La mesure en rhéologie: Des avancées récentes aux perspectives 9782759811502

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LA MESURE EN RHE´OLOGIE Des avance´es re´centes aux perspectives

E´diteur scientifique Groupe Franc¸ais de Rhe´ologie (GFR) Coordonnateurs Jean-Louis Grossiord et Alain Ponton

17, avenue du Hoggar Parc d activite´s de Courtaboeuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

Imprime´ en France ISBN : 978-2-7598-0623-2 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous proce´de´s, re´serve´s pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des aline´as 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement re´serve´es a` l’usage prive´ du copiste et non destine´es a` une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute repre´sentation inte´grale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (aline´a 1er de l’article 40). Cette repre´sentation ou reproduction, par quelque proce´de´ que ce soit, constituerait donc une contrefac¸on sanctionne´e par les articles 425 et suivants du code pe´nal. Ó EDP Sciences 2013

Table des matie`res

Liste des auteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Pre´face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv Organisation de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

Chapitre 1 : Concepts et outils de base en rhe´ologie 1.1. Grandeurs fondamentales associe´es aux diffe´rents e´coulements . . 1.1.1. E´coulement de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Autres types d’e´coulement et de de´formation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Appareils de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Viscosime`tres capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Viscosime`tres a` chute de bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Rhe´ome`tres rotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Analyseurs de texture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 17 17 18 20 21 24 28 29

Chapitre 2 : Effets inertiels en rhe´ome´trie instationnaire 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Temps caracte´ristiques associe´s a` la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Inertie d’appareillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Inertie du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 34 34 37

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LA MESURE EN RHE´OLOGIE : DES AVANCE´ES RE´CENTES AUX PERSPECTIVES

2.3. Temps caracte´ristiques associe´s au mate´riau . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Thixotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Viscoe´lasticite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Approche analytique des effets d’inertie d’appareil en rhe´ome´trie a` contrainte impose´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 39 40 42 42 44 47 48

Chapitre 3 : Glissement et fracturation dans les fluides complexes. Interpre´ter les essais rhe´ome´triques 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Mise en e´vidence et illustration du glissement et de la fracturation 3.2.1. Manifestation du glissement sur les courbes de rhe´ome´trie . . . . . 3.2.2. Mise en e´vidence de la fracturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Quelques uns des me´canismes physiques a` l’origine du glissement et de la fracturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Glissement d^ u a` une se´paration de phase, une de´ple´tion ou une migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Glissement sur des parois interagissant faiblement avec le fluide . . 3.3.3. Glissement dans le cas d’interactions fortes entre les parois et le fluide 3.3.4. Me´canismes spe´cifiques a` la fracturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. E´viter et/ou de´tecter le glissement et la fracturation . . . . . . . . . . . 3.4.1. E´viter le glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. De´tecter un glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Glissement et localisation de la de´formation : mise en e´vidence par marquage et visualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Quantifier le glissement et/ou corriger les mesures . . . . . . . . . . . 3.5.1. La me´thode de Yoshimura-Prud’homme (1988) . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. La me´thode de Mooney (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. La me´thode des parois rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Glissement des fluides a` seuil – technique du cissome`tre . . . . . . . . . 3.5.5. Mesures des vitesses de glissement : ve´locime´trie laser et autres alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Prendre en compte la fracture de l’e´chantillon . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Mesures en re´gime dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Re´gimes d’e´coulement et de visualisation du champ de de´formation : exemple d’une dispersion thixotrope d’argile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Mieux analyser la fracturation : mesures locales et rhe´ome´trie . . . . . .

49 51 51 54 57 57 58 59 60 61 61 62 64 66 66 68 72 77 78 80 80 82 91

TABLE DES MATIE`RES

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3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Chapitre 4 : E´coulement en bandes de cisaillement (« shear banding ») 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2. Mode`les the´oriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3. Rhe´ologie non line´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.1. Rhe´ologie en e´coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.2. Rhe´ologie transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4. Instabilite´ de l’e´coulement he´te´roge`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.1. Instabilite´ dans la direction de la vorticite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.2. Instabilite´ azimutale de la bande induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5. Me´thodes expe´rimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.5.1. Caracte´risation macroscopique du champ des vitesses en e´coulement he´te´roge`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.5.2. Structure de l’e´coulement he´te´roge`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Chapitre 5 : Caracte´risation rhe´ologique des fluides a` seuil 5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2. Rhe´ologie des fluides a` seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2.1. Fluides a` seuil simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2.2. Fluides a` seuil thixotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3. Proble`mes rhe´ome´triques spe´cifiques aux fluides a` seuil . . . . . . . . . 148 5.3.1. Choix d’une ge´ome´trie de mesure et pre´cautions a` prendre . . . . . . . 149 5.3.2. Facteurs ge´ome´triques pour les mesures de contrainte seuil . . . . . . . 149 5.3.3. He´te´roge´ne´ite´ s d’e´coulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Chapitre 6 : Syste`mes e´volutifs 6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2. Thixotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

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LA MESURE EN RHE´OLOGIE : DES AVANCE´ES RE´CENTES AUX PERSPECTIVES

6.2.1. De´finition et phe´nome´nologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.2.2. Origine microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2.3. Caracte´risation rhe´ologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.2.4. Mode´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.3. Ge´lification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.1. De´finition et phe´nome´nologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3.2. Description microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.3.3. Caracte´risation rhe´ologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3.4. Mode´lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Chapitre 7 : De l’inte´reˆt d’une caracte´risation rhe´ologique empirique et relative 7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.2. Caracte´risation des proprie´te´s rhe´ologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.2.1. Viscosite´ ou comment caracte´riser l’aptitude a` l’e´coulement . . . . . . . 208 7.2.2. Proprie´te´s plastiques/seuil d’e´coulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.2.3. Thixotropie – sensibilite´ au cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.2.4. E´lasticite´ et rigidite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2.5. Viscoe´lasticite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.3. Analyse critique : quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.3.1. Exemple de la mesure de viscosite´ avec un viscosime`tre Brookfield . . 236 7.3.2. Analyse de texture par le test TPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.3.3. Courbes d’e´coulement : cas des cylindres coaxiaux . . . . . . . . . . . . . 240 7.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Chapitre 8 : La rhe´ologie syste´mique ou une rhe´ologie au service d’un ge´nie des proce´de´s et des produits 8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.2. Analogie Couette et concept de rhe´o-re´acteur . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.2.1. Analogie Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.2.2. Concept de rhe´o-re´acteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.3. Quelques applications de la rhe´ologie syste´mique . . . . . . . . . . . . . 257 8.3.1. Formulation de bitumes additive´s (consolide´s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

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8.3.2. Suivi des processus d’e´mulsification et des processus d’inversion de phase dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.3.3. Pre´paration semi-continue de dispersions concentre´es . . . . . . . . . . . 263 8.3.4. Incorporation de CO2 supercritique dans un polyme`re fondu . . . . . 264 8.3.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.4. E´tudes fondamentales en rhe´ologie syste´mique : application aux milieux granulaires denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 8.4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 8.4.2. Rhe´ome´trie des milieux granulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 8.4.3. Viscoe´lasticite´ des milieux granulaires : mode´lisation . . . . . . . . . . . 270 8.4.4. Confrontations expe´rimentales : re´ponse a` des sollicitations me´caniques canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.4.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Chapitre 9 : Rhe´ome´trie interfaciale 9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 9.2. Principe des analyses par cisaillement et dilatation/compression . . 284 9.2.1. Analyse par cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 9.2.2. Analyse par dilatation/compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 9.3. Mises en œuvre expe´rimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 9.3.1. Analyse par cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 9.3.2. Analyse par dilatation/compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9.4. Autres techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.4.1. Viscosime`tre de surface a` canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.4.2. Viscosime`tre de surface a` cylindres concentriques . . . . . . . . . . . . . . 306 9.4.3. Anneau a` bord tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.4.4. Disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9.4.5. Coupelle plate a` bord tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9.4.6. Goutte tournante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.4.7. Mesure avec ondes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

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LA MESURE EN RHE´OLOGIE : DES AVANCE´ES RE´CENTES AUX PERSPECTIVES

Chapitre 10 : Apport de techniques couple´es (diffusion de rayonnements, re´sonance magne´tique, ve´locime´trie ultrasonore) a` la rhe´ologie 10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 10.2. Diffusion de rayonnements et rhe´ologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.2.1. Principe de la diffusion de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 10.2.2. Structures induites sous cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 10.2.3. Dynamique d’orientation de colloı¨des anisotropes sous e´coulement d’e´longation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 10.2.4. Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 10.3. IRM et rhe´ologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 10.3.1. Principe de l’IRM/de la RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 10.3.2. Mesures de vitesse : principe et application . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 10.3.3. Mesures de concentration : principe et application . . . . . . . . . . . . . 335 10.3.4. Indicateurs de microstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 10.3.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 10.4. Ve´locime´trie ultrasonore et rhe´ologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.4.2. Ve´locime´trie ultrasonore couple´e a` la rhe´ome´trie standard . . . . . . . 343 10.4.3. Rhe´ologie « en ligne » par ve´locime´trie ultrasonore . . . . . . . . . . . . 353 10.4.4. Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10.5. Conclusions et perspectives sur l’apport des techniques rhe´ophysiques sur la rhe´ome´trie et le comportement rhe´ologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Re´fe´rences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Liste des auteurs

C. Baravian

Laboratoire d’E´nerge´tique et de Me´canique The´orique et Applique´e, CNRS UMR 7563, 2 avenue de la Foreˆt de Haye, B. 160, France

L. Choplin

Chaire Industrielle de Ge´nie Chimique des Milieux Rhe´ologiquement Complexes (LRGP UPR 3349 CNRS), E´cole Nationale Supe´rieure des Industries Chimiques (ENSIC), Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL), 1, rue Grandville, BP 20451, 54001 Nancy Cedex, France

J.P. Decruppe

Laboratoire de Physique des Milieux Denses, 1 Bd D.F. Arago, IPEC, CP87811, 57078 Metz Cedex 3, France

S. Domenek

AgroParisTech, UMR 1145 Inge´nierie Proce´de´s Aliments, 1 avenue des Olympiades, 91305 Massy, France INRA, UMR 1145 Inge´nierie Proce´de´s Aliments, 1 avenue des Olympiades, 91305 Massy, France

N. El Kissi

Laboratoire de Rhe´ologie, BP 53, Domaine universitaire, 38041 Grenoble, France

P. Estelle´

UEB, LGCGM EA3913, MTRheo, Insa/Universite´ Rennes 1, 3 rue du clos Courtel, BP 90422, 35704 Rennes Cedex, France

J. Galindo

Chaire Industrielle de Ge´nie Chimique des Milieux Rhe´ologiquement Complexes (LRGP UPR 3349 CNRS), E´cole Nationale Supe´rieure des Industries Chimiques (ENSIC), Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL), 1, rue Grandville, BP 20451, 54001 Nancy Cedex, France

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LA MESURE EN RHE´OLOGIE : DES AVANCE´ES RE´CENTES AUX PERSPECTIVES

V. Girard

Chaire Industrielle de Ge´nie Chimique des Milieux Rhe´ologiquement Complexes (LRGP UPR 3349 CNRS), E´cole Nationale Supe´rieure des Industries Chimiques (ENSIC), Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL), 1, rue Grandville, BP 20451, 54001 Nancy Cedex, France

J.L. Grossiord

Universite´ Paris-Sud 11 et CNRS, UMR 8612, Faculte´ de Pharmacie, 5 rue Jean Baptiste Cle´ment, 92296 ChaˆtenayMalabry Cedex, France

N. Huang

Universite´ Paris-Sud 11 et CNRS, UMR 8612, Faculte´ de Pharmacie, 5 rue Jean Baptiste-Cle´ment, 92296 ChaˆtenayMalabry Cedex, France

C. Lanos

UEB, LGCGM EA3913, MTRheo, Insa/Universite´ Rennes1, 3 rue du clos Courtel, BP 90422, 35704 Rennes Cedex, France Laboratoire de Physique – E´cole Normale Supe´rieure de Lyon – CNRS UMR 5672, 46 alle´e d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, France

S. Manneville

P. Marchal

Chaire Industrielle de Ge´nie Chimique des Milieux Rhe´ologiquement Complexes (LRGP UPR 3349 CNRS), E´cole Nationale Supe´rieure des Industries Chimiques (ENSIC), Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL), 1, rue Grandville, BP 20451, 54001 Nancy Cedex, France

C. Michon

AgroParisTech, UMR 1145 Inge´nierie Proce´de´s Aliments, 1 avenue des Olympiades, 91305 Massy, France INRA, UMR 1145 Inge´nierie Proce´de´s Aliments,1 avenue des Olympiades, 91305 Massy, France

S. Nigen

Laboratoire de Rhe´ologie, BP 53, Domaine universitaire, 38041 Grenoble, France

G. Ovarlez

Universite´ Paris Est, Laboratoire Navier (UMR 8205 ENPCLCPC-CNRS), 2 alle´e Kepler, 77420 Champs-sur-Marne, France

E. Peuvrel-Disdier

MINES-ParisTech, Centre de Mise en Forme des Mate´riaux (CEMEF), UMR CNRS 7635, BP 207, 06904 Sophia Antipolis Cedex, France

F. Pignon

Laboratoire de Rhe´ologie, BP 53, Domaine universitaire, 38041 Grenoble, France

A. Ponton

Universite´ Paris Diderot-Paris-7 et CNRS, UMR 7057, Baˆtiment Condorcet, CC 7056, 75205 Paris Cedex 13, France

S. Rodts

Universite´ Paris-Est, Laboratoire Navier (UMR 8205 CNRSEPPT-IFSTTAR), 2 alle´e Kepler, Cite´ Descartes, 77420 Champs-sur-Marne, France

1

Préface

Parler de « rhéologie », et plus encore de « mesure en rhéologie », c’est prendre le risque de voir ses interlocuteurs détourner le regard. En effet, la rhéologie a souvent la réputation d’une science compliquée, en particulier auprès des étudiants, sans doute parce qu’elle est peu présente dans les cursus universitaires classiques, et parce que c’est une science à la frontière entre la physique, la mécanique des fluides, la mécanique des solides, et la physico-chimie de cette autre science que l’on appelle « matière molle » depuis que Pierre Gilles de Gennes lui a donné ses lettres de noblesses dans les années 1980. Très souvent aussi, on introduit la rhéologie aux étudiants à propos du comportement d’un ou de quelques systèmes complexes spécifiques, si bien que le terme rhéologie reste associé à cette complexité, et les étudiants peinent à saisir l’unité profonde de cette science des réponses mécaniques de systèmes complexes, fluides par certains aspects et solides par d’autres. Et pourtant, les écoulements de fluides complexes auxquels s’adresse la rhéologie sont omniprésents dans notre vie quotidienne, qu’il s’agisse des produits alimentaires (pour ne citer que quelques exemples, les yaourts, les sauces ou encore les émulsions comme les vinaigrettes ou les mayonnaises), de produits cosmétiques (crèmes, pâtes dentifrice, shampoings, gels divers…), de produits d’entretien (gels, cires, peintures…), où à d’autres échelles tout aussi importantes en pratique, de bétons, de boues, de sable, de neige, etc. Et qui de nous ne s’est jamais irrité en n’arrivant pas à faire sortir d’un tube une pâte récalcitrante ! Clairement, nous avons tous besoin que les développements techniques et l’optimisation de ces produits de notre vie quotidienne reposent sur une connaissance rigoureuse des méthodes de caractérisation et de mesure de ces comportements complexes, de leurs modélisations macroscopiques, et des approches qui permettent de relier ces comportements macroscopiques aux aspects plus microscopiques comme la structure et l’organisation des éléments moléculaires ou micrométriques qui constituent ces systèmes. Nous avons tous besoin que la rhéologie soit une science développée, précise, reposant sur des techniques de mesure et d’analyse de ces mesures tout aussi précises et dont les limites soient clairement posées. C’est le défi que Jean-Louis Grossiord et Alain Ponton ont accepté de relever en coordonnant l’écriture de ce livre, édité par le Groupe Français de Rhéologie. Le défi a consisté à couvrir la très large diversité des comportements rhéologiques connus, ainsi que la grande variété des outils expérimentaux et théoriques qui ont été élaborés progressivement, au fil des années et des besoins, pour caractériser

xii

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

cette large gamme de comportements. Pour relever ce défi, Jean-Louis Grossiord et Alain Ponton ont fait appel aux meilleurs spécialistes français de chacun des aspects retenus. Bien que faisant appel à ces spécialistes, la volonté affichée (et atteinte) est de produire un texte qui reste accessible et pédagogique, sans perdre en rigueur ni en pertinence. L’ouvrage diffère cependant d’un livre classique d’enseignement : il aborde les développements récents, les questions que posent les limites de chaque technique expérimentale décrite. Ces questions sont discutées de façon relativement pointue, mais brève, le lecteur étant renvoyé à une abondante bibliographie s’il souhaite aller plus loin. L’articulation des dix chapitres est agréable, puisqu’elle nous emmène comme naturellement du plus simple au plus complexe. Le premier chapitre introduit les concepts et les outils de base en rhéologie, alors que le second s’intéresse aux effets instationnaires et aux effets inertiels, en pointant bien les rôles respectifs de l’appareillage et du fluide complexe lui-même dans ces effets instationnaires. Le troisième chapitre aborde la question importante de la transmission des contraintes aux parois limitant les écoulements : glissement à la paroi (qui représente une hétérogénéité intrinsèque du système), fracturation éventuelle au sein du matériau sollicité lorsque celui-ci risque de devenir non homogène, soit du fait de sa structure, soit du fait de la structure des écoulements qui peut favoriser une concentration locale de contraintes, sont discutés à la lumière des avancées récentes dans ces domaines. Ce troisième chapitre met l’accent sur l’utilité de mesures annexes comme, par exemple, la visualisation des écoulements, afin d’identifier autrement que par leur signature rhéologique ces éventuels événements de glissement et de fracturation. Il s’agit là d’une approche peu fréquente dans un traité de rhéologie, et qui se retrouve dans les chapitres suivants, à propos des écoulements avec bandes de cisaillement (chapitre 4) ou des écoulements de fluides à seuil (chapitre 5). Cela constitue à mon sens un point fort de cet ouvrage. Le chapitre 6 quant à lui décrit les procédures spécifiques nécessaires à la caractérisation des fluides dont les propriétés évoluent sous l’effet du temps et (ou) sous l’effet de l’écoulement. Les deux chapitres suivants sont plus orientés vers les utilisations possibles de la rhéologie comme aide à la mise au point de produits, soit par une utilisation judicieuse de tests relatifs, ne nécessitant pas de calibrations fastidieuses (chapitre 7), soit par l’utilisation de la signature rhéologique, via leur incidence sur les lois de comportements, des modifications engendrées aux échelles microscopiques par une chaîne de transformation ou d’élaboration de matériau. Cette dernière approche, qui fait l’objet du chapitre 8 est illustrée par son application à des systèmes aussi divers que la formulation de bitumes additivés, le suivi d’un processus d’émulsification, la préparation de suspensions concentrées, l’incorporation de CO2 supercritique dans un polymère, ou le développement d’une cellule d’étude de systèmes pulvérulents sous vibration. L’approche décrite montre bien qu’il est possible de parler de génie des procédés assisté par la rhéologie. Les deux derniers chapitres sont plus originaux dans un traité de rhéologie, et constituent sans aucun doute un autre point fort de l’ouvrage. Le chapitre 9 présente un état des lieux de la rhéométrie interfaciale. Enfin, le dernier chapitre revient et complète ce qui a déjà été présenté des techniques additionnelles qu’il est possible de coupler avec la rhéologie, afin de mieux cerner les corrélations entre structure, modification de ces structures par les écoulements et comportement rhéologique.

Préface

xiii

Le présent ouvrage devrait devenir une référence à la fois pour les enseignants et les étudiants, les chercheurs, mais aussi, de par sa recherche de simplicité et de pédagogie, pour tout lecteur curieux de comprendre comment on peut caractériser et optimiser ces objets de notre vie courante qui s’écoulent, mais pas toujours, qui semblent solides, mais se mettent à s’écouler sous l’effet de forces faibles, qui se déforment facilement, dont l’aptitude à l’écoulement dépend du fait que l’on les sollicite vite ou lentement… Défi donc relevé pour faire aimer la mesure en rhéologie.

Liliane Léger Professeur à l’Université Paris Sud Membre de l’Institut Universitaire de France, promotion 1995 Le 15 juillet 2013

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1

Avant-propos

La rhéologie est une discipline capable de fournir une signature très précise et très riche du comportement, de la structure et de la texture des matériaux. Elle constitue un outil analytique très puissant permettant une identification et un suivi de la stabilité et du vieillissement, conduisant aussi à des corrélations et des interprétations moléculaires. Un champ d’application de la rhéologie consiste à définir et à optimiser certaines propriétés d’usage, et cela en simulant les conditions de cisaillement mises en œuvre dans différentes applications (concernant les peintures, les matières plastiques, les bitumes, les excipients pharmaceutiques, les produits cosmétiques…). La rhéologie présente également de très nombreuses autres applications. Elle joue par exemple un rôle essentiel en génie des procédés, pour rationaliser des opérations de mélange et de dispersion. Elle intervient également dans l’évaluation sensorielle en agroalimentaire ou en cosmétologie. L’intérêt et les applications de la rhéologie sont donc maintenant largement reconnus, ainsi que l’attestent les nombreux ouvrages publiés depuis quelques années sur le sujet. Le Groupe Français de Rhéologie, dont la vocation consiste à faire connaître et développer cette discipline, a déjà publié un ouvrage concernant les bases de la rhéologie, intitulé « Comprendre la rhéologie : de la circulation du sang à la prise du béton » (EDP Sciences, 2002). Grâce à son approche pluridisciplinaire et didactique, cet ouvrage a reçu un très bon accueil (mention spéciale du prix Roberval), contribuant ainsi à une sensibilisation d’un large public aux thématiques et possibilités de la rhéologie. Si les concepts de base de la rhéologie sont désormais bien connus, il n’en est pas de même des techniques expérimentales dont la mise en œuvre s’avère parfois délicate, en raison de la grande diversité des rhéomètres utilisés et des précautions à prendre dans leur utilisation et l’interprétation des résultats. C’est pourquoi le GFR a décidé de rédiger en langue française un ouvrage sur la rhéométrie, capable de présenter sous une forme relativement accessible et concrète les principes et techniques d’utilisation mis en jeu dans les principales analyses ainsi que la discussion des différents artefacts pouvant nuire à la qualité des résultats.

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1

Organisation de l’ouvrage

Après avoir présenté un rappel sommaire des concepts et outils de base en rhéométrie (chapitre 1), ce livre se propose : 1) D’aborder les problématiques de caractérisation rencontrées dans le cas de systèmes fluides complexes, pour lesquels il est nécessaire de prendre en compte un certain nombre de phénomènes spécifiques tels les effets inertiels (chapitre 2), les phénomènes de glissement et de fracturation (chapitre 3), ainsi que l’écoulement en bandes de cisaillement (chapitre 4) et de développer les techniques d’analyse de matériaux présentant des propriétés rhéologiques particulières, telles l’existence de seuil d’écoulement (chapitre 5) ou des propriétés évolutives (chapitre 6). 2) De traiter une problématique importante dans l’industrie : il s’agit de présenter le principe de fonctionnement de rhéomètres ou viscosimètres fonctionnant en mode relatif, en faisant ressortir les limites mais aussi certains avantages de ce type d’analyse mis en œuvre dans certains « appareils de chantier » (chapitre 7). Le chapitre 8 proposera des solutions pour obtenir une caractérisation objective en utilisant des mobiles dont la géométrie s’inspire de celle mise en œuvre dans les procédés. 3) De mettre en relief des techniques d’analyse qui connaissent un développement important depuis quelques années : il s’agit d’une part des analyses rhéologiques interfaciales dont l’intérêt est essentiel dans la caractérisation des phénomènes d’adsorption et de déplétion aux interfaces (chapitre 9) et d’autre part des méthodes indirectes et complémentaires d’analyse comme la caractérisation des cisaillements par vélocimétrie ultrasonore ou résonance magnétique nucléaire, et les mesures couplées par diffraction et diffusion (chapitre 10).

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La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

En résumé, l’ouvrage comprendra donc les chapitres suivants, qui peuvent être classés en trois rubriques différentes selon les objectifs précédents. Problématiques de caractérisation dans le cas de milieux fluides complexes 1. Concepts et outils de base en rhéométrie. 2. Effets inertiels en rhéométrie instationnaire. 3. Glissement et fracturation dans les fluides complexes. Interpréter les essais rhéométriques. 4. Écoulement en bandes de cisaillement (shear banding). 5. Caractérisation rhéologique des fluides à seuil. 6. Systèmes évolutifs. Corrélation des analyses en mode absolu et relatif 7. De l’intérêt d’une caractérisation rhéologique empirique et relative. 8. La rhéologie systémique ou une rhéologie au service d’un génie des procédés et des produits. Techniques de caractérisation nouvelles et complémentaires 9. Rhéométrie interfaciale. 10. Apport de techniques couplées (diffusion de rayonnements, résonance magnétique, vélocimétrie ultrasonore) à la rhéologie.

1

Concepts et outils de base en rhéologie A. Ponton et J.L. Grossiord

Nous proposons dans ce chapitre d’introduire les notions et concepts de base en rhéologie, en adoptant une démarche simple et pédagogique, sans prétendre aborder de manière exhaustive tous les principes fondamentaux. L’enjeu est plutôt de donner au lecteur une description des principales grandeurs, notations et unités qui seront utilisées dans les différents chapitres de cet ouvrage. Les lecteurs qui souhaiteraient élargir leurs connaissances sur des bases théoriques et expérimentales de la rhéologie seront renvoyés à l’un des articles ou ouvrages généraux [1–10].

1.1. Grandeurs fondamentales associées aux différents écoulements 1.1.1.

Écoulement de cisaillement simple

Dans le cas d’un écoulement laminaire en cisaillement simple d’un fluide1 entre deux parois parallèles infinies (figure 1), les couches de fluide infiniment minces glissent les unes par rapport aux autres sans transfert de matière d’une couche à l’autre. La déformation γ est le gradient de déplacement, c’est-à-dire la variation du déplacement entre deux couches de fluide successives, rapportée à la distance entre ces couches : dy (1) γ = dz Cette grandeur est sans unité et s’exprime le plus souvent en %. En supposant que le fluide adhère aux parois (hypothèse de non glissement du fluide aux parois), la vitesse varie en fonction de la distance entre les parois. Il existe alors un gradient spatial de vitesse ou vitesse de cisaillement2 , défini par : γ˙ =

dvy dγ = dt dz

(2)

où vy est la composante de la vitesse d’écoulement dans la direction y. 1 Un fluide est un milieu susceptible de se déformer indéfiniment dès lors que la résultante des forces appliquées n’est pas nulle. Par la suite, on désignera par fluides les liquides et les matériaux pâteux en général. 2 Appelée parfois aussi, vitesse de déformation.

2

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 1. – Schéma d’un écoulement de cisaillement simple entre deux parois parallèles.

Quelques ordres de grandeur de vitesse de cisaillement sont donnés dans le tableau 1. Tableau 1. – Quelques ordres de grandeurs de vitesses de cisaillement.

Procédés et applications couchage du papier application peinture à la brosse pulvérisation peinture par pistolet application produits cosmétiques lotion appliquée à la main écoulement sanguin huile moteur

γ˙ (s−1 ) 2×105 à 4×106 103 –104 105 10 à 105 104 à 106 102 à 104 5×105

Le déplacement relatif entre deux couches de fluide au contact l’une de l’autre induit l’apparition de forces de frottement à courte portée, tangentiellement à la surface. On définit alors la contrainte de cisaillement σ par le rapport entre la force tangentielle dFy et la surface de contact ds : σ =

dFy ds

(3)

Cette contrainte sera notée ici et dans plusieurs chapitres de cet ouvrage σ mais elle sera parfois notée τ. La corrélation entre la contrainte de cisaillement et la vitesse de cisaillement permet de caractériser l’aptitude du fluide à s’écouler. On définit ainsi la viscosité qui est égale au rapport de la contrainte sur la vitesse de cisaillement. Il faut souligner que les relations (1) à (3) ne sont valables que dans le cas d’un écoulement simple unidirectionnel en symétrie plane. Cette approche très simple peut être généralisée à des écoulements plus complexes et des symétries différentes par l’utilisation de notations tensorielles dont la description dépasse le cadre de cet ouvrage.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

1.1.1.1.

3

´ Ecoulement newtonien

Quand la viscosité est indépendante de la vitesse de cisaillement pour une température donnée, le fluide est newtonien. Il existe alors une relation linéaire entre la contrainte de cisaillement σ et la vitesse de cisaillement γ˙ . Le coefficient de proportionnalité η est la viscosité (figure 2).

Figure 2. – Courbes d’écoulement (à gauche) et de viscosité (à droite) pour un fluide newtonien.

Ce comportement newtonien est observé dans la plupart des liquides, dans les milieux dispersés dilués et les solutions peu concentrées. Un exemple est donné sur la figure 3 pour une huile silicone.

Figure 3. – Courbe d’écoulement d’une huile silicone à 25,0 ± 0,3 ◦ C.

On peut déterminer aussi la viscosité de cisaillement cinématique qui n’est définie, en toute rigueur que pour les liquides newtoniens : v=

η ρ

(4)

où ρ est la masse volumique du fluide. Cette grandeur est très facilement mesurable par viscosimétrie capillaire. Ce qui lui confère un grand intérêt.

4

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Les dimensions et unités dans le système international (SI) et le système (CGS) de ces différentes grandeurs sont données dans le tableau 2. Tableau 2. – Dimensions et unités des principales grandeurs rhéologiques dans le cas d’un écoulement de cisaillement simple.

Grandeurs σ γ˙ η v

1.1.1.2.

Unités SI Pa (N·m−2 ) s−1 Pa·s (N·m−2 s) m2 ·s−1

Unités CGS dyne·cm−2 s−1 Poise P Stokes St (cm2 ·s−1 )

Correspondance 1 dyne·cm−2 = 0,1 Pa 1 P = 0,1 Pa·s 1 St = 10−4 m2 ·s−1

´ Ecoulements non newtoniens : comportement ´ ´ epaississant ´ rheofluidifiant, rheo et plastique

Beaucoup de fluides ont cependant une viscosité qui varie en fonction de la sollicitation mécanique. Pour ces fluides, qualifiés de non newtoniens, la viscosité dépend de la vitesse de cisaillement, et est appelée viscosité apparente. Elle sera ici et dans plusieurs chapitres de l’ouvrage notée μ(γ˙ ) : μ(γ˙ ) =

σ γ˙

(5)

Selon un usage répandu, on rencontrera cependant assez fréquemment dans différents chapitres la notation η(γ˙ ) pour désigner la viscosité non newtonienne. Comportement rhéofluidifiant Pour certains fluides, on observe une diminution de la viscosité apparente quand on augmente la vitesse de cisaillement : ces fluides sont appelés rhéofluidifiants (figure 4).

Figure 4. – Courbes schématiques d’écoulement et de viscosité d’un fluide rhéofluidifiant.

Ce comportement rhéofluidifiant traduit des modifications structurelles (désenchevêtrement de chaînes de polymères, rupture d’agrégats, orientation de bâtonnets, changement de forme) induites par le cisaillement. Comme l’illustre la

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

5

figure 5, on observe parfois une viscosité constante μ0 à faible vitesse de cisaillement, suivie du comportement rhéofluidifiant. C’est la première région newtonienne qui caractérise le fluide non perturbé par le cisaillement. De même, la diminution de la viscosité en fonction de la vitesse de cisaillement peut être suivie par une seconde région newtonienne avec une viscosité μ∞ constante, caractéristique d’un fluide complètement déstructuré. La courbe la plus générale correspondant à un comportement rhéofluidifant est ainsi représentée de façon schématique sur la figure 6.

Figure 5. – Viscosité apparente en fonction de la vitesse de cisaillement pour une solution aqueuse de chitosane (1,9 % m/m) à une température de 20 ◦ C.

Figure 6. – Profil complet d’un rhéogramme d’un fluide rhéofluidifiant.

Un certain nombre de modèles utilisés pour analyser les courbes d’écoulement de fluides rhéofluidifiants est présenté dans l’encadré 1.

6

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Encadré 1 : quelques modèles d’écoulement Fluides rhéofluidifiants et rhéoépaississants • Modèle d’Ostwald σ = k γ˙ n • Modèle de Sisko σ = k γ˙ n + η0 γ˙ • Modèle de Cross

• Modèle de Carreau

  η0 − η∞ γ˙ σ = η∞ + 1 + (C γ˙ )n ⎡

⎤ − η η 0 ∞ ⎦ σ = ⎣η∞ +   1−n γ˙ 1 + (C γ˙ )2 2

η0 et η∞ sont les viscosités du premier et du second plateau newtoniens respectivement, C est un temps caractéristique du matériau (1/C : gradient de vitesse à partir duquel apparaît le comportement rhéofluidifiant) et n est identique dans la partie curviligne de la courbe avec l’exposant de la loi de puissance d’Ostwald. Fluides plastiques • Modèle de Bingham

σ = σ0 + ηp γ˙

où σ 0 est la contrainte seuil, ηp la viscosité plastique Modèle de Casson

√ √ σ = σ0 + β γ˙

• Modèle de Herschel-Bulkley

σ = σ0 + k γ˙ n

Dans le cas de milieux dispersés avec des unités structurelles colloïdales (particules, agrégats de particules, gouttelettes, bulles, de taille inférieure au micromètre), le cisaillement a tendance à aligner ces unités structurelles dans le sens de l’écoulement tandis que l’agitation thermique tend à maintenir une isotropie d’orientation. La compétition entre ces deux effets antagonistes est contrôlée par le nombre sans dimension de Péclet défini par : Pe =

μγ˙ a 3 kT

(6)

où a est la taille d’une unité structurelle et kT est l’énergie d’agitation thermique.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

7

Pour Pe  1, l’agitation thermique est prépondérante par rapport au cisaillement. Toutes les orientations sont possibles avec des frottements importants et la viscosité est élevée. Au contraire, pour Pe  1, les unités structurelles sont orientées dans le sens de l’écoulement et les frottements sont réduits avec une viscosité faible. Comportement rhéoépaississant D’autres fluides cependant ont une viscosité qui augmente avec la vitesse de cisaillement (figure 7), soit par augmentation de volume (dilatance), soit par structurations induites par le cisaillement.

Figure 7. – Courbes schématiques d’écoulement et de viscosité pour un fluide rhéoépaissisant.

Un exemple bien connu de fluide dilatant est le sable mouillé. En marchant sur une plage de sable mouillé, la déformation exercée par les pieds sur le sable induit un agrandissement de l’espace entre les grains et donc de volume. L’eau en surface est alors aspirée et le sable s’assèche autour de l’empreinte laissée par les pieds. Le rhéoépaississement pur est observé par exemple dans un mélange de polymères et d’argile comme la laponite qui s’écoule au repos mais qui se rigidifie sous cisaillement par pontage des chaînes de polymères par les plaquettes d’argile. Comportement plastique (fluide à seuil) Parmi les fluides rhéofluidifiants, certains ne s’écoulent qu’à partir d’une contrainte seuil de cisaillement σs (notée parfois τs ou τY dans d’autres chapitres) au-dessous de laquelle l’écoulement macroscopique est impossible avec une vitesse de cisaillement nulle et donc une viscosité apparente infinie. Au-dessus de la contrainte seuil, l’écoulement peut être soit newtonien soit rhéofluidifiant. Dans le premier cas, il s’agit de l’écoulement plastique de Bingham. Dans le second cas, on a affaire à un comportement de Herschel-Bulkley (figure 8). Un exemple classique de fluide à seuil de contrainte est la pâte dentifrice qui ne s’écoule du tube que si l’on exerce une pression suffisante. Les figures 9 et 10 illustrent deux cas de comportement rhéologique à seuil de contrainte.

8

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 8. – Courbes schématiques d’écoulement d’un fluide de Bingham (courbe em pointillés) et d’un fluide rhéofluidifiant (courbe continue).

Figure 9. – Courbe d’écoulement d’une vase de barrage (45 % m/m) à 25 ◦ C.

Figure 10. – Courbe d’écoulement pour une pâte dentifrice à température ambiante.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

9

Comportement dépendant du temps, cas particulier du fluide thixotrope et du fluide rhéopexique Dans les cas précédents, nous avons supposé implicitement que la viscosité apparente est indépendante du temps, c’est-à-dire que le temps d’évolution du matériau est petit devant le temps expérimental de cisaillement. Pour certains matériaux soumis à un cisaillement constant après un long temps de repos, on observe une décroissance de la viscosité en fonction du temps. Ceci est associé à une structuration/déstructuration, réversible sous cisaillement. Ce comportement macroscopique appelé thixotropie est fortement lié à la structure microscopique. Il est exploité dans le cas par exemple des peintures qui doivent pouvoir s’étaler facilement sur une surface et ne pas couler après application au repos avant séchage. C’est la raison pour laquelle on ajoute aux peintures des fines particules d’argile qui forment des agrégats sous cisaillement nul. On peut aussi observer plus rarement une augmentation de viscosité en fonction du temps quand on applique un cisaillement constant. Ce comportement réversible, inverse de la thixotropie, est appelé rhéopexie.

1.1.1.3.

´ Comportement viscoelastique

Il est fréquent que certains fluides présentent, en plus de leurs propriétés d’écoulement visqueux, des propriétés de déformation élastique. On parle alors d’un comportement viscoélastique, intermédiaire entre celui du solide élastique parfait et du liquide visqueux newtonien. Il existe plusieurs types de tests permettant de décrire ce comportement viscoélastique, parmi lesquels on distinguera principalement les tests de fluage, de relaxation et les tests oscillatoires. Tests de fluage/recouvrance Un test de fluage consiste à appliquer à l’échantillon de l’instant initial ti à l’instant final tf une contrainte constante σ 0 et à enregistrer l’évolution temporelle de la déformation correspondante γ (t). Ce test est souvent suivi d’une phase dite de recouvrance pendant laquelle la contrainte est ramenée instantanément à zéro (figure 11a). Un solide élastique parfait tel un ressort soumis à une contrainte σ 0 se déforme de façon instantanée (figure 11b) et, dans le cas d’une réponse linéaire par rapport à la sollicitation, il existe une relation entre contrainte σ 0 et déformation γ 0 , connue sous le nom de loi de Hooke. σ0 = G γ0

ou

γ0 = J σ0

(7)

où G est le module de cisaillement (ou module de Coulomb) qui s’exprime en Pa (SI) ou en dyne·cm−2 (CGS), J = 1/G est le module de complaisance qui s’exprime dans les unités inverses.

10

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Pour un fluide newtonien soumis à une contrainte constante σ0 , l’intégration de la loi de Newton conduit à une variation linéaire de la déformation en fonction du temps (figure 11c) :  γ (t) =

σ0 η

t

(8)

Lorsque que la contrainte est supprimée, le solide élastique revient à son état initial (déformation nulle) tandis que le fluide newtonien conserve une déformation permanente.

Figure 11. – Test de fluage/recouvrance (a). Réponses d’un solide élastique (b) et d’un fluide newtonien (c).

Entre un solide qui maintient sa forme indéfiniment et un liquide qui prend rapidement la forme du récipient qui le contient, de nombreux fluides ont des propriétés intermédiaires relatives à l’échelle de temps. Ces fluides qualifiés de viscoélastiques ont un effet mémoire avec un comportement instantané élastique et un comportement visqueux au temps longs. La pâte Silli Putti3 par exemple s’étale lorsqu’elle est posée sur une surface solide mais rebondit si elle est jetée rapidement sur le sol (figure 12). Une autre manifestation des effets viscoélastiques est la formation d’un siphon lors de l’écoulement d’un polymère à l’état fondu comme l’illustre de façon schématique la figure 13. La réponse d’un fluide viscoélastique à un test de fluage/recouvrance est intermédiaire entre celle d’un solide élastique et d’un fluide visqueux (figure 14).

3 Mélange d’huile silicone et d’acide borique obtenu par James Wright, ingénieur chez General Electrics, il fut commercialisé sous le nom de Silly Putti en 1949.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

11

Figure 12. – Illustration schématique du comportement viscoélastique de la pâte Silly Putti : elle s’écoule au cours du temps sous l’effet de la pesanteur (a) et rebondit rapidement comme un solide sous forme de boule jetée sur le sol (b).

Figure 13. – Illustration schématique de l’effet siphon lors de l’écoulement d’un polymère fondu par exemple.

Figure 14. – Test de fluage/recouvrance (a) et réponses d’un fluide viscoélastique (b).

12

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Tests de relaxation Le test de relaxation consiste à soumettre le fluide à une déformation constante et à mesurer l’évolution de la contrainte en fonction du temps. Un exemple de réponse est donné sur la figure 15 pour un fluide viscoélastique.

Figure 15. – Test de relaxation (a) et réponse d’un fluide viscoélastique (b).

Tests oscillatoires ou dynamiques Les tests précédents de fluage et de relaxation sont des essais statiques. On peut aussi étudier les matériaux viscoélastiques par des tests dynamiques qui consistent à appliquer une déformation sinusoïdale d’amplitude γ 0 et de pulsation ω dont l’expression en formalisme complexe s’écrit : γ ∗ (t) = γ0 e j ωt

(9)

La vitesse de cisaillement correspondante est : γ˙ ∗ (t) = j γ0 ωe j ωt

(10)

Dans le cas où l’amplitude de sollicitation γ0 est suffisamment faible pour que la réponse du matériau soit linéaire par rapport à la perturbation (domaine viscoélastique linéaire), on mesure une contrainte elle-même sinusoïdale, d’amplitude σ0 , qui en notation complexe s’écrit : σ ∗ (t) = σ0 e j (ωt +δ)

(11)

où δ, déphasage entre contrainte et déformation, traduit les propriétés viscoélastiques du matériau. Le test oscillatoire est illustré sur la figure 16. Dans certains tests et pour certains appareils, il est possible d’appliquer une contrainte sinusoïdale et de mesurer la déformation sinusoïdale correspondante, en conservant le même cadre théorique. Dans le cas d’un solide purement élastique qui se déforme instantanément et de façon réversible, déformation et contrainte sont en phase d’après la loi de Hooke et δ = 0. Au contraire, pour un fluide purement visqueux, la contrainte mesurée est proportionnelle à la vitesse de cisaillement (loi de Newton). Elle est en retard par rapport à la déformation. Le déphasage est alors maximal et vaut π/2.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

13

déphasage d Figure 16. – Schéma du test dynamique : variation de la déformation appliquée (courbe continue) et de la contrainte mesurée (courbe en pointillés).

Les matériaux viscoélastiques sont ainsi caractérisés par un déphasage compris entre 0 et π/2. Le module de cisaillement G ∗ et la complaisance J ∗ sont dans ce cas des grandeurs complexes définies par : G ∗ = G  + jG  = J∗ = On en déduit que :

σ∗ σ0 = ejδ γ∗ γ0

1 = J  − jJ  G∗

σ0 cos δ γ0 γ0 J = cos δ σ0

G =

et et

σ0 sin δ γ0 γ0 J  = sin δ σ0 G  =

(12) (13)

(14) (15)

Les parties réelles G  et J  sont appelées respectivement module élastique (ou module de conservation) et complaisance élastique. Elles caractérisent la partie de l’énergie emmagasinée et récupérable dans le matériau. Les parties imaginaires G  et J  sont appelées respectivement module visqueux (ou module de perte) et complaisance visqueuse. Elles sont associées à la perte d’énergie par frottement visqueux (ou dissipation visqueuse) non récupérable. On définit aussi la viscosité complexe : η∗ = avec : η =

σ (t) = η − j η γ˙ ∗ (t)

G  ω

et

η −

G ω

(16)

(17)

Les modules G  et G  s’expriment en Pa dans le SI et en dynes·cm−2 dans le système CGS. Les complaisances J  et J  s’expriment dans les unités inverses. Les viscosités η et η s’expriment en Pa·s dans le SI et en P dans le système CGS. Toutes les grandeurs rhéologiques oscillatoires (modules, complaisances, viscosités...) dépendent du fluide considéré ainsi que de la température. Mais elles

14

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

dépendent aussi de la fréquence de cisaillement. Un matériau peut très bien avoir un comportement plus visqueux (G < G ) aux « basses » fréquences et plus élastique (G > G ) aux « hautes » fréquences, comme le montre la figure 17.

Figure 17. – Variation des modules viscoélastiques en fonction de la fréquence d’une solution de cellulose à 25 ◦ C pour une amplitude de contrainte fixe de 7 Pa.

De façon plus générale, cette différence de comportement selon la fréquence de sollicitation se retrouve dans celle qui est observée selon le temps d’observation expérimental. Il existe en effet une échelle de temps caractéristique au-dessus de laquelle le fluide se comporte comme un liquide et en dessous de laquelle le fluide se comporte comme un solide. Pour caractériser ce phénomène quantitativement, un nombre sans dimension De , appelé nombre de Déborah a été défini, qui permet d’effectuer une comparaison entre le temps de relaxation trel du fluide et le temps caractéristique expérimental texp : trel De = (18) texp Trois cas expérimentaux peuvent être observés : • De  1 : le fluide se comporte comme un liquide aux temps expérimentaux longs • De  1 : le fluide se comporte comme un solide aux temps expérimentaux courts • De ∼ 1 : le comportement du fluide est viscoélastique Pour donner quelques ordres de grandeur, le temps expérimental d’observation classique en rhéologie texp est souvent compris entre 10−2 s et 103 s tandis que le temps de relaxation caractéristique des matériaux trel est très variable et peut être compris typiquement entre 10−12 s pour l’eau et 103 s pour les matériaux vitreux mous.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

15

Le temps de relaxation de certains fluides peut être beaucoup plus long. Pour s’en convaincre, on citera l’expérience de la goutte de poix débutée par Thomas Parnell en 1927 à l’université du Queensland, expérience rhéologique qui figure dans le livre Guiness des records comme l’expérience de laboratoire dont la durée est la plus longue du monde. Au cours des dernières années 80, 8 gouttes de goudron ont été enregistrées. La viscosité du goudron est ainsi estimée à 2,3 × 1011 Pa·s c’est-à-dire 230 mille milliards de fois celle de l’eau. L’importance des deux échelles de temps peut aussi s’exprimer par le nombre de Weissenberg sans dimension We : W e = trel γ˙

(19)

On peut construire des modèles viscoélastiques élémentaires à partir d’une analogie mécanique basée sur la combinaison de deux éléments de base, à savoir le ressort parfait de module de cisaillement G et l’amortisseur de viscosité η (piston qui peut bouger dans un cylindre rempli d’un fluide Newtonien). Le ressort et l’amortisseur obéissent respectivement à la loi de Hooke (solide élastique linéaire) et la loi de Newton (fluide visqueux). L’association en parallèle d’un ressort et d’un amortisseur aboutit au modèle de Kelvin-Voigt qui décrit le comportement d’un solide viscoélastique avec une élasticité retardée par rapport à l’élasticité instantanée du solide élastique parfait. Le fluage est exponentiel et la relaxation de contrainte est nulle. L’association en série d’un ressort et d’un amortisseur aboutit au modèle de Maxwell. Il permet de décrire le comportement d’un fluide visqueux avec une élasticité instantanée. La relaxation de contrainte est exponentielle et le fluage est celui d’un comportement visqueux, c’est-à-dire une variation linéaire de la déformation en fonction du temps. Dans les deux cas précédents, le comportement du fluide est caractérisé par un seul temps de relaxation (ou de retard) alors que, la plupart du temps, les matériaux réels sont caractérisés par plusieurs temps de relaxation (ou de retard). Pour décrire ce comportement viscoélastique général, on associe soit une unité de Maxwell et plusieurs unités de Kelvin-Voigt en série (modèle de Kelvin-Voigt généralisé) soit plusieurs unités de Maxwell en parallèle (modèle de Maxwell généralisé). Cependant la résolution analytique des équations permettant la détermination des fonctions fluage et relaxation peut alors devenir complexe voire impossible. Il est alors nécessaire d’utiliser une équation intégrale pour calculer l’évolution temporelle de la contrainte ou de la déformation.

1.1.1.4.

Contraintes normales

Même en cisaillement simple, il apparaît, lorsque le fluide est viscoélastique et pour des déformations finies, des contraintes normales (perpendiculaires à la direction de l’écoulement). La différence de ces contraintes normales est susceptible

16

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

de provoquer de nombreux effets spécifiques, parmi lesquels : L’effet Weissenberg Dans le cas de l’eau (fluide newtonien), on observe un creusement de la surface à cause des forces centrifuges alors que pour la solution de polymère (fluide viscoélastique), le fluide remonte le long de l’axe de rotation (figure 18).

Figure 18. – Photographies illustrant l’effet Weissenberg dû à l’existence de contraintes normales dans une solution aqueuse de polyacétate de vinyle (à droite), contrairement à l’eau (à gauche), © A. Ponton MSC.

Le gonflement à l’extrusion Une autre manifestation de ce phénomène est le gonflement en sortie d’extrusion avec une extension latérale du fluide à cause de la recouvrance des déformations subies pendant l’écoulement (figure 19).

Figure 19. – Photographies illustrant le gonflement en sortie d’extrusion dû à l’existence de contraintes normales dans une solution aqueuse de polyacétate de vinyle (à droite), contrairement à l’eau (à gauche), ©. A. Ponton MSC.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

17

1.1.2.

Autres types d’écoulement et de déformation ´ ´ 1.1.2.1. Ecoulement elongationnel De nombreux procédés de mise en forme, comme par exemple le filage, font intervenir des sollicitations en élongation dans une ou plusieurs directions. De même, l’écoulement de fluides complexes utilisés dans la vie courante se produit dans des conduites cylindriques avec des contractions. Il est donc nécessaire de considérer l’écoulement d’élongation illustré sur la figure 20.

Figure 20. – Écoulement élongationnel uniaxial.

Cet écoulement particulier permet d’expliquer par exemple pourquoi les bulles d’air sont pointues à l’arrière lorsqu’elles montent dans un shampoing : la pointe convertit l’écoulement élongationnel en écoulement de cisaillement. Le rapport de la viscosité élongationnelle μe à la viscosité de cisaillement μ s’appelle le rapport de Trouton, noté Tr . Pour un fluide newtonien, Tr vaut 3 alors qu’il peut prendre des valeurs très grandes (Tr ≈ 103 –104 ) pour des fluides non newtoniens.

1.1.2.2.

´ Deformations mises en œuvre dans l’analyse de texture

Un texturomètre est constitué d’une sonde fixée sur un bras mobile vertical dont le déplacement permet la déformation du matériau à caractériser. La sonde est équipée d’un capteur de force qui mesure la réaction de l’échantillon en réponse à la déformation appliquée. Les déformations mises en œuvre peuvent être extrêmement variées : de la compression à l’étirement, en passant par la pénétration. Étant donné que la mise en œuvre de ces déformations dépend étroitement de l’appareillage utilisé, il a semblé préférable de renvoyer leur définition au paragraphe consacré à la présentation des analyses de texture (paragraphe 1.2).

1.2. Appareils de mesures Après avoir rappelé les différentes grandeurs utilisées en rhéologie, ce paragraphe a pour objectif de décrire quelques dispositifs expérimentaux permettant les mesures rhéologiques. Le choix d’un dispositif doit être guidé par la connaissance des propriétés des matériaux à déterminer et par conséquent les mesures à effectuer : mesures de viscosité, de seuil de contrainte, d’élasticité, d’analyse de texture.

18

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Un viscosimètre capillaire ou à chute de bille permettra de mesurer la viscosité de matériaux fluides peu visqueux alors que des matériaux fluides très visqueux nécessiteront des viscosimètres de type piston-filière. La caractérisation des propriétés viscoélastiques nécessite d’imposer et de mesurer des vitesses, des déplacements angulaires, des couples dans une large gamme. Les rhéomètres rotatifs s’imposent alors avec la possibilité de réaliser des essais statiques et dynamiques. En complément de ces mesures rhéologiques fondamentales, il est utile selon les matériaux de pouvoir étudier la texture à partir d’essais normalisés et donc souvent empiriques. On utilise alors des texturomètres et des sondes de différentes formes qui permettent d’enregistrer la force d’application en fonction de la distance de pénétration dans le matériau ou en fonction du temps.

1.2.1.

Viscosimètres capillaires

Le fluide à caractériser s’écoule, sous l’effet de la gravité et/ou d’une différence de pression dans un capillaire calibré. On mesure le temps t nécessaire à l’écoulement d’un volume déterminé de fluide. En faisant l’hypothèse d’un écoulement laminaire newtonien et en négligeant les effets de bord, on peut montrer que le débit volumique à travers un capillaire de longueur L et de rayon R en position verticale, lorsque le fluide de viscosité η et de masse volumique ρ est soumis à l’action simultanée de la pesanteur et d’une différence de pression P appliquée aux extrémités, est donné par la relation : Q =

πR 4 [P + ρgL] 8ηL

(20)

Dans le cas où l’écoulement est seulement provoqué par la pesanteur, on en déduit que la viscosité cinématique est proportionnelle au temps d’écoulement t ν = Kt

(21)

où K est une constante d’appareil déterminée par comparaison avec des fluides étalons. On en déduit que la viscosité absolue est donnée par : η = Kρt

(22)

On rencontre principalement deux types de viscosimètres capillaires à écoulement gravitationnel (figure 21) : le viscosimètre d’Ostwald à deux branches et le viscosimètre d’Ubbehlode à trois branches, la troisième branche permettant de s’affranchir des problèmes de remplissage. Pour caractériser les propriétés d’écoulement de fluides non newtoniens comme les polymères à l’état fondu, les composites, on utilise un viscosimètre de type pistonfilière. Le principe de fonctionnement est basé sur la liquéfaction du matériau en général sous forme initiale de poudre, granulés ou flocons puis sur l’écoulement

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

19

Figure 21. – Tube d’Ostwald (à gauche) et tube de Ubbelhode (à droite) où N1 et N2 sont respectivement les indices supérieur et inférieur.

forcé dans un cylindre à travers une filière capillaire. On pourra rencontrer deux configurations expérimentales symétriques et équivalentes : dans l’une, c’est le débit d’écoulement volumique Q qui est imposé et la différence de pression P qui est mesurée, alors que dans l’autre, c’est l’inverse. Étant donné la viscosité, souvent très élevée des échantillons, une haute pression est souvent nécessaire pour réaliser une vitesse d’écoulement suffisamment rapide. Les valeurs typiques de différence de pression P sont comprises entre 1 bar et 2×103 bars. Brièvement résumé, le principe de l’analyse, proposée par Rabinowitsch [11], repose sur la détermination de la contrainte à la paroi τparoi et de la vitesse de cisaillement à la paroi γ˙paroi dont les expressions sont les suivantes : τparoi =

D P 4L

où D est le diamètre interne du cylindre et L sa longueur.   8Q d( log Q ) γ˙paroi = 3+ πD 3 d( log τparoi)

(23)

(24)

D’autres propriétés rhéologiques comme la viscosité à l’allongement ou le gonflement en sortie de filière peuvent être déterminées. Les viscosimètres capillaires sont particulièrement utiles pour l’optimisation des procédés de fabrication de matériaux à haute pression et haute température comme le moulage par injection.

20

1.2.2.

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Viscosimètres à chute de bille

Le principe du viscosimètre à chute de bille (figure 22) consiste à mesurer la vitesse limite vL d’une bille sphérique de rayon R et de masse volumique ρ b dans un cylindre contenant un fluide newtonien de masse volumique ρ f .

Figure 22. – Viscosimètre à chute de billes. © Labomat.eu.

Sous l’effet de la pesanteur, la bille atteint une vitesse limite après un mouvement uniformément accéléré. Pour des vitesses suffisamment faibles et un rayon de cylindre assez grand (c’est-à-dire un nombre de Reynolds inférieur à 0,1), la force de frottement est donnée par la loi de Stokes et l’équilibre entre force de frottement et poids corrigé de la poussée d’Archimède conduit à l’expression suivante de la viscosité du fluide newtonien : 2 gR 2 η = (ρb − ρf ) (25) 9 vL avec g l’accélération de la pesanteur. Un certain nombre d’effets perturbateurs limitent la validité de l’expression (25). Sur le plan expérimental, la mesure de la chute de la bille dans un milieu supposé infini est difficile à cause en particulier de l’interaction entre la sphère et les parois intérieures du cylindre qui augmente la force de frottement visqueux et donc la viscosité. Pour s’affranchir de ces effets de parois sans recourir à des corrections de viscosité, on peut utiliser le roulement d’une sphère dans un tube incliné. Dans le

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

21

viscosimètre d’Hoeppler, on mesure ainsi la vitesse de déplacement de la sphère qui roule sans glisser. Le calcul du déplacement de la sphère étant difficile, il est nécessaire d’étalonner le viscosimètre à bille roulante avec des fluides de viscosités connues. L’expression de la viscosité du fluide newtonien est alors : η = k(ρb − ρf )/vL

(26)

où k est un coefficient d’appareil qui est déterminé par comparaison avec un liquide étalon.

1.2.3.

Rhéomètres rotatifs

Le principe des rhéomètres rotatifs repose sur un mouvement de cisaillement décrit dans le paragraphe 1.1. L’échantillon à étudier est placé entre deux surfaces solides, l’une immobile (stator), l’autre en rotation sur son axe (rotor) par le couple moteur M qui est relié à la contrainte σ . L’angle de rotation φ (par rapport à la position de départ) est relié à la déformation γ . La vitesse angulaire Ω = dφ/dt est liée à la vitesse de cisaillement γ˙ . Selon la grandeur expérimentale (M, φ, Ω) appliquée ou mesurée, on distingue deux types de rhéomètre rotatif, ceux à capteur et moteurs combinés à courant alternatif ou continu (nommés également à contrainte imposée) et les rhéomètres à capteur et moteurs séparés (nommés également à vitesse/déformation imposée)4. Les trois géométries classiques les plus utilisées sont les deux cylindres coaxiaux, le cône/plan et le plan/plan pour lesquelles on sait parfaitement calculer la contrainte et la vitesse de cisaillement à partir du couple et de la vitesse angulaire. La géométrie à deux cylindres coaxiaux à faible entrefer (c’est-à-dire que le rapport entre l’épaisseur d’échantillon cisaillé et le rayon du cylindre intérieur doit être inférieur à environ 0,15) et à fond conique pour le cylindre intérieur afin d’éviter les effets de bord, est particulièrement adaptée pour la mesure de faibles viscosités compte tenu des surfaces de contact importantes. Un des avantages majeurs de la géométrie à faible entrefer est que la contrainte et la vitesse de cisaillement peuvent être considérées constantes dans toute la zone de mesure comprise entre les deux cylindres. En contrepartie, elle nécessite des volumes d’échantillon importants (quelques cm3 ). La géométrie cône/plan présente un entrefer très étroit si bien qu’elle partage avec la géométrie cylindrique à faible entrefer l’avantage que la contrainte et la vitesse de cisaillement peuvent être considérées comme constantes dans toute la zone de mesure. Cependant, elle est très sensible à la position du cône et la présence de surface libre sur les bords de l’échantillon favorise l’évaporation. De même, des instabilités hydrodynamiques peuvent se produire à des vitesses de rotation élevées. L’inconvénient majeur de la géométrie plan/plan est que la vitesse de cisaillement croît d’une valeur nulle sur l’axe de rotation jusqu’à une valeur maximale sur les bords. Elle est cependant très utile pour des matériaux pâteux pour lesquels on 4 De nos jours, avec les progrès de l’électronique comme les boucles d’asservissement, tous les rhéomètres peuvent revendiquer leur capacité à contrôler la contrainte et/ou la déformation.

22

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

choisira des plans de faible diamètre limitant ainsi la non uniformité spatiale de la vitesse de cisaillement et dans le cas de mesure à différents entrefers en conservant la même géométrie pour mettre en évidence, par exemple, des effets de glissement. Il suffit alors de changer la distance entre les deux plans. Pour des milieux dispersés constitués d’unités structurelles de taille importante non compatible avec les entrefers des géométries classiques, il existe un certain nombre de géométries particulières qui nécessitent une calibration avec des fluides de viscosités étalonnées comme les huiles. Ces géométries sont constituées d’un cylindre intérieur fixe et d’un rotor qui peut être un ruban hélicoïdal, une ancre, une ailette de pales centrées (ou géométrie Vane). Ces géométries sont aussi particulièrement adaptées pour des milieux déstabilisés par des mécanismes de sédimentation ou crémage car elles permettent une certaine homogénéisation du milieu pendant les mesures.

1.2.3.1.

´ Moteur a` capteur et moteurs combines

À courant alternatif (AC) ou moteur asynchrone drag cup (figure 23)

Figure 23. – Moteur à courant alternatif (AC) ou moteur « drag cup » (reproduction avec l’accord de la société TA Instruments).

Ce type de moteur est aussi appelé moteur asynchrone. Le moteur AC le plus utilisé est le moteur « drag cup ». En raison de sa simplicité de conception et d’utilisation, il équipe la plupart des rhéomètres à moteur et capteur combinés.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

23

Dans ce type de moteur, le stator induit un champ électromagnétique tournant par une série de bobines disposées régulièrement sur un cercle (le champ tourne à environ 1000 tours par minute). Ce champ électromagnétique tournant induit un courant à l’intérieur d’une cloche métallique d’aluminium ou de cuivre, appelée « drag cup », de faible masse et de faible diamètre. Ce courant produit son propre champ magnétique et oblige ainsi le rotor à suivre le champ magnétique du stator par attraction, générant ainsi un couple sur l’axe. Du fait de la haute vitesse rotationnelle du champ magnétique et de l’absence de pôles fixés sur la cloche en métal, le couple généré est très régulier. Dans un moteur « drag cup », les frictions entre les pièces mobiles et fixes sont considérablement réduites, le poids et le diamètre du moteur sont également de plus en plus réduits, ce qui limite les corrections inertielles et constitue un atout important pour ce type de moteur, en particulier pour les essais en oscillation dynamique, aux fréquences élevées sur des fluides peu visqueux. Ces moteurs permettent d’appliquer des faibles couples, avec un contrôle absolu de la vraie contrainte, aux vitesses les plus faibles (une mesure de la vitesse nulle étant possible). Ils sont donc particulièrement performants pour réaliser les essais de fluage/recouvrance ou des sauts de contrainte. À courant continu (DC) ou moteur synchrone Dans ce type de moteur, le rotor tourne de manière synchrone avec le stator qui est alimenté par un courant continu (DC ou direct courant). La coupelle métallique conductrice placée sur l’axe est remplacée par un disque non conducteur équipé d’aimants permanents à haute densité. Le champ magnétique entraîne instantanément les aimants à haute densité placés sur le rotor. Il est donc possible grâce à cette technologie de contrôler la relation linéaire existant entre le courant électrique dans le stator Is et le couple moteur M généré (M ∼ Is ). La calibration sur ce genre de rhéomètre est donc plus simple. Il en résulte un temps de réponse extrêmement rapide (régime transitoire) et une possibilité de travailler sur une large gamme de couples. Le pilotage en vitesse et déformation devient plus facile et rapide grâce à l’encodeur optique et à la boucle de régulation. Il faut cependant noter que l’inertie du moteur synchrone est plus importante que pour le moteur asynchrone « drag cup ». Des corrections d’effet d’inertie sont donc nécessaires.

1.2.3.2.

´ es ´ Moteur a` capteur et moteurs separ

Cette technologie est principalement caractérisée par le fait que le moteur et le capteur de couple sont découplés (figure 24). La déformation (ou vitesse) est fournie par un moteur synchrone à courant continu de type DC, monté sur palier à air et équipé, de nos jours, d’un encodeur optique. Le moteur est conçu pour délivrer un mouvement rotatif sans friction. Les paliers radiaux et axiaux qui fournissent un soutien, rigide et sans friction, et une excellente concentricité, sans décentrage possible, permettent la réalisation de mesures, à taux de cisaillement ou de force normale élevés. La rotation libre du rotor en l’absence de friction résiduelle

24

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 24. – Moteur à déformation imposée ; à gauche partie haute à droite partie basse (reproduction avec l’accord de la société TA Instruments).

permet d’imposer de très faibles déplacements sinusoïdaux. Des temps de réponse plus courts, associés à une numérisation du traitement du signal électronique, font aujourd’hui, du fluage et de la recouvrance, des mesures facilement réalisables. La mesure du couple est réalisée par un capteur de couple (Transducer). Dans un capteur de couple à force rééquilibrée, nommé simplement FRT, un capteur de position capacitif extrêmement sensible, intégré dans un palier à air, détecte les mouvements angulaires et un moteur rotatif mesure la force réactive ou le couple nécessaire pour ramener le système à sa position initiale. La mesure du couple, indépendante à la fois de l’échantillon et de l’évolution des calibrages, supprime la nécessité de corriger les frottements résiduels du moteur, de corriger l’inertie du système, alors que c’est impératif pour tous les rhéomètres de conception capteur et moteur combinés.

1.2.4. 1.2.4.1.

Analyseurs de texture ´ Grandeurs de texture caracteristiques

La perception tactile, visuelle ou éventuellement auditive d’un matériau dépend de ses propriétés mécaniques, géométriques et de surface. On peut appréhender cette notion de texture en prenant l’exemple des produits alimentaires qui, selon leur nature, induisent dans la bouche des sensations de douceur ou de dureté, de friabilité ou d’homogénéité, de croustillant, de tendreté, d’onctuosité, liant ainsi la consistance à leurs propriétés physiques. Dans l’industrie des produits solides ou semi-solides, la texture est essentielle lors de la formulation du produit pour un contrôle en cours de production ou sur le produit fini et aussi pour étudier l’évolution temporelle du produit. Sur le plan expérimental, la texture peut être déterminée, soit par analyse instrumentale, soit par analyse sensorielle. Seule la première sera abordée dans ce paragraphe.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

25

Les mesures des propriétés mécaniques comme la dureté, la cohésion, la viscosité, l’élasticité et l’adhérence du produit permettent une détermination directe de la texture. Ces propriétés mécaniques sont liées aux propriétés géométriques des unités structurelles qui constituent le matériau (dimension, forme, orientation) et aux propriétés de surface.

1.2.4.2.

Principe de fonctionnement et tests de mise en œuvre

Contrairement aux méthodes expérimentales précédentes qui permettent de déterminer des grandeurs rhéologiques fondamentales, l’analyse de texture est une méthode empirique basée sur des tests normalisés (géométries des échantillons, essais mécaniques, présentation et dépouillement des résultats). Le principe de fonctionnement repose sur la mesure de la réaction du produit en réponse à une déformation. En pratique, on mesure la force de réaction en fonction de la distance de déformation ou de la distance parcourue dans le produit en fonction de la force appliquée. Le texturomètre est équipé d’un capteur de force. Une sonde fixée sur un bras mobile vertical entre en contact avec le matériau qui exerce une force sur la sonde. Il existe un très grand nombre de sondes et une grande variété de tests selon les applications. Nous aborderons les tests les plus utilisés. Le choix de la sonde est lié au matériau et au type de test à réaliser. Test de compression uniaxiale Le test de compression uniaxiale consiste à mesurer la résistance d’un matériau de longueur initiale L0 et de diamètre initial D0 à la force F qui lui est appliquée (figure 25).

F

D0 L0

D0

L

L

F

L0 Figure 25. – Schéma de base du test de compression uniaxiale.

D

26

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Sous l’effet de la force F, le matériau est comprimé et sa déformation longitudinale εL s’exprime par sa variation de longueur (L = L – L0 ) rapportée à sa longueur initiale. Le matériau subit aussi une déformation transversale (D/D0 ). Le rapport entre l’allongement relatif transversal et l’allongement relatif longitudinal s’exprime par le coefficient de Poisson ν (à ne pas confondre avec la viscosité cinématique qu’on désigne en général par la même notation) qui vaut 0,5 pour les matériaux dont le volume demeure constant lors de la compression. Un exemple typique de profil de texture obtenu à partir de deux compressions successives sur un matériau est présenté sur la figure 26.

Δt

Figure 26. – Profil typique de texture après deux compressions successives (A : surfaces, D : pics de forces, t : durée de la phase effective de pénétration pendant la seconde compression).

Les grandeurs empiriques que l’on peut tirer d’un analyseur de texture sont : • la dureté (D) : pic maximal durant la première compression, • la cohésion (A2 /A1 ) : rapport des surfaces sous les courbes correspondantes au travail appliqué sur le produit, • l’élasticité (L) : distance récupérée entre la première et la deuxième compression : L = Vt où V est la vitesse de déplacement du capteur pendant la phase de pénétration, • l’adhérence (A3 ) : surface des forces négatives de la première compression, • la fragilité (F ) : force avant la première chute brusque. Test de cisaillement Contrairement au test de compression, le test de cisaillement (figure 27) consiste à soumettre le matériau placé entre des surfaces solides à une force F parallèle à ces surfaces dans des conditions standardisées.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

27

Figure 27. – Schéma de base du test de cisaillement.

Dans la pratique, la cellule de Kramer est constituée d’un ensemble de lames auto-alignées fixées sur une tige qui pénètrent dans le matériau. Test de pénétration Le principe consiste à faire pénétrer dans le matériau une sonde et à mesurer la force nécessaire pour atteindre une certaine profondeur (figure 28). Sur le plan expérimental, la force de pénétration est la somme de la force de compression par la surface de la sonde et de la force de cisaillement sur le périmètre de la sonde.

Figure 28. – Schéma de base du test de pénétration.

Un exemple typique de résultats obtenus lors d’un test de pénétration est représenté sur la figure 29.

Figure 29. – Exemples de variation de la force en fonction de la distance lors de test de pénétration.

28

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

La pente de la variation linéaire de la force en fonction de la distance h permet de déterminer le module d’élasticité. Au-delà de ce comportement linéaire réversible, on observe une cassure irréversible. C’est le point de rupture caractérisé par des valeurs critiques de force (Frupt ) et de distance (hrupt ) et au-delà duquel la force peut, soit diminuer, soit augmenter selon les matériaux. Ce test est très utilisé dans les applications industrielles pour étudier la dureté de rouge à lèvres ou de baume pour les lèvres, la consistance de crèmes, le compactage de produits en poudre, la pulvérisation de produits ou l’extrusion de produits en tubes. Test de tranchage Dans le test de tranchage la sonde exerce une force F qui découpe le matériau (figure 30). La sonde est de section droite pour des éprouvettes rectangulaires ou avec entaille pour des éprouvettes cylindriques.

Figure 30. – Schéma de principe du test de tranchage.

Ce test est très utilisé dans l’industrie agroalimentaire car il permet d’obtenir des informations sur la dureté/tendreté des produits dérivés de la viande et du poisson, le croquant des saucisses ou le comportement à morsure des viennoiseries.

1.3. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons rappelé les définitions des principales grandeurs en rhéologie en allant de l’écoulement simple de cisaillement vers des écoulements plus complexes. Nous avons décrit et illustré par de nombreux exemples les comportements rhéologiques qui s’étendent bien au-delà de l’écoulement du fluide simple ou de l’élasticité réversible instantanée du solide élastique linéaire et pour lesquelles la comparaison entre les échelles de temps de relaxation du matériau et de l’expérience est primordiale. En outre, nous avons présenté de façon synthétique les différentes techniques pour mesurer les propriétés rhéologiques des plus simples aux plus sophistiquées afin d’obtenir des grandeurs empiriques pour un contrôle qualité d’un matériau ou au contraire des paramètres intrinsèques qui sont reliés à la microstructure des matériaux.

Chapitre 1 – Concepts et outils de base en rhéologie

29

Références [1] GFR, Comprendre la rhéologie, coordinateurs : Coussot P., Grossiord J.L. (EDP Sciences, 2001). [2] Collyer, A.A., Clegg, D.W., Rheological Measurements (Elsevier, Londres, 1988). [3] Couarraze, G., Grossiord, J.L., Initiation à la rhéologie, 3e édition (Tec et Doc, Paris, 3e édition, 2000). [4] Coussot, P., Rheometry of Pastes, Suspensions and Granular Materials : Applications in Industry and Environment (Wiley, New York, 2005). [5] Dealy, J.M., Wissbrun, K.F., Melt Rheology and its Role in Plastics Processing (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999). [6] Dealy, J.M., Larson, R.G., Structure and Rheology of Molten Polymers. From Structure to Flow Behavior and Back Again (Hanser, Munich, 2006). [7] Dupuis, D., Mesure de la viscosité - Viscosimètres et rhéomètres, Techniques de l’ingénieur, 2008. [8] Macosko, C.W., Rheology, Principles Measurements and Applications (VCH Publishers, 1994). [9] Midoux, N., Mécanique et Rhéologie des Fluides en Génie Chimique (Tec et Doc, Paris, 1985). [10] Whorlow, R.H., Rheological Techniques (J. Wiley and Sons, New-York, 1980). [11] Rabinowitsch, B., Z. Phys. Chem., A, 145, 1 (1929).

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

2

Effets inertiels en rhéométrie instationnaire C. Baravian

2.1. Introduction Les effets métrologiques instationnaires sont de deux natures différentes : l’inertie du fluide, associée au temps nécessaire pour que l’écoulement soit établi dans la géométrie de mesure utilisée, et l’inertie de l’appareil, liée à la mise en mouvement de l’ensemble de la partie mécanique mobile du dispositif expérimental. Une fois déterminés les temps caractéristiques d’inertie, deux attitudes peuvent être adoptées dans le cas où ces temps sont de l’ordre de grandeur des temps caractéristiques du matériau (viscoélastique ou thixotrope) : soit ces effets inertiels sont corrigés et ils sont alors « retirés » de la mesure expérimentale, soit ils doivent être pris en compte, la réponse globale incluant à la fois le comportement instationnaire du dispositif expérimental et celui du matériau. Nous proposons ici différentes méthodes de correction, ainsi que des analyses récentes du couplage entre le comportement viscoélastique et l’inertie. Nous étudions leur influence dans les divers modes courants d’utilisation des rhéomètres, à savoir les expériences réalisées en écoulement, en fluage et en oscillation. Lorsque l’on s’intéresse à la caractérisation des matériaux de façon générale, une distinction importante est à faire entre la détermination de leurs propriétés en régimes stationnaire et instationnaire. En effet, les produits testés en régime stationnaire, qu’ils soient solides ou liquides, peuvent être indifféremment caractérisés en leur appliquant une contrainte ou une déformation (pour les solides) ou une vitesse de déformation (pour les liquides). Ceci reste d’ailleurs vrai pour des comportements linéaires ou non linéaires. Par exemple, une viscosité sera toujours déterminée par le rapport d’une contrainte sur un gradient de vitesse (figure 1). Tant que, pour une valeur de contrainte, on mesure un (et un seul) gradient de vitesse, appliquer l’une ou l’autre de ces deux grandeurs reste équivalent. De même, pour la détermination de l’élasticité d’un matériau solide, on ne mesure en régime stationnaire qu’une élasticité (linéaire ou non), définie expérimentalement comme le rapport d’une contrainte par une déformation (tableau 1). Cependant, la définition d’état d’équilibre dans un matériau est à prendre avec précaution. En effet, de même que l’on parle de régime linéaire sur une certaine gamme d’amplitude de sollicitation, on devrait, paradoxalement, parler d’état stationnaire sur une certaine durée, car tout vieillit.

32

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 1. – Comportement stationnaire : équivalence entre contrainte appliquée et gradient de vitesse appliqué. Tableau 1. – Lois de comportement stationnaires.

Déformation ou vitesse de déformation appliquée Solide

σ = G (γ )γ

Fluide

σ = η(γ˙ )γ˙

Contrainte appliquée σ G (σ ) σ γ˙ = η(σ )

γ =

Les matériaux, sur des échelles de temps longues, peuvent changer de nature (matériaux vivants, transformations chimiques, cristallisation, séchage…), voire se réorganiser à grande échelle (l’état solide n’existant alors pas en tant que tel sur une échelle de temps infinie). Ce que l’on oublie souvent, c’est qu’il en est de même pour des échelles de temps courtes. Un fluide, de l’eau par exemple, sollicité sur des échelles de temps très rapides, va avoir une réponse élastique instantanée. Ceci est lié au fait que, si les molécules n’ont pas le temps de se réorganiser physiquement, la réponse sera alors liée directement à leur potentiel d’interaction [1]. Nous retiendrons donc que le comportement stationnaire, sur une gamme de mesure appropriée, est soit solide, soit liquide (éventuellement non linéaire) et qu’appliquer sur ces matériaux une contrainte ou une déformation (ou vitesse de déformation) est équivalent. En revanche, mesurer par exemple une variation de déformation (ou de vitesse de déformation) en fonction du temps, en réponse à un échelon de contrainte, n’est en rien équivalent à appliquer un échelon de déformation (ou de vitesse de déformation) et mesurer les variations temporelles de la contrainte (figure 2). Cependant, les valeurs asymptotiques en temps obtenues doivent être compatibles avec la loi de comportement stationnaire du matériau. Il est à noter également que le temps caractéristique (propre au matériau) pour atteindre l’équilibre est du même ordre de grandeur dans les deux cas. Nous voyons donc qu’une première difficulté rencontrée expérimentalement consiste à choisir (et ce choix n’est pas innocent) si la caractérisation instationnaire doit être réalisée en contrainte ou en déformation (ou vitesse de déformation) contrôlée. Ce qui guidera ce choix doit naturellement venir de la connaissance

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

33

Figure 2. – Comportement instationnaire : non-équivalence entre contrainte appliquée et gradient de vitesse appliqué.

physique sur les mécanismes mis en jeu au sein du matériau et du contexte lié à l’application, et non de l’appareil de mesure utilisé. L’objet de la présente étude consiste à mettre en évidence les précautions nécessaires à la caractérisation temporelle des matériaux à l’aide d’un rhéomètre. Cette discussion, souhaitant être la plus large possible sans faire une revue exhaustive de tout type de rhéométrie existant, traitera principalement des rhéomètres standards, principalement à contrainte imposée en géométrie classique (petits entrefers). Les matériaux entrant dans le cadre de cette étude seront viscoélastiques, à comportement linéaire ou non linéaire. Nous discuterons des différents temps caractéristiques intervenant lors de cette caractérisation et des précautions expérimentales à prendre pour rendre la mesure indépendante du dispositif expérimental utilisé. Notons que les temps caractéristiques associés à la mesure sont dépendants des propriétés du matériau (viscosité et élasticité notamment) et également de la géométrie de mesure utilisée (effets d’inertie par exemple). Il est donc difficile de traiter les problèmes de rhéométrie instationnaire sans parler des propriétés des matériaux (tableau 2). Comme nous le verrons, les couplages entre le produit testé et l’appareil de mesure sont une source de limitation importante des systèmes de mesure. Cependant, dans certaines conditions, ils peuvent également s’avérer utiles à la caractérisation du matériau lui-même.

Tableau 2. – Temps caractéristiques.

Temps caractéristiques Temps caractéristiques associés au matériau associés à la mesure Temps caractéristiques Temps d’établissement viscoélastiques de l’écoulement Temps caractéristique Temps de réponse thixotrope de l’appareil

34

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

2.2. Temps caractéristiques associés à la mesure Les effets associés à la mesure sont de nature inertielle : l’inertie d’appareillage, liée à la mise en mouvement de l’ensemble de la partie mobile, et l’inertie du fluide, associée au temps nécessaire à l’établissement de l’écoulement dans la géométrie de mesure.

2.2.1.

Inertie d’appareillage

Deux types de rhéomètres rotatifs sont disponibles. Ils se distinguent principalement par le fait qu’une première famille applique un couple sur l’axe et mesure la vitesse (ou le déplacement angulaire), alors que l’autre famille applique une vitesse (ou une déformation) et mesure un couple. Ces deux types de rhéomètres rencontrent bien sûr des problèmes d’inertie de la partie mobile du dispositif rotatif lorsqu’une commande de saut (de contrainte ou de vitesse) leur est demandée. La prise en compte de cette inertie par les constructeurs est gérée de façon différente en fonction du type de moteur. Pour les moteurs contrôlés en vitesse, c’est une boucle de rétroaction ou un dispositif électronique adapté qui permet la mise en mouvement. Il est donc très difficile de présenter des considérations générales à leur sujet [2]. En revanche, dans le cas de rhéomètres à couple imposé, les effets d’inertie peuvent être corrigés a posteriori de la mesure effectuée [3–5]. L’équation de la partie mobile peut s’écrire comme la conservation du moment des forces : ∂Ω = app − eff I (1) ∂t où I est le moment d’inertie de la partie mobile, Ω la vitesse angulaire,  app et  eff respectivement les couples appliqué et effectif. Par couple appliqué, nous entendons la commande de couple transmise par le moteur et, par couple effectif, celui réellement présent sur l’axe de rotation du rhéomètre, donc celui subi par le matériau. Bien entendu, au bout d’un temps suffisamment long, nous voyons que ces deux couples finissent par être confondus (équation (1)). Dans le cas d’un comportement linéaire du matériau (nous entendons ici linéaire au voisinage du cisaillement imposé), la contrainte de cisaillement σ est proportionnelle au couple  via le facteur de contrainte Fσ : σ = Fσ . Il en va de même pour le gradient de vitesse de cisaillement γ˙ et la vitesse angulaire (ou la déformation γ et le déplacement angulaire d) via le facteur de gradient Fγ : γ˙ = Fγ Ω et γ = Fγ d. L’équation (1) s’écrit alors : α γ¨ = σapp − σeff

(2)

où σapp est la consigne de contrainte appliquée et σeff la contrainte subie par le matériau. Le coefficient α = I FFσγ est le terme pertinent pour évaluer l’influence du temps caractéristique associé aux effets d’inertie de l’appareil. En effet, pour un fluide newtonien, σeff = ηγ˙ . En réponse à un échelon de contrainte d’amplitude σapp , la variation temporelle de la contrainte effective

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

35

   est donnée par σeff = σapp 1 − exp − αη t . Nous voyons clairement que le temps caractéristique associé à l’inertie de l’appareil pour un fluide donné est α/η. Notons que α dépend de la géométrie de mesure utilisée. En effet, de faibles facteurs de contrainte et des facteurs de gradient élevés diminuent les effets sur la mesure. Bien entendu, le choix de la géométrie va également modifier le moment d’inertie de la partie mobile I. L’erreur relative entre la contrainte appliquée et la contrainte réelle est de 5 % au bout d’un temps t ≈ 3α/η. La prise en compte des effets d’inertie consiste à évaluer le couple effectif (réel), connaissant le couple appliqué et la vitesse angulaire. Les solutions à ce problème sont soit une mesure (directe par un capteur) du couple effectif, soit une estimation de sa valeur. L’estimation s’obtient en écrivant l’équation (1) sous la forme [3] : eff ≈ app − I

Ω t

(3)

Le terme tΩ peut être obtenu en différentiant la mesure de vitesse angulaire en fonction du temps. Cette méthode, très généralement utilisée en rhéométrie à contrainte imposée, ne dépend donc que de la précision de la mesure de la vitesse angulaire et de la vitesse d’acquisition de celle-ci. Dans le cas du fluage ou de l’oscillation, l’estimation de cette accélération angulaire peut être effectuée en différentiant deux fois le déplacement angulaire d de la partie mobile ∂∂tΩ ≈ (d) . (t )2 L’estimation de l’inertie d’appareillage dépend ici très fortement du temps d’acquisition de la déformation (au mieux aujourd’hui de l’ordre de la milliseconde). Cette méthode de correction apportée au couple appliqué est valide pour tout type de matériau (linéaire ou non) et pour tout type de géométrie de mesure. Elle utilise néanmoins l’hypothèse que la donnée expérimentale est continue. Concernant cette hypothèse, une attention particulière doit être portée aux expériences en rampe de cisaillement. Celles-ci sont en effet discontinues et en réalité constituées d’une succession de sauts de contrainte (figure 3). Si la mesure de la vitesse

réelle

Figure 3. – Forme réelle de la vitesse angulaire.

36

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

angulaire n’est prise qu’à la fin de chaque saut de contrainte, une erreur systématique se produit dans la correction des effets inertiels en utilisant l’équation (3). La figure 4 montre une boucle persistante, mettant en évidence une surestimation des effets d’inertie en utilisant l’équation (3).

Huil silicone 50 mPa.s – Donnée brute

Figure 4. – Rampes linéaires sur 10, 30, 60 et 600 s pour une huile silicone de 50 mPa·s (Carrimed CS100, géométrie cylindrique coaxiale).

Figure 5. – Données de la figure 4 corrigées par l’équation (3).

Cette relation peut, dans ce cas, être corrigée en faisant l’hypothèse que la viscosité du matériau reste constante entre deux échelons successifs [4] : eff ≈ app − I

Ω + ε(β) t

(4a)

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

37

Figure 6. – Données de la figure 4 corrigées par les équations (4).

avec   ε(β) =  1 − e β (1 − β) /β

(4b)

ηt . L’amélioration de la correction est visible sur la figure 6, à compaα rer avec la figure 5. La viscosité intervenant dans le calcul du coefficient β peut être estimée par la valeur obtenue à l’échelon précédent. Notons que la correction proposée par les équations (4a) et (4b) s’applique aux rampes linéaires ou logarithmiques de couple en rhéométrie à contrainte imposée, pour des fluides newtoniens ou non newtoniens et éventuellement thixotropes. Le fait de pouvoir estimer le couple effectif ne résout cependant pas tous les problèmes. En effet, dans le cas d’expériences effectuées en fluage ou en oscillation, on désire mesurer les propriétés du matériau à amplitude de couple (ou contrainte) constante. Or, les effets inertiels de l’appareillage induisent une variation temporelle du couple effectif (équation (1)). Nous verrons plus loin comment il est possible d’inclure les effets d’inertie d’appareillage pour un modèle rhéologique donné. où β =

2.2.2.

Inertie du fluide

L’inertie du fluide traduit la mise en mouvement du liquide (figure 7). Prenons l’exemple d’un fluide de masse volumique ρ et de viscosité η mis en mouvement dans un écoulement de cisaillement simple : le fluide est initialement au repos et le plan supérieur est brusquement mis en mouvement à une vitesse constante V. ∂ 2u ∂u = η 2 . Par analyse dimensionnelle, L’équation liée au mouvement s’écrit ρ ∂t ∂y on voit que le temps caractéristique associé à l’établissement de l’écoulement entre

38

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 7. – Mise en mouvement brusque d’un fluide newtonien.

ρe 2 . Ce temps est par exemple d’une seconde pour de l’eau η mise en mouvement entre deux plans distants de 1 mm. Ceci dit, il serait inutile par exemple de chercher à caractériser les propriétés de l’eau en oscillation à une fréquence supérieure à 1 Hz. Cependant, des méthodes de correction existent dans l’ensemble des géométries standard [6–10]. Nous pouvons aussi remarquer que les effets d’inertie du fluide sont inexistants pour les matériaux solides (viscosité infinie) et que l’étude de matériaux peu visqueux doit être réalisée en géométrie de très faible entrefer, ce qui améliore par ailleurs la gamme de sensibilité de l’appareillage en terme de gradient de vitesse. Notons également que ce temps caractéristique décroît rapidement en fonction de l’entrefer utilisé. Pour une estimation de ce temps en géométrie à entrefer non constant (cône-plan notamment), on choisira l’entrefer le plus grand, à l’extrémité de la géométrie de mesure. On peut remarquer que les deux temps inertiels de la mise en mouvement du fluide et de la mise en mouvement de la partie mobile de l’appareil ont des propriétés physiques communes. En effet, ils sont tous deux inversement proportionnels à la viscosité et augmentent avec l’entrefer de mesure. Nous voyons donc que les temps inertiels sont d’autant plus courts que la viscosité du fluide est élevée et que l’entrefer de mesure est petit. Le rapport des temps caractéristiques d’inertie du fluide et d’inertie d’appareillage est indépendant de la viscosité du matériau testé et vaut ρe 2 /α. Pour un entrefer de mesure de l’ordre du millimètre, une masse volumique de 1000 kg/m3 et une valeur (minimale) de α de l’ordre de 0,01 Pa·s2 , ce rapport des temps vaut environ 0,1. Ceci indique que les effets d’inertie du fluide sont au moins d’un ordre de grandeur plus petit que les effets d’inertie d’appareillage. Bien entendu, il est dans tous les cas préférable de ne pas avoir à corriger les effets d’inertie, et que leur influence sur la mesure expérimentale soit donc négligeable (ce qui revient à négliger les effets d’inertie d’appareil). Les propriétés de la géométrie idéale sont une faible inertie (petit diamètre) et un entrefer étroit. Cependant, ce choix n’est pas indépendant du matériau testé et des temps caractéristiques que l’on cherche à mesurer.

les deux plans est t ≈

2.3. Temps caractéristiques associés au matériau Les temps caractéristiques associés au matériau que l’on cherche à caractériser peuvent être d’origine viscoélastique ou thixotrope. En général, les échelles de

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

39

temps associées à ces deux types de comportement instationnaire s’opèrent sur des échelles différentes. En conséquence, ils sont souvent étudiés séparément : la viscosité peut être considérée comme non dépendante du temps (mais éventuellement non newtonienne) lors de la caractérisation viscoélastique et la viscoélasticité peut être négligée lors de l’analyse du comportement thixotrope. Nous traitons ici de quelques considérations générales concernant ces temps propres au matériau et leur interprétation physique.

2.3.1.

Thixotropie

La thixotropie correspond à une dépendance temporelle réversible de la viscosité, associée à un saut de cisaillement. Par sa simple définition, il est clair qu’un fluide newtonien ne peut être thixotrope. Le caractère non newtonien des fluides est généralement interprété en terme de changement structural interne [11]. Cette réorganisation interne du matériau est une forme de minimisation de l’énergie interne du système, en réponse à une énergie mécanique appliquée. Par exemple, le nombre de contacts entre macromolécules peut diminuer en réponse à une augmentation du cisaillement, ou des fibres peuvent s’orienter afin de minimiser la dissipation hydrodynamique, ou encore des amas cohésifs peuvent être érodés par un cisaillement de surface... Pour l’ensemble de ces comportements ce qui sera interprété sous la notion générale de structure pourra revêtir différentes formes : un nombre de liens, un taux moyen d’orientation, une taille d’objets ou une fraction volumique effective... Les réarrangements internes du matériau, en réponse à un saut de cisaillement, ne vont naturellement pas être instantanés puisqu’ils doivent s’homogénéiser à l’échelle de l’échantillon étudié. En ce sens, tout matériau non newtonien est également thixotrope. De plus, l’interprétation structurale conduit à une dépendance non explicitede la  viscosité avec le cisaillement (de contrainte

ou de gradient) et le temps : η σγ˙ ,t ≡ η(S ) [11]. En effet, un changement de viscosité est la conséquence d’une réorganisation interne au matériau. C’est donc la structure elle-même qui dépend explicitement du cisaillement et du temps. La relation existant entre la structure et la viscosité dépend de la nature physique de la structure. L’essentiel des modèles structuraux sous-tendent une équation cinétique, prenant en compte  lesdépendances en cisaillement et en temps, généralement de ˙ la forme : S = f S ,σ . La fonction f ne peut dépendre du temps, puisque cette γ˙

dépendance est prise en compte dans la forme même de l’équation cinétique. Une analyse dimensionnelle de cette équation montre qu’au moins un temps caractéristique doit apparaître dans la fonction f. De plus, le temps caractéristique de l’équation cinétique (qui n’est autre que le temps de thixotropie) dépend également du cisaillement [11]. Nous voyons donc qu’il n’existe pas un temps unique pour la thixotropie, mais généralement un temps fonction du cisaillement appliqué. Il est donc préférable, pour étudier la thixotropie d’un matériau, d’appliquer à l’échantillon des sauts de contrainte constants. L’amplitude de ces sauts doit être soigneusement choisie pour minimiser les effets d’inertie, dépendants de la viscosité du matériau, du temps caractéristique de thixotropie et de la géométrie de mesure, comme décrit dans le paragraphe concernant l’inertie d’appareillage.

40

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

2.3.2.

Viscoélasticité

Pour un matériau solide, considérer que sa réponse élastique est instantanée est une approximation (de comportement stationnaire solide). En général, un certain temps est nécessaire pour que la contrainte (respectivement la déformation) atteigne sa valeur limite en réponse à un saut de déformation (respectivement de contrainte). La plupart des matériaux viscoélastiques possèdent un spectre de temps de relaxation. Les équations de la viscoélasticité faisant intervenir explicitement le temps, ne sont pas a priori indépendantes de la sollicitation : – contrainte imposée, mesure de la déformation : t γ (t) = −∞

d σ (τ ) dτ J (σ,t − τ ) dτ

(5a)

– déformation imposée, mesure de la contrainte :

t σ (t) =

G (γ ,t − τ ) −∞

d γ (τ ) dτ dτ

(5b)

Les fonctions matérielles de cisaillement J et G sont cependant reliées entre elles dans le cas de la viscoélasticité linéaire, par exemple par transformation de Laplace (les relations précédentes faisant intervenir un produit de convolution). À noter que ceci n’est vrai que si le comportement est linéaire, c’est-à-dire si J et G ne dépendent que du temps. En effet, rappelons que pour tout comportement non linéaire dépendant du temps, il n’existe pas de relation biunivoque entre la contrainte et la déformation. L’interprétation physique des fonctions matérielles G et J n’est pas directe. De manière à pouvoir relier les propriétés viscoélastiques aux propriétés physiques microscopiques, il est commode de développer une approche analytique des relations générales (5a) et (5b). Par exemple, un solide viscoélastique ne possédant qu’un seul temps caractéristique est un solide de Kelvin-Voigt. Son temps caractéristique viscoélastique (solide) Solide ≡ η /G (figure 8). De même, le liquide viscoélastique le plus est défini par tVE 1 1 simple est un liquide de Maxwell, ne possédant lui aussi qu’un seul temps caractéLiquide ≡ η2 /G1 (figure 8). ristique : tVE

Figure 8. – Solide de Kelvin-Voigt et fluide de Maxwell.

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

41

Figure 9. – Modèle de Maxwell-Jeffreys.

Ainsi, le premier modèle de matériau viscoélastique général est un fluide de Maxwell-Jeffreys (figure 9). Ce modèle contient en effet l’ensemble des comportements fluide et solide viscoélastiques décrits précédemment. On peut passer d’un comportement à l’autre en appliquant des valeurs limites aux différents éléments de ce modèle (tableau 3). Il est également à noter que le modèle de Maxwell-Jeffreys correspond à un développement au premier ordre en temps de tout modèle viscoélastique généralisé. Cela signifie que, pour une contrainte donnée, au voisinage d’un temps Tableau 3. – Limites du modèle viscoélastique de Maxwell-Jeffreys.

Nom du modèle

Maxwell Jeffreys

Maxwell η1 → 0

Kelvin Voigt η2 → ∞

Modèle analogique

Équation constitutive

 1+

η1 η2



σ˙ G1

+

σ η2

σ G1

=γ +

σ˙ G1

+

= γ˙

Fluide newtonien η1 → 0 G1 → ∞

σ = η2 γ˙

Solide élastique η1 → 0 η2 → ∞

σ = G1 γ

η1 G1 γ˙

σ η2

= γ˙ +

η1 G1 γ¨

42

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

choisi (en fluage ou en oscillation à une fréquence donnée notamment), tout matériau viscoélastique se comportera selon ce modèle. L’avantage de se donner un modèle analytique approché pour la viscoélasticité est qu’il est possible de développer une approche analytique du couplage entre la loi de comportement du matériau et l’équation liée à l’inertie du dispositif expérimental. L’utilisation du couplage inertiel et viscoélastique généralisé (équations (5)) a déjà été évoquée par divers auteurs [12–14]. Nous verrons cependant qu’une approche à l’aide du modèle de Maxwell-Jeffreys s’avère suffisante pour la prise en compte de l’essentiel du couplage entre la viscoélasticité et l’inertie.

2.4. Approche analytique des effets d’inertie d’appareil en rhéométrie à contrainte imposée Par continuité de la contrainte à l’interface entre le matériau et la géométrie, l’équation (2) doit être compatible avec toute équation constitutive du matériau (tableau 3). Plus précisément, la contrainte effective est égale à la contrainte intervenant dans la loi de comportement. Par exemple, pour un fluide newtonien σeff = ηγ˙ . En introduisant cette expression dans l’équation (2), on trouve l’équation différentielle : ηγ˙ +α γ¨ = σapp . En l’intégrant, on trouve la variation temporelle de la déformation pour une sollicitation σapp (t) donnée. De même, pour un modèle de type Maxwell-Jeffreys (tableau 3), on obtient :





η1 α η1 α ... η1 σ˙ app (t) σapp (t) γ + + + 1+ γ¨ + γ˙ = 1 + η2 G1 η2 G1 η1 G1 η2

(6)

Cette équation peut se résoudre aisément pour une sollicitation σapp (t) donnée (rampe, fluage ou oscillations).

2.4.1.

Fluage

De nombreuses études portent sur la technique expérimentale d’étude de vibrations ou d’oscillations amorties en réponse à un saut de sollicitation [12–14] et en particulier en mode fluage [15,16]. Nous choisissons une résolution analytique pour, d’une part, mettre en exergue les effets associés à l’inertie d’appareillage pour des matériaux viscoélastiques et, d’autre part, montrer que ce couplage inertieélasticité peut présenter un réel intérêt pour la caractérisation du matériau. La résolution de l’équation (6) pour un échelon de contrainte d’amplitude σ0 , donne deux solutions : l’une génère des oscillations et l’autre non. Dans le cas où des oscillations apparaissent, l’ajustement d’un modèle de Maxwell-Jeffreys permet de caractériser l’essentiel de la viscoélasticité du matériau [16]. La raison pour laquelle ces oscillations apparaissent est simple à comprendre. Les effets d’inertie et d’élasticité reviennent à prendre un modèle mécanique (tableau 3), y attacher une masse et la lâcher. La fréquence et l’amortissement des éventuelles oscillations peuvent alors être utilisés pour obtenir les propriétés mécaniques du matériau.

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

43

Pour un modèle de Maxwell-Jeffreys, le cas critique où les oscillations apparaissent est donné par la relation : η2 G1 − A2 ≥ 0 α(η1 + η2 ) αG1 + η1 η2 . La valeur critique de l’élasticité permettant ces oscillations 2α(η1 + η2 ) « libres » est alors donnée par la relation suivante : avec A =

G1 ≥Gcritique =

 η1 η1 − 1+ 1+ α 2η2 η2

2η22

(7)

On constate, en particulier, qu’il est possible de choisir le coefficient α pour pouvoir observer les oscillations. Ceci peut être effectué de deux manières différentes. On peut, soit modifier la géométrie de mesure pour obtenir des facteurs de contrainte et de gradient adéquats, soit ajuster l’inertie de l’appareillage. Il est en particulier plus pertinent de choisir une géométrie telle que l’inertie du système de mesure soit faible. La possibilité offerte de modifier les facteurs géométriques est particulièrement utile en géométrie plan-plan, où le facteur de gradient est inversement proportionnel à la hauteur séparant les deux plans. La solution pour la fonction de fluage de l’équation (6) est donnée par [16] : Pour G1 ≥Gcritique : t η2 

J (t) =

terme de fluage visqueux

−B + e

−At



 A 1 B cos (ωt) + sin (ωt) B− ω Aη2

 

(8)

terme viscoélastique contenant les oscillations





η2 G1 α(η1 + η2 ) 2A 1 2 avec ω = −A , B = − et une condition de α(η1 + η2 ) η2 G1 η2 α déformation et de ses dérivées nulles à l’état initial. Le cas G1 < Gcritique est obtenu simplement en remplaçant les sinus et cosinus par leurs homologues hyperboliques dans l’équation (8). Il est de plus assez clair que si des effets viscoélastiques retardés sont présents, il est à l’équation (8) un fluage viscoélastique retardé,  alors simple d’ajouter 

J0 = G10 1 − exp (− Gη00 t) , en utilisant le principe de séparation des échelles de temps (figure 10). Très généralement, le couplage entre les effets élastiques et inertiels s’opère sur une échelle de temps qui correspond à la fréquence « libre » dont la période est donnée par 2π/ω. À cette période est associé un terme viscoélastique qui est suffisant pour décrire l’essentiel du couplage inertiel. La figure 10 illustre l’ajustement de l’équation (8) sur une solution de xanthane. Les expériences sont réalisées avec une géométrie cône-plan en acier une solution de (6 cm, 1◦ ) sur un AR 2000 (TA Instruments).

44

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 10. – Modèle de Maxwell-Jeffreys (équation (8)) appliqué sur une solution de xanthane avec et sans terme viscoélastique retardé. α = 0,02 Pa·s2 ; G0 = 148 Pa ; η0 = 32,4 Pa·s ; G1 = 64 Pa ; η1 = 0,31 Pa·s ; η2 = 83 Pa·s.

Sur la figure 10, nous voyons également que la valeur moyennée de la déformation sur une période d’oscillation est une bonne approximation du comportement viscoélastique exempt d’inertie. Cependant, une modélisation complète de ces oscillations donne une caractérisation très fine de l’ensemble des propriétés viscoélastiques du matériau. Ceci n’est possible que lorsque le couplage est oscillant. S’il est sur-amorti, une diminution du coefficient inertiel α est possible dans une certaine mesure en changeant de géométrie. Notons pour finir que, si la viscosité de fluage η2 est grande devant η1 et αG1 , alors l’analyse de l’amortissement et de la fréquence des oscillations donne directement accès aux propriétés matérielles par les relations approchées pour la pulsation  et l’amortissement des oscillations : G  ≈ α(ω2 + A 2 ) et G ≈ αωA. L’émergence d’une fréquence de couplage entre la viscoélasticité et l’inertie de l’appareillage laisse entrevoir de grandes difficultés à réaliser des expériences en oscillations forcées sur ce type de rhéomètre. En effet, on imagine aisément qu’une résonance soit susceptible d’apparaître lorsque les fréquences libre et appliquée sont confondues. Dans ce type de cas, une correction des effets d’inertie par la méthode illustrée par l’équation (3) s’avère insuffisante. Si la précision des mesures et la fréquence d’échantillonnage de la déformation sont suffisantes, cette méthode peut s’appliquer. Nous allons voir cependant que, même pour un matériau relativement solide, cette estimation des effets inertiels reste délicate.

2.4.2.

Oscillations

L’utilisation de l’analyse fréquentielle pour caractériser les propriétés viscoélastiques est basée sur la recherche du comportement linéaire et asymptotique en temps

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

45

du matériau en réponse à une sollicitation harmonique. Aujourd’hui, la principale limite fréquentielle haute en rhéométrie à contrainte imposée reste l’inertie de l’appareil. Il est cependant possible de résoudre, de même que pour le fluage, l’équation (6) avec une sollicitation harmonique : σapp (t) = σ0 sin (ω0 t). De même que précédemment, cette équation différentielle peut être résolue et confrontée à l’expérience. La figure 11 montre cet ajustement pour une solution carboxyméthylcellulose (2 %) en géométrie cône-plan (6 cm, 1◦ , aluminium). Les expériences sont réalisées dans le régime linéaire et l’élasticité du matériau est de l’ordre de 500 Pa. Un logiciel spécifique appliquant un signal de couple quelconque et une acquisition à 0,5 ms ont été utilisés pour le contrôle et l’analyse de la réponse. La contrainte appliquée pour les figures 11a à 11e est de 1,8 Pa.

Figure 11. – Modélisation à l’aide d’un modèle de Kelvin-Voigt de la déformation en régime harmonique α = 0,0075 Pa·s2 ; Hc ≈ 40 Hz. a) H ≈ Hc /4 ; b) H ≈ Hc /2 ; c) H ≈ Hc ; d) H ≈ 2Hc ; e) H ≈ 4Hc .

Les courbes représentées sur les figures 11a à 11e mettent en évidence l’excellent accord entre les expériences et le modèle de Kelvin-Voigt. Sur chaque courbe, seuls deux paramètres sont ajustés, l’élasticité G1 et la viscosité η1 . Nous observons bien un couplage de fréquence lorsque la fréquence appliquée (H) atteint et dépasse la

46

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

fréquence de résonance (Hc ). De plus, les courbes de Lissajous montrent bien la difficulté de réaliser une étude fréquentielle sur ces réponses. En effet, l’amplitude et le déphasage de la réponse sont tous deux très éloignés de la réponse idéale, exempte d’effets inertiels. D’autre part, il est assez clair sur les figures 11c, 11d et 11e que le temps joue un rôle important. En effet, le nombre de cycles nécessaires pour atteindre le régime asymptotique augmente (environ 20 cycles pour la figure 11e). Or, pour l’analyse standard utilisée par les rhéomètres, ce nombre reste en général fixe en fonction de la fréquence. Il est d’ailleurs intéressant de remarquer que la figure 11e a été réalisée à une fréquence de 160 Hz, supérieure à la fréquence de 100 Hz proposée par le fabricant. Ce type d’approche analytique permet donc à la fois de modéliser sur un nombre de cycle restreint les propriétés viscoélastiques du matériau et d’étendre la gamme de validité des rhéomètres. Lorsque la fréquence appliquée est suffisamment en deçà de la fréquence de couplage, les réponses données par l’approche analytique proposée et celle, standard, du rhéomètre sont identiques (figure 12a). Ce n’est pas le cas lorsque la fréquence appliquée devient supérieure à cette fréquence critique (figure 12b).

Figure 12. – Comparaison entre l’approche analytique (modèle) et la donnée issue de l’analyse standard du rhéomètre (exp) à 10 Hz (a) et 100 Hz ; (b) α = 0,0075 Pa·s2 ; Hc ≈ 40 Hz.

Nous pouvons constater sur la figure 12b que l’analyse de la réponse du rhéomètre peut être erronée de plus de 20 % sur le calcul de G et de G pour des fréquences supérieures à la fréquence de couplage « libre ». Notons enfin que cette fréquence de couplage entre l’inertie et l’élasticité est la même que celle correspondant aux oscillations observées en mode fluage. Celle-ci peut être évaluée  par la formule Hc ≈ G  /α/2π, avec une valeur de G obtenue à faible fréquence. Ceci peut d’ailleurs servir de critère à l’utilisation de l’approche analytique en relais à la correction inertielle par l’équation (3), inappropriée quand H > Hc . En effet, pour une géométrie standard (α ≈ 0,05), une mesure à 100 Hz n’est possible que pour des matériaux dont l’élasticité serait supérieure à 20 000 Pa. De même, pour un gel faible dont l’élasticité est de l’ordre du Pascal, Hc est de l’ordre du Hertz.

Chapitre 2 – Effets inertiels en rhéométrie instationnaire

47

2.5. Conclusion Cette discussion a eu pour objet de mettre en évidence certaines précautions à prendre lors de l’étude du comportement instationnaire des matériaux. Tout d’abord, deux sources d’erreur sont à considérer : les effets d’inertie du fluide (mise en mouvement du fluide), à prendre en compte pour les liquides peu visqueux, et l’inertie d’appareillage (mise en mouvement du rhéomètre), pour les solides et les liquides. Le tableau 4 récapitule les temps ou fréquence caractéristiques associés. Tableau 4. – Récapitulatif des effets inertiels.

Effet

Application

Grandeur caractéristique

Inertie du fluide

Fluide en mode écoulement ou fluage

Temps tc ≈

Oscillation

Fréquence Hc ≈

Fluide en mode écoulement

Temps tc ≈

Inertie Fluide ou solide d’appareil viscoélastique en mode fluage IFσ α= Fγ˙ Fluide ou solide viscoélastique en mode oscillation

Prise en compte

ρe 2 η

t > tc η ρe 2

α η

∼ 1/A Temps tc =

∼ 1 G1 + η1 A= 2 η2 α

Fréquence  G  /α ∼ Hc = 2π

H < Hc Correction du couple Ω eff ∼ = app − I t Si le régime est oscillant : Pulsation  de couplage : ω∼ = G  /α − A 2  G ∼ = α(ω2 + A 2 ),  G ∼ = αωA H < Hc Correction du couple (d) eff ∼ = app − I (t)2 H ≥ Hc Approche Analytique (Maxwell-Jeffeys)

Pour la correction ou la prise en compte de ces effets inertiels, trois domaines sont à considérer. Dans le premier domaine, les effets inertiels sont négligeables. Dans le second, ils peuvent être corrigés, par exemple en utilisant les équations (3) et (4). Enfin, dans le troisième domaine, ils doivent être pris en compte en choisissant un modèle analogique pertinent. Le modèle de Maxwell-Jeffreys s’avère en général suffisant pour les couplages inertiels en rhéométrie à contrainte

48

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

imposée. Pour les rhéomètres à déformation ou vitesse de déformation contrôlée, les temps caractéristiques des boucles de rétroaction sont à comparer à ceux présentés dans le tableau 4.

Références [1] Zwanzig, R., Mountain, R.D. High-frequency elastic moduli of simple fluids, J. Chem. Phys., 43, 4464–4471 (1965). [2] Mackay, M.E., Liang, C.-H., Halley, P.J. Instrument effects on stress jump measurements, Rheol. Acta. 31, 481–489 (1992). [3] Krieger, I., The role of instrument inertia in controlled-stress rheometers, J. Rheol., 34, 471–483 (1990). [4] Baravian, C., Quemada, D. Correction of instrumental inertia effects in controlled stress rheometry, Eur. Phys. J., AP 2, 189–195 (1998). [5] Frank, A.J.P. Importance of inertia for controlled stress rheometers, in : Theoretical and Applied Rheology, P. Moldenaers, R. Keunings, Eds., (Elsevier, Amsterdam, 1992). [6] Aschoff, D., Shümmer, P. Evaluation of unsteady Couette-flow measurement under the influence of fluid inertia, J. Rheol., 37, 1237–1251 (1993). [7] Hughes J.P., Davies, J.M., Jones, T.E.R. Concentric cylinder end effects and fluid inertia effects in controlled stress rheometry I : numerical simulation, J. Non-Newt. Fluid Mech., 77, 79–101 (1998). [8] Böhme, G., Stenger, M. On the influence of fluid inertia in oscillatory rheometry, J. Rheol., 34, 415–424 (1990). [9] Jones, T.E.R., Davies, J.M., Thomas, A. Fluid inertia effects on a Controlled Stress Rheometer in its oscillatory mode, Rheol. Acta., 26, 14–19 (1987). [10] Ding, F., Giacomin, A.J., Bird, R.B., Kweon, C.-B. Viscous dissipation with fluid inertia in oscillatory shear flow J. Non-Newt. Fluid Mech., 86, 359–374 (1999). [11] Baravian, C., Quemada, D. Modelling thixotropy using a novel structural kinetic approach : basis and application to iota carrageenan, J. Text. Studies, 27, 371–390 (1996). [12] Struik, L.C.E. Free damped vibrations of linear viscoelastic materials, Rheol. Acta, 6, 119–129 (1967). [13] Roscoe, R. Free damped oscillations in viscoelastic materials, J. Phys. D, 2, 1261–1266 (1969). [14] Deiber, J.A., Peirotti, M.B. Free damped oscillations of the linear viscoelastic material, Rheol. Acta, 34, 317–320 (1995). [15] Zölzer, U., Eicke H.-F. Free oscillatory shear measurements - an interesting application of constant stress rheometers in the creep mode, Rheol. Acta, 32, 104–107 (1993). [16] Baravian, C., Quemada, D. Using instrumental inertia effects in controlled stress rheometers, Rheol. Acta, 37, 223–233 (1998).

3

Glissement et fracturation dans les fluides complexes. Interpréter les essais rhéométriques N. El Kissi, S. Nigen et F. Pignon

3.1. Introduction Pour caractériser les propriétés rhéologiques des matériaux fluides, l’un des moyens incontournable qu’il faut pouvoir mettre en œuvre est la rhéométrie. Un rhéomètre permet de placer le fluide dans un état d’écoulement contrôlé et, dès lors qu’un certain nombre de précautions sont prises, d’accéder aux grandeurs physiques pertinentes qui permettent de décrire le comportement du matériau dans la gamme de sollicitation intéressante pour les propriétés de mise en forme du fluide, les propriétés d’usage, les propriétés en fin de vie… Les rhéomètres rotatifs et capillaires sont les plus connus, les plus utilisés et les mieux maîtrisés. Parmi les écoulements les plus couramment utilisés, le cisaillement simple et permanent entre deux plans parallèles infinis, est particulièrement adapté à l’analyse du comportement visqueux et élastique des fluides complexes. En particulier, la contrainte de cisaillement τ est reliée au gradient de cisaillement γ˙ par la relation suivante permettant de calculer la viscosité du fluide η : η = τ/γ˙

(1)

Cette relation simple, qui est à la base des mesures de rhéométrie en cisaillement, suppose le taux de cisaillement homogène, l’écoulement indépendant du temps et l’inertie négligeable. Les conditions aux limites imposent par ailleurs une condition d’adhérence de l’échantillon à la paroi. En pratique, les géométries couramment utilisées sont de type plan-plan, côneplan et Couette (figure 1) [1]. L’une des surfaces est mobile, l’autre est fixe. La mesure de la vitesse de rotation et du couple exercé par le fluide sur la géométrie mobile permet de calculer la contrainte et le gradient de cisaillement. Pour des entrefers faibles, et lorsque l’écoulement du fluide est homogène, ce qui est le cas généralement pour les fluides de faible viscosité et qui se comportent comme des fluides newtoniens, on peut considérer que le cisaillement est constant. On peut alors utiliser la relation ci-dessus pour déterminer la viscosité en fonction du gradient de cisaillement, voire en fonction du temps. En revanche, pour des fluides au comportement rhéologique plus complexe (rhéofluidifiant, rhéoépaississant, à seuil de contrainte), il est courant d’observer un cisaillement non-uniforme dans l’entrefer entre les deux surfaces.

50

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

Figure 1. – Caractéristiques des géométries cône-plan, plan-plan et cylindres coaxiaux (Couette) en rhéométrie rotative.

Ainsi, si le principe de la mesure est très simple, la réponse d’un fluide complexe à un écoulement de cisaillement contrôlé va, elle, dépendre de plusieurs paramètres susceptibles de limiter l’exploitation des essais et donc la gamme possible de caractérisation des fluides. Sans être exhaustif, on citera la dégradation mécanique ou chimique de l’échantillon, sa composition, la température de la sollicitation, l’histoire de la déformation à laquelle le fluide sera soumis, l’apparition de phénomènes instables qui introduisent des variations de débit, le glissement, la localisation de la déformation… Dans tous ces cas, les formules qui sont à la base des principes de mesures rhéométriques ne s’appliquent plus et les essais doivent être exploités différemment. Parmi ces phénomènes, le glissement et la fracturation méritent une attention toute particulière. En effet, ils se manifestent fréquemment, dans des configurations d’écoulement diverses et pour des fluides dont le comportement peut être viscoélastique, viscoplastique voire thixotrope ou à seuil de contraintes. Dans ce chapitre, on détaillera les précautions à prendre de façon à s’affranchir des artefacts que sont le glissement et la fracturation de l’échantillon. On apportera des éléments de réponse à des questions telles que : comment les identifier sur les courbes viscosimétriques, comment les éliminer ou comment en corriger les effets et interpréter tout de même les mesures de rhéométrie. L’objectif est donc de proposer les outils nécessaires à une analyse pertinente des essais de rhéométrie en présence de glissement ou de localisation de la déformation. Ces outils seront testés, et de nombreux exemples issus de l’expérience des auteurs, permettront de les valider mais également d’en illustrer les défaillances. Pour cela, nous illustrerons dans le paragraphe 3.2, par quelques exemples, différentes manifestations de glissement ou de fracturation pouvant être observées lors des essais de rhéométrie. La compréhension des concepts physiques sous-jacents à ces phénomènes, sera abordée de manière brève, dans le paragraphe 3.3. Le but est d’offrir dans ce paragraphe une vision globale sur ces sujets, sans pour autant proposer une description exhaustive des avancées de la recherche internationale très riche sur le sujet, qui dépasse le cadre de ce chapitre.

Chapitre 3 – Glissement et fracturation dans les fluides complexes

51

Le paragraphe 3.4 proposera une revue des techniques les plus courantes, permettant de détecter et éventuellement d’éviter glissement et/ou fracturation. Dans le paragraphe 3.5, des techniques pour quantifier le glissement, voire le prendre en compte pour l’interprétation des mesures de rhéométrie, seront proposées et leur validité sera testée sur des exemples concrets. Le paragraphe 3.6 exposera les méthodes permettant de prendre en compte la fracturation. Enfin, le paragraphe 3.7 concluera ce chapitre.

3.2. Mise en évidence et illustration du glissement et de la fracturation 3.2.1.

Manifestation du glissement sur les courbes de rhéométrie

Lors des mesures rhéométriques, le déclenchement d’un glissement signifie qu’il y a perte de contact ou de traction entre l’échantillon et les parois des outillages. Or, la condition d’adhésion est une condition sine qua non pour l’interprétation mathématique classique des essais rhéométriques [1]. En d’autres termes, en présence d’un glissement, les données brutes fournies par un rhéomètre automatisé tels que ceux qui sont couramment utilisés ne fournissent plus une mesure absolue, caractéristique du matériau : la mesure devient dépendante des conditions d’étude. Au sein de l’échantillon, l’écoulement n’est plus contrôlé et l’état de cisaillement devient inconnu. Le phénomène de glissement peut se manifester dans des situations très diverses et pour tout type de matériau : polymères de grande masse, suspensions, gels, crèmes cosmétiques… On peut l’observer, en rhéométrie rotative, dès les faibles gradients de cisaillement ; il se produit également en rhéométrie capillaire, pour des régimes d’écoulement élevés, voire au sein de l’échantillon. On parlera alors de fracturation, illustrée au paragraphe 3.2.2 ci-dessous. De façon générale, sa présence est détectée par une baisse de la quantité mesurée, la viscosité par exemple.

3.2.1.1.

´ Un exemple de glissement a` faible regime

La figure 2 montre l’évolution de la contrainte à la paroi pour un fluide viscoplastique, présentant un seuil à faible gradient de cisaillement et un comportement rhéofluidifiant à gradient de cisaillement élevé. Les résultats ont été obtenus en régime de cisaillement permanent, dans un rhéomètre à vitesse contrôlée, avec des géométries cône/plan. Les géométries utilisées sont en acier inoxydable ; l’une d’entre elle a subi un traitement de surface augmentant notablement sa rugosité, de façon à accentuer le frottement à l’interface entre le fluide en écoulement et la paroi de l’outillage.

52

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives 10-4

τ (Pa) surfaces rugueuses adhésion

10-3

. γ (s-1)

surfaces lisses glissement

10-2 10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Figure 2. – Mise en évidence du glissement d’un fluide à seuil. Rhéométrie rotative à vitesse imposée en géométrie cône-plan. D’après R. Mas, « Rhéologie des graisses lubrifiantes et des adhésifs », Thèse de l’Institut National Polytechnique de Grenoble, Laboratoire de Rhéologie, Grenoble, novembre 1993. Figure reproduite avec l’autorisation du laboratoire.

Les résultats représentés sur la figure 2 montrent que l’effet de l’état de surface de la paroi est particulièrement crucial à faible régime. En effet, à gradient de cisaillement donné, la contrainte est plus faible pour l’écoulement se produisant le long des parois non traitées que pour l’écoulement le long des parois rugueuses. Cet écart est attribué à la présence d’un glissement du fluide en écoulement dans la géométrie non traitée. Les conséquences de ce glissement sont importantes puisque, dans ce cas précis, il conduit à une valeur erronée de la valeur du seuil. Pour ce type de fluide (graisse, crème cosmétique, yaourt, mayonnaise…), on constate par ailleurs que, pour des régimes d’écoulement suffisamment élevés, les courbes obtenues ne dépendent pas de l’état de surfaces des géométries : l’effet du glissement est particulièrement important à faible régime.

3.2.1.2.

´ ´ e´ Un exemple de glissement a` regime elev

Considérons maintenant l’écoulement d’un polymère fondu, un polyéthylène, dans un rhéomètre capillaire [1]. La figure 3 montre les courbes d’écoulement, représentant l’évolution de la contrainte à la paroi en fonction du gradient de cisaillement, pour l’écoulement de ce fluide dans des filières capillaires axisymétriques de divers diamètres. Les résultats obtenus montrent que, à faible régime d’écoulement, les courbes sont indépendantes de la géométrie des filières : elles sont représentatives du comportement du matériau. Par contre, au delà d’un régime d’écoulement critique, ces courbes divergent : à gradient de cisaillement donné, la contrainte est d’autant plus importante que le diamètre de la filière est faible. C’est de cette façon que l’on identifie le plus couramment le déclenchement d’un glissement en rhéométrie capillaire. Là encore, les conséquences de ce phénomène en terme de caractérisation du fluide sont importantes puisqu’il n’est

Chapitre 3 – Glissement et fracturation dans les fluides complexes

5

5x10

53

τ (Pa) w

5

D = 2 mm

3x10

D = 1 mm D = 0,5 mm 5 104

8x10 4 6x10 4

.γ

4x10

aw

4

2x10

10

1

2

10

3

10

(s-1)

4

10

10

5

Figure 3. – Courbes d’écoulement d’un polyéthylène haute densité à 185 ◦ C dans des filières axisymétriques en rhéométrie capillaire. Lorsque les résultats dépendent du diamètre de la filière, il y a glissement à la paroi. D’après S. Nigen, « Instabilités en extrusion de Polymères Fondus », Thèse de l’Université Joseph Fourier, Laboratoire de Rhéologie, Grenoble, janvier 2000. Figure reproduite avec l’autorisation du laboratoire.

plus possible de déterminer une valeur unique et caractéristique du fluide, pour la viscosité de cisaillement.

3.2.1.3.

Conditions de sollicitation et glissement

Pour un fluide donné, le glissement peut se manifester sur différentes parois, suivant que la sollicitation imposée se situe dans le domaine linéaire ou en grande déformation [1]. Ainsi, sur la figure 4, sont reportés des essais réalisés en géométrie plans parallèles sur un échantillon de tofu. Le plan supérieur est mobile, piloté en sollicitation dynamique en petites déformations, le plan inférieur est fixe. Considérons dans un premier temps une configuration d’écoulement pour laquelle le plan inférieur est lisse, le plan supérieur mobile pouvant être à paroi lisse ou rugueuse, le test étant dans ce dernier cas mené dans des conditions assurant l’adhérence du matériau à la paroi mobile.

Modules (Pa)

10

5 10

2 10 101

G’

Plan sup. Mobile / Plan inf. Fixe rugueux / lisse lisse / lisse rugueux / rugueux

G’’

w (rad/s)

102

Figure 4. – Cisaillement de tofu à 25 ◦ C entre deux plans parallèles en petites déformations.

54

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

La figure 4 montre clairement que les résultats obtenus diffèrent selon que cette condition est assurée ou pas : les courbes caractéristiques des essais réalisés avec la paroi mobile rugueuse (ronds ou carrés pleins) sont au-dessus des courbes obtenues lorsque les géométries sont toutes deux caractérisées par une surface lisse (ronds ou carrés évidés). Si l’on considère maintenant les essais réalisés avec une partie mobile à paroi rugueuse, assurant donc l’adhérence du matériau, on constate que les résultats ne dépendent pas de l’état de surface, lisse ou rugueux, de la paroi fixe : les courbes représentées par les ronds ou carrés pleins se superposent à celles représentées par les triangles. En fait, dans cet essai, la déformation du fluide est limitée (à 0,5 %) et le glissement ne se manifeste que sur la paroi mobile du rhéomètre plan-plan. Par contre, lorsque ce même fluide est testé en rotation simple en grande déformation, l’adhérence à la paroi supérieure entraînant la déformation n’est plus suffisante pour assurer l’écoulement sans glissement de l’échantillon dans l’entrefer. La figure 5 montre en effet que, la partie mobile étant traitée de manière à assurer l’adhérence du matériau, les mesures dépendent de l’état de rugosité de la partie statique. Il apparaît donc que le glissement peut aussi se manifester au niveau de la paroi statique, la déformation imposée au fluide pouvant devenir excessive. 3500

η (Pa.s) 2800 2100 1400

plan sup. mobile / plan inf. fixe rugueux / lisse rugueux / rugueux

700

t (s) 0 0

1

2

3

4

5

6

Figure 5. – Cisaillement de tofu à 25 ◦ C entre deux plans parallèles en grande déformation.

3.2.2.

Mise en évidence de la fracturation

Les fluides complexes généralement concernés par la fracturation ont une caractéristique commune : ils possèdent une microstructure, à l’échelle mésoscopique, qui leur confère des propriétés spécifiques. Lors de la mise en œuvre de mesures rhéométriques, une fracturation de l’échantillon se manifeste par une séparation de l’échantillon en différentes parties pour lesquelles la vitesse d’écoulement du matériau est différente. Ainsi certaines parties ou couches de l’échantillon peuvent être soumises à des gradients de vitesse d’écoulement supérieurs au gradient de vitesse imposé alors que d’autres parties de l’échantillon peuvent être dans un régime pour lequel le gradient de vitesse est nul. La déformation est alors localisée

Chapitre 3 – Glissement et fracturation dans les fluides complexes

55

dans une partie préférentielle de l’échantillon : le champ de déformation est inhomogène et les conditions de continuité de la mécanique des milieux continus ne sont plus respectées dans l’entrefer de la géométrie de mesure. En conséquence, une sollicitation contrôlée, même uniforme, ne garantit pas une déformation homogène dans l’échantillon. Des comportements complexes, instationnaires et/ou inhomogènes, peuvent donc être observés. Ils sont souvent liés aux modifications de la microstructure et des échelles mises en jeu lorsque le fluide, sollicité en cisaillement, se trouve hors d’équilibre. Des phases de viscosités différentes peuvent alors apparaître au sein de l’échantillon, compliquant l’exploitation des essais de cisaillement, les formules à la base des principes de mesures évoqués ci-dessus ne s’appliquant plus. Concrètement, cet effet peut se traduire de diverses façons lors des essais de rhéométrie : une courbe d’écoulement non monotone ; ou encore l’impossibilité d’atteindre le régime permanent lors d’un essai de démarrage.

3.2.2.1.

´ ´ Ecoulement permanent : courbes d’ecoulement a` minimum de contrainte

La localisation de la déformation qui conduit généralement à la fracturation, peut se manifester pour certains matériaux par la présence d’un minimum de contraintes dans leur courbe d’écoulement. Des auteurs ont mesuré expérimentalement ce phénomène, sur des dispersions d’argile [2], sur des dispersions de fibres de savon [3] ou encore des dispersions d’alumine [4]. On en propose une illustration sur la figure 6, pour un fluide présentant un seuil d’écoulement. Quatre régimes d’écoulement peuvent être identifiés : en deçà du seuil et aux petites déformations, le champ cinématique est homogène. Dans les deux régimes suivants, la déformation n’est pas homogène, la contrainte chute avec le gradient de cisaillement, atteint un plateau, avant d’augmenter de nouveau. Dans les faits, l’épaisseur de la couche cisaillée, « e », évolue en fonction du gradient de vitesse apparent, comme schématisé sur la figure 6. Au-delà d’un gradient de cisaillement donné dans le régime 4, l’échantillon est entièrement cisaillé dans l’entrefer et sa déformation est homogène. Cet effet est associé aux modifications de structure du matériau durant le cisaillement. Il est sans doute lié à une dimension caractéristique, « b », qui peut être la taille des objets en suspension, ou encore à la portée des interactions entre les particules. Il est conforté par des études théoriques [2] et numériques [5]. Ainsi, dans leur théorie, Coussot et al. [2] mettent en évidence l’existence d’une structure sandwich favorisant une transition instable entre un comportement de type solide et un écoulement rapide. Ce comportement peut être associé à ce type de courbes à minimum. Enfin, dans des travaux numériques [5], prenant en compte l’ensemble des interactions au sein d’une dispersion d’argile, Sherwood montre que lors du cisaillement, la structure se casse suivant un seul plan localisé. Toutes les déformations sont alors concentrées dans ce plan, le reste de la structure persistant à être fortement lié. À faible gradient de vitesse, la structure se casse de façon si

56

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

h

e Contrainte seuil Contrainte

v Régime 4 e=h

v Régime 3 b 0,5, critères établis par étalonnage en vue d’obtenir des mesures cohérentes. Cette méthode donne accès aux caractéristiques du matériau pour de faibles sollicitations. Ainsi, le seuil d’écoulement du matériau, difficilement accessible du fait du glissement susceptible de se produire en rhéométrie rotative cône-plan, est directement déterminé par application de la relation ci-dessus. Il est proche de celui que l’on mesure en rhéométrie rotative avec des géométries rugueuses [22]. Par ailleurs, cette méthode permet de connaître l’intensité de la contrainte provoquant l’écoulement pour un matériau thixotrope, sans avoir à extraire l’échantillon du réservoir de stockage. De cette façon, les structures du fluide au repos sont conservées et la valeur du seuil, représentative de ces structures, peut être correctement évaluée.

78

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

(a) Dc=2Rc : diamètre intérieur du cylindre R : rayon de la pale D : diamètre équivalent dC/dt : pente à l’origine ω : vitesse de rotation H : hauteur de la pale

z1

z2

Dc 1000

(b)

Couple (g.cm)

800

Cm

600 400

Cm

200 t (s)

0

0

1000

2000

Figure 19. – (a) Principe du cissomètre. (b) Application de la technique du cissomètre à la détermination du seuil d’écoulement pour des échantillons de graisses. D’après R. Mas, « Rhéologie des graisses lubrifiantes et des adhésifs », Thèse de l’Institut National Polytechnique de Grenoble, Laboratoire de Rhéologie, Grenoble, novembre 1993. Figure reproduite avec l’autorisation du laboratoire.

3.5.5.

Mesures des vitesses de glissement : vélocimétrie laser et autres alternatives

La plupart des méthodes et des études rapportées ci-dessus concernent le glissement dans les polymères fondus ou les solutions concentrées. Elles sont basées sur des mesures mécaniques qui donnent accès à la vitesse de glissement de manière indirecte. L’une des façons la plus simple d’obtenir une mesure directe de la vitesse de glissement est de réaliser des mesures de vélocimétrie par méthodes optiques : vélocimétrie laser par effet Doppler (LDV) et vélocimétrie par imagerie de particules (PIV) en particulier. Ces méthodes optiques non intrusives de mesure de vitesses sont basées sur les propriétés de la lumière diffusée par de fines particules en suspension dans l’écoulement. Pour la LDV par exemple, on fait concourir deux faisceaux de lumière cohérente, souvent issus d’une même source laser. Un réseau de franges d’interférence se crée en leur intersection, constitué de raies alternativement sombres et éclairées, d’épaisseur fixe connue. La lumière diffusée par une particule traversant ce réseau est modulée à une fréquence dite fréquence Doppler, proportionnelle à la composante de la vitesse perpendiculaire aux plans d’interférences. On a ainsi

Chapitre 3 – Glissement et fracturation dans les fluides complexes

79

accès à la vitesse locale, en tout point de l’écoulement, pour peu que le polymère et la filière d’écoulement soient transparents. Cette méthode a été mise en œuvre par de nombreux auteurs. En 2000, Münstedt et al. [29] l’ont testée pour des PE linéaires (HDPE) et ramifiés (LDPE). Les résultats montrent une vitesse de glissement non nulle, à une distance d’environ 50 micromètres de la paroi, pour le HDPE. Pour le LDPE, l’extrapolation des valeurs de vitesses mesurées au voisinage de la paroi, donne une valeur nulle de la vitesse à la paroi. Cette technique, permettant d’obtenir les valeurs de vitesses à la paroi par extrapolation des mesures réalisées dans le volume de l’écoulement, apparaît donc comme suffisamment sensible pour discriminer le comportement aux parois de polymères fondus. On en voit une autre illustration sur la figure 20, représentant le profil de vitesse obtenu lors de l’écoulement d’un polybutadiène (PB) dans une contraction brusque bidimensionnelle. Dans une filière présentant des interactions fortes avec le polymère, l’écoulement est proche d’un écoulement établi avec adhérence à la paroi. Dans une filière de même géométrie, présentant des interactions faibles avec le PB, les mesures de LDV montrent que le polymère s’écoule en bloc, à une vitesse proche de la vitesse moyenne débitante : à 50 micromètres de la paroi, la vitesse est encore pratiquement égale à la vitesse maximale dans la section d’écoulement. -0,5 0

0

0,5

1

1,5

2

y (mm) -0,5

-0,5 0,00

0

-0,05

-0,15 -0,20 Theoretical curve

-1,5

-0,25

1

1,5

P = 25 bar P = 35 bar P = 40 bar mean velocity

-0,10 u/V

0,5

2

2,5

y (mm)

V (mm/s)

-1

2,5

V/Vmean - 25 bar V/Vmean - 35 bar V/Vmean - 40 bar

-2

(a)

-0,30 -0,35

(b)

Figure 20. – Profils de vitesse mesurés par vélocimétrie laser à effet Doppler pour l’écoulement d’un polybutadiène à température ambiante dans une filière bidimensionnelle de 20 mm de longueur ; (a) filière en acier inoxydable, (b) filière à surface traitée PTFE. Publié avec autorisation d’après J.-M. Piau, El Kissi, A. Mezghani ; “Slip flow of polybutadiene through fluorinated dies,” J. Non-Newt. Fluid Mech. 59, 11–30 (1995).

La résolution de cette méthode, basée sur le suivi de particules par méthode optique, est donc limitée par la taille du faisceau laser utilisé, soit couramment 50 micromètres. Si le glissement est confiné dans une couche de paroi inférieure à cette valeur, la vitesse à la paroi est donc évaluée par extrapolation des mesures réalisées dans le volume de l’écoulement : elle n’est toujours pas mesurée effectivement. Des alternatives existent cependant pour réaliser des mesures expérimentales, à une distance de la paroi de l’ordre du micromètre, voire de la centaine de

80

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

nanomètres. Les travaux de Léger et al. [12, 30] ont permis de mettre au point des techniques de champ proche, combinant vélocimétrie laser par ondes évanescentes et suivi de fluorescence de traceurs moléculaires marqués. L’écoulement de Couette d’un PDMS, entre deux plaques de silice polie de rugosité contrôlée, a été analysé par ces techniques et le champ de vitesse déterminé à une distance d’environ 100 nanomètres des parois. Avec ces techniques, il est donc envisageable d’évaluer le glissement dans un plan situé à une distance de la paroi de l’ordre de quelques rayons de giration des chaînes de polymères. Cette technique a été modifiée par Legrand et al. [31] et appliquée à l’écoulement sous pression contrôlée d’un PDMS dans une filière bidimensionnelle. Préalablement à l’écoulement, la surface de la filière est enduite d’un film de PDMS contenant une faible quantité de chaînes marquées. Pendant l’écoulement, la décroissance de l’intensité de fluorescence est mesurée. Elle fournit une information sur le champ de vitesse à une distance de la paroi de l’ordre du micromètre. D’autres méthodes existent : spectroscopie infrarouge par ondes évanescentes appliquée à l’écoulement d’un PB [32], spectroscopie par résonance magnétique appliquée à des solutions de polymères ou de tensioactifs [33,34]… Toutes ces techniques permettent de localiser le plan de glissement avec une résolution pouvant atteindre la centaine de nanomètres. Elles permettent donc de préciser les échelles mises en jeu dans le glissement. Ainsi, elles peuvent aider à tester les schémas théoriques du glissement, basés sur la dynamique moléculaire des chaînes, développés en particulier dans les travaux de de Gennes [11, 13]. Leur résolution ne permet pas cependant de tester le comportement du polymère à une distance de la paroi équivalente au rayon de giration des chaînes polymères : des développements expérimentaux, qui dépassent largement le cadre de notre propos, sont encore nécessaires.

3.6. Prendre en compte la fracture de l’échantillon 3.6.1.

Mesures en régime dynamique

Le résultat de la figure 7 sur le tofu montre les limites d’une caractérisation en cisaillement en régime permanent du fait de la fracturation de l’échantillon. Accentuée lors d’essais en grandes déformations, la fracturation est en effet limitée lors de cisaillements dynamiques oscillatoires, mettant en jeu des niveaux de déformations plus faibles. La mesure des modules complexes G’ et G” et le calcul de la viscosité en régime dynamique apparaissent alors comme une alternative pertinente en vue de la caractérisation de ces matériaux aux grandes déformations. La relation empirique dite de Cox-Merz (1958) permettant d’évaluer la viscosité en régime permanent, à partir de mesures réalisées en régime dynamique, s’applique en viscoélasticité linéaire et a été vérifiée et utilisée de nombreuse fois, notamment pour les solutions de polymères fondus, qui présentent un important domaine linéaire viscoélastique. Rappelons qu’il s’agit là d’une relation empirique, qui n’a aucun fondement théorique.

Chapitre 3 – Glissement et fracturation dans les fluides complexes

81

Pour les fluides à seuil, le domaine de viscoélasticité linéaire est restreint et la loi de Cox-Merz ne s’applique pas en l’état. Une alternative permettant d’accéder à la viscosité en régime permanent, à partir de mesures réalisées en régime dynamique pour ce type de fluides, a été proposée par Doraiswamy et al. [35] sous l’appellation de loi de Rutgers-Delaware. Ces auteurs exploitent un modèle rhéologique non linéaire, combinant un domaine élastique en dessous d’une déformation critique, et au delà, un comportement visqueux rhéofluidifiant. Ce modèle peut s’écrire : τ

=

Gγ

pour

γ < γc (22)

τ = τs

+K γ˙ n

pour

γ > γc

Ce qui correspond à un matériau purement élastique caractérisé par un module G pour une déformation inférieure à la déformation critique. Au-delà de cette déformation, le matériau s’écoule suivant la loi d’Herschel-Bulkley. La loi de RutgersDelaware s’énonce alors : η · (γ ω) = η(γ˙ )

pour

γ ω = γ˙

(23)

Expérimentalement, les meilleurs résultats sont obtenus aux déformations les plus élevées, typiquement pour γ > 5γ c , comme illustré sur la figure 21 pour une solution de polymère chargé.

Figure 21. – Viscosité en régimes permanent et dynamique pour différentes valeurs de la déformation imposée à une solution de polymère chargé à 20 ◦ C. D’après Rémi Mas ; « Rhéologie des graisses lubrifiantes et des adhésifs », thèse de l’Institut National Polytechnique de Grenoble, 1993. Figure reproduite avec l’autorisation du laboratoire.

Cette figure permet de comparer la viscosité de la suspension en régime permanent et en régime dynamique, en fonction du gradient de cisaillement d’une part, du produit de la déformation par la vitesse angulaire d’autre part. En cisaillement permanent et aux faibles gradients de cisaillement, le comportement est dominé par les effets de seuil, illustré par une pente −1 de la courbe de

82

La mesure en rhéologie : Des avancées récentes aux perspectives

viscosité. Aux cisaillements plus élevés, les effets de rhéofluidification se manifestent et la pente augmente. En régime dynamique, l’étude est réalisée pour des déformations comprises entre 1 et 200 %. Les courbes de viscosité obtenues dépendent de la déformation imposée. Par ailleurs, et jusqu’à 100 % de déformation, les courbes obtenues en régime dynamique convergent vers la courbe obtenue en régime permanent, pour les cisaillements les plus élevés. Pour les déformations supérieures, à 200 % notamment, les courbes obtenues en régime dynamique et en régime permanent se superposent. Ce résultat valide la loi énoncée par Doraiswamy et al. [35] pour les grandes déformations, c’est-à-dire dans des conditions pour lesquelles la fracturation est susceptible d’intervenir. Ce phénomène de fracturation étant plus marqué en régime permanent, il est donc plus approprié de caractériser les matériaux en régime dynamique : en grande déformation, la relation de Rutgers Delaware offre alors une alternative, permettant d’évaluer le comportement visqueux des fluides complexes en régime permanent, en s’affranchissant des phénomènes de fracturation.

3.6.2.

Régimes d’écoulement et de visualisation du champ de déformation : exemple d’une dispersion thixotrope d’argile

Des observations du champ de déformation combinées aux mesures rhéométriques ont permis de montrer l’existence d’instabilités d’écoulement sur une dispersion thixotrope d’argile dont la courbe d’écoulement est non monotone. Les localisations de la déformation observées par une technique de marquage (figure 12) mettent en évidence la difficulté dans ces matériaux d’obtenir une mesure correcte de la contrainte correspondant à une propriété de volume du matériau. En effet, on peut voir sur la courbe d’écoulement (figure 22) que, pour un niveau de contrainte donnée, deux valeurs du gradient de cisaillement sont possibles. Laquelle de ces deux valeurs correspond à une propriété du matériau et laquelle de ces deux valeurs correspond à un artéfact de mesure dû à la localisation de la déformation, c’est ce dont nous allons discuter dans ce paragraphe.

3.6.2.1.

´ Fluide etudi e´

L’argile synthétique étudiée, la Laponite XLG, est fabriquée par Laporte Industrie. Sa composition chimique est la suivante : 66,2 % de SiO2 , 30,2 % de MgO, 2,9 % de Na2 O et 0,7 % de Li2 O, ce qui correspond à la formule chimique : Si8 [Mg5,5 Li0,4 H4,0 O24,0 ]0,7− Na0,7+ 0,7 La procédure de mise en suspension est la suivante : la poudre d’argile est mélangée dans une solution d’eau distillée et de NaCl à une concentration de 10−3 mol·L−1 . À une température d’environ 20 ◦ C, l’agitation s’effectue à l’aide d’une pale

Chapitre 3 – Glissement et fracturation dans les fluides complexes

83

200 φ = 1,6 % v

Contrainte (Pa)

100

φ = 1,2 % v

Broutement

φ = 0,80 % v

φ = 0,60 % v

φ = 0,48 %

10

v

Régime 2 Localisation dans une couche d'épaisseur e = quelques fois b

Régime 3 Cisaillement d'une couche d'épaisseur e b