Hydrodynamique: Problèmes corrigés 9782759809103

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HYDRODYNAMIQUE Problèmes corrigés

Stéphane Leblanc Préface de Luc Petit

Collection dirigée par Fabrice Mortessagne

17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture : photographie et copyright Graham Jeffery (2007). http://sensitivelight.com/smoke2/

Imprimé en France

ISBN : 978-2-7598-0525-9 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. c 2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,  91944 Les Ulis Cedex A

À Clara et Lilian

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TABLE DES MATIÈRES

Préface

vii

Avant-Propos

ix

1

. . . . . . . .

1 3 8 14 19 23 28 32 38

. . . . . . . .

47 48 54 58 62 68 71 77 84

2

Écoulements laminaires 1.1 Écoulement cisaillé autour d’un cylindre . 1.2 Oscillations radiales et collapse d’une bulle 1.3 Mouvement d’une sphère de rayon variable 1.4 Fluide entraîné par une plaque en rotation 1.5 Étirement et diffusion d’un tourbillon . . . 1.6 Vagues à la surface d’un fluide visqueux . . 1.7 Étalement d’un liquide sur une plaque . . . 1.8 Sédimentation d’une micro-particule . . . . Croissance des vagues et instabilités 2.1 Propagation et amplification d’un tsunami 2.2 Critère bidimensionnel de Rayleigh . . . . 2.3 Instabilité barocline d’un fluide stratifié . . 2.4 Instabilité d’un cisaillement tournant . . . 2.5 Stabilité globale d’une rotation uniforme . 2.6 Instabilité d’un écoulement elliptique . . . 2.7 Film visqueux tombant sur un plan incliné 2.8 Génération des vagues par le vent . . . . .

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Appendice A : Équations du mouvement 93 A.1 Équations d’Euler et de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 93 A.2 Équations en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . 95

Hydrodynamique

A.3 A.4

Équations en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . 95 Équations en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . 96

Appendice B : Calcul tensoriel 99 B.1 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 B.2 Quelques identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi

PRÉFACE

La publication d’un ouvrage d’enseignement est toujours une bonne nouvelle pour les professionnels de ce domaine. Et lorsqu’il s’agit d’un ouvrage d’hydrodynamique, l’événement revêt un caractère particulièrement heureux pour les spécialistes du sujet. C’est donc avec grand intérêt que j’ai découvert l’ouvrage Hydrodynamique : problèmes corrigés écrit par Stéphane Leblanc. L’expérience d’enseignement de l’auteur dans ce domaine transparaît fort bien à travers la rédaction des solutions des problèmes avec le souci constant d’analyser les phénomènes et de « faire parler les équations » de l’hydrodynamique dont la richesse ne permet pas toujours d’en saisir tout le contenu physique sans une aide. C’est bien là l’un des intérêts de l’ouvrage. Les indications et ouvertures données à la fin de chaque problème dans les rubriques « Pour en savoir plus » sont aussi les bienvenues et soulignent les applications sous-jacentes des problèmes traités dont le caractère académique (au sens « fondamental » du terme) ne les rend pas directement explicites. Je souhaite donc grand succès et longue vie à cet ouvrage. Luc Petit, Professeur des universités

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AVANT-PROPOS

Ce recueil de problèmes corrigés d’Hydrodynamique est principalement destiné aux étudiants de troisième année de licence ou première et deuxième années de master à l’université, dans des cursus de mécanique, mathématiques ou physique, ainsi qu’aux élèves d’écoles d’ingénieurs. Il a pour objectif de venir compléter les ouvrages publiés par mes confrères en proposant des sujets variés et originaux qui, je l’espère, satisferont la curiosité du plus grand nombre. Les seize problèmes présentés sont académiques et leur résolution peut être menée à terme soit de manière exacte soit de manière approchée à l’aide de méthodes de perturbations. L’étudiant doit posséder une bonne connaissance en hydrodynamique des fluides incompressibles, doit savoir manipuler les opérateurs différentiels (gradient, divergence, rotationnel, laplacien) et connaître de préférence quelques rudiments d’algèbre tensorielle ; quelques rappels sont fournis en annexe si besoin est. Les problèmes ne nécessitent en revanche pas de connaissances particulières en méthodes asymptotiques ou en stabilité hydrodynamique. La Mécanique des fluides est une discipline complexe mais passionnante, à cheval entre Mathématiques appliquées et Physique. Mon objectif premier au cours des dix années passées en tant qu’enseignant à l’Université de Toulon fut de « faire parler » les équations de l’hydrodynamique — équations d’Euler et de Navier-Stokes. Le présent recueil est écrit dans cette philosophie : faire parler les équations afin d’expliquer rationnellement des phénomènes que l’on peut aisément observer, comme l’étalement d’une couche de fluide sous l’effet de son propre poids, la formation de vaguelettes à la surface d’un liquide s’écoulant sur un plan incliné, ou encore l’amplification des vagues à la surface de la mer. Certains de ces problèmes permettront également aux étudiants de s’initier à des thématiques de recherche toujours d’actualité, comme l’instabilité d’un écoulement elliptique ou la sonoluminescence. Une courte bibliographie, délibérément sélective, est jointe à la fin de chaque corrigé. Chacune d’entre elles renvoie soit aux articles originaux lorsque leur

Hydrodynamique

publication est postérieure au début de « l’ère JFM » — le Journal of Fluid Mechanics fut fondé par G.K. Batchelor en 1956 — soit à des monographies ou des articles de synthèse récents. Ceci permettra au lecteur d’approfondir le problème traité s’il le désire. Je souhaite dédier ce livre à tous ceux qui m’ont transmis leur passion pour la mécanique des fluides, tout particulièrement Jean-Pierre Guiraud à l’Université Pierre et Marie Curie. Je remercie chaleureusement Fabrice Mortessagne d’avoir soutenu ce projet et Luc Petit d’avoir accepté de le préfacer. Enfin, un grand merci à France Citrini et l’équipe éditoriale d’EDP Sciences pour la mise en page et la publication de cet ouvrage. La Garde, Mai 2010

x

1 ÉCOULEMENTS LAMINAIRES

Dans des conditions usuelles, les équations régissant le mouvement des fluides les plus courants comme l’air et l’eau, c’est-àdire les fluides « newtoniens », sont les équations établies par Navier et Stokes au cours du xixe siècle. Du point de vue mathématique, ces équations présentent une structure compliquée due à la présence conjointe d’un terme non-linéaire (l’accélération), d’un terme non-local (la pression en incompressible), et d’un terme de diffusion (la viscosité). Les propriétés mathématiques de ces équations font d’ailleurs encore l’objet de recherches actives pour prouver l’existence, l’unicité et la régularité des solutions(1) . Cependant, les physiciens et les ingénieurs n’ont pas attendu les mathématiciens pour obtenir dans de nombreuses situations des solutions exactes ou approchées. Certes, en raison de la complexité des équations de Navier-Stokes, les solutions exactes sont rares et limitées à des configurations relativement simples, comme les célèbres écoulements de Poiseuille dans une conduite ou de CouetteTaylor entre deux cylindres, écoulements décrits dans tous les cours d’Hydrodynamique ; deux autres types d’écoulement donnant lieu à des solutions exactes sont présentés dans les problèmes 1.4 et 1.5. Dans des configurations plus compliquées, comme en présence d’obstacles, les solutions exactes ne sont pas à l’heure actuelle accessibles à l’analyse et nécessitent l’utilisation de coûteux calculs sur de puissants ordinateurs. Néanmoins, des solutions peuvent être obtenues en effectuant des hypothèses supplémentaires. La plus importante et la plus répandue d’entre elles consiste à négliger les effets visqueux : le fluide est dit « parfait » et les équations sont alors celles obtenues par Euler en 1755. Les problèmes 1.1 et 1.2 sont résolus en fluide parfait. Si de plus le fluide (1)

À l’instar des célèbres problèmes de Hilbert en 1900, l’institut Clay a proposé en 2000 une liste de sept problèmes ouverts faisant l’objet d’une récompense d’un million de dollars chacun ! L’un porte sur les équations de Navier-Stokes. À vos crayons ! www.claymath.org/millennium/

Chapitre 1. Écoulements laminaires

est supposé irrotationnel, alors l’écoulement est dit « potentiel » et le problème mathématique se ramène alors à une équation de Laplace ; historiquement, c’est d’ailleurs en analogie avec l’électrostatique que les célèbres écoulements potentiels autour d’un cylindre ou d’une sphère furent obtenus. Le problème 1.3 en propose une illustration. Une autre alternative pour obtenir des solutions approchées consiste à linéariser les équations de Navier-Stokes, soit en considérant que les mouvements sont de faible amplitude comme pour les vagues (problème I.6), soit en supposant que les effets de viscosité jouent un rôle prépondérant dans la dynamique ; ceci peut se produire dans des couches de fluide de faible épaisseur (problème 1.7) ou dans des écoulements où les effets visqueux dominent sur les effets d’inertie ; c’est l’approximation utilisée par Stokes en 1851 pour calculer la célèbre formule de la force de résistance à l’avancement d’une sphère dans un fluide très visqueux. Cela fait l’objet du problème 1.8. La simplicité de la formule de Stokes fera oublier les efforts produits ! Références générales Voici quelques références bibliographiques sur la dynamique des fluides. Cette sélection non exhaustive reste bien entendu subjective. L’un des meilleurs ouvrages actuels sur la dynamique des fluides incompressibles est (en français de surcroît, profitons-en !) : É. Guyon, J.-P. Hulin & L. Petit : Hydrodynamique physique (2de édition), EDP Sciences/CNRS Éditions (2001). En français également, citons également l’incontournable : L. Landau & E. Lifchitz : Mécanique des fluides (2de édition), Mir (1989). Quoique plus difficile d’accès et plus aride, ce livre reste néanmoins une véritable mine d’or. La mécanique des fluides moderne a été très influencée par les recherches de Taylor et Batchelor à Cambridge en Angleterre ; un excellent ouvrage est bien sûr : G. K. Batchelor : An introduction to fluid dynamics, Cambridge (1967). Malheureusement non publié par un éditeur scientifique, je recommande également l’excellent cours d’un des disciples de Batchelor : H. K. Moffatt : Fluid dynamics, École Polytechnique (1994).

2

1.1. Écoulement cisaillé autour d’un cylindre

1.1. Écoulement cisaillé autour d’un cylindre Ce problème consiste en l’étude d’un écoulement cisaillé autour d’un cylindre immobile dont l’axe est perpendiculaire au plan de l’écoulement. L’objectif est de déterminer la force exercée par le fluide sur le cylindre. On supposera dans tout le problème que le fluide est parfait et incompressible, et que l’écoulement est stationnaire et bidimensionnel dans le plan (O; x, y). On négligera dans tout le problème l’effet de la pesanteur.

y

U O

R x

En définissant (ex , ey ) ou (e1 , e2 ) les vecteurs de base des coordonnées cartésiennes et (er , eθ ) ceux des coordonnées polaires, le vecteur position d’un point dans le plan sera défini par : x = xex + yey = x1e1 + x2e2 = rer . On notera u(x) = ux (x, y)ex + uy (x, y)ey = ur (r, θ)er + uθ (r, θ)eθ , le vecteur vitesse, p(x) la pression et ρ la masse volumique du fluide.

Partie I. Considérations générales 1. Rappelez les équations du mouvement du fluide. 2. On suppose que l’écoulement est bidimensionnel, stationnaire, et que sa vorticité rot u = ωez est constante dans tout l’écoulement. Soit ψ(x, y) la fonction de courant de l’écoulement définie en coordonnées cartésiennes par les relations : ux = ∂ψ/∂y, uy = −∂ψ/∂x. Montrez que l’accélération dérive d’un potentiel. On rappelle que :  u = (rot u) ∧ u + ∇(  1 u2 ). (u · ∇) 2 3. Déduisez-en que ρωψ + 12 ρu2 + p est constant dans l’écoulement. 3

Chapitre 1. Écoulements laminaires

4. On suppose qu’un obstacle de surface Σ et de normale n se trouve dans l’écoulement décrit dans la question précédente. Montrez que la force exercée par le fluide sur l’obstacle est donnée par :  ρ u2ndS. F = 2 Σ

Partie II. Description de l’écoulement 1. Soit le champ de vitesse donné par  (y) = (V + Sy)ex , U avec V et S des constantes. Calculez sa vorticité. 2. On place dans cet écoulement un cylindre circulaire d’axe (Oz), de longueur L et de rayon R, et on cherche à déterminer les modifications dues à la présence du cylindre. Pour cela, on recherche la vitesse sous la forme  + ∇ϕ,  u = U  où ϕ(x) est une fonction telle que ∇ϕ → 0 quand x → +∞. Calculez la vorticité de l’écoulement et montrez que Δϕ = 0. 3. Montrez que la condition limite sur la surface Σ du cylindre s’écrit : (∂ϕ/∂r)|Σ = −V cos θ − 12 SR sin 2θ. 4. Calculez le laplacien de ϕ = Γ θ/2π et ϕ = A ln r, où Γ et A sont des constantes. 5. Montrez sans calcul que la fonction suivante satisfait Δϕ = 0 : ϕ=

∂ ∂2 Γθ + A ln r + Bi ln r + Cij ln r. 2π ∂xi ∂xi ∂xj

Ici, Bi (i = 1, 2) sont les composantes dans la base (e1 , e2 ) d’un vecteur ¯  et Cij (i, j = 1, 2) celles d’un tenseur constant C. constant B 6. En coordonnées polaires on peut montrer (voir annexe) que la fonction ϕ obtenue à la question précédente s’exprime sous la forme : 1 Γθ + A ln r + (B1 cos θ + B2 sin θ) 2π r 1 − 2 ((C11 − C22 ) cos 2θ + 2C12 sin 2θ). r = C22 et déterminez A, B1 , B2 et C12 .

ϕ=

Montrez que C11 4

1.1. Écoulement cisaillé autour d’un cylindre

7. Déterminez les composantes ur et uθ du champ de vitesse complet de l’écou + ∇ϕ).  lement autour du cylindre (on rappelle que u = U

Partie III. Force exercée sur le cylindre 1. Montrez, en explicitant les constantes Kn , que : (u2θ )|Σ =

4 

Kn sinn θ.

n=0

2. En utilisant le résultat de la question I.4, montrez que la composante Fx de la force exercée par le fluide sur le cylindre est nulle. 3. Déterminez la composante Fy . Discutez ce résultat. On rappelle que : 2π

2π

n

sin θdθ = 0 (n impair), 0

2π sin θdθ = π,

sin4 θdθ =

2

0

0

3π . 4

Annexe 1. Soit la fonction f (r) avec r = x. Montrez que : xi ∂ f (r) = f  (r), ∂xi r

∂2 1 ln r = 2 ∂xi ∂xj r



2xi xj δij − r2

 .

2. Déduisez-en que l’expression de ϕ donnée à la question II.6 s’obtient à partir de celle donnée en II.5.

Partie I 1. En l’absence de forces volumiques, les équations du mouvement d’un fluide parfait incompressible sont les équations d’Euler :  u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = 0, div u = 0.  u, soit : 2. L’écoulement étant stationnaire, l’accélération du fluide est (u · ∇)  1 u2 ).  u = (rot u) ∧ u + ∇(  1 u2 ) = ωez ∧ u + ∇( (u · ∇) 2 2 5

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Or, l’écoulement étant bidimensionnel et incompressible, il existe une fonction ψ(x, y) telle que : u = (∂ψ/∂y)ex −(∂ψ/∂x)ey . Par conséquent :  ez ∧ u = (∂ψ/∂x)ex + (∂ψ/∂y)ey = ∇ψ. Puisque ω est supposé constant, on en déduit que :  = ∇(ωψ),  (rot u) ∧ u = ω ∇ψ et l’accélération dérive d’un potentiel :  u = ∇(ωψ  (u · ∇) + 12 u2 ). 3. D’après les équations d’Euler, il en résulte que ρωψ + 12 ρu2 + p = C, où C est une constante pure indépendante du temps par stationnarité. 4. La force  exercée par le fluide sur un obstacle est, en fluide parfait : F = − Σ pndS. Or, d’après le résultat de la question précédente,    ρ ψndS + u2 ndS − C ndS. F = ρω 2 Σ

Σ

Σ

La dernière intégrale s’annule d’après le théorème d’Ostrogradsky. La première s’annule pour la même raison. En effet, même si la fonction de courant ψ dépend de la position, elle est par définition constante le long des lignes de courant d’un écoulement stationnaire. Or, dans un fluide parfait, la paroi imperméable d’un obstacle est elle même une ligne de courant puisque la vitesse y est tangente car u|Σ · n = 0. Donc ψ est constante sur Σ et sort de la première intégrale qui s’annule !

Partie II  = −Sez . 1. rot U  + ∇ϕ)   = 0. 2. rot u = rot (U = −Sez également car rot ∇ϕ La condition d’incompressibilité s’écrit div u = 0 = Δϕ. 3. Sur Σ, la condition de glissement 0 = u|Σ · n devient :  + ∇ϕ)  | · er = (V + SR sin θ) cos θ + (∂ϕ/∂r)| , 0 = (U Σ Σ d’où le résultat. 6

1.1. Écoulement cisaillé autour d’un cylindre

4. Le laplacien en coordonnées polaires étant   ∂ϕ 1 ∂2ϕ 1 ∂ r + 2 2, Δϕ = r ∂r ∂r r ∂θ les deux fonctions ϕ = Γ θ/2π et ϕ = A ln r sont harmoniques, c’est-àdire telles que Δϕ = 0.  ln r = 0 = Δ∇  ln r et, par combinaison li5. Puisque Δ ln r = 0, alors ∇Δ    néaire, Δ(B· ∇ ln r) = 0 pour tout vecteur B constant. Donc Bi (ln r),i est harmonique. Par itération, il en est de même pour Cij (ln r),ij , le tenseur Cij étant symétrique pour assurer la commutation des dérivées. Enfin, le laplacien étant un opérateur linéaire, la somme de toutes ces fonctions harmoniques l’est également. 6. En explicitant la condition limite exprimée à la question II.3 et en identifiant les coefficients des termes trigonométriques, on obtient : A = 0,

B1 = V R2 ,

B2 = 0,

C11 = C22 ,

C12 = − 18 SR4 .

7. Les composantes du champ de vitesse sont :     R4 R2 Sr 1 − 4 sin 2θ, ur = V 1 − 2 cos θ + r 2 r       2 R R4 Γ Sr − V 1 + 2 sin θ − 1 − 1 + 4 cos 2θ . uθ = 2πr r 2 r Sans cisaillement (S = 0), le lecteur perspicace reconnaîtra le champ de vitesse de l’écoulement potentiel de circulation Γ autour d’un cylindre de rayon R.

Partie III 1. En r = R on vérifie que ur = 0, ce qui est rassurant puisque le fluide est supposé glisser sur le bord du cylindre. Pour uθ , toujours sur le bord Σ, on obtient : (u2θ )|Σ = K 2 − 4KV sin θ + 4(V 2 − KSR) sin2 θ + 8SV R sin3 θ + 4S 2 R2 sin4 θ, où K = Γ/(2πR) + SR/2. 2. D’après la question I.4, la force a pour expression ρ F = 2



ρ u ndS = 2

L 2π

2

Σ

u2θ er Rdθdz, z=0 θ=0

7

Chapitre 1. Écoulements laminaires

soit, en projetant sur les axes (Ox) et (Oy) : ρ Fx = LR 2

2π u2θ cos θdθ, 0

ρ Fy = LR 2

2π u2θ sin θdθ. 0

Le calcul donne Fx = 0 : il n’y a pas de force de traînée. 3. Après calcul, la force exercée sur le cylindre a pour expression : F = ρV L(2πSR2 − Γ )ey . C’est une force de portance car perpendiculaire à la direction de l’écoulement. Le premier terme est la contribution du cisaillement et le second la portance de Joukowski (1906).

Pour en savoir plus Le calcul présenté ici pour un cylindre est tiré de : G. K. Batchelor : An introduction to fluid dynamics, Cambridge (1967). La solution n’est en revanche pas connue dans le cas d’une sphère, sauf quand le cisaillement est de faible intensité. Pour une synthèse, le lecteur pourra consulter : J. Magnaudet & I. Eames : Ann. Rev. Fluid Mech. 32, 659 (2000).

1.2. Oscillations radiales et collapse d’une bulle Une bulle sphérique de rayon variable R(t) est placée dans un fluide parfait incompressible de densité ρf au repos à l’infini. On note P∞ la pression constante du fluide à l’infini et Pf (t) la pression exercée par le fluide sur la surface de la bulle. En négligeant les effets de pesanteur, l’objectif du problème est de déterminer l’évolution du rayon de la bulle. Les parties II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.

Partie I. Équation de Rayleigh 1. L’écoulement dans le fluide est purement radial : les champs de vitesse et de pression sont de la forme u = u(r, t)er et p = p(r, t). Écrivez les équations 8

1.2. Oscillations radiales et collapse d’une bulle

du mouvement et montrez que u(r, t) = A(t)/r 2 . p = (dR/dt)er = R(t) ˙ er la vitesse de la paroi Σ de la bulle. À l’aide 2. Soit V de la condition d’imperméabilité sur Σ, déterminez A(t). 3. Calculez la pression p(r, t) en tout point du fluide. 4. Établissez l’équation de Rayleigh :   ¨ + 3 R˙ 2 . Pf (t) = P∞ + ρf RR 2

Partie II. Oscillations libres 1. La bulle est constituée d’un gaz de pression uniforme Pg (t). Soit σ le coefficient de tension superficielle entre le gaz et le fluide. Exprimez la différence de pression à l’interface (loi de Laplace) et déduisez-en l’expression de Pg (t) en fonction du rayon de la bulle. 2. On note ρg (t) la masse volumique du gaz supposée uniforme ; montrez que ρg (t)R3 (t) est constant. 3. Le gaz est supposé parfait et son évolution isentropique ; sa loi d’état est alors Pg (t) = K(ρg (t))γ où γ = 1.4 est le rapport des chaleurs spécifiques et K une constante. Exprimez Pg (t) en fonction de R(t). 4. Déterminez une équation différentielle pour R(t). 5. Soit R0 le rayon constant de la bulle lorsqu’elle est à l’équilibre ; montrez alors que le rayon R(t) de la bulle est solution de l’équation dite de RayleighPlesset :     3γ  R0 ¨ + 3 R˙ 2 + 2σ + P∞ = 2σ + P∞ . ρf R R 2 R R0 R 6. En posant R(t) = R0 (1 + ελ(t)) avec 0 < ε  1, et en linéarisant l’équation obtenue, déterminez la fréquence des oscillations de la bulle autour du rayon d’équilibre R0 . Application numérique : ρf = 103 kg/m3 , P∞ = 105 Pa, γ = 1.4, σ = 0.07 N/m, R0 = 1.67 mm.

9

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Partie III. Oscillations forcées On excite maintenant la bulle en plaçant dans le fluide un haut-parleur émettant une onde acoustique de fréquence fa = ωa /2π. Ceci est modélisé en supposant que la pression du fluide à l’infini est de la forme : P∞ −εPa cos ωa t, la partie oscillante correspondant à l’excitation acoustique. Sous ces hypothèses, on admettra que l’équation de Rayleigh-Plesset devient :      3γ 2σ 3 ˙2 2σ R0 ¨ + P∞ − εPa cos ωa t = + P∞ . ρf R R + R + 2 R R0 R 1. En supposant 0 < ε  1 et en posant R(t) = R0 (1 + ελ(t)), déterminez l’équation satisfaite par λ(t). 2. Exprimez la solution lorsque fa = f et fa = f . Commentez.

Partie IV. Collapse de Rayleigh On suppose maintenant que la pression intérieure de la bulle est très faible devant la pression P∞ et que les effets de tension superficielle sont négligeables, de sorte que l’évolution de la bulle est gouvernée par l’équation de Rayleigh obtenue à la question I.4 avec Pf (t) = 0. ˙ 1. Montrez que d(R3 R˙ 2 )/dt = −2(P∞ /ρf )R2 R.

˙ 2. On suppose qu’à l’instant initial R(0) = R0 et R(0) = 0. Intégrez entre 0 et t l’équation obtenue à la question précédente et exprimez dR/dt en fonction de ρf , P∞ , R0 et R. 3. Montrez que le temps T mis par le fluide pour remplir la bulle est : 1 3ρf dx

= 0.747. avec I0 = T = I0 R0 2P∞ 1/x3 − 1 0

Application numérique : ρf = 103 kg/m3 , P∞ = 105 Pa, R0 = 1.67 mm.

Partie I 1. Les équations d’Euler pour un fluide incompressible de vitesse u = u(r, t)er et de pression p(r, t) s’écrivent : ∂u 1 ∂p ∂u +u + = 0, ∂t ∂r ρf ∂r

1 ∂ 2 (r u) = 0. r 2 ∂r

En intégrant l’équation de continuité, on obtient : u(r, t) = A(t)/r 2 . 10

1.2. Oscillations radiales et collapse d’une bulle

2. L’imperméabilité de la paroi de la bulle se traduit par la continuité de p · n. Nous la vitesse radiale à la surface Σ de la bulle, soit : u|Σ · n = V 2 2 obtenons alors, en r = R : u|Σ = A/R = R˙ d’où A(t) = R R˙ et ˙ 2. u(r, t) = R2 R/r 3. La pression du fluide s’obtient par intégration de l’équation de conservation de quantité de mouvement et en tenant compte de la pression à l’infini (ou en appliquant le théorème de Bernoulli pour les écoulements potentiels instationnaires) : ¨ + 2RR˙ 2 )/r − 1 ρf R4 R˙ 2 /r 4 . p(r, t) = P∞ + ρf (R2 R 2 4. Puisque en r = R, p|Σ = Pf , on en déduit l’équation de Rayleigh.

Partie II 1. Pour une interface sphérique, les rayons de courbure principaux sont égaux et la loi de Laplace s’écrit : Pg − Pf = 2σ/R. Par conséquent, d’après l’équation de Rayleigh : ¨ + 3 R˙ 2 ) + 2σ/R. Pg (t) = P∞ + ρf (RR 2 2. La masse de la bulle se conserve donc ρg (t) 43 πR3 (t) est constante. 3. À l’aide de la conservation de la masse, la loi d’état s’écrit : Pg (t) = C/R3γ avec C constante. 4. En éliminant la pression dans l’équation obtenue à la question II.1, on obtient : ¨ + 3 R˙ 2 ) + 2σ/R. C/R3γ = P∞ + ρf (RR 2 5. R(t) = R0 à l’équilibre donc C/R03γ = P∞ + 2σ/R0 . D’où l’équation demandée. 6. En remplaçant R(t) = R0 (1 + ελ(t)) dans l’équation de Rayleigh-Plesset et en négligeant les termes d’ordre ε2 (et supérieurs) devant ceux d’ordre ε, par exemple : (R0 /R)3γ = 1 − 3εγλ + O(ε2 ), on obtient après simplification : ¨ + ω 2 λ = 0, λ

1 ω = ρf R02 2



 2σ + 3γP∞ . (3γ − 1) R0 11

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Puisque γ = 1.4 alors ω 2 > 0 et les solutions de l’équation linéarisées oscillent à la fréquence f = ω/2π. Application numérique : Pour R0 = 1.67 mm, la fréquence est 440 Hz, celle d’un la !

Partie III 1. L’équation linéarisée est celle d’un oscillateur forcé : ¨ + ω 2 λ = a cos ωa t, λ

a = Pa /(ρf R02 ).

2. Lorsque ω = ωa , c’est-à-dire lorsque les bulles ne sont pas forcées à leur fréquence propre, la solution reste bornée et s’écrit : a cos ωa t λ(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt + 2 . ω − ωa2 À la résonance, lorsque ω = ωa , la solution devient : λ(t) = C1 cos ωa t + C2 sin ωa t +

at sin ωa t . 2ωa

Le rayon de la bulle croît avec le temps de sorte que l’hypothèse de linéarisation devient caduque pour des temps de l’ordre de 1/ε. La solution de l’équation de Rayleigh-Plesset pourra néanmoins facilement être calculée numériquement. L’évolution de la bulle montre alors une riche variété de comportements en fonction des paramètres du problème.

Partie IV ˙ ¨ + 3R˙ 2 ) = −2(P∞ /ρf )R2 R. ˙ 1. Le calcul donne : d(R3 R˙ 2 )/dt = R2 R(2R R 2. En intégrant entre 0 et t, on obtient : [R3 R˙ 2 ]t0 = 23 (P∞ /ρf )[R3 ]t0 , ˙ ˙ soit, en tenant compte du fait que R(0) = 0 et que R(t) < 0 pour t > 0 (le rayon décroît !) :    3ρf R03 dR =− −1 . dt 2P∞ R3 3. D’après la question précédente : 3ρf dR

, dt = − 2P∞ (R0 /R)3 − 1 12

1.2. Oscillations radiales et collapse d’une bulle

soit en intégrant entre 0 et T : T =−

3ρf 2P∞

0

R0

dR (R0 /R)3 − 1

=

3ρf 2P∞

1

0

R0 dx 1/x3 − 1

,

en posant R = R0 x. On obtient donc : 1

T = 0.915R0 (ρf /P∞ ) 2 . Application numérique : T = 0.15 ms pour R0 = 1.67 mm.

Pour en savoir plus Les régimes non-linéaires de la dynamique propre des bulles avec ou sans forçage acoustique sont décrits, ainsi que de nombreux autres aspects tels que la cavitation, dans les articles de synthèse de : M. S. Plesset & A. Prosperetti : Ann. Rev. Fluid Mech. 9, 145 (1977). Z. C. Feng & L. G. Leal : Ann. Rev. Fluid Mech. 29, 201 (1997). Le collapse d’un bulle, découvert par Rayleigh en 1917, a connu un regain considérable d’intérêt depuis la découverte en 1989 de la « sonoluminescence ». Ce spectaculaire phénomène est l’émission de lumière produit par la focalisation de l’énergie lors du collapse violent d’une bulle excitée périodiquement par une onde sonore. Le régime macroscopique reste décrit par l’équation de RayleighPlesset, mais celle-ci devient caduque lors du collapse de la bulle dès que le rayon devient trop petit et la température trop élevée (de l’ordre de 10 000 K !). Thermodynamique et physique atomique prennent alors le relais et de nombreuses théories ont alors été proposées, certains auteurs n’hésitant pas à parler de « fusion microthermonucléaire » — travaux réfutés par la suite. L’explication la plus communément admise aujourd’hui est celle de l’ionisation partielle du gaz à l’intérieur de la bulle conduisant à l’émission de radiations électromagnétiques. Le lecteur intéressé par ce sujet brûlant pourra se référer à l’article de : M. P. Brenner, S. Hilgenfeldt & D. Lohse : Rev. Mod. Phys. 74, 425 (2002).

13

Chapitre 1. Écoulements laminaires

1.3. Mouvement d’une sphère de rayon variable Dans un fluide de masse volumique ρ au repos à l’infini, une sphère de masse  = V (t)ez sous M et de rayon variable R(t) se déplace verticalement à la vitesse V l’effet de la gravité g = −gez . Le problème consiste à déterminer la force exercée par le fluide sur la sphère. Pour faciliter les calculs, le problème sera exprimé dans le repère relatif dans lequel le centre de la sphère est immobile et coïncide avec l’origine. Dans ce repère les champs de vitesse et de pression du fluide seront notés respectivement  (t). Le u(x, t) et p(x, t). Loin de sphère, la vitesse du fluide tend donc vers −V  /dt = V˙ (t)ez , repère relatif subissant une accélération d’entraînement Γent = dV les forces volumiques appliquées en chaque point du fluide s’apparentent à une gravité effective : geff = g − Γent = −(g + V˙ )ez . La viscosité du fluide est négligée et l’écoulement est supposé incompressible. La paroi mobile Σ de la sphère est imperméable et sa normale extérieure est notée : n = er = x/x.

Partie I. Description de l’écoulement 1. La sphère et le fluide sont supposés au repos à l’instant initial ; expliquez pourquoi l’écoulement est potentiel pour tout t > 0. 2. Montrez que le potentiel de vitesse ϕ(x, t) est solution de Δϕ = 0. 3. Exprimez les conditions aux limites du problème. m  4. Soit r = x ; montrez que ∇(1/r ) = −mx/r m+2 pour tout m = 0.

5. Vérifiez que 1/r est harmonique, c’est-à-dire de laplacien nul ; en déduire   sans calcul que la fonction A(t)/r + B(t) · ∇(1/r) l’est également. 6. En déduire que le potentiel de vitesse suivant est harmonique :  (t) · x + A(t)/r + B(t)   ϕ=U · ∇(1/r).  (t), A(t) et B(t).  Calculez le champ de vitesse et déterminez U

14

1.3. Mouvement d’une sphère de rayon variable

Partie II. Force exercée sur la sphère 1. Énoncez et démontrez le théorème de Bernoulli pour un écoulement potentiel instationnaire, sans omettre ici de remplacer la gravité par la gravité effective. On rappelle que :  u = (rot u) ∧ u + ∇(  1 u2 ). (u · ∇) 2 2. Soit θ l’angle polaire défini par θ = (e er ). Montrez que la pression à la z,  surface de la sphère est de la forme : p|Σ = C(t) + D(t) cos θ + E(t) cos2 θ. 3. Rappelez la définition de la force F exercée par le fluide sur la sphère et expliquez pourquoi la contribution à cette force du terme C(t) de la pression est nulle. 4. En utilisant les coordonnées sphériques (r, θ, φ), calculez la composante Fz = F ·ez de la force. Expliquez pourquoi les autres composantes sont nulles. On rappelle que sur la sphère de rayon R, l’élément de surface a pour expression : dS = R2 sin θdθdφ. 5. Une sphère de rayon constant et de masse volumique ρs est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide de masse volumique ρ . Déterminez sa vitesse instantanée et discutez les cas ρs ρ (par exemple une bille de plomb dans de l’eau) et ρs  ρ (les bulles du champagne).

Partie I 1. Dans un fluide parfait incompressible, un théorème dû à Lagrange et Cauchy établit que si le rotationnel de vitesse d’une particule fluide est nul à instant donné, alors toute sa trajectoire est irrotationnelle. Ici, l’écoulement est initialement au repos, donc partout irrotationnel, et cette propriété se conserve pour tout instant en tout point lors du mouvement de la sphère. Puisque rot u = 0, il existe une fonction ϕ(x, t) (définie à une fonction arbitraire du temps additive près) appelée poten et l’écoulement est dit potentiel. tiel de vitesse, telle que u = ∇ϕ Notons qu’en présence de viscosité cette propriété n’est plus valable en particulier à cause de la formation de forts gradients de vitesse dans les couches limites. 15

Chapitre 1. Écoulements laminaires

2. La condition d’incompressibilité div u = 0 se traduit ici par Δϕ = 0.  (t) quand x → +∞. 3. À l’infini, u(x, t) → −V p · n, Sur le bord Σ de la sphère, la condition de glissement est u|Σ · n = V p est la vitesse de déplacement de la paroi de la sphère. Ici, dans où V le repère relatif, la paroi est animée d’un mouvement radial de vitesse ˙ er . D’où la condition sur Σ : u| · er = R. ˙ p = (dR/dt)er = R(t) V Σ m ) = ∇(r   −m ) = −mr −m−1 ∇r.  Or ∇r  = x/r d’où le 4. Nous avons ∇(1/r résultat. Cette dernière égalité se démontre aisément à l’aide des coordonnées sphériques puisque x = rer . Nous opterons ici pour une démonstra = r,iei tion permettant de manipuler les notations indicielles. Ainsi ∇r avec :

r,i = ((x · x)1/2 ),i = 12 (x · x)−1/2 (x · x),i = 12 r −1 (xj xj ),i = r −1 δji xj = xi /r.

5. Δ(1/r) = 0 est évident à l’aide du laplacien exprimé en coordonnées sphériques. Donc, d’une part, Δ(A/r) = 0 pour n’importe quelle fonc  tion A(t) et, d’autre part, ∇Δ(1/r) = 0 = Δ∇(1/r) par commutation  des opérateurs, de sorte que pour n’importe quel vecteur B(t) :  · Δ∇(1/r)   · ∇(1/r)).  0=B = Δ(B  · ∇(1/r)  Par linéarité A/r + B est donc harmonique. 6. D’après les questions précédentes et parce que  · x) = (Ui xi ),jj = Ui xi,jj = Ui δij,j = 0, Δ(U le potentiel est harmonique. La vitesse s’écrit :  3 + 3(B  · x)x/r 5 .  =U  − Ax/r 3 − B/r u = ∇ϕ  (t) = −V  (t). La condition à l’infini impose U Sur le bord de la sphère, en x = Rer , la condition u|Σ · er = R˙ conduit à  . Le potentiel de vitesse s’écrit finalement : A(t) = −R2 R˙ et B(t) = 12 R3 V ϕ = A/r − (1 + 12 R3 /r 3 )V z.

Partie II 1. Dans un écoulement potentiel incompressible instationnaire et non visqueux, l’identité suivante est satisfaite en tout point du fluide et à chaque instant :  2 + Φ + p/ρ = 0. ∂ϕ/∂t + 12 ∇ϕ 16

1.3. Mouvement d’une sphère de rayon variable

C’est l’une des deux versions du théorème de Bernoulli. L’égalité ci alors rot u = 0 dessus s’obtient en remarquant que puisque u = ∇ϕ et  u = ∇(  1 ∇ϕ  2 ). (u · ∇) 2  De même, si les forces volumiques dérivent d’un potentiel, alors f = −∇Φ (attention au signe !). Les équations d’Euler deviennent donc  2 + Φ + p/ρ) = 0,  ∇(∂ϕ/∂t + 12 ∇ϕ conduisant au théorème de Bernoulli puisque la constante d’intégration peut être incorporée dans le potentiel des vitesses. Ici, les forces de volumes sont la gravité et la force d’inertie due à l’accélération du repère relatif. Les forces de volume se ramènent donc à une gravité effective f = geff = −(g + V˙ )ez . D’où : Φ = (g + V˙ )z (à une constante additive près). Le théorème de Bernoulli s’écrit donc ici :  2 + (g + V˙ )z + p/ρ = 0. ∂ϕ/∂t + 12 ∇ϕ 2. L’égalité ci-dessus est valable en tout point, en particulier sur la paroi Σ. Or sur celle-ci : x = Rer , z = R cos θ et : ˙ ˙ ) cos θ, (∂ϕ/∂t)|Σ = A/R − 32 (RV˙ + RV ˙ er − 3 V ez . u| = ( 3 V cos θ + R) Σ

2

2

La pression exercée par le fluide sur la sphère s’écrit donc : ˙ − Rg) cos θ + 9 ρV 2 cos2 θ, p|Σ = C + ρ( 12 RV˙ + 32 RV 8 ˙ avec C(t) = −ρ(A/R + 98 V 2 + 12 R˙ 2 ). 3. Dans un fluide parfait, la force exercée par le fluide sur la sphère est par définition :   pndS. F =− Σ

La contribution du premier terme est nul car d’après le théorème d’Ostrogradsky.



ndS = C Σ C

 Σ

ndS = 0

4. La seule direction privilégiée du problème est la direction (Oz), d’une part car la force de gravité et l’accélération de la sphère sont verticales, 17

Chapitre 1. Écoulements laminaires

et d’autre part car le solide est à symétrie sphérique. La force exercée par le fluide est donc nécessairement portée par (Oz). Évaluons donc   pndS = − pez · er dS Fz = −ez · Σ

Σ

2π π = −R2

p cos θ sin θdθdφ,

φ=0 θ=0

le vecteur ez passant sous l’intégrale car indépendant du point courant, donc constant sur la sphère (j’insiste sur ce point car beaucoup d’étudiants font l’erreur). D’après l’expression de la pression obtenue à la question II.2, le calcul se ramène à l’évaluation des intégrales : π

2 sin θ cos θdθ = , 3

π sin θ cos3 θdθ = 0.

2

0

0

La contribution du troisième terme E(t) dans la pression s’annule donc après intégration et il reste : ˙ Fz = 43 πR3 ρ(g − 12 V˙ ) − 2πR2 ρRV, soit, en faisant intervenir le volume Ω(t) = 43 πR3 de la sphère : ρ d  ). (Ω V F (t) = −ρΩg − 2 dt La première contribution correspond à la poussée d’Archimède — le fameux « poids du volume d’eau déplacé » — et la seconde est le terme dit de « masse ajoutée » traduisant l’inertie du fluide lors du mouvement de la sphère. 5. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la sphère s’écrit,  /dt) = F + Mg, où M = ρs Ω est la masse dans le repère fixe : M (dV  la force hydrodynamique calculée précédem(constante) de la sphère et F ment. Pour une sphère de volume constant, on obtient après projection sur (Oz) : dV ρ − ρs = 1 g. dt 2 ρ + ρs 18

1.4. Fluide entraîné par une plaque en rotation

Le volume de la sphère étant supposé constant, sa masse volumique l’est également par conservation de la masse. L’équation précédente peut donc être intégrée. Pour une sphère lâchée sans vitesse initiale, on obtient : V (t) =

ρ − ρs gt. 1 2 ρ + ρs

Dans le cas de la bille de plomb, ρs ρ , la chute est identique à celle dans le vide : V (t) = −gt. En revanche, pour une bulle telle que ρs  ρ , le mouvement sera ascendant avec une vitesse : V (t) = 2gt. Son accélération est le double de celle de la pesanteur ! Pour en savoir plus La force hydrodynamique sur une sphère de rayon variable fut calculée par : L. Landweber & T. Miloh : J. Fluid Mech. 96, 33 (1980). La dynamique des bulles, billes et autres solides immergés dans les écoulements est un sujet très riche. Seules les forces non visqueuses sur une sphère ont été évoquées ici. De nombreux autres effets doivent être pris en compte pour décrire la réalité ; pour un état de l’art, voir : J. Magnaudet & I. Eames : Ann. Rev. Fluid Mech. 32, 659 (2000).

1.4. Fluide entraîné par une plaque en rotation On cherche à déterminer les efforts exercés par un fluide visqueux incompressible de masse volumique ρ et de viscosité cinématique ν sur un disque de rayon a en rotation autour de son axe. Pour simplifier le problème, on suppose que le fluide occupe tout le demi-espace z > 0 et que le disque est remplacé par une paroi plane Σ de dimension infinie confondue avec le plan (O; x, y). Cette paroi  = Ωez . est animée d’un mouvement de rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω L’accélération de la pesanteur est g = −gez . En coordonnées cylindriques (r, θ, z), on recherche une solution stationnaire du problème sous la forme : u = rf (z)er + rk(z)eθ + w(z)ez ,

p = p0 + ρ(q(z) − gz),

où f (z) → 0 et k(z) → 0 quand z → +∞, et q(0) = 0. 19

Chapitre 1. Écoulements laminaires

1. Écrivez les équations régissant le mouvement incompressible d’un fluide visqueux. Rappelez de quels principes elles proviennent. 2. Déterminez les équations satisfaites par les fonctions f , k, w et q. 3. Déterminez f (0), k(0) et w(0) à l’aide de la condition d’adhérence sur la paroi Σ. 4. Montrez que w (0) = 0. Exprimez q(z) en fonction de w(z) et de sa dérivée. 5. Déduisez-en que le problème se ramène à un système d’équations différentielles ordinaires pour les seules fonctions k(z) et w(z). 6. En effectuant le changement de variables suivant : 1

z = (ν/Ω) 2 Z,

k(z) = ΩK(Z),

1

w(z) = (νΩ) 2 W (Z),

montrez que le problème complet s’exprime sous la forme : W  = 2K 2 − 12 W 2 + W W  ,

K  = W K  − KW  ,

avec : K(0) = 1, W (0) = W  (0) = 0, K(+∞) = W  (+∞) = 0. 7. Le système exprimé ci-dessus peut se résoudre numériquement : la solution est telle que W (Z) < 0 et W  (Z) < 0 pour tout Z > 0. Pouvait-on prévoir ce résultat ? ¯ le tenseur des contraintes et n la normale à la plaque Σ dirigée vers 8. Soit σ ¯n)|Σ exercée par le fluide sur Σ le fluide. Montrez que la contrainte T = (σ est de la forme : T = αrer + βreθ − p0ez , où α et β sont des constantes que l’on exprimera.   (O) = 9. Soit M x ∧ T dS le moment en O (ou couple) des efforts exercés Σ par le fluide sur la surface Σ. Calculez le couple exercé sur la portion de Σ correspondant à un disque de rayon a et de centre O. Le calcul donne K  (0) = −0.616 ; le sens du couple vous semble-t-il logique ?

20

1.4. Fluide entraîné par une plaque en rotation

1. Le mouvement incompressible d’un fluide visqueux est régi par les équations de Navier-Stokes qui résultent des principes de conservation de la masse et de la quantité de mouvement (seconde loi de Newton). Elles s’écrivent :  u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = νΔu + g,

div u = 0.

2. Les équations de Navier-Stokes exprimées en coordonnées cylindriques conduisent respectivement à : 2f + w = 0,

f 2 − k2 + wf  = νf  ,

2f k + wk = νk ,

ww + q  = νw .

p , ici animée d’un mouvement 3. La condition d’adhérence à la paroi u|Σ = V p = Ω  ∧ x| = (Ωez ) ∧ (rer ) = rΩeθ , s’exprime par : de rotation V Σ rf (0)er + rk(0)eθ + w(0)ez = rΩeθ . D’où f (0) = 0, k(0) = Ω et w(0) = 0. 4. L’équation de continuité 2f + w = 0 est valable pour tout z  0, donc en particulier en z = 0 impliquant w (0) = 0. En intégrant l’équation ww + q  = νw et en tenant compte des valeurs en z = 0, on obtient q(z) = νw (z) − 12 w2 (z). 5. Après élimination de f et q dans le système d’équations exprimé à la question 2, on obtient : wk − kw = νk ,

ww − 12 w2 + 2k2 = νw ,

avec pour conditions limites : k(0) = Ω,

w(0) = w (0) = 0,

k(+∞) = w (+∞) = 0.

6. Il suffit de calculer consciencieusement les dérivées. Par exemple : k (z) =

3 1 dZ d (ΩK) = (Ω 2 /ν 2 )K  (Z), dz dZ

w (z) = ΩW (Z).

7. La rotation de la plaque engendre une rotation du fluide induisant une force centrifuge agissant sur chaque élément de fluide. Il en résulte une composante radiale rf (z)er de la vitesse, avec f (z) > 0 (d’où w (z) < 0), venant se superposer à la rotation du fluide rk(z)eθ . Puisque le fluide est expulsé par centrifugation, il faut par conservation de la masse que le fluide converge verticalement vers la plaque, soit w(z) < 0. D’où W (Z) < 0 et W  (Z) < 0 pour tout Z > 0. 21

Chapitre 1. Écoulements laminaires

8. Rappelons la définition du tenseur des contraintes pour un fluide visqueux newtonien incompressible : ¯ ¯ = −pI¯ + 2μS, σ

¯ u + ∇ ¯ uT ). S¯ = 12 (∇

Pour notre problème, la partie symétrique S¯ du gradient de vitesse est, en coordonnées cylindriques : ⎞ ⎛ f 0 12 rf  ⎟ ⎜ f 12 rk ⎟ S¯ = ⎜ ⎠. ⎝ 0 1  1   2 rf 2 rk w ¯n) = 1 rf  (0)e + 1 rk (0)e car w (0) = 0. La contrainte exercée D’où (S r 2 θ |Σ 2 sur la plaque a donc pour expression : T = μf  (0)rer + μk (0)reθ − p0ez . 9. Il reste donc à calculer le couple exercé par le fluide sur le disque de rayon a. Puisque x = rer pour tout point appartenant au disque, 2π a  (O) = M

(μk (0)r 2ez + p0 reθ )rdrdθ = 12 μπa4 k (0)ez ,

θ=0 r=0

 2π 3 1 car 0 eθ dθ = 0 (vérifiez-le !). Et puisque k (0) = (Ω 2 /ν 2 )K  (0), le couple s’écrit :  (O) = 1 πa4 ρν 12 Ω 32 K  (0)ez . M 2

K  (0) étant négatif, le couple est dirigé vers les z négatifs, ce qui est logique puisque le fluide a tendance à s’opposer à la rotation de la plaque à cause des frottements dus à la viscosité. Pour en savoir plus Ce problème est un problème classique de mécanique des fluides. Les courbes des fonctions K(Z) et W (Z) sont représentées par exemple dans : G. K. Batchelor : An introduction to fluid dynamics, Cambridge (1967).

22

1.5. Étirement et diffusion d’un tourbillon

1.5. Étirement et diffusion d’un tourbillon Ce problème a pour objectif d’étudier l’évolution d’un tourbillon dans un fluide incompressible remplissant tout l’espace. On notera ρ la masse volumique et ν le coefficient de viscosité cinématique du fluide.

Partie I. Équation d’Helmholtz  u − ∇(  1 u2 ). 1. Montrez que : (rot u) ∧ u = (u · ∇) 2 2. Montrez que les équations de Navier-Stokes peuvent s’écrire :  = νΔu, ∂u/∂t + (rot u) ∧ u + ∇f div u = 0, où u(x, t) désigne la vitesse et f (x, t) une fonction à préciser. 3. Démontrez l’identité :  a − (a · ∇)  b. rot (a ∧ b) = (div b)a − (div a)b + (b · ∇) 4. Soit ω = rot u la vorticité de l’écoulement. Montrez que :  ω = (ω · ∇)  u + νΔω, ∂ ω /∂t + (u · ∇)

(1.1)

div ω  = 0. L’équation (1.1) est l’équation d’Helmholtz.

Partie II. Mécanisme d’étirement 1. Soit l’écoulement stationnaire décrit par le champ de vitesse : u = α(xex + yey ) + γzez , où γ > 0 est une constante. Exprimez α en fonction de γ pour que l’écoulement soit incompressible. Calculez la vorticité. 2. Soit x0 = (x0 , y0 , z0 )T la position d’une particule fluide à l’instant initial.  x0 ) sa position à l’instant t et représentez les trajectoires. Déterminez X(t; 3. Déterminez l’évolution d’un vecteur matériel initialement vertical. 4. Exprimez le champ de vitesse en coordonnées cylindriques (r, θ, z). 23

Chapitre 1. Écoulements laminaires

5. On considère maintenant l’écoulement instationnaire dont la vitesse est donnée, en coordonnées cylindriques, par : u = − 12 γrer + v(r, t)eθ + γzez . Sa vorticité  ω = rot u est définie en coordonnées cylindriques par : ω = (∂v/∂r + v/r)ez = ω(r, t)ez ,  et l’équation d’Helmholtz (1.1) devient, après projection sur (Oz) :   ν ∂ ∂ω ∂ω γr ∂ω − = γω + r . ∂t 2 ∂r r ∂r ∂r

(1.2)

Déterminez la solution de l’équation (1.2) lorsque v(r, t) = rΩ(t). Comparez avec la question II.3. Décrivez le mouvement du fluide.

Partie III. Effet de la diffusion 1. On cherche maintenant à déterminer une solution exacte de l’équation (1.2) de la forme : ω(r, t) = f (r, t)eγt . Déterminez l’équation différentielle que doit satisfaire la fonction f . 2. À l’aide du changement de variables (r, t) → (ξ, s) défini par : 1

ξ(r, t) = re 2 γt ,

s(t) = (eγt − 1)/γ,

déterminez l’équation différentielle satisfaite par la fonction F (ξ, s) définie telle que : f (r, t) = F (ξ(r, t), s(t)). 3. (a) Vérifiez que :

  ξ2 κ exp − , F (ξ, s) = 4πνs 4νs où κ est une constante, satisfait l’équation obtenue ci-dessus. (b) Déduisez l’expression de ω(r, t). (c) Comment se comporte cette solution quand t → +∞ ? Comparez avec le résultat de la question II.5. Quelle solution est la plus physiquement réaliste ? (d) À t > 0 fixé, étudiez le comportement de ω(r, t) lorsque γ → 0. À quoi correspond la solution obtenue ? Comment se comporte-t-elle quand t → +∞ ?

4. Résumez les rôles joués respectivement par l’étirement et la diffusion sur l’évolution du tourbillon. 24

1.5. Étirement et diffusion d’un tourbillon

Partie I 1. Rappelons tout d’abord que, sous forme indicielle, la i-ième composante du produit vectoriel est défini par : [a ∧ b]i = εijk aj bk . D’autre part, la j-ième composante du rotationnel d’un vecteur est définie par :  ∧ u]j = εjlm ∂l um = εjlm um,l . [rot u]j = [∇ D’où, en posant a = rot u et b = u : [(rot u) ∧ u]i = εijk εjlm um,l uk = εjki εjlm um,l uk = (δkl δim − δkm δil )um,l uk = ui,k uk − uk,i uk  u − ∇(  1 u2 )]i . = (uk ∂k )ui − ∂i ( 1 uk uk ) = [(u · ∇) 2

2

2. Les équations de Navier-Stokes sont, pour un écoulement incompressible :  u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = νΔu + g , div u = 0.  on À l’aide de la question précédente, et puisque g = −gez = ∇(−gz), obtient :  = νΔu, ∂u/∂t + (rot u) ∧ u + ∇f

f = 12 u2 + p/ρ + gz.

3. Puisque [rot c]i = εijk ck,j et [a ∧ b]k = εklm al bm , nous avons : [rot (a ∧ b)]i = εijk εklm (al bm ),j = εkij εklm (al,j bm + al bm,j ) = (δil δjm − δim δjl )(al,j bm + al bm,j ) = bm,m ai − al,l bi + ai,m bm − aj bi,j  i − (a · ∇)b  i, = (div b)ai − (div a)bi + (b · ∇)a  i = (aj ∂j )bi = aj bi,j . D’où le résultat. car, par exemple, (a · ∇)b 4. Par définition  ω = rot u d’où div  ω = div rot u = 0 (même si l’écoulement était compressible). L’équation d’Helmholtz s’obtient en prenant le rotationnel de l’équation obtenue à la question I.2 et en utilisant l’identité obtenue en I.3.

25

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Partie II 1. div u = 0 implique α = − 12 γ. L’écoulement est irrotationnel : rot u = 0.  x0 ) à l’instant t de la particule fluide initialement 2. La position x = X(t; située au point x = x0 s’obtient par la résolution du système :   t) avec dX/dt = u(X, Dans le cas présent, cela donne : ⎧ X˙ = − 12 γX, X(0) = x0 , ⎪ ⎪ ⎨ Y˙ = − 12 γY, Y (0) = y0 , ⎪ ⎪ ⎩ ˙ Z = +γZ, Z(0) = z0 ,

 X(0; x0 ) = x0 .

soit

⎧ 1 X(t) = x0 e− 2 γt , ⎪ ⎪ ⎨ − 12 γt e , Y (t) = y 0 ⎪ ⎪ ⎩ Z(t) = z0 e+γt .

Déterminons l’allure des trajectoires. Distinguons plusieurs cas : • z0 = 0. Les particules restent dans le plan z = 0 et satisfont X(t)/x0 = Y (t)/y0 . Les trajectoires sont donc des demi-droites radiales d’équation x/x0 = y/y0 . Puisque γ > 0, les particules fluides convergent toutes vers l’origine sans jamais l’atteindre. Seul le point O est fixe. • x0 = y0 = 0. Les trajectoires sont les deux demi-droites (Oz), z positif ou négatif. Les particules s’éloignent indéfiniment de l’origine. • Cas général. L’écoulement présente une symétrie de révolution autour de l’axe (Oz). Il suffit donc de considérer le plan y = 0. Dans celui-ci, les particules fluides satisfont Z(t)X 2 (t) = z0 x20 donc les trajectoires dans ce plan sont les courbes d’équation z = z0 x20 /x2 . 3. Soient A(t) et B(t) deux points matériels initialement confondus avec les − − → points A0 et B0 . Le vecteur matériel AB(t) est donc défini par : ⎛

XB (t) − XA (t)

⎞

⎛

1

(xB0 − xA0 )e− 2 γt

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − −→ ⎟ ⎜ − 1 γt ⎟ AB(t) = ⎜ ⎝ YB (t) − YA (t) ⎠ = ⎝ (yB0 − yA0 )e 2 ⎠ , ZB (t) − ZA (t) (zB0 − zA0 )e+γt − −→ d’où AB(t) = (zB0 − zA0 )eγtez puisque les points sont initialement sur un axe parallèle à (Oz). Le vecteur matériel reste donc colinéaire à (Oz) et est étiré de manière exponentielle. 26

1.5. Étirement et diffusion d’un tourbillon

4. En coordonnées cylindriques : u = − 12 γrer + γzez . 5. En posant v(r, t) = rΩ(t), la vorticité devient ω = 2Ω(t)ez = ω(t)ez et ne dépend plus de r. L’équation d’Helmholtz devient alors : dω/dt = γω. La solution est ω(t) = ω0 eγt , soit ω  (t) = ω0 eγtez . On remarque alors que la vorticité est étirée comme l’est le vecteur matériel décrit dans la question II.3. Cette propriété, connue comme étant la seconde loi d’Helmholtz, est en fait généralisable à tous les mouvements de fluides parfaits. Le champ de vitesse s’écrit donc finalement : u = − 12 γrer + rΩ0 eγteθ + γzez . Il correspond donc à la superposition du champ d’étirement irrotationnel décrit en II.1-II.4 et d’une rotation de corps solide autour de l’axe (Oz) à une vitesse angulaire exponentiellement croissante !

Partie III 1. En substituant ω(r, t) = f (r, t)eγt dans l’équation (1.2), nous obtenons :   γr ∂f ν ∂ ∂f ∂f − = r . ∂t 2 ∂r r ∂r ∂r 2. Puisque f (r, t) = F (ξ(r, t), s(t)), les dérivées partielles deviennent : 1 ∂ξ ∂F ∂s ∂F 1 ∂f ∂F ∂F = + = γre 2 γt + eγt , ∂t ∂t ∂ξ ∂t ∂s 2 ∂ξ ∂s 1 ∂ξ ∂F ∂s ∂F ∂f ∂F = + = e 2 γt , ∂r ∂r ∂ξ ∂r ∂s ∂ξ

d’où, après itération et simplification :   ν ∂ ∂F ∂F = ξ . ∂s ξ ∂ξ ∂ξ 3. (a) On vérifie par substitution. (b) En revenant aux variables initiales, la solution est :   γκ γr 2 ω(r, t) = exp − . 4πν(1 − e−γt ) 4ν(1 − e−γt ) (c) La vorticité devient stationnaire aux grands temps :   γκ γr 2 ω(r, t) −−−−→ exp − . t→+∞ 4πν 4ν 27

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Ceci contraste avec le résultat de la question II.5 où une croissance exponentielle de la vorticité avait été obtenue dans le cas d’une rotation solide. La solution ci-dessus est cependant plus réaliste car la vorticité décroit vers 0 pour r → +∞, donc le tourbillon est localisé en espace autour de l’axe (Oz). Dans le cas de la rotation solide décrite en II.5, la vorticité était par contre uniforme en espace. (d) Lorsque l’on fait tendre le paramètre d’étirement γ vers 0, on obtient :   r2 κ exp − . ω(r, t) = 4πνt 4νt Puisqu’il n’y a plus d’étirement dans la direction (Oz), l’écoulement est purement bidimensionnel dans le plan (O; x, y) et la solution décrite ci-dessus correspond à un tourbillon qui évolue sous le seul effet de la diffusion visqueuse. Ce tourbillon correspond à l’instant initial à un tourbillon ponctuel de circulation κ puisque ω(r, t) → κδ(r) quand t → 0. La viscosité freine donc le mouvement puisque ω(r, t) → 0 quand t → +∞. 4. L’étirement et la diffusion jouent donc des rôles antagonistes : le premier accélère la rotation du fluide, la seconde la freine, et les deux finissent par s’équilibrer. Pour en savoir plus L’écoulement décrit dans ce problème est le tourbillon de Burgers (1948). Le lecteur intéressé par la théorie des tourbillons pourra consulter : P. G. Saffman : Vortex dynamics, Cambridge (1992). H. K. Moffatt : Fluid dynamics, part II, École Polytechnique (1994).

1.6. Vagues à la surface d’un fluide visqueux Ce problème consiste à déterminer l’effet de la viscosité sur les vagues de faible amplitude se propageant à la surface d’un fluide incompressible de profondeur infinie. L’accélération de la pesanteur est notée g = −gez et l’écoulement est considéré dans le plan (x, z). La surface libre du fluide au repos est définie par z = 0 et la pression extérieure est notée p0 . Les effets de tension superficielle ne seront pas pris en compte. 28

1.6. Vagues à la surface d’un fluide visqueux

1. Écrivez les équations de Navier-Stokes dans le plan (x, z). 2. Soit ε > 0 un paramètre caractérisant l’amplitude initiale des vagues. En supposant ε  1 et en posant u(x, z, t) = εu (x, z, t), w(x, z, t) = εw (x, z, t), p(x, z, t) = p0 − ρgz + ερq  (x, z, t)), écrivez les équations linéarisées du problème. 3. On recherche la solution sous la forme : u (x, z, t) = (Aekz + Bez )ei(kx−ωt) , w (x, z, t) = (Cekz + Dez )ei(kx−ωt) , q  (x, z, t) = (Eekz + F ez )ei(kx−ωt) . Exprimez C, D, E et F en fonction de A et B, et montrez que 2 = k2 − iω/ν. On rappelle que si Xekz + Y ez = 0 pour tout z, alors X = 0 et Y = 0. 4. Soit η(x, t) = εη  (x, t) le déplacement vertical de la surface libre. Montrez que la condition cinématique à la surface libre s’écrit, lorsque ε  1 : ∂η  /∂t = w

en z = 0.

5. En posant η  (x, t) = ei(kx−ωt) , déterminez une relation entre A et B. 6. Le fluide étant visqueux, la condition dynamique à la surface libre se traduit ¯n = −p0n en z = η, n étant la normale par la continuité des contraintes : σ à la surface libre. Montrez que la continuité des contraintes se traduit ici par : ∂w ∂u ∂w + = 0 et gη  − q  + 2ν = 0 en z = 0. ∂z ∂x ∂z 7. Déterminez A et B, puis une relation uniquement entre ω, k, g et ν. C’est la relation de dispersion des ondes à la surface d’un fluide visqueux. Que retrouve-t-on lorsque ν = 0 ? 29

Chapitre 1. Écoulements laminaires

8. Déterminez ω quand la viscosité est faible. Quel est son effet ? 9. Application numérique : Quelle distance doit être parcourue par des vagues de 10 cm de longueur d’onde pour qu’elles perdent la moitié de leur amplitude à cause de la viscosité ? Idem pour des vagues de 1 m et 10 m de longueurs d’onde. 1. Les équations de Navier-Stokes dans le plan (x, z) sont :  2  ∂u ∂u 1 ∂p ∂ u ∂2u ∂u + 2 , +u +w + =ν ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ∂x2 ∂z  2  ∂w ∂w 1 ∂p ∂ w ∂2w ∂w +u +w + =ν + − g, ∂t ∂x ∂z ρ ∂z ∂x2 ∂z 2 ∂u ∂w + = 0. ∂x ∂z 2. En négligeant les termes d’ordre ε2 devant ceux d’ordre ε, on obtient : ∂u ∂q  + =ν ∂t ∂x ∂q  ∂w + =ν ∂t ∂z

 

∂ 2 u ∂ 2 u + ∂x2 ∂z 2



∂ 2 w ∂ 2 w + ∂x2 ∂z 2

,  ,

∂u ∂w + = 0. ∂x ∂z 3. L’équation de conservation de la masse implique : C = −iA et D = −i(k/)B, les deux autres E = (ω/k)A, F = 0 et 2 = k2 − iω/ν. 4. La condition cinématique à l’interface de deux fluides non miscibles traduit le fait que la vitesse de déplacement et celle d’une particule fluide coïncident, soit : ∂η/∂t + u∂η/∂z = w

en z = η.

En linéarisant pour ε  1 cela donne : ∂η  /∂t = w en z = 0. 5. On obtient A + (k/)B = ω. 30

1.6. Vagues à la surface d’un fluide visqueux

6. En supposant les déformations de l’interface de faible amplitude, la normale pourra en première approximation être confondue avec le vecteur unitaire ez (à condition également que les pentes soient faibles). Puisque ¯ ¯ = −pI¯ + 2μS, σ

¯ u + ∇ ¯ uT ), S¯ = 12 (∇

on a alors en z = 0 : 

⎛

∂u ∂w + ∂z ∂x

 ⎞

⎟ ⎜ μ ⎟ ⎜ ⎟ ¯e = ε ⎜ 0 = σ ¯n + p0n = 2μS ⎟. ⎜ 0 z ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ∂w ρgη  − ρq  + 2μ ∂z D’où les relations demandées. 7. De la première condition on obtient : A + (/k)B = −ω. En utilisant la relation obtenue à la question 5 et k2 − 2 = iω/ν, on obtient : A = iν(k2 + 2 ),

B = −2iνk.

De la seconde condition, on en déduit la relation de dispersion :  1 iω 2 . (ω + 2iνk ) − gk = ±4ν k 1 − 2 νk 2 2

2 4

C’est la relation recherchée. Tout va bien puisque pour ν = 0 nous retrouvons la relation de dispersion des ondes à la surface d’un fluide parfait :

ω = ± gk. 8. Lorsque νk2  |ω| on obtient à l’aide de développements limités puis en négligeant les termes d’ordre supérieurs à ν : ω 2 + 4iνk2 ω − gk = 0. La solution est donc, au premier ordre en ν :

ω = ± gk − 2iνk2 . L’effet de la viscosité est donc un amortissement exponentiel au taux −2νk2 . Les vagues courtes seront donc plus vite amorties que les longues. 31

Chapitre 1. Écoulements laminaires

9. Application numérique : Le temps nécessaire pour une diminution de 2 l’amplitude d’un facteur 2 est : T = (ln 2)/(2νk

). La distance parcourue par une vague se déplaçant à la célérité c = g/k sera donc : D = cT . Le calcul donne D = 35 m pour λ = 10 cm, D = 11 km pour λ = 1 m, et D = 350 km pour λ = 10 m !

Pour en savoir plus Ce calcul se trouve dans le fameux ouvrage de : H. Lamb : Hydrodynamics (6th edition), Cambridge (1932). La viscosité agit donc très peu sur la dissipation des vagues. En fait, les vagues de forte amplitude perdent la majeure partie de leur énergie lors du moutonnement en pleine mer ou du déferlement près de la côte. Il n’existe cependant à l’heure actuelle pas de théorie pour quantifier ces processus. On pourra consulter : P. Janssen : The interaction of ocean waves and wind, Cambridge (2005).

1.7. Étalement d’un liquide sur une plaque Une couche mince d’un liquide visqueux newtonien incompressible de masse volumique ρ et de coefficient de viscosité dynamique μ est déposée sur une surface plane horizontale. L’objectif du problème est de décrire son étalement sous l’effet de la gravité g = −gez . La configuration est supposée axisymétrique par rapport à l’axe vertical (Oz). Les effets de tension de surface seront négligés. Soient a(t) le rayon du fluide sur la plaque et h(r, t) son épaisseur à l’instant t, on notera a0 = a(0) le rayon initial et h0 = h(0, 0) l’épaisseur maximale du fluide.

z air

h(r,t)

liquide O

r

a(t)

Les deux parties du problème peuvent être traitées indépendamment. 32

1.7. Étalement d’un liquide sur une plaque

Partie I. Équations du problème 1. Par symétrie, le champ de vitesse exprimé en coordonnées cylindriques est supposé tel que u = u(r, z, t)er +w(r, z, t)ez et la pression est notée p(r, z, t). Écrivez les équations du mouvement. 2. Soit U0 la vitesse caractéristique horizontale du mouvement et P0 la pression de l’air. On pose : r = a0 r˜,

z = h0 z˜,

˜(˜ r , z˜, t˜), u(r, z, t) = U0 u

t = (a0 /U0 )t˜,

w(r, z, t) = (U0 h0 /a0 )w(˜ ˜ r , z˜, t˜),

p(r, z, t) = P0 + ρgh0 p˜(˜ r , z˜, t˜). Écrivez les équations du mouvement sous forme adimensionnelle en faisant apparaître les paramètres suivants : ε = h0 /a0 ,

Re = ρU0 a0 /μ,

Fr = U0 / gh0 .

Le paramètre Fr est appelé nombre de Froude. Quel nom donne-t-on usuellement à Re ? Quelle est sa signification ? 3. Une solution explicite de ces équations n’est pas connue à ce jour. Afin de résoudre le problème de manière approchée, il est nécessaire de faire quelques hypothèses supplémentaires. On suppose que la couche de fluide est mince, c’est-à-dire telle que ε  1. On suppose de plus que : Re = O(1),

Fr = ε.

Déterminez les équations simplifiées du problème.

Partie II. Solution autosemblable Sous les hypothèses énoncées précédemment, le problème se ramène à rechercher la solution du système suivant, sous forme dimensionnelle : ∂2u ∂p = μ 2, ∂r ∂z

∂p + ρg = 0, ∂z

∂u u ∂w + + = 0. ∂r r ∂z

On admettra qu’en z = h(r, t), la continuité de la contrainte normale se traduit ici par : p = P0 et ∂u/∂z = 0. 33

Chapitre 1. Écoulements laminaires

1. Quelles sont les conditions limites en z = 0 ? 2. Montrez que p(r, z, t) = P0 + ρg(h(r, t) − z). 3. Déterminez u(r, z, t) et w(r, z, t) en fonction de h et de ses dérivées (on pourra noter h = ∂h/∂r). 4. Expliquez brièvement pourquoi en z = h(r, t) la condition supplémentaire suivante doit être satisfaite : w = ∂h/∂t + u∂h/∂r. Montrez alors que h(r, t) est solution de l’équation κ ∂ ∂h = ∂t r ∂r



3 ∂h

rh



∂r

,

(1.3)

où κ est une constante dont on donnera l’expression. 5. On recherche une solution de cette équation en posant pour t > 0 : h(r, t) = H(η)/t2β ,

η(r, t) = r/tβ ,

avec β = 0. Calculez ∂η/∂t et ∂η/∂r, puis ∂h/∂t et ∂h/∂r. 6. En remplaçant dans l’équation (1.3) montrez que β = 1/8. 7. Montrez que l’équation obtenue s’écrit, après intégration : 8κH 2 H  + η = 0, avec H  (η) = dH/dη. Déterminez la solution H(η). 8. Montrez que la conservation du volume du fluide au cours de l’étalement 1 implique que le rayon a(t) est proportionnel à t 8 . On admettra que : η0 0

34

1 8 3 η(η02 − η 2 ) 3 dη = (η0 ) 3 . 8

1.7. Étalement d’un liquide sur une plaque

Partie I 1. Sous les hypothèses du problème, les équations de Navier-Stokes sont :  2  ∂ u 1 ∂u u Du ∂p ∂2u + =μ − 2+ 2 , ρ + Dt ∂r ∂r 2 r ∂r r ∂z   2 Dw ∂p ∂ w 1 ∂w ∂ 2 w , ρ + + ρg = μ + + Dt ∂z ∂r 2 r ∂r ∂z 2 ∂u u ∂w + + = 0, ∂r r ∂z avec D/Dt = ∂/∂t + u∂/∂r + w∂/∂z. 2. Sous forme adimensionnelle l’équation de continuité s’écrit : ˜ ∂w ˜ ∂u ˜ u + + = 0. ∂˜ r r˜ ∂ z˜ Les équations de conservation de la quantité de mouvement deviennent :      2    Re ∂ p˜ ∂ u ˜ u ˜ ˜ 1 ∂u ˜ D˜ u 1 ∂2u + 2 = − 2 + 2 + Re , Fr ∂˜ r ∂˜ r2 r˜ ∂˜ r r˜ ε ∂ z˜2 Dt˜   2       ∂ w ˜ 1 ∂2w ˜ 1 ∂w ˜ Re ∂ p˜ Dw ˜ +1 = + 2 + + 2 2 , Re Fr ε ∂ z˜ ∂˜ r2 r˜ ∂˜ r ε ∂ z˜2 Dt˜ avec D/Dt˜ = ∂/∂ t˜ + u ˜∂/∂˜ r + w∂/∂ ˜ z˜. Re est le nombre de Reynolds mesurant le rapport entre les effets d’inertie et de viscosité. 3. En supposant Re = O(1) et Fr = ε avec ε  1, et en ne conservant que les termes dominants, les équations précédentes se réduisent à : Re

∂ p˜ ∂ 2 u ˜ = , ∂˜ r ∂ z˜2

∂ p˜ + 1 = 0. ∂ z˜

Ces deux équations adimensionnelles sont complétées par l’équation de continuité exprimée à la question I.2.

Partie II 1. La condition limite en z = 0 est une condition d’adhérence à la paroi : u = w = 0. La continuité de la contrainte normale à l’interface entre le liquide et ¯ étant le tenseur des contraintes visqueuses ¯n = −P0n, σ l’air s’écrit : σ 35

Chapitre 1. Écoulements laminaires

et n la normale dirigée vers l’extérieur. Grâce à l’hypothèse de couche mince, le lecteur pourra montrer à l’aide d’une analyse dimensionnelle que cette condition se traduit ici par p = P0 et ∂u/∂z = 0 en z = h(r, t). 2. L’équation ∂p/∂z = −ρg donne p(r, z, t) = −ρgz + f (r, t). La fonction f (r, t) est déterminée à l’aide de la condition de pression sur la surface libre : p = P0 en z = h(r, t). On obtient finalement : p(r, z, t) = P0 + ρg(h(r, t) − z). 3. En intégrant l’équation liant p et u et en tenant compte des conditions limites, on obtient :  g z − h h z, u(r, z, t) = ν 2  avec ν = μ/ρ et h = ∂h/∂r. L’équation de continuité permet d’obtenir :      hh z 2 h z 3 g  2  hh + h + − h + . w(r, z, t) = ν r 2 r 6 4. C’est la condition cinématique à l’interface entre deux liquides :  w = ∂h/∂t + u · ∇h en z = h. La réponse à la question s’obtient en calculant d’une part w − u∂h/∂r en z = h, et en développant d’autre part le membre de droite de l’équation requise. Par identification, on obtient κ = g/3ν. 5. D’après la définition de η = r/tβ , on obtient : ∂η/∂t = −βη/t et ∂η/∂r = 1/tβ . Puisque h(r, t) = H(η)/t2β , il en résulte : ∂h 2βH + ηβH  H ∂h =− = , , ∂t t2β+1 ∂r t3β avec H  = dH/dη. Après calcul, on obtient ensuite :   ∂h κ ∂ κ 1 d rh3 = 10β (ηH 3 H  ). r ∂r ∂r t η dη 6. L’équation d’évolution de la hauteur h devient donc : β(2ηH + η 2 H  )t8β−1 + κ(ηH 3 H  ) = 0. Puisque qu’aucun terme de cette équation hormis t8β−1 ne dépend du temps, il faut donc que ce terme soit lui aussi indépendant du temps, c’est-à-dire il faut 8β − 1 = 0, soit β = 1/8. L’équation devient alors : (η 2 H + 8κηH 3 H  ) = 0. 36

1.7. Étalement d’un liquide sur une plaque

7. L’intégration de cette équation donne : ηH + 8κH 3 H  = C/η où C est une constante. Or, l’épaisseur de la couche h(r, t) en r = 0 est toujours positive de sorte que H(η) = 0 en η = 0. Cela implique C = 0 et :  H(η) =

9ν 16g

1 3

1

(η02 − η 2 ) 3 ,

η0 étant une constante d’intégration définie telle que η0 = η(a(t), t) = 1 a(t)/t 8 puisque, par construction, H(η0 ) = 0. 8. Le liquide étant incompressible, son volume se conserve. Par définition : h(r,t)  2π a(t)

a(t) r dr dθ dz = 2π h(r, t)rdr,

V = z=0 θ=0 r=0

0

soit, après changement de variables : η0 V = 2π 0

3π H(η)ηdη = 4



9νη08 16g

 13

3π = 4



9ν a8 (t) 16g t

 13 .

Le volume étant constant, on en déduit : 1

a(t) = Kt 8 . Pour en savoir plus L’analyse présentée ici fut découverte par : H. E. Huppert : J. Fluid Mech. 121, 43 (1982). Ce type de théorie s’applique bien par exemple à l’étalement dans l’air ou sous l’eau d’une couche de lave après une éruption volcanique. La vitesse de déplacement des coulées de lave est une information capitale pour la sécurité civile. Un état de l’art est exposé par : H. E. Huppert : J. Fluid Mech. 554, 299 (2006). Sur les écoulements à faible nombre de Reynolds et la théorie des fluides rampants, le lecteur pourra consulter l’excellent cours de : H. K. Moffatt : Fluid dynamics, part I, École Polytechnique (1994).

37

Chapitre 1. Écoulements laminaires

1.8. Sédimentation d’une micro-particule Une micro-particule sphérique de rayon a dont le centre O reste immobile par  rapport à un repère fixe tourne sur elle-même à vitesse angulaire constante Ω. Cette micro-particule est plongée dans un écoulement visqueux incompressible de  et de pression P0 à l’infini. vitesse uniforme V En notant ρ la masse volumique du fluide et μ son coefficient de viscosité dynamique, l’objectif du problème est de déterminer les efforts (force et couple) exercés par le fluide sur la sphère lorsque le nombre de Reynolds de l’écoulement,  , est petit devant l’unité. Re = ρV a/μ avec V = V Dans les parties I, II et III, qui peuvent être traitées indépendamment, la gravité ne sera pas prise en compte et l’écoulement est stationnaire.

Partie I. Approximation de Stokes 1. Écrivez les équations et les conditions limites du problème.  = V v  , Ω  = (V /a)ω  et en définissant : 2. En posant x = ax , V u(x) = V u (x ),

p(x) = P0 + (μV /a)p (x ),

formulez les équations du mouvement et les conditions limites sous forme adimensionnelle. 3. Dans la limite Re → 0, dite approximation de Stokes, montrez que le problème s’écrit, en supprimant les primes pour alléger les notations :  = Δu, ∇p

div u = 0,

u(x) =  ω ∧ x en x = 1, u(x) → v

et p(x) → 0 quand

x → +∞.

4. Soient u1 (x) et p1 (x) solution du problème (P1 ) suivant :  1 = Δu1 , ∇p ω ∧ x u1 (x) = 

div u1 = 0, en x = 1,

u1 (x) → 0 et p1 (x) → 0 quand

x → +∞,

et u2 (x) et p2 (x) solution du problème (P2 ) suivant :  2 = Δu2 , div u2 = 0, ∇p u2 (x) = 0 en x = 1, u2 (x) → v 38

et p2 (x) → 0 quand

x → +∞.

1.8. Sédimentation d’une micro-particule

À quoi correspondent les problèmes (P1 ) et (P2 ) ? Que satisfont les champs u1 (x) + u2 (x) et p1 (x) + p2 (x) ?

Partie II. Solution du problème (P1 ) Le problème (P1 ) est aisément soluble en coordonnées sphériques en alignant l’axe polaire (Oz) avec l’axe de rotation de la sphère : ω = ωez . Ainsi : ω ∧ x = (ωez ) ∧ (rer ) = rω sin θeφ . 1. En cherchant la solution sous la forme : u1 (r, θ, φ) = (r) sin θeφ ,

p1 = 0,

déterminez l’équation différentielle satisfaite par la fonction (r). 2. Résolvez cette équation en posant r = es et L(s) = (es ). 3. Montrez que la solution de (P1 ) s’écrit, sous forme dimensionnelle : u1 = (Ωa3 /r 2 ) sin θeφ ,

p1 = P0 .

¯1 le tenseur des contraintes associé à l’écoulement de pression p1 4. Soient σ ¯1n)|Σ la contrainte exercée par le fluide sur la et de vitesse u1 , et T1 = (σ surface Σ de la sphère, avec n = er la normale dirigée vers le fluide. Montrez que : T1 = −P0er − αμΩ sin θeφ , où α est une constante numérique que l’on exprimera.    1 (O) = 5. Calculez F1 = Σ T1 dS la résultante et M x ∧ T1 dS le moment Σ en O des efforts exercés par le fluide sur la sphère.

Partie III. Solution du problème (P2 ) La solution du problème (P2 ) sera recherchée en coordonnées cartésiennes dans une base (e1 , e2 , e3 ). On notera r = x et n = x/r le vecteur unitaire radial m ) = −m  1. Montrez que ∇(1/r x/r m+2 pour tout m = 0.

¯ g. ¯ x) = ∇  et h( 2. Soit f (x) = 1/r. Calculez g (x) = ∇f 3. Vérifiez que f (x) est harmonique, c’est-à-dire telle que Δf = 0. Montrez ¯ x) le sont également. sans calcul que g (x) et h( 39

Chapitre 1. Écoulements laminaires

4. Montrez que p2 (x) est harmonique et peut être choisie de la forme : p2 (x) = Ag (x) · v , où A est une constante indéterminée pour le moment. 5. Pour obtenir le champ de vitesse, on pose  x). u2 (x) = v + 12 p2 (x)x + w( Déterminez le problème que doit satisfaire w(  x) et expliquez pourquoi on peut poser : w(  x) = Bf (x)v + C ¯h(x)v . 6. Déterminez les constantes A, B et C, et montrez que les champs de vitesse et de pression s’écrivent, sous forme dimensionnelle :  u2 =

a3 3a − 3 1− 4r 4r



p2 = −

 − 3a V 4r



a2 1− 2 r

  · n)n, (V

3μa  (V · n). 2r 2

¯2 le tenseur des contraintes associé à l’écoulement de pression p2 7. Soient σ ¯2 n)|Σ la contrainte exercée par le fluide sur la et de vitesse u2 , et T2 = (σ surface Σ de la sphère, avec n = er la normale dirigée vers le fluide. Montrez que : , T2 = β(μ/a)V où β est une constante numérique que l’on exprimera.    2 (O) = 8. Calculez F2 = Σ T2 dS la résultante et M x ∧ T2 dS le moment Σ en O des efforts exercés par le fluide sur la sphère.

Partie IV. Vitesse de sédimentation Une micro-particule de masse M est animée d’un mouvement de rotation à la   (t) dans un fluide au repos à vitesse angulaire Ω(t) et de translation à la vitesse V l’infini. Le nombre de Reynolds de l’écoulement restant faible et les mouvements très lents, l’écoulement autour de la sphère est quasiment stationnaire. On notera ρs et ρf les masses volumiques de la sphère et du fluide. 40

1.8. Sédimentation d’une micro-particule

1. Exprimez les efforts exercés sur la sphère.  (t) et la rotation Ω(t)  2. Déterminez la vitesse V de la particule en fonction des  0 . On rappelle que le moment d’inertie d’une sphère 0 et Ω valeurs initiales V homogène autour d’un axe passant par son centre est : I = 25 M a2 . 3. Exprimez la vitesse de sédimentation de la micro-particule :  (t). ∞ = lim V V t→+∞

4. Application numérique : Calculez la vitesse de sédimentation et le nombre de Reynolds pour un grain de sable de rayon a = 0.05 mm et de masse volumique ρs = 1500 kg/m3 sédimentant dans de l’eau (ρf = 1000 kg/m3 , μ = 10−3 Pa.s). Commentez.

Partie I 1. L’écoulement étant stationnaire, les équations de Navier-Stokes sont :  u + ∇p  = μΔu, ρ(u · ∇)

div u = 0.

p , soit : Les conditions sont l’adhérence à la paroi de la sphère u|Σ = V  ∧ x en x = a. u(x) = Ω À l’infini, les conditions sont :  u(x) → V

et p(x) → P0

quand

x → +∞.

2. Le problème s’écrit sous forme adimensionnelle, en supprimant les primes :  u + ∇p  = Δu, Re (u · ∇)

div u = 0,

u(x) =  ω ∧ x en x = 1, u(x) → v

et p(x) → 0 quand

x → +∞.

3. Lorsque Re → 0, on obtient l’approximation de Stokes. 4. Le problème (P1 ) correspond à celui de la sphère en rotation dans un écoulement au repos à l’infini, le problème (P2 ) à celui de la sphère immobile dans un écoulement uniforme à l’infini. 41

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Il est facile de vérifier que la superposition des solutions de chacun de ces problèmes, u(x) = u1 (x) + u2 (x) et p(x) = p1 (x) + p2 (x), satisfait les équation et les conditions limites du problème complet exprimé à la question I.3. Cela résulte de la propriété de linéarité de l’approximation de Stokes. Ceci n’est plus vrai pour les équations de Navier-Stokes en  u. raison du terme non-linéaire (u · ∇)

Partie II 1. La composante sur eφ des équations du mouvement fournit l’équation différentielle satisfaite par la fonction (r) : r 2  (r) + 2r (r) − 2(r) = 0. 2. L’équation ci-dessus est une équation différentielle d’Euler (encore lui !) qui se résout en effectuant le changement de variables : r = es et L(s) = (es ). Ainsi,  (r) =

ds dL d = = e−s L (s), dr dr ds

 (r) = e−2s (L (s) − L (s)).

On obtient donc l’équation différentielle à coefficients constants : L (s) + L (s) − 2L(s) = 0. La solution s’obtient à l’aide des racines du polynôme caractéristique : x2 + x − 2 = 0, soit x = 1 ou x = −2. La solution est donc une combinaison linéaire de es et e−2s . D’où finalement : (r) = Ar + B/r 2 . 3. Les conditions limites imposent A = 0 et B = ω. En revenant aux variables dimensionnelles, on obtient donc : u1 = (Ωa3 /r 2 ) sin θeφ et p1 = P0 . 4. Rappelons que le tenseur des contraintes est défini par ¯1 = −p1 I¯ + 2μS¯1 , σ

¯ u + ∇ ¯ uT ). S¯1 = 12 (∇ 1 1

Sur le bord Σ de la sphère, en r = a, on a donc, dans la base (er , eθ , eφ ) : ⎛ ⎞ −P0 0 −3μΩ sin θ ⎠, ¯1 )|Σ = ⎝ 0 0 −P0 (σ −3μΩ sin θ 0 −P0 ¯1 n)|Σ = (σ ¯1 )|Σ er = −P0er − 3μΩ sin θeφ . de sorte que T1 = (σ 42

1.8. Sédimentation d’une micro-particule

5. La résultante des efforts est :   F1 = −P0 er dS − 3μΩ sin θeφ dS. Σ

Σ

La contribution de la pression s’annule par symétrie. La seconde également puisque eφ = − sin φex + cos φey et dS = a2 sin θdθdφ : 2π F1 = −3μa2 Ω

π (− sin φex + cos φey )dφ

φ=0

sin2 θdθ = 0.

θ=0

Puisque sur Σ : x ∧ T1 = (aer ) ∧ (−3μΩ sin θeφ ) = 3μaΩ sin θeθ et que eθ = cos θ cos φex + cos θ sin φey − sin θez , la seule composante non nulle du moment des efforts en O est celle suivant ez . D’où : 2π  1 (O) = −3μa Ω M 3

π dφ

φ=0

 sin3 θdθ = −8πμa3 Ω.

θ=0

Il s’agit donc d’un couple qui s’oppose à la rotation.

Partie III m ) = ∇(r   −m ) = −mr −m−1 ∇r.  Or ∇r  = x/r d’où le 1. Nous avons ∇(1/r  résultat. En effet : ∇r = r,iei avec :

r,i = ((x · x)1/2 ),i = 12 (x · x)−1/2 (x · x),i = 12 r −1 (xj xj ),i = r −1 δji xj = xi /r.

2. D’après la question précédente : g (x) = −x/r 3 et : hij = gi,j = −xi,j /r 3 − xi (1/r 3 ),j = −δij /r 3 + 3xi xj /r 5 . ¯ 3 + 3(x ⊗ x)/r 5 . ¯ x) = −I/r D’où h(  = div g = 0 donc f (x) est harmonique. Le laplacien com3. Δf = div ∇f   = Δg donc mute avec le gradient (vérifiez-le !) d’où : 0 = ∇Δf = Δ∇f ¯ x). g(x) est harmonique. Le même argument s’applique pour h(  2 = Δu2 et en tenant compte de la condi4. En prenant la divergence de ∇p tion d’incompressibilité, on obtient Δp2 = 0. En posant p2 (x) = Ag (x)·v avec A et v des constantes, on a Δp2 = A(Δg ) · v = 0 car g harmonique. 43

Chapitre 1. Écoulements laminaires

5. En substituant l’expression de u2 (x) dans les équations et conditions limites du problème (P2 ), on obtient : Δw  = 0,

div w  = 12 A(v · x)/r 3 ,

w(  x) = −v + 12 A(v · n)n en x = 1, w(  x) → 0 quand x → +∞. w(  x) étant harmonique et décroissante à l’infini, on peut donc la choisir sous la forme demandée. 6. La condition limite en x = 1 et la condition d’incompressibilité permettent donc de déterminer les constantes : pour la première, w(x) = (B − C)v + 3C(v · n)n en x = 1, d’où B − C = −1 et 3C = A/2, tandis que div w  = −B(v · x)/r 3 d’où B = −A/2. Les constantes sont donc : A = 3/2,

B = −3/4,

C = 1/4.

On en déduit ensuite les champs de vitesse et de pression u2 (x) et p2 (x). ¯ = ∇ ¯ u qui ¯2 nécessite celui de L 7. Le calcul du tenseur des contraintes σ 2 2 s’avère laborieux. Néanmoins, son expression sur le bord Σ de la sphère se simplifie compte tenu du fait que u2 (x) est de la forme :  + G(r)(V  · n)n, u2 = F (r)V avec G(a) = 0. Ainsi sur Σ : ¯ ) =V  ⊗ ∇F  + (V  · n)(n ⊗ ∇G),  (L 2 |Σ

(L2 )i,j = Vi F,j + Vk nk ni G,j .

Après calcul, on obtient, en tenant compte que x = an sur Σ : ¯ ) = (L 2 |Σ D’où

3   · n)(n ⊗ n)), (V ⊗ n − (V 2a

(L2 )i,j =

3 (Vi nj − Vk nk ni nj ). 2a

3μ   · n)n) et T2 = 3μ V . (V − (V 2a 2a 8. La résultante des efforts exercés sur la sphère est donc :  3μ  . F2 = V dS = 6πμaV 2a 2μ(S¯2n)|Σ =

Σ

 Le moment en O est nul puisque par symétrie Σ xdS = 0. La force est donc une force de résistance à l’avancement (ou force de traînée). 44

1.8. Sédimentation d’une micro-particule

Partie IV 1. Les efforts exercés par le fluide sur la sphère sont donc la superposition des efforts calculés dans les problèmes (P1 ) et (P2 ) : , F = −6πμaV

 (O) = −8πμa3 Ω.  M

 est maintenant la vitesse de la Le signe de la résultante change car V sphère et non celle du fluide à l’infini.  = −ρf vsg , Il faut également tenir compte de la poussée d’Archimède : A vs étant le volume de la sphère. 2. Les équations du mouvement de la sphère proviennent du principe fondamental de la dynamique : M

  dV  + P = −6πμaV  + (ρs − ρf )vsg, = F orces = F + A dt   dΩ  oments en O = M  (O) = −8πμa3 Ω,  = M I dt

avec P = Mg = ρs vsg le poids de la sphère, et I = 25 M a2 le moment d’inertie de la sphère. La solution est :       (t) = V 0 exp − 6πμat + (ρs − ρf )vsg 1 − exp − 6πμat , V M 6πμa M   8πμa3 t   . Ω(t) = Ω0 exp − I La vitesse de la sphère tend donc vers la vitesse de sédimentation : 2 ∞ = 2a (ρs − ρf )g , V 9μ

tandis que sa rotation finit par s’arrêter. 3. Application numérique : V∞ = 2.7 mm/s et Re = 0.13. On peut donc considérer que l’approximation de Stokes (Re  1) est valide. En fait les expériences montrent qu’elle reste une bonne approximation jusque Re ≈ 1.

45

Chapitre 1. Écoulements laminaires

Pour en savoir plus L’écoulement autour de la sphère et la force de traînée fut calculée par Stokes en 1851 ; celui du moment dû à la rotation par Kirchhoff en 1876. Les joueurs de tennis ou de golf savent que la portance d’une balle peut être modifiée si elle tourne sur elle-même. C’est l’effet Magnus que connaissent également les footballeurs en donnant un effet dans le ballon. L’approximation de Stokes ne permet pas de prédire cette portance. Il faudra attendre le développement à l’ordre supérieur en nombre de Reynolds effectué par S. I. Rubinow & J. B. Keller : J. Fluid Mech. 11, 447 (1961).  ∧V .  = πρa3 Ω On obtient la force de portance (lift en anglais) : L Les écoulements à faible nombre de Reynolds présentent des particularités surprenantes dues à la linéarité et à la réversibilité des équations. Le lecteur intéressé pourra consulter par exemple : H. K. Moffatt : Fluid dynamics, part I, École Polytechnique (1994). É. Guyon, J.-P. Hulin & L. Petit : Hydrodynamique physique (2de édition), EDP Sciences/CNRS Éditions (2001).

46

2 CROISSANCE DES VAGUES ET INSTABILITÉS

L’existence d’une solution exacte ou approchée des équations d’Euler ou de Navier-Stokes ne suffit pas à prouver qu’elle sera observable ! En effet, à l’instar du pendule pesant dont la position verticale de la masse au-dessus du support constitue une solution de l’équation du pendule — solution « instable » certes, mais solution quand même —, le mouvement d’un fluide pourra également être instable, et donc non observable. Ainsi, des vagues se forment à la surface de la mer dès que le vent souffle, alors que mathématiquement une surface parfaitement plane est également une solution du problème. L’étude des instabilités hydrodynamiques a débuté à la fin du XIXe siècle et au début du XXe sous l’impulsion des géants de la Physique que furent Rayleigh, Kelvin ou encore Helmholtz. Ceux-ci réalisèrent que si l’amplitude d’une onde, initialement faible, croît au cours du temps ou suivant une direction donnée, alors celle-ci viendra perturber le mouvement du fluide dans lequel elle évolue. On dira alors que le mouvement est « instable ». Du point de vue mathématique, tant que l’on se restreint au stade initial de l’évolution de la perturbation, une étude de stabilité est identique à l’étude de la propagation d’une onde(1) . Les vagues constituent le prototype d’une onde se propageant dans un fluide incompressible ; dans le problème 2.1, l’amplification d’un train de vagues à l’approche de la côte est décrite, modélisant ainsi la propagation d’un tsunami. D’autres exemples classiques de mécanismes d’instabilité sont présentés dans les problèmes 2.2, 2.3 et 2.4 ; ceux-ci peuvent être rencontrés aussi bien dans des expériences de laboratoire que dans des écoulements géophysiques. Il en est de (1)

À l’exception des problèmes 2.5 et 2.6, les mécanismes proposés ici sont restreints au régime linéaire, c’est-à-dire pour des perturbations de faible amplitude.

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

même pour l’instabilité « elliptique » qui a connu un véritable essor au cours des vingt dernières années (problème 2.6) : celle-ci se présente dans un écoulement dont les lignes de courant sont des ellipses, alors que le cas d’une rotation circulaire uniforme est l’un des rares cas où l’on peut démontrer sa stabilité globale non-linéaire (problème 2.5). Enfin, ce chapitre se termine en apothéose avec deux mécanismes de formation de vagues que tout le monde peut observer : celles qui apparaissent à la surface d’un film liquide s’écoulant le long d’un plan incliné, sur une route quand il pleut par exemple (problème 2.7), et celles générées par le vent à la surface de la mer ou d’un lac (problème 2.8). Ces deux beaux problèmes, résolus en 1957 respectivement par Benjamin et Miles, deux géants de la Mécanique des fluides, valent bien quelques efforts pour surmonter les difficultés qui se présenteront ! Références générales Sur les instabilités hydrodynamiques, citons ici deux ouvrages : P. G. Drazin & W. H. Reid : Hydrodynamic stability, Cambridge (1981) ; F. Charru : Instabilités hydrodynamiques, EDP Sciences/CNRS Éditions (2007). Le premier est un ouvrage de référence, le second est une très bonne introduction en français.

2.1. Propagation et amplification d’un tsunami Dans le plan vertical (O; x, z), on considère le mouvement de la mer dont le fond est représenté par la courbe d’équation z = f (x). On suppose que la mer est constituée d’un fluide parfait, incompressible de densité ρ, et soumis à l’accélération de la pesanteur g = −gez . La surface libre de la mer, d’équation z = h(x, t), est caractérisée par une pression uniforme p0 (la pression atmosphérique). On note u(x, z, t) et w(x, z, t) les composantes horizontales et verticales du vecteur vitesse, et p(x, z, t) la pression du fluide.

z

air z = h(x,t) mer

g O 48

z = f(x) x

2.1. Propagation et amplification d’un tsunami

Les parties II et III sont indépendantes.

Partie I. Dérivation du modèle 1. Écrivez les équations du mouvement composante par composante. 2. Montrez que la condition limite sur le fond de la mer se traduit par : w = uf 

en z = f (x).

3. Formulez les conditions cinématique et dynamique à la surface libre. 4. Soient H la hauteur maximale de fluide et L une longueur caractéristique représentant par exemple l’extension horizontale du bassin ; on suppose que δ = H/L  1, c’est-à-dire que l’on considère désormais les mouvements de profondeur faible. En effectuant le changement de variables suivant : t = t˜/δ, u(x, z, t) = u ˜(δx, δt) = u ˜(˜ x, t˜), x=x ˜/δ,

z = z˜,

w(x, z, t) = δw(δx, ˜ z˜, δt) = δw(˜ ˜ x, z˜, t˜), p(x, z, t) = p˜(δx, z˜, δt) = p˜(˜ x, z˜, t˜), montrez que les équations deviennent, lorsque δ  1 :  2      ∂ u ˜ p˜ ∂ p˜ ∂ ∂u ˜ ∂u ˜ + + = 0, + g˜ z = 0, w ˜ + z˜ = 0. ˜ 2 ρ ∂ z˜ ρ ∂ z˜ ∂x ˜ ∂ t˜ ∂ x 5. En posant ensuite : f (x) = f˜(δx) = f˜(˜ x), ˜ ˜ x, t˜), h(x, t) = h(δx, δt) = h(˜ écrivez les conditions limites à l’aide des nouvelles variables. ˜ x, t˜). 6. Déterminez le champ de pression p˜(˜ x, z˜, t˜) en fonction de z˜ et de h(˜ 7. En intégrant l’équation de continuité entre le fond et la surface libre et en vous servant des conditions limites, déterminez une équation d’évolution ˜ x, t˜). pour l’élévation de la surface libre h(˜ 49

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

8. Déduisez-en que le problème se réduit au système suivant (en supprimant les tildes pour alléger les notations) : ∂ ∂h + (u(h − f )) = 0, ∂t ∂x   ∂ u2 ∂u + + gh = 0. ∂t ∂x 2

(2.1) (2.2)

Ce sont les équations d’un écoulement en « eaux peu profondes ».

Partie II. Invariants de Riemann On suppose que le fond est plat, f (x) = 0, et on cherche à déterminer des invariants du mouvement, c’est à dire les grandeurs qui restent constantes au cours du mouvement.

1. Soit c(x, t) = gh(x, t) ; écrivez les équations (2.1) et (2.2) uniquement en fonction des variables c(x, t) et u(x, t). 2. Soit ω(x, t) = u(x, t) + 2c(x, t) ; montrez que : ∂ω ∂ω + (u + c) = 0. ∂t ∂x 3. Soient x = X(t) les courbes de l’espace-temps (x, t) définies par : dX = u(X, t) + c(X, t), dt et soit Ω(t) = ω(X(t), t). Calculez dΩ/dt et concluez. 4. Déterminez un second invariant.

Partie III. Propagation d’un tsunami On suppose que le fond est plat, f (x) = 0, et on souhaite caractériser les vagues se propageant à la surface. Pour cela, on suppose que leur amplitude est faible par rapport au niveau moyen constant h0 de la surface libre. On pose alors : h(x, t) = h0 + εh (x, t),

u(x, t) = εu (x, t),

où 0 < ε  1 est une mesure de l’amplitude des vagues. 50

2.1. Propagation et amplification d’un tsunami

1. En remplaçant dans les équations (2.1) et (2.2), et en négligeant les termes d’ordre ε2 , déduisez-en pour h (x, t) une équation de la forme : 2  ∂ 2 h 2∂ h − c = 0. 0 ∂t2 ∂x2

2. Soit h (x, t) = cos(kx − ωt). Déterminez ω en fonction de k. Décrivez le mouvement de la surface libre. Que représentent les paramètres k et c0 ? 3. Application numérique : Un tsunami est provoqué par un tremblement de terre dont le foyer est à 4 000 km de la côte. Les ondes de surface générées par celui-ci ont une longueur d’onde mesurée par satellite de 200 km et se propagent dans une mer de profondeur 4 km. Déterminez la célérité du tsunami et le temps mis par celui-ci pour atteindre la côte. 4. On suppose maintenant qu’à proximité d’une plage, le fond présente une pente constante : f (x) = ax avec a > 0. En procédant comme à la question II.1, écrivez l’équation régissant h (x, t). 5. En supposant que |ax|  h0 , c’est-à-dire h0 −ax ≈ h0 , recherchez la solution sous la forme h (x, t) = ei(kx−ωt) , avec k = kr + iki complexe et ω réel. Déterminez kr et ki en fonction des paramètres du problème, et montrez que l’amplitude des vagues augmente en se rapprochant du bord.

Partie I 1. Les équations d’Euler dans le plan (x, z) sont : ∂u ∂u ∂u 1 ∂p +u +w + = 0, ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ∂w ∂w 1 ∂p ∂w +u +w + = −g, ∂t ∂x ∂z ρ ∂z ∂u ∂w + = 0. ∂x ∂z 2. Le fluide est parfait et le fond est une paroi fixe et imperméable. La condition limite est donc une condition de glissement soit u · n = 0 en z = f (x). La normale n étant colinéaire au vecteur (non normalisé) −f ex + ez , on en déduit la condition : w = uf 

en z = f (x). 51

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

3. Les conditions cinématique et dynamique à la surface libre s’écrivent : w=

∂h ∂h +u ∂t ∂x

et p = p0

en z = h(x, t).

4. À l’aide des nouvelles variables, les dérivées partielles deviennent : ∂x ˜ ∂u ˜ ∂u ˜ ∂u = =δ , ∂x ∂x ∂ x ˜ ∂x ˜

∂w ˜ ∂w = δ2 , ∂x ∂x ˜

∂w ∂ w˜ =δ , ∂z ∂ z˜

etc.

En ne gardant que les termes d’ordre dominant, les équations deviennent : ∂u ˜ 1 ∂ p˜ ∂u ˜ + = 0, +u ˜ ∂x ˜ ρ ∂x ˜ ∂ t˜

1 ∂ p˜ = −g, ρ ∂ z˜

∂u ˜ ∂w ˜ + = 0, ∂x ˜ ∂ z˜

qui s’écrivent sous la forme requise puisque ∂ u ˜/∂ z˜ = 0. 5. Les conditions limites au fond et sur la surface libre s’expriment de la même façon qu’en I.2 et I.3 avec des tildes. 6. En intégrant par rapport à z la deuxième équation obtenue en I.4 et ˜ x, t˜), on en tenant compte de la condition dynamique p˜ = p0 en z˜ = h(˜ obtient : ˜ x, t˜) − z˜). p(˜ x, z˜, t˜) = p0 + ρg(h(˜ 7. L’équation de continuité intégrée par rapport à z donne : w ˜ + z˜

∂u ˜ = K(˜ x, t˜). ∂x ˜

La condition en z˜ = f˜(˜ x) implique K(˜ x, t˜) = ∂(˜ uf˜)/∂ x ˜. La condi˜ en tion cinématique à l’interface permet d’exprimer w ˜ en fonction de h ˜ z˜ = h(˜ x, t˜). On obtient l’équation (2.1). 8. L’équation (2.2) s’obtient en remplaçant la pression par son expression obtenue en I.6.

Partie II 1. Les équations (2.1) et (2.2) deviennent respectivement : ∂c ∂c c ∂u +u + = 0, ∂t ∂x 2 ∂x

∂u ∂u ∂c +u + 2c = 0. ∂t ∂x ∂x

2. En combinant ces deux équations, on obtient aisément l’équation demandée. 52

2.1. Propagation et amplification d’un tsunami

3. Le calcul direct donne : d ∂ω dX ∂ω ∂ω ∂ω dΩ = ω(X(t), t) = + = + (u + c) = 0. dt dt ∂t dt ∂x ∂t ∂x Donc ω(x, t) est invariant le long des courbes x = X(t). 4. On montre de même que ω = u − 2c est invariant le long des courbes définies par dX/dt = u − c. Les grandeurs ω ± = u ± 2c sont les invariants de Riemann, et les courbes x = X ± (t) définies par dX ± /dt = u ± c le long desquelles elles se conservent sont les courbes de Mach.

Partie III 1. Après linéarisation, c’est-à-dire en négligeant les termes d’ordre ε2 devant ceux d’ordre ε, les équations (2.1) et (2.2) deviennent : ∂u ∂h + h0 = 0, ∂t ∂x

∂u ∂h +g = 0, ∂t ∂x

qui se réduisent facilement à l’équation : 2  ∂ 2 h 2∂ h − c = 0 avec 0 ∂t2 ∂x2

c0 =



gh0 .

C’est « l’équation des ondes », bien connue en acoustique et électromagnétisme. 2. La pulsation s’exprime par ω = ±c0 k. Le mouvement de la surface libre est une onde sinusoïdale de longueur d’onde λ = 2π/k se propageant avec la célérité c0 . On voit que dans ce modèle toutes les vagues, courtes ou longues, se propagent à la même célérité : on dit alors que les ondes sont non dispersives, comme les ondes acoustiques. Rappelons en revanche que les vagues en eaux profondes sont dispersives. C’est donc une particularité de la faible profondeur. 3. Application numérique : La célérité de l’onde est donc c0 ≈ 200 m/s soit 720 km/h ! Le tsunami mettra donc 5 h 33 min pour atteindre la côte. 4. En présence d’une pente constante, l’équation des ondes devient : ∂ 2 h ∂h ∂ 2 h = 0, − g(h − ax) + ag 0 ∂t2 ∂x2 ∂x 53

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

5. Lorsque la pente est faible, on obtient, après substitution, la relation de dispersion : ω 2 = c20 k2 + iagk. En séparant les parties réelles et imaginaires, nous obtenons : 1 kr = ± c0

 ω2 −

ga2 , 4h0

ki = −

a . 2h0

En prenant la partie réelle de h (x, t), la surface libre s’exprime donc par : h(x, t) = h0 + εe−ki x cos(kr x − ωt). Puisque ki < 0 pour une vague incidente, son amplitude εeax/2h0 croît exponentiellement à proximité de la plage. Bien entendu, les effets non linéaires (déferlement par exemple) prendront le relais et ce résultat cessera d’être valide. Pour en savoir plus Le problème présenté ici est une version « musclée » d’un de ceux publiés par : D. Desjardins, M. Combarnous & N. Bonneton : Mécanique des fluides : problèmes résolus avec rappels de cours, Dunod (2002). Nous y avons ajouté la dérivation formelle des équations en eaux peu profondes et les invariants de Riemann. Le système d’équations (2.1) et (2.2) est mathématiquement équivalent à celui d’un gaz se propageant dans une conduite. Mathématiquement, le système est hyperbolique et conduit à la formation de discontinuité qui sont les ondes de choc dans le gaz ou les ressauts hydrauliques dans un fluide en eaux peu profondes. Deux excellents ouvrages sur ces sujets sont : G. B. Whitham : Linear and nonlinear waves, Wiley (1974) ; J. Lighthill : Waves in fluids, Cambridge (1978).

2.2. Critère bidimensionnel de Rayleigh On considère un écoulement stationnaire à lignes de courant circulaires dont le mouvement s’effectue dans le plan (O; x, y). En coordonnées polaires, son champ de vitesse est azimutal, u = V (r)eθ , et sa pression est notée P (r). 54

2.2. Critère bidimensionnel de Rayleigh

L’objectif du problème est de caractériser la stabilité de cet écoulement par rapport à des perturbations bidimensionnelles. Le fluide est supposé parfait, incompressible et l’effet de la gravité ne sera pas pris en compte. La masse volumique du fluide est notée ρ. 1. Établissez la relation liant V (r) et P (r). 2. Soit ε un paramètre réel positif mesurant l’amplitude initiale d’une perturbation. En posant : u = ε˜ u(r, θ, t),

v = V (r) + ε˜ u(r, θ, t),

p = P (r) + ε˜ p(r, θ, t),

et en supposant ε  1, écrivez les équations linéarisées régissant l’évolution de la perturbation. On pourra poser : Ω(r) = V /r,

W (r) = dV /dr + V /r.

3. En introduisant la fonction de courant ψ(r, θ, t) de la perturbation, définie par : ∂ψ 1 ∂ψ , v˜ = − , u ˜= r ∂θ ∂r montrez, en éliminant la pression, que les équations linéarisées se ramènent à:   ∂ W  ∂ψ ∂ +Ω Δψ − = 0, ∂t ∂θ r ∂θ où W  (r) = dW/dr. 4. En recherchant la solution sous la forme : ψ(r, θ, t) = φ(r)est eimθ , où s est une inconnue complexe et m un entier donné, écrivez une équation différentielle du second ordre pour φ(r). Donnez la signification de s et m. 5. Afin d’établir un critère de stabilité, on suppose que le fluide est compris entre deux parois circulaires de rayons R1 et R2 . Écrivez les conditions limites satisfaites par φ(r). 6. En multipliant l’équation obtenue à la question 4 par rφ∗ /(s + imΩ) où φ∗ (r) désigne le complexe conjugué de φ(r), montrez que R2 R1

avec

φ (r)

 m2 2 imW  2 |φ| + |φ| dr = 0, r|φ | + r s + imΩ  2

= dφ/dr. 55

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

7. Déterminez la partie imaginaire de l’intégrale ci-dessus. 8. Déduisez-en la condition nécessaire d’instabilité ci-dessous, établie par Rayleigh en 1880 : Si l’écoulement de vitesse V (r)eθ est instable, alors W  (r) change de signe dans l’écoulement. 9. Comment s’exprime W  (r) lorsque r 1 ? À quoi ressemble localement l’écoulement et quel critère retrouve-t-on ? 1. D’après la projection sur eθ de l’équation d’Euler, on a dP/dr = ρV 2 /r. 2. En injectant dans les équations du mouvement, en tenant compte de la relation obtenue à la question précédente, et en négligeant les termes d’ordre ε2 devant ceux d’ordre ε, on obtient les équations linéarisées :   ∂ ∂ 1 ∂ p˜ +Ω u ˜ − 2Ω v˜ + = 0, (2.3) ∂t ∂θ ρ ∂r   ∂ 1 ∂ p˜ ∂ +Ω v˜ + W u ˜+ = 0, (2.4) ∂t ∂θ ρr ∂θ 1 ∂˜ v 1 ∂ (r˜ u) + = 0. (2.5) r ∂r r ∂θ 3. On élimine la pression en effectuant les opérations suivantes : ∂ ∂ (2.3) − (r × (2.4)), ∂θ ∂r puis on remplace u ˜ et v˜ en fonction de ψ pour obtenir l’équation demandée. 4. Si positive, la partie réelle de s donnera le taux de croissance de la perturbation et l’écoulement sera instable. La partie imaginaire de s est la pulsation de la perturbation. L’entier m représente son nombre d’onde azimutal. Avec ψ(r, θ, t) = φ(r)est eimθ , l’équation ci-dessus devient :   φ φ  2 φ − m 2 − imW  = 0. (s + imΩ) φ + r r r

(2.6)

5. Le fluide parfait glisse sur les parois, soit u ˜ = 0 en r = R1,2 . Mais puisque u ˜(r, θ, t) = (im/r)φ(r)est eimθ , cela implique φ(R1,2 ) = 0. 56

2.2. Critère bidimensionnel de Rayleigh

6. En multipliant l’équation (2.6) par rφ∗ /(s + imΩ) et en intégrant par parties, on obtient : R2 R1

 m2 2 imW  2 2 |φ| + |φ| dr = [rφ φ∗ ]R r|φ | + R1 = 0, r s + imΩ  2

puisque φ(R1,2 ) = 0 équivaut à φ∗ (R1,2 ) = 0. 7. La seule difficulté consiste à déterminer la partie imaginaire de i/(s + imΩ). On multiplie numérateur et dénominateur par (s + imΩ)∗ :   Im(is∗ ) Re(s) i = = . Im s + imΩ |s + imΩ|2 |s + imΩ|2 La partie imaginaire de l’intégrale vérifie donc : R2 Re(s) R1

W  |φ|2 dr = 0. |s + imΩ|2

8. Si l’écoulement est instable, alors par définition Re(s) > 0 et l’égalité ci-dessus s’écrit :  R2  2 2 R1 W (r)f (r)dr = 0 avec f (r) = |φ| /|s+imΩ| . Mais puisque f (r) > 0 pour tout r, l’intégrale ci-dessus ne peut être nulle que si la fonction W  (r) présente une contribution positive et une contribution négative, et donc change de signe dans l’intervalle d’intégration. D’où le critère de Rayleigh. 9. W  (r) ≈ V  (r) lorsque r 1. Localement, l’écoulement est rectiligne et cisaillé dans la direction perpendiculaire, et les lignes de courant sont parallèles. Par exemple pour θ = 3π/2, l’écoulement de vitesse V (r)eθ est localement identique à celui de vitesse U (y)ex . Dans ce cas, le critère de Rayleigh nous dit que si l’écoulement est instable alors W  (r) donc V  (r) et U  (y) changent de signe dans l’écoulement. Ceci revient à dire que : Si l’écoulement cisaillé parallèle est instable, alors le profil de vitesse présente au moins un point d’inflexion. C’est le fameux critère du point d’inflexion obtenu par Rayleigh en 1880. 57

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

Pour en savoir plus Le critère du point d’inflexion de Rayleigh est un classique en stabilité hydrodynamique. Sur ce passionnant domaine, l’ouvrage de référence demeure : P. G. Drazin & W. H. Reid : Hydrodynamic stability, Cambridge (1981). Je recommande également la monographie en français de : F. Charru : Instabilités hydrodynamiques, EDP Sciences/CNRS Éditions (2007).

2.3. Instabilité barocline d’un fluide stratifié  = Ωez autour de Dans un repère (O; x, y, z) en rotation à la vitesse angulaire Ω l’axe vertical (Oz), on considère le mouvement d’un fluide parfait incompressible et conducteur de la chaleur, soumis à la gravité g = −gez . En supposant les différences de température assez faibles au sein du fluide, son mouvement est alors régi par les équations dites de Boussinesq qui, en repère tournant, s’écrivent :  u + 2Ω  ∧ u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = −αθg,  = 0, ∂θ/∂t + u · ∇θ div u = 0, où u(x, t), p(x, t) et θ(x, t) désignent respectivement les champs de vitesse, de pression et de température. Les paramètres constants positifs α et ρ sont respectivement le coefficient de dilatation thermique et la densité moyenne du fluide. Le problème consiste à étudier la stabilité de l’écoulement cisaillé verticalement dont le champ de vitesse est donné par : u = U (z)ex = Szex ,

S constante.

1. En posant θ = Θ(y, z) = βz − γy où γ et β > 0 sont des constantes, déterminez la pression p = P (y, z) de l’écoulement et montrez que γ = f S/αg avec f = 2Ω. 2. Pour caractériser la stabilité de cet écoulement, on pose : u = U (z)ex + εu (x, y, z, t), θ = Θ(y, z) + εθ  (x, y, z, t), p = P (y, z) + εp (x, y, z, t), le paramètre réel ε > 0 caractérisant l’amplitude initiale de la perturbation. En supposant ε  1, écrivez les équations linéarisées du problème. 58

2.3. Instabilité barocline d’un fluide stratifié

3. On suppose que l’écoulement se produit dans l’espace compris entre deux parois planes horizontales définies par z = 0 et z = H. Exprimez les conditions de glissement. 4. Afin d’obtenir des équations sous forme adimensionnelle, on effectue le changement de variables suivant : t = (1/S)t˜, u (x, y, z, t) = (SH)˜ u(˜ x, y˜, z˜, t˜),  v (˜ x, y˜, z˜, t˜), v (x, y, z, t) = (SH)˜

x = Hx ˜,

y = H y˜,

z = H z˜,



w (x, y, z, t) = (S 2 H/f )w(˜ ˜ x, y˜, z˜, t˜), p(˜ x, y˜, z˜, t˜), p (x, y, z, t) = (ρf SH 2 )˜ ˜ x, y˜, z˜, t˜), θ  (x, y, z, t) = (f SH/αg)θ(˜ où H désigne la hauteur de l’écoulement. À l’aide de ces nouvelles variables, montrez que les équations du problème s’écrivent sous la forme suivante, en supprimant les tildes pour alléger les notations : Ro

∂p Du Dv ∂p Dw ∂p + Ro2 w + = v, Ro + = −u, Ro2 + = θ, Dt ∂x Dt ∂y Dt ∂z Dθ ∂u ∂v ∂w = v − Bu w, + + Ro = 0, Dt ∂x ∂y ∂z

où D/Dt = ∂/∂t + z∂/∂x, et Ro et Bu sont deux nombres sans dimension appelés respectivement nombres de Rossby et de Burgers dont on donnera les expressions. 5. Exprimez les conditions limites sous forme adimensionnelle. 6. Soit ξ = ∂v/∂x − ∂u/∂y la vorticité verticale de l’écoulement. Exprimez Dξ/Dt en fonction de w. 7. On suppose maintenant que la rotation du repère domine sur le cisaillement, c’est à dire : |S|/|f |  1. Dans ce régime, dit géostrophique, montrez que le problème se ramène à : D Dt



∂2p Bu Δh p + 2 ∂z

 = 0,

(2.7)

où Δh = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 désigne le laplacien horizontal. 59

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

8. Montrez que les conditions limites deviennent :   ∂p D ∂p = en z = 0 et z = 1. Dt ∂z ∂x

(2.8)

9. On recherche la solution du problème sous la forme p(x, y, z, t) = pˆ(z)eia(x−ct) eiby , où a et b sont réels et c = cr + ici complexe. Que se passe-t-il si ci > 0 ? 10. Déterminez pˆ(z) à l’aide de l’équation (2.7). On posera

q = Bu (a2 + b2 ). 11. À l’aide des conditions limites (2.8) établissez une équation du second degré pour c et explicitez c en fonction de q. On montre que ci > 0 si et seulement si q < 2.4 : c’est l’instabilité barocline. 1. Avec u = U (z)ex = Szex et θ = Θ(y, z) = βz − γy, les deux dernières équations du mouvement (conservation de la température et de la masse) sont automatiquement satisfaites. Il reste donc à satisfaire les équations de conservation de la quantité de mouvement. Celles-ci donnent : ∂p ∂p ∂p = 0, = −ρf Sz, = ραg(βz − γy). ∂x ∂y ∂z Les deux premières impliquent p = P (y, z) = −ρf yz + F (z) et la troisième : γ = f S/αg et F (z) = P0 + 12 ραβgz 2 avec P0 constante. 2. En injectant la solution sous la forme demandée dans les équations de Boussinesq, en tenant compte des expressions obtenues précédemment pour Θ(y, z) et P (y, z), en négligeant les termes d’ordre ε2 devant ceux d’ordre ε car ε  1, et en simplifiant par ε (ouf !), on obtient alors les équations linéarisées suivantes : 1 ∂p Du + Sw + = f v , Dt ρ ∂x Dw 1 ∂p + = αgθ  , Dt ρ ∂z ∂u ∂v  + + ∂x ∂y où ici : D/Dt = ∂/∂t + Sz∂/∂x. 60

Dv  1 ∂p + = −f u , Dt ρ ∂y Dθ  = γv  − βw , Dt ∂w = 0, ∂z

2.3. Instabilité barocline d’un fluide stratifié

3. La condition de glissement u · n = 0 se traduit par w = 0 en z = 0 et H. 4. Les nombres de Rossby et Burgers sont définis respectivement par : Ro = S/f,

Bu = αβg/f 2 .

5. Les conditions limites deviennent w = 0 en z = 0 et z = 1. 6. Pour obtenir l’expression de Dξ/Dt, on applique ∂/∂y à la première équation, ∂/∂x à la seconde, on soustrait et, en tenant compte de l’équation de continuité, nous obtenons finalement : ∂w ∂w Dξ = Ro + . Dt ∂y ∂z 7. La limite géostrophique revient donc à considérer Ro  1 dans les équations. Les équations du problème deviennent alors, en omettant la continuité qui ne sert plus : ∂p = v, ∂x

∂p = −u, ∂y

∂p = θ, ∂z

Dθ = v − Bu w, Dt

∂w Dξ = . Dt ∂z

Pour obtenir l’équation demandée, on calcule à l’aide des trois premières : Bu Δ h p +

∂2p ∂θ , = Bu ξ + 2 ∂z ∂z

et on applique l’opérateur D/Dt = ∂/∂t + z∂/∂x en tenant compte du fait que :     D ∂θ ∂ Dθ ∂θ ∂v ∂2p Dξ ∂w + = Bu + − = − = 0. Bu Dt Dt ∂z ∂z ∂z Dt ∂x ∂z ∂x∂z 8. En z = 0 et z = 1 : w = 0. Cela implique Dθ/Dt = v d’où le résultat. 9. Si ci > 0 la perturbation croît exponentiellement et l’écoulement est instable. 10. L’équation (2.7) donne pˆ (z) = q 2 pˆ(z). La solution est : pˆ(z) = p1 cosh qz + p2 sinh qz. 11. La condition limite (2.8) en z = 0 donne p1 = −cqp2 . En z = 1 on obtient : (1 − c)(qp1 sinh q + qp2 cosh q) = p1 cosh q + p2 sinh q. 61

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

En éliminant p1 ou p2 , on obtient l’équation du second degré : (q 2 sinh q)(c2 − c) + (q cosh q − sinh q) = 0. La solution est : c = 1/2 ±



1/4 − (coth q)/q + 1/q 2 .

La fonction f (q) = 1/4 − (coth q)/q + 1/q 2 est négative pour 0 < q < qc où qc ≈ 2.4 est la racine positive de f (q), et positive pour q > qc . La partie imaginaire de c est donc non nulle si et seulement si q < 2.4. Notons qu’il existe alors une solution exponentiellement décroissante et une solution exponentiellement croissante : la première correspond donc à une perturbation qui s’amortira et la seconde à une perturbation qui s’amplifiera. Les deux coexistent mais seule la seconde joue un rôle significatif dans le développement de l’instabilité. Pour en savoir plus Ce mécanisme d’instabilité fut découvert par le météorologue Eady en 1949. La dérivation présentée ici suit celle donnée par : P. G. Drazin & W. H. Reid : Hydrodynamic stability, Cambridge (1981).

2.4. Instabilité d’un cisaillement tournant Dans le repère local relatif (O; x, y, z) lié à la Terre, on considère le mouvement d’un fluide parfait incompressible dont la vitesse est donnée par u = U (y)ex . Il s’agit donc d’un écoulement cisaillé dans le plan (O; x, y) et l’objectif du problème est de caractériser sa stabilité sous l’effet de la rotation planétaire autour de l’axe vertical (Oz). Dans le repère relatif, les équations du mouvement sont :  u + 2Ω  ∧ u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = g , div u = 0,  = Ωez désigne le vecteur rotation du repère, et g = −gez la gravité. On où Ω notera dans le problème f = 2Ω. 62

2.4. Instabilité d’un cisaillement tournant

Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.

Partie I. Équation du problème 1. Déterminez à l’aide des équations du mouvement la pression p = P (y, z) de l’écoulement de vitesse u = U (y)ex . 2. Pour caractériser la stabilité de cet écoulement, on pose : u = U (y)ex + εu (x, y, z, t),

p = P (y, z) + εp (x, y, z, t),

où le paramètre réel positif ε caractérise l’amplitude initiale de la perturbation. En supposant ε  1, écrivez les équations linéarisées du problème. 3. On recherche la solution du problème linéarisé sous la forme u(y), vˆ(y), w(y), ˆ ρˆ q (y)]est+ikz , [u , v  , w , p ] = [ˆ où k > 0 est réel et s = σ + iω complexe. Que signifient k, σ et ω ? 4. Montrez que le problème se ramène à l’étude de l’équation :   d2 vˆ 2 Φ(y) −k + 1 vˆ = 0, dy 2 s2

(2.9)

où Φ(y) = f (f − dU/dy).

Partie II. Critère d’instabilité 1. On suppose que l’écoulement est compris entre deux parois verticales d’équations y = 0 et y = L. Écrivez les conditions aux limites. 2. En multipliant l’équation (2.9) par vˆ∗ (y) le complexe conjugué de vˆ(y) et en intégrant entre y = 0 et L, montrez que : L s = −A

Φ(y)|ˆ v (y)|2 dy,

2

0

où A est un réel strictement positif dont on donnera l’expression. 3. En déduire que : (a) l’écoulement est stable si Φ(y)  0 partout ; (b) l’écoulement est instable si Φ(y) < 0 partout. 63

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

4. Résolvez l’équation (2.9) pour U (y) = Cy avec C constante, et déterminez s2 à l’aide des conditions limites. Comparez avec les résultats de la question précédente.

Partie III. Construction de la solution Revenons au cas où U (y) est quelconque. La partie précédente a permis de conclure lorsque Φ(y) est négatif ou positif partout. L’objectif est maintenant d’étudier le cas où Φ(y) change de signe dans l’écoulement. Dans l’intervalle où Φ(y) < 0, définissons :

λ(y) = −Φ(y), et supposons que la fonction λ(y) atteigne son maximum en y0 . Posons : λ0 = λ(y0 ) > 0,

λ1 = λ (y0 ) = 0,

λ2 = λ (y0 ) < 0.

De plus, en supposant k 1, on définit δ = 1/k  1 ainsi que les nouvelles variables s˜, y˜ et v˜(˜ y) : √ s, y = y0 + δy˜, vˆ(y) = v˜(˜ y ). s = λ0 − δ˜ 1. Montrez que l’équation (2.9) devient, lorsque δ  1 :   2˜ s d2 v˜ 2 2 + − 4B y˜ v˜ = 0. d˜ y2 λ0 2. L’équation ci-dessus est celle de l’oscillateur harmonique quantique. Sa solution décroissant à l’infini la plus simple est une gaussienne : v˜(˜ y) = K exp(−B y˜2 ) avec K constante arbitraire. Déterminez s˜ et concluez sur la stabilité de l’écoulement.

Partie I 1. Avec u = U (y)ex , les équations du mouvement s’écrivent : ∂p = 0, ∂x

∂p = −ρf U (y), ∂y

∂p = −ρg, ∂z

l’équation de continuité étant automatiquement satisfaite. D’où la pression :  p = P (y, z) = P0 − ρgz − ρf U (y)dy.

64

2.4. Instabilité d’un cisaillement tournant

2. Les équations linéarisées du problème sont : Du + Dt



dU −f dy



v +

1 ∂p = 0, ρ ∂x

Dw 1 ∂p + = 0, Dt ρ ∂z

1 ∂p Dv  + f u + = 0, Dt ρ ∂y

∂u ∂v  ∂w + + = 0, ∂x ∂y ∂z

où D/Dt = ∂/∂t + U (y)∂/∂x. 3. k est nombre d’onde de la perturbation, σ son taux de croissance (si positif) et ω sa pulsation. 4. Sous la forme choisie, la perturbation ne dépend plus de x et les équations linéarisées deviennent : sˆ u + (dU/dy − f )ˆ v = 0,

(2.10)

sˆ v + fu ˆ + dˆ q /dy = 0,

(2.11)

sw ˆ + ikqˆ = 0,

(2.12)

dˆ v /dy + ikw ˆ = 0.

(2.13)

En dérivant (2.13) par rapport à y et en tenant compte de (2.12), on obtient : q d2 vˆ k2 dˆ = 0. + dy 2 s dy Tenant compte de (2.10) et (2.11), nous obtenons finalement l’équation (2.9) donnée dans l’énoncé.

Partie II 1. Les conditions limites sont le glissement du fluide aux parois, u · n = 0, soit dans le cas présent : vˆ = 0 en y = 0 et y = L. 65

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

2. En multipliant l’équation (2.9) par vˆ∗ (y) le complexe conjugué de vˆ(y) et en intégrant par parties entre y = 0 et L, on obtient : L 0=

L 

d2 vˆ vˆ∗ 2 dy dy

−k

L

L

0



2

 Φ + 1 |ˆ v |2 dy s2

0

v ∗ dˆ

= vˆ

dy

− 0

v∗ dˆ v dˆ dy − k2 dy dy

0

L 

 Φ + 1 |ˆ v |2 dy s2

0

 L  2 L    dˆ Φ v 2   + 1 |ˆ v |2 dy, = −   dy − k dy s2 0

0

= 0 en y = 0 et L. D’où l’égalité : L v |2 dy 2 2 0 Φ|ˆ s = −k  L , v /dy|2 + k2 |ˆ v |2 )dy 0 (|dˆ

tenant compte du fait que

soit s2 = −A

L 0

vˆ∗

(2.14)

Φ|ˆ v |2 dy avec A réel strictement positif.

3. Notons d’abord que puisque s2 = (σ + iω)2 = σ 2 − ω 2 + 2iσω, la partie imaginaire de l’égalité ci-dessus donne σω = 0, c’est-à-dire soit σ = 0, soit ω = 0. (a) Si Φ  0 partout, alors σ 2 − ω 2  0 d’après (2.14). D’où σ = 0 et l’écoulement est stable vis-à-vis de ce type de perturbation. (b) Si Φ < 0 partout, alors σ 2 − ω 2 > 0, d’où ω = 0 et σ = ± la racine carrée du second membre de (2.14). On a donc coexistence d’une perturbation croissante et d’une perturbation décroissante en temps. Seule la première affectera l’écoulement qui du coup est instable. 4. Si U (y) = Cy, l’équation (2.9) est de la forme vˆ + α2 v = 0 avec α2 = −k2 (Φ/s2 +1) constante positive ou négative, de sorte que α est soit réel soit imaginaire pur. La solution est donc vˆ(y) = C1 cos αx+C2 sin αx. La condition vˆ(0) = 0 implique C1 = 0 alors que vˆ(L) conduit à : s2 =

−Φ , (nπ/kL)2 + 1

n entier.

L’écoulement est donc instable si Φ = f (f − C) < 0 et stable si Φ  0. On retrouve donc les conditions établies à la question précédente. 66

2.4. Instabilité d’un cisaillement tournant

Partie III 1. Il convient d’exprimer correctement chaque terme de l’équation (2.9). La seule difficulté est le terme : 2  √   λ0 + δ y˜λ1 + 12 δy˜2 λ2 + · · · λ(y) 2 Φ(y) =− =− s2 s λ0 − δ˜ s   2˜ s λ2 2 = −1 − δ + y˜ + · · · . λ0 λ0 Après simplification, on obtient finalement l’équation :   2˜ s λ2 2 d2 v˜ + + y˜ v˜ = 0. d˜ y2 λ0 λ0 1

Donc B = 12 (−λ2 /λ0 ) 2 est réel puisque λ0 > 0 et λ2 < 0 par définition. 2. Avec v˜(˜ y ) = K exp(−B y˜2 ), l’équation ci-dessus est satisfaite quand s˜ = λ0 B qui est donc un réel positif. Finalement, le comportement du taux de croissance lorsque k 1 est donné par : 1

σ = λ0 − (−λ0 λ2 ) 2 /2k. L’écoulement est par conséquent instable lorsque Φ(y) < 0 quelque part. Pour en savoir plus Le critère d’instabilité présenté ici fut obtenu par : T. J. Pedley : J. Fluid Mech. 35, 97 (1969). Il est néanmoins facile de le déduire d’un critère obtenu par Rayleigh en 1916 pour l’instabilité centrifuge. La construction des perturbations décrites dans la troisième partie s’inspire des travaux de : B. J. Bayly : Phys. Fluids 31, 56 (1988). L’instabilité abordée ici et l’instabilité elliptique évoquée plus loin appartiennent à la grande famille des instabilités localisées, décrites par : S. Friedlander & A. Lipton-Lifschitz : In Handbook of mathematical fluid dynamics, vol. 2, pp. 289–354, North-Holland (2003).

67

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

2.5. Stabilité globale d’une rotation uniforme On considère un fluide visqueux incompressible de masse volumique ρ et de viscosité cinématique ν soumis à la pesanteur et occupant l’intérieur d’une enceinte  (x, t) et fermée déformable D(t) dont le bord S(t) est imperméable. On note U P (x, t) les champs de vitesse et de pression d’un écoulement dont on souhaite caractériser la stabilité.  et P . 1. Écrivez les équations et les conditions limites satisfaites par U 2. Pour caractériser la stabilité de cet écoulement, une perturbation de vitesse u(x, t) et de pression p(x, t) lui est superposée. En remplaçant respective et P par U  + u et P + p dans les équations du mouvement, montrez ment U que la perturbation satisfait les équations suivantes, où f (x, t) est une fonction que l’on précisera : ¯ u + (rot u) ∧ u + ∇f  = νΔu, Du/Dt + L div u = 0, ¯=∇ ¯U  ·∇  et L  . On rappelle que : où D/Dt = ∂/∂t + U  1 u2 ).  u = (rot u) ∧ u + ∇( (u · ∇) 2 3. Quelle est la condition limite satisfaite par u sur le bord ? 4. On cherche à déterminer l’évolution de l’énergie cinétique totale de la perturbation à l’intérieur de l’enceinte :  ρ u2 dV. ec (t) = 2 D(t)

(a) Soit f (x, t) un champ scalaire. Expliquez pourquoi :   Df d f dV = dV. dt Dt D(t)

D(t)

¯=∇ ¯U  . Montrez que : (b) Soit S¯ la partie symétrique de L ui Lij uj = ui Sij uj . ¯ u. Montrez que : (c) Soit ¯ = ∇ u · Δu = div (¯T u) − ij ij . 68

2.5. Stabilité globale d’une rotation uniforme

(d) À l’aide des questions précédentes, montrez que l’énergie cinétique totale de la perturbation vérifie l’équation suivante, dite de Reynolds :  dec =− (ρui Sij uj + μij ij )dV. (2.15) dt D(t)

5. L’équation de Reynolds (2.15) permet de caractériser la stabilité globale  . Celui-ci est stable si l’énergie cinétique totale d’un écoulement de vitesse U de la perturbation ec (t) décroît au cours du temps. Considérons l’écoulement de vitesse :  (x) = Ω  ∧ x, U

 = Ωez . Ω

(a) Déterminez l’allure des trajectoires. ¯ (b) Calculez la vorticité et le tenseur S. (c) Déterminez le signe de dec /dt et concluez.  et la pression P satisfont les équations de Navier-Stokes : 1. La vitesse U  /∂t + (U  · ∇)  U  + ∇P/ρ   + g , ∂U = νΔU  = 0. div U | = V p . p : U La condition limite est l’adhérence à la paroi de vitesse V S  et 2. En remplaçant dans les équations et en tenant compte du fait que U P sont elles-mêmes solutions des équations de Navier-Stokes, la perturbation satisfait : ¯ u + (u · ∇)  u + ∇p/ρ  Du/Dt + L = νΔu, div u = 0, ¯=∇ ¯U  ·∇  et L  . En effet : où D/Dt = ∂/∂t + U ¯ u.  U  = uj ∂j Uiei = Ui,j uj ei = Lij uj ei = L (u · ∇)  u = (rot u) ∧ u + ∇(  1 u2 ), on en déduit l’équation dePuisque (u · ∇) 2 mandée, avec f = 12 u2 + p/ρ.  + u)| = 3. En présence de la perturbation, la condition limite devient : (U S | = V p , on en déduit donc u| = 0. p . Compte tenu du fait que U V S S 69

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

4. (a) Le domaine D(t) est un domaine matériel puisque toujours consti tué des mêmes particules fluides. Pour le mouvement de vitesse U on a donc l’égalité :   d Df dV. ρf dV = ρ dt Dt D(t)

D(t)

La masse volumique étant constante, on en déduit l’égalité demandée. ¯ peut s’écrire sous la forme L ¯ = S¯ + A¯ où (b) Comme tout tenseur, L ¯ L ¯ T ) est symétrique et S¯ = 1 (L ¯ −L ¯ T ) est antisymétrique. S¯ = 12 (L+ 2 Par conséquent : ui Lij uj = ui Sij uj + ui Aij uj = ui Sij uj , car ui Aij uj = −ui Aji uj = −uj Aij ui par commutation des indices i et j, d’où ui Aij uj = −ui Aij uj = 0. (c) u · Δu = ui ui,jj = (ui ui,j ),j − ui,j ui,j = div (¯T u) − ij ij . (d) On multiplie l’équation obtenue à la question I.2 scalairement par u. En tenant compte du fait que  = div (f u) − f div u = div (f u), u · ∇f on obtient : D( 12 u2 )/Dt + ui Sij uj + div (f u − ¯T u) = −νij ij . L’équation de Reynolds est alors obtenue après intégration sur D(t), en tenant compte du fait que   T ¯ div (f u −  u)dV = (f u − ¯T u) · ndS = 0, D(t)

S(t)

puisque u = 0 sur S(t). 5. (a) Les trajectoires s’obtiennent par la résolution de :  X˙ = U = −ΩY, X(0) = x0 , Y˙ = V = +ΩX, Y (0) = y0 , soit X 2 (t) + Y 2 (t) = x20 + y02 = constante. Les trajectoires sont donc des cercles.  = 2Ωez et S¯ = ¯0. (b) La vorticité est rot U 70

2.6. Instabilité d’un écoulement elliptique

(c) Puisque S¯ = ¯ 0 et ij ij  0, l’équation de Reynolds implique dec /dt  0. L’énergie cinétique de la perturbation décroît et l’écoulement en rotation uniforme est inconditionnellement globalement stable. Pour en savoir plus L’équation d’évolution de l’énergie cinétique de la perturbation fut dérivée par Reynolds en 1895. La méthode énergétique évoquée ici est développée dans : D. D. Joseph : Stability of fluid motions, part I, Springer (1976).

2.6. Instabilité d’un écoulement elliptique L’objectif du problème est de montrer que l’écoulement dont le champ de  (x) défini par : vitesse U ⎛

⎞⎛ ⎞ 0 ε−1 0 x ¯ x = Ω ⎝ε + 1 0 0⎠ ⎝y ⎠ ,  (x) = L U 0 0 0 z avec Ω > 0, est instable lorsque 0 < ε  1. Le fluide sera supposé parfait et incompressible, et la gravité ne sera pas prise en compte. On notera ρ sa masse volumique. Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie I. Formulation du problème 1. Rappelez les équation du mouvement d’un fluide parfait incompressible de vitesse u(x, t) et de pression p(x, t). ¯ x défini ci-dessus est solution  (x) = L 2. Montrez que l’écoulement de vitesse U des équations du mouvement ; on cherchera la pression sous la forme P (x) = ¯ x)·x où Q ¯ est un tenseur symétrique que l’on précisera. Déterminez P0 +ρ(Q les isobares. 71

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

3. Calculez Ψ (x, y) la fonction de courant de l’écoulement et déterminez l’allure des lignes de courant lorsque 0 ≤ ε < 1. Que représente Ω dans le cas où ε = 0 ? On rappelle que : U = ∂Ψ/∂y,

V = −∂Ψ/∂x.

 (x) + u (x, t) et p(x, t) = P (x) + p (x, t). Déterminez 4. Soient u(x, t) = U les équations satisfaites par la perturbation de vitesse u (x, t) et pression p (x, t), sans chercher à les linéariser. Écrivez-les également sous forme indicielle. 5. On pose maintenant : 

u (x, t) = a(t)eik(t)·x ,



p (x, t) = iρq(t)eik(t)·x ,

où k(t), a(t) et q(t) sont des fonctions réelles inconnues. Traduisez la condition d’incompressibilité et montrez que : dki dk ¯ T  + L k = 0, + Lji kj = 0, dt dt dai da ¯ + La = qk, + Lij aj = qki . dt dt

(2.16) (2.17)

Partie II. Équation de Mathieu En posant f (t) = k2a · ez avec k2 (t) = kx2 + ky2 + kz2 , on montre (voir annexe) que les équations (2.16) et (2.17) peuvent être ramenées à une unique équation différentielle du second ordre : k2

d2 f + 4Ω 2 (kz2 + ε(kx2 − ky2 ) − ε2 k2 )f = 0. dt2

(2.18)

1. En cherchant la solution de (2.16) de la forme : ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 kx (1 + ε) 2 sin θ cos γt ⎟ 1 k(t) = ⎝ky ⎠ = ⎜ ⎝ (1 − ε) 2 sin θ sin γt ⎠ , kz cos θ déterminez l’expression de γ. 2. En supposant ε  1, montrez que l’équation (2.18) s’écrit, au premier ordre en ε : d2 f + (ω 2 + 4εβ cos 2Ωt)f = 0, (2.19) dt2 72

2.6. Instabilité d’un écoulement elliptique

où l’on précisera les expressions de ω et β. C’est l’équation de Mathieu qui régit également le mouvement d’un pendule de pulsation propre ω dont le support oscille verticalement à la pulsation Ω/2. 3. Donnez la solution générale de l’équation (2.19) lorsque ε = 0. 4. Lorsque 0 < ε  1, on recherche la solution sous la forme : f (t) = (f0 (t) + εf1 (t) + · · · )eεσt , avec σ réel, f0 (t) = A(cos ωt − sin ωt), A constante, et f1 (t) une fonction bornée. Que se passera-t-il si σ > 0 ? 5. Montrez que f1 (t) satisfait l’équation inhomogène : d2 f1 + ω 2 f1 = g(t), dt2

(2.20)

où g(t) est une combinaison linéaire de termes en sinus et cosinus de ωt, (2Ω + ω)t et (2Ω − ω)t. On rappelle que : cos a cos b = 12 (cos(a + b) + cos(a − b)), cos a sin b = 12 (sin(a + b) − sin(a − b)).

6. Une solution particulière de d2 f /dt2 + ω 2 f = A cos μt est : A cos μt ω 2 − μ2

si ω = μ;

At sin μt 2μ

si ω = μ,

et, une solution particulière de d2 f /dt2 + ω 2 f = A sin μt est : A sin μt ω 2 − μ2

si ω = μ;

−

At cos μt 2μ

si ω = μ.

Déduisez-en, en fonction de la valeur du paramètre ω > 0, la solution générale de l’équation (2.20) obtenue à la question précédente. 7. La fonction f1 (t) étant supposée bornée, déterminez la valeur de σ dans les différents cas. 8. Explicitez alors le taux de croissance des perturbations.

73

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

Annexe Soient k(t) = (kx , ky , kz )T , a(t) = (u, v, w)T et : k2 (t) = kx2 + ky2 + kz2 ,

W (t) = kx v − ky u,

S(t) = kx v + ky u.

1. Établir les égalités suivantes : dW/dt = 2Ωkz w,

dS/dt = 2kx ky q + 2Ωkz εw,

k2 q = −2ΩW + 2ΩεS,

dk 2 /dt = −4Ωεkx ky .

2. En déduire l’équation (2.18).

Partie I 1. Les équations d’Euler s’écrivent pour un écoulement incompressible et en l’absence de forces volumiques :  u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = 0, div u = 0. ¯ x, soit U = L x , ∂ U ¯ L ¯ x car  = L  = 0 et (U  · ∇)  U  =L 2. Avec U i ij j t Uk ∂k Ui = Ui,k Uk = Lij xj,k Lkl xl = Lij δjk Lkl xl = Lik Lkl xl . ¯ x) · x, soit P = P + ρQ x x , ∇P/ρ ¯ x car Q ¯  = 2Q Avec P = P0 + (ρQ 0 mn m n est symétrique. Les équations du mouvement impliquent donc : 2 ¯ ¯¯ 1 2 ¯ = −1L Q 2 L = 2 Ω (1 − ε )I.

D’où P (x, y) = P0 + 12 ρΩ 2 (1 − ε2 )(x2 + y 2 ) et les isobares (P constante) sont des cercles.  = 0 se traduit par Notons que la condition d’incompressibilité div U ¯ tr L = Lii = 0 qui est satisfaite ici. 3. Les composantes du champ de vitesse sont : U = −Ω(1 − ε)y et v = Ω(1 + ε)x, d’où, à une constante additive près : Ψ (x, y) = −Ω((1 + ε)x2 + (1 − ε)y 2 ). Puisque 0 < ε < 1, les lignes de courant (Ψ constante) sont des ellipses. Si ε = 0, ce sont des cercles et Ω représente le taux de rotation des particules fluides. 74

2.6. Instabilité d’un écoulement elliptique

4. Les équations satisfaites par la perturbation sont :  · ∇)  u + L ¯ u + (u · ∇)  u + ∇p   /ρ = 0, ∂u /∂t + (U div u = 0, soit, sous forme indicielle : ∂ui /∂t + ui,j Ljk xk + Lij uj + uj ui,j + p,i /ρ = 0, ui,i = 0, 

5. Avec u (x, t) = a(t)eik(t)·x , soit ui = ai eikm xm , on a :   dai dkm ∂ui = + iai xm eikm xm , ∂t dt dt et

ui,j = iai km xm,j eikm xm = iai km δmj eikm xm = iai kj eikm xm .

Par conséquent, la condition d’incompressibilité div u = uj,j = 0 se traduit par aj kj = 0, soit k(t) · a(t) = 0. Par conséquent, le terme non linéaire uj ui,j s’annule. Ensuite, avec p = iρqeikm xm on a p,i /ρ = −qki eikm xm . Les équations du mouvement deviennent donc :   dai dkm + Lij aj − qki = −iai + Ljm kj xm . dt dt Les deux membres de cette équation doivent être nuls. En effet, en appliquant l’opérateur gradient (c’est-à-dire en dérivant par rapport à xn par exemple), on obtient l’équation (2.16). On en déduit ensuite (2.17).

Partie II

√

1. Il faut γ = Ω 1 − ε2 . 2. En remplaçant les composantes de k(t) par leur expression, on obtient au premier ordre : γ = Ω et k2 (t) = 1 + ε sin2 θ cos 2Ωt. Les coefficients de l’équation de Mathieu (2.19) sont donc : ω = 2Ω cos θ,

β = Ω 2 sin4 θ.

3. La solution de (2.19) lorsque ε = 0 est f (t) = A cos ωt + B sin ωt. 75

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

4. La perturbation croîtra exponentiellement au taux εσ si σ > 0 et l’écoulement elliptique sera instable. 5. En substituant f (t) dans l’équation de Mathieu et en ne conservant que les termes d’ordres ε, on obtient l’équation (2.20) avec g(t) =2σωA(cos ωt + sin ωt) − 2βA(cos(2Ω − ω)t + sin(2Ω − ω)t) − 2βA(cos(2Ω + ω)t − sin(2Ω + ω)t). 6. La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution générale de l’équation homogène et d’une solution particulière de l’équation inhomogène (avec second membre). Puisque Ω et ω sont positifs, deux cas sont possibles : 2Ω − ω = ω et 2Ω − ω = ω. Si ω = Ω, la solution particulière est : f1 (t) = − σAt(cos ωt − sin ωt) βA (cos(2Ω − ω)t + sin(2Ω − ω)t) − 2Ω(Ω − ω) βA − (cos(2Ω + ω)t − sin(2Ω + ω)t). 2Ω(Ω + ω) Si ω = Ω, la solution particulière est :   β (cos Ωt − sin Ωt) f1 (t) = − At σ − Ω βA − (cos 3Ωt − sin 3Ωt). 4Ω 2 7. Si ω = Ω, la fonction f1 (t) ne reste bornée que si σ = 0 ; la solution f (t) reste bornée et l’écoulement est stable. En revanche, si ω = Ω, alors la fonction f1 (t) ne reste bornée que si σ = β/Ω ; la solution f (t) croît exponentiellement et l’écoulement est instable. 8. L’instabilité se produit lorsque ω = Ω, c’est-à-dire lorsque cos θ = 1/2, 9 Ω 2 . Le taux de croissance s = εσ soit θ = π/3. Il en résulte que β = 16 de ces perturbations est donc : s= C’est l’instabilité elliptique. 76

9 16 εΩ.

2.7. Film visqueux tombant sur un plan incliné

Pour en savoir plus L’instabilité d’un écoulement elliptique fut découverte au milieu des années 1970 puis redécouverte dans les années 1980. Elle se manifeste dès lors qu’un écoulement présente localement des lignes de courant elliptiques, comme par exemple dans le cœur de systèmes de tourbillons interagissant entre eux. Le sillage d’un avion dans le ciel en est l’une des manifestations la plus spectaculaire : les tourbillons s’échappant de l’extrémité de chacune des ailes et matérialisés par la condensation de l’eau sont contrarotatifs et elliptiques. Sujets à l’instabilité elliptique, ils se déforment et finissent par se disloquer. Les résultats présentés ici, en particulier la dérivation de l’équation de Ma9 ε », furent découverts et décrits dans thieu et le fameux taux de croissance « 16 un papier remarquable par : F. Waleffe : Phys. Fluids A 2, 76 (1990). Des détails pour obtenir l’équation de Mathieu, ainsi que sur de nombreux autres aspects concernant les instabilités hydrodynamiques sont donnés par : P. Huerre & M. Rossi : In Hydrodynamics and nonlinear instabilities, pp. 81–294, Cambridge (1998). Un état de l’art récent sur l’instabilité elliptique est dressé par : R. R. Kerswell : Ann. Rev. Fluid Mech. 34, 83 (2002). Enfin, le lecteur intéressé par les méthodes asymptotiques utilisées pour obtenir les solutions approchées de nombreuses équations issues de la physique, dont l’équation de Mathieu évoquée ici, pourra consulter l’indispensable : C. M. Bender & S. A. Orszag : Advanced mathematical methods for scientists and engineers, McGraw-Hill (1978).

2.7. Film visqueux tombant sur un plan incliné Une fine couche d’épaisseur h d’un fluide visqueux incompressible s’écoule sur un plan incliné faisant un angle θ par rapport à l’horizontale. À épaisseur fixée, des vaguelettes de longueur d’onde λ h apparaissent à la surface du film quand l’inclinaison dépasse un certain seuil. L’objectif du problème est de décrire ce processus.

77

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

z O −h

η U(z)

x

θ

L’écoulement sera considéré dans le plan (O; x, z), l’axe (Ox) étant parallèle au plan le long duquel le fluide s’écoule. La gravité sera notée g = g(sin θex −cos θez ), la masse volumique du fluide ρ et sa viscosité cinématique ν. Les champs de vitesse et de pression sont notés respectivement : u = u(x, z, t)ex + w(x, z, t)ez ,

p(x, z, t).

La surface libre du fluide est décrite par l’équation z = η(x, t). L’air étant supposé au repos et de pression constante P0 , la condition dynamique de continuité des contraintes se traduit par ¯n = −P0 n en z = η(x, t), σ

(2.21)

¯ u + ∇ ¯ uT ) est le tenseur des contraintes, et n la normale à ¯ = −pI¯ + μ(∇ où σ l’interface qui s’exprime par : −(∂η/∂x)ex + ez . n =

1 + (∂η/∂x)2 Notons que la tension superficielle à l’interface entre l’air et le fluide sera ici négligée. Enfin, rappelons que la condition cinématique à la surface libre s’exprime par : ∂η ∂η +u = w en z = η(x, t). ∂t ∂x

Partie I. Film d’épaisseur constante 1. Écrivez les équations du mouvement projetées sur ex et ez . 2. Donnez les conditions limites satisfaites par le fluide en z = −h. 3. Soit t le vecteur unitaire tangent à l’interface. Explicitez la condition dynamique (2.21) en la projetant respectivement sur t et n. 78

2.7. Film visqueux tombant sur un plan incliné

4. On cherche tout d’abord la solution du problème (équations du mouvement et conditions limites) sous la forme d’un écoulement d’épaisseur constante et de vitesse parallèle à ex . On pose : u = U (z),

w = 0,

p = P (z),

η = 0.

Montrez que U (z) = U0 (1 − z 2 /h2 ), U0 étant une constante que l’on explicitera. Exprimez P (z).

Partie II. Équations linéarisées Afin d’étudier la formation de vaguelettes à la surface libre de l’écoulement obtenu à la question précédente, on pose : u = U (z) + ε˜ u(x, z, t),

w = εw(x, ˜ z, t),

p = P (z) + ε˜ p(x, z, t),

η = ε˜ η (x, t),

où 0 < ε  h mesure l’amplitude initiale des vaguelettes. 1. En négligeant les termes d’ordre ε2 devant ceux d’ordre ε, écrivez les équations du mouvement et les conditions limites linéarisées. 2. On pose maintenant : u ˜(x, z, t) = ψ  (z)eik(x−ct) ,

w(x, ˜ z, t) = −ikψ(z)eik(x−ct) ,

p˜(x, z, t) = ρq(z)eik(x−ct) ,

η˜(x, t) = eik(x−ct) ,

où k = 2π/λ réel positif est le nombre d’onde des vaguelettes, c complexe est une inconnue ainsi que la fonction ψ(z). On note ψ  (z) = dψ/dz. Que se passera-t-il si Im(c) > 0 ? 3. Montrez que les équations du mouvement se réduisent à l’équation dite de Orr-Sommerfeld : ik(U − c)(ψ  − k2 ψ) − ikU  ψ = ν(ψ (4) − 2k2 ψ  + k4 ψ).

(2.22)

4. Montrez que les conditions limites du problème s’écrivent :



ψ(−h) = ψ  (−h) = 0,

(2.23)

ψ  (0) + k2 ψ(0) = 2U0 /h2 ,

(2.24)





ν(ψ (0) − 3k ψ (0)) + ik(c − U0 )ψ (0) = ikg cos θ,

(2.25)

ψ(0) = c − U0 .

(2.26)

2

79

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

Partie III. Résolution du problème Lorsque l’épaisseur h du film est faible, des vaguelettes de grandes longueurs d’onde, c’est-à-dire telles que kh  1, se forment à l’interface entre le fluide et l’air. Les inconnues du problème étant la fonction ψ(z) et la célérité complexe c, on recherche alors la solution sous la forme approchée suivante, lorsque k → 0 : ψ(z) = ψ0 (z) + kψ1 (z) + O(k2 ), c = c0 + kc1 + O(k2 ). 1. En injectant dans l’équation d’Orr-Sommerfeld (2.22) ainsi que dans les conditions limites (2.23)–(2.26), et en négligeant les termes d’ordre k, montrez que ψ0 (z) = K0 (1 + z/h)2 , où K0 est une constante réelle que l’on précisera. Déterminez c0 . 2. À l’ordre k, déterminez ψ1 (z) et montrez que c1 est de la forme :   5 , c1 = iK1 Re − 4 tan θ où K1 est une constante réelle que l’on précisera et Re = U0 h/ν est le nombre de Reynolds de l’écoulement. 3. À inclinaison fixée, déterminez pour quelle épaisseur les vaguelettes se formeront à la surface du film. Application numérique : θ = 30◦ , ν = 10−6 m2 /s.

Partie I 1. Les équations de Navier-Stokes projetées sur ex et ez s’écrivent : ∂u ∂u 1 ∂p ∂u +u +w + =ν ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ∂w ∂w 1 ∂p ∂w +u +w + =ν ∂t ∂x ∂z ρ ∂z

 

∂2u ∂2u + 2 ∂x2 ∂z



∂2w ∂2w + ∂x2 ∂z 2

+ g sin θ,  − g cos θ,

∂u ∂w + = 0. ∂x ∂z 2. La condition d’adhérence à la paroi s’écrit u = w = 0 en z = −h. 80

2.7. Film visqueux tombant sur un plan incliné

3. Les projections de la condition dynamique (2.21) sur t et n s’écrivent respectivement : ¯n) · t = 0 et (σ ¯n) · n = −P0 (σ

en z = η,

La tangente t se déduit facilement de n car t · n = 0 et t = 1 : ex + (∂η/∂x)ez t =

. 1 + (∂η/∂x)2 Les deux conditions donnent explicitement en z = η, avec ηx = ∂η/∂x :     ∂w ∂u ∂u ∂w 2 (1 − ηx ) + + 2ηx − = 0, (2.27) ∂z ∂x ∂z ∂x     ∂u ∂w ∂u ∂w 2μ − ηx + + = −P0 . (2.28) ηx2 −p + 2 1 + ηx ∂x ∂z ∂x ∂z 4. Avec u = U (z)ex , les équations du mouvement deviennent : 0 = νU  (z) + g sin θ,

P  (z) = −ρg cos θ.

On en déduit : U (z) = −

g sin θ 2 z + Az + B, 2ν

P (z) = C − ρgz cos θ.

Les conditions limites permettent de calculer les constantes. Les conditions dynamiques à la surface libre η = 0 donnent respectivement : U  (0) = 0 et P (0) = P0 . D’où A = 0 et C = P0 . L’adhérence U (−h) = 0 permet de déterminer B. Finalement :   gh2 sin θ z2 , P (z) = P0 − ρgz cos θ. U (z) = U0 1 − 2 , U0 = h 2ν

Partie II 1. Les équations linéarisées du mouvement sont :  2  ∂u ˜ ∂ u 1 ∂ p˜ ∂u ˜ ˜ ∂2u ˜  +U +U w =ν ˜+ + 2 , ∂t ∂x ρ ∂x ∂x2 ∂z  2  2 ∂w ˜ 1 ∂ p˜ ∂ w ∂w ˜ ˜ ∂ w ˜ +U + =ν + , ∂t ∂x ρ ∂z ∂x2 ∂z 2 ˜ ∂u ˜ ∂w + = 0. ∂x ∂z Les conditions limites à la paroi sont : u ˜=w ˜ = 0 en z = −h. 81

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

Les conditions à la surface libre nécessitent certaines précautions. Par exemple, la condition dynamique (2.27) devient : 



U +ε

˜ ∂u ˜ ∂w + ∂z ∂x

 = 0 en z = ε˜ η,

η ) = U  (0) + ε˜ η U  (0) + O(ε2 ) et en tenant soit, en développant U  (ε˜   compte du fait que U (0) = 0 et U (0) = −2U0 /h2 : ˜ 2U0 ∂u ˜ ∂w + = 2 η˜ en z = 0. ∂z ∂x h La condition (2.28) devient, après linéarisation : −˜ p + ρgη˜ cos θ + 2μ

∂w ˜ = 0 en z = 0. ∂z

(2.29)

Finalement, la condition cinématique s’écrit quant à elle : ∂ η˜ ∂ η˜ + U0 =w ˜ ∂t ∂x

en z = 0.

2. L’amplitude des vaguelettes croîtra exponentiellement lorsque Im(c) > 0. 3. L’équation de continuité est satisfaite. Les autres équations donnent : ik(U − c)ψ  − ikU  ψ + ikq = ν(ψ  − k2 ψ  ), 



(2.30)

k (U − c)ψ + q = −ikν(ψ − k ψ). 2

2

En dérivant la première et en tenant compte de la seconde, on obtient aisément l’équation de Orr-Sommerfeld (2.22). 4. La seule condition limite posant une légère difficulté est (2.25). En effet, la condition dynamique linéarisée (2.29) devient : q(0) + 2iνkψ (0) = g cos θ. On remplace ensuite q(0) grâce à l’équation (2.30) en tenant compte du fait que U  (0) = 0.

82

2.7. Film visqueux tombant sur un plan incliné

Partie III (4)

1. À l’ordre 1, l’équation d’Orr-Sommerfeld est : ψ0 = 0. La solution est un polynôme d’ordre 3. Les conditions limites à l’ordre dominant sont : ψ0 (−h) = ψ0 (−h) = 0, ψ0 (0) = 0,

ψ0 (0) = 2U0 /h2 ,

ψ0 (0) = c0 − U0 .

Les quatre premières déterminent les constantes : ψ0 (z) = U0 (1 + z/h)2 . La dernière détermine c0 = 2U0 . C’est la célérité des vaguelettes. 2. À l’ordre k, l’équation d’Orr-Sommerfeld est : νψ1 = i(U − c0 )ψ0 − iU  ψ0 = 4iU02 z/h3 . (4)

Les conditions limites sont : ψ1 (−h) = ψ1 (−h) = 0,

ψ1 (0) = 0,

νψ1 (0) = ig cos θ − iU0 ψ0 (0),

ψ1 (0) = c1 .

La solution pour ψ1 (z) est un polynôme d’ordre 5. Pour c1 on obtient : 8iU0 h c1 = 15



5 Re − 4 tan θ

 ,

Re =

U0 h . ν

3. L’amplitude des vaguelettes croît exponentiellement avec le temps lorsque Im(c) > 0, c’est à dire lorsque Re > 5/4 tan θ, soit pour une épaisseur :  2 1 5ν cos θ 3 h> . 2g sin2 θ Application numérique : h = 0.1 mm. Pour en savoir plus Les résultats décrits ici furent obtenus par une analyse un peu laborieuse par : T. B. Benjamin : J. Fluid Mech. 2, 554 (1957). 83

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

J’ai préféré suivre l’élégante approche exposée et confrontée aux expériences par : F. Charru : Instabilités hydrodynamiques, EDP Sciences/CNRS Éditions (2007). Notons que la tension superficielle influe peu sur le nombre de Reynolds critique.

2.8. Génération des vagues par le vent Ce problème a pour objectif de décrire le mécanisme de génération des vagues par le vent découvert par Miles en 1957. Dans ce processus, les deux fluides, l’air et l’eau, sont supposés parfaits et incompressibles. Leurs masses volumiques respectives seront notées ρa et ρe . Pour simplifier, le problème sera traité dans le plan (O; x, z), l’axe (Oz) désignant la verticale le long de laquelle agit la gravité g = −gez . Dans l’état non perturbé, l’eau est supposée au repos, l’interface entre l’air et l’eau est plate et le vent est animé d’une vitesse horizontale U (z)ex telle que U (0) = 0, U  (z) > 0 et U  (z) < 0 (voir figure ci-dessous). En notant z = η(x, t) l’élévation de la surface libre, l’air et l’eau occupent respectivement les domaines z  η(x, t) et z < η(x, t). Les champs de vitesse et de pression caractérisant le mouvement de chacun des fluides seront notés respectivement ua (x, z, t) et pa (x, z, t) pour l’air, et ue (x, z, t) et pe (x, z, t) pour l’eau.

U(z) air z0

U(z 0 ) = c0 (k)

c0(k)

eau La tension de surface à l’interface entre l’air et l’eau sera négligée et les deux fluides sont non miscibles. Les conditions à l’interface sont : • la condition dynamique : pa = pe en z = η(x, t) ; • les conditions cinématiques pour l’air et l’eau : ∂η ∂η + ua = wa ∂t ∂x 84

et

∂η ∂η + ue = we ∂t ∂x

en z = η(x, t).

2.8. Génération des vagues par le vent

Les deux parties du problème peuvent être traitées indépendamment.

Partie I. Mise en équations 1. Écrivez chaque composante des équations du mouvement de l’air. 2. Le mouvement de l’eau sera supposé irrotationnel. Quelle équation doit satisfaire φe (x, z, t) le potentiel de vitesse de l’eau ? 3. Montrez que la condition dynamique à l’interface s’écrit :  e 2 + gη = −pa /ρe ∂φe /∂t + 12 ∇φ

en z = η(x, t).

4. Dans l’état non perturbé, l’interface est supposée parfaitement plate c’està-dire d’équation z = 0, l’eau est au repos (φe = 0) et le vent souffle dans l’air à la vitesse ua = U (z)ex . Pour tenir compte de l’apparition de vagues à l’interface entre les deux fluides, on pose : η(x, t) = εh(x, t), ua (x, z, t) = U (z) + εu(x, z, t), wa (x, z, t) = εw(x, z, t), pa (x, z, t) = P0 − ρa gz + ερa q(x, z, t), φe (x, z, t) = P0 t + εφ(x, z, t), où 0 < ε  1 est un petit paramètre caractérisant l’amplitude initiale des vagues à la surface libre, et P0 une pression de référence constante. Écrivez les équations et les conditions limites linéarisées du problème. On rappelle que U (0) = 0 par hypothèse. 5. Supposons que les vaguelettes à la surface de l’eau prennent la forme d’une sinusoïde et posons h(x, t) = eik(x−ct) , où k > 0 est réel et c = cr + ici complexe. Que se passe-t-il lorsque ci > 0 ? 6. Pour obtenir la solution du problème dans l’eau, on pose : φ(x, z, t) = f (z)eik(x−ct) , avec f (−∞) = 0. Montrez que f (z) = −icekz . 7. Pour le problème dans l’air, on pose : u(x, z, t) = ψ  (z)eik(x−ct) , w(x, z, t) = −ikψ(z)eik(x−ct) , p(x, z, t) = r(z)eik(x−ct) , 85

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

où ψ(+∞) = 0 et ψ  (z) = dψ/dz. Montrez que la fonction ψ(z) satisfait l’équation suivante, dite équation de Rayleigh : (U − c)(ψ  − k2 ψ) − U  ψ = 0 pour

z  0.

(2.31)

8. Montrez qu’en z = 0, on a ψ(0) = c et : g − kc2 + δ(cψ  (0) + cU  (0) − g) = 0,

(2.32)

où δ = ρa /ρe est le rapport des masses volumiques.

Partie II. Solution du problème Il reste donc à obtenir ψ(z) et c satisfaisant l’équation (2.31) et la condition (2.32). Pour cela, Miles exploita le fait que le rapport des masses volumiques entre l’air est l’eau est petit : δ = 1.29 × 10−3  1.  (z) − ψ(z)ψ ¯ ¯ (z)), où ψ(z) ¯ 1. Soit la fonction W (z) = − 2i (ψ(z)ψ désigne le complexe conjugué de ψ(z). Montrez à l’aide de l’équation de Rayleigh (2.31) et de son complexe conjugué que (avec c = cr + ici ) :

W  (z) = 2. Déduisez-en :

ci U  (z)|ψ(z)|2 . |U (z) − c|2

+∞ 

W (0) = − 0

ci U  (z)|ψ(z)|2 dz . (U (z) − cr )2 + c2i

3. Supposons 0 < ci  cr (ce qui sera vérifié plus loin) et considérons la limite ci → 0. Dans cette limite, W (0) → 0 sauf s’il existe une hauteur zc dite « critique » telle que U (zc ) = cr , l’intégrale devenant alors indéterminée. En décomposant l’intégrale sous la forme : ⎛ z −α z +α +∞⎞ c c   2 ⎠ ci U (z)|ψ(z)| dz , + + W (0) = − lim ⎝ ci →0 (U (z) − cr )2 + c2i 0

zc −α

zc +α

et en posant z = zc + αZ avec 0 < α  1, montrez en précisant l’expression de β que : U  (zc )|ψ(zc )|2 lim I W (0) = − β→0 U  (zc ) 86

+1 avec

I= −1

βdZ . + β2

Z2

2.8. Génération des vagues par le vent

4. Puisque I = 2 arctan(1/β), déterminez W (0).

5. En posant c = c0 (k) + δc1 avec c0 (k) = g/k et δ  1, montrez à l’aide de (2.32) et de la définition de la fonction W (z) que : Im(c1 ) =

W (0) . 2kc0

6. Déduisez-en les expressions de cr et ci et vérifiez que l’hypothèse 0 < ci  cr de la question II.3 est en effet justifiée. 7. Déterminez la gamme de longueurs d’onde des vagues générées par un vent dont la vitesse maximale est Umax .

Partie I 1. Le mouvement de l’air est régi par les équations d’Euler qui dans le plan (x, z) s’écrivent : ∂ua ∂ua ∂ua 1 ∂pa + ua + wa + = 0, ∂t ∂x ∂z ρa ∂x 1 ∂pa ∂wa ∂wa ∂wa + ua + wa + = −g, ∂t ∂x ∂z ρa ∂z ∂ua ∂wa + = 0. ∂x ∂z 2. Le mouvement de l’eau étant supposé irrotationnel — ce qui dans un fluide parfait se justifie grâce au théorème de Lagrange-Cauchy si par exemple la masse d’eau est au repos à un instant donné —, il existe une fonction φe (x, z, t), le potentiel de vitesse, définie à une constante addi e . L’incompressibilité de l’eau, div ue = 0, se tive près telle que ue = ∇φ traduit par l’équation de Laplace : Δφe = 0. 3. Le mouvement de l’eau étant potentiel et incompressible, une version du  e 2 +gz+pe /ρe = 0 dans théorème de Bernoulli stipule que ∂φe /∂t+ 12 ∇φ tout l’écoulement, donc en particulier à l’interface entre l’air et l’eau, c’est-à-dire en z = η(x, t). L’égalité des pressions à l’interface (condition dynamique pour un fluide parfait) implique donc :  e 2 + gη = −pa /ρe ∂φe /∂t + 12 ∇φ

en z = η(x, t). 87

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

4. En négligeant les termes d’ordre ε2 devant ceux d’ordre ε, les équations d’Euler linéarisées décrivant le mouvement de l’air sont : Du ∂q + U  (z)w + = 0, Dt ∂x

Dw ∂q + = 0, Dt ∂z

∂u ∂w + = 0, ∂x ∂z

où D/Dt = ∂/∂t + U (z)∂/∂x. Dans l’eau, le potentiel satisfait Δφ = 0. Exprimons les conditions à l’interface. Après linéarisation, elles s’écrivent : ∂φ + g(1 − δ)h = −δq, ∂t

Dh = w, Dt

Dh ∂φ = , Dt ∂z

où δ = ρa /ρw . Elles sont de la forme F (x, z, t) = 0 en z = η(x, t), soit : 0 = F (x, η(x, t), t) = F (x, εh(x, t), t) = F (x, 0, t) + O(ε). Donc au premier ordre, les conditions linéarisées à l’interface s’expriment en z = 0, soit, en tenant compte de l’hypothèse que U (0) = 0 : ∂φ + g(1 − δ)h = −δq, ∂t

∂h = w, ∂t

∂h ∂φ = ∂t ∂z

en z = 0.

5. Avec c = cr + ici , on a h(x, t) = ekci t eik(x−cr t) . Il s’agit d’une onde sinusoïdale de longueur d’onde 2π/k se propageant à la célérité cr , et dont l’amplitude croît exponentiellement si ci > 0. 6. La fonction f (z) est solution de f  − k2 f = 0, soit f (z) = Aekz + Be−kz . La vitesse de l’eau doit être nulle au fond de l’eau, c’est-à-dire en z = −∞, d’où B = 0. La condition à l’interface ∂h/∂t = ∂φ/∂z en z = 0 fournit A = −ic. 7. En recherchant la solution du problème sous la forme proposée, les équations obtenues à la question I.4 s’écrivent : (U − c)ψ  − U  ψ + r = 0,

k2 (U − c)ψ + r  = 0,

l’équation de continuité étant automatiquement satisfaite. On en déduit facilement l’équation de Rayleigh (2.31). Notons que puisque l’interface linéarisée est définie par z = 0, le domaine de validité de l’équation de Rayleigh est donc z  0. 88

2.8. Génération des vagues par le vent

8. La condition ∂h/∂t = w = −∂ψ/∂x en z = 0 fournit ψ(0) = c. La condition dynamique (Bernoulli) exprimée en I.4 devient : −kc2 + g(1 − δ) = −δr(0). Or, l’équation (U − c)ψ  − U  ψ + r = 0 obtenue à la question précédente est valide pour tout z  0 ; en z = 0 elle donne : r(0) = cψ  (0) + cU  (0) puisque U (0) = 0. On en déduit la condition (2.32).

Partie II 1. L’équation de Rayleigh (2.31) et son complexe conjugué s’écrivent : ψ  = k2 ψ +

U  ψ, U −c

U  ¯ ψ¯ = k2 ψ¯ + ψ. U − c¯

Par conséquent, i ¯  i W = − (ψψ − ψ ψ¯ ) = − 2 2 



 1 1 − U  |ψ|2 , U − c U − c¯

d’où le résultat : W  = ci U  |ψ|2 /|U − c|2 . 2. On intègre W  (z) entre z = 0 et +∞ en tenant compte du fait que ¯ W (+∞) = 0 car ψ(+∞) = ψ(+∞) = 0 puisque la perturbation de vitesse est supposée nulle à l’infini. 3. Seule l’intégrale sur l’intervalle incluant la hauteur critique zc est non nulle dans la limite ci → 0 : z c +α

W (0) = − lim

ci →0 zc −α

ci U  (z)|ψ(z)|2 dz . (U (z) − cr )2 + c2i

En posant z = zc + αZ avec α  1, on a dz = αdZ et f (z) ≈ f (zc ) + αZf  (zc ) pour n’importe quelle fonction f (z). En particulier U (z) − cr ≈ αZU  (zc ), d’où : +1 W (0) = − lim

ci →0 −1

ci U  (zc )|ψ(zc )|2 αdZ α2 (U  (zc )Z)2 + c2i

U  (zc )|ψ(zc )|2 lim =− β→0 U  (zc )

+1

−1

βdZ , Z 2 + β2

avec β = ci /(αU  (zc )). 89

Chapitre 2. Croissance des vagues et instabilités

4. Puisque ci , α et U  (zc ) sont positifs par hypothèse, il en est de même pour β. Par conséquent, I → π quand β → 0 par valeurs positives, et : W (0) = −πU  (zc )|ψ(zc )|2 /U  (zc ). 5. À l’aide de (2.32) et en négligeant les termes d’ordre δ2 , on obtient :   1 g   ψ (0) + U (0) − . c1 = 2k c0 On en déduit Im(c1 ) = Im(ψ  (0))/2k. Or, par définition,  ¯ (0) − ψ(0)ψ¯ (0)), W (0) = − 2i (ψ(0)ψ

et, d’après la première partie : ψ(0) = c = c0 + O(δ). Par conséquent, W (0) = c0 Im(ψ  (0)) et Im(c1 ) = W (0)/(2kc0 ). 6. Avec c = c0 (k) + δc1 , on a cr = c0 (k) + O(δ) et ci = δIm(c1 ), soit : ci = −

δπ U  (zc ) |ψ(zc )|2 . 2kc0 U  (zc )

Puisque U  (z) > 0 et U  (z) < 0 pour tous les profils de vent physiquement réalistes, ci > 0 et les vagues de nombre d’onde k et de célérité c0 (k) sont exponentiellement amplifiées. Et puisque ci = O(δ), l’hypothèse 0 < ci  cr est bien satisfaite. 7. Rappelons que seules les vagues pour lesquelles il existe dans l’air une hauteur critique zc telles que c0 (k) = U (zc ) sont générées. Par conséquent, toutes les vagues telles que 0 < c0 (k) < Umax sont amplifiées. Cela signifie en particulier que les vagues générées ne peuvent aller ni plus vite que le vent, ni en sens opposé. En introduisant la longueur d’onde λ = 2π/k, les inégalités ci-dessus deviennent : 2 0 < λ < 2πUmax /g.

Un vent de 4 m/s peut donc générer ou amplifier des vagues dont la longueur d’onde peut aller jusqu’à 10 m. Notons que le mécanisme de Kelvin-Helmholtz ne permet d’amplifier que 2 /g, soit 1.3 cm les vagues de courtes longueurs d’onde : 0 < λ < 2πδUmax 90

2.8. Génération des vagues par le vent

de longueur d’onde maximale pour un vent de 4 m/s. Or pour de courtes longueurs d’onde, on montre que la tension superficielle stabilise l’instabilité de Kelvin-Helmholtz tant que Umax < 6.5 m/s. C’est la raison pour laquelle le mécanisme de Miles fut plébiscité. Pour en savoir plus Le mécanisme de génération des vagues présenté ici fut découvert par : J. W. Miles : J. Fluid Mech. 3, 185 (1957). Ce mécanisme reste aujourd’hui controversé car certaines expériences sont en désaccord avec la théorie. Une théorie satisfaisante doit prendre en compte à la fois les effets de viscosité et la turbulence du vent. Néanmoins, le mécanisme de Miles reste encore aujourd’hui la seule théorie rationnelle de génération des vagues par le vent. Un état de l’art est dressé par : P. Janssen : The interaction of ocean waves and wind, Cambridge (2005). On y trouve également la description des modèles opérationnels de prévision des états de mer actuellement en usage par les centres de météorologie marine.

91

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A ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

A.1. Équations d’Euler et de Navier-Stokes Le mouvement d’un fluide visqueux newtonien est régi par les équations de Navier-Stokes. Elles sont constituées des équation de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, écrites sous forme locale. Lorsque l’écoulement est incompressible — approximation valide quand les vitesses mises en jeu dans les phénomènes étudiés sont faibles devant celle du son — le volume de tout domaine matériel transporté par le fluide se conserve soit, sous forme locale : div u = 0,

ui,i = 0,

où u(x, t) = u1e1 +u2e2 +u3e3 = uiei (en utilisant la convention de sommation sur les indices répétés) désigne la vitesse du fluide mesurée au point de coordonnées (x1 , x2 , x3 ) dans la base cartésienne (e1 , e2 , e3 ). Dans un écoulement incompressible, la conservation de la masse implique que la masse volumique ρ est constante si elle est uniforme à l’instant initial. C’est ce que nous supposerons ici. L’équation de conservation de la quantité de mouvement résulte du principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton). Elle s’écrit pour un milieu continu animé d’une vitesse u(x, t) :  u) = dıv σ ¯ + ρf, ρ(∂u/∂t + (u · ∇)

ρ(∂ui /∂t + uj ui,j ) = σij,j + ρfi ,

¯ (x, t) désigne le tenseur des contraintes de Cauchy et f(x, t) les forces voluoù σ miques. Dans un fluide newtonien incompressible, le tenseur des contraintes est modélisé par : ¯ σ = −pδ + 2μS , ¯ = −pI¯ + 2μS, σ ij ij ij

Appendice A. Équations du mouvement

où p(x, t) désigne la pression du fluide, μ le coefficient de viscosité dynamique, et ¯ x, t) la partie symétrique du gradient de vitesse : S( ¯ u + ∇ ¯ uT ), S¯ = 12 (∇

Sij = 12 (ui,j + uj,i ).

Pour un écoulement incompressible, les équations de Navier-Stokes sont donc :  u + ∇p/ρ  ∂u/∂t + (u · ∇) = νΔu + f, div u = 0, avec ν = μ/ρ le coefficient de viscosité cinématique. Sous forme indicielle elles s’écrivent : ∂ui /∂t + uj ui,j + p,i /ρ = νui,kk + fi , ui,i = 0. p , les vitesses doivent être Sur une paroi imperméable Σ animée d’une vitesse V continues : p (condition d’adhérence). u|Σ = V La résultante de la force exercée par le fluide sur la paroi est :   ¯n)dS,  ¯ (−pn + 2μS σndS = F = Σ

Σ

où n est la normale dirigée vers le fluide. Le moment de cette force en un point Q quelconque est :   ¯n)dS. M (Q) = (x − xQ ) ∧ (σ Σ

Un fluide est dit parfait lorsque la viscosité est négligée. Il est régi par les équations d’Euler que l’on obtient à partir des équations de Navier-Stokes en posant μ = 0 ou ν = 0. Sur une paroi imperméable, seules les vitesses normales doivent être continues : p · n (condition de glissement). u|Σ · n = V La force exercée par le fluide sur la paroi est :  pndS. F = − Σ

94

A.2. Équations en coordonnées cartésiennes

A.2. Équations en coordonnées cartésiennes En posant u(x, y, z, t) = uex + vey + wez , les équations de Navier-Stokes projetées sur la base (ex , ey , ez ) s’écrivent, en omettant les forces volumiques : Du 1 ∂p + = νΔu, Dt ρ ∂x

Dv 1 ∂p + = νΔv, Dt ρ ∂y

Dw 1 ∂p + = νΔw, Dt ρ ∂z

la dérivée particulaire et le laplacien d’une fonction scalaire f (x, y, z, t) étant définis respectivement par : Df ∂f ∂f ∂f ∂f = +u +v +w , Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Δf =

∂2f ∂2f ∂2f + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

La condition d’incompressibilité s’écrit : ∂u ∂v ∂w + + = 0. ∂x ∂y ∂z Enfin, le gradient de vitesse s’écrit, dans la base (ex , ey , ez ) : ⎛

∂u ⎜ ∂x ⎜ ⎜ ∂v ¯ ∇u = ⎜ ⎜ ∂x ⎜ ⎝ ∂w ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

⎞ ∂u ∂z ⎟ ⎟ ∂v ⎟ ⎟. ∂z ⎟ ⎟ ∂w ⎠ ∂z

A.3. Équations en coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’un point de coordonnées cartésiennes (x, y, z) sont usuellement définies par : x = r cos θ,

y = r sin θ.

La base (er , eθ , ez ) associée à ces coordonnées est définie telle que : dx = er dr + eθ rdθ + ez dz. 95

Appendice A. Équations du mouvement

En posant u(r, θ, z, t) = uer + veθ + wez , les équations de Navier-Stokes projetées sur la base (er , eθ , ez ) s’écrivent, en omettant les forces volumiques :   1 ∂p u Du v 2 2 ∂v − + = ν Δu − 2 − 2 , Dt r ρ ∂r r r ∂θ   1 ∂p v 2 ∂u Dv uv + + = ν Δv − 2 + 2 , Dt r ρr ∂θ r r ∂θ Dw 1 ∂p + = νΔw, Dt ρ ∂z la dérivée particulaire et le laplacien d’une fonction scalaire f (r, θ, z, t) étant définis respectivement par :   ∂f ∂f v ∂f ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2f ∂2f Df = +u + + w , Δf = r + 2 2 + 2. Dt ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r r ∂θ ∂z La condition d’incompressibilité s’écrit : 1 ∂v ∂w 1 ∂ (ru) + + = 0. r ∂r r ∂θ ∂z Enfin, le gradient de vitesse s’écrit, dans la base (er , eθ , ez ) : ⎛ ⎞ ∂u 1 ∂u v ∂u − ⎜ ∂r r ∂θ r ∂z ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂v 1 ∂v u ∂v ⎟ ¯ ⎜ ⎟. ∇u = ⎜ + ⎟ ∂r r ∂θ r ∂z ⎜ ⎟ ⎝ ∂w 1 ∂w ∂w ⎠ ∂r r ∂θ ∂z

A.4. Équations en coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques (r, θ, φ) d’un point de coordonnées cartésiennes (x, y, z) sont usuellement définies par : x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos φ.

La base (er , eθ , eφ ) associée à ces coordonnées est définie telle que : dx = er dr + eθ rdθ + eφ r sin θdφ, et liée à la base (ex , ey , ez ) par : ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ ex er ⎝eθ ⎠ = ⎝cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ⎠ ⎝ey ⎠ . − sin φ cos φ 0 eφ ez 96

A.4. Équations en coordonnées sphériques

En posant u(r, θ, φ, t) = uer + veθ + weφ , les équations de Navier-Stokes projetées sur la base (er , eθ , eφ ) s’écrivent, en omettant les forces volumiques :    2 Du v 2 w2 1 ∂p 2u ∂ ∂w − − + = ν Δu − 2 − 2 (v sin θ) + , Dt r r ρ ∂r r r sin θ ∂θ ∂φ   2 cos θ ∂w w2 1 ∂p 2 ∂u v Dv uv + − + = ν Δv + 2 − 2 2 − 2 2 , Dt r r tan θ ρr ∂θ r ∂θ r sin θ r sin θ ∂φ vw 1 ∂p Dw uw + + + Dt r r tan θ ρr sin θ ∂φ   2 cos θ ∂v w 2 ∂u , + − = ν Δw + 2 r sin θ ∂φ r 2 sin2 θ ∂φ r 2 sin2 θ la dérivée particulaire et le laplacien d’une fonction scalaire f (r, θ, φ, t) étant définis respectivement par : ∂f ∂f v ∂f w ∂f Df = +u + + , Dt ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ     ∂2f 1 ∂ ∂f 1 1 ∂ 2 ∂f r + 2 sin θ + 2 2 . Δf = 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 La condition d’incompressibilité s’écrit :   ∂ ∂w 1 ∂ 2 1 (r u) + (v sin θ) + = 0. r 2 ∂r r sin θ ∂θ ∂φ Enfin, le gradient de vitesse s’écrit, dans la base (er , eθ , eφ ) : ⎞ ⎛ 1 ∂u w ∂u 1 ∂u v − ⎟ ⎜ ∂r r ∂θ − r r sin θ ∂φ r ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂v 1 ∂v u 1 ∂v w ¯ ⎟. ⎜ + − ∇u = ⎜ r r sin θ ∂φ r tan θ ⎟ ⎟ ⎜ ∂r r ∂θ ⎝ ∂w 1 ∂w 1 ∂w u v ⎠ + + ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r r tan θ

97

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B CALCUL TENSORIEL

B.1. Opérateurs différentiels Dans un repère cartésien muni de la base orthonormée (e1 , e2 , e3 ), soit x = xiei le vecteur associé à un point de coordonnées (x1 , x2 , x3 ). On rappelle les définitions et les différentes notations du gradient et du laplacien d’un champ scalaire f (x), et de la divergence et du rotationnel d’un champ vectoriel u(x) = uj ej :  = (∂f /∂xi )ei = (∂j f )ej = f,mem , gradf = ∇f  2 f = ∂ 2 f /∂xi ∂xi = ∂jj f = f,mm , Δf = ∇  · u = ∂ui /∂xi = ∂k uk = up,p , div u = ∇  ∧ u = εijk (∂uk /∂xj )ei = εpqr ∂q urep = εabc uc,bea , rot u = ∇ où εijk désigne le symbole de permutation :

εijk

⎧ ⎪ ⎨ +1 si (i, j, k) = (1, 2, 3) ou toute permutation cyclique ; = −1 si (i, j, k) = (2, 1, 3) ou toute permutation cyclique ; ⎪ ⎩ 0 si au moins deux indices sont égaux.

On rappelle que εipq εirs = δpr δqs − δps δqr .

¯ u]ij = ui,j ; celles du Enfin, les composantes du gradient d’un vecteur sont : [∇ produit tensoriel de deux vecteurs sont : [u ⊗ v ]ij = ui uj .

Appendice B. Calcul tensoriel

B.2. Quelques identités  = Δf div ∇f  = 0 rot ∇f div rot u = 0  rot rot u = ∇div u − Δu  div (f u) = f div u + u · ∇f  ∧ u rot (f u) = f rot u + ∇f  · ∇g  Δ(f g) = f Δg + gΔf + 2∇f div (u ∧ v ) = v · rot u − u · rot v ¯ u)v − (∇ ¯ v )u + u div v − v div u rot (u ∧ v ) = (∇ ¯ u)u = 1 ∇  u2 + (rot u) ∧ u  u = (∇ (u · ∇) 2 ¯ = ∇f  dıv (f I) ¯ u = div u tr ∇ ¯ u = Δu dıv ∇ ¯ uT = ∇div  u dıv ∇ ¯ u)v dıv (u ⊗ v ) = u div v + (∇ dıv (u ⊗ v − v ⊗ u) = rot (u ∧ v )  xn = nxxn−2 ∇

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