Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas

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INTRODUCCIÓN ~ ALA LÓGICA y a la metodología de las Ciencias deductivas alfred tarski

TERCEQA EDICION

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

ALFRED TARSKI

INTRODUCCIÓN A LA LÚGICA Y A LA METODOLOGfA DE LAS CIENCIAS DEDUCTIVAS

T. R. BACHiu.ER 1 J . R. FUENTES

TEaCEu.

UT!HD.L COlDODO .L U

~1c16N

TDCDA IMGLM

O. CHATEAUBIUAND 1 M. A. DIClülANN

ESPASA-CALPE, S. A. MADRID 19 7 1

ES

PROPIEDAD

C LpoH·Calp•, S. A ., 1951, 1968 lmpnH •n Lp•lla Prw.d in Spoin D•p~ilo

l•sal:- M. BJ.9-1977

ISBN d4-U9-64.90- 9

Tall•m gr1Jfieo1 .U la Editorial Eipao-Colpe, S. A. c.,.,.mro J. lrdn. ... JZ,200. Madrid-34

íNDICE GENERAL

,..,._

PUH.010 DS LA. BDIOJÓlf IMOL:HA, •• • • •••••••• , , , • , • DsL Pall:J'ACIO PS U

S DlOIÓN OaJOlltAL••

11 10

PBIJIC&B.A. PARTE

ELEMENTOS DE l.ÓGICA. MkrODO DEDUCTIVO I.

Soau

BL

uso

Dlt VAJLliltLES

l. Conet&ntee y variables•.... ,., .... . ..............• , ..• !. E~f=~:e; ~:i;:i~~!~~. ~-,.~~~!~~ .!~.~~~~ . ~~~¡: 3. Formación de propoeicionee por medio de variables. Propo1ioionee: univerul• y e•iet.enciale... , .•... , .•..... f. Cu:aotificadore9 univerul y e::1iltenolaJ; variablell libree y ""...... .............. . ..... . ............. . 6. La importancia de lu variables eo matem•tioa. . Ejeroioic..,. ....... .............. ..

II.

Boau

•• "•• 32 38 37

J:L cü.cULO PROP08IOJOlUL

;: ~i:~ul~~~~~l:n~~~~¿~r:;:i:i~~~~~;;.

41

D. El uao de la im.plicaoión en matemátio.a.•... , . , .• , •. , . . . .

52

8. 1n!~~!ó~a.~~~-~~~~~~~~: ~~~~~~~~: ~~ :: :t :¿:i~~ió!:'te·1.r=:~~&Si~d~·d;d¡~~ió~·.::::::: g;

fNDICE GEHDAL

~

~i: r~:!i~~°e~1~c~FoOll~;~=i~~; (~~¡¿~~ d~· .;_~

y tablM de verdad...................•.• , . , .•••. , . . • 14. Aplica.ción de lu Ieyee del OIUculo propotiicional a la infe. renci&.. .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. .. .. .. . . .. .. . 15. Reglu de inferenci&. Demoe\C'&cii:>Del!I oomplet.1!111.... .. .. .................. EjeroiciOlil. Ill.

16.

GO 82 88 71 74

SOBRE L.&. T:mOaf.t. DJt L.6. IDaNTID.A.D

Co¡;,ct;~e~f¡~;d.~~~~~ ~.e~ .~l~~I.~ ~~~~º.¡~~·. ~~~~~:

17. Leyes Cundarnent.aleie de la. teoria de l• ident.idad........ . 18. IdentidMi de objet.oe e identidad do 1u.1 de11ignaoione1¡ uao de ooinillu........... , . . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .

19· 1 20. Los cuantifio-.doree num&iooe . . .. ......... . , . , ... . . , . .

L&cfrn·~:~.ºid!~tid~t~::.. ~~ . ~. ~~~~.·: .~ ~~. ~~:

Ejercioioe...

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .•. IV.

Soa••

'º

81

84 a1 89 91

LA TSOa.f.a. DB OL.&.BU

21. Clasea y sus element.oa....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

ii: &1::8~¡1::~~°yeecC~~~~.~~ -~~. ~-~~¡~~1~ -~~~·: U. Relaoionee fwuia.ment.alea enue claaea............ . . . . . .

.~

:~: g¡::c!~~:~~1::Ná~-~r'.di~-d~~~i~.·c¡~ tinit:aa e infinitas. L& &rit~t.iea. como pMte de la lógiee.. Ejeroieioe

V.

So•as u. n:oaú

101 106

107 110

l>'S B&LAOlo~•

27. R'.olacionee, 1u.1 dominios 1 contndominioe, rel-.cionee y funciones prol>09ioiooalee ooo doe Tariablee libree. , . . . 28. m1culo de relao1ooee.... '............. . .. . . . .. ..... . .

~~: ~~i~n:~~~~~:~=~~~; ~~éiri' ···y ·t~:

s1t.1vae....................... . .......... ~ ...... SI. Relaciones de orden. Ot.roe ojomploe de relaoionee... 32. Rela.oionea unJvoou o funeiones.. . ..................... 33. Rela.oionea uno-uno o funoiooea biunivoeae, y oorreepon· denciu biwúvoo.aa......... ..... ................... 3•. Relacionea mó.ltiplee. Funciooee d6 variu variablee y ope· raciones ........•.•.• , , , . .

l HI 119 123 12t 127 129 13t 136

ae:.

Jmpori&Doia de Ja Ejoroioi011...... VI.

lógica~

ok'M oienOiM.. .... . . . ........••.••....

·139 140

Boau BL K:iToDO D•DUOTIVO

se. Conatituyont.es fundament.alee de t.eorfu deduotivu; t6rm.inoa primitivOB y dednidoe, e:idomu y teoremas. . 37. Modelo e interpretación de una teoria deductiva •• ; . . . . . . Si. Ley de deduooión: oaricter fonnal de las oienoiae deduo-

149 Ui!

tivaa..........•.•.•.• ... • .. . . .................... 39. Selección de Hiom&11 y Wnninoe primit.ivoe; .su indepen-

Hi8

fO. Form&liz.ación de definioionee y demoetracionea¡ teoriaa deductiva.a formalizad.u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U. Conaiatencia y completida.d de una teoría deductiva; pro·

HUI

dencia................ ... .... . ....................

Hl3

blema de decillión.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '2. Cone&poióo &mpliad& de la meiodologh~ do lu oieneiu

Hl8

deduot.ivu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios. .. . . . . . . . . . . . . . . . .

171 17'

SEGUNDA. PA.BTB

APLICACIONES DE LA LÓGICA Y DE LA METODOLOGtA A LA CONSTRUCCIÓN DE TEORiAB MATEMÁTICAS

VII.

CoMBTBUCCIÓN

UYU SOB- u

'3.

o• m u.

TE01tf.&. IU.TKllÁTIO.&.:

oanatU.CIÓN DJI: NÚlll:BOS

prirnit.ivOJi de la t.eoria en conatni.cción¡ a•iomu eobre Ju relacionee fundament.alee entre nómeroe.

T~rminoa

Lef:m~t=~~v~dt:.~ .~~~i~~~.~~~~~~~9'.':

"· U . Otro. teoremu eobn!I IM nileeion ee fWldament.alee. . '8. Ot.ru relaoioDee entre nW:neroe.. Ejeroicioe.. . .

191

lH 1116 Hl8 203

VIII.

CoNsnuco1óN 01: UNA n o• fA. 11.&.Tll:llÁTIO.&.: UIY"a 809. . LA .A.DlCIÓN Y 8U8TJU.COIÓN

f7. Axiomas sobtt1 la adición; propiedades generalee de operaoionee; loe ooncsptoa de gnipo y de grupo abelia.no.. f8. Leyes conmutativa y &800iativa para un número cualquiera de eumandoa. . . ... O. Leyes de monotonía para la adioi6n y •WI recfproou..

201 209 211

'º

f'll-

:r: ~i;E::J:-~~~!rí~:E~i:~~~~-:.:_::.... .. ~ti

53. Definicionea cuyo de6niendum contiene el &igno de igualdad....................... 222 64. Teoremu aobre la eustraccióo.,. . . . . . . . . . . . . . . 2%6 Ejeroicioe... . . 22tl

IX.

ÜON8IDBB..A.CION1l8 IBTODOLÓOICil SOBRE LA noa.J.a. CONSTRmDA

66. Eliminación de axiom&11 •uperftuoa en el 1U.tema original. 6G. lndeJ;>&ndenoi& de loa u:iomu del aiatema aimplifl.cado., . .

6 08d:~:iu: ion~~~ IS?. Eli¡:= re gruposim~j¡J!:tndl=~ abeliano ordeniado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68. Bimpíl6ca.ción ultorior del &iatema de hiomu; f108ibles

trenaforma.ciones del eiatema d e ~nninOI primitivoa.. 69. El problema de conaiatencia de la teoria construida. .. tlO. El problema. de completidad de la teorla coJl8truida. . Ejercicios...

233 237

239 242 248 249 251

X. EXTENSIÓN D• U. TBOIÚ.6. CONSTl\UIDA. FuNo.uo:NT08 DB LA ~CA DE LOS N'Ó'llEROS

61. Primer sistema de axiomas para la aritmética. de loe n11m er08 reales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Caracterización :méa detenida d el primer eistema de all.iomu; 11u11 ventaj&11 metodológica.e y deeventaja.e did&.cticaa ......... ..... ..... . . . ..... .... ........ .. . ... 63. Segundo 4iatema de axioma.a pua la aritnuStiea de loe riú· me-roa reales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6f. Caracterización mú detenid6 del aegundo aiat.ema de axlo. mu¡ concepto. de cuerpo y de ouerpo ordenado. . . . . . . 66. Equivalencia de 101 d04I 11atemu de a x iomu; dmventaju metodológicaa y ventaju didicticae del 11egundo sistema. Ejercicios .. .. .. .. ...... .. .. .. ...... .......

257 259

!61 263 28'1 266 271

GufA BIBLIOGRÁFICA••••

\

PREFACIO DE LA EDICIÓll lllGLESA

Eate libro ee una edición pa.rcialmente modificada y extendida de mi libro Sobrt. la Lógica M~ '!/el M ttodo Deduaivo, que apareció primeramente en polaco, en 1936, y luego, en 1937, en una exa.ct& traducción e.leme.na (bajo el título: Einfii.hrung in dit ma.Uiematiaclu Logilc und dit M ethodologie rkr MatMmatilc). En su forma original fue concebido como un libro científico popular; eu propóeito fue presentar al lego educado -de modo en el que pudieran combinarse la exactitud cientlfica con la mayor inteligibilidad po· aible--- una ide& cla.ra. de la_ podel'08& tendencia. del pens&miento oontemporáneo que se halla concentrada alrededor de la lógica moderna. Eet.& tendencia parle originalme11te de la tare& algo limitada de 80lidifica.r loe fundament.oe de la matem&tica. En eu presente fa.se, sin embargo, tiene objetivos mucho mé.a amplioe. Porque trata de crear un a.pauto conceptual unificado que proveería de un~ bue comó.n a. todo et conocimiento humano. Adem'8, tiende a perfec 4 + l. Por conaiguiente, ai decimoe:

para número.t cualuquMra z t y, z > y

+ 1,

obt.enemoe una proposición indudablemente Bigní.fie&tiva, pero, evidentemente, falsa. Por otra. parte, &s:isten paree de n'1meroe que

31

INT!lODUCCIÓN A LA LÓGICA.

satisfacen la función propoaicional oonaiderada: por ejemplo, el result&do de reemplazar por ... e ,,. por e.s la fórmula ver. da.dera:

•2•

u•

'>2 +l.

Esto se puede expresar brevemente como sigue:

para algunos númuoa z e y, z >y+ l, o utilizando una forma de uso frecuente:

uiaUn númeroa z e g talu qm :r

>y+

l.

Laa expreaiones índicadaa &0n propo.sicíone.s verdader&l!; son ejemplos de PBOPOSICIONIS EXISTENCIA.LES o PROPOSICIONES DE c¿úCTER &XIBTENCUL, que afirman la existencia de objetoa (números, por ejemplo), con una detennínada propiedad. Con ayuda de los métodos descritoa ee pueden formar propoaicionee p&rtiendo de cualquier función proposicional do.da; sin emb1Lrgo, el obtener una. proposición verdadera o fa!&& depende del contenido de !& función propoeiciona.l. El ejemplo siguiente puede servir de ilustración. La. fórmula: no ea satisfecha. por ningán námero; por lo ta.oto, si le antepone· moa la.a palabras tpara t:ual.quier 1uinuro :n o 'SU:iste un núnu:ro z tal qiu•, llegaremos siempre & un& proposición falsa..

En opoeición, tant:o a Ju propoaicionee univenalee como a las exiatencialee, laa propoeicionee que no contienen variablea, oomo por ejemplo: 3 + 2 ~ 2 + 3,

!lerán llamadas PBOPOSICIONU 81lf0l]U.RES. F.at.a. claaifica.ción no ea exh&U8tiva, puee existen mucbaa proposiciones que no se pueden encuadrar en ninguna de las tl'e8 cat.egorll!l.B indicadas. Como ejem· plo tenemos la siguiente proposición: para númuor cuaú,,quUra % e 71, tzi&te un númt1°o z tal que Z=

y+z.

32

AinED 1'.tJtSKI

lM propoeicioooe de eete tipo eon a vecee Uamadae PROPOSICIO?JES UJSTltNCIALU CONDIOJONADAS (para diferenciarlas de la.a propo· eiciones existencialee conaider&du huta ahora, a. laa que podemoe Ua.ma.r BXISTJ:NCULES •BSOLUTAB): ellas afirman la existencia. de n6meros poseedores de una cierta propiedad, pero bajo la condición que ciertos otro!!!! nómeroe exilltan. 4.

Cuantificadores unlveraal J existencial; variables Ubne 7 ltgaüs

Frll8e8 tAlee como:

para todo~ y todo y, .. tria~n

z , y, ..• tak8 que

86 llaman CUANTIFICADORES; la primera. frase es un CUANTIFICADOR UNIVEBU.L y la. última es un CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Los cuantificadores se conocen también como Ol'ERADORES; hay,

ein embargo, expresiones que se cuentan entre los operadores y que son diferentes de los cuanti6.cadore11. En la. sección precedente hemos tra.t.ado de explicar el significado de ambos cua.ntifica.dorea. Para. hacer resa.lt&r su importancia puede decirse que sólo mediante el empleo explicito o implícito de operadores una ell:preaión que contiene variables puede apareoer como propoaición, esto ea, como el e11unciado de une. ~ción bien determinad&. Sin la ayuda de operad.oree, quedaría. ell:cluido el uao de varia.blea en la. formu· la.ción de loa teoremaa matemé.ticoe. En el lengua.je corriente no ee b~ uso, por lo general, de vari&bles, y por eete motivo W.mbién los cuanti.fica.dores eoo innecesarios. En cambio, son de U80 frecuente cierta.e palabraa que están estrechamente relacionadaa con los cua.ntificadorea; eaaa pal&bra.a son, entre otraa: tcadm, dodot, tun cMrlot, talgúnt. Par& aclarar en qué con.siete la relación entre dich&e paJabr&a y los cuantificadores, obaervemoa que ezpresionee como lu siguientee:

UITJlODUCCIÓH A LA. l.OOICA

tienen aproximada.mente el mismo aeotido que eata.s ot.ru expresiones, formadas con ayuda. de cuantifie&dorea:

y erirle :r; taJ qiu :e u hombre y :z: u sabio,

respectivamente. Por brevedad, loa cuant.ificadoree son reempla.zadoe

&

veoe.

por erpreeionea eimbólieu. Por ejemplo, podemoa convenir que en lugar de:

y do

e:ri..JtenolYjdoa (011úmeroa) 86

%,

1J, •••

talu~

escriban las siguientes expresiones aimbólicaa:

A

s.r....

E

......

~

reepectiva.meote. (Entendi~od09e que la.a funciooee propoalciona.lee que .siguen & loa cua.ntiflcadoree deben colocane entre ~ rénteais.) De a.cuerdo con eeta conTencíón, el enuneiado que ae dio al fina.l.i.zar la. aección preB.U o PBOPU&- Ntá.n ca.raotem.adaa por el hecho de que eu pre98D.ci& e& el factor decisivo pan que Wl& expresión dada &ea función proposicional y no pro· posición. Para obtener una proposición partiendo de una función proposicional, deberán 8118tituiree eat.aa variables por constante. o uiteponer a la función operadoree que contengan a dicha.a varia.bles; laa J'el!!Jtantea varia.bles, por el oontn.rio -las llamadu v .... &LU!ILU LIQ.i.Dil o·.il'ilRNTD-- no varia.o en una tra.neformación d6 etri& lndole. Por ejemplo, en la función propoeicionaJ (II) conai-

INTaODUCC:tÓH A LA LÓOlCA

derad.& ante. en e «yt eon variablet li~ y • •pareo& doe VCOlll oomo variable ligada. Por otra pan.e, la upl'Mión (1) • una pro. posición y por to tanto oontiene eolamente variablee lipdu. •Depende por oompteto de la eetruotm& de la fu.nción propoaioional, y mti.a preoie&mente de la preeenci& y de la posición fe loe oper&dol'&l!I, que una v&riable de dicha función proposicioñal 181. libre o ligad&. Eeto puede veree mejor eli un ejemplo oonoreto. Conaideremoe la siguiente función proposicional:

y.

Formular toda.e estM proposiciooee (eei.e en total) y ertudiar

ou6lee de ellM aon verdaderu. 6. Repftue el Ejercicio fi oon 1.. funciones propoaicionale11 aiguientee: y

:iudf'IJd.recüy (suponiendo que en Mt& ó.lti.ma laa nriablee et y tyt eetán en lugar de nombres de pereona.t1}.

IN'T&ODUCCIÓH A LA. LÓGICA

89

7. Indica.r una proposición dol lenguaje oorrient(I que t.enp al milmo ligni&c.a.do que:

y no contenga ni cu&nti6cador'88 ni variablee. 8.

Sustitúy886 la propoeiCtón: algu1UJ8 Hrpit:ftlu Ion.

tie:MnOSal

por otra con el mismo eignifie&do formulada. oon oue.ntiñca.d.orm y va.ria.bles. 9. . DietlngaNA lae v&ri&blea libTM y ligad.u en lu eigaJentee expres1onm: (&) :t M divi.nbtt por y; (b) paratodo:t, :t-y = z +(-y) ; (e) ai :tUOCIÓN A LA LÓGICA

•1

el antecedente ee verdadero y el ooneecuente fallo, ee la implic.ación fat.a.. Se aigue qae ai &lguien acepta una propoaicidn oomo verdadera y al :mi.em.o tiempo acep16 eu antecedente como verdadero, no puede dejar de aceptar el oonMCuente; y ei alguien acepta una implicación como verdadera. y rechaza su consecuente como falllo, debe rechazar también eu antecedente.

•Como en el caso de la disyunción, pueden obeerve.nie oonsi. derables diferencias entre loe WI08 de la. implicaeión en lógica y en el lenguaje cotidiano. Así también en el lenguaje ordinario, tendemoa a unir doe propoeicionee mediante lu pala.bru vi... , eftlOnCU.•• t, sólo cuando eziste una cierta conexión entre sus formae y aua. contenidos. Ea dificil caracterizar eat& conezión en sentido genera.l y aólo algunu veoee resulta. relativ&mente clara eu naturaleza. A menudo aeociamoa en esta conexión la convicción de que el ooJU1eCuente ee sigue neooa&riamente del antecedente, ee decir, que si suponemot verdadero el antee«lente, nos vemos obligadoe a tuponer verd&dero el con&eeuente (y que posiblemente podemoe inclU&O deducir el consecuente a partir del antecedente sobre l& ba&e de ciertae leyes generalee que no eiempre se pueden formular ezpUcitamente). Aquí se manifiesta también un factor peioológioo adicional; wrualmente formulamos y aoept&mos una. implicación tólo si no tenemos un conocimiento eze.cto sobre si son verdad.eroe o no el antee«lente y el consecuente. De otro modo el uso de una implicación parece antinatural y su sentido y 11u verdad pueden provocar algun& duda.. El siguiente ejemplo puede servir como ilustración. Consideremos l& ley filie&: y

d~moele

Ja forma de una implicación que contenga va.ria.bles:

nzu

un md DUIVill•S para cualquier función propoeiciooal compuesta. La. tabla. para. la función •(P V e¡) -+ (p A r)•, por ejemplo, ee la siguiente: V F V F V

F V

F

q

r

pVq

p/\r

(pVq)-+(p/\1')

V V

V V V V F

V

V F V

V F V V

F F V V

F F

F

V V F V V V

F

F

F

F F F F

F

F F F V

Para ezplicar la. construcción de est.a tabla &j,moD01, por ejemplo, en IN quinta. linea. botUontal (sin contar loe encabet.am.ientoe). Sutituimoe c¡n y tqt por propoeicionee verdaderas y en por una propolición falaa.. De acuerdo con la segunda tabla funda.mental, obtenemoe entonoee de cp V qt una proposición verdadera. y de cp A n una proposición falsa. De la. función total c(p V q) -+ (p /\. 1')t obtenemos entonces una implicación con antecedente verdadero y oomecuente falao; por lo tanto, y de nuevo con la ayuda. de la. eegunda tabla fundamental (en la. cua.l 1111ponemoa a tpt y tqt reemplazadas moment&nea.mente por •P V qt y tp A n), concluimoe que esa. implicación ea una. propoaición fa.IJa.. lMTllODUa:l6N A U

t.6GIC&.-6

66

A.CFRD> TAllSK..I

La.a lineas borit.ontalee que conaiait.n de aimboloe .v. y d'» te lla.man FIU.8 de l& ta.bla, y lae Uneaa verticalee ee Uama.n 00· LVMNd. Cada fil&, o más bien la pan.e de cada fila. que está. a la. izquierda. de la barra vertical, representa una cierta. eustitución de las variables por proposiciones Terdadera.a o falsM. Cuando ee construye la matriz de una. función da.da., debe tenerse cuidado de agot.&r todas 1aa poeiblee maneraa en las cuales las combina.oionea de elmbolos tVt y tF• puedan correlacionarse con lu v&riablea; y, por supueet.o, nunca. 96 escriben en la tabla doa filaa que no difiers.n ni en el nómero ni en el orden de los eimboloe tVt y tFt. Puede comprobar&& fácilmente que el número de filas de una t&bla depende de manera simple del número de variables diferente& que a.pe.recen en la función; si la función contiene l, 2, 3 ... variables de dife~nt.e forma., au ma.tri.z tiene 21 = 2, 2* - t, 2* = 8, ... 6.lu. En cu&nto al número de Columnas. ea igual al número de fu.ncionee propoeicionalee parcia.lee de diferente forma que haya en la función dad& (donde la función total se cuenta también entre sus funciones paroiales). Esta.moa ahor& en condicionea de decir c6mo puede decidirse si una proposición del cálculo proposicional ea verdadera. o no. Como sabemos, en el cAiculo proposicional no hay diferencia exterior entre proposiciones y funciones proposicionales; la ónie& diferencia consiste en el hecho de que la.e expreeiones considerada.a como proposicionee son siempre completadas mentalmente por el euanti6cador univel'68.L Para reconocer ai la. proposición dada es verdadera., l& trat&mos como si fuera una función propoeicion.J. y OOtlltruimoe la ta.bla de verdad pa.ra ella. Si, en la 11ltim& coIWDD& de esta tabla no &pe.rece ningún eimbolo cFt, entonoea toda propoeición que ee obtenga de la. función dada por suatitución 19rá. verdader&; y por lo tanto nusetra proposición universal original (que se obtiene de la función proposicional prefijando mentalmente el cuantificador univeral). ea también verdadera. Si, eo e&mbio, la última columna conttene por lo menoe un símbolo «F•. nuestra proposición ea falsa.. Así, por ejemplo, hemoa visto que en la matriz construida para la función t(p V q) ~ (p Ar)• el efmbolo tF. &p&reee cuatro veces en la última. columna. Si, por lo tanto, consideramos a esta expresión como proposición (t1Bto ea, ai le prefijamos las palabr&a

JNTRODUCCIÓ.'l A LA LÓGICA

67

•pera. p, q y ,. cualuqu~nJt). tenemos entonces una proposición fa.le&. P or otra parte, puede verifica.ne fácilmente con la. ayuda del método de las tablas de verdad, que todaa las leyes del cá.lculo proposicional esto.blecidM en la Sección I!!, o eea las leyes de eimplificación, de identidad, etc., aon propoaicionea verdadera.a. La. tabla para la ley de simplificación: (p Aq)-+ p,

por ejemplo, es como sigue: p Aq -p-q-1- - (p -A-q)-+ - p-

V V

V

V

F V V F F F

F F F

V V V

Damos aquí otras leyes importantes del cálculo propoeicional cuy& verdad puede obtenerse de ·manera análoga: - (pi\ - p), (p /\ p) +-+p, (p 1\ q) - (q 1\ p), _[p 1\ (ql\ ,)]_ [(p l\q) 1\ ,],

pV,.., p, (p Vp)4-+p, (p V q) -

(q V p),

[pV (qV 'lJ-[(pVq) V'].

Las dos leyes de la primera Une& se lla.man, reftpectivamente, LEY Dlt CONTRADICCIÓN y L'IY DEL TERCERO BXCLtrIDO; luego t&n emos la.a dos LEYES DE TA.UTOLOOf.1. (para Ja multiplica.ción y Ja. adición lógica.e); Uinemoe luego las do1 L&YES COl'IM:trTATIVAS, y, finalmente, las doe LBYSS ~socu:rrv.u. Ee ficil ver que el eignifi. cado de eetae dos 6.ltimu leyee ee ha.ce muy oscuro ei tratamos de expresa.ria.e en lenguaje ordinario. Esto muestra muy clara. mente el valor del simbolismo lógico como instrumento preciso para expresar peneamientoa complicados.

•Ocurre que el método de 1aa matrices noe lleva a a.ceptar oomo verdadera.a algunas propoeicionee cuya verdad distaba mucho de ser obvia. antes de la. ~plic.ación de eee método. Damoe a continua.ción aJgunoe ejemploe de proposiciones de es& cla.ee:

..

..u.nnt

Til8Hl

'P-(f-p), - p-(p-q), (p ~ q) V (q ~ p).

El heoho de que eetae propoeiciooee no eea.n inmediatt.mente ob'riu, se debe principalmente a que ellaa aon una. m&nifeetación del uao eapeclfi.co de la implicación C&J'&eterfstica de la. lógica. moderna., esto es, el ueo de la implicación en sentido material; Eat&a propoaiciones aaumen un cará.cter paradójico especial li., cuando se las lee en tASrminos de lengua.je común, se reemplaza la implicación por fre.eee que contengan timplicat o ue Mgua, o 11e& ai lee damoa, por ejemplo, la siguiente forma:

n 'P u vtf'd.ad.era, entone.u p fe ligue de cualquier q (en otraa palabra.a: una ~ wrdockro l t ligue. tk cvalquiu fWO'PO· ~);

ri pu falaa, t:nloRa6 p implim cvalquier q (en otru pal&bl'&I: faJ..a implU,, .,..iq,,;u !"~); para p y q eualuquiua, o tMn p implk.a q, o bien q implica p {en otra.e palabras: enh'e dol ~ arbitraria.a, por lo fMftOjll una de dlaa implica la otra).

una~

Formuladas de est.e modo, flltae erpreeionee he.n. sido frecuentemente e&U!U de malentendidoe y de diacuaionea 11uper:8uu. Elrt.o confirma entera.mente 1&11 obeerv&cionM h&ebu al fina.Iiz&r la Seoción 9.•

1'9 Aplloacl6D 4' lu ltJ• 4'1 Mloulo proposlcloul a la IDfeream. Caai tocl.11 loa razonamient.oe en cualquier dilciplina oientifica •tán buadoe, explicita o impllcit.amente, en leyes del cálculo propoa:icion&l; vamos a motrt.rv en un ejemplo cómo ocurre eeto. Dada. una proposición que tenga. la forma. de una implicación, puede formar -aparte de la reo1proca (de la cua.J. ya hemoe ha.blado en la Sección 10)--- doe proposiciones más: la. PBOPOSICIÓN 0011TB.llll4 (o la OONT&Alll..A. D• L.&. nDP08ICIÓN Dil>.&.) y la. P.80· M

INTltOOUCCIÓN A LA LÓCICA

La propoiaioión oont.raria 98 obtiene al reemplu.a.r antecedente y eorwecuente de Ja. propoeición dada por su.e negacionee. La contrarreclproca ee el reeuJ.tad.o de intercambi&r anteoedente y consecuente en la. proposición contraria; la contrarreciprooa. ea, por lo tanto, la reciproca. de la propoeición contraria y también la contnt.ria de la proposición reciproca. Laa propoe:iciones reciproca., contraria. y contrarrecfproca, junto POSICIÓN OOlf'l'B.6.B.UOÓ'ROOJ..

oon la proposición original, 98 llama.o l'BOPOSICIONES OOKIV(U.DA.S. C.Omo ilustración con&ider&moe la. siguiente propoeición condicional:

y formemoe sua tree propoaicionee conjuga.daa:

ft

~

u un. n.úmero pofiCivo, enetmcu z u un n.úmero pNtfl'O;

n z no u un núnw:ro pofttloo, mlmlcu 2z no u n 2z no u un n11.mero powitivo, mloncu z no u

un nútMrO poftnvo; un n.11.mtf'O poatlivo.

En este ejemplo, todas lu proposiciones conjugadas obtenidu de una. proposición verdadera BOn aaimismo verda.dera.s. Pero esto no oclll'M en general; p&ra ver que ee posible que no aólo la proposición recfproc& es fa.lBa (como ya. ae ha. mencionado en la Sección 10), pero que t&mbién la proposición contraria. &e& fa.lae., a.unque l& proposición original aer. verdadera, ea suficiente reempla~ar &t por ct't en. laa proposiciones mencionadas má.a arriba. A.si vemos que de la va.lid-. de una implicación no 98 puede inferir nada a.cerca de la validez de la propoaición reclproca o de 16 contraria. La situación es difereote en el caeo de la cuarte. propoeíción conjugad&: siempre que una implicación ea verdadera, t.&mbién lo m BU correepondient.e coutn.rreofproca. F.at.e hecho ee puede veri.6C8!' en numero80ll ejemploe y encuentra su expreeión en la llamad& L'.IY D'.I TUNSP08JCIÓN o DE OONTB.il'OSJCIÓM del cálculo proposiciona.l. Para. form.ul&r l& citada ley de un modo preciBo obeerv&remoe que a t.od& implicación se le puede d&r la fonn& mquemática:

n 'P· tAlmlcu q;

?O

AU"IU:D 1'.utaKI

la propo.sición reciproca, adoptará entoncee la forma:

ai q, tnton.cu p; la contraria. dirá: .Ji no p,

mtom;u

no q;

y la contrarrecíproca: lfi no q, enlonu6 no p.

La ley de contra.posición, según la. cual una proposición condicional implica la correspondiente propoaición contrarrecíproca., ae puede formular de la siguiente manera:

ai: al p, en.toncu q, 4!n.tonu.8: ti no q, entone.u 110 p; po.ra evitar l& acumulación de la palabra Mi», ee conveniente hacer un pequel1.o cambio en la formulación: · (11)

de: .ti p,

~,u

q, ,,_ .tigue que: 8i no q, entoncu no p.

Queremos mostrar ahora, que con ayuda. de esta ley podemoa derivar lo. proposición contrarredproca de una proposición condicional dn.da, por ejemplo, de la aserción (I). La ley (Il) sigue siendo válida. si en ella sustituimos tpt y tqt por proposiciones o funciones propoaicionales arbitrarias. En particular. podemos sustituir •1" y tqt por las expreaionee:

:e u un nWnero poaitivo 2z u un número poaitivo.

Si, por razones eetiliBticae, cambia.moa la posición de la p&labra tnat, obtenemos: tk: si z u un númtro pofiliw, entoncea 2z u un número positivo, ae aigue que: ai 2z no u un número p!Mitivo, en.toncu z 110 u U'l'l 13.Únuro poaitivo. (III)

71

INTllODUOCIÓN A LA LÓCIC4.

C.ompanmoa a.hora (I) y (lll): (111) tiene la forma de una implic&eión y (1) ee BU bipóteaia. Como tanto la implicación completa como au hipóteei.a'i1a.n sido admitidas como verda.deru, también deberá. admitirse como tal la. conclusión de la. implicación; ahora bien, eat& ooncluai.ón ea precillamente l& oontra.rrecíproca de la propoaición de que ae trataba; (IV)

n

2:e no u un número poailioo, entonce.a x poaü;oo.

7Kl

u un número

De e.ata. forma, todo el que conozca la ley de contraposición puede considerar como verdadera la propoafoión contra.rreciproca, siempre que ha.y& demostrado antea la propoaición original. Ademáa, como se verifica fácilmente, la proposición contr&ri& ea la oontrarrecfproca de la Niclproca de la proposición original (ee decir, la propoaición contraria pu~e obtenerse de la reciproca reempl&za.ndo a.nteoedente y comecuente por 11ua negacionea e interc.ambiá.ndoloe). Por esta razón, ai ee ha demoetra.do la reciproca de una propoeición dada, entonoea también la contraria puede consideraree válida. Si, por lo tanto, ee han conseguido demoatra.r dos propoaicionee -la origin&I. y BU reclproe&- es euperfluo dar una demoetncióo eapeoial par& la.a dos propoeicionee conjug&d&s restantes. Puede mencion&l'86 aquJ que ae conocen a.lgunas variante& de la. ley de contrapoaici6n. Una de ella.a ea la reciproca de (11): dt.: si no q, tntoncu no p, ae aigtU fl'l.U: ai p, entmtcu q.

Eet.e. ·ley hace potible la deducción de la propoeición original partiendo de la cootrarreclpl'OQa, y de la contraria partiendo de la reciproca. 15. Reglaa de lnfenneta. Demoetr&olonts eompletu Ahora conaidera.remoe a.lgo máa dota.lladamente el mecanismo de la demoetra.ción con ouya ayuda hemos demostrado la proposición (IV) en la Sección anterior. Ademá.a de 188 reglas de definición, de las que ya hemoe hablado, exiaUm t&mbién regla.e de un carácter máa o menos parecido, a B&bet, lae BBGL48 DI: INn&BNCU.

72

o ••n.u Dlt 01u1osTUetóN. Eat.u regla.a, que no deben oonfun. dine oon lae leyes lógica.e, &On iMtruccionea que eetipul&n cómo t.nnllformar propoeicionee reconocida.e como verdaderae en n~vu propo11ioionee verdader&11. En lu demoetracionee que hemos realizado antes, ae h&n usado dos de eetu reglas: la REGU. DE svsnTUmóN y l& de SEP.UU.CIÓN (también U..mada REOU. DE llODU8 POK•NS).

La regla. de sustitución dioe lo siguiente: ei ya ha sido reconocida como verdadera un& proposición de ca.rá.cter universal que contiene variables propoaicion&lea, y ae sustituyen éstas por otras variables propoaicionalee, o por funciones propoaicionalca o por proposiciones -aobrentendi~ndoee que en los lugares de v11.riablee iguales deber&n i.nsertaree expreeionee igu&lee-, la propoeición

obtenida. de eeta manera debe eer rtt0nocida oomo verdadera. Aplicando esta regla, obtuvimoa la proposición (m) a partir de (11). Debemos &fta.dir, que la regla. de euetítución !MI puede a.plico.r tam. b~n a otros tipos de variable&.. como, por ejemplo, a lo..s variablee designan ndmeroe: en lugar de dichaa variables de· beremoa insertar entonces expreaionea que designen ndmeroa.

Ut, tyt, ••• ,que

•La formula.ción de la regla de 8U8titución que hemoe indicado aqu1, no ee muy precie&. Dicha regla ae refiere a aquellas propoeioionea que conste.n de un operador univers&l y de una función propoaicion&l que contenga. vari&blea ligada.a por el cua.ntific&dor universal. Si queremoa aplicar la regla. de sustitución, deberemoa preacindir del cu&ntificador y coloc.a.r en lugar de la.e variables ligad&e por aqu61, otra.a va.rie.blee o e%pf'Mionea completa.a (por ejemplo, en luga.r de lae variableetpt, cqt, '"• .. ., funciones proposi. cionalee o propoaicionee, en lugar de lu variables u-, .y., tzt, .. . , en cambio, expreaionea que designen ndz:oeroa)¡ si en la función propoeiciona1 intervienen toda...ta otra& variables liga.das, ee dejarin inalteradas y ae ouidará. de que ellaa no figuren en lu expreaionea que se inserten; en cuo oeoesario, se le antepondrá. el cuantificador universal a la expresión obtenida de eet& manera, para lograr de ella. una proposición. Si a.plicamoe la regla de aue· tituoión, por ejemplo, a la proposición:

para todo nú1M1'0 z uiltt ua 11úmtn> 11 lid gua z

+ 11 = ó,

73

INTaODtlCCIÓH A LA l.OOICA.

podcmoe obtener la. propoei.ci6o:

ezNkl "" 11.ÚmtrO y tal, que 3 + y

= 6,

o ta.mbí6n: p¡.m todo número z uYk '"' ntfm.ero y lal qtU zl + y

= 6;

en eete caao se sustituye solamente u., sin modificar cyt. No debemos, sin embargo, suetituír m por una expresión que contenga. tyt, ya que, &un siendo verdader& la propoaíción original, ee puede lleg&r de est.& manera. a una proposición falM. Por ejemplo, si auatituim.oa t3 - yt obtenemO e y< O, mtE LJ.S v.a.1u..nua il'ARENTICS o Ky/\ C: K. Bate enunciado parece a mucha gente bast!mte paradójico, &Obre todo en su segunda parte, que ae refiere a la clase nula. Con el objeto de demostrar eeta. eegunda parte, ootU1ideremoe la implica.eión:

aize/\,eftlon.cUzeK. Cual~uiera

eea. el nombre que ooloquemOl!ll en el lugar de ca (y

tKt), el anteoed.ente de la. implicación aeri. una proposición falaa, y, por lo tanto, toda.la. implicación~ una proposición verda.dera. (como dicen a veces loe matem~ooe. la implie&ción ae satisface tva.cuamentet). Entonoes podemoa decir que, ai un objeto cua.J. quiera es elemento de la clsae /\, ea también elemento de la. ola.. ae K, y, por lo ta.nt.o, en virtud de la definición de inclusión, tenemoe: /\ C: K. La primen. parte de la ley ae demuestra a.o&. logamente.

,,. Et f'-oil ver que, entre doe cluee oualeequ.iera, debe veri6· alguna de laa relacíoEMe oomidend.M. Eeto ea e~reeado par Ja Wguiente ley:

dl'N

Para cllue4 K y L cualuqui.era, o trim K - L, o bim K u inclu~ a L como .nibcla.u H interHCOa, o mm finalmente K y L ,Jidiuntaa; ningún par de utaa re1ac&onu ttakn simultá~.

•M aubclaat 'P"O'J)ia tk L, o titen K

ª°"

propia, o bien K y L

Par& entender ch~ra. e intuitivamente esta ley ee mejor imagi!llU'SO a las cla.ses K y L como fignna geométricas y considerar todaa las posibles poaicionea en que pued& eeta.r una de e8t&8 6gun8 reepecto de la otr&.

Lea relacionea oonaider&das en eet& eeoclón puede MU' Uamadu asLAOIONB8 tlTNDAlll'ElfT.6.1.1:8 ENTJU: 01.ABl:81•

Cui toda la lógica tradfoional (cf. Sección 6) puede reducine a Ir. teori& de las relaciones fundamenta.lea entre claaes, ea decir, a una pequeti& pe.rte de la teoria de clues. Aparentemente ambas diaoiplinas ee diferencian por el hecho de que en la antigua. lógica no interviene explicita.mente el oonoepto de clue. En lugar de decir, por ejemplo, que la cl886 de loe caballos está. oontenid& en la de loe mamíferos, en la. lógica antigua solla decirse que la pro· piedad de ser mamífero ea poaelda por todo& loe caballos, o, simplemente, que todo caballo es mamífero. Laa leyes má.e importan.ta de la lógica tradicional son laa del silogismo cat.egórico, que oorreeponden na.et.amente • la.e leyes de la teoría. de claeea que hemoe citado mú arribe. a lu que bemoe dado eee nombre. Por ejemplo, en la lógica antigua, la primera de laa leyes del silo. gismo mencionadas anteriormente toma la lliguiente forma:

Si tod-0 .M u P y todo 8 u JI, mkmcu lodo 8 • P.

1Ata ea la ley mis f&mosa de IA lógica. tradicional, y oomo la ley del silogismo

ee la oonoce

BÁBB.&JU..

• . . _ l'tl&do- 1'111ron ln,..Upd.M por prlmel'I n1 de por 111 1D&t.e!Utloo fl'lncM J. D. OUOIO•B• (U1M8IO).

un&

manen. •U•IMU••

UITRODUCCIÓN 4 LA LÓCICA

106

36. Operaolon. ooa oiu. Considerarem.oe &bon cien.u operaciones mediante 1&1 out.kie, partiendo de cl&eer1 dadas, ee forman nuevas clMel!ll. Dadas dos olaees cualeaquiera K y L, puede form&r&e una nueva clase M que contiene como elementos aquellos, y .eolamea. te aquelloe, objek>e que perteneoen al menos a una de lu cl&&eB K y L; podría decirse qne la clue M se obtiene de la clase K agregándole loa elementos de la. cJue L . Eet.a opere.ción es llamad& ADICIÓN DI: CU.SES, y la cl6&e M recibe el nombre de BUKA. o UlfIÓN DB Lil OU.SBS K y L, y lile la designa con el almbOlo:

KUL (oK + L).

Otn opera.eión oon dos claeee K y L, llam.ada. IlllV1.TD't.I040IÓN n:s OL4.BA, consiste en formv una. nueva claee M cuyoe elementoe son &quellOl!I, y 80lamente a.quelloe, objetos que pertenecen a a mbas claaes K y L; esta clase.Mea ll&m&da el PltODUcro o llfTBBHOOIÓN DE L.&..S OL4.SES K y L , '1 ee deeignada. por el aimbOlo:

KnL(oK·L). Esta.a dos operaciones se aplican freouentement.e en geometría; a veces es especialmente cómodo aplica.rliui a la definición de nuevas especies de figura.a geom&t.ricas. Admitido, por ejemplo, qUfl ya aupiésemoa lo que &00 'nguloa ad.ya.cent.ea, entoneea el eemiplano o ángulo llano podrla defi.nine como l& claeo unión de doe ánguloe adya.oentea (oooaider&Ddo el ángulo como domi· nio angular, ee decir, oomo una parte del pl&no limitada por dOI eemirreotu l.l&m.adaa ladoe del 6.ngulo). Considerando a oontinn&oíón un clrwlo arbitrario y un i.ogu.lo cuyo vértice esté eituado en el centro del ofroulo, la intenecoi6n de ambu figuru 11erá una nueT& figura. llamada sector circul&r. Vamoe a indicar doa ejemploe m"8 del e&m.JIO de la &ritmétioa: la. aum.a del oonjunto de todoe loe números positivoe y de todoa loe números nega.tivos, aer'- el conjunto de t.od.oa loe nómeroa diatintos de O; la inter&e de la ola.se K se denota. por: K'.

IN'T&ODUCCIÓN A LA LÓCICA

107

Si K ee, por ejemplo, el c.on.junt.o de todoa loa n6meros ent.erot, eotoocee todM lae fra.ocionee y todos loa o6meroe m.ciooalee perten~•K'.

Como ejemploe de leyes que MI refieren al concepto de oompl.&plemento y que establecen eus conezionee oon otros oonceptoe oonaiderados ant.eriormente, damDft loa do11 enunciados Biguienka:

Para roda claae K,

K U K' - V.

Pamtadacl.aae K,

K nK' =A.

El primero de ellos llle llam• UY DBL TltBClltBO BXOLUIDO de la teori. de claaell, y el eegundo LEY ni: OONmil>IOOIÓN de la teorla

de claeee.

Lu relaciones entNI cl8M18 y Ju operacionee con éet&a que aoabamoe de tratar, y también loe oonceptoe de clase univeraal y olue vacla, pertenecen a un& parte especial de la. teoría. de cluea; oomo loa teoremas referentee a eBtaa relacionee y operacionee tienen en au mayor parte un car6.ct.er de fórmulas llllnplea, y reouerd.&n teoreinae de la. aritmé&ioa, a esta. pliLl'te ee da el nombre de CJlLcuLo DB OLilBS. 28. C1ues coordlnables. H•mero cardlDal 4• una clase. C.lasel llDl&aa • ln1ln1&u. La arl&m6Uea GOmo parte de la 16gl.ca

•Entre loa reetantee ooooeptoe eetud.i&doa en J& teorú. de cl&NI, b&y un grupo que mereoe especial atención y que incluye oonoeptoe talee· como loe de cluee ooordina.bl•, ndm.ero cardinal de una olue, cl88el finita& e infi.n.itu. Deegraciada.mente, Mtoa son oonoeptoa diffcilee que aquf .dio podrán aer tn.tadoa de manera oupemoi&I. Como ejemplo de doa OLüES OOOB.I>INA.BLJ:S o BQUIVALBKTBS, pueden servir loe oonjuntoe de loe dedos de 1aa manoe derecha e izquierd&; ambos aon coordina.bles, puea con loe dedos de 1aa doe m&noa 18 pueden forma.r paree en los que: (i) t.od.o dedo figura enotamente en un par, y (ii) todo par contiene un dedo de la

11lA mano derecha y un dedo de I• i.eq'llierda. Eo el mismo M1Dtido, eon ooordinablee, por ejemplo, loe tree ooojunt.oe aiguieotee: el oonj1111to de todoe loa vértices, el oonjUDto de todoa lo• ánguloe y el oonjunto de todos loe ladoe de un poUgono arbitrario. M'8 adelante, en la Sección 33, d&remoe una ~efu:ü.ción general y precisa del oonoepto de clases ooordinablee. Con.eideremoe ahora una claee oualquiera K; exist.e, ein duda, una propiedad poseída por todaa laa claaea ooordinablee oon K y por ninguna otra clase (a e&be.r, la. propiedad de ser coordina.ble oon K); esta. propiedad. ee llamad& NÚllDo OilDllU.L, o NÚlilBO DB ELEMENTOS o l'OTENCli DE u CLilE K. Esto puede ser expreeado de una. manera mM breve y- precisa, aunque quizá. mú abatra.cta: el ndmero e&rdin&l de una ola.se K ee l& clMe de toda.8 laa claaee coordinables con K. So sigue de eeto que dos cl&ee11 K y L tienen el mismo ndmero c&rdinal, si, y aólo ai, son ooordinablee. En relación con el nó:mero de eua elementoe, la.e cluee ee clasifican en finitaa e infinitas; t1ntre Ju primeru ae distinguen lu que oonst&n de ningdn, o exactamente uno, dos, tres, etc., elementos. Sobre la base de la. aritmétioa es como se definen eetoe conceptos con la ma.yor sencillez. Se& en efecto, n un número natural cu&lquiera. (esto ee, eo\ero no negativo); diremos qoe u. CIL.lSB K OONllTA (o OONllI8TS) D:I n ELJ:llINTOll si K ee ooordi· m~ble oon la clase de todos loa núm8l'08 naturales menores que n. Según ello, una clase constari. en particular de 2 elementos, ouando sea coordin&ble con la olue de tiodos loe númeroe na.turales menores qne 2, es decir, oon la. claae compuesta. por loe númeroa O y l; del miemo modo, una. elue constará. de 3 elementoe oue.ndo. eoa ooordin&ble oon la. el.a.ee que ti.ene como ele.

mento& loe n11metoe O, 1 y 2. En gener&l, llamaremos J'CNITA a UD& olue K, ai emte un odoa loa número.r z talu que :z: + 6 < 8, (d) tl conjunto dt todo.t loi númuw :z: que aatitfaan la fu~ ~u [-3, 6), (d) [-7,I]::> [-6,-2] I

(•) (b)

¡Cuálee de lu rela.cionee fundamentalee rigen entre loe in-

te"alo.: (•) (f) (g)

[2, •l y [5, 8], [3, 6) y [3 '/,. 6 '/,],

[!'/,. 7) y [- 2, 3 '/,) l

7. ¡F.a la. siguiente proposición (que tiene la. misma eetructura que las leyes del silogismo dadaa en la Sección 24) verdad.en:

ft K e.a diajufllo tk L y L Jia;uftlo de M, mlonul K u_ di.ajuato de JI t

112

8. Traducir laa siguiente& fórmula.e en Urminoa del lenguaje

ordinario: (a)

:i: - y-~[:a:eK.-.yeKJ,

(b)

K - L-~[:a:eK,......:a:eL].

tCuáles de las leyes mencionadas en laa Secciones 22 y 24 son expresa.das por estas fórmulas! ¡Qué modifica..cionee es necesario efectuar en ambos miembroe de la. equive.11omcia (b) para obtener una definición del símbolo cC• o•~•! 9. Sea ABO un triángulo arbitrario y D un punto cualquiera situado aobrc el segmento BC, iQU6 figuras 11on formadas por la. euma de loa dos triánguloe ABD y ACD y cuáles por su productol E&preee.r la. re1pueeta oon fórmul&a.

10. Representar un cuadrado cualquiera: (a.) (b)

como euma de doa trapezoides, como intereección de doe triángulos.

ll. ¡Cuálee de l~ fórmule.s dadas a. continuación son venladeraa (compa.rar con el Ejercicio 6): (>)

(b) (e)

tdl

[2, 3'/,] u [3, 6] = [2, 5], [-1, 2] U [O, 3] - [O, 2], n [3. 7] - (- 2, 8), ¡2, 4'/,J n 13. 6J = 12. 3! !

[ - 2, 8]

En aquellaa fórmulu que eon fa.18&8, corregir la exprel!lión que aparece a la derecha del slmbolo •- •. 12. Sean K y L doo clases cualesquier&. ¡Qué cla.sea son K U L y K n L en caso que K C: LT En particular, ¡qué cl&Se8 son KUV, xnv. AULy AnLT

Indicación: Al contestar la eegund& pregunta t6ngase preeente una ley de la Sección 24 relativa a lu c1asee V y A.

lNTIODUCCIÓN A LA LÓGICA

13. DomoMtreae que para cluea K, L y M eu&l.ee,quier& ee a&tiaf'a.oen laa aigu.ientes fórmulu:

(•) KCKUL y K'::IKnL, (b) KO(LUM)-(KOL)U(KOM) y KU(LOM)-(KUL) n (K UM), (e) (K')'-K, (d) (KUL)' - K'nL' y (K nL)'- K' UL' . .LU fónnolu (a) se llaman LBTKS DI: 8IllPLD10AOIÓN (para la adición y multiplicación de cluea); la.e fórmulas (b) son 168 uus Dl8'DD!IUTIV.ü (para. la multiplicación de ol81Je8 oon respecto a la adición y para la adición con rMp&Cto a la multiplica.oión); la fórmula (e) ce la. LBY DKL OOKJ"L:IKmf!O DOBLE; 6.n&lmente, la.a fórmulaa(d)10n laa L:ITU DE D• MoBO.u para l&teoriade otuw.

¡Ouálee de eatu Jeyee oorreeponden • teoremaa de la 1Vitm6tioa1 Indicación: Pan probar la primera de las fórmulaa (d), px ejemplo, baat& probar que las clue& (K U L)' y K' n L' oonatan de loe mismos elementos (el. Sección 24}. Par& eeto, aoU.reee, U8&1ldo las de1inicionee de la Seooión 25, cuándo un objeto z pert.eo:eoo a la clue (K U L)' y co&ndo pertenece a la claae K' n L'.

•If. Eriate una import.ant.& semejanza estructural (indicad.a por la analogía. de eua nombres) eDt.re la.e leyee del cálculo propoaioional enunciadaa en !u Secciones 12 y 13 y en el Ejeroicio 14. del Capitulo II, por un la.do, y lu leyes del cálculo de claaee da.d&a en l&e Seoclonee 2' y 25 y en el ejercicio preoedent:e, por el otro. Deeorfbaee en detelle 64 qu6 ee b6I& eeta. aemejanza., y tr¿teee de enoontrv una explicación general de eete fenómeno. En la. Beooión H hemoe tratado la ley de oontrapoeición del oiloW.o proposicional; formular la ley análoga para el o6loulo de o1..... 15.

Con ayuda del llimbolo:

~ •or.uoa.Inlapf.tiu11.

ALJ'llED TAUIC.l

introducido en l& Sección 22, podomoe eecribi.r la dofi.ni.ción de auma de doe clues del siguiente modo:

KUL=re6&1' a.ná.logamente que la relación R ee simétrica., asimét.rie& o intransitiva (véase Ejercicio 8). iQué propiedad de relaciones eetudiada en el presente capitulo se exprea por la. fórmula:

R/R C:I l 18. Eetudiar cuálee de la.a rela.clonea expreeadae por W f.Srmu. laa indicadu a continU6Ción aon funciones: (•) (b)

2z+3y - 12, z'~y'.

z+2>y-3, (d) •+y - y', (•) :z: es madre dt y, (f) z es hija dt y. (o)

¡Cuáles de la.a rela.ciones ooneiderada.a en el Ejercicio 3 son fun-

cioneet 19. ConaideremOll la función expresada. mediante la fórmul&:

¡Cuál ee el conjunto de los valorea del a.rgumento y cuál el de loe • aloree de la. función 1 •20. tCu6.les de las funcioDfllt indicadas en el Ejercicio 18 son biunivocas1 Dar otros ejem.ploe de funciones biunivocu.

•21. Con.aidórele la función. erpreeada por la. fórmula:

'"

•=3y+l. Moetrar que ae trata de un• funoióo biunivoe& que aplica biunf. voca.mente el intervalo [0,1] eobre el [1,4-] (cf. Ejercicio 6, Capitulo IV). t Qué conaecuenoi& puede extraerse de aquí respecto a loa números cardinales de dichoe intervaloat •22. C.Onaidéreee la función expreaada. por la fórmula:

z=2y; tomando como ejemplo el ejercicio anterior, moatrar con ayuda. de est.a. funoióo que el conjunto de todos loe nlimeroe es coordinable ooo el conjunto de loa oámeroa poaitivoa. 88

•23. Moetrar que el oonjunto de todos loe númeroa natura.lee ooordin&ble con el de todoe loe nómeros ímp&m1.

2'. Indicar ejemplos de relaciones mliltiplee de los dominioe de la aritmética y de la geometrá.

26. tCoálee de las rel.a.oiooee ternarias expresad.u por lM fórmulu Biguientee eon funciones: (a) (b)

(o) (d)

:i:+y+iz=O, z•y > 2z,

"11'+y'+,. ". ' z+ 2-

26. Enumerar aJgunae leyee de la. flmoa que esta.blezcan la eziatenoia. de relaciones funcionales entre doa, tres y cuatro magnitudes. ?:1. ConeideremOB l& relación de estar entre expresad& Kimb6lfoamente por la fórmula A/B/O, donde .A., B y O son tree puntoa diferentes del pla.no (af. pág. 136). Escribir simbólicamente laa aiguientes proposiaionea:

... (a) Para pu1ltiol cualuquimi A, B, C y D, ai B utá entre A y C y también tnl1't A y D. en.tonw O ut6 entre A y D.

(b)

Paru. 'JNnla cualuquiera z, y, z del con;un. y~z,enlonce.tz ::: z.

LQS demoetraciones de eetoe dos teoremas aon muy fá.cilea. Como ejemplo, eaboza.remos la. demoatf'&()ión del primero. Sustituyendo ~ por ttt en et Axioma 11, obtenemoe:

para ekmenloa ~y, z del conjunto S, si z ~ z e y~ z, mtoncu z::: y . En la hipótesis de este enunciado, aparece la fórmula: 'Z ;::'

z,

que indude.blemente es v6.lida, en rirtud del Axioma. 1, y, por lo ta.ntio, podremos omitirla.. De esta manera se obtiene el teorema en oueetión.

C.On reepocto a. eeta.e aencillu consideraciones deeeamoe be.oer las siguienwa obaerva.cion~ . ) Nneetra. teorla. deductiva. en minia.tura se basa. en un eiatema. de a.:iiom&11 y términos primitivoa adecuBdamente eeleccionado. Nueatro conocimiento de loa objetos denotados por loa términoe primitivoa, ea decir, de los segmentoa y de su congruencia, es muy amplio y no ee a.gota.do de ninguna. maner& por los axiomaa adoptadoa. Pero este conocimiento es, por decir &11f, asunto privado nuestro y no ejerce la más mínima in8uencia sobre la construcción de nueetra. teoría.. En pa.rt.ícular, al deducir teoremas de IOB a:riom&s no hacemos ningún empleo de este conocimiento, y noe comportamoa como ei no comprendiéramos el contenido de los oonc.eptoa involucra.do en nuestras consideracionea, y como si no eupién.moa nada de ellos que ya no hubiera eido éxpreaa.men~ afirmado en loa uioma.e. Deepncia.moe, como se dice general· mente, el eigni&cado de loe términos primitivos que bemoe adoptado, y enfocamoa nueetl'a atención exclUBivamente sobre la forma de los axioma.a en que se dan est.08 términos. Eato implie& una coneecuencia muy eigni.ficativa e interee&nte. Reemplacemos loe términos primitivos en todos loa axiomas y teoremas de nuestra teoría por Yaria.blee adecuadas, por ejemplo, el aim.bolo tSt por la varia.ble cKt que denota. cl&l!eS, y el eúnbolo por la varia.ble tRt que denota rel&eionee (a fin de simplificar nueatra discusión, no conaider&remoe aquf teoremas que contengan términoa definidoa). Laa a6rmaciones de nuestra t.eorla. ya. no aerán má.e Prl?poaicionea, sino ae transformarán en funcionea proposicionales que contienen doe varia.bles libres, tKt y tRt, y que e~n. en general el hecho de que la. relación. R tiene eata. o aquella. propiedad e.n la. cl&ae K (o, con ma.yor precisión, QU:8 eat& o a.quella. relación rige en~ K y R, v6aae Sección 27). Por ejemplo, como se puede ver fácil.mente, el A..:Doma. 1 y loe Teoremaa I y II expresará.n e.hora que la rela.ci6n R es re8exiva, simé· trica y transitiva., respectivamente, en la cla.ae K . El Axioma 11 expreea.rá. una propiedad pa.re. la. que no tenemos ningún nombre especial. y a la que nos referiremoe oomo propiedad P; ea la propiedad siguiente:

•=::•

pani dtmenki.t z, y, z cuak.tquitf-11 dt. la cltut K, ,; zRz t yR:, tnlolua zRy.

1NTRODUCCIÓN A LA lÍIGICA

Pueeto que en las demoet.racionoe de nueetra teorl& no he.ce· moa uso de ninguna. propied&d de la. clue de segmentos y de la. relación de congruencia, salvo aquellu que fueron expUcitamente enunciadas en loe axiom&11, · todW .demoetración puede eer oonai. derablemente generalizada, pues puede &er &plicada a cualquier clase K y a cua.lquier relación R que tenga esas propiedad.ea. Como resultado de una generaliz&ción de es& naturaleza. de lu demOl!1tre.ciones, podemos oorrelaciona.r oon cua.lquier teorema. de nuestra. teorfa una ley general correepondiente al dominio de la. lógica., a. ea.her, a. la teoría de relaciones, y que afirme que toda. relación R que ee reflexiva y tiene la. propiedad P en la. clue K poaoo también la propiedad expreea.d& en el teorema. considerado. Aaí, por ejemplo, la.e dos leyes Biguientee de la teorfa. de relacione111 COITMponden a lOll Teorflm&e l y [[:

I'. Toda rtlaci6n R pr~

([lle u re//,tzi,t>tJ. m la cla.st K y lient la P en ua elaat u bmbitn aimétriofl .en K .

11'. Toda rtlación R qru u n/lu:iva m la clase K y lielu 14 Fopitdad P tn e&a clase u tamhi-én. INJnsiliva en K, Si una. relación R ea retl.eziva y tiene la. propiedad P en una c1aae K, decimos que K y R forman juntas un MODELO o una &B.il.IZ4.CIÓN del eist.ema de axioma.a de nuestra teorfa., o eimplemente que ea.tisfacen a. loa a.Doma.a. Por ejemplo, un modelo del sistema de Womaa esté. oonetituido por la. clase de loe segmen. tos y la relación de congruencia., ea decir, loa objetos denotad.01 por loa tórminoe primitivoe; Mturalmente eete modelo aatisfa.oe también todoe loa teoremas deducidoa de loa aziomaa. (P&r& hablar con exactitud, deberlamoe decir que un modelo no e&· tisfa.ce las afirmaciones miamae de la teoría, ei.no 1&8 funciooel!I proposicionales obtenidu de dicb.u afirma.cianea reemplazando loe términOl!I primitivoa por variablee.) Empero, este modelo particular no desempeña ning(m pa.pel privilegiado en la construcción de la teoria.. Por el oontrario, sobre la base de leye111 lógica.e universa.lee como I' y 11' llegamos a. la conclusión general de que cualquier modelo del aiatema de axiomas e&til!lfa.ce todoa lo& teoremas deducidoe de eet08 axioma.a. En consideración de eat.e hecho también se ha.ce NJÍtlr'eDcia. al modelo del aíat.flma.

156

de ax.iom11o11 de nueetra teorla oorno a un 3ú. misma.

.MOD:SLO DI'!

LA TEO·

Eetamot en condicionea de exhibir mucboa modeloa difere·n. tes pa.ra nuestro eittema de iuiomu, aun en el dominio de la lógica y de le. matemática. Para obtenm un modelo de ea& naturaleza., elegimos en cualquier otra. teori& deductiva doe constantes, aean d(t y «lb (denotando la. primera una clase y la última una rel&c::ión), luego reempla.za.moe a .St por dú y a e~• por •R• en todo el Biatem&, y finalmente demostramos que laa proposiciones aal obtenidas son teoremas, o posiblemente axiomas, de la nuen teoría. Si logra.moa realiur eeto oon éxit.a, decimos que hemos halla.do un& INTKlt.PB.E'UCIÓN del sistema. de axioma.a -y, al miamo tiempo, de toda nuestra teoría deductiva...- dentro de la. otra. teoría deductiva. Si reemplaza.moa ahora loa términoe primitivos .S• y • ;;¡ • por •X. y •ltt, no aol&mente en loa axioma.e, sino también en todoa loa teorema.e de nueetra. teoria, pode. moe estar aeguroa por adelantado de que todu laa proposiciones asi obtenidaa aerán proposiciones verdaderas de la nueva teoría deductiva. Daremos aquí dos ejemploe ooncret.oe de interpret&cionea de nueatra. teoría. en minia.tura.. Reemplazamos en los Axioma.e I y JI el símbolo tS• por el símbolo de la clase universa.l cV1, y el eímbolo ·~· por el signo de identidad Como se puede observar inmediatamente, loa arioma.e 11e tranaforman entonoe. en leyea lógicas (en efecto, le.a Leyea 11 y V de la Sección 17 de m&nera ligetamente modificad.a.). L& clue universal y la relación de identidad oonetituyen, por lo tanto, un modelo del sietema. de a.riomaa, y nuestra t.eorla ba. hallado una iot.erpretación dentro de la lógica.. Aal, si en loe Teorema.e 1 y 11 reempla.z&.moe loe eim.boloa tlt y •':::• por loe efmboloa cV• y podemos eat.ar aeguroe de que Uega.remoB a. proposiciones lógiC&S •erdaderaa. (En efecto, eet.mOB nuevamente familiarizadoe oon ellas; vé&ee Leyee III y IV de la. Sección 17.) • A oontinua.ción coneideramoe el conjunto de todos loe número11, o cualquier otro conjunto de números, denotándolo por .X•. Llamamos equiva.lentes a doa n\\.meroe :z: e y, en sfmboloe:

•=•·

•=•,

:z: : y,

INftODUCCIÓH A LA LÓGICA

ai au diferencia z - y es

Wl

entero; a.el tenemoe, por ejemplo:

11¡, . 51¡,, mientras no ea el caso que 3

:;;;¡

21¡,.

Si ahoro. loa términos prim.itivoa son reempl&ze.dos en &mboe &xiomas por dh y f:!!!:I, se puede demostrar fácilmente que 168 proposicionee result.a.ntee son teorema.a verda.deros de la a.ritm&tica. Asf nuestra. teoría. poaee un& interpretación en la a.ritmétioe., puea el conjunto de ndmero1 ]( y la relación de equivalencia ~ oonstituyen Wl modelo del Ñtem& de u:iomu. Y nuevamente Mtamoe aeguroa, e.in nin¡6n ru.onamiento especial, de que los Teoremu 1 y 11 ae tranaf'on:oari.a en propoei:oionee aritmétioae verda.dene li son 10metidoe a la miam• tramformación que loa. u:iomu.

Loa hechos genereJee deeoritos mM arriba. tienen muchu aplioacionea interesantes en la& investigaciones metodológicu. Iluatraremos esto aquí por medio de un solo ejemplo; mO!Jtraremoe cómo ee puede probar -en baae a eat.oa hechos- que no se pueden deducir ciert&a propoeicionee de nueetro eiatema de a.x:iomu. Consideramos la siguiente propoa:ición A (formulada. sol&ment:.e en términos lógicos y en los térmlnoe primitivos de nuestra teorla): ~ z t y dtl CO?ljunlo 8 ptlM lolqu.e 11.0 qru z ::; y (en otru paJabru: ui8kn do6 ugmmeoa qut

A. ErimA dol

u d

talO

ftOIOtlctm~).

Est& proposición parece eer indudablemente verdadera. No obet&nte, ningdn intento par• eu demoetnción en bue a. loe Aiiomu 1 y n puede dar un remlt&do positivo. As( surge la conjetura de que la Propoeición A no puede ser deducida. de ninguna manera de nuestros u::iomae. A 6n de confirmar esta conjetura &rgumentamos de la manera Biguiente. Si la Propoeición A pndiera. ser probada. en base a noeatro sistema. de axiomas, entonce&, aegón sabemos, todo modelo de eet.e sistema satisfarla & la propoaición; por lo tanto, eí podemoe indicar un modelo de sistema. de uiomu tal que no aatiafap l• Proposición A, proba.moe con

158

ello que eeta proposición no puede ser deducida de loe A..xiomM 1 y II. Ahora bien, la obtención de un modelo tal no preeent& ninguna. dificultad. Consideremoa, por ejemplo. el conjunto de todoe los enteros 1 (o cualquier otro conjunto de entero1, por ejemplo, el conjunto oonaistente en loe númeroa O y l eolamente) y la relación de equivalencia. ;;;¡ entre números que fue discutida. anteriormente. Sabemos ya en bue & las observ&ciones precedentes que el oonjunto 1 y la relación oonatituyen un modelo de nueatro sistema de axiomas; empero, la Propoeici6n A no es N.tisfecha por este modelo, puea no hay doe enteroa :i:: e y que no sean equivalentes, ee decir, cuya diferencia no sea un entero. Otro modelo conveniente para este fin eet.A. constituido por una clue a.rbitraria. de individuos y por la relación u.nivere:a.I. V que rige entre doe individuos cualeequiera. El tipo de razona.miento recién aplicado eo oonooe como el

=

x.BToDO DB DBMOS'l'B.A.OIÓN POa B:lllIBIOIÓll DB t1N llOD&I.0 O FO:& IllTERPBKTAOIÓN.

Los hechos y conceptoa discutM!oa aquí pueden ser relacion&doe con otras teorías deductivas s in efectuar un cambio eeenci&I. En la sección próxima tra.t&remoe de deeoribirlos en un modo ha.et.ante general. 81.

LeJ de dedueel6D; eará.cier formal de las Ol8DOfaa ded.UCltlTM

•C,Onaideramoa una. t&orí& deductiva cualquiera baMda. eobre llD sistema de términos primitivos y axiomas. A in de aim.pli.6o&r nueetru conaideracionee, 8Uponemoe que eet& teorla preeupone 1lament6 la lógica, ee decir, l& lógica ee la única teoría que preoede a la teoría dada (véue Seoción 36). Ima.gin.emoa que en todu lu afirmaeionee de nueetra. teorfa loa términos primitivoe eoo reempla.zad.os en su totalidad por variables adecuadas (oomo en la Sección 37, y nuevamente por razones de simplicidad no cooaider&m.08 los teoremas que contienen términos definidoa). Lae &firm.acionee de la teoría. considerada ee tr&DBforman en funcione& proposicionales que contienen como variablee libree los BÚXlboloa que han reemplazado & loa t:.érminoe primitivos, y que no contienen otraa oonatantes que lM pertenecieotm a la lógica. De.dos ciertoe

INT~OUOCIÓH A U

LÓGfc.l

159

objetoe, ae puedo detm:n.in.ar si eati.afa.oen todoa loe axiomu de nueetra. t.eoria, o dicho euoiamente, todaa laa funciones propo&ioiooalet obtenidu de en.oe uiom.aa del modo reci~n deecrito (es decir, si loe nombrea o designacionee de eeoe objetos produoen propoaioionee verdaderas al &el' oolooadoe en el lugar de las v&ri&blm librea de lae funcione& propoeioionalea; vMae Sección 2). Si eeto suoede, diremos que loe objetos que se oomidera.n constituyen un llOD:sLO o una JU.A.LD.a.OIÓ!f DJ:L 81STUU. D:& .t.XXOll.48 de nueetra teoría deductiva.; a veoea también decimos que oonnituyen un llOD:sLO DB LA TEOai.a. DBDtrarrv..t. misma. De manera bastante análoga podemoe determinar ai los objetos dados no 110lam.ente sa.tisfa.oen al sistema de ariomaa, sino tambi~n a cualquier otro aiatema. de afirm&eionea de nue&tra teoría, y si, por lo tanto, oomtituy en un modelo de eete .e.iltema (no se excluye la posibilidad de que el aistema cooeilt& de una aola afirmación). Un modelo del sietema de uiomae 991'. oonetituido , por ejemplo, por loe objetoe que son denot.dos por los Unninoe primitivoe de la teoria dada, puesto q~ npooemoe que todos loa uiomu BOD proposioionea verdaderas; este modelo aa.tiaface, ns.turalmente, todoa loa teoremas de nueetn teorla. Pero en lo que ae refiere a la oonstruoción de nuestra teoria., eirt.e modelo no ooupa. ningó.n lug&r de preferencia. entre todos loe d emáe modelos. Cua.ndo decimos eate o aquel teorema de loe axiom.aa, n o pensamos en las propiedades eapeoifiou de ese modelo, y solamente empleam.oa a.quellae propiedades que están explicit&mente enunciada.a en loa a.xiomae y que por lo t&nto son poeeJdaa por todo modelo del sistema. de &.riomae. En oonaecuenci&, toda demostración de un teorema p&r· ticul&r de nuestra. teoría. puede aer &%teodida a todo modelo del eiatema de uiomu y puede eer e.el tra.Daformad.a en un argumento mucho mfwi general, no ya pert.enecieote a nuestra. teoría, Bino a la lógica; y como resultado de eet& generalizaci.ón obt.enemoe un enunciado de lógica general (como Ju leyee I' y 11' de la. eeccióo preoedente) que establece el hecho de que el teorema. en oueetión ee satisfecho por todo modelo de nuestro sistema de ariomae. LA ooncluaión final a que a.rribamoe de eet& ma.nera puede ser expr&aada bajo la. forma siguiente:

Todo twrema tk una ktMa. ddvdivo dada u MJJi.8/Wio f>I"' cuolquiu modtJo del ai.IUma tk aziomaa de uta koria; y ademáa, a

160

todo ttort?M eorrupon& u11. enun.etado gtnef'Ol gw puede aer formu,. lado y ,u...,,,..,, IM para el c'lcnlo de ola.- f'IMll'M ,..bJk:ail.oa por el m&tlD!AtJco norte&11wuiuno JI:. V. HUltrlll'Ol'Oll (1874-lOU), H.tor

!:. ~·i::i:~=~~i°:1'"ek':~rt;,"tr'..:.':.=1!:m~1:l:'t!~r::mt:i'.'!:'~6t: 111 DDM&trtbn7eD.ID.-O.D llpl!.e&do.....,..coaauaUrml111M1prtmltJV01, Mlt 11.1.m& -.u&1ae11.t1íL&ouD•Boou,.nhoo.or••.:!'NdorG.BooLS(o1'.notal111.ll.p4&.d).

INTRODtJCaÓN A

1..4.

175

LÓGICA

Ind.iee.eión: La demoetra - (-pV-q)

Indic.a.eión: La. demoatr&ción ee basa. en el Axioma III y en loe Teorema.a VIII y XIV, y ee similar & la del Teorema II. En el Teorema VIII reempUooese tpt por t(p A q)• y compárese el con.

eecuente de la implicación aaf obtenida con el ant.eoedente del Teorema XIV.

T1mBJUU. XVI. ( - p V ,.., q) -+ ,.., (p /\ q) Indicación: Hága.ise en el Axioma VII una sustitución tal que el a.nteoedente de la implicación que reeulte sea el Teorema XV.

Ti:OUllli XVII.

,.... p -+ - (p /\ q)

Indicación: E.ta demoetr&eión ee también an!loga a la del Teorema 11. En el Teorema XIII 8U8titóyaae tpt por e- pt y tip por •- qt; compilreae la. proposición resultante con el Teorem&

XVl.

TBoasau XVIII. (p /\ q) -+ p Indicación: Ded.4zcue e1te t;eon,ma del Axioma VII y del Teorema XVII.

Nótese cuále. de loe axiomas y loe teoremas de eet.e ejercicio y del preoed.ent.e noe son familir.rea deade que estudia.mee el Capitulo II, y :recuérdense 11ua nombres. •15. Formular un.e. deiinición del afmbolo t.6.t (vÑ.811 Ej&rDI08T&&CIONU roa :itED110'nO ~ ilSDBllVK. Pueden ~. en ~ner&l, de la m&nera siguiente: para demostrar un teorema admitimoe primera.mente q ue el teorema. fueee fallo, y 88 deducen de ello ciertas comecuenciaa que nos obligan a reohazar l& aupoe.ioión

iníoial. La.a demostraciones indi.rectu eetA.n muy erlendidaa en Ir. matemática; pero no hay por qaé suponer que caigan toda.e bajo • • • 1..,, Jllllkl a otra~ cm ...n..11

(- •-+•>-+•.

.-o aombn:

ha 111.llo uada 1n much,. arsame11toe l:nCrtneados a lm&drbmenta lmporta.ntM •• ló&lca y mat.emiU- JU 1óPoO y llUtam.itloo IN.llMo G. T.U:W.'l'I (1181--111011) dedl.oó a H Mlklrt.1111A mo~ espealal..

... lo eequema de la demoetraci6n del Teorema l; máe bien noa bemot enfrentado aquí oon una forma de demostra.ción indirecta relatí· nmente rara. MI.e e.delante encontraremos ejemploa mu.cho mú tfpioos de demostraciones de esta índole.

EJ eietema. de axiomaa que beDlOIJ adoptado es completamente aimátrioo reepeoto de loe aimboloe • z, mtmw:::u z + y > z + z.

A.DOIU 10. Si y Ail:OIU. ll.

Por ahora. 0011 ocuparemoe ooo laa cuatro primeras propoei. oionee del eegundo grupo, ee decir, oon loe A.x.io:m&8 6-9; éstos atribuyen a. la adición una. eerie de propiedades sencillas que enoontramos también a menudo en el estudio de otra.a pa.rteB de la lógica y la. matem1i.tie&.

208

Para la designación de eetaa propiedades introduciremos al· gunoe t,¿rmino1 especia.lea. Por ejemplo, diremoa que una operación O es B.B.t.LlZilLB u :u. CLUB K o que la. claee K ee CJURA.· B.i.JO u. OPER&OIÓN O, si el reaultado de efectuar la' opera· ci6n O con dos elemento& cualesquiera. de la clase K es de nuevo un elemento de K; en otra& palabras, si para cualquier par de elementos y, z de l& claae K, eriete un elemento z de esta. clue tal que :z:= yOz.

I>•

La operación O es llamada CONlfUTA.TIVA EN u. C:U.SE K, ai el reault.&do de la operación no depende de la ordenación de loe el&mentos de K con loe cu&lee s& Jleva. & ca.bo, o dicho con máa exac-

titud, ei para. doe elementoe cualesquier& tenemos:

;r;

e y de dicha cla.ee,

zOy = yOz. La operación O se llama .üOOU.TIV.A. BN u. OUSB K, si el reeult&do ea independiente del modo como ee agrupen loa elementoa, o mis precisa.mente, ei para tres elementoe cualesquiera ::i:, y y z de la clue K, se cumple la condición: x0(y0z}=(z0y)Oz.

Decimos que la operación O es tNVltBTIBLB .&. DDKOIU o INVD'l'l· BLE A IZQUIERDA EN LA CLASE K , ei, pe.r& dos elementoa cua.leequiera. x, y de la claae K, exiate siempre un elemento z de esa claee t.al que: respectiva.mente. Una operación que sea simultáneam~nte invertible a. derecha. y a. izquierda., ee Ua.ma. eimplemente INYUTIBLI: EN LA OLüB K; como ee: fá.eil ver, toda. operación conmutativa que se& invertible a. derecha o a. izquierda. es invertible. Ahora diremos que una clase K 68 un OBUPO OOM BBSPIWI'O A l i OP:l.&A· OIÓM O, si eeta operación ee: realizable, a.aoci&tiva e invertible en K; si, ad.emáa, la operación O ee conmutativa., la. olaae K ea llama.da un Gii.UPO il:n.lilfO OOlf BltSPl:CTO Ali OPEB..lCIÓN o. El concepto de grupo, y en pa.rt.i.cular el de grupo a.bella.no, se trata

lNTKODUOCIÓN A LA. L6o1CA

,.,.

en unt. diaciplina matemátic. eepecial, la llamada noaú. DB oatJ?Os, de que bemoe bblt.doe n el Capitulo Vl. En caso de que la clue K ee& la. clase Wliveraa.l (o el univentG de discurso de la teoría oonaiderada, cf. Sección 23), omitinimoe UBua.lmente la referencia • e.ta clase al emplear términos tale1 como trealizablet, tconmut&ti't"u, etc. De acuerdo con la. terminología introducida. más a.rrib•, loa A:J'.iom&a 6-9 reciben loe nombree de LEY DB REALIZA.Bn.IDAD, LJ;Y OONKUTATIV.l, LJ:Y A.BOOli.TIVA y LltY DB INVEBSIÓN A DBdOJl.l para la opere.ción de adición, 1'88p8Ctivamente. Eetoe cuatro a.riom&11 reunidos, eeta.blecen que el conjunto de todoa loe números oonetituye un grupo abeliano oon respecto & la a.d.ición.

48. Leftl ooamu&&Uwa 1 uoolattva para an aQmtro oulqQJen. dt SWm&Ddot

El Az:íom& 7, M decir, la ley oonmut&tiv&, tal como la hemoe expuesto, se refiere a doa nWneroe, y el A:l'.ioma 8 o ley aaociativ& a trae. Sin embargo, se puec:Mn ecrt.&bleoer muchas otra.a leyes conmutativa.e y a.eociativa.s relativ&a a un nWnero a.rbitrario de dmeroe; por ejemplo, la fónnW.:

•+¡y-¡' .¡-y+(•+.¡ ea un ejemplo de ley fórmula:

oon~:at&tiva

p&r&

tree 1JWD&ndoa, y la

• + [y+ (• + •)) - [(• +y) + •) + • repreeent& una de l&I leyes uociativu pt.n. ouatro ewna.ndoe. Aó.n hay otros teore1DUJ de car6cler mino, oada uno de loa oU&hlll afirta.a que -ha.bla.ndo en gtinenl- en el result.&do de la adición ao ejercen ninguna. influencia oiertaa alteraciones, tanto en el

210

orden, como en la. distribución de loe fWlla.odoa en grupoe. Como ejemplo, espoodremoe el siguiente teorema.: TEOUllU. 9.

z+ (y+z) = (z+ z)

DBKOSTB.&CIÓN.

+y.

De loa Aiiomu 7 y 8

11e

obtienen por me-

dio de sustituciones conveniente&: (l) (2)

z

+ (z+ y)=(% +z) +y.

En virtud del& ley de LEIBNIZ y teniendo en cuent.a (l). IWltitoiremoe en (2) u + r por f'J + n y llega.remoa aaf & la. fórmula

deaeada.: z

+ (y + z) =

(:r

+ z) + y.

De ma.nera. &n&loga podemoe deducir todu la8 leym conmatativaa y aaociativaa relativas a núm8l'Oll arbitrarios de suma.odoe, de loa Axioma.e 7 y 8, con la ayuda eventua.I del Axioma 6. Di.oboe teoremas se a.plica.o 1. menudo e_n )& práctica par& la transformación de expresiones a.J.gebr&icaa. Por tra.naformación de una. expresión que designe un nómero, entendemos una va.ri&ción tal que nos lleve a otra expresión que deeigne el mismo nó.mero y que, por lo tanto, podrá aer rele.eionad& con la expresión origin&l me. d.iante el signo de iguaid&d; las expreaionea máa frecuentemente

aometidaa a tales traneform&cionee eon a.quellu que contienen variablee, eiendo, por COllBiguiente, funcionea deeignativaa. En rirtud de lu leyes con.mutativu y uociativu, podemoe tratlllt'on:aar expresionea a.rbitraria8 de tipoe t&lee como:

eef.o es, expresiones compueet&a de conet&ntée y va.riablee numéri.caa aeparadae por eimboloa de Mlioión y por p&rénteeis: en cualquiera de ell&a podemOB permutar a voluntad tantos aimboloa nwnérioos como pa.rénte&ia (con tal que la expresión rermlt&nte no pierda sentido con la tra.nspoeici6n de lOB parént.esis).

IHT&OllUCClóN A LA. LÓGICA

211

48. Lete1 de monotolúa trara la ad1ol6a 1 1u rMiproou Nos ooupanmot ahor& de loe Ammae 10 y 11; éato8 son lu Jlamadsa LBY• DB llONOTONÚ para Ja adición con reepecto a la.e relacionee menor qw y mayor que. Se dice, más gener&lmente, que la operación binaria ee llONÓTONA. BN LA. OLA.SB K OON BUHO'J'O .&. u BJCL.A.OIÓN BDU.lLli R, si, para elementos cualesquiera. z, v. z de la olase K, la fórmula:

o

gRz (:z:Oy) R (zOz),

ee decir, cu&ndo el Neultado de la operación O realizada sobre 10& elementos z e y ee encuentra en I& relación .B con el reeultado de dicha operación re&lizada sobre loa elementos z y z. (En el cuo de operacionee no conmutativu, deberemos distinguir, estrictamente hablando, entre monotonia & derecha y monotonía a U:quíerda; la propiedad que acaba.moa de definir se Ua.maré. monotonía a derecha..) La operación de adición ee monótona, no solamente respecto de lu rel&cionee mtn0r qw y mayor p.e -como se deduce de loa Axioma.a 10 y 11-, sino ta.mbián respecto de lu restantes relaoionee entre n6.meros discutida.a en la Sección '6. Moatraremoa eato solamente para la rel.aoión de identidad:

TBOUJU 10. Si y = i , tnloftcu z

+ y = z + i.

+

D;u:osnu.m ÓN. La 1U1Da :z: y, ouy& existencia garantiza. el Axioma 6, es igual. a sf miema (eeg6n la Ley II de la Sección 17):

z+y=z + y. Teniendo en ouenta 1a hipóteeil del teorema, en el aegundo miembro de la igualdad indicada ee pod1' imstituir la. va.ria.ble t¡¡t por et, obteoiéndoee la fórmula deee&od6:

212

L& recíproca del Teorema 10 ea T:soB.Bll.t. 11. Si

tambi~n

a:+ y =a: + :r,

verdadera:

t1llonal y

=- :.

Esbozaremos dos dem011tracionee del mismo. La primera, b&.. Moda en la ley de tricotomi& y en loe Axiomas 6, 10 y 11, ea ret.tivamente eencill&. Pa.ra nueet.ra ñoal.idad ulterior necesitamos, sin emb&rgo, otra demostración que, aunque oouidera.blemente mi.e complica.da, se basa exclusivamente en los .Axiomas 7-9.

PBnnm..6. DEMOSTJU.OIÓN. Sapongamoe que el teorema. en cuestión fueae falso; e:riatirlan entonoee números a:, y y z para loa cua.lea va.ldrla: (1)

a:+y=z.+z,

y (2)

Como a: + y y z + z son nd.meroe (Aiioma. 6), t.eniendo en cuen· t& Ja. ley de tricotomi&, ésto& BAtiafaoen sólo una. de lu fórmulu:

por oonaiguiente, como por (1) ea vMid& la primera de dichaa fórmulaa, laa otras aer'-n a.utom&ticamente eliminad.u. Tendr&

moe, puea, (3)

Por otra. parte, ei a.plicamoe de nuevo la. ley de tricotomía, de la deaigu&ldad (2) concluiremoe que

Lo.ego, por los Axiomae 10 y 11:

INTllOOUOCIÓH A LA 1.00JCA

218

LM coadicione11 (3) y (4) ee oontndicen.. t. 1upoaición Lnioíal queda aal refutada, y el teorema debe collliderene d emoetra.do. •SxoUND.6. Dl:lllO&Tl!L.t..OIÓN.

Aplica.remos el Axioma 9 en el

que sustituiremOl!I en por fY' y u. por tut. Se pnede concluir entonces, que exiate un número u que satisface la fórmula:

y= y+u; oomo, según el Axioma 7,

y+u=u+y, y la relación deigu&ldadeatr&D&itiva (cf. Ley IV dela Sección 17), obtenemoe: (1)

y=•+y.

A continuación aplioaremoe el AKioma 9 por segunda vm, sustituyendo en él tzt por m y m por tw; obtenemoa as! un nómero tt que ea.ti.ef'ace la igualdad: (2)

z=y+ti.

Teniendo en onent& (1), ae puede sustituir en (2) la va.ria.ble tyt por la expreai.6n cu + y., y obtenemoa entonoee:

.Z-==(-w+y)+"· Como ademú, en' virtud del& ley aeooi&-t.in (Axioma 8) la fórmula:

v + IN+ •) - (v+ y)+• ee v6.lid&, apliC&1ld o la Ley V de la Sección 17 llegamoe a la

fórmula: a::""' u

+ (y + tt).

Ea virtud de (2), podem~ reemplaza.r a.qui ty + vt por cn (ua&n· do la ley de LmBlfIZ), de modo que finalmente obtenemos: (3)

.Z=M+z.

"'

Apliquemoe el A:riom.. 9 por tercera vez, pero IUStituyeodo ahora tn, tyt y o por ew, ~ y nDt, reepectivameo.te. De este modo concluimos la eiiatenci& de un nillnero w tal que

U=z+

tJJ¡

es v&lida, valdrá. ta.mbién: (llieiones oondicionalee que constituyen un sistema cerrado, entoDOM t&m.bién son nrdaderae Lu correspondientes proposiciones reofprocaa. El ejemplo más sencillo de aiatema. cerrado ee un sistema. oompuesto por dos propoeicionee, une. propoeición oondicion&l:

n p, ntmacu q, y la. propoaioión oontr&ria.:

n no p, tMonou "° q. En este caeo, para demodrv lu dOll propoaicionee reoiprocu, no ee necesario siquiera apoy&r88 eo la ley de I011 sistemaa cerra.. doe; bMt&ria. a.plioar lu ley• de oontn.poaioión. El Teorema 10 y loe Axiomae 10 y 11 constituyen un aiatema. cerrado de tres propoaioionea, como ee ded.uoe de la ley de triootomia.: oomo entre dos nd.meroa lll'bitrarioa rige exe.crtamente una de laa tres relacionea =, < y >. laa hip6telliadedichaa tres proposiciones, e1 deoir, laa fórmul.ae:

v=z,

yz,

agotan todoe loe oaeoa potiblee, miectraa que na oonclueionee, esto "'· laa fórm.ulu: z + y - z +~

z + y < z + z:,

z + y>z+~

ee excluyen mutua.mente. (La ley de tri.ootomia in:aplie& todavía más: no sólo las tres primeru fónnulaa agotan todos los C&&Oe posibles, Bino que ee e:s:oluym entre id, y laa tres últimas no eola~ mente se excluyen, sino que agotan &demás todos loe caeoe poei· bl•; sin embargo, Mt.a. oiromurt&Doia ea·irreleva.nte para. noeotroe.) Por el mero heoho de oouti.tuir Qll listema oorn.do laa tree pro-

218

poeicionee indicadu, deben

eet

Ttlr'daderoe los Teorem..aa

ree(.

pt0008 11 -13.

En la gi"Ometrla elemental encontramos numeroeoe ejemploi de siatemaa oerradoe; por ejemplo, al eDDlinar la poaición rela.. tin. de doa circul011 noa enoootl'&mOll oon un aist:.ema oerrado, compuesto por cinco propoeioionea. Par& terminar, advertiremoe todavía. que quien no conozca Ja ley de loe eistema.s cerrad.oe, pero intent& probar las reclprocaa de la.a proposiciones que forman un siatema de esta. clase, podrá a.plicar a.utomé.ticamente la forma de inferencia que hemoe empleado en la. primera demo&traoión del Teorema. 11. 51.

CoDMCUIDCIM d• las

1.,..

de mono&onf&

Loe Teoremu 10 y 11 ee puedeo reeumir en u.no sólo: y - .i

.ti,y«Woti,

z+y - z +z.

Del miamo modo se pueden oombin&r loa Axiomaa 10 y 11 con loe Teoremas 12 y 13. Loe teoremu aa:f obtenidos se designan oomo LBT:SS DE nu!TSF'OBJU(l'(ÓN •QUTY.&LDTJ: Dll :sotrA.OIONES T DB· 1!1101'.il.Dil>M por medio de la. adfoi6n . El cont.enido de estoll teoremaa se describe a. veces de la siguiente mll.Jlera.: si a amboe miembros de una igualdad o deeigu&ld&d se euma un mí8mo número, sin cambill.I' el signo de igu&ldad o deaigu&ldad, se obtendrá. una igualdad o desigualdad e,quivalente a la primera.(eviden tomente, eeta. formulación no ee completamente coJTecta., ya que loe miembroe de talee iguald&dee o deaigualdadea no son númeroe, aino expreeionea, a le.e qv.e no ee posible sumar nt\mero alguno). Loe teoremas conaiderados tienen un papel importante en I• ~ lucióp de ecuaciones e inecuaciooee.

Deduciremoa una coDBecuenoia mi.a de las leyee de monotonia.

T:soBEJU.14. Si :z: + z: < y+ t, mtoncu :z:ulz, entonces, por el Teorema 3,

y< %

y

z < y;

a.plicando el Axioma 4 (oon u. reempla.zado por m y m por u.) obknemoe: zz, es decir, la oonclwñón del A.rioma. 6. Do manera aoálog& puede probaree que:

(II)

....iqu""'¡¡,'°'A"'°'""' IOu ll 1"'«1 y, eNonet.a y :1- z. A.DOllU. .4'. Si z < y e y < z, mtoncu z Axlo•~6'. z+y =y+ z. A.noiu. 6'. z +~y+ z) - (z +y)+ z. Anolli 7'.

mero z kJlqv.e z

Para nÚflltt'oa

=y+ z.

A:lloJU. 8'. Si. y

Llama.rema1

< z,

8I8T'DU

~

nContt1 z

"

< z.

z e y u:i8k •• ,..¿_

+ y < :t: + z.

V' a este Utema de uiomM; tenemo.

.hora el lliguiente resultado:

Compara.do OOD el original, el DlHIYO siBtema. aimpliicado pre. aenta cíertM lagunas de&de el punto de vista est.6tico y di•, ya que en este sistema ae admiten sin demoetración oiert.M propiedad.ea de la relación < , mientt&a que otna propiedad.ce oomplet&m.ente a.nálogu de la relación > tienen que ser demoetradu; falta tambi9 en el miamo el A.Doma 6, de carácter elemental e int.oiti.vo, pero cuya deducción, a partir de loa &:riom&8 oonteDidoe en el Siatem& V', ofrece a1funaa dificultades.

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