Interference Calculus: A General Framework for Interference Management and Network Utility Optimization [1 ed.] 3642246206, 9783642246203

Citation preview

Foundations in Signal Processing, Communications and Networking Series Editors: W. Utschick, H. Boche, R. Mathar

Martin Schubert · Holger Boche

Interference Calculus A General Framework for Interference Management and Network Utility Optimization

ABC

Series Editors: Wolfgang Utschick TU Munich Associate Institute for Signal Processing Arcisstrasse 21 80290 Munich, Germany

Holger Boche TU Munich Institute of Theoretical Information Technology Arcisstrasse 21 80290 Munich, Germany

Rudolf Mathar RWTH Aachen University Institute of Theoretical Information Technology 52056 Aachen, Germany Authors: Martin Schubert Heinrich Hertz Institute for Telecommunications HHI Einsteinufer 37 10587 Berlin Germany E-mail: [email protected]

Holger Boche TU Munich Institute of Theoretical Information Technology Arcisstrasse 21 80290 Munich, Germany E-mail: [email protected]

ISSN 1863-8538

e-ISSN 1863-8546

ISBN 978-3-642-24620-3

e-ISBN 978-3-642-24621-0

DOI 10.1007/978-3-642-24621-0 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Library of Congress Control Number: 2011941485 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012  This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilm or in any other way, and storage in data banks. Duplication of this publication or parts thereof is permitted only under the provisions of the German Copyright Law of September 9, 1965, in its current version, and permission for use must always be obtained from Springer. Violations are liable to prosecution under the German Copyright Law. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. Typesetting: Scientific Publishing Services Pvt. Ltd., Chennai, India. Cover design: eStudio Calamar S.L. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (www.springer.com)

■♥ ♠❡♠♦r② ♦❢ ♠② ❣r❛♥❞♠♦t❤❡r ▼❛r✐❛ ❆♠❡♥❞❡ ✭✶✾✵✽✲✶✾✾✻✮ ❍♦❧❣❡r ❇♦❝❤❡

■♥ ♠❡♠♦r② ♦❢ ♠② ❢❛t❤❡r ❘♦❧❛♥❞ ❙❝❤✉❜❡rt ✭✶✾✸✾ ✲✶✾✾✼✮ ❛♥❞ ♠② ❣r❛♥❞♠♦t❤❡r ❙♦✜❡ ❙❝❤✉❜❡rt ✭✶✾✶✶✲✷✵✵✸✮ ▼❛rt✐♥ ❙❝❤✉❜❡rt

Pr❡❢❛❝❡

❚❤✐s ❜♦♦❦ ❞❡✈❡❧♦♣s ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ ♠✉❧t✐✉s❡r s②st❡♠s✳ ❆t t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ t❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ s✐♠♣❧❡ ♠❡❛♥s ♦❢ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ ✐♥t❡r❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ ✉s❡rs✳ ❚❤❡ ❡♥t✐r❡ ❛♥❛❧②s✐s ❜✉✐❧❞s ♦♥ t❤❡ t✇♦ ❝♦r❡ ❛①✐♦♠s s❝❛❧❡✲✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ❛♥❞ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❆①✐♦♠❛t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❛r❡ ❢r❡q✉❡♥t❧② ✉s❡❞ ✐♥ s❝✐❡♥❝❡✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s ❝♦♦♣✲ ❡r❛t✐✈❡ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r②✱ ✇❤❡r❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ✉s❡rs ✭♦r ❛❣❡♥ts✱ ♣❧❛②❡rs✮ ❛r❡ ♠♦❞❡❧❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ❛①✐♦♠s ✭❛①✐♦♠❛t✐❝ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣✮✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❢r❛♠❡✲ ✇♦r❦ ❞♦❡s ✐♥❞❡❡❞ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧ s✐♠✐❧❛r✐t② ✇✐t❤ ❝❡rt❛✐♥ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❣❛♠❡ t❤❡♦r② ♦r✐❣✐♥❛t❡s ❢r♦♠ ❡❝♦♥♦♠✐❝s ♦r s♦❝✐❛❧ s❝✐✲ ❡♥❝❡✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ❤❛s ✐ts r♦♦ts ✐♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✳ ■t ❛❞❞s t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ t♦♦❧s ❢♦r ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ ♥❡t✇♦r❦s✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ ✐t ❝♦♠♣❧❡♠❡♥ts ❡①✐st✐♥❣ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❈❤❛♣t❡r ✹✮✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❢r❛♠❡✇♦r❦ s❤♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ✐♥ ❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦♣t✐✲ ♠✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❢r✉✐t❢✉❧ ✐♥t❡r♣❧❛② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ❇② ❥♦✐♥t❧② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♣❡r✲ t✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭♥♦t❛❜❧② ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡s✐❣♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t❤❛t ♦✉t♣❡r❢♦r♠ ❣❡♥❡r❛❧✲♣✉r♣♦s❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s t❤❛t ♦♥❧② ❡①♣❧♦✐t ❝♦♥✲ ✈❡①✐t②✳ ❚❤❡ t✐t❧❡ ✏ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✑ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝♦♥st✐t✉t❡s ❛ ❣❡♥❡r✐❝ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✳ ❈❡rt❛✐♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❛r❡ ✏❝❧♦s❡❞✑✱ t❤❛t ✐s✱ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❛❣❛✐♥✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆❧s♦✱ ❝❡rt❛✐♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ✉♥❞❡r s✉❝❤ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ■♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② ❢♦r ❛♥❛❧②③✐♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t ♠✉❧t✐✉s❡r ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦r ❝♦♠✲ ❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

❱■■■

Pr❡❢❛❝❡

❖✈❡r t❤❡ ❧❛st t❡♥ ②❡❛rs✱ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ r❡s❡❛r❝❤ ♦♥ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♥❡t✇♦r❦s✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤✐s ❜♦♦❦ ✐s ❧❛r❣❡❧② ✐♥✢✉❡♥❝❡❞ ❜② ♣r♦❜❧❡♠s ❢r♦♠ t❤✐s ❛r❡❛✳ ❆♠♦♥❣ t❤❡ ♠♦st ✐♥✢✉❡♥t✐❛❧ ✇♦r❦s ✐s ❨❛t❡s✬ s❡♠✐♥❛❧ ♣❛♣❡r ♦♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❬✶❪✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❞♦♣t❡❞ t❤❡ t❡r♠ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥❞❡❡❞ ❝❧♦s❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❨❛t❡s✬ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❬✶❪ ❛♥❞ ♦✉r ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❣❡♥✲ ❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡② ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t ❛①✐♦♠s✳ ❇♦t❤ ❢r❛♠❡✇♦r❦s ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳ ❖✉r ✜rst r❡s✉❧ts ♦♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡r❡ ♣✉❜❧✐s❤❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦♥♦❣r❛♣❤ ❬✷❪✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇❡r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ ❥♦✉r♥❛❧ ❛rt✐❝❧❡s ❬✸✕✶✶❪✳ ❚❤❡s❡ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❞❡❡♣❡r ❛♥❞ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✳ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ t✉t♦r✐❛❧ ♦♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✇❛s ❣✐✈❡♥ ❛t ■❈❆❙❙P ✷✵✶✵ ❬✶✷❪✳ ❆♠♦♥❣ t❤❡ ♠❛♥② ❝♦♠♠❡♥ts ✇❡ r❡❝❡✐✈❡❞✱ t❤❡r❡ ✇❛s t❤❡ r❡♣❡❛t❡❞ r❡q✉❡sts ❢♦r ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ♦✈❡r✈✐❡✇ t❤❛t s✉♠♠❛r✐③❡s t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❛❝ts ❛♥❞ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥t ❜♦♦❦ ✇❛s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ r❡s♣♦♥s❡ t♦ t❤❡s❡ r❡q✉❡sts✳ ■t ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦♥ t❤❡ r❡❝❡♥t ❛❞✈❛♥❝❡s ❬✸✕✶✶❪✳ P❛rt✐❝✉❧❛r ❡♠♣❤❛s✐s ✐s ♣✉t ♦♥ ❛♥❛❧②③✐♥❣ ❡❧❡♠❡♥t❛r② str✉❝t✉r❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ str✉❝t✉r❡ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧ ❢♦r t❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ❡✣❝✐❡♥t ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❢♦❝✉s ♦❢ t❤✐s ❜♦♦❦ ✐s ♦♥ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✱ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s q✉✐t❡ ❣❡♥❡r❛❧✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ✐s ♦✉r ❤♦♣❡ t❤❛t r❡s❡❛r❝❤❡rs ❢r♦♠ ♦t❤❡r ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ❡♥❝♦✉r❛❣❡❞ t♦ ✇♦r❦ ✐♥ t❤✐s ❛r❡❛✳ ❚❤❡ t❛r❣❡t❡❞ ❛✉❞✐❡♥❝❡ ✐♥❝❧✉❞❡s ❣r❛❞✉❛t❡ st✉❞❡♥ts ♦❢ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❛♣✲ ♣❧✐❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❛♥❞ ✐♥❞✉str✐❛❧ r❡s❡❛r❝❤❡rs ✐♥ t❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱ ♥❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❣❛♠❡ t❤❡♦r②✳ ◆♦ ♣❛rt✐❝✲ ✉❧❛r ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r r❡❛❞✐♥❣ t❤✐s ❜♦♦❦✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r s♦♠❡ ❢❛♠✐❧✐❛r✐t② ✇✐t❤ ❜❛s✐❝ ❝♦♥❝❡♣ts ❢r♦♠ ❝♦♥✈❡① ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧ ✇✐❧❧✲ ✐♥❣♥❡ss t♦ ❝❛rr② ♦✉t ❞❡t❛✐❧❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ✐s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✐♠♣♦rt❛♥t✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢s ❛♥❞ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s s❤♦✉❧❞ ❤❡❧♣ t❤❡ r❡❛❞❡r ✐♥ ♣❡♥❡tr❛t✐♥❣ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✳ ❘❡❛❞✐♥❣ ♦✉r ♣r❡✈✐♦✉s ❜♦♦❦ ❬✷❪ ✐s ♥♦t ❛ ♣r❡r❡q✉✐s✐t❡✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✐t ♠✐❣❤t ❜❡ ❤❡❧♣❢✉❧ s✐♥❝❡ ✐t ❝♦✈❡rs ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❛s♣❡❝ts ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❖✉r s❝✐❡♥t✐✜❝ ✇♦r❦ ✇❛s ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❛♥❞ ✐♥✢✉❡♥❝❡❞ ❜② ♠❛♥② r❡s❡❛r❝❤❡rs✳ ❆♠♦♥❣ t❤♦s❡ ✇❤♦ ✇❡r❡ ♠♦st ✐♥✢✉❡♥t✐❛❧✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ♥❛♠❡ ❚❛♥s✉ ❆❧♣❝❛♥✱ ▼❛ts ❇❡♥❣tss♦♥✱ ▼✐❝❤❛❡❧ ❏♦❤❛♠✱ ❏♦s❡❢ ◆♦ss❡❦✱ ❇❥ör♥ ❖tt❡rst❡♥✱ ❆r♦❣②❛s✇❛♠✐ P❛✉❧r❛❥✱ ❉✐r❦ ❙❧♦❝❦✱ ❙➟❛✇♦♠✐r ❙t❛➠❝③❛❦✱ ❙❡♥♥✉r ❯❧✉❦✉s✱ ❲♦❧❢❣❛♥❣ ❯ts❝❤✐❝❦✱ ❛♥❞ ❘♦② ❨❛t❡s✳ ❲❡ t❤❛♥❦ t❤❡♠ ❛♥❞ t❤❡✐r ❣r♦✉♣ ♠❡♠❜❡rs ❢♦r t❤❡✐r ✐♥s♣✐r✐♥❣ ✇♦r❦✳ ❲❡ ❛❧s♦ t❤❛♥❦ t❤❡ ❢✉♥❞✐♥❣ ❛❣❡♥❝✐❡s t❤❛t ♠❛❞❡ t❤❡ r❡s❡❛r❝❤ ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤❡ ✇♦r❦ ✇❛s ❢✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ ❋❡❞❡r❛❧ ▼✐♥✐str② ♦❢ ❊❞✉❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❘❡s❡❛r❝❤ ✭❇✉♥❞❡s♠✐♥✐st❡r✐✉♠ ❢ür ❇✐❧❞✉♥❣ ✉♥❞ ❋♦rs❝❤✉♥❣✱ ❇▼❇❋✮ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣r♦❥❡❝ts ❊❆❙❨✲❈ ✭✵✶❇❯✵✻✸✶✮✱ ❚❊❘❖PP ✭✵✶❙❋✵✼✵✽✮✱ ❙❝❛❧❡♥❡t ✭✵✶❇❯✺✻✻✮✱ ❜② t❤❡ ●❡r♠❛♥ ❘❡s❡❛r❝❤ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥ ✭❉❡✉ts❝❤❡ ❋♦rs❝❤✉♥❣s❣❡♠❡✐♥s❝❤❛❢t✱ ❉❋●✮

Pr❡❢❛❝❡

■❳

✉♥❞❡r ❣r❛♥ts ❇❖✶✼✸✹✴✺✲✷✱ ❇❖✶✼✸✹✴✶✺✲✶✱ ❛♥❞ ❙❈❍❯✷✶✵✼✴✷✲✶✱ ❜② t❤❡ ❊✉r♦♣❡❛♥ ❈♦♠♠✐ss✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❋P✻ ♣r♦❥❡❝t ▼❆❙❈❖❚ ✭■❙❚✲✷✻✾✵✺✮✳ ❲❡ ❢✉rt❤❡r ❛❝✲ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ❉❡✉ts❝❤❡ ❚❡❧❡❦♦♠ ✭❙❆●❆ ♣r♦❥❡❝t✮ ❛♥❞ t❤❡ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❯♥✐✈❡rs✐t② ▼✉♥✐❝❤ ❙t❛rt✲✉♣ ❋✉♥❞✳

❇❡r❧✐♥✱ ❆✉❣✉st ✷✵✶✶

▼❛rt✐♥ ❙❝❤✉❜❡rt ❍♦❧❣❡r ❇♦❝❤❡

❈♦♥t❡♥ts

✶

✷

✸

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ◆♦t❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❇❛s✐❝ ❆①✐♦♠❛t✐❝ ❋r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈♦♥✈❡①✐t②✱ ❈♦♥❝❛✈✐t②✱ ❛♥❞ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❈♦♥✈❡①✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶ ✸ ✹ ✺ ✼

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ❈♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❈♦✉♣❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❙tr✐❝t ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ P♦✇❡r ❈♦♥tr♦❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈♦♥t✐♥✉✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s✱ ❋❡❛s✐❜✐❧✐t②✱ ❛♥❞ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ P♦✇❡r✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚❤❡ ◗♦❙ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣ Pr♦❜❧❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼ ✶✽ ✶✽ ✷✶ ✷✸ ✷✻ ✷✾ ✸✷ ✸✺

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✶✳✹

❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✷✳✶ ✷✳✷ ✷✳✸ ✷✳✹ ✷✳✺ ✷✳✻ ✷✳✼ ✷✳✽

❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❊①♣r❡ss✐♥❣ ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ❛s ❙✉❜✲✴❙✉♣❡r❧❡✈❡❧ ❙❡ts ♦❢ ❈♦♥✈❡①✴❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✼ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

✸✳✶ ✸✳✷ ✸✳✸ ✸✳✹ ✸✳✺

✹

◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r

✸✾ ✹✵ ✹✻ ✺✵ ✻✶ ✻✾ ✼✷ ✽✷ ✽✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✾ ✹✳✶ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❙tr✐❝t❧② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✵ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❳■■

❈♦♥t❡♥ts ✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾ ✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✷ ✹✳✹ ❙■◆❘ ❘❡❣✐♦♥ ✉♥❞❡r ❛ ❚♦t❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸✽ ✹✳✺ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥ts ✕ P❛r❡t♦ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ❈♦♥✈❡①✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹✵

✺

✻

❆

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✺ ▼❛tr✐①✲❇❛s❡❞ ■t❡r❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✼ ❙✉♣❡r✲▲✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✹ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✶ ❲♦rst✲❈❛s❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❘♦❜✉st ❉❡s✐❣♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✼

◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✺✳✶ ✺✳✷ ✺✳✸ ✺✳✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✸ ❚❤❡ ▼❛①✲▼✐♥ ❖♣t✐♠✉♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✹ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❊✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✭P❊❱✮ ■t❡r❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✽ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✷ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ P❊❱ ■t❡r❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✺

❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

✻✳✶ ✻✳✷ ✻✳✸ ✻✳✹

❆♣♣❡♥❞✐① ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✼

❆✳✶ ❆✳✷ ❆✳✸ ❆✳✹ ❆✳✺ ❆✳✻ ❆✳✼ ❆✳✽ ❆✳✾

■rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✼ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ▼✐♥✲▼❛① ❛♥❞ ▼❛①✲▼✐♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✽ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ◗♦❙ ❙❡ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✾ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✶ ◆♦♥✲❙♠♦♦t❤ ❆♥❛❧②s✐s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✷ ❘❛t✐♦ ♦❢ ❙❡q✉❡♥❝❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✸ ❖♣t✐♠✐③✐♥❣ ❛ ❘❛t✐♦ ♦❢ ▲✐♥❡❛r ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✹ ❈♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✺ Pr♦♦❢s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✽

❘❡❢❡r❡♥❝❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷✼ ■♥❞❡①

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸✺

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❆ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❝♦♠♠✉✲ ♥✐❝❛t✐♦♥ ♥❡t✇♦r❦s ✐s t❤❛t ♦❢ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③✐♥❣ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ tr❛❞❡♦✛s✳ ❚r❛❞❡♦✛s ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ ✉s❡rs s❤❛r❡ ❛ ❧✐♠✐t❡❞ r❡s♦✉r❝❡ ♦r ✐❢ t❤❡② ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ♠✉t✉❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ ■♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s✱ t❤❡ ✉s❡rs ❝❛♥♥♦t ❛❝t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧②✳ ■❢ ♦♥❡ ✉s❡r ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❜② ✉s✐♥❣ ♠♦r❡ r❡s♦✉r❝❡s✱ t❤❡♥ t❤✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ❝♦♠❡s ❛t t❤❡ ❝♦st ♦❢ r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❛r❣✐♥ ♦❢ ♦t❤❡r ✉s❡rs✳ ❆ t②♣✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s ❛ ✇✐r❡❧❡ss ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✐❣♥❛❧ tr❛♥s✲ ♠✐tt❡❞ ❜② ♦♥❡ ✉s❡r ❝❛✉s❡s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ♦t❤❡r ✉s❡rs✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♥♦t r❡✲ str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ❧❛②❡r ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠✱ ✐t ❛❧s♦ ❛✛❡❝ts r♦✉t✐♥❣✱ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣✱ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱ ❛❞♠✐ss✐♦♥ ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ♦t❤❡r ❤✐❣❤❡r✲ ❧❛②❡r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t✐❡s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ r❡❛s♦♥s ✇❤② ❛ ❝r♦ss✲❧❛②❡r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ♦❢t❡♥ ❛❞✈♦❝❛t❡❞ ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss s②st❡♠s ❬✶✸❪✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠❛② ❛❧s♦ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ✐♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❛②✱ ❛s t❤❡ ❝♦♠♣❡✲ t✐t✐♦♥ ❢♦r r❡s♦✉r❝❡s ✐♥ ❛ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♥♦t ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s❝❡♥❛r✐♦s✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ ✇✐r❡❧✐♥❡ ♥❡t✇♦r❦s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❝❝✉rs ❜❡t✇❡❡♥ t✇✐st❡❞✲♣❛✐r ❝♦♣♣❡r ✇✐r❡s ✉s❡❞ ❢♦r ❉❙▲ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ♦t❤❡r ❢♦r♠s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥t❡①ts✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠s ❝❛♥ ❜❡ ❞✐✣✲ ❝✉❧t✳ ❆❞❛♣t✐✈❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠✐t✐❣❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❝❛✉s❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ r❡s♦✉r❝❡s ✐♥ ❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❢❛s❤✐♦♥✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❦❡❡♣ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♠❛♥❛❣❡❛❜❧❡✱ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ✐s ♦❢t❡♥ ❛✈♦✐❞❡❞ ❜② ❛❧❧♦❝❛t✐♥❣ r❡s♦✉r❝❡s t♦ ✉s❡rs ✐♥ ❛♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ♠❛♥♥❡r✱ ❛♥❞ r❡s✐❞✉❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s tr❡❛t❡❞ ❛s ♥♦✐s❡✳ ❚❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ❜❡❝♦♠❡s ❛ ❝♦❧✲ ❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ q✉❛s✐✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥❦s✳ ❚❤✐s ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❣r❡❛t❧② s✐♠♣❧✐✜❡s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛ss✐❣♥✐♥❣ ❡❛❝❤ ✉s❡r ❛ s❡♣❛r❛t❡ r❡s♦✉r❝❡ ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ✇❛② ♦❢ ♦r❣❛♥✐③✐♥❣ t❤❡ s②st❡♠✳ ■❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✉s❡rs ✐s ❤✐❣❤✱ t❤❡♥ ❡❛❝❤ ✉s❡r ♦♥❧② ❣❡ts ❛ s♠❛❧❧ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ r❡s♦✉r❝❡✳ ❙❤♦rt❛❣❡s ❛r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ ✉s❡rs ❤❛✈❡ ❤✐❣❤ ❝❛♣❛❝✐t② r❡q✉✐r❡♠❡♥ts✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❡✈❡♥ ♠♦r❡ ♣r♦❜❧❡♠❛t✐❝ ❢♦r ❢✉t✉r❡ ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✲ ✇♦r❦s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❤✐❣❤✲r❛t❡ s❡r✈✐❝❡s ❢♦r ❞❡♥s❡❧② ♣♦♣✉❧❛t❡❞ M. Schubert, H. Boche, Interference Calculus, Foundations in Signal Processing, Communications and Networking 7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

✷

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✉s❡r ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥ts✳ ❚❤❡ s②st❡♠ t❤❡♥ ♠✐❣❤t ❜❡ ❜❡tt❡r ✉t✐❧✐③❡❞ ❜② ❛❧❧♦✇✐♥❣ ✉s❡rs t♦ s❤❛r❡ r❡s♦✉r❝❡s✳ ❚❤✐s ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ❞r✐✈❡s t❤❡ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦r ♥❡✇ ❞❡s✐❣♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ r❡✉s❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ r❡s♦✉r❝❡s

❢r❡q✉❡♥❝② ♣♦✇❡r ✱

✱ ❛♥❞

s♣❛❝❡

✭✐✳❡✳ t❤❡

❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ ✉s❛❣❡ ♦❢ tr❛♥s♠✐tt✐♥❣ ❛♥❞ r❡❝❡✐✈✐♥❣ ❛♥t❡♥♥❛s ♦✈❡r t❤❡ s❡r✈✐❝❡ ❛r❡❛✮✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♥♦ ❧♦♥❣❡r ✏❥✉st ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ✐ss✉❡✑✱ ❜✉t r❛t❤❡r ❡♠❡r❣❡s ❛s t❤❡ ❦❡② ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✲❧✐♠✐t✐♥❣ ❢❛❝t♦r✳ ❚❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❞❡s✐❣♥ ♣❛r❛❞✐❣♠ ♦❢ ✐♥❞❡✲ ♣❡♥❞❡♥t ♣♦✐♥t✲t♦✲♣♦✐♥t ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥❦s ✐s ❣r❛❞✉❛❧❧② ❜❡✐♥❣ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❛ ♥❡✇ ♥❡t✇♦r❦✲❝❡♥tr✐❝ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ ✇❤❡r❡ ✉s❡rs ❛✈♦✐❞ ♦r ♠✐t✐❣❛t❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❛ ✢❡①✐❜❧❡ ✇❛② ❜② ❞②♥❛♠✐❝❛❧❧② ❛❞❥✉st✐♥❣ t❤❡ r❡s♦✉r❝❡s ❛❧❧♦❝❛t❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ✉s❡r✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ ❛♥② ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣② ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❛s ❣♦♦❞ ❛s t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ s♦♣❤✐st✐❝❛t❡❞ r❡s♦✉r❝❡ s❤❛r✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s r❡q✉✐r❡s ❛ t❤♦r♦✉❣❤ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✳ ■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❤❛✈❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ t♦♦❧s ✇❤✐❝❤ ❡♥❛❜❧❡ ✉s t♦ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ❝❛✉s❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❛r❡ ♥♦t ❝♦♥✜♥❡❞ t♦ t❤❡ ❧♦✇❡r ❧❛②❡rs ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✹❪ ❤♦✇ t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧✲ ❧♦❝❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✳ ❚❤✐s ❜♦♦❦ ♣r♦♣♦s❡s ❛♥ ❛❜str❛❝t t❤❡♦r② ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠s✳ ❆t t❤❡ ❝♦r❡ ♦❢ t❤✐s t❤❡♦r② ❧✐❡s t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❛♥

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❛①✐♦♠s

✭♣♦s✐t✐✈✐t②✱ s❝❛❧❡✲✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✱ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮✱ ❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❚❤✐s ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❤❛s t❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ❜❡✐♥❣ q✉✐t❡ ❣❡♥❡r❛❧✳ ■t ✐s ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ t♦ ✈❛r✐♦✉s ❦✐♥❞s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✇❛s str♦♥❣❧② ✐♥✢✉❡♥❝❡❞ ❛♥❞ ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❜② ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r②✳ ■t ❣❡♥❡r❛❧✐③❡s s♦♠❡ ❦♥♦✇♥ ❝♦♥❝❡♣ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❛s s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❧❛t❡r t❤❛t ❝❡rt❛✐♥ ❦❡② ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❛ s②st❡♠ ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❡①t❡♥❞ t♦ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝❛❧❧② ❝♦♥✈❡① ✭❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✮ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ ♠❛♥② r❡s♣❡❝ts✱ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❛r❡❛ ♦❢ r❡s❡❛r❝❤ ✐s ❝❧♦s❡❧② ❧✐♥❦❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r②✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ♥✉♠❡r♦✉s ✐♠♣♦r✲ t❛♥t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❬✶✺❪✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s ❛❧s♦ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❙■❘ ❛♥❞ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥s✱ ✇✐t❤ ❛♥❞ ✇✐t❤♦✉t ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❚❤✐s ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t ✇✐t❤✐♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥✳ ❚❤✐s t②♣✐❝❛❧❧② ✐♥✈♦❧✈❡s ❛ ❝♦♠♣r♦♠✐s❡ ❜❡t✇❡❡♥

❢❛✐r♥❡ss

❛♥❞

❡✣❝✐❡♥❝②

❛♠♦♥❣ t❤❡ ✉s❡rs ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳

❖❢t❡♥✱ t❤❡s❡ ❛r❡ ❝♦♥✢✐❝t✐♥❣ ❣♦❛❧s✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❢❛✐r♥❡ss✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ❢r♦♠ ❛ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s ❜♦♦❦ ❛❧s♦ ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ ❛ ❞❡❡♣❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣

♦❢

st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❬✶❪✳ ❚❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧❧② s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♦♥❡ ✉s❡❞ ❤❡r❡✳ ❇♦t❤ ❢♦❧❧♦✇ ❛♥ ❛①✐♦♠❛t✐❝

✶✳✶ ◆♦t❛t✐♦♥

✸

❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ t❤❡♦r② ♣r❡s❡♥t❡❞ ❤❡r❡✳ ❆❢t❡r ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ s♦♠❡ ♥♦t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❜❛✲ s✐❝ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❚❤❡s❡ ❛①✐♦♠s ❛r❡ t❤❡ ❜❛s✐s ❢♦r ❛❧❧ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ❧✐❦❡ ❝♦♥✈❡①✐t② ❛♥❞ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❝♦♥✈❡①✐t② ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ✶✳✶ ◆♦t❛t✐♦♥

❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ s♦♠❡ ♥♦t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s✳ • ❚❤❡ s❡ts ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ r❡❛❧s ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ r❡❛❧s ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② R+ ❛♥❞ R++ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ RK ❞❡♥♦t❡s t❤❡ Kg ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳ • ▼❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ❜♦❧❞ ❝❛♣✐t❛❧ ❧❡tt❡rs ❛♥❞ ❜♦❧❞ ❧♦✇❡r❝❛s❡

❧❡tt❡rs✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

• ▲❡t y ❜❡ ❛ ✈❡❝t♦r✱ t❤❡♥ yl = [y]l ✐s t❤❡ lt❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ Amn = [A]mn ✐s ❛ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① A✳ • ❆ ✈❡❝t♦r ✐♥❡q✉❛❧✐t② x > y ♠❡❛♥s xk > yk ✱ ❢♦r ❛❧❧ k ✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❤♦❧❞s ❢♦r

t❤❡ r❡✈❡rs❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳

• y > 0 ♠❡❛♥s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❣r❡❛t❡r ③❡r♦✳ • y ≥ x ♠❡❛♥s yl ≥ xl ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts • y x ♠❡❛♥s y ≥ x ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t l s✉❝❤ t❤❛t yl > xl ✳ • y 6= x ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❢♦r ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ • exp(y) ❛♥❞ log(y) ♠❡❛♥s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ❧♦❣❛r✐t❤♠✱ r❡✲

s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❙♦♠❡ ♦❢t❡♥ ✉s❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ q✉❛♥t✐t✐❡s ❛r❡ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

✹

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

r✱ p

❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s ❜♦♦❦✱

r

✐s ❛

K ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧

♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❡❝t♦r ♦❢

✏s②st❡♠ r❡s♦✉r❝❡s✑✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❢✉rt❤❡r s♣❡❝✐✜❡❞✳ ❆ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✐s

r = p✱ ✇❤❡r❡ p ✐s ❛ Ku ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ♦❢ Ku ✉s❡rs✳ I(r) J (p) p

●❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✮

❙t❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✮ 2 T ❊①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p = [p1 , . . . , pKu , σn ] ✱ ✇❤❡r❡ 2 ♣♦✇❡r✳ ❙♦♠❡t✐♠❡s✱ ✇❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡ σn = 1✳ K✱ Ku ■♥❞❡① s❡ts ♦❢ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② K ❛♥❞ Ku ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❙■❘

❙✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❛t✐♦

SINR

❙✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲♥♦✐s❡ r❛t✐♦

◗♦❙

σn2

✐s t❤❡ ♥♦✐s❡

◗✉❛❧✐t② ♦❢ ❙❡r✈✐❝❡✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙■❘ ♦r ❙■◆❘

γ Γ V

❱❡❝t♦r ♦❢ ❙■❘ ♦r ❙■◆❘ t❛r❣❡ts ❈♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①✱ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢

W

Γ = diag{γ} V = [v 1 , . . . , v Ku ]T ✱ ✉s❡r k

❉✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐①

✇❤❡r❡

vk

❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣

❈♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ❢♦r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

✶✳✷ ❇❛s✐❝ ❆①✐♦♠❛t✐❝ ❋r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❆①✐♦♠❛t✐❝ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❛ ❧♦♥❣✲st❛♥❞✐♥❣ tr❛❞✐t✐♦♥ ✐♥ s❝✐❡♥❝❡✳ ❲❡❧❧✲ ❦♥♦✇♥ ❡①❛♠♣❧❡s ✐♥❝❧✉❞❡ t❤❡

❛①✐♦♠❛t✐❝ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ t❤❡♦r②

✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ◆❛s❤

❬✶✻✱ ✶✼❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✶✽✱ ✶✾❪✮ ❛♥❞ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙❤❛♥♥♦♥ ❡♥tr♦♣② ❜② ❑❤✐♥❝❤✐♥ ❬✷✵❪ ❛♥❞ ❋❛❞❞❡❡✈ ❬✷✶❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✷✷❪✮✳ ❆♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ❜❛s✐❝ ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❛ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ♦❢t❡♥ ♣r♦✈✐❞❡s ✈❛❧✉❛❜❧❡ ♥❡✇ ✐♥s✐❣❤t ✐♥t♦ ✐ts ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ str✉❝t✉r❡✳ ■♥ t❤✐s ❜♦♦❦✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡ s❝❛❧❡✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✭❤♦♠♦✲ ❣❡♥❡♦✉s✮ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳ ▲❡t ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭♦r s✐♠♣❧②

I : RK + 7→ R+ ✳ ❲❡ s❛② t❤❛t I ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

✮ ✐❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠s ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✿

❆✶ ✭♣♦s✐t✐✈✐t②✮ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ r > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(r) > 0 ❆✷ ✭s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✮ I(αr) = αI(r) ❢♦r ❛❧❧ α ≥ 0 ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ I(r) ≥ I(r ′ ) ✐❢ r ≥ r ′

❚❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❨❛t❡s ❬✶❪✱ ✇❤❡r❡ s❝❛❧❛❜✐❧✐t② ✇❛s r❡q✉✐r❡❞ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❙❝❛❧❛❜✐❧✐t② ✇❛s ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❜② ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜✲ ❧❡♠✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹ t❤❛t st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥❞❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❈♦♥❝r❡t❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳ ▼♦st ♦❢ t❤❡s❡ ❡①❛♠♣❧❡s ❢♦❝✉s ♦♥ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠s✱ ✇❤❡r❡

r

✶✳✸ ❈♦♥✈❡①✐t②✱ ❈♦♥❝❛✈✐t②✱ ❛♥❞ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❈♦♥✈❡①✐t②

✺

✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs✱ ❛♥❞ I(r) ✐s t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛t s♦♠❡ r❡❝❡✐✈❡r✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ I(r) ❝❛♥ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ s♦♠❡ s②st❡♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s t❤❛t ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✈❡❝t♦r r ✳ ■❢ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ r ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞ t❤❡♥ ❛①✐♦♠ ❆✸ st❛t❡s t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ♦r r❡♠❛✐♥s ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✐s ❝❧♦s❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✸✳ ❙❝❛❧❡✲✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✭❆✷✮ ✐s ❜❡st ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❜② st✉❞②✐♥❣ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡s ✐♥ ❙❡❝✲ t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❆♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❆✷ ❛♥❞ ❆✸ ✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈✐t②✱ ✐✳❡✳✱ I(r) ≥ 0 ❢♦r ❛❧❧ r ≥ 0✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❆✷ ❛♥❞ ❆✸ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ I(r) < 0✳ ❋♦r 0 < λ ≤ 1 ✇❡ ❤❛✈❡ 0 > I(r) ≥ I(λr) = λI(r)✳ ▲❡tt✐♥❣ λ → 0 ❧❡❛❞s t♦ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ t❤✉s ♣r♦✈✐♥❣ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈✐t②✳ ❙♦♠❡t✐♠❡s ♣♦s✐t✐✈✐t② ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈✐t②✳ ❆①✐♦♠ ❆✶ ✭♣♦s✲ ✐t✐✈✐t②✮ st❛t❡s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ r > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(r) > 0✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪ t❤❛t ❆✶ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ st❛t❡♠❡♥t I(r) > 0 ❢♦r ❛❧❧ r > 0✳ ■❢ t❤✐s ✐s ♥♦t ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(r) = 0 ❢♦r ❛❧❧ r > 0✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ♦♥❧② ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ ❆✶ ✐s t♦ r✉❧❡ ♦✉t t❤✐s tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡✳ ❚❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✐s ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧② ❛♣♣❡❛❧✐♥❣✳ ❙♦♠❡ ❜❛✲ s✐❝ r❡s✉❧ts ✇❡r❡ ❛❧r❡❛❞② s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪✳ ❇✉t t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st ✐s ✇❤❡♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❛t ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛♥❞ ❝♦♥✈❡①✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦✛❡r ❡♥♦✉❣❤ str✉❝t✉r❡ t♦ ❡♥❛❜❧❡ ❡✣❝✐❡♥t ❛❧✲ ❣♦r✐t❤♠✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ❦✐♥❞s ♦❢ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳

✶✳✸ ❈♦♥✈❡①✐t②✱ ❈♦♥❝❛✈✐t②✱ ❛♥❞ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❈♦♥✈❡①✐t②

♣❧❛②s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ✐♥ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣✱ ❡❝♦♥♦♠✐❝s✱ ❛♥❞ ♦t❤❡r s❝✐✲ ❡♥t✐✜❝ ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡s ❬✷✸❪✳ ❲❤❡♥ ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♥❣ ❛ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s t♦ ✜rst ❧♦♦❦ ✇❤❡t❤❡r ✐t ✐s ❝♦♥✈❡① ♦r ♥♦t✳ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❛❞✈❛♥❝❡s ❤❛✈❡ ❣✐✈❡♥ ✉s ♥❡✇ t♦♦❧s t❤❛t ❛r❡ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❝♦♠✲ ♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠s ❬✷✹❪✳ ▼❛♥② ❡①❛♠♣❧❡s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ▼■▼❖ ❛♥❞ r♦❜✉st ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❬✷✺✕✸✵❪✳ ❈♦♥✈❡①✐t②

✶✳✸✳✶ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❙t❛♥❞❛r❞ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ t♦ ❛♥② ❦✐♥❞ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ st❛♥❞❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t②♣✐❝❛❧❧② ✐❣♥♦r❡ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛♥❛✲ ❧②t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✳ ❚❤✉s✱ t❤❡② ❛r❡ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❛ ❣♦♦❞ ❝❤♦✐❝❡ ✇❤❡♥ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ s♣❡❡❞ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♠❛tt❡rs✳ ■♥ t❤✐s ❜♦♦❦ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛t ❛r✐s❡ ❢r♦♠ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❥✉st ❝♦♥✈❡①✱ ❜✉t ✇❤✐❝❤ ❛❧s♦ ❢✉❧✜❧❧ t❤❡ ❜❛s✐❝ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳

✻

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ I : RK + 7→ R+ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛

❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

✐❢ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❛♥❞ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ I ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ RK + ✳ ▲✐❦❡✲ ✇✐s❡✱ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ I : RK → 7 R ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ + + ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❛♥❞ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ I ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ♦♥ RK ✳ +

❢✉♥❝t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳ ▲✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❜♦t❤ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♥❝❛✈❡✳ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t②♣✐❝❛❧❧② ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♠✐♥✐♠✐③❡❞✳ ❚❤✐s ✐♥❝❧✉❞❡s ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ ♦r tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s✱ ❡✳❣✳ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❬✷✱ ✷✻✱ ✷✼✱ ✸✶✕✸✸❪✱ ❈❉▼❆ ❬✸✹✱ ✸✺❪✱ ♦r ❜❛s❡ st❛t✐♦♥ ❛ss✐❣♥✲ ♠❡♥t ❬✸✻✱ ✸✼❪✳ ❈♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t②♣✐❝❛❧❧② ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳ ❙✉❝❤ ✏✇♦rst✲❝❛s❡✑ str❛t❡❣✐❡s ❛r❡ ❦♥♦✇♥ ❢r♦♠ r♦❜✉st ♦♣t✐♠✐③❛✲ t✐♦♥ ❬✷✾✱ ✸✵❪✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❣♦❛❧s ♦❢ t❤✐s ❜♦♦❦ ✐s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❛ r✐❝❤ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ t♦ ②✐❡❧❞ ❡✣❝✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❊①❛♠♣❧❡s ❛r❡ t❤❡ ❙■✭◆✮❘✲❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡rs ✺ ❛♥❞ ✻✳

✶✳✸✳✷ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❙♦♠❡t✐♠❡s✱ ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♥♦t ❝♦♥✈❡① ❜✉t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥✲ ❞✐r❡❝t❧② ❜② s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥st❡❛❞✳ ❚❤✐s ✐s s♦♠❡t✐♠❡s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ✏❤✐❞❞❡♥ ❝♦♥✈❡①✐t②✑✳ ❍❡r❡ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ♦❢ ❤✐❞❞❡♥ ❝♦♥✈❡①✐t②✱ ♥❛♠❡❧②

❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❝♦♥✈❡①✐t②

✭❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②✮✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✸✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥

f (s)✱ ✇✐t❤ s ∈ RK ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐❢

log f (s) ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ❆♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ❬✷✸❪

1−λ
λ f (1 − λ)ˆ s + λˇ s ≤ f (ˆ s) · f (ˇ s) ,

❢♦r ❛❧❧ sˆ, sˇ ∈ RK .

■♥ t❤✐s ❜♦♦❦ ✇❡ ✇✐❧❧ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ❛s ❛ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡

r = es ✇❤❡r❡

r

✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧✮

✭✶✳✶✮

✐s t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ✇❛s ❛❧✲

r❡❛❞② ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❬✸✽❪ ❛♥❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❬✸✾✕✹✹❪✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥

I : RK + 7→ R+ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛

❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥✲

✐❢ I(r) ❢✉❧✜❧❧s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛♥❞ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ I(exp{s}) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ R ✳ ▲♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣❧②✳ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ K ▲❡t

f (s) := I(exp{s})✳

❝♦♥✈❡①✐t② ✐s ❬✷✸❪

❚❤❡♥ ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❧♦❣✲

✶✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s




f s(λ) ≤ f (ˆ s)1−λ f (ˇ s) λ , ✇❤❡r❡

∀λ ∈ (0, 1); sˆ, sˇ ∈ RK ,

s(λ) = (1 − λ)ˆ s + λˇ s,

❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❡❝t♦r r(λ) = exp s(λ) ✐s

λ ∈ (0, 1) .

r(λ) = rˆ(1−λ) · rˇλ

✼

✭✶✳✷✮ ✭✶✳✸✮

✭✶✳✹✮

❚❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ r = exp{s} ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ✉s❡❞ ❜② ❙✉♥❣ ❬✸✽❪ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭s❡❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✮✱ ❛♥❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❬✸✾✕✹✸❪✳ ❲✐t❤ ✭✶✳✷✮ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t Ik (es ) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

1−λ
λ Ik r(λ) ≤ Ik (ˆ r) · Ik (ˇ r ) , λ ∈ (0, 1) . ✭✶✳✺✮

▲❛t❡r✱ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✳✺✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ✐❢ I(r) ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ I(es ) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❛t ♠❡❛♥s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s ♥♦t tr✉❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❜r♦❛❞❡r t❤❛♥ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ▲♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥❝❧✉❞❡ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛s s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② ✇❡❛❦✳ ▲♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦✛❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❝❛s❡✱ ✇❤✐❧❡ ❜❡✐♥❣ ❧❡ss r❡str✐❝t✐✈❡✳ ■♥ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s ❜♦♦❦✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❞❡t❛✐❧✳ ■t ✇✐❧❧ t✉r♥ ♦✉t t❤❛t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♣r❡s❡r✈❡ ♠❛♥② ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ❛r❡ ❦♥♦✇♥ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝❛s❡✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✳ ❋♦r ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ ❛❧s♦ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s✳ ❚❤❡② ✇❡r❡ ♥♦t st✉❞✐❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ s♦ ❢❛r✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ ❧♦❣✲ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡♦✉s ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛s t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐t ✐s ♥♦t tr✉❡ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❜✉t ♥♦t ❧♦❣✲ ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❢✉rt❤❡r ❞✐✛❡r❡♥❝❡s✱ ❡✳❣✳ t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❤♦✇❡✈❡r t❤❡ s❛♠❡ ✐s ♥♦t tr✉❡ ❢♦r ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

✶✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤❡s❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦r✐❣✐♥❛t❡ ♠❛✐♥❧② ❢r♦♠ r❡s❡❛r❝❤ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❝♦✉✲ ♣❧❡❞ ♠✉❧t✐✉s❡r s②st❡♠s ✐s ❛ ❜r♦❛❞ ❛♥❞ ❞✐✈❡rs❡ ✜❡❧❞ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✺❪✮✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ♠♦r❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❡①❛♠♣❧❡s ❝❡rt❛✐♥❧② ❡①✐st✳

✽

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r ❛ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠ ✇✐t❤ Ku ✉s❡rs s❤❛r✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ r❡s♦✉r❝❡✱ t❤✉s ♠✉t✉❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❝❝✉rs✳ ❚❤❡ ✉s❡rs✬ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ ❛ ✈❡❝t♦r u p = [p1 , . . . , pKu ]T ∈ RK ✭✶✳✻✮ + . ❚❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ ♣♦✇❡rs p ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t ❛ ❣♦♦❞ s②st❡♠ ♣❡r✲ ❢♦r♠❛♥❝❡ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❚❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ✉s❡r k ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✐ts ✭❙■❘✮

s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❛t✐♦

❙■❘k (p) =

pk , Ik (p)

✭✶✳✼✮

k ∈ Ku .

❍❡r❡✱ Ik (p) ✐s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✭♣♦✇❡r ❝r♦ss✲t❛❧❦✮ ♦❜s❡r✈❡❞ ❛t ✉s❡r k ✱ ❢♦r ❣✐✈❡♥ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs p✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IKu ❞❡t❡r♠✐♥❡ ❤♦✇ t❤❡ ✉s❡rs ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ♠✉t✉❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✶✳✶✮✳

p1 .. .

interference

SIR1 = .. . SIRK =

pK

p1 I1 (p)

pL IK (p)

❋✐❣✳ ✶✳✶✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢

Ku

tr❛♥s♠✐tt❡r✲

r❡❝❡✐✈❡r ♣❛✐rs✳

❆ s✐♠♣❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ✐s ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ❜❛s✐❝ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✹✷✱ ✹✺✕✹✼❪ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮✳ ✶✳✹✳✶ ▲✐♥❡❛r ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ✉s❡r k ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

Ik (p) = pT v k ,

✭✶✳✽✮

k ∈ Ku ,

❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❇② ❝♦❧❧❡❝t✐♥❣ ❛❧❧ K ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ♦r ❧✐♥❦ ❣❛✐♥ ♠❛tr✐①

u ✇❤❡r❡ v k ∈ RK + ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ♣❧✐♥❣ ✈❡❝t♦rs ✐♥ ❛

u

V = [v 1 , . . . , v Ku ]T ,

❝♦✉✲ ✭✶✳✾✮

✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ ✭✶✳✽✮ ❛s

Ik (p) = [V p]k ,

k ∈ Ku .

✭✶✳✶✵✮

❚❤❡ ♣♦♣✉❧❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✐s ❞✉❡ t♦ ✐ts s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ❜✉t ❛❧s♦ t♦ ✐ts ❝❧♦s❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ r✐❝❤ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐❝❡s ✭P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r②✮✳ ■♥ t❤❡ ♣❛st✱ t❤✐s ❤❛s ❧❡❞ t♦ ♠❛♥② t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

✶✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s

✾

❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❡✳❣✳ ❬✹✽✕✺✷❪✳ ❚❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ P❡rr♦♥✲ ❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r② ✐s ♥♦t ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ❢✉rt❤❡r ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ s②st❡♠s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✳ ❋♦r ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ✇❡ r❡❢❡r t♦ ❬✶✺❪✳ ❋♦r ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ t❤❡ s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲♥♦✐s❡ r❛t✐♦ ✭❙■◆❘✮ ✐s ❛ t②♣✐❝❛❧ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡✳ ❚❤❡ ❙■◆❘ ✐s ❛❧s♦ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✭✶✳✼✮✱ ✇❤❡r❡ Ik ❛❧s♦ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r σn2 ✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r

u +1 p = [p1 , . . . , pKu , σn2 ]T ∈ RK +

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r ✐s   Ik (p) = pT · v1k = pT v k + σn2 .

✭✶✳✶✶✮

✭✶✳✶✷✮

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✶✳✶✷✮ ❤❛s t❤❡ s❛♠❡ str✉❝t✉r❡ ❛s ✭✶✳✽✮✳ ❚❤❡ ♦♥❧② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p ✇❤✐❝❤ ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❚❤✐s ♥♦t❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❛❧❧♦✇ ✉s ❧❛t❡r t♦ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ✉♥✐❢②✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❙♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ s❤❛r❡❞ ❜② ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s✱ ♥♦ ♠❛tt❡r ✇❤❡t❤❡r t❤❡r❡ ✐s ♥♦✐s❡ ♦r ♥♦t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ♠♦st str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❈❤❛♣t❡r ✸ r❡❛❞✐❧② ❡①t❡♥❞ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♥♦✐s❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♥♦✐s❡ ❝❧❡❛r❧② ♠❛❦❡s ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇❤❡♥ ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♥❣ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧✲ ❧♦❝❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✐♥ ❛ ♣♦✇❡r✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠✳ ❚❤❡♥ ✐t ✐s ✐♠✲ ♣♦rt❛♥t t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦♥st❛♥t ♥♦✐s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❞❡t❛✐❧ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳ ▲✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡✱ ❝♦♥✈❡①✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛❢t❡r ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✷✮✳ ❍❡♥❝❡✱ ❛❧❧ r❡s✉❧ts ✐♥ t❤✐s ❜♦♦❦ ❤♦❧❞ ❢♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ✶✳✹✳✷ ❇❡❛♠❢♦r♠✐♥❣

❚❤❡ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ✐s ✇❡❧❧ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✇❡❛❧t❤ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡✲ s✉❧ts ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ♥♦t ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s❝❡♥❛r✐♦s ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✺❪✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❢t❡♥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ✐♥ ❛ ♥♦♥✲ ❧✐♥❡❛r ✇❛②✱ ❡✳❣✳✱ ✐❢ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s ❛r❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ t♦ ❛✈♦✐❞ ♦r ♠✐t✐❣❛t❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ ❯s✐♥❣ ❛ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧ ♠❛② ♦✈❡rs✐♠♣❧✐❢② t❤❡ r❡❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✳ ❚❤✐s s❝❡♥❛r✐♦ ✇❛s st✉❞✐❡❞✱ ❡✳❣✳✱ ✐♥ ❬✷✻✕✷✽✱ ✸✶✕✸✸❪✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✉♣❧✐♥❦ s②st❡♠ ✇✐t❤ Ku s✐♥❣❧❡✲❛♥t❡♥♥❛ tr❛♥s♠✐tt❡rs ❛♥❞ ❛♥ M ✲❡❧❡♠❡♥t ❛♥t❡♥♥❛ ❛rr❛② ❛t t❤❡ r❡❝❡✐✈❡r✳ ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✐❣♥❛❧s S1 , . . . , SKu ✇✐t❤ ♣♦✇❡rs pk = E[|Sk |2 ] ❛r❡ tr❛♥s♠✐tt❡❞ ♦✈❡r ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ❝❤❛♥♥❡❧s h1 , . . . , hKu ∈ CM ✱ ✇✐t❤ s♣❛t✐❛❧ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐❝❡s Rk = E[hk hH k ]✳ ❚❤❡ s✉♣❡r✐♠♣♦s❡❞ s✐❣♥❛❧s ❛t t❤❡ ❛rr❛② ♦✉t♣✉t ❛r❡ r❡❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛ ❜❛♥❦ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✜❧t❡rs u1 , . . . , uKu ✭t❤❡ ❵❜❡❛♠❢♦r♠❡rs✬✮✳ ❚❤❡ ♦✉t♣✉t ♦❢ t❤❡ k t❤ ❜❡❛♠❢♦r♠❡r ✐s

✶✵

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

yk = uH k

X

l∈Ku


hl Sl + n ,

✭✶✳✶✸✮

✇❤❡r❡ n ∈ CM ✐s ❛♥ ❆❲●◆ ✈❡❝t♦r✱ ✇✐t❤ E[nnH ] = σn2 I ✳ ❚❤❡ ❙■◆❘ ♦❢ ✉s❡r k ✐s SINRk (p, uk ) =

E[|

2 pk uH E[|uH k Rk uk k hk Sk | ]
P = . H H H 2 2 uk l∈k uk hl Sl + uk n| ] l6=k pl Rl + σn I uk

P

❲✐t❤ t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ kuk k2 = 1✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❝❛s❡ ✐s
P 2 uH pk k l6=k pl Rl + σn I uk Ik (p) = min = min kuk k=1 SINR(p, w k ) kuk k2 =1 uH k Rk uk P H 2 2 l6=k pl uk Rl uk + σn kuk k = min = min pT v k (uk ) , ✭✶✳✶✹✮ kuk k2 =1 kuk k2 =1 uH k Rk uk

✇❤❡r❡ v k (uk ) ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ [v k (uk )]l =

 H uk R l uk    uH k Rk uk

1 ≤ l ≤ Ku , l 6= k

kuk k2  uH k Rk uk

 

l = Ku + 1,

0

✭✶✳✶✺✮

l=k.

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐s ♥♦t ❝♦♥st❛♥t✳ ❋♦r ❛♥② ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p > 0✱ t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠❡r uk ❛❞❛♣ts t♦ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t t❤❡ s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲♥♦✐s❡ r❛t✐♦ ✭❙■◆❘✮ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞✳ ❚❤✐s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❡✣❝✐❡♥t❧② ✈✐❛ ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❬✺✸❪✳ ❆ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❝❝✉rs ✐❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧s h1 , . . . , hKu ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝✱ t❤❡♥ Rl = h l h H l ✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ♦♣t✐♠✉♠ ❜❡❛♠❢♦r♠❡rs ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠ Ik (p) =

1 hH k

σn2 I

+

P

H l6=k pl hl hl


−1

hk

.

✭✶✳✶✻✮

❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✶✳✶✻✮ ✐s ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ t❤❛♥ t❤❡ ❧✐♥✲ ❡❛r ♦♥❡✱ ✐t ❤❛s ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ t❤❛t ❛❧❧♦✇s ❢♦r ❡✣❝✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✶✳✶✹✮ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✱ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥✲ ❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✉s ✭✶✳✶✻✮ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ❛s ✇❡❧❧✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❧❛t❡r ✭❚❤❡♦✲ r❡♠ ✸✳✷✸✮ t❤❛t ❛❧❧ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❛ str✉❝t✉r❡ t❤❛t ❡♥❛❜❧❡s ❡✣❝✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❊①❛♠♣❧❡s ❛r❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠s ❢r♦♠ ❈❤❛♣t❡rs ✺ ❛♥❞ ✻✳ ✶✳✹✳✸ ❘❡❝❡✐✈❡ ❙tr❛t❡❣✐❡s

❚❤❡ ♥❡①t ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✹✮ ❛♥❞ ✭✶✳✶✻✮ ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❛❜str❛❝t ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✳

✶✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s ❋♦r ❡✈❡r② ✉s❡r

k✱

✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❛❜str❛❝t

r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② zk

✶✶

❢r♦♠ ❛ ♥♦♥✲

❡♠♣t② ❝♦♠♣❛❝t s❡t Zk ✳ ❚❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② zk ❧❡❛❞s t♦ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts u v k (zk ) ∈ RK + ✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛✐♠ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t s♣❡❝✐❢② t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r zk ♦r ❤♦✇ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ v k ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ zk ✳ ❚❤❡ ♥❛♠❡ ✏r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②✑ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ t②♣✐❝❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ ❛ r❡❝❡✐✈❡r ✇❤✐❝❤ ♠❛①✐♠✐③❡s t❤❡ ❙■◆❘✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ ❚❤❛t ✐s ✐s✱ ❢♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ T ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p ✇❡ ❝❤♦♦s❡ zk s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ p v k (zk ) ❜❡❝♦♠❡s ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡

Ik (p) = min pT v k (zk ) , zk ∈Zk

∀k ∈ Ku .

✭✶✳✶✼✮

◆♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ✭✶✳✶✶✮ ❛♥❞ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✈❡❝t♦r✱ ❛s ✐♥ ✭✶✳✶✷✮✳

Ik (p) = min pT v k (zk ) , zk ∈Zk

∀k ∈ Ku .

✭✶✳✶✽✮

❆ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✐s t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡ ✭✶✳✶✹✮✱ ✇❤❡r❡ ❜❡❛♠❢♦r♠❡rs

uk ✇❡r❡ ✉s❡❞

❛s r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✳ ❚❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠❡rs ✇❡r❡ ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡✱ ✐✳❡✳✱

kuk k2 = 1✳

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✳✶✼✮ ❛❧❧♦✇s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ♦t❤❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✳

❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❜❡❛♠❢♦r♠❡rs ✇✐t❤ s❤❛♣✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥ts ✇❡r❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✷✼❪✳ ❚❤✐s ✐s ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ ♠♦❞❡❧ ✭✶✳✶✼✮✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ♦♥❧② r❡q✉✐r❡ t❤❛t t❤❡ s❡t

Zk Zk

✐s ❝♦♠♣❛❝t ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠✳ ❚❤❡ s❡t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ s❡✈❡r❛❧

r❡❝❡✐✈❡rs✳ ❆ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❥♦✐♥t ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❛♥❞ ❜❛s❡ st❛t✐♦♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ❬✸✻✱ ✸✼❪✳ ❆s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳

✶✳✹✳✹ ❚❤❡ ❙♣❡❝tr❛❧ ❘❛❞✐✉s ✕ ■♥❞✐❝❛t♦r ♦❢ ❋❡❛s✐❜✐❧✐t② ❈♦♥s✐❞❡r ❛❣❛✐♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❙✉❜s❡❝✲ t✐♦♥ ✶✳✹✳✶✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

Ik (p) = [V p]k ✐s ❜❛s❡❞ V ✳ ■rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♠❡❛♥s

r❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①

♦♥ ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❛♥❞ ✐r✲ t❤❛t ❡❛❝❤ ✉s❡r ❞❡♣❡♥❞s ♦♥

t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡r ♦❢ ❛♥② ♦t❤❡r ✉s❡r✱ ❡✐t❤❡r ❞✐r❡❝t❧② ♦r ✐♥❞✐r❡❝t❧② ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✶ ❢♦r ❛ ❢♦r♠❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✮✳ ❚❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✐s ❢✉♥✲ ❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ❛t s❡✈❡r❛❧ ♣♦✐♥ts t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s ❜♦♦❦✳ ❆ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❡st✐♦♥ ✐s✱ ✉♥❞❡r ✇❤❛t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❛♥ ❝❡rt❛✐♥ ❙■❘ ✈❛❧✉❡s ❙■❘1 (p), . . . , ❙■❘Ku (p) ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❥♦✐♥t❧②❄ ❚❤✐s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❤♦✇ t❤❡ ✉s❡rs ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ ▲❡t ♦❢ ❛❧❧

Ku

γk

❜❡ t❤❡ t❛r❣❡t ❙■❘ ♦❢ ✉s❡r

k✳

❚❤❡ t❛r❣❡ts

t❛r❣❡ts ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ ❛ ✈❡❝t♦r u γ = [γ1 , γ2 , . . . , γKu ]T ∈ RK ++ .

■❢ ❛❧❧ ❙■❘ t❛r❣❡ts

γ

❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ t❤❡♥ ✇❡ s❛② t❤❛t

✭✶✳✶✾✮

γ

✐s

❢❡❛s✐❜❧❡✳

■t ✇❛s

❛❧r❡❛❞② ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ ❡❛r❧② ✇♦r❦ ❬✹✽✱ ✺✹❪ t❤❛t t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s

✶✷

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

ρV (γ) = ρ(Γ V ) ,

✇❤❡r❡ Γ = diag{γ} .

✭✶✳✷✵✮

■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐❝❡s✱ ρV ✐s ❛❧s♦ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t✳ ■❢ ρV (γ) ≤ 1✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❙■❘k (p) ≥ γk ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku ✳ ❚❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

S = {γ > 0 : ρV (γ) ≤ 1} .

✭✶✳✷✶✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ρV (γ) ✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢♦r t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❙■❘ ✈❡❝t♦r γ ✳ ■t ♣r♦✈✐❞❡s ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ s②st❡♠ ❧♦❛❞ ❝❛✉s❡❞ ❜② t❤❡ Ku ✉s❡rs✳ ■t ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ρV (γ) ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✭✶✳✷✶✮ ✐s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❞✐r❡❝t❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ρV (γ)✳ ❚❤✐s ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ❡①♣❧♦✐t❡❞ ✐♥ ❬✸✽❪✱ ✇❤❡r❡ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ ❛ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ s❝❛❧❡✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇❡r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸✾✕✹✶❪✳ ❚❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ S ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❬✺❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ρV (γ) ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❚❤❛t ✐s✱ ρV (exp q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ RKu ✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ γ = exp q ✳ ❚❤❡ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❛ s✉❜✲❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✭t❤✉s ❝♦♥✈❡①✮ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ ρV (exp q)✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡ ❧♦❣✲❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ) t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s✉❜s❡❝t✐♦♥✳ ✶✳✹✳✺ ▼✐♥✲▼❛① ❇❛❧❛♥❝✐♥❣ ❛♥❞ ❋❡❛s✐❜❧❡ ❙❡ts

❈♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IKu ✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st t♦ t❤❡ ♣r❡✲ ✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡ ✇❡ ♦♥❧② r❡q✉✐r❡ t❤❡ ❜❛s✐❝ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❲❡ ✇✐s❤ t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❡t❤❡r t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❙■❘k (p) ≥ γk ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku ✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② γk γk · Ik (p) max = max ≤1 k∈Ku ❙■❘k (p) k∈Ku pk ❚❤✉s✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ) ✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢♦r t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ γ ✳   γk · Ik (p) C(γ) = inf max . ✭✶✳✷✷✮ p>0 k∈Ku pk ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✭✐❢ ❡①✐st❡♥t✮ ♠❛①✐♠✐③❡s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❙■❘ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✷✮✳ ❙♦♠❡ ❙■❘ ✈❡❝t♦r γ > 0 ✐s ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ C(γ) ≤ 1✳ ■❢ C(γ) = 1 ❛♥❞ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✶✳✷✷✮ ✐s ♥♦t ❛tt❛✐♥❡❞✱ t❤❡♥ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t γ ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t t❤❛t ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧②✳ ❖✉r ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t②

✶✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s

✶✸

✐♥❝❧✉❞❡s t❤✐s ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❝❛s❡✱ ❜✉t ❢♦r ♠♦st ♣r❛❝t✐❝❛❧ s❝❡♥❛r✐♦s✱ ❵inf ✬ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❵min✬✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t

γ

✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛tt❛✐♥❡❞ ❜② s♦♠❡

p > 0✳

❚❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

S = {γ > 0 : C(γ) ≤ 1} .

✭✶✳✷✸✮

Ik (p) = [V p]k ❛s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s C(γ) ✐s s✐♠♣❧② t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ✭✶✳✷✵✮ ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞

■❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❧✐♥❡❛r✱ ✐✳❡✳✱ ❡①❛♠♣❧❡ ✭✶✳✶✵✮✱ t❤❡♥ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①

ΓV ✳

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❈♦❧❧❛t③✲❲✐❡❧❛♥❞t t②♣❡ ❝❤❛r✲

❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❬✺✺❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✺✻✕✺✽❪✮✳

 [Γ V p]k  = ρ(Γ V ) . C(γ) = inf max p>0 k∈Ku pk ❚❤❡ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥

C(γ)

✭✶✳✷✹✮

❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ■❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥

C(exp q)

C(γ)

✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

γ = exp q ✳ ❊✈❡r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡① ❬✷✸❪✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ❧♦❣✲❙■❘ r❡❣✐♦♥ {q ∈ RKu : C(exp q) ≤ 1}
✐s ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❛r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s γ(q) ✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✺❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✮✳ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛❢t❡r ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡

■♥ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❝❝✉r ♦♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❧❡✈❡❧s✳ ❚❤❡ ♣❤②s✲

✐❝❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ❜② ❢✉♥❝t✐♦♥

C(γ)

I1 , . . . , IKu ✳

❖♥ ❛ ❤✐❣❤❡r ❧❡✈❡❧✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ s②st❡♠ ❧♦❛❞✳ ❚❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡

r❡s✉❧t✐♥❣ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢

I1 , . . . , IKu ✳

C(γ)✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡

❚❤❡s❡ ❛s♣❡❝ts ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧ ✐♥ ❙❡❝✲

t✐♦♥ ✷✳✻✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✼ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t♦ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✳

✶✳✹✳✻ ❚r❛♥s♠✐t ❙tr❛t❡❣✐❡s ❛♥❞ ❉✉❛❧✐t②

❈♦♥s✐❞❡r ❛ s②st❡♠ ♦❢ Ku ✉s❡rs ✇✐t❤ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① G ∈ u ×Ku RK ✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t G ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs z = (z1 , . . . , zKu ) ✐♥ ❛ ❝♦❧✉♠♥✲ + ✇✐s❡ ❢❛s❤✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ k t❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ G ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ zk ∈ Zk ✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ [G(z)p]k ♦❢ ✉s❡r k ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛❧❧ ♣❛r❛♠❡✲ t❡rs z = (z1 , . . . , zKu )✳ ❚❤✐s ✐s t②♣✐❝❛❧ ❢♦r ✏tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s✑ t❤❛t ♦♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥❦s ❛t t❤❡ tr❛♥s♠✐tt❡r s✐❞❡ ✭❡✳❣✳ tr❛♥s♠✐t ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✮✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ r❡❢❡r t♦

zk

❛s ❛ tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣②✱ ✐♥ ❝♦♥tr❛st t♦ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②

❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✈❛❧✉❡s s✐♥❝❡ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡♠ ♥♦t ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥

z1 , . . . , zKu ✳

p✱

[G(z)p]k

❛r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❤❛♥❞❧❡

❜✉t ❛❧s♦ ♦♥ ❛❧❧ tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s

❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❛♥② tr❛♥s♠✐tt❡r ✐♥✢✉❡♥❝❡s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❡❝❡✐✈❡❞

❜② ❛❧❧ ♦t❤❡r ✉s❡rs✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ✇r✐t❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ s❡♣❛r❛t❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥❧② ♦♥

p✱

Ku

❛s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①✲

❛♠♣❧❡s✳ ❲❤❡♥ ♦♣t✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ s②st❡♠ ❥♦✐♥t❧② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦

p

❛♥❞

z✱

t❤❡♥ ❛

❥♦✐♥t ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s r❡q✉✐r❡❞✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❥♦✐♥t ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ s✉❜♦♣t✐♠❛❧ ❤❡✉r✐st✐❝s ✇❡r❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ❡❛r❧② ✇♦r❦ ❬✸✶✱ ✺✾❪✳

✶✹

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❋♦rt✉♥❛t❡❧②✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✐♠♣❧❡ ✇❛② ♦❢ ❣❡tt✐♥❣ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞

tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s✳ ❲❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ T

V (z) = G (z)

z1 , . . . , zKu ✳

G(z) ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t

❚❤❡ ❦❡② ✐❞❡❛ ✐s t♦ ♦♣t✐♠✐③❡ t❤❡ tr❛♥s♣♦s❡ s②st❡♠

✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s②st❡♠

G(z)✳

❙✐♠✐❧❛r t♦ ✭✶✳✾✮ ✇❡ ❞❡✜♥❡

V (z) = [v 1 (z1 ), . . . , v Ku (zKu )]T , ❚❤❡

k t❤

r♦✇ ♦❢ t❤✐s ✏✈✐rt✉❛❧✑ s②st❡♠

V (z)

♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r

zk ✳

❍❡♥❝❡✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ Ku ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✼✮✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡ q ∈ R+ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡

Ik (q) = min [V (z)q]k = min q T v k (zk ) , zk ∈Zk

❚❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡

Ku

zk ∈Zk

∀k ∈ Ku .

✭✶✳✷✺✮

q ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ♦❢ t❤❡ ✈✐rt✉❛❧ s②st❡♠✳ k t❤ r♦✇ ♦❢ V (z) ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r zk ✇❡ ♦❜t❛✐♥

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t

t♦ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs

zk ✳

❚❤❡ tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣②

z

❜❡❝♦♠❡s ❛ ✏✈✐rt✉❛❧ r❡❝❡✐✈❡

str❛t❡❣②✑✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈✐rt✉❛❧ s②st❡♠ t♦ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s②st❡♠

G(z)✳

V (z)

❧❡❛❞s

❲❤❡t❤❡r s✉❝❤ ❛ ✏❞✉❛❧✐t②✑ ❡①✐sts

❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❞✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ✐s t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❛✐♠ ✐s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ✇♦rst ❙■❘ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ✉s❡rs✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❞❡t❛✐❧ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ tr❛♥s♠✐t ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✽✱ ✺✾✱ ✻✵❪✳ ❚❤✐s ❞✉❛❧✐t② ❜❡t✇❡❡♥ tr❛♥s♣♦s❡ s②st❡♠s ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ ❬✻✶❪ ✐♥ ❛ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥t❡①t✳ ❉✉❛❧✐t② ✇❛s ❛❧s♦ ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ ❛❢♦r❡✲ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❬✻✷✱ ✻✸❪✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦✱ t❤❡ ♠❛tr✐①

V

❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s ❛ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ♣♦✐♥t✲t♦✲♠✉❧t✐♣♦✐♥t ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ tr❛♥s✲ V T ❤❛s ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛s ❛♥ ✉♣❧✐♥❦ ♠✉❧t✐♣♦✐♥t✲t♦✲♣♦✐♥t ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❚❤✉s✱

♣♦s❡

t❤❡ t❡r♠ ✏✉♣❧✐♥❦✲❞♦✇♥❧✐♥❦ ❞✉❛❧✐t②✑ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t♦ r❡❢❡r t♦ t❤✐s r❡❝✐♣r♦❝✐t② ❜❡t✇❡❡♥ ❜♦t❤ ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❊①❛♠♣❧❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ♠✉❧t✐✲❛♥t❡♥♥❛ s✐❣♥❛❧ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ✐♥❝❧✉❞❡ ❬✸✷✱ ✸✸✱ ✻✹✕✻✻❪✳ ❆ r❡❝❡♥t ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❧✐♥❡ ♦❢ ✇♦r❦ ✐s ❬✻✼❪✱ ✇❤❡r❡ ♣❡r✲❛♥t❡♥♥❛ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ✇❡r❡ st✉❞✐❡❞✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛❧s♦ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ✇✐t❤ t❤❡ ▼❆❈✴❇❈ ❞✉❛❧✐t② ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ❬✻✺✱ ✻✻✱ ✻✽✱ ✻✾❪✳

✶✳✹✳✼ ❘♦❜✉st ❉❡s✐❣♥s

▲✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✽✮ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r✲ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

v k (ck )✳

❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r

❢♦r s♦♠❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ ❛ ❝♦♠♣❛❝t ✉♥❝❡rt❛✐♥t② r❡❣✐♦♥

Ck ✳

ck

st❛♥❞s

❆ t②♣✐❝❛❧

s♦✉r❝❡ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛r❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦rs ♦r ♦t❤❡r s②st❡♠ ✐♠♣❡r❢❡❝✲ t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

Ik (p) = max pT v k (ck ) , ck ∈Ck

k ∈ Ku .

✭✶✳✷✻✮

✶✳✹ ❊①❛♠♣❧❡s ✕ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s

✶✺

P❡r❢♦r♠✐♥❣ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✷✻✮ ❣✉❛r❛♥t❡❡s ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ r♦❜✉st♥❡ss✳ ❘♦❜✉st ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✇❛s st✉❞✲ ✐❡❞✱ ❡✳❣✳✱ ✐♥ ❬✾✱ ✷✾✱ ✸✵✱ ✹✸❪✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❣❛✐♥ t❤❡ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ s❝❡♥❛r✐♦ ❞✐s✲ ❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ✐♠♣❡r❢❡❝t ❝❤❛♥♥❡❧ ❡st✐♠❛t✐♦♥✱ ˆ k + ∆k ✱ ✇❤❡r❡ R ˆk t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐❝❡s ❝❛♥ ❜❡ ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s Rk = R ✐s t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡✱ ❛♥❞ ∆k ∈ Zk ✐s t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r ❢r♦♠ ❛ ❝♦♠✲ ♣❛❝t ✉♥❝❡rt❛✐♥t② r❡❣✐♦♥ Zk ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ r♦❜✉st♥❡ss✱ t❤❡ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✇♦rst ❝❛s❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik (p) = max

∆k ∈Zk

P

l6=k

2 ˆ pl uH l (Rk + ∆k )ul + σn ˆ k + ∆k )uk uH ( R

✭✶✳✷✼✮

k

❖t❤❡r t②♣❡s ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t✐❡s✱ ❧✐❦❡ ♥♦✐s❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛r❡ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❡①t❡♥✲ s✐♦♥s ♦❢ t❤✐s ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❡①❛♠♣❧❡s ✭✶✳✷✻✮ ❛♥❞ ✭✶✳✷✼✮ ❛r❡ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❊✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✭✶✳✷✻✮ ❛♥❞ ✭✶✳✷✼✮ ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s✱ t❤❡② ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛❢t❡r ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ■♥ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦ ❬✼✵✱ ✼✶❪✱ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠❡rs u1 , . . . , uKu ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ik (p) = min

kul k=1



max

∆k ∈Zk

P

l6=k

2 ˆ pl uH l (Rk + ∆k )ul + σn ˆ k + ∆k )uk uH ( R k



✭✶✳✷✽✮

❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✶✳✷✽✮ ✐s ♥❡✐t❤❡r ❝♦♥✈❡① ♥♦r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❜✉t ✐t ❛❧s♦ ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❜❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ✶✳✹✳✽ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❖t❤❡r ❈♦♥t❡①ts

❚❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❧✐st ♦❢ ❡①❛♠♣❧❡s ✐s ❜② ♥♦ ♠❡❛♥s ❡①❤❛✉st✐✈❡✳ ■t s❤♦✇s t❤❛t ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ♦❢t❡♥ ♥♦♥❧✐♥❡❛r✱ ❛♥❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥t❡①ts✱ ♥♦t ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛ ❣❡♥❡r✐❝ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ Iw,α (p) =

X

k∈K

wk · (pk )α

1/α

✭✶✳✷✾✮

✇❤❡r❡ α > 0 ❛♥❞ wk > 0✱ ∀k ∈ K✳ ❋♦r wk = 1✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ♣✲♥♦r♠ ♦♥ RK ✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✶✳✷✾✮ ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ ❛♥❞ t❤✉s ❢❛❧❧s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆♥♦t❤❡r ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ✉t✐❧✐t② Usum (w) = max u∈U

X

k∈K

wk uk ,

✭✶✳✸✵✮

✶✻

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✇❤❡r❡ w ∈ RK + ✱ ✇✐t❤ kwk1 = 1✱ ❛r❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❛❝t♦rs ❛♥❞ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ✈❡❝t♦r u ✐s ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ ❛ ❝♦♠♣❛❝t s❡t U ⊂ RK ++ ✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ ❛ t✐♠❡✲s❝❤❡❞✉❧❡❞ s②st❡♠ uk ❝♦✉❧❞ st❛♥❞ ❢♦r ❛ ✉s❡r r❛t❡ ❛♥❞ wk ❝♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ q✉❡✉❡ ❜❛❝❦❧♦❣✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Usum (w) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ✐t ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛❢t❡r ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✭s❡❡ ❙❡❝✲ t✐♦♥ ✶✳✸✳✷✮✳ ▼♦r❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s ❜♦♦❦✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝❧♦s❡❧② t✐❡❞ t♦ t❤❡ ❛♥❛❧✲ ②s✐s ♦❢ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡ts ✭s❡❡ ❡✳❣✳ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✮✳ ❚❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ s❡ts ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✉s✱ ♣❛rts ♦❢ t❤❡ ❜♦♦❦ ❛r❡ ❞❡✈♦t❡❞ t♦ ❛ ❞❡t❛✐❧❡❞ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡ts✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ✐s ✈❡r② ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✼✷❪✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♣♦s✐t✐✈❡❧② ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s t❤❡♦r② ❤❛s ❜❡❡♥ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ st✉❞② ♦❢ ♠♦❞❡❧s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❊❝♦♥♦♠✐❝s ❬✼✸❪✳ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❛♥❞ s✐♠✐❧✐❛r✐t✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ ❜♦t❤ t❤❡♦r✐❡s ❤❛✈❡ ♥♦t ②❡t ❜❡❡♥ ❢✉❧❧② ❡①♣❧♦r❡❞✳

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❈♦♥s✐❞❡r ❛ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② K ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 (r), I2 (r), . . . , IK (r),

✇❤✐❝❤ ❛❧❧ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ r❡s♦✉r❝❡ ✈❡❝t♦r r ∈ RK + ✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦st ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♦♥❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✭s❡❡ ♣✳ ✹ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✮✳ ❚❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✐s t②♣✐❝❛❧❧② ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✈❛❧✉❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ r❡s♦✉r❝❡ ✈❡❝t♦r r ✳ ❙♣❡❝✐✜❝ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❡r❡ ❛❧r❡❛❞② ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ❛ s②st❡♠ ✐s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♠✉t✉❛❧❧② ❝♦✉♣❧❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✈❛❧✉❡ Ik (r) ♦❢ s♦♠❡ ✉s❡r k ❝❛♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♦t❤❡r ✉s❡rs✬ r❡s♦✉r❝❡s rl ✱ l 6= k ✳ ❚❤❡ ✉s❡rs ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② s❤❛r✐♥❣ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❜✉❞❣❡t✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ❥♦✐♥t ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛t ❛r❡ ♦❢t❡♥ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❤❛♥❞❧❡✳ ■t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❤❛✈❡ ❛ t❤♦r♦✉❣❤ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✱ ❛♥❞ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛t r❡s✉❧t ❢r♦♠ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ❞✐s❝✉ss s♦♠❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲ ❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✱ ❛♥❞ ✇❡ s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❡①✐st✐♥❣ ✇♦r❦ ✐♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r②✳ ■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✱ ❨❛t❡s ❬✶❪ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❛①✲ ✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs✳ ❚❤❡ t❤❡♦r② ✇❛s ❢✉rt❤❡r ❛♥❛❧②③❡❞ ❛♥❞ ❡①t❡♥❞❡❞ ✐♥ ❬✶✶✱ ✸✹✱ ✼✹✱ ✼✺❪✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹ t❤❛t t❤❡ ❛①✲ ✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✇✐t❤ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✇❛② ♦❢ ♠♦❞❡❧✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❍❡♥❝❡✱ st❛♥✲ ❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✱ ❛♥❞ ♠♦st r❡s✉❧ts ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ t❤✐s ❜♦♦❦ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② tr❛♥s❢❡r t♦ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

M. Schubert, H. Boche, Interference Calculus, Foundations in Signal Processing, Communications and Networking 7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

✶✽

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✷✳✶ ❈♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜❡✐♥❣ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛s ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♦t❤❡r ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❖t❤❡r ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ❡①✐st✳ ❈♦♥s✐❞❡r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✱ ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ t❤❡♥ t❤❡s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s✳ • ❚❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛❣❛✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✭✷✳✶✮

I(r) = max Ik (r) . k∈K

❚❤✐s r❡♠❛✐♥s ✈❛❧✐❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠✳

• ❆♥② ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥✳ X I(r) = αk Ik (r) ✇❤❡r❡ αk ∈ R+ . ✭✷✳✷✮ k∈K

• ▲❡t I˜ ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♦t❤❡r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✱ t❤❡♥ ˜ 1 (r), I2 (r), . . . , IK (r)) I(r) = I(I

✭✷✳✸✮

✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋♦r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❤♦❧❞✿ • ❚❤❡ s✉♠ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

❢✉♥❝t✐♦♥✳

• ▲❡t I (1) ❛♥❞ I (2) ❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡♥
1−α
α I(r) = I (1) (r) · I (2) (r) ,

0≤α≤1,

✐s ❛❧s♦ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

• ▲❡t I (n) (r) ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥✲ ˆ ✈❡r❣❡s t♦ ❛ ❧✐♠✐t limn→∞ I (n) (r) = I(r) > 0 ❢♦r ❛❧❧ r > 0✱ t❤❡♥ Iˆ ✐s ❛❧s♦

❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✷✳✷ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❈♦✉♣❧✐♥❣

■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✇❛s ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❢♦r t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❋♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✉s❡rs ✐s ❝❤❛r❛❝✲ t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❦ ❣❛✐♥ ♠❛tr✐① V ≥ 0✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✳✾✮✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✹✺❪ ❛♥❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❞♦❡s ♥♦t ✐♥❝❧✉❞❡ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①✳ ■t ✐s ❛ ♣r✐♦r✐ ♥♦t ❝❧❡❛r ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞

✷✳✷ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❈♦✉♣❧✐♥❣

✶✾

♦r ♥♦t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ r❡♠♦✈❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s✱ ♦r ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❛✈♦✐❞❡❞ ❜② ❛❧❧♦❝❛t✐♥❣ ✉s❡rs t♦ ❞✐✛❡r❡♥t r❡s♦✉r❝❡s✳ ■t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❛② ♦❢ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❛t✐s❢②✐♥❣ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✏✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✑ ❞❡✜♥❡s ✇❤❡t❤❡r ❛ ✉s❡r ❝❛✉s❡s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ❛♥♦t❤❡r ✉s❡r ♦r ♥♦t✳

✷✳✷✳✶ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❈♦✉♣❧✐♥❣ ▼❛tr✐① r✱

■♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢

t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞

❜② ❛♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡

el ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❛❧❧✲③❡r♦

✈❡❝t♦r ✇✐t❤ t❤❡ l ✲t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t s❡t t♦ ♦♥❡✳

( 1 n=l [el ]n = 0 n= 6 l.

✭✷✳✹✮

❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡♠♠❛ ✷✳✶✳ ❆ss✉♠❡ +∞✱

t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

rˆ > 0

s✉❝❤ t❤❛t

t❤❡♥

lim Ik (r + δel ) = +∞

δ→∞ Pr♦♦❢✳ ▲❡t

r>0

❢♦r ❛❧❧

❜❡ ❛r❜✐tr❛r②✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

limδ→∞ Ik (ˆ r + δel ) =

r > 0✳

λ>0

s✉❝❤ t❤❛t

❆✸ ✐♠♣❧✐❡s

lim Ik (λr + δel ) ≥ lim Ik (ˆ r + δel ) = +∞ .

δ→∞

✭✷✳✺✮

δ→∞

λr ≥ rˆ✳

❚❤✉s✱ ✭✷✳✻✮

δ ❲✐t❤ ❆✷ ✇❡ ❤❛✈❡ Ik (λr + δel ) = λIk (r + el )✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s limδ→∞ Ik (r + λ δ e ) = +∞✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✭✷✳✺✮ ❢♦❧❧♦✇s✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ik ✐s ✉♥✲ λ l ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✭❛①✐♦♠ ❆✸✮✱ t❤✉s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐ts

⊔ ⊓

✐s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞✳

❋♦r ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❛t✐s❢②✐♥❣ ❆✶✲❆✸✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✷✳✺✮ ❢♦r✲ ♠❛❧✐③❡s t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✏✉s❡r

l

❝❛✉s✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ✉s❡r

k ✑✳

❚❤✐s ❡♥❛❜❧❡s ✉s

t♦ ❞❡✜♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❛ ♠❛tr✐①✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳ ❚❤❡

❛s②♠♣t♦t✐❝ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✐s

[AI ]kl =

 1

 0

r > 0 s✉❝❤ t❤❛t limδ→∞ Ik (r + δel ) = +∞✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

✭✷✳✼✮

♦t❤❡r✇✐s❡✳

AI ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ✇❛② ✉s❡rs ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ 1✲❡♥tr✐❡s ✐♥ t❤❡ k t❤ r♦✇ ♦❢ AI ♠❛r❦ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦♥ ✇❤✐❝❤ Ik ❞❡♣❡♥❞s✳ ◆♦t✐❝❡ t❤❛t ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐♥ ✭✷✳✼✮ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ r ✳ ❚❤❛t ✐s✱ AI ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❚❤❡ ♠❛tr✐①

❚❤❡

❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢✉❧✜❧❧✐♥❣

✷✵

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐①

AI

❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❦ ❣❛✐♥

♠❛tr✐① ✭✶✳✾✮ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ✐♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r②✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱

1 ⇔ [V ]kl > 0 ❛♥❞ [AI ]kl = 0 ⇔ [V ]kl = 0✳ ❲✐t❤ AI ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ❛s

[AI ]kl =

❢♦❧❧♦✇s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✸ ✭❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t✮✳ ❚❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ♦❢ tr❛♥s♠✐tt❡rs ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✉s❡r k ❞❡♣❡♥❞s✱ ✐✳❡✳✱

s❡t

L(k) ✐s t❤❡ ✐♥❞❡①

L(k) = {l ∈ K : [AI ]kl = 1} .

✭✷✳✽✮

❚❤❡ s❡t ✐s ❛❧✇❛②s ♥♦♥✲❡♠♣t② ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ r✉❧❡❞ ♦✉t t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡

I(r) = 0✱ ∀r ✱

✐♥ ♦✉r ❛①✐♦♠❛t✐❝ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✮✳ ❆①✐♦♠

❆✶ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❡❛❝❤ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ tr❛♥s♠✐t✲ t❡r✱ ✐✳❡✳ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ✐♥ ❡❛❝❤ r♦✇ ♦❢

AI ✳

❋♦r s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧ts ✇❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❛❞❞✐✲

t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦❧✉♠♥ ❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♠♣t② ♦✛ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤✐s r❛t❤❡r ♥❛t✉r❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♠❡❛♥s t❤❛t ❡✈❡r② ✉s❡r ❝❛✉s❡s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦t❤❡r ✉s❡r✳

✷✳✷✳✷ ❚❤❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝② ▼❛tr✐① ❚❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①

AI

✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❛② ♦❢ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ ✐♥t❡r✲

❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✳ ■t ✐s ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ t♦ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥♦t❤❡r ❝♦♥❝❡♣t✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡

tr✐① DI ✳ ■t ✇✐❧❧ t✉r♥ ♦✉t ✭❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✻✮ t❤❛t DI = AI

❣❧♦❜❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛✲

❢♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢

❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ ❛ ❧♦❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② t❤❛t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢

r✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✹✳ ❋♦r ❛♥② r ≥ 0✱ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① DI (r) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

 1     

✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ δl (r) > 0 s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ fl (δ, r) = Ik (r − δel ) [DI (r)]kl = ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❢♦r   0 ≤ δ ≤ δl (r)✳    0 ♦t❤❡r✇✐s❡✳

✭✷✳✾✮

❚❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇❡❛❦❡♥❡❞✳ ■♥st❡❛❞ ♦❢ r❡q✉✐r✐♥❣ t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ❢♦r ❛ s♣❡❝✐✜❝

r

r✱

✇❡ ♥❡①t ❞❡✜♥❡ t❤❡ s②st❡♠ ❛s ✏❝♦✉♣❧❡❞✑ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r②

s✉❝❤ t❤❛t

[DI (r)]kl = 1✳

❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛

❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐①✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ r✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✺✳ ❚❤❡  1   

❣❧♦❜❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐①

❣❧♦❜❛❧

DI ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r > 0 s✉❝❤ t❤❛t Ik (r + δel ) ✐s ♥♦t ❝♦♥st❛♥t ❢♦r s♦♠❡ [D I ]kl = ✈❛❧✉❡s δ > 0✱    0 ♦t❤❡r✇✐s❡✳

✭✷✳✶✵✮

✷✳✸ ❙tr✐❝t ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✷✶

▲❛t❡r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ DI ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♥❛❧②③❡ ❤♦✇ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❛✛❡❝ts t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❝♦♥♥❡❝ts AI ❛♥❞ D I ❢♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❊✈✐❞❡♥t❧②✱ [AI ]kl = 1 ✐♠♣❧✐❡s [D I ]kl = 1✱ ❜✉t t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t tr✉❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❜♦t❤ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥❞❡❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✻✳ ▲❡t I1 , . . . , IK

❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✱ ✐✳❡✳✱ AI = D I ✳

Pr♦♦❢✳

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾

⊔ ⊓

✷✳✸ ❙tr✐❝t ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ik (r) ✇✐t❤ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t L(k)✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛❧❧ rl ✇✐t❤ l ∈ L(k)✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♠❡❛♥ t❤❛t Ik (r) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥ t❤❡s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❙tr✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦♥ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ✐s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt②✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦❢t❡♥ ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❡♥s✉r❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ❝❡rt❛✐♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✼ ✭str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮✳ Ik (r) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡

L(k)✮ ✐❢ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② r (1) ✱ r (2) ✱ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② r(1) ≥ ❢♦r s♦♠❡ l ∈ L(k)✱ ✐♠♣❧✐❡s Ik (r(1) ) > Ik (r (2) )✳

✭♦♥ ✐ts ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t (1)

r(2) ✱ ✇✐t❤ rl

(2)

> rl

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ Ik (r) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♣♦✇❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❙tr✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♣❧❛②s ❛ ❝❡♥tr❛❧ r♦❧❡ ✐♥ t❤✐s ❜♦♦❦✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❢♦r t❤❡ r❡s✉❧t ♦♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✳ ❲❤❡♥❡✈❡r ✇❡ ❛❞❞r❡ss t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❙■◆❘ ♦♣t✐♠✐❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ I(p) t❤❛t ✐s ❜❛s❡❞ u +1 ♦♥ ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p ∈ RK ✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ❣✐✈❡♥ ✐♥ + ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✶✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t pKu +1 st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❡q✉❛❧ ❢♦r ❛❧❧ ✉s❡rs✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹ t❤❛t str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ pKu +1 ②✐❡❧❞s ❛ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❨❛t❡s✬ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❬✶❪✳ ❚❤✐s ✇❛②✱ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥❞❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✽ ✭str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②✮✳

❆ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

Ik ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ pˆ✱ pˇ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ✐s s♦♠❡ l ∈ L(k) ✇✐t❤ pˆl 6= pˇl ✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s✳

1−λ
λ Ik p(λ) < Ik (ˆ p) · Ik (ˇ p) , λ ∈ (0, 1) ✭✷✳✶✶✮

✇❤❡r❡

p(λ) = pˆ1−λ · pˇλ ✳

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐♠♣❧✐❡s str✐❝t ♠♦♥♦✲ t♦♥✐❝✐t②✳

✷✷

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❊✈❡r② str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ik ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♥ ✐ts ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✼✮✳ ▲❡♠♠❛ ✷✳✾✳

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ ✈❡❝t♦r p ∈ RK ++ ✱ ❛♥❞ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② l ∈ L(k)✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ p(l) (x) = p + xel , x > 0 ✭✷✳✶✷✮ ❛♥❞

λ ∈ (0, 1) .

✭✷✳✶✸✮

Ik (p(λ)) < (Ik (p))1−λ · (Ik (p(l) (x)))λ .

✭✷✳✶✹✮

p(λ) = (p)1−λ · (p(l) (x))λ ,

❙✐♥❝❡ l ∈ L(k)✱ str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✷✳✶✸✮ ✇❡ ❤❛✈❡

pv (λ) = pv ❢♦r ❛❧❧ v 6= l .

✭✷✳✶✺✮

pl (λ) = (pl )1−λ · (pl + x)λ > pl .

✭✷✳✶✻✮

❆❧s♦✱ x > 0 ✐♠♣❧✐❡s

❲✐t❤ ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t p ≤ p(λ) ✐♠♣❧✐❡s Ik (p) ≤ Ik (p(λ))✳ ❲✐t❤ ✭✷✳✶✹✮ ✇❡ ❤❛✈❡ Ik (p) < (Ik (p))1−λ · (Ik (p(l) (x)))λ ,

t❤✉s

✭✷✳✶✼✮

(Ik (p))λ < (Ik (p(l) (x)))λ ,

✇❤✐❝❤ s❤♦✇s str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✳

⊔ ⊓

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✷✳✾ ✐s ♥♦t tr✉❡✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠✲ ♣❧❡ s❤♦✇s ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t str✐❝t❧② ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❛t ✐s✱ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✐s ✇❡❛❦❡r t❤❛♥ str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②✳

❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✶✵✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) = C ·

Y

k∈K

(pk )wk ,

✇✐t❤

X l∈K

wl = 1 ❛♥❞ min wl > 0. l∈K

✭✷✳✶✽✮

❯s✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❛s ✐♥ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✽ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p(λ)) = I(p) ˆ 1−λ · λ I(p) ˇ ✳ ❚❤✉s✱ ✭✷✳✶✽✮ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❜✉t ♥♦t str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✭✷✳✶✽✮ ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✳

✷✳✹ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ P♦✇❡r ❈♦♥tr♦❧

✷✸

✷✳✹ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ P♦✇❡r ❈♦♥tr♦❧

❆ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❣♦❛❧ ♦❢ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐s t❤❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ Ku tr❛♥s♠✐t ♣♦✇❡rs u p ∈ RK ++ t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❛ ❣♦♦❞ s②st❡♠ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✳ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s ❛r❡ ♠♦st❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❙■❘ ♦r t❤❡ ❙■◆❘✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r ♥♦✐s❡ ✐s ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦r ♥♦t✳ ●♦♦❞ ♦✈❡r✈✐❡✇s ♦♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬✹✺✱ ✹✻❪✳ P♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦✐s❡ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ✐s ❛♥ ✐♠♣♦r✲ t❛♥t s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✶✳✶✶✮ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✶ ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ t❤❛t s❤♦✇s ❤♦✇ ♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r u +1 . p = [p1 , . . . , pKu , σn2 ]T ∈ RK +

✭✷✳✶✾✮

❲❤✐❧❡ t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ ♥♦✐s❡ ✐s ❡❛s② t♦ ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✐t ✐s ❧❡ss ♦❜✈✐♦✉s ❢♦r t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ ♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❚❤✐s ✐s ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛♣♣♣❡❛r❡❞ ✐♥ ❬✶✶❪✳

✷✳✹✳✶ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❨❛t❡s ❬✶❪ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛♥ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✶✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ J

u : RK + 7→ R++ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r✲

❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠s ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✿

u ❨✶ ✭♣♦s✐t✐✈✐t②✮ J (p) > 0 ❢♦r ❛❧❧ p ∈ RK + ❨✷ ✭s❝❛❧❛❜✐❧✐t②✮ αJ (p) > J (αp) ❢♦r ❛❧❧ α > 1 ❨✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ J (p) ≥ J (p′ ) ✐❢ p ≥ p′ ✳

❆ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✳✶✷✮✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s J (p) = v Tk p + σn2 ✳ ❖t❤❡r ❡①✲ ❛♠♣❧❡s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❬✷✱ ✷✻✱ ✷✼✱ ✸✶✕✸✸❪✱ ❈❉▼❆ ❬✸✹✱ ✸✺❪✱ ❜❛s❡ st❛t✐♦♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ❬✸✻✱ ✸✼❪✱ r♦❜✉st ❞❡s✐❣♥s ❬✷✾✱ ✸✵❪✱ ❛♥❞ ♦t❤❡r ❛r❡❛s ❬✼✱ ✼✻✕✼✾❪✳ ■♥ ❬✶❪ ❛♥❞ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❛❞❞r❡ss❡❞✳ X pk ≥ γk , ∀k ∈ Ku . ✭✷✳✷✵✮ min pl s✳t✳ p≥0 Jk (p) l∈Ku

❚❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ s✉♠ ♦❢ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ✇❤✐❧❡ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❙■◆❘ t❛r❣❡ts γ1 , . . . , γKu ✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❞❡t❛✐❧ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✽✳ ■❢ t❤❡s❡ t❛r❣❡ts ❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡r❣❡s ❣❧♦❜❛❧❧② t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✷✵✮✳ (n+1)

pk

= γk Jk (p(n) ) ,

∀k ∈ Ku ,

u p(0) ∈ RK +

✭✷✳✷✶✮

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤✐s ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❡r❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ ✐♥ ❬✶✱ ✼✱ ✼✹✱ ✼✺❪✳ ■❢ ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ s♦❧✉✲ t✐♦♥ ❡①✐sts✱ t❤❡♥ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❨✶✕❨✸ ❡♥s✉r❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❢♦r ❛♥② ✐♥✐t✐❛❧✲ ✐③❛t✐♦♥ p(0) ✳

✷✹

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✷✳✹✳✷ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✶❪ t❤❛t st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ✭✷✳✶✾✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t I(p) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦✐s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t pKu +1 ✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✷ ✭❙tr✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✇✳r✳t✳ ♥♦✐s❡✮✳ ❆♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ pKu +1 > 0✱ ✐❢ ❢♦r ❛r❜✐r❛r② ❣✐✈❡♥ ✈❡❝t♦rs p ❛♥❞ p′ ✱ ✇✐t❤ p ≥ p′ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ pK

u +1

> p′K

u +1

⇒

✭✷✳✷✷✮

I(p) > I(p′ ) .

❲❤❡♥ ❝♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✭❝❢✳ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✮ ✇✐t❤ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❨✶✱ ❨✷✱ ❨✸✱ ✐t ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ♦♥❧② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s ❜❡✲ t✇❡❡♥ ❆✷ ✭s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✮ ❛♥❞ ❨✷ ✭s❝❛❧❛❜✐❧✐t②✮✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ ❛ ❧✐♥❦ ❜❡t✇❡❡♥ ❜♦t❤ ❢r❛♠❡✇♦r❦s✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✳ u ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✸✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ J : RK + 7→ R++ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠ ❨✷✬ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❨✶ ✭♣♦s✐t✐✈✐t②✮ ❛♥❞ ❨✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮✳ ❨✷✬ ✭✇❡❛❦ s❝❛❧❛❜✐❧✐t②✮ αJ (p) ≥ J (αp) ❢♦r ❛❧❧ α ≥ 1 ✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s ❤♦✇ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I ❛♥❞ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s J ❛r❡ r❡❧❛t❡❞✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ♣♦✇❡r s❡t n o  p  u ✭✷✳✷✸✮ P = p = pKu +1 : p ∈ RK + , pKu +1 ∈ R++ .

■♥ ❛ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥t❡①t✱ p ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ❛♥❞ pKu +1 ✐s t❤❡ ♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r✳ ❋♦r ♥♦t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ I(p) = I(p, pKu +1 )✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❬✶✶❪ s❤♦✇s t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ st❛♥✲ ❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ u ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹✳ ✶✮ ▲❡t J : RK + 7→ R++ ❜❡ ❛ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ (p) := IJ (p, pK

u

) = pK +1

u

·J +1



p1 p

Ku +1

,..., p

Ku +1

✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ P ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ J (p) = IJ (p, 1)

pKu

❢♦r ❛❧❧ p ≥ 0 .



✭✷✳✷✹✮ ✭✷✳✷✺✮

u +1 ✷✮ ▲❡t I : RK 7→ R+ ❜❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ + pK +1 > 0✱ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ u

JI (p) := I(p1 , . . . , pKu , pK

u +1

u ✐s ❛ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ RK ++ ✳

)

✭✷✳✷✻✮

✷✳✹ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ P♦✇❡r ❈♦♥tr♦❧

✷✺

✸✮ ▲❡t IJ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ ✭✷✳✷✹✮✳ ❚❤❡♥ J ✐s ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ u ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ IJ ❢✉❧✜❧❧s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ p ∈ RK + ✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ (p, pK +1 ) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✷✳ u Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ♣r♦✈✐♥❣ ✶✮✳ ❆①✐♦♠ ❆✶ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ IJ (p) > 0 ❢♦r ❛❧❧ p ∈ P ✳ ❆①✐♦♠ ❆✷ ✭s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ❢♦r ❛❧❧ λ > 0 IJ (λp) = λ · pKu +1 · J



λp λp1 , . . . , λpKKu+1 λpKu +1 u



= λIJ (p) .

■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦rs p(1) , p(2)∈ ˜ = p(1) /p(2) ≥ 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ P s✉❝❤ t❤❛t p(1) ≥ p(2) ✳ ❲✐t❤ λ Ku +1 Ku +1 

(2)

IJ (p(2) ) = pKu +1 · J

(2) p1 (2) pKu +1

 (2) ˜ = pKu +1 · J λ  (2) ˜ ≤ pKu +1 · J λ (2) ˜·J ≤ pKu +1 · λ



(1)

= pKu +1 · J

,...,

(2) p1 (1) pKu +1 (1)

p1

(1)

pKu +1



˜ ,...,λ ˜ ,...,λ

(1) p1 (1) pKu +1

(1) p1 (1) pKu +1

(2) pKu (2) pKu +1

,...,

,...,



(2) pKu (1) pKu +1 (1)

pKu (1)

pKu +1 (1) pKu (1) pKu +1

(1) pKu (1) pKu +1



 



✭✷✳✷✼✮

= IJ (p(1) ) .

❚❤❡ ✜rst ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ Y 3 ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢r♦♠ Y 2′ ✭✇❡❛❦ s❝❛❧❛❜✐❧✐t②✮✳ ❲❡ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ ✷✮✳ ❆①✐♦♠ ❨✸ ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ ❆✸✳ ❆①✐♦♠ ❨✶ ❤♦❧❞s ♦♥ u RK ++ ❜❡❝❛✉s❡ I(p) > 0 ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❆✶✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪✳ ❆①✐♦♠ ❨✷✬ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ J (αp) = I(αp, pK

u +1

≤ I(αp, αpK

)

u +1

) = αI(p, pK

u +1

) = αJ (p) .

◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ str✐❝t ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❞✐❞ ♥♦t ♠❛❞❡ ❛♥② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r I ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ pKu +1 ♦r ♥♦t✳ ❲❡ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ ✸✮✳ ▲❡t J ❜❡ st❛♥❞❛r❞✳ ❋r♦♠ ✶✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t IJ (p) ❢✉❧✜❧❧s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② p(1) , p(2) ∈ P ✱ (2) ✇✐t❤ p(1) = p(2) ❛♥❞ λ˜ = p(1) Ku +1 /pKu +1 > 1 t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✷✳✷✼✮ ✐s str✐❝t✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❨✷ ✭✇❤✐❝❤ ❤♦❧❞s ❢♦r α > 1 ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t②✮✳ ❚❤✉s✱ IJ (p) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t pKu +1 ✳ ❈♦♥✲ ✈❡rs❡❧②✱ ❧❡t IJ ❜❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡♥✱ J (λp) = IJ (λp, 1) = λI(p, λ1 ) < λIJ (p, 1) = λJ (p)

✭✷✳✷✽✮

✷✻

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❢♦r ❛❧❧ α > 0✱ t❤✉s ❨✷ ❤♦❧❞s✳ Pr♦♣❡rt② ❨✸ ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ ❆✸✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ s❤♦✇ ❨✶ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p ∈ P s✉❝❤ t❤❛t J (p) = 0✳ ❙tr✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ I ✐♠♣❧✐❡s 0 = J (p) = I(p) > I(αp) = αI(p),

0 0 s✉❝❤ t❤❛t I(p) > 0✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ I(p) > 0 ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ■t ✐s ❛❝t✉❛❧❧② s✉✣❝✐❡♥t t❤❛t t❤❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ♣♦s✐t✐✈❡✱ ✐✳❡✳✱ pKu +1 > 0✳ ❆ss✉♠❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ≥ 0 ✇✐t❤ pKu +1 > 0✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✿ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t I(p) = 0✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② α ✇✐t❤ 0 < α < 1✱ 0 = I(p) > I(αp) = αI(p) .

❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ 0 = limα→0 αI(p) < 0✳ ❍❡♥❝❡✱ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ♥♦✐s❡ pKu +1 > 0 ❡♥s✉r❡s t❤❛t I(p) > 0 ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② p ≥ 0✳ ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹ t❤❡ r❡s✉❧t ❝❛rr✐❡s ♦✈❡r t♦ ❛r❜✐tr❛r② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ♣r♦♦❢ ❡①t❡♥❞s t♦ ❛r❜✐tr❛r② str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✸✳ ❙tr✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✇❤❡♥❡✈❡r pk > 0✱ ✇❤❡r❡ pk ✐s t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ✐♥ ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✇❛②✳ ✷✳✺ ❈♦♥t✐♥✉✐t②

❈♦♥t✐♥✉✐t② ✐s ❛♥♦t❤❡r ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s ❜♦♦❦✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪✳

✷✳✺ ❈♦♥t✐♥✉✐t②

✷✼

❆❧❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I(r) s❛t✐s❢②✐♥❣ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛r❡ ❝♦♥✲ ∗ K t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ∈ R++ ✱ ❛♥❞ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡✲ (n) q✉❡♥❝❡ p(n) ∈ RK = p∗ ✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤♦❧❞s✳ ++ s✉❝❤ t❤❛t limn→∞ p ▲❡♠♠❛ ✷✳✶✺✳

lim I(p(n) ) = I(p∗ ) .

n→∞

✭✷✳✷✾✮

▲❡♠♠❛ ✷✳✶✺ s❤♦✇s ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦♥❧② ♦♥ ❛ r❡str✐❝t❡❞ ❞♦♠❛✐♥ RK ++ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ❡①❝❧✉❞❡ t❤❡ ③❡r♦s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ s❡t✳ ■♥ ♠❛♥② ❝❛s❡s✱ t❤✐s ✐s s✉✣❝✐❡♥t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❤❡♥ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♥❡r❛❧ s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❛t✐♦s pk /Ik (p)✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❛✈♦✐❞ ♣♦ss✐❜❧❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s✳ ❇② r❡str✐❝t✐♥❣ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ t♦ RK ++ ✱ ✇❡ ❡♥s✉r❡ t❤❛t Ik (p) > 0✳ ❚❤✐s t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s t❤❡ ♣r✐❝❡ ✇❡ ♣❛② ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s ✭✶✳✷✷✮✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s t❛❦❡♥ ♦✈❡r ❛❧❧ p > 0✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK + ✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ pk = 0 ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ✉s❡r k ❜❡✐♥❣ ✐♥❛❝t✐✈❡✳ ❚❤❡ ❛❜✐❧✐t② t♦ ♠♦❞❡❧ ✐♥❛❝t✐✈❡ ✉s❡rs ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r❡r❡q✉✐s✐t❡ ❢♦r ♠❛♥② r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❡①t❡♥❞ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts t♦ RK + ✳ ❚❤✐s ♠♦t✐✈❛t❡s t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✉❜s❡❝t✐♦♥✳ RK +✳

✷✳✺✳✶ ❈♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❇♦✉♥❞❛r②

❈❡rt❛✐♥ ❦❡② ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❬✶✶❪✳ (n) ❆ss✉♠❡ t❤❛t I(p) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ∈ RK ++ ✳ ▲❡t p ++ ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② (n) K s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤ ❧✐♠✐t limn→∞ p = p ∈ R+ ✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ❤❛s ❛ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ I c ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK +✳ I c (p) = lim I(p(n) ) . n→∞

✭✷✳✸✵✮

❈❡rt❛✐♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ I ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ✇❤❡♥ ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s pk t❡♥❞ t♦ ③❡r♦✳ ❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s q✉✐t❡ ✉s❡❢✉❧ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ♠❡❛♥s t❤❛t ❝❡rt❛✐♥ r❡s✉❧ts s❤♦✇♥ K ❢♦r RK ++ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❡①t❡♥❞ t♦ R+ ✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ st❛t❡s t❤❛t ❢♦r ❛♥② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡ ♣r♦♣✲ ❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳

▲❡t I ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ++ ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ I c (p) ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ + ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✻✳

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❧❡♠♠❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✽✳ ❆①✐♦♠ ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✲ ✐t②✮ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✼✳ ❆①✐♦♠ ❆✷ ✭s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✮ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✹✳ ❆①✐♦♠ ❆✶ ✐s ❛❧s♦ ❢✉❧✜❧❧❡❞ s✐♥❝❡ I(p) = I c (p) ❢♦r ❛❧❧ p ∈ RK ⊓ ++ ✳ ⊔ ❲❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤✐s ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ t♦ ❡①t❡♥❞ r❡s✉❧ts t❤❛t ✇❡r❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② s❤♦✇♥ K ❢♦r RK ++ t♦ t❤❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❞♦♠❛✐♥ R+ ✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r ▲❡♠♠❛ ✷✳✶✺✱ K ✇❤✐❝❤ st❛t❡s ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦♥ R++ ✳ ❚❤✐s ✐s ♥♦✇ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ RK + ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✳ ▼♦r❡ ❡①❛♠♣❧❡s ✇✐❧❧ ❢♦❧❧♦✇✳

✷✽

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

I c ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK +✳ (n) ∗ limn→∞ p = p ✇❡ ❤❛✈❡

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼✳

RK +

✇✐t❤

❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡q✉❡♥❝❡

p(n) ∈

✭✷✳✸✶✮

lim I c (p(n) ) = I c (p∗ ) .

n→∞

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ❜✉✐❧❞s ♦♥ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✽✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t I : RK + 7→ R+ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐✳❡✳✱ ✭✷✳✸✶✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② s❡q✉❡♥❝❡ (n) (n) K ❛♥❞ p(n) ✱ p ∈ R+ ✇✐t❤ limn→∞ p(n) = p∗ ✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r δ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✻✱ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✭❆✳✸✻✮ ❛♥❞ ✭❆✳✸✼✮✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ limn→∞ I(p(n) ) = I(p∗ ) ❛♥❞ ✭❆✳✸✻✮ ✇❡ ❤❛✈❡ Pr♦♦❢✳

✭✷✳✸✷✮

lim sup I(p(n) ) ≤ I(p∗ ) . n→∞

❲❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r p(n) ✇✐t❤ [p

(n)

]k =

p(n) k

=

(

✐❢ pk > 0 ✐❢ pk = 0 .

(n)

pk 0

✭✷✳✸✸✮

❙✐♥❝❡ p(n) ≤ p(n) ✇❡ ❤❛✈❡ ✭✷✳✸✹✮

lim I(p(n) ) ≤ lim I(p(n) ) .

n→∞

n→∞

❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✼ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❧✐♠✐t ♦❢ ✭✷✳✸✹✮ ❡①✐sts✱ t❤✉s lim I(p(n) ) = I(p∗ ) . ✭✷✳✸✺✮ n→∞

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✷✳✸✷✮✱ ✭✷✳✸✹✮✱ ❛♥❞ ✭✷✳✸✺✮ ✇❡ ❤❛✈❡

I(p∗ ) ≤ lim inf I(p(n) ) ≤ lim sup I(p(n) ) ≤ I(p∗ ) . n→∞

n→∞

❚❤✉s✱ ✭✷✳✸✶✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳

⊔ ⊓

✷✳✺✳✷ ❈♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹ s❤♦✇s t❤❛t st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✐s ✐s ✉s❡❢✉❧✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♠❛♥② r❡s✉❧ts t❤❛t ✇❡r❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② s❤♦✇♥ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② tr❛♥s❢❡r t♦ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♥❡①t ❝♦r♦❧❧❛r② ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✷✳✶✽✳ ❆♥② ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥

u RK ++ ✱

❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥

J

✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s

J c (p) = lim J (p(n) ) , n→∞

✇❤✐❝❤ ✐s ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥

u RK + ✳

❚❤✐s ❛❧s♦ ❤♦❧❞s ❢♦r st❛♥❞❛r❞

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛ s✉❜❝❧❛ss ♦❢ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

✷✳✻ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s✱ ❋❡❛s✐❜✐❧✐t②✱ ❛♥❞ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥

Pr♦♦❢✳

✷✾

❚❤✐s ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹✱ ✇❤✐❝❤ st❛t❡s t❤❛t✱ ❢♦r ❛♥②

J t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ s✉❝❤ t❤❛t J (p) = IJ (p, 1) ❢♦r ❛❧❧ p✳ ❆♥② ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ✱ ❛s s❤♦✇♥

✐♥ ❬✷❪✳ ❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼✳ ⊔ ⊓ ❈♦♥t✐♥✉✐t② ✇❛s ✐♠♣❧✐❝✐t❧② ❛ss✉♠❡❞ ✐♥ ❬✶❪ ❢♦r ♣r♦✈✐♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♣r♦♦❢ ✐s ♦♥❧② r✐❣♦r♦✉s ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t②✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✷✳✶✽ ❥✉st✐✜❡s t❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐♥ ❤✐♥❞s✐❣❤t✳ ✷✳✻ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s✱ ❋❡❛s✐❜✐❧✐t②✱ ❛♥❞ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥

■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s✉❜✲❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ)✳ ❙■❘ ✈❛❧✉❡s γ = [γ1 , . . . , γK ]T ❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ γ ∈ S ✳ ❙♦♠❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛s♣❡❝ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✳ ✷✳✻✳✶ ❙■❘✲❇❛s❡❞ ◗♦❙ ❙❡ts

■♥ t❤✐s ❜♦♦❦✱ t❤❡ q✉❛❧✐t②✲♦❢✲s❡r✈✐❝❡ ✭◗♦❙✮ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣❡r❢♦r✲ ♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ t❤❛t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❙■❘ ✭♦r ❙■◆❘✮ ❜② ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ φ ♦♥ R+ ✳ ❚❤❡ ◗♦❙ ♦❢ ✉s❡r k ✐s  p 
k , qk (p) = φk ❙■❘k (p) = φk Ik (p)

k∈K.

✭✷✳✸✻✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ φk ✐s ❡✐t❤❡r ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♦r ❞❡❝r❡❛s✐♥❣✳ ❊①❛♠♣❧❡s ❛r❡ • ▼▼❙❊✿ φ(x) = 1/(1 √ + x) • ❇❊❘✿ φ(x) = Q( x) • ❇❊❘ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤ ❙◆❘ r❡❣✐♠❡✿ φ(❙■❘) ≈ (Gc · ❙■❘)−Gd ✱ ✇✐t❤ ❝♦❞✐♥❣ ❣❛✐♥ Gc ❛♥❞ ❞✐✈❡rs✐t② ♦r❞❡r Gd ✳ • ❝❛♣❛❝✐t②✿ φ(x) = log(1 + x)✳

❚❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ Q ⊂ RK ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ◗♦❙ ✈❛❧✉❡s t❤❛t ❛r❡ ❥♦✐♥t❧② ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❜② ❛❧❧ K ✉s❡rs✳ P♦✐♥ts ❢r♦♠ Q ❛r❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❢❡❛s✐❜❧❡✳ ❆ t❤♦r♦✉❣❤ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r ❛❞✈❛♥❝✐♥❣ r❡s❡❛r❝❤ ✐♥ ❛r❡❛s ❧✐❦❡ ❣❛♠❡ t❤❡♦r②✱ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱ ♦r ♥❡t✇♦r❦ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ▲❡t γk ❜❡ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ φk ✱ t❤❡♥ γk (qk ) ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❙■◆❘ ❧❡✈❡❧ ♥❡❡❞❡❞ ❜② t❤❡ kt❤ ✉s❡r t♦ s❛t✐s❢② t❤❡ ◗♦❙ t❛r❣❡t qk ✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ◗♦❙ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ Q✱ ❛♥❞ t❤❡ K ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❞♦♠❛✐♥ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② QK ✳ ▲❡t q ∈ QK ❜❡ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ◗♦❙ ✈❛❧✉❡s✱ t❤❡♥ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❙■❘ ✈❡❝t♦r ✐s γ(q) = [γ1 (q1 ), . . . , γK (qK )]T .

✭✷✳✸✼✮

✸✵

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s




◗♦❙ ✈❛❧✉❡s q ∈ QK ❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ C γ(q) ≤ 1✱ ✇❤❡r❡ C(γ) ✐s t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✳✷✷✮✳ ❚❤❡ ◗♦❙ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡t ✐s t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t Q = {q ∈ QK : C(γ(q)) ≤ 1} . ✭✷✳✸✽✮

❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ Q ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ(q))✳ ❆♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✐s t❤❛t ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✷✮✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t γ(◗♦❙) ✐s t❤❡
✐♥✈❡rs❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ φ(❙■❘)✳ ■❢ γ(◗♦❙) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① t❤❡♥ C γ(q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ QK ✭s❡❡ ❆♣✲ ♣❡♥❞✐① ❆✳✸✮✳ ❙✐♥❝❡ ❡✈❡r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡① ❬✷✸❪✱ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ Q✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✸✽✮✱ ✐s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍❡♥❝❡✱ Q ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t ❬✷❪✳

✷✳✻✳✷ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✷✳✸✽✮ ❛r❡ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✾✳ ❆ s❡t

❛❧❧ q ∈ Q ❛♥❞ q

′

K

∈R

Q ⊂ RK

❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❆♥ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥

✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡

q′ ≥ q

=⇒

q′ ≤ q

=⇒

✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡

✐❢ ❢♦r

q′ ∈ Q .

✭✷✳✸✾✮

q′ ∈ Q .

✭✷✳✹✵✮

■t ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ q ∈ Q ❛♥❞ q′ ∈ RK ■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥✐❝ ♦♣t♠✐③❛t✐♦♥✱ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts ❛r❡ ❛❧s♦ r❡✲ ❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ♥♦r♠❛❧ s❡ts ❬✽✵❪✳ ❚❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✭✷✳✸✽✮ ✐s ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❜❡❝❛✉s❡

1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

q2

q2

QoS region Q

q

QoS region Q

❋✐❣✳

✷✳✶✳

■❧❧✉str❛t✐♦♥

♦❢

1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 q

q1

q1

❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡

s❡ts✳

❚❤❡

❧❡❢t

❤❛♥❞

s❡t

✐s

❞♦✇♥✇❛r❞✲

❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✱ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s❡t ✐s ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳

C(γ) ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✮✳ ■❢ γk (qk ) ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✱ t❤❡♥ t❤❡ s❡t ✐s ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮✳ ■❢ γk (qk ) ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ t❤❡♥ t❤❡ s❡t ✐s ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳

✷✳✻ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s✱ ❋❡❛s✐❜✐❧✐t②✱ ❛♥❞ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥

✸✶

❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ✏❢r❡❡ ❞✐s♣♦s❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✉t✐❧✐t②✑ ❬✶✽❪✮✳ ■❢ ❝❡rt❛✐♥ ◗♦❙ ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❥♦✐♥t❧② ❢❡❛s✐❜❧❡ ❢♦r ❛❧❧ ✉s❡rs✱ t❤❡♥ ❛♥② ✉s❡r ❝❛♥ r❡❞✉❝❡ ✐ts ◗♦❙ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♣♦✐♥t ✐s st✐❧❧ ❢❡❛s✐❜❧❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ✈❡r② ❜❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt② ✇❤✐❝❤ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ♠❛♥② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✳ ❈♦♠♣r❡❤❡♥✲ s✐✈❡ r❡❣✐♦♥s ❛r❡ ♦❢t❡♥ ❛ss✉♠❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❣❛♠❡ t❤❡♦r② ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✽❪✮ ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ❬✽✵❪✳ ▲❛t❡r✱ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✸✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❡✈❡r② ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ❢r♦♠

R++

❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❧♦s❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ◗♦❙ s❡ts ❢r♦♠ ❢r♦♠

R++

❛♥❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❍❡♥❝❡ ❜② st✉❞②✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡ ❝❛♥ ❣❛✐♥ ✐♥s✐❣❤t ✐♥t♦ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✳

✷✳✻✳✸ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇♦✉♥❞❛r② P♦✐♥ts ❚❤❡ ◗♦❙ ✐s ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙■❘✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ♦❢t❡♥ r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✳ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ❝❛rr② ♦✈❡r t♦ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②

∂S

♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✭✶✳✷✶✮ ✐s ♦❢ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✐♥t❡r❡st✳ ❚❤❡

❜♦✉♥❞❛r② str✉❝t✉r❡ t②♣✐❝❛❧❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡s ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ♦♣✲ t✐♠❛❧ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✐♥ ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ♠❛♥♥❡r ♦r ♥♦t✳ ❋♦r ❡①✲ ❛♠♣❧❡✱ ✐❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ ❡✣❝✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛r❡ r❡❛❞✐❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

∂S = {γ ∈ RK ++ : C(γ) = 1} . ❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱

γ ∈ ∂S

✭✷✳✹✶✮

✐s ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡✱ ❛t ❧❡❛st ✐♥ ❛♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ s❡♥s❡✳ ❚❤❛t ✐s✱

pǫ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❙■❘k (pǫ ) ≥ γ k − ǫ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r✲

❢♦r ❛♥②

ǫ>0

t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

❢❡r❡♥❝❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✐s q✉✐t❡ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ str✉❝t✉r❡✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❬✽✶❪✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧❧② r❡❧❡✈❛♥t ❝❛s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✵✳ ❲❡ s❛② t❤❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ∂S ✐s ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✭♦r s✐♠♣❧② ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡✮✱ ✐❢ ❢♦r ❛♥②

γ ∈ ∂S t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t

❙■❘k (p) ■❢ ✭✷✳✹✷✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥

p

= γk ,

❢♦r ❛❧❧

k ∈ K.

✭✷✳✹✷✮

✐s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❜❛❧❛♥❝✐♥❣

♣r♦❜❧❡♠ ✭✶✳✷✷✮✱ ✇✐t❤ ❛♥ ♦♣t✐♠✉♠

C(γ) = 1✳

❚❤✐s ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ❜② r❡✇r✐t✐♥❣

✭✷✳✹✷✮ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

C(γ) =

γk Ik (p) = pk

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♥♦t❛t✐♦♥

diag{γ}✱

γk ❙■❘k (p)

,

❢♦r ❛❧❧

k∈K.

I(p) = [I1 (p), . . . , IK (p)]T

t❤❡ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✳✹✸✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s

✭✷✳✹✸✮

❛♥❞

Γ :=

✸✷

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

p=

1 Γ I(p) . C(γ)

✭✷✳✹✹✮

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p > 0 ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐❢ ✐t s❛t✐s✜❡s ✭✷✳✹✹✮✳ ❋♦r ❛♥② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ∈ ∂S ✇❡ ❤❛✈❡ C(γ) = 1✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ ✭✷✳✹✹✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ✭✷✳✹✷✮✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② γ > 0 ✇✐t❤ C(γ) 6= 1✱ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✶✳✷✷✮ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✱ ❛♥❞ s❝❛❧❡❞ ❙■❘ ✈❛❧✉❡s γk /C(γ) ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ■♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✶✳✷✷✮✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡s γ ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❛❝t♦rs✳ ❆ ✉♥✐❢♦r♠ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ γ r❡s✉❧ts ✐♥ ❛ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ C(γ) ❜② t❤❡ s❛♠❡ ❛♠♦✉♥t✳ ■❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡①✐sts ❢♦r s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r② γ > 0✱ t❤❡♥ ✐t ❛❧s♦ ❡①✐sts ❢♦r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ′ = βγ ✱ ✇❤❡r❡ β > 0 ❛♥❞ C(γ ′ ) = 1✳ ❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ ♦♥❧② ❛ ❢❡✇ ❜❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ❦♥♦✇♥ ❬✷❪✳ ▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶✳

t❤❡♥

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱

✶✳ t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ p∗ ≥ 0✱ p∗ 6= 0✱ s✉❝❤ t❤❛t ✭✷✳✹✹✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ✷✳ ■❢ Γ I(p∗ ) = µp∗ ❢♦r s♦♠❡ p∗ > 0 ❛♥❞ µ > 0✱ t❤❡♥ µ = C(γ) ❛♥❞ p∗ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠ ✭✶✳✷✷✮✳

❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ ≥ 0 ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t✱ ❡✳❣✳✱ t♦ ❡♥s✉r❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ st❛❜✐❧✐t② ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t❤❛t ♦♣❡r❛t❡ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ s❡t✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❞❡r✐✈❡❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ♣r❡♠✐s❡ t❤❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐s ❜❡st ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❢♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✵✮✳ ■♥ ❬✽✶❪ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✇❡r❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐❝❡s ❬✺✼❪✳ ❆❧s♦ ✐♥ ❬✽✶❪✱ t❤✐s ✇❛s ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥✲ ❡r❛❧ ❝❧❛ss ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡r ❞❡s✐❣♥s✳ ❇♦t❤ ♠♦❞❡❧s ❤❛✈❡ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①✳ ▲❛t❡r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♣r♦✈✐❞❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ s✉❝❤ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡①✐sts ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❙■❘ r❡❣✐♦♥ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s t②♣✐❝❛❧❧② ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥s ✉♥❞❡r ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ✷✳✼ P♦✇❡r✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s

❚❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✭✷✳✸✽✮ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ●❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ s❝❛❧❡✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✭❆✷✮✱ t❤✉s t❤❡ ❙■❘ pk /Ik (p) ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ p✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ ❛♥② ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✳ P♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ♦♥❧②

✷✳✼ P♦✇❡r✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ ◗♦❙ ❘❡❣✐♦♥s

✸✸

♠❡❛♥✐♥❣❢✉❧ ✐❢ ✇❡ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ ♥♦✐s❡ ✐♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧✳ ❚❤✐s ✐s ❞♦♥❡ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✱ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ (Ku + 1)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r   p p= . 1

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ ❤♦❧❞s✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t pKu +1 st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r✱ ❛♥❞ I(p) ✐s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r✳ ❚❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ pKu +1 = 1 ✐s ♠❛❞❡ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❛♥② ♦t❤❡r ♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❧✐③❡❞ ❜② s❝❛❧✐♥❣ p ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡❧②✳ ❙✉❝❤ ❛ s❝❛❧✐♥❣ ❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t t❤❡ ❙■◆❘✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❆✷✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② α > 0✳ αpk pk = . I(αp) I(p)

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳✶ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Jk (p) s✉❝❤ t❤❛t Jk (p) = Ik (p) . ✭✷✳✹✺✮ ❲❡ ❞❡✜♥❡ p ❙■◆❘k (p) = k . ✭✷✳✹✻✮ Jk (p)

❆❧t❤♦✉❣❤ Jk ❞♦❡s ♥♦t ❢✉❧✜❧❧ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ ✐t ❝❛♥ ♥❡✈❡rt❤❡❧❡ss ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤✐s ❢r❛♠❡✇♦r❦✳ ❊✈❡r② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Jk ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ik ✈✐❛ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✭✷✳✹✺✮✳ ❚❤✉s✱ ♠❛♥② ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik tr❛♥s❢❡r ❞✐r❡❝t❧② t♦ Jk ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳✶✮✳ ✷✳✼✳✶ ❙✉♠✲P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥t

❈♦♥s✐❞❡r ❛ s✉♠✲♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t kpk1 ≤ Pmax ✳ ❚❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s u S(Pmax ) = {γ ∈ RK + : C(γ, Pmax ) ≤ 1}

✭✷✳✹✼✮

✇❤❡r❡  γk Jk (p)  C(γ, Pmax ) = inf max s✳t✳ kpk1 ≤ Pmax . p>0 k∈Ku pk

✭✷✳✹✽✮

❚❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ C(γ, Pmax ) ✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢♦r t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❙■◆❘ t❛r❣❡ts γ ✳ ❚❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ S(Pmax ) ✐s ❛ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ♦♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ s②st❡♠ ✇✐t❤♦✉t ♥♦✐s❡ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❚❤❡ r❡❣✐♦♥ S(Pmax ) ✐s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ C(γ, Pmax )✱ ✇❤✐❧❡ S ✐s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ C(γ)✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ α > 1✳ αpk pk > . Jk (αp) Jk (p)

✸✹

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❙■◆❘ ✐♥❝r❡❛s❡s ✇❤❡♥ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ❛r❡ ✐♥❝r❡❛s❡❞✳ ❚❤❡ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ C(γ) ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❝❛s❡✳ C(γ) =

lim

Pmax →∞

C(γ, Pmax ) .

✭✷✳✹✾✮

❚❤❛t ✐s✱ S(Pmax ) ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ S ✳ ❚❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❛♣♣r♦❛❝❤❡❞ ❛s t❤❡ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r Pmax t❡♥❞s t♦ ✐♥✜♥✐t②✳ ■♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡✱ ♥♦✐s❡ ❝❛♥ ❜❡ ♥❡❣❧❡❝t❡❞✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✶✳ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s ❜♦♦❦✱ t❤❡ ◗♦❙ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙■❘ ♦r ❙■◆❘✳ ●✐✈❡♥ ❛ ◗♦❙ t❛r❣❡t ✈❡❝t♦r q ∈ QKu ✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❙■◆❘ ✈❛❧✉❡s ❛r❡ γ(q)✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ s✉♠✲♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ Q(Pmax ) = {q ∈ QKu : C(γ(q), Pmax ) ≤ 1} . ✭✷✳✺✵✮ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ Q(Pmax ) ✈✐❛ t❤❡ s❡t ♦❢ ❢❡❛s✐❜❧❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs✳ ❲✐t❤♦✉t ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡t P(q) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs t❤❛t ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ t❛r❣❡ts q✳

 P(q) = p > 0 : ❙■◆❘k (p) ≥ γk (qk ), ∀k ∈ Ku . ✭✷✳✺✶✮
❚❤❡ s❡t P(q) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ C γ(q) < 1✳ ❚❤❛t ✐s✱ q ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ Q ✭❞❡♥♦t❡❞ ❛s int Q✮✳ ■❢ P(q) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡

✈❡❝t♦r

pmin (q) = arg min kpk1 , p∈P(q)

✭✷✳✺✷✮

✇❤✐❝❤ ❛❝❤✐❡✈❡s q ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ Jk (p) ❜❡✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ❬✷❪✱ s♦ t❤❡ r❡s✉❧ts ❬✶❪ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❚❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✉♥❞❡r ❛ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t ✐s Q(Pmax ) = {q ∈ QKu : P(q) 6= ∅,

X

k∈Ku

pmin (q) ≤ Pmax } . k

✭✷✳✺✸✮

❍❡♥❝❡✱ t❤❡ s✉♠✲♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✲ ✐③❡❞ ❡✐t❤❡r ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ, Pmax )✱ ♦r ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✉♠ pmin (q)✳ ✷✳✼✳✷ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥ts

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts T p ≤ pmax = [pmax , . . . , pmax 1 Ku ] .

❆s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s✉❜s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ s♦♠❡ ❙■◆❘ t❛r❣❡t ✈❡❝t♦r γ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ, pmax ) =

 γk Jk (p)  inf max max . 0 0✱ s❛t✐s❢②✐♥❣

♦❢ ✭✷✳✺✷✮ ✐s t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t

p∗ = Γ J (p∗ )

✭✷✳✺✾✮

J (p∗ ) = [J1 (p∗ ), . . . , JKu (p∗ )] ❛♥❞ Γ = diag{γ}✳ ❚❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ∗ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✺✾✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s γk = ❙■◆❘k (p )✱ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku ✳ ❚❤❡ ∗ ♦♣t✐♠✐③❡r p ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❙■◆❘ t❛r❣❡ts γ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦✇❡r ✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲ ✇❤❡r❡

✇✐s❡✮✳

✷✳✽✳✶ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈♦♥✈❡① ❘❡❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s

❯♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ ❛♥❞

u P = RK + ✱

❛♥❞ ✐❢ t❤❡

t❛r❣❡ts ❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡✱ t❤❡♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✺✽✮ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② ❛ ❣❧♦❜❛❧❧② ❝♦♥✈❡r✲ ❣❡♥t ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❬✼✱ ✼✹❪✱ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢

Jk

✭s❡❡ ❛❧s♦ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✸✮✳

▼♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

Jk

❛r❡

❝♦♥✈❡① ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❈❤❛♣t❡r ✺ ❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s✮✳ ❲❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ ✭✷✳✺✽✮ ✐♥ ❡q✉✐✈✲ ❛❧❡♥t ❢♦r♠

min p∈P

■❢ t❤❡ ♣♦✇❡r s❡t

X

pl

l∈Ku

u P ⊆ RK ++

s✳t✳

γk Jk (p) − pk ≤ 0,

❢♦r ❛❧❧

k ∈ Ku .

✭✷✳✻✵✮

✐s ❝♦♥✈❡①✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t②♣✐❝❛❧❧② ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ ✭✷✳✻✵✮ ✐s ❛

❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❙tr✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ ❡♥s✉r❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t t❤❡ t❛r❣❡ts ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡

Jk

γk

❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡✳

✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞

❝♦♥❝❛✈❡✳

❆♥

❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✷✮✱ ✇✐t❤ ❡✐t❤❡r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ♦r ❛ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t✳ ❚❤❡♥✱ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✻✵✮ ✐s ♥♦♥✲ ❝♦♥✈❡① ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡

❝♦♥❝❛✈❡✱

❜✉t ♥♦t ❝♦♥✈❡①✳

❚❤✐s ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✐s ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ♦♥ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❬✷✻✕✷✽❪✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✐t ✇❛s 1

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛❧ ✇❛②✳ ❚✇♦ ♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐❢ ❢r♦♠ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ♦♥❡✱ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ✐s r❡❛❞✐❧② ❢♦✉♥❞✱ ❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳

✷✳✽ ❚❤❡ ◗♦❙ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣ Pr♦❜❧❡♠

✸✼

♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ✐♥ ✐ts ❞✐r❡❝t ❢♦r♠✱ ❜✉t ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❝♦♥✈❡① r❡❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ❡①✐st✳ ❚❤✉s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ✐s✿ ❞♦❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❝♦♥✈❡① r❡❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❛❧s♦ ❡①✐st ❢♦r t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✻✵✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦♥❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠✇♦r❦ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛♥❞ ❝♦♥❝❛✈✐t②❄ ❚❤✐s ✐s ❛♥s✇❡r❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✷✷✳ ▲❡t

J1 , . . . , JKu ❜❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✻✵✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠ max p∈P

X

l∈Ku

pl

s✳t✳

pk − γk Jk (p) ≤ 0,

∀k ∈ Ku .

✭✷✳✻✶✮

❋✐rst✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✻✵✮ ✐s ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✭✷✳✻✶✮ ✐s ❢❡❛s✐❜❧❡✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ✭✷✳✻✶✮ ✐s ❢❡❛s✐❜❧❡✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ t❤❡r❡ ♠✉st ❡①✐st ❛ ✈❡❝t♦r p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❛❧❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐♥ ✭✷✳✻✶✮ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ✭✷✳✻✵✮✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s s❤♦✇♥ ❧✐❦❡✇✐s❡✳ ▲❡t J (p) = [J1 (p), . . . , JKu (p)]T ✳ ❚❤❡ ✈❡❝t♦r p∗ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❛t s❛t✐s✜❡s p∗ = diag(γ)J (p∗ )✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✷✳✻✵✮✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶❪✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ✭✷✳✻✶✮✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ■❢ t❤❡r❡ ✇♦✉❧❞ ❡①✐st ❛ k0 s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ❢✉❧✜❧❧s p∗k0 − γk Jk0 (p∗ ) < 0✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝♦✉❧❞ ✐♥❝r❡❛s❡ p∗k0 ✇✐t❤♦✉t ✈✐♦❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ♠❡❛♥ t❤❛t ✇❡ ❝♦✉❧❞ ❛❝❤✐❡✈❡ ❛ ♣♦✐♥t ❧❛r❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♠❛①✐♠✉♠✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✭✷✳✻✶✮ ②✐❡❧❞s t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ ✇❤✐❝❤ ❛❧s♦ s♦❧✈❡s ✭✷✳✻✵✮✳ ⊔ ⊓ Pr♦♦❢✳

Pr♦❜❧❡♠ ✭✷✳✻✶✮ ✐s ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ s♦❧✉t✐♦♥s ❢r♦♠ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ❚❤✐s ❛❧s♦ s❤❡❞s s♦♠❡ ♥❡✇ ❧✐❣❤t ♦♥ t❤❡ ♣r♦❜✲ ❧❡♠ ♦❢ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❬✷✻✕✷✽✱ ✸✷✱ ✸✸❪✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛s ❛ ❣❡♥❡r✐❝ ❝♦♥✈❡① ❢♦r♠ ✭✷✳✻✶✮✳ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② st❛♥❞❛r❞ ❝♦♥✈❡① ♦♣t♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❣❡♥❡r❛❧ ♣✉r♣♦s❡ s♦❧✈❡rs ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❡✣❝✐❡♥t✳ ❆ ❜❡tt❡r ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✐s t②♣✐❝❛❧❧② ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r✸✳ ▲❛t❡r✱ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✺ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t❤❡s❡ str✉❝t✉r❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ ❢♦r t❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐t❤ s✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ✷✳✽✳✷ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❘❡❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐✲ t✐♦♥ ✶✳✹✮✳ ❊①❛♠♣❧❡s ❛r❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❞❡s✐❣♥s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ r♦❜✉st ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷✾✱✸✵❪✮✳ ❊✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❜❡❢♦r❡✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ❛❧s♦ ❛♣♣❧✐❡s t♦ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♥♦t❛t✐♦♥✳ ■❢ P ⊆ Rn+ ✱ t❤❡♥ log P = {s = log(p) : p ∈ P ∩ Rn++ }✳

✸✽

✷ ❙②st❡♠s ♦❢ ❈♦✉♣❧❡❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

▲❡t J1 , . . . , JKu ❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✻✵✮ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s p∗ = exp s∗ ✱ ✇❤❡r❡ s∗ ✐s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✷✸✳

min

s∈log P

X

l∈Ku

sl

s✳t✳

log γk + log Jk (exp s) − sk ≤ 0

∀k ∈ Ku .

✭✷✳✻✷✮

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ ✭✷✳✻✵✮ ❛s Pr♦♦❢✳

log γk Jk (p) − log pk ≤ 0 .

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ s = log p✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s log γk + log Jk (exp s) − sk ≤ 0 .

❯s✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ❛r❣✉♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛s ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✷✷✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ ✭✷✳✻✷✮ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠✱ s♦ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r s∗ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐♥ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❞♦♠❛✐♥✳ ⊔ ⊓ ❚❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ ✭✷✳✻✷✮ ❛r❡ ❝♦♥✈❡① ❜❡❝❛✉s❡ log Jk (exp s) ✐s ❝♦♥✈❡① ❜② u ❞❡✜♥✐t✐♦♥✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ log P ✐s ❝♦♥✈❡① ✐❢ P ⊆ RK ++ ✐s ❛ ❞♦✇♥✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥✈❡① s❡t ✭❝❢✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✾✮✳ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ♠❛♥② ❝❛s❡s ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✭❡✳❣✳ ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣♦✇❡rs✱ ♣❡r✲✉s❡r ♣♦✇❡r ❝♦♥✲ str❛✐♥ts✱ s✉♠✲♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t✮✳

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡rs ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛♥❞ ♠♦t✐✈❛t❡❞ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❙■❘ ❛♥❞ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ◗♦❙ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✷✳✸✻✮✱ ❜♦t❤ ◗♦❙ ❛♥❞ ❙■❘ r❡❣✐♦♥s ❛r❡ ❜✐❥❡❝t✐✈❡✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ♠❛♣♣❡❞ ✐♥t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥✈❡rt❡❞ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❧❡❛r♥ ❛❜♦✉t t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s ❜② st✉❞②✐♥❣ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐♥st❡❛❞✳ ❙♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙■❘ r❡❣✐♦♥s ❤❛✈❡ ❛ ❞✐r❡❝t r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ t♦ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ t❤✐s ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ♠❛♥② t✐♠❡s t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s ❜♦♦❦✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ s✉❝❤ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ✭❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✷✮ ❛♥❞ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ✭❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✺✳✸✮✳ ❚❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✱ ✐♥ ✐ts ❜❛s✐❝ ❢♦r♠ ✭✶✳✷✸✮✱ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t S = {γ > 0 : C(γ) ≤ 1}✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ)✳ ❚❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② s②st❡♠s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ♣♦✇❡r✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ s②st❡♠s✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✼✳ ❙✐♥❝❡ C(γ) ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❛ s✉❜✲❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts t♦ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ r❡❧❛✲ t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❙■❘ r❡❣✐♦♥s✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ) ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ r❡❣✐♦♥✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t✱ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ✈❛❧✉❛❜❧❡ ✐♥s✐❣❤t ✐♥t♦ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❙■❘ r❡❣✐♦♥s ❜② ❛♥❛❧②③✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆ t❤♦r♦✉❣❤ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t ❢♦r t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ❡✣❝✐❡♥t r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸✕✺❪✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✉♠ ♦✈❡r ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❤❛s s♦♠❡ ✈❡r② ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✹❪ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ♦r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✉♠ ♦✈❡r ❧✐♥❡❛r ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s str✉❝t✉r❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ ✐♥ ✈❛r✐♦✉s ✇❛②s✳ ■t ❛❧❧♦✇s t❤❡ ❛♣✲ ♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✉❛❧✐t② ❝♦♥❝❡♣t ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✻✳ ■t

M. Schubert, H. Boche, Interference Calculus, Foundations in Signal Processing, Communications and Networking 7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

✹✵

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❡♥❛❜❧❡s t❤❡ s✉❜❣r❛❞✐❡♥t✲❜❛s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢r♦♠ ❈❤❛♣t❡r ✺ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❢r♦♠ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✐s ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛❧s♦ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t ♥♦✐s❡ ♣♦✇❡r ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✮✳ ▼♦st ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞✐❧② ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤✐s ❝❛s❡✳ P❛rts ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♣t❡r ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t p ∈ RK ++ ✱ ✐✳❡✳ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ s❡t✱ ✇❤❡r❡ pk ✐s str✐❝t❧② ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ ③❡r♦✳ ❚❤✐s t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ r✉❧❡s ♦✉t t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ✭❡✳❣✳ ❙■❘ t❡♥❞✐♥❣ t♦ ✐♥✜♥✐t②✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ✐s ♥♦t ♠✉❝❤ ♦❢ ❛ r❡str✐❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ③❡r♦ ♣♦✇❡rs ✐♥ ❛♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ✇❛②✱ ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ♦r s✉♣r❡♠✉♠✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ s❡t ❛r❜✐tr❛r✐❧② ❝❧♦s❡✳ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✸✵✮✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✺✳✶✱ t❤✉s s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts ❡①t❡♥❞ t♦ RK + ✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♥❡✈❡r ♦❝❝✉r ✐♥ ❛ ♣♦✇❡r✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ s②st❡♠ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ♥♦✐s❡✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❙■◆❘ ✐s ❛❧✇❛②s ✇❡❧❧✲ ❞❡✜♥❡❞✳ ✸✳✶ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❖t❤❡r ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ♦♣t✐♦♥❛❧✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✼ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢❡rr❡❞ t♦ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮✳ ✸✳✶✳✶ ▼❛①✲▼✐♥ ❛♥❞ ▼✐♥✲▼❛① ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s

❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② s❤♦✇✐♥❣ s♦♠❡ s♦♠❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐✲ tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ♦♥ RK + ✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❍❡r❡✱ K ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✶✳ ▲❡t

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜②

p✱ pˆ > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡   pk  pk · I(p) ˆ ≤ I(p) ≤ max · I(p) ˆ . min k∈K p k∈K p ˆk ˆk

❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r②



✭✸✳✶✮

¯ pˆ✳ ❲✐t❤ ❆✸✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p) ≤ ❉❡✜♥✐♥❣ λ¯ = maxk (pk /ˆ pk )✱ ✇❡ ❤❛✈❡ p ≤ λ ¯ λI(p) ˆ ✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✮✳ ❚❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✳ ⊔ ⊓ Pr♦♦❢✳

❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✶✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❤♦❧❞ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② p, q > 0✳ pk k∈K qk pk I(p) ≥ I(q) · min . k∈K qk I(p) ≤ I(q) · max

✭✸✳✷✮ ✭✸✳✸✮

✸✳✶ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✹✶

❚❤❡s❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ✐❢ p = q✳ ❚❤✉s✱   pk  pk  I(p) = inf I(q) max = min I(q) max q>0 q>0 k∈K qk k∈K qk   pk  pk  I(p) = sup I(q) min = max I(q) min . q>0 k∈K qk k∈K qk q>0

✭✸✳✹✮ ✭✸✳✺✮

❲❡ ❝❛♥ ❢✉rt❤❡r ❡①♣❧♦✐t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❬✽✷❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✼✮✳ P Q vk pk (pk )wk pk Qk∈K sup Pk∈K = sup = max wk k∈K v q (q ) qk v>0 k k k w>0,kwk =1 k∈K 1 k∈K P Q wk vk pk (pk ) pk Qk∈K = inf = min . inf Pk∈K w k v>0 k∈K qk w>0,kwk1 =1 k∈K vk qk k∈K (qk )

✭✸✳✻✮ ✭✸✳✼✮

❋♦r w, v > 0✱ kwk1 = 1✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s GI (q, p, v) := FI (q, p, w) :=





I(q) l∈K vl ql

P

 X vk pk ·

I(q) wl l∈K (ql )

Q

✭✸✳✽✮

k∈K

 Y · (pk )wk .

✭✸✳✾✮

k∈K

❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✭✸✳✹✮ ❛♥❞ ✭✸✳✺✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡

I✳

I(p) = inf sup GI (q, p, v) = sup inf GI (q, p, v) q>0 v>0

I(p) = inf

q>0

q>0 v>0

sup FI (q, p, w) = sup w>0 inf FI (q, p, w) .

w>0 kwk1 =1

q>0

❋♦r ❛❧❧

p>0

✭✸✳✶✵✮ ✭✸✳✶✶✮

kwk1 =1

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ s✉♣✲✐♥❢ ❛♥❞ ✐♥❢✲ s✉♣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✱ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s GI (q, p, v) ❛♥❞ FI (q, p, w)✳ ❚❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢✉❧✜❧❧ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ✭✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ p✮✱ s♦ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ✭✸✳✶✵✮ ❛♥❞ ✭✸✳✶✶✮ ❛r❡ ♥♦t s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s✱ ❜❡✲ ❝❛✉s❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♦♥❧② ✐♥t❡r❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦r❞❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✵✮ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❙❡❝t✐♦♥s ✸✳✹✳✹ ❛♥❞ ✸✳✸✳✹✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥❛❧②③❡❞✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✶✮ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✳✻✱ ✇❤❡r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥❛❧②③❡❞✳ ✸✳✶✳✷ ▼❛ ❥♦r❛♥ts ❛♥❞ ▼✐♥♦r❛♥ts

❙♦♠❡t✐♠❡s ✐t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜② ❛♥♦t❤❡r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ♠♦r❡ ❢❛✈♦r❛❜❧❡ str✉❝t✉r❡✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✳

✹✷

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✸✳ ❆♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛ ♠✐♥♦r❛♥t ♦❢ I(p) ✐❢ I(p) ≤ I(p) ❢♦r ❛❧❧ p ∈ P ✱ ✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ I ✳ ❆♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛ ♠❛❥♦r❛♥t ✐❢ I(p) ≥ I(p) ❢♦r ❛❧❧ p ∈ P ✳ ❈♦♥s✐❞❡r ✭✸✳✶✵✮✳ ❇② ❡①❝❤❛♥❣✐♥❣ inf ❛♥❞ sup✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❢♦r ❛❧❧ p > 0 I(p) ≥ sup inf GI (q, p, v) = I(p)

✭✸✳✶✷✮

I(p) ≤ inf sup GI (q, p, v) = I(p).

✭✸✳✶✸✮

v>0 q>0

v>0 q>0

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s I(p) ❛♥❞ I(p) ❛r❡ ♠✐♥♦r❛♥ts ❛♥❞ ♠❛❥♦r❛♥ts✱ r❡s♣❡❝✲ t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡② ✇✐❧❧ ♣❧❛② ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥s ✸✳✸✳✹ ❛♥❞ ✸✳✹✳✹✳

✸✳✶✳✸ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ ▲❡✈❡❧ ❙❡ts ■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✶ ✇❡ ❤❛✈❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❡✈❡r② ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ s✉♣✲✐♥❢ ❛♥❞ ✐♥❢✲s✉♣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s GI (q, p, v) ❛♥❞ FI (q, p, w)✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥ ✐s t❤❡ ✇❤♦❧❡ s♣❛❝❡ RK ++ ✳ ◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ♠✐♥✲♠❛① ❛♥❞ ♠❛①✲♠✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡✈❡❧ s❡ts✳ L(I) = {pˆ > 0 : I(p) ˆ ≤ 1}

L(I) = {pˆ > 0 : I(p) ˆ ≥ 1}

B(I) = {pˆ > 0 : I(p) ˆ = 1} .

✭✸✳✶✹✮ ✭✸✳✶✺✮ ✭✸✳✶✻✮

❲✐t❤ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✭▲❡♠♠❛ ✷✳✶✺ ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✺✮✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ s❡ts L(I)✱ B(I)✱ ❛♥❞ L(I) ❛r❡ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❝❧♦s❡❞ ✐♥ RK ++ ✳ K ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✹✳ ❆ s❡t V ⊂ RK ++ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ Tr❡❧❛t✐✈❡❧② ❝❧♦s❡❞ ✐♥ R++ ✐❢ t❤❡r❡

❡①✐sts ❛ ❝❧♦s❡❞ s❡t

A ⊂ RK

s✉❝❤ t❤❛t

✇❡ ✇✐❧❧ r❡❢❡r t♦ s✉❝❤ s❡ts ❛s

❝❧♦s❡❞

V =A

RK ++ ✳

❋♦r t❤❡ s❛❦❡ ♦❢ s✐♠♣❧✐❝✐t②

✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳

❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ♦✉r ✜rst t❤❡♦r❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ s❡r✈❡ ❛s ❛ ❜❛s✐s ❢♦r s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧ts✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✳ ▲❡t I ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋♦r ❛♥② p ∈ RK ++ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡

pk  k∈K p ˆk p∈L(I) ˆ  pk  . = max min k∈K p ˆk p∈L(I) ˆ

I(p) = min



max

✭✸✳✶✼✮ ✭✸✳✶✽✮

✸✳✶ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✹✸

❲❡ ✜rst s❤♦✇ ✭✸✳✶✼✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ p > 0 ❛♥❞ pˆ ∈ L(I)✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✶ ✇❡ ❤❛✈❡

Pr♦♦❢✳

 pk pk  · I(p) ˆ ≤ max , I(p) ≤ max k∈K p k∈K p ˆk ˆk

✭✸✳✶✾✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✸✳✶✹✮✳ ❚❤✐s ❤♦❧❞s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② pˆ ∈ L(I)✱ t❤✉s I(p) ≤

inf

max

k∈K p∈L(I) ˆ

pk . pˆk

✭✸✳✷✵✮

◆♦✇✱ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ pˆ′ ✇✐t❤ pˆ′k = pk /I(p)✱ ∀k✳ ❲✐t❤ ❆✷ ✇❡ ❤❛✈❡ I(pˆ′ ) = 1✱ s♦ pˆ′ ∈ L(I)✳ ❚❤✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❤♦✐❝❡ ❢✉❧✜❧❧s maxk∈K (pk /ˆ p′k ) = I(p)✳ ❚❤✉s✱ pˆ′ ❛❝❤✐❡✈❡s t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✸✳✷✵✮ ❛♥❞ ✭✸✳✶✼✮ ❤♦❧❞s✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡q✉❛❧✐t② ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✿ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✶✱ ✇❡ ❤❛✈❡  pk  pk I(p) ≥ min · I(p) ˆ ≥ min k∈K p k∈K p ˆk ˆk

✭✸✳✷✶✮

❢♦r ❛❧❧ p > 0 ❛♥❞ pˆ ∈ L(I)✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ✜rst ❝❛s❡✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ✭✸✳✷✶✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦r pˆ′ = p/I(p)✱ ✇✐t❤ pˆ′ ∈ L(I)✳ ❚❤✉s✱ ✭✸✳✶✽✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ⊔ ⊓ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ st❛t❡s t❤❛t ❡✈❡r② I(p) ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✉♠ ♦✈❡r ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s pk k∈K p ˆk pk ˆ = min . I(p, p) k∈K p ˆk I(p, p) ˆ = max

✭✸✳✷✷✮ ✭✸✳✷✸✮

❆ss✉♠❡ t❤❛t pˆ ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡r✱ t❤❡♥ ✭✸✳✷✷✮ ❛♥❞ ✭✸✳✷✸✮ ❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ p✳ ❇♦t❤ I ❛♥❞ I ❢✉❧✜❧❧ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✲❆✸✱ t❤✉s t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ ✐♥ ✭✸✳✶✼✮ ✐s ❡♥s✉r❡❞ ❜② ❆✶✳ ❚❤✐s r✉❧❡s ♦✉t I(p) = 0✱ t❤✉s L(I) = RK ++ ❝❛♥♥♦t ♦❝❝✉r✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t B(I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✻✮✳ ■♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦✲ r❡♠ ✸✳✺ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t pˆ′ ∈ L(I) ∩ L(I) = B(I)✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡str✐❝t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② B(I)✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✻✳ ▲❡t ✇❡ ❤❛✈❡

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋♦r ❛♥②

I(p) = min I(p, p) ˆ p∈B(I) ˆ

= max I(p, p) ˆ . p∈B(I) ˆ

p ∈ RK ++ ✱

✭✸✳✷✹✮ ✭✸✳✷✺✮

✹✹

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❞♦♠❛✐♥ L(I) ✐♥ ✭✸✳✶✽✮ ❝❛♥♥♦t ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② L(I)✳ ❙✐♥❝❡ B(I) ⊆ L(I)✱ r❡❧❛t✐♦♥ ✭✸✳✷✺✮ ✐♠♣❧✐❡s I(p) ≤ sup I(p, p) ˆ = +∞ . p∈L(I) ˆ

▲✐❦❡✇✐s❡✱ B(I) ⊆ L(I) ❛♥❞ ✭✸✳✷✹✮ ✐♠♣❧✐❡s I(p) ≥

inf I(p, p) ˆ =0.

p∈L(I) ˆ

❚❤❛t ✐s✱ ❜② ❡①❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❞♦♠❛✐♥✱ ✇❡ ♦♥❧② ♦❜t❛✐♥ tr✐✈✐❛❧ ❜♦✉♥❞s✳ ✸✳✶✳✹ ❊❧❡♠❡♥t❛r② ❙❡ts ❛♥❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I(p, p) ˆ ❛♥❞ I(p, p) ˆ ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❛♥❞ ✜①❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡r pˆ ∈ RK ++ ✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❤❡❧♣s t♦ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦rr❡✲ s♣♦♥❞✐♥❣ ❧❡✈❡❧ s❡ts✳ ❲❡ st❛rt ❜② s❤♦✇✐♥❣ ❝♦♥✈❡①✐t②✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✼✳ ▲❡t p ˆ > 0 ❜❡ ❛r❜✐tr❛r② ❛♥❞ ✜①❡❞✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p, p) ˆ ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ RK ˆ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ♦♥ RK + ✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p, p) +✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳ ⊔ ⊓ ❆s ❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✱ ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦✈❡r ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s I(p, p) ˆ ✇✐t❤ pˆ ∈ L(I)✳ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ I ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ ♠❛①✐♠✉♠

♦✈❡r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤✐s ❜❡❤❛✈✐♦r ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆♥② s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡t ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ˆ ≤ 1} ✭✸✳✷✻✮ L(I) = {p > 0 : I(p, p) ❲❡ ❤❛✈❡ I(p, ˆ p) ˆ = 1✱ ❛♥❞ I(p, p) ˆ = maxk∈K pk /ˆ pk ≤ 1 ❢♦r ❛❧❧ p ∈ L(I)✳ ❚❤✉s✱ pk ≤ pˆk ,

∀k ∈ K .

✭✸✳✷✼✮

❚❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p, p) ˆ ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥✈❡① s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t L(I) = {p > 0 : I(p, p) ˆ ≥ 1} .

❊✈❡r② p ∈ L(I) ❢✉❧✜❧❧s

pk ≥ pˆk ,

∀k ∈ K .

❇♦t❤ s❡ts L(I) ❛♥❞ L(I) ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✶✳

✭✸✳✷✽✮ ✭✸✳✷✾✮

✸✳✶ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s pˆ

p2

✹✺

p2 L(I)

L(I) pˆ p1

p1

❋✐❣✳ ✸✳✶✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts L(I) ❛♥❞ L(I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✷✻✮ ❛♥❞ ✭✸✳✷✽✮✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

▲❡t ✉s s✉♠♠❛r✐③❡ t❤❡ r❡s✉❧ts✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t L(I) ⊂ RK ˆ ∈ L(I)✱ ++ ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✹✮✳ ❋♦r ❛♥② p t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✸✳✷✻✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ L(I)✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ r❡❣✐♦♥ L(I) ✐s t❤❡ ✉♥✐♦♥ ♦✈❡r ❝♦♥✈❡① ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ L(I) ✐s ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✭t❤✐s ❛❧s♦ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✸✳✶✹✮ ✇✐t❤ ❆✸✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ L(I) ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♥✈❡①✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ✭✸✳✶✼✮ t♦ ❣❡t ❜❛❝❦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦r♦❧❧❛r② s✉♠♠❛r✐③❡s t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② s❡ts L(I) ❛♥❞ L(I)✳

▲❡t I ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t L(I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✹✮✱ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❚❤❡ s✉✲ ♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t L(I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✺✮✱ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✽✳

❋♦r ❛♥② pˆ > 0✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ipˆ = {I : I(p) ˆ = 1} .

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ˆ ∈ Ipˆ✳ I(p, p)

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✾✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ˆ > 0 ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✱ ✇✐t❤ I(p) ˆ = 1✱ s✉❝❤ t❤❛t

I(p) ≤ I(p, p), ˆ

∀p > 0 ,

✭✸✳✸✵✮

t❤❡♥ t❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ Pr♦♦❢✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✸✵✮ ✐♠♣❧✐❡s L(I) ⊆ L(I)✱ ♦r ✐♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❡✈❡r② p ∈ {p : I(p) ≥ 1} ❢✉❧✜❧❧s I(p, p) ˆ ≥ 1✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s mink pk /ˆ pk ≥ 1✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② p ≥ pˆ✳ ❲✐t❤ I(p) ˆ = 1 ❛♥❞ ❆✸✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t I(p) ≥ I(p) ˆ = 1✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ s❡t L(I) = {p : p ≥ p} ˆ ❛❧s♦ ❜❡❧♦♥❣s t♦ L(I)✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ L(I) = L(I)✳ ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t I(p) = I(p, p) ˆ ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ⊔ ⊓

✹✻

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✾ s❤♦✇s t❤❛t I(p, p) ˆ ✐s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ s❡t Ipˆ✳ ❍❡r❡ ❵s♠❛❧❧❡st✬ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ I1 ≤ I2 ♠❡❛♥✐♥❣ I1 (p) ≤ I2 (p) ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ✐s s❤♦✇♥ ❜② s✐♠✐❧❛r ❛r❣✉♠❡♥ts✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✵✳

1✱ s✉❝❤ t❤❛t

❈♦♥s✐❞❡r pˆ > 0 ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✱ ✇✐t❤ I(p) ˆ = ˆ I(p) ≥ I(p, p),

t❤❡♥ t❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳

∀p > 0

✭✸✳✸✶✮

ˆ ✐s t❤❡ ❣r❡❛t❡st ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p, p) t❤❡ s❡t Ipˆ✳ ❚❤❡♦r❡♠s ✸✳✾ ❛♥❞ ✸✳✶✵ s❤♦✇ t❤❛t ♦♥❧② t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I(p, p) ˆ ❛♥❞ I(p, p) ˆ ♣r♦✈✐❞❡ ♠❛❥♦r❛♥ts ❛♥❞ ♠✐♥♦r❛♥ts ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✸✮✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ♣r♦♣❡rt② ❜② ✇❤✐❝❤ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞✳

✸✳✷ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥❛❧②③❡❞ t❤❡ ❜❛s✐❝ ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❛♥ ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✱ ❛♥❞ ✐ts ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❧❡✈❡❧ s❡ts✳ ◆♦✇✱ ✇❡ st✉❞② t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s②♥t❤❡s✐s ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ s❡t V ✳ ✸✳✷✳✶ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❲❡ st❛rt ❜② s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t ❢♦r ❛♥② ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t V ⊂ RK ++ ✱ ✇❡ ❝❛♥ s②♥t❤❡s✐③❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IV (p)✳ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t L(IV ) ✇❡ ❣❡t ❜❛❝❦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡t✳

❋♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ ❝❧♦s❡❞✱ ❛♥❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ K s❡t V ⊂ RK ++ ✱ V 6= R++ ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶✳

IV (p) := inf max p∈V ˆ k∈K

❛♥❞ L(IV ) = V ✳

pk pk = min max , p∈V ˆ k∈K p pˆk ˆk

✭✸✳✸✷✮

Pr♦♦❢✳ ❋♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t② s❡t V ⊂ RK ++ ✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IV ❢✉❧✜❧❧s ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ V = 6 RK ++ ✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t IV (p) ˆ > 0✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ IV (p) > 0 ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❲❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ L(IV ) = V ✱ t❤❡♥ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ t❤❛t t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ ❡q✉❛❧✐t② ✐♥ ✭✸✳✸✷✮ ❤♦❧❞s✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ∈ L(I
V )✱ ✐✳❡✳✱ IV (p) ≤ 1✳ ❉❡✜♥✐♥❣ p(λ) = λp✱ ✇✐t❤ 0 < λ < 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ IV p(λ) = λIV (p) < 1✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✸✳✸✷✮✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ pˆ ∈ V s✉❝❤ t❤❛t

✸✳✷ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

max k∈K

pk (λ) 0 s✉❝❤ t❤❛t IV (p) > 0 ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s❡t V ❢✉❧✜❧❧s V 6= RK ++ ✳ ❙✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ❡①✐st ❢♦r ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts✿

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✷✳

❋♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ ❝❧♦s❡❞✱ ❛♥❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t

K V ⊂ RK ++ ✱ V 6= R++ ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

IV (p) := sup min k∈K p∈V ˆ

pk pk = max min , p∈V ˆ k∈K p pˆk ˆk

✭✸✳✸✼✮

❛♥❞ L(IV ) = V ✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶✳ ❊✈❡r② p ∈ L(IV ) ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ V ✱ t❤✉s ✐♠♣❧②✐♥❣ L(IV ) ⊆ V ✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐t ✐s s❤♦✇♥ t❤❛t ❡✈❡r② pˆ ∈ V ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡t L(IV )✱ t❤✉s V ⊆ L(IV )✳ ⊔ ⊓ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦r♦❧❧❛r② ✐s ❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✶✸✳ ▲❡t V1 ✱ V2 ❜❡ t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ❝❧♦s❡❞ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s t❤❡♦r❡♠s✳ ■❢ IV1 = IV2 ✱ t❤❡♥ V1 = V2 ✳

Pr♦♦❢✳ ■❢ t❤❡ s❡ts ❛r❡ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✱ t❤❡♥ t❤✐s ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡✲ q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶✱ ❜❡❝❛✉s❡ V1 = L(IV1 ) = L(IV2 ) = V2 ✳ ❋♦r ✉♣✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts✱ t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✷✳ ⊔ ⊓

✹✽

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

✸✳✷✳✷ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❍✉❧❧ ◆❡①t✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t V ⊂ RK 6 RK ++ ✱ V = ++ ✱ ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝❧♦s❡❞ s❡t ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✭✸✳✸✷✮ st✐❧❧ ②✐❡❧❞s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s st❛t❡❞ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✷ ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❛t ✐s✱ L(IV ) 6= V ❛♥❞ L(IV ) 6= V ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡ts L(IV ) ❛♥❞ L(IV ) ♣r♦✈✐❞❡ ❝♦♠✲ ♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧s ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡t V ✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✹✳ ▲❡t V0 ⊇ V ❜❡ t❤❡ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ V ✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s✉❜s❡t ♦❢ RK ++ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ V ✳ ▲❡t IV (p) ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✸✷✮✱ t❤❡♥ ✭✸✳✸✽✮

L(IV ) = V0 .

Pr♦♦❢✳ ❋r♦♠ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✽ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t L(IV ) ✐s ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ V0 ✐s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ V ✱ s♦ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ✭✸✳✸✻✮ ✇❡ ❤❛✈❡ V ⊆ V0 ⊆ L(IV ) .

✭✸✳✸✾✮

V0 ⊇ V =⇒ IV0 (p) ≤ IV (p), ∀p ∈ RK ++ =⇒ L(IV0 ) ⊇ L(IV ) .

✭✸✳✹✵✮

❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡

❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t L(IV0 ) = V0 ✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✸✳✸✾✮ ❛♥❞ ✭✸✳✹✵✮✱ t❤❡ r❡s✉❧t ✭✸✳✸✽✮ ❢♦❧❧♦✇s✳ ⊔ ⊓

❚♦ s✉♠♠❛r✐③❡✱ V ⊆ L(IV ) ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝❧♦s❡❞ s❡t V ⊂ K RK ++ ✱ V 6= R++ ✳ ❚❤❡ s❡t L(IV ) ✐s t❤❡ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ V ✳ ❚❤❡ s❡t V ✐s ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ V = L(IV )✳ ❊①❛♠♣❧❡s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✷✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ ❛♥ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ K ❢♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝❧♦s❡❞ s❡t V ⊂ RK ++ ✱ V 6= R++ ✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✺✳ ▲❡t V∞ ⊇ V ❜❡ t❤❡ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ V ✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❝❧♦s❡❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s✉❜s❡t ♦❢ RK ++ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ V ✳ ▲❡t IV (p) ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✸✼✮✱ t❤❡♥ L(IV ) = V∞ . ✭✸✳✹✶✮ Pr♦♦❢✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ❜② ❛r❣✉♠❡♥ts s✐♠✐❧❛r t♦ t❤♦s❡ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✹✳

⊔ ⊓

◆❡①t✱ ✇❡ st✉❞② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛ s♣❡❝✐❛❧ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♣r♦♣❡rt②✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞ ✇❡ ♥❡❡❞ s♦♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✳ (2) ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✶✻✳ p(1) ≻ p(2) ♠❡❛♥s p(1) k ≥ pk ✱ (2) ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t k0 s✉❝❤ t❤❛t p(1) k0 > pk0 ✳

∀k ∈ K✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛t

✸✳✷ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ●❡♥❡r❛❧ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

pˆ2

✹✾

pˆ(2) V

(2)

V = {pˆ(1) , pˆ(2) }

V0 = V

V

(1)

∪V

pˆ2

(2)

V

pˆ(1)

(1)

V0

pˆ1 ❋✐❣✳ ✸✳✷✳ ❚✇♦ ❡①❛♠♣❧❡s ✐❧❧✉str❛t✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✹✿ ❚❤❡ s❡t

V0 = L(IV ) V ⊂ RK ++ ✳

pˆ1

✐s t❤❡

❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧ ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ s❡t

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✶✼✳ ❆♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I(p) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦✲

t♦♥❡ ✐❢ p(1) ≻ p(2) ✐♠♣❧✐❡s I(p(1) ) > I(p(2) )✳

❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ I(p) ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❝❡rt❛✐♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❧❡✈❡❧ s❡ts L(I) ❛♥❞ L(I)✱ ✇❤♦s❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s B(I)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✽✳ ❆♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I(p) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♥♦ s❡❣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② B(I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✻✮✱ ✐s ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ ❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①✐s✳

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t I(p) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ s❡❣♠❡♥t✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❛ s❡❣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② B(I) ✐s ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ ❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①✐s✳ ❖♥ t❤✐s ❧✐♥❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥ts p(1) ✱ p(2) ✇✐t❤ p(1) ≻ p(2) ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ 1 = I(p(1) ) = I(p(2) )✱ ✐✳❡✳✱ I ✐s ♥♦t str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ s❡❣♠❡♥t✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t pˆ ✇✐t❤ I(p) ˆ = 1✳ ❆♥ ❛r❜✐tr❛r② p ≻ pˆ ❞♦❡s ♥♦t ❜❡❧♦♥❣ t♦ B(I)✳ ❚❤❛t ✐s✱ I(p) > 1 = I(p) ˆ ✱ t❤✉s I ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✳ ⊔ ⊓ ❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✸✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ st✉❞② ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✶✳✷✷✮ ❝❛♥ ❜❡ ❛t✲ t❛✐♥❡❞✳ ❚❤✐s q✉❡st✐♦♥ ✐s ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞✲ ❛r② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ❞✐s❝✉ss❡❞✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ ❛♥❞ ❬✷✱ ❚❤♠✳ ✷✳✶✹❪✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p˜ ∈ S s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❧❡✈❡❧ C(γ) ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ❛❧❧ ✉s❡rs✱ ✐✳❡✳✱ C(γ)˜ pk = γk Ik (p), ˜

∀k ∈ K ,

✭✸✳✹✷✮

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ µ > 0 ❛♥❞ ❛ p˜ > 0 s✉❝❤ t❤❛t µ · p˜k = γk · max l∈K

p˜l (k)

pˆl

,

∀k ∈ K ,

✭✸✳✹✸✮

✺✵

a)

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

b)

p2

p2

B(I)

B(I)

L(I)

L(I) L(I)

L(I) p1 ❋✐❣✳ ✸✳✸✳

p1

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✽✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❛✮ ❧❡❛❞s t♦ ❛ ♥♦♥✲str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡❛s ❡①❛♠♣❧❡ ❜✮ ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐✳❡✳✱ ♥♦ s❡❣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s✳

✇❤❡r❡ pˆ(k) = arg minp∈L(I maxl ppˆ˜ll ✳ ˆ k) ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ✭✸✳✹✷✮ ✐♠♣❧✐❡s ✭✸✳✹✸✮✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✸✳✹✸✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❇② t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ♦♣t✐♠✉♠ ❬✷❪✱ µ = C(γ) ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞✱ s♦ ✭✸✳✹✷✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛s st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❙❡❝✲ t✐♦♥ ✷✳✸✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞✲ ❛r✐❡s ♦❢ t❤❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s❡ts L(Ik ) ❞♦ ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ s❡❣♠❡♥ts ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s❡❧❢✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② γ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✾✳

C(γ)pk = γk Ik (p),

k∈K,

✭✸✳✹✹✮

✇❤❡r❡ C(γ) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✳✷✷✮✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✽ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧t ❬✷✱ ❙❡❝✳ ✷✳✺❪✳ ⊔ ⊓

❖♥❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ✐♠✲ ♣♦rt❛♥t ✐s t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❙♦♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❧✐❦❡ t❤❡ ♦♥❡s ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ❬✶✱ ✸✸✱ ✽✸❪✱ r❡q✉✐r❡ t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ❙■◆❘ t❛r❣❡t γ ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✳ ❚❤❛t ✐s✱ C(γ) < 1 ♠✉st ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❞✐✈❡r❣❡s✳ ❚❤✐s ❝r✐t❡r✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❡❝❦❡❞ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✶✳✷✷✮✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p˜ > 0 ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✸✳✹✷✮✳ ✸✳✸ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✶✳ ❊①❛♠♣❧❡s ❛r❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

✸✳✸ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✺✶

r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s ✭✶✳✶✹✮✱ ✭✶✳✶✺✮✱ ❛♥❞ ✭✶✳✶✼✮✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✶ s❤♦✇ t❤❛t ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❢✉♥❞❛✲ ♠❡♥t❛❧ ♠❛①✲♠✐♥ ❛♥❞ ♠✐♥✲♠❛① r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤❛t ❝♦♥❝❛✈✐t② ❧❡❛❞s t♦ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r str✉❝t✉r❡✳ ◆❛♠❡❧②✱ ❡✈❡r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✐s t❛❦❡♥ ♦✈❡r ❛♥ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥

I✳

❚❤❛t ✐s✱ ❛♥② ❝♦♥❝❛✈❡

I(p) =

min

w∈N0 (I)

I(p)

wT p ,

❤❛s ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r ❛❧❧

p > 0✳

N0 (I) ✭✸✳✹✺✮

❚❤✐s st❛♥❞s ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❛♥❛❧♦❣② ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✸✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

w

❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ✏❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✑

✇❤✐❝❤ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❝r♦ss✲t❛❧❦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥❦s✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡t

N0 (I) ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ♣♦ss✐❜❧❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ r❡❝❡✐✈❡r✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✶✳✶✹✮✳

❚❤✐s str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧t✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❛♥❞ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ❤❛s s♦♠❡ ✈❡r② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s✳ ■t s❤♦✇s t❤❛t ❝❡rt❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t❤❛t ✇❡r❡ r❡❝❡♥t❧② ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❢♦r t❤❡ ❥♦✐♥t ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✇❡rs ❛♥❞ r❡❝❡✐✈❡ ✭r❡s♣✳ tr❛♥s♠✐t✮ str❛t❡❣✐❡s✱ ❛r❡ ✐♥❞❡❡❞ ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ t♦ ❛r❜✐tr❛r② s②st❡♠s ♦❢

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

❝♦♥❝❛✈❡

❆❧❣♦r✐t❤♠s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✹✺✮ ✇✐❧❧ ❜❡

st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡rs ✺ ❛♥❞ ✻✳

✸✳✸✳✶ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❆ ✉s❡❢✉❧ ❝♦♥❝❡♣t ❢♦r ❛♥❛❧②③✐♥❣ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷✸✱ ✽✹❪✮

∗

I (w) = inf

p>0

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I

K X l=1

 wl pl − I(p) ,

w ∈ RK .

✭✸✳✹✻✮

✐s ♥♦t ❥✉st ❝♦♥❝❛✈❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t ✐t ❢✉❧✜❧❧s

t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✳

❋♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ w ∈ RK ✱ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ✭✸✳✹✻✮ ✐s ❡✐t❤❡r ♠✐♥✉s ✐♥✜♥✐t② ♦r ③❡r♦✱ ✐✳❡✳✱ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✵✳

Pr♦♦❢✳

I ∗ (w) > −∞ ❚❤❡ ♥♦r♠ ♦❢

p

⇔

I ∗ (w) = 0 .

✐♥ ✭✸✳✹✻✮ ✐s ♥♦t ❝♦♥str❛✐♥❡❞✱ t❤✉s ❢♦r ❛❧❧

I ∗ (w) = inf

K X

p>0

l=1

= µ · inf

µ > 0✱

 wl · µpl − I(µp) ,

K X

p>0

✭✸✳✹✼✮

l=1

 wl · pl − I(p) = µ · I ∗ (w) .

✭✸✳✹✽✮

✺✷

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ st❡♣ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❆✷✳ ❆ss✉♠❡ I ∗ (w) > −∞✱ t❤❡♥ ✭✸✳✹✽✮ ❝❛♥ ♦♥❧② ❤♦❧❞ ❢♦r ❛❧❧ µ > 0 ✐❢ I ∗ (w) = 0✳ ⊔ ⊓ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✶✳ ■❢

w

❤❛s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t t❤❡♥

I ∗ (w) = −∞✳

❆ss✉♠❡ wr < 0 ❢♦r s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥❞❡① r✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(λ) ✇✐t❤ pl (λ) = 1✱ l 6= r ❛♥❞ pl (λ) = λ✱ l = r✱ ✇❤❡r❡ λ ∈ R++ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X
wl − I p(λ) , I ∗ (w) ≤ λ · wr + Pr♦♦❢✳

l6=r

≤ λ · wr +

X l6=r

wl = −λ · |wr | +

X

wl .

l6=r

❚❤❡ ✜rst ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ I ∗ (w) ❜❡✐♥❣ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❛①✐♦♠ ❆✶✳ ▲❡tt✐♥❣ λ → ∞✱ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② t❡♥❞s t♦ −∞✳ ⊔ ⊓ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛s ✸✳✷✵ ❛♥❞ ✸✳✷✶ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t t❤❡ s❡t ♦❢ ✈❡❝t♦rs w ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❛ ✜♥✐t❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ I ∗ (w) > −∞ ✐s ∗ N0 (I) = {w ∈ RK + : I (w) = 0} .

✭✸✳✹✾✮

◆❡①t✱ ✐t ✐s s❤♦✇♥ t❤❛t ❡✈❡r② w ∈ N0 (I) ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✷✳ ❋♦r ❛♥②

w ∈ N0 (I)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X I(p) ≤ wl pl , ∀p > 0 .

✭✸✳✺✵✮

l∈K

Pr♦♦❢✳

❲✐t❤ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✸✳✹✾✮ ✇❡ ❤❛✈❡ ∗

0 = I (w) = inf

K X

p>0 ˆ

l=1

 X wl · pˆl − I(p) ˆ ≤ wl · pl − I(p) k∈K

❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ t❤✉s ✭✸✳✺✵✮ ❤♦❧❞s✳

⊔ ⊓

❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ♦✉r ✜rst ♠❛✐♥ r❡s✉❧t✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❛s ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦✈❡r ❛ s✉♠ ♦❢ ✇❡✐❣❤t❡❞ ♣♦✇❡rs✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸✳ ▲❡t

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥

I(p) =

min

w∈N0 (I)

X

k∈K

wk pk ,

❢♦r ❛❧❧

p > 0✳

✭✸✳✺✶✮

✸✳✸ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✺✸

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ p > 0✳ ❙✐♥❝❡ I(p) ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷✸✱ ✽✹❪✮✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r w ˜ ∈ RK s✉❝❤ t❤❛t Pr♦♦❢✳

w ˜ T pˆ − I(p) ˆ ≥w ˜ T p − I(p) ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0 .

✭✸✳✺✷✮

❚❤❡ ✈❡❝t♦r w ˜ ♠✉st ❜❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✭✸✳✺✷✮ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t w˜r < 0 ❢♦r s♦♠❡ ✐♥❞❡① r✱ ❛♥❞ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ pˆǫ s✉❝❤ t❤❛t [pˆǫ ]l = pl ✱ l 6= r✱ ❛♥❞ [pˆǫ ]r = pr + ǫ✱ ✇✐t❤ ǫ > 0✳ ❲✐t❤ ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t pˆǫ ≥ p ✐♠♣❧✐❡s I(pˆǫ ) ≥ I(p)✳ ❚❤✉s✱ ✭✸✳✺✷✮ ❧❡❛❞s t♦ 0 ≤ w ˜ T (pˆǫ −p) = ǫ· w ˜r ✳ ❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ w ˜ r < 0✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ✱ t❤✉s p < +∞ ✐♠♣❧✐❡s I(p) < +∞✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✭✸✳✺✸✮

w ˜ T p − I(p) > −∞ .

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✺✷✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0✳ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ✭✸✳✺✸✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X  inf w ˜l · pˆl − I(p) ˆ ≥w ˜ T p − I(p) > −∞ . ✭✸✳✺✹✮ p>0 ˆ

l∈K

˜ > −∞ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ w ˜ ∈ N0 (I)✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ✭✸✳✹✻✮ s❤♦✇s t❤❛t I ∗ (w) ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✷ ✐♠♣❧✐❡s I(p) ≤

X

w ˜l pl

❢♦r ❛❧❧ p > 0 .

✭✸✳✺✺✮

l∈K

◆♦✇✱ ✭✸✳✺✷✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0✱ s♦ ✐t ❤♦❧❞s ❛s ✇❡❧❧ ❢♦r λpˆ✱ ✇✐t❤ λ > 0✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ♣r♦♣❡rt② ❆✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I(λp) ˆ = λI(p) ˆ ✱ ❛♥❞ t❤✉s   0 = lim λw ˜ T pˆ − λI(p) ˆ ≥w ˜ T p − I(p) . λ→0

✭✸✳✺✻✮

❚❤✉s✱ I(p) ≥ w ˜ T p✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ✭✸✳✺✺✮ s❤♦✇s t❤❛t t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t ❢♦r ❛♥② p > 0✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ w ˜ ∈ N0 (I) ✇❤✐❝❤ ♠✐♥✐♠✐③❡s w T p✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ I(p) ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❍❡♥❝❡✱ ✭✸✳✺✶✮ ❤♦❧❞s✳ ⊔ ⊓

❚❤❡ ♣r♦♦❢ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② w ˜ ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✸✳✺✷✮ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦✐♥t p✱ ✐s ❛ ♠✐♥✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✸✳✺✶✮✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛♥② w ˜ ∈ N0 (I) ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧s I(p) =

min

w∈N0 (I)

X

wl pl =

l∈K

X

✭✸✳✺✼✮

w ˜l pl

l∈K

❛❧s♦ ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✺✷✮✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✷✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ I(p) ˆ − I(p) = I(p) ˆ −

X l∈K

w ˜l pl ≤

X l∈K

w ˜l (ˆ p − pl )

❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0 .

✺✹

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❚❤✉s✱ ❢♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ p > 0✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts w ˜ ❛❝❤✐❡✈✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✭✸✳✺✼✮✱ ✐s ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t♦ t❤❡ s❡t ♦❢ w ˜ ∈ N0 (I) ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✭✸✳✺✷✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸ ♦♣❡♥s ✉♣ ♥❡✇ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s ❢♦r ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ I(p) ✐♥ ✭✸✳✺✶✮ ❝❛♥ ❜❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ♦❢ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦st ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢r♦♠ s♦♠❡ str❛t❡❣❡② s❡t N0 (I)✱ ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❛❝t♦rs pk ✳ ✸✳✸✳✷ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❙❡t

N0 (I)

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ♦❢ ♣♦✇❡rs✱ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♦✈❡r t❤❡ s❡t N0 (I)✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❢✉rt❤❡r ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ I ❛♥❞ N0 (I)✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❧❛t❡r✱ ❡✳❣✳✱ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✽✳✷ ✇❤❡r❡ ❝♦♥✈❡① ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞✳

▲❡t I ❜❡ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ N0 (I) ⊆ RK +✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✹✾✮✱ ✐s ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✹✳

Pr♦♦❢✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t N0 (I) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ I ✳ ◆♦✇✱ ✇❡ s❤♦✇ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ N0 (I)✳ ▲❡t w, ˆ w ˇ ∈ N0 (I) ❛♥❞ w(λ) = (1 − λ)w ˆ + λw ˇ ✳ ❯s✐♥❣ I(p) = (1 − λ)I(p) + λI(p)✱ ✇❡ ❤❛✈❡   X X
w ˆl pl + λ w ˇl pl − I(p) I ∗ w(λ) = inf (1 − λ) p>0

l∈K

≥ (1 − λ) inf

p>0

+ λ inf

p>0

X l∈K

X l∈K

l∈K


w ˆl pl − I(p) +

w ˇl pl − I(p)




= (1 − λ)I ∗ (w) ˆ + λI ∗ (w) ˇ > −∞ .

✭✸✳✺✽✮

✭✸✳✺✾✮

❚❤✉s✱ w(λ) ∈ N0 (I)✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s ❝♦♥✈❡①✐t②✳ ◆♦✇✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t N0 (I) ✐s ❝❧♦s❡❞✳ ▲❡t w(n) ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❈❛✉❝❤② s❡q✉❡♥❝❡ ✐♥ N0 (I)✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ w∗ s✉❝❤ t❤❛t limn→∞ wk(n) = wk∗ ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts k ∈ K✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❧✐♠✐t w∗ ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ N0 (I)✳ ∗ K ❙✐♥❝❡ w(n) ∈ RK + ✱ ❛❧s♦ w ∈ R+ ✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X

k∈K

wk∗ pk − I(p) = lim

n→∞

X

k∈K

(n)

wk pk − I(p)




 X (n)
 ≥ lim inf inf wk p˜k − I(p) ˜ n→∞

p>0 ˜

k∈K


= lim inf I ∗ (w(n) ) = 0 . n→∞

✭✸✳✻✵✮

✸✳✸ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✺✺

❚❤❡ ❧❛st st❡♣ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ w(n) ∈ N0 (I)✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s I ∗ (w(n) ) = 0 ❢♦r ❛❧❧ n✳ ❙✐♥❝❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✻✵✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I ∗ (w∗ ) = inf

p>0

X l∈K

 wl∗ pl − I(p) ≥ 0 > −∞ .

✭✸✳✻✶✮

❚❤✉s✱ w∗ ∈ N0 (I)✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s t❤❛t N0 (I) ✐s ❝❧♦s❡❞✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② w ˆ∈ N0 (I)✳ ■❢ w ≥ w ˆ t❤❡♥ X l∈K

pl wl − I(p) ≥

X l∈K

ˆ > −∞ pl w ˆl − I(p) ≥ I ∗ (w)

❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❚❤✉s✱ w ∈ N0 (I)✳

⊔ ⊓

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✹ ❞♦❡s ♥♦t r❡❧② ♦♥ ❝♦♥❝❛✈✐t②✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♠❡♥t ♦♥ ♥♦♥✲❡♠♣t✐♥❡ss✳ ❚❤✉s✱ N0 (I) ✐s ❛ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t ❢♦r ❛♥② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❘❡♠❛r❦ ✸✳✷✺✳

❚❤✉s ❢❛r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥❛❧②③❡❞ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✹ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ I ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t N0 (I)✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✹✳ w2

N0 (I)

w ˆ

w1

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✹✿ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t N (I) ✐s ✉♣✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡①✳ ❋♦r ❛♥② wˆ ∈ N (I)✱ ❛❧❧ ♣♦✐♥ts w ≥ wˆ ✭t❤❡ s❤❛❞❡❞ ❜♦①✮ ❛r❡ ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ N (I)✳ ❋✐❣✳

✸✳✹✳

0

0

0

✸✳✸✳✸ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✺✶✮ s❤♦✇s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❙✉❝❤ ❛ s❡❛r❝❤ ❢♦r ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ✐s s♦♠❡t✐♠❡s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❛♥❛❧✲ ②s✐s✳ ◆❡①t✱ ✇❡ st✉❞② t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ s②♥t❤❡s✐s ♦❢ ❛ ❝♦♥✲ ❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥✲❡♠♣t② ✉♣✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t V ⊆ RK + ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥

✺✻

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

IV (p) = min

w∈V

X

wl pl .

✭✸✳✻✷✮

l∈K

■t ✐s ❡❛s✐❧② ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t IV ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✉s✱ ❡✈❡r② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t V ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IV ✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ s②♥t❤❡s✐s ❛r❡ r❡✈❡rs✐❜❧❡✳ ❋r♦♠ V ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IV ✱ t❤❡♥ N0 (IV ) ②✐❡❧❞s ❜❛❝❦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡t V ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✻✳ ❋♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t②

V ⊆ RK + Pr♦♦❢✳

✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t

✇❡ ❤❛✈❡

✭✸✳✻✸✮

V = N0 (IV ) .

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② v ∈ V ✳ ❲✐t❤ ✭✸✳✻✷✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I ∗ (v) = inf

p>0

≥ inf

p>0

X l∈K

X l∈K

vl pl − IV (p) vl pl −

X l∈K





vl pl = 0 .

✭✸✳✻✹✮

❚❤✉s✱ v ∈ N0 (IV )✱ ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② V ⊆ N0 (IV )✳ ◆❡①t✱ ❡q✉❛❧✐t② ✐s s❤♦✇♥ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ V = 6 N0 (IV )✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ w ˆ >0 ✇✐t❤ w ˆ ∈ / V ❛♥❞ w ˆ ∈ N0 (IV )✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t w ˆ ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ s✐♥❝❡ RK 6 RK ++ ∩ V = ++ ∩ N0 (IV )✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ t❤❡ ❝♦♥tr❛✲ ❞✐❝t✐♦♥ K V = RK ++ ∩ V = R++ ∩ N0 (IV ) = N0 (IV ) .

◆❡①t✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t t❤❡ s❡t V ✐s ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ✐ts ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ RK ++ ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ✭t❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss✮✳ ❋r♦♠ t❤❡ s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❤②♣❡r✲ ♣❧❛♥❡s t❤❡♦r❡♠ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷✸❪ ♦r ❬✽✹✱ ❚❤♠✳ ✹✳✶✳✶✱ ♣✳ ✺✶❪✮✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t IV (p) ˆ = min v∈V

X

vl pˆl >

l∈K

X

w ˆl pˆl

l∈K

≥

min

w∈N0 (IV )

X l∈K

wl pˆl = IV (p) ˆ ,

✭✸✳✻✺✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st ❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ t❤✉s V = N0 (IV )✳ ⊔ ⊓ ❚❤❡ ♥❡①t ❝♦r♦❧❧❛r② s❤♦✇s t❤❛t ❞✐✛❡r❡♥t s❡ts V (1) ❛♥❞ V (2) ❛❧✇❛②s ❧❡❛❞ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s IV (1) (p) ❛♥❞ IV (2) (p)✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

V (1) ❛♥❞ V (2) ❜❡ t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ K (1) ❢r♦♠ R+ ✳ ■❢ IV (1) (p) = IV (2) (p) ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ t❤❡♥ V =

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✷✼✳ ▲❡t

❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① V (2) ✳

s❡ts

✸✳✸ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s Pr♦♦❢✳

✺✼

N0 (IV (1) ) = N0 (IV (2) )✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ✇✐t❤ V = N0 (IV )✳ ⊔ ⊓

❚❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✻✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s

❚❤❡s❡ r❡s✉❧ts s❤♦✇ ❛ ♦♥❡✲t♦✲♦♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡ts✳ ❊✈❡r② ❝♦♥❝❛✈❡

I ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ N0 (I)✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❡✈❡r② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✲ ✈❡① s❡t V ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IV ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ I = IN0 (I) ❛♥❞ V = N0 (IV )✳ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t

❚❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✺✶✮ ❤❛s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t

♦❢ ♥❡t✇♦r❦ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t

wk

st❛♥❞s ❢♦r s♦♠❡ ◗♦❙ ♠❡❛s✉r❡✱

❧✐❦❡ ❜✐t ❡rr♦r r❛t❡✱ ♦r ❞❡❧❛②✳ ❚❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s pl ❛r❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❡❝t♦rs t❤❛t ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✉s❡r ♣r✐♦r✐t✐❡s✳ ❚❤❡♥✱ I(p) ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♥❡t✇♦r❦ ❝♦st ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♦♣t✐♠✐③✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦st r❡❣✐♦♥

N0 (I)✱

❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✺✳ ❚❤✐s s❤♦✇s ❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡

❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✳

w2

N0 (I)

p

w1

I(p) ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ N0 ✳ ❚❤❡ ✏✇❡✐❣❤t✐♥❣ t❤❡ ✉t✐❧✐t✐❡s wk ✳

❋✐❣✳ ✸✳✺✳ ❚❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

♦❢ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠✲❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♥✈❡① s❡t ✈❡❝t♦r✑

p

❝♦♥tr♦❧s t❤❡ tr❛❞❡♦✛ ❜❡t✇❡❡♥

✸✳✸✳✹ ▲❡❛st ❈♦♥❝❛✈❡ ▼❛ ❥♦r❛♥t ❛♥❞ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦✈❡r ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ♦✈❡r t❤❡ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t

N0 (I)✳

■♥ t❤✐s s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❡①♣❧♦r❡ ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

  I(q) g I (v) = sup P , v 0 q>0 l∈K vl ql   I(q) = sup P . q>0 l∈K vl ql kqk1 =1

✭✸✳✻✻✮

✺✽

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❲✐t❤ g I (v) ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ♠❛❥♦r❛♥t ✭✸✳✶✸✮ ❛s  X I(q) I(p) = inf sup P vk pk v>0 q>0 l∈K vl ql k∈K X = inf g I (v) vk pk . v>0

✭✸✳✻✼✮

k∈K

❚❤❡ ♣♦✐♥t✲✇✐s❡ ✐♥✜♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✱ t❤✉s I(p) ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ g I (v) ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❥♦r❛♥t I(p)✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t I(p) ✐s ❛ ❜❡st✲♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ❢♦r ❛♥② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐t ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r ❛♥② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✭✸✳✻✻✮ ✐s ❛❧✇❛②s ❛tt❛✐♥❡❞✳ qˆ := qˆ(v) ≥ 0✱ ✇✐t❤ kˆ q k1 = 1✱ s✉❝❤   I(q) I(q) ˆ g I (v) = P = max P . ✭✸✳✻✽✮ q≥0 ˆl l∈K vl q l∈K vl ql kqk =1

▲❡♠♠❛ ✸✳✷✽✳ ❋♦r ❛♥② t❤❛t

v > 0✱

t❤❡r❡ ✐s ❛

1

P

❙✐♥❝❡ v > 0✱ ✇❡ ✇❡ ❤❛✈❡ l∈K vl ql > 0 ❢♦r ❛❧❧ q ≥ 0✳ ❚❤✉s ✇❡ ❝❛♥ t❛❦❡ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✭✸✳✻✼✮ ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t ❞♦♠❛✐♥ {q ≥ 0 : kqk1 = 1}✳ ❲❡ ❤❛✈❡ P l∈K vl ql > 0✳ ❚❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥♦✉s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❆❧s♦✱ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✺ t❤❛t I(p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼ s❤♦✇s t❤❛t I(p) ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ t❤✉s ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡①t❡♥❞s t♦ RK + ✳ ❆♥② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛tt❛✐♥s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ♦✈❡r ❛ ❝♦♠♣❛❝t s❡t✱ t❤✉s ✭✸✳✻✽✮ ❤♦❧❞s✳ ⊔ ⊓ Pr♦♦❢✳

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ ❝♦r♦❧❧❛r② s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t I(p) ✐s ❜❡st ♣♦ss✐❜❧❡✱ ❛♥❞ ❛♥② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ s❛❞❞❧❡✲♣♦✐♥t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✳ ❲❡ ✉s❡ GI (q, p, v)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✽✮✳ I p > 0✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✾✳

✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

I(p)

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐❞❡♥t✐t② ❤♦❧❞s✳

❢♦r ❛❧❧

I(p) = sup inf GI (q, p, v) = inf sup GI (q, p, v) . q>0 v>0

v>0 q>0

I(p) =

✭✸✳✻✾✮

Pr♦♦❢✳ ❲✐t❤ ✭✸✳✶✸✮ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p) ≤ I(p) ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t I(p) ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✱ ❛♥❞ r❡❝❛❧❧ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✷ ❢r♦♠ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✼✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ V s✉❝❤ t❤❛t

✸✳✸ ❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✺✾

P     minv∈V l∈K v l ql X P I(p) = inf sup vk pk v>0 q>0 l∈K vl ql k∈K P   X  l∈K v l ql P ≤ inf min sup vk pk v>0 v∈V q>0 l∈K vl ql k∈K     vl X = inf min max vk pk v>0 v∈V l∈K vl k∈K     vl X = inf min max vk pk v∈V v>0 l∈K vl k∈K    vl X v k pk ≤ inf max v∈V l∈K v l k∈K X  = inf v k pk = I(p) . v∈V

❚❤✉s✱

I(p) = I(p)

❢♦r ❛❧❧

k∈K

p > 0✳ I(p) = I(p)

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t

I(p)

✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳

❤♦❧❞s✳ ❇❡❝❛✉s❡

I(p)

✐s ❝♦♥❝❛✈❡✱ ❛❧s♦

⊔ ⊓

❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛❥♦r❛♥t ❢r♦♠ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✷✳ ❆♠♦♥❣ ❛❧❧ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥ts✱ t❤❡ ❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ♣r♦✈✐❞❡s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✉♣♣❡r ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✸✵✳ ▲❡t

I

I✳

I✳

■t ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s t❤❡ ✏❜❡st✑

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥

❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ♦❢

I(p)✳

I(p)

I ′ ❜❡ t❤❡ ❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ♦❢ I ✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ I(p) ≥ I ′ (p) ≥ I(p)✳ ❲✐t❤ g I (v) ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✻✻✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡

Pr♦♦❢✳ ▲❡t

g I (v) ≥ g I ′ (v) ≥ g I (v)

✐s t❤❡

✇❡ ❤❛✈❡

v>0.

✭✸✳✼✵✮

vk pk = I ′ (p) .

✭✸✳✼✶✮

❢♦r ❛❧❧

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱

I(p) = v>0 inf g I (v) kvk1 =1

X

≤ v>0 inf g I ′ (v) kvk1 =1

❚❤✉s✱

I(p) = I ′ (p)

❢♦r ❛❧❧

vk pk

k∈K

X

k∈K

⊔ ⊓

p > 0✳

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I2 (v) =

1 = q>0 inf g I (v) kqk =1 1

P

l∈K vl ql

I(q)

.

✭✸✳✼✷✮

✻✵

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❲❡ s❤♦✇ t❤❛t I2 (v) ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I2 (v) ✐s ❛❧✇❛②s ❞❡✜♥❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ I ✐s str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✭❛①✐♦♠ ❆✶✮✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② v > 0 ❛♥❞ λ > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ 1 g I (λv) = · g I (v) . ✭✸✳✼✸✮ λ

■❢ v (1) ≥ v (2) ✱ t❤❡♥ g I (v (1) ) ≤ g I (v (2) )✱ t❤✉s I2 (v) ❢✉❧✜❧❧s ❛①✐♦♠s ❆✷✱ ❆✸✳ ◆❡①t✱ ♣♦s✐t✐✈✐t② ✭❆✶✮ ✐s s❤♦✇♥✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✽✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐❞❡♥t✐t② ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛♥② v > 0✱ ✇✐t❤ kvk1 = 1✳ g I (v) = max

q≥0 kqk1 =1



I(q) P l∈K vl ql



>0.

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❜❡❝❛✉s❡ I(q) ✐s str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❛①✐♦♠ ❆✶✮✳ ❚❤✉s✱ I2 (v) > 0 ❢♦r ❡✈❡r② v > 0✳ ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✻ ✭❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✮ ✇❡ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ I2 t♦ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❡❝t♦rs v ≥ 0✱ ✇✐t❤ kvk1 = 1✳ ❚❤❡♥✱ g I (v) = 1/I2 (v) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ {v ≥ 0 : kvk1 = 1}✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✸✳✼✷✮ t❤❛t I2 (v) ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ ✐♥✜♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❍❡♥❝❡✱ I2 (v) ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❡♥❛❜❧❡s ✉s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ I ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ g I (v) ✐s RK + ✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ W ⊂ RK + s✉❝❤ t❤❛t

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✶✳ ▲❡t ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ ❝♦♥✈❡① s❡t

g I (v) =

1

min w∈W

P

k∈K

wk vk

1

= max P w∈W

k∈K

wk vk

.

✭✸✳✼✹✮

❙✐♥❝❡ I2 (v) ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❚❤❡✲ ♦r❡♠ ✸✳✷✸ t❤❛t ✭✸✳✼✹✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② v ∈ RK ++ ✳ ❚❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✐♥ ✭✸✳✼✹✮ ✐s str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡✱ t❤✉s g I ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡①t❡♥❞s t♦ RK ⊔ ⊓ +✳ Pr♦♦❢✳

❲✐t❤ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② s❤♦✇♥ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✶ ❛♥❞ ✭✸✳✻✼✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ♠❛❥♦r❛♥t I ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s I(p) = min g I (v) · v≥0 kvk1 =1

X

vk pk ,

p>0.

✭✸✳✼✺✮

k∈K

❲✐t❤ ✭✸✳✼✺✮ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✾ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✷✳

I

✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

I(p) = min g I (v) · v≥0 kvk1 =1

X

vk pk

❢♦r ❛❧❧

p>0.

✭✸✳✼✻✮

k∈K

❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭✸✳✼✻✮ ✇✐t❤ ✭✸✳✺✶✮ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②s ♦❢ ❡①♣r❡ss✐♥❣ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ ✭✸✳✺✶✮✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t N0 (I) ✐s ✉s❡❞ t♦ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ t❤❡ ♣r♦♣✲ ❡rt✐❡s ♦❢ I ✱ ✇❤✐❧❡ ✭✸✳✼✻✮ ✉s❡s t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ g I ✳ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✇❛② ♦❢ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✽✳

✸✳✹ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✻✶

✸✳✹ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢

❝♦♥✈❡①

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛s

❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✶✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❝❛s❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳ ❆ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✱ ✇❤✐❝❤ st❛t❡s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✲ ✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ✏✇♦rst✲❝❛s❡✑ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✼✳

✸✳✹✳✶ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬✷✸❪✳

I¯ ∗ (w) = sup

p>0

X l∈K

 wl pl − I(p) .

✭✸✳✼✼✮

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✸✳

❚❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✸✳✼✼✮ ✐s ❡✐t❤❡r ✐♥✜♥✐t② ♦r ③❡r♦✱ ✐✳❡✳✱ I¯ ∗ (w) < +∞

Pr♦♦❢✳

⇔

I¯ ∗ (w) = 0 .

✭✸✳✼✽✮

❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛② t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✵✳

❉✉❡ t♦ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛①✐♦♠ ❆✸✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

w

⊔ ⊓

♦❢ ✐♥t❡r❡st ❛r❡ ♥♦♥✲

♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❝❧❡❛r ❧❛t❡r✱ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✳ ❚❤❡r❡✲ ❢♦r❡✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✐s

¯∗ W0 (I) = {w ∈ RK + : I (w) = 0} . ❊✈❡r②

w ∈ W0 (I)

✭✸✳✼✾✮

✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ✇❤✐❝❤ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s t❤❡

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✹✳

❋♦r ❛♥② w ∈ W0 (I)✱ X l∈K

Pr♦♦❢✳

❋♦r ❛❧❧

p > 0✱

∀p > 0 .

✭✸✳✽✵✮

✇❡ ❤❛✈❡

0 = I¯ ∗ (w) = sup

p>0 ˆ

❚❤✉s✱ ✭✸✳✽✵✮ ❤♦❧❞s✳

wl pl ≤ I(p) ,

X l∈K

 X wl · pˆl − I(p) ˆ ≥ wl · pl − I(p) . l∈K

⊔ ⊓

❇❛s❡❞ ♦♥ t❤✐s ❧❡♠♠❛✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❛s ❛ ♠❛①✐♠✉♠ s✉♠ ♦❢ ✇❡✐❣❤t❡❞ ♣♦✇❡rs✳

✻✷

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✳ ▲❡t

I

I(p) =

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥

max

w∈W0 (I)

X

k∈K

wk · pk ,

❢♦r ❛❧❧

p > 0✳

✭✸✳✽✶✮

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ p > 0✳ ❙✐♥❝❡ I(p) ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r w ˜ ∈ RK s✉❝❤ t❤❛t ❬✽✹✱ ❚❤♠✳ ✶✳✷✳✶✱ ♣✳ ✼✼❪

w ˜ T pˆ − I(p) ˆ ≤w ˜ T p − I(p) ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0 .

✭✸✳✽✷✮

❚❤❡ ✈❡❝t♦r w ˜ ♠✉st ❜❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✭✸✳✽✷✮ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t w˜r < 0 ❢♦r s♦♠❡ ✐♥❞❡① r✱ ❛♥❞ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ pˆǫ > 0 s✉❝❤ t❤❛t [pˆǫ ]l = pl ✱ l 6= r✱ ❛♥❞ [pˆǫ ]r = pr − ǫ✱ ✇✐t❤ 0 < ǫ < pr ✳ ❲✐t❤ ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t pˆǫ ≤ p ✐♠♣❧✐❡s I(pˆǫ ) ≤ I(p)✳ ❚❤✉s✱ ✭✸✳✽✷✮ ❧❡❛❞s t♦ 0 ≥ w ˜ T (pˆǫ −p) = −ǫ· w ˜r ✳ ❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ w˜r < 0✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈✐t② ♦❢ I(p)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✭✸✳✽✸✮

w ˜ T p − I(p) < +∞ .

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✽✷✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0✳ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ✭✸✳✽✸✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X  sup w ˜l · pˆl − I(p) ˆ ≤w ˜ T p − I(p) < +∞ . ✭✸✳✽✹✮ p>0 ˆ

l∈K

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ✭✸✳✼✼✮ s❤♦✇s t❤❛t I¯∗ (w) ˜ < +∞ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ w ˜ ∈ W0 (I)✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✹ ✐♠♣❧✐❡s w ˜ T p ≤ I(p) ,

✭✸✳✽✺✮

∀p > 0 .

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✽✷✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ pˆ✱ s♦ ✐t ❤♦❧❞s ❛s ✇❡❧❧ ❢♦r λˆ p✱ ✇✐t❤ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② λ > 0✳ ❲✐t❤ ❆✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡   w ˜ T p − I(p) ≥ lim w ˜ T λpˆ − λI(p) ˆ =0. λ→0

✭✸✳✽✻✮

❇② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✸✳✽✺✮ ❛♥❞ ✭✸✳✽✻✮✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t I(p) = w ˜ T p✳ ❚❤✉s✱ w ˜ ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✸✳✽✶✮✳ ⊔ ⊓ ❋r♦♠ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺ ✐t ❜❡❝♦♠❡s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✸✳✽✶✮ ✐s ❛❧✇❛②s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ s❡t W0 (I) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳

■♥ ♦r❞❡r t♦ ✐❧❧✉str❛t❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✐♠♣❧❡ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) = maxk∈K pk ✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✸✻✳

I(p) = max pk = k∈K

max

w∈RK + :kwk1 =1

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ W0 (I) = {w ∈ RK + : kwk1 = 1}✳

wT p .

✸✳✹ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✻✸

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺ ❛❧s♦ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❞✐r❡❝t ♠❡❛♥s ❢♦r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① AI ✐♥tr♦✲ ❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛r❡ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s✱ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① DI ✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✳✷✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s I(p) = max w T p . ✭✸✳✽✼✮ w∈W(I)

❋♦r ❡✈❡r② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ p t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ♠❛tr✐① W = [w1 , . . . , wK ]T ✱ ✇✐t❤ wk ∈ W(Ik )✱ s✉❝❤ t❤❛t Ik (p) = wTk p ❢♦r ❛❧❧ k✳ ■♥ ♦r❞❡r ❢♦r t✇♦ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik ❛♥❞ Il t♦ ❜❡ ❝♦✉♣❧❡❞✱ ✐t s✉✣❝❡s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ♦♥❡ W s✉❝❤ t❤❛t [W ]kl > 0✳ ❚❤✐s ❛❧r❡❛❞② ✐♠♣❧✐❡s [AI ]kl > 0✳ ✸✳✹✳✷ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s❡t

W0 (I)

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t W0 (I) ❤❛s ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r str✉❝t✉r❡✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❞♦✇♥✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✷✳

▲❡t I ❜❡ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡ s❡t W0 (I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✼✾✮✱ ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❛♥❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡①✳

▲❡♠♠❛ ✸✳✸✼✳

Pr♦♦❢✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t N0 (I) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ I ✳ ❋✐rst✱ ❝♦♥✈❡①✐t② ✐s s❤♦✇♥✳ ▲❡t w, ˆ w ˇ ∈ W0 (I) ❛♥❞ w(λ) = (1 − λ)w ˆ + λw ˇ✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ ✭✸✳✺✾✮ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇
I¯ ∗ w(λ) ≤ (1 − λ)I¯ ∗ (w) ˆ + λI¯ ∗ (w) ˇ < +∞ .

✭✸✳✽✽✮

❚❤✉s✱ w(λ) ∈ W0 (I)✳ ◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s❡t ✐s ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② w ∈ W0 (I)✳ ❲✐t❤ ✭✸✳✽✶✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X l∈K

wl ≤

max

w∈W0 (I)

X

k∈K

wk = I(1) .

✭✸✳✽✾✮

❍❡r❡✱ 1 = [1, . . . , 1]T ✐s t❤❡ ❛❧❧✲♦♥❡s ✈❡❝t♦r✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦♥♦t♦♥❡✱ t❤✉s I(1) < +∞ ❛♥❞ W0 (I) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞✳ ◆♦✇✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t W0 (I) ✐s ❝❧♦s❡❞✳ ▲❡t w(n) ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❈❛✉❝❤② s❡q✉❡♥❝❡ ✐♥ W0 (I)✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ w∗ s✉❝❤ t❤❛t limn→∞ wk(n) = wk∗ ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts k ∈ K✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❧✐♠✐t w∗ ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ W0 (I)✳ ∗ K ❙✐♥❝❡ w(n) ∈ RK + ✱ ❛❧s♦ w ∈ R+ ✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✻✹

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts X

k∈K

wk∗ pk − I(p) = lim

n→∞

X

k∈K


(n) wk pk − I(p)

 X (n)
 ≤ lim sup sup wk p˜k − I(p) ˜ n→∞

p>0 ˜

k∈K


= lim sup I¯ ∗ (w(n) ) = 0 . n→∞

✭✸✳✾✵✮

❚❤❡ ❧❛st st❡♣ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ w(n) ∈ W0 (I)✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s I¯∗ (w(n) ) = 0✳ ❙✐♥❝❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✾✵✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I¯ ∗ (w∗ ) = sup

p>0

X l∈K

 wl∗ pl − I(p) ≤ 0 < +∞ .

✭✸✳✾✶✮

❚❤✉s✱ w∗ ∈ W0 (I)✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s t❤❛t W0 (I) ✐s ❝❧♦s❡❞✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② w ˆ∈ W0 (I)✳ ❋♦r ❛♥② w ∈ RK ✇✐t❤ w ≤ w ˆ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ + X l∈K

pl wl − I(p) ≤

X l∈K

pl w ˆl − I(p) ≤ I¯ ∗ (w) ˆ < +∞

❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ t❤✉s w ∈ W0 (I)✳

⊔ ⊓

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✼ ❞♦❡s ♥♦t r❡❧② ♦♥ ❝♦♥✈❡①✐t②✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r s❤♦✇✐♥❣ ♥♦♥✲❡♠♣t✐♥❡ss ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss✳ ❚❤✉s✱ W0 (I) ✐s ❛ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t ❢♦r ❛♥② ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✻✳ w2 w ˆ

W0 (I)

w1

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✼✿ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t W (I) ✐s ❞♦✇♥✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡①✳ ❋♦r ❛♥② wˆ ∈ W (I)✱ ❛❧❧ ♣♦✐♥ts w ≤ wˆ ✭s❤❛❞❡❞ ❜♦①✮ ❛r❡ ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ W (I)✳

❋✐❣✳

✸✳✻✳

0

0

0

✸✳✹✳✸ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s②♥t❤❡s✐s ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t V✳ ❚❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤✉s

✸✳✹ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

IV (p) = max w∈V

X

pl wl

✻✺

✭✸✳✾✷✮

l∈K

✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ s②♥t❤❡s✐s ❛r❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ r❡✈❡rs✐❜❧❡✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✽✳ ❋♦r ❛♥② ♥♦♥✲❡♠♣t② s❡t

V ⊆ RK +

Pr♦♦❢✳

❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡①

✇❡ ❤❛✈❡

✭✸✳✾✸✮

V = W0 (IV ) .

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② v ∈ V ✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✹ ✐♠♣❧✐❡s I¯ ∗ (v) = sup

p>0

≤ sup p>0

X l∈K

X l∈K

vl pl − IV (p) vl pl −

X l∈K





vl pl = 0 .

✭✸✳✾✹✮

❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✸ ✇❡ ❤❛✈❡ v ∈ W0 (IV )✱ ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② V ⊆ W0 (IV )✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✻✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t t❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t V 6= W0 (IV )✱ t❤❡♥ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ w ˆ ∈ W0 (IV ) ✇✐t❤ w ˆ∈ / V ❛♥❞ w ˆ > 0✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ♦❢ s❡♣❛r❛t✐♥❣ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t IV (p) ˆ = max w∈V

X

wl pˆl
0✱ t❤❡♥ W1 = W2 ✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✸✾✳ ▲❡t

Pr♦♦❢✳

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✽✳

⊔ ⊓

❚❤❡ r❡s✉❧ts s❤♦✇ t❤❛t ❛♥② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ❝❛♥ ❜❡ ✐♥✲ P t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ l pl wl ♦✈❡r ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t W0 (I)✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ✉t✐❧✐t②✱ ✇❤❡r❡ W0 (I) ✐s t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t ❛♥❞ p ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❛❝t♦rs t❤❛t ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✉s❡r ♣r✐♦r✐t✐❡s✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✼✳

✻✻

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

w2 p

W0 (I)

w1 ❋✐❣✳ ✸✳✼✳ ❊✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I(p)

❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐✲

♠✉♠ ♦❢ ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠✲✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♣t✐♠✐③❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♥✈❡① s❡t ✏✇❡✐❣❤t✐♥❣ ✈❡❝t♦r✑

p

❝♦♥tr♦❧s t❤❡ tr❛❞❡♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✉t✐❧✐t✐❡s

W0 (I)✳

❚❤❡

wk ✳

✸✳✹✳✹ ●r❡❛t❡st ❈♦♥✈❡① ▼✐♥♦r❛♥t ❛♥❞ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ❝❛♥ ❜❡ ❡①✲ ♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ♦✈❡r t❤❡ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♥✈❡① s❡t W0 (I)✳ ❚❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ I ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ W0 (I)✳ ■♥ t❤✐s s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❆❣❛✐♥✱ I ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦✈❡r ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ♦♣t✐♠✐③✲ ✐♥❣ ♦✈❡r ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ s❡t✱ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ I ❛r❡ ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ g I ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ 

 I(q) , v 0 g I (v) = inf P q>0 vl ql  l∈K  I(q) P = q>0 inf . l∈K vl ql kqk =1

✭✸✳✾✻✮

1

❲✐t❤ ✭✸✳✾✻✮✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ♠✐♥♦r❛♥t ✭✸✳✶✷✮ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳    I(q)  X vk pk I(p) = sup inf P v>0 q>0 l∈K vl ql k∈K   X = sup g I (v) vk pk . v>0

✭✸✳✾✼✮

k∈K

❚❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ s✉♣r❡♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤✉s I(p) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ g I (v) ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❥♦r❛♥t I(p)✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t I(p) ✐s ❛ ❜❡st✲♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ❢♦r ❛♥② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐t ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r ❛♥② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✸✳✾✻✮ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✵✳ ❋♦r ❛♥② t❤❛t

v > 0✱

t❤❡r❡ ✐s ❛

qˆ = qˆ(v) ≥ 0✱

✇✐t❤

kqk ˆ 1 = 1✱

s✉❝❤

✸✳✹ ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s



I(q) ˆ I(q) = min P q≥0 v q ˆ l l l∈K l∈K vl ql kqk =1

g I (v) = P

1

v > 0✱ ✇❡ ✇❡ ❤❛✈❡

P

l∈K vl ql > 0 ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✸✳✾✻✮ ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♠♣❛❝t ❞♦♠❛✐♥ {q ≥ Pr♦♦❢✳ ❙✐♥❝❡

P



.

✻✼

✭✸✳✾✽✮

q ≥ 0✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥ t❛❦❡ 0 : kqk1 = 1}✳ ❲❡ ❤❛✈❡

l∈K vl ql > 0✳ ❚❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥♦✉s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ K ❆❧s♦✱ I(p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ R++ ❬✷❪✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼ s❤♦✇s t❤❛t I(p) ❤❛s ❛ K ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ t❤✉s ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡①t❡♥❞s t♦ R+ ✳ ❆♥② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛tt❛✐♥s ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦✈❡r ❛ ❝♦♠♣❛❝t s❡t✱ t❤✉s

⊔ ⊓

✭✸✳✾✽✮ ❤♦❧❞s✳

❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦r♦❧❧❛r② s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦✲ r❛♥t

I(p)

✐s ❜❡st ♣♦ss✐❜❧❡✱ ❛♥❞ ❛♥② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ s❛❞❞❧❡✲

♣♦✐♥t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✳ ❲❡ ✉s❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✶✳ ❢♦r ❛❧❧

p > 0✱

I

GI (q, p, v)✱

❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✽✮✳

✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

✐✳❡✳✱

I(p) = I(p)

I(p) = inf sup GI (q, p, v) = sup inf GI (q, p, v) . q>0 v>0

Pr♦♦❢✳ ❲✐t❤ ✭✸✳✶✷✮ ✇❡ ❤❛✈❡

I(p) ≥ I(p)

v>0 q>0

❢♦r ❛❧❧

p > 0✳

❆ss✉♠❡ t❤❛t

V s✉❝❤ t❤❛t P   X  maxv∈V l∈K v l ql P I(p) = sup inf vk pk v>0 q>0 l∈K vl ql k∈K P     v l ql X ≥ sup max inf Pl∈K vk pk v>0 v∈V q>0 l∈K vl ql k∈K     vl X vk pk = sup max min l∈K vl v>0 v∈V k∈K     vl X vk pk = sup max min v>0 l∈K vl v∈V k∈K    vl X ≥ sup min v k pk l∈K v l v∈V k∈K X  = sup vk pk = I(p) .

❝♦♥✈❡①✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✺ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

v∈V

❚❤✉s✱

I(p) = I(p)

❢♦r ❛❧❧

✐s ❝♦♥✈❡①✳

I(p)

✐s

k∈K

p > 0✳ I(p) = I(p)

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t

I(p)

✭✸✳✾✾✮

❤♦❧❞s✳ ❇❡❝❛✉s❡

I(p)

✐s ❝♦♥✈❡①✱ ❛❧s♦

⊔ ⊓

❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠✐♥♦r❛♥t ❢r♦♠ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✷✳ ❆♠♦♥❣ ❛❧❧ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥ts✱ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ♣r♦✈✐❞❡s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧♦✇❡r ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥✈❡① ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢

I✳

I✳

■t ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s t❤❡ ✏❜❡st✑

✻✽

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✹✷✳ ▲❡t

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥

❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ♦❢

I(p)✳

I(p)

✐s t❤❡

▲❡t I ′ ❜❡ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ♦❢ I ✳ ❋♦r ❛❧❧ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p) ≤ I ′ (p) ≤ I(p)✱ ❛♥❞ t❤✉s Pr♦♦❢✳

g I (v) ≤ g I ′ (v) ≤ g I (v) ❢♦r ❛❧❧ v > 0 .

✭✸✳✶✵✵✮

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ I(p) = sup g I (v) v>0 kvk1 =1

X

≥ sup g I ′ (v) v>0 kvk1 =1

vk pk

k∈K

X

k∈K

vk pk = I ′ (p) .

✭✸✳✶✵✶✮

❚❤✉s✱ I(p) = I ′ (p) ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳

⊔ ⊓

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ 1 I1 (v) = = sup g I (v) q>0

kqk1 =1

P

l∈K vl ql

I(q)

.

✭✸✳✶✵✷✮

❲❡ s❤♦✇ t❤❛t I1 (v) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I1 (v) ✐s ❛❧✇❛②s ❞❡✜♥❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ I ✐s str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✭❛①✐♦♠ ❆✶✮✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② v > 0 ❛♥❞ λ > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ 1 g I (λv) = · g I (v) . ✭✸✳✶✵✸✮ λ

■❢ v ≥ v ✱ t❤❡♥ g I (v ) ≤ g I (v )✱ t❤✉s I1 (v) ❢✉❧✜❧❧s ❛①✐♦♠s ❆✷✱ ❆✸✳ ◆❡①t✱ ♣♦s✐t✐✈✐t② ✭❆✶✮ ✐s s❤♦✇♥✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✵ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐❞❡♥t✐t② ✐s ❢✉❧✜❧❡❞ ❢♦r ❛♥② v > 0✱ ✇✐t❤ kvk1 = 1✳ (1)

(2)

(1)

g I (v) = min

q≥0 kqk1 =1



(2)

I(q) l∈K vl ql

P



≤

1 K

1 I(1) K

P

l∈K vl

= I(1) .

❚❤❛t ✐s✱ g I (v) ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ❜② s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t I(1)✱ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ I1 (v) =

1 1 ≥ >0. g I (v) I(1)

❚❤✉s✱ I1 ✐s ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❢♦r ❛♥② v ❛♥❞ ❆✶ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✻ ✭❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✮ ✇❡ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ I2 t♦ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❡❝t♦rs v ≥ 0✱ ✇✐t❤ kvk1 = 1✳ ❚❤❡♥✱ g I (v) = 1/I1 (v) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ {v ≥ 0 : kvk1 = 1}✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✸✳✶✵✷✮ t❤❛t I1 (v) ✐s ❝♦♥✈❡① ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ s✉♣r❡♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❍❡♥❝❡✱ I1 (v) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✸✳✺ ❊①♣r❡ss✐♥❣ ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ❛s ❙✉❜✲✴❙✉♣❡r❧❡✈❡❧ ❙❡ts ♦❢ ❈♦♥✈❡①✴❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✸✳ ▲❡t

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥

g (v)

✐s

I K ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ R+ ✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ K ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t W ⊂ R+ s✉❝❤ t❤❛t

g I (v) =

1 max

w∈W

P

k∈K wk vk

1

= min P w∈W

k∈K

wk vk

.

✭✸✳✶✵✹✮

❙✐♥❝❡ I1 (v) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✺ t❤❛t ✭✸✳✶✵✹✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② v ∈ RK ++ ✳ ❚❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✐♥ ✭✸✳✶✵✹✮ ✐s str✐❝t❧② ♣♦s✲ ✐t✐✈❡✱ s♦ g I ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡①t❡♥❞s t♦ RK ⊔ ⊓ +✳ Pr♦♦❢✳

❲✐t❤ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② s❤♦✇♥ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✸ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt② ✭✸✳✾✼✮✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ♠✐♥♦r❛♥t I ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s I(p) = max g I (v) · v≥0 kvk1 =1

X

vk pk ,

p>0.

✭✸✳✶✵✺✮

k∈K

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ♦✈❡r ❛ ❝♦♠♣❛❝t s❡t✱ ❛♥❞ g I ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ ✭✸✳✾✻✮✳ ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✶ ❛♥❞ ✭✸✳✶✵✺✮✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ✐s s❤♦✇♥✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✹✳

I

✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

I(p) = max g I (v) · v≥0 kvk1 =1

X

vk pk

❢♦r ❛❧❧

p>0.

✭✸✳✶✵✻✮

k∈K

❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭✸✳✶✵✻✮ ✇✐t❤ ✭✸✳✽✶✮ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②s ♦❢ ❡①♣r❡ss✐♥❣ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ ✭✸✳✽✶✮✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t W0 (I) ✐s ✉s❡❞ t♦ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ t❤❡ ♣r♦♣✲ ❡rt✐❡s ♦❢ I ✱ ✇❤✐❧❡ ✭✸✳✶✵✻✮ ✉s❡s t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ g I ✳ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✇❛② ♦❢ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s✲ ❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✽✳ ✸✳✺ ❊①♣r❡ss✐♥❣ ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ❛s ❙✉❜✲✴❙✉♣❡r❧❡✈❡❧ ❙❡ts ♦❢ ❈♦♥✈❡①✴❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ✇❡ ❤❛✈❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ♦r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ t❤✐s s❡❝✲ t✐♦♥ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❛♥② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠✲ ♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ❢r♦♠ RK ++ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛♥② ❝❧♦s❡❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥✈❡① s❡t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥✳ ▲❛t❡r✱ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✻✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❤♦✇ t❤✐s r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❣❛♠❡ t❤❡♦r②✳

✼✵

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② K ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t V ⊂ RK ++ ✱ V 6= R++ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ I(p) = max w∈V

X

k∈K

wk · pk ,

❢♦r ❛❧❧ p > 0✳

✭✸✳✶✵✼✮

❘❡❝❛❧❧ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❢r♦♠ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✸✳ L(I) = {p > 0 : I(p) ≤ 1} .

❋r♦♠ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✽✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t L(I) ✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ I ✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t L(I) ✐s ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞✳ ❚❤❡ s❡t L(I) ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥✈❡①✱ s✐♥❝❡ ✐t ✐s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ L(I) 6= V ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ V ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✳ ❲❤✐❧❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡s✉❧t ❢♦r ❝♦♥✈❡① s❡ts ❛♥❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✸✳✶✵✼✮✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡①♣r❡ss V ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥♦t❤❡r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I1 (p) = max

v∈L(I)

X

✭✸✳✶✵✽✮

vk pk .

k∈K

❯♥❧✐❦❡ I ✱ t❤❡ ♥❡✇ ❢✉♥❝t✐♦♥ I1 ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡t L(I)✱ t❤✉s ✐t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡t V ♦♥❧② ✐♥❞✐r❡❝t❧②✳ ❚❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✭✸✳✶✵✽✮ ✐s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❡①✐st s✐♥❝❡ L(I) ✐s ❛ ❝♦♠♣❛❝t s❡t ✭r❡❧❛t✐✈❡❧② ✐♥ RK ++ ✮✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I1 ✐s ❛❧s♦ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t L(I1 ) ❡q✉❛❧s t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❡t V ✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ K ❝♦♥✈❡① s❡t V ⊂ RK ++ ✱ V 6= R++ ✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ s②♥t❤❡s✐③❡ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✽✼✮✳ ▲❡t I1 ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✵✽✮✱ t❤❡♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✺✳

✭✸✳✶✵✾✮

V = L(I1 ) .

Pr♦♦❢✳ ▲❡t v ∈ V ✱ t❤❡♥ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✸✳✽✼✮ t❤❛t ❛❧❧ p ∈ L(I)✳ ❚❤✉s✱ X 1 ≥ max

p∈L(I)

k∈K

vk pk = I1 (v) .

P

k

vk pk ≤ 1 ❢♦r

❚❤❛t ✐s✱ v ∈ V ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ I1 ✱ ✐✳❡✳✱ v ∈ L(I1 )✱ t❤✉s ✐♠♣❧②✐♥❣ V ⊆ L(I1 )✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡✱ ✐✳❡✳✱ V ⊇ L(I P 1 )✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② v ∈ L(I1 )✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✸✳✶✵✽✮ t❤❛t k vk pk ≤ 1 ❢♦r ❛❧❧ p ∈ RK ++ s✉❝❤ t❤❛t I(p) ≤ 1✳ ◆♦✇ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(p) = 1✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s X

k∈K

vk pk − I(p) ≤ 1 − 1 = 0 .

✸✳✺ ❊①♣r❡ss✐♥❣ ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ❛s ❙✉❜✲✴❙✉♣❡r❧❡✈❡❧ ❙❡ts ♦❢ ❈♦♥✈❡①✴❈♦♥❝❛✈❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤✉s✱ sup p>0 : I(p)=1

X k


vk pk − I(p) ≤ 0

✭✸✳✶✶✵✮

▲❡t pˆ > 0 ❜❡ ❛r❜✐tr❛r②✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s❡t V ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p) ˆ >0 ˆ ˆ ❛♥❞ λ := 1/I(p) ˆ < +∞✳ ❉❡✜♥✐♥❣ p˜ = λpˆ ❛♥❞ ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ ❆✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X

k∈K

 1 ˆ X ·λ vk pˆk − I(p) ˆ ˆ λ k∈K  1 X vk p˜k − I(p) ˜ ≤0 = ˆ λ k∈K

vk pˆk − I(p) ˆ =

✭✸✳✶✶✶✮

❚❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ I(p) ˜ = 1 ❛♥❞ ✭✸✳✶✶✵✮✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ I¯ ∗ (v) := sup

p>0 ˆ

X

k∈K


vk pˆk − I(p) ˆ ≤0.

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I¯∗ (v) ✐s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ I ✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✹❪ t❤❛t I¯∗ (v) < +∞ ✐♠♣❧✐❡s v ∈ V ✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❡✈❡r② v ∈ L(I1 ) ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ V ✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ⊔ ⊓

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✺ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ❢r♦♠ RK ++ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r ❢r♦♠ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✶ t❤❛t ❛♥② s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥✈❡①✳ ❙✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢♦r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝♦♥✈❡① ❝❧♦s❡❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t V ⊂ RK 6 RK ++ ✱ V = ++ ✳ ❚❤✐s s❡t ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) = min v∈V

X

vk pk .

✭✸✳✶✶✷✮

k∈K

❚❤❡ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t L(I) ✐s ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡①✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ L(I) 6= V ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡①♣r❡ss V ❛s ❛ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I2 (p) = min

v∈L(I)

X

vk pk .

✭✸✳✶✶✸✮

k∈K

❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥✲❡♠♣t② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t V ⊂ RK 6 RK ++ ✱ V = ++ ✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ s②♥t❤❡s✐③❡ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✷✮✳ ▲❡t I2 ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✸✮✱ t❤❡♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✻✳

V = L(I2 ) .

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✺✳

✭✸✳✶✶✹✮ ⊔ ⊓

✼✷

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✻ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t ❢r♦♠ RK ++ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❡✈❡r② s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡♦r❡♠s ✸✳✹✺ ❛♥❞ ✸✳✹✻ ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✿ ❊✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ r❡♣✲ r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✽✼✮✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✇❡✐❣❤t❡❞ t♦t❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ✉t✐❧✐t② ❢r♦♠ ❛ ✉t✐❧✐t② s❡t V = {v > 0 : I1 (v) ≤ 1}✳ ❍❡r❡✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I1 (v) ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✉t✐❧✐t✐❡s v ✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ ❡✈❡r② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✶✷✮✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✇❡✐❣❤t❡❞ t♦t❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❝♦st ❢r♦♠ ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡t V = {v > 0 : I2 (v) ≥ 1}✳ ❚❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I2 (v) ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞✐♥❣ ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ❝♦st ✈❡❝t♦r v ✳ ✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ p = es ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✷✮✳ ❖♥❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✐s ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✸ ❬✺❪✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p)✱ ♦♥ RK ++ ✱ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s I(p) = max

w∈L(I)

✇❤❡r❡

  Y (pl )wl f I (w) ·

✭✸✳✶✶✺✮

l∈K

 L(I) = w ∈ RK + : f I (w) > 0 ,

✭✸✳✶✶✻✮

❛♥❞ f I (w) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

I(p) , wl l∈K (pl )

f I (w) = inf Q p>0

w ∈ RK + .

✭✸✳✶✶✼✮

◆♦t❡✱ t❤❛t w ✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❜❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✱ ❢♦r r❡❛s♦♥s t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❝❧❡❛r ❧❛t❡r✳ ❙✐♥❝❡ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ f I (w) ≥ 0✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ s②♥t❤❡s✐③❡❞ ❢r♦♠ ❝❡r✲ t❛✐♥ ✉t✐❧✐t② s❡ts✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛❧❧♦✇ ❢♦r s♦♠❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ ❑✉❧❧❜❛❝❦✲▲❡✐❜❧❡r ❞✐st❛♥❝❡ ✭❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✳✹✮ ❛♥❞ ❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❣❛♠❡ t❤❡♦r② ✭❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✻✮ ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥✳ ❙♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥❛❧②③❡❞✳ ✸✳✻✳✶ ❇❛s✐❝ ❇✉✐❧❞✐♥❣ ❇❧♦❝❦s ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ξ(p) ✐s ❛ ❜❛s✐❝ ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦ ♦❢ ❛♥② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

ξ(p) =

Y

✼✸

✭✸✳✶✶✽✮

(pl )wl

l∈K

✇❤❡r❡ w = [w1 , . . . , wK ]T ∈ RK + ✱ ❛r❡ s♦♠❡ ❣✐✈❡♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✇✐t❤ kwk1 = 1✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ p = es ✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t ξ(es ) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ RK ✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ξ(es ) ❢✉❧✜❧❧s ♣r♦♣❡rt② ❆✶ ✭♣♦s✐t✐✈✐t②✮ ❜❡❝❛✉s❡ p =P es > 0✳ Pr♦♣❡rt② ❆✷ ✭s❝❛❧❡✲✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✮ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ kwk1 = l wl = 1✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ξ(αp) =

Y

P

(αpl )wl = α(

l

wl )

l∈K

=α

Y

·

(pl )wl = α · ξ(p) .

Y

✭✸✳✶✶✾✮

(pl )wl

l∈K

l∈K

Pr♦♣❡rt② ❆✸ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ w ≥ 0✳ ❚❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ w ≥ 0 ✐s ♥❡❝❡ss❛r② s✐♥❝❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❆✸ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✈✐♦❧❛t❡❞✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ kwk1 = 1 ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r ❆✷ t♦ ❤♦❧❞✱ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ✭✸✳✶✶✾✮✳ ❚❤✉s✱ ξ(p) ✐s ❛ ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ kwk1 = 1 ❛♥❞ w ≥ 0✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w)✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✼✮✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t f I (w) ❤❛s ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❛♥❛❧✲ ②s✐s✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✼✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

log I(es )✳ Pr♦♦❢✳

log f I (w) ✐s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥

❇② ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ t❤❡ log ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ log f I (w) = inf log I(es ) − s∈RK

X l∈K

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❬✷✸✱ ✽✹❪✳


wl sl ,

✭✸✳✶✷✵✮ ⊔ ⊓

■♥ ✭✸✳✶✶✼✮✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) ✇❛s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK + ✳ ❚❤✐s ✐s ❥✉st✐✜❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡ f I (w) = 0✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t I(p) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ++ ✱ t❤✉s I(p) > 0 ✐s ❛❧✇❛②s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❛s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❆✶✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✭✸✳✶✶✺✮✱ ✇❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤♦s❡ w ❢♦r ✇❤✐❝❤ f I (w) > 0✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ s❡t L(I) ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✸✳✶✶✻✮✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✽✳ ▲❡t

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❧❡t

✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t t❤❡♥

w

❜❡ s♦♠❡

f I (w) = 0✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② w ∈ RK ✱ ✇✐t❤ ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t wr < 0 ❢♦r s♦♠❡ ✐♥❞❡① r✳ ❉❡✜♥✐♥❣ ❛ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(λ) ✇✐t❤ pl (λ) = 1✱ l 6= r ❛♥❞ pr (λ) = λ✱ ✇✐t❤ λ > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Pr♦♦❢✳

f I (w) ≤ Q

I p(λ)

l∈K






wl = (λ)|wr | · I p(λ) . pl (λ)

✼✹

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts




❇❡❝❛✉s❡ I p(λ) ≤ I(1) ❢♦r ❛❧❧ λ ∈ (0, 1]✱ ✇❡ ❤❛✈❡ f I (w) ≤ lim (λ)|wr | · I(1) = 0 . λ→0

❚❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦rs w ∈ L(I)✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✾✳

t❤❡♥ kwk1 = 1✳

⊔ ⊓

▲❡t I ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ w ∈ RK + ✳ ■❢ f I (w) > 0

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t f I (w) > 0 ❛♥❞ kwk1 6= 1✳ ❋r♦♠ ✭✸✳✶✶✼✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥st❛♥t pˆ > 0 ❛♥❞ ❛ s❝❛❧❛r λ > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ 1 I(λp) ˆ f I (w) ≤ Q = (kwk −1) · C1 , ✭✸✳✶✷✶✮ wl 1 pl ) l∈K (λˆ

✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t C1 = I(p)/ ˆ t❤✉s

Q

pl ) l (ˆ

wl

kwk1 > 1

⇒

0 = lim

kwk1 < 1

⇒

0 = lim

λ

✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✷✶✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ λ > 0✱ 1

λ→∞ λ(kwk1 −1)

λ→0

· C1 ≥ f I (w) ≥ 0

1 · C1 ≥ f I (w) ≥ 0 . λ(kwk1 −1)

❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ f I (w) = 0✱ t❤✉s ✐♠♣❧②✐♥❣ kwk1 = 1✳

⊔ ⊓

❋r♦♠ ▲❡♠♠❛s ✸✳✹✽ ❛♥❞ ✸✳✹✾ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✐♥t❡r❡st ❛r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡t L(I)✳ ❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✾ t❤❛t ❡✈❡r② w ∈ L(I) ❢✉❧✲ ✜❧❧s kwk1 = 1✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ L(I) ✐s ❢✉rt❤❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛s✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✵✳

RK +

✳

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✼✮✱ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♦♥ Q

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ l∈K (pl )wl ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ w✱ ❛♥❞ s♦ ✐s ✐ts ✐♥✈❡rs❡✳ P♦✐♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈❡s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈✐t②✱ t❤✉s f I (w) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡✳ ⊔ ⊓ ◆♦t✐❝❡ t❤❛t f I (w) ✐s ♥♦t ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✵ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✶✳

❚❤❡ s❡t L(I)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✻✮✱ ✐s ❝♦♥✈❡①✳

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r t✇♦ ♣♦✐♥ts w, ˆ w ˇ ∈ L(I)✱ ❛♥❞ t❤❡ ❧✐♥❡ w(λ) = (1 − λ)w ˆ k + λw ˇk ,

λ ∈ [0, 1] .

K ❲❡ ❤❛✈❡ w(λ) ∈ RK + ✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♦♥ R+ ✭▲❡♠♠❛ ✸✳✺✵✮✱ t❤✉s

✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s




✼✺

✭✸✳✶✷✷✮

f I w(λ) ≥ f I (w) ˆ 1−λ · f I (w) ˇ λ.




❇❡❝❛✉s❡ f Ik (w ˆ k ) > 0 ❛♥❞ f I (w ˇ k ) > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ f I w(λ) > 0✱ t❤✉s k
f I w(λ) ∈ L(I)✳ ⊔ ⊓ ❆♥♦t❤❡r ♣r♦♣❡rt② ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❧❛t❡r✿

▲❡♠♠❛ ✸✳✺✷✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❡✈❡r② s❡q✉❡♥❝❡

w(n) ≥ 0✱

f I (w) ✐s ✉♣♣❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r kw (n) k1 = 1 ❛♥❞ limn→∞ w (n) = w ∗ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✇✐t❤

✭✸✳✶✷✸✮

f I (w ∗ ) ≥ lim sup f I (w (n) ) . n→∞

Pr♦♦❢✳

❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✸✳✶✶✼✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Q

I(p)

(n)

wl

l (pl )

≥ f I (w (n) ) ,

✭✸✳✶✷✹✮

∀p > 0 , ∀n ∈ N .

❚❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✐♥ ✭✸✳✶✷✹✮ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ w✱ t❤✉s I(p) I(p) = lim Q ≥ lim sup f I (w (n) ) . (n) wl∗ n→∞ wl (p ) n→∞ l (p ) l l l

✭✸✳✶✷✺✮

Q

❚❤✐s ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❚❤❡ r✐❣❤t s✐❞❡ ♦❢ t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ p✱ t❤✉s inf Q

p>0

I(p) = f I (w ∗ ) ≥ lim sup f I (w (n) ) . wl∗ (p ) n→∞ l l

⊔ ⊓

❚♦ s✉♠♠❛r✐③❡✱ ❛♥② str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) > 0✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿

• f I (w) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ✉♣♣❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t L(I) ✐s ❝♦♥✈❡①✳ • f I (w) > 0 ✐♠♣❧✐❡s kwk1 = 1✱ t❤✉s ❛❧❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ L(I) ❤❛✈❡ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✳

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛♥❞ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s✲ ❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r✳ ✸✳✻✳✷ ❆♥❛❧②s✐s ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❲✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ♠❛✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✸✳ ❊✈❡r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s

I(p) = max

I(p)✱

  Y (pl )wl . f I (w) ·

w∈L(I)

l∈K

♦♥

RK ++ ✱

❝❛♥ ❜❡

✭✸✳✶✷✻✮

✼✻

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

Pr♦♦❢✳

❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✭✸✳✶✶✼✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r ❛❧❧ p > 0 ❛♥❞ w ∈ L(I)✱ Y

(pl )wl

✭✸✳✶✷✼✮

 (pl )wl ≤ I(p) .

✭✸✳✶✷✽✮

I(p) ≥ f I (w) ·

❚❤✉s✱ sup



w∈L(I)

f I (w) ·

Y

l∈K

l∈K

■t ✇✐❧❧ t✉r♥ ♦✉t ❧❛t❡r t❤❛t t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✭✸✳✶✷✽✮ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛tt❛✐♥❡❞✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ log I(es ) ✐s ❝♦♥✈❡①✱ s♦ ❢♦r ❛♥② sˆ ∈ RK ✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ w ˆ ∈ RK s✉❝❤ t❤❛t ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✽✹✱ ❚❤♠✳ ✶✳✷✳✶✱ ♣✳ ✼✼❪✮ log I(es ) − log I(esˆ) ≥

X l∈K

❢♦r ❛❧❧ s ∈ RK ✳

w ˆl (sl − sˆl ) ,

❯s✐♥❣ p = es ✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s I(p) I(p) ˆ ≥Q = Cˆ1 , w ˆ l pl )wˆl l∈K (pl ) l∈K (ˆ

∀p > 0 .

Q

✭✸✳✶✷✾✮

✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t Cˆ1 ∈ R++ ✳ ❲✐t❤ ✭✸✳✶✶✼✮ ✇❡ ❤❛✈❡ f I (w) ≥ eCˆ1 > 0✱ t❤✉s w ˆ ∈ L(I)✳ ❲❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ ✭✸✳✶✷✾✮ ❛s Y I(p) (ˆ pl )wˆl , w ˆl l∈K (pl )

I(p) ˆ ≤Q

l∈K

∀p > 0 .

✭✸✳✶✸✵✮

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✸✵✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ t❤✉s I(p) ˆ ≤ f I (w) ˆ ·

Y

(ˆ pl )wˆl ,

✭✸✳✶✸✶✮

l∈K

✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✷✽✮ ♠✉st ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✱ t❤✉s I(p) = sup

  Y (pl )wl . f I (w) ·

w∈L(I)

✭✸✳✶✸✷✮

l∈K

■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s s✉♣r❡♠✉♠ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p > 0✳ ❋r♦♠ ✭✸✳✶✸✷✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ w(n) ∈ L(I)✱ n ∈ N✱ s✉❝❤ t❤❛t Y (n) 1 I(p) − ≤ f I (w (n) ) · (pl )wl , ∀n ∈ N . ✭✸✳✶✸✸✮ n

l∈K

❚❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜✲s❡q✉❡♥❝❡ w ✱ m ∈ N✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ❛ ❧✐♠✐t w∗ = (nm ) limm→∞ w ✳ ◆♦✇✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t w∗ ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ L(I)✳ ❲✐t❤ pl ≤ kpk∞ ✇❡ ❝❛♥ ❜♦✉♥❞ ✭✸✳✶✸✸✮ (nm )

I(p) −

P (n) 1 ≤ f I (w(n) ) · (kpk∞ ) l wl . n

✭✸✳✶✸✹✮

✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✼✼

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ kw(n) k1 = 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ f I (w (n) ) ≥

I(p) − n1 , kpk∞

❢♦r ❛❧❧ n ∈ N✳

✭✸✳✶✸✺✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❆✶✱ t❤✉s lim inf f I (w (nm ) ) ≥ m→∞

I(p) >0. kpk∞

✭✸✳✶✸✻✮

❇② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✷ ❛♥❞ ✭✸✳✶✸✻✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ f I (w∗ ) > 0✱ t❤✉s w∗ ∈ L(I)✳ ❲✐t❤ ✭✸✳✶✸✷✮ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p) ≥ f I (w∗ ) · 

Y

∗

(pl )wl

l∈K

≥ lim inf f I (w (nm ) ) · m→∞

Y

(nm )

(pl )wl

l∈K

1  = I(p) , ≥ lim inf I(p) − m→∞ nm 



✭✸✳✶✸✼✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✸✳✶✸✸✮✳ ❍❡♥❝❡✱ I(p) = f I (w ∗ ) ·

Y

∗

(pl )wl = max



w∈L(I)

l∈K

f I (w) ·

Y

l∈K

 (pl )wl .

⊔ ⊓

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✸ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ✭✸✳✶✷✻✮✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✵ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t f I (w) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡✳ Q ❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡✱ t❤✉s f I (w) · l∈K (pl )wl ✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ w✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✸✳✶✷✻✮ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦✈❡r ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t L(I)✳ ✸✳✻✳✸ ❙②♥t❤❡s✐s ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥❛❧②③❡❞ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆♥② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❜r♦❦❡♥ ❞♦✇♥ ✐♥t♦ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❜❧♦❝❦s✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ r❡✈❡rs❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ t❤❡ s②♥t❤❡s✐s ♦❢ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t M = {w ∈ RK + : kwk1 = 1} ,

✭✸✳✶✸✽✮

❛♥❞ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ g(w) : M 7→ R+ ✳ ❲❡ ❝❛♥ s②♥t❤❡s✐③❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ig (es ) = Q

sup w∈M:g(w)>0

  Y g(w) (esl )wl .

✭✸✳✶✸✾✮

l∈K

◆♦t✐❝❡✱ t❤❛t g(w) l∈K (esl )wl ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥ s ❢♦r ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ w✳ ▼❛①✐✲ ♠✐③❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈❡s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②✱ t❤✉s Ig (p) ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳

✼✽

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

▲❡♠♠❛ ✸✳✺✹✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥

log 1/g(w)




✳

log Ig (es )

✐s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ sup ❛♥❞ log✱ t❤✉s Pr♦♦❢✳

s

log Ig (e ) = =

sup w∈M:g(w)>0

sup w∈M:g(w)>0

  X log g(w) + wl sl l∈K

X l∈K

1 wl sl − log g(w)



✭✸✳✶✹✵✮

,

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬✽✹❪✳

⊔ ⊓

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ig (es )✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ f Ig (w)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✼✮✳ ❆♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ✐s✿ ✇❤❡♥ ❞♦❡s g = f I ❤♦❧❞❄ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✿ ❛r❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ s②♥t❤❡s✐s r❡✈❡rs❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s❄ g ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✺✳

g = fI

g

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

g(w)

✐s ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♦♥

s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳

M

❛♥❞ ✉♣♣❡r

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ig ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤✉s f Ig ✐s ❧♦❣✲ ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ✉♣♣❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❈♦r♦❧❧❛r② ✶✳✸✳✻ ✐♥ ❬✽✹✱ ♣✳ ✷✶✾❪✳ ⊔ ⊓

Pr♦♦❢✳

■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❡①❛♠♣❧❡s ❛♥❞ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ♦❢ f I (w)✳

✸✳✻✳✹ ❈♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❑✉❧❧❜❛❝❦✲▲❡✐❜❧❡r ❉✐st❛♥❝❡

■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) = v T p✳ ❋♦r t❤✐s s♣❡❝✐❛❧ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) ❤❛s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✸✳✶✶✼✮ ✇❡ ❤❛✈❡ P l∈K vl pl Q f I (w) = inf . wl p>0 l∈K (pl )

✭✸✳✶✹✶✮

■❢ t✇♦ ♦r ♠♦r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ v ❛r❡ ♥♦♥✲③❡r♦✱ t❤❡♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✹✶✮ ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ❛❢t❡r t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ p = es ✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✽✺❪✳ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛✲ t✐✈❡s ❛♥❞ s❡tt✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t t♦ ③❡r♦✳ ❆ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ♦♣t✐♠❛❧✐t② ✐s wr X p∗r = · vl p∗l , ∀r ∈ K . ✭✸✳✶✹✷✮ vr

l∈K

❲✐t❤ ✭✸✳✶✹✷✮✱ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✭✸✳✶✹✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✼✾

P

❊①♣❧♦✐t✐♥❣

P

r

∗ l vl pl wr f I (w) = Q  P wr ∗ · v p l r vr l l P ∗ l vl pl =    Pr wr . w Q wr r P ∗ · r vr l vl pl

wr = 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X Y  wl −wl wl =− wl log . log f I (w) = log vl vl

✭✸✳✶✹✸✮

✭✸✳✶✹✹✮

l∈K

l∈K

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t − log f I (w) ✐s t❤❡ ❑✉❧❧❜❛❝❦✲▲❡✐❜❧❡r ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❡❝t♦rs v ❛♥❞ w✳ ❚❤✐s ❝♦♥♥❡❝ts t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) ✇✐t❤ ❛ ❦♥♦✇♥ ♠❡❛s✉r❡✳ ❋♦r r❡❧❛t❡❞ r❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❑✉❧❧❜❛❝❦✲▲❡✐❜❧❡r ❞✐st❛♥❝❡ ❛♥❞ t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐❝❡s✱ s❡❡ ❬✽✻❪✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r K ✉s❡rs ✇✐t❤ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts V = [v 1 , . . . , v K ]T ✱ ❛♥❞ ❛ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ρV (γ)✳ ❚❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✶✳✷✶✮✳ ❙✐♥❝❡ ρV (γ) ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✹✮✱ ❛❧❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❞❡✲ r✐✈❡❞ s♦ ❢❛r ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦r♦❧❧❛r② ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ t❤❡ str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧t ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✸✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✺✻✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② sq✉❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐① V ≥ 0 ✇✐t❤ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik(V ) ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✳✶✵✮✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❧♦❣✲ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ fV (w)✱ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ R+ ✱ ✇✐t❤ kwk1 = 1✱ s✉❝❤ t❤❛t ρV (γ) =

max



w∈L(I (V ) )

fV (w)

 (γl )wl .

✭✸✳✶✹✺✮

γ1 γ2 V12 V21 .

✭✸✳✶✹✻✮

Y

l∈K

❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✷✲✉s❡r ❝❛s❡✱ ✇✐t❤ h ρV (γ) = ρ γ1 0V21

γ1 V12 0

i

=

p

❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐① ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✐ts ♠❛①✐✲ ♠❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✳ ❋♦r K = 2✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✸✳✶✹✻✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛❢t❡r ❛ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ γk = exp qk ❬✹✶❪✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s❡❧❢ ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡✱ s♦ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐s s❡t t♦ ③❡r♦✳ ❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭✸✳✶✹✺✮ ✇✐t❤ ✭✸✳✶✹✻✮ ✇❡ ❤❛✈❡ (√ fV (w) =

V12 V21 ,

0,

w1 = w2 = 1/2

♦t❤❡r✇✐s❡✳

✭✸✳✶✹✼✮

❚❤✐s s❤♦✇s ❤♦✇ ✭✸✳✶✹✻✮ ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✹✺✮✳ ✸✳✻✳✺ ❊✈❡r② ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥

■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❆t ✜rst ❣❧❛♥❝❡✱ t❤✐s ♠✐❣❤t s❡❡♠ ❝♦♥tr❛❞✐❝t♦r② s✐♥❝❡ ❛♥②

✽✵

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡①✱ ❜✉t ♥♦t t❤❡ ♦t❤❡r ✇❛② r♦✉♥❞ ❬✷✸❪✳ ❚❤✐s ❛♣♣❛r❡♥t ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ ✐s ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✮ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ p = exp{s}✳ ❚❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❛ s✐♠♣❧❡r ❛♥❞ ♠♦r❡ ❞✐r❡❝t ✇❛② ❜② ❡①✲ ♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧t ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✼✳ ❊✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡♦r❡♠P ✸✳✸✺ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ P ❛s maxw∈W0 (I) k wk pk ✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ g(es ) = k wk esk ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ ✐✳❡✳✱ log g(es ) ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈❡s ❝♦♥✈❡①✐t②✱ t❤✉s maxw∈W0 (I) log g(es ) ✐s ❝♦♥✈❡① ❛s ✇❡❧❧✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✐♥t❡r❝❤❛♥❣✐♥❣ log ❛♥❞ max✳ ⊔ ⊓ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✼ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝♦♥t❛✐♥s ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✳ ✸✳✻✳✻ ●r❡❛t❡st ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ▼✐♥♦r❛♥t

■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✶ t❤❛t ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s s✉♣✲✐♥❢ ❛♥❞ ✐♥❢✲s✉♣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ✭✸✳✶✵✮ ❛♥❞ ✭✸✳✶✶✮✱ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s GI (q, p, v) ❛♥❞ FI (q, p, w)✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ GI (q, p, v) ❛❧❧♦✇❡❞ ✉s t♦ ❞❡r✐✈❡ ❜❡st✲♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥ts ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥ts✳ ◆❡①t✱ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ❛r❡ s❤♦✇♥ ❢♦r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ FI (q, p, w) ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ I(q) , wl l∈K (ql )

f I (w) = q>0 inf Q kqk1 =1

w 0.

❇② ❡①❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ inf ❛♥❞ sup ✐♥ ✭✸✳✶✶✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❢♦r ❛❧❧ p > 0 I(p) ≥ sup inf FI (q, p, w) w>0 kwk1 =1

q>0

= sup f I (w) w>0 kwk1 =1

Y

k∈K

(pk )wk =: I (lcnvx) (p) .

✭✸✳✶✹✽✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I (lcnvx) ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ♦❢ I ✳ ❙✐♥❝❡ I ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✸ t❤❛t t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✭✸✳✶✹✽✮ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✱ ✐✳❡✳✱ I (lcnvx) (p) = max f I (w) w>0 kwk1 =1

Y

(pk )wk .

✭✸✳✶✹✾✮

k∈K

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✸✳✶✹✾✮ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ L(I)✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈✐t② ✐❢ I ✭❆①✐♦♠ ❆✶✮✳ ❚❤✉s✱ I (lcnvx) (p) = I(p)✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

✸✳✻ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✽✳

I(p)✱ ✐✳❡✳✱

✽✶

I ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ I (lcnvx) (p) =

I(p) = inf

q>0

sup FI (q, p, w) = sup inf FI (q, p, w) . w>0 kwk1 =1

w>0 kwk1 =1

q>0

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❞✐s❝✉ss✐♦♥✳ ■t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛② ❛s t❤❛t ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✶✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ✭✸✳✶✶✮✳ ⊔ ⊓ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ♠✐♥♦r❛♥t I (lcnvx) (p) ✐s ❜❡st✲ ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✜♥❞ ❛ t✐❣❤t❡r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t✳

▲❡t I ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ ✭✸✳✶✹✾✮ ✐s ✐ts ❣r❡❛t❡st ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t✳ Pr❡❝✐s❡❧②✱ ❧❡t I˜ ❜❡ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧s ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✾✳

˜ ≤ I(p) , 0 < I (lcnvx) (p) ≤ I(p)

∀p > 0 ,

✭✸✳✶✺✵✮

˜ ✳ t❤❡♥ I (lcnvx) (p) = I(p)

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s fI (lcnvx) (w)✱ fI˜ (w)✱ ❛♥❞ f I (w) ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ ✭✸✳✶✶✼✮✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✭✸✳✶✺✵✮ ✇❡ ❤❛✈❡ fI (lcnvx) (w) ≤ fI˜ (w) ≤ f I (w) ,

❢♦r ❛❧❧ w ≥ 0✱ kwk1 = 1✳

❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s I (lcnvx) (p) =

sup



w∈L(I (lcnvx) )

fI (lcnvx) (w) ·

(pl )wl

l∈K

  Y ≤ sup fI˜ (w) · (pl )wl ˜ w∈L(I)

Y



l∈K

  Y (pl )wl = I (lcnvx) (p) , ≤ sup f I (w) · w∈L(I)

✭✸✳✶✺✶✮

l∈K

˜ ✳ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ I (lcnvx) (p) = I(p)

⊔ ⊓

❚♦ ❝♦♥❝❧✉❞❡✱ ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜② ❜❡st✲ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥ts✳ ❚❤❡s❡ ♠✐♥♦r❛♥ts ❛r❡ ❛❧s♦ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■t ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✳✺ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❜✉t t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s ❢❛❧s❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❜r♦❛❞❡r t❤❛♥ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♣♣r♦①✐♠❛✲ t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② t✐❣❤t❡r✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧ ❧❛t❡r ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✽✳✸✳

✽✷

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

✸✳✻✳✼ ▲❡❛st ▲♦❣✲❈♦♥❝❛✈❡ ▼❛❥♦r❛♥t

▲♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡r❡ ❢♦r♠❛❧❧② ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✷✱ ❜✉t ❛❧❧ t❤❡ r❡s✉❧ts ♣r❡s❡♥t❡❞ t❤✉s ❢❛r ❛r❡ ♦♥ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❛s②♠♠❡tr② ❜❡t✇❡❡♥ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❧♦❣✲ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ◆♦t ❛❧❧ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞✐✲ r❡❝t❧② tr❛♥s❢❡rr❛❜❧❡ t♦ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ❝❛s❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❡✈❡r② ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❜✉t ♥♦t ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡✱ ❛t ❧❡❛st ♥♦t ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ✉s❡❞ ❤❡r❡✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s✉❜s❡❝t✐♦♥ ❜② s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ ❧❡❛st ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ I(q) I(q) = sup Q , wl wl (q ) q>0 l∈K l l∈K (ql )

f I (w) = sup Q q>0

✭✸✳✶✺✷✮

w 0.

kqk1 =1

❇② ❡①❝❤❛♥❣✐♥❣ inf ❛♥❞ sup ✐♥ ✭✸✳✶✶✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ I(p) ≤

inf

w>0 kwk1 =1

sup FI (q, p, w) q>0

inf f I (w) w>0

=

kwk1 =1

Y

✭✸✳✶✺✸✮

(ql )wl =: I 2 (w) .

l∈K

■t ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t I 2 (w) ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦✲ r❛♥t✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✵✳

I(p)✱

✐✳❡✳✱

I

✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

I(p) = sup w>0 inf FI (q, p, w) = q>0

Pr♦♦❢✳

kwk1 =1

inf

w>0 kwk1 =1

✭✸✳✶✺✹✮

sup FI (q, p, w) q>0

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❛t ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✾✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✻✶✳ ▲❡t

I

❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥

❧❡❛st ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t✳ Pr♦♦❢✳

I 2 (p) =

⊔ ⊓ I2

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❛t ♦❢ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✸✵✳

✐s t❤❡

⊔ ⊓

✸✳✼ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

◆❡①t✱ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t❤❡ str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳✶✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛♣♣❡❛r❡❞ ✐♥ ❬✶✶❪✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❦❡❡♣ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ s✐♠♣❧❡✱ ✇❡ ❝♦♥✜♥❡ u +1 ♦✉rs❡❧✈❡s t♦ p ∈ RK ++ ✳ ❚❤✐s ✐s ❛ t❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡str✐❝t✐♦♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ s❡t P ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✷✳✷✸✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥❝❧✉❞❡s ③❡r♦s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✺✳

✸✳✼ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✽✸

✸✳✼✳✶ ❈♦♥✈❡① ❲❡❛❦❧② ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛s ❜❡❡♥ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳✷✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✐s ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ g I ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✾✻✮✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t J ✐s ❛ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❲✐t❤ ✭✷✳✷✹✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ ✇✐t❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ K = Ku +1✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠♦❞❡❧s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ♥♦✐s❡✳ ❲❡ ❤❛✈❡   qKu q1 · J , . . . , q q u +1 Ku +1 Ku +1 g I (v) = inf PKu +1 Ku +1 J q∈R++ l=1 vl ql   q J q q1 , . . . , q Ku Ku +1 = inf PKu Ku +1 q Ku +1 l q∈R++ + vKu +1 l=1 vl q Ku +1   J q˜1 , . . . , q˜Ku = inf PKu =: g J (v) . u q∈R ˜ K ˜Ku +1 + vKu +1 ++ l=1 vl q qK

✭✸✳✶✺✺✮

❯s✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈✐❞❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✿ u ❆ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ J ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ RK + ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t st❛t❡♠❡♥ts ❤♦❧❞✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✷✳

• ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✷✹✮✱ ✐s ❝♦♥✈❡①✳ • ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t u +1 V ⊂ RK s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ p > 0 +  X J (p) = max vk pk + vKu +1 . ✭✸✳✶✺✻✮ v∈V

k∈Ku

◆♦t❡✱ t❤❛t vKu +1 ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❜❡❝❛✉s❡ J ✐s ♦♥❧② ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞✳ • ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ g J (v)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✺✺✮✱ s✉❝❤ t❤❛t J (p) = max g J (v) v>0 kvk1 =1

X

k∈Ku

 vk pk + vKu +1 .

✭✸✳✶✺✼✮

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❤❛✈❡ J (p) = IJ (p, 1)✱ t❤✉s t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❛t❡♠❡♥t ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✺✱ ❛♥❞ t❤❡ ❧❛st st❛t❡♠❡♥t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✹✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ✜rst st❛t❡♠❡♥t✳ ■❢ IJ ✐s ❝♦♥✈❡① t❤❡♥ J (p) = u IJ (p, 1) ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ RK + ✱ s✐♥❝❡ ♦♥❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✐s ❝♦♥st❛♥t✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❛♥② ❝♦♥✈❡① ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❧❡❛❞s

✽✹

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

t♦ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✷✹✮✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ X

∗

J (v) = sup

u p∈RK ++ l∈Ku

vl pl − J (p)



✭✸✳✶✺✽✮

u ❈♦r♦❧❧❛r② ✷✳✶✽ st❛t❡s t❤❛t J ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝✲ t✐♦♥ ✷✳✺ s❤♦✇ t❤❛t ✐t ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❚❤❡ ❝♦♥❥✉✲ ∗ ❣❛t❡ J (v) ✐s ❧♦✇❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t✇✐s❡ s✉♣r❡♠✉♠ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥✈❡① ♦♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥

∗

✭✸✳✶✺✾✮

V0 = {v ∈ RKu : J (v) < +∞} .

❋♦r ❛r❜✐tr❛r② v ∈ V0 ❛♥❞ λ > 1 ✇❡ ❤❛✈❡ ∗

J (v) = sup

u p∈RK ++

 X  λ vl pl − J (λp) l∈Ku

 X  ∗ vl pl − λJ (p) = λJ (v) . ≥ sup λ u p∈RK ++

✭✸✳✶✻✵✮

l∈Ku

∗

∗

❚❤✉s (λ − 1)J (v) ≤ 0✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✐❢ J (v) ≤ 0✳ ❚❤✉s✱ V0 ❝❛♥ ∗ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ v ∈ RKu s✉❝❤ t❤❛t J (v) ≤ 0✳ ❯s✐♥❣ s✐♠✐❧❛r ❛r❣✉♠❡♥ts ❛s ✐♥ ❬✹❪✱ ✐t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t v ∈ V0 ✐♠♣❧✐❡s v ≥ 0✳ ❙✐♥❝❡ J ✐s ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ✭t❤❡ ❜✐❝♦♥❥✉❣❛t❡✮ ♦❢ J ✐s J ❛❣❛✐♥✱ ✐✳❡✳✱ J (p) = sup

v∈V0

=

Ku X l=1

sup ∗

∗

vl pl − J (v) Ku X

v>0:J (v)≤0 l=1

❲✐t❤ ✭✸✳✶✻✶✮ ❛♥❞ ✭✷✳✷✹✮ ✇❡ ❤❛✈❡ IJ (p) = pK

u +1

=

sup ∗

 ∗ vl pl − J (v) .

Ku X

v>0:J (v)≤0 l=1

sup ∗

Ku X

v>0:J (v)≤0 l=1



vl

pl pK

u +1

vl pl − pK

u

∗

− J (v)

 ∗ J (v) . +1

✭✸✳✶✻✶✮



✭✸✳✶✻✷✮

❚❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤✉s I ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ∗

⊔ ⊓

❚❤❡ ♣r♦♣❡rt② J (v) ≤ 0 ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t s✐♥❝❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✇♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❛♥❞ I ✇♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❙❤♦✇✐♥❣ t❤✐s

✸✳✼ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✽✺

♣r♦♣❡rt② ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ♥♦t r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r t❤❡ ♣r♦♦❢ ❜❡❝❛✉s❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✹ ❛❧r❡❛❞② st❛t❡s t❤❛t I ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♣r♦♦❢ s❤♦✇s t❤✐s r❡✲ s✉❧t ❞✐r❡❝t❧②✳ ■t t❤❡r❡❜② ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ✸✳✼✳✷ ❈♦♥❝❛✈❡ ❲❡❛❦❧② ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❋♦r ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ J ✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ g IJ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✻✻✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥   qKu q1 , . . . , · J q q u +1 Ku +1 Ku +1 g IJ (v) = sup PKu +1 Ku +1 q∈R++ l=1 vl ql   q J q q1 , . . . , q Ku Ku +1 = sup PKu Ku +1 q l u +1 v + vKu +1 l q∈RK l=1 q ++ Ku +1   J q˜1 , . . . , q˜Ku = sup PKu =: g J (v) . u v q ˜ + v l K +1 K +1 q∈R ˜ K u u l=1 ++ qK

✭✸✳✶✻✸✮

❈♦♥❝❛✈❡ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧✲ ❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✳ u ❆ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ J ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ♦♥ RK + ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t st❛t❡♠❡♥ts ❤♦❧❞✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✸✳

• ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IJ ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✷✹✮✱ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳ • ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝♦♥✈❡① ❝❧♦s❡❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t V ⊂ u +1 RK s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ p > 0 + X  J (p) = min vk pk + vKu +1 . ✭✸✳✶✻✹✮ v∈V

k∈Ku

• ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ g J (v)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✻✸✮✱ s✉❝❤ t❤❛t  X vk pk + vKu +1 . J (p) = v>0 inf g J (v) kvk1 =1

✭✸✳✶✻✺✮

k∈Ku

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✷✳

⊔ ⊓

❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 ❛♥❞ I2 ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥s ✸✳✹✳✹ ❛♥❞ ✸✳✸✳✹✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s 1/g J (v) ❛♥❞ 1/g J (v) ❛r❡ ✇❡❛❦❧② u st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡② ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ✭s❡❡ ❈♦r♦❧❛r② ✷✳✶✽✮✳

✽✻

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

✸✳✼✳✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❈♦♥s✐❞❡r ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✷✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ❛ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ J ✐s ❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡t V s✉❝❤ t❤❛t ✭✸✳✶✺✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ s❤♦✇ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s st❛♥❞❛r❞ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞✳ J ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ > 0 t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✸✳✶✺✻✮ ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r v ˆ=v ˆ(p) ∈ V vˆKu +1 > 0✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✹✳

❢♦r ❛♥② p s✉❝❤ t❤❛t

Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t s✉❝❤ ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r ❛❧✇❛②s ❡①✐sts✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② p > 0 ❛♥❞ ❛♥② λ > 1 ✇❡ ❤❛✈❡

J (λp) =

Ku X

k=1

vˆk (λ) · λpk + vˆKu +1 (λ)

Ku X vˆK +1 (λ)  =λ vˆk (λ)pk + u λ k=1

Ku X  0 s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ ♠❛①✐♠✐③❡rs vˆ ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① s✉❜s❡t ♦❢ V ✮ ✇❡ ❤❛✈❡ vˆKu +1 = 0✳ ❚❤❡♥ IJ (p, 1) = J (p) = max v∈V

❋♦r 0 < µ < 1 ✇❡ ❤❛✈❡ IJ (p, µ) = max v∈V

≥

Ku X

k=1

Ku X

Ku X



vk pk + vKu +1 =

k=1

vk pk + µvKu +1

k=1

vˆk pk + µˆ vKu +1 =

Ku X

vˆk pk .

✭✸✳✶✻✼✮

k=1



Ku X

k=1

vˆk pk = IJ (p, 1) .

❚❤✉s✱ IJ (p, µ) = IJ (p, 1) ❢♦r ❛❧❧ 0 < µ < 1✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② λ > 1✳ ❲❡ ❤❛✈❡ J (λp) = IJ (λp, 1) = λIJ (p, λ1 ) = λIJ (p, 1) = λJ (p) .

✸✳✼ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✽✼

❚❤✉s✱ J ✐s ♥♦t ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ J ✐s ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② p > 0 t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r vˆ = vˆ(p) s✉❝❤ t❤❛t vˆKu +1 > 0✳ ⊔ ⊓ ■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡s✉❧t ❢♦r ❝♦♥❝❛✈❡ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s s❤♦✇♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✺✳ J ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛♥② p > 0 ♣r♦❜❧❡♠ ✭✸✳✶✻✹✮ ❤❛s ❛ ♠✐♥✐♠✐③❡r vˆ = vˆ(p) ∈ V s✉❝❤ t❤❛t vˆKu +1 > 0✳ ✸✳✼✳✹ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❙t❛♥❞❛r❞ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❲✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① st❛♥❞❛r❞ ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ▲♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ s = log p ✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲ ✇✐s❡✮✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❜✉✐❧❞s ♦♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w)✱ ❛s ❞❡✜♥❞ ❜② ✭✸✳✶✶✼✮✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ✉s❡❞ ❢♦r ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I (w) ✐s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ log I(exp s) ❬✺❪✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✻✳ ▲❡t J ❜❡ ❛ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ IJ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✷✹✮✳ ❚❤❡♥ J (exp s) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ IJ (exp s) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡

J (p) =

sup w:f (w)>0 I

f I (w)

Ku Y l=1

(pl )wl · (1)wKu +1 .

✭✸✳✶✻✽✮

Pr♦♦❢✳ ■❢ IJ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① t❤❡♥ J ♠✉st ❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛s ✇❡❧❧✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✇❡ u +1 ♣r♦✈❡ t❤❛t IJ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② p, ˆ pˇ ∈ RK ++ ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ s(λ) = (1 − λ)ˆ s + λˇ s,

λ ∈ (0, 1)

(1−λ)

p(λ) = exp s(λ) = pˆ

❇❡❝❛✉s❡ J ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡

· pˇλ .

✭✸✳✶✻✾✮ ✭✸✳✶✼✵✮

✽✽

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts


IJ p(λ) = pˆ(1−λ) · pˇλK +1 × Ku +1 u    × J exp (ˆ s1 − sˆKu +1 )(1 − λ) + (ˇ s1 − sˇKu +1 )λ ,   . . . , exp (ˆ sKu − sˆKu +1 )(1 − λ) + (ˇ sKu − sˇKu +1 )λ   ≤ exp sˆKu +1 (1 − λ) + sˇKu +1 λ ×  1−λ × J exp(ˆ s1 − sˆKu +1 ), . . . , exp(ˆ sKu − sˆKu +1 ) ×  λ × J exp(ˇ s1 − sˇKu +1 ), . . . , exp(ˇ sKu − sˇKu +1 )  1−λ  λ = IJ (p) ˆ · IJ (p) ˇ .

❚❤✉s✱

log IJ exp s)

✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥

RKu +1 ✳

⊔ ⊓

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ st✉❞② t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

J ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② p > 0 ♣r♦❜❧❡♠ ✭✸✳✶✻✽✮ ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r w ˆ = w(p) ˆ s✉❝❤ t❤❛t

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✼✳

✐❢ ❢♦r ❛♥②

w ˆKu +1 > 0✳ Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t

J ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ ♠❛①✐♠✐③❡rs w ˆ = w(p) ˆ ✇❡ ❛❧✇❛②s ❤❛✈❡ PKu w ˆKu +1 (p) = 0✳ ❋♦r ❛❧❧ λ > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ J (λp) ≤ λJ (p)✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ l=1 w ˆl = 1✱

t❤❡r❡ ✐s ❛ ✇❡ ❤❛✈❡

λJ (p) = λf I (w) ˆ

Ku Ku Y Y PKu (pl )wˆl = λ l=1 wˆl · f I (w) ˆ (pl )wˆl l=1

l=1

Ku Ku Y Y ˆ (λpl )wˆl ≤ max f I (w) (λpl )wl = f I (w) l=1

w

l=1

= J (λp) .

J ✐s ♥♦t ❛ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t w ˆKu +1 > 0✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❛♥② p > 0 t❤❡r❡ ✐s ❛❧✇❛②s ❛ ♠❛①✐♠✐③❡r w ˆ= w(p) ˆ s✉❝❤ t❤❛t w ˆKu +1 > 0✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ p✱ ✇❡ st✉❞② λp✱ ✇❤❡r❡ λ > 1✳ ❚❤❡ PKu ♠❛①✐♠✐③❡r ✐s w ˆ = w(λp) ˆ ✱ ✇✐t❤ w ˆKu +1 > 0✳ ❲✐t❤ ˆl + w ˆKu +1 = 1 l=1 w ❚❤✉s✱

✭s❡❡ ❬✺❪✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

ˆ · J (λp) = f I (w) = (λ)

≤ =

PKu

l=1

λ λwˆKu +1 λ λwˆKu +1

Ku Y (λpl )wˆl

✽✾

l=1 w ˆl

· f I (w) ˆ ·

Ku Y l=1

· max f I (w) w

(pl )wˆl

Ku Y (pl )wl l=1

· J (p) < λJ (p) ,

❜❡❝❛✉s❡ λ > 1 ❛♥❞ wˆKu +1 > 0✳ ❚❤✉s✱ J ✐s st❛♥❞❛r❞✳

✭✸✳✶✼✶✮ ⊔ ⊓

✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥❛❧②③❡❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ♠✐♥♦r❛♥ts ❛♥❞ ♠❛❥♦r❛♥ts ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡ts N0 (I) ❛♥❞ W0 (I)✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✹✾✮ ❛♥❞ ✭✸✳✼✾✮✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ✸✳✽✳✶ ❈♦♥✈❡①✴❈♦♥❝❛✈❡ ❇♦✉♥❞s

❖♥❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ♦❢ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✹✳✶ ✇❛s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❛♥② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✭✸✳✽✶✮ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ ❛♥② ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✭✸✳✺✶✮ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤✐s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❤♦❧❞ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■♥ t❤✐s s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❤♦✇ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✉♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡ts✳ V (1) = {p˜ : t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ pˆ ∈ L(I) ❛♥❞ pˆ = 1/p˜ }

V (2) = {p˜ : t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ pˆ ∈ L(I) ❛♥❞ pˆ = 1/p˜ } .

❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✱ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s I(p) = min max(pk · p˜k ) = max min(pk · p˜k ) . p∈V ˜ (1) k∈K

p∈V ˜ (2) k∈K

❚❤❡ s❡t V (1) ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s V (1) = {p˜ > 0 : I(1/p) ˜ ≤ 1}

= {p˜ > 0 : 1 ≤ 1/I(1/p)} ˜ = L(Iinv ) ,

✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥

✾✵

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

Iinv (p) =

1 , I(1/p)

❢♦r p > 0 .

✭✸✳✶✼✷✮

■t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t Iinv ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ Pr♦♣❡rt② ❆✷ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ Iinv (λp) =

1 = I(1/λp)

1 λ

1 = λIinv (p) . · I(1/p)

Pr♦♣❡rt✐❡s ❆✶ ❛♥❞ ❆✸ ❛r❡ ❡❛s✐❧② s❤♦✇♥ ❛s ✇❡❧❧✳ ❉❡✜♥✐♥❣ W = {w > 0 : kwk1 = 1}✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ❤♦❧❞s ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✷ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✼✮✳ max pk = sup k∈K

w∈W

X

wk pk ,

❢♦r ❛♥② p > 0✳

k∈K

❍❡♥❝❡✱ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② I(p) ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s I(p) = =

min

sup

p∈L(I ˜ inv ) w∈W

inf

max

p∈L(I ˜ inv ) w∈W

X

k∈K

X

k∈K

wk p˜k · pk

✭✸✳✶✼✸✮

wk p˜k · pk .

✭✸✳✶✼✹✮

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✸✳✶✼✹✮ t❤❛t t❤✐s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❤❛s ❛ s✐♠✐❧❛r ❢♦r♠ ❛s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✸✳✽✼✮✳ ❋♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ w✱ ❛ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞ ♦✈❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs p˜✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✸✳✶✼✹✮ ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ❝♦♥✈❡① ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ w✱ s♦ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇❡✐❣❤ts wk p˜k ❛r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ s❡t✳ ❇② ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ w ∈ W ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝♦♥✈❡① ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞✿ I(p) ≤

sup

X

p∈L(I ˜ inv ) k∈K

wk p˜k · pk =: I conv (p, w) .

✭✸✳✶✼✺✮

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤✐s ❝♦♥✈❡① ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❝❛♥ ❜❡ tr✐✈✐❛❧✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✸✳✶✼✺✮ ❝❛♥ t❡♥❞ t♦ ✐♥✜♥✐t②✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✼✺✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ w ∈ W ✱ t❤✉s I(p) ≤ inf I conv (p, w) . w∈W

✭✸✳✶✼✻✮

❙✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✸✳✶✼✸✮✱ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞✳ ❚❤✐s ❜♦✉♥❞ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ tr✐✈✐❛❧ ✭✐✳❡✳ ③❡r♦✮✳ ❆♥♦t❤❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐♥♦r❛♥t Iˆ✱ s✉❝❤ t❤❛t ˆ ˆ I(p) ˆ = I(p) ˆ ❢♦r s♦♠❡ ♣♦✐♥t pˆ✱ ❛♥❞ I(p) ≤ I(p) ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I(p)✱ s✉❝❤ ❛ ♠✐♥♦r❛♥t ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p, p) ˆ ✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✹✳ ❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✸✳✽✼✮✱ ❛♥♦t❤❡r ♠✐♥♦r❛♥t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❝❤♦♦s✐♥❣ P ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② v ′ ∈ V ✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p) ≥ k vk′ pk ✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ s✉❝❤ ❛ ❧✐♥❡❛r ♠✐♥♦r❛♥t ❞♦❡s ♥♦t ❛❧✇❛②s ❡①✐st✱ ❛s s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✳

✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

✾✶

❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✻✽✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I(p) = C1

Y

(pl )wl ,

kwk1 = 1, w > 0, C1 > 0 .

l∈K

✭✸✳✶✼✼✮

❲❡ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t ♥♦ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛ ♠✐✲

P w > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(p) ≥ l pl wl ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛ ✈❡❝t♦r p(ρ) = (1, . . . , 1, ρ, 1)✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ r t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s s❡t t♦ s♦♠❡ ρ > 0✳ ❚❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ r ✐s ❝❤♦s❡♥ s✉❝❤ t❤❛t P wr , vr 6= 0✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ I(p(ρ)) = C1 ρwr ≥ vr ρ + l6=r vl ✳ ❉✐✈✐❞✐♥❣ ❜♦t❤ P w −1 s✐❞❡s ❜② ρ ✇❡ ❤❛✈❡ C1 ρ r ≥ vr + l6=r vl /ρ✳ ▲❡tt✐♥❣ ρ → ∞ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ 0 ≥ vr > 0✳ ♥♦r❛♥t ♦❢ ✭✸✳✶✼✼✮✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛

❚❤✐s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡r✐✈❡ ✏❣♦♦❞✑ ♠✐♥♦r❛♥ts ♦r ♠❛✲ ❥♦r❛♥ts✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ tr✐✈✐❛❧ ❜♦✉♥❞s ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞✳

✸✳✽✳✷ ▲❡❛st ❈♦♥❝❛✈❡ ▼❛ ❥♦r❛♥t ❛♥❞ ●r❡❛t❡st ❈♦♥✈❡① ▼✐♥♦r❛♥t

◆❡①t✱ ✇❡ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥s ✸✳✸ ❛♥❞ ✸✳✹ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡r✐✈❡ ❜❡st✲ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥ts ❛♥❞ ❜❡st✲♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥ts✳ ❲❡ t❤❡r❡❜② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳✹ ❛♥❞ ✸✳✹✳✹✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠✐♥♦r❛♥t ❛♥❞ ♠❛❥♦r❛♥t ✇❡r❡ ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡ts

N0 (I)

W0 (I)

❛♥❞

❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✹✾✮ ❛♥❞ ✭✸✳✼✾✮✱ r❡✲

s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✷ t❤❛t ❢♦r ❛♥②

I(p) ≤

P

l

wl pl ✱

t❤✉s

I(p) ≤

min

w∈N0 (I)

X

wl pl

❢♦r ❛❧❧

w ∈ N0 (I)

p > 0✳

✇❡ ❤❛✈❡

✭✸✳✶✼✽✮

l∈K

❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ♦❢

(v)

I✳

(p) =

min

w∈N0 (I)

X

wl pl

✭✸✳✶✼✾✮

l∈K

■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✸✹ t❤❛t

I (x) (p) =

max

w∈W0 (I)

X l∈K

wl pl ≤ I(p)

✭✸✳✶✽✵✮

✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t✳ ◆❡①t✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡s❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❛r❡ ❜❡st✲♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✾✳

I

(v)

✐s t❤❡ ❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t ♦❢

❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ♦❢

I✳

I✱

❛♥❞

I (x)

✐s t❤❡ ❣r❡❛t✲

✾✷

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❲❡ ♣r♦✈❡ t❤❡ ✜rst st❛t❡♠❡♥t ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ s❡❝✲ ♦♥❞ st❛t❡♠❡♥t ❢♦❧❧♦✇s ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Iˆ✱ s✉❝❤ t❤❛t Pr♦♦❢✳

(v) ˆ I(p) ≤ I(p) ≤ I (p) ,

∀p > 0 .

✭✸✳✶✽✶✮

(v)

❇♦t❤ Iˆ ❛♥❞ I ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤✉s ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❚❤❡✲ (v) ♦r❡♠ ✸✳✷✸ t❤❛t t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ✭✸✳✺✶✮✳ ■❢ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ I ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r s♦♠❡ w ≥ 0✱ ✐✳❡✳✱ I ∗ (w) > −∞✱ t❤❡♥ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✽✶✮ t❤❛t ❛❧s♦ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡s ♦❢ Iˆ ❛♥❞ ❛♥❞ I ❛r❡ ✜♥✐t❡✳ ❚❤✉s✱ N0 (I

(v)

ˆ ⊆ N0 (I) . ) ⊆ N0 (I)

✭✸✳✶✽✷✮

❚❤❡ s❡t N0 (I) ✐s ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡①✱ ❛s s❤♦✇♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳✷✱ s♦ ✇✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✻ ✇❡ ❤❛✈❡ N0 (I) = N0 (I

(v)

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✸✳✶✽✷✮ ❛♥❞ ✭✸✳✶✽✸✮ ✇❡ ❤❛✈❡ N0 (I ˆ I(p) ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳

).

✭✸✳✶✽✸✮

(v)

ˆ ✳ ❍❡♥❝❡✱ I (v) (p) = ) = N0 (I) ⊔ ⊓

■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t✳ ✸✳✽✳✸ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ▼✐♥♦r❛♥ts

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t ❡✈❡r② ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ I(p) ❤❛s ❛ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t I (x) (p)✳ ■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✳✻ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t I(p) ❛❧s♦ ❤❛s ❛ ❣r❡❛t❡st ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t I (lcnvx) (p)✳ ◆♦✇✱ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ✐s ✇❤✐❝❤ ❝❧❛ss ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡s t❤❡ t✐❣❤t❡st ♠✐♥♦r❛♥t✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✼ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t I (x) (es ) ✐s ❛❧s♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥✈❡① ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ ❜✉t ♥♦t ❝♦♥✈❡rs❡❧②✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ✐s ❜❡tt❡r ♦r ❛s ❣♦♦❞ ❛s t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t✱ ✐✳❡✳✱ I (x) (p) ≤ I (lcnvx) (p) ≤ I(p),

∀p > 0 .

✭✸✳✶✽✹✮

■❢ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t I (lcnvx) ✐s tr✐✈✐❛❧✱ ✐✳❡✳✱ I (lcnvx) (p) = 0✱ ∀p > 0✱ t❤❡♥ ❛❧s♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t I (x) ✇✐❧❧ ❜❡ tr✐✈✐❛❧✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐❢ I (x) ✐s tr✐✈✐❛❧✱ t❤❡♥ t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧② t❤❛t I (lcnvx) ✐s tr✐✈✐❛❧ ❛s ✇❡❧❧✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✼✵✳

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) =

Y

l∈K

(pl )wl ,

w ≥ 0, kwk1 = 1 ,

✭✸✳✶✽✺✮

✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

✾✸

✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t

I (x) (p) =

max

v∈W0 (I)

X

vl pl .

✭✸✳✶✽✻✮

l∈K

I (x) (p) ≤ I(p)✱ ∀p > 0✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t v ∈ W0 (I) s✉❝❤ t❤❛t vr > 0 ❢♦r s♦♠❡ ✐♥❞❡① r ✳ ❚❤❛t ✐s✱ Y X (pl )wl ≥ vl pl ≥ vr pr > 0 , ❢♦r ❛❧❧ p > 0✳ ■t ✇❛s ❛❧r❡❛❞② s❤♦✇♥ t❤❛t

l∈K

t❤❡r❡ ✐s ❛

l∈K

❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥

1 Y (pl )wl ≥ vr > 0 . pr →∞ pr

0 = lim

l∈K

❍❡♥❝❡✱

W0 (I) = 0✳

❚❤❡ ♦♥❧② ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ♦❢ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ I (x) (p) = 0✳

❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✸✳✶✽✺✮ ✐s t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥

✸✳✽✳✹ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ ❙■❘ ❋❡❛s✐❜❧❡ ❙❡ts

❚❤❡ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ❙■❘ ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✉❧t✐✲✉s❡r s②st❡♠✳ ❈♦♥s✐❞❡r

K

❙■❘ t❛r❣❡ts s✉❝❤ t❤❛t

✉s❡rs ✇✐t❤ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

γ = [γ1 , . . . , γK ] > 0 pk ≥ γk − ǫ, Ik (p)

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❙■❘ t❛r❣❡ts

γ

Ik (p) > 0

❢♦r ❛❧❧

k ∈ K✳

❈❡rt❛✐♥

❛r❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢♦r ❛❧❧

ǫ>0

❛♥❞

p>0

k∈K.

❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞✱ ❛t ❧❡❛st ✐♥ ❛♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ s❡♥s❡✳

❲❤❡t❤❡r ♦r ♥♦t t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❤♦✇ t❤❡ ✉s❡rs ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❬✷❪✳ ❆ ♣♦✐♥t ✇❤❡r❡

❚❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥

F

γ

✐s ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

 γk Ik (p)  . C(γ, I) = inf max p>0 k∈K pk

I1 (es ), . . . , IK (es )

✭✸✳✶✽✼✮

✐s t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t

F = {γ > 0 : C(γ, I) ≤ 1} . ■❢

C(γ, I) ≤ 1✱

❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥

❢✉♥❝t✐♦♥ ❬✷❪✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t

F

C(γ, I)

✭✸✳✶✽✽✮

✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡

✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ ❛ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ s❝❛❧❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧

r❡❢❡r t♦ s✉❝❤ s❡ts ❛s ✏❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✑ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇✐t❤ ♥♦ ❢✉rt❤❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦♥ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦r ❝♦♥❝❛✈✐t②✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❣✐♦♥

F

♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ❝♦♥✈❡①✱

✇❤✐❝❤ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡s t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✳

✾✹

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

(lcnvx) ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t I k (p)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② (lcnvx) (lcnvx) ✭✸✳✶✹✾✮✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ❛ r❡❣✐♦♥ F ✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② C(γ, I )✳ ❇❡✲ (lcnvx) (lcnvx) ❝❛✉s❡ Ik (p) ≥ I k (p)✱ ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ F ⊆ F ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ (lcnvx) ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥ F ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥ F ✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ ❋♦r ❡❛❝❤

Ik ✱

t♦ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✾✱ t❤✐s ✐s t❤❡ s♠❛❧❧❡st r❡❣✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ❡✈❡r② ♠❛♣♣✐♥❣

QoS = φ(❙■❘)✱

F

❤❛s ❛ ✉s❡❢✉❧ ♣r♦♣❡rt②✳ ❋♦r φ[−1] ✱ t❤❡

✇✐t❤ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥✈❡rs❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

r❡s✉❧t✐♥❣ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❬✷❪✳ ■♥st❡❛❞ ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛❧s♦ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t

F

C(γ) := C(γ, I)

I(p)✱

✐t ✐s

❞✐r❡❝t❧②✳ ■t ❝❛♥ ❜❡

C(γ) ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥

❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❆s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✽✳✷✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t t❤❡ ❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t

❛♥❞ t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t

C✳

F = {γ > 0 : C(γ) ≤ 1} ,

✭✸✳✶✽✾✮

F = {γ > 0 : C(γ) ≤ 1} . ❇❡❝❛✉s❡

C(γ) ≤ C(γ) ≤ C(γ)

❢♦r ❛❧❧

C

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡ts

γ > 0✱

✭✸✳✶✾✵✮

t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❧❡✈❡❧ s❡ts ❢✉❧✜❧❧

F ⊇F ⊇F .

✭✸✳✶✾✶✮

❙✉❜❧❡✈❡❧ s❡ts ♦❢ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡

C

✐s t❤❡ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t✱ t❤❡ s❡t F ✐s t❤❡ s♠❛❧❧✲ RK + ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ F ✭t❤❡ ✏❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧✑✮✳

❝♦♥✈❡①✳ ❇❡❝❛✉s❡

❡st ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥✈❡① s✉❜s❡t ♦❢

F ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ❝♦♥✈❡①✱ ❜✉t ✐t ❤❛s ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❧❡✲ c F = {γ > 0 : C(γ) > 1}✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② s❡t F ✐s ❛ s✉✲

❚❤❡ ♦t❤❡r s✉❜❧❡✈❡❧ c

♠❡♥t❛r② s❡t

♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s♦ ✐t ✐s ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡ s❡t

F

✐s ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❚❤✉s✱

❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s✉❜s❡t ♦❢

F

F

✐s t❤❡ ❧❛r❣❡st ❝❧♦s❡❞ c F ✐s

s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② s❡t

❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡s❡ r❡❣✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡ ❜❡st✲♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♥✈❡① ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ r❡❣✐♦♥✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ t❤❡r❡ ❝❛♥ ❡①✐st ♦t❤❡r ❜♦✉♥❞s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡①✱ ❜✉t l t✐❣❤t❡r✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t C (γ)✱ l ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧s C(γ) ≤ C(γ) ≤ C(γ)✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t

F l = {γ > 0 : C(γ)l (γ) ≤ 1} ❢✉❧✜❧❧s

F ⊆ Fl ⊆ F✳

❚❤✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳✽✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡s❡ ❜♦✉♥❞s

♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ❣♦♦❞✳ ■t ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ t❤❛t ♦♥❧② ❛ tr✐✈✐❛❧ ❜♦✉♥❞ ❡①✐sts✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✽✳✸✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✼✶✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❙■❘ s✉♣♣♦rt❛❜❧❡ r❡❣✐♦♥

Ik (p) = [V p]k ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② 0 V12 ♠❛tr✐① V = V21 0 ✳ ❚❤❡ ❝❧♦s✉r❡

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣

S

r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ❧✐♥❡❛r

✭✶✳✷✶✮✳ ❋♦r

K = 2✱

✇❡

♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲s✉♣♣♦rt❛❜❧❡

✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

SIR2

✾✺

F (smallest convex region including F ) F l (smallest log-convex approximation) feasible region F

F¯ (largest region with convex complementary set) SIR1 ❋✐❣✳ ✸✳✽✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥✿ ❆♥ ❛r❜✐tr❛r② ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥

F

❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜②

❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥s

{γ : ρ(Γ V ) ≥ 1}
✱ ✇❤❡r❡ Γ = diag{γ}✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t ρ(γ) = ρ diag{γ}V ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ t❤✉s ρ(γ) ✐s

r❡❣✐♦♥ ✐s t❤❡ s❡t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ✐s

ρ(γ) = t❤✉s

ρ(γ) ≥ 1

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢

p γ1 γ2 V12 V21 ,

γ2 ≥ (V12 V21 γ1 )−1 ✱

✭✸✳✶✾✷✮ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♥♦♥✲

s✉♣♣♦rt❛❜❧❡ r❡❣✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡①✳ P❡r❤❛♣s ✐♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ t❤✐s s❡t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ❝♦♥✈❡① ❢♦r

K < 4 ✉s❡rs ❬✽✼❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ K ≥ 4✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✽✽❪✳

t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ❞♦❡s ♥♦t ❡①t❡♥❞ t♦

❧❛r❣❡r ♥✉♠❜❡rs

❲✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ t❤❡♦r②✱ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ✐♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥t❡①t✳ ❚❤✐s r❡s✉❧t s❤♦✇s t❤❛t ❝❡rt❛✐♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t ❬✽✼✱ ✽✽❪ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ ❝♦♥✈❡①✴❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❙■❘ t❛r❣❡ts

γ✱

C(γ)

C(γ)

❢♦r ❛r❜✐tr❛r②

✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢♦r

❛♥❞ t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡t ✭✸✳✶✽✽✮ ✐s t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✱ ✐✳❡✳✱

t❤❡ s❡t ♦❢ ❥♦✐♥t❧② ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘✳

✸✳✽✳✺ ❈♦♥✈❡① ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ▲❡✈❡❧ ❙❡ts

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝♦♠✲ ♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

C(γ, I)✳

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥✲

❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ♦t❤❡r ❧❡✈❡❧ s❡ts✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸❪ t❤❛t ❛♥② ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲ K ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s✉❜s❡t ♦❢ R++ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✲ K ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❆❧s♦✱ ❛♥② ❝❧♦s❡❞ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s✉❜s❡t ♦❢ R++ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍❡r❡✱ ✏❝❧♦s❡❞✑ K ♠❡❛♥s r❡❧❛t✐✈❡❧② ❝❧♦s❡❞ ♦♥ R++ ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✹ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✶✳✸✮✳

✾✻

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❝♦♥✈❡①✐t②✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I

✇✐t❤ t❤❡ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t

R = {p > 0 : I(p) ≤ 1} ,

✭✸✳✶✾✸✮

R = {p > 0 : I(p) ≥ 1} .

✭✸✳✶✾✹✮

❛♥❞ t❤❡ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t

p ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t✳ ■♥ t❤❡ ✜rst p ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛s ❛ ✏♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r✑✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ p ❝❛♥ st❛♥❞ ♣❛r❛♠❡t❡r✱ ❧✐❦❡ t❤❡ ❙■❘ ✈❡❝t♦r γ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✳

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r✱ ❢♦r ❛♥② ♦t❤❡r

R ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✲ R= 6 RK ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ++ ❡①✐sts ❛ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(p) > 0✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✼✷✳ ❚❤❡ s❡t

✈❡① ❛♥❞

t❤❡r❡

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

I

✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸❪

t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ✭✸✳✶✾✹✮ ✐s ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✭t❤✐s ❢♦❧❧♦✇s K K ❢r♦♠ ❛①✐♦♠ ❆✸✮✱ ❝❧♦s❡❞ ✭r❡❧❛t✐✈❡❧② ♦♥ R++ ✮✱ ❛♥❞ R 6= R++ ✳ ❚❤❡ s❡t R ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥✈❡① s✐♥❝❡ ❡✈❡r② s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥✈❡① ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷✸✱ ♣✳✼✺❪✮✳

R ✐s ❛ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ R= 6 RK ++ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡t✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✸❪ t❤❛t

p > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(p) > 0✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts p, ˆ pˇ ∈ RK ++
✱ s✉❝❤ t❤❛t I(p) ˆ = I(p) ˇ = 1✳ ❉❡✜♥✐♥❣ p(λ) = (1 − λ)pˆ + λpˇ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ I p(λ) ≥ 1 ❢♦r ❛❧❧ λ ∈ (0, 1)✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② α, β > 0 ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛

1−λ=

α α+β

❛♥❞

λ=

β , α+β

λ ∈ (0, 1)✳ ❲✐t❤ ♣r♦♣❡rt②

1 · pˇ = α+β · I α · pˆ + β · pˇ .

✇❤✐❝❤ ❡♥s✉r❡s t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ ♣r♦♣❡rt②

1≤I ❯s✐♥❣

α α+β

· pˆ +

I(p) ˆ = I(p) ˇ =1

β α+β

❆✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✭✸✳✶✾✺✮

❛♥❞ ✭✸✳✶✾✺✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡


αI(p) ˆ + βI(p) ˇ = α + β ≤ I α · pˆ + β · pˇ .

✭✸✳✶✾✻✮

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥ts p ˆ′ , pˇ′ ∈ RK ++ ✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ′ ′ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts p ˆ = pˆ /I(pˆ ) ❛♥❞ pˇ = pˇ′ /I(pˇ′ )✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ❆✷ t❤❛t I(p) ˆ = 1 ❛♥❞ I(p) ˇ = 1 ❤♦❧❞s✳ ❉❡✜♥✐♥❣ α ˆ = α/I(pˆ′ ) ❛♥❞ βˇ = β/I(pˇ′ )✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ✭✸✳✶✾✻✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡


ˆ pˇ′ ) ≤ I α αI( ˆ pˆ′ ) + βI( ˆ · pˆ′ + βˇ · pˇ′ .

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✸✳✶✾✼✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢

I✳

✭✸✳✶✾✼✮

α, ˆ βˇ > 0 ❛♥❞ pˆ′ , pˇ′ ∈ RK ++ ✱ t❤✉s ✐♠♣❧②✐♥❣ ⊔ ⊓

✸✳✽ ❈♦♥✈❡① ❛♥❞ ❈♦♥❝❛✈❡ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

✾✼

❆ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r t❤❡ s❡t R✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✼✷✱ ❜✉t t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ r❡✈❡rs❡❞✳ R ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ R 6= RK ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ✐s ❝♦♥✈❡① ++ ❡①✐sts ❛ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t I(p) > 0✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✼✸✳ ❚❤❡ s❡t

❝♦♥✈❡①

❛♥❞

❛♥❞ t❤❡r❡

❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t t♦ t❤❡ ♥♦♥✲s✉♣♣♦rt❛❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐♥r♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❊①✲ ❛♠♣❧❡ ✸✳✼✶✱
✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✼✷ t❤❛t t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ρ(γ) = ρ diag{γ}V ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ ♦r❞❡r ❢♦r t❤❡ ♥♦♥✲s✉♣♣♦rt❛❜❧❡ ❙■❘ r❡✲ ❣✐♦♥ t♦ ❜❡ ❝♦♥✈❡①✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ❬✽✼❪ t❤❛t ρ(es V ) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✇❤❡♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ γ = exp s✳ ❚❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧② t❤❛t ρ(γ) ✐s ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✼ s❤♦✇s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡① ✇❤❡♥ ✇❡ s✉❜st✐t✉t❡ p = es ✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ♠❡❛♥ t❤❛t ❛ ❝♦♥✲ ❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ρ(γ)✱ ❛s ❞❡✲ ✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✾✷✮✱ ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ρ(es V ) = √ s1 /2 s2 /2 e e V12 V21 ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s ❛ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I(p) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ ❜✉t ♥♦t ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❚❤✐s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♥❡❡❞ ♥❡✐t❤❡r ❜❡ ❝♦♥✈❡① ♥♦r ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❇♦t❤ ❝❛s❡s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✳ ❈♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 ❛♥❞ I2 ✱ ✇❤❡r❡ I1 (p) ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ p1 , . . . , pr ❛♥❞ I2 (p) ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ pr+1 , . . . , pK ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡
I(p) = max I1 (p), I2 (p) ✭✸✳✶✾✽✮ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✼✹✳

❚❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✭✸✳✶✾✽✮ ✐s ♥♦t ❝♦♥❝❛✈❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ❧❡t p(1) = (1) (1) (1) (1) [p1 , . . . , pr , 0, . . . , 0]T ❛♥❞ p(2) = [0, . . . , 0, pr+1 , . . . , pK ]T ❜❡ t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦rs s✉❝❤ t❤❛t I1 (p(1) ) = 1 ❛♥❞ I2 (p(2) ) = 1✳ ❉❡✜♥✐♥❣ p(λ) = (1 − λ)p(1) + λp(2) ✱ λ ∈ (0, 1)✱ ✇❡ ❤❛✈❡

❚❤✉s✱



I1 p(λ) = (1 − λ)I1 p(1) = 1 − λ

I2 p(λ) = λI2 p(2) = λ .

I p(λ) = max (1 − λ), λ < I(p(1) ) = I(p(2) ) = 1 .

❚❤❡ s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t {p ≥ 0 : I(p) ≥ 1} ✐s ♥♦t ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ I ✐s ♥♦t ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s t❤❛t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ ❢✉rt❤❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❜② ❛ss✉♠✐♥❣ ❛ ❜✐❥❡❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ❜❡✲ t✇❡❡♥ ❛ ◗♦❙ ✈❡❝t♦r q ❛♥❞ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❙■❘ ✈❛❧✉❡s γ(q) = [γ1 (q1 ), . . . , γK (qK )]T ✳ ❋♦r ❛ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V ✱ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s
Fq = {q : ρ diag{γ(q)}V ≤ 1} . ✭✸✳✶✾✾✮

✾✽

✸ ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❙❡ts

❯♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ Fq ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t❄ ❚❤✐s q✉❡st✐♦♥ ✐s ♣r♦❜❛❜❧② ❞✐✣❝✉❧t ❛♥❞ ♦♥❧② ♣❛rt✐❛❧ ❛♥s✇❡rs ❡①✐st✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✽✼❪ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ γ(q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ ρ diag{γ(q)}V
✐s ❝♦♥✈❡① ❢♦r
❛❧❧ ✐rr❡✲ ❞✉❝✐❜❧❡ K × K ♠❛tr✐❝❡s V ✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ ρ diag{γ(q)}V ✐♠♣❧✐❡s ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥ Fq ✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s ♥♦t tr✉❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢
Fq ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧② ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ ρ diag{γ(q)}V
✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ρ diag{γ(q)}V ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ q ✭❡①❝❡♣t ❡✳❣✳ ❢♦r t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡ γ = q✮✱ t❤✉s ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✼✸ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞✳

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ♦✛❡rs ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ♦♣t✐✲ ♠✐③✐♥❣ ✉t✐❧✐t② tr❛❞❡♦✛s ❜❡t✇❡❡♥ ✉s❡rs ✭♦r ♣❧❛②❡rs✱ ❛❣❡♥ts✮✳ ■♥ t❤✐s r❡s♣❡❝t ✐t ✐s ✈❡r② s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ●❛♠❡ t❤❡♦r② ✇❛s ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❡❝♦♥♦♠✐❝s ❛♥❞ s♦❝✐❛❧ s❝✐❡♥❝❡s✳ ■t ✐s ♥♦✇ ❛ ✇❡❧❧✲ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ t♦♦❧ ❢♦r ❛♥❛❧②③✐♥❣ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s❝❡♥❛r✐♦s t❤❛t ✇♦✉❧❞ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❜❡ t♦♦ ❝♦♠♣❧❡① t♦ ❜❡ ❤❛♥❞❧❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧② ❬✽✾✕✾✹❪✳ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ❝♦♠✲ ♣❧❡♠❡♥ts ❡①✐st✐♥❣ ❝♦♥❝❡♣ts ❢r♦♠ ❣❛♠❡ t❤❡♦r②✳ ■t ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❡ss❡♥t✐❛❧ ♣r♦♣❡r✲ t✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠✱ ②❡t ✐t ✐s s✐♠♣❧❡ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❜❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧② tr❛❝t❛❜❧❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ❛♥❞ ❣❛♠❡ t❤❡♦r② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❡①t❡♥❞ ❡①✐st✐♥❣ r❡s✉❧ts✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❤♦✇ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ str❛t❡❣② ❬✶✻✱ ✶✽✱ ✶✾❪ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✉t✐❧✐t② s❡ts✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛♣♣❡❛r❡❞ ✐♥ ❬✻✱ ✶✵❪✳ ❚❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡s ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t ✭✉t✐❧✐t② r❡❣✐♦♥✮ U ✳ ❚❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t U ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✉t✐❧✐t② ✈❡❝t♦rs u = [u1 , . . . , uK ]T ✱ ✇❤❡r❡ K ≥ 2 ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✉s❡rs✳ ❆ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✉t✐❧✐t② s❡t ✐s t❤❡ ❙■❘✲❜❛s❡❞ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✶✳ ❙♦♠❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❛r❡ s♣❡❝✐✜❝❛❧❧② ❞❡r✐✈❡❞ ❢♦r s✉❝❤ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✱ ❜✉t ♦t❤❡r r❡s✉❧ts ❛r❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ❤♦❧❞ ❛s ✇❡❧❧ ❢♦r ♦t❤❡r ✉t✐❧✐t② s❡ts✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ✉t✐❧✐t② s❡ts ✐♥ t❤❡ ❛r❡❛ ♦❢ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ❛r❡ t❤❡ ◗♦❙ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② r❡❣✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✈❡❝t♦r ❜r♦❛❞❝❛st ❝❤❛♥♥❡❧ ❬✾✺❪ ❛♥❞ t❤❡ ▼■❙❖ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❬✾✻✱ ✾✼❪✳ ●❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ str❛t❡❣✐❡s ❝r✉❝✐❛❧❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ s❡t U ✱ t❤✉s ❛ t❤♦r♦✉❣❤ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ U ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t✳ ❙♦♠❡ ♦❢t❡♥✲♠❛❞❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ❛r❡

• • • •

❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss✱ ❝♦♥✈❡①✐t② ✭❤❡r❡✱ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❢♦❝✉s ✐s ♦♥ str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②✮ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t②✱ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳

M. Schubert, H. Boche, Interference Calculus, Foundations in Signal Processing, Communications and Networking 7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

✶✵✵

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❢r❡❡ ❞✐s♣♦s❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✉t✐❧✐t②✳ ❈♦♥✈❡①✲ ✐t② ❢❛❝✐❧✐t❛t❡s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✉♠✳ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♠❡❛♥s t❤❛t ♥♦ r❡s♦✉r❝❡s ❛r❡ ✇❛st❡❞✳ ❚❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞✲ ❛r② ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r❡r❡q✉✐s✐t❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳

✹✳✶ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❙tr✐❝t❧② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ❙tr❛t❡❣✐❡s ❢♦r ❞✐str✐❜✉t✐♥❣ r❡s♦✉r❝❡s ✐♥ ❛ ♠✉❧t✐✉s❡r s②st❡♠ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ ✏❢❛✐r♥❡ss✑ ♦r ✏❡✣❝✐❡♥❝②✑✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ str❛t❡❣② ♦❢ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣

❬✶✻✱ ✶✽✱ ✶✾❪✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧♦s❡❧②

r❡❧❛t❡❞ t♦ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❬✾✽✱ ✾✾❪✳ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✐s ❛ ❝♦✲

♦♣❡r❛t✐✈❡ str❛t❡❣②✱ ✐✳❡✳✱ ✉s❡rs ✭♦r ♣❧❛②❡rs✮ ✉♥❛♥✐♠♦✉s❧② ❛❣r❡❡ ♦♥ s♦♠❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡

ϕ(U )✱

❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✶✳ ❚❤✐s ♦✉t❝♦♠❡ ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ❜❡tt❡r

bargaining game (U , d)

u2

solution outcome ϕ(U , d)

U

d2

d u1

d1

U ❛♥❞ ❛ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t ϕ(U )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t②♣✐❝❛❧❧② ♦♥ t❤❡

❋✐❣✳ ✹✳✶✳ ❈♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣✿ ❣✐✈❡♥ ❛ ✉t✐❧✐t② r❡❣✐♦♥

d✱

t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛❣r❡❡ ♦♥ s♦♠❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡

❜♦✉♥❞❛r② ♦❢

U✳

t❤❛♥ t❤❡ ◆❛s❤ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ♥♦♥✲❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤❡ ❣❛✐♥ ❢r♦♠ ❝♦♦♣❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s✉❜st❛♥t✐❛❧ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✵✵✱ ✶✵✶❪✮✳ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✲ ✐♥❣ ✇❛s s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ✈❛r✐♦✉s ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✱ ❡✳❣✳✱ ❬✶✵✷✕✶✵✼❪✳ ❚❤❡ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❙♦❧✉t✐♦♥ ✭◆❇❙✮ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ◆❛s❤ ❬✶✻❪ ❛♥❞ ❡①t❡♥❞❡❞ ❧❛t❡r ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✶✽✱ ✶✾✱ ✶✵✽❪ ❛♥❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮✳ ■♥ ✐ts st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠✱ t❤❡ ◆❇❙ r❡q✉✐r❡s t❤❛t t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t

U

✐s ❝♦♥✈❡①✳ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣

❢♦r ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥s ✇❛s st✉❞✐❡❞✱ ❡✳❣✳ ✐♥ ❬✶✵✾✕✶✶✻❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡s❡ ♣❛♣❡rs ❡✐t❤❡r ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ r❡❣✐♦♥s ✭t②♣✐❝❛❧❧②✱ ♦♥❧② ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ✐s r❡q✉✐r❡❞✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♠❛② ❜❡ ❧♦st✮ ♦r ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛①✐♦♠s ❛r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss✳ ❆❧s♦✱ ♠♦st ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❛s ❞♦♥❡ ✐♥ ❛ ❝♦♥t❡①t ♦t❤❡r t❤❛♥ ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✳

✹✳✶ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❙tr✐❝t❧② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✶✵✶

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① s❡ts ❬✻✱ ✶✵❪✳

✹✳✶✳✶ ❚❤❡ ❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❙♦❧✉t✐♦♥ ✭◆❇❙✮ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ❜r✐❡✢② r❡✈✐❡✇✐♥❣ t❤❡ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❙♦❧✉t✐♦♥✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✶✳ ❆ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡ ❢♦r

✇❤❡r❡

K ✉s❡rs ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ ♣❛✐r (U, d)✱

• U ✐s ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝♦♠♣❛❝t s✉❜s❡t ♦❢ RK +✳ • U ✐s ✭❞♦✇♥✇❛r❞✮✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❛❧❧ u ∈ U ❛♥❞ u′ ∈ RK + ✱ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② u′ ≤ u ✐♠♣❧✐❡s u′ ∈ U ✳ • d ∈ {u ∈ U : ∃u′ > u} ✐s t❤❡ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ✐♥

❝❛s❡ t❤❛t ♥♦ ❛❣r❡❡♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞✳

❚❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ s❡ts ✇✐t❤ t❤❡s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② DK ✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✷✳ ▲❡t U

∈ DK ❜❡ ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ t❤❡ ◆❇❙ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✭s✐♥❣❧❡✲

✈❛❧✉❡❞✮ s♦❧✉t✐♦♥ t❤❛t ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠s✳

• ❲❡❛❦ P❛r❡t♦ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ✭❲P❖✮✳ ❚❤❡ ✉s❡rs s❤♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❝♦❧❧❡❝✲

t✐✈❡❧② ✐♠♣r♦✈❡ ✉♣♦♥ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡✱ ✐✳❡✳✱

ϕ(U ) ∈ {u ∈ U : t❤❡r❡ ✐s ♥♦ u′ ∈ U ✇✐t❤ u′ > u} . • ❙②♠♠❡tr② ✭❙❨▼✮✳ ■❢ t❤❡ ❣❛♠❡ (U, d) ✐s s②♠♠❡tr✐❝✶ ✱ t❤❡♥ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡

❞♦❡s ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ str❛t❡❣✐❡s ❛♥❞ ♥♦t ♦♥ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ✉s❡rs✱ ✐✳❡✳✱ ϕ1 (U) = · · · = ϕK (U )✳ ❚❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ♠❡❛♥ t❤❛t t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t ✐s s②♠♠❡tr✐❝✱ ❜✉t r❛t❤❡r t❤❛t ❛❧❧ ✉s❡rs ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♦r✐t✐❡s✳ • ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ ■rr❡❧❡✈❛♥t ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡s ✭■■❆✮✳ ■❢ ϕ(U) ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t✲ ❝♦♠❡ ♦❢ s♦♠❡ ✉t✐❧✐t② s❡t U ✱ t❤❡♥ ϕ(U) ✐s ❛❧s♦ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ❡✈❡r② s✉❜s❡t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ϕ(U )✱ ✐✳❡✳✱ ϕ(U) ∈ U ′ ✱ ✇✐t❤ U ′ ⊆ U =⇒ ϕ(U ′ ) = ϕ(U) .

• ❙❝❛❧❡ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❈♦✈❛r✐❛♥❝❡ ✭❙❚❈✮✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣② ✐s ✐♥✲

✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥✳✷ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❡✈❡r② U ∈ D K ✱ ❛♥❞ ❛❧❧ a, b ∈ RK ✇✐t❤ a > 0 ❛♥❞ (a ◦ U + b) ∈ DK ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ϕ(a ◦ U + b) = a ◦ ϕ(U) + b .

1

2

(U, d) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ s②♠♠❡tr✐❝ ✐❢ d1 = · · · = dK ✱ ❛♥❞ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ u = [u1 , . . . , uK ] ∈ U ⇔ u′ = [uπ1 , . . . , uπK ] ∈ U ✱ ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ π ✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❍❛❞❛♠❛r❞ ♣r♦❞✉❝t ◦✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ a ◦ U = {u : ∃s ∈ U ✇✐t❤ u = a ◦ s}✳

❆ ❣❛♠❡

✶✵✷

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

■❢ t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t

U

✐s ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✱ t❤❡♥ t❤❡ s✐♥❣❧❡✲

✈❛❧✉❡❞ ◆❇❙ ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ t❤❡ ❢♦✉r ❛①✐♦♠s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ✉t✐❧✐t✐❡s ✭◆❛s❤ ♣r♦❞✉❝t✮✳

max

u∈U,u≥d

Y

(uk − dk ) .

✭✹✳✶✮

k∈K

◆❛s❤ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❬✶✻❪ ❢♦r ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t s❡ts ❛♥❞ t✇♦ ♣❧❛②❡rs✳ ▲❛t❡r✱ ✐♥ ❬✶✼❪ ❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t❤✐s ✇♦r❦ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❛

❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t

✭❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s

t❤r❡❛t ♣♦✐♥t ✮✱

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥

♦✉t❝♦♠❡ ✐♥ ❝❛s❡ t❤❛t t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛r❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ r❡❛❝❤ ❛ ✉♥❛♥✐♠♦✉s ❛❣r❡❡♠❡♥t✳ ❙♦♠❡ ✏♥♦♥✲st❛♥❞❛r❞✑ ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❡①✐st✱ ✐♥✲ ❝❧✉❞✐♥❣ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥s ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✵✾✱ ✶✶✷✕✶✶✹❪✮ ❛♥❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤♦✉t ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✾❪ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ st✉❞② t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤♦✉t ❞✐s❛❣r❡❡✲ ♠❡♥t ♣♦✐♥t✱ ✐✳❡✳✱

d = 0✳

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❛①✐♦♠ ❙❚❈ ❞✐✛❡rs s❧✐❣❤t❧② ❢r♦♠ ✐ts

❝♦♠♠♦♥ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✉s❡❞ ✐♥ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ✭❡✳❣✳ ❬✶✽❪✮✱ ✇❤❡r❡ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐s r❡q✉✐r❡❞✳ ❖♠✐tt✐♥❣ t❤❡ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t ✐s ❥✉st✐✜❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ✉t✐❧✐t② s❡ts ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❛❧✇❛②s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞✳ ❋r♦♠ ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ ③❡r♦ ✉t✐❧✐t✐❡s ♠✉st ❜❡ ❡①❝❧✉❞❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ✭❙■❘ t❡♥❞✐♥❣ t♦ ✐♥✜♥✐t②✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢r♦♠ ❛ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ t❤✐s ❝♦rr❡✲ s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡ ✇✐t❤ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t ③❡r♦✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❛❧s♦ r❡❧❡✈❛♥t ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ❣❛♠❡s ✇✐t❤ ♥♦♥✲③❡r♦ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t✿ ✐❢ t❤❡ ③❡r♦ ♦❢ t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❝❛❧❡s ❞♦❡s ♥♦t ♠❛tt❡r t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡ t❤❡ ❣❛♠❡ ✇✐t❤✐♥ ❛ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✷✳

max u∈U

Y

uk .

✭✹✳✷✮

k∈K

max-min fair solution Nash Bargaining solution

utility set U 45◦

”Nash curve” Q k uk = const.

❋✐❣✳ ✹✳✷✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥

✹✳✶ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❙tr✐❝t❧② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✶✵✸

✹✳✶✳✷ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss log max

Q

k uk = max log ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② s♦❧✈✐♥❣ ❙✐♥❝❡

Q

k

max u∈U

uk = max X

log uk .

P

k

log uk ✱

t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ✭✹✳✷✮

✭✹✳✸✮

k∈K

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ✇✐❧❧ r❡❢❡r t♦ str❛t❡❣② ✭✹✳✸✮ ❛s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ✭P❋✮✳ ∗ ■♥ ✐ts ♦r✐❣✐♥❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❬✾✽❪✱ ❛ ✈❡❝t♦r u ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ✐❢ ❢♦r ❛♥② ♦t❤❡r ❢❡❛s✐❜❧❡ ✈❡❝t♦r u ∈ U t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❝❤❛♥❣❡ P ∗ ∗ k (uk − uk )/uk ✐s ♥♦♥✲♣♦s✐t✐✈❡ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✶✶✼❪✮✳ ❋♦r ❝♦♥✈❡① s❡ts✱ t❤✐s ✉♥✐q✉❡

♣♦✐♥t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✹✳✸✮✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❬✾✽✱ ✶✵✷❪✳ ❚❤✐s r❡❧❛t❡s t❤❡ ◆❇❙ t♦ ❛ ❦♥♦✇♥ ❢❛✐r♥❡ss ❝r✐t❡r✐♦♥ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❬✾✾✱ ✶✵✷✱ ✶✵✸✱ ✶✵✺✱ ✶✵✻✱ ✶✶✶❪✮✳ K ❋♦r ❡✈❡r② ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♥✈❡① s❡t ❢r♦♠ D ✱ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛①✐♠✐③❡r ✭✹✳✷✮ ✐s t❤❡ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞ ◆❇❙ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❛①✐♦♠s ❲P❖✱ ❙❨▼✱ ■■❆✱ ❛♥❞ ❙❚❈✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❝♦♥✈❡①✐t② ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✺✳ ❆ st❛♥❞❛r❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s t♦ ❝♦♥✈❡①✐❢② t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t ❜❛s❡❞ ♦♥ r❛♥❞♦♠✐③❛✲ t✐♦♥ ❛r❣✉♠❡♥ts ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✵✼✱ ✶✶✹❪✮✱ ♦r ❜② r❡s♦✉r❝❡ s❤❛r✐♥❣✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ s✉❝❤ ❛ str❛t❡❣② ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡ ♦r ❡✈❡♥ r❡❧❡✈❛♥t✳ ❆❣❛✐♥✱ t❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥✈❡①✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❥✉st✐❢②✳ ❊①t❡♥s✐♦♥s ❛♥❞ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ◆❇❙ t♦ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ✉t✐❧✐t② s❡ts ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ st✉❞✐❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ❡✳❣✳✱ ❬✶✵✾✱ ✶✶✷✕✶✶✹❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♠♦t✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ♣❛♣❡rs ✐s q✉✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ♦✉r ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① s❡ts t❤❛t ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳

✹✳✶✳✸ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♠❛❣❡ s❡t ♦❢

U

✐s

log(u) = [log u1 , . . . , log uK ]T ✱ ✇❤❡r❡ u ∈ U ∩ RK ++ ✳ ❚❤❡

Log(U) := {q = log(u) : u ∈ U ∩ RK ++ } .

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✸✳ ❲❡

s❛② t❤❛t ❛ s❡t

❝♦♥✈❡①✳

❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t ❢♦❝✉s ♦♥ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts t❤❛t ❛r❡

U ⊆ RK + ✐s ❛ U

❧♦❣✲❝♦♥✈❡①

✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜②

∂U ✳

✭✹✳✹✮

s❡t ✐❢

Log(U) ✐s

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡

P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳ ❋r♦♠ ❛ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢

✈✐❡✇✱ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ♠❡❛♥s t❤❛t ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ♦♥❡ ✉s❡r ✇✐t❤♦✉t ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ❛♥♦t❤❡r ✉s❡r✳ ❆ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t ✐s ✏❡✣❝✐❡♥t✑ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s②st❡♠ r❡s♦✉r❝❡s ❛r❡ ❢✉❧❧② ✉t✐❧✐③❡❞✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✹✳ ❆ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t u ∈ ∂U ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ u ˆ ∈ ∂U ✇✐t❤ u ˆ u✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ✭t❤❡ P❛r❡t♦ ❜♦✉♥❞❛r②✮ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② P O(U)✳

✶✵✹

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ❙■❘✲❜❛s❡❞ ◗♦❙ s❡ts ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ❧❛t❡r✱ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✺✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❝❡rt❛✐♥ ❢❛♠✐❧✐❡s ♦❢ ✉t✐❧✐t② s❡ts t❤❛t ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡s❡ ❢❛♠✐❧✐❡s ST ❛♥❞ ST c ❛r❡ s♣❡❝✐✜❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✺✳ ❇② ST ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦s❡❞ ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡

✉t✐❧✐t② s❡ts U ⊂ RK + s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t Q := Log(U) ✐s ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt② ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✿ ❋♦r ❛♥② q, ˆ qˇ ∈ P O(Q)✱ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✲ ✐♥❣ ❧✐♥❡ q(λ) = (1 − λ)qˆ + λˇ q ✱ ✇✐t❤ λ ∈ (0, 1)✱ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ Q✳ ❇② ST c ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❛❧❧ U ∈ ST ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❜♦✉♥❞❡❞✱ t❤✉s ❝♦♠♣❛❝t✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✺ ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✸✳ q2

qˆ

Pareto boundary

q(λ) qˇ

0 ❋✐❣✳ ✹✳✸✳

Q = Log(U )

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ s❡t

q1

Q := Log(U) ❢♦r U ∈ ST c ✳ ❚❤❡ s❡t ✐s str✐❝t❧②

❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ t❤❡ ❡①❝❡♣t✐♦♥ ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ❜♦✉♥❞❛r② s❡❣♠❡♥ts ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ t❤❡ ❛①❡s ✭❞❛s❤❡❞ ❧✐♥❡s✮✳ ❚❤❡s❡ s❡❣♠❡♥ts ❛r❡ ✐rr❡❧❡✈❛♥t ❢♦r t❤❡ ◆❛s❤ s♦❧✉t✐♦♥✳

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t✇♦ s✉❜s❡❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ✉t✐❧✐t② s❡ts✱ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ❛❞❞r❡ss✐♥❣ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ s❡ts ST c ✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ s❡ts ST ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✺✳

✹✳✶✳✹ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❈♦♠♣❛❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❙❡ts ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ♦❜s❡r✈✐♥❣ t❤❛t ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ❛♥❞ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ❜② t❤❡ ❧♦❣✲tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ U ⊂ RK + ✐s ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ Log(U ) ⊂ RK ✐s ❝♦♠♣❛❝t ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ❊✈❡r② ❝♦♥✈❡① s❡t ❢r♦♠ DK ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST c ✱ ❜✉t ♥♦t ❝♦♥✈❡rs❡❧②✳ ❚❤✉s✱ ST c ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❛♥ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ st❛♥❞❛r❞ s❡ts ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✶✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥② U ∈ ST c ✱ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✹✳✷✮ ②✐❡❧❞s t❤❡ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞ ◆❇❙ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛①✐♦♠s ❲P❖✱ ❙❨▼✱ ■■❆✱ ❛♥❞ ❙❚❈✳ ❚❤✐s ❡①t❡♥❞s t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① s❡ts ST c ✳ ❚❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ST c ♣❧❛② ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ❢♦r t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ✉♥✐q✉❡♥❡ss✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t t❤❡ ❛①✐♦♠s ❲P❖✱ ❙❨▼✱ ■■❆✱ ❛♥❞ ❙❚❈ ❤❛✈❡ ❞✐r❡❝t ❝♦✉♥✲ t❡r♣❛rts ❢♦r t❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t Q := Log(U)✳ ❚❤✐s ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❢♦r ❛①✐♦♠s

✹✳✶ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❙tr✐❝t❧② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✶✵✺

❲P❖✱ ❙❨▼✱ ❛♥❞ ■■❆✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❛✛❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛✲ t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❛①✐♦♠ ❲P❖ ✐♥ t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t U ❝♦rr❡s♣♦♥❞s ❞✐r❡❝t❧② t♦ ❲P❖ ✐♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t Q✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛①✐♦♠s ❙❨▼ ❛♥❞ ■■❆✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❛①✐♦♠s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t ❜② ❲P❖Q ✱ ❙❨▼Q ✱ ❛♥❞ ■■❆Q ✳ ❆①✐♦♠ ❙❚❈ ✐♥ t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t U ∈ ST c ❛❧s♦ ❤❛s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❢♦r t❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t Q := Log(U)✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② tr❛♥s❧❛t✐♦♥ q˜ ∈ RK ✱ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❛ tr❛♥s❧❛t❡❞ s❡t Q(q) ˜ ✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s Q(q) ˜ = {q ∈ RK : ∃q 0 ∈ Q ✇✐t❤ q = q 0 + q} ˜ .

❆❧s♦✱ ❧❡t ϕQ ❜❡ t❤❡ ❧♦❣✲tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥✱ ✐✳❡✳✱ ϕQ = log ϕ(U)✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ♣♦✐♥t ✐s ③❡r♦ ✐♥ ♦✉r ❝❛s❡✱ ❛①✐♦♠ ❙❚❈ ❜❡❝♦♠❡s ϕ(a ◦ U) = a ◦ ϕ(U)✳ ■♥ t❤❡ ❧♦❣✲tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❞♦♠❛✐♥✱ t❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦

ϕQ Q(q) ˜ = ϕQ Q + q˜ .

✭✹✳✺✮

❲❡ ✇✐❧❧ r❡❢❡r t♦ ♣r♦♣❡rt② ✭✹✳✺✮ ❛s ❙❚❈Q ✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❛①✐♦♠s ❛r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ ϕQ ✐♥ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ s❡t✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡t U ∈ ST c ✱ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ ϕQ ✐♥ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ s❡t Q = Log(U) s❛t✐s✜❡s ❛①✐♦♠s ❲P❖Q ✱ ❙❨▼Q ✱ ❙❚❈Q ✱ ❛♥❞ ■■❆Q ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✐♠✐③❡r

ϕQ (Q) = arg max q∈Q

X

✭✹✳✻✮

qk .

k∈K

Pr♦♦❢✳ ◆♦♥✲P❛r❡t♦✲♦♣t✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② s❡❣♠❡♥ts ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ t❤❡ ❛①❡s ❝❛♥ ❜❡ s❛❢❡❧② ❡①❝❧✉❞❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r♦♦❢✱ s✐♥❝❡ s✉❝❤ ♣♦✐♥ts ❝❛♥♥♦t ❜❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✹✳✷✮✳ ❚❤✉s✱ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t Q ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✳ ●✐✈❡♥ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ U ∈ ST c ❛♥❞ ✐ts ✐♠❛❣❡ s❡t Log(U)✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✭✹✳✻✮ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❲P❖Q ✱ ❙❨▼Q ✱ ❙❚❈Q ✱ ❛♥❞ ■■❆Q ✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ str❛t❡❣② ♦♥ Q = Log(U )✱ t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❛①✐♦♠s ❲P❖Q ✱ ❙❨▼Q ✱ ❙❚❈Q ✱ ■■❆Q ✳ ❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡s❡ ❛①✐♦♠s ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜② ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✹✳✻✮✳ ❚❤✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❜② ❋✐❣✉r❡ ✹✳✹✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t Q1 := {q ∈ RK :

X

k∈K

qk ≤ K} .

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❙❚❈Q ♣r♦♣❡rt② ✭✹✳✺✮✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ str❛t❡❣② ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ Q ⊆ Q1 ✱ ❛♥❞ qˆ = [1, . . . , 1]T = arg max q∈Q

X

k∈K

qk .

✶✵✻

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts q˜

1 0

Q

˜1 Q qˆ

1

1

❋✐❣✳ ✹✳✹✳

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✳ ❚❤❡ ◆❇❙ ✐♥ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ s❡t

Q ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❛①✐♦♠s✳

❚❤❛t ✐s✱ qˆ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♣♦✐♥t ✇❤✐❝❤ ✐s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ ❜♦t❤ s❡ts Q ❛♥❞ Q1 ✳ ❙✐♥❝❡ Q ✐s ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ q˜ ∈ RK s✉❝❤ t❤❛t q˜ ≥ q

❚❤✉s✱ Q ✐s ❛ s✉❜✲s❡t ♦❢ t❤❡ s❡t

❢♦r ❛❧❧ q ∈ Q .

˜ 1 = {q ∈ Q1 : q ≤ q} Q ˜ .

✭✹✳✼✮

˜1 ⊇ Q ˜⊇Q. Q

✭✹✳✽✮

❚❤❡ s❡t Q˜ 1 ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✳ ▲❡t Q˜ ❜❡ t❤❡ s♠❛❧❧❡st s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ❝❧♦s❡❞ s❡t t❤❛t ❢✉❧✜❧❧s ❙✐♥❝❡ Q˜ 1 ✐s ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞✱ t❤❡ s❡t Q˜ ✐s ❝♦♠♣❛❝t✳ ■t ✐s ❛❧s♦ str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✱ t❤✉s ✐t ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ Log(ST c )✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❛❧❧ s❡ts Log(U ) s✉❝❤ t❤❛t U ∈ ST c ✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❛①✐♦♠ ❙❨▼Q ✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t P

˜ = qˆ = [1, . . . , 1]T . ϕQ (Q)

k qk

˜ ✱ ✐✳❡✳✱ qˆ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ = K ❞❡s❝r✐❜❡s ❛ s✉♣♣♦rt✐♥❣ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ❢♦r Q X ˜ = arg max ϕQ (Q) qk . ˜ q∈Q

k∈K

◆♦✇✱ Q ⊆ Q˜ ❛♥❞ qˆ ∈ Q✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❛①✐♦♠ ■■❆Q ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ˜ = [1, . . . , 1]T = arg max ϕQ (Q) = ϕQ (Q) q∈Q

✇❤✐❝❤ ❝♦♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣r♦♦❢✳

X

qk ,

✭✹✳✾✮

k∈K

⊔ ⊓

✹✳✶ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❙tr✐❝t❧② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✶✵✼

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ❢♦r ❛❧❧ U ∈ ST c t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✹✳✾✮ ✐♥ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❞♦♠❛✐♥ Q = Log(U) ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✉♠ ϕQ(Q)✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ♠❛♣♣✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❡ts Q ❛♥❞ U ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ▲❡t U ∈ ST c ✳ ❚❤❡♥ ❛①✐♦♠s ❲P❖✱ ❙❨▼✱ ❙❚❈✱ ❛♥❞ ■■❆ ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✼✳

ϕ(U ) = arg max u∈U

Y

✭✹✳✶✵✮

uk .

k∈K

❚❤✐s r❡s✉❧t ❤♦❧❞s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ✉t✐❧✐t② s❡ts ❢r♦♠ ST c✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✲ ✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡① s❡ts✳ ❆♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❙■❘ r❡❣✐♦♥ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✹✳ ❯♥❞❡r ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST c ✳ ✹✳✶✳✺ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢♦r ❯♥❜♦✉♥❞❡❞ ❙❡ts

❙❡ts ❢r♦♠ ST ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✷✮ ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❤❛✈❡ ❛ s♦❧✉t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✽ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✳ ▲❛t❡r✱ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✹ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❤♦✇ t❤❡ r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❙■❘✲❜❛s❡❞ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② s❡t ✭✹✳✶✶✮ U(λ) = U ∩ G(λ) ✇❤❡r❡ X  G(λ) = u ∈ RK uk ≤ λ , λ > 0 . ✭✹✳✶✷✮ ++ : k∈K ❚❤❡ s❡t U(λ) ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✺✳ ❯♥❧✐❦❡ U ✱ t❤❡ s❡t U (λ) ✐s ❛❧✇❛②s ❝♦♥✲ u2 U (λ)

U ❋✐❣✳ ✹✳✺✳ ❚❤❡ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ✉t✐❧✐t② s❡t

U

u1

✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜② ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ s❡t

U (λ) ∈ ST c

t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST c✳ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ϕ U(λ)
✱

✶✵✽

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❣✐✈❡♥ ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ◆❛s❤ ♣r♦❞✉❝t✳ ❚❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✉t✐❧✐t✐❡s ❛r❡ ❞❡✲ ♥♦t❡❞ ❜② u(λ)✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✽✳ ▲❡t

✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥

U ∈ ST ✳ ❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✷✮ ❤❛s ❛ ˆ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ λ ≥ λ ˆ u ˆ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ λ Y
ˆ . ϕ U(λ) = arg max uk = u(λ) ✭✹✳✶✸✮ u∈U(λ) k∈K

❚❤❡♥✱

ˆ ✳ u ˆ = u(λ)

❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ λˆ s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✸✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② λ ≥ λˆ ✳ ❚❤❡♥✱ ˆ u(λ) ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✭✹✳✷✮ ❢♦r t❤❡ s❡t U(λ)✳ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ✉♥✐q✉❡ ❜❡❝❛✉s❡ ˆ ✐s ❛❧s♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ❧❛r❣❡r s❡t U ✳ U(λ) ∈ ST c ✳ ❚❤✉s✱ u(λ) ❲✐t❤ U (λ) ⊆ U ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Y Y max uk ≤ sup uk =: C . ✭✹✳✶✹✮ Pr♦♦❢✳

u∈U (λ)

k∈K

u∈U

k∈K

❲❡ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✐s ✜♥✐t❡✳ ■❢ C = +∞✱ t❤❡♥ Q ❢♦r ❛♥② µ > 0 t❤❡r❡ ✐s ❛ u(µ) ∈ U s✉❝❤ t❤❛t k u(µ) > µ✳ ❚❤❡r❡ ❛❧✇❛②s l Q ❡①✐sts ❛ λ ≥ λˆ s✉❝❤ t❤❛t u(µ) ∈ U(λ)✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ maxu∈U (λ) k uk ❝♦✉❧❞ ❜❡❝♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ❧❛r❣❡✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ✭✹✳✶✸✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② λ ≥ λˆ ✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s C < +∞✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✶✹✮ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ✇✐t❤ Q Q ˆ ∈ U ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ sup ❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ❛❧❧ λ ≥ λˆ ✳ ❙✐♥❝❡ u(λ) uk )✳ u∈U k (uk ) = k (ˆ ˆ ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✭✹✳✷✮ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞ ❜② u(λ) ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t u ˆ ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✹✳✷✮✳ ❋♦r ❛♥② λ > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ max

u∈U(λ)

Y

(uk ) ≤ max

k∈K

u∈U

Y

(uk ) =

k∈K

Y

✭✹✳✶✺✮

(ˆ uk ) .

k∈K

❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ λˆ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✱ ✇✐t❤ t❤❡ ˆ =u ♠❛①✐♠✐③❡r u(λ) ˆ✳ ❚❤✐s s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛♥② ❧❛r❣❡r s❡t U(λ) ˆ ✇❤❡r❡ λ ≥ λ✳ ⊔ ⊓

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✽ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦✉t❧✐♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝✲ t✐♦♥ ✹✳✶✳✶ ❛❧s♦ ❤♦❧❞s ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♥✲❝♦♠♣❛❝t ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① s❡ts✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✹✮✳ ✹✳✶✳✻ ◆♦♥✲❙②♠♠❡tr✐❝ ◆❛s❤ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❈♦♥❥✉❣❛t❡

fI

❚❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✱ ✐✳❡✳✱ ❛❧❧ ✉s❡rs ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♦r✲ ✐t✐❡s✳ ❇✉t s♦♠❡t✐♠❡s✱ ❛ ♥♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝ str❛t❡❣② ✐s ♥❡❡❞✳ ■♥ ❬✶✶✽❪✱ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝✲ t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧✉s ❛♥❞ ♥♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✇❛s

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✶✵✾

❞✐s❝✉ss❡❞✳ ●✐✈❡♥ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❛❝t♦rs α = [α1 , . . . , αK ]T ✱ ✇✐t❤ kαk1 = 1✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✉t✐❧✐t② s❡t V ✱ t❤❡ ♥♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝ ◆❛s❤ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ Y (vk )αk . ✭✹✳✶✻✮ N (α) = max v∈V

k∈K

❚❤✐s s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ ❞✐✛❡r❡♥t s❡t ♦❢ ❛①✐♦♠s✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❬✶✶✽❪✳ ❲❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t V ✐s ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✺ t❤❛t ❛♥② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ❢r♦♠ RK ++ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✺ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I1 s✉❝❤ t❤❛t V = {v > 0 : I1 (v) ≤ 1} .

❚❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ✭✹✳✶✻✮ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ V ❜❡✐♥❣ ❝❤❛r✲ ❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② I1 (v) = 1✳ ❚❤✉s✱ ✭✹✳✶✻✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❬✶✶✽❪ N (α) =

max

{v>0:I1 (v)=1}

Y

(vl )

αl

l∈K

= sup v>0

Q

l∈K (vl )

I1 (v)

αl

.

✭✹✳✶✼✮

❋r♦♠ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✳✺ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹ ✭❛❢t❡r t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡ s = log p✮✳ ❚❤✉s✱ I1 ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ✭✸✳✶✷✻✮✳ ❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭✹✳✶✼✮ ✇✐t❤ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f I1 ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✼✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ N (α) =

1 . f I (α)

✭✹✳✶✽✮

1

❚❤✐s ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❧✐♥❦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ t❤❡♦r② ❛♥❞ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ✭❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✮ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ Pr♦❜❧❡♠ ✭✹✳✶✻✮ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t ❬✾✽❪ ♦❢ ❛ ✇✐r❡❧❡ss s②st❡♠✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ ♦t❤❡r ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s ✇❤✐❝❤ ♦♥❧② r❡❧② ♦♥ ❞♦✇♥✇❛r❞✲ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✉t✐❧✐t② s❡ts✳ ❆❧s♦ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ s❡t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s ❛ s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛s s❤♦✇♥ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✶✳ ✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S = {γ ∈ RK ++ : C(γ) ≤ 1} ,

✭✹✳✶✾✮

✇❤✐❝❤ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛♥❞ ♠♦t✐✈❛t❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ)✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② C(γ) = 1✳

✶✶✵

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❘❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t②♣✐❝❛❧❧② ❛✐♠ ❛t ✜♥❞✐♥❣ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ■♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t✱ ❛ ❝r✉❝✐❛❧ q✉❡st✐♦♥ ✐s ✇❤❡t❤❡r s✉❝❤ ❛ ♣♦✐♥t ✐s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❡①✐st ♦r ♥♦t✳ ❙♦♠❡t✐♠❡s✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❛♣♣r♦❛❝❤❡❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧②✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✸✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ♣r❡✈❡♥t t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢r♦♠ ❝♦♥✈❡r❣✐♥❣✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✳ ❚❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✸✮✳ p=

1 diag{γ}I(p) . C(γ)

❲❤❡t❤❡r ♦r ♥♦t ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❡①✐sts ❢♦r ❛❧❧ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts γ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❤♦✇ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♠✉t✉❛❧❧② ❝♦✉♣❧❡❞✳ ❋♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐s ✇❡❧❧ ✉♥✲ ❞❡rst♦♦❞✳ ❇♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ t❤❡ P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r② ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛✲ tr✐❝❡s✳ ❚❤❡ ❡♥t✐r❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✭✶✳✾✮ ✐s ✐rr❡✲ ❞✉❝✐❜❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ q✉✐t❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❢♦r ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❬✷❪✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❇② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✻✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①t❡♥❞ ♠❛♥② ♦❢ ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ❛r❡ ❦♥♦✇♥ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝❛s❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ✹✳✷✳✶ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❢♦r ❈♦♥st❛♥t

W

■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✻ t❤❛t ❡✈❡r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ✭✸✳✶✷✻✮✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts w ≥ 0✱ ✇✐t❤ kwk1 = 1✳ ◆♦✇✱ ✇❡ st✉❞② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ K ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❇② wk ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❛ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✈❡❝t♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ✉s❡r k✳ ❆❧❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ ❛ ♠❛tr✐① W = [w 1 , . . . , wK ]T ≥ 0 ,

✇✐t❤ kwk k1 = 1, ∀k ∈ K .

❖♥❧② ✐♥ t❤✐s s✉❜s❡❝t✐♦♥✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t W ✐s ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ s✐♠♣❧✐✜❡s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ r❡✈❡❛❧s s♦♠❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❆r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s P ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✳✹✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② l wkl = 1✱ t❤❡ ♠❛tr✐① W ✐s ✭r♦✇✮ st♦❝❤❛st✐❝✳ ▲❡t 1 ❜❡ t❤❡ ❛❧❧✲♦♥❡ ✈❡❝t♦r✱ t❤❡♥ W1 = 1 .

❋♦r ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥st❛♥ts fk > 0✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

✭✹✳✷✵✮

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

Ik (p, W ) = fk ·

Y

l∈K

(pl )wkl ,

k∈K.

✶✶✶

✭✹✳✷✶✮

❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ ❢♦r ❛ ❝♦♥st❛♥t W ✐s  γk Ik (p, W )  C(γ, W ) = inf max . p>0 k∈K pk

✭✹✳✷✷✮

C(γ, W ) p∗ = Γ I(p∗ , W ) .

✭✹✳✷✸✮

❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❢✉❧✜❧❧✐♥❣

❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r str✐❝t ♣♦s✲ ✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳ ❚❤✐s ❜❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt② ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ❧❛t❡r✱ ❡✳❣✳ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹✳

▲❡t t := (γ1 f1 , . . . , γK fK )T ✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✹✳✷✸✮ ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ p > 0 ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ♦❢ log t ✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❧♦❣✲ ❛r✐t❤♠✮ ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① I − W ✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ C = C(γ, W ) = log C(γ, W ) ∈ R s✉❝❤ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛♥ s∗ ∈ RK ✇✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✹✳✾✳

∗

(I − W )s∗ = log t − C1 ,

✭✹✳✷✹✮

✇❤❡r❡ p∗ = exp{s∗ } ✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡✮✳

Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s∗ ∈ RK ❛♥❞ ❛ C ∈ R s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✷✹✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳

❚❛❦✐♥❣ exp{·} ♦❢ ❜♦t❤ s✐❞❡s ♦❢ ✭✹✳✷✹✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✱ exp{s∗k −

X l∈K

1 p∗k ∗ )wkl = γk fk C(γ, W ) . (p l∈K l

wkl s∗l } = Q

❲✐t❤ ✭✹✳✷✶✮ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t p∗ = exp{s∗ } > 0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ ✭✹✳✷✸✮✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ C(γ, W ) ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s♦❧✉t✐♦♥ p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✷✸✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❇② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ ❜♦t❤ s✐❞❡s ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✭✹✳✷✹✮✳ ⊔ ⊓ ❚♦ ❝♦♥❝❧✉❞❡✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ C ∈ R s✉❝❤ t❤❛t log t − C1 ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ r❛♥❣❡ ♦❢ I − W ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ s∗ ∈ RK s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✷✹✮ ❤♦❧❞s✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ s✉❜s♣❛❝❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ I − W ✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✶✵✳

✉♥✐q✉❡✳

■❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ C ∈ R s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✷✹✮ ❤♦❧❞s✱ t❤❡♥ C ✐s

Pr♦♦❢✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ✹✳✾✳

⊔ ⊓

◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ ❤♦✇ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ sq✉❛r❡ r♦✇ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ✳ ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡✱ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ t❤❛t ❛❢t❡r s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ♦❢ r♦✇s ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥s✱ W ✐s r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✱ ✇✐t❤ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡

✶✶✷

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❜❧♦❝❦s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✶ ❢♦r ❛ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✐rr❡✲ ❞✉❝✐❜✐❧✐t②✮✳ ❚❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❡❛❝❤ sq✉❛r❡ ❜❧♦❝❦ W (n) := W (n,n) ♦♥ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐s ❡q✉❛❧ ♦r ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t✇♦✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❆✶✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠✲ ♣❧✐❡s t❤❛t ❡❛❝❤ ✉s❡r ✐s ✐♥t❡r❢❡r❡❞ ❜② ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦t❤❡r ✉s❡r✳ ■❢ W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡♥ ✐t ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♦♥❡ s✐♥❣❧❡ ❜❧♦❝❦✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❜❧♦❝❦s ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ sq✉❛r❡✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✶✶✳ ❆ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❜❧♦❝❦ W (n) ✐s ❝❛❧❧❡❞ ✐s♦❧❛t❡❞ ✐❢ W (n,m) = 0 ❢♦r m = 1, 2, . . . , n − 1✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡✱ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ t❤❛t t❤❡ ✜rst i ❜❧♦❝❦s ❛r❡ ✐s♦❧❛t❡❞✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✶✷✳ ❆ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❜❧♦❝❦ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♠❛①✐♠❛❧ ✐❢ ✐ts s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ❡q✉❛❧s t❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ρ(W )✳

❋r♦♠ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✻ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ♠❛tr✐① W ✐s st♦❝❤❛st✐❝✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡ ✉s❡❢✉❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✳ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✸✳ ■❢ W ≥ 0 ✐s st♦❝❤❛st✐❝ t❤❡♥ • ρ(W ) = 1✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✭✹✳✷✵✮ ❛♥❞ t❤❡ P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r❡♠✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ρ(W ) = max1≤n≤N ρ(W (n) ) = 1✳ • ❆ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❜❧♦❝❦ ✐s ♠❛①✐♠❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ✐s♦❧❛t❡❞✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✹✳✷✵✮ ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts ❬✽✶❪✳ ❋♦r ❛❧❧ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ρ(W (n) ) < 1✳ • I − W ✐s s✐♥❣✉❧❛r✱ ✇❤✐❝❤ ❜❡❝♦♠❡s ❡✈✐❞❡♥t ✇❤❡♥ r❡✇r✐t✐♥❣ ✭✹✳✷✵✮ ❛s (I − W )1 = 0✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ W ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜❧♦❝❦✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹✳ ▲❡t W ≥ 0 ❜❡ r♦✇✲st♦❝❤❛st✐❝ ❛♥❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✲ ✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✭✉♣ t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣✮ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✹✳✷✸✮✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✳

⊔ ⊓

◆❡①t✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❞❞r❡ss t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ W ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮ ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✉♠❡❞✳ ❲❡ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ✭❝❢✳ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✸✮✳ ■♥ ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r✱ ❡❛❝❤ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ ❤❛s ❛ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ♦♥❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s ❤❛✈❡ ❛ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s str✐❝t❧② ❧❡ss t❤❛♥ ♦♥❡✳ ▲❡t Kn ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✉s❡rs ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t❤❡ nt❤ ❜❧♦❝❦ W (n) ✱ ❛♥❞ n Kn ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✉s❡r ✐♥❞✐❝❡s✳ ❆❧s♦✱ γ (n) ∈ RK ++ ✐s t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❙■❘ t❛r❣❡ts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤✐s ❜❧♦❝❦✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ n✱ ✇✐t❤ 1 ≤ n ≤ i✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ C(γ (n) , W (n) ) = inf

p∈RK ++



max

k∈Kn

≤ C(γ, W ) .

γk Ik (p, W ) pk



✭✹✳✷✺✮ ✭✹✳✷✻✮

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✶✶✸

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✹✳✷✷✮✱ ✇❤❡r❡ ❛ ❧❛r❣❡r s❡t K ✐s ✉s❡❞ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ Kn ✳ ❊❛❝❤ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ n ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ♣♦✇❡rs ❢r♦♠ t❤❡ s❛♠❡ ❜❧♦❝❦✱ s♦ t❤❡ ✉s❡rs ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤✐s ❜❧♦❝❦ ❢♦r♠ ❛♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✉❜s②st❡♠✳ ❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t C(γ, W ) ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✷✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦✳ ▲❡t W ❜❡ ❛ r♦✇✲st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① ✐♥ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✱ ❛♥❞ W (1) , . . . , W (i) ❛r❡ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜❧♦❝❦s ♦♥ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ t❤❡♥ C(γ, W ) = max C(γ (n) , W (n) ) . ✭✹✳✷✼✮ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺✳

1≤n≤i

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✳

⊔ ⊓

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t γk Ik (p, ˆ W) max = C(γ, W ) . ✭✹✳✷✽✮ k∈K

pˆk

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✹✳✷✷✮ ✐s ❛❧✇❛②s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❛❧♦♥❡ ❞♦❡s ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳ ❆ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✻✳

✐❢

❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 s❛t✐s❢②✐♥❣ ✭✹✳✷✸✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② C(γ, W ) = C(γ (n) , W (n) ),

1≤n≤i.

✭✹✳✷✾✮

k ∈ Kn .

✭✹✳✸✵✮

Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✷✸✮ ❤♦❧❞s✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r ❛❧❧ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s W (n) ✱ ✇✐t❤ 1 ≤ n ≤ i✱ ✇❡ ❤❛✈❡ γk Ik (p, W ) = C(γ, W ) · pk ,

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✭▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶✱ ♣❛rt ✷✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t C(γ, W ) =

C(γ (n) , W (n) ) ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ n ✇✐t❤ 1 ≤ n ≤ i✳

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✷✾✮ ❤♦❧❞s✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✷✸✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❋♦r t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✱ t❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹✳ ❋♦r t❤❡ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✱ ❛ ✈❡❝t♦r ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛s ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺✳ ⊔ ⊓ ❚❤❡ r❡s✉❧ts s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ p∗ ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ✉♥✐q✉❡ s✐♥❝❡ ❞✐✛❡r❡♥t s❝❛❧✐♥❣s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✳ ❆r❜✐tr❛r② ❙■❘ ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ✉s❡rs ✇✐t❤ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺✳

✶✶✹

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✹✳✷✳✷ ▼✐♥✲▼❛① ❛♥❞ ▼❛①✲▼✐♥ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ t❤❛t t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ C(γ) ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✳ ◆♦✇✱ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ✐s ✇❤❡t❤❡r ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠❛①✲♠✐♥ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣✱ ✐✳❡✳✱ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❬✷❪

 γk Ik (p)  c(γ) = sup min . pk p>0 k∈K

✭✹✳✸✶✮

c(γ) ≤ C(γ) .

✭✹✳✸✷✮

◆♦t❡ t❤❛t ✭✹✳✸✷✮ ✐s ♥♦t ❛ s✐♠♣❧❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❋❛♥✬s ♠✐♥✐♠❛① ✐♥❡q✉❛❧✐t② s✐♥❝❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♦♥❧② ✐♥t❡r❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦r❞❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✸✷✮ ✇❛s ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ ❬✷❪ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❊✈❡♥ ❢♦r s✐♠♣❧❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❡q✉❛❧✐t② ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❤♦❧❞ ❬✷❪✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts ❜② s❤♦✇✐♥❣ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❢♦r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ K×K ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② r♦✇✲st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ∈ R+ ✇✐t❤ r❡s✉❧t✐♥❣ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik (p, W )✱ k ∈ K✳ ❲❡ ❤❛✈❡

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✼✳

c(γ, W ) = C(γ, W )

✭✹✳✸✸✮

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s n = 1, 2, . . . , i✱ C(γ (n) , W (n) ) = C(γ, W ) .

✭✹✳✸✹✮

Pr♦♦❢✳ ■❢ ✭✹✳✸✹✮ ❤♦❧❞s✱ t❤❡♥ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✻ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✹✳✷✸✮✱ t❤✉s ✐♠♣❧②✐♥❣ ✭✹✳✸✸✮✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✸✸✮ ❤♦❧❞s✳ ❲✐t❤ ✭✹✳✷✻✮ ✇❡ ❤❛✈❡ C(γ (n) , W (n) ) ≤ C(γ, W ) ❢♦r ❛❧❧ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s 1 ≤ n ≤ i✳ ■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✹✳✸✶✮ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ c(γ (n) , W (n) ) ≥ c(γ, W )✳ ❲✐t❤ ✭✹✳✸✷✮ ✇❡ ❤❛✈❡ c(γ, W ) ≤ C(γ (n) , W (n) ) ≤ C(γ, W ) , ∀n ∈ {1, 2, . . . , i}.

❲✐t❤ ✭✹✳✸✸✮ t❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✱ s♦ ✭✹✳✸✹✮ ❤♦❧❞s✳

⊔ ⊓

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦r♦❧❧❛r② ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠s ✹✳✶✻ ❛♥❞ ✹✳✶✼✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② r♦✇✲st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ∈ RK×K ✳ + ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 s❛t✐s❢②✐♥❣ ✭✹✳✷✸✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ c(γ, W ) = C(γ, W )✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✶✽✳

◆♦t❡ t❤❛t ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✶✽ ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✹✳✷✶✮✱ ✇❤❡r❡ W ❛♥❞ fk ❛r❡ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❝❛♥♥♦t ❜❡ tr❛♥s❢❡r❡❞ t♦ ❣❡♥❡r❛❧ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛❞❛♣t✐✈❡ W ✳ ❊✈❡♥ ❢♦r s✐♠♣❧❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✵✮✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ c(γ) = C(γ)

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✶✶✺

❞♦❡s ♥♦t ❛❧✇❛②s ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✭✷✳✹✹✮✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✶✾✱ ✶✷✵❪✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❤❡r❡ W ✐s ❝❤♦s❡♥ ❛❞❛♣t✐✈❡❧②✳ ■t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✭❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✾✮ t❤❛t c(γ) = C(γ) ❤♦❧❞s ✐❢ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ W ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ✹✳✷✳✸ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ ❆❞❛♣t✐✈❡

W

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❧❛ss ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✹✳✷✶✮✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ✜①❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♠❛tr✐① W ✳ ◆♦✇✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ W ✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts fk ❛r❡ st✐❧❧ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t✳ ●❡♥❡r❛❧ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❞❞r❡ss❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✳✹✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t  W = W = [w1 , . . . , w K ]T : w k ∈ Lk , ∀k ∈ K ,

✭✹✳✸✺✮

✇❤❡r❡ Lk ⊆ RK + ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞ s❡t s✉❝❤ t❤❛t ❛♥② w ∈ Lk ❢✉❧✜❧❧s kwk1 = 1✳ ❚❤❡ s❡t W ✐s ❛❧s♦ ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ W ❛♥❞ ✭✹✳✷✶✮✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik (p) = max Ik (p, W ), W ∈W

✭✹✳✸✻✮

∀k ∈ K .

◆♦t❡✱ t❤❛t Ik (p, W ) ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ wk ∈ Lk ✱ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ K ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ✉s❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♥♦t❛t✐♦♥ 

 I(p) = 

maxW ∈W I1 (p, W )

✳✳ ✳

maxW ∈W IK (p, W )



✭✹✳✸✼✮

  .

❈♦♥s✐❞❡r ❛ s❡t W ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✹✳✸✺✮✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❛❧❧ ❡❧❡♠❡♥ts W ∈ W ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ✇✐t❤ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✹✳✸✼✮✳ ❚❤❡♥ c(γ) = C(γ) ❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 s❛t✐s❢②✐♥❣ ✭✷✳✹✹✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✾✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✳

⊔ ⊓

❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳ ∗ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✵✳ ▲❡t I(p) ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❜② ✭✹✳✸✼✮✳ ❆ ✈❡❝t♦r p > 0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t s❛t✐s❢②✐♥❣ ✭✷✳✹✹✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ∗ ∈ W ❛♥❞ ❛ µ > 0 s✉❝❤ t❤❛t Ik (p∗ ) = max Ik (p∗ , W ) = Ik (p∗ , W ∗ ), W ∈W

❚❤❡♥✱

∀k ∈ K

✭✹✳✸✽✮

Γ I(p∗ , W ∗ ) = µ · p∗ .

✭✹✳✸✾✮

µ = C(γ) = C(γ, W ∗ ) .

✭✹✳✹✵✮

✶✶✻

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

Pr♦♦❢✳ ■❢ p∗ > 0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t s❛t✐s❢②✐♥❣ ✭✷✳✹✹✮ t❤❡♥ ✭✹✳✸✽✮ ❛♥❞ ✭✹✳✸✾✮ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❋r♦♠ ✭✹✳✸✾✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t p∗ ✐s ❛❧s♦ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ Γ I( · , W ∗ )✳ ❇❡❝❛✉s❡ p∗ > 0✱ ✇❡ ❦♥♦✇♥ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶ ✭♣❛rt ✷✮ t❤❛t ✭✹✳✹✵✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✸✾✮ ❛♥❞ ✭✹✳✸✽✮ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡♥✱ [Γ I(p∗ )]k = γk max Ik (p∗ , W ) = γk Ik (p∗ , W ∗ ) =

W ∈W µ[p∗ ]k .

✭✹✳✹✶✮

❚❤❛t ✐s✱ p∗ > 0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ Γ I(p)✳ ▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶ ✭♣❛rt ✷✮ ②✐❡❧❞s ✭✹✳✹✵✮✳ ⊔ ⊓

❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ t❤❛t ❛❧❧ W ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✶✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛ t❤❡ s❡t W ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✹✳✸✺✮✱ s✉❝❤ t❤❛t ❛❧❧

W ∈ W ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡♥

✭✹✳✹✷✮

max C(γ, W ) = C(γ) ,

W ∈W

❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t Γ I(p∗ ) = C(γ)p∗ ✱ ✇❤❡r❡ I ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✹✳✸✼✮✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✳

⊔ ⊓

✹✳✷✳✹ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❆♥❛❧②s✐s ❢♦r ●❡♥❡r❛❧ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡r✐✈❡ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♠❛tr✐① ✐s ✐rr❡✲ ❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ s❡t  WI = W = [w1 , . . . , wK ]T : w k ∈ L(Ik ), ∀k ∈ K ,

✭✹✳✹✸✮

◆♦t❡✱ t❤❛t WI ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡ts L(Ik )✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✳✶✶✻✮✳ ❙♦ ✐t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛r❜✐tr❛r②✳ ■♥ t❤✐s r❡s♣❡❝t ✐t ❞✐✛❡rs ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✉s❡❞ s❡t W ✳ ❆♥② W ∈ WI ✐s st♦❝❤❛st✐❝ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✸✳✹✾✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✷✳ ❚❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♠❛tr✐① AI ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② D I ✮ ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ˆ ∈ WI ✱ ❛♥❞ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ❝♦♥st❛♥ts C1 , . . . , CK > 0✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ p > 0✱

Ik (p) ≥ Ck

Y

(pl )wˆkl ,

l∈K

∀k ∈ K ,

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾

∀p > 0 .

✭✹✳✹✹✮ ⊔ ⊓

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✶✶✼

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✷ ❧✐♥❦s ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✇✐t❤ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦♥✲③❡r♦ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 s❛t✲ ✐s❢②✐♥❣ ✭✷✳✹✹✮ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t s❡t WI ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✹✳✹✸✮✳ ❚❤❡ ✜rst t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♦♥❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♠❛tr✐① ❢r♦♠ WI ✐s s✉✣❝✐❡♥t✳

▲❡t I = [I1 , . . . , IK ]T ❜❡ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ˆ ∈ WI ✳ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐① W ∗ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ γ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✸✳

Γ I(p∗ ) = C(γ)p∗ .

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✳

✭✹✳✹✺✮ ⊔ ⊓

ˆ ∈ WI ✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t W ˆ ✐s ■♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✸ ✇❡ ❤❛✈❡ r❡q✉✐r❡❞ W ˆ k ) > 0 ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ✭✹✳✸✻✮ st♦❝❤❛st✐❝ ❛♥❞ f Ik (w t❤❛t Y Ik (p) ≥ f I (w ˆk ) (pl )wˆkl , ∀k ∈ K , ∀p > 0 . ✭✹✳✹✻✮ k l∈K

ˆ s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✹✹✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W s♦♠❡ C1 , . . . , CK > 0✳ ❚❤❡♥✱ Ik (p) ≥ Ck > 0, w ˆkl l∈K (pl )

Q

∀k ∈ K , ∀p > 0 .

✭✹✳✹✼✮

ˆ ∈ WI ✳ ❇♦t❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❚❤✉s✱ f Ik (w ˆ k ) > 0✱ ∀k ∈ K✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s W ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✱ s♦ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✸ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦r♦❧❧❛r②✿

❆ss✉♠❡ t❤❡r❡ ❡①✐st C1 , . . . , CK > 0 ❛♥❞ ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ✐rr❡✲ ˆ ∈ WI s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✹✹✮ ❤♦❧❞s✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ γ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐① W ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✹✺✮ ❤♦❧❞s✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✷✹✳

❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✷ ✇❡ ❝❛♥ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡ t❤✐s r❡s✉❧t ❛s ❛♥♦t❤❡r ❝♦r♦❧❧❛r②✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① ✐s ❛❧✇❛②s s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳

■❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② AI ✮ ✐s ✐rr❡✲ ❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ γ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✹✺✮ ❤♦❧❞s✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✷✺✳

❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ ❛❞❞r❡ss❡s t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① ✐s ♥♦t ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ✉s❡r ✐♥❞✐❝❡s s✉❝❤ t❤❛t DI ❤❛s t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✳ ■❢ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❙■❘ ✈❡❝t♦r ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡✿

✶✶✽

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✻✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② AI ✮ ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡✱ s♦ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✳ ▲❡t 1, . . . , l1 ❜❡ t❤❡ ✉s❡r ✐♥❞✐❝❡s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✳ ■❢

inf max

p>0 k>l1

γk Ik (p) = C 1 (γ) > 0 , pk

∀γ > 0 ,

✭✹✳✹✽✮

t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ γ > 0 s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✹✳✹✺✮✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✳

⊔ ⊓

◆♦t❡ t❤❛t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✹✳✹✽✮ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✻ ✐s ♥♦t r❡❞✉♥❞❛♥t✳ ■♥ t❤❡ r❡✲ ♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ r❡❞✉❝✐❜❧❡ D I ✇❤❡r❡ ❛❧❧ γ > 0 ❤❛✈❡ ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✭✹✳✹✺✮✳ ❇✉t ✐♥ t❤❡s❡ ❝❛s❡s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ tr✐✈✐❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ C 1 (γ) = 0✳ ■♥ t❤✐s s❡♥s❡✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✻ ✐s ❜❡st ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❆ r❡s✉❧t ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✻ ✐s ❦♥♦✇♥ ❢r♦♠ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ♥♦♥✲ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐❝❡s ❬✺✼❪✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✵✮ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V ✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t V ❤❛s ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✳ ❚❤✐s ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✳ ❲❡ ❤❛✈❡ D I = V ✳ ▲❡t ρ(Γ (n) V (n) ) ❜❡ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ♦❢ t❤❡ nt❤ ✭✇❡✐❣❤t❡❞✮ ❜❧♦❝❦ ♦♥ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ t❤❡♥ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ✭✹✳✹✾✮

C 1 (γ) = max ρ(Γ (n) V (n) ) , n>i

✇❤❡r❡ i ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ Γ V = diag[γ1 , . . . , γK ] ·

"

0 1 1 1

1 0 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

#

,

✭✹✳✺✵✮

❚❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ ✐s ③❡r♦✱ s♦ C 1 (γ) = 0✳ ❚❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ✐s √ ρ(Γ V ) = γ1 γ2 ✳ ■t ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❜❡ ❝❤❡❝❦❡❞ t❤❛t ❢♦r ❛♥② Γ t❤❡r❡ ✐s ❛ pΓ > 0 s✉❝❤ t❤❛t Γ V pΓ = ρ(Γ V )pΓ ✳ ❚❤✐s ❛❧s♦ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❬✽✶❪✱ ✇❤❡r❡ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② γ > 0 ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t pΓ > 0 ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ s❡t ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ ❜❧♦❝❦s ❡q✉❛❧s t❤❡ s❡t ♦❢ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✱ ✐✳❡✳✱ ρ(Γ V ) = ρ(Γ (n) V (n) ),

❛♥❞ ρ(Γ V ) > ρ(Γ

(n)

V

(n)

),

1≤n≤i n>i.

✭✹✳✺✶✮ ✭✹✳✺✷✮

❚❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✭✹✳✺✵✮✱ ❜❡❝❛✉s❡ ρ(Γ (1) V (1) ) = √ γ1 γ2 ❛♥❞ ρ(Γ (2) V (2) ) = 0✳ ❲✐t❤ ✭✹✳✺✶✮ ❛♥❞ ✭✹✳✺✷✮ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❞❡r✐✈❡ s✐♠♣❧❡ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ❛ r❡❞✉❝✐❜❧❡

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✶✶✾

Γ (n) V (n) ✱ n > i✱ ✐s ♠❛①✐♠❛❧✳ ❖r (n) (n) ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ γ s✉❝❤ t❤❛t ❛♥ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ Γ V ✱ n ≤ i✱ ✐s ♥♦t ♠❛①✐♠❛❧✳ ■♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥ Γ V p = ρ(Γ V )p✳ ♠❛tr✐①

ΓV

s✉❝❤ t❤❛t ❛ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦

◆♦t❡ t❤❛t ❜♦t❤ ❝❛s❡s r❡q✉✐r❡ t❤❛t ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ ❤❛s ❛ ♥♦♥✲

C 1 (γ) > 0✳ ❉✐s❝✉ss✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❡❧♣s t♦ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞ ❚❤❡✲

③❡r♦ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s✱ s♦

♦r❡♠ ✹✳✷✻✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r❡♠ ✕ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ♦t❤❡r r❡s✉❧ts ✕ ❧✐❡s ✐♥ ✐ts ❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐t② t♦ ❛ ❜r♦❛❞❡r ❝❧❛ss ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆❧❧ r❡s✉❧ts ❤♦❧❞ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❆s ❛ ❢✉rt❤❡r ✐❧❧✉str❛t✐♦♥✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

Ik (p, W )✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✹✳✷✶✮✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② r❡❞✉❝✐❜❧❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ ❛♥❞ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦✳ ❊✈❡r② ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ✐♥ W ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ✐♥ AI ❛♥❞ D I ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣♦s✐t✐♦♥✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✻ (1) ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥② γ > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ C(γ, W ) = C(γ , W (1) ) ❛♥❞ t❤❡r❡ ∗ ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p > 0✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ W ❤❛✈✐♥❣ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦✳ ❆r❜✐tr❛r② γk ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② t❤❡ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ✉s❡rs ✭s❡❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✻✮✱ s♦ C 1 (γ) = 0 ❢♦r ❛❧❧ γ > 0✳ ❚❤❛t ✐s✱ D I ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛♥❞ ❛❧❧ γ > 0 ❛r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✱ ❜✉t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ C 1 (γ) = 0✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥♦t❤❡r ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t C 1 (γ) > 0 ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ✐♠♣♦rt❛♥t ❛♥❞ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ♦♠✐tt❡❞✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥✲ t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ✈❡r② ✉s❡❢✉❧ ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✳✹✺✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐①

DI

✐s s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r t❤❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❚❤✐s s❤♦✇s ❛♥ ✐♥t❡r✲ ❡st✐♥❣ ❛♥❛❧♦❣② t♦ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r②✮✱ ✇❤❡r❡ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✏❧✐♥❦ ❣❛✐♥ ♠❛tr✐①✑ ✐s t②♣✐❝❛❧❧② ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r✳ ▲✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❛①✐♦♠❛t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐s t❤❡ ❦❡② ♣r♦♣❡rt② ✇❤✐❝❤ ✐s ❡①♣❧♦✐t❡❞ ❤❡r❡✳ ❆ s✐♠✐❧❛r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝❛♥ ❜❡ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❢♦r ♦t❤❡r ❝❧❛ss❡s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷❪✮✳ ❚❤✐s ✐s st✐❧❧ ❛♥ ♦♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❜❡✐♥❣ s♦❧❡❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳

✹✳✷✳✺ ❋❛✐r♥❡ss ●❛♣

❚❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✷✮ ✐s ♦♥❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❢❛✐r♥❡ss✳ ■♥

C(γ) ✐s t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ♦✈❡r t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ✐♥✈❡rs❡ ❙■❘ −1 ✳ ❚❤✐s ♦♣t✐♠✐③❛✲ inf maxk ❙■❘−1 k = (sup mink ❙■❘k )

t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡

γk Ik (p)/pk ✳

◆♦t❡✱ t❤❛t

t✐♦♥ str❛t❡❣② ✐s ❛❧s♦ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ♠❛①✲♠✐♥ ❢❛✐r♥❡ss✳ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ♠✐♥✲♠❛① ❢❛✐r♥❡ss✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✇❡✐❣❤t❡❞ ✐♥✈❡rs❡ ❙■❘✱ ❛s t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✶✷✵

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

 γk Ik (p)  c(γ) = sup min pk p>0 k∈K

✭✹✳✺✸✮

■t ✐s ♥♦t ♦❜✈✐♦✉s ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ♦♣t✐♠✉♠ c(γ) ❛♥❞ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐✲ ♠✉♠ C(γ)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✳✷✷✮✱ ❛r❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧✳ ❇♦t❤ str❛t❡❣✐❡s ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❢❛✐r✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♦♥❧② ✐♥t❡r❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦r❞❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✱ s♦ ❋❛♥✬s ♠✐♥✐♠❛① ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ❤❡r❡✳ ❇♦t❤ ✈❛❧✲ ✉❡s ❞♦ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦✐♥❝✐❞❡✳ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s s♦♠❡t✐♠❡s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ❢❛✐r♥❡ss ❣❛♣ ❬✹✷❪✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳ ■❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡♥ c(γ) = C(γ) ❛❧✇❛②s ❤♦❧❞s✳ ❇✉t t❤✐s ♥❡❡❞ ♥♦t ❤♦❧❞ tr✉❡ ❢♦r r❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✷✼✳



01 1 0 V =  B

 00 00   0µ µ0

✇✐t❤ B ≥ 0

0 0✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡s❡ ❡✛❡❝ts✱ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ c(γ) ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✳ ❚❤❛t ✐s✱ c(γ) ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ s♦ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ t♦ ❛♥❛❧②③❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡ ❜♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥s C ❛♥❞ c✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ C ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✶✳✷✶✮ ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✳ ❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t S = L(C)✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ s♦♠❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❛♥❛❧♦❣✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ L(C) ❛♥❞ L(c)✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s L(c) = {γ > 0 : c(γ) ≥ 1} .

✭✹✳✺✺✮

❋r♦♠ ✭✹✳✺✸✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ǫ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p(ǫ) s✉❝❤ t❤❛t
γk Ik p(ǫ) min ≥ c(γ) − ǫ . k∈K pk (ǫ)

■❢ c(γ) ≥ 1✱ t❤❡♥ γk ≥ (1 − ǫ) ·

pk (ǫ)
, Ik p(ǫ)

∀k ∈ K .

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ L(c) = {γ > 0 : ❢♦r ❡✈❡r② ǫ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p(ǫ) > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✺✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ } .

✭✹✳✺✻✮

✹✳✷ ❚❤❡ ❙■❘ ❘❡❣✐♦♥ ♦❢ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✶✷✶

❲✐t❤ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺ ✇❡ ❤❛✈❡   γk Ik (p)  γk  sup min = max min = c(γ) . pk ˆk p>0 k∈K γ ˆ ∈L(c) k∈K γ

✭✹✳✺✼✮

❆❣❛✐♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ❜② ❛ ♠❛①✐♠✉♠ s✐♥❝❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ L(c) ❝❛♥♥♦t ❛❧✇❛②s ❜❡ ♣❛r❛♠❡tr✐③❡❞ ❜② p > 0✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪ t❤❛t c(γ) ✐s ❛❧✇❛②s s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ C(γ)✳ ❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ t❤✐s r❡s✉❧t ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ ❋❛♥✬s ♠✐♥✐♠❛① ✐♥❡q✉❛❧✐t②✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤✐s ❜♦♦❦ t♦ s❤♦✇ t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✇✐t❤ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❧❡✈❡❧ s❡ts✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✽✳

c(γ) ≤ C(γ)

❢♦r ❛❧❧

γ > 0✳

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② γ ˜ ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ L(c)✱ ✐✳❡✳✱ c(˜ γ ) ≥ 1✳ ❋r♦♠ ✭✹✳✺✸✮✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p˜ > 0 s❛t✐s❢②✐♥❣

γ˜k Ik (p) ˜ > 1, p˜k

∀k ∈ K .

✭✹✳✺✽✮

◆♦✇✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t γ˜ ❛❧s♦ ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ L(C)✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ C(γ)✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ ǫ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p(ǫ) > 0 s✉❝❤ t❤❛t
γ˜k Ik p(ǫ) ≤ C(˜ γ ) + ǫ, p˜k (ǫ)

∀k ∈ K .

✭✹✳✺✾✮

❚❤❡ r❛t✐♦ I(p)/pk ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ p✱ t❤✉s ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ p(ǫ) ≥ p˜ ✇✐t❤♦✉t ❛✛❡❝t✐♥❣ ✭✹✳✺✾✮✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥❞❡① kˆ s✉❝❤ t❤❛t pkˆ (ǫ) = p˜kˆ ✳ ❲✐t❤ ✭✹✳✺✽✮✱ ✭✹✳✺✾✮✱ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt② ❆✸✱ ✇❡ ❤❛✈❡ 1
0✳ ▲❡tt✐♥❣ ǫ → 0✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t C(˜ γ ) > 1✱ s♦ γ ˜ ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ L(C)✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱   γk  γk  c(γ) = max min ≤ max min = C(γ) . ✭✹✳✻✶✮ ˆk ˆk γ ˆ ∈L(c) k∈K γ γ ˆ ∈L(C) k∈K γ ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✷✼ s❤♦✇s t❤❛t str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② c(γ) < C(γ) ❝❛♥ ❛❝t✉❛❧❧② ♦❝❝✉r✳ ⊔ ⊓

✶✷✷

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t② ■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✷ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥tr♦❞❝❡❞ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ s✉♠ ♦❢ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ✉t✐❧✐t✐❡s ✭✹✳✸✮✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ ✉t✐❧✐t② s❡t ✐s t❤❡ ❙■❘ ♦♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❧♦❣✲ P r❡❣✐♦♥ S ❜❛s❡❞ P ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ − k log γk = k log γk−1 ✱ t❤❡ ♣r♦❜✲ ❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s P F (I) = inf

γ∈S

X

log γk−1 .

✭✹✳✻✷✮

k∈K

❯s✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥ ❙■❘k (p) =

pk , Ik (p)

k∈K,

✭✹✳✻✸✮

Ik (p) pk

✭✹✳✻✹✮

t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s P F (I) = inf

p∈P

X

k∈K

log

✇❤❡r❡ P ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❙■❘ ✭✹✳✻✸✮ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ p✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ P ❛s P = {p ∈ RK ++ : kpk1 = 1} .

✭✹✳✻✺✮

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✹✳✻✷✮ ✐s ♦✈❡r t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ❞✐r❡❝t❧②✱ ✇❤❡r❡❛s ✭✹✳✻✹✮ ✐s ♦✈❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛❧❧♦✇s t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ❧❛②❡r ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ I(p) ❝❛♥ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ p ✐♥ ❛ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✇❛②✳ ❙♦♠❡ ❡①❛♠♣❧❡s ✇❡r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✷✳ ❘❡♠❛r❦ ✹✳✷✾✳ ❋♦r ❝❡rt❛✐♥ s②st❡♠s ♦♣❡r❛t✐♥❣ ✐♥ ❛ ❤✐❣❤✲❙■❘ r❡❣✐♠❡✱ ✐t ✐s ❝✉s✲ t♦♠❛r② t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❞❛t❛ r❛t❡ ❛s log(1+ ❙■❘) ≈ log(❙■❘) ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✹✸❪✮✳ ❚❤❡♥✱P♦✉r ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉♠ r❛t❡ k log(1 + ❙■❘k )✳

❚❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ♥♦♥✲❝♦♠♣❛❝t ✭❜❡❝❛✉s❡ ♥♦ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞✮✱ s♦ ✐t ✐s ♥♦t ❝❧❡❛r ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦s ♦❢ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ♦r ♥♦t✳ ■t ✐s ❡✈❡♥ ♥♦t ❝❧❡❛r ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✹✳✻✹✮ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛tt❛✐♥❡❞✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♦♣t✐♠✐③❡r ✭✹✳✻✹✮✳ ❲❡ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐♥ t❤❡ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ K × K ❞❡♣❡♥✲ ❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✮ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❡st✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❞❞r❡ss❡❞✿ ✶✳

❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✿

❲❤❡♥ ✐s P F (I) > −∞ ❢✉❧✜❧❧❡❞❄

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✶✷✸

✷✳ ❊①✐st❡♥❝❡✿ ❲❤❡♥ ❞♦❡s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0 ❡①✐st s✉❝❤ t❤❛t P F (I) = P log I ( p)/ˆ ˆ pk ❄ k k ✸✳ ❯♥✐q✉❡♥❡ss✿ ❲❤❡♥ ✐s pˆ > 0 t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r❄

Pr♦♣❡rt② P F (I) > −∞ ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ pˆ✱ ❜✉t ♥♦t s✉✣❝✐❡♥t✳ ❚❤✐s ❥✉st✐✜❡s ❛ s❡♣❛r❛t❡ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠ ✶✮ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✶✳ ■t ✐s s❤♦✇♥ t❤❛t P F (I) > −∞ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ r♦✇ ♦r ❝♦❧✉♠♥ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ❤❛s ❛ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❆♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ❤♦❧❞s ❛s ✇❡❧❧✳ ■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✷✱ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0 ✐s st✉❞✐❡❞✳ ❯♥✲ ❞❡r ❝❡rt❛✐♥ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐st r♦✇ ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♠❛tr✐① ✐s ❜❧♦❝❦✲ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❬✺✼❪ ❛♥❞ ✐ts ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ♥♦ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞✳ ■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✸ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛♥ ❡①✐st✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❡r ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① D I D TI ✳ ❚❤✐s ❡①t❡♥❞s r❡❝❡♥t r❡s✉❧ts ❬✽✺❪✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✹ ✇❡ st✉❞② ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ s❡t ✐s str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ■❢ t❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ❛♥❞ ✐❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✱ t❤❡♥ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✸ t❤❛t t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♦♣❡r❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥✳ ✹✳✸✳✶ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❈♦st ❋✉♥❝t✐♦♥

❍❛✈✐♥❣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✱ ✇❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ st✉❞② t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ✐♥✜♠✉♠ P F (I) ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✳✻✹✮✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s P F (I) > −∞✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s t❤❛t P F (I) ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✸✵✳

❈♦♥s✐❞❡r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik (p) = [V p]k ✱ k =

1, 2, 3✱ ✇✐t❤ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①



 001 V = 0 0 1 . 111

✭✹✳✻✻✮

❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✇❡ ❝❛♥ s❝❛❧❡ p s✉❝❤ t❤❛t kpk1 = p1 + p2 + p3 = 1✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡s 3 X

k=1

log

 p  Ik (p) 3 = log . pk p1 p2

✭✹✳✻✼✮

❈❤♦♦s✐♥❣ p2 = p1 ❛♥❞ p3 = 1/n✱ ✇✐t❤ n > 1✳ ❙✐♥❝❡ kpk1 = 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ 1 1 2 − 2n ✳ ❚❤✉s✱

p1 =

P F (I) = inf log n>1



1  = −∞ . n−1

✶✷✹

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❇❡❢♦r❡ ❞❡r✐✈✐♥❣ P t❤❡ ✜rst r❡s✉❧t✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞✐s❝✉ss ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ♦✉r ♦❜❥❡❝t✐✈❡ k log Ik (p)/pk ✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② r♦✇ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ σ = [σ1 , . . . , σK ] ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ♠❛tr✐① D I ✳ ❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ r❡♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ♦❢ I1 , . . . , IK ✱ ❜✉t ✇✐t❤♦✉t ❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ♦❢ t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs p1 , . . . , pK ✳ ❙✉❝❤ ❛ r❡♦r❞❡r✐♥❣ ❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ X

log

k∈K

X X Ik (p) = log Ik (p) − log pk pk k∈K

=

X

✭✹✳✻✽✮

k∈K

log

k∈K

Iσk (p) . pk

✭✹✳✻✾✮

❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ s✉♠♠❛♥❞s ✐♥ ✭✹✳✻✽✮ ❝❛♥ ❜❡ ❛rr❛♥❣❡❞ ❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✳ Pr♦♣❡rt② ✭✹✳✻✽✮ ❤❛s ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ✉s❡r ❛♥♦♥②♠✐t② ❬✶✷✶❪✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡✲ s♣❡❝t t♦ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ♦❢ ♣♦✇❡rs ♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❉❡✜♥✐♥❣ ❛r❜✐✲ tr❛r② ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s P (1) ✱ P (2) ✱ t❤❡ ♣❡r♠✉t❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① ˜ I = P (1) D I P (2) ❝❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❜❡ ✉s❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ D ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss✳ ❚❤✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❜❛s✐s ❢♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧ts✳ ❚❤❡ ♥❡①t ▲❡♠♠❛✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❧❛t❡r ❢♦r t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✸✱ s❤♦✇s ❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss ❛♥❞ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① DI ✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✸✶✳ ❲❡ σ1 , . . . , σ

K′

s❛② t❤❛t

K′ ≤ K

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ✐♥❞✐❝❡s

l ✐❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ k ∈ {1, . . . , K ′ } s✉❝❤ t❤❛t

❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ♣♦✇❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇✐t❤ ✐♥❞❡①

❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤✐s ♣♦✇❡r✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

[D I ]σk ,l = 1✳

▲❡♠♠❛ ✹✳✸✷✳ ■❢

P F (I) > −∞✱ t❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② r ∈ K✱ ❛r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① Iσ1 , . . . , Iσr ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛t ❧❡❛st r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡

✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r

p✳

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥✉♠❜❡r rˆ ❛♥❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik1 , . . . , Ikrˆ ✱ ✇❤✐❝❤ ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣♦✇❡rs pl1 , . . . , pln ✱ ✇✐t❤ n < rˆ✳ ❋r♦♠ ✭✹✳✻✾✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ♣♦✇❡rs ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r♠✉t❡❞ s✉❝❤ t❤❛t I1 , . . . , Irˆ ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ p1 , . . . , pn ✱ ✇✐t❤ n < rˆ✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✈❡❝t♦r p(δ)✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s Pr♦♦❢✳

[p(δ)]l =

(

δ, 1,

l = 1, . . . , n l = n + 1, . . . , K


✇❤❡r❡ 0 < δ ≤ 1✱ ✐✳❡✳✱ p(δ) ≤ 1✳ ❆①✐♦♠ ❆✸ ✐♠♣❧✐❡s Ik p(δ) ≤ Ik (1)✱ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t② K X

log

k=1







✶✷✺




n rˆ X X Ik p(δ) δIk 1 δIk 1 = log + log + pk (δ) δ 1 k=1 k=n+1
K X Ik p(δ) + log 1 k=ˆ r +1

≤

n X

k=1

rˆ X

log Ik 1 + log Ik 1 + k=n+1

+ (ˆ r − n) log δ +

K X

k=ˆ r+1

log Ik (1) .

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ P F (I) ≤

K X

k=1


K X
Ik p(δ) log Ik 1 + (ˆ r − n) log δ. ≤ log pk (δ) k=1

❚❤✐s ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ δ ✱ t❤✉s ❧❡tt✐♥❣ δ → 0✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ P F (I) = −∞✱ t❤✉s ❝♦♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ⊔ ⊓

◆❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ ❙✉✣❝✐❡♥t ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss ❯s✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✹✳✸✷✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ✐s s❤♦✇♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✸✳

■❢

▲❡t

I1 , . . . , IK inf

p>0

❜❡ ❛r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

X

log

k∈K

t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r♦✇ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❢♦r ❛❧❧

k ∈ K✳

Ik (p) > −∞ pk

σ = [σ1 , . . . , σK ]

✭✹✳✼✵✮ s✉❝❤ t❤❛t

[D I ]σk ,k > 0

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ♣❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ❤❛s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳

❆ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✼✵✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IK ✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡✲ ♣❡♥❞s ♦♥ LK ♣♦✇❡rs✱ ✇✐t❤ ✐♥❞✐❝❡s k(K) = [k1(K) , . . . , kL(K) ]✳ ❚❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡ K (K) LK = 0 ✐s r✉❧❡❞ ♦✉t ❜② ❛①✐♦♠ ❆✶✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ lt❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t kl ✳ ❚❤❡ s❡t L(K) (kl(K) ) ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s m 6= kl(K) ♦♥ ✇❤✐❝❤ I1 , . . . , IK−1 ❞❡♣❡♥❞✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ L(K) (kl(K) ) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s m 6= kl(K) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k ∈ {1, 2, . . . , K − 1} ✇✐t❤ [D I ]km 6= 0✳ ▲❡t #L(K) (kl(K) ) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ t❤✐s s❡t✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✸✷ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ˆl✱ 1 ≤ ˆl ≤ LK ✱ s✉❝❤ t❤❛t Pr♦♦❢✳

(K)

#L(K) (kˆl

)= K −1 .

✭✹✳✼✶✮

❖t❤❡r✇✐s❡✱ K ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ K ♣♦✇❡rs✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ✭✹✳✼✶✮ ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ✐♥❞✐❝❡s k(K) ✳ ■❢ ✭✹✳✼✶✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r

✶✷✻

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

♠✉❧t✐♣❧❡ ✐♥❞✐❝❡s✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ♦♥❡✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✭✹✳✻✾✮ t❤❡ ♣♦✇❡rs ❝❛♥ ❜❡ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ♣❡r♠✉t❡❞✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ σ s✉❝❤ t❤❛t σK = (K) kˆl ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IK ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ pσK ✱ t❤✉s [DI ]K,σK 6= 0✳ ❚❤✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t σK ✐s ♥♦✇ ❦❡♣t ✜①❡❞✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK−1 ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣♦✇❡rs pσ1 , . . . , pσK−1 ✳ ❚❤❡s❡ ♣♦✇❡rs ❝❛♥ st✐❧❧ ❜❡ ♣❡r♠✉t❡❞ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✳ ❲❡ ❝♦♥t✐♥✉❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ IK−1 ✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ (K−1) (K−1) LK−1 > 0 ♣♦✇❡rs✱ ✇✐t❤ ✐♥❞✐❝❡s k(K−1) = [k1 , . . . , kLK−1 ]✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② L(K−1) (kl(K−1) ) t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s m ✭❡①❝❧✉❞✐♥❣ σK ❛♥❞ kl(K−1) ✮ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k ∈ {1, 2, . . . , K − 2} ✇✐t❤ [DI ]km 6= 0✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ˆl✱ 1 ≤ ˆl ≤ LK−1 ✭♥♦ ♠❛tt❡r ✇❤✐❝❤ ♦♥❡✮ s✉❝❤ t❤❛t (K−1)

#L(K−1) (kˆl

)= K −2 .

✭✹✳✼✷✮

❚❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ K − 1 ♣♦✇❡rs ✭❡①❝❡♣t ❢♦r σK ✮ ❝❛♥ st✐❧❧ ❜❡ ♣❡r♠✉t❡❞ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✱ s♦ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ σK−1 = kˆl(K−1) ✳ ❚❤✉s✱ [DI ]K−1,σK−1 6= 0✳ ❚❤✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❛❧s♦ ❦❡♣t ✜①❡❞✱ ❛♥❞ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK−2 ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ pσ1 , . . . , pσK−2 ✳ ❇② r❡♣❡❛t✐♥❣ t❤✐s ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ❛❧❧ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s✳ ⊔ ⊓

◆❡①t✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✸✳ ❯♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❞♦❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣❡r♠✉t❡❞ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣✲ ♦♥❛❧ ✐♠♣❧② t❤❡ ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss ♦❢ P F (I)❄ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♥s✇❡r t❤✐s q✉❡st✐♦♥ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt②✿ [D I ]k,l > 0 ✐♠♣❧✐❡s Ik (el ) > 0 ❢♦r ❛♥② k, l ∈ K ,

✭✹✳✼✸✮

✇❤❡r❡ ek ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✷✳✹✮✳

❯♥❞❡r t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt② ✭✹✳✼✸✮✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐♥ ❚❤❡✲ ♦r❡♠ ✹✳✸✸ ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t✳ Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ σ s✉❝❤ t❤❛t [D ] > 0 ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✹✳

❲✐t❤ ✭✹✳✼✸✮ ❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❆✷✱ ❆✸ ✇❡ ❤❛✈❡

I σk ,k

Iσk (p) ≥ Iσk (p ◦ ek ) = pk · Iσk (ek ) = pk · Ck > 0

✭✹✳✼✹✮

❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✱ ✇❤❡r❡ Ck ❛r❡ s♦♠❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ✈❛❧✉❡s✳ ❚❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ✭✹✳✻✽✮✱ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ X

log

k∈K

✇❤✐❝❤ ❝♦♠♣❧❡t❡s t❤❡ ♣r♦♦❢✳

X Ik (p) ≥ log Ck > −∞ , pk k∈K

⊔ ⊓

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✶✷✼

◆♦t❡✱ t❤❛t ♣r♦♣❡rt② ✭✹✳✼✸✮ ✐s ❛❧✇❛②s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ❡✳❣✳✱ ❢♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✵✮ ♦r ✇♦rst✲❝❛s❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✷✻✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡r❡ ❡①✐st ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t ❞♦ ♥♦t ❢✉❧✜❧❧ ✭✹✳✼✸✮✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✸✳✶✶✽✮✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ Ik (el ) = 0✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✭✹✳✼✸✮ ✐s ❥✉st✐✜❡❞✳ ■t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❛ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss ❢r♦♠ D I ❛❧♦♥❡✱ ✇✐t❤♦✉t ❢✉rt❤❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✳ ❊❧❡♠❡♥t❛r② ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✺❪ t❤❛t t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✸✳✶✶✽✮ ♣❧❛② ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ✐♥ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❙♦ ✐♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss ❢♦r t❤✐s s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✳ ❋♦r s♦♠❡ ❣✐✈❡♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♠❛tr✐① W ✱ ♦✉r ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s X

k∈K

Ik (p) log = log pk

Q

l (pl )

P ( k wkl )

Q

k

pk

·

Q

k

fk



.

✭✹✳✼✺✮

❚❤❡ ♠❛tr✐① W ✐s r♦✇ st♦❝❤❛st✐❝✱ ✐✳❡✳✱ W 1 = 1✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥✲ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛①✐♦♠ ❆✷✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✺❪✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t ✐♥ ♦r❞❡r ❢♦r ✭✹✳✼✺✮ t♦ ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞✱ W ❛❧s♦ ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❝♦❧✉♠♥ st♦❝❤❛st✐❝✳

❋♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✸✳✶✶✽✮✱ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✹✳✻✹✮ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ W ✐s ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝✱ ✐✳❡✳✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✺✳

P F (I) = inf

p>0

X

log

k∈K

Ik (p) > −∞ pk

⇔

WT1 = 1 .

✭✹✳✼✻✮

P

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ W T 1 = 1✱ ✐✳❡✳✱ k wkl = 1 ❢♦r ❛❧❧ l✳ ❚❤❡♥ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✹✳✼✺✮ t❤❛t✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ p✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X

k∈K

Y  Ik (p) log = log fk > −∞ . pk k∈K

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t P F (I) > −∞✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ P ✐s P❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✿ P P ❛ss✉♠❡ t❤❛t W T 1 6= 1✳ ❙✐♥❝❡ W 1 = 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ K = k ( l wkl ) = l ( k wkl )✳ ❙♦ P W T 1 6= 1 ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝♦❧✉♠♥ ✐♥❞❡① ˆl s✉❝❤ t❤❛t k wkˆl = w ˆˆl > 1✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) = [p1 (n), . . . , pK (n)]T ✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s pl (n) =

( 1/n

P

P

❯s✐♥❣ ✭✹✳✼✺✮✱ ✭✹✳✼✼✮✱ ❛♥❞

1 K−1 (1

l6=ˆ l

k

− n1 )

, l = ˆl , ♦t❤❡r✇✐s❡✳

wkl = K − w ˆˆl ✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✭✹✳✼✼✮

✶✷✽

X

k∈K

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts


Ik p(n) log pk (n) = log




ˆˆl −1 1 w n

·



1 K−1 (1

−

1−wˆlˆ Y  · fk .

1 n)

✭✹✳✼✽✮

k∈K

▲❡tt✐♥❣ n → ∞✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❧♦❣✲❢✉♥❝t✐♦♥ t❡♥❞s t♦ ③❡r♦✱ s♦ ✭✹✳✼✽✮ t❡♥❞s t♦ −∞✳ ❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤✉s ❝♦♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ⊔ ⊓

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✺ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❜♦✉♥❞❡❞✲ ♥❡ss ❢♦r ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✭✹✳✼✸✮ ✐s ♥♦t ❢✉❧✲ ✜❧❧❡❞✳ ■t ❜❡❝♦♠❡s ❛♣♣❛r❡♥t t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ DI ✳ ■❢ W ✐s ❝❤♦s❡♥ s✉❝❤ t❤❛t W T 1 6= 1✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞✱ ❡✈❡♥ ✐❢ [DI ]kl = 1 ❢♦r k 6= l✳ ❍❡♥❝❡✱ ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✸ ✇✐t❤♦✉t ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❜② ❛ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✸✻✳

✜❝✐❡♥t ♠❛tr✐①

❈♦♥s✐❞❡r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✸✳✶✶✽✮ ✇✐t❤ ❛ ❝♦❡❢✲ 

 0 1 0   W =  12 0 21  . 1 1 2 2 0

✭✹✳✼✾✮

❲❡ ❤❛✈❡ W T 1 = [1 32 12 ]T 6= 1✱ s♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✺ ✐s ♥♦t ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❲✐t❤ I1 (p) = p2 ✱ I2 (p) = (p1 )1/2 · (p3 )1/2 ✱ ❛♥❞ I3 (p) = (p1 )1/2 · (p2 )1/2 ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ inf

p>0

3 X

k=1

log

Ik (p) (p2 p3 )1/2 = inf log = −∞ . p>0 pk p3

✭✹✳✽✵✮

❚❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s ♥♦t ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦❧✉♠♥ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ P (1) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♦❢ DI P (1) ✐s ♥♦♥✲③❡r♦✳ ✹✳✸✳✷ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❋❛✐r ❖♣t✐♠✐③❡r

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t ❜♦✉♥❞❡❞♥❡ss P F (I) > −∞ ✐s ❝♦♥✲ ♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♦❢ ❛ ♣❡r♠✉t❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐①✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ P F (I) > −∞ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛tt❛✐♥❡❞ ❜② ❛ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p > 0✳ ❚❤❡ ♥❡①t ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s t❤❛t t❤✐s ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ❡✈❡♥ ♥♦t ❢♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✶✳✶✵✮✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✸✼✳

❈♦♥s✐❞❡r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Ik (p) = [V p]k ✱ k =

1, 2, 3✱ ✇✐t❤ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②



 010 V = 1 0 1 . 110

❲❡ ❤❛✈❡ P F (I) = inf

p>0

3 X

k=1

log

h i Ik (p) p1 · p3 = − log pk (p1 + p3 )(p1 + p2 ) hp · p i 1 3 ≥ − log =0. p3 · p1

✶✷✾

✭✹✳✽✶✮

✭✹✳✽✷✮

◆❡①t✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❈❤♦♦s✐♥❣ p1 = λ✱ p2 = λ2 ✱ ❛♥❞ p3 = 1 − λ − λ2 ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ 3 X

log

k=1

Ik (p) (1 − λ − λ2 ) = − log . pk (1 − λ2 )(1 + λ)

❚❤✐s t❡♥❞s t♦ ③❡r♦ ❛s λ → 0✱ ❚❤✉s✱ P F (I) = inf

p>0

3 X

k=1

log

Ik (p) ≤0. pk

✭✹✳✽✸✮

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✹✳✽✷✮ ❛♥❞ ✭✹✳✽✸✮ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t P F (I) = 0 > −∞✳ ◆♦✇✱ ✇❡ st✉❞② ✇❤❡t❤❡r t❤✐s ✐♥✜♠✉♠ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ > 0✱ t❤❡♥ I1 (p∗ ) I2 (p∗ ) I3 (p∗ ) + log + log p∗1 p∗2 p∗3 i h ∗ ∗ p1 · p3 = − log (p∗1 + p∗3 )(p∗1 + p∗2 ) h p∗ · p∗ i > − log 1∗ ∗3 = 0 . p3 p1

0 = log

✭✹✳✽✹✮

❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ s♦ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ P F (I) = 0 ✐s ♥♦t ❛tt❛✐♥❡❞✳ ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✳ ❚❤❡ ♠✉t✉❛❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✷✳✶✵✮✳ ❲❡ ♠❛② ❛ss✉♠❡✱ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ t❤❛t D I ✐s ✐♥ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ❬✺✼✱ ♣✳ ✼✺❪

✶✸✵

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts



✵

(1,1)

 D       ✵  DI =   (i+1,1) D   ✳✳  ✳   D (N,1)

✳✳

✵

...

✳✳ ✳

✵

...

✵

✳ D(i,i)

✵

...

✳✳ ✳

✵

. . . D (i+1,i) D(i+1,i+1) ...

✳✳ ✳

✳✳ ✳

✳✳

D(N,2)

. . . D (N,i)

✳

. . . D (N,N )



         .       

✭✹✳✽✺✮

❋♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D′I t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛✲ tr✐① P s✉❝❤ t❤❛t D I = P D ′I P T ❤❛s ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠✳ ❚❤✐s s②♠♠❡tr✐❝ ♣❡r✲ ♠✉t❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈❡s t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞✱ s♦ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ❝❛♥ s✐♠♣❧✐❢② t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❜② ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t D I ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① D I ❤❛s N ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜❧♦❝❦s D (n) := D (n,n) ❛❧♦♥❣ ✐ts ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✭s❤❛❞❡❞ ✐♥ ❣r❛②✮✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t D(n) ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐ts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ✐s str♦♥❣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❬✺✼❪✳ ■❢ DI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡♥ ✐t ❝♦♥s✐sts ♦❢ ♦♥❡ s✐♥❣❧❡ ❜❧♦❝❦✳ ❲❡ s❛② t❤❛t D I ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✐❢ DI =

"

D (1)

✵

✳✳

✳

✵ #

D

,

(N )

✇❤❡r❡ ❛❧❧ s✉❜✲❜❧♦❝❦s D (n) ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❋♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✱ r❡❝❛❧❧ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭❉❡❢✲ ✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✼✮✳ ●✐✈❡♥ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥✲ ❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♦♣t✐♠✐③❡r✳

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✼✸✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0 ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐st ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s P (1) ✱ P (2) s✉❝❤ ˆ I := P (1) DI P (2) ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛♥❞ ✐ts ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐s str✐❝t❧② t❤❛t D ♣♦s✐t✐✈❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽✳

Pr♦♦❢✳ ❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾

⊔ ⊓

■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ✹✳✸✳✸ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❙♦❧✉t✐♦♥

■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✶✸✶

❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ❢♦r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r✲ ♥❡ss ✭✹✳✻✹✮✳ ■s t❤✐s ♦♣t✐♠✐③❡r ✉♥✐q✉❡ ♦r ♥♦t❄ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♥s✇❡r t❤✐s q✉❡st✐♦♥✱ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ G(s) =

X

log

k∈K

Ik (es ) , ♦♥ RK esk

✭✹✳✽✻✮

✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ p = es ✳ ■t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ G(s) ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✳ ❙✐♥❝❡ p = es ✐s ❛ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r s ✐♠♣❧✐❡s ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ✐t ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② t♦ s❤♦✇ str✐❝t ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✱ t❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞♦♥❡ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✸✳✹✳ ❲❡ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❧❛t❡r ❢♦r ❚❤❡♦✲ r❡♠ ✹✳✹✸✳ ▲❡♠♠❛ ✹✳✸✾✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ G(s) ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✳✽✻✮ ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦rs p, ˆ pˇ ∈ RK ˆ 6= µpˇ✱ µ ∈ R++ ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ++ ✱ ✇✐t❤ p ❛ λ0 ∈ (0, 1) ❛♥❞ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ✐♥❞❡① k0 s✉❝❤ t❤❛t

1−λ0
λ0 Ik0 p(λ0 ) < Ik0 (p) ˆ · Ik0 (p) ˇ .

✭✹✳✽✼✮

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✽✼✮ ❤♦❧❞s ❢♦r k0 ✳ ❲✐t❤ pˆ = e ❛♥❞ pˇ = e ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ s ˆ

s ˇ

X
Ik (es(λ0 ) ) Ik (es(λ0 ) ) G s(λ0 ) = log s (λ ) + log 0s (λ ) ek 0 e k0 0 k∈K\k 0

≤ (1 − λ0 ) + λ0

X

log

k∈K\k0

X

log

k∈K\k0

< (1 − λ0 )

X

k∈K

log

Ik (esˆ) + esˆk

Ik0 (es(λ0 ) ) Ik (esˇ) + log esˇk esk0 (λ0 )

X Ik (esˇ) Ik (esˆ) + λ0 log sˇ s ˆ k e ek k∈K

= (1 − λ0 )G(ˆ s) + λ0 G(ˇ s) ,

✭✹✳✽✽✮




✇❤❡r❡ t❤❡ ✜rst ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ G s(λ0 ) ❬✺❪✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❞✉❡ t♦ ✭✹✳✽✼✮✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t G ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✿ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s sˆ, sˇ ∈ RK ❛♥❞ λ0 ∈ (0, 1)✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✱

1−λ0
λ0 Ik es(λ0 ) = Ik (ˆ s) · ( Ik (ˇ s) .

✭✹✳✽✾✮

❲✐t❤ ✭✹✳✽✾✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡


1−λ0
λ0 Ik (esˆ) · Ik (esˇ) G s(λ0 ) = log e(1−λ0 )ˆsk · e(λ0 )ˇsk k∈K


X

= (1 − λ0 )G(ˆ s) + λ0 G(ˇ s) ,

✭✹✳✾✵✮

✶✸✷

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ str✐❝t ❝♦♥✈❡①✐t②✱ t❤✉s ❝♦♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ⊔ ⊓ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ✐❢ ✭✹✳✽✼✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛ λ0 ∈ (0, 1)✱ t❤❡♥ ✐t ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ λ ∈ (0, 1)✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✭✶✳✺✮✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤❡ ♥❡①t ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✸✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ ▲❡♠✲ ♠❛s ✹✳✹✵✱ ✹✳✹✶✱ ❛♥❞ ✹✳✹✷✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♥❡❡❞ t❤❡ str✐❝t✲❧♦❣❝♦♥✈❡①✐t② ✭❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✽ ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✸✮✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡t Ik ❜❡ ❛ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✽✳ ❋♦r ❛❧❧ λ ∈ (0, 1)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✵✳



1−λ
λ Ik p(λ) = Ik (p) ˆ · Ik (p) ˇ

✭✹✳✾✶✮

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ l ∈ L(k)✱

pˆl = µˇ pl ,

✭✹✳✾✷✮

µ>0.

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✾✷✮ ❤♦❧❞s✳ ❲❡ ❤❛✈❡ pl (λ) = pˆ1−λ · pˇλl = µ1−λ · pˇl , l

❛♥❞ t❤✉s

∀l ∈ L(k) ,


Ik p(λ) = µ1−λ · Ik (p) ˇ .

✭✹✳✾✸✮ ✭✹✳✾✹✮

❲✐t❤ Ik (p) ˆ = µIk (p) ˇ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡

Ik (p) ˇ
1−λ Ik (p) ˇ
1−λ
λ = Ik (p) ˆ · Ik (p) ˇ .



1−λ Ik p(λ) = Ik (p) ˆ ·

✭✹✳✾✺✮

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✾✶✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡♥ str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐♠♣❧✐❡s pˆl = µˇ pl ❢♦r ❛❧❧ l ∈ L(k)✳ ⊔ ⊓ ❇❛s❡❞ ♦♥ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✵ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡♠♠❛ ✹✳✹✶✳ ▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t DI DTI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② p, ˆ pˇ ∈ RK ++ ❛♥❞ λ0 ∈ (0, 1)✱ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t②

1−λ0
λ0 Ik p(λ0 ) = Ik (p) ˆ · Ik (p) ˇ , ✭✹✳✾✻✮

❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ µ ∈ R++ s✉❝❤ t❤❛t pˆ = µpˇ .

✭✹✳✾✼✮

Pr♦♦❢✳ ■❢ ✭✹✳✾✼✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ ✭✹✳✾✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✾✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✵ t❤❛t pˆl = µ(k) · pˇl , ∀l ∈ L(k) , ✭✹✳✾✽✮

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✶✸✸

✇❤❡r❡ µ(k) ∈ R ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ kt❤ ✉s❡r✳ ■❢ l ∈ L(k1 )∩L(k2 )✱ t❤❡♥ ✭✹✳✾✽✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❜♦t❤ k1 ❛♥❞ k2 ✱ ✐✳❡✳✱ µ(k1 ) = µ(k2 ) .

❙✐♥❝❡ D I D TI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❢♦r ❡❛❝❤ k t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s k0 t♦ kr ✱ ✇✐t❤ k0 = 1 ❛♥❞ kr = k✱ s✉❝❤ t❤❛t L(ks ) ∩ L(ks+1 ) 6= ∅ ,

s = 0, . . . , r − 1 .

✭✹✳✾✾✮

■t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t µ(1) = µ(k1 ) = · · · = µ(k) ,

✇❤✐❝❤ s❤♦✇s ✭✹✳✾✼✮✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✶ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

✭✹✳✶✵✵✮ ⊔ ⊓

▲❡♠♠❛ ✹✳✹✷✳ ▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ k0 ∈ K s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✽✼✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r pˆ 6= µpˇ✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ DI D TI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳

Pr♦♦❢✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✶ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐❢ D I D TI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❛♥❞ pˆ 6= µpˇ✱ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② p, ˆ pˇ ∈ RK ++ ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k0 ∈ K ❛♥❞ ❛ λ0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✽✼✮ ❤♦❧❞s✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✽✼✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t DI D TI ✐s ♥♦t ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛t ❧❡❛st t✇♦ ✐♥❞✐❝❡s k1 , k2 ∈ K✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✸ ✐♥ ❬✽✺❪✮✳ ▲❡t K(1) ❛♥❞ K(2) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡ts ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ k1 ❛♥❞ k2 ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❲❡ ❤❛✈❡ K(1) ∩ K(2) = ∅✳ ❆❧❧ ♦t❤❡r ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✭♣♦ss✐❜❧②✮ ♥♦♥✲❡♠♣t② s❡t K(3) = K\(K(1) ∪ K(2) )✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ✈❡❝t♦r p(1) ✱ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ s❝❛❧❛rs c(1) ✱ c(2) ✱ ✇❤❡r❡ c(1) 6= c(2) ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ✈❡❝t♦r p(2) s✉❝❤ t❤❛t (2) pk

 (1)  pk = c(1) p(1) k   (2) (1) c pk

✐❢ k ∈ K(3) ✐❢ k ∈ K(1) ✐❢ k ∈ K(2) .

✭✹✳✶✵✶✮

❙✐♥❝❡ c(1) 6= c(2) ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ p(1) 6= p(2) ✳ ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r (1)

(2)

pk ( 21 ) := (pk )1/2 · (pk )1/2 ,

∀k ∈ K .

✭✹✳✶✵✷✮

❋♦r k ∈ K(3) ✇❡ ❤❛✈❡ L(k)∩K(1) = ∅ ❛♥❞ L(k)∩K(2) = ∅✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ Ik (p(1) ) = Ik (p(2) )✱ ❛♥❞ t❤✉s

1/2
1/2 Ik p( 21 ) = Ik (p(1) ) · Ik (p(2) ) .

(1) ❋♦r k ∈ K(1) ✇❡ ❤❛✈❡ p(2) = c(1) pl ❢♦r ❛❧❧ l ∈ L(k)✱ t❤✉s l

✭✹✳✶✵✸✮

✶✸✹

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts



1/2
1/2 · Ik (p(2) ) . Ik p( 21 ) = Ik (p(1) )

✭✹✳✶✵✹✮

❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r k ∈ K(2) ✳ ❚❤✉s✱ ✭✹✳✶✵✹✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ str✐❝t ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❍❡♥❝❡✱ D I DTI ♠✉st ❜❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ⊔ ⊓ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ G(s) ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✳✽✻✮ ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ D I DTI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✸✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✸✾ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✷✳

⊔ ⊓

❍❡♥❝❡✱ ✐❢ ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✱ ❛♥❞ ✐❢ DI D TI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ t❤❡♥ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✸ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ D I DTI ❛❧♦♥❡ ✐s ♥♦t s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ ♥❡①t ❡①❛♠♣❧❡✳

❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✹✹✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✳✽✶✮✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐①

V ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t

VVT



 101 = 0 2 1 112 P

ˆk ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ 3k=1 log [Vpˆp] ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ✐❢ ✇❡ k s s✉❜st✐t✉t❡ p = e ✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✸✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✸✼ s❤♦✇s t❤❛t ♥♦ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽ ❛r❡ ♥♦t s❛t✐s✜❡❞✳

ˆ I ✇✐t❤ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D T ˆ ˆ ˆ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ■❢ D I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ t❤❡♥ D I D I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ t♦♦✳ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✺✳

′

T

ˆ I := D ˆID ˆ I ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Pr♦♦❢✳ ❉❡✜♥✐♥❣ D ˆ ′I ]kl = [D

K X

n=1

ˆ I ]kn [D ˆ TI ]nl = [D

K X

ˆ I ]kn [D ˆ I ]ln . [D

✭✹✳✶✵✺✮

n=1 ′

ˆ I ]kl ≥ [D ˆ I ]kl [D ˆ I ]ll ≥ 0✳ ❇② ❛s✲ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✉♠♠❛♥❞ n = l✳ ❲❡ ❤❛✈❡ [D ˆ ˆ I ]kl > 0 s✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ ✇❡ ❤❛✈❡ [D I ]ll > 0✳ ❚❤✉s✱ [D ′ ˆ I ]kl > 0 ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ✐♥❞✐❝❡s k, l✳ ❍❡♥❝❡✱ ✐rr❡✲ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t [D ˆ I ✐♠♣❧✐❡s ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ D ˆ ID ˆ TI ✳ ❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ D ⊔ ⊓

▲❡♠♠❛ ✹✳✹✺ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✻✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥ts ❚❤❡✲ ♦r❡♠ ✹✳✸✽✳ ■t ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r✳

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✶✸✺

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✼✸✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0✱ kpk ˆ 1 = 1✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐st ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s ˆ I = P (1) D I P (2) ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛♥❞ ✐ts ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ P (1) ✱ P (2) s✉❝❤ t❤❛t D ✐s str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✻✳

Pr♦♦❢✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0 ❡①✐sts✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽ ✐♠♣❧✐❡s ˆ I ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✇✐t❤ str✐❝t❧② t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t D ˆ I ✐s ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ✇✐t❤ r ≥ 1 ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ D P ˆ (1) ˆ (r) ❜❧♦❝❦s D I , . . . , D I ✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ inf p>0 k log(Ik (p)/pk ) ✐s r❡❞✉❝❡❞ t♦ r ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✉❜✲♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐❝❡s✳ ❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s pˆ(1) , . . . , pˆ(r) ✳ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ pˆ ˆ I ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜❧♦❝❦✳ ❚♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ✐♠♣❧✐❡s r = 1✱ ✐✳❡✳ D s✉♣♣♦s❡ t❤❛t r > 1✳ ❙✐♥❝❡ ❡❛❝❤ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ❝❛♥ ❜❡ ❛r❜✐tr❛r✐❧② s❝❛❧❡❞✱ ❡✈❡r② ✈❡❝t♦r    pˆ = 

µ1 · pˆ(1)

✳✳ ✳

(r)

µr · pˆ

 ,

✇✐t❤ µ1 , . . . , µr > 0

✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r✳ ❚❤✉s✱ pˆ ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡✳ ❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ❛♥❞ ✐♠♣❧✐❡s ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✳ ˆ I ✇✐t❤ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐① D ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽ ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮ ❤❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t pˆ > ˆID ˆ TI ✐s 0✱ ✇✐t❤ kpk ˆ 1 = 1✱ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✺✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t D ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ˆ ID ˆ TI = P (1) DI P (2) (P (2) )T D TI (P (1) )T D = P (1) DI D TI (P (1) )T .

❚❤✉s✱ D I DTI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✸ t❤❛t t❤❡ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ G(s) ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✳✽✻✮ ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ exp{·} ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥✐❝✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ⊔ ⊓ ✹✳✸✳✹ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ st✉❞✐❡❞ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② ❢❛✐r ♦♣t✐♠✐③❡r ❞✐r❡❝t❧②✱ ✇✐t❤♦✉t ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❙■❘ r❡❣✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✸✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✲ ✐♥❣ t❤❡♦r② ✇❛s ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ♥♦♥✲❝♦♠♣❛❝t s❡ts ST ✳ ❲❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST ✳ ■❢ t❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ❛♥❞ ✐❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✱ t❤❡♥ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐t ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ◆❇❙✳ ❋♦r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✱ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts γˆ ✇✐t❤ C(ˆ γ ) = 1 ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t

✶✸✻

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

1 = C(ˆ γ) =

γˆk Ik (p) ˆ , pˆk

✭✹✳✶✵✻✮

✇❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t DI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤✐s ❡♥s✉r❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p > 0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✵✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❬✺❪✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤✐s s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ♥♦t r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❜❡ ✉♥✐q✉❡✳ ❆♥ ❙■❘ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t ♠❛② ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❞✐✛❡r❡♥t ❙■❘ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ✇✐❧❧ ❛❧✇❛②s ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs✳ ▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ■❢ DI ❛♥❞ DI D TI ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ t❤❡♥ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✳✶✾✮ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✼✳

Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts γˆ ✱ γˇ ✇✐t❤ γˆ 6= γˇ ✭❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✮✳ ❙✐♥❝❡ DI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤❡ ♣♦✐♥ts γˆ ✱ γˇ ❛r❡ ❛tt❛✐♥❡❞ ❜② ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs pˆ✱ pˇ✱ ✇✐t❤ pˆ 6= cpˇ ❢♦r ❛❧❧ c > 0✱ s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✵✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r p(λ) ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✶✳✹✮✳ ❉❡✜♥✐♥❣ γ(λ) = γˆ 1−λ · γˇ λ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❬✺❪ γk (λ) ≤

pk (λ)
, Ik p(λ)

✭✹✳✶✵✼✮

∀k ∈ K .


■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t γ(λ) ✐s ❢❡❛s✐❜❧❡✱ ✐✳❡✳✱ C γ(λ) ≤ 1✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥✲ s✐❞❡r t❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t Log(S)✱ ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts log γˇ ❛♥❞ log γˆ ✳ ❙✐♥❝❡ γ(λ) ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ S ✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ❛❧❧ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s log γ(λ) = (1 − λ) log γ ˆ + λ log γ ˇ ❛r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ Log(S)✳ ❚❤✉s✱ S ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ■t r❡✲ ♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ str✐❝t♥❡ss✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✹✷ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ k0 ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✶✵✼✮ ✐s str✐❝t✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ r❡❛s♦♥✐♥❣ ❛s ✐♥ ❬✽✺❪✱ ✇❡ ❝❛♥ s✉❝❝❡ss✐✈❡❧② r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ ✉s❡rs ❢♦r ✇❤✐❝❤ str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s✳ ❙✐♥❝❡ D I DTI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤✐s r❡❞✉❝❡s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ♦t❤❡r ✉s❡rs✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥ t✉r♥ ❝❛♥ r❡❞✉❝❡ t❤❡✐r ♣♦✇❡r✳ ❚❤❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ D I D TI ❡♥s✉r❡s t❤❛t ❛❧❧ ✉s❡rs ❜❡♥❡✜t ❢r♦♠ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤✱ s♦ ❛❢t❡r ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ st❡♣s✱ ✇❡ ✜♥❞ ❛ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p˜ > 0 s✉❝❤ t❤❛t p˜k , ∀k ∈ K . ✭✹✳✶✵✽✮ γk (λ)
0✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✹✹ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t D I ❛♥❞ D I D TI ❝❛♥ ❜♦t❤ ❜❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❤♦✇❡✈❡r ♥♦ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts ✐❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽ ❛r❡ ♥♦t ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❧✐♥❦s t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r ♦♣t✐♠✐③❡r ✇✐t❤ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r❛♠❡✲ ✇♦r❦ ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✸✳

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ❧❡t D I ❛♥❞ D I DTI ❜❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✹✽✳

✹✳✸ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ✕ ❇♦✉♥❞❡❞♥❡ss✱ ❊①✐st❡♥❝❡✱ ❛♥❞ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

✶✸✼

♦♣t✐♠✐③❡r p ˆ > 0 t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ✭✹✳✻✹✮✱ ✇✐t❤ ❛♥ ❛ss♦✲ ❝✐❛t❡❞ ❙■❘ ✈❡❝t♦r γ ˆ ✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞ s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ ϕ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ◆❛s❤ ❛①✐♦♠s ❲P❖✱ ❙❨▼✱ ■■❆✱ ❙❚❈✱ ❛♥❞ ϕ = γ ˆ✳ Pr♦♦❢✳

❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠s ✹✳✽ ❛♥❞ ✹✳✹✼✳

⊔ ⊓

✹✳✸✳✺ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❛♥❞ ❈♦st ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥♦t❤❡r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❙■❘ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ◗♦❙ ❜② ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ φ(x) = g(1/x)✱ ✐✳❡✳✱ QoS = g(1/❙■❘) .

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ g ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❛♥❞ g(ex ) ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ x✱ ❧✐❦❡ g(x) = x ♦r g(x) = log x✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ inf

s∈RK

X

k∈K

αk g Ik (es )/esk




s✳t✳ kes k1 ≤ Pmax ,

✭✹✳✶✵✾✮

✇❤❡r❡ Ik (es ) ✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts α = [α1 , . . . , αK ] > 0 ❝❛♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✉s❡r r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ❛♥❞ ♣♦ss✐❜❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ s②st❡♠ ♣❛✲ r❛♠❡t❡rs ❧✐❦❡ ♣r✐♦r✐t✐❡s✱ q✉❡✉❡ ❧❡♥❣t❤s✱ ❡t❝✳ ❇② ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡❧② ❝❤♦♦s✐♥❣ α ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ tr❛❞❡ ♦✛ ♦✈❡r❛❧❧ ❡✣❝✐❡♥❝② ❛❣❛✐♥st ❢❛✐r♥❡ss✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣r♦✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✾✱ s❤♦✇s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❝♦♥✈❡①✐t②✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t Ik (es ) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K ❛♥❞ g ✐s ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✳ ❚❤❡♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ g(ex ) ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ R✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✾✳

■❢ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② st❛♥❞❛r❞ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ♦✈❡r t❤❡ ♥♦♥✲❝♦♠♣❛❝t s❡t RK ✱ t❤✉s ❡✈❡♥ ✐❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❝♦♥✈❡①✱ ✐t ✐s ♥♦t ♦❜✈✐♦✉s t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✭❡✳❣✳ s → −∞ ♠✐❣❤t ♦❝❝✉r✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❝❛s❡ ❝❛♥ ❜❡ r✉❧❡❞ ♦✉t ❢♦r ❛ ♣r❛❝t✐❝❛❧ s②st❡♠ ✇✐t❤ r❡❝❡✐✈❡r ♥♦✐s❡ σn2 > 0✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ esk → 0 ❝❛♥ ♥❡✈❡r ❤❛♣♣❡♥✱ s✐♥❝❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✇♦✉❧❞ t❡♥❞ t♦ ✐♥✜♥✐t②✱ ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠✳ ❲✐t❤♦✉t ♥♦✐s❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✐t ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ t❤❛t ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ♣♦✇❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts t❡♥❞ t♦ ③❡r♦✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s ♥♦t ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✐♥ ❬✷❪✮✳ ❆ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ✭✇❡✐❣❤t❡❞✮ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❬✾✽❪✳  X X Ik (p)  pk  sup − αk log = sup αk log . pk Ik (p) p>0 p>0 k∈K

✭✹✳✶✶✵✮

k∈K

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✶✶✵✮ ✐s ❛❧s♦ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ t❤r♦✉❣❤♣✉t ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✹✸✱✶✷✷❪✮✳ ■♥ t❤❡ ❤✐❣❤ ❙■❘ r❡❣✐♠❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡

✶✸✽

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

log(1 + SIR) = log(SIR)✱

s♦ ✭✹✳✶✶✵✮ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠

t❤r♦✉❣❤♣✉t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❝♦st ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✶✵✾✮✱ ✇❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡ ❛ ✉t✐❧✐t② ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳

X

sup

s∈RK k∈K

αk g Ik (es )/esk

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

g(ex )




s✳t✳

kes k1 ≤ Pmax .

✭✹✳✶✶✶✮

✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❜❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥st❡❛❞ g(ex ) ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡

♦❢ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✳ ❆s ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✾✱ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ✭✹✳✶✶✶✮ t♦ ❜❡ ❝♦♥✈❡①✳

◆♦t✐❝❡ t❤❛t t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✭✹✳✶✶✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥

u(α)

♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts

α = [α1 , . . . , αK ]✳

▼♦r❡♦✈❡r✱

u(α)

❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s

❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ s♦ ✐t ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ❛♥ ✏✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✑✳ ❯s✐♥❣ ❛ s✉❜st✐✲ t✉t✐♦♥

α = exp β ✱

t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

u(α)

✐s ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥

t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❢✉rt❤❡r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r✐s❡ ♥❛t✉r❛❧❧② ✐♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥t❡①ts✳ ❊✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ♦✉r ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✐s ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❜② ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✱ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ t♦♦❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ s❡♥s❡✳ ❆❧s♦✱ ✭✹✳✶✶✶✮ ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥♦t❤❡r ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥ ❛ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❆❣❛✐♥✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ❝❡rt❛✐♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝❧♦s❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

✹✳✹ ❙■◆❘ ❘❡❣✐♦♥ ✉♥❞❡r ❛ ❚♦t❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥t ■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❣❡♥❡r❛❧ ❙■❘ r❡❣✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❧♦❣✲ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❈♦♥❞✐t✐♦♥s ✇❡r❡ ❞❡r✐✈❡❞ ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥

ST

❛♥❞ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ❡①✐sts✳

❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ✐s ♠✉❝❤ s✐♠♣❧❡r ✐❢ t❤❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s st❛♥❞❛r❞✳ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✉♠ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ♦♥❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✱ ❜✉t ❛❧s♦ ❜② t❤❡ ❧✐♠✐t❡❞ ♣♦✇❡r ❜✉❞❣❡t✳ ❚❤✐s s✐♠♣❧✐✜❡s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s✳ ❚❤❡ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❝❛s❡ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ✇✐❧ ❜❡ ❛❞❞r❡ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✺✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✉♠✲♣♦✇❡r✲❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥

S(Pmax )✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ Pmax ✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡✲

✭✷✳✹✼✮✳ ❚❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛❧❧ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ✐s ❧✐♠✐t❡❞ ❜②

♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❙■◆❘ s❡t ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ❛❢t❡r ❛ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳

I1 , . . . , IKu ❜❡ ❛r❜✐tr❛r② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ 0 < P
max < +∞ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ Log S(Pmax ) ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ S(Pmax ) ✐s P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✱ ❛♥❞ S(Pmax ) ∈ ST c ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✵✳ ▲❡t t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧

✹✳✹ ❙■◆❘ ❘❡❣✐♦♥ ✉♥❞❡r ❛ ❚♦t❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥t

✶✸✾

Pr♦♦❢✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ str✐❝t ❝♦♥✈❡①✐t②✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥ts q ˆ, qˇ✱ ✇✐t❤
qˆ 6= qˇ✱ ❢r♦♠ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ Log S(Pmax ) ✳ ❚❤✐s s❡t ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ✐❢ t❤❡ ❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t q(λ) = (1 − λ)qˆ + λˇ q ✱ ✇✐t❤ λ ∈ (0, 1)✱ ✐s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ❙■◆❘ ❞♦♠❛✐♥✱ ✇❤❡r❡ γ ˆ = exp qˆ ❛♥❞ γ ˇ = exp qˇ ❛r❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts✱ ✇✐t❤ γˆ 6= γˇ ✳ ❚❤❡ ❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t ✐s

tr❛♥s❢♦r♠❡❞ t♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✭❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡✮ γ(λ) = exp q(λ) = (ˆ γ )1−λ · (ˇ γ )λ .

✭✹✳✶✶✷✮


❆ ♣♦✐♥t q(λ) ♦♥ t❤❡ ❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t ✐s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ Log S(Pmax ) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ C(γ(λ), Pmax ) < 1✳ ❲❡ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t ❢♦r ❛♥② γ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(γ) > 0 s✉❝❤ t❤❛t γk

1 pk (γ)
, = C(γ, Pmax ) Jk p(γ)

∀k ∈ Ku .

✭✹✳✶✶✸✮

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛② ❛s ✐♥ ❬✶❪✱ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t γk /C(γ, Pmax ) ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t✳ ▲❡t ✉s ❞❡✜♥❡ p(λ)✱ ✇❤❡r❡ pk (λ) = (ˆ pk )1−λ · (ˇ pk )λ ✱ ❛♥❞ pˆ := p(ˆ γ )✱ pˇ := p(ˇ γ ) ❛r❡ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs t❤❛t ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts pˆ ❛♥❞ pˇ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✉♥✐q✉❡♥❡ss✱ γˆ 6= γˇ ✐♠♣❧✐❡s pˆ 6= pˇ✳ ❇② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IKu ✱ ✇❡ ❤❛✈❡
 1−λ  λ γk (λ) · Jk p(λ) γˆk · Jk (p) ˆ γˇk · Jk (p) ˇ ≤ · pk (λ) pˆk pˇk

✭✹✳✶✶✹✮

❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku ✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✷✳✹✽✮ ❛♥❞ ✭✹✳✶✶✹✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡

1−λ 
λ C γ(λ), I, Pmax ≤ C γ ˆ , I, Pmax · C γ ˇ , I, Pmax .

❙✐♥❝❡ γˆ ❛♥❞ γˇ ❛r❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts✱ ✇❡ ❤❛✈❡ C γˆ , I, Pmax = C γˇ , I, Pmax = 1✱ ❛♥❞ t❤✉s
C γ(λ), I, Pmax ≤ 1 . ✭✹✳✶✶✺✮

■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✶✶✺✮ ✐s str✐❝t✳ ❙✐♥❝❡ pˆ 6= pˇ✱ ❍ö❧❞❡r✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❧❡❛❞s t♦ X

pk (λ)
0 ❜❡ ❛♥② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ r❡❣✐♦♥ S(pmax )✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs ❛❝❤✐❡✈✐♥❣ γ ✐s P(γ, pmax ) = {0 ≤ p ≤ pmax : pk ≥ γk Jk (p)} .

✭✹✳✶✷✵✮

❋♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ s❡t P(γ, pmax ) ❝❛♥ ❝♦♥t❛✐♥ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❚❤✐s ✐s ♠♦st ❡❛s✐❧② ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜② ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✿ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ✷✲✉s❡r ●❛✉ss✐❛♥ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❛❝❝❡ss ❝❤❛♥♥❡❧ ✭▼❆❈✮ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss✐✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥✱ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ♥♦✐s❡ σn2 = 1✱ ❛♥❞ ❛ ❣✐✈❡♥ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ♦r❞❡r 1, 2✳ ❚❤❡ ❙■◆❘ ♦❢ t❤❡ ✉s❡rs ❛r❡ ❊①❛♠♣❧❡ ✹✳✺✶✳

p1 , p2 + 1 SINR2 (p) = p2 . SINR1 (p) =

❆ss✉♠✐♥❣ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts p1 ≤ pmax = 1 ❛♥❞ p2 ≤ pmax = 1✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ 1 2 ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ ❛s ❞❡♣✐❝t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✻✳ SINR of user 2 1

γ

γ ˆ

user 1 transmits at full power pmax 1

SINR of user 1 0 ❋✐❣✳ ✹✳✻✳

♣❧❡ ✹✳✺✶✳

pmax /(pmax + 1) 1 2

1

❋❡❛s✐❜❧❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✷✲✉s❡r ▼❆❈ ❝❤❛♥♥❡❧ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❊①❛♠✲

✹✳✺✳✷ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❇♦✉♥❞❛r② P♦✐♥ts

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ❞❡♣✐❝t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✻✳ ❚❤✐s ♣♦✐♥t ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② p∗ = [pmax /2, pmax ]T ✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ p∗ ∈ P(γ, pmax )✳ ❚❤✐s ✈❡❝t♦r ❛❝❤✐❡✈❡s γ 2 1 ✇✐t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦✇❡r✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ p∗ ✐s ♥♦t t❤❡ ♦♥❧② ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ P(γ, pmax )✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ♣♦✇❡r ✭❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ❙■◆❘✮ ♦❢ ❯s❡r ✶✱ ✇✐t❤♦✉t r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❙■◆❘ ❛t ❯s❡r ✷✳ ■❢ ❜♦t❤ ✉s❡rs tr❛♥s♠✐t ✇✐t❤ ♠❛①✐♠✉♠ ♣♦✇❡r pmax t❤❡♥ t❤❡ ❝♦r♥❡r ♣♦✐♥t γˆ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❚❤✐s ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ P(γ, pmax ) ❜❡❝❛✉s❡ γˆ ≥ γ ✱ s♦ t❤❡ ❙■◆❘ t❛r❣❡ts γ ❛r❡ st✐❧❧ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳

✶✹✷

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ♣❧❛② ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ✐♥ ♦✉r ❛♥❛❧✲ ②s✐s✳ (n+1)

pk

= γk Jk (p(n) ),

∀k ∈ Ku ,

p(0) ∈ P(γ, pmax ) .

✭✹✳✶✷✶✮

▲❡♠♠❛ ✹✳✺✷✳ ▲❡t γ > 0 ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t✱ t❤❡♥ t❤❡ ❧✐♠✐t p∗ =

limn→∞ p(n) > 0 ❛❝❤✐❡✈❡s γ ✇✐t❤ p∗ ≤ p ❢♦r ❛❧❧ p ∈ P(γ, pmax )✳

❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦✇❡r✳ ❚❤❛t ✐s✱

❚❤✐s ❧❡♠♠❛ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❬✶❪✳ ❆ ♣r♦♦❢ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸ ♣❧✉s str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✷✳✷✷✮ ✇❛s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬✷❪✳ ⊔ ⊓ Pr♦♦❢✳

❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥t ✐♥ ✭✹✳✶✷✵✮ ✐s ❛❧✇❛②s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ γ ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t✳

▲❡♠♠❛ ✹✳✺✸✳ ❋♦r P(γ, pmax )✳ Pr♦♦❢✳

❚❤❡♥

γ > 0✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ∈ k ∈ Ku s✉❝❤ t❤❛t pk = γk Jk (p)✳

❛♥② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t

❚❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ pk > γk Jk (p) ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku ✳   γk Jk (p) ˜ inf max max 0 γk Jk (p(k) )✳

❋♦r t❤❡ ♣♦✐♥t γ ✱ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳✻✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ✜rst ✉s❡r✱ ✇❤♦s❡ ♣♦✇❡r ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❝r❡❛s❡❞ ✇✐t❤♦✉t ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ❯s❡r ✷✳ ❲❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ Ku ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ❖t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s tr✐✈✐❛❧✳ ❆❧s♦✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✺✸ t❤❛t Ku 6= Ku ✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r pˆ ❢♦r ✇❤✐❝❤ str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧②✳

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✺✳ ▲❡t I1 , . . . , IK

u

t❤❛t

γ

❜❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❆ss✉♠❡

✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t s✉❝❤ t❤❛t

❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r

pˆ ∈ P(γ, pmax )

s✉❝❤ t❤❛t

pˆk > γk Jk (p), ˆ

Ku

∀k ∈ Ku ,

✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡

✭✹✳✶✷✸✮

✹✳✺ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥ts ✕ P❛r❡t♦ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ❈♦♥✈❡①✐t②

✶✹✸

❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ p ∈ P(γ, pmax ) ✇❡ ❤❛✈❡ pk = γk Jk (p),

Pr♦♦❢✳

∀k ∈ Ku \Ku .

✭✹✳✶✷✹✮

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✹✳✶✷✹✮ ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✺✹✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ k1 , k2 ∈ Ku ✱ ✇✐t❤ k1 6= k2 ✱ ❛♥❞ ✈❡❝t♦rs p(k1 ) , p(k2 )

✭✹✳✶✷✸✮✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r②

❛s ✐♥ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✺✹✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ✈❡❝t♦r

(k1 ) 1−λ

pl (λ) = (pl

)

▲♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐♠♣❧✐❡s ✭✶✳✺✮✳ ❙✐♥❝❡

p(λ)

✇✐t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts

(k2 ) λ

· (pl

) ,

p(λ) ≤ pmax ✱

l ∈ Ku . ✇❡ ❤❛✈❡

γl Jl (p(λ))  γl Jl (p(k1 ) ) 1−λ  γl Jl (p(k2 ) ) λ · ≤ 1. ≤ (k ) (k ) pl (λ) p 1 p 2 l

✭✹✳✶✷✺✮

l

(k ) (k ) max ❚❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❜❡❝❛✉s❡ p 1 ∈ P(γ, p ) ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t pl 1 ≥ (k1 ) (k1 ) γl Jl (p )✱ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ❤♦❧❞s ❢♦r p ✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✹✳✶✷✺✮ t❤❛t p(λ) ∈ P(γ, pmax ) ❢♦r 0 < λ < 1✳ ❋♦r ✐♥❞✐❝❡s l = k1 ♦r l = k2 ✱ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❢❛❝t♦r ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✹✳✶✷✺✮ ✐s str✐❝t❧② ❧❡ss t❤❛♥ ♦♥❡✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡

γl Jl (p(λ)) γk . Jk (p) ˆ

❚❤✉s γˆ γ ✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ γ ✐s ♥♦t P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ✐s ♥♦t P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ γ˜ ✇✐t❤ γ˜ γ ✳ ❚❤✐s ♣♦✐♥t ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p˜ ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ p˜ = diag(˜ γ )J (p) ˜ ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ p˜ 6= p∗ ❛♥❞ p˜ ∈ P(˜ γ , pmax )✳ ❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t ❛♥② ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ P(˜ γ , pmax ) ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ P(γ, pmax )✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ∈ P(˜ γ , pmax )✳ ❲❡ ❤❛✈❡ pk ≥ γ˜k Jk (p) ≥ γk Jk (p) .

❚❤✉s p ∈ P(γ, pmax )✱ ✐✳❡✳✱ P(˜ γ , pmax ) ⊆ P(γ, pmax )✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞❡✲ t❡r♠✐♥❡❞ t✇♦ ✈❡❝t♦rs p˜ 6= p∗ t❤❛t ❛r❡ ❜♦t❤ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ P(γ, pmax )✳ ⊔ ⊓

◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ ❤♦✇ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐①✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❣❛✐♥ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ > 0 ❛♥❞ pˆ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✺✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✷ st❛t❡s t❤❛t ✐❢ P(γ, pmax ) ❤❛s ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❧❡♠❡♥ts✱ t❤❡♥ D I (p) ˆ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✶ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✳✶✮✳ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✷ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❧❛t❡r ❢♦r t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✻✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ∈ ∂S(pmax )✱ ✇✐t❤ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p = p∗ (γ) ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ▲❡♠♠❛ ✹✳✺✷✳ ■❢ P(γ, pmax ) 6= {p∗ }✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② pˆ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✺✱ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I (p) ˆ ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✷✳

∗

✹✳✺ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥ts ✕ P❛r❡t♦ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ❈♦♥✈❡①✐t② Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t

s✉♠♣t✐♦♥

P(γ, pmax ) 6= {p∗ }

DI (p) ˆ

✶✹✼

✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❆s✲

✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ♦✈❡rs✐③❡❞ ✉s❡r✳ ❈♦♥✲

s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② s❡ts

Ku

❛♥❞

Ku \Ku ✳

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✐r✲

r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ ♣❛t❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❜♦t❤ s❡ts✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡r❡ ❡①✐st ✐♥❞✐❝❡s

k1 ∈ Ku \Ku

k2 ∈ Ku

❛♥❞

s✉❝❤ t❤❛t

[D I (p)] ˆ k1 k2 > 0 . ❲❡ ❝❛♥ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♣♦✇❡r

pˆk2

✭✹✳✶✸✸✮

♦❢ t❤❡ ♦✈❡rs✐③❡❞ ✉s❡r ✇✐t❤♦✉t ✈✐♦❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❢❡❛✲ (δ) δ > 0 ❛♥❞ ❛ pˆk2 = pˆk2 − δ s✉❝❤

s✐❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ t❤❛t

(δ)

pˆk2 > pˆk2 > γk2 Jk2 (p) ˆ .

✭✹✳✶✸✹✮

❇② ❦❡❡♣✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ ♦t❤❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts l 6= k2 ✜①❡❞✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♥❡✇ ✈❡❝t♦r pˆ(δ)  pˆ✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❆✸ ✇❡ ❤❛✈❡ Jk2 (pˆ(δ) ) ≤ Jk2 (p) ˆ ✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ ✭✹✳✶✸✹✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t p ˆ(δ) ∈ P(γ, pmax )✳ ❋r♦♠ ✭✹✳✶✸✸✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❜② r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ♣♦✇❡r ♦❢ ✉s❡r

t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ✉s❡r

k1 ✳

k2

✇❡ r❡❞✉❝❡

❚❤✉s

Jk1 (pˆ(δ) ) < Jk1 (p), ˆ

k1 ∈ Ku \Ku . ⊔ ⊓

❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts ✭✹✳✶✷✹✮ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✺✱ t❤✉s ❝♦♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♦❢✳

✹✳✺✳✹ ❈♦♥❝❡♣t ♦❢ ❙tr♦♥❣❧② ❈♦✉♣❧❡❞ ❯s❡rs ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ♥❡✇ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ✉s❡rs✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡ ✉s❡❢✉❧ ✐♥ ❢✉rt❤❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ t❤❡ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ■t ✇✐❧❧ t✉r♥ ♦✉t ✭❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✻✮ t❤❛t t❤✐s ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✇❛② ♦❢ ❡①♣r❡ss✐♥❣ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t②✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✻✸✳ ❆ Ku ✲✉s❡r s②st❡♠ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ✇✐t❤ ♣♦✇❡r ❧✐♠✐ts

pmax ✱

✐❢ ❢♦r ❛♥② ♣♦✐♥t

γ✱

❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ✐s ❛

p ∈ P(γ, pmax )

✇✐t❤

Γ J (p)  p , t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r

pˆ < p

✭✹✳✶✸✺✮

s✉❝❤ t❤❛t

Γ J (p) ˆ < pˆ .

✭✹✳✶✸✻✮

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✹✳✶✸✻✮ r❡✢❡❝ts ❛ ♣r❛❝t✐❝❛❧❧② r❡❧❡✈❛♥t ♣r♦♣❡rt②✿ ■❢ ✐t ✐s ♣♦s✲ s✐❜❧❡ t♦ ❢✉❧✜❧❧ ❙■◆❘ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts

γ1 , . . . , γKu ✱

❛♥❞ ♦♥❡ ✉s❡r ❣❡ts ♠♦r❡ t❤❛♥

r❡q✉✐r❡❞✱ t❤❡♥ ❛❧❧ ✉s❡rs ❛r❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛❧❧ ✉s❡rs ❜❡♥❡✲ ✜t ❢r♦♠ r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ♦✈❡rs✐③❡❞ ✉s❡r✬s ♣♦✇❡r✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❛s♣❡❝t ♦❢ ✏❢❛✐r♥❡ss✑ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❢♦r tr❛❞✐♥❣ ♦✛ r❡s♦✉r❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ✉s❡rs✳

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✹✳ ■❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK

u

❛r❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞✱ t❤❡♥ ❡✈❡r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t

γ

✇✐t❤ ♣♦✇❡r ❧✐♠✐ts

✐s P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳

pmax

✶✹✽

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

❆ss✉♠❡ t❤❛t I1 , . . . , IKu ❛r❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛✲ ❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ t❤❛t ✐s ♥♦t P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ γˆ ≥ γ s✉❝❤ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛ k0 ✇✐t❤ γˆk0 > γk0 ✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✹✳✶✷✷✮✳ ❇❡❝❛✉s❡ C(ˆ γ , I, pmax ) = 1✱ t❤❡ ✈❡❝t♦r γˆ ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ pˆ = p(γ) ˆ s✉❝❤ t❤❛t pˆ = ΓˆJ (p) ˆ ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ Pr♦♦❢✳

pˆk0 = γˆk0 Jk0 (p) ˆ > γk0 Jk0 (p) ˆ .

✭✹✳✶✸✼✮

pk > γk Jk (p) k ∈ Ku .

✭✹✳✶✸✽✮

❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ p < pˆ ≤ pmax s✉❝❤ t❤❛t ❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧②

C(γ, I, pmax ) ≤ max k∈Ku

γk Jk (p) 0✳

■❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

pk ≥ γk Jk (p)

p ≤ pmax

s✉❝❤ t❤❛t

∀k ∈ Ku

✇✐t❤ str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✇✐t❤

p˜k > γk Jk (p) ˜

∀k ∈ Ku

✭✹✳✶✹✵✮ p˜ < pmax

✭✹✳✶✹✶✮

❋r♦♠ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✭✹✳✶✹✵✮ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t γ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ str✐❝t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ❝♦♥tr❛❞✐❝t t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t②✳ ❚❤✉s✱ γ ♠✉st ❜❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ C(γ, pmax ) < 1✳ ❙♦ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p˜ ≤ pmax t❤❛t ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥ p˜k = λ · γk Jk (p) ˜ > γk Jk (p), ˜ k ∈ Ku , ✭✹✳✶✹✷✮

Pr♦♦❢✳

✇❤❡r❡ 1 < λ = 1/C(γ, pmax )✳

⊔ ⊓

◆♦t❡ t❤❛t ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✺ ✐s ♥♦t t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✹✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ♦♥❧② ❤♦❧❞s ❢♦r ✐♥t❡r✐♦r ♣♦✐♥ts✱ ♥♦t ❢♦r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✸ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✳ ❯♥❞❡r t❤✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞✳

✹✳✺ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥ts ✕ P❛r❡t♦ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ❈♦♥✈❡①✐t②

✶✹✾

✹✳✺✳✺ ❙tr✐❝t ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t②

❯♥❞❡r t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭❝❢✳ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✸✮ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✹✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤✐s ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❧✐♥❦ ❜❡✲ t✇❡❡♥ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① DI ❛♥❞ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t②✳ ❚❤✐s ✐s s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠✳ max ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✻✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ Ku ✲✉s❡r s②st❡♠ ✇✐t❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦✇❡r ❧✐♠✐ts p ❛♥❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . IKu t❤❛t ❛r❡ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♥ t❤❡✐r r❡✲ s♣❡❝t✐✈❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡ts✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥ts ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ • ❚❤❡ s②st❡♠ ✐s str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ✭❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✻✸✮ • ❚❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ • ❊✈❡r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t ✐s P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ✜rst s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① DI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❡✈❡r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ✐s P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❡ ✜rst ♣❛rt ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t D I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜✉t s♦♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ✐s ♥♦t P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✹✮✳ ❚❤❡♥ P(γ, pmax ) ❤❛s ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r pˆ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✺✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✷ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t D I (p) ˆ ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ ❜❡❝❛✉s❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ DI ✐♠♣❧✐❡s ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ DI (p) ˆ ✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❛❣❛✐♥ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t [D I ]kl > 0 ✐♠♣❧✐❡s [D I (p)] ˆ kl > 0 ❢♦r ❛♥② k, l ∈ Ku ✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t [D I (p)] ˆ kl = 0✱ t❤❡♥ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ✭✷✳✾✮ t❤❛t f (δ, p) ˆ = Jk (pˆ − δel ) ✐s ❝♦♥st❛♥t ❢♦r ❛❧❧ δ > 0✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t Ik ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ lt❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✱ t❤✉s ♣r♦✈✐♥❣ t❤❛t D I (p) ˆ ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① D I ✐♠♣❧✐❡s ❛ P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t ✐❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ✐s P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ t❤❡♥ D I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣✲ ♣♦s❡ t❤❛t DI ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t D I ❤❛s ❋r♦❜❡♥✐✉s ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ❬✺✼❪✱ ✇✐t❤ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐❝❡s D 1 , . . . , D N ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❙✉❝❤ ❛ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ❛ s②♠✲ ♠❡tr✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦❢ r♦✇s ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ D I ✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ✜rst ✭✐s♦✲ ❧❛t❡❞✮ ❜❧♦❝❦ ❤❛s ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ k1 × k1 ✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ✜rst k1 ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts pk1 +1 , . . . , pK ✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ✈❡❝t♦r k1 max T ∗ /Jk (p∗1 ) ❢♦r 1 ≤ p∗1 = [pmax , . . . , pmax 1 k1 ] ∈ R++ ❧❡❛❞s t♦ ❙■◆❘ ✈❛❧✉❡s γk = pk Ku ∗ T k ≤ k1 ✳ ❲❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ s❡t M+ = {p ∈ R+ : p = [(p1 ) , pk1 +1 , . . . , pKu ]T }✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② γ (2) = [γk1 +1 , . . . , γKu ]T > 0 ✇❡ ❞❡✜♥❡ C (2) (γ (2) , pmax ) =

inf

p∈M+ 0 0 s✉❝❤ t❤❛t C (2) (ˆ γ (2) , pmax ) = 1✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦✐s❡ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❬✶❪ t❤❛t t❤✐s ♣♦✐♥t ✐s ❢❡❛s✐❜❧❡✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts max 1 ❛ p(2) ∈ RK−k ✇✐t❤ p(2) s✉❝❤ t❤❛t + k ≤ pk

✶✺✵

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

(2)

γˆk Ik



 p∗1 ! p(2)  = p(2) , k σn2

k1 + 1 ≤ k ≤ K .

❍❡r❡✱ p∗1 ❛❝ts ❧✐❦❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♥♦✐s❡✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ Ku ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r ♦❢ (2) ❙■◆❘ ✈❛❧✉❡s ✐s γ˜ = [γ1∗ , . . . , γk∗1 , γˆk(2) , . . . , γˆK ]T ✱ ❛♥❞ t❤❡ ✈❡❝t♦r t❤❛t ❛❝❤✐❡✈❡s 1 +1 t❤✐s ♣♦✐♥t ✐s pˇ = [(p∗1 )T , (p(2) )T ]T ✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✷✳✺✺✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② C(˜ γ , I, pmax ) ≥ =

inf max max

0 γk , Jk (p) ˜

❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku .

✭✹✳✶✹✺✮

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ✉s❡rs ❛r❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞✳ ❍❛✈✐♥❣ s❤♦✇♥ t❤❛t ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❛ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠✱ ✐t r❡✲ ♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ✐❢ D I ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡ t❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ❝❛♥♥♦t ❜❡ str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❙■◆❘ ✈❡❝t♦rs γ˜ ❛♥❞ γ ˜ (λ) t❤❛t ✇❡r❡ ❛❧r❡❛❞② ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❡❛r❧✐❡r ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥t γ˜ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② pˇ✱ t❤✉s

✹✳✺ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ P♦✇❡r ❈♦♥str❛✐♥ts ✕ P❛r❡t♦ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ❛♥❞ ❙tr✐❝t ❈♦♥✈❡①✐t②

✶✺✶

pˇk = γ˜k > λ˜ γk = γ˜k (λ), ❢♦r ❛❧❧ k1 + 1 ≤ k ≤ K , Jk (p) ˇ pˇk = γ˜k (λ), ❢♦r ❛❧❧ 1 ≤ k ≤ k1 . Jk (p) ˇ

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✈❡❝t♦r p′ ≤ pˇ ✇✐t❤ p′k > γk (λ), Jk (p′ )

1≤k≤K.

❇❡❝❛✉s❡ t❤❡♥ γ(λ) ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t✳

⊔ ⊓

❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✻ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳ ❋✉rt❤❡r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❢♦r str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❬✶✷✹❪✱ ✇❤❡r❡ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♣❧❛②s ❛ ❝❡♥tr❛❧ r♦❧❡ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ♥♦♥✲♠❛♥✐♣✉❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s✳ ✹✳✺✳✻ ❙tr✐❝t ▲♦❣✲❈♦♥✈❡①✐t②

◆❡①t✱ ✇❡ st✉❞② ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s t❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ S(pmax )✱ ✐s str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST c ✳ ❆ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ❞❡✲ r✐✈❡❞✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡t I1 , . . . IKu ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ ✉s❡r ❛✛❡❝ts t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦t❤❡r ✉s❡r✱ ✐✳❡✳✱ ❡❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ DI ❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ♦✛ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② pˆ 6= pˇ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ k0 s✉❝❤ t❤❛t ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✼✳

Jk0 (p(λ)) < (Jk0 (p)) ˆ 1−λ · (Jk0 (p)) ˇ λ

∀λ ∈ (0, 1) .

✭✹✳✶✹✻✮

Pr♦♦❢✳ ■❢ ✭✹✳✶✹✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ♦♥❡ λ0 t❤❡♥ ✐t ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r ❛❧❧ λ ∈ (0, 1)✳ ❚❤✐s

❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ λ0 ∈ (0, 1) s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku Jk (p(λ0 )) = (Jk (p)) ˆ 1−λ0 · (Jk (p)) ˇ λ0 .

❚❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Ku t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ck > 0 s✉❝❤ t❤❛t pˆl = ck pˇl

❢♦r ❛❧❧ l ∈ Lk

❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❡❛❝❤ ✉s❡r ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦t❤❡r ✉s❡r✱ t❤✉s ❢♦r ❡❛❝❤ ✐♥❞❡① l✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k˜ s✉❝❤ t❤❛t l ∈ Lk˜ ✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ pˆ = pˇ✳ ⊔ ⊓ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✼ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②✳

▲❡t I1 , . . . IKu ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳
❚❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ Log S(pmax )) ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ DI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✽✳

✶✺✷

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

Pr♦♦❢✳ I1 , . . . IKu ❛r❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ t❤✉s t❤❡② ❛r❡ ❛❧s♦ str✐❝t❧② ♠♦♥♦✲ t♦♥❡ ♦♥ t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✷✳✾✮✳ ■❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✻ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t DI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❛ str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡① r❡❣✐♦♥✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts γˆ ❛♥❞ γˇ ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs pˆ ❛♥❞ pˇ✳ ❆s ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✺✵✱ ✇❡ ✉s❡ γ(λ) ❛♥❞ p(λ)✳ ❲❡ ❤❛✈❡ p(λ) = pˆ1−λ · pˇλ ≤ (pmax )1−λ · (pmax )λ = pmax ✳ ■♥ ❬✺✱ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇❪ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ t❤❛t γk (λ) ≤ pk (λ)/Jk (p(λ))✳ ❲❡ ♥♦✇ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t D I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ t❤✉s ❡❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ D I ❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ♦✉ts✐❞❡ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✼ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥② pˆ 6= pˇ t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t k0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✹✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k0 s✉❝❤ t❤❛t pk0 (λ) γk0 (λ) < . ✭✹✳✶✹✼✮ Jk0 (p(λ))

❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✻ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ✐s str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞✱ s♦ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ p(λ) ˜ < p(λ) ≤ pmax s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ k γk (λ)
0✳ ❋♦r ❛♥② λ ∈ (0, 1) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k0 s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✹✻✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤✉s✱ Fw (s(λ)) = wk0 log

X Jk (es(λ) ) Jk0 (es(λ) ) + w log k esk (λ) esk0 (λ) k∈K \k u

0

Jk (esˆ) Jk (esˇ) < wk0 (1 − λ) log 0sˆk + wk0 λ log 0sˇk + e 0 e 0 X Jk (esˆ) + (1 − λ) wk log + esˆk k∈Ku \k0

+λ

X

wk log

k∈Ku \k0

Jk (esˇ) esˇk

= (1 − λ)Fw (ˆ s) + λFw (ˇ s) .

❍❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ ✭✹✳✶✹✻✮ ❛♥❞ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ Ik ✳

❚❤❡ ♥❡①t ❝♦r♦❧❧❛r② ✐s ❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✾✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✼✵✳

⊔ ⊓

❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ min

s≤log pmax

Fw (s)

✭✹✳✶✺✶✮

❤❛s ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ♠✐♥✐♠✐③❡r✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✹ t❤❛t ❢♦r ❛♥② s❡t U ∈ ST c t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❛r❡ ♣r❡s❡r✈❡❞✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s ❛ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ S(pmax ) t♦ ❜❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST c ✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❜✉✐❧❞s ♦♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✾✳ ◆♦t❡ t❤❛t s❡ts ❢r♦♠ ST c ❞♦ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✭s❡❡ ❋✐❣✲ ✉r❡ ✹✳✸✮✳ ❚❤✉s✱ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ DI ✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s r❡q✉✐r❡❞ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✻✽✱ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✳

▲❡t I1 , . . . IKu ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ ▲❡♠♠❛ ✹✳✻✼✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ S(pmax ) ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ST c ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✼✶✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐s ✭r❡❧❛t✐✈❡❧②✮ ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡
♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❚❤❡ ✐♠❛❣❡ s❡t Q = Log S(pmax ) ✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ✉♣♣❡r✲ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts qˆ 6= qˇ✱ ❛♥② ♣♦✐♥t q(λ) = (1 − λ)ˆ q + λˇ q ✱ ✇✐t❤ λ ∈ (0, 1)✱ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ s❡t✳ ❚❤✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✹✳✸✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ λ s✉❝❤ t❤❛t q(λ) ✐s ♥♦t ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r✳ ❙✐♥❝❡ Q ✐s ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❬✺❪✱ t❤✐s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✐❢ C(log q(λ), I, pmax ) = 1, ∀λ ∈ (0, 1) . ✭✹✳✶✺✷✮

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✭✹✳✶✺✷✮ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r w ˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t

✶✺✹

✹ ◆❛s❤ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ Pr♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❋❛✐r♥❡ss ❢♦r ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ❯t✐❧✐t② ❙❡ts

q(λ) ∈ arg max q∈Q

X

w ˆk qk .

✭✹✳✶✺✸✮

k∈Ku

❚❤❡ s❡t ♦❢ ♠❛①✐♠✐③❡rs ♦❢ ✭✹✳✶✺✸✮ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t✳ ❋♦r ❡✈❡r② ♠❛①✐♠✐③❡r q(λ) t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❡❝t♦r p(λ) = exp s(λ) ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ ♣♦✇❡r ❝♦♥✲ str❛✐♥ts✱ ❛♥❞ s(λ) ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ s(λ) ∈ arg max Fw (s) . 0 0✱ ✇✐t❤ Γ = diag{γ} .

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ SINRk (p) ≥ γk ,

∀k ,

✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜② ❛❧❧ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ s❡t

✭✺✳✻✮

P(γ) = {p > 0 : pk ≥ γk Jk (p), ∀k} .

■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ s❡t P(γ) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ❆♠♦♥❣ ❛❧❧ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ p∗ > 0 ✇❤✐❝❤ ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r kpk1 ✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s min p

▲❡♠♠❛ ✺✳✶✳

❚❤❡ ✈❡❝t♦r

✐❢

Pr♦♦❢✳

Ku X

pl

l=1

s✳t✳ p ∈ P(γ) .

✭✺✳✼✮

p∗ > 0 ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ ✭✺✳✼✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧②

p∗k = γk Jk (p∗ ),

✭✺✳✽✮

k = 1, 2, . . . , Ku .

❚❤✐s ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶❪✳

⊔ ⊓

❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ∈ P(γ)✱ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✷✻❪ t❤❛t ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✼✮ ✐s s♦❧✈❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛tr✐①✲❜❛s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ p(n+1) = I − Γ V (z (n) )

✇✐t❤

(n) zk


−1

= arg min[V (z)p(n) + n(z)]k zk ∈Zk

✭✺✳✾✮

Γ n(z (n) ) ∀k .

✭✺✳✶✵✮

❆ ♠❛①✲♠✐♥ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ str❛t❡❣② ❢♦r ✜♥❞✐♥❣ ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ∈ P(γ) ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ❋♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✐t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❛ss✉♠❡ t❤❛t s✉❝❤ ❛ ✈❡❝t♦r ❡①✐sts✳

✶✺✽

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✺✳✶✳✶ ❖♣t✐♠❛❧ ▼❛tr✐❝❡s ❛♥❞ ❘❡❝❡✐✈❡ ❙tr❛t❡❣✐❡s

❋♦r ❣✐✈❡♥ p✱ t❤❡ s❡t ♦❢ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s t❤❛t ❛r❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✹✮ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s Z(p) = {z : [V (z)p + n(z)]k = Jk (p), k ∈ Ku } .

❚❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡t M(p) = {V (z) : z ∈ Z(p)} .

✭✺✳✶✶✮

❚❤✉s✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♠❛tr✐① V ∈ M(p)✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② z ∗ s✉❝❤ t❤❛t V = V (z ∗ )✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮✳ ❋♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ p(n) ✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V (z (n) ) ∈ M(p(n) )✱ ✇✐t❤ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r z (n) ∈ Z(p(n) ) s✉❝❤ t❤❛t J (p(n) ) = V (z (n) )p(n) + n(z (n) ) . ✭✺✳✶✷✮ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p(n+1) ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ p(n) ✈✐❛ ❛♥ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛r② ♦♣✲ t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ s❡t M(p(n) ) ❝❛♥ ❝♦♥t❛✐♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✱ t❤❡ ♠❛tr✐① r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✺✳✶✷✮ ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ✉♥✐q✉❡✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p(n+1) ✭✐❢ ❡①✐st❡♥t✮ ♠✐❣❤t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V (z (n) ) ♦✉t ♦❢ t❤❡ s❡t M(p(n) )✳ ❖♥❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r ❝❤♦♦s✐♥❣ V (z (n) ) ∈ M(p(n) ) ✐s ❢❡❛s✐❜✐❧✐t②✳ ❆♥ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p(n+1) > 0 ❡①✐sts ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ Γ V (z (n) ) ❤❛s ❛ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s
ρ Γ V (z (n) ) < 1 ,

✭✺✳✶✸✮

✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ I − Γ V (z (n) ) ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✱ t❤✉s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ✭✺✳✾✮ ❡①✐sts✳ ❚❤✐s ❛s♣❡❝t ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳ ✺✳✶✳✷ ❋❡❛s✐❜✐❧✐t②

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s p = ΓV p + n ,

✭✺✳✶✹✮

✇❤❡r❡ V ≥ 0 ❛♥❞ n = [n1 , . . . , nKu ]T > 0✳ ❚❤❡ s②st❡♠ ✭✺✳✶✹✮ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ p > 0 ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ρ(Γ V ) < 1✳ ❚❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ ❛ ♣♦ss✐❜❧❡ s✉♠✲♣♦✇❡r ❧✐♠✐t Pmax ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✳ ▲❡♠♠❛ ✺✳✷✳

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✺✳✶✹✮ ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥

p > 0 ✇✐t❤ kpk1 = Pmax ✱ t❤❡♥ ρ(Γ V ) < 1 −

1 · min nk . Pmax 1≤k≤Ku

✭✺✳✶✺✮

✺✳✶ ▼❛tr✐①✲❇❛s❡❞ ■t❡r❛t✐♦♥

✶✺✾

Pr♦♦❢✳ ▲❡t q > 0 ❜❡ ❛r❜✐tr❛r②✳ ❯s✐♥❣ ✭✺✳✶✹✮ ❛♥❞ qT n/q T p ≥ mink nk /pk ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✷ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✼✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ 1=

qT Γ V p nk qT Γ V p qT n + T ≥ + min T 1≤k≤Ku pk q p q p qT p qT Γ V p 1 > + min nk . qT p Pmax 1≤k≤Ku

❚❤✉s✱ 1 > sup q>0

≥ sup

 qT Γ V p qT p



inf

+

1 Pmax

q>0 p>0:kpk1 =Pmax

min nk

1≤k≤Ku

T



q Γ V p 1 + qT p Pmax

min nk

1≤k≤Ku

 qT Γ V p  1 ≥ sup inf + min nk Tp p>0 q P q>0 max 1≤k≤Ku 1 = ρ(Γ V ) + min nk , Pmax 1≤k≤Ku

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st st❡♣ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❈♦❧❧❛t③✲❲✐❡❧❛♥❞t t②♣❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✹✮ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s✳ ⊔ ⊓

❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ✭✺✳✶✺✮ ❤♦❧❞s ❛s ✇❡❧❧ ✐❢ ✭✺✳✶✹✮ ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② p ≥ Γ V p + n✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ ✉s❡ ▲❡♠♠❛ ✺✳✷ t♦ ❛♥❛❧②③❡ st❡♣ ✭✺✳✾✮✳ ▲❡♠♠❛ ✺✳✸✳

M(p)✳

▲❡t p ∈ P(γ) ❜❡ ❛r❜✐tr❛r②✱ t❤❡♥ ρ(Γ V ) < 1 ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ V ∈

Pr♦♦❢✳ ❙✐♥❝❡ p ∈ P(γ)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ kpk1 < +∞ ❛♥❞ pk ≥ γk Jk (p) = γk [V (z ∗ )p]k + γk nk (z ∗ ),

1 ≤ k ≤ Ku ,

✇❤❡r❡ V (z ∗ ) ∈ M(p) ✐s ❛r❜✐tr❛r②✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✺✳✷ ❛♥❞ n(z ∗ ) > 0 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ r❡s✉❧t✳ ⊔ ⊓ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✺✳✸ t❤❛t t❤❡ ✜rst st❡♣ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝❛♥ ❜❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ❢♦r ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ✳

▲❡♠♠❛ ✺✳✹✳

▲❡t p(0) ∈ P(γ) ❛♥❞ V (z (0) ) ∈ M(p(0) )✱ t❤❡♥ p(1) = I − Γ V (z (0) )

❛❧✇❛②s ❢✉❧✜❧❧s p(1) ∈ P(γ)✳ Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❤❛✈❡


−1

Γ n(z (0) )

✶✻✵

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

(1)

pk = [Γ V (z (0) )p(1) ]k + γk nk (z (0) )   ≥ min [Γ V (z)p(1) ]k + γk nk (z) zk ∈Zk

= γk Jk (p(1) ),

✭✺✳✶✻✮

∀k

t❤✉s p(1) ∈ P(γ)✳

⊔ ⊓

■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r ❡✈❡r② st❡♣ ♦❢ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮✳ ■❢ p(0) ∈ P(γ)✱ t❤❡♥ ❡✈❡r② p(n) ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ s❡t P(γ)✳ ◆♦t✐❝❡ t❤❛t t❤❡ ❛❝t✉❛❧ s❡q✉❡♥❝❡ ❝❛♥ st✐❧❧ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ p(0) ✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s ♦✉t ♦❢ t❤❡ s❡t M(p(n) ) ✐♥ ❡✈❡r② st❡♣✳ ❋✉rt❤❡r ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳ ✺✳✶✳✸ ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t②

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② st❡♣ ✭✺✳✾✮ ✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠❛❧✳ ▲❡♠♠❛ ✺✳✺✳




❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ z ′ s✉❝❤ t❤❛t ρ Γ V (z ′ ) < 1✱ t❤❡♥ p′ = I − Γ V (z ′ )


−1

Γ n(z ′ ) ≤ p

✭✺✳✶✼✮

❢♦r ❛❧❧ p > 0 ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧ p ≥ Γ V (z ′ )p + Γ n(z ′ )✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ✈❡❝t♦r p′ ✐s t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧s p′ = Γ V (z ′ )p′ + Γ n(z ′ )✳ ❚❤✉s ✐t ❤❛s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦✇❡rs ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s ❬✶❪✳ ⊔ ⊓ ▲❡♠♠❛ ✺✳✺ ✐s ♥♦✇ ✉s❡❞ t♦ s❤♦✇ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✳ ❚❤✐s ❜❡✲ ❤❛✈✐♦r ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♠❛tr✐① ✐♥ ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣✳

▲❡t p(0) ∈ P(γ) ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✺✳✾✮✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ n ✇❡ ❤❛✈❡ p(n+1) ≤ p(n) ✳

▲❡♠♠❛ ✺✳✻✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0)
✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ s♦♠❡ ♠❛tr✐① V (z (0) ) ∈ M(p(0) )✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ρ Γ V (z (0) ) < 1✱ t❤✉s ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣ ✭✺✳✾✮ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(1) > 0✱ ✇✐t❤ p(1) = Γ V (z (0) )p(1) + Γ n(z (0) ) .

✭✺✳✶✽✮

❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✺✳✺ t❤❛t p(1) ✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ ✈❡❝t♦rs p > 0 ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧ p ≥ Γ V (z (0) )p + Γ n(z (0) )✳ ❙✐♥❝❡ p(0) ∈ P(γ)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ p(0) ≥ Γ J (p(0) ) = Γ V (z (0) )p(0) + Γ n(z (0) ) . ✭✺✳✶✾✮ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t p(1) ≤ p(0) ✳ ❋r♦♠ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✶✳✷ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t p(1) ∈ P(γ)✳ ■♥ ❛♥❛❧♦❣②✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t p(n) ∈ P(γ) ✐♠♣❧✐❡s p(n+1) ≤ p(n) ❛♥❞ p(n+1) ∈ P(γ)✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ❡♥t✐r❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✐s ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣✳ ⊔ ⊓

✺✳✶ ▼❛tr✐①✲❇❛s❡❞ ■t❡r❛t✐♦♥

✶✻✶

✺✳✶✳✹ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❈♦♥t✐♥✉✐t②

❊✈❡r② ❝♦♥❝❛✈❡ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s ❛ ❢♦r♠ ✭✺✳✹✮✳ ❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t t❤✐s str✉❝t✉r❡ ✐♠♣❧✐❡s ❧♦❝❛❧ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉✐t②✳

Jk (p) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r p > 0 t❤❡r❡ ❡①✐st C > 0 ❛♥❞ δ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ pˆ > 0 ❛♥❞ kp− pk ˆ 1 < δ✱

▲❡♠♠❛ ✺✳✼✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛❧❧

✇❡ ❛❧✇❛②s ❤❛✈❡

|Jk (p) − Jk (p)| ˆ ≤ Ckp − pk ˆ 1. Pr♦♦❢✳

(2)

Z(p

▲❡t

)✳

p(1) ✱ p(2) ✱

❜❡ ❛r❜✐tr❛r②✱ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❲❡ ❤❛✈❡

Jk (p(2) ) − Jk (p(1) ) =

Ku X

≤

(2)

(1)

pl Vkl (z (1) ) − nk (z (1) )

l=1

Ku X

(2)

− pl ) · Vkl (z (1) )

(2)

− pl | · Vkl (z (1) )

(pl

l=1

Ku X l=1

|pl

(2)

❣✐✈❡♥

p

✳ ■❢ ✇❡ r❡♣❧❛❝❡

z

❜②

z

(2)

Jk (p(2) ) − Jk (p(1) ) ≥

(1)

✭✺✳✷✵✮

(1)

−p

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✺✳✷✵✮ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t (1)

z (2) ∈

pl Vkl (z (2) ) + nk (z (2) )

Ku X

≤ kp (2)

❛♥❞

l=1

− ≤

z (1) ∈ Z(p(1) )

(1)

k∞ ·

z (2)

Ku X

Vkl (z (1) ) .

✭✺✳✷✶✮

l=1

♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢♦r

✐♥st❡❛❞✱ t❤❡♥ ✇❡ ♦❜t❛✐♥

Ku X

(2)

(pl

l=1

≥ −kp

(2)

(1)

− pl ) · Vkl (z (2) )

−p

(1)

k∞

Ku X

Vkl (z (2) ) .

✭✺✳✷✷✮

l=1

❲✐t❤ ✭✺✳✷✶✮ ❛♥❞ ✭✺✳✷✷✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

C1 = max

r=1,2

s✉❝❤ t❤❛t

Ku X l=1

|Jk (p(2) ) − Jk (p(1) )| ≤ C1 · kp(2) − p(1) k∞ .

❚❤❡ s❛♠❡ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❛♥❞

Vkl (z)

Vkl (z (r) )

p✳

❇❡❝❛✉s❡

Z

✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✱

✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣②

z

❢♦r ❡✈❡r②

p✱

s♦ ❛

✶✻✷

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

❝♦♥st❛♥t C1 > 0 ❡①✐sts✳ ❚❤❡ ❝♦♥st❛♥t C1 > 0 ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ δ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞❡① k ✱ ❜✉t Ku ✐s ✜♥✐t❡ s♦ ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡ ❢♦✉♥❞✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❛❧❧ ♥♦r♠s ♦♥ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s t❤❡ r❡s✉❧t✳ ⊔ ⊓ ✺✳✶✳✺ ●❧♦❜❛❧ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❞ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

❚❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ✇❛s ✜rst s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✷✻❪✳ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ❛♥❞ ♠❛②❜❡ ♠♦r❡ ✐♥t✉✐t✐✈❡ ♣r♦♦❢ ❛♣♣❡❛r❡❞ ✐♥ ❬✼❪✳ ■t ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✮✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ✈❡❝t♦r ♥♦t❛t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ p¯(n+1) = Γ J (p¯(n) ),

✭✺✳✷✸✮

p¯(0) ∈ P(γ) .

◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ ❤♦✇ t❤✐s ✐t❡r❛t✐♦♥ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮✳ ■❢ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ Jk (p) ❛s t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♠❛tr✐①✲❜❛s❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✹✮✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✸✮ ❜❡❝♦♠❡s ✭✺✳✷✹✮

p¯(n+1) = Γ [V (z (n) )p¯(n) + n(z (n) )]

✇✐t❤

(n) zk

= arg min[V (z)p¯(n) + n(z)]k zk ∈Zk

∀k .

❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s J ❛r❡ st❛♥❞❛r❞✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡② ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡✱ s❝❛❧❛❜❧❡✱ ❛♥❞ ♠♦♥♦t♦♥❡✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳✶✳ ❚❤✉s✱ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✹✮ ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❬✶❪ • ■❢ p¯(0) ∈ P(γ) t❤❡♥ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱

✐✳❡✱

p¯(n+1) ≤ p¯(n) ,

❢♦r ❛❧❧ n✳

✭✺✳✷✺✮

• ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p¯(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐✲

♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✼✮✳

❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s ❛ st❡♣✲✇✐s❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮✳ ❚❤✐s ♣r♦✈❡s ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✽✳ ❙t❛rt✐♥❣ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥s ✭✺✳✾✮ ❛♥❞ ✭✺✳✷✸✮ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ∈ P(γ)✱ ✇❡ ❤❛✈❡

p(n) ≤ p¯(n) ,

❢♦r ❛❧❧ n✳

✭✺✳✷✻✮

❚❤✉s✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✺✳✾✮✱ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✼✮✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t p(0) = p¯(0) ∈ P(γ) ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ❋❡❛s✐❜✐❧✲ ✐t② ✐♠♣❧✐❡s p¯(0) ≥ Γ J (p(0) ) = p¯(1) .

✺✳✶ ▼❛tr✐①✲❇❛s❡❞ ■t❡r❛t✐♦♥

✶✻✸

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✺✳✷✺✮ ✇❡ ❤❛✈❡ p¯(n+1) = Γ J (p¯(n) ) ≤ p¯(n) .

❆❧❧ p¯(n) ❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❛♥❞ ❜❡❧♦♥❣ t♦ P(γ)✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r② ♠❛tr✐① V (z (0) ) ∈ M(p(0) )✳ ❲❡ ❤❛✈❡ p¯(1) = Γ J (p(0) ) = Γ V (z (0) )p(0) + Γ n(z (0) ) ≥ Γ V (z (0) )p¯(1) + Γ n(z (0) ) ,

✭✺✳✷✼✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✺✳✷✺✮✳ ❙✐♥❝❡ p(1) s♦❧✈❡s ✭✺✳✶✽✮✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✺✳✺✱ ✇❡ ❤❛✈❡ p(1) ≤ Γ V (z (0) )p¯(1) + Γ n(z (0) ) ≤ p¯(1) .

✭✺✳✷✽✮

◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ V (z (0) ) ∈ M(p(0) )✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② st❡♣ n✱ ❛♥❞ p(n−1) ≤ p¯(n−1) ✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ♠♦♥♦✲ t♦♥✐❝✐t② t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s Γ J (p(n−1) ) ≤ Γ J (p¯(n−1) ) = p¯(n) .

✭✺✳✷✾✮

❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✈❡❝t♦r p(n−1) ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ q (n) = Γ J (p(n−1) )✳ ❲✐t❤ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✺✳✷✺✮ ✇❡ ❤❛✈❡ q (n) ≤ p(n−1) ✳ ❚❤✐s ✐♠✲ ♣❧✐❡s t❤❛t ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② V (z (n−1) ) ∈ M(p(n−1) )✱ ✇❡ ❤❛✈❡ q (n) = Γ V (z (n−1) )p(n−1) + Γ n(z (n−1) ) ≥ Γ V (z (n−1) )q (n) + Γ n(z (n−1) ) .

✭✺✳✸✵✮

❚❤❡ ✈❡❝t♦r p(n) s❛t✐s✜❡s p(n) = Γ V (z (n−1) )p(n) + Γ n(z (n−1) ) .

❚❤✉s✱ ✇✐t❤ ▲❡♠♠❛ ✺✳✺ ❛♥❞ ✭✺✳✸✵✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t p(n) ≤ q (n) ✳ ❋r♦♠ ✭✺✳✷✾✮ ✇❡ ❤❛✈❡ q (n) ≤ p¯(n) ✱ t❤✉s p(n) ≤ q (n) ≤ p¯(n) .

❙t❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ ✭✺✳✷✽✮✱ t❤❡ r❡s✉❧t ✭✺✳✷✻✮ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r ❛❧❧ n ❜② ❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥❞✉❝t✐♦♥✳ ❙✐♥❝❡ p¯(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✱ ❛♥❞ p∗ ≤ p(n) ≤ p¯(n) ,

✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ❛❧s♦ p(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ p∗ ✳

⊔ ⊓

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ s❤♦✇♥ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✽ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ♠❛tr✐① ❢r♦♠ M(p(n) ) ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♠✐❣❤t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤✐s ❝❤♦✐❝❡✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳

✶✻✹

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✺✳✷ ❙✉♣❡r✲▲✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ (n+1) ❖♥❡ ❞✐✣❝✉❧t② ✐♥ st✉❞②✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✐t❡r❛t✐♦♥s ✐s t❤❛t p ✐s ♥♦t ❞✐r❡❝t❧② (n) (n) ❧✐♥❦❡❞ t♦ p ✱ ❜✉t ✐♥❞✐r❡❝t❧② ✈✐❛ z ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ st✉❞② t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱ ✇❡ (n+1) (n) ✇✐s❤ t♦ ❡①♣r❡ss p ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ p ✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥

d(p) = [d1 (p), . . . , dKu (p)]T = p − Γ J (p) . ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

d(p)

✭✺✳✸✶✮

✐s ❥♦✐♥t❧② ❝♦♥✈❡① ❛s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡

❤❛✈❡ d(p) ≥ 0 ❢♦r ❛❧❧ p ∈ P(γ)✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✺✳✶ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② d(p∗ ) =

0✳

■♥ t❤✐s s❡♥s❡✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

d(p) ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ p ∈ P(γ) ❛♥❞ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✳

✏❞✐st❛♥❝❡✑

❜❡t✇❡❡♥ s♦♠❡ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥

✺✳✷✳✶ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s J (p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ p > 0✳ ❚❤✉s✱ d(p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧✳ ❚❤✐s s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥

❖♥❧② ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r

❤❡❧♣s t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❝♦♥❝❡♣t✳ ▲❛t❡r✱ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤

p

t❤❡r❡ ❡①✐sts ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ♦♣t✐♠✐③❡r

z(p)✱

t❤✉s

J (p) = V (z(p)) · p + n(z(p)) . ❚❤❡♥✱

J

✭✺✳✸✷✮

✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ s❡t

❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ❡❧❡♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❏❛❝♦❜✐ ♠❛tr✐① ♦❢

J (p)✱

M(p)

❛❧✇❛②s

✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡

♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✹✮✳


∇J (p) = V z(p) .

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱

❚❤❡

k t❤

✭✺✳✸✸✮


∇d(p) = I − Γ V z(p) .

✭✺✳✸✹✮

❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞

g (n) (p) = ∇d(p)|p=p(n) · (p − p(n) ) + d(p(n) )

= p − Γ V z(p(n) ) p − Γ n z(p(n) )

✐s ❛ t❛♥❣❡♥t✐❛❧ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ t♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥

dk (p)

✭✺✳✸✺✮

❛t t❤❡ ♣♦✐♥t

dk (p(n) )✱

❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✶✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥

p(n) ∈ P(γ)✱

s✉❝❤ t❤❛t

d(p(n) ) ≥ 0✳

❚❤❡♥✱ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ ❛ ♥❡✇ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(n+1) ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧♦s❡r t♦ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✳ ❚❤✐s ♥❡✇ ♣♦✐♥t ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✲ (n) ✐③❡❞ ❜② g (p) = 0✳ ❚❤❡ ✉♣❞❛t❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s

p(n+1) = p(n) − ∇d(p(n) )


−1

d(p(n) ) .

✭✺✳✸✻✮

✺✳✷ ❙✉♣❡r✲▲✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✻✺

dk (p) tangential hyperplane (n)

gk (p) global optimum

p∗

p(n+1)

p(n)

p

❙❝❤❡♠❛t✐❝ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s dk (p)✳ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❛ ◆❡✇t♦♥ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❋✐❣✳ ✺✳✶✳

❲✐t❤ ✭✺✳✸✷✮ ❛♥❞ ✭✺✳✸✹✮ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t t❤❡ ◆❡✇t♦♥ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✸✻✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s ❡①❛❝t❧② t♦ ♦✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭✺✳✾✮✱ ✇❤♦s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇❡r❡ ❛♥❛❧②③❡❞
−1 ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s✳ ❖♥❡ r❡s✉❧t ✇❛s t❤❛t t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ∇d(p(n) ) ✐s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❡①✐st✳ ■t ❝❛♥ t❤❡r❡❢♦r❡ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t ✐❢ J (p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ❝❧❛ss✐❝ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞✳ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✜♥❞s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r♦♦t ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ d(p) = 0 ✇✐t❤ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ s♣❡❡❞✳ ✺✳✷✳✷ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ ◆♦♥✲❙♠♦♦t❤ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Jk (p) ❛r❡ ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦❞❡❧ ✭✺✳✹✮✱ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇s ❛♠❜✐❣✉✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝ ◆❡✇t♦♥ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❲❡ ♥❡❡❞ s♦♠❡ ❝♦♥❝❡♣ts ❢r♦♠ ♥♦♥✲s♠♦♦t❤ ❛♥❛❧②s✐s t❤❛t ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✺✳ ◆♦♥✲s♠♦♦t❤ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ ❡①✐st✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✷✼❪ t❤❛t ❛ ✈❡rs✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❈❧❛r❦❡✬s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❬✶✷✽❪ ❞♦❡s ❝♦♥✈❡r❣❡ ✉♥❞❡r ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ ✉s❡ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ❛❧✇❛②s ❤❛s s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✲ ✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✿ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p) ✐s ❝♦♥✈❡①✱ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ❛♥❞ ❤❛s ❝❡rt❛✐♥ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❆❧s♦✱ ✐t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ t❤❛t t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣s ✭✺✳✾✮ ❛♥❞ ✭✺✳✶✵✮ ❤❛✈❡ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❙t❡♣ ✭✺✳✾✮ ❝♦r✲ r❡s♣♦♥❞s t♦ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✱ ❛♥❞ ✭✺✳✶✵✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②✳ ■t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❜❛s❡ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦♥❧② ♦♥ ♠❛tr✐✲ ❝❡s ❢r♦♠ t❤❡ s❡t M(p)✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ p✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s p(n+1) = p(n) − (I − Γ Vn )−1 d(p(n) ),

Vn ∈ M(p(n) ) .

✭✺✳✸✼✮

✶✻✻

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

❙✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤✐s ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦✐♥ts s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❡♠♣❤❛s✐③❡❞✿ • ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❤♦❧❞ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥s Jk (p)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✺✳✹✮✳ ◆♦

❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ s♠♦♦t❤♥❡ss ❛r❡ ♠❛❞❡✳

• ❚❤❡ ♠❛tr✐❝❡s (I − Γ Vn ) ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ ❛ r❡❧❛t✐✈❡❧② s♠❛❧❧ s✉❜s❡t✱ ❛s

❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❈❧❛r❦❡✬s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r✳

• ❚❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭✺✳✸✼✮ st✐❧❧ ❛❧❧♦✇s ❢♦r ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢

tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣♦✇❡rs ❛♥❞ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✳

❇❡❢♦r❡ st❛t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠✱ ❛ ❢❡✇ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞✳ ✺✳✷✳✸ ■♥✈❡rt✐❜✐❧✐t②

❋♦r t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s (I − Γ Vn )−1 ❢♦r Vn ∈ M(p(n) )✳ ■t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✸✼✮ r❡q✉✐r❡s t❤❛t I − Γ Vn ✐s ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✿

▲❡t p(0) ∈ P(γ) ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C1 = C1 (p(0) )✱ ✇✐t❤ 0 < C1 < 1✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ Vn ∈ M(p(n) ) ✇❡ ❤❛✈❡ ▲❡♠♠❛ ✺✳✾✳

ρ(Γ Vn ) ≤ 1 − C1 ,

✭✺✳✸✽✮

❛♥❞ t❤❡ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐① (I − Γ Vn )−1 ❛❧✇❛②s ❢✉❧✜❧❧s
1 . ρ (I − Γ Vn )−1 ≤ C1

✭✺✳✸✾✮

Pr♦♦❢✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✶✳✷ t❤❛t ρ(Γ Vn ) < 1 ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② Vn ∈ M(p(n) )✳ ❚❤✉s✱ I − Γ Vn ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ p(n+1) = (I − Γ Vn )−1 Γ n(ˆ z) ,

✇❤❡r❡ zˆ ✐s t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ Vn ✱ ✐✳❡✳✱ V (ˆ z ) = Vn ✱ ❛♥❞ 0 < p(n+1) ≤ p(n) ✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥

❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❛❧❧ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❡♣s ❛r❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧ ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛s ✺✳✸ ❛♥❞ ✺✳✹✮✳ (n) ❉❡✜♥✐♥❣ Pmax = kp(n) k1 ✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✺✳✷✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ρ(Γ Vn ) ≤ 1 −

1

min γk nk (ˆ z) .

(n+1) Pmax 1≤k≤K

(n+1) (0) ❯s✐♥❣ n′k := minzk ∈Zk nk (zk ) ≤ nk (ˆ z ) ❛♥❞ Pmax ≤ Pmax ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♣♦s✐✲ t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t

C1 (p(0) ) =

s✉❝❤ t❤❛t

1

(0) Pmax

min γk n′k > 0 k

✺✳✷ ❙✉♣❡r✲▲✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✻✼

ρ(Γ Vn ) ≤ 1 − C1 (p(0) ) .

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ρ(Γ Vn ) < 1 ❢♦r ❛❧❧ n✱ s♦ I − Γ Vn ✐s ❛❧✇❛②s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ◆❡✉♠❛♥♥ s❡r✐❡s (I − Γ Vn )−1 =

∞ X (Γ Vn )l .

✭✺✳✹✵✮

l=0

❙✐♥❝❡ ❡❛❝❤ s✉♠♠❛♥❞ ✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✱ ❛❧s♦ (I − Γ Vn )−1 ✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❆♣✲ ♣❧②✐♥❣ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡r✐❡s ❢♦r♠✉❧❛ ✇❡ ❣❡t
ρ (I − Γ Vn )−1 =

✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ✭✺✳✸✾✮✳

1 1 ≤ , 1 − ρ(Γ Vn ) C1 (p(0) ) ⊔ ⊓

✺✳✷✳✹ ◆♦♥✲❙♠♦♦t❤ ❱❡rs✐♦♥s ♦❢ ◆❡✇t♦♥✬s ▼❡t❤♦❞

▲❡♠♠❛ ✺✳✼ s❤♦✇s t❤❛t d(p) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t d ✐s ❛❧♠♦st ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ d ✐s ♥♦t ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✱ ❤❛s ♠❡❛s✉r❡ ③❡r♦✳ ▲❡t DF ❜❡ t❤❡ s❡t ♦♥ ✇❤✐❝❤ d ✐s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✱ ❛♥❞ ∇d(p) ✐s t❤❡ ❏❛❝♦❜✐ ♠❛tr✐① ❢♦r p ∈ DF ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✺✳✸✹✮✳ ❙✐♥❝❡ d(p) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐t ✐s ❛❧s♦ ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ❚❤❡ ❇✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ∂B d(p) ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t p ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ∂B d(p) = {A ∈ RK×K : t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡q✉❡♥❝❡ {pn }k∈N , ✇✐t❤ pn ∈ DF , pn → p ❛♥❞ A = lim ∇d(pn ) } . k→∞

◆♦t✐❝❡✱ t❤❛t t❤❡ s❡t ∂B d(p) ❝❛♥ ❝♦♥t❛✐♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠✲ ♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ F (x) = |x|✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ∂B F (x)|x=0 = {−1, 1}✳ ❈❧❛r❦❡✬s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ∂d(p) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❬✶✷✽❪
∂d(p) = conv ∂B d(p)

✭✺✳✹✶✮

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ s❡t ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❇✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❋♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ F (x) = |x|✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ∂F (x)|x=0 = [−1, 1]✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❈❧❛r❦❡✬s ❏❛❝♦❜✐❛♥ ✇❛s ❛♥❛❧②③❡❞ ✐♥ ❬✶✷✼❪✳ p(n+1) = p(n) − Vn−1 d(p(n) ) , Vn ∈ ∂d(p(n) ) . ✭✺✳✹✷✮ (n+1) ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t Vn ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ✐♥ ♦r❞❡r ❢♦r p t♦ ❡①✐st✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❛❧❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ∂d(p(n) ) ♠✉st ❜❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ✐s q✉✐t❡ str♦♥❣ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✈❡r✐❢②✳ ❆♥♦t❤❡r ♥♦♥✲s♠♦♦t❤ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞ ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮

✶✻✽

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

p(n+1) = p(n) − Vn−1 d(p(n) ) ,

Vn ∈ ∂B d(p(n) ) .

✭✺✳✹✸✮

❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ t♦ ✭✺✳✹✷✮ ✐s t❤❛t ♦♥❧② ♠❛tr✐❝❡s Vn ❢r♦♠ t❤❡ ❇✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ∂B d(p(n) ) ❛r❡ ✉s❡❞✳ ❙♦ ♦♥❧② ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤✐s s❡t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ ❚❤❡

❧♦❝❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✹✸✮ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✶✷✼✱✶✷✾❪✳ ❋♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ✐t ✐s r❡q✉✐r❡❞ t❤❛t d ❛t ❛ ❝❡rt❛✐♥ ♣♦✐♥t pˆ ✐s str♦♥❣❧② ❇❉✲r❡❣✉❧❛r ✭❇✲ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✮✳ ❚❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✐❢ ❛❧❧ V ∈ ∂B d(p) ˆ ❛r❡ ♥♦♥s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ t❤✉s ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✹✸✮ ❤❛s s✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪✳ ❇✉t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ r❡♠❛✐♥s t❤❛t ∂B d(p) ˆ ❝❛♥ r❛r❡❧② ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧②✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣r❛❝t✐❝❛❧ t❡st ❢♦r ❇❉✲r❡❣✉❧❛r✐t②✳ ❋♦rt✉♥❛t❡❧②✱ ♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p) ✐s ❛❧✇❛②s str♦♥❣❧② ❇❉✲r❡❣✉❧❛r ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ✺✳✷✳✺ ❙✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

❯♥❞❡r t❤❡ ❣✐✈❡♥ ♠♦❞❡❧ ✭✺✳✹✮✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞✿ • t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ✐s ❣❧♦❜❛❧❧② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ∈ P(γ)✳ • t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s st❡♣✲✇✐s❡ ❜❡tt❡r t❤❛♥ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❚❤❡♦✲

r❡♠ ✺✳✽✮✳

• ♠♦♥♦t♦♥② ✐♠♣❧✐❡s ❞✐r❡❝t✐♦♥s (n)

h1

(n)

h2

= p(n) − p(n+1) ≥ 0

= p(n+1) − p(n) ≤ 0 .

❚❤✉s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ❝❛♥ ❜❡ r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡s❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✳ ❋♦r p ∈ P(γ)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ M(p) ⊂ ∂J (p)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ J (p) ❛t p✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♦❢ d(p) ❛t p✱ ❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ✭✺✳✹✶✮✱ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ∂d(p) = I − Γ ∂J (p)

= {V ∈ RK×K : V = I − Γ A ✇✐t❤ A ∈ ∂J (p)}

✭✺✳✹✹✮

❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❡ ✐♥✈❡rt✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s V = I − Γ A✱ ✇✐t❤ A ∈ M(p)✳ ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣❧② ▲❡♠♠❛ ✺✳✾✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ V ✐s ❛❧✇❛②s ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❚❤✉s✱ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❣✐✈❡♥ ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❡ ♥❡❡❞ ♥♦ ❢✉rt❤❡r r❡str✐❝t✐♦♥s ♦♥ J (p) ❛♥❞ d(p)✳ ❚♦ ❝♦♥❝❧✉❞❡✿ • ▲❡♠♠❛ ✺✳✾ ❛❧✇❛②s ❡♥s✉r❡s ✐♥✈❡rt✐❜✐❧✐t②✳ • ❚❤❡ s❡t M(p) ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡s (I−Γ A)−1 ✱ ✇✐t❤ A ∈ M(p)✱

❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧②✳ ❚❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♠❜✐❣✉✐t② ♦❢ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② ❞♦❡s ♥♦t ♠❛tt❡r s✐♥❝❡ t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ✐s ❛❧✇❛②s ❜♦✉♥❞❡❞✳

✺✳✷ ❙✉♣❡r✲▲✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✻✾

❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ s❤♦✇ t❤❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❆ss✉♠❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ∈ P(γ)✱ t❤❡♥ t❤❡ ♠❛✲ tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ❢✉❧✜❧❧s ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✵✳

kp(n+1) − p∗ k =0 n→∞ kp(n) − p∗ k

✭✺✳✹✺✮

lim

kd(p(n+1) )k =0. n→∞ kd(p(n) )k

✭✺✳✹✻✮

lim

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡s p(n) ❛♥❞ d(p(n) ) ❤❛✈❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢✱ ✇❤✐❝❤ ✐s s❤♦✇♥ ❤❡r❡ ❢♦r ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ✉s❡s t❤❡ s❛♠❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❛s ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ M n = I − Γ V (z (n) ) ❛♥❞ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ hn = p(n) − p∗ ✳ ❯s✐♥❣ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✺ ❢r♦♠ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✱ ❛♥❞ ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ d(p∗ ) = 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡

(n+1)

p − p∗ k

(n) = kp(n) − p∗ − M −1 )k n d(p


(n) ) − d(p∗ ) − d′ (p∗ , hn ) + = kM −1 n d(p   ′ ∗

+ M −1 n −M n hn + d (p , hn )

(n) ≤ kM −1 ) − d(p∗ ) − d′ (p∗ , hn )k+ n k · kd(p ′ ∗ + kM −1 n k · kM n hn − d (p , hn )k .

✭✺✳✹✼✮

❚❤❡ ♥♦r♠ ✐s ♥♦t s♣❡❝✐✜❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦r♠s ♦♥ ✜♥✐t❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ✭✺✳✹✼✮ t❡♥❞s t♦ ③❡r♦ ❛s hn → 0✳ ❲❡ ✉s❡ s♦♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✳ ❙✐♥❝❡ d ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ✐t ✐s ❛❧s♦ ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✳ ❆t t❤❡ ♣♦✐♥t p∗ ✇❡ ❤❛✈❡ kd(p(n) ) − d(p∗ ) − d′ (p∗ , hn )k = o(khn k)

❛s khn k → 0 .

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ d ✐s ❛❧s♦ s❡♠✐✲s♠♦♦t❤✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✵ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✱ ✇❡ ❤❛✈❡ kM n hn − d′ (p∗ , hn )k = o(khn k) .

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ǫ > 0✳ ❇❡❝❛✉s❡ d ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✭▲❡♠♠❛ ✺✳✼✮ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡①✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✵ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐① t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ δ1 = δ1 (ǫ, p∗ )✱ s✉❝❤ t❤❛t kd(p) − d′ (p∗ , p − p∗ )k ≤ ǫkp − p∗ k

❢♦r ❛❧❧ ♣♦✐♥ts kp − p∗ k < δ1 ✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ n0 = n0 (ǫ) s✉❝❤ t❤❛t kp(n+1) − p∗ k ≤ ǫkp(n) − p∗ k

✭✺✳✹✽✮

✶✼✵

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

❢♦r ❛❧❧ n ≥ n0 (ǫ)✳ ❚❤✉s✱ 0 ≤ lim sup n→∞

kp(n+1) − p∗ k ≤ǫ. kp(n) − p∗ k

❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s ✭✺✳✹✺✮✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ ✭✺✳✹✻✮✳ ▲❡t n1 ∈ N ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t kp(n) − p∗ k < δ1 ❢♦r ❛❧❧ n ≥ n1 ✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r n1 ❡①✐sts ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ p(n) → p∗ ✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ✭✺✳✹✽✮ t♦ s❤♦✇ kd(p(n+1) )k ≤ kd′ (p∗ , p(n+1) − p∗ )k + ǫkp(n+1) − p∗ k
≤ L(p∗ ) + ǫ kp(n+1) − p∗ k
≤ L(p∗ ) + ǫ · ǫ · kp(n) − p∗ k

✭✺✳✹✾✮

✇❤❡r❡ L(p∗ ) ✐s t❤❡ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ d ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t p∗ ✳ ❚❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✺✳✹✽✮✳ ❙✐♥❝❡ kM −1 n k ≤ C2 < +∞✱ ✇❡ ❤❛✈❡ (n) kp(n+1) − p(n) k = kM −1 )k n · d(p

(n) ≤ kM −1 )k n k · kd(p

≤ C2 · kd(p(n) )k .

✭✺✳✺✵✮

❚❤✉s✱ ❢♦r ❛❧❧ n ≥ max(n0 , n1 )✱ ✇❡ ❤❛✈❡ kp(n) − p∗ k ≤ kp(n+1) − p(n) k + kp(n+1) − p∗ k ≤ C2 kd(p(n) )k + ǫkp(n) − p∗ k .

✭✺✳✺✶✮

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱

C2 · kd(p(n) )k . 1−ǫ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✺✳✹✾✮ ❛♥❞ ✭✺✳✺✷✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❢♦r ❛❧❧ n ≥ max(n0 , n1 )✱ kp(n) − p∗ k ≤

kd(p(n+1) )k ≤ C2

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ 0 ≤ lim sup n→∞

✭✺✳✺✷✮

L(p∗ ) + ǫ · ǫ · kd(p(n) )k . 1−ǫ

kd(p(n+1) )k L(p∗ ) + ǫ ≤ C2 ·ǫ. (n) 1−ǫ kd(p )k

✭✺✳✺✸✮

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✺✳✺✸✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ǫ > 0✳ ❋♦r ǫ → 0✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✭✺✳✹✻✮✳

⊔ ⊓

✺✳✷✳✻ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❢♦r ❉❡❣r❡❡✲✷ ❙❡♠✐✲❈♦♥t✐♥✉♦✉s ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

■♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ s✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❤❛s ❜❡❡♥ s❤♦✇♥ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✺✳✹✮✳ ❚❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❡✈❡♥ q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥✲ ✈❡r❣❡♥❝❡ ✐❢ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❬✶✷✾❪✳

✺✳✸ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✶✳ ▲❡t ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t

C1

J

❜❡ s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷ ❛t ♣♦✐♥t

p∗ ✱

✶✼✶

t❤❡♥ t❤❡r❡

s✉❝❤ t❤❛t

kp(n+1) − p∗ k ≤ C1 (kp(n) − p∗ k)2 ,

❢♦r ❛❧❧

n ∈ N✳

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♦♥❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✵✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ r❡s✉❧t ✐♥ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✵ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✳ ⊔ ⊓ Pr♦♦❢✳

◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛❝❝❡❧❡r❛t❡s ♥❡❛r t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t p(0) ∈ P(γ) ✐s ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♥✱ p(n) ✐s ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ p∗ ✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ m ∈ N s✉❝❤ t❤❛t ✭✺✳✺✹✮

C1 kp∗ − p(m) k < 1 .

❇❡②♦♥❞ t❤✐s ♣♦✐♥t✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ❝❛♥ ❜❡ ❢✉rt❤❡r s♣❡❝✐✜❡❞✳ ❋♦r ❛❧❧ l ≥ 1 ✇❡ ❤❛✈❡ kp∗ − p(m+l) k ≤ C1 (kp∗ − p(m+l−1) k)2

≤ C1 C12 (kp∗ − p(m+l−2) k)4

≤

l−1 Y

k=0

k

l

C12 · (kp∗ − p(m) k)2 .

✭✺✳✺✺✮

■❢ C1 ≤ 1✱ t❤❡♥ s✉♣❡r✲❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❝♦♠❡s ❡✈✐❞❡♥t ❢r♦♠ ✭✺✳✺✺✮✳ ■❢ C1 > 1✱ t❤❡♥ l−1 Y

k

Pl−1

C12 = C1

k=0

2k

k=0

❚❤✉s

l

l

= C12 −1 ≤ C12 . l

kp∗ − p(m+l) k ≤ (C1 kp∗ − p(m) k)2 .

✭✺✳✺✻✮

❆s s♦♦♥ ❛s t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❛❝❤✐❡✈❡s t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❤❡r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✺✳✺✹✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ✐t ❤❛s s✉♣❡r✲❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❚❤✐s ❡①♣❧❛✐♥s t❤❡ r❛♣✐❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❬✸✸❪✳ ❚②♣✐❝❛❧❧②✱ ♦♥❧② ❛ ❢❡✇ st❡♣s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞✳ ✺✳✸ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

❚❤❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✵✮ ❝❛♥ ❣❡♥✲ ❡r❛❧❧② ♥♦t ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❛s s❤♦✇♥ t♦ ❤❛✈❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❬✼✹❪✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❛❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ s✐♠♣❧❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Jk (p) = [V p + n]k ,

k = 1, 2, . . . , K ,

✭✺✳✺✼✮

✶✼✷

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✇✐t❤ ❛ ✜①❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① V ≥ 0✳ ❋♦r t❤✐s s♣❡❝✐❛❧ ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛✲ t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ❞♦❡s ❡✈❡♥ ❝♦♥✈❡r❣❡ ✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ st❡♣✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✐s s✐♠♣❧② ❢♦✉♥❞ ❜② s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✺✳✽✮✳ ❚❤✉s✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t❤❛t ❛❧s♦ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ♣❡r❢♦r♠s ✇❡❧❧ ❢♦r t❤✐s ♠♦❞❡❧✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛♥❛❧②s✐s s❤♦✇s t❤❛t ♦♥❧② ❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ✺✳✸✳✶ ▲✐♥❡❛r ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

❯s✐♥❣ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✺✳✺✼✮ ❛♥❞ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ✱ st❡♣ n + 1 ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✸✮ ②✐❡❧❞s p

(n+1)

= (Γ V )

n+1 (0)

p

+

n X

(Γ V )l Γ n

l=0

= (Γ V )n+1 p(0) + (I − Γ V )−1 Γ n − (Γ V )n+1 (I − Γ V )−1 Γ n .

✭✺✳✺✽✮

❙✐♥❝❡ p∗ = (I − Γ V )−1 Γ n✱ ✇❡ ❤❛✈❡


p(n+1) − p∗ = (Γ V )n+1 p(0) − p∗ .

✭✺✳✺✾✮

❲✐t❤ p(n+1) = Γ V p(n) + Γ n ❛♥❞ ✭✺✳✺✾✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥

p(n) − p∗ = (Γ V )−1 (p(n+1) − Γ V p∗ − Γ n) = (Γ V )−1 (p(n+1) − p∗ )
= (Γ V )n p(0) − p∗ .

✭✺✳✻✵✮

p(n+1) − p∗ = Γ V (p(n) − p∗ ) .

✭✺✳✻✶✮

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ✭✺✳✻✵✮ t❤❛t

❘❡❧❛t✐♦♥ ✭✺✳✻✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s✳ ❲❡ ❤❛✈❡ xT (p(n+1) − p∗ ) xT Γ V (p(n) − p∗ ) = sup T (n) − p∗ ) xT (p(n) − p∗ ) x>0 x>0,kxk1 =1 x (p sup

xT Γ V y = ρ(Γ V ) . xT y x>0 y>0

≥ sup inf

✭✺✳✻✷✮

❙✐♥❝❡ supx>0 xT a/xT b = maxk [a]k /[b]k ❢♦r a, b > 0 ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✷ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✼✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ (n+1)

pk − p∗k xT (p(n+1) − p∗ ) sup T (n) = max ≥ ρ(Γ V ) . (n) k − p∗ ) x>0 x (p p − p∗ k

❲❡ ❤❛✈❡ p∗ ≤ p(n+1) ≤ p(n) ✱ t❤✉s

k

✭✺✳✻✸✮

✺✳✸ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

✶✼✸

xT (p(n+1) − p∗ ) = kp(n+1) − p∗ kx ✐s ❛ ♥♦r♠✱ s♦

kp(n+1) − p∗ kx ≥ ρ(Γ V ) . (n) − p∗ k x>0 kp x sup

✭✺✳✻✹✮

❚❤✐s ✏✇♦rst ❝❛s❡✑ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ♠✐s♠❛t❝❤ ✐s ❛❧✇❛②s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s

ρ(Γ V )✳

❚❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ❝❛♥ ❜❡ ❢✉rt❤❡r s♣❡❝✐✜❡❞✳

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✭✺✳✺✼✮✳ ■❢ ❡❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ V ❝♦♥t❛✐♥s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr②✱ t❤❡♥ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥ ♦♥❧② ❤❛✈❡ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✷✳

Pr♦♦❢✳

❲✐t❤ ✭✺✳✻✶✮ ✇❡ ❤❛✈❡

kp(n+1) − p∗ k1 = =

Ku X

(n+1)

(pk

k=1 Ku X Ku X

l=1 k=1

=

Ku X

− p∗k )

 (n) γk Vkl (pl − p∗l )

(n)

cl (pl

l=1

− p∗l )

≥ (min cl ) · kp(n) − p∗ k1 ,

✭✺✳✻✺✮

l

✇❤❡r❡

cl =

P

Ku k=1

γk Vkl



✐s ❝♦♥st❛♥t✳ ❋r♦♠ ✭✺✳✻✺✮ ✇❡ ❤❛✈❡

kp(n+1) − p∗ k1 ≥ (min cl ) > 0 . l kp(n) − p∗ k1

✭✺✳✻✻✮

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s str✐❝t ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❝❛✉s❡s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦t❤❡r ✉s❡r✳ ❚❤✉s✱ ❡✈❡♥ ❢♦r

V ✱ ✐✳❡✳✱ ❡❛❝❤ ✉s❡r n → ∞✱ t❤❡ r❛t✐♦

✐♥ ✭✺✳✻✻✮ ✐s ❛❧✇❛②s ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s ❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❢♦r t❤❡

ℓ1

♥♦r♠✳ ❆❧❧ ♥♦r♠s ♦♥ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s

⊔ ⊓

❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✱ s♦ t❤❡ r❡s✉❧t ❡①t❡♥❞s t♦ ♦t❤❡r ♥♦r♠s ❛s ✇❡❧❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✷ s❤♦✇s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧

V p + n✱

t❤❛t t❤❡

✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ s❛♠❡ s✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛s ✐♥ ✭✺✳✹✺✮ ✭✇❡ ❡①❝❧✉❞❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡s✱ ❧✐❦❡

V = 0✮✳

❚❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✐s

♥♦t ❛ ✇♦rst✲❝❛s❡ s❝❡♥❛r✐♦✱ ❛♥❞ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ✐s t②♣✐❝❛❧ ❢♦r ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧s ❛s ✇❡❧❧✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛♥❛❧②③❡ ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳

✶✼✹

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✺✳✸✳✷ ●❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✷✲❯s❡r ❇❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❈❛s❡ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ s❝❡♥❛r✐♦ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✷✳ ❚❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✭♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✉s❡❢✉❧ ♣♦✇❡r✮ ♦❜s❡r✈❡❞ ❜② t❤❡

Jk (p) = min

uH k

kuk k=1

P

l6=k pl Rl + uH k Rk uk




σn2 I uk

k t❤

✉s❡r ✐s

.

✭✺✳✻✼✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✻✼✮ ✐s ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② ✐s t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✈❡❝t♦r

uk ✳

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✏r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②✑ ♠❡❛♥s

❛ ❝❤♦✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✜❧t❡r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢r♦♠ ❛ ❝♦♠♣❛❝t s❡t ✭s✐♥❝❡

kuk k = 1✮✳

❚❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ✭✺✳✻✼✮ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✷✻✱ ✸✸✱ ✻✹✱ ✽✸❪✱ ✇❤❡r❡ ✐t❡r✲ ❛t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✇❡r❡ ♣r♦♣♦s❡❞✳ ❚❤❡ str❛t❡❣✐❡s ❬✻✹✱ ✽✸❪ ❝❛♥ ❜❡ ✉♥❞❡rst♦♦❞ ❛s s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✹✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❣❛✐♥ ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ✭✺✳✷✸✮✳ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬✸✸❪ ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐①✲❜❛s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮✳ ❚❤❡ s✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ❡①♣❧❛✐♥s t❤❡ r❛♣✐❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❛t ✇❛s ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ ❬✸✸❪✳ ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡

K = 2✳

❚❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐❝❡s

Rk

❛r❡

❛ss✉♠❡❞ t♦ ❤❛✈❡ ❢✉❧❧ r❛♥❦✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ✉s❡rs ❛r❡ ♠✉t✉❛❧❧② ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

uH (p2 R2 + σn2 I)u uH R1 u kuk=1

J1 (p2 ) = min ❛♥❞

uH (p1 R1 + σn2 I)u , uH R2 u kuk=1

J2 (p1 ) = min

■t ✐s ❦♥♦✇♥ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✸✸❪ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮ t❤❛t ❙■◆❘ t❛r❣❡ts

γ2

❛r❡ ❥♦✐♥t❧② ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ ✐✛

ρ < 1✱

γ1

❛♥❞

✇❤❡r❡

γk Jk (p) = ρ = inf max p>0 k pk

r

γ1 γ2 ·

λmin . λmax

❍❡r❡✱ λmax ❛♥❞ λmin ❛r❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❛♥❞ ♠✐♥✐♠✉♠ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① R−1 1 R2 ✳ ❚❤✉s✱ ♠✉t✉❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡ t❛r❣❡ts γk ✱ ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ s♣r❡❛❞✱ ✇❤✐❝❤ ❜❡❝♦♠❡s ❧❛r❣❡r ✐❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧s R1 ❛♥❞ R2 ❜❡❝♦♠❡

R1 = R2 ✱ t❤❡♥ γ1 γ2 ✳ ■♥ t❤✐s ❡①tr❡♠❡ ❝❛s❡✱ t❤❡ t❛r❣❡ts ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ s✉♣♣♦rt❡❞ ✐❢ γ1 γ2 < 1✳

♠♦r❡ ✏❞✐st✐♥❝t✐✈❡✑✳ ■❢ ❜♦t❤ ✉s❡rs ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✐✳❡✳✱

ρ=

√

❖t❤❡r✇✐s❡✱ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❤❡❧♣s s❡♣❛r❛t✐♥❣ t❤❡ ✉s❡rs✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ ❡✛❡❝ts✱ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ r❛♥❞♦♠❧② ❝❤♦s❡♥ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐❝❡s

R1

❛♥❞

R2 ✳

❇② ✈❛r②✐♥❣ t❤❡ t❛r❣❡ts

γk ✱

✇❡ ❝❛♥ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ❤♦✇ ❝❧♦s❡

t❤❡ s❝❡♥❛r✐♦ ✐s t♦ ✐♥❢❡❛s✐❜✐❧✐t②✳ ❈❤♦♦s✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s

1✱

ρ

❜❡t✇❡❡♥

0

❛♥❞

✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦rs ❢♦r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ∗ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✺✳✶ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✭✺✳✼✮ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s

❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ t✇♦ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

✺✳✸ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

✶✼✺

✭✺✳✻✽✮ ✭✺✳✻✾✮

p∗1 = γ1 J1 (p∗2 ) p∗2 = γ2 J2 (p∗1 ) .

■♥ ❋✐❣✳ ✺✳✷ ❛♥❞ ✺✳✸✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ γ1 J1 (p2 ) ✐s ♣❧♦tt❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ②✲❛①✐s ❛♥❞ γ2 J2 (p1 ) ✐s ♣❧♦tt❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ①✲❛①✐s✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ p∗1 ❛♥❞ p∗2 ❛r❡ s✐♠✉❧✲ t❛♥❡♦✉s❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ✭✺✳✻✽✮ ❛♥❞ ✭✺✳✻✾✮✱ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ p∗ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❜♦t❤ ❝✉r✈❡s✳ (0) 5

p2

spectral radius=0.9

3

optimizer pˆ

power p2

4

2

γ2 I2 (p1 ) 1

γ1 I1 (p2 ) power p1

0 0

1

2

3

4

(2) 5 (1) p1

p1

(0)

p1

❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❢♦r t❤❡ ✜rst ✉s❡r✳ ❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ✐s 0.9✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s②st❡♠ ✐s ❝❧♦s❡ t♦ ✐♥❢❡❛s✐❜✐❧✐t②✳ ❋✐❣✳ ✺✳✷✳

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐t❡r❛t✐♦♥s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♦♣❡♥✲ ✐♥❣ ❛♥❣❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝✉r✈❡s γ1 J1 (p2 ) ❛♥❞ γ2 J2 (p1 )✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✳ ❋♦r p1 → ∞ ❛♥❞ p2 → ∞ ✇❡ ❤❛✈❡ γ1 J1 (p2 ) = γ1 λmin · p2 γ2 J2 (p1 ) = γ2 λmax · p1 .

❚❤❡ ❧✐♥❡s ✐♥t❡rs❡❝t ♦♥❧② ✐❢ γ1 γ2 λmin /λmax < 1✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ♥♦ s♦❧✉t✐♦♥ ❡①✐sts ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✳ ■❢ γ1 γ2 λmin /λmax / 1✱ t❤❡♥ t❤❡ ❧✐♥❡s ✐♥t❡rs❡❝t ✐♥ ❛♥ ❛❝✉t❡ ❛♥❣❧❡✳ ❲❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t ♠❛♥② ✐t❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✺✳✷✮✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐t❡r❛t✐♦♥s ✐s ♥♦t ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ ❝❛♥ t❡♥❞ t♦ ✐♥✜♥✐t②✳ ❚❤❡ ❛♥❣❧❡ ❜❡❝♦♠❡s ❧❛r❣❡ ✐❢ γ1 γ2 ≪ λmax /λmin ✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ♦♥❧② ❛ ❢❡✇ ✐t❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✺✳✸✮✳ ❚❤✐s ✐❧❧✉str❛t❡s ❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧

✶✼✻

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ (0)

0.18

p2

0.16

0.14

spectral radius=0.3

power P2

0.12

optimizer pˆ 0.1

0.08

γ2 I2 (p1 )

0.06

0.04

γ1 I1 (p2 )

0.02

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1 (2) p1

0.12

0.14 (1) p1

0.16

0.18 (0) p1

power P1

❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❢♦r t❤❡ ✜rst ✉s❡r✳ ❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ✐s 0.3✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s②st❡♠ ✐s st❛❜❧❡ ❛♥❞ ❢❛r ❢r♦♠ ✐♥❢❡❛s✐❜✐❧✐t②✳ ❋✐❣✳ ✺✳✸✳

r❛❞✐✉s✳ ❚❤✐s ❜❡❤❛✈✐♦r ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✷✻❪✮✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✸ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✺✳✺✼✮ t❤❛t t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ❛❝❤✐❡✈❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✷✲✉s❡r ❝❛s❡✱ ✇❡ ❛r❡ ♥♦✇ ❛❜❧❡ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ❜❡❤❛✈✐♦r ❛❧s♦ ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❛❞❛♣t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♥❡❛r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✹ ❢♦r K = 2✳ ❚❤❡ ❝✉r✈❡s J1 (p2 ) ❛♥❞ J2 (p1 ) ❝❛♥ ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❧✐♥❡s✳ ❚❤❡ ❛♥❣❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❧✐♥❡s ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ■❢ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ✉♣❞❛t❡ t❤❡ ♣♦✇❡rs ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡s❡ ❧✐♥❡s✱ t❤❡♥ ✇❡ ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r✲ ❣❡♥❝❡✳ ❙♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❧✐♥❡s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ❡✈❡♥ ❢♦r t❤✐s ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞✱ ✐t ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❚❤✉s✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r s❤♦✇♥ ❢♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✸ ✐s ❛❧s♦ t②♣✐❝❛❧ ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛♥ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②✳

✺✳✹ ❲♦rst✲❈❛s❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❘♦❜✉st ❉❡s✐❣♥s

✶✼✼

γ1 I1 (p2 )

upper bound

γ2 I2 (p1 )

fixed point

❚❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ♦♣❡♥✐♥❣ ❛♥❣❧❡ ✐❧❧✉str❛t❡s t❤❛t t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❞♦❡s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ❛❝❤✐❡✈❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❋✐❣✳ ✺✳✹✳

✺✳✹ ❲♦rst✲❈❛s❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❘♦❜✉st ❉❡s✐❣♥s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥✈❡① st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s J1 , . . . , JKu ✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❝❛s❡✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✇✐t❤ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✾❪✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✻✷ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐st ❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t ❞♦✇♥✇❛r❞✲ u +1 ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡ts V1 , . . . , VKu ⊂ RK s✉❝❤ t❤❛t + Jk (p) = max ′

v ∈Vk

X

l∈Ku

 ′ vl′ pl + vK . +1 u

✭✺✳✼✵✮

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ r❡❛s♦♥✐♥❣ ❛s ✐♥ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ ❈❤❛♣t❡r ✺✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ Jk (p) = max [V (z)p + n(z)]k , zk ∈Zk

k ∈ Ku .

✭✺✳✼✶✮

❍❡r❡✱ V (z) ✐s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ❛♥❞ n(z) ✐s t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♥♦✐s❡ ✈❡❝t♦r✳ ❇♦t❤ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r z ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✼✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s t❤❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ✉s❡r k✳ ✺✳✹✳✶ ▼❛tr✐① ■t❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❈♦♥✈❡① ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❚❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❝❛s❡ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ p(n+1) = I − Γ V (z (n) )

✇✐t❤

(n) zk


−1

= arg max[V (z)p(n) + n(z)]k zk ∈Zk

✭✺✳✼✷✮

Γ n(z (n) ) ∀k .

✭✺✳✼✸✮

❚❤✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❤❛s ❛ s✐♠✐❧❛r str✉❝t✉r❡ ❛s t❤❡ ✐t❡r❛t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣② ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✶✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧s♦ ♠❛❥♦r ❞✐✛❡r❡♥❝❡s✳ ❚❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✶✵✮ ❛✐♠s ❛t ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ r❡q✉✐r❡s ❛ ❢❡❛s✐❜❧❡

✶✼✽

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✼✷✮ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ p(0) = 0✳ ■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s ❙✉❜s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✼✷✮ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮ ❤❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✼✷✮✱ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ≤ p∗ ✱ ✐s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❛♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞ ❜② p∗ ✱ ✐✳❡✳✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✸✳

p(n) ≤ p(n+1) ≤ p∗ , Pr♦♦❢✳

∀n .

✭✺✳✼✹✮

❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② st❡♣ n✱ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r z (n) ✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ fn (p) = Γ V (z (n) )p + Γ n(z (n) ) .

❆♣♣❧②✐♥❣ fn r❡❝✉rs✐✈❡❧② m t✐♠❡s✱ ✇❡ ❤❛✈❡
fnm (p) = fn . . . fn ( p) . | {z } m t✐♠❡s

❙✐♥❝❡ Γ V (z (0) ) ≥ 0✱ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② p(0) ≤ p∗ ✐♠♣❧✐❡s f01 (p(0) ) = Γ V (z (0) )p(0) + Γ n(z (0) ) ≤ Γ V (z (0) )p∗ + Γ n(z (0) )

≤ Γ V (z ∗ )p∗ + Γ n(z ∗ ) = p∗ ,

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✺✳✼✸✮✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t f0m (p(0) ) ≤ p∗ ✐♠♣❧✐❡s f0m+1 (p(0) ) ≤ p∗ ✳ ❚❤✉s✱ lim f0m (p(0) ) = p(1) ≤ p∗ .

m→∞

❙✐♥❝❡ p(0) ≤ p∗ ✱ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✮ ✐s ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✱ t❤✉s p(0) ≤ Γ J (p(0) ) = Γ V (z (0) )p(0) + Γ n(z (0) ) .

❙♦❧✈✐♥❣ ❢♦r p(0) ❧❡❛❞s t♦
−1 p(0) ≤ I − Γ V (z (0) ) Γ n(z (0) ) = p(1) .

❚❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❡①✐sts ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ρ∗ < 1✳ ❚❤✉s✱ p(0) ≤ p(1) ≤ p∗ .

✭✺✳✼✺✮

◆♦✇✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t p(n) ≤ p∗ ❢♦r t❤❡ nt❤ st❡♣✳ ■♥ ❛♥❛❧♦❣② t♦ t❤❡ ❛❜♦✈❡ r❡❛s♦♥✲ ✐♥❣✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t lim fnm (p(n) ) = p(n+1) ≤ p∗ .

m→∞

✭✺✳✼✻✮

✺✳✹ ❲♦rst✲❈❛s❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❘♦❜✉st ❉❡s✐❣♥s

❙✐♥❝❡

z (n)

♠❛①✐♠✐③❡s t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢♦r ❣✐✈❡♥

p(n) ✱

✶✼✾

✇❡ ❤❛✈❡

p(n) = Γ V (z (n−1) )p(n) + Γ n(z (n−1) ) ≤ Γ V (z (n) )p(n) + Γ n(z (n) ) . ❙♦❧✈✐♥❣ t❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦r

p(n) ✱

✇❡ ♦❜t❛✐♥

p(n) ≤ I − Γ V (z (n) )


−1

Γ n(z (n) ) = p(n+1) .

❆❣❛✐♥✱ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❡①✐sts ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❛♥❞ ✭✺✳✼✽✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✭✺✳✼✼✮

ρ ∗ < 1✳

✭✺✳✼✽✮

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✺✳✼✻✮

p(n) ≤ p(n+1) ≤ p∗ .

✭✺✳✼✾✮

❲✐t❤ ✭✺✳✼✺✮ ❛♥❞ ✭✺✳✼✾✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜②

p∗ ✳

⊔ ⊓

▲❡t p(n) ❜❡ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✼✷✮ ❛♥❞ p¯ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✸✮✳ ❙t❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ≤ p∗ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✹✳

(n)

p¯(n) ≤ p(n) ,

❢♦r ❛❧❧ n✳

✭✺✳✽✵✮

❚❤❛t ✐s✱ p(n) ✐s ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❜♦t❤ s❡q✉❡♥❝❡s ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮✳ Pr♦♦❢✳

❙t❛rt✐♥❣ ❜♦t❤ ✐t❡r❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡

p(0) ≤ p∗ ✱

✇❡ ❤❛✈❡

p¯(1) = Γ V (z (0) )p(0) + Γ n(z (0) ) ≤ Γ V (z (0) )p(1) + Γ n(z (0) ) = p(1) , ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭✺✳✼✹✮✳ ❚❤✉s✱ t♦♥✐❝✐t②✱

p¯(n) ≤ p(n)

✐♠♣❧✐❡s

p¯(1) ≤ p(1) ✳

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ♠♦♥♦✲

p¯(n+1) = Γ J (p¯(n) ) ≤ Γ J (p(n) ) . ❙✐♥❝❡

Γ V (z) ≥ 0✱

✭✺✳✽✶✮

♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✺✳✼✹✮ ❧❡❛❞s t♦

Γ J (p(n) ) = Γ V (z (n) )p(n) + Γ n(z (n) ) ≤ Γ V (z (n) )p(n+1) + Γ n(z (n) ) = p(n+1) . ❇② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✺✳✽✶✮ ❛♥❞ ✭✺✳✽✷✮✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t (n+1)

p¯

≤p

(n+1)

♦♣t✐♠✐③❡r

p(n) ✐s ❧♦✇❡r✲❜♦✉♥❞❡❞ ❙✐♥❝❡ p ¯(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ p∗

✈❡r❣❡s t♦

p ✳ p∗ ❛s

p¯(n) ≤ p(n)

✐♠♣❧✐❡s

✳ ❚❤✉s✱ ✭✺✳✽✵✮ ❢♦❧❧♦✇s ❜② ❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥❞✉❝t✐♦♥✳

❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ∗

✭✺✳✽✷✮

✇❡❧❧✳

❜②

p¯(n)

❛♥❞ ✉♣♣❡r✲❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡

❬✶❪✱ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ s❡q✉❡♥❝❡

p(n)

❝♦♥✲

⊔ ⊓

✶✽✵

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✺✳✹✳✷ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s

❍❛✈✐♥❣ s❤♦✇♥ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱ ✇❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r✳ ❖♥❡ ❞✐✣❝✉❧t② ✐♥ st✉❞②✐♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐s t❤❛t p(n+1) ✐s ♥♦t ❞✐r❡❝t❧② ❧✐♥❦❡❞ t♦ p(n) ✱ ❜✉t ✐♥❞✐r❡❝t❧② ✈✐❛ z (n) ✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ z ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ ✉♥✐q✉❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ p✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s Z(p) = {z : [V (z)p + n(z)]k = Jk (p), 1 ≤ k ≤ K} .

❚❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡t M(p) = {V (z) : z ∈ Z(p)} .

✭✺✳✽✸✮

❋♦r ❡❛❝❤ ♠❛tr✐① V ∈ M(p)✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r z ′ s✉❝❤ t❤❛t V = V (z ′ )✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r✱ ✐t ✐s ❤❡❧♣❢✉❧ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p) = p − Γ J (p) . ✭✺✳✽✹✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p) ✐s ❥♦✐♥t❧② ❝♦♥❝❛✈❡ ❛s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦ ❝♦♥❝❛✈❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ❤❛✈❡ d(p) ≤ 0 ❢♦r ❛❧❧ p ≤ p∗ ✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✺✳✶ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② d(p∗ ) = 0✳ ❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ s❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r♦♦t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p)✳ ■❢ d(p) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✱ t❤❡♥ ◆❡✇t♦♥✬s ▼❡t❤♦❞ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✺✳✺✳ dk (p) initialization p(0) = 0 p(1)

p(2)

p fixed-point p∗

tangential hyperplane

❋✐❣✳ ✺✳✺✳ ❋♦r ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

d(p)✳ ◆♦t❡ t❤❛t d(p) ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ s♠♦♦t❤✱ t❤✉s ❛ ❞✐r❡❝t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ◆❡✇t♦♥✬s ▼❡t❤♦❞ ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡✳

♣r♦❜❧❡♠ ✭✺✳✶✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r♦♦t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐ ♠❛tr✐①✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❛s
∇d(p) = I − Γ V z(p) . ✭✺✳✽✺✮ ❚❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✺✳✽✺✮ ❛ss✉♠❡s t❤❛t z(p) ✐s ❛ ♥♦♥✲❛♠❜✐❣✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ tr✉❡ ✐❢ t❤❡ s❡t Z(p) ❝♦♥t❛✐♥s

✺✳✹ ❲♦rst✲❈❛s❡ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ❘♦❜✉st ❉❡s✐❣♥s

✶✽✶

♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✳ ❚❤✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♠❜✐❣✉✐t② ✐♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ z ♠❡❛♥s t❤❛t d(p) ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦♥✲s♠♦♦t❤✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥✳ ▲❡t DF ❜❡ t❤❡ s❡t ♦♥ ✇❤✐❝❤ d ✐s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✱ ❛♥❞ ∇d(p) ✐s t❤❡ ❏❛❝♦❜✐ ♠❛✲ tr✐① ❢♦r p ∈ DF ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✺✳✽✺✮✳ ❙✐♥❝❡ d(p) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✺✳✼✮✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐t ✐s ❛❧s♦ ❇✲ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ❚❤❡ ❇✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ∂B d(p) ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t p ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ∂B d(p) = {A ∈ RK×K : t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡q✉❡♥❝❡ {pk }k∈N ,

✇✐t❤ pk ∈ DF , pk → p ❛♥❞ A = lim ∇d(pk ) } . k→∞

◆♦t✐❝❡✱ t❤❛t t❤❡ s❡t ∂B d(p) ❝❛♥ ❝♦♥t❛✐♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠✲ ♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ F (x) = |x|✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ∂B F (0) = {−1, 1}✳ ❈❧❛r❦❡✬s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ∂d(p) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s
∂d(p) = conv ∂B d(p) ,

✭✺✳✽✻✮

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ s❡t ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❇✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❋♦r t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡①❛♠♣❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ F (x) ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t x = 0✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ∂F (0) = [−1, 1]✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❈❧❛r❦❡✬s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥✱ ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ◆❡✇t♦♥ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞✳ ❆♣♣❧✐❡❞ t♦ ♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p)✱ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❢♦r♠ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s p(n+1) = p(n) − Vn−1 d(p(n) ) ,

Vn ∈ ∂d(p(n) ) .

✭✺✳✽✼✮

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t Vn ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♠♣✉t❡ p(n+1) ✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✐s q✉✐t❡ str♦♥❣ ❛♥❞ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✈❡r✐❢②✳ ■♥ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪ ✐t ✇❛s ♣r♦♣♦s❡❞ p(n+1) = p(n) − Vn−1 d(p(n) ) ,

Vn ∈ ∂B d(p(n) ) .

✭✺✳✽✽✮

❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ t♦ ✭✺✳✽✼✮ ✐s t❤❛t Vn ✐s ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ s❡t ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❇✲ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❙♦ ♦♥❧② ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤✐s s❡t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ ❚❤❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦♥✲ ✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✽✽✮ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪✳ ❋♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ✐t ✐s r❡q✉✐r❡❞ t❤❛t d ❛t ❛ ❝❡rt❛✐♥ ♣♦✐♥t pˆ ✐s str♦♥❣❧② ❇❉✲r❡❣✉❧❛r ✭❇✲ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✮✳ ❚❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✐❢ ❛❧❧ V ∈ ∂B d(p) ˆ ❛r❡ ♥♦♥s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ t❤✉s ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✳ ■❢ t❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✽✽✮ ❤❛s s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r✲ ❣❡♥❝❡ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪✳ ❇✉t ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ∂B d(p) ˆ ❝❛♥ r❛r❡❧② ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧②✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣r❛❝t✐❝❛❧ t❡st ❢♦r ❇❉✲r❡❣✉❧❛r✐t②✳ ❋♦rt✉♥❛t❡❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✳ • ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ✐s ♠♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧❧② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p(0) ≤ p∗ ✳ • ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ✐s ❧♦✇❡r✲❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥✳

✶✽✷

✺ ◗♦❙✲❈♦♥str❛✐♥❡❞ P♦✇❡r ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

• ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❞✐r❡❝t✐♦♥s (n)

h1

(n)

h2

= p(n) − p(n+1) ≥ 0

= p(n+1) − p(n) ≤ 0 .

❚❤✉s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ❝❛♥ ❜❡ r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡s❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❲❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❡ ✐♥✈❡rt✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s V = I − Γ A✱ ✇✐t❤ A ∈ M(p)✳ ❋♦r ❣✐✈❡♥ Vn ∈ M(p(n) )✱ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s I − Γ Vn ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐t❡r❛t✐♦♥ p(n+1) = p(n) − (I − Γ Vn )−1 d(p(n) ),

Vn ∈ M(p(n) ) .

✭✺✳✽✾✮

■t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✽✾✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐t❡r✲ ❛t✐♦♥ ✭✺✳✼✷✮✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ t❛r❣❡ts Γ ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡✱ ✐✳❡✳✱ ρ∗ < 1✱ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ (I − Γ Vn )−1 ❛❧✇❛②s ❡①✐sts✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② ❞❡❝♦♠♣♦s✐♥❣ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♠❛tr✐① ✐♥ ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ◆❡✉♠❛♥♥ s❡r✐❡s ✇✐t❤ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ t❡r♠s✳ ❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✺✳

✭✺✳✼✷✮ ❢✉❧✜❧❧s

▲❡t p(0) ≤ p∗ ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ kp(n+1) − p∗ k1 =0 n→∞ kp(n) − p∗ k1 lim

kd(p(n+1) )k1 =0. n→∞ kd(p(n) )k1 lim

✭✺✳✾✵✮ ✭✺✳✾✶✮

❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡s p(n) ❛♥❞ d(p(n) ) ❤❛✈❡ s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✵✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❬✶✷✼✱ ✶✷✾❪✳ ⊔ ⊓ ❆♥ ❡✈❡♥ ❜❡tt❡r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ s❡♠✐✲ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

▲❡t J ❜❡ s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷ ❛t ♣♦✐♥t p∗ ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C1 s✉❝❤ t❤❛t ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✻✳

kp(n+1) − p∗ k1 ≤ C1 (kp(n) − p∗ k1 )2

❢♦r ❛❧❧ n ∈ N✳

Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✳✶✶✳

⊔ ⊓

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ C(γ) = inf



max

p>0 1≤k≤K

γk Ik (p)  , pk

✭✻✳✶✮

✇❤✐❝❤ ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , IK ✳ ❆♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❛♥❞ ✇✐❧❧ ♥♦t ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❤❡r❡✳ ❯♥❞❡r ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✭❛s ❞❡✜♥❡❞ ❧❛t❡r✮✱ inf ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② min✳ ❚✇♦ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s ❢r♦♠ ❬✼❪ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ❲❤✐❧❡ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢r♦♠ ❈❤❛♣t❡r ✺ ❛❝❤✐❡✈❡s ❛ ♣♦✐♥t ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✱ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ ✭✻✳✶✮ ✐s t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ❧❛r❣❡st ✐♥✈❡rs❡ s✐❣♥❛❧✲ t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❛t✐♦ ✭❙■❘✮✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② s♦♠❡ t❛r❣❡t ✈❛❧✉❡s✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ✇❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✷✮✱ t❤✉s ✇❡ r❡❢❡r t♦ ✭✻✳✶✮ ❛s t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❋♦r ❡q✉❛❧ ✇❡✐❣❤ts✱ t❤✐s str❛t❡❣② ✐s ❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s ♠❛①✲♠✐♥ ❢❛✐r♥❡ss✳ Pr♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮ ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲ ❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ) ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✮✳ ❇② ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ ❝❡rt❛✐♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r② t♦ t❤❡ ❜r♦❛❞❡r ❝❧❛ss ♦❢ ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ C(γ) ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢♦r t❤❡ ❢❡❛s✐✲ ❜✐❧✐t② ♦❢ ❙■❘ t❛r❣❡ts γ ✳ ■❢ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✱ t❤❡♥ ✭✻✳✶✮ ②✐❡❧❞s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ p∗ t❤❛t ❜❛❧❛♥❝❡s t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ✈❛❧✉❡s ❛t ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❧❡✈❡❧✳ ❚❤❡♥✱ p∗ ✐s ❛ ✈❛❧✐❞ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮ ❢r♦♠ ❈❤❛♣t❡r ✺✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ✭✻✳✶✮ ✐s ❛❧s♦ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ ❡✳❣✳✱ ❢♦r t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❬✶❪✱ ✇❤✐❝❤ ❞✐✈❡r❣❡s ✐❢ t❤❡ ❝❤♦s❡♥ t❛r❣❡ts γ ❛r❡ ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✳ ■♥❢❡❛s✐❜❧❡ s❝❡♥❛r✐♦s ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✲ t❡❝t❡❞ ❜② ❝♦♠♣✉t✐♥❣ C(γ)✱ t❤✉s ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❛s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r ❝♦♥❣❡st✐♦♥ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✸✵❪✮✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣❧② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✸✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✉♣✇❛r❞✲❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝❧♦s❡❞ ❝♦♥✈❡① s❡ts V1 , . . . , VK ⊂ RK + ✱ s✉❝❤ t❤❛t M. Schubert, H. Boche, Interference Calculus, Foundations in Signal Processing, Communications and Networking 7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

✶✽✹

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

Ik (p) = min

v∈Vk

X l∈K

 vl pl .

z = (z1 , . . . , zK )✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ✏r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✑✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①   v 1 (z1 )T   ✳ ✳ V (z) =  . ✳

❆s ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ ❈❤❛♣t❡r ✺✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs

v K (zK )T

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t Zk ✐s t❤❡ ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞ str❛t❡❣② s♣❛❝❡ ♦❢ ✉s❡r k ✱ ❛♥❞ Z = Z1 ×· · ·×ZK ✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ v k (zk ) ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❚❤❡s❡ s❡ts Zk ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❞✐s❝r❡t❡✱ ❡✳❣✳ ✇❤❡♥ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❜❡st ❝❤♦✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥

s❡✈❡r❛❧ r❡❝❡✐✈❡rs✱ ❛s ✐♥ ❬✸✻✱ ✸✼❪✳ ❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱ t❤❡ s❡t

Zk

✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ✉♥✐t s♣❤❡r❡✳

❲✐t❤ t❤✐s ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳

Ik (p) = min pT v k (zk ), zk ∈Zk

k∈K.

✭✻✳✷✮

❆ ❣❧♦❜❛❧❧② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮ ✇❛s ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ ❬✽❪✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t

V (z)

✐s

✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② z ∈ Z ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✶ ❢♦r ❛ ❞❡✜✲

♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✮✳ ❚❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s ✐♥❞✐s♣❡♥s❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✽✶❪✳ ❚❤❡ ✐♥✜♠✉♠ ✭✻✳✶✮ ✐s ♦♥❧② ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❜❡ ❛tt❛✐♥❛❜❧❡ ✐❢

V (z) ✐s ✭❜❧♦❝❦✮ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❘♦✉❣❤❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ❛❧❧

✉s❡rs ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ t❤❡ ❙■❘ ✐s ❛❧✇❛②s ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞✳ ❲✐t❤♦✉t ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✱ ♦♥❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t❡r♠ ❛♥❞ ✐ts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣♦✇❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❝❛♥ t❡♥❞ t♦ ③❡r♦✱ t❤✉s ❝❛✉s✐♥❣ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶✸✶❪✱ ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✻✳✷✮✱ t❤❛t t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥✲❙■❘ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s t❤❡ t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

P❡rr♦♥ r♦♦t ♠✐♥✐♠✐③❛✲


C(γ) = min ρ Γ V (z) . z∈Z

❚❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s

ΓV

✭✻✳✸✮

ρ ✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢♦r ❢❡❛s❜✐❧✐t② ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✹✮✳ ❙✐♥❝❡ ρ ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✳ ■t ✐s r❡❢❡rr❡❞

✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱

t♦ ❛s t❤❡

P❡rr♦♥ r♦♦t✳

❚❤❡ ♠❛tr✐①

V

✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝✳ ❙✉❝❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❬✶✸✷❪✳ ❇✉t ❞✉❡ t♦ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② ❛ ❣❧♦❜❛❧❧② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ■❢ C(γ) ≤ 1✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② ∗ ❛ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p ✇❤✐❝❤ ❥♦✐♥t❧② ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ t❛r❣❡ts γ ✳

z

❛♥❞

✻✳✶ ❚❤❡ ▼❛①✲▼✐♥ ❖♣t✐♠✉♠ ▼❛①✲♠✐♥ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ✐s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r②✱ ❞❛t✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ ❬✹✺✱ ✹✽✕✺✵✱ ✺✷✱ ✺✹✱ ✻✶✱ ✶✸✸✱ ✶✸✹❪✱ ✇❤❡r❡ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡r❡

✻✳✶ ❚❤❡ ▼❛①✲▼✐♥ ❖♣t✐♠✉♠

✶✽✺

✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐①✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②✱ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✹✽❪ t❤❛t t❤❡ ❥♦✐♥t ❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❙■❘ ✈❛❧✉❡s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s

ρ(Γ V )

γ

✐s

✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✶

❛♥❞ t❤❡ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♣❛♣❡r ❬✹✻❪✮✳ ❚❤✐s ❧✐♥❡ ♦❢ ✇♦r❦ ✐s ❝❧♦s❡❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r② ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐❝❡s

❬✺✻✱ ✺✼❪✳

❚❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✲♠✐♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ✭✉♣ t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣✮ ✐s t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ❜② t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t

Γ V ✳ ❚❤❡

♦♣t✐♠✉♠

C(γ) ✐s ❣✐✈❡♥

ρ(Γ V )✳

❚❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝❛s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ ♦r tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣✐❡s✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠❛①✲♠✐♥ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ❢♦r ❛❞❛♣t✐✈❡ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❬✺✾✱ ✻✵✱ ✻✷✱ ✽✷✱ ✶✸✺❪✳ ❯s✐♥❣ ❛ ❞✉❛❧✐t② ❜❡t✇❡❡♥ ✉♣❧✐♥❦ ❛♥❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ❬✻✶✱ ✽✷❪✱ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❜② ♦♣t✐♠✐③✐♥❣ ❛ ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✏✈✐rt✉❛❧ ✉♣❧✐♥❦ ❝❤❛♥♥❡❧✑ ✭s❡❡ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✻✮✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✽✱ ✺✾✱ ✻✵❪✳ ❚❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢r♦♠ ❬✽✱ ✻✵❪ ✐s ✐♥ ❢❛❝t ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ P❊❱ ✐t❡r❛t✐♦♥ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✳✷✳ ■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐s❝✉ss s♦♠❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛s♣❡❝ts ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✻✳✷✮✳ ❚❤✐s ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ s❝❡♥❛r✐♦ ❛s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡✳ ❚✇♦ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❧❛t❡r✱ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥s ✭✻✳✷✮ ❛♥❞ ✭✻✳✸✮✳

✻✳✶✳✶ ❙❡t ♦❢ ❖♣t✐♠❛❧ ❘❡❝❡✐✈❡ ❙tr❛t❡❣✐❡s

❲❡ s❛② t❤❛t ❛ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥

❚❤❡ s❡t

γ✱

z = (z1 , . . . , zK )

✐s ♦♣t✐♠❛❧ ✐❢ ✐t s♦❧✈❡s ✭✻✳✸✮✳

t❤❡ s❡t ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s ✐s


Z(γ) = {z ∈ Z : C(γ) = ρ Γ V (z) } .

Z(γ) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② s✐♥❝❡ Z

✭✻✳✹✮

✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ s♦ ✐t ✐s ❛❧✇❛②s

♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✜♥❞ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣②

zˆ ∈ Z(γ)✳

❙✐♥❝❡

V (ˆ z)

✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜②

❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r❡♠ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✹✽✱✺✻✱✺✼❪✮✱ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r

pˆ > 0

s✉❝❤ t❤❛t

Γ V (ˆ z )pˆ = C(γ)pˆ .

✭✻✳✺✮

❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ ✐♥t❡r✲ ❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ✉s❡r✳ ❚❤✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣r♦♣❡rt② ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ ❧❛t❡r✳ ❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ ❛ ♠❛tr✐①

A✱

❞❡♥♦t❡❞ ❜②

pev(A)✱

✐s t❤❡ ❡✐❣❡♥✲

✈❡❝t♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✳ ❚❤✐s ✈❡❝t♦r ❝❛♥ ❜❡ ❛r❜✐tr❛r✐❧② s❝❛❧❡❞✳ ■♥ t❤✐s ❜♦♦❦ ✇❡ ❛❣r❡❡ ♦♥ ▲❡♠♠❛ ✻✳✶✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t

zˆ ∈ Z(γ)✱

k pev(A)k1 = 1✳

V (z)

✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❢♦r ❛❧❧

✇✐t❤ ❛ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r

pˆ = pev Γ V (ˆ z)

min pˆT v k (zk ) = pˆT v k (ˆ zk ),

zk ∈Zk


z ∈ Z ✱

t❤❡♥ ❢♦r ❛♥②

✱ ✇❡ ❤❛✈❡

∀k ∈ K .

✭✻✳✻✮

✶✽✻

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐♥❞❡① k0 s✉❝❤ t❤❛t pˆT v k0 (˜ zk0 ) = min pˆT v k0 (zk0 ) < pˆT v k0 (ˆ zk0 ) . ✭✻✳✼✮ Pr♦♦❢✳

zk0 ∈Zk0

❚❤❛t ✐s✱

✭✻✳✽✮ ❙✐♥❝❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✻✳✽✮ ✐s str✐❝t ❢♦r ❝♦♠♣♦♥❡♥t k0 ✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t pˆ ✐s ♥♦t t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ Γ V (˜z )✳ ❚❤✐s ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✐s ✉♥✐q✉❡✱ t❤✉s Γ V (˜ z )pˆ ≤ Γ V (ˆ z )pˆ = C(γ)pˆ .


[Γ V (˜ z )p]k  ρ Γ V (˜ z ) = inf max p>0 k∈K pk [Γ V (˜ z )p] ˆk < max . k∈K pˆk

✭✻✳✾✮

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭✻✳✽✮ ❛♥❞ ✭✻✳✾✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡
[Γ V (ˆ z )p] ˆk ρ Γ V (˜ z ) < max = C(γ) . k∈K pˆk

✭✻✳✶✵✮

❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ s✐♥❝❡ C(γ)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✻✳✸✮✱ ✐s t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠✳ ❚❤✉s✱ ✭✻✳✻✮ ❤♦❧❞s✳ ⊔ ⊓ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♥♦t❛t✐♦♥

I(p) = [I1 (p), . . . , IK (p)]T

✭✻✳✶✶✮

Γ I(p) ˆ = Γ V (ˆ z )pˆ = C(γ)pˆ .

✭✻✳✶✷✮

✇❤❡r❡ Ik (p) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✻✳✷✮✱ ▲❡♠♠❛ ✻✳✶ ✐♠♣❧✐❡s

■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r pˆ > 0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Γ I(p)/C(γ) ˆ ✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s ❬✷❪ t❤❛t pˆ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ♦❢ t❤❡ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❡✈❡r② pˆ s♦❧✈✐♥❣ ✭✻✳✶✮ ❢✉❧✜❧❧s ✭✻✳✶✷✮✱ ✇✐t❤ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② zˆ✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t s✉❝❤ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦✇❡r ❛❧✲ ❧♦❝❛t✐♦♥ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts✳ ❊✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s z ∈ Z(γ)✱ ❡✈❡r② str❛t❡❣② ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r✳ ❚❤✐s ❜❡❤❛✈✐♦r ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧✳ ✻✳✶✳✷ ❊①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❖♣t✐♠❛❧ P♦✇❡r ❆❧❧♦❝❛t✐♦♥

❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p✱ t❤❡ s❡t M(p) = {V : I(p) = V p}

✭✻✳✶✸✮

❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ ♦♣t✐♠✉♠ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ✈❛❧✉❡ I(p)✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡✳

✻✳✶ ❚❤❡ ▼❛①✲▼✐♥ ❖♣t✐♠✉♠

✶✽✼

■♥ ❬✷❪ ✐t ✇❛s s❤♦✇♥ ❢♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛①✲ ✐♦♠s ❆✶✱ ❆✷✱ ❆✸✱ t❤❛t t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p∗ ≥ 0✱ p∗ 6= 0✱ s✉❝❤ t❤❛t Γ I(p∗ ) = C(γ)p∗ . ✭✻✳✶✹✮ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ✈❡❝t♦r p∗ ❜❛❧❛♥❝❡s ❛❧❧ ✈❛❧✉❡s ❙■❘k /γk ❛t ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❧❡✈❡❧ C(γ)✳ ❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✻✳✷✮✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐✲ ❝❡s✱ ✇❡ ❡✈❡♥ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t p∗ > 0 ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✻✳✶✹✮✳ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✱ ❛s st❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✱ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♠✲ ♣♦rt❛♥t ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♣r♦♦❢s ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥s ✻✳✷ ❛♥❞ ✻✳✸✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✽✶❪✳

■❢ V (z) ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❢♦r ❛❧❧ z ✱ t❤❡♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ > 0 ✭✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❝❛❧✐♥❣✮✳ ❖♥❧② p∗ ❢✉❧✜❧❧s ▲❡♠♠❛ ✻✳✷✳

Γ I(p∗ ) = C(γ)p∗ .

❆❧❧ ♠❛tr✐❝❡s V (z) ✇✐t❤

✭✻✳✶✺✮


ρ Γ V (z) = C(γ)

❛r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡t M(p∗ )✱ t❤✉s ❛❧❧ ♦♣t✐♠❛❧ ♠❛tr✐❝❡s Γ V (z)✱ ✇✐t❤ z ∈ Z(γ)✱ ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ r✐❣❤t ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r p∗ ✳ ✻✳✶✳✸ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ▼❛①✲▼✐♥ ❛♥❞ ▼✐♥✲▼❛① ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

❲❡ ♥♦✇ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ C(γ) ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ♦♣t✐♠✉♠  γk Ik (p)  c(γ) = sup min . pk p>0 k∈K

✭✻✳✶✻✮

c(γ) ≤ C(γ) .

✭✻✳✶✼✮

❚❤❛t ✐s✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❧❛r❣❡st ❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s ♥♦✇ t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❬✶✸✶❪

◆♦t❡✱ t❤❛t ✭✻✳✶✼✮ ✐s ♥♦t ❛ s✐♠♣❧❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❋❛♥✬s ♠✐♥✐♠❛① ✐♥❡q✉❛❧✐t② s✐♥❝❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♦♥❧② ✐♥t❡r❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦r❞❡r✱ ❜✉t ❛❧s♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭✻✳✶✼✮ ❤♦❧❞s ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♥❡①t ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ♠✐♥✲♠❛① ❛♥❞ ♠❛①✲♠✐♥ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✳

▲❡t I1 , . . . , IK ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ ✭✻✳✷✮✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉✲ ♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s✱ t❤❡♥ ▲❡♠♠❛ ✻✳✸✳

  γk Ik (p)  γk Ik (p)  sup min = inf max . p>0 k∈K pk pk p>0 k∈K

✭✻✳✶✽✮

✶✽✽

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

Pr♦♦❢✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ▲❡♠♠❛ ✻✳✷✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

p˜ > 0  γk Ik (p)  c(γ) = sup min pk p>0 k∈K ≥ min

1≤k≤K

s✉❝❤ t❤❛t

γk Ik (p) ˜ = C(γ) . p˜k

✭✻✳✶✾✮

⊔ ⊓

❲✐t❤ ✭✻✳✶✼✮✱ t❤✐s ♠✉st ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳

▲❡♠♠❛ ✻✳✸ s❤♦✇s t❤❛t ❜♦t❤ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐❢ ❛❧❧ ✉s❡rs ✐♥ t❤❡ s②st❡♠ ❛r❡ ✏❝♦✉♣❧❡❞ ❜② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✑✳

z ✱ ✐✳❡✳✱   [Γ V (z)p]k  [Γ V (z)p]k sup min = inf max . p>0 k∈K pk pk p>0 k∈K

❊q✉❛❧✐t② ✭✻✳✶✽✮ ❛❧s♦ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛ ✜①❡❞



✭✻✳✷✵✮

◆♦✇✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✽✷❪✮

✭✐♥❢✮ s✉♣ x>0

✭♠✐♥✮ b xT b k = ♠❛① , T x c 1≤k≤K ck

❢♦r ❛♥②

b, c > 0 .

✭✻✳✷✶✮

❆♣♣❧②✐♥❣ ✭✻✳✷✶✮ t♦ ✭✻✳✷✵✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t✳


xT Γ V (z)p  ρ Γ V (z) = inf sup p>0 x>0 xT p  xT Γ V (z)p  = sup inf . xT p p>0 x>0

✭✻✳✷✷✮

❚❤✐s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ♣❧❛② ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♣r♦♦❢ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳

✻✳✷ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❊✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✭P❊❱✮ ■t❡r❛t✐♦♥ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ✐t❡r❛t✐✈❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮✱ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✻✳✷✮ ✇✐t❤ ✐rr❡✲ ❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❆s ❞✐s❝✉ss❡❞ ❡❛r❧✐❡r✱ ❛♥② s②st❡♠ ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❤✐s ✇❛②✳ ❚❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡

♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✭P❊❱✮ ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ■t ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ❛ ✉♥✐q✉❡ ❣❧♦❜❛❧

♦♣t✐♠✐③❡r

p∗ ✳

❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✻✳✶ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t

p∗

✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛

z∗✱

✇❤✐❝❤ s♦❧✈❡s t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✸✮✳ (n) ▲❡t t❤❡ s✉♣❡rs❝r✐♣t (·) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ nt❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣✳ ❙t❛rt✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥ (0) ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ p > 0✱ t❤❡ P❊❱ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✐s

p(n+1) = pev(Γ V (z (n) )) ✇❤❡r❡

(n) zk

✭♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r✮

= arg min (p(n) )T v k (zk ), zk ∈Zk

❢♦r ❛❧❧

k∈K.

✭✻✳✷✸✮

✻✳✷ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❊✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✭P❊❱✮ ■t❡r❛t✐♦♥

✶✽✾

❚❤✐s ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❛s ❛❧r❡❛❞② ♦✉t❧✐♥❡❞ ✐♥ ❬✽✶❪✱ ❤♦✇❡✈❡r ✇✐t❤♦✉t ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❛❧✲ ②s✐s✳ ❖♥❡ ❞✐✣❝✉❧t② ✇✐t❤ s❤♦✇✐♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♠❜✐❣✉✐t② ♦❢ V (z (n) )✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ p(n) ✱ t❤❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♦♣t✐♠❛❧ z (n) ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ❞✐✛❡r✲ ❡♥t ♠❛tr✐❝❡s V (z (n) )✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ♥♦t ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ p✳ ❉❡s♣✐t❡ t❤✐s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❞❡✲ ♣❡♥❞❡♥❝②✱ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✳ ❘❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s V (z (n) ) ∈ M(p(n) )✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ✭✻✳✷✸✮ ❛❧✇❛②s ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✳ ❚❤✐s ♦♣t✐♠✐③❡r ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♠✐♥✐♠✉♠ P❡rr♦♥ r♦♦t ρ∗ = C(γ)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✻✳✸✮✳ ❖✉r r❡s✉❧ts ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✳ ▲❡t V (z) ❜❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❢♦r ❛❧❧ z ∈ Z ✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✲ p(0) > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡

ρ Γ V (z (n+1) ) ≤ ρ Γ V (z (n) ) ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N , ✭✻✳✷✹✮
(n) ∗ lim ρ Γ V (z ) = ρ , ✭✻✳✷✺✮

❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✹✳

✐③❛t✐♦♥

n→∞

lim p(n) = p∗

n→∞

✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✮

.

✭✻✳✷✻✮

❋♦r ❛♥② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥
p(0) > 0✱ p(0) 6= p∗ ✱ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ②✐❡❧❞s s❡✲ q✉❡♥❝❡s ρ(n) := ρ Γ V (z (n) ) ❛♥❞ p(n) ✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② s❤♦✇✐♥❣ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭✻✳✷✹✮✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① Γ V (z (0) ) ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ρ(0) ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r p(1) ✱ s♦ Pr♦♦❢✳

ρ(0) = max

[Γ V (z (0) )p(1) ]k (1)

k∈K

≥ max

pk

[Γ V (z (1) )p(1) ]k

k∈K

≥ inf max p>0 k∈K

(1)

pk

[Γ V (z (1) )p]k = ρ(1) . pk

❚❤❡ ✜rst ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❈♦❧❧❛t③✲❲✐❡❧❛♥❞t✲t②♣❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✹✮ ♦❢ t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t✳ ▲✐❦❡✇✐s❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ρ(n) ≥ ρ(n+1) ❢♦r ❛♥② n ∈ N✱ t❤✉s ✭✻✳✷✹✮ ❢♦❧❧♦✇s ❜② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t PC = {p > 0 : kpk1 = 1, Cp ≥ Γ I(p)},

❢♦r C ≥ ρ∗ .

❆♥② p ∈ PC ❢✉❧✜❧❧s C · ❙■❘k (p) ≥ γk ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❜② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ C ✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡❞ ❙■❘ ❧❡✈❡❧ ❜❡❝♦♠❡s ❧❛r❣❡r✳ ❋♦r C1 < C2 ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ PC1 ⊂ PC2 ✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♦♣t✐♠✐③❡r ✭❝❢✳ ▲❡♠♠❛ ✻✳✷✮✱ s♦ Pρ∗ = {p∗ } ✇✐t❤ ρ∗ p∗ = Γ I(p∗ )✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② C > ρ∗ ❛♥❞ pˆ ∈ PC ✱ pˆ 6= p∗ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✶✾✵

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

✭✻✳✷✼✮

C pˆ ≥ Γ I(p) ˆ .

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♠✉st ❜❡ str✐❝t ❢♦r ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t s✐♥❝❡ pˆ 6= p∗ ✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✻✳✷✳ ▲❡t zˆ ❜❡ ❛♥ ♦♣t✐♠✉♠ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ pˆ✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✐s V (ˆ z ) ∈ M(p) ˆ ✳ ❲✐t❤ Γ I(p) ˆ = Γ V (ˆ z )pˆ ,

✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✻✳✷✼✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s C≥

[Γ V (ˆ z )p] ˆk , pˆk

∀k ∈ K .

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❛t V (ˆ z ) ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ✭✶✳✷✹✮ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✷ ❢r♦♠ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✼✱ ✇❡ ❤❛✈❡ xT Γ V (ˆ z )pˆ [Γ V (ˆ z )p] ˆk = sup k∈K pˆk xT pˆ x>0 
xT Γ V (ˆ z )p  > inf sup = ρ Γ V (ˆ z) T p>0 x>0 x p

C ≥ max

✭✻✳✷✽✮

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s str✐❝t ❜❡❝❛✉s❡ pˆ ✐s ♥♦t t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ Γ V (ˆ z )✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ pˆ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✻✳✶✺✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s r✉❧❡❞ ♦✉t ❜② t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ pˆ 6= p∗ ✳ ❚❤✉s✱ ❢♦r pˆ ∈ PC ✇✐t❤ pˆ 6= p∗ ✱ ✇❡ ❤❛✈❡


✭✻✳✷✾✮


ρ ΓV .

✭✻✳✸✵✮

C > ρ Γ V (ˆ z)

❢♦r ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ V (ˆ z ) ∈ M(p) ˆ ✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s C>

sup V ∈M(p) ˆ




❚❤❡ s❡t M(p) ˆ ✐s ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❆❧s♦✱ ρ Γ V ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ❝♦♠♣♦♥❡♥ts [V ]kl ✱ s♦ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ✭✻✳✸✵✮ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ♣r♦✈❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ t✐❣❤t❧② ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡✳ ❙♦ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ s❡t γk Ik (p) = C} . P˜C = {p ∈ PC : max k∈K pk

✭✻✳✸✶✮

❚❤❡ s❡t P˜C ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ s✉❜s❡t ♦❢ PC ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ ❧❡t p(n) ∈ P˜C ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❈❛✉❝❤② s❡q✉❡♥❝❡ ✇✐t❤ ❧✐♠✐t p✱ t❤❡♥ (n)

C pk = lim C pk n→∞

≥ lim γk Ik (p(n) ) = γk Ik (p) , n→∞

∀k .

❍❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶✺ ❢r♦♠ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✺✱ ✇❤❡r❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ Ik (p) ✇❛s s❤♦✇♥✳ ❚❤✉s p ∈ PC ✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s P˜C ⊆ PC ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤❛t P˜C ✐s ❝❧♦s❡❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r

✻✳✷ Pr✐♥❝✐♣❛❧ ❊✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✭P❊❱✮ ■t❡r❛t✐♦♥

γk Ik (p) limn→∞ γk Ik (p(n) ) γk Ik (p(n) ) = = lim . (n) (n) n→∞ pk limn→∞ pk pk

✶✾✶

✭✻✳✸✷✮

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✶ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳✻✳ ❇❡❝❛✉s❡ p(n) ∈ P˜C ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ max k∈K

  γk Ik (p) γk Ik (p(n) ) =C. = max lim (n) k∈K n→∞ pk p k

■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❧✐♠✐t p ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ P˜C ✳ ❍❡♥❝❡✱ P˜C ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ s✉❜s❡t ♦❢ PC ✳ ◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t ✭✻✳✷✺✮ ❤♦❧❞s✱ ✐✳❡✳✱ limn→∞ ρ(n) = ρ∗ ✳ ❋♦r ❛♥② pˆ ∈ P˜C t❤❡r❡ ✐s ❛ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② zˆ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❡❛r❧✐❡r✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f1 (C) = min C − ρ Γ V (ˆ z) ˜C p∈ ˆ P





✇✐t❤ V (ˆ z ) ∈ M(p) ˆ .

,




■t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✐s ❛tt❛✐♥❡❞ s✐♥❝❡ ρ Γ V (z) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ P˜C ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞ s❡t✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ρ∗ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② f1 (ρ∗ ) = 0✳ ❋♦r C > ρ∗ ✇❡ ❤❛✈❡ f1 (C) > 0✳ ❋♦r ❡❛❝❤ n ✇❡ ❤❛✈❡ p(n+1) ∈ P˜ρ(n) ✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t limn→∞ ρ(n) > ρ∗ ✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ǫ > 0✱ ❛♥❞ ρ∗ (ǫ) = ρ∗ + ǫ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ n0 = n0 (ǫ) s✉❝❤ t❤❛t p(n) ∈ P˜ρ∗ (ǫ) ❢♦r ❛❧❧ n ≥ n0 (ǫ)✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ f1 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ f1 (ρ∗ (ǫ)) ≤ ρ∗ (ǫ) − ρ Γ V (z (n) )





❢♦r ❛❧❧ n ≥ n0 (ǫ)✳

❙✐♥❝❡ ρ Γ V (z (n) ) ≥ ρ∗ ❢♦r ❛❧❧ n ≥ n0 (ǫ)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❚❤✉s

f1 (ρ∗ (ǫ)) ≤ ρ∗ (ǫ) − ρ∗ = ǫ .

0 = f1 (ρ∗ ) < lim f1 (ρ(n) ) ≤ f1 (ρ∗ + ǫ) = f1 (ρ∗ (ǫ)) ≤ ǫ n→∞

❢♦r ❛❧❧ ǫ > 0✳ ▲❡tt✐♥❣ ǫ → 0 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ 0 = f1 (ρ∗ ) < lim inf f1 (ρ∗ + ǫ) ≤ 0 , ǫ→0

t❤✉s ♣r♦✈✐♥❣ limn→∞ ρ(n) = ρ∗ ✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✭✻✳✷✻✮ ♦❢ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ρ(n) p(n+1) = Γ V (z (n) )p(n+1) ≥ Γ I(p(n+1) ) .

❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ❤❛s ❛ s✉❜s❡q✉❡♥❝❡ p(nl ) ✱ l ∈ N ✇✐t❤ ❛ ❧✐♠✐t lim p(nl ) = p˜

l→∞

✭✻✳✸✸✮

✶✾✷

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

✇❤❡r❡ p˜ > 0 ❛♥❞ kpk ˜ 1 = 1✳ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ liml→∞ ρ(nl ) = ρ∗ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ s❤♦✇♥✱ t❤✉s ρ∗ p˜ = lim ρ(nl ) p(nl ) ≥ lim Γ I(p(nl ) ) = Γ I(p) ˜ . l→∞

l→∞

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ p˜ ∈ P1 ✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t p˜ = p∗ ✱ t❤✉s p(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ p∗ ✳ ⊔ ⊓

❚❤❡ ♣r♦♦❢ s❤♦✇s ❞✐r❡❝t ❛♥❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ p(n) t♦ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ p∗ ✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✻✳✷ ❛♥❞ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❧✐♠✐t ♣♦✐♥t✱ ❞❡s♣✐t❡ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♠❜✐❣✉✐t② ♦❢ t❤❡ ♣❛✲ r❛♠❡t❡r z (n) ✳ ✻✳✸ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✷✮✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ p(n+1) = Γ I(p(n) ) ,

q (0) ≥ 0

✭❛r❜✐tr❛r②✮✳

✭✻✳✸✹✮

❚❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❛s ♣r♦♣♦s❡❞ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ◗♦❙✲ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ✭✺✳✶✮✳ ◆♦✇✱ ❛♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ✐s ✇❤❡t❤❡r t❤❡ s❛♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮✱ ✇✐t❤ t❤❡ s♣❡✲ ❝✐✜❝ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✭✻✳✷✮✳ ❆ ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧ ✇❛s ✉s❡❞ ✐♥ ❬✶❪✱ ✇❡r❡ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ♥♦✐s❡ ♣❧❛②❡❞ ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡✳ ◆❛♠❡❧②✱ s❝❛❧❛❜✐❧✐t② αIk (p) > Ik (αp)✱ ❢♦r ❛❧❧ α > 1✱ ✇❛s r❡q✉✐r❡❞✳ ❚❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✐s ♥♦t ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✉s❡❞ ❤❡r❡✳ ❙♦ ✐t ✐s ♥♦t ❝❧❡❛r ✇❤❡t❤❡r ❛♥② ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts ✐♥ ❬✶❪ ❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢❡r❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛t ❤❛♥❞✳ ❋♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✻✳✷✮✱ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✻✳✸✹✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s ✭✻✳✸✺✮

p(n+1) = Γ V (z (n) )p(n)

✇❤❡r❡

(n) zk

= arg min(p zk ∈Zk

(n) T

) v k (zk ),

k = 1, 2, . . . , K .

❲❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❙■❘ t❛r❣❡t ✈❡❝t♦r γ ❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✭✶✳✷✸✮✱ s♦ C(γ) = 1✳ ❯♥❞❡r t❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ❛❧✇❛②s ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t V (z) ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❢♦r ❛❧❧ z ∈ Z ✱ ❛♥❞ kp(n) k1 = 1 ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N✳ ▲❡t p(0) > 0 ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ p∗ > 0 t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✐③❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② p∗ C(γ) = Γ I(p∗ )✱ ✇❤❡r❡ C(γ) = 1✱ t❤❡♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✺✳

lim p(n) = p∗

n→∞

✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✮

.

✭✻✳✸✻✮

✻✳✸ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ■t❡r❛t✐♦♥

Pr♦♦❢✳

✶✾✸

❚❤❡r❡ ❡①✐st ❝♦♥st❛♥ts µ1 , µ2 ∈ R++ s✉❝❤ t❤❛t µ1 p∗ ≤ p(0) ≤ µ2 p∗ .

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❛①✐♦♠ ❆✸ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s µ1 p∗ = Γ I(µ1 p∗ ) ≤ Γ I(p(0) ) ≤ Γ I(µ2 p∗ ) = µ2 p∗ .

❙✐♥❝❡ Γ I(p(0) ) = p(1) ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ µ1 p∗ ≤ p(1) ≤ µ2 p∗ ✳ ■♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✱ ✇❡ s❤♦✇ µ1 p∗ ≤ p(n) ≤ µ2 p∗ , ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N . ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r s❡q✉❡♥❝❡s

p(n) = sup p(l) l≥n

p(n) = inf p(l) . l≥n

✭✻✳✸✼✮ ✭✻✳✸✽✮

❲❡ ❤❛✈❡ µ1 p∗ ≤ p(n) ≤ p(n) ≤ µ2 p∗ ✱ ❛♥❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ✭✻✳✸✼✮ ❛♥❞ ✭✻✳✸✽✮✱ p(n) ≤ p(n+1) ≤ p(n+1) ≤ p(n) .

❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ❡①✐st ✈❡❝t♦rs p∗ ✱ p∗ ✱ s✉❝❤ t❤❛t

lim p(n) = p∗ ≤ p∗ = lim p(n) .

n→∞

n→∞

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✺✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Γ I(p∗ ) = lim Γ I(p(n) ) . ✭✻✳✸✾✮ n→∞

❋♦r ❛ ✜①❡❞ n ∈ N✱ ❛♥❞ ❛❧❧ l ≥ n✱ ✇❡ ❤❛✈❡ p(n) ≤ p(l) ✱ s♦ Γ I(p(n) ) ≤ Γ I(p(l) )✳ ❚❤✉s✱ Γ I(p(n) ) ≤ inf Γ I(p(l) ) l≥n

= inf p(l+1) = p(n+1) l≥n

✭✻✳✹✵✮

❲✐t❤ ✭✻✳✸✾✮✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s Γ I(p∗ ) = lim Γ I(p(n) ) ≤ lim p(n+1) = p∗ . n→∞

n→∞

✭✻✳✹✶✮

❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐① V (z ∗ ) ∈ M(p∗ ) s✉❝❤ t❤❛t Γ I(p∗ ) = Γ V (z ∗ )p∗ ≤ p∗ .

✭✻✳✹✷✮

■t ✇✐❧❧ ♥♦✇ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✻✳✹✷✮ ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ s❛t✐s✜❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❙✐♥❝❡ p∗ > 0✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ ✭✻✳✹✷✮ ❛s

✶✾✹

✻ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❙■❘ ❇❛❧❛♥❝✐♥❣

[Γ V (z ∗ )p∗ ]k ≤ 1, p∗k

∀k ∈ K .

✭✻✳✹✸✮

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❝♦♠♣♦♥❡♥t k0 ♦❢ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✻✳✹✷✮ ✐s str✐❝t✱ t❤❡♥
γk [V (z ∗ )p]k ρ Γ V (z ∗ ) = inf max p>0 1≤k≤K pk γk [V (z ∗ )p∗ ]k0 < ≤1 p∗k0


❚❤✐s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ 1 = minz∈Z ρ Γ V (z) < 1✱ t❤✉s Γ V (z ∗ )p∗ = p∗ .

✭✻✳✹✹✮

❙✐♥❝❡ V (z ∗ ) ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❛♥❞ C(γ) = 1✱ t❤❡ ✈❡❝t♦r p∗ ✐s t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ Γ V (z ∗ )✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② z ∗ ✐s ♦♣t✐♠❛❧ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✳✶✳✶✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ✇✐t❤ ❛ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣② z ∗ ∈ Z(γ)✳ ❲❡ ❤❛✈❡ Γ V (z ∗ )p∗ = p∗ . ✭✻✳✹✺✮ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ p∗ = p∗ ✳ ❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭✻✳✹✹✮ ❛♥❞ ✭✻✳✹✺✮✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ❜♦t❤ ✈❡❝t♦rs ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t γ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ V (z) ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ▲❡♠♠❛ ✻✳✷✱ ✇❤✐❝❤ st❛t❡s t❤❛t ❡✈❡♥ ✐❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s V (z ∗ ) ❛♥❞ V (z ∗ ) ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✱ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ t❤✉s p∗ = p∗ ✳ ■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t p∗ = p∗ ✱ t❤✉s limn→∞ p(n) = p∗ ✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ⊔ ⊓

❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✺ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠ ✐s s♦❧✈❡❞ ❜② t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✻✳✸✹✮✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ♣♦✐♥t γ ❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ S ✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛r❜✐tr❛r② t❛r❣❡ts γ ′ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ γ = γ ′ /C(γ ′ )✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ♥♦t ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ ❜❡❢♦r❡❤❛♥❞ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✉♠ C(γ ′ ) ✇♦✉❧❞ ❜❡ r❡q✉✐r❡❞✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✇❛s ❡①t❡♥❞❡❞ ✐♥ ❬✶✸✻❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❛s ♣r♦✲ ♣♦s❡❞✳ 1 Γ I(p(n) ) . ✭✻✳✹✻✮ p(n+1) = (n) kp

k

■♥ ❡✈❡r② ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♠♦♥♦t♦♥❡ ♥♦r♠ k · k✳ ❲❡ ❤❛✈❡ αI(p(n) ) = I(αp(n) ) ✭❆①✐♦♠ ❆✷✮✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t p(n) ✐s s❝❛❧❡❞ t♦ ♥♦r♠ ♦♥❡✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ss✉♠❡❞ ❛ ❢✉❧❧② ❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ♦❢ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ r❡s✉❧ts ❬✶✸✻❪ t❤❛t t❤❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✻✳✹✻✮ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ❣❧♦❜❛❧ ♦♣t✐♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮✳

✻✳✹ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ P❊❱ ■t❡r❛t✐♦♥

✶✾✺

✻✳✹ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ P❊❱ ■t❡r❛t✐♦♥

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ P❊❱ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✻✳✷✸✮ ❝♦♥✈❡r❣❡s ✈❡r② ❢❛st ❢♦r t❤❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ✭✶✳✶✹✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥✳ ■t ✇❛s ♦❜s❡r✈❡❞ ❬✽❪ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ s♣❡❡❞ ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❚②♣✐❝❛❧❧②✱ ♦♥❧② ❛ ❢❡✇ ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛❝❝✉r❛❝② ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❜② ♦r❞❡rs ♦❢ ♠❛❣♥✐✲ t✉❞❡s✳ ❆❧s♦✱ ✐t ✇❛s ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐s ♥♦t ♠✉❝❤ ✐♥✢✉❡♥❡❝❡❞ ❜② t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡ ✐s ✉♥❦♥♦✇♥✱ ❛♥❞ ❛ ❢♦r♠❛❧ ❛♥❛❧②s✐s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ❞✐✣❝✉❧t✳ ❖♥❡ ❞✐✣❝✉❧t② ✐s t❤❡ ♥♦♥✲✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✱ ❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✳✷✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✳ ■♥ ❈❤❛♣t❡r ✺ ❛ s✐♠✐❧❛r ♣r♦❜❧❡♠ ♦❝❝✉rr❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ✇❛s s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❛♥❛❧②③❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ♥♦♥✲s♠♦♦t❤ ❛♥❛❧✲ ②s✐s✳ ❇② ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ s❡♠✐✲s♠♦♦t❤♥❡ss ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s✉♣❡r❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❛s s❤♦✇♥ ❬✼❪✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇❛s s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❛♥❛❧②③❡❞ ❬✼✱ ✼✹✱ ✶✸✵❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ s❛♠❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❤✐❝❤ s❡❡♠s t♦ ❜❡ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❤❛♥❞❧❡✳ ❚❤❡ ❝r✉❝✐❛❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t ❡♥❛❜❧❡❞ ✉s t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✺ ✇❛s✱ t❤❛t t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s t❤❡ s❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r♦♦t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡① s❡♠✐✲s♠♦♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✺✳✸✶✮✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ ✐t s❡❡♠s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ s❛♠❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ t❤❡ P❊❱ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✻✳✷✸✮✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t γ ✐s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥t✱ ✐✳❡✳✱ C(γ) = 1✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❡r p∗ ♦❢ t❤❡ ♠❛①✲♠✐♥ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✻✳✶✮ ✐s ❛❧s♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❛s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳ ■t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ r♦♦t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ d(p) = p − Γ I(p) .

✭✻✳✹✼✮

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ✐s ✇❤❡r❡ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② t♦ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ s❡❡♠s t♦ ❡♥❞✳ ❚❤❡ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛s ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ t❤❛♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ◆❛♠❡❧②✱ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❧② ❛ s✐♥❣❧❡ ♣♦✐♥t pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t d(p) ˆ ≥ 0 ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ ❛♥❞ t❤✐s ♣♦✐♥t ✐s t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠✱ ✐✳❡✳✱ pˆ = p∗ ✇✐t❤ d(p) ˆ = 0✳ ❆❧s♦✱ ❡❛❝❤ ♥♦♥✲♦♣t✐♠❛❧ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ p > 0✱ p 6= p∗ ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♠❛tr✐① V (z(p)) ∈ M(p)✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛ P❡rr♦♥ r♦♦t

ρ Γ V (z(p)) > 1✱ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ min
z∈Z ρ Γ V (z) = 1 ✐s t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s✱ t❤❛t ❡✈❡♥ ✐❢ I − Γ V (z(p)) ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r✱ ✐ts ✐♥✈❡rs❡ ❝♦♥t❛✐♥s ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤✉s✱ ❛ ❦❡② ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭✺✳✾✮✱ ✐s ♥♦t ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦r t❤❡ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✳

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

❆✳✶ ■rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✶ ✭✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✮✳ ❆♥② K ×K ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐① D ✐s ✐rr❡✲

G(D) ✐s str♦♥❣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞✳ ❚❤❡ ❣r❛♣❤ K ♥♦❞❡s✳ ❆ ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s (Ni , Nj ) ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❞✐r❡❝t❡❞ ❡❞❣❡ ✐❢ [D]ij > 0✳ ❆ ❣r❛♣❤ ✐s ❝❛❧❧❡❞ str♦♥❣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✐❢ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s (Ni , Nj ) t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞✐r❡❝t❡❞ ❡❞❣❡s ❧❡❛❞✐♥❣ ❢r♦♠ Ni t♦ Nj ✳ ❞✉❝✐❜❧❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐ts ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤

G(D)

❝♦♥s✐sts ♦❢

▼❛tr✐❝❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛r❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ r❡❞✉❝✐❜❧❡✳

❚❤✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ❆✳✶ ❛♥❞ ❋✐❣✳ ❆✳✷✳

V12

1 

0 0 V = 0 0

V12 0 0 0

V13 V23 0 0



V14 V24   V34  0

G(V )✿

V14

V23 V13 V24 4

❋✐❣✳ ❆✳✶✳

V

✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡

2

⇔

t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤

V34 G(V )

3 ✐s ♥♦t ❢✉❧❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞

❆ sq✉❛r❡ ♠❛tr✐① ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦❢ r♦✇s ❛♥❞ ❝♦❧✉♠♥s ✭❂r❡♥✉♠❜❡r✐♥❣ ♦❢ ✉s❡rs✮ s✉❝❤ t❤❛t



A 0 CB



✇❤❡r❡ ❆ ❛♥❞ ❇ ❛r❡ sq✉❛r❡ ♠❛tr✐❝❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② t❤❡ s❛♠❡ s✐③❡✳

✶✾✽

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

V12

1 

0  0 V =  0 V41

V12 0 0 0

V13 V23 0 0



V14 V24   V34  0

G(V )✿

V14

2 V23

V41 V24 4

V13 3

V34

V ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ⇔ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ G(V ) ✐s ❢✉❧❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞✱ ✐✳❡✳✱ ✐t L = 4 ♥♦❞❡s N1 , . . . , NL ✳ ❆ ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s (Ni , Nj ) ✐s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❞✐r❡❝t❡❞ ❡❞❣❡ ✐❢ [AI ]ij > 0✳ ❆ ❣r❛♣❤ ✐s ❝❛❧❧❡❞ str♦♥❣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✐❢ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s (Ni , Nj ) t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞✐r❡❝t❡❞ ❡❞❣❡s ❧❡❛❞✐♥❣ ❢r♦♠ Ni t♦ Nj ✳ ❋✐❣✳ ❆✳✷✳

❝♦♥s✐sts ♦❢

❆✳✷ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ ▼✐♥✲▼❛① ❛♥❞ ▼❛①✲▼✐♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ▲❡♠♠❛ ❆✳✷✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥② ❝♦♠♣❛❝t s❡t

X ⊂ Rn ✱

✇❡ ❤❛✈❡

min f (x) =

x∈X

f : Rn 7→ Rn++ ✳

1 1 max f (x)

❋♦r

✭❆✳✶✮

x∈X

❚❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐♥t❡r❝❤❛♥❣✐♥❣ Pr♦♦❢✳

max

❛♥❞

min✳

❇② t❤❡ ❡①tr❡♠❡ ✈❛❧✉❡ t❤❡♦r❡♠✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ x0 s✉❝❤ t❤❛t 1 −1  1 −1 ≥ max . x∈X f (x) f (x0 )

✭❆✳✷✮

1 −1  1 −1 = = f (x1 ) ≥ min f (x) . x∈X f (x) f (x1 )

✭❆✳✸✮

min f (x) = f (x0 ) =

x∈X

▲✐❦❡✇✐s❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ x1 s✉❝❤ t❤❛t 

max x∈X



❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭❆✳✷✮ ❛♥❞ ✭❆✳✸✮✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡s❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ⊔ ⊓ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ❙■❘✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② γk ✳ f (p) = min

❙■❘k (p)

k∈K

γk

,

♦♥ RK ++ .

✭❆✳✹✮

❙✐♥❝❡ p > 0 ❛♥❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❆①✐♦♠ ❆✶✱ ✇❡ ❤❛✈❡ f (p) > 0 ❛♥❞ supp f (p) > 0✱ t❤✉s 1 1 inf = ✭❆✳✺✮ p

f (p)

supp f (p)

▲❡♠♠❛ ❆✳✷ ❡❛s✐❧② ❡①t❡♥❞s t♦ ✜♥✐t❡ s❡ts✱ t❤✉s

❆✳✸ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ◗♦❙ ❙❡ts

f (p) = min k∈K

❙■❘k (p) γk

=



max k∈K

γk ❙■❘k (p)

−1

.

✶✾✾

✭❆✳✻✮

❈♦♥s✐❞❡r s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r② P ⊆ RK ++ ✳ ■❢ f (p) ❤❛s ❛ ✜♥✐t❡ s✉♣r❡♠✉♠✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ !−1   ❙■❘k (p)  γk  sup min = inf max = C(γ) . p∈P k∈K ❙■❘k (p) γk p∈P k∈K

✭❆✳✼✮

❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ✐♥❢✲♠❛① ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ)✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✶✳✹✳✺✱ ✐s ❞✐r❡❝t❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ❙■❘✳ ■❢ t❤❡ s✉♣r❡♠✉♠ ♦❢ f (p) ✐s ♥♦t ✜♥✐t❡✱ t❤❡♥ C(γ) = 0✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t ❛r❜✐tr❛r② γ > 0 ❝❛♥ ❜❡ s✉♣♣♦rt❡❞✳ ❆✳✸ ▲♦❣✲❈♦♥✈❡① ◗♦❙ ❙❡ts

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✻✳✶ ❛♥❞ ❢✉rt❤❡r ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹✳✹✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆✳✸ ✭ ❬✺❪✮✳ ■❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ C γ(q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ Pr♦♦❢✳

QK ✳

❈♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥ts q, ˆ qˇ ∈ QK ✱ ❜❡✐♥❣ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡ q(λ) = (1 − λ)ˆ q + λˇ q,

λ ∈ [0, 1] .

✭❆✳✽✮

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣♦✐♥t qˆ✳ ❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✶✳✷✷✮ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ǫ > 0 ❛♥❞ ❛ ✈❡❝t♦r pˆ := p(ǫ) ˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t max log k∈K


γk (ˆ qk ) · Ik (p) ˆ ≤ log C γ(q) ˆ +ǫ. [p] ˆk

✭❆✳✾✮

❆ s✐♠✐❧❛r ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ♣♦✐♥t qˇ✱ ✇✐t❤ pˇ > 0✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s qˆ = esˆ ❛♥❞ qˇ = esˇ✱ ✇✐t❤ s(λ) = (1 − λ)ˆ s + λˇ s,

λ ∈ [0, 1] .

✭❆✳✶✵✮


◆♦✇✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s γk (qk ) ❛♥❞ Ik es ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✳ ❙✐♥❝❡ esk ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦✐♥t✲✇✐s❡
♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❬✷✸❪✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ik es /esk

✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳ ❚❤✉s✱




✷✵✵

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①



Ik es(λ)  log γk qk (λ) · esk (λ)

Ik es(λ) = log γk qk (λ) + log esk (λ) ≤ (1 − λ) log γk (ˆ qk ) + λ log γk (ˇ qk )



Ik esˆ Ik esˇ + (1 − λ) log + λ log esˆk esˇk

s ˆ γk (ˆ qk ) · Ik e γk (ˇ qk ) · Ik esˇ + λ log = (1 − λ) log esˆ
k esˇk
≤ (1 − λ) log C γ(ˆ q ) + λ log C γ(ˇ q) + 2ǫ ,

✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭❆✳✾✮✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱



  γk qk (λ) · Ik es max log k∈K esk s∈RK +

≤ (1 − λ) log C γ(q) ˆ + λ log C γ(ˇ q ) + 2ǫ.


log C q(λ) = inf

✭❆✳✶✶✮

❚❤✐s ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② ǫ > 0✳ ❚❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭❆✳✶✶✮ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ǫ✱
s♦ ❧❡tt✐♥❣ ǫ → 0 ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t C γ(q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ QK ✳ ⊔ ⊓

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ pmin (q)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✺✷✮ ✐♥ ❙✉❜s❡❝✲ t✐♦♥ ✷✳✼✳✶✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆✳✹ ✭ ❬✺❪✮✳ ■❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ pmin (q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✳

❈♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ❢❡❛s✐❜❧❡ ◗♦❙ ♣♦✐♥ts qˆ, qˇ ∈ int Q✱ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡ q(λ)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭❆✳✽✮✳ ▲♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ✐♠♣❧✐❡s Pr♦♦❢✳


γk qk (λ) ≤ γk (ˆ qk )1−λ · γk (ˇ q k )λ ,

∀k ∈ K .

✭❆✳✶✷✮

❇② pˆ := pmin (ˆ q ) ❛♥❞ pˇ := pmin (ˇ q ) ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✳✺✷✮ ❢♦r ❣✐✈❡♥ t❛r❣❡ts qˆ ❛♥❞ qˇ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✶❪ t❤❛t t❤❡s❡ ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥s γk (ˆ qk ) · Ik (p) ˆ = pˆk , γk (ˇ qk ) · Ik (p) ˇ = pˇk ,

∀k ∈ K , ∀k ∈ K .

✭❆✳✶✸✮ ✭❆✳✶✹✮

◆♦✇✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s pˆ = exp sˆ ✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡✮ ❛♥❞ pˇ = exp sˇ✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥ts sˆ ❛♥❞ sˇ ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡ s(λ)✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭❆✳✶✵✮✳ ❇❡❝❛✉s❡ Ik (es ) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ RK ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ Ik (exp s(λ)) ≤ Ik (exp sˆ)1−λ · Ik (exp sˇ)λ ,

❉❡✜♥✐♥❣

∀k ∈ K .

p(λ) := exp s(λ) = pˆ1−λ · pˇλ ,

✭❆✳✶✺✮ ✭❆✳✶✻✮

❆✳✹ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✷✵✶

✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✶✺✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s
Ik p(λ) ≤ Ik (p) ˆ 1−λ · Ik (p) ˇλ.

✭❆✳✶✼✮

❲✐t❤ ✭❆✳✶✷✮✱ ✭❆✳✶✻✮✱ ❛♥❞ ✭❆✳✶✼✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡

γk qk (λ) · Ik p(λ) pk (λ)

γk (ˆ qk )1−λ · γk (ˇ qk )λ · Ik (p) ˆ 1−λ · Ik (p) ˇλ pk (λ)  1−λ  λ γk (ˇ qk ) · Ik (p) ˇ γk (ˆ qk ) · Ik (p) ˆ · . = (ˆ pk ) (ˇ pk ) ≤

✭❆✳✶✽✮

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ✭❆✳✶✸✮ ❛♥❞ ✭❆✳✶✹✮✱ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✶✽✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s
pk (λ)
≥ γk qk (λ) , Ik p(λ)

∀k ∈ K .

❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❛♥② λ ∈ [0, 1]✱ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(λ) ❛❝❤✐❡✈❡s t❤❡ ◗♦❙ t❛r❣❡ts
q(λ)✳ ❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t pmin q(λ) ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✷✳✺✷✮✱ ❛❝❤✐❡✈❡s q(λ) ✇✐t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦✇❡r ❬✶❪✱ t❤✉s
pmin q(λ) ≤ pk (λ) , k

✭❆✳✶✾✮

∀k ∈ K .

❲✐t❤ ✭❆✳✶✻✮ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t



1−λ
λ pmin q(λ) ≤ pˆk · pˇk k
1−λ
λ = pmin (ˆ q) · pmin (ˇ q) , k k

∀λ ∈ [0, 1] .

❚❤✐s s❤♦✇s t❤❛t pmin (q) ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♦♥ int Q ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ k

⊔ ⊓

❆✳✹ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

❆ss✉♠❡ t❤❛t I(p) ♦♥ RK ++ ✐s s♠♦♦t❤✱ ✐✳❡✳✱ ❛❧❧ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❡①✐st✳ ❲✐t❤ I(λp) = λI(p) ✭❆①✐♦♠ ❆✷✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❝❤❛✐♥ r✉❧❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ K

K

k=1

k=1

X ∂Ik (λp) X ∂Ik (p) dIk (λp) = Ik (p) = pk = pk . dλ ∂(λpk ) ∂pk

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ∇Ik (p) = ❛s

h

∂Ik (p) ∂Ik (p) ∂p1 , . . . , ∂pK

Ik (p) = ∇Ik (p) · p .

i

✭❆✳✷✵✮

✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ✭❆✳✷✶✮

❆ ❝♦♠♣♦♥❡♥t (k, l) ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① ✭✷✳✾✮ ❡q✉❛❧s ♦♥❡ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ δl (p) > 0 s✉❝❤ t❤❛t Ik (p − δel ) ✐s str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❢♦r

✷✵✷

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

0 ≤ δ ≤ δl (p)✳ ❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ lt❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ∇Ik (p) ✐s ♥♦♥✲③❡r♦✳

■❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ t❤❡♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✸✳✷✸✮ ❤♦❧❞s✱ ❛♥❞ Ik (p) =

min

w k ∈N0 (Ik )

wTk p .

❋♦r ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ p✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① W = [w1 , . . . , wK ]T ✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡♥tr② ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① ❡q✉❛❧s ♦♥❡✳ ❆✳✺ ◆♦♥✲❙♠♦♦t❤ ❆♥❛❧②s✐s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✺ ✭❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✮✳ ❚❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ F ′ (x, h) ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ F : Rn 7→ Rm ❛t ❛ ♣♦✐♥t x ✐♥ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ h ✭✉♥✐t② ✈❡❝t♦r✮ ❡①✐sts ✐❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♠✐t ❡①✐sts✿ F (x + t · h) − F (x) . t→0 t

F ′ (x, h) = lim

■❢ t❤✐s ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ h ∈ Rn ✱ t❤❡♥ F ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t x✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✻ ✭❇✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡✮✳ ❬✶✷✾❪✿ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ F : Rn 7→ Rm ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t ❛ ♣♦✐♥t x ✐❢ ✐t ✐s ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t x ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♠✐t ❡①✐sts ❛♥❞ ✐s ✜♥✐t❡✳ kF (x + h) − F (x) − F ′ (x, h)k =0. khk khk→0 lim

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠

F (x + h) = F (x) + F ′ (x, h) + o(khk)

❛s khk → 0✳

■♥ ❛ ✜♥✐t❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✱ ❙❤❛♣✐r♦ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✶✷✾❪✮ s❤♦✇❡❞ t❤❛t ❛ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ F ✐s ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t x ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t x✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t F ✐s ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t x✳ ❲❡ s❛② t❤❛t F ✐s ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷ ❛t x ✐❢ F (x + h) = F (x) + F ′ (x, h) + O(khk2 )

❛s khk → 0✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✼ ✭s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✳ ❬✶✷✾❪✿ ▲❡t F : Rn 7→ Rm ❜❡ ❇✲ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ x✳ ❚❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ F ′ ✐s s❡♠✐✲ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛t x ✐❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ǫ > 0✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ N ♦❢ x s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❛❧❧ h ✇✐t❤ x + h ∈ N ✱

❆✳✻ ❘❛t✐♦ ♦❢ ❙❡q✉❡♥❝❡s

✷✵✸

kF ′ (x + h, h) − F ′ (x, h)k ≤ ǫ · khk .

❚❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ F ′ ✐s s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷ ❛t x✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t L ❛♥❞ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ N ♦❢ x s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❛❧❧ h ✇✐t❤ x + h ∈ N ✱ kF ′ (x + h, h) − F ′ (x, h)k ≤ L · khk2 .

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✽ ✭s❡♠✐✲s♠♦♦t❤✮✳ F ✐s s❡♠✐✲s♠♦♦t❤ ❛t x ✐❢ F ✐s ❇✲❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t x ❛♥❞ F ′ ✐s s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛t x✳ ■❢ ❛ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ F ✐s ❛❧s♦ ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ ✐t ✐s s❡♠✐✲s♠♦♦t❤ ❢♦r ❛❧❧ x ❬✶✷✾❪✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❤♦❧❞s ❢♦r ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆✳✾ ✭❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✮✳ ▲❡t t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ {p(n) } ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦ p∗ s✉❝❤ t❤❛t lim sup n→∞

kp(n+1) − p∗ k =C 0 ❢♦r r + 1 ≤ l ≤ K ✳ ❲❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡q✉❡♥❝❡ {ǫ(n) }n∈N ✱ ✇✐t❤ (n)

T ǫ(n) = [ǫ1 , . . . , ǫ(n) r ] >0

❛♥❞ limn→∞ ǫ(n) = [0, . . . , 0]T ✳ ❲✐t❤ t❤❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ p✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ (n)

T K p(n) = [ǫ1 , . . . , ǫ(n) r , pr+1 , . . . , pK ] ∈ R++ .

✭❆✳✷✾✮

◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ ♥✉❧❧ s❡q✉❡♥❝❡s ǫ(n) ✳ ❚❤❡② ❛❧❧ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❧✐♠✐t p = limn→∞ p(n) ✳ ❚❤❡ ✜rst ❧❡♠♠❛ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛❧✇❛②s t❤❡ s❛♠❡✱ ✐rr❡s♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ p(n) ✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ++ ✳ ❋♦r ❛♥② p ∈ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✈❛❧✉❡ I c (p) = I c (pr+1 , . . . , pK ) s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ (n) (n) ♣♦ss✐❜❧❡ ♣♦s✐t✐✈❡ s❡q✉❡♥❝❡s {ǫ(n) ✱ 1 }, . . . , {ǫr }✱ n ∈ N✱ ✇✐t❤ p = limn→∞ p ✇❡ ❤❛✈❡ lim I(p(n) ) = I c (p) . ✭❆✳✸✵✮ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸✳

RK +

n→∞

Pr♦♦❢✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ (n)

ǫ(n) = max ǫk 1≤k≤K

(n)

ǫ(n) = min ǫk 1≤k≤K

.

❋♦r ❛❧❧ n ∈ N ✇❡ ❤❛✈❡ ǫ(n) ≥ ǫ(n) > 0✳ ❲✐t❤ p(n) = [ǫ(n) , . . . , ǫ(n) , pr+1 , . . . , pK ]T p(n) = [ǫ(n) , . . . , ǫ(n) , pr+1 , . . . , pK ]T

✇❡ ❤❛✈❡ p(n) ≤ p(n) ≤ p(n) ✱ t❤✉s I(p(n) ) ≤ I(p(n) ) ≤ I(p(n) )✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐st ❧✐♠✐ts C 1 = lim sup I(p(n) ) n→∞

C 1 = lim inf I(p(n) ) n→∞

✷✵✻

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

❲❡ ❤❛✈❡

C 1 ≤ lim inf I(p(n) ) ≤ lim sup I(p(n) ) ≤ C 1 . n→∞

n→∞

✭❆✳✸✶✮

◆❡①t✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② v ∈ N✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ limn→∞ ǫ(n) = limn→∞ ǫ(n) = 0✱ t❤✉s t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ n0 = n0 (v) s✉❝❤ t❤❛t ǫ(n) ≤ ǫ(v) ❢♦r ❛❧❧ n ≥ n0 ✳ ❚❤✉s✱ p(n) ≤ p(v) ✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ ❆✸ ✇❡ ❤❛✈❡ I(p(n) ) ≤ I(p(v) )✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ C 1 ≤ I(p(v) )✳ ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❢♦r ❛♥② v ∈ N✱ t❤✉s C 1 ≤ lim inf I(p(v) ) = C 1 . ✭❆✳✸✷✮ v→∞

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭❆✳✸✷✮ ✇✐t❤ ✭❆✳✸✶✮ ✇❡ ❤❛✈❡ C 1 = C 1 ✳ ❋r♦♠ ✭❆✳✸✶✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts I c = limn→∞ I(p(n) )✳ ❚❤✐s ❧✐♠✐t ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ♥✉❧❧ s❡q✉❡♥❝❡s✳ ⊔ ⊓ ❇❛s❡❞ ♦♥ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ s❝❛❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✭❆✷✮ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✿

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ++ ✳ ✳ ❋♦r ❛❧❧ λ > 0 ✇❡ ❤❛✈❡

▲❡♠♠❛ ❆✳✶✹✳

▲❡t p ∈

RK +

I c (λp) = λI c (p) .

✭❆✳✸✸✮

Pr♦♦❢✳ ❋♦r ❛♥② p(n) > 0 ✇❡ ❤❛✈❡ I(λp(n) ) = λI(p(n) )✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭❆✳✸✵✮ ❛♥❞ limn→∞ I(αp(n) ) = I c (αp)✳ ⊔ ⊓ ❆❧s♦ ❜❛s❡❞ ♦♥ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✺✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✉♥❞❡r t❤❡ r❡str✐❝t✐✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ ✈❡❝✲ t♦rs ❤❛✈❡ ③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ❛t t❤❡ s❛♠❡ ♣♦s✐t✐♦♥s✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ RK ++ ✳ ▲❡t pˆ ❛♥❞ pˇ ❜❡ t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦rs ❢r♦♠ RK ˆl = pˇl = 0 ❢♦r 1 ≤ l ≤ r + ✇✐t❤ p ❛♥❞ pˆl ≥ pˇl > 0 ❢♦r r + 1 ≤ l ≤ K ✳ ❚❤❡♥ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✺✳

I c (p) ˆ ≥ I c (p) ˇ .

✭❆✳✸✹✮

Pr♦♦❢✳ ▲❡t ǫ(n) > 0 ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥✉❧❧ s❡q✉❡♥❝❡✱ ❛♥❞ pˆ(n) = [ǫ(n) , . . . , ǫ(n) , pˆr+1 , . . . , pˆK ]T pˇ(n) = [ǫ(n) , . . . , ǫ(n) , pˇr+1 , . . . , pˇK ]T .

❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t limn→∞ I(pˆ(n) ) = I c (p) ˆ ❛♥❞ limn→∞ I(pˇ(n) ) = (n) (n) I c (p) ˇ ✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② I(pˆ ) ≥ I(pˇ ) ✐♠♣❧✐❡s ✭❆✳✸✹✮✳ ⊔ ⊓ ◆♦t❡✱ t❤❛t ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✺ ❞♦❡s ♥♦t s❤♦✇ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② pˆ ≥ pˇ✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✺ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr✐❡s ❛r❡ ✜①❡❞✳ ❙♦ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ ❆✸ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❡①t❡♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡q✉❡♥❝❡ {p(n) } > 0✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣r❡✈✐✲ ♦✉s ▲❡♠♠❛s ❆✳✶✸✱ ❆✳✶✹✱ ❛♥❞ ❆✳✶✺✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳ ■t ❡①t❡♥❞s ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛r❜✐tr❛r② s❡q✉❡♥❝❡s ❢r♦♠ RK ++ ✳ ❚❤✐s ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❜❛s✐s ❢♦r ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼✱ ✇❤❡r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ I c ✐s s❤♦✇♥✳

❆✳✽ ❈♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥s ♦❢ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❋✉♥❝t✐♦♥s

✷✵✼

(n) p ∈ RK = + ❜❡ ❛r❜✐tr❛r②✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡q✉❡♥❝❡ p (n) (n) ✇✐t❤ ǫk ∈ R++ ✱ ❛♥❞ limn→∞ p = p✱ ✇❡ ❤❛✈❡

▲❡♠♠❛ ❆✳✶✻✳ ▲❡t

(n)

(n)

[ǫ1 , . . . , ǫK ]T ✱

✭❆✳✸✺✮

lim I(p(n) ) = I c (p) .

n→∞ (n)

(n) =p+δ ❈♦♥s✐❞❡r δ = maxk |p(n) k − pk | ❛♥❞ p ❛❧❧✲♦♥❡s ✈❡❝t♦r✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✺ ✇❡ ❤❛✈❡

Pr♦♦❢✳

I(p(n) ) ≥ I c (p)

I(p

(n)

) ≥ I(p

(n)

(n)

1✱ ✇❤❡r❡ 1 ✐s t❤❡

✭❆✳✸✻✮ ✭❆✳✸✼✮

).

❚❤✉s✱ lim inf I(p(n) ) ≥ I c (p)

✭❆✳✸✽✮

lim inf I(p(n) ) ≥ lim inf I(p(n) )

✭❆✳✸✾✮

lim sup I(p(n) ) ≥ lim sup I(p(n) ) .

✭❆✳✹✵✮

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ǫ > 0 ❛♥❞ K+ = {k ∈ {1, 2, . . . , K} : pk > 0}✳ ❚❤❡r❡ (n) ❡①✐sts ❛ n0 = n0 (ǫ) s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ n ≥ n0 ✇❡ ❤❛✈❡ δ ≤ ǫ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ( 1 k ∈ K+ [1K+ ]k = 0 k∈ / K+ .

c ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ♦❢ K+ ✐s K+ = K\K+ ✳ ❋♦r ❛❧❧ n ≥ n0 ✇❡ ❤❛✈❡

p≤p+δ

❛♥❞ t❤✉s

(n)

I c (p) ≤ I(p + δ

❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✸ ✇❡ ❤❛✈❡

1 ≤ p + ǫ1K+ + δ

(n)

(n)

c , 1K+

1) ≤ I(p + ǫ1K+ + δ

lim I(p + ǫ1K+ + δ

n→∞

(n)

(n)

1Kc+ ) .

c ) = I(p + ǫ1K ) . 1K+ +

✭❆✳✹✶✮ ✭❆✳✹✷✮ ✭❆✳✹✸✮

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭❆✳✹✷✮ ❛♥❞ ✭❆✳✹✸✮ ②✐❡❧❞s I c (p) ≤ lim sup I(p + δ

(n)

n→∞

1) ≤ I(p + ǫ1K+ ) .

✭❆✳✹✹✮

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ I c ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭▲❡♠♠❛s ❆✳✶✺ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛s ❆✳✶✹✮✳ ■t ✐s t❤✉s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❢r♦♠ K+ ✳ ❘❡❧❛t✐♦♥ ✭❆✳✹✹✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ ǫ > 0✱ t❤✉s ❧❡tt✐♥❣ ǫ → 0✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✭❆✳✹✹✮ ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❲❡ t❤✉s ❤❛✈❡ I c (p) = lim sup I(p(n) ) . n→∞

✭❆✳✹✺✮

✷✵✽

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

❇② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ p(n) = p + δ ✭❆✳✹✵✮ ❛♥❞ ✭❆✳✹✺✮ ②✐❡❧❞s

(n)

1✱ t❤✉s I c (p) = limn→∞ I(p(n) )✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣

✭❆✳✹✻✮

I c (p) ≥ lim sup I(p(n) ) . n→∞

◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✈❡❝t♦r p˜(n) ✱ ❞❡✜♥❡❞ ❛s (n)

[p˜

( (n) pk ]k = 0

k ∈ K+ k∈ / K+ .

✭❆✳✹✼✮

❲❡ ❤❛✈❡ limn→∞ p˜(n) = p✳ ❆❣❛✐♥✱ ✇❡ ❡①♣❧♦✐t t❤❛t I c ✐s ❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥✱ s♦ ✐t ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❢r♦♠ K+ ✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ limn→∞ I c (p˜(n) ) = I c (p)✳ ❙♦ ✇✐t❤ p˜(n) ≤ p(n) ❛♥❞ ✭❆✳✹✻✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ I c (p) = lim I c (p˜(n) ) ≤ lim inf I(p(n) ) n→∞

n→∞

≤ lim sup I(p(n) ) ≤ I c (p) . n→∞

❲❡ ❤❛✈❡ lim inf n→∞ I(p(n) ) ≤ limn→∞ I(p(n) ) ≤ lim supn→∞ I(p(n) )✱ s♦ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤❛t ✐s✱ I c (p) = limn→∞ I(p(n) )✳

⊔ ⊓

❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✻ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✭❆✸✮ ❤♦❧❞s ♦♥ t❤❡ K ❡①t❡♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥ RK + ✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ R++ ✳ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✼✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r②

p, ˆ pˇ ∈ RK +✱

✇✐t❤

pˆ ≥ pˇ✳

❚❤❡♥

I(p) ˆ ≥ I(p) ˇ . Pr♦♦❢✳

✭❆✳✹✽✮

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✻✱ t❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✺✳ ⊔ ⊓

❆✳✾ Pr♦♦❢s Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✻

❈♦♥s✐❞❡r ❛r❜✐tr❛r② k, l ∈ K s✉❝❤ t❤❛t [D I ]kl = 1✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ rˆ > 0 ❛♥❞ δˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ˆ l) . Ik (ˆ r ) < Ik (ˆ r + δe ✭❆✳✹✾✮ ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② δ s✉❝❤ t❤❛t δ > δˆ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ rˆl < rˆl + δˆ < rˆl + δ ✱ s♦ t❤❡r❡ ✐s ❛ λ = λ(δ) ∈ (0, 1) s✉❝❤ t❤❛t ˆ = (1 − λ) log rˆl + λ log(ˆ log(ˆ rl + δ) rl + δ) .

❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ❤❛✈❡

✭❆✳✺✵✮

❆✳✾ Pr♦♦❢s

rˆl + δˆ = (ˆ rl )1−λ · (ˆ rl + δ)λ .

✷✵✾

✭❆✳✺✶✮

❚❤❡ ✈❛❧✉❡ λ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✭❆✳✺✵✮ ❤♦❧❞s ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② log 1 + 1 = λ log 1 +




δ rˆl
δˆ rˆl

.

✭❆✳✺✷✮

❇❡❝❛✉s❡ Ik ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✭✶✳✷✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❲✐t❤ ✭❆✳✺✶✮ ✇❡ ❤❛✈❡

1−λ
λ ˆ l ≤ Ik (ˆ Ik rˆ + δe r) · Ik (ˆ r + δel ) .

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s


 λ ˆ l Ik rˆ + δe Ik (ˆ r + δel ) ≤ . Ik (ˆ r) Ik (ˆ r)


ˆ l /Ik (ˆ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t C1 = Ik rˆ + δe r ) > 1 s✉❝❤ t❤❛t
1/λ Ik rˆ + δel ≥ C1 · Ik (ˆ r) .

✭❆✳✺✸✮

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭❆✳✺✷✮ ❛♥❞ ✭❆✳✺✸✮ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t lim Ik (ˆ r + δel ) = +∞ ,

δ→∞

✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s [AI ]kl = 1✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♣r♦♦❢ ❢♦❧❧♦✇s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✽

ˆI = ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐st ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s P (1) ✱ P (2) s✉❝❤ t❤❛t D (1) (2) P DI P ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✇✐t❤ ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r ❢♦r ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✳✻✹✮✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ˆ I ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡♥✱ t❤✐s ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ✜rst ❞✐s❝✉ss t❤❡ s✐♠♣❧❡r ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ D t♦ ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✳ ❙✐♥❝❡ ✭✹✳✼✸✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✹ ✐♠♣❧✐❡s P F (I) > −∞✱ s♦ ❢♦r ❡✈❡r② ǫ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p(ǫ) > 0 s✉❝❤ t❤❛t X

k∈K


Ik p(ǫ) ≤ P F (I) + ǫ . log pk (ǫ)

✭❆✳✺✹✮

❙✐♥❝❡ P F (I) ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ p(ǫ)✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t maxk pk (ǫ) = 1✳ ❙♦ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥✉❧❧ s❡q✉❡♥❝❡ {ǫn }n∈N ❛♥❞ ❛ p∗ ≥ 0✱ ✇✐t❤ maxk p∗k = 1✱ s✉❝❤ t❤❛t lim p(ǫn ) = p∗ .

n→∞

✷✶✵

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t p∗ > 0✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤✐s ✐s ♥♦t ❢✉❧✜❧❧❡❞✱ t❤❡♥ p∗ ❤❛s r ③❡r♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✉s❡r ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ s✉❝❤ t❤❛t lim pl (ǫn ) =

n→∞

(

0, l = 1, . . . , r ∗ pl > 0, l = r + 1, . . . , K .

✭❆✳✺✺✮

❚❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ❛♥ ♦r❞❡r✐♥❣ ✐s ❥✉st✐✜❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ❢♦r ❛♥② ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① P t❤❡ ♣r♦❞✉❝t P DI P T st✐❧❧ ❤❛s t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✭✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✲ ✐t②✱ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❛❢t❡r r♦✇ ♦r ❝♦❧✉♠♥ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✮✳ ❚❤❡ ✜rst r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ p(ǫ
n ) t❡♥❞ t♦ ③❡r♦✱ s♦ ❢♦r ❛♥② C > 0 ❛♥❞ 1 ≤ k ≤ r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t log C/pk (ǫn ) t❡♥❞s t♦ ✐♥✜♥✐t②✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ X

k∈K


Ik p(ǫn ) log ≤ P F (I) + ǫn , pk (ǫn )

❢♦r ❛❧❧ n ∈ N,

❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✐❢
lim Ik p(ǫn ) = 0,

n→∞

k = 1, . . . , r .

✭❆✳✺✻✮

❈♦♥s✐❞❡r em ✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✷✳✹✮✳ ❋♦r ❛♥② m, k ∈ K ✇❡ ❤❛✈❡

Ik p(ǫn ) ≥ Ik p(ǫn ) ◦ em = Ik (em ) · pm (ǫn ) .

✭❆✳✺✼✮

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭❆✳✺✺✮✱ ✭❆✳✺✻✮✱ ❛♥❞ ✭❆✳✺✼✮ ②✐❡❧❞s


0 = lim Ik p(ǫn ) ≥ Ik (em ) · p∗m , n→∞

k = 1, . . . , r , m = r + 1, . . . , K .

❙✐♥❝❡ p∗m > 0 ❢♦r m = r+1, . . . , K ✱ ❛♥❞ Ik (em ) ≥ 0✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t Ik (em ) = 0 ❢♦r m = r + 1, . . . , K ❛♥❞ k = 1, . . . , r✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ I1 , . . . , Ir ❞♦ ♥♦t ❞❡✲ ˆ I ✐s r❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ♣❡♥❞ ♦♥ pr+1 , . . . , pK ✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t D ∗ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤✉s ♣r♦✈✐♥❣ p > 0✳ ❙✐♥❝❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ RK ++ ❬✷❪✱ ✇❡ ❤❛✈❡ P F (I) ≤

X

log

k∈K

= lim

n→∞

Ik (p∗ ) p∗k

X

k∈K


Ik p(ǫn ) log ≤ P F (I) . pk (ǫn )

❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ P F (I) ✐s ❛tt❛✐♥❡❞ ❜② p∗ > 0✳ ˆ I ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❚❤❡ ◆❡①t✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ♣r♦♦❢ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ D PN l✲t❤ ❜❧♦❝❦ ♦♥ t❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❤❛s t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ Kl × Kl ✱ ❛♥❞ l=1 Kl = (l) K ✳ ❇② Ik ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ k t❤ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ lt❤ ❜❧♦❝❦✱ ✇❤❡r❡ k = 1, . . . , Kl ✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❜❧♦❝❦s ❛r❡ ❞❡✲❝♦✉♣❧❡❞✱ ✇❡ ❤❛✈❡

❆✳✾ Pr♦♦❢s

inf

p>0

✇❤❡r❡

X

✷✶✶

N

log

k∈K

Ik (p) X = P F (I (l) ) , pk

✭❆✳✺✽✮

l=1

P F (I (l) ) = inf

K

Kl X

(l)

log

l p∈R++ k=1

Ik (p) . pk

✭❆✳✺✾✮

❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ r♦✇ ♦r ❝♦❧✉♠♥ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t D I ❤❛s ˆ (l) ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❤♦❧❞s ❢♦r ❡❛❝❤ ❜❧♦❝❦ D I ♦♥ t❤❡ ♠❛✐♥ (l) ˆ I ✐s ❛❧s♦ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❙✐♥❝❡ D l ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ pˆ(l) ∈ RK ++ s✉❝❤ t❤❛t P F (I (l) ) =

Kl X

(l)

log

Ik (pˆ(l) ) (l)

pˆk

k=1

.

❉❡✜♥✐♥❣ pˆ = [(pˆ(1) )T . . . (pˆ(N ) )T ]T ✇❡ ❤❛✈❡ P F (I) =

N X

P F (I (l) ) =

l=1

K X

log

k=1

Ik (p) ˆ , pˆk

✭❆✳✻✵✮

✇❤✐❝❤ ❝♦♠♣❧❡t❡s t❤❡ ✜rst ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r pˆ > 0 ✇❤✐❝❤ ❛tt❛✐♥s t❤❡ ✐♥✜♠✉♠ P F (I) > −∞✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛✲ ❞✐❝t✐♦♥✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s P (1) ✱ P (2) ✱ s✉❝❤ t❤❛t P (1) DI P (2) ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✇✐t❤ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✸✸ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① Pˇ s✉❝❤ t❤❛t ˇ I = DI Pˇ ❤❛s ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① D ˇ I P T1 t❛❦❡s t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❢♦r♠ ✭✹✳✽✺✮✱ ✐✳❡✳✱ P 1 s✉❝❤ t❤❛t P 1 D 

 ˇ I P T1 =  P 1D 

˜ (1) D I

✳✳ ✳

✳✳

0

✳

) ) ˜ (r,N ˜ (N D ... D I I



 =D ˜I . 

❚❤✐s ♠❛tr✐① ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❜❧♦❝❦✲❞✐❛❣♦♥❛❧ s✐♥❝❡ ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ P 1 D I Pˇ P T1 ˇ I ❤❛s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ ✐s r✉❧❡❞ ♦✉t ❜② ♦✉r ❤②♣♦t❤❡s✐s✳ ❙✐♥❝❡ D ˜ ❛❧s♦ D I ❤❛s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ▲❡t p˜ = P 1 pˆ ❛♥❞ [I˜1 (p), ˜ . . . , I˜K (p)] ˜ T = T P 1 [I1 (p), . . . , IK (p)] ✱ t❤❡♥ inf

p>0

X X Ik (p) I˜k (p) ˜ ˜ = P F (I) . = log = P F (I) pk p˜k k∈K

k∈K

(1)

(1) 1 ×K1 ˜ I ∈ RK ✇✐t❤ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I˜1(1) , . . . , I˜K ✱ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜rst ❜❧♦❝❦ D + 1 ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❛ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p˜(1) ✱ ❣✐✈❡♥ ❛s t❤❡ ✜rst K1 ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ p˜✳ ❚❤✐s ❜❧♦❝❦ ❞♦❡s ♥♦t r❡❝❡✐✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✱ s♦

✷✶✷

❆ ❆♣♣❡♥❞✐① K1 X

log

(1) I˜k (p˜(1) ) (1)

p˜k

k=1

= P F (I˜ (1) ) = inf

K

K1 X

log

1 p∈R++ k=1

(2)

(1,2)

2 ×K2 ˜ I ∈ RK ˜I ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❜❧♦❝❦ D ✳ ■❢ D +

K2 X

k=1

log

(2) I˜k (p˜(2) ) (2)

p˜k

(1) I˜k (p) . pk

= P F (I˜ (2) ) = inf

K

K2 X

2 p∈R++ k=1

log

= 0✱ t❤❡♥

(2) I˜k (p) . pk

✭❆✳✻✶✮

(2) ■❢ D (1,2) 6= 0✱ t❤❡♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I˜k (p)✱ 1 ≤ k ≤ I (1) K2 ✱ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ p˜l ✱ l = 1, . . . , K1 ✳ ❇② s❝❛❧✐♥❣ λ · p˜(1) ✱ 0 < λ < 1✱ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ P F (I˜(1) ) r❡♠❛✐♥s ✉♥❛✛❡❝t❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❜❧♦❝❦ ✇♦✉❧❞ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✳ ❙♦ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ♥❡✇ ✈❡❝t♦r pˇ✱ ✇✐t❤ pˇ ≤ p˜✱ ✇❤✐❝❤ ❛❝❤✐❡✈❡s ❛ ❜❡tt❡r ✈❛❧✉❡

X

k∈K

log

X Ik (p) ˜ Ik (p) ˇ < log = P F (I) . pˇk p˜k k∈K

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t p˜ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❡r✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ˆ I ✐s ❜❧♦❝❦✲✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ✇✐t❤ ❛ str✐❝t❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t D Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✹✾

❆ss✉♠❡ t❤❛t g(ex ) ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② xˆ, xˇ ∈ R✱ ✇✐t❤ x(λ) = (1 −λ)ˆx +λˇx✱ ✇❡ ❤❛✈❡ g(ex(λ) ) ≤ (1 − λ)g(exˆ ) + λg(exˇ ) , ∀λ ∈ [0, 1] . ✭❆✳✻✷✮ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ck (s) = Ik (es )/esk ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❢♦r ❛❧❧ k✱ ✐✳❡✳✱
ck s(λ) ≤ ck (ˆ s)1−λ · ck (ˇ s)λ ,

λ ∈ [0, 1] ,

✭❆✳✻✸✮

✇❤❡r❡ s(λ) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭❆✳✶✵✮✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ✭❆✳✻✷✮✱ ✭❆✳✻✸✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✲ ✐t② ♦❢ g ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ 
  g elog ck (s(λ)) ≤ g exp (1 − λ) log ck (ˆ s) + λ log ck (ˇ s)

≤ (1 − λ) · g ck (ˆ s) + λ · g ck (ˇ s) .

❚❤❡ s✉♠ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❝♦♥✈❡①✱ t❤✉s t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ❝♦♥✈❡① ♦♥ RK ✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ g(ex )✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t G ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ g s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ❝♦♥✈❡① ❢♦r ❛❧❧ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I ✳ ❆❧s♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t Glin ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ g s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✶✵✾✮ ✐s ❝♦♥✈❡① ❢♦r t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 (es ) = es2 ❛♥❞ I2 (es ) = es1 ✳

❆✳✾ Pr♦♦❢s

✷✶✸

❚❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❛❧s♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✱ t❤✉s G ⊆ Glin ✳ ❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t ❛❧❧ g ∈ Glin ❛r❡ ❝♦♥✈❡①✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② g ∈ Glin ✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ F (s, α1 , α2 ) = α1 g(es2 −s1 ) + α2 g(es1 −s2 )

✭❆✳✻✹✮

✐s ❝♦♥✈❡① ✐♥ s ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✳ ❈♦♥✈❡①✐t② ✐s ♣r❡s❡r✈❡❞ ✇❤❡♥ ✇❡ s❡t s1 = 0✳ ▲❡t α2 = 1 − α1 ✳ ❆ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s❡r✐❡s ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥ ❬✷✸❪✱ t❤✉s lim F (s, α1 ) = g(es2 ) ✭❆✳✻✺✮ α1 →1

✐s ❝♦♥✈❡①✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ g(es ) ✐s ❝♦♥✈❡①✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t ❛❧❧ g ∈ G ❛r❡ ❝♦♥✈❡①✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹

❋♦r t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✿ q ❜❡ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ K × K ♠❛tr✐① W ✱ t❤❡♥ t❤❡ s❡t Oq = {z ∈ RK : q T z = 0} ❡q✉❛❧s ♦❢ (I − W )✳

▲❡♠♠❛ ❆✳✶✽✳ ▲❡t st♦❝❤❛st✐❝ t❤❡ r❛♥❣❡

❊✈❡r② r♦✇ st♦❝❤❛st✐❝ W ❢✉❧✜❧❧s W 1 = 1✱ s♦ 1 ✐s ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ♦❢ W ✳ ❙✐♥❝❡ W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r❡♠ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✺✻✱ ✺✼❪✮ t❤❛t ♦♥❧② t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ ✇❤✐❝❤ ❡q✉❛❧s t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ρ(W )✱ ❝❛♥ ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r✳ ❚❤✉s✱ W ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ρ(W ) = ρ(W T ) = 1✳ ❇❡❝❛✉s❡ W T ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧✱ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r q > 0✱ ✐s ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ kqk1 = 1 ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✳ ❲❡ ❤❛✈❡ q T W = q T ✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② q T (I − W ) = 0T ✳ ❚❤✉s✱ Pr♦♦❢✳

q T (I − W )s = 0 ,

❢♦r ❛❧❧ s ∈ RK .

✭❆✳✻✻✮

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ r❛♥❣❡ R(I − W ) = (I − W )RK ✳ ❋♦r ❛❧❧ z ∈ R(I − W )✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s ∈ RK ✇✐t❤ (I − W )s = z ✳ ❋r♦♠ ✭❆✳✻✻✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t qT z = 0✱ t❤✉s R(I − W ) ✐s ❛ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ❧②✐♥❣ ✐♥ t❤❡ (K − 1)✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ Oq ✳ ❚❤❛t ✐s✱ R(I − W ) ⊆ {z ∈ RK : q T z = 0} = Oq . ✭❆✳✻✼✮ ❋♦r ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s M ❛♥❞ N s✉❝❤ t❤❛t M ⊆ N ✱ ✐t ✐s ❦♥♦✇♥ t❤❛t dim M = dim N ✐♠♣❧✐❡s M = N ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✺✽❪✱ ♣✳ ✶✾✽✮✳ ❋r♦♠ ✭❆✳✻✼✮ ✇❡ ❤❛✈❡ dim R(I − W ) ≤ K − 1✳ ❙♦ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❧❡♠♠❛✱ ✐t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ dim R(I − W ) ≥ K − 1✱ t❤✉s ✐♠♣❧②✐♥❣ dim R(I − W ) = K − 1✳ ❇❡❝❛✉s❡ W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛♥❞ st♦❝❤❛st✐❝ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ W = B + 1q T s✉❝❤ t❤❛t I − B ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ❬✶✸✼❪✳ ❋♦r ❛♥② z ∈ Oq ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ W z = Bz + 1q T z = Bz ✳ ❚❤✉s✱ (I − B)Oq = (I − W )Oq .

✭❆✳✻✽✮

✷✶✹

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

❚❤❡ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ Oq ❤❛s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ K − 1✳ ❙✐♥❝❡ (I − B) ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ dim(I −B)Oq = K −1✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ ✭❆✳✻✽✮ ✇❡ ❤❛✈❡ dim(I −W )Oq = K −1✳ ❆❧s♦✱ (I − W )RK ⊃ (I − W )Oq ✐♠♣❧✐❡s dim R(I − W ) ≥ dim(I − W ) , Oq = K − 1 ,

✇❤✐❝❤ ❝♦♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣r♦♦❢✳

⊔ ⊓

❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ ✉s❡ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✽ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ✹✳✾ t♦ ♣r♦✈❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹✿ ❚❤❡ ♠❛tr✐① W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ s♦ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✽ ✐♠♣❧✐❡s (I − W )RK = Oq ✱ ✇❤❡r❡ Oq = {z ∈ RK : q T z = 0}✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❡✈❡r② z ∈ Oq ✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s ∈ RK ✱ s✉❝❤ t❤❛t (I − W )s = z ✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❤♦✐❝❡ z ∗ = log t − C ′ 1✱ ✇✐t❤ C ′ = q T log t✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t q T z ∗ = 0✱ t❤✉s✱ z ∗ ∈ Oq ✳ ❚❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✈❡❝t♦r s∗ s♦❧✈❡s (I − W )s∗ = log t − C ′ 1 .

✭❆✳✻✾✮

❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✹✳✾ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✇✐t❤ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥s C ′ = exp{C ′ } ❛♥❞ p∗ = exp{s∗ }✱ ✇❡ ❤❛✈❡ C ′ p∗ = Γ I(p∗ , W ) . ✭❆✳✼✵✮ ❚❤❡ ✈❡❝t♦r p∗ > 0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ Γ I(p, W )/C ′ ✳ ■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶✮ t❤❛t t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s C ′ = C(γ, W )✳ ❚❤✉s✱ p∗ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✳✷✸✮✱ ❢♦r ❣✐✈❡♥ W ✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ ♣r♦✈❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ✈❡❝t♦rs p(1) ❛♥❞ p(2) ✱ ✇✐t❤ s✉❜st✐t✉t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s s(1) ❛♥❞ s(2) ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ✇❤✐❝❤ ❢✉❧✜❧❧ (I − W )s(1) = log t − C1 = (I − W )s(2) .

❚❤❡♥✱

W (s(1) − s(2) ) = (s(1) − s(2) ) .

❙✐♥❝❡ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs ❝❛♥ ❜❡ s❝❛❧❡❞ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ✇✐t❤♦✉t ❛✛❡❝t✐♥❣ t❤❡ ♦♣✲ t✐♠✉♠ ✭✹✳✷✷✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉♠❡ (s(1) − s(2) ) > 0 ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✳ ❙✐♥❝❡ W ✐s ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ♠❛tr✐①✱ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❧② ♦♥❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r (s(1) − s(2) ) = µ1✱ t❤✉s p(1) = eµ · p(2) .

❚❤✐s s❤♦✇s ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✉♣ t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✹✳✶✺

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s W (n) ✱ 1 ≤ n ≤ i✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❞❡✜✲ ♥✐t✐♦♥✳ ❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹ t❤❛t ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡s❡ ✐s♦❧❛t❡❞ s✉❜s②st❡♠s ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✹✳✷✸✮✱ ✇❤❡r❡ ❛❧❧ q✉❛♥t✐✲ t✐❡s ❛r❡ ❝♦♥✜♥❡❞ t♦ t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ s✉❜s②st❡♠✱ ✇✐t❤ ❛ ✉♥✐q✉❡ ✭✉♣ t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣✮ (n) n ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(n) ∈ RK , W (n) )✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ++ ❛♥❞ ❛ ♠✐♥✲♠❛① ❧❡✈❡❧ C(γ

❆✳✾ Pr♦♦❢s

✷✶✺

✭✹✳✷✺✮✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ✉s❡rs Kn ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣♦✇❡rs ♦❢ ♦t❤❡r ❜❧♦❝❦s✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ Ik (p, W ) ✐♥st❡❛❞ ♦❢ Ik (p(n) , W (n) ) ❢♦r ❛❧❧ k ∈ Kn ✱ ❛s ✐♥ ✭✹✳✷✺✮✳ ❙♦ ❢♦r ❛❧❧ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s n✱ ✇✐t❤ 1 ≤ n ≤ i✱ ✇❡ ❤❛✈❡ γk Ik (p, W ) = C(γ (n) , W (n) ) · pk ,

∀k ∈ Kn .

✭❆✳✼✶✮

❚❤❡ K ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ s②st❡♠ ✐s p = [(p(1) )T , . . . , (p(i) )T , (p(i+1) )T , . . . , (p(N ) )T ]T .

✭❆✳✼✷✮

❲✐t❤ ✭❆✳✼✶✮✱ t❤❡ ✜rst i ✈❡❝t♦rs p(1) , . . . , p(i) ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ✉♣ t♦ ❛ s❝❛❧✐♥❣✳ ❋♦r ❛❧❧ ✉s❡rs ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ γk Ik (p, W ) ≤ max C(γ (n) , W (n) ) , 1≤n≤i pk

∀k ∈ ∪1≤n≤i Kn .

✭❆✳✼✸✮

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜rst ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ i + 1✳ ❋r♦♠ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① W ✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ Ik (p, W )✱ ❢♦r ❛♥② k ∈ Ki+1 ✱ ❝❛♥ ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦rs p(1) , . . . , p(i+1) ✳ ❚❤❡ ✈❡❝t♦rs p(1) , . . . , p(i) ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✳ ■t ✇✐❧❧ ♥♦✇ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② µi+1 ∈ R++ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(i+1) s✉❝❤ t❤❛t γk Ik (p, W ) = µi+1 · pk ,

∀k ∈ Ki+1 .

✭❆✳✼✹✮

❍❡r❡✱ p ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❜② ✭❆✳✼✷✮✳ ❚❤❡ ❧❛st ❝♦♠♣♦♥❡♥ts i+2, . . . , N ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ❜❡❝❛✉s❡ ✭❆✳✼✹✮ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡♠✳ ❚❤❡② ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❧❛t❡r✳ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ ❜♦t❤ s✐❞❡s ♦❢ ✭❆✳✼✹✮ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ s(n) = log p(n) ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✭s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✹✳✾✮ (I − W (i+1) )s(i+1) = − log µi+1 + log t(i+1) + +

i X

W (i+1,n) s(n) .

✭❆✳✼✺✮

n=1

❙✐♥❝❡ ρ(W (i+1) ) < 1✱ t❤❡ ♠❛tr✐① (I − W (i+1) ) ✐s ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✱ s♦ ✇❡ ❝❛♥ s♦❧✈❡ ✭❆✳✼✺✮ ❢♦r s(i+1) ✳ ❋♦r ❣✐✈❡♥ s(1) , . . . , s(i) ❛♥❞ µi+1 ✱ t❤❡ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r p(i+1) = exp s(i+1) ✐s ✉♥✐q✉❡ ❛♥❞ ✐t ❛❝❤✐❡✈❡s t❤❡ t❛r❣❡ts γ (i+1) ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❇② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐q✉❡ ✈❡❝t♦rs s(n) ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ♥♦♥✲ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s n = i + 2, . . . , n✳ ❚❤✐s ✐s ❡♥s✉r❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ρ(W (n) ) < 1 ❢♦r ❛❧❧ ♥♦♥✲✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s✳ ❆r❜✐tr❛r② ❧❡✈❡❧s µi+1 , . . . , µN ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❲❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ µi+1 , . . . , µN s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✈❡❝t♦r p > 0 ❢✉❧✜❧❧s γk Ik (p, W ) ≤ max C(γ (n) , W (n) ) , 1≤n≤i pk

❍❡♥❝❡✱

❢♦r ❛❧❧ k ∈ K .

✷✶✻

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

 γk Ik (p, ˜ W ) C(γ, W ) = inf max p>0 ˜ k∈K p˜k γk Ik (p, W ) ≤ max ≤ max C(γ (n) , W (n) ) . 1≤n≤i k∈K pk

✭❆✳✼✻✮

❲✐t❤ ✭✹✳✷✻✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t t❤✐s ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛❧✐t②✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✶

❋♦r ❛♥② W ∈ W ❛♥❞ k ∈ K ✇❡ ❤❛✈❡ γk Ik (p, W ) ≤ γk max Ik (p, W ) = γk Ik (p) , W ∈W

t❤✉s C(γ, W ) ≤ C(γ) ,

❢♦r ❛❧❧ W ∈ W ✳

❚❤❡ s❡t W ✐s ❝♦♠♣❛❝t ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ C(γ, W ) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ˆ ∈ W s✉❝❤ t❤❛t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ W ✳ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ W ˆ ) = max C(γ, W ) . C(γ, W W ∈W

ˆ ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹ t❤❛t ❇❡❝❛✉s❡ W t❤❡r❡ ✐s ❛ pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t ˆ ) = C(γ, W ˆ )pˆ . Γ I(p, ˆW

✭❆✳✼✼✮

ˆ ) < C(γ)✳ ❚❤❡ ✈❡❝t♦r pˆ > 0 ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ C(γ, W ❢✉❧✜❧❧s ✭❆✳✼✼✮✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✭▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶✱ ♣❛rt ✷✮✱ pˆ > 0 ❝❛♥♥♦t ❜❡ ˆ )/C(γ)✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥❞❡① k0 s✉❝❤ t❤❛t ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ♦❢ Γ I(p, W ˆ ) < max Ik0 (p, Ik0 (p, ˆW ˆ W) . W ∈W

✭❆✳✼✽✮

˜ ∈W ❚❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ✭❆✳✼✽✮ ✇♦✉❧❞ ❧❡❛❞ t♦ ❛♥♦t❤❡r st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐① W ✇✐t❤ ❛ ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❧❡✈❡❧ ˜ ) > C(γ, W ˆ ) = max C(γ, W ) . C(γ, W W ∈W

ˆ ) = C(γ) ❛♥❞ pˆ ❢✉❧✜❧❧s Γ I(p) ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ t❤✉s C(γ, W ˆ = C(γ)pˆ✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✾

❆ s✐♠♣❧❡ ✇❛② t♦ ♣r♦✈❡ t❤✐s r❡s✉❧t ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✶✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ p∗ > 0 s✉❝❤ t❤❛t c(γ) = sup min p>0 k∈K

γk Ik (p) γk Ik (p∗ ) ≥ min = C(γ) . k∈K pk p∗k

❲✐t❤ ✭✹✳✸✷✮ ✇❡ ❤❛✈❡ c(γ) = C(γ)✳

❆✳✾ Pr♦♦❢s

✷✶✼

Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✷

❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ W ∈ WI s✉❝❤ t❤❛t ✭✹✳✹✹✮ ❤♦❧❞s✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t AI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❋♦r ❛❧❧ k, l ∈ K s✉❝❤ t❤❛t wkl > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ lim Ik (p + δel ) = +∞ ,

δ→∞

✭❆✳✼✾✮

∀p > 0 .

❚❤✉s✱ ❡✈❡r② ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ✐♥ W tr❛♥s❧❛t❡s t♦ ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr② ✐♥ AI ✳ ❇❡❝❛✉s❡ W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ AI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❛s ✇❡❧❧✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t AI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❋♦r ❛♥② k ∈ K ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✐♥❞❡① s❡t Ak = {l ∈ K : [AI ]kl = 1} .

❋♦r ❛❧❧ l ∈ Ak ✭❆✳✼✾✮ ✐s ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭✷✳✼✮ ❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① AI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ Ak ✐s ♥♦♥✲ ❡♠♣t②✳ ❚❤❡ s❡t L(Ik ) ✐s ❛❧s♦ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡ Ik (p) = 0✱ ∀p > 0✱ ✐s r✉❧❡❞ ♦✉t ❜② ✭❆✳✼✾✮ ❛♥❞ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✐♥❞❡① k ∈ K✳ ❋♦r s♦♠❡ ❛r❜✐tr❛r② l ∈ Ak ✇❡ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ w ˆ ∈ L(Ik ) ✇✐t❤ w ˆkl > 0✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ ✈❡❝t♦r✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛❧❧ p > 0 ❛♥❞ δ > 0✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ Ik (p + δel ) = =

max



w k ∈L(Ik )

max



w k ∈L(Ik )

f I (wk ) · (pl + δ)wkl · k

f I (wk ) k

Y

(pr )

wkr

r6=l



 Y (pr )wkr r6=l

= M1 (p) ,

✇❤❡r❡ M1 (p) > 0 ✐s s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ δ ✳ ❚❤✉s✱ limδ→∞ Ik (p + δel ) ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ l ∈ Ak ✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ (l) (l) ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ l ∈ Ak t❤❡r❡ ✐s ❛ w ˆ k ∈ L(Ik ) s✉❝❤ t❤❛t [w ˆ k ]l > 0✳ ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ✸✳✺✶ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t L(Ik ) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t✱ s♦ ❛♥② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ (l )

(l )

w ˜ k = (1 − λ)w ˆ k 1 + λw ˆk 2 ,

l1 , l2 ∈ Ak ,

1 0 ❜❡❝❛✉s❡ W

✷✶✽

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✸

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t  S(M, W ) = p > 0 : kpk∞ = 1 , γk f I (wk ) k

✭❆✳✽✵✮ Y

(pl )wkl

l∈K

≤ M · pk , ∀k .

❋♦r t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✸ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

▲❡♠♠❛ ❆✳✶✾✳ ▲❡t W ∈ WI ❜❡ ❛ ✜①❡❞ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ M > 0 ❛ ✜①❡❞ ❝♦♥st❛♥t✳ ■❢ t❤❡ s❡t S := S(M, W ) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t C := C(M, W ) > 0 s✉❝❤ t❤❛t

❢♦r ❛❧❧ p ∈ S .

min pk ≥ C > 0 , k∈K

✭❆✳✽✶✮


Pr♦♦❢✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ∈ S ✳ ❉❡✜♥✐♥❣ Ck := M/ γk f Ik (wk ) ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Y

l∈K

(pl )wkl ≤ Ck pk ,

k∈K.

❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ k ∈ K ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ❛♥❞ ❜♦✉♥❞s

✭❆✳✽✷✮

L(k) = {l ∈ K : wkl > 0}

✭❆✳✽✸✮

p(k) = min pl ,

✭❆✳✽✹✮

p(k) = max pl .

✭❆✳✽✺✮

l∈L(k) l∈L(k)

❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♥❞❡① ¯l(k) ∈ L(k)✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ p(k) = p¯l(k) ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ Y

(pl )wkl =

l∈K

Y

(pl )wkl

l∈L(k)

≥ p(k)


wk¯l(k)

❉❡✜♥✐♥❣ αk = wk¯l(k) ❛♥❞ ❡①♣❧♦✐t✐♥❣ p¯(k)


αk

P


P ¯ · p(k) l∈L(k)\l(k)

l∈L(k) wkl

wkl

.

= 1 ❛♥❞ ✭❆✳✽✷✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡


1−αk · p(k) ≤ Ck · pk ,

∀k ∈ K .

✭❆✳✽✻✮

❇❡❝❛✉s❡ W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❡✈❡r② ✉s❡r ❝❛✉s❡s ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ t♦ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦t❤❡r ✉s❡r✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t ❡✈❡r② ✐♥❞❡① ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t✳ ❚❤✉s✱ p = min p(k) = min pk k∈K

k∈K

p¯ = max p¯(k) = max pk . k∈K

k∈K

❆✳✾ Pr♦♦❢s

▲❡t k1 ❜❡ ❛♥ ✐♥❞❡① s✉❝❤ t❤❛t pk1 = p✳ ❯s✐♥❣ (p)1−αk ≤ p(k) ✭❆✳✽✻✮ ❧❡❛❞s t♦ p(k1 ) ≤ (Ck1 )1/αk1 p .

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t


αk

p(k)


1−αk

✷✶✾

✱ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✽✼✮ ✭❆✳✽✽✮

L1 = {k ∈ K : pk ≤ p¯(k1 )} .

❋♦r ❛❧❧ k ∈ L1 ✇❡ ❤❛✈❡ p¯(k)


1−αk

≤ Ck · p¯(k1 ) ≤ Ck · (Ck1 )1/αk1 p ,

✭❆✳✽✾✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ✜rst ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭❆✳✽✻✮ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢r♦♠ ✭❆✳✽✼✮✳
1−αk ❆❣❛✐♥✱ ✉s✐♥❣ (p)1−αk ≤ p(k) ✱ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✽✾✮ ❧❡❛❞s t♦ p¯(k) ≤ (Ck )1/αk · (Ck1 )1/(αk αk1 ) p ,

∀k ∈ L1 .

✭❆✳✾✵✮

❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k2 ∈ L1 s✉❝❤ t❤❛t p¯(k2 ) = max p¯(k) ≥ p¯(k1 ) . k∈L1

✭❆✳✾✶✮

❍❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ k1 ∈ L1 ✳ ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✾✶✮ ✐♠♣❧✐❡s L1 ⊆ L2 ✳ ❲✐t❤ t❤❡ ✐♥❞❡① k2 ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t L2 = {k ∈ K : pk ≤ p¯(k2 )} .

✭❆✳✾✷✮

❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ ✭❆✳✽✾✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ✭❆✳✽✻✮ ❛♥❞ ✭❆✳✾✵✮ t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ k ∈ L2 ✱ p¯(k)


αk

p(k)

❯s✐♥❣ (p)1−αk ≤ p(k)


1−αk


1−αk

≤ Ck · (Ck2 )1/αk2 · (Ck1 )1/(αk1 αk2 ) · p .

✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r ❛❧❧ k ∈ L2

p¯(k) ≤ (Ck )1/αk · (Ck2 )1/αk2 αk · (Ck1 )1/(αk1 αk2 αk ) · p .

■❢ L2 ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ k3 ∈ L2 s✉❝❤ t❤❛t p¯(k3 ) = max p¯(k) ≥ p¯(k2 ) . k∈L2

✭❆✳✾✸✮

❚❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐♥ ✭❆✳✾✸✮ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ L1 ⊆ L2 ✳ ❲✐t❤ k3 ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t L3 = {k ∈ K : pk ≤ p¯(k3 )} .

✭❆✳✾✹✮

■♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✾✸✮ ✐♠♣❧✐❡s L2 ⊆ L3 ✳ ❚❤❡ ❛❜♦✈❡ st❡♣s ❛r❡ r❡♣❡❛t❡❞ ✉♥t✐❧ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ N ∈ N s✉❝❤ t❤❛t LN = ∅✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ · · · ⊆ LN −1 ✭❆✳✾✺✮ ❛♥❞

✷✷✵

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

p¯(kN ) ≤ (CkN )1/αkN · (CkN −1 )1/αkN αkN −1 × . . . . . . × (Ck1 )1/(αk1 αk2

... αkN )

·p.

✭❆✳✾✻✮

❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡ ♣♦✇❡rs ❛r❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② p¯ = 1 s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ p¯(kN ) ≤ p¯✳ ❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐t✐♦♥ t❤❛t p¯(kN ) = p¯✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤✐s ✐s ♥♦t tr✉❡✱ ✐✳❡✳✱ p¯(kN ) < p¯✱ t❤❡♥ t❤❡ s❡t LN −1 ❝❛♥♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ❛❧❧ ✐♥❞✐❝❡s K✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ p¯(kN ) = maxk∈LN −1 p¯(k) = p¯✳ ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② s❡t G1 = [1, . . . , K]\LN−1 .

✭❆✳✾✼✮

❋♦r ❛♥② k¯ ∈ G1 ❛♥❞ ❛♥② k ∈ LN−1 ✇❡ ❛❧✇❛②s ❤❛✈❡ ✭❆✳✾✽✮

pk¯ > p¯(kN ) ,

❜❡❝❛✉s❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ pk¯ ∈ LN ✇❤✐❝❤ ✇♦✉❧❞ ❝♦♥tr❛❞✐❝t LN = ∅✳ ❲❡ ♥♦✇ s❤♦✇ ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ t❤❛t ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❆✳✾✽✮ ✐♠♣❧✐❡s [W ]kk¯ = 0✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤✐s ✐s ♥♦t tr✉❡✱ t❤❡♥ k¯ ∈ L(k)✱ t❤✉s p¯(k) = maxs∈L(k) ps ≥ pk¯ ✳ ❲✐t❤ ✭❆✳✾✽✮ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ p¯(k) > p¯(kN ) = max p¯(t) ≥ p¯(k) . t∈LN −1

❚❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t [W ]kk¯ = 0 ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② k¯ ∈ G1 ❛♥❞ k ∈ LN−1 ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ♦❢ W ❤❛s ♥♦ ♣❛t❤s ❜❡t✇❡❡♥ ♥♦❞❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♥✲ ✐♥t❡rs❡❝t✐♥❣ s❡ts G1 ❛♥❞ LN −1 ✳ ❚❤✉s✱ W ✇♦✉❧❞ ❜❡ r❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t W ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ❍❡♥❝❡✱ p¯(kN ) = p¯ ❤♦❧❞s✳ ❙❡tt✐♥❣ p¯(kN ) = p¯ = 1 ✐♥ ✭❆✳✾✻✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ min pk = p ≥ C k∈K

✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t C > 0✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✾ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❝♦♥st❛♥t C(M, W ) =

inf

✭❆✳✾✾✮ ⊔ ⊓

(min pk ) .

p∈S(M,W ) k∈K

◆♦✇✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤✐s r❡s✉❧t t♦ ♣r♦✈❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✸✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ǫ > 0✳ ❋r♦♠ ✭✶✳✷✷✮ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r p(ǫ) > 0✱ ✇✐t❤ maxk pk (ǫ) = 1 ✭❜❡❝❛✉s❡ p ❝❛♥ ❜❡ s❝❛❧❡❞ ❛r❜✐tr❛r✐❧②✮ ❛♥❞
γk Ik p(ǫ) ≤ Mǫ · pk (ǫ), ∀k ∈ K , ✭❆✳✶✵✵✮


✇❤❡r❡ Mǫ = C(γ) + ǫ ✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② W ∈ WI ✇❡ ❞❡✜♥❡

❲❡ ❤❛✈❡

Q  γk f I (wk ) · l∈K (pl )wkl  k CI (γ, W ) = inf max . p>0 k∈K pk

❆✳✾ Pr♦♦❢s

✷✷✶

max CI (γ, W )

W ∈WI



= max inf max W ∈WI p>0

≤ inf max

p>0 W ∈WI

= inf max p>0 k∈K

❚❤✉s✱





γk f I (w k ) · k

k∈K

max

γk f I

k∈K

max

w k ∈L(Ik )

k

Q

l∈K (pl )

wkl



pk Q (w k ) · l∈K (pl )wkl 

pk Q γk f I (w k ) · l∈K (pl )wkl  k

pk

 γ I (p)  k k = inf max = C(γ) . p>0 k∈K pk

CI (γ, W ) ≤ C(γ) ❢♦r ❛❧❧ W ∈ WI ✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ˆ ∈ WI ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ W
ˆ). Mǫ = C(γ) + ǫ ≥ CI (γ, W

t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥

✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡

ˆ ) 6= ∅✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ S(Mǫ , W ˆ ✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ p˜ > 0 s✉❝❤ t❤❛t W Q ˆ )˜ ˆ ), W ˆ) γk f I (w ˆ k ) l (˜ pl )wˆkl = CI (γ, W pl ✭s❡❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✹✮✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ s❡t S(CI (γ, W k ˆ )✱ t❤❡ s❡t S(Mǫ , W ˆ ) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t② ✐s ♥♦♥❡♠♣t②✱ ❛♥❞ ❜❡❝❛✉s❡ Mǫ ≥ CI (γ, W ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ✭❆✳✽✵✮✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢

❛s ✇❡❧❧✳

▲❡♠♠❛ ❆✳✶✾ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥st❛♥t

ˆ)>0, min pk ≥ C(Mǫ , W k∈K

ˆ) C(Mǫ , W

s✉❝❤ t❤❛t

ˆ). ∀p ∈ S(Mǫ , W

✭❆✳✶✵✶✮

ˆ ) ✐s ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ Mǫ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ s❡t S(Mǫ , W ˆ) ❚❤❡ ❜♦✉♥❞ C(Mǫ , W ✐s ❡♥❧❛r❣❡❞ ❜② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣

Mǫ ✳

❚❤✉s✱

ˆ ) ≤ C(Mǫ , W ˆ), 0 < C(M1 , W

00, min pk (ǫ) ≥ C(M1 , W k∈K

❚❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✈❡❝t♦rs ❛♥❞ ❛ ✈❡❝t♦r

pˆ

limn→∞ p(ǫn )✳

p(ǫ)

0 0 : kpk∞ ≤ 1

s✉❝❤ t❤❛t

{ǫn } pˆ =

ˆ)>0. pˆ = lim p(ǫn ) ≥ C(M1 , W n→∞

■t ✇❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❬✷❪ t❤❛t ❡✈❡r② ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥




γk Ik (p) ˆ = lim γk Ik p(ǫn ) ≤ C(γ) pˆk , ∀k ∈ K , n→∞

RK ++ ✱

s♦

✭❆✳✶✵✹✮

✷✷✷

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ✭❆✳✶✵✵✮✳ ❉❡✜♥✐♥✐❣ I˜k (p) = ❤❛✈❡ γk I˜k (p) ˆ ≤ pˆk ,

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t

∀k ∈ K .

˜ E = {p ∈ RK ++ : pk ≥ γk Ik (p), ∀k ∈ K} .

1 C(γ) Ik (p)✱

✇❡

✭❆✳✶✵✺✮ ✭❆✳✶✵✻✮

❲✐t❤ ✭❆✳✶✵✺✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t E ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② p ∈ E ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✐♥❞❡① s❡t G(p) = {k ∈ K : pk = γk I˜k (p)} ,

✭❆✳✶✵✼✮

U (p) = K\G(p) .

✭❆✳✶✵✽✮

❛♥❞ ✐ts ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t

❚❤❡ s❡t G(p) ✐s ♥♦♥✲❡♠♣t②✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤✐s✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ p′ ∈ E ✇✐t❤ G(p′ ) = ∅✱ ✐✳❡✳✱ p′k > γk I˜k (p′ ) ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧② t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥   ˜ ′ ˜ ˜ = inf max γk Ik (p) ≤ γk Ik (p ) < 1 , 1 = C(γ, I) p>0 k∈K pk p′k

✭❆✳✶✵✾✮

˜ ✐s t❤❡ ♠✐♥✲♠❛① ♦♣t✐♠✉♠ ❢♦r t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝✲ ✇❤❡r❡ C(γ, I) ˜ t✐♦♥s I1 , . . . , I˜K ✳ ❋r♦♠ ✭❆✳✶✵✺✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t pˆ ∈ E ✳ ▲❡t pˆ(1) ❜❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts (1) pˆk = γk I˜k (p) ˆ ≤ pˆk ✱ k ∈ K✳ ■❢ pˆ(1) = pˆ✱ t❤❡♥ pˆ ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ❢✉❧✜❧❧✐♥❣ ✭✹✳✹✺✮✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❞✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ❛①✐♦♠ ❆✸ ②✐❡❧❞s γk I˜k (pˆ(1) ) ≤ (1) γk I˜k (p) ˆ = pˆk ✱ t❤✉s pˆ(1) ∈ E ✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ s❡t E ❤❛s ❛t ❧❡❛st t✇♦ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❛❧✇❛②s ❡①✐sts ❛ p ∈ E s✉❝❤ t❤❛t G(p) = K✳ ❈♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦rs p, ˆ pˇ ∈ E ❛♥❞ p(λ) = pˆ1−λ · pˇλ ✭❝♦♠♣♦♥❡♥t✲ ✇✐s❡✮✱ ✇✐t❤ 0 < λ < 1✳ ❋♦r ❛♥② k ∈ K ✇❡ ❤❛✈❡ 1 ≥ γk1−λ · γkλ ·


I˜k p(λ) (I˜k (p)) ˆ 1−λ (I˜k (p)) ˇ λ · ≥ γ . k (ˆ pk )1−λ (ˇ pk )λ pk (λ)

✭❆✳✶✶✵✮

˜ = 1 ❛♥❞ p, ❚❤❡ ✜rst ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ C(γ, I) ˆ pˇ ∈ E ✱ s✐♠✐❧❛r t♦ ✭❆✳✶✵✾✮✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦❧❧♦✇s ❜❡❝❛✉s❡ I˜k ✐s ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✳ ❋r♦♠ ✭❆✳✶✶✵✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t p(λ) ∈ E ✳ ❋♦r ❛♥② k ∈ U (p) ˆ ∪ U (p) ˇ ✱ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡
♦❢ t❤❡ ❢❛❝t♦rs ✐♥ ✭❆✳✶✶✵✮ ✐s
str✐❝t❧② ❧❡ss t❤❛♥ ♦♥❡✱ t❤✉s pk (λ) > γk I˜k p(λ) ✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s k ∈ U p(λ) ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱
U (p) ˆ ∪ U (p) ˇ ⊆ U p(λ) .

✭❆✳✶✶✶✮

◆♦t❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ss✉♠❡❞ U (p) 6= ∅ ❢♦r ❛❧❧ ✈❡❝t♦rs p ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❇❡❝❛✉s❡ U (p) = ∅ ✇♦✉❧❞ ♠❡❛♥ t❤❛t p ✐s ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛s❡ t❤❡ ♣r♦♦❢ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❞✳

❆✳✾ Pr♦♦❢s

✷✷✸

◆❡①t✱ ❧❡t U ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ k ∈ K s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ✈❡❝t♦r p(k) ∈ E ˜ (k) )✳ ❲✐t❤ ✭❆✳✶✶✶✮ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ✇✐t❤ k ∈ U (p(k) )✱ t❤❛t ✐s✱ p(k) k > γk Ik (p ❛ ✈❡❝t♦r p ∈ E s✉❝❤ t❤❛t U = U (p)✳ ❚❤✉s✱ ❢♦r ❛❧❧ ✈❡❝t♦rs p ∈ E ✇❡ ❤❛✈❡ U (p) ⊆ U (p)✳ ◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ (n+1)

pk

✇✐t❤ p(0) k = pk , ∀k ∈ K ,

= γk I˜k (p(n) ),

✭❆✳✶✶✷✮

✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♣❡rs❝r✐♣t n✱ ✇✐t❤ n ≥ 0✱ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ nt❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ st❡♣✳ ❇❡❝❛✉s❡ (1) (0) p ∈ E ✇❡ ❤❛✈❡ pk = γk I˜k (p(0) ) ≤ pk ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ ❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ❆✸✱ t❤✐s ❧❡❛❞s t♦ (2) (1) pk = γk I˜k (p(1) ) ≤ γk I˜k (p(0) ) = pk ,

∀k ∈ K .

❚❤✉s p(1) ∈ E ✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ U (p(1) ) ⊆ U (p)✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✿ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ k ∈ U (p(1) ) ❛♥❞ k ✐s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ U (p) = U ✳ ˜ (1) )✱ t❤✉s ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ k ∈ U ✳ ❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧② p(1) k > γk Ik (p ❋♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② s❡ts✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s G(p(1) ) ⊇ G(p(0) ) = G(p) .

❋♦r ❛♥② k ∈ G(p) ✇❡ ❤❛✈❡ (1)

(0)

pk = γk I˜k (p(0) ) = pk . (0) ❚❤✉s✱ p(1) k = pk ❢♦r ❛❧❧ k ∈ G(p)✳ ■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ ✇❡ s❤♦✇ p(n) ∈ E ✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s G(p(n) ) ⊇ G(p(0) )✳ ❚❤✉s✱ ❛♥② k ∈ G(p) ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ G(p(n) )✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s k ∈ G(p(n−1) )✳ ❇② ✐♥❞✉❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N (n)

pk

(n−1)

= γk I˜k (p(n−1) ) = pk

(n−2)

= pk

(0)

= · · · = pk .

❚❤✉s✱ ❢♦r ❛♥② k ∈ G(p(0) ) ✇❡ ❤❛✈❡ (n)

pk

❢♦r ❛❧❧ n ∈ N .

(0)

= pk

✭❆✳✶✶✸✮

❚❤❡ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭❆✳✶✶✷✮ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ❛ ❧✐♠✐t p∗ = lim p(n) . n→∞

❚❤❡ ✜♥✐t❡ ❧✐♠✐t ❡①✐sts ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ p(n) ✐s ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❛♥❞ p(n) > 0 ❢ür ❛❧❧ n ∈ N✳ ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ n✱ ✇❡ ❤❛✈❡ kp(n) k∞ ≥

max

k∈G(p(n) )

(n)

pk

(n)

≥

k∈G(p(0) )

max

pk

=

max

pk = C1 > 0 ,

k∈G(p(0) )

(0)

✷✷✹

❆ ❆♣♣❡♥❞✐①

✇❤❡r❡ C1 ✐s ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ kp(n) k∞ ❝♦♥✈❡r❣❡s ❛s ✇❡❧❧✱ s♦ t❤❡r❡ ✐s ❛♥♦t❤❡r ❝♦♥st❛♥t C2 s✉❝❤ t❤❛t ✭❆✳✶✶✹✮

C2 = lim kp(n) k∞ ≥ C1 > 0 . n→∞

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ p(n) ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦r ❛❧❧ n ∈ N .

kp(n) k∞ ≥ C2 > C1 > 0

❚❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ t✇♦ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s❡q✉❡♥❝❡s ✐s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ✐❢ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r s❡✲ q✉❡♥❝❡ ❤❛s ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ❧✐♠✐t✱ s♦ 1

pˆ(n) =

kp

(n)

k∞

p(n) ,

n∈N,

✐s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❛s ✇❡❧❧✳ ❲❡ ❤❛✈❡ kpˆ(n) k∞ = 1✳ ❆❧s♦✱ ✇❡ ❤❛✈❡ s❤♦✇♥ pˆ(n) ≥ k γk I˜k (p(n) ❢♦r ❛❧❧ n ❛♥❞ k ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ (n)

pˆk

≥

Y γk γk Ik (p(n) ≥ f I (w ˆk ) (pl )wˆkl . C(γ) C(γ) k l∈K

ˆ )✱ ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t M1 > 0 s✉❝❤ t❤❛t pˆ(n) ∈ S(M1 , W (n) ✭❆✳✽✵✮✳ ❲✐t❤ ▲❡♠♠❛ ❆✳✶✾ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❛❧❧ pˆ ❢✉❧✜❧❧ (n)

pˆk

ˆ)>0, ≥ C(M1 , W

◆❡①t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧✐♠✐t

❢♦r ❛❧❧ n ∈ N ❛♥❞ k ∈ K .

✭❆✳✶✶✺✮

p∗ = lim pˆ(n) . n→∞

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ✭❆✳✶✶✺✮ ✇❡ ❤❛✈❡ p > 0✳ ❋♦r ❛❧❧ k ∈ K ✇❡ ❤❛✈❡ ∗

γk I˜k (pˆ(n) ) = =

1 kp

(n)

kp

(n)

1

k∞

· γk I˜k (p(n) ) (n+1)

k∞

· pk

=

kp(n+1) k∞ (n+1) · pˆk . kp(n) k∞

❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ limn→∞ kp(n+1) k∞ /kp(n) k∞ = 1✱ ✇❡ ❤❛✈❡ (n+1) γk I˜k (p∗ ) = lim γk I˜k (pˆ(n) ) = lim pˆk = p∗k , n→∞

n→∞

∀k ∈ K .

❚❤❛t ✐s✱ p∗ > 0 ❢✉❧✜❧❧s p∗k C(γ) = γk Ik (p∗ ) ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✷✻

❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜② ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❢♦r ❛♥② γ > 0 t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ pˆ > 0 s✉❝❤ t❤❛t

❆✳✾ Pr♦♦❢s

C(γ)ˆ pk = γk Ik (p) ˆ

❢♦r ❛❧❧ k ∈ K ,

✷✷✺

✭❆✳✶✶✻✮

✇❤❡r❡ C(γ) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❜② ✭✶✳✷✷✮✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s✐♠♣❧✐❢② t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t AI ❤❛s ❛ s✐♥❣❧❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦ A(1) I ♦♥ ✐ts ♠❛✐♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ❢♦r s❡✈❡r❛❧ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦s ✐s s✐♠✐❧❛r✳ (1) ❚❤❡ ❜❧♦❝❦ A(1) ✇✐❧❧ I ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ✉s❡rs 1, . . . , l1 ✳ ❚❤❡ s✉♣❡rs❝r✐♣t (·) ❜❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t♦ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ q✉❛♥t✐t② ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜rst ❜❧♦❝❦✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s I1 , . . . , Il1 ❛♥❞ ♣♦✇❡rs p1 , . . . pl1 ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ ✈❡❝t♦rs I (1) (p) ❛♥❞ p(1) ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② γ > 0 ✇❡ ❞❡✜♥❡ C(γ) = inf



(1)

max

p(1) >0 1≤k≤l1

γk Ik (p(1) )  (1)

pk  γk Ik (p)  = inf max ≤ C(γ) . p>0 1≤k≤l1 pk

✭❆✳✶✶✼✮

❚❤❡ ❧❛st ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✐s r❡str✐❝t❡❞ t♦ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s (1) k ≤ l1 ✳ ❆❧s♦✱ Ik (p(1) ) = Ik (p) ❜❡❝❛✉s❡ k ❜❡❧♦♥❣s t♦ ❛♥ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t C(γ) = C(γ)✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t C(γ) < (1) C(γ)✳ ❇❡❝❛✉s❡ AI ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✷✺ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ p˜(1) > 0 s✉❝❤ t❤❛t (1)

(1)

C(γ)˜ pk = γk Ik (p˜(1) ),

1 ≤ k ≤ l1 .

✭❆✳✶✶✽✮

❚❤✐s ✐s ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ ✭❆✳✶✶✻✮✳ ❲❡ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ✐♥❞✐❝❡s k ≤ l1 ✳ ❚❤❡s❡ ✉s❡rs ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦✱ s♦ pˆ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② t❤❡ ✈❡❝t♦r pˆ(1) ✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ s✉❜✈❡❝t♦r ♦❢ pˆ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✜rst l1 ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤❛t ✐s✱ (1)

(1)

C(γ)ˆ pk = γk Ik (pˆ(1) ),

1 ≤ k ≤ l1 .

✭❆✳✶✶✾✮

❈♦♠♣❛r✐♥❣ ✭❆✳✶✶✽✮ ❛♥❞ ✭❆✳✶✶✾✮✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✷✳✷✶ ✭♣❛rt ✷✮✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ t❤❛t C(γ) = C(γ)✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢♦r ❛♥② ✐s♦❧❛t❡❞ ❜❧♦❝❦✳ ❋♦r ❛r❜✐tr❛r② γ > 0✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❙■❘ t❛r❣❡ts ( λ · γk , γk (λ) = γk ,

k ≤ l1 k > l1

λ>0,

✭❆✳✶✷✵✮

✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t❡❞ ✐♥ ❛ ✈❡❝t♦r γ(λ) = [γ1 (λ), . . . , γK (λ)]T ✳ ❚❤❡ l1 ✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r γ (1) (λ) > 0 ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ t❛r❣❡ts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✉s❡rs ♦❢ t❤❡ ✜rst ❜❧♦❝❦ A(1) I ✳ ❋r♦♠ ✭❆✳✶✶✻✮ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥② γ(λ) > 0 t❤❡r❡ ✐s ❛ p(λ) > 0 s✉❝❤ t❤❛t

C γ(λ) pk (λ) = γk (λ)Ik p(λ) ❢♦r ❛❧❧ k ∈ K .

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛ s✉❜✲✈❡❝t♦r p(1) (λ)✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜②

✭❆✳✶✷✶✮

✷✷✻

❆ ❆♣♣❡♥❞✐① (1)

pk (λ) = pk (λ),

1 ≤ k ≤ l1 ,

t❤❡ ✜rst l1 ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ ✭❆✳✶✷✶✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
(1)
(1) C γ(λ) · pk (λ) = λ · γk · Ik p(1) (λ) ,

1 ≤ k ≤ l1 .

❋♦r ❛r❜✐tr❛r② λ > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡



C γ(λ) = C γ(λ) = inf

(1)

max

p(1) >0 1≤k≤l1

= λ · inf

max

p(1) >0 1≤k≤l1

γk (λ) · Ik (p(1) ) (1)

pk

(1)

γk · Ik (p(1) ) (1)

pk

= λ · C(γ)

= λ · C(γ) ,

✭❆✳✶✷✷✮

❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✭✹✳✹✽✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ C 1 (γ) > 0✱ s♦
γk (λ) · Ik (p) C γ(λ) = inf max p>0 k∈K pk γk · Ik (p) = C 1 (γ) > 0 . ≥ inf max p>0 k>l1 pk

✭❆✳✶✷✸✮

❍❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡①♣❧♦✐t❡❞ t❤❛t γk (λ) = γk ❢♦r k > l1 ✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✭❆✳✶✷✷✮ ❛♥❞ ✭❆✳✶✷✸✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ λ · C(γ) ≥ C 1 (γ) > 0 .

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ λ > 0✳ ❇② ❧❡tt✐♥❣ λ → 0✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✱ t❤✉s ❝♦♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♦❢✳

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✶✳ ❘✳ ❉✳ ❨❛t❡s✱ ✏❆ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ✉♣❧✐♥❦ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r r❛❞✐♦ s②st❡♠s✱✑

■❊❊❊ ❏✳ ❙❡❧❡❝t✳ ❆r❡❛s ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✶✸✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✶✸✹✶✕✶✸✹✽✱ ❙❡♣t✳ ✶✾✾✺✳ ◗♦❙✲❇❛s❡❞ ❘❡s♦✉r❝❡ ❆❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❚r❛♥s❝❡✐✈❡r ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❚r❡♥❞s ✐♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥

✷✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱

❚❤❡♦r②✱ ✷✵✵✺✴✷✵✵✻✱ ✈♦❧✳ ✷✱ ♥♦✳ ✻✳ ✸✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♥♦✳ ✶✶✱ ♣♣✳ ✹✾✽✵ ✕ ✹✾✾✵✱

◆♦✈✳ ✷✵✵✽✳ ✹✳ ✖✖✱ ✏❈♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✕ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✺✻✱ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✹✾✺✶✕

✹✾✻✺✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✽✳ ✺✳ ✖✖✱ ✏❆ ❝❛❧❝✉❧✉s ❢♦r ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳

❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♥♦✳ ✶✷✱ ♣♣✳ ✺✹✻✾✕✺✹✾✵✱ ❉❡❝✳ ✷✵✵✽✳ ✻✳ ✖✖✱

✏◆❛s❤

❜❛r❣❛✐♥✐♥❣

❛♥❞

♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧

❢❛✐r♥❡ss

❢♦r

✇✐r❡❧❡ss

s②st❡♠s✱✑

■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✶✼✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✶✹✺✸✕✶✹✻✻✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✾✳ ✼✳ ✖✖✱ ✏❆ s✉♣❡r❧✐♥❡❛r❧② ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧❧② ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱✑

■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳ ♦♥

◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✶✻✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✸✽✸✕✸✾✺✱ ❆♣r✳ ✷✵✵✽✳ ✽✳ ✖✖✱ ✏P❡rr♦♥✲r♦♦t ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠s ✇✐t❤ ❛❞❛♣t✐✈❡ r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣✐❡s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✼✱ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✸✶✼✸✕✸✶✻✹✱ ❖❝t✳

✷✵✵✾✳

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥❢♦r✲ ♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❲♦r❦s❤♦♣ ✭■❚❲✮✱ ❈❤❡♥❣❞✉✱ ❈❤✐♥❛✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✻✱ ♣♣✳ ✺✺✻✕✺✻✵✳

✾✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏❘♦❜✉st r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱✑ ✐♥

✶✵✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ♣r♦♣♦r✲ t✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss t♦ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✉t✐❧✐t② s❡ts ✇✐t❤ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳

■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✼✱ ♥♦✳ ✻✱ ❏✉♥❡ ✷✵✶✶✳ ✶✶✳ ✖✖✱ ✏❆ ✉♥✐❢②✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✺✽✱ ♥♦✳ ✻✱ ♣♣✳ ✸✷✽✷✕✽✷✾✼✱ ❏✉♥❡ ✷✵✶✵✳ ✶✷✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏❉②♥❛♠✐❝ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❛✈♦✐❞❛♥❝❡ ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ❚✉t♦r✐❛❧ ❛t ■❊❊❊ ■♥t❡r♥❛t✳ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❆❝♦✉s✲ t✐❝s✱ ❙♣❡❡❝❤✱ ❛♥❞ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳ ✭■❈❆❙❙P✮✱ ❉❛❧❧❛s✱ ❯❙❆✱ ▼❛r✳ ✷✵✶✵✳ ✶✸✳ ❉✳ ●❡s❜❡rt✱ ▼✳ ❑♦✉♥t♦✉r✐s✱ ❘✳ ❲✳ ❍❡❛t❤ ❏r✳✱ ❈✳✲❇✳ ❈❤❛❡✱ ❛♥❞ ❚✳ ❙ä❧③❡r✱ ✏❙❤✐❢t✲ ✐♥❣ t❤❡ ▼■▼❖ ♣❛r❛❞✐❣♠✱✑ ✷✵✵✼✳

■❊❊❊ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ♣♣✳ ✸✻✕✹✻✱ ❙❡♣t✳

✷✷✽

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✶✹✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ❙✳ ◆❛✐❦✱ ❛♥❞ ❚✳ ❆❧♣❝❛♥✱ ✏❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲♠❛♥✐♣✉❧❛❜❧❡ ❛♥❞ ♣❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ str❛t❡❣✐❡s ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ✇✐r❡❧❡ss s②st❡♠s✱✑ ✐♥ ■❊❊❊ ■♥❢♦❝♦♠✱ ✷✵✶✵✳ ✶✺✳ ❙✳ ❯✳ P✐❧❧❛✐✱ ❚✳ ❙✉❡❧✱ ❛♥❞ ❙✳ ❈❤❛✱ ✏❚❤❡ ♣❡rr♦♥✲❢r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r❡♠✿ ❙♦♠❡ ♦❢ ✐ts ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱✑ ■❊❊❊ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✈♦❧✳ ✷✷✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✻✷✕✼✺✱ ▼❛r✳ ✷✵✵✺✳ ✶✻✳ ❏✳ ❋✳ ◆❛s❤ ❏r✳✱ ✏❚❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✱✑ ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝❛✱ ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝ ❙♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✶✽✱ ♣♣✳ ✶✺✺✕✶✻✷✱ ✶✾✺✵✳ ✶✼✳ ✖✖✱

✏❚✇♦✲♣❡rs♦♥

❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡

❣❛♠❡s✱✑

❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝❛✱

❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝

❙♦❝✳✱

✈♦❧✳ ✷✶✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✷✽✕✶✹✵✱ ✶✾✺✸✳ ✶✽✳ ❍✳ ❏✳ ▼✳ P❡t❡rs✱ ❆①✐♦♠❛t✐❝ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ●❛♠❡ ❚❤❡♦r②✳

❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜✲

❧✐s❤❡rs✱ ❉♦r❞r❡❝❤t✱ ✶✾✾✷✳ ✶✾✳ ❲✳ ❚❤♦♠s♦♥✱ ❍❛♥❞❜♦♦❦ ♦❢ ●❛♠❡ ❚❤❡♦r②✱ ❱♦❧✳ ✷✳

❊❧s❡✈✐❡r ❙❝✐❡♥❝❡✱ ✶✾✾✹✱ ❝❤✳

❈♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ▼♦❞❡❧s ♦❢ ❇❛r❣❛✐♥✐♥❣✳ ✷✵✳ ❆✳ ■✳ ❑❤✐♥❝❤✐♥✱ ✏❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❝♦♥❝❡♣t ✐♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❡♦r②✱✑ ❯s♣✳ ▼❛t✳ ◆❛✉❦✳✱ ✈♦❧✳ ✽✱ ♥♦✳ ✺✺✱ ♣♣✳ ✸✕✷✵✱ ✶✾✺✸✱ ✭✐♥ ❘✉ss✐❛♥✮✱ ❊♥❣❧✐s❤ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ♦❢ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✳ ◆❡✇ ❨♦r❦✿ ❉♦✈❡r✱ ✶✾✺✼✳ ✷✶✳ ❉✳ ❑✳ ❋❛❞❞❡❡✈✱ ✏❖♥ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ s❝❤❡♠❡✱✑ ❯s♣✳ ▼❛t✳ ◆❛✉❦✳✱ ✈♦❧✳ ✶✶✱ ♥♦✳ ✻✼✱ ♣♣✳ ✷✷✼✕✷✸✶✱ ✶✾✺✻✱ ✭✐♥ ❘✉ss✐❛♥✮✱ ●❡r♠❛♥

tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥ ✏❆r❜❡✐t❡♥ ③✉r ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥st❡♦r✐❡ ■✑✳ ❱❊❇ ❉t✳ ❱❡r❧❛❣ ❞❡r ❲✐s✲ s❡♥s❝❤❛❢t❡♥✱ ❇❡r❧✐♥ ✶✾✻✶✳ ✷✷✳ ❘✳ ❆s❤✱ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✳

❉♦✈❡r P✉❜✳ ■♥❝✳✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✻✺✳

✷✸✳ ❙✳ ❇♦②❞ ❛♥❞ ▲✳ ❱❛♥❞❡♥❜❡r❣❤❡✱ ❈♦♥✈❡① ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳

❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②

Pr❡ss✱ ✷✵✵✹✳ ✷✹✳ ❩✳✲◗✳ ▲✉♦ ❛♥❞ ❲✳ ❨✉✱ ✏❆♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♠♠✉♥✐✲ ❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ s✐❣♥❛❧ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✱✑ ■❊❊❊ ❏✳ ❙❡❧❡❝t✳ ❆r❡❛s ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✷✹✱ ♥♦✳ ✽✱ ♣♣✳ ✶✹✷✻✕✶✹✸✽✱ ❆✉❣✳ ✷✵✵✻✳ ✷✺✳ ❩✳✲◗✳ ▲✉♦✱ ❚✳ ◆✳ ❉❛✈✐❞s♦♥✱ ●✳ ❇✳ ●✐❛♥♥❛❦✐s✱ ❛♥❞ ❑✳ ❲♦♥❣✱ ✏❚r❛♥s❝❡✐✈❡r ♦♣t✐✲ ♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ❜❧♦❝❦✲❜❛s❡❞ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❛❝❝❡ss t❤r♦✉❣❤ ■❙■ ❝❤❛♥♥❡❧s✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✷✱ ♥♦✳ ✹✱ ♣♣✳ ✶✵✸✼✕✶✵✺✷✱ ❆♣r✳ ✷✵✵✹✳

✷✻✳ ▼✳ ❇❡♥❣tss♦♥ ❛♥❞ ❇✳ ❖tt❡rst❡♥✱ ❍❛♥❞❜♦♦❦ ♦❢ ❆♥t❡♥♥❛s ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ❈♦♠♠✉✲ ♥✐❝❛t✐♦♥s✳

❈❘❈ ♣r❡ss✱ ❆✉❣✳ ✷✵✵✶✱ ❝❤✳ ✶✽✿ ❖♣t✐♠❛❧ ❛♥❞ ❙✉❜♦♣t✐♠❛❧ ❚r❛♥s♠✐t

❇❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✳ ✷✼✳ ❉✳ ❍❛♠♠❛r✇❛❧❧✱ ▼✳ ❇❡♥❣tss♦♥✱ ❛♥❞ ❇✳ ❖tt❡rst❡♥✱ ✏❖♥ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✇✐t❤ ✐♥❞❡✜♥✐t❡ s❤❛♣✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥ts✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♥♦✳ ✾✱ ♣♣✳ ✸✺✻✻✕✸✺✽✵✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✻✳ ✷✽✳ ❆✳ ❲✐❡s❡❧✱ ❨✳ ❈✳ ❊❧❞❛r✱ ❛♥❞ ❙✳ ❙❤❛♠❛✐ ✭❙❤✐t③✮✱ ✏▲✐♥❡❛r ♣r❡❝♦❞✐♥❣ ✈✐❛ ❝♦♥✐❝ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✜①❡❞ ▼■▼❖ r❡❝❡✐✈❡rs✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✻✶✕✶✼✻✱ ✷✵✵✻✳ ✷✾✳ ▼✳ ❇✐❣✉❡s❤✱ ❙✳ ❙❤❛❤❜❛③♣❛♥❛❤✐✱ ❛♥❞ ❆✳ ❇✳ ●❡rs❤♠❛♥✱ ✏❘♦❜✉st ❞♦✇♥❧✐♥❦ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ❝❡❧❧✉❧❛r s②st❡♠s✱✑ ❊❯❘❆❙■P ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❲✐r❡❧❡ss ❈♦♠♠✉✲ ♥✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✷✻✶✕✷✼✷✱ ✷✵✵✹✳

✸✵✳ ▼✳ P❛②❛ró✱ ❆✳ P❛s❝✉❛❧✲■s❡rt❡✱ ❛♥❞ ▼✳ ❆✳ ▲❛❣✉♥❛s✱ ✏ ❘♦❜✉st ♣♦✇❡r ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❞❡✲ s✐❣♥s ❢♦r ♠✉❧t✐✉s❡r ❛♥❞ ♠✉❧t✐❛♥t❡♥♥❛ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠s t❤r♦✉❣❤ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱✑ ■❊❊❊ ❙❡❧❡❝✳ ❆r❡❛s ✐♥ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✷✺✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✶✸✾✵ ✕ ✶✹✵✶✱ ❙❡♣✳ ✷✵✵✼✳ ✸✶✳ ❈✳ ❋❛rs❛❦❤ ❛♥❞ ❏✳ ❆✳ ◆♦ss❡❦✱ ✏❙♣❛t✐❛❧ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ❜❛s❡❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✐♥ ❛♥ ❙❉▼❆ ♠♦❜✐❧❡ r❛❞✐♦ s②st❡♠✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✹✻✱ ♥♦✳ ✶✶✱ ♣♣✳ ✶✹✾✼✕✶✺✵✻✱ ◆♦✈✳ ✶✾✾✽✳

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✷✷✾

✸✷✳ ❋✳ ❘❛s❤✐❞✲❋❛rr♦❦❤✐✱ ❑✳ ❏✳ ▲✐✉✱ ❛♥❞ ▲✳ ❚❛ss✐✉❧❛s✱ ✏❚r❛♥s♠✐t ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❢♦r ❝❡❧❧✉❧❛r ✇✐r❡❧❡ss s②st❡♠s✱✑ ■❊❊❊ ❏✳ ❙❡❧❡❝t✳ ❆r❡❛s ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✶✻✱ ♥♦✳ ✽✱ ♣♣✳ ✶✹✸✼✕✶✹✹✾✱ ❖❝t✳ ✶✾✾✽✳ ✸✸✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠✉❧t✐✲✉s❡r ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❙■◆❘ ❝♦♥str❛✐♥ts✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❱❡❤✳ ❚❡❝❤♥♦❧✳✱ ✈♦❧✳ ✺✸✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✽✕✷✽✱ ❏❛♥✳ ✷✵✵✹✳ ✸✹✳ P✳ ❑✉♠❛r✱ ❘✳ ❨❛t❡s✱ ❛♥❞ ❏✳ ❍♦❧t③♠❛♥✱ ✏P♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❜✐t ❡rr♦r ✭❇❊❘✮ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✱✑ ✐♥ Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ▼✐❧✐t❛r② ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ▼■▲❈❖▼

✾✺✱ ▼❝▲❡❛♥✱ ❱❆✱ ◆♦✈✳ ✶✾✾✺✱ ♣♣✳ ✻✶✼✕✻✷✵✳ ✸✺✳ ❙✳ ❯❧✉❦✉s ❛♥❞ ❘✳ ❨❛t❡s✱ ✏❆❞❛♣t✐✈❡ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ▼▼❙❊ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ s✉♣✲ ♣r❡ss✐♦♥✱✑ ❆❈▼ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s✱ ✈♦❧✳ ✹✱ ♥♦✳ ✻✱ ♣♣✳ ✹✽✾✕✹✾✻✱ ✶✾✾✽✳ ✸✻✳ ❙✳ ❍❛♥❧②✱ ✏❆♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❝❡❧❧✲s✐t❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ ❝❡❧❧✉❧❛r s♣r❡❛❞ s♣❡❝tr✉♠ ❝❛♣❛❝✐t②✱✑ ■❊❊❊ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❙❡❧❡❝t❡❞ ❆r❡❛s

✐♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱ ✈♦❧✳ ✶✸✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✶✸✸✷✕✶✸✹✵✱ ❙❡♣t✳ ✶✾✾✺✳ ✸✼✳ ❘✳ ❨❛t❡s ❛♥❞ ❍✳ ❈❤✐♥❣✲❨❛♦✱ ✏■♥t❡❣r❛t❡❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❜❛s❡ st❛t✐♦♥ ❛ss✐❣♥✲ ♠❡♥t✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ✈♦❧✳ ✹✹✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣♣✳ ✻✸✽ ✕ ✻✹✹✱ ❆✉❣✳ ✶✾✾✺✳ ✸✽✳ ❈✳ ❲✳ ❙✉♥❣✱ ✏▲♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐♥ ♣♦✇❡r✲ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❝❡❧❧✉❧❛r s②st❡♠s✱✑ ■❊❊❊ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ▲❡tt❡rs✱ ✈♦❧✳ ✻✱ ♥♦✳ ✻✱ ♣♣✳ ✷✹✽✕✷✹✾✱ ❏✉♥❡ ✷✵✵✷✳ ✸✾✳ ❉✳ ❈❛tr❡✐♥✱ ▲✳ ■♠❤♦❢✱ ❛♥❞ ❘✳ ▼❛t❤❛r✱ ✏P♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✱ ❝❛♣❛❝✐t②✱ ❛♥❞ ❞✉❛❧✐t② ♦❢ ✉♣✲ ❛♥❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r ❈❉▼❆ s②st❡♠s✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✷✱ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✶✼✼✼✕✶✼✽✺✱ ✷✵✵✹✳ ✹✵✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ❙✳ ❙t❛➠❝③❛❦✱ ✏▲♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r ✐♥ ❈❉▼❆ s②st❡♠s ✇✐t❤ ❝❡rt❛✐♥ q✉❛❧✐t②✲♦❢✲s❡r✈✐❝❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡❞✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥✲

❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✶✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✸✼✹✕✸✽✶✱ ❏❛♥✳ ✷✵✵✺✳ ✹✶✳ ✖✖✱ ✏❈♦♥✈❡①✐t② ♦❢ s♦♠❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s ❛♥❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ t♦t❛❧ ♣♦✇❡r ✐♥ ❈❉▼❆ s②st❡♠s✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✷✱ ♥♦✳ ✶✷✱ ♣♣✳ ✷✶✾✵ ✕ ✷✶✾✼✱ ❉❡❝✳ ✷✵✵✹✳ ✹✷✳ ❙✳ ❙t❛♥❝③❛❦✱ ▼✳ ❲✐❝③❛♥♦✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❘❡✲

s♦✉r❝❡ ❆❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s✱ s❡r✳ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ✭▲◆❈❙✮✳

❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ✷✵✵✻✳

✹✸✳ ▼✳ ❈❤✐❛♥❣✱ ❈✳ ❲✳ ❚❛♥✱ ❉✳ P❛❧♦♠❛r✱ ❉✳ ❖✬◆❡✐❧❧✱ ❛♥❞ ❉✳ ❏✉❧✐❛♥✱ ✏P♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❜② ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❲✐r❡❧❡ss ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✻✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✷✻✹✵✕✷✻✺✶✱ ❏✉❧② ✷✵✵✼✳ ✹✹✳ ❈✳ ❲✳ ❚❛♥✱ ❉✳ P✳ P❛❧♦♠❛r✱ ❛♥❞ ▼✳ ❈❤✐❛♥❣✱ ✏❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ❤✐❞❞❡♥ ❝♦♥✈❡①✐t② ❢♦r ✢❡①✐❜❧❡ ❛♥❞ r♦❜✉st r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ✐♥ ■❊❊❊ ■♥❢♦❝♦♠✱ ▼❛② ✷✵✵✼✱ ♣♣✳ ✾✻✹✕✾✼✷✳ ✹✺✳ ❏✳ ❩❛♥❞❡r ❛♥❞ ❙✳✲▲✳ ❑✐♠✱ ❘❛❞✐♦ ❘❡s♦✉r❝❡ ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t ❢♦r ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s✳ ❆rt❡❝❤ ❍♦✉s❡✱ ❇♦st♦♥✱ ▲♦♥❞♦♥✱ ✷✵✵✶✳ ✹✻✳ ❙✳ ❑♦s❦✐❡ ❛♥❞ ❩✳ ●❛❥✐❝✱ ✏ ❙■❘✲❜❛s❡❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ❈❉▼❆ ♥❡t✇♦r❦s✿ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇✱✑ ❉②♥❛♠✐❝s ♦❢ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❉✐s❝r❡t❡ ❛♥❞ ■♠✲

♣✉❧s✐✈❡ ❙②st❡♠s ❇✿ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ✈♦❧✳ ✶✵✲❙✱ ♣♣✳ ✷✽✻✕✷✾✸✱ ✷✵✵✸✳ ✹✼✳ ❙✳ ❙t❛♥❝③❛❦✱ ▼✳ ❲✐❝③❛♥♦✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧s ♦❢ ❘❡s♦✉r❝❡ ❆❧❧♦❝❛✲

t✐♦♥ ✐♥ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s✿ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ s❡r✳ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ✐♥ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ❘✳ ▼✳ ❲✳ ❯ts❝❤✐❝❦✱ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ❊❞✳

❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✽✱ ✈♦❧✳ ✸✳

✹✽✳ ❏✳ ▼✳ ❆❡✐♥✱ ✏P♦✇❡r ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ✐♥ s②st❡♠s ❡♠♣❧♦②✐♥❣ ❢r❡q✉❡♥❝② r❡✉s❡✱✑ ❈❖▼❙❆❚

❚❡❝❤✳ ❘❡✈✳✱ ✈♦❧✳ ✸✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✷✼✼✕✸✵✵✱ ✶✾✼✸✳

✷✸✵

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✹✾✳ ❍✳ ❏✳ ▼❡②❡r❤♦✛✱ ✏▼❡t❤♦❞ ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠ ♣♦✇❡r ❜❛❧❛♥❝❡ ✐♥ ♠✉❧t✐✲ ❜❡❛♠ s❛t❡❧❧✐t❡s✱✑

❈❖▼❙❆❚ ❚❡❝❤✳ ❘❡✈✳✱ ✈♦❧✳ ✹✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✸✾✕✶✹✻✱ ✶✾✼✹✳

✺✵✳ ❏✳ ❩❛♥❞❡r✱ ✏P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ♦♣t✐♠✉♠ tr❛♥s♠✐tt❡r ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r r❛❞✐♦ s②st❡♠s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ✈♦❧✳ ✹✶✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✺✼✕✻✷✱ ❋❡❜✳

✶✾✾✷✳ ✺✶✳ ●✳ ❏✳ ❋♦s❝❤✐♥✐ ❛♥❞ ❩✳ ▼✐❧❥❛♥✐❝✱ ✏❆ s✐♠♣❧❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛✉t♦♥♦♠♦✉s ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ✈♦❧✳ ✹✷✱

❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛♥❞ ✐ts ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✱✑ ♥♦✳ ✹✱ ♣♣✳ ✺✹✶✕✻✹✻✱ ♥♦✈ ✶✾✾✸✳

✺✷✳ ◆✳ ❇❛♠❜♦s✱ ❙✳ ❈✳ ❈❤❡♥✱ ❛♥❞ ●✳ ❏✳ P♦tt✐❡✱ ✏❘❛❞✐♦ ❧✐♥❦ ❛❞♠✐ss✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s ✇✐t❤ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❛❝t✐✈❡ ❧✐♥❦ q✉❛❧✐t② ♣r♦t❡❝t✐♦♥✱✑ ✐♥

■◆❋❖❈❖▼ ✭✶✮✱ ✶✾✾✺✱ ♣♣✳ ✾✼✕✶✵✹✳ ✺✸✳ ❘✳ ❆✳ ▼♦♥③✐♥❣♦ ❛♥❞ ❚✳ ❲✳ ▼✐❧❧❡r✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❆rr❛②s✳

❲✐❧❡②✱

◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✽✵✳ ✺✹✳ ❍✳ ❆❧❛✈✐ ❛♥❞ ❘✳ ◆❡tt❧❡t♦♥✱ ✏❉♦✇♥str❡❛♠ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❢♦r ❛ s♣r❡❛❞ s♣❡❝tr✉♠ ❝❡❧❧✉❧❛r ♠♦❜✐❧❡ r❛❞✐♦ s②st❡♠✱✑ ✐♥

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ●❧♦❜❡❝♦♠✱ ✶✾✽✷✱ ♣♣✳ ✽✹✕✽✽✳ ▼❛t❤✳ ❩✳✱ ♥♦✳ ✺✷✱ ♣♣✳ ✻✹✷

✺✺✳ ❍✳ ❲✐❡❧❛♥❞t✱ ✏❯♥③❡r❧❡❣❜❛r❡✱ ♥✐❝❤t ♥❡❣❛t✐✈❡ ▼❛tr✐③❡♥✱✑

✕ ✻✹✽✱ ✶✾✺✵✱ ❛♥❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡ ❲❡r❦❡✴▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❲♦r❦s✱ ✈♦❧✳ ✷✱ ✶✵✵✲✶✵✻ ❞❡ ●r✉②t❡r✱ ❇❡r❧✐♥✱ ✶✾✾✻✳ ✺✻✳ ❘✳ ❆✳ ❍♦r♥ ❛♥❞ ❈✳ ❘✳ ❏♦❤♥s♦♥✱

▼❛tr✐① ❆♥❛❧②s✐s✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱

▼❆✱ ✶✾✽✺✳ ✺✼✳ ❋✳ ❘✳ ●❛♥t♠❛❝❤❡r✱

❚❤❡ ❚❤❡♦r② ♦❢ ▼❛tr✐❝❡s✱ ❱♦❧✳ ✷✳

◆❡✇ ❨♦r❦✿ ❈❤❡❧s❡❛ P✉❜✲

❧✐s❤✐♥❣ ❈♦♠♣✳✱ ✶✾✺✾✳ ✺✽✳ ❈✳ ❉✳ ▼❡②❡r✱

▼❛tr✐① ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❡❞ ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛✳

❙■❆▼✱ ✷✵✵✵✳

✺✾✳ ❉✳ ●❡r❧❛❝❤ ❛♥❞ ❆✳ P❛✉❧r❛❥✱ ✏❇❛s❡ st❛t✐♦♥ tr❛♥s♠✐tt✐♥❣ ❛♥t❡♥♥❛ ❛rr❛②s ❢♦r ♠✉❧✲ t✐♣❛t❤ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥ts✱✑

❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ✭❊❧s❡✈✐❡r ❙❝✐❡♥❝❡✮✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♣♣✳ ✺✾✕✼✸✱

✶✾✾✻✳ ✻✵✳ ●✳ ▼♦♥t❛❧❜❛♥♦ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ▼✳ ❙❧♦❝❦✱ ✏▼❛t❝❤❡❞ ✜❧t❡r ❜♦✉♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥t❡r♥❛t✳ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❯♥✐✈❡rs❛❧ P❡rs♦♥❛❧ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✭■❈❯P❈✮✱ ❋❧♦r❡♥❝❡✱ ■t❛❧②✱ ❖❝t✳ ✶✾✾✽✳ ♠✉❧t✐✉s❡r ❞♦✇♥❧✐♥❦ tr❛♥s♠✐t ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱✑ ✐♥

✻✶✳ ❏✳ ❩❛♥❞❡r ❛♥❞ ▼✳ ❋r♦❞✐❣❤✱ ✏❈♦♠♠❡♥t ♦♥ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ♦♣t✐♠✉♠ tr❛♥s♠✐tt❡r ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r r❛❞✐♦ s②st❡♠s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱

✈♦❧✳ ✹✸✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣✳ ✻✸✻✱ ❆✉❣✳ ✶✾✾✹✳ ✻✷✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ❢♦r ♠✉❧t✐✉s❡r ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✲

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥t✳ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❈♦♠♠✳ ✭■❈❈✮✳ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ❯❙❆✱ ❆♣r✳ ✷✵✵✷✱ ♣♣✳ ✽✹✶ ✕ ✽✹✺ ✈♦❧✳✷✳ ✐♥❣ ✕ ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s✱✑ ✐♥

✻✸✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❆ ❣❡♥❡r❛❧ ❞✉❛❧✐t② t❤❡♦r② ❢♦r ✉♣❧✐♥❦ ❛♥❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱✑ ✐♥ Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥✳ ❈♦♥❢✳ ✭❱❚❈✮ ❢❛❧❧✱ ❱❛♥❝♦✉✈❡r✱ ❈❛♥❛❞❛✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✷✱ ♣♣✳ ✽✼ ✕ ✾✶ ✈♦❧✳✶✳ ✻✹✳ ❊✳ ❱✐s♦ts❦② ❛♥❞ ❯✳ ▼❛❞❤♦✇✱ ✏❖♣t✐♠✉♠ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✉s✐♥❣ tr❛♥s♠✐t ❛♥t❡♥♥❛ ❛rr❛②s✱✑ ✐♥

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥✳ ❈♦♥❢✳ ✭❱❚❈✮ s♣r✐♥❣✱ ❍♦✉st♦♥✱ ❚❡①❛s✱

✈♦❧✳ ✶✱ ▼❛② ✶✾✾✾✱ ♣♣✳ ✽✺✶✕✽✺✻✳ ✻✺✳ P✳ ❱✐s✇❛♥❛t❤ ❛♥❞ ❉✳ ❚s❡✱ ✏❙✉♠ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ●❛✉ss✐❛♥ ❜r♦❛❞❝❛st ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ ✉♣❧✐♥❦✲❞♦✇♥❧✐♥❦ ❞✉❛❧✐t②✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✹✾✱

♥♦✳ ✽✱ ♣♣✳ ✶✾✶✷✕✶✾✷✶✱ ❆✉❣✳ ✷✵✵✸✳ ✻✻✳ ❙✳ ❱✐s❤✇❛♥❛t❤✱ ◆✳ ❏✐♥❞❛❧✱ ❛♥❞ ❆✳ ●♦❧❞s♠✐t❤✱ ✏❉✉❛❧✐t②✱ ❛❝❤✐❡✈❛❜❧❡ r❛t❡s✱ ❛♥❞ s✉♠✲r❛t❡ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ ●❛✉ss✐❛♥ ▼■▼❖ ❜r♦❛❞❝❛st ❝❤❛♥♥❡❧s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥✲

❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✹✾✱ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✷✻✺✽✕ ✷✻✻✽✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✸✳ ✻✼✳ ❲✳ ❨✉ ❛♥❞ ❚✳ ▲❛♥✱ ✏❚r❛♥s♠✐tt❡r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠✉❧t✐✲❛♥t❡♥♥❛ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ✇✐t❤ ♣❡r✲❛♥t❡♥♥❛ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✱✑ ♣♣✳ ✷✻✹✻✕✷✻✻✵✱ ❏✉♥❡ ✷✵✵✼✳

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✺✱ ♥♦✳ ✻✱

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✷✸✶

✻✽✳ ❍✳ ❲❡✐♥❣❛rt❡♥✱ ❨✳ ❙t❡✐♥❜❡r❣✱ ❛♥❞ ❙✳ ❙❤❛♠❛✐ ✭❙❤✐t③✮✱ ✏❚❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ●❛✉ss✐❛♥ ▼■▼❖ ❜r♦❛❞❝❛st ❝❤❛♥♥❡❧✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ♣♣✳ ✸✾✸✻✕✸✾✻✹✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✻✳ ✻✾✳ ❲✳ ❨✉ ❛♥❞ ❏✳ ▼✳ ❈✐♦✣✱ ✏❙✉♠ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ ●❛✉ss✐❛♥ ✈❡❝t♦r ❜r♦❛❞❝❛st ❝❤❛♥♥❡❧s✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✵✱ ♥♦✳ ✾✱ ♣♣✳ ✶✽✼✺✕✶✽✾✷✱ ✷✵✵✹✳

✼✵✳ ❙✳ ❱♦r♦❜②♦✈✱ ❆✳ ●❡rs❤♠❛♥✱ ❛♥❞ ❩✳✲◗✳ ▲✉♦✱ ✏❘♦❜✉st ❛❞❛♣t✐✈❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✉s✐♥❣ ✇♦rst✲❝❛s❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✿ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♠✐s♠❛t❝❤ ♣r♦❜❧❡♠✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✶✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✸✶✸ ✕ ✸✷✹✱ ❋❡❜✳ ✷✵✵✸✳ ✼✶✳ ❘✳ ●✳ ▲♦r❡♥③ ❛♥❞ ❙✳ ❇♦②❞✱ ✏❘♦❜✉st ♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✸✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✶✻✽✹✕✶✻✾✻✱ ✷✵✵✺✳

✼✷✳ ❆✳ ▼✳ ❘✉❜✐♥♦✈✱ ✏❚♦✇❛r❞s ♠♦♥♦t♦♥✐❝ ❛♥❛❧②s✐s✱✑ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❘❡❧❛t❡❞ ❚♦♣✐❝s✱ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ▼✐♥s❦✱ ♣♣✳ ✶✹✼✕✶✺✹✱ ✶✾✾✾✳

✼✸✳ ❆✳ ▼✳ ❘✉❜✐♥♦✈ ❛♥❞ ❇✳ ▼✳ ●❧♦✈❡r✱ ✏❉✉❛❧✐t② ❢♦r ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♣♦s✐t✐✈❡❧② ❤♦♠♦✲ ❣❡♥❡♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ♥♦r♠❛❧ s❡ts✱✑ ❘❡❝❤❡r❝❤❡ ❖♣ér❛t✐♦♥❡❧❧❡✴❖♣❡r❛t✐♦♥s ❘❡✲ s❡❛r❝❤✱ ✈♦❧✳ ✸✷✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✵✺✕✶✷✸✱ ✶✾✾✾✳

✼✹✳ ❈✳ ❍✉❛♥❣ ❛♥❞ ❘✳ ❨❛t❡s✱ ✏❘❛t❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❢♦r ♠✐♥✐♠✉♠ ♣♦✇❡r ❛ss✐❣♥♠❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r r❛❞✐♦ s②st❡♠s✱✑ ❇❛❧t③❡r✴❆❈▼ ❲✐r❡❧❡ss ◆❡t✇♦r❦s✱ ✈♦❧✳ ✹✱ ♣♣✳ ✷✷✸✕✷✸✶✱ ✶✾✾✽✳ ✼✺✳ ❑✳ ❑✳ ▲❡✉♥❣✱ ❈✳ ❲✳ ❙✉♥❣✱ ❲✳ ❙✳ ❲♦♥❣✱ ❛♥❞ ❚✳ ▲♦❦✱ ✏❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❧❛ss ♦❢ ♣♦✇❡r✲❝♦♥tr♦❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✷✱ ♥♦✳ ✾✱ ♣♣✳ ✶✺✻✻ ✕ ✶✺✼✹✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✹✳ ✼✻✳ ◆✳ ❇❛♠❜♦s✱ ❙✳ ❈❤❡♥✱ ❛♥❞ ●✳ P♦tt✐❡✱ ✏❈❤❛♥♥❡❧ ❛❝❝❡ss ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✇✐t❤ ❛❝✲ t✐✈❡ ❧✐♥❦ ♣r♦t❡❝t✐♦♥ ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♥❡t✇♦r❦s ✇✐t❤ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧✱✑ ■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✽✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✺✽✸ ✕ ✺✾✼✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✵✳

✼✼✳ ▼✳ ❳✐❛♦✱ ◆✳ ❙❤r♦✛✱ ❛♥❞ ❊✳ ❈❤♦♥❣✱ ✏❆ ✉t✐❧✐t②✲❜❛s❡❞ ♣♦✇❡r✲❝♦♥tr♦❧ s❝❤❡♠❡ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ❝❡❧❧✉❧❛r s②st❡♠s✱✑ ■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✶✶✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✷✶✵✕✷✷✶✱ ❆♣r✳ ✷✵✵✸✳ ✼✽✳ ❆✳ ❑♦s❦✐❡ ❛♥❞ ❩✳ ●❛❥✐❝✱ ✏❆ ◆❛s❤ ❣❛♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❙■❘✲❜❛s❡❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❢♦r ✸● ✇✐r❡❧❡ss ❈❉▼❆ ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✶✸✱ ♥♦✳ ✺✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✺✳ ✼✾✳ ❏✳✲❲✳ ▲❡❡✱ ❘✳ ▼❛③✉♠❞❛r✱ ❛♥❞ ◆✳ ❙❤r♦✛✱ ✏❏♦✐♥t r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❜❛s❡✲ st❛t✐♦♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ❢♦r t❤❡ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ✐♥ ❈❉▼❆ ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✶✹✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✶✕✶✹✱ ❋❡❜✳ ✷✵✵✻✳

✽✵✳ ❍✳ ❚✉②✱ ✏▼♦♥♦t♦♥✐❝ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✿ Pr♦❜❧❡♠s ❛♥❞ s♦❧✉t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱✑ ❙■❆▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛r❝❤✐✈❡✱ ✈♦❧✳ ✶✶✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✹✻✹ ✕ ✹✾✹✱ ✷✵✵✵✳

✽✶✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❖♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♠✉❧t✐✉s❡r ◗♦❙ r❡❣✐♦♥✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✺✺✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✸✹✽✹✕✸✹✾✺✱ ❏✉❧② ✷✵✵✼✳

✽✷✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏❆ ✉♥✐❢②✐♥❣ t❤❡♦r② ❢♦r ✉♣❧✐♥❦ ❛♥❞ ❞♦✇♥❧✐♥❦ ♠✉❧t✐✲ ✉s❡r ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣✱✑ ✐♥ Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥t❡r♥✳ ❩✉r✐❝❤ ❙❡♠✐♥❛r✱ ❙✇✐t③❡r❧❛♥❞✱ ❋❡❜✳ ✷✵✵✷✳ ✽✸✳ ❋✳ ❘❛s❤✐❞✲❋❛rr♦❦❤✐✱ ▲✳ ❚❛ss✐✉❧❛s✱ ❛♥❞ ❑✳ ❏✳ ▲✐✉✱ ✏❏♦✐♥t ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s ✉s✐♥❣ ❛♥t❡♥♥❛ ❛rr❛②s✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✹✻✱ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✶✸✶✸✕✶✸✷✸✱ ❖❝t✳ ✶✾✾✽✳

✽✹✳ ❏✳✲❇✳ ❍✐r✐❛rt✲❯rr✉t② ❛♥❞ ❈✳ ▲❡♠❛ré❝❤❛❧✱ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧s ♦❢ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s✳ ❙♣r✐♥❣❡r ❇❡r❧✐♥✱ ❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✷✵✵✶✳ ✽✺✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ❙✳ ❙t❛♥❝③❛❦✱ ✏❙tr✐❝t ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ ❧♦❣✲❙■❘ r❡❣✐♦♥✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✻✱ ♥♦✳ ✾✱ ♣♣✳ ✶✺✶✶✕✶✺✶✽✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✽✳

✽✻✳ ✖✖✱ ✏❚❤❡ ❑✉❧❧❜❛❝❦✲▲❡✐❜❧❡r ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❞ ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐❝❡s✱✑ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✷✱ ♥♦✳ ✶✷✱ ♣♣✳ ✺✺✸✾✕✺✺✹✺✱ ❉❡❝✳ ✷✵✵✻✳

■❊❊❊

✷✸✷

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✸✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✼✼✾✕✼✽✸✱ ❋❡❜✳ ✷✵✵✼✳ ✽✽✳ ✖✖✱ ✏ ❚❤❡ ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡ ❙■❘ r❡❣✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t✱✑ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❈♦♠✲ ♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♥♦✳ ✶✶✱ ◆♦✈✳ ✷✵✵✻✳

✽✼✳ ❙✳ ❙t❛♥❝③❛❦ ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏❖♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ ❢❡❛s✐❜❧❡ ◗♦❙ r❡❣✐♦♥s✱✑

✽✾✳ ❋✳ ▼❡s❤❦❛t✐✱ ❍✳ P♦♦r✱ ❛♥❞ ❙✳ ❙❝❤✇❛rt③✱ ✏❊♥❡r❣②✲❡✣❝✐❡♥t r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s✿ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ❣❛♠❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱✑

■❊❊❊ ❙✐❣♥❛❧

Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✈♦❧✳ ✷✹✱ ♣♣✳ ✺✽✕✻✽✱ ✷✵✵✼✳ ✾✵✳ ❋✳ ▼❡s❤❦❛t✐✱ ❍✳ ❱✳ P♦♦r✱ ❙✳ ❈✳ ❙❝❤✇❛rt③✱ ❛♥❞ ◆✳ ❇✳ ▼❛♥❞❛②❛♠✱ ✏❆ ✉t✐❧✐t②✲❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ r❡❝❡✐✈❡r ❞❡s✐❣♥ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ❞❛t❛ ♥❡t✇♦r❦s✱✑

■❊❊❊

❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✷✵✵✸✱ s✉❜♠✐tt❡❞✳ ✾✶✳ ❆✳ ▲❡s❤❡♠ ❛♥❞ ❊✳ ❩❡❤❛✈✐✱ ✏❈♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❣❛♠❡ t❤❡♦r② ❛♥❞ t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② s❡❧❡❝✲

■❊❊❊ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❙❡❧❡❝t❡❞ ❚♦♣✐❝ ✐♥ ❈♦♠✲ ♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣❡❝✐❛❧ ✐ss✉❡ ♦♥ ●❛♠❡ t❤❡♦r② ✐♥ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♥❡t✇♦r❦✐♥❣✱ t✐✈❡ ❣❛✉ss✐❛♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱✑

✈♦❧✳ ✷✻✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✶✵✼✽ ✕ ✶✵✽✽✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✽✳ ✾✷✳ ❊✳ ▲❛rss♦♥✱ ❊✳ ❏♦rs✇✐❡❝❦✱ ❏✳ ▲✐♥❞❜❧♦♠✱ ❛♥❞ ❘✳ ▼♦❝❤❛♦✉r❛❜✱ ✏ ●❛♠❡ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ t❤❡ ❋❧❛t✲❋❛❞✐♥❣ ●❛✉ss✐❛♥ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❈❤❛♥♥❡❧✱✑

■❊❊❊ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣

▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✈♦❧✳ ✷✻✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✶✽✕✷✼✱ ❋❡❜✳ ✷✵✵✾✳ ✾✸✳ ❆✳ ▲❡s❤❡♠ ❛♥❞ ❊✳ ❩❡❤❛✈✐✱ ✏●❛♠❡ t❤❡♦r② ❛♥❞ t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② s❡❧❡❝t✐✈❡ ✐♥t❡r❢❡r✲ ❡♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱✑

■❊❊❊ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✈♦❧✳ ✷✻✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✷✽ ✕ ✹✵✱

✷✵✵✾✳ ✾✹✳ ❙✳ ▲❛s❛✉❧❝❡✱ ▼✳ ❉❡❜❜❛❤✱ ❛♥❞ ❊✳ ❆❧t♠❛♥✱ ✏▼❡t❤♦❞♦❧♦❣✐❡s ❢♦r ❛♥❛❧②③✐♥❣ ❡q✉✐❧✐❜✲ r✐❛ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ❣❛♠❡s✱✑

■❊❊❊ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✈♦❧✳ ✷✻✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✹✶

✕ ✺✷✱ ✷✵✵✾✳ ✾✺✳ ❘✳ ❍✉♥❣❡r ❛♥❞ ▼✳ ❏♦❤❛♠✱ ✏❆ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◗♦❙ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② r❡❣✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✈❡❝t♦r ❜r♦❛❞❝❛st ❝❤❛♥♥❡❧✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✺✽✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳

✸✽✼✵✕✸✽✼✼✱ ❏✉❧② ✷✵✶✵✳ ✾✻✳ ❊✳ ▲❛rss♦♥ ❛♥❞ ❊✳ ❏♦rs✇✐❡❝❦✱ ✏ ❈♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ✈❡rs✉s ❈♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ▼■❙❖ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❈❤❛♥♥❡❧✱✑

■❊❊❊ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❙❡❧❡❝t❡❞ ❆r❡❛s ✐♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱

✈♦❧✳ ✷✻✱ ♥♦✳ ✼✱ ♣♣✳ ✶✵✺✾ ✕ ✶✵✻✾✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✽✳ ✾✼✳ ❊✳ ❏♦rs✇✐❡❝❦ ❛♥❞ ❊✳ ▲❛rss♦♥✱ ✏ ❈♦♠♣❧❡t❡ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ P❛r❡t♦ ❇♦✉♥❞✲ ❛r② ❢♦r t❤❡ ▼■❙❖ ■♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❈❤❛♥♥❡❧✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱

✈♦❧✳ ✺✻✱ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✺✷✾✷ ✕ ✺✷✾✻✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✽✳ ✾✽✳ ❋✳ ❑❡❧❧②✱ ❆✳ ▼❛✉❧❧♦♦✱ ❛♥❞ ❉✳ ❚❛♥✱ ✏❘❛t❡ ❝♦♥tr♦❧ ❢♦r ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♥❡t✇♦r❦s✿

❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣❡r❛t✐♦♥s ❘❡✲ s❡❛r❝❤ ❙♦❝✐❡t②✱ ✈♦❧✳ ✹✾✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣♣✳ ✷✸✼✕✷✺✷✱ ▼❛r✳ ✶✾✾✽✳ ❙❤❛❞♦✇ ♣r✐❝❡s✱ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t②✱✑

✾✾✳ ❏✳ ❇r❡❤♠❡r ❛♥❞ ❲✳ ❯ts❝❤✐❝❦✱ ✏❖♥ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss ✐♥ ♥♦♥❝♦♥✈❡① ✇✐r❡❧❡ss

Pr♦❝✳ ■♥t✳ ■❚● ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ ❙♠❛rt ❆♥t❡♥♥❛s ✭❲❙❆✮ ✷✵✵✾✱ ❇❡r❧✐♥✱ ●❡r♠❛♥②✱ ❋❡❜✳ ✷✵✵✾✳ ✶✵✵✳ ❆✳ ▲❡s❤❡♠ ❛♥❞ ❊✳ ❩❡❤❛✈✐✱ ✏❇❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧✱✑ ■❊❊❊ ❏✳ ❙❡❧❡❝t✳ ❆r❡❛s ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✷✻✱ ♥♦✳ ✼✱ ✷✵✵✽✳ s②st❡♠s✱✑ ✐♥

✶✵✶✳ ❊✳ ●✳ ▲❛rss♦♥ ❛♥❞ ❊✳ ❆✳ ❏♦rs✇✐❡❝❦✱ ✏❚❤❡ ▼■❙❖ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧✿ ❈♦♠♣❡t✐✲

Pr♦❝✳ ❆❧❧❡rt♦♥ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ❈♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t✐♥❣✱ ▼♦♥t✐❝❡❧❧♦✱ ❯❙❆✱ ✷✵✵✼✳

t✐♦♥ ✈❡rs✉s ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥✱✑ ✐♥

✶✵✷✳ ❘✳ ▼❛③✉♠❞❛r✱ ▲✳ ●✳ ▼❛s♦♥✱ ❛♥❞ ❈✳ ❉♦✉❧✐❣❡r✐s✱ ✏❋❛✐r♥❡ss ✐♥ ♥❡t✇♦r❦ ♦♣t✐♠❛❧ ✢♦✇ ❝♦♥tr♦❧✿ ❖♣t✐♠❛❧✐t② ♦❢ ♣r♦❞✉❝t ❢♦r♠s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✸✾✱

♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✼✼✺✕✼✽✷✱ ▼❛② ✶✾✾✶✳ ✶✵✸✳ ❍✳ ❨❛ï❝❤❡✱ ❘✳ ▼❛③✉♠❞❛r✱ ❛♥❞ ❈✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✏❆ ❣❛♠❡ t❤❡♦r❡t✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ❜❛♥❞✇✐❞t❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❜r♦❛❞❜❛♥❞ ♥❡t✇♦r❦s✱✑

♦♥ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✽✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✻✻✼✕✻✼✽✱ ✷✵✵✵✳

■❊❊❊✴❆❈▼ ❚r❛♥s✳

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✷✸✸

✶✵✹✳ ❈✳ ❚♦✉❛t✐✱ ❊✳ ❆❧t♠❛♥✱ ❛♥❞ ❏✳ ●❛❧t✐❡r✱ ✏❯t✐❧✐t② ❜❛s❡❞ ❢❛✐r ❜❛♥❞✇✐❞t❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱✑

Pr♦❝✳ ♦❢ t❤❡ ■❆❙❚❊❉ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ◆❡t✇♦r❦s✱ P❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ❉✐str✐❜✉t❡❞ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭◆P❉P❆✮✱ ❚s✉❦✉❜❛✱ ❏❛♣❛♥✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✷✳ ✐♥

✶✵✺✳ ❩✳ ❍❛♥✱ ❩✳ ❏✐✱ ❛♥❞ ❑✳ ❏✳ ❘✳ ▲✐✉✱ ✏❋❛✐r ♠✉❧t✐✉s❡r ❝❤❛♥♥❡❧ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❢♦r ❖❋❉▼❆ ♥❡t✇♦r❦s ✉s✐♥❣ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦❛❧✐t✐♦♥s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠✲

♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✸✱ ♥♦✳ ✽✱ ♣♣✳ ✶✸✻✻✕ ✶✸✼✻✱ ❆✉❣✳ ✷✵✵✺✳ ✶✵✻✳ ❈✳ ❚♦✉❛t✐✱ ❊✳ ❆❧t♠❛♥✱ ❛♥❞ ❏✳ ●❛❧t✐❡r✱ ✏●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❜❛♥❞✇✐❞t❤ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥✱✑

❈♦♠♣✉t❡r ◆❡t✇♦r❦s✱ ✈♦❧✳ ✺✵✱ ♥♦✳ ✶✼✱ ♣♣✳ ✸✷✹✷✕✸✷✻✸✱

✷✵✵✻✳ ✶✵✼✳ ❏✳ ❊✳ ❙✉r✐s✱ ▲✳ ❆✳ ❉❛❙✐❧✈❛✱ ❩✳ ❍❛♥✱ ❛♥❞ ❆✳ ❇✳ ▼❛❝❑❡♥③✐❡✱ ✏❈♦♦♣❡r❛t✐✈❡ ❣❛♠❡ t❤❡♦r② ❢♦r ❞✐str✐❜✉t❡❞ s♣❡❝tr✉♠ s❤❛r✐♥❣✱✑ ✐♥

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥t✳ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❈♦♠♠✳

✭■❈❈✮✱ ●❧❛s❣♦✇✱ ❙❝♦t❧❛♥❞✱ ❏✉♥❡ ✷✵✵✼✳ ✶✵✽✳ ●✳ ❞❡ ❈❧✐♣♣❡❧✱ ✏❆♥ ❛①✐♦♠❛t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥✱✑

❙♦❝✐❛❧

❈❤♦✐❝❡ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛r❡✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✈♦❧✳ ✷✾✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✷✵✶✕✷✶✵✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✼✳ ✶✵✾✳ ❏✳ P✳ ❈♦♥❧❡② ❛♥❞ ❙✳ ❲✐❧❦✐❡✱ ✏❆♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ♥♦♥❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠s✱✑

●❛♠❡s ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❇❡❤❛✈✐♦r✱ ✈♦❧✳ ✶✸✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳

✷✻✕✸✽✱ ▼❛r❝❤ ✶✾✾✻✳ ✶✶✵✳ ❨✳ ❳✉ ❛♥❞ ◆✳ ❨♦s❤✐❤❛r❛✱ ✏❆❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥s ♦❢ t❤r❡❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ♥♦♥❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠s✱✑

●❛♠❡s ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❇❡❤❛✈✐♦r ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱

✈♦❧✳ ✺✼✱ ♣♣✳ ✽✻✕✾✷✱ ✷✵✵✻✳ ✶✶✶✳ ❈✳ ❚♦✉❛t✐✱ ❍✳ ❑❛♠❡❞❛✱ ❛♥❞ ❆✳ ■♥♦✐❡✱ ✏❋❛✐r♥❡ss ✐♥ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① s②st❡♠s✱✑ ❯♥✐✲ ✈❡rs✐t② ♦❢ ❚s✉❦✉❜❛✱ ❚❡❝❤✳ ❘❡♣✳ ❈❙✲❚❘✲✵✺✲✹✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✺✳ ✶✶✷✳ ▼✳ ❑❛♥❡❦♦✱ ✏❆♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ◆❛s❤ s♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱✑

❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❉❡❝✐s✐♦♥✱ ✈♦❧✳ ✶✷✱ ♥♦✳ ✷✱ ♣♣✳ ✶✸✺✕✶✹✽✱ ❏✉♥❡ ✶✾✽✵✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢

✶✶✸✳ ▼✳ ❍❡rr❡r♦✱ ✏❚❤❡ ◆❛s❤ ♣r♦❣r❛♠✿ ◆♦♥✲❝♦♥✈❡① ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s✱✑

❊❝♦♥♦♠✐❝ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✹✾✱ ♣♣✳ ✷✻✻✕✷✼✼✱ ✶✾✽✾✳ ✶✶✹✳ ▲✳ ❩❤♦✉✱ ✏❚❤❡ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠s✱✑

❊❝♦♥♦♠❡t✲

r✐❝❛✱ ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝ ❙♦❝✳✱ ✈♦❧✳ ✸✱ ♥♦✳ ✻✺✱ ♣♣✳ ✻✽✶✕✻✽✻✱ ▼❛② ✶✾✾✼✳ ✶✶✺✳ ❱✳ ❉❡♥✐❝♦❧♦ ❛♥❞ ▼✳ ▼❛r✐♦tt✐✱ ✏◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ t❤❡♦r②✱ ♥♦♥❝♦♥✈❡① ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ s♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛r❡ ♦r❞❡r✐♥❣s✱✑

❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❉❡❝✐s✐♦♥s ✭❙♣r✐♥❣❡r ◆❡t❤❡r❧❛♥❞s✮✱

✈♦❧✳ ✹✽✱ ♥♦✳ ✹✱ ♣♣✳ ✸✺✶✕✸✺✽✱ ❏✉♥❡ ✷✵✵✵✳ ✶✶✻✳ ❊✳ ❆✳ ❖❦ ❛♥❞ ▲✳ ❩❤♦✉✱ ✏❘❡✈❡❛❧❡❞ ❣r♦✉♣ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ♦♥ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡① ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✱✑

❊❝♦♥♦♠✐❝ ❚❤❡♦r②✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✈♦❧✳ ✶✸✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣♣✳ ✻✼✶✕✻✽✼✱ ✶✾✾✾✳

✶✶✼✳ ❏✳✲❨✳ ▲❡ ❇♦✉❞❡❝✱ ✏❘❛t❡ ❛❞❛♣t❛t✐♦♥✱ ❝♦♥❣❡st✐♦♥ ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❢❛✐r♥❡ss✿ ❆ t✉t♦r✐❛❧✱✑ ❚✉t♦r✐❛❧✱ ❊❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ❋❡❞❡r❛❧❡ ❞❡ ▲❛✉s❛♥♥❡ ✭❊P❋▲✮✱ ❚❡❝❤✳ ❘❡♣✳✱ ✷✵✵✸✳ ✶✶✽✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ◆✳ ❱✉❝✐❝✱ ❛♥❞ ❙✳ ◆❛✐❦✱ ✏◆♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝ ◆❛s❤ ❜❛r✲ ❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥ ✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s ❛♥❞ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ t♦

Pr♦❝✳ ❊✉r♦♣❡❛♥ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ✭❊❯❙■P❈❖✮✱ P♦③♥❛➠✱ P♦❧❛♥❞✱ ❙❡♣t✳ ✷✵✵✼✱ ✭✐♥✈✐t❡❞✮✳ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧✉s✱✑ ✐♥

✶✶✾✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ▼✳ ❲✐❝③❛♥♦✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❙✳ ❙t❛➠❝③❛❦✱ ✏❯♥✐❢②✐♥❣ ✈✐❡✇ ♦♥ ♠✐♥✲♠❛① ❢❛✐r♥❡ss✱ ♠❛①✲♠✐♥ ❢❛✐r♥❡ss✱ ❛♥❞ ✉t✐❧✐t② ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ✐♥

❊❯❘❆❙■P ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❲✐r❡❧❡ss ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✷✵✵✼✱ ■❉ ✸✹✽✻✾✳ ✶✷✵✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ▼✳ ❲✐❝③❛♥♦✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❙✳ ❙t❛♥❝③❛❦✱ ✏❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢❛✐r♥❡ss

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥t✳ ❙②♠♣✳ ♦♥ ■♥❢✳ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭■❙■❚❆✮ ✱ ❙❡♦✉❧✱ ❑♦r❡❛✱ ❖❝t✳ ✷✵✵✻✳ ❣❛♣ ✐♥ r❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❢♦r ✇✐r❡❧❡ss ❝❡❧❧✉❧❛r ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ✐♥

✶✷✶✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ❙✳ ◆❛✐❦✱ ✏❘❡✈✐s✐t✐♥❣ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss✿ ❆♥♦♥②♠✐t② ❛♠♦♥❣ ✉s❡rs ✐♥ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ✇✐r❡❧❡ss s②st❡♠s✱✑ ♥♦✳ ✶✵✱ ♣♣✳ ✷✾✾✺✕✸✵✵✵✱ ❖❝t✳ ✷✵✶✵✳

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✽✱

✷✸✹

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

✶✷✷✳ ❳✳ ◗✐✉ ❛♥❞ ❑✳ ❈❤❛✇❧❛✱ ✏❖♥ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ❛❞❛♣t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❛t✐♦♥ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r s②st❡♠s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✹✼✱ ♥♦✳ ✻✱ ♣♣✳ ✽✽✹✕✽✾✺✱ ❏✉♥❡ ✶✾✾✾✳

✶✷✸✳ ❙✳ ❍❛②❛s❤✐ ❛♥❞ ❩✳✲◗✳ ▲✉♦✱ ✏❙♣❡❝tr✉♠ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ❢♦r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲❧✐♠✐t❡❞ ♠✉❧✲ t✐✉s❡r ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ s②st❡♠s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ■♥❢♦r♠✳ ❚❤❡♦r②✱ ✈♦❧✳ ✺✺✱ ♥♦✳ ✸✱

♣♣✳ ✶✶✺✸✕✶✶✼✺✱ ▼❛r✳ ✷✵✵✾✳ ✶✷✹✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ❙✳ ◆❛✐❦✱ ❛♥❞ ❊✳ ❏♦rs✇✐❡❝❦✱ ✏❉❡t❡❝t✐♥❣ ♠✐s❜❡❤❛✈✐♦r ✐♥ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✇✐r❡❧❡ss ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ♥❡t✇♦r❦s✱✑ ✷✵✶✶✱ s✉❜♠✐tt❡❞ ❢♦r ♣♦ss✐❜❧❡ ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥✳ ✶✷✺✳ ❊✳ ❆❧t♠❛♥ ❛♥❞ ❩✳ ❆❧t♠❛♥✱ ✏❙✲♠♦❞✉❧❛r ❣❛♠❡s ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ✐♥✇✐r❡❧❡ss ♥❡t✇♦r❦s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❆✉t♦♠❛t✐❝ ❈♦♥tr♦❧✱ ✈♦❧✳ ✹✽✱ ♥♦✳ ✺✱ ♣♣✳ ✽✸✾✕✽✹✷✱

▼❛② ✷✵✵✸✳ ✶✷✻✳ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt ❛♥❞ ❍✳ ❇♦❝❤❡✱ ✏❆ ❣❡♥❡r✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ◗♦❙✲❜❛s❡❞ tr❛♥s❝❡✐✈❡r ♦♣✲

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✺✺✱ ♥♦✳ ✽✱ ♣♣✳ ✶✺✺✼ ✕ ✶✺✻✻✱ ❆✉❣✳ ✷✵✵✼✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✺✽✱ ♣♣✳ ✸✺✸✕✸✻✼✱ ✶✾✾✸✳ ✶✷✽✳ ❋✳ ❍✳ ❈❧❛r❦❡✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ◆♦♥✲❙♠♦♦t❤ ❆♥❛❧②s✐s✳ ❲✐❧❡②✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✽✸✳ t✐♠✐③❛t✐♦♥✱✑

✶✷✼✳ ▲✳ ◗✐ ❛♥❞ ❏✳ ❙✉♥✱ ✏❆ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ♥❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞✱✑

✶✷✾✳ ▲✳ ◗✐✱ ✏❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ s♦♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ❡q✉❛✲ t✐♦♥s✱✑

▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ♦❢ ❖♣❡r❛t✐♦♥s ❘❡s❡❛r❝❤✱ ✈♦❧✳ ✶✽✱ ♥♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✷✷✼✕✷✹✹✱ ❋❡❜✳

✶✾✾✸✳ ✶✸✵✳ ❙✳ ❍❛♥❧②✱ ✏❈♦♥❣❡st✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡s ✐♥ ❉❙✲❈❉▼❆ ♥❡t✇♦r❦s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❈♦♠✲

♠✉♥✳✱ ✈♦❧✳ ✹✼✱ ♥♦✳ ✸✱ ▼❛r✳ ✶✾✾✾✳ ❊❯❘❆❙■P ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❲✐r❡❧❡ss ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ◆❡t✇♦r❦✐♥❣✱ ✷✵✵✻✱ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳

✶✸✶✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❆ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❡♦r② ❢♦r ❙■❘✲❜❛❧❛♥❝✐♥❣✱✑ ❤✐♥❞❛✇✐✳❝♦♠✴❥♦✉r♥❛❧s✴✇❝♥✴✱ ❆rt✐❝❧❡ ■❉ ✻✵✻✽✶✱ ✶✽ ♣❛❣❡s✳

✶✸✷✳ ❇✳ ❍❛♥✱ ▼✳ ❖✈❡rt♦♥✱ ❛♥❞ ❚✳ P✳✲❨✳ ❨✉✱ ✏❉❡s✐❣♥ ♦❢ ❤❡r♠✐t❡ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ s❝❤❡♠❡s ❛✐❞❡❞ ❜② s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱✑

s✉❜♠✐tt❡❞ t♦ ❙■❆▼ ❏✳ ❙❝✐❡♥t✳ ❈♦♠♣✳✱

✷✵✵✷✳ ✶✸✸✳ ❘✳ ◆❡tt❧❡t♦♥ ❛♥❞ ❍✳ ❆❧❛✈✐✱ ✏P♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧ ❢♦r ❛ s♣r❡❛❞ s♣❡❝tr✉♠ ❝❡❧❧✉❧❛r ♠♦❜✐❧❡ r❛❞✐♦ s②st❡♠✱✑ ✐♥

Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥✳ ❈♦♥❢✳ ✭❱❚❈✮✱ ✶✾✽✸✱ ♣♣✳ ✷✹✷✕

✷✹✻✳ ✶✸✹✳ ❏✳ ❩❛♥❞❡r✱ ✏❉✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❝❤❛♥♥❡❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥tr♦❧ ✐♥ ❝❡❧❧✉❧❛r r❛❞✐♦ s②s✲ t❡♠s✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ♦♥ ❱❡❤✐❝✉❧❛r ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ✈♦❧✳ ✹✶✱ ♥♦✳ ✸✱ ♣♣✳ ✸✵✺✕✸✶✶✱ ❆✉❣✳

✶✾✾✷✳ ✶✸✺✳ ❍✳ ❇♦❝❤❡ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❘❡s♦✉r❝❡ ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥ ♠✉❧t✐✲❛♥t❡♥♥❛ s②st❡♠s ✕ ❛❝❤✐❡✈✐♥❣ ♠❛①✲♠✐♥ ❢❛✐r♥❡ss ❜② ♦♣t✐♠✐③✐♥❣ ❛ s✉♠ ♦❢ ✐♥✈❡rs❡ ❙■❘✱✑

■❊❊❊ ❚r❛♥s✳

❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✐♥❣✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ♥♦✳ ✻✱ ♣♣✳ ✶✾✾✵✕✶✾✾✼✱ ❏✉♥❡ ✷✵✵✻✳ ✶✸✻✳ ◆✳ ❱✉❝✐❝ ❛♥❞ ▼✳ ❙❝❤✉❜❡rt✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t ✐t❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ♠❛①✲♠✐♥ s✐r ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱✑ ✐♥ Pr♦❝✳ ■❊❊❊ ■♥t❡r♥❛t✳ ❈♦♥❢✳ ♦♥ ❆❝♦✉s✲ t✐❝s✱ ❙♣❡❡❝❤✱ ❛♥❞ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝✳ ✭■❈❆❙❙P✮✱ Pr❛❣✉❡✱ ❈③❡❝❤ ❘❡♣✉❜❧✐❝✱ ▼❛② ✷✵✶✶✳ ✶✸✼✳ ❊✳ ❉❡✉ts❝❤ ❛♥❞ ▼✳ ◆❡✉♠❛♥♥✱ ✏❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ t❤❡ P❡rr♦♥ r♦♦t ❛t ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❛tr✐① ❛♥❞ t❤❡ ❣r♦✉♣ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❛♥ ▼✲♠❛tr✐①✱✑

❆♣♣❧✳✱ ✈♦❧✳ ■✲✷✾✱ ♥♦✳ ✶✵✷✱ ♣♣✳ ✶✕✷✾✱ ✶✾✽✹✳

❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳

■♥❞❡①

❛♥❛❧②s✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✺✵ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✻✶ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✹✵ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✼✺ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✶✾ ❛①✐♦♠s ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✹ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✷✸ ❜❡❛♠❢♦r♠✐♥❣ ✾✱ ✶✼✹✱ ✶✽✺ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❤✉❧❧ ✹✽ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t ✸✵ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡♥❡ss ✸✵ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✻✱ ✺✵✱ ✺✶ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✷✼ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✷✼ ♦❢ st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✷✽ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✻✱ ✻✶ ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✺ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✽ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❛tr✐① ✽✱ ✶✾

❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ✶✷✱ ✶✸ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t ✸✷ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇♦✉♥❞❛r② P♦✐♥ts ✷✾ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ✸✶ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✶✹✷✱ ✶✺✺✱ ✶✼✶✱ ✶✾✷ ❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ✻✻✱ ✻✼✱ ✾✶ ❣r❡❛t❡st ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ♠✐♥♦r❛♥t ✽✵ ❤✐❞❞❡♥ ❝♦♥✈❡①✐t② ✻

❡①t❡♥❞❡❞ ♣♦✇❡r ✈❡❝t♦r ✾✱ ✸✸

✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ ✶✷ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts ✸✹ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✶✼ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✹ ❝♦♥❝❛✈❡ ✻ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✷✵✺ ❝♦♥✈❡① ✻ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✷✵✶ ❣❡♥❡r❛❧ ✹ ❧✐♥❡❛r ✽ ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ✻ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✻ ♥♦♥✲s♠♦♦t❤ ✷✵✷ st❛♥❞❛r❞ ✷✸ str✐❝t❧② ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✷✶ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✷✶✱ ✷✷✱ ✹✾ str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ✇✳r✳t✳ ♥♦✐s❡ ✷✹ ✇❡❛❦❧② st❛♥❞❛r❞ ✷✹ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ✾✱ ✶✶✱ ✶✾✼

❢❛✐r♥❡ss ❣❛♣ ✶✶✾

❏❛❝♦❜✐ ♠❛tr✐① ✶✻✹

❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♠❛tr✐① ✷✵ ❣❧♦❜❛❧ ✷✵ ❧♦❝❛❧ ✷✵ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② s❡t ✷✵ ❞✉❛❧✐t② ✶✸

✷✸✻

■♥❞❡①

❑✉❧❧❜❛❝❦✲▲❡✐❜❧❡r ❞✐st❛♥❝❡

✼✽

♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t

✺✼✱ ✾✶

❧❡❛st ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♠❛❥♦r❛♥t

✽✷

❧❡❛st ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡ ♠✐♥♦r❛♥t

✽✷

❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

✽

✶✻✶

✸✻✱ ✶✺✺

♠✐♥✲♠❛① ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ✶✻✶

❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ✻✱ ✼✷

❧♦❣✲❝♦♥✈❡① s❡ts ✶✸✽

✶✵✹

✶✺✺

✸✺

✉t✐❧✐t② ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥

✶✸✽

✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ✉t✐❧✐t②

✶✵✸

♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❢❛✐r♥❡ss

❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❝♦♥✈❡①✐t②

s❡❡

◗♦❙

◗✉❛❧✐t② ♦❢ ❙❡r✈✐❝❡

◗♦❙ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ✺✼

◗♦❙ r❡❣✐♦♥

❧❡❛st ❧♦❣✲❝♦♥❝❛✈❡

✽✷

✸✻

✸✷

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts

s❡❡

♠❛①✲♠✐♥ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣

✶✺✱ ✶✸✼ ✾✾✱ ✶✷✷

✻

✹✶

❧❡❛st ❝♦♥❝❛✈❡

♠✐♥✲♠❛①

s✉♠✲♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥t

❜❛❧❛♥❝✐♥❣

q✉❛❞r❛t✐❝ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

s❡❡

♠❛①✲♠✐♥ ❢❛✐r♥❡ss

✶✽✸

✾✾

♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ◗♦❙ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣

❛❝❤✐❡✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②

♠❛❥♦r❛♥t

✼✱ ✷✸

♣♦✇❡r ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s

✉♥❜♦✉♥❞❡❞

✶✹✵

♣♦✇❡r ❝♦♥tr♦❧

✽

▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s

❜♦✉♥❞❡❞

✸✸

♣♦✇❡r ❝♦♥str❛✐♥ts

✷✵✸

❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❧✐♥❦ ❣❛✐♥ ♠❛tr✐①

s✉♠

✸✷

✸✹

♠✐♥✲♠❛①

q✉❛❧✐t②✲♦❢✲s❡r✈✐❝❡

✸✹

✸✸ ✶✼✵

✷✾

❜❛❧❛♥❝✐♥❣

s❡❡

▼❛①✲♠✐♥ ❙■❘ ❜❛❧❛♥❝✐♥❣

♠✐♥✲♠❛①

❜❛❧❛♥❝✐♥❣

r❡❞✉❝✐❜❧❡

♠✐♥✲♠❛① ❜❛❧❛♥❝✐♥❣ ♠✐♥♦r❛♥t

r❡❝❡✐✈❡ str❛t❡❣②

✶✷✱ ✶✽✸

r❡❧❛t✐✈❡❧② ❝❧♦s❡❞

✹✶

r♦❜✉st♥❡ss

❣r❡❛t❡st ❝♦♥✈❡①

✶✵✱ ✶✺✻

✶✾✼ ✹✷

✶✼✼

✻✻✱ ✻✼

❣r❡❛t❡st ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①

s❡♠✐ s♠♦♦t❤

✽✵

♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣t♠✐③❛t✐♦♥

✷✵✸

s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s

✶✻

✼✺✱ ✷✵✷

s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❛t✐♦ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣

◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥ ◆❛s❤ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ◆❛s❤ ♣r♦❞✉❝t ◆❇❙

s❡❡

✾

✶✵✵

❙■◆❘

✶✵✵

◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥

s❡❡

s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲

❙■◆❘ r❡❣✐♦♥ ❙■❘

✶✻✼

◆♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝ ◆❛s❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♥♦r♠❛❧ s❡t

s❡❡

♥♦✐s❡ r❛t✐♦✱ ✸✸

✶✵✷

◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞

✶✵✽

❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ s❡t

s❡❡

✸✸

s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ r❛t✐♦

❙■❘ r❡❣✐♦♥

✶✷✱ ✶✸✱ ✷✾

s♦❧✉t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡ s♣❡❝tr❛❧ r❛❞✐✉s

P❛r❡t♦ ❜♦✉♥❞❛r② P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧

✶✵✸✱ ✶✹✵

P❡rr♦♥ r♦♦t

str✉❝t✉r❡

✶✹✵

✶✷✱ ✶✽✹

P❡rr♦♥✲❋r♦❜❡♥✐✉s t❤❡♦r②

✽✱ ✶✶✵✱ ✶✶✾✱

✶✽✺ P❊❱ ✐t❡r❛t✐♦♥

✶✵✵ ✶✷

st❛♥❞❛r❞ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉✐t②

✶✵✸

P❛r❡t♦ ♦♣t✐♠❛❧✐t②

✷✽ ✽✼

str✐❝t ❧♦❣✲❝♦♥✈❡①✐t②

✷✶

str✐❝t ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②

✷✶✱ ✶✹✾

str♦♥❣❧② ❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠

s❡❡

t♦r ✐t❡r❛t✐♦♥

✽

s✐❣♥❛❧✲t♦✲✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡✲♣❧✉s✲♥♦✐s❡ r❛t✐♦

✾✾✱ ✶✵✵

♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡✐❣❡♥✈❡❝✲

s✉❜❧❡✈❡❧ s❡t

✶✹✼

✶✷✱ ✸✵✱ ✹✷

s✉♣❡r✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

✶✺✺

✷✸

■♥❞❡①

s✉♣❡r❧❡✈❡❧ s❡t

✹✷

✉t✐❧✐t② ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥

s②♥t❤❡s✐s

✉t✐❧✐t② r❡❣✐♦♥

♦❢ ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

✺✺

✉t✐❧✐t② s❡t

✶✸✽

✾✾

✾✾

✹✻

♦❢ ❧♦❣✲❝♦♥✈❡① ✐♥t❡r❢❡r❡♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✼✼ tr❛♥s♠✐t str❛t❡❣②

✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ✉t✐❧✐t② ✶✸✱ ✶✺✻

✇❡✐❣❤t❡❞ ✉t✐❧✐t②

✶✸✼

✶✺✱ ✶✸✼

✷✸✼