Introducción al análisis gráfico de datos experimentales [3 ed.] 9789703211500

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log y2 – log y1 x2 – x 1

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Introducci´ on al an´alisis gr´afico de datos experimentales Berta Oda Noda

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

Oda Noda, Berta Introducción al análisis gráfico de datos experimentales / Berta Oda Noda. --3a edición, 3a reimpresión. --México: UNAM, Facultad de Ciencias, 2013. xvii, 213 páginas : ilustraciones, 22 cm. (Temas de física) Bibliografía: páginas 211-212.

ISBN: 978-970-32-1150-0 1. Física - Experimentos -- Métodos gráficos. 2. Ciencia -- Experimentos -- Métodos gráficos. 3. Estadística -- Métodos gráficos. I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. II. Título. III. Serie. 530.0728scdd21

Biblioteca Nacional de México

Introducción al análisis gráfico de datos experimentales 3a edición, 2005 2a reimpresión, 2013 3a reimpresión, 2017 © DR. 2005. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán. C.P. 04510. Ciudad de México [email protected] ISBN: 978-970-32-1150-0 Diseño de portada: Laura Uribe Prohibida la reproducción total o parcial de la obra, por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos. Impreso y hecho en México.

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´INDICE GENERAL

´Indice de figuras

XI

Presentaci´ on

XIII

Pr´ ologo a la segunda edici´on

XV

Pr´ ologo a la tercera edici´on

XVII

1. Mediciones e incertidumbres 1.1. La medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Por qu´e medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. ¿Qu´e es medir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Los errores y sus fuentes . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Incertidumbre en medidas reproducibles . . . . . 1.2.3. Incertidumbre en medidas no reproducibles . . . 1.2.4. Incertidumbre absoluta . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Incertidumbre relativa δr X . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Incertidumbre porcentual δ % X . . . . . . . . . . 1.2.7. Por qu´e manejar incertidumbres . . . . . . . . . 1.3. Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Redondeo en n´ umeros . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Operaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . . 1.5.1. Suma y resta con cifras significativas . . . . . . . 1.5.2. Multiplicaci´on y divisi´on con cifras significativas

1 2 2 3 4 5 5 6 9 10 12 12 12 13 13 16 16 17 17 18

2. Mediciones indirectas 2.1. Propagaci´ on de incertidumbres . . . . . . . . . . . . . .

19 19

vii

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´Indice general

3. Relaciones entre variables 3.1. Relaciones emp´ıricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tabla y gr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Relaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Intervalo de validez . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Interpolaci´on y extrapolaci´on . . . . . . . . . . . 3.3.3. Incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 29 30 33 39 39

4. Relaciones potenciales 4.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Graficado logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Graficado logar´ıtmico con incertidumbres . . . . 4.3. Graficado en papel logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Fen´ omenos que se describen por una ecuaci´on general. . . 4.4.1. Relaci´ on P vs V del aire . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Ecuaci´ on de movimiento . . . . . . . . . . . . . .

45 47 51 55 57 63 63 68

5. Relaciones exponenciales 5.1. Deducci´ on de la ecuaci´on exponencial . . . . . . . . . . 5.2. Uso del papel semi-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Deducci´ on de la ecuaci´on exponencial usando logaritmos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 80 83

6. Ejercicios de aplicaci´on en experimentos 6.1. El agua y el aceite . . . . . . . . . 6.2. Movimiento en dos dimensiones . . 6.3. Ley de enfriamiento de Newton . . 6.4. Oscilador vertical amortiguado . .

89 89 91 93 95

. . . .

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7. Relaciones entre tres variables Ap´endice A. Sistema Internacional de Unidades (SI) A.1. Unidades base o fundamentales . . . . . . . . . . . A.2. Unidades suplementarias . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Unidades complementarias aceptadas para si . . . A.5. Prefijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Definici´ on de las unidades SI . . . . . . . . . . . . A.7. Reglas para la escritura apropiada de los s´ımbolos representan las unidades en el sistema si . . . . . . A.8. Escritura de los n´ umeros . . . . . . . . . . . . . . .

viii

41

83

99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . que . . . . . .

109 110 110 111 112 112 113 116 117

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´Indice general

Ap´endice B. Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres 119 B.1. M´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 B.2. Desviaci´ on est´ andar, σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Ap´endice C. Logaritmos: propiedades y aplicaciones 129 C.1. Definici´ on de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 C.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 C.2.1. loga 1 = 0 ya que a0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . 130 C.2.2. loga a = 1 ya que a1 = a . . . . . . . . . . . . . . 130 C.2.3. Logaritmo de un producto . . . . . . . . . . . . . 131 C.2.4. Logaritmo de un cociente . . . . . . . . . . . . . 131 C.2.5. Logaritmo de una potencia . . . . . . . . . . . . 132 C.2.6. C´ alculo de logaritmos de una base b cualquiera en funci´on de logaritmos de otra base diferente . 134 C.3. Funci´ on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C.4. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 C.4.1. C´ alculo de la raiz en´esima de un n´ umero cualquiera137 C.4.2. Resoluci´on de ecuaciones exponenciales . . . . . 138 C.4.3. Simplificaci´on de operaciones . . . . . . . . . . . 139 C.5. C´ alculo de logaritmos de un n´ umero 0 < n < 1 . . . . . 139 Ap´endice D. Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados D.1. Ajuste de rectas de la forma y = mx + b por el m´etodo de m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2. Ajuste de par´ abolas por m´ınimos cuadrados . . . . . . . D.3. An´ alisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 149 154

Ap´endice E. Ejercicios de aplicaci´on E.1. Mediciones e incertidumbres E.2. Mediciones indirectas . . . . E.3. Relaciones lineales . . . . . E.4. Relaciones potenciales . . . E.5. Relaciones exponenciales . .

. . . . .

Ap´endice F. Soluciones a los ejercicios F.1. Mediciones e incertidumbres . F.2. Mediciones indirectas . . . . . F.3. Relaciones lineales . . . . . . F.4. Relaciones potenciales . . . . F.5. Relaciones exponenciales . . . Bibliograf´ıa

141

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157 157 160 162 164 175

de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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185 185 189 193 198 202

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´INDICE DE FIGURAS

1.1. El Universo de Kapteyn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. La imagen actual de nuestra galaxia. . . . . . . . . . . . 1.3. ¿Cu´ al es la lectura? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Representaci´ on de puntos experimentales con sus incertidumbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tres posibles curvas adaptadas a los puntos trazados en la gr´ afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Recta ajustada a trav´es de los puntos experimentales obtenidos en la tabla 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. En donde L representa a la longitud del resorte y C a la carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Gr´ afica que muestra la incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen de una recta. . . . . . . . . . . 4.1. Casos particulares de relaciones potenciales. a) Curvas parab´ olicas que salen del origen. b) Curvas hiperb´olicas. 4.2. Formas caracter´ısticas de las gr´aficas de ecuaciones de la forma Y = aX n seg´ un el valor de n. . . . . . . . . . . 4.3. Curva cuya ecuaci´on ser´ıa Y = aX n . . . . . . . . . . . 4.4. Porci´ on de luz emitida por el foco F. . . . . . . . . . . . 4.5. Gr´ afica de la intensidad luminosa en funci´on de la distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Gr´ afica de la intensidad luminosa en funci´on de la nueva variable R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Gr´ afica Y vs X que corresponde a los valores de la tabla 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Gr´ afica log Y vs log X que corresponde a los valores tomados de la tabla 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Gr´ afica de y vs x en papel log-log de 3 × 5 ciclos . . . . xi

8 9 15 31 32 36 38 42 46 46 47 49 50 52 54 56 59

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´Indice de figuras

4.10. Gr´ afica de los puntos de la tabla 4.6 en papel milim´etrico. 4.11. Gr´ afica en papel log-log de los valores correspondientes a la tabla 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Dispositivo que se us´o en el experimento. . . . . . . . . 4.13. Hip´erbola obtenida mediante la gr´afica de P ∗ vs V , que corresponde a los datos de la tabla 4.8. . . . . . . . . . . 4.14. Recta correspondiente a la tabla 4.9. . . . . . . . . . . . 4.15. Esquema del dispositivo utilizado para la fotograf´ıa. . .

61 61 64 66 67 72

5.1. Gr´ aficas de los puntos correspondientes a las tablas 5.1, A y B, en papel milim´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Gr´ aficas de los puntos correspondientes a las tablas 5.1, A y B en papel log-log. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Gr´ aficas log Y vs X que corresponden a las tablas 5.2, A y B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Gr´ afica en papel milim´etrico de la tabla 5.3. . . . . . . . 5.5. Gr´ afica en papel semilogar´ıtmico de la tabla 5.3. . . . .

81 86 87

6.1. Dispositivo que se usa en el experimento. . . . . . . . . 6.2. Masa oscilante y resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94 96

78 79

7.3. Familia de rectas de distintas pendientes pero igual ordenada al origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.7. Familia de rectas de igual pendiente en papel log-log . . 104 7.9. P´endulo bifilar de torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 B.1. La recta se traz´o procurando que tanto los puntos 2 y 4 como los puntos 3 y 5 quedaran equidistantes a ella. . . 120 B.2. Puntos de la tabla B.1 graficados en un sistema X, Y. . 121 D.1. Ejemplos de diagramas de dispersi´on de puntos experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 D.2. Los puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ) con las desviaciones D1 , D2 y D3 de una cierta recta. . . . . . . . . . . . 144 D.3. Las desviaciones Dj , Dj′ , Dj′′ de las figuras a, b y c son diferentes en magnitud, aunque el punto (xj , yj ) es el mismo en las tres figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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´ PRESENTACION

El presente manual tiene como antecedente el manual de laboratorio: Una introducci´ on a la Metodolog´ıa de la Experimentaci´ on, en sus ediciones 1974 y 1977, publicado por la Facultad de Ciencias, u.n.a.m. que surgi´ o de la colaboraci´on de muchos profesores cuyos nombres aparecen en sus respectivos pr´ologos y reconocimientos; en forma especial se menciona la labor del Profesor Juan Am´erico Gonz´alez Men´endez cuyas inquietudes, ideas y aportaciones generaron el curso de laboratorio: Introducci´ on al m´etodo experimental: Un nuevo curso en la Facultad de Ciencias (Ver [11]). Me ha tocado a m´ı recoger estas experiencias, las propias y las de los compa˜ neros que conformamos la actual Coordinaci´on del Laboratorio de F´ısica General de la Facultad de Ciencias, u.n.a.m. Con base en ellas, en los u ´ ltimos a˜ nos hemos actualizado, modificado, corregido y aumentado todos los temas y hemos excluido todo lo referente a metodolog´ıa experimental. Como todo libro de texto, tiene como finalidad proveer al estudiante de t´ecnicas elementales para la comprensi´on, el an´alisis y la interpretaci´ on de datos experimentales por el m´etodo gr´afico, lo cual, a su vez, constituir´ a la base para la comprensi´on del an´alisis estad´ıstico que permitir´ a establecer la relaci´on entre incertidumbre y desviaci´on est´andar, “la mejor recta a ojo” y el ajuste por m´ınimos cuadrados. Por otra parte, dada la carencia de un texto que cubra la relaci´on directa que existe entre datos experimentales, gr´afica y ecuaci´on y su conexi´on con los t´erminos estad´ısticos, este manual pretende tambi´en servir como un auxiliar para los maestros de esta ´area de la f´ısica. Aunque es necesario aplicar las t´ecnicas en datos experimentales reales, aqu´ı s´ olo aparecen algunos experimentos que damos como ejemplos o ejercicios, no se incluyen los experimentos a realizar, pues estos depender´ an del fen´ omeno f´ısico o biol´ogico que se pretenda ilustrar y de la iniciativa, ingenio y creatividad de los profesores y alumnos.

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´n Presentacio

Como se ver´ a, el contenido de este manual ser´a u ´ til a todos los estudiantes en ciencias experimentales a nivel introductorio. Los temas se exponen por orden de conocimientos, esto es, tratando de arribar a cada nuevo tema a trav´es de herramientas conocidas. Por lo tanto, se sugiere llevar el curso en el orden aqu´ı establecido. Pero ante todo, es necesario aclarar al estudiante que las t´ecnicas se aprender´an a trav´es de las actividades experimentales. Para aquellos estudiantes que deseen ampliar sus conocimientos b´asicos, hemos agregado cinco ap´endices: en el ap´endice A, se dan las unidades fundamentales y las unidades derivadas del Sistema Internacional con sus respectivas definiciones; asimismo encontrar´an el modo como se escriben esas unidades y los prefijos y s´ımbolos de sus m´ ultiplos y subm´ ultiplos. Considerando que el conocimiento del m´etodo de an´alisis estad´ıstico de datos experimentales debe llegar a los estudiantes inmediatamente despu´es del an´alisis gr´afico, se incluyen los ap´endices B y D que se refieren al Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres y Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados respectivamente. El ap´endice C, contiene ejercicios que esperamos ayudar´an a los estudiantes a revisar algunos detalles de los primeros cinco cap´ıtulos. En el ap´endice E, Logaritmos: propiedades y aplicaciones se encuentra la definici´on, propiedades y algunas aplicaciones de los logaritmos. Este ap´endice, por su importancia en el curso aparece al final pues creemos que ser´a el consultado con m´ as frecuencia. Reconociendo que a pesar de haberlo escrito con amor y con cuidado, posiblemente contenga errores, ser´an bien recibidas todo tipo de indicaciones o sugerencias para futuras ediciones. Finalmente quiero agradecer a mis compa˜ neros: F´ıs. Francisco Cervantes de la Torre, Fis. Emilio Jes´ us Flores Llamas y Fis. Hilda Noem´ı N´ un ˜ ez Y´epez, la revisi´ on de este manual y sus acertadas sugerencias. La mecanograf´ıa, gr´ aficas y dibujos se deben a la Fis. Hilda Noem´ı N´ un ˜ ez Y´epez a quien reitero mi agradecimiento. Asimismo, agradezco al Consejo Departamental de F´ısica y a la Comisi´on de Publicaciones, su aprobaci´ on y apoyo. Cd. Universitaria, octubre de 1987.

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´ ´ PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION

Ante todo quiero agradecer la buena acogida que se le brind´o a la primera edici´ on y la satisfacci´on de ver que el n´ umero de lectores que se sirven de este manual se ha incrementado. Despu´es de dos reimpresiones agotadas, consider´e importante, en esta nueva edici´ on, atender las sugerencias que me hicieron algunos profesores, corrigiendo omisiones y aumentando cuatro secciones y un ap´endice. Las secciones aumentadas son: IV.2.2.

Graficado logar´ıtmico con incertidumbres.

IV.4.2.

Ecuaciones de movimiento

A.D.2.

Ajuste de par´abolas por m´ınimos cuadrados.

A.D.2.1.

An´ alisis dimensional.

Ap´endice F. Respuestas a los ejercicios propuestos. Se corrigieron adem´ as algunas gr´aficas, de manera que fueran m´as claras y se cambi´ o el orden de los ap´endices, quedando los ejercicios de aplicaci´ on en el ap´endice E y sus respuestas al final, en el F, ´este me parece un orden m´ as l´ ogico y pr´actico. A los estudiantes quiero aclararles que estas t´ecnicas elementales les servir´ an de base para cuando tengan que realizar experimentos de otro nivel, interpretar curvas que aqu´ı no se contemplan o usar aparatos de medici´ on m´ as sofisticados. Esto les dar´a pie para seguir estudiando por su cuenta. Agradezco la transcripci´on computacional e inserci´on de las partes aumentadas de la F´ıs. Sabina Ruiz Chavar´ıa y a la Coordinaci´on de Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias. unam. Cd. Universitaria, abril de 1996

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´ ´ PROLOGO A LA TERCERA EDICION

Agradezco la oportunidad de acercarme a ustedes en esta tercera edici´ on. Con el af´ an de mejorar la versi´on anterior, en ´esta pretendo aclarar algunos conceptos confusos con cambios en la redacci´on, corregir omisiones, y excluir algunas secciones que no son necesarias. Adem´as, atendiendo a las sugerencias de algunos profesores y sin abandonar la idea expresada en la primera edici´on de que los experimentos a realizar deben surgir del ingenio y creatividad de los profesores y alumnos de las diferentes ´ areas en donde se est´e aplicando el m´etodo, compartir´e algunas ideas de experimentos que a m´ı me han servido en la did´ actica e instrumentaci´ on de la t´ecnica, el an´alisis del contenido f´ısico y el uso que se le puede dar a la ecuaci´on encontrada. En esta edici´ on se ver´a que han desaparecido las secciones: Incertidumbre en la pendiente e Incertidumbre en la ordenada al origen que no son necesarias, puesto que una vez que el estudiante haya comprendido la importancia de obtener la mejor recta (pendiente y ordenada al origen) a partir de un conjunto de puntos medidos, optar´a por calcularla por el m´etodo estad´ıstico de los m´ınimos cuadrados. Sugiero a los estudiantes que consulten el ap´endice D, secci´on A.D.1, Ajuste de rectas de la forma Y = mX + b por el m´etodo de m´ınimos cuadrados; y de all´ı sobre todo, la parte introductoria que es donde se explica cu´ando es aplicable este m´etodo. En el Cap´ıtulo VI, Ejercicios de aplicaci´ on en experimentos, se han insertado los siguientes: VI.1. El agua y el aceite VI.2. Movimiento en dos dimensiones VI.3. Ley de enfriamiento de Newton VI.4. Oscilador vertical amortiguado

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´ logo a la tercera edicio ´n Pro

El primero es recomendable como introductorio a los fluidos; el tercero es necesario dentro de los temas de calor y temperatura y el cuarto ilustra un fen´ omeno de ondas longitudinales. Como se ve, estos tres experimentos son aplicables en la did´actica dentro del Laboratorio de Mec´ anica, tambi´en dentro del nuevo plan de estudios de la Facultad de Ciencias. Debo aclarar a los profesores que no es recomendable el uso de programas computacionales cuando todav´ıa no se han comprendido los conceptos ni el m´etodo del an´alisis gr´afico y que los estudiantes deben graficar en papel milim´etrico durante el curso. Finalmente agradezco a la Coordinaci´on de Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, unam, la transcripci´on computacional e inserci´ on de las partes aumentadas en esta edici´on. Berta Oda Noda Instituto de Ciencias de la Atm´osfera Ciudad Universitaria, noviembre de 2004

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1 MEDICIONES E INCERTIDUMBRES

D

urante el Siglo xvii los estudiosos de la Naturaleza, inspirados en lo inadecuado del m´etodo cl´asico para hacer avances ulteriores en el conocimiento, empezaron a pensar en la necesidad de saber qu´e era lo que directamente provocaba la ocurrencia de un fen´omeno para, eventualmente, poder pensar en c´omo controlar su ocurrencia en alguna forma deseada. Si antes de esto se cre´ıa que las cosas se comportaban de cierta manera porque esa era su “manera natural” de ser y se estudiaba para conocer estas “maneras naturales”, ahora todo lo observado era el efecto de una causa y la b´ usqueda de esas causas se convirti´o en el prop´ osito central de la ciencia. Este nuevo modo de hacer ciencia fue revolucionario en el sentido de que dej´ o de considerarse el mundo como hecho con una intenci´on dada, en el que todo est´ a predestinado para comportarse de determinada manera, para empezar a verlo como una m´aquina de eventos en la que todo lo que ocurre, sucede porque algo hab´ıa ocurrido antes. La revoluci´ on cient´ıfica fue un cambio de un mundo de cosas ordenadas de acuerdo a sus naturalezas propias, hacia un mundo de eventos ocurridos en un continuo mecanismo de antes y despu´es. El m´ as destacado en este movimiento fue Galileo y por lo mismo suele llam´ arsele Revoluci´ on Galileana a este cambio en el modo de hacer la ciencia. Se “descubri´ o” entonces, que es factible desarrollar t´ecnicas muy precisas para provocar fen´omenos que pueden repetirse a voluntad y medirse en condiciones controladas. M´as a´ un, que deb´ıa buscarse y provocarse aquello que se deseaba conocer. Adem´as, se puntualiz´o en que, antes de empezar a especular sobre las causas de un fen´omeno natural era necesario describirlo lo mejor posible tanto en t´erminos cualitativos como cuantitativos y para ello, se deb´ıan hacer las mediciones de las caracter´ısticas de los fen´omenos observados.

1

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Mediciones e incertidumbres

Galileo como primer divulgador de esta revoluci´on, sent´o la tesis de que todo conocimiento de la Naturaleza deber´ıa establecerse por experimentaci´ on. (ver Evoluci´ on del Pensamiento Cient´ıfico, [5]). 1.1. La medida Se dice que antes de la bien llamada “Revoluci´ on Galileana”, los naturalistas no sab´ıan medir pr´acticamente nada. Las m´as simples mediciones de longitud eran diferentes en diversos lugares y era dif´ıcil comprobarlas pues no exist´ıan patrones de longitud de aceptaci´on general. Medir el tiempo era a´ un m´as complicado ya que los relojes que exist´ıan en uso como los de Sol, de agua, de arena, etc., no serv´ıan para mediciones precisas de intervalos cortos de tiempo. En su juventud, Galileo observ´ o el balanceo de una l´ampara de la catedral de Pisa y midi´ o el per´ıodo de estas oscilaciones contando los latidos de su propio pulso. Si Galileo con el tiempo lleg´o a descubrir las leyes de la mec´anica, es porque fue uno de los primeros en comprender la importancia de realizar mediciones. Inici´o as´ı una nueva forma de investigar y con ello lo que ahora llamamos Ciencia. Cualitativamente, la luz roja es diferente de la luz azul y es innegable que impresionan de manera diferente a nuestros sentidos. Pero, un an´ alisis de la naturaleza de la luz, mostrar´a que ambas son radiaci´on electromagn´etica y que no difieren m´as que en un aspecto cuantitativo: La primera, es de una longitud de onda cercana a 6.5 × 10−7 m y la segunda, cercana a 4.3 × 10−7 m. 1.1.1. Por qu´e medir El hombre, a trav´es de sus sentidos, adquiere los conocimientos elementales del mundo que lo rodea. Los grados de intensidad de las sensaciones simples son “cantidades” aceptadas por la generalidad. Comunmente se hacen apreciaciones de tipo cualitativo al decir: “hace calor”, “hay mucho smog”, “me peg´ o fuerte”, etc. En general se entienden estas expresiones de la vida diaria y no es necesario hacer evaluaciones precisas. Sin embargo, estas evaluaciones son particulares puesto que dependen de cada persona. Cabe recordar que una de las caracter´ısticas del conocimiento cient´ıfico reside en su objetividad. Los hechos existen de manera independiente a cualquier sujeto en particular y al modo como ´este los conozca o los imagine. La observaci´on cuantitativa de los hechos es una manera

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La medida

de objetivarlos. La medida hace posible asociar a las cosas y a los eventos una caracter´ıstica distintiva que todo mundo puede inspeccionar, verificar y utilizar. Asimismo, al asociar un valor num´erico a una propiedad f´ısica, el observador la transforma en algo cuantitativo que es comunicable y hace posible reproducir las condiciones caracter´ısticas de un fen´ omeno en investigaci´on. Es necesario reconocer que, el acelerado avance de las ciencias naturales se debe en gran medida al avance tecnol´ogico en los aparatos de medici´ on y a los m´etodos cada vez mejores de medir, ya que los aspectos cualitativos de un fen´omeno son en el fondo debidos a diferencias cuantitativas que al ser evaluadas correctamente, permiten el estudio sistem´ atico y profundo de los fen´omenos naturales. La medici´ on es pues, un paso esencial en el conocimiento y comprensi´ on del mundo que nos rodea. 1.1.2. ¿Qu´e es medir? Medir no es la simple lectura en los aparatos de medida. Se le llama medir a una serie de actividades y procedimientos que se llevan a cabo con el objeto de cuantificar alguna propiedad f´ısica o de evaluar alguna variable de un fen´ omeno. Estas actividades contemplan diferentes aspectos que —en parte— se tratar´an en este manual. El proceso de medici´on es uno de los elementos primarios en el quehacer experimental, pero ciertamente no es el m´as sencillo. En una medici´ on de tiempo con un cron´ometro, por ejemplo, al repetir la medici´ on en las mismas condiciones, lo m´as probable es que no se observe la misma magnitud y que ´esta sea diferente tantas veces como se repita. Al tomar la lectura puede haber error de paralaje. A´ un m´as, debido al tiempo de reacci´on caracter´ıstico de todo humano, puede ser que no sea iniciado o detenido el cron´ometro en el instante preciso, necesario. Por otra parte, tampoco se puede asegurar que el cron´ometro est´e en ´ optimas condiciones porque puede tener imperfecciones de construcci´ on afectando a la medida. Adem´as, haciendo la medici´on con otro m´etodo u otra t´ecnica puede resultar que se obtenga una magnitud diferente y tambi´en, el medio dentro del cual se encuentra inmerso lo que se mide, puede hacer variar la medici´on. Por estas y otras tantas razones, no se puede confiar en la simple lectura que da un instrumento de medici´on. La incerteza en la magnitud observada hace que no se pueda asegurar que ´esta sea una medici´on exacta.

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A´ un m´ as, ¿se podr´ıa conocer la medici´on exacta? Siempre habr´a duda. Es por esto que se dice que todas las medidas son aproximadas, desde las m´ as burdas a las m´as precisas y que, a lo m´as, se puede hablar del grado de precisi´on en determinada medida. Los errores* que puede haber en la lectura simple del aparato de medici´on, que aqu´ı se llamar´ an incertidumbres, pueden ser analizados, clasificados y evaluados para ser considerados en adici´on a la magnitud de la lectura en el instrumento de medici´ on. 1.1.3. Sistemas de unidades Las unidades como: metro, gramo, newton, segundo, etc. asociadas a un n´ umero cualquiera, son las que les asignan car´acter f´ısico a los n´ umeros. Un n´ umero 3 puede ser de cualquier cosa pero 3 cent´ımetros ya da idea de una longitud, y 3 horas lo hace de un intervalo de tiempo. As´ı pues, toda dimensi´on f´ısica debe indicarse con sus unidades correspondientes. Por otra parte, para asociarle una magnitud a una longitud, masa, tiempo, etc., o sea cuantificar alguna caracter´ıstica que se quisiera medir, bastar´ıa compararla con cualquier patr´on arbitrario que sirviera para ello: codo, pie, vara, cuartillo, rondana, etc. No obstante para facilitar la comunicaci´ on nacional e internacional en transacciones comerciales, reportes cient´ıficos, estudios socioecon´omicos y administrativos etc., es necesario disponer de un sistema de unidades de referencia accesible e invariante para todo mundo. Para los estudiantes, a quienes va dirigido este manual son bien conocidos los sistemas mks y cgs con todos sus m´ ultiplos, subm´ ultiplos y derivados, por ser los sistemas adoptados en M´exico y aceptados internacionalmente desde hace un siglo, lo cual permite adem´as de la comunicaci´ on, la comparaci´on inmediata de los resultados de investigaciones que se llevan a cabo simult´aneamente en diferentes pa´ıses. Sin embargo, aqu´ı es necesario se˜ nalar que en el a˜ no de 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas (Bureau International de Poids et Mesures) de la cual forma parte tambi´en M´exico, decidi´o por unanimidad la creaci´ on de un sistema de unidades al que se le denomin´o Sistema Internacional (si), que incluye en sus unidades fundamentales, adem´as de las de longitud, masa y tiempo, las de intensidad de corriente el´ectrica A (ampere), de temperatura K (kelvin), de intensidad luminosa cd * El

t´ ermino “error” no se utiliza aqu´ı en el sentido de equivocaci´ on, sino que as´ı se le llama a una peque˜ na diferencia entre el valor real y el valor observado.

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(candela) y de cantidad de sustancia mol. M´as informaci´on sobre el si, aparece en el ap´endice A de este manual. 1.1.4. Aproximaciones A menudo se oye decir que la f´ısica es ciencia exacta y por supuesto, no lo es. No es posible manejar magnitudes exactas cuando las mediciones no lo son. Es muy usual en f´ısica, hacer apreciaciones aproximadas de las magnitudes, sobre todo cuando se manejan n´ umeros muy grandes o muy peque˜ nos. El aproximar consiste en especificar el orden de magnitud de un valor, o sea, la potencia de diez m´as cercana a ese n´ umero. Una informaci´ on de esta manera, da una idea de la magnitud aunque se cometan errores de 100 %. Nadie conoce el n´ umero de ´atomos que hay en la cabeza de un alfiler, pero a veces, es suficiente saber que es del orden de 1017 (100 000 000 000 000 000). 1.2. Incertidumbres Debido a los avances tecnol´ogicos, en la actualidad pueden obtenerse mediciones con tan alto grado de precisi´on que pueden considerarse exactas. Tal es el caso de la medici´on de la velocidad de la luz. Con la ayuda de un l´ aser de helio y ne´on estabilizado con metano, en el a˜ no de 1973, pudo ser medida la longitud de onda (λ) de la luz y la frecuencia (γ) de ´esta en el vac´ıo, encontr´andose que: λ = 3.39 × 10−9 m

y

γ = 88 × 1012 s−1

Estas mediciones fueron tomadas con tanta precisi´on que al multiplicarlas, se obtuvo para la velocidad de la luz el valor de 299 792 458 m/s con un error calculado de 0.000 000 04 %. Diez a˜ nos despu´es de este acontecimiento, la comunidad cient´ıfica acept´o tomar este valor, obtenido experimentalmente, como velocidad de la luz constante en el vac´ıo y sin incertidumbre debido a la alta precisi´on con que fue medida. Este es un caso excepcional de precisi´on pues, como ya se dijo, toda medici´ on es susceptible de error o incertidumbre que debe ser evaluada en magnitud como se ver´a m´as adelante. Hasta antes de 1983, el valor aceptado para la velocidad de la luz era el de: (299 792 300±800) m/s. En esta expresi´on, el valor 299 792 300 m/s representa la mejor estimaci´on de la velocidad, y 800 m/ s la magnitud de la incertidumbre calculada. En otras palabras, la expresi´on representada as´ı indica que la velocidad de la luz es de un valor que est´a entre

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(299 792 300 − 800) m/ s y (299 792 300 + 800) m/ s y que no se puede precisar cu´ al es el valor exacto de ella pero s´ı se puede confiar en que se encuentra dentro del intervalo: [(299 792 300 − 800), (299 792 300 + 800)] m/ s. En general, toda medici´on X, debe ser expresada de la manera: X = Xo ± δX, donde Xo es la magnitud obtenida o le´ıda en el instrumento de medici´ on y δX es la magnitud del error o incertidumbre evaluada seg´ un el tipo de medici´on de que se trate. Mientras m´ as precisa es la medici´on, menor es la incertidumbre asociada. Al reportar una medici´on, en lugar de un s´olo n´ umero, se especifica un intervalo. Aunque el valor real de una magnitud ser´ a siempre dudoso, al asignarle una incertidumbre a la medici´on se expresa la confianza de capturar ese valor verdadero dentro del intervalo definido. Cuantificar la incertidumbre es importante para poder estimar el grado de validez de los datos obtenidos. 1.2.1. Los errores y sus fuentes Es tarea del observador tratar, en lo posible, de minimizar las incertidumbres para obtener mediciones precisas y por lo tanto es necesario conocer los tipos de errores que pueden afectar y los factores que los generan. Los errores en la medici´on surgen de diferentes fuentes, que son: lo que se mide, el instrumento de medici´on, el observador, las condiciones externas y tambi´en el m´etodo seguido para medir. Cada una de ellas, por separado, contribuye en mayor o menor grado a la incertidumbre total. La tarea de detectar y evaluar las incertidumbres no es simple e implica conocer muchos aspectos de la medici´on. Conociendo las fuentes de incertidumbre, es posible, clasificar dos conjuntos de errores: los aleatorios y los sistem´aticos. Al hacer una medici´ on, repetidas veces en las mismas condiciones, puede suceder que la magnitud observada se repita tantas veces como la medici´ on se lleve a cabo y si es as´ı, se trata de una medici´on reproducible. Si al contrario, la magnitud observada var´ıa cada vez que se mide, aunque esto se haga en las mismas condiciones, se trata de una medici´ on no reproducible. El que se reproduzca o no la medici´on, depende del tipo de error que resulta ser m´as significativo en cada caso. Los errores aleatorios son tambi´en llamados estoc´asticos, azarosos o fortuitos y estos, son las perturbaciones que afectan a una medici´on

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en forma err´ atica accidental y en magnitudes diferentes haciendo que, en general, si una medici´on se repite varias veces, resulta ser no reproducible aunque supuestamente se haga en las mismas condiciones. Lo que pasa es que los errores aleatorios escapan al control del observador haciendo variar las condiciones. En general pueden ser evaluados pero no siempre pueden ser eliminados. En cambio, los errores sistem´aticos son aquellos que alteran la medida de una manera constante, esto es, que afectan a la medici´on siempre en la misma forma y en la misma magnitud. Esta caracter´ıstica hace posible que una medici´ on pueda ser reproducible si los errores aleatorios son de magnitud tan peque˜ na que no se aprecie diferencia entre una medici´ on y otra. En otras palabras, que si la medici´on es reproducible, no se puede concluir que la incertidumbre sea cero. Lo que sucede es que los errores aleatorios quedan ocultos, que son menores que la incertidumbre asociada al aparato de medici´on, como se explicar´a m´as adelante. Si se detectan, los errores sistem´aticos s´ı pueden eliminarse. Una manera de encontrarlos es efectuando la misma medici´on, con m´etodos diferentes. Otras veces se cuantifican por calibraci´on de instrumentos al compararlos con patrones de medida. En ocasiones el an´alisis gr´afico tambi´en los pone de manifiesto. Ejemplos: un reloj que se atrasa medir´ a tiempos sistem´ aticamente menores; una cinta de acero torcida proporciona medidas excedidas por una cantidad igual al aumento de longitud producida por la torcedura. Un ejemplo de error sistem´atico corregido, es el que se da a continuaci´ on: EL UNIVERSO DE KAPTEYN Para determinar el tama˜ no y forma del universo, los astr´ onomos de principios del siglo xx contaban el n´ umero de estrellas de diferente brillantez aparente, en funci´ on de su ubicaci´ on en la esfera celeste. Bajo la suposici´ on de que todas las estrellas tuviesen la misma brillantez intr´ınseca,* la variaci´ on en el brillo aparente se deber´ıa u ´nicamente a la distancia a la que se encuentran de la Tierra: las estrellas cercanas aparecer´ıan m´ as brillantes que las lejanas. En esta forma al contar estrellas cada vez m´ as d´ebiles estar´ıamos observ´ andolas a mayores distancias. William Herschel, quien us´ o por primera vez el m´etodo en el siglo xviii, encontr´ o que a partir de cierta brillantez aparente el n´ umero de estrellas * Esto

no es cierto, pero era una suposici´ on razonable si no se pod´ıa saber cu´ al era la brillantez intr´ınseca de cada estrella.

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disminu´ıa r´ apidamente por lo que no parec´ıa haber estrellas a partir de cierta distancia. El m´etodo se refin´ o y se realizaron observaciones durante todo el siglo xix ´ que culminaron con el trabajo de Kapteyn en 1922. Este, revis´ o cuidadosamente d´ecadas de observaciones y concluy´ o que el sistema de estrellas al que pertenece el Sol tiene la forma de un gran disco abultado, (figura 1.1), su di´ ametro era de 104 a˜ nos luz y su grosor de un quinto de este valor; el Sol estaba localizado casi en el centro de este sistema. Esto constitu´ıa todo el universo pues fuera de este disco no hab´ıa nada.

Figura 1.1. El Universo de Kapteyn. As´ı, en 1922, el universo entero se hab´ıa medido: su di´ ametro era de 104 a˜ nos luz, y ten´ıa al Sol en el centro. Actualmente sabemos que Kapteyn estaba completamente equivocado, el “tama˜ no del universo” es de 1010 a˜ nos luz, y lo que ´el consideraba como universo es solamente una parte de nuestra galaxia (si no es que existe alg´ un otro error sistem´ atico que a´ un est´e afectando esta medida). ¿C´ omo pudieron Kapteyn y los cient´ıficos de su tiempo, estar tan equivocados? ¿C´ omo es que observaciones realizadas con mucho cuidado dieron resultados tan malos? La respuesta es que hab´ıa un serio error sistem´ atico que viciaba sus conclusiones: no tomaban en cuenta la existencia de nubes de polvo interestelar (peque˜ nos granos de materia que flotan entre las estrellas), el polvo hace aparecer las estrellas mucho m´ as d´ebiles de lo que son e incluso las oculta por completo.* Los investigadores no supieron estimar la influencia del polvo en sus cuidadosos conteos de estrellas. ¡Debido a este error se pens´ o por cerca de un siglo que lo que se ve´ıa en la cercan´ıa del Sol era la totalidad del universo! * El polvo interestelar est´ a tan esparcido en el espacio que la mayor´ıa de las estrellas en la galaxia permanecen ocultas si solamente las observamos con telescopios opticos. ´

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Figura 1.2. La imagen actual de nuestra galaxia.

La imagen actual que se tiene de nuestra galaxia, es muy diferente de la de Kapteyn (figura 1.2). Aunque se conf´ıa m´ as en los datos disponibles ya que se han obtenido con nuevas y complejas t´ecnicas de observaci´ on no puede descartarse la posibilidad de existencia de errores sistem´ aticos o conceptuales en este campo. (Discovering Astronomy; W. H. Jeffrys y R. R. Robbins (1981); Cap. I)

1.2.2. Incertidumbre en medidas reproducibles Si a pesar de la influencia de los errores sistem´aticos y aleatorios, no se detecta variaci´ on de una medici´on a otra, quiere decir que la variaci´ on no rebasa la mitad de la m´ınima escala del instrumento de medici´ on. Este criterio es u ´ til y puede establecerse en el caso de aparatos de medida sencillos: regla, transportador, balanza, probeta graduada, man´ ometro, term´ ometro de mercurio, etc. El fabricante garantiza que sus instrumentos est´ an dise˜ nados y construidos de tal manera que aunque sufran variaciones accidentales, al hacer una medici´on, el aparato introduce una incertidumbre m´axima igual a la mitad de la divisi´on m´ as peque˜ na de la escala. Si al medir la longitud de un objeto con una regla en mm se obtiene 28.4 cm, la incertidumbre ser´a de 0.05 cm y el resultado se reporta como: (28.4 ± 0.05) cm. Hay casos especiales que pueden incluirse: el vernier, ciertamente no es sencillo, pero si permite leer d´ecimas de mil´ımetro, la incertidumbre

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ser´ a de media d´ecima de mil´ımetro. Para el cron´ometro se puede utilizar la misma regla siempre y cuando se consideren tiempos “peque˜ nos”, ya que para tiempos grandes el cron´ometro puede introducir errores sistem´ aticos mucho mayores que la mitad de la divisi´on m´as peque˜ na del cron´ ometro. En pocas palabras: En casos en que se usen aparatos de medida sencillos, si la medici´ on es reproducible se asigna una incertidumbre igual a la mitad de la divisi´on m´as peque˜ na del instrumento. Ejemplo 1.2.1. Si al medir repetidas veces la masa de una piedra en una balanza cuya m´ınima escala es de 0.1 g, se obtiene siempre 37.2 g, la incertidumbre, (δm), ser´a de 0.05 g y el resultado se reportar´a como: m = (37.2 ± 0.05) g y as´ı, el intervalo de incertidumbre ser´a de 37.15 a 37.25 g. 1.2.3. Incertidumbre en medidas no reproducibles Cuando se hacen repeticiones de una medida en las mismas condiciones y ´estas resultan en general diferentes, tomando en cuenta que la medida “real” no se puede conocer, surgen dos preguntas interesantes: a) ¿Cu´ al es el valor que se reporta?, es decir: ¿Cu´al es el valor m´as probable? b) ¿Qu´e incertidumbre se asigna a este resultado? Para resolver el inciso a), se acepta por el momento que el valor m´as ¯ que se calcula como sigue: representativo es el promedio X ¯ = X1 + X2 + · · · + Xn X n en donde X1 , X2 , . . . , Xn son las lecturas particulares y n es el n´ umero de repeticiones. (Ver Ap´endice B). En cuanto a la pregunta del inciso b), el tratamiento riguroso de esta cuesti´ on pertenece a la estad´ıstica. En este curso introductorio, se usar´ a un criterio muy sencillo: es evidente que la incertidumbre debe reflejar la diversidad (dispersi´on) de valores obtenidos y adem´as, interesa que el intervalo definido capture, en lo posible, el valor verdadero de la medici´ on. En tal situaci´on, se asigna como incertidumbre la desviaci´ on absoluta m´ axima (d.a.m.), que es simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas.

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Se ilustra lo anterior en el siguiente caso: Al medir el tiempo de vaciado del agua contenida en un embudo cuando escurre por el fondo, despu´es de repetir el experimento cinco veces en las mismas condiciones, se obtuvieron los siguientes datos: t1 = 35.4 s t2 = 30.2 s t3 = 33.0 s t4 = 29.6 s t5 = 32.8 s. El tiempo m´ as probable (t¯) es: t1 + t2 + t3 + t4 + t5 t¯ = = 32.2 s 5 Los valores extremos son; 35.4 s y 29.6 s. La mayor de las diferencias ocurre con 35.4 s: |32.2 s − 35.4 s| = 3.2 s. La incertidumbre asociada (d.a.m.) es entonces 3.2 s y el resultado se reporta como: t = (32.2 ± 3.2) s. Por supuesto, si una de las lecturas difiere considerablemente del resto, seguramente no se trata de un error accidental, sino de una “metida de pata”. Advertencia: N´ otese que si el n´ umero de repeticiones aumenta, la dispersi´ on de datos se har´ a mayor y la d.a.m. crecer´a, lo cual va en contra de la asignaci´ on de incertidumbre en estad´ıstica. Consid´erese este criterio (d.a.m.) para asignar incertidumbres a mediciones no reproducibles, como un escal´on u ´ til en la formaci´on cient´ıfica del estudiante para llegar despu´es a la estad´ıstica como la herramienta m´ as refinada para resolver el problema de la incertidumbre debida a los errores estoc´ asticos o aleatorios. El tratamiento estad´ıstico para la asignaci´on de incertidumbres a mediciones no reproducibles se da en el Ap´endice B al final de este manual.

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1.2.4. Incertidumbre absoluta El error absoluto se define como la diferencia absoluta entre el valor verdadero de una magnitud y el valor medido. Como el valor real es desconocido, para prop´ositos pr´acticos se usar´a como incertidumbre absoluta a la (δX) que es simplemente la incertidumbre asociada a la medici´ on (d.a.m. o la mitad de la divisi´on m´as peque˜ na, o la incertidumbre por error de calibraci´on) como se explica en las partes: 1.2.2. Incertidumbre en medidas reproducibles y 1.2.3. Incertidumbre en medidas no reproducibles. 1.2.5. Incertidumbre relativa δr X Otra forma de evaluar las incertidumbres es la incertidumbre relativa. Para ilustrar lo que es la incertidumbre relativa, se consideran los siguientes casos de mediciones de longitud, efectuadas ambas con una cinta m´etrica cuya m´ınima escala es 0.1 cm: Ancho de una puerta: a = (150.0 ± 0.05) cm Largo de un l´apiz: L = (10.0 ± 0.05) cm Como se ve, la incertidumbre absoluta es la misma en ambas mediciones, sin embargo, 0.05 cm repartidos en 150.0 cm es mucho menos que lo que es al repartirse en 10.0 cm o en otras palabras, que la significancia de 0.05 cm es mayor cuando se miden 10.00 cm que cuando se miden 150.0 cm. As´ı pues, la incertidumbre relativa es el cociente que resulta entre la incertidumbre absoluta y la magnitud observada: δr x =

δx x0

y para los ejemplos anteriores: δr a =

0.05 cm = 0.00033 150.0 cm

y δr L =

0.05 cm = 0.005. 10.0 cm

Como se ve, la incertidumbre relativa es una magnitud adimensional. 1.2.6. Incertidumbre porcentual δ % X Si se dice que una medici´on, Xo , tiene una incertidumbre de un 50 % cualquiera puede darse una idea de la magnitud de error, a´ un

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Cifras significativas

sin conocer la magnitud observada e igual suceder´ıa si el error fuera de 5 %. Es por eso que la incertidumbre porcentual es el ´ındice m´as com´ unmente usado para especificar la precisi´on de una medida y se eval´ ua multiplicando la incertidumbre relativa por 100 %: δ % X = δr X × 100 % Continuando con los ejemplos anteriores, nos queda: δ % a = 0.00033 × 100 % = 0.033 % δ % L = 0.005 × 100 % = 0.5 % 1.2.7. Por qu´e manejar incertidumbres Parece que complican las cosas innecesariamente, pero se puede decir y se comprobar´ a en las pr´acticas que, en el uso de incertidumbres descansa una buena parte de la validez del curso. Al hacer un experimento y encontrar diferencia entre los resultados y el texto, es f´ acil para el estudiante echarle la culpa a los aparatos o a los errores cometidos cuando no se analizan ni se cuantifican. La aplicaci´ on de ciertas t´ecnicas que se aprender´an en este curso, har´ a que el estudiante sienta confianza en sus resultados, lo ayudar´a a desterrar el esp´ıritu de cuchareo y le har´a sentir que el experimento “s´ı sale”. 1.3. Cifras significativas En una medici´ on, son cifras significativas todas aquellas que pueden leerse directamente del aparato de medici´on utilizado. El reportar medidas con el n´ umero correcto de cifras significativas, indica impl´ıcitamente, la m´ınima escala del instrumento de medici´on y a su vez esto, est´ a dando otra manera de estimar la incertidumbre. Ejemplo 1.3.1. La cantidad de 12.49 cm, medida con un vernier cuya m´ınima escala es 0.01 cm, tiene cuatro cifras significativas: 1, 2, 4 y 9, puesto que en ese vernier pueden leerse hasta las cent´esimas de cent´ımetro e impl´ıcitamente se est´a considerando un intervalo de incertidumbre que va desde 12.485 cm, hasta 12.495 cm.

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Ejemplo 1.3.2. Si la m´ınima escala del vernier fuera de 0.05 mm = 0.005 cm, el dato del ejemplo 1.3.1 estar´ıa mal expresado ya que deber´ıa reportarse como 12.490 cm, quedando as´ı indicado que la medici´on hab´ıa sido tomada con un instrumento de medici´on que mide hasta 5 cent´esimas de mil´ımetro. En este caso la expresi´on tendr´ıa 5 cifras significativas correctas y se estar´ıa considerando un intervalo de incertidumbre desde 12.4875 cm hasta 12.492 5 cm, tomando en cuenta que en este ejemplo la incertidumbre ser´ a de 0.0025 cm (la mitad de la m´ınima escala del vernier). Si al expresar un resultado no se hace ninguna indicaci´on de su incertidumbre (d.a.m., % de error, etc.), debe entenderse que se est´a haciendo uso del criterio anterior. Se ilustran a continuaci´on, algunas situaciones particulares: a) Cuando las cifras no tienen sentido. La medida 2.047 63 kg obtenida con una balanza de sensibilidad 1/10 g, tiene cinco cifras significativas: 2, 0, 4, 7 y 6. El 3, que corresponde a cent´esimas de gramo, no puede leerse en esta balanza y por consiguiente, no tiene sentido. b) Cifra apreciada. Cuando el observador intenta calcular una fracci´on de la longitud entre dos marcas sucesivas de una escala y asigna un n´ umero a la aproximaci´ on, est´a dando una cifra apreciada. En una medici´ on de 10.57 cm, con regla en mil´ımetros, el 7 es cifra apreciada y la medici´on tiene s´olo 3 cifras significativas. En ocasiones se presenta la siguiente situaci´on: La longitud est´a entre 36 y 37 mm; aproximadamente a la mitad. ¿C´omo se reporta? ¿(36.5 ± 0.5) mm? ¿(37 ± 0.5) mm? En estos casos se justifica apreciar una cifra m´as con el objeto de centrar el intervalo de incertidumbre: (36.5 ± 0.5) mm. Simplemente se asegura as´ı que la longitud est´e comprendida entre 36 y 37 mm. La cifra apreciada no es significativa de acuerdo a nuestra definici´ on y se indica subray´andola.

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Cifras significativas

Figura 1.3. ¿Cu´ al es la lectura?

c) El punto decimal. Cuando tenemos que: 3.714 m = 37.14 dm = 371.4 cm = 3714 mm, en todos los casos hay 4 cifras significativas. La posici´on del punto decimal es independiente del n´ umero de ellas. d) El cero como cifra significativa. En los casos en que haya necesidad de hacer cambio de unidades agregando ceros a la derecha o a la izquierda se tiene que, tomando el ejemplo anterior: 3.714 m = 0.003 714 km = 3.714 × 10−3 km. Tomando la segunda igualdad se ve que el n´ umero de cifras significativas es 4 y los ceros agregados no cuentan como cifras significativas. Por otro lado, transformando a micras: 3.714 m = 3 714 000 µ = 371.4 × 104 µ y tomando la segunda igualdad el n´ umero de cifras significativas sigue siendo 4. En otras palabras, que la notaci´on de potencias de 10 resuelve el problema para estos casos. Debe notarse que este u ´ ltimo criterio se aplica si y s´olo si los ceros agregados a la izquierda o a la derecha resultan de una transformaci´on de unidades, porque si no es as´ı, los ceros a la derecha pueden ser significativos como en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.3.3. Al medir con una regla cuya m´ınima escala son los mil´ımetros, la magnitud observada es de 27.0 cm. El cero de la derecha es significativo e indica, como ya se dijo, que la m´ınima escala del instrumento con el cual se midi´o son las d´ecimas de cent´ımetro. El cero de la derecha no fue agregado puesto que fueron observados 270 mm y por lo tanto la medici´ on tiene 3 cifras significativas.

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Mediciones e incertidumbres

1.4. Redondeo En mediciones no reproducibles, es muy com´ un que al calcular el valor promedio, y de ah´ı su incertidumbre, se obtengan m´as cifras que la cantidad de cifras significativas que indica el aparato de medici´on. En estos casos es necesario redondear. Despu´es de efectuadas todas las operaciones necesarias —promedio y d.a.m.— se redondea el valor promedio al n´ umero de cifras decimales que son significativas y para la incertidumbre se acepta una cifra m´as. Redondear una medici´on con cifras decimales es aproximar la u ´ ltima cifra significativa, haci´endola crecer en una unidad o suprimiendo todos los d´ıgitos que le siguen a su derecha con los siguientes criterios: a) Si el d´ıgito que sigue a la derecha de la u ´ ltima cifra significativa es menor que cinco, simplemente se suprime ´este y todo lo dem´as que le siga. Por ejemplo, si se trata de redondear a d´ecimas: 7.83 12.5438

redondeado, da redondeado, da

7.8 12.5

b) Si lo que sigue a la derecha de la u ´ ltima cifra significativa es mayor que cinco, la u ´ ltima cifra significativa crece una unidad. Si la u ´ ltima cifra significativa es la de las mil´esimas: 3.4857 6.1997

redondeado, da redondeado, da

3.486 6.200

14.4564

redondeado, da

14.456

c) Si la cifra que sigue a la que se quiere redondear es precisamente cinco, la cifra redondeada sube una unidad si es impar, y se conserva suprimiendo el cinco, si es par. Si la u ´ ltima cifra significativa es la de las cent´esimas: 1.485

redondeado, da

1.48

45.335

redondeado, da

45.34

1.4.1. Redondeo en n´ umeros Es muy com´ un que en cocientes como por ejemplo 10/3 o 1/6 o en n´ umeros irracionales como son π o e, se tenga un sinn´ umero de cifras

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Operaciones con cifras significativas

decimales. En estos casos, el redondeo se efect´ ua usando los criterios antes mencionados y en el n´ umero de cifras decimales que se quiera. El n´ umero π, calculado con 12 cifras decimales es: π = 3.141 592 653 589 pero redondeado a menos cifras puede ser: 3.141 6 o 3.142 o 3.14 o 3.1. El n´ umero 1/6 = 0.166 666 . . . redondeado puede ser 0.166 7, 0.167, 0.17 o 0.2. 1.5. Operaciones con cifras significativas En la pr´ actica experimental, muy comunmente se dan los casos en que se tienen que hacer operaciones aritm´eticas con mediciones de diferente n´ umero de cifras decimales significativas. El criterio general que se sigue para expresar el resultado en estos casos se ilustra en el ejemplo 1.5.1. Ejemplo 1.5.1. Un joven sali´o de su casa en auto y tard´o 10 minutos para llegar a la de su amiga. All´ı pasaron 45 segundos para que ella abordara el carro y despu´es ya juntos se tardaron alrededor de 1 hora para llegar a la Universidad. ¿Podr´ıa decir este joven que emple´o 1 hora 10 minutos y 45 segundos en el trayecto de su casa a la Universidad? Pues no. Tendr´ıa que haber medido la u ´ ltima hora con una precisi´on de segundos, y no fue as´ı. La mejor apreciaci´ on que podr´ıa hacer del tiempo ser´ıa “alrededor de una hora” o sea que la precisi´on del resultado final est´a determinada por la precisi´ on de la cantidad peor medida. Asimismo en las operaciones de cantidades que tienen diferente n´ umero de cifras decimales, el resultado debe expresarse con tantas cifras decimales como corresponde a la cantidad que menos cifras decimales tenga. 1.5.1. Suma y resta con cifras significativas Como se vio en el ejemplo 1.5.1, si se quieren sumar: Una medida con precisi´ on de mil´esimas a otra con precisi´on de d´ecimas —menos precisa que la primera— el resultado deber´a expresarse con precisi´on de d´ecimas, redondeando.

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Mediciones e incertidumbres

Por ejemplo al efectuar la suma: 26.03 1.485 + 0.9 28.415 El resultado redondeado ser´ıa: 28.4 El tercer t´ermino s´ olo se aproxima a las d´ecimas, luego entonces el resultado se redondea hasta las d´ecimas y se reporta como 28.4. En otras palabras, que no se podr´ıa reportar una precisi´on de m´as de una cifra decimal si alguno de los sumandos no pasa de una. Para la resta el procedimiento es el mismo. Al restar 21.276 − 3.3 = 17.976 el resultado redondeado que se reporta es 18.0. 1.5.2. Multiplicaci´ on y divisi´on con cifras significativas Aqu´ı tambi´en como en la suma y resta, el criterio que se sigue para determinar el n´ umero de cifras significativas es el de que la precisi´on del resultado final est´ a determinado por la cantidad peor medida. As´ı la precisi´ on de una multiplicaci´on o divisi´on no puede ser mejor que la precisi´ on de la cantidad menos precisa que aparezca como factor. Por ejemplo al efectuar la multiplicaci´on: 325.054 × 1.2 65 0108 325 054 390.0648 El resultado redondeado ser´ıa: 390.1 El factor de menos precisi´on tiene una sola cifra decimal y en consecuencia el resultado se redondea a 390.1 con una sola cifra decimal. Al dividir 458.0 ÷ 0.37 = 1 237.837 83 . . . el resultado redondeado que se reporta es 1 237.8, puesto que el factor de menos precisi´on tiene una sola cifra decimal. Nota: En el Ap´endice E al final de este manual se dan ejercicios de Aplicaci´on en mediciones, Incertidumbres, Cifras significativas y Redondeo.

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2 MEDICIONES INDIRECTAS

M

edici´ on indirecta es aquella que se obtiene como resultado de operaciones realizadas con dos o m´as mediciones directas. Hasta aqu´ı, todas las medidas efectuadas han sido directas, en el sentido de comparar la magnitud desconocida con la unidad de medida. Sin embargo, pensando un poco, se ver´ıa que las medidas directas no son las u ´ nicas, que su porcentaje es minoritario y que tampoco son las m´ as importantes: ¿Cu´ al es la masa de la Tierra? ¿El n´ umero de pinos de un bosque? ¿La temperatura en el interior del Sol? ¿La cantidad de gl´ obulos rojos en la sangre de una persona?, y ¿el contenido de az´ ucar o colesterol? ¿La carga del electr´on? Ninguna de las mediciones anteriores puede obtenerse directamente y su determinaci´on implica un buen conocimiento de la f´ısica o la biolog´ıa. 2.1. Propagaci´ on de incertidumbres Cuando se realizan operaciones aritm´eticas con valores experimentales, el resultado siempre tiene una incertidumbre. En lo que sigue, se analizan y obtienen resultados generales para la suma, resta, multiplicaci´ on, divisi´ on y potenciaci´on de mediciones directas. a) Suma Si una magnitud es el resultado de la adici´on de otras dos: Z = X + Y, donde

X = Xo ± δX Y = Yo ± δY

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 20 — #36

Mediciones indirectas

entonces,

Z = (Xo ± δX) + (Yo ± δY )

Z = (Xo + Yo ) ± (δX + δY ) Si,

Z = Zo ± δZ

entonces,

Zo = Xo + Yo

y

δZ = δX + δY.

Ejemplo 2.1.1. Al medir el largo de una mesa con una regla de 30 cm graduada en mm, se obtuvo 78 cm ¿es correcto? No, el resultado debe calcularse as´ı: X1 = (30.0 ± 0.05) cm

X2 = (30.0 ± 0.05) cm X3 = (18.0 ± 0.05) cm

⇒

Zo = (30.0 + 30.0 + 18.0) cm

Zo = 78.0 cm δZ = (0.05 + 0.05 + 0.05) cm δZ = 0.15 cm δZ es la incertidumbre absoluta de Z y entonces, Z = (78.0 ± 0.15) cm, aunque ser´ıa conveniente, en este caso, usar una cinta m´etrica. b) Resta Si Z = X − Y El valor m´ aximo de Z es: Zo + δZ = (Xo + δX) − (Yo − δY ) = (Xo − Yo ) + (δX + δY ) y el valor m´ınimo de Z: Zo − δZ = (Xo − δX) − (Yo + δY ) = (Xo − Yo ) − (δX + δY )

20

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 21 — #37

´ n de incertidumbres Propagacio

entonces, Z = Zo ± δZ = (Xo − Yo ) ± (δX + δY ) con Zo = Xo − Yo

y

δZ = δX + δY.

Ejemplo 2.1.2. Z = X − Y en donde: X = (28.0 ± 0.05) cm

Y = (27.0 ± 0.05) cm Zo = (Xo − Yo ) = (28.0 − 27.0) cm = 1.0 cm

δZ = (δX + δY ) = (0.05 + 0.05) cm = 0.1 cm; Z = (1.0 ± 0.1) cm. Conclusi´ on: tanto en la suma como en la resta de dos mediciones la incertidumbre absoluta del resultado es la suma de las incertidumbres absolutas de las mediciones. c) Multiplicaci´ on Si Z = a · b donde a y b son cantidades medidas directamente y por lo tanto: a = ao ± δa

y b = bo ± δb

entonces: Z = (ao ± δa) · (bo ± δb) y desarrollando paso a paso el producto de binomios se tiene que Z = ao bo ± ao δb ± bo δa + (δa)(δb) donde el u ´ ltimo t´ermino del miembro derecho, por ser producto de incertidumbres, es de magnitud despreciable en comparaci´on a los dem´as y se desprecia quedando: Z = ao bo ± (ao δb + bo δa)

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 22 — #38

Mediciones indirectas

y como Z = Zo ± δZ

y

Z o = ao b o δZ = ao δb + bo δa

es la incertidumbre absoluta de Z. La incertidumbre relativa * de Z, se calcula con δZ y Zo : δr Z =

δZ ao δb + bo δa δb δa = = + Zo ao b o bo ao

y de aqu´ı se ve que la incertidumbre relativa en un producto es la suma de las incertidumbres relativas de cada uno de los factores. d) Divisi´ on P = Zo ± δZ Q En donde P = Po ± δP Si,

Z=

y

Q = Qo ± δQ Po ± δP entonces, Z = = Zo ± δZ Qo ± δQ

De todas las combinaciones posibles con los signos se puede determinar el valor m´ aximo de Z o sea Zo + δZ que estar´a dado al dividir el valor m´ aximo de P entre el valor m´ınimo de Q esto es, Zo + δZ =

Po + δP Qo − δQ

(2.1)

y el valor m´ınimo de Z ser´a el cociente del valor m´ınimo de P entre el m´ aximo de Q, o sea, Zo − δZ =

Po − δP Qo + δQ

(2.2)

y restando miembro a miembro la expresi´on (2.2) de la (2.1) se tiene que para el miembro izquierdo (Zo + δZ) − (Zo − δZ) = 2δZ * Ver

las secciones 1.2.4, 1.2.5 y 1.2.6, pag. 12 .

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´ n de incertidumbres Propagacio

y para el miembro derecho Po + δP Po − δP (Qo + δQ)(Po + δP ) − (Qo − δQ)(Po − δP ) − = Qo − δQ Qo + δQ (Qo − δQ)(Qo + δQ)

por lo tanto: 2δZ =

Qo Po + Qo δP + Po δQ + δQδP − [Qo Po − Qo δP − Po δQ + δQδP ] Q2o − (δQ)2

sumando t´erminos semejantes y suprimiendo (δQ)2 por ser despreciable frente a Q2o 2(Po δQ + Qo δP ) 2δZ = Q2o y de aqu´ı que: δZ =

Po δQ + Qo δP Q2o

es la incertidumbre absoluta de Z, y: Zo =

Po Qo

Por otra parte, la incertidumbre relativa de Z ser´ıa: , δZ Po Po δQ + Qo δP δr Z = = Zo Q2o Qo δr Z =

Qo (Po δQ + Qo δP ) δQ δP = + . Po Q2o Qo Po

Conclusi´ on: Tanto en el caso de un producto como de un cociente, la incertidumbre relativa asociada al resultado es la suma de las incertidumbres relativas asociadas a cada medici´on directa. En consecuencia, las incertidumbres porcentuales en el producto y en el cociente tambi´en resultan de la suma de las incertidumbres porcentuales de los factores. e) Potenciaci´ on Por lo antes visto en el inciso c) referente a la multiplicaci´on, se tiene que si: T = To ± δT

T 2 = (To ± δT )2 = (To ± δT )(To ± δT )

∴ T 2 = To2 ± 2To δT

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 24 — #40

Mediciones indirectas

de aqu´ı se ve que la incertidumbre absoluta de T 2 es 2To δT y que: δr (T 2 ) =

δT 2To δT =2 2 To To

T 3 = T 2 · T = (To2 ± 2To δT )(To ± δT )

—–

T 3 = To3 ± To2 δT ± 2To2δT ± 2To (δT )2 ∴ T 3 = To3 ± 3To2 δT

y

δr (T 3 ) =

3To2δT δT =3 3 To To

As´ı pues, procediendo de la misma manera, se tiene que: T 4 = T 3 · T = To4 ± 4To3 δT

y

δr (T 4 ) = 4

δT To

y que para toda potencia n donde n puede ser positiva negativa o fraccionaria: T n = Ton ± |n|Ton−1 δT

y

δr (T n ) = |n|

δT . To

Ejemplo 2.1.3. √ T = T 1/2 = To1/2 ± |1/2|To1/2−1δT √ T = To1/2 ± (1/2)To−1/2 δT que puede escribirse como: √ δT T = To1/2 ± √ 2 To donde la incertidumbre absoluta de T est´a dada por: √ δT δ( T ) = √ 2 To y, por lo tanto: √ δr ( T ) =



δT √ 2 To

p    1 δT δT = . To = 2To 2 To 24

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 25 — #41

´ n de incertidumbres Propagacio

Ejemplo 2.1.4. X −3 = Xo−3 ± | − 3|Xo−3−1 δX X −3 = Xo−3 ± 3Xo−4 δX

por lo tanto la incertidumbre absoluta de X −3 est´a dada por:   3δX 1 = δ 3 X Xo4 de donde, δr



1 X3



3δX = Xo4



3Xo3 δX δX 1 = =3 Xo3 Xo4 Xo

es su incertidumbre relativa. Nota: En el Ap´endice E se dan ejercicios para tarea o para repasar las partes de mediciones directas e indirectas.

25

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3 RELACIONES ENTRE VARIABLES

U

n experimento es una de las actividades a la que muy frecuentemente se recurre para comprender la naturaleza de un fen´omeno, para comprobar o demostrar lo que te´oricamente se deduce o por otras muy diversas razones. Para avocarse a ello, es necesario comenzar por la identificaci´on de las variables caracter´ısticas cuyo cambio podr´ıa ser observado cualitativa y cuantitativamente. El conocimiento de las variables y la forma en que dependen unas de otras, o sea saber cu´al es la relaci´on que existe entre ellas, permite obtener informaci´on del proceso y posteriormente elaborar un modelo de ´el. Sin embargo, estudiar sistemas caracterizados por varias variables es confuso, complicado y muchas veces imposible. Por lo tanto, es conveniente y siempre es posible, restringir el n´ umero de variables y analizar los sistemas por partes. As´ı pues, la selecci´ on de las variables de acuerdo al tipo de informaci´ on que se busca, es el primer paso a efectuar en un experimento. Cuando un fen´ omeno puede ser descrito por dos variables, se dice que una es la variable independiente y la otra la dependiente. En el laboratorio, la variable “independiente” es la variable controlada, o sea, aquella a la que el experimentador le asigna valores determinados y la “dependiente”, es la variable que resulta afectada por los valores asignados a la variable independiente. Una vez que se ha escogido cu´al ser´a la variable independiente y cu´ al la dependiente, lo que sigue es determinar los l´ımites dentro de los cuales se modificar´ a la variable independiente, as´ı como determinar cu´ antos valores o qu´e valores asignarle, esto es, planificar el m´etodo a seguir en el estudio de tal fen´omeno. En un laboratorio escolar como el nuestro es necesario adem´as tomar en cuenta que el experimento a realizar estar´ a restringido por el material disponible en el laboratorio y por el tiempo que lleva hacer cada medici´on. En resumen, para iniciar

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Relaciones entre variables

un experimento es necesario analizar con detenimiento y determinar, seg´ un sea el objetivo perseguido: a) Las variables a controlar. b) El intervalo dentro del cual van a variarse dichas variables. c) El m´etodo y los instrumentos para medirlas. d) El n´ umero de puntos experimentales a medir. e) El n´ umero de repeticiones de la medici´on para cada punto. Ejemplo 3.1 (Movimiento horizontal ). Para este experimento se cuenta en nuestro laboratorio con un riel sobre el cual se hace deslizar un bal´ın al que se le imprime energ´ıa cin´etica, dejando caer el bal´ın por un plano inclinado desde cierta altura, tratando de caracterizar un movimiento horizontal en la parte horizontal del riel. Pensando s´ olo en las principales variables que caracterizan este sistema se podr´ıan enumerar las siguientes: 1) La distancia que recorre el bal´ın sobre el plano horizontal. 2) El tiempo que tarda en recorrerla. 3) la fricci´ on que se opone al movimiento. 4) La velocidad que adquiere el bal´ın al llegar al plano horizontal. 5) El di´ ametro del bal´ın. 6) La calidad (esfericidad) y material con que est´a constru´ıdo el bal´ın. Si se utiliza un mismo bal´ın en todo el proceso, los puntos 5 y 6 pasan a ser constantes en un sistema peculiar. La velocidad del bal´ın al llegar al plano horizontal puede ser invariante si se procura soltar el bal´ın siempre desde la misma altura ya que de esta manera, la velocidad ser´a reproducible. En cuanto a la fricci´on, es claro que nunca podr´a ser anulada pero se puede tratar de que, tanto el riel como el bal´ın tengan lo m´ınimo de rugosidades y est´en suficientemente lisos con lo cual esta variable puede ser minimizada. De esta manera, queda un sistema caracterizado por solamente dos variables: distancia y tiempo. De estas dos variables ¿cu´al podr´ıa ser la variable a controlar? Pues la que fuera m´as f´acil de ser controlada como variable independiente.

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Relaciones emp´ıricas

a) Si se escoge la distancia, es necesario ver el riel y dentro de ´el, el intervalo dentro del cual va a variarse la distancia y determinar el n´ umero de puntos experimentales que se van a medir. Si el riel tiene 1.5 m en su parte horizontal y se quieren medir 10 puntos, podr´ıan variarse las distancias de 15 en 15 cm. Esto es, que se medir´ıa con un cron´ometro el tiempo (variable dependiente) que emplea el bal´ın en recorrer 15, 30, 45,. . . , 150 cm marcados en el riel y para cada distancia se medir´ıa el tiempo un m´ınimo de 10 veces. De otra manera, podr´ıan ser 7 puntos variando de 20 en 20 cm o 6 puntos variando de 25 en 25 cm, etc, y en todos los casos la medici´on para cada punto debe ser repetida varias veces y si resulta ser no reproducible, la repetici´on ser´a de 10 o m´as veces. b) Si se escoge el tiempo como variable independiente ser´a necesario hacer dos o tres ensayos para ver el intervalo dentro del cual va a variarse el tiempo. En otras palabras, que si el bal´ın recorre todo el riel en dos segundos y se requiere medir 10 puntos podr´ıan medirse las distancias recorridas (variable dependiente) en 10 intervalos de tiempo diferentes con 0.2 s de diferencia entre cada uno o sea, las distancias recorridas de 0.2, 0.4, 0.6, . . . , 2.0 s midiendo cada una de estas distancias un m´ınimo de 10 veces. Si se variaran los tiempos con 0.5 s de diferencia entre uno y otro s´olo se podr´ıan obtener cuatro puntos diferentes y si se variaran con 0.1 s de diferencia entre uno y otro se podr´ıan medir hasta 20 intervalos diferentes, aunque en la pr´ actica, esto u ´ ltimo ser´ıa imposible. De cualquier manera y en todos los puntos, al igual que en la opci´on a), las mediciones deben repetirse varias veces y entre m´as sean es mejor. 3.1. Relaciones emp´ıricas Como se dice en la parte introductoria a este cap´ıtulo, los prop´ositos perseguidos al realizar un experimento son muy diversos, sin embargo en muchos casos, se trata de investigar la relaci´on entre las variables que caracterizan el fen´ omeno en cuesti´on. Una forma de buscar el tipo de relaci´on que podr´ıa haber entre dos variables, es la de graficar en un sistema de ejes coordenados, los valores asignados a la variable independiente en el eje de las abscisas y los valores obtenidos para la variable dependiente, en el eje de las ordenadas obteniendo as´ı una curva que caracteriza la relaci´on buscada. Toda curva obtenida a partir de datos experimentales es una relaci´on emp´ırica, aunque en algunos casos se denomina as´ı a los resultados ex-

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Relaciones entre variables

perimentales que, sin el apoyo de un modelo te´orico, se originan cuando un investigador encuentra que los cambios en una variable producen efectos diferentes en otra y vale la pena investigar la relaci´on funcional existente. En esta acepci´on, las relaciones emp´ıricas representan el primer paso en el descubrimiento de una ley. Para obtener buenos resultados en la gr´ afica de la curva caracter´ıstica, se sugiere seguir las indicaciones que se dan a continuaci´on para la tabulaci´on y graficado.

3.2. Tabla y gr´afica Es muy conveniente organizar los datos medidos en una tabla. Esta debe ser lo m´ as ordenada clara y expl´ıcita posible. Deber´an verse all´ı tanto las magnitudes observadas como las incertidumbres y unidades. Es conveniente seguir un orden de preferencia creciente para la variable independiente. Los datos as´ı tabulados, facilitar´an la construcci´on de la gr´afica, que se har´ a como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.2. Al realizar un experimento en el laboratorio con un condensador que se descarga a trav´es de una resistencia se midieron los tiempos correspondientes a ciertos valores de la corriente. Los resultados se dan en la tabla 3.1 en la que aparecen los valores de los tiempos correspondientes al promedio de diez mediciones para cada valor de corriente. Tabla 3.1.

I ± 0.5 (µA) 25 20 15 10 5

t ± 0.5 (s) 3.5 8 11 20 31.5

En donde I es la corriente, medida en microamperes, t el tiempo medido en segundos. Las incertidumbres est´an incluidas en la tabla.

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´ fica Tabla y gra

La inspecci´ on de los datos permite hacer la observaci´on trivial de que la corriente disminuye a medida que el tiempo aumenta, pero lo que se pretende en u ´ ltima instancia, trasciende esta simple apreciaci´on. Una forma f´ acil y directa de mostrar la conexi´on entre las variables del fen´ omeno, es la representaci´on gr´afica de los resultados y adem´as, mediante el an´ alisis de los datos y con base en ciertas suposiciones, es posible extraer una gran cantidad de informaci´on. En la figura 3.1 se encuentran representados en un par de ejes rectangulares, los puntos experimentales obtenidos con sus respectivas incertidumbres (ver referencia [12], texto programado, Gr´ aficas y Ecuaciones Emp´ıricas).

30

(I ± 0.5) 6 (µA)

25 20 15 10 5

0

4

8

12

16

20

24

28

32

(t ± 0.5) (s) 36

Figura 3.1. Representaci´ on de puntos experimentales con sus incertidumbres.

El siguiente paso consiste en trazar una curva continua a trav´es de los puntos obtenidos. Si se tuviera una cantidad mucho mayor de puntos y si adem´ as, estos no tuvieran incertidumbre, el trazado de la curva ser´ıa inmediato. Cuando, como en el ejemplo propuesto, los datos son pocos y no exactos, el problema se complica, ya que son muchas las curvas que se podr´ıan trazar.

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Relaciones entre variables

Figura 3.2. Tres posibles curvas adaptadas a los puntos trazados en la gr´ afica.

Conviene recordar en este momento, que el rect´angulo de incertidumbre corresponde a una zona de confianza, en el sentido de que se ignora d´ onde est´ a el punto “verdadero” o “m´as probable”, pero s´ı se puede afirmar, con razonable seguridad que est´a contenido en el rect´ angulo. En consecuencia la curva que mejor se ajuste, tendr´a que pasar por los rect´ angulos, aunque no necesariamente por los centros de los mismos. Es necesario destacar aqu´ı, que adaptar una curva a trav´es de los puntos obtenidos, significa hacer predicciones sobre puntos que no han sido determinados experimentalmente, en otras palabras, la curva representa el comportamiento del fen´omeno. De las curvas presentadas en la figura 3.2, A es la m´as complicada, sugiere la existencia de m´aximos y m´ınimos que pueden ser verificados experimentalmente, tomando m´as mediciones y graficando puntos intermedios. B se construy´o usando segmentos rectil´ıneos que conectan

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Relaciones lineales

los puntos experimentales. Se ve claramente que la supresi´on de alg´ un punto o la adici´ on de otros cambiar´ıa la forma de la gr´afica. La m´as simple es C, predice un comportamiento regular y en este caso ser´ıa la escogida, a reserva de posteriores verificaciones. Para resumir, la curva que mejor se adapta a trav´es de una serie de puntos con incertidumbre, debe ser una curva suave que pase por los rect´ angulos de incertidumbre y con los centros de los rect´angulos igualmente distribuidos a ambos lados de la curva. 3.3. Relaciones lineales Entre las relaciones emp´ıricas, la curva m´as simple que se podr´ıa obtener al graficar una serie de datos experimentales tabulados es la l´ınea recta y corresponde a las llamadas relaciones lineales. Una relaci´ on lineal cuya gr´afica es como ya se dijo, una l´ınea recta, representa el comportamiento del fen´omeno mismo que se expresa en la ecuaci´ on general de la recta, de la forma: Y = mX + b en donde X representa a la variable independiente y Y a la variable dependiente. Adem´ as, si P1 y P2 son puntos de la recta con coordenadas P1 (X1 , Y1 ) y P2 (X2 , Y2 ), la llamada pendiente de la recta m es una magnitud constante que se calcula con: m=

Y2 − Y1 . X2 − X1

As´ı pues, la pendiente m es la tangente del ´angulo que se forma entre la recta y una horizontal adyacente y se calcula por cateto opuesto (Y2 − Y1 ) entre cateto adyacente (X2 − X1 ) de un tri´angulo rect´angulo. Se sabe que m es constante, ya que sean cuales fueren los dos puntos escogidos de la recta, siempre dar´an lugar a tri´angulos rect´angulos semejantes. La cantidad b, que es llamada ordenada al origen, es el valor que le corresponde a Y cuando X = 0; es decir, que es un punto de la recta de la forma (0, Y ). Resumiendo: Y =b

⇔

X = 0.

Esta b, es la otra constante de la ecuaci´on de la recta, que puede ser cero o distinta de cero.

33

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Relaciones entre variables

Si b es igual a 0, la ecuaci´on queda como: Y = mX e indica una relaci´ on de proporcionalidad entre las variables X y Y en donde m es la constante de proporcionalidad. En cambio, si b es distinta de cero, se tiene que Y − b = mX y por lo tanto, si Y ′ = Y −b, Y ′ es proporcional a X ya que la pendiente de la recta, m, es constante. As´ı pues, una relaci´ on lineal indica que existe una relaci´on de proporcionalidad entre las variables en cuesti´on. Es necesario asignar correctamente las unidades que le corresponden a la pendiente de la recta m y a la ordenada al origen b, pues del an´alisis dimensional de ´estas y de la correcta interpretaci´on f´ısica de las mismas puede obtenerse mucha informaci´on del fen´omeno en cuesti´on como se ver´ a en los ejemplos 3.3.1 y 3.3.2. Notas importantes i) Como se dijo en la primera parte de este cap´ıtulo la curva que se escoja a ojo como “la mejor”, tendr´a que pasar por los rect´angulos de incertidumbre aunque no necesariamente por los centros de los mismos. ii) La curva debe ser lo m´as lisa posible. Sin ´angulos ni ondulaciones. iii) Los centros de los rect´angulos deben quedar equidistantemente distribuidos, de dos en dos, a ambos lados de la curva. Esto es, que si uno de los centros queda por arriba de la curva a trazar, otro debe quedar por debajo, equidistantemente. iv) Al ajustar una recta, los puntos experimentales, o sea, los puntos centrales, generalmente no son puntos de la recta. v) Para calcular la pendiente m, los puntos P1 y P2 que necesariamente deben ser puntos de la recta pueden no coincidir con los experimentales. Ejemplo 3.3.1. Para diferentes muestras de hierro, se efectuaron mediciones de las masas y los vol´ umenes respectivos. Los datos obtenidos se consignan en la tabla 3.2, con sus incertidumbres.

34

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Relaciones lineales

La gr´ afica correspondiente se ve en la figura 3.3. De acuerdo con las escalas escogidas, no es posible graficar las incertidumbres en la masa, y en consecuencia, los rect´angulos de incertidumbre se reducen a intervalos o barras. Tabla 3.2.

V ± 0.5 (cm3 ) 1 3 5 8 10

M ± 0.5 (g) 11 23 36 65 75

Al trazar la curva que mejor se adapta a los intervalos de incertidumbre, se obtiene una recta que pasa por el origen. En este caso particular, es muy f´acil obtener la relaci´on entre las variables que intervienen en el fen´omeno ya que la ecuaci´on de una recta que pasa por el origen es de la forma M = KV en donde K es la pendiente de la recta y, por lo mismo, es la constante de proporcionalidad entre M y V . Para el c´ alculo de la pendiente de la recta que en este caso es K, se toman dos puntos de la recta trazada, uno de los cuales puede ser el punto (0, 0) y otro el punto Q, (9, 70). Con estos puntos, K=

70 g 9 cm3

de donde K = 7.8

g . cm3

Como se ve, la pendiente constante K tiene como unidades g/cm3 lo cual permite interpretarla f´ısicamente. La densidad de una substancia se define como: masa ρ= volumen y por lo tanto, sus unidades son: unidad de masa sobre unidad de volumen que son precisamente las unidades de K. De donde se concluye que la pendiente de la recta representa a la densidad de las muestras de hierro del experimento. Finalmente la ecuaci´on obtenida para la recta puede expresarse como:  g  M = 7.8 3 V. cm 35

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Relaciones entre variables

90

6(M ± 0.5) g

80 Q 70 60 50 40 30 20 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(V ± 0.5) cm3 10 11

Figura 3.3. Recta ajustada a trav´es de los puntos experimentales obtenidos en la tabla 3.2.

Ejemplo 3.3.2. A un resorte fijo, suspendido verticalmente, se le cuelgan pesas iguales y se hacen lecturas de los alargamientos (con una regla en cm), conforme se va aumentando el n´ umero de pesas. En la tabla 3.3 se consignan los resultados. Los puntos experimentales, con sus incertidumbres, est´an representados en la figura 3.4. A trav´es de los puntos con sus barras respectivas se puede ajustar una curva,* pero sin que sea necesario hacerlo, es f´acil notar que en la mayor parte de su extensi´on, la curva es pr´acticamente recta. Como se ha visto antes, la recta conduce a la descripci´on m´as simple y, en consecuencia se tratar´ a de adaptar una recta de tal manera que incluya * Se

le llama curva a la gr´ afica de una serie de puntos experimentales, aunque ´ esta sea una recta.

36

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Relaciones lineales

Tabla 3.3.

Carga (pesas) 1 2 3 4 5 6 7

Longitud ± 0.5 (cm) 7 9 11 13 15 18 22

el mayor n´ umero posible de puntos experimentales aplicando el criterio esbozado anteriormente. En la figura 3.4 se ve que se ha trazado la recta “m´as probable” o la “mejor recta”, siguiendo las indicaciones dadas en: i) Pasa por los seis primeros intervalos de incertidumbre. ii) Los centros de los intervalos quedan equidistantemente distribuidos a ambos lados de la recta.(Ver los puntos 1 y 4; los puntos 2 y 3; y los puntos 5 y 6). iii) Aunque los puntos centrales no son puntos de la recta. iv) Para el c´ alculo de la pendiente, los puntos a escoger deben ser necesariamente puntos de la recta, puesto que la pendiente es de la recta. En consecuencia, se pueden escoger los puntos: (0, 4.5), (2.5, 10), (5.25, 16), (5, 15.5) u (8, 22), que pueden ser le´ıdos f´acilmente en la figura 3.4. Tomando los puntos P1 (2.5, 10) y P2 (5, 15.5) se tiene: m=

(15.5 − 10) cm 5.5 cm cm = = 2.2 . (5 − 2.5) pesa 2.5 pesa pesa

La ordenada al origen es el punto 4.5 cm que es lo que se lee en la gr´ afica y por lo tanto la ecuaci´on encontrada es: L = 2.2

cm C + 4.5 cm. pesa

37

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Relaciones entre variables

24

6L±0.5 (cm)

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

6

7

C (pesas)

8

Figura 3.4. En donde L representa a la longitud del resorte y C a la carga.

La relaci´ on encontrada cobra nuevo significado cuando se le da una interpretaci´ on f´ısica, tanto a la pendiente, como a la ordenada al origen de la recta. Es inmediato, en este caso, que la ordenada al origen representa la longitud inicial del resorte ya que representa la longitud

38

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Relaciones lineales

con cero cargas. La pendiente de la recta, representa la constante K del resorte. En cuanto al caso como el del s´eptimo punto que no se pudo alinear aunque se repiti´ o la medici´on para verificar este comportamiento, es un caso que se interpreta f´ısicamente en la siguiente secci´on 3.3.1. 3.3.1. Intervalo de validez Se observa en la figura 3.4 que el u ´ ltimo punto con su barra de incertidumbre, no toca a la recta m´as probable. En estas condiciones, la ecuaci´ on de la recta que describe el comportamiento del fen´omeno, no incluye el u ´ ltimo punto y, en consecuencia, s´olo es v´alida en cierta regi´ on llamada intervalo de validez de la relaci´on emp´ırica obtenida. En otras palabras, que para el resorte utilizado puede afirmarse que: los alargamientos son proporcionales a las cargas, siempre que el resorte no se estire m´ as all´ a de 18cm, o lo que es equivalente, mientras no se le cuelguen m´ as de seis de las pesas utilizadas. En general, todas las leyes f´ısicas describen adecuadamente el comportamiento de los fen´ omenos naturales s´olo dentro de ciertos l´ımites. Como se vio en los ejemplos 3.3.1 y 3.3.2, la interpretaci´on f´ısica de las ecuaciones encontradas, esto es, la magnitud de la densidad y de la constante K del resorte respectivamente dependen del c´alculo preciso de la pendiente y de la ordenada al origen que, por el m´etodo a “ojo” dado en el presente cap´ıtulo, significa el buen tanteo del ajuste de la “mejor recta” a trav´es de los intervalos de incertidumbre. Un m´etodo estad´ıstico de m´ as precisi´on se da en el ap´endice D al final de este manual. 3.3.2. Interpolaci´ on y extrapolaci´on En muchos casos, como ya se dijo, el objetivo de la experimentaci´on es el de obtener un modelo matem´atico que describa alg´ un fen´omeno en cuesti´ on. Esto es, que se busca una ecuaci´on emp´ırica que sirva para poder predecir las magnitudes que tomar´ıa una de las variables en juego al asignarle valores a la otra. Al interpolar o extrapolar se predicen los valores de respuesta de la variable dependiente Y , ante valores de X que no fueron considerados experimentalmente o a la inversa, se predicen valores de X que corresponder´ıan a magnitudes arbitrarias de Y . En la tabla 3.2 del ejemplo 3.3.1 se ve que no se consideraron vol´ umenes de 2, 4, 6, 7 y 9 cm3 , sin embargo, al trazar la recta que pasa por los

39

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Relaciones entre variables

intervalos de incertidumbre de los puntos de la tabla, (ver figura 3.3), se est´ a suponiendo que la recta tambi´en pasa por estos puntos no medidos o sea que se supone que tambi´en se comportan linealmente. Bajo esta suposici´ on, se ve que es posible determinar los valores de masa que les corresponden a los vol´ umenes no considerados, simplemente leyendo los puntos (Vi , Mi ) de la recta que pasa por estos valores de volumen. Asimismo, se podr´ıan determinar los valores de volumen que les corresponden a cualquier valor de masa que est´e dentro de la recta trazada. Determinar el valor de la ordenada Yi que le corresponde a la abscisa Xi o viceversa, dentro del intervalo de valores medidos experimentalmente y graficados es, en una palabra, interpolar. Por supuesto, tambi´en se puede interpolar usando la ecuaci´on encontrada que para el ejemplo dado es:  g  M = 7.8 3 V. cm

Esto es, calcular (M ) d´andole un valor a (V ) con 1 cm3 < V < 10 cm3 o calcular V con 11 g < M < 75 g. Por lo explicado en la secci´on 3.3.1, parece innecesario decir que s´ olamente se puede interpolar dentro del intervalo de validez de la ecuaci´ on encontrada. Adem´as, que si no existe intervalo de validez definido, como en el ejemplo que se est´a tratando, se podr´ıa suponer que para cualquier volumen mayor que el mayor de los vol´ umenes graficados (10 cm3 ) y menor que el menor de los vol´ umenes considerados (1 cm3 ), la recta se seguir´ıa prolongando con la misma pendiente, continua e indefinidamente. Suponi´endolo as´ı, a trav´es de la ecuaci´on se puede calcular la masa que tendr´ıa cualquier volumen a´ un mucho mayor que 100 cm3 y a la inversa, tambi´en se puede calcular el volumen para cualquier masa dada. En efecto, para M = 500.0 g: V =

500.0 g = 64.1 cm3 . 7.8 g/cm3

El suponer que un fen´omeno dado se seguir´a comportando ininterrumpidamente al igual que los datos medidos experimentalmente y utilizar la ecuaci´ on encontrada para calcular valores fuera del intervalo de datos graficados es lo que se llama extrapolar. Si se quiere utilizar la ecuaci´on encontrada en una extrapolaci´on, es conveniente interpolar primero con la ecuaci´on y verificar despu´es

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Relaciones lineales

en la gr´ afica si el valor calculado es punto de la curva. Con este paso simplemente se verifica que la pendiente de la recta y la ordenada al origen est´en bien calculadas. Una vez seguros, se puede extrapolar usando la ecuaci´ on encontrada, para cualquier valor de las variables si es que no hay intervalo de validez definido. 3.3.3. Incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen (Tema opcional para algunos casos) En la gr´ afica de la figura 3.4, se ve que de acuerdo a los criterios establecidos (p´ agina 38), la u ´ nica recta que se podr´ıa trazar es la que ah´ı aparece ya que ninguna otra pasar´ıa por todos los intervalos de in´ certidumbre. Este es un caso excepcional en el que no hay duda de que es la u ´ nica recta que puede pasar por esos intervalos. Sin embargo, en la mayor´ıa de los casos, se encuentra que la incertidumbre de los puntos experimentales conduce a una incerteza en la elecci´on de la recta “m´as probable” o la que “mejor” se adapta a tales puntos. Esta imprecisi´on se da, en algunos casos, a´ un siguiendo los criterios establecidos y naturalmente estar´ a dada por una incertidumbre en la pendiente como se ver´ a en el siguiente ejemplo. Tomando el anterior ejemplo 3.3.2 y la tabla 3.3, suponemos que se traz´ o la figura 3.5, en donde se ve que la recta “m´as probable” o la “mejor recta” podr´ıa ser la l´ınea continua, A, que pasa por los primeros cinco intervalos de incertidumbre, dejando fuera los u ´ ltimos dos. Pero all´ı tambi´en se ve que por los mismos cinco intervalos podr´ıan pasar otras tantas rectas con diferentes pendientes que har´ıan variar tambi´en la ordenada al origen. Es aqu´ı, cuando surge la incertidumbre en la pendiente y la ordenada al origen. De todas las rectas que podr´ıan pasar por los cinco primeros intervalos de incertidumbre, se han trazado en la figura 3.5, dos rectas l´ımite: una punteada que es la recta B, y una pespunteada que es la recta C. Como se puede apreciar, la recta B es la que tendr´ıa la pendiente m´ınima: mmin y la C la pendiente m´axima: mmax . Para evaluar la incertidumbre en la pendiente, es necesario calcular la d. a. m. (desviaci´ on absoluta m´ axima) de estas dos u ´ ltimas pendientes con la de la “mejor recta”, A, trazada a “ojo”. Tomando los puntos (4, 13) y (1, 7) de la recta A:   cm (13 − 7) = 2.0 . m= (4 − 1) pesa 41

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Relaciones entre variables

24

L±0.5 6 (cm) C A B

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

6

7

C (pesas) 8

Figura 3.5. Gr´ afica que muestra la incertidumbre en la pendiente y en la ordenada al origen de una recta.

Con los puntos (1, 7.6) y (7, 18) de la recta B se calcula la pendiente m´ınima:   (18 − 7.6) cm mmin = = 1.7 , (7 − 1) pesa y an´ alogamente se calcula mmax a partir de los puntos (0, 4) y (7, 20.3) de la recta C: mmax =

(20.3 − 4) = 2.3 (7 − 0) 42



cm pesa



;

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Relaciones lineales

entonces, la incertidumbre en la pendiente δm, estar´a dada por la mayor de las diferencias |m − mmin | y |m − mmax | en valor absoluto.   cm |m − mmin | = 0.3 pesa   cm |m − mmax | = 0.3 pesa luego entonces la incertidumbre en la pendiente es:   cm δm = 0.3 . pesa Por otra parte, como la recta m´as probable A no pasa por el origen y por lo tanto su ecuaci´on debe ser de la forma: L = mC + b, en donde L es la ordenada (longitud), C la abscisa (carga), m la pendiente y b la ordenada al origen. De la figura 3.5, se observa que b = 5.0 cm. Ahora bien, si la recta m´as probable tiene una incertidumbre en la pendiente, la ordenada al origen de esta recta debe tener tambi´en una incertidumbre que puede ser calculada an´alogamente. Volviendo a la figura 3.5, se observa que las prolongaciones de las rectas de pendiente m´ınima B y m´axima C, intersectan al eje de las ordenadas en los puntos: (bmax ) = 5.8 cm

y

(bmin ) = 4.0 cm.

Se calculan ahora las diferencias (en valor absoluto), entre la ordenada al origen m´ as probable y las ordenadas al origen m´axima y m´ınima. La mayor de estas diferencias es la que se reporta como incertidumbre: |b − bmin | = 1.0 cm

y

|b − bmax | = 0.8 cm

y en consecuencia, la incertidumbre en la ordenada al origen, δb es: δb = 1.0 cm. Finalmente, la relaci´ on buscada puede expresarse como: L = mC + b

43

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Relaciones entre variables

en donde m = (2.0 ± 0.3) y



cm pesa



b = (5.0 ± 1.0) cm. Notas: Un ejemplo de aplicaci´ on del m´etodo en el experimento “El agua y el aceite” se da en el Cap´ıtulo 6, secci´on 6.1. Ejercicios de repaso o de tarea para la parte de Relaciones Lineales aparecen en el ap´endice E al final de este manual.

44

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4 RELACIONES POTENCIALES

S

er´ an llamadas relaciones potenciales todas aquellas que puedan ser representadas por ecuaciones de la forma general: Y = aX n

en donde Y y X son variables y a y n son constantes. Este tipo de relaciones, como en el caso de las relaciones lineales, son identificables si se conocen las formas caracter´ısticas de las curvas que describen sus gr´ aficas. Es conveniente tabular y graficar ecuaciones como las siguientes para apreciar estas formas: a) Y = 2X 2 b) Y = 1/4X 3 c) Y = 3X √ 1 d) Y = 4X 2 = 4 X √ 1 e) Y = 3X 3 = 3 3 X f) Y = 5X −1 = 5/X g) Y = 2X −3 = 2/X3 . De lo anterior se puede concluir que las curvas trazadas coinciden con lo que aparece en las figuras 4.1 (a) y (b); en otras palabras, que de acuerdo con la potencia n, se pueden distinguir dos tipos de curvas. Parab´ olicas si n es positiva e hiperb´olicas si n es negativa. En general, puede decirse que las relaciones que satisfacen ecuaciones del tipo Y = aX n tienen gr´ aficas como las de la figura 4.2, seg´ un sea n. Utilizando las t´ecnicas conocidas de relaciones lineales pueden determinarse las constantes a y n, de las ecuaciones de este tipo, a trav´es de los m´etodos de:

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Relaciones potenciales

(a)

(b)

Figura 4.1. Casos particulares de relaciones potenciales. a) Curvas parab´ olicas que salen del origen. b) Curvas hiperb´ olicas.

Figura 4.2. Formas caracter´ısticas de las gr´ aficas de ecuaciones de la forma Y = aX n seg´ un el valor de n.

i) cambio de variable; ii) graficado logar´ıtmico; iii) graficado directo en papel log-log.

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Cambio de variable

4.1. Cambio de variable Este m´etodo puede usarse cuando se tiene alguna hip´otesis te´orica acerca del valor de la constante n. Otro procedimiento ser´ıa tantear la n tomando en consideraci´on la forma de la curva, con lo cual se lograr´ıa saber si n > 1, n < 0, 0 < n < 1. Si por la forma de la curva se deduce que es potencial y que por lo tanto su ecuaci´ on es de la forma Y = aX n , debido a que a es constante, tambi´en se deduce que Y es proporcional a X n y que por lo tanto si se grafica Y vs X n cambiando la variable X por X n y si el valor de n es el acertado, se obtendr´ıa una recta. La pendiente de esta recta ser´ıa el valor de la constante de proporcionalidad entre Y y X n o sea el valor de la constante a. Como ya se dijo, es necesario hacer el cambio de variable de X a X = X n para que la gr´ afica Y vs X sea una recta, pero el problema es determinar el valor adecuado de n. Para resolver este problema, los pasos a seguir son los siguientes: a) Se grafican en papel milim´etrico los puntos experimentales y se observa la forma de la curva. b) Seg´ un sea la forma de la curva, se decide el cambio de variable a realizar. Por ejemplo: si la curva es de la forma siguiente, es posible suponer

Figura 4.3. Curva cuya ecuaci´ on ser´ıa Y = aX n

que la relaci´ on entre las variables Y y X sea de tipo potencial, es

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 48 — #64

Relaciones potenciales

decir que su ecuaci´ on sea de la forma Y = aX n , donde el valor de la potencia n estar´ıa en el intervalo (1, ∞) o sea n > 1. c) Tomando un valor arbitrario para n > 1 por ejemplo n = 2 se obtiene, a partir de los datos tabulados para Y y X, la tabulaci´on de Y y X = X 2 no olvidando que la incertidumbre de X = X 2 ser´ıa 2Xo δX (ver 2.1.e) d) Si el cambio de variable fue el adecuado, de la gr´afica de esta segunda tabla se espera obtener una recta cuya ecuaci´on ser´ıa: Y = aX

o sea Y = aX 2 ,

en donde a es la pendiente de la recta y as´ı se habr´a obtenido la ecuaci´ on de la par´ abola de la Fig 4.3. e) Si el cambio de variable no fue el correcto, la gr´afica de Y vs X n no es una recta y entonces, es necesario repetir el proceso anterior usando otro valor para la potencia n > 1. Por ejemplo: n = 3 o n = 27 con sus respectivas incertidumbres, hasta obtener la recta. f) Otra forma es, como se dijo al principio de esta secci´on, tomar en consideraci´ on los antecedentes te´oricos del fen´omeno en cuesti´on, si es que los hay y tomar la n adecuada para el cambio de variable. Ejemplo 4.1.1. Intensidad de iluminaci´on. Consid´erese una fuente luminosa muy peque˜ na que irradia luz en todas direcciones. El problema que interesa consiste en determinar la variaci´on de la intensidad de iluminaci´ on sobre una pantalla a medida que cambia la distancia entre la pantalla y el foco. Para estudiar la situaci´on, basta con tomar en cuenta la luz propagada dentro del volumen ilustrado en la Fig 4.4. Conforme la distancia aumenta, la luz se distribuye en un ´area mayor. Ya que la luz viaja en l´ınea recta, al duplicar la distancia, el ´area delimitada es cuatro veces mayor (demostrarlo). En otras palabras, el ´area (A) es proporcional al cuadrado de la distancia (r): A ∝ r2

(4.1)

Como la luz se distribuye en una superficie cuatro veces m´as grande, la intensidad se reduce a la cuarta parte. El ´area y la intensidad son, entonces, inversamente proporcionales: I∝ 48

1 A

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Cambio de variable

Figura 4.4. Porci´ on de luz emitida por el foco F.

Usando el resultado (4.1) se obtiene: I∝

1 r2

Lo anterior expresa que la intensidad de iluminaci´on es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Experimento: Con el prop´ osito de probar la suposici´on anterior, se realiza el experimento siguiente: un foco peque˜ no (en comparaci´on con las distancias que se van a usar) se coloca en el extremo de una regla en cent´ımetros. Un dispositivo que mide la intensidad luminosa se sit´ ua en diferentes lugares sobre la regla. Los valores obtenidos se muestran en la tabla 4.1, con sus correspondientes incertidumbres, donde r es la distancia en cent´ımetros (cm), I la intensidad en candelas (cd). Al graficar los resultados se obtiene la figura 4.5. Haciendo uso de la hip´otesis inicial, se procede a efectuar el cambio de variable indicado: R = r12 para graficar I en funci´on de R. Es necesario calcular previamente, la incertidumbre propagada de R. Como

1 = r−2 r2 δR = (δr−2 ) R=

49

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 50 — #66

Relaciones potenciales

Tabla 4.1.

r ± 0.5 (cm)

I ± 0.5 (cd)

20

65

30 40

28 16

50

10

60

7

Figura 4.5. Gr´ afica de la intensidad luminosa en funci´ on de la distancia.

y por lo visto en el inciso e) de la parte 2.1 (p´ag. 23) δ(r−2 ) = | − 2|ro−3 δr = entonces

δR = 2δr/ro3 50

2δr ro3

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Graficado logar´ıtmico

Efectuando los c´ alculos se llega a la siguiente tabla. Tabla 4.2. r ± 0.5

r2 2

r3 2

3

R 3

−5

(10

cm

δR −2

)

−5

(10

cm

I ± 0.5 −2

(cm)

(10 cm )

(10 cm )

20

4

8

250

12.50

)

(cd) 65

30

9

27

110

3.70

28

40

16

64

62

1.56

16

50

25

125

40

0.80

10

60

36

216

28

0.46

7

La gr´ afica correspondiente se da en la figura 4.6. Dentro de las incertidumbres asociadas, es posible ajustar una recta, cuya ecuaci´ on es: I = KR con K = 2.6 × 104 cm2 cd. Finalmente, la relaci´ on buscada es: I=

K . r2

on emp´ırica encontrada va de acuerdo —en el Como se ve, la ecuaci´ intervalo de distancias usadas— con lo sugerido por la teor´ıa. Nota: Un ejemplo de aplicaci´on del m´etodo en el experimento “Movimiento en dos dimensiones” se da en el Cap´ıtulo 6, secci´on 6.2.

4.2. Graficado logar´ıtmico Un m´etodo m´ as preciso para determinar las constantes a y n de una ecuaci´ on de la forma Y = aX n es el uso de la herramienta logar´ıtmica. Para abordar este tema, se debe tener conocimiento previo de qu´e son los logaritmos, cu´ ales son sus propiedades y c´omo se utilizan. Los estudiantes que ya tengan estas nociones pueden pasar a lo que sigue, pero si no es as´ı deber´ an consultar el ap´endice C de este manual.

51

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 52 — #68

Relaciones potenciales

70

6 I ± 0.5 (cd)

60 50 40 30 20 10

0

R ± 2 δr ro3 (10−5 cm−2 ) 50

100

150

200

250

Figura 4.6. Gr´ afica de la intensidad luminosa en funci´ on de la nueva variable R.

Por las propiedades de los logaritmos, de una ecuaci´on potencial de la forma: Y = aX n se tiene que o

log Y = log a + log X n log Y = log a + n log X.

Asignando un nuevo nombre a las variables como sigue: Y = log Y

A = log a X = log X

52

(4.2)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 53 — #69

Graficado logar´ıtmico

y sustituyendo en la ecuaci´on (4.2) se tiene que Y = nX + A

(4.3)

que es la ecuaci´ on de una recta. De ah´ı se deduce que en una gr´afica Y vs X en papel milim´etrico, la curva que se espera obtener es una recta con pendiente n y ordenada al origen A o lo que es lo mismo: que la gr´afica de log Y vs log X es una recta cuya pendiente es n y la ordenada al origen es log a. En un an´ alisis retrospectivo de la manera en que se obtuvo la ecuaci´ on de esta recta se ve que la pendiente n es la potencia de X en la ecuaci´ on Y = aX n , y que de la ordenada al origen A = log a se puede obtener la constante a. En efecto, si:

o en una calculadora:

A = log a antilog A = a

inv(log a) = a.

Es importante se˜ nalar que la recta obtenida mediante la aplicaci´on de logaritmos es, para este caso, solamente una recta auxiliar mediante la cual se llega a la ecuaci´on de la curva potencial, de tipo parab´olico o hiperb´ olico. Como ejercicio se sugiere graficar los valores de la tabla 4.3* y obtener la relaci´ on que existe entre X y Y . Tabla 4.3.

X

Y

2.5

11.0

5.0 10.0

6.7 4.3

20.0 40.0

2.9 1.6

60.0

1.4

Se espera que pueda hacerlo con las explicaciones anteriores pero si encuentra dificultades, siga los siguientes pasos: * Por

simplicidad, los valores de la tabla 4.3 aparecen sin incertidumbre

53

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 54 — #70

Relaciones potenciales

a) Grafique en papel milim´etrico los puntos de la tabla 4.3. b) Trace la curva y deduzca la forma de su ecuaci´on (figura 4.7) donde X es la variable independiente y Y la variable dependiente. c) Si la curva es potencial, haga una nueva tabla, en la que aparezcan los valores de X, Y , log X y log Y , calculando los logaritmos a partir de la tabla 4.3, como se ve en la tabla 4.4. d) Grafique log Y vs log X, en papel milim´etrico (figura 4.8) e) Si se obtiene una recta, calcule su pendiente. El valor constante de m ser´ a la potencia de la variable X. f) La ordenada al origen de la recta obtenida, que corresponde a log a (ver ecuaci´ on 4.2), sirve para obtener la constante de proporcionalidad, entre Y y X n . Esto es, que la constante a, de Y = aX n , se obtiene calculando el antilogaritmo o el inverso del logaritmo de la ordenada al origen de la recta auxiliar. 6Y 11 10 8 6 4 2 X 0

10

20

30

40

50

60

70

Figura 4.7. Gr´ afica Y vs X que corresponde a los valores de la tabla 4.3.

54

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 55 — #71

Graficado logar´ıtmico

Tabla 4.4.

X

Y

log X

log Y

2.5 5.0

11.0 6.7

0.398 0.699

1.0414 0.8261

10.0 20.0

4.3 2.9

1.000 1.301

0.6335 0.4624

40.0

1.6

1.602

0.2041

60.0

1.4

1.778

0.1461

En la figura 4.8 se ve la gr´afica log Y vs log X, que es una l´ınea recta. Tomando los puntos (0.5, 0.95) y (1.5, 0.3) de ella, se tiene que: m= y

2 0.95 − 0.3 0.65 = = −0.65 ≈ − 0.5 − 1.5 −1 3

log a = 1.28 o

a = antilog 1.28 = 19.05

∴ 10

y entonces

1.28

= a = 19.05

Y = (19.05)X −2/3

es la ecuaci´ on que corresponde a la hip´erbola de la figura 4.7. 4.2.1. Graficado logar´ıtmico con incertidumbres Como ya se dijo en el ejercicio anterior, la tabla 4.3 aparece sin incertidumbres por simplicidad y porque algunas veces se llega de esa manera directamente a la ecuaci´on buscada. Pero, cuando en las mediciones se obtienen datos cuyos logaritmos no se alinean claramente en una recta, es necesario graficar los logaritmos de las mediciones incluyendo sus incertidumbres. Si una medici´ on x est´a dada por x = xo ± δx, significa que el valor real de x est´ a dentro del intervalo de valores (xo − δx, xo + δx) (secci´ on 1.2, p´ ag. 5). El logaritmo x estar´a entonces, dentro del intervalo (log(xo − δx), log(xo + δx)). Cabe se˜ nalar aqu´ı que, por las propiedades de los logaritmos, ser´ıa un error muy grave decir que si: x = xo ± δx entonces log x = log xo ± log δx porque una suma de logaritmos es el logaritmo de un producto (A.C.1.3, pag.131), y por lo tanto: log(xo ± δx) 6= log xo ± log δx. 55

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 56 — #72

Relaciones potenciales

6log Y

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

log X 0

0.4

0.8

1.2

1.6

1.8

Figura 4.8. Gr´ afica log Y vs log X que corresponde a los valores tomados de la tabla 4.4.

As´ı pues, es necesario calcular el log(xo − δx) y log(xo + δx) de cada punto con lo cual obtendremos un intervalo de incertidumbre dentro del cual se encuentra log x. Por ejemplo, si x = (4.5 ± 0.05)cm, entonces log x est´ a entre log 4.45 y log 4.55, esto es, que log x est´a dentro del intervalo (0.6484, 0.6580).

56

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 57 — #73

Graficado en papel logar´ıtmico

4.3. Graficado en papel logar´ıtmico ´ Este es un m´etodo que simplifica el graficado y determinaci´on de las constantes a y n de una ecuaci´on potencial de la forma Y = aX n . Se trata del graficado directo en papel logar´ıtmico o log-log como com´ unmente se le llama por ser un papel cuadriculado a escala logar´ıtmica en los dos ejes coordenados. Para graficar se tomar´a en cuenta que a partir de la intersecci´on de los ejes coordenados, cada ciclo es mayor que el anterior por un factor de 10. As´ı pues, si el primer ciclo representa los logaritmos de los n´ umeros del 1 al 10, el siguiente ciclo representa a los logar´ıtmos del 10 al 100 y el siguiente del 100 al 1000 o a la inversa para logar´ıtmos de n´ umeros 0 < n < 1* . Por ejemplo para graficar un logaritmo de 8 en uno de los ejes se escoge uno de los ciclos de ese eje y de ´el el n´ umero 8. La posici´on del log 80, ser´ıa sobre el 8 del ciclo inmediato superior y la posici´on del log 0.8 quedar´ıa sobre el 8 del ciclo inmediato inferior. En la figura 4.9, se muestra un ejemplo de papel log-log y c´omo se graficar´ıan los siguientes puntos de la tabla 4.5, que fueron escogidos arbitrariamente. Tabla 4.5.

X

Y

A B

0.015 0.13

0.5 1

C D

1 8

2 4

E F

80 400

9 15

La posici´ on que ocupa un punto cualquiera en el papel log-log (por ejemplo, el punto D : (8, 4) de la figura 4.9), es la posici´on que ocupar´ıa el punto (log 8, log 4) en un papel milim´etrico. Por lo tanto, al graficar log y vs log x, usando este papel, no es necesario calcular los logaritmos de cada uno de los datos de y y de x, y se grafica directamente y vs x. Redundando de otra manera, un punto (3, 7), en papel * Se

recuerda aqu´ı que no existen logar´ıtmos de n´ umeros n ≤ 0.

57

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 58 — #74

Relaciones potenciales

log-log se lee (log 3, log 7), al igual que (0.06, 45), en papel log-log se lee (log 0.06, log 45). An´ alogamente a lo explicado en la secci´on 4.2, una recta en papel log-log es una recta de la forma: log y = log b + m log x, y por las propiedades de los logaritmos, (ver Ap´endice C) log y = log b + log xm y tambi´en: de donde:

log y = log bxm y = bxm

es una relaci´ on potencial entre las variables y y x. La potencia m se obtiene calculando la pendiente de la recta en log-log y la constante b, de su ordenada al origen. Tomando dos puntos: (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) de la recta, que se leen como: (log x1 , log y1 ) y (log x2 , log y2 ), la pendiente se calcula con: m=

log y1 − log y2 . log x1 − log x2

En cuanto a la ordenada al origen de esta recta, que corresponder´ıa al log b, es necesario recordar que, en papel milim´etrico, se trata de un punto de la recta, (0, y), en donde se puede leer el valor que toma la ordenada y cuando la abscisa x vale cero. En este caso, la recta est´ a graficada en papel log-log, y considerando que: log 1 = 0, la ordenada al origen de una recta en papel log-log, es un punto de la forma (log 1, log b) o sea que log b se lee en el punto donde la recta intersecta a la vertical que corresponde a log 1 (que es igual a cero). Para la recta de la figura 4.9, tomando de ella dos puntos cualesquiera que podr´ıan ser B y E, se tiene que: m=

log 1 − log 9 0 − 0.9542 −0.9542 = = = 0.3421 log 0.13 − log 80 −0.8861 − 1.9031 −2.7892

La ordenada al origen que se lee en el punto C corresponde a: log b = log 2 ∴ b = 2 as´ı a la recta de la figura 4.9 le corresponde la ecuaci´on: y = 2x0.3421 .

58

59

1

1

1

0.01

2

4

7

2

4

7

0.02

0.04

0.07

0.1

B

0.2

0.4

4

0.7

7

1

1

C

2

2

4

4

7

7

D

1

10

20

2

40

4

70

7

E

1

100

200

2

4

F

400

1 100

1

0.2

0.4

0.7

2

4

7

10

0.1 1000 700

7

20

2

2

A

1

40

7

102

4

4

101

70

2

100

7

1

10−1

Figura 4.9. Gr´ afica de y vs x en papel log-log de 3×5 ciclos, en donde aparecen 6 puntos que corresponden a A : (0.015, 05); B : (0.13, 1); C : (1, 2); D : (8.4); E : (80, 9); F : (400, 15).

10−1

100

101

1

10−2

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 59 — #75

Graficado en papel logar´ıtmico

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 60 — #76

Relaciones potenciales

Lo anterior se ilustra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 4.3.1. Al graficar los datos de la tabla 4.6 en papel milim´etrico se obtiene la curva de la figura 4.10. La hip´erbola obtenida, hace suponer que se trata de una relaci´on potencial de la forma Y = aX n . Se grafican los valores de la tabla 4.6 en papel log-log y se obtiene la recta de la figura 4.11. La obtenci´on de una recta en papel log-log, confirma la suposici´ on de que se trata de una relaci´on potencial y se procede a calcular la pendiente de la recta que ser´a la potencia n y la ordenada al origen que ser´ a la constante de proporcionalidad a entre Y y X n como se dijo en la secci´ on 4.2. Tabla 4.6.

X

Y

0.3

13.0

0.6 0.9

9.5 8.5

1.2 1.5

7.5 6.5

3.0

5.0

Como los puntos (1, 8) y (3, 5) del papel log-log, son puntos de la recta, la pendiente de la recta se puede calcular por: m=

log 8 − log 5 0.9031 − 0.6990 0.2041 = = log 1 − log 3 0 − 0.4771 −0.4771

de donde m = −0.4278. En la figura 4.11 se observa que la ordenada al origen, o sea log a, es igual a log 8, dado que es en log 8 donde la recta intersecta la vertical que corresponde a log 1 = 0, entonces: log a = log 8, y as´ı a = 8. Por lo tanto la relaci´ on entre Y y X es: Y = 8X −0.4278 . Por simplicidad, los datos de la tabla 4.6 de este ejemplo aparecen sin incertidumbre, pero el graficado en papel logar´ıtmico de datos con incertidumbres es tan sencillo como localizar 2 puntos para cada dato,

60

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 61 — #77

Graficado en papel logar´ıtmico

Y 13 6 12

10

8

6 5 0.0

X 3.0

1.5

Figura 4.10. Gr´ afica de los puntos de la tabla 4.6 en papel milim´etrico.

Y 20

6

10 8

5

0.1

0.2

0.4

1

2

3

5

X

Figura 4.11. Gr´ afica en papel log-log de los valores correspondientes a la tabla 4.6.

61

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 62 — #78

Relaciones potenciales

de tal manera que si y = yo ±δy, se buscan en el papel log-log los puntos yo + δy y yo − δy con lo que se conforma el intervalo de incertidumbre (ver 4.2.1, p´ ag. 55). Otro ejemplo ilustrativo es el que se da a continuaci´on. Se recomienda a los estudiantes: a) Desarrollarlo siguiendo cualquiera de los tres m´etodos conocidos. b) Verificar si la Tercera Ley de Kepler es aplicable a un sistema cualquiera de ´ orbitas en el sistema solar. Ejemplo 4.3.2. Tercera Ley de Kepler. De la tabla 4.7, encuentre la relaci´ on que existe entre el per´ıodo y el radio de la ´orbita de los sat´elites de Urano. Tabla 4.7. Datos estimados de los sat´elites de Urano tomados de: Astronomy, Mayo 1986, 14, 6–22.

´ SATELITE

PER´IODO

´ RADIO DE ORBITA

(d´ıas)

(km × 104 )

I

1986U7

0.33

II III

1986U8 1986U9

0.37 0.43

5.33 5.91

IV V

1986U3 1986U6

0.46 0.48

6.18 6.27

VI VII

1986U2 1986U1

0.49 0.51

6.44 6.61

VIII IX

1986U4 1986U5

0.56 0.62

6.99 7.51

X

1985U1

0.76

8.59

XI XII

Miranda Ariel

1.41 2.52

12.94 19.10

XIII XIV

Umbriel Titania

4.14 8.71

26.60 43.59

XV

Oberon

13.46

58.35

62

4.93

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 63 — #79

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general. . . Feno

4.4. Fen´ omenos que se describen por una ecuaci´on general de la forma y = y0 + bxn o y = a + bx + cx2 Hasta aqu´ı se han visto relaciones potenciales de la forma y = axn y tres maneras diferentes para determinarlas pero ´estas son relaciones potenciales muy particulares en las que y = 0 en x = 0 y es necesario conocer otras herramientas para los casos en que y 6= 0 en x = 0; esto es, para determinar ecuaciones de la forma: y = y0 + bxn

o

y = a + bx + cx2 .

Para ilustrar estos casos, se dar´an dos ejemplos en los que se presentan estos problemas que se resuelven auxiliados por los antecedentes te´ oricos. 4.4.1. Relaci´ on P vs V del aire Es muy com´ un en laboratorios escolares, que se hagan mediciones de volumen de aire a diferentes presiones utilizando para ello una jeringa. Aunque el aire es una mezcla de varios gases se podr´ıa echar mano de la ley de Boyle para ver si funciona. Por la ley de Boyle se sabe que el volumen de una masa dada de gas ideal, es inversamente proporcional a la presi´ on ejercida por ese gas a temperatura constante; esto es: P ∝ V −1

a T = cte.,

o en otras palabras, que la relaci´on que existe entre P y V −1 es una relaci´ on lineal con ecuaci´on general de la forma: P = mV −1 + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen. Haciendo un cambio de variable de V a V −1 y graficando en papel milim´etrico P vs V −1 , se obtiene la recta de donde se puede calcular la pendiente y la ordenada al origen con sus respectivas unidades. Adem´ as, mediante un an´alisis dimensional se pueden interpretar f´ısicamente ambas. (Secci´ on 4.1). A continuaci´ on se muestran la tabla de datos y gr´afica obtenidos por estudiantes de F´ısica General de la Facultad de Ciencias, unam, en un experimento de este tipo.

63

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 64 — #80

Relaciones potenciales

Figura 4.12. Dispositivo que se us´ o en el experimento.

Tabla 4.8. Tabla de datos en donde V es el volumen de aire contenido en una jeringa y P ∗ ∝ P es la presi´ on ejercida sobre el volumen de aire por el ´embolo.

(V ± 0.5) (ml)

(P ∗ ± δP ∗ ) (g/cm2 )

18 17

40.92 ± 1.07 54.84 ± 0.48

20 19

12.88 ± 0.45 26.93 ± 1.12

16 15

73.86 ± 1.89 94.33 ± 3.05

14

115.47 ± 1.32

La presi´ on ejercida sobre el volumen de aire estar´ıa dada por: P =

64

F A

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 65 — #81

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general Feno

donde A ser´ıa el ´ area de la cabeza del ´embolo y F = mg, ser´ıa el peso de las pesas; la masa de las pesas m, multiplicada por la aceleraci´on de la gravedad, g = 981 cm/s2 pero como ´esta es un factor multiplicativo constante para todas las masas, en este caso se us´o una P ∗ = 1/gP = m/A que es proporcional a P con unidades de g/cm2 . La hip´erbola que se observa en la figura 4.13 hace suponer que la ley de Boyle funciona para el gas aire y se procede al cambio de la variable V por V −1 ; tabla 4.9. Tabla 4.9.

V −1 (ml−1 ) 0.0500 0.0526

(P ∗ ± δP ∗ ) (g/cm2 ) 12.88 ± 0.45 26.93 ± 1.12

0.0555 0.0588

40.92 ± 1.07 54.84 ± 0.48

0.0625 0.0666 0.0714

73.86 ± 1.89 94.33 ± 3.05

115.47 ± 1.32

Al graficar P ∗ vs (1/V ) se observa una recta (Fig. 4.14), en donde tambi´en se ve que la ordenada al origen tendr´ıa unidades de presi´on con signo negativo, y que el aire se comporta como un gas ideal, puesto que la ley de Boyle es v´alida en este caso. El c´ alculo de la pendiente y la ordenada al origen se hizo por medio del ajuste de la recta por m´ınimos cuadrados, (ap´endice D) encontrando que: P ∗ = KV −1 + P0∗ con y

P0∗ = −225.675g/cm2

K = 4789.0055g ml/cm2 .

La ordenada al origen P0∗ es la presi´on que existe cuando 1/V tiende a cero, o sea que P0∗ es la presi´on que le corresponde a una columna de aire cuyo volumen es inmensamente grande, por lo tanto se puede concluir que P0∗ es proporcional a la presi´on atmosf´erica.

65

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 66 — #82

Relaciones potenciales

P ∗ ± δP ∗ 6(g/cm2 )

110 100

80

60

40

20 V ± 0.5 (ml) 0 10

12

14

16

18

20

Figura 4.13. Hip´erbola obtenida mediante la gr´ afica de P ∗ vs V , que corresponde a los datos de la tabla 4.8.

As´ı pues, en un experimento como ´este, es necesario tomar en cuenta que, en adici´ on a cualquier presi´on ejercida siempre estar´a presente la presi´ on atmosf´erica y que por lo tanto su ecuaci´on ser´ıa de la forma: P + P0 = KV n .

66

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 67 — #83

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general Feno

P∗ (g/cm2)

6

100 80 60 40

V −1 (ml−1 )

20

-

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

-40

-80

-120

-160

-200

Figura 4.14. Recta correspondiente a la tabla 4.9.

En este ejemplo se ve que la ecuaci´on encontrada es de forma diferente a las que hasta aqu´ı se han visto. Los estudiantes de este curso pueden encontrarse con relaciones que por la forma de su curva, son claramente potenciales y que sin embargo al graficar en papel log-log se encuentran con que la distribuci´on de puntos no es lineal. En estos casos es necesario hacer una revisi´on te´ orica del fen´ omeno porque puede tratarse de relaciones de la forma: Y = Y0 + bX n , donde Y0 , b y n son constantes.

67

(4.4)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 68 — #84

Relaciones potenciales

Despu´es del an´ alisis te´orico, si se considera que debe existir un t´ermino adicional Y0 , lo que se puede hacer es buscar la relaci´on potencial por el m´etodo de cambio de variable. Si se tienen antecedentes te´ oricos del fen´ omeno, se puede proponer un valor para la constante n y si no se tiene idea del valor que puede tomar n es necesario seguir lo que se explica en la secci´on 4.1. De otra manera, si Y0 es un par´ametro conocido, lo que se puede hacer es considerar una ecuaci´on de la forma: Y + Y0 = bX n y as´ı, por lo que se explica en las secciones 4.2 y 4.3, se tiene que: log(Y + Y0 ) = log b + n log X es la ecuaci´ on de una recta auxiliar de donde pueden obtenerse las constantes b y n de la ecuaci´on buscada. 4.4.2. Ecuaci´ on de movimiento El problema de determinar la ecuaci´on de movimiento de un cuerpo es muy frecuente en los cursos de laboratorio de mec´anica cl´asica. Esto es, y en funci´ on del tiempo t o d en funci´on de t. (Ca´ıda libre, tiro parab´ olico, plano inclinado, etc.) Despu´es de medir con cuidado estas variables, los estudiantes pueden ser sorprendidos con que la gr´afica en papel milim´etrico de y vs t es una par´ abola que no sale del origen y que inexplicablemente, para ellos, la gr´ afica en log-log no es una recta. Como en el ejemplo anterior (secci´ on 4.4.1), se trata de una relaci´on potencial pero su ecuaci´on no es de la forma y = axn y es necesario echar mano de otras herramientas. Puede tratarse de una relaci´on de la forma: y = a + bx + cx2 + · · · + zxn , o de otra manera, de la forma: y = y0 + v0y t + 21 gt2 , que por antecedentes te´oricos les es familiar a todos los estudiantes de f´ısica. Para estos casos, los logaritmos no ayudar´an y debe recurrirse al ajuste de par´ abolas por m´ınimos cuadrados que se da en el Ap´endice D,

68

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 69 — #85

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general Feno

aplic´ andolo al caso particular de que se trate. A continuaci´on se decribe un experimento en el que se trat´o de determinar las ecuaciones de la trayectoria par´ abolica de un m´ovil. El experimento fue realizado mediante fotograf´ıa estrobosc´opica en el laboratorio de Mec´ anica Cl´asica de la Facultad de Ciencias. La informaci´ on que se dar´ a enseguida, fue tomada del reporte de trabajo de un alumno. Se tom´ o la fotograf´ıa de una pelota de ping-pong que al rebotar sobre una mesa describi´o un movimiento de trayectoria parab´olica. La imagen se ilumin´ o con un estroboscopio trabajando a una frecuencia de 2100 RPM. Se colocaron 2 reglas de 100 cm detr´as del plano de desplazamiento de la pelota, como marco de referencia y con el objeto de poder establecer la relaci´on de escala entre las longitudes que se pudieron medir en la proyecci´on del negativo en una pantalla. Con la iluminaci´ on intermitente del estroboscopio y el obturador de la c´ amara abierta a 1.8, se obtuvo una pel´ıcula en negativo de cuya proyecci´ on se pudo apreciar que la regla de 100 cm de la fotograf´ıa med´ıa 28.5 cm en la pantalla. Esto es que, mediante la conocida “regla de tres” se pudo calcular el desplazamiento real de la pelota en las direcciones de x y y, midiendo directamente las longitudes en la pantalla. Suponiendo que α es una longitud medida en la pantalla y que se quiere determinar la magnitud real X, entonces: 28.5 cm — 100 cm α—X ∴

α(100) = X. 28.5

(4.5)

Los intevalos de tiempo se calcularon mediante la frecuencia de emisi´ on de la luz (2100 rpm), considerando que, si en cada emisi´on de luz se tiene una imagen de pelota, entre una y otra el intervalo de tiempo es de: 1 60 min = s. 2100 2100 Los datos obtenidos de las mediciones en la pantalla —no los reales— de los desplazamientos X, Y y los calculados del tiempo t, se dan en la tabla 4.10. Un desplazamiento en trayectoria par´abolica, es el resultado de la composici´ on de dos movimientos: uno horizontal a velocidad constante y otro vertical en ca´ıda libre. Como se ve en la figura 4.15, la trayectoria

69

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 70 — #86

Relaciones potenciales

22.1 21.3

y ± 0.05 (cm)

0.057 0.085

0 0.028

t (s)

0.0032 0.0072

0 0.0008

t2 (s2 )

1.1799 1.6745

0 0.5964

yt (cm s)

0.0673 0.1423

0 0.0167

yt2 (cm s2 )

0.00018 0.00061

0 0.00002

t3 (s3 )

0 6.1 × 10−7

t4 (s4 )

7 8

5 6

11.2 8.7

15.3 13.4

18.5 17.0

0.285

0.228 0.257

0.171 0.200

0.114 0.142

0.3129

Σ t2 =

0.0812

0.0520 0.0660

0.0292 0.0400

0.0130 0.0202

19.7981

Σ yt =

1.7385

2.5536 2.2359

2.6163 2.6800

2.1090 2.4140

3.4452

Σ yt2 =

0.4955

0.5822 0.5746

0.4474 0.5360

0.2404 0.3428

0.07012

Σ t3 =

0.02315

0.01185 0.01697

0.00500 0.00800

0.00148 0.00286

0.0168

Σ t4 =

2.7 × 10−3 4.4 × 10−3 6.6 × 10−3

11.2

9.0 10.0

6.7 7.8

4.6 5.7

2.1 3.4

0.0 1.1

x ± 0.05 (cm)

Tabla 4.10. En donde se muestran los datos medidos en la proyecci´ on en pantalla, no los reales, para las variables y y t, adem´ as de t2 , yt, yt2 , t3 y t4 con sus respectivas sumatorias y el n´ umero, n, de puntos considerados. Y, en la u ´ltima columna, los desplazamientos en la direcci´ on x.

1 2 20.7 19.7

1.0 × 10−5 5.2 × 10−5

3 4

9 10

6.1

1.567

Σt =

1.7 × 10−4 4.1 × 10−4

11

174

Σy =

8.5 × 10−4 1.6 × 10−3

n = 11

70

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 71 — #87

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general Feno

ascendente es sim´etrica a la descendente y por lo tanto, fue suficiente con analizar una de las dos partes de la figura. El movimiento horizontal es una relaci´on lineal que se pudo analizar con los conocimientos adquiridos en el cap´ıtulo 3 (ver 3.3, p´ag. 33), trabajando con los datos de x y t de la tabla 4.10. Para el movimiento vertical, se grafic´ o y vs t, tomando los datos de la misma tabla y se obtuvo una par´ abola que no sale del origen. Sale del punto (0, 22) y por lo tanto su ecuaci´ on no es de la forma Y = aX n . Por los antecedentes te´oricos, se sabe que el desplazamiento de un cuerpo en ca´ıda libre tiene una ecuaci´on de la forma: y = y0 + v0y t + 21 gt2

(4.6)

en donde la variable independiente es t, la variable dependiente es y y la m´ axima potencia en t es 2. Por lo tanto, se tuvo que resolver un sistema de 3 ecuaciones simult´aneas, (ver el Ap´endice D en la secci´on D.2), de la forma:     

Σ y = na + b Σ t + c Σ t2 2

Σ yt = a Σ t + b Σ t + c Σ t 2

2

3

(4.7) 3

Σ yt = a Σ t + b Σ t + c Σ t

(4.8) 4

(4.9)

El sistema se resuelve para a, b y c, por cualquiera de los m´etodos conocidos pero en este caso, con ayuda de una calculadora fue f´acil resolverlo num´ericamente. Los siguientes desarrollos se dan paso a paso para aquellos estudiantes que no lo hayan podido resolver. Todos los datos que aparecen tabulados en la tabla 4.10, con excepci´ on de la columna x, son los necesarios para resolver por m´ınimos cuadrados, el sistema de 3 ecuaciones que est´a conformado por las ecuaciones 4.7, 4.8 y 4.9. Aqu´ı se resolver´ a el el sistema por substituci´on. Tomando los datos de la tabla 4.10 y la ecuaci´on (4.7), se tiene que: 174 = 11 a + (1.567) b + (0.3129) c. 1 [174 − (1.567) b − (0.3129) c ] 11 de la ecuaci´ on (4.8), se tiene que: ∴

a=

19.7981 = (1.567) a + (0.3129) b + (0.0701) c

71

(4.10)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 72 — #88

Relaciones potenciales

Figura 4.15. Esquema del dispositivo utilizado para la fotograf´ıa.

1 [19.7981 − (0.3129) b − (0.0701) c ]. 1.567 Igualando (4.10) y (4.11), y eliminando denominadores: ∴

a=

(4.11)

1.567[174 − (1.567) b − (0.3129) c ] =

= 11[19.7981 − (0.3129) b − (0.0701) c ] (4.12)

agrupando t´erminos en b y c de (4.12): 54.8789 = −0.9864 b − (0.2808) c.

(4.13)

Sustituyendo (4.10) en (4.9): 3.4452 =

0.3129 [174 − (1.567) b − (0.3129) c + (0.0701) b + (0.0168) c ]. 11

Multiplicando toda la ecuaci´on por 11 se tiene que: 37.8972 = 54.4446 − 0.4903 b − 0.0979 c + 0.7711 b + 0.1848 c. Agrupando los t´erminos en b y c: −16.5474 = (0.2808) b + (0.0869) c. 72

(4.14)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 73 — #89

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general Feno

Despejando b de (4.13) y (4.14): b=

1 [−54.8789 − (0.2808) c ] 0.9864

1 [−16.5474 − (0.0869) c ]. 0.2808 Igualando (4.13’) a (4.14’) y eliminando denominadores: b=

(4.13’) (4.14’)

0.2808(−54.8789 − 0.2808 c) = 0.9864(−16.5474 − 0.0869 c) −15.41 − 0.079 c = −16.322 − 0.0857 c (4.15) ∴

0.0067 c = −0.912 ∴ c = −136.12.

(4.16)

Sustituyendo (4.16) en (4.13’): b=

1 [−54.8789 − (0.2808)(−136.12)] 0.9864 ∴ b = −16.886 ≈ −16.89.

(4.17)

Sustituyendo (4.16) y (4.17) en la ecuaci´on (4.11): a=

1 [19.7981 + (0.3129)(16.89) + (0.0701)(136.12)] 1.567 1 [19.7981 + 5.2849 + 9.542] a= 1.567 a = 22.10

y este u ´ ltimo resultado concuerda con la tabla, ya que a = y0 = 22.1 cm en t = 0 s. Las magnitudes de a, b y c fueron obtenidas mediante datos medidos en la proyecci´ on en pantalla y por lo tanto, mediante la ecuaci´on (4.5) deben ser calculadas las magnitudes reales. De ah´ı que: a = 77.54;

b = −59.26;

c = −477.61.

De esta manera se tiene que: y = 77.54 − (59.26) t − (477.61) t2 y que es una ecuaci´ on incompleta puesto que falta asignarle las unidades a los coeficientes constantes. Por medio de an´alisis dimensional

73

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 74 — #90

Relaciones potenciales

se determinan las unidades y ´estas a su vez caracterizar´an f´ısicamente cada una de las constantes. De acuerdo a lo que se explica en el an´alisis dimensional de la secci´ on 2.1 del Ap´endice D, se analiza la ecuaci´on (4.7). Las ecuaciones por ser igualdades deben tener las mismas unidades en ambos miembros de la igualdad. Observando la ecuaci´on (4.7) se ver´a que el lado izquierdo de la igualdad Σ y tiene unidades en cent´ımetros puesto que y est´a dada en esa unidad de medida, y siendo as´ı, la suma de los tres t´erminos de la derecha debe estar dada en cm y por lo mismo, cada uno de los tres t´erminos de la derecha deben tener unidades en cm, como a continuaci´ on se muestra: (Σ y) cm = na cm + (bΣ t)cm + (cΣ t2 ) cm. El primer t´ermino de la derecha es na y n es un n´ umero sin unidades, por lo tanto a debe estar en cm, de donde a = 77.54 cm es una longitud o distancia. El segundo t´ermino es b Σ t en donde Σ t est´a en segundos. Si, α cm b Σ t = α cm; b= Σts de donde por ser igualdad, b debe tener unidades de cm/s, por lo tanto: b = −59.26 cm/s es una velocidad negativa (es decir, vector en sentido negativo ↓). El tercer t´ermino es c Σ t2 , y como Σ t2 tiene unidades de s2 : si,

c Σ t2 = γ cm;

c=

γ cm Σ t2 s 2

y por lo mismo, c debe tener unidades de cm/s2 , de donde c = −477.61 cm on negativa (vector en sentido negas2 es una aceleraci´ tivo ↓). Finalmente, con los resultados anteriores se tiene que la ecuaci´on que le corresponde a este movimiento en su parte en ca´ıda libre es:   cm  cm  y = 77.54 cm + −59.26 t + −477.61 2 t2 . (4.18) s s Comparando la ecuaci´ on (4.18) con la ecuaci´on (4.6) se concluye que efectivamente, ambas son de la misma forma y que 77.54 cm es la altura a la que se encontraba la pelota en t = 0, o sea y0 . Adem´as que

74

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 75 — #91

´ menos que se describen por una ecuacio ´ n general Feno

−59.26 cm/s es la velocidad inicial V0y , y que −477.61cm/s2 es la aceleraci´ on negativa que en la ecuaci´on (4.6) aparece como 21 g, esto es, que si −477.61 cm/s2 = 12 g ⇒ −955.22 cm/s2 = g. De esto u ´ ltimo se puede concluir que el experimento llevado a cabo en las condiciones en que ya se explic´o, da una aceleraci´on de la gravedad, en la Ciudad de M´exico de 955.22 cm/s2 y que efectivamente la ecuaci´ on que le corresponde a un movimiento en ca´ıda libre es de la forma: y = y0 + v0y t + 12 gt2 . Nota: Ejercicios para el tema de relaciones potenciales, aparecen en el Ap´endice E al final de este manual.

75

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 77 — #93

5 RELACIONES EXPONENCIALES

E

xisten en la naturaleza gran cantidad de fen´omenos que se pueden describir mediante una ecuaci´on general de la forma: Y = b · 10mX

o

Y = a · ekX ,

donde b y m, a y k son constantes, que llevan la variable independiente en el exponente y que son llamadas relaciones exponenciales. Para la comprensi´ on de este tema, se recomienda graficar en papel milim´etrico y observar las formas de las curvas A y B que se obtienen de las tablas 5.1 de valores para X y Y . Tablas 5.1.

A X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

Y 1.0 1.4 2.0 2.8 4.0 5.6 7.9 11.2 15.8 22.4 31.6

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y 70.0 44.0 27.9 17.6 11.1 7.0 4.4 2.8 1.8 1.1 0.7

La gr´ afica en papel milim´etrico de estas tablas (Fig 5.1), permite ver que la curva A se parece a una par´abola que no parte del origen, sino del punto (0, 1), y que la curva B es una curva asint´otica al eje X y que corta al eje y en (0, 70).

77

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 78 — #94

Relaciones exponenciales

Figura 5.1. Gr´ aficas de los puntos correspondientes a las tablas 5.1, A y B, en papel milim´etrico.

Se puede asegurar que en ninguno de los casos se trata de una relaci´ on lineal y se podr´ıa pensar que fueran relaciones potenciales entre las variables X y Y o sea, que su ecuaci´on fuera de la forma Y = aX n . En consecuencia, para encontrar los valores de a y de n se proceder´ıa a graficar en papel log-log. La gr´ afica de las tablas A y B en papel log-log, sorpresivamente no dan las rectas esperadas (Fig 5.2). Lo que pasa es que se trata de un nuevo tipo de relaci´ on con ecuaci´on de la forma Y = b · 10mX donde y y X son variables y b y m son constantes. As´ı pues, por las formas de las curvas A y B de la Fig 5.1 se puede decir que las gr´aficas de las relaciones exponenciales, se caracterizan por ser curvas de dos tipos: a) Crecientes, de tipo parab´olico, que cruzan el eje de las ordenadas en un punto distinto de cero.

78

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 79 — #95

Relaciones exponenciales

b) Decrecientes, asint´ oticas al eje de las abscisas y que cruzan el eje de las ordenadas por un valor distinto de cero.

100

6 Y

70

A B

50 40 30 20

10 8 6 4 3 2 A 1 0.8

B

0.6 0.4 0.3

0.5

0.7

1

2

3

4

6

8 10

X

Figura 5.2. Gr´ aficas de los puntos correspondientes a las tablas 5.1, A y B en papel log-log.

79

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 80 — #96

Relaciones exponenciales

5.1. Deducci´ on de la ecuaci´on exponencial Si la gr´ afica de una serie de datos en papel milim´etrico tiene alguna de las dos formas (A o B) de la Fig 5.1, la ecuaci´on que le corresponde es de la forma Y = b · 10mX . Adem´as, si as´ı es, tomando logaritmos de base 10 en toda la ecuaci´on se tiene que: log Y = log b + mX log 10 pero como log10 10 = 1 log Y = log b + mX.

(5.1)

Si se sustituyen las variables con log Y = Y log b = B

(5.2)

la ecuaci´ on (5.1) queda como Y = B + mX, que es la ecuaci´ on de una recta. Lo anterior indica que al graficar en papel milim´etrico Y contra X se obtendr´ıa una recta con pendiente m y ordenada al origen B o, lo que por las ecuaciones (5.2) es lo mismo, que el graficar log Y contra X se obtendr´ıa una recta con pendiente m y ordenada al origen log b y si: log b = B

b = antilog B = inv B

con lo cual se tendr´ıan las dos constantes —m y b— para la ecuaci´on Y = b · 10mX . Siguiendo con los valores de las tablas 5.1 A y B, se calculan los logaritmos de los valores Y y se obtienen las tablas 5.2 A y B. Graficando log Y vs X en papel milim´etrico, se obtienen las rectas que aparecen en la Fig 5.3 y de ah´ı que la pendiente y la ordenada al origen de la recta A, pueden ser calculadas tomando los puntos (4, 0.6) y (0, 0): 0.6 − 0 0.3 mA = = 4−0 2 80

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 81 — #97

´ n de la ecuacio ´ n exponencial Deduccio

6log Y 1.8

1.6 A 1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

X 0.0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-

10 B

-0.2

Figura 5.3. Gr´ aficas log Y vs X que corresponden a las tablas 5.2, A y B.

81

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 82 — #98

Relaciones exponenciales

Tablas 5.2.

A

B

X

Y

log Y

X

Y

log Y

0 1

1.0 1.4

0.0000 0.1461

0 1

70.0 44.0

1.8450 1.6512

2 3

2.0 2.8

0.3010 0.4471

2 3

27.9 17.6

1.4456 1.2455

4 5

4.0 5.6

0.6020 0.7481

4 5

11.1 7.0

1.0453 0.8450

6 7

7.9 11.2

0.8976 1.0492

6 7

4.4 2.8

0.6434 0.4471

8 9

15.8 22.4

1.1986 1.3502

8 9

1.8 1.1

0.2552 0.0413

10

31.6

1.4996

10

0.7

−0.1549

de donde mA = 0.15 y como log bA = 0;

bA = antilog 0 = 1.

Por lo tanto, la curva A de la Fig 5.1, tiene como ecuaci´on: Y = 1(10)0.15X .

(A)

Para la recta B de la Fig 5.3, se tiene que con los puntos (4.25, 1.0) y (6.25, 0.6): mB =

1.0 − 0.6 0.4 = 4.25 − 6.25 −2

de donde mB = −0.2 y,

log bB = 1.845 de donde bB = antilog(1.845) = 70

de donde se concluye que la curva B de la Fig 5.1 tiene como ecuaci´on: Y = 70(10)−0.2X .

82

(B)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 83 — #99

Uso del papel semi-log

5.2. Uso del papel semi-log El graficado en papel semi-log es otro m´etodo muy usado para la deducci´ on de una ecuaci´ on exponencial. Como ya se dijo, para poder deducir la ecuaci` on exponencial es necesario recurrir al trazado de una recta auxiliar que se puede obtener mediante el graficado de log Y vs X, y para esto, es necesario calcular los logaritmos de todos los valores de la variable Y . Cuando estos son muchos —y no son raros los casos en que se tienen 100 o m´as datos— resulta una tarea muy laboriosa. Para simplificar este quehacer, existe —como el papel log-log para las relaciones potenciales— el papel semi-log, que como su nombre indica, est´ a cuadriculado a escala logar´ıtmica en solamente uno de los ejes mutuamente perpendiculares que lo conforman y el otro eje aparece a escala milim´etrica. El eje logar´ıtmico, que es el eje de las ordenadas, est´a dividido en ciclos, al igual que el papel log-log y se grafica de la misma manera. El eje de las abscisas se grafica como en papel milim´etrico. Si la gr´ afica en papel milim´etrico de y vs x es de cualquiera de las formas de la Fig 5.1, al graficar directamente estos mismos valores en papel semi-log, que equivale a graficar log y vs x, se obtiene una recta. La pendiente de esta recta, por lo que se explica en la secci´on 5.1 y por la deducci´ on de la ecuaci´on (5.1), pasar´a a ser la constante multiplicativa de la variable independiente en el exponente de la ecuaci´on exponencial. La pendiente de una recta en papel semi-log se calcula buscando los logaritmos de las ordenadas de dos puntos de la recta, esto es: log y2 − log y1 m= . x2 − x1 La constante, b, de la ecuaci´on exponencial, de la forma y = b · 10mx se toma directamente del papel semi-log, ya que la ordenada al origen de la recta corresponde al log b de la ecuaci´on (5.1). Por ejemplo: si el valor de y que corresponde a x = 0 en el papel semi-log, es el n´ umero 2, por estar en el eje logar´ıtmico, ´este se lee log 2, y entonces log b = log 2 de donde b = 2 sin m´ as problema. 5.3. Deducci´ on de la ecuaci´on exponencial usando logaritmos naturales En la secci´ on 5.1 se habla de la deducci´on de una ecuaci´on de la forma: y = b · 10mx 83

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 84 — #100

Relaciones exponenciales

para lo cual se construye una tabla y se grafican log y vs x calculando los logaritmos en base 10, (tablas 5.2). De manera an´aloga puede llegarse a una ecuaci´ on de la forma: y = a · ekx

(5.3)

si en lugar de calcular logaritmos de base 10, se calculan logaritmos naturales (ln) o sea, logaritmos de base e para los datos de la variable dependiente y, y se grafica en papel milim´etrico ln y vs x. En efecto, si la gr´ afica de y vs x en papel milim´etrico es una curva exponencial y si se quiere llegar a una ecuaci´on como la ecuaci´ on (5.3), ´esta se obtiene tomando logaritmos naturales para toda la ecuaci´ on (5.3), y entonces: ln y = ln a + ln ekx y tambi´en

ln y = ln a + kx(ln e)

(5.4)

y como ln e = 1, resulta que: ln y = ln a + kx es una relaci´ on lineal entre ln y y x. ´ Esta es una ecuaci´ on semejante a la ecuaci´on (5.1) y an´alogamente indica que la pendiente de la recta que se obtendr´ıa al graficar ln y vs x en papel milim´etrico es el valor de la constante k en la ecuaci´on exponencial (5.3). Adem´as, de la ordenada al origen de esta recta que ser´ıa ln a se puede obtener la constante a, ya que si: ln a = n, donde n es el valor le´ıdo directamente en la gr´afica, al aplicar la funci´on inversa* a esta ecuaci´ on se tiene que: exp(ln a) = exp(n) a = en .

o sea que

De manera an´ aloga, si se quiere graficar y vs x directamente en papel semi-log, la pendiente de la recta obtenida se calcula por: m=

ln y2 − ln y1 = k. x2 − x1

* Recordar

que la funci´ on inversa a la funci´ on logaritmo natural es la funci´ on exponencial ex

84

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´ n de la ecuacio ´ n exponencial usando logaritmos naturales Deduccio

La constante a, puede leerse directamente del papel semi-log, como se explica en la secci´ on 5.2, ya que n en el eje logar´ıtmico se lee como ln n y entonces, ln a = ln n ∴ a = n. Pero si esto no es posible, tambi´en se puede calcular matem´aticamente tomando un punto cualquiera (xj , ln yj ) de la recta y el valor calculado de k. Por la forma de la ecuaci´ on (5.4), se tiene que: ln yj = ln a + kxj (ln e) ln yj = ln a + ln ek(xj )

de donde entonces reescribiendo y de donde,

ln a = ln yj − ln ek(xj ) yj ln a = ln k(x ) e j yj a = k(x ) . e j

(5.5)

Hasta aqu´ı se ha explicado matem´aticamente el desarrollo para obtener una relaci´ on exponencial con las variables X y Y sin unidades. Sin embargo, en F´ısica todos las variables tienen unidades. Al graficar log Y vs X o ln Y vs X, los logaritmos de Y son valores num´ericos que por ser logaritmos no tienen unidades, pero X s´ı las tiene y deben aparecer en el eje coordenado de las abscisas para graficar. Por lo tanto, al calcular la pendiente de la recta, K, s´ı tiene unidades que se obtienen de la gr´ afica como se ver´a en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.3.1. Tratando de investigar el efecto que producen los rayos γ sobre una cierta clase de virus en la papa, se tomaron mediciones a la fracci´ on superviviente, S, de virus, despu´es de aplicada cierta dosis D de radiaci´ on. En la tabla 5.3, se dan datos obtenidos para D y S. Tabla 5.3.

D (105 rad)

3

5

6

8

10

12

14

S

0.400

0.250

0.175

0.100

0.050

0.030

0.015

Por la forma de la curva en papel milim´etrico de estos datos, que aparece en la Fig. 5.4, se ve que la relaci´on entre las variables D y S podr´ıa ser potencial o exponencial pero esta duda se despeja al graficar los datos en papel semi-log pues como se ve en la Fig. 5.5 es una recta

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Relaciones exponenciales

Figura 5.4. Gr´ afica en papel milim´etrico de los datos que se muestran en la tabla 5.3.

y por lo tanto se trata de una relaci´on exponencial que podr´ıa ser de la forma: S = a · ekD

con k < 0.

(5.6)

En la Fig. 5.5 tambi´en se ve que los logaritmos, como se sabe, no tienen unidades pero D tiene como unidades (105 rad) y por lo tanto al calcular la pendiente tomando los puntos A y B —(7, ln 0.13) y

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´ n de la ecuacio ´ n exponencial usando logaritmos naturales Deduccio

6S 1.0 0.8 0.6 0.4

0.2 B 0.1

0.05

A

0.03 0.02 D (105 rad) -

0.01 0

2

4

6

8

10

12

14

Figura 5.5. Gr´ afica en papel semilogar´ıtmico de los datos que se muestran en la tabla 5.3.

(11, ln 0.04)— de la recta se tiene que: k=

ln 0.13 − ln 0.04 (7 − 11)(105 rad)

k=

−2.0402 − (−3.2189) 1.1787 = −4(105 rad) −4(105 rad)

de donde k = −0.2947(105 rad)−1 . Esto es, que la pendiente k tiene unidades que se obtienen, como ya se dijo de la gr´ afica.

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Relaciones exponenciales

Adem´ as, tomando la ecuaci´on (5.5) y el punto (11, 0.04) se tiene que: 0.04 a = −0.2947(105 rad)−1 (11)(105 rad) = 1.023. e Despu´es, substituyendo estos valores en la ecuaci´on (5.6), se obtiene la ecuaci´ on que relaciona a la supervivencia S como funci´on exponencial de la dosis de radiaci´ on D: S = (1.023)e−0.2947(10

5

rad)−1 D

.

Finalmente, para probar si no hubo equivocaci´on en los c´alculos efectuados, se hace una interpolaci´on usando la ecuaci´on encontrada y viendo en la curva S vs D (Fig. 5.4) si el punto (Di , Si ) est´a aproximadamente dentro de ella. Para D = 9 × 105 rad, se tiene que S = 0.072 es punto de la curva y con esto se verifica la validez de la ecuaci´on encontrada. Dos ejemplos de aplicaci´on del m´etodo, f´acilmente realizables en experimento de laboratorio, se da en el siguiente cap´ıtulo, en las secciones 6.3 y 6.4. Nota: Ejercicios para este tema —relaciones exponenciales— aparecen en el Ap´endice C al final de este manual.

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6 ´ EN EXPERIMENTOS EJERCICIOS DE APLICACION

C

omo aplicaci´ on de las t´ecnicas de an´alisis expuestas en los cap´ıtulos 3, 4 y 5, que se refieren a relaciones lineales, relaciones potenciales y relaciones exponenciales, respectivamente, en ´este, se exponen cuatro experimentos que ilustran la aplicaci´on del m´etodo en cada una de estas tres etapas de conocimiento. 6.1. El agua y el aceite ´ Este es un experimento similar al 3.3.2, pero por tratarse de fluidos tan comunes en nuestra vida diaria como son el agua y el aceite de cocina, es ideal para ser recomendado como una introducci´on a los fluidos, en donde se busca la relaci´on que existe entre el volumen (variable independiente) y la masa (variable dependiente), tanto del agua como del aceite por separado. Esto es, que primero se hace todo el desarrollo para el agua y despu´es todo para el aceite. Desarrollo: a) Usando una probeta graduada en mililitros, se toman 6 muestras de vol´ umenes del fluido (agua) y la masa de cada uno de los vol´ umenes. Para un buen resultado en el an´alisis de datos, se procura que haya una diferencia de 2 ml o m´as entre un volumen y otro. (Recordar que la medici´ on de la masa en este experimento, es indirecta). b) Se tabulan los datos del volumen, V , y la masa, M , con sus respectivas incertidumbres. c) Se grafica M en funci´on de V (variable independiente) con sus respectivas incertidumbres y se traza la curva m´as lisa y m´as sencilla posible, que partir´ a del origen, ya que para V = 0, M = 0.

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´ n en experimentos Ejercicios de aplicacio

d) Se observa la forma de la curva y se procede a obtener su ecuaci´on. Recordar que es muy importante asignar las unidades a la constante de proporcionalidad, que se obtienen de la gr´afica. e) Se da la ecuaci´ on encontrada y se verifica con una interpolaci´on en la gr´ afica. Terminando el desarrollo con la ecuaci´on para M vs V del agua, se inicia el desarrollo para el aceite siguiendo los pasos de la a), a la e), A continuaci´ on se comparan las dos ecuaciones de la forma M = mV para las conclusiones. Las conclusiones se dan con las respuestas al siguiente cuestionario: Conclusiones: ¿Cu´ ales son las diferencias que se observan entre las dos ecuaciones encontradas en este experimento? ¿Cu´ al es el significado f´ısico de la constante de proporcionalidad? Recordar que el significado f´ısico es diferente al significado matem´ atico y se obtiene por las unidades de la pendiente de la recta. ¿Las balanzas del laboratorio miden peso? ¿Por qu´e? ¿Cu´ anto pesan 10 litros de agua? ¿Cu´ anto pesan 10 litros de aceite? ¿Pesa m´ as el agua que el aceite? ¿Es posible esto? ¿Por qu´e no se mezclan el agua y el aceite? Notas: 1 Con un cuestionario como el anterior se revisan los conceptos de masa y peso y se destaca la diferencia entre densidad y viscosidad. 2 Se aplica el concepto operativo de extrapolaci´on. 3 Aqu´ı se da una ligera gu´ıa para el desarrollo del trabajo, pero el estilo en que se deben reportar los trabajos, se deja a decisi´on del profesor que puede ser la que se recomienda en Datos y reportes en el laboratorio de mec´ anica (Gardu˜ no, 2002) de esta misma serie de publicaciones.

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Movimiento en dos dimensiones

6.2. Movimiento en dos dimensiones Un ejemplo cl´ asico de un movimiento en dos dimensiones es el movimiento de trayectoria parab´olica.* Por an´ alisis te´ orico, que se les pide a los estudiantes que lo estudien, se dice que un cuerpo en movimiento de trayectoria parab´olica, se desplaza de un punto a otro mediante la acci´on de dos vectores velocidad componentes, uno horizontal y otro vertical. Las magnitudes de estos vectores de punto a punto, pueden ser calculables con las t´ecnicas que hasta aqu´ı conocemos y es recomendable para el laboratorio de Mec´anica. En este laboratorio de la Facultad de Ciencias, unam, contamos con c´ amaras de video y monitor para ver las im´agenes del movimiento cuadro por cuadro. En la “Gu´ıa del laboratorio de Mec´anica. Manual del estudiante”, (Gonz´ alez, M. J. A. et. al., 2002), se propone este tema en una modalidad diferente; se desarrolla para la obtenci´on de la ecuaci´on de movimiento. En nuestro caso, como una opci´on m´as, usamos la t´ecnica de la videograbaci´ on que all´ı se propone para la toma de mediciones y el m´etodo gr´ afico del cambio de variable para el an´alisis del movimiento. Como se explica en el mencionado manual “. . . en una c´amara normal de video, se capturan 30 im´agenes sucesivas por segundo, de tal manera que hay (1/30) s entre cuadro y cuadro. Este intervalo de tiempo es fijo para cualquier grabaci´on y se aprovecha en la filmaci´on de movimientos para calcular las velocidades y aceleraciones entre las diversas posiciones del objeto en movimiento”. Para este experimento se arma el siguiente dispositivo: se coloca un peque˜ no riel o canal con una punta de ´el en el filo de una mesa, con la intenci´ on de impulsar con la mano una pelota de ping-pong o de golf en movimiento horizontal. De esta manera, el movimiento de la pelota al abandonar el filo de la mesa ser´a al aire y en consecuencia con un m´ınimo de fricci´on: la del aire. Con este dispositivo se ver´a que la pelota al aire describe una trayectoria parab´olica en un plano. Esta escena es la que se filmar´a en video con las siguientes indicaciones. a) Se procurar´ a filmar con el menor paralaje posible. Es necesario que se incluya en la escena del movimiento, una regla de 1 m como escala, * En la secci´ on 4.4.2 Ecuaci´ on de movimiento, se da otra manera de analizar el “tiro parab´ olico”, ejemplificando el ajuste de par´ abolas, que no salen del origen, por m´ınimos cuadrados. En ese experimento que se lleva a cabo con fotograf´ıa estrobosc´ opica, se llega a una ecuaci´ on de la forma y = y0 +v0 t+ 1/2 gt2 y finalmente a las magnitudes de y0 ,v0 y g.

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´ n en experimentos Ejercicios de aplicacio

para el c´ alculo de las distancias reales recorridas por la pelota en el aire. b) Lo que se observa en cada imagen es una serie de pelotas en distintas posiciones de las que se sabe que el tiempo transcurrido entre una posici´ on y otra es (1/30)s. c) Se filma varias veces este movimiento, variando la velocidad de salida, y se reproducen las escenas en una pantalla de televisor para escoger la mejor toma. Esto es, la que se vea bien centrada en la pantalla, considerando que s´olo el movimiento de las pelotas es el que interesa, no la mesa. Adem´as, la imagen debe ser n´ıtida con el contorno de las pelotas bien definido, de frente y sin paralaje. d) Se detiene el video en la toma escogida. Sobre la pantalla se pega un acetato y con un marcador se calcan los c´ırculos de cada una de las pelotas y se indica el punto central de cada c´ırculo. Dependiendo de la c´ amara usada, puede suceder que se vean los c´ırculos barridos y en este caso lo que se ve son ´ovalos, de los cuales se pueden se˜ nalar los contornos superiores o inferiores. e) Con un juego de escuadras lo suficientemente grande, se trazan l´ıneas perfectamente horizontales que pasen por cada uno de los centros de los c´ırculos o por los l´ımites superior o inferior de los ´ovalos, seg´ un sea el caso. Igualmente se trazan l´ıneas verticales, perfectamente ortogonales a las horizontales y que pasen por los centros de los c´ırculos o de los ´ovalos. Tambi´en puede ser que se tracen las verticales tangentes en un punto l´ımite derecho o izquierdo de los c´ırculos u ´ ovalos. f) De esta manera y con la escala de la imagen reducida del metro en el video, por regla de tres,* se calculan los desplazamientos horizontal y verticalmente, desde cero hasta cada una de las pelotas. g) Se tabulan las distancias X y Y del acetato corregidas en la proporci´ on dada por la imagen reducida del metro y el tiempo t = 1, 2, . . . n, en donde n es el n´ umero de intervalos de tiempo entre pelota y pelota con unidades de (1/30)s. h) Se grafica X vs t para obtener la ecuaci´on del movimiento horizontal y se analiza con la interpretaci´on f´ısica de la constante. La ecuaci´on encontrada se verifica con interpolaci´on en la curva X vs t. * Como

se explica en la secci´ on 4.4.2 Ecuaci´ on de movimiento

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Ley de enfriamiento de Newton

i) Se grafica Y vs t para obtener la ecuaci´on del movimiento vertical y se analiza con la interpretaci´on f´ısica de la constante. La ecuaci´on encontrada se verifica con interpolaci´on en la curva Y vs t. Conclusiones: ¿Qu´e se espera del movimiento de una pelota al aire con velocidad horizontal inicial? ¿Qu´e se espera del movimiento de un cuerpo en ca´ıda libre o al aire? Este experimento ilustra estos dos conceptos y sirve para verificar lo que te´ oricamente se dice de este movimiento en dos dimensiones. Adem´ as, con la ecuaci´ on de ca´ıda libre se puede calcular el valor de la aceleraci´ on de la gravedad en el lugar del experimento. 6.3. Ley de enfriamiento de Newton Este experimento se recomienda para el tema de relaciones exponenciales y para un temario de laboratorio de calor y termodin´amica, es tema obligado. Una vez que se ha estudiado lo que la teor´ıa nos dice sobre la ley de enfriamiento de Newton, se tratar´a como objetivo, el de encontrar la relaci´ on que existe entre ∆T y el tiempo t, en donde ∆T es la diferencia de la temperatura de enfriamiento, T , de una substancia que en este caso es agua y la temperatura ambiente T a, esto es, ∆T = T − T a. Los estudiantes pueden encontrar en su lectura te´orica —y se les pide que lo hagan— el por qu´e se usa ∆T en lugar de T , que es la temperatura medida. Se tratar´ a de llegar a una ecuaci´on experimental de la forma: ∆T = T0 · e−kt que substituir´ a a la que te´oricamente se da como: ∂T = T0 · e−kt . ∂t El tiempo t ser´ a la variable independiente y ∆T = T − T a ser´a la variable dependiente.

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´ n en experimentos Ejercicios de aplicacio

Figura 6.1. Dispositivo que se usa en el experimento.

Desarrollo: a) Para la medici´ on de T a, se mide la temperatura del agua de la llave, argumentando la ley cero de la termodin´amica y cuidando que la temperatura del term´ometro se haya bajado previamente. b) Se calienta agua en una parrilla a m´as de 70◦ C. Se vac´ıa en un vaso de unicel que se tapa con un pedazo de bolsa de polietileno y se ajusta con una liga alrededor de la boca del vaso. c) Se encaja la punta del term´ometro a trav´es del polietileno que tapa el vaso y se empieza a medir el tiempo. En t = 0 min como primer punto, se registra ∆T = T − T a, en donde T es la temperatura a la que se calent´ o el agua y T a la temperatura ambiente del agua de la llave. Recuerde que ∆T es una medici´on indirecta. d) Despu´es de un minuto, en t = 1 min, se lee la temperatura en el term´ ometro y se registra ∆T para el segundo punto y as´ı se sigue

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Oscilador vertical amortiguado

hasta tener 40 puntos medidos.* Nota: Despu´es de pasado un tiempo, se encontrar´an con que en un minuto no ha cambiado la temperatura y es ´este el momento en que conviene cambiar el m´etodo de medici´on por el de medir el tiempo (2 o 3 minutos) que tarda en observarse un cambio en la temperatura. e) Se tabula y se grafica en papel milim´etrico con sus respectivas incertidumbres para ver la forma de la curva y para buscar la relaci´on con sus unidades en las constantes. Recordar que para llegar a esta ecuaci´ on se usan logaritmos naturales y que la recta auxiliar se puede obtener usando papel milim´etrico o semilogar´ıtmico. f) Se da la ecuaci´ on encontrada y se verifica con una interpolaci´on en la curva ∆T vs t. Conclusiones: ¿Cu´ al es el significado f´ısico de las constantes? ¿En qu´e tiempo la temperatura del agua del vaso llegar´ıa a ser igual a la temperatura ambiente? 6.4. Oscilador vertical amortiguado Este experimento se recomienda para el laboratorio de mec´anica o para el ´ area de ondas en el laboratorio de fen´omenos colectivos. El objetivo es el de determinar la relaci´on que existe entre la amplitud A de la onda, en un resorte que oscila verticalmente con una masa suspendida y el tiempo transcurrido t. Despu´es de un estudio te´orico del problema y para medir las amplitudes y los correspondientes tiempos, se les pide a los estudiantes. a) Armar el dispositivo experimental de la siguiente forma: b) Escoger la variable experimental independiente. * Se les pide medir 40 puntos para usar estos datos m´ as adelante, cuando se ense˜ ne el ajuste de rectas por el m´ etodo de m´ınimos cuadrados, (secci´ on D.1 del ap´ endice D) en donde el ajuste se har´ a con los datos de los ln ∆T y t. Con este ejercicio y al comparar los dos m´ etodos (el gr´ afico y el de m´ınimos cuadrados) se les puede preguntar a los estudiantes, si encuentran diferencias significativas en los resultados.

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´ n en experimentos Ejercicios de aplicacio

B +X O -X A Masa

Aceite

Figura 6.2. Masa oscilante y resorte.

c) Determinar el m´etodo para medir el tiempo. ¿Ser´a reproducible? d) Determinar el n´ umero de puntos experimentales a obtener. e) Medir con sus respectivas unidades e incertidumbres, A y t. f) Tabular y graficar, A vs t, con sus respectivas incertidumbres, en papel milim´etrico para observar la forma de la curva y en papel milim´etrico o semilogar´ıtmico para la recta auxiliar. g) Obtener la ecuaci´ on que describe el fen´omeno, con sus unidades. Verificar la ecuaci´ on encontrada con una interpolaci´on en la gr´afica A vs t.

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Oscilador vertical amortiguado

Y como conclusiones se les pide: La interpretaci´ on f´ısica de las constantes. Determinar la vida media del oscilador. La vida media es el tiempo transcurrido para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. Para los laboratorios de mec´anica y de ondas (fen´omenos colectivos), se les puede pedir a los estudiantes la ecuaci´on de un movimiento ´ arm´ onico amortiguado. Esta ser´a la de un movimiento arm´onico simple (Y en funci´ on de t), con la amplitud A amortiguada, que es la que fue encontrada en este experimento.

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7 RELACIONES ENTRE TRES VARIABLES

H

asta aqu´ı solamente se ha hablado de relaciones entre dos variables, sin embargo, la realidad es que en la mayor´ıa de los fen´omenos naturales intervienen m´as de dos variables. En este cap´ıtulo se ver´a que con los conocimientos adquiridos sobre relaciones entre dos variables se puede llegar a obtener una relaci´on entre tres o m´as variables. Para ilustrar el procedimiento se supondr´a que se est´a haciendo el experimento de gases ideales en el que se sabe que las variables son P , V y T o sea que P = P (V, T ), la presi´on es funci´on del volumen y la temperatura.* El procedimiento es algo largo y para que el lector no se pierda, no se dar´ an valores y s´ olo se presentar´an las formas de las curvas y las formas generales de sus ecuaciones y se indicar´a cada paso en forma muy general. 1) Se trabaja con dos variables manteniendo constante una de las tres. Suponga que la temperatura T = T1 es constante y entonces se toman como variables a P y V . Se mide, se tabula y se grafica, obteni´endose una curva hiperb´olica isoterma como en la Fig. 7.1. 2) Para T = T2 constante, se mide, se tabula y se grafica P contra V , obteni´endose otra isoterma semejante. Y si se procede de igual manera para 5 temperaturas diferentes, se obtiene una familia de curvas semejantes como en la Fig. 7.2. * En realidad este experimento no es sencillo ni directo, al contrario, hacerlo como funci´ on de tres variables es dif´ıcil y complicado. Se expone aqu´ı como ejemplo por tratarse de un problema conocido, pero, en general, este problema se maneja tomando variables de dos en dos, o sea que se trata de encontrar la relaci´ on entre:

a) Presi´ on y volumen, manteniendo la temperatura constante. b) Presi´ on y temperatura, manteniendo el volumen constante. c) Volumen y temperatura, manteniendo la presi´ on constante.

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Relaciones entre tres variables

Figura 7.2. Familia de curvas P vsV para diferentes temperaturas constantes.

Figura 7.1.

3) La forma de las curvas indica que se trata de relaciones potenciales de la forma y = axn y en este caso, P = bV m con m < 0. Por antecedentes te´ oricos* se sabe que cuando se trata de un gas ideal la presi´ on es inversamente proporcional al volumen o sea, P = kV −1 y si el aire se comporta como tal se obtendr´ıan relaciones lineales entre las variables P y V −1 . 4) Cambiando la variable V por 1/V y graficando en papel milim´etrico P vs 1/V , se obtiene una familia de rectas de la forma de la Fig. 7.3.

Figura 7.3.

* Una

relaci´ on de este tipo se ilustra en la secci´ on 4.4.1 del Cap´ıtulo 4.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 101 — #117

Relaciones entre tres variables

5) En la figura 7.3 se observa una familia de 6 rectas de diferentes pendientes pero igual ordenada al origen, de donde se obtiene una familia de ecuaciones: para

T = T1 :

para .. .

T = T2 : .. .

para

T = T6 :

P = m1 V −1 − P0 P = m2 V −1 − P0 .. . P = m6 V −1 − P0 .

6) De lo anterior se desprende que la constante m, var´ıa al variar T , o sea que m = m(T ) —la pendiente es funci´on de la temperatura— y se tabula y grafica m vs T en papel milim´etrico. En un experimento realizado por alumnos de F´ısica General, se tomaron las mediciones necesarias teniendo en consideraci´on 5 temperaturas diferentes y por lo tanto para esta parte s´olo se obtuvieron 5 puntos a graficar.

m ( gcmml2 )

T (K)

m1

T1

m2 m3

T2 T3

m4 m5

T4 T5 Figura 7.4. Gr´ afica de la pendiente m en funci´ on de la temperatura absoluta T , obtenida por los alumnos.

7) De la curva que se ve en la figura 7.4 no se puede determinar si la relaci´ on entre m y T es potencial o exponencial y por lo tanto es necesario tomar m´ as temperaturas, pero si la curva es potencial* , se puede graficar log m vs log T en papel milim´etrico o graficar m * En

el caso mencionado con s´ olo 5 puntos, se encontr´ o que la relaci´ on es potencial, calculando la correlaci´ on entre log m y log T , que result´ o ser de 0.999964.

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Relaciones entre tres variables

vs T en papel logar´ıtmico con lo cual  se obtiene una ecuaci´on de la g ml n forma m = kT con k en cm2 (K)n 8) Substituyendo m1 , m2 , m3 , . . . , mn por m en funci´on de T , se obtiene la ecuaci´ on general de la forma: P = (kT n )V −1 − P0 que ya es una relaci´ on entre P , V y T .

Otro ejemplo de relaci´on entre tres variables que ilustra diferentes posibilidades es el siguiente:

Ejemplo 7.1. Plano Inclinado (3 variables)

Al soltar libremente un bal´ın sobre un riel inclinado, se deslizar´a r´apida o lentamente dependiendo del ´angulo de inclinaci´on del riel. En otras palabras, la distancia d, que recorre el bal´ın en un tiempo t, depende de la altura h, desde la cual se suelta el bal´ın y si la fricci´on es m´ınima, el movimiento puede considerarse como una funci´on de tres variables: d, t y h.

1) Manteniendo una altura constante, digamos h = h1 , se toman lecturas de tiempo para diferentes distancias. Se tabula y se grafica d vs t obteni´endose una par´abola semejante a la de la Fig. 7.5.

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Relaciones entre tres variables

Figura 7.6. Familia de curvas, variando h = cte.

Figura 7.5.

2) Variando la altura para otra h, digamos h = h2 y procediendo de la misma manera como se obtuvo la curva de la figura 7.5, se obtiene la curva que corresponde a h = h2 = constante, y as´ı, para otras alturas constantes se obtienen otras curvas semejantes. La familia de curvas que se ven en la figura 7.6 ilustra lo antes dicho. 3) Las par´ abolas que parten del origen, que se ven en las figuras 7.5 y 7.6, indican que para una cierta altura h = constante, la relaci´on entre la distancia y el tiempo es relaci´on potencial y por lo tanto es necesario graficar d vs t en papel log-log o milim´etrico para obtener sus ecuaciones. 4) En papel log-log se obtiene una familia de rectas, (Fig. 7.7) de igual pendiente m = 2 y diferentes ordenadas al origen. 5) De la familia de rectas se obtiene la familia de ecuaciones: cm 2 t s2 cm 2 d = b2 2 t s .. . cm d = b 5 2 t2 s d = b1

para h = h1 para h = h2 .. . para h = h5 .

103

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Relaciones entre tres variables

Figura 7.7. Familia de rectas de igual pendiente en papel log-log

De donde se ve que b var´ıa al variar h, o sea que b es funci´on de h y se tabula y grafica en papel milim´etrico.

b (cm/s2 )

h (cm)

b1

h1

b2 b3

h2 h3

b4 b5

h4 h5 Figura 7.8.

Si la relaci´ on entre b y h es lineal como se ve en la Fig. 7.8 y si, la pendiente de la recta es M con unidades M s12 se obtiene: b=M

1 h. s2

(7.1)

6) De la familia de ecuaciones se ve que para cualquier hi la ecuaci´on 2 que relaciona a las variables d y t es de la forma d = bi cm s2 t y si se substituye bi por la ecuaci´on 7.1 se tiene una ecuaci´on general de tres variables: cm d = (M h) 2 t2 , s 104

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Relaciones entre tres variables

on constante y es funci´on de h. donde M h cm s2 es la aceleraci´ Resumiendo, en general, para obtener una relaci´on entre tres variables: a) Se mantiene a una de las 3 variables constante y se trabaja con las dos restantes, por ejemplo X y Y , obteni´endose una curva ya sea lineal, potencial, exponencial u otra. b) Se toma otro valor para la variable constante y se repiten los pasos anteriores. c) Despu´es de repetir lo anterior n veces y despu´es de obtenida la familia de n curvas con sus n ecuaciones, se busca la dependencia de la pendiente o de la ordenada al or´ıgen, con la variable que se ha mantenido constante. En otras palabras, suponiendo que Z es la variable constante, se busca:

o

b = b(Z) m = m(Z)

b en funci´on de Z m en funci´on de Z

seg´ un sea el caso, tabulando y graficando. d) Entonces, si la relaci´on entre Y y X es lineal y dependiendo de que sea la pendiente m o la ordenada al origen b la que var´ıa en funci´on de Z constante, la ecuaci´on general podr´ıa ser de dos formas: y = [m(Z)]X + b o

y = mX + b(Z).

Si la relaci´ on entre Y y X es potencial podr´ıa ser de la forma:

o

y = bX [m(Z)] y = [b(Z)]X m .

O si la relaci´ on entre Y y X es exponencial la ecuaci´on general podr´ıa ser de la forma:

o

y = [b(Z)]10mX ;

y = [b(Z)]emX

y = b · 10[m(Z)]X ;

y = b · e[m(Z)]X

u otro tipo de relaci´ on que no se ha visto en este manual.

105

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 106 — #122

Relaciones entre tres variables

L

d

d

Figura 7.9. P´endulo bifilar de torsi´ on

Ejemplos de pr´ acticas que pueden trabajarse con tres variables son: botes, p´endulo bifilar de torsi´on, plano horizontal, plano inclinado, oscilador amortiguado, y algunas otras que podr´an encontrar en el almac´en. Ejemplo 7.2. P´endulo bifilar de torsi´on. Prop´ osito: Establecer la relaci´on entre la longitud (L) de los hilos, la distancia (d) de separaci´on entre ellos y el per´ıodo (T ) para una varilla que oscila torsionalmente, suspendida por dos hilos de igual longitud y a distancias iguales del centro de la varilla (figura 7.9). Material: 1 varilla met´ alica, hilo c´an ˜ amo, cron´ometro, flex´ometro. Procedimiento: a) Determinar cu´ al de las variables se mantendr´a constante (L o d). b) Si L = cte., hacer las mediciones necesarias para obtener una tabla que relacione el per´ıodo T , con la distancia de separaci´on d. c) Graficar en papel milim´etrico. d) Analizar la gr´ afica obtenida para determinar el cambio de variable a efectuar o el tipo de papel —logar´ıtmico, semilogar´ıtmico o milim´etrico— a usar. e) Obtener la ecuaci´ on de T en funci´on de d para la longitud L elegida, es decir: T = f (d) para L = L1 .

106

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 107 — #123

Relaciones entre tres variables

f) Repetir los pasos desde b) hasta e) para diferentes longitudes de hilo y obtener: i) Una familia de curvas en papel milim´etrico. ii) Una familia de rectas auxiliares. iii) Una familia de ecuaciones. g) Analizar la familia de ecuaciones para determinar cu´al de los par´ ametros (la pendiente m o la ordenada al origen b) de las rectas auxiliares es funci´ on de la 3ra. variable L. h) Graficar la constante m o b en funci´on de la 3ra. variable y encontrar su ecuaci´ on: m = f (L) o b = f (L). i) Obtener la relaci´ on entre las tres variables. Y si se determina, en el paso a), mantener constante a d, el desarrollo desde b) hasta i) es an´alogo.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 108 — #124

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´ APENDICE A SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)∗

E

n el a˜ no de 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas (cgpm) y la Oficina Internacional de Pesas Y Medidas (bipm)∗∗ decidieron por unanimidad la creaci´on de un sistema internacional de unidades de medici´ on. A este nuevo sistema se le denomin´o si que son las iniciales del Sistema Internacional. no 1975 hab´ıa 44 pa´ıses miembros del Hasta el 1o de agosto del a˜ bipm entre los que se encontraba M´exico. La tarea de esta organizaci´on es la de asegurar la unificaci´on mundial de las unidades para pesas y medidas. Las actividades de esta organizaci´on que en un principio fueron limitadas a las medidas de longitud y masa y a estudios meteorol´ogicos en relaci´ on a esas unidades, se ampliaron para obtener las medidas internacionales para electricidad, fotometr´ıa y radiaci´on. Estas medidas, ya han sido aprobadas por bipm y por cgpm y se emplean en los centros de investigaci´ on de todo el mundo. Una de las principales razones que origin´o la creaci´on del nuevo sistema de unidades si, fue la de establecer una diferencia que eliminara la confusi´ on a la que se prestaban las unidades de masa y fuerza. En el sistema si el nombre kilogramo est´a restringido exclusivamente para la unidad de masa.

∗ Informaci´ on tomada de “El sistema internacional de unidades si”, Instrumentaci´ on y Desarrollo, No. 1, Vol. 1, Revista de la Sociedad Mexicana de Instrumentaci´ on A. C. 1981, [6] ∗∗ Bureau International de Poids et Mesures.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 110 — #126

Sistema Internacional de Unidades (SI)

En vez de kilogramo fuerza, el sistema si adopta el newton (N) como unidad de fuerza y es empleado para formar unidades derivadas como: N = Pa m2

presi´on o esfuerzo

Nm = J

energ´ıa

Nm =W s

potencia

Las unidades establecidas se dividen en Unidades base, Unidades suplementarias, Unidades derivadas y algunas Unidades complementarias aceptadas para el si. A.1. Unidades base o fundamentales En t´erminos generales, las unidades base y las unidades derivadas, con sus m´ ultiplos y subm´ ultiplos son lo que se denomina Sistema de Unidades si. Las unidades base son siete unidades bien definidas y dimensionalmente independientes, cuya especie o magnitud, unidad y s´ımbolo son las siguientes: Magnitud f´ısica Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente el´ectrica Temperatura Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

Unidad metro kilogramo segundo ampere Kelvin candela mol

S´ımbolo m kg s A K cd mol

A.2. Unidades suplementarias A estas unidades se las ha denominado como suplementarias pero pueden considerarse tambi´en como unidades base o bien como unidades derivadas y son las siguientes: Magnitud f´ısica ´ Angulo plano ´ Angulo s´olido

Unidad radian steradian

110

S´ımbolo rad sr

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 111 — #127

Unidades derivadas

A.3. Unidades derivadas

Estas unidades se forman con la combinaci´on de las unidades b´asicas, las unidades suplementarias y otras unidades derivadas de acuerdo con la combinaci´ on algebraica que las relaciona. Los nombres y s´ımbolos especiales de estas unidades derivadas ya han sido aprobados por el cgpm y son: Unidad

S´ımbolo

´n Relacio dimensional

hertz

Hz

1/s

Fuerza

newton

N

kg · m/s2

Presi´ on, esfuerzo

pascal

Pa

N/m2

Energ´ıa, trabajo, cantidad de calor

joule

J

N·m

Potencia, flujo radiante

watt

W

J/s

coulomb

C

A·s

Potencial el´ectrico, diferencia de potencial, fuerza electromotriz

volt

V

W/A

Capacitancia

farad

F

C/V

Resistencia el´ectrica

ohm

Ω

V/A

siemens

S

A/V

Flujo magn´etico

weber

Wb

V·s

Densidad de flujo magn´etico

tesla

T

Wb/m2

Inductancia

henry

H

Wb/A

lumen(ele)

lm

cd · sr

lux(ele)

lx

lm/m2

becquerel

Bq

1/s

gray

Gy

J/kg

Magnitud f´ısica Frecuencia (fen´ omenos peri´ odicos)

Cantidad de electricidad, carga el´ectrica

Conductancia

Flujo luminoso Iluminaci´ on Radioactividad Radioactividad absorbida

Adem´ as de las unidades mostradas, hay otras unidades derivadas con nombres especiales que son combinaciones de las unidades derivadas, pero no se dar´ an aqu´ı.

111

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 112 — #128

Sistema Internacional de Unidades (SI)

A.4. Unidades complementarias aceptadas para si

Magnitud f´ısica Tiempo

´ Angulo plano Temperatura Volumen Masa

Unidad minuto hora d´ıa semana mes, etc. grado (exponente) grado Celcius litro* tonelada m´etrica

S´ımbolo min h d ◦ ◦

C l (ele) t

A.5. Prefijos

Los prefijos y s´ımbolos aprobados por el sistema internacional si que se dan a continuaci´ on son m´ ultiplos y subm´ ultiplos decimales de las unidades si, con excepci´on del kilogramo. Esta unidad de masa por razones hist´ oricas contiene un prefijo. Los m´ ultiplos y subm´ ultiplos de esta unidad de masa se formar´an agregando un prefijo a la palabra gramo. La aplicaci´ on de estos prefijos se hace para indicar el orden de magnitud y as´ı eliminar los d´ıgitos que no tienen mayor importancia sustituy´endolos por ceros y para poder usar potencias de 10 que son preferidas en el sistema si. Ejemplo: 0.003 litro = 3 × 10−3 litro = 3 mililitros = 3 ml * Para

evitar la confusi´ on entre el n´ umero 1 y la letra ele, se recomienda emplear la palabra “litro” completa. 1 litro = 1 dm3 = 10−3 m3 .

112

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 113 — #129

´ n de las unidades SI Definicio

´n Factor de multiplicacio 1000 000 000 000 000 000 = 1018 1000 000 000 000 000 = 1015 1000 000 000 000 = 1012 1000 000 000 = 109 1000 000 = 106 1000 = 103 100 = 102 10 = 101 0.1 = 10−1 0.01 = 10−2 0.001 = 10−3 0.000 001 = 10−6 0.000 000 001 = 10−9 0.000 000 000 001 = 10−12 0.000 000 000 000 001 = 10−15 0.000 000 000 000 000 001 = 10−18

Prefijo exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto

S´ımbolo E P T G M k h da d c m µ n p f a

A.6. Definici´ on de las unidades SI a) Unidades base Metro. Unidad de longitud. Distancia que recorre la luz —en el vac´ıo— en 1/299 792 458 segundos y su s´ımbolo es m (definici´on aceptada en el a˜ no de 1983). Kilogramo. Unidad de masa. Es igual a la masa prototipo internacional de 1 kilogramo patr´on y su s´ımbolo es kg. Segundo. Unidad de tiempo. Es la duraci´on de 9 192 631 770 per´ıodos de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entre los dos niveles hiperfinos del ´atomo cesium-133 en estado natural y su s´ımbolo es s (definici´on aceptada en 1967). Ampere. Unidad de corriente el´ectrica que al mantenerse constante y pasando por dos conductores paralelos de longitud infinita de secci´ on transversal despreciable en el vac´ıo y separados entre s´ı un metro, produce entre dichos conductores una fuerza igual a 2 × 10−7 newtons por metro de longitud y su s´ımbolo es A (definici´ on aceptada en 1948).

113

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 114 — #130

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Kelvin. Unidad de temperatura termodin´amica. Es eqivalente a la fracci´ on 1/273.16 de la temperatura termodin´amica del punto triple del agua y su s´ımbolo es K (definici´on aceptada en 1967). Mol. Unidad de sustancia. Corresponde a la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como atomos hay en 0.012 kilogramos de carb´on-12. Su s´ımbolo es ´ mol (definici´ on aceptada en 1971). Nota: Cuando se use el mol, deber´an especificarse las entidades elementales que pueden ser ´atomos, mol´eculas o grupos espec´ıficos de dichas part´ıculas. Candela. Unidad de intensidad luminosa. Es la intensidad luminosa en direcci´ on perpendicular a una superficie de 1/600 000 de metro cuadrado de un cuerpo negro a la temperatura de congelaci´ on del platino y a una presi´on de 101325 newton por metro cuadrado. Su simbolo es cd. Radian. Unidad de medici´on angular. Corresponde al ´angulo plano entre dos radios de un c´ırculo que abarcan un arco de la circunferencia de una longitud igual al radio. Su simbolo es rad. Steradian. Unidad angular en el espacio. Corresponde al ´angulo s´ olido que teniendo su v´ertice en el centro de una esfera, limita un ´ area de la superficie de la misma, en forma de cuadrado, cuyos lados tienen la misma longitud que el radio de la esfera. Su s´ımbolo es sr. b) Unidades derivadas si que tienen nombre especial Gray. Unidad de dosis absorbida. Representa la energ´ıa proporcionada por la radiaci´on ionizante a una masa de materia y que corresponda a un joule por kilogramo. Becquerel. Unidad de radio-actividad. Corresponde a la de un n´ ucleo radioactivo que tenga una transici´on nuclear espont´ anea por segundo. Farad. Unidad de capacitancia el´ectrica. Es la capacitancia entre 2 placas en las que aparece una diferencia de potencial de 1 volt, cuando se cargan con una cantidad de electricidad igual a un coulomb. Siemens. Unidad de conductancia. Corresponde a la de un conductor por el que circula una corriente de un ampere producida por una diferencia de potencial de un volt.

114

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 115 — #131

´ n de las unidades SI Definicio

Henry. Unidad de inductancia. Es la inductancia de un circuito cerrado en donde una fuerza electromotriz de 1 volt es producida cuando la corriente el´ectrica en el circuito var´ıa uniformemente a raz´ on de un ampere por segundo. Volt. Unidad de diferencia de potencial el´ectrico y fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial el´ectrico entre dos puntos de un conductor por el que pasa una corriente constante de un ampere, cuando la potencia disipada entre los dos puntos es igual a un watt. Ohm. Unidad de resistencia. Es la resistencia el´ectrica entre dos puntos de un conductor al que se aplic´o una diferencia de potencial constante de un volt entre los dos puntos y que produce en ese conductor una corriente de un ampere. El conductor no debe ser el or´ıgen de alguna fuerza electromotriz. Joule. Unidad de energ´ıa o trabajo. Es el trabajo efectuado cuando el punto de aplicaci´on de una fuerza de un newton se desplaza un metro de distancia en la direcci´on de la fuerza. Newton. Unidad de fuerza. Es la fuerza que aplicada a un cuerpo con una masa de un kilogramo, produce una aceleraci´on de un metro por segundo al cuadrado. Hertz. Unidad de frecuencia. Es la frecuencia de un fen´omeno peri´ odico cuyo per´ıodo es un segundo. Lux. Unidad de iluminaci´on. Es la iluminaci´on producida por un flujo luminoso de un lumen, uniformemente distribuido sobre una superficie de un metro cuadrado. Lumen. Unidad de flujo luminoso. Es el flujo emitido en un ´angulo s´ olido de un steradian por un punto luminoso que tiene una intensidad de una candela. Weber. Unidad de flujo magn´etico. Es el flujo que abarcando un circuito de una espira, produce una fuerza electromotriz de un volt, al reducir uniformemente a cero dicho flujo en un segundo. Tesla. Unidad de densidad de flujo magn´etico. Es la densidad dada por un flujo magn´etico de un Weber por metro cuadrado (igual a 104 Gauss). Watt. Unidad de potencia. Es el trabajo desarrollado en la unidad de tiempo, a raz´on de un joule por segundo.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 116 — #132

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Pascal. Unidad de presi´on o esfuerzo. Es la presi´on o esfuerzo, equivalente a un newton por metro cuadrado. Coulomb. Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente el´ectrica de un ampere. A.7. Reglas para la escritura apropiada de los s´ımbolos que representan las unidades en el sistema si 1. Los s´ımbolos de unidades deber´an ser escritos con letras verticales y no inclinadas. 2. Nunca se escribir´ an en plural, siempre en singular. 3. No ser´ an seguidos de un punto excepto cuando se coloquen al final de una frase. 4. Se escribir´ an con letras min´ usculas exceptuando los s´ımbolos que provienen de un nombre propio en cuyo caso se escribir´an con may´ uscula, ejemplo: s, m, cd, etc., y W, N, Pa, etc. Los s`ımbolos de los prefijos, se emplear´an tal como est´an escritos en la secci´on A.5. 5. Cuando una cantidad es expresada con un valor num´erico y un s´ımbolo, no deber´ a dejarse un espacio entre los dos. Por ejemplo: 35 mm es incorrecto deber´a escribirse 35mm. Cuando la cantidad es empleada como adjetivo, deber´a indicarse con un gui´on que lo separe, ejemplo: 35-mm de recubrimiento, con la excepci´on si se trata de grados, minutos y segundos de ´angulos planos y grados celsius. 6. No se dejar´ a espacio entre el prefijo y los s´ımbolos de unidades. (dm, cm, µm). 7. Deber´ an usarse los s´ımbolos y no abreviaciones de los mismos. Ejemplo: para amperes deber´a escribirse A y no Amp. 8. Reglas para escribir los nombres. La primera letra de las unidades deber´ a escribirse con min´ uscula excepto cuando se inicie una frase o bien cuando se trate de un t´ıtulo que se deber´a escribir con may´ uscula. 9. No se usen en plural las unidades cuando se escriben completas, ejemplo: lux, watt, lumen, etc.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 117 — #133

´ meros Escritura de los nu

10. No se debe dejar espacio ni gui´on entre los prefijos y el nombre de la unidad. Hay tres casos en donde se pierde la u ´ ltima vocal: el kilohm, megohm y hect´ area. En todos los dem´as casos cuando el nombre de la unidad empieza con una vocal y el prefijo tiene vocal, deber´an escribirse las dos. 11. Escritura de las unidades formadas con multiplicaci´on y divisi´on cuando se usan los nombres completos de las unidades. Cuando es producto, deber´ a dejarse un espacio entre las dos que es lo preferido o bien poner un gui´on entre las dos unidades, ejemplo: newton metro o bien newton-metro. En el caso de watt hora pueden juntarse las dos palabras: watthora. Para los cocientes deber´a emplearse la palabra por (o sobre), en vez de un quebrado, ejemplo: metro por segundo y no metro/segundo. Cuando se trata de potencias, deber´ a escribirse la palabra completa, ejemplo: metro por segundo cuadrado, mil´ımetro cuadrado, metro c´ ubico, etc. Para evitar confusiones en expresiones complicadas es preferible emplear los s´ımbolos a las palabras completas. 12. Cuando se emplean los s´ımbolos en vez de los nombres de las unidades se expresar´ an de la manera siguiente: Producto con un punto al centro de los s´ımbolos. Para newton metro ser´ a N·m. En el caso de watthora puede suprimirse el punto: Wh. Cuando se escriban estos s´ımbolos en m´aquina o en computadora (que no tienen punto central) el punto se puede poner abajo o bien un gui´ on. Cocientes o divisi´ on se har´a en la forma siguiente: m/s o m · s−1 m o bien s . Si hay varias unidades en el denominador, pueden usarse par´entesis o exponentes negativos, ejemplos: J/(mol · K) o bien J·mol−1 K−1 pero no deber´a escribirse J/mol/K. 13. Nunca deber´ an mezclarse en una expresi´on los nombres y los s´ımbolos de las unidades. A.8. Escritura de los n´ umeros Para marcar los n´ umeros decimales deber´a usarse el punto en la misma l´ınea y no emplear en ning´ un caso la coma. Para evitar la confusi´on en la escritura de los n´ umeros, la recomendaci´ on de si es separar los n´ umeros d´ıgitos en grupos de 3 contados a partir del punto decimal, ya sea a la izquierda o a la derecha del punto,

117

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 118 — #134

Sistema Internacional de Unidades (SI)

dejando un espacio entre cada grupo de 3 n´ umeros. En los casos en que se trate solamente de cuatro n´ umeros d´ıgitos, se puede suprimir el espacio. Ejemplos: 2.141 596; 73 722; 5827; 0.147 49 Cuando se trate de n´ umeros menores que la unidad, se pondr´a un cero y un punto antes del n´ umero. Cuando de trata de presiones, deber´a indicarse calific´andola apropiadamente como presi´ on de man´ometro o presi´on absoluta. Se evitar´ a el uso de bill´on, trill´on, etc., que es ambiguo.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 119 — #135

´ APENDICE B CRITERIO ESTAD´ISTICO PARA ASIGNAR INCERTIDUMBRES

L

os llamados errores estoc´asticos est´an involucrados en casi todas las mediciones. Surgen debido a condiciones incontrolables que afectan al observador, al instrumento de medici´on o a lo que se est´a midiendo y son los principales responsables de las mediciones que aqu´ı llamamos “no reproducibles”. Con fundamentos probabil´ısticos se puede suponer que, calcul´andolos a partir de un valor promedio de todas las mediciones originales, estos errores son tanto positivos como negativos generando as´ı una dispersi´ on “grande” o “peque˜ na”. Se dice que si la dispersi´on es “peque˜ na”, la precisi´ on es “grande”. Se conocen varios m´etodos para estimar la dispersi´on de un conjunto de mediciones con respecto al valor promedio. En general se determinan las desviaciones de los valores medidos a partir del valor promedio y despu´es se usa alguna funci´on de estas desviaciones para representar la dispersi´ on y por ende la precisi´on del conjunto de mediciones. Pero, ¿por qu´e se escoge el valor promedio de todas las mediciones individuales para determinar, a partir de ´el, las desviaciones de ellas?. A lo largo del curso y particularmente en la secci´on 1.2.3 de la p´ agina10 de este manual, se dice que cuando se trata de mediciones no reproducibles, considerando que en general no se puede despreciar ninguno de los valores medidos* , el valor m´as representativo es el promedio de todos ellos. Toca aqu´ı justificar esto y se har´a por medio del siguiente ejemplo num´erico primero y formalmente despu´es. Ejemplo B.1. Por simplicidad se tomar´an s´olo cinco mediciones de una cierta longitud, L. Las mediciones aparecen en la tabla B.1. * Se dice que se deben promediar todos los valores medidos, salvo aquellos valores que se “disparan”, es decir que se alejan mucho de los dem´ as valores obtenidos y que por lo tanto deben ser vistos con suspicacia. Estos deben ser descartados y debe ser tomada una nueva medici´ on para cada uno de ellos.

119

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 120 — #136

Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres

Tabla B.1.

No. de medici´on

L ± 0.005 (cm)

1

7.65

2 3

7.61 7.66

4

7.68

5

7.63

Con estos datos se hace una gr´afica “secuencial” y se traza a “ojo”, la recta horizontal que mejor distribuya los puntos a ambos lados de ella, como se ve en la Fig. B.1. L ± 0.005 (cm) 6 7.70

7.65

7.60 0

1

2

3

4

5

- No. de medici´ on

Figura B.1. La recta se traz´ o procurando que tanto los puntos 2 y 4 como los puntos 3 y 5 quedaran equidistantes a ella.

Leyendo en la gr´ afica la ordenada de la recta trazada, se ve que corresponde a 7.645 cm. Suponga que no se conoce este valor y que quiere determinarse de los datos num´ericos, el valor a partir del cual, la distancia a cada uno de

120

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 121 — #137

Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres

los valores originales, sea m´ınima. Es decir, que se tratar´ıa de encontrar la ordenada por donde deber´ıa pasar una recta con las caracter´ısticas de que la distancia entre cualquiera de los puntos medidos y un punto de ella, fuera m´ınima. A tales distancias se les llamar´a desviaciones. Se simbolizar´ a con Y a la ordenada de la recta supuestamente desconocida, y ser´ a yi con i = 1, 2, 3, 4, 5 la ordenada de los puntos individuales medidos. Se define la desviaci´on (δyi ) de un punto de ordenada yi con respecto de la recta, como la diferencia entre la ordenada del punto yi y la ordenada de la recta Y . Esto es: δyi = yi − Y

Y 6

7.70

δy4 7.65

7.60

- X

0

1

2

3

4

5

Figura B.2. Puntos de la tabla B.1 graficados en un sistema X, Y.

Ejemplo: δy1 = 7.65 − Y δy2 = 7.61 − Y δy3 = 7.66 − Y δy4 = 7.68 − Y

δy5 = 7.63 − Y. Es claro que las desviaciones δyi ser´ıan m´ınimas cuando Y tomara un valor tal que la suma de todas ellas fuera la m´ınima.

121

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 122 — #138

Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres

Por el m´etodo de m´ınimos cuadrados (Ver secci´on B.1. m´as adelante) se sabe que la suma de los cuadrados de las desviaciones es m´ınima cuando Y toma un valor Y0 tal que la derivada con respecto a Y de esa suma sea igual a cero. O sea:   d[Σ(δyi )2 ] =0 dY Y =Y0 Efectuando la suma de los cuadrados de las desviaciones se tiene que: 5 X

(δyi )2 = (7.65−Y )2 +(7.61−Y )2 +(7.66−Y )2 +(7.68−Y )2 +(7.63−Y )2

i=1

y derivando con respecto a Y : d X d  [ (δyi )2 ] = (7.65 − Y )2 + (7.61 − Y )2 dY dY  + (7.66 − Y )2 + (7.68 − Y )2 + (7.63 − Y )2

d d d (7.65 − Y )2 + (7.61 − Y )2 + (7.66 − Y )2 dY dY dY d d + (7.68 − Y )2 + (7.63 − Y )2 , dY dY ahora se determinar´ a para qu´e valor Y , esta u ´ ltima suma es igual a cero y por lo tanto Σ(δyi )2 es m´ınima, como =

d (7.65 − Y )2 = −2(7.65 − Y ) dY d (7.61 − Y )2 = −2(7.61 − Y ) dY d (7.66 − Y )2 = −2(7.66 − Y ) dY d (7.68 − Y )2 = −2(7.68 − Y ) dY d (7.63 − Y )2 = −2(7.63 − Y ). dY Sumando e igualando a cero se tiene que: d [Σ(δyi )2 ] = −2(7.65 − Y ) − 2(7.61 − Y ) dY −2(7.66 − Y ) − 2(7.68 − Y ) − 2(7.63 − Y ) = 0,

122

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 123 — #139

M´ınimos cuadrados

o sea que factorizado −2 y sumando todas las Y : −2(7.65 + 7.61 + 7.66 + 7.68 + 7.63 − 5Y ) = 0, y dividiendo la ecuaci´ on entre −2: 5Y = 7.65 + 7.61 + 7.66 + 7.68 + 7.63 =

5 X

yi ,

i=1

de donde

Y = (38.23)/5 = 7.646 cm, Σyi = y¯, Y = 5

y tambi´en

donde la barra indica que es el valor promedio. De aqu´ı se tiene que Y es el valor de la ordenada de la recta que se ve en la Fig. B.1 e igualmente el valor promedio de todas las mediciones individuales. Este resultado indica que la suma de los cuadrados de las desviaciones de una serie de datos es m´ınima cuando las desviaciones se calculan a partir del valor promedio. Es decir, que el valor promedio es la cantidad m´as indicada para calcular, a partir de all´ı, las desviaciones de cada medici´on. B.1. M´ınimos cuadrados En el ejemplo num´erico dado, se aplic´o el m´etodo de los m´ınimos cuadrados sin explicar porqu´e se toman las desviaciones al cuadrado. Aqu´ı se justificar´ a esto y se demostrar´a que la suma de los cuadrados de las desviaciones es m´ınima. Tomando los datos de la tabla B.1 para el c´alculo de las desviaciones, se tiene que si: y¯ = 7.646 δy1 = 7.65 − 7.646 = 0.004 δy2 = 7.61 − 7.646 = −0.036 δy3 = 7.66 − 7.646 = δy4 = 7.68 − 7.646 =

0.014 0.034

δy5 = 7.63 − 7.646 = −0.016.

Como se ve, las desviaciones son tanto positivas como negativas y su suma algebraica es cero. Adem´as es matem´aticamente demostrable que

123

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 124 — #140

Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres

cuando las desviaciones se calculan a partir del valor promedio la suma de las desviaciones es cero. En efecto, si se denota al valor promedio como:

¯ = X

k X

Xi

i=1

k

,

se tiene que: k X

¯ Xi = k X,

(B.1)

i=1

y si k X

(δXi ) =

k X

¯ = 0 por ecuaci´on (B.1). Xi − k X

i=1

k X i=1

¯ = (Xi − X)

k X i=1

¯ Xi − k X,

entonces

i=1

De lo anterior se deduce que la suma de las desviaciones siempre ser´ a cero. Sin embargo, los cuadrados de las desviaciones son todos positivos y por lo tanto, la suma de estos cuadrados no es nula. As´ı pues, se considera la suma de los cuadrados de las desviaciones para su an´alisis. Por el criterio de la segunda derivada para el c´alculo de m´aximos y m´ınimos de una funci´ on se sabe que: a) Por definici´ on, son puntos cr´ıticos de una funci´ on definida sobre un intervalo, aquellos puntos del intervalo donde la derivada es cero o no existe, aunque un punto cr´ıtico no necesariamente es un m´ aximo o un m´ınimo. b) Si una funci´ on de X, f (x), tiene un punto cr´ıtico en X0 por ejemplo, este punto cr´ıtico ser´ a un m´ınimo, si la segunda derivada de la funci´ on evaluada en X0 es positiva.* * Si

la segunda derivada de la funci´ on evaluada en X0 , es un valor negativo, el punto cr´ıtico es un m´ aximo

124

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 125 — #141

M´ınimos cuadrados

Para determinar el valor X0 para el cual la funci´on suma de los cuadrados de las desviaciones tiene un punto cr´ıtico, se encuentra que si: ¯ δXi = Xi − X y si se tienen k mediciones con i = 1, 2, . . . , k, cada Xi es una de las ¯ y por lo mediciones originales. De aqu´ı se ve que δXi es funci´on de X tanto su cuadrado tambi´en lo es: ¯ +X ¯2 (δXi )2 = Xi2 − 2Xi X y

k X

(δXi )2 =

i=1

k X i=1

Xi2 − 2

k X

¯ + kX ¯ 2. Xi X

i=1

Denotando con S a esta suma: S=

k X

(δXi )2 ,

i=1

¯ e igualando a cero, se tiene que: derivando con respecto a X, k

X dS ¯ = 0. = −2 Xi + 2k X ¯ dX

(B.2)

i=1

Dividiendo entre 2 la u ´ ltima igualdad se tiene que: −

k X

¯ = 0, Xi + k X

(B.3)

i=1

¯ la dS/dX ¯ es igual a cero sigue ahora determinar para qu´e valor de X ¯ existe un punto cr´ıtico. o en otras palabras, para cu´al valor de X De la ecuaci´ on (B.3) se ve que: ¯= kX

k X

Xi

k X

Xi

i=1

de donde

¯= X

i=1

125

k

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 126 — #142

Criterio estad´ıstico para asignar incertidumbres

¯ es el promedio de todas las mediciones Xi , hay un o sea que cuando X ¯ punto cr´ıtico. Calculando la segunda derivada de S con respecto a X, de la ecuaci´ on (B.2): d2 S ¯ 2 = 2k, dX que es un n´ umero positivo, lo cual indica que la suma de los cuadrados ¯ es el promedio, de todas las de las desviaciones es m´ınima, cuando X mediciones. B.2. Desviaci´ on est´andar, σ La desviaci´ on est´ andar o desviaci´ on t´ıpica es la medida de dispersi´on m´ as comunmente utilizada para especificar la precisi´on de una medida y una de tantas cantidades usadas para especificar cuantitativamente los errores estoc´ asticos. Esto es en cierta forma el c´alculo del promedio de todas las desviaciones, utilizando para ello el m´etodo de los m´ınimos cuadrados. El promedio de k desviaciones estar´ıa dado por: Pk

i=1 (δXi )

k

,

pero como ya se vio, esto ser´ıa siempre nulo. Adem´as se sabe que la suma de los cuadrados de las desviaciones es m´ınima, as´ı que se calcula el promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado o sea: Pk

2 i=1 (δXi )

k

.

A este promedio se le extrae la ra´ız cuadrada, y as´ı se est´a calculando la llamada R.M.S.* o media cuadr´ atica de las desviaciones. Esto u ´ ltimo tambi´en es dimensionalmente conveniente ya que as´ı se evita que las unidades de las magnitudes f´ısicas queden elevadas al cuadrado. La magnitud as´ı obtenida es la llamada, σ ′ , o “desviaci´on est´andar”: s s Pk Pk 2 ¯ 2 (δX ) i ′ i=1 i=1 (Xi − X) σ = = (B.4) k k para k mediciones. * Root

mean square.

126

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 127 — #143

´ n esta ´ ndar, σ Desviacio

En Introduction to the Theory of Error, Yardkey Beers* dice y justifica ampliamente que cuando el n´ umero k de mediciones es “peque˜ no”, la desviaci´ on est´ andar calculada por la ecuaci´on (B.4) no representa una buena estimaci´ on de la desviaci´on t´ıpica de una poblaci´on a partir de la cual fue tomada una muestra. Considera que una mejor estimaci´ on se hace cuando la Σ(δXi )2 se divide entre k − 1 en lugar de k, esto es: s s Pk Pk 2 ¯ 2 i=1 (δX) i=1 (Xi − X) = (B.5) σ= k−1 k−1

y varios autores est´ an de acuerdo con ´el. La diferencia entre y σ ′ y σ, (ecuaciones B.4 y B.5) s´olo es conceptualmente importante y Beers as´ı lo dice: “Num´ericamente, la diferencia es casi trivial ”. Para n´ umeros grandes de k - Spiegel** dice para k > 30 - no hay diferencia entre las dos definiciones. Una de las propiedades de la desviaci´on est´andar es que si la distribuci´ on de valores alrededor de la media*** es sim´etrica, con tantos valores mayores como tantos menores que ella o, propiamente dicho, si la distribuci´ on es normal, el 68.27 % de los valores se encon¯ − σ, X ¯ + σ) donde X ¯ es la trar´ an contenidos dentro del intervalo (X media de los valores medidos y σ , la desviaci´on est´andar. Adem´as es comprobable tambi´en que el 95.45 % estar´an dentro del intervalo ¯ − 2σ, X ¯ + 2σ). Esta propiedad justifica el hecho de que se use a σ (X como incertidumbre en una medici´on y que se exprese una medici´on X ¯ ± σ o bien,X = X ¯ ± 2σ. como X = X

* Beers,

Yardley. Introduction to the Theory of Error, Addison Wesley Publishing Murray R., Statistics, Schaun’s Outline Series, Mc Graw Hill Book

** Spiegel,

Company. *** En estad´ ıstica se le llama media al valor promedio de todos los valores originales.

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 128 — #144

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 129 — #145

´ APENDICE C LOGARITMOS: PROPIEDADES Y APLICACIONES

C.1. Definici´ on de logaritmo El logaritmo de un n´ umero, para una base dada, es la potencia a la que debe elevarse la base para obtener ese n´ umero. Luego entonces, si el logaritmo del n´ umero M en la base b, es el n´ umero L: bL = M o de otra manera equivalente: logb M = L con b > 0 y b 6= 1* y en donde M es un n´ umero real y positivo** Ejemplos: a) log8 (64) = 2

puesto que 82 = 64

b) log4 (64) = 3

puesto que 43 = 64

* Por

definici´ on: bL = M ⇒ logb M = L pero para cualquier valor de L, 0L = 0 . . . (a)

y

1L = 1 . . . (b)

Por la ecuaci´ on (a) se ve que si la base del logaritmo es 0, M no puede tomar ning´ un valor distinto de 0 y por la ecuaci´ on (b) se ve que si la base del logaritmo es 1, M s´ olamente puede tomar el valor de 1. Es por esto que nunca se habla de logaritmos de base 0 ni de base 1. ** En general, no existe el logaritmo de un n´ umero negativo con respecto a una base dada, aunque hay casos como: (−2)3 = −8

y entonces

log−2 (−8) = 3

o sea qu´ e s´ olo en casos de potencias de un n´ umero negativo podr´ıa hablarse de logaritmos de un n´ umero negativo pero no es posible calcularlo si no se trata de una potencia conocida como la del ejemplo dado, ya que no podr´ıa calcularse ni en funci´ on de logaritmos decimales ni en funci´ on de logaritmos naturales.

129

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 130 — #146

Logaritmos: propiedades y aplicaciones

c) log36 (36) = 1

puesto que 361 = 36

d) log81 (9) = 1/2 puesto que (81)1/2 = 9 e) log2 (1/4) = −2 puesto que 2−2 = (1/4) f) log1/9 (1/3) = (1/2) puesto que (1/9)1/2 = (1/3) g) log835 1 = 0

puesto que (835)0 = 1.

Por los ejemplos anteriores se ve que hay logaritmos de casi cualquier base (ver nota p´ ag. 129) aunque los logaritmos de base 10 que son las formas equivalentes a las potencias de 10, son los que sirven para calcular los logaritmos de otras bases, como se ver´a m´as adelante. Los logaritmos de base 10 son los llamados logaritmos comunes o logaritmos decimales y aqu´ı se denotar´an como log. Son muy comunmente usados tambi´en, sobre todo en el C´alculo Diferencial e Integral, los logaritmos naturales que son los logaritmos de base e = 2.71828 y que aqu´ı se denotar´ an como ln. Para los logaritmos de bases distintas a 10 y e: log y ln respectivamente, es necesario indicar como sub´ındice la base. Por ejemplo: log8 , log2 , logb . C.2. Propiedades C.2.1. loga 1 = 0 ya que a0 = 1 Para todo valor de a, el logaritmo en base a del n´ umero 1 es igual a cero. Ejemplos: a) log 1 = 0 ya que 100 = 1 b) ln 1 = 0 dado que e0 = 1 c) log835 1 = 0 porque (835)0 = 1. C.2.2. loga a = 1 ya que a1 = a Para todo valor de a, el logaritmo en base a del n´ umero a es igual a 1.

130

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 131 — #147

Propiedades

Ejemplos: a) log 10 = 1 porque 101 = 10 b) ln e = 1 porque e1 = e c) log8 8 = 1 ya que 81 = 8. C.2.3. Logaritmo de un producto Por definici´ on: logb M = A ⇒ bA = M

Si

(C.1)

B

y

logb N = B ⇒ b = N A

entonces,

B

M ·N = b ·b = b

y si

b

por definici´ on: (Ecs. (C.1) y (C.2)):

A+B

(C.2) A+B

,

= (M · N ),

logb (M · N ) = A + B = logb M + logb N. (C.3) As´ı pues, el logaritmo de un producto, es la suma de los logaritmos de cada factor. Ejemplos: a) log(3 × 35) = log 3 + log 35 = 0.4771 + 1.5441 = 2.0212 b) log(Rsenθ) = log R + log senθ C.2.4. Logaritmo de un cociente Por las ecuaciones (C.1) y (C.2) se tiene que: M bA = B = bA−B N b por definici´ on

logb

y si bA−B =

M , N

M = A − B = logb M − logb N. N

Esto es que, el logaritmo de un cociente es una resta de logaritmos: el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

131

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 132 — #148

Logaritmos: propiedades y aplicaciones

Ejemplos: a) logb (8/3) = logb 8 − logb 3 b) log 0.1 = log(1/10) = log 1 − log 10 Pero log 1 = 0 por la propiedad C.2.1., y log 10 = 1 por la propiedad C.2.2 entonces log 0.1 = −1. C.2.5. Logaritmo de una potencia Si logb a3 = logb (a · a · a), por la propiedad C.2.3: logb a3 = logb a + logb a + logb a ∴ logb a3 = 3 logb a y si

logb (a)n = logb , (a · a · a · a · · · a) | {z } n veces

entonces por la propiedad C.2.3:

logb (a)n = logb a + logb a + · · · + logb a | {z } n t´ erminos iguales

n

∴ logb (a) = n logb a.

Ejemplos: a) logb 35 = 5 logb 3 b) log2 245 = 45 c) ln a−2 = −2 ln a d) log a1/2 = (1/2) log a √ e) log 3 64 = (1/3) log 64. Demostraciones a) logb 35 = logb (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = logb 3 + logb 3 + logb 3 + logb 3 + logb 3 ∴ logb 35 = 5 logb 3.

132

(C.4)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 133 — #149

Propiedades

b) log2 245 = log2 (2 · 2 · 2 · · · 2) | {z } 45 veces

= log2 2 + log2 2 + log2 2 + · · · + log2 2 | {z } 45 t´ erminos iguales

= 45(log2 2),

pero log2 2 = 1 por la propiedad C.2.2, entonces log2 245 = 45. c) 1 a2 = ln 1 − ln a2 ,

a−2 = ln a−2

entonces por la propiedad C.2.4, por la propiedad C.2.1, y como:

ln 1 = 0

0 − ln a2 = − ln(a · a) = −(ln a + ln a) = −2 ln a, ln a−2 = −2 ln a.

se tiene que: d)

a1 = a1/2+1/2 = (a1/2 ) · (a1/2 ) ∴ log a = log(a1/2 )(a1/2 ) = log(a1/2 ) + log(a1/2 ) ∴ log a = 2 log(a1/2 )

y dividiendo toda la ecuaci´on entre 2, se tiene que: (1/2) log a = log(a1/2 ). e) (64)1 = (64)1/3+1/3+1/3 = (64)1/3 · (64)1/3 · (64)1/3 entonces

log 64 = log(64)1/3 + log(64)1/3 + log(64)1/3

∴ log 64 = 3 log(64)1/3

133

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 134 — #150

Logaritmos: propiedades y aplicaciones

y dividiendo toda la ecuaci´on entre 3, se tiene que:

y como

(1/3) log 64 = log(64)1/3 √ 3 log(64)1/3 = log 64 √ 3 log 64 = (1/3) log 64.

Con estos breves ejemplos se ve que el logaritmo de un n´ umero a elevado a una potencia n, es igual a n veces el logaritmo de a, donde n puede ser positivo, negativo o fraccionario. C.2.6. C´alculo de logaritmos de una base b cualquiera en funci´on de logaritmos de otra base diferente

bR = P

(C.5)

logb P = R

(C.6)

Si por definici´ on

y substituyendo (C.6) en (C.5) b(logb P ) = P

(C.7)

aplicando logaritmos de base x a la ecuacion (C.7) se tiene que: logx b(logb P ) = logx P

(C.8)

y por la propiedad C.2.5, la ecuaci´on (C.8) queda como (logb P )(logx b) = logx P o

logb P =

(C.9)

logx P logx b

De donde se ve que un logaritmo de cualquier base b, puede ser calculado en funci´ on de logaritmos de otra base diferente (log o ln).

134

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 135 — #151

Propiedades

Ejemplo: log8 43 Suponga que se quiere calcular el logaritmo en base 8 del n´ umero 43 o sea: log8 43 = x 8x = 43

(C.11)

8log8 43 = 43.

(C.12)

Por definici´ on: y por la Ec. (C.10)

(C.10)

Aplicando logaritmos de base 10 a la ecuaci´on (C.12) se tiene que: log 8log8 43 = log 43.

(C.13)

Por la propiedad C.2.5: (log8 43) log 8 = log 43 de donde:

(log8 43) =

log 43 1.6335 = = 1.80877. log 8 0.9031

De esta manera se puede calcular el logaritmo de cualquier base, usando logaritmos de base 10 o sea que en general: logb M =

log10 M . log10 b

El logaritmo en una base cualquiera b de un n´ umero M , es igual al cociente del logaritmo en base 10 del n´ umero M , entre el logaritmo en base 10 del n´ umero b. En conclusi´ on: 1. logR 1 = 0 para toda R. 2. logR R = 1 para toda R. 3. logb P Q = logb P + logb Q con b > 0 y b 6= 1 4. logb

P Q

= logb P − logb Q con b > 0 y b 6= 1

5. logb an = n logb a para todo n con b > 0 y b 6= 1 6. logb Q =

logx Q . logx b

135

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 136 — #152

Logaritmos: propiedades y aplicaciones

C.3. Funci´ on exponencial La funci´ on exponencial es la funci´on inversa que se le puede aplicar al logaritmo de un n´ umero M para obtener el n´ umero M . Cuando se trata de logaritmos decimales, la funci´on exponencial es la comunmente llamada antilogaritmo o antilog y cuando se trata de logaritmos naturales ln, la funci´on inversa o sea la funci´ on exponencial se denota como exp. De otra manera: bL = M =⇒ logb M = L =⇒ antilog L = antilog(logb M ) = M. log M >0

L ∈ (−∞, ∞) antilog ln

M >0

ln M ∈ (−∞, ∞) exp

Ejemplos: 1. Si log 2 = 0.3010 =⇒ antilog 0.3010 = 2 2. Si ln 2 = 0.69315 =⇒ exp(0.69315) = 2 3. Si ln 14 = 2.63906 =⇒ exp(2.63906) = 14. log 2

0.3010 antilog

136

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 137 — #153

Algunas aplicaciones

ln 2 14

0.69315 2.63906

exp Esta funci´ on aparece en sus tablas de logaritmos comunes —base 10— como antilogaritmos y en sus calculadoras como funci´on inversa de las funciones log o ln. Es muy necesario saber calcularla para resolver problemas de aplicaci´ on. C.4. Algunas aplicaciones C.4.1. C´alculo de la raiz en´esima de un n´ umero cualquiera Como:

√ n aQ = a(Q/n)

por la propiedad C.2.5 log

√ Q n aQ = log a(Q/n) = log a, n

entonces: antilog(log

√ n

aQ ) = antilog(

y si antilog( Q n log a) = β entonces Ejemplo: C´ alculo de

√ n

Q log a), n

aQ = β.

√ 5 43

Por la propiedad C.2.5: log

√ 1 1.6335 5 43 = log(43)1/5 = log 43 = = 0.3267 5 5

∴ antilog(0.3267) = 2.121 √ 5 ∴ 43 = 2.12.

137

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 138 — #154

Logaritmos: propiedades y aplicaciones

C.4.2. Resoluci´ on de ecuaciones exponenciales Tratando de despejar t en una ecuaci´on del tipo: y = Keαt se aplica la funci´ on logaritmo decimal a toda la ecuaci´on y se tiene que: log y = log K + log eαt

(C.14)

o sea

log y = log K + αt log e

(C.15)

y

log y − log K = αt log e

(C.16)

log y − log K = t. α log e

(C.17)

y despejando:

Si en lugar de logaritmos decimales se usan logaritmos naturales, la ecuaci´ on (C.15) queda como: ln y = ln K + αt ln e pero ln e = 1 puesto que e1 = e entonces ln y = ln K + αt

∴ t=

ln y−ln K . α

138

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 139 — #155

´ lculo de logaritmos de un nu ´ mero 0 < n < 1 Ca

C.4.3. Simplificaci´ on de operaciones √ Suponga que se tiene que calcular ( 5 38 × 24 )/(823 ): √ 5 38 × 24 (38 × 24 )1/5 log = log 823 823 = log(38 × 24 )1/5 − log 823 =

1 (log 38 + log 24 ) − 23 log 8 5

=

1 (8 log 3 + 4 log 2) − 23 log 8 5

=

1 [8(0.4771) + 4(0.3010)] − 23(0.9031) 5

=

5.0208 − 20.7713 5

= −19.7671

√ 5 38 × 24 = antilog(−19.7671) = 1.7096 × 10−20 . 823 C.5. C´alculo de logaritmos de un n´ umero 0 < n < 1 Cualquier n´ umero 0 < n < 1 puede ser expresado como una potencia negativa de 10, entonces para calcular el logaritmo en base 10 de un n´ umero como, por ejemplo, 0.0076, se tiene que: 0.0076 = 76 × 10−4

y

log 0.0076 = log(76 × 10−4 ),

entonces por las propiedades: C.2.2, C.2.3, y C.2.5: log 0.0076 = log 76 + log 10−4 = log 76 + (−4) log 10 y como log 10 = 1 finalmente queda que: log 0.0076 = log 76 − 4 = 1.8808 − 4 = −2.1192.

139

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 140 — #156

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 141 — #157

´ APENDICE D AJUSTE DE RECTAS POR M´INIMOS CUADRADOS

E

n el cap´ıtulo 3, se ilustra la manera de obtener relaciones lineales por medio de gr´ aficas de puntos experimentales con sus respectivas incertidumbres, a trav´es de los cuales se traza la “mejor recta” a “ojo”. Asimismo, en los cap´ıtulos iv y v, para la obtenci´on de relaciones potenciales y exponenciales, se grafica y se trazan rectas en papel logar´ıtmico a “ojo”. Esto es, que por m´etodo gr´afico se obtienen ecuaciones de rectas de la forma: Y = b + mx log Y = log b + m log x log Y = log b + mx

. . . relaci´on lineal . . . relaci´on potencial . . . relaci´on exponencial

y que, para la obtenci´ on de resultados precisos es necesario que las rectas trazadas sean efectivamente lo que se llama la “mejor recta”. Entre las principales ventajas del m´etodo gr´afico se podr´ıa decir que: a) Es de uso f´ acil. b) Se hace un m´ınimo de operaciones. c) Pueden obtenerse excelentes resultados r´apidamente. d) En muchos casos, es el u ´ nico m´etodo pr´actico. Pero, en contraposici´on, tiene sus desventajas como las siguientes: e) No hay criterios precisos para trazar la recta. La pendiente y la ordenada al origen que se le d´e siempre depender´a de la persona que la est´e trazando y con base en un criterio particular. Ser´ıa excepcional que dos personas trazaran exactamente la misma l´ınea a trav´es del mismo conjunto de puntos experimentales.

141

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Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

f) La imprecisi´ on de los redondeos al graficar los datos observados en un diagrama a escala reducida, sobre todo cuando el n´ umero de puntos a graficar es grande. En vista de estas u ´ ltimas consideraciones es necesario conocer un m´etodo sistem´ atico para calcular la ecuaci´on de una l´ınea recta a partir de un conjunto de parejas de datos experimentales. El m´etodo m´as importante es el m´etodo de m´ınimos cuadrados que ser´a descrito en este ap´endice. En comparaci´ on al m´etodo gr´afico, unas de las conveniencias de la aplicaci´ on del m´etodo que se propondr´a a continuaci´on es que: i) Es independiente de consideraciones individuales, excepto para decidir si el ajuste se debe hacer a una l´ınea recta o a otro tipo de curva y de esto se hablar´a m´as adelante. ii) Es el m´etodo que da la mejor recta y es matem´aticamente demostrable. iii) De las mediciones se toman los valores observados sin necesidad de evaluar ni graficar incertidumbres. Por otra parte, es necesario tomar en consideraci´on que por este m´etodo cualquier conjunto de puntos experimentales (x, y), quedan determin´ısticamente ajustados a una recta. En otras palabras, debido a que por este m´etodo se puede encontrar la pendiente y la ordenada al origen de una recta sin graficar previamente, tambi´en se puede caer en errores muy graves. Por ejemplo: a un conjunto de puntos experimentales, que graficados no tienen las caracter´ısticas de ajustarse a una recta, puede aplicarse el m´etodo de m´ınimos cuadrados —sin graficar previamente— y el m´etodo dar´a la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a ese conjunto de puntos, lo cual ser´ıa una conclusi´ on err´ onea. Para no caer en un error de este tipo, es necesario determinar por consideraci´ on f´ısica, anal´ıtica o te´orica del fen´omeno en cuesti´on, la naturaleza de la dependencia entre las variables medidas cuantitativamente. Pero, si se conoce poco y no es posible determinar por estos medios el tipo de relaci´on que involucra a las variables, la representaci´ on de los datos de un diagrama de dispersi´on es muy u ´ til. El examen de la disposici´on de los puntos representativos de las parejas individuales de valores proporciona cierta informaci´on con respecto a la posible dependencia. Los puntos pueden o no, mostrar una

142

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Ajuste de rectas de la forma y = mx + b por el m´ etodo. . .

dependencia definida. Si se dispersan sobre todo el diagrama como lo muestra la Fig. D.1.a), es evidencia de que existe muy pobre asociaci´on entre las dos variables.

Figura D.1. Ejemplos de diagramas de dispersi´ on de puntos experimentales.

En cambio, en la Fig. D.1.(b), los puntos forman un diagrama bien definido que indica una naturaleza lineal. Tambi´en pueden manifestarse en forma de una curva de tipo parab´olico como en la Fig. D.1.(c) y en este u ´ ltimo caso podr´ıa ajustarse la recta entre las variables log y y log x. Los estudiantes al final de este curso, podr´an identificar f´acilmente si la curva que deber´ıa ajustarse es lineal, potencial, exponencial u otra desconocida para ellos. Tambi´en ser´an capaces de deducir que si la relaci´ on buscada es potencial, para determinar su ecuaci´on, la recta auxiliar log y vs log x, tambi´en se puede ajustar por m´ınimos cuadrados sin graficarse. Lo peligroso de la aplicaci´on de este m´etodo, es no estudiar previamente la naturaleza de la dependencia entre las variables, ya sea anal´ıtica, a trav´es de un diagrama de dispersi´on, de una gr´afica de los puntos experimentales con sus respectivas incertidumbres o de cualquier otra manera posible. En pocas palabras, antes de aplicar este m´etodo, es necesario estar seguro de que la dependencia entre las dos variables en juego sea lineal. D.1. Ajuste de rectas de la forma y = mx + b por el m´etodo de m´ınimos cuadrados Para la obtenci´ on de una relaci´on de este tipo, debe tomarse en consideraci´ on que se har´a mediante mediciones en dos variables que

143

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Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

aqu´ı se denotar´ an por x y y. Adem´as, por tratarse de mediciones, habr´ a errores en ambas variables. Sin embargo, los errores significativos o sea los que m´ as influyen en las dispersiones son los que se cometen al medir la variable dependiente y. Aunque hay maneras para ajustar rectas tomando en consideraci´on la desviaci´ on en ambas variables, aqu´ı se ilustrar´a el m´etodo en su forma m´ as sencilla que para este nivel es suficiente, o sea, para los casos en que las desviaciones existen en la variable dependiente y y en los que las desviaciones en la variable independiente son m´ınimas o despreciables como en los ejemplos siguientes: a) En observaciones semanales de la corrosi´on de un metal en agua, la variable tiempo, que estar´ıa dada en n´ umero de semanas, ser´ıa la variable independiente x y la cantidad de corrosi´on la variable y. b) Al medir el alargamiento de un resorte suspendido verticalmente, conforme se va aumentando el n´ umero de pesas iguales colgadas en un extremo de ´el, el n´ umero de pesas ser´ıa la variable x y el alargamiento la variable dependiente y. Como introducci´ on y por simplicidad, se considerar´an s´olo tres puntos alrededor de una recta, como se ve en la Fig D.2.

Figura D.2. Los puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ) con las desviaciones D1 , D2 y D3 de una cierta recta. Y1 , Y2 , y Y3 , son las ordenadas de puntos de la recta que corresponden a las abcisas x1 , x2 y x3 respectivamente.

144

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Ajuste de rectas de la forma y = mx + b por el m´ etodo. . .

Se denotar´ a como: Di = yi − Yi

(D.1)

a cada una de las desviaciones del punto experimental (xi , yi ) a un punto (xi , Yi ) de la recta que se trata de ajustar. De la fig. D.2 y de acuerdo a la ecuaci´on (D.1): D1 = y1 − Y1

D2 = y2 − Y2 D3 = y3 − Y3 .

(D.2a) (D.2b) (D.2c)

En la misma figura se ve que los tres puntos experimentales est´an dados por (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ) y que, de no ser la recta ajustada la que se ve all´ı sino otra con diferente pendiente y diferente ordenada al origen, las desviaciones D1 , D2 y D3 ser´ıan de diferente magnitud. Para aclarar esto, en la Fig. D.3 se simplificar´a a´ un m´as la Fig D.2, mostrando una sola pareja de datos (xj , yj ), suponiendo que se trata de ajustarla a tres diferentes rectas. En la Fig. D.3 se ve que las distancias del punto (xj , yj ) a un punto (xj , Yj ) de la recta, difieren de magnitud seg´ un las figuras a, b y c; esto es que: Dj 6= Dj′ 6= Dj′′ o que en valor absoluto, la diferencia |yj − Yj | es grande o peque˜ na dependiendo de la pendiente y la ordenada al origen de la recta que se quiere ajustar, o sea que Di es funci´on de m y b.

Figura D.3. Las desviaciones Dj , Dj′ , Dj′′ de las figuras a, b y c son diferentes en magnitud, aunque el punto (xj , yj ) es el mismo en las tres figuras.

145

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Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

Ahora, volviendo a la Fig. D.2 donde se tienen tres puntos experimentales, la “mejor recta” que se podr´ıa ajustar ser´ıa aquella con m y b tales que la suma de los cuadrados de las tres desviaciones fuera m´ınima. En forma an´ aloga a la manera como se vi´o en la secci´on B.1 del ap´endice B, se denotar´a como S a la suma de los cuadrados de las desviaciones. De todas aquellas rectas que se pudieran trazar a partir de los tres puntos experimentales, se definir´a como la “mejor recta” a aquella que cuente con la propiedad de que: S = D12 + D22 + D32

(D.3)

es m´ınima. En la figura D.2, se ve que Y1 ser´ıa el valor de la ordenada que corresponde a x1 en la recta con pendiente m y ordenada al origen b, an´ alogamente Y2 y Y3 de tal manera que: Y1 = mx1 + b

(D.4a)

Y2 = mx2 + b Y3 = mx3 + b

(D.4b) (D.4c)

y por lo tanto, las ecuaciones (D.2, a, b y c) quedan de la forma: D1 = y1 − (mx1 + b) D2 = y2 − (mx2 + b)

(D.5a) (D.5b)

D3 = y3 − (mx3 + b),

(D.5c)

adem´ as: Di2 = [yi − (mxi + b)]2

con

i = 1, 2, 3.

Por otra parte, si en lugar de tres, se contara con n puntos experimentales, S ser´ıa la suma de los n t´erminos de los cuadrados de las n desviaciones Di : S=

n X

Di2 = D12 + D22 + · · · + Dn2

i=1

S = (y1 − Y1 )2 + (y2 − Y2 )2 + · · · + (yn − Yn )2 S = [y1 − (mx1 + b)]2 + [y2 − (mx2 + b)]2 + · · · + [yn − (mxn + b)]2 . (D.6)

146

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Ajuste de rectas de la forma y = mx + b por el m´ etodo. . .

Como ya se dijo y de aqu´ı se ve, cada una de las Di2 es funci´on de m y b y la sumatoria S tambi´en lo es. Entonces, se buscan los puntos cr´ıticos de la funci´ on S derivando parcialmente con respecto a m y con respecto a b e igualando a cero. De la ecuaci´ on (D.6): ∂S = −2[y1 − (mx1 + b)]x1 − 2[y2 − (mx2 + b)]x2 − . . . ∂m − 2[yn − (mxn + b)]xn ∂S = −2(y1 x1 − mx21 − bx1 ) − 2(y2 x2 − mx22 − bx2 ) − . . . ∂m − 2(yn xn − mx2n − bxn ) „X « n n n X X ∂S yi x i − m = −2 x2i − b xi ∂m i=1 i=1 i=1

(D.7)

∂S = −2(y1 − mx1 − b) − 2(y2 − mx2 − b) − · · · − 2(yn − mxn − b) ∂b „X « n n X ∂S yi − m = −2 xi − nb . (D.8) ∂b i=1 i=1

Igualando a cero las ecuaciones (D.7) y (D.8) se tiene que: n X i=1

yi xi − n X i=1

n X

x2i

i=1

yi − m

−b

n X i=1

n X i=1

   xi = 0   

   xi − nb = 0  

(D.9)

Es un sistema de dos ecuaciones simult´aneas con dos inc´ognitas que se puede resolver para m y b con cualquiera de los m´etodos conocidos, P (substituci´ on, determinantes, etc.). Denotando X Pn on, igualaci´ Pn Pncomo a la i=1 xi , como Σ Y a i=1 yi y como Σ XY a la i=1 xi yi , se encuentra que: nΣ XY − (Σ X)(Σ Y ) m= nΣ X 2 − (Σ X)2 b=

(Σ X 2 )(Σ Y ) − (Σ XY )(Σ X) . nΣ X 2 − (Σ X)2 147

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 148 — #164

Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

Mediante el criterio del Hessiano* que se refiere al c´alculo de m´aximos y m´ınimos en funciones de dos o m´as variables, se tiene que la m y b determinadas, minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones. Una vez que se ha comprendido el c´omo se deducen las ecuaciones para m y b, una buena t´ecnica para recordar el sistema de ecuaciones (D.9) es la siguiente: Si la ecuaci´ on lineal a la que se quiere llegar es de la forma: Y = a0 + a1 X,

(D.10)

en donde a0 y a1 son constantes, entonces tomando sumatorias a la ecuaci´ on (D.10) se tiene que: n X i=1

Y =

n X

(a0 + a1 X) o

i=1

n X

Y =

i=1

n X

a0 + a1

i=1

n X

X,

i=1

esto es: Σ Y = na0 + a1 Σ X,

(D.11)

y multiplicando ahora por X la ecuaci´on (D.10) y tomando sumatorias se tiene la segunda ecuaci´on del sistema: Σ XY = a0 Σ X + a1 Σ X 2 ,

(D.12)

si a0 = b y a1 = m se tiene con (D.11) y (D.12): Σ Y = nb + mΣ X Σ XY = bΣ X + mΣ X 2

)

(D.13)

Ejemplo D.1. Tomando la tabla 3.3 del ejemplo 3.3.2 y considerando como X a la carga C y como Y a la longitud L, se hace una tabla como la siguiente para facilitar el c´alculo de m y b por m´ınimos cuadrados. * Apostol,

C´ alculo,Tomo II.

148

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 149 — #165

´ bolas por m´ınimos cuadrados Ajuste de para

Tabla D.1 XY

X2

7

7

1

2 3

9 11

18 33

4 9

4 5

4 5

13 15

52 75

16 25

6 7

6 7

18 22

108 154

36 49

N

Σ X = 28;

X

Y

(C)

(L)

1

1

2 3

Σ Y = 95;

Σ (XY ) = 447;

Σ X 2 = 140;

N =7

De los datos de la tabla D.1 se encuentra que: m=

b=

N Σ XY − (Σ X)(Σ Y ) 7(447) − (28)(95) 469 = = = 2.3928 N Σ X 2 − (Σ X)2 7(140) − (28)2 196

(Σ X 2 )(Σ Y ) − (Σ XY )(Σ X) (140)(95) − (447)(28) 784 = = = 4. nΣ X 2 − (Σ X)2 7(140) − (28)2 196

Para darles el car´ acter f´ısico a los n´ umeros obtenidos para m y b es necesario asignarles las unidades correspondientes y ´estas, pueden deducirse por an´ alisis dimensional o simple inspecci´on en las unidades X y Y en las ecuaciones respectivas. Como en este ejemplo X es la variable carga, C, su unidad es pesa y como Y es la variable longitud, cm L, su unidad es cm. Por lo tanto, las unidades de m ser´ıan pesa y la de b ser´ıa cm y entonces la ecuaci´on obtenida por este m´etodo ser´ıa: L = 2.39

cm C + 4 cm pesa

D.2. Ajuste de par´abolas por m´ınimos cuadrados Si se tiene un conjunto de puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),. . . , (xn , yn ), cuya gr´ afica X vs Y es una par´abola, en general se puede suponer que su ecuaci´ on es de la forma: Y = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + a n X n 149

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 150 — #166

Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

y los coeficientes constantes a0 , a1 ,. . . ,an pueden ser determinados mediante un desarrollo mat´ematico sencillo. Aqu´ı no se derivar´ an las ecuaciones mediante las cuales se determinan las constantes, solamente se dir´a que el m´etodo es el de los m´ınimos cuadrados explicado anteriormente (en los ap´endices B y D en las secciones B.1 y D.1), y que si el grado m´aximo de la ecuaci´on a la que se quiere llegar es n, se tendr´an n + 1 t´erminos del lado derecho de la ecuaci´ on con n + 1 coeficientes constantes que se tendr´an que determinar y por lo mismo, n + 1 ecuaciones que se tendr´an que resolver simult´ aneamente. As´ı pues, es necesario tener por antecedentes te´oricos una hip´ otesis del grado n de la ecuaci´on buscada. Si la curva que se quiere ajustar es cuadr´atica, su ecuaci´on ser´a de la forma: Y = a0 + a1 X + a2 X 2 , (D.14) en donde a0 , a1 y a2 son los 3 coeficientes que se tienen que determinar y por lo tanto es necesario contar con un sistema de tres ecuaciones simult´ aneas de la siguiente forma: Σ Y = a0 N + a1 Σ X + a2 Σ X 2 Σ XY = a0 Σ X + a1 Σ X 2 + a2 Σ X 3 2

2

3

Σ X Y = a0 Σ X + a1 Σ X + a2 Σ X

  

(D.15)



4

en donde N es el n´ umero de datos de la forma (Xi , Yi ) y las sumatorias se toman desde i = 1, 2, . . . , n. Este sistema de ecuaciones tambi´en puede ser recordado como se sugiere en la pag. (148), para el caso de la relaci´on lineal, si observamos que la 1ra., 2a., y 3a., ecuaci´on del sistema (D.15) pueden ser obtenidas multiplicando la ecuaci´ on (D.14) por 1, X y X 2 respectivamente y luego tomando las sumatorias a ambos lados de las ecuaciones resultantes. El valor num´erico de las inc´ognitas a0 , a1 y a2 se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones simult´aneas (D.15), por cualquiera de los m´etodos conocidos. Despu´es, toca a los investigadores asignar por an´ alisis dimensional las unidades correspondientes a estas constantes. Nota. Es necesario aclarar que este ajuste de par´abolas por m´ınimos cuadrados se hace tomando directamente los datos de las variables medidas y que no se usan logaritmos. Ejemplo D.2. En un experimento de ca´ıda libre, se obtienen los datos para la distancia Y y el tiempo t, que se dan en la tabla D.2, que por

150

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 151 — #167

´ bolas por m´ınimos cuadrados Ajuste de para

simplicidad aparece sin incertidumbres. t es la variable independiente y la ecuaci´ on buscada ser´ıa de la forma: Y = a + bt + ct2 .

(D.16)

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver ser´a de 3 ecuaciones simult´ aneas de la forma:  Σ Y = a 0 N + a 1 Σ t + a 2 Σ t2   (D.17) Σ Y t = a 0 Σ t + a 1 Σ t2 + a 2 Σ t3  2 2 3 4 Σ Y t = a0 Σ t + a1 Σ t + a2 Σ t Para resolver este sistema es necesario calcular: Σ Y,

Σ t,

Σ Y t,

Σ t2 ,

Σ Y t2 ,

Σ t3

y

Σ t4 .

A fin de facilitar estos c´alculos se extienden las tablas D.2 y D.3. Para desarrollar por substituci´on y num´ericamente el sistema de tres ecuaciones simult´ aneas (D.17), y para mayor claridad, se reiniciar´a la numeraci´ on de las ecuaciones con (1), (2), (3), etc., del sistema (D.17), de tal manera que: ΣY

= aN + bΣt + CΣt2 2

(1) 3

ΣY t = aΣt + bΣt + CΣt ΣY t2 = aΣt2 + bΣt3 + CΣt4 .

Tabla D.2.

t

Y

(s)

(cm)

1

0.000

76.8

2 3

0.052 0.104

75.9 71.8

4 5

0.157 0.209

64.0 52.8

6

0.261

38.7

7

0.313

20.5

151

(2) (3)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 152 — #168

Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

0.000

(s)

t

76.8

(cm)

Y

3.9468

0.0000

(cm s)

Yt

2.704 × 10−3

0.0000

(s2 )

t2

0.2052

0.0000

(cm s2 )

Y t2

1.41 × 10−4

0.0000

(s3 )

t3

7.31 × 10−6

0.0000

(s4 )

t4

Tabla D.3.

1 75.9

6.08 × 10−4

0.052

3.9 × 10−3

1.91 × 10−3

2

1.5775

9.13 × 10−3

4.64 × 10−3

1.17 × 10−4 0.02465

2.3064

0.0178

9.60 × 10−3

1.12 × 10−3 10.048

0.0437

2.6363

0.0307

0.7766

64.0

11.0352

0.0681

2.009

0.01081

0.157

52.8

10.1007

0.0980

7.4672

4 2.209

38.7

6.4165

71.8

5 0.261

20.5

0.104

6

0.313

0.0169

3

7

0.0628

Σ t4 = 0.0169

9.511

Σ t3 = 0.0628

0.248

Σ Y t2 = 9.511

49.0144

Σ t2 = 0.248

400.5

Σ Y t = 49.0144

1.096

Σ Y = 400.5

Σ

N = 7 Σ t = 1.096

152

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´ bolas por m´ınimos cuadrados Ajuste de para

Por la ecuaci´ on (1): a= y por la ecuaci´ on (2): a=

 1  ΣY − bΣt − CΣt2 N

 1  ΣY t − bΣt2 − CΣt3 . Σt

(4)

(5)

A partir de aqu´ı y para evitar complicaciones algebraicas, en las ecuaciones (4) y (5) se substitutyen las sumatorias por sus valores num´ericos que aparecen en la tabla D.3, y entonces por la ecuaci´on (4): 1 [400.5 − b (1.096) − C (0.248)] . . . 7

(6)

1 [49.0144 − b (0.248) − C (0.0628)] . . . 1.096

(7)

a= y por ecuaci´ on (5): a=

igualando las ecuaciones (6) y (7) y eliminando denominadores: 1.096[400.5 − b (1.096) − c (0.248)] = 7[49.0144 − b (0.248) − c (0.0628)] 438.948 − b (1.2012) − c (0.2718) = 343.1008 − b (1.736) − c (4396), despejando b: b (1.736 − 1.2012) = c (0.2718 − 0.4396) + 343.1008 − 438.948 b (0.5348) = c (−0.1678) − 95.8472 1 b= [c (−0.1678) − 95.8472], (8) 0.5348 sustituyendo a de la ecuaci´on (6) en la ecuaci´on (3) se tiene que:   1 ΣY t = (400.5 − b (1.096) − C (0.248)) Σt2 + bΣt3 + CΣt4 , (9) 7 y substituyendo los valores num´ericos de las sumatorias (tabla D.3), 9.511 =

0.248 [400.5 − b (1.096) − c (0.248)] + b (0.0628) + c (0.0169). 7

Multiplicando por 7 toda la ecuaci´on y despejando b: 66.577 = 99.324 − b (0.2718) − c (0.0615) + b (0.4396) + c (0.1183) b (0.2718 − 0.4396) = c (0.1183 − 0.0615) + 99.324 − 66.577,

153

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 154 — #170

Ajuste de rectas por m´ınimos cuadrados

∴ b (−0.1678) = c (0.0568) + 32.747 1 [ c (0.0568) + 32.747], ∴ b= −0.1678

(10)

igualando las ecuaciones (8) y (10): 1 1 [ c (−0.1678) − 95.8472] = [ c (0.0568) + 32.747] 0.5348 −0.1678 y eliminando denominadores: (−0.1678) [ c (−0.1678) − 95.8472] = (0.5348) [ c (0.0568) + 32.747] c (0.02816) + 16.0832 = c (0.03038) + 17.5131 c (0.02816 − 0.03038) = 17.5131 − 16.0832 c (−2.22 × 10−3 ) = 1.4299

∴

c=

−1.4299 × 103 1429.9 =− 2.22 2.22 ∴ c = −644.10,

(11)

sustituyendo la ecuaci´ on (11) en la (8): 1 [(−644.10)(−0.1678) − 95.8472] 0.5348 b = 22.8735

b=

(12)

y sustituyendo las ecuaciones (11) y (12) en la ecuaci´on (6): 1 [400.5 − (22.8735)(1.096) + (644.1)(0.248)] 7 535.1674 a= = 76.45. 7 a=

∴

(13)

En las ecuaciones (11), (12) y (13) se encuentran las magnitudes de a, b y c de la ecuaci´on (D.16) a las que es necesario asignarles las unidades mediante an´ alisis dimensional. D.3.

An´alisis dimensional

Para analizar dimensionalmente una ecuaci´on, se considera que por tratarse de una igualdad tanto el miembro derecho como el izquierdo deben tener las mismas unidades. Observando el miembro izquierdo de

154

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 155 — #171

´ lisis dimensional Ana

la ecuaci´ on (D.16), se tiene que por la Tabla D.2, Y tiene unidades de cm y por lo tanto cada t´ermino del lado derecho de la ecuaci´on (D.16) debe quedar en unidades de cm, al igual que el miembro izquierdo. Como la ecuaci´ on es de la forma: Y = a + bt + ct2 , a debe medirse en cm, y si t est´a en segundos, s, suponiendo que bt = α cm, entonces: α cm b= , t s de donde se ve que b debe tener unidades cm s , y de igual forma para el tercer t´ermino si suponemos que: ct2 = γ cm,

c=

γ cm , t2 s 2

de donde se tiene que c debe tener unidades de cm s2 . De esta misma manera puede ser analizada dimensionalmente cualquier ecuaci´ on y en particular para este ejemplo las unidades asignadas para a, b y c, pueden ser comprobadas en las ecuaciones del sistema (D.17). Asimismo, por las unidades correspondientes se pueden identificar f´ısicamente como longitud, velocidad y aceleraci´ on, respectivamente. Finalmente, la ecuaci´on (D.16) queda como: Y = 76.45 cm + 22.87

cm cm t − 644.1 2 t2 , s s

en donde se ve que la aceleraci´on es negativa por tratarse de un movimiento en ca´ıda libre.

155

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“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 157 — #173

´ APENDICE E ´ EJERCICIOS DE APLICACION

E.1. Mediciones e incertidumbres 1. Los siguientes valores son ejemplos de mediciones directas y reproducibles. Si la graduaci´on (m´ınima escala) de los instrumentos de medida A, B, C, D, y E, son 0.1, 0.2, 0.5, 0.01 y 1, respectivamente: a) Escriba la incertidumbre a cada medici´on. b) Subraye la cifra apreciada. Medida con: A: B:

13.8 7.40

C: D:

10.0 4.35

E:

6.0

± ± ± ± ±

2. En las siguientes mediciones directas y reproducibles indique la m´ınima escala del instrumento de medida. 3.75 0.03 1.460 5.0 1.5

± ±

0.025 ; M.E. = 0.005 ; M.E. =

±

0.25

± ±

0.001 ; M.E. = 0.05 ; M.E. = ; M.E. =

3. Se tomaron 10 mediciones de una magnitud X, donde cada (Xi ± 0.05) con i = 1, 2, . . . , 10, es lo siguiente: 2.3, 2.5, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, 2.3, 2.4, 2.0.

157

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 158 — #174

´n Ejercicios de aplicacio

a) Dado que las mediciones fueron tomadas en las mismas condiciones, diga qu´e tipo de medici´on es. b) Escriba la medici´on correcta con su incertidumbre redondeando. 4. Al medir con un Vernier cuya graduaci´on m´ınima es de 0.005 cm, se obtuvo el valor de 36.250mm. Diga cu´antas cifras significativas correctas y cu´ antas apreciadas tiene. 5. De las siguientes mediciones: i) (3.435 ± 0.0025) cm.

ii) (2.2 ± 0.01) s.

iii) (10.00895 ± 0.000005) km. iv) (180 ± 0.5) cm.

v) (15.0 ± 0.05) g.

a) Calcule su incertidumbre porcentual. b) Diga cu´ al de todas ellas es la m´as precisa. 6. Al medir 10 per´ıodos de oscilaci´on de un p´endulo se tiene que 10 T = 2.30 s. Sabiendo que se us´o un cron´ometro que se adelanta 0.1 s en cada minuto: a) ¿Qu´e tipo de error tiene la lectura? b) ¿Cu´ al es el valor corregido de la medici´on? 7. ¿Cu´ ales de las siguientes magnitudes tienen incertidumbre? a) El n´ umero de hojas de un cuaderno. b) La altura del volc´an Popocat´epetl. c) El grueso de un papel. d) La cantidad de llantas que usa un trailer. e) La temperatura de ebullici´on del agua al nivel del mar. f) El precio de un autom´ovil.

158

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 159 — #175

Mediciones e incertidumbres

8. De la siguiente serie de mediciones: 38.3 s ± 5 %

0.43 km ± 0.5 % 980 R.P.M. ± 2 %

145.0 g ± 0.28 % 37.5 ◦ C ± 0.1 %

a) Calcule su incertidumbre absoluta. b) Diga cu´ al medici´on es la m´as precisa. 9. Al medir con un cron´ometro 10 veces la duraci´on de la ca´ıda de una piedra, se leen: 4.30 s, 4.28 s, 4.33 s, 4.35 s, 4.25 s, 4.05 s, 4.27 s, 4.37 s, 4.15 s, 4.18 s. a) ¿Cu´ al es la incertidumbre en cada una de estas mediciones? b) Si se us´ o la misma piedra, la misma altura y el mismo cron´ometro ¿A qu´e se debe tanta diferencia en las lecturas? c) ¿C´ omo se reportar´ıa esta medici´on? (Redondee los resultados) 10. Sume las siguientes cantidades medidas y redondee: a)

13.875 4.6 57.82 + 0.0322

b)

. 10.80 1.375 + 63.0004

c)

4.455 587450.11786 0.00032 + 1.1789

11. Reste y redondee las cantidades medidas que a continuaci´ on se dan: a) 495.37 b) 57. c) 668.8977 − 13.228 − 12.3 − 14.5 12. Multiplique las siguientes mediciones y redondee: a) 455 × 1.75 =

b) 0.033 × 13.85 = c) 6758.3 × 1.22 =

159

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 160 — #176

´n Ejercicios de aplicacio

13. Divida y redondee las siguientes cantidades medidas: a)

0.9874 1.2

5877458.37 0.375

b)

c)

575.725 8

14. D´e tres ejemplos de error sistem´atico y tres ejemplos de error aleatorio. 15. Calcule la precisi´ on de cada una de las siguientes mediciones: a) (375.5 ± 0.05) g

d) (8.4 ± 0.01) ml

c) (45.0 ± 0.05) ml

f) (148 ± 1) ml

b) (527.478 ± 0.0002) km

e) (51.3 ± 0.05) mm

E.2. Mediciones indirectas 16. D´e tres ejemplos de mediciones indirectas en cada una de las siguientes ´ areas: a) Medicina b) Biolog´ıa c) Qu´ımica d) Astronom´ıa e) F´ısica f) Meteorolog´ıa g) Agronom´ıa 17. Para calcular el volumen de una piedra por desplazamiento de agua, se puso agua en una probeta cuya m´ınima escala es de 1ml. Si los vol´ umenes de agua antes y despu´es de poner la piedra son: Vant = (20 ± 0.5) ml y Vdesp = (28 ± 0.5) ml a) Diga si la medici´on es indirecta y por qu´e. b) Calcule el volumen de la piedra con su incertidumbre.

160

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 161 — #177

Mediciones indirectas

18. Se tienen tres varillas y cada una ha sido medida con regla de diferente graduaci´on; las medidas de las longitudes son: (4.37 ± 0.005) m, (138.5 ± 0.05) cm, (7.877 ± 0.0005) m. Si las varillas se colocan una a continuaci´on de otra ¿Cu´al ser´ıa la longitud total que se tendr´ıa? 19. Calcule el ´ area con incertidumbre porcentual para el caso de un tri´ angulo de base B = (9.8 ± 0.05) cm y altura A = (12.0 ± 0.05) cm. 20. Calcule el ´ area de un rect´angulo que tiene por lados: L1 = (3.08 ± 0.005) m y L2 = (0.75 ± 0.005) m, con incertidumbre absoluta, relativa y porcentual. 21. El per´ıodo de un p´endulo se calcula por: s l , T = 2π g considerando que l = lo ±δl y que tanto 2π como g son constantes, calcule To y δT absoluta y porcentual. 22. ¿Cu´ al es la incertidumbre porcentual asociada a las siguientes mediciones? a) b) c) d) e)

P = mv con m = mo ± δm y v = vo ± δv U = mgh con m = mo ± δm, h = ho ± δh y g = cte. E = 12 mv 2 con m = mo ± δm y v = vo ± δv I = V /R con V = Vo ± δV y R = Ro ± δR V = d/t con d = do ± δd y t = to ± δt

23. Exprese las magnitudes del problema (22) con incertidumbre absoluta. 24. Uno de los lados de un cubo mide (5.0 ± 0.05) cm. Calcule su volumen. 25. ¿Cu´ antas personas habr´a en una plaza p´ ublica repleta de gente sentada en el suelo, si en un ´area cuadrada de (1.00 ± 0.005) m por lado, caben cuatro y la plaza de forma circular tiene (275.0 ± 0.05) m de radio?

161

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 162 — #178

´n Ejercicios de aplicacio

E.3. Relaciones lineales 26. Enuncie las caracter´ısticas que debe poseer la curva que mejor se ajuste a una serie de valores experimentales graficados con incertidumbre. 27. La ecuaci´ on de una recta es de la forma Y = mX + b, donde m y b son constantes. Diga c´omo se les llama a estas constantes y cu´ al es su significado matem´ atico. 28. Dibuje la gr´ afica con incertidumbres que corresponde a la siguiente tabulaci´ on: (X ± 0.2) s (Y ± 5) cm

0.2

1.2

3.2

4.4

6.0

7.6

8.6

20

40

60

80

100

120

140

a) Calcule la pendiente y la ordenada al origen. b) D´e el significado f´ısico de estas constantes. c) Escriba la ecuaci´on correspondiente. 29. En base a la ecuaci´on L = 8 cm g M + 5 cm, complete la siguiente tabulaci´ on: L (cm)

5

M (g)

15

20

0.8

35 2.5

30. De la gr´ afica que aparece a continuaci´on: d ± 0.5 (cm) 6 30 20 10

0

1

2

-10

162

3

t ± 0.5 (s) 4

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 163 — #179

Relaciones lineales

a) Determine la ecuaci´on entre las variables graficadas. b) Calcule el tiempo para el cual d = 50 cm. c) Calcule la distancia para la cual t = 2.8 s. d) ¿Cu´ al es el significado f´ısico de la ordenada al origen negativa? e) ¿Cu´ al es el significado f´ısico de la pendiente de la recta? 31. ¿Cu´ al es la ecuaci´on que le corresponde a la siguiente gr´afica? P 6 40 30 20 10 -

0 -3

-2

-1

0

Q

1

32. De cinco muestras de una substancia, se desea encontrar alguna relaci´ on entre la masa y el volumen de ellas. De la gr´afica de los datos obtenidos midiendo M y V, que aparece a continuaci´on: M ± 0.5 6 (g)

6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

163

6

7

8

9

10

V ± 0.5 (cm3 )

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 164 — #180

´n Ejercicios de aplicacio

a) Calcule la pendiente de la recta con su incertidumbre. b) Calcule la ordenada al origen con su incertidumbre. c) ¿Cu´ al es el significado f´ısico de la pendiente de la recta? 33. En forma esquem´atica y sin tabular, dibuje las formas de las gr´ aficas que corresponden a las siguientes ecuaciones: a) L = 1( cm g )M + 10 cm b) R = (−2)Q + 8 g c) M = (2 ml )V − 1 g

d) Y = 32 X

e) R = −3Q − 7

f) d = (15 cm s )t − 5 cm

E.4. Relaciones potenciales

34. Y

6 A B C

D - X

0

Diga a cu´ al de las cuatro formas de la figura anterior, corresponde cada una de las curvas de las siguientes ecuaciones (haga la deducci´ on sin graficar):

164

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 165 — #181

Relaciones potenciales

a) Y = 3X

√ f) Y = 15 3 X

b) Y = 41 X 3

g) Y = 21 X 1.5

c) Y = 80X 1/2

h) Y =

d) Y = 5X −3

i) Y = (0.6)X

e) Y = 2X

0.4

20 X2

j) Y = 14X 0.75

35. En una ecuaci´ on de la forma Y = aX n , se tiene que Y es proporcional a X n si a es constante. Si las ecuaciones del problema (34) son de esta forma, diga a qu´e es proporcional la Y , en cada una de las ecuaciones. 36. a) Si Y ∝ X n diga de qu´e forma ser´a la gr´afica de Y vs X n , cuando: 0 < n < 1, n = 1, n > 1, n < 0. b) Si Y ∝ X 1/3 diga de qu´e forma ser´a la gr´afica de Y vs X 1/3 .

c) Si Y ∝ X 1/3 diga c´omo se obtendr´ıa la constante de proporcionalidad entre Y y X 1/3 .

d) Si es necesario graficar Y vs X 1/3 y si X = X0 ± δX, diga c´ omo cambiar´ıa la incertidumbre, al cambiar X por X 1/3 , para graficarla. 37. De la siguiente tabla de valores grafique en papel milim´etrico, la columna X en el eje de las abscisas y la columna Y en el eje de las ordenadas: X ± δX (ml)

Y ± δY (g)

1 2

100.0 50.0

3 4

33.3 25.0

5 6

20.0 16.7

a) Por la forma de la curva obtenida diga qu´e tipo de relaci´on se espera entre las variables X y Y . b) Para obtener la ecuaci´on mediante cambio de variable diga c´ omo se calcular´ıa la incertidumbre de la variable cambiada.

165

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 166 — #182

´n Ejercicios de aplicacio

c) Encuentre la ecuaci´on de la curva asignando las unidades correspondientes. 38. Defina el logaritmo de un n´ umero; aplicando sus propiedades, desarrolle lo siguiente: b) log( ab )

a) log(a · b)

√ d) log( n a)

c) log(an )

39. Aplicando logaritmos a toda la ecuaci´on, diga c´omo quedar´ıan las siguientes ecuaciones: a) Y = aX n b) Y = b · emt

c) Y = a · (10)kx √ d) Y = 20 X

e) Y =

k X3 −5

f) Y = X

40. De la ecuaci´ on log Y = log a + n log X, diga: a) A qu´e tipo de curva corresponde la ecuaci´on. b) Cu´ al es la variable independiente y cu´al la dependiente. c) Diga el significado matem´ atico de las constantes. 41. De la observaci´ on de las siguientes gr´aficas en papel milim´etrico: a) Deduzca la forma de las curvas al graficar Y vs X. b) Escriba las ecuaciones que les corresponden a esas curvas. i)

ii)

log Y 6

log Y 6

4

10 2

5

0

5

10

log X

166

0

1

2

3

4

log X

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 167 — #183

Relaciones potenciales

iii) 6

Y

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

X2

42. Graficando en papel log-log se obtuvieron gr´aficas de las siguientes formas: i) Y

6

100 80 60 40

20

10

6 4

2

2

4

6

167

10

20

40

60

X 100

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 168 — #184

´n Ejercicios de aplicacio

ii) Y 6 600 400

200

100 60 40

20 X -

10 0.1

0.2

0.4 0.6

1

2

4

6

10

20

40

iii) 100

6Y

80 60 40

20

10

6 4

2

0

2

4

6

10

168

20

40

60

X 100

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 169 — #185

Relaciones potenciales

a) Diga de qu´e forma ser´ıan las gr´aficas si se graficaran los mismos puntos en papel milim´etrico. b) Deduzca las ecuaciones de las tres curvas. 43. Calcule la pendiente m y la ordenada al origen b, de las siguientes rectas graficadas en diferentes papeles para diferentes experimentos, asign´ andoles las unidades correspondientes: I. En papel log-log; donde en a) F es fuerza en newtons y Y es desplazamiento en metros; en b) M es masa en gramos y t es tiempo en segundos; en c) N es un n´ umero de poblaci´on y t es tiempo en a˜ nos, respectivamente. II. En papel milim´etrico: Donde en a) T es per´ıodo en R.P.M. y R es radio en metros; en b) θ es ´angulo en radianes y t es tiempo en segundos; en c) K es energ´ıa cin´etica en joules y h es altura en metros.

169

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 170 — #186

´n Ejercicios de aplicacio

I. En papel log-log: F a)

8 6

4

2

.

1 0.8 0.6

0. 4

0.2.

-Y

00.1 0.1.

0.2

0.4

170

0.6

0.8

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 171 — #187

RELACIONES POTENCIALES

b)

0.01.

M

0.0 8 0.06

0.04

0.02

0. 01 0.008 0.006

0.004

0.002

-

0.001 1

2

4

6

171

8

10

20

30

t

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 173 — #189

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

c) 6 6 N(×10 )

60 40

20

10 6 4

2 t-

1 0.05

0.1

0.2

0.4

0.6

1

172

2

4

6

10

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 174 — #190

RELACIONES EXPONENCIALES

II. En papel milim´etrico: a) 6log T

8 6 4 2

-1

0

1

2

3

4 log R

b)

6log θ 15 13 11 9 7 0

0.1

0.2

0.3

173

0.4 log t

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 175 — #191

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

c)

log K 6 6.0 4.5 3.0 1.5

0

5

10

15

20

25 log h

44. Escriba las seis relaciones del problema (43), asignando las unidades correspondientes a la constante de proporcionalidad entre las variables. E.5. Relaciones exponenciales 45. Explique en pocas palabras la diferencia matem´atica entre las relaciones potenciales y las exponenciales. 46. Escriba las formas generales de las ecuaciones exponenciales y dibuje esquem´ aticamente las formas de sus curvas. 47. Explique la diferencia entre log y ln. 48. Escriba la ecuaci´ on lineal que resulta al aplicar logaritmos (log o ln) a una ecuaci´ on exponencial y diga si es indiferente el usar log o ln o cu´ al es la diferencia. 49. Graficando en papel milim´etrico unas series de datos de log Y y X, se obtienen las siguientes rectas. Diga para cada caso, si la constante multiplicativa de la variable independiente es positiva negativa o cero.

174

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 176 — #192

RELACIONES EXPONENCIALES

a) 6 log Y 3 2 1 X -

0 1

2

3

4

-1

b) log Y 6

6

4

2 X 0

2

4

50. Si la ecuaci´ on buscada es de la forma Y = A · (10)kx ¿Cu´anto vale A en las gr´ aficas a y b del problema (49)?

175

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 177 — #193

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

51. Al graficar en papel milim´etrico log N vs t se obtiene una gr´afica de la siguiente forma: log N 6

70

35

t (min) 0

3

6

9

12

15

en donde N es el n´ umero de una cierta poblaci´on y t es el tiempo dado en minutos. a) Escriba la ecuaci´on general de esta relaci´on. b) Diga en qu´e parte de ella y c´omo quedar´ıan asentadas las unidades del tiempo. c) Escriba la relaci´on entre las variables N y t. 52. La relaci´ on entre la temperatura y el tiempo, que representa a la Ley de enfriamiento de Newton es de la forma general: ∆T = T0 · ekt en donde ∆T = T − T a y k < 0 a) ¿C´ omo ser´ıa la curva que se espera al graficar ∆T vs t? b) Si se cuenta con una tabla de datos de T en grados cent´ıgrados y t en segundos, ¿C´omo se obtendr´ıan T0 y k? c) ¿Qu´e unidades tendr´ıa T0 ? d) ¿Qu´e unidades tendr´ıa k? 53. Observando las siguientes curvas que corresponden a relaciones exponenciales de la forma P = A · ekt escriba el valor de A, con sus unidades, y el signo de k con sus unidades:

176

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 178 — #194

RELACIONES EXPONENCIALES

a) P (p) 6

2

t (min)

0

b) P (p) 6

70

t (min)

0

54. Sin hacer c´ alculos dibuje esquem´atica y r´apidamente la forma que tendr´ıan las siguientes curvas al graficar Y vs X (sin unidades) en papel milim´etrico: a) Y = 2 · (10)−3x

e) Y = 3X −2

b) Y = (835)X 2

f) Y = A(10)2x

c) Y = (76)e5x

g) Y = ke−x

d) Y = 4X

h) Y = BX 1/2

177

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 179 — #195

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

55. Observando las siguientes rectas, graficadas en diferentes papeles, dibuje esquem´ aticamente la forma que se deduce que tendr´ıan las curvas de Y vs X en papel milim´etrico: a) log Y 6

10

5

X -

0

2

4

b) log Y 6 30

20

10

0

X 1

2

178

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 180 — #196

RELACIONES EXPONENCIALES

1

2

100 0.1

179

4

6

10

20

40

60

100

6Y

0.2

0.4

0.6

1

2

4

6

10

20

40

60

X

-

c)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 181 — #197

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

d) 6Y

20

10

5

2

X -

1 0

100

200

180

300

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 182 — #198

RELACIONES EXPONENCIALES

e)

6Y

3

2

1

-2

-1

0

1

-1

181

2

X

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 183 — #199

EJERCICOS DE APLICACIÓN

f) 6Y

6

4

2

1

0.5

0.3

0.2

X -

0.1 0

7

14

182

21

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 184 — #200

RELACIONES EXPONENCIALES

56. Escriba la ecuaci´ on que les corresponde a cada una de las curvas que se deducen del problema (55). 57. En un cultivo de bacterias en donde se contaron 107 bacterias por mil´ımetro, se agreg´o un agente bactericida. Del conteo de bacterias vivas por mil´ımetro cada 10 minutos, se obtuvo la siguiente tabla. Encuentre la relaci´on entre el n´ umero de bacterias y el tiempo usando logaritmos naturales. t (min) No. de bact

0 10

7

10

20

30

40

50

60

6

5

4

3

2

1

10

10

10

10

10

10

70 1

58. A partir de la relaci´on encontrada en el problema (57): a) Verifique si asign´o bien las unidades a la pendiente de la recta. b) Calcule en qu´e tiempo se tendr´ıan 500 bacterias. c) Calcule cu´ antas bacterias hab´ıa a los 35 minutos. d) Diga si podr´ıa calcularse el tiempo para cero bacterias.

183

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 185 — #201

´ APENDICE F ´ SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE APLICACION

F.1. Mediciones e incertidumbres 1. Medida con A: B: C: D: E:

13.8 ± 0.05 7.40 ± 0.1

10.0 ± 0.25 4.35 ± 0.005 6.0 ± 0.5

2. 3.75 ± 0.025;

M.E. = 0.05

5.0 ± 0.05;

M.E. = 0.1

0.03 ± 0.005; 1.460 ± 0.001;

M.E. = 0.01 M.E. = 0.002

1.5 ± 0.25;

M.E. = 0.5

3. a) La medici´ on es no reproducible b) x ¯ = 2.18 : d.a.m. = 0.32. Como se ve en los datos que la graduaci´on m´ınima del aparato de medici´ on es 0.1, se redondea todo a una cifra decimal: ∴ x = 2.2 ± 0.3. La incertidumbre se acepta con una cifra m´as y puede ser: x = 2.2 ± 0.30. 185

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 186 — #202

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

4. El vernier mide hasta las 5 mil´esimas de cent´ımetro y si hay alguna cifra m´ as, ´esta ser´a apreciada, esto es: 36.250 mm = 3.6250 cm ∴ tiene 4 cifras significativas correctas y el u ´ ltimo cero es una cifra apreciada. 5. a) i)

250 50 0.25 0.0025 cm 100 = = = = 0.073 % 3.435 cm 3.435 3435 687

ii)

0.01s 1 10 100 = = = 0.45 % 2.2 s 2.2 22

iii)

0.000 005 km 0.0005 100 = = 0.000 05 % = 5 × 10−5 % 10.008 95 km 10.008 95

iv)

0.5 cm 50 5 100 = = = 0.28 % 180 cm 180 18

v)

0.05 g 5 1 100 = = % = 0.33 % 15.0 g 15 3

b) La medici´ on m´as precisa es la que tiene una incertidumbre porcentual de 5 × 10−5 %. 6.

a) Error sistem´ atico. b) 10T = 2.30 s 0.1 s En cada segundo se adelanta y por lo tanto en 2.30 s se 60 s adelantar´ a: 0.1 0.23 23 × 10−2 23 × 2.30 s = s= s= × 10−3 s 60 60 6 × 101 6 = 3.83 × 10−3 s ∴ 10T = 2.30 s + 0.003 83 s = 2.303 83 s, que redondeando al n´ umero de cifras significativas queda en 10T = 2.30 s, con lo cual se ve que el error sistem´atico no hace variar la medici´on cuando ´esta es peque˜ na.

186

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 187 — #203

Mediciones e incertidumbres

7. b), c) y e) tienen incertidumbre. a), d) y f) no tienen incertidumbre. 8. a) δx es la incertidumbre absoluta y si la medici´on es: i) 38.3 s ± 5 % δx 100 = 5 % 38.3 s 191.5 s 5(38.3 s) = = 1.915 s ∴ δx = 100 100 ii) 0.43 km ± 0.5 % δx 100 = 0.5 % 0.43 km 0.5(0.43) km 0.215 km ∴ δx = = = 0.00215 km 100 100 iii) 980 R.P.M. ± 2 % δx 100 = 2 % 980 2(980) R.P.M. 1960 R.P.M. ∴ δx = = = 19.60 R.P.M. 100 100 iv) 145.0 g ± 0.28 % δx 100 = 0.28 % 145.0 g 0.28(145.0 g) 40.60 ∴ δx = = g = 0.406 g 100 100 v) 37.5 ◦ C ± 0.1 % δx 100 = 0.1 % 37.5 ◦ C 0.1(37.5 ◦C) ∴ δx = = 0.0375 ◦C 100 b) La m´ as precisa es 37.5 ◦C ± 0.1 % 187

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 188 — #204

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

9.

a) δx = 0.005 s b) Se debe a errores estoc´asticos c) En una medici´on no reproducible como ´esta, se calcula el valor promedio, la d.a.m., y se redondean ambas cantidades al n´ umero de cifras decimales significativas (como en el problema 3): t¯ = 4.253 s; d.a.m. = 0.203 s ∴ t = (4.25 ± 0.200) s

10.

a)

+

13.875 4.6 57.82 0.0322

b)

. 10.80 1.375 + 63.0004

76.3272 R=76.3

11.

a)

495.37 − 13.228

12.

4.455 587 450.117 86 0.000 32 + 1.1789

75.1754 R=75.18

b)

57. − 12.3

482.142 R=482.14

c)

587 455.752 08 R=587 455.752

c)

668.8977 − 14.5

44.7 R=45.

654.3977 R=654.4

a) 455 × 1.75 = 796.25; R=796

b) 0.033 × 13.85 = 0.457 05;R=0.46

c) 6758.3 × 1.22 = 8245.126;R=8245.1 13.

0.9874 = 0.8228; R=0.8 1.2 5 877 458.37 b) = 15 673 222.3197; R=15 673 222.32 0.375 575.725 c) = 71.9656; R=72 8

a)

14. Ejemplos de error sistem´atico son: 1. Error por paralaje.

188

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 189 — #205

Mediciones indirectas

2. Medici´ on de tiempo con un reloj que se adelanta o atrasa. 3. Medici´ on de un volumen de agua con una probeta mal graduada. Ejemplos de errores estoc´asticos son: 1. La influencia del aire que se opone al movimiento de un p´endulo. 2. Los movimientos de un pez vivo en la medici´on de su longitud. 3. La apreciaci´ on del instante del paso de un m´ovil por un punto determinado. 15. La precisi´ on de una medida se calcula con la incertidumbre porcentual.   0.05 100 = 0.013 % a) 375.5   0.0002 b) 100 = 0.000 037 9 % 527.478   0.05 c) 100 = 0.111 % 45.0   0.01 d) 100 = 0.119 % 8.4   0.05 e) 100 = 0.0975 % 51.3   1 f) 100 = 0.676 % 148 F.2. Mediciones indirectas 16. a) En medicina: 1. El n´ umero de gl´obulos rojos en la sangre. 2. El porcentaje de c´elulas infectadas en un ´organo. 3. El ´ındice de mortalidad de una cierta enfermedad. b) En biolog´ıa: 1. El crecimiento en el n´ umero de individuos en un cultivo de bacterias. 2. La temperatura de un insecto.

189

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 190 — #206

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

c)

d)

e)

f)

g)

3. La cantidad de canguros que habita en Australia En qu´ımica: 1. El tama˜ no de una mol´ecula. 2. El peso molecular 3. El volumen de una sustancia En astronom´ıa: 1. La distancia de la Tierra al Sol. 2. El tama˜ no de nuestra galaxia 3. La cantidad de estrellas en el Universo En f´ısica: 1. La velocidad de la luz 2. La masa de la tierra. 3. Un ´ area cualquiera. En meteorolog´ıa: 1. La velocidad del aire de un hurac´an 2. La precipitaci´on anual. 3. La temperatura en la troposfera de una regi´on En agronom´ıa: 1. La producci´on anual de ma´ız en el estado de Nayarit. 2. El tonelaje de naranjas que se produjeron en los campos de Hermosillo en 1991. 3. La merma en la producci´on anual de caf´e en el norte del estado de Puebla, debida a una plaga.

17. a) La medici´ on es indirecta porque el volumen se obtiene mediante el c´ alculo de agua desplazada por ´el, o sea, a trav´es de una operaci´ on aritm´etica: Vdesp − Vant = V. b) V = (28±0.5)−(20±0.5) = (28−20)±(0.5+0.5) = (8±1) ml. 18.

(4.37

± 0.005) m

(1.385 ± 0.0005) m

+(7.877 ± 0.0005) m

(13.632 ± 0.0060) m

Redondeando: (13.63 ± 0.006) m 190

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 191 — #207

Mediciones indirectas

19.

20.

1 1 BA = [Bo Ao ± (Bo δA + Ao δB)] 2 2 1 = [(9.8 × 12.0) ± (9.8 + 12.0)(0.05)] 2 117.6 ± 1.09 = = (58.8 ± 0.54) cm2 2 0.54 54 δ %A = 100 = = 0.918 % 58.8 58.8 A = 58.8 cm2 ± 0.918 %

Area =

A = [L1o L2o ± (L1o δ L2 + L2o δ L1 )] m2

A = [(3.08 × 0.75) ± ((3.08 × 0.005) + (0.75 × 0.005))] m2 = [2.31 ± (3.08 + 0.75)(0.005)] m2

∴ A = [2.31 ± 0.019] m2

δab A = 0.019 m2 ; δrel A = 0.0082; δ % A = 0.82 % 21.

22. a)

 1/2 l 2π 2π = 1/2 l1/2 = 1/2 (lo ± δl)1/2 g g g   2π 1 = 1/2 lo1/2 ± lo−1/2 δl 2 g  1/2 lo To = 2π g   2π δl πδl δab T = 1/2 = 1/2 g 2(lo ) (glo )1/2 1 δl δl δl(100) δ % T = 1/2 1/2 = (100) = 50 % 2 lo lo 2lo lo T = 2π

P = mv = mo vo ± (mo δv + vo δm) donde Po = mo vo y δP = mo δv + vo δm δm δv δP δrel P = = + Po mo v   o δm δv ∴ δ %P = + 100 mo vo

191

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 192 — #208

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

b)

U = mgh = g [(mo ho ) ± (mo δh + ho δm)]

en donde: Uo = gmo ho y δU = g(mo δh + ho δm) δU δm δh δrel U = = + Uo mo ho   δm δh 100 ∴ δ %U = + mo ho

c)

 1 1 mv 2 = mo vo2 ± (mo 2vo δv + vo2 δm) 2 2 1 1 en donde Eo = mo vo2 y δE = mo vo δv + vo2 δm 2 2 δE δm δv = +2 δrel E = Eo mo v  o  δv δm +2 100 ∴ δ %E = mo vo E=

d)

V Vo Vo δR + Ro δV = ± R Ro Ro2 Vo Vo δR + Ro δV en donde: Io = y δI = Ro Ro2 δI δV δR δrel I = = + Io Vo R   o δV δR ∴ δ %I = + 100 Vo Ro I=

e)

d do to δd + do δt = ± t to t2o do to δd + do δt en donde: Vo = y δV = to t2o δd δt δV δrel V = = + Vo do to   δd δt ∴ δ %V = + 100 do to V =

192

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 193 — #209

Relaciones lineales

23. Ya est´ a resuelto en el problema 22. 24. El volumen es: V = l3 si l = lo ± δl, Vo = lo3 y δV = 3lo2 δl Como lo = 5.0 cm y δl = 0.05 cm entonces Vo = (5.0)3 cm3 = 125 cm3

y

δV = 3(25)(0.05) cm3 = 3.75 cm3

∴ V = (125.0 ± 3.8) cm3 25. Sea a = l2 = (1.00 ± 0.005)2 m2 y A = πR2 = π(275.0 ± 0.05)2 m2 Sea n = 4 el n´ umero de personas que caben en a, entonces: n N nA :: , ∴ N= a A a Ao

=

π(275.0)2 = (3.1416)(75625) = 237583.5 m2

y por cifras significativas Ao

=

237584m2

δA = ao =

π(2)(275.0)(0.05) = 86.4 m2 lo2 = (1.00)2 = 1.00 m2

δa = n =

2lo δl = 2(1.00)(0.005) = 0.01 m2 4  Ao ao δA + Ao δa n ± ao a2o   237584 4 = 950336 1.00   86.4 + (237584)(0.01) 4 = 9849 1 950336 ± 9849

N

=

No

=

δN

=

∴ N

=

F.3. Relaciones lineales 26. Debe ser una curva lisa lo m´as sencilla que se pueda trazar sin angulos ni ondulaciones y que pase por todos los intervalos de ´ incertidumbre, teniendo los puntos de los valores experimentales distribuidos a ambos lados de ella.

193

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 194 — #210

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

27. m es llamada pendiente de la recta y su significado matem´atico es que es la constante de proporcionalidad entre la variable dependiente y la independiente. b es la ordenada al origen que puede ser igual o distinta de cero. Si b = 0, quiere decir que Y es directamente proporcional a X, esto es, que Y crece o decrece cuando X crece o decrece en la proporcionalidad dada por m. Y si b 6= 0 se dice que Y es proporcional a X, salvo por una constate adicional a cada punto que es precisamente b. 28. a)

(68 − 20) cm 48 cm cm = = 13.7 (3.5 − 0) s 3.5 s s b = 20 cm

m=

b) La pendiente es una velocidad constante y la ordenada al origen es una distancia o sea que se le empieza a medir el tiempo al m´ ovil cuando ya lleva 20cm de recorrido. c) Y = (13.7 cm s )X + 20 cm

29.

L (cm)

5

11.4

15

20

25

35

M (g)

0

0.8

1.2

1.9

2.5

3.8

30. a) Tomando de la gr´afica los puntos:(1.5 s, 15 cm) y (0 s, -5 cm), tenemos que: 15 + 5 cm 20 cm cm = = 13.3 1.5 − 0 s 1.5 s s  cm  b = −5 cm ∴ d = 13.3 t − 5 cm s

m=

b) Si d = mt + b;

d−b (50 + 5) cm =t= m (13.3) cm s

∴ para d = 50 cm, t = 4.14 s. c) Para t=2.8 s en la gr´afica se leen 33 cm y utilizando la ecuaci´on encontrada tenemos que:  cm  d = 13.3 (2.8 s) − 5 cm s ∴ d = (37.24 − 5) cm = 32.24 cm 194

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 195 — #211

Relaciones lineales

S´ı, se ve discrepancia con lo le´ıdo directamente, pero esto se debe a que la pendiente tiene una incertidumbre tomando los puntos (1.3, 10) y (2.5, 37), si se calcula: 27 cm 37 − 10 = = 22.5 2.5 − 1.3 1.2 s

mmax =

y tomando los puntos (0.3, 10) y (3.5, 37) se calcula:

y

mmin

=

mmax − m

=

|mmin − m| =

37 − 10 27 cm = = 8.44 3.5 − 0.3 3.2 s cm 22.5 − 13.3 = 9.2 s cm |8.4 − 13.3| = 4.9 s

y tomando la m´axima diferencia se tiene que: m = (13.3 ± 9.2)

cm , s

tomando en consideraci´on esto u ´ ltimo, tenemos que la ecuaci´ on queda como: d = (13.3 ± 9.2)

cm t − 5 cm s

As´ı, la distancia, d, calculada con incertidumbre en la pendiente, m = mo ± δm, queda dentro del intervalo h cm   i cm d = 4.1 t − 5cm , 22.5 t − 5cm s s que para t = 2.8 s, el intervalo es

d = (6.5cm, 58cm) y en conclusi´ on: 1. Lo calculado sin incertidumbre en la pendiente: d = 32.24 cm, est´a dentro del intervalo de incertidumbre. 2. La velocidad dada por m = (13.3 ± 9.2) cm s , tiene una incertidumbre porcentual de 69 % e indica que las mediciones fueron tomadas con muy baja precisi´on. d) Significa que en d = 0, el cron´ometro ya se hab´ıa movido 0.3 s, en otras palabras que se activ´o a 0.3 s antes de que el m´ovil pasara por el cero de distancia.

195

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 196 — #212

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

e) El significado f´ısico de la pendiente de la recta es que es la velocidad. 31. Tomando los puntos (-3, 40) y (0, 30) se tiene que: m=

10 40 − 30 =− = −3.33 y b = 30 −3 − 0 3 ∴ P = (−3.33)Q + 30.

32. a) De los puntos (0, 0) y (4, 2.5): m=

2.5 g = 0.625 4 cm3

Tomando (0,1.62) y (3.5,3), 3 − 1.62 1.38 = 3.5 − 0 3.5 = 0.39.

mmin = mmin

Tomando (2.5, 1.5) y (7.5, 5), 5 − 1.5 3.5 = = 0.7 7.5 − 2.5 5.0 |mmax − m| = |0.7 − 0.625| = 0.075 mmax =

∴ y

|mmin − m| = |0.39 − 0.625| = 0.235 g ∴ m = (0.625 ± 0.235) 3 . cm

b) b = (0 ± 1.62)g

c) Es la densidad de la sustancia.

196

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 197 — #213

Relaciones lineales

33. L (cm)

a)

b)

R

6

6

8

10

M (g) -

0

Q -

0

c)

M (g)

d)

Y

6

6

3 2

1

V (ml) -

0

1

-1

R 6 0

0

e) Q -

d (cm) 6

1

2

3

4

X -

f)

-7

0 -5

197

t(s)

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 198 — #214

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

F.4. Relaciones potenciales 34. a) B;

c) C;

e) C;

g) A;

i) B;

b) A;

d) D;

f) C;

h) D;

j) C.

e) X 2/5 ;

g) X 3/2 ;

i) X;

35. Y es proporcional a: a) X; 3

b) X ;

c) X 1/2 ; d) X

−3

;

f) X

1/3

;

h) X

−2

;

j) X 3/4 .

36. a) La gr´ afica ser´ a lineal en los 4 casos. b) Una l´ınea recta. c) Tabulando todos los valores de Y y de X elevada a la potencia 1/3; despu´es se grafica Y vs. X 1/3 con Y en el eje de las ordenadas y X 1/3 en el eje de las abscisas, obteniendo as´ı una l´ınea recta de la cual se calcular´ıa la pendiente que ser´ıa la constante de proporcionalidad entre Y y X 1/3 . 1/3

d) Si X = Xo ± δX y X n = Xo ± |n|Xon−1 δx, X 1/3 = Xo (1/3)X −2/3δX.

±

37. a) Relaci´ on potencial de la forma y = axn con n < 0. b) Si y = axn y si x = xo ± δx, entonces, como δxn = |n|xn−1 δx, o si n = −3 entonces δx−3 = | − 3|x−3−1 δx = 3x−4 o o δx. c) Y = 100 (g/ml) X −1 .

38. El logaritmo de un n´ umero para una base dada es la potencia a la que debe elevarse la base para obtener ese n´ umero: a) log(ab) = log a + log b b) log(a/b) = log a − log b c) log an = n log a

d) log a1/n = (1/n) log a 39. a) Y = aX n entonces log Y = log a + n log X b) Y = bemt entonces log Y = log b + mt log e c) Y = a(10)kX entonces log Y = log a + kX d) Y = 20X 1/2 entonces log Y = log 20 + (1/2) log X

198

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 199 — #215

Relaciones potenciales

e) Y = k/(X 3 ) entonces log Y = log k − 3 log X f) Y = X −5 entonces log Y = −5 log X

40. log Y = log a + n log X: a) Es una l´ınea recta, b) la variable independiente es log X y la variable dependiente es log Y , c) las constante son log a y n, donde n es la pendiente de la recta y log a es la ordenada origen. 41. a) Y

i)

Y 6

6

X -

0

ii)

X -

0

iii)

Y 6

X -

0

104 2 b) Y = X; Y = 104 X −1/2 = √ ; Y = X 2 . 3 X

199

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 200 — #216

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

42. a) Las formas ser´ıan: i)

Y 6

Y 6

X -

0

ii)

X -

0

iii)

Y 6

X -

0

b) Las ecuaciones son: Para la figura i), tomando los puntos (log 25, log 50) y (log 9, log 30) se tiene que: m=

log 50 − log 30 1.6990 − 1.4771 = = 0.5 log 25 − log 9 1.3979 − 0.9542

y a = 10 entonces Y = 10X 1/2 Para la figura ii), tomando los puntos (log 1.5, log 70) y (log 0.3, log 200) se tiene que: m=

2.3010 − 1.8451 log 200 − log 70 = = −0.65 log 0.3 − log 1.5 −0.5229 − 0.1761

y a = 90 ∴ Y = (90)X −0.65 .

200

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 201 — #217

Relaciones potenciales

Para la figura iii), tomando los puntos (log 5, log 4) y (log 70, log 40): m=

1.6021 − 0.6021 log 40 − log 4 1 = = = 0.87 log 70 − log 5 1.8451 − 0.6990 1.1461

y a = 1 ∴ Y = X 0.87 . 43. I. a) Tomando (log 0.3, log 1) y (log 0.1, log 0.2): m=

log 0.2 − log 1 −0.6990 − 0 −0.6990 = = = 1.4651 log 0.1 − log 0.3 −1 + 0.5229 −0.4771 b=6

N . m1.4651

b) Tomando (log 7, log 0.009) y (log 1, log 0.1): m

= =

b

=

−1 + 2.0458 log 0.1 − log 0.009 = log 1 − log 7 0 − 0.8451 1.0458 = −1.2375 −0.8451 g 0.1 −1.2375 . s

c) Tomando (log 1, log 10) y (log 4, log 30): m=

log 30 − log 10 1.4771 − 1 0.4771 = = = 0.7924 log 4 − log 1 0.6021 − 0 0.6021 b = 107 (a˜ no)−0.7924 .

II. a) Tomando (0, 2) y (3, 8): m=

8−2 6 = =2 3−0 3

y como log b = 2 entonces 102 = b, de donde: b = 102 R.P.M./m2 .

201

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 202 — #218

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

b) Tomando (0.1, 9) y (0.4, 15): 6 15 − 9 = = 20 0.4 − 0.1 0.3
y como log b = 7 entonces b = 107 Srad 20 . c) Tomando (22.5, 0.75) y (0, 4.5): m=

4.5 − 0.75 3.75 1 = = −0.1667 = − 0 − 22.5 −22.5 6

m=

log b = 4.5, entonces b = 104.5 J/m−1/6 . 44. I.a) F = 6(N/m1.4651 )Y 1.4651 −1.2375

I.b) M = 0.1(g/s

)t−1.2375

I.c) N = (107 a˜ nos−0.7923 )t0.7923 2

II.a) T = (102 (R.P.M./m ))R2 II.b) θ = 107 s−20 t20 II.c) k = (104.5 )(Jm1/6 )h−1/6 F.5. Relaciones exponenciales 45. En las llamadas relaciones potenciales, la variable independiente se encuentra elevada a una potencia constante. En las relaciones exponenciales, la base del logaritmo (log o ln) se encuentra elevada a una potencia variable, en otras palabras, la variable independiente est´ a en el exponente de una constante. 46. y = a(10)mx ; y = bekx . 6

Y

X -

0

202

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Relaciones exponenciales

47. log es el s´ımbolo con el que se denota a los logaritmos de base 10 y ln es el s´ımbolo con el que se denota a los logaritmos naturales, o sea, a los logaritmos de base e. 48. Una ecuaci´ on exponencial es de la forma: a) y = b10mx ´ o b) y = aekx , entonces log y = log b + mx

(1)

ln y = ln b + mx ln 10.

(2)

Para la forma a), que es una exponencial de base 10, es conveniente usar log, porque de esa manera queda una relaci´on lineal log y vs. x, ecuaci´ on (1) y como se ve en la ecuaci´on (2), la forma es m´ as compleja. Por otra parte cuando la forma exponencial es como b), lo que conviene usar es ln ya que, de esa manera la ecuaci´ on queda ln y = ln a + kx o sea ln y vs. x. 49. a) Positiva; b) negativa. 50. a) log A = −2 b) log A = 6

∴ A = 10−2 = 0.01 ∴ A = 106 = 1 000 000

51. a) N = a10mt b) Como m tendr´a unidades 1/min, en el exponente queda m (min−1 ) t. c) Tomando (0, 70) y (9, 49): m

49 − 70 −21 7 1 = =− 9−0 9 3 min log A = 70

∴

203

7

N = (1070 )10− 3 min

−1

t

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 204 — #220

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

52. a) 6

∆T

t -

0

b) Se graficar´ıan ∆T vs t en papel semilogar´ıtmico, que resultar´ıa una recta, donde la ordenada al origen (∆T en t = 0) ser´ıa T0 y k ser´ıa la pendiente de la recta. c) T0 tendr´ıa unidades de grados cent´ıgrados. d) k tendr´ıa unidades de s−1 . 53. a) A = 2(p); k es positivo con unidades de 1/min. b) A = 70(p); k es negativo con unidades de 1/min. 54. Y 6

a)

Y 6

b)

2

0

X -

204

0

X -

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 205 — #221

Relaciones exponenciales

Y 6

c)

Y 6

d)

76 X -

0

Y 6

X -

0

e)

Y 6

f)

4 X -

0 Y 6

X -

0

g)

Y 6

h)

k

0

X -

205

0

X -

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 206 — #222

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

55. a)

Y 6

Y 6

b)

10

1 X -

0

c)

Y 6

X -

0 Y 6

X -

0

d)

X -

0

e) 6

Y

Y 6

f)

0

X 0.3 0

206

X -

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 207 — #223

Relaciones exponenciales

56. a) La ecuaci´ on es de la forma Y = A · 10mX . Tomando (2,5) y (0, 10): 5 10 − 5 = 0−2 −2 log A = 10 ∴ 1010 = A, m=

10

Y = 10 (10

−5/2X

entonces:

).

b) La ecuaci´ on es exponencial: Y = A · 10mX . Tomando (0, 0) y (1.25, 20): 20 = 16 1.25 log A = 0 ∴ A = 100 = 1, entonces: m=

Y = 1016X . c) La recta en papel log-log, indica una ecuaci´on potencial de la forma y = axn tomando los puntos (log 50, log 90) y (log 1, log 15): log 90 − log 15 log 6 0.7782 = = = 0.4580 log 50 − log 1 log 50 1.6990 log A = log 15 ∴ A = 15 entonces Y = 15X 0.4580 n=

d) La recta en papel semilogar´ıtmico indica relaci´on exponencial de la forma: y = A10mx ´o y = bekx . Si al calcular la pendiente de la recta se toman logaritmos de base 10, la ecuaci´on queda de la primera forma y si se calcula con logaritmos naturales, la ecuaci´on toma la segunda forma. Tomando (200, ln 2.5) y (100, ln 6): k=

ln 2.4 0.8754 ln 6 − ln 2.5 = = = −0.0088 100 − 200 −100 −100 b = 14 ∴ Y = 14e−0.0088X .

e) La relaci´ on es lineal de la forma: y = mx + b

207

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 208 — #224

´n Soluciones a los ejercicios de aplicacio

Tomando (-2, 2) y (0, -1): 3 −1 − 2 =− 0+2 2 3 ∴ Y = − X − 1. 2

y

m=

b = −1

f) La relaci´ on es exponencial, tomando (7, log 1) y (0, log 0.3): m=

log 1 − log 0.3 − log 0.3 = = 0.0747 y b = 0.3 7−0 7 ∴ Y = (0.3)100.0747X .

57. La relaci´ on es exponencial, tomando (0, ln 107 ) y (50, ln 102 ): ln 105 5 ln 10 − ln 10 (−2.3026) ln 107 − ln 102 = = = = 0 − 50 −50 −50 10 10 −1 1 m = −0.23026 ; k = 107 ∴ N = (107 )e−0.23026min t . min m=

58. a) N = 107 · e−0.23026min

−1

t

,

b) aplicando logaritmo natural a la ecuaci´on a): ln N = 7(ln 10) − 0.23026 min−1 t(ln e), pero como ln e = 1, se tiene que: ln N = 7(2.3026) − 0.23026 min−1 t

y, para despejar t: 0.23026 min−1 t = 7(2.3026) − ln N. Para N = 500 y despejando t:   7(2.3026) − ln 500 16.1182 − 6.2146 t= = min = 43.01 min. 0.23026 0.23026 min−1 c) De la ecuaci´ on en a), y para t = 35min: N = 107 · e−0.23026 min

−1

208

(35 min)

,

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 209 — #225

Relaciones exponenciales

de donde: N = 107 (3.1621)10−4 = 3.1621 × 103 bact. d) No puede calcularse el tiempo para cero bacterias porque ln N quedar´ıa como ln 0 y esto no existe; pero s´ı se puede calcular para N = 1/2 bact = 0.5 bact.

209

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 210 — #226

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 211 — #227

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211

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212

“analisis” — 2008/2/12 — 20:31 — page 213 — #229

Introducción al análisis gráfico de datos experimentales editado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México se terminó de imprimir el 10 de abril de 2017 en Navegantes de la comunicación gráfica, S. A. de C. V. Pascual Ortiz Rubio 40. San Simón Ticumac Delegación Benito Juárez. CP. 03660. Ciudad de México. El tiraje fue de 1000 ejemplares Impresión offset sobre papel cultural de 90 g. En su composición se utilizó tipografía Computer modern de 11/13 pts.