une seule gaine (figure 3.62 (a)), le champ électrique sollicite davantage le matériau isolant à l’intérieur de la gaine. En effet, les lignes équipotentielles ne sont pas toutes concentriques autour du conducteur et des lignes de champ électrique sont normales à la surface d’isolation, ce qui diminue la tenue en tension de l’isolant. De plus, le champ électrique n’est pas limité à une zone relativement petite autour du conducteur mais couvre toute la zone entre la gaine et les conducteurs. Par conséquent, ce type de câble est fabriqué uniquement pour les plages de tension inférieures (10-20 kV et moins). Les conducteurs peuvent être subdivisés, on parle alors de multibrins (comme pour les conducteurs aériens) ou monobrins (voir la figure 3.63), et sont réalisés en cuivre ou en aluminium. Avec un conducteur en forme de « secteur », la zone à l’intérieur d’un câble à trois conducteurs peut être utilisée plus efficacement mais à sa surface, le champ électrique est plus élevé que pour un conducteur circulaire. Pour les niveaux de tension inférieurs, ceci n’est pas un problème car l’isolant permet de conférer au câble une certaine résistance mécanique. Pour les niveaux de tension plus élevés, une section de conducteur en forme de secteur avec une épaisseur d’isolant plus importante conduit à un câble plus volumineux et cette forme n’est donc plus avantageuse.

(a)

(b)

 Figure 3.61  Un câble à trois conducteurs (a) ou à conducteur unique (b) ; a) 6/10 kV avec 3 × 240 mm2 (chaque conducteur est mono brin, en aluminium et a une section de 240 mm2), l’isolant est du polyéthylène réticulé (PR) ; (b) 220/380 kV avec 1 × 1 600mm2 (le conducteur unique est multi brins, en cuivre et a une section de 1 600 mm2), l’isolant est du polyéthylène réticulé (PR). (Reproduit avec la permission de Prysmian.)

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Le réseau électrique dans son intégralité

(a)

(b)

 Figure 3.62  Câble ceinturé (a) et câble à trois brins où chacun des conducteurs triphasés a sa propre gaine (b) ainsi que leurs lignes équipotentielles.

Circular solid

Circular stranded

Circular stranded compacted

Sector-shaped solid

Sector-shaped stranded

 Figure 3.63  Différentes structures possibles pour le conducteur. Circular solid : monobrin ; Circular stranded : en faiseau ; Sector-shaped : en secteur.

Isolant plastique La plupart des câbles pour le transport de l’électricité utilisent comme matériau isolant du plastique ou du papier avec de l’huile. Les plastiques les plus utilisés sont le polyéthylène (PE) et le polyéthylène réticulé (PR). Le plastique est un isolant solide qui, pendant la fabrication du câble, est fondu et pressé autour du conducteur (c’est-à-dire que le plastique est extrudé). L’isolant doit être exempt de cavités et d’inclusions (telles que la poussière, les fibres et les particules métalliques) afin d’éviter les décharges partielles (comme l’effet couronne ; section 3.9.1). Les inclusions peuvent avoir une faible tenue diélectrique, ce qui est un défaut de l’isolation, ou peuvent être tranchantes, ce qui conduit localement à un champ électrique intense. Les matériaux isolants polymères utilisés sont très vulnérables à l’eau et à la vapeur d’eau, car cela diminue leur niveau de tenue

170

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

diélectrique. Par conséquent, l’isolation doit être étanche à l’eau. Ceci peut être réalisé en utilisant, par exemple, une gaine en plomb.

Isolant papier-huile Le papier seul a des qualités isolantes insatisfaisantes en raison des espaces dans sa structure fibreuse. En combinaison avec de l’huile, ou un autre composé d’imprégnation qui remplit ces espaces, on obtient un excellent isolant. Dans un câble rempli d’huile, parfois sous pression, le centre du conducteur est creux pour permettre l’écoulement sous basse pression de l’huile qui est régulièrement fournie par des réservoirs présents sur toute la longueur. Lorsque le câble chauffe, l’huile se dilate et est entraînée vers les réservoirs et vice versa. De cette manière, on évite les espaces dans le matériau isolant et aucun point faible n’est présent. Les câbles remplis d’huile se sont révélés être le type de câble le plus fiable pour les hautes et très hautes tensions. Souvent, une gaine métallique entoure les câbles. Cette gaine sert de blindage électrostatique (le champ électrique est enfermé entre le conducteur et la gaine), comme conducteur de courant de fuite à la terre et comme fil de neutre. Cependant, dans le cas de trois câbles unipolaires, la gaine métallique présente également un inconvénient, car des courants sont induits dans la gaine par le champ magnétique créé par les courants circulant dans les conducteurs, comme le montre la figure 3.64. Lorsque les gaines métalliques des câbles sont connectées en un seul point, c’est-àdire que les gaines des trois câbles sont connectées et mises à la terre en un seul point sur toute la longueur, comme illustré à la figure 3.65 (a), la tension induite dans la gaine est proportionnelle à la longueur du câble et peut atteindre des valeurs très élevées. La tension de gaine acceptée limite la longueur des câbles à simple liaison et ils peuvent être utilisés uniquement pour des longueurs limitées. Les gaines de câble à simple liaison ne forment pas une boucle fermée et ne fournissent pas de chemin pour les courants de fuite ou des courants de défaut externes. Ceci peut être résolu en mettant à la terre les gaines des câbles métalliques aux deux extrémités (voir figure 3.65 (b)). Dans un tel système lié aux deux extrémités, il existe un chemin fermé permettant aux courants de circuler à travers la gaine. Ces courants induisent des pertes et des échauffements et ils réduisent la capacité de transport du câble. Lorsque les gaines métalliques sont mises à la terre aux deux extrémités du câble et sectionnées et interconnectées entre elles, on obtient ce que l’on appelle un câble à liaison croisée, tel qu’illustré à la figure 3.66. De cette manière, la tension induite totale dans les sections consécutives est (approximativement) neutralisée. Grâce à la liaison croisée des gaines métalliques, la capacité de transport du câble est aussi élevée qu’avec une liaison à point unique, mais des longueurs de trajet plus longues peuvent être réalisées.

171

Le réseau électrique dans son intégralité

I

 Figure 3.64  Lignes de flux d’un câble parcouru par un courant et courants de Foucault induits dans la gaine d’un câble voisin (blindages non connectés) [10].

(a)

(b)

 Figure 3.65  Connexion des blindages en un seul point (a) et connexion aux deux extrémités (b) d’une gaine de câble métallique.

 Figure 3.66  Connexions croisées des blindages pour des câbles à un seul conducteur.

172

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Dans la section 3.9.1, nous avons étudié la distribution du champ électrique entre deux cylindres coaxiaux (voir figure 3.49). C’est le cas d’un câble « haute tension » à un seul conducteur. La capacité d’une telle configuration de cylindre coaxial peut être calculée avec l’équation (3.15) et est égale à : c=

q′ V ph −n

=

2πε (3.19) R ln r

()

Avec c : capacité linéique (F/m). q ′  : charge linéique autour du conducteur (C/m). Vph-n : valeur efficace de la tension simple (V). e : permittivité interne au cylindre « S » ; e = e0 er. La permittivité du vide e0 vaut 8,85 10–12 F/m et la permittivité relative er du polyéthylène est proche de er_PE ≈ 2,3. Pour l’isolant papier-huile er ≈ 3,5. r : rayon interne du cylindre (m) ; dans notre cas c’est rayon du conducteur. R : rayon externe du cylindre (m) ; dans notre cas c’est rayon de la gaine extérieure. Lorsque nous examinons l’équation (3.19), nous voyons la principale différence de comportement électrique entre une ligne et un câble. Le rapport R/r est beaucoup plus élevé pour une ligne aérienne que pour un câble souterrain. Par conséquent, sa capacité linéique est plus élevée (voir le tableau 3.2). Le courant nécessaire pour alimenter la partie capacitive du câble peut être si important que, pour de longues longueurs de câble, le courant pouvant être transmis est fortement réduit. Ceci est illustré dans l’exemple suivant.  Tableau 3.2  Comparaison des caractéristiques d’une ligne et d’un câble 150 kV Caractéristiques

Lignes aériennes

Câbles souterrains

Matériau du conducteur

cuivre

cuivre

Section du conducteur (mm2)

150

240

Fréquence nominale (Hz)

50

50

Tension nominale (kV)

150

150

Capacité de transport (MVA)

130

135

Résistance linéique (W/km)

0,125

0,120

Réactance linéique (W/km)

0,425

0,166

Capacité linéique (nF/km)

11,7

210

Exemple 3.5 Courant capacitif d’un câble de transport Nous utilisons les caractéristiques du câble souterrain de 150 kV spécifié au tableau 3.2.

173

Le réseau électrique dans son intégralité

À partir de la valeur de la puissance nominale, nous pouvons calculer le courant nominal pouvant circuler dans ce câble : = In

135 106 = 520 A (3.20) 3 150 103

La valeur efficace du courant capacitif demandé par sa capacité linéique est de : I C = c ωV = 210 10 −9 (2 π 50)

150 103 = 5,7 A/km (3.21) 3

Si ce câble n’est pas connecté et mesure 520/5,7 = 91 km, le courant nominal autorisé a été uniquement absorbé par le câble !

3.9.3

Lignes de transport à isolation gazeuse

Outre les technologies existantes de lignes aériennes et de câbles souterrains à isolant solide, les lignes de transport à isolation gazeuse (GIL pour Gas Insulated Line) offrent une solution supplémentaire pour le transport d’électricité à haute tension. La technologie GIL peut être utilisée pour des tensions comprises entre 100 et 800 kV. La plupart des applications de la technologie GIL sont à 420 et 550 kV. Les applications à 800 kV se trouvent actuellement (en 2017) seulement en Chine. Les lignes à isolation gazeuse ont été mises au point en même temps que les systèmes de protection (comme le disjoncteur) et les sous-stations à isolation gazeuse. Les très bonnes capacités isolantes du SF6 permettent de réduire les dimensions des sous-stations à haute tension. Ces excellentes capacités d’interruption de l’arc permettent d’augmenter le « pouvoir de coupure » des disjoncteurs et la fiabilité des appareils de protection. Le premier projet de lignes de transport à isolation gazeuse GIL de 400 kV consistait à remplacer un câble à isolation dans l’huile dans la centrale de « pompageturbinage » de Schluchseewerke en Allemagne. En mode générateur, l’usine peut produire jusqu’à 1 000 MW et la puissance pour le stockage est de 700 MW (voir le chapitre 2 et la section 2.4.2 : Hydroélectricité - production et stockage d’énergie). Une défaillance dans le système d’alimentation en huile du câble les a détruits et a endommagé le tunnel. L’isolation gazeuse qui est une solution non inflammable a été choisie pour remplacer les isolations utilisant l’huile pour les câbles de transport. Ce câble GIL a été construit dans les années 1974 et 1975 et peut conduire 2 000 A sur une longueur de 700 m [11]. Le câble GIL est constitué d’un conducteur central en aluminium reposant sur des isolateurs en résine coulée qui le centrent dans l’enceinte externe (figure 3.67). Ce boîtier est constitué d’un tube en aluminium de 400 à 600 mm de diamètre, ce qui constitue un excellent confinement mécanique et électrique pour le système. Pour répondre aux questions environnementales et techniques les plus récentes, le câble « GIL » est rempli d’un mélange de gaz isolant composé principalement d’azote et d’un pourcentage plus faible de SF6.

174

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

 Figure 3.67  Vue d’une installation avec des câbles à isolation gazeuse. (Reproduit avec la permission de la société Siemens.)

3.10 Transport en courant continu à haute tension Comme nous l’avons vu à la section 1.3.1, le choix du transport en alternatif a été fait au début du développement des réseaux électriques car les transformateurs pouvaient très facilement modifier les niveaux de tension d’un niveau plus faible à un niveau plus élevé et vice versa. Comme les pertes ohmiques sont proportionnelles au carré du courant, chaque doublement de la tension réduit ces pertes d’un facteur quatre. Ainsi, le courant alternatif est devenu la norme pour le transport de l’électricité sur de grandes distances, car il nécessite des niveaux de tension élevés. De nos jours, les dispositifs d’électronique de puissance permettent de convertir la puissance sous forme alternative en continu, mais aussi du continu en alternatif et même du continu en continu avec un rendement élevé. La difficulté de modifier les niveaux de tension dans les systèmes à courant continu a disparu. Les systèmes de transport AC ont un inconvénient important : ils sont demandeurs de puissance réactive. Nous parlons dans notre pratique quotidienne des tensions et des courants lorsque nous analysons les flux d’énergie dans les réseaux. Le courant fait référence au débit net de charge sur toute section transversale d’un conducteur. Le mouvement net de 1 C (Coulomb) de charge à travers une section transversale d’un conducteur en 1 s produit un courant électrique de 1 A. La différence de potentiels ou la tension entre les bornes d’un conducteur crée un champ électrique qui force les charges à se déplacer. Le mouvement des charges mobiles, que nous appelons courant, crée un champ magnétique autour du conducteur. L’interaction entre le champ électrique et le champ magnétique est décrite par les équations de Maxwell

175

Le réseau électrique dans son intégralité

et comme nous pouvons le voir sur la figure 1.2, l’énergie est stockée dans le champ électromagnétique. Pour des phénomènes à 50 ou 60 Hz, le système d’alimentation est de « dimensions électriquement petites » par rapport à la longueur d’onde des grandeurs électriques et les lois de Kirchhoff peuvent être utilisées pour déterminer les tensions et les courants. Mais nous devons réaliser que l’énergie électrique transportée par les câbles souterrains et les lignes aériennes est stockée dans le champ électromagnétique autour des conducteurs et que ce champ doit être continuellement alimenté pour entretenir les oscillations de la tension et du courant. La puissance réactive est l’image du flux d’énergie qui alimente continuellement le champ électromagnétique. Cette énergie n’est pas gaspillée, puisqu’elle est récupérée à mesure que les champs se déchargent. Mais pour charger et décharger le champ, un courant doit circuler dans le conducteur et provoque des pertes ohmiques et une chute de tension sur la ligne. Comme le champ électromagnétique augmente avec la longueur des conducteurs, la puissance réactive requise augmente également jusqu’à atteindre un point tel que pour les câbles le niveau de courant réactif atteint la valeur du courant nominal et la transmission d’énergie n’est plus possible (voir aussi l’exemple 3.5). Le transport en continu à des tensions plus élevées a été développé à l’époque d’Edison grâce à la connexion en série de générateurs. Mais c’était une solution trop complexe qui ne pouvait pas rivaliser avec le transport en alternatif. Il a fait sa réapparition lorsque la valve à vapeur de mercure est apparue dans les années 1920. C’est une ampoule scellée remplie de vapeur de mercure qui utilise une anode en acier (plus tard faite de carbone) et une cathode au mercure (figure 3.68) [12]. Une fois qu’un arc est amorcé entre l’anode et la cathode, le courant circulant dans l’arc ionise la vapeur de mercure par sa chaleur. Le bombardement d’ions à l’interface de l’arc et du mercure provoque la libération d’autres ions. L’anode en acier n’émet pas d’électrons à la température de fonctionnement. Il y a un flux d’électrons provenant de la cathode au mercure mais pas dans le sens inverse. La valve à vapeur de mercure agit comme une diode et peut être appliquée dans un montage redresseur (conversion AC  DC) : dès que la tension aux bornes devient positive, la valve conduit le courant et l’isole lorsque le courant s’annule (voir également la section 4.2.4). Les valves à vapeur de mercure peuvent également être utilisées pour la conversion DC  AC : une électrode auxiliaire à l’intérieur de l’ampoule reçoit une impulsion de tension qui initie un arc entre l’anode et la cathode. Donc, les valves à vapeur de mercure peuvent effectuer à la fois la conversion AC  DC et DC  AC et permettent de combiner les avantages du transport en alternatif avec les avantages du continu. La valve à vapeur de mercure a été inventée par Peter Cooper Hewitt en 1902. Dans les années 1960, un nouveau type de valve (ou soupape) est apparu : le thyristor. Le thyristor a remplacé la technologie d’un arc dans du mercure par la technologie des semi-conducteurs. Les avantages de la technologie des semi-conducteurs sont : • • • • •

176

plus grande densité de puissance ; vitesse de commutation plus élevée ; densité volumique plus faible ; moins de pertes ; plus d’aspects toxiques liés à la manipulation du mercure.

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Dans le tableau périodique des éléments, il y a des métaux, qui sous leur forme pure, conduisent l’électricité contrairement aux non-métaux. À l’intérieur d’un isolant, le verre par exemple, les électrons les plus externes sont beaucoup plus étroitement liés à leurs atomes et n’ont aucun intérêt à se déplacer sous l’influence d’un champ électrique. Il existe également un groupe intéressant de non-métaux présentant des niveaux intermédiaires de conductivité électrique : le germanium, le silicium, l’arséniure de gallium et le carbure de silicium. C’est Michael Faraday qui, en 1833, a découvert la semiconductivité dans le sulfure d’argent mais le phénomène n’a été compris que dans les années 1930 lorsque la théorie des bandes (d’énergie) a été formulée. La conductivité des matériaux semi-conducteurs peut être influencée par l’insertion sélective « d’impuretés » dans le cristal. Ces atomes insérés occupent des positions dans le réseau cristallin qui autrement seraient occupées par un atome du matériau du substrat. Si les atomes insérés ont plus d’électrons dans leur bande externe que le matériau hôte, nous obtenons un matériau semi-conducteur de type « n ». Les électrons supplémentaires sont libres de se déplacer dans le cristal et augmentent ainsi la conductivité électrique. Si les atomes insérés ont moins d’électrons dans leur bande externe, nous obtenons un matériau semi-conducteur de type « p », ce qui crée ce que l’on appelle des trous. Parce que les électrons des atomes voisins sont capables d’occuper ces positions, les trous eux-mêmes ont une mobilité et se comportent comme des porteurs de charge positifs. Ce qui permet d’augmenter la conductivité du matériau. Une diode est un exemple simple d’un dispositif à semi-conducteur. Une zone « p » jouxte une zone « n » sur le même cristal et si une tension est appliquée, le courant peut circuler de la zone « p » à la zone « n ». Dans la zone « p », les trous s’écouleront vers la jonction « p-n » et les électrons de la zone « n » vers cette même jonction « p-n ». Les trous et les électrons se recombinent dans la jonction. Si la polarité de la tension s’inverse, les porteurs de charge sont expulsés de la jonction « p-n » et la conduction s’arrête. Pour faire d’une diode un composant commutable, la conductivité doit être déclenchée par un dispositif externe. En 1947, le transistor a été inventé dans le laboratoire Bell par John Bardeen, William Shockley et Walter Brattain. Le principe était d’utiliser un champ électrique pour contrôler le nombre de porteurs de charge dans un cristal de germanium. En 1950, William Shockley a décrit le principe du thyristor. Un thyristor est une diode « p-n » avec des couches supplémentaires entre les zones « p » et « n » externes. Ces couches empêchent la conduction mais grâce à un troisième contact, nommé la « grille », on peut injecter un courant, ce qui a pour but de fournir des porteurs de charges dans la zone de la grille. Lorsqu’une tension est présente entre l’anode et la cathode, un courant peut circuler. La conduction ne s’arrête que lorsque le courant s’annule ou est très faible. Dans les années 1980, le thyristor commutable à la fermeture (GTO, pour Gate Turn Off) est arrivé sur le marché. Un GTO est un thyristor qui peut être ouvert (bloqué) avec une impulsion de courant très énergétique et négative injectée dans la grille. Ensuite est apparu un autre composant semi-conducteur, « commandable » à la fermeture et à l’ouverture : l’IGBT (pour Insulated Grille Bipolar Transistor). L’IGBT est commandé par une tension (au lieu d’un courant comme pour le GTO) et a des temps de commutation plus faibles permettant des fréquences de commutation plus élevées.

177

Le réseau électrique dans son intégralité

Steel anode Mercury vapor Arc

Mercury cathode

(a) A B C

AC

Anode

Cathode + −

DC (b)

 Figure 3.68  (a) Valve à vapeur de mercure. (b) Schéma d’un commutateur pour le redressement des tensions triphasées.

178

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

De l’alternatif au continu La découverte du phénomène d’induction électromagnétique par Michael Faraday (1791-1867) en 1831 a ouvert la porte de la production d’électricité à grande échelle. Ampère (André-Marie Ampère 1775-1836) poursuivit les expériences de Faraday et d’Oersted (Hans Christian Ørsted, 1777-1851). Sur la base de ces découvertes, Antoine-Hippolyte Pixii (1808-1835) a construit, en 1832, la première génératrice électromagnétique. Cette machine est constituée d’une armature fixe comportant une bobine et un aimant en forme de fer à cheval actionné par une manivelle. La première machine produisait de l’alternatif : en effet, l’aimant en forme de fer à cheval tournant induisait à chaque demi-tour une tension de polarité opposée. L’idée était de générer du courant continu ainsi Pixii a ajouté un commutateur à sa conception originale, permettant à la machine de fournir de l’électricité circulant dans une seule direction. Les premiers générateurs à courant continu avaient un rendement plutôt faible mais ils sont devenus des objets d’étude et de recherche. De nombreux chercheurs ont contribué au développement de ces générateurs dans les années 1860 et 1870 – Zenobe Theophile Gramme (1826-1901), Charles Wheatstone (1802-1875) et Werner von Siemens (1816-1892) étaient les plus importants. Le rotor d’une génératrice produit une tension alternative lorsqu’il tourne. Le commutateur l’inverse à chaque demi-tour et il redresse ainsi mécaniquement la tension (figure 3.69).  37Cependant, transporter de l’électricité en continu posait certains problèmes. Nous

devons à Nikola Tesla (1856-1943) les premiers travaux sur le courant alternatif et sur les générateurs en alternatif. Le transformateur a permis ensuite le développement du transport de l’électricité et a ainsi popularisé l’utilisation de l’électricité. Magnetic flux

Commutator and brush

N

S

– Shafts axis of rotation

R

Vout V Vout

+

t

 Figure 3.69  Principe de fonctionnement d’une génératrice en courant continu.

37.  Ce paragraphe est un ajout du traducteur.

179

Le réseau électrique dans son intégralité

Jusqu’à présent, la plus grande partie de l’électricité que nous utilisons est produite dans des centrales électriques où des générateurs synchrones triphasés convertissent l’énergie mécanique des turbines à vapeur ou à gaz en énergie électrique. Le système d’alimentation d’aujourd’hui est un système d’alimentation en alternatif, comme il l’a été pendant plus d’un siècle. Au cours des dernières décennies, les défis pour les pouvoirs publics et les gestionnaires des réseaux de transport ont radicalement changé. Les coûts croissants des terrains pour les nouvelles lignes de transport et les sous-stations, les préoccupations environnementales et le prix de l’énergie primaire ont obligé les gestionnaires de l’énergie et les ingénieurs en énergie à revoir le système de transport de l’électricité. Les innovations dans la technologie DC nous ont permis de considérer, pour les extensions du réseau, des solutions avec des liaisons DC haute tension (HVDC, pour High Voltage DC) comme une alternative sérieuse pour les lignes de transport AC. Pour comprendre comment fonctionne une liaison HVDC, il est nécessaire d’étudier le fonctionnement du montage redresseur car c’est l’élément de base de ces systèmes. Le montage redresseur triphasé « double alternance », connu sous le nom de pont de Graëtz, comporte six diodes (figure 3.70) [13]. Ld → ∞

Id Va

D1

D3

D5

Ia Vb

Vd

Ib Vc Ic D4

D6

D2

 Figure 3.70  Schéma d’un redresseur à 6 diodes.

La diode se met en conduction lorsque la tension entre l’anode et la cathode est positive et se bloque lorsque le courant la traversant s’annule. Chaque diode conduit 1/3 de période soit 120° sur 360°. Les amplitudes des tensions composées des trois phases changent avec le temps. Lorsque la tension uBC(t) (uBC = vB – vC) devient supérieure à la tension uAC(t), la diode D3 conduit le courant qui circulait dans la diode D1. On appelle cela la commutation. Les paires de diodes conductrices sont les diodes D1 et D2, les diodes D2 et D3, les diodes D3 et D4, les diodes D5 et D6, les diodes D5 et D4 et les diodes D6 et D1. La tension continue résultante est représentée à la figure 4.12.

180

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Le thyristor, comme la diode, ne peut conduire le courant que dans une seule direction mais sa mise en conduction est contrôlée en injectant une impulsion de courant dans l’électrode supplémentaire qui est la gâchette. Le blocage du thyristor est la même chose que pour la diode, il se produit lorsque le courant le traversant s’annule. La figure 3.71 montre un circuit à thyristors. Lorsqu’une impulsion « Ig » est appliquée et qu’une tension directe « Vth » entre l’anode et la cathode est positive, le thyristor conduit le courant « Ia ». La conduction dure tant que le courant est positif. Lorsque le courant tente de s’inverser, le thyristor se bloque. Par conséquent, un redresseur à thyristors, comme le redresseur à diodes, nécessite une alimentation en tensions alternatives pour fonctionner. En anglais, on parle de Line-Commutated Converter (LCC). Lorsque nous remplaçons les diodes du pont de Graëtz par des thyristors, nous obtenons le schéma de la figure 3.72. Va

t

Vth

L

Ia

t Va

Vth

Ig Ig

t

Ia

t

 Figure 3.71  Circuit commandé par un thyristor.

181

Le réseau électrique dans son intégralité

Ld → ∞

Id Va

T1

T3

T5

Ia Vb

Vd

Ib Vc Ic T4

T6

T2

 Figure 3.72  Schéma d’un redresseur-onduleur à 6 thyristors.

Avec le pont à thyristors, nous pouvons modifier la valeur moyenne de la tension côté continu à l’aide de l’« angle de retard à l’amorçage » des thyristors. Notez qu’avec un « angle de retard à l’amorçage » nul, les thyristors se comportent comme des diodes et le pont redresseur contrôlé (figure 3.72) se transforme en pont non contrôlé (figure 3.70). Il y a toujours une paire de thyristors qui conduit en même temps dans le montage à six thyristors, il y a donc toujours une possibilité pour que le courant continu traverse le convertisseur. La plupart des convertisseurs « LCC HVDC » utilisent le montage à thyristors « dodécaphasé » qui est constitué de la mise en série de deux ponts à six thyristors mais où les deux systèmes de tensions triphasées d’alimentation sont déphasés. Avec ce montage, côté alternatif, le facteur de puissance est amélioré et côté continu les ondulations de la tension sont diminuées. Les progrès sur les composants semi-conducteurs de puissance ont permis de réaliser des onduleurs de tension utilisant la technique de la MLI (pour modulation de largeur d’impulsion ; PWM en anglais, pour Pulse Width Modulation). Ces onduleurs de tension MLI (en anglais, VSC, Voltage Source Converter) utilisent des GTO ou des IGBT. Ce sont des composants commandables à la fermeture (comme le thyristor) et à l’ouverture. Ils permettent au VSC de fonctionner dans les quatre quadrants du plan P-Q. Il existe deux façons de réaliser une liaison HVDC (voir la figure 3.73). La liaison HVDC dite « mono-polaire » consiste à utiliser comme liaison électrique de retour, soit le sol, soit le fond marin. Cette solution est utilisée, sauf si la résistance électrique du sol est trop élevée, car elle permet d’économiser le coût de pose d’un câble. La liaison HVDC dite « bipolaire » est constituée de deux liaisons : l’une pour le courant « aller », l’autre pour le courant « retour », avec des liaisons des points milieu à la terre. En régime permanent, le courant circulant dans chaque liaison est le même et par conséquent, aucun courant n’est injecté au travers des liaisons à la terre.

182

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Les deux liaisons peuvent être utilisées séparément. Si l’une des deux fonctionne mal, alors l’autre peut transmettre la puissance en utilisant le retour par la terre. Une liaison HVDC permet de relier deux réseaux alternatifs de manière asynchrone (les systèmes de tensions de part et d’autre peuvent ne pas être synchronisés) et les convertisseurs sont connectés « tête-bêche » (back-to-back system en anglais). Cela permet lorsqu’un convertisseur fonctionne en redresseur (AC  DC) que l’autre fonctionne en onduleur (DC  AC). Transmission line

Transmission line Pole 1

Pole 2 Terminal A

Terminal B (a)

Terminal A

Terminal B (b)

 Figure 3.73  Configurations possibles pour réaliser une liaison à courant continu.

La technologie HVDC est devenue une technologie mature avec comme exemple la ligne de transport HVDC entre l’île de Gotland dans la mer Baltique et la partie continentale suédoise avec initialement, en 1954, une puissance nominale de 20 MW (± 100 kV avec valves à vapeur de mercure) et depuis 1999, une puissance de 50 MW (± 60 kV avec IGBT). Actuellement, il y a des liaisons HVDC ayant une puissance de 2 000 MW ou plus avec des tensions comprises entre ± 500 et ± 600 kV. Mais ces niveaux de tension ne sont pas suffisants pour des distances supérieures à 2 000 km pour transporter l’énergie électrique produite par des centrales très puissantes construites en Chine et en Inde. Pour ces lignes, la technologie ± 800 kV est appliquée. Par exemple, la liaison de transport d’énergie en Chine entre le barrage des Trois gorges (Xiangjiaba) et Shanghai fonctionne à ± 800 kV et est capable de transporter 6 400 MW sur une distance de 2 071 km.

183

Le réseau électrique dans son intégralité

Exercices

184

3.1

Expliquez pourquoi : a. Le transport et la distribution de l’énergie électrique en courant alternatif sont des systèmes triphasés. b. Les systèmes de transport utilisent principalement des lignes aériennes. c. Les lignes utilisent des conducteurs en aluminium renforcé avec des brins en acier (ACSR pour Aluminium Conductor Steel Reinforced). d. Les brins sont torsadés.

3.2

Justifiez les informations suivantes : a. Les lignes de transport sont des circuits triphasés à trois conducteurs tandis que les lignes de distribution sont des circuits triphasés à quatre conducteurs. b. Il est nécessaire d’utiliser la haute tension pour le transport de l’électricité. c. À 110 kV et plus, les lignes de transport ont des conducteurs en faisceaux. d. La formation de l’effet couronne est moindre dans les lignes conductrices en aluminium que dans les lignes conductrices en cuivre.

3.3

Quels sont les avantages d’un réseau interconnecté ?

3.4

Dans un essai de court-circuit sur un transformateur 100 kVA, 10 kV/380 V, avec une tension de court-circuit Vk = 3,7 %, les pertes Joule pour ce transformateur sont de 1 200 W. Un essai à vide a donné 200 W de pertes. Montrer que pendant l’essai en court-circuit, les pertes fer peuvent être négligées.

3.5

Un transformateur triphasé T avec une tension de court-circuit Vk = 12 % est connecté à un réseau de puissance apparente de court-circuit infinie. Lorsqu’il n’y a pas de charge connectée aux bornes du secondaire du transformateur, il absorbe 2 MVA au réseau avec un cos(j) = 0,3. Lorsque le secondaire est court-circuité, le réseau fournit 1 200 MVA avec un cos(j) = 0,07. a. Quelle est la puissance nominale du transformateur ? b. Calculer les pertes fer du transformateur.

3.6

Un transformateur T1 (380/150 kV) alimente un réseau 150 kV. Ce réseau alimente deux transformateurs 150/10 kV, T2 et T3. Le transformateur T2 est à sa puissance nominale avec un cos(j) = 1 et le transformateur T3 a une charge de 50 MVA avec un cos(j) = 0,6. La plaque signalétique des transformateurs indique : T1 : 400 MVA, 380/150 kV, Vk = 16 % T2, T3 : 100 MVA, 150/10 kV, Vk = 10 % a. Quelle est la puissance apparente totale aux secondaires des transformateurs T2 et T3 ? (Négligez l’impédance de court-circuit des transformateurs.) b. Quelles sont les valeurs efficaces des courants dans les enroulements 10 kV des transformateurs T2 et T3 et dans les enroulements 150 kV du transformateur T1 ?

3. Transport et distribution de l’énergie électrique

Références bibliographiques 1 Working Group 37.12. The extension of synchronous electric systems: advantages and drawbacks, Paper 37-110, Cigre 1994 Session, Paris, France, August 28-September 3, 1994. 2 Siemens AG. Siemens Power Engineering Guide, Transmission and Distribution, Siemens Aktiengesellschaft, www.energy.siemens.com (Accessed on 13 October 2016). 3 Anderson, Paul M. Analysis of Faulted Power Systems, IEEE Press, 1995, ISBN 0-7803-1145-0. 4 IEC-62655, Tutorial and application guide for high-voltage fuses, edition 1.0, 2013. 5 Wilkins, R., Cretin, E.A. High-Voltage Oil Circuit Breakers, McGraw-Hill, 1930. 6 Laithwaite, Eric R., Freris, Leon L. Electric Energy: Its Generation, Transmission and Use, McGraw-Hill, Maidenhead, 1980, ISBN 0-07-084109-8. 7 EnergieNed. Energy in The Netherlands – Facts & Figures, EnergieNed, Arnhem, 2007. 8 Kreuger, Fred H. Industrial High Voltage, Vol. I, Delft University Press, Delft, 1991, ISBN 90-6275-561-5. 9 Wessels, H.R.A. ‘Luchtelektriciteit en Onweer’, Zenit, Vol. 17, 1990, pp. 258-64. 10 Weedy, Birron M. Electric Power Systems, John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, 1987, ISBN 0-471-91659-5. 11 Koch, Hermann. Gas-Insulated Transmission Lines, John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, 2012, ISBN 978-0-470-66533-6. 12 ABB review 2|13. Breakthrough technology and ABB review 2|14: Hundred years of ABB review. 13 Alstom Grid. HVDC: Connecting to the Future, 2010, www.alstom.com (Accessed on 13 October 2016).

185

4 Utilisation de l’énergie électrique 4.1 Introduction Le plan qui a été choisi dans ce livre reproduit la structure « pyramidale » du réseau électrique : production-transport-distribution-utilisation. Un nombre relativement faible de grandes centrales électriques alimentent, via le réseau de transport, les réseaux de distribution se déployant pour fournir aux charges individuelles l’énergie demandée. Mais la causalité est en fait l’inverse ! Le système d’alimentation doit être conçu et organisé de telle sorte que la demande puisse être satisfaite : les consommateurs reçoivent la quantité de puissance active et réactive demandée à fréquence constante et avec une tension constante. La demande des consommateurs n’est pas constante mais varie d’heure en heure chaque jour, de jour en jour chaque semaine, et de saison en saison. Un exemple de courbe de charge journalière est présenté à la figure 4.1. La consommation minimale de la journée représente environ 40 à 60 % de la consommation maximale (ou pointe de charge) et se situe généralement entre 4 et 5 h du matin. La production devrait pouvoir répondre à la demande fluctuante et les réseaux de transport et de distribution doivent être en mesure de répartir les flux d’énergie. La plupart des réseaux électriques sont exploités verticalement, ce qui signifie que le réseau se compose de grandes centrales électriques fournissant l’énergie électrique au réseau de transport à haute tension qui, à son tour, alimente les sous-stations de distribution. Un poste de distribution dessert plusieurs circuits d’alimentation qui fournissent de nombreuses charges de tous types. Un client industriel peut être alimenté directement à partir du réseau de distribution moyenne tension tandis qu’un grand complexe industriel est habituellement alimenté directement à partir du réseau de transport. Les clients résidentiels et commerciaux sont

187

Le réseau électrique dans son intégralité

desservis par le circuit d’alimentation de distribution basse tension qui est disponible au secondaire des transformateurs de distribution (voir également la section 3.2).

Approximate system load in the Netherlands [GW]

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

12 hour

14

16

18

20

22

24

 Figure 4.1  Courbe de charge du réseau néerlandais du lundi 15 mai 2006.

Une charge transforme en réalité la puissance électrique disponible en alternatif en une autre forme de puissance. Dans ce chapitre, nous nous concentrerons d’abord sur les différents types de charges qui transforment la puissance électrique AC en : • puissance mécanique ; • lumière ; • chaleur ; • puissance électrique DC ; • énergie chimique. Après cela, les charges individuelles dans le réseau sont regroupées et classées selon les trois catégories suivantes : • Charges résidentielles comprenant les utilisateurs domestiques • Charges commerciales et industrielles, étant les utilisateurs professionnels et les usines • Systèmes de traction électrique ferroviaires

4.2 Types de charges L’électricité est un vecteur d’énergie très polyvalent et depuis que Thomas Edison a conçu le premier système électrique commercial en 1882, il a changé notre société. Il est utilisé pour alimenter non seulement des moteurs électriques dans les usines mais aussi nos machines à laver et nos réfrigérateurs. L’électricité éclaire et chauffe nos maisons et alimente nos ordinateurs et nos autres équipements électroniques.

188

4. Utilisation de l’énergie électrique

Lorsque nous prenons le train ou le métro, nous profitons des avantages de la traction électrique : tous les trains rapides modernes sont entraînés par des moteurs électriques. Les premiers trains étaient alimentés en 1 500 VDC et, de nos jours, les trains à grande vitesse tels que le TGV en France, l’ICE en Allemagne et le Shinkansen au Japon sont alimentés en 25 kV alternatif.

Conversion électromécanique

4.2.1

La transformation de la puissance électrique en puissance mécanique est réalisée par des machines électriques principalement utilisées en mode moteur. Les premiers moteurs développés étaient des moteurs à courant continu et ils sont encore utilisés dans les trains électriques en raison de leurs excellentes propriétés de traction. Cependant, la majorité des moteurs sont des machines à courant alternatif : des moteurs synchrones et des moteurs asynchrones. Ce sont en principe des machines triphasées puisqu’une alimentation triphasée permet de générer un champ tournant et donc de créer un couple sur le rotor. Dans la section 1.3.3, nous avons montré qu’un système triphasé est capable de produire un champ magnétique tournant comme cela est à nouveau illustré à la figure 4.2. Quand une aiguille de boussole est positionnée au milieu du système triphasé de bobines, l’aiguille suit le champ tournant. Cet exemple est un équivalent du moteur synchrone. Quand un cylindre de cuivre est placé au centre du système triphasé de bobines, le champ tournant entraîne le cylindre avec lui et nous avons un équivalent simplifié du moteur asynchrone. –

v2 +

i2

i1

i2

i1

i3

+ v1 t

– t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11t12 – + i3 t0 3

t1 2

3

v3

t2

t3

2

2 1

t5

t4

2

1

1

1 3

t6

3

1 2

3

2

3

t7...t12: reverse of t1...t6 Magnetic field vector of one phase

Resultant magnetic field vector

 Figure 4.2  Champ magnétique tournant créé par un système triphasé de bobines [1].

189

Le réseau électrique dans son intégralité

Le moteur asynchrone à cage d’écureuil est « LE » moteur de nos machines à laver, lave-vaisselle et réfrigérateurs. Il est alimenté en monophasé. Comment pouvonsnous alors créer un champ magnétique tournant pour entraîner en rotation le rotor ? Les enroulements du stator sont alimentés par une source de tension monophasée via une connexion dite de « Steinmetz », comme illustré à la figure 4.3. Entre les enroulements 2 et 3, un condensateur est ajouté afin d’établir un déphasage de 90 degrés entre les courants i2 et i3. En faisant cela, nous sommes en mesure de créer un champ magnétique tournant à partir d’une tension monophasée qui entraîne le rotor avec elle. L i1

i1 i2 i3 t

N

i2

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12

i3 Capacitor t0

t11 t10

t1

t9

t2 t8 t3 t7

t4 t5

t6

Resultant magnetic field vector

 Figure 4.3  Moteur asynchrone triphasé alimenté en monophasé avec le champ magnétique tournant résultant.

Machine synchrone Dans l’annexe C est présenté le modèle monophasé équivalent pour une machine synchrone connectée au réseau électrique. Il est établi pour son fonctionnement principal à l’aide des équations électromagnétiques liées à sa structure. Une machine synchrone peut fonctionner aussi bien en mode générateur qu’en mode moteur. La majeure partie de l’électricité est produite par des générateurs synchrones triphasés.

190

4. Utilisation de l’énergie électrique

En régime permanent, ils fonctionnent à vitesse constante et sont donc appelés générateurs synchrones. En fonctionnement moteur, les machines synchrones sont principalement utilisées dans les entraînements à vitesse constante mais peuvent l’être également dans les variateurs de vitesse et dans ce cas la machine est alimentée par un convertisseur d’électronique de puissance contrôlant la fréquence des grandeurs électriques. À la figure C.14 est présenté le schéma équivalent d’un générateur synchrone connecté à un réseau électrique de puissance infinie avec son diagramme de Fresnel correspondant. Cette figure est reproduite quasiment à l’identique à la figure 4.4. Seul le diagramme de Fresnel est modifié (déphasage entre E  et I ). X

I V

+

+ E

–

S

V

δ

jXI

I –

E

 Figure 4.4  Modèle monophasé équivalent d’une machine synchrone connectée à un réseau de puissance infinie et diagramme de Fresnel associé. Il est à noter que la résistance équivalente des bobinages a été négligée.

L’échange de puissance active et réactive entre une machine synchrone et le réseau électrique de puissance infinie, compte tenu de la direction de la puissance complexe S et du courant I comme indiqué à la figure 4.4, est décrit par les deux équations suivantes (équations 2.28 et 2.29 dans la section 2.5, respectivement) : La partie réelle de la puissance complexe S est égale à la puissance active P : VE P = Re (S ) = 3 sin (δ) (4.1) X La partie imaginaire de la puissance complexe S est égale à la puissance réactive Q : VE V2 Q = Im (S ) = 3 cos (δ) − 3 (4.2) X X L’équation (4.1) permet de « voir » que la polarité de la puissance active est donnée par la valeur de l’angle « d », ainsi : • d > 0  P > 0 : la machine électrique fournit de la puissance active au réseau. Elle fonctionne comme un générateur ; • d < 0  P < 0 : la machine électrique absorbe de la puissance active au réseau, elle fonctionne comme un moteur ; • d = 0  P = 0 : la machine électrique n’échange pas de puissance active avec le réseau. Dans ce dernier cas, l’expression de la puissance réactive est : VE V2 −3 Q =3 (4.3) X X

191

Le réseau électrique dans son intégralité

Exemple 4.1 Moteur ou générateur Considérons le schéma et le diagramme de Fresnel correspondant présentés à la figure 4.4. La machine connectée au réseau fonctionne-t-elle comme un moteur ou comme un générateur ? Ou, en d’autres termes, la machine injecte-t-elle de la puissance active dans le réseau ou absorbe-t-elle la puissance active du réseau ? Supposons que la tension (simple) aux bornes est V  = 100 V ∠0° et que le courant I , qui est fourni par la machine au réseau est égal à I  = 10 A ∠–150°. La puissance complexe qui est injectée dans le réseau est égale à S  = V I * = 1 000 VA ∠150°. Prendre la partie réelle et imaginaire de cette puissance complexe nous donne la puissance active et réactive injectée dans le réseau : P = -866 W et Q = 500 var. Par conséquent, la machine absorbe 866 W de puissance active du réseau et fonctionne comme un moteur. En outre, il injecte 500 var dans le réseau et est surexcité. En tenant compte de la convention de signe pour la puissance complexe S et pour le courant I comme indiqué sur le schéma, nous pouvons également obtenir cette information à partir du diagramme de Fresnel. La FEM interne E est en retard sur la tension aux bornes et d  d et w >> d.

A.4.1 Solution en régime quasi statique Le développement limité à l’ordre zéro des équations de Maxwell donne des équations où uniquement les composantes continues sont prises en compte :   H 0 = − A cos (ωt ) i y (A.61)  E 0 = 0 (A.62)

338

A. Équations de Maxwell

Le terme d’ordre un du champ électrique peut être déduit des équations de Maxwell d’ordre un présentées au tableau A.1 :     ∂H0 ∇ × E1 = −µ 0 = −µ 0 A ω sin (ωt ) i y (A.63) ∂t   ∇ .ε 0 E1 = ρ1 = 0 (A.64) Avec :

   ∂E ∂E1 y    ∂E1x ∂E1z    ∂E1 y ∂E1x   i + − i + i (A.65) ∇ × E1 =  1z − − ∂x  y  ∂x ∂z  x  ∂z ∂y  z  ∂y

En combinant les équations (A.63) et (A.65), nous obtenons : ∂E1x ∂E1z − = −µ 0 A ω sin (ωt ) (A.66) ∂z ∂x 0

La composante à l’ordre un du champ électrique dans l’air compris entre les deux plaques en x = 0 et en x = w de l’inductance s’exprime par :    E1 = E1x i x = −µ 0 z A ω sin (ωt ) i x (A.67) L’équation (A.64) peut être confirmée en tenant compte du fait que le terme E1x est indépendant de x et que E1y = 0 et E1z = 0 :   ∂E1 y ∂E1z   ∂E = 0 (A.68) ∇ .ε 0 E1 = ε 0  1x + + ∂y ∂z   ∂x La contribution au premier ordre du champ d’excitation magnétique peut être déduite des équations de Maxwell présentées dans le tableau A.1 :    ∂ E0 ∇ × H1 = ε 0 = 0 (A.69) ∂t   ∇ .µ 0 H1 = 0 (A.70) Ainsi la contribution au premier ordre du champ d’excitation magnétique dans l’air à l’intérieur de l’inductance est nulle :  H1 = 0 (A.71) En synthèse, nous obtenons :     E 0,1 = E 0 + E1 = −µ 0 z A ω sin (ωt ) i x (A.72)  0

    H 0,1 = H 0 + H 0 = − A cos (ωt ) i y (A.73)  0

339

Le réseau électrique dans son intégralité

La tension aux bornes de la source de courant est liée au champ électrique par : x =d



[v s (t )]0,1 = − ∫ x =0 ( E 0,1 ) z =−l dx = −µ0 l d A ω sin (ωt ) (A.74) Le courant fourni est lié au champ d’excitation magnétique par : y =w



[is (t )]0,1 = − ∫ y =0 (H 0,1 ) z =−l dy = w A cos (ωt ) (A.75) La valeur de l’impédance vue par la source de tension est déterminée par les phaseurs associés à la tension vs(t) et au courant is(t) : V s  = j µ 0 l d A ω (A.76) 0,1 2 I s  = w A (A.77) 0,1 2 A ω j µ0 l d V s  0,1 2 = j ω µ 0 l d = jLω (A.78) = Z 0,1 = A w I s  w 0,1 2 On retrouve bien l’expression de l’inductance valable en statique : L = LDC =

µ0 l d (A.79) w

A.4.2 Validation de l’approximation quasi statique Afin de vérifier la validité de l’approximation quasi statique, nous calculons les contributions du terme de second ordre des développements limités des expressions  E est lié à la dérivée temporelle de des champs électrique et magnétique. Le terme 2  H1 et comme ce terme est nul (équation (A.71)), nous obtenons :  E 2 = 0 (A.80) La contribution au second ordre du champ d’excitation magnétique peut être déduite des équations de Maxwell présentées dans le tableau A.1 :     ∂ E1 ∇ × H 2 = −ε 0 = −ω2 µ 0 ε 0 z A cos (ωt ) i x (A.81) ∂t   ∇ .µ 0 H 2 = 0 (A.82) Avec :

340

   ∂H ∂H 2 y    ∂H 2 x ∂H 2 z    ∂H 2 y ∂H 2 x   i + − i + i ∇ × H 2 =  2z − − y ∂x  y  ∂x ∂z  x  ∂z ∂y  z ∂  (A.83)

A. Équations de Maxwell

Les équations (A.81) et (A.83) combinées donnent : ∂H 2 z ∂H 2 y − = −ω2 µ 0 ε 0 z A cos (ωt ) (A.84) ∂y ∂z 0

La composante à l’ordre deux du champ d’excitation magnétique dans la zone d’air interne à l’inductance s’exprime par :   ω2 µ 0 ε 0 z 2  H2 = H2 y i y = A cos (ωt ) i y (A.85) 2 L’équation (A.82) peut être confirmée en tenant compte du fait que le terme H2y est indépendant de y et que H2x = 0 et H2z = 0 :   ∂H 2 y ∂H 2 z   ∂H ∇ .µ 0 H 2 = µ 0  2 x + + = 0 (A.86) ∂y ∂z   ∂x En synthèse, nous obtenons :      E 0,1,2 = E 0 + E1 + E 2 = −µ 0 z A ω sin (ωt ) i x (A.87)  0

0

      ω2 µ 0 ε 0 z 2  H 0,1,2 = H 0 + H + H = − A cos (ωt ) i y (A.88) 2 1 −  1 2   0 Pour l’expression de la tension aux bornes de la source de courant, nous devons ajouter une contribution au second ordre : x =d



[v s (t )]0,1,2 = − ∫ x =0 ( E 0,1,2 ) z =−l dx = −µ0 l d A ω sin (ωtt ) (A.89) Le courant fourni est lié au champ d’excitation magnétique par : y =w





[is (t )]0,1,2 = − ∫ y =0 (H 0,1,2 ) z =−l dy = w A 1 − 

ω2 µ 0 ε 0 l 2   cos (ωt ) (A.90) 2 

La valeur de l’impédance vue par la source de tension est déterminée par les phaseurs associés à la tension vs(t) et au courant is(t) : A V s  = j µ0 l d ω (A.91) 0,1,2 2 A  ω2 µ 0 ε 0 l 2  I s  =w 1 −  (A.92) 0,1,2 2 2  A ω j µ0 l d V s  jLω 0,1,2 2 = Z 0,1,2 = (A.93) = 2µ ε l2 ω 1 LC ω2 ) − I s    ( A 0 0 w 0,1,2 1 −  2 2 

341

Le réseau électrique dans son intégralité

Il apparaît dans l’équation (A.93), un terme qui peut être interprété comme un condensateur placé en parallèle de l’inductance exprimée à l’équation (A.79). Les expressions du condensateur et de l’inductance vus par la source de courant sont : L = LDC =

µ0 l d (A.94) w

1 ε lw C =  0  (A.95) 2 d  Nous pouvons conclure que l’approximation quasi statique est validée si et seulement si :

()

ω2 µ 0 ε 0 l 2 l  1 (A.96) = 2 π2 2 λ Ce résultat est identique à celui trouvé à la section A.3 pour un condensateur plan.

A.5 Modèle quasi statique pour une résistance Considérons une résistance présentée à la figure A.4. La plaque verticale, à z = 0, est constituée d’un matériau conducteur (ss) et possède une hauteur, d. Les plaques horizontales (à x = 0 et x = d) sont constituées d’un matériau parfaitement conducteur (s = ∞). Leur longueur et leur largeur sont beaucoup plus grandes que la distance les séparant. Les champs  qui en résultent peuvent être négligés. Par conséquent, toutes les variations de E et H selon x et y peuvent être négligées dans ce système : ∂ =0 ∂x ∂ = 0 ∂y

(A.97)

x l w

d vs(t)

σ=∞

+ –

K0(t)

σ=∞

y

 Figure A.4  Résistance dans l’air avec l >> d et w >> d.

342

σs

z

A. Équations de Maxwell

Le système est excité par une source de tension sinusoïdale à basse fréquence, uniformément répartie entre les plaques (en z = –l) et invariante selon l’axe z : v s (t ) = A cos (ωt ) (A.98)

A.5.1 Solution en régime quasi statique Le développement limité à l’ordre zéro des équations de Maxwell donne des équations où uniquement les composantes continues sont prises en compte :  v  A cos (ωt )  E0 = − s ix = − i x (A.99) d d  σ v  σ A cos (ωt )  H0 = − s s i y = − s i y (A.100) d d Le terme d’ordre un du champ électrique peut être déduit des équations de Maxwell d’ordre un présentées au tableau A.1 :    ∂H0 µ σ A ω sin (ωt )  ∇ × E1 = −µ 0 =− 0 s i y (A.101) d ∂t   ∇ .ε 0 E1 = ρ1 = 0 (A.102) Avec :

   ∂E ∂E1 y    ∂E1x ∂E1z    ∂E1 y ∂E1x   i + − i + i (A.103) ∇ × E1 =  1z − − ∂x  y  ∂x ∂z  x  ∂z ∂y  z  ∂y

En combinant les équations (A.101) et (A.103), nous obtenons : ∂E1x ∂E1z µ σ A ω sin (ωt ) − =− 0 s (A.104) ∂z ∂x d 0

La composante à l’ordre un du champ électrique dans l’air compris entre les deux plaques en x = 0 et en x = w, s’exprime par :   µ σ z A ω sin (ωt )  E1 = E1x i x = − 0 s i x (A.105) d L’équation (A.102) peut être confirmée en tenant compte du fait que le terme E1x est indépendant de x et que E1y = 0 et E1z = 0 :   ∂E1 y ∂E1z   ∂E ∇ .ε 0 E1 = ε 0  1x + + = 0 (A.106) ∂y ∂z   ∂x

343

Le réseau électrique dans son intégralité

La contribution au premier ordre du champ d’excitation magnétique peut être déduite des équations de Maxwell présentées dans le tableau A.1 :    ∂ E 0 ε 0 A ω sin (ωt )  ∇ × H1 = ε 0 = i x (A.107) ∂t d   ∇ .µ 0 H1 = 0 (A.108) Avec :

   ∂H ∂H1 y    ∂H1x ∂H1z    ∂H1 y ∂H1x   ∇ × H1 =  1z − i + i + − − i ∂z  x  ∂z ∂x  y  ∂x ∂y  z  ∂y (A.109)

En combinant les équations (A.107) et (A.109), nous obtenons : ∂H1z ∂H1 y ε 0 A ω sin (ωt ) = − (A.110) ∂z d ∂y 0

La composante à l’ordre un du champ d’excitation magnétique dans l’air s’exprime par :   ε z A ω sin (ωt )  H1 = H1 y i y = − 0 i y (A.111) d L’équation (A.108) peut être confirmée en tenant compte du fait que le terme H1y est indépendant de y et que H1x = 0 et H1z = 0 :   ∂H1 y ∂H1z   ∂H ∇ .µ 0 H1 = µ 0  1x + + = 0 (A.112) ∂y ∂z   ∂x En synthèse, nous obtenons :    v (t ) µ 0 σ s dv s (t )   E 0,1 = E 0 + E1 = −  s − z  ix d dt  d 

(A.113)

  A cos (ωt ) µ 0 σ s E 0,1 = −  + z A ω sin (ωt )  i x d d      σ v (t ) ε 0 dv s (t )   H 0,1 = H 0 + H1 = −  s s − z i y d dt  d 

(A.114)

  σ A cos (ωt ) ε 0 H 0,1 = −  s + z A ω sin (ωt )  i y d d   La tension aux bornes de la résistance est liée au champ électrique par : x =d



[v s (t )]0,1 = − ∫ x =0 ( E 0,1 ) z =−l dx = A cos (ωt ) − µ0 σ s l A ω sin (ωt ) (A.115) 344

A. Équations de Maxwell

Le courant fourni est lié au champ d’excitation magnétique par : y =w



[is (t )]0,1 = − ∫ y =0 (H 0,1 ) z =−l dy =

σ s w A cos (ωt ) ε 0 w − l A ω sin (ωt ) d d (A.116)

La valeur de l’impédance vue par la source de tension est déterminée par les phaseurs associés à la tension vs(t) et au courant is(t) : V s  = A + j µ 0 σ s l A ω (A.117) 0,1 2 2 I s  = 0,1

A 2 + j ε 0 w l A ω (A.118) d d 2

σs w

A A + j µ0 σ s l ω V s  1 + j µ0 σ s l ω 0,1 2 2 = Z 0,1 = = σ ε w A I s  sw σs w + j 0 l ω (A.119) 0,1 ε w A d d 2 +j 0 l ω d d 2 1 + j ( Lω / R ) =R 1 + jRC ω Le circuit électrique vu par la source de tension est modélisable par la mise en parallèle d’une résistance, d’une inductance et d’un condensateur, dont les expressions sont les suivantes : R = RDC =

d (A.120) σs w

L = LDC =

µ0 l d (A.121) w

C = C DC =

ε0 l w (A.122) d

Dans le cas où la conductivité électrique ss = ∞, ce qui entraîne R = 0, le système est à nouveau le cas de l’inductance à une spire décrit dans la partie A.4. Dans le cas où la conductivité électrique ss = 0, ce qui entraîne R = ∞, le système est à nouveau le cas du condensateur plan décrit dans la partie A.3. Pour une valeur de la conductivité électrique ss comprise entre ces deux valeurs extrêmes, trois cas sont à considérer en fonction de la valeur relative de la résistance R : • R  L / C  : le système peut être modélisé par la mise en série de la résistance R et de l’inductance L. En effet, l’impédance d’entrée est approximée par : Z 0,1 = R

1 + j ( Lω / R ) ≈ R + jLω (A.123) 1 + jRC ω

345

Le réseau électrique dans son intégralité

• R  L / C  : le système peut être modélisé par la mise en parallèle de la résistance R et du condensateur C. En effet, l’admittance d’entrée est approximée par : Y 0,1 =

1 1 + jRC ω 1 ≈ + jC ω (A.124) R 1 + j ( Lω / R ) R

• R = L / C  : le système peut être modélisé uniquement par la résistance R. En effet, l’impédance d’entrée est approximée par : Z 0,1 = R

1 + j ( Lω / R ) ≈ R (A.125) 1 + jRC ω

A.6 Application à la modélisation Ce sont les dimensions du système physique qui vont induire la sophistication et la complexité du modèle requis. Bien qu’il ne s’agisse que d’un critère approximatif, étroitement lié aux équations (A.58) et (A.96), une structure électromagnétique est dite électriquement petite si ses dimensions sont inférieures au dixième de la plus petite longueur d’onde considérée : 1 l < λ (A.126) 10 Avec l : dimensions du système (m) l : longueur d’onde (m) Dans le cas du réseau électrique où les grandeurs électriques sont à 50 ou 60 Hz, nous pouvons déterminer la longueur d’onde des tensions et des courants pour les études en régime de fonctionnement permanent à : v 3105 λ= = = 6000 km (A.127) f 50 Avec v : vitesse de la lumière (≈ 300 000 km/s). f : fréquence (Hz). Par conséquent, un composant, par exemple une ligne de transport, est « électriquement petit » dans l’analyse en régime permanent lorsque les dimensions sont inférieures à 6 000/10 = 600 km. Dans ce cas, les équations de Maxwell peuvent être simplifiées par une approche quasi statique et le composant peut être modélisé avec précision par des éléments localisés. Les lois de Kirchhoff sont alors applicables pour calculer les tensions et les courants.

Références bibliographiques 1 Magid, Leonard M. Electromagnetic Fields, Energy and Waves, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1972, ISBN 0-471-56334-X.

346

B Modélisation du transformateur de puissance

B.1 Introduction Dans les « grandes » centrales électriques, les niveaux de tension en sortie des alternateurs sont de l’ordre de 25 à 30 kV. Cependant, pour minimiser les pertes en ligne, le transport de l’énergie électrique se fait à des niveaux de tension plus élevés. Ceci est réalisé à l’aide des transformateurs de puissance associés aux alternateurs. Ils sont appelés transformateurs élévateurs. Des transformateurs de puissance sont également utilisés dans les réseaux de transport et de distribution qui fonctionnent à différents niveaux de tension. Les transformateurs de distribution abaissent la tension à des niveaux plus sûrs pour les consommateurs. Les transformateurs sont essentiellement constitués d’un ensemble triphasé de deux bobines enroulées sur un circuit magnétique. Le fonctionnement du transformateur est basé sur la loi d’induction de Faraday. Le transformateur n’a pas de pièce mobile et est donc un équipement « relativement simple ». Pour l’analyse du comportement du transformateur dans le système de puissance, une description qualitative seule n’est pas suffisante. L’objectif de cette annexe est la description physique et mathématique des relations tension-courant du transformateur dans différentes conditions de fonctionnement.

347

Le réseau électrique dans son intégralité

B.2 Transformateur parfait Considérons le transformateur à deux enroulements présenté à la figure B.1. Deux bobines sont couplées magnétiquement : l’enroulement primaire pour lequel nous utilisons le suffixe 1 et l’enroulement secondaire pour lequel nous utilisons le suffixe 2. Les nombres de spires dans les enroulements primaire et secondaire sont notés N1 et N2. L’enroulement primaire est connecté à une source de tension sinusoïdale v1, tandis que l’enroulement secondaire fournit un courant (i2) à la charge. La résistance de chaque enroulement et les pertes dans le circuit magnétique du transformateur sont pour le moment négligées. De plus nous supposons que la perméabilité du matériau constitutif du circuit magnétique est infinie et ainsi tout le flux est confiné dans celui-ci comme le montre la figure B.1 (c’est-à-dire qu’il n’y a pas de flux de fuite). La tension v1 permet de créer le flux magnétique F. Selon la loi d’induction de Faraday, ce flux magnétique induit une force électromotrice dans l’enroulement secondaire. C’est l’impédance de la charge connectée au secondaire qui fixe l’intensité du courant au secondaire i2. Comme il n’y a pas de flux de fuite, le flux Φ relie les enroulements primaire et secondaire. Le théorème d’Ampère, appliqué sur le contour représenté par la ligne pointillée de la figure B.1, peut s’écrire :    H dl = N 1i1 + N 2i2 (B.1) ∫C  Avec H  : vecteur excitation magnétique (H en A/m). N1 : nombre de spires du bobinage primaire. N2 : nombre de spires du bobinage secondaire. i1 : courant dans l’enroulement primaire (I1 en A). i2 : courant dans l’enroulement secondaire (I2 en A). Φ

i1 v1

N1

i2 N2

v2

 Figure B.1  Présentation d’un transformateur monophasé.

Nous avons supposé que la perméabilité relative du matériau magnétique est infinie (μr = ∞). Une intensité du champ d’excitation magnétique H non nulle dans le fer impliquerait que la valeur de l’induction magnétique (B = μ0μrH) est infinie, ce qui est impossible. Par conséquent, l’intensité du champ d’excitation magnétique H dans le circuit magnétique est égale à zéro et l’équation (B.1) peut s’écrire comme suit : N 1i1 + N 2i2 = 0 (B.2)

348

B. Modélisation du transformateur de puissance

De cette équation, le rapport des courants pour un transformateur parfait est : i1 N = − 2 (B.3) i2 N1 Les relations entre les tensions et les flux sont : v1 (t ) = N 1

d Φ d Ψ1 = (B.4) dt dt

v2 (t ) = N 2

d Φ d Ψ2 = (B.5) dt dt

Ainsi le rapport des tensions est : v2 (t ) N 2 = (B.6) v1 (t ) N 1 Le modèle pour un transformateur monophasé idéal est présenté à la figure B.2. i1

v1

N1: N2

i2

v2

 Figure B.2  Modèle pour un transformateur monophasé idéal.

Nous passons maintenant à l’étude du fonctionnement en régime permanent sinusoïdal et nous utilisons l’outil mathématique des nombres complexes et la notion de phaseur (voir aussi la section 1.4) afin de déterminer l’impédance équivalente vue au travers d’un transformateur parfait. Dans le cas d’une impédance connectée en parallèle comme indiqué sur la figure B.3, les relations tension-courant du transformateur parfait avec une impédance connectée au secondaire sont données par : V2 N 2 = V1 N 1

(B.7)

V2  N2  I2 −  N1  Z 2  Les relations tension-courant du transformateur parfait avec une impédance connectée au primaire sont données par : I1 = −

V2 N 2 = V1 N 1 I1 −

(B.8)

V1 N = − 2 I2 Z1 N1

349

Le réseau électrique dans son intégralité

Ces relations sont identiques si et seulement si : 2

N Z1 =  1  Z 2 (B.9) N  2 I1

N1: N2

I2

V1

Z2

N1: N2

I1

V2

Z1

=

N N2

------1-

I2

2

Z2

V1

Z1

V2

 Figure B.3  Équivalence entre des impédances connectées en parallèle de part et d’autre d’un transformateur parfait.

Les deux circuits de la figure B.3 sont identiques lorsque la relation entre Z1 et Z 2 est donnée par l’équation (B.9). Dans le cas d’une impédance connectée en série comme indiqué sur la figure B.4, les relations tension-courant du transformateur parfait avec une impédance connectée au secondaire sont données par : I1 N =− 2 I2 N1 N1 V1 = (V − Z 2 I 2 ) N2 2

(B.10)

Les relations tension-courant du transformateur parfait avec une impédance connectée au primaire sont données par : I1 N =− 2 I2 N1

(B.11)

V1 − Z1 I1 =

N1 V N2 2

Ces relations sont identiques si et seulement si : 2

N Z1 =  1  Z 2 (B.12)  N2  I1

V1

N1: N2

Z2 I2

I1

V2

N1 2 Z1 = ------- Z2 N2

V1

Z1

N1: N2

I2

V2

 Figure B.4  Équivalence entre des impédances connectées en série de part et d’autre d’un transformateur parfait.

350

B. Modélisation du transformateur de puissance

Les deux circuits de la figure B.4 sont identiques lorsque la relation entre Z1 et Z 2 est donnée par l’équation (B.12). Notez que les facteurs nécessaires pour transformer une impédance connectée en parallèle ou en série de part et d’autre du transformateur parfait sont identiques.

B.3 Bobines couplées magnétiquement Considérons à nouveau le transformateur à deux enroulements présenté à la figure B.1. Dans cette section, nous suivons une approche plus générale et décrivons le transformateur à deux enroulements comme une paire de bobines couplées magnétiquement tel que le montre la figure B.5. Le flux lié à l’enroulement primaire dû au courant i1 est égal à L1mi1 et le flux lié à l’enroulement secondaire dû au courant i2 est égal à L2mi2. L1m est l’inductance propre de l’enroulement primaire et L2m est celle de l’enroulement secondaire. Le couplage inductif entre les deux enroulements est exprimé par l’inductance mutuelle M. Le flux lié à l’enroulement primaire dû au courant i2 est égal à Mi2 et le flux lié à l’enroulement secondaire dû au courant i1 est égal à Mi1. Nous supposons ici que les bobines ont un couplage parfait pour que l’inductance mutuelle prenne sa valeur maximale (c’est-à-dire la moyenne géométrique des inductances propres L1m et L2m) : M = L1m L2m (B.13) Les flux « embrasés » dans les enroulements du primaire et du secondaire s’écrivent : Ψ1 = L1m i1 + M i2 (B.14) Ψ 2 = M i1 + L2m i2 (B.15) Avec Y1 : flux total « embrasé » dans le bobinage du primaire (Wb). Y 2  : flux total « embrasé » dans le bobinage du secondaire (Wb). L1m : inductance propre du bobinage primaire (H). L2m : inductance propre du bobinage secondaire (H). M : mutuelle inductance (H). i1

v1

L1m

M

i2

L2m

v2

 Figure B.5  Représentation symbolique de deux bobinages couplés magnétiquement.

351

Le réseau électrique dans son intégralité

Lorsque nous appliquons l’équation (B.13), nous pouvons représenter les bobines couplées magnétiquement de la figure B.5 comme étant l’association d’un transformateur parfait et d’une bobine en parallèle tel que le montre la figure B.6. Nous montrons que les deux représentations des bobines couplées magnétiquement sont équivalentes en comparant leurs relations tension-courant. Les relations tensioncourant du circuit de la figure B.5, à l’aide des équations (B.14) et (B.15), sont : v1 =

di di d Ψ1 = L1m 1 + M 2 (B.16) dt dt dt

v2 =

di di d Ψ2 = M 1 + L2m 2 (B.17) dt dt dt

i1 v1

L1m

L2m 1: ---------L1m

i2 v2

 Figure B.6  Représentation symbolique de deux bobinages couplés magnétiquement en associant un transformateur parfait et une bobine en parallèle.

Les relations tension-courant liées à la figure B.6 en utilisant la relation (B.13) sont : Avec : M = L1m L2m v1 = L1m v1 = v2 =

 L di di d  i1 + 2m i2  = L1m 1 + L1m L2m 2  dt  L1m  dt dt

(B.18)

di di d Ψ1 = L1m 1 + M 2 dt dt dt L2m di di di di v = L1m L2m 1 + L2m 2 = M 1 + L2m 2 (B.19) dt dt dt dt L1m 1

Les relations (B.16) et (B.18) sont les mêmes ainsi que les relations (B.17) et (B.19). Donc les représentations des figures B.5 et B.6 sont équivalentes. En effectuant la division de la relation (B.16) par la relation (B.17) et en utilisant la relation M = L1m L2m , nous trouvons le rapport des tensions :

352

B. Modélisation du transformateur de puissance

di1 di2 v1 L1m dt + M dt = di di v2 M 1 + L2m 2 dt dt di M 2 di1 +M 2 dt  M  M v1 L2m dt = = di di v2 L  M 1 + L2m 2  2m  M dt dt

di1 + L2m dt di1 + L2m dt

di2 dt (B.20) di2 dt

L L v1 M = = 1m = 1m v2 L2m M L2m Comme les tensions peuvent s’écrire aussi : v1 (t ) =

d Ψ1 dΦ = N1 (B.21) dt dt

v2 (t ) =

d Ψ2 dΦ = N2 (B.22) dt dt

Avec N1 : nombre de spires du bobinage primaire. N2 : nombre de spires du bobinage secondaire. Alors le rapport des tensions peut s’écrire : v1 (t ) N 1 = (B.23) v2 (t ) N 2 Quand nous comparons la relation (B.23) avec la relation (B.20), nous pouvons voir que : L1m ∝ N 12 L2m ∝ N 2 2 (B.24) M ∝ N 1N 2 Nous avons représenté le transformateur à deux enroulements de la figure B.1 (mais maintenant avec μr ≠ ∞) comme un transformateur parfait avec un rapport de transformation (N1: N2) associé à un enroulement avec N1 spires autour d’un circuit magnétique qui est identique à celui du transformateur d’origine et est magnétisé par le courant i1m qui est appelé le courant de magnétisation. Cette approche est illustrée à la figure B.7. Le circuit équivalent des bobines couplées magnétiquement que nous avons présenté à la figure B.6 peut maintenant être modifié avec le circuit équivalent présenté à la figure B.8.

353

Le réseau électrique dans son intégralité

i1

(N2 /N1)⋅ i2

N1:N2

i2

Φ

i1m N1

v1

v2

L1m

 Figure B.7  Représentation symbolique de deux bobinages couplés magnétiquement en associant un transformateur parfait et une bobine en parallèle.

i1 v1

L1m

N1 : N2

i2 v2

 Figure B.8  Représentation symbolique de deux bobinages couplés magnétiquement en associant un transformateur parfait et une bobine en parallèle.

B.3.1

Équivalence avec le transformateur parfait

Dans cette section, nous voyons que nous avons besoin d’une hypothèse supplémentaire pour rendre les bobines idéalement couplées magnétiquement dans un transformateur parfait que nous avons développé dans la section B.2. Pour cela nous devons supposer que les bobines couplées ont des valeurs infinies pour les inductances propres et pour l’inductance mutuelle, ce qui est le cas lorsque le matériau du circuit magnétique commun possède une perméabilité infinie (ce qui était en effet l’une des hypothèses de la section B.2) et que les fuites magnétiques sont négligées, ainsi : L1m →∞ L2m →∞ (B.25) M →∞

354

B. Modélisation du transformateur de puissance

En effectuant la division de la relation (B.16) par le terme M de la mutuelle inductance et la relation (B.17) par le terme L2m de l’inductance propre du bobinage au secondaire, nous avons : v1 L1m di1 di2 d  N 1 = + = i + i  (B.26) M M dt dt dt  N 2 1 2  v2 M di1 di2 d  N 1 = + = i + i  (B.27) L2m L2m dt dt dt  N 2 1 2  Comme les bobines couplées ont des valeurs d’inductances propres et mutuelles infinies, les côtés gauches de ces deux équations sont égaux à zéro et nous nous retrouvons avec la relation des courants que nous avons trouvée plus tôt pour le transformateur parfait (équations (B.2) et (B.3)) : N1 i + i = 0 (B.28) N2 1 2

B.4 Modélisation du transformateur avec prise

en compte des fuites magnétiques

En réalité, les courants circulant dans les enroulements primaire et secondaire créent non seulement un flux dans le circuit magnétique (la situation idéale) mais aussi dans l’air les environnant que nous nommons le « flux de fuite ». Ce flux de fuite est relativement faible par rapport au flux principal, mais il doit être pris en compte lors de la modélisation d’un transformateur non parfait. Une représentation d’un transformateur où sont indiqués les flux est faite à la figure B.9 où Fm est le flux principal qui relie toutes les spires des bobines au primaire et au secondaire et F1σ et F2σ sont les flux de fuite liés aux bobines au primaire et au secondaire. Les flux associés aux enroulements au primaire et au secondaire peuvent être écrits comme : Ψ1 = L1σ i1 + L1m i1 + M i2 (B.29) Ψ 2 = M i1 + L2 σ i2 + L2m i2 (B.30) Avec L1m : inductance propre du bobinage primaire, liée au flux principal (H). L2m : inductance propre du bobinage secondaire, liée au flux principal (H). L1s : inductance de fuite du bobinage primaire, liée au flux de fuite au primaire (H). L2s : inductance de fuite du bobinage secondaire, liée au flux de fuite au secondaire (H). M : mutuelle inductance (H).

355

Le réseau électrique dans son intégralité

Φm

i1

v1

Φ1σ

Φ1σ

i2

Φ2σ

Φ2σ

v2

 Figure B.9  Représentation du flux principal et des flux de fuite dans un transformateur.

Les inductances propres L1m et L2m restent parfaitement couplées. Ainsi, leurs coefficients sont toujours reliés par la relation : M = L1m L2m . Les inductances de fuites ne sont pas couplées magnétiquement donc il n’existe pas de relation entre leurs coefficients L1s et L2s. Si nous prenons en compte les résistances, notées R1 et R2, des enroulements au primaire et au secondaire, les relations tension-courant du transformateur avec prise en compte des flux de fuite sont : v1 = R1i1 +

d Ψ1 di di di = R1i1 + L1σ 1 + L1m 1 + M 2 (B.31) dt dt dt dt

v 2 = R2 i 2 +

d Ψ2 di di di = R2i2 + M 1 + L2 σ 2 + L2m 2 (B.32) dt dt dt dt

Avec R1 : résistance du bobinage primaire (W). R2 : résistance du bobinage secondaire (W). Lorsque nous comparons ces deux équations avec les équations (B.16) et (B.17) et la représentation graphique qui les accompagne sur les figures B.5 et B.8, nous pouvons voir que les équations (B.31) et (B.32) peuvent être représentées avec le modèle de la figure B.10. Les pertes dans le circuit magnétique que nous avons abordées à la section 3.8, comprenant les pertes par hystérésis et les pertes par courants de Foucault, n’apparaissent pas dans ce modèle. Les pertes par hystérésis quantifient l’énergie dissipée dans le matériau ferromagnétique due au changement continu (à la fréquence d’alimentation 50 Hz ou 60 Hz) de la direction des domaines magnétiques (domaines de Weiss). Les pertes par courants de Foucault proviennent des courants induits par les variations temporelles du flux magnétique dans le matériau magnétique qui est aussi conducteur de l’électricité. Les pertes par hystérésis et les pertes par courants de Foucault peuvent être incorporées dans le modèle en plaçant une résistance Rm en parallèle avec l’inductance principale L1m comme présenté à la figure B.11. Ce modèle équivalent du transformateur peut être simplifié. Les éléments de circuit au secondaire R2 et L2σ peuvent être transposés au primaire du transformateur parfait, tel qu’indiqué sur la figure B.12. En pratique, les valeurs des impédances des

356

B. Modélisation du transformateur de puissance

éléments série L2σ (N1/N2)2 et R2(N1/N2)2 sont faibles par rapport aux impédances des éléments shunt Rm et L1m et peuvent donc être déplacées pour être mis en série avec R1 et L1σ. La résistance série R = R1 + R2(N1/N2)2 représentant les pertes de cuivre est beaucoup plus faible que la réactance de fuite Lσω = (L1σ + L2σ (N1/N2)2) ω et peut donc être négligée. Les deux éléments shunt Rm et L1mω sont beaucoup plus grands que Lσω et peuvent souvent être exclus du modèle. Il en résulte pour les études de court-circuit et en charge, une représentation simple du transformateur présentée à la figure B.13. i1

R1

L1σ

v1

R2

L2σ

N1 :N2

i2

v2

L1m

 Figure B.10  Modèle équivalent du transformateur monophasé sans prise en compte des pertes fer.

i1

R1

L1σ

Rm

v1

R2

L2σ

N1 : N2

i2

v2

L1m

 Figure B.11  Modèle équivalent complet du transformateur monophasé.

i1

v1

R1

L2σ

L1σ

N1

(N ) 2

Rm

L1m

2

R2

N1

(N ) 2

2

N1 : N2

i2

v2

 Figure B.12  Modèle équivalent complet du transformateur monophasé avec les éléments du secondaire transposés du côté du primaire du transformateur parfait.

357

Le réseau électrique dans son intégralité

i1

v1

Lσ

N1 : N2

i2

v2

 Figure B.13  Modèle équivalent simplifié du transformateur monophasé.

B.5 Modèles du transformateur triphasé Dans un transformateur monophasé, seul le rapport des valeurs efficaces des tensions entre le primaire et le secondaire peut être modifié avec le rapport du nombre de spires et ce nombre est un nombre réel. Dans un transformateur triphasé, il est possible de coupler les enroulements de différentes manières. En plus du rapport des valeurs efficaces, les déphasages des tensions peuvent être modifiés (voir également la section 3.8). Si nous faisons un modèle équivalent monophasé d’un transformateur triphasé qui prend en compte le déphasage des tensions, nous pouvons utiliser le modèle présenté à la figure B.12 auquel on ajoute un transformateur parfait supplémentaire en série qui prend en compte le déphasage comme présenté à la figure B.14. Le déphasage est établi en donnant à ce transformateur parfait supplémentaire un rapport de transformation complexe. Par exemple le rapport de transformation complexe 1: 1∠30° signifie que le phaseur de tension du côté secondaire est déphasé de 30° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport au phaseur de tension du côté primaire et son amplitude reste la même. Les trois enroulements du côté primaire ou du côté secondaire d’un transformateur triphasé peuvent être connectés 43 en étoile (Y) ou en triangle (D). Les modèles équivalents monophasés d’un transformateur triphasé parfait sont indiqués dans le tableau B.1 pour quatre couplages. Notez que nous n’avons pas mentionné de référence d’horloge dans la colonne intitulée « couplage ». Les déphasages possibles peuvent être modélisés en plaçant un transformateur parfait supplémentaire avec un rapport de transformation complexe en série.

43.  Note du traducteur : il existe un autre couplage dit « zig-zag », noté « z ».

358

B. Modélisation du transformateur de puissance

i1 R1

L2σ

L1σ

v1

2

( NN ) 1

2

Rm

R2

N1

2

(N ) 2

1: 1∠ φ

N1 : N2

i2

L1m

v2

 Figure B.14  Modèle équivalent monophasé d’un transformateur triphasé avec prise en compte des déphasages induits par le couplage des enroulements.

 Tableau B.1  Modèles monophasés équivalent de transformateurs triphasés. Couplage

Connexion des enroulements

Modèle équivalent monophasé

Yy

N1: N2 Vln

VLN

VLN

Yd

N1: N2 ⁄

Vln

VLN

Vln

3

VLN

Dy

N1 ⁄

Vln

VLN

Vln

3 : N2

VLN

Dd

VLN

Vln

Vln

N1 ⁄

VLN

3 : N2 ⁄ 3

Vln

359

C Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

C.1 Introduction La machine synchrone est « LA » machine électrique pour la production d’électricité à grande échelle. Elle est utilisée pour réaliser des alternateurs triphasés avec des puissances nominales de plusieurs centaines de MW. En régime permanent, ils fonctionnent à une vitesse de rotation liée à la fréquence du réseau par un nombre entier (par exemple 3 000 tr/min pour 50 Hz) d’où le nom de machine synchrone. Comme la plupart des machines électriques, les machines synchrones peuvent fonctionner en mode moteur ou en mode générateur. Elles sont utilisées comme moteurs dans les entraînements à vitesse constante, par exemple dans une centrale de pompage-turbinage (STEP). De nos jours, dans des gammes de puissance plus faible, il est possible de les associer à des variateurs de vitesse électronique comme pour la motorisation des véhicules électriques. En générateur, bien que leur puissance unitaire puisse être importante, plusieurs machines synchrones sont installées dans une même centrale électrique. Par exemple, dans une centrale électronucléaire, la puissance unitaire d’un alternateur est de 1 500 MW et 4 alternateurs sont installés. Le fonctionnement d’une machine synchrone est basé sur la loi d’induction de Faraday. Dans cette annexe, nous décrirons d’abord le principe physique de fonctionnement de la machine synchrone puis discuterons quelques aspects de

361

Le réseau électrique dans son intégralité

construction. Pour l’analyse du comportement de la machine synchrone connectée au réseau électrique, une description qualitative seule n’est pas suffisante. L’élément central de cette annexe est la description physique et mathématique de la machine synchrone dans différentes conditions de fonctionnement.

C.2 Principes physiques Dans le chapitre 1 (section 1.3.3), nous avons introduit la notion de champ magnétique tournant. Avec un système de bobines triphasées, le vecteur de champ magnétique résultant tourne avec une amplitude constante (voir figure 1.9). Un générateur synchrone convertit l’énergie mécanique en énergie électrique. Les deux parties de base de la machine synchrone sont le rotor et le stator où sont placés les bobinages de l’induit. Le rotor est équipé d’un enroulement alimenté en courant continu qui agit comme un électro-aimant. Lorsque le rotor tourne et que l’enroulement du rotor est alimenté, un champ magnétique tournant est présent dans l’entrefer entre le rotor et le stator. Les bobinages triphasés de l’induit, fixés sur le stator, « voient » un flux variable dans le temps, ce qui se traduit par la présence d’une FEM aux bornes de chaque bobine. Une machine synchrone simple est montrée à la figure C.1. La machine a un rotor cylindrique avec deux pôles qui sont excités avec un courant continu. L’induit est constitué d’un enroulement d’une seule spire. La section transversale de cette machine est présentée à la figure C.2. Le courant du rotor crée un champ magnétique dans l’entrefer. Ce champ magnétique peut être calculé avec le théorème d’Ampère :   

 

∫C H dl = ∫∫ S J dS (C.1)

 Avec H   : vecteur excitation magnétique (H en2A/m). J  : vecteur densité de courant (J en A/m ).

Si nous appliquons la relation (C.1) à la machine synchrone décrite à la figure C.2, nous obtenons :   

b

  

c

  

d

∫C H dl = ∫ a H dl + ∫b H dl + ∫c

    a   H dl + ∫ H dl = N f I f (C.2) d

Avec Nf : nombre de spires de l’enroulement placé au rotor. If : courant DC dans l’enroulement placé au rotor (A). Nous faisons quelques hypothèses simplificatrices : • Nous supposons que la perméabilité magnétique relative du matériau constitutif des circuits magnétiques du rotor et du stator est infinie (μr = ∞) ; ainsi, l’intensité du champ d’excitation magnétique dans ces parties est nulle. • La taille de  l’entrefer est plutôt petite par rapport au diamètre du rotor ; ainsi, le vecteur H est radial.   b   d   • En raison des symétries géométriques ∫ H dl = ∫ H dl . a

362

c

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

Nf

Ns If

 Figure C.1   Description en perspective des différentes parties constitutives d’une machine synchrone.

Stator d Rotor

c

αs αr

r

θ

δ b C

a

Nf

If

If

Ns

 Figure C.2  Vue en coupe des parties constitutives d’une machine synchrone et des lignes de flux associées.

363

Le réseau électrique dans son intégralité

Avec ces hypothèses, l’équation (C.2) devient :     b   c   d   a   H dl + ∫ H dl + ∫ H dl + ∫ H dl = N f I f ∫ a b c d                Hδ

Hδ

0

0

(C.3)

2H δ = N f I f Avec d : longueur de l’entrefer (m). Le signe de H et B dans l’entrefer est considéré comme positif lorsque la direction du vecteur associé pointe du rotor vers le stator c’est-à-dire lorsque les lignes de champ (ou lignes de flux associées) sont orientées du centre de la machine vers l’extérieur. Par conséquent, l’intensité de champ d’excitation magnétique H et la valeur de l’induction magnétique B dépendent de la position angulaire d’un point dans le repère du rotor αr (voir la figure C.2) et peuvent être exprimées comme suit : B = µ0 H = µ0

Nf If 2δ

Nf If B = µ 0 H = −µ 0 2δ

3π π pour α r ∈ 0 ;  et α r ∈  ; 2π  2   2  π 3π pour α r ∈  ;   2 2 

(C.4)

Avec ar : position angulaire d’un point dans le repère du rotor (rad). L’induction magnétique B en fonction de la position angulaire d’un point dans le repère du rotor αr est représentée sur la figure C.3. Presque tout le flux créé au rotor traverse l’entrefer et traverse les enroulements du stator. Il existe cependant un faible flux de fuite qui ne traverse pas l’entrefer. Par exemple, de part et d’autre de la machine électrique, il y a un flux créé par les têtes de bobines du rotor qui ne traverse pas les têtes de bobines du stator. Comme le rotor tourne, le flux créé dans celui-ci est « tournant » pour un point fixe du stator. Ainsi, les enroulements du stator « voient » un flux variable dans le temps et des FEM sont générées (loi d’induction de Faraday) apparaissant à leurs bornes lorsque ces derniers sont laissés ouverts et on parle de tensions « à vide » ou en « circuit ouvert ». Pour le calcul de flux créé au stator, nous choisissons une surface S en forme de demi-cylindre dans l’entrefer entre le rotor et le stator comme représentée schématiquement sur la figure C.4. Le flux traversant la surface S est :   + π/ 2 Φ = ∫∫ B dS = ∫ B l rd α s (C.5) S

− π/ 2

Avec F :  flux traversant la surface S (Wb). B  : vecteur induction magnétique (B en T = Wb/m2). l : longueur « active » de la machine (m). r : rayon externe du rotor (m). as : position angulaire d’un point dans l’entrefer référencé par rapport au stator (rad). Et (voir figure C.2) : α s = α r + θ (C.6)

364

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

µ0Nf lf

r

B (αr)

2δ

−π

0

αr

π

s

B (αs)

0

2π

π

θ

αs

Stator winding

 Figure C.3  Allure de l’induction magnétique dans l’entrefer pour la machine décrite à la figure C.2.

B l

r

S αs

 Figure C.4  Définition de la surface S utilisée pour la détermination du flux dans un enroulement du stator.

πlr

µ0NfIf

−π

Φ

2δ

0

π

θ

 Figure C.5  Allure du flux dans une spire d’un enroulement du stator en fonction de la position angulaire du rotor par rapport à un point fixe.

365

Le réseau électrique dans son intégralité

La relation entre le flux F et la FEM (dans le cas où il n’y a qu’une seule spire) est : e (t ) =

d Φ (t ) (C.7) dt

Dans le cas d’une vitesse du rotor constante (θ = Wt), il en résulte une tension comme indiqué sur la figure C.6. Nous remarquons que cette tension a une forme rectangulaire, la même que celle de l’induction magnétique B (voir figure C.3). Aussi nous pouvons la déterminer par une autre méthode afin de montrer que la relation entre Br(αr) et e(t) est également valable pour différentes formes de Br(αr). E

−π

2ωm lr

0

µ0NfIf 2δ

π

ωmt

 Figure C.6  Allure de la tension induite aux bornes d’une spire d’un enroulement du stator. (Attention lire « e(t) » et non « E » et « Wt » et non « wmt ».)

Lorsque le rotor tourne dans la direction qui a été définie comme la direction positive à la figure C.2, la fonction représentative de l’induction magnétique dans l’entrefer, représentée sur la figure C.3, se déplace vers la droite et le terme dθ/dt est positif. Par conséquent, la zone ombrée de la partie située sous l’axe des abscisses augmente et la zone ombrée de la partie située au-dessus de l’axe des abscisses diminue. La variation du flux par unité de temps peut être exprimée, pour le côté gauche de la zone considérée, par :

( )

d Φ (t ) π dθ (C.8) = l r Bs − 2 dt dt côté gauche Et :

( )

d Φ (t ) π dθ (C.9) = −l r B s + 2 dt dt côté droit

L’exposant « s » dans ces formules indique que c’est le système de coordonnées lié au stator qui est utilisé. Avec W = dq/dt, l’amplitude de la tension induite dans une spire d’un enroulement du stator peut s’écrire :

( ) ( )

π π E = Ω l r B s − − B s +  (C.10) 2 2   Cela nous montre que l’amplitude de la tension induite dans une spire d’un enroulement du stator ne dépend que de la valeur de B à l’endroit où elle se trouve (la spire).

366

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

Ceci est en général valable lorsque la distribution du flux, vue du rotor, est constante dans le temps. Lorsque nous substituons la vitesse de rotation à la surface du rotor (v = rW) dans l’équation (C.10), nous reconnaissons l’expression : E = B l v (C.11) C’est en fait l’expression de la valeur de la tension aux bornes d’une barre de longueur l qui se déplace avec une vitesse v dans un champ magnétique B. Lorsque l’on veut trouver l’expression de la tension aux bornes d’une spire d’un enroulement du stator, on peut utiliser les symétries : B s (α s ) = −B s (α s − π) B r (α r ) = −B r (α r − π)

(C.12)

Ainsi l’équation (C.10) peut être écrite :

( π2 ) (C.13)

E = 2Ω l r B s −

L’amplitude de la tension aux bornes d’un enroulement du stator comprenant Ns spires s’écrit : π E = 2Ω l r N s B s − (C.14) 2

( )

Avec Ns : nombre de spires d’un enroulement placé au stator. Cette équation montre que pour une vitesse de rotation du rotor constante et pour une valeur de B constante (vue du rotor), l’amplitude de la tension induite dans l’enroulement du stator est proportionnelle à la valeur de l’induction à la position αs = –p/2. La tension induite en fonction du temps a donc la même forme que l’induction magnétique B en fonction de αr.

C.3 Machine synchrone monophasée Dans la section précédente, nous avons considéré une structure de machine synchrone générant une tension de forme rectangulaire au stator au lieu d’une forme sinusoïdale. Dans cette section, nous présenterons la façon dont cela peut être réalisé. Nous avons vu que la tension induite dans un enroulement du stator a la forme de l’induction B dans l’entrefer. Cela signifie que nous pouvons obtenir une tension de forme sinusoïdale en créant une induction sinusoïdale dans l’entrefer. Cela peut être fait en changeant la taille de l’entrefer en fonction de αr ou en distribuant l’enroulement du rotor à sa surface avec une « densité sinusoïdale ». Une autre façon consiste à distribuer l’enroulement du stator avec une « densité sinusoïdale » comme le montre la figure C.7. La partie (a) de cette figure décrit la section transversale de la machine. L’enroulement du stator n’est pas concentré à un endroit mais est distribué. L’enroulement du rotor est alimenté avec un courant DC. Il n’y a pas

367

Le réseau électrique dans son intégralité

de courant dans l’enroulement du stator. La tension aux bornes de l’enroulement du stator est la somme des tensions d’enroulement E1, E2 et E3. Nous pouvons reconnaître une forme d’onde sinusoïdale rudimentaire. Dans la pratique, une combinaison de différentes techniques de bobinage est utilisée pour acquérir une tension sinusoïdale, mais dans cette annexe nous nous limiterons à la distribution sinusoïdale du bobinage du stator dont un exemple est montré à la figure C.8. Nous pouvons voir sur cette figure que la disposition de l’enroulement d’induit le long de la surface du stator n’est qu’une approximation de la forme d’onde sinusoïdale. Cependant, pour notre description de la machine, nous supposons une distribution sinusoïdale idéale (la lettre « a » dans l’indice se réfère à la phase a, comme plus tard la lettre « b » pour la phase b et la lettre « c » pour la phase c) : Z sa (α s ) = Zˆ s sin (α s ) (C.15) Avec Z sa (α s ) : distribution du bobinage du stator (1/m). La relation entre le nombre de spires et l’amplitude de la distribution du bobinage au stator est : π π N s = ∫ Z sa (α s ) r d α s = ∫ Zˆ s sin (α s ) r d α s = 2 r Zˆ s (C.16) 0

0

Avec Ns : nombre de spires du bobinage au stator/ r : rayon interne du stator (m). Ainsi, la distribution du bobinage du stator peut s’écrire : N Z sa (α s ) = s sin (α s ) (C.17) 2r

E1 3

2

0

1

2π π

ωmt

E2 θ

0 E3 0

Nf 1′

2′ (a)

2π

π

ω mt

π

2π

ω mt

E

If 3′

0

2π

π

ω mt (b)

 Figure C.7   Machine monophasée avec un bobinage au stator distribué et tensions résultantes.

368

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

αs

Nf

 Figure C.8  Distribution sinusoïdale du bobinage au stator.

La tension à vide du stator est la tension qui apparaît aux bornes de l’enroulement du stator lorsqu’il n’y a pas de charge connectée car la machine ne fournit aucun courant. Pour sa détermination, il faut connaître le flux associé. La distribution de l’induction dans l’entrefer Bs (αs) est une fonction périodique qui peut être exprimée comme une série de Fourier : ∞

B s (α s ) = ∑  Bn cos (nα s − ϕn ) (C.18) n =1

 et j dans cette équation peuvent être dépendants du temps. Les deux termes B n n Nous supposons que l’enroulement du stator est réparti sur la surface du stator comme le montre la figure C.8. Pour le calcul du flux lié à l’enroulement du stator, nous choisissons une surface S ayant la forme d’un demi-cylindre comme le montre la figure C.4. À la figure C.8, cette surface est affichée en gras. Une quantité infiniment petite de flux, qui traverse l’entrefer du rotor au stator à la position angulaire αs, peut s’écrire : d Φ (α s ) = B s (α s ) l r d α s (C.19) Avec une distribution sinusoïdale du bobinage du stator (équation (C.17)), nous pouvons écrire : π

∫α

s

Z sa (α s ) r d α s =

Ns 2r

π

∫ α sin (α s ) r d α s = s

Ns [1 + cos (α s )] (C.20) 2

369

Le réseau électrique dans son intégralité

Pour trouver le flux total embrassé par l’enroulement du stator, nous regardons chaque élément de flux traversant la partie du bobinage associée : Ψ sa = ∫

2π 0

Ns [1 + cos (α s )] B s (α s ) l r d α s 2

N Ψ sa = s l r 2

{∫

2π 0

B s (α s ) d α s + ∫

2π 0

}

(C.21)

cos (α s ) B s (α s ) d α s

Si on remplace l’expression de B s (α s ) de l’équation (C.18), nous trouvons : Ψ sa =

∞ 2π Ns  cos (nα − ϕ ) d α l r ∑ ∫ cos (α s ) B n s n s 2 n =1 0

(C.22) ∞ 2π Ns  [cos ((n + 1) α − ϕ ) + cos ((n − 1) α − ϕ )] d α Ψ sa = lr ∫ B n s n s n s 0 4 n∑ =1 Pour n ≠ 1, cette expression est nulle. Pour n = 1, nous avons : Ψ sa =

∞ 2π Ns  [cos ( −ϕ )] d α = π B  N l r cos (ϕ ) (C.23) l r∑ ∫ B s 1 1 4 n =1 0 1 2 1 s

Ceci est un résultat intéressant, car il nous montre que pour un enroulement du stator à distribution sinusoïdale, le flux est déterminé par la première composante harmonique de la distribution de l’induction Bs(αs). Le bobinage du stator « filtre » le flux issu du rotor qui est de forme rectangulaire dans notre cas. La première composante harmonique du flux du rotor de forme rectangulaire (induite par le courant du rotor If ) peut être écrite en appliquant l’analyse de Fourier : µ N I = 4 0 f f B 1 2δ π

quand i sa = 0 (C.24)

L’amplitude maximale de la première composante harmonique du flux Y sa est atteinte lorsque αs = q, c’est-à-dire lorsque αr = 0. À cette position particulière, nous avons aussi j1 = q (voir la figure C.3). En substituant l’équation (C.24) dans l’équation (C.23), le flux total dans l’enroulement du stator s’exprime par : Ψ sa =

µ0 N f I f N s l r cos (θ) δ

quand i sa = 0 (C.25)

Nous pouvons maintenant exprimer la mutuelle inductance entre le rotor et le stator. L’expression de son amplitude est :  = µ N N l r (C.26) M sf 0 f s δ Nous nous intéressons maintenant au fonctionnement en régime permanent. Le rotor tourne avec une vitesse angulaire constante. L’enroulement du stator a une inductance propre Ls et le couplage inductif entre le champ du rotor et l’enroulement

370

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

du stator est exprimé par l’inductance mutuelle. Cette inductance mutuelle varie avec la position du rotor :  cos (θ) = µ N N l r cos (θ) (C.27) M saf = M sf 0 f s δ Avec Msaf : mutuelle inductance entre le rotor et le stator (H). Avec l’indice « a » pour la phase « a ».  : amplitude de la mutuelle inductance (H). M sf Ns : nombre de spires du bobinage au stator. Nf : nombre de spires du bobinage au rotor. l : longueur de la partie active (de fer) du rotor (m). r : rayon interne du stator ou rayon externe du rotor (m). d : longueur de l’entrefer (m). La relation entre le flux total dans l’enroulement au stator et le courant au rotor est :  cos (θ) I (C.28) Ψ sa = M saf I f = M sf f L’inductance mutuelle Msaf varie sinusoïdalement avec l’angle de position du rotor θ. À vitesse de rotation angulaire constante, θ augmente linéairement avec le temps et le flux Ysa varie de façon sinusoïdale avec le temps. Cela se traduit par une tension au stator de forme sinusoïdale et c’est ce que nous voulons. Jusqu’à présent, nous avons supposé que la machine ne fournit aucun courant et isa = 0. Lorsque la machine alimente une charge, la tension aux bornes du stator diffère de la tension à vide. L’équation de la tension en charge pour l’enroulement du stator est : v sa (t ) = Rs i sa (t ) +

d Ψ sa (t ) (C.29) dt

Avec vsa : tension aux bornes de l’enroulement au stator (V). Rs : résistance de l’enroulement au stator (W). isa : courant dans l’enroulement au stator (A). Au rotor, nous avons : v f (t ) = R f I f +

d Ψ f (t ) (C.30) dt

Avec vf  : tension aux bornes de l’enroulement au rotor (V). Rf  : résistance de l’enroulement au rotor (W). If  : courant (continu) dans l’enroulement au rotor (A). Les équations de flux sont : Ψ sa (t ) = Lsa i sa (t ) + M saf I f (C.31) Ψ f (t ) = M saf i sa (t ) + L f I f (C.32) Avec Lsa : inductance propre de l’enroulement au stator (H). Lf : inductance propre de l’enroulement au rotor (H).

371

Le réseau électrique dans son intégralité

On peut voir sur la figure C.8 que la forme du circuit magnétique est indépendante de la position du rotor et donc Lsa et Lf sont indépendants de la position angulaire du rotor θ (contrairement à l’inductance mutuelle entre le rotor et l’enroulement du stator Msaf ). Les quatre dernières équations (C.29-C.32) peuvent être utilisées pour proposer un modèle équivalent pour la machine synchrone monophasée, comme le montre la figure C.9 (voir également l’Annexe B.3). La position angulaire du rotor peut être écrite comme : θ = Ωt + θ0 (C.33) Avec q0 : position angulaire du rotor à t = 0 (rad). If

Rf

M ˆsf cos(θ)

Lf

vf

isa

Rs

Lsa

vsa

 Figure C.9  Modèle équivalent de la machine synchrone monophasée intégrant le couplage magnétique entre le rotor et le stator.

En substituant l’équation (C.31) dans l’équation (C.29) et si nous faisons l’hypothèse que la vitesse de rotation est constante, l’expression de la tension au stator devient : v sa (t ) = Rs i sa (t ) + Lsa

di sa (t )  d [cos (Ω t + θ0 )] + M sf I f dt dt

(

)

di (t )  π v sa (t ) = Rs i sa (t ) + Lsa sa + M sf Ω I f cos Ω t + θ0 + 2 dt

(C.34)

Cette équation peut être simplifiée en posant q0 = –p/2 et en utilisant la notation de la pulsation des grandeurs électriques au stator (ws) à la place de la vitesse de rotation (en notant qu’il y a une paire de pôles, p = 1). Ainsi : v sa (t ) = Rs i sa (t ) + Lsa

di sa (t )  + M sf ωs I f cos (ωs t ) (C.35) dt

Le modèle équivalent de la machine synchrone associé à cette équation est présenté à la figure C.10. Rs

Lsa

isa

+ ˆ sf If cos(ωst) ωsM

vsa −

 Figure C.10  Modèle équivalent de la machine monophasée.

372

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

C.4 Machine synchrone triphasée Dans la section 1.3.3, nous avons discuté des avantages des réseaux triphasés par rapport aux monophasés. Dans les réseaux triphasés, l’électricité est fournie par des machines synchrones triphasées. Une machine synchrone triphasée possède trois enroulements au stator répartis de manière sinusoïdale qui sont décalés de 120 degrés électriques. Les enroulements du stator sont représentés schématiquement comme des inductances localisées dans la figure C.11. Les trois phases sont indiquées par les indices a, b et c. Lorsque la machine synchrone alimente une charge triphasée équilibrée ou lorsqu’elle est connectée à un réseau triphasé équilibré, les trois courants de phase sinusoïdaux sont décalés de 120 degrés électriques dans le temps et peuvent être exprimés par : i sa (t ) = Is cos (ωs t − ϕ)

) )

( (

2π i sb (t ) = Is cos ωs t − ϕ − (C.36) 3 4π i sc (t ) = Is cos ωs t − ϕ − 3

−

vsb

isb

+

ψb θ

ψf If +

Vf

−

ψa isa + vsa −

+ vsc i sc −

ψc

 Figure C.11  Représentation symbolique des inductances dans une machine synchrone triphasée.

L’amplitude du courant Is et l’angle de déphasage j dépendent des conditions de fonctionnement réelles de la machine. Pour pouvoir les décrire, il faut trouver les expressions des flux liés aux enroulements du stator. Nous considérons d’abord

373

Le réseau électrique dans son intégralité

l’induction dans l’entrefer créée par les courants du stator. Après cela, nous déterminons les expressions des flux liés à chaque enroulement du stator et les utilisons pour obtenir (par dérivation) les équations des tensions associées. Pour déterminer l’induction magnétique dans l’entrefer, nous utilisons la figure C.12 et nous appliquons le théorème d’Ampère sur le chemin noté C :   

  

∫C H dl = ∫∫ S J ds (C.37) En utilisant l’expression de la distribution du bobinage au stator (équation (C.17)), nous pouvons écrire :   

α s −π

∫C H dl = isa (t ) ∫ α

s

Z sa (α s ) r d α s

   α s −π  N s  ∫C H dl = isa (t ) ∫ α s  2 r sin (α s ) r d α s = N s isa (t ) cos (α s )

(C.38)

αs

C

 Figure C.12  Présentation d’une coupe d’une machine synchrone monophasée et des lignes de flux créé par le courant de l’enroulement au stator.

Nous émettons deux hypothèses : 1. Nous supposons que la perméabilité du fer dans le rotor et le stator est infinie (μr = ∞), ainsi l’intensité du champ d’excitation magnétique H dans le fer est nulle. 2. La longueur de l’entrefer est beaucoup plus petite que le rayon du rotor (δr), ce qui implique que la variation de l’intensité du champ magnétique H, le long du chemin d’intégration C dans l’entrefer, peut être négligée. De plus, en raison de la symétrie, la valeur de H est identique dans les deux portions de C dans l’entrefer et nous pouvons écrire : 2 H δ = N s i sa (t ) cos (α s ) (C.39)

374

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

Ainsi nous pouvons déterminer l’induction magnétique B dans l’entrefer : Bsas (α s ) = µ 0 H =

µ0 N s i (t ) cos (α s ) (C.40) 2 δ sa

Cette équation nous donne la contribution de l’enroulement statorique de la phase a à l’induction magnétique B dans l’entrefer. Lorsque l’on prend en compte le déplacement géométrique des enroulements b et c du stator, la contribution de chaque enroulement du stator au flux d’entrefer est : Bsas (α s ) =

µ0 N s i (t ) cos (α s ) 2 δ sa

Bsbs (α s ) =

µ0 N s 2π (C.41) i (t ) cos α s − 2 δ sb 3

Bscs (α s ) =

µ0 N s i 2 δ sc

( ) 4π (t ) cos (α − ) 3 s

En remplaçant les expressions des courants (équation (C.36)) et en additionnant les trois contributions, nous obtenons :

(

) (

)

µ N 2π 2π cos α s − Bss (α s ) =  0 s Is  cos (ωs t − ϕ) cos (α s ) + ωs t − ϕ −  3 3  2δ  4π 4π  + ωs t − ϕ − cos α s − (C.42) 3 3  3 µ N Bss (α s ) =  0 s Is  cos (ωs t − ϕ − α s ) 2  2δ 

(

) (

)

Nous avons montré précédemment qu’il suffit de prendre en compte la première composante harmonique de la distribution de B dans l’entrefer pour trouver les flux liés aux enroulements du stator (équation (C.18)), donc :  cos (α − ϕ ) (C.43) B1s (α s ) = B 1 s 1 Et nous avons trouvé (équation (C.23)) que le flux dans l’enroulement de la phase a du stator est donné par : Ψ sma =

π B N l r cos (ϕ1 ) (C.44) 2 1 s

L’indice m indique qu’il s’agit du flux principal ou flux d’entrefer. Ce n’est pas le flux total lié à l’enroulement du stator, car le flux de fuite n’a pas encore été pris en compte. Lorsque nous comparons cette équation avec l’équation (C.42), nous pouvons voir à quoi correspondent les termes B1 et j1. Le flux principal lié à l’enroulement du stator de la phase a, dû aux courants du stator, est : Ψ sma ,s =

µ N 3 π ( N s l r )  0 s  Is cos (ωs t − ϕ) (C.45) 2  2δ  2

375

Le réseau électrique dans son intégralité

Dans une configuration triphasée, Ysmb est décalé en retard de 2p/3 par rapport à Ysma et Ysmc est décalé en retard de 2p/3 par rapport à Ysmb. Il suffit de ne considérer qu’une seule phase : on continue avec la phase a. Nous pouvons définir le coefficient d’inductance Lsm comme : Lsm =

µ N 3 π ( N l r )  0 s  (C.46) 2 s  2δ  2

Le coefficient Lsm donne la relation entre les courants triphasés (le champ du stator tournant total) et le flux lié à un enroulement du stator. Cela signifie que Lsm n’est pas un coefficient d’inductance propre mais est appelé inductance cyclique. Avec l’équation (C.46), nous pouvons écrire l’équation (C.45) comme : Ψ sma ,s = Lsm Is cos (ωs t − ϕ) (C.47) En ajoutant la contribution du rotor (équation (C.28)) et en utilisant la relation θ = ωs t + θ0 , nous obtenons :  I cos (ω t + θ ) Ψ sma = Ψ sma ,s + Ψ sma , f = Lsm Is cos (ωs t − ϕ) + M sf f s 0 (C.48) La tension aux bornes de la phase a du stator est donnée par : v sma (t ) =

d Ψ sma (C.49) dt

Parce que les grandeurs électriques représentent un système triphasé équilibré de grandeurs sinusoïdales avec une pulsation angulaire ws, il suffit d’examiner une seule phase (par exemple, la phase a) et on peut utiliser la notation des phaseurs pour les tensions et les courants en régime permanent (voir aussi la section 1.4). Pour le courant dans l’enroulement a du stator, nous pouvons écrire : i sa (t ) = Is cos (ωs t − ϕ) i sa (t ) = Is Re e j (ωs t −ϕ)  (C.50) i sa (t ) = 2 Re I s e j (ωs t )  Avec I s : phaseur associé aux courants statoriques. I s = I s ∠ − ϕ. De la même manière, la contribution du rotor sur le flux au stator peut s’écrire :  I cos (ω t + θ ) = 2 Re Ψ e j (ωs t )  (C.51) Ψ sma , f = M sf f s 0  sf  Avec Ψ sf = Ψ sf ∠ + θ0 .

376

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

Ainsi les équations (C.49) et (C.48) peuvent s’écrire : V sm = j ωs Ψ sm

(C.52)

Ψ sm = Lsm I s + Ψ sf

Le flux créé au rotor Y sf par le courant d’excitation donne naissance à la fem E  : E = j ωs Ψ sf (C.53) Ainsi, l’équation (C.52) s’écrit : V sm = jLsm ωs I s + E (C.54) Afin de tenir compte du flux de fuite propre aux enroulements du stator, nous introduisons le terme Lss. Ainsi, l’inductance cyclique devient Ls = Lsm + Lsσ et l’équation (C.54) s’écrit : V s = jLs ωs I s + E

(C.55)

V s = jX s I s + E

Cette équation permet de proposer le modèle monophasé équivalent de la machine synchrone triphasée présenté à la figure C.13. Xs

Is

+ E

Vs

−

 Figure C.13  Modèle monophasé équivalent de la machine synchrone triphasée.

C.5 Machine synchrone couplée au réseau Les machines synchrones sont connectées dans un réseau maillé. Chaque machine est individuellement connectée à une source de tension parfaite (c’est-à-dire une valeur efficace constante et une fréquence constante). Nous disons que la machine synchrone est connectée à un réseau de puissance infinie. Ce qui donne le schéma présenté à la figure C.14. Pour l’orientation du courant, nous choisissons la

377

Le réseau électrique dans son intégralité

convention « générateur ». Par conséquent, l’équation (C.55) est modifiée et peut s’écrire en omettant les indices : E = jLω I + V

(C.56)

E = jX I + V

X

E

I

+

jXI

+ E

δ

V

S

−

V − I

 Figure C.14  Modèle monophasé équivalent de la machine synchrone triphasée connectée à un réseau de puissance infinie et diagramme de Fresnel associé.

L’expression du courant est : I =

E −V (C.57) jX

La puissance triphasée complexe s’écrit : E − V * S = 3V I * = 3V    jX  S =

3V E * − 3V V * − jX

S =3j

VE ∠ (−δ) V2 −3j X X

S =3j

2 VE [cos (δ) − j sin (δ)] − 3 j V = P + jQ X X

(C.58)

Nous en déduisons l’expression de la puissance active P : P = Re (S ) = 3

VE sin (δ) (C.59) X

Et l’expression de la puissance réactive Q : Q = Im (S ) = 3

378

VE V2 cos (δ) − 3 (C.60) X X

C. Modélisation de la machine synchrone à rotor bobiné

À partir du schéma de la figure C.14 et des équations précédentes, nous pouvons faire les constatations suivantes : • Lorsque le courant d’excitation If est maintenu constant, la FEM E reste constante. • Lorsque l’angle interne d est égal à zéro, il n’y a pas d’échange de puissance active entre la machine synchrone et le réseau. Lorsque nous augmentons la puissance mécanique fournie à la machine, un phénomène transitoire de courte durée se produit avant qu’un nouvel état stable soit établi. Initialement, le rotor du générateur accélère légèrement. Comme la vitesse de rotation du rotor de la machine synchrone est liée à la fréquence du réseau, celui-ci décélère. Le résultat est un nouvel état stable avec une valeur δ légèrement augmentée (et positive). • Lorsque δ est positif, la FEM interne « conduit » la tension du réseau et la puissance active fournie par la machine au réseau est positive : la machine agit comme un générateur. • Lorsque nous ralentissons le rotor en augmentant la charge mécanique connectée à l’arbre, la FEM interne est en retard par rapport à la tension du réseau. Dans ce cas, l’angle de puissance δ est négatif : la machine consomme de l’énergie active du réseau et agit comme un moteur. Dans la situation sans charge de la machine synchrone (δ = 0), l’échange de puissance active est nul mais la machine peut échanger de la puissance réactive. À partir de l’équation (C.60), nous voyons que la machine consomme de la puissance réactive (Q  0, la machine fournit une puissance réactive (voir figure C.15 (b)). En conclusion : • L’échange de puissance active entre une machine synchrone et le réseau d’alimentation est commandé par le couple sur l’axe. • L’échange de puissance réactive est géré par l’excitation.

I jXI E

(a)

jXI V

V I

E

(b)

 Figure C.15  Diagramme de Fresnel pour une machine synchrone sous-excitée (a) ou surexcitée (b).

379

D Modélisation de la machine asynchrone D.1 Introduction Dans l’Annexe C, nous avons décrit le fonctionnement de la machine synchrone et nous avons montré que pour ce type de machine, le rotor tourne avec la même vitesse angulaire (synchrone) que le champ magnétique tournant dans l’entrefer. Cela signifie qu’il existe une relation directe entre la fréquence des tensions triphasées d’alimentation et la vitesse de rotation mécanique. Lorsque la machine est connectée au réseau, elle peut développer un couple moyen non nul à cette unique vitesse. Pour cette raison, la machine synchrone est principalement utilisée comme générateur et rarement comme moteur. Pour pouvoir l’utiliser commodément en mode moteur, elle est associée à un convertisseur d’électronique de puissance pour réaliser une alimentation triphasée à fréquence variable. La machine à induction est une machine à courant alternatif qui est très bien adaptée pour être utilisée en mode moteur lorsqu’elle est directement alimentée par le réseau. Le stator de la machine à induction est le même que celui de la machine synchrone : il comporte un système triphasé d’enroulements. La différence entre les deux types de machines AC est dans le rotor. Dans la machine à induction, celui-ci comporte une multitude d’enroulements court-circuités. Lorsque la vitesse de rotation (du rotor) est différente de la vitesse du champ magnétique tournant généré par les enroulements du stator, les enroulements situés au rotor en court-circuit sont exposés à un champ magnétique alternatif donc des forces électromotrices y sont créées et des courants y sont induits. Ce type de machine est appelé « machine asynchrone » 44. 44.  Note du traducteur : il existe un autre type de rotor pour les machines à induction : le rotor bobiné triphasé. Lorsque les enroulements de celui-ci sont court-circuités, cela revient au même

381

Le réseau électrique dans son intégralité

Dans ce cas, l’interaction du flux magnétique créé par les courants induits au rotor et le champ magnétique statorique entraîne la création d’un couple électromagnétique qui tente de tirer le rotor dans le même sens de rotation que celui du champ magnétique du stator. Pour la construction des machines asynchrones, il est de pratique courante de fabriquer le système d’enroulements du rotor court-circuité comme une cage moulée robuste (dite « cage d’écureuil »). Dans la section suivante, nous analyserons les principes de base de la machine asynchrone. L’influence des courants de rotor induits sur le champ du stator en rotation est négligée au profit de l’illustration des principes de base mais est prise en compte dans la section D.3 lors de l’étude du champ d’entrefer.

D.2 Principe de fonctionnement de la machine

asynchrone

La figure D.1 montre la section d’une machine asynchrone simplifiée comportant un enroulement unique au rotor et les « lignes de champ » magnétique lorsque le stator est alimenté par les courants définis à l’équation (D.1), et ceci à l’instant particulier (t = 0 s). L’enroulement du rotor est supposé être concentré en deux points, notés rd1 et rd2 (la notation « rd » permet de désigner l’axe direct au rotor). Le stator comporte trois enroulements à distribution sinusoïdale représentés schématiquement sous la forme d’inductances localisées. Pour définir une position angulaire dans l’entrefer, nous utilisons deux systèmes de coordonnées : • soit le système du stator avec l’angle αs ; • soit le système du rotor avec l’angle αr. L’axe du bobinage « a » du stator est utilisé comme référence pour le système de coordonnées lié au stator et l’axe de l’enroulement du rotor est l’axe de référence pour le système de coordonnées lié au rotor. La position angulaire du rotor est définie avec le système de coordonnées lié au stator au moyen de l’angle q, de sorte que as = ar + q. Comme pour la machine synchrone, lorsque les enroulements du stator de la machine asynchrone triphasée sont connectés à un réseau triphasé équilibré, celle-ci absorbe des courants qui peuvent être exprimés par : i sa (t ) = Is cos (ωs t )

) ( 4π (t ) = I cos (ω t − ) 3

2π i sb (t ) = Is cos ωs t − (D.1) 3 i sc

s

s

principe physique. Et l’on parle aussi de machine asynchrone. Mais lorsque ce rotor est alimenté par un convertisseur d’électronique de puissance, nous parlons de machine à double alimentation (MADA).

382

D. Modélisation de la machine asynchrone

Ces courants sinusoïdaux créent un champ magnétique tournant dans l’entrefer comme nous allons le montrer par la suite.

isb rd1

αr

Nr

θ αs isa

rd2 isc

(a)

(b)

 Figure D.1  Vue en coupe d’une machine asynchrone simplifiée et présentation des lignes de flux associées à un instant particulier (t = 0 s), lorsque le stator triphasé est alimenté avec les courants définis à l’équation (D.1).

Dans le système de coordonnées lié au stator, la contribution de chaque enroulement du stator à l’induction dans l’entrefer est : µ0 N s i (t ) cos (α s ) 2 δ sa µ N 2π (D.2) Bsbs (α s ) = 0 s i sb (t ) cos α s − 2δ 3 µ N 4π Bscs (α s ) = 0 s i sc (t ) cos α s − 2δ 3 Bsas (α s ) =

( (

) )

Avec Ns : nombre de spires d’un enroulement placé au stator. d : longueur de l’entrefer (m). En remplaçant les expressions des courants (équation (D.1)), nous obtenons : cos (ωs t + α s ) + cos (ωs t − α s )  µ N Bsas (α s ) =  0 s Is    2 δ 2    cos ω t + α − 4π + cos (ω t − α )  s s s s µ N   3 Bsbs (α s ) =  0 s Is    (D.3) 2  2δ       cos ω t + α − 2π + cos (ω t − α )  s s s s µ N   3 Bscs (α s ) =  0 s Is    2 δ 2      

(

)

(

)

383

Le réseau électrique dans son intégralité

L’induction dans l’entrefer est la somme des trois contributions, ainsi : Bss (α s ) = Bsas (α s ) + Bsbs (α s ) + Bscs (α s ) 3 µ N Bss (α s ) =  0 s Is  cos (ωs t − α s ) (D.4) 2  2δ  s  B (α ) = B cos (ω t − α ) s

s _ h1

s

s

s

L’exposant « s » dans ces formules indique que c’est le système de coordonnées lié au stator qui est utilisé et l’indice « h1 » permet d’indiquer que nous étudions la contribution de la composante harmonique fondamentale. La figure D.1 (b) montre la distribution du flux dans la machine asynchrone à l’instant particulier t = 0 s (nous supposons μr = ∞, pour le matériau magnétique dans le stator et dans le rotor). Si ws est positif, le champ magnétique tourne dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire (ou pulsation) 45 ws. Si nous analysons le comportement de la machine dans le système de coordonnées lié au rotor, il est utile d’avoir une expression de l’induction (équation (D.4)) dans ce système. D’après la figure D.1 (a), nous voyons que nous devons remplacer l’angle as par un angle ar tel que as = ar + q, ainsi :  Bsr (α r ) = B s _ h1 cos (ωs t − θ − α r ) (D.5) L’exposant « r » dans cette formule indique que c’est le système de coordonnées lié au rotor qui est utilisé.

D.2.1

Rotor à un seul enroulement

Avant de calculer le courant dans le rotor, nous devons déterminer la relation entre le champ magnétique créé par les courants statoriques et le flux dans l’enroulement au rotor. Nous choisissons une surface S ayant la forme d’un demi-cylindre dans l’entrefer entre le rotor et le stator (nous avons également utilisé cette approche dans l’Annexe C, figure C.4). Pour le flux à travers une seule spire de l’enroulement du rotor, nous pouvons écrire (avec l’équation (D.5)) :   + π/ 2 Φ rd ,s = ∫∫ B dS = ∫ Bsr (α r ) l r d α r S

 Φ rd ,s = B s _ h1 (l r ) ∫

− π/ 2

+ π/ 2 − π/ 2

cos (ωs t − θ − α r ) d α r (D.6)

 s _ h1 (l r ) cos (ω t − θ) Φ rd ,s = 2B s Avec l : longueur active de la machine (m). r : rayon externe du rotor (m).

45.  Note du traducteur : nous parlerons de pulsation s’il s’agit d’une grandeur électrique et de vitesse angulaire s’il s’agit d’une grandeur mécanique.

384

D. Modélisation de la machine asynchrone

On en déduit l’expression du flux total : Ψ rd ,s = N r Φ rd ,s  Ψ rd ,s = 2 N r B s _ h1 (l r ) cos (ωs t − θ) (D.7)  rd ,s cos (ω t − θ) Ψ rd ,s = Ψ s Avec Nr : nombre de spires de l’enroulement au rotor. Pour l’instant, nous supposons que le rotor est à l’arrêt donc θ est constant (indépendant du temps). L’enroulement du rotor en court-circuit est provisoirement supposé avoir une résistance Rrd de valeur plutôt élevée. Par conséquent, nous pouvons négliger l’influence du courant circulant dans cet enroulement sur le champ magnétique dans l’entrefer. Dans la suite de cette annexe, nous étudierons l’influence de ce courant sur l’induction dans l’entrefer. En utilisant cette simplification, nous pouvons écrire pour le flux lié au rotor :  rd ,s cos (ω t − θ) avec q constant Ψ rd = Ψ rd ,s = Ψ s

(D.8)

La tension au niveau du rotor (en court-circuit) peut donc s’exprimer par : d Ψ rd  rd ,s ω sin (ω t − θ) = Rrd ird − Ψ s s dt avec θ constant

vrd (t ) = 0 = Rrd ird +

(D.9)

Et le courant dans l’enroulement au rotor : ird (t ) =

 rd ,s ω Ψ s sin (ωs t − θ) avec θ constant (D.10) Rrd

Pour le calcul du couple électromagnétique, nous supposons que l’enroulement du rotor est positionné dans l’entrefer, de sorte que nous pouvons calculer les forces mécaniques sur les conducteurs avec la force de Laplace, F = B × i × l (nous utilisons cette formulation bien que l’enroulement du rotor soit placé dans une encoche dans le circuit magnétique). Le couple électromagnétique est la somme de la force sur la partie d’enroulement du rotor rd1 et de la force sur la partie d’enroulement du rotor rd2 (voir la figure D.1 (a)) :

( π2 ) − N (r l )i B (− π2 ) (D.11)

Te ,rd = rd 1 + rd 2 = N r (r l ) ird Bsr +

r

rd

r s

En raison de la symétrie, Bsr (−π / 2) = −Bsr (+ π / 2) , l’équation (D.11) devient :

( π2 ) (D.12)

Te ,rd = 2 N r (r l ) ird Bsr +

385

Le réseau électrique dans son intégralité

Avec l’équation (D.5), nous pouvons exprimer Bsr (+ π / 2). Avec l’équation (D.10), nous pouvons remplacer l’expression du courant ird et avec l’équation (D.7), l’ex rd ,s ainsi : pression de Y

(

 rd ,s ω Ψ  π s Te ,rd = 2 N r (r l )  sin (ωs t − θ) B s _ h1 cos ωs t − θ − R 2 rd   2  rd ,s ω Ψ s 1 1 Te ,rd = − cos (2ωs t − 2θ) avec θ constaant  2 2  Rrd

(

)

) (D.13)

Les grandeurs associées au calcul du couple électromagnétique sont représentées en fonction du temps sur la figure D.2. Comme nous pouvons le voir, le couple a une valeur moyenne positive ; ainsi, le couple essaye d’accélérer le rotor dans le même sens de rotation que le champ magnétique tournant du stator. Cependant, le couple contient également une composante alternative avec une pulsation 2ws. Cette composante alternative peut être filtrée en plaçant plus d’enroulements, comme c’est le cas pour un rotor à cage d’écureuil. Pour comprendre cela, nous calculons maintenant le couple électromagnétique pour une machine asynchrone avec deux enroulements au rotor.

ψrd π θ

2π

ird

ωst

2π π

r π Bs ---2

ωst

2π π

ωst

Te,rd π

2π

ωst

 Figure D.2  Présentation des grandeurs participantes à la création du couple pour une machine asynchrone comportant un seul enroulement au rotor.

386

D. Modélisation de la machine asynchrone

D.2.2

Rotor à deux enroulements

Un enroulement supplémentaire contribuera au couple électromagnétique de la même manière que l’enroulement unique étudié précédemment, mais afin de lisser l’ondulation du couple, la composante alternative du deuxième enroulement doit être en opposition de phase par rapport à celle du premier enroulement. Cela signifie que l’argument de la fonction cosinus de l’équation (D.13) doit être (2wst – 2q – p) au lieu de (2wst – 2q). Ceci peut être réalisé en positionnant le second enroulement perpendiculairement (indice rq : axe en quadrature au rotor) au premier enroulement (indice rd : axe direct au rotor). L’axe du deuxième enroulement est donc à ar = p/2. Les deux enroulements du rotor, pour une machine asynchrone simplifiée, sont représentés à la figure D.3. Si nous ajoutons la contribution du deuxième enroulement au couple électromagnétique, nous trouvons, avec l’équation (D.13), pour le couple résultant : Te = Te ,rd + Te ,rq

(Ψ rd ,s ) =

2

Rrd

ωs

avec θ constant (D.14)

isb rd1

αr

Nr

rq2

θ αs isa

rq1

Nr rd2

isc

 Figure D.3  Vue en coupe d’une machine asynchrone simplifiée avec deux enroulements au rotor.

387

Le réseau électrique dans son intégralité

D.2.3

Rotor en rotation

Jusqu’à présent nous avons supposé que le rotor restait à l’arrêt (θ est constant). Nous examinons maintenant ce qui se passe si le rotor tourne avec une vitesse angulaire constante W. La position angulaire, dans l’espace électrique, peut être exprimée comme : θ = pΩt + θ0 avec p : nombre de paires de pôles (D.15) Ainsi, l’induction B dans l’entrefer exprimée avec l’équation (D.5), peut l’être dans un repère lié au rotor : Bsr (α r ) = Bˆs _ h1 cos (ωs t − pΩt − θ0 − α r ) (D.16) Le champ magnétique tournant créé au stator « tourne » à une pulsation de (ws – pW) dans le repère lié au rotor et donne naissance à des courants induits à cette pulsation. Celle-ci est notée wr : ωr = ωs − pΩ (D.17) L’expression du flux dans l’axe direct au rotor (équation (D.7)) peut être modifiée avec les expressions des équations (D.15) et (D.17) :  rd ,s cos (ω t − θ) Ψ rd ,s = Ψ s  rd ,s cos (ω t − pΩt − θ ) Ψ rd ,s = Ψ s 0  rd ,s cos (ω t − θ ) (D.18) Ψ rd ,s = Ψ r 0 Lorsque nous comparons cette équation avec l’équation (D.7), nous voyons que nous pouvons encore appliquer les équations pour la situation où le rotor est à l’arrêt, en remarquant que le rotor « voit » un champ tournant avec une pulsation wr au lieu de ws. Ainsi, l’expression (wst – q) est remplacée par (wrt – q0) et l’expression du couple électromagnétique (équation (D.14)) devient : Te = Te ,rd + Te ,rq

(Ψ rd ,s ) = Rrd

2

ωr

(Ψ rd ,s ) = Rrd

2

(ωs − pΩ) (D.19)

L’équation (D.19) est représentée graphiquement sur la figure D.4. • Si pW < ws (wr > 0), la vitesse de rotation du rotor est inférieure à celle du champ du stator et le couple électromagnétique est positif. Le couple force le rotor à accélérer. • Si pW > ws (wr < 0), la vitesse de rotation du rotor est supérieure à celle du champ du stator et le couple électromagnétique est négatif. Le couple force le rotor à ralentir. • Lorsque le rotor tourne à la vitesse synchrone pW = ws (wr = 0), le couple électromagnétique est nul.

388

D. Modélisation de la machine asynchrone

Te

0

ωs ωslip

ωm

 Figure D.4  Allure du couple électromagnétique en fonction de la vitesse de rotation (notée wm au lieu de pW).

D.3 Étude du champ magnétique dans l’entrefer Le modèle de la machine asynchrone doit encore être amélioré en prenant en compte l’influence des courants du rotor sur le champ d’entrefer. Pour cette étude, nous « regardons » la machine asynchrone depuis le stator et recherchons une relation entre les courants et les tensions dans les enroulements du stator. Notez que le circuit du rotor n’est pas accessible électriquement d’une manière simple car les enroulements du rotor sont censés être court-circuités dans le rotor lui-même. Dans ce paragraphe, nous nous limitons à la relation entre les courants du stator et le flux associé dans le stator. Le flux d’entrefer joue un rôle dominant. Dans le paragraphe suivant, les équations seront utilisées pour en déduire un modèle électrique de type circuit. La machine asynchrone est supposée être connectée à une source de courant triphasée équilibrée. Cette source de courant fournit les courants du stator qui contribuent au champ stator (tournant) dans l’entrefer. Tout d’abord, nous établissons les équations pour l’enroulement « rd » du rotor et à partir de ces équations nous pouvons calculer le courant dans celui-ci. Ce courant contribue également au champ magnétique dans l’entrefer. Ensuite, nous obtenons la contribution de l’enroulement « rq » du rotor au champ d’entrefer. Enfin, nous calculons le flux total dans les enroulements du stator en utilisant l’expression déterminée pour le champ d’entrefer total.

D.3.1

Contribution des courants rotoriques à l’induction dans l’entrefer

Examinons d’abord l’enroulement court-circuité rd (voir la figure D.3). Le flux lié à cet enroulement consiste en une contribution du courant dans cet enroulement (ird) et des courants du stator alors que le courant irq n’apporte aucune contribution car il est nul. Comme nous appliquons la même source de courant triphasé symétrique que dans le paragraphe précédent, nous pouvons utiliser l’équation (D.18) pour la contribution des courants du stator au flux lié à l’enroulement du rotor rd. La substitution  rd ,s (équation (D.7)) et B  des expressions pour Y s _ h1 (équation (D.4)) nous donne :  Ψ rd ,s = 2 N r (r l ) B s _ h1 cos (ωr t − θ0 ) 3 µ N Ψ rd ,s = 2 N r (r l )  0 s Is  cos (ωr t − θ0 ) 2  2δ 

(D.20)

389

Le réseau électrique dans son intégralité

Avec le coefficient de mutuelle induction  défini par : µ N  = 2 N r (r l )  0 s  (D.21)  2δ  le flux exprimé à l’équation (D.20) devient : 3 Ψ rd ,s =  Is cos (ωr t − θ0 ) (D.22) 2 Le coefficient d’induction mutuelle  est similaire à l’expression que nous avons trouvée précédemment, présentée dans l’équation (C.26). Pour la contribution du flux lié à l’enroulement rotorique rd due au courant circulant dans cet enroulement (inductance propre), nous utilisons les connaissances développées dans l’Annexe C.2. Dans cette section, nous avons vu qu’un courant à travers un enroulement unique entraîne une induction magnétique de forme rectangulaire dans l’entrefer (voir figure C.3). Le courant ird crée une induction magnétique dans l’entrefer qui est présentée à la figure D.5. Pour le calcul de la contribution de ce flux, nous utilisons la composante harmonique fondamentale (la ligne en pointillé de la figure D.5 et voir également l’Annexe C.3). On peut voir sur la figure D.5 que cette composante harmonique atteint son maximum lorsque ar = 0 (donc quand as = q). L’expression de cette composante harmonique fondamentale est : Brdr _ h1 (α r ) =

4  µ0 N r  i cos (α r ) (D.23) π  2 δ  rd

L’indice « h1 » permet d’indiquer que nous étudions la contribution de la composante harmonique fondamentale. Pour trouver la contribution de cette composante harmonique sur le flux au rotor, nous utilisons la méthode qui a permis d’établir les équations (D.6) et (D.7) : Ψ rd _ h1,r = N r Φ rd _ h1,r   + π/ 2 Ψ rd _ h1,r = N r ∫∫ B dS = N r ∫ Brdr _ h1,r (α r ) l r d α r

(D.24)

− π/ 2

S

Avec l : longueur active de la machine (m). r : rayon externe du rotor (m). En composant les équations (D.23) et (D.24), nous obtenons : Ψ rd _ h1,r = N r (l r ) ∫

+ π/ 2 − π/ 2

4  µ0 N r  i cos (α r ) d α r π  2 δ  rd

4 µ N Ψ rd _ h1,r = 2 N r (l r )  0 r  ird π  2δ 

(D.25)

L’expression de l’inductance propre du rotor est donnée par : 4 µ N Lrd _ h1 = 2 N r (l r )  0 r  (D.26) π  2δ 

390

D. Modélisation de la machine asynchrone

Car : Lrd _ h1 =

Ψ rd _ h1,r (D.27) ird

La contribution des composantes harmoniques supérieures de la distribution de l’induction magnétique (selon la figure D.5) au flux lié à l’enroulement rd peut être considérée comme faisant partie du flux de fuite car il n’y a pas de couplage magnétique avec les enroulements du stator, ainsi : Ψ rd _ σ = Lrd _ σ ird (D.28) Comme les enroulements au rotor sont court-circuités : vrd (t ) = 0 = Rrd ird +

d Ψ rd (D.29) dt

Avec Rrd : résistance de l’enroulement rd (W). Et : Ψ rd = Ψ rd ,s + Ψ rd _ h1,r + Ψ rd _ σ 3 Ψ rd = Is cos (ωr t − θ0 ) + Lrd _ h1 ird + Lrd _ σ ird (D.30) 2 Ψ rd ,s = Ψ rd _ h1 + Lrd _ σ ird Avec Y rd _ h1 : contribution de la composante harmonique fondamentale de B dans l’entrefer (Wb)

µ0Nr ird

r

Brd(αr)

–π

2δ

0

π

αr

 Figure D.5  Distribution de l’induction magnétique dans l’entrefer créée par le courant au rotor ird. La courbe en traits pointillés est la représentation de la composante harmonique fondamentale.

Après substitution de l’équation (D.30) dans l’équation (D.29), on voit que cette dernière s’avère être une équation différentielle linéaire du premier ordre. La solution particulière de cette équation différentielle est l’expression du courant dans l’enroulement rotorique court-circuité : ird = Iˆrd cos (ωr t − θ0 − β) (D.31)

391

Le réseau électrique dans son intégralité

En remplaçant cette expression de ird dans l’équation (D.23), nous obtenons : Brdr _ h1 (α r ) =

4  µ0 N r π  2 δ

 I cos (ω t − θ − β) cos (α )   rd 0 r r  

 Brdr _ h1 (α r ) = B r _ h1 cos (ωr t − θ0 − β) cos (α r )

(D.32)

Ou encore : 1  Brdr _ h1 (α r ) = B r _ h1 [cos (ωr t − θ0 − β + α r ) + cos (ωr t − θ0 − β − α r )] 2 (D.33) Cette équation permet de montrer que l’induction dans l’entrefer est la somme de deux ondes progressives : une onde liée au premier terme cosinus se déplaçant avec une vitesse angulaire –wr par rapport au rotor et une onde liée au second terme cosinus se déplaçant avec une vitesse angulaire +wr par rapport au rotor. Pour déterminer la contribution due au courant dans l’autre enroulement du rotor court-circuité (rq), il suffit de remarquer que les deux enroulements sont décalés de ar = p/2 et que le courant irq est déphasé de p/2 en arrière par rapport à ird. Ainsi, nous pouvons en déduire la distribution de l’induction dans l’entrefer due au courant irq :

(

) (

)

π π  Brqr _ h1 (α r ) = B − θ0 − β cos α r − r _ h1 cos ωr t − 2 2 (D.34) 1  Brqr _ h1 (α r ) = B r _ h1 [cos (ωr t − θ0 − β + α r − π) + cos (ωr t − θ0 − β − α r )] 2 La somme des deux contributions donne :  Brr _ h1 (α r ) = Brdr _ h1 (α r ) + Brqr _ h1 (α r ) = B r _ h1 cos (ωr t − θ0 − β − α r ) (D.35) Nous voyons à partir de cette équation que seule l’onde qui se déplace avec une vitesse angulaire +wr par rapport au rotor reste. Pour trouver le flux lié aux enroulements du stator, nous devons écrire la distribution de l’induction (équation (D.35)) dans les coordonnées du stator avec ar = as – pWt – q0 et wr = ws – pW.   Brr _ h1 (α s ) = B r _ h1 cos (ωr t − β + pΩt − α s ) = B r _ h1 cos (ωs t − β − α s ) (D.36) Il est à noter que la position q0 du rotor à t = 0 s a disparu de l’équation. Nous pouvons conclure que le champ magnétique du stator induit des courants dans les enroulements de rotor qui, à leur tour, créent un champ magnétique du rotor ayant la même vitesse que celui du stator.

392

D. Modélisation de la machine asynchrone

D.3.2

Flux créé par les enroulements du stator

Pour déterminer le flux créé par les enroulements du stator, seule la contribution de la première composante harmonique de l’induction magnétique est prise en compte. Nous avons calculé la contribution des courants statoriques à cette première composante harmonique à l’équation (D.4) et la contribution des courants du rotor à l’équation (D.36) :   Bhs1 = Bss + Brs _ h1 = B s _ h1 cos (ωs t − α s ) + B r _ h1 cos (ωs t − β − α s ) (D.37) Pour trouver le flux lié à l’enroulement du stator de la phase a, on peut utiliser l’équation (C.23). L’angle j1 dans cette expression correspond à un angle as où la distribution de B est à son maximum. Le maximum du champ tournant du stator est pour as = wst, alors que le maximum du champ tournant du rotor est pour as = wst – b. Le flux lié à l’enroulement du stator de la phase a est : π   Ψ sma = N s (lr ) B cos (ωs t ) + B r _ h1 cos (ωs t − β)  (D.38) 2 s _ h1 L’indice « m » indique qu’il s’agit du flux principal, car le flux de fuite de l’enroulement du stator n’est pas pris en compte. Comme le champ principal de l’entrefer tourne avec une vitesse angulaire ws, les flux liés aux trois enroulements du stator forment un système triphasé symétrique : Ysmb décalé de 2p/3 par rapport  s _ h1 de à Ysma et Ysmc de 2p/3 par rapport à Ysmb. En substituant l’amplitude B  l’équation (D.4) et l’amplitude B r _ h1 de l’équation (D.32), l’équation (D.38) peut s’écrire : 4 µ N π 3 µ N Ψ sma = N s (lr )   0 s Is  cos (ωs t ) +  0 r I rd  cos (ωs t − β) 2 2  2 δ π  2δ    (D.39) Ψ sma = Lsm Is cos (ωs t ) +  I rd cos (ωs t − β)

D.4 Modèle équivalent monophasé Pour le développement d’un modèle équivalent monophasé simple de type circuit décrivant le comportement de la machine asynchrone, nous supposons que les enroulements du stator sont idéaux c’est-à-dire que l’on néglige l’effet de la résistance des bobinages et qu’ils génèrent une onde d’induction magnétique dans l’entrefer de forme sinusoïdale. Comme nous traitons des grandeurs sinusoïdales dépendantes du temps, nous utilisons la notation complexe dans les sections suivantes et ainsi le modèle équivalent n’est valable qu’en régime permanent sinusoïdal.

393

Le réseau électrique dans son intégralité

D.4.1

Équations des tensions au stator

En négligeant la résistance ohmique et les flux de fuite, l’équation de tension pour la phase « a » du stator est : d Ψ sma v sma (t ) = (D.40) dt Puisque les grandeurs électriques représentent un système triphasé équilibré de grandeurs sinusoïdales avec une pulsation ws, il suffit d’examiner une seule phase (par exemple la phase a) et nous pouvons utiliser la notation des phaseurs pour les tensions et les courants en régime permanent (voir aussi la section 1.4). Pour le courant dans l’enroulement a du stator, nous pouvons écrire : i sa (t ) = Is cos (ωs t − ϕ) = Is Re e j (ωs t −ϕ)  = 2 Re I s e j (ωs t )  (D.41) Avec I s : phaseur associé aux courants statoriques. I s = I s ∠ − ϕ. Pour le courant ird, nous adaptons l’équation (D.31) : ird (t ) = I rd cos (ωr t − θ0 − β) = I rd Re e j (ωr t −θ0 −β)  ird (t ) = 2 Re I rd e j (ωr t −θ0 )  Avec I rd = I rd ∠ − β.

(D.42)

L’équation du flux (D.39), avec les courants exprimés aux équations (D.41) et (D.42), devient : Ψ sm e j (ωs t ) = (Lsm I s + I rd ) e j (ωs t ) (D.43)

Cela permet d’exprimer la tension au stator (avec l’équation (D.40)) : V sm e j (ωs t ) = j ωs Ψ sm e j (ωs t ) (D.44) Avec cette notation, pour le rotor (équations (D.29) et (D.30)) nous avons : 0 = Rrd I rd e j (ωr t −θ0 ) + j ωr Lrd _ σ I rd e j (ωr t −θ0 ) + j ωr Ψ rdm e j (ωr t −θ0 ) (D.45) Et :

(

)

3 Ψ rdm e j (ωr t −θ0 ) = Lrdm I rd + I s e j (ωr t −θ0 ) (D.46) 2 Dans les équations précédentes, les fonctions exponentielles ont été maintenues afin de visualiser la pulsation associée. Ces équations peuvent prendre une forme plus simple : Ψ sm = Lsm I s + I rd (D.47) V sm = j ωs Ψ sm (D.48) 0 = Rrd I rd + j ωr Lrd _ σ I rd + j ωr Ψ rdm (D.49) 3 Ψ rdm = Lrdm I rd + I s (D.50) 2

394

D. Modélisation de la machine asynchrone

D.4.2

Modèle équivalent avec deux bobines couplées

La machine asynchrone peut être assimilée, à l’instar d’un transformateur, à un système physique à circuits magnétiques couplés comme le montrent les équations (D.47) à (D.50). Par conséquent, il est possible de proposer un modèle équivalent de type circuit basé sur des bobines couplées magnétiquement. Le fait que les grandeurs du rotor soient à une pulsation (wr) différente des grandeurs statoriques (ws) peut être résolu en multipliant l’équation de la tension du rotor (équation (D.49)) par ws/wr. Nous multiplions en plus les équations du rotor (équations (D.49) et (D.50)) par 2/3 pour éliminer le facteur 3/2 de . Ce facteur 3/2 apparaît dans nos équations à cause du fait que nous avons deux enroulements au rotor (rd et rq) et trois enroulements au stator. Les équations peuvent maintenant être écrites comme : Ψ sm = Lsm I s + I rd (D.51) V sm = j ωs Ψ sm (D.52) 2 ωs 2 2 0 =  Rrd + j ωs Lrd _ σ  I rd + j ωs Ψ rdm (D.53) ω 3 3 3   r 2 2 Ψ = L I + I s (D.54) 3 rdm 3 rdm rd Avec ces équations, nous pouvons proposer le modèle équivalent de la figure D.6. Les bobines couplées magnétiquement dans le modèle proviennent de la première composante harmonique de l’induction dans l’entrefer et ont un couplage idéal (voir aussi l’annexe B.3). Ainsi : =

2 L L (D.55) 3 rdm sm M

Is

Vsm

Ψsm Lsm

(2/3)L rdσ

(2/3) Ψrdm

Ird

ωs (2/3)Rrd ⋅ ----------ωslip

(2/3)L rdm

 Figure D.6  Modèle équivalent de la machine asynchrone avec deux bobines couplées magnétiquement.

395

Le réseau électrique dans son intégralité

D.4.3

Évolution du modèle équivalent vers le modèle « usuel »

Comme les enroulements du rotor sont court-circuités, ils ne sont pas accessibles électriquement. Ce n’est pas un problème car nous ne sommes généralement pas intéressés par les valeurs réelles du flux et des courants au rotor. Avec la théorie développée dans l’Annexe B.3, nous pouvons remplacer les bobines couplées magnétiquement par un transformateur idéal et une bobine en parallèle (voir la figure B.6). Ce modèle peut être transformé dans celui proposé à la figure D.7. Maintenant, nous pouvons transformer les paramètres du rotor du côté du stator, de sorte que le transformateur idéal lui-même disparaît du circuit. Lorsque nous utilisons l’équation (D.55), le rapport des nombres de spires (N1/N2) peut s’écrire : L 1 → sm (D.56)  2 Lrdm 3 Lsm

1: Is

Vsm

2 Lrdm --- -----------3 Lsm

(2/3)L rdσ

Ird

Lsm

ωs (2/3)Rrd ⋅ ----------ωslip

 Figure D.7  Modèle équivalent de la machine asynchrone avec un transformateur idéal.

Le courant au rotor I rd « passé » au stator est transformé en un courant I r avec : Ir =

 I (D.57) Lsm rd

La résistance et l’inductance du rotor sont transformées avec : Rr = Lr σ =

2 2  Lsm  R 3    rd 2 2  Lsm  (D.58) L 3    rd _ σ

Ainsi, nous proposons le modèle monophasé équivalent « usuel » présenté à la figure D.8.

396

D. Modélisation de la machine asynchrone

Is

Vsm

Lrσ

Lsm

Ir

ωs Rr ⋅ ---------ωslip

 Figure D.8  Modèle monophasé équivalent « usuel » de la machine asynchrone.

D.5 Machine asynchrone connectée au réseau

électrique

Lorsque la machine asynchrone est utilisée comme moteur, comme c’est le cas dans de nombreux appareils, nous nous intéressons au couple mécanique qu’elle produit. Le couple mécanique est égal au couple électromécanique moins le couple de pertes mécaniques. Le couple électromécanique est calculé à partir du bilan de puissance de la machine asynchrone en régime permanent. Nous prenons comme point de départ le modèle équivalent monophasé de la figure D.8. En régime permanent, le rotor tourne à vitesse constante, les valeurs efficaces et la fréquence des tensions d’alimentation sont constantes. Le seul élément où la puissance est convertie est la résistance Rr(ws/wr). Ce n’est pas une résistance physique en tant que telle, mais son unité est l’ohm (W). Le rotor se compose de deux enroulements et la puissance dissipée dans ces derniers est égale à : Pdiss = 2 Rrd I rd 2 (D.59) À l’aide des équations (D.57) et (D.58), nous pouvons écrire :  3   2   Lsm  2 2 Pdiss = 2    Rr    I r  = 3 Rr I r (D.60) L 2     sm   La puissance dissipée dans les deux enroulements du rotor est égale à trois fois la puissance dissipée dans la résistance Rr. Le facteur trois vient du fait que le modèle équivalent de la figure D.8 est une représentation monophasée d’une machine asynchrone triphasée. La résistance de la figure D.8 peut être divisée en deux parties, lorsque nous utilisons wr = ws – pW (relation entre les pulsations introduites dans l’équation (D.17)). Ainsi : ωs ω ω − ωr pΩ R = rR + s Rr = Rr + R (D.61) ωr r ωr r ωr ωr r

397

Le réseau électrique dans son intégralité

Cette relation permet d’établir le schéma équivalent monophasé présenté à la figure D.9. Is

Vsm

Lrσ

Ir

Rr

Lsm

ωm Rr ⋅ ----------ωslip

 Figure D.9  Modèle équivalent monophasé de la machine asynchrone utilisé pour établir le bilan des puissances.

La puissance dissipée dans la résistance Rr représente 1/3 de la puissance dissipée dans la machine et celle dissipée dans la résistance Rr(pW/wr) représente 1/3 de la puissance électromagnétique convertie en puissance mécanique. Nous pouvons ainsi établir l’équation du couple (électromagnétique ou mécanique) :

C em

 pΩ R  I 2 ω r r P R  = mec = 3  r = 3 p r I r 2 (D.62) Ω Ω ωr

Alors que la puissance absorbée par la machine asynchrone est :

Pabs = 3

ωs ω R I 2 = C em  s  = C em Ω s (D.63) ωr r r  p

Cette puissance électrique Pabs est fournie à la machine asynchrone. Comme il n’y a pas de dissipation de puissance dans le stator (nous avons supposé que la résistance du stator était nulle et qu’il n’y avait pas de pertes fer), cette puissance est directement transmise au champ magnétique dans l’entrefer, ce qui permet de créer le couple Cem. Comme le champ magnétique tourne avec une pulsation angulaire ws = pWs, la puissance fournie par le stator au rotor est égale à Cem Ws, souvent appelée puissance transmise au rotor (Ptr).

398

E Modélisation des lignes et des câbles

E.1 Introduction Lorsque nous parlons d’électricité, nous pensons au courant qui circule dans les conducteurs des lignes et des câbles entre les générateurs et les charges. Cette approche est valable car les dimensions physiques du réseau électrique sont généralement faibles par rapport à la longueur d’onde des courants et des tensions (la longueur d’onde est de 6 000 km pour 50 Hz, voir aussi l’Annexe A.6). Ainsi, nous pouvons utiliser les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles) et des modèles à constantes localisées pour les lignes et les câbles.

E.2 Modélisation d’une ligne de grande longueur Lorsque nous voulons faire un modèle d’une ligne de transport aérienne, nous devons faire une distinction selon sa longueur. Ainsi les paramètres du modèle de la ligne ne sont pas localisés mais répartis uniformément sur toute la longueur de la ligne. Nous pouvons distinguer quatre paramètres pour une ligne de transport : la résistance série (due à la résistivité du conducteur), l’inductance (due au champ magnétique entourant les conducteurs), la capacité (due au champ électrique entre les conducteurs) et la conductance shunt (due aux courants de fuite dans l’isolation).

399

Le réseau électrique dans son intégralité

En première approximation, la résistance série est égale à la résistance en courant continu du conducteur et est affectée par la température de fonctionnement du conducteur (augmentation de 40 % pour un échauffement de 100 °C). Lorsqu’un conducteur fonctionne en courant alternatif, la distribution de densité de courant à travers la section transversale du conducteur devient non uniforme. Ceci est connu comme l’effet de la peau et par conséquent, la résistance AC d’un conducteur est supérieure à la résistance DC car l’effet de peau dépend de la fréquence. La conductance en dérivation tient compte des pertes dans le milieu diélectrique entre les conducteurs lorsque la ligne de transport est un câble souterrain. Dans le cas d’une ligne aérienne, elle tient compte des courants de fuite à travers les isolateurs, de l’influence de la résistance par rapport au sol et des pertes par effet couronne. Les expressions analytiques pour l’inductance et la capacité d’une configuration de ligne ou de câble sont développées dans de nombreux manuels. Pour une analyse pratique du réseau électrique, il suffit, dans la plupart des cas, de se reporter aux tableaux pour trouver la résistance en série, l’inductance en série, la capacité en dérivation et la conductance en dérivation par unité de longueur. Une fois les paramètres de ligne obtenus par phase par unité de longueur, nous nous intéressons aux performances d’une ligne de longueur arbitraire « l ». Les paramètres sont répartis uniformément le long de la ligne et pour pouvoir les représenter par des éléments localisés et appliquer les lois de tension et de courant de Kirchhoff, nous considérons que la ligne est constituée d’un nombre infini d’éléments de ligne de longueur différentielle « Dx ». Nous considérons la ligne de transmission dans un état stationnaire équilibré et sinusoïdal. Cela nous permet d’utiliser des phaseurs et des impédances. Une ligne de transport de longueur incrémentale « Dx » est représentée à la figure E.1. Les tensions et les courants sont V s et I s à l’extrémité émettrice et Vr et I r à l’extrémité réceptrice. Les charges sont connectées à l’extrémité réceptrice et l’alimentation est effectuée à partir de l’extrémité émettrice. Dans le fonctionnement normal du réseau d’alimentation, il est primordial de maintenir la valeur efficace de la tension au niveau de la charge à une valeur presque constante. L’extrémité réceptrice de la ligne de transmission est située à x = 0 et l’extrémité émettrice est à x = l. Lorsque nous utilisons des lettres minuscules pour les paramètres distribués, l’impédance série par unité de longueur peut s’écrire : z = r + jl ω (E.1) Avec z : impédance complexe série par unité de longueur et par phase (W/m). r : résistance série par unité de longueur et par phase (W/m). l : inductance série par unité de longueur et par phase (H/m). Et l’admittance shunt par unité de longueur : y = g + jc ω (E.2) Avec y  : admittance complexe shunt par unité de longueur et par phase (S/m). g : conductance shunt par unité de longueur et par phase (S/m). c : capacité shunt par unité de longueur et par phase (F/m).

400

E. Modélisation des lignes et des câbles

Les équations des tensions et des courants appliquées à une section incrémentale de ligne de la figure E.1 sont : ∆V = ( z ∆x ) I

(E.3)

∆I = ( y ∆x ) (V + ∆V )

Si la longueur de la section incrémentale Dx tend vers zéro (Dx → 0), alors Dx peut être remplacée par dx. Ainsi, la contribution de ( y ∆x ) ∆V peut être négligée, car il s’agit d’un produit de deux grandeurs différentielles. Le système d’équations devient : dV = z I (E.4) dx dI = yV (E.5) dx En différenciant ces équations nous obtenons : d 2V dI = z (E.6) 2 dx dx dV d2I =y (E.7) dx dx 2 En substituant l’équation (E.5) dans l’équation (E.6) et l’équation (E.4) dans l’équation (E.7), nous obtenons : d 2V = z yV = γ 2V (E.8) dx 2 d2I = y z I = γ 2 I (E.9) dx 2 Avec g : constante de propagation (1/m). • Pour une ligne sans pertes (r = 0 et g → ∞) : γ = j ω lc . • En introduisant le paramètre λ = 1 / ω lc , qui est une longueur d’onde (en m), nous avons la vitesse de propagation de l’onde : ν = 1 / lc . Cette vitesse de propagation est proche de la vitesse de la lumière (3 108 m/s). Is

I + ∆I

r∆x

l∆x

Ir

I

∆I Vs

V+∆V

c∆ x

g∆x

∆x

V

Vr

x

l

 Figure E.1  Section incrémentale de longueur « Dx » d’une ligne de transport de l’électricité.

401

Le réseau électrique dans son intégralité

Pour la tension, la solution générale de l’équation différentielle du second ordre (E.8) est de la forme : V ( x ) = k1e γx + k2 e − γx (E.10) Pour le courant, les équations (E.4) et (E.10) permettent d’écrire : I (x ) =

1 dV k1 γ γx k2 γ − γx e (E.11) = e − z z dx z

En fin de ligne, à x = 0, V (0) = Vr et I (0) = I r . En utilisant les équations (E.10) et (E.11), nous obtenons : Vr = k1 + k2 et I r = ( γ / z ) (k1 − k2 ) . Ainsi : k1 =

Vr + ( z / γ ) I r 2

k2 =

Vr − ( z / γ ) I r 2

(E.12)

En remplaçant les expressions de ces deux constantes dans les équations (E.10) et (E.11), nous obtenons :  V r + Z c I r  γx  V r − Z c I r  − γx V (x ) =  e +  e 2 2      V r / Z c + I r  γx  V r / Z c − I r  − γx I (x ) =  e −  e 2 2    

(E.13)

Avec Z c = z / γ : Impédance caractéristique de la ligne (Zc en W). Z= l /c. Pour une ligne sans pertes (r = 0 et g → ∞) : Z= c c Il est possible d’utiliser les fonctions hyperboliques : e γx + e − γx 2 γx e − e − γx sinh ( γx ) = (E.14) 2 cosh ( γx ) =

Ainsi les équations (E.13) deviennent : V ( x ) = Vr cosh ( γx ) + Z c I r sinh ( γx ) I ( x ) = Vr / Z c sinh ( γx ) + I r cosh ( γx ) (E.15) Au niveau du générateur, pour x = l, la tension et le courant s’expriment par : Vs = V (x ) I s = I (x )

402

x =l

x =l

= Vr cosh ( γl ) + Z c I r sinh ( γl ) = Vr / Z c sinh ( γl ) + I r cosh ( γl ) (E.16)

E. Modélisation des lignes et des câbles

Sous forme matricielle, cela s’écrit : V s  I  = T  s

 cosh ( γl ) avec T =  sinh ( γl ) / Z c

Vr  I   r

Z c sinh ( γl )  (E.17) cosh ( γl ) 

Avec T : matrice de chaîne (ou de transmission). Cette dernière notation est celle utilisée classiquement pour étudier les quadripôles. Lorsque deux lignes de transport avec des paramètres différents sont connectées en série, la matrice de transmission résultante est le produit des matrices de transmission individuelles, comme illustré dans la figure E.2. Le circuit équivalent d’une longue ligne de transport est représenté sur la figure E.3. Les expressions de la tension et du courant à l’extrémité émettrice du circuit équivalent sont :

(

Vs = 1 + Is =

)

Z ′Y ′ Vr + Z ′ I r 2

(

)

(

)

Y′ Z ′Y ′ Z ′Y ′ V + Vr ) + I r = 1 + Y ′Vr + 1 + I r (E.18) 2( s 4 2

Et sous forme matricielle :

(

)

 1 + Z ′Y ′ V s   2 I  =  ′ ′ Z Y  s   1+ Y′ 4 

  Vr  (E.19) Z ′Y ′   I r  1+  2 

Z ′ = Z c sinh ( γl ) = Z

sinh ( γl ) (E.20) γl

(

Z′

) (

Avec :

)

Et Z  : impédance série par phase (W) ; Z = z l. I1

V1

I2

T1

V1 I1

I3

V2

= T1

V2 I2

= T1T2

T2

V3

V3 I3

 Figure E.2  Connexion en série de deux lignes avec la représentation sous forme de quadripôles.

403

Le réseau électrique dans son intégralité

Z′

Is

Y′ -----2

Y′ -----2

Vs

Ir

Vr

 Figure E.3  Modèle équivalent pour une ligne de transport de grande longueur.

Nous pouvons remarquer que les éléments de la diagonale des matrices des équations (E.17) et (E.19) vérifient : 1 + Z ′Y ′ / 2 = cosh ( γl ) . En remplaçant l’expression (E.20) de Z ′ , nous obtenons :  γl  Y tanh ( γl / 2) Y ′ cosh ( γl ) − 1 1 = (E.21) = tanh   = 2 Z c sinh ( γl ) Z c  2  2 ( γl / 2) Avec Y  : admittance shunt entre une phase et le neutre (S) ; Y = y l. Nous pouvons vérifier, à l’aide des équations (E.20) et (E.21), que les coefficients a21 des matrices sont équivalents. Tout d’abord : 1+

Z ′Y ′ Z ′Y ′ cosh ( γl ) − 1 Z ′Y ′ cosh ( γl ) + 1 = cosh ( γl ) → = →1+ = 2 4 2 2 4 (E.22)

Ainsi : cosh ( γl ) + 1 cosh ( γl ) − 1 cosh ( γl ) − 1 Z ′Y ′ Y′= 1+ = ×2 4 2 Z c sinh ( γl ) Z c sinh ( γl )

( ) (1 + Z 4′Y ′)Y ′ = Zsinhsinh(γl()γl ) = sinhZ(γl ) 2

c

2

(E.23)

c

E.3 Modélisation d’une ligne de longueur moyenne Le modèle de ligne de grande longueur peut être simplifié lorsque la longueur est comprise entre 80 et 240 km. Dans ce cas, tanh(gl/2) ≈ gl/2 et sinh(gl) ≈ gl. Les éléments du modèle équivalent de la ligne se transforment en (équations (E.20) et (E.21)) : Z′ = Z

sinh ( γl ) = Z (E.24) γl

Y ′ Y tanh ( γl / 2) Y = (E.25) = 2 2 ( γl / 2) 2

404

E. Modélisation des lignes et des câbles

Ce qui nous donne le modèle présenté à la figure E.4 et l’écriture matricielle suivante :

(

)

 1+ ZY V s   2 I  =  Z Y  s   1+ Y 4 

(

  Vr  (E.26) Z Y   I r  1+  2  Z

) ( Is

)

Z

Y --2

Y --2

Vs

Ir

Vr

 Figure E.4  Modèle équivalent pour une ligne de transport de longueur moyenne.

Le schéma équivalent de la ligne de transport de longueur moyenne est composé de l’impédance série totale de la ligne avec la moitié de la capacité totale de dérivation placée de chaque côté de la ligne.

E.4 Modélisation d’une ligne courte Lorsque la longueur de la ligne tombe en dessous d’une valeur de 80 km, le modèle équivalent de la ligne de transport de longueur moyenne peut être simplifié en omettant les capacités en dérivation. De cette manière, seule l’impédance totale série de la ligne est prise en compte. Le modèle équivalent est représenté à la figure E.5. L’expression matricielle devient : V s  1 Z  Vr   I  = 0 1   I  (E.27)  r  s  Is

Z

Ir

Vs

Vr

 Figure E.5  Modèle équivalent pour une ligne de transport courte.

405

Le réseau électrique dans son intégralité

E.5 Comparaison des modèles en fonction

de la longueur de la ligne

Les modèles de ligne sont regroupés dans le tableau E.1.  Tableau E.1  Modèles de ligne en fonction de la longueur Longueur de la ligne Matrice du quadripôle

Schéma équivalent

Is

l < 80 km

1 Z  0 1 

Ir

Vs

Avec Z = z l

Vr

Is

80 km < l < 240 km

Z

 1 + Z Y    2   Z Y Y 1 + 4  

   Z Y 1 +    2  

Z

Ir

Z

Vs

Y 2

Y 2

Vr

Avec Z = z l et Y = y l   1 + Z ′Y ′  Z′    2    ′ ′ ′ ′ Z Y Z Y      1 + Y ′ 1 +   4  2    l > 240 km

Is

Avec : Z′ = Z

( )

Vs

sinh γl γl

(

Y ′ Y tanh γl / 2 = 2 2 γl / 2

(

)

Y′ 2

------

Z′

Ir

Y′ 2

------

Vr

)

Une comparaison au niveau du générateur des valeurs efficaces des tensions simples (phase-neutre) obtenues avec les trois modèles de ligne est présentée dans le tableau E.2 (les résultats sont basés sur les données de l’exemple E.1). Dans ce tableau, les résultats obtenus avec le modèle de ligne de grande longueur sont exacts. Les écarts dans les résultats obtenus avec les autres modèles sont dus aux simplifications. • D’après ces résultats, il est évident que pour la ligne courte même le modèle le plus simple (c’est-à-dire le modèle de la ligne courte) donne des résultats acceptables. La différence est inférieure à 200 V (soit 0,15 %). • Pour la ligne de longueur moyenne, le modèle de la ligne courte donne déjà un écart important (plus de 2 kV soit 1,5 %).

406

E. Modélisation des lignes et des câbles

• Pour la ligne de grande longueur, le modèle de la ligne de longueur moyenne commence aussi à donner des résultats peu précis. La différence est presque égale à 700 V (soit 0,55 %).  Tableau E.2  Valeur efficace de la tension simple (phase neutre) au niveau du générateur Vs (en kV) pour avoir Vr = 220 kV/ 3 = 127 kV. Longueur de la ligne

l = 40 km

l = 150 km

l = 400 km

l < 80 km

128,55

132,96

143,59

80 km < l < 240 km

128,38

130,62

127,54

l > 240 km

128,38

130,57

126,88

Exemple E.1 Comparaison des trois modèles pour une ligne de 40 km Pour cette ligne longue de 40 km, nous avons une impédance série : Z (Ω) = 5 + 20 j = 20,6 ∠ 76° Et une admittance shunt : Y (S ) = 13310 −6 j = 13310 −6 ∠ 90° Ainsi : γl = Z Y = 0,0064 + 0,0520 j Et : Z c (Ω) = Z / Y = 390,76 − 48104 , j La charge triphasée absorbe une puissance active de 40 MW avec un cos j de 0,9 arrière (en retard). La valeur efficace de la tension aux bornes de la charge est de 220 kV (entres phases soit 127 kV pour la tension simple). La valeur efficace de la tension en début de ligne (au niveau du générateur ou du secondaire d’un transformateur) va être calculée avec les trois modèles de ligne. Tout d’abord déterminons le courant absorbé par la charge : 40 106 = 116,6 A 3 220 103 0,9

Ir =

et

I r = 116,6 A ∠ − 25,88° (E.28)

Avec le modèle d’une ligne courte : V s = Vr + Z I r = 128,55 kV ∠0,82° (E.29) Avec le modèle d’une ligne de longueur moyenne : ZY Vr + Z I r = 128,38 kV ∠0,84° (E.30) Vs = 1 + 2

(

)

Avec le modèle d’une ligne de grande longueur :

V s = Vr cosh ( γl ) + Z c I r sinh ( γx ) = 128,38 kV ∠0,84° (E.31)

407

Le réseau électrique dans son intégralité

E.6 Modélisation d’un câble Dans les sections précédentes, l’accent était mis sur la modélisation des lignes de transport aériennes. Les modèles développés et présentés dans le tableau E.1 sont également valables pour les câbles souterrains. Il convient toutefois de garder à l’esprit que la capacité d’un câble souterrain est beaucoup plus élevée que pour une ligne de transport aérienne (voir par exemple la section 3.9.2 et le tableau 3.2). Par conséquent, l’utilisation du modèle de ligne courte pour représenter un câble souterrain court, négligeant ainsi l’influence de la capacité, n’est pas recommandée.

408

Solutions

Chapitre 1 Solution 1.1 a. V = 325,27 V et VRMS = 230 V ; I = 141,42 A et IRMS = 100 A b. V = 230 V ∠−60° ; I = 100 A ∠−120° c. La puissance complexe est : S = P + jQ = V I * = 11,5 + j 19,9 (kVA). Im(S ) = 19,9 kvar ⇒ la charge est inductive, car la puissance réactive absorbée par la charge est positive. Solution 1.2 Vba = Vbn − V an = −12,1 − j 122,3 (en V) Solution 1.3 a. Vcn = 400 / 3 ∠ − 60° (se reporter à la figure 1.22) Vcn 400 / 3 ∠ − 60° = = 40 / 3 ( A) ∠ − 90° b. I c = Z 10∠30° c. S3φ = 3Vcn I c * = 3 (400 / 3 ∠ − 60°) (40 / 3 ∠ − 90°) = 16 000 ( VA ) ∠30° = 13,85 + 8 j (kVA )

409

Le réseau électrique dans son intégralité

Solution 1.4 a. En raison de la convention « générateur » : I 2 = − I1 Et l’équation des tensions donne : E 2 = E1 − Z I1 , donc : E1 − E 2 100 − 100 (cos (30°) + j sin (30°)) (100 − 86,6) − 50 j I1 = = = Z 5j 5j I1 = −10 − 2,68 j = 10,4 A ∠195° I 2 = − I1 = 10,4 A ∠15° b. S1 = − E1 I1 * = −100 ( −10 − 2,68 j) = 1000 − 268 j ( VA ) S2 = − E 2 I 2 * = −100 (10 + 2,68 j) = −1000 − 268 j ( VA ) c. La source de tension 2. d. L’impédance n’a pas de partie réelle ainsi, il n’y a pas de pertes. La ligne consomme = Q X= I 2 2 540 var. une puissance réactive de

Solution 1.5 a. Le facteur de puissance est le cos j. P P cos (ϕ) = = = 0,86 2 S P +Q2 b. P3φ = 3 U ph − ph I cos (ϕ) I=

P3φ 3 U ph − ph cos (ϕ)

= 177,3 A

Solution 1.6 173,2 V ∠ − 30° = 100 V ∠ − 30° a. V an = 3 173,2 Vbn = V ∠ − 150° = 100 V ∠ − 150° 3 173,2 Vcn = V ∠90° = 100 V ∠90° 3 V an 100 V ∠ − 30° = = 10 A ∠ − 30° b. I a = Z 10 Vbn 100 V ∠ − 150° Ib = = = 10 A ∠ − 150° Z 10 Vcn 100 V ∠90° Ic = = = 10 A ∠90° Z 10

410

Solutions

Solution 1.7 a. S3φ = P3φ + jQ3φ = Pcharge + j (Q charge + Q banc _ condensateurs ) S3φ = 250 103 + j (250 103 tan (acos (0,8)) − 60 103 ) = 250 + j 127,5 (kVA ) S3φ = 3 U ph − ph I * = 250 + j 127,5 (kVA ) = 280,6 kVA ∠27° S3 φ

⇒I * =

3 U ph − ph

=

280,6 kVA ∠27° = 405 A ∠27° 400 3

⇒ I = 405 A ∠ − 27° b. F p = cos (ϕ) =

P3φ 250 = = 0,89 S3φ 280,6

Solution 1.8 V an 100 103 / 3 = = 676 A ∠ − 20,6° a. I a = Z 80 + 30 j I b = 676 A ∠ − 140,6° I c = 676 A ∠ + 99,4° b. S3φ = 3V an I a * = 3

100 103 (676 A ∠ − 20,6°) = 117,1 MVA ∠ + 20,6° 3

( ) = ℑ (S ) = 41,2 Mvar

P3φ = ℜe S3φ = 109,6 MW Q3φ

m

3φ

Solution 1.9 a. S1 = 3 U ph − ph I * ⇒I * =

S1 3 U ph − ph

= 5511 , + j 78,7 ( A ) = 556,7 A ∠813 , °

⇒ I = 556,7 A ∠ − 813 , ° Vdébut = Z I + Vcharge n

⇒

Vcharge = Vdébut − Z I = 123,9 kV ∠ − 15,3°

Scharge = 3Vcharge I * = 205,3 − j 25,8 (MVA ) b. Pligne = ℜe (S1 − S2 ) = 3 R I 2 = 4,7 MW

411

Le réseau électrique dans son intégralité

Solution 1.10 S2 = 0,68 − j 0,086 ( pu ) Vcharge = 0,95 pu ∠ − 15,3° Pligne = 0,016 pu

Solution 1.11 = Z b1 ⇒

Vb12 Vb 2 2 = et Zb2 Sb1 Sb 2

Z b 2 Vb 2 2 1 = × 2 Z b1 Sb 2 Vb1 Sb1

⇒ Z b 2 = Z b1

Sb1 Vb 2 2 Sb 2 Vb12

Chapitre 2 Solution 2.1 a. Première étape : l’énergie chimique des combustibles fossiles est convertie en énergie thermique au moyen de la combustion. Dans un réacteur à fission nucléaire, c’est l’énergie du processus de fission qui est convertie en énergie thermique. b. Deuxième étape : l’énergie thermique est utilisée pour chauffer de l’eau et produire de la vapeur à haute température et à haute pression. c. Troisième étape : la vapeur se dilate de manière adiabatique dans une turbine à vapeur et l’énergie thermique de la vapeur est convertie en énergie mécanique lorsque la vapeur passe les aubes de la turbine et fait tourner son rotor. d. Quatrième étape : l’arbre de la turbine est relié à l’arbre du générateur synchrone et l’énergie mécanique du rotor est convertie en énergie électrique, dans l’entrefer de la machine, par induction électrique. Solution 2.2 a. Centrales thermiques. b. Centrales nucléaires. c. Centrales hydroélectriques d. Centrales géothermiques.

412

Solutions

Solution 2.3 a. Énergie éolienne : les éoliennes convertissent l’énergie cinétique du vent en énergie mécanique au moyen d’une hélice que l’on nomme « moteur éolien ». b. Énergie solaire : les panneaux photovoltaïques convertissent l’énergie des photons en courant continu au moyen de matériaux semi-conducteurs. Solution 2.4 a. La puissance unitaire d’un puits thermique s’étend généralement de 4 MW à 10 MW. b. Il n’est pas pratique de transporter de la vapeur à haute température sur de longues distances par pipelines à cause des pertes de chaleur. Pour cette raison, les centrales géothermiques sont construites à proximité des ressources. c. L’efficacité des centrales géothermiques est généralement de l’ordre de 7 à 10 %. Le faible rendement est dû à la basse température de fonctionnement. d. Parce qu’elles peuvent fonctionner 24 heures sur 24, les centrales géothermiques contribuent à la fourniture de la capacité de charge de base. Solution 2.5 a. Centrales à vapeur sèche : utilisent des fluides hydrothermiques sous forme de vapeur qui entraîne le générateur électrique via une turbine (voir aussi la figure 2.21). b. Centrales électriques à condensation : utilisent des fluides hydrothermiques audessus de 175 °C. Une partie du fluide se vaporise rapidement en vapeur et entraîne la turbine (voir aussi la figure 2.22). c. Centrales à cycle combiné : utilisent le fluide hydrothermique à une température inférieure à 175 °C et un fluide secondaire avec un point d’ébullition beaucoup plus bas que l’eau (voir aussi la figure 2.23). Solution 2.6 Lorsqu’un alternateur est connecté à un « grand » réseau, sa tension et sa fréquence de sortie sont imposées par celui-ci. Elles ne peuvent être modifiées par aucune action sur le générateur. Nous disons que le générateur est connecté à un réseau de puissance infinie : une source de tension idéale avec une amplitude et une fréquence fixes. Solution 2.7 a. Voir la figure 2.27 (a). b. Voir la figure 2.27 (b). c. Voir la figure 2.27 (c).

413

Le réseau électrique dans son intégralité

Solution 2.8 1. Même séquence des phases que celle du réseau. 2. Fréquences quasi identiques. 3. Mêmes valeurs efficaces des tensions. 4. Tensions en phase au moment du couplage. Solution 2.9 L’angle interne peut être déterminé avec la formule : VE P =3 sin (δ) X (0,4 + 0,8) × 0,8  XP ⇒ δ = asin = asin   = 14,25° 3V E  3 × 1 × 1,3 

(

)

Solution 2.10 La valeur de la fem interne « E  » peut être déterminée avec la formule : VE P =3 sin (δ) X Avec sin(d) = 1 car la puissance est maximale. ⇒E =

X Pmax (1,2 + 0,3) × 11 , = 0,55 pu = 3V 3 ×1

Solution 2.11 Voir l’équation 2.28. a. d > 0  P > 0 : la machine électrique fournit de la puissance active au réseau. Elle fonctionne comme un générateur. b. d = 0  P = 0 : la machine électrique n’échange pas de puissance active avec le réseau. c. d < 0  P < 0 : la machine électrique absorbe de la puissance active au réseau, elle fonctionne comme un moteur. Solution 2.12 La valeur théorique maximale de l’angle interne « d » pour qu’il n’y ait pas « décrochage » de la machine synchrone du réseau est de 90° (voir aussi la figure 2.31).

414

Solutions

Chapitre 3 Solution 3.1 a. Un circuit alternatif monophasé nécessite deux conducteurs. Un circuit alternatif triphasé, utilisant les conducteurs de même taille que le circuit monophasé, peut transmettre trois fois la puissance transmise par un circuit monophasé et utilise un conducteur par phase et un conducteur pour le neutre. Ainsi, un circuit triphasé est plus économique qu’un circuit monophasé et a des pertes plus faibles. Tous les systèmes de transport et de distribution sont donc des systèmes triphasés. En effet, un circuit triphasé équilibré ne nécessite pas le conducteur du neutre car la somme instantanée des trois courants de ligne est nulle. b. Une ligne aérienne est moins coûteuse qu’un câble souterrain. Non seulement à cause du coût du câble, mais aussi parce que, pour un câble souterrain, il faut creuser une tranchée. c. Lorsque nous utilisons des conducteurs en aluminium pour lignes aériennes (au lieu du cuivre), les pylônes peuvent être plus légers et donc moins chers. De plus, l’aluminium est un matériau moins coûteux que le cuivre. Cependant, la résistance à la traction relativement faible de l’aluminium est un inconvénient à l’utiliser comme matériau conducteur pour les lignes. C’est la raison pour laquelle l’acier est utilisé comme matériau de base du conducteur (voir la figure 3.42). L’aluminium fournit la conductivité nécessaire, tandis que l’acier fournit la résistance mécanique nécessaire. d. Nous voyons sur la figure 3.42 que le conducteur lui-même n’est pas un ensemble uniforme, mais est composé de brins (26 brins d’aluminium et 7 brins d’acier dans ce cas), ce qui donne au conducteur la flexibilité nécessaire. Les brins sont torsadés pour la tenue mécanique de l’ensemble. Solution 3.2 a. Un circuit triphasé équilibré ne nécessite pas le conducteur du neutre, car la somme instantanée des trois courants de ligne est nulle. Par conséquent, les lignes de transport et les départs sont des circuits triphasés à trois conducteurs. Les systèmes de distribution sont des circuits triphasés à quatre conducteurs car le neutre est nécessaire à l’alimentation des charges monophasées des consommateurs domestiques et commerciaux. b. Dans une centrale hydroélectrique, thermique et nucléaire, le niveau des tensions en sortie des alternateurs se situe entre 10 et 25 kV. Ces stations sont généralement situées loin des centres de charge. Les pertes dans un circuit sont proportionnelles au carré du courant et lorsque nous transformons l’énergie électrique à un niveau de tension plus élevé, la valeur efficace des courants est réduite et les pertes aussi. c. Une augmentation de la tension de ligne augmente l’efficacité de la transmission. À des tensions plus élevées, l’effet couronne peut provoquer une perte de

415

Le réseau électrique dans son intégralité

puissance importante et des interférences avec les circuits de communication, si le circuit a un conducteur par phase. L’utilisation de plusieurs conducteurs diminue le gradient de tension au voisinage de la ligne et réduit ainsi les conséquences néfastes de l’effet couronne. d. L’aluminium a une plus grande résistivité que le cuivre et donc un conducteur en aluminium a un diamètre plus grand qu’un conducteur en cuivre pour une même valeur de résistance électrique. Un grand diamètre, pour la même tension, conduit à un gradient de tension plus faible à la surface du conducteur, ce qui réduit le niveau d’ionisation de l’air et la possibilité de la création de l’effet couronne.

Solution 3.3 Les avantages d’un système d’alimentation interconnecté sont les suivants [1] : • Cela conduit à une meilleure efficacité globale du système car la puissance totale installée peut être inférieure à la somme des puissances des charges. • Cela améliore la fiabilité du système car lorsque l’un des partenaires du pool de producteurs rencontre un problème (par exemple, lors d’une perte imprévue de puissance de production), les autres partenaires peuvent fournir la puissance manquante. • Il en résulte des écarts de fréquence plus petits. Dans un grand système interconnecté, un grand nombre de générateurs synchrones fonctionnent en parallèle. Lorsqu’il y a un déséquilibre entre la production et la consommation pendant une courte période, seul un faible écart de fréquence dans le système se produira car il y a suffisamment de masse en rotation dans le système (voir aussi section 5.1 : Introduction). • Il couvre une vaste zone géographique. Par exemple, le réseau européen et le pool énergétique nord-américain couvrent une zone avec plusieurs fuseaux horaires : la charge maximale du matin commencera à la même heure mais dans des fuseaux horaires différents. Il est possible d’adapter le type de centrale aux particularités régionales : l’hydroélectricité quand il est possible d’implanter des barrages, les centrales thermiques et nucléaires peuvent être construites là où l’eau est présente pour le refroidissement ou à proximité des ressources en combustible. Les éoliennes peuvent être érigées à un endroit où le vent est constant tout au long de l’année (sur terre ou au large). • Une répartition géographique de la production éolienne permettra de réduire les creux de puissance dus au manque de vent : par exemple s’il n’y a pas de vent au Danemark, il est peu probable que ce soit aussi le cas en Espagne en même temps. • Il facilite le traitement et le transport de l’énergie électrique, car il devient possible d’échanger l’électricité avec les producteurs d’électricité connectés et de créer ainsi un marché de l’énergie électrique.

416

Solutions

Un système interconnecté présente également certains inconvénients, car : • il doit y avoir une capacité d’interconnexion suffisante entre les différents partenaires du pool de producteurs d’énergie ; • il y a des pertes de puissance dans les lignes lors des échanges d’énergie ; • dans les grands systèmes interconnectés, la complexité du transport de l’électricité en parallèle peut imposer des contraintes plus élevées sur le système ; • il y a une organisation plus complexe à mettre en œuvre pour faire fonctionner le système interconnecté de façon harmonieuse.

Solution 3.4 Voir la figure 3.40. Dans l’essai en court-circuit V2 = 0. La tension au primaire est égale à Vk (3,7 %). Les pertes fer, modélisées par la résistance Rm, sont proportionnelles à la valeur efficace de la tension au carré. Ainsi, les pertes fer, pour une tension faible (3,7 %), le sont d’autant plus. Solution 3.5 a. La formule 3.10 définit la tension de court-circuit : V Vk (%) = 100 k Vn On rappelle que l’essai en court-circuit est réalisé avec les courants nominaux, ainsi : V (3 I n ) S V Vk (%) = 100 k = 100 k = 100 k Sn Vn Vn (3 I n ) ⇒ Sn = 100

Sk 1200 = = 10 000 MVA Vk (%) 0,12

b. Les pertes fer peuvent être déterminées lorsque le transformateur est à vide : ⇒ Pfer = S vide cos (ϕ vide ) = 2 × 0,3 = 0,6 MW = 600 kW

Solution 3.6 a. S = P 2 + Q 2 Pour le transformateur T2 : P = 100 MW et Q = 0 var Pour le transformateur T3 : P = 50 × 0,6 = 30 MW et Q = 50 × sin(acos(0,6)) = 50 × 0,8 = 40 Mvar ⇒ S = (100 + 30)2 + (0 + 30)2 = 136 Mvar

417

Le réseau électrique dans son intégralité

b. S = 3 U ph − ph I Pour le transformateur T2 : S = 100 Mvar et Uph-ph = 10 kV ⇒ I = 5 773 A Pour le transformateur T3 : S = 50 Mvar et Uph-ph = 10 kV ⇒ I = 2 886 A Pour le transformateur T1 : S = 136 Mvar et Uph-ph = 150 kV ⇒ I = 523 A

Chapitre 4 Solution 4.1 a. Pointe de charge : valeur de la puissance maximale demandée par les charges sur 24 h. b. Creux de charge : valeur de la puissance minimale demandée par les charges sur 24 h. Ce creux se situe traditionnellement entre 16 h et 17 h. c. Poste de distribution : dernière partie du réseau en relation avec les charges (domestiques et industrielles). d. Réseau électrique à structure verticale : en amont du réseau on trouve des centrales électriques qui produisent la très grande majorité de la puissance électrique qui est injectée sur le réseau de transport. En aval du réseau, on trouve l’ensemble des charges (domestiques et industrielles). Solution 4.2 On utilise l’équation 4.4 avec W = 0 rad/s : Ir =

−V sm −V sm −230 = = = 325 A ∠98,1° pΩ Rr + jLr σ ωs 0,1 + 0,7 j Rr + Rr + jLr σ ωs ωr

Solution 4.3 a. Lampe à incandescence. Cette lampe se compose d’un filament mince qui conduit le courant. Le courant chauffe le filament mince qui irradie de la lumière. Le filament métallique s’évapore lentement et se dépose à l’intérieur de l’ampoule de verre. La lampe à incandescence n’est pas très efficace à cause de la chaleur produite. La lampe est résistive, le courant est donc en phase avec la tension appliquée. b. Lampe halogène. Cette lampe peut être considérée comme une version améliorée de la lampe à incandescence. Le filament métallique mince s’évapore mais se redépose sur le filament après une réaction chimique avec le gaz halogène dans l’ampoule et a donc une durée de vie plus longue que la lampe à incandescence.

418

Solutions

c. Lampe fluorescente. Dans cette lampe, une décharge électrique se produit lorsque des électrons entrent en collision avec des ions mercure, ce qui se traduit par un rayonnement ultraviolet qui est transformé en lumière visible par le revêtement fluorescent à l’intérieur du tube de verre. Les lampes ont un caractère inductif et affectent donc le facteur de puissance. d. Lampes LED. Ces lampes utilisent des semi-conducteurs comme source de lumière. Lorsqu’un courant traverse les semi-conducteurs, ils émettent de la lumière. La consommation d’énergie des lampes LED est faible.

Solution 4.4 Une résistance convertit l’électricité en chaleur à 100 %. Pour le transport et la distribution de l’électricité, les pertes sont indésirables et nous élevons, lorsque cela est possible, la tension pour les minimiser. Mais quand nous chauffons de l’eau pour cuisiner ou dans une chaudière, c’est un phénomène plutôt utile. Solution 4.5 Les redresseurs sont réalisés avec des diodes. Les diodes sont des composants semi-conducteurs qui se comportent comme des interrupteurs. Dès que la tension à ses bornes devient positive, elle se comporte comme un interrupteur fermé et se bloque lorsque le courant passe par zéro. Pour le schéma du circuit et les tensions de sortie, voir la figure 4.8. Solution 4.6 a. Une batterie est construite à partir d’une ou plusieurs cellules voltaïques. Chaque cellule voltaïque a une borne positive et une borne négative et est immergée dans un électrolyte solide ou liquide. b. La FEM est égale au potentiel électrique entre les bornes d’une batterie qui n’est ni en charge ni en décharge. Cette tension peut être mesurée avec un voltmètre et s’appelle la tension de circuit ouvert. Les cellules plomb-acide ont une FEM de 2 V et les cellules au lithium ont une FEM de 3 V. c. La capacité d’une batterie est affectée par des conditions de décharge telles que l’intensité du courant, la durée et la température ambiante. d. Les fabricants spécifient leurs batteries avec une tension et une capacité exprimée en ampère-heure (Ah). Solution 4.7 Les tensions nominales communes pour les réseaux de distribution sont de 12 kV, 11 kV, 10 kV et 7,2 kV au niveau du primaire du transformateur et 400 V au niveau du secondaire.

419

Le réseau électrique dans son intégralité

Solution 4.8 a. • Les charges résidentielles sont généralement des charges monophasées. • Les charges résidentielles sont connectées aux enroulements du secondaire du transformateur de distribution. b. Afin d’avoir une charge triphasée équilibrée pendant le fonctionnement normal, les résidences sont connectées alternativement entre l’une des trois phases et le neutre. Solution 4.9 a. Les avantages d’un réseau de distribution moyenne tension sur un réseau de distribution basse tension sont les pertes et les chutes de tension (en %) plus faibles. b. Dans la plupart des cas, les charges industrielles en fin de ligne sont inductives du fait de la présence de machines électriques qui convertissent la puissance électrique en puissance mécanique. c. Des batteries de condensateurs sont installées pour compenser le facteur de puissance (lorsque le courant est en retard, comme pour une charge inductive). Solution 4.10 L’équation 4.10 nous indique : P I= 3V cos (ϕ) Avec V = Vph-n = Uph-ph / 3 , donc : I=

10 000 = 18,04 A 400  3  × 0 , 8   3

Solution 4.11 a. Les systèmes à courant continu ont une tension relativement faible et nécessitent des conducteurs de grand diamètre pour fournir la puissance demandée. Les tensions nominales typiques sont 600 V et 750 V pour les lignes aériennes DC et pour les systèmes de rails conducteurs (pour les tramways et les métros). Elles sont de 1 500 V et 3 000 V pour les systèmes de lignes aériennes DC pour les trains. b. Les systèmes à courant alternatif conviennent au trafic ferroviaire à haute intensité. Les tensions standard pour les lignes aériennes AC pour les trains sont de 15 kV – 16·2/3 Hz et 25 kV – 50 Hz. Ces systèmes à courant alternatif sont des systèmes monophasés.

420

Solutions

Chapitre 5 Solution 5.1 a. ∆f = −R f r (∆P / Pr ) = −0,02 × 50 × b. ∆P =

= −0,25 Hz (100 400 )

−∆f / f r 0,5 / 50 Pr = 400 = 66 MW R 0,06

Solution 5.2 a. Voir l’exemple 5.6 et les équations 5.16 et 5.17 : −∆f / f r  R g 1  ∆Pg 1 / Pg 1,r R g 2 = = −∆f / f r  ∆Pg 2 / Pg 2,r R g 1  = R g 2 

∆Pg 1 / Pg 1,r = ∆Pg 2 / Pg 2,r

∆Pg 1 / 400 0,06 = =3 ∆Pg 2 / 400 0,02

→

∆Pg 1 =3 ∆Pg 2

L’augmentation de la puissance active de la charge sera répartie sur les deux générateurs (ΔP = ΔPg1 + ΔPg2) avec un ratio de 3:1. C’est-à-dire que le générateur 1 prend 75 % de l’augmentation de la puissance et le générateur 2 en prend 25 %. b. Voir l’exemple 5.7 et l’équation 5.21 : λ=−

∆P 1 Pg 1,r 1 Pg 2,r 1 400 1 400 = + = + = 533 MW/Hz ∆f R g1 f r Rg 2 f r 0,02 50 0,06 50

Solution 5.3 a. Oui, avec une machine synchrone possédant 6 paires de pôles (voir équation 2.21). b. Avant de pouvoir connecter un alternateur sur un réseau, les 4 conditions à vérifier sont : 1. Même séquence des phases que celle du réseau. 2. Fréquences quasi identiques. 3. Mêmes valeurs efficaces des tensions. 4. Tensions en phase au moment du couplage. c. La puissance active est liée au débit d’eau au niveau de la turbine et la puissance réactive est liée au courant d’excitation de la machine synchrone. d. Se reporter à la figure 2.27 (b). 10000 Z = 2 j = 2 Ω ∠90° et V = V ∠0° = 5773 V ∠0° 3 421

Le réseau électrique dans son intégralité

I = I ∠ϕ

et P = 3 U ph − ph I cos (ϕ) = 5106 W = 3 × 10000 × I × 0,9

⇒ I = 320 A et cos (ϕ) = 0,9 ⇒ ϕ = 25,8° Pour la fem, nous avons : E =V + Z I E = 5773 V ∠0° + (2 Ω ∠90°) (320 A ∠25,8°) = 5524 V∠6° e. R // C

2

 10 000    2 3V P= ⇒ R = 3  3 6  = 20 Ω R 510 510 6 × 0,48 2 Q = 3 C ωV = P tan (ϕ) ⇒ C = F = 77 μF 10 000  2  3 (2 π 50)    3 

Solution 5.4 a. Voir la figure E.5 de l’Annexe E avec Z = 3,3 + 5 j (Ω) = 6 Ω ∠56,6° et Vr = 10 000 / 3 V ∠0° I = I ∠ϕ et P = 3 U ph − ph I cos (ϕ) = 2500 kW = 3 × 10000 × I × 0,8 ⇒ I = 180 A et cos (ϕ) = 0,8 ⇒ ϕ = 36,9° Pour la tension en début de ligne, nous avons : V s = Vr + Z I V s = 5773 V ∠0° + (6 Ω ∠56,6°) (180 A ∠36,9°) = 5808 V∠10,7° b. La puissance complexe sur une phase est S1φ = V s I * = 1 MVA∠ − 26,6°

( ) = 3 ℑ (S ) = −1,4 Mvar

⇒ P3φ = 3 ℜe S1φ = 2,8 MW ⇒ Q 3φ c. Pligne

422

m

= 3R I 2

1φ

= 3 × 3,3 × 1802 = 322 kW

Solution 5.5 Réponse d.

Solution 5.8 Réponse c.

Solution 5.6 Réponse c.

Solution 5.9 Réponse b.

Solution 5.7 Réponse a, car S = P 2 + Q 2

Solution 5.10 Réponse c.

Solutions

Chapitre 6 Solution 6.1 a. Le calcul du transit de puissance dans un réseau électrique est important, car il permet d’avoir un aperçu de son comportement en régime permanent en temps réel. Le but de ce calcul est de connaître l’amplitude et l’angle de la tension pour chaque nœud dans un réseau triphasé. À partir de là, les courants, les flux de puissance et les pertes peuvent être évalués. Ainsi nous obtenons un aperçu du réseau d’alimentation à l’état stable. b. Les équations du transit de puissance, décrivant la relation mathématique entre les tensions et les injections de puissance, sont non linéaires. Il n’est pas si simple de les résoudre au moyen de l’arithmétique directe (voir l’exemple 6.4) et par conséquent une méthode itérative est appliquée (voir l’exemple 6.5). Avec l’aide d’ordinateurs, cela est relativement facile à mettre en œuvre. Solution 6.2 Réponse b.

Solution 6.7 Réponse b.

Solution 6.3 Réponse d.

Solution 6.8 Réponse d.

Solution 6.4 Réponse c.

Solution 6.9 Réponse b.

Solution 6.5 Réponse b.

Solution 6.10 Réponse c.

Solution 6.6 Réponse b.

423

Index

A AC voir Alternatif ACE (Area Control Error)  221, 222, 223 ACSR (Aluminium Conductor Steel Reinforced)  154, 184 Admittance  41, 43, 47, 247, 249, 250, 252, 265, 267, 269, 346, 400, 404, 407 Aérogénérateur 83 Alternatif  15, 21, 23, 24, 31, 50, 63, 69, 95, 110, 138, 153, 175, 176, 179, 180, 182, 184, 188, 189, 196, 197, 205, 207, 208, 381, 400, 415, 420 Amélioration du facteur de puissance  57, 58, 205 Amortisseur de vibrations  162, 163 Ampère  50, 147, 179, 201, 329, 348, 362, 374, 419 Ampère heure  201 Amplitude  23, 25, 32, 37, 39, 50, 57, 85, 97, 123, 125, 128, 129, 146,

162, 167, 193, 230, 231, 239, 247, 255, 263, 265, 269, 334, 358, 362, 366, 367, 368, 370, 371, 373, 393, 413, 423 Analyse de contingence  246, 247 Analyse des données erronées  275 Analyse statistique de l’estimateur d’état 281 Angle interne  98, 105, 379, 414 Arc  21, 34, 123, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 137, 138, 156, 174, 176, 197, 324 AVR (Automatic Voltage Regulator)  223, 224, 225, 229

B Banc de condensateurs  228, 231 Batterie d’accumulateurs  201 Bien-être social  296, 297, 299, 301, 302, 303, 304 Bifurcation  315, 316, 317, 318 Bipolaire (Liaison)  182 Blackout  246, 315, 327

425

Le réseau électrique dans son intégralité

C Câble (voir 3.9.2 Câbles « souterrains » et E.2 « Modélisation d’un câble ») Caractéristique B-H  146, 147, 148 Centrale nucléaire  78, 290 Centrale thermique  12, 72, 89, 205 Centrales électriques  11, 69, 81, 93, 94, 95, 104, 105, 180, 187, 201, 298, 309, 312, 321, 347, 413, 418 Centre de contrôle  270, 325 Chaîne d’isolateurs  156, 157 Champ électromagnétique  176, 331, 333 Champ magnétique  14, 15, 20, 21, 31, 32, 33, 34, 82, 133, 134, 161, 171, 175, 189, 190, 330, 362, 367, 374, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 388, 389, 392, 398, 399 Chaos  18, 315, 316, 318 Charges commerciales et industrielles  12, 188, 201, 204, 208 Charges résidentielles  12, 188, 201, 202, 208, 420 Circuit d’alimentation  116, 117, 188 Cogénération  205, 309, 313 Compensateur synchrone  229 Composantes harmoniques  148, 196, 199, 230, 315, 391 Composants semi-conducteurs  182, 419 Compteur d’énergie  202 Condensateur  40, 41, 49, 54, 57, 58, 157, 164, 190, 199, 228, 231, 236, 238, 286, 333, 334, 335, 336, 337, 342, 345, 346 Conductance  15, 41, 250, 399, 400 Conducteur du neutre  202, 203, 415 Congestion  303, 304, 315 Constante de propagation  401 Continu  14, 21, 22, 23, 24, 34, 48, 63, 85, 87, 91, 96, 97, 98, 109, 153,

426

175, 176, 179, 182, 183, 189, 197, 205, 206, 208, 231, 238, 239, 313, 356, 362, 371, 400, 413, 420 Contrôle de la puissance active et de la fréquence  85, 214, 248 Contrôle de la puissance réactive et de la tension  13, 85, 209 Contrôle du transfert de puissance 233 Conversion électromécanique  189 Couplage étoile  47 Couplage triangle  47 Couple  15, 29, 84, 85, 97, 98, 189, 192, 193, 194, 195, 256, 285, 379, 381, 382, 385, 386, 387, 388, 389, 397, 398 Courant d’appel  149, 193 Courant magnétisant  143, 145, 146, 147, 148, 149 Courants de Foucault  25, 172, 356 Courbe de charge  187, 188 Courbe P-V  73, 317 Cycle de Carnot  74, 75, 76 Cycle de Rankine  76, 77

D DAM (Day Ahead Market)  292, 293, 298 DC voir Continu Défaut  114, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 126, 128, 129, 133, 134, 141, 170, 171, 203, 238 Diagramme p-V  73, 75 Diode  176, 177, 180, 181, 197, 198, 199 Discrimination des défauts  125 Disjoncteurs (voir parties 3.6.3 à 3.6.8) Disjoncteurs « différentiels »  203 Dispositifs de déclenchement  121, 122, 203 Distance de frappe  166 Double jeu de barres  118, 119, 120

Index

E Effet couronne  157, 158, 159, 160, 170, 184, 400, 415, 416 Effet de peau  153, 400 EMS (Energy management system)  13, 64, 245 Énergie chimique  12, 71, 188, 200, 205, 208, 412 Énergie électrochimique  200, 314 Énergie éolienne  12, 70, 83, 90, 313, 413 Énergie renouvelable  70, 71, 104, 308, 309, 313, 314, 315 Énergie solaire  70, 90, 91, 413 Enroulement tertiaire  143 Epex Spot (European Power Exchange) 293 Équations de Maxwell  14, 19, 20, 65, 175, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 338, 339, 340, 343, 344, 346 Essai à vide  184 Essai en court-circuit  184, 417 Estimateur d’état  13, 245, 270, 272, 273, 278, 281 Excédent de consommation  297 Excitation  13, 14, 20, 102, 104, 146, 224, 225, 229, 285, 329, 334, 335, 337, 339, 340, 341, 344, 345, 348, 362, 364, 374, 377, 379, 421

F Facteur de puissance  11, 49, 55, 56, 57, 58, 66, 182, 197, 204, 205, 208, 210, 211, 241, 242, 285, 317, 318, 410, 419, 420 FACTS (Flexible AC Transmission Systems)  13, 14, 109, 185, 240, 243, 288, 308, 315 Faisceaux de conducteurs  157, 162 Faraday  96, 127, 177, 179, 329, 347, 348, 361, 364

Fission nucléaire  78, 412 Flux de boucle  305, 306 Flux de fuite  14, 138, 141, 151, 152, 348, 355, 356, 364, 375, 377, 391, 393, 394 Flux principal  151, 355, 356, 375, 393 Force  134, 161, 175, 201, 208, 319, 348, 385, 388 Foudre  19, 122, 136, 137, 152, 156, 164, 166, 167, 242, 319 Fréquence  12, 19, 22, 23, 25, 26, 38, 39, 69, 71, 85, 96, 97, 98, 108, 123, 148, 162, 173, 187, 191, 195, 196, 209, 210, 211, 212, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 230, 231, 241, 286, 291, 309, 312, 313, 314, 325, 326, 331, 333, 338, 343, 346, 356, 361, 377, 379, 381, 397, 400, 413, 416 Fusible  122, 127, 128, 129, 203 Fusion nucléaire  78, 82, 83

G Générateur  15, 58, 65, 84, 85, 86, 87, 89, 91, 95, 98, 99, 101, 102, 103, 105, 108, 138, 174, 190, 191, 192, 209, 210, 211, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 223, 224, 225, 227, 234, 241, 242, 247, 248, 251, 268, 271, 279, 287, 307, 313, 319, 361, 362, 378, 379, 381, 402, 406, 407, 410, 412, 413, 414, 421 Géothermie  71, 93 Glissement  84, 193, 195 GTO  177, 182, 231

H Hexafluorure de soufre (SF6)  115, 116, 117, 129, 130, 133, 134, 174 HVDC (High-voltage DC)  12, 22, 67, 180, 182, 183, 185, 233

427

Le réseau électrique dans son intégralité

Hydroélectricité  71, 87, 89, 108, 174, 416 Hystérésis  25, 146, 147, 148, 356

I ID (Intraday market)  293 IGBT (Insulated gate bipolar Transistor)  177, 182, 183 Impédance  14, 27, 41, 43, 46, 47, 59, 65, 66, 151, 167, 184, 212, 213, 236, 237, 238, 242, 287, 335, 337, 340, 341, 345, 346, 348, 349, 350, 351, 400, 402, 403, 405, 407, 410 Impédance caractéristique  402 Inductance  15, 40, 41, 46, 49, 50, 52, 54, 151, 152, 196, 197, 229, 230, 231, 236, 237, 238, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 345, 351, 354, 355, 356, 370, 371, 372, 376, 377, 390, 396, 399, 400 Injection de puissance réactive  143, 228 Interconnecté  13, 108, 109, 184, 221, 223, 298, 416, 417 Interconnexion  108, 109, 110, 118, 303, 312, 313, 319, 321, 322, 324, 417 Interface  13, 14, 64, 176, 231, 245, 313 Ionosphère  164, 165 ISO (Independent System Operator) 291 Isolation  35, 115, 122, 138, 168, 169, 170, 171, 174, 175, 203, 399 Isolation gazeuse  115, 174, 175

J Jeu de barres  117, 118, 119, 120, 123

K Khi carré (distribution)  276

428

L LCC (Line-Commutated Converter)  181, 182 LFC (Load Frequency Control)  220, 221 Ligne de transport  20, 46, 48, 58, 66, 122, 157, 158, 159, 168, 183, 234, 236, 238, 239, 246, 251, 261, 286, 315, 319, 324, 325, 346, 399, 400, 401, 403, 404, 405, 408 Lignes de flux  172, 363, 364, 374, 383 Lignes de transport à isolation gazeuse 174 Lignes oscillantes  121, 162 Limiteurs de surtension  136, 137, 138 Loi d’induction de Faraday  347, 348, 361, 364 Loi de Gauss  330 Lois de Kirchhoff  19, 20, 176, 305, 346, 399

M Machine à induction  84, 313, 381 Machine asynchrone  15, 84, 85, 86, 95, 192, 193, 194, 381, 382, 383, 384, 386, 387, 389, 393, 395, 396, 397, 398 Machine synchrone  12, 14, 15, 25, 71, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 105, 190, 191, 209, 229, 287, 361, 362, 363, 367, 372, 373, 374, 377, 378, 379, 381, 382, 414, 421 Magnétiquement couplées  145 Marché bilatéral  292 Marché de « gré à gré »  292, 293 Marché de l’électricité  13, 240, 289, 290, 291, 298 Marchés à long terme  293 Matrice admittance  250, 252, 269 Matrice de transmission  403

Index

Mécanisme d’allocation  304, 305, 306 Méthode de Newton-Raphson  259, 263 MLI  182, 231, 232 Mono-polaire (liaison)  182 Moteur asynchrone  189, 190, 192, 193, 195, 207 Moteur synchrone  189, 192 Moteurs  12, 69, 73, 89, 188, 189, 192, 193, 205, 209, 219, 361

N NEC (Net export curve)  299, 300, 301, 302, 303 Nœud référent  247, 248, 249, 251, 258, 268, 286 Nombre complexe  39, 42, 43, 44 Nombre de spires  26, 61, 138, 139, 140, 146, 226, 348, 353, 358, 362, 367, 368, 371, 383, 385 Normalisation unitaire  11, 59

O Orage 166 OTC (Over The Counter)  292

P Panneaux solaires  63, 92, 308, 309 Pertes  14, 25, 26, 35, 57, 58, 65, 66, 87, 93, 97, 98, 109, 138, 148, 153, 159, 171, 175, 176, 184, 204, 205, 209, 241, 243, 248, 257, 319, 347, 348, 356, 357, 397, 398, 400, 401, 402, 410, 413, 415, 417, 419, 420, 423 Pertes fer  184, 243, 357, 398, 417 Pertes Joule  35, 57, 184 Phaseur  38, 39, 40, 41, 42, 54, 65, 66, 99, 145, 146, 234, 247, 248, 286, 287, 349, 358, 376, 394

Photovoltaïque  90, 91, 92, 93 Pôles lisses  96 Pôles saillants  96 Poste de transformation  111, 114, 126 Potentiel du neutre  36 Production centralisée  309, 310, 312, 314 Production décentralisée  309, 310, 311 Protection  12, 113, 114, 115, 119, 120, 121, 123, 124, 127, 136, 137, 150, 167, 174, 203, 312, 325 Puissance active  11, 12, 13, 49, 51, 52, 53, 55, 56, 57, 65, 85, 100, 101, 102, 103, 105, 187, 191, 192, 204, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 227, 229, 233, 234, 235, 238, 239, 241, 242, 247, 248, 251, 261, 264, 265, 270, 317, 378, 379, 407, 414, 421 Puissance apparente  15, 26, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 98, 110, 140, 184, 242 Puissance complexe  11, 43, 54, 55, 56, 58, 66, 100, 101, 191, 192, 212, 235, 250, 285, 409, 422 Puissance instantanée  21, 23, 29, 30, 33, 49, 50, 51, 53, 55 Puissance moyenne  24, 30, 50, 55, 63 Puissance réactive  11, 13, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 65, 85, 100, 101, 102, 143, 175, 176, 191, 197, 204, 205, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 223, 224, 225, 227, 228, 229, 231, 232, 235, 236, 240, 241, 242, 247, 248, 251, 261, 262, 264, 265, 269, 270, 378, 379, 409, 410, 421 PWM (Pulse width modulation)  182, 231, 232 PX (Power exchange)  293, 295, 298 Pylône  154, 155, 156, 163, 164, 167, 168, 242

429

Le réseau électrique dans son intégralité

Q

S

Quadrants de fonctionnement  54

SCADA (Supervisory control and data acquisition)  13, 245, 270 Schéma équivalent monophasé  48, 98, 99, 100, 151, 234, 235, 241, 398 Schéma général de l’estimateur d’état 273 Sectionneur  115, 117, 118, 120 SF6 (hexafluorure de soufre)  115, 116, 117, 129, 130, 133, 134, 174 Sous-excitation 104 Sous-station  12, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 141, 270 SSSC (Static Synchronous Series Compensator)  238, 239, 240 STATCOM (Static Synchronous Compensator)  231, 232, 238, 240 Stator  14, 15, 85, 86, 96, 97, 98, 190, 192, 193, 195, 207, 287, 362, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 381, 382, 383, 384, 386, 388, 389, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 398 Steinmetz 190 Stockage d’énergie  87, 89, 174, 238, 314 Surexcitée  101, 379 Surplus de production  314 Susceptance  41, 250 SVC (Static var compensator)  229, 231, 240 Système biphasé  33, 34 Système monophasé  30, 31, 32, 47, 49, 59, 62, 63, 121 Système triphasé  11, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 47, 49, 59, 65, 66, 121, 145, 189, 242, 376, 381, 393, 394 Système triphasé équilibré  26, 27, 30, 33, 47, 49, 65, 66, 145, 376, 394 Systèmes d’alimentation en continu 197 Systèmes d’éclairage  195 Systèmes de chauffage  197

R Rapport de transformation  60, 61, 139, 141, 226, 227, 235, 353, 358 Réactance  25, 41, 98, 99, 105, 151, 160, 173, 207, 210, 213, 229, 234, 236, 237, 238, 241, 243, 261, 287, 357 Redresseur  87, 176, 180, 181, 182, 183, 198, 199, 200, 207 Réglage de déclenchement  125 Réglage primaire  214, 221, 222 Réglage secondaire  220, 221 Relais différentiel  127 Réseau de puissance infinie  98, 99, 100, 105, 191, 216, 217, 241, 377, 378, 413 Réseaux autonomes  312 Réseaux d’impédances  19 Réseaux de distribution  13, 14, 113, 187, 208, 311, 312, 419 Réseaux de transport  12, 19, 26, 107, 109, 110, 114, 121, 180, 187, 240, 291, 309, 347 Résistance  15, 23, 24, 35, 40, 41, 46, 49, 50, 51, 52, 62, 63, 98, 129, 151, 152, 153, 154, 164, 169, 173, 182, 191, 195, 197, 199, 204, 207, 213, 236, 242, 261, 267, 286, 287, 342, 345, 346, 348, 356, 357, 371, 385, 391, 393, 394, 396, 397, 398, 399, 400, 415, 416, 417, 419 RMS (Root mean square)  23, 24, 195 Rotor  14, 15, 84, 85, 86, 87, 96, 97, 98, 179, 189, 190, 192, 193, 195, 207, 361, 362, 364, 365, 366, 367, 369, 370, 371, 372, 374, 376, 377, 379, 381, 382, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 412 Roue Pelton  88

430

Index

T TCR (Thyristor-controlled reactor)  229, 230, 231, 236, 237, 238 TCSC (Thyristor-controlled series capacitor)  236, 237, 238, 240 Tension composée  36, 37, 44, 58, 59, 233, 234 Tension d’effondrement  318 Tension entre phases  36, 37, 66, 201, 242 Tension simple  36, 37, 44, 46, 58, 59, 66, 173, 242, 407 Théorème d’Ampère  147, 348, 362, 374 Thermodynamique  12, 72, 73, 76 Thyristor  176, 177, 181, 182, 199, 229, 230, 231, 236, 240 Traction  12, 29, 153, 188, 189, 201, 205, 206, 207, 208, 415 Traction électrique ferroviaire  201, 205 Transformateur  12, 14, 15, 20, 25, 26, 60, 61, 62, 69, 117, 122, 123, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 179, 184, 201, 202, 203, 207, 226, 227, 233, 234, 235, 241, 243, 247, 307, 313, 317, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 395, 396, 407, 417, 418, 419, 420 Transformateur « régleur en charge »  226 Transformateur à changement de prises  226, 227, 317

Transformateur déphaseur  233, 234, 235 Transformateur monophasé  61, 138, 141, 143, 147, 348, 349, 357, 358 Transformateur parfait  61, 62, 151, 226, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358 Transformateur triphasé  141, 142, 143, 144, 145, 150, 184, 358, 359 Transformateur Y-d  143 Transformateurs de mesure  115 Transformation étoile-triangle  47 Transit de puissance  13, 246, 247, 248, 251, 252, 253, 254, 257, 258, 259, 261, 263, 264, 265, 266, 267, 269, 270, 271, 274, 275, 285, 286, 423 TSC (Thyristor-switched capacitor)  229, 231 TSO (Transmission System Operator)  16, 72, 83, 112, 116, 117, 142, 153, 156, 157, 206, 221, 228, 291 Turbine Francis  88 Turbine hydraulique  87 Turbine Kaplan  88

U UPFC (Unified powerflow controller)  233, 239, 240

V Vecteur de Poynting  20, 21 VSC (Voltage-source converter)  182, 231, 232, 239

431