Introduction to geophysical inverse theory

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Colorado School of Mines [email protected]

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New England Research [email protected]

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Experiment 2

Experiment 1 given a chunk:

1. get a chunk.

1. estimate its density.

2. estimate its density.

2. go to 1.

3. go to 1.

many chunks

one chunk

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P(x) Probability of a true density of x when the observed value is 5.2 probability of a true density of 5.2

probability of a true density of 5.4

=

x C K

x 5.1 5.2 5.4

5.6

probability of a true density < 5.1 is zero 0 5.1 5.2

5.4

5.6

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❏➁❏ Ù 600

500

400

Jacobian matrix

300

200

100

0 0

100

200

300

400

20

15

Illumination per cell

10

5

0 5

0

10

15

20

2 1.75 1.5 1.25 1

20

Exact model

15 10 5 10

5 15 20

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➋➏➎

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❏➁❏✿➣

❑✟❶❸❷↔❶❏➄ ❼➅❾✆☎ ▼➂➆

SVD reconstructions

1.3 1.2 1.1 1 0.9

20 15

First 10 singular values

10 5 10

5 15 20

1.4 20 1.2 15

1

First 50 singular values

10 5 10

5 15 20

2 1.75 1.5 1.25 1

20

All singular values above tolerance

15 10 5 10

5 15 20

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1

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➩❏➩ ➢

8

6

Singular values

4

2

50

100

150

200

250

300

0.1 0.05 0 -0.05 -0.1

350

20

A well resolved singular vector

15 10

5 10

5 15 20

0.1

20

0 -0.1

A poorly resolved singular vector

15 10

5 10

5 15 20

✖↕ Ñ❈❧❞➷✆➱↕➴✄➙➺Ò ➟ ♥ ②✌➘✆➴✒➶✆Ñ❮Ï④➹✪➱↕Ñ❢➮✆➷➺➹↕Ñ❮✃Ð➪Ø✃❞❐✖Ï↕Ñ❢➪✎❧Ð➷✆❒❮➾❞➱➚Ù➋➾❞❒❮➷✆➴✔Ïrs➊➹✪✃❞Ô❏t❋Ò⑥➒òÛ❇➴➥❒❢❒á➱↕➴✔Ï↕✃Ð❒ÖÙÐ➴➥➶▲➬♥✃❭➶✆➴➥❒ Ï↕Ñ❢➪✎❧Ð➷✆❒❮➾❞➱✌ÙÐ➴➥❰❋➹✪✃Ð➱✷s❳➬➳Ñ❮➶✆➶➺❒❮①➴ t➚➾➋➪✆➶➢➾♥Ô♣✃❭✃Ð➱↕❒ÖÕØ➱↕➴✔Ï↕✃Ð❒ÖÙÐ➴➥➶▲Ï↕Ñ❮➪➈❧Ð➷✆❒ù➾➋➱➚ÙÐ➴➥❰❋➹✪✃Ð➱✐s❳➮♣✃❞➹↕➹↕✃Ð➟ ➬ t✲Ò➚ô✐➪ ➹✪➘✆Ñ❢Ïà❰➥➱↕✃❞Ï↕Ï❇Û❇➴➥❒❢❒➁➴q♦❽Ô✙➴✔➱↕Ñ❢➬♥➴✔➪➑❭➹ ⑨❭➹↕➘✆➴â➱✪➾✧Õ❭Ï❇➹✪➱↕➾✧ÙÐ➴➥❒✺❐➊➱❅✃Ð➬ ❒❮➴❋❐❜➹⑤➹↕✃✄➱❅❈Ñ ❧Ð➘r➹❇➾❞❰✔➱↕✃ÐÏ❅Ï⑤➹↕➘✆➫➴ ➑✎❧Ð➷✆➱↕➴➋Ò ②✌➘➑➷✆Ï❭⑨➺❐➊➴➥➾➋➹✪➷➺➱↕➴➥Ï❇Û②➘✆Ñ❮❰✎➘❚Ù➋➾❞➱④Õ➳Û②ÑÖ➹✪➘❚➶➺➴➥Ô➺➹↕➘✯➾❞➱↕➴âÛ❿➴✔❒❮❒♣➱↕➴➥Ï❅✃Ð❒❢Ù❞➴➥➶❿⑨❭Û②➘✆Ñ❮❒❢➴✈❐➊➴➥➾➋➹✪➷✆➱❅➴➥Ï⑤Û②➘✆Ñ❮❰✎➘ Ù➋➾❞➱❅Õ❚Û②ÑÖ➹✪➘Ø➹✪➘➺➴✒➘➺✃Ð➱↕Ñ♠✈➥✃Ð➪r➹✎➾➋❒■➶✆Ñ❮Ï④➹✎➾❞➪➺❰➥➴✒➾❞➱↕➴×Ô♣✃❽✃❞➱↕❒❢Õ♥➱↕➴✔Ï↕✃Ð❒ÖÙÐ➴✔➶■Ò 1

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Receiver location

7

8

Source location

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Depth (km)

Depth (km)

0

P wave sonic (km/s) 1 2 3 4 5 6

0.6

Density (g/cm3) 2.5 3.0

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0.8

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Depth (km)

Depth (km)

0

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❜❻❞✎♠⑦♣➇♠♦t❤t➩t①⑥✗ô⑩õ✎✇✎❹➔❜➋♣➇♠➁✉✷⑥❶♣q❦✭❵✺❜✄❜❡❞✎♠♦④ ❜❡⑥⑤♥✞♠⑩þ✕♠⑩✐⑩❜❥❜❻❞✎♠r❣✞❜❻❦❺❜❻❢①❣✞❜❻❢①✐❸❦✭t✈❧✎♥❡⑥✌❧✢♠♦♥➄❜❻❢①♠♦❣❥⑥✭⑧➛❜❡❞✎♠ t❤⑥✗✷ ô ❼➈Ò➔⑥➍❜❡❞✎♠á✌ô ⑥✺❦❺t➆❢①❣➁❜❡⑥ ✂ ❵✎✉➂❜❻❞✷♠➀♥❻❦✭❵✥ô✌♠✥⑥✭⑧st❤❦❸➌✌♠♦♥✞♠♦✉ ø✆❦✭♥✞❜❡❞➂④❶⑥➔✉✎♠⑩t❤❣r❜❻❞✕❦❺❜②❧✎♥❡♠⑩✉✎❢❤✐✼❜

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✇✢♠➒✐♦⑥✌④②✇✎❢❤❵✕❦✪❜❻❢❤⑥✭❵➂⑥✭⑧➋❧◗❦✭❵✷✉Ú❣ þ➜♣q❦✶❷✭♠❝❢①④⑤❧✢♠♦✉✎❦✭❵✎✐♦♠⑩❣❶❦✭❵✎✉ ✔ ✉✎♠♦❵✷❣❡❢①❜❡❢❤♠⑩❣☞õ⑦⑥✌❵✎♠❿⑧✛⑥✌♥➊♠❸❦✭✐✁❞◆t❤❦❸➌✌♠♦♥➊❢❤❵✴❜❻❞✎♠✐ú✱❧✷♥❡♠♦❣✞❹✎④❶♠♦✉ û t➓❦❺❜❡♠♦♥❻❦❺t❤t①➌◗❢❤❵✺❷❺❦✭♥❡❢❤❦✭❵✺❜sø➆❦❺♥✞❜❻❞ÿ÷ ❰ ☞❽t❤❦❸➌✌♠♦♥✞❣❥❜❡❞✎♠♦♥✞♠✤♣s❢❤t❤t✈✇✵♠❃ö✭❰✌☞✈❜❡⑥✭❜✁❦❺t✓④⑤⑥✧✉✎♠♦t ✔ ➥ ú ✔☎✄✝✆ ➪ ✔✞✄✠✟ ➪ ✔☛✡ û ❼➇Ò➔⑥❶❢①⑧↔❜❻❞✎♠⑩♥❡♠➁❦✭♥❡♠⑦✌ ✓♠⑩❜⑨❜❻❞✎♠➒④❶⑥➔✉✷♠♦tq❷✭♠♦✐⑩❜❡⑥✌♥ ✂

❧✕❦✭♥❡❦✭④⑤♠✼❜❻♠⑩♥❡❣♦❼✁✍⑨❴❛❵⑤⑥✭♥❡✉✎♠⑩♥✆❜❡⑥⑦④✥❦✭❺♠➑❜❻❞✎♠s✐♦❦✭t❤✐⑩❹✎t➓❦❺❜❡❢❤⑥✌❵✷❣✠❣❡♠⑩④⑤❢✒þÐ❦✭❵✕❦❺t①➌➏❜❻❢①✐➇♣➇♠➋❦❺❣❡❣❡❹✷④⑤♠☛❜❻❞✎❦❺❜

❜❻❞✎♠➅❧✷♥❡❢❤⑥✭♥✄❢❤❣✄❦✭☛ ❵ ✎✩➜þ ✉✎❢❤④❶♠♦❵✎❣✞❢❤⑥✌❵✎❦✭t✙✡r❦✭❹✷❣❡❣❡❢❤❦✭❵➈✉✎❢①❣✞❜❻♥✞❢❤✇✎❹➔❜❻❢❤⑥✭❵❽❼➙❾☛❞✎♠➅④❶♠❸❦✭❵

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P−wave impedance std deviations

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S−wave impedance std deviations

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Density std deviations

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❥

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q

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0.25

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Probability density

1.25

12.00

0.25

tt

1.25 1.00

q

9.00

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10.00 11.00 12.00 P wave impedance

13.00

0.25

q

10.00

r

11.00 12.00 13.00 P wave impedance

14.00

15.00

q

8.00

tt

q

9.00 10.00 11.00 P wave impedance

12.00

13.00

depth 1.0 km

1.00

Posterior Prior

0.75 0.50 0.25

tt

1.00

q

9.00

r

10.00 11.00 12.00 P wave impedance

13.00

14.00

depth 1.2 km

Posterior Prior

0.75 0.50 0.25

q

0.00 9.00

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0.50

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14.00

10.00

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q

s

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8.00 9.00 P wave impedance

Posterior Prior

1.25

0.50

q

q

7.00

tt

0.00 7.00

13.00

0.75

0.00 8.00

Probability density

q

9.00 10.00 11.00 P wave impedance

Posterior Prior

1.00

0.50 0.25

q

s

q

1.00 0.75

1.25

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8.00

depth 0.6 km Posterior Prior

0.00 6.00

11.00

Posterior Prior

1.00

q

s

10.00

0.75

0.00 7.00

s

q r q

8.00 9.00 P wave impedance

Probability density

Probability density

1.25

s

Probability density

s

0.75

Probability density

s

1.00

tt

1.25

Posterior Prior

Probability density

Probability density

1.25

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