I Ty zostaniesz Pitagorasem. Materiały pomocnicze do nauki matematyki dla klasy 7 8385207163

Citation preview

W ANDA ŁĘSKA S TE F A N ŁĘSK I

ITv zostaniesz Pitagorasa DAM

MATERIAŁY POMOCNICZE DO NAUKI MATEMATYKI DLA KLASY

j

Przedstawiamy — w nowej szacie graficznej — zbiór zadań z matema­ tyki do klasy VII. Jest on kolejną proponowaną przez autorów pozycją z se­ rii „I Ty zostaniesz Pitagorasem”. Adresujemy go do nauczycieli i uczniów w celu wykorzystania w pracy lekcyjnej przy realizacji bieżącego materiału programowego. Może być również pomocny dla ucznia pracującego indywidu­ alnym tokiem nauczania lub nadrabiającego zaległości. Zbiór zawiera zestaw ćwiczeń i zadań oraz krótką część teoretyczną odno­ szącą się do wszystkich jednostek m.etodycznych przewidzianych w realizacji aktualnie obowiązującego programu nauczania matematyki w klasie siódmej. Układ rozdziałów jest podobny, jak w zbiorach klasy piątej i szóstej. Zada­ nia ułożone są zgodnie z zasadą stopniowania trudności. Część teoretyczna jest wyraźnie oddzielona od zestawu zadań, zawiera ona najistotniejsze wia­ domości poparte przykładami. Odpowiedzi, na prośbę wielu nauczycieli, prze­ niesiono na koniec zbioru. Wszystkie zadania zaopatrzone gwiazdką przezna­ czone są dla uczniów zdolnych, interesujących się matematyką. Sześć pierwszych działów zawiera tematy obowiązkowe, stanowią one pełną konstrukcję programową. Ostatni dział to zestaw zadań do realizacji dwóch tematów nadobowiązkowych, które uważamy za ważne i bardzo kształcące. Trzy pierwsze działy należy zrealizować w I, a trzy kolejne w II semestrze. Wszystkie działy, paragrafy i zadania obejmujące materiał nadobowiąz­ kowy oznaczone są literą Pragniemy ponadto zwrócić uwagę, że niniejsze wydanie zostało przejrzane i poprawione, lecz nie wprowadza żadnych zmian merytorycznych. Wprowa­ dzono jedynie dodatkowy kolor, by wyróżnić ważniejsze treści i wzory mate­ matyczne oraz poprawić estetykę rysunków. Jednak układ zadań na stronach mógł idee zmianie; w kilku przypadkach zmieniła się też numeracja zadań. Za wynikające stąd trudności przepraszamy uczniów i nauczycieli. Autorzy niniejszej pracy proszą nauczycieli o uwagi i opinie, które należy kierować na adres Oficyny. Uczni om ż y c z y m y sukcesów, a nauczycielom satysfakcji!

WANDA ŁĘSKA, STEFAN ŁĘSKI

I T Y ZO STA N IESZ PITAGORASEM

M ATER IAŁY POM OCNICZE DO NAUKI M A TEM A TYK I DLA KLASY 7 DOSTOSOWANE DO AKTUALNYCH ZMIAN PROGRAMOWYCH

OFICYNA WYDAWNICZO-POLIGRAFICZNA I REKLAMOWO-HANDLOWA „ADAM” WARSZAWA

Projekt okładki LESZEK RUDNICKI Redaktor naczelny ADAM MAZUREK

„Książka zalecana przez Ministra Edukacji Narodowej do użytku szkolnego i wpisana do zestawu książek pomocniczych do nauki matematyki w klasie siódmej szkoły podstawowej. Numer w zestawie 133/92”.

ISB N 83-85207-16-3 Znak firmowy i tytuł zastrzeżone w Urzędzie Patentowym

Copyright © by Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna „ADAM” WARSZAWA loo-

OFICYNA WYDAWNICZO-POLIGRAFICZNA I REKLAMOWO-HANDLOWA „ADAM” ul. Rolna 191, 02-729 Warszawa tel./fax 43-20-52, tel. 43-37-23 Księgarnia Firmowa tel. 43-47-91, 43-08-79 Skład: „SCRIPT” , Warszawa, tel. 641-47-70 D ru k poUOfaflO S półka z o.o. w Sieradzu

I.

W Y R A Ż E N IA A L G E B R A IC Z N E

1.1.

ZAPISYWANIE I ODCZYTYWANIE WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH

W yrażeniem algebraicznym będziem y nazywać zarówno pojedyn­ czy znak liczby, litery, jak i bardziej złożony zapis pow stały z sym ­ boli liczb i liter połączonych znakami działań i nawiasami. — W yrażenia, które są iloczynem czynników cyfrowych, litero­ wych lub pojedynczym znakiem liczby, nazywam y jednom ianam i, np.:

-5 ,

-ab3, —150mn, ... O — wyrażenia, które są sum ą jednom ianów , nazywam y sum am i al­ gebraicznym i, np.: 3x + 5a,

a,

- 3 ab,

a2 - b2,

7x12.

4,5xyz2,

4x - 5b + c,

0,7x3 - ^ y 2 - 2,2z + 44, . ..

Gdy do wyrażenia algebraicznego zam iast liter (zm iennych) w sta­ wim y konkretne liczby i wykonam y wskazane działania, to nazwa ostatniego działania określi nazwę całego wyrażenia. Np.:

o2 + b2 ( x - l )2 a2 — b2 5 3(x + y)3

— to suma kwadratów liczb a i b, — to kwadrat różnicy liczby x i liczby 1, — to iloraz różnicy kwadratów liczb a i b przez liczbę 5, — to iloczyn liczby 3 i sześcianu sumy liczb x i y.

1. Podaj po cztery dowolne wyrażenia algebraiczne, które będą: a) jednomianami, b) sumami algebraicznymi. 2. Dane są liczby —2; 7 oraz litery a a) sumę iloczynów, h) b) iloczyn sumy i różnicy, i) c) iloraz różnicy przez sumę, d) różnicę ilorazów, j) e) kwadrat dowolnej sumy, k) f) kwadrat dowolnej różnicy, l) g) sześcian dowolnej różnicy,

i b. Utwórz z nich: sześcian dowolnej sumy, różnicę sześcianu i iloczynu dowolnych liczb, sumę sześcianu i dowolnego ilorazu, różnicę sześcianów dowolnych liczb, sumę sześcianów dowolnych liczb.

-3 -

3. Napisz następujące wyrażenia: a) suma liczby a i kwadratu liczby 6, b) różnica sześcianu liczby b i liczby 4, c) iloraz kwadratu liczby a przez 5, d) iloczyn liczby —2, kwadratu liczby a i sześcianu liczby b, 'e) kwadrat sumy liczb a i 6, • f) sześcian różnicy liczb x i y, - g) podwojony iloczyn liczby a i kwadratu sumy liczb x i y, , h) iloraz różnicy kwadratów liczb a i b przez sześcian liczby c. , m . 4. Utwórz wszystkie możliwe pary wyrażeń: a + 6; xy; —; z —c. Następnie połącz je znakami działań i nowo powstałe wyrażenia nazwij. 5. Zapisz następujące wyrażenia: * a) iloczyn liczby —3, kwadratu liczby a i sumy liczb x i y. b) kwadrat różnicy podwojonego iloczynu liczby a i potrojonego sze­ ścianu liczby 6, 4 c) różnica iloczynu liczby 3, m i n i kwadratu sumy liczb x i y, * d) suma sześcianów liczb x, y i z, e) iloraz kwadratu sumy liczb p i q przez różnicę sześcianu liczby p i liczby q, f) podwojony kwadrat sumy iloczynów liczb 3 i a oraz liczb 5 i b. 6. Nazwij następujące wyrażenia: a) a2 + 2;

e) 4o —562;

i) (5a + c)2;

b) 2a —62;

f) 4 ,5x2 + 26;

i) y - 1,56;

m )(a 2 - l)(x 2 - 2); a2 » )— ;

c) (3ab)2;

g)

2a:2 —3 5 ;

k) p3 —4q4;

o) (a —b)2 : (a + b).

d) 2a(3a: —1);

h) (a - 6)3;

t2

l) (3 + 2fo2)3;

7. Nazwij następujące wyrażenia: a) a2{b — c)3;

d) 2a2 : ( 6 - l ) 3;

g) (a3 - 2a)2;

b) (3a:2 + 7)3 —4y2;

e) (c2 + l)(c2 - 2); (mn)2 — 3p

h) 2(a2 + 6 —3 ,5)2.

c) 4( a - 6 ) 2 + y ; 89

n3

8. W klasie V ila jest x chłopców i y dziewcząt. W klasie VIIb jest o 3 chłopców więcej i 2 razy mniej dziewczynek niż w klasie Vila. Ile dzieci jest w klasie VIIb? (Zapisz odpowiednie wyrażenie). 9. Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych: -4 -

a) b) c) d)

pole i obwód trójkąta równobocznego o boku a i wysokości h, pole kwadratu o przekątnej x, pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu i krawędzi a, pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu o krawę­ dziach a, b i c. 10. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych: a) liczbę dwucyfrową z cyfrą dziesiątek x i cyfrą jedności y, b) liczbę trzycyfrową z cyfrą setek a, dziesiątek b, a jedności c, fi) liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest x, a cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry dziesiątek, d) liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest x, cyfra dziesiątek jest o 3 mniejsza, a cyfra jedności 2 razy większa od cyfry setek. 11. Oznaczając przez n dowolną liczbę naturalną, zapisz: a) liczbę o 2 od niej mniejszą, e) liczbę parzystą i nieparzystą, b) liczbę o 3 od niej większą, f) kwadrat liczby nieparzystej, c) jej połowę i trzykrotność, g) sumę kwadratu liczby parzystej d) trzy kolejne liczby naturalne, i sześcianu liczby nieparzystej. 12. O ile zwiększy się pole prostokąta o bokach a i b, jeżeli długość każdego boku zwiększymy o 10%?

1.2. WARTOŚĆ LICZBOWA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNEGO Jeśli dane jest wyrażenie algebraiczne, w którym występują zmienne (li­ tery), to nie możemy określić jego wartości liczbowej. Dopiero gdy w miejsce zmiennych wstawimy konkretne liczby, otrzymamy wyrażenie arytmetyczne, którego wartość liczbową możemy obliczyć. Np. wyrażenie (3a12 - 2 ) ■b dla a = 1 i b = - 2 ma wartość - 2 , a dla a = 0 i b = 0,5 ma wartość —1. 1. Oblicz wartość liczbową następujących wyrażeń: a) 2x2 — 1 dla x = 4;

d) (3a:2 + y)2 dla x = 1, y = -0 ,2 ;

b) (a;2 + 5) • -

e) jja2 - ^63 dla a — - 5 , b =

c) a3

dla x = —1;

dla a = —2,6 = 3;

f) y3 + 4y2 —y + 8 dla y =

2. Oblicz wartości liczbowe następujących wyrażeń dla a = 5: a) 2a 2; b) 3a3 —4;

c) 5a2 —4a + 120; 3a2 + 8 d) -5 -

e)

f)

12

’

(3a2 —20a)2

3. Oblicz wartość liczbową wyrażenia: 3x2 + x —1 dla x € {—2,0,1}; a) b) (x 2 —7) • 2x

dla x e

3;0,5};

c) 3x2 — 4(x + 2y3)

dla x

"2, y — —1;

d) 2a3 + 3a2 —5b2 + b

dla a ■

-

a

-1

3

0

1 2

2,5

b

2

1 2

-4

0

-1

2, 6 —

5

4. Uzupełnij tabelkę:

(a - b)3 a2 + b2 5. Dla jakich wartości x wartość wyrażenia równa się zeru? Wykonaj odpowiednie sprawdzenie: a) 5x, c) —2x2, e) x 2 — 4, b)x-7 , d) x 2 + 16, f) x ( x + l ) . *6. Dla jakich wartości x wartość danego wyrażenia nie istnieje? -4 5 g) x(x —1) d)

1.3.

10

100

f) x 2 + 2 ’

x —1 ’

SUMA ALGEBRAICZNA. REDUKCJA WYRAZÓW PODOBNYCH

W yrażenie algebraiczne będące sum ą co najmniej dwóch jednom ianów nazywam y sum ą algebraiczną, np.

a + 3b — 2c;

4x2 —2y + 5a —1.

Każdy jednom ian w ystępujący w sum ie algebraicznej nazywa się wyrazem tej sumy. a, 36, -2 c 4x2, —2y, 5a, —1

— to wyrazy pierwszej sumy, — to wyrazy drugiej sumy. -6 -

W yrazy sumy różniące się co najwyżej w spółczynnikiem cyfrowym nazywam y wyrazam i podobnym i. W sumie —5xy — 2x + 7xy + 55 wyrazy podobne to: —5xy i 7xy. W sumie algebraicznej możemy dokonywać tzw. redukcji wyrazów po­ dobnych; jest to podstawowe przekształcenie wyrażenia algebraicznego po­ legające na zastąpieniu wyrazów podobnych jednym wyrazem, np.: 5x + 3x —7 = 8x —7 4x2 —8a + 2x2 —a —4 - 6x2 —9a —4. 1. Wymień wyrazy następujących sum algebraicznych: a) 4x - 5xy + 3y — 2,

d)

- 4,8y - 8xy + 1,

b) 20xy 2 —3xy + 0,4a: —4y,

e) lOOm —4,8mn + l^ n . O

c) 0,85a + 3ab —-5 + 4,5, 2. Z podanych jednomianów utwórz wszystkie możliwe sumy algebra­ iczne: a) 4a, -2ab, 335; b) xy 2, - l x , 4 y ; c) - 2 x, - 4 , by, - 3 xy , +5. 3. Z następujących sum algebraicznych wypisz wyrazy podobne: a) Sx - 2a + 4x + 0,la: + a; b) 4x2 —2a + 3a2 —2x2 + 7,5a2; c) 8y3 - y + 3,25 - 4,5y3 + 115; d) l ^ a 25 - 3a + 4,25a25 —9a + 2,15a2. 4. Następujące sumy wyrazów podobnych zastąp jednym wyrazem: a) 3x + 5x —7x + 8x = b) 25a:2 —8a;2 + 15a:2 —la:2 =

1

2

o

o

c) 13a —4a -f 5 - a + 8 - a - 2a + a = d) ax —4ax —8,bax + l^aa; —0,7bax = 5. Przekształć następujące jednomiany na sumy: \ ) —3a;

b) 4,bxy;

c) 100a5c; -7 -

d) l,75a:2;

e) —

f) 210x 2y3.

6. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych: a) 4xy + x + y — xy = b) 5ab —106 + 8ab —3a = 3 c) - x 2 —2xy —0,5a:2 —3yx — d) -l,5p2x2 - 6y = 2y2 - 3y + 2y - 10ąy2 + 6y — —x 3 — y2 + 2x3 —y2 + 2 = 5xy —6a;2 —xy + 3x2 + 15xy = y2 — 3x2y + 6y2 — 4x 2y + 8y2 = 2x 2y2 - 5xy + 3x 2y2 — 4xy + x 2y2 =

*9. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych: 3 2 1 1 a) - abc —-bac + 3-bca + 2,25ac6 —6,5 cba — 12-cab = rz O ó & b) \‘ x y 2 - 0 , 3 x 2y - i , l x y 2 +4,2 + I2xy2 + 7,8 + 0,la:2y - 1 + 0,2xy2 = 5 -8 -

c) 6a123—3ab + 562 —4ba + 3a2 —562 —9a2 + 7ab —3a + 26 = d) 5an + 4an 1.4.

- 3an + da"“ 1 + 2an - an~l =

DODAWANIE I ODEJMOWANIE SUM ALGEBRAICZNYCH

Jeżeli: do danego wyrażenia d o d ajesz od danego wyrażenia odejm ujesz sumę algebraiczną, sumę algebraiczną, to musisz do tego wyrażenia dopisać musisz do tego wyrażenia dopi­ sać po kolei każdy wyraz tej po kolei każdy wyraz tej sumy, sumy, zmieniając jego znak na przeciw ny. a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych. Gdy opuszczasz nawias, w którym ujęta jest suma algebraiczna, pamiętaj: a) jeśli przed nawiasem znajduje się znak to po opuszczeniu nawiasu przy każdym wyrazie sumy znak pozostawiasz nie zm ieniony; b) jeśli przed nawiasem znajduje się znak to po opuszczeniu nawiasu przy każdym wyrazie sumy musisz zmienić znak na przeciw ny. 1. Z podanych wyrażeń utwórz różne sumy algebraiczne i doprowadź je do najprostszej postaci: 2o; 3a + 1; —5x — a; 4x + 3. 2. Do wyrażenia 3x2+ 5y—6 dodaj następujące sumy algebraiczne i otrzy­ mane wyrażenie doprowadź do najprostszej postaci: a) 0,2y - 4x2 + 14;

d) 56y - 22x2 - 18;

b) 7x2 - 8 y + 12;

e) - ll ^ c c 2 - 2,5y + 3,6;

c) l ^ x 2 - 1,8+ 4y; f) -1 0 ,2x2 + \ y - 1,7. 6 5 3. Od wyrażenia 5x2 - 9 6 + 2 odejmij następujące sumy algebraiczne i otrzymane wyrażenie doprowadź do najprostszej postaci: a) 3x2 + 56 —12;

d) - 3 ^ x 2 - 6^ - 46;

b) -4 6 - 6x2 + 11;

e) 10,56 - 3,3x2 - 103;

c) l,2x2 + 136 - 6,4;

f) 6 6 ix 2 + 14,2 - 7,26. O -9 -

4. Uzupełnij tabelkę, wpisując w wolne miejsce wyrażenia powstałe przez dodanie sum algebraicznych, znajdujących się w odpowiednich rzędach i kolumnach: * + 2 x2 —3x x3 —x2 + 2x —4 + * —4 x 2 —* + 1 2*3 + x 2 - * - 1 5. Uzupełnij tabelkę, wpisując w wolne miejsca wyrażenia powstałe przez odjęcie sum algebraicznych znajdujących się w I rzędzie (od sum alge­ braicznych znajdujących się w pierwszej kolumnie): 2a —3

a+ 2

—2a 2 —ci -f- 3

—o? —2a -f-1

4a 2 — -7a —4 4 o3 —0 —'1 6. Uzupełnij grafy: +(2*—2)

---------------- -j

-(5y-3y2) ^------------------ +(?/2-8) b) y2 + 2y + 3 7. Opuść nawiasy zgodnie z prawami działać i zredukuj wyrazy podobne: a) (2x - 3) + (3x —4) - (62; + 1) = b) (a:2 —3x - 5) + (2x2 + 4x + 6) + ( - x 2 - x 4- 2) = c) (~V2 - %) - (3j/2 + 2y - 4) - (7y2 + 4) = d) (2,7* - 3,2y + 12,5) - (3,8* - 2,2y + 3,6) + (4,5* + 3) = e) Q * + 3y - 5,5^ - ^ x - 6,5 y + 7,6j + ^ x + \ y ~ 8,8^ = f) (x3 + 2y2 - 1,5) - (3x3 - 4y2 - 5) + (2x3 - 5y2 - 6,5) = 8. Następujące iloczyny przedstaw jako sumę trzech składników: a) 2y\ b) -0,5ai>; c) 15x 2y2; d) 125,3xy. 9. Opuść nawiasy i wykonaj redukcję wyrazów podobnych: a) —(3x + 2) + (Ay — 3x + 4) —22 — b) 5 —(13a + 4b —7) + ^3u —6,55 + —^ + 2a = c) l,2*y —6ą/2

( 3xy + l o |t / 2 - 7,3) - (-5 ,4 + 3,8*2/) = —10 —

d) 15x 2y2 - (6xy + 11» - 5,6x2»2

3| » - x2»2 +

=

e) (3,5a2 - 6,56) + 4 - (1,36 + 4,5a2 - 27) + a2 - 4,46 = f) 6xy 3 + (3,2» - 2,9x) - 5,6 - (9xy3 + 5,8x - 6,3» + 4,4) = 10. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych i oblicz wartość liczbową otrzy­ manych wyrażeń dla a = 1 i 6 = —1: a) (4a —26) - 6a - (76 —8) = c) 5a —(4a2 + 6 - a) + (a2 — 7) = b) 3a - (46 + 18) + 5a + 9 = d) (3a - 66) - (4a + 86) - (9a - 26) = *11. Mając dane wyrażenia: A — - a2 —3a6 + 6 —4; B = 2a + 5a6 —46; C = 2,5a2 —4a —56, oblicz: a ) A + B + C, b) (A + B) - C,

c) A - ( B + C), d) ( A - B ) + C,

e ) B + (C -A ), f) C - (A + B).

12. Wykonaj wskazane działania, a następnie oblicz wartość otrzymanego wyrażenia dla x = —2, y = 4, z = 0,5: a) 4z2 + (3x2 - 4» + 2) + 3z = b) 12x - (4»2 - 82 + 5) - 2y2 = c) 6,5 - (3a; - 7z) + (4z + 0,4y) - 9 =

f) 2 + 5,4z - (7,6z2 - 1,2»2) - 6x + (3»2 - z 2) =

1.5.

MNOŻENIE SUM ALGEBRAICZNYCH

A by pom nożyć sum ę algebraiczną przez jednom ian, należy każdy wyraz tej sum y pom nożyć przez ten jednom ian. (a + 6)-c = o- c + 6- c Np.: bx{4x — 7y + 5,2) = 20a:2 —35xy + 26x (3z - 6o - 8)4a2 = 12a2x - 24a3 - 32a2. A by pom nożyć dw ie sum y algebraiczne, należy każdy wyraz jed­ nej sum y pom nożyć przez każdy wyraz drugiej sum y i otrzym ane iloczyny dodać. (a + b)-(c + d) = a- c + a - d + h- c + b- d -1 1 -

Np.: (3® - 2)(4® + 5) = 12®2 + 15® - 8® - 10 = 12®2 + 7® - 10 (3a - 26 - l)(4o - 36 + 5) = 12a2 - 9«6 + 15a - Sab + 662 - 106 - 4« + 3 6 - 5 = 12o2 - 17a6 + l l a - 76 + 662 - 5. 1. Znajdź pole prostokąta A B C D przedstawionego na rysunku. Wynik zapisz dwoma sposobami. O E C

b

3

2. Wykonaj mnożenia: a) 3 ■(—2®) =

e) (3xy) ■(-2®) • ( - 3 y) =

b) (—ab) • (-26) =

f)

c) (1,3®) • (5y) • 2 =

g) (-5 ) • (-3®) • ( - x 2y) ■(~xy)

d) ( - j P

■Ąa

_ 2 - 6 |.( - 4 ) =

-2,5«) • (4pq) =

3. Wykonaj mnożenia: a) 4(® —2) =

e) l,2(a2 + 56 —2e) =

b) 2,5 • (a - 26 + 3c) =

f) ”

c) —6 (xy + 3y — 4®) =

(—3 + 6xy —8®) =

. g) 4(®3 —2®2 + 3® —4) =

d) - 3 • (2®2 - 4 + 3,5y) 4. Wykonaj mnożenia: a) 5(® - 7y + 4) = b) 3®(® —9y — 11) = c) 10a6(3,4a26 - 2,bab - 9,362 - 8a2) = d) 20az |^1,5a — 4,5z + 8az — - J = e) 3,5®2y(6® —8yz —y2x + 12) = f) 2,4®at/(0,2aj/2 —5x 2y + 15 —10x 2yz) 12-

*g) 3^a6c2^ l i a - 5^6c + 3^a2c - 66 + 4cj =

3 *h) 3 - x 2yz2(x2y + 4x 3ij2 - 2xy 2z - 8 y + 20z - 10) = 5. Wykonaj mnożenia i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych: a) 2a(x + 5y) + 3x(a - 5y) = b) -46(2a - 8j/) + 3y{b - 7 a) = c) (-0 ,4 y - 4)5®2 - 2y(x2 - 6) = d) 76(5 + 3aa:) —(2a —56)26x = e) (4a - 6)5 - (6 + 2a)9 + 7(3a - 46) = f) 12(5a - 2) - 8(6a - 76) + 3(3a - 126) = 6. Uzupełnij grafy: a)

+(®2 — 8 )

■2x

(3x + 5)

__________

•(3y2 —4 , 2 y + l , 4 ) "(l,5y2+ l,25y—6) b) -0 ,5 y 7. Uzupełnij tabelkę, wpisując iloczyny czynników I kolumny pomnożo­ nych przez czynniki I rzędu:

2xy —7

—4a2 + 5a —2

- a 3 —4o6 + 62 —6

-8 2xa ~a2yb 3 y 8. Znajdź pole prostokąta A B C D przedstawionego na rysunku poniżej. Wynik zapisz dwoma sposobami. (Najpierw zapisz pole całego prosto­ kąta, poniżej jako sumę pól czterech prostokątów). D

G

C

H

3

9. Wykonaj mnożenia: a) (2a —3)(4x —7) = b) (6x - y)(4x + 8) = c) (2x + l)(x + 4) = d) (3m —2)(2m —1) = e) (2a + 36) (2a - 56) =

f) g) h) i) j)

10. Wykonaj mnożenia: a) (4z2 - l)(z 2 + 5) = b) {bab2 + 463)(3a63 —4a2) = c) (8a2 —3a6)(3a2 —ab) =

(2o + 3)(5a - 4) = (5p - 3 ę )(4 p - qr) = (3a + 26) (a —6) = (6 -3 c)(8 6 + 5c) = (56 - 4c)(36 —2c) =

d) (7x 3y2 - xy){—2x2y2 + 5xy) — e) (x2 + 2y - 5x)(2x2 - 3y) = f) (a2 — bab + 362)(a2 —2ab) =

*11. Wykonaj mnożenia: a) {ar + 2a2b —bab2 —363)(5a —46) = b) (z3 + 3x 2y - 3xy 2 + 4y3)(2x + 3y) = c) (a4 + 5a3 + 4a2 —3a + l)(a 2 + 2a) = d) (2z4 —3z3 + 2x2 —5x + l)(2x2 —x) — *12. Wykonaj mnożenia wskazane strzałkami (rysunek poniżej):

*13. Uzupełnij tabelkę:

•

(x 2 - 3)

{-2ab + 0,56 - 2,2a)

^2x 3 - 4a 2 + bab - ^

{a — 2x) (0,4x2 - 2a) {ab —4x 2 + 1)

1.6.

DZIAŁANIA NA WYRAŻENIACH ALGEBRAICZNYCH

1. Opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne: a) (3z - 2y + 1) + 2(x + 3y - 2 ) — b) (-3 ) • (—2o + 36 - 4) - 4(a + ^6 - 2) = -1 4 -

c) (4x2 + l,5x - 2) • (-2 ) + (-l,5)(a;2 - 4x - 1) = d) (6ab - 4a - 26 + 1) • (-5 ) - 4,5(a - 2ab + 6 - 4) = 2. Opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne: a) 2a(b — 3a —4) —4b(a + 26 —3,5) + (6a2 + 8o) = b) (—3x)(2x + 4» + 1,8) + (2,5y - 3x - 1) • (~4x) = c)

( x - 4 y ) + ( x - y + 2)(-3 x ) + 3x2 =

d) (mn - 3m + 4n - 2) • ( - 3 m) + 2 m n ( - 4 m + 6) = 3. Opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne: a) b) c) d) e) f)

(5a - 26) • 36 + (2a - 36)(a - 6) = 4x{x + y) + (x2 - xy) ■3 - 5xy = 15a26 - 4a2(b - 7) + (o2 - 1)(6 - 13) = —x(4xy — 5a) + 3y(x2 —1) + x(xy — 5a) = (2a - 1)(6 + 5) - (3a - 5)(6 - 2) + a6 = 4a(x - y) - (x + y) ■2a - (x - a)(2a - y) =

4. Opuść nawiasy. Zredukuj wyrazy podobne. Oblicz wartość otrzyma­ nego wyrażenia: a) 5x(x - 1) + (1 - 2x){x + y) + (2x - 1) • y b) (a - 26)(6 + 1) - 3a(a + 6 - 2) - (7a - 262)

dla x = —1, y — 0 dla a = - 2 , 6 = —1

c) (2x - y){3x + 1) + (x - l)(x + 1) + 3xy

dla x = - 2 , y = \ 1 2 dla a = - , 6 = —1

d) (a - b)(a + 6) - 2(o + 6)(a + 6)

e) (36 + l ) ( 6 - 2 ) + (6 -4 ) (6 + 4 ) - ( 6 - l ) ( 6 - l ) dla 6 - - 2 f) (x - 4y - l)(x - 1) - 4x(x - 3 y + 2 ) - 8y(x -(- 0,5) dla x = - l , y = Oblicz, jeżeli x — a + b , y = a a) x ■x = b) y ■y =

6:

c) x ■y = d) 2x — xy —

e) 5y + 3x — f) —3x - 2xy =

1.7. ROZKŁADANIE SUM ALGEBRAICZNYCH NA CZYNNIKI — WYŁĄCZANIE WSPÓLNEGO CZYNNIKA POZA NAWIAS. GRUPOWANIE WYRAZÓW R ozkładanie sum y algebraicznej na czynniki polega na przekształ­ caniu tej sum y na iloczyn co najmniej dw óch czynników. -1 5 -

u demy tu robie: J ) wyłączając wspólny czynnik przód nawias polega to na wykorzystaniu znam prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania (stosujemy je w drugą stronę): ac + bc — c(a + b) Jeżeli we wszystkich wyrazach sumy występuje ten sam (wspólny) czynnik, to możemy go wyłączyć przed nawias, np.: 20;/r - 8a = 4a(562 - 2), 5.r2y

10x 2y2 + 15xy = 5xy(x - 2xy + 3).

2) grupując wyrazy sumy i wyłączając wspólny czynnik przed nawias: ac —bc + xa —rb = (ac —bc) + (xa —xb) = = c.(a. — b) + x(a — b) = (a —b)(c + x). Wyrazy sumy łączymy w grupy, z których możemy wyłączyć wspólny czyn­ nik przed nawias, a następnie z otrzymanych wyrażeń wyłączamy jeszcze raz wspólny czynnik, który uzyskaliśmy w nawiasach, np.: 3b —3x + xb —x 2 = 3(6 —x) + x(h — x) = (b —x)(3 + x) 5a2b + 10aby —15ax — 30xy — 5ab(a + 2y) - 15.r(n + 2;/) = = (a + 2y)(5ab — 15.;:). 1. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: e) —14z2 - 21 = a) 20a: —40 = f) 120y2 - 30y = b) 16a —8 = g) 40a26 - 166 = c) 24a; —36 = h) 18:c.z3 + 36yz2 = d) —9y + 18 =

i) j) k) 1)

50a62 —n6 = 42pq2 + 35p2q — 8a2b3 - 24o363 = 15xyz3 + 45x 2yz2 =

2. Rozłóż na iloczyny:

a) b) c) d)

ax —ay — mn — n — cd — bc = ab + b —

e) f) g) h)

x4 - x 2 = m x —m — - 2 a - bab — 7ab - 76c =

i) —2m n — 4n — j) mn — n2 =

3. Rozłóż na czynniki, wyłączając wspólny czynnik przed nawias: i) 5xy 2 — 10x 3y 2 = a) 3x2 - 6x2 = e) 7y5 — 21y3 j) 8m2n3 + 10mn2 — \> 9m4 + 6m3 = f) 10a6 + 30a5 k) 18a63 - 964 = c 6^4 —12z6 = g) 3a2x + 6ax2 = l) 3x 3y3 + 15x 2y2 — d) 15a3 + 5a2 = h) 9a4 —12a36 — 4. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: -1 6 -

a) 12x 2y —20x 3y + 16x 2y2 = b) 3ab3 + 6ab2 —18a6 = c) 15x 3y2 + 10x 2y —20x 2yz = d) . 4ax —8ax2 —12ax3 = 5. Rozłóż na czynniki, wyłączając a) a(x + y) + b(x + y) = b) x(a + 3) —y\a + 3) = c) y(x —5) + 2 (x — 5) = d) m(a + 2) —n(a + 2) = * 6.

*7.

8.

9.

* 10 .

e) 40m 2n — 25m n 2 + 30mn = f) 20a62 + 10a363 - 25o6 = g) 18x 2yb —27xa —36ax2 = h) —4a3y —15a462 + 20a364 = wspólny czynnik poza nawias: e) 3a(a —6) + 2b(a — b) = f) 5x(a + z) —4y(a + ź) =

g) 7m(p - 2) + 4n(p - 2) =

h) 8q(p - a) — 3p(p — a) — Rozłóż na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias: a) x(a —b) + y(b — a) = f) 5(x - 3) —a (3 - x) = b) a{m —n) — b(n —m) = g) a(b - 5) + 2(5 - b) = c) 2m(x — 3) —5n(3 —x) = h) p ( p - 1 ) - 4 ( 1 - p ) = d) a2(x —1 ) —5(1 —x) = i) 2a(x + y) - (x + y) = e) 2x(a 2 —b) + 3y(b — a2) = j) (p~Q) + 2a(? ~ p ) = Rozłóż na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias: a) 3a(x —1) —2b(x —1) + c(x —1) = b) x{p - a , ) - y ( p - a ) - z ( a - p ) = c) m(a2 + b2) + n(a2 + b2) —r(a2 + b2) = d) a(m 2 + 1 ) —b(m2 + 1 ) —c(m 2 + 1 ) = e) 3(x + y) + (x + y)2 = f) 4(a - b){a + b) + (a - b) = g) 2 (a - b)2 - (a - b)(a + b) = h) x(a + b + c) —y(a + b + c) + z (a + b + c) = i) (a + 5)3 —a (a + b)2 — j) x + y - ( x + y)2 = Rozłóż na czynniki, grupując odpowiednie wyrazy: a) ax + ay + bx + by = e) a2 + ab + ac + bc = b) ax — ay + bx — by = f) a c + bc + a + b ~ c) xy + x z + y + z = g) x2 - xy - 2x + 2y — d) am + an + m + n h) x2 + xy + ax + ay Rozłóż na czynniki, grupując odpowiednie wyrazy: a) x3 + 3x2 + 3x + 9 = e) 10ay — 5by + 2ax — bx = b) x2 —xy — 2x + 2y — f) 66y —156x —4ay + 10ox = c) m 2 + mn —5m —5n = g) 5a2 —5ax — 7a + 7x — d) o2 —ab — 3a + 36 = h) 4x2 —4xz —3x + 3z = Następujące sumy rozłóż na czynniki, grupując odpowiednie wyrazy: a) ax2 — bx2 — bx + ax — a + b = b) ax2 + bx2 — 6x —ax + a + b = c) ax2 + bx2 + ax — cx2 + 6x —cx = -1 7 -

1(2,3), £ ( 5 ,-1 ), (7(3,-1), £ ( - 5 , 1), £ ( - 2 , - 3 ) , £(4,2), (7(3,—3), £ ( —3,3). Wśród podanych punktów wskaż punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych. 2. Dane są punkty >1(—3,4), B ( 2 ,-2 ), (7(5,—3), £(3,4), £ ( - 1 ,- 4 ) , £(1,0). Do każdego z podanych punktów zaznacz punkt symetryczny względem początku układu współrzędnych. Podaj współrzędne każdego z otrzy­ manych punktów. 3. Dla jakich wartości a i b punkty M i N są symetryczne względem początku układu współrzędnych? a) M (4, - 2 ) i N(a, 2), d) M(2o, - 4 ) i N ( 5, b + 3), b) M (a, 6) i N ( —S,b),

e) M{a - 7,3) i JV

c) M (a + 2,b) i N {4 ,-5 ), 4. Dany jest trójkąt A B C , >1(3,4), B ( —1,1), (7(0, -3 ). Wyznacz trójkąt A 'B 'C ' symetryczny do trójkąta A B C względem początku układu. Podaj współrzędne wierzchołków trójkąta A !B 'C '. 5. Dane są dwa wierzchołki prostokąta £(3, —4) i (7(3,4). Znajdź pozo­ stałe wierzchołki tego prostokąta, jeżeli wiesz, że są one symetryczne do danych wierzchołków względem początku układu współrzędnych. Oblicz obwód i pole tego prostokąta. -4 7 -

j

6. Dane są dwa wierzchołki rombu: A(0, —5) i D{—3,0). Wyznacz jego pozostałe wierzchołki, jeśli wiesz, że są one symetryczne do danych wierzchołków względem początku układu współrzędnych. Oblicz ob­ wód i pole rombu.

111.14. ŚRODEK SYMETRII FIGURY______________________________ Środkiem sym etrii danej figury jest punkt, w zględem którego ta figura jest sym etryczna sam a do siebie. Figura, która ma środek sym etrii, nazywa się figurą środkowosym etryczną. 1. Wypisz wszystkie wielkie, drukowane litery naszego alfabetu, które mają środek symetrii. Wskaż punkt, który jest środkiem symetrii każ­ dej takiej litery. 2. Przerysuj do zeszytu podane figury i zaznacz ich środek symetrii.

'□

0

3. Wypisz cyfry arabskie, które mają środek symetrii. Wskaż punkt, który jest środkiem symetrii takiej cyfry. 4. Napisz dowolną liczbę: a) dwucyfrową, b) trzycyfrową, która będzie miała środek symetrii. Wskaż ten środek symetrii. 5. Wypisz znaki rzymskie, które mają środek symetrii. 6. Za pomocą znaków rzymskich zapisz dowolną liczbę, która będzie miała środek symetrii. 7. Narysuj następujące figury: a) odcinek, d) dwie proste równoległe, b) prostą, e) dwie proste przecinające się, c) półprostą, f) dwa odcinki równe i równoległe. Które z nich mają środek symetrii? Wskaż go. 8. Który z podanych czworokątów ma środek symetrii? a) prostokąt, c) trapez równoramienny, b) kwadrat, d) równoległobok. Zrób odpowiednie rysunki. 9. Narysuj: a) koło, b) półkole, c) wycinek koła. I Która z tych figur ma środek symetrii? 48 -

10. Dane są trzy różne punkty A, B, C. Dorysuj tak czwarty punkt D, żeby figura złożona z tych czterech punktów miała środek symetrii. Rozpatrz różne przypadki. 11. Narysuj figurę złożoną z dwóch okręgów. Rozpatrz różne przypadki wzajemnego położenia tych okręgów. W każdej z narysowanych figur wskaż środek symetrii. Czy każda z takich figur ma środek symetrii? 12. Narysuj trójkąt prostokątny A B C o przeciwprostokątnej AB. Zbuduj trójkąt B C A ' symetryczny do trójkąta A B C względem boku B C i trój­ kąt A C B ' symetryczny do trójkąta A B C względem boku AC. Co mo­ żesz powiedzieć o trójkątach B C A ' i AC B'?

111.15. WIELOKĄTY FOREMNE. ŚRODEK I OSIE SYMETRII WIELOKĄTA FOREMNEGO W ielokąt, który m a w szystkie boki równe i w szystkie kąty równe nazywam y w ielokątem foremnym. Przykłady wielokątów foremnych.

O trójkąt równoboczny

kwadrat

sześciokąt foremny

1. Mając dany odcinek a, zbuduj: a) trójkąt równoboczny (trójkąt foremny), b) kwadrat (czworokąt foremny), c) sześciokąt foremny, *d) ośmiokąt foremny o boku równym danemu odcinkowi a. 2. Oblicz kąty wewnętrzne następujących wielokątów foremnych: a) ośmiokąta, b) dwunastokąta, c) dwudziestokąta. 3. Czy na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij. 4. Czy w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg? Odpowiedź uza­ sadnij . 5. Co możesz powiedzieć o środku okręgu opisanego na wielokącie forem­ nym i wpisanego w ten sam wielokąt foremny? -4 9 -

*6. Na danym okręgu opisz konstrukcyjnie trójkąt równoboczny. 7. Na danym okręgu opisz konstrukcyjnie kwadrat. 8. Oblicz obwód i pole trójkąta równobocznego o boku a — 10 cm. 9. Oblicz obwód i pole sześciokąta foremnego o boku a = 8 cm.

111.16.__ZADANIA KONSTRUKCYJNE Z ZASTOSOWANIEM _______ SYMETRII FIGUR_______________________ _________________ 1. Dany jest odcinek AB , prosta p oraz punkt O nie należący ani do odcinka, ani do prostej. Wykreśl: a) najpierw odcinek A'B' symetryczny do odcinka A B względem pro­ stej p, a następnie odcinek A "B " symetryczny do odcinka A'B' względem punktu O. b) najpierw odcinek A 'B ' symetryczny do odcinka A B względem punktu O, a następnie odcinek A "B " symetryczny do odcinka A 'B ' względem prostej p. Co możesz powiedzieć o otrzymanych odcinkach? 2. Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Wykreśl trójkąty symetryczne do danego trójkąta względem prostych zawierających każdy z boków trójkąta ABC . Wskaż osie symetrii otrzymanej figury. 3. Dany jest kwadrat A B C D . Zbuduj kwadraty symetryczne do danego kwadratu względem prostych zawierających każdy z boków kwadratu. Ile osi symetrii ma powstała figura? Wskaż środek symetrii tej figury. 4. Narysuj trójkąt równoboczny ABC . Punkt O jest punktem przecię­ cia się wysokości tego trójkąta. Znajdź punkty symetryczne do punktu O względem prostych zawierających każdy z boków trójkąta. Nowo powstałe punkty oznacz 0 i , 0 2,03 i połącz je odcinkami. Czy figura złożona z trójkątów A B C i O 1 O 2O 3 ma osie i środek symetrii? 5. Dany jest prostokąt ABC D . Zbuduj prostokąty symetryczne do da­ nego prostokąta względem każdego wierzchołka. Zaznacz środek i osie symetrii figury utworzonej z wszystkich prostokątów. 6. Narysuj kwadrat A B C D . Punkt P jest punktem przecięcia się przekąt­ nych tego kwadratu. Znajdź punkty symetryczne do punktu P wzglę­ dem prostych zawierających boki tego kwadratu. Nowo powstałe punkty połącz odcinkami. Narysuj osie i środek symetrii utworzonej figury. 7. Narysuj trójkąt równoboczny ABC . Punkt S jest punktem przecię­ cia się środkowych tego trójkąta. Znajdź punkty symetryczne do punktu S względem każdego wierzchołka tego trójkąta. Otrzymane punkty po­ łącz kolejno odcinkami. Wskaż środek i osie symetrii otrzymanej figury. -5 0 -

8. Dany jest czworokąt A B C D i punkt A! , który jest symetryczny do punktu A. a) Znajdź punkt, względem którego punkty A i A! są symetryczne i oznacz go literą O. b) Znajdź punkty B ' , C', D' symetryczne do punktów B. C. D wzglę­ dem punktu O. 9. Narysuj trzy okręgi o jednakowych promieniach, nie mające ze sobą punktów wspólnych. Uzupełnij je czwartym okręgiem tak, żeby figura złożona z wszystkich czterech okręgów miała środek symetrii. Czy ta figura ma osie symetrii? 10. W układzie prostokątnym osi współrzędnych zbuduj trapez A B C D taki, że A (—3,0), B {3,0), (7(2,2), D (—2,2). Znajdź współrzędne wierz­ chołków trapezu symetrycznego do danego trapezu względem osi O X . Czy otrzymana figura złożona z dwóch trapezów ma osie i środek sy­ metrii? 11. W układzie prostokątnym osi współrzędnych narysuj równoległobok A B C D taki, że A(0,0), 5(4 ,0 ), (7(5,3), 5(1 ,3 ). a) Znajdź figurę symetryczną do danego równoległoboku wzglę­ dem osi O X i oznacz jej wierzchołki odpowiednio punktami A \ t B i ,C i ,D i , odczytaj współrzędne otrzymanych wierzchołków. b) Znajdź figurę symetryczną do danego równoległoboku wzglę­ dem punktu ( 0 , 0 ) . Oznacz jej wierzchołki odpowiednio literami A 2 , B 2 , (72, D 2 - Odczytaj współrzędne otrzymanych wierzchołków. Co możesz powiedzieć o czworokątach A 1 B 1 C 1 D 1 i A 2 B 2 C 2 D 2 ! 12. W układzie prostokątnym osi współrzędnych narysuj trójkąt A B C taki, że 71(1,2), 5(3 ,1 ), (7(2,4): a) znajdź trójkąt symetryczny do danego trójkąta względem osi O X oznacz jego wierzchołki literami A\, B \, C\. Odczytaj współrzędne otrzymanych wierzchołków. b) znajdź trójkąt symetryczny do danego trójkąta względem osi O Y i oznacz jego wierzchołki literami A 2 , B 2 , (72. Odczytaj współ­ rzędne otrzymanych wierzchołków. Co możesz powiedzieć o trój­ kątach A \B \C i i j4252(72?

-5 1 -

IV .

R Ó W N A N IA

IV.l.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI RÓWNOWAŻNE

Równania (nierówności) nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same zbiory rozwiązań, np.: x+ 5= 7 3x = 6 2x - 1 = 3 x = 2 x = 2 x = 2 Rozwiązywanie równań (nierówności) polega na przekształcaniu ich na coraz prostsze równania (nierówności) równoważne zgodnie z trzema zasadami: I. Każdą stronę równania (nierówności) możemy przekształcić tożsamościowo. II. Do obu stron równania (nierówności) możemy dodać lub od obu stron równania (nierówności) możemy odjąć to samo wyrażenie. III. Obie strony równania (nierówności) możemy pomnożyć, bądź podzie­ lić przez tę samą liczbę różną od zera. Pamiętając, że przy mnożeniu czy dzieleniu obustronnie nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności na przeciwny. 1. Nie rozwiązując równań wskaż, które pary równań są równoważne: s \PV/!C a) 4(x - 2) = 3 i 4x —8 = 3, b)

-x + 3 - x = 4

c)

+ 2= 1

e)

i

4 —3 = x —1 i

3x + 8 = 2,

'

x 4 3 ~ 3 = 5'

i

x — 2x - 2 = 4,

^ 2 f) - x - 3(x + 1) = 4

i - 2 x - 3 = 4,

g)

3x + 2 = 5

i x = 1,

h)

3(;r + 2) — x = 2

i 2x = 4.

2. Nie rozwiązując nierówności wskaż równoważne pary nierówności: -52-

a

L ^ 1 a ) x —3 —4 > - i x > 7 - , e) x(x — 3) > x 2 + 6 i —3x > 6, 1 * * b) - x + 3 < 4 i x ^ 2, *f) (x + 2)2 ^ O i x ź O, 2 cj x —4(x - 1) < 1 i —2x < 1, *g) —( - x ) 2 ^ x2 i x2 ^ 0.

tł) X-J —1 i x + 4 > 0, 3. Sprawdź, które pary równań są równoważne: a)

4(x + 2) = 8

i

5x —1 = —1,

b)

| ( x —3) = 9 X 1 2 +42 =5 4x —5 = 2x + 11

i

4x —10 = 74,

i

3,5(x + 1,5) = 7,

i

4,2 + - - 5 = 2x,

i

x —4 —(2x + 1) = —14.

20

x —5 > —1,

b)

3x < - 1

- x + Ą > 5>

c)

2x + 11 < 3(x —3)

i

4(x + 1) ^ 3x —5,

d)

l-x -8 ^ 7

i

e)

2x —3 > 5x —1

i

- x —5 > —3,5, 6 3(x —2) > x + 4,

f)

^

i

5(x - 1) < -5 5 .

< -4

5. W podanych równaniach w miejsce litery a wstaw taką liczbę, żeby otrzymać pary równań równoważnych: a)

x —3 = 7

i

2x = 5 + a,

b)

2x - a = ^

i

x —a = 2,

c)

3x + 1 = a

i

¿ (x + 2) = !,

d)

2(a - x) = 6 + x

i

3x

-18.

-5 3 -

6. W podanych nierównościach w miejsce litery a wstaw taką liczbę, żeby otrzymać pary nierówności równoważnych. a) 2x < 10 i x — a < 5, i 3x —4 ^ 8, b) x —2a ^ 9 c) 5x —3 < 4x —10 i x —2 > 2x + a + 11 i 5x + 3 ^ 4 - x. d) 6x —a ^ 4

IV.2.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

1. Następujące równania i nierówności rozwiąż w pamięci: a ) x - - = 2x + l,

d)

^ 4,

g) 3® - - 1 5 ,

b) 2x + 3 < x - 2, e) ~x + 2 = - 4 + l ^ x h) - 2 x > 9. c) 3 - x = 2x + 6, f) x < —x, 2. Rozwiąż i sprawdź następujące równania: a) (y - 1) • y - y2 = 2, d) x(x - 2) - (® + l)(x - 3) = 1+ 2®, b) (2x - 5)2x - 4(x2+ 1) = 1, e) {x - 4)(x + 1) + 4(x + 2) = x2- 3, c) (x + l)(x - 1) - 3x = x 2 + 2, f) x + 2 - 3x(x + 1) = - ( \/3 x ) 2. 3. Rozwiąż nierówności i przedstaw ich rozwiązanie na osi liczbowej: a) x +

~ 3 < 2x,

e) x(2x—3)+2x(x —2) < (2x)2+7,

b) 2 - (® - 3) > 0,5x - 1,

f) 5® + 2 - 4(2x - 1 )> -3 ,

c) (x + 1) • x - (x2 + 1) < 1,

g)

\x~

( 4 +

\x) > ~ 2,

,. x - 3 x+1 h) —^ < d) ^ > -1 , 4 " 2 ' 3 4. Rozwiąż następujące równania i nierówności: a) 5x(x - 2) - x(5x - 2) = - 4 , e)

~ (x + !)2 = (1— z )(l + ®),

b) (® - l ) 2 - 3x > x2 - 4,

f) (x + 1) • x - x2 < 4(x - 3),

c) x(2 - x) + (x + 2)(x - 2) = 2,

g) (x - 3)2 - (x + 2)2 > 0,

d) (x - 3)(® + 3) - (x - 2)2 ^ 19, h) (® - 3)(x + 2) + (* - 4)2 = 2x2 + 1. 5. Rozwiąż i sprawdź następujące równania: 2x 5x 3x x 2x = 19, c) T + T y + e ~ y = 13, 4x 5x x —3 = 4 d) y ~ 12 = 1, 3 -54

e) f)

5x 2

5 —z

16x + 1 “ 7 5 1 8 -5 ? 12 ’

g)

1 —9y 5

19 + 3y 8

h)

4t + 33

17 + i 14 '

21

6. Rozwiąż nierówności i przedstaw rozwiązania na osi liczbowej: a) x + ^ >

3X4 —

,

b) x - 2(yX^ ^ < 1 - x,

c)

2x + 2 0

- x j


5a: —3, c) (3a: + 2)(3ar - 2) - (3a; + 4)2 + 6a;(a; - 1) < 2a;(3a: + 5), „ 2(* - 1) + 3(4 - i ) , 5(2a: + 1) —2(3 + 4a;) ^ „ d) ----------- 3----------- + 2 > 3’ e) \ { x + 1) +

- 1) - ^(2x - 9)
0 , *g) (x + 3)2 - 2a:(a: + 3) > 9, *h) 3a:2(a; + 2) - 3(x - l)(a :2 + a; + 1) > 3.

*9. Rozwiąż równania: a) [(3a; - 1) - (2x + l )]2 - x{x - 1) = 0, b) [3x(x2 - x + 2) - 3x3 + 3a;2 + l ]2 - (6a: + 2)(6a:- 2) = 1, c) 3{3[3(3a; - 2) - 2] - 2} - 2 = 1, d) (x + 3)2(a: + 3) + (2x - 5)2 = (x + 2)(a: - 2)(a: + 3) - 2(1 - 5a:2), e) (0,5® - l)(0,5a; + l)4a: + 3a;2 = ( x + !)(* ’+ I)2 + 6.

*10. Rozwiąż i podaj ilustrację geometryczną rozwiązań nierówności: a

3 (x -l)2 2

2(x + 3)2 _ 5(x2 - 8x - 3) 3 < 6

b)

- (* - l)(x + 1 ) > - ^ L , (x —2)(x + 2) (x —3)2 ^ ( x - l ) 2 ^ 2 4 ^ 4 ’ d) x[4(x - 2) - 3(x + 1)] > (x - l)(x + 1) + 23.

IV.3.

ZADANIA TEKSTOWE NA ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ123456789

1. Suma czterech kolejnych liczb całkowitych parzystych wynosi 60. Znajdź te liczby. 2. W składzie pociągu znajdują się cysterny, platformy i wagony towa­ rowe. Cystern było o 4 mniej niż platform i o 8 mniej niż wagonów towarowych. Ile było cystern, platform i wagonów towarowych w skła­ dzie tego pociągu, jeżeli wszystkich wagonów było 57? 3. Iloczyn dwóch liczb, których różnica wynosi 12, jest równy kwadratowi mniejszej z nich, powiększonemu o 4. Co to za liczby? 4. Obwód równoległoboku wynosi 54 cm. Oblicz boki tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że różnica ich długości wynosi 2,2 cm. 5. Ojciec ma 45 lat, a synowie 10 i 8 lat. Po ilu latach ojciec będzie miał tyle lat, co obaj synowie razem? 6. Woda morska zawiera 5% soli. Ile g wody należy dolać do 40 g wody morskiej, żeby otrzymać roztwór o zawartości mniejszej niż 2% soli? 7. Zbiornik o objętości 367 litrów napełniają trzy krany. Przez pierwszy kran wpływa 18,4 litra w ciągu 2 minut, przez drugi 34,2 litra w ciągu 3 minut, a przez trzeci 64,4 litra w ciągu 4 minut. Po ilu minutach zostanie napełniony ten zbiornik? 8. W magazynie było 65 kg sztabek miedzianych, cynkowych i aluminio­ wych. Ile ważyły sztabki każdego rodzaju, jeżeli sztabek miedzianych i aluminiowych razem było o 1 kg więcej niż cynkowych, a miedzianych o 15 kg więcej niż aluminiowych? 9. Na dwóch stacjach końcowych było razem 135 wagonów. W tym samym czasie, gdy z pierwszej stacji na drugą przetoczono 45 wagonów, to ze stacji drugiej na pierwszą przetoczono 36 wagonów i wówczas na -5 6 -

pierwszej stacji było 1,5 raza więcej wagonów niż na stacji drugiej. Ile na początku było wagonów na każdej z tych stacji? 10. Suma cyfr liczby trzycyfrowej podzielnej przez 10 wynosi 9. Znajdź tę liczbę, jeżeli cyfra setek jest o 1 mniejsza od cyfry dziesiątek.

11. Znajdź liczbę dwucyfrową, której suma cyfr wynosi 12, a po przesta­ wieniu cyfr w tej liczbie otrzymasz liczbę o 18 większą od początkowej liczby. 12. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych jest większa o 11 od potrojonego iloczynu dwóch liczb mniejszych od największej. Co to za liczby? 13. W księgarni było 2490 egzemplarzy pewnej książki wydanej w dwóch różnych drukarniach. Ile było sztuk książek wydanych przez każdą dru­ karnię, jeżeli 6,5% książek wydanych w pierwszej drukarni stanowiło tyle co 8,5% książek wydanej w drugiej drukarni? 14. Z przystani A w kierunku przystani B wypłynął statek, który poru­ szał się z prędkością 10 km /h. W cztery godziny później z tej samej miejscowości i w tym samym kierunku wypłynął drugi statek poru­ szający się z prędkością 12 km /h. Oba statki dotarły jednocześnie do miejscowości B. Jaka jest odległość pomiędzy tymi przystaniami? !V.4.

ROZWIĄZYWANIE ROWNAN I NIERÓWNOŚCI Z WZORAMI SKRÓCONEGO MNOŻENIA

1. Rozwiąż równania: e) (x + l ) 2 (x - l)(x + 1) = 6, a) x 2 - (x - 2)2 = 16, f) (x —3)2 - x"2 “ ~ 3, b) 3(x - l ) 2 - 3x(x - 5) = 21, g) (x 0,2)2 = x 2 + 0,44. c) x(x —1) = (x + l ) 2 + 2, d) (x —3)2 = (x — l)(x + 2) —3, 2. Rozwiąż i sprawdź następujące równania: f) 6x2 —6(x + 3)(x —3) + 3x = 39, a) (x —l ) 2 - x 2 — 7, g) 4x2 —4(x -|- 5)2 = 20, b) (x - l)(x + 1) - x 2 = 8x, h) (2 x -7 )(2 x + 7 )+ 5 x = 4x2 + l l , c) 3(x + 2)2 - 3x2 = 18, i) (2x + 3)2 - 4(x2 + 8) = 13, d) 2(x - 4)2 - 2x2 = 16, j) (3x - 2)2 - 3(3x2 - 5) = -5 . e) 5(x + 7)2 - 5x2 = 105, Rozwiąż następujące nierówności i podaj ilustrację geometryczną ich rozwiązania na osi liczbowej: e) 3(x + 8)2 - 3x2 < 16 + 4x, a) (x + 2)2 —x2 > 4, f) 9x2 - 9(x - 2)2 > 36, b) (x —5)2 —x2 < 21, g) 7x2 - 7(x -|- 9)(x —9) < 2x + 561, 4) — x2 < 2x, c) (x + 4)(x d) 2(x - 6)2 2x2 ^ 10 + 7x, h) (x —5)(x + 5) —(x + 3)2 > -4 . -57-

4. Rozwiąż i sprawdź następujące równania: a) b) c) d) e) f) g) h)

(x + 3)2 —(x —2)2 = 95, (x + 5)2 = 48 + (x - l ) 2, (y + l ) 2 + (y - 4)2 = 5 + 2y2, (x + 4)2 - (x + 8)(x - 8) = 96, - ( x - 0,4)(a; + 0,4) + (x - 0,4)2 = -0,08, 3(x + 2)2 + (2x - l ) 2 - 7(x + 3)(x - 3) = 28, 5(x + 3)2 - 5(x - 4)(x + 4) + 12 = 77, (2y - 1)(2y + 1) - (2y - 3)2 + 12y = 38.

5. Rozwiąż następujące nierówności: a) b) c) d)

(x (x (x + (x +

l ) 2 - 7 > x 2 - 6, 2)(x + 2) < - 3 x + 8 + x 2, 5)2 - 35 - x(x - 1) ^ 12, 2)2 - ( x - l ) 2 ^ 21,

e) f) g) h)

(x - l ) 2 + 7 ^ (x + 4)2, x 2 + 2x + (x + 3)(3 - x) < 13, (x - 3)2 > (x - l)(x + 2) + 4, (x - A)(x + 4) - x 2 < 2(x - 3).

*6. Rozwiąż następujące równania: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

(x + 5)2 - (x + 3)(a: - 3) + 56 = -30, -5 (x - 2) - (2x - 3)2 + 4(x - l)(a: + 1) = 18, (3a: - l) 2 + 5(4 - x 2) - {2x - 5)(2a: + 5) = 10, 2(x - 8)(a: + 8) - 7{x2 - 2) + 5(x - 3)2 = -9 , 2x{x + 3) + {x + 4)2 = (x - l)(3x + 2) + 3, (2x - 3)(x + 5) - 2(x + 2)2 = 3x - 3, 4x2 - 2x(x + 5) = 2(x + 3)2 + 4, (3x + 2)(3x - 2) —(3x + 4)2 + 6x(x - 1) = 2x(3x + 5), 3x(2x - 3) - 5(x - l ) 2 - (x + 2)(x - 2) = 0, (4x + l)(4x - 1) - 4(2x - 3)2 + 12 = -2 x , (0,5x —l ) 2 —0,5x(0,5x + 3) = —2x, 5(x + 3)2 - 5(x - 4)(x + 4) - 5(2x + 8) = -15.

*7. Rozwiąż następujące nierówności i podaj ilustrację ich rozwiązania na osi liczbowej: a) b) c) d) e) f) g)

3x(x - 1) + (x + l ) 2 - 5x > (2x - l ) 2, 6x(x2 - x - 1) - (x + l)(x - 1) < (2x + l ) 2 + (6x - l l) x 2, (0,2x —l ) 2 - (l + 0,2x)2 < 1,6, (l,3x + 3)2 - l,69x(x + 5) + 0,75 ^ 0, 2,5x(3x - 2) - (0,5x + l ) 2 - 8x < 7,25x2 + 6, (1 + 6x)2 + (2 + 8x)2 > (1 + 10x)2, 7(6x - 1) - 2(x + 3)2 < 3(x + 2)2 - 5(x - l ) 2.

-5 8 -

IV.5.

ZASTOSOWANIE WZORÓW SKRÓCONEGO MNOŻENIA W ZADANIACH TEKSTOWYCH____________________________

1. Iloczyn dwóch liczb różniących się o 2 jest równy kwadratowi liczby większej. Jakie to liczby? 2. Jeżeli od kwadratu pewnej liczby odejmiemy kwadrat sumy tej liczby i liczby 3, to otrzymamy 27. Jaka to liczba? 3. Jeżeli bok kwadratu zwiększymy o 2 cm, to pole powierzchni tego kwa­ dratu powiększy się o 28 cm2. Oblicz długość boku tego kwadratu. 4. Jeżeli bok kwadratu zmniejszymy o 5 cm, to pole tego kwadratu zmniej­ szy się o 135 cm2. Oblicz długość boku tego kwadratu. 5. Jeden z boków trójkąta jest o 2 cm większy, a drugi o 5 cm większy od boku najmniejszego. Oblicz boki tego trójkąta, jeżeli kwadrat boku średniego jest równy iloczynowi długości boków pozostałych. 6. Dany jest kwadrat i prostokąt o równych polach oraz odcinek x. Oblicz długość odcinka x oraz obwody tych czworokątów, jeżeli wiesz, że bok kwadratu jest o 2 cm krótszy, jeden bok prostokąta o 6 cm dłuższy, a drugi o 6 cm krótszy od długości danego odcinka x. 7 . Jeżeli promień koła zwiększymy o 4 cm, to pole tego koła powiększy się o 1607T cm2. Oblicz promień tego koła. *8. Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych zwiększony o 1 jest równy kwadratowi liczby nieparzystej zawartej między tymi liczbami. Wskazówka: liczbę parzystą oznacz przez 2n. 9. Wykazać, że kwadrat liczby parzystej jest iloczynem jej sąsiednich liczb nieparzystych, zwiększonym o 1. Wskazówka: liczbę parzystą oznacz przez 2n. 10. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 28 cm, różnica pomiędzy długością przeciwprostokątnej i drugiej przyprostokątnej wynosi 2 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. 11. Oblicz pole prostokąta, w którym długość dłuższego boku wynosi 15 cm, a przekątna tego prostokąta jest o 9 cm dłuższa od krótszego boku. 12 . W trójkącie równoramiennym podstawa ma 8 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta, jeżeli jego ramię jest o 1 cm dłuższe od wysokości. 13. W trapezie równoramiennym A B C D podstawa \AB\ = 26 cm, \DC\ = 10 cm. Oblicz obwód i pole tego trapezu, jeżeli jego ramię jest o 4 cm dłuższe od wysokości. 14. Oblicz bok, obwód i pole rombu, w którym dłuższa przekątna wynosi 8 cm, a bok rombu jest o 2 cm dłuższy od połowy krótszej przekątnej. -59-

V.

U K Ł A D Y R Ó W N A Ń P IER W S ZEG O S T O P N IA Z D W IE M A N IE W IA D O M Y M I

V .l.

RÓWNANIE I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI. ZBIÓR ROZWIĄZAŃ I INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Równanie, w którym występują dwie niewiadome w potędze pierwszej, na­ zywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, np.: x + y — 7,

5x —y = 1,

2x + 3y = 12.

R ozw iązaniem ró w n an ia pierw szego sto p n ia z dw iem a niew iado­ m ym i je s t zbiór p a r liczb sp e łn ia ją c y ch to rów nanie. Pary liczb ( x , y ) przedstawione w poniższej tabelce spełniają równanie y + x = 5 (tj. V = ~ x + 5), czyli należą do zbioru rozwiązań tego równania. X

y

-i 6

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

5 0

6 -1

Ogólnie zbiór rozwiązań możemy zapisać: { ( x , y ) : y = - x + 5,

i,y e R }

Każda taka uporządkowana para liczb wyznacza na płaszczyźnie jednoznacznie punkt.

Zbiór p u n k tó w , k tó ry c h w sp ó łrzęd n e s p e łn ia ją ró w n an ie p ierw ­ szego sto p n ia z dw iem a niew iadom ym i, je s t p ro stą . Ilu s tra c ją g eo m e try c z n ą rozw iązania ró w n an ia pierw szego sto p n ia z dw iem a niew iadom ym i w zbiorze liczb rzeczyw istych je s t p ro sta . 1. Znajdź po kilka par liczb, które należą do zbioru rozwiązań następu­ jących równań: a) x + 2y = 4,

b) 2x — 5y = —7, -6 0 -

2

c) - x + 2>y = 3, 5

d) x - \ y = ~ 10.

f)

\* + T = \v .

e) 0,5x - 2,5y = 6,

¿

^

- 1

h) 2 (x + 3y) = 20.

,

2. Podaj po kilka rozwiązań poniższych równań w zbiorze liczb całkowi­ tych (pary spełniające równania należą do zbioru liczb całkowitych). a) x + y = 9,

d) 3,2x + 0,8y = 10,

b) x - 4y = -1 5 ,

e)

c) 3x + 5y = - 4 ,

f) 4 ^ - 3 =

2x ~ \ y

=

d

27

,,~ * .

5>

2y'

3. Spośród podanych poniżej par liczb wybierz te, które należą do zbioru rozwiązań danego równania: a) 3x + y = 7;

(2,5), (-1 ,1 0 ), Q , 6 0 ;

b) c) « d)

(3,3), (0 ,-5 ), (6 ,-3 ); (4,0), (-1 ,4 ;-5 ,5 ), (6,9);

—2x - y = -9 ; 5x — 2y = 18; 1 1 2>x + 1y = 5;

( - 9 ,- 1 0 ) , (12,5), (-2 ; 3,5)

4. Ojciec i syn mają razem 46 lat. Napisz równanie i odpowiedz: a) Ile lat ma każdy z nich? b) Znajdź kilka rozwiązań tego zadania, c) Czy można w tym zadaniu podać jednoznaczną odpowiedź? 5. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 7. Zapisz odpowiednie równanie. Znajdź te liczby. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. 6. Rzucamy dwiema różnokolorowymi kostkami sześciennymi. W wyniku rzutu różnica oczek na tych kostkach wynosi 3. Ułóż odpowiednie rów­ nanie. Ile oczek mogło wypaść na każdej kostce? 7. Znajdź dwie liczby, których suma jest 3 razy większa od ich różnicy. 8. Kwotę 50 zł wypłacono banknotami po 10 zł i monetami po 5 zł. Ile było banknotów i monet? Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. 9. Suma pól dwóch prostokątów wynosi 32 cm2. Dłuższe boki tych pro­ stokątów wynoszą odpowiednio: 12 cm i 8 cm. Oblicz krótsze boki tych prostokątów, jeżeli ich długości wyrażają się liczbami naturalnymi.

10. Pole trapezu o wysokości 10 cm wynosi 45 cm2. Jakie mogą być dłu­ gości podstaw tego trapezu, jeżeli są one liczbami całkowitymi?

11. Obwód prostokąta wynosi 20 cm. Podaj długości boków tego prosto­ kąta, jeżeli wyrażają się one liczbami naturalnymi.

12. Suma pól dwóch równoległoboków wynosi 15 cm2. Oblicz wysokości tych równoległoboków, jeżeli długości podstaw są odpowiednio równe 3 cm i 2 cm. Długości wysokości wyrażają się liczbami naturalnymi. -6 1 -

V.2.

UKŁADY DWÓCH RÓWNAŃ I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI. RÓWNOWAŻNOŚĆ UKŁADÓW RÓWNAŃ

Dwa równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi tworzą tzw. u k ład rów nań liniowych. Np. 3a; + 2y = 4 3a; —Zy — 5 Rozwiązać układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi to znaczy znaleźć zbiór jego rozwiązań. Rozwiązanie układu równań liniowych polega: na znalezieniu zbioru par liczb, które spełniają każde z równań, bądź na wykazaniu, że takie pary nie istnieją. Rozwiązaniem układu równań może być zatem: a) jedna para liczb — układ równań niezależnych (oznaczony), b) nieskoiiczenie wiele par liczb — układ równań zależnych (nieoznaczony). c) brak par liczb — układ równań sprzecznych (sprzeczny). Rozwiązywanie układu równań liniowych polega na przekształcaniu go na układy równoważne. Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań. Przekształcania układów równań na układy równoważne doko­ nujemy w oparciu o następujące twierdzenia o układach równoważnych: I. Jeżeli jeden układ równań jest równoważny drugiemu, a drugi trze­ ciemu, to pierwszy jest równoważny trzeciemu. II. Jeżeli jedno lub obu l ównania danego układu zastąpimy równaniami równoważnymi, to otrzymany układ jest równoważny danemu. III. Jeżeli w jednym z równań danego układu jedną z niewiadomych zastą­ pimy wyrażeniem równym tej niewiadomej, otrzymanym z drugiego równania, to nowy układ będzie równoważny danemu. Przykłady układów równań równoważnych:

{

3 2: — 3 = 4 y + 1 5y — 5 = x + 4

3x — 4y = 4 5y —x = 9

1. Zbadaj, które z podanych układów równań są równoważne:

-6 2 -

_______

P _ Q_ _ i b)

c)

? + ^ = 8 4 3 x - 2 (x + y) = 3 2x —y = 4

d)

2X ~ V = 4

e) 0 g)

I x:r —4- y(2a;= —5 i/) = 5 ( xx ++ yy = 22 ( x —3 y += 23 ( 2x2 + y = 4y

i 3p —2q = 6 \ 3p + 8 q = 96 i - x - 2y = 3 \ y = 2x + 4 i x —2y = 8 | 3a: + y = 5 f a: - y = 5 \ y = 2 - a:

f 3(x + y) = 6 \ x - y -2 \y = \ y = 4 + 2x

2. Dany jest układ równań liniowych: fx - y = 3 \x+ y=2 Który z podanych poniżej układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równoważny danemu układowi? ( y - X = - 3 x = 3+ y ( x = 3+ y a) e) \a r + 2/ = 2 c) 3 + y + y = 2 )x-2= y x —y = 6 iy=x - 3 b) \ x + {x — 3) = 2 d) x + y = 2 3. Dany jest układ równań liniowych: (x +y = 3 \ 2x —y = 5 W poniższych układach równań liniowych w miejsce liter a i 6 wstaw liczby, by otrzymać układ równoważny danemu: ( a x - y = -3 i * + ?/= 3 '\ 2 a ; : = 2 / + 5 ^ \ 2/ = bx - 5y

V.3.

METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ I STOPNIA Z DWIEMA NIEWIADOMYMI. ILUSTRACJA GEOMETRYCZNA

Sposoby rozw iązyw ania układów rów nań. -6 3 -

Metoda podstawiania: 2x + y = 7 3x - 2 y = 7 y — 7 - 2x 3x - 2(7 - 2x) = 7 y = 7 — 2x 1 to

II

- nI

3x — 14 + 4x = 7

7x = 21 a: = 3

Metoda przeciwnych współczynników: 1f 2x + y = 7 / • 2 I[ 3x - 2y = 7 1f 4x + 2y = 14 + |[ 3x —2y = 7 7x = 21 x = 3 fx = 3 1[ y = 7 - 2x 1f x = 3 l» = 7 - 6

y = 7 - 2x x = 3; y = 1 x = y= 1 Ilu s tra c ja g eo m e try c z n a rozw iązania uk ład ó w ró w n ań liniow ych. a) układ równań niezależnych

22/ = 5 y=2

(1, 2), (3, 1),

czyli

(0 ,-2 ), (2,0).

Ilu s tra c ją g eo m e try c z n ą rozw iązania u k ła d u ró w n ań niezależnych są dw ie p ro ste p rze c in a ją ce się. b) układ równań zależnych: ( 2x — y — A ,. ( y = 2x — 4 (0 ,-4 ), (2,0), , czyli * _ 2x - 4 (0 ,-4 ), (2,0). 4x - 2y — 8

Ilu s tra c ją g eo m e try c z n ą rozw iązania u k ła d u ró w n ań zależnych są dw ie p ro ste p o k ry w ające się. c) układ sprzeczny: 2 /= 3 y =

-1

r , v li / y = 3 “ x

(0 ,3 ), (3 ,0 ),

CZyl1 \ y = - 1 - z

( 0 ,- 1 ) , ( - 1 ,0 ) -

64 -

Ilu s tra c ją g e o m e try c z n ą rozw iązania u k ła d u sprzecznego są dwie p ro ste rów noległe.

a)

[ x + 3y = 12

| x + 2y = 6 I x- y=3

b) 1 2x — y = 3

g)

|y = 8+x

e) |

I 3x + 2y = 4

J 2x — 5y = 6

f y = 3x — 2

| 3x —4y = 2

h) 1 t/ = 2x + 3

3x = y —6 7x - y + 17 = 0

[ 3t/ + 5x = 0

j y —2x = 6 d)

2 x —y — 3

c) |

f) 1 5x + 6 y = 8 x+y=5 i)

2x = 5 - 2y

2. Rozwiąż metodą podstawiania: a)

d)

\ x + 2y = -1

x + 2 y —8 = 0

b)

e)
0, to punkty A i A' leżą na prostej O A po tej samej stronie punktu O. jeśli k < 0, to punkty A i A' leżą na prostej O A po przeciwnych stronach punktu O. Jeśli k = 1, to punkt A — A'. jeśli k = - 1 , to punkty A i A' są symetryczne względem początku układu.

1. Dane są punkty A (—2,1), 13(2,5), (7(3,0), D (—4,2), 0(0,5). Znajdź punkty jednokładne do danych względem punktu 0(0,0), jeżeli k = 2. 2. Które z podanych punktów są jednokładne względem punktu 0(0,0)? ¿ ( - 3 ,2 ) ; 5 ( 1 ,-5 ) ; 0(1,0); D (-6 ,4 ); 0 ( 3 ,- 2 ) ; F f f ( - l ,2 ) ; J (-2 ,3 ); J(-3 ,6 ). 3. Czy punkty: a) M (—5,2) i N nokładne względem początku układu? Odpowiedź uzasadnij. W przy­ padku punktów jednokładnych podaj skalę jednokładności. 4. Wierzchołki czworokąta A B C D m ają współrzędne A{—1,0), 13(2,1), (7(3,2), 13(1,3). Znajdź czworokąt jednokładny do danego względem punktu 0(0,0) w skali k = 2. Podaj współrzędne wierzchołków otrzy­ manego czworokąta. 5. Wierzchołki czworokąta E F G H mają współrzędne E {—2, —1), F( 1,0),