Integrable Systems in the realm of Algebraic Geometry [2 ed.] 3540423370, 3540618864

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Pol Vanhaecke

Integrable Systems in the realm of Algebraic Geometry Second Edition

Springer

Author

Pol Vanbaccke Departemcnt de Mathematiques UFR Sciences SP2MI Universite de Poi tiers Te16port 2 Boulevard Marie et Pierre Curie BP 30179 86962 Futuroscope Chac;seneuiJ Cedex, France E-mail: [email protected]

Cataloging-in-P ublication Data applied for Die Deutsche Bibliothek • CIP-Einbeitsallfnahm(' Vanhaecke, Pol: Integrable systems in the realm of algebraic geometry I Pol Vaohaeck.e. _ 2. ed .. - Berlin; HekJeJberg ; New York; Barcelona ; Hong Kong ; London; Milan; Paris: Singapore : Tokyo: Springer, 2001 (Lecture notes in mathematics; 1638) ISBN 3-540-42337-0

Mathematics Subject Classification (2000): 14K20,14H70, 17B63, 37J35

TSSN 0075- 8434 ISB N 3-540-42337-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-61886-4 (1st edition) Springer-Verlag Berl in Heidelberg New York

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specificaIIy the rights of translation, reprinting, re-use of illustratlons, recitation. broadcasting, reproduction on microfilms or in any other way, and storage in data banks. Dup]ication of this publication Or parts thereof is permitted only under the provisions of the German Copyright Law of September 9, ]965, in its current version, and pennission for use must always be o btained from Springer-Verlag. Vio lations are liable for prosecution under the German Copyright

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CIC.

P r e f a c e to the s e c o n d e d i t i o n

The present edition of this book, five years after the first edition, has been spiced with several recent results which fit naturally in the point of view that had been adapted in the original text and with some new examples and constructions that will help the reader to appreciate better our approach to integrable systems. On this occasion I wish to thank my collaborators from the last five years, to wit Christina Birkenhake, Peter Bneken, t~ui Fernandes, Masoto Kimura, Vadim Kuznetsov, Marco Pedroni, Michael Penkava, Luis Piovan and Claude Roger for a fruitful interaction and for their warm friendship. Most of the results that have been added are taken from, or are inspired by, joint work with some of them; I acknowledge their permission to add these, sometimes unpublished, results. The colleagues at my newest working environment, the University of Poitiers (France), created for me a pleasant and stimulating working environment. I wish to acknowledge the support of all of them. Special thanks go to Marc van Leeuwen, Claude Quitt4 and Patrice Tanvel for sharing their insights with me, which usually led to a real improvement of parts of the text. Last but not least, Yvette Kosmann-Schwarzbach, who was not acknowledged in the first version of this book - - most probably because my gratitude to her was too big and too obvious! - - is thanked here in all possible superlatives, for her constant support and for her sincere friendship. Merci Yvette!

Table of Contents

I. Introduction

. . . . . . . . . . . . . . • . . . . . .

. 1.

II. Integrable Hamiltonian systems on affine Poisson varieties •

17.

1. Introduction . . . . . . . . . . . . _ .

17.

2. Affine Poisson varieties and theil' morphisms 2.1. Affine Poisson varieties . . . . . . . 2.2. Morpliisms of affine Poissoll varieties 2.3. ConstruCtiODS of a:fti.ne Poisson varieties 2.4. Decompositions and invariants of affine Poisson varieties

19. 19. 26. 28. 37.

3. Integrable Hamiltonian syste",s /Uld their morphism, . . . 3.1. Integrable Hamiltonian systems on affine Poisson variet~ 3.2. Morplilsms of integrable Hamiltonian systems 3.3. COll8trUCtiOllS of integrable Hamiltonian systems . . 3.4. Compatible and multi-Hamiltonian integrable systems

47. 41. 54. 57. 62.

4. Integrable Hamiltonian systems Oll other spaces. . . . 4.1. Poisson spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. hltegrabJe Hamiltonian syst.eJlls on Poisson spaces.

65. 65. 69.

III. Integrable Hamiltonian systems and symmetric products of curves

71.

1. mtroduction . . . . , . . . . .

71.

2. The system5 and their integrability 2.1. Notation . . . . . . . . . . 2.2. TIte compatible Poisson structures {', .} ~ 2.3. Polynomials in involution for {. l'} ~ 2.4. The hypere1liptic case . . • .

73. 73. 73. 78. 83.

3. The goornetry of the levellllJUljfold. . . 3.1. The real and complex level seta . .

85.

3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

The structure of the complex level manifolds The stmctw:e of the real level manifolds . . Compactifi.cation of the complex level manifolds The significance of the Poisson structures {', .}

r

viii

85. 87. 89. 93.

95.

IV. Interludium: the geometry of AbeHan varieties

97.

1. Introduction . . . . . .

97.

2. Divisors and line bundles

99. 99.

2.1. Divisors . . . . . . 2.2. Line bundles . . . . 2.3. sections of line bundles

100. 101.

2.4. The Riemann Roch Theorem 2.5. Line bundles and embeddings in projective space 2.6. Hyperelliptic curves . . . . . . .

103.

w

105. 106.

. . . . . . . . . . 3.1. Complex tori and Abelian varieties

1.08.

3.2. Line bundles 011 Abelian varieties

109.

3.3. Abelian surfaces

111.

3. Abelian varieties

108.

4. Jacobi varieties . . .

114.

114. 114.

4.1. The algebraic Jacobian

4.2. The analytic/transcendental Jru:::obian 4.3. Abel's Theorem and Jru:::obi inversion

119. 121.

4.4. Jacobi and Kummer surfaces

123.

5. Abelian surfaces of type (1,4) .

123.

5.1. The generic case 5.2. The non-generic case

•

V. Algebraic completely integrable Hamiltonian systems

124.

127.

1. Introduction .

127.

2. A.d. systems

129.

3. Painleve analysis for a,.c.i. systems

135.

4. The linearization of two-dimensional a.d. systems

138.

5. Lax equations

140.

VI. The Mumford systems

. . .

.

143.

•

1. Introduction . . . . . .

143.

2. Genesis

. . . . . . . . 2.1. The algebra of pseudo-differential operators 2.2. The matrix associated to two commuting operators 2.3. The inverse constrnction

145.

2.4. The KP vector fields

152.

•

ix

145.

146. 150.

3. Multi-Hamiltonian structure and symmetries . . .

155.

.......... . 3.2. lWducing \he R-br.clcels and the vecto< field V

155. 157.

3.1. The loop rull"b =

d o e s a n d

T h e

p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t

n o t

c a r r y

c o n d i t i o n s

C o n s t r u c t i o n s T h e r e

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n

P r o p o s i t i o n 2 . 1 8 .

P o i S s o n

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i m p o r t a n t e x a m p l e s , P o i s s o n

b r a c k e t s

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v a r i e t i e s

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(I hi, h j

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s u f f i c i e n t

2 . 3 .

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o r

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P o i s s o n

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2 . 3 8

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o f

c o n s t r u c t i o n

P o i s s o n

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i s

p o i n t o f v i e w o f S e c t i o n V . 5 .

p l e c t i c

t b u n d l e s . s e c o n d w h i c h

s t r u c t u r e s

i n

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o

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w i l l n o t L i e

n

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S e m e n o v ' s

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b r a c k e t s , s t a r t i n g

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a

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L i e - P o i s s o n

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t h e

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t w o

b r a c k e t , a p p r o A p a r t f r o m t h e s e f o u r b a s i c c o n s t r u c t i o n s o n e t o b u i l d n e w P o i s s o n b r a c k e t s f r o m g i v e n o f a f f i n e v a r i e t i e s , i n f a c t w e w i l l s h o w h o w t v a r i e t i e s a r e b u i l t f r o m g i v e n o n e s , h a v e t h e i r W e

a

t h e

b e l o w ) ,

4 . 2

d i m e n s i o n a l

c a n o n i c a l

R - b r a c k e t ,

a s s o c i a t e d

s t r u c t u r e

o

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s y m p r i m e e x a m p l e b e i n g h e r e t h e o n e o f c o t a n g e n t h a t i n t h e f i r s t c a s e t h e P o i s s o n s t r u c t u r e i s n e v e r r e g u l a r w h i l e i n t h e a l w a y s r e g u l a r . B o t h t h e s e a x e v e r y classical, a s o p p o s e d t o t h e o t h e r t w o o

(s ee E x a m p l e

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.

d e f i n i t i o n

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s u b v a r i e t y ( f o r a

n

g i v i n g a p r e c i s e c o n d i t i o n f o r a i m p o r t a n t e x a m p l e , s e e P r o p o s i -

b e l o w ) .

P r o p o s i t i o n 2 . 1 8 a f f i n e s u b v a r i e t y o f

L e t M .

( M , I., -J) T h e n

t h e

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a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t . a

n

2 8

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2 .

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s u b v a r i e t y o f M ; T h e i d e a l o f N

(ii) (iii)

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X f f o r

H a m i l t o n i a n

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- +

m o r p h i s m . (ii) m o r p h i s m t h e n ( 2 . 1 2 ) h o l d s , i n p a r t i c u l a r J I N , g j S i n c e I N i s a p r i m e i d e a l i t f o l l o w s t h a t J I N , g j C I N f o r a

s h o w s

t h a t

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e x a m p l e o f a p r o p e r s y m p l e c t i c s u b v a r i e t y o f s u b v a , r i e t y , b u t still c a r r i e s a n a t u r a l P o i s s o n o

f ,

a n y

e v e r y

j % * f j Z * 9 j N ( n )

b y

o

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S y m g . T h i s s h o w s U n d e r t h e c a n o n i c a l i s o m o r p h i s m S y m o 1--- 0 ( , g * ) t h e i s a P o i s s o n i d e a l o f S y m g . c o r r e s p o n d s t o t h e i d e a l o f f u n c t i o n s v a n i s h i n g o n . T h e r e f o r e , P r o p o s i t i o n 2 . 1 8 h a t t h e s u b s p a c e o f g * w h i c h c o n s i s t s o f t h e e l e m e n t s o f Z * t h a t v a n i s h o n 0 i s a n s s o n s u b v a r i e t y o f 9 * w i t h i t s L i e - P o i s s o n s t r u c t u r e .

t o

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t h e

P o i s s o n a

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l a t t e r

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I N ,

E

g

a n y

s o

v a n i s h e s

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O ( M ) . (i) i m p l i e s (ii).

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+

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1g, f I =

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r e g u l a r f u n c t i o n s v a n i s h i n g i s

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g

v e c t o r

P o i s s o n a

(iii) d

P o i s s o n

i n

w h i c h

i t s a m b i e n t

s t r u c t u r e

a

s u b v a r i e t y

" i n h e r i t e & '

s t r u c t u r e

d i s c u s s e d

2 9

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i n

n

a f f i n e P o i s s o n

s y m p l e c t i c , m a n i f o l d , a

o

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T h i n k

i s

a

n e v e r

b y t h e s y m p l e c t i c t h i s p a r a g r a p h .

i n

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P o i s s o n

2 - f o r m .

C h a p t e r

S e c o n d , w

P r o p o s i t i o n 2 t h e p r o d u c t M , p r o j e c t i o n m a p s

i r i

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x

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( M 2 , 1"

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t h e n

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P o i s s o n

o f a f f i n e v a r i e t y P o i s s o n m o r p h i s m s . M o r e o v e r i t h a s r a n k R k f M 2 b e i n g g i v e n b y R k , , , , + R k , , , , I -

s t r u c t u r e

M 1 G

P o i s s o n

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b e

t o

i r 2

?r1*Jfi,fjJ1 =

o

X

M , n

firl*fi, 7r2*gjl e

i t

m o r p h i s m s i s

P o i s s o n

m a k e

t o

t h e m

o f

1., .1 Rk(,,,,,,,n,)I-, J

h e n c e

m a t r i x

=

t o

t h a t

s e e

t h e

a l g e b r a

7 r 2; C a s ( M 2 ) . 0

x m , .

i s a

*

a f f i n e P o i s s o n n

T h e n

G .

s s o n

v a r i e t y a n d

( G , 1-, .1)

b r a c k e t o

G n

G x

t h a t

G

i s

a l g e a f f i n e L i e - P o i s s o n b e i n g t h e p r o d u c t b r a c k e t .

i s c a l l e d

a

a

n

n

w h e n

a p p e a r s

r e g u p r o d u c t b r a c k e t

c o n s i d e r

w h e r e s t r u c t u r e

l e t

s e c o n d

v a r i e s

G

i s a

t h e

( n o t i c e

t h a t

O ( P ) E

e f i n e s a

b r a c k e t o

n

r e

i s

E

a n d P

( 2 . 1 4 )

( r o u g h l y s p e a k i n g , P o i s s o n

s s o n

i f

P

t h e

a n d

J . , - I n

b r a c k e t s

f o r

a n y n

E

N

t h e

b l e c o m p o n e n t o f 7 r - 1 ( n ) i n t o a n a f f i n e P o i s s o n s u b v a r i e t y P M i s a n a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y a n d x N , w h e r e M f a c t o r . C l e a r l y t h i s l e a d s t o a P o i s s o n s t r u c t u r e o n e a c h l a r l y w i t h n E N . T h e r e s u l t i n g P o i s s o n s t r u c t u r e o n P M x o n N , w h e r e N is g i v e n t h e t r i v i a l ( z e r o ) b r a c k e t .

P o i s s o n

f i n i t e

,

(p).

f f , g l 1-, .1 d

i s

i r 2 J 9 i , 9 j J 2 =

g i v e n b y P r o p o s i t i o n 2 . 2 1 is c a l l e d t h e

M 2 x

P o i s s o n

I t i s a l s o e a s y -

i n t o

a l g e b r a s

J 7 r 2 * g i , 7 r2 ; g j J

a n d

b r a c k e t s

M 1 M 2 b y ir,* C a s ( M I ) E

P o i s s o n

t w o

M 2 ) is g e n e r a t e d b y t h e f u n c a r b i t r a r y s y s t e m o f g e n e r a t o r s

=

i r r e d u c i c a s e ,

t h e n

w h i c h

t h e

e

e v e r y

o

h a s e

t h e n

s p e c i a l a

p r o j e c t i o n

f i b e r s

o r

x

.

m a k e s

-

a s

.

i

f -In ( P , I-, J ) .

b r a c k e t o f

.

o f

p r o d u c t

O ( M . , f n i

( 2 . 1 3 ) 1

h a v i n g a f a m i l y o f a f f i n e P o i d e p e n d o n a ( o r s e v e r a l ) p a r a m e t e r ( s ) . M o r e p r e c i s e l y w e a s s u m e t h a t t h e o f a f f i n e v a r i e t i e s ( N b e i n g t h e p a r a m e t e r s p a c e ) n t m o r p h i s m 7r : P - + N D e f i n e f o r f g E O ( P ) a n d p k e t I * J n o n e a c h n o n - e m p t y f i b e r 7 r - ' ( n )

a n y

v a , r y

2 )

c o n s t r u c t i o n

r e l a t e d

f , g c O ( P ) o r e g u l a r l y w i t h n Ei N )

f o r

.

( M 2 ) 0

g i v e n b y

n t i y s a t i s f i e d . T h '7r2*g,,, h a s a b l o c k f o r m ,

S u p p o s e t h a t ( G , 1 - , -1) h m u l t i p l i c a t i o n X : G x G P o i s s o n m o r p h i s m , t h e P o i A

t

r e m a i n i n g t y is s u r e l

b y I-, - 1 m ,

f f ' g l ( p ) I f

t h e

J a c o b i

g e n e r a t o r s x

2 . 2 4

w h i c h

v a r i e t i e s

f o r

2 . 2 2

b r a i c g r o u p w i t i s a g r o u p i f X

g i v e n

J1r1*fi,-7r1*fjJ

c h o i c e

( M i

2 . 2 3

f o r

lr * 0

i s

M 2 x

t e n s o r

,

n a t u r a l

t h e

b r a c k e t

p r o d u c t

.

d e f i n e

R k , , , , I +

t h e

m a k i n g

t o

( M I ) 0

7r* =

t o

c h o i c e

t h i s t o

r e s p e c t

R k , n , I o f

w i t h

z e r o :

w i t h

A

j.

. .

p r o d u c t M i

( 2 . 1 3 ) i m p l i e s t h a 7r2*g,,,, w h e r e f l , O ( M 2 ) . I n o r d e r f

l a

,

t h e n

M 2 ) X

a m o u n t s

F o r m u a l g e b r a . ir,*L f l , irl f n , 7r2*gl,

P o i s s o n a

o

=

s t r u c t u r e

g r o u p o r i t n e e d s a

o

t h e n

r e d u c t i v e n o t

b e

3 0

a

n

f i x e d

a l g e b r a i c

p o i n t

a n d o

w h i c h

i s

s e t

g r o u p

a f f i n e L i e - P o i s s o n

g r o u p ) .

n

t h e

q u o t i e n t e q u i p p e d w i t h

d o i n g t h i s w e r e c a l l

B e f o r e

s t r u c t u r e s o

f e w a

e i t h e r f i n i t e

w i l l b e

c o n s i d e r e d h e r e

P o i s s o n

A f f i n e

2 .

m o r p h i s m s

a c t i o n s

t h e y a r a l g e b r a i c )

o r

o

a f f i n e v a r i e t i e s . n

w h e n

m o r e o v e r ,

t h a t

a s s u m e

(finite

t h e i r

g r o u p

r e d u c t i v e ;

o r

o f a f f i n e P o i s s o n

c a t e g o r y

a n d

f a c t s a b o u t

r e d u c t i v e g r o u p s w e w i l l v a r i e t i e s . A

n

v a r i e t i e s

w

w a n t e

i f t h e a c t i o n i s t h e r e s t r i c t i o n t o M o f a r e p r e s e n t a t i o n C n i s o n r e d u c i b l e , i.e., if t h e c o m p l e t e l y r e p r e s e n t a t i o n e v e r y i n v a r i a n t s o m e s u b s p a c e o f C n t h e n i t l e a v e s i n v a r i a n t a c o m p l e m e n t a r y s u g r o u p s t h e a b o v e p r o p e r t y c h a r a c t e r i z e s r e d u c t i v e g r o u p s ( s i n c e w e a r e w o r e c a l l a l s o t h a t t h e r e i s a n i n d u c e d a c t i o n o f G o n O ( M ) , g i v e n fo r g E E M x f ( g - ' x ) . b y g * f ( x ) M

v a r i e t y G

C '

C

s t a y i n t h e

t o

a s

a c t

o f G

o

o

n

a

a f f i n e n

C n . n

a c t i o n

f i n i t e

i s

g r o u p s

c o n s i d e r P o i s s o n

t o

a f f i n e v a r i e t i e s , s o i s s a i d t o g r o u p G e

A l l

o f

W h e n G

F o r

l e a v e s i n f i n i t e

b s p a c e . r k i n g o v e r C ) . W e G , f E O ( M ) a n d

=

I f G

i s f i n i t e t h e n

i s o m o r p h i s i n M a l g e b r a i c g r o u p , it t h e

w

- +

e

t h a t

s a y

t h e

d e f i n e d M

o f G

a c t i o n

b y

i - + m

g

o

M n

i s

b r a i c

a c t i n g

g r o u p

(i) (2)

( M , I-, J m )

L e t

2 . 2 5 o

a n d

a n d

i s

M

- 4

i s

t h e i s

a c t i o n

i n f i n i t e , o p e r g e n e r a l i z a t i o n

p r

P o i s s o n a

i f f o r e v e r y g E G i s a n a f f i n e s a y G

w h e r e

m a p ,

a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y a n d let G

b e a

t h e

o f

G

M x

a f f i n e a l g e n

M . n

G

f o r w h i c t h e a l g e b r a O ( M ) G o f G - i n v a r i a n t f u n c t i o n s I f G is m o r e o v e r r e d u c t i v e o r finite, t h e n O ( r e s p o n d s t o a n a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y M I G , d i a g r a m o f P o i s s o n m o r p h i s m s (7r2 is p r o j e c t

I f

t h e r e

P o i s s o n I f G

i s P o i s s o n . m

m a y i t s e l f c a r r y a P o i s s o n s t r u c t u r e a b o v e n o t i o n o f P o i s s o n a c t i o n i s t h a t t h e m a p G x M i s g i v e n t h e p r o d u c t P o i s s o n s t r u c t u r e .

P r o p o s i t i o n

a

P o i s s o n

a

s t r u c t u r e

o

n

h

t h e i s

a c t i o n

i s a

P o i s s o n

o f O ( M ) . e d , h e n c e

P o i s s o n

s u b a l g e b r a finitely g e n e r a t l e a d i n g t o t h e f o l l o w i n i o n o n t o t h e s e c o n d c o m a

M ) G

t h e n

a c t i o n ,

i s

g

c o r -

c o m m u t a t i v e

p o n e n t ) .

x

G

x

M

M I

1r

1 r 2

M

-

,

( 2 . 1 5 )

M I G r

P r o o f

C l e a r l y f

( M ) 0

E

i s

i f a n d

G - i n v a r i a n t

o n l y

i f t h e

f o l l o w i n g d i a g r a m

i s

c o m m u t a t i v e .

x

G

x

M -

M

f

7 r 2

M

C -

f

i f

T h u s ,

f , g

E

O ( M ) G

a n d X

X * J f 1 9 J M - - ` J X * f 1 X * g J a n d w

e

s e e

s u b a l g e b r a o f

t h a t

t h e

O ( M ) G

b r a c k e t o f

O ( M )

t h e n

i s P o i s s o n

o f

t w o

a n y

i s a J s o

G

a

L i e

x m - - f l r 2Y i G - i n v a r i a n t

r *2

9 1 G X M : - - : 7 r 2* f f i g l M l

f u n c t i o n s

s u b a J g e b r a o f O ( M ) ,

O ( M ) . 3 1

i s

G - i n v a r i a n t .

i.e.,

i t i s a

T h e r e f o r e

P o i s s o n

t h e

s u b a l g e b r a

I l .

C h a p t e r A s s u m e a n d

M I G o f a

n

c a l s u

c o m m u t a t i v e W e

[Spr])

f i n i t e

s h o w

w i l l

M .

t o

i n d u c e d

b y t h e

N

o

N

( M ,

a l l F 1 ,

f o r

o

s i n c e

l e a v i n g

a n d

N , n

b y

-1)

b e

M

w h i c h

a

a f f i n e n

a

a n d

a c t i o n

a n d

c o m p u t e s a l s o

t h a t

P o i s s o n

N

t h e

g r o u p

t h e

G

i n v a r i a n t . P o i s s o n

t a o

t h a t M

n

n a t u r a l

m a p

O ( M )

o f

G :

X

t h e

M x

P o i s s o n a

( M , G , N )

t r i p l e a n d

M

- +

i f t h e r e

c a l l e d

i s

e x i s t s

P o i s s o n a

( 2 . 1 6 )

t h e

c o m p u t e b r a c k e t

o f

(2.16) u n i q u e l y

b e

( M , 1., -1)

L e t

a

w h i c h M

a f f i n e n

i s

e x t e n s i o n s

a n y

d e f i n e s w

o

o f

M

t o

b r a c k e t a

g i v e e

b r a c k e t

P o i s s o n

a n d

t h e n

O ( N ) G n

a n d

n e c e s s a r y

G - i n v a r i a n t

t w o

(if

s u f f i c i e n t

r e s t r i c t s

ex is ts )

i t

c o n d i t i o n s

[ P V 1 ] ) .

s e e

P o i s s o n

G - s t a b l e .

T h e n

P o i s s o n - + M a v a r i e t y , X : G x M i s P o i s s o n - r e d u c i b l e i f ( M , G , N )

o n l y i f

i m p l i c i t

i t i s

I n a

i s

t o

P o i s s o n

f O ( M , N ) G 7 I ( N ) } p

o f

a

M

P J F J , F 2 1

f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n (for a p r o o f

s u b v a r i e t y o f a

o f

O ( N ) G

- +

v a x i e t y , T h e n

s u b a l g e b r a

P o i s s o n - r e d u c i b l e

2 . 2 7

P r o p o s i t i o n

o r d e r

i n

t h e

I n

b e

a g a i n

N

e

f r o m

G - s t a b l e .

i s

P o i s s o n

i s

t h a t

N o t i c e

t o

m

O ( M , N ) G :

p

o

t h a t

s a y s

s u r J e c t i v e .

( M , G , N )

f o r

c o n s i d e r

s u b v a r i e t y M , e v e n if N is n o t h e a l g e b r a o f r e g u l a r f u n c t i o n s s

O ( M , N ) G . E

o n e

N .

t o

i s p

N n

r e s u l t

t h e

F 2

(2.16)

F o r m u l a f u n c t i o n s

i s

W e

p r o p o s i t i o n .

s t r u c t u r e

O ( M , N ) G ,

o

o f

O ( M , N ) G s u c h

a b o v e a n d

J P ( F I ) i P ( F 2 ) 1 0 ( N ) G h o l d s

O ( M ) G

T h e n

M .

s u b v a x i e t y i f

t h e M

P o i s s o n a

b y

f u n c t i o n s

L e t

a

O ( N ) G n

d e n o t e

u s

i n c l u s i o n N

P o i s s o n - r e d u c i b l e b r a c k e t

s y s t e m s

o f

i n h e r i t

m a y

L e t

2 . 2 6

a n d

f i n i t e .

o r

t h e

i s

a

G - i n v a r i a n t

r e s t r i c t

D e f i n i t i o n

r e d u c t i v e

i s

h e n c e

g e n e r a l i z a t i o n o f r e d u c t i v e ) a c t i n g o n

o r

t h a t

o f

s u b a r i e t y

a c t i o n

w

c o n s i d e r

n e x t

( a s s u m e d W e

o

o r

o p e n

G

H a m i l t o n i a n

f i n i t e l y g e n e r a t e d ( s e e a l g e b r a r e g u l a x f u n c t i o n s o n a n a f f i n e v a r i e t y , d e n o t e d l e d t h e ( c a t e g o r i c a l ) q u o t i e n t ; M I G i s n a t u r a l l y i d e n t i f i e d w i t h t h e o r b i t s p a c e b s e t o f M . T h e n a t u r a l p r o j e c t i o n m a p M i s r e g u l a r a n d y i e l d s t h e - + M I G G r a n t e d t h i s d i a g r a m ( 2 . 1 5 ) . (1) p r o v e s ( 2 ) . M n

[ M u m l ]

e . g .

t h a t

I n t e g r a b l e

t h i s

i n

c o n d i t i o n

s l i g h t l y d i f f e r e n t a

T h i s

a c t i o n .

g r o u p

i n

g e n e r a h z e d

v e i n

f a c t

i t s

t h a t

w

P o i s s o n a

a

f i r s t s

h a n d

s i d e

[ F V ]

i n

F i r s t w

i n

s e n s e .

i n h e r i t e d

t h e

c a s e

a

l e m m a

n e e d e

(2.17)

m a k e s

i s a l s o

s t r u c t u r e

s h o w n

b e l o w .

2 . 2 9

P r o p o s i t i o n

left

0; =

t h e

b y

o f a

f i x e d

P o i s s o n

a b o u t

p o i n t v a r i e t y

i n v o l u t i o n

t h e

i d e a l

o f

a n d

f i x e d a

p o i n t v a r i e t y . L

e

m

l e t

m

N

e x i s t g j

a

2 . 2 8

b e

i t s E

G

L e t

b e

f i n i t e o r r e d u c t i v e f i x e d p o i n t v a r i e t y . T h e i d e a l I N

G

a n d

j

a

C

( E

1 1

t h a t

s u c h

gj* f j

a c t i n g g e n e r a t e d

g r o u p

i s =

a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y a n d b y f u n c t i o n s f j f o r w h i c h t h e r e o

a

n

n

j fj

P r o o f

S i n c e a s

a

s u c h

d i r e c t

t h a t

G

i s f i n i t e s

t h e

u

m

o f

a c t i o n

g e n e r a t e d b y ?ri* V i * )

t h e

r e d u c t i v e

o r

V O ,

s p a c e s

o f

G

w h e r e

o

7 r i

r e p r e s e n t a t i o n s u c h t h a t V O t h e o t h e r V i i s i r r e i s t h e n a t u r a l p r o j e c

n

.

.

.

,

V,,

3 2

s p a c e

i s

t h e

C '

w h i c h

d u c i b l e .

t i o n

C n -

p o i n t T h e n v o + V i a n d

M

c o n t a i n s

f i x e d

s e t

o f

m n

i

d e c o m p o s e s

t h e

=

1, .

.

a n d .

a n d

a c t i o n

N =

,

s .

L e t

i s

I N i

b e

A f f i n e

2 .

f i x e d

t h e r e

i r r e d u c i b l e

i s

a n d I

( b e t w e e n

a n d

s)

e x i s t s

P o i s s o n

t a k e

s u c h

t h a t

t h e i r

a n d

e l e m e n t

n o n - z e r o

a n y

G E

g

v a r i e t i e s

g * 0

0

m o r p h i s m s

G

S i n c e

-A 0 .

S i n c e

Vi*. E

i s

t h e

r e d u c t i v e

s e m i - s i m p l e e l e m e n t s ( s e e [ H u m ] p . 1 6 2 ) . T h e r e f o r e , let g g e n e r a t e d b y w h i c h f o r e l e m e n t 0 , o f Vi*, w g * 0 =54 0 . T h e n w e h a v e a l i n e a r b a s i s 0 1 , 0 f o r j f o r j u + 1 , . . . , u a n d j :A 0 f o r j 1 , . . . , 1 , . . . , v w i t h j i t f o l l o w s t h a t u < v a n d w e h a v e a t l e a s t o n e f u n c t i o n V ) f o r w h i c h g * ' O C o n s i d e r n o w t h e s u b s p a c e W j * o f V j * w h i c h i s t h e s p a n o f a l l f u n c t i o n s f a n d t h e r e e x i s t s g j E G jfj- W e h a v e a l r e a d y e s t j : :4 1 s u c h t h a t g j * f j T h e r e f o r e i t s u f f i c e t o v e r i f y t h a t W j * i s i n v a c o n t a i n s a n o n - z e r o e l e m e n t . L e t t h a t W j * f Vi*. r j n - , c j f j (=- W i * , w i t h f j a s a b o v e , a n d l e t g E G . .

b e

=

=

Ejn-, cjg*fj

t h a t

T h i s

W i * . E

f o l l o w s

a t

P r o p o s v a r i e t y c o r r e s p t h e f i x e

S u p p o s e t h a t G

2 . 2 9

i t i o n

( M , 1-, -1).

W e

o n d s t o t h e d p o i n t s o f

P o i s s o n

g*gj*fj =

a

s

s

a n d

i s

t h a t e

i s g

s u c h

f i n i t e a

f o r

0 1 .

w h i c h

a b l i s h e d

t h a t

r i a n t

c o n c l u d e

t o

n e e d

W e

W j * s h o w

t o

6 g * h , =

a

a l l F 1 , F 2

0 E

t h a t

( M )

r e d u c t i v e

o r

e v e r y

P o i s s o n

t h e

d e n o t e

j " , j N

S t r u c t u r e

m

o f

a c t i o n d )

u

L e t

m a p .

t h e

G E

g

i n c l u s i o n

N

m a p

b e N

M

- +

g r o u p a c i s o m o r p h t h e s u b v b y i. T

t i n g o n a i s m -ID, : a r i e t y o f h e n N

P o i s s o n

a f f i n e n

M M

w h i c h M

- +

c o n s i s t i n g o f

c a r r i e s

( u n i q u e ) a

t h a t

Z * I F I I F 2 } f o r

f o r

Vj* E

j o j =

1 .

j :7

s i n c e

i s

g * 0 7 h 7

w i t

O ,

j

V i n

G

f r o m

o n c e

(g-,gjg)*g*fj

g * o j

S i n c e

v .

=

=

o

s e m i - s i m p l e a

h e r e

'

=

=

=

=

.

G

(or finite),

i t s

.

o f

a c t i o n

j S * F 1 j Z * F 2 j N =

G - i n v a r i a n t .

a r e

P r o o f

F o r

f l , f 2

i s f i n i t e

G

O ( N ) E

r e d u c t i v e

o r

w

c h o o s e e

w

e

a

m a y

E

O ( M )

t h a t

F ,

F 1 , F 2 s

s

u

m

e

I f l i f 2 I N

s u c h a n d

F 2

t h a t a r e

f ,

s

t h a t

s h o w

t h i s

d e f i n i t i o n

b

.

t

.

.

w

o u r

c l a i m ,

G - i n v a r i a n t .

i s e

h a v e

d e f i n e

( 2 . 1 8 ) d

i s

h e n

z *

F 2 1 =

t h i s

I F , , F 2 1 0 .

L e t

i t W e

0 . =

i s

d e n o t e

u s

i s G - i n v a r i a n t

I f F

m a .

d o

T o

F 2 .

,

z *

s h o w i n g

S i n c e

% * P 2 . =

Z * f F l i F 2 1 =

=

w

f 2

W e

G - i n v a r i a n t .

i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f F , a n u f f i c i e n t t o s h o w t h a t i f F , a n d F 2 a r e G - i n v a r i a n t , w i t h z * F l 0 , t i l l a c t u a l l y s h o w t h a t i f F 2 i s G - i n v a r i a n t a n d F 1 E I N t h e n z * I F I , f t a s y s t e m o f g e n e r a t o r s o f I N a s g i v e n b y t h e p r e v i o u s l e m y f l , h e n t h e f a c t t h a t ( D , i s a P o i s s o n m a p i m p l i e s

a n d

a n d

t * F l =

f o r

a n y

I n

jfj, F j

. 9

j =A

s i n c e v i e w

z * - I ) * =

1 .

o f t h i s

f l , f 2 , f 3 E

N o t e

a n d

O ( N )

jfj, F j a l s o

b e c a u s e

=

z * t h a t

o n c e

t o

t h e

J a c o b i

t h e

(2.1 8)

b r a c k e t i s

=

jz* jfj, F I ,

o f a n y

i n d e p e n d e n t

G - i n v a r i a n t

t w o

o f

t h e

c h o i c e

o f

f u n c t i o n s

a n d

F ,

F 2

t h a t

j j f 1 7 f 2 j N ) f 3 I N = l e a d i n g a t s y m m e t r i c

1 - ( D9* f j , - 9 * F }

Z * j j F 1 i F 2 j i P 3 } i S i m i l a r l y t h e

i d e n t i t y f o r

b i d e r i v a t i o n f o l l o w s .

3 3

f a c t

t h a t

j* I

J N

i s a

n

a n t i -

C h a p t e r W e F o r

g i v e

n e x t

e x a m p l e s

E x a m p l e

f e w a

w h i c h

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

e x a m p l e s o f P r o p o s i t i o n

i n v o l v e

l a r g e r t h e

C o n s i d e r

2 . 3 0

1 1 .

i n t h e

S e c t i o n

s e e

g r o u p s

2 . 2 5

o f f i n i t e g r o u p

c a s e

a c t i o n s 0

C n . ,

V I . 3 .

f o l l o w i n g a u t o m o r p h i s m

?,1(P17P2)

s y s t e m s

C 2 ,

o f

( - P l i P 2 ) i

c o r r e s p o n d s t o a d i a g o n a l a c t i o n O f Z 2 o n C 2 w h i c h h a s a l i n e o f f i x e d p o i n t s . L e t u s c o m p u t e t h e a l g e b r a s o f i n v a r i a n t s f o r t h e i n d u c e d a c t i o n a n d d e r i v e f r o m it t h e P o i s s o n s t r u c t u r e s o n C 2 w h i c h d e s c e n d t o t h e q u o t i e n t . I f w e d e n o t e t h e s t a n d a r d c o o r d i n a t e s o n C 2 b y x , a n d X 2 t h e n t h e i n v a r i a n t f u n c t i o n s a r e t h e p o l y n o m i a l s w h o s e t e r m s a r e e v e n i n x 1 , h e n c e t h e q u o t i e n t C 2 / Z 1 i s a g a i n C 2 a n d t h e p r o j e c t i o n m a p i s g i v e n b y ( P I P 2 ) - + ( q l , q 2 ) ( P 2I , P 2 ) . T h e m a p z i i s a P o i s s o n m o r p h i s m , i f a n d o n l y i f I - X I X 2 1 Z 1* J X 1 i X 2 1 - I f w e d e n o t e F ( X 1 X 2 ) t h e n t h i s c o n d i t i o n m e a n s t h a t - F ( X I , X 2 ) J X 1 , X 2 1 F ( - X I , X 2 ) i.e., F is o d d i n x j L a n d i t f o l l o w s t h a t F b e f a c t o r i z e d t i m e s i n v a r i a n t p o l y n o m i a l . T h e n t h e c a n a s a n x , P o i s s o n s t r u c t u r e o n t h e q u o t i e n t i s g i v e n b y J Y 1 Y 2 1 0 2 y , G ( y l , Y 2 ) w h e r e G is d e f i n e d b y

w h i c h

=

i

=

7

=

=

I

=

i

F ( X I , X 2 ) w h e r e

=

x G ( X 2 I, X 2 ) . =

r a n k

t h e

i s

z e r o :

N o t i c e

t h e s e

t h a t

i f n o n - t r i v i a l

P o i s s o n

t h e y

s t r u c t u r e s

a r e

o

n

T h e o n l y o t h e r p o s s i b i l i t y ( u p t o i s o m o r p h i s m ) E x a m p l e 2 . 3 1 C 2 c o r r e s p o n d s t o t h e f o l l o w i n g a u t o m o r p h i s m o f C 2 : o n

(PI P 2 )

t 2

t h e

I n

o f t h e

n o t a t i o n s

p r e v i o u s e x a m p l e ,

o n l y o f t e r m s w h i c h a x e o a n t s i s g e n e r a t e d b y y , x 2 , 1 i s a q u a d r a t i c q u o t i e n t s p a c e

f

i f i t c o n s i s t s o f i n v a r i a n d

(ql,

9 3 )

q 2 ,

w h i c h o f t h e

P I P 2 7

a n d

a

Y l i Y 2

P o i s s o n

a n d

y 3

t h e

i s a

n

i f t h e

o r i g i n a l

a f f i n e P o i s s o n

P o i s s o n

i n

i s

Y 2

P o i s s o n

i s

w i t h

e v e

o

o

h a v e

t o

l i n e a

n o n - t r i v i a l l y

a c t

i n v a r i a n t w

t h e

i f t h e

=

t h e n

y 22 y g i v e n b y ( p l I P 2 )

t h e n

o n l y =

o n l y a l g e b r a

t h e

r e l a t i o n

s i n g l e

i s

i f a n d

T h e r e f o r e

n , F ( X 1 , X 2 ) G ( X 2 1 , X I X 2 i X 22 )

h i c h

s t r u c t u r e

n

X 2 .

T h e

F ( x i , y l ) 1 Y 3 ) f o r w

=

Z 2

a n d

x ,

22 , X

=

Y 3

f u n c t i o n

p r o j e c t i o n m a p P o i s s o n m o r p h i s m . i f a n d

a

f o r

C 2 / t ,

=

p o l y n o m i a l

F ( - X I , - X 2 ) F ( X 1 , X 2 ) -

I n

1 - +

F

t h i s

I n -

1 y 3

t e r m s

q u o t i e n t is t h e n d e s c r i b e d b y t h e

m a t r i x -

2 G ( y ,

E v e n

i s

1.2

X I X 2 7

c o n e .

i

e x i s t s

g e n e r a t o r s

f o l l o w i n g

p 22 )

b r a c k e t , J X 1 X 2 } p o l y n o m i a l G ( y l ,

t h e

d e f i n e s t h e r e

c a s e

( p 21 ' =

=

Y 2

a n d

- P 2 ) i

p o l y n o m i a l t o t a l d e g r e e

a

e v e n

=

t h e

( - P I =

7

C 2

r e g u l a r .

n e v e r

P o i s s o n

i

Y 3 )

s u b v a r i e t y o f , 0 1 ( 2 ) * , i s

Y J

2 Y 2

- Y 1

0

Y 3

- 2 Y 2

- Y 3

0

r e g u l a r (e.g.,

i s

s t r u c t u r e

(if n o n - t r i v i a l )

s t r u c t u r e

Y 2 7

0

w i t h

n e v e r

i f F

i t

r e g u l a r :

1, =

i t s s t a n d a r d

w h i c h

i n

L i e - P o i s s o n

a l w a y s

h a s

r a n k

( C 2 /221 1*;'10)

c a s e

s t r u c t u r e ) t h e

a t

z e r o

t h e

q u o t i e n t

v e r t e x

o f t h e

c o n e .

E x a m p l e f e c t i v e

T h e

2 . 3 2

a c t i o n s

o f a

t w o

c y c l i c

g r

p r e c e d i n g e x a m p l e s N a m e l y o u p o n C 2

( P 1 P 2 )

p

a n d

c o r r e s p o n d s

a s s u m e d

a r e

q t o

a

n

e f f e c t i v e

=

i

t o

b e

a c t i o n

t h e o f

( T I i

6 P 2 )

e a s i l y g e n e r a l i z e d , g i v i n g

7

e p =

6 q =

i n t e g e r s s a t i s f y i n g c y c l i c g r o u p o f o r d e r 3 4

p o s s i b l e ef-

1 .

s m a l l e s t

t h e

a l l

l e t

.

Z 3

H e r e

a r e

e p

1 =

=

6 q =

1 .

1.c.m.(p, q)

T h e

a n d

m a p

b y

Z 3

t h e

A f f i n e

2 .

a b o v e

m a d e

r e m a r k s

P o i s s o n

a c t i o n

s u c h

e v e r y

v a r i e t i e s

i s

f o r m .

t h i s

o f

t h e i r

a n d

m o r p h i s m s f i r s t

S u p p o s e

q'd. T h e n y , p ' d , q c o p r i m e , l e t d d e n o t e t h e i r g . c . d . a n d p f u n c t i o n s a n d , s i n c e E P ' a n d d q a r e p r i m i t i v e d - t h r o o t s o f u n i t y , =

4

=

=

t h a t

a n d

Y 3

a n d p

X q2 =

n o t

a r e

q

i n v a r i a n t

a r e

'

b y

y 1 y 3 P o i s s o n a

y d2 . =

I t

i s

t o

e a s y

Y 2

b r a c k e t

= 4 1 x 2" J X 1 , X 2 1

i s a l s o

o

n

t h e

q u o t i e n t is a

C 3

i n

c o n e

b r a c k e t

a n d

x ,

g i v e n

w h i c h

P o i s s o n

i f

o n l y

t h a t

=

t h e

6

h a n d

t h e n 1

=

t h e n

i s

q u o t i e n t

P Y 1 Y 2

0

q Y 2 Y 3

- p q y l y 3

- q Y 2 Y 3

0

a n d q

=

f o r

v =

p q y . l y

T h e n

X 1 X 2 -

b y

f 3

F ( x l , X 2 )

T h e

F ( x i , X 2 ) . =

d e s c r i b e d

t h e n

- P Y I Y 2

Y 3 ) b y G ( 4 , X I X 2 i 4 )

Y 2 7

o

0

(

p

P o i s s o n

a

=

s t r u c t u r e

P o i s s o n

i s

i n v a r i a n t

t h i s

i s i n

s t r u c t u r e

a n d w

e

c a s e

b y Y 1

PYP2-1

0

Y 3

- Y 3

0

0

(

p G ( y 1 7 Y 2 1 Y 3 )

Y 1 I

- P Y P 2

a n d X q2 g e n e r a t e t h e a l g e b r a o f i n v a r i a n t s , h e n c e t h i s c o p r i m e t h e n 4 A s i s d i v i s i b l e b y X I X 2 a n d w e d e f i n e G ( u , v ) b y a b o v e F p o l y n o m i a l a l g e b r a . F ( x i , X 2 ) a n d f i n d t h a t t h e P o i s s o n s t r u c t u r e o n t h e q u o t i e n t is d e t e r m i n e d b y

a n d

i f p i s a

F i n a l l y , a l g e b r a

s u p p o s e

c h e c k

G ( y i ,

d e s c r i b e d

t h e

m a y

t h a t

p o l y n o m i a l a n d

i f a n d

o t h e r

d e f i n e

m a y

d e f i n e s

=

G ( y , I Y 2 i Y 3 )

I f

T h e n

i n v a r i a n t .

e

F ( x l , X 2 ) 2 3 i s a 1 I f t h e n i s 6: :k f l e x i , 6 X 2 ) F ( x i , X 2 ) X 1 X 2 t i m e s e 6 f l x i , X 2 ) X p ' X q ' d e f i n e w e G ( y l , Y 2 i Y 3 ) b y X l X 2 G ( x p ,1 , 1 2 , X 2 q ) = F ( x , , X 2 ) m a y

T h e

a c t i o n

i n v a r i a n t n

t h a t

s u c h

c h o s e n

a r e

X 2

w

a r e

q

G ( 4 , x q2 ) J Y I Y 2 1 0 = p q y 1 Y 2 G ( y 1 , y 2 ) . =

T h e

2 . 3 3

E x a m p l e

c y c l i c p e r m u t a t i o n

Z 4 ( P l i P 2 7 N ) g i v e s a n a c t i o d i a g o n a l f o r m ; c u b i c

Z 3 o

C 3 n

o r d e r

i n

t o

w h i c h

w i l l

a l s o

d i a g o n a l i z e

t h e

2

6

U 3 .

o f

a c t i o n

T h e

I

a l g e b r a

t h e s i n g l e r e l a t i o n t 3 I n

o f t h e

t e r m s

A s s i g n t e r m s

t o

u i

o

n

p r o d u c t

X W

a n d

s

t h e

q u o t i e n t

u

i s

e

C 3 ;

s

m

t h e

e

o

a c t i o n

X 1

U 2

=

X 1

+

' E X 2

X 1

+ 6

-

n

s h o w i n g

v w ,

i

i s

1

t h e

a n d

l e t

w e i g h t m o d u l o a b o v e

a c t i o n

+

=

C [ U l , n

c o o r d i n a t e s w

a

o

i n v a r i a n t s =

w e i g h t

t h e

h a v e

s t r u c t u r e

a

n

Z 3 E

o f

+

U 1

=

U 3

T h e n

l a t e r

a p p e a r

i n d u c e d

t h e

o

n

C n

( s e e [XI

S e c t i o n X 2 i

i

X 3 1

V I I . 7 ) .

I t

l e t

a

b e e

i s n o t

i n

p r i m i t i v e

d e f i n e

u n i t y a n d

o f

r o o t

O f n

( P 2 7 N i P l ) =

U 2 ,

U31

w

g e n

o

t h a t

t h

p r o j e c t a n d X

3 .

O f Z 3

A c

X 2

X 3 1

+ 6

2 X 2 +

i s

a

w e i g h t 0 m o d u l o 3; e q u i v a l e n t l y o f t h e i r w e i g h t s m u s t b e a m u l t i p l e m e a s i l y w r i t t e n d o w n . h a v e

3 5

P o X

o

(2.19)

C : X 3 -

g i v e n b e r a t e d b y e q u o t i e n t i o n m a p is b e p o l y W c o r d i n g t o

w i l l b e

2X31

y

T * , u l =

T * J U 2

U 1 , 3

u l ,

v =

U 2 1

=

3 W

C 3 / Z 4 is

=

U 3

a n d

1 5 U 2

a n d t

=

V J U 3

U 2 U 3

c u b i c

w i t h

s u r f a c e .

a c y l i n d e r o v e r a (ql, q 3 q 3 , q 2 q 3 ) . g i v e n b y ( q q 2 , q 3 ) n o m i a l s i n u l , U 2 a n d U 3 , all o f w h o s e E x a m p l e 2 . 1 1 t h e s e l e a d t o a P o i s s o n i s s o n a c t i o n i f a n d o n l y i f a l l t e r m s i n t h e a n d W m u s t b o t h b e w e i g h t h o m o g e n e o u s f 3 . T h e r e s u l t i n g P o i s s o n m a t r i x f o r t h e ,

,

C h a p t e r

A s a E x a m p l e 2 . 3 4 C d . I t i s g r o u p S d o n f r e e l y g e n e r a t e d b y t h e c o n s t i t u t e a p o l y n o m i a l

f i n a l

w h i c h

f o u r t h

T h e

s h o w

W e

v a r i e t y .

.

I

.

1 P d ) .

( P I + P 2

- +

t h e

( 2 . 1 9 )

t o

+ -

-

a c t i o n

i s

c o n s t r u c t i o n

t h e

r e s u l t i n g

n o t

b e

w h i c h M

- +

a

.

n a t u r a l

o f

.

1 P 1 P 2 .

b e

c a n

a c t i o n

o f

w h i c h

r e m o v i n g t h e

*

t h e

f o r

i s

b e i n g

m a p

b r a c k e t

t h e

o f

s t r u c t u r e

a c t i o n

: f t m c t i o n s

v a r i a n t

* P d ) . '

d i v i s o r a

s y m m e t r i c

t h i s

T h e

p a r t l y d i a g o n a l i z e d .

f o r

o n e s

s t i l l h a s

o f

a

f r o m n

P o i s s o n t w o

a n y

s y m -

a f f i n e

P o i s s o n

a f f i n e P o i s s o n

v a r i e t y .

a

n

a f f i n e P o i s s o n n

T h e n

c o n s t a n t .

N

t h a t

s p a c e

( M , I-, - 1 m )

L e t P r o p o s i t i o n 2 . 3 5 w h i c h i s r e g u l a r f u n c t i o n a n d a P o i s s o n m o r p h i s m l o c u s o f f a s i m a g e . z e r o

+ P d , -

q u o t i e n t a r e t h e s y m m e t r i c p o l y n o m i a l .

a

t h a t

t h e

t h e

t h a t

t h e

t o

f i n a l

a n d

c o n s i d e r

u s

s y s t e m s

a l g e b r a o f i n v a r i a n t f u n c t i o n s e l e m e n t a r y s y m m e t r i c f u n c t i o n s , i n p a r t i c u l a r t h e i n a l g e b r a a n d t h e q u o t i e n t is j u s t C d , t h e p r o j e c t i o n

d e s c e n d

p o l y n o m i a l s is

m e t r i c

l e t

e x a m p l e

s i m i l a r

t r a n s f o r m a t i o n a

b r a c k e t s

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

w e l l - k n o w n

(pi B y

1 1 .

t h e r e

i s

v a r i e t y a n d l e t f E O ( M ) b e a a f f i n e P o i s s o n v a r i e t y ( N & , * J N ) h a v i n g t h e c o m p l e m e n t ( i n M ) o f t h e

e x i s t s

a

d o m i n a n t ,

n

P r o o f

C o n s i d e r f u n c t i o n s

a

n

e

v a r i a b l e w

d e f i n e

a n d t

a

a f f i n e n

N

v a r i e t y

i t s

b y

o f

r i n g O ( N )

r e g u l a r

f o l l o w s :

a s

O ( N )

O ( M ) [ t ] 1) i d l ( f t =

-

L e t i s

d e n o t e

u s

t h e

o f

c o m p l e m e n t

f o r c e d

d e f i n e

t o

e x t e n d T h u s

t h i s o

n

t o

p r o j e c t i o n b y

z e r o

I N

,

d i v i s o r

o f

I

a

Jgi,

=

P o i s s o n a

n e e d s e

19i

t h e

g j g j i d e n t i f i c a t i o n b e t w e e n

n o t a t i o n a l a

c a n o n i c a l

t h e

f .

o

n

i s

B y

t h e s

a

m

p r o p o s i t i o n it g k , t ; s i n c e w

e

g i , .

. .

,

C l e a r l y b e

t o

P o i s s o n a

o f g e n e r a t o r s I n v i e w o f P

u p o n

u s i n g I f

i s d o m i n a n t

i r

t -

g i I

.

.

a n d

A I

r o p o s i t i o n 1, g i

O f

O ( M )

2 . 4

t h e

0

(for

i m a g e

t h e n

m o r p h i s m , .

i t s w

=

t o

w a y

1, =

a x e

m a d e

o n l y i

e

( w e .

.

.

,

k).

b r a c k e t s

19i, t I N

e r a t o r s

i s

7 r

s y s t e m

N

M .

- +

I f

-7r*gi a n d gi).

s t r u c t u r e

t h e

a d d

t o

f o r

N :

7 r

n

o

s u f f i c e s w

k n o w e

c h e c k

t o

i s

i t

_t21g,J f I N =

v a l i d

f o r

t h e

( 2 . 2 0 )

J a c o b i

g i

i d e n t i t y o n t h e s y s t e m o f g e n f o l l o w i n g e a s i l y e s t a b l i s h e d

t h e

g k

i d e n t i t y s u f f i c e s :

1 1 9 i i g j J 7 t I N

J J 9 i i 9 j } i t J N

( o n e

u s e s

T h i s

g i v e s t h e d e s i r e d

- t 2 =

P o i s s o n

J j g j +

t1i g i I N

ffgi g j J 7 f I N 7 b r a c k e t o

N . n

C a s ( N )

JJt7 gili g j I N +

w h i c h

i s

N o t e

t h a t

a

0 =

i m m e d i a t e n

i f

f

c o n s e q u e n c e

o f

(2.20)).

t h e n

C a s ( M ) G

C a s ( M ) [ t ] 1) i d l ( f t =

-

R e m a r k t i o n s

b e

o

n

A n o t h e r

2 . 3 6 a

a f f i n e n

i r r e d u c i b l e )

f u n c t i o n s

o f a

n

i s

w a y

P o i s s o n a l s o a

t o

v a r i e t y

t h e

s t a t e

w i t h

a b o v e

p o l e s

(finitely g e n e r a t e d )

a f f i n e P o i s s o n

v a r i e t y c

a

n

i n

r e s u l t

o n l y P o i s s o n

s i m i l a r a

3 6

a t

t h a t

i s s

o

m

e

a l g e b r a . w a y

b e

t h e

f i x e d

a l g e b r a

o f r a t i o n a l

d i v i s o r

( w h i c h

C l e a r l y , t u r n e d

i n t o

t h e a

f i e l d

n e e d o f

P o i s s o n

f u n c n o t

r a t i o n a l

a l g e b r a .

A f f i n e

2 .

2 . 4 .

a n d

D e c o m p o s i t i o n s T h e r e

s t i t u t e

t h r e e

a r e

o f

n a t u r a l

t h e

s e c o n d

v a r i e t i e s

i n v a r i a n t s

T h e

f i r s t

a n d

o f o f

d e c o m p o s i t i o n s

v a r i e t i e s .

a l g e b r a i c

P o i s s o n

t h e i r

a f f i n e

a

P o i s s o n

a f f i n e n

d i s c u s s e d

o n e

m o r p h i s m s

v a r i e t i e s

P o i s s o n

h e r e

i s

v a r i e t y , t w o o f w h i c h d e c o m p o s i t i o n b y

c o n -

l e v e l a

t h e

t h e n o n d e c o m p o s i t i o n a c c o r d i n g t o r a n k a n d t h e l a s t o n e i s t h e i n t o o n e d e c o m p o s i t i o n s y m p l e c t i c l e a v e s . D u e t o its n o n - a l g e b r a i c n a t u r e , t h e l a t t e r w i l l o n l y i n d i r e c t l y ( v i a t h e o t h e r d e c o m p o s i t i o n s ) b e u s e d i n t h i s b o o k a n d i s

C a s i m i r s , a l g e b r a i c

i s

-

-

d i s c u s s e d

S e c t i o n

i n

4 .

C a s i m i r

T h e a

T h e

d e c o m p o s i t i o n o a p p l i e s ( i n t r o d u c e i t f o r a n a r a s s o c i a t e a n a l g e b r a a s s o c i a t e

t o

a f f i n e

P o i s s o n

v a r i e t y w h i c h is n a t u r a l l a n d a p p l i e d ) e q u a l l y for o t h e r s u b a l b i t r a r y s u b a J g e b r a A ( c o n t a i n i n g 1 ) o f O ( M ) h o m o m o r p h i s m X,,, : A - + C b y f -+ X,,, ( a

n

w i l l

I f A , w h i c h is a p o i n t i S p e c A b y i r A . A n o t h e r o f

A :

z

a l l o w s M

c

h e n c e

l e a d i n g

t o

o

n

n

a f f i n e

o f

m a y

a n d

b e

o u r

T h e

m a p

s e e n

t o

i r A

b e c a u s e t h a t o f m

w

e

j u s t

i n c e

w i l l a l s o

i r r e d u c i b l e

t h e

e q u a t i o n s ( f r o m w M i s g i v e n b y E

A

:

o u r

S p e c 0 ( M )

m a x i m a l

T h e

A

o

w

m

e

g e b r a s

.

i s

o u t

t h e

O ( M )

t h i s

u s

w

e

a l l o w i n g

u s

m a y t o

u s

m a p M i n c l u s i o n m a p i d e a l I n A o f A ,

T h e

p r i m e

t h e

r e s t r i c t i o n

t h a t

i s t h e

t h e

s p e c t r u m , o f

% *

t o

S p e c A M

a s

s p a c e

M .

W e

t h e

o f

s e t

c l o s e d

i t s

o f a l l m a x i m a l

p r e f e r

w o r k

t o

p o i n t s o f

i d e a l s , w i t h

t h i s -

O ( M )

r a t h e r M

-

t h a n

f r o m ; h o w e v e r w e l i k e t o k e e p i s f i n i t e l y g e n e r a t e d s o t h a t i t s u n d e r l y i n g v a r i e t y i s a n a f f i n e v a r i e t y , b e i n t e r e s t e d i n t h e f i b e r s o f z * o v e r p o i n t s w h i c h a r e n o t c l o s e d . N o t i c e c o m p o n e n t s o f e a c h f i b e r o f 7 r A a r e a f f i n e v a r i e t i e s a n d a c o m p l e t e s e t h i c h w e m a y c h o o s e a f i n i t e g e n e r a t i n g s e t ) f o r t h e f i b e r w h i c h c o n t a i n s

s t a t e m e n t s

w i l l

b e

w

s p a c e

E

A :

a b o u t

s t a r t e d

o r i g i n a l l y

e

f ( x ) t h e

t o a

x n ( f ) .

( 2 . 2 1 )

g e n e r a l f i b e r s o f

t h a t n

=

i t h o l d s

c e r t a i n

i r A :

f o r t h e f i b e r

d i v i s o r .

w h e n a

o v e r

d e n o t e

W e

s a y i n g t h a t s o m e g e n e r a l p o i n t , i.e.,

t h e

K r u l l =

t h e

d i m e n s i o n d i m

S p e c A .

f i b e r s

o f

i r A

1 1 6 ) .

A l l ( n o n - e m p t y ) f i b e r s o f i r A : M P r o p o s i t i o n 2 . 3 7 - + S p e c A d i m A a n d t h e g e n e r a l f i b e r h a s c o - d i m e n s i o n p r e c i s e l y d i m A . L e t

l e t

n a t u r a l

f o l l o w s .

a s

i s f i n i t e l y g e n e r a t e d t h e n i t i s a b a s i c r e s u l t t h a t d i m A b y d i m A ; f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n r e l a t e s t h e d i m e n s i o n o f A t o t h e d i m e n s i o n o f

( s e e [ S h a ]

a l g e b r a s o

M E

m

f ( m ) ,

i f A

C h .

i t s

t o

O ( M ) ,

e a c h

T o

f

w i l l d e n o t e e

s

o f I

- +

c o n t a i n s

p r o p e r t y h o l d s f o r a g e n e r a l f i b e r w e m e a f o r a l l c l o s e d p o i n t s w h i c h d o n o t b e l o n g o f

A ; c

m a p

p r i m e i d e a l a

t h e

V f O f t e n

t h i s

S p e c O ( M )

s p a c e

a s

i s

S p e c O ( M ) s S p e c A , e v e n w h e n

w i t h

o f

m o r p h i s m a

s c h e m e s . a l s o

a s s o c i a t e d

A l E

o f

s p e c t r u m

h o w

?,*

s e t

x , , ( f ) I f -

t h e

S p e c A ,

w a y t o s e e t o a s s o c i a t e

e

y

b e

i d e a l

t h e M

E m

d e c o m p o s i t i o n f

C a s i m i r s

o f

a

a p p l y t h i s

t o

t h e

c a s e

w h e r e

A

i s

t h e

v a r i e t y ( M , 1 - , -1), w h i c h w e d e n o t e d b y C a s ( M ) . A - + f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n s h o w s t h a t t h e f i b e r s o f M i r r e d u c i b l e t h e e a c h s t r u c o m p o n e n t t h e r e b y g i v i n g 3 7

h a v e

a l g e b r a o f C a s i m s a n a p p l i c a t i o n S p e c C a s ( M ) i n h c t u r e

o f a

n

a f f i n e

i r s o f e r i t

c o - d i m e n s i o n

o f a

n

a f f i n e

a t

m o s t

P o i s s o n

P r o p o s i t i o n 2 . 1 8 , t h e a

P o i s s o n

P o i s s o n

s t r u c t u r e ,

v a r i e t y .

I I .

C h a p t e r

P r o p o s i t i o n f r o m 1-, -1 a

2 . 3 8

n d

R k J

M o r e o v e r

a l l

-

,

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

s y s t e m s

E v e r y ( n o n - e m p t y ) f i b e r . F o f -7rc,,(M) i n h e r i t s v e c t o r f i e l d s X f , f E O ( M ) a r e R k J I w i t h e q u a l i t y f o r a g e n e r a l f i b e r .97.

P o i s s o n a

H a m i l t o n i a n

+ F


s y s t e m

m a l

( o r c o n s t a n t ) . n u m b e r

A n o t h e r

r i g h t i n d e p e n d e n t r a ( o f t h e r i g h t d i m e n s i o n ) o f g e b r a c o n t a i n s e v e r y f u n c t i o n t h e o n e h a n d t h i s a d a p t i o n p h i s m s a n d i s o m o r p h i s m s o f y t o v e r i f y c o m p l e t e n e s s o f a n m a x i m a l

o f

n u m b e r

o f f u n c t i o n s

p r o p o s i t i o n s i n t h i s d e t e r m i n i n g e x p l i c i t l y t h e i n t e g r a b l e a l g e b r a

a n d

d e s c r i b i n g

a s a

i n t e g r a b l e s y s t e m o n a v a r i e t y . N o t i c e t h a t

P o i s s o n

s

p r o v e

o

m

e

e x a m p l e s .

L e t

i n v o l u t i v e

h a s

o n e

e

u s e f u l

I n t e g r a b l e H a m i l t o n i a n

D e f i n i t i o n

L

b e

o f c o n c r e t e

c a s e

3 . 1 .

a

s e e n

w h i c h

n a t u r a l , it is e v e n i n i n t e g r a b l e H a m i l t o n i a n s y s t e m s . O n t h e o t h e r h a n d it is n o t e i n v o l u t i v e a l g e b r a , e . g . , t h e ( p o l y n o m i a l ) a l g e b r a g e n e r a t e d b y i n i n v o l u t i o n n e e d s n o t b e c o m p l e t e . A c c o r d i n g l y w e w i l l a l s o i n

i s

p a c e s

v a r i e t y b e m a x i f o r h a v i n g t h e e w e a s k f o r h a v i n g a c o m p l e t e a l g e b l e t e n e s s m e a n i n g h e r e t h a t t h i s a l a l l t h e e l e m e n t s o f t h i s a l g e b r a . O n e v i t a b l e i f o n e w a n t s t o d i s c u s s m o r

i s v e r y

s e c t i o n

C a r t a n a

c l a s s i c a l d e f i n i t i o n d e m a n d s

i n v o l u t i o n

i n

i s

( s e e

t h a t

d i f f e r e n c e i s t h a t

w h i c h

m o r p h i s m s

t h e i r

s y m p l e c t i c m a n i f o l d e

t h e i r

e q u i v a l e n t s f o r i n t e g r a b l e H a m i l t o n i a n s y s t e m s . d e f i n i t i o n i s a n a d a p t i o n o f t h e c l a s s i c a l d e f i n i t i o n o f a n

O u r

w

m o r p h i s m s

i n v o l u t i v e ) s u b a J g e b r a .

s y s t e m . T h e s t u d y o f i n t e g r a b l e H a m i l t o n i a n s y s t e m s g e o m e t r y ; f o r e x a m p l e w e w i l l s e e t h a t a l l p r o p o s i t i o n s v a r i e t i e s

t h e i r

s e m i - s i m p l e L i e a l g e b r a s t h e n o t i o n o f c o r r e s p o n d i n g o b j e c t f o r a f f i n e P o i s s o n s

T h e

c o m m u t a t i v e

v a r i e t y w i t h

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

w

A .

c -

a

e

o

a f f i n e n

s a y

P o i s s o n

P o i s s o n

t h a t

T h e

a f f i n e n

i t

v a r i e t y . c o m p l e t e if

i s

( M ,

t r i p l e

A )

A

v a r i e t i e s

c a l l e d

i s

o f

s u b a l g e b r a A f o r

m o r e o v e r

f

a n y

( c o m p l e t e ) a

O ( M )

i s

O ( M ) E

i n v o l u t i v e

-

( M ,

A )

b e

i s

c o m p l e t e t h e n A T h e i n t e g r a l c l o s u r e o f A i s f i n i t e l y g e n e r a t e d . A

a

i s

i n v o l u t i v e n

c l o s e d

i n t e g r a l l y i n

O ( M )

H a m i l t o n i a n

i s

a l s o

i n

s y s t e m .

O ( M ) ;

i n v o l u t i v e

a n d

i s

f i n i t e l y g e n e r a t e d w h e n

P r o o f

p r o o f o f (i.) g o e s i n b y A a n d g E O ( M ) i t s i n t e g r a l c l o s u r e i n O ( M ) e x i s t s a m o n i c p o l y n o m i a l w g e n e r a t e d a l g e b r a ( s e e e.g., e v e r y e l e m e n t o f t h e i n t e g r a l T h e

C a s ( M )

b e a

n

e l e m e n t

o f

f o r

O ( M )

e x a c t l y t h e b y g Ei A .

c l o s u r e w h i c h

w h i c h

o f

m i n i m a l

P ( 0 ) =

d e g r e e .

0

a n d F o r

w i t h

f

a n y

P r o p o s i t i o n 2 . 4 6 t h a t 1 0 , f I 0 , u c h e c k e d b y a s i m i l a r a r g u m e n t t h a t =

e

w a y

i s

i s i n

+

a n y

i n v o l u t i o n a

w i t h

s i t i o n 2 . 4 6 , r e p l a c i n g i n i t e l y g e n e r a t e d t h e n

( M ) o o t ) e ,

a l l e l e m e n t s

w

f o r

e

i s

w h i c h

a l s o

f i r s t o f A .

a

t h e r e

f i n i t e l y

c h e c k

T h u s ,

t h a t l e t

+ -

-

+

a n

b e l o n g i n g t o A ; w e a s s u m e t h a t t h e p o l y n o m i a l 0 i m p l i e s a s i n t h e p r o o f e q u a l i t y f P ( o ) , f J t h e P . U s i n g t h i s , i t c a n n o w o f u s i n g m i n i m a l i t y t w o f u n c t i o n s i n t h e i n t e g r a l c l o s u r e a r e i n i n v o l u t i o =

4 7

0

p o l y n o m i a l

a 1 X n - 1

t h e p o n

a s

w e l l - k n o w n

e x i s t s

X n a i

A

m

o f A

=

a l l E

a

I t

t h e r e

p ( X ) f o r

t h e

p r o o f o f P r o p o t h a t i f A i s f t h e s e t a l l o f a s e l e m e n t s o f O ( d e f i n e d 0 i t h c o e f f i c i e n t s i n A , w h i c h h a s 0 a s a r [ A D ] C h . 5). T o c h e c k t h a t it is i n v o l u t i v s

i s

o f

b e n . 1

I I .

C h a p t e r

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

s y s t e m s

E v e r y i n v o l u t i v e a l g e b r a is c o n t a i n e d i n a n i n v o l u t i v e a l g e b r a w h i c h is c o m p l e t e , b u t t h e l a t t e r i s i n g e n e r a l n o t u n i q u e . T h i s i s c o n t a i n e d i n t h e f o l l o w i n g l e m m a . L

e

m

m

t

i n t e g r a l c l o s u r e o f

(3.) T h (2) I f (3) A

( M , 1-, .1, A ) be a n i n h e f i e l d o f f r a c t i o n s o f

L e t

3 . 3 a

s u b a l g e b r a A n i s c o m p l e t e t e

A

c o n t a i n e d

i s

i f d i m B

i n

A

a

n

b y A

d e n o t e

a n d

s y s t e m

t h e

a l s o

i n v o l u t i v e ;

=

w h i c h

o f O ( M )

s u b a l g e b r a B

i n v o l u t i v e n

H a m i l t o n i a n

A .

o f O ( M ) is A ; O ( M )

o ( m ) h e n

v o l u t i v e

i t i s

c o m p l e t e ;

i s

u n i q u e

d i m A . =

P r o o f R e c a l l f o r

O ( M )

h a s

w h i c h

A ,

i n

0

a s

e x i s t s a

r o o t .

i f

a

( m ) c a p o l y n o m i a l ( w h i c h is 0 E A n O ( M ) a n d

P ( X ) i s

J P ( O ) , A l

P r o p o s i t i o n 2 . 4 6 ) . 0 l e J P ( O ) , O ' l =

f o l l o w s

a t

a i l

o f

t h i s

i n

a i

a n

f o r

A )

0, t h e n p r o o f o f t h e e q u a l i t y

P ( O )

w h i c h

=

t h e

i n

o f P

=

o f

A n O c o m p l e t e w e p a s s t o A O i v e s u b a l g e b r a o f O ( M ) w h i c h c o n t a i n s 0 a n d r e p M ) \ A O for w h i c h If, A O I a f t e r a f i n i d o n e 1 d i m A O + a r e w e , e b r a w h i c h is o b t a i n e d is n o t u n i q u e i n

b u t

O ( E

t h e

f

n o t

=

=

d i m A

S i n c e

(2)

i t

f r o m

=

a l g

=

( M ) ;

i f t h e

a n d

A

e a t

c o m p l e t e

i s

I f n o t , c o n s t r u c t i o n

c o m p l e t e .

i s

t h e

l a t t e r

a b o v e

t e n u m b e r

b e c a u s e

o f s t e p s ;

w

e

t o

o f

g e n e r a l ( i n t e r e s t i n g e x a m p l e s

g i v e n b e l o w ) .

a r e

I n

f

e l e m e n t

c h o i c e

t h e

+ -

c o e f f i c i e n t s

w i t h

=

i n v o l u t

u n i q u e A , .

o b t a i n

-

0 o f

o f e l e m e n t s

( a g a i n a s 0 , u p o n u s i n g t h e m i n i m a l i t y i m p l i e s t h a t if 0 ' is a n o t h e r e l e m e n t o f A n 0 ( M ) i s i n v o l u t i v e , s h o w i n g ( i . ) ; 0 . T h u s A n O ( M ) 1 0 , O ' l

t o

i s i n v o l u t i v e

i t i s t h e

-

c o e f f i c i e n t s

( w i t h

s e t

t h i s

t u r n

a d s

+

t h e

a s

n e c e s s a r i l y m o n i c )

n o t

a X n - I +

i d e n t i f i e d

b e n

o n c e .

I f A

a d d

I n

o

n

a o X n =

d e g r e e

i m p l i e s 1 0 , A l 0

=

m i n i m a l

o f

p o l y n o m i a l a

A

t h a t

5)

C h .

[ A D ]

g . , f r o m w h i c h t h e r e

(e.

t h i s

t e x t w

0

w i l l e

t h e

d i m e n s i o n , g i v e n b y h a s a u n i q u e c o m p l e t i o n , w h i c h i s g e n e r a t e d b y I f , , A 1 ) .

.

P r o p o s i t i o n

3 . 4

.

L e t

w

w i l l d e n o t e e

f r o m

k n o w

W e

p r o p o s i t i o n .

n e x t

i n v o l u t i v e

i n

i n t e r e s t e d

b e

o n l y

o f

a l g e b r a s L e m m a

b y C o m p l ( A )

3 . 3

m a x i m a l

t h e t h a t

s u c h a

n

(or b y C o m p l f fl,

p o s s i b l e a l g e b r a A A I if A

-

,

( M ,

A )

b e a

n

i n v o l u t i v e

H a m i l t o n i a n

s y s t e m .

T h e n

1

d i m A

::' , d i m M -

2

(3.1)

R k j - , .1.

P r o o f

g e n e r a l f i b e r . F o f t h e O ( M ) . B y P r o p o s i t i o n 2.37,

C o n s i d e r m a p

A C

a

d i m . F

m a p

=

M

S p e c A

- +

d i m M -

w h i c h

i s

i n d u c e d

b y

t h e

a l s o

4 8

(3.2)

d i m A .

e q u a l s t h e n u m b e r o f i n d e p e n d e n t d e r i v a t i o n s o f O ( Y ) a t a g e n e r a l p o i n t i n v o l u t i v i t y o f A i m p l i e s t h a t s u c h d e r i v a t i o n s c a n b e c o n s t r u c t e d u s i n g f u n c t i o n s

d i m . F

i n c l u s i o n

o f F

f r o m

a n d

A .

T o

t h e

s e e

9 7 E

m

H a m i l t o n i a n

I n t e g r a b l e

3 .

l a t t e r , r e c a l l t h a t t h e i d e a l o f a r b i t r a r y b u t f i x e d a n d f r a n g e s

i s

X g ( f h e n c e

i s

X .

d i m A

o f

d i m -

n e s t e d

t o

t a n g e n t

d e r i v a t i o n s

t h e

l o c u s

o f

A j + j

i n d e p e n d e n t

A .

F o r

a n y

If, g j =

m o r p h i s m s

t h e

g e n e r a t e d b y

o v e r

f u n c t i o n s

A E

g

w

N e x t

w

s h o w

e

X'-"(f) -

w h e r e

h a v e e

a n d Y

t o

t h a t

l o w e r a

f

0, =

b y t h e i d e a l o f F , i.e., A .

o f

t h e i r

t h e

w

e

c

a

e l e m e n t s

b o u n d

f o r

c o n s t r u c t n

A

o f

d i M . F .

l e a d

t o

C o n s i d e r a

s u b a l g e b r a s

A ,

d i m =

f i e l d s

v e c t o r

o

n

A o =

A i C

A 2 C

C

i n

1,

p a r t i c u l a r c o m i n g f r o m A , n i + l : 5 n i + 1 , n o +

p o i n t ) I t

i s

O ( Y ) u s i n g C a s ( M ) i n d e p e n d e n t d e r i v a t i o n s , g i v i n g

C a s

d i m

d e f i n e d

e l e m e n t s

s e q u e n c e

w h e r e

F

X - M ) -

a n d

s y s t e m s

r

a n d

(3.3) w

d i m A >

A , c

.

R k j

O ( M ) , =

-

,

I f

1.

n i

d e n o t e s

(i.e., h a v i n g i n d e p e n d e n t 0

a n d

=

d i m . F

.

=

M

t h e n o b v i o u s l y n i < g i v e s t h e f o l l o w i n g l o w e r b o u n d

C o m b i n i n g ( 2 . 4 0 ) , ( 3 . 2 )

.

n ,

C a s

d i m -

=

f o l l o w s

I t

r .

t h e

n u m b e r

v e c t o r s

t h a t

n i

a t a

i f o r =

o f

g e n e r a l

( M ) .

a l l i .

(3.3)

f i n d e

I

d i m A

W e

f i n a l l y g e t

t o

( d i m