La integral de Lebesgue en RN: Teoría y problemas 9788491340614

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LA INTEGRAL DE LEBESGUE EN RN TEORÍA Y PROBLEMAS

LA INTEGRAL DE LEBESGUE EN RN TEORÍA Y PROBLEMAS

José M. Mazón Ruiz

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

Colección: Educació. Laboratori de Materials, 71

Este texto ha sido publicado en el marco de los programas desarrollados dentro de la «Convocatoria del Ministerio de Educación y Ciencia para la financiación de la adaptación de las instituciones universitarias al Espacio Europeo de Educación Superior» (septiembre de 2006)

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© Del texto: el autor, 2016 © De esta edición: Universitat de València, 2016 Maquetación: el autor Diseño de la cubierta: Celso Hernández de la Figuera ISBN: 978-84-9134-061-4

A mi esposa Claudia

´Indice Prefacio

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Cap´ıtulo I: Notas Hist´ oricas 1.1 Desde la matem´atica griega hasta el nacimiento del c´alculo . . 1.2 El conceto de integral en Newton y Leibniz . . . . . . . . . . . 1.3 El concepto de integral desde Newton y Leibniz hasta Riemann 1.4 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue . . . .

15 15 18 22 27 28

Cap´ıtulo II: La Integral de Lebesgue en RN 2.1 Conjuntos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Funciones superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Funciones integrables Lebesgue . . . . . . . . . . . . 2.5 Caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann 2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 43 46 53 58 67

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Cap´ıtulo III: Teoremas de convergencia 71 3.1 El Teorema de la Convergencia Mon´otona . . . . . . . . . . . 71 3.2 El Teorema de la Convergencia Dominada . . . . . . . . . . . 76 3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Cap´ıtulo IV: El Teorema de 4.1 El Teorema de Fubini . 4.2 Ejemplos . . . . . . . . 4.3 Problemas . . . . . . .

Fubini 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9

´INDICE

10 Cap´ıtulo V: Funciones y conjuntos medibles 5.1 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 El criterio de integrabilidad de Tonelli-Hobson . . . 5.3 Conjuntos medibles. La medida de Lebesgue en RN 5.4 Medibilidad de los conjuntos de Borel . . . . . . . . 5.5 Caracterizaci´on de las funciones medibles . . . . . . 5.6 Un ejemplo de un conjunto no medible . . . . . . . 5.7 La medida exterior de Lebesgue . . . . . . . . . . . 5.8 Los teoremas de Egorov y de Luzin . . . . . . . . . 5.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap´ıtulo VI: Transformaci´ on de integrales 6.1 Transformaci´on de coordenadas . . . . . . 6.2 F´ormula cambio de variable: caso lineal . . 6.3 F´ormula cambio de variable: caso continuo 6.4 F´ormula cambio de variable: caso general . 6.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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95 95 98 101 104 107 110 113 118 123

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127 . 127 . 130 . 135 . 142 . 146 . 150

Cap´ıtulo VII: Algunas t´ ecnicas de c´ alculo 7.1 El principio de Cavalieri. Vol´ umenes de 7.2 Funciones definidas por integrales . . . 7.3 Integrales Eulerianas . . . . . . . . . . 7.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .

cuerpos de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153 153 156 159 174

Cap´ıtulo VIII: Los espacios Lp 8.1 Integraci´on de funciones complejas 8.2 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . 8.3 Convoluci´on de funciones . . . . . . 8.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . .

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177 177 179 185 194

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Cap´ıtulo IX: Solucion de los Problemas 9.1 Problemas del Cap´ıtulo 2 . . . . . . . 9.2 Problemas del Cap´ıtulo 3 . . . . . . . 9.3 Problemas del Cap´ıtulo 4 . . . . . . . 9.4 Problemas del Cap´ıtulo 5 . . . . . . . 9.5 Problemas del Cap´ıtulo 6 . . . . . . . 9.6 Problemas del Cap´ıtulo 7 . . . . . . . 9.7 Problemas del Cap´ıtulo 8 . . . . . . .

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199 . 199 . 212 . 228 . 238 . 251 . 265 . 277

´INDICE

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Bibliograf´ıa

293

´Indice Anal´ıtico

294

Prefacio La integral de Riemann, que se estudia en los cursos de An´alisis de una variable real, es un instrumento u ´til para el c´alculo elemental, sin embargo, no cubre todas las necesidades del An´alisis. Por ello, en esta monograf´ıa, que dedicamos a la integraci´on, estudiamos la integral de Lebesgue para funciones de varias variables. Esta integral representa un gran avance con respecto a la integral de Riemann ya que permite integrar mayor cantidad de funciones y hacerlo sobre una familia m´as extensa que la de los conjuntos medibles Jordan; pero sobre todo, la teor´ıa de Lebesgue nos proporciona un instrumento de gran utilidad, los teoremas de la convergencia, teoremas que nos permiten integrar t´ermino a t´ermino una sucesi´on de funciones. Para el desarrollo de la integral de Lebesgue no hemos seguido el m´etodo tradicional e hist´orico de introducir primero la medida y despu´es la integral aunque sabemos que es de gran utilidad, sino que hemos seguido el m´etodo de Daniell, por el cual hacemos un desarrollo de la integral independiente de la medida. Siendo la integral lo que nos interesa principalmente, consideramos adecuada esta elecci´on, debido a que por ambos m´etodos se llega a los mismos resultados de integraci´on y con el elegido no necesitamos desarrollar la teor´ıa de la medida. Tambi´en queremos hacer notar que no hemos desarrollado el m´etodo de Daniell en toda su generalidad, es decir partiendo de un ret´ıculo vectorial de funciones reales, sino, que hemos partido del ret´ıculo de las funciones escalonadas. Esta monograf´ıa recoge en una forma m´as elaborada distintos cursos impartidos en la Universitat de Valencia. Un material tan cl´asico como el tratado aqu´ı se presta poco a la originalidad, no obstante, esperamos haber aportado nuestra visi´on personal y nuestra experiencia en esta materia. Valencia, Verano de 2016 Jos´e M. Maz´ on Ruiz 13

Cap´ıtulo I Notas Hist´ oricas En estas notas hist´oricas veremos de forma sucinta como ha ido evolucionando el concepto de integral desde la matem´atica griega hasta la obra definitiva de Henri Lebesgue que con su integral cre´o la herramienta perfecta desde el punto de vista de la integraci´on de funciones reales de varias variables reales.

1.1

El concepto de integral desde la matem´ atica griega hasta el nacimiento del c´ alculo

Los conceptos relacionados con la teor´ıa de integraci´on est´an presentes desde la prehistoria de la matem´atica griega cuyos m´as viejos problemas conciernen a la computaci´on de longitud de curvas, a´reas de superficie y vol´ umenes de s´olidos. Los primeros en considerar este tipo de problemas fueron Anaxagoras, que consider´o el problema de la cuadratura del c´ırculo e Hip´ocrates que calcul´o a´reas de regiones planas limitadas por arcos, en el siglo V a.C. Este periodo culmina con la sistematizaci´on por Eudoxo del m´etodo de exhausci´ on que Anexagoras con tanto ´exito aplic´o Arqu´ımedes en sus geniales cuadraturas y cubaturas (i.e., c´alculo de a´reas y vol´ umenes) que le permitieron calcular a´reas y vol´ umenes de esferas, cilindro, etc. El m´etodo de exhauci´on se basa en el axioma de continuidad (tambi´en denominado axioma 15

16

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

de Arqu´ımedes): “toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracci´on de una cantidad determinada”. Seg´ un Arqu´ımedes, fue Dem´ocrito, fundador del atomismo, quien obtuvo el volumen de la pir´amide y del cono como la tercera parte de los correspondientes prismas y cilindros respectivos de igual base y altura. La idea de Dem´ocrito es que dos s´olidos compuestos de iguales secciones paralelas a iguales distancias de sus bases deben tener el mismo volumen, lo que anticipa el famoso principio de Cavalieri. Arqu´ımedes no ten´ıa un concepto de integral pero su m´etodo tiene mucha similitud con la definici´on de integral de Cauchy-Riemann, ya que su m´etodo para calcular a´reas consiste en comprimirla entre pol´ıgonos inscritos y circunscritos. Desde la matem´atica griega, hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener avances significativos. Estos comienzan con el m´etodo de Descartes (1596-1650) para construir normales a curvas y de Fermat (1601-1665) para el c´alculo de m´aximos y m´ınimos. Respecto a la teor´ıa de la integraci´on, el resurgimiento comienzan con el alumno de Galileo, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) y su teor´ıa de los indivisibles, que expuso en “Geometr´ıa indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota” (1635). Esta teor´ıa estudia las magnitudes Cavalieri geom´etricas como compuestas de un n´ umero infinito de elementos, o indivisibles, que son los u ´ltimos t´erminos de la descomposici´on que se puede hacer. La medida de las longitudes, de las superficies y de los vol´ umenes se convierte en efectuar la suma de la infinidad de indivisibles: es el principio del c´alculo de una integral definida, aunque sin la noci´on rigurosa moderna de paso al l´ımite. El m´etodo de Cavalieri es m´as flexible que el m´etodo de exhauci´on empleado por los griegos aunque es menos riguroso, y esto es as´ı debido a que Cavalieri se liber´o de la prohibici´on Aristot´elica del uso del infinito en acto: “no es posible que el infinito exista como un ser en acto o como una sustancia y un principio”, escribe Arist´oteles en la F´ısica, donde tambi´en escribe que “el infinito existe potencialmente. La magnitud no es actualmente infinita, aunque infinitamente divisible”. El desv´ıo de Cavalieri del aristotelismo le vali´o la cr´ıtica, entre otros, de dos matem´aticos jesuitas: Paul Guldin (1577-1643), que adem´as lo acus´o de pragiar a Kepler, y de Andr´e Tacquet (1612-1660). La mayor flexibilidad de su m´etodo le llevo a calcular cuadraturas m´as generales que las calculadas por Arqu´ımedes. La teor´ıa de los indivisibles de Cavalieri fue usada en 1643

1.1. Desde la matem´atica griega hasta el nacimiento del c´alculo

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por Evangelista Torricelli (1608-1647) para calcular vol´ umenes de cuerpos de revoluci´on. De esta ´epoca son tambi´en de destacar los resultados sobre cuadraturas del jesuita belga Gr´egorie de Saint-Vincent (1584-1667) en su obra “Opus Geometricum” (1647). De dichos resultados es de destacar la relaci´on que Saint-Vincent encontr´o entre el ´area encerrada por la hip´erbola con los logaritmos, mostrando que si la longitud de los intervalos va creciendo geom´etricamente, el a´rea encerrada crece aritm´eticamente. Uno de los cr´ıticos de Cavalieri, Guldin, tambi´en hizo una importante aportaci´on al c´alculo de vol´ umenes de figuras de revoluci´on, el hoy d´ıa conocido como Teorema de Pappus-Guldin, conocido as´ı pues ya aparece en la obra de Pappus de Alenjandr´ıa del 340 a.C., y que afirma que “El volumen de un s´ olido de revoluci´ on generado mediante la rotaci´ on de un ´ area plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del ´ area por la distancia recorrida por su centroide en una rotaci´on completa alrededor del eje”. Como consecuencia de este resultado se tiene, por ejemplo, que el volumen de un toro de radio menor r y radio mayor R es V = (πr2 )(2πR) = 2π 2 r2 R. John Wallis (1616-1703), que ocupaba la C´atedra Savilian de Geometr´ıa en la Universidad de Oxford desde 1649, se dedic´o a ampliar y sistematizar los m´etodos de an´alisis de Descartes y Cavalieri. Sus resultados los public´o en 1656 en su monograf´ıa “Arithmetica Infinitorum”, donde transforma los razonamientos geom´etricos de Cavalieri y Torricelli en argumentos puramente aritm´eticos. Por ejemplo, Wallis obtiene la cuadratura de la par´abola y = a1 x2 entre el intervalo en n trozos de longitud na , sumando  x = 0 y x = a, partiendo  a n

a n2

2

+ n4a2 + · · · + nn2a y haciendo tender n a infinito, para el cual Wallis fue el primero en utilizar el s´ımbolo ∞. Usando un forma ingeniosa para el calculo del l´ımite obtiene el resultado 31 a2 . Wallis se liber´o completamente de la prohibici´on Aristot´elica sobre el infinito, lo que le permiti´o obtener fascinantes resultados como, por ejemplo, la f´ormula para el c´alculo de π que hoy en d´ıa lleva su nombre 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 8··· π=2 . 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7···

En el a˜ no 1658 Blaise Pascal lanza un desaf´ıo a los matem´aticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide, i.e., de la curva generada por un punto perteneciente a una circunferen-

Wallis

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Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

cia generatriz al rodar sobre una l´ınea recta directriz, sin deslizarse. En 1659, Wallis publica un tratado con la soluci´on al problemas propuesto por Pascal. En ´el, explica c´omo los principios aportados en su Arithmetica Infinitorum pueden utilizarse para la rectificaci´on de curvas algebraicas.

1.2

El conceto de integral en Newton y Leibniz

Aunque el m´erito de descubrir que la diferenciaci´on y la integraci´on eran operaciones inversas es de Newton y Leibniz, el primero en vislumbrarlo fue el maestro de Newton, Isaac Barrow (1630-1677) que en su obra de 1670 “Lectiones Geometricae”, usando algunas ideas de Fermat y de forma muy rudimentaria lleg´o a lo que hoy en d´ıa se conoce como regla de Barrow o segundo Teorema fundamental del c´alculo integral, que en lenguaje moderno se escribe como Z b f 0 (x) dx = f (b) − f (a).

Newton

a

Como mucho historiadores se˜ nalan, que Barrow no tenga la paternidad de inventor del C´alculo, se debi´o a su desconocimiento de la geometr´ıa anal´ıtica de los franceses Fermat y Descartes, hecho que no le permiti´o pasar de problemas concretos a problemas generales. Esta paternidad corresponde a dos de los m`as grandes cient´ıficos del siglo XVII, Isaac Newton (1643-1727) y Gotfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), que lo descubrieron de forma independiente, aunque en su ´epoca hubo una gran pol´emica sobre la prioridad, e incluso acusaciones de plagio, que los historiadores han desvelado no ciertas. Aunque los dos llegaron a los conceptos que hoy denominamos derivada e integral y desarrollaron algoritmos para su c´alculo, que aplicaron para resolver problemas de tangentes, m´aximos y m´ınimos, cuadraturas, centros de gravedad, etc, lo hicieron de forma diferentes e incluso usando notaciones diferentes. Newton concibi´o los conceptos de fluentes (una variable considerada como funci´on del tiempo) y de fluxi´on de la fluente (la derivada de la variable respecto al tiempo), mientras que Leibniz concibi´o los de diferencial e integral.

1.2. El conceto de integral en Newton y Leibniz

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Uno de los primeros descubrimientos matem´aticos de Newton, que realiz´o en el invierno de 1664-1665 pero que no hizo p´ ublico hasta diez a˜ nos despu´es, es el descubrimiento del Teorema binomial para potencias fraccionarias en el m que expresa (a + x) n mediante una serie de potencias. Este resultado, que lo obtuvo mediante una generalizaci´on del metodo inductivo que usaba Wallis para obtener cuadraturas, fue esencial en el c´aculo infinitesimal de Newton pues a partir de ´el encontr´o desarrollos de la mayor parte de las funciones elementales. En su primera obra sobre c´alculo, “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas”, que finaliz´o en 1669 pero que no public´o hasta 1711, da la f´ormula para el a´rea encerrada por par´abolas generalizadas del m tipo y = x n . Ahora, lo importante no es la f´ormula sino el m´etodo, ya que lo hace encontrando una primitiva de la funci´on y aplicando el Teorema fundamental del c´alculo. Su segunda obra “De mothodis serierum et fluxiorum”, escrita en 1670-1671, est´a dedicada fundamentalmente a presentar sus conceptos de fluente y fluxi´on. En esta obra a´ un no utiliza ning´ un tipo especial de notaci´on, fue en el a˜ nos 1690 cuando Newton introduce la notaci´on x˙ para denota la fluxi´on de x, xo ˙ para su momento y x¨ para su segunda fluxi´on. Newton no us´o una notaci´on simple para el a´rea encerrada bajo una curva. Generalmente lo dice con palabras o en algunos casos us´o la notaci´on  xa2 para el a´rea bajo la curva de ecuaci´on y = xa2 . En De methodis Newton pone a prueba su nuevo c´alculo solucionando una serie de problemas, como son: encontrar m´aximos y m´ınimos, tangentes, curvaturas y longitudes de arcos, por medio del c´alculo de fluxiones y de la aplicaci´on del Teorema fundamental del c´alculo. Es en este contexto donde plantea el problema de de la integraci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias. Hasta la publicaci´on de De methodis, Newton se describe a s´ı mismo como un promotor del “nuevo an´alisis”. Sin embargo, en los a˜ nos 1670, consciente de los problemas de fundamentaci´on l´ogica de su c´alculo de fluxiones, lo abandona en favor de una geometr´ıa de las fluxiones que no emplea cantidades infinitesimales. Este es el lenguaje que usa en su obra cumbre “Philosophicae Naturalis principia Mathematicae” (1687). En 1673 Leibniz generaliz´o la idea de Pascal de los “tri´angulos caracter´ıstico” desarrollada en su obra “Trait´e des sinus du quart de cercle”. Dicha idea consiste en pensar una curva como una poligonal constituida por una cantidad indefinida de lados infinitesimales cuya prolongaci´on proporciona la tangente a la curva. Al a˜ no siguiente obtiene un algoritmo para el c´alculo de cuadraturas, denominado “teorema de transmutaci´on”, y que es equivalente

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Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

a la integraci´on por partes, y que el propio Leibniz expresa en 1714 como Z Z ydx = xy − xdy. R Leibniz fue el introductor del s´ımbolo para la integraci´on en 1675, anteriormente ´el usaba, siguiendo a Cavalieri, el s´ımbolo “omn” para la integral. En estas fechas empieza a desarrollar su teor´ıa de sumas y diferencias de cantidades infinitesimales que culminar´ıa con su c´alculo diferencial e integral. Tambi´en introdujo el s´ımbolo d para la diferencial, s´ımbolo que al igual que el de la integraci´ R on se sigue usando hoy en d´ıa. Los s´ımbolos d e aplicados a una cantidad finita x generan una cantidad infinitamente peque˜ na e indefinidamente grande, respecR Leibniz tivamente. Los s´ımbolos d e se pueden aplicar iterativamente, de forma que Rddx R es infinitamente peque˜ n o comparado con dx e x es infinitamente grande comparado con R x. Tambi´en usa la abreviatura de dn para dd . . . d (n veces). El c´alculo de Leibniz no trata con “funciones” y “derivadas” si no con dy no se lee progresiones de cantidades variables y sus diferencias. Por ello, dx como la derivada de la funci´on y(x), si no como la raz´on entre las cantidades diferenciales dy y dx. Esto hace que su manipulaci´on algebraica sea muy sencilla. Por ejemplo, la regla de la cadena no es otra cosa que dy dy dz = . dx dz dx Leibniz calcula la diferencial del producto de la siguiente forma: d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = xdy + ydx, hab´ıendo omitido dxdy al ser infinitamente peque˜ no respecto las otras cantia dades. La diferencial de la la funci´on y = x b la obtiene de la forma siguiente. Como y b = xa , tomando diferenciales nos queda que by b−1 dy = axa−1 dx, a−b a con lo que d(x b ) = ab x b dx. Razonando de forma similar llega a que
a d x1a = − xa+1 . Leibniz public´o su c´alculo diferencial en 1684 en un art´ıculo titulado “Nova metodus promaximis et minimins, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro ills calculi

1.2. El conceto de integral en Newton y Leibniz

21

genus”, que publico en la revista cient´ıfica Acta Eruditorum de la que fue cofundador dos a˜ nos antes. En esta revista public´o toda su obra cient´ıfica. En un segundo art´ıculo “De geometria recondita et analysi indivisibilum atque infinitorum”, publicado en las Acta Eruditorum el 1686, desarrolla su c´alculo integral, insistiendo en la relaci´on inversa de la diferenciaci´on e integraci´on (Teorema fundamental del c´alculo). En este art´ıculo escribe: “Pues como las potencias y las ra´ıces en los c´alculos comunes, las sumas y las diferencias, o R y d, son rec´ıprocas” tangentes, es
2 ... “De lo que expuse en el m´etodo
de R 1 1 2 evidente que d 2 x = xdx, por lo tanto la rec´ıproca es 2 x = xdx”. En este art´ıculo Leibniz utiliza el cambio de variable y la integraci´on por partes como m´etodos para c´acular integrales. Adem´as de estos dos art´ıculos, Leibniz public´o entre 1684 y 1708 una gran cantidad de art´ıculos sobre c´alculo infinitesimal en las Acta Eruditorum. Aunque en su ´epoca hubo una gran disputa por quien de los dos tiene la prioridad por la invenci´on del calculo infinitesimal, hoy en d´ıa no hay duda de que Newton y Leibniz descubrieron la misma cosa aunque con m´etodos diferentes, lo que hace que sus c´alculos aunque equivalentes no son iguales. Incluso su aptitud sobre la fundamentaci´on de sus c´alculos es diferente. Ambos est´an de acuerdo que los pasos al l´ımite sirven para fundamentar sus c´alculos, pero para Leibniz esto era un movimiento ret´orico en defensa de su algoritmos diferencial, mientras que para Newton era un programa que se deb´ıa de implementar y ´el adem´as comenz´o con dicho programa que finaliz´o Cauchy. Sin embargo la fundamentaci´on l´ogica del c´alculo de Leibniz tuvo que esperar hasta la aparici´on del An´alisis no est´andar en la d´ecada de 1960-70. Los algoritmos de Newton y Leibniz se relacionan mediante la correspondencia entre x˙ y dx, que permite una traslaci´on f´acil entre sus resultados. La mayor ventaja de los algoritmos de R Leibniz est´a en su signo de integraci´on. Con el simbolismo de Leibniz ydx la variable de integraci´on queda expl´ıcitamente indicada, sin embargo en la simbolog´ıa de Newton y o Qy necesita ir acompa˜ nada de una explicaci´on verbal. Esto le da una gran ventaja al c´alculo integral de Leibniz, por ejemplo en la integraci´on por sustituci´on y por partes. Esta ventaja fue reconocida incluso por matem´aticos de la escuela de Newton como Maclaurin (1774). Adem´as de estas diferencias, el cambio de Newton hac´ıa los m´etodos geom´etrico, en los principia, hicieron que fuera la escuela de Leibniz la que desarrollar´a el c´alculo infinitesimal.

22

1.3

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

El concepto de integral desde Newton y Leibniz hasta Riemann

El primer libro de texto sobre el c´alculo infinitesimal, el “Analyse des infiniment petit”, fue publicado en 1696 por el Marqu´es de L’Hopital a partir de las clases particulares que sobre la teor´ıa desarrollada por Leibniz le dio el alumno ´este Johann Bernouilli (1667-1748). Ahora la primera gran monograf´ıa sobre c´alculo diferencia, “Institutiones Calculi differentialis” (1748), se debe al mejor alumno de Johann Bernouilli, a Leonhard Euler (1707-1783). En esta monograf´ıa Euler se aleja de los m´etodos geom´etricos, en la introducci´on esEuler cribe “as´ı que en la explicaci´ on de las reglas de este c´alculo no se necesita ninguna figura geom´etrica”. Esta obra esta escrita en un lenguaje algebraico, siendo fundamental la noci´on de funci´on, que Euler entiende como: “Una funci´ on de una cantidad variable es una expresi´on anal´ıtica compuesta de cualquier manera de cantidades variables y n´ umeros o cantidades constantes”. Esta definici´on corresponde al primer volumen de su obra, en el segundo volumen, a dichas funciones las denomina continuas, denominando funciones discontinuas a aquellas que est´an expresadas por m´as de una expresi´on anal´ıtica, como por ejemplo  para x ≥ 0  x y(x) =  −x para x < 0. Este cambio de aptitud le vino a Euler por su estudio de la ecuaci´on de la cuerda vibrante. Si u(t, x) representa la posici´on de una cuerda que vibra en el tiempo t y la posici´on x, Brook Taylor en 1713 deriv´o para u la ecuaci´on 2 ∂ 2u 2∂ u = c . ∂t2 ∂x2

(1.1)

En 1747 Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), encontr´o la soluci´on general de la ecuaci´on (1.1) en la forma u(t, x) = f (ct + x) + g(ct − x),

1.3. El concepto de integral desde Newton y Leibniz hasta Riemann

23

para “arbitraria” funciones f y g. Un a˜ no despu´es, y de forma independiente, Euler lleg´o a la misma soluci´on. Fue entonces, que por razones de tipo f´ısico, Euler admiti´o las funciones discontinuas, aunque hubo que esperar hasta los comienzos del siglo XIX, para que Dirichlet y tambi´en motivado por otra ecuaci´on en derivadas parciales, la ecuaci´on del calor, diera el concepto general de funci´on que conocemos hoy en d´ıa. Si Euler inici´o la algebrizaci´on del an´alisis, quien culmin´o dicho proceso en el siglo XVII fue Joseph Louis Lagrange (1736-1813), con su obra “Th´eorie des fonctions analitiques” (1798), donde desarrolla todo el c´alculo infinitesimal basado fundamentalmente en el desarrollo de las funciones en series de potencias. En dicha obra escribe textualmente: “teor´ıa de funciones anal´ıticas comprende los principales teoremas del c´ alculo diferencial sin las nociones de infinitamente peque˜ no, o cantidades que desvanecen, de l´ımites y fluxiones, completamente presentados en la forma de un an´ alisis algebraico de cantidades finitas”. Introduce los conceptos de “funci´on derivada” y “funci´on primitiva”, que considera como procesos inversos. Lagrange, dada una funci´on f (x), considera su expansi´on en serie de potencias f (x + i) = f (x) + pi + qi2 + ri3 + . . . , define su “funci´on derivada” f 0 (x) como el coeficiente p = p(x) del t´ermino lineal de la expansi´on. Lagrange intenta fundamentar su an´alisis en argumentos algebraicos para evitar el infinito, pero no se dio cuenta de que la expansi´on en series de potencias se basan en el infinito y presuponen el concepto de l´ımite. Ahora, los fundamentos no era un problema importante en el siglo XVIII, en este siglo lo importante era la aplicaci´on de la gran herramienta del c´alculo a los problemas de la Ciencia. La famosa sentencia de Galileo Galilei, “Il libro della natura ´e scritto in lingua matematica”, era la gu´ıa de los matem´aticos de esta ´epoca, y para ellos la “lingua matematica” era fundamentalmente el c´alculo infinitesimal. Todos las grandes matem´aticos de esta ´epoca hicieron aplicaciones del c´alculo diferencial a otras ramas de la ciencia, siendo de destacar las aportaciones de Johann y Daniel Bernouilli a la Hidrodin´amica, Euler a la Mec´anica de fluidos, d’Alembert a la Din´amica, Laplace a la Mec´anica celeste, etc. La obra de Lagrange tuvo una gran influencia en Pierre-Simon Laplace (1749-1827), que en su libro “Trait´e de M´ecanique C´eleste” dedica un apartado a la expansi´on de funciones en series de potencias y su aplicaci´on al c´alculo de o´rbitas planetarias. Tambi´en, siguiendo los estudios sobre ecuaciones

24

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

diferenciales iniciados por Euler y Lagrange, en 1785 Laplace, por medio de integraci´on, encontr´o un m´etodo sencillo para resolver algunas ecuaciones diferenciales; lleg´o a lo que hoy en d´ıa se denomina la transformada de Laplace, i.e., el funcional que una funci´on f : [0, ∞[→ C le asocia la funci´on Z ∞ f (t)e−st dt, L(f )(s) := 0

y que con respecto a la derivada cumple L(f 0 )(s) = sL(f )(s) − f (0), y por tanto transforma algunas ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. En el siglo XVIII no hubo ning´ un avance en el concepto de integral. Hay que esperar a la primera mitad del siglo siguiente para que el hito que supuso la obra de Jean-Baptiste-Joseph Fourier (17681830) en la matem´atica influyera de forma decisiva en los avances en el concepto de integral. Fourier, siguiendo el esp´ıritu de la matem´atica del siglo XVIII hacia las aplicaciones, present´o en 1807 a la Academia de Ciencias de Par´ıs su memoria sobre “La propagaci´on del calor en los cuerpos s´ olidos” Debido a su falta de rigor, Lagrange y Laplace se Fourier opusieron a que se publicara, pero vieron la importancia del tema y lo propusieron el estudio matem´atico de la propagaci´on del calor como tema para el premio de 1811. Fourier volvi´o a presentar su trabajo anterior con ciertas modificaciones y gan´o el premio. Sigui´o trabajando sobre este tema y en 1822 public´o su famosa monograf´ıa “Th´eorie analytique de la chaleur” donde expone su teor´ıa sobre la propagaci´on del calor en los s´olidos basada en lo que hoy en d´ıa se conoce como ley de Fourier que afirma que “el flujo de calor es proporcional al gradiente de la temperatura”. Dicha ley junto a la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa da lugar a la denominada ecuaci´on del calor ut = k∆u, (1.2) donde u(t, x) es la temperatura en el tiempo ty el lugar x, k es una constate, que depende del material donde se difunde el calor y ∆ es el operador diferencial

1.3. El concepto de integral desde Newton y Leibniz hasta Riemann

∆u =

25

N X ∂ 2u i=1

∂x2i

denominado Laplaciano, ya que fue Laplace quien la introdujo en 1782 dando con ello un cambio sustancial al estudio de la gravitaci´on. Laplace demostr´o que el potencial gravitacional V de una masa m situada en un punto (x, y, z) provocado por una masa M colocada en el origen, que viene dado por V (x, y, z) = −

GmM , k(x, y, z)k

Laplace

satisface la ecuaci´on ∆V =

∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

En 1813, Poisson demostr´o que si el cuerpo atrayente D tiene densidad ρ, entonces el potencial gravitacional que crea satisface en D la ecuaci´on ∆V = −4πρ, que se conoce como ecuaci´on de Poisson. Para resolver la ecuaci´on del calor Fourier introdujo el m´etodo de separaci´on de variables que le llev´o al estudio de un tipo especial de series trigonom´etricas que hoy en d´ıa se denominan series de Fourier y que son el origen del An´alisis Arm´onico. La validez del m´etodo de separaci´on de variables depend´ıa de la hip´otesis de que una funci´on arbitraria f , que representa la distribuci´on inicial de la temperatura, se pudiera expresar como una serie trigonom´etrica, concretamente, si f est´a definida en [−π, π], entonces, ∞

f (x) =

a0 X + (an cos nx + bn sen nx). 2 n=1

La igualdad anterior era considerada por Fourier como una ecuaci´on con infinitas inc´ognitas a0 , a1 , . . . , b1 , b2 , . . . ; y obten´ıa dichas inc´ognitas, denominadas coeficientes de Fourier de la funci´on f , por integraci´on. Z Z 1 π 1 π an = f (x) cos nx dx, bn = f (x) sen nx dx. π −π π −π

26

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

Aqu´ı admit´ıa Fourier un hecho que ser´ıa de gran trascendencia en el desarrollo de la teor´ıa de la integraci´on, que la integral de una suma infinita es la suma de las integrales. As´ı mismo, al tratar con funciones no continuas, tuvo que renunciar a la concepci´on de integral de su ´epoca, y plante´o el importante problema matem´atico de obtener un concepto de integral para funciones arbitrarias. La primera respuesta al problema de la definici´on de integral que plante´o Fourier fue dada por Augustin Louis Cauchy (1789-1857) en la segunda parte de su famoso “Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique” (1821), que se considera la monograf´ıa que inaugura el rigor ene el an´alisis y donde precisa los conceptos de funci´on, l´ımite, continuidad y derivadas, en la forma actual tomando el concepto de l´ımite como punto de partida del an´alisis. Cuachy en “R´esum´e des licons donn´ees a` l’Ecole Polytechnique sur le calcul infinit´esimal” (1823), dada una partici´on P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} del intervalo [a, b] y una funci´on f , define la suma n X S(f, P ) := f (xi−1 )(xi − xi−1 )

Cauchy

i=1

y demuestra que si la funci´on f es continua, existe el l´ımite de estas sumas cuando las longitudes de las diferencias entre los miembros de la partici´on tiende a cero, y a dicho l´ımite, que denota por Z

b

f (x) dx, a

lo define como la integral de la funci´on f en el intervalo [a, b]. Con su concepto de intaegral Cauchy da una respuesta parcial a la cuesti´on de Fourier, pues lo hace no para funciones “arbitrarias”, si no solamente para funciones continuas. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) pas´o unos a˜ nos en Par´ıs donde aprendi´o de muchos de los m´as renombrados matem´aticos de su tiempo, relacion´andose con algunos como Fourier. Fue ´el el que usando las herramientas desarrolladas por Cauchy, dio la primera respuesta a la

1.4. La integral de Riemann

27

pregunta de Fourier sobre el desarrollo de una funci´on como suma de una serie trigonom´etrica. En un trabajo publicado en el Crelles Journal en 1829, demuestra que una funci´on f : (−π, π) → R se puede espresar como una serie trigonom´etrica si es una funci´on mon´otona con a lo m´as un n´ umero 1 finito de discontinuidades y la propiedad de que f ((x) = 2 (f (x+) + f (x−)), x ∈ (−π, π). La hip´otesis de continuidad s´olo la necesita para tener definidos los coeficientes de Fourier mediante la integral de Cuachy. Dirichlet conoc´ıa muy bien que no toda funci´on era integrable en el sentido de Cauchy, en este mismo trabajo aparece la famosa funci´ on de Dirichlet que toma el valor 0 en los racionales y 1 en los irracionales. En un trabajo posterior (1837), Dirichlet se pregunta: “¿Cuanto se puede debilitar la hip´ otesis de continuidad; cuantas discontinuidades se pueden admitir sin perder la integrabilidad?. ¿Es posible admitir infinitas discontinuidades?”

1.4

La integral de Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) estudi´o en Berlin de 1847 a 1849, donde comenz´o a trabajar bajo la direcci´on de Dirichlet en su Habilitaci´on para acceder al cargo de Privadozent (”Profesor auxiliar”). Dicho trabajo, “Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe” (Sobre la representaci´on de funciones por series trigonom´etricas) que finaliz´o en 1854, est´a dedicado al problema de representaci´on de funciones en serie de Fourier, pero contiene un peque˜ no Riemann apartado de unas seis p´aginas donde Riemann establece su famosa teor´ıa de la integraci´on. Como Cauchy, comienza con una partici´on P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} del intervalo [a, b] y una funci´on f que s´olo asume que es acotada. Define la suma S(f, P, i ) :=

n X

f (xi−1 + i (xi − xi−1 ))(xi − xi−1 ),

i=1

con i ∈ (0, 1) ∩ Q. Para Riemann, la funci´on f es integrable con integral Rb f (x) dx si las sumas S(f, P, i ) convergen a un l´ımite fijo I cuando la a longitud de la partici´on kP k := max{xi − xi−1 : i = 1, . . . , n} tiende a cero,

28

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

independiente de la elecci´on de los i ∈ (0, 1) ∩ Q. Dicho l´ımite I se define Rb como la integral y se denota por a f (x) dx. Riemann da un criterio de integraci´on, que usando una notaci´on m´as moderna que la usada por ´el dice lo siguiente. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada y P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} una partici´on del intervalo [a, b]. Denotamos por Di = supx∈[xi−1 ,xi ] f (x) − inf x∈[xi−1 ,xi ] f (x) la oscilaci´on de la funci´on en [xi−1 , xi ]. Con esta notaci´on, el resultado de Riemann se escribe como: Z

b

f (x) dx ⇐⇒

Existe a

lim

kP k→0

n X

Di (xi − xi−1 ) = 0.

i=1

Al conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b] de longitud menor o igual que δ > 0, lo denotaremos por Pδ ([a, b]). Del resultado anterior deduce Riemann que una funci´on acotada f : [a, b] → R es integrable si para cada  > 0 y cada σ > 0, existe un δ > 0, con la propiedad de que si P ∈ Pδ ([a, b]), entonces la longitud total de los intervalos de P con oscilaci´on mayor que σ es menor que . Usando este criterio de integrabilidad, Riemann da un bonito ejemplo de una funci´on integrable en cada intervalo [a, b], con una cantidad infinita de discontinuidades, m´as a´ un con un conjunto denso de discontinuidades (ver Problema 2.17).

1.5

El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue

Con la aparici´on en 1872 de la funci´on continua no diferenciable en nig´ un punto de Weierstrass, y otros ejemplos de este tipo, comenz´o un cambio de enfoque en los fundamentos del An´alisis. Como veremos, este enfoque cr´ıtico di´o lugar a ejemplos que mostraban que la integral de Riemann no era tan general como se cre´ıa. En su tratado sobre funciones de variable real de 1878, Ulisse Dini dedicaba un lugar destacado a la integral de Riemann. Uno de los resultados que presentaba era el siguiente teorema que hab´ıa obtenido Gaston Darboux en 1875: “Si f tiene derivada f 0 acotada e integrable Riemann en el intervalo [a, b], entonces

1.5. El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue

Z

29

x

f 0 (t) dt = f (x) − f (a)

∀ x ∈ [a, b]”.

a

Dini observ´o que como consecuencia del Teorema de Darboux se tiene que si f tiene la propiedad de que en cada intervalo existen puntos donde se anula la derivada, entonces, o bien f es constante o f 0 no es integrable en el sentido de Riemann. Dini intu´ıa que exist´ıan funciones no constantes cuya derivada se anula en cada intervalo. En 1881, Vito Volterra confirm´o la conjetura de Dini construyendo una funci´on no constante f cuya derivada es acotada y se anula en un conjunto denso de puntos. Este ejemplo de Volterra demuestra que en el contexto de la integral de Riemann, las operaciones de diferenciaci´on e integraci´on no son completamente reversible. M´as ejemplos de esta naturaleza fueron apareciendo posteriormente. Uno de los m´as importantes fue el dado por el matem´atico sueco T. Brod´en en 1896, que curiosamente usa para su construcci´on el m´etodo de condensaci´on de singularidades que hab´ıa ideado Riemann para ilustrar la generalidad de su integral. Como hemos visto, para Fourier era fundamental que la integral se comportara bien en los procesos de paso al l´ımite. Ahora, como la derivada se obtiene por un proceso de paso al l´ımite, los ejemplos anteriores mostraban que la integral de Riemann no tiene un buen comportamiento en los procesos de paso al l´ımite. En 1875, Darboux demostr´o que la integral de Riemann commuta con el l´ımite cuando el l´ımite es uniforme, resultado que tambi´en hab´ıa sido establecido por Weierstras en 1870 en sus famosas lecciones de la Universidad de Berl´ın. Darboux di´o tambi´en un sencillo ejemplo donde la convergencia no es uniforme y no se da la commutatividad de la integral con el l´ımite. En esta direcci´on, el resultado m´as general se debe a Cesare Arzel´a, quien en 1885 se di´o cuenta que en realidad lo esencial era la acotaci´on uniforme de la sucesi´on de funciones. Concretamente demostr´o el siguiente resultado: “Sean fn : [a, b] → R funciones integrables Riemann, y supongamos que f (x) = lim fn (x) n→∞

es integrable Riemann en [a, b]. Entonces, si la sucesi´ on est´ a uniformemente acotada en [a, b] i.e., si existe una constante M tal que |fn (x)| ≤ M para

30

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

todo x ∈ [a, b], se tiene que Z b Z b lim fn (x) dx = f (x) dx”. n→∞

a

a

Arzel´a no di´o ning´ un ejemplo de un caso en que la funci´on l´ımite no fuese integrable Riemann. Un tal ejemplo, adem´as muy sencillo, fue dado por Ren´e Baire en 1899. Como veremos una de las grandes virtudes de la integral de Lebesgue es que la integrabilidad de la funci´on l´ımite se sigue del mismo hecho de ser una funci´on l´ımite. Otro de los defectos de la integral de Riemann, que fue tambi´en superado por la integral de Lebesgue, es que si f es integrable Riemann en I = [a, b] × [c, d], entonces la f´ormula cl´asica de Fubini Z f (x, y) dxdy = I

Z bZ a

d

 f (x, y) dy dx

c

no tiene sentido si alguna de las integrales reiteradas no define una funci´on integrable Riemann. La idea central que permiti´o superar los defectos de la integral de Riemann, y que culmin´o con la integral de Lebesgue, es la de usar la medida de conjunto en la construcci´on de la integral. El primer avance en esta direcci´on fue llevado a cabo por el alumno de Riemann Hermann Hankel en 1870. Hankel bas´o su estudio en la oscilaci´on O(f, x) de la funci´on acotada f en el punto x, definida como: O(f, x) = lim+ (sup{f (y) : y ∈]x − δ, x + δ[} − inf{f (y) : y ∈]x − δ, x + δ[}) . δ→0

Hankel demostr´o el siguiente criterio de integrabilidad: “Sea f : [a, b] → R una funci´ on acotada. f es integrable Riemann en [a, b] si, y s´olo si, para cada α > 0, el conjunto Sα = {x ∈ [a, b] : O(f, x) > α} puede recubrirse con un n´ umero finito de intervalos de longitud total arbitrariamente peque˜ na”. Con este resultado no s´olo se inicia el enfoque conjuntista de la integraci´on, si no tambi´en el que parte de la teor´ıa de la medida. Que el avance en esta direcci´on fue lento se puede explicar por la confusi´on existente en esta ´epoca sobre lo que deb´ıa de ser un conjunto despreciable desde el punto

1.5. El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue

31

de vista topol´ogico y desde el punto de vista de la teor´ıa de la medida. Esta confusi´on queda de manifiesto con el el siguiente resultado, bonito pero falso, que Hankel estableci´o en 1870: “Una funci´on acotada f es integrable Riemann si, y s´ olo si, Sα es un conjunto raro (i.e., el interior de su clausura es vacio) para cada α > 0” El hecho de que dicho error de Hankel pasara inadvertido tiene su explicaci´on en que en esta ´epoca a´ un no se hab´ıa desarrollado la teor´ıa de conjuntos. Ahora, la aparici´on del primer trabajo de Georg Cantor en 1872 sobre conjuntos de puntos tuvo el efecto de aumentar la confusi´on reinante. Las investigaciones de Cantor sobre la unicidad de las representaciones de funciones mediante series de Fourier Cantor lo hab´ıan conducido a considerar conjuntos A con la propiedad de que su n-´esimo derivado fuese finito para alg´ un valor de n. A estos conjuntos Cantor los denomin´o conjuntos de primera especie, y observ´o que dichos conjuntos son raros y que adem´as se pod´ıan recubrir por una uni´on finita de intervalos de longitud total arbitrariamente peque˜ na. Luego estos conjuntos verifican tanto la caracterizaci´on topol´ogica de conjunto despreciable como la de la teor´ıa de la medida. Esto llev´o a algunos matem´aticos a creer que estos eran los conjuntos despreciables deseados. La importancia para la teor´ıa de la integraci´on de los conjuntos despreciables en el sentido de la teor´ıa de la medida no fue apreciada hasta que sobre 1880 se vi´o claramente que exist´ıan conjuntos raros que no se pod´ıan encerrar en un n´ umero finito de intervalos de longitud total arbitrariamente peque˜ na. Fueron varios los matem´aticos que encontraron dichos conjuntos, entre ellos: du Bois Reymond (1880), Volterra (1881) y Cantor ( 1884). Gracias a este descubrimiento se cre´o en 1884 por Cantor y Stolz, independientemente, la primera Jordan teor´ıa de la medida. Una de las aportaciones ms importantes fue la realizada por Giuseppe Peano (1858-1932) con la introducci´on en 1883/1887 de los conceptos de contenido interior y exterior. Esta teor´ıa de la medida recibi´o su formulaci´on definitiva de la mano de Camille

32

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

Jordan (1838-1922) en el primer volumen de su Cours d’analyse, publicado en 1892, en la forma siguiente: Sea E ⊂ [a, b], se definen los n´ umeros Ci (E) y Ce (E), llamados respectivamente: contenido interior y contenido exterior de E, de la forma siguiente: ( Ci (E) = sup

) X

m(Ik ) : P una partici´on de [a, b]

Ik ∈P,Ik ⊂E

( Ce (E) = inf

) X

m(Ik ) : P una partici´on de [a, b]

,

Ik ∈P,Ik ∩E6=∅

siendo m([c, d]) = d − c. Se dice que E es medible Jordan si Ci (E) = Ce (E), y a dicho valor com´ un se le denomina el contenido de Jordan de E. Estos conceptos se extienden de forma obvia a Rn sustituyendo las particiones de intervalos por particiones en rect´angulos. Jordan demostr´o que E es medible si, y s´olo si, la frontera topol´ogica de E tiene contenido cero. Con este resultado solucionaba el problema que encontr´o, en su primera formulaci´on de 1883, con la famosa curva que construy´o Peano en 1890, que es continua y que pasa por todos los puntos del cuadrado [0, 1] × [0, 1]. Despu´es de introducir el concepto de conjunto medible, procedi´o Jordan a definir la integral de una funci´on sobre un conjunto medible. Este enfoque de la integral de Riemann fue incorporado por Jordan a su segunda edici´on de su Cours d’analyse de 1893, y tuvo un gran impacto en los j´ovenes matem´aticos franceses de esa ´epoca, dos de los cuales, Emile Borel (1871-1956) y Henri Lebesgue (1875-1941), iban a ser los continuadores de esta historia. Uno de los defecto de la medida de Jordan es que s´olo es finitamente aditiva. Fue Borel el primero en poner de manifiesto que la medida ten´ıa que ser numerablemente aditiva.

Borel

Lo m´as innovador de la formulaci´on dada por Jordan de la teor´ıa de la integraci´on era su enfoque conjuntista, ya que en los dem´as aspectos era totalmente coherente con la teor´ıa de Riemann.

1.5. El concepto de integral desde Riemann hasta Lebesgue

33

Acertadamente Lebesgue lo describi´o como un “tradicionalista innovador”. Para obtener una teor´ıa totalmente innovadora hac´ıa falta una definici´on, menos tradicional, de la medida de un conjunto. Este nuevo enfoque fue iniciado por Borel y fue inducido a ello por la pregunta siguiente: ¿cu´al es la medida de un conjunto numerable? El primero en considerar dicha pregunta fue el matem´atico alem´an Harnack. En 1885 Harnack observ´o que si en la definici´on de contenido exterior se abandona la restricci´on de limitarse a un n´ umero finito de intervalos recubridores y se consideran recubrimientos numerables, entonces se tiene que cada conjunto numerable tiene contenido exterior cero. Este resultado le pareci´o a Harnack parad´ojico, pues con ´el se tiene que hay conjuntos densos de contenido cero (por ejemplo [0, 1] ∩ Q). Lo mismo le ocurri´o a Cantor, ya que para ´el se ten´ıa que Ce (E) = Ce (E ∪ E 0 ) (con lo cual Ce ([0, 1] ∩ Q) = 1). Sin embargo Cantor observ´o que si M ⊂ R2 es numerable, entonces, R2 ∼ M es arco-conexo. Esta observaci´on de Cantor no encontr´o respuesta en los matem´aticos interesados en los fundamentos de la geometr´ıa, pero s´ı produjo una gran impresi´on en Emile Borel, que vi´o involucrada en dicha observaci´on una idea que pod´ıa ser de importancia en la teor´ıa de funciones de variable compleja. Borel us´o estas ideas de Cantor en su tesis doctoral de 1894, para obtener un m´etodo generalizado de prolongaci´on anal´ıtca. Los resultados que obtuvo le animaron a continuar investigando sobre la medida de un conjunto numerable. En 1898 Borel propuso una definici´on de conjunto medible bastante rara en su formulaci´on pero que mirada con una o´ptica moderna no es otra que el concepto actual de conjunto boreliano (i.e., un conjunto que se puede construir realizando una cantidad numerable de uniones e intersecciones de conjuntos abiertos). Borel expuso sus nuevos resultados durante el curso acad´emico 1896-97 en un curso impartido en la Ecole Normale Sup´erier de Par´ıs, donde por esas fechas era alumno Lebesgue. Al a˜ no siguiente, Borel recopil´o sus resultados en su famoso libro “Le¸con sur la th´eorie des fonctions”. Uno de los problemas de la medida de Borel era la existencia de conjuntos medibles en el sentido de Jordan que no eran medibles Borel. Adem´as hab´ıa una peque˜ na dificultad que Borel ten´ıa que resolver, esta dificultad estaba en que le aparec´ıan conjuntos D, tales que D ⊂ B, con B medible Borel con medida nula, y sin embargo de la definici´on de Borel no se desprend´ıa la medibilidad de D. Borel les atribuy´o a tales conjunto medida cero, pero no resolvi´o el problema de su medibilidad. Dicha cuesti´on fue resuelta por Lebesgue, quien imitando la teor´ıa del contenido de Jordan, defini´o un conjunto de medida nula como aquel que se puede recubrir por una cantidad

34

Cap´ıtulo 1. Notas Hist´oricas

numerable de intervalos de longitud total arbitrariamente peque˜ na. De esta forma Lebesgue generaliz´o tanto la teor´ıa de Jordan como la de Borel. Se tiene que la noci´on de conjunto medible de Lebesgue difiere de la noci´on de Borel en uno de medida nula. Todas estas ideas las recogi´o Lebesgue en su tesis doctoral, “Int´egrale, longueur, aire”, de 1902 donde desarroll´o su teor´ıa de la medida y de la integraci´on. Rb Lebesgue para definir a f (x)dx, no sigue a Newton, Leibniz, Cauchy y Riemann que tomaban particiones del intervalo [a, b], lo que ´el hizo fue tomar particiones del rango de la funci´on. Ms concretamente, sean l := inf{f (x) : x ∈ [a, b]} y L := sup{f (x) : x ∈ [a, b]} y consideramos una partiaci´on l = l0 < l1 < · · · < ln = L y los conjuntos Ei := {x ∈ [a, b] : li ≤ f (x) < li+1 }. Se tiene entonces que n−1 X

Lebesgue

li χEi (x) ≤ f (x)
0, para cada n ∈ N, como An es nulo, existe una sucesi´on {In,m }m∈N de intervalos abiertos acotados, tal que ∞ ∞ [ X ε An ⊂ In,m y |In,m | ≤ n . 2 m=1 m=1 Sea ϕ : N → N × N una aplicaci´on biyectiva, tal que, si ϕ(k) = (nk , mk ), se tenga que k ≥ nk . Se tiene entonces que A⊂

∞ [

Iϕ(k) .

k=1

Adem´as, como k [ j=1

Iϕ(j) ⊂

k [ ∞ [ j=1 m=1

Ij,m ,

2.1. Conjuntos nulos

39

tenemos que k X

  k X ε 1 |Iϕ(j) | ≤ ≤ε 1− k , 2j 2 j=1 j=1

con lo que ∞ X

|Iϕ(j) | ≤ ε

j=1

y consecuentemente A es un conjunto nulo. Veamos finalmente que todo conjunto formado por un s´olo punto es un conjunto nulo, con lo que por lo anterior lo ser´an los conjuntos numerables. Sea x0 = (x01 , . . . , x0N ) ∈ RN . Dado ε > 0, sea ( I :=

1

x ∈ RN

1

εN εN : x0i − < xi < x0i + , i = 1, . . . , N 2 2

) .

Entonces, x0 ∈ I y adem´as |I| = ε. Consecuentemente, {x0 } es un conjunto nulo.  En el siguiente ejemplo veremos que existen subconjuntos no numerables de R que son nulos. Ejemplos 2.1.3 (i) (EL conjunto ternario de Cantor). A finales del siglo XIX, Georg Cantor para resolver un problema de la naciente Topolog´ıa, a saber, la existencia de un subconjunto compacto de R totalmente disconexo y denso en si mismo, construy´o el siguiente conjunto. Supongamos que al intervalo [0, 1] lo dividimos en tres intervalos de igual longitud y le quitamos el intervalo ( 31 , 23 ), nos queda entonces el conjunto [0, 31 ] ∪ [ 32 , 1]. Supongamos que a cada uno de estos dos intervalo le hacemos la misma operaci´on, i.e., los dividimos en tres partes iguales y le quitamos la de en medio. Si repetimos este proceso una infinidad de veces obtenemos el conjunto de Cantor. Es decir, si denotamos por Cn la uni´on de todos los intervalos cerrados que permanecen hasta el paso n, el conjunto de Cantor es C :=

∞ \ n=1

Cn .

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

40

Denotemos por Jni al i-´esimo intervalo presente en la n-´esima iteraci´on y por Inj al j-´esimo ausente en dicha iteraci´on (por ejemplo J11 = [0, 31 ], J12 = [ 23 , 1] y I11 = ( 13 , 23 )). Entonces n

Cn =

2 [

Jni .

i=1

Notar que cada intervalo Jni tiene longitud n

2 X

|Jni | =

i=1

1 , 3n

con lo que

2n . 3n

Por tanto, dado un  > 0, si elegimos n tal que

2n 3n

≤ , tenemos que

n

C⊂

2 [

Jni

i=1

y n

2 X

|Jni | ≤ .

i=1

Consecuentemente C es un conjunto nulo. No es dif´ıcil ver (Problema 2.7) que el conjunto de Cantor es no numerable, es m´as C tiene la misma cardinalidad que [0, 1]. (ii) Veamos que para cada a ∈ R, los hiperplanos Hai := {x ∈ RN : xi = a} son conjuntos nulos en RN , para todo N ≥ 2. En efecto: dado ε > 0, para cada n ∈ N, sea n In := x ∈ RN : a − 2N +nεnN −1 < xi < a + 2N +nεnN −1 , o −n < xj < n, j = 6 i . Evidentemente, Hai

⊂

∞ [ n=1

In .

2.1. Conjuntos nulos Adem´as,

41

∞ X

|In | = ε.

n=1

Por tanto, Hai es un conjunto nulo en RN . Dado un intervalo acotado I = {x ∈ RN : ai ≺ xi ≺ bi , i = 1, . . . , N } de RN , a los hiperplanos Hai i , Hbii (i = 1, . . . N ) se les denomina hiperplanos acotantes del intevalo I. A la intersecci´on de los hiperplanos acotantes de I con I se les denomina las caras del intervalo I. Como consecuencia de lo anterior tenemos que las caras de un intervalo acotado son conjuntos nulos. (iii) Veamos que el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q o y ∈ Q} es un conjunto nulo en R2 . En efecto: por (i) sabemos que para cada x ∈ R, los hiperplanos Hx1 , Hy2 son nulos en R2 . Entonces, como !  [ [ S= Hx1 ∪ Hy2 , x∈Q

y∈Q

tenemos que S es un conjunto nulo en R2 . El siguiente resultado proporciona una gran cantidad de conjuntos nulos. Teorema 2.1.4 Sea f ∈ C 1 (RN , RM ). Si M > N , para cada A ⊂ RN acotado se tiene que f (A) es nulo en RM . Demostraci´ on. Sea I un cubo en RN de arista α, y tal que A ⊂ I. Dado n ∈ N, dividiendo cada arista de I en n partes iguales, obtenemos nN cubos de arista αn , que denotaremos por Ii (i = 1, . . . , nN ). Como f es de clase C 1 e I es un compacto, existe C ≥ 0, tal que kf (x) − f (y)k ≤ sup kDf (z)k kx − yk ≤ Ckx − yk,

∀ x, y ∈ I.

(2.1)

z∈I

Sea xi el centro del cubo Ii . Entonces, si x ∈ Ii , tenemos que v r  u N uX √ α α 2 i i 2 t kx − x k = |xj − xj | ≤ N= N . 2n 2n j=1

(2.2)

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

42

Como consecuencia de (2.1) y (2.2), tenemos que √ α kf (x) − f (y)k ≤ C N , ∀ x, y ∈ Ii . n Sea Qi el cubo en RM de centro f (xi ) y arista

√ Cα N . n

(2.3)

Como

N

A⊂

n [

Ii ,

i=1

de (2.3) se sigue que N

f (A) ⊂

n [

Qi .

i=1

Ahora, C M αM N |Qi | = nM

M 2

,

con lo que N

n X i=1

M

C M N 2 αM K |Qi | = n = M −N . M n n N

Por tanto, como lim

K

n→∞ nM −N

= 0,

tenemos que f (A) es nulo en RM .



Corolario 2.1.5 Sea f ∈ C 1 (RN , RM ). Entonces, la gr´ afica de f es un N +M subconjunto nulo de R . Demostraci´ on. Sea F : RN → RN +M , definida por F (x) := (x; f (x)). Tenemos entonces que la gr´afica de f G(f ) = F (RN ) =

∞ [

F (B(0, n)),

n=1

con lo cual, como por el resultado anterior cada F (B(0, n)) es nulo en RN +M , tenemos demostrado el resultado.  Definici´ on 2.1.6 Sea S ⊂ RN . Se dice que una propiedad se verifica casi por todas partes en S (c.p.p. en S en abreviatura) si el conjunto de los puntos de S que no verifican la propiedad es nulo en RN .

2.2. Funciones escalonadas

2.2

43

Funciones escalonadas

Dado un conjunto A ⊂ RN , se define su funci´ on caracter´ıstica como la funci´on   1 si x ∈ A χA (x) :=  0 si x 6∈ A. Definici´ on 2.2.1 A una funci´on real en RN que sea una combinaci´on lineal de funciones caracter´ısticas de intervalos acotados disjuntos dos a dos se le denomina una funci´on escalonada en RN . Al conjunto de todas las funciones escalonadas en RN lo denotaremos por E(RN ). Tenemos pues que φ ∈ E(RN ) si n X φ= aj χIj , j=1

con aj ∈ R, y los Ij intervalos acotados de RN disjuntos dos a dos. Dada la funci´on escalonada φ=

n X

aj χIj ,

j=1

se define su integral de Lebesgue como el n´ umero Z n X φ := aj |Ij | j=1

Para que esta definici´on de integral sea consistente tenemos que demostrar el siguiente resultado. Proposici´ on 2.2.2 Supongamos que la funci´ on φ ∈ E(RN ) viene expresada en dos formas diferentes: φ=

n X

aj χIj ,

φ=

j=1

Entonces

n X j=1

m X

bk χJk .

k=1

aj |Ij | =

m X k=1

bk |Jk |.

(2.4)

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

44

Demostraci´ on. A˜ nadiendo intervalos en las dos representaciones de φ y d´andole a los correspondientes coeficientes el valor cero, que no altera el valor de los dos sumandos de (2.4), podemos suponer que Ij =

m [

Jk ∩ Ij ,

Jk =

n [

Ij ∩ Jk ,

para j = 1, . . . n, k = 1, . . . , m.

j=1

k=1

Consecuentemente, |Ij | =

m X

|Jk ∩ Ij |,

|Jk | =

n X

|Ij ∩ Jk |.

j=1

k=1

Adem´as, si |Jk ∩ Ij | > 0, para x ∈ Jk ∩ Ij , se tiene que aj = aj χIj (x) = φ(x) = bk χJk (x) = bk . De aqu´ı se desprende que n X

aj |Ij | =

j=1

n X m X

aj |Jk ∩ Ij | =

=

bk |Jk ∩ Ij |

j=1 k=1

j=1 k=1 n m X X

n X m X

bk |Jk ∩ Ij | =

k=1 j=1

m X

bk |Jk |.

k=1

 N

Si f, g : R → R, usaremos la siguiente notaci´on: f ∨ g := sup{f, g},

f ∧ g := inf{f, g}, f + := f ∨ 0, f − := (−f ) ∨ 0.

Es f´acil ver que: f = f+ − f−

y

|f | = f + + f − .

Proposici´ on 2.2.3 El conjunto E(RN ) es un ret´ıculo vectorial, i.e., si φ, ψ ∈ E(RN ) y a ∈ R, entonces φ + ψ ∈ E(RN ),

aφ ∈ E(RN ),

|φ| ∈ E(RN ), φ ∨ ψ ∈ E(RN ), φ ∧ ψ ∈ E(RN ), φ+ , φ− ∈ E(RN ).

2.2. Funciones escalonadas

45

Adem´ as, la integral es un funcional lineal mon´otono en E(RN ), i.e., Z Z Z Z Z φ + ψ = φ + ψ, aφ = a φ, Z φ≤ψ

⇒

Z φ≤

ψ,

Z Z φ ≤ |φ|. Demostraci´ on. Supongamos que φ=

n X

aj χ I j ,

ψ=

j=1

m X

bk χJk

k=1

y que los intervalos Ij , Jk satisfacen las propiedades que hemos supuesto en la prueba de la proposici´on anterior. Entonces, φ+ψ =

n X m X

(aj + bk )χIj ∩Jk ,

j=1 k=1

e Z

Z φ+

ψ=

n X

aj

j=1

=

n X m X

m X

! |Ij ∩ Jk |

+

m X k=1

k=1

bk

n X

! |Ij ∩ Jk |

j=1

Z (aj + bk )|Ij ∩ Jk | =

(φ + ψ).

j=1 k=1

La parte correspondiente al producto por un escalar es obvia. Evidentemente, |φ| =

n X

|aj |χIj ∈ E(RN ).

j=1

Adem´as, 1 φ ∨ ψ = (φ + ψ + |φ − ψ|) ∈ E(RN ), 2 φ ∧ ψ = −((−φ) ∨ (−ψ)) ∈ E(RN ).

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

46

R Por otra parte, siR φ ≤ ψ, tenemos que ψ −φ ≥ 0, con lo que, (ψ −φ) ≥ 0, R y por tanto, φ ≤ ψ. Finalmente, como −|φ| ≤ φ ≤ |φ|, la monoton´ıa de la integral implica que Z Z Z − |φ| ≤ φ ≤ |φ|, de donde se deduce que Z Z φ ≤ |φ|. 

2.3

Funciones superiores

En este apartado vamos a extender el concepto de integral, definido para funciones escalonadas, a una clase m´as amplia de funciones, las denominadas funciones superiores. Para ello veremos primeramente algunas propiedades de las sucesiones crecientes de funciones escalonadas. Lema 2.3.1ZSea {φn } una sucesi´ on creciente de funciones escalonadas en RN . Si lim φn < ∞, entones lim φn (x) < ∞ para casi todo x ∈ RN . n→∞

n→∞

Demostraci´ on. Tenemos que demostrar que el conjunto n o A := x ∈ RN : lim φn (x) = ∞ n→∞

es nulo, i.e., dado ε > 0 tenemos que encontrar una familia numerable P {In } de N intervalos abiertos y acotados de RR que recubran a A, y tal que n∈N |In | ≤ ε. En efecto: al ser la sucesi´on { φn } de Cauchy, podemos encontrar una subsucesi´on n1 < n2 < . . . < nk < . . ., tal que, si ψk := φnk+1 − φnk , entonces: Z 1 0 ≤ ψk ≤ k , k ∈ N. (2.5) 4 Si denotamos por Bk := {x ∈ RN : ψk (x) > 21k }, tenemos que existe una familia finita Jk de intervalos acotados de RN disjuntos dos a dos, tal que [ Bk = J. J∈Ik

2.3. Funciones superiores

47

Ahora, como χBk ≤ 2k ψk , como consecuencia de (2.5) obtenemos que Z Z X 1 k χ ψk ≤ k , |J| = k ∈ N. (2.6) Bk ≤ 2 2 J∈J k

Dado ε > 0, sea k0 ∈ N, tal que 2−k0 +2 ≤ ε, y tomemos J := {J ∈ Jk : k ≥ k0 } = {Jn : n ∈ N}. Tenemos entonces que [

Jn =

n∈N

∞ [

Bk ,

(2.7)

k=k0

y como consecuencia de (2.6) ∞ X ε 1 ≤ . |Jn | ≤ k 2 2 n∈N k=k

X

(2.8)

0

Para cada n ∈ N, elegimos un intervalo abierto In , tal que ε Jn ⊂ In , |In | ≤ |Jn | + n+1 . 2 Entonces, como consecuencia de (2.8), tenemos que X |In | ≤ ε, n∈N

con lo que s´olo nos falta probar que [ [ A⊂ Jn ⊂ In n∈N

n∈N

S para finalizar la prueba. Sea x ∈ RN \ n∈N Jn . Tenemos entonces que x ∈ RN \ Bk para todo k ≥ k0 , con lo que ψk (x) ≤ 21k para todo k ≥ k0 . Por tanto, si k > k0 , tenemos que φnk (x) − φnk0 (x) =

k X j=k0

φnj+1 (x) − φnj (x) =

k X

ψj (x) ≤ 1,

j=k0

con lo que φnk (x) ≤ φnk0 (x) + 1 y consecuentemente x ∈ RN \ A.  Como consecuencia del lema anterior tenemos la siguiente caracterizaci´on de los conjuntos nulos.

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

48

Teorema 2.3.2 Sea A ⊂ RN , A es nulo si, y s´ olo si, existe una sucesi´ on N creciente {φn } de funciones escalonadas en R cumpliendo: Z lim φn < ∞ (2.9) n→∞

y lim φn (x) = ∞

n→∞

para todo x ∈ A.

(2.10)

Demostraci´ on. Que la condici´on es suficiente es consecuencia directa del lema anterior. Veamos que es necesaria. Supongamos que A es nulo. Entonces, para cada k ∈ N podemos encontrar una sucesi´on {Ink }n∈N de intervalos abiertos en RN cumpliendo: [

A⊂

Ink ,

∞ X

|Ink | ≤

n=1

n∈N

1 . 2k

Si para cada n ∈ N definimos φn :=

n n X X

χI k , j

k=1 j=1

tenemos que {φn } es una sucesi´on creciente de funciones escalonadas, y para cada n ∈ N, se tiene que Z n n n X X X 1 k |Ij | ≤ φn = < 1, 2k k=1 k=1 j=1 con lo que se cumple (2.9). Finalmente, dado un x ∈ A, como para cada k ∈ N existe al menos un j ∈ N, tal que x ∈ Ijk , se tiene que lim φn (x) =

n→∞

∞ X ∞ X

χI k (x) = +∞, j

k=1 j=1

con lo que se cumple (2.10).



Definici´ on 2.3.3 Se dice que una funci´on f : RN → R definida c.p.p. es una funci´on superior en RN si existe una sucesi´on creciente {φn } de funciones escalonadas en RN cumpliendo: Z lim φn < ∞ (2.11) n→∞

2.3. Funciones superiores

49

y para casi todo x ∈ RN .

lim φn (x) = f (x)

n→∞

(2.12)

Se dice entonces que la sucesi´on {φn } genera la funci´on superior f . Al conjunto de todas las funciones superiores en RN lo denotaremos por Lsup (RN ). Dada f ∈ Lsup (RN ), se define su integral como Z Z f = lim φn , n→∞

siendo {φn } una sucesi´on que genera la funci´on f . Para que la definici´on de integral que acabamos de dar sea consistente, tenemos que demostrar que no depende de la sucesi´on generadora. Esto nos lo proporciona el siguiente resultado, Teorema 2.3.4 Si {φn } es una sucesi´ on decreciente de funciones escalonN adas y positivas en R , tal que lim φn (x) = 0 para casi todo x ∈ RN . n→∞ Z Entonces lim φn = 0. Consecuentemente, si {φn }, {ψn } son dos sucen→∞

siones crecientes de funciones escalonadas en RN , tales que lim φn (x) ≤ lim ψn (x)

n→∞

n→∞

c.p.p. x ∈ RN .

Entonces, Z lim

n→∞

Z φn ≤ lim

n→∞

ψn .

Demostraci´ on. Como {φn } es una sucesi´on decreciente de funciones escalonadas y positivas en RN , podemos encontrar un intervalo compacto I en RN , y una constante K ∈ R, tales que para todo n ∈ N, φn (x) = 0 ∀ x ∈ RN \ I,

∀ x ∈ RN . Z Dado un ε > 0, tenemos que encontrar un n0 ∈ N, tal que φn ≤ ε, 0 ≤ φn (x) ≤ K

para todo n ≥ n0 . Como las funciones φn son escalonadas, el conjunto  A := x ∈ RN : φn no es continua en x para alg´ un n ∈ N es nulo en RN . Adem´as, por hip´otesis, tenemos que el conjunto  B := x ∈ RN : {φn (x)} no converge a cero

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

50

es tambi´en nulo en RN . Por tanto, C := A ∪ B es nulo en RN , con lo que, dado ε > 0, podemos encontrar una sucesi´on {In } de intervalos abiertos acotados que recubren a C, y tales que ∞ X

|In | ≤

n=1

ε . 2K

Dado un x ∈ I \ C, como lim φn (x) = 0, existe un nx ∈ N tal que φnx (x) ≤ n→∞ ε . Ahora, como φnx es continua en x, existir´a un intervalo abierto Jx 4|I| conteniendo a x, tal que ε ∀ y ∈ Jx (2.13) φnx (y) ≤ 2|I| Como la familia {In : n ∈ N} ∪ {Jx : x ∈ I \ C} es un recubrimiento abierto del compacto I, existen: In1 , In2 , . . . , Inp , x1 , x2 , . . . , xq ∈ I \ C, tales que ! ! p q [ [ [ I⊂ Inj Jxi . j=1

i=1

Si n0 := max{nx1 , . . . , nxq }, como consecuencia de (2.13) obtenemos que ε φn0 (y) ≤ 2|I|

∀y∈

q [

Jxi .

(2.14)

i=1

Sean L1 , L2 , . . . , Lr intervalos disjuntos tales que I\

p [

Inj =

j=1

r [

Lk .

k=1

Si consideramos la funci´on escalonada ψ :=

p X j=1

K χInj +

r X ε χLk , 2|I| k=1

como consecuencia de (2.14), tenemos que φn0 ≤ ψ, con lo que para cada n ≥ n0 nos queda que Z Z p r X X ε ε ε φn ≤ φn0 ≤ K |Inj | + |Lk | ≤ + = ε. 2|I| 2 2 j=1 k=1

2.3. Funciones superiores

51

Supongamos ahora que {φn }, {ψn } son dos sucesiones crecientes de funciones escalonadas en RN , tales que c.p.p. x ∈ RN .

lim φn (x) ≤ lim ψn (x)

n→∞

n→∞

Para cada n ∈ N, tenemos que la sucesi´on decreciente {φn − ψm }m∈N , satisface: lim (φn (x) − ψm (x)) = φn (x) − lim ψm (x) ≤ 0,

m→∞

m→∞

c.p.p. x ∈ RN .

Por tanto, la sucesi´on {(φn − ψm )+ }m∈N es decreciente y tiene l´ımite cero c.p.p., por tanto, por lo anterior tenemos que Z Z Z Z φn − lim ψm = lim (φn − ψm ) ≤ lim (φn − ψm )+ = 0. m→∞

m→∞

m→∞

Luego, para cada n ∈ N, Z

Z φn ≤ lim

ψm .

m→∞

De aqu´ı, tomando l´ımites en n, se obtiene que Z Z lim φn ≤ lim ψm . n→∞

m→∞

 En el siguiente resultado veremos algunas de las propiedades de las funciones superiores y sus integrales. Teorema 2.3.5 Sean f, g ∈ Lsup (RN ) y 0 ≤ α < ∞. Entonces, αf, f + g, f ∧ g y f ∨ g son elementos de Lsup (RN ), y se cumple que: Z Z Z Z Z αf = α f, (f + g) = f + g. Z Adem´ as, si f ≤ g c.p.p., entonces

Z f≤

g.

Demostraci´ on. Sean {φn }, {ψn }, sucesiones crecientes de funciones escalonadas, tales que φn → f c.p.p., ψn → g c.p.p., y adem´as: Z Z Z Z f = lim φn , g = lim ψn . n→∞

n→∞

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

52

Es inmediato que las sucesiones crecientes de funciones escalonadas: {αφn }, {φn + ψn }, {φn ∧ ψn } y {φn ∨ ψn }, convergen casi por todas partes a las funciones: αf , (f + g), f ∧ g y f ∨ g, respectivamente. Por tanto bastar´a con demostrar que las sucesiones de sus integrales est´an acotadas. En efecto: Z Z Z lim αφn = α lim φn = α f. n→∞

n→∞

Z

Z

Z

Z

Z

lim

(φn + ψm ) = lim φn + lim ψn = f + g. n→∞ n→∞ Z Z Z (φn ∧ ψn ) ≤ φn ≤ f. Z Z Z (f ∨ g) = lim (φn ∨ ψn ) = lim (φn + ψn − (φn ∧ ψn )) n→∞ n→∞ Z Z Z = f + g − (f ∧ g). n→∞

Z Finalmente, si f ≤ g c.p.p., aplicando el Teorema 2.3.4 nos queda que Z g.

f≤ 

En el ejemplo siguiente veremos que la condici´on α ≥ 0 del teorema anterior es necesaria, con lo que Lsup (RN ) no es un espacio vectorial. Ejemplo 2.3.6 Sea {qn : n ∈ N} := [0, 1] ∩ Q. Para cada n ∈ N, sea χ In := [qn − 41n , qn + 41n ] ∩ [0, 1] y tomemos I := ∪∞ n=1 In . Sea f := I . Si para cada n ∈ N consideramos las funciones escalonadas  S si x ∈ nk=1 Ik  1 ϕn (x) := S  0 si x ∈ R \ nk=1 Ik , tenemos que la sucesi´on {ϕn } genera la funci´on f , ya que, evidentemente ϕn (x) → f (x) y Z lim

n→∞

ϕn ≤ lim

n→∞

n X k=1

n 1 X 2 4 = 2 k n→∞ 4 1− k=1

|Ik | = lim

1 4

2 = . 3

R Consecuentemente, f ∈ Lsup (R) e f ≤ 23 . Veamos que −fPno es una funci´on χ superior. Para ello, observemos primeramente que si φ = m k=1 ak Jk es una

2.4. Funciones integrables Lebesgue

53

R funci´on escalonada y φ ≤ −f c.p.p. en R, entonces φ ≤ −1. En efecto: podemos suponer que Jk ⊂ [0, 1] para cada k = 1, . . . , m. Como para cada k, Jk ∩ {qn : n ∈ N} 6= ∅, tenemos que existe un xk ∈ Jk ∩ I, con lo que φ(xk ) = ak ≤ −1. Adem´as, I ⊂ J := ∪m k=1 Jk y como los Jk son intervalos, tenemos que J =R[0, 1] o [0, 1] \ J es finito. Tenemos pues que φ ≤ −χJ c.p.p., con lo que φ ≤ −1. Supongamos que −f ∈ Lsup (R). Entonces, existe una sucesi´onRcreciente {φn } de R funciones escalonadas, tal que φn → −f c.p.p., eR (−f ) = limn→∞ φn . Ahora, por lo Rvisto anteriormente, tenemos que φn ≤ −1 para todo n ∈ N, con lo que, (−f ) ≤ −1. Por tanto, Z 0=

Z f + (−f ) =

Z (−f ) ≤

f+

1 2 −1=− . 3 3

Llegamos pues a una contradicci´on y, consecuentemente, −f 6∈ Lsup (R).

2.4

Funciones integrables Lebesgue

En el ejemplo anterior hemos visto que Lsup (RN ) no es un espacio vectorial. Denotaremos por L1 (R) al espacio vectorial que genera Lsup (RN ). Ahora, teniendo en cuenta las propiedaes de Lsup (RN ) (Teorema 2.3.5), se tiene que L1 (RN ) = {f = f1 − f2 : f1 , f2 ∈ Lsup (RN )}. A las funciones de L1 (RN ) se les denomina funciones integrables Lebesgue, y dada f = f1 − f2 ∈ L1 (RN ), con fi ∈ Lsup (RN ), se define su integral como Z Z Z f := f1 − f2 . En este caso no hay problema de consistencia en la definici´on, ya que, si f = f1 − f2 = g1 − g2 , con fi , gi ∈ Lsup (RN ), como f1 + g2 = g1 + f2 , tenemos que Z Z Z Z Z Z f1 +

g2 =

(f1 + g2 ) =

(g1 + f2 ) =

con lo que Z

Z f1 −

Z f2 =

Z g1 −

g2 .

g1 +

f2 ,

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

54

Evidentemente, de la propia Rdefinici´ on se desprende que si f, g ∈ L1 (RN ) R y f = g c.p.p. en RN , entonces f = g. Usaremos las siguientes notaciones para designar la integral de una funci´on f ∈ L1 (RN ): Z Z f (x) dx o f (x1 , . . . xN ) d(x1 , . . . , xN ) RN

RN

En el siguiente resultado veremos algunas de las propiedades de las funciones integrables Lebesgue y sus integrales. Teorema 2.4.1 L1 (RN ) es un ret´ıculo vectorial real de funciones y la integral es un operador lineal mon´ otono en L1 (RN ), i.e., si f, g ∈ L1 (RN ) y α ∈ R. Entonces, αf y f + g son elementos de L1 (RN ), y se cumple que: Z Z Z Z Z αf = α f, (f + g) = f + g. Z Si f ≤ g c.p.p., entonces

Z f≤

g.

Adem´as, f + , f − , |f |, f ∧ g, f ∨ g ∈ L1 (RN ) y se tiene que Z Z f ≤ |f |. Demostraci´ on. Supongamos que f = f1 − f2 y g = g1 − g2 , con fi , gi ∈ sup N L (R ). Entonces, f + g = (f1 + g1 ) − (f2 + g2 ), con lo que Z Z Z Z Z Z Z (f + g) = (f1 + g1 ) − (f2 + g2 ) = f1 + g1 − f2 − g2 Z

Z



Z

Z



Z

Z

f2 + g1 − g2 = f + g. R R Si α ≥ 0, evidentemente, αf = α f . Supongamos que α < 0. Tenemos entonces que αf = αf1 − αf2 = (−α)f2 − (−α)f1 , con lo que Z Z Z αf = (−α)f2 − (−α)f1 . =

f1 −

Si f ≤ g c.p.p. entonces f1 + g2 ≤ g1 + f2 c.p.p., con lo que Z Z f1 + g2 ≤ g1 + f2

2.4. Funciones integrables Lebesgue

55

y, por tanto Z

Z f=

Z f1 −

Z f2 ≤

Z g1 −

Z g2 =

g.

Por otra parte, f + = f ∨ 0 = (f1 − f2 ) ∨ 0 = (f1 ∨ f2 ) − f2 ∈ L1 (RN ), ya que (f1 ∨ f2 ), f2 ∈ Lsup (RN ). Adem´as, f − = f + − f ∈ L1 (RN ) y |f | = f + + f − ∈ L1 (RN ). Finalmente, como −|f | ≤ f ≤ |f |, aplicando lo anterior tenemos que Z Z Z −

|f | ≤

f≤

|f |,

con lo que Z Z f ≤ |f |.  Las funciones de L1 (RN ) se pueden aproximar por funciones escalonadas. M´as concretamente se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 2.4.2 Si f ∈ L1 (RN ) existe una sucesi´ on {ϕn } de funciones N escalonadas en R , tal que: para casi todo x ∈ RN

lim ϕn (x) = f (x)

n→∞

y Z lim

n→∞

Z ϕn =

f.

Demostraci´ on. Sean f1 , f2 ∈ Lsup (RN ), tales que f = f1 − f2 c.p.p. Sean {φn }, {ψn } dos sucesiones crecientes de funciones escalonadas, tales que:

Z lim

n→∞

φn → f1 , ψn → f2 c.p.p. Z Z Z φn = f 1 , lim ψn = f2 . n→∞

Entonces, si ϕn := φn − ψn ∈ E(RN ), tenemos que ϕn → f c.p.p. y adem´as, como Z Z Z |f − ϕn | ≤ (f1 − φn ) + (f2 − ψn ),

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

56 se tiene que

Z lim

Z ϕn =

n→∞

f.

 Si I es un intervalo de R , definimos el espacio L (I) de las funciones integrables Lebesgue en I, como N

1

L1 (I) := {f : RN → R : f χI ∈ L1 (RN )}, y dada f ∈ L1 (I), definimos su integral sobre I como Z Z f := f χI . RN

I

Cuando I es uno de los intervalos: [a, b], ]a, b[, [a, b[ o ]a, b], el valor de el mismo y lo denotaremos por: Z

b

Z

R I

f es

b

f (x) dx.

f, o por la cl´asica notaci´on a

a

Igualmente, cuando I es un intervalo no acotado de la forma [a, +∞[, ]a, +∞[ ( o ] − ∞, a], ] − ∞, a[) escribiremos: Z

+∞

Z

a

 f (x) dx .

f (x) dx −∞

a

Para el caso de funciones de una variable real se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 2.4.3 Supongamos que a < c < b. Si f ∈ L1 ([a, c]) y f ∈ 1 L ([c, b]), entonces f ∈ L1 ([a, b]) y adem´as: b

Z

c

Z f (x) dx =

Z f (x) dx +

a

a

b

f (x) dx. c

Si m ≤ f (x) ≤ M para casi todo x ∈ [a, b] y f ∈ L1 ([a, b]), entonces Z m(b − a) ≤

b

f (x) dx ≤ M (b − a). a

2.4. Funciones integrables Lebesgue

57

Demostraci´ on. La demostraci´on se sigue f´acilmente de la igualdad: f χ[a,b[ = f χ[a,c[ + f χ[c,b[ y la desigualdad: mχ[a,b] ≤ f χ[a,b] ≤ M χ[a,b] ,

c.p.p.

 Para finalizar este apartado veamos cual es la relaci´on entre continuidad e integrabilidad. Sea f : RN → R una funci´on que se anula fuera de un intervalo acotado I, y tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ RN . Puesto que las caras de un intervalo son conjuntos nulos, podemos suponer que I = {(xi ) ∈ RN : ai ≤ xi < bi , i = 1, . . . , N }. Dividimos el intervalo I en 2N intervalos, i I1 , . . . , I2N , usando como extremos los puntos ai y ai +b . Definimos la funci´on 2 escalonada φ1 := α1 χI1 + · · · + α2N χI2N , siendo αi := inf{f (x) : x ∈ Ii }. Por construcci´on tenemos que φ1 ≤ f ≤ K χI , con lo que Z φ1 ≤ K |I|. Si dividimos cada intervalo Ii en 2N intervalos, obtenemos del modo anterior una funci´on escalonada φ2 , tal que φ1 ≤ φ2 ≤ f ≤ K χI , con lo que Z φ2 ≤ K |I|. Continuando de este modo, construimos una sucesi´on creciente {φn } de funciones escalonadas en RN , tales que: Z φn ≤ f, φn ≤ K |I| ∀ n ∈ N. Como consecuencia del Lema 2.3.1, tenemos que la sucesi´on {φn } converge casi por todas partes a una funci´on superior, luego lo que necesitamos para que f sea una funci´on superior en RN y, por tanto, integrable en RN , es que {φn } converja hacia f . En el resultado siguiente vamos a dar una condici´on para que esto ocurra. Teorema 2.4.4 Sea f : RN → R una funci´ on acotada que se anula fuera de un intervalo acotado I. Si f es continua casi por todas partes en RN , entonces, f ∈ L1 (RN ).

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

58

Demostraci´on. Por lo visto anteriormente, bastar´a con probar que si f es continua en p ∈ I, entonces φn (p) → f (p). En efecto: dado ε > 0, como f es continua en p, existe un δ > 0, tal que, si kx − pk < δ, entonces |f (x) − f (p)| < ε. Elegimos n0 ∈ N, tal que max{bi − ai , i = 1, . . . , N } < δ. 2n0 Entonces, si J es uno de los 2N n0 intervalos que definen la funci´on escalonada φn0 , y que contiene a p, se tiene que kx − pk < δ para cada x ∈ J, con lo que: f (p) − ε < f (x) < f (p) + ε

∀ x ∈ J.

De aqu´ı, por la definici´on de la funci´on φn0 , obtenemos que f (p) − ε ≤ φn0 (p) ≤ f (p), y como la sucesi´on {φn } es creciente, y acotada por f , tenemos que f (p) − ε ≤ φn (p) ≤ f (p),

∀ n ≥ n0 .

Consecuentemente, φn (p) → f (p).



Otra formulaci´on del resultado anterior es la siguiente. Teorema 2.4.5 Sea I un intervalo acotado en RN . Si f es una funci´ on real 1 acotada en I y continua casi por todas partes, entonces, f ∈ L (I). Teniendo en cuenta que toda funci´on continua en un compacto es acotada, podemos enunciar el siguiente resultado. Corolario 2.4.6 Si f es una funci´ on real continua en un intervalo cerrado 1 y acotado I, entonces f ∈ L (I).

2.5

Caracterizaci´ on de las funciones integrables Riemann

Comencemos recordando la definici´on de la integral de Riemann de una funci´on acotada f : [a, b] → R. Dada una partici´on P = {x0 , x1 , . . . , xn } del intervalo [a, b], denotaremos kP k, su norma, definida por kP k := max{xi − xi−1 : i = 1, . . . , n}.

2.5. Caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann

59

Al conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b] lo denotaremos por P([a, b]). Se definen las sumas superiores e inferiores de f asociadas a la partici´on P , como: n X

+

S (f, P ) =

Mi (xi − xi−1 ),

S− (f, P ) =

i=1

n X

mi (xi − xi−1 ),

i=1

siendo: Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]},

mi = inf{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.

Se definen las integrales superior e inferior de Darboux de la funci´on acotada f en [a, b], como: b

Z

f (x) dx = inf{S + (f, P ) : P ∈ P([a, b])},

a

Z

b

f (x) dx = sup{S− (f, P ) : P ∈ P([a, b])},

a

respectivamente. Se dice que la funci´on acotada f : [a, b] → R es integrable Riemann en R b R b [a, b] si a f (x) dx = a f (x) dx. En este caso, a dicho valor com´ un, se le denota por Z a

R

f (x) dx, b

y se le denomina la integral de Riemann de f en el intervalo [a, b]. Es bien conocido el siguiente criterio de integrabilidad para la integral de Riemann. Teorema 2.5.1 (Criterio de integrabilidad de Riemann) Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Entonces, f es integrable Riemann en [a, b] si, y s´ olo si, doda ε > 0 existe P ∈ P([a, b]), tal que S + (f, P ) − S− (f, P ) ≤ ε. Para obtener la caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann, necesitamos la siguiente caracterizaci´on de las integrales de Darboux por medio de integrales de funciones escalonadas.

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

60

Lema 2.5.2 Sea f : [a, b] → R una funci´ on acotada. Entonces las integrales de Darboux de f se pueden obtener como: Z b  Z b f (x) dx = inf ψ : ψ escalonada ψ ≥ f , a

Z

a b

b

Z

 φ : φ escalonada φ ≤ f

f (x) dx = sup a

.

a

Demostraci´ on. Haremos la demostraci´on para la integral superior, ya que, la otra es an´aloga. Sea  Z b ψ : ψ escalonada ψ ≥ f . α := inf a

Z Hemos de demostrar que α =

b

f (x) dx. En efecto: dada la partici´on P = a

{x0 , x1 , . . . , xn } ∈ P([a, b]), si consideramos la funci´on escalonada ψ := M1 χ{x0 } +

n X

Mi χ]xi−1 ,xi [ +

n−1 X

max{Mi , Mi+1 }χ{xi } + Mn χ{xn } ,

i=1

i=1

con Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}, tenemos que f ≤ ψ en [a, b]. Con lo que Z b n X α≤ ψ= Mi (xi − xi−1 ) = S + (f, P ). a

i=1

Por tanto, tomando ´ınfimos al variar las particiones, nos queda que Z b α≤ f (x) dx. a

Para demostrar la otra desigualdad, sea ψ una funci´on escalonada en [a, b], tal que f ≤ ψ. Evidentemente, podemos considerar que ψ=

n X i=1

ai χ]xi−1 ,xi [ +

n X

bi χ{xi } ,

i=0

con P = {x0 , x1 , . . . , xn } ∈ P([a, b]). Sea M := sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Dado un ε > 0, sea   kP k ε 0 < δ < min , . 2 4M n

2.5. Caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann

61

Consideremos la partici´on Pδ de [a, b], definida por Pδ := {x0 , x0 + δ, x1 − δ, x1 + δ, . . . , xn−1 + δ, xn − δ, xn }. Sean: L0 := sup{f (x) : x ∈ [x0 , x0 + δ]}, Li := sup{f (x) : x ∈ [xi − δ, xi + δ]},

i = 1, . . . , n − 1,

Ln := sup{f (x) : x ∈ [xn − δ, xn ]}, Mi := sup{f (x) : x ∈ [xi−1 + δ, xi − δ]},

i = 1, . . . , n.

Evidentemente, Li ≤ M para i = 0, . . . , n, y como f ≤ ψ, tenemos que Mi ≤ ai , para i = 1, . . . , n. Con lo cual Z

b

f (x) dx ≤ S + (f, Pδ ) =

a n X

Mi (xi −δ−xi−1 −δ)+

i=1

n−1 X

Li (xi +δ−xi +δ)+L0 (x0 +δ−x0 )+Ln (xn −xn +δ)

i=1

≤

n X

Mi (xi − xi−1 ) − 2δ

i=1

n X

Mi +

n−1 X

i=1

≤

n X

2δLi + L0 δ + Ln δ

i=1

Z ai (xi − xi−1 ) + M 4nδ ≤

b

ψ + ε, a

i=1

y como esto es cierto para todo ε > 0, obtenemos que b

Z

Z f (x) dx ≤

a

b

ψ. a

De aqu´ı, tomando ´ınfimos al variar las funciones escalonadas, nos queda que Z

b

f (x) dx ≤ α, a

con lo que concluimos la demostraci´on.



Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

62

Lema 2.5.3 Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Supongamos que φn ≤ f ≤ ψn ,

∀ n ∈ N,

(2.15)

siendo, {φn } una sucesi´on creciente de funciones escalonadas y {ψn } una sucesi´on decreciente de funciones escalonadas. Si Z b (ψn − φn ) = 0, (2.16) lim n→∞

a

entonces f es integrable Riemann en [a, b] y, adem´as Z b Z b Z b φn . ψn = lim f (x) dx = lim R n→∞

a

n→∞

a

(2.17)

a

Demostraci´ on. Dado ε > 0, por (2.16 ), existe un n0 ∈ N tal que Z b (ψn − φn ) ≤ ε ∀ n ≥ n0 . a

Sean P1 y P2 las particiones de [a, b] efectuadas por los puntos extremos de los subintervalos de [a, b] que definen φn0 y ψn0 , respectivamente. Sea P := P1 ∪ P2 . Entonces, como φn0 ≤ f ≤ ψn0 , se tiene que Z b + + S (f, P ) ≤ S (f, P2 ) ≤ ψn0 a

y Z S− (f, P ) ≥ S− (f, P1 ) ≥

b

φn 0 , a

con lo que b

Z

+

S (f, P ) − S− (f, P ) ≤

(ψn0 − φn0 ) ≤ ε. a

Entonces, como consecuencia del Teorema 2.5.1 tenemos que f es integrable Riemann en [a, b]. Adem´as, teniendo en cuenta el lema anterior, se tiene que Z b  Z b Z b Z b R f (x) dx = f (x) dx ≤ inf ψn : n ∈ N = lim ψn a

a

n→∞

a

a

y Z R

b

Z

Z f (x) dx ≥ sup

f (x) dx = a

b

a

b

 φn : n ∈ N

a

Z = lim

n→∞

b

φn . a

2.5. Caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann

63

Luego, Z

Z

b

Z f (x) dx ≤ lim

φn ≤ R

lim

n→∞

b

n→∞

a

a

b

ψn . a

De donde por (2.16), deducimos (2.17).



Sea f : Ω ⊂ R → R una funci´on acotada. Sea a ∈ Ω, para δ > 0, sean: M (a, f, δ) := sup{f (x) : x ∈ Ω, |x − a| < δ}, m(a, f, δ) := inf{f (x) : x ∈ Ω, |x − a| < δ}. Se define la oscilaci´on de f en el punto a, como O(f, a) := lim+ (M (a, f, δ) − m(a, f, δ)) . δ→0

Observar que como M (a, f, δ) − m(a, f, δ) decrece cuando lo hace δ, tenemos que el l´ımite que define la oscilaci´on siempre existe. La oscilaci´on de una funci´on en un punto sirve para medir su discontinuidad en dicho punto, ya que se tiene el siguiente resultado, cuya prueba dejamos para el lector (ver Problema 2.10). Lema 2.5.4 Sea f : Ω ⊂ R → R una funci´ on acotada, y a ∈ Ω. Entonces, f es continua en a si, y s´olo si, O(f, a) = 0. Teorema 2.5.5 (Teorema de Lebesgue-Vitali) Sea f : [a, b] → R. Entonces, f es integrable Riemann en [a, b] si, y s´ olo si, f es acotada en [a, b] y continua en [a, b] casi por todas partes. Adem´ as, en este caso, f ∈ L1 ([a, b]) e Z Z b

R

b

f (x) dx = a

f (x) dx. a

Demostraci´ on. Supongamos que f es integrable Riemann en [a, b]. Tenemos entonces que f es acotada en [a, b]. Veamos que f es continua en casi todo punto de [a, b]. Si esto no fuera cierto, si denotamos por D el conjunto de los puntos de [a, b] donde f no es continua, tendr´ıamos que D no es nulo. Veamos que esto nos lleva a una contradicci´on. Si tomamos   1 Dn := x ∈ [a, b] : O(f, x) ≥ , n

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

64 por el Lema 2.5.4, tenemos que

D=

[

Dn .

n∈N

Entonces, como la uni´on numerable de conjuntos es un conjunto nulo, tendremos que existe un n0 ∈ N, tal que Dn0 es no nulo. Con lo cual, existe un ε > 0, tal que cualquier familia numerable de intervalos abiertos que recubra a Dn0 tiene longitud total mayor o igual que ε. Sea P = {x0 , x1 , . . . , xn } una partici´on de [a, b]. Sean xjk (k = 1, . . . , m) los puntos de P , tales que Dn0 ∩]xjk −1 , xjk [6= ∅. Entonces, como m [

]xjk −1 , xjk [,

k=1

recubre a Dn0 , salvo posiblemente un n´ umero finito de puntos, tenemos que m X

(xjk − xjk −1 ) ≥ ε.

k=1

Tenemos entonces que +

S (f, P ) − S− (f, P ) =

n X

(Mj − mj )(xj − xj−1 )

j=1

≥

m X

(Mjk − mjk )(xjk − xjk −1 ) ≥

k=1

1 ε, n0

con lo que f no ser´a integrable Riemann en [a, b], y llegamos a una contradicci´on. Supongamos ahora que f es acotada en [a, b] y continua en [a, b] casi por todas partes. Como f cumple las hip´otesis del Teorema 2.4.4, sabemos que existe una sucesi´on creciente {φn } de funciones escalonadas tal que φn ≤ f cumpliendo Z Z b

n→∞

b

φn =

lim

f. a

a

Igualmente, como −f tambi´en cumple las hip´otesis del Teorema 2.4.4, existe una sucesi´on creciente {ϕn } de funciones escalonadas tal que ϕn ≤ (−f ) cumpliendo Z Z b

lim

n→∞

b

ϕn = a

(−f ). a

2.5. Caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann

65

Con lo que si ψn := −ϕn , tenemos que {ψn } es una sucesi´on decreciente de funciones escalonadas tal que f ≤ ψn y Z b Z b lim ψn = f. n→∞

a

a

Consecuentemente, φn ≤ f ≤ ψn y Z b (ψn − φn ) = 0. lim n→∞

a

De aqu´ı, aplicando el Lema 2.5.3, obtenemos que f es integrable Riemann en [a, b], y adem´as su integral Riemann coincide con su integral Lebesgue.  Como consecuencia del resultado anterior y del Teorema 2.4.5, podemos enunciar el siguiente resultado. Corolario 2.5.6 Toda funci´on integrable Riemann en [a, b] es integrable Lebesgue en [a, b] y adem´as sus respectivas integrales coinciden. El rec´ıproco del resultado anterior no es cierto, i.e., existen funciones integrables Lebesgue que no son integrables en el sentido de Riemann. Para ver que esto es cierto basta con considerar la famosa funci´on de Dirichlet  si x ∈ [0, 1] ∩ Q  0 f (x) :=  1 si x ∈ [0, 1] ∩ (R \ Q). Como f R(x) = 1 para casi todo x ∈ [0, 1], tenemos que f ∈ L1 ([0, 1]), y 1 adem´as 0 f (x) dx = 1. Sin embargo, como f es discontinua en un conjunto no nulo, como consecuencia del Teorema de Lebesgue-Vitali, tenemos que f no es integrable Riemann en [0, 1]. Recordemos que si f : [a, +∞[→ R es integrable Riemann en [a, b], para cada b > a, entonces se define su integral impropia de Riemann, como el siguiente l´ımite, en caso que dicho l´ımite exista, Z +∞ Z b f (x) dx := lim R f (x) dx. R b→+∞

a

a

Veamos con un ejemplo que no toda funci´on integrable en sentido impropio de Riemann es integrable Lebesgue. Para ello consideremos la funci´on f :=

∞ X (−1)n−1 n=1

n

χ[n−1,n[ .

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

66 tenemos entonces que b

Z lim R

b→+∞

f (x) dx = 0

∞ X (−1)n−1

n

n=1

∈ R,

por el Criterio de Convergencia de Leibnitz, con lo que f ser´a integrable en [0, +∞[ en el sentido impropio de Riemann. Sin embargo, f no es integrable Lebesgue en [0, +∞[, ya que, si lo fuera, tambi´en lo ser´ıa la funci´on |f | =

∞ X 1 χ[n−1,n[ . n n=1

Ahora, esta funci´on no es integrable Lebesgue en [0, +∞[, ya que, si consideramos las funciones escalonadas φn :=

n X 1 k=1

k

χ[k−1,k[ ,

tenemos que limn→∞ φn = |f | y, sin embargo, Z lim

n→∞

0

∞

∞ X 1 φn = = +∞. n n=1

Igualmente, si f :] − ∞, b] → R es integrable Riemann en [a, b], para cada b > a, entonces se define su integral impropia de Riemann, como el siguiente l´ımite, en caso que dicho l´ımite exista, Z b Z b R f (x) dx := lim R f (x) dx. −∞

a→−∞

a

En el caso en que f :] − ∞, +∞[→ R es integrable Riemann en [a, b], para cada b > a, entonces se define su integral impropia de Riemann como Z +∞ Z b Z +∞ R f (x) dx := R f (x) dx + R f (x) dx, −∞

−∞

b

cuando estas dos integrales impropias existen, siendo b un n´ umero real arbitrario. En caso en que alguna de las integrales no exista se dice que la integral no es convergente. Se dice que una integral impropia de Riemann es absolutamente convergente cuando existe la integral impropia del valor absoluto

2.6. Problemas

67

R +∞ de la funci´on. Por ejemplo, R a f (x) dx es absolutamente convergente si R +∞ R a |f (x)| dx < +∞. Evidentemente, cada integral absolutamente convergente es convergente. El rec´ıproco no es cierto (ver Problema 2.14). Tambi´en es Revidente el siguiente criterio de comparaci´on: “Si 0 ≤Rf ≤ g y la integral +∞ +∞ R a g(x) dx es convergente, entonces tambi´en lo es R a f (x) dx” Si f :] − ∞, +∞[→ R es integrable Riemann en [a, b], para cada b > a, entonces se define el valor principal de su integral como Z a Z +∞ f (x) dx. f (x) dx := lim R VP −∞

a→+∞

−a

Evidentemente, si una funci´on es integrable impropia de Riemann, tiene valor principal finito que coincide con la integral impropia. Ahora, el rec´ıproco no es cierto, basta con considerar la funci´on f (x) = x, que evidentemente no tiene integral impropia de Riemann finita, y sin embargo Z a Z +∞ x dx = 0. x dx := lim R VP −∞

2.6

a→+∞

−a

Problemas

2.1. Se dice que A ⊂ RN es una figura elemental si existen intervalos acotados Ii (i = 1, . . . , n) disjuntos dos a dos tales que A = ∪ni=1 Ii . Al conjunto de todas las figura elementales de RN lo denotaremos por F(RN ). (i) Demostrar que si A, B ∈ F(RN ), entonces A ∪ B, A ∩ B, A \ B y A∆B son tambi`en elementos de F(RN ). (ii) Demostrar que si φ ∈ E(RN ), entonces para cada m > 0, {φ ≥ m} ∈ F(RN ). 2.2. ¿ Cu´ales de los siguientes conjuntos son nulos en R2 ?: (a) Q × R, (b) (R \ Q) × R, (c) Q × (R \ Q), (d) (R \ Q) × (R \ Q). 2.3. Demostrar que el intervalo [0, 1] no es un conjunto nulo 2.4. Demostrar que el plano P := {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} es nulo en R3 . 2.5. Sea I un intervalo de RN . Demostrar que si f : I → R es una funci´on continua, entonces su gr´afica es un conjunto nulo de RN +1

Cap´ıtulo 2. La Integral de Lebesgue en RN

68

2.6. Demostrar que la circunferencia C := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} es nulo en R2 . 2.7. Demostrar que el conjunto ternario de Cantor tiene la misma cardinalidad que el intervalo [0, 1]. 2.8. Demostrar que existen dos subconjuntos, A, B, nulos de [0, 1] tales que A + B = [0, 1]. 2.9. Demostrar que la funci´on f (x) := x2 χ[0,1] (x) es una funci´on superior en R y calcular su integral. 2.10. Sea f : Ω ⊂ RN → R una funci´on acotada, y a ∈ Ω. Demostrar que, f es continua en a si, y s´olo si, O(f, a) = 0. 2.11. Sea f : Ω ⊂ RN → R una funci´on acotada. Supongamos que Ω es un cerrado. Demostrar que para cada ε > 0, el conjunto {x ∈ Ω : O(f, x) ≥ ε} es un cerrado. 2.12. Probar que si φ ∈ E(RN ) y f ∈ L1 (RN ), entonces φf ∈ L1 (RN ). Encontar una funci´on f ∈ Lsup (RN ) tal que f 2 6∈ L1 (RN ). Z +∞ dx es convergente si, y s´olo si, p > 1. 2.13. Sea a > 0. Demostrar que R xp a 2.14. Demostrar que la funci´on f (x) := senx x tiene integral impropia convergente en [0, +∞[ que no es abolutamente convergente. 2.15. Demostrar que la funci´on f (x) := x sen(x4 ) es integrable impropia de Riemann en [0, +∞[. 2.16. Demostrar que se cumple las siguientes desigualdades x−1 ≤ log(x) ≤ x − 1 x

∀ x > 0,

1 1 1 1 1 1 + + · · · + ≤ log(n) ≤ 1 + + + · · · + 2 3 n 2 3 n−1

∀ n ≥ 2.

2.6. Problemas

69

2.17. Para x ∈ R, consideramos las funciones: [x] := el entero m´as pr´oximo a x,  si x ∈ 21 + Z  0 (x) :=  x − [x] si x 6∈ 12 + Z. Demostrar que la funci´on f (x) :=

∞ X (nx) n=1

n2

es integrable Riemann en cada intervalo [a, b]. 2.18. (i) Demostrar que si f ∈ L1 ([0, +∞)) y existe α = limx→+∞ f (x), entonces α = 0. (ii): dar un ejemplo de una funci´on continua y no negativa f ∈ L1 ([0, +∞)) para la que no existe el limx→+∞ f (x). 2.19. Sea f ∈ L1 ([0, a)) para todo a > 0. Supongamos que lim f (x) = α ∈ R.

n→∞

Demostrar que Z f (x)dx = α.

lim

a→∞

[0,a)

Cap´ıtulo III Teoremas de convergencia Dedicamos este cap´ıtulo a establecer dos de los resultados m´as importantes y significativos de la integral de Lebesgue, como son, el Teorema de la convergencia mon´otona y el de la convergencia dominada. Dichos resultados nos permiten, bajo condiciones muy generales, intercambiar el l´ımite con la integral.

3.1

El Teorema de la Convergencia Mon´ otona

Cada funci´on superior es l´ımite casi por todas partes de una sucesi´on creciente de funciones escalonadas cuyas integrales forman una sucesi´on acotada. ¿Que ocurre si consideramos una sucesi´onn creciente {fn } de funciones superiores cuyas integrales formen una sucesi´on acotada?. El hecho esperado es que {fn } converja casi por todas partes a una funci´on superior f y que Z Z f = lim fn . n→∞

Ahora, si cambiamos creciente por decreciente, lo que uno espera es que el l´ımite casi por todas partes sea una funci´on integrable Lebesgue. Dicho resultado es cierto, como veremos en este apartado, y constituye el denominado Teorema de la Convergencia Mon´otona de Lebesgue-Levi, que algunos autores denominan como Teorema de Beppo Levi. Comenzaremos primeramente con el caso de las sucesiones crecientes de funciones superiores. Teorema 3.1.1 Sea {fn } una sucesi´ on creciente de funciones superiores en RN cuyas integrales forman una sucesi´ on acotada. Entonces, {fn } converge 71

72

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia

casi por todas partes a una funci´ on f ∈ Lsup (RN ), y adem´as Z Z f = lim fn . n→∞

Demostraci´ on. Para cada n ∈ N, como fn ∈ Lsup (RN ), existe una sucesi´on creciente {φn,k }k∈N de funciones escalonadas tal que fn (x) = limk→∞ φn,k (x) para casi todo x ∈ RN , con Z Z lim φn,k = fn . k→∞

Para cada n ∈ N, sea φn := max{φj,k : 1 ≤ j, k ≤ n}. Tenemos entonces que {φn } es una sucesi´on creciente de funciones escalonadas, y como φj,k ≤ fj ≤ fn c.p.p. para j ≤ n, tenemos que φn ≤ fn para todo n ∈ N. Como por hip´otesis Z fn ≤ M

para todo n ∈ N,

φn ≤ M

para todo n ∈ N.

tenemos que Z Por tanto, existe una funci´on f ∈ Lsup (RN ) tal que φn → f c.p.p., y adem´as Z Z f = lim φn . n→∞

Luego s´olo nos que comprobar que fn → f c.p.p., y que Z Z f = lim fn . n→∞

Fijado un n ∈ N, para k ≥ n, tenemos que φn,k ≤ φk ≤ f

c.p.p.,

luego haciendo tender k → ∞, nos queda que fn ≤ f

c.p.p.,

con lo que φn ≤ f n ≤ f

c.p.p.,

3.1. El Teorema de la Convergencia Mon´otona

73

de donde se deduce que fn → f c.p.p., y adem´as Z Z Z φn ≤ fn ≤ f, luego Z

Z f = lim

n→∞

fn . 

Lema 3.1.2 Sea f ∈ L1 (RN ). Dado un  > 0 existen g, h ∈ Lsup (RN ), tales que f = g − h, con h ≥ 0 c.p.p. e Z h < . Demostraci´ on. Por definici´on sabemos que existen g1 , h1 ∈ Lsup (RN ) tales que f = g1 − h1 . Como h1 ∈ Lsup (RN ) existe una sucesi´on creciente {ψn } de funciones escalonadas convergiendo a h1 en casi todo punto, y tal que Z Z h1 = lim ψn . n→∞

Por tanto, dado  > 0, podemos encontrar un n0 ∈ N tal que Z Z 0 ≤ h1 − ψn0 < . Tenemos entonces que h := h1 − ψn0 ∈ Lsup (RN ), h ≥ 0 c.p.p. y Z 0 ≤ h < . Entonces, tomando g := g1 −ψn0 , tenemos que g ∈ Lsup (RN ), y que f = g−h.  Teorema 3.1.3 (Teorema de la Convergencia Mon´ otona) Sea {fn } 1 N una sucesi´on mon´otona de funciones de L (R ) cuyas integrales forman una sucesi´on acotada. Entonces, {fn } converge casi por todas partes a una funci´ on f ∈ L1 (RN ), y adem´as Z Z f = lim fn . n→∞

74

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia

Demostraci´ on. Evidentemente bastar´a con considerar el caso en que {fn } es creciente. Adem´as, considerando la sucesi´on {fn − f1 }, tambi´en podemos suponer que las funciones fn son positivas. Sean Fn , las funciones definidas por F1 := f1 , Fn := fn − fn−1 , n ≥ 2. Tenemos entonces que Fn ≥ 0 c.p.p. y fn = F1 + · · · + Fn . Si aplicamos el lema anterior a Fn , con  = 21n , encontramos funciones gn , hn ∈ Lsup (RN ), gn y hn positivas casi por todas partes, con Z 1 Fn = gn − hn , 0 ≤ hn < n . 2 Tomemos Gn := g1 + · · · + gn ∈ Lsup (RN ),

Hn := h1 + · · · + hn ∈ Lsup (RN ).

Entonces, fn = Gn − Hn , las sucesiones {Gn }, {Hn } son crecientes, y adem´as Z Z Z 1 1 Hn = h1 + · · · + hn < + · · · + n ≤ 1, ∀ n ∈ N, 2 2 Z Z Z Gn = fn + Hn , ∀ n ∈ N. Tenemos pues que las sucesiones {Gn }, {Hn } cumplen las hip´otesis del Teorema 3.1.1, con lo cual, existen g, h ∈ Lsup (RN ), tales que, Gn → g c.p.p., Hn → h c.p.p., e Z Z Z Z lim Gn = g, lim Hn = h. n→∞

n→∞

Por tanto, si f := g − h ∈ L1 (RN ), tenemos que fn → f c.p.p. y que Z Z f = lim fn . n→∞

 Una consecuencia importante del Teorema de la Convergencia Mon´otona es el siguiente resultado. Z 1 N Corolario 3.1.4 Sea f ∈ L (R ). Entonces, |f | = 0 si, y s´ olo si, f = 0 c.p.p. en RN .

3.1. El Teorema de la Convergencia Mon´otona

75

Si f = 0 c.p.p., entonces, |f | = 0 c.p.p., con lo que

Demostraci´ on. Z |f | = 0.

Z |f | = 0. Entonces, si fn := n|f |, te-

Inversamente, supongamos que

1 N nemos que Z {fn } es una sucesi´on creciente de elementos de L (R ), como adem´as, fn = 0, para todo n ∈ N, aplicando el Teorema de la Convergencia

Mon´otona tenemos que fn → g ∈ L1 (RN ) c.p.p. Ahora, como {fn } no converge si f (x) 6= 0, tendremos que f = 0 c.p.p.  Una de las aplicaciones del Teorema de la Convergencia Mon´otona es evaluar integrales de funciones. Para ello es muy u ´til la siguiente consecuencia del Teorema de la Convergencia Mon´otona. Corolario 3.1.5 Sean I1 ⊂ I2 ⊂ . . . intervalos en RN y sea I = ∪n∈N In . Supongamos que f ∈ L1 (In ) para todo n ∈ N. Entonces, si la sucesi´ on  Z |f | In

es acotada, se tiene que f ∈ L1 (I), y adem´as Z Z f = lim f. n→∞

I

In

Demostraci´ on. Supongamos primeramente que f ≥ 0 c.p.p. Entonces, χ fn := f In ∈ L1 (RN ), y la sucesi´on {fn } satisface las hip´otesis del Teorema de la Convergencia Mon´otona. Por tanto, como fn → f χI c.p.p., tenemos que f ∈ L1 (I), y adem´as, Z Z Z Z χ f= f I = lim fn = lim f. I

RN

n→∞

RN

n→∞

In

Para demostrar el caso general, basta con aplicar lo anterior a las funciones f + y f − .  Veamos unos ejemplos. Ejemplos 3.1.6 (i) Supongamos que queremos evaluar Z e−|x| dx. R

76

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia

Sea f (x) := e−|x| . Al ser f continua en cada intervalo [−n, n], tenemos que ser´a integrable Riemann en dichos intervalos, con lo que Z

n

Z

n

f (x) dx = R −n

−|x|

e

Z

0

dx = R

−n

Z

x

n

e dx + R −n

 n = [ex ]0−n + e−x 0 = 2 − 2e−n ≤ 2,

e−x dx

0

∀ n ∈ N.

Por tanto, aplicando el corolario anterior, tenemos que Z Z n −|x| f (x) dx = lim (2 − 2e−n ) = 2. e dx = lim n→∞

R

n→∞

−n

1 (ii) Sea f (x) := √ , para 0 < x ≤ 1. Tenemos entonces que x Z

1

Z

1

f (x) dx = R 1 n

1 n

 √ 1 1 1 √ dx = 2 x 1 = 2 − 2 √ ≤ 2 ∀ n ∈ N. n x n

Por tanto, aplicando el corolario anterior, tenemos que   Z 1 Z 1 1 f (x) dx = lim f (x) dx = lim 2 − 2 √ = 2. n→∞ 1 n→∞ n 0 n

3.2

El Teorema de la Convergencia Dominada

El siguiente resultado, debido a Lebesgue, es una de las herramientas m´as potentes de la teor´ıa de la integral de Lebesgue Teorema 3.2.1 (Teorema de la Convergencia Dominada) Sea {fn } una sucesi´on de funciones de L1 (RN ) que converge casi por todas partes a una funci´on f . Entonces, si existe una funci´ on g ∈ L1 (RN ), tal que |fn | ≤ g

c.p.p. para cada n ∈ N,

se tiene que f ∈ L1 (RN ), y adem´as Z Z f = lim fn . n→∞

3.2. El Teorema de la Convergencia Dominada

77

 Demostraci´ on. Sea A := x ∈ RN : f (x) = limn→∞ fn (x) . Por hip´otesis tenemos que RN \ A es un conjunto nulo. Para x ∈ A, definimos ln (x) := inf{fk (x) : k ≥ n},

un (x) := sup{fk (x) : k ≥ n},

y tomamos ln (x) = un (x) = 0 para cada x ∈ RN \ A. Para x ∈ A, tenemos que lim ln (x) = lim inf fn (x) = f (x), n→∞

n→∞

lim un (x) = lim sup un (x) = f (x).

n→∞

n→∞

Con lo que ln → f c.p.p., y un → f c.p.p.. Adem´as, la sucesi´on {ln } es mon´otona creciente, la sucesi´on {un } es mon´otona decreciente, y se tiene que ln ≤ fn ≤ un

c.p.p. ∀ n ∈ N.

Por tanto, por el Teorema de la Convergencia Mon´otona, para demostrar el teorema bastar´a con probar que ln , un ∈ L1 (RN ), y que la sucesi´on de sus respectivas integrales son acotadas. Ahora, como el supremo y el infimo de un n´ umero finito de funciones integrables es una funci´on integrable, tenemos que ln,k := inf{fn , fn+1 , . . . , fn+k } ∈ L1 (RN ), un,k := sup{fn , fn+1 , . . . , fn+k } ∈ L1 (RN ). ∞ Fijado un n ∈ N, tenemos que las sucesiones {ln,k }∞ otonas, k=1 , {un,k }k=1 son mon´ con lim ln,k (x) = ln (x), lim un,k (x) = un (x) c.p.p. x ∈ RN , k→∞

k→∞

y adem´as Z Z ln,k ≤ g,

Z Z un,k ≤ g,

∀ n, k ∈ N.

De aqu´ı, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, obtenemos que ln , un ∈ L1 (RN ), y que Z Z Z Z ln ≤ g, un ≤ g, ∀ n ∈ N, con lo que finalizamos la prueba del teorema.



78

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia

Nota 3.2.2 En el teorema anterior es fundamental que la sucesi´on est´e dominada por una funci´on integrable, como ponen de manifiesto los siguientes ejemplos: (i) Sean fn := χ[n,n+1] , y f = 0. Entonces, limn→∞ fn (x) = f (x), para cada x ∈ R. Sin embargo, Z Z lim fn = 1 6= 0 = f. n→∞

R

R

(ii) Sean fn := nχ]0, 1 ] . De nuevo, limn→∞ fn (x) = 0, para cada x ∈ R, y sin n embargo Z lim fn = 1 6= 0. n→∞

R

Un caso particular del Teorema de la Convergencia Dominada, que tiene una gran utilidad pr´actica, es el siguiente resultado que algunos autores denominan Teorema de la convergencia acotada de Lebesgue. Corolario 3.2.3 Sea I un intervalo acotado de RN y sean fn ∈ L1 (I), tales que fn → f c.p.p. en I. Si existe un M ∈ R, tal que |fn (x)| ≤ M,

c.p.p. x ∈ I, ∀ n ∈ N,

entonces f ∈ L1 (I), y adem´as Z

Z

f.

fn =

lim

n→∞

I

I

Demostraci´ on. Al ser I acotado, g := M χI ∈ L1 (RN ). Entonces, como Fn := fn χI ∈ L1 (RN ), y |Fn | ≤ g c.p.p., aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que F = f χI ∈ L1 (RN ), e Z Z lim Fn = F. n→∞

RN

RN

Con lo que se tiene que f ∈ L1 (I), e Z Z lim fn = f. n→∞

I

I



3.2. El Teorema de la Convergencia Dominada

79

Corolario 3.2.4 Sea {fn } una sucesi´ on de funciones de L1 (RN ), tal que fn → f c.p.p. en RN . Si existe una funci´ on g ∈ L1 (RN ), tal que |f | ≤ g N 1 N c.p.p. en R , entonces f ∈ L (R ). Demostraci´ on. Para cada n ∈ N, consideremos las funciones hn := sup{−g, inf{fn , g}} ∈ L1 (RN ). Como |f | ≤ g c.p.p. en RN , y fn → f c.p.p. en RN , se tiene que hn → f c.p.p. en RN . Entonces, como |hn | ≤ g, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que f ∈ L1 (RN ).  El siguiente resultado, dado por Fatou en 1906, proporciona una buena herramienta para demostrar la integrabilidad de una funci´on. Teorema 3.2.5 (Lema de Fatou) Sea {fn } una sucesi´ on de funciones pos1 N N itivas de L (R ), tal que fn → f c.p.p. en R . Si existe un K ∈ R, tal que Z fn ≤ K

∀ n ∈ N,

RN

entonces f ∈ L1 (RN ), y adem´as Z f ≤ K. RN

Demostraci´ on. La demostraci´on es similar a la del Teorema de la Convergencia Dominada. Como en aquella demostraci´on consideramos las funciones ln (x) := inf{fk (x) : k ≥ n}, si f (x) = lim fn (x), n→∞

y las funciones ln,k := inf{fn , fn+1 , . . . , fn+k } ∈ L1 (RN ). Fijado un n ∈ N, {ln,k }∞ on decreciente que converge casi por k=1 es una sucesi´ todas partes a ln , y con Z 0 ≤ ln,k ≤ K ∀ k ∈ N.

80

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia

Por tanto, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que ln ∈ L1 (RN ), y adem´as Z 0 ≤ ln ≤ K ∀ n ∈ N. Aplicando ahora el Teorema de la Convergencia Mon´otona a la sucesi´on {ln }, finalizamos la demostraci´on.  Nota 3.2.6 Observar que bajo las hip´otesis del Lema de Fatou, se tiene que Z Z f ≤ lim inf fn . n→∞

3.3

Problemas

3.1. Sea f : [0, ∞[→ [0, ∞[. Demostrar que si existe la integral impropia de Riemann Z ∞ Z a f (x)dx := lim f (x)dx, a→∞

0

0

1

entonces f ∈ L ([0, ∞)) y adem´as Z ∞ Z f (x)dx = 0

f (x)dx.

[0,∞)

Notar que la positividad de la funci´on es esencial (ver Problema 3.2. 3.2. Sea f : [0, ∞[→ R la funci´on definida por  sen x  si x 6= 0  x f (x) :=   1 si x = 0. Demostrar que f es integrable impropia de Riemann en [0, ∞[, y sin embargo, f no es integrable Lebesgue en [0, ∞[. 3.3. Sea f : [a, ∞[→ R tal que f ∈ L1 ([a, b]) para todo b ≥ a. Demostrar que si existe h ∈ L1 ([a, ∞[) tal que f (x) = 0, x→∞ h(x) lim

entonces f ∈ L1 ([a, ∞[).

3.3. Problemas

81

3.4. Demostrar que la funci´on 1 log(1 − e−x ), 1 + x2 es integrable Lebesgue en (0, ∞). f (x) :=

x>0

3.5. Para y > 0, demostrar que la funci´on f (x) := e−x xy−1 es integrable Lebsgue en [0, ∞[. Esto permite definir la funci´ on Gamma Γ :]0, ∞[→ R como Z ∞ Γ(y) := e−x xy−1 dx. 0

3.6. Probar que la funci´on f (x) := xα es integrable Lebesgue en [0, 1] si α > −1, y calcular su integral. 2

3.7. Probar que la funci´on f : R → R, definida por f (x) := e−x es integrable Lebesgue en R. 3.8. Para cada una de las siguientes sucesiones encontrar el conjunto de los puntos x ∈ [0, 1] para los que {fZn (x)} es convergente. ¿Se cumple que 1

fn → 0 c.p.p.? ¿Se cumple que

fn → 0?. 0

2 2

(i) fn (x) = 2n2 xe−n x .   sen(nπx), si x ∈ Q (ii) fn (x) =  0, si x 6∈ Q.  1 p  q , si x = q , p ∈ Z, q ∈ N, 1 ≤ q ≤ n (iii) fn (x) =  0, en otro caso. 3.9. Demostrar que la funci´on f (x) = integral.

1 1+x2

es integrable en R y calcular su

3.10. Demostrar que la funci´on  0 si x ≤ 0,         1 √ si 0 < x ≤ 1 f (x) := x       1   si x ≥ 1 1 + x2

82

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia es integrable en R y calcular su integral.

3.11. Sea f la funci´on    0,

f (x) =

si x < π,

  sen x , x2

x ≥ π.

Demostrar que f es integrable Lebesgue en R. 3.12. Sea C el conjunto ternario de Cantor y sean Ijn los intervalos de longitud 1 que se quitan en el paso n-´esimo para formar C. Demostrar que la 3n funci´on  si x ∈ C  0 f (x) :=  n si x pertenece a uno de los intervalos Ijn es integrable Lebesgue en [0, 1] y calcular su integral. 3.13. Sea I = [0, ∞[, y sean fn (x) := e−nx − 2e−2nx . Demostrar que ! Z X ∞ ∞ Z X fn . fn 6= I

n=1

I

n=1

R P N |fn | es conver3.14. Sean fn ∈ L1 (RP ). Demostrar que si la serie ∞ n=1 ∞ N gente, entonces n=1 fn = f c.p.p. en R , y adem´as ∞ Z X

Z fn =

f.

n=1

3.15. Usando el desarrollo de Taylor de log(1 − x), probar que   Z 1 1 log dx = 1. 1−x 0 3.16. Calcular los siguientes l´ımites: (i) Z lim

n→∞

+∞

2n sen 0

x n

2

e−x dx

3.3. Problemas

83

(ii) Z lim

n→∞

0

+∞

n sen 1 + x4



2x n

 dx.

3.17. Sean fn : [0, 1] → R, las funciones definidas por  ] n = 2k + j, j = 0, 1, . . . 2k − 1, k = 0, 1, . . .  1, si x ∈ [ 2jk , (j+1) 2k fn (x) =  0 en otro caso. Probar que la sucesi´on {fn (x)} no converge para ning´ un x ∈ [0, 1]. Probar que sin embargo la subsucesi´on definida por  n  1, si x ∈ [ 2 2−1 n , 1] gn (x) :=  0 en otro caso, converge a cero para casi todo x ∈ [0, 1]. 3.18. Sean fn : R → R, las funciones definidas por  −3 1 , n1 ]  x 2 , si x ∈ [ n+1 fn (x) =  0 en otro caso. Probar que la fn ∈ L1 (R) para cada n ∈ N, que no existe ninguna funci´on integrable en R que domine a la sucesi´on |fn |, y sin embargo, se tiene que Z Z lim

n→∞

fn (x) dx =

lim fn (x) dx.

R n→∞

R

3.19. Demostrar que si f : R → R es uniformemente continua e integrable Lebesgue, entonces lim f (x) = 0. |x|→∞

3.20. Encontrar funciones continuas fn : [0, 1] → [0, +∞[, tales que, Z 1 lim fn (x) = 0 c.p.p., lim fn (x) dx = 0, n→∞

n→∞

y sin embargo, supn∈N fn 6∈ L1 ([0, 1]).

0

84

Cap´ıtulo 3. Teoremas de convergencia

3.21. Sean fn ∈ L1 ([a, b]). Probar que si fn → f uniformemente en [a, b], entonces f ∈ L1 ([a, b]), y adem´as Z lim

n→∞

b

b

Z fn (x) dx =

a

f (x) dx. a

3.22. Probar que el resultado del problema anterior no es cierto si el intervalo x no es acotado. Para ello, considerar las funciones fn (x) := n1 e− n . 3.23. Sea f : [0, 1] → R una funci´on continua. Demostrar que Z 1 nf (x) π lim dx = f (0). 2 2 n→+∞ 0 1 + n x 2 3.24. Sean fn , gn , g ∈ L1 (RN ), con gn ≥ 0, g ≥ 0 c.p.p. en RN , para todo n ∈ N. R Supongamos que fn → f y gn → g c.p.p. en RN , y que R limn→∞ RN gn = RN g. Demostrar que si |fn | ≤ gn c.p.p. en RN para todo n ∈ N, entonces f ∈ L1 (RN ) y adem´as Z Z f. lim fn = n→∞

RN

RN

3.25. Sean fn ∈ L1 (RN ), tales que fn → f c.p.p. en RN . Demostrar que Z Z Z Z f. fn = |f | ⇒ lim lim |fn | = n→∞

RN

RN

n→∞

RN

Dar un contraejemplo para la implicaci´on inversa.

RN

Cap´ıtulo IV El Teorema de Fubini Con la teor´ıa de la integraci´on desarrollada hasta ahora, conocemos, en teor´ıa una gran cantidad de funciones integrables en RN , pero no tenemos un m´etodo pr´actico para evaluar las integrales de dichas funciones. En este cap´ıtulo daremos un resultado, dado por el matem´atico italiano Fubini en 1907, que relaciona la integral en RN de una funci´on con sus sucesivas integrales reiteradas en R, con lo que proporciona un m´etodo para evaluar integrales en RN . Probaremos dicho resultado primeramente para funciones escalonadas y posteriormente para funciones integrables Lebesgue.

4.1

El Teorema de Fubini

A lo largo de este cap´ıtulo N y M ser´an nœmeros naturas fijos. Para x = (x1 , . . . , xN ) ∈ RN e y = (y1 , . . . , yM ) ∈ RM , escribiremos (x, y) para la (N + M )-tupla (x1 , . . . , xN , y1 , . . . , yM ) ∈ RN +M . Si f ∈ L1 (RN +M ), a su integral la denotaremos por Z Z f (z) dz. f (x, y) d(x, y), o por RN +M

RN +M

En el Teorema de Fubini, nos aparecer´an expresiones de la forma  Z Z f (x, y) dy dx, RN

RM

denominadas integrales reiteradas. La interpretaci´on de dichas integrales es la siguiente. Para casi todo x ∈ RN la funci´on y 7→ f (x, y) es integrable 85

86

Cap´ıtulo 4. El Teorema de Fubini

Lebesgue en RM , adem´as, la funci´on Z F (x) :=

f (x, y) dy

RM

es integrable Lebesgue en RN , y por definici´on,  Z Z Z f (x, y) dy dx := RN

RM

F (x) dx.

RN

Teorema 4.1.1 (Teorema de Fubini para funciones escalonadas) Si φ es una funci´on escalonada en RN +M , entonces   Z Z Z Z Z φ(x, y) d(x, y) = φ(x, y) dy dx = φ(x, y) dx dy. RN +M

RN

RM

RM

RN

Demostraci´ on. Puesto que los intervalos acotados de RN +M son de la forma I × J, con I un intervalo acotado de RN y J un intervalo acotado de RM , y puesto que las funciones escalonadas son combinaciones lineales finitas de funciones caracter´ısticas, bastar´a con demostrar el resultado para funciones de la forma φ(x, y) = χI (x)χJ (y), x ∈ RN , y ∈ RM . Ahora, en este caso el resultado es obvio, ya que  Z Z Z φ(x, y) d(x, y) = |I| |J| = f (x, y) dx dy. RN +M

RM

RN

 Sea S ⊂ RN +M . Si x ∈ RN , denotaremos por Sx := {y ∈ RM : (x, y) ∈ S}, y para y ∈ RM , denotaremos por Sy := {x ∈ RN : (x, y) ∈ S}. A los conjuntos Sx , Sy , se les denomina las secciones del conjunto S. Las secciones de un conjunto nulo son casi todas nulas. M´as concretamente, tenemos el siguiente resultado. Lema 4.1.2 Si S ⊂ RN +M es un conjunto nulo, entonces para casi todo x ∈ RN Sx es un conjunto nulo en RM , y para casi todo y ∈ RM Sy es un conjunto nulo en RN .

4.1. El Teorema de Fubini

87

Demostraci´ on. Como S es nulo en RN +M , aplicando el Teorema 2.3.2, tenemos que existe una R sucesi´on creciente {ψn } de funciones escalonadas en RN +M , para la cual { ψn } es una sucesi´on convergente, y {ψn (x, y)} diverge para cada (x, y) ∈ S. Por el teorema anterior, las funciones escalonadas φn en RN definidas por Z φn (x) :=

ψn (x, y) dy, RM

satisfacen que Z

Z φn = RN

ψn . RN +M

R Por tanto, la sucesi´on { RN φn } es convergente. Entonces, como consecuencia del Lema 2.3.1, tenemos que {φn (x)} es convergente para casi todo x ∈ RN . Sea x0 ∈ RN un punto para el que {φn (x0 )} sea convergente, i.e., para el que la sucesi´on  Z ψ(x0 , y) dy RM

sea convergente. Si aplicamos de nuevo el Teorema 2.3.2, tenemos que {ψn (x0 , y)} es convergente para casi todo y ∈ RM . Con lo cual, como {ψn (x0 , y)} diverge para todo y ∈ Sx0 , tenemos que Sx0 es nulo en RM . El otro caso se demuestra de forma similar.  Teorema 4.1.3 (Teorema de Fubini) Si f ∈ L1 (RN +M ), entonces   Z Z Z Z Z f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy. f (x, y) d(x, y) = RN +M

RN

RM

RM

RN

Demostraci´ on. Evidentemente, ser´a suficiente con probarlo para funciones superiores. Sea f ∈ Lsup (RN +M ). Tomemos una sucesi´on creciente {φn } de funciones escalonadas en RN +M que converja a f c.p.p. en RN +M , y tal que Z Z f = lim φn . RN +M

n→∞

RN +M

Como consecuencia del Teorema de Fubini para funciones escalonadas, tenemos que si Z ψn (x) = φn (x, y) dy, para x ∈ RN , RM

88

Cap´ıtulo 4. El Teorema de Fubini

entonces Z

Z ψn (x) dx =

RN

∀ n ∈ N.

φn (x, y) dxdy, RN +M

Ahora, como la sucesi´on {φn } es creciente, por la monoton´ıa de la integral tenemos que la sucesi´on {ψn } ser´a tambi´en creciente. Como adem´as, la sucesi´on Z  ψn (x) dx RN

es convergente, aplicando el Lema 2.3.1, tenemos que {ψn } converge casi por todas partes en RN . Sea S el conjunto nulo de RN +M formado por los puntos (x, y) para los que {φn (x, y)} es divergente. Como consecuencia del Lema 4.1.2 sabemos que Sx es nulo en RM para casi todo x ∈ RN . Si elegimos un un x0 ∈ RN , tal que Sx0 es nulo en RM y {ψn (x0 )} es convergente, tenemos que φn (x0 , y) → f (x0 , y)

c.p.p. en RM ,

ya que converge para todo y 6∈ Sx0 . Como adem´as la sucesi´on  Z φn (x0 , y) dy = {ψn (x0 )} RM

es convergente, aplicando de nuevo el Lema 2.3.1, tenemos que Z f (x0 , y) dy = lim ψn (x0 ). ∃ n→∞

RM

Como consecuencia de lo anterior tenemos que podemos definir para casi todo x ∈ RN la funci´on Z f (x, y) dy = lim ψn (x). F (x) := n→∞

RM

Ahora, como Z lim

n→∞

Z ψn = lim

RN N

n→∞

Z φn =

f,

RN +M

RN +M

tenemos que F ∈ Lsup (R ), y adem´as  Z Z Z Z f (x, y) dy dx = F (x) dx = RN

RM

RN

la otra igualdad se demuestra de forma an´aloga.

f (x, y) d(x, y).

RN +M



4.2. Ejemplos

4.2

89

Ejemplos

En esta secci´on vamos a dar algunos ejemplos de c´alculo de integrales m´ ultiples por medio del Teorema de Fubini. Ejemplo 4.2.1 Consideremos I := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1}, y sea  2  ey si (x, y) ∈ I, x < y, f (x, y) :=  0 si (x, y) ∈ I, x ≥ y Vamos a calcular, usando el Teorema de Fubini, Z f (x, y) d(x, y). I

Como f es acotada y continua en casi todo punto de I, ya que es continua salvo en el conjunto nulo {(x, y) ∈ I : x = y}, tenemos que f ∈ L1 (I). Por tanto, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que  Z 1 Z 1 Z y2 e dy dx. f (x, y) d(x, y) = 0

I

x

Dado 0 < x < 1, como 2

ey =

∞ X y 2n n=0

n!

uniformemente en [x, 1],

tenemos (ver Problema 3.21) que Z x

1

 1 Z ∞ ∞ X X 1 1 2n 1 y 2n+1 e dy = y dy = n! n! 2n + 1 x x n=0 n=0 y2

=

∞ X n=0


1 1 − x2n+1 . n!(2n + 1)

Ahora, como 1 − x2n+1 2 1 n!(2n + 1) ≤ n!(2n + 1) ≤ n2 ,

90

Cap´ıtulo 4. El Teorema de Fubini

aplicando el Criterio (M) de Weierstrass, tenemos que serie ∞ X n=0


1 1 − x2n+1 n!(2n + 1)

converge uniformemente en [0, 1], con lo que Z

Z

∞ X

1

f (x, y) d(x, y) = 0

I

=

∞ Z X n=0

=

1

0

∞ X n=0

n=0


1 1 − x2n+1 n!(2n + 1)

! dx

 1 ∞ X
1 1 x2(n+1) 2n+1 dx = 1−x x− n!(2n + 1) n!(2n + 1) 2(n + 1) 0 n=0

1 n!(2n + 1)



2n + 1 2(n + 1)



=

∞

1X 1 1 = = 2 n=0 (n + 1)! 2

! ∞ X 1 −1 n! n=0

1 (e − 1) . 2

Ejemplo 4.2.2 Consideremos la funci´on f (x, y) := √1xy , para (x, y) ∈ I = ]0, 1]×]0, 1]. En este caso como f no est´a acotada en I, para probar su integrabilidad no podemos razonar como en el ejemplo anterior, lo que vamos a hacer es aplicar el Teorema de la convergencia mon´otona. Para ello consideramos los intervalos In := [ n1 , 1] × [ n1 , 1], y las funciones fn := f χIn . Como f es continua en el intervalo compacto In , tenemos que fn ∈ L1 (R2 ). Por tanto, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que Z

Z

1

1

Z

fn = 1 n

R2

1 n

1 √ dx xy

!

Z

1

dy = 1 n

1 √ dy y

!2

 2 1 =4 1− √ ≤ 4. n

Entonces, como la sucesi´on {fn } es creciente y converge c.p.p. a la funci´on f χI , aplicando el Teorema de la convergencia mon´otona, tenemos que f ∈ L1 (I), y adem´as  2 1 f= f χI = lim fn = lim 4 1 − √ = 4. n→∞ R2 n→∞ n I R2

Z

Z

Z

4.3. Problemas

91

Ejemplo 4.2.3 En este ejemplo veremos que el Teorema de Fubini tambi´en sirve para probar la integrabilidad de una funci´on. Consideremos la funci´on 2 −y 2 f (x, y) := (xx2 +y Si f fuera integrable 2 )2 , para (x, y) ∈ I =]0, 1]×]0, 1]. Lebesgue en I, por el Teorema de Fubini, tendr´ıamos que   Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. 0

0

0

0

Por tanto, para ver que f no es integrable Lebesgue en I basta con probar que no se la igualdad anterior. En efecto: haciendo el cambio de variable y = x tan θ, nos queda que 1 1 Z 1 2 Z Z x − y2 1 arctan x 1 arctan x 1 − tan2 θ dθ = (cos2 θ − sen2 θ) dθ dy = 2 2 + y 2 )2 (x x 1 + tan θ x 0 0 0  arctan x1 1 1 x 1 sen2θ arctan x1 = = . = [senθ cos θ]0 = 2 x 2 x x(1 + x ) 1 + x2 0 Por tanto, Z 1 Z 0

1

0

x2 − y 2 dy (x2 + y 2 )2



1

Z dx = 0

1 π dx = [arctan x]10 = . 2 1+x 4

Por otra parte, haciendo el cambio de variable x = y tan θ, y trabajando como en el caso anterior, nos queda que 1 Z Z 1 2 1 arctan y 1 − tan2 θ 1 x − y2 dx = − dθ = − , 2 2 2 2 y 0 1 + tan θ 1 + y2 0 (x + y ) con lo cual Z 1 Z 0

0

1

x2 − y 2 dx (x2 + y 2 )2



Z dy = − 0

1

π 1 dy = − [arctan y]10 = − . 2 1+y 4

Consecuentemente, f no es integrable Lebesgue en I.

4.3

Problemas

4.1. Calcular

R I

f (x, y) d(x, y) en los siguientes casos:

(a) f (x, y) := senx x , I la regi´on del primer cuadrante encerrada por la bisectriz y la par´abola y = x2 .

92

Cap´ıtulo 4. El Teorema de Fubini (b) f (x, y) := (x+y)−2 , I la parte del intervalo [0, 1]×[1, 4] comprendida entre las rectas y = x e y = 2x. (c) f (x, y) := cos x, I el cuadrado de v´ertices (1, 0), (−1, 0), (0, 1) y (0, −1). (d) f (x, y) := x12 , I la regi´on limitada por la par´abola y = 4x − x2 y la recta y + 3x = 6.

4.2. Sea f (x, y) :=

 

1 y2



− x12 si 0 < y ≤ x < 1

si 0 < x ≤ y < 1,

¿Es f integrable Lebesgue en [0, 1] × [0, 1]? 4.3. Probar que si 0 < a < b, entonces 1

Z 0

xb − xa 1+b dx = log . log x 1+a

4.4. Sea f (x, y) = | cos(x + y)|. Calcular Z f (x, y) d(x, y). [0,π]×[0,π]

4.5. Sea f (x, y) := | max{x, y}|. Calcular Z f (x, y) d(x, y). [−2,2]×[−1,1]

4.6. Sea f (x, y) := max{y, x2 }. Calcular Z f (x, y) d(x, y). [0,1]×[0,1]

4.7. Sea f (x, y) := xy|sen(x2 + y 2 )|. Calcular Z f (x, y) d(x, y). √ √ [0, π]×[0, 2π]

4.3. Problemas 4.8. Sea

93

 2 x − y2   para (x, y) ∈]0, 1[×]0, 1[,  2 x + y2 f (x, y) :=    0 en otro caso

probar que f es integrable Lebesgue en R2 y calcular su integral. 4.9. Sea  2 x + y2   para (x, y) ∈]0, 1[×]0, 1[, x 6= y,  2 x − y2 f (x, y) :=    0 en otro caso ¿Es f integrable Lebesgue en R2 ? 4.10. f (x, y, z) :=

   

1 si x + y + z ≤ 1, x, y, z ≥ 0 (x + y + z)3

   0

en otro caso

¿Es f integrable Lebesgue en R3 ? 4.11. Sea f (x, y) := e−xy −2e−2xy . ¿Es f integrable Lebesgue en [0, 1]×[1, ∞[? 4.12. Sea f (x, y) := xyE(y 2 − x), siendo E(t) la parte entera de t. Calcular Z f (x, y) d(x, y). [0,1]×[0,2]

4.13. Sea f (x, y) :=

 2 2  xye−(x +y ) si 0 ≤ x ≤ 2y, 

0

en otro caso

¿ Es f integrable Lebesgue en R2 ? 4.14. Sea I := (0, 1) × (0, 1) × · · · × (0, 1) ⊂ RN y sean ai > 0, i = 1, . . . , N . Probar que Z N X dx 1 > 1. aN < ∞ ⇐⇒ a1 a2 a I x1 + x2 + · · · + xN i=1 i

Cap´ıtulo V Funciones y conjuntos medibles 5.1

Funciones medibles

Hemos visto que aunque la clase de las funciones integrables Lebesgue es bastante a´mplia no contiene a las funciones continuas. Adem´as, no es una clase cerrada para productos. En efecto, consideremos la funci´on  1    √ si 0 < x ≤ 1, x f (x) :=    0 si x ∈ R \ [0, 1]. Si tomamos la sucesi´on de funciones  1  1   √ si n ≤ x ≤ 1, x fn (x) :=    0 si x ∈ R \ [ n1 , 1], como Z

1

Z fn =

1 n

R

  1 1 √ dx = 2 1 − √ ≤ 2, x n

aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que f ∈ L1 (R). Sin embargo, la funci´on f 2 no es integrable Lebesgue en R, ya que, si lo fuera, como f 2 χ[ 1 ,1] ≤ f 2 , se tendr´ıa que n

Z f R

2χ

Z 1 [n ,1]

1

= 1 n

1 dx = ln(n) ≤ x 95

Z R

f 2 < ∞,

96

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

lo cual es una contradicci´on. Vamos a introducir una clase de funciones, m´as a´mplia que la clase de las funciones integrables Lebesgue, que contiene a las funciones continuas y que es cerrada para productos. Definici´ on 5.1.1 Se dice que una funci´on f : RN → R es medible Lebesgue N en R , o simplemente medible en RN si existe una sucesi´on {φn } de funciones escalonadas en RN , tal que, φn → f c.p.p. en RN . Al conjunto de todas las funciones medibles Lebesgue en RN lo denotaremos por M(RN ). De la propia definici´on se desprende que toda funci´on integrable Lebesgue en RN es medble Lebesgue en RN , i.e., L1 (RN ) ⊂ M(RN ). Teorema 5.1.2 Sea ϕ : R2 → R una funci´ on continua tal que ϕ(0, 0) = 0. Entonces, si f, g ∈ M(RN ), la funci´on h, definida por h(x) := ϕ(f (x), g(x)) es medible Lebesgue en RN . Demostraci´ on. Como f, g ∈ M(RN ), existen sucesiones {φn }, {ψn }, de funciones escalonadas en RN , tales que φn → f c.p.p. en RN y ψn → g c.p.p. en RN . Definimos las funciones θn (x) := ϕ(φn (x), ψn (x)). Evidentemente, las funciones θn son escalonadas en RN , y como ϕ es continua, se tiene que θn → h c.p.p. en RN , con lo que h ∈ M(RN ).  Corolario 5.1.3 M(RN ) es un ret´ıculo vectorial, i.e., si f, g ∈ M(RN ), y α ∈ R, entonces: αf + g, f ∧ g, f ∨ g, |f |, f + , f − ∈ M(RN ). Adem´ as, 1 N N N f g ∈ M(R ), y si f (x) 6= 0 c.p.p. en R , entonces f ∈ M(R ). Demostraci´ on. Basta con aplicar el resultado anterior tomando como ϕ las funci´on: ϕ(x, y) = αx + y, ϕ(x, y) = x ∧ y, ϕ(x, y) = x ∨ y, ϕ(x, y) = xy, respectivamente.



5.1. Funciones medibles

97

Teorema 5.1.4 Si f ∈ M(RN ) y existe una funci´ on g ∈ L1 (RN ), tal que |f | ≤ g c.p.p. en RN , entonces f ∈ L1 (RN ) Demostraci´ on. Como f ∈ M(RN ) existe una sucesi´on {φn } de funciones escalonadas en RN , tal que φn → f c.p.p. en RN . De aqu´ı, aplicando el Corolario 3.2.4 obtenemos el resultado.  Teorema 5.1.5 Sean fn ∈ M(RN ), y sea f tal que fn → f c.p.p. en RN . Entonces, f ∈ M(RN ). Demostraci´ on. Sea g ∈ L1 (RN ), tal que g(x) > 0 para todo x ∈ RN (por 2 ejemplo podemos tomar g(x) = e−kxk , ver Problema 3.7). Para cada n ∈ N, definimos fn (x) . Fn (x) := g(x) 1 + |fn (x)| Tenemos entonces que Fn → F :=

gf 1 + |f |

c.p.p. en RN .

Ahora, como cada Fn es medible y |Fn (x)| ≤ g(x) para cada x ∈ RN , aplicando el teorema anterior tenemos que Fn ∈ L1 (RN ). Por tanto, como consecuencia del Corolario 3.2.4, obtenemos que F ∈ L1 (RN ), con lo que F ∈ M(RN ). Ahora, 

|f | f (g − |F |) = f g 1 − 1 + |f |

 =

fg = F. 1 + |f |

Con lo cual, f=

F . g − |F |

De aqu´ı, como F , g y |F | son medibles y g(x) − |F | > 0 para cada x ∈ RN , aplicando el Corolario 5.1.3, obtenemos que f ∈ M(RN ).  Corolario 5.1.6 Sean fn ∈ M(RN ). Entonces, las funciones: inf n∈N fn , supn∈N fn , lim inf n→∞ fn y lim supn→∞ fn (definidas puntualmente) son medibles en RN .

98

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Demostraci´ on. Sean gm := f1 ∧ f2 ∧ . . . ∧ fm ∈ M(RN ). Entonces, inf fn = lim gm ∈ M(RN ). m→∞

n∈N

De forma similar se demuestra que supn∈N fn ∈ M(RN ). Por otra parte, si definimos hm := inf fn ∈ M(RN ). n≥m

Con lo cual, lim inf fn = sup hm = lim hm ∈ M(RN ). n→∞

m∈N

m→∞

De forma similar se demuestra que lim supn→∞ fn ∈ M(RN ).



Corolario 5.1.7 Toda funci´ on continua en RN es medible Lebesgue en RN . Demostraci´ on. Sea f continua en RN . Para cada n ∈ N, sea In := {x ∈ RN : |xi | ≤ n, i = 1, . . . , N }. Como consecuencia del Teorema 2.4.5, f χIn ∈ L1 (RN ) ⊂ M(RN ), y como f χIn → f puntualmente, aplicando el teorema anterior tenemos que f ∈ M(RN ).  En vista de los resultados obtenidos tenemos que las operaciones usuales aplicadas a las funciones medibles producen funciones medibles, y adem´as toda funci´on integrable o continua es medible. Consecuentemente, la clase de las funciones medibles es muy ´amplia. No obtante, veremos m´as adelante que existen funciones no medibles aunque su construcci´on no es trivial.

5.2

El criterio de integrabilidad de TonelliHobson

Para poder aplicar el Teorema de Fubini tenemos que conocer que la funci´on f ∈ L1 (RN +M ). El siguiente resultado nos reduce, en el caso en sepamos que la funci´on es medible Lebesgue en RN +M , el problema a la integrabilidad en espacios de menor dimensi´on. M´as concretamente, tenemos el siguiente resultado.

5.2. El criterio de integrabilidad de Tonelli-Hobson

99

Teorema 5.2.1 (Teorema de Tonelli-Hobson) Supongamos que f ∈ M(RN +M ). Si existe alguna de las integrales reiteradas   Z Z Z Z |f (x, y)| dy dx, |f (x, y)| dx dy. RN

RM

RM

Entonces f ∈ L1 (RN +M ) e Z Z Z f (x, y) d(x, y) = RN +M

RN

RN

 f (x, y) dy

Z

Z

dx =

RM

 f (x, y) dx

RM

dy.

RN

Demostraci´ on. Por el Teorema de Fubini ser´a suficiente con demostrar que 1 N +M f ∈ L (R ). Supongamos que  Z Z |f (x, y)| dx dy < ∞. RM

RN

Para cada n ∈ N, consideremos los intervalos:  In := x ∈ RN : |xi | ≤ n, i = 1, . . . , N ,  Jn := y ∈ RM : |yj | ≤ n, j = 1, . . . , M , Tn := In × Jn . Sea φn := nχTn y fn := min{φn , |f |}. Como φn y |f | son medibles, tenemos que fn ∈ M(RN +M ). Adem´as, como 0 ≤ fn ≤ φn y φn ∈ L1 (RN +M ), tenemos que fn ∈ L1 (RN +M ). Entonces, aplicando el Teorema de Fubini, obtenemos que   Z Z Z Z Z |f (x, y)| dx dy < ∞. fn (x, y) dx dy ≤ fn = RN +M

RM

RN

RM

RN

De aqu´ı, como la sucesi´on {fn } es creciente, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que {fn } converge casi por todas partes a una funci´on integrable en RN +M , y como fn → |f | c.p.p. en RN +M , tendremos que |f | ∈ L1 (RN +M ), y como f es medible, se tiene que f ∈ L1 (RN +M ).  Ejemplo 5.2.2 Vamos a probar, usando el Teorema de Tonelli-Hobson que Z x sent π lim dt = . (5.1) x→+∞ 0 t 2

100

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Consideremos la funci´on f (t, y) := e−ty sen t. Al ser f continua ser´a medible en R2 . Adem´as, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, para cada t > 0, tenemos que   Z n Z ∞ 1 −nt 1 1 −ty −ty e dy = lim − e e dy = lim + = . n→∞ n→∞ 0 t t t 0 Con lo cual,  Z Z x Z ∞ −ty |e sent| dy dt = 0

0

0

x

Z |sen t|

∞

e

−ty

 dy

Z

x

dt =

0

0

|sen t| dt. t

Por tanto, aplicando el Teorema de Tonelli-Hobson, tenemos que   Z x Z x Z ∞ Z ∞ Z x sen t −ty −ty e sent dy dt = e sent dt dy = dt. t 0 0 0 0 0 Ahora,

x

Z x  −ty x e sen t dt = −e cos t 0 − y e−ty cos t dt 0 0 Z x   x = 1 − e−xy cos x − y e−ty sen t 0 + y sen t(−ye−ty ) dt 0 Z x −xy −xy 2 =1−e cos x − ye sen x − y e−ty sen t dt. Z

−ty

0

Con lo que x

Z

e−ty sent dt =

0

Por tanto, Z 0

x

sen t dt = t

Z 0

∞


1 1 − e−xy (y sen x + cos x) . 2 1+y


1 1 − e−xy (y sen x + cos x) dy. 2 1+y

Por otra parte, para x ≥ 1, −xy e 1 1 + y 2 (y sen x + cos x) ≤ 1 + y 2 , con lo, que si para 1 ≤ x1 < x2 < · · · < xn < . . ., tomamos las funciones fn (y) :=


1 1 − e−xn y (y sen xn + cos xn ) , 2 1+y

5.3. Conjuntos medibles. La medida de Lebesgue en RN

101

2 Ahora, por el Teorema de la Convergencia tenemos que |fn (y)| ≤ 1+y 2. Mon´otona, tenemos que Z ∞ Z n 1 1 π dy = lim dy = lim arctan n = . 2 2 n→∞ 0 1 + y n→∞ 1+y 2 0

Por tanto, fn ∈ L1 ([0, ∞[), y aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, obtenemos que Z ∞ Z x 1 sent π dt = lim dy = , 2 x→+∞ 0 t 1+y 2 0 con lo que queda probado (5.1).

5.3

Conjuntos medibles. La medida de Lebesgue en RN

Definici´ on 5.3.1 Sea A ⊂ RN . Se dice que A es medible Lebesgue (o simplemente medible) si χA ∈ M(RN ). Si adem´as χA ∈ L1 (RN ), se define su medida como Z N χA . L (A) := RN 1

En el caso en que A se medible y χA ∈ 6 L (RN ), definimos LN (A) = +∞. Denotaremos por A(RN ) a la familia de todos los subconjuntos medibles de RN , i.e., A(RN ) = {A ⊂ RN : χA ∈ M(RN )}. Tenemos entonces definida la aplicaci´on LN : A(RN ) → [0, +∞], que se denomina la medida de Lebesgue N -dimensional Sea A ∈ A(RN ), y f : RN → R. Si f χA ∈ L1 (RN ), decimos que f es integrable Lebesgue en A, y escribimos Z Z f= f χA . A

RN

Al conjunto de todas las funciones integrables Lebesgue en A lo denotaremos por L1 (A). En el siguiente resultado recogemos algunas de las propiedades m´as importantes de la medida de Lebesgue en RN .

102

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Teorema 5.3.2 (1) Sean A, B ∈ A(RN ). Entonces: (i) A ∩ B, A ∪ B, A \ B, A 4 B ∈ A(RN ). (ii) A es nulo ⇐⇒ LN (A) = 0. (iii) Si A ⊂ B, entonces LN (A) ≤ LN (B). (iv) LN (A ∪ B) + LN (A ∩ B) = LN (A) + LN (B). (2) Sean An ∈ A(RN ), n ∈ N. Entonces: (i) Si la sucesi´on {An } es creciente, se tiene que A=

∞ [

An ∈ A(RN )

n=1

y LN (A) = lim LN (An ). n→∞

(ii) En el caso general, tambi´en A=

∞ [

An ∈ A(RN )

n=1

y L (A) ≤ N

∞ X

LN (An ).

n=1

Si adem´as los conjuntos An son disjuntos dos a dos, entonces L (A) = N

∞ X

LN (An ).

n=1

Demostraci´ on (1): (i) se sigue f´acilmente de las propiedades de las funciones medibles y de la igualdades: χA∪B = max{χA , χB }, χA\B = (χA − χB )+ ,

χA∩B = min{χA , χB }, χA4B = |χA − χB |.

5.3. Conjuntos medibles. La medida de Lebesgue en RN

103

(ii): Si A es nulo, entonces χA = 0 c.p.p. en RN , con lo que Z N χA = 0. L (A) = RN

Rec´ıprocamente, si L (A) = N

Z

χA = 0,

RN

aplicando el Corolario 3.1.4, tenemos que χA = 0 c.p.p. en RN , con lo que A es nulo. (iii): Si LN (B) = +∞, el resultado es obvio. Supongamos pues que LN (B) < +∞. Entonces, χB ∈ L1 (RN ). Ahora, como χA ≤ χB , y χA es medible, tenemos que χA ∈ L1 (RN ). Entonces, por la monoton´ıa de la integral tenemos que Z Z LN (A) =

χB = LN (B).

χA ≤

RN

RN

(iv): Si LN (A∪B) = +∞, como χA∪B = max{χA , χB }, se tiene que LN (A) = +∞ o LN (B) = +∞. Luego en este caso el resultado es cierto. Supongamos pues que LN (A ∪ B) < +∞. Entonces, χA∪B ∈ L1 (RN ), y como χA , χB y χA∩B son funciones medibles, se tiene que dichas funciones son integrables en RN . Consecuentemente, como χA∪B + χA∩B = χA + χB , tenemos que L (A ∪ B) + L (A ∩ B) = N

N

Z

χA∪B +

RN

Z = RN

χA +

Z

Z

χA∩B

RN

χB = LN (A) + LN (B).

RN

(2) (i): Tenemos que χAn ∈ M(RN ), y como {χAn } es creciente, tenemos que χ∪∞

n=1 An

= lim χAn , n→∞

N N con lo que A = ∪∞ n=1 An ∈ A(R ). En el caso en que limn→∞ L (An ) = +∞, como LN (A) ≥ LN (An ) para cada n ∈ N, se tiene que LN (A) = +∞. Supongamos pues que limn→∞ LN (An ) ∈ R. En este caso, χAn ∈ L1 (RN ),

104

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

con lo cual aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, obtenemos que Z Z N χ χAn = lim LN (An ). L (A) = A = lim n→∞

RN

n→∞

RN

N (ii): Para cada m ∈ N, sea Bm := ∪m n=1 An . Por (1) (i), Bm ∈ A(R ). Tenemos entonces que {Bm } es creciente y adem´as ∞ [

Bm =

m=1

∞ [

An = A,

n=1

con lo cual, por (i), tenemos que A ∈ A(RN ), y adem´as L (A) = lim L (Bm ) ≤ lim N

N

m→∞

m→∞

m X

L (An ) = N

∞ X

LN (An ).

n=1

n=1

En el caso en que An sean disjuntos dos a dos, aplicando inductivamente (1)(iv), tenemos que m X LN (Bm ) = LN (An ), n=1

con lo que LN (A) = lim LN (Bm ) = lim m→∞

m→∞

m X n=1

LN (An ) =

∞ X

LN (An ).

n=1



5.4

Medibilidad de los conjuntos de Borel

Sea X un conjunto y B una familia de subconjuntos de X. Se dice que B es una σ-´algebra si se cumplen: (i) X ∈ B. (ii) Si A ∈ B, entonces X \ A ∈ B. (iii) Si An ∈ B para todo n ∈ N, entonces ∪∞ n=1 An ∈ B.

5.4. Medibilidad de los conjuntos de Borel

105

Como consecuencia del Teorema 5.3.2, se tiene que A(RN ) es una σa´lgebra. Si X es un espacio topol´ogico, a la menor σ-´algebra que contiene a los conjuntos abiertos de X se la denota por B(X) y se le denomina la σ-´ algebra de Borel. A los elementos de B(X) se les denomina subconjunos borelianos de X. Como A(RN ) es una σ-´algebra, para demostrar que B(RN ) ⊂ A(RN ), i.e., que todo subconjunto boreliano de RN es medible Lebesgue, bastar´a con probar que todo subconjunto abierto de RN es medible Lebesgue. Para ello necesitamos el siguiente resultado. Teorema 5.4.1 Todo subconjunto abierto A de RN se puede expresar como la uni´ on de una colecci´on disjunta numerable de intervalos acotados cuyas clausuras est´an contenidas en A. Demostraci´ on. Para cada m ∈ N, consideramos la colecci´on de los intervalos semiabiertos de R de la forma   n n+1 , , n ∈ Z. 2m 2m Todos estos intervalos tienen longitud 2−m y forman una colecci´on disjunta cuya uni´on es R. El producto cartesiano de N intervalos de esta colecci´on es un intervalo N -dimensional. Sea Fm la colecci´on de tales intervalos de RN . Tenemos entonces que Fm es una familia numerable de intervalos acotados y disjuntos cuya uni´on es todo RN . Por su construcci´on. si Im ∈ Fm e Im+1 ∈ Fm+1 , se tiene que: Im+1 ⊂ Im o Im ∩ Im+1 = ∅. Para cada m ∈ N, extraemos de Fm una subfamilia Gm de la forma siguiente:  G1 := I ∈ F1 : I ⊂ A , y para m ≥ 2,  Gm := I ∈ Fm : I ⊂ A, e I no corta a los elementos de G1 , . . . , Gm−1 . Como cada Gm es una familia numerable de intervalos acotados de RN con clausura contenida en A, bastar´a con que demostremos que [ [ A= I. m∈N I∈Gm

106

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Por construcci´on, [ [

I ⊂ A.

m∈N I∈Gm

Veamos el otro contenido. Sea x = (x1 , . . . , xN ) ∈ A. Como A es un abierto, existe un cubo J con centro x y longitud lateral δ, tal que J ⊂ A. Sea m0 ∈ N, tal que 2m1 0 < 2δ . Entonces, xi −

1 δ δ 1 < xi − m0 < xi < xi + m0 < xi + , 2 2 2 2

i = 1, . . . , N.

Para cada i = 1, . . . , N elegimos un ni ∈ Z, tal que   ni ni + 1 xi ∈ m0 , m0 . 2 2 Tenemos entonces que  N  Y ni ni + 1 x∈ , m0 ⊂ J ⊂ A. m0 2 2 i=1 Consecuentemente, existe  m1 = min m ∈ N : ∃Im ∈ Fm , con x ∈ Im , Im ⊂ A . Para finalizar la prueba veamos que Im1 ∈ Gm1 . En efecto: si no fuera cierto, existir´ıa un [ I∈ Gm , tal que I ∩ Im1 6= ∅. m c} = = x ∈ R : f (x) ≥ c + Sc+ 1 (f ), n n n∈N n∈N

tenemos que (ii) implica la condici´on: (v) Para cada c ∈ R el conjunto {x ∈ RN : f (x) > c} es medible. Ahora, por complementaci´on, (v) es equivalente a la condici´on: (vi) Para cada c ∈ R el conjunto {x ∈ RN : f (x) ≤ c} es medible. Finalment, como {x ∈ R

N

: f (x) ≥ c} =

\ n∈N

x∈R

N

1 : f (x) > c − n

 ,

tenemos que (vi) implica (ii). Consecuentemente, todas las condiciones (i)(vi) son equivalentes. Corolario 5.5.5 Sea f : RN → R. f es medible Lebesgue en RN si, y s´ olo −1 N si, f (V ) ∈ A(R ) para cada abierto V de R. Demostraci´ on. (⇐) Dado c ∈ R, como ]−∞, c[ es un abierto de R, tenemos que el conjunto {x ∈ RN : f (x) < c} = f −1 (] − ∞, c[) es medible. Por tanto, por la nota anterior tenemos que f ser´a medible. (⇒) Como todo abierto de R es una uni´on numerable de intervalos abiertos, ser´a suficiente con probar que f −1 (]a, b[) es medible. Ahora, f −1 (]a, b[) = {x ∈ RN : f (x) > a} ∩ {x ∈ RN : f (x) < b}. Por tanto, si f es medible, como consecuencia de la nota anterior tenemos que f −1 (]a, b[) ser´a medible.  El resultado siguiente nos viene a decir que la integraci´on es una operaci´on continua.

110

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Teorema 5.5.6 Sea f ∈ L1 (RN ). Entonces, para cada ε > 0 existe un δ > 0, tal que Z |f | < ε E

para cada E ∈ A(RN ) con LN (E) < δ. Demostraci´ on. Para cada n ∈ N, sea En := {x ∈ RN : |f (x)| ≤ n}. Como consecuencia de la nota anterior tenemos que En ∈ A(RN ), con lo cual fn := |f | χEn ∈ M(RN ). Tenemos que 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . . ≤ fn → |f | c.p.p., y fn ≤ |f | ∈ L1 (RN ). Por tanto, Z Z lim fn = |f |. n→∞

RN

RN

Dado ε > 0, elegimos un n ∈ N, tal que Z Z ε |f | − fn < . 2 RN RN ε Entonces, si tomamos δ := 2n , para cada E ∈ A(RN ) con LN (E) < δ, nos queda que: Z Z Z fn ≤ |f | = (|f | − fn ) + E

E

E

Z

Z (|f | − fn ) +

RN

RN

nχE
0, tenemos que   X [ L1 (r + E) = L1  (r + E) ≤ L1 (] − 1, 2[), r∈Q∩]−1,1[

r∈Q∩]−1,1[

con lo que L1 (] − 1, 2[) = +∞, lo cual es una contradicci´on. Tenemos pues que E no es medible Lebesgue en R. Nota 5.6.4 En 1965, R. Solovay2 demostr´o que el Axioma de Elecci´on es indispensable para la construcci´on de de un conjunto no medible Lebesgue. Por esta raz´on en 19703 introdujo el siguiente axioma: “Cada funci´ on f : RN → R es medible Lebesgue”. Al An´alisis que utiliza este axioma, en lugar del de elecci´on, se le suele denominar An´alisis Solovayano. 2

R. Solovay The measure problem. Notices of the Amer. Math. Soc. 12 (1965), 217. R. Solovay A model of set theory in which every set of real is Lebesgue measurable. Ann. Math. 92 (1970), 1-56. 3

5.7. La medida exterior de Lebesgue

5.7

113

La medida exterior de Lebesgue

En la secci´on anterior hemos visto que, admitiendo el Axioma de Elecci´on, se pueden encontrar subconjuntos que no son medibles Lebesgue. En 1902, Lebesgue introdujo una funci´on de conjuntos definida para todo subconjunto de RN y que coinciden con la medida de Lebesgue cuando el conjuno es medidble Lebesgue, es esta la medida exterior de Lebesgue definida de de forma siguiente. Definici´ on 5.7.1 Denotamos por P(RN ) la familia de todos los subconjuntos de RN . Para E ∈ P(RN ), se define su medida exterior de Lebesgue, como: (∞ ) ∞ X [ µN (E) := inf |In | : In son intervalos abiertos, E ⊂ In . n=1

n=1

En el siguiente resultado veremos algunas de las propiedades de la medida exterior de Lebesgue. Teorema 5.7.2 La medida exterior de Lebesgue µN : P(RN ) → [0, +∞] tiene las siguientes propiedades: (i) µN (∅) = 0, y si E ⊂ F , entonces µN (E) ≤ µN (F ). (ii) E ⊂ RN es nulo si, y s´olo si, µN (E) = 0. (iii) Si En ⊂ RN para n = 1, 2, . . ., entonces ! ∞ ∞ [ X µN En ≤ µN (En ). n=1

n=1

(iv) Para E ∈ A(RN ) se tiene que µN (E) = LN (E). Demostraci´ on. (i) y (ii) son obvios. Veamos (iii). Podemos suponer que µN (En ) < ∞ para todo n ∈ N, pues si no la conclusi´on es obvia. Dado un n ε > 0, para cada n ∈ N, podemos tomar una sucesi´on {Im } de intervalos abiertos tal que En ⊂

∞ [ m=1

n Im ,

∞ X m=1

n |Im | ≤ µN (En ) +

ε . 2n

114

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Sea ϕ : N → N × N una aplicaci´on biyectiva. Entonces, ∞ [

En ⊂

n=1

∞ [

n Im =

n,m=

∞ [

Iϕ(k) ,

k=1

y adem´as µN

∞ [ n=1

! En

≤

∞ X

|Iϕ(k) | =

∞ X ∞ X

n |Im |

n=1 m=1

k=1

≤

∞ X

≤

∞  X n=1

ε µN (En ) + n 2

µN (En ) + ε.

n=1

Y puesto que esto es cierto para todo ε > 0, tenemos probado (iii). Veamos finalmente que se cumple (iv). Evidentemente, podemos suponer que LN (E) < +∞. Sea {In } una familia numerable de intervalos abiertos acotados, tal que E ⊂ ∪∞ n=1 In . Tenemos entonces que χE ≤

∞ X

χIn ,

n=1

con lo que, aplicando el Teorema de la convergencia mon´otona, nos queda que Z ∞ ∞ Z X X N χ χ |In |. L (E) = In = E ≤ RN

n=1

RN

n=1

Consecuentemente, tomando ´ınfimos obtenemos que LN (E) ≤ µN (E). Veamos la otra desigualdad. Supongamos primeramente que E ⊂ I, siendo I un intervalo cerrado y acotado. Como χE ∈ L1 (RN ), sabemos que existe una sucesi´on {φn } de funciones escalonadas en RN , tal que φn → χE c.p.p. en RN . Obviamente, podemos suponer que cada φn se anula fuera de I. Para cada n ∈ N, tomamos   1 N Wn := x ∈ R : φn es continua en x, φn (x) > . 2 Tenemos que cada Wn es una uni´on finita de subintervalos abiertos de I. Consideremos el conjunto A formado por los x ∈ RN , para los que φn (x) 6→

5.7. La medida exterior de Lebesgue

115

χE (x), o φn es discontinua en x para alg´ un n ∈ N. Entonces, como A es nulo, tenemos que µN (E) = µN (E \ A). Evidentemente, para cada x ∈ RN \ A.

lim χWn (x) = χE (x)

n→∞

Sea Vk =

∞ [

(5.2)

Wn .

n=k

Por (5.2) se tiene que lim χVn (x) = χE (x)

n→∞

para cada x ∈ RN \ A.

Ahora, como Vn es un abierto, χVn ∈ M(RN ), y como χVn ≤ χI ∈ L1 (RN ), tenemos que χVn ∈ L1 (RN ) para cada n ∈ N, adem´as, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que Z Z χ χE lim (5.3) Vn = n→∞

RN

RN

Dado un ε > 0, por (5.3), podemos fijar un k ∈ N, tal que Z Z χE + ε. χVk < RN

RN

Sea J la familia numerable de los intervalos abiertos disjuntos dos a dos tal que Vk = ∪{J : J ∈ J}. Como consecuencia de (5.2), dado un x ∈ E \ A, para n suficientemente grande se tiene que x ∈ Wn , as´ı que x ∈ Vk . Por tanto, E \ A ⊂ Vk . Por otra parte, al ser la familia J disjunta, tenemos que X χJ . χVk = J∈J

Consecuentemente, µN (E) = µN (E \ A) ≤

X J∈J

Z =

X

RN J∈J

χJ =

Z RN

χ Vk
0 es arbitrario, obtenemos que µN (E) ≤ LN (E). Con lo que completamos la prueba en el caso en que E est´a contenido en un intervalo cerrado y acotado. En el caso general, dado E ∈ A(RN ), podemos poner, interceptando E con intervalos acotados, E=

∞ [

En ,

n=1

con En ∈ A(RN ), los En disjuntos dos a dos y cada En contenido en un intervalo cerrado y acotado. Entonces, teniendo en cuenta lo anterior y aplicando (iii), tenemos que ! ∞ ∞ ∞ X X [ µN (E) ≤ µN (En ) = LN (En ) = LN En = LN (E). n=1

n=1

n=1

 Se tiene la siguiente relaci´on entre la medida de Lebesgue y la topolog´ıa de RN . Teorema 5.7.3 (i) (Regularidad exterior) Para cada E ⊂ RN se tiene que µN (E) = inf{LN (U ) : E ⊂ U, U abierto en RN }. (ii) (Regularidad interior) Para cada E ∈ A(RN ) se tiene que LN (E) = sup{LN (K) : K ⊂ E, K compacto en RN }. Demostraci´ on. (i): Sea a := inf{LN (U ) : E ⊂ U, U abierto en RN }. Por la monoton´ıa de la medida, tenemos que µN (E) ≤ a. Supongamos que µN (E) < a. Entonces, por la definici´on de µN , existe una familia numerable {In } de intervalos abiertos de RN , tal que E⊂

[

In ,

n∈N

∞ X

|In | < a.

n=1

Por tanto, si consideramos el abierto U := ∪n∈N In , tendremos que: E ⊂ U y L (U ) ≤ N

∞ X n=1

|In | < a,

5.7. La medida exterior de Lebesgue

117

lo cual est´a en contradicci´on con la definici´on de a. (ii): Sea E ∈ A(RN ). Para cada n ∈ N, tomamos: En := [−n, n]N ∩ E,

Fn := [−n, n]N \ E.

Como consecuencia de (i), para cada n ∈ N, podemos encontrar un abierto Un tal que 1 Fn ⊂ Un , LN (Un ) < LN (Fn ) + . n N Tomamos Kn := [−n, n] \ Un . Tenemos que cada Kn es un compacto y Kn ⊂ En . Adem´as, LN (Kn ) = (2n)N − LN ([−n, n]N ∩ Un ) ≥ (2n)N − LN (Un ) ≥ (2n)N − LN (Fn ) −

1 1 = LN (En ) − . n n

Por tanto, 

1 L (E) = lim L (En ) ≤ lim inf L (Kn ) + n→∞ n→∞ n N

N

N



≤ lim sup LN (Kn ) ≤ LN (E). n→∞

Consecuentemente, LN (E) = lim LN (Kn ), n→∞

de donde se deduce el resultado.  Vamos a usar el resultado anterior para dar una prueba simple de un interesante resultado dado en 19204 por el matem´atico polaco Hugo Steinhaus. Teorema 5.7.4 (Teorema de Steinhaus) Si E ∈ A(R) con L1 (E) > 0, entonces existe un δ > 0, tal que ] − δ, δ[⊂ E − E. Demostraci´ on. Por (ii) del resultado anterior, podemos tomar un compacto K ⊂ E, con L1 (K) > 0. Ahora, aplicando (i) del resultado anterior, existe un abierto U , tal que K ⊂ U y L1 (U ) < 2L1 (K). 4

H. Steinhaus Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive, Fundamenta Mathematicae 1 (1920), 93-104.

118

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Sea δ = dist(K, R \ U ) := inf{|x − y| : x ∈ K, y ∈ R \ U }. Se tiene que δ > 0 y x + K ⊂ U siempre que |x| < δ. Entonces, (x + K) ∩ K 6= ∅

si |x| < δ.

(5.4)

En efecto: supongamos que existe un |x| < δ, tal que (x + K) ∩ K = ∅. Entonces, (x + K) ∪ K ⊂ U , y adem´as 2L1 (K) = L1 (K) + L1 (x + K) = L1 ((x + K) ∪ K) ≤ L1 (U ) < 2L1 (K). Consecuentemente, (5.4) es cierto. Ahora de (5.4) se desprende f´acilmente que ] − δ, δ[ ⊂ E − E. 

5.8

Los teoremas de Egorov y de Luzin

Es bien conocido que la convergencia puntual de una sucesi´on de funciones no implica su convergencia uniforme; basta con considerar la sucesi´on de funciones fn : [0, 1] → R, definidas por fn (x) = xn , sucesi´on que converge puntualmente a la funci´on f , siendo f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1, y f (1) = 1. Sin embargo, es f´acil ver que la sucesi´on {fn } no converge uniformemente a f en [0, 1]. Ahora, lo que si se tiene es que fn → f uniformemente en cada intervalo [0, 1−ε], para 0 < ε < 1. Esto es un caso particular de un resultado general obtenido por el matem´atico ruso D. E. Egorov en 19115 . Teorema 5.8.1 (Teorema de Egorov) Sea E ∈ A(RN ) con LN (E) < ∞. Supongamos que {fn } es una sucesi´ on de funciones medible y que fn → f c.p.p. en E. Entonces, para cada ε > 0 existe un compacto K ⊂ E, con LN (E \ K) < ε, y tal que fn → f uniformemente en K. Demostraci´ on. Sea B := {x ∈ E : fn (x) → f (x)}. Por hip´otesis tenemos que LN (E \ B) = 0, con lo que B ∈ A(RN ). Si definimos las funciones φn := fn χB , φ := f χB , tenemos que φn ∈ M(RN ), 5

D. E. Egorov Sur les suites de fonctions mesurables, C.R. Acad. Sci. Paris 152 (1911), 244-246.

5.8. Los teoremas de Egorov y de Luzin

119

y φn (x) → φ(x) para cada x ∈ RN , con lo que φ ∈ M(RN ). Para n, k ∈ N, consideramos los conjuntos  ∞  [ 1 Ωk,n := x ∈ B : |φ(x) − φj (x)| ≥ . k j=n Al ser las funciones φj y φ medibles, tenemos que Ωk,n ∈ A(RN ). Ahora, como: ∞ \ Ωk,1 ⊃ Ωk,2 ⊃ · · · , Ωk,n = ∅ y LN (B) < ∞, n=1

tenemos que lim LN (Ωk,n ) = 0,

n→∞

para cada k ∈ N.

Por tanto, dado un k ∈ N existe un nk ∈ N, tal que ε LN (Ωk,nk ) < k . 3 Entonces, si tomamos ∞ [ Ω := Ωk,nk , k=1

nos queda que: LN (Ω) ≤

∞ X

LN (Ωk,nk )
LN (B \ Ω) − = LN (B) − LN (Ω) − 2 2 ε = LN (E) − LN (Ω) − > LN (E) − ε. 2 Como adem´as, fn → f uniformemente en K, finalizamos la demostraci´on.  |f (x) − fj (x)|
0, existe una funci´ on g continua en RN , tal que
LN {x ∈ RN : f (x) 6= g(x)} < ε. Adem´as, si |f (x)| ≤ M c.p.p. x ∈ RN , podemos tomar g cumpliendo que |g(x)| ≤ M c.p.p. x ∈ RN . Demostraci´ on. Al ser f medible, existe una sucesi´on {φn } de funciones escalonadas en RN , tal que φn → f c.p.p. en RN . Sea Ω el conjunto formado por los x ∈ RN , para los que φn (x) 6→ f (x) o φn es discontinua en x para alg´ un n ∈ N. Se tiene que Ω es nulo. Para cada n ∈ N sea En := ]n − 1, n[N \Ω. Aplicando el Teorema de Egorov en cada En , encontramos compactos Kn ⊂ En , tales que ε LN (En \ Kn ) < n , φk → f uniformemente en Kn . 2 Ahora, como cada φk es continua en Kn , tenemos que f es continua en cada Kn . Sea ∞ [ K := Kn . n=1 6

N. N. Luzin Sur les propi´et´es des fonctions mesurables, C.R. Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1688-1690.

5.8. Los teoremas de Egorov y de Luzin

121

Entonces K es un cerrado de RN , f es continua en K y adem´as LN (RN \ K) ≤

∞ X

LN (En \ K)
M, |x| tenemos que ψ es continua, con lo que lo ser´a la funci´on h := ψ ◦ g, y por construcci´on, |h(x)| ≤ M para todo x ∈ RN . Adem´as, {x ∈ RN : f (x) 6= h(x)} ⊂ {x ∈ RN : f (x) 6= g(x)} ∪ {x ∈ RN : |f (x)| > M }, con lo que
LN {x ∈ RN : f (x) 6= h(x)} < ε.  Corolario 5.8.4 f es medible Lebesgue en RN si, y s´ olo si, existe una N sucesi´ on {gn } de funciones continuas en R tal que gn → f c.p.p. en RN . Demostraci´ on. Como toda funci´on continua es medible Lebesgue, bastar´a con probar que si f es medible Lebesgue, entonces f es l´ımite casi por todas partes de una sucesi´on de funciones continuas. En efecto: aplicando el Teorema de Luzin, para cada n ∈ N existe una funci´on continua gn en RN , tal que si En := {x ∈ RN : f (x) 6= gn (x)}, entonces, LN (En ) < Sea Fk :=

∞ [ j=k

1 . 2n Ej .

122

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles

Se tiene entonces que ∞ X 1 1 L (Fk ) ≤ = j−1 . j 2 2 j=k N

Como adem´as, F1 ⊃ F2 ⊃ · · ·, si tomamos F :=

∞ \

Fk ,

k=1

tenemos que LN (F ) = lim LN (Fk ) = 0. k→∞

Ahora, N

R \F =

∞ [ ∞ [ 

x ∈ RN : f (x) = gn (x) ,

k=1 n=k

con lo que lim gn (x) = f (x)

n→∞

para cada x ∈ RN \ F.

 Veamos finalmente, como aplicaci´on del Teorema de Luzin, el siguiente resultado debido a S. Banach. Teorema 5.8.5 Toda funci´ on medible f : R → R que satisface la ecuaci´ on funcional f (x + y) = f (x) + f (y) para todo x, y ∈ R es continua. Demostraci´ on. Fijado un x0 ∈ R, veamos que f es continua en x0 . Por el Teorema de Luzin tenemos existe una funci´on g continua en R tal que si , entonces x0 ∈]a, b[ y 0 < 0 < b−a 2 L1 ({x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)} < 0 . Nuestro objetivo es demostrar que dado un  > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x0 + y) − f (x0 )| ≤  si |y| ≤ δ. Ahora, como f satisface la ecuaci´on funcional, bastar´a con encontrar que para cada y con |y| ≤ δ, existe un xy ∈ [a, b] tal que |f (xy + y) − f (xy )| ≤ , ya que |f (x0 + y) − f (x0 )| = |f (xy + y) − f (xy )|.

5.9. Problemas

123

Como g es uniformemente continua en [a, b],  > 0 existe un δ > 0 tal que |g(x + y) − g(x)| ≤  ∀ x ∈ [a, b], si |y| ≤ δ. Podemos considerar que 0 < δ < 0 . Fijado un y tal que |y| ≤ δ. Consideramos los conjuntos A := {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)}, Ay := {x ∈ [a, b] : x + y ∈ [a, b], f (x + y) 6= g(x + y)}. Sabemos que L1 (A) < 0 . Adem´as como Ay ⊂ A − y, tambi´en tenemos que L1 (Ay ) < 0 . Por tanto, L1 (A ∪ Ay ) < 20 < b − a. Consecuentemente, L1 ([a, b] \ (A ∪ Ay )) > 0, con lo que existe un xy ∈ [a, b] tal que f (xy + y) = g(xy + y) y f (xy ) = g(xy ). Entonces, |f (xy + y) − f (xy )| = |g(xy + y) − g(xy )| ≤ . 

5.9

Problemas

5.1. Sean An ∈ A(RN ) tales que ∞ X

LN (An ) < ∞.

n=1

Demostrar que el conjunto A de los puntos que pertenecen a infinitos An es nulo. 5.2. Sean E1 , . . . , En subconjuntos medibles de RN de medida finita. Para 1 ≤ p ≤ n, definimos X σp := LN (Ei1 ∩ . . . ∩ Eip ). i1 0, entonces f (x) ∈ F para casi todo x ∈ E. 5.14. Sea f ∈ L1 (R). Demostrar que si Z b f (x)dx = 0 para todo a < b a

entonces f = 0 casi por todas partes. 5.15. Sea A ⊂ R. Demostrar que si todo subconjunto de A es medible Lebesgue, entonces A es nulo. Consecuentemente, cada A ⊂ R tal que L1 (A) > 0, contiene un subconjunto no medible Lebesgue. 5.16. Sea I0 :=]0, 1[∩(R \ Q). Demostrar que para cada 0 <  < 1, existe un compacto K ⊂ I0 tal que L1 (K) > 1 − . 5.17. Sea E ⊂ RN medible y sea {fn } una sucesi´on de funciones medible que converge c.p.p. a f en E. Demostrar que existe una sucesi´on Ek de subconjuntos medibles tal que LN (E \ ∪∞ k=1 Ek ) = 0 y tal que fn → f uniformemente en cada Ek . 5.18. Sea E ⊂ RN un conjunto medible. Sean fn ∈ M(E). Se dice que {fn } converge en medida a f en E si para cada σ > 0 lim LN ({x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ σ}) = 0.

n→∞

126

Cap´ıtulo 5. Funciones y conjuntos medibles Demostrar si {fn } converge en medida a f en E, entonces existe una subsucesi´on {fnk } que converge casi por todas parte a f en E.

5.19. Sea E ⊂ RN un conjunto medible con medida finita. Sean fn ∈ M(E). Probar que {fn } converge en medida a 0 en E si y s´olo si Z |fn (x)| dx = 0. lim n→∞ E 1 + |fn (x)| Demostrar que el resultado es falso si E no es de medida finita. 5.20. Demostrar que el Teorema de la Convergencia Dominada es cierto cambiando la convergencia casi por todas partes de la sucesi´on por su convergencia en medida. 5.21. Para f ; RN → [0, ∞) definimos Df := {(x, t) ∈ RN +1 : 0 ≤ t ≤ f (x)}. (i) Demostrar que f es medible si y s´olo si Df es un conjunto medible (ii) Probar que si para p > 0, f p ∈ L1 (RN ), entonces Z ∞ Z p tp−1 LN ({x ∈ RN : f (x) > t})dt. f (x)dx = p RN

0

Cap´ıtulo VI Transformaci´ on de integrales Dedicamos este cap´ıtulo a establecer la f´ormula de cambio de variable en R que constituye una extensi´on de la f´ormula Z b Z φ(b) f [φ(t)] φ0 (t) dt, f (x) dx = N

φ(a)

a

para f continua en φ([a, b]) y φ con derivada continua en [a, b], del C´alculo elemental. Extenderemos la anterior f´ormula a funciones integrables Lebesgue definidas en subconjuntos medibles de RN .

6.1

Transformaci´ on de coordenadas

Sea Ω ⊂ RN un abierto. Si φ : Ω → RN es un campo vectorial, denotaremos por φ0 su matriz Jacobiana, y por Jφ su determinante Jacobiano, i.e., ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1 ∂x · · · ∂x ∂x ∂φ1 ∂φ2 N ∂φ2 2 2 · · · ∂x2 ∂xN 1 Jφ := det(φ0 ) = ∂x . . .. . .. .. · · · . ∂φ N ∂φN · · · ∂φN ∂x1

∂x2

∂xN

Definici´ on 6.1.1 Sea Ω ⊂ RN un abierto y φ : Ω → RN . Se dice que φ es una transformaci´on de coordenadas si cumple las siguientes propiedades: (i) φ ∈ C 1 (Ω, RN ), i.e., las derivadas parciales de φ son continuas en Ω, (ii) φ es inyectiva en Ω, 127

128

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

(iii) Jφ (x) 6= 0 para cada x ∈ Ω. A las aplicaciones que cumplen estas tres propiedades tambi´en se les suele denominar transformaciones regulares o difeomorfismos. (i) (Cordenadas polares en R2 ). Sea

Ejemplos 6.1.2

Ω := {(ρ, θ) ∈ R2 : ρ > 0, θ ∈]0, 2π[}, y sea φ : Ω → R2 , la aplicaci´on definida por φ(ρ, θ) := (ρ cos θ, ρ sen θ). La aplicaci´on φ es una transformaci´on de coordenadas, ya que evidentemente es de clase C 1 , inyectiva, y adem´as cos θ −ρ sen θ = −ρ 6= 0. Jφ (ρ, θ) = sen θ −ρ cos θ Esta transformaci´on de coordenadas, aplica a cada punto (ρ, θ) de Ω, en el punto (x, y) ∈ R2 \ {(x, 0) : x ≥ 0}, dado por la expresi´on: x = ρ cos θ,

y = ρ sen θ;

cuando el punto est´a expresado de esta forma, se dice que est´a en coordenadas polares. (ii) (Coordenadas cil´ındricas en R3 ) Sea Ω := {(ρ, θ, z) ∈ R3 : ρ > 0, θ ∈]0, 2π[, z ∈ R}, y sea φ : Ω → R3 , la aplicaci´on definida por φ(ρ, θ, z) := (ρ cos θ, ρ sen θ, z). En este caso, cos θ −ρ sen θ 0 Jφ (ρ, θ, z) = sen θ −ρ cos θ 0 = −ρ 6= 0. 0 0 1 Evidentemete φ es clase C 1 , y es f´acil comprobar que φ es inyectiva en Ω, con lo que tenemos que φ es una transformaci´on de coordenadas en

6.1. Transformaci´on de coordenadas

129

Ω. Esta transformaci´on de coordenadas, aplica a cada punto (ρ, θ, z) de Ω, en el punto (x, y, z) ∈ R3 \ {(x, 0, 0) : x ≥ 0}, dado por la expresi´on: x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = z; cuando el punto est´a expresado de esta forma, se dice que est´a en coordenadas cil´ındricas. (iii) (Coordenadas esf´ ericas en R3 ) Sea Ω := {(ρ, θ, ϕ) ∈ R3 : ρ > 0, θ ∈]0, 2π[, ϕ ∈]0, π[}, y sea φ : Ω → R3 , la aplicaci´on definida por φ(ρ, θ, ϕ) := (ρ cos θ senϕ, ρ sen θ senϕ, ρ cos ϕ). En este caso, cos θ senϕ −ρ sen θ senϕ ρ cos θ cos ϕ Jφ (ρ, θ, ϕ) = sen θ senϕ ρ cos θ sen ϕ ρ senθ cos ϕ cos ϕ 0 −ρ senϕ



= −ρ2 senϕ 6= 0. Evidentemete φ es clase C 1 , y es f´acil comprobar que φ es inyectiva en Ω, con lo que tenemos que φ es una transformaci´on de coordenadas en Ω. Esta transformaci´on de coordenadas, aplica a cada punto (ρ, θ, ϕ) de Ω, en el punto (x, y, z) ∈ R3 \ ({(x, 0, 0) : x ≥ 0} ∪ {(0, 0, z) : z ∈ R}), dado por la expresi´on: x = ρ cos θ senϕ,

y = ρ sen θ senϕ,

z = ρ cos ϕ;

cuando el punto est´a expresado de esta forma, se dice que est´a en coordenadas esf´ericas. Como consecuencia de la regla de la cadena se tiene que la composici´on de dos transformaciones de coordenadas es una transformaci´on de coordenadas. Adem´as, como consecuencia del Teorema de la funci´on inversa (ver por ejemplo [8]), se tiene que si φ es una transformaci´on de coordenadas en Ω, entonces φ−1 ∈ C 1 (φ(Ω), RN ), consecuentemente, si φ es una transformaci´on de coordenadas en Ω, entonces φ−1 es una transformaci´on de coordenadas en φ(Ω).

130

6.2

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

F´ ormula de cambio de variable para transformaciones lineles y afines

Denotaremos por L(RN , RN ) el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales de RN en RN . Dada T ∈ L(RN , RN ), a la matriz asociada a T , respecto a la base can´onica de RN , la denotaremos por m(T ), i.e., m(T ) es la matriz (aij ), tal que    a11 a12 · · · a1N x1  a21 a22 · · · a2N   x2     T (x) =  ..   ..  . .. ..  .   . ··· . .  aN 1 aN 2 · · · aN N xN Se dice que una apliaci´on lineal T ∈ L(RN , RN ) es no singular si es inyectiva, o equivalentemente si es invertible. Tenemos pues que T ∈ L(RN , RN ) es no singular si, y s´olo si, det[m(T )] 6= 0. Entonces, teniendo en cuenta que T es diferenciable en RN , con DT (x) = T para todo x ∈ RN , con lo que JT (x) = det[m(T )]

∀x ∈ RN ,

tenemos que T ∈ L(RN , RN ) es no singular si, y s´ olo si, T es una transformaci´ on de coordenadas. Como consecuencia del m´etodo de Gauss-Jordan, que asegura que toda matriz cuadrada no singular (i.e., con determinante no nulo) se puede transformar en la matriz identidad multiplic´andola por un n´ umero finito de maN N trices elementales, se tiene que toda T ∈ L(R , R ) no singular se puede expresar como una composici´on finita de tres tipos especiales de transformaciones no singulares, denominadas transformaciones elementales, son estas las siguientes: Tipo a : Son las de la forma Ta (x1 , . . . , xi , . . . , xN ) = (x1 , . . . , λxi , . . . , xN ),

λ 6= 0.

Evidentemente, det[m(Ta )] = λ. Tipo b : Son las de la forma Tb (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . xN ) = (x1 , . . . , xi + xj , . . . , xj , . . . xN ).

6.2. F´ormula cambio de variable: caso lineal

131

Tenemos pues que la matriz de Tb se obtiene a partir de la matriz identidad IN , reemplazando la i-´esima fila por la suma de la i-´esima m´as la j-´esima fila. Consecuentemente, det[m(Tb )] = 1 Tipo c : Son las de la forma Tc (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . xN ) = (x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . xN ). En este caso, como la matriz de Tc es la matriz identidad IN con las filas i-´esima y j-´esima intercambiadas, tenemos que det[m(Tc )] = −1. Teorema 6.2.1 Sea f ∈ L1 (RN ). Si T es una transformaci´ on lineal de N 1 N coordenadas en R , se tiene que (f ◦ T ) ∈ L (R ), y adem´as Z Z f (y) dy = f [T (x)] |JT (x)| dx. RN

RN

Demostraci´ on. Observemos primeramente que si el resultado es cierto para T1 y T2 , tambi´en lo es para T := T1 ◦ T2 , ya que, Z Z f (y) dy = f [T1 (x)] |JT1 (x)| dx = RN

RN

Z

Z f [T1 (T2 (x))] |JT1 (T2 (x))| |JT2 (x)| dx =

RN

f [T (x)] |JT (x)| dx. RN

Por tanto, como toda tranformaci´on no singular es composici´on finita de transformaciones elementales, ser´a suficiente con demostrar el resultado para los tres tipos de transformaciones elementales. Adem´as, ser´a suficiente con demostrarlo para f ≥ 0, ya que f = f + − f − , con f + , f − ≥ 0. Supongamos que T es tipo a, y por comodidad, supongamos que T (x1 , . . . , xN ) = (x1 , . . . , λxN ),

λ 6= 0.

Entonces, JT (x) = det[m(T )] = λ, y como (ver Problema 6.1) Z Z   x dx = |λ| f (x) dx, f λ R R aplicando el Teorema de Fubini, se tiene que Z  Z Z f (y) dy = f (x1 , . . . , xN ) dxN d(x1 , . . . , xN −1 ) = RN

RN −1

RN

132

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales  Z |λ|

Z RN −1

 f (x1 , . . . , λxN ) dxN

 Z |λ|

Z

d(x1 , . . . , xN −1 ) =

RN

RN −1

 f [T (x1 , . . . , xN )] dxN

d(x1 , . . . , xN −1 )

RN

Z f [T (x)] |JT (x)| dx,

= RN

donde la u ´ltima igualdad es consecuencia del Teorema de Tonelli-Hobson (t´enganse en cuenta que, como f es medible y T es continua, se tiene que f ◦ T es medible). Supongamos ahora que T es tipo b, y por comodidad supongamos que T (x1 , . . . , xi , . . . xN ) = (x1 , . . . , xi , . . . xN + xi ). Aplicando el Teorema de Fubini, y teniendo en cuenta la Proposici´on 5.6.1, se tiene que  Z Z Z f (x1 , . . . , xN ) dxN d(x1 , . . . , xN −1 ) f (y) dy = RN −1

RN

RN

Z

Z

 f (x1 , . . . , xN + xi ) dxN

= RN −1

Z

Z

 f [T (x1 , . . . , xN )] dxN

= RN −1

d(x1 , . . . , xN −1 )

RN

d(x1 , . . . , xN −1 )

RN

Z f [T (x)] |JT (x)| dx,

= RN

ya que en este caso |JT (x)| = 1. Supongamos finalmente que T es de tipo c, i.e., T (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . xN ) = (x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . xN ). En este caso basta con aplicar el Teorema de Fubini para intercambiar el orden de integraci´on sobre las coordenadas i-´esima y j-´esima, y tener en cuenta que |JT (x)| = 1.  Corolario 6.2.2 Sea T una transformaci´ on lineal de coordenadas en RN . Entonces se tiene:

6.2. F´ormula cambio de variable: caso lineal

133

(i) Sea Ω ∈ A(RN ). Si f ∈ L1 (T (Ω)), se tiene que Z Z f (y) dy = f [T (x)]|JT (x)| dx. T (Ω)

Ω

(ii) Si Ω ∈ A(RN ), con medida finita, entonces, T (Ω) tambi´en tiene medida finita y adem´as LN (T (Ω)) = |det[m(T )]| LN (Ω). Demostraci´ on. (i): Como f χT (Ω) ∈ L1 (RN ), aplicando el teorema anterior a la funci´on f χT (Ω) , nos queda que Z

Z

(f χT (Ω) )(y) dy =

f (y) dy =

Z

RN

T (Ω)

Z

f (T (x))χΩ (x)|JT (x)| dx =

=

(f χT (Ω) )(T (x))|JT (x)| dx

RN

RN

Z f (T (x))|JT (x)| dx. Ω

(ii): Como T −1 es tambi´en una transformaci´on lineal de coordenadas en RN , aplicando lo anterior nos queda que Z Z Z N χΩ (x) dx = χRN (x) dx = χRN (x) dx L (Ω) = RN

Z

Z |JT −1 (x)| dx =

=

det[m(T −1 )] dx =

T (Ω)

T (Ω)

T −1 (T (Ω))

Ω

1 = |det[m(T )]|

Z RN

χT (Ω) (x) dx =

1 |det[m(T )]|

Z

χRN (x) dx

T (Ω)

LN (T (Ω)) . |det[m(T )]|

 Sea A : R → R una transformaci´on af´ın. Entonces, existen a ∈ R y T ∈ L(RN , RN ), tales que, A(x) = a + T (x), para cada x ∈ RN . Usaremos la notaci´on: det(A) := det[m(T )]. Ahora, como N

N

JA (x) = JT (x) = det[m(T )] = det(A),

N

∀ x ∈ RN ,

se tiene que, A es una transformaci´on af´ın de coordenadas si, y s´olo si, det(A) 6= 0 (i.e., si lo es su apliaci´on lineal asociada). Entonces, teniendo en

134

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

cuenta que la medida de Lebesgue es invariante por traslaci´on, si A es una transformaci´on af´ın de coordenadas en RN , y f ∈ L1 (RN ), nos queda que Z Z Z f (y) dy = f (y + a) dy = f (T (x) + a)) |JT (x)| dx RN

RN

RN

Z f [A(x)] |det(A)| dx.

= RN

Consecuentemente, podemos enunciar el siguiente resultado. Teorema 6.2.3 Sea A es una transformaci´ on af´ın de coordenadas en RN . Se tienen: (i) Si f ∈ L1 (RN ), entonces (f ◦ A) ∈ L1 (RN ), y adem´as Z Z f (y) dy = f [A(x)] |det(A)| dx. RN

RN

(ii) Si Ω ∈ A(RN ), con medida finita, entonces LN (A(Ω)) = |det(A)| LN (Ω). Vamos a finalizar este apartado viendo que la medida de Lebesgue es invariante por isometr´ıas. Recordemos que una isometr´ıa en RN es una aplicaci´on L : RN → RN que conserva la distancia entre puntos, i.e., que cumple: kL(x) − L(y)k = kx − yk,

∀ x, y ∈ RN .

Proposici´ on 6.2.4 Toda isometr´ıa es una aplicaci´ on af´ın Demostraci´ on. Sea L : RN → RN una isometr´ıa. Supongamos primeramente que L(0) = 0. Entonces, kL(x)k = kL(x) − L(0)k = kx − 0k = kxk, con lo que kxk2 − 2x · y + kyk2 = kx − yk2 = kL(x) − L(y)k2 = kL(x)k2 − 2L(x) · L(y) + kL(y)k2 ,

6.3. F´ormula cambio de variable: caso continuo

135

de donde se deduce que L(x) · L(y) = x · y, i.e., L conserva el producto escalar. Por tanto, si {e1 , . . . , eN } es la base can´onica de RN , tenemos que {L(e1 ), . . . , L(eN )} es una base de RN , ya que L(ei ) · L(ej ) = δij . Entonces, como [L(x + y) − (L(x) + L(y))] · L(ei ) = 0,

i = 1, . . . , N,

se tiene que L(x + y) = L(x) + L(y). De forma an´aloga se demuestra que L(λx) = λL(x). Tenemos pues que en este caso L es lineal. Veamos el caso general. Sea a = L(0). Entonces, T (x) := L(x) − a es una isometr´ıa, y como T (0) = 0, por visto anteriormente, tenemos que T es lineal, con lo que, L(x) = a + T (x) es una aplicaci´on af´ın.  Teorema 6.2.5 La medida de Lebesgue es invariante por isometr´ıas. Demostraci´ on. Sea L : RN → RN una isometr´ıa. Por la proposici´on anterior, L es una aplicaci´on af´ın. Consecuentemente, aplicando el Teorema 6.2.3, tenemos que si Ω ∈ A(RN ), con medida finita, entonces LN (L(Ω)) = |det(L)| LN (Ω). Tenemos que, L(x) = a + T (x), con T lineal, y por definici´on, det(L) = det[m(T )]. Ahora, como vimos en la demostraci´on de la proposici´on anterior, kT (ei )k = kei k = 1,

i = 1, . . . , N,

con lo que det[m(T )] = 1, y consecuentemente, LN (L(Ω)) = LN (Ω). 

6.3

F´ ormula de cambio de variable para funciones continuas sobre conjuntos compactos

En esta secci´on φ ser´a una transformaci´on de coordenadas en un conjunto abierto Ω ⊂ RN . Nuestro prop´osito es probar que si f ∈ C(φ(Ω)) y K ⊂ Ω es un compacto, entonces se cumple la siguiente f´ormula de cambio de variable: Z Z f (y) dy = f [φ(x)] |Jφ (x)| dx. φ(K)

K

136

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

En esta secci´on consideraremos en RN la norma kxkm := max{|x1 |, . . . , |xN |}, la cual es equivalente a la norma eucl ´ıdea. Dado un x0 ∈ RN y un δ > 0, al conjunto C(x0 , δ) := {x ∈ RN : kx − x0 km ≤ δ} se le denomina el N -cubo cerrado con centro x0 y arista lateral 2δ. Observar que N Y 0 C(x , δ) = [x0i − δ, x0i + δ]. i=1

Cuando los intervalos se toman semiabiertos por la derecha, hablaremos de de cubos semiabiertos por la derecha, i.e., N Y

[x0i − δ, x0i + δ[

i=1

es el N -cubo semiabierto por la derecha con centro x0 y arista lateral 2δ. Antes de establecer el Teorema de cambio de variable de esta secci´on veamos una serie de resultados que necesitamos. Lema 6.3.1 Sea Ω ⊂ RN un abierto y φ : Ω → RN una transformaci´ on de coordenadas en Ω. Sean u0 ∈ Ω, x0 = φ(u0 ), T = Dφ(u0 ), y consideremos la apliaci´on af´ın A(u) := x0 + T (u − u0 ), u ∈ RN . Entonces, dado un ε > 0, existe un entorno V de u0 con la siguiente propiedad: Si I es N -cubo semiabierto por la derecha con centro u1 y arista lateral l, tal que u0 ∈ I ⊂ V . Entonces,    l 1 φ(I) ⊂ A C u , (1 + ε) . 2 Demostraci´ on. Sean x = A(u), y = A(v). Entonces, x − y = T (u − v), con lo que u − v = T −1 (x − y), y como L−1 es continua (al ser lineal), tenemos que ku − vkm ≤ kT −1 kkx − ykm = kT −1 kkA(u) − A(v)km .

(6.1)

6.3. F´ormula cambio de variable: caso continuo

137

Por otra parte, como φ es diferenciable en u0 , dado σ = entorno V de u0 , tal que

ε , 2kT −1 k

existe un

kφ(u) − φ(u0 ) − Dφ(u0 )(u − u0 )km ≤ σku − u0 k, con lo que kφ(u) − A(u)km ≤ σku − u0 km ,

∀ u ∈ V.

(6.2)

Sea x ∈ φ(I), x = φ(u) con u ∈ I. Como A es biyectiva, existe un v ∈ RN tal que x = A(v). Para demostrar el lema tenemos que ver que x ∈ C(u1 , (1 + ε)l). En efecto: como u ∈ I ⊂ V , teniendo en cuenta (6.1) y (6.2), nos queda que kv − ukm ≤ kT −1 kkA(v) − A(u)km = kT −1 kkφ(u) − A(u)km ≤ kT −1 kσ ku − u0 k ≤

εl . 2

Por tanto, kv − u1 km ≤ kv − ukm + ku − u1 km ≤

εl l l + = (1 + ε) . 2 2 2 

Lema 6.3.2 Sea Ω ⊂ RN un abierto, φ : Ω → RN una transformaci´ on de coordenadas en Ω y f : φ(Ω) → R una aplicaci´ on continua. Entonces, dado 0 u ∈ Ω y un ε > 0, existe un entorno W de u0 , tal que si I es un N -cubo semi-abierto por la derecha tal que u0 ∈ I ⊂ W , entonces Z Z N f < ε L (I) + (f ◦ φ) |Jφ | . φ(I)

I

Demostraci´ on. Sea x0 = φ(u0 ), y sean α = f (x0 ) = f [φ(u0 )], β = |Jφ (u0 )|. Consideremos la funci´on ψ : R2 → R, definida por ψ(ξ, τ ) := −(α − ξ)(β − ξ) + β(α + ξ)N . Como ψ es continua y ψ(0, 0) = 0, dado un ε > 0,existe un entorno V de (0, 0) tal que ψ(ξ, τ ) < ε para cada (ξ, τ ) ∈ V , con lo que (α − ξ)(β − ξ) < ε + β(α + ξ)N ,

si (ξ, τ ) ∈ V.

(6.3)

138

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

Elegimos un (ξ, τ ) ∈ V , con ξ > 0 y τ > 0. Entonces, como f es continua en x0 existe un entorno V (x0 ), tal que α − ξ < f (x) < α + ξ,

si x ∈ V (x0 ).

(6.4)

Por otra parte, como φ y |Jφ | son continuas en u0 , existe un entorno W1 (u0 ) de u0 , tal que φ(u) ∈ V (x0 ) y |Jφ (u)|

si u ∈ W1 (u0 ).

(6.5)

Ahora, por el lema anterior, existe un entorno W2 (u0 ) de u0 con la siguiente propiedad: Si I es N -cubo semiabierto por la derecha con centro u1 y arista lateral l, tal que u0 ∈ I ⊂ W2 (u0 ). Entonces,    l 1 φ(I) ⊂ A C u , (1 + τ ) , 2 siendo A la apliaci´on af´ın A(u) := x0 + T (u − u0 ) (u ∈ RN ). Sea W := W1 (u0 ) ∩ W2 (u0 ). Entonces, si u0 ∈ I ⊂ W , se tiene que    l 1 φ(I) ⊂ A C u , (1 + τ ) . 2 De aqu´ı, aplicando el Teorema 6.2.3, obtenemos que     l N N 1 L (φ(I)) ≤ L A C u , (1 + τ ) 2    l N 1 = det(A)L C u , (1 + τ ) = Jφ (u0 ) (1 + τ )N LN (I). 2 Por tanto, teniendo en cuenta (6.3) y (6.4), se tiene que Z Z f≤ (α + ξ) = (α + ξ)LN (φ(I)) ≤ (α + ξ)β (1 + τ )N LN (I) φ(I)

φ(I)

< [ε + (α − ξ)(β − ξ)]LN (I). Ahora, como consecuencia de (6.3) y (6.5), tenemos que Z Z (f ◦ φ) |Jφ | ≥ (f ◦ φ)(β − ξ) I

I

6.3. F´ormula cambio de variable: caso continuo Z ≥

139

(α − ξ)(β − ξ) = (α − ξ)(β − ξ)LN (I).

I

Consecuentemente, Z

f < ε L (I) + N

φ(I)

Z (f ◦ φ) |Jφ | . I

Lema 6.3.3 Sea Ω ⊂ RN un abierto, φ : Ω → RN una transformaci´ on de coordenadas en Ω y f : φ(Ω) → R una aplicaci´ on continua. Entonces, si I es un N -cubo semiabierto por la derecha, contenido en Ω, se cumple que, Z Z f ≤ (f ◦ φ) |Jφ | . φ(I)

I

Demostraci´ on. Sea ϕ := (f ◦ φ) |Jφ |. Supongamos que no se cumple el lema. Entonces, existe un N -cubo I 0 ⊂ Ω para el que Z Z c := f− ϕ > 0. φ(I 0 )

I0

Dividimos el cubo I 0 en m = 2N N -cubos semiabiertos por la derecha I1 , . . . , Im , disjuntos dos a dos. Entonces, Z f= φ(I 0 )

m Z X j=1

φ(Ij )

Z ϕ=

f, I0

m Z X j=1

ϕ.

Ij

Por tanto, existir´a al menos un j, tal que Z Z c ϕ ≥ N > 0. f− 2 φ(Ij ) Ij Llamamos I 1 a Ij , y repitiendo el procedimiento anterior, encontramos un I 2 ⊂ I 1 , tal que Z Z c f− ϕ ≥ 2N > 0. 2 φ(I 2 ) I2 Obtenemos de esta forma una sucesi´on decreciente {I j } de N -cubos, verificando que Z Z c f− ϕ ≥ jN > 0. 2 φ(I j ) Ij

140

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

Ahora, como


LN (I 0 ) LN I j = , 2jN aplicando el Teorema de Cantor de los intervalos encajados, existe un u0 ∈ Ω tal que ∞ \ I j = {u0 }. j=1

sea ε > 0, tal que ε
0, se tiene que S es inyectiva en Ω. Tenemos pues que S es una transformaci´on de coordenadas en Ω, y consecuentemente, T := S −1 ser´a una transformaci´on de coordenadas en U = S(Ω). Adem´as, JT (u, v) = det[DT (u, v)] = det[DS −1 (u, v)] =

1 det[DS(T (u, v)]

1 1 √ = . JS (T (u, v)) −2 4u2 + v 2 Entonces, aplicando el cambio de variable T nos queda que Z Z 2 2 (x + y ) d(x, y) = (x2 + y 2 ) d(x, y) =

V

T ([1,3]×[1,4])

Z √ 1 1 2 2 = 4u + v √ d(u, v) = d(u, v) = 3. 2 [1,3]×[1,4] 2 4u2 + v 2 [1,3]×[1,4] Z

150

6.6

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

Problemas

6.1. Sea f ∈ L1 (R), y λ 6= 0. Sin utilizar la f´ormula de cambio de variable probar que Z   Z x f dx = |λ| f (x) dx. λ R R 6.2. Probar que la funci´on f (x, y) := xx−y 2 +y 2 es integrable Lebesgue en el tri´angulo A de v´ertices (0, 0),(0, 1), (1, 0) y calcular Z x−y d(x, y). 2 2 A x +y 6.3. Sea Ω la regi´on del primer cuadrante comprendida entre las circunferencias x2 + y 2 = a2 , x2 + y 2 = b2 , 0 < a < b. Calcular Z log(x2 + y 2 ) d(x, y). Ω

6.4. Calcular

Z x d(x, y), Ω

siendo Ω := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2x}. 6.5. Para α ∈ R sea la fα la funci´on fα (x, y, z) :=

1 . (x2 + y 2 + z 2 )α

Encontrar los valores de α para los que fα es integrable Lebesgue en la bola unidad de R3 . 6.6. Calcular

Z R2

(x2

1 d(x, y). + y 2 + 1)

n 6.7. Sea Ω el elipsoide Ω := (x, y, z) ∈ R3 : Z Ω

x2 a2

+

y2 b2

(x2 + y 2 + z 2 ) d(x, y, z).

+

z2 c2

o ≤ 1 . Calcular

6.6. Problemas  6.8. Sea Ω := (x, y) ∈ R2 :

151 1 x3

≤y≤ Z Ω

3 , x3

x ≤ y 3 ≤ 3x, y ≥ 0 . Calcular

1 d(x, y). xy

 √ √ 6.9. Sea Ω := (x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 1, x, y ≥ 0 . Calcular Z q √

x+

√

y d(x, y).

Ω x−y

6.10. Estudiar la integrabilidad de la funci´on f (x, y) := e x+y en el conjunto Ω := {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. 6.11. Sea Ω := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 ≤ 2y ≤ 4x2 , y 2 ≤ z ≤ 3y 2 , 1 ≤ xy ≤ 2}. Calcular Z 1 + 3x3 d(x, y, z). x Ω 6.12. Sea Ω el recinto comprendido entre las curvas: x2 + y 2 − 4x = 0, x2 + y 2 − 2x = 0, y = x2 , 2y = x2 . Calcular Z (x2 + 3y 2 )(x2 + y 2 ) . 4xy 2 Ω 6.13. Hallar el a´rea de la regi´on del plano limitada por las rectas: y = x, y = 4x, x + 4y = 1, x + 4y = 4. 6.14. Hallar el ´area de la regi´on del plano limitada por la lemniscata cuya ecuaci´on en coordenadas polares viene dada por ρ2 = a2 cos 2θ. 6.15. Sea Ω := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , x2 + y 2 ≤ ay}. Calcular el volumen de Ω. 6.16. Calcular el volumen del toro obtenido por rotaci´on alrededor del eje Z, de la circunferencia (en el plano Y Z) de ecuaci´on z 2 + (y − a)2 = b2 , con 0 < a < b. o n 2 2 2 2 6.17. Sea Ω := (x, y, z) ∈ R3 : x 3 + y 3 + z 3 ≤ a 3 . Calcular el volumen de Ω.

152

Cap´ıtulo 6. Transformaci´on de integrales

6.18. Calcular el volumen de la bola en RN de centro el origen y radio r con respecto a la norma kxk1 := |x1 | + |x2 | + · · · + |xN |,

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ RN .

6.19. Sea QN (r) := {x ∈ RN : kxk ≤ r, 0 ≤ xi ≤ r}, y f (x) := x1 ·x2 · · · xN . Probar que Z r2N f (x) dx = . (2N )! QN (r)

Cap´ıtulo VII Algunas t´ ecnicas de c´ alculo 7.1

El principio de Cavalieri. Vol´ umenes de cuerpos de revoluci´ on

La siguiente aplicaci´on del Teorema de Fubini es una generalizaci´on del m´etodo usado frecuentemente en los cursos de C´alculo elemental para calcular vol´ umenes. Teorema 7.1.1 (Principio de Cavalieri) Sea A ⊂ RN +1 un conjunto medible Lebesgue con A ⊂ I × [a, b], siendo I un intervalo acotado de RN . Entonces, Z b N +1 L (A) = LN (At ) dt, a

donde At := {x ∈ RN : (x, t) ∈ A}. Demostraci´ on. Como χA es medible y A est´a contenido en un compacto, tenemos que χA ∈ L1 (RN +1 ). Entonces, aplicando el Teorema de Fubini, nos queda que Z Z LN +1 (A) =

χA =

RN +1

Z b Z = a

χA (x, t) dx



I

χA

I×[a,b]

Z dt =

b

LN (At ) dt.

a

 153

154

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

La aplicaci´on m´as t´ıpica del Principio de Cavalieri es la evaluaci´on de vol´ umenes de revoluci´on en R3 . Sea f : [a, b] → R una funci´on continua y positiva. Denotamos por R(f ) el subconjunto de R3 engendrado por la gr´afica de f al girar alrededor del eje X. Entonces, como R(f )t es un c´ırculo de radio f (t), tenemos que L2 (R(f )t ) = πf (t)2 . Por tanto, aplicando el principio de Cavalieri tenemos que el volumen de la figura de revoluci´on generada por f viene dada por Z b Z b 2 3 f (t)2 dt. L (R(f )t ) dt = π L (R(f )) = a

a

Por ejemplo para calcular el volumen de la bola B 3 (0, r) en R3 de centro cero la funci´on f : [−r, r] → R definida por f (t) := √ y radio r, se considera 3 2 2 r − t , con lo B (0, r) = R(f ), y por tanto, L

3


B (0, r) = L3 (R(f )) = π 3

Z

r 2

2

r −t




−r



1 dt = π r t − t3 3 2

t=r t=−r

4 = πr3 . 3

Veamos ahora como calcular vol´ umenes de cuerpos de revoluci´on. Sea E ⊂ R2 con L2 (E) finita. Supongamos que si (x, y) ∈ E entonces y ≥ 0. Entonces, si RX (E) es el subconjunto de R3 engendrado al girar E alrededor del eje OX, aplicando el Teorema de Fubini tenemos que Z 3 L (RX (E)) = 2π ydxdy. (7.1) E

En el caso en que x ≥ 0 para (x, y) ∈ E, si RY (E) es el subconjunto de R3 engendrado al girar E alrededor del eje OY , se tiene que Z 3 L (RX (E)) = 2π xdxdy. (7.2) E

Ejemplo 7.1.2 Vamos a calcular el volumen del toro con secci´on de radio r y distancia al eje de revoluci´on R > r. Como dicho toro es el conjunto engendrado al girar el el circulo E := {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − R)2 ≤ r2 },

7.1. El principio de Cavalieri. Vol´ umenes de cuerpos de revoluci´on

155

aplicando (7.1), tenemos que el volumen V de dicho toro es V = L (RX (E)) = 2π 3

Z

Z ydxdy = 2π

(y + R)dxdy {(x,y) : x2 +y 2 ≤r2 }

E

Z rZ

Z rZ

2π

2π

ρ(ρsenθ + R)dθdρ = 2π

= 2π 0

0

0

ρRdθdρ = 2π 2 r2 R.

0

Dado E ⊂ RN con LN (E) finita, se define su baricentro (tambi´en denominado centro de masas) como el punto bE = (b1 , b2 , . . . , bN ), con 1 bi := N L (E)

Z xi dx. E

Teorema 7.1.3 (Teorema de Pappus-Guldin) El volumen de un cuerpo de revoluci´on es igual al ´area generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el baricentro del conjunto generatriz al momento de generar el cuerpo. Demostraci´ on Sea E el conjunto generatiz y supongamos que, por ejemplo, si (x, y) ∈ E entonces y ≥ 0, en cuyo caso el cuerpo de revoluci´on del que queremos calcular el volumen es RX (E). Entonces, aplicando (7.1), tenemos que Z 3 ydxdy. L (RX (E)) = 2π E

Ahora, si (x0 , y0 ) es el baricentro de E, tenemos que 1 y0 = 2 L (E)

Z ydxdy. E

consecuentemente, obtenemos L3 (RX (E)) = 2πy0 L2 (E), con lo que queda demostrado el teorema. 

156

7.2

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

Funciones definidas por integrales

Muchas funciones del An´alisis vienen definidas por medio de una integral, i.e., son de la forma Z F (y) =

f (x, y) dx, Ω

donde f : Ω × ∆ → R una funci´on medible. Por ejemplo la funci´on Gamma de Euler, que estudiaremos en la siguiente secci´on, i.e., la funci´on Z ∞ e−x xy−1 dx, y > 0, Γ(y) = 0

es un ejemplo de funci´on definida por medio de una integral. En esta secci´on vamos a estudiar la continuidad y la diferenciaci´on de las funciones definidas de esta forma. En todo esta secci´on consideraremos que f : Ω × ∆ → R una funci´on medible, siendo Ω ⊂ RN y ∆ ⊂ RM conjuntos abiertos. Teorema 7.2.1 Supongamos que se cumplen: (i) Para cada y ∈ ∆ la funci´ on fy (x) := f (x, y) es medible. (ii) La funci´on f es continua respecto la variable y, i.e., para cada y0 ∈ ∆ se tiene que lim f (x, y) = f (x, y0 ) y→y0

para casi todo x ∈ Ω. (iii) Existe una funci´on no negativa g ∈ L1 (Ω) tal que para cada y ∈ ∆, se tiene que |f (x, y)| ≤ g(x) para casi todo x ∈ Ω. Entonces, la funci´on F definida en ∆ mediante Z F (y) = f (x, y) dx Ω

es continua en ∆, i.e.,  Z Z  lim f (x, y) dx = lim f (x, y) dx, y→y0

Ω

Ω

y→y0

∀ y0 ∈ ∆.

7.2. Funciones definidas por integrales

157

Demostraci´ on. Como consecuencia de (i) y (iii) tenemos que F est´a bien definida. Sea y0 ∈ ∆, consideremos una sucesi´on {yn } ⊂ ∆, tal que limn→∞ yn = y0 , y tenemos que demostrar que limn→∞ F (yn ) = F (y0 ). En efecto: para cada n ∈ N, sea Gn : Ω → R la funci´on definida por Gn (x) := f (x, yn ). Como consecuencia de (ii) tenemos que Gn (x) → f (x, y0 ) para casi todo x ∈ Ω. Adem´as, por (i) y (iii) tenemos que Gn ∈ L1 (Ω), y |Gn (x)| ≤ g(x) para casi todo x ∈ Ω y para cada n ∈ N. Entonces, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que Z Z Z f (x, yn ) dx = lim Gn (x) dx = f (x, y0 ) dx, lim n→∞

Ω

n→∞

Ω

Ω

con lo que F (yn ) → F (y0 ).



Si imponemos m´as condiciones sobre la funci´on f , podemos obtener que la funci´on F es tiene derivadas parciales que tambi´en vienen dadas por medio de una integral, Teorema 7.2.2 (Derivaci´ on bajo el signo integral) Supongamos que se cumplen: (i) Para cada y ∈ ∆ la funci´on fy (x) := f (x, y) es medible y existe un y0 ∈ ∆ tal que fy0 ∈ L1 (Ω). (ii) Para cada (x, y) ∈ Ω × ∆ existen las derivadas parciales ∂f (x, y), ∂yj

j = 1, . . . , M,

y adem´as, para cada x ∈ Ω, la aplicaci´ on y 7→ ∆, para cada j = 1, . . . , M .

∂f (x, y) ∂yj

es continua en

(iii) Existe una funci´on no negativa g ∈ L1 (Ω) tal que para cada y ∈ ∆, se tiene que ∂f ≤ g(x), (x, y) j = 1, . . . , M ∂yj para casi todo x ∈ Ω. Entonces, la funci´on F definida en ∆ mediante Z F (y) = f (x, y) dx Ω

158

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

tiene derivadas parciales en ∆, dadas por Z ∂f ∂F (y) = (x, y) dx, ∂yj Ω ∂yj

∀ y ∈ ∆.

Demostraci´ on. Aplicando el Teorema del valor medio tenemos que 0

f (x, y) − f (x, y ) =

M X

(yj − yj0 )

j=1

∂f (x, z). ∂yj

De aqu´ı, teniendo en cuenta (iii), obtenemos que |fy (x)| ≤ |fy0 (x)| +

M X

|yj − yj0 |g(x).

j=1

Por tanto, fy ∈ L1 (Ω) para cada y ∈ ∆, con lo que F est´a bien definida. Sea {an } una sucesi´on de numeros reales convergente a cero. Sea y ∈ ∆ y j ∈ {1, . . . , M }. Z 1 F (y + an ej ) − F (y) = [f (x, y + an ej ) − f (x, y)] dx. an Ω an Aplicando el Teorema del valor medio, nos queda que Z ∂f F (y + an ej ) − F (y) = (x, y + θn an ej ) dx, an Ω ∂yj con 0 < θn < 1. Como consecuencia de (ii), ∂f ∂f (x, y + θn an ej ) = (x, y). n→∞ ∂yj ∂yj lim

Entonces, teniendo en cuenta (iii), podemos aplicar el Teorema de la Convergencia Dominada y obtener que Z F (y + an ej ) − F (y) ∂f lim = (x, y) dx. n→∞ an Ω ∂yj Como esto es cierto para cada sucesi´on nula {an }, tenemos que Z ∂F ∂f (y) = (x, y) dx. ∂yj Ω ∂yj  El resultado anterior sirve para el c´alculo de integrales, como veremos en el siguiente ejemplo.

7.3. Integrales Eulerianas

159

Ejemplo 7.2.3 Para y ∈ R, consideremos la funci´on Z ∞ 2 F (y) := e−x cos 2xy dx. 0 2

Es f´acil comprobar que la funci´on f (x, y) := e−x cos 2xy satisface las hip´otesis del Teorema de derivaci´on bajo el signo integral, con lo cual Z n Z ∞ 2 −x2 0 e−x (−2x)sen 2xy dx e (−2x)sen 2xy dx = lim F (y) = n→∞

0

0

h  Z n ix=n −x2 −x2 = lim e sen 2xy e cos 2xy dx − 2y n→∞ x=0 0 Z ∞ Z n 2 −x2 e cos 2xy dx = 2y e−x cos 2xy dx. = −2y lim n→∞

0

0

Con lo cual, F satisface la ecuaci´on diferencial F 0 (y) + 2yF (y) = 0, con lo que 2 F (y) = F (0)e−y . Ahora, por el Ejemplo 6.5.1, sabemos que Z ∞ 1√ 2 e−x dx = F (0) = π, 2 0 con lo que obtenemos que Z ∞

2

e−x cos 2xy dx =

0

7.3

1 √ −y2 πe . 2

Integrales Eulerianas

En este apartado vamos a estudiar dos importantes funciones introducidas por Euler, las funciones Gamma y Beta. La funci´on Gamma la obtuvo Euler para resolver un problema de interpolaci´on. La teor´ıa de la interpolaci´on fue iniciada por Newton al dar una f´ormula para expresar el polinomio de grado menor o igual que n que toma valores dados en n + 1 puntos. Euler se propuso el problema m´as dif´ıcil de encontrar una funci´on continua definida para x > 0 y que toma unos valores dados para los valores enteros de x. En 1732, Euler interpol´o la sucesi´on de los n´ umeros 1 + 21 + · · · + n1 por medio de la funci´on Z 1 1 − tx x 7→ dt. 0 1−t

160

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

M´as tarde consider´o el problema general de determinar una funci´on f tal que f (n) = ϕ(1) + · · · + ϕ(n), siendo ϕ una funci´on dada. En 1729, Euler, para interpolar la sucesi´on de los factoriales introduce la funci´on Gamma definida como Z ∞ Γ(x) := e−t tx−1 dt, para x > 0. 0

Veamos que est´a funci´on est´a bien definida. Para ello hay que ver que para cada x > 0, fx (t) := e−t tx−1 ∈ L1 (]0, +∞[). Veamos por separado que fx ∈ L1 ([0, 1]) y fx ∈ L1 ([1, +∞[). Para cada n ∈ N, como fx es continua en [ n1 , 1], y e−t tx−1 ≤ tx−1 , aplicando el Teorema de Lebesgue-Vitali, nos queda que   Z 1 Z 1 1 1 1 x−1 fx (t) dt ≤ t dt = 1− x ≤ . 1 1 x n x n n Por tanto, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que fx ∈ L1 ([0, 1]). Por otra parte, como e−t tx−1 , t→∞ t−2

0 = lim e−t tx+1 = lim t→∞

existe un k > 1, tal que 1 , ∀ t ≥ k. t2 Entonces, aplicando de nuevo el Teorema de Lebesgue-Vitali, nos queda que para n > k, Z n Z k Z n Z k Z n 1 fx (t) dt + fx (t) dt ≤ fx (t) dt = fx (t) dt + dt 2 k t 1 k 1 1 Z k 1 1 ≤ fx (t) dt + − ≤ M, ∀ n > k. k n 1 De aqu´ı, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que fx ∈ L1 ([1, +∞[). Por tanto, la funci´on Γ est´a bien definida. Los c´alculos anteriores permiten aplicar el Teorema 7.2.1 y obtener que la funci´on Gamma es continua, pero se tiene m´as, podemos aplicara el Teorema de derivaci´on bajo el signo integral (Teorema 7.2.2) y obtener que la funci´on Gamma es derivable. e−t tx−1 ≤

7.3. Integrales Eulerianas

161

Teorema 7.3.1 La funci´on Gamma es derivable en ]0, +∞[, y adem´ as Z ∞ e−t tx−1 log (t) dt. Γ0 (x) = 0

Demostraci´ on. Sea f : ]0, +∞[×]0, +∞[→ R la funci´on definida por f (x, t) := e−t tx−1 . R∞ Como Γ(x) = 0 f (x, t) dt, para probar el teorema ser´a suficiente con comprobar que f cumple las hip´otesis del Teorema 7.2.2. La hip´otesis (i) ya la hemos comprobado antes. Para (x, t) ∈]0, +∞[×]0, +∞[, se tiene que ∂f (x, t) = e−t tx−1 log (t), ∂x con lo que la aplicaci´on x 7→

∂f (x, t) = e−t tx−1 log (t) ∂x

es continua, con lo que se cumple (ii). Veamos que se cumple (iii) en cada intervalo compacto [a, b], 0 < a < b. Para x ∈ [a, b], aplicando L’Hopital, tenemos que t

e− 2 tx−1 log (t) ≤

tb−1 log (t) t

e2

→ 0,

cuando t → +∞.

t

Por tanto, existe un M > 0, tal que |e− 2 tx−1 log (t)| ≤ M para todo t > 1, con lo que −t x−1 t e t log (t) ≤ M e− 2 , ∀ t > 1. Entonces, si definimos la funci´on  a−1 t | log (t)|      t g(t) := M e− 2      0

si 0 < t < 1 si t > 1 si t = 0,

tenemos que ∂f (x, t) = e−t tx−1 log (t) ≤ g(t), ∂x Por tanto, como g ∈ L1 ([0, +∞[), se cumple (iii).

∀ t > 0. 

162

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

Proposici´ on 7.3.2 Para cada x > 0, se tiene que Γ(x + 1) = xΓ(x).

(7.3)

Demostraci´ on. Fijamos un x > 1, y vamos a probar que Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1). Dado un a > 0, tenemos que Z Z a −t x−1 e t dt = lim n→∞

0

=

= −e a

e−t tx−1 dt 1 n

a

Z

t=a lim −e−t tx−1 t= 1 n→∞ n 

−a x−1

a

(x − 1)tx−2 e−t dt

+ lim

n→∞

1 n

Z

a

+ (x − 1)

tx−2 e−t dt.

0

De aqu´ı, tomando l´ımites cuando a → +∞, obtenemos que   Z a Z a −t x−1 −a x−1 x−2 −t Γ(x) = lim e t dt = lim −e a + (x − 1) t e dt . a→∞

a→∞

0

0

Ahora, por L’Hopital, tenemos que lim −e−a ax−1 = 0.

a→∞

Por tanto, Z

a

Γ(x) = (x − 1) lim

a→∞

tx−2 e−t dt = (x − 1)Γ(x − 1).

0

 Corolario 7.3.3 Para cada n ∈ N, se tiene que Γ(n + 1) = n!. Demostraci´ on. Se tiene que Z ∞ Z −t Γ(1) = e dt = lim 0

n→∞

0

n


e−t dt = lim 1 − e−n = 1. n→∞

De aqu´ı, teniendo en cuenta la proposici´on anterior, se obtiene el resultado por inducci´on.  Se tiene la siguiente expresi´on de la funci´on Gamma.

7.3. Integrales Eulerianas

163

Teorema 7.3.4 Para cada x > 0, se tiene que nx n! . n→∞ x(x + 1) . . . (x + n)

Γ(x) = lim

(7.4)

Demostraci´ on. Para n ∈ N y x > 0, sean nx n! x(x + 1) . . . (x + n)

Pn (x) := e

Z In,x :=

1

(1 − t)n tx−1 dt.

0

Integrando por partes tenemos que  t=1 Z 1 Z 1 x n 1 n x−1 n In,x := (1 − t) t dt = t (1 − t) + (1 − t)n−1 tx dt x x 0 0 t=0 Z 1 n n = (1 − t)n−1 tx = In−1,x+1 . x 0 x De aqu´ı, como Z 1 1 tx+n−1 dt = , I0,x+n = x+n 0 se deduce que n! In,x = . x(x + 1) . . . (x + n) Por tanto, Pn (x) = nx In,x . Por otra parte, haciendo el cambio de variable z = nt, nos queda que Z 1 Z n 1 z n x−1 n x−1 1− z dz. In,x := (1 − t) t dt = x n 0 n 0 Consecuentemente, Z Pn (x) = 0

Ahora, como 

n

 z n x−1 1− z dz. n

z n 1− ≤ e−z n

si 0 ≤ z ≤ n,

164

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

y

z n = e−z , n→∞ n aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, obtenemos que Z n Z ∞ z n x−1 1− e−z z x−1 dz = Γ(x). lim Pn (x) = lim z dz = n→∞ n→∞ 0 n 0 lim



1−

 2

s , nos queda que 2  x−1 Z ∞ Z ∞ s2 1 −t x−1 e t dt = Γ(x) := e− 2 s2x−1 ds 2 0 0

Si hacemos el cambio de variable t =

(7.5)

Entonces, aplicando el Teorema de Tonelli-Hobson y cambio a coordenadas polares, tenemos que  x+y−2 Z ∞  Z ∞  2 2 1 − t2 2y−1 − s2 2x−1 e t Γ(x)Γ(y) = e s ds dt 2 0 0  x+y−2 Z s2 +t2 1 e− 2 s2x−1 t2y−1 d(s, t) = 2 [0,∞×[0,∞[  x+y−2 Z ρ2 1 = e− 2 (ρ cos θ)2x−1 (ρsenθ)2y−1 ρ d(ρ, θ) 2 [0,∞×[0, π2 [ !  x+y−2 Z ∞  Z π 2 ρ2 1 = e− 2 ρ2(x+y)−1 dρ (cos θ)2x−1 (sen θ)2y−1 dθ . 2 0 0 Ahora, como consecuencia de (7.5), tenemos que  x+y−1 Z ∞ s2 1 Γ(x + y) = e− 2 s2(x+y)−1 ds. 2 0 Por tanto, Z Γ(x)Γ(y) = 2Γ(x + y) 0

π 2

(cos θ)2x−1 (sen θ)2y−1 dθ.

(7.6)

7.3. Integrales Eulerianas

165

Se define la funci´on Beta como la funci´on B : ]0, +∞[×]0, +∞[→ R Z π 2 (cos θ)2x−1 (sen θ)2y−1 dθ. B(x, y) := 2 0

Como consecuencia de (7.6) tenemos que B(x, y) =

Γ(x)Γ(y) , Γ(x + y)

∀ x, y > 0.

(7.7)

Como

 Z π 2 1 1 d θ = π, B , =2 2 2 0 teniendo en cuenta (7.7) obtenemos que     1 1 π = πΓ(1) = Γ Γ . 2 2 

Por tanto,   √ 1 Γ = π. (7.8) 2 Como consecuencia (7.13) y de la f´ormula Γ(x + 1) = xΓ(x), se obtiene f´acilmente por inducci´on la f´ormula   1 1 · 3 · · · (2n − 1) √ π, ∀ n ∈ N. (7.9) Γ n+ = 2 2n Haciendo el cambio de variable z = cos2 θ en la integral que define la funci´on Beta obtenemos que Z π 2 B(x, y) = 2 (cos θ)2x−1 (sen θ)2y−1 dθ = 0

Z

π 2

2

cos θ


x−1

2

sen θ

0


y−1

Z 2sen θ cos θ dθ =

1

z x−1 (1 − z)y−1 dz.

0

Tenemos pues la siguiente expresi´on de la funci´on Beta Z 1 B(x, y) = z x−1 (1 − z)y−1 dz, ∀ x, y > 0.

(7.10)

0

Hay una gran cantidad de integrales que se pueden expresar en t´erminos de la funci´on Beta, con lo que se pueden evaluar en t´erminos de la funci´on Gamma. A este tipo de integrales se les denomina integrales eulerianas. Veamos un ejemplo.

166

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

Ejemplo 7.3.5 Consideremos la integral Z 1√ I= 1 − x3 dx. 0

Haciendo el cambio de variable z = x3 , nos queda que   Z 1 Z √ 3 1 −2 1 1 1 −1 1 1 3 −1 1 − z z 3 dz = I= z 3 (1 − z) 2 dz = B , 3 3 0 3 3 2 0




√ π Γ 31 1 Γ 13 Γ 32 1 Γ 13 12 Γ 21
=
=
. = 3 Γ 13 + 23 3 Γ 1 + 65 5 Γ 56 Veamos otro ejemplo. Z

π 2

n

Z

cos (t)dt = 0

π 2

cos

2(n+1) 2

1

(t) sen2 2 −1 (t)dt

0

  )Γ( 12 ) 1 n+1 1 1 Γ( n+1 2 = B , = 2 2 2 2 Γ( n2 + 1)  2k 2 (k!)2    si n = 2k + 1   (2k + 1)! =   π(2k)!2    2k+1 si n = 2k. 2 (k!)2 Una funci´on muy importante en teor´ıa de n´ umeros es la denominada funci´on zeta de Riemann definida para s > 1 como ∞ X 1 ζ(s) = . ns n=1

Usando la funci´on Γ se obtiene la siguiente representaci´on integral de la funci´on zeta de Riemann. Teorema 7.3.6 Para s > 1 se tiene que Z ∞ s−1 t 1 ζ(s) = dt. Γ(s) 0 et − 1

7.3. Integrales Eulerianas

167

Demostraci´ on. Dado un n ∈ N, haciendo el cambio de variable t = nτ en la integral que define la funci´on Gamma nos queda que Z ∞ Z ∞ −t s−1 s e−nτ τ s−1 dτ. e t dt = n Γ(s) = 0

0

Luego para s > 0 tenemos que Z

−s

∞

e−nτ τ s−1 dτ.

n Γ(s) = 0

Ahora, para s > 1, la serie

P∞

n=1

n−s es convergente, con lo que se tiene que

ζ(s)Γ(s) =

∞ Z X n=1

∞

e−nτ τ s−1 dτ.

0

Como el integrando es no negativo y la serie es convergente, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona nos queda que Z ζ(s)Γ(s) = 0

∞ ∞X

e−nτ τ s−1 dτ.

n=1

Ahora, para τ > 0, tenemos que ∞ X

e−τ 1 = τ , −τ 1−e e −1

e−nτ =

n=1

con lo que

∞ X

e

−nτ s−1

τ

n=1

τ s−1 = τ , e −1

∀ τ > 0.

Consecuentemente, Z ζ(s)Γ(s) = 0

∞ ∞X n=1

e

−nτ s−1

τ

Z dτ = 0

∞

τ s−1 dτ. eτ − 1 

Tomando en el Teorema anterior s = 2 nos queda que Z ∞ 1 t ζ(2) = dt, t Γ(2) 0 e − 1

168

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

y como

∞ X π2 1 , = ζ(2) = n2 6 n=1

tenemos que Z 0

∞

t π2 dt = . et − 1 6

Nota 7.3.7 Evidentemente, la funci´on zeta de Riemann se puede definir para todo s complejo con parte real mayor que uno, i.e., podemos definir ∞ X 1 ζ(s) = , ns n=1

para 1,

ya que la serie es convergente en este caso. Tambi´en se tiene una f´ormula de representaci´on como la del teorema anterior, i.e., Z ∞ s−1 t 1 dt, para 1. ζ(s) = Γ(s) 0 et − 1 Riemann, usando esta representaci´on logr´o extender la funci´on zeta a todo el plano complejo como una funci´on meromorfa que s´olo tiene un polo simple en s = 1 con residuo igual a 1, i.e., ζ(s) =

1 + a0 + a1 (s − 1) + a2 (s − 1)2 + · · · . s−1

La funci´on ζ tiene ceros en los enteros negativos pares −2, −4, . . ., que se denominan como ceros triviales. Uno de los problemas abiertos m´as importantes de la matem´atica, es la denominada hip´ otesis de Riemann que afirma que: “Los ceros no triviales de ζ tiene parte real igual a 21 ”. Esta conjetura es uno de los famosos 23 problemas de Hilbert que queda sin resolver actualmente, y constituye uno de los siete problemas del milenio por los que el Instituto Clay de matem´aticas ofrece un mill´on de d´olares por su soluci´on. La conexi´on entre la funci´on zeta de Riemann y los n´ umeros primos es anterior a Riemann y fue descubierta por Euler en 1748, con su famosa f´ormula Y ζ(s) = (1 − p−s )−1 , p

v´alida para 1, donde p recorre los n´ umeros primos. Uno de los problemas m´as importantes de teor´ıa de n´ umeros es el de la distribuci´on

7.3. Integrales Eulerianas

169

de los n´ umeros primo. Uno de los primeros en tratar este problema fue Gauss, quien en 1849, en una carta al astr´onomo Encke le comenta de su convencimiento de que la funci´on π(n) del n´ umero de primos inferior a n, que aproxima asint´oticamente por medio de la funci´on Z n dt . n 7→ 2 log t Aplicando integraci´on por partes se tiene que Z n Z n dt dt n n 2 ∼ = − + , 2 log n log 2 log n 2 log t 2 log t con lo que la f´ormula asint´otica de Gauss queda como π(n) log n = 1. n→+∞ n lim

(7.11)

En 1851 Chebyshev demostr´o que si existe el l´ımite de (7.11) su valor debe ser uno. En 1896, Hadamard y De la Vall´e-Poussin demostraron la f´ormula asint´otica de Gauss (7.11) usando la funci´on zeta de Riemann, resultado que se conoce como Teorema de los n´ umeros primos. La relaci´on entre la hip´otesis de Riemann y la distribuci´on de los n´ umeros primos esta en que, la validez de la hip´otesis de Riemann es equivalente a que Z n √ dt dt + O( n log n). π(n) = 2 log t Para finalizar esta secci´on vamos a calcular el volumen de la bola unidad de RN . Denotaremos por B N (0, r) la bola en RN de centro 0 y radio r, y por ωN el volumen de la bola unidad en RN , i.e.,
ωN := LN B N (0, 1) .
Como B N (0, r) = T B N (0, 1) , siendo T la transformaci´on lineal de coordenadas T (x1 , . . . , xN ) := (rx1 , . . . , rxN ), aplicando el Corolario 6.2.2 tenemos que



LN B N (0, r) = LN T B N (0, 1) = |det[m(T )]| LN B N (0, 1) . As´ı que
LN B N (0, r) = rN ωN .

(7.12)

170

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

Proposici´ on 7.3.8 Para cada N ∈ N se tiene que N

π2 . ωN = N ( 2 )Γ( N2 )

(7.13)

Demostraci´ on. Veamos primeramente, por inducci´on, que se cumple: 1

Z

1 − z2

ωN = 2ωN −1


N2−1

dz,

N = 2, . . . .

(7.14)

0

En efecto: aplicando el Principio de Cavalieri y (7.12), para N ∈ N, tenemos que Z 1


N +1 N +1 ωN +1 = L B (0, 1) = LN B N +1 (0, 1) z dz −1

Z

1

L

=

N



Z  √  B 0, 1 − z 2 dz =

1

N

−1

1 − z2


N2

ωN dz

−1 1

Z

1 − z2

= 2ωN


N2

dz.

0

Tenemos √ pues que (7.14) es cierto. Entonces, haciendo el cambio de variable z = x, nos queda que ωN =2 ωN −1

Z

1

1−z 0

2


N2−1

Z dz =

1

x

− 12

(1 − x)

N −1 2

0

 dx = B

1 N +1 , 2 2

luego, teniendo en cuenta (7.7), obtenemos que

Γ 12 Γ N2+1
. ωN = ωN −1 Γ N2 + 1

 ,

(7.15)


√ De aqu´ı, como ω1 = 2, Γ 12 = π, teniendo en cuenta (7.3), se obtiene f´acilmente (7.13) por inducci´on.  Observar que como N ! = N Γ(N ), en dimensi´on par la f´ormula (7.13) queda como πN ω2N = . (7.16) N! La f´ormula (7.7) se puede generalizar de la forma siguiente.

7.3. Integrales Eulerianas

171

Teorema 7.3.9 Sea f ∈ L1 ([0, +∞[), y sean 0 < ai < ∞, i = 1, . . . , N. Entonces, Z Z ∞ Γ(a1 ) . . . Γ(aN ) aN −1 a1 −1 dx = f (x1 +· · ·+xN )x1 . . . xN f (t)ta1 +···+aN −1 dt. N Γ(a + · · · + a ) 1 N R+ 0 Demostraci´ on. Sea Z A := RN +

aN −1 dx. f (x1 + · · · + xN )xa11 −1 . . . xN

Aplicando el Teorema de Fubini tenemos que Z ∞ Z aN −1 aN −1 a1 −1 f (x1 + · · · + xN )xN dxN A= x1 . . . xN −1 dx1 . . . dxN −1 −1 RN +

Z = −1 RN +

xa11 −1

0

a −1 . . . xNN−1

Z

∞

dx1 . . . dxN −1

f (t)(t−(x1 +· · ·+xN −1 ))aN −1 dt.

x1 +···+xN −1

Si Ω := {(x1 , . . . , xN −1 , t) : x1 + · · · + xN −1 < t < ∞, xi > 0, i = 1, . . . N − 1}, tenemos que la integral anterior se puede ver como una integral sobre Ω, con lo que, aplicando de nuevo el Teorema de Fubini, para integrar primero la variable t, nos queda que Z a −1 A= xa11 −1 . . . xNN−1 f (t)(t − (x1 + · · · + xN −1 ))aN −1 dx1 . . . dxN −1 dt Ω ∞

Z

Z f (t) dt

= 0

a

−1 xa11 −1 . . . xNN−1 (t − (x1 + · · · + xN −1 ))aN −1 dx1 . . . dxN −1 .

Ωt

Ahora, si en la segunda integral, para t fijo, hacemos el cambio xi = tyi , nos queda que Z ∞ A=α f (t)ta1 +···aN −1 dt, 0

siendo Z α= B

a

−1

−1 y1a1 − . . . yNN−1 (1 − (y1 + · · · + yN −1 ))aN −1 dy1 . . . dyN −1 .

172

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

Para calcular α se puede proceder por inducci´on, pero es m´as elegante hacer de la siguiente forma. Si aplicamos lo ya demostrado tomando como f (t) := e−t , aplicando el Teorema de Fubini, nos queda que Z ∞ Z ∞ aN −1 −x1 a1 −1 e−xN xN dxN = Γ(a1 ) . . . Γ(aN ). e x1 dx1 . . . A= 0

0

Por otra parte, Z

∞

e−t ta1 +···aN −1 dt = Γ(a1 + · · · + aN ).

0

Consecuentemente, α es independiente de f , y se tiene que α=

Γ(a1 ) . . . Γ(aN ) , Γ(a1 + · · · + aN )

con lo que queda demostrado el teorema.  Veamos una importante f´ormula√debida a Stirling que establece que cuando 1 x → +∞, Γ(x + 1) es asint´otico a 2πxx+ 2 e−x . Teorema 7.3.10 (F´ ormula de Stirling) Se tiene que lim √

x→∞

Γ(x + 1) 1

2πxx+ 2 e−x

= 1.

Demostraci´ on. Haciendo el cambio de variable t = xs en la f´ormula de Γ(x + 1) nos queda que Z ∞ Z ∞ Z ∞ x −t x+1 x −xs x+1 Γ(x + 1) = t e dt = x s e ds = x ex(log s−s) ds. 0

0

0

Por tanto, Γ(x + 1) 1 xx+ 2 e−x

√ = x

Z

∞

ex(log s+1−s) ds.

0

Consecuentemente, si definimos la funci´on ϕ(s) := s − 1 − log s, para finalizar la demostraci´on tenemos que probar que Z ∞ √ √ lim x e−xϕ(s) ds = 2π. x→∞

0

7.3. Integrales Eulerianas

173

Ahora, haciendo el cambio de variable s = 1 + √zx , nos queda Z ∞ Z ∞ √ −xϕ(1+ √zx ) −xϕ(s) e ds = √ e x dz, − x

0

con lo que hay que probar ∞

Z lim

x→∞

√ − x

−xϕ(1+ √zx )

e

dz =

√ 2π.

(7.17)

Notar que ϕ0 (s) = 1 − s−1 y ϕ00 (s) = s−2 > 0. Consecuentemente existe una constante c > 0, tal que ϕ(s) ≥ c(s − 1)2

para 0 < s < 2,

ϕ(s) ≥ c(s − 1) para 2 ≤ s < ∞. √ √ Por tanto, si − x < z < x, entonces   z z2 xϕ 1 + √ ≥ xc = cz 2 ≥ c|z| − c, x x √ y si x ≤ z, entonces   z z xϕ 1 + √ ≥ xc √ ≥ cz > c|z| − c. x x Consecuentemente, asumiendo que x ≥ 1, tenemos que −xϕ(1+ √zx )

e

≤ e−c|z|+c ,

y el lado derecho es una funci´on integrable en R. Por otra parte, usando la serie de Taylor es f´acil ver que que   z 1 1 lim xϕ 1 + √ = ϕ00 (1)z 2 = z 2 . x→∞ 2 2 x Entonces, usando el Teorema de la Convergencia Dominada, nos queda que Z Z ∞ 2 √ −xϕ(1+ √zx ) − z2 lim e dz = e dz = 2π. √ x→∞

− x

R

Luego hemos establecido (7.17), con lo que finaliza la demostraci´on.  Como un caso particular de la f´ormula de Stirling tenemos la siguiente identidad que tiene mucha utilidad a la hora del calcular l´ımites. lim √

n→∞

n! = 1. 2πne−n nn

(7.18)

174

7.4

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

Problemas

7.1. Calcular de Cavalieri el volumen del elipsoide o n mediante el Principio y2 z2 x2 3 Ω := (x, y, z) ∈ R : a2 + b2 + c2 ≤ 1 . 7.2. Encontrar el volumen de la menor de las dos porciones en la que una esfera de radio r es dividida por un plano cuya distancia al centro es h, con h < r. 7.3. Calcular el volumen del cuerpo de revoluci´on generado al girar alrededor del eje OY el conjunto E limitado por las par´abolas y 2 = a3 x,

y 2 = b3 x,

x2 = c3 y,

x2 = d3 y,

(0 < a < b, 0 < c < d).

7.4. Calcular el volumen del cuerpo de revoluci´on generado al girar alrededor del eje OX el conjunto E := {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − a)2 ≤ a2 , |y − a| ≤ x}. 7.5. Sea f : [0, +∞[→ R una funci´on continua y positiva y sea a > 1. Probar que la funci´on Z t f (s)−a ds F (t) := f (t) 0

no es acotada. ¿Es tambi´en cierto para a = 1?. 7.6. Mediante derivaci´on bajo el signo integral probar que   Z π 2 a+1 2 2 2 log(sen (x) + a cos (x))dx = π log 2 0

a 6= 0.

7.7. Mediante derivaci´on bajo el signo integral probar que   Z ∞ b −ax sen bx , ∀ a, b > 0. e dx = arctan x a 0 7.8. Demostrar que Z ∞ 0


sen ax π −a 1 − e , dx = x(x2 + 1) 2

para a ≥ 0

7.4. Problemas

175

7.9. Sabiendo que

∞

Z 0

π v x−1 dv = . 1+v sen(πx)

Demostrar que Γ(x)Γ(1 − x) =

π , sen(πx)

0 < x < 1.

7.10. Demostrar que la funci´on Γ es infinitamente derivable en ]0, +∞[ y que Z ∞ (n) tx−1 (log t)n e−t dt Γ (x) = 0

para cada x > 0 y cada n ∈ N. 7.11. Para cada x > 0, se tiene que
x ∞ 1 Y 1 + k1
. Γ(x) = x k=1 1 + xk 7.12. Demostrar la f´ormula de Wallis π 22 42 . . . (2n)2 = lim . 2 n→∞ 1.32 . . . (2n − 1)2 (2n + 1)2 7.13. Demostrar que la funci´on Beta se puede expresar en las siguientes formas: Z +∞ (z − 1)y−1 B(x, y) = dz z x+y 1 Z +∞ z x−1 B(x, y) = dz. (1 + z)x+y 0 7.14. Calcular las siguientes integrales: (i) π 2

Z

sen4 t cos5 t dt,

0

(ii) Z 0

a

y4

p

a2 − y 2 dy,

a > 0.

176

Cap´ıtulo 7. Algunas t´ecnicas de c´alculo

7.15. Calcular

Z xy d(x, y), Ω

siendo Ω el recinto del primer cuadrante limitado por los c´ırculos x2 + y 2 − 2x = 0, x2 + y 2 − 4x = 0 y el eje X. 7.16. Hallar el volumen del s´olido limitado superiormente por la superficie de ecuaci´on z = x3 y e inferiormente por el tri´angulo de v´ertices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0). 7.17. Probar que para n ∈ N y a > 0, se cumple n  Z n na n! t a−1 dt = . 1− t n a(a + 1) . . . (a + n) 0 7.18. Sea f ∈ L1 ([0, +∞[), y sean 0 < ai , bi < ∞, i = 1, . . . , N. Probar que Z aN −1 f (xb11 + · · · + xbNN )xa11 −1 . . . xN dx RN +

=

Γ( ab11 ) . . . Γ( abNN ) b1 . . . bN Γ( ab11

+ ··· +

∞

Z aN ) bN

0

7.19. Sea f ∈ L1 ([0, ∞[). Probar que Z Z f (kxk) dx = N ωN RN

a a1 +···+ b N N

f (t)t b1

∞

f (r)rN −1 dr.

0

7.20. Probar que Z B(0,1)

dx < ∞ ⇐⇒ α < N, kxkα

Z RN \B(0,1)

dx < ∞ ⇐⇒ α > N. kxkα

7.21. Para 0 < α < N , calcular Z RN

e−kxk dx. kxkα

−1

dt.

Cap´ıtulo VIII Los espacios Lp En este cap´ıtulo vamos a estudiar uno de los ejemplos m´as importantes de espacios de Banach que aparecen en las aplicaciones, los espacios Lp de Lebesgue. Recordemos que un espacio de normado es un espacio vectorial E sobre el cuerpo K (K = R o C) junto con una funci´on k k, denominada una norma, y que cumple: kxk = 0 ⇐⇒ x = 0, (8.1) kx + yk ≤ kxk + kyk, kαxk = |α|kxk,

∀x, y ∈ E,

∀x ∈ E, y ∀α ∈ K.

(8.2) (8.3)

Es f´acil ver que todo espacio normado es un espacio m´etrico con respecto a la m´etrica d(x, y) := kx − yk. Los espacios normados que son completos con respecto a la m´etrica que se deriva de su norma se les denomina espacios de Banach.

8.1

Integraci´ on de funciones complejas

Vamos a extender a funciones complejas los conceptos de medibilidad e integraci´on. Sea Ω ∈ A(RN ). Si f : Ω → C, denotaremos por 0 suficientemente peque˜ no, se tiene que ρε ? f ∈ C0∞ (Ω). Demostraci´ on. Como sop(f ) es un compacto de Ω y sop(ρε ? f ) ⊂ sop(ρε ) + sop(f ) ⊂ B(0, ε) + sop(f ), para ε suficientemente peque˜ no, tenemos que sop(ρε ? f ) es un subconjunto compacto de Ω. Como adem´as, Dα (ρε ? f ) = Dα ρε ? f es continua, tenemos que ρε ? f ∈ C0∞ (Ω) para ε suficientemente peque˜ no.  Usando la sucesi´on regularizante {φn }, tenemos los siguientes resultados sobre aproximaci´on. Proposici´ on 8.3.6 Si f ∈ C(RN ), entonces φn ? f → f

uniformemente en los compactos de RN .

Demostraci´ on. Sea K ⊂ RN un compacto. Como f es uniformemente continua en K, dado un ε > 0, existe un δ > 0 tal que |f (x − y) − f (x)| ≤ ε

∀ x ∈ K, ∀ y ∈ B(0, δ).

Entonces, Z (φn ? f )(x) − f (x) =

[f (x − y) − f (x)]φn (y) dy RN

Cap´ıtulo 8. Los espacios Lp

192 Z

[f (x − y) − f (x)]φn (y) dy.

= B(0,1/n)

Con lo cual, tomando m ∈ N tal que n > 1δ , tenemos que para todo x ∈ K, Z |(φn ? f )(x) − f (x)| ≤ ε φn (y) dy = ε. RN

 Proposici´ on 8.3.7 Si f ∈ Lp (RN ) con 1 ≤ p < ∞, entonces φn ? f → f

en Lp (RN ).

Demostraci´ on. Dado ε > 0, como C0 (RN ) es denso en Lp (RN ), existe g ∈ C0 (RN ), tal que kf − gkp ≤ 4ε . Ahora, por la Proposici´on 8.3.6, φn ? g → g

uniformemente en los compactos de RN .

Como adem´as   1 sop(φn ? g) ⊂ sop(g) + B 0, ⊂ sop(g) + B(0, 1) n

∀ n ∈ N,

aplicando el Teorema de la convergencia dominada, tenemos que φn ?g → g en Lp (RN ). Entonces, aplicando el Teorema 8.3.2, para n ∈ N suficientemente grande, nos queda que kφn ? f − f kp = kφn ? (f − g) + (φn ? g − g) + (f − g)kp ≤ kφn k1 kf − gkp + kφn ? g − gkp + kf − gkp ≤ ε.  Teorema 8.3.8 Para cada abierto Ω ⊂ RN y cada 1 ≤ p < ∞, el espacio C0∞ (Ω) es denso en Lp (Ω). Demostraci´ on. Sea f ∈ Lp (Ω) y ε > 0. Como C0 (Ω) es denso en Lp (Ω), existe g ∈ C0 (Ω), tal que kf − gkp ≤ 2ε . Sea g la funci´on   g(x) si x ∈ Ω g(x) :=  0 si x ∈ RN \ Ω.

8.3. Convoluci´on de funciones

193

Entonces, g ∈ Lp (RN ), con lo cual, por la Proposici´on 8.3.7, se tiene que g ? φn → g

en Lp (RN ).

Adem´as, para n ∈ N suficientemente grande, sop(g ? φn ) es un compacto de Ω. Consecuentemente, si un es la restricci´on a Ω de g ? φn , se tiene que un ∈ D(Ω), y un → g en Lp (Ω). Entonces, tomando un n ∈ N suficientemente grande, kun − f kp ≤ kun − gkp + kf − gkp ≤ ε.  Teorema 8.3.9 Para cada 1 ≤ p < ∞ y cada comjunto medible Ω ⊂ RN , el espacio Lp (Ω) es separable, i.e., existe un conjunto numerable F ⊂ Lp (Ω), tal que, para cada ε > 0 y f ∈ Lp (Ω), existe φ ∈ F tal que kf − φkp ≤ ε. Demostraci´ on. Evidentemente es suficiente con demostrar el resultado en el caso en que Ω = RN . Para construir F consideremos la familia numerable Γ de los cubos Γm,j de RN de la forma   mi + 1 mi N , i = 1, . . . , N , Γm,j := x ∈ R : j < xi ≤ 2 2j para j ∈ N y m ∈ ZN . Para cada j ∈ N sea Fj el conjunto de las funciones φ definidas en RN , con la propiedad de que φ(x) = cm,j ∈ Q para cada x ∈ Γm,j . Tomamos entonces [ Fj . F := j∈N

Por construcci´on F es numerable. Dada f ∈ Lp (RN ) y un ε > 0, como C0 (RN ) es denso en Lp (RN ), existe una funci´on g ∈ C0 (RN ) tal que Z ε |f (x) − g(x)|p dx ≤ . 3 RN Como f tiene soporte compacto, existe un cubo I de la forma  I = x ∈ RN : −2j0 ≤ xi < 2j0 , i = 1, . . . , N , con j0 ∈ N. Para cada j ∈ N definimos Z 1 φj (x) := jN g(y) dy, 2 Γm,j

para x ∈ Γm,j .

Cap´ıtulo 8. Los espacios Lp

194

Como g es uniformemente continua en I, dado η > 0 existe un δ > 0, tal que |g(y) − g(x)| ≤ η

si |y − x| ≤ δ. √

Por tanto, si tomamos j ∈ N, tal que 2N j ≤ δ, tenemos que Z |g(x) − φj (x)|p dx ≤ LN (I)(2η)p . RN

Entonces, si tomamos η > 0 satisfaciendo que LN (I)(2η)p ≤ 3ε , nos queda que Z ε |g(x) − φj (x)|p dx ≤ . 3 RN Finalmente, dada φj podemos encontrar una funci´on ψj ∈ Fj (i.e., que s´olo toma valores racionales), tal que Z ε |ψj (x) − φj (x)|p dx ≤ . 3 RN Consecuentemente, Z

|f (x) − ψj (x)|p dx ≤ ε.

RN

El espacio L (Ω) no es separable (ver Problema 8.13)



∞

8.4

Problemas

8.1. Sean fi ∈ Lpi (Ω), i = 1, · · · , n y sea p tal que p1 = p11 + p12 + · · · + p1n ≤ 1. Demostrar que f := f1 f2 . . . fn ∈ Lp (Ω) y adem´as kf kp ≤ kf kp1 . . . kf kpn . 8.2. Sea 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Demostrar que si f ∈ Lp (Ω) ∩ Lq (Ω), entonces f ∈ Lr (Ω) para todo p ≤ r ≤ q y se verifica la desigualdad de interpolaci´on , kf kr ≤ kf kαp kf k1−α q siendo

1 r

=

α p

+

1−α q

(0 ≤ α ≤ 1).

8.4. Problemas

195

8.3. RSea Ω ⊂ RN medible y g una funci´on medible y positiva en Ω con g(x) dx = 1. Sea f : Ω →]a, b[ una funci´on medible tal que f g ∈ Ω L1 (Ω). Demostrar que si ϕ :]a, b[→ R es una funci´on convexa, entonces Z  Z ϕ f (x)g(x) dx ≤ ϕ(f (x))g(x) dx. Ω

Ω

En particular se tiene la desigualdad de Jensen   Z Z 1 1 f (x) dx ≤ N ϕ(f (x)) dx. ϕ LN (Ω) Ω L (Ω) Ω

(8.14)

8.4. Sea Ω ⊂ RN medible con LN (Ω) = 1. Demostrar que si f ∈ L1 (Ω), entonces Z p
1 2 2 1 + |f (x)|2 dx ≤ 1 + kf k1 . 1 + kf k1 ≤ Ω

8.5. Sea Ω ⊂ RN medible con LN (Ω) = 1. Demostrar que si f y g son dos funciones medibles y positivas en Ω satisfaciendo f (x)g(x) ≥ 1 c.p.p. x ∈ Ω, entonces   Z Z g(x) dx . f (x) dx 1≤ Ω

Ω

8.6.

(i) Demostrar que si f ∈ L1 (RN ) y K ⊂ RN es un compacto, entonces Z lim |f (x)| dx = 0. kzk→∞

K+z

(ii) Demostrar que si f es uniformemente continua en RN y existe un p ≥ 1 tal que f ∈ Lp (RN ), entonces lim f (x) = 0.

kxk→∞

8.7. Sea f ∈ Lp ([0, 1]), con p ∈ [1, ∞). Demostrar que Z a 1 lim 1 |f (x)|dx = 0. a→0 p0 0 a

Cap´ıtulo 8. Los espacios Lp

196

8.8. Demostrar que para cada f ∈ L1 (Ω) ∩ L∞ (Ω), se tiene que lim kf kp = kf k∞ .

p→∞

8.9. Sean 1 ≤ p < q < ∞. Demostrar que Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) cuando LN (Ω) < ∞. Ver con ejemplos que Lp (RN ) 6= Lq (RN ). 8.10. Sea 1 ≤ p < ∞ y sea {fn } una sucesi´on en Lp (Ω) que converge c.p.p. a una funci´on f ∈ Lp (Ω). Demostrar que kfn − f kp → 0 cuando n → ∞ si, y s´olo si, kfn kp → kf kp cuando n → ∞. 8.11. Demostrar con un ejemplo que el resultado del Problema 8.10 no es cierto en L∞ . 8.12. Sean {Ωn } una sucesi´onP de conjuntos medibles disjuntos dos a dos. Demostrar que la serie an χΩn es convergente en Lp si, y s´olo si, P p N |an | L (Ωn ) < ∞. 8.13. Demostrar que L∞ (Ω) no es separable. 8.14. Demostrar que si f ∈ L1 (RN ), entonces Z lim |f (x + y) − f (x)| dx = 0. y→0

RN

8.15. Para f ∈ Lp (]0, +∞[), 1 < p < ∞, sea Z 1 x f (t) dt, F (x) := x 0

0 < x < ∞.

Demostrar la denominada Desigualdad de Hardy kF kp ≤

p kf kp . p−1

8.16. Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Probar que si f ∈ Lp (Ω),  Z  kf kp = sup f (x)g(x) dx : kgkp0 ≤ 1 . Ω

8.4. Problemas

197

8.17. Sea f una funci´on medible y positiva en RN × RM . Probar que para p ≥ 1 se cumple la denominada desigualdad de Minkowsky generalizada Z Z p   Z Z 1 1 p f (x, y) dx dy ≤ f (x, y) dy dx. p p RM RN RN RM 8.18. Sean fn ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞. Probar que si fn → f ∈ Lp (Ω) casi por todas partes y lim kfn kp = kf kp , n→∞

p

entonces fn → f en L (Ω). 8.19. Sea Ω ⊂ RN con 0 < LN (Ω) < ∞. Sea fn funciones medibles en Ω tales que Z |fn | ≤ M c.p.p. en Ω, |fn (x)|2 dx = 1 ∀ n ∈ N. Ω

Demostrar P (i) que si an ∈ C, son tales que ∞ n=1 an fn (x) converge para casi todo x ∈ Ω, entonces limn→∞ an = 0. (ii) existe una sucesi´on an ∈ C tal P que limn→∞ an = 0 y tal que existe ∞ 2 un A ⊂ Ω no nulo, tal que n=1 |an fn (x)| = +∞ para todo x ∈ A. 8.20. Sea Ω ⊂ RN con LN (Ω) < ∞. Sea p ∈ (1, ∞), y sean fn , f ∈ Lp (Ω), tales que fn → f cp.p.p. en Ω y kfn kp ≤ M < ∞ para todo n ∈ N. Demostrar que para cada A ⊂ Ω medible se tiene que Z Z 0 lim fn g = fn g ∀g ∈ Lp (Ω). n→∞

A

A

8.21. Demostrar que el producto de convoluci´on en L1 (RN ) no tiene una unidad, i.e., no existe f ∈ L1 (RN ) tal que f ? g = g para toda g ∈ L1 (RN ).

Cap´ıtulo IX Solucion de los Problemas 9.1

Problemas del Cap´ıtulo 2

Problema (2.1).- Es f´acil ver que A ∈ F(RN )

χA ∈ E(RN ).

⇐⇒

(9.1)

Como consecuencia de (9.1), tenemos que para demostrar (i) es suficiente con tener en cuenta que: χA∪B = χA ∨ χB = χA + χB − χA∩B , χA∩B = χA ∧ χB , χA\B = χA − χA∩B = (χA − χB )+ . (ii): Sea φ=

n X

ai χIi .

i=1

Entonces, si m > 0, [

{φ ≥ m} =

i : ai ≥m

Luego es una figura elemental. Problema (2.2).(a) Q × R es nulo ya que 199

Ii .

200

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Q × R = ∪x∈Q Sx , con Sx := {(x, y) ∈ R2 : y ∈ R}, y Sx es nulo al ser una recta en R2 . (b) (R \ Q) × R no es nulo es nulo, ya que si lo fuera, tambi´en lo ser´ıa R2 = (R \ Q) × R ∪ Q × R. (c) Q × (R \ Q) nulo, pues Q × (R \ Q) ⊂ Q × R que es nulo por (a). (d) (R \ Q) × (R \ Q) no es nulo es nulo, ya que si lo fuera, tambi´en lo ser´ıa R2 . Problema (2.3).- Basta con demostrar que si {In : 1 ≤ n ≤ m} son intervalos abiertos acotados que recubren a [0, 1], entonces m X

|In | > 1.

n=1

En efecto, si [0, 1] fuese nulo dado  = 21 existir´ıa una sucesi´on de intervalos abiertos acotados {In } que recubren a [0, 1] y tal que ∞ X

1 |In | ≤ . 2 n=1

Ahora, como [0, 1] es compacto, existe un m ∈ N tal que [0, 1] ⊂

m [

In .

n=1

Entonces,

∞

m

X 1 X ≥ |In | ≥ |In | ≥ 1, 2 n=1 n=1 que es una contradicci´on. Veamos que se cumple la primera afirmaci´on. Sean In =]an , bn [ tales que m [ [0, 1] ⊂ In . n=1

9.1. Problemas del Cap´ıtulo 2

201

Quitando intervalos contenidos unos en otros, podemos suponer que a1 < a2 < · · · < am ,

b1 < b2 < · · · < bm .

Tenemos que 0 ∈ Ij . Sea n1 el mejor j tal que 0 ∈ In1 . Si 1 < bn1 , tenemos que [0, 1] ⊂]an1 , bn1 [ con lo que 1 = |[0, 1] < |]an1 , bn1 [. En caso contrario, tenemos que an1 < 0 < an1 +1 < bn1 < bn1 +1 . Si 1 < bn1 +1 , acabamos la demostraci´on, ya que 1 < 1 − an1 = |[an1 , an1 +1 ]| + |[an1 +1 , 1]| ≤ |In1 | + |In1 +1 |. En caso contrario, bn1 +1 ∈ In1 +2 , con lo que tenemos que an1 < 0 < an1 +1 < an1 +2 < bn1 +1 < bn1 +2 . Si 1 < bn1 +2 , acabamos la demostraci´on, ya que 1 < 1−an1 = |[an1 , an1 +1 ]|+|[an1 +1 , an1 +2 ]|+|[an1 +2 , 1]| ≤ |In1 |+|In1 +1 |+|In1 +2 |. En caso contrario repetimos el proceso y como esto ocurre como mucho m veces, concluimos la demostraci´on. Problema (2.4).- Es un caso particular del Ejemplo 2.1.3. Problema (2.5).- Como todo intervalo de RN se puede escribir como un uni´on numerable de intervalos compactos, podemos suponer que I = [a1 , b1 ] × · · · × [aN , bN ]. Fijado un  > 0, como f es uniformemente continua en I, existe un δ > 0 tal que kx − yk ≤ δ, x, y ∈ I ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ . Para cada m ∈ N dividimos cada intervalo [ai , bi ] en m intervalos iguales y con ellos formamos una partici´on de I en mN intervalos cerrados, i.e., I=

N m [

j=1

Ijm ,

N Ijm := [a1j , b1j ] × · · · × [aN j , bj ],

202

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

con bij − aij =

bi −ai , m

i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , mN . Para j = 1, . . . , mN , sea

N 1 N 1 N Sjm := [a1j , b1j ] × · · · × [aN j , bj ] × [f (aj , . . . , aj ) − , f (aj , . . . , aj ) + ].

Para m suficientemente grande G(f ) ⊂

N m [

Sjm .

j=1

En efecto: fijado un m, dado un x ∈ I, existe un j tal que x ∈ Ijm , luego N 1 N 1 kx − (a1j , . . . , aN j )k ≤ k(bj , . . . , bj ) − (aj , . . . , aj )k

P

N i i=1 (b

−a

i

 12

≤δ m si m es suficientemente grande. Por otra parte tenemos que =

N

m X j=1

N

|Sjm |

=

m X b1 − a1 j=1

m

bN − aN × ··· × × 2 m

(b1 − a1 ) · · · (bN − aN ) =m 2 = (b1 − a1 ) · · · (bN − aN )2. N m Por tanto G(f ) es un conjunto nulo en RN +1 . N

Problema (2.6).- La circunferencia C := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} es nulo en R2 al ser la uni´on de la gr´afica de dos funciones continuas. n o √ C = (x, ± 1 − x2 ) : −1 ≤ x ≤ 1 .

Problema (2.7).- Cada x ∈ [0, 1) lo escribimos en base 2, i.e., x = 0.a1 a2 . . . ,

con ai ∈ {0, 1}.

Definimos la funci´on f : [0, 1) → R como f (x) := 0, 2a1 2a2 . . . .

9.1. Problemas del Cap´ıtulo 2

203

Tenemos que f es inyectiva, adem´as f ([0, 1)) ⊂ [0, 1], con lo que Card(f ([0, 1)) = Card([0, 1)). Entonces, si demostramos que f ([0, 1)) ⊂ C, tendremos que Card(C) = Card([0, 1)). Ahora, dado un x ∈ f ([0, 1)), si lo consideramos como un elemento de [0, 1) escrito en base 3, x = 0, b1 b2 . . ., tenemos que bi ∈ {0, 2}, con lo que x 6∈ Ink para todo k = 1, 2, . . . , 2n−1 y todo n ∈ N. Por lo tanto, x ∈ Cn para todo n ∈ N, con lo que x ∈ C. Problema (2.8).- Sean o n a1 a1 a1 + 3 + 5 + · · · , con ak ∈ {0, 1} ∀k ∈ N , A := x ∈ [0, 1] : x = 2 2 2 o n a1 a1 a1 B := x ∈ [0, 1] : x = 2 + 4 + 6 + · · · , con ak ∈ {0, 1} ∀k ∈ N . 2 2 2 Como cada x ∈ [0, 1] tiene una representaci´on binaria, tenemos que x=

∞ X an n=1

2n

=

a

1

2

+

 a  a1 a1 a1 a1 1 + + · · · + + + + · · · ∈ A + B. 23 25 22 24 26

Por tanto, A + B = [0, 1]. Adem´as, como A = 2B, para demostar que dichos conjuntos son nulos, basta con demostar que B es nulo. Para ver que B es nulo, construimos un conjunto tipo C Cantor tal que B ⊂ C. Sean C0 = [0, 1], 1 2 3 4 1 C1 := [0, ] ∪ [ , ] ∪ { } ∪ { }, 4 4 4 4 4 1 1 2 3 4 C2 := [0, 2 ] ∪ [ 2 , 2 ] ∪ { 2 } ∪ { 2 } 4 4 4 4 4 4 5 5 6 7 8 ∪[ 2 , 2 ] ∪ [ 2 , 2 ] ∪ { 2 } ∪ { 2 } 4 4 4 4 4 4 3 4 ∪{ } ∪ { }, 4 4 1 n 1 etc. Tenemos que L (Cn ) = ( 2 ) y Cn es una sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados. Por tanto, si C :=

∞ \ n=1

Cn

204 tenemos que

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

 n 1 L (C) = lim L (Cn ) = lim = 0. n→∞ n→∞ 2 1

1

Finalmente, veamos que B ⊂ C, con lo que L1 (B) = 0. Si x ∈ B, entonces x = lim xN n→∞

con xn =

n X ak k=1

4k

y como xn ∈ C para todo n ∈ N, al ser C cerrado, tenemos que x ∈ C. Problema (2.9).- Sea f (x) := x2 χ[0,1] (x). Dividimos el intervalo [0, 1] en 2m m partes iguales seg´ un los puntos {0, 21m , 22m , . . . , 2 2m−1 , 1} y definimos la funci´on escalonada 2 2m  X i−1 χ[ i−1 , i ] . φm (x) := m 2m 2m 2 i=1 Entonces, lim φm = f

m→∞

c.p.p.,

con f (x) := x2 χ[0,1] (x). Como la sucesi´on {φm } es creciente y adem´as  2  2  m 2 ! Z 1 1 2 2 −1 φm = m + + ··· + ≤ 1 ∀ m ∈ N, 2 2m 2m 2m R tenemos que f es una funci´on superior en R. Adem´as Z Z 1 + 22 + · · · + (2m − 1)2 f = lim φm = lim m→∞ m→∞ (2m )3 R 1 1 + 22 + · · · + (k − 1)2 = , k→∞ k3 3 donde en el u ´ltimo l´ımite hemos aplicado el Criterio de Stolz. = lim

Problema (2.10).- Sea f : Ω ⊂ RN → R una funci´on acotada y sea a ∈ Ω. Si f es continua en a, dado un ε > 0, existe un δ > 0, tal que |f (x)−f (a)| ≤ ε para todo x ∈ Ω tal que kx − ak ≤ δ. Por tanto, M (a, f, δ) − m(a, f, δ) = sup{f (x) : x ∈ Ω, kx − ak < δ} − inf{f (x) : x ∈ Ω, kx − ak < δ} ≤ 2ε.

9.1. Problemas del Cap´ıtulo 2

205

Con lo que O(f, a) := lim+ (M (a, f, δ) − m(a, f, δ)) = 0. δ→0

El rec´ıproco es an´alogo. Problema (2.11).- Sea Ω es un cerrado. Veamos que que para cada ε > 0, el conjunto B := {x ∈ Ω : O(f, x) ≥ ε} es un cerrado. Para ello veamos que RN \ B es un abierto. Si x ∈ RN \ B, entonces x 6∈ Ω o x ∈ Ω y O(f, x) < ε. En el primer caso, al ser Ω cerrado, existe una bola abierta B(x, r) ⊂ RN \Ω ⊂ RN \B. En el segundo caso existe un δ > 0, tal que M (x, f, δ) − m(x, f, δ) ≤ ε. Entonces, si y ∈ B(x, δ), existe un ρ > 0, tal que B(y, ρ) ⊂ B(x, δ), con lo que M (y, f, ρ) − m(y, f, ρ) ≤ ε y por consiguiente O(f, y) < ε. Por tanto, B(x, δ) ⊂ RN \ B. Problema (2.12).- Supongamos primeramente que φ ∈ E(RN ) y que f ∈ Lsup (RN ). Evidentemente, bastar´a con demostrarlo en el caso en que φ = χI . Sean φn ∈ E(RN ), tales que φn → f c.p.p., siendo la sucesi´on {φn } creciente y la sucesi´on de sus integrales acotada. Para cada n ∈ N sea ψn := φn χI . Tenemos entonces que {ψn } Res una sucesi´ on creciente de escalonadas, R R tal χ que ψn → f I c.p.p., como ψn ≤ φn , tenemos que la sucesi´on { ψn } es acotada. Por tanto, f χI es una funci´on superior. Para el caso en que f ∈ L1 (RN ), basta con observar que f = f1 − f2 , con fi ∈ Lsup (RN ), i = 1, 2. Veamos que la funci´on f (x) := √1x χ[0,1] (x) es una funci´on de Lsup (R), con lo que tendremos el contraejemplo pues f 2 (x) = x1 χ[0,1] (x), que es f´acil ver que no es de L1 (R). Dividimos el intervalo [0, 1] en 2m partes iguales seg´ un m los puntos {0, 21m , 22m , . . . , 2 2m−1 , 1} y definimos la funci´on escalonada − 1 2m  X i−1 2 χ[ i−1 , i ] . φm (x) := m 2m 2m 2 i=1 Entonces, lim φm = f

m→∞

c.p.p.

Como la sucesi´on {φm } es creciente y adem´as  − 12  − 12  m − 1 ! Z 1 1 2 2 −1 2 φm = m + + ··· + 2 2m 2m 2m R

206

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

  1 1 1 =√ 1 + √ + ··· + √ ≤ 1 ∀ m ∈ N, 2m 2 2m−1 tenemos que f es una funci´on superior en R. Problema (2.13).- Supongamos primeramente que p 6= 1. Tenemos que Z +∞ Z b
dx dx 1 1−p 1−p < +∞ ⇐⇒ p > 1. b − a R = lim R = lim p b→+∞ b→+∞ 1 − p xp a a x Finalmente, para p = 1, tenemos que   Z +∞ Z b dx dx b R = lim R = lim log = +∞. b→+∞ b→+∞ x a a a x Problema (2.14).- Como la funci´on  sen x  x si x ∈]0, 1] f (x) :=  1 si x = 1 es continua, bastar´a con ver si es convergente la integral en [1, +∞[. Integrando por partes,  h Z a Z a Z +∞ sen x cos x sen x cos x ia dx = lim R dx = lim −R dx R a→∞ a→∞ x x x 1 x2 1 1 1 Z +∞ cos x = cos 1 − R dx. x2 1 Ahora, por comparaci´on, teniendo en cuenta el Problema 2.13, tenemos que Z +∞ cos x R dx < +∞. x2 1 Consecuentemente, Z

+∞

sen x dx < +∞. x 1 Veamos finalmente que no es absolutamente convergente. Como Z kπ Z kπ 1 2 sen x |sen x| dx = , dx ≥ x kπ (k−1)π kπ (k−1)π R

9.1. Problemas del Cap´ıtulo 2

207

tenemos que   Z +∞ Z kπ 1 1 2 sen x sen x R 1 + ··· + , dx ≥ dx ≥ x x π 2 k 0 0 P 1 en lo ser´a la integral. y como la serie arm´onica ∞ k=0 k es divergente, tambi´ √ Problema (2.15).- Haciendo el cambio x = y, tenemos que Z +∞ Z +∞ 1 4 sen(y 2 ) dy. R x sen(x ) dx = R 2 0 0 Y haciendo y 2 = z, nos queda que Z +∞ Z +∞ 1 senz 2 √ dz. R sen(y ) dy = R 2 z 0 0 Veamos la convergencia de esta u ´ltima integral. Z R 0

Ahora, como

+∞

senz √ dz = R z

Z 0

π 2

senz √ dz + R z

Z

+∞ π 2

senz √ dz. z

senz lim+ √ = 0, z→0 z

la primera integral es finita. Respecto a la segunda, integrando por partes, tenemos Z a Z +∞ senz senz √ dz = lim R √ dz R a→+∞ π π z z 2 2 !  a Z a Z +∞ cos z 1 cos z 1 cos z = lim − √ − R dz = − R dz. 3 3 a→+∞ π π 2 z π 2 2 2 z z 2 2 2 Por comparaci´on, teniendo en cuenta el Problema (2.13), tenemos que la u ´ltima integral es convergente, con lo que lo ser´a la primera. Problema (2.16).- Fijado un x > 0, tenemos que, si x ≥ 1, entonces 1 ≤ 1t ≤ 1, si 1 ≤ t ≤ x, con lo que x Z x Z x Z x 1 1 x−1 = dt ≤ dt ≤ dt = x − 1. x 1 x 1 t 1

208

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

En el caso en que 0 < x < 1, entonces x1 ≥ 1t ≥ 1, si x < t < 1, con lo que Z 1 Z 1 Z 1 dt 1 dt ≤ ≤ dt, x t x x x con lo que x−1 = x y la desigualdad

x

Z 1

x

Z

1 dt ≤ x

1

1 dt ≤ t

x

Z

dt = x − 1, 1

x−1 ≤ log(x) ≤ x − 1 x

∀x > 0

queda demostrada. Para p ∈ N, p ≥ 2, tenemos que, Z

p

p−1

dt = t

p− 12

Z

p−1

dt + t

p

Z

p− 12

dt . t

Ahora, si p − 1 ≤ t ≤ p − 12 , entonces 1 p−

≤

1 2

1 1 ≤ , t p−1

con lo que 1 2

p−

Z 1 2

p− 12

= p−1

dt ≤ p − 12

Z

p− 12

p−1

dt ≤ t

Z

p− 12

p−1

1 dt = 2 . p−1 p−1

De forma similar se demuestra que Z p 1 1 dt 2 2 ≤ ≤ . p p − 12 p− 21 t Por tanto, 1 1 1 < ≤ 1 + p 2(p − 2 ) 2p

Z

p

p−1

dt 1 1 1 ≤ + . 1 < t 2(p − 1) 2(p 2 ) p−1

Adem´as, por la desigualdad anterior tenemos que Z 2 dt 1 ≤ ≤≤ 1. 2 t 1

9.1. Problemas del Cap´ıtulo 2

209

Entonces, como para n ∈ N, n ≥ 2, n

Z log(n) = 1

dt = t

2

Z 1

n

dt X + t p=3

Z

p

p−1

dt , t

obtenemos que 1 1 1 1 1 1 + + · · · + ≤ log(n) ≤ 1 + + + · · · + 2 3 n 2 3 n−1

∀ n ≥ 2.

Problema (2.17).- Para x ∈ R, consideramos las funciones:  si x ∈ 21 + Z  0 (x) :=  x − [x] si x 6∈ 21 + Z, siendo [x] := el entero m´as pr´oximo a x. Veamos que la funci´on f (x) :=

∞ X (nx) n=1

n2

es integrable Riemann en cada intervalo [a, b]. En efecto: Evidentemente, f es acotada. Por el Teorema de Lebesgue-Vitali, bastar´a con demostrar que el conjunto de los punto de discontinuidad de f en [a, b] es un conjunto nulo. Ahora, como la aplicaci´on x 7→ (x) es discontinua en x si y s´olo si : k ∈ N}, y si fn (x) := (nx), se tiene que fn (± 2k+1 ) = (± 2k+1 ), x ∈ {± 2k+1 2 2n 2 2k+1 tenemos que fn es discontinua en x si y s´olo si x ∈ {± 2n : k ∈ N}. p Consecuentemente, f es discontinua en x si y s´olo si x = 2q , con p y q p enteros coprimos y p par. Adem´as en el caso en que x = 2q a uno de estos puntos de discontinuidad, se tiene que ∞ 1 1 X π2 f (x ± 0) − f (x) = ∓ 2 = ∓ . 2q k=0 (2k + 1)2 16q 2

Entonces, es f´acil ver que para x =  f

p 2q

como antes,

   p p π2 −0 −f + 0 = 2. 2q 2q 8q

210

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Consecuentemente, dado un m ∈ N, el n´ umero de discontinuidades, x =

p , 2q

2

π 1 de f en [a, b] con 8q 2 > m es finito. Por tanto, el conjunto de los punto de discontinuidad de f en [a, b] es un conjunto nulo.

Problema (2.18).- (i) Sea f ∈ L1 ([0, +∞)) y supongamos que existe α = limx→+∞ f (x), con α 6= 0. Supongamos, por ejemplo, que α > 0. Entonces existe un R > 0 tal que α 2

|f (x) − α| < Entonces, f (x) > con lo que Z

α 2

si x > R.

si x > R,

∞

Z

∞

f (x)dx ≥ R

R

α = +∞. 2

Consecuentemente α = 0. (ii): Vamos a dar un ejemplo de una funci´on continua y no negativa f ∈ L1 ([0, +∞)) para la que no existe el limx→+∞ f (x). Para cada n ∈ N definimos la funci´on fn 
si x 6∈ n, n + n12  0 fn (x) :=  1 si x = n + 2n1 2 , fn lineal en     1 1 n, n + 2 , y en n + 2 , , 2n 2n de modo que fn sea continua. Definimos la funci´on f (x) :=

∞ X

fn (x).

n=1

Es f´acil ver que f es continua. Adem´as Z 0

+∞

+∞

1X 1 f (x)dx = . 2 n=1 n2

9.1. Problemas del Cap´ıtulo 2

211

Ahora, como   1 f n + 2 = 1 y f (n) = 0, 2n se tiene que no existe el limx→+∞ f (x). Problema (2.19).- Como lim f (x) = α ∈ R,

n→∞

dado un  > 0, existe un R > 0 tal que α −  < f (x) < α +  para x > R. Sea

Z f (x)dx ∈ R.

β := [0,R]

Para a > R, tenemos que Z (α − )(a − R) ≤

f (x)dx ≤ (α + )(a − R). [R,a]

Por tanto, tenemos que Z β + (α − )(a − R) ≤

f (x)dx ≤ (α + )(a − R) + β. [0,a]

Luego, dividiendo por a obtenemos que     Z R R 1 β β + (α − ) 1 − f (x)dx ≤ (α + ) 1 − ≤ + . a a a [0,a] a a De aqu´ı, haciendo tender a → ∞, nos queda que Z 1 (α − ) ≤ lim inf f (x)dx ≤ lim sup ≤ (α + ), a→∞ a [0,a] a→∞ y como esto es cierto para todo  > 0, nos queda que Z 1 α ≤ lim inf f (x)dx ≤ lim sup ≤ α, a→∞ a [0,a] a→∞ y por tanto, 1 lim a→∞ a

Z f (x)dx = α. [0,a]

212

9.2

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Problemas del Cap´ıtulo 3

Problema (3.1).- Como existe la integral impropia de Riemann Z ∞ Z a f (x)dx := lim f (x)dx = α ∈ R, a→∞

0

tenemos que Z

n

f (x)dx = α.

lim

n→∞

0

0

Por el Teorema de Lebesgue-Vitali tenemos que fn := f χ[0.n] ∈ L1 ([0, ∞)) y adem´as Z n Z f (x)dx = f (x)dx. 0

[0,n]

Ahora, como f es positiva tenemos que la sucesi´on {fn } es creciente, y como adem´as Z n Z f (x)dx = α ∀ n ∈ N, fn (x)dx = 0

[0,∞)

aplicando el Teorema de la Convergencia mon´otona, tenemos que f ∈ L1 ([0, ∞)) y adem´as Z Z ∞

f (x)dx.

f (x)dx = [0,∞)

0

Problema (3.2).- Es consecuencia del Problema (2.14). Problema (3.3).- Sea f : [a, ∞[→ R tal que f ∈ L1 ([a, b]) para todo b ≥ a. Para cada n > a, sea fn := f χ[a,n] . Entonces, por hip´otesis tenemos que fn ∈ L1 ([a, ∞[). Ahora, como f (x) = 0, x→∞ h(x) lim

tenemos que |fn | ≤ |h| ∈ L1 ([a, ∞[). Entonces, por el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que f ∈ L1 ([a, ∞[). Problema (3.4).- Veamos que la funci´on f (x) :=

1 log(1 − e−x ), 2 1+x

x>0

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

213

es integrable Lebesgue en (0, ∞). Como f (x) < 0 para tod x ∈ (0, ∞), tenemos que |f | = −f . Entonces, teniendo en cuenta el Problema 3.1, basta con demostrar que −f es integrable impropia de Riemann en (0, ∞). Z 1 Z 1 1 |f (x)|dx = | log(1 − e−x )|dx 2 1 + x 0 0 Z 1 Z 1 −x −x | log(1 − e )|dx = log(1 − e )dx . ≤ 0

0

Como para x ∈ (0, 1], −x

1−e

=1−

∞ X

nx

(−1)

n=0

 =

 2

x x − 1! 2!

 +

n

n!

x3 x − 3! 4!

=

 4

∞ X

(−1)n+1

n=1

xn n!

x x2 + ··· > − , 1! 2!

tenemos que 1 > 1 − e−x > x(1 − x)

para todo x ∈ (0, 1].

Luego, tomando logaritmos, tenemos que 0 > log(1 − e−x ) > log(x(1 − x)) = log x + log(1 − x) De donde se deduce que Z 1 Z −x 0≥ log(1 − e )dx ≥ 0

1

Z log(1 − x)dx +

0

Por otra parte, Z 1

log(1 − x)dx.

(9.2)

a

log(x)dx = lim [x log(x) − x]1a

log(x)dx = lim 0

1

0

Z a↓0

para todo x ∈ (0, 1].

0

a↓0

= −1 − lim(a log(a)) = −1, a↓0

aplicando L’Hopital. Con lo que Z 1 log(1 − x)dx = −1. 0

(9.3)

214

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Similarmente, haciendo el cambio y = 1 − x, Z 1 Z 1 log(1 − x)dx = − log(y)dy = −1. 0

(9.4)

0

Como consecuencia de (9.2), (9.3) y (9.4) tenemos que Z 1 log(1 − e−x )dx ≥ 2. 0≥ 0

Por tanto, Z

1

|f (x)|dx ≤ 2.

(9.5)

0

Por otra parte, Z ∞ |f (x)|dx =

Z ∞ 1 1 −x −1 | log(1 − e )|dx ≤ | log(1 − e )| dx 2 1+x 1 + x2 1 1 Z a 1 −1 = | log(1 − e )| lim dx = | log(1 − e−1 )| lim [artangx]a1 a→∞ 1 1 + x2 a→∞ π = | log(1 − e−1 )|. 4 Por tanto Z ∞ Z 1 Z ∞ π |f (x)|dx = |f (x)|dx + |f (x)|dx ≤ 2 + | log(1 − e−1 )|, 4 0 0 1 con lo que f ser´a integrable lebesgue en (0, ∞). Problema (3.5).- Para y > 0 consideremos la funci´on f (x) := e−x xy−1 . Por continuidad, tenemos que f ∈ L1 ([1, b]) para todo b ≥ 1. Adem´as, es f´acil x ver que la funci´on h(x) := e− 2 ∈ L1 ([1, ∞[). Entonces, como x f (x) = lim e− 2 xy−1 = 0, x→∞ h(x) x→∞

lim

aplicando el Problema anterior tenemos que f (x) := e−x xy−1 es integrable Lebsgue en [0, ∞[. Para y > 0, demostrar que la funci´on f (x) := e−x xy−1 es integrable Lebesgue en [0, ∞[. Esto permite definir la funci´ on Gamma Γ :]0, ∞[→ R como Z ∞ Γ(y) := e−x xy−1 dx. 0

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

215

Problema (3.6).- Consideremos la la funci´on f (x) := xα . Para cada n ∈ N sea   0 si x ∈ [0, n1 [ fn (x) :=  α x si x ∈ [ n1 , 1][. Como fn es acotada y continua c.p.p., fn ∈ L1 ([0, 1]). Adem´as, fn ↑ f c.p.p., luego, por el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que f ∈ L1 ([0, 1]) si demostramos la acotaci´on de la la sucesi´on de las integrales de fn . Ahora, si α 6= −1, tenemos que  α+1 ! Z 1 Z 1 1 1 1− < ∞ ⇔ α + 1 > 0. fn (x) dx = xα dx = 1 α + 1 n 0 n Adem´as en este caso Z 1

1

Z

α

x dx = lim

n→∞

0

fn (x) dx = 0

1 . α+1

En el caso α = −1, tenemos que no es integrable pues Z 1 Z 1 fn (x) dx = x−1 dx = log n. 1 n

0

2

Problema (3.7).- Para x ≥ 1, x ≤ x2 , con lo que e−x ≤ e−x . Entonces, 2 como e−x ∈ L1 ([1, +∞[), tenemos que f (x) := e−x ∈ L1 ([1, +∞[). Finalmente, al ser f continua en [0, 1], se tiene que f (x) ∈ L1 ([0, +∞[). Problema (3.8).2 2 (i) Sea fn (x) = 2n2 xe−n x . Entonces, aplicando el Criterio de Stolz, se tiene que lim fn (x) = 2x lim

n→∞

n→∞

= 2x lim

n→∞

e

n2 x2

= 2x lim

n2 e

n2 x2

(n + 1)2 − n2 2 2 2 2 n→∞ e(n+1) x − en x

= 2x lim

2n + 1 2n = 2x lim 2 2 2 n→∞ en x (e(2n+1)x − 1) 2

2 2 2 n→∞ en x (e(2n+1)x

− 1)

= 0.

216

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Por otra parte, Z Z 1 fn (x) dx = 0

1 2

2n xe

−n2 x2

h i1 2 −n2 x2 dx = −e = 1 − e−n . 0

0

Luego Z n→∞

1

fn (x) dx = 1.

lim

0

(ii) Sea fn (x) =

  sen(nπx), si x ∈ Q 

Z

0,

si x 6∈ Q.

1

fn → 0. Ahora, si x = ±m ∈ Z, entonces

fn = 0 c.p.p., con lo que 0

fn (x) = 0, pero en el caso en que x = pq ∈ Q \ Z no existe el l´ımite de la sucesi´on {fn (x)}. En efecto: tenemos que p ∈ Z Y q ∈ N son primos entre si. Entonces, si n = 2kq, se tiene que nxπ = 2kpπ, luego fn (x) = 0. Por otra parte, si fn (x) = 0 para todo n ∈ N, entonces np π = kn π y como p y q son q primos entre si, q = 1. Por tanto, si existe un n0 ∈ N, tal que fn0 (x) 6= 0. Entonces, si nk := n0 + 2kq, tenemos que fnk (x) = sen(n0 πx + 2kπ) = sen(n0 πx) = fn0 (x) 6= 0. Consecuentemente, existen dos subsucesiones con distinto l´ımite. (iii) Consideremos la funci´on  1 p  q , si x = q , p ∈ Z, q ∈ N, 1 ≤ q ≤ n fn (x) =  0, en otro caso. En el caso en que x ∈ Q, tenemos que x = pq , con p ∈ Z, q ∈ N. Luego fn (x) = 1q para cada n ≥ q. Por tanto, 1 lim fn (x) = . n→∞ q Tenemos pues que fn = 0 c.p.p., limn→∞ fn = 0 c.p.p. e para cada n ∈ N:

R1 0

fn (x) dx = 0

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

217

1 Para cada n ∈ N sea fn (x) := Problema (3.9).- Sea f (x) = 1+x 2. 1 χ (x). Como fn es acotada y continua c.p.p., fn ∈ L1 (R). Adem´as, 1+x2 [−n,n] fn ↑ f c.p.p. Entonces, por el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que f ∈ L1 (R) si demostramos la acotaci´on de la la sucesi´on de las integrales de fn . Ahora, Z n Z 1 fn (x) dx = dx = arctan(n) − arctan(−n) ≤ 2π. 2 R −n 1 + x

Por tanto, la funci´on f es integrable en R, y adem´as, Z Z f = lim fn (x) dx = lim arctan(n) − arctan(−n) = π. R

n→∞

n→∞

R

Problema (3.10).- Por el Problema (3.6), tenemos que Z 0

1

1 1 √ dx = 1 = 2. x −2 + 1

Por otra parte, trabajando como en el problema anterior tenemos que Z +∞ π π 1 π dx = lim arctan(n) − arctan(1) = − = . 2 n→∞ 1+x 2 4 4 1 Consecuentemente, f es integrable en R, y se tiene que Z 1 Z +∞ Z 1 1 π √ dx + f (x) dx = dx = 2 + . 2 1+x 4 x R 0 1 Problema (3.11).- Veamos que la funci´on  si x < π,   0, f (x) =   sen x , x ≥ π, x2 es integrable Lebesgue en R. Como |f (x)| ≤ g(x) := x12 χ[π,+∞[ (x) para todo x ∈ R, por el Teorema de la Convergencia Dominada, bastar´a con ver que la funci´on g es integrable Lebesgue en R. Ahora esto es consecuencia del

218

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Teorema de la Convergencia Mon´otona, ya que la funci´on g es positiva y se tiene que Z n Z n 1 1 1 1 g(x) dx = ∀ n ∈ N. dx = − ≤ 2 π n π −n π x Problema (3.12).- Tenemos que  si x ∈ C  0 f (x) :=  n si x pertenece a uno de los intervalos Ijn siendo C el conjunto ternario de Cantor y Ijn los intervalos de longitud que se quitan en el paso n-´esimo para formar C. Por tanto, f (x) =

∞ X

1 3n

fn (x),

n=1

con fn =

n−1 2X

nχIjn .

j=1

Sea Sn :=

n X

fk .

k=1

Entonces, {Sn } es una sucesi´on creciente de funciones de L1 ([0, 1]) que converge puntualmente a f . Adem´as, Z

1

Sn (x)dx = 0

n Z X k=1

=

n X k=1

1

k−1 Z n 2X X k fk (x)dx =

0

k=1 j=1 n

k−1

2

1 1X k k k = 3 3 k=1

0

 k−1 2 . 3

Ahora, la serie aritm´etico-geom´etrica  n−1  −2 ∞ X 2 2 n = 1− , 3 3 n=1

1

χI k (x)dx j

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

219

con lo cual, aplicando el Teorema de la Convergenceia Mon´otona, tenemos que f ∈ L1 ([0, 1]) y adem´as  −2 Z 1 ∞ Z 1 X 2 1 1− = 3. f (x)dx = fn (x)dx = 3 3 0 n=1 0 Problema (3.13).- Sea I = [0, ∞[, y sean fn (x) := e−nx − 2e−2nx . Para x > 0, tenemos que ∞ X

e−x 1 , = x −x 1−e e −1

e−nx =

n=1 ∞ X

e−2nx =

n=1

e−2x 1 = 2x , −2x 1−e e −1

con lo que ∞ X

fn (x) =

n=1

ex

1 1 1 2 1 − 2 2x = x − x = x . x −1 e −1 e − 1 (e − 1)(e + 1) e +1

Por tanto Z I

∞ X

! fn

∞

Z =

ex

0

n=1

1 dx > 0. +1

Ahora, por el Teorema de la Convergencia Mon´otona, tenemos que Z Z k
1 1 fn = lim e−nx − 2e−2nx dx = − = 0, k→∞ 0 n n I con lo que

∞ Z X n=1

fn = 0.

I

Consecuentemente, ∞ Z X n=1

I

Z fn 6= I

∞ X

! fn

.

n=1

R P ProblemaP(3.14).- Sea K > 0 tal que ∞ |fn | ≤ K. Para cada n ∈ N, n=1 sea gn := nj=1 |fj |. Tenemos entonces que {gn } es una sucesi´on creciente

220

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

R P R de funciones integrables y adem´as gn = nj=1 |fj | ≤ K para cada n ∈ N. Por tanto, como consecuencia del Teorema de la Convergencia Mon´otona tenemos que Png := limn→∞ gn es una funci´on integrable. Para cada n ∈ N, sea Sn := j=1 fj . Entonces, |Sn | ≤ gn ≤ g c.p.p. Consecuentemente, por el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que f := limn→∞ Sn = P∞ 1 N as n=1 fn ∈ L (R ) y adem´ Z ∞ Z X fn = f. n=1

Problema (3.15).- Para y ∈]0, 1], tenemos que ∞

X 1 = yn. 1−y n=0 Entonces, por el Problema (3.14) tenemos que Z x ∞ ∞ Z x ∞ X X X xn+1 xn 1 n y dy = dy = = . n + 1 n=1 n 0 1−y n=0 n=0 0 Ahora, como Z 0

x

1 dy = − log(1 − x) = log 1−y

obtenemos que  log

1 1−x

 =

∞ X xn n=1

n



1 1−x

 ,

.

Aplicando de nuevo el Problema 3.14 tenemos que    Z 1 ∞ Z 1 n ∞ ∞  X X X 1 x 1 1 1 log dx = dx = = − = 1. 1−x n n(n + 1) n n + 1 0 0 n=1 n=1 n=1 Problema (3.16).(i) Sea fn (x) := 2n sen

x n




lim n sen

n→∞

2

e−x . Como

x n

= lim x n→∞

sen x n

x n


= x,

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

221

tenemos que para cada x ∈ [0, +∞[ 2

lim fn (x) = f (x) := 2xe−x .

n→∞

Adem´as, f ∈ L1 ([0, +∞[) y |fn (x)| ≤ f (x)

∀ x ∈ [0, +∞[.

Entonces, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que Z +∞ Z +∞ x −x2 f (x) dx = 1. 2n sen e dx = lim n→∞ 0 n 0
n 2x (ii) Sea fn (x) := 1+x . Como 4 sen n   2x lim n sen = 2x, n→∞ n tenemos que para cada x ∈ [0, +∞[ lim fn (x) = f (x) :=

n→∞

2x . 1 + x4

Adem´as, f ∈ L1 ([0, +∞[) y |fn (x)| ≤ f (x)

∀ x ∈ [0, +∞[.

Entonces, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que   Z +∞ Z +∞ n π 2x lim f (x) dx = lim arctan(x2 )]n0 = . sen dx = 4 n→∞ 0 n→∞ 1+x n 2 0 Problema (3.17).- Sean fn : [0, 1] → R, las funciones definidas por  ] n = 2k + j, j = 0, 1, . . . 2k − 1, k = 0, 1, . . .  1, si x ∈ [ 2jk , (j+1) 2k fn (x) =  0 en otro caso. Como para cada x ∈ [0, 1], la sucesi´on {fn (x)} toma infinitas veces los valores 0 y 1, tenemos que la sucesi´on {fn (x)} no converge para ning´ un x ∈ [0, 1]. Consideremos la subsucesi´on definida por  n  1, si x ∈ [ 2 2−1 n , 1] gn (x) :=  0 en otro caso.

222

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Si x ∈ [0, 1[, como

2n − 1 = 1, n→+∞ 2n n tenemos que existe un n0 ∈ N, tal que x < 2 2−1 para todo n ≥ n0 . Por tanto, n lim

lim gn (x) = 0.

n→+∞

Problema (3.18).- Sean fn : R → R, las funciones definidas por  −3 1 , n1 ]  x 2 , si x ∈ [ n+1 fn (x) =  0 en otro caso. Como

3

0 ≤ fn ≤ (n + 1) 2 χ[

1 ,1] n+1 n

,

tenemos que fn ∈ L1 (R) para cada n ∈ N. Supongamos que existe g ∈ L1 (R), tal que |fn | ≤ g c.p.p., para todo n ∈ N. Entonces, Z +∞ Z ∞ Z 1 ∞ Z 1 X X n n g(x) dx ≥ g(x) dx ≥ g(x) dx ≥ fn (x) dx 0

R

≥

n=1

∞ Z X n=1

1 n 1 n+1

1 n+1

n=1

1 n+1

 − 32 3 ∞ X n2 1 dx = = +∞. n n(n + 1) n=1

Sin embargo, se tiene que lim fn (x) = 0,

n→∞

para cada x ∈ R

y Z lim

n→∞

1 n

Z fn (x) dx = lim

n→∞

R

x

−3 2

dx

1 n+1

  1 1 1 = lim (n + 1) 2 − n 2 = 0 = 2 n→∞

Z lim fn (x) dx.

R n→∞

Problema (3.19).- Por reducci´on al absurdo, supongamos que no se cumple lim f (x) = 0.

|x|→∞

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

223

Entonces existe un  > 0 y una sucesi´on {xn } tal que |xn | → +∞ cumpliendo |f (xn )| ≥  para todo n ∈ N. Ahora, como f es uniformemente continua existe un δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| ≤ 2 siempre que |x − y| ≤ δ. Por tanto, si denotamos In := [xn − δ, xn + δ], tenemos que |f (x)| ≥ |f (xn )| − |f (xn ) − f (x)| ≥  −

  = 2 2

∀ x ∈ In .

Luego Z

  |f (x)|dx ≥ |In | = 2δ = δ. 2 2 In

(9.6)

Por otra parte, si Em := {x ∈ R : |x| ≥ m}, como consecuencia del Teorema de la Convergencia Dominada, tenemos que Z lim |f | = 0. m→∞

Em

Por tanto, existe un m ∈ N tal que Z |f | ≤ Em

δ . 2

Ahora, como |xn | → +∞, existe un n ∈ N tal que In ⊂ Em , con lo que Z Z δ |f | ≤ |f | ≤ , 2 In Em que est´a en contradicci´on con (9.6). Problema (3.20).- Para cada n ∈ N, definimos la funci´on continuas fn : [0, 1] → [0, +∞[ como  0, si x ∈ [0, 21n ]      
n+2  3  si x ∈ [ 21n , 2n+1 ]  2 n x − 21n , fn (x) =
 n+2 1 3 1   , si x ∈ [ 2n+1 , 2n−1 ,] − 2 n x − 2n−1       1 0 si x ∈ [ 2n−1 , 1]. Es f´acil ver que lim fn (x) = 0 c.p.p.,

n→∞

224

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

y que 1

Z lim

fn (x) dx = lim

n→∞

Ahora, si f := supn∈N fn , Z

n→∞

0

1

0

1 = 0. n

∞ X 1 f (x) dx = = +∞, n n=1

con lo que f 6∈ L1 ([0, 1]). Problema (3.21).- Sean fn ∈ L1 ([a, b]), tales que fn → f uniformemente en [a, b]. Entonces, dado  = 1, existe un n0 ∈ N tal que |fn − fm (x)| ≤ 1 para todo x ∈ [a, b] y n, m ≥ n0 . Consecuentemente, |fn (x)| ≤ max{1 + |f1 (x)| + · · · + 1 + |fn0 (x)|} ∀x ∈ [a, b], n ∈ N. Ahora, como la funci´on x 7→ max{1+|f1 (x)|+· · ·+1+|fn0 (x)|} es integrable en [a, b], basta con aplicar el Teorema de la Convergencia Dominada para obtener que f ∈ L1 ([a, b]), y adem´as Z b Z b lim fn (x) dx = f (x) dx. n→∞

a

a

Problema (3.22).- Para cada n ∈ N sea fn (x) :=

1 −x e n. n

Es f´acil ver que fn → 0 uniformemente en [1, +∞[. Ahora, Z m Z +∞  x m 1 1 −x e n dx = lim −e− n 1 = e− n , fn (x) dx = lim m→∞ 1 m→∞ n 1 con lo que Z lim

n→∞

+∞

fn (x) dx = 1. 1

Problema (3.23).- Sea f : [0, 1] → R una funci´on continua, para demostrar que Z 1 nf (x) π dx = f (0), lim 2 2 n→+∞ 0 1 + n x 2

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

225

vamos a suponer primeramente que f (0) = 0, y demostremos que Z 1 nf (x) lim dx = 0. n→+∞ 0 1 + n2 x2 Dado  > 0, por la continuidad de f , tenemos que existe un δ > 0, tal que |f (x)| ≤ π para todo x ∈ [0, δ]. Por otra parte, si para cada n ∈ N definimos la funci´on fn : [δ, 1] → R como fn (x) :=

nf (x) , 1 + n2 x2

tenemos que fn converge uniformemente a cero en [δ, 1]. Por tanto, por el Teorema de la convergencia dominada, Z 1 lim fn (x) dx = 0, n→+∞

δ

con lo que existe un n0 ∈ N tal que Z 1  fn (x) dx ≤ , 2 δ

∀ n ≥ n0 .

Consecuentemente, para cada n ≥ n0 , tenemos que Z 1 Z δ Z 1 nf (x) nf (x) |fn (x)| dx dx ≤ 1 + n2 x2 dx + 2 2 0 1+n x 0 δ Z  δ n    ≤ dx + = arctan(nδ) + ≤ . 2 2 π 0 1+n x 2 π 2 Luego ya lo hemos probado en caso f (0) = 0. En el caso general, se obtiene de la igualdad Z 1 nf (x) − f (0) lim dx = 0, n→+∞ 0 1 + n2 x2 que es consecuencia de lo anterior, y de la igualdad Z 1 π nf (0) lim dx = f (0) lim arctan(n) = f (0). 2 2 n→+∞ 0 1 + n x n→+∞ 2 Problema (3.24).- Aplicando el Lema de Fatou y teniendo en cuenta que |fn | ≤ gn c.p.p. en RN para todo n ∈ N, tenemos que Z Z Z Z |f | ≤ lim inf |fn | ≤ lim inf gn = g < ∞. RN

n→∞

RN

n→∞

RN

RN

226

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Por tanto, f ∈ L1 (RN ). Por otra parte, aplicando de nuevo el Lema de Fatou, tenemos que Z Z Z Z (g + f ) ≤ lim inf (gn + fn ) = g + lim inf fn , RN

e

n→∞

RN

Z

Z

Z

(g − f ) ≤ lim inf RN

g − lim sup

RN

RN

De lo anterior deducimos que Z

n→∞

fn . RN

Z f ≤ lim inf

fn ,

n→∞

RN

e

RN

Z

(gn − fn ) =

n→∞

n→∞

RN

RN

Z

Z f ≥ lim sup

fn ,

n→∞

RN

RN

con lo que Z

Z lim

f.

fn =

n→∞

RN

RN

Problema (3.25).- Sea gn := |fn |, n ∈ N y g = |f |. Tenemos que fn+ → f + c.p.p. en RN , fn− → f − c.p.p. en RN , fn+ ≤ gn y fn− ≤ gn . Luego tenemos la hip´otesis del Problema 3.24, con lo cual, obtenemos que Z Z + fn = f+ lim n→∞

RN

RN

y Z

fn−

lim

n→∞

Z

f −.

=

R

RN

Z

Z

De donde se deduce que fn =

lim

n→∞

R

f. R

Veamos con un contraejemplo que la otra implicaci´on no es cierta en general. Para ello consideramos la sucesi´on de funciones  1 si x ∈ [0, n)  n     − n1 si x ∈ (−n, 0) fn (x) :=      0 si x ∈ R \ (−n, n)

9.2. Problemas del Cap´ıtulo 3

227

Se tiene que limn→∞ fn (x) = f (x) = 0 para cada x ∈ R y adem´as Z Z lim fn = f = 0. n→∞

Ahora

R

RN

Z |fn (x)|dx = 2, R

para todo n ∈ N.

228

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

9.3

Problemas del Cap´ıtulo 4

Problema (4.1).- (a) Tenemos que I = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}. Entonces, como f (x, y) = senx x ∈ L1 (I), aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que  Z 1 Z x Z sen x dy dx f (x, y)d(x, y) = x 0 x2 I 1

Z = 0

sen x (x − x2 ) dx = x

1

Z

(sen x − x sen x) dx = 1 + sen 1. 0

(b) Tenemos que I = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4}. Entonces, como f (x, y) = (x + y)−2 ∈ L1 (I), aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que  Z 2 Z 4 Z dy f (x, y)d(x, y) = dx 2 1 x (x + y) I    Z 2 √ 1 6 1 − = dx = log 2 − log . 2x 4 + x 5 1 (c) Como f (x, y) := cos x es integrable Lebesgue en el cuadrado I, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que   Z Z 0 Z x+1 Z 1 Z 1−x f (x, y)d(x, y) = cos x dy dx + cos x dy dx −1

I

Z

−1−x

0

=

0

Z

1

(2 − 2x) cos x dx = 4(1 − cos 1).

(2x + 2) cos x dx + −1

x−1

0

(d) Como 6 − 3x = 4x − x2 tiene por ra´ıces x = 1, x = 6, tenemos que I = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 6, 6 − 3x ≤ y ≤ 4x − x2 }. Entonces, como f (x, y) := x12 es integrable Lebesgue en I al ser continua, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que ! Z Z 6 Z 4x−x2 Z 6 1 1 f (x, y)d(x, y) = dy dx = (4x − x2 − 6 + 3x) dx 2 2 x x I 1 6−3x 1

9.3. Problemas del Cap´ıtulo 4 6

Z



= 1

229

7 6 −1− 2 x x

 dx = 7 log(6) − 10.

Problema (4.2).- Sean I1 := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}, I2 := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}. Entonces, I := [0, 1] × [0, 1] = I1 ∪ I2 , e I1 ∩ I2 es nulo en R2 . Si f fuese integrable Lebesgue en I, lo ser´ıa en cada Ii . Ahora, aplicando el Teorema de Fubini,   Z 1 Z Z 1 Z x  dx 1 = +∞. f (x, y) d(x, y) = − 2 dy dx = − x x 0 I1 0 0 Luego, f no es integrable Lebesgue en I. Problema (4.3).- Sean 0 < a < b. Como la funci´on f (x, y) := xy es integrable en Ω := [0, 1] × [a, b], aplicando el Teorema de Fubini tenemos que   Z Z 1 Z b Z b Z 1 f (x, y)d(x, y) = f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. Ω

0

a

a

0

Ahora, Z

1

b

Z



1

Z

Z

b y

f (x, y)dy dx = 0

x dy dx

a

Z

0 1



= 0

xy log y



y=b

Z dx = 0

y=a

a 1

xb − xa dx log x

e Z b Z

1

Z b Z



0

y



Z

x dx dy =

f (x, y)dx dy = a

1

a

0

a

b

1 1+b dy = log . 1+y 1+a

Por tanto tenemos que Z 0

1

x b − xa 1+b dx = log . log x 1+a

Problema (4.4).- Como f (x, y) = | cos(x + y)| es acotada en [0, π] × [0, π] y continua continua salvo un conjunto nulo, tenemos que f es integrable

230

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Lebesgue en [0, π] × [0, π]. Por tanto, aplicando el Teorema de Fubini y teniendo en cuenta que cos(x + y) ≥ 0

si x + y ≤

3π π , o ≤x+y ≤π 2 2

y cos(x + y) ≤ 0

3π π ≤x+y ≤ , 2 2

si

tenemos que Z

π 2

Z

Z

π −x 2

f (x, y) d(x, y) = [0,π]×[0,π]

0

Z

π

− π 2

=

π 2



cos(x + y) dy

dx

π −x 2

Z

!

π

cos(x + y) dy +

cos(x + y) dy

dx

3π −x 2

0

Z

!

π

cos(x + y) dy −

0

3π −x 2

Z

+

Z

π 

− sen(x) − sen(x + π) + sen

 π 

dx 2 2     Z π 3π 3π + −sen + sen(x) + sen(x + π) − sen dx = 2π. π 2 2 2 sen

0

Problema (4.5).- Sea f (x, y) := | max{x, y}|, y sea I := [−2, 2] × [−1, 1]. Dividimos el rect´angulo I en los siguientes conjuntos: I1 := {(x, y) ∈ I : y > x, y ≥ 0}, I2 := {(x, y) ∈ I : x > y, x ≥ 0}, I3 := {(x, y) ∈ I : y > x, y ≤ 0}, I4 := {(x, y) ∈ I : x > y, x ≤ 0}. Entonces, Z f (x, y) d(x, y) = I

4 Z X i=1

f (x, y) d(x, y).

Ii

Ahora, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que  Z Z 1 Z y Z 1 4 f (x, y) d(x, y) = y dx dy = y(y + 2) dy = , 3 I1 0 −2 0

9.3. Problemas del Cap´ıtulo 4 Z

Z

231

1

Z

x

f (x, y) d(x, y) = I2

x dy

Z

2

Z

 x dy

dx

−1

1

1

1

Z

dx +

−1

0

Z

 2

23 , 6 0 1  Z 0 Z Z 0 Z y 2 (−y) dx dy = − y(y + 2) dy = , f (x, y) d(x, y) = 3 −1 −2 −1 I3  Z Z 0 Z 0 Z 0 1 1 (−x) dx dy = f (x, y) d(x, y) = y 2 dy = . 2 −1 6 −1 y I4 =

x(x + 1) dx +

2x dx =

Por tanto, tenemos que Z 4 23 2 1 f (x, y) d(x, y) = + + + = 6. 3 6 3 6 I Problema (4.6).- Sea f (x, y) := max{y, x2 }. Sean I1 := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 }, I2 := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}. Entonces, como f es acotada en I = [0, 1] × [0, 1], y es continua salvo en el nulo I1 ∩ I2 , aplicando el Teorema de Fubini, nos queda que Z

Z f (x, y) d(x, y) =

f (x, y) d(x, y) + I1

[0,1]×[0,1]

Z =

1

x 0

2

Z

!

x2

dy 0

Z

Z

1

Z

1

 ydy

dx+ 0

x2

f (x, y) d(x, y) I2

Z dx =

1 4

Z

x dx+ 0

0

1

1 6 (1−x4 ) dx = . 2 10

2 2 Problema (4.7).- √ Como f (x, √y) := xy|sen(x + y )| es 1acotada y continua c.p.p. en I := [0, π] × [0, 2π], tenemos que f ∈ L (I). Por tanto, si consideramos los conjuntos √ √ I1 := {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 < y < π − x2 }, √ √ √ I2 := {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, π − x2 < y < 2π − x2 }, √ √ √ I3 := {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 2π − x2 < y < 2π },

232

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

entonces 3 Z X

Z f (x, y) d(x, y) = I

i=1

f (x, y) d(x, y).

Ii

Ahora, aplicando el Teorema de Fubini tenemos que Z Z f (x, y) d(x, y) = xysen(x2 + y 2 ) d(x, y) I1 √

Z

√

π

Z

I1

π−x2

0

Z

ysen(x2 + y 2 ) dy

x

=

√

!

π

cos(x2 + y 2 ) x 2 

dx = −

0

0

y=√π−x2

 2 x=√π 2 x x sen(x ) π =− (−1 − cos(x2 )) dx = + = . 2 4 4 4 0 x=0 Z Z f (x, y) d(x, y) = − xysen(x2 + y 2 ) d(x, y) √

Z

π

I2

I2 √

Z

√

π

=−

Z x

√

0 √

Z

π

= 0

2



ysen(x2 + y 2 ) dy

2

cos(x + y ) x 2

y=√2π−x2

I3

Z

√

π

Z x

=

√

0 √

Z

π

π . 2

xysen(x2 + y 2 ) d(x, y)

x 0

!

2π

ysen(x2 + y 2 ) dy

dx

2π−x2



=−

0

x dx =

I3 √

=

π

0

y= π−x2

Z

π

√

Z dx =

√

f (x, y) d(x, y) =

√

dx

π−x2

Z

Z

!

2π−x2

2

2

cos(x + y ) 2

y=√2π √ y= 2π−x2

dx

 2 x=√π x x sen(x2 ) π 2 (1 − cos(x )) dx = − = . 2 4 4 4 x=0

Consecuentemente, , Z f (x, y) d(x, y) = π. I

dx y=0

9.3. Problemas del Cap´ıtulo 4

233

Problema (4.8).- Sea  2 x − y2   para (x, y) ∈]0, 1[×]0, 1[,  2 x + y2 f (x, y) :=    0 en otro caso Como para (x, y) ∈]0, 1[×]0, 1[, se tiene que 2 2 x − y2 y2 ≤ x x2 + y 2 x2 + y 2 + x2 + y 2 = 1, tenemos que f ∈ L1 (R2 ). Entonces, aplicando el teorema de Fubini, y haciendo el cambio de variable y = x tan θ, tenemos que  Z Z 1 Z 1 2 x − y2 dy dx f (x, y) d(x, y) = 2 2 R2 0 0 x +y ! 1 Z Z 1

=

x 0

Z

1

Z x

= 0

0

arctan

1 x

arctan

x

(1 − tan2 θ) dθ

dx

0

! 2

(2 − (1 + tan θ)) dθ

Z

1

(2x arctan

dx = 0

1 − 1) dx = 0. x

Problema (4.9).- Si la funci´on  2 x + y2   para (x, y) ∈]0, 1[×]0, 1[, x 6= y,  2 x − y2 f (x, y) :=    0 en otro caso fuese integrable Lebesgue en R2 , por el Teorema de Fubini tendr´ıamos que sus integrales reiteradas ser´ıan iguales y finitas. Ahora,    Z 1 Z 1  Z 1 Z 1 2 x + y2 x x dy dx = −1 + ++ dy dx 2 2 x−y x+y 0 0 x −y 0 0  Z 1 Z 1 x + 1 1 dx = [−y − x log |x − y| + x log |x + y|]0 dx = −1 + x log x − 1 0 0

234

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas Z = −1 +

1

x log 0

1+x dx. 1−x

An´alogamente, se obtiene que  Z 1 Z 1 2 Z 1 x + y2 1−y y log dy. dx dy = 1 + 2 2 1+y 0 0 x −y 0 Por otra parte, como lim(1 − x)a x log x↓1

1+x = 0, 1−x

con 0 < a < 1,

tenemos que Z 1 1+x 1−y dy = − x log dx. y log 1+y 1−x 0 0 Consecuentemente, las integrales reiteradas son opuestas y no nulas, con lo que f 6∈ L1 (R2 ). Z

1

Problema (4.10).- Si la funci´on

f (x, y, z) :=

   

1 si x + y + z ≤ 1, x, y, z ≥ 0 (x + y + z)3

   0

en otro caso

fuese integrable, por el Teorema de Fubini tendr´ıamos que   Z Z 1 Z 1−x Z 1−x−y 1 f (x, y, z) d(x, y, z) = dz dy dx (x + y + z)3 R3 0 0 0    Z 1 Z 1−x  Z 1 1 1 1 3 = dy dx = − +x+ dx. 2 (x + y)2 2 2x 0 0 0 1 no es integrable Lebesgue en Entonces, como la funci´on g(x) := − 32 + x + 2x [0, 1], tendremos que f no es integrable Lebesgue en R3 .

Problema (4.11).- Sea f (x, y) := e−xy − 2e−2xy . Si f fuese integrable Lebesgue en [0, 1] × [1, ∞[, por el Teorema de Fubini, se tendr´ıa que  Z 1 Z +∞ Z f (x, y) dy dx = f (x, y) d(x, y) < ∞. 0

1

[0,1]×[1,∞[

9.3. Problemas del Cap´ıtulo 4 Ahora Z 1 Z

+∞

 f (x, y) dy

0

235

1

Z dx = 0

1

Z = 0

1

 y=∞  y=∞ ! 1 1 − e−xy − − e−2xy dx x x y=1 y=1

1 −x (e − e−2x ) dx, x

lo que nos lleva a una contradicci´on pues e−x − e−2x es acotado en [0, 1] y la funci´on x1 no es integrable en [0, 1]. Problema (4.12).- Como f es acotada y es continua en I := [0, 1] × [0, 2] salvo en el conjunto nulo N :=

3 [

{(x, y) ∈ I : y 2 = x + i}

i=0

tenemos que f es integrable Lebesgue en I. Sean I0 := {(x, y) ∈ I : y 2 ≤ x}, I1 := {(x, y) ∈ I : x ≤ y 2 ≤ x + 1}, I2 := {(x, y) ∈ I : x + 1 ≤ y 2 ≤ x + 2}, I3 := {(x, y) ∈ I : x + 2 ≤ y 2 ≤ x + 3}. I4 := {(x, y) ∈ I : x + 3 ≤ y 2 ≤ 2}. Entonces, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que Z f (x, y) d(x, y) [0,1]×[0,2]

Z

Z

=−

xy d(x, y) + 1

I2 √ x

Z

=− Z +2 0

1

!

√ √

√

1

Z

Z √

0

!

x+3

xy dy x+2

xy d(x, y) I4

dx +

0

Z

xy d(x, y) + 3 I3

xy dy 0

Z

xy d(x, y) + 2

I0

Z

Z

Z dx + 3 0

1

!

x+2

xy dy

dx

x+1

Z

2

√

 xy dy

x+3

dx

236

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas 1

Z =− 0

x2 dx + 2

1

Z 0

x dx + 2

Z

1

Z x dx + 3

0

0

1

x 19 (1 − x) dx = . 2 12

Problema (4.13).- Sea f (x, y) :=

 2 2  xye−(x +y ) si 0 ≤ x ≤ 2y, 

0

en otro caso

Para cada n ∈ N, sea In := {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2y} ∩ ([−2n, 2n] × [−n, n]). Entonces, como f es continua en el compacto In , tenemos que f χIn ∈ L1 (R2 ). Adem´as, por el Teorema de Fubini,  Z Z n Z 2y −(x2 +y 2 ) f (x, y) d(x, y) = xye dx dy In

0

Z =

n

−y 2

ye 0

Z = 0

n

0

Z

2y

xe

−x2

 dx dy

0

x=2y Z  1 −x2 1 n  −y2 −5y 2 ye − e ye dy = − ye dy 2 2 0 x=0  y=n  y=n ! 1 1 2 1 2 = − e−y − − e−5y 2 2 10 y=0 y=0     1 1 1 −5n2 1 −n2 1 1 − + e − e ≤ 2. = 2 2 10 2 10 2 −y 2



Por tanto, como consecuencia del Teorema de La Convergencia Mon´otona, tenemos que f ∈ L1 (R2 ), y adem´as   Z Z 1 1 1 1 f (x, y) d(x, y) = lim − = . f (x, y) d(x, y) = n→+∞ I 2 2 10 5 R2 n Problema (4.14).- Sea I := (0, 1) × (0, 1) × · · · × (0, 1) ⊂ RN y sean ai > 0, i = 1, . . . , N . Para cada i = 1, . . . , N , sea a

Ai := {x ∈ I : xj j ≤ xai i , para toda j = 1, . . . , N }.

9.3. Problemas del Cap´ıtulo 4

237

Observar que si x ∈ Ai , entonces xai i ≤ xa11 + xa22 + · · · + xaNN ≤ N xai i para cada i = 1, . . . , N , con lo que 1 1 1 aN ≤ ai , ai ≤ a1 a2 N xi x1 + x2 + · · · + xN xi

i = 1, . . . , N.

Entonces, como I = ∪N i=1 Ai , tenemos que Z Z dx dx aN < ∞ ⇐⇒ ai < ∞. a2 a1 A i xi I x1 + x2 + · · · + xN Ahora, por el Teorema de Fubini tenemos que Z 1 Z P 1 ai ( N dx i=1 ai −1)−1 = x dxi . ai i 0 A i xi Consecuentemente, como Z

1

ts−1 dt < ∞ ⇐⇒ s > 0,

0

nos queda que Z I

N X 1 dx > 1. aN < ∞ ⇐⇒ a1 a2 x1 + x2 + · · · + xN a i=1 i

238

9.4

Cap´ıtulo 9. Solucion de los Problemas

Problemas del Cap´ıtulo 5

Problema (5.1).- Sean An ∈ A(RN ) tales que ∞ X

LN (An ) < ∞.

n=1

Veamos que el conjunto A de los puntos que pertenecen a infinitos An es nulo. Tenemos que ! ∞ \ [ A= Ap . n=1

p≥n

Tenemos entonces que ! [

LN (A) = lim LN n→∞

Ap

≤ lim

p≥n

n→∞

X

LN (An ) = 0.

p≥n

Problema (5.2).- Sean E1 , . . . , En subconjuntos medibles de RN de medida finita. Para 1 ≤ p ≤ n, definimos X LN (Ei1 ∩ . . . ∩ Eip ). σp := i1