La Biblia de las matemáticas. 9789687999135, 9687999136

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ARITMÉTICA 1

Aritmética

2ARITMÉT1CA _ _ _ __ _ _ _

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PÁGINA INTENCIONALMENTE EN BLANCO

ARITMÉTICA3

CAPÍTULO 1

6ARITMÉllCA

Se i,j nsunatura O,za ,lasm,,Qt>1 l.d es pue densercontinuasoliscontinuas. L•contir1J11oc,110ual•c,J1,ccrnol1 lc,, gl ud'la, e> umon, d., 11. 0tr11mog rit ci:l 11 contir1J11oon:ll1J'lap100 d,u,..poroo,.. Fig l.f18 ~----------~ CENCIA MATEMATICA (dilto r,:il entro doo c;,¡a o1 rr,;,1 111 qc. 1l.ml nt1 o Al crn a dll ru 111 c.,t ., 1dll 1 dil 11111"'o: , ol l.ml n do un ot:joto 11docir, 0 1 1aodo1p1rticullro, 1Ól oj oq c. croc 1¡:,orl11cciónd 1 do 111 mo ¡r, itud•, p0, 1mo , col e,; pr• ó n do lJ1 g11 11:n ciu ro oólo c,JI 1>,J1dlln 1r,: • r1do qc. •atoro • ••ior ot:joto do c1-,•11:llloo 'I 1Jjodop l!)I( 1lp11od1 CJ1 li l:fo crno l p•o dll ct rol b ro A clf • oncil dll il1 ,.,t oj odll 1 cl ecret11, 111 uri dedu do me ci do m eon noturo il 1 con, .,(o,..I•

NÚMERO NATURAL Enlo•guro11•re1:n•riounconj CJ1to dllc"'1)utod c,11-, CJ1 crnjCJ1to dll l br01,coord l1 01:t1con1lco rj untoA,I d1lo.,c•ónfund.,..ntol-,,¡:orlot.,to,coorcl no l:t 111ntrelÓ

Figu ro16

Figura17

Figu ro18

El coro, ur,o, do1, tru, cuotro, cinco, •il 1tc., eon cc,, copto11ilarecto1C1,J1 rl!)re_,t.,, rel!)1< 16. (8·3)·5· • 17. 53·(23· 15) 18. X·(ffl·X) 1!l (8·x) •4 211. (7·6)· 1 21. (11 ·2)·6 22 (& ·>< • m•n

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Engenerat

46ARITMÉTICA

CAPÍTULO X

CAPÍTULO XI

NOTACIÓN

Deloquesededucec,Je

lfflliplicar no siompre signl-.caaumentar

50 ARITMÉTICA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO

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52 ARITMÉTICA

CAPÍTULO XII

ARITMÉTICA 56 MULTIPLICACIÓ N CO N SIG NOS DE AGRUPAOÓN

TEOIÚA

Prlnw-ro • efKlúan las q,11alonts enunada1 tn los par,n1tllllJkJtgoquequedaoindkadi1i

AhortY1J1trrmcómo!!laclltrll1 oparttiones indictdal dt rnJlbplcación WI rt1e11t• lo ero;er,.dod"'1rodt losparén1t111, unm61ooX11JJt esiidisptnUblt conoc er cuandOINClntidades esl~nrtprntnl .. dascon lelr•

1) Elt c1ul r (5 • l¡ 2•3(6· 1)

En11p,,c1usesue1esuprlrrírtlsll,lno • tnlrtunnúmero y un pa,,r1es,s o er1,e dOI parénlellll. A1I, ao eSlei = = = == - - -~ tJlfftll0,(5 • l¡2equr,a1e1(5 • )) • 2Y3(6· 1)tlJJJValea l EYOl5nB UTlla DE LA 3 • (l· 1) IIUlllPLICACIÓN Efeetuamo1prlmero1osparénte•1: (5 • J)•By(l-1J: 5, Jlendr«oot:

(5 • l¡2 • 3(6·1):8 • 2 • 3 • 5s16•15 • J1 2) Eftc1J11::i53.~

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ARITMÉTICA 131

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136 ARITMÉTICA

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SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES 68227 R.g[ijo

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190 ARITMÉTICA

ARITMÉTICA 191 FRACCIONES PERIÓDICAS DE PERIODO 9 Lofroce ó n pori/,:jieo puro O.~•~··· 'I l•froce ó n• 0 1 0 0 ri~~ó: e•,·o~~;~-~~ ~~ . or\;¡ i,..d•por C1,J ll:UdC11eom.Jn•;•tolÓg rif t 1qu1 nouilt1 ri n¡ij nqu1l:u doeom,jnt1lqu1,dÍ'/ oj i1 nl o

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Lo fricción O.~W ... dt i•• do 1 ., 1 n-i lóo ml O.~~•··· c:lfilro do 1 ., 1 dilzn-ilÍIÓmo; O.W~._ dt i•• do 1., 1 eiorrn l ílrnl, 1te. A modio qc. •=.,t1mo1ar,jmorod1polioc;,1,1l,1l ct d1oot1 fricción O.~~~··· • oprc,,:imo ir,:j1•n oj 1nw,t1 • 1 ""'~'-- nur,:1 lil go • t.,or ,oor; lJ 1¡i,, lo dt or.,eio 1riro 0.~11. .. 'I 1 pe. do •r ton poquoño eo mo•C1J i•1 ,poro li1 lilgu1,1il rO: ¡:ort1nto,l1 fricción 0.,11~ ... 11u,..,uilill1qu1tilndll 1llín-it11

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192ARITMÉTICA

CAPÍTULO XXXI

LEYES DE LA POTENCIACIÓN

ARITM~ TI CA 19J

LEY OE UMIFORMIOAO

EJERCICIOS

u ley de unil'onni- pJede erw.mtlarse de dOSmD0ll8QU ... alentes:

Aplcando la regla arurtor, desarmla estas pDtenclas.

1) Cua'Qull!!!)Otenciade rnnúmerotlt11eun va lcr"11coosierrve iec es) • (b•b•b n>ec es)• (c•c•c nveces) =a"•bn•Cn queeslo(fJequa1arrosdemostra, Esta¡:rop ledadco ns! I IJ'!'eial eyd istrlt,Jt wade la pctenc lac lé,J nto A (•¡i,J r112( ) 11 ( 0"n ' ~O"•t1, , -. nr t 1 CJJ 11otí•tu1 c;, 11 1ot1 dlo l pri nw mo ri c:l oro 'I • uno c:l ot ., cio i¡i,J ol 1 ( O"n ' M" , 'I doc irroo qc. 11 l oo g l ud dlo lp u ri o ■ 11 e0"4l'O' '•ll•, •g rd c1 CJJ llltÍ 1l c.do ot Cllltl dlo l prrTI•nw oj i.,0'1IU n1 c:l ot.,, il ii,J 1l 1IO"O' U "

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266 ARITMÉTICA LOCALllACIÓN DE LA LONGITUD Y EL HORARIO

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CAPÍTULO XLII

268 ARITMÉTICA

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Fr1ncilco11 rí 1.,_o.,g11tó 11 lCl'li,, luogo 11 dOJ 1 _, h• m., o 11 1~'1i, OI I ruto, ¿cuín1o 11 qc. d1?

Brúrai,Ol',..-u-N•1M-17•

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Sllaleunoespagadael

Ctm0seve,los re'l-]isilosdl'lendo10

día del•encmoento,el teneOOr

son cnl los mismos que en la lelra de cani:,,iSltuffllleestos re'l-]isrtossellana

!~": ~:!ª':.i: -::e:: sigúeruaaqUl!lenquelUe n"l!a00elpago

Sl no hace el protest oen SU Ol) Mu nlo ad, la letraq ue da perjudi cada, es ae cr , el ten aOO,pl etde l as acciones c amblarlas quee st illllece la l"J' Ylilltlequeatudt a ctms ~;:' ~1moentosparaexi1Jirsu 0

l

en11oso,...,.. ,ysinoloscuff1lle,esun endoso llrea,.úr que tieroedistir1osefec10s, segi,,la ley El endOsoen blanco es un endo so irr¡,g ula rq c,e consist eenqu eel teroe dCf siffll le me nte flrma la letra al r9"e rso y ertor,;eslill po rtado r de la llill ra tl er,e

~:~'!~i~::t

su pa111 al librado• el d a

Un ol esl.flilpromesa estrrtadepagarl.flacanlldadde

~'.~t~".f:1~;:~ Los paga rés debe rán conteroe,· 1)Elnoni:,,eespec/dco de - é 2)Lal'echalltlquese exprde. 3)lacantidad(Yal• .....,,,)_()Larechadepago5) Elnonilreyap1'll100delapetsona acuyaordensehabrádthacerel pago. 6) Eloriglltldelval0ra que tiene derecM a cobra' el pagaré, efl ono ~= aeneldo::o.mento,es

MODELO DE PAGAR ÉS

\;e,

c:::::::J

Blf..\0/'0III

c:::::==:::J

~- - - - ·-¿~- - • -

--·--~............______ .,__ . ________ ____ ,.. . __ _ _ --·-·------...-- .. -...... --•-·-·...

.,,...,,_

J

1

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1

'l'f j

1

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..,,,

,,......,

302 ARITMÉTICA

ARITMÉTI CA 3J3 DE SCUE NTO COIIIERCII\ L

EJERCICIOS

El o t ....,.áal esel rrterh de valor nom11aldura'lleelb..,,p:,que ra1tap¡,ra•v6'1clrriento: sise11aman alvalOfnom11 a\lalpl11ZOd8d8stU6'1IOY' al !~o 08 descuento o 'l. de rlle,.S: f,:nna,emosl • pn~o, clOO del mismo rmlil q ue en • Interés , pe ro poo ietruio ~" lo qui ~opondll dll nu1otr1 volurl1d; 11 decir p00 1rm 1tomor w :m -,tojopolit;.,.O1lqc. c,Jorom:io ~•o "'" vu fi)ldo, 111•tlll11i--1 •rí 11 nogot;.,.o lli tonwm1 corm • rl oj o 1011it;,,1 11 co n-i r,o rocorroj o1ll dll roch1d1un 1>,J nto,1 rl or,:11 a rocorrido1 lo i•~••~1 do punto •r' nog ot;.,. o, p•o nodll no, in,:J d1 tonw cam poo l ~o 11 rocctrido 111 i•~••~1 da pCJ1to,"11nt1lc11oac1 mi, orocorrido1l1dorochlda ~wto•ri•n111t;.,.o D11ot1 rro do,liool:u 1l1ogmontoABtomom:io COl'ro l'llit;,,1 11 •rlicjj dll A hocll ll, •1-t oj o d1B hocll A • río nog ot;.,.o, p• o li co rro • ntido ~Cll l ~o di , hocll A, • •ntido dll A hocll ll •río nog ot;.,. o.

•¡..,..,,

Método Algebraico Cc,m l11dlldd1 A11 u,..c1ntidlldd- c,, ocidll,• ro ;:r1•nt1cormr , _ _ _ _

1~:==~

7

Cc,m1n1l 111dod11.,mon 41loiio1,t1nct1rm1

~~e :•.:,1 1/oqu;.,.11 , 4

1 41l1r'o1,>: vli dríl1••t• porto

0

o•• l >:•8ofoo,.,_OI A Entoncess,.aok.a,.

~Blflll,I,. ~11: CAKTIIADES IIEGATJ.I..UY POSITII.IU

f)L"1hartncobr'll f1 JJ,po,g,ocr11-0I M"1 =t'-=-c,,rii:noporCJ1"11icrOIM.¿o.-a,

~--11JJ "1~ 11!1J.•~-sc:.o.c..,~-,:~=,-:=,::_:cr11-

El c•1 ro ;:r1• nt1 lo 1u-,ci1 dll contidlld; por 1)1ni,lo, • 1ot1do ocrn ómico do u,.. pe, 1C1,J;.,.1111 dll cirqu1noti1 ,.. hlb•nidllud•

P••"'•

O

Las cantidadespositr,"as sonmNoresqueOy las ne¡¡atr,"asmenoresqueO. Ali,+l11u,..,1ntidlldtr11 CJ1 idod11•...-1r C1J IO: • ~ 11 CJ1 idod11 ._.., qc. O, m1 ntr11 qui - l • tr11 un oj 1dll 1 - • ~c. O'I - ~ 11 en eo CJ1 id od11 nw,o r

'"'º

,. o

Entro c;o oc•tlll.i• l'llit;,,11, 11•...-1rl1 • • • - 1 v - - • • l l l t 1 (• 111,,..,.c, qc. +l), n'lil ntru qc. entro •1 c-i~-1 •11•"'• 11 ._.., 11 • - • - r • 1 . t á 1 : lllml'1Orc,J1-l;-l11mon ct quo-4

346ÁLGEBRA

En Alg1 1:f1, 11 utudi• c1 rtoj 1d11 qc. ¡:,J ld., tonw• _, • •tlltH

111•1tH o qui oon di cond t ión o - • • • • 111•1tH, • •pr111 11,.,tido,cor,:j ici6no mo dod1-(,'1lorrol1tÍ'lo)d1llc1 rt idld.-or mo c:l od1IOIIÍ111H• "1 -,lnt1p c,, i1r,:jo1l1-• +1l11c1 rtoj 1d• tomod•., "' ,.,tido dotornino c;, (c•t llt.t• l'llliv•) 'I •IIÍIII• • lutomod• 1n ••tllt1 11 ontori ct (c•tllt.t • - • " ' • l

•111"-•

Ali, lt ~ - • d11óg,.. C"1 11 IÓgm + 'I lt dl bor con 11 IÓg m -. e; u,..poroo,..tlln1Z100d1 ~ -.dirom:ioqu1ti.,1 +1 100,'llid1bl 1100, c:l romo1qu1ti .,1-$100d1-•.

•-•~-e••

Porotr1p.-t1,., CJ1 tormómotrolo1gr1 c;o 1oobrocoro• • Pr111n con 11 IÓg m • 'I 0 1 con 11 • 111 0 -: • 11 tormffltro morc~ ,10 · "':':'" coro 11cribí 1mo1 • 10", 'I •morco "" boj o coro

• O••

En otro cuo, ot c.-ri no roe m ido • l o - - • • ~eci1 u do•n• con ot IÓg m + 'I • lo i•~•••• • ~eci1 • • do un pCJ1to 11 IÓgno_: • rocorromo 1 JJO m1 l1dorochl do un 1>,J nto dodo,d r 1mo 1qu1h1rru roc moj o • l OO m, "1 1Óroc ct romo 1:lOOm1l1 izq có orl1-rb iromo1-300m

eon 11 1 l 1. m 'I 11 torm:mltro morco- 4". ~u• lu ~ •· m 1Ul1 7" '1 d• dl 11!1 hctl h1ot1 111 ~ p. m boj 111 ".;.Cc,íl11l1t1m,or1tur11 l•~~.m• A lo1e1.mmorc1-4" '1PUll•I

~-~ :f."cn'~~ ~~r

:.~~~º::.O':'"

1~o 4"hocll • rib1"111 r,:j ro mo 1:l"oobro coro(• 3"); como dudo 1 1!1 horo

~~~:: ~ ': 1~ ~~i:n:.: : ,•\~~~~ :. d• dl • l"hoci11b oj oll og u1m:w11 I". ~" 1.,10, • I• ~ p. m. lo to m, orotcn • dl -e"

. - • • 11

ce,,

El t llm, o tronocurroj o • • . - • • Clilt1 11 conoódoro pCll l ~o 'I -Hl1C li lt1,nog11Í'lo:+1Moiio11 -. nt ic11(1Jo/io1D.C."1-ll 1r',o 11Ó¡i, i•c1!11 r',o 11.C En "' poot1c11, 1c;o 1n1l1illHCi ■ 1 ■ 1 ......., , • • todo nérn•o r11I • 'o(• dilti ri o do coro) corrol!)Jn dll un nú nwo r11I, 'I oólo uno;,:, do rmdoq c. 1>:=1.E1t1númoro>:• l 1moir111 roo orocíprocod11,"1•ropr• .,t1¡:or1/1

',11. Ax icmo

2) Sumo do doo némo ro1n1g lllÍ'l oo

Por1"'-Jmordo1 r,j moroon1.-tÍ'101•prcw: od 11l1 "'-JmlUitmític1d1loo,1l ct11 1ilooluto, .,lll ro"'-Jlt1 cjo 11 l11 ri opo,.. 111 , -. no-

L1"'-Jmo dllcjJ 1númoroonog1tÍ'101sepuod1 ro i:r1•ntud1IIÓ¡i.J i.,t1 mocjJ l. Tric■ t■•í■: 8it1n orro 1do1 r,j moro1r11I•• 'l b

~i,~ ~u='~ ~:~ ~• roilciÓI"\ 1ri ro 1101, CIJ I •

111. Monotoníadelamultiplicoción:sia • b .,, Otenemosq ue ac > lx

L

>

e.t...,-,;,odolc~dllrúr.-tll,_A'I ll,dllrT"IOOO~t cóo ro:n.i,dllA•rTW"IOf~ "-'lli;l.af~dllll,klllltt..,._'11 coo lll~•,..-r,q.. oicib_

ro:n.,,,-,

Sumadeun r1J me ropo sl >l o "1 otrone¡¡ati, o Poro"'-Jmorunn· ropoo f o'lunn· ro nog ot'o prml ro • be.e• il difor1 r,: i1 • itmltico do loo ,1l ct11 1iloo lJtood11 rT"DJ 1 r,j moro1, 'l •lro"'-J IM o •l11nt1p o, 1 11i 1Óg r,o d1lnú mo romo"1 ct. OJo r,:j o ~':ti~ ~-~il":~

t :~ ;,~'1J •I ,o ~ r oboo lJto 'I

"'"'º"

· ·"'rú;.-,,~-,-ci. _, ~A,'lb •

"' ~

~

.... - ~

OPERACKlNESFUNDAMENTALESCON NÚMEROS RELATIVOS

R"""octo do lo.,,,.,. o odici "'1 do r,j moro1 roilt Í'/ 01 ¡:o domoo conoódor• cc.tro c•oo: .,,,.,., doo n· nwo1 p T 01; -.rn• doo n· roo nog 1tÍ'101;"'-Jmorun ¡:o lÓtÍ'loc o, ct ron1.-tÍ'lo,'I "'-Jmuolcoroconunn· ro po ll:' oon,.-r o 1) ~umo do doo némo ro1polÓtÍ'1 01

L1 -.rn 1d1 C11 nú nwopoo l Í'l o"1otro,..g1tÍ'lo•pu od 1 ropr• .,tor dll lo11 -. uil nt11m CW, 01 Rop ro - ,toci6ngríric1d1il -.rn o dll c,, nú mo ro ,00 1Í'lo "1 CJ1r,j moron og 1tÍ'lo, cjJ ndlllll nú mo ro poo l Í'l oti .,, "'"'I " '" ~ ' lil oo lJto CIJ I 11n1 .-tÍ'lo

ÁLGEBRA359

-4

-3

-2

-1 O FiQl.ta 8

• 1•2

•3

Represent oc ión ¡,áft ade lasumadeu nn ú:nern pos l >lo y w tlJmero ne,;¡atr.' o, do nde el val e,

~:":· ,~~~:;~ •s - -:

•3+4+o+a

+por+da+ -por-da+

+por-da-por+da-

360 ALGEBRA

PRODUCTO OE DOS POTENCIAS DE

IGUAL BASE ESleproductopuedeexpresarsegeornétricamenecormel áreadeunrec1~ngulOos nim¡ro,i,AeSlaáru le pode rmsatribUrunvalorposilivoo n90at,.,o , se'1Jn sus 1aoo ste n¡Jan.a loresde un rllsm:, sootidoo de se l1kj os d1 Slintos, respe ct.,ame rte

ffil,.,8] -3

+3

EfB,,lfB

Para mulliplcar dos pa1encl;,s de l~al b;,seseelev a dlc habase;, l&P01enclaque rerute de la stma de 'Js expa nertes reSl)ect~os EJernplo

(3)'(3)' - 3'.... ;t.729

POTE NCIA DE UNA POTEN CIA

f1r1 ~• 1• 11 fo11nci1 • un 11101.,111 .. mu ltl l ln n lot u110 n.,111 y II l'J'Jlr1il n1 11 , .. , .1m1.,,

1

Lo f i;t.,,1,1, _,, núl'J'Jl r1 ra11.,o 11 11,,01 .. 10 Ol tcmo rlo co1'1'10 f1c1or11nt11V1e.. , cmo .. ~ci 1r1. 1 1 • 11 un númoro ra11., o cu1• ul •1 y• > 1 11 un """'•1,..tur11,11n1 r1 ,,., ,110111ci lr,••.• .... 1.. , ,..,.110 : ~-~- - f«t!ll':il • iolie• •"' •••• ,,.,., .. e1 ... r1ct1r

¡,,,. .... ""'".

1~r -r . .-

1

(-tT - ?"'--t-B•

POTEN CIA DE NÚMEROS RELATIVOS

1

Enl;,ncoclO'l1°:x,lamarmsP01encla81prod11:1ox, b;os e;,lnúmero~elomarroscormf;,c1ore,yexpmert ea ~ que rr:,slndlc alasveces quedebe rms toma r acorm fact c,.La ope rac ión de na11a r el prod 11:1ox se lama pat111ci11Ci ón o elevació n a potencia

11,,,_..

;,...., ~_,1, ne c.,,m o t1¡111.,,11 di un 1 fOtl ncll co n 11 111,1, ~ n di un númoro I Un l f CUnc il , C"1 0 Uf C,, l n1 11 l 1s ■ ..1, 1f11t1Ufor ct roup on 1ri1 . ~ 11 11 rr;.,.,. (ll¡J••e(lll¡

·-·

{1'1 - •"' - •º-•096

(•"l- •""M•65536

POS IBILIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUM~R ICO

~ Omde1Hlabase,5 elexp:mer1ey10211apotencia Lap01enclldeunnúmeropasilivo siefrffeespas111Ya l1f 111n1llll unnúl'J'Jlron1.-1Í'l1 .. ,, 110a1.-1 • t i h fo n.,11 11 1ri 1ro y • • o n1111.,1 • 11 u 110 n.,1,.,11r111.,.. u

Los números reales no cierran 111 poslllldaddea""lar elca""o11Jmé~to,Sino Quesemartiene an ena para mrodut111Jevos ertes.sre""requetalesemescUTJ1lan1;,s le,,'esformales.Oentr o de 'Jslímllesdeesle 1e,:1o. el estudiante corocerá u,a 11Jeva s""laclO'l del ca""on-,a61 . .i' - Ta61-I}

3/r -J40 - 6c

R. a1+5a-1

R. -,,

-(i't>+3ri't:J-3tf'

:: ~~

OROEMACI NO E POLINOMIOS

9.

R. -2a · -a0'-t0•

x 5 •x-9.li( ; -5x •x2 Sl espasóble.los pali"iomiosdet,enon:iena,setodos conretaclónauna mismaletra, antesdea,mar EneS1ecaso1oscoklcarermsenordendescendame conretaclónax.conlo quatemrem:,s

~

- - -- -- - -~

SUMA OE POLINOMIOS CON COEFIC IENTES FRAC CIONAR IOS Sumar

3x1+2Y,-ix2r +3.- Ü) x2r +¾-"r-1Y'.

a 38~"Cfi+ao 3.-2a'o'+ , ao'+2o • ysa 3o-tao 3 6a ' 0 ' - 0'- 6

Estribinos:

jx2-jx2v+2yl + 1

Alordena,conretación a la a seoene

·•

•2a 2 o ' + ,oo 3 +2b 4 5a 3 t>-8& 1 o '-oo 3 - b • .s 61 t>-h b + ab

-Ü)x2r+{ "l''-tr

ÁLGEBRA 365

R. a'+¾a'-~i14-¾#+¾&' R.&'+~/J

R.-6x 2 +10x-72;-172 R. x'+6x'y- ( xy'-y• +2;2091

R.2Y-8;0

CAPÍTULO 111 RESTA Le rHta o 1u1tr1eeión tiene por obj tt o de d!I una sume de dos sumen cb s (minu,ndo) y uno de ~ los (1u1trHndo), hl'll ler el ot ro sum endo (rHtao dif1r1nei1) con lo qu e resulteev iOOnte qu e lesume OOl 1u1trHndo y ledilerenci ebene qu e ser el minuendo. de a (minu oo do) qu eremos re star a - b será la dife rencia

(sust ra encb ), la dife rencia serl!I a sum ada con el sustr aoo do b

En ~

s1gnos y a

reducen los

370ÁLGEBRA SU MA Y RESTA CO MB IN ADAS DE POL IN OMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

ÁLGEBRA371

ROl!ulo.,mod1 ~;,: 4yl + exly 4 -~yl con-••• ;,:ly 4 -11yed, lo

1. Do 11 "'-"' º dio OI< + 1 con ey 11..h • ly • I

d,xe • lxly 4 - y lcon-ü 4yl+:.ly4+:.,e

2. Dom-n +p rootulo1 cmo d1-m • n -p II..Ocon1"1-ln•lp

~

rOltu-2

Efoctc. rm 1llprimoro.,mo, ._, ,.,í,1.,otr11r,oo

_1;,:e

o,, 4y l • o,, ly 4 _ ~y 1 +;,:ly 4 _ 11 ye

~

J. D11lroot•lo.,modo1b +blc m 1LMl 11..-lb+(bl 4. R.

De1restarlasumadea • 8c oo -a + 6 13

Lc. gohoc1rm1ll11g ur,o o.,mo, ._, ,.,í,1 m nc. ncjJ 5.

D1~m4r•tull ..,,odo-3"13n + 4m,2_ nl ca, 1m3n-4m,l • ~nl 11.. ~m 4 -4n~ 6.

Dod oqu11oto..,,0•1ln-in c. ncjJ ,1ocri l> rm 1 dlo blj o d11 l o,conlo1 otg nooco nil iod o1,lo.,moo ri or0J r c,J 1111I .,ot,uncjJ'l1• ,..rm •

D11 + b + e rootulo1cmod1 a - b • e con-lb+b-C 11..lo•b-c 7.

e ~ --

-------~

D1e1root • lo.,mod1 11 • lb-le con -71-lb + :lc

11.. ~-

D11l-1 rootulo.,mod1~l • 11- 4 crn 11 ~ - e1 • 1

ll..-13-~11+11-l DI;,: 4 - 1 root • lo.,,,.. dio ~;,:l _., 1 + 4 con-11;,:4_7;,:l_ex 11.. nx 4 . 1x3 . 1;,:l . ex - ~ 9.

1. ROl!ulo.,mod11 -1 coo -a •1 dlolo.,mod1 • ' - 1;1- 4;-:l1 + 8 ll..1l-11•1 2. Do 11 "'-"' º dio ;,:l •~con l;,: -1 rOltulo .,,,.. do;,: 4 con->:•I 11..;,:1+1;,:-3 J. D1lo.,mod11l+1 con1l-1 rOltulo.,mod114 •2c oo &-2 R.-a 4 +a3+a2-a

1n D••·•b3root•ll.,mod1-r1bl + l51 lb-11 con - 71 ~ • llbl - ~~1 lb+ 1 11.. 11:l - obl + bl + ~

11. Don~ - rn ~ + (n rootu lo.,,,.. do -11n 4 + H n2 - l~n • 1 crn 1~n l - e~ l 11.. n ~ • 11n 4 - lln 1 _ ,n l + 10n- 4

,.,

12Delast.ma de a + bcona-brestar2a-b

-lb:• ~•b con 3b: • ~« -

1J. Do lo.,,,..;,: 2 - !t' 2 crn - rxy + 4(1/ 2 rootu-~yl + 11 ll..xl-r;,:y + 43yl-11

5. D11o.,mo dlo 31-M •e cono-b-k rootull .,,,.. di r• • b con - lb- 3C

14. Do-hly rootuloocmodoüy2-;,:3con ~;,:ly • y :l 11..;,:~-1l;,:ly-üyl-y3

6. D, ll ..,, o dlo x 3 •1 crn Ol: • 4 cm-h 1 -x •1 ll..ex 1 • i, 1 - h ·~

15. Do x2-~1;,:+312root•ll.,mod1II>: lc m 11x2-11;,: + rol 11..-lü'-~•x-Jol

rootulo .,modo 4« ab

372ÁLGEBRA

SUMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS

CAPÍTULO IV SIGNOS DE AGRUPACIÓN Hay cuatro clases de signos de agrupación el paréntesis ordinario (),el paréntesis

angularocorchete[],lasllaves{} y~ vínculoobarra-Estos signos de ag-upación se utilizan para indicar cµ e las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, esdecirccmo una sola cantidad indica que la cHernncia b- e

esta suma escritimos a

374ALGEBRA USODELOSSIGNOSDE AGRUPACIÓN

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN Regla General

L1u¡:r11ó ón;,: + (- :+' + I ) l1 dt 1 qc. 1 ;,:h .,. c,J 1 _,morl 1 '.4-' + :¡;1 cont r1J 1(' d1 >:, 1ocr'l>rm1- '.4-' • I con .,1prop o 1 11g nc,o

1 X• (-2Y• I )= X -2Y • I

1) PU l "'-l) ri n-i r lÓ ¡J1 0l dllg r'-l) I Ci 00 procod icjj 1 d1 + • 1Ó gmq u1 t1n.- cod1 c1nti dod dll ntro d1í l ;::.~: ~ ~•~ : :;;~: :

i.• ¡rup oc ión proc1 c:l dC11 do - •

dlli • •m orro

cormil ol. , -. no •

1 1)Córna .,p rrri r b 1 1igno1 d11 ¡rup oc ó n 1nl 1upro1Ó á1 1+ (b- c )+2 1 (l+ b)qUI ICIJ Í'll il l + l (+b- C) + 21 -(+ l + b)

Aqci VlmJ I CIJ I • hl ., prrri do1 l po rí nt11ó1proc1 c:l do dll l IÓ gm +, dlljor,:j o codll un o dll l• ;~~t: ~~:~~:.~ • n d.,tro do í l

Ccmo 11prinw puÍ1:3 1 •{-~>:-[- 1+ ,l(- 1 - ;,: ]) Al ., prmr ol. cc,-choto 1, ,..rm o: ll+ {- ~;,:• • - ~;,: + Al.,prm r 11 1 11, 111.,,rmo: ll -~>: • • -1>: +

l)Có rno 1Ó ni,lft u lou pr• On-[-:l 1 -{b•[- 1 + (2 1 -b)-(- 1+ b)]+:l tt •h] !in: ~

"'"'º"·

Eol. c,o qu i ti .,,n dilti ri o formo p• o i¡i,J ol IÓg rd coci OO , don ml'IOrc ll ri dlld 1n IC11c 1001 cjo ndll un1 •prH m qu 1 "1• ti 1n1 um omí1 1ignc,od1 o¡rup oc ó n • r, cl "I• ., otro, -. no d11 ¡rup oc ión

1 + ;,: )

• • >:

Al ro dc,: ir b 1tírm m , ..,,lj 1ri 11 qu od 1: ~ -13;,:

Il tm l ¡:,o r b 1 mío n tori c,-11, qu i oon ICII p• í nt• •• orc:l nu0 1

[-~ 1 -{b•[- 1+l1 -b • 1 -b] +Jtt + h ] =-[- l l -{b- 1 +21 -b• 1 -b + 3!:t • 41 ] =-[-3 1 -b- 1+ 21+ b- 1 +b-~b +h ] =3 1+ b- 1+ 21 -b+ l -b + Jb- 41 = 1 + l b

ÁLGEBRA 375

re l QOJsa-ci e rifr a

CAPÍTULO V

378ÁLGEBRA

IIIULTIPLICACIÓNDEIIIO NOIIIIOS

4) Multip l car- ab'por4a ~b' c '

;

'

2. -7m'npor-TT • 4&

10

4a ~ +1b'*'

b'.,c'=

e'

6) Multip l ca Ga'b}(-{#m

'

)--~x ¾a'bm

-2 a'tm

ÁLGEBRA379 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS POR POLINO MIOS

12&)('' -2 (ax +28ax2

2.(a)(-3a)(a'l

R.-3a 4

4.(-m 2n)(-3m 2)(-5 rml

R.-15m'n 4

R.2oa 'x'y'

6.G~na>ti ic • 11 •'1Jn cjJ 1írmro da di'lioor con 11 lig no conilildo • :l, .-, r a co1•c1.,11dlll11í-1írmnodaccw:i1 ri 1"11S Qo,elcocientees

Cm1a1mílolo1Ulti1u l11C111 n a po l nITTi odlldoil >:por-2 ~~!X ~~1;•~~/ " dloi ia l:fl li11ítto, 11 coci .,11 'I 11 x'-11>:'-2oi. • 11.,1ro>:-4

~

,.a,.

.~c:~:~°"t.~:.· ~-

!~~:.1";"!º, .:1;¡~~ :~: co1•c1.,111po,..mo101n kl 1lu.-r11qc.da,í., ocuporlo1c oo•ci1 ri •d11ao11írmm 1

"""'""'º

El 11 ~. momo CIJI • c;,1;,,.. m.Jl il) lt .,do 11co•icil n11d1lú l l11 01írm rodll lcoci1 ri 1-l,pct a •gCJ1do1ítm nod adloi ioorc1 nil iodod1ag m +l"1 •1• ¡:roduc1o: (- :l) • ~=-1, con111 ítml1 o ~~•ponc:ll n11d1IO1oj1nc;, +14'11.,,m:io •14 -I=

9,•2 4'1 -52

2>: 1 - ~;,:• • 2Q'.- ~2'111 roa cjJ o 11-1

\11

•O -_:, ~~ (roa cjJ o)

Dodoq c.a di'lidllnc;o•d1 q,J inlogr1 c;o ,11c ocil n11 11d1cu1rto gr1 cjJ

"""'""'º

Loscoofüeriesdelcocien1eson1,•4,0,0y-202 ll>S Qo,elcocientees

Por1"11o,elcocientedela ,t,, ist 00es

::~::i:;~.•:~ tn"~: '¡a ¿,, li1tít t o,

x'•Q'-202.,11r11ld uo11-nr

x'-2x-.,_.residuo5

~~~:~~! En realidad, cm este mélOOo , kl ql.09 se hace es sust~uir en el po l nITTi o da do laxpor• 3 : ~ : n~~~;:;;~~~.t" i~ 0

a coc il n1• '1

2>:'-~;,: 1 -h-l.,1rob'.+1

n artítico, 11 coci1 ri1 'I 11

:~-¡;

~lnnl;r::

1¡:r~~do

lic1 c;o 1.-,rl; pu1dlltru r 1a1op•ociónh111" qc. di'l icl rloo1 ri ro2 '1 1.,d rrnC111,-2,•1 '1 4 Cctro•d1 1orcorgr1c;o , 11coci.,11-í

;,:'-1>:' +;,: - 4

Dodo CIJ I a di'l i1 1r,:jo II do cuorto ¡rodo, 11d11•c• ¡r1do

a coc il n11

ÁLGEBRA411

412ÁLGEBRA 15.a ' -4a'-a'+ h '•a'-8a + 25 2)a ' +b' es ci\/ isib le pc, a+bsin e ri re&-4 SSl "l) ,.,

ÁLGEBRA413

5.

1.~

R.lnexacta;re si:J uo2b'

?-s J.x+T

R.lnexacta;re si:J uo-16

ª::t

R.l nexa ctaresid m 2b•

x'-16

ª·"""x+T" &'+32 9.~

x7 -128 111~

DIVISIBILIDAD DE a ' ±b'

a±b

, _, ~ s i errveesd>l isib le

R.l nexa cta;re si:J uo6 (

CAPÍTULO IX

Una igualdad si gi ifica que cb s cantidades o exµ esiones alg ebril cas boo en el mismo val cr a=b+c Jx'=4x+15

ÁLGEBRA417

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

418ÁLGEBRA

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRI MER GRADO CON PRODUCTOS INDICADOS

CAPÍTULO X PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIIVER GRADO CON UNA INCÓGNITA

422ÁLGEBRA

~•,-:;,•.:~•~=~d::

AA ~~ dct, l1 qu1 l1d1B"1loiio1 mo"1or qc. lld1 C. Hlll l• ll 1 1d1 d111

1. [lo,tt lt,,l ., !Jw~• t ----11 ll,;U"IOI 111 ~ cll 11

=.,w-riw,,:,r_._.11

R. O,111.,.

2. Er-..A,ll'IC__,1 JJ ddoor. C .... lllcbbllc;w.aA'11~ddoor.

=:::t~:--~

8il 11dldd1 A 11l oii o1mo"1 ct qc. l1d1 C, ll1 dld d1 C11e

l.Ll...,..cll he ..:.r.i:.•lll Bpri'rai,•~llldobllO.

; ~ •e~ :'~~~~•¿ • cll A; lu og o

= ~¡~w"'.' ~'

CITT'IJ lutr• ld1 cll 11cmo n e~ . -.,1 ., drom CIII IICC. CI OO

(. !Jehj,o, ~ lr, .. ~ oa;t,r.-,J ~ &X,I. Bhj,lcClli6 I

.-loc;w.allloon-brwi,'1111

_.., OJrr.oo ~ •i:r. ~loo~,_.,_

~ ~ ~ : -1n.11C11 ~ L Lo...,..cll !Jw rú,w,:,o•n_B llo;Uld0 • 1.'5ólll 1~ ' 1 -

= t. ~•,¿~ ~ 1 ;,: - ~

- 1 ~ oii o1, 1cll d do 1

L El-nA'IB__,Wddoono.Lo .,.-tocllB•~lll~cllllcll A.,1,-11.--c11,101

Al lla1 Qaal do bede lamay c, ~i ., do;,: = 11 p'"1 e rne m r, 1,r,ororm1 •~ - ;,: = pat,,,..,. c, Elprct, lom1 n dt 1qu1 lll tri ~ 1d1l1p•t1mom r 3< oqu~1l1 11 dct, 11 di II porto ml'llr, l(EW'i - >:)

Oo:=170 ;,: - ~

1.

~) Entro A 'I ll t ll n., 1~1. ei A pll rd1 l ~e. 11 do t> 1 di lo Cl,J I II qu ed o I Cl,J Í'lllil 11 tri ~ • di lo qc. ti1n1B1hor1 . ._cuíntoti.,1c1d1um• >:=n émo rod1p1000 A 11->:=némo rod1p1oood1¡¡ ~i A pll rd1 $:le, 11 qc. do con I (>:- 3e), 'I 11 cjo bll d1111i1c1nticlldl(>:-3l)I Cl,JÍ'l l lllll trip ll cll lo qc. ti_,, ¡¡ lh ct~, o ••• 111 tri ~ I di ~1 ;,: 1

OI • uN1 =oa • p'u9t' -1eef • P'> 1 J)

41

~::

ckl.:!{tJ!;ªi:.,1ª,'!";~1J~e 125 es 5. Según la Regla 2 teMrerros:

1 8x 3 ·125= (2x -5)[(2x¡' • 5(2>'.) • 5'1 = (2x·5)(4x'• 11k• 2~

j 21m••un ' =)•1]1(a • t>/ - (a • D)(1)•1') z(e•l>•1)(a'•2i l>+tl - a - D•1)

1. 6t • a' R. (4 •a 'l' R.(2a•3t>'J(U' • 6at>' • 9o '

5. x '-t>' R. (x' - t>'¡ (x '.

t:?x' . o~

6. Sx ' - n v' R. (1x - 3y )(4x '• 6xY•9Y') 7. 1 • 343n' R. (1 -7 n)(1•7n • •!Vl':I 8. 1 • a' R. (1 • i )(1 - a•a', 9. 1 - a' R. (1 - a )(1 • a • al 111 x ' • v ' R. (X•Y )(x '- xy + y') 11. m' - n ' R.(m- n)(m' • rm•n ' ) 12a' -1 R.(i-1)(a'• i •1 ) 1J. y'•1 R. (y• 1)(y ' •y•1 ) 14. y' - 1 R. (y - 1)(y '• y • 1)

1!i. 8X' - 1 R. (2x - 1)(4x' • 2K• 1)

16. 1 - 0x '

8•(!icasconsisieen

,,, 1)Sitll) lfr a r ~

-----

Tendr~s I ~

- ~

- ~

I

460ÁLGEBRA SN PLIFICACIÓHDE FRACCIONES CUYOS T~R IIIIH OS SEAN POL IN OMIOS

2.~ J

21 mffx"

"""isñlr1xi

,

R.~

R 3nx'

·--¡¡:;;-

4.&b 5.~

R. -.k R---'-4x ' y

6n-1n3

o.-----;;;¡¡,

R.2 rm'

J¡Si "l) lfr arx:~5)(;

8 4) Si "l)lficar 4&

x'-y' 12 x +2xy+y

1J.

300 2a'x+2&

"

3xyw -3xy

17·

5:::1~&

' -~ so

R----' ---3(x-y)

R. ?fj-

6

ª: ~!: 1

9

ÁLGEBRA461 SIM PLIFICACIÓN DE FRACCIONES DONDE HAY QUE CAMBIAR EL SIGNO A UNO O MÁS FACTORES 2& - 2b 1)8i tll) l(t ,.- 3b- 3&

10.

n3 -n ~

15.

x'-6? i'-12"+36

16. x' - 8x'+15

~ 17. &4 +6 i'- -7

~ 18. 4& 4 -15 i1- - 4

~ 19.

12 5& +&4

~

462ÁLGEBRA

R. 2i' - i'- +3 ~ R. 1-2x+x1 ~ R. 2nl-r1-

3rft+n

= =

R. i'- +? R.x'- 1

o. 2ax' - ax3- ax1- 2ax+2 a 3ax' - h x3+ai'-2ax- 3a

ÁLGEBRA463

464ÁLGEBRA

REDUCIR UNA EXPRESIÓN MIXTA A FRACCIONARIA

4

_3x 3 +4x'y+2xy'-6y 3

3x-2y

R.x'+2xy+2y'- ~~:y 3 5.6ªª;;ºª'

6.x+y+x:=;'

3.

2:++:-1

4.x+2-~

~ R.x ' :~1-5

R.2x+2y

ÁLGEBRA465 REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MÍN IMO COMÚN DENO MI NADOR

(x¡:~r:~~r) - x+2

(x¡::~x:x~1i2) • x+1

x+3 _ ~

(x+3Xx+2) _ x'+5x+6 (x+1}x-1}x+2) (x+1}x-1}x+2)

466ÁLGEBRA

6

1

3

5

"b?"'Tx's?"

2

R 2x+2

3

10.

12

m+n m-n

&-3

15

"5[x+i')'5[x+i')

9. 5'x+1 ~

~·s

2&-6

3i'-+15&

R.~,~

2mn-2n 2 m3 ~·~·~

R. 5nfn 2 +5nfn3

1

2m'Wri'"ior1 R.

i'-d+atJ 3ad-3IY 2i'+2ad ~·~·~

'

'

'

14. 2&+2b' h - ( b'8

16.2&-b3b-&&-3b

3T'4V'-Y 17.

&

R.

B&d-4IY 9.i'-b-3i' 6i'd-19.i'-IY

~·

~ '~

b

&+ti'~ 18.

X

1

7-=-i"'~

x1-2x x-1 R.(x+1 \ x-1 \ x-2)'(x+1 \ x-1 \ x-2)

CAPÍTULO XV OPERACIONES CON FRACCIONES (REGLAS GENERALES) 1) Simplificarlas fracciones dOOas, si es p::isible 2) Reducir las fracciones dadas al mínimo común denominador, si son de distinto denomin OO or 3) Efectuarlas multiplicaciones indicadas

4) Sumar los numeradcrn s de las fracciones que resulten y pa tir esta suma pcr el denominOOorcomún 5) Reducir términos semejantes oo el numerador 6) Simplificarla fracción que resulte, si es posible

468ÁLGEBRA SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIOS

SU MA DE FRACCIONES CON DENO MINADORES CO MPUESTOS

1)Sumari y ~

(suma r.:J olosnu rooradcrn s ) = ~ - ~

(si rr'l) l fican OO) = ~ - ~ 2) Si rr'l) lt ic ,.- X- ~& + X- l +_!_ 2&X 5>(" 10X

5x+7

~ 2)Si rr'l) l f i c a r ~ + ~ + ~

' '

5.~+Jati 6. &1-~b+~

ÁLGEBRA469

-

RESTA DE FRACCIONES CON DE NOMINADORES MONO MIOS

1) De ~

re st a r ~

&+ 2b 4&b '

2&t(&+ 2b ) 4&b '

3&- 6&'b - ~

- 6&'b

2&' b+4&b ' h b'-3 ----

2&' b+3 (red uc ie nOO)= ~

' o o.:¡-::,;+2x+5

'

"

(1-x\ 2x+5)

9.-i-¡;+~

10.h+~

R.(&+b~: -b?

470ALGEBRA RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS

~-1-~ -~ --d¼-~ 2)Si tll) lt ic ,.- x b - - ~ - ~

ÁLGEBRA471

CO MBtlACIÓH DE SU MA Y RESTA 1.

Restar~ de

-;f-;;r

R.*1

Ejemplos

'

3.D e :;;:-:-¡

4.D e m+l)res! ar ~

6_

b

_

b

~7+ib

1. 2&-3_ a -1 6a +9 4i'+12a+9

4x+1 6

11.__2__rz+_1___

1ll

~-~+f➔?

(re (U ci em o)

2 (x- 1Xx+4 )

472 ALG EBRA

CAal)SDE SIGNOS EN lASU-.YRUTA DE FRACCll• s

IIIULTI9LICAC)Ó NDE FRACCIO NES

·-~.:=~~'

1) DU.:l)"n~ n,¡,re,, fact ores, hastadon (IINI PO$á t> e 11)1 * ml n,:,a cl8 l;os fracciono Q~t H ,.., a rrultl~lnr

U rl¡f,ltNfll$

ll . . . . . . "1.. tilas " " ~ " " ' ....... "" 'll"~..,..,~,111nomn ado,8'1.

*1 +;?¡+~- ~" - 1:+~;;~~r+ !

-~ :ix-:1+ 3x ++x +5

2) MlJtl pleu

!::!

por x'x+'~\+

4

e

!(n1)

ilJ< +t

- ~- ~-:;-:¡

Dtte~ Or'Ord ox' -5x• 6•(>' •3)(>'•:!),lo carrtll:.l mo, .i • ¡,,o a 2 x y Q~ tda "· 2 clrl'il~mo • .i • gro de la fra cc l(,, y di 11)1 dos 11,te,nd• t1,c 1rderorrir,ad or(l•>:)(1 •>:)y ctUllll(X•)(lr•1).lll•ua.tlOn (,ll • J'.»' •11 ) - 57 ••()1 • 11)

1t• 4 m,anchD del «1 ~•l'IMl•III•

ÁLGEBRA509 DETERMINACIÓN DE LA FÓRMULA CORRESPONDIENTE A FUNCIONES DADAS CUYALEYDEDEPENDENCIASEASENCLLA

Ejemplos 1)

~~º:i ::

~ ~='~!~.~~

~n;,:•~~=,~ ~;•: r~~~: n! 11 1 ~. je;~: oun; ;r,, 1ponc:ll nt1 r,jmo rod1motro1,"1ilfu r,:O n cool.o,t.,drom01,1l1oryprop m io,..l1;,:

::o"'

;:f/: ccº!

L1,uilill1V,d r octom.,t1 ¡:roporc ,O nol. conh, , 1 1n 11 ncmo rod ct 'I 11 ,ullbl1 ll, in,or1om .,11 pr'l) orci c,, 1lconh,,11n1ld., orri ,..d ct

15 - ~

Ccmo loc c,, ot..,1111:i,.,ot.it'-'1., dO•t1,1l ct :~u ~ )o~• func ó n cool.o ,ondrí docll pe, lo

2)

El íru do un cu od ro clo • pr'l) orc ,O nol ol. cu1 ct1dod1., c:l 1.i, n1ll-illllrl1fórm.J lld ol. ír11d1uncc.drod o.,fC11 ci OO d1lldlog c,, 1l ~~bg: : m~ ~ ~ ~.•;,~•un cuodro clo C'-\" I ei.,do A 11 Írll 'I Dio dlog c,, 11, 1., dro n-u

dio"'"

Hocior,:jo ~= J _, (1), lo l l ctl pirírri d1 1n funci "'1c11 1, e> umon"111 íru do II bo• ,o nctí dod 1porl1fórm.J IOC

h- ~

A =kD 2 (1) Hol. lorm1 ~hoc ll nclo A = 31 'ID=~

ll - ~• U .. ~ - ;

4)Dltorrri n• l1fórm.J l1corr• ¡:,o nc:l 1ri 11un1funcó n 11bll nclo qui • codo , ot. or do lo ,orllb ll jr,:j 1pon c:l 1nt1 cct r11Po r,:j 1 "1 , ol e, di l l f'-'1 Ci Ó1 qc.11i ¡i,J 1l ol. tri ot. 1dol. vol.ord1llvuilill1 ;r,, 1pon c:l 1nt1 1unw1t od o 1n ~

cu1 ct1do1nfur,: iónd1l1dllgo,..1 ,o r,o ríd od 1 pct l1fétmLl 1

Eocrib 1 l1fétmCJ 1d1l í r11Ad1 unro rm o 1nfC11 ci OO 1)8i A11 pro 110 rci o,.. l 1B"1A = 10 cu1r,:jo ~ rb ir lo fórm.J l1 qc. lu ro loc Ono

~.=J~

2) El upoc O roc orri ~ ¡:,a r un outo mS, il (mo, ;m.,to "1 iformo) 11 pr'l) orcirn ol 11 prc,:j ucto d1 l1,olcw: idod ¡:,or ot. ti "'1) 0. Eocrib 1 l1fétmCJ 1 qu1upr- • l •po cio 11nfunci i'I:, ~• ~•=•~~ ci clld dol. ti om¡:,, t.(~= 1)

n

:~~=• ed~gí~:~ :

4. 811J1r,:j o CIJ IA 11 pro 110 rci rn1 11¡¡1 inv• 1.,.. nt1 pr'l) orci c,, 1l 1 C, • crb 1 l1 fórm.J lld1A1 n f ur,: ión do B'I C.(~ = 3)

R. A - ~ 3) El í•1d1 unro rm o 11 pro ¡:,o rcio ,.. l 1lprc,:j ucto d1., 1 dllg rn 1ll 1

f/ c~111bll nclo CIJ• cu or,o o D= 1

R. A - ;DD

CAPÍTULO XXII

llamOOas cuadrantes. XOYes el Y'OXelcuartocuadrante

ÁLGEBRA511 SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS

DETERMINACIÓN PUNTO POR COORDENADAS

DE

UN SUS

• • '".'""".'"".

yOQ se obti ene n 0

;e~ ~ t~~oote Observese que

OP = ( ,t énll no

~~"ix:~entede

ari erOJ r

Figura33

'

ÁLGEBRA515

•

14. ü •y=S 15.y•5= x 16.5x -y=2 17.2x = y -1

CAPÍTULO XXIII

ÁL GEB RA 617

*-···

J) u,1,....-••••011mP ra ,se deti e11olOITTn uto1 p1ra i8Sur,u r H¡¡j lar gráflc...-ne11 te aqul,r>:, r1 11¡¡a ria loonar

JIOl'Tffl• la lo a 1,pUOlU.S M50 a

675ll pUOlU8 '91135p eso syU81 18•m1p1sos.

1■

.......................... _,.lt

f;.,.,,,,2 C:1 urmod1loocooft i1 rt 11d1)' lporil

tírn'iro 1 l1 d1pond il nt11

l

cC> urmade Os

' d1l11ocuoc OO n11dodll1

1 Port.,to,loo,ol e1rntode int81'Ma:lón a11naos rectas.

Rfl) rn1rumosarr1Jas ecuacione1(fl¡p,,,161) Enli•2r•S,tS1e~s: En2x.ty •10,1""mo1:

Pat.1>rm1,uro 1CJ10, ll1"1-l 1ll mon101qu1no1rir1n :,nnd~ ~ ~ go, c1 deb i,..ri1prod c,: 1 no- l 1or,..ri• 'I

~u• formor I• cuot•nori•, • lo de rech o de code 1ornull 1a:rib l'l1 C11, uno• uro , ICII m- l , 1.,.. n101~u • no 1rir1n 1n 1111; ooi codo 1omull ~rOO uco m - l cu11or,..ri•"11.,dromoo 'A~ ='A. (m-3)

oc "' qui ICII gru ¡:,o 1 •b'I « • difor1r,:i1n 1n un 111 mo n1o pc,qu 1 • pri nwo 111 n1 b, qu i no 1; ,,.. 11 ' A ~ = • -• A ~ (m-n + 1) •g CJ1 do,"11l•gu r,, 01i 1,.. e, C1,J1 noli 1,.. 1lprml ro IC11 ¡rupo1 1b "1 ccl•difor1r,: i1n .,d o1 11.,.. n101;IC11 Wul1i ~ ico r,oo m.,,, ro pc,n-i oni:fo 1ot11 i¡i,J 11l1de 1 gr'-1) 01 lb'I bl • dt or.,cion., 11 c, de n do ll 1 r.~i:ndolc,ofa:1or•comJ,..IIIC11dC111'1'i1nilroo 111 mo n101) L11coord·,..( m 1111rn• ·1111 fc,mon 11crb·.,do • ' A ~ = m(m-1)(m-l) (m-n • 1) (1) l1dorechld 1 cod1 bl1 ull,un11u,..,100111111 ot r11 1111 f étm.J II di I• CO Cfd i,..cio,.., de no 1ll mon101 qc. m1 n1ron 1n 1l 1 1omodood1 n 1nn

,_,

te:,

te:/,

b:o,

b:cl,

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cob,

clC!,

cbl,

cb:I,

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cclQ

d&b,

cla:,

clbl,

clb:,

d:1,

d:b

1) ;.C'-'Ín101 nérn•o• dll1i ri o1 de 4 cifr11 • pu odon formor ce,, 101 númorc,o 1, l, l, 4, 1, e, 7, l 'I ~• Apl c1 rro1 l1fétm.J II (1). Ac,J Í m= ~. n= 4 ' A, = l • l • ... •(l- 4+1 )=1• 1 • 7 •e=J01 4

:i: ~~:~

Aquí ICII gru¡:,o1 1/:J: 'I ob:/ • difor1r,:i1n 1n '-" ¡:,.,ede n hmr• con 7 111 mo n1o; 101 ¡rupCII •b:'I te:• c:lforor,:lln 1n 11 2) ;.bc:ci::: : :: ; orde n) L• • f\ 11111 ¡:,J ode n • • dllti ri • por dt or.,ci•• L11 coord· 1(0011 c•••••·11 • f c,mor'., u,..deo1r1., CJ1 1omí1blnde r11op c, 1l c,d1n1n qc. • iI1nl11b 1r,:j or• •n~ ~. • lo d•echo do codo 1or,.. ri1 lo 111r1 .,, no 1 ~:~~~.:,", lo f étmlJ o (1) Aqú m = 7, n = 3 'I El oir,"Djlo di I• CO Cfdina:io,.., - A , con un H~í•~ic• qc. 11 dico 11 nú nwo de 1l1n-.11C11 'I un 'A,=7, •(7-l +1)= 7•1• ~ =1 10•ñol11 • • - • • q u 1 ir,:j ic1cuí ri C11 1Ó1moriC111rir1n ., c1d1 e; •1ot1b ll col1cond t ión d1 qu 1cie:to nú nwod1 gr'-l) o (•~H do lu coord l1 1c 0J n•) 1llmo n1011111l•nqu1ocuporllllll•111je11nlo1gru ¡:,o 1 En 1lc110 .,1• ·or,l11coorc:l na: ·o ,.. , nu,1( 1d11 formodoo, lll 1~ ic • l1fétmlJ 1, m 'I n • diorriru, ., 1n 11 nérn •od11 1 .,.. n101lj, 1 f~~ ~~u::;~:,•,1~11 1J n• i11, 'A• ; 1111or,..ri11 Po r 1)1ni,lo, cm 10 i,J godor11d1 buqc.1bol ;.do CUÍ ri CII ,m cjj 1 • 11',J ldl c:l op m or 11 I Cl,J Íl)j di~ CÁLCULO DEL NÚ ME RO DE COORDINACIONES IÓ loo do1 ota:.,111 dllllon •r IÓl1'!11rl " "

:~;~1>

DE mELE MENTOSTO MADOS nA n

Con m 1llmon101, 1omodC11 do uro ., uno, se pc. d.,formorm coorc:l na:io,..,rro,..ri•;luogo

¡:.::~~·

Aqu íhl"1 c;o 1 i,J godor• .,1ocupon kJ g•11fij oo:m= 1 o 'I n=~. p•o 1,,..rm1 CIJI dll l'l'll1 uir m., n 1n l, porc,J 1 1lhllllorl i,J g•or•fl o11ndo1pc,o t io ,.. ,, qc. donl poro ocup• I• l ¡:,olÓc ic,,11 .,, C1,J 1den lc.go, lo1urog lo1d1 3 .,, po derm ofc,m•c c,, ICII I i '-ll • c;o r111 c,, • - •A11 - , = 'A, = 1 •7•e= J31 rm c;o , iu■ 1c;or11

ÁLGEBRA557

Lu...--tac_,• oon 0 1 gr'-l) OI/" " . · pc. d., f ctm•

CÁLCULO DEL NÚ MERO DE PERMUTA CIONES DE M EL EMENTOS Lu

porm.Jto( nu

oon

"'

to do1 1nc odllg ru ¡:o , dll mod o qc. un gr'-l) o • c:lforor,: il do otro cu oq u·,o ., 1Iord., , n ~::me n:Oín co Ococ;o , b1

; ~:c:1 noc i~ :~u~~ d1 ~~0 1 : : 1ilme nto1 1ntron 1n codll ¡ru po

A1í, i1 1p•m.Jtoci a, 11qc. • 6':,~., forme rconl • iltr••'I

l :'.~~o ~i~ ;:,•, ~•• ;-; fó rm.J loqu1 no1 dll ot némo rodll

~ Lu p• ml.t oc OJ n• do il 1 lot ru 1 , b 'I 01:tiln1n formen c;o I11p orm.Jtoci a1 11 d1 l"1 b,q c.101 lb "1bl, 'I hoc il ncjj qu1il cocu po to do1 loo kJ gor• (d1trí 1, ., me c:l o :.~ ~:::'t o) 1n cod o u,.. d11lil 1 "1

e•

~o r

tonto,

il

f étmlJ o

Ejemplos

En codll uro gl o Cl,J I •ho.- dltlo n 1ri ru l01 ~ lb ro1, po r lo CIJ I op lic .,d o lofó rm.J lo (-, t1n1m:wo

dot

~~n!~to~~

hoc il ncjj no =n. Bi hlco mo 1 "1= ~ 11 fo ctor m n • 1 = 1, 'I qc. d• í

2) ;.D1 cuí ri 01m c,:j o1puod1n•ri or• ~ :~ 11oun nw mo ildod1 CJ1 0

e; • 1otobil co il cor,:j ici é,, dll qc. d1-torn-i nodo 1 , I.,.. nto1 dobo n oc'-l) u l'-ll or• •ioo, 11 r,j me ro t ctot do

~:O~~~:.": : ! . ~~11 puo dll f c,me r Ejemplo

m' •

A lo up ruó OO il 11 .,.. I inc:l co 11 prc,:j ucto do

f■ d•~•I

Con ~ ju.-d c,11 dll boill:wo l, ;. dll cuí ri oo rrm o1 • pe. do c:l opo ,.. , u,.. nC11., o • 11 pl ch• 'I 11 cot chl r .,., •• ni:r1 0 1 milm01•

d11 o m. Port .,to

1'1:i:.JTAOOIIIES CJ:I.OJLAJl:S LN ~

-

-

c-

.,., ct:az ■- .... pr,;biaTIN CCl'm lt ~ • ....-do .-..qJoo: Ciando m

-

1) , ot •

-

dll CJ1ctw,:,, ot • (m "--1 0 ~ . , .

ro:n.,, dll ~

c••~i•-=•••

Lu oon 101 gr'-1) 01 qc. 11 pu odll n former con v• io1 1ilme nto1t cmii nc;oI01u r,o o un o,d01 o c;o 1,tr11 o tr11, 1tc., dllmo doqu 1 do, ~~~ ~ - ~:.~:o n 11m orro nú me ro dll ot ome ri c,o • difor1 r,: i1n ¡:o rlo me noo

L11c crn l:t noc ion• bl1 u il 1 • formen 1ocri l:t 1r,:j oo lo doroc ho d1 codo iltro u,..0 CJ1 0,tod• il 1 iltr111Ó glJ 1nt11

= =o.o . . - dll CJ1

n ación,elnú-ne,odegruf)Os (coofdnacloneS)que se obtiene esigualal PfOducto delnímarode ~ porelnúmerode pef1t111U1clon• de los elllfflentos de cada corrori.icllwl Por 1anto, desi!Jlar,jo por 'C. las corroriaclooesdemcosas tomidasn.in,porP,llls p..-muaclones (JJ& se pueden formar con los n eleme n1os de cada g~ o y por 'A• 100 coo rdl naclones que se ott ie,,e n al perrn.Jtarlos n eleme ntos deca da gr~ o,te m rerro s

1. ¿CUirtosnUmerosclslintosde3cillasseJ]Ueden : •~conlosnúmeros4,5,6,7,8y9'?

2. Co n e 1u11dcu1, ;. d1 cc,í nto,,,.,_lo•• - uldl 1i111Q n..--"11o1¡ u. o d1ba:1tll ol lll •l hcrnlln•1 11. 1]1 J. Con7perwias,¿cuártosgrupasdlSllrtosde5 pnoonpuedenlormarse? R.21 4. ¿CU.lnlosrirrnerosmayores da2.000yrnenores de3,000seJ]Uedoolormarconlosnúmeros2,3,5

~~i 5. Dee ntre8c1r1 dd atos, ¿cuántas ternasse?,Jede n escoger? R, 56

EstonJsdlteque elnírnemdecolrol1aclonesde melementostomaOOsn a nesigualalnúmerode coofdnaclonesdelosm elementos1ornadosnan dit'idlOO en1reelníme,o de pe,muaclonesdelosn elerne"1osdecadag~o Ej em pl os 1) Entre 7 p..-soo as, ¿de cuártos rro dos pue da

fo rma rse un corrité de ( pe rsona s? Aplc;nroslafórmJla(J)

7•6~

},1- h 1J.

~::i::-

35

2) 1nun u.,.. n N _, • .,11n 1 1,,,..111 r1i,J111 l . ;. Cu ónt.. Nllll ll,_I t',Jl dl

~~':'~ :~~f

7. C. n e 11 n1a11r1 .. ., 1,.. ,01111•, 01 ulritN , •••.. ••rltNdl • lltr• • ,u ld• n fo rr,-. ,, ;.y1u, r1 .. •11,cc • .. .,n1¡..1 11. (lJ:JIJHll rN; 12 0 IÓ 1.. ,-c• I• Nn tj N B. ¿Oecuántosmodos sepuedecl;pooerunequil)o deb.iskeltl~ de 5holrorescon 5)Jgadoresslel cenJroesflp? R. 2~

Aq,.ím:7,n:•

4c,-~-

6. ¿Cuánto1n:imerosde5ci1i'as1J,1ee"'°,ecencon1 yac.ibencon8sel]Uedenlormarconlosrirrneros 1. 2, 3. ~. 5, 6, 7, 8? R. 120

9. ¿CUirtasselecciOnesde(letraspuedenhilcerse conlas let rasde lapa lalJ ra Alf>edo? R. 35 1Cl i,qy7horrt: • Y) "'' ' 101 oúmorc,o qc. ,aín., il fiil hortontol c;o n•

d11pJí1 dol 1

1

(m • n) oon IJ 1 nérn•o • do lo fiil t>o riz rnt a cjj ndlo dloopuío dol 1 ,aí 11 ~. o

En lo príct t o, b•·· fctm• 11 triÍCllU IJ h•t• il •11 hCN orio l d"1dl dllpJÍI dlol 1 , ;.,, a •po,..nt1 dlo l llim n-i 01 nérn •o• úl m o •11 oon IJ 1 co•til nt11 qui• nocul ln

dio •••

Ha"1c,Jie11esatrlJ U'j'enestetrián¡¡u 1J almatemáticolartaglia

Ej emplo 2 11 D11•r C> l•C, -Jy ) por1ITriín ¡i.J lol1P11col ~1formo1ltrií'llulohla1I1•I1 t>o rizrntado r,:j1d1opcií1dlo l1vi1,.. al,o••

568ÁLGEBRA

1.

(&• 2b)' R

1 &, _2&' +5 &4 _20 &3 + 135& 2 _ ( 86&+729 ·729 27b3!:Í7 b4 7tf"

R. 32m 10 - 2( 0m ' n' • 720 m' n ' -1o oo m 4n ' • 810m 2n 12 -2 o n"

R.1638 ( -7168x'+1 344 x 10 -1 ( 0x 10 +~x 20 - ~x" + ~ x30 -

~ • x" 16 8

ÁLGEBRA569

R.1ox'y ' R.13 440x ' y ' R.-22 ( ü&'b'

1, -

~=~=i::(3af--'1 se puod apasa r ald erorri nad "V • lc...- , rsa , eo ntalde

c.snblaleelllgnoa1uexponente. li1-nd011t,:¡,rosim

a·' tT'

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,.Kl/llf+t i - . ..... - .,

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c1,-~pcr..-0011..,.._

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==::=-:~ oo•-~•___,, ,_

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f7.

,,;.n- , .,,...,,,- r~• R. ,,;.,,r

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'

'

14b- >

'

R. 1 tfb•

586ÁLGEBRA ~~g~~iR~~INO IIIIOS CO N EXPONENTES NEGATIWSY Ejllfflplos

11 0ividlr a-' b· 1 -2ab· 1 • a 1b·'entrea 10· 1 -2a 10· 1 .a•0·• Tantoeld1Yo:lendocormeldMtoeslánenoo:ienascendenteconre1ac;óna la~ytendrarnos: -2ab'1

a- 1b ' 1

1. m' + m' - 2+lfl"f"'- m-< entrem' - 1+m·' R. m' + 2- m-> 2. ~ - x•:x4 +3x4 . zenrre x L ; 4+/

a·'b- 1 •1b" 4 -ab· 1

1 R. :zx oc andoenc,dend esc1111 d1111te conrelacl él:la1ax teneroos

4x +7 xf +11 - x·I+ 3>'1 bien, 81 rnm : : : dio • im111

: ~ : ~ ~ ; ;l: óo}:•.~:.~ ~i:E ~~~: 0 ~~:°J,":c~t ,'°" P: 1•~ 1~ 1~ 1 ;,..cco1Óbll1; lo igu llldod do loo Í!1lUIOO dio lo b•• _, 11 triÍ !1l UIO ioéoc lll u; 11 vlllor dlo l óngu lJ inocrl o 'I II dlormlllroción do 0 1 co m cidCII tooron-. qc. 11 .-o n ., ncrn l: u

!

:~::i~c:

~•,t:;~,:~ii;■i:d

:,n;ic~~~n~~::c:"n1::'~~7o°d'!,: d: l•cuolllio ,.., . , go norlll'ld•I• roctu cort1dlo1 pe, un •1111m1 do ___, P••l1ll1

~•~••~o~ m•~•~•~••="~"~=~oo~•• ~a""•~,_.,""ric1,o."""'C"'"""'icu""c0c_

d,E;~:~.~•~,\:;;;:::=~i:~o: : loo tioni,oo: 101 E-IIIH qc. conlll1d11:lc1pít L1 01conoci cjJ 1 como"li l:fol" "1 d1llqu1•h.,hocho :;\~:•dic lo nuq c. oólo 11 ""'P"'" 11 Eucl oj u conlllr'-'16 lo 01o motrí1 ,ati.,dod1 dllll1 ici m 11, pootulldo1 'I uicm u cm 101 cuol• dlo mo lllró tooron-. qc. , •., , ., 11 ·,.,.·orc,, , •• d1rmlllructro1t1 c,1mo1. Cobl d•tocu qui III odi•cio go cmítrt o

~:!'~~'::~ ~~~d•

hl oobr.-Í'li clo

A co ril1 uoc ~ n• .,1;1111nlC11troc1 c1pítulo1o"l b rol"d1l1mo ¡r,101:f1 ~:":~~~,/ 101 t1mo1 qui troto codo

Lillr■ l Rlllocié,, dloigullldod d1triíl1luloo.T1oron-.ldlrop•• llll 11. lcrn1dlo lo1óngu lo 1d1un p~ í.i, no. l¡i,J oldlod do l•íroud•

Libro VI. Prop m iones. Trii>:>Qll oss..-nejaries

o ~~~~-•lo;~-~::--~~

r::;~,..p~·=.•imo c~rr,jn dÍ'lilCf

i~:"CZ

Lillr■

l.

Cm ju ri o.

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~•.•;:;í~i~ ~g~~•d:~ ~ ~;::~•: rooo lJ ción g1omítric1 do lo ICU1Ciónd1•¡,Jndo ¡r1do Libro IH. La arcunfor.,cio ár,;¡ uloinscrito Li~r• "· Cc,, lllrc,: cón de ,.ct í.i, no1 rog ll uuc inocrito1 o Lillr ■ V.

Lillr■ ',111 V■ ylll Aritmítico

Lillr■ 11.

~.'.t~~::

~ érn •o• ir,: onmon1

1!";.,¡~~: c~:~i~~=

Li~r• 111 y 111. 01o motrí1 dlll 11!)1 U

f

Figl.ta 19

A

B

R

GEOMETRfA Y TRIGONOMETRIA 687 GEO III ETil.111. L1 G_,.,..M_,_,t al •sla,..,.lll . . ffllll~n••-ll•~-ir1rinSffl:adllll•""'•'-Hl!eu.

l•-no•••1ncan"'....,,_f10 La G _, 11 planl ..tucla las flg,u,r• losgáftarr.nlll

,Ui+IRJ > D'+m

c,1

.........

Pflllllldodo

Enro(H(

ffi+ i:2 +i5hn +rn

(2)

S. Oolqll9kll.......,,.

11'R•l~+-eJf +rf.

Suslitulffl)1 {5)y(1)fln(4) y te n1m>o:

;rn+E+m+ni+nf>M +m+rr+r»+m

e

F1gural1

R Afl• 10cm; OC- OC - 5cm

m

688 GEOMETRÍA y TRIGONO METRIA 16. De most rar que : All +CD > M + ré: +N +"ITi

A

}i> All

CAPÍTULO 111

La semirrecta NO es la bisectriz del

N si L MNQ =LQNP

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 691

o

Fi¡,, ra ( 1

L AOC +L fYX: =L OOA (p c, sumad e ár,;¡ uOs)

(1)

C""f',rando/asigualdades(1)y

"' Análc,;¡ arooriesederruest raq ue

L AOCy L OOD LA OD yLEYX;

L AOC=L OOD

)gf o

•

Fi¡,, ra42

A )>a:1 QLl o

00 - l, = h!rntenusa

Porc,J e Of.l.f D

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 773 CÁLCULODELLADODELOCTÁGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

CÁLCULO DEL LADO DE L DODECÁGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIR CUNFERENCIA

El lado d.. p~ Ís') ílO reQ lJ ar de do ble ladosestádadop cr lafórrm la

I,= ~

1,,=~ 1,,=~

l,=,f'fi75

I,,=~ .,rn arne nte

l12 =rFJi

CÁLCULODELLADODELPENTÁGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

=r'•f(6-2$) _ 4r'+r'~6-2-/5) _4r' • 6r'-2r',¡'Í ---,_1ür'-2r'-/5 --,_r'(1ü-2-ft") --,-

774 GEOMETRÍA Y TRlGONOMETRfA RESUMEN DELAS FÓRMULAS DELOS POLÍGONOS REGULARES

Octá ¡¡o no

l, =r.j'j. Periá¡¡o no

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 775

CAPÍTULO XVII

776 GEOMETRÍA Y TRI GONOMETRIA POLIGONOS SEMEJANTES

~

!óJ1no110npmparcionales,pcrtarto no...,

Sedi«••

TEOREMA DEL ÁREA DE UN TRIÁN GULO EQUI LÁT ERO EN FUN CIÓN DEL LADO "El"-IA... i,,!rtjng,ut)eq,t>l~I,,._

•~1m.,,¡tl)OS s,..,,u 0_

f) lím / ' - 1

R.¡ R.;

R.-;

;~";,-Áx+2 Xx-3)-x

R.-1/2

970 CÁLCULO DIFERENCIAL

CÁLCLA.O DIFERENCIAL 973

t

1 000 C"'l) rob a, que IOQ ~

- IOQ

kl Q ~ • loQ10 • 1

974CÁLCULO ~ [>F! ER'.:'.E"'° :!::IA~L-----....;;m■■■

PÁGINA DE RESPUESTAS INTENCIONALMENTE EN BLANCO

■■■íliL

_ ____

Cálculo Integral

_,!: C!!; AL~CU~LO INTEGRAL975

976 CÁLCULO '.: 'NTEG = RA::. ' _ __ _ _ __jlllll■-

PÁGINA INTENCIONALMENTE EN BLANCO

Elc ál cu lo iri e¡,al pe rrrite