Introducere în combinatorică

Citation preview

55-

NUMERl:LE LUI STIRLING, BELL ŞI ·FIBONACCI'

aparţinind celor două. partiţii, care conţin elemente diferite. Permu­ tînd în toate modurile posibile elementele dintr-o clasă., precum şi cla.sele cai:e conţin acelaşi număr de eleme:p.te între ele, obţinem nu.mii permutări dif�lite ale mulţimii X. Astfel, se generează .toate permutările mulţimii X, în număr de n !. Pentru a arăta acest lucru, să. considerăm o permutare x1a:2 •• • a:" a mulţimii X. Există o partiţie a mulţimii X de tipul 1 ,., 2>.a ...k"N:, · care conţine pe x11 a:2, • ••. ,a:,., · cite .unul într-o clasă., apoi pe . a:>.,+1. şi· "X>.,+ 2 într-o clasă cu două elemente etc. · Deci dacă separăm .elementele care apar în şirul'. a:1a:2 •• • a:,. în ordinea. în care a.par şi anume A1 cite 1, A2 cite 2, ..., A1: cite k, s� defineşte .o partiţie a lui X de tipul 1,.,2,._ ...kAk. Prin permutarea ţlementelor intr�o clasă. şi a claselor care conţin un acelaşi număr de elemente intre ele se obţine în mod sigur şi perinutarea scrisă mai sus a mulţimii X. Deci N(lA12i.s ••• kXk) Ai ! A2 !...At! (1 !)Ai(2 !)A. •••(k!)lk = n ! Astfel, numărul de partiţii ale mulţimii {1, 2, 3, 4, 5} de tipul 5'· 1122 este egal cu = 15 şi anume : 1 !2 !1 !(2 !) 2 ' : (1) (2,3) (4,5); (1) (2,4) (3,5); (1) (2,5) (3,4); (2) (1,3) (4,5); (2) (1,4) (3,5); (2) (1,5) (3,4); (3) (1,2) (4,5); (3) (1,4) (2,5); (3) (1,5) (2,4); (4) (1,2) (3,5); (4) (1,3) (2,5); (4) (1,5) (2, 3); (5) (1,2) (3,4); (5) (1,3) (2,4); (5) (1,4) (2,3) . . Numă.rul tuturor partiţiilor unei mulţimi cu n e�emente se notează. cu B. şi se numeşte '111Umd1·ul lui Bell. Este clar· că B,. = S(n,l) + + B(n,2) + ... + S(n,n), deoarece orice partiţie a unei mulţimi X cu n· obiecte are o clasă, două clase, ... ,sau n clase . . PROPOZIŢIA 4.

recure,nţil, :

N1tmerele lui Bell veri/ied 'ltrmdtoarea relaţie il,e

. Bn+i = °E (t)Bk,

11.ndt prin. definiţie B0 ,

= 1.

(4.7),

1c�o

il+l

'Pentru demonstraţie observăm că B11 +1 = � S(n k-1

seama de (4.5), obţinem .

'Bn+l

=

l

+·

n+l 1:�2

.

S(n

+

1, k)

, 1+

=1+

t ('!'l 1f

1-1

1,

k-2

n+ 1

"

k�2 ;..Î:.1

( ) �

S(i, ,, --. ·1). '

'

+ 1,7c) şi, ţinînd.

s (i,

k

- 1) -

7

DETERMINAREA NUMĂRULUI SUBARBORES­ CENŢELOR UNEI ARBORESCENŢE

1n cazul grafurilor orientate G :-- (X, r) un arc este o pereche ordonată, (m,y) cu y e rro, iar u.µ clru.m este o succesiune de vîrfu.ri a:,1·,m,1 ,. • • ,a:,1 astfel incit a:,k+i e rro,k pentru k = 1, .... ,j �1. Arcul (a:,y) se va desena. printr-o săgeată orientată de la a: către y, ro şi 'J/ fiind cele două extremităţi ale săgeţii. , O arborescenţii, .A= (X,r) de rădăcină fDi e X este un graf orien­ tat avhţ.d mulţimea virfurilor X, iar aplicaţia de la X în mulţi­ mea părţilor. lui care determină arcele grafului, este astfel clefi• nită incit la rădăcina a:1 nu soseşte nici un arc (ceea ce se mai scrie

r

.x,

.

�-

' :

.. l'z

�,., �Xs

.

I

X3 X�

X5

Fig. 7.1

r-

t»1 = 0), iar la restul virfurilor a:�17 a:3, • • • • ,mn soseşte un singur drum care pleacă din rădăcină. Un vîrf a:, astfel incit ra:, = 0, deci de la care nu mai pleacă nici un arc, tl vom numi virf terminal al arborescenţei. tn fig. 7 .1 este desenată, o arborescenţă, de rădă­ cină mi, împreună cu toate subarborescenţele de aceeaşi rădăcină. 1

NUMARAREA SCHEMELOR IN RAPORT CU UN GRUP DE l,"ERMUTARI

119

A.c!lastă metodă ne permite, de exemplu, să numărăm diferiţii izomeri ai substanţelor, izomerii rdnd substanţe cu aceeaşi. compoziţie chimică a moleculei, tnsă cu o aranjare diferită a atomilor ln moleculă, ceea ce generează proprietăţi diferite ale substanţei.

Tipurile poalblle

1a

I

Permutlrlle Iul (J de tipul considera�

[1] [2] [3] [41 [51[6]

I I hQ

ColoriLrlle compatibile cu tipul considerat

1

(a) (a) (b) (c) (c) (c) (a) (a) (c) (b) (c) (c) etc.

14 1

1121

--23

3:

[2] (2) [5] (5) (1] (1)

{3] [3) (6) (6) [2) [4]

[4,5,1,6) (6,1,5,4] [1,2,4,3) (3,4,2,1] [2,5,3,6) [6,3,5,2)

[2) (3) (1,4) [5;61 (5) (6) [1,4) [2,3) [1] [4] [2,3) [5,6)

[1,2] [1,3] [1,4) [1,4) r1;51 (1,6]

Tabelul 9.1

6

3

0 (b) (c) (a2) (&) (b) (c) (c9) (a') (c) (b) (a')(&) (c) (b) (&) (a2)

/ 11•• ,. 3

6! 211131 =60

--

o 4

[3,4) [5,61 [2,4) (5,6] [2,51 [3,6) [3,5) [2,6) 14,61 c2,31 [4,5) [2,3)

6

0

o --

[3,6,4) [3,5,4) [2,6,4) [2,5,4] [3,4,6) [3,4,5) [2,4,6) [2,5,4)

8

0

o

[1,2,5) (1,2,6) (1,3,5 J (1,3,6) (1,5,2] [1,6,2) (1,5,3] [1,6,3)

I "

Se ştie, de exemplu, că cele patru valenţe ale atomului de carbon pot fi satisfăr.ule de doi atomi de clor şi de grupările CH8 (metil) şi' C1H� (etil), care se plaseazăln vtrfu­ rlle unui tetraedru regulat, .atomul· de carbon aşeztndu-se tn centrul tetraedrului.

151

FUNCŢIA LUI Ml:JBIUS

lnverstnd aceastl formuli, obţinem pM(p)

= �[l'(q,p) m4,

unde

qfp

p.(q,p) este funcţia

Iul MGbius a latlcel divizorilor (exemplul 2) definltii astfel: µ(q,p) = (- 1)" daci p ""' = PJ.Pa •• • p„ q cu p, numere prime diferite Intre ele şi µ(q,p) = O ln caz contrar. Numărul total de cuvinte circulare de lungime n formate cu m litere este egal cu numirul deselor de echivalenţă, adlcl C(n,m) = De exemplu, pentru n C(3,3)

=

=3

1 'E-�

2>18 P tz12>

+ �tJ.(1, · 3) 3 3

1

1 'E M(p) = 'E-� 1,1,(q, p) m . PI•• p 'ZIP

11111

şi m

p.(q,p) 34

=3 =

(10.7)

4

'

se obţine 1 'E (.l.(q ,_1) 34 + -"E µ(q,3) 34 3 a1s

qll

+ I' (3, 3) 33)

=

3

=

3 µ(1,1)

+

+ � (- 3 + 27) = 3 + 8 = 11 3

cuvinte circulare. Daci alfabetul A = { a, b, c}, atunci aceste cuvinte circulare (scriind ctte un reprezentant din fiecare clasă) slnt următoarele :

aaa, bbb, cec, abc, acb, aab, aac, bbc, ace, abb, bec. Presupunlnd că aceste cuvinte slnt mesaje codificate aşezate de-a lungul unul cerc, firi să ştim care este· tnceputul fiecărui mesaj, dar fixlndu-ne un sens de citire, de exemplu sensul acelor de ceasornic, atunci C(n,m) reprezintă număru J maxim de mesaje de lungime n formate din m litere care pot fi decodificate corect. Intr-adevir aleglnd cite un mesaj din fiecare clasă de echivalenţă şi ştiind care mesaj a fost ales ln fiecare clasă, oricum am lncepe citirea mesajului, tnsă respecttnd sensul de citire stabilit anterior, găsim un mesaj din aceeaşi clasii de echivalenţii cu mesajul ,codificat şi lnscris de-a lungul cercului, deci, determlnlnd ··clasa de echivalenţii, se descifrează şi mesajul lnscris. In fig. 10.5 este reprezentată clasa de echivalenţă a {I euvlntului circular abc de perioadă primitivă p = 3, deci care conţine trei cuvinte. t> generalizare a acestei probleme ln teoria informaţiei este problema determinării unui dicţionar fiiri vlrgulii cu un număr maxim de cuvinte. Un dicţionar fdrd virgulil. este o mulţime de cuvinte formate din n litere cu proprietatea următoare : pentru oricare douii cuvinte din dicţionar, nu exlsti nici un lntreg k cu 1 �k�n - 1 astfel Incit ultimele n-k litere ale primului cuvint urmate de primele klltere ale celui de-al doilea cuvlnt să formeze un cuvint care să Fig. 10.5 aparţlnii aceluiaşi dicţionar, pentru a asigura unicitatea des­ eifririi. Menţionllm că aceste probleme intervin şi tn legiitură cu codurile genetice care slnt coduri firă virgulă, lnscrise pe cercuri sau pe spirale ln spaţiu. In muzi ci problema determinării bogăţiei modale se reduce la' problema găsirii numărului de cuvinte circulare care conţin anumite litere de un anumit numil.r · de ori , care poate fi rezolvatii cu meto1a lui P6lya, utiliztnd polinomul indicator de cicluri al grupului ciclic de n variabile.

\

176

TEOREMA LUI RAMSEY

Apllcaţle. Sll consideram n puncte ln poziţii oarecare ln spaţiul tridimensional. Două puncte determinll o muchie a grafului care are ca vtrfuri cele n puncte. Daci colorăm muchiile acestui graf complet ln roşu sau tn albastru, mulţimea părţilor cu două elemente ale mulţimii vtrfurilor poate fi partiţionată ln mulţîmea A1 a muchiilor roşii şi 1n mulţimea A1 a muchiilor albastre. Dacă p şi q slnt lntregi astfel lnclt 2,p, q şi dacă n�N(p, q, 2), teorema lui Ram­ sey ne asigură existenţa a p vtrfuri care slot unite numai prin muchii roşii sau a q vtrfurl care slnt unite numâi prin muchii albastre, iar N(p, q, 2) este cel mai mic lntreg cu această proprietate. Acestea slot numerele lui Ramsey din teoria gra­ furilor. O definiţie echivalentă este următoarea : numărul N(p, q, 2) este cel mai mie întreg n, astfel incit orice graf cu n vlrfuri să conţină fie un subgraf complet cu p vtrfurl, fie o mulţime intern stabilă cu q vtrfuri. într-adevăr, am văzut (cap. 10) că există o bijecţie de Ia mulţimea colorărilor muchiilor grafului complet cu n vlrfuri cu două culori pe mulţimea grafurnor cu n vtrfuri.

PROPOZIŢIA 3. Pentru orice întreg m),.-3 emisUJ, un înt1·eg poziti'O Nm minimal relati'IJ la proprietatea următoare : pentru toate numerele întregi n),..Nm, dacă n puncte din plan nu conţin trei puncte coliniare, atunci m dintre ele sint 'IJÎrfurile unui poligon convea:. Mai întii vom ară.ta că dacă, cinci puncte din plan nu conţin trei puncte colinia.re, atunci patru dintre acestea sînt vîrfurile unui patrulater convex. Într-adevăr, cele cinci puncte definesc(!)= 10

segmente de dreaptă. care le unesc două. cîte două, şi perimetrul aces­ tei configuraţii este un poligon convex. Dacă acest poligon convex este un patrulater sau pentagon, proprietatea este imediată, deoa­ rece în cazul unui pentagon convex patru din vîrfurile sale formează un patrulater convex. 1n caz contrar poligonul convex este trjunghi şi deci două, din cele cinci puncte sînt în interiorul triunghiului. Cele două, puncte interioare definesc o dreaptă. şi două din cele trei vîrfuri ale triunghiului sînt situate de aceeaşi parte a acestei drepte. 1n acest caz cele două puncte interioare împreună, cu cele două. vîrfnri ale triunghiului situate de aceeaşi parte a dreptei for­ mează, un patrulater convex şi proprietatea este demonstrată. Să a.rătăm în continuare că. dacă m puncte din plan nu conţin trei puncte cqliniare şi dacă orice submulţime formată din patru puncte defineşte un patrulater convex, atunci cele m puncte sînt vîrfurile unui poligon convex. m(m - l) Oele m puncte definesc segmente de dreaptă ca.re le 2

·unesc două cite două, iar perimetrul acestei configuraţii este un poligon convex cu q vîrfuri. Vom arăta că m = q. Să alegem un sens de parcurgere a acestui poligon convex şi să notăm vîrfurile întîl­ nite cu V11 V2, • • • , V". Dacă unul din punctele alese se găseşte în

1.78

TEOREMA LUI RAMSEY

unde .Â.1 = {{a0 a,}I (a,,, a H) = (O, O)}, A 2 = {{a0 a1 } I (au , a,i) = (1, O)}, .Â. 8 = {{a0 a,}I (au ,a,,)= (O, l)}şi A4 = {{a„ a,}I (a.,, a,,)= (1, 1) } dacă. i k numai pentru graful cu n vîrfuri şi numărul cromatic egal cu k, compus dţntr-un subgraf complet cu k vîrfuri şi din n - k vîrfuri izolate. într-adevăr, pentru orice i.. < y(G,.) obţ,inem P(G,. ;i..) P(Gn; Â)=

ml~,A)

= O şi

pentru i.. >, y(G,,)

obţinem

j ! (~) Cj(Gn)- 3. 1n continuare vom indica cum se obţine numărul minim de colorări ale unui graf [241]. Pentru aceasta vom folosi unele proprietăţi ale numerelor lui Stirling de a doua speţă, date de următoarele două propoziţii : Obţinerea,

y(G)

> 3 este dificilă, deoarece nu se

PROPOZIŢIA

5.

Dacă

p >, q

S(p, u)S(q, v)

şi

u >, v, atunci

> S(p, v)S(q, u).

Demonstraţia acestui rezultat se face prin inducţie după indicii p, q, u, v, ţinînd seama că el este adevărat pentru p = u sau p = q sau q = v sau u = v, iar diferenţa

S(p, u) S(q, v) - S(p, v) S(q, u) -

= S(p -1, u -

+ uv (S (p -

S (p -1, v -1) S(q -1, u -1)

1) S(q - 1, v - 1) 1, u) S (q - 1, v} -

-S(p -1, v} S(q-1,u)) +u(S(p - 1,u) S(q-1, v -1} -S(p -1,v -l}S(q -1, u)) +v(B(p -1,u -l)S(q-1, v) - B·(p -1, v) S(q -1, u -1)).

Pentru obţinerea acestei expresii am folosit relaţia de dintre numerele lui Stirling de a doua speţă : S(p, q)=S(p-1, q-1) PROPOZIŢIA

6.

Dacă

~ S(p

'+i-•

p

>q

şi

s

+ 1, i)S(q, j) >

recurenţă.

+ qS(p-1, q).

> 3,

atunci exista inegalitatea

~ S(p, i)B(q

'+J-•

+ 1,j).

NUMĂRUL MAXIM DE COLORARI ALE UNUI GRAF

238

Demonstraţia acestui fapt rezultă, din propoziţia 5, ţinînd seama. de relaţia de recurenţă, anterioară, pentru numerele lui Stirling de a. doua speţă., deoarece

:E

i+i=8

S(p+l,i)S(q,j) -

:E

i+;-a

S(p,i)S(q+l,j)=

[i]

=

:E (s- 2j)(S(p, s -

i=l

j)S(q,j) - S(p,j)S(q, s - j)).

Inegalitatea este strictă, dacă, ţinem seama de termenul corespunză­ tor lui j = 1. Un graf k-partit complet este un graf compus din k mulţimi intern stabile Ii, . .. ,Ik astfel încît două vîrfuri sînt legate printr-o muchie dacă şi numai dacă, ele aparţin la mulţimi intern stabile diferite. Graful lui Turan, notat T(n, k) este un graf k-partit complet cu n vîrfuri pentru care m părţi conţin cîte t + 1 vîrfuri, iar cele k - m părţi rămase conţin cîte t vîrfuri, unde m este restul împăr­ ţirii lui n prin k (n = kt + m şi O-< m-< k - 1). Conform propoziţiei 5 (§14.3), graful T(n, k) este graful unic (pînă la un izomorfism) avînd n vîrfuri, de număr cromatic egal cu k şi al cărui număr de muchii este maximal printre grafurile care au aceste proprietăţi. PROPOZIŢIA

7.

Numărul (k

dat de expresia n(n,k,r)

=

:E

n 1 ,. .. ,n1,;;:,1 n,+ ... +nk=k+r

+ r)-colorărilor

grafului

T(n, k) esn:

S(t+l, n1)- . . S(t+1,nm)S(t,n„+1)- .. S(t,,nk).

Într-adevăr, dacă notăm cu n1 numărul claselor partiţiei formate cu cele t +1 vîrfuri ale primei mulţimi intern stabile a grafului T(n, k), ... , cu nk numărul claselor partiţiei formate cu cele t vîrfuri ale ultimei mulţimi intern stabile a grafului T(n, k), rezultă, că 11 1 + ... + nk = k + r şi n; > 1 pentru i = 1, .. . ,k. Se observă, că toate colorările cu k +r clase ale grafului T(n, k) se obţin fără, repetiţii din împărţirile lui k +r în k părţi, două împărţiri diferind şi prin ordinea termenilor. Se obţine de asemenea .D(n, k, r) = 1 pentru r = O şi r = n - k şi n(n, le, 1·) = O pentru r > n - k. PROPOZIŢIA 8. Numărul minim de (le + r)-colorări ale unui gr0,f G cu, n vîrfm·i şi nitmărnl aromatic k este egal cu .D(n, k, r), şi pentr1t orice O < r < n-k singurul graf care are acest număr minim de colorări este graf'u.l T(n, k).

NUMARUL MAXIM DE COLORARI ALE UNUI GRAF

239'

Pentru demonstraţie să considerăm o partiţie a mulţimii de vîrfuri ale lui G in k mulţimi intern stabile. Dacă există două vîrfuri a; şi y care aparţin la două clase diferite ale acestei partiţii şi care. nu sînt legate printr-o muchie, putem să legăm vîrfurile x şi '!I printr-o muchie şi să notăm graful astfel obţinut prin Gc.,,111 • Numărul cromatic al grafului Gc.,, 111 este egal cu k. Numărul (k + r)-colorărilor grafului Gc.,, 111 descreşte strict pentru O < r < n-k, deoarece nu mai putem avea o clasă compusă. numai din x şi din y, iar (k + r)-colorările grafului Gc.,, 111 sînt de. asemenea (k +r)-colorări pentru graful G. Dacă repetăm acest procedeu, obţinem un graf k-partit complet care are un număr de (k +r)-colorări mai mic decît graful G. Dacă există două părţi intern stabile 11 şi I 2 ale acestui graf k-partit complet astfel încît I11 I = p +1 şi I1 2 I = q iar p > q, putem obţine un nou graf k-partit complet cu n vîrfuri alegînd un vîrf x e I 1 şi definind noile părţi :

I{= 11 "-{x}, I~= I 2 U{x} Pentru O < r


.) pentru orice ). număr y(Gn>-k

natural, minimul fiind atins pentru orice ). > k numai pentru graful T ( n, k). Demonstraţia rezultă din faptul că P (G n; ).) = O :pentru orice X< y(G,.) şi dacă Â :;i:. y(G,.), atunci P(Gn; >.)

=

t

mln(n,Â)

(A)

(Â)

t

mln(n,Â)

j ! . O;(Gn)';;:, j ! . D(n, y(Gn),j - y (G,.)) j=y(G,.) J i=Y(Gn) J

=PT.) pentru y(G,.) ale grafului G,..

j-colorări

= k,

dacă notăm

prin 0 1(0,.)

numărul

= de

Polinomul cromatic al grafului T(n, k) se poate calcula cu metoda lui R.0. Read [170], ţinînd seama că polinomul cromatic m

al grafului format din m vîrfuri izolate este wm -exemplu pentru n. = 8 PT1s,s, (>.)

=

definiţie

B(m,k)[w]k. De

k-l

= 3 se obţine

+ 3[>-]2 + [>-aW1 ([>-1] + [>-2]) = -18>. + 1361 -529>. + 10471-836).

([>.Ji

=X(X-1) (>.-2) (16

·unde prin

şi k

=t

[1]i, [).],

4

= [i.J.P+v'

3

2

BIBLIOGR.A.FIE 1. BAER, J. Matrice de cormexion minimale d'unc matrice de precedc11ce donr1er. Hcvue Fran\:aise d'Informatiquc et de Rech. Operal., no. Hi, 1969, p. 65-73. 2. B.UABAN, A. T., l'alcncc-isomerism of cyclopolycne.r,. Rev. Houmaine de Chimie, 11, 1966, p. 1097-1116; eratum 12 (1967), p. 10:1. 3. BALABAN, A. T., HARARY, F. Chemical graph.r,, l\'. Dihedral groups and monocyclic aromatic compounds. Revue Roumaine de Chimic. 12, Hl67, p. 1511-1515. 4. BALABAN, A. T., FĂRCAŞIU, D., BĂNICĂ, R. Graphs of mulliple 1, 2 - shifi:; in carbonium ions and relaled syslcms. Revuc Houmaine de Chimie, 11, 1966, p. 1205-1227. 5. BAZERQUE, G. lmplanlalion des arborr:sccnce.'i: applic"lions mu iabll'