Gewohnliche Differentialgleichungen: Theorie und Praxis - vertieft und visualisiert mit Maple® 978-3-540-22226-2, 978-3-540-27464-3

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Springer-Lehrbuch

Wilhelm Forst

Dieter Hoffmann

Gewöhnliche Differentialgleichungen Theorie und Praxis

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- vertieft und visualisiert mit Maple®

Springer

Professor Dr. Wilhelm Forst Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Abteilung Numerik 89069 Ulm, Deutschland E-mail: [email protected] Professor Dr. Dieter Hoffmann Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Fach D 198 78457 Konstanz, Deutschland E-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 34-01

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Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005

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SPIN: 10989555

44/3142YL - 5 43210

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . .

. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .

Einleitung .. .. ... .. .... . ... . .... . . . ...... ... ... .. .. .... ... . ... IX 1

Einführende Überlegungen . . . .. . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . 1.1

1

Er. te A pekte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was i t eine Differentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

W lehe Fragen ·teIlen wir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Modellierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Richtungsfeld r

. . .. ...... . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .

7

EULER-Polygonzugverfahren . . . .. . . . .. . . .. . . .. .... . Historische Notizen zu EULER und CAUCHY . . . . . ... .. . . . . . Maple Worksheets zu Kapitell . . . . . . 2

. ....

. . . 10. .

. . . . . . . . .11. . . . . . .

Elementare Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . ... . 19 . ... . 2.1

Differentialgleichungen mi ,getrennten Variablen' . .... . .. . . 19

2.2

Differentialgleichungen vom Typ y' = ｦＨｐ

2.3

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung .. . .. . . . .. . . .. ..

26

2.4

BERNOULLI-Differentialgleichung. . . .... . . .. . . .. . . .. .... ..

2

2.5

RI CCATI-Differentialgleichung... .. . . . .. . . .. . .. . . . .. . .. ... 29

ｬｸｴｱＧｾ

P2x

ｬｴｲＩ＠

Q2Y

r2

. . .... 23

Zusarrunenhang mit homogener linearer DGL 2. Ordnung . 30 Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung. . . 3 1 2.6

Exakte Differentialgleichungen ........................... 33 Multiplikator n ........... . . . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . ....

2.7

CLAIRAUT-Diff) r ntia1g1 ichung . . . . .

34

. . . . . . . . . . . . . .36 . . . .. ..

Historische Notizen zu BERNOULLI , CLAIRAUT und RI CCATI . . ... 41 Maple Worksheets zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 .. . . . . ..

5

VI 3

Existenz- und E indeutigkeitssatz ......................... 67 3.1

EinleitlUlg........ . .. . . ................................ 67

3.2 Fixpunktsatz für verallgemeinerte Kontraktionen. . . . . .

.... . 70

3.3 Exi tenz- und Eind utigkeit atz . .. .. . ... . ........ .... ... 75

Diller ntialgl ichung

y tem 1. Ordnung. . . . . . . . ... . 7.

. Explizit Differ ntialgleichung n k-t r Ordnung . . . . . 79 3.4 Fehlerabschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen ..... . . 3.5

0

Lösungen im Großen' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maximale Existenzintervalle . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Qualitative Beschreibung autonomer Systeme. . . . . . . . . .

. .6 . .

athema isches Pendel . . . .. . .... . .. ... . . .... . . .. . 90 Räuber-Beute-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .93. . . . . . Fluß zu einer gegebenen DGL . . . . . . . . . . . 3.7 Modifikation d

Hi tori ehe

otiz n zu

Haupt atz

. . . .. . . . .97 ..

für Funkti nen mit Wert n im C k 98

BANAC H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. ... . .99 . . . • .

Maple Worksheets zu Kapitel 3 ..... . ..................... 101 4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I ...... 123 4.1

Existenz- lUld Eindeutigkeitssatz ... . .... ... . . ......... . .. 123

4.2

Linear-algebraische Folger ungen .... ........ . . ......... . .. 124

4.3

Homogene lineare Differentialgleichungssysteme . .. .... . .. . . 125

4.4 Homogen lin ar DGLen höher r Ordnung ......... . .. . . . . 129 4.5 TI:ansformation von Differentialgleichung y tem n .. . . . .. . . 130 4.6 Inhomog n lineare Diller ntialgleichungen ... . ... . .. . . . .. . . 131

Inhomogene li neare DGL k-ter Ordnung ............. 131 4.7 Reduktion der Ordnung .. . . . .. . . .... . ................ . .. 133

Historische

otizen zu 0' ALEMBERT .... .... ........ . . . .. . . .. . 136

Maple Worksheets zu Kapitel 4 .... . . .. . . . . .............. . 137

4

VII 5

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme II ..... 151 5.1

Exponentialfunktion von Matrizen ........................ 152

5.2 Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten 155 5.3 Zw idimensionale Sy tem

Stabilität . . ............... . ... 159

5.4 Linear DGL-Sy tem mit kon tanten K effizient n und pezieHen Inhomogenitäten ................................. 169 5.5

Lineare DGLen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 . . . .. .. . . .

5.6 Homogene lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizi nt nfunktion n ........... . ............ . .. . .. . .. 175 Historische

otizen zu JORDAN .. .. ... .. ... .. .. .. . .... . . .. . . .. 1 2

Maple Worksheets zu Kapitel 5 .... . .... . . .. . ... .. . . .. . . . . 1 3 6

Nützliche -

nicht nur für den Praktiker . .. ... . .. . . . .. . . . 205

6.1 Lösungen über Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . . . . . .205 . . . . . . . HERMTTE-Differentialgleichung .. . ............ . .. . . . 207 LEGENDRE-Differentialgleichung . ............. . .... . 208 6.2 Schwach inguläre Punk e .. ... .. . .. . . .. . . .. .. . .... . . .. . . 214 BESSEL-DiH r ntialgl ichwlg . . . . ... .. ... . .. . .. . . . . . 220 6.3 LAPLACE-Transformation ... . .... .. . . . .. .. .. . .... . .. . . . . . 224 Anwendung auf Anfang

\V

rtaufgaben .. . .... . .. . . . . . 231

Unstetige Inhomogenitäten ............... . .... . ... 236 Zur inversen LAPLACE-Transformation ........ . .. . .. 23 Kleine Tabelle von LA PLACE-Transformierten . .... . .. 240 Historische

otizen zu LAPLACE ................. .. ........... 242

Maple Worksheets zu Kapitel 6 ..... . .. . ............ . .. . .. 243 7

Rand- und Eigenwertprobleme ......... . .................. 265 7.1 Randwertaufgaben für lineare DGL-Systeme mit linearen Rand bedingung n .. . . . . . .. .... ....... .. .. .. . .. .. . . . .... 266 GREEN-Matrix . ... .... .. . .. . . .. ....... . .. . ... .. . . 269

VIII 7.2

Randwertprobleme für lineare DGLen k-ter Ordnung .. . .. . .. 274

7.3

icht-lineare Randwertallfgaben und Fixpunktprobleme .. . .. 282

7.4

Selbstadjllngierte Randwertaufgaben ...................... 283

7.5 Selb tadjungiert Randeigenwertaufgab n .... .. .... . ...... 2 7 FOURIER-REIH EN ........... . .. . . . .. . .. . . .. ...... 292 Entwicklung ätz ........... . .. . . .. . . .. . . . ....... 294 7.6

TURM- LIO UVILLE-Randeigenwertaufgaben . . .. . . .. . . .... .. 301

Historische Notizen zu FOURIER .. . . . .. . ....... . . .. . . .. . .... . . 304 Maple Worksheets zu Kapitel 7 . ..... .. . . .. .. ... . .. . . .. ... 305 8

Anhang über Matrixfunktionen ........................... 325 .1

Matrixpolynome .. .......... . .... . . . .. . . .. . . .... .. .... . . 325 pektraldarstellung von

.2

YLVESTER-BuCHHEIM ... . .. 32

Matrixfllnktionen: Definition, Eigenschaften . . . .. . ... .. .... . 331

.3 Bei piele zur BereclulUng von Matrixfunktionen . . .. . . .. . . .. 339 Hi tori eh Notizen zu SYLVE TER ... .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 345 Maple Worksheets zum Anhang über Matrixfunktionen . . 347 Anhang zu Maple . ......... . .. . .... . . .. . . . . . . . .... .. . . ... .. .. . 359 Sy mbolverzeichnis .... . .. ... . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 371 N a m e n- und Sachverze ichnis .. .. .. ... . .. . .. . . .. . . ... ... .... . . . 373 Index zu Maple ............................................... 3 1 Liter aturverze ichnis ..... . ... . .. . .... . .. . .... .. . . .. . .. . .... . .. 3 5

Einleitung

Es gibt viele gute und auch einige sehr gute Bücher über Gewöhnliche Differentialgleichungen. Das vorliegende Buch versucht keineswegs, allein die Zahl solcher Bücher zu erhöhen; das Hauptziel wird aus dem Untertitel" Theorie und Praxis" und dem Zusatz "vertieft und visualisiert mit Maple" deutlich. Sein besonderer Reiz liegt in der Kombination einer sehr sorgfältig ausgearbeiteten zeitgemäßen Einführung in die Theorie mit zahlreichen Beispielen und zugehörigen Arbeitsblättern mit ,Maple vom Feinsten '. Das Computeralgebrasystem wird so mit den Inhalten der Theorie verknüpft, daß das Schwergewicht auf Erklärung, Vertiefung, Einübung und Visualisierung liegt. Es wird eine Einführung in die Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen gegeben für Mathematiker, Physiker, Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure - allgemeiner auch für Studierende mit Mathematik als Nebenfach. Dabei haben wir durchaus auch die vermehrt eingeführten BachelorStudiengänge im Blick, bei denen eine angemessene Stoffreduzierung gegenüber vielen herkömmlichen Darstellungen unumgänglich ist. Gerade auch bei den Differentialgleichungen ist Visualisierung, oft gekoppelt mit dynamischen Abläufen, besonders wichtig. Bei uns wird zusätzlich gezeigt, wie man solche Dinge relativ leicht selbst verwirklichen kann. Solide Grundkenntnisse der Linearen Algebra vorausgesetzt, kann unser Buch nach einer zweisemestrigen Einführung in die Analysis, also ab dem 3. Studiensemester , gewinnbringend für alle Studiengänge herangezogen werden. Dem Lernenden werden mathematisch ,saubere' und leistungsfähige Methoden an die Hand gegeben, was die praktische Arbeit wesentlich erleichtert. Der Lehrende findet ein ansprechendes und ausgefeiltes Buch, das er zur Orientierung oder als Begleittext ohne jeden Vorbehalt empfehlen kann. Gleich zu Beginn sei ausdrücklich gesagt: Vokabeln wie etwa ,Leser' sollten stets als ,Leser in und Leser' verstanden werden. Sprachliche Spielereien wie ,LeserInnen' oder ,der (die) Leser(in) , und Ähnliches finden wir unschön und wenig sinnvoll. Auch wenn wir das nicht fortwährend betonen: Weibliche und männliche Leser des Buches sind uns gleichermaßen willkommen. Das vorliegende Buch kann den Lernenden von Beginn an begleiten und als Grundlage oder Ergänzung zu einer Einführung in die Gewöhnlichen Differentialgleichungen im Grundstudium dienen. Es schafft gute Voraussetzungen für die Beschäftigung mit weiterführenden oder allgemeineren Themen und vor allem für die vielfältigen Anwendungen. Das Buch kann dem Lehrenden, der die zu präsentierenden Themen und Methoden stärker heutigen computerunterstützten Möglichkeiten anpassen will, eine gute Hilfe und zuverlässiger Wegweiser sein.

x

Einleitung

Wir haben uns immer wieder bemüht, dem Leser die zugrundeliegenden Ideen nahezubringen und ihn zum Mitmachen zu animieren. Dies hat die Darstellung stark geprägt. Zu allen Themen finden sich im Text zahlreiche, meist vollständig durchgerechnete und mit Bedacht ausgewählte Beispiele. Die große Fülle der ausgeführten Beispiele zeigt ausgiebig das "Wie", der sonstige Text erläutert das" Warum". Die Maple-Arbeitsblätter zeigen dann, wie man die Dinge mit einem Computeralgebrasystem umsetzen kann. Sie geben vielfältige Anregungen zum selbständigen Experimentieren. Instruktive und sorgfältig ausgewählte Abbildungen tragen - auch schon im Textteil - zur Veranschaulichung des Stoffes bei und erleichtern so das Verständnis. Auf ein detailliertes Durchgehen der Gliederung des Buches verzichten wir. Das ausführlich gehaltene Inhaltsverzeichnis gibt vorweg genügend Übersicht. Ein erstes Durchblättern dürfte zur Lektüre des gesamten Buches verführen. Es seien nur einige Besonderheiten des Textes erwähnt: • Anders als in vielen sonstigen Lehrbüchern wird der Stoff an dem orientiert, was in einem Semester im Grundstudium machbar ist. Die vielen ungewöhnlich positiven Rückmeldungen von Studenten und Kollegen zu unserem entprechenden Buch über Funktionentheorie zeigen, daß eine Darstellung der vorgelegten Art sehr willkommen ist. • Exemplarisch werden Anwendungsbeispiele unter verschiedenen Aspekten angesprochen. • LAPLACE- Transformationen werden angemessen behandelt, da sie - besonders für viele Praktiker - ein unverzichtbares Werkzeug darstellen. • Viele Themen werden relativ früh mit Vorteil für allgemeine DGL-Systeme behandelt und dann jeweils auf den zweidimensionalen Fall beziehungsweise Differentialgleichungen höherer Ordnung spezialisiert. Dies erweist sich als fruchtbar und erhöht die Durchsichtigkeit. • Nach der Pflicht in den ersten 7 Kapiteln enthält der Anhang über Matrixfunktionen noch ein Kürprogramm. Die Beschäftigung mit diesem Thema entwickelte sich ursprünglich aus der Frage, wie ein Computeralgebrasystem - hier speziell Maple - die Exponentialfunktion von Matrizen beziehungsweise allgemeiner Matrixfunktionen berechnet. • Zahlreiche historische Anmerkungen und Notizen unterstreichen, daß sich hinter den zentralen Begriffen und Theorien der Mathematik das Wirken herausragender Einzelpersönlichkeiten verbirgt. Natürlich konnten nicht alle Themen behandelt werden: So fehlen etwa bewußt der Satz von PEANO, separate Eindeutigkeitsüberlegungen, Ausführungen zum LORENTz-Attraktor und weitergehende Stabilitätsaussagen.

Einleitung

XI

Zur inhaltlichen und didaktischen Konzeption ist folgendes zu sagen: Unser Buch soll den Lernenden ab dem dritten Semester begleiten und wird sicher auch später noch zuverlässiger Ratgeber und Nachschlagemöglichkeit sein. Es ist durchaus auch zum Selbststudium geeignet; denn es ermuntert fortwährend zu aktivem Mitdenken und eigenem Thn. Dabei ist die mathematische Darstellung durch die Computerrealisierung begleitet. Beide Ebenen werden jedoch bewußt voneinander getrennt. Die Darstellung ist weit entfernt davon, eine bloße Sammlung von Kochrezepten zu sein. Gerade die mathematisch strenge Herleitung zentraler Ideen und durchgehend präzise Formulierung fördern entscheidend Verständnis und Durchblick und geben so erst die gewünschte Sicherheit bei der Anwendung. Nur ganz vereinzelt, wo ein vollständiger strenger Beweis nicht ratsam schien, beschränken wir uns auf einen Literaturverweis.

Zu Maple Wir wollen Lernende, Lehrende und Praktiker gewinnen, ein Computeralgebrasystem im ,Alltag' angemessen einzusetzen. Anwender können stärker für die erforderliche Theorie gewonnen werden, wenn - mehr als sonst meist üblich - Verbindungen zum praktischen Rechnen erkennbar sind. Das dauernde Wechselspiel zwischen Text, dort auch mit vielen ausführlich durchgerechneten instruktiven Beispielen, und ,Maple-Worksheets', kurz MWSs, führt zu einer wesentlich besseren Durchdringung des Stoffes. Viele Beispiele des Textteils werden in den MWSs aufgegriffen und neue Gesichtspunkte beleuchtet, die nicht nur für Maple-Nutzer interessant sind. Auch andere Leser finden hier ergänzendes Material und ausführlich durchgerechnete Aufgaben. Wir hoffen, daß etwas von unserer Begeisterung auf die Leser überspringt und Lehrende neue Impulse für die Gestaltung ihrer Vorlesungen mitnehmen. Computeralgebrasysteme wie etwa Maple können in Kombination mit innovativen Ansätzen Lehre, Lernen und den Gebrauch von Mathematik nachhaltig reformieren. Wir stehen erst am Anfang einer rasanten Entwicklung. Der Stoff kann effizienter und weniger fehleranfällig präsentiert werden, als dies allein mit Bleistift und Papier bzw. Kreide und Tafel möglich ist. Vor allem können viel komplexere Beispiele bearbeitet und visualisiert werden. Die ausgeführten und didaktisch aufbereiteten Worksheets geben Vorschläge und Anregungen, die selbständig ergänzt und modifiziert werden können. Zur Lösung von Differentialgleichungen gibt es - vergleichbar etwa mit der Bestimmung von Stammfunktionen - kein Patentrezept, keine Methode, die immer zum Ziel führt. Zu vielen Differentialgleichungen existiert gar keine analytische Lösung. Dies trifft durchaus bereits auf solche zu, die bei der Modellierung von einfachen Problemen der Praxis auftreten. Deshalb zieht

Einleitung

XII

Maple - wie andere Computeralgebrasysteme - neben analytischen Verfahren auch numerische Methoden heran. Mit der zusätzlichen Möglichkeit der Visualisierung (Richtungsfelder , Phasenportraits, ... ) h at man eine leistungsfähige Arbeitsumgebung zur Hand , in der auch l be ensnahe Aufgaben angegangen werden können und nicht nur einfache Übungsaufgaben, die mit zumutbarem Aufwand ,von Hand' gelöst werden können. Jedoch nur mit sicheren theoretischen Kenntnissen und intensivem Einüben der zugehörigen Ergebnisse können solche Computeralgebrasysteme sinnvoll eingesetzt werden. Sonst ist man ihnen hilflos ausgeliefert. Wir wollen k eineswegs Maple unkritisch preisen , sondern weisen durchaus immer wieder auch auf Grenzen , Schwächen und ,Macken' des Systems hin. Maple ist sicher k ein Rundum-Sorglos-P aket! Wie bei vielen Dingen im Computerbereich in der heutigen Zeit, wünschen sich die Nutzer eigentlich ruhigere und dafür deutlich ausgereiftere ,Produkt-Zyklen' . Neben faszinierenden Dingen stehen nämlich auch solche, bei denen man den Kopf schüttelt. Wir nutzen Maple nicht nur , wie oft zu sehen, sondern gestalten damit und setzen Ideen um, hier speziell bei Gewöhnlichen Differentialgleichungen. W ir sind überzeugt , auch m it diesem Buch einen neuen Qualitätsmaßstab zu setzen , was für die Akzeptanz von Computeralgebrasystemen im Hochschulbereich - auch ausbaufähig in Richtung e-leaming - förderlich sein wird. Natürlich soll niemand mühsam Maple-Code abtippen. Diesen findet man später auch mit Aktualisierungen - über http://www.springeronline.com/3-540-22226-X

A n die Le hrenden Das Konzept des Buches basiert auf unseren langj ährigen Erfahrungen mit recht verschiedenartigen Veranstaltungen aus dem Gesamtspektrum der Analysis. Neben vielen Vorlesungen für Mathematik- und Physikstudenten der Anfangssemester bis hin zum Aufbaustudium an d en Universit ät en Konstanz und Ulm haben wir beide oft auch Serviceveranstaltungen abgehalten und so Gespür dafür entwickelt, was außerhalb des E , lfenbeinturms' benötigt wird. Gerade durch die Anforderung, Mathematik auf sehr verschiedenen Niveaus bei unterschiedlichen Ausrichtungen und zum Teil noch deutlich auseinander liegenden Eingangsvoraussetzungen zu lehren, ist im Laufe der Zeit vieles mehrfach überarbeitet , geglättet, verbessert und ergänzt worden und auf diese Weise ein - mathematisch und didaktisch - überzeugendes und bewährt es Konzept entstanden. Leistungsfähige und zugkräftige Methoden erwachsen in dieser Darstellung aus dem Zusammenspiel zwischen mathematisch ,richtiger' Sichtweise, die Eleganz und Transparenz nach sich zieht, und Anwendungsorientierung.

Einleitung

XIII

Was die Kombination der Differentialgleichungen mit Computeralgebrasystemen angeht, findet man im deutschsprachigen Bereich noch relativ wenige ausgereifte Darstellungen. Die Skepsis mancher Kollegen in Bezug auf den Einsatz eines solchen Systems ist oft auch uneingestandene Angst vor dem Unbekannten und noch nicht Vertrauten. Wir wollen besonders auch diejenigen Kollegen ansprechen, sie ermuntern und ihnen Hilfen geben, die bisher dem Einsatz von Computeralgebrasystemen auch in der Lehre eher distanziert gegenüberstehen. Die Möglichkeiten, das Lernen und Begreifen von Mathematik durch ein solches System zu unterstützen, sind beeindruckend nur wissen das viele Kollegen gar nicht und zögern daher noch, solche Dinge auch in den Lehrveranstaltungen einzusetzen. Der Einsatz Neuer Medien in der Lehre birgt besonders in der Mathematik neben Chancen auch zahlreiche Risiken. Gerade deshalb sollten die Lehrenden ihre Sachkenntnis einbringen und dieses Gebiet mitgestalten, bevor fachfremde Instanzen die Alleinkompetenz beanspruchen. Wir sind überzeugt, daß unser Buch langfristig neben den Klassikern der Theorie einen festen und besonderen Platz im Angebot einnehmen wird. Das mathematisch ausgereifte - jedoch recht anspruchsvolle - Buch [Sc/Sc] von FRIEDRICH-WILHELM SCHÄFKE und DIETER SCHMIDT und Lehrveranstaltungen dieser beiden Autoren schon während der 6Oer-Jahre haben einige Teile unseres Buches deutlich geprägt. Doch haben wir diese Dinge dann ,aufgebohrt' und mit durchgerechneten Beispielen angereichert, weil wir in vielen Jahren die Erfahrung gemacht haben, daß der überwiegende Teil der Studenten deutlich mehr Hilfen benötigt, als dort gegeben werden. Auf diese Weise entstand ein Buch, das nicht allein für die Kollegen, sondern vor allem für die Lernenden geschrieben, aber gewiß kein Nürnberger Trichter ist. Die Lernenden werden von uns ein Stück des Weges an der Hand geführt, sie bekommen die Schönheiten am Wegesrand gezeigt, werden allerdings nicht in einer Sänfte getragen! Da sich das Buch nicht ausschließlich an Studierende der Mathematik, Wirtschaftswissenschaften und Physik und sicher nicht an Spezialisten wendet, hat es - in Umfang, Tiefe und Stoffauswahl - deutlich andere und wesentlich bescheidenere Ziele als etwa die Darstellungen von [Sc/Sc], [Wal], [Co/Le] oder auch [Hs/Si]. Diese Bücher empfehlen wir besonders interessierten Studenten zur ergänzenden und weiterführenden Lektüre. Im Vergleich dazu liegen hier mathematisches Niveau und Stoffumfang niedriger. Für den Gebrauch zu und neben Vorlesungen haben wir insgesamt einen realistischen Zeitplan im Auge und mußten uns so beschränken! An die Lernenden

Mathematik lernt man - wie fast alles im Leben - vor allem durch eigenes Tun. Man sollte beim Durcharbeiten eines Mathematikbuches Bleistift, Pa-

XIV

Einleitung

pier und einen (großen) Papierkorb - und in diesem speziellen Fall möglichst auch einen Computer mit Maple - parat haben und fleißig nutzen. Au drücklich ei gesagt: Di Läng d r Darst llung in inzeln n Th ma in der Vorlesung oder in einem Buch entspricht nur selten dem zeit lichen Aufwand der für das Durcharbeiten bis zum wirklichen Verständnis erforderlich ist . Zum Gebrauch des Buches

o soll das Ende eines Beweises optisch hervorheben. Mit " j " haben wir gelegentlich Rou ine-Überlegungen ,abgehakt' . Manche Dinge haben wir farbig eingerahmt, um sie optisch stärker hervorzuheben. atürlich gehört etwa bei Symbolen od r Notierungsw i en der Rahmen nicht dazu. In Bewei n haben wir manchmal ,linke Seite' und ,I' cht Seit ' mit ,e.8.' bzw. ,T. S . abg kürzt. ,m' steh für ,Ohne Einschränkung. Häufig haben wir einzelne Wörter oder Formulierungen mit einfachen Anführungsstrichen versehen: Dabei handelt es sich meist um ,eigentlich' noch zu präzisierende Dinge. Die Beispiele im Text sind kapitelweise numeriert.

Animationen die im Buch natürlich nur auszugsweise zu sehen sind haben wir am Rand dur h da Symbol gekennzeichnet. Durch die Daumenindizes können die einzelnen Kapitel und a ufgefunden werden.

fWSs leicht

Zum Maple-Layout Da die recht einfache Darstellung ü ber Export I!;\1EX' unter Maple bei uns doch viele Wünsche - für eine Buchwiedergabe - offenließ, haben wir einen eigenen uns voll befriedigenden Stil für die Ein- und Ausgabe von faple g wählt und dabei da mögliche Zu ammen piel aple-:g\1EX-Po tScript genutzt. Um in be res Sclu-iftbild zu erhalten, hab n wir manch Au gaben geringfü gig ,geschönt' z. B. Klammern weggela s noder hinzugefügt manchmal etwa cp tatt

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10

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x

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x

Kapitell

8

Einführende Überlegungen

Die durchgezogenen Linien zeigen jeweils mögliche Lösungskurven. In b) hängt f nur von y ab, was sich natürlich auch aus der Zeichnung entnehmen läßt. Im folgenden Beispiel c) sind die Lösungen mit y(a) = b> 0 Halbkreise:

y( x ) = vr 2 -x 2

(-r f : = (x,y) -> -x/y; AnfBed1 .= seq([y(O) = kJ ,k=l . . 5) ; AnfBed2 := [y(O) = -5/2J, [yCO) = -9/2J;

f

:=

(x, y)

x

-+ - -

Y

AnfBedl := [y(O) = 1], [y(O) = 2] [y(O) = 3], [y(O) = 4], [y(O) = 5] AnfBed2 := [y(O) =

-5/2] , [y(O)

=

-9/2]

Wegen der S ingularität für y = 0 etzt ich die folg nd Abbildung au zw i 'l1 ilbildern zu ammen. Ferner muß die S hrittweite mittel d r Option step ize hinreichend klein gewählt werden.

1.2

Richtungsfelder

(MWS)

15

> DEplot(Dgl,y(x),x=-5 .. 5,y=O.1 . . 5, [AnfBedl] ,linecolor=blue,

color=gray,arroys=line,stepsize=O . 02) : DEplot(Dgl,y(x),x=-S . . S,y=-S . . -0.1, [AnfBed2],linecolor=black, color=gray,arroys=line,stepsize=0.02): di splay('l.,'l.'l.,tickmarks=[[-S,-3,-1 , 1,3,S],0] , scaling=constrained);

'1'/'/

./ ＮＯＭ

ｾＭｲＢＬﾭ

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\

"ｾ＠ Beispiel d) : = (x,y) -> y/x; seq([y(l)=yO] ,yO=[-2,-1/4,1/2,4/3,4]); AnfBed1 AnfBed2 := seq([y(-1)=yO],yO=[-3,-1/S,1,4]);

> f

f AnfBed1 := [y(l) =

- 2J

[y(l) =

:=

(x , y) ｾ＠

- 1/4J

JL

x [y( l ) =

1/2J

[y(l) =

4/3],

[y(l) =

AnfBed2 := [y( - l) = - 3], [y( - l ) = - 1/5], [y( - l) = 1], [y( - l) = > DEplot(Dgl,y(x),x=0 . 1 . .7,y=-4 .. 7, [AnfBedl] ,linecolor=blue, color=gray,arroys=none) : DEplot(Dgl,y(x),x=-7 . . -0 . 1,y=-4 . . 7, [AnfBed2] ,linecolor=black, color=gray,arroys=none): display('l.,%%,thickness=2,tickmarks=[3,3],scaling=constrained);

41

4J

16

MWS zu Kap itell

E infüh rende Überlegungen

Euler- Polygo nz ugverfahren

'Wir betrachten die folgende einfache Anfangswertaufgabe: > restart: witheplots): f := ex,y) -> x/4: Dgl := diff(yex) ,x) fex,y(x)); AnfBed := y(O) = 0;

Dgl := y' =

x

"4 '

AnfBed:= y(O) = 0

Obwohl deren Lösung a uf der Hand liegt (Stammfunktion zu f durch (0, 0)) , berechnen wir sie symbolisch mit Hilfe de vielseitigen Maple-Befehls dsolve: > dsolve({Dgl,AnfBed},y(x));

Die anschauliche Deutung e in er Differentialgleichung mittels eines Richtungsfeldes legt es nahe, die exakte Lösung dieser Anfangswertaufgabe durch eine stückweise lineare Funktion zu approximieren, die man in das Richtungsfeld einpaßt: Ausgehend von einem äherungswert Y an der teile X rehält man so die ä herung Y + h , f(X, Y) an der telle X + h . Wir berechnen die äherungslösung mit Hilfe e le mentarer Maple-Befehle und unterlegen ihr in der Graphik zur Verdeutlichung ein Gitter: > n

:= 6: Xend := 6: h := Xend/n: X := 0: Y := 0: S := X,Y: to n do Y := Y+h*f(X,Y); X : = X+h; S := S,X,Y end do: printf("'l,13s 'l,16s","x","Y(x,h)"); printf(cat("'l,14.1f 'l,04.2f \n"$n+1) ,S);

x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 > L

Y(x , h) 0.00 0.00 0.25 0.75 1.50 2.50 3.75

:= [[S[2*j-l] ,S[2*j]] $ j=l .. n+l]: Loesung := plot(x-2/8,x=0 . . Xend,color=black,thickness=2): Punkte := pointplot(L,symbol=circle,color=blue): Polygon listplot(L,color=blue):

1.2

Richtungsfelder

(MWS)

17

GitterOption := cartesian,[O .. Xend,O .. 4J ,view=[O .. Xend,O . . 4J: Gitter := coordplot(GitterDption,grid=[7,5J,color=[black $ 2]), coordplot(GitterDption,grid=[25,17J ,color=[gray $ 2J): display(Loesung,Punkte,Polygon,Gitter,axes=frame,tickmarks= [[$ O.. XendJ ,[$ O.. 4JJ,scaling=constrained); 4

//

Vj /

3

2

00

ｾ＠

b/ 2

ｾ＠

V

,/

3

4

5

6

X

Durch di zweifache Anwendung de Kommando coordplot wird in grob (chwarze) bzw. ein f in (grau s) Gitter mit Gitterbreite 1 bzw. 1/4 erzeugt. GitterOption enthält die drei wichtigsten Parameter: cartesian ist der arne des gewünsch en Koordinatensystems. Es folgt eine Liste von zwei Bereichen, die in der kartesischen Parameterebene das Rechteck [0, 6] x[0, 4] beschreiben, und durch view wird im Bildbereich ein Fenster für das Gitter festgelegt. Die Zahl der Gi terlinien wird mit Hilfe der Option grid gesteuert. Leser, die m.it diesem Teil des vVorksheets herumexperimentieren und dabei z. B. die Schrittweite h verkleinern wollen, indem sie die Z a hl n der Integrationsschl'itte vergrößern werden beobachten , daß die zugehörigen EULERPolygonzüge sich - erwartungsgemäß - der Lösung der AWA nähern. Alternativ kann man die Lösung mit dsolve unter Verwendung der Optionen type=numeric und method=classical[foreuler] näherungsweise berechnen . i Hilfe des Befehls odeplot aus dem plots-Paket kann man sie zeichnen: > p : = dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),type=numeric, method=classical[foreuler] ,stepsize=h, output=array([evalf(k*h) $ k=O . .n]» : eval(p) ;

18

MWS zu Kapitell

Einführende Überlegungen

[x y] 0 1

2 3 4

5 6

0.00 0.00 0.25 0.75 1.50 2.50 3.75

> Punkte : = odeplot(p,style=point,symbol=circle,color=blue): Polygon : = odeplot(p,color=blue): display(Loesung,Punkte,Polygon,Gitter,axes=frame, tickmarks=[[$ O.. Xend], [$ O.. 4J] ,scaling=constrained):

Da die Graphik nahezu identisch ist mit der vorangehenden Abbildung, verzichten wir hier auf eine W iedergabe.

Kapitel 2

Elementare Integrationsmethoden 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

2.6

2.7

Differ ntia lgl i hc ungen mit ,getrenn n Variabl n' Different ia lgleichungen vom Typ y' = f(PI X+q IY + Tl) P2X+q2V+T2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung B ER oULLI-Differentialgleichung RI CCATI-Diffi r ntialgleichung Zusammenhang mit homogener linearer DGL 2. Ordnung Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung Exakte Differentialgleichungen Multiplikatoren CLA IRA uT-Differentialgleichung

Von ,elementaren Integrationsmethoden' sprechen wir, wenn die Lösung etwa durch Aufsuchen von Stammfunktionen, durch Auflösen von Gleichungen oder mit Hilfe geeigneter Transformationen gewonnen wird.

2.1 Differentialgleichungen mit ,getrennten Variablen' Wir betrachten in diesem Abschnitt Differentialgleichungen der Gestalt

y'

f (x) = g(y) .

Dazu machen wir die Annahmen: Es seien hund 12 Intervalle, f: h ----+ IR stetig und

g: 12 ----+ 1R stetig mit g(s)#O für sE12 . Aufgabe: Zu den "Anfangswerten" a E hund b E 12 suchen wir ein Intervall 1 c h mit a E 1 und eine auf 1 definierte Lösung y von (*) mit y( a) = b. Wir bezeichnen - wie schon erwähnt - diese Aufgabe (hier und analog im folgenden) als "Anfangswertaufgabe ", kurz "AWA ". Vorweg bemerken wir:

1) Durch Variation von a und b werden alle Lösungen erfaßt.

Kapitel 2

20

Elementare Integrationsmethoden

2) Eine Lösung von (*) ist automatisch stetig differenzierbar. Die grobe Idee ist recht einfach: integriert: y'(t)g(y(t)) dt =

J:

die linke Seite gerade ｉＺＨｾＩ＠

Man formt um zu y'(t) g(y(t)) = f(t) und Nach Substitution s := y(t) ist

J: f(t) dt.

g( s) ds. Anschließend löst man nach y( x) auf.

Die genaue Durchführung folgt dem skizzierten Vorgehen, erfordert jedoch etwas mehr Aufwand: Die Vorüberlegung führt zur Betrachtung der beiden Funktionen

F(x)

x

:=

J f(t) dt

(x E h) ,

a

C(y)

y

:=

J g(s) ds

(y E 12 ),

b

Da die Funktion g in 12 keine Nullstellen und damit - als stetige Funktion - konstantes Vorzeichen hat, ist C streng monoton (streng wachsend oder streng fallend). Zudem ist C natürlich stetig differenzierbar. Für das Intervall h := C(I2) gilt somit: C: 12 ----+ 13 ist bijektiv. So ist die Umkehrfunktion C - 1 : 13 ----+ h stetig differenzierbar und (in gleichem Sinne) streng monoton. Für eine auf einem Intervall I c h mit a E I definierte differenzierbare Funktion y: I ----+ 12 ist die AWA offenbar äquivalent zu

C(y(x)) = F(x) bzw. y(x) = C - 1 (F(x)) = (C - 1 0 F) (x) für x E I. Es sei 10 das ,maximale' Teilintervall von 11 mit a E 10 und F( x ) E 13 für x E 10 1 , so gilt - falls 10 ein echtes Intervall ist - : Yo := C - 1o ( F1 10) ist eine Lö ung der AWA. Yo ist "maximale Lö ung" in dem Sinne daß jede andere Lösung der A WA hieraus durch Einschränkung entsteht. Wegen a E J , P(a) = 0 und b E h , 0 = G(b) E h hat man stets a E Jo . J edoch kann Jo einpunktig sein! (Man vergleiche hierzu (B 1).)

Von den folgenden drei Beispielen ist das erste Routine (man vergleiche auch das unter c) in Abschnitt 1.2 skizzierte Richtungsfeld) , die letzten beiden sind besonders wichtig:

(BI) I y'

=

Ｍｾ＠

(y > 0)

I

Dieses Beispiel ordnet sich mit h := IR , f(x) := -x, 12 :=] 0,00 [, := y und beliebigen a E h , b E 12 in die allgemeinen Überlegungen ein. Daher wird 2F(x) = _x 2 + a2 , 2C(y) = y2 - b2 und somit 13 := C(I2) = ] - ｾ｢Ｒ Ｌ＠ 00 [. Aus der Äquivalenz F( x ) Eh genau dann, wenn x 2 < a2 + b2 , ergibt sich 10 = ] - r, r [ mit r := va 2 + b2 . Die Forderung C(y(x)) = F( x) liefert Y( X)2 - b2 = _x 2 + a2 ,also y(x) = vr 2 - x 2 für xE 10 .

g(y)

1

Vornehmer ausgedrückt: P -l (h), die a enthält .

Jo

ist diejenige Zusammenhangskom ponente von

2.1

Differentialgleichungen mit ,getrennten Variablen '

21

Wählt man für a 2: 0 die Intervalle h := [a, (X) [ und h := [b, ist - wegen h = [0 , (X) [ - I o = {a} , also einpunktig.

(B2) I y' =

(X) [ ,

dann

v'TYT I

Wir wählen zunächst h := 1R , 12 :=] 0,00 [, a E hund b E 12 (s E 12 ). Mit beliebig und setzen f(t) := 1 (t E h) , g(s) := ｳＭｾ＠

F (x) :=

x

J f (t) dt

= x - a (x E h) ,

a

G(y)

:=

y

J S-2 ds 1

=

2(y'y - Vb)

(y

E

12 )

b

ergibt sich 13 := G(I2) =]-

2Vb,

00 [,

F(x ) E 13

{==}

2Vb

x> a -

= : ß,

°[

10 =]ß,oo[, Yo( x ):= G-1(F(x ») = 1/4 (x-ß )2 (x E 10 ). Entsprechend erhält man für h := IR , h := ] - 00, und a E h , b E h mit a:= a + 2J1b1 auf 10 =] - 00, a[ die Lösung Yo( x ) = - 1/ 4 (x - a)2. Dies kann man - ohne erneute Rechnung - unmit telbar aus der ersten Überlegung erhalten; denn mit y ist offenbar die durch v (x ) := - y( -x) gegebene Funktion v ebenfalls Lösung. Auch aus der Symmetrie des Richt ungsfeldes ist dies unmit telbar abzulesen.

°

Zudem liefert y( x ) = (x E IR) eine Lösung. (Hierzu können die obigen allgemeinen Überlegungen nicht herangezogen werden!)

:s; ß :s;

Als Gesamtlösung der DGL erhält man so für -00:S; a nicht-trivialen Fall ai=- +00 und ß i=- -00 ):

00 (im

xß Hierzu sind nur noch die (einseitigen) Grenzübergänge von Ya,ß und ｙｾ Ｌ￟＠ an den ,Nahtstellen' zu betrachten. Sämtliche Lösungen erhält man hieraus durch Einschränkung. Insbesondere existieren für a E IR und jedes Intervall 1 mit a E 1 unendlich viele Lösungen durch (a , O). Diese liegen zwischen den ,extremalen' Lösungen: Ymax (x ) :=

ｻｾＨ＠

4" x-a

)2

,x:S; a ,x ｾ＠

a

also

Ymax

=

Y-oo,a ,

Kapitel 2

22

Elem entare 1ntegrationsmethoden

und

,x ,x

a a ｾ＠

ｾ＠

also

Ymin

=

Ya ,oo

Man spricht in einem solchen Fall gelegentlich von einem ,Trichter' von Lösungen. Lokal hat man also keine Eindeutigkeit, obwohl eine explizite DGL vorliegt , ihre rechte Seite stetig ist und diese nur von Y abhängt. Ymax .

4

3

Y-l ,2

2 1

1

2

3

4

-2

-3 -4 ' Ymin

(B3) y' = 1 + y 2 I

1

Hier kann m an h := 12 := IR , f( x ) = 1 und g(y) = _1_2 wählen. Zu l+y beliebigen a , b E IR erhält man F( x ) = x-a, G(y) = arctany - arctanb. Daher ist h = ]- ｾ＠ - arct an b, ｾ＠ - arct an b[ . Wegen F(x) E h ergibt sich

{=}

mit c:=a-arctanb ｘｅ｝ＭｾＫｃＬ｣｛］ＱＰ＠

Yo(x) = tan(x - c)

(x

E

10 )

.

Diese Lösungen haben ,private' (individuelle) beschränkte maximale Existenzintervalle, die nicht direkt aus der DGL ablesbar sind, obwohl die DGL mit sehr ,regulären' Funktionen gebildet ist. Man vergleiche auch das Beispiel zu 4) auf Seite 5.

2.2

Differentialgleichungen vom Typ y'

f(P,x +q,y +1',) P2X + q2Y + 1'2

=

2.2 Differentialgleichungen vom Typ y' =

23

f(PIX+qlY+Tl) P2 X +q2Y+T2

Hierbei seien PK.' qK. ' rK. für '" = 1, 2 reelle Zahlen, J ein Intervall und f: J ----+ IR eine stetige Funktion. CE können wir ausgehen von (ql,q2) i=- (0 , 0) (sonst wäre ,nur' eine Stammfunktion zu bestimmen) und rg Ｈｾ＠

ｾ＠ ｾ Ｉ＠

=

2 (denn sonst wären Zähler

(A

E IR)

und Nenner proportional). Als ersten Spezialfall behandeln wir

y' = ! (AX + y)

(I)

und dazu naturgemäß den Streifen S := {(x , y) E 1R2: AX + Y E J}.

z. B . für

J = ] - 1, 2[ und>' = 1:

Für ein Intervall I betrachten wir die (bijektive) Transformation 2 Y f----+

U

mit

u(x)

=

AX + y(x)

(x E 1)

und erhalten: y ist genau dann eine Lösung von (I) auf I (speziell (x , y(x)) E S für x E 1), wenn u: I ----+ IR differenzierbar ist mit u( x) E J und u' (x) = A+f(u(x)) für x E I. Damit ist dieser Spezialfall im wesentlichen auf Abschnitt 2.1 zurückgeführt. Es ist dabei noch zu beachten: Falls A+ f( uo) = 0 für ein Uo E J gilt, liefert y(x) = Uo - AX eine Lösung. Ein einfaches Beispiel soll die Überlegungen verdeutlichen. Wir greifen es dann - geringfügig modifiziert - noch einmal in dem zugehörigen MapleWorksheet auf: 2

Von einer Transformation sprechen wir, wenn jeder Funktion y einer gegebenen Klasse eindeutig eine Funktion u zugeordnet wird und umgekehrt.

24

Kapitel 2

(B4) I y' = (x + y)2

Elem entare Integrationsmethoden

y(O) = 0 I

Eine Lösung y dieser DGL auf einem Intervall I ergibt für u(x ) = x + y( x ) ( x E 1) die DGL u'(x ) = 1 + U( X)2. Die Anfangsbedingung y(O) = 0 wird zu u(O) = O. (B3) zeigt u(x ) = t an x für x E J mit maximalem Intervall J Ｚ ］｝Ｍ ｾ Ｌ＠ ｾ ｛ Ｎ＠ Folglich gilt:

y( x ) = t an x-x für xE]- ; , ; [ Im zweiten Spezialfall

y' =

f( Y- YO) X-Xo

(II)

für feste Xo, Yo E IR betrachten wir entsprechend den Winkelbereich

W := { (x, y) E 1R 2 : x

=1=

} . y - Yo Xo 1\ - E J x - Xo

Z. B. für Xo = yo = 0 und J = ]0.5 , 1.5[: 4

Für ein Intervall I , das Xo nicht enthält, transformieren wir

y( x ) - Yo

=

u(x )(x - xo) für x E I

und erhalten unter Beachtung von y'(x )

= u'(x)(x - xo) + u(x):

y ist eine Lösung von (II) auf I (speziell (x , y( x )) E W für x E 1) genau d ann, wenn u: I -----+ IR differenzierbar ist mit u( x) E J und u'(x ) = f (u (x ))- u (x ) für x E I. X-Xo

Damit ist auch dieser Spezialfall im wesentlichen zurückgeführt auf Abschnitt 2.1. Wir beachten noch: Wenn fh) = "( für ein "( E J gilt , liefert dann y(x ) = "( (x - xo) + Yo eine Lösung in ] - 00 , xo[ und in ]xo, oo[ . Auch hierzu ein Beispiel, das d ann in dem entsprechenden Maple-Worksheet - wieder leicht modifiziert - aufgegriffen und vertieft wird:

2.2

Differentialgleichungen vom Typ y'

(B5) I y'

=

sin

ＨｾＩ＠

+

ｾ Ｌ＠

y(l)

=

;

=

f(P,x +q,y +r,) P2X + q2Y + r2

25

I

°

Für dieses Beispiel ist in den allgemeinen Überlegungen J := IR , fes) := sin(s) + s für s E IR und Yo := Xo := zu setzen. Der Winkelbereich ist somit W = {( x, y) E 1R 2 : x =1= o} , und die Transformation lautet speziell y(x) = xu(x) für x E I auf einem Intervall I mit 1 E I , 1:. I. Eine dort definierte Funktion y löst genau dann die vorgegebene AWA, wenn

°

u' = f(u) - u = sinu

x

x

u(l) = 2:: 2

mit

gilt. In die Überlegungen von Abschnitt 2.1 ordnet sich dies ein mit:

h(x):= l für xEh :=] 0,00 [,

x

g(u): = _.l_ für uE12 :=] 0 , 7r [ ffinu

Gewiß wird niemand darüber stolpern , daß wir hier für die erste Funktion eine andere Bezeichnung (h statt f) gewählt haben, da ja f oben schon verwendet wurde. Für XE] 0, 00 [ und u E ] 0 ,7r [ betrachten wir

F(x): =

x

ｊｾ､ｴ＠

u

t

=

log x und G(u):= J-.1_ ds = 10g(tan(u/2)). ｾｳ＠

ｾ＠

1

Offenbar ist h := G(I2) = IR. Die Bedingung G(u( x )) = F(x ) bedeutet tan(u(x)/2) = x. Damit hat man u(x) = 2 arctanx und so y(x) = 2x arctanx. Jetzt können wir die allgemeine Aufgabe durch Reduktion auf (I) und (II) lösen: Im Fall rg (PI ql) ｾ＠

erhält man

= 1 existiert ein A E IR mit (PI) = A (ql). So ｾ＠

ｾ＠

also eine DGL vom Typ (I). Im Fall rg (PI ql) = 2 existiert eindeutig (x o, Yo) E 1R 2 mit

PIXO

P2 q2

+ qlYO + rl =

°,P2XO + q2YO + r2 =

f(Plx+qly+rl) P2 X + q2Y + r2 eine DGL vom Typ (Il).

=

0. Hier erhält man über

f(Pl(X -XO)+ql(Y - YO)) P2(X - xo) + q2(Y - Yo)

=:

l(Y - YO) x - Xo

Kapitel 2

26

Elementare 1ntegrationsmethoden

2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Wir betrachten hier die äußerst wichtige lineare DG L 1. Ordnung

y' = f(x) y

+

g(x)

(I)

dabei seien J ein Intervall und j, g: J ----+ IR stetige Funktionen. Im Falle g =1= 0 bezeichnen wir die DGL als inhomogen. Die Bedeutung dieser DGL kann nur schwerlich überschätzt werden. Selbst der ganz einfache Fall y' = Gy (Änderung ist proportional zum Ist-Zustand) - also g = 0 und j konstant - erfaßt recht verschiedenartige Dinge, wie wir schon in der Auflistung auf Seite 1 f angedeutet haben. Für ein a E J wird durch

x

Yo (x) := exp

(J

j (t) dt)

a

für x E J eine (stetig differenzierbare) Lösung Yo der zugehörigen "homogenen (linearen) Differentialgleichung ((

(H)

y' = f(x) y auf J erklärt, die yo(x) > 0 und yo(a) = 1 erfüllt. (Dies kann man auch mit der Methode aus Abschnitt 2.1 herleiten.)

Ist y eine Lösung von (I) in dem Existenzintervall J o y( a) = b E IR , dann läßt sich y stets in der Form

y(x) = c(x) Yo(x)

(x

E

c J mit a

E

J o und

"Variation der Konstanten ((

J o)

mit (stetig) differenzierbarem c: J o ----+ IR schreiben; denn die Funktion Yo ist ja durchweg ungleich o. Es gilt dann ｾＫｧ＠

=

jy+g

=

y'

=

c'yo+cyo ｣ＧｙｯＫｾ

Ｌ＠

also c'(x) = g(x) YO(X) - l ; damit ist notwendig:

y(x) = Yo(x)

(Jg(t)YO(t)-l dt a

+ b)

(1)

Andererseits wird durch (1) eine Lösung von (I) mit y(a) = b erklärt. Wir fassen zusammen:

Satz 2.3.1 Für a E J und b E IR ist die - eindeutig bestimmte - Lösung y von (I) auf J mit y(a) = b gege ben durch (1). Sämtliche Lösungen von (1) erhält man durch Variation von a und bund Einschränkung auf Teilintervalle.

2.3

27

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Das maximale Existenzintervall der Lösungen i st also hier j eweils J. Folgerung 2.3.2

a ) Für di e zugehörige homogen e DGL (H) sind alle Lösungen auf J gegeben durch:

(c

y( x ) = c Yo(x) für xE J

E

IR)

ß) Für eine Lösung y d er homogen en DGL gilt: Ist y nicht konstant gleich Null, so ist y stets von Null verschieden.

r)

J ede beliebige Lösung von (I) (auf J) entsteht aus einer speziellen ("partikulären ") Lösung durch Addition einer Lösung von (H).

Beweis: Die erste Aussage liest man direkt aus (1) mit g(t) := 0 (t E J) ab. Aus a ) erhält man unmittelbar ß), da Yo( x ) i= 0 (x E J). Die dritte Aussage folgt aus der Linearität d er Ableitung: Sind y und z Lösungen von (I) , so gilt (y - z )' = y' - z' = fy - f z = f(y - z ); (y - z ) ist also iene Lösung von (H); so ergibt y = z + (y - z ) die gewünschte Darstellung. D

Für die (lineare) Abbildung L: CI(J)

Co(J)

-+

UJ

UJ

Y

y' - fy

f---+

wissen wir also: L ist surjektiv, und der Kern von L ist i -dimensional. Wir sehen uns auch zu diesem Typ von DGLen ein einfaches B eispiel an:

(B6)

Iy' =

+ 3 x,

-x y

y(O)

=

51

Zur Lösung dieser AWA sind in den allgemeinen Überlegungen J := IR , a := 0, b := 5, fe x ) := - x und g(x) := 3x für x E IR zu setzen. Dannergibtsichyo(x ) y(x): =

ｙｯＨｘＩｬＳｴ

wobei wir

exp(J( - t)dt)

:=

o

ｊＳｴ･ｸｰＨｾＲＩ､＠

･ ｸｰＨｾｴＲＩ､＠

+ = Ｓ･ｸｰＨｾｴ

o benutzt haben. Daher i st y(x ) bestimmte Lösung der AWA.

5) = ｹｯＨ

ｸ ＩＨＳ

Ｒ Ｉ ｬｸ＠ = ＳＨ･ｸｰｾ 0

=

･ｸｰＨ

=

･ ｸｰＨｾ

Ｍ ｾ ｸ ＲＩ＠

und

Ｒ Ｉ＠ + 2) , ｸＲ Ｉ＠

- 1)

3 + 2 exp ( - ｾ＠ x 2 ) die eindeutig

Wir rechnen die gleiche Aufgabe noch einmal mit "Variation der Konstanten " direkt (d. h. ohne die Formel (1)): Ｍ ｾ ｸ ＲＩ＠ erfüllt ｹｾ＠ = -X Yo und Yo(O) = 1. Der A , nsatz' Yo( x ) = ･ ｸｰＨ y( x ) = c(x ) Yo( x ) liefert hier ｾ＠ + 3 x = -x y + 3 x = y' =

Kapitel 2

28 c'Yo + cY6 = c'Yo + ｾ＠ Ｓｸ･ｰＨｾＲＩＮ＠

gibt dann 0

Elem entare Integrationsm ethoden

und somit c'Yo

= 3x, also c'(x) =

Daraus folgt c(x) = Ｓ･ｸｰＨｾＲＩＫＰＮ＠ c(O) = y(O) = 5 = 2 , insgesamt also die obige Lösung.

Oft ist es aber noch einfacher, eine Lösung von (I) zu e, rraten' und dann mit ')') (und 0)) die allgemeine Lösung zu notieren: Schreibt man die gegebene DGL in der Form y' = x (- y + 3), so erkennt man leicht die durch yp(x) := 3 gegebene konstante Funktion YP als partikuläre Lösung. Mit der oben schon bestimmten Lösung Yo der zugehörigen homogenen DGL ist die allgemeine Lösung y - nach 0 ) und ')') - gegeben durch:

y( x ) = cyo(x)

+ yp(x) =

Die Forderung y(O)

c exp ( - ｾ＠ x 2)

+3

(mit beliebigem cE IR).

= 5 zeigt dann abschließend c =

2.

2.4 Bernoulli-Differentialgleichung Als solche wird die DGL

y' = f ex) y

+

(1)

g(x) ya

bezeichnet. Dabei seien wieder J ein Intervall , tionen und CE 0 E IR \ {O , 1}.

f , g: J

----+

IR stetige Funk-

Für a = 1 erhielte man eine homogene lineare DGL 1. Ordnung, für a = 0 eine (inhomogene) lineare DGL 1. Ordnung.

Es werden - für beliebiges 0 - nur Lösungen y: J o tervall J o von J mit y(x) > 0 für xE J o betrachtet.

----+

IR für ein Teilin-

Für spezielle a kann man auch y(x) :::; 0 zulassen. Ist 0" = 0 definiert , so ist natürlich auch y = 0 eine Lösung.

Die Transformation u(x)

=

y(x) l - a

(x E J o)

liefert , daß

y genau dann eine L ösung von (1) ist, wenn u auf J o die lineare DGL u'

=

(1 - o) f (x)u

+

(1 - o) g(x)

(2)

löst und u(x) > 0 für x E Jo gilt. Beweis:

Ist y eine Lösung von (1), dann gilt für u:

u' = (1 - o)y-a y, = (1 - o )y-a [f(x)y = (1 - o)f(x)u + (1 - o)g(x).

+

g(x)ya ]

Geht man andererseits von einer Lösung u von (2) aus, so rechnet man für y:

2.5

Riccati-Differentialgleichung

y' = ｬｾ｡ｵｉＭＬＺ

Ｌ Ｍ ｬｵＧ＠

29

= ｬｾ｡ｵｉＢ

Ｂ＠ [(l - a)j(x)u

= j( X)UI-':" + g( X)UI""

=

j(x)y

+ g(x)yO: .

+ (l - a)g(x) ] 0

Insgesamt ist somit das Problem auf die Überlegungen aus Abschnitt 2.3 zurückgeführt . Anmerkung: Eine Lösung U von (2) existiert auf ganz J ; aber der oben aufgezeigte Zusammenhang y +-----+ u best eht nur solange, wie u(x ) > 0 (bzw. y(x ) > 0) gilt.

Auch hier ein kleines Beispiel zum Einüben:

(B7)

I y'

=

xy - 3xy2,

y(O)

=

i

I

Mit a = 2 und somit u(x) := Y(X) - l in einem Intervall J o c IR mit 0 E J o und y(x) > 0 für x E J o geht diese AWA nach den geschilderten Überlegungen über in u' = -x u + 3x , u(O) = 5. Nach Beispiel (B6) ist die allgemeine Lösung dieser DGL durch u(x) = cexp ( - ｾ＠ x 2 ) + 3 gegeben. Die Berücksichtigung der Anfangsbedingung liefert c = 2. Die Lösung y der ursprünglichen AWA ist demnach durch y(x) = u(x) -l = 1/ (3 + 2 exp ( - ｾｸＲＩ＠ für x E IR , also mit J o = IR , gegeben.

2.5 Riccati-Differentialgleichung Eine DGL der Form

y' = j (X)y2 + g(x)y + h(x)

(1)

heißt RICCATI-Differentialgleichung. Hierbei seien j , g , h: J -----7 IR stetige Funktionen auf einem Intervall J. CE kann dabei von j i=- 0 ausgegangen werden; denn sonst hätte man eine lineare DGL. Erste Anmerkungen: 1) Ohne Beweis (und ohne weitere Begriffserläuterung) vermerken wir: Im allgemeinen ist diese DGL nicht ,elementar integrierbar' ! 2) Falls eine Lösung bekannt ist, können andere Lösungen elementar gewonnen werden.

30

Kapitel 2

Elem entare Integrationsmethoden

3) Gegenüber d er linearen DGL hat m an hier noch den T erm f( X)y2; dieser ändert das Lösungsverhalten b eträchtlich: Das zeigt ja schon 1). Zudem sind ,private' maximale Existenzintervalle möglich , die echte Teilintervalle des Ausgangsintervalls J sind! (Man vergleiche dazu die schon bekannt en Beispiele auf den Seiten 5 (y' = y2) und 22 (y' = 1 + y2).) Zusammenhang mit homogener linearer DGL 2 . Ordnung Hier machen wir die zusätzliche Annahme:

f sei stetig differenzierbar mit f (x ) i= 0 für alle x a) Durch die Transformation I z (x ) eine Normalform:

=

-

E

J

3

f( x )y(x ) I gelingt die Reduktion auf

Es sei y: J o ----+ IR eine differenzierbare Funktion auf einem T eilintervall J 0 von J ; dann folgt:

y ist genau dann eine Lösung von (1) , wenn für alle xE J o gilt

{=}

f( x )y' = f( X)2 y2 + f( x )g(x )y + f( x ) h(x ) (f y)' (x) = l' (x ) y(x ) + f(x) y' (x)

= (f( x )Y(X))2 + (J( x )g(x ) + 1'( x )) y( x ) + f( x )h(x ) I z'

{=}

mit

g( x )'-

= _Z2 - g( x )z - h(x ) I

｟ ｦＨ ｘ ＩＹｾ

Die Funktionen

9 und

ｸ ｾ＠

f'( x ) , h(x )

:=

(2)

( x E J).

f( x )h(x )

h sind natürlich stetig.

b) Betrachtung von (2): Ist z eine Lösung von (2) auf J o, dann bilden wir für a E J o

u(x )

:=

exp

(l

x

(x E J o) ,

z (t)dt)

also die Lösung u von u' = z u mit u(a) = 1. Die Funktion u ist somit zweimal stetig differenzierbar mit u(x ) i= 0 für x E J o und genügt d er DGL

u"

+ g(x)u' + h(x)u

denn mit u' = z u folgt u" = z' u = 3

+ z u' =

(z'

= 0 ;

+ Z2 )U

(- g( x ) z - h(x ))u = - g( x )u' - h(x )u.

Oben wurde nur gefordert: E s existiert ein x E J mit f( x )

=1=

o.

2.5

Riccati-Differentialgleichung

31

Ist andererseits u eine Lösung dieser DGL auf einem Intervall J o c J und dort stets von Null verschieden, da nn liefert z(x ) := für x E J o offenbar eine Lösung z von (2) auf J o .

:g}

(B8) Die (schon reduzierte) DGL z ' = - z2 - 1 wird in dem Intervall J :=

]-7r / 2 , 7r /2 [ gelöst durch z mit z (x ) := - t an(x ). Hier sind also in den obigen allgem einen Überlegungen g(x ) = 0 und h(x ) = 1 zu setzen. Die zugehörige DGL zweiter Ordnung für u la utet somit u"

+u

=

o.

Diese wird u. a. durch die Funktion u = cos gelöst. Die Beziehung z (x ) = u' (x ) lautet hier - tan(x ) = -s in (x ). u (x)

cos(x)

Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung Sind y und Yo Lösungen von (1) auf einem Intervall J o c J , dann gilt für z := y - Yo unter Beachtung von y2 - Y5 = (y + Yo) (y - Yo) = (z + 2yo) z:

z' = f(y2 _ y5 )+gz = f z 2+(2fYo+g) z

(BERNOuLLI-DGLmita = 2)

Mit der in Abschnitt 2.4 b eschriebenen Transformation gelingt die Reduktion a uf eine lineare DGL 1. Ordnung: Ist z (x) i= 0 für x a us einem Teilintervall J o von J, so erhält man für u( x ) := Z(X)- l, also u'( x ) = -Z (X)- 2 z'( x ), - u' = f + (2fyo + g)u. Mit diesen motivierenden Überlegungen h a ben wir bewiesen:

Satz 2.5.1 Hat man eine L ösung Yo der RJCCATT-DGL (1) auf einem Teilintervall J o von J , so gilt für zwei Funktionen y u: J o ｾ＠ IR mit u(x) (y(x) - Yo(x) ) = 1

(x E J o) :

Y löst genau dann die D GL (1) auf J o, wenn ｾｌ＠ ul

=

- (2f (x)yo(x)

+ g(x)) u

dort eine L ösung ist von: - f (x)

(3)

Für u hat man also eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Damit gewinnt m a n nun leicht die

Folgerung 2.5.2 (Eindeutigkeitssatz) Sind die beiden Punktionen y und Yo in einem gemein amen Intervall J o von J Lösungen der RICCAT I-DGL (1), dann gilt y

=

Yo

oder

y (x) =1= Yo(x) für alle xE J o ·

Kapitel 2

32

Elementare Integrationsmethoden

Beweis (indirekt): Sonst hätte man y =I- Yo (*), und es existierte ein t E J 0 mit y( t) = Yo (t). Da die Funktionen y und Yo stetig sind, folgt aus (*): Es o

existiert ein Tl E J o mit y( Td =I- Yo (TI). CE sei Tl < t. Wir betrachten T2 := inf {T E J o I T

> Tl

1\ Y(T) = YO(T)} .

Die Stetigkeit von y und Yo liefert y( T2) = Yo( T2) (**). Für x aus dem Intervall J 1 := [Tl, T2 [ gilt y( x) =I- Yo (x). Die auf J 1 durch u(x) := (y(x) - YO(X)) -l

definierte Funktion u löst dort die lineare Differentialgleichung (3); da der Punkt T2 zum Intervall J o gehört, kann die Funktion u in T2 hinein stetig fortgesetzt werden, dies im Widerspruch zu (**). D Insgesamt erhalten wir einen Überblick über die Lösungsgesamtheit von (1) in Teilintervallen J 1 des Definitionsbereiches J o einer speziellen Lösung Yo: Satz 2.5.3 Auf einem Teilintervall Jo von J seien yo eine Lösung von (1) Uo eine L ösung der· D GL (3) und vo eine nicht-triviale Lö ung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Für ein Intervall J 1 C J o und eine darauf definierte Funktion y gilt: y löst genau dann (1) auf J 1 1 wenn y die Einschränkung von Yo auf J 1 ist oder mit einem reellen "( gilt: und

Y

=

(Yo + Uo +1) "(vo IJ

1

Der Beweis ist durch die bisherigen Überlegungen gegeben: Ist y eine Lösung von (1) auf J 1 mit y =I- YO IJ1 ' so gilt y(x) =I- yo(x) für x E J 1 nach Folgerung 2.5.2. u(x) := (y(x) - YO(x)) -l für x E J 1 liefert nach Satz 2.5.1 eine Lösung u der linearen DGL (3) auf J 1 . Somit existiert ein "( E IR mit u = Uo + "(vo . Dies liefert die behauptete Darstellung für y.

Ausgehend von einer solchen Darstellung von y löst u DGL (3), also y die DGL (1) auf J 1 .

:=

uo+ ,,(vo die lineare D

Zum besseren Verständnis dieses Satzes kann die Abbildung zu Beispiel 7 auf Seite 60 helfen. Auf weitere Überlegungen zur (wichtigen) RICCATI-Differentialgleichung gehen wir nicht ein (man vergleiche hierzu die Literatur, z. B. [Sc/Sc]), da noch ein reichhaltiges Programm auf uns wartet.

2.6

33

Exakte Differentialgleichungen

2.6 Exakte Differentialgleichungen In diesem Abschnitt seien Q) ein Gebiet - d. h. eine offene und zusammenhängende Menge - im 1R 2 und h , h: Q) ----+ IR stetige Funktionen. Wir betrachten die Differentialgleichung: hex y)

+ h(x , y)y'

(1)

= 0

Diese DGL heißt genau dann ,, (in Q)) exakt" 4, wenn eine Stammfunktion zu (h , h)T in Q) existiert, d. h. eine differenzierbare Funktion F: Q) ----+ IR mit D1F = hund D 2 F = h - in anderer Notierung F x = hund F y = h· Die Bedeutung der ,Exaktheit' (mit einem solchen F) wird ersichtlich aus der folgenden einfachen Bemerkung 2.6.1

Für ein I nt ervall J und ine differenzierbare Funktion y : J ----+ IR mit (x,y(x)) E Q) für x E J ist Y genau dann eine L ösung von (1), wenn mit einem reellen 'Y gilt: F (x,y(x)) = 'Y Beweis:

､ｾｆＨ

ｸＬ ｹＨ ｸ Ｉ＠

(x E J ).

= h( x, y( x )) + h(x, y( x ))y'(x ) für xE J

D

Sind die Funktionen hund h sogar stetig differenzierbar, dann ist für die Exaktheit von (1) notwendig

Dies sind die aus der mehrdimensionalen Analysis vertrauten Integrabilitätsbedingungen, die bekannterweise unmittelbar aus dem Satz von SCHWARZ resultieren. Unter den stärkeren Voraussetzungen, daß Q) einfach-zusammenhängend ist und die Funktionen hund h stetig differenzierbar sind, hat m an: Die DGL (1) ist in Q) genau d ann exakt, wenn D 2 h

= D 1 h gilt.

Ist dies g egeben , dann kann mit fest em (x o, Yo) E Q) für (x, y) E Q) mit einer (beliebigen) stückweise stetig differenzierbaren Kurve Loesung := dsolve(Dgl,y(x), i mplicit);

odetest(Loesung,Dgl);

Loesung :=

y2

+x 2 - _Cl

= 0,

0

Man beachte, daß man mit separablesol keine Anfangswertaufgaben lösen kann! Dies gelingt vielmehr z. B. mittels dsolve unter Verwendung der Option [separable) . Hierdul'ch wird eine andere Lösungsmethode festgelegt. \iVir überzeugen uns davon , indem wir dsolve beim Lösen ,zuschauen' : > infolevel[dsolve) := 3: assume(b>O): dsolve({Dgl,AnfBed},y(x)); dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),[separable)): infolevel[dsolve) := 0:

5

Methods for first order aDEs : --- Trying classification methods trying a quadrature trying 1s t order l inear trying Bernoulli restart : with(DEtools) : f

: = 1: g := s -> 1/(1+s-2):

Dgl := diff(y(x),x) = f(x)/g(y(x)); AnfBed := y(a) = b ;

Dgl := y' = 1 + y2 ,

AnfBed:= y(a) = b

Wir verfahren wieder nt prechend dem Vorgehen im Textteil: > F := x-> int(f(t),t=a .. x) : G := y - > int(g(s),s=b .. y) : eq : = G(y(x)) = F(x) ;

eq

:= arctan(y) - arctan(b) =

x- a

Mit c:= a - arctan(b) erhal en wir dann die Lösung in folgender Gestalt : > Subst := c = a -a rctan(b): subs(isolate(Subst,a),eq): isolate(%,y(x));

y = tan(x - c)

Auch mit Maple kann man die Lösungen der DGL sowohl in impliziter wie expliziter Form erhal en: > dsolve(Dgl,y(x), i mplicit);

dsol ve(Dgl,y(x)); separablesol(Dgl,y(x)) :

x - arctan(y)

+ _Cl

=

0,

y

=

tan(x + _Cl)

DGLen vom Typ y' =

2.2

f(PIX+Q1Y+Tl) P2 x Q2 Y T2

+

2 .2 DGLen vom Typ y' =

+

(MWS)

f(Pl a:: +qlY+Tl) P2a::+q2Y+T2

> restart : with(DEtools) : Dgl := diff(y(x) ,x) = f«p1*x+q1*y(x)+r1)/(p2*x+q2*y(x)+r2» ;

D 1 := l 9

= f(Pl x+ Ql y +rl) p2 x + q2 y + r2

'

Y

Spezial/all I : Ｚ＠ > f : = t -> ｴｾＲ pl,ql,rl := 1,2,0 : p2,q2,r2 Dgl; AnfBed : = y(O) = 0;

:=

y' = (x + 2y )2 ,

0,0,1:

An/Bed:= y(O) = 0

Wir schauen uns an , wie dsolve diese Anfang. wertaufgabe löst: > infolevel[dsolve] : = 3: dsolve({Dgl,AnfBed},y(x» : Loes .= expand(%); infolevel[dsolve] : = 0:

5

10

15

20

Methods for first order ODEs: --- Trying classification methods trying a quadrature trying 1st order linear trying Bernoulli trying separable trying inverse linear trying homogeneous types: trying homogeneous C 1st order, trying the canonical coordinates of the invariance group -> Computing canonical coordinates for the symmetr y, [1, - 1/2] *** Sublevel 2 *** Methods for first order DDEs: --- Trying classification methods trying a quadrature trying 1st order linear (- 1st order linear successful -> The canonical coordinates may not have unique inverse. Trying gauging the symmetry to the form [0, eta(x,y)] -> Computing canonical coordinates for the symmetr y, ｛ＰＬＭＴＪｹｾＲｸｬＯ

ｊ＠

(- 1st order, canonical coordinates successful (- homogeneous successful

Loes .- y

= Ｍｾ＠

+ ｾ＠ V2 tan (V2x)

49

50

MWS 2

Elem entare Integrationsm ethoden

> odetest(Loes,Dgl), eval(Loes,x=O); # Probe

0, y(O) = 0

Die vorgegebene DGL wollen wir mit Hilfe der Substitution u(x) in eine DGL mit getrennten Variablen überführen :

= x+2y(x)

> Subst := u(x) = x+2*y(x): eql : = isolate(Subst,y(x»; Dchangevar(eql,Dgl,x); # Kommando ist "obsolet".

Dchangevar aus dem DEtoo1s -Paket ist ab Map1e V 5 durch da neue Kommando PDEtoo1s[dchange] ersetzt worden. Im Hinblick auf die Kompatibili tät lni früheren Map1e-Versionen kann dieser ｂ ･ ｾ＠ h1 imm r noch b nutzt werd n . Es wird j doch empfohlen d n neueren B E hl zu v rw nden: > PDEtools[dchange) (eql,Dgl, [u(x»)) : DgITrans : = isolate(%,diff(u(x),x»; AnfBedTrans := subs(AnfBed,subs(x=O,Subst»;

DglTrans := u' = 2u2

Wir lö n di tran forrni rt

+ 1,

AnfBedTrans:= u(O) = 0

nfang. wertaufgab :

> F := x -> int(l,t=O .. x): G := u -> int(1/(2*s-2+1),s=O .. u) : G(u(x» = F(x); eq2 := isolate(%,u(x»; 1

2 V2 arctan (u.J2) = x,

eq2 := u =

1

2.J2 tan (V2x)

RücktraJl formation rgibt die Lö. ung der ur prüngli chen AWA: > PDEtools[dchange] (Subst,eq2, [y(x)]): eq3 := isolate('l.,y(x»;

eq3 := y

x 2

1

= - - + -.J2 tan (V2x) 4

> odetest(eq3,Dgl), eval(eq3,x=O);

0 , y(O)

0

2.2

DGLen vom Typ y'

f(PI X+ Q1Y +Tl ) P2 x Q2 Y T2

+

+

(MWS)

51

Spezialjall II: > f := t - > sin(t)+t:

p1,q1,r1 := 0,1,0: p2,q2,r2 := 1,0,1 : Dglj AnfBed : = y(1) = Pi/2 ;

y'

= ｩｮＨｾＩ

7r AnjBed := y(l ) = 2

Ｋ Ｍ ｙﾭ

x+1

x+1

> odeadvisor(Dgl);

[[_homogeneous class

Cl

_dAlembert]

> dsolve({Dgl,AnfBed},y(x»;

dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),[homogeneous]) j dsolve({Dgl,AnfBed},y(x) , [dAlembert]) ;

Sofern Maple überhaupt eine Lösung der Anfangswertaufgabe findet (versionsabhängig!) hat diese keine sonderlich überschau bare Form. Wir verzichten daher auf deren Ausgabe und modifizieren die Fragestellung: > dsolve(Dgl,y(x»; # alternativ: genhomosol(Dgl,y(x»;

d.olve liefert die allgem ine Lö. ung der DGL in ein er Form die ohne Vorkenntnisse nur schwer ver ändlich ist und der Erläuterung bedarf. Interessant i tein VerO"leich mit anderen Computeralgebra y ternen:

MuPAD tut sich mit dem vorliegenden Problem ebenfalls schwer . Hingegen liefert Mathematica die Lösung der AWA in der schlichten Form

y(x) = 2 (1+ x) arctan ((1

+ x)/2·

tan(7r/ ))

und weist zudem darauf hin, daß es möglicherweise noch andere Lösungen gibt. Da wir die F\mktion arctan( u v) nich als bekannt voraussetzen wollen, wählen wir einen anderen Lösungsweg und überführen die vorgegebene DGL mit Hilfe der Substi ution u(x) = y(x)-Yo in eine DGL nut getrennten X-Xo Variablen: > xo: ='xo': yO : ='yO' : solve({pl*xO+ql*yO+rl =0,p2*xO+q2*yO+r2=0},{xO,yO}); assign(%):

{YO

= 0 xO = -1 }

52

MWS 2

Elem entare Int egrationsmethoden

> Subst : = u(x) = (y(x) - yO)/(x- xO) : eq4 := isolate(Subst,y(x));

eq4 :=

y

u ( x + 1)

=

> PDEtools[dchange) (eq4,Dgl,[u(x))) : DgITrans := isolate(%,diff(u(x),x)); AnfBedTrans := subs(AnfBed , subs(x=l,Subst));

in(u) DglTrans := u ' = - -

AnfBedTr-an

x+ 1

:= u(l) =

'Ir

4"

Wir be t immen die Lö ung der tran f ormi rten DGL in impliziter Form: > dsolve(DglTrans,u(x),implicit): eqS := simplify(%); eq5 := ln(x

+ 1) -

Mit Hilfe der Anfang w r t

10 (

ｳｴｾｕＩ＠

)+

co. u + 1

_Cl

=

0

ber echnen wir dj Int gration kon tante _Cl:

> subs(AnfBedTrans,subs(x=l,eqS)): radnormal( i solate(%, _Cl)); eq6 := eval(eqS,%);

_Cl = - ln(2) + In ( 12 - 1) eq6: = 1o(x +1 )- ln (

ｳ ｴ ｾ ｵ +Ｉ＠ 1

cos u

)

- ln(2) + ln(I2 - 1) = 0

Aufläsen dieser Gleichung führ dann wieder auf die Funktion arctan( u , v ) , der wir bereits oben begegnet sind und die wir umgehen wollten: > isolate(eq6,u(x));

u = a rct an ( -

4 ( - 1 -x + 12 x + 12)

- 7+

,

12 + 2 12 - 6 x - 3 x 2 x22 12 + 412 x - 3 x 2 + 212 )

412 x +

2x 2

_ - 6x + 1 + - 7 + 4 12 x + 2x 2 12 + 2 12 - 6 x - 3 x 2 E

i t ve rwunderlich , daß M ap1 nicht die d ch n ahli gend Sub t it ution verwendet:

v(x) = ｴ｡ ｮ ｃｌｾｘＩ＠

> Subst2 := v(x) = tan(u(x)/2):

isolate(Subst2,u(x)); PDEtools [dchange) (%,DgITrans, [v(x))) ; isolate(%,diff(v(x),X)) ; DgITrans2 ; = normal(expand(convert(%,tan))); AnfBedTrans2 : = subs(AnfBedTrans,subs(x=1,Subst2));

2.3

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung (MWS) u = 2 arctan(v) ,

DglTrans2:=

AnfBedTrans2 := v( 1) = tan

53

V

Vi

x+ 1

ＨｾＩ＠

Hierfür erhalten wir > dsolve({DglTrans2,AnfBedTrans2},v(x)); eq7 : = %: V

=

ｾ＠

tan

ｃｾＩ＠

(x

+ 1)

Rücktransformation ergibt die Lösung der ursprünglichen AWA: > PDEtools[dchange) (Subst2,eq7,[u(x)]): PDEtools[dchange] (Subst,%,[y(x)]): Loes := isolate(%,y(x)) ;

Loes := y = 2 arctan

Ｈｾ＠

tan

Ｈ ｾ Ｉ＠

(x

+ 1))

(x

+ 1)

> odetest(y(x) ,Dgl) , eval(Loes,x=l); 11"

0, y(1) = 2 fi t v iel Mühe unsererseits liefert Maple dami endlich die Lösung der Anfangswertaufgabe in einer einfachen Form.

2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung > restart : with(DEtools) : Dgl : = diff(y(x) ,x) = f(x)*y(x)+g(x); AnfBed := y(a) = b;

Dgl := yl = f(x) Y + g(x),

AnfBed := y(a) = b

Zu Beginn untersuchen wir die DGL mit Hilfe des Befehls odeadvisor . > odeadvisor(Dgl,[separable)), odeadvisor(Dgl) ;

[NONE], [_linear]

Offensichtlich ist sie nicht vom Typ getrennte Variable' , sondern eine lineare Differentialgleichung. Ent. prechend dem Vorgehen im Textteil lösen wir die homogene (lineare) DGL und be timmen dann mittel Variation der K onstanten eine partikuläre Lö ung:

54

MWS 2

Elem entare Int egrationsmethoden

> yO : = unapply(exp(int(f(t),t=a . . x»,x);

DgIHom := subs(g(x)=O,Dgl); odetest (y(x)=yO(x), DglHom);

yO >

:=

exp

zugehörige homogene DGL Probe

# #

(x--+ 1f(t ) dt)

DglHom := y' = f (x) y ,

X

0

C := unapply(int(g(t)/yO(t),t=a .. x),x): yP : = unapply(c(x)*yO(x) ,x): 'yP(x)' = int(g(t)/'yO(t)' ,t=a . . x)*'yO(x)'; odetest (y(x)=yP(x), Dgl); # Probe

yP(x) =

1 X

a

g((t)) dtyO(x),

yO t

0

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL erhalten wir dann durch yp(x) + CYo(x) mit b li bigem r 11 m C . > odetest (y(x)=yP(x) +C*yO(x), Dgl );

o Die Lö ung d rAnfang wertaufgabe i t g leichyp(x ) + byo(x ) : > eval(y(x) =yP(x)+b*yO(x),x=a);

y(a )

=b

Wir ehen un nun folgende einfache Bei pi elan: B eispiel

4:

> f := x-> -x: g : = x-> 3*x: Dgl; a := 0 : b := 5 :

y' =-xy+ 3 x > 'yO(x)' = yO(x) , odetest(y(x)=yO(x),Dgl Hom);

> 'yP(x)'

simpl ify(yP(x», odetest(y(x)=yP(x),Dgl );

yP (x) = 3 - 3 e(-4 ) , 0 > y(x) = yP(x) +C*yO(x): simplify(%);

odetest (%, Dgl);

2.3

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung (MWS)

y

=

3 - 3 e (-

on + C e (- ｾ ［Ｉ＠

55

o

Lö ung der Anfang w rtaufgabe: > y(x) = yP(x)+b*yO(x): simplify(%);

Jetzt führen wir die vorangehenden Überlegungen nochmals durch, diesmal durch direkte Anwendung geeigneter Maple-Befehle: Lösung der homogenen DGL y'

= -xy:

> dsolve({DglHom,y(a)=l},y(x»; yO := unappl y(eval (y(x),%),x):

y =

Be timmung e iner partikulär n Lö ung drinhomogenen DGL mittel Variation der Konstanten: > eq := varparam([yO(x»),g(x),x);

> solve(eval(eq,x=a),{_C[l]}); evalCeq,%): yP := unapply(%,x);

Allgemeine Lösung der linearen DGL: > y(x) = yP(x)+c*yO(x);

Alternativ: > linearsol(Dgl ,y(x»;

lin ar 01 te t t ob di DGL in lin ar DGL l. Ordnung i t und li f rt g g b nenfal1s die al1g m in Lösung. Univ r 11 v rwendbar i t d rMapl Befehl dsolve:

MWS 2

56

Elementare Integrationsmethoden

> dsol ve(Dgl,y(x»; dsol ve(Dgl,y(x),[linear]) :

y = 3 + (- 4-) _Cl Lö ung der Anfangsw rtaufgab > solve(yP(a)+C*yO(a)=b,{C}) ;

y(x) = eval(yP(x)+c*yO(x),%);

{C =5},

y=3+2e(-4-)

Di Anfang w rtaufgab kann mit d olv

au h

0

g lö t w rden:

> dsol ve({Dgl , AnfBed},y(x»;

dsol ve({Dgl,AnfBed},y(x) , [linear]) :

y = 3+2 ＨＭ

ｾ ｮ＠

2.4 B ernoulli-Differentialgleichung > restart : with(DEtool s) : Dgl : = diff(y(x),x) = f(x)*y (x) +g(x)*y(x)-alpha; odeadvisor(Dgl) ;

Dgl :=

yl

= f(x) Y + g(x) ya ,

[_BernoulliJ

Diese DGL wollen wir mit Hilfe der Substitution u(x) = y(x)l-a in eine lineare DGL 1. Ordnung überführen: > Subst : = u(x) = y(x) - (l-alpha) ; isolate(Subst , y(x» ; PDEtools [dchange] (%,Dgl, [u(x) ] ): isolate(%,diff(u(x),x» : DglTrans := simplify(%,symbolic);

Subst := u = DglTrans

:=

u'

y (- a+1 )

=

y

=

U(-,,\,) ,

-(-1 + 0:) (f(x) U

Beispiel 5: > f : = x -> x: g : = x -> -3*x : alpha 2: Dgl, DglTrans; AnfBed := yCO) = 1/4; AnfBedTrans := subs(AnfBed,subsex=O,Subst»;

+ g(x))

2.5

Riccati-Differentialgleichung (MWS)

y'

= x y-3 xy 2,

AnfBed := y(O) =

u' 1

4'

51

= -xu+3x, AnfBedTrans:= u(O) = 4

Die transformier te Anfangswertaufgabe lösen wir jetzt direkt mit dsolve: > dsolve({DglTrans,AnfBedTrans} , u( x)) ;

Rücktransformation ergibt die Lösung der ursprünglichen AWA: > PDEtools[dchange] (Subst , %, [y(x)]): isolate(%,y(x)); odetest(%,Dgl), eval(%,x=O);

0, y(O ) =

1

4

Direkte Lösung der Anfangswertaufgabe mit dsolve: > dsolve({Dgl,AnfBed},y(x)): dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),[Bernoulli)):

Zum Schluß erwähnen wil' noch der Vollständigkeit halber dl'ei (nahezu gleichwertige) Maple-Befehle, mit deren Hilfe die allgemeine Lösung der B ERNOULLT-DGL berechnet werden kann : > bernoullisol(Dgl,y(x));

dsolve(Dgl,y(x),[Bernoulli]) : dsolve(Dgl,y(x)):

2.5 Riccati-Diffe r e ntialgle ichung > restart: Yith(DEtools): Dgl : = diff(y(x) ,x) = f(x)*y(x) - 2+g(x)*y(x)+h(x); odeadvisor(Dgl) ;

Dgl := y' = fe x) y2

+ g(x) Y + hex)

[_R iccatiJ

Zusamme nha ng mit homogen e r linear e r DGL 2. O r dnung

NIit d r folg nd n Substitu ion r duzier n wir d i DGL auf ein DGL in Normalform:

R I C ATI-

MWS 2

58 > Subst 1 := z(x)

- f(x)*y(x): eq1

eqI

:=

Elementare Int egrationsmethoden iso l ate(Subst 1 ,y(x));

:=

z f( x)

y =

> PDEtools [dchange](eq1, Dgl,[z(x)]) :

isolat e(%, diff(z(x),x)) : expand(%): DgITransl : = collect(%,z(x));

DglTransI

:=

z'

= _Z2

+ ( g(X) + ｦｾＺＩ

Im näch ten Schritt t ran fonnieren wir di homogene DGL 2, Ordnung:

Ｉ＠

z - f( x) h(x)

e Normalform auf ein lineare

> Subst2

: = u (x) = exp(int(z(x),x)); diff(Subst2 , x) ; subs(exp(int (z(x),x)) =u(x),%) : Subst3 : = isolat e(%,z(x));

Subst2 := u = e fzdx

,

u'

=

ze fzdx

Subst3

,

:=

z =

u' u

> PDEtools [dchange] (Subst3, DgITrans1, [u(x)]):

isol ate(%,diff(u(x),x$2)): expand(%): DgITr ans2 : = collect(%,diff(u(x) ,x));

DglTran 2 '- u" = ( g( x) +

ｦｾＺＩ

Ｉ＠

u' - uf(x) h(x)

B eispiel 6: > f : = - 2 : g := 0: h ; = - 1 : Dgl; DgITrans1; DgITrans2;

y' = - 2 y2 - 1 , z' = - z2 - 2

u" = - 2u

> dsolve(DglTrans2,u(x)); subs(%,Subst3): simpl ify(%); subs(Subst 1 ,%): isol ate(%,y(x));

u = _CI in(J2 x) + _C2 cos(J2x) , z=

J2 ( - _CI cos(V2x)

+ _C2

sin(J2x))

_CI sin(J2x) + _C2 cos(V2x) 1 V2 ( - _Cl co. (V2x)

+ _C2 sin(V2 x) )

y = - - - ---'------='--------'-------,;::o-----'--'-

2

_CI sin(V2x)

+ _C2

cos(J2x)

Auf folgende Weisen kann man die allgemeine Lösung der DGL direkt erhalten:

2.5

Riccati-Differentialgleichung (MWS)

59

> r iccatisol(Dgl ,y(x)), dsolve( Dgl ,y(x));

dsol ve(Dgl,y(x),[Riccati)) : { y =

( xv's

"4I tan - - 2- + _Cl2

v's ) v's }

Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung > unassign('f' ,'g' , 'h'):

Subst1 : = z(x) = y(x)-yo(x): isolate(Subst 1 ,y(x)); eq2 := PDEt oo l s[dchange) (%,Dgl,[z(x))):

y

=

z + yO(x)

> eq2- subs(y(x)=yO(x) , Dgl ): isolat e(%,diff (z(x),x)) :

DgI Trans 1 : = collect(expand(%),z(x)); odeadvisor (%);

DglTmns l := z' = f ex) z2 +

(2 fe x) yO(x) + g(x) ) z

[_B emoulli]

> Subst2 : = u(x) = l/z(x) : isol ate( Subst2,z(x)): PDEtool s[dchange) (%, DgITrans l ,[u(x))) : isol ate(%,diff(u(x) ,x)) : DglTrans2 := collect(expand(%),u(x)); odeadvisor(DglTr ans2) ;

DglTrans2 :=

t L'

= (- 2

fex) yO(x) - g(x))

tL -

f(x) ,

[_linear]

B eispiel 7: > f

: =-1 : g : = x-> 2*x: h : = x -> -x-2+5 : Dgl;

y'

= _y2 + 2 x Y - x 2 + 5

Wir veran chaulichen die eRI CCATI-DGL anhand eine Richtung felde und einig r Lö ungen: > DEplot(Dgl , y(x) ,x=-4 . . 4,y=-6 .. 6 , [seq( [O,k),k=[O,4,-4,2,-2] ) ) , color=gray , l inecolor= [blue$3,cyan$2] ,dirgrid= [30,30) ,stepsize=O . l, arrows=medium);

60

MWS 2

Elem entare Int egrationsmethoden

Sie besitz folgend e spezielle Lösung: > yO ; = x -> x-2 ; odetest(y(x) =yO(x),Dgl) ;

yO :=

X

--t

2 ,

X -

0

Wir lösen die transformierte DGL: > DglTrans2; eq3 ;= dsolve(DglTrans2,u(x));

u' =-4u+ l ,

eq3

u

= !4 + e- 4x -Cl

> subs(Subst2,eq3); eq4 ; = subs(Substl,'l.);

1

z

1

-4 +e - 4 x -Cl

,

eq4 .-

1

y- x+ 2

> isolate(eq4 ,y(x)); odetest('l.,Dgl); 1

1- - - - + x - 2 y = -:;-4 +e- 4x -Cl

o

Anhand di ser Schar von Lö ung n äßt l i h Satz 2.5.3 (vgl. Seite 32) verifizi eren , d r einenÜberblick über die Lö unO" g a mt h i t d RI r CATI-DGL gab .

2.6

Exakte Differentialgleichungen (MWS)

61

2.6 Exakte Differentialgleichungen > restart : with( DEtools) : Dgl : = fl(x , y(x))+f2(x , y(x))*diff(y(x) ,x) = 0;

Dgl := J1 (x, y) + J2(x, y) y' = 0 B eispiel 8: > fl : = (x,y) -> exp(y) : f2 : = (x,y) -> x*exp(y)+cos(y): Dgl;

Y + (xe Y + cos(y)) y' = 0

Wir überprüfen , ob diese DGL exakt ist: > di ff(f2(x,y),x) - diff(fl(x,y),y);

o Bei diesem Beispiel h andelt es sich offensichtlich um eine exakte DG L. Die B r henung der tammfunktion i t auf drei v r ehied n Art n möglich. Der Weg üb r in ,Hak n tegral' in i t vorn im 11 xtteil ( . 34) b ehrieben und oll hier nicht aufg griffen w erden. Zwei weit re Möglichk iten b tehen d arin , die f V< etorCa1cu1u [ScalarPot ntial] Stanunfunk ion mit Hilf d r l apl - B h1 (erst ab M aple

verfügbar!) und linalg[potentia1] z u berechnen:

> with(VectorCal culus): SetCoordinates('cartesian ' [x,y] ): v := Vector Field«fl(x,y),f2(x,y»): F : = ScalarPotential(v);

F: = xeY+sin(y)

> l i nalg[potential] ([fl(x,y),f2(x,y)] , [x,y],'F'); F '

true

x

Y

+ sin(y)

Es gilt F (l , 0) = 1. Wir zeichnen d ieHöhenlinien mi t den iveaus 0.0, 0.2,0.4 , 0.6, 0.8 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1. 2.0: > wi th(plots) : contour pl ot(F,x=- 5 . .5,y=- 0.5 .. 2,col or=bl ue , grid=[50,50], contours=[1+k/5 $ k=- 5 .. 5]): plot([[1,0]],styl e=point,symbol=circl e,symbolsize=16,col or=blue): display('l.,'l.'l.,axes=f rame);

MWS 2

62

o

Elementare Integrationsmethoden

2

i Lö ung d r S tz n wir F gleich in r Kon tant n e o rhalt n w ir ne big n DGL: > subs(y=y(x),F) = C; odetest(%,Dgl); X

e Y + in(y) = C

0

Die Exaktheit der vorgegebenen DGL läßt sich natürlich auch folgendermaßen überprüfen: > odeadvisor(Dgl);

[[_ l sLorder , _with_ea;ponentiaLsymmetries] _exact] Die Befe hle exactsol , firint (,first integral' ) bzw. dsolve mit der Option [exact] ergeben ebenfalls die Lösung in obiger Form: > exactsol(Dgl,y(x)): firint(Dgl); dsolve(Dgl,y(x), [exact]):

xe Y

+ sin(y) + _Cl

= 0

W"enn wir den Befehl dsolve ohne Option anwenden, stellt Maple das Ergebnis etwas anders dar: > dsolve(Dgl,y(x));

M ul tiplikatoren Beispiel 9: > restart: with(DEtools) :

fl := (x,y) -> x*y-2: f2 := (x,y) -> x-2-x*y: Dgl := fl(x,y(x))+f2(x,y(x))*diff(y(x) ,x) = 0;

2.6

63

E xakte Differentialgleichungen (MWS) Dgl: = yx - 2 +(x 2 - yx)y' = 0

> odeadv i sor(Dgl,[exact]);

[NONE]

Wir multiplizieren die DGL mit e inem Faktor J.I.(x, y), um eine exakte DGL zu erz ugen. Für diese Funktion erhalten wir dann folgende Bedingung: > Dg12

:=

collect(mu(x,y)*Dgl,diff(y(x),x));

Dgl2 := J.I. (x, y) (x 2

-

yx) y' + J.I.(x y) (yx - 2) = 0

> eql := diff(mu(x,y)*f2(x,y) ,x) = diff(mu(x,y)*fl(x,y),y);

eql := J.l.x (x 2 _ yx)+J.I.(x y)(2x - y) = J.l.y (yx - 2) +J.I.(x y)x Es ergibt. ich al 0 eine partielle Differentialgleichu ng für die Funktion J.I. . Die e vereinfacht . ich zueiner DGL wenD wir zum Beispiel annehmen daß sich eine nur von x abhängige Funktion find en läßt: > eq2

:=

eval(eql, mu(x,y)=mu(x));

> eq3 .= isolate(eq2,diff(mu(x) ,x)): normal('l.);

> dsolve(eq3,mu(x));

_Cl J.l. () x = -x

Schneller und leichter geh es natürlich so: > mu

:=

intfactor(Dgl);

J.I. :=

1 X

> expand(mu*Dgl) : Dg12 := collect(%,diff(y(x),x));

Dgl2 := (x - y) y' > odeadvisor(Dg12,[exact]);

+ y - ｾ＠

x

= 0

[_ xact]

> exactsol(Dg12,y(x)); dsolve(Dg12,y(x),[exact]):

dsolve(Dg12,y(x));

64

MWS 2

{y

=

y = x

x+Jx 2 - 4ln(x)+2_01,y

+ Jx 2 -

Elem entare Int egrationsmethoden

=

x-Jx 2 -4 1n(x)+L01}

4 In(x) + L01, Y = x - jx 2

-

4 In (x)

+ LOl

Zur VertieflU1g der vorangehenden Überlegungen greifen wir die lineare DGL 1. Ordnung aus Abschnitt 2.3 auf und bringen sie auf folgende Gestalt:

> restart: with(DEtools) : f1 := (x,y) -> -f(x)*y-g(x): f2 := 1: Dgl : = f1(x,y(x))+f2(x,y(x))*diff(y(x) ,x) = 0;

Dgl := - fex) y - g(x)

+ y'

= 0

OffensichtHch ist sie keine exakte DGL: > odeadvisor(Dgl,[exact]);

diff(f2(x,y),x)-diff(f1(x,y),y);

[NONE ) ,

fex)

Mit Hilfe des Maple-Befehls intfactor suchen wir deshalb nach einem integrierenden Faktor: > intfactor(Dgl); alias(mu=%): Dg12 := collect(mu*Dgl,diff(y(x),x));

I-

f {x} dx

Dgl2: = tty'+tt( - f(x)y - g(x)) = 0

Wir überzeugen uns , daß die DGL nun exakt ist: > diff(mu*f2(x,y) ,x)-diff(mu*fl(x,y) ,y); odeadvisor(Dg12,[exact,linear]);

0,

[_exact _linear]

Mithin i t > linalg[potential] ([mu*fl(x,y) ,mu*f2(x,y)] ,[x,y],'F') : ' F'

= F;

F = ! tt( - f(x)y - 9(X))dX eine zugehörige Stammfunktion, und wegen > F1 := int(mu*( - f(x))*y,x) - int(mu*g(x),x);

diff(F- F1,x): expand(%), diff(F-F1,y);

Fl

:=

ttY -

!

ttg(x) dx

0, 0

i t Fl b nfaU ine Stammfunktion. Aufl". en d r GI ichung F l = C li f rt dann di aUg mein · Lö ung:

2. 'l

Clairaut-Dijjerentialgleichung (MWS)

65

> y(x) = solve(Fl=C,y); odetest(t.,Dgl);

jJ1. 9(X)dX+C

o

y=

2.7 Clairaut-Differentialgleichung Im G gnatz zu den bi h r b andelten h DGL n ri t in d r LAIRAUT-DGL y' mit nicht-linear auf, und e werden hierbei keine Vorau etzung n über di (ev ntu 11 nur lokal mögli h ) Auflö barkeit nach y' gema ht. > restart : with(DEtools): with(plots) : Dgl := y(x) = x*diff(y(x),x)-g(diff(y(x),x));

Dgl := y = xy' - g(y')

> odeadvisor(Dgl); > g .= cosh: Dgl ;

I_Clairaut]

y = xy' - co h(y')

> clairautsol(Dgl,y(x)); dsolve(Dgl,y(x));

{y = x _Cl - co h(_C1), y = are in.h(x) x - vx 2 + I} , Y = arcsinh(x) x - vx 2 + 1, Y = x _Cl - co. h (_C1) Maple verwendet für die inverse Funktion zu sinh die eigenartige Bezeichnung arcsinh! ormalerweise heißt sie arsilili (Area Sinus Hyperbolicus) . > dsolve({Dgl,y(2)=-1/2},y(x),[Clairaut]);

#

klappt nicht!

Wir veran chaulichen die Lö ung ge amtheit di er DGL, d. h. die inguläre Lösung y(x) = arcsinh(x) x - vx 2 + 1 nebst zugehöriger Tangentenschar y(t) + D(y)(t) (x - t) mittels einer Animation. Der Scharparameter t läuft dabei von -3 b is 3. > xrange : = -3 . 5 .. 3 . 5: y := X -> arcsinh(x)*x-sqrt(x-2+1): Kurve := plot(y(x),x=xrange,color=blue): Animation := animate(y(t)+D(y)(t)*(x-t),x=xrange,t=- 3 . .3,color=black, frames=31) : display(Animation,Kurve,thickness=3,view=[xrange,-1.1 .. 3]);

MWS 2

66

-3

-2

Elem entare Int egrationsmethoden

-1

Zum Schluß veran cbaulichen wir noch di Ge amtheit aller tetig differenzierbaren Lö ung n die er DGL, die ich t ükw i e a u der singulären Lösung sowie ihren Tangenten zusammensetzt: > Tangente : = a -> y(a)+D(y)(a)*(x-a): z := (alpha ,beta) - > piecewise(x DEpl ot({Sys}, [y[l] (x),y[2] (x)] ,x=O . . 2*Pi,[[AnfBed]],

y[ l ]=- l . .1,y[2]=- 1 . .1,arrows=medium,color=black, l i necol or =blue,stepsize=O.l,scene=[x,y[l))) : DEplot ({Sys} , [y [l] (x),y[2) (x) ] ,x=O. .2*Pi,[ [AnfBed]], y [l ]=-l .. 1,y[2] =-1 .. 1,arrows=medium,color=black, linecolor=cyan,stepsize=O.1,scene=[x,y[2]]) : display ('l., %'l.,tickmarks= [[3. 14= "p",6 . 28="2p" ] ,[-1,0,1]], axesfont=[SYMBOL,12], l abels=[ "", "" ],title="Komponentenf unktionen");

Komponentenfunktionen

Für größere DGL-Systeme steht der zu DEplot analog zur Verfüg;ung.

B fehl DEplot3d

3.2 Fixpunktsatz für verallgemeinerte Kontraktione n Da Iteration verfahren kann im indim n ionalen Fall leicht veran chaulicht lR durch T(x) := x 2 d finiert. Di e Abbildung werden. Hi r i T: lR hat offensichtlich die Fixpunkte 0 und 1. > restar t: with(plots) : T : = x -> x-2; > Fixpunkte

{solve(r (z)=z)};

Fixpunkte = {O, I}

106

MWS 3

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Man erkennt an der folgenden Graphik, daß die Fixpunktiteration zu einem Startwert Xo E [0 , 1 [eine gegen den anziehenden Fixpunkt 0 konvergente Folge liefert. Für Xo > 1 divergiert die Folge. 1 ist ein abstoßender Fixpunkt.

I()

10

2()

pfeii : = proc(Arg,deita,Farhe5 l ocal d,s,u,v,alpha; d := Arg[2]-Arg[1] ; s : = [d [2] ,-d[1]) ; alpha : = delta/linalg [norm] (d,2) ; U := Arg[l]+(l-alpha)*d+alpha*s; v := Arg[l]+(l- alpha)*d- alpha*s; plottools[po l ygon] ([Arg[2] ,u,v] ,color=Farbe,style=patchn ogrid) end proc : makeLines : = proc (f ,x ,Farbe) display(plot([[x,x] ,[x,f(x) J ,[f(x),f(x)]],color=Farbe), plot( [ [x,O] ,[x,min(x,f(x»]] ,linestyle=3,color=Farbe) , pfeil([[x,f(x)],[f(x),f(x)]],0 . 05,Farbe» end proc : xOl := 0 .9: Ll : = [seq« T(Q(Qk) (xOt) ,k=O .. 5)] : x02 := 1.1: L2 : = [seq«T(Q(Qk)(x02),k=0 . . 3)] : TICKS := tickmarks=[[0,1,xOl,x02] ,[$0 . . 5]] : display(seq(makeLines(T,x,blue),x=Ll),seq(makeLines(T,x,cyan),x=L2), plot([T(x),xJ ,x=O . . 2.2,color=[black,gray] ,thickness=3) , view=[O .. 2.2,0 . . 5J ,TICKS); 5 4

3 2

o 3.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz Beispiel 3 a: Wir bestimmen zu der Abbildung f: (x, y) f----+ x 2 + y2 für (x,y) E ]R2 und a := 0, b := 0 Konstanten A, Bund L so, daß hiermit sowie mit dem Intervall J := [-A , Al und g(x) := b die Voraussetzungen des Hauptsatzes

3.3

101

Existenz- und Eindeutigkeitssatz (MWS)

erfüllt sind. Dabei wollen wir A al möglichst groß wählen.

0

das Existenzintervall J der Lösung,

> restart : f : = (x , y) -> ｸｾＲＫｹ ｾ ＲＺ＠ a : = 0: b : = 0: g : = x -> b : Dgl := diff(y(x) ,x) = f( x ,y(x)); AnfBed : = y(a) = b ;

Dgl := y' = x 2 + y2 ,

AnfBed:= y(O) = 0

Es handelt sich offensichtlich um eine RrCCATl-DGL' sie ist nicht elementar integrierbar. > dsolve({Dgl ,AnfBed},y(x)); Loesung := rhs(%) :

y =

Mapl "k nnt natürlich di BEsSEL-Funktionen di aber in ein I' inführ nden Dar tellung di er Art nicht al b kannt vorau ge tzt w rd n können. Wir gehen r t päter (Ab chnitt 6.2) darauf in. E reicht un bier a u , durch folgende Abbildung eine qualitative Vorstellung vom Lösungsverlauf zu vermitteln: > pl ot (Loesung,x=- 2 . .2, - 8 . .8,color=blue ,t i ckmar ks= [3,3] ,thickness=2);

5

-2

-1

x

1

2

-5

Wir b timm n da maximal Exi t nzintervall. Da di Lö ung y der AnfaJlg w rtaufgab ein ung rade Funktion l i t ,genügt , di kl in te po itive ullstelle der elwerfunktion zu berechnen: 1

Dies entnjmmt man der obigen Darstellung, auch ohne die BESSEL-Funktionen zu kennen, da x im Argument jeweils nur als Quadrat eingeht.

108

MWS 3

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

> Nenner := denom(Loesung): fsolve(Nenner,x,x=O .. 3);

2.003147359 Mithin i t ] - 0: 0:[ mit 0: := 2.003147359 maximale Exi t nzint rvall. Vor diesem Hintergrund machen wir uns nUll an die Untersuchung der oben formulierten Problemstellung: Für lxi::::: A und lyl : : : B gilt If( x, y)1 ::::: A2 + B 2. M: = A2 + B 2 i t gerad da i[aximum die r W rte. Di B ding;ung @, a) bed utet hier AM::::: B , alo A3 + AB2 ::::: B. Nach Multiplikation mit A und quadrati eher Ergänzung können wir dann alles direkt ablesen. Wir führen diese Schritte mit Maple durch: > M := A-2+B-2: ungll := expand(A*M) ung12 := expandCA*Clhs(ungll)-rhs(ungll)) subs(B=C/A,ung12): normal(%): student[completesquare](%,C): ung12a := subs(C=A*B,%); ungl2a:=

Ｈａｂ

｟ｾ

Ｉ Ｒ＠ ｟ｾＫａＴＺ＠

0

A i t oiE n ichtlich g nau dann maximal, wenn A B = 1/2 und A 4 = 1/4, also A = 1/J'i gilt. Somit sind B = 1/J'i und M = 1. Die optimale LIP CHITz-Konstante L = 2B = V2 ergibt sich dann aus

ngung Betracht t man tatt @, a) die B di L - w gen > L := 2*B : g(x)-(b+int(f(t,g(t)),t=a . . x));

die Bedingung

,b)

0

erhält man - mit obigem

3.3

109

Existenz- und Eindeutigkeitssatz (MWS)

ungl3 > ung13a

:=

ｾ＠ A 3

3*A/exp(L*A)*lhs(ung13)

:=

ｦｳｯｬｶ･Ｈａｾ

.. 1): A := %;

Ｔ ］ＳＯＲ･ｸｰＨＱＩＬａＰ＠

B := solve(A*B=1/2,B); 'L' = L; 'M' = M;

A

:=

0.8618847457 B:= 0.5801239696, L = 1.160247939, M = 1.079389135

B ei piel 3 b:

Wir v rfahr n W1 1n B i pi I 3 amit d r Abbildung f: (x , Yl , Y2)

und a

--->

[xy;

+ Y2 , Yl + ｸｹｾ ｬ＠

(X ,Yl Y2) E 1R.3

für

= 0 b = [1 11.Dabei wählen wir im ]R2 die faximumsnorm.

> restart: with(LinearAlgebra): f := (x,yl,y2) -> ｖ･｣ｴｯｲＨ｛ｸＪｹＱｾＲＫＬｬ｝Ｉ［＠ a := 0: b := Vector([l,l]): g : = X -> b;

f: = (x , yl, y2)

--->

Vector([xY12 + y2, yl

+ xy22 ])

9

:=

X --->

b

> Sys : = diff(y[l](x),x) = f(x,y[l](x),y[2](x))[l],

AnfBed

Sys := ｹｾ＠ > sol

:=

diff(y[2](x),x) = f(x,y[l](x),y[2](x))[2]; := y[l](a) = bel], y[2](a) = b[2]; =

xyi

+ Y2, Y2

=

Yl

+ ｸｹｾＬ＠

Anf B ed

:=

Yl (0) = 1, Y2(0) = 1

dsolve({Sys,AnfBed},{y[l] (x) ,y[2] (x)});

sol

:=

aple findet offensichtlich keine Lösung. Dies verwundert, da diese Anfangswer aufgabe durch Aufbohren,2 aus folgender einfachen skalaren Anfangsw r auf"ab h rv rgegang n i t: 2

Eine Lös ung von Sys ist mit

Yl :=

Y2 := Y über eine Lösung y von Dgl gegeben.

MWS 3

110

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

> Dgl := diff(y(x) ,x) = f(x,y(x),y(x))[l]; AnfBed := y(O) = 1;

DgL := Y' = xy2

+y,

Anf B d := y(O) =

1

Es handelt s ich um eine B ERNOULLI-DGL mit folgender Lösung: > DEtools[odeadvisor](Dgl), dsolve({Dgl,AnfBed},y(x));

[ _B rnouLLi ] , y =

1

- x+ 1

Die Lö ung der Anfang wertaufgabe hat mit hin da maximale Exi tenzintervaU] 1 [. > f(x,y[1],y[2]);

｛

ｘｹｴＫｾ

Yl

+ XY2

｝＠

Für lxi ｾ＠ A , IYl - l l ｾ＠ B , IY2 - 11 ｾ＠ B gilt If(x, y) 1 ｾ＠ A(l + B )2 + (1 Offenbar ist M := A (1 + B )2 + (1 + B) das Maximum dieser Werte.

+ B ).

Bei der Suche nach dem maximalen A könnte man analog zu Beispiel 3 a argumentieren. Wir gehen jedoch diesmal bewußt anders vor, auch um die Vielfalt der Möglichkeiten etwas zu verdeutlichen. Wir interpretieren Bedingung ®, a) des Hauptsatzes als restringiertes Extremwertproblem: A soll maxilmert werden unter d er ebe n bedingung AM = A(A(l

+ B)2 + (1 + B )) ｾ＠

B .

Da offi n i htlich nur Rand xtr ma möglich ind , b trachten wir di bedingung in Gleichungsform . Mit der LAG RA GE--Multiplikatorenregel erhalten wir dann: > M : = A*(l+B)-2+(l+B): Nebenbed4a : = A*M-B; LagrangeFunktion : = A-lambda*Nebenbed4a;

Nb nbed4a := A(A(1+B)2+1+B) - B L agran geFunktion := A - A(A(A( l + B )2 + 1 + B ) - B ) > LA : = diff(LagrangeFunktion,A); LB : = diff(LagrangeFunktion,B);

LA := 1 - A(2A (1 + B )2 > sol

:=

+1+B),

LB:= - A(A(2A( 1 + B ) + 1) -1)

solve({LA,LB , Nebenbed4a,A>O,B>O},{A,B,lambda});

sol := { A =

ｾ＠3' A = ｾ＠ 9' B =

2}

3.3

Existenz- und Eindeutigkeitssatz (MWS)

> 'M' = eval(M,sol) ; > J

:=

111

M = 6

VectorCalculus [Jacobian](f(x,y [l],y [2] ), [y[1],y[2]]);

J

:=

[ 2XY1 1 ] 1 2XY2

> Norm(J,infinity);

> JO . - subs({x=A,y[l]=1+B,y[2]=1+B},J) ;

JO .= [2A (1+ B) .

Hierau erhält man als LIP

1

1 ] 2A(1 + B )

HITz-Kon taut:

> L : = simplify(Norm(JO),assume=positive); 'L' = eval(L,sol);

L: = 2A+2AB + 1

Für Bedingung

@,

#

Lipschitz-Konstante

L = 3

b) des Hauptsatzes folgt:

> g(x)-(b+map(int,f(t,g(t) [1] ,g(t) [2]) ,t=a .. x»;

> Nebenbed4b := (A-2/2+A)*exp(L*A) - B;

LagrangeFunktion := A- lambda*Nebenbed4b;

ebenbedAb := (iA2

+ A) e(2A+2AB+1)A -

B

L agrangeFunktion := A-A((iA2+A) e(2A+2AB+l)A_ B) > LA : = diff( LagrangeFunktion,A);

LB := diff(LagrangeFunktion , B);

LA:= 1 - A((A + 1)e(2A+2AB+1)A + (i A 2 + A) ((2 + 2B )A + 2A + 2AB LB

:=

+ 1) e(2A+2AB+l)A )

-A(2(iA2 +A)A 2 e(2A+2AB+1)A -1)

MWS 3

11 2 > sol

solve({LA,LB,Nebenbed4b,A>O,B>O},{A,B,lambda});

sol > sol

Existenz- und Eindeutigkeitssatz #

klappt nicht

:=

fsolve({LA,LB,Nebenbed4b},{A,B,lambda});

:=

sol := {A = 0.4147361410, B = 2.906874215, >. = 0.03337790274} > 'M' 'L'

eval(M,sol); eval(L,sol);

M = 10.23726820 ,

L = 4.240643870

Umwand lung von DGLen in Syst em e 1. Ordnung

Mit dem Befehl cOl1vertsys aus dem DEtools -Paket kann man DGLel1 bzw. DGL-Systeme höherer Ordnung auf Systeme 1. Ordnung zurückführen. Anfangsbedil1gungen müssen stets als Menge oder Liste angegeben werden, bei ichtvorhandel1sein z. B. als leere Menge { }. In unseren drei B eispielen verwenden wir für die le tzten beiden Parameter die Namen y und Dy und bezeichnen damit dieim DGL- ystem auftre ende Vektorfunktion bzw. deren AbI itWlg n. > restart: with(DEtools):

B eispiel

4 a:

> Dgl ;= diff(y(x),x$2)+b*diff(y(x),x)+c*y(x) = fex); AnfBed ;= y(a) = bl, D(y)(a) = b2;

Dgl := y"

+ by' + cy

=

f( x) ,

Anf B ed := y(a) = bl , D(y)(a) = b2

> convertsys(Dgl,{},y(x), x ,y,Dy);

[[DYl = Y2, DY2 = f(x) - bY2 - CYl ], [Yl = Y Y2 = y'] undefined, [ ]) > convertsys(Dgl,{AnfBed},y(x),x,y,Dy);

[[DY l B eispiel

= Y2,

DY2

= f(x) -

bY2 - CYl ], [Yl

= y, Y2 = y'], a, [bI , b2])

4 b:

> Dgl := diff(y(x),x$3) = f(x,y(x),D(y)(x»; AnfBed ;= y(a) = bl, D(y)(a) = b2, (D@@2)(y)(a) = b3;

3.4

Fehlembschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen (MWS)

11 3

Dgl := ylll = f( x, y, D(y)(x)) AnfBed := y(a) = bl, D(y)(a) = b2, D(2)( y)(a) = b3 > convertsys(Dgl,{},y(x),x,y,Dy);

[[DYl = Y2, DY2 = Y3 DY3 = f(x, Yl Y2)], [Yl = Y, Y2 = y/, Y3 = y"J undefined, [ J] > convertsys(Dgl,{AnfBed},y(x),x,y,Dy);

[[ DYl = Y2 , DY2 = Y3, DY3 = f(x, Yl , Y2)], [Yl = Y, Y2 = yl Y3 = y"], a, [bi b2 b3J] B eispiel

4 c:

> Sys := diff(u(x),x$2) phi(x,u(x),dif f(u(x),x) ,v(x) ,diff(v(x) ,x) ,diff(v(x) ,x$ 2», diff(v(x),x$3) = pSi(x,u(x),diff(u(x),x) ,v(x) ,diff(v(x) ,x) ,diff(v(x) ,x$ 2»; AnfBed := u(a) = bl, D(u)(a) = b2, v(a) = b3, D(v)(a) = b4, ＨｄｾＲＩｶ｡＠ = b5;

u ' , V V i V") V "I = '!f;(x, U u / , v, Vi, V ") AnfBed:= u(a) = bl D(u)(a)=b2, v(a)= b3 , D(v)(a)=b4, D(2) (v)(a)=b5 Sys := u" = cp(x,

U

> convertsys( [Sys] ,{},[u(x),v(x)],x,y,Dy);

[[DYl = Y2 DY2 = cp(x, Yl, Y2 , Y3 , Y4 , Ys) DY3 = Y4, DY4 = Ys, Dys = 'Ij;(x, Yl, Y2 Y3 Y4 Ys)], [Yl

= U,

Y2 = u l Y3 = v, Y4

= Vi

Ys

=

v" ], undefined

[J]

> convertsys( [Sys] ,{AnfBed},[u(x),v(x)] ,x,y,Dy);

[[ DYl = Y2, DY2 = cp(x, Yl, Y2 , Y3 , Y4, Ys), DY3 Dys = 'Ij;(x, Yl, Y2 , Y3 , Y4 Ys) ], [Yl

= U,

Y2

=

u l , Y3

=

v, Y4

= Vi

Ys

= V " ],

=

Y4 , DY4 = Ys ,

a b[ I , b2, b3 , b4,

b5J]

3.4 Fehlerabschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen Mit Hilfe der Überlegungen aus Abschnitt 3.4 des Textes geben wir eine Abschät zung für die Differenz der Lösungen der beiden ,benachbarten' Anfangswertaufgaben

MWS 3

114 y'

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

= sin(x y ) y (O) =

1

und y'

= xy, y( 1/ 10) = 201 /200

10, 201/ 200) im Intervall [0 , 2/3] . Hier sind also die Anfangswerte ( 0, 1) z u (1/ und die rechte eite der Differen i algleichung von sin(xy) zu x y verändert . > restart:

f := (x,y) -> sin(x*y); a := 0; b := 1; Dgl := diff(y(x),x) = f(x,y(x»; AniBed := y(a) = b;

f := (x, y )

Dgl

:= y' =

-->

sin(x y ) ,

sin (xy),

a := 0 ,

b := 1 ,

A n fB ed := y (O) = 1

> DEtools[odeadvisor] (Dgl); Loesung : = dsolve(Dgl,y(x»;

Loesu n g :=

Ma ple kann für di e DGL k in Lö ung find n. Die ,b nachbart ' hingeg n oUt für Maple lö bar in; denn da rechn n d i mei t nun rer L r inzwi ehen w ohl im Kopf: > fl : = (x,y) -> x*y; al : = 1/10; bl := 201/200; Dgll := diff(y(x) ,x) = fl(x,y(x»; AniBedl := y(al) = bl;

f 1 := (x, y )

-->

Dgll := y' = x y

xy,

1 a1 := 10

201 b1 := 200

A nfB ed1 := yC10) =

ｾＶ＠

> dsolve({Dgll,AnfBedl},y(x» : g := unapply(combine(rhs(%»,x);

201 (x 2 /2 - 1/ 200)

9 := x --> 200

Mit Hilfe von odeplo verschaffen wir uns vorweg einen Eindruck von der Differenz der Lös ungen dieser b eid enAnfang wertaufgaben: > yith(plots) : A :=2/3 :

p := dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),type=numeric) : odeplot(p, [x,g(x) - y(x)] ,a .. A,color=bl ue,thickness=3, axes=frame,title="Differenz g(x)-y(x)");

3.4

Fehlembschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen (MWS)

115

Differenz g(x) - y(x)

0.01

0.005

ｏ

ｾ］＠

o

0.2

__ｾ＠

0.4

____ｾ｟＠

0.6

Wir beginnen mit der Überprüfung der Vorauset zungen des Hauptsatze und wählen dazu B := und J := [0 , A J mit A := 2/ 3 . Als Funktion 9 verwenden wir die obige Lös ung der benachbarten AWA. Es gilt R = J x R . Hierau ergibt ich NI = 1, und al Ll pSCHI Tz-Konstante kann man L = A wählen. Die Voraussetzungen , a) und Q

:=

Pl-3/3! : evalf('l,);}

0.09618080218 Wir erhalten damit die Fehlerabschätzung Ll x-al

deren rechte Seite folgenden V erlauf hat : > plot«abs(b-bl)+Pl*abs(a-al)+Q*abs(x-a»*exp(L*abs(x-a», x=a .. A,O.05 . . 0 .25,color=blue,thickness=2);

MWS 3

116

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

0.25 0.2 0. /5 0. /

0.05 0

0.2

0.4

0.6

Auf dem be rachteten Intervall hat man also nach dieser - erwartungsgemäß recht groben Abschätzung - eine maximale Abweichung von etwa 1/4. Ein b ere Ab hä zung ergibt ich w nn man die obig Funktion 9 al Lösung der folgenden ,benachbarten' AWA I

y = x y y(O) =

201 e(-z6o)

(

200

= g(O)

)

auffaßt. Hier wird also die gleiche Funktion als Lösung der DGL nicht durch ihr n Anfang w rt an der St II 0.1 , ondern biO ,fe tg I gt'. > a2 : = 0: b2 := g(O): AnfBed2 := y(a2) = b2: AWA := {Dgll,AnfBed2}; AWA :=

{yl =

xy, y(O)

-201 e (.=.1) 200 } 200

> dsolve(AWA,y(x)): combine(%);

201 (x 2 /2 - 1/200) Y = 200 J etz lautet die entsprechende Fehlerabschätzung

Iy( x) - g(x)1 ::;

[lb - b21 + Qlx - al]

L lx - al

d ren recht S ite folg nden Verlauf nimmt : > plot«abs(b-b2)+Q*abs(x-a))*exp(L*abs(x-a)),x=a .. A,color=blue, thickness=2);

3.4

Fehlembschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen (MWS)

111

0.05

o

0.2

0.6

0.4

Der maximale Fehler ist allerdings immer noch etwa siebenmal so groß wie die oben beobachtete Maximalabweichung. E ine wesentlich bessere Abschätzung ergibt s ich, wenn man die Fehlerabschätzung (2) des 'l extes stat - wie hier ausgefüh rt - (3) heranzieht und dabei das auftretende Integral ,scharf' a bschätzt. Darauf gehen wir aber nicht mehr ein .

Analog zum vorang h nd n B i pielunter uch n wir di folg nden beid n b na hbart n Anfang. w rtaufgaben : > restart : with(plots): f := (x,y) -> y-2+y+l+x-2: fl := (x,y) - > y+l: a := 0: b :=0 : AnfBed := y(a) = b: 5" Dgl := diff(y(x) ,x) = f(x,y(x)): Dgl, AnfBed; Dgll := diff(y(x) ,x) = fl(x,y(x)); Dgll, AnfBed;

y' = y2

+ Y + 1 + x 2, y(O)

= 0,

y' = y

+1

y(O) = 0

Hier wird also nur die rech e Seite der DGL von f zu der einfacheren Funktion h verändert, während die Anfangswerte beibehalten werden. Wegen des Differenzterms y2 + x 2 können nur für Bereiche nahe dem Nullpunkt, also kleine lxi und lyl, kleine Änderungen der Lösung erwartet werden. Für die Anfangswertaufgabe mit h erhalten wir mit Maple folgende Lösung, die man natürlich auch wieder ohne Hilfsmittel ,sieht': > dsolve({Dgll,AnfBed},y(x)): g := unapply (rhs ('l,) ,x); 9 := x ｾ＠

Die Diffi r nz d r Lö ung n d i Verlauf:

-1 +e x

beid r n Anfang wertaufgab n hat folg nd n

> sol := dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),numeric):

odeplot(sol, [x,y(x)-g(x)] ,-0 . 4 .. 0.4,color=blue,thickness=3);

MWS 3

118

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Differenz der Lösungen 0.05

o

-0.4

0.2

0.4

-0.03

Wir wählen B := 1/4 und bestimmen das maximale A E [0 1 / 21 der art daß für die kompakte Menge

R

:=

{(x,y) : lxi :$ A , Iy - g(x) 1:$ B}

mit J := [- A, AI neben A := fsolve(Delta(A)*exp(L*A)-B,A=O . . 1);

A

:=

0.4463360016

3.4

Fehlembschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen (MWS)

119

Damit is t Bedingung@ b) des Hauptsatzes erfüllt . Ferner erhalten wir mittels der Überlegungen in Abschnitt 3.4 des Textes für x mi Ix - al = lxi::; A die Dejektabschätzung Iy(x) - g(x) 1:::; 1L'l(x)1 eLl x- al .

I ithin verläuft die L·· ung der Anfang wertaufgabe in folg nd m Schlauch um den Graphen der Funktion g:

llJ

> oben := X -> g(x)+abs(Delta(x»*exp(L*abs(x-a» : unten:= x - > g(x) - abs(Del ta(x»*exp(L*abs(x- a» : FilledPlot := proc(f,g,r : : range) plat([min(max(f(x),g(x» , O),max(min(f(x),g(x»,O),f(x),g(x»), x=r,filled=true,calor= [white$2,gray$2) : end prac : display(odeplot(sol,-A .. A,color=black,thi ckness=2) , plot(g(x),x=-A .. A,color=blue,thickness=3), Fi lledPl at(aben,unten, - A.. A), t i t le="Schlauch um g") ;

Schlauch um 9

-0.5

Sp zi II für

:1.:

= 1/10

gilt

> abs(y(O . l)-'g'(O . l» evaley(x),sol(O . l»-geO . l);

#

wahre Abweichung an der Stelle x=1/10

0.0007133731

120

MWS 3

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

3.6 Qualitative Beschreibung autonomer Systeme Mathematisches Pendel

Wir greifen die Überlegungen zum (ungedämpften) mathematischen Pendel (siehe S. 90ff im Textteil) auf. In diesem Falle verlaufen die Trajektorien auf den Höhenlinien der Energiefunktion V(Yl, Y2) = ｾ＠ ｹｾＫ＠ (l-cos(yd). Mithin handelt es sich um ein konservatives System. Wir führen nun einen linearen Dämpfungsterm ein und interessieren uns für dessen Auswirkung auf das System. Die Bewegungsgleichung nimmt dann die Gestalt {)" + r {)' + sin( {)) = 0 mit r > 0 an. Wie üblich schreiben wir sie als DGL-System: ｹｾ＠ = Y2 , Y& = - sin(Yd - rY2. Hierfür gilt

Mithin handelt es sich jetzt um ein nicht-konservatives dynamisches System; denn offensichtlich ist die Energie auf den Trajektorien - abgesehen von den Gleichgewichtslagen - streng antiton (streng monoton fallend). Das Phasenportrait erhalten wir in diesem Falle mittels des Maple-Befehls DEplot durch näherungsweise Lösung einer Schar von Anfangswertaufgaben. Die Zentren der geschlossenen Trajektorien der Abbildung auf Seite 92 gehen dabei über in asymptotisch stabile Gleichgewichtspunkte, und jede Trajektorie - mit Ausnahme der (schwarz gezeichneten) Separatrizen - windet sich für t -----+ 00 spiralförmig um eine dieser Gleichgewichtslagen. Diese Separatrizen laufen für t -----+ 00 in die ,Sattelpunkte' genannten (instabilen) Gleichgewichtslagen (n7r,O) mit ungeradem n E Z und teilen die Phasenebene in disjunkte Gebiete. Jedes dieser Gebiete enthält genau einen asymptotisch stabilen ,Spiralpunkt' . Man beachte, daß die Berechnung der Separatrizen mittels ,Rückwärtsintegration' gelingt. In nachfolgender Animation veranschaulichen wir das Verhalten des Systems. Anwachsen des Dämpfungsparameters r führt dazu, daß das Pendel nach kürzerem Hin- und Herschwingen in die Ruhelage gelangt.

10

> restart: vith(DEtool s): vith(pl ots): Sysl . = {diff(y[l] (x) ,x)=y[2] (x), diff(y[2] (x),x) =-sin(y[l] (x))-r*y[2] (x) } : Sys2 . = subs(r=-r,Sysl) : {seq ( [-3*Pi,k] , k=[2,3,4,5] ) } : 'l. union map(z->-z,'l.): Punkte : = convert('l.,list) : AnfBed : = seq( [y[l] (O) =z [l] ,y [2] (O) =z [2] ] , z=Punkte) : AnfBed2 := seq(seq([y[l](O)=a*Pi,y[2](O)=b],a=[- 3, - 1,1,3]), b=[- O.O l ,O .Ol ]) : T : = p lottools[transform] «x,y) - >[-x,y]) : bilder : = NULL:

3.6

10

20

25

Qualitative Beschreibung autonomer Systeme (MWS)

121

for r in [1/16,1/8,1/4,3/8,1/2,1,2] do p1 := DEplot(Sys1,[y[1] (x),y[2] (x)] ,x=O .. 20, [AnfBed,AnfBed2] ,y[1]=-3*Pi .. 3*Pi,y[2]=-5 . . 5, arrows=medium,stepsize=O . 05,color=gray,linecolor=blue) : p2 := DEplot(Sys2,[y[1](x),y[2] (x)] ,x=O .. 20,[AnfBed2], y[1]=-3*Pi .. 3*Pi,y[2]=- 5 . .5,arrows=none,stepsize=O . 05, color=gray,linecolor=black): p3 := seq(plottools[disk] ([k*Pi,O] ,O . 1,color=black),k=[-3,-1,1,3]) : bilder:= bilder,display(pl,T(p2),p3,axes=frame , scaling=constrained , tickrnarks=[[-6 . 28="-2p",O="O",6 . 28="2p"J,[-4,O,4J J , view=[-9 . 5 .. 9 . 5,-5 .. 5] ,axesfont=[SYMBOL,12], title=cat("r = ",convert(r,string))) ; end do: display(bilder,insequence=true); r

= 3/

4

o

-4

Eine ,saubere' Untersuchung des Stabilitätsverhaltens ist beispielsweise mit der LJAPuNow-Methode möglich. Auf diese gehen wir jedoch im Rahmen dieser einführenden Darstellung nicht ein.

Kapitel 4

Lineare Differentialgleichungen und DG L-Systeme I 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Exi t nz- und Eind utigk it atz Lin ar-alg brai che Folg rung n Homog n lin are DiH r ntialgl ichungs y tem Homog ne lin ar DiE r ntialgl icbung n Mb r r Ordnung Tran formation von DiH r ntialgl icbung y t m11 Inhomogene lineare DiE r ntialgl ichu11g n Reduktion der Ordnung

In diesem ersten Kapi tel über lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme werden Überlegungen zusanunengestellt, die für beliebige stetige KoejfizientenJunktionen gemacht werden können. Kapitel 5bringt dann Ergänzungen für wichtige Spezialfälle - konstante K oejfizienten und periodische Koejfizientenjunktionen - und speziell Methoden.

4.1 Existenz- und E inde utigkeitssatz Anna hmen: Auf il1em b eliebigen Intervall J ien zu einer natürlichen Zahl k stetiae Funktionen J,,). g,,: J ---+ C für ""A E {I , ... , k} gegeben. G esucht sind differenzierbare l Funktionen y,,: J

---+

C mit

für alle x E J. atü d ich ind soJche Funktionen dan n auch stetig differenzierbar.

124

Kapitel

Mit F(x) := (

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e I

fU(X) . .. :

h k(X) ) :

und g(x) ._ ( gI

ｾｘＩ Ｉ＠

für

XE J

gk(X)

f k1(x) .. . fkk(X)

bedeutet dies gerade: G esu ch t i t (YI,... Yk)T = y: J ｾ＠

Ck ( tetig) differ nzi rbar mit

y' = F( x) y

d.h.

y'(X)

=

+ g(x)

(I)

,

F(x)y(x)+g(x) für alle xE J.

Mit der Menge Il1 k der C-wertigen k x k-Matrizen , die - wie üblich - mi der Abbildungsnorm (zu einer beliebigen Norm auf dem C k ) ver ehen wird , sind die beiden Abbildungen

F : J ｾ＠

Il1k und g: J ｾ＠

Ck

stetig. Umgekehrt liefert die Vorgabe solcher Abbildungen Fund 9 (durch die Komponentenfunk t ionen) C-wertige stetige Funkt ionen f ",>. und g" auf dem In ervall J für K" A E {I . . . ,k} .

Satz 4.1.1 Mit einer natürlichen Zahl k und einem b eliebigen Intervall J seien ein Punkt a E J , ein Vektor b E C k und stetige Funktionen F: J ｾ＠ Il1 k und g : J ｾ＠ Ck gegeben. Dazu existiert eindeutig eine stetig differenzierbare C k mit Funktion y: J ｾ＠ y'(X) = F( x)y(x)

+ g(x)

für alle xE J und y(a) = b .

B eweis: Für ein kompaktes Intervall J liest man dies direkt aus dem Hauptsatz aus Abschnitt 3.3 ab: Man setzt dazu fe x, y) := F(x) y+ g(x) für x E J und y E Ck B := und L := maxxEJ W(x)l, wobei hier I Inatürlich di e Abbildung norm b z chn i t.

Ein beliebiges Intervall J kann als Vereinigung den Punkt a enthaltender kompakt r T ilintervall g hrieb n werden (,au h ÖPD n'). Di Exi t nz und Eind utigkeit auf die en Teilintervallen li f ert Wlmitt Ibar di B ehau ptung für da g geb ne Int rvall J . 0

4.2 Linear-algebraische Folgerungen Unter den Voraussetzungen aus dem vorangehenden Abschnitt 4.1 betrachten wir den Vektorraum

4.3

Homog ene lineare Differentialgleichungssysteme

125

und darin den Unterraum

1. Durch (H y)(x) := y'(x) - F(x)y(x) für y E Cl und xE J ist

H: Cl

--+

Co

(>linear

gegeben. Kern H ist gerade die Menge der Lösungen des zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystems y' = F(x)y

(H)

und Unterraum von Cl .

2. Für festes a E J ist durch Ta(y) := Ty := (y(a) Hy ) für y E Cl eine bijektive, t-lineare Abbildung T : Cl

--+

t

k

x Co , also ein Isomorphismus defini rt.

B eweis: 1. ist trivial. F ür 2. lie t man die Linearität d r Abbildung T aus der der b iden Komponentenabbildung n (Au wertung an d r Stell a und H ) ab. T ist injektiv und surjek iv nach dem Existenz- lind Eindeutigkeitssatz; denn für y E Cl gilt

Ty = (b, g) {::::::} y' = F( x) y+g ,Eb n

0'

1\

y(a) = b .

o

erhält man mit g = 0:

H 3 Y 1-----7 y(a) E t k ein Isomorphismus gegeben. Damit si t die Dimension von Kern H gleich k.

3. Für festes a E J ist durch Kern

4.3 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme Unter den Annahmen von Abschnitt 4.1 lind mit den B ezeichnungen der vorangehenden beiden Abschni tte betrachten wir, wie bei linearen Problemen üblich zunächst das homogene lineare Differentialgleichungssystem (H) , also den Fall 9 = 0: Satz 4 .3.1

e

Es seien a E J , E IN und Yl, ... , ye (: J Differentialgleichung y tems.

--+

t

k)

Lösungen des homogen en

Kapitel

126 a)

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I

Für beliebige al, ... , ac

E

C ist dann

genen Dijjerentialgleichungssystems.

C

L

a,\ y,\ eine Lösung des homo-

'\ = 1

ß) Die Cl -Funktionen YI,··· , Yc sind genau dann linear unabhängig, wenn die Vektoren YI (a) , ... , Yc (a) (in C k ) dies sind. Beweis: Beide Aussagen liest man unmittelbar aus den Überlegungen von Abschnitt 4.2 ab: a) aus 1. , ß ) aus 3. D Bezeichnung: J e k linear unabhängige Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems heißen ein "Fundamentalsystem ", kurz "FS". Ein Fundamentalsystem ist also gerade eine Basis von Kern H. Folgerung 4 .3. 2

Unter den Voraussetzungen d es ov rangehenden Satzes g ilt speziell j ür k = R.: Die Funktionen YI , ... , Yk bilden g enau dann ein Fundamentalsystem , wenn die Vektoren YI (a), .. . ,Yk (a) ein e Basis von C k sind. Ein erstes kleines Beispiel dazu:

(BI) Wir betrachten mit k = 2 das homogene lineare Differentialgleichungssystem erster Ordnung y'

J

:= IR mit a :=

Zu bl := zu b2 =

(6)

(n

=

Ｈｾ

Ｍ ｾ＠

) y auf dem Intervall

O.

ist ＨｾＷＩ＠ ist Ｈ ｾｮＩ＠

= : YI eine Lösung der zugehörigen AWA; =:

Y2 eine Lösung der zugehörigen AWA.

Da die Vektoren b1 , b2 linear unabhängig sind, bilden die Funktionen YI , Y2 ein Fundamentalsystem.

Ｉ＠ eine Lösung des DifOffenbar wird für u E IR auch durch Ｈ ＺｾｩＡ＿ ferentialgleichungssystems definiert. Die Darstellung als Linearkombination von YI, Y2 ist gerade durch die Additionstheoreme gegeben. Zu vektorwertigen Funktionen Z,,: J wir die matrixwertige Funktion

Z: J:3 x

f----+

----+

Ck (für

K

=

(zd x ), ... , Zk(X) ) E IM k

1, ... , k) betrachten

.

Aus der m ehrdimensionalen Analysis ist wohl vertraut:

Z ist genau dann stetig (differenzierbar, stetig differenzierbar, ... ), wenn z'" stetig (differenzierbar, stetig differenzierbar, ... ) für a lle K, E {I , ... , k} ist. Ist Z differen zierbar, so gilt

4.3

Homogene lineare Differentialgleichungssysteme Z'(x)

Ｌ＠ ... ＨｺｾｸＩ

=

127

,Zk(X)) für xEJ.

Ist Z differenzierbar, so hat man für x E J:

Z'(x) = F(x)Z(x)

{=}

VIiE

{l, ... ,k}

= F(x)z,,(x) ｺｾＨｸＩ＠

(1)

Links werden die beiden Matrizen F(x) und Z(x) multipliziert , rechts wird die Matrix F(x) auf den Vektor z,,(x) angewandt.

Beweis von (1): Für Ii = 1, ... , k ist die li-te Spalte einer Matrix A E trlk gerade durch Ae" mit dem Ii-ten Einheitsvektor e" im Ck gegeben. Daraus liest man alles ab. D Deshalb betrachten wir neben dem ursprünglichen (homogenen) Differentialgleichungssystem (H) y' = F(x)y für Vektorfunktionen y: J

--+

Ck nun auch die DGL

y' = F(x)Y für matrixwertige Funktionen Y: J

--+

(M)

trlk.

Bemerkung 4.3.3

Ist Z eine Lösung von (M), so bilden die Spaltenfunktionen Zl , .. . ,Zk genau dann ein Fundamentalsystem, wenn Z(a) für ein a E J invertierbar ist. In diesem Fall ist Z (a) für jedes a E J invertierbar. Eine solche Lösung Z heißt "Fundamentalmatrix", kurz "FM". Der Beweis ist unmittelbar durch die Folgerung 4.3.2 gegeben, da die Matrix Z(a) genau dann invertierbar ist, wenn ihre Spalten zda), ... , zk(a) linear unabhängig sind. D Bemerkung 4.3.4

Es seien Z eine Pun damentalmatrix und z: J --+ Ck eine differenzierbare Punktion. D ann löst z genau dann das homogene Differentialgleichungssystem (H), wenn mit einem cE Ck die Darstellung z (x) = Z (x)c für alle x E J gilt. Beweis: z ist genau dann eine Lösung von (H), wenn zeine Linearkombination der Zl, ... , Zk ist, wenn also mit einem C = (Cl, ... , Ck)T E Ck für xE J gilt: k

z(x) =

L

,,=1

c"z,,(x)

k

L

,,=1

c"Z(x)e" = Z(x)

k

L

,,=1

c"e" = Z(x)c.

Mit einer Fundamentalmatrix kennt man also alle Lösungen von (H).

D

128

Kapitel

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I

Bemerkung 4.3.5 Ist Y eine Fundamentalmatrix, dann ist eine weitere Abbildung Z: J genau dann eine Lösung von (M), wenn Z(x) mit C

=

=

-----+

IMk

für alle x E J

Y(x)C

Y(a)-l Z(a) für ein beliebiges a E J gilt.

Dabei hat man: Z ist genau dann eine Fundamentalmatrix, wenn die Matrix

C invertierbar ist. Beweis: Hat Z die angegebene Gestalt, so löst mit Y auch Z offenbar die Matrix-DGL (M). Für die nicht-triviale Richtung sei U(x) := Y(x)C für xE J. Dadurch wird eine Lösung U von (M) mit U(a) = Z(a) definiert; nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz aus Abschnitt 4.1 gilt somit U = Z. Dabei ist Z genau dann eine FM, wenn Z(a) invertierbar ist, und dies ist äquivalent zur Invertierbarkeit von C. D

Mit einer Fundamentalmatrix kennt man also alle Fundamentalmatrizen. Für ein differenzierbares Z mit Z/ = F(x) Z, also einer Lösung von (M), bezeichnet man Z(x) auch als " WRONSKI-Matrix"2 und w(x) := det Z(x) (= det (Zl (x), . .. , Zk(X) )) als zugehörige" WRONSKI-Determinante". Wir zeigen damit die Formel von LIOUVILLE : W

ist differenzierbar mit w /( x) =

für alle x E J .

( pur F (x))w(x)

(2)

Beweis: CEw -I=- 0: Nach der Bemerkung 4.3.3 ist dann Z(x) für alle xE J invertierbar. Mit der Ähnlichkeitstransformation (b,\ ,,(x)) = B(x) := Z(x)-lF(x)Z(x)

hat man Z/(x) = F(x) Z(x) = Z(x) B(x), also für", = 1, ... , k k

«x) =

(Zl(X),,,,,Zk(X)) Ｈ｢ｬ

ｾＺＨｘＩ

Ｉ＠

=

ｾ｢Ｌ｜

ＬＨｸＩｺ｜ｘ＠

und damit nach

bh(X) der Regel zur Differentiation von Determinanten (man vgl. hierzu etwa [BajFI], Seite 114) 2

Der aus Polen stammende Offizier und Graf Josef-Maria HOENE-WRONSKI (24.8.1778 - 9.8.1853) beschäftigte sich als Privatgelehrter - neben philosophischen Problemen der Mathematik - mit Analysis und Differentialgleichungen.

4.4

Homogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

129

k

W'(X)

L det (Zl(X), ... , ｺｾ

ＨｸＩＬ＠

k

k

LL

... , Zk (X))

>

K=l

K- te Spalte

b'\K(X) det (Zl(X), .. . , z,\(x), .. . ,Zk(X))

>

,,=1'\=1

K-te Spalte

k

L bKK(X)W(X)

(spurB(x))w(x) ./ (spurF(x))w(x).

D

K=l

4.4 Homogene lineare DG Len höherer Ordnung Es seien kEIN und fK: J ---+ C für K, = 1, ... ,k stetige Funktionen. Wir betrachten damit die homogene lineare Differentialgleichung k-ter Ordnung:

'I](k)

+ h(x)'I](k-1) + . .. +h(x)'I]

= 0

(1)

Die Transformation (siehe Seite 79) Y

=

17

(

)

.

17 (k - 1)

liefert hier die äquivalente Differentialgleichung y' = F(x)y mit

o o

o o

1 0 0 1

F(x) .-

für x E J.

o

1

- h(x) Sind die Funktionen

'T)1, ... , 'T)k

Lösungen von (1) , dann heißt

zugehörige "WRONSKI-Matrix ". Mit w(x) := det Y(x) lautet hier die Formel von LIOUVILLE:

w' (x) = - h(x)w(x)

(2)

130

Kapitel

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I

Die Folgerung 4.3.2 oder a uch die Bemerkung 4.3.3 liefern hier:

{=} :

'T)I, ...

,'T)k linear unabhängig (in Co (J, q)

'T)I, ...

, 'T)k "Fundamentalsystem " ("FS")

.b

YI, ... , Yk linear unabhängig (in Co ( J, ( k) )

{=}

3a E J

Yda), ... ,Yk(a) linear unabhängig (in (k)

{=}

'Va E J

Yda), ... ,Yk(a) linear unabhängig (in (k)

{=}

W =1=

0

{=}

Y Fundamentalmatrix

(B2) Im Falle k = 2 gelingt mit (2) eine Reduktion auf den Fall k = 1, falls schon eine Lösung 'T)I von (1) mit 'T)dx) =1= 0 für alle x E J bekannt ist:

J x

Hier ist w(x) = exp ( -

h(t) dt) eine Lösung von (2) mit w(a)

a

Für eine weitere Lösung

'T)2

von (1) muß gelten:

w(x) = Damit verbleibt für

'T)2

1.

=

'T)I

ＧｔＩｾ＠

-

ＧｔＩＲｾ＠

eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

4.5 Transformation von Differentialgleichungssystemen Das Ziel der folgenden einfachen Überlegungen ist die Gewinnung einer Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, falls ,alle' Lösungen der homogenen Differentialgleichung bekannt sind , und eine Reduktion der Ordnung der Differentialgleichung, falls schon einzelne Lösungen bestimmt wurden. Die erste dieser Anwendungen führen wir in Abschnitt 4.6 aus, die zweite dann in Abschnitt 4.7. Wir betrachten wieder (unter den Voraussetzungen aus Abschnitt 4.1) die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung y' = F(x)y

+ g(x).

(I)

Es sei T: J ----+ tr1 k stetig differenzierbar und T (x) invertier bar für jedes x E J. Dann ist auch die Abbildung J :3 x f----+ T(x)-I E tr1k stetig differenzierbar, wie man etwa aus der CRAMER-Regel abliest oder - eleganter - mit der Kettenregel und der NEUMANN-Reihe begründet (man vgl. hierzu etwa [Dieu], Seite 154f). Damit betrachten wir die Transformation

4.6

Inhomog en e lineare Differentialgleichungen

I y( x ) = T( x ) z (x ) I

131

für x E J

und erhalten die

Bemerkung 4.5.1 Y ist genau dann eine Lösung von (I) , wenn z die Differentialgleichung

= F(x)z + g(x)

z'

mit den Funktion en F( x ) := T( X)- l (F( x )T(x ) - T'( x )) und g( x ) := T( X)-l g( X) für x E J löst. B eweis: Ausgehend von einer Lösung y von (I) rechnet man FT z

+g

=

Fy

+9

z' = T - 1 (FT - T') z

=

+ Tz' , also und entsprechend zurück.

y' = T' z

+ T - 1 g,

D

4.6 Inhomogene lineare Differentialgleichungen Unter d en Voraussetzungen aus Abschnitt 4.1 sei Y eine Fundamentalmatrix des zu (I) gehörigen homogenen DijJerentialgleichungssystems y' = F( x )y. Wir betrachten also die homogene Differentialgleichung als gelöst. (Man vergleiche dazu auch die Überlegungen aus Abschnitt 4.7.) Wir können dann die ｂ ｾ ｭ ･ ｲｫｵｮｧ＠ 4.5.1 sp eziell mit T := Y anwenden. Wegen Y' = FY ist hier F = O. Man hat also mit y(x )

= Y( x )z(x)

die folgende" Variation der Konstanten " : y i st g ne au dann eine Lösung von (I) , wenn z '( x ) = Y( X)- l g( x ) für xE J gilt. Dies ist äquivalent zur Existen z eines c E C k mit z (x)

=

J: Y(t) - lg(t) dt + c , also x

y( x )

= Y( x )

(J

Y(t) - lg(t) dt

+ c)

für xE J.

(1)

a

Dabei gilt: y(a)

= b

{==}

c

= Y(a) - lb

Mit dieser Formel für y hat man eine explizite Darstellung von T - 1 für den Isomorphismus T = Ta aus Abschnitt 4.2. Für eine natürliche Zahl k wird die inhomogene lineare Differentialgleichung k-ter Ordnung

Kapitel

132

ry(k)

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e I

+ h (x) ry(k- l ) + .. + I k(X) ry

mit stetigen Funktionen T,

y

ｾ＠

CkL),

I,,:

J

,(x)

=

für alle x E J

für", = 1, ... , k durch

----+ (:

0 1 0 0 0 1

0 0

ｧＨ ｸ Ｉ ｾ＠

F(x) .0

1

0

- fk(X)

- hex)

(2)

[J

für x E J umgeschrieben zu (I)

y'

=

F( x )y

+

g( x )

und damit in die obigen Überlegungen einbezogen. Bilden dann 7]1 , "" 7]k ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (1) aus Abschnitt 4.4

7] (k ) + h(x)7](k- 1) + ...

+ h(x) 7]

=

(x

0

E

J)

und folglich

Y= eine Fundamentalmatrix zu (H)

y' = F( x )y , dann ergibt sich mit der zugehörigen WRONSKI-Determinante w(x) aus der obigen Lösungsformel (1) (Variation der Konstanten) für die Lösung 7] mit 7](a) = ... = 7] (k-1 )(a) = 0 über die CRAMER-Regel:

ry( x) =

ｾ＠

JＺＨ x

k

ry,,(x)

ｾ ｾＩ＠

I(t) dt ,

(3)

a

wobei w,, (t) das algebraische Komplement net ; denn für 3

3

von Ｗ｝ｾ ｫＭ

Ｑ｜ｴＩ＠

in Y(t) bezeich-

Zur Erinnerung: In Y(t) werden die Zeile und die Spalte gestrichen , in der Ｇｦｊ ｫＭｾ ｬ Ｉ ＨｴＩ＠ st eht. Die Det erminante dieser ,Rest m atrix' wird noch mit (- I) "+k mult ipliziert .

4. 'l

133

Reduktion der Ordnung

v(t) := Y(t) - l g(t) = Y(t) - l (

!)

"( t) gilt nach der CRAMER-Regel für K, = 1 , ... , k ...

'TJl (t)

1

w(t)

0

...

'TJk(t)

(k - l ) ) ) (k - l ) ) 'TJ1 (t . .. "( t ... 'TJk (t

(Die K,-te Spalte von Y(t) ist hier durch g(t) ersetzt.) Wegen 'TJ(a) = ... = 'TJ(k - l )(a) = 0 ist in der obigen Lösungsformel (1) der Vektor c gleich Null zu setzen , also

J x

y( x )

= Y( x )

v(t) dt

=

a

Die erste Komponente von y(x) liefert für 'TJ die notierte Formel (3).

D

Eine alternative Darstellung der Lösungsformel (3) ergibt sich mit

G(x, t) .-

1

w(t) 'TJl(k- 2)(t) ... 'TJk(k- 2)(t) 'TJ1(X) ... 'TJk(X)

durch

für x, t E J

J x

(4)

G(x, th(t) dt

1J(x) =

a

B eweis: Die Entwicklung der D et erminante nach der letzten Zeile ergibt:

J x

G(x, th(t) dt

a

J x

=

a

"( (t)) w t

k

L 'TJ,,( x )·w,, (t) dt ,,=1

= 'TJ( x )

(3)

D

4.7 Reduktion der Ordnung Unter d en Voraussetzungen aus Abschnitt 4.1 betrachten wir die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung (H)

134

Kapitel

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e I y' = F( x )y

mit dem Zi el, r « k) lin ear unabhängige Lösungen YI , ... , Yr ,einfach' zu einem Fundamentalsyst em zu ergänzen. Dazu transformieren wir mit

wobei für (]" = r + 1, ... , k stetig differenzierbare Funktionen t a : J so gewählt seien, daß T( x ) für alle xE J invertierbar ist: y(x) = T( x )z(x)

----+ (k

(x E J)

Eventuell wird man dies zunächst nur lokal machen. Mit F(x) := T(x) -l (F(x)T(x) - T'(x)) zeigten die Überlegungen aus Abschnitt 4.5: y ist genau dann Lösung von (H), wenn z die DGL (1)

F(x) z

=

Zl

löst. Für Q= l , ... , r ist (F( x )T(x) - T'(x))e g = ｆＨｸＩｙｧ

Ｍ

ｹｾＨ

ｸ Ｉ＠ =

o.

F( x ) hat daher die folgende Blockstruktur:

FI 2(X))}

{)

(

F( x )

{) F22 (X)

r

}k -

r

'-.,,-' "-v--"

k- r

r

Eine Funktion z : J ----+ ( k werde entsprechend der Struktur von F( x ) für x E J dargest ellt in der Form z(x)

=

( Zl (X)) }} r Z2(X) k -

. r

Das reduzierte DGL-System (1) ist dann äquivalent zu:

z{ =

F12 ( X ) Z2

(2) (3)

Ist nun Z22 eine Fundamentalmatrix zu (3), dann ergibt sich aus (2) durch Integration (komponentenweise!)

JF x

ZI 2(X)

:=

I 2 (t)

a

Z22(t) dt + C

4. 'l

Reduktion der Ordnung

135

mit einer konstanten r x (k -r)-Matrix C die Matrixfunktion

Z12.

Setzt man

Dr

Z(x): = ( ()

so erhält man durch Y(x) := T(x) Z(x) eine Fundamentalmatrix zu (H). Speziell für die homogene lineare Differentialgleichung k -ter Ordnung

I 'T)(k) + !I(x)'T)(k-l) + ... + h(x)'T) sei eine Lösung man

'T)l

mit

'T)l (x)

'T)(x)

=

i- 0

für x

E

=

J bekannt.

'T)d x )((x ) für

xE

0

I

(4)

Hier transformiert

J

und erhält über die Produkt regel von LEIBNIZ und Sortieren nach Ableitungen von ( also eine homogene lineare Differentialgleichung (k - 1)- ter Ordnung für ('. Zu einemFS V2, ... ,Vk derDGL v(k-l)+h(x)v(k-2)+···+h:_dx)v = 0 = v'" (K; = 2, ... , k) und erhält durch bestimmt man (2, ... , (k mit Ｈｾ＠ 'T)1 , 'T)1(2, ... , 'T)l (k ein FS zu (4). Die einfache Einordnung in die obigen allgemeinen Überlegungen (mit r = 1) führen wir nicht mehr aus. Für Beispiele verweisen wir auf die ausführliche Behandlung dieser Themen in MWS 4. Die Methode der Reduktion der Ordnung geht auf D' ALEMBERT zurück. Dieser hat jedoch wesentlich bedeutendere Dinge geleistet. Deshalb würdigen wir ihn mit separaten historischen Notizen:

136

Kapitel

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I

IHistorische Notizen I Jean Baptiste le Rond

D ALEMBERT

(1717- 1783)

rhielt einen Teil ine' amens nach der kleinen Kapelle Saint-Jean-Ie-Rond nahe bei Notre-Dame, wo er von seiner Mutter als illegitimer Sohn eines Chevaliers au. ge etzt wurde. Sein leiblicher Vater ermögUchte ihm jedoch ein Studium in Paris. Er wurde scholl 1741 'l itglied der Academie Royale des Sciences und fran restart : yith(LinearAlgebra) :

vy : = Vector([y[1](x),y[2](x)]): # Vektorfunktion y F : = Matrix([[O,-l] ,[1,0]]) : Sys := map(diff,vy,x)-F . vy: 'Sys' = Sys, 'Sys' = convert(Sys,set);

+ Y2] Y2 - Yl

S YS = [ Y{I

Entsprechendes geschieht mit den beiden Anfangsbedingungen , die hier betrachtet werden:

138

MWS

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e I

> a, bi, b2 := Ö, Vector«(i,Ö]), Vector« (Ö,i]) :

AnfBedl : = eval (vy,x=a) - bl: AnfBed2 := eval(vy,x=a)-b2 : 'AnfBedl ' = AnfBedl, 'AnfBed2' = AnfBed2;

[YI Y2(0) (0) - 1] AnfBed2 ,

AnfBed1 =

=

YI

[

(0) ] Y2(0) - 1

Wir benutzen den Maple-Befehl dsolve als ,Black-Box', um diese beiden AWAn zu lö n: > soll := dso1ve(convert(Sys,set) union convert(AnfBedl,set» ;

so12 := dso1ve(convert(Sys,set) union convert(AnfBed2 , set» ;

soll := {Y2 = sin(x), YI = cos(x)},

80/2: = {YI

=

-sin(x), Y2

=

cos(x)}

Auf folgende V/eis gelangen wir von der Mengen- zur Vektorschr ibwei e zurück: > yl

:=

'yl'

=

eval(vy,so11): y2 yl, 'y2 ' = y2;

:=

eva1(vy,so12):

Aufgrund der speziellen Wahl der Anfangsbedingungen - die beiden Vektoren bl und b2 sind ja linear unabhängig gewählt - können wir mit den beiden Vektorfunktionen yl und y2 eine Fundamentalmatrix bilden: > Y

:=

unapp1y(Matrix([yl,y2]),x): 'Y(x)'

=

Y(x);

Y( x) = [COS(X) - Sin(X)] sin(x) co (x) Wir machen die Probe: > map(diff,Y(x),x)-F . Y(x), simplify(Determinant(Y(x») ;

｛ｾ｝＠

1

Die Determinante hätten wir natürlich nich berechnen brauchen da sie für x = 0 und damit überall ungleich ull i t . Zur allgemeinen Lösung kann man z. B. auf folgende beiden Arten gelangen: > Vector([y[1],y[2]]) = Y(x).Vector([c[1],c[2]]), dsolve(convert(Sys,set»;

[ Yl] = [COS(X) Cl Y2

{Yl

=

_Cl sin (x)

sin(x) Cl

+ _C2 cos(x), Y2

-

sin(x) C2]

+ COS(X) C2 =

'

-_Cl cos(x)

+ _C2

sin(x)}

4.3

Homog ene lineare Dijjerentialgleichungssysteme (MWS)

139

Beispiel 2

Weniger elementar ist da· DGL-System

1 -x[ - x1]

] [ Y{ ｙｾ＠ = 1 - x2

1

[Yl] Y2

> restart : with(LinearAlgebra): vy : = Vector([y[l) (x),y[2)(x))) : # Vektorfunktion F : = x - > Mul tiply(1/(1 - x-2),Matrix([[ - x,1) ,[l, - x)))): Sys : = map(diff,vy,x) - (F(x) . vy) ;

Sys :=

YlI [

I

+ ｾＭ 1

Y2 -

- x2 Yl 1 - x2

1 - x2

+1

XY2

ｬ＠

- x2

Uns interessiert dessen allgemeine Lösung. Wir schauen zu wje sie von dsolve b r hc n t wird : > infoleve l [dsol ve) : = 3 :

sol : = dsolve(convert(Sys , set)); infolevel[dsolve] : = 0 :

5

-> Solving each unknown as a function of the next ones using the order: [y[l) (x), y[2](x)] Methods for second order aDEs : --- Trying classificati on methods - > Tackling the linear ODE "as given": trying a quadrature eval (sol,{_Cl=1,_C2=0}) : yl . - eval (vy,%): eval (sol,{_Cl=0,_C2= 1}) : y2 . - eval (vy,%): 'yl(x)' = yl, ' y2(x), = y2;

140

MWS

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I

yl(x) =

[!]

｛ｾ｝＠

y2( x) =

und hiermit eine Fundamen alma rix: > Y : = unapply(Matrix([y1,y2]) ,x) : # Fundamentalmatrix 'Y(x)' = Y(x), 'Det(Y(x» ' = Determinant(Y(x»;

[! ｾ｝＠ ,

Y (x) =

Det(Y (x)) = 1 - x 2

Zum chluß verifizieren wir l10cb die Formel

VOll

LIOUVILLE:

# Wronski-Determinante > w(x) = Determinant(Y(x»; diff(w(x),x) = Trace(F(x»*w(x); # Formel von Liouville odetest(%%,%) ;

w(x)

1 - x2

,

2 xw(x)

W'

x2

1-

o

'

4.4 Homogene linear DG Len höh r r Ordnung Lineare DGLen k- er Ordnung lassen sich bekanntlich äquivalent umformen in ein DGL-System von k DGLen 1. Ordnung. Statt des Umweges über Systeme ist es für das praktische Vorgehen häufig vorteilhafter, DGLen höherer Ordnung direkt zu lösen. Maple stellt für diesen wichtigen Fall eine Reihe spezieller Tools und Op ionen zur Verfügung di e für y terne nicht gibt . B eispiel 3 An diesem Beispiel zeigen wir, wie man mit iaple s pezielle Typen von (linear unabhängigen) Lösungen oder sogar ein Fundamentalsystem erhalten kann: > restart : with(LinearAlgebra):

f1 : = x -> -(x+5)/x: f2 := x -> 3/x: Dgl := diff(y(x),x$2)+f1(x)*diff(y(x) , x)+f2(x)*y(x)

Dgl

:=

y" _ (x

+ 5) y' + 3y x

x

=

o·,

0

Das DEtools-Paket stellt die Befe hle polysols, ratsols und exp 01 b r it, mit deren Hilf unter ucht werd n kann , ob ine vorli gende DGL polynomiale od r rationale Funktion n bzw. Expon · ntialpolynome al Lö ung n b tzt. i G geben nfall w rd n di in in r Li t a u ggeb n:

4 .6

Inhomog en e lineare Differentialgleichungen (MWS)

141

> with(DEtools): Pol := polysols(Dgl,y(x)); # liefert polynomiale Lösungen Rat := ratsols(Dgl,y(x)); # liefert rationale Lösungen Exp := expsols(Dgl,y(x)); # liefert Exponential-Lösungen

Pol

:=

[60 + 36x + 9x 2

Exp

:=

+ x 3 ], R at: = [60 + 36x + 9x 2 + x 3 , e

X

[60 + 36x + 9x 2 (20 -

x

+ x3]

+ x2 )]

Die Kenntnis spezieller Lösungen kann man dazu verwenden, die Ordnung der DGL zu reduzieren (vgl. Abschnitt 4.7). Im Falle k = 2 gelingt mit der Formel von LJOUVJLLE eine Reduktion auf den Fall k = 1: > Y := VectorCalculus[Wronskian] ([Pol[l] ,y[2](x)] ,x); # alternativ : linalg[wronskian] ([Pol[l] ,y[2] (x)] ,x) : Fl := simplify(exp(-int(fl(x),x)),exp): w : = Determinant(Y): Dgl2 := collect(w,[diff(y[2] (x),x),y[2](x)]) = Fl ; 2 y .- [ 60 + 36x + 9x + x 3 Y2] 2

.-

D gl2 := (60 + 36x + 9x 2

36 + 18x + 3x

+ X 3 )y2 + (- 36 -

Y2

1

X -

3x 2 ) Y2 = e X x 5

Die Lösungen dieser DGL ergänzen die polynomiale Lösung Yl(X) = 60 + 36x + 9x 2 + x 3 zu einem Fundamentalsystem der oben vorgelegten DGL: > dsolve(Dg12,y[2] (x)); Y2

= (60 + 36x + 9x 2 + x 3 ) _Cl + eX (20 - x + x 2 )

Fundamental y teme homogener linearer DGLen la en sich aber auch mit dsolve unter Verwendung der Option output= basis berechnen: > dsolve(Dgl,y(x),output=basis);

4.6 Inhomogene lineare Different ialgleichungen B eispiel

4

Wir greifen Beispiel 2 auf und erweitern es um eine Inhomogenität. Gesucht ist eine Lösung folgender AWA: > restart: with(LinearAlgebra) : vy := Vector([y[l) (x) ,y(2) (x))) : # Vektorfunktion y Sys := map(diff,vy,x)-(F(x).vy+g(x)): # inhomogenes System

142

MWS

4

Lin eare Differentialgleichungen und DGL-System e I

F := x - > Mul tiply(1/(1 - x-2),Matrix( [ [- x,1] ,[ l , - x]])): g . = x - > Vector([x-2,x-3]): # Inhomogenität a, b := 0, Vector([2,1 ] ) : AnfBed := eval(vy,x=a)-b: 'Sys' = Sys, 'AnfBed' = AnfBed;

Sys

=

1

[

ＺｾＲ＠

- ｾＲ＠ 1

YI

- 1 - x2

+

x2

-

1

x 2 + y{

XY2 3 1 _ X2 - X

I

+ Y2

'

AnfBed

= [

Yl(O) -

2]

Y2(O) - 1

Für das zugehörige homogene DGL- ystem ist folgende Fundamentalmatrix bekann (vgl. Beispiel 2): > Y := x -> Matrix( [[ l,x],[x,l]] ) :

'Y(x)' = Y(x);

] [xl X l

Y(x) =

Mit eIs Variation der J{onstanten berechnen wir eine partikuläre Lösung des inhomogenen DGL-Systems: > Y(x)-(-l) .g(x): map(int,%,x): c := unapply(%,x): y_P : = x - > eval (Y(x) . c(x)) : # partikuläre Lösung 'c(x) , = c(x), 'y_P(x)' = y_P(x);

c(x) =

[ X3ｾ＠ ]

,

yY(x)

ｾ＠ ｛ｾ＠

1

Wir machen die Probe entweder mit Hilfe des Maple-Befehls odetest > {seq(y[k] (x)=y_P(x)[k],k=l .. 2)} : odetest(%,convert(Sys,set));

{O}

oder al ernativ

0:

> map(diff,y_P(x),x)-(F(x).y_P(x)+g(x)) : map(simplify,%);

｛ｾ｝＠ Damit kennen wir die Lösung ge amtheit de inhomogenen DGL-System in der Form y(x) = y..P(x) + Y(x)c. Di Lö ung der Anfang wertaufgabe reduzi rt sich omit auf ein lin ar GI i hung y tem für den unbekannt n Vektor c : > LinearSol ve(Y(a),b- y_P(a)) : 'c' = %, 'y(x)' = y_P(x)+Y(x) . %;

4 .6

Inhomog en e lineare Differentialgleichungen (MWS)

c

[1] =

,y

2

[ ｾ＠ = ｾ＠

x

3

x4

+X+

143

2]

+ 1 + 2x

Im Normalfall' werden wir die AWA natürlich mit d olv lö n: > dsolve(convert(Sys,set) union convert(AnfBed,set));

B eispielS

Wir demonstrieren an folgender AWA einige der verschiedenen Lösungsmöglichkeiten, die Maple bietet: > restart : with(LinearA1gebra) :

Dg1 := diff(y(x),x$2)-3*diff(y(x),x)+2*y(x) = sin(x); AnfBed := y(o) = 0, D(y)(O) = 1;

Dgl := y" - 3y'

+ 2y =

AnfBed:= y(o) = 0, D(y )(O) = 1

in(x) ,

Am einfachsten geht es mi dsolve : > dsolve({Dg1,AnfBed},y(x));

y = 130 co (x)

+ 110

in(x)

+ ｾ＠

2x _

ｾ＠

x

Will man j edoch etwas hinter die K ulissen schauen , so bestimmt man die gesuchte Lösung am besten schrittweise, indem man den .. berlegungen im Textteil folgt. Der iaple-Befehl dsolve mit der Option output= basis liefert ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen DGL sowie eine partiku läre Lösung der inhomogenen DGL: > sols := dso1ve(Dg1,y(x),output=basis);

ols := [[

x,

2x],

130 co (x)

+ 110

sin(x)]

Die Probe bestätigt dies: > Dg1_hom := subs(sin(x)=0,Dg1) ; seq(odetest(y(x)=z,Dg1_hom),z=sols[1]), odetest(y(x)=sols[2] ,Dg1);

0, 0, 0 Au g h nd von inem Fundamental y tem der homog n n DGL kann man mit Val'iation d r Kon tanten ine partikuläre Lö ung b r ehn n. Mapl tellt hi rzu den B f ehl varparam zur V rfügung:

144

MWS

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I

> DEtools[varparam] (sols[l] ,sin(x),x);

-Cl

x

+ _C 2 e 2 x + 310 co (x) + 110

in(x)

Zieht man die Lösungsformel (4) aus Abschnitt 4.6 des Textteils heran, so geht dies mit Hilfe der \iVRONSKI-Matrix in Einzelschritten so: >Y

:= VectorCalculus[Wronski an] (sols[l],x): # Wronski-Matri x 'Y(x)' = Y;

> simplify(Determinant(Y),exp): w := unapply(%,x) ; # Wronski-Determinante 'w(x)' = w(x) ;

w(x) = e3x > Y_mod := subs(x=t,Y): # modifizierte Wronski-Matrix Lmod[2 .. 2,l .. 2] : = Y[1 .. 1,1. .2]: 'Lmod ' = Lmod;

> Int(Determinant(Y_mod)/w(t) *sin(t),t=O .. x): 'y_P(x)' = %; y_P : = Ｈ｣ｯｭ｢ｩｮ･ｾｶ｡ｬｵＩＥ Ｚ＠ 'y_P(x)' = y_P; # partikuläre Lösung

Damit kennen wir d ie allgemeine Lösung der inhomogenen DGL: > y := unapply(y_P+c[1]*sols[l,l]+c[2]*sols[l,2] ,x) : 'y(x) ' = y(x); Y --

l.. 10 co

(x) + 110 in(x) +.!5

2x -

.! e x

2

+ C1 e X +

c2e 2 x

Es bleibellnoch die freien Parameter Cl , C2 mi tels der Anfangsbedingungen zu bestimmen: > AnfBed; solve({AnfBed}); assign(%) : 'y(x)' = y(x);

Cl+C2 = 0, CI+2c2 = 1, {cl =- 1,C2 = 1}, 1 sm . (.) 3 ex y -_ 103 cos () x + 10 x +"56 e2 x - 2

4.'l

Reduktion der Ordnung (MWS)

145

4.7 R eduktion d e r Ordnung Beispiel 6 Vorg g b n

i as d homog n DGL-Sy t m [ Yi] = [ COS(2X)Yl+(Sin(2X)-1)Y2] ｹｾ＠ ( in(2 x) + l)Yl - co (2X)Y2

Es i t rtaunlich, daß die doch r la tiv infach DGL-Sy tem laple Probleme bereitet wovon man sich mit den weiter unten definierten Größen Sys und vy durch > dsolve(convert(Sys,set),convert(vy,set)):

sofort überzeugt. Wenn Maple überhaupt e ine Lösung liefert (versionsabhängig!), so ist diese sehr unübersichtlich. Deshalb gehen wir den vVeg über Reduktion der Ordnung: Wir versuchen, die schon als bekannt angesehene Lö ung yl(x)

=

[e:e ｣ｾｳＨｸＩ｝＠sm x

zu in m Fundamentalsy tem zu rgänzen.

> restart: with(LinearAlgebra):

vy : = Vector([y[l) (x),y[2)(x))): # Vektorfunktion F : = x - > Matrix([[cos(2*x),sin(2*x) -1 ) ,[sin(2*x)+1, - cos(2*x)))): Sys := map(diff,vy,x)-(F(x).vy);

Sys := [

y{ - coS(2X)Yl - (sin(2x) - 1)Y2] ｹｾ＠ - (sin(2x) + l)Yl + coS(2X)Y2

Vor icht hal ber überprüfen wir daß yl tat ächlich eine Lö ung i t: > yl

: = X -> Vector([exp(x)*cos(x),exp(x)*sin(x))): # spezielle Lösung map(diff,yl(x),x)-F(x).yl(x): # Probe 'yl(x)' = yl(x), map(simplify®expand,'l.);

yl (X) = [

In naheli gender V\ eis matrix:

ex cos( x) ]

eX sin(x)

,

｛ｾ ｝＠

rhält man folgend invertierbar Tran formation -

> T : = x -> Matrix( [yl(x), Fl : = ｸＭ＾ｭ｡ｰＨｳｩｬｦｹｾ･ｮ､ＬｔＩＮｆﾻＺ＠ 'Fl(x)' = F1(x);

sowie das reduzierte DGL-System: > vz : = Vector([z[1](x),z[2](x)]) : Sysl := map(diff,vz,x)-Fl(x) . vz;

Sysl ..-

ZI _ (2 sin(x) cos(x) - 1) e- x Z2 ] cos(x) [1 (- sin(x)+ coS(X)) Z2 Z2 + -'----'---'--...,......,----'---'-'-COS(X) I

Die zweite Gleichung i t iene einfach zu lösende DGL 1. Ordnung; die Lösung der I' ten GI i hung rgibt ich dann nach Ein tzen von Z2 durch B rechnen der Stammfunktion. Da. Maple b i dmint-Befehl di · Integrationskon tante vergißt' , bel' hn n wir die Sta.nunfunktion benfalls mit dsolve . > soll := dsolve({Sysl[2]}) ;

soU

:=

> subs(so11,{Sysl[1]}); dsolve(%) : so12 := collect(%,{_Cl,_C2});

{ZI1

(2 in(X)COS(X)- 1) (e-X)2_C1 }

cos(x)2 2 e- 2x tan

x

(2") _Cl

- 1 + tan

x

(2")

> sol : = soll union so12 :

Wir kommen zur Rücktransformation > zip«u,v)->u=v,vy,T(x).vz) : eval(%,sol): map(simplify,%) : map(collect,%,{_Cl,_C2}) : map(simplify,'l.,exp);

2

4 .1

R eduktion der Ordnung (MWS)

[

141

Yl = - in(x)_Cl - x + eX co (x) _C2 ] Y2 = _Cl - x co (x) + x in(x) _C2

und kontrollieren dieses Resultat: > subs(convert(%,set),convert(Sys,set)): map(combine,%) ;

{O} Al Übung aufgabe überla homogenen DGL-Systems

n wir d mint r

iert n Le

rdi Lö ung d

auf zwei Arten mit dsolve, und zwar einerseits dmch diTekte Anwendung auf das vorgegebene System andererseits mittels Reduktion unter Verwendung der peziellen Lösung

y1(x)

ｾ＠

[!] .

B eispiel 1

Wir kormnen auf Beispiel 3 zurück > restart : with(DEtools): Dgl : = diff(y(x),x$2)-(x+5)/x*diff(y(x) , x)+3/x*y(x);

+ 5) y ' + 3y

Dgl := y" _ (x

x

x

und rinnern un daran, daß die DGL ine Polynomlö ung hatte: > pOlysols(Dgl,y(x)): yl := op(%) ; # spezielle Lösung yl := 60

+ 36x + 9x 2 + x 3

Schrittweises Lösen mittels Reduktion der Ordnung soll uns zeigen, was im einzelnen passiert : > subs(y(x)=yl*z(x) , Dgl): expand(%): Dgll := cOllect(%,{diff(z(x),x),di ff(z( x),x$2)});

Dgl1 .-

(- 16

- 45x -

x2 _

X3 _

ＳｾＰ

Ｉ ｺ Ｇ ＫＨＶ

ＰＫＳＶ

ｸＫＹＲＳＩ

ｺ ｬ＠

148

MWS

4

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e I

> Dgl_red := subs({diff(z(x),x)=u(x) ,diff(z(x) ,x$2)=diff(u(x),x)},Dgll);

DgLr-ed :=

( - 1G

- 45 x -

x2

-

x3

-

ＳｾＰＩ＠

u

+ (GO + 3G x + 9x 2 + x 3 )u'

> dsolve(Dgl_red,u(x),output=basis): diff(z(x),x) = op(%); z(x) = int(rhs(%) ,x); y(x) = simplify(yl*rhs(%»;

z' =

eX x 5 eX (20 - 8x + x 2 ) Z = 2 3 (60 + 36 x + 9x + x GO + 36 x + 9x 2 + x 3 Y = e X (20 - 8x + x 2 )

?'

'

J etzt setzen wir den Maple-Befehl r duc Order (au d m DEtool -Paket) in. Offen icht li h erhalt n wir die Ibe p zi He Lö ung: > reduceOrder(Dgl,y(x),yl): Ｈｳｩｭｰｬｦｹｾｶ｡ｵ･ＩＥＺ＠

%%, %;

Mittel der Option basi Li t :

rhält man ein F\mdam ntal y tem in Form einer

> reduceOrder(Dgl,y(x),yl,basis): L := map(simplify,%);

Die Prob be tätigt di : > seq(odetest(y(x)=z,Dgl),z=L); # Probe VectorCalculus[Wronskian] (L,x): WronskiDet = LinearAlgebra[Determinant] (%);

0, 0 , WronskiDet

=

eX x 5

B eispiel 8 (vgI. [KaI, Seite 179)

Anhand einer DGL 3. Ordnung lernen wir weitere Facetten von reduceOrder kennen: > restart : with(DEtools) : ｄｧｬ

Ｚ ］ｸｾＳＪ､ｩｦＨｹＩＬＤＫＲＭ［＠

dsolve(Dgl) ;

Dgl: =

X3

yl'+3 x 2 y" _2xy' + 2y ,

fittel rat ols kann man al g 11 n DGL b timmen:

0

y = ｟ Ｑ＠ｾ x

+_C2x +_C3x ln(x)

zw i lin ar unabhängige Lö U11g 11 d r homo-

4.'l

Reduktion der Ordnung (MWS)

149

> sol s := ratsol s(Dgl ,y(x)) ;

ols .-

[:2' x]

> y1 : = sols[l]: y2 := sols[2] :

Im Gegensatz zu Beispiel 7 liefert reduceOrder je tzt zunächst eine reduzierte DGL 2. Ordnung: gl_red : = reduceOrder(Dgl,y(x),yl); > D

DgLred

:=

x 2 y" - 3xy' + 4y

Die Berechnung eines Fundamentalsystem der ursprünglichen DGL bereitet Maple so keine Schwierigkeiten: > reduceOrde r (Dg1,y(x),yl,basis) ;

K nnt man - wi in di em Fall - mehr r lin ar unabhängig Lö ung n d r homog nen DGL, so kann r duc Order di Reduktion schritt imultan durchführen. Di Ordnung reduzi rt sich dann um di Anzahl d r pezi Hen Lösung n , hi ral 0 um 2. > reduceDrder(Dg1,y(x),[y1,y2]): va1ue(%); odetest (y(x) =%, Dgl_red);

ｾｘＲ＠

In(x) ,

°

Die Ordnung der reduzierten DGL ist gleich 1; man erhält hier leicht eine Lösung von DgL1'ed. Die Berechnung eines Fundamental ystem gelingt a uch a uf diesem Wege problemlos: > reduceDrder(Dg1 ,y(x), [y1,y2] , basi s) : map(norma1,%) ; map(z - >y(x)=z,%): map(odetest,%,Dg1);

[:2'

x, 217 x (3ln(x) - 1)]

[0, 0, 0]

Kapitel 5

Lineare Differentialgleichungen und DG L-Systeme 11 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Expon ntialfunktion von Matrizen Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten Zweidimensionale Systeme, Stabilität Lineare DGL-Sy teme mit kon tanten Koeffizien en und sp ziellen Inhomogenitäten Lin are DGL n höherer Ordnung mit konstanten Koeffizi nten Homogene lineare DGLen mit periodischen Koeffizientenfunktionen

Wie schon im vorangehenden Kapitel vermerkt, bringt dieses Kapitel nun für wichtige Spezialfälle - konstante Koeffizienten und p eriodische Koeffizientenfunktionen - Ergänzungen zu den allgemeinen Überlegungen sowie spezielle Gesichtspunkte und Methoden. Ein entscheidendes Hilfsmittel dazu ist die Exponentialfunktion von Matrizen. Für die durchsichtige Herleitung einiger Ergebnisse setzen wir die JORD AN-Normaljorm ein. Eine leistungsfähige Alternative dazu - insbesondere auch für Leser, denen diese linearalgebraischen Dinge nicht vertraut sind - bringt der Anhang über Matrixfunktionen. Wir erläutern vorbereitend einige der folgenden Überlegungen am einfachen Spezialjall k = 2: Mit einer (2,2)-Matrix A sei das DGL-System

= Ay

y'

betrachtet. Ist A diagonalisierbar, d. h. D := S -l AS =

ＨＶｾＩ＠

mit

J-l,V E

C

für eine geeignete invertierbare (2,2)-Matrix S , dann führt die Transformation z := S - ly auf das ,entkoppelte' DGL-System z' = D z . Dieses zerfällt für die beiden Komponentenfunktionen Z l und Z2 in die skalaren DGLen zi = J-l Z l und ｺ ｾ＠ = v Z2, wovon nicht-triviale Lösungen sofort durch

Kapitel 5

152

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e 11

zd x ) = exp (fL X) und Z2( X) = exp (v x ) gegeben sind. Die Rücktransformation Y = Sz liefert die Komponentenfunktionen Yl und Y2 als Linearkombinationen von Zl und Z2.

Die erste Spalte

81

von S ist ein Eigenvekto r zum Eigenwert fL von A:

Entsprechend ist die zweite Spalte v von A.

S2

von S ein Eigenvektor zum Eigenwert

Ist A nicht diagonalisi erbar, dann existiert nach dem Satz über die Normalform eine invertierbare (2 , 2)-Matrix S so, daß

J

:=

S- l AS =

(6 ｾＩ＠

JORDAN-

mit einem fL E (:.

Die erst e Spalte 81 von S ist wieder ein Eigenvektor zum Eigenwert fL von A. Die zweite Spalte 82 ist ein zugehöriger Hauptvekto r der Stufe 2:

Die Transformation z := S- l y führt hier auf das DGL-System z' = J z und mit den beiden Komponentenfunktionen Zl und Z2 zu den einfachen skalaren DGLen z& = fL Z2 und ｺ ｾ＠ = fL Z1 + Z2 . Mit komplexen Zahlen c und d ist die Lösung Z2 der ersten DGL durch Z2(X) = d exp(fLx) und dann die der zweiten durch ZI (x) = (c + d x) exp(fL x ) gegeben. Damit führt y(x) = (Yl(X)) = S z(x) = S (ZI (X)) Y2( X) Z2( X)

zur Lösung von (*). Man sieht schon hier , daß für den allgemeinen Fall Normalform en eine Rolle spielen w erden und für die Transformation dorthin Eigenwerte, Eigenvektoren und gegebenenfalls Hauptvektoren.

5.1 Exponentialfunktion von Matrizen Zu k E IN betrachten wir (:k mit einer b eliebigen Norm

II

und tr1k mit der zugehörigen Abbildungsnorm Bemerkung 5.1.1 IAB I ｾ＠

IAIIBI

II

II·

ist eine Norm auf dem Vektormum tr1k mit

für A , B E tr1k

und

lEI =

1

für E

:=

Dk .

5.1

Exponentialfunktion von Matrizen

153

IMk kann als normierter V ektorraum mit dem Ck2 identifiziert werden. Die Konvergenz in IMk bedeutet daher gerade die komponentenweise Konvergenz.

Wir erinnern kurz an einige aus der mehrdimensionalen Analysis vertrauten Dinge. Für M, Mv E It1k (v E 1N0) gilt: : {==}

{

Ｈ［Ｚｾｯ＠

Mv)

L

v=o 00

Gilt

L

Mv

----+

konvergent M

(n

----+

00)

00

IMv l < 00, so sagen wir:

v=o

00

konvergenz von

L

v=o

L Mv

ist "normkonvergent". Die Norm-

v=o

Mv impliziert die Konvergenz und

Für M E It1k ist exp (M) :=

L 11=0

1

I Air v.

normkonvergent mit exp(O) = E und I exp(M) I ::; exp (IM I) . Der B eweis folgt unmittelbar aus IMv l ::; IM lv für v E 1N 0

.

D

Durch Betrachtung der jeweiligen Partialsummen und anschließenden Grenzübergang erhält man sofort die folgenden Aussagen: Bemerkung 5.1.2

Al exp

(

0

speziell exp(zE) = exp(z)E für z E C. Ferner gelten N exp(M) = exp(M) N für M , N E It1k mit MN = NM und exp (S -l M S) = S - l exp(M) S für invertierbares S E It1k .

154

KapitelS

Wie im Fall der sis ergibt sich d man aber au ch noch ausführen

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e 11

skalaren Exponentialfunktion in der eindimensionalen Analyer B eweis der nachfolgenden Bemerkung. Das Resultat erhält als einfache Folgerung aus Satz 5.1.4, was wir weiter unten werden.

Bemerkung 5.1.3 Für M , N E tr1k mit MN = NM gilt:

exp(M + N) = exp(M) exp(N)

Speziell hat m an so für M E tr1k: exp( M) ist invertierbar mit ( exp( M) ) -

1 =

exp( - M) .

Beweis: E = exp(O) = exp(M + (- M)) = exp(M)exp( - M)

o

Mit diesen Hilfsmitteln erhalten wir nun für M E tr1k: Satz 5.1.4 Durch Y (x) := exp (xM) für x E IR ist die eindeutig bestimmte L ösung

von Y' = M Y mit Y (O) = E gegeben.

B eweis: Y(O) = E haben wir oben schon vermerkt . Y( x ) = ＲＺ ｾ］ ｯ＠ ｾ＠ MV betrachten wir komponentenweise und können so wie gewohnt schließen: Y ist differenzierbar, und die Ableitung ergibt sich durch glied weises Differenzieren: 00

v -I

00

v -I

Y'( x ) = ?; (: _ I)! MV = M?; (: _ I)! M

v- 1 =

MY(x)

Die Eindeutigkeit ist nach d em Exist enz- und Eindeutigkeitssatz gegeben. 0 Folgerung 5.1.5 speziell gilt also:

det ( exp (M) ) = exp ( spur (M)) det ( xe p(M)) > 0, falls spur (M) E IR .

B eweis: Mit der WRONSKI-Determinante w (x ) := det Y( x ) ( x E IR) zu Y gemäß (5.1.4) hat man w(O) = 1 und gemäß der Formel von LIOUVILLE (siehe Seite 128) w' = spur(M)w , a lso w( x ) = exp (x spur (M)) . Für x = 1 liefert dies:

det(exp(M)) = w(l) = exp(spur(M))

o

Wir notieren noch den angekündigten alternativen Beweis von (5.1. 3): Für Y( x ) := exp(xM) hat man Y' = MY , Y(O) = E und entsprechend Z' = N Z , Z(O) = E für Z(x) := exp(xN): Y( x ) , Z( x ) , Mund N sind offenbar miteinander v ertauschbar.

5.2

Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten

155

(YZ)' = Y'Z+YZ' = MYZ+YNZ = (M+N)YZ und (YZ)(O) = E zeigen nach Satz 5.1.4 Y(x)Z(x) = exp(x(M +N)) und liefern so für x = 1 die Behauptung. D Für eine Diagonalmatrix D E Irlk und eine nilpotente 1 Matrix N E Irl k mit D N = ND hat man so: exp(D

+ N) =

exp(D) exp(N)

Der erste Faktor der rechten Seite kann einfach nach Bemerkung 5.1.2 berechnet werden, der zweite Faktor ist eine endliche Summe. Nach dem Satz über die JORDAN-Normaiform existiert zu beliebigem Maus Irl k eine invertierbare Matrix S derart, daß S-1 M S = D + N gilt mit D und N wie oben. Mit der Bemerkung 5.1.2 gewinnt man so exp(M) = S exp(D) exp(N) S -1 . Hierauf kommen wir in Abschnitt 5.2 noch ausführlich zurück. Ohne Beweis 2 vermerken wir hier abschließend noch: Ist

M E Irl k invertierbar, so existiert ein L E Irl k mit exp(L) = M.

Dies gilt speziell für eine reelle Matrix M. Dabei ist dann aber L nicht notwendig reell, wie ja schon der Fall k = 1 zeigt.

5.2 Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten Es seien eine natürliche Zahl k und eine Matrix A E Irl k fest gewählt. Eine beliebige Lösung y der homogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

y'

= Ay

(1)

ist nach Satz 5.1.4 und Bemerkung 4.3.4 gegeben durch

I y(x) =

exp(xA)c I

mit einem cE Ck . Dabei ist y(O) = c. Sind (} E tN , A E C und b E Ck mit 1 2

Es existiert ein n EIN mit N n = o. Man vergleiche hierzu die Ausführungen im Anhang über Matrixfunktionen.

(2)

Kapitel 5

156

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme 11

(A - AE)12 b = 0 und (A - AE)I2- 1 b -=I- 0 ,

a lso

A ein Eigenwert zu A und b ein Hauptvektor zu A der Ordnung (Stufe) (} , dann ist b12 - v := (A - AEtb für v = 0, ... , (} - 1 ein Hauptvektor der Ordnung (} - v , h also ein Eigenvektor. Die Lösung y von (1) mit y(O) = b ist hier gegeben durch 0- 1

y( x) =

xp (.>. x)

XV

Lt JI=O

(3)

b12 - v

V.

(2)

y( x ) = exp( x A)b = exp(x[ AE + (A - AE)])b

B eweis:

Da >..E und A - >"E verta uschbar sind, kann nach (5.1.3) weiter umgeformt werden:

y(x )

=

=

exp(xAE) exp(x(A - AE))b exp(A x )

12 - 1

L

v =O

ｾ＠

(5;;;2)

(A - AEtb

I: ｾ＠

exp(AX)

v=o

exp(A X)

12- 1

L

v=O

ｾ＠

(A - AEtb b12 - v

D

Die wesentliche Verbesserung gegenüber d er allgemeinen D arst ellung ist, daß neben der ,skalaren' Exponentialfunktion exp(Ax ) hier vektorwertig nur ein ,Polynom I auftritt. Diese Rechnung mi t einem beliebigen c E Ck zeigt , daß nur Ha uptvektoren eine solche einfache Darst ellung liefern.

Der Satz über di e J oRDAN-Normalform besagt: Es existiert eine Basis des Ck aus Hauptvektoren zu A. Bildet man dazu jeweils die Funktionen yl 0 ist d er Gleichgewichtspunkt instabil, man spricht von einem instabilen Stern.

164

Kapitel 5

Lineare Differentialgleichungen und DGL-3ystem e 11 Stabiler Stern

2 ｏ

ｲＭＧｾ

-2 -4 -4

-2

o

2

4

b) Ist A nicht diagonalisierbar, dann existiert eine invertierbare Matrix 3 1 , welche A auf JORDAN-Normaiform transformiert:

Mittels

3 (0 '=

2 .

/ 1 1 0J.L)

und 3 := 8 1 .82 erhält man folgende modifizierte JO RDAN-Normaljorm:

Das zugehörige transformierte System hat die allgemeine Lösung z, gegeben durch

z (x) = e" x (

c ) J.L cx +d

für x E IR

mit reellen Zahlen cund d , wie man direkt bestätigt oder aus den allgemeinen Ergebnissen von Abschnitt 2.3 abliest. Neben dem Koordinatenursprung (für c = d = 0) erhält man als Bahnen für c = 0, d =1= 0 wieder Halbgemden in z2 -Richtung (Z2 > 0 oder Z2 < 0). Für c =1= 0 gibt IZl(X) 1= le le" x zunächst J.LX = log IZl(X) I- log le i und so

Z2( X) = J.L xe e" x + d e" x = J.L X Zl (x ) + 1:. Z I (x ) = e

ZI

(x ) log IZI ( x )1+ '-YZd x )

mit einem reellen ., . Die Bahn ist also durch Z2 = Zl log IZl l +., Zl gegeben. Man hat einen eintangentigen Knoten. Für positives J.L ist er instabil, für negatives J.L asymptotisch stabil.

5.3

Zweidimensionale System e, Stabilität

165

Eintangentiger Knoten ( tabiler Fall)

y-Eb ne

z-Eb ne 4

4

2

2

0

0

-2

-2

-4

-4

Fall 3: Die Matrix A habe die konjugiert komplexen Eigenwerte J.L = a + i ß und Ti = a - i ß mit a, ß E IR und CE ß > O. Ein Eigenvektor (in 1[;2) zu J.L kann in der Form SI - i S2 mit S I, S 2 E 1R 2 geschrieben werden.

zerfällt in die beiden Gleichung

Für die reelle (2 ,2)-Matrix S

gilt somit

:= (S I, S2)

(3) Die zu den v erschiedenen Eigenwerten J.L und Ti gehörenden Eigenvektoren SI - ZS2 und SI + iS 2 sind bekanntlich (komplex) linear unabhängig. Die Matrix (SI -

i

S 2, SI

+ i S2 )

=

s Ｈ Ｍ ｾ＠

n

ist daher invertierbar, also auch die Matrix S. Nach (3) ist A folglich auf die Form

B: = S -IAS =

Ｈ ｾＭ

Ｉ＠

transformierbar . Wir untersuchen das so erhaltene t ransformierte DGLSystem

z' = B z . Dieses i st mit w := Z I + i Z 2 und a := Differentialgleichung 1. Ordnung

a

+ i ß äquivalent zu der komplexen

w' = aw ,

166

K apitel 5

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e 11

deren Lösungsgesamtheit beschrieben wird durch w(x) = c exp(ax)

für x E IR

mit einer komplexen Z ahl c, die im nicht-trivialen F all (c =I- 0) in der Form c = r exp(i cp) mit einer positiven Zahl r und reellem cp geschrieben werden kann. Es ist also w(x) = re cxx exp(i( ß x + cp)) bzw. , reell notiert (Aufspaltung in Real- und Imaginärteil) , zd x )

= r e cx x cos( ßx + cp) , Z2( X) = r e cxx sin(ßx + cp) .

Aus der B zeiehung

J Zd X)2 + Z2( X)2

= r e cxx

kann die Gest alt der B ahnen abgelesen w erden. In allen F ällen umrundet j ede Trajektorie den Gleichgewichtspunkt (g); er ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil. a) Im Falle Cl: = 0 , d. h. JL ist rein imaginär, erhalten wir Kreise, die in der z-Ebene im positiven Sinn durchlaufen werden, da ß positiv ist. Der Gleichgewichtspunkt heißt Zentrum oder W irbelpunkt. (Man spricht von einem Wirbelpunkt, wenn sich die Traj ektorien zu geschlossenen Kurven zusammensetzen, die sämtlich einen Punkt im Innern einschließen.) Zentrum y-Ebene

z-Ebene 6

4

4

2

2

0

0

-2

-2

-4 -4 -4

-2

0

-6

2

4

-6

-4

-2

0

2

4

6

b) Im verbleibenden Fall Cl: =I- 0 erhält man einen Strudelpunkt oder auch Brennpunkt, d. h. die Trajektorien lassen sich so zu Kurven zusammensetzen, daß sie einen Punkt beliebig oft umlaufen und dem Punkt dabei b eliebig nahekommen , ohne mit einer b estimmten Tangentenrichtung in ihn einzumünden.

5.3

Zweidimensionale Systeme, Stabilität

167

Die Trajektorien verlaufen auf Spiralen, die sich im Falle (t < 0 für x ---+ 00 auf den Koordinatenursprung zusammenziehen; dieser ist also asymptotisch stabil. Im Falle (t > 0 wächst der Radius re'u für x ---+ 00 unbeschränkt, (g) ist instabil. Man spricht genauer von einem abstoßenden bzw. anziehenden Strudelpunkt. Strudelpunkt (stabiler Fall) y-Ebene

z-Ebene 6 4

2

o -2 -4

-6

Fall 4: Wir gehen noch kurz auf den zurückgestellten Fall det A = 0 ein und können dabei CE von A i= 0 ausgehen; denn in diesem trivialen Fall sind genau alle ,Konstanten' Lösungen. Da A singulär ist, existiert ein v E 1R 2 \{O} mit A v = O. 0 ist also ein Eigenwert mit Eigenvektor v: Alle Punkte auf der zugehörigen Geraden durch 0 sind Gleichgewichtspunkte. a) Hat A zudem einen von 0 verschiedenen reellen Eigenwert JL, dann ist A diagonalisierbar, kann also wie oben beschrieben auf die Normalform B = 5- 1 A5 =

Ｈｾ＠

ｾＩ＠

transformiert werden. Die Lösungsgesamtheit des transformierten DGL-Systerns (2) ist hier gegeben durch

z(x)

=

(d;J1, x)

(x E IR)

mit

c,d E IR.

Da wir nun genügend Übung in der geometrischen Ausdeutung haben, zeigen wir hier und im folgenden Fall b) nur noch die zugehörigen Graphiken:

168

Kapitel 5

Lineare Differentialgleichungen und DGL-System e 11

Gerade von Gleichgewichtspunkten (Fall J.L < 0) v-Ebene

z-Ebene 5 5 3

3

1

-1

-I

-3

-3

-5 -5

-5

-3

3

-I

5

-5

-3

5

3

-I

b) Im verbleibenden Fall ist 0 doppelter Eigenwert. Da A nicht-trivial vorausgesetzt wurde, ist die zugehörige Normalform

Die Differentialgleichungen für das transformierten System sind ｺｾ＠ = o. Die Lösungsgesamtheit ist gegeben durch

z (x )

=

(CX:d)

(x E IR)

mit c,

ｺ ｾ＠

=

Z2

und

dE IR .

Gerade von instabilen Gleichgewichtspunkten v-Ebene

z-Ebene 5

5

3 1 -I

-I

-3

-3

-5

-5

-3

-I

3

5

-5 -5

-3

-I

3

5

5.4

Lineare DGL-System e mit . .. und speziellen Inhomog enitäten

169

5.4 Lineare DG L-Systeme mit konstant en Koeffizienten und sp eziellen Inhomogenitäten Zu kEIN E 1N0 A E Il1k a E C und c E Ck spezielle inhomogene DGL-System

\

{O} b trachten wir das

(1) mit dem Ziel eine explizite Lösung zu finden. fi t dieser nur cheinbar recht peziell n Inhomogenität sind wi wir weiter unten erläutern, doch viele Typen von Inhomogenitäten erfaßt. Der Faktor 1/ s! macht einige der folgenden Umformungen etwas einfacherj er kann natül·\ich a uch in den Vektor c einbezogen werden.

Wir b gin nen mit zwei Speziatjällen, die den lalgemeinen Fall chon voll rfa en wie wir noch au führen werden: (I) Voraussetzung: Es existiert ein dECk mit 1(A - aE)S+ ld = -c 1. 5 S

Hier l i f rt

Y1 (x) :=

xp(ax)

L

u=O

u

;(A - aE)U d

111

Lö ung von (1).

(J" .

B eweis: 6 Differentiation der F\rn.ktion Y1 ergibt (mit der Produktregel):

And rer it gilt: (A-aE)y,(x)

ｾ＠

= exp(ax),

(A -aE)S+ld +exp(a x)

. "-v--'

= -c

s

L

u=1

Ｈｾ］ＭｬＩＡ

1

ａ＠

- aE)Ud

Di GI ichh i d r beiden hinter n Terme zeigt:

y; (x)

=

AYI (x)

x·

+!

exp(ax)c

o

(II) Vorausse zung: Es existiert ein r E IN mit 1(A - aEt c = 0 I. Hier ergibt X O+ s + 1

L (g+s+1.)1 (A -

r-l

Yn(x) := exp(ax)

aE)Oc eine Lösung von (1) .

0=0

5

6

Ist a nicht Eigenwert , dann ist diese Voraussetzung immer erfüllt j denn die tltlatrix A - aE i t in diesem Fall ja regulär. Diese Formel ergibt sich auch aus der Variation der Konstanten.

170

Kapitel 5

Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme 11

Beweis: Wie beim Beweis zu (I) erhält man hier:

ｙｾ＠

r- l

(x) = ayo (x) +

xp(ax)

0=0

X o+ s+ 1

L (+

r- l

(A - aE)yo (x) = exp(Ö'x)

ｶ ｾＮ＠

0= 0

r-2

exp(ax)

L

L ... =

0= 0

L (x + 0=0

({

+

).(A' -

)' (A - aE)Oc

.

aE)O+lc

1.'+8

r-l

exp(Ö'x)

+1

({

1.'+8

(x

)! (A - aE)l.'c

({

Die Gleichheit der beiden grau wlterlegten Terme zeigt : ｙｾ＠

XS

(x) = AYn (x) + exp(ax), c s.

D

a h der obigen Fußnot zu (I) v rbl ibt nur der Fall, daß Ö' ein Eigenwert ist. In diesem Fall kann (siehe Lineare Algebra) Ck dargestellt werden als diTekte Summe A-invaTianter Unterräume fla und Ua Ck = Ua EB S1a

mit dem Hauptmum S1a zu a (= {Hauptvektoren zu a}) und Ua derart, daß (A - aE) lu a invertieTbaT ist. Jeder Vektor cE a::;k kann daher wie folgt eindeutig zerlegt werden: c = CI + Cu

mit

restart: with (LinearAlgebra) :

A n

:= :=

Matrix([[O,I,O],[4,3,-4] ,[1,2,-1]]) ; RowDimension(A) : E : = IdentityMatrix(n) :

A:=

0] [041 13-4 2- 1

MWS 5

184

Lineare DGLen und DGL-System e II

> CharacteristicPolynomial(A,lambda) : 'chi[A]'(lambda) . = factor(%);

Die Matrix A hat somit den einfachen Eigenwert Al = 0 sowie den doppelten Eigenwert A2 = 1. Wir überprüfen, ob A diagonali i rbar ist: > 'Rang(E-A), = Rank(E-A);

Rang(E - A)

=

2

Die geometrische Vieljachheit 1 des Eigenwertes A2 = 1 ist daher gleich 1, also kleiner als die a lgebraische Vielfachheit. A ist demnach nicht diagonalisierbar. W ir berechnen die zugehörige JORDAN- orrnalform J sowie e in e Transforrna ionsmatrix S : > S J

JordanForm(A,output='Q') ; JordanForm(A) ; # (Theoretische) Alternative: J

S .-

｛ ｾ＠

4-4] 4 0 6 -5

0 J .-

[!

1

0

.-

S- (-1) . A.S;

!]

ｾ＠

Die Berechnung der Exponentialfunktion von J ba iert auf der Zerlegung mit D = D J = D + N in Diagonalant il D und nilpotenten Re t au der sich e J = DeN ergibt .2 e D kann als Diagonalmatrix einfach nach Bem rkung 5.1.2 bel' ebnet w rden, und wegen 2 = 0 gilt hier = E+N. > unprotect(D) : # D ist geschützt (Differentialoperator)! D := DiagonalMatrix([seq(J[k,k] ,k=l . . n)]): N ;= J - D; # nilpotente Matrix Exp_D ;= DiagonalMatrix(map(exp, [seq(D[k,k] ,k=l .. n)])) ; Exp_N;= E + N: # N-2 = 0 Exp_J ;= Exp_D.Exp_N: 'D' = D, 'N' = N, ' e-J' = Exp_J;

D =

｛ 001 ｾ＠ ｾ ｝＠

N =

｛ｾ＠ 000 ｾ＠ ｾ｝＠

Aus A = S J S-l erhält man bekanntlich e A

I

2

=

Se J S-l:

,Sicherheitshalber' erinnern wir noch einmal daran , daß dies die Dimension des Eigenraumes ist, während die algebraische Vielfachheit die Ordnung al ullstelle des charakteristischen Polynoms angibt. W ir notieren - wie allgemein üblich - oft a uch e M statt exp(M) für eine quadrati ehe Matrix NI.

5.1

E xponentialfunktion von Matrizen (MWS)

l +e

- 4

- 4e 1 + 2e -4-e 3

185

]

Wir machen die Kontrolle mit dem Maple-Befehl MatrixExponential bzw. linalg[exponential] : > #linalg[exponential] CA);

# zur Kontrolle MatrixExponential(A) ; map(simplify,%); # ab Maple 9

5 [ 4e

l +e

- 4 ] - 4e 3e 5+e 1 + 2 e -4 - e

Ferner verifizieren wir für diese Matrix A die Beziehung det(e A ) = e

pur(A):

> Determinant(Exp_A), exp(Trace(A»;

B eispiel 2

Es sei auch noch ein einfaches Beispiel durchgerechnet, bei dem komplexe Eigenwerte auf reten. > restart ; with(LinearAlgebra) ; interface(imaginaryunit=i); macro(I=i) ;

Durch die Anweisung in erface(imaginaryunit = i) wird da tandardmäßig vordefinierte Symbol I für di imaginär Einheit A d aktiviert und durch i r tzt. Di ud finition von I dur h d n BeE h1acro(I= m i) b wirkt dann, daß in ingeg b n s I al imaginär Einh it interpr ti rt und t t al i ausgegeben wird. > A ;= Matrix([[4,5,S] ,[- 1, - 5, - 7] ,[-2,1,0] ] ); n ;= RowDimension(A) ;

A .-

｛ -Ｍｾ＠ 2 Ｍｾ＠

1

-7] 0

> CharacteristicPolynomial(A,lambda) ; 'chi[A]'(lambda) = factor(%,I);

XA = (,\ + 1 + 3i) (,\ + 1 - 3i)('\ - 1) Di Matrix A hat einfache (reell bzw . konjuo·iert kompl x ) Ei genwert , i t a l0 diagonal i i rbar. Mit d n Eignwerten und -v ktor n bild n wir di zugehörige Diagonalmatrix D owi ein Tran E rmation matrix S :

MWS 5

186

Lineare DGLen und DGL-System e II

> (EWe,EVen) : = Eigenvectors(A) : S : =EVen; unprotect(D) : D : =DiagonalMatrix(EWe);

o

8 .-'-

-1

+ 3i

o

Der Maple-Befehl Eigenvectors liefert die Eigenwer e EWe von A in Gestalt eines Vektors owi die Eigenvektoren EVen als Il atrix. Die j-te Spal e von EVen ist ein zu EWe[j] gehöriger Eigenvektor. W ill man die Ausgabe der Eigenvektoren in ,normaler' Form haben, so gelingt dies leicht z. B. mit : > COlumn(S,[l .. n);

Wegen A = 8 D 8- 1 gilt bekanntlich e A = 8

D

8- 1 :

> Exp_D := DiagonalMatrix([seq(exp(D[k,k),k=l . . n»)) :

Exp_A := map(evalc,S.Exp_D.S-(-l»: Exp_A;

[

e + e- 1sin(3) , e - e-1cos(3) + e- 1 sin(3), e - e- 1cos(3) + 2e- 1 sin(3) e - e-1cos(3) - e- 1sin(3), e - 2e- 1sin(3) e - e-1cos(3) - 3e- 1sin(3) -e + e- 1 cos(3) , -e + e- 1 cos(3)

1

+ e- 1 sin(3) -e + 2e- 1 cos(3) + e- 1 sin(3)

Schneller geht es direkt mit dem passenden Maple-Befehl: > MatrixExponential(A) : #linalg[exponential] (A):

"Vir verzichten hier und auch bei den folgenden Beispielen auf die erneute Wiedergabe des Resultats. Wir verifizieren wieder die Beziehwlg det( e A ) = espur(A) :

> Determinant(Exp_A) : simplify(%), exp(Trace(A» ;

5.2 Homogen e lineare DG L-Syst eme mit konstante n Koeffizie nte n Beispiel 3 W ir wählen di Matrix A au Beispiel 1 als Koeffizientenmatrix:

5.2

Homog ene lineare System e m it konstanten Koeffizienten (MWS) 187

> restart : with(LinearAlgebra) : A := Matrix([[O,1,OJ,[4,3, - 4J,[1,2, -1 ]J); n := RowDimension(A): E : = IdentityMatrix(n) :

A :=

10] [041 3-4 2- 1

Da charakteristische Polynom zu A liefert die Eigenwerte (und deren algebraische Vielfachheiten): > Characterist i cPolynomial(A,lambda): 'chi[AJ' (lambda) = factor(%);

> lambda [1] : = 0: lambda [2J : = 1:

Hierzu werden - analog zum Vorgehen im Textteil - Eigenvektoren und Hauptvektorketten bestimmt . Im Textteil erfolgte deren um rierung nach den Eigenwerten; hier wird jetzt nach einer für die Eigenwerte festgelegten Reihenfolge indiziert. (Für beide Notierungsweisen kann man gute Gründe anführen .) > NullSpace(A-lambda[lJ*E) : bll := op(%) : 'bll'

evalm(bll);

bll = [1 0, 1] > 'A-lambda[2J*E' = A-lambda[2J*E,

' Rang(A-lambda[2J*E) , = Rank(A-lambda[2J *E);

[-11 0]

A - >"2E =

4 2 - 4 , Rang( A - >"2E) = 2 1 2- 2

Somit ist der Kern von A - >'2E, also der Eigenraum zum Eigenwert >"2, eindimensional. Damit kennen wh· schon - bis auf mögliche Vertauschung der beiden ,Kästchen' - die JORDAN- onnalform. Aus > B := ＨａＭｬ｡ｭ｢､｛ＲｊＪｅＩｾ

Ｚ＠

'(A- lambda[2J*E)-2' = B, 'Kern«A-lambda[2J*E)-2), = NullSpace(B);

(A - >"2E)2

=

5° 1-4]°K,m((A-A,E)') ｾ＠ [° 5 1-4

w] [-m

rhält man in naheliegend r Wei ez. B. d n H u a ptv ktor b22 (d r Ordnun o· 2) und hierzu den Eigenvektor b21:

MWS 5

188

Lineare DGLen und DGL-System e II

> b22 := Vector([O,4,1]) : b21 : = (A-lambda[2]*E) .b22 : 'b22' = evalrn (b22), 'b21' = evalrn(b21);

b22 = [0, 4 1], b21 = [4, 4 6J

Zusammenfassend erhalten wir daraus eine Transformationsmatrix S und die resultierend JORDA -Normalform: > S .= Matrix([bll,b21,b22]); # Transformationsmatrix # Jordan-Normalforrn J .= ｓｾＨＭｬＩＮａ［＠

S

:=

｛ ｾ＠ ｾ ｝＠ 4 4

0

, J: =

｛ ｾ＠ :] 1

0

6

Die Lösungsgesamtheit des homogenen DGL- ystems ist nun - nach den Überlegl.ll1gen in Abschni 5.2 des Textteils - gegeben durch die Linearkombination n: > alpha[1]*bl1+alpha[2] *exp(x)*b21+alpha[3] *exp(x)*(b22+x*b21): y

:=

unapply(%,x): 'y(x)'

y = [

=

y(x);

0:1 +40:2 x + 40:3 exx 40:2 eX + 0:3 eX ( 4 + 4x) 0:1 + 60:2 eX + 0:3 eX (1 + 6x)

1

Das LinearAlgebra-Paket kann ab faple 9 ollen ichtlich , ymbolische' Linearkombinationen von Vektoren oder Matrizen direkt auswert n. In früheren y, r ion n gelang die n Ir auf twa um. tändliche Wei e mit d m MapleBefehl Mu] iply . Man erhi l t zunäch t da Ergebni in d r Form:

Zum Schluß machen wir noch die Probe: > map(diff,y(x),x)-A.y(x) : map(expand,evalm(%»;

[0, 0, OJ Für die JORDAN- ormalform J können wir leicht exp(x J ) angeben und dami dann e.xp(xA) gewinnen. Auf diese \iVeise erhalten wir eine Fundamentalmatrix (vgl. Satz 5.1.4): > unprotect(D): D

:=

DiagonalMatrix([O,l,l]); N

D .-

｛ 001 ｾ＠ ｾ｝＠

.-

:=

｛ 000 ｾ ｝＠

J - D;

5.3

Zweidimensionale Systeme, Stabilität (MWS)

189

> Exp_xD := DiagonaI Matrix([l,exp(x),exp(x))):

Exp_xN := E+x*N; Exp_xJ := Exp_xD.Exp_xN;

[! ｅｸｰ･＼ｊＮｾ＠

Exp_xA

:=

[

5 - 4e x + 4e x x 1 - eX + 2ex x -4 + 4ex - 4ex x ] - 4 Xx 4 Xx X + 2 Xx 5 - 5e x

+ 6e x x

1 - eX + 3e x x -4 + 5ex

6e x x

-

icherheitshalber machen wir auch hier die Probe: > map(diff,Exp_xA,x)-A.Exp_xA; subs(x=O,Exp_xA); # Y'-A*Y

0 0 0] [o 0 0 000

,

=

O,Y(O)

=

E

1 00] [010 001

Mit exp(xA) gewinnen wir dann die Darstellung der Lösung gesamtheit, der wir bereits weiter oben begegnet sind: # Weitere Fundamentalmatrix > Y := Exp_xA . S; 'y(x)' = Y .Vector([al pha[j) $ j=l . . n));

1 4ex [ Y. _ 0 4x

1 6e x

y = [

a l + 4a2ex + 4a3exx ] 4a2 ex + (4 eXx + 4 X)a3 al + 6a2 e x + (6e Xx + eX )a3

Direkter und einfacher läßt sich die Berechnung mit den Maple-Befehl MatrixExpon ntial bzw. linalg[ xpon ntial] durchführ n: > MatrixExponential(A,x) : Exp_xA := map(simpIify,'l.): # Exp_xA := l inalg[exponential] (A,x);

#

11

ab Maple 9

v\ ir v rzichten wieder auf eine Wiedergabe der Erg bni e.

5.3 Zweidimensionale Systeme, Stabilität In die m Ab chnitt oll u. a. g zeig wrd n, wi di graphi ehen Dar t llung n de nt pr eh nd n 'D xtab chnitt und Variant n davon r la tiv einfach

190

MWS 5

Lineare DGLen und DGL-System e II

mi Maple erhalten werden könn n. Dab i möchten wir un aber nicht nur auf die Standardangebote von Maple daz u wie pha eportrait und DEplot beschränken, sondern auch hier wieder eigene Ideen einbringen und so auch einen Blick in die ,1\"ickkiste ermöglich n. Wir gehen, um Mengen im ｾＲ＠ (hier speziell Pfeilspitzen und Kurven) darzustellen, mit Vorteil den ,Umweg' üb rs Komplexe, 0 etwa in den Prozed uren pfeil und bild. Dabei treten der Befehl complexplot auf und die kleine Hilf funktion c2p, die aus einer macht. komplex n Zahl den entpr chenden Vektor im ｾＲ＠ > restart : with(LinearAIgebra) : with(DEtools): wi th(plots): with(plottools) : interface(imaginaryunit=i) : macro(I=i ): c2p := z -> [Re(z),Im(z»): # "complex to pair" vz : = Vector«(z(1)(x),z(2)(x»)): Sys := map(diff,vz,x)-B . vz :

Wir gr if n zunä h tdas mi Maple a uf: B eispiel

4

hon im Text ausführlich g r hc n t

B ipi I (B2)

(Fall 1 a) 3

> A := Matrix([[-4/3,1/3),[2/3,-S/3))); CharacteristicPolynomial(A,lambda) : 'chi[A)'(lambda) (EWe,EVen) := Eigenvectors(A) ;

A. -

XA('\) = (,\ + 2) (,\ + 1)

[ 342-5i 1 33

EWe EVen :=

factor(%);

[=n

Die Überlegungen im ｾ＠ xtteil ging n davon au , daß der er te Eigenw rt CE b traglich kl iner aL der zweite i t; im anderen Fall, der hier gegeben ist, vertauschen wir die palten von EVen: > if abs(EWe[1) Sys;

Zu 16 auf dem Kreis um den ullpunkt mit Radius r äquidistant verteilten Punkten betrachten wir di Lösungen, die dort ,starten' : 3

Die gegebene Matrix A hat zwei verschiedene reelle E gi enwerte mit gleichen Vorzeichen.

5.3

Zweidimensionale Systeme, Stabilität (MWS)

191

> r := 8 : [seq(r*exp(2*Pi*I/16*k) ,k=O .. 15)] : Punkte := map(e2p,%) : n : =nops(Punkte) : AnfBed := seq({z[l] (O)=a[l] ,z[2] (O)=a[2]},a=Punkte) : for j to n do dsolve(eonvert(Sys,set) union AnfBed[j]); w[j] := unapply(subs(% , z[1] (x)+I*z[2] (x)) , x) end do:

Die ,Dynamik' wollen wir durch schöne' Pfeile verdeutlichen. Dazu dient die folgende Prozedur: > pfeil := proe(g,tau,delta,Farbe)

loeal t,u,v,wl,w2,Dg; u : = g(tau) : Dg := D(g)(tau): v := evale(g(tau+delta/abs(Dg))) ; wl : = u+I*O .3*(v-u): w2 : = u-I*O . 3*(v-u): pOlygon([e2p(v),e2p(wl),e2p(w2) ] ,eolor=Farbe,style=patehnogrid) end proe :

Das Ganze soll nun als Animation ablaufen. Deshalb beschreiben wir vorweg mit der Prozedur bild, wie eine solche Lö llng dargestellt wird: > bild : = loeal pi . = p2 . p3 . =

10

proe(a) pl,p2,p3: seq(eomplexplot(w[ j ] (x),x=O . . a,eolor=blue),j=l .. n): seq(pfeil(w[j] ,a/2,O .6,blue),j=1 .. n) : p lot([[O,O]] ,style=point,symbol =eirele,symbolsize=20, eolor=blue): displayCpl,p2,p3,sealing=eonstrained,thiekness=2) end proc : TICKS := tiekmarks=[[-8,-4,O, 4 ,8]$2]: displ ay(seq(bi l d(a),a=[k*O.l $ k=l . . 20]),TICKS,axes=frame, tit l e="Knoten (z- Ebene)",insequenee=true) ;

Knoten (z-Ebene) 8 4

oＭ ＭｯＺ

ｾ＠

-4

ＭＸ

ｾＭ＠

-8

-4

o

4

8

MWS 5

192

Lineare DGLen und DGL-Systeme II

Beispiel 5 (Fall 1 b)4

Wir können hier etwas sparsamer kommentieren, da viele Dinge ähnlich wie im vorangeh nd nB i piel g macht w rd n. > A : = Matrix( [ [l,l ] ,[2,0]]); CharacteristicPolynomial(A,lambda): 'chi [A] '(lambda) (EWe,EVen) := Eigenvectors(A);

=

factor(%) ;

Di Üb rl gung n im T xtt il ging n davon au , daß d r rt Eigenw rt n gativ i t; im and r n Fall vertau eh n wir di Spalt n von EVen: > if EWe[1 ] ) Sys; [

Zl

[ 1 1] -2 1

+ ｚ ｾ＠ ] + Z2

- 2Z2

Zu 11 ymmetri ch um (r 0) verteilten Punkten, cU wir noch an der Z2 Ach e spiegeln und durch zwei Punkte a uf ihr ergänzen, betrachten wir die Lö ungen mit den dadurch gegebenen Anfangsbedingungen: > r := 8 : {seq([r,k/l0],k={$-5 .. 5})} : %union map(z->[-z[1],z[2]] ,%) : % union {[O,0 . 2] ,[0, - 0 . 2]}: Punkte := convert(%,list) : AnfBed := seq([z[1](0)=a[1],z[2] (0)=a[2]],a=Punkte) : Ber : = -r .. r :

Das Bild eines Sattelpunktes in der v-Ebene wird mit Hilfe der (einfacheren) Graphik in der z-Ebene erzeugt. Dazu ziehen wir den transform -Befehl aus dem Plottools-Paket heran des en Lei tung fähigkeit in der Maple-Literatur meist rucht genügend erkannt wird. Dies wurde auch chon in [Fo/Ho] an vielen Stellen mit Vorteil gemacht und hervorgehob n. Das Ganze soll wieder als Animation ablaufen. Deshalb beschreiben wir a uch hier vorweg mit einer Prozedur bild, wie eine. olche Lösung dargestellt wird: 4

D ie Matrix A hat zwei reelle E gi enwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen.

5.3

HI

Zweidimensionale Systeme, Stabilität (MWS)

193

ST := transform«z1,z2) - >eonvert(S.Veetor([z1,z2]) ,list)) : bild := proe(a) loeal p1,p2 : p1 := DEplot (eonvert (Sys ,set) ,eonvert(vz,list),x=O .. a, [AnfBedJ, z[1J=Ber,z[2J=Ber,arrows=medium,stepsize=0.1,eolor=gray, lineeolor=blue) : p2 := plot([[O,O)) ,style=point,symbol=ei rele,symbolsize=20, eolor=blue): display(ST(display(p1,p2)),tiekmarks=[3,3] ,sealing=eonstrained, axes=frame,view=[-7 . . 7,-7 .. 7J) end proe: display (seq (bild( (2*k-1) 110) ,k=1 .. 12) ,ti tle="Sattelpunkt (y-Ebene) 11 , insequenee=true);

Sattelpunkt (y-Ebene) 5

-5

Beispiel 6 (Fall 3 b) 5 ach den beiden vorangehenden Beispielen können wir jetzt wohl auf Kommentare verzichten. \iVir empfehlen dem Leser jedoch, sich die entsprechenden Au führuno· n im Textteil zu Fall 3 inErinn rung zu ruE u. > A : =Matrix([ [-5/3 , 8/3) , [-5/3,-1/3])); CharaeteristiePolynomial(A,lambda): 'ehi[A]'(lambda) (EWe,EVen) := Eigenveetors(A) ;

EWe, EVen

[ - 1+2i] -1- 2i

[ 1

1

4" + ＴＢｾ＠

3· 1

4" -

faetor(%);

1 ＴＢｾ＠

3·

1

> if Im(EWe[1]»O then S : = EVen else S := ColumnOperation(EVen, [1,2J) .; Die Matrix A hat zwei konjugiert komplexe E igenwerte mit negativem Realteil.

194

5

MWS 5

Lineare DGLen und DGL-System e II

end if: beta := Im(EWe[l]) : S:= Matrix«map(Re,S[l . . 2,1 .. 1]) B := S-(-1) .A.S: 'B' = B, 's ' = S;

> Sys; [

Zl

map(Im,-S[l . . 2,1 . . 1]») :

+ 2 Z 2 + ｺ ｾ＠ ] + Z2 + Z2

- 2z1

> r

&

10

: =9: [seq (r*exp (2*Pi*I/16*k) , k=O . . 15)] : Punkte := map(c2p,%) : AnfBed := seq([z[l] (O)=a[l] ,z[2] (0)=a[2]] ,a=Punkte): Ber : = -r .. r: TICKS := [-8,-4,0,4,8]$2: bild : = proc (a) DEplot3d(convert(Sys,set),convert(vz,list),x=0 .. a,[AnfBed], steps i ze=O . 05,li necolor=blue) end proc: display(seq(bild(a) , a=[k*3*Pi/(20*beta) $ k=1 . . 20]), tickmarks= [[$ 1.. 4J , TICKSJ , orientation= [-153, 80J , insequence=true);

Anziehender Strudelpunkt -

oder Harry Potters Zauberhut

Die weiteren Fälle können in gleicher Weise nach einer der vorgestellten Vorgehensweisen b ehandelt werden. Wir empfehlen dazu dem interessierten L eser die folgenden Matrizen Aals Übungsau!gaben:

5.4

Lineare Systeme mit ... und speziellen Inhomogenitäten (MWS) 195

Damit sind nacheinander die noch ausstehenden Fälle erfaßt: 2 a): Die Matrix A hat einen (doppelten) reellen Eigenwert und ist diagonalisierbar. Man erhält einen Stern. 2 b): A hat einen (doppelten) reellen Eigenwert und ist nicht diagonalisierbar. Es ergibt sich ein eintangentiger Knoten. 3 a): A hat konjugiert komplexe rein imaginäre Eigenwerte. Hier ergibt sich ein Wirbelpunkt. 4 (detA = 0): a) A hat - neben 0 - einen von 0 verschiedenen reellen Eigenwert , ist also diagonalisierbar. Man hat eine Gerade von Gleichgewichtspunkten. b) Im verbleibenden Fall ist 0 doppelter Eigenwert. Da A als nicht-trivial vorausgesetzt wurde, ist die zugehörige Normalform

Es ergibt sich eine Gerade von instabilen Gleichgewichtspunkten. Wir erinnern dabei noch einmal an die Möglichkeit, mit scene-Optionen verschiedene Darstellungen zu erhalten (vgl. die Anmerkungen dazu am Ende von Abschnitt 3.1 von MWS 3).

5.4 Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten und speziellen Inhomogenitäten Beispiel 7 Wir greifen B eispiel 3 auf, jetzt erweitert um eine Inhomogenität g, was wir auch schon in Abschnitt 5.4 des Textteils von Hand ausführlich gerechnet haben: > restart : with(LinearAlgebra) :

&

A := Matrix([[O,I,OJ ,[4,3,-4J ,[1,2,-IJJ); n := RowDimension(A): E := IdentityMatrix(n): cO Vector([1,8,4J): cl := Vector([O,4,IJ): c2 gO : = exp(x)*cO: gl := x*exp(x)*cl: g2 : = ｸｾＲＯＪ･ｰＨＩ｣Ｚ＠ g := gO+gl+g2: 'g(x)' = ･ｸｰＨＩＪ｣ｏＫｬｾＲＯ［＠

A:=

Vector([2,O,2J) :

｛ ｾ＠1 ｾ＠ 2 Ｍ -ｾ 1ｬ＠

Wir übernehmen die dort berechneten Eigenwerte sowie Eigen- und Hauptvektoren: > lambda[IJ : = 0; lambda[2J : = 1;

bl1 : = Vector([I , O,IJ): b22 : = Vector([O,4,lJ):

MWS 5

196

Lineare DGLen und DGL-System e II

B : = A-lambda[2] *E : b2l := B .b22: 'b l l' = eval m(bl l ), 'b2 l ' = eval m(b2l), 'b22' = evalm(b22); S:= Matrix([bll,b2l,b22]); # Transformationsmatrix J : = S-(-l) . A. S; # Jordan-Normalform ｾ＠

Al := 0 ,

A2:= 1 ,

bll = [1 0 , IJ

S:=

｛ｾ＠ 161 : ｾｬ＠

b21 = [4, 4, 6J, b22

J .-

[0 4,IJ

｛ｾ＠ 001 ｾ＠ ｾｬ＠

Die Läsungsformeln der heiden Spezialfälle (I) und (11) werden als einfache Prozeduren bereitgestellt: > y1 := proc(alpha,s,d)

ｾ＠

1CI

gl obal A,E,n : local sigma: add(x-sigma/sigma ' *«A- al pha*E)-sigma).d,sigma=O . . 5): return map(simplify,exp(alpha*x)*'l.,exp) end proc: y1I : = proc(alpha,r,s,c) global A,E,n: local rho : add(x-(rho+s+l)/(rho+s+1)!*«A-alpha*E)-rho) . c,rho=O . . r-1): return map(simplify,exp(alpha*x)*'l.,exp) end proc:

Wir b ginnen mit d m Vek tor

Co =

[1, ,4J und ermitteln mit

> a := LinearSolve(S,cO) : 'a' = evalm(a);

a = [- 3,1,1) die Koeffizienten seiner Darstellung bezüglich der Basis bl1 , b21 , b22 (Spalten von S) . Co = Sa zerfällt in die umme der beiden Vektoren u (aus dem Eigenraum zu Al = 0) und v (aus dem Hauptraum z u >'2 = 1) : > u := S. Vector( [a[ l ] ,0,0]): v := S.Vector([O,a[2] ,a [3] ]) :

Wegen

(B 2 ).v = [0, 0, 0] kann Spezialfall (II) auf den durch v bestimmten Term mit s = 0 c = v und T = 2 angewendet werden: > y[1]

:= yII Cl ,2,O,v): 'y [ l ] ' = evalm(y[l]);

Q

= A2 (= 1) ,

Lineare System e mit ... und speziellen Inhomogenitäten (MWS) 197

5.4

Yl =

[e X (4x+2x 2 )

X(

x+ 2 x 2 ),

Auf den Summanden mit u is t Fall (I) mit anwendbar: > LinearSolveCB,-u): d

0:

eX (7 x+ 3x2 )]

=

'>"2

(= 1),

C

: = subsC i ndetsC'l.)[l]=O,'l.): 'd'

= u und s = 0 evalrn(d);

d = [-3, 0, -3]

an rhält den entsprechend n Lö ung ant il: > y[2]

Cl

=

:=

yIO,O , u): 'y[2]'

=

evalm(y[2]);

[0 4, 1] st i ein Ha uptvektor der Stufe 2 zum Eigenwert

'>"2

=

1:

> evalm(B.cl), evalrn «B-2).cl);

[4, 4 6] [0, 0 0 ] Es liegt also für den zugehörigen Anteil der Inhomogenität Fall (II) vor mit 0: = '>" 2 = 1 und r = 2: > y[3]

:=

yIICl,2,1,cO : 'y[3]' = evalrn(y[3]); Y3

= ｛ｾ･ｸ＠

x 3 eX

(2 x

2

+ ｾ＠

x3)

eX

G

x2

+ x3) ]

Für den Term mit Vektor C2 = [2 0 2 ] kann wieder der Spezialfall (I) mit = '>" 2 und s = 2 herangezogen werden:

0:

> LinearSolve(B,-c2): d : = subs(indets('l.)[l]=O,'l.): y[4] := yIC1,2,d): 'd' = evalm(d), ' y[4] ' = evalm(y[4]);

In ge amt rgibt i h folg nde partikulär Lö ung: > y_P := rnap(collect,y[1]+y[2]+y[3]+y[4] ,exp): # partikuläre Lösung

map(diff,y_P,x)-(A . y_P+g) : evalm(y_P), evalm(rnap(simplify,'l.));

[( 2 x

+ 3x2 -

1+

ｾ＠

x 3 ) e X ( 8x + 4x 2

+ ｾ＠

#

Probe

x 3 ) e X , (5 x

+ ｾ＠

x2

-

1 + x 3 ) ex ]

[0 0 0 1 Die hier und schon im Textteil g emachten recht aufwendigen Rechnungen helfen zwar, die theoretischen Ergebnisse zu verstehen und einzuüben, zeigen aber auch deutlich, daß die em Vorgehen in der Praxis vom Aufwand

MWS 5

198

Lineare DGLen und DGL-System e II

her Grenzen gesetzt sind. Man wird deshalb oft aus der theoretischen Überlegung die Struktur einer Lösung ablesen und dann mit einem entsprechenden Ansatz in die DG L ,hineingehen ' . Im vorliegenden Fall liegt es nahe, einen Lö ung an atz mit Expon ntiaJpolynom n zu machen. Vorw g notier n wir dazu das DGL-Sy tem in folg nd r Form: > y := 'y': a := 'a':

vy := Vector([y[1](x),y[2](x),y[3](x)]): Sys := convert(map(diff,vy,x)-(A . vy+g) ,list);

Sys := ｛ ｙｾ＠

- Y2 - e X

-

Y3 - YI - 2 Y2

x 2 e x , ｙｾ＠

+ Y3

- 4YI - 3Y2 + 4Y3 -

- 4 eX

-

x eX

x 2 eX I

-

eX

4xex ,

-

Einsetzen des folgenden Lösllngsansatzes in das DGL-System führ t auf ein lineares Gleichllngssystem: > Ansatz := [seq(y[mu] (x)=exp(x)*sum(a[mu,nu]*x-nu,nu=O . . 3),mu=1 .. 3)]: Insert : = subs(Ansatz,Sys): map(z->z*exp(-x) ,Insert): map(simplify,%) : map(collect,%,x) : map(coeffs,%,x): eqs : = map(z- >z=O,%);

eqs := [ al ,O - a2 ,O+ al ,l - 1 = 0 , al ,l + 2al ,2 - a2,l = 0 , al ,2 + 3al,3 - a2 ,2 - 1 = 0 - a2 ,3 + al ,3 = 0 , -2a2,O - 8 - 4al ,O + a2 ,1 + 4a3 ,O = 0 , -2a2,1 + 2a2 ,2 - 4al ,1 - 4 + 4a3,1 = 0 , 3a2,3 - 4al ,2 + 4a3 ,2 - 2a2,2 = 0 -4al ,3 + 4a3 ,3 - 2a2,3 = 0 , 2 a3 ,0 - 4 - al ,O + a3 ,1 - 2a2,0 = 0 , 2 a3,1 + 2a3,2 - al ,l - 1- 2a2 ,l = 0 3a3,3 - al,2 - 2a2,2 + 2a3,2 - 1 = 0 , -al,3 - 2a2,3 + 2a3,3 = 0 1

"Vir erhalten eine Schar von Exponentialpoly nomen mit zwei frei wählbaren Parametern : > solve(convert(eqs,set»: ass i gn(%): vy := eval(vy,Ansatz);

eX vy .-

Ｈｾ｡

5

Ｓ＠

0 -

'

1:.5-51. a2 '0 +

e X (a2,o + e X (a 3,O+

Ｈｾ＠ 5+5ｾ＠ a2 '0 - ＠ｾ 5a3 0) x + 3x 2 + 2x 3 ) ' 3

Ｈｾ ｡Ｒ Ｌ Ｐ＠ + 356 - ｡Ｓｾ

G + 1; -ｾ＠ a2 ,0

Ｌ ＰＩ＠

x+ 4x2

a3,0) x

+

+ Ｒｾ

9f +

Ｓ Ｉ＠ x 3)

Offensichtlich sind dies Lösungen des inhomogenen DGL-Systems: > map(di ff,vy,x)-(A . vy+g) : map(simplify , evalm(%»;

[0, 0, 0]

5.5 Lineare DGLen höherer Ordnung mit konst. Koeffizienten (MWS) 199

5.5 Lineare DGLen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten > restart : interface(imaginaryunit=i): macro(I=i):

B estimmung e ines Fundamentalsystems B eispiel

E

s ifolg nd homog n DGL mit konstant n Ko ffizi nt n ggeb n:

> Dgl := diffCy(x) ,x$4)-2*diff(y(x) ,x$2)+yCx);

Dgl

:=

y"" - 2y" + Y

Üb r d n An atz y(x) = exp( Ax) rhält man da charakt ri ti eh Polynom: > evalCDgl,yCx)=exp(lambda*x» : collectC%,expClambda*x» : chi := %Iexp(lambda*x) : 'chi'(lambda) = chi;

Wir wi n au dem T xtt il daß man X aueh unlllitt lbar au d r DGL ablesen kann. Es folgt die Be timmung der Null teilen von X: > solve(chi = 0);

-1, -1, 1, 1

1 und -1 ind j w il doppelte Nullst Hen; mithin erg ben ich üb r (2) au Ab chnitt 5.5 d T xtteil folg nde Ba i lö ung n: > y[l]Cx) = exp(x) , y[2](x) = x*exp(x) , y[3]Cx) = exp(-x) , y[4] (x) = x*exp(-x);

Diese Einzel chritte lassen sich auch mittels der folgenden Maple-B fehle auf jede der drei Weisen - kompakter au führen: > with(DEtools): constcoeffsols(Dgl,y(x»; # Eingabe der DGL über Liste der Koeffizienten: constcoeffsols([l,0,-2,0,1] ,x) : dsolve(Dgl,y(x),output=basis) :

Partikuläre Lösungen für spezielle rechte Seiten Wir ergänz n da vorangehende Bei pi · 1 dur h eine Inhomogenität:

MWS 5

200

Lineare DGLen und DGL-Systeme II

B eispiel 9

DgUnh := yl/" - 2 yl/

+Y

= 24x sin(x)

Wir berechnen eine spezielle Lösung, indem wir die Überlegwlgen zu Beispiel (B3) aus Absclllütt 5.5 des Textteils mit Maple nachvollziehen: > phi := unapply(chi, l ambda); 'phi(1)' = phi(I) , 'phi( - I)' = phi (- I) ;

I.{J := ａ ｾ

ａ Ｔ Ｍ

ＲＩＮ

Ｋ

Ｑ＠

l.{J(i) = 4 1.{J( - i) = 4

Die Inhomogenität läßt sich wie folgt schreiben: > 24*x*sin(x): % = convert(%,exp);

24xsin(x) = - 12 ix ( e Xi -

;t )

Wir betrachten daher zunäch t dieInhomogenität n xe xi und xe -xi . In ( a us Abschnitt 5.5 de T xtteil i t jeweils = 1 r' = 0 und = I.{J zu tz n: >

r

:=

0:

S

:=

1:

sol : = y(x) = -12*1/(r+s)!*(subs(t=1,diff(exp(x*t)/phi(t),t$(r+s))) subs(t=- 1,diff(exp(x*t)/phi(t),t$(r+s))));

sol := y = - 12i (i xeXi

+ ｾ ｩ･ｘ＠

- i x - ix

+ ｾｩ

･Ｍｩｘ

Ｉ＠

Mit Hilfe des Maple-Befehls evalc erhält man die reelle Da1'steUung der Lösung:

> evalc(sol); odetest(%,Dgl_inh); # Probe

y

=

6x sin(x)

+ 12 cos(x) ,

0

B eispiel 10 > Dgl := diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x) = 24*x*sin(x);

Dgl := yl/"

+ 2y" + Y

= 24x sin(x)

Die scheinbar geringfügige Modifikation (Vorzeichenwechsel beim zweiten Term) von Beispiel 9 ändert die Situation grundlegend. Das charakteristische Polynom hat nun konj u gie rt komplexe rein imaginäre ullstellen der Vielfachheit 2: > phi := unapply(factor(t-4+2*t-2+1, 1),t); phi(1) , D(phi) (I). phi(-1). D(phi) (-I);

5.6

Lineare DGLen mit periodischen Koeffizientenfunktionen (MWS) 201

Man erhält analog wie oben folgendes Resultat: > r := psil psi2 y(x)

2: s := 1:

: = ｵｮ｡ｰｬｹＨｯｲｭｨｩｴＩＯＭｉｾＲＬＺ＠ := ｵｮ｡ｰｬｹＨｯｲｭｨｩｴＩＯＫｉｾＲＬＺ＠ = -12*I/(r+s)!*(subs(t=I,di ff(exp(x*t)/ps i 1(t),t$(r+s»)subs(t=- I,diff(exp(x*t)/psi2(t),t$(r+s»»: evalc(%); odetest(%,Dgl); Y

= -x 3 sin(x) - 3x 2 cos(x) + ｾｸ＠

sin(x) + 3 cos(x) ,

0

5.6 Homogene lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizientenfunktionen Beispiel 11

(vgl. Beispiel 6 aus MWS 4)

> restart : with(LinearAlgebra): vy : = Vector( [y[1](x),y[2](x) ] ): # Vektorfunktion F := X - > Matrix([[cos(2*x),sin(2*x) - l] ,[sin(2*x)+1, - cos(2*x)]]) : Sys := map(diff,vy,x) - (F(x) . vy);

Sys :=

[Yi -

co (2X)Yl - (sin(2x)

Y2 - (sin(2x)

- 1)Y2 ]

+ l)Yl + coS(2X)Y2

Mit Hilfe der Überlegwlgen zu Beispiel 6 in MWS 4 ergibt sieb hierfür folgende Fundamentalmatrix: > Y := x-> Matrix([ MatrixFunction(B[Y)-2,log(x),x): L

'exp(2*Pi*L),

:=

map(radnormal,1/(2*Pi)*'l.);

= MatrixExponential(2*Pi*L); L

:=

[1 0] o -1

Di 21l" -periodi che Funk ion P a u d r FLOQuET-Dar tellung Y(x) P( x) exp (x L) ergibt ich nun dur h: > Y(x). MatrixExponential(-L,x): P(x)

P(x)

=

= map(simplify,'l.);

[CO (x) sin(x)

B eispiel 12

- in (x) ] cos(x)

(vgl. B i pi I IV-4- von [H jSiJ)

> restart : with(LinearAlgebra): vy : = Vector ( [y [l)(x) ,y [2)(x) J): # Vektorfunktion F := X -> Matrix([[cos(x),l),[O,cos(x)))): Sys := map(diff,vy,x)-(F(x).vy);

Sy

'= [ .

y{ - cOS(X)Yl - Y2] ｹｾ＠ - co (X) Y2

Man zeigt leicht (vgl. etwa (3 .7.9) au [ j cD: ind die Werte einer Koeffizientenmatrix Falle vertauschbar so ist durch Y( x) := exp

(lXF(t) dt)

eine Fl.1ndamentalmatrix Y des DGL-Systems yl = F( x)y mit Y(O ) = E gegeb n. Im hier vorliegenden Fall erkennt man di V ertau hbarkeit unmittelbar. Wir la e n uns da noch einmal durch M aple b tätio' n: > F(xl).F(x2) - F(x2).F(xl);

5.6

Lineare DGLen mit periodischen Koeffizientenfunktionen (MWS) 203

> Fl : = m ap(int,F(t) , t=O . . x);

sino(x) Fl := [ Offenbar gilt Fl = in( x) E

+x

mit

> E := dI ent i tyMatrix(2); N := Matrix([[O,l],[O,O]]);

o ist exp(Fl ) gegeben durch: > Y := x -> exp(sin(x» * (E+x*N): 'Y(x)' = Y(x), 'Y(O)' = Y(O);

Y( x) =

sin (x) [

o

Sin(X)x ] esin (x)

, Y(O)

[1 0]

= 0 1

Wegen Y (O) = E ist hier die Übergangsmatrix gleich Y (21l") : > B[V] : = Y(2*Pi);

Eine zugehörige

Iatrix L ist hier gerade durch N gegeben:

> L := N: MatrixExponential(2*Pi*L) : 'exp(2*Pi*L) , = m a p(simplify,%);

Da L hier reell ist, ist d erÜbergang zur doppelten Periode nicht erforderlich . Wir haben 0 (doppelt) a l charakteri ti e hen Exponenten (Eigenw rt von L ) und 1 (dopp It ) al eharakteri ti e hen Multiplikator (Eigenw rt von B ). Die 21l" -p riodi che Funktion P au der FLOQuET-Dar tellung rgibt ich nun wieder durch: > Y(x).MatrixExponential(-L , x) : P(x) = map(simpli fy , %) ;

P(x) =

[

esin (x)

0

0] esin (x)

Kapitel 6

Nützliches - nicht nur für den Praktiker 6.1 6.2 6.3

Lösungen über Potenzreih nan atz Schwach singuläre Punkte LAPLACE-Transfonnation

Potenzreihenentwicklungen zur Lösung von Differentialgleichungen wurden schon von NEWTON vielfach eingesetzt. CAUCHY präzisierte diese Methode, indem er den zugehörigen Existenzsatz bewies. Wir behandeln zunächst lineare Differentialgleichungen mit Koeffizientenfunktionen, die sich in Potenzreihen entwickeln lassen. Bei der ergänzenden Betrachtung schwach singulärer Stellen in Abschnitt 6.2 beschränken wir uns auf einige reelle Überlegungen. Der angemessene Funktionenbereich dazu wären holomorphe Funktionen. Doch darauf gehen wir in dieser Darstellung nicht ein, da wir die entsprechenden funktionentheoretischen Kenntnisse nicht voraussetzen wollen. Wir verweisen dazu beispielhaft auf die weitergehenden Bücher von [Sc/Sc] und [Wal]. Die LAPLACE-Transformation, eine spezielle Integraltransformation, erweist sich als nützliches und von vielen Anwendern geschätztes Hilfsmittel zur Lösung von Anfangswertaufgaben bei linearen Differentialgleichungen und Systemen mit konstanten Koeffizienten.

6.1 Lösungen über Potenzreihenansatz In den Abschnitten 5.2, 5.4 und 5.5 haben wir gesehen, daß lineare Differentialgleichungssysterne (1) y' = Ay + 9 (x) , speziell lineare Differentialgleichungen k-ter Ordnung 'f)(k)

+ (Xl 'f)(k -

l)

+ ... + (Xk 'f) = ')'(x) ,

(2)

Lösungen spezieller Struktur haben. So gilt etwa nach (3) aus Abschnitt 5.2 für die zu (1) gehörende homogene DGL, daß eine Lösung von der Form ,skalare' Exponentialfunktion mal vektorwertiges Polynom existiert . Abschnitt

Kapitel 6

206

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

5.4 zeigt, daß Lösungen dieser Gestalt auch für (1) mit speziellen Inhomogeni täten 9 existieren . Für den Spezialfall (2) sind die Ergebnisse in Abschnitt 5.5 dargestellt. In Abschnitt 5.6 wurden solche Resultat e auch für lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizientenfunktionen hergeleitet. Dabei konnten jeweils noch Aussagen über den maximalen Grad der Polynome gemacht werden. Die praktische Durchführung der in Kapitel 5 ausgeführten Überlegungen war selbst bei relativ einfachen konkreten B eispielen (über Eigenwerte und Hauptvektoren) durchaus aufwendig. Man vergleiche etwa das ausführliche Beispiel am Ende von Abschnitt 5.4. Oft ist es einfacher, mit einem entsprechenden Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten in die Differentialgleichung ,hineinzugehen' und dann die Koeffizienten zu bestimmen (Methode der unbestimmten Koeffizienten). Dies wurde schon in MWS 5 zu Beispiel 7 ausgeführt. Wir rechnen vorweg noch ein ,von Hand' :

(B I ) 17]" - 47]'

+ 47]

=

bewußt ganz einfach gehaltenes -

Beispiel

x2 1

Mit noch zu bestimmenden Koeffizienten ao , al , a2 machen wir den Ansatz 7]( x ) = ao + al x + a2 x 2 . Dann hat m an zunächst 7]'( x ) = al + 2 a2 x und 7]" (x) = 2 a2 . x 2 ｾ＠ 7]"( x ) - 47]'( x )+47](x ) = 2a2 - 4 (al +2a2 x )+4 (aO+al x +a2 x 2 ) liefert nach Koeffizientenvergleich (für die Potenzen x 2 , x , xO):

1 = 4a2 ,

0 = 4al - 8a2 ,

Daraus liest man -

0 = 4ao - 4al

von links nach rechts -

+ 2a2 ab:

a2 = 1/ 4, al = 1/ 2, ao = 3/ 8 , also 7](x) = (3

+ 4x + 2x 2) / 8

Hier ist diese R echnung mit der M ethode der unbestimmten Koeffizienten einfach. Dies ist aber - für ,größere' B eispiele - durchaus nicht typisch. Wenn man für den allgemeineren Fall

y'

=

F( x )y + g(x)

(3)

(vgl. (I) aus Abschnitt 4.1) , s peziell die lineare DGL k-ter Ordnung (vgl. (2) aus Abschnitt 4.6)

(4) vorweg nichts über die spezielle Struktur von Lösungen w eiß, hilft oft ein Potenzreihenansatz oder ein geeignet modifizierter Ansatz. Wir führen die

6.1

201

Lösungen über Potenzreihenansatz

Überlegungen ganz allgemein (für lineare Differentialgleichungen) durch, beschränken uns dann aber in den Beispielen weitgehend auf den wichtigen Spezialfall einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

fo(x)rl'

+h

(x) r/

+h

(x) 'T] = 'Y(x) .

Dabei gehen wir davon aus, daß sich die Inhomogenität 'Y und die Koeffizientenfunktionen fo, h ,h auf einem gemeinsamen Intervall I in Potenz reihen entwickeln lassen, und fo(x) i=- 0 für x E I gilt. Die Klasse dieser Differentialgleichungen umfaßt eine große Zahl in den Anwendungen vorkommender Beispiele. Vor den allgemeinen theoretischen Überlegungen, die den Potenzreihenansatz dann begründen, betrachten wir schon zwei für die Anwendungen besonders wichtige Differentialgleichungen. Sie sind aus der mathematischen Behandlung physikalischer Fragestellungen entstanden. Dabei sei stets >- eine vorgegebene reelle Zahl. Wir machen jeweils den Ansatz 00

T)(x) haben also -

L avx v , v=o

=

nach Indexverschiebung -

00

T)' (x) =

L(v + 1) av +1 XV v=o

00

L(v + 1) (v v=o

7/, (x)

und

+ 2)av+2xv.

Hermite-Differentialgleichung 1

r/, - 2x r/ + >"1J = O Durch Koeffizientenvergleich erhält man hier die folgende Rekursionsformel:

(v+1)(v+2)a v+2

+

(-2v+>-)a v = 0 für vElN o , undso 2v- >-

(v Wir schreiben

T)

+ l)(v + 2) av

in der Form 00

T)( x) = La2vx2V v=o 1

.

00

+ x · La2v+lx2V, v=o

Der französische Mathematiker CHARLES H ERMITE (1822- 1901) war einer der bedeutendsten Algebraiker und Analytiker seiner Zeit. Seine Beiträge in sehr verschiedenen Bereichen der Mathematik gaben Anstoß zu vielen neuen Theorien . Eine seiner herausragenden Leistungen war der Nachweis der Transzendenz von e. Bedeutende Schüler von ihm waren u. a. POINCARE, E. PICARO und BOREL.

Kapitel 6

208

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

also aufget eilt nach geraden und ungeraden Potenzen von x . Ist ao zeigt a 2 v +2 4v - '\ für v --+ 00 , l

1

ｾ＠

=1=

0, so

(2v+2)(2v+1) --+ 0

=

daß der Konvergenzradius der ersten Teilreihe 00 ist. Für al =1= 0 schließt man analog. Somit ist die gesamte Reihe für jedes x konvergent. Im Falle ao

= 1,

al

= 0 erhält man 00

L

1]l ,)..( X ) =

a 2V x2 V .

v=o

Ist ,\ = 4n für ein n E No , so ergibt sich ein Polynom vom Grade 2n. Dieses wird mit H 2n bezeichnet. Im Falle ao

= 0,

al

= 1 erhält man 00

1]2 ,)..(X) =

L

a2v+ l x 2v +l .

v=o

Hier ergibt sich ein Polynom vom Grade 2n + 1 , falls ,\ = 4n + 2 für ein n E No gilt. Dieses wird mit H 2n + 1 notiert. Die Polynome H o, H 1 ,H2 , ... heißen HERMITE-Polynome. Man erhält: 2

2

3

Ho( x ) = 1, Hd x ) = x , H 2 (x ) = 1- 2x , H 3 (x ) = x- 3 x , H 4 (x)

=

2

4

1- 4x +3x

Die H ERMITE-Polynome H 1 bis H 4 !

:

i

:

2

:

\

f

t

\,

/

\

-2

\ \

\

\

...

:

,I

..

I

i

2

/

/

\.,1>/ I

.I !

-2

I

Oft werden diese Polynome noch so ,normiert' , daß das Polynom vom Grade n gerade den führenden Koeffizienten 2 n hat. Legendre-Differentialgleichung2

(1 - x 2 )r/, - 2x 1]' + ,\(,\ + 1)7] = 0 2

Der fra nzösische Mathematiker AORIEN-MARIE LEGENORE (1752- 1833) arbeitet e auf recht unterschiedlichen G ebiet en d er r ienen und angewa ndten

4

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz

209

Hier erhält man entsprechend die R ekursionsformel für v E !No: a v+2 =

v(v+1) - >'(>'+1) (v + 2) (v + 1) av

(v - >.)(v + >. + 1) -'----:----'--'-:-:--,.....-'- a (v+2)(v+1)

v

Für ao = 1, al = 0 ergibt sich 2 >'(>' - 2)(>'+1)(>'+3) 4 _ + ... () = 1 - >'(>'+1) 2! x + 4! x

7]1 ,).. x

Das sind Polynome in den Fällen>. = 2n und>' = - (2n + 1) für n E !No. Für ao = 0, al = 1 ergibt sich 7]2 )..(x)

,

=

X _ (>' - 1)(>' + 2) x3 + (>' - 1)(>' - 3)(>' + 2)(>' + 4) x5 _ + ...

3!

5!

Das sind Polynome in den Fällen>. = 2n + 1 für n E !No und>' = - 2n für n E !N. Wegen lav+2/av l --+ 1 für v --+ 00 haben sonst beide Reihen den Konvergenzradius 1. Man ,normiert' die obigen Polynome so, daß sie alle an der Stelle 1 den Wert 1 haben. Die ersten der so erhaltenen LEGENDREPolynome P n sind gegeben durch

Die LEGE DRE-Polynome P l bis P4

Hilfreich ist oft die Beschreibung durch die RODRIGUES-Formel Pn ( X )

n

= -1- -d - (2 x - I )n für n E !No n n 2 n! dx

.

(5)

Mathematik. Er hat zu vielen Fragest ellungen der Mathematik seiner Z eit wichtige Beiträge geliefert , so tewa zu Zahlentheorie , elliptischen Integralen , Geometrie und Variat ionstheorie. Manche davon wurden jedoch von jüngeren Mathematikern wie AB EL, JACOBI und insbesondere GAUSS schnell wesentlich verbessert . Die nach ihm benannten Funktionen führt e er zur Lösung von Gravitationsproblemen ein. Die LEGEND RE-Differentialgleichung tritt allgemein bei der Lösung der Potentialgleichung in Kugelkoordinaten auf.

210

Kapitel 6

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

B eweis: Wir setzen bei d en folgenden Überlegungen dreimal die bekannte LEIBNlz-Regel für die mehrfache Differentiation eines Produktes zweier Funktionen ein. Das durch die rechte Seite von (5) gegebene Polynom n-ten Grades bezeichnen wir mit 'Pn. Dann gilt 2n n! 'Pn (1) = -

dn

dx

n [(x + 1)n( x

_ 1)nJ I

= (x

x=l

+ l)n l

x=l

'--v-""

dn

d

_ l)n l

n(x

x= l

X

' ,

=n !

also 'Pn(l) = 1. Mit 1jJ (x) := (x 2 - l)n gelten 2n n! 'Pn(x) (1 - x 2) 1jJ' = - 2 x n 1jJ. So zeigen

=

1jJ(n) und

((1 -x 2 ) 1jJ') (n+l) = (1 -x2) 1jJ(n+2) +( n+ 1) ( - 2x) 1jJ(n+l) +n (n+ 1)

! (- 2) 1jJ(n)

und

( - 2xn 1jJ ) (n+l) = - 2xn 1jJ(n+l) - 2(n (1 - x 2) 1jJ(n+2) - 2 x1jJ(n+l)

+

(n

+

2

+ l)n 1jJ(n)

l)n 1jJ(n)

= 0,

daß 1jJ(n) und damit 'Pn die LEGENDRE-DGL mit ,\ = n erfüllen.

D

Wir zeigen nun, daß ein solcher Potenzreihenansatz z u dem DGL-System (3) immer zum Ziele führt , falls sich die Funktionen Fund 9 in einem gemeinsamen Intervall als Potenzreihen darstellen lassen. Für kEIN bezeichnen wir mit gleichem Symbol I I eine ,passende' Matrixnorm, speziell etwa die Abbildungsnorm, z u einer vorgegebenen Norm I I auf dem IR k . Eine auf einer Teilmenge ::D von IR definierte IR k _ oder tr1k (IR)-wertige Funktion h heißt in einem Punkt Xo aus ::D genau dann analytisch, wenn ein offenes Intervall I c ::D mit Xo E I existiert, auf dem sich hals Potenzreihe darstellen l äßt. Sie heißt genau dann in einer T eilmenge T von ::D analytisch, wenn sie in jedem Punkt von T analytisch ist. Wir erinnern an die folgenden - zumindest im Spezialfall IR-wertiger Funktionen - aus der Analysis vertrauten Aussagen: Ist R E 10,

00

1 der Konvergenzradius einer Potenzreihe 00

Lan(x-xot, n=O

so ist diese für 0 ::; r < R absolut gleichmäßig konvergent auf der Menge { x E IR: Ix - x ol::; r}. Die durch 00

L

h( x ) :=

an(x - x o)n

n=O

gegebene Grenzfunktion h ist in {x E IR : Ix - xol < R} differenzierbar mit 00

h'(x )

=

L n=l

nan(x - x o)n - l .

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz

211

Potenzreihen können also dort ,gliedweise differenziert' werden. Die zugehörige Funktion ist daher b eliebig oft differenzierbar. So sind die Koeffizienten in einer Potenzreihenentwicklung eindeutig bestimmt: Eine Potenzreihe ist gerade die TAYLOR-Reihe der durch sie dargestellten Funktion. Das heißt , für x E IR mit Ix - xol < R gilt 00

"ｾ＠

h(x)

n=O

h(n)( ) )n ,Xo (X-Xo· n.

Satz 6.1.1 E seien die beiden auf einem gemein amen Intervall J gegebenen Funktionen Fund gaus (3) in J analytisch. Dann existiert zu jedem Punkt Xo E J eine Lösung y von (3), die sich mit geeigneten an E IR k in einem offenen Teilintervall I von J , das Xo enthält, darstellen läßt als

Y(X) =

L

an(x - xo)n

für alle x E I .

n=O Die Beweisidee ist naheliegend: Wir überlegen zunächst, wie die Koeffizienten an aussehen müssen, falls es eine solche Darstellung gibt. Dann zeigen wir durch Koeffizientenabschätzung, daß die damit gebildete Reihe (absolut) konvergent ist und die dadurch definierte Funktion die Differentialgleichung löst. Die Durchführung ist jedoch nicht trivial. Wer damit , vor allem durch den allgemeinen Rahmen (Matrixund vektorwertige Potenzreihen), Schwierigkeiten hat , kann den Beweis getrost beiseite la ssen.

Zur Vereinfachung der Notierung führen wir den B eweis nur für den homogenen Fall, betrachten also

y' = F( x )y.

(6)

Die zusätzliche Beachtung einer Inhomogenität bedeutet nur zusätzliche Schreibarbeit; sie beeinträchtigt aber etwas die Übersichtlichkeit des Beweises. Wir gehen aus von der Entwicklung 00

F(X) = LFn( X-xo)n

fürx E h

n=O

mit geeigneten Fn E tr1k und einem offenen Intervall 11 C J , das Xo enthält. Falls ein y der behaupteten Form existiert, sei R E 10 , 00 1 so gewählt, daß 10 := {x E IR : Ix - xol < R} e In h. Für xE 10 liefert y'( x ) = F( x )y(x ) zunächst

21 2

Kapitel 6

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

und damit (CAucHY-Produkt!) die Rekursion

ao

=

y( x o) beliebig,

an+l

_ 1_

=

n+1

(t

v=o

Fv an - v)

für n E No .

(7)

Es seien nun r E10 , R [. Die Konvergenz von 2:::=0Fn (x - xo)n für x E 10 liefert Fn(x - xo)n --+ 0 für n --+ 00 , also speziell für x mit Ix - xo l = rund n E No mit einer geeignet en Konstanten C >

o.

Damit können wir abschätzen

C

1

n

- - - '"' rl" n+ 1 rn ｾ＠

1"=0

laI" I

und erhalten so nacheinander

und weiter

Man hat

n

+ rC +1

1

--- -

n

r

1

---+ -

r

für n

---+ 00 .

Für 0 < s < r folgt so aus la n (x - xo)n l :s; C n . sn lao l die absolute Konvergenz der Reihe 2:::=0a v (x - xo)n für x mit Ix - xo l :s; s nach dem Quotientenkriterium für Reihen. Daß y die Differentialgleichung löst , ist nun klar. D Die m atrixwertige Funktion F und die vektorwertige Funktion g sind genau dann analytisch in xo, wenn alle Koeffizientenfunktionen dies sind. Xo heißt dann regulärer Punkt der Differentialgleichung (3) , sonst - wenn also mindestens eine der Koeffizientenfunktionen in Xo nicht analytisch ist singulärer Punkt. Zum Einüben dieser Dinge sehen wir uns ein einfaches Beispiel an:

(B2) I y'

ｾ＠ Ｈｾ＠

;) y mit y(O)

ｾ＠

m I

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz

mit F o :=

Ｈｾ＠

ｾＩ＠

,

F I :=

213

ｾＩ＠Ｈ

und F n :=

ｾＩ＠Ｈ

für n

ｾ＠

2.

Mit Xo := 0 und ao = y(O) = (l , O) T = el vereinfacht sich hier die Rekursionsvorschrift (7) zu al = Foao = (O , l)T = e2 und 1 an+1 = --(Foa n

n+1

+ ao) =

a2

ｾＨｆｯ｡ｬ＠

a3

i(Foa2+ad

ｾ＠ (eI

+ an- d

+ ed =

für n E IN .

el,

= i (e2+ e2) = ｾ･ Ｒ Ｇ＠

ｾ＠ (FOa3 + a2)

i (Foa4 + a3) Damit hat m an

Dieses Beispiel ermutigt nicht gerade, größere Probleme von Hand auf diese Weise zu rechnen. Aber dazu haben wir ja zum Glück M aple! Da wir nach S at z 6.1.1 wissen, daß eine Lösung y der Form 00

y(x )

= 2.: anxn n=O

existiert , können wir auch mit an = y(n) (O) j n! unter Beachtung von y'( x ) = F( x )y(x ) wie folgt schließen: a l = y'(O) = F(O)y(O) = FO el = e2 a2

ｾｹＢＨｏＩ＠

a3

iy"'(O) = i (F"(O)y(O)

=

HF'(O)y(O)+F(O)y'(O)) = ｾＨｆ

i(2FI e2 + Fo2a2)

ｉ･ｬ

Ｋｆｯ

･ ＲＩ＠

=

el

+ 2F'(0)y'(0) + F(O)y"(O))

= ｾ ･ Ｒ Ｌ＠ ...

Die Einordnung von (4) in (3) (man vergleiche hierzu Abschnitt 4.6) setzt voraus, daß alle Funktionen h , ... , fk und '"Y in Xo analytisch sind. Obwohl es eigentlich überflüssig ist, notieren wir Sat z 6.1.1 für diese Situation als Folgerung 6.1.2

E eien die Punktionen h, ··· , ik und '"Y auf einem gem in amen Intervall J gegeben und dort analytisch. Dann existiert zu jedem P unkt Xo E J eine L ösung TI von (4), die sich mit geeigneten an E IR in einem offenen Teilintervall I von J , da Xo enthält, darstellen läßt in der Form

Kapitel 6

214

1}(X)

Nützliches -

L an(x -

=

xo)n

nicht nur für den Praktiker

für x E I .

n=O

Dabei gilt an =

1}(n ) (xo)/n!

für n E 1N 0

.

6.2 Schwach singuläre Punkte Wir gehen im folgenden davon aus, daß sich die Koeffizientenfunktion F auf einem Intervall J mit einem Xo E J in der Form 1 x - Xo

F(x) = - - H( x ) für xE J \ {xo} schreiben läßt, wobei H eine in Xo analytische Abbildung mit H(xo) i=- 0 ist. Damit betrachten wir die Differentialgleichung

y' = F(x)y.

(1)

Xo heißt schwach singulärer Punkt oder Stelle der Bestimmtheit 3 der Diffe-

rentialgleichung (1). Auch für solche Systeme erhalten wir noch befriedigende Ergebnisse. Der Hauptgrund für unsere Beschäftigung damit ist jedoch die Tatsache, daß sie in sehr vielen praktischen F ällen vorkommen, etwa bei Randwertaufga ben für partielle DGLen und damit bei wichtigen g ewöhnlichen Differentialgleichungen d er mathematischen Physik, die durch ,Separation' entstehen. Für viele Überlegungen können wir CE von Xo = 0 ausgehen; denn sonst macht man einfach eine Argumentverschiebung. F läßt sich also lokal um 0 in der Form

F( x )

1

=

L x (Xl

-

Hn x n für xi=- 0

n=O

mit geeigneten H n E rt1k schreiben, wobei Ho nicht Null ist. Schon die einfache skalare Differentialgleichung y' = ｾ＠ y für x > 0 b ei vorgegebenem reellen c mit Lösung y(x) = dx c für ein reelles d zeigt, daß hier im allgemeinen keine Potenzreihen als Lösungen erwartet werden können. Auch das folgende kleine Beispiel zeigt deutlich, daß man sich nicht auf Potenzreihenansätze beschränken darf:

(B3)

Ix 2 rJ" + 4 x rJ' + 2T)

=

0I

Ein Ansat z

(Xl

T)( x ) =

L an x n

n=O 3

In englischsprachigen Darstellungen liest man meist regular singular point.

6.2

Schwach singuläre Punkte

215

führt zu der Rekursionsvorschrift (n(n-1)+4n+2)a n = (n 2 +3n+2)an = 0

für nEN o .

Da n 2 + 3n + 2 stets ungleich 0 ist, muß an = 0 für n E No gelten. Man erhält also über Potenz reihen nur die triviale Lösung 'f) = O! Die erforderliche Modifikation des Potenzreihenansatzes wird meist nach FROBENIUS 4 benannt, obwohl sie schon von EULER eingesetzt wurde. Man spricht von FROBENIUS-Methode und FROBENIUS-Reihen. Wir werden sehen, daß die Lösungen von (1) in diesem Fall wesentlich von den Eigenwerten von Ho abhängen. Um einen ersten Eindruck davon zu gewinnen, sehen wir uns vorweg den Spezialfall H (x) = Ho, also konstantes H, an: Für x > 0 transformieren wir x = exp(t) und damit z(t) := y(x). Dies führt zu dem System mit konstanten Koeffizienten

z'

=

Hoz.

(2)

Dessen Lösungen kennen wir schon nach den Ergebnissen aus Abschnitt 5.2. Wir beschränken uns bei diesen motivierenden Vorbetrachtungen, aber dann auch bei den allgemeinen Überlegungen, auf den Fall k = 2. Existiert zu Ho eine Basis h, b2 aus Eigenvektoren zu Eigenwerten Al und A2 , so ist die allgemeine Lösung mit Konstanten ßl, ß2 von der Form

Zurücktransformiert liefert das

Ist A ein doppelter Eigenwert mit einem Hauptvektor b2 der Stufe 2 und dem zugehörigen Eigenvektor bl := (Ho - AE)b2 , so ist die allgemeine Lösung von (2) mit Konstanten ßl, ß2 gegeben durch

Zurücktransformiert ergibt sich in diesem Fall die allgemeine Lösung y von (1) durch Wir werden also auch im allgemeinen Fall Lösungen erwarten, in denen Terme x>-' und log(x) vorkommen. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung 4

Der deu tsche Mathematiker GEORG FERDINAND FROBENIUS (1849-1917) ist vor allem wegen seiner Beiträge zur Gruppentheorie bekannt.

Kapitel 6

216

Nützliches - nicht nur für den Praktiker (3)

°

mit im Intervall [0 , ß [ für ein < ß ::; 00 analytischen Funktionen gl und g2 wird hier - anders als in Abschnitt 3.3 beziehungsweise 4.4! - auf ein System transformiert durch

Yd x ) Dann gelten ｹｾＨｸＩ＠

:=

1](x ) und Y2( X)

:=

X1]'(x)

für xE ]0 , ß[ ·

= 1]'(x) = 1.x y2 (x) und über y&(x) = 1]'(x) + x 1]" (x)

Mit

kann (3) also geschrieben werden in der Form

1.x H (x) Y

y' = Der Spezialfall gl (x ) = 01, g2 (x ) =

0 2

.

mit reellen

01

und 02, also

(4) wird als EULER-Differentialgleichung bezeichnet. Die Eigenwerte der konstanten Matrix

H(x) =

(0-02 1) 1-

0 1

sind hier durch die Nullstellen der Indexgleichung oder charakteristischen

Gleichung gegeben.

°

Es seien nun wieder < ß ::; 00 und H eine auf dem Intervall [0 , ß [ analytische Abbildung. Mit geeigneten H n E 1r1 2 kann also H geschrieben werden in der Form 00

H(x)

L

Hnx n für xE [0 , ß[ ·

n=O

Entsprechend zu Satz 6.1.1 erhält man damit im schwach singulären Fall als erstes Resultat:

6.2

Schwach singuläre Punkte

217

Satz 6.2.1 Ist die Differenz ),1 - ),2 der Eigenwerte ),1 und ),2 von Ho = H (O) nicht ganzzahlig, dann existieren linear unabhängige L ösungen v und w der Diff er·entialgleichung y' = 1. H (x)y x

der Form v (x)

= x>' 1 L anX n

und

w(x)

= X>'2 Lbnxn

n=O

n= O

mit geeigneten K oeffizienten an und bn aus C2 . Beweis: 5 Falls eine Lösung v der notierten Art existiert, liefert die Transformation v(x) = X>'l u(x) für u 00

xu' = H(x)u

- ),1 U

= (Ho

- ),1

E)u + L Hnxnu n=l

mit K o := Ho - ), 1 E und K n := H n für n E tN. Wir zeigen nun, wie eine Lösung u der Form u(x) = ｌｾ ］ ｯ＠ anx n zu xu' = Ｈｌｾ ］ ｯ＠ Knxn)u zu bestimmen ist: Der Koeffizientenvergleich (CAUCHY-Produkt!) von 00

=

xu'(x) = L nanx n n=l

liefert 0 = Koao = (Ho - ),lE)aO n

und

n

na n = LKva n - v = Koa n + LKva n - v v=O v=l

für nE tN.

Eine Lösung ao von (*) ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert Die Rekursionsformel kann als

), 1

von Ho.

(Ko - nE)a n geschrieben werden. Da K o - nE = Ho - (),1 +n)E gilt und nach Voraussetzung ), 1 +n kein Eigenwert von Ho ist, ist die Matrix K o - nE invertierbar, und die rekursive Berechnung der an kann über n

an = - (Ko - nE) - l L Kva n - v v=l 5

Für eine schöne Beweisalternative - mit deutlich mehr funkti onalanalytischen und funktionentheoretischen Hilfsmitteln - sei auf W [ al] verwiesen.

Kapitel 6

218

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

erfolgen. Damit ergibt sich eine mögliche erst e Lösung v durch: 00

v(x) = XA,U(X) = XA, Lanx n n=O

Da die Voraussetzungen b ezüglich Al und A2 symmetrisch sind, können sie vertauscht werden. So ergibt sich w durch 00

w(x)

=

XA2 L

bn x n

n=O

mit einem Eigenvektor bo zum Eigenwert A2 von Ho als mögliche zweite Lösung. Der Beweis kann nun ähnlich wie der zu Satz 6.1.1 mit Koeffizientenabschätzung und darauf basierendem Konvergenznachweis zu Ende geführt werden. Dabei ist noch zu beachten, daß die Inverse einer invertierbaren (2 ,2)-Matrix sofort notiert werden kann. Wir führen d en Konvergenznachweis und damit , daß v und w wirklich Lösungen sind, nicht mehr aus. Die lineare Unabhängigkeit der beiden Lösungen v und wergibt sich wie folgt: Man hat v(x) = xA,cp(x) und w(x) = x A2 'ljJ(X), wobei cp und 'ljJ analytische Funktionen sind in einem Intervall [0,8 [, 8 > 0, mit cp(O) = ao #- 0, 'ljJ (0) = bo #- O. CE sei 9te(Ad :::: 9te(A2)' Gilt /'lV+/'2W = 0 für /'1,/'2 E C , so folgt /'lX Acp(X)+/'2'ljJ (X) = 0 für A:= A1- A2 und x E ]0 , 8 [. Nach Voraussetzung ist A nicht Null und 9te(A) :::: O. Ist 9te(A) > 0, so gilt Ix A I = X9'\e (A) ---+ 0 für x ---+ 0 und so /'2 bo = /'2 'ljJ (0) = O. Das zeigt /'2 = 0 und dann auch /'1 = O. Im verbleibenden Fall ist 9te(A) = 0, also (J := Jm (A) #- O. xA

=

x i cr

=

exp( i (J log(x))

=

cos( (J log(x ))

+i

sin( (J log(x ))

konvergiert nicht für x ---+ 0 , da cos( (J log( x)) und sin( (J log( x)) zwischen den Werten 1 und - 1 o, szillieren' . Das zeigt nacheinander /'1 = 0 und /'2 = O. 0 Wir weisen noch auf einen entscheidenden Unterschied - neben der Struktur der Lösungen - zwischen den Ergebnissen der Sätze 6.1.1 und 6.2.1 hin: Bei Satz 6.1.1 hatten wir eine Entwicklung um einen beliebigen Punkt Xo aus dem Intervall J. Satz 6.2.1 hingegen macht nur eine Aussage über die Entwicklung bei der schwach singulären Stelle (hier CE 0). Auch hier notieren wir noch die Spezialisierung auf (3). Für ein 0< ß ｾ＠ 00 hatten wir mit zwei analytischen Funktionen gl und g2 auf dem Intervall [0, ß [ die Differentialgleichung

x 2r/'

+ x gl (x) r/ + g2(X)r]

=

0

betrachtet. Folgerung 6.2.2

I. t die Differenz Al - A2 der beiden Lösungen Al und A2 der charakteri -

tischen Gleichung

6. 2

Schwach singuläre Punkte

219

A(A -1)+91(O) A +92(O) = 0 nicht ganzzahlig, dann existieren linear unabhängige Lösungen rJl und rJ2 von (3) der Form rJl(X)

=

x>'·

L

00

anx n

und

rJ2(X)

=

X>'2

11=0

L

bnx""

11=0

mit geeigneten ](oeffizienten an und bn au C . Mit ähnlicher M ethodik , jedoch aufwendiger , erhält man für den noch ausstehenden Fall: Satz 6.2.3

Die Differenz Al - A2 der Eigenwerte Al und A2 von Ho = H (O) sei nun ganzzahlig, also Al = A2 oder CE Al - A2 EIN. Dann existiert zu dem System y' = 1. H (x)y x

neben einer L ösung v der Form 00

v(x) = x >' ·

L

an x""

n=O

(mit Koeffizienten an aus (

2)

w(x) = X),2

auch eine von der Gestalt

L

bnx n + c o l g(x)v(x)

n=O

mit geeigneten bn E C2 und c E C. Unter den Voraussetz ungen des Satzes sind die Eigenwerte Al und Al reell, da neben Al - A2 a uch Al + A2 = spur Ho reell ist. So können auch die zugehörigen Eigenvekt oren und da mi t die obigen Koeffiz ient en a us 1R 2 gewä hl t werden .

Die Lösung v erhält m an wie zu Sat z 6.2.1. Dabei war ao ein Eigenvektor zum Eigenwert Al von Ho. Für w macht man d amit die Transformation

y(x ) = X>'2 z(x)

+ c log(x)v(x)

,

zeigt für z die Existenz einer Potenzreihendarstellung und unterscheidet d azu naturgemäß die beiden F älle Al = A2 und Al - A2 E IN. Wir führen diese Überlegungen j edoch nicht mehr aus. Auf die Spezialisierung zu (3) können wir nun wohl verzichten, nachdem wir das in Folgerung 6.2.2 (zu S at z 6.2.1) ausgeführt haben.

Kapitel 6

220

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

Bessel-Differentialgleichung 6 Bei vielen Fragestellungen der Physik und Technik tritt die Differentialgleichung x (xr/ )' + (X 2 - {P) ry = 0 beziehungsweise X2 1]" + X1]' + (x 2 - (?)1] = 0 auf, die zuerst von BESSEL (für (! E No) ausführlich untersucht wurde. Allerdings wurde sie auch schon von JAKOB BERNOULLI (1654- 1705) bei d er Untersuchung von Schwingungen einer hängenden Kette eingesetzt. Wir lassen allgemeiner (! E [0, 00 [ zu. Der Punkt 0 ist Stelle der Bestimmtheit. Die Indexgleichung lautet

0 = A(A - 1)+A - i mit Lösungen Al

=

(!

und A2

=

- (!.

=

A2 - i

Der Ansatz 00

1](x)

= x{}

L

an x n

n =O

führt zu (1 + 2(!)al = 0, mithin a1 = 0, und zu der Rekursionsvorschrift (n + 2) (n + 2 + 2(!)a n+2 + an = 0 für n E No. Induktiv ergibt sich

Es tret en also im Potenzreihenanteil nur die geraden Potenzen auf. Man hat somit - nach den S ätzen 6.2.1 und 6.2.3 - immer eine Lösung 1]1 durch

Nach dem Quotientenkriterium konvergiert diese Reihe für alle positiven x. Ist nun

(!

eine natürliche Zahl, dann kann diese Lösung notiert werden als

Allgemein kann dies ähnlich einfach geschrieben w erden , wenn man die TFunktion (man vergleiche etwa [Fo/ Ho]) heranzieht und neben T(l) = 1 insbesondere T(x + 1) = xT(x) für x> 0 beachtet: 6

Der Königsberger Ast ronom und Mathematiker FRIEDRICH WILHELM B ESSEL (1784- 1846) benutzte die nach ihm benannten Funktionen syst ematisch zur Untersuchung von Störungen der Planetenbahnen. Neben bedeutenden Arbei ten zur Astronomie hat erWichtiges zur Potentialtheorie beigetragen.

6. 2

Schwach singuläre Punkte

221

Speziell für ao := (2 12 r({! + 1)) - 1 ergibt sich die B EssEL-Funktion erster Art zur Ordnung 7 {!, die gewöhnlich mit J 12 notiert wird: J 12 (x ) =

( X)12

"2

00

ｾｮＡｲＨｻＫＱＩ＠

(_ l)n

( X)2 n

"2

Will ma n d en Einsatz der r-Funktion vermeiden und dennoch die Formeln kompakt schreiben , s o gelingt das mit dem PocHHA MMER -Symbol: Für 00 E IC und n E !No seien (00)0 := 1 und (OO)n+l := (OO )n (00 + n). Da nn gelten offenbar (l) n = n! und

(OO )n = ?, (OO+ l) . . . (oo+ n - l),. n Fa ktoren Da mit gilt etwa für

'1)1

Ist {! nicht halbzahlig (2 (! tf- No) , dann liegt wegen '\1 - ,\2 = 2 {! die Situation von Satz 6.2.1 bzw. Folgerung 6.2.2 vor. Hier gelten dann 1 - 2{! i- 0 und n + 2 - 2{! i- 0 für n E No. So kann in den obigen Überlegungen {! durch - {! ersetzt werden. Das liefert durch L 12 (x)

( X) -12

= "2

ｾｮＡｲＨ

00

(_ l) n

Ｍ ｻＡＫｮＱＩＢＲ＠

( X)2n

(5)

J- 12 als weitere Lösung. J 12 und J- 12 stimmen mit den Lösungen 771 und 772 gemäß Folgerung 6.2.2 jeweils bis auf einen F aktor überein, sind also auch linear unabhängig. So bilden sie in diesem F all ein Fundam entalsytem. Die allgemeine Lösung 77 kann folglich hier in der Form

mit Konst anten 7

Cl

und

C2

geschrieben w erden.

Diese Bezeichnung ist in diesem Zusammenha ng Sta nda rd. Der Begriff Ordnung hat hier nichts mi t der Ordnung der Different ialgleichung zu ut n!

222

Kapitel 6

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

Die BESSEL-Funktionen erster Art J o , J l

,

hund

h

I

o

Ist {! halbzahlig (2{! E No), dann ist Satz 6.2.3 heranzuziehen: Es existiert eine Lösung 'f)2 der Form 00

L

'f)2(X) = x- g

bn x n

+ cJg(x) log(x)

(6)

n=O

mit geeigneten reellen Koeffizienten bn und c . Ist dabei {! ungeradzahliges Vielfaches von 1/ 2 , also 2 {! = U + 1 mit einem e E No, so ergibt sich leicht c = 0 und dann 'f)2 = J _ g bis auf ein (additives) Vielfaches von J g . Daher hat man als allgemeine Lösung auch hier und somit insgesamt für (!

E

[0, oo[ \ No 'f)

mit geeigneten Konstanten

Cl

=

Cl

und

Jg

+ c2 J

-g

C2.

In diesem F all benötigt man also, anders als von Satz 6.2.3 her eigentlich zu erwarten wäre, nicht den logarithmus behaftet en T erm. Denn man erhält mit der Festlegung a2n+l = 0 für n E !No a uch die zweite Lösung (für A2 = - Q), da die Rekursionsformel (n + 2) (n + 2 - 2Q) a n+2 + a n = 0 für gerade Indizes n angewendet werden kann und nach der Festleg ung für ungerade Indizes trivial erfüllt ist .

Für (! E No kann (5) nicht direkt zur Definition von J g herangezogen werden, da die r-Funktion für m E No in - m einen Pol hat. Liest man aber in (5) formal 1/ r( - m) = 0 für solche m, so ergibt sich Lg(x)

X) -g = ("2

00

L

n=g

(- l)n (x)2n n!r(-{!+n+ 1) "2

und damit - nach Indexverschiebung und unter Beachtung von r(k+1) = k! für k E No -

6.2

223

Schwach singuläre Punkte

L 12 (x) = (-l)I2J12 (X)

für (! E rN o .

Das zeigt, daß auch J- 12 hier eine Lösung ist. Jedoch sind für solche (! die bei den Funktionen J 12 und J- 12 linear abhängig. Es verbleibt also dieser Fall (! E rN o : Setzt man (6) in die BESSEL-Differentialgleichung ein, so erhält man - bis auf ein (additives) Vielfaches von J 12 - nach etwas länglicher Rechnung, die wir aber unseren Lesern nicht mehr zumuten wollen, mit h o := 0 und h n := 1 + 1/2 + ... + l/n für n E rN: T/2(X)

= J 12 (x) log (x) - -1 2

12- 1

I)' ( X )2 n- 12 L ((! - nn.,- . -2

n=O

Dabei liest man hier für (! = 0 die auftretende leere Summe (von 0 bis -1) wie üblich als o. Meist ersetzt man diese Funktion T/2 durch die BESSELFunktion zweiter Art YI2' definiert durch

wobei

C:= lim (h n - logn) n->oo

=

0.5772 ...

die EULER-Konstante bezeichnet. Diese logarithmusbehaftete BEssEL-Funktion wird gelegentlich auch als NEUMANN- oder WEBER-Funktion bezeichnet. Ihre Definition kann in natürlicher Weise auf alle reellen Zahlen (! ausgedehnt werden (man vergleiche dazu auch den entsprechenden Abschnitt in MWS 6) durch

YI2(x):=

t )[J

. sm (!7r

12 (x) cos((!7r) - L 12 (x)]

für (! E [0,

00 [ \

rNo .

Damit hat man dann als allgemeine Lösung T/ der BESsEL-Differentialgleichung für beliebige (! E [0 , 00 [ und positive x

mit geeigneten Konstanten

Cl

und

C2 .

Kapitel 6

224

nicht nur für den Praktiker

Nützliches -

Die BESSEL-Funktionen zweiter Art Yo , Y1 , Y2 und Y3 0.5

o

-1

6.3 Laplace-Transformation Die LAPLACE-Transformation wird gerne von Ingenieuren, Physikern und anderen Anwendern von Mathematik auch zur Lösung von Differentialgleichungen herangezogen. Sie schät zen die darauf basierende Methode als leicht und effizient. Eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder ein entsprechendes System wird in eine algebraische Gleichung transformiert , man spricht von ,Algebraisierung '. Die resultierende algebraische Gleichung ist gewöhnlich einfach lösbar. Dann führt inverse L APLACE- Transformation auf eine Lösung der Differentialgleichung. Der Vorteil gegenüber den Methoden, die wir schon kennengelernt haben, ist, daß sich hier die Lösung einer entsprechenden Anfangswertaufgabe sofort ergibt. Bei den Überlegungen in Kapitel 5 w arzunächst die homogene DGL allgemein zu lösen , dann eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL zu finden ( etwa mit der Variation der Konst anten) und schließlich die freien Konstanten g emäß der Vorgabe der Anfangswerte zu bestimmen. Zudem können mittels LAPLACE-Transformation auch unstetige Inhomogenitäten, wie sie etwa bei Einschaltvorgängen vorkommen , betrachtet werden. Auf Anwendungen der LAPLACE-Transformation bei partiellen Differentialgleichungen, Integral- und Differenzengleichungen oder auch konkret bei elektrischen Netzwerken und in der Regelungstechnik gehen wir nicht ein. Zu f: [0, 00 [---+ C betrachtet man für komplexe Werte s mit

Z (f )(s) .- (Z (f ))(s) .-

J

e- sx f (x) dx

o

die LAPLACE- Transformi erte zu f.

6.3

225

LAPLACE- Transformation

Ein paar Anmerkungen zu dieser Definition: Da hier komplexe Werte s zugelassen sind , müßte man eigentlich genauer exp( - sx) statt e- sx schreiben. Dies ist aber in diesem Zusammenhang nicht üblich; deshalb verzichten auch wir auf diese Präzisierung und verstehen e- sx einfach als Schreibweise für exp( -sx). Wir denken , daß komplexwertige Integranden unseren Lesern keine Schwierigkeiten bereiten. Ab Abschnitt 3.1 haben wir ja sogar IRk-wertige Int egranden b etrachtet. Wenn Ihnen diese Dinge dennoch nicht ganz geheuer sind, können Sie sich getrost auf reeLLe Werte s beschränken. Hier kann man natürlich s = 12 + ia mit reellen 12 und a schreiben und über

exp( - sx) = exp( - l2x) exp( - iax) = exp( - l2x) ( cos(ax) - i sin(ax)) das obige Integral auf reelle Integrale zurückführen:

I

I

9te(a) ｾ＠

0 mit einem a E C. Dann gilt für s E C 1

2?(f)(s) = - ; s- a

denn

Je- sx f( x )dx Je(-s+a)x dx o =

0

=

_l_e (-s+a)Xl oo

a- s

0

1

s- a

Die Konvergenzabszisse er f ist hier offenbar 9te( a). Nun soll zur Berechnung einer LAPLACE-Transformierten nicht jedesmal auf die Definition zurückgegriffen werden; das wäre zu mühsam. Deshalb notieren wir als ,triviale' Eigenschaft schon einmal die Linearität

2?(af + bg) = a2?(f)

+ b2?(g) ,

genauer:

Für S E C , Funktionen fund gaus A s und komplexe Konstanten a und b gilt:

af + bg E A s mit 2?(af + bg)(s) = a2?(f)(s)

+ b2?(g)(s) .

Beweis: Dies liest m an unmittelbar aus der entsprechenden Linearitätsaussage für das Integral a b. 0 Damit erhält man dann das n ächste Beispiel fast ohne Rechnung:

(B6) Es sei f( x )

:= cosh(ax) für x ｾ＠ 0 mit einem a E C. Wir schreiben hier und in ähnlichen Situationen auch kurz cosh(alZ). Mit (B5) liefert cosh(a x ) = (e aX + e- aX )/ 2 für s E C mit 9te(s) > 19te(a) I

2?(f)(s) =

ｾ＠ Ｈｳｾ｡＠

+ ｳｾ｡Ｉ＠

=

ｳＲｾ｡Ｇ＠

Ebenso ergibt sich: 2?(sinh( alZ)) (s) -

1) 1(1s - a s+a

2

-- - --

-

a

Entsprechend erhält man für die trigonometrischen Funktionen für komplexes = (e i ax + e- i aX)/ 2 und

a und s E C mit 9te(s) > IJm(a) 1 über cos(ax) sin(a x ) = (ei ax - e- i aX)/(2i): (B7)

2?(cos(alZ))(s)

=

S

2

s 2 +a

und

denn zur Anwendung von (B5) muß hier 9te(s) > 9te(ia) = - Jm(a) und 9te(s) > 9te( - ia) = Jm(a) , zusammen also 9te(s) > IJm(a) l, gelten.

6.3

LAPLACE- Transformation

229

Es können nicht beliebige Funktionen F als LAPLACE- Transformierte auftreten: Bemerkung 6.3.3

Ist F die LAPLACE-Transformierte einer gegebenen Funktion f , so gilt: F( s) d. h.

'V c

--+

für 9'te( s)

0

> 0 :3 K

gleichmäßig bezüglich Jm (s) ,

E IR 'V s E C: 9'te(s) ｾ＠

Beweis: Für s , So E C mit (J

o < 15 < 00 hat man:

J 00

lF(s) 1 ｾ＠

--+ 00

e- QX lf( x )1 dx

o

ｾ＠

:=

9'te( s) ｾ＠

K

===}

lF(s) 1 ｾ＠ c.

9'te( so)

= :

(Jo >

o"j,

J

J

0

6

6

c > 0 und

00

e- Qü Xl f( x )1 dx + e-(Q- Qü)6

e- Qü Xl f( x )1 dx

Der erste Summand wird kleiner als c /2, wenn 15 hinreichend klein ist. Bei festem derartigen 15 strebt e-(Q-Qü) 6 gegen 0 für (J -+ 00. Das Integral J600 e-QüXlf(x)1 dx kann durch den endlichen Wert 2'(lfl)(so) abgeschätzt werden. D Wir stellen - neben der schon notierten Linearität - weitere Hilfsmittel bereit, die zusammen helfen werden, die Berechnung von vielen LAPLACETransformierten zu ,automatisieren' : Bemerkung 6.3.4 (Dämpfungssatz, Exponential-ShijtJ

Für s , a E C sei f aus A s +a . Dann gehört die Funktion e-al< f zu A s mit

Der Dämpfungsfaktor e- ax im Urbildbereich bewirkt also gerade eine Argumenttranslation im Bildbereich. 00

00

B eweis: F(s+a) = J e-(s+a)x f( x )dx = J e-sx (e- ax f(x))dx o 0 Mit dieser Bemerkung folgt aus Beispiel (B 7) für a, b E C unmittelbar:

(B8)

2'(e b l< cos(al'A))(s) 2'(e b l< sin(al'A))(s)

s-b (S - b) 2+ a2 a (s - b)2+a 2

für s E C mit 9'te(s) > IJm(a) 1+ 9'te(b).

und

D

Kapitel 6

230

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

Bemerkung 6.3.5 (Streckung, Ähnlichkeitssatz) Für c

> 0 und f E Asle ist f(cYJ.) in A s mit 2 (f (c YJ.))(S)

= ｾ＠

2 (f )

(c)

B eweis: Für positives T gilt

J T

eT

e-stf(ct)dt =

ｾｊ＠

e-(sle)xf(x)dx.

o Der Grenzübergang T

0

D

liefert so die Behauptung.

---+ 00

Satz 6.3.6 (LAPLAcE-Transformierte der Ableitung) Es seien s E C und f eine stetige Funktion, deren Ableitung f' als zulässige Funktion existiert. lO Ist 9'te( s) hinreichend groß, so existiert - neben 2(f')(s) - auch 2(f)(s), und es gilt 2 (f' )( )

=

2 (f )() - f (O)

Differentiation im Urbild bereich entspricht also im Bildbereich einer Multiplikation mit s (bis auf den Anfangswert f(O)). Beweis: Es sei zunächst f stetig differenzierbar. Nach Voraussetzung existieren positive Konstanten Kund a mit 1f'( x )1 ｾ＠ K exp(a x ) für x ｾ＠ O. f( x ) = f(O) + f'(t) dt liefert über

J;

If(O) 1+ K

If( x )1
a und T ---+ 00 strebt e- s T f(T) gegen O. So ergibt sich die behauptete Formel. Im allgemeinen Fall teilt man ein Intervall [0 , Tl in endlich viele Intervalle auf, in denen f' stetig ist, und benutzt die Additivität des Integrals bezüglich der Intervallgrenzen. D 10

f ist also in jedem kompakten T eilintervall von [0, endlich viele Stellen differenzierbar.

(X) [

,nur' bis auf höchstens

6. 3

LAPLACE- Transformation

231

Aus diesem Satz erhält man induktiv: Folgerung 6.3.7 (LAPLACE-Transformierte der höheren Ableitungen) Für ein n E tN sei feine (n - 1)-mal stetig differenzierbare Funktion . f (n) existiere als zulässige Funktion. Dann existieren für hinreichend große 9'te( s) - n eben 5t'(f(n))( s ) - di e Laplace-Transformierten 5t'(f)(s), 5t'(f')(s) bis 5t'(f(n- 1))(s) , und es gilt 5t'(f (n))(s)

= sn 5t'(f )(s) -

speziell also für n

=

sn- 1 f (O) - sn- 21' (0) - . .. - f (n- 1)(0) ,

2

5t'(f" )( ) = s25t'(f )(s) -

f (O) - f' (O) .

Anwendung auf Anfangswertaufgaben Wir sehen uns nun an, wie die LAPLAc E-Transformation zur Lösung von Anfangswertaufgaben bei linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten herangezogen w erden k ann. Dazu betrachten wir gleich ein System dieser Art , also mit einer n atürlichen Z ahl k und einer f esten Matrix A E trl k das homogen e Differentialgleichungssystem

y' = Ay und mit einer Abbildung g: [0, System

00

(H)

[--+ Ck das entsprechende inhomogene

y' = Ay + g(x) .

(I)

Wir setzen voraus, d aß die Inhomogenität g zulässig ist , d. h. ihre k Komponentenfunktionen zulässig sind. Die Existenzaussage von Satz 4.1.1 gilt hier für (I) unverändert, wenn wir als Lösungen stetige Funktionen y zulassen , die die Differentialgleichung erfüllen, bis auf die eventuellen Unstetigkeitsstellen von g. Wir zeigen zunächst: Satz 6.3.8 J ede Lösung y von (1) ist zulässig, besitzt also eine LAPLAcE -Transformierte. Beweis: Da g zulässig ist, existieren nicht-negative Konstanten Kund a mit K e ax für x 2: O. CE kann dabei a > lAI gewählt werden. Jede Lösung y von (I) kann nach den Ergebnissen aus denAbschnitten 4.6 und 5.1 mit b := y(O) geschrieben werden in der Form

Ig(x)1:::;

Kapitel 6

232

Nützliches - nicht nur für den Praktiker

J x

Y(X)

=

eXP(XA)(b+

exp( - tA)9(t)dt) .

o

In Abschnitt 5.1 haben wir die einfache Abschätzung Iexp(M) I ::; exp(IMI) für jede Matrix Maus IMk vermerkt. Damit kann grob abgeschätzt werden:

J J x

Iy( x ) I ::; exp(x lA I) ( Ibl+ K

exp(t lA I) exp(at) dt)

o

x

::; exp(ax) ( Ibl +K

eXP(2at)dt)

o

= exp(a x ) ( Ibl+ K 21a (exp(2a x ) - 1)) ::; exp(3ax) ( Ibl +

ｾＩ＠

0

Für eine Abbildung f: [0,00 [----+ C k kann 2'(f)(s) komponentenweise erklärt werden oder einfach das entsprechende Integral - gemäß Abschnitt 3.1 - komponentenweise gelesen werden. Satz 6.3.6 überträgt sich von den Komponentenfunktionen auf f:

Aus (I) folgt mit Y

:=

2'(1' )( ) =

2'(I )(s) - 1 (0)

2'(y) und G

:=

2'(g) aus der Linearität von 2'

sY(s) - y(O)

=

AY(s) + G(s)

beziehungsweise mit b := y(O)

(A - s E )Y () = - (b + G() ) Ist

8

kein Eigenwert von A, dann kann dies geschrieben werden in der Form

Y (8) = - (A - 8 E) - 1 (b + G (8)) . Für theoretische Überlegungen, praktisch jedoch nur in ganz einfachen Fällen ratsam, kann die Inverse von A - 8 E mit dem charakteristischen Polynom XA von A durch 1 (A - 8E)-1 = - ( -) C(8) XA 8 bestimmt werden, wobei C(8) die Matrix aus den Cofaktoren (Adjunkte) von A - 8E ist (vgl. etwa [Koec]) . Für den Term 1jXA(8) zieht man dann meist Partialbruchzerlegung l l heran, um auf einfache Bausteine zu reduzieren. 11

Berechnet man die Partialbruchzerlegung numerisch, so muß man höchst vorsichtig sein; denn auch bei ,kleinen Störungen' der Polynomkoeffizienten können erhebliche Änderungen schon bei d en NullstelIen auftreten.

6. 3

LA P LACE- Transformation

233

Ein erstes einfaches B eispiel soll die dadurch vorgegebene Rechnung verdeutlichen:

(B9)

Iy' ｾ＠ (:

n

C) ｾ＠

y mit "(0)

Es liegt also der homogene Fall (g

= -

(A - sE)Y(s)

ＨｾＩ＠

1

= 0 , somit

bedeutet

G

= 0)

ＳｾＸＩ＠ ＨＶ

mit k

Y(8)

= 2 vor.

= -

ＨｾＩＮ＠

Das führt mit der bekannten Formel für die Inverse einer (2 , 2)-Matrix zu Y(8)

(3 - 8 - 1) ( - 1) 1 (6 - 8)(3 - 8) - 4 - 4 6 - 8 - 2 1 (8 - 1) 1 (8 - 1) 82 - 98+14 28 - 8 - (8 - 7)(8 - 2) 28 - 8

Die beid enKomponenten können leicht umgeformt werden zu: 8 - 1 (8 - 7)(8 - 2)

1) 28 - 8 1( 6 8 - 7 - 8 - 2 ' (8 - 7)(8 - 2)

= "5

1 (6 4) 8 - 7+ 8 - 2

= "5

Nach (B5) kann nun eine Funktion y , die dieses Y als Transformierte hat , sofort angegeben werden:

y( x )

L APLACE-

1 (6 e7X - e 2x )

= "5

6 e7x + 4 e2x

Dieses y löst offenbar die Anfangswertaufgabe. Die allgemeine lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

(1) mit gegebenen komplexen Zahlen 01, ... , 0 k und einer zulässigen Funktion wird mit der schon vertrauten Transformat ion

r

y

CL) ,

o A -

1

o

1

-O k . . . . . . . . . - 0 1

subsumiert.

ｧＨｸＩ ｾ＠

CJ

Kapitel 6

234

(BIO) 1ri"

-

6r/ + 101]

Mit A

Ｈ Ｍ ｾｏ＠

=

Nützliches -

0 , 1](0)

ｾＩ Ｌ＠

b

:=

lautet diese Aufgabe y'

=

:=

0 , 1]'(0)

=

(n

=

nicht nur für den Praktiker

11

und der Transformation y

Ay, y(O)

=

b. Für Y

:=

1)

Bedingung (A - sE) Y (s) = - b über ( -s - 10 6 - s

1

Y(s) = s(s-6)+1O

(6 10

s - 1) ( 0 ) -s - 1

=

(;,)

2(y) wird die Y (s) = - b zu

1

= (s -3)2+1

(1) s

.

Zu der hier nur benötigten ersten Komponente l/((s - 3)2 + 1) entnimmt man dem Beispiel (BS) 1](x ) = e3x sin(x) als Urbild. Man bestätigt sofort, daß 1] die (eindeutig bestimmte) Lösung der Anfangs wert aufgabe ist. Manche Anwender sehen die hier durchgeführte Zurückführung auf ein System eher als lästigen Umweg. Daher stellen wir noch die folgenden Überlegungen bereit , die wir mit einem einfachen Beispiel beginnen:

(B 11) 11]// - 1] Für H

= :=

0 1 2(1])(s) erhält man nach 6.3.7 mit der Linearität von 2

s2H(s)-s1](0)-1]'(0)-H(s)

=

0 bzw. (s2 - 1)H(s) = S1](O)+1]'(O).

Für sEC mit 9te(s) > 1 ergibt sich s

1

H(s) = S2 _ 1 1](0) + S2 _ 1 1]'(0) und so nach (B6) ein Urbild

1]

=

1](0) cosh +1]'(0) sinh .

Diese Form der Lösung ist der Anfangswertaufgabe an der Stelle 0 mit Vorgabe von 1](0) und 1]'(0) angepaßt, da die bei den Werte hierbei explizit auftreten! Wendet man 2 - unter geeigneten Glattheitsvoraussetzungen an r (1) an, so erhält man mit H := 2(1]) und G := 2(r) über

2(1](k»(s) + nach 6.3.7 mit

ßl

:=

00 1

-

auf

2(1](k-l»(S) + ... + ook2(1])(S) = 2(r)(s)

1](0), ... ,ßk

:=

1](k- l) (0)

sk H(s) - sk-lßl - sk- 2ß2 - ... - ßk

+

001

[s k-l H(s) - sk- 2ßl - ... - ßk- l ] + ... + OOk H(s) = G(s) .

6.3

235

LAPLACE- Transformation

Mit dem charakteristischen Polynom p = XA von A, gegeben durch

+ 0:1 sk -l + ... + O:k

p(s) = sk

für s E IC,

formt man um zu

Ergänzt man noch

0:0 :=

H(s)p(s)

1 , so kann dies notiert werden in der Form

= ｾ＠

k (g-1 ) ?;o:u ßg- U sk - g + G(s).

Zerlegt man mit m E IN, paarweise verschiedenen s" E IC und r" E IN für f-L = 1 , ... ,m

p(s)

= (s - SIr" ... (s - smr= ,

so ergibt sich für die zugehörige homogene Differentialgleichung (also G = 0) eine Partialbruchzerlegung H(s)

= ｾＫ＠

S - SI

... +

al ,rl (s - sI)r 1

+ ... Ｋｾ＠

S - Sm

... +

am ,r= (s -sm)r=

mit Koeffizienten a" ,v E IC. Hat man diese bestimmt, so liefern (B5) und die noch zu zeigende Bemerkung 6.3.11 (vgl. auch die Tabelle am Schluß dieses Abschnitts)

also die schon aus Abschnitt 5.5 von der Struktur her vertrauten Lösungen. Hier hat man jedoch, das sei noch einmal betont, die Anfangswerte 7](0) , 7]' (0), ... , 7](k - l) (0) gleich mit eingearbeitet! Wir haben zu diesem Thema bewußt viele Beispiele gebracht (man ziehe insbesondere auch das zugehörige MWS 6 h eran!), weil sich gerade bei der LAPLACE-Transformation erst dann ein entscheidender Vorteil ergibt, wenn man die Hilfsmittel souverän beherrscht. In vielen Anwendungen treten periodische Funktionen als Inhomogenitäten auf. Die zugehörige LAPLACE-Transformierte berechnet sich leicht nach dem folgenden Satz 6.3.9 (LAPLACE- Transformierte periodischer Funktion en) Für eine stückweise stetige Funktion f mit Periode p E 10, 00 [ und s E IC mit 9'te(s) > 0 existiert die LAPLAcE-Transformierte 2(f)(s). Dabei gilt P

2 (f )( ) =

1

1 - e- sp

j e-SX f (X) dX

o

236

Kapitel 6

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

B eweis: Da eine solche Funktion f offenbar stets beschränkt ist, ist die Existenzaussage ,trivial'. Für n E tN rechnet man

J

t J

(v+l)p

(n+l)p

e- sx f( x ) d x

e- sx f( x ) d x =

v=O vp

o

n

tJ p

e-s(x+vp) f( x

+

vp) dx

v=oo

J

n

p

L e- svp e- sx f(x) dx v=o 0

=

J p

L (e-SPt e- sx f(x) dx v=o 0

Für n -+ 00 strebt die linke Seite gegen 2'(f)(s), die rechte Seite unter Beachtung von le-s PI = e-rytc(s)p < 1 gemäß der Summenformel für die geometrische Reihe gegen die rechte Seite der behaupteten Formel. D

(B12) Es sei f( x )

:=

I sin(x)I für x 2:: O. Für sEC mit 9'te(8) > 0 gilt

J 1f

2'(f)(8) =

1 1 -e- S1f

e- sx sin(x) dx =

o

1 l+2 e- S1f. S1f 1 -e8 +1

Das Integral wurde mit zweimaliger partieller Integration ausgewertet.

Ｑ ｾ＠

o

0

2 3 4

Unstetige Inhomogenitäten Beispielsweise bei der mathematischen Behandlung von Schaltvorgängen in elektrischen Netzwerken oder auch der Inj ektionen von Medikamenten tret en in natürlicher W eise unstetige Funktionen als Inhomogenitäten auf. Als einfachstes Beispiel einer Funktion mit einer Sprungstelle betrachten wir die HEAVISIDE 12 -Funktion H , gegeben durch: 12

Die Überlegungen des britischen Physikers und Elektroingenieurs OLIVER HEAV ISIDE (1850- 1925) zur Operatorenrechnung, L APLACE- Transformation und zu verallgemeinerten Funktionen erlangten erst nach seinem Tode allgemeine Anerkennung.

6. 3

231

LAPLACE- Transformation H(x) := {

x with(powseries) : sol := powsolve(Dgl) : # löst LINEARE DGLen über Potenzreihenansatz tpsform(sol,x) i # truncated power series form alias(k=_k): # Maple verwendet (für sol) per Default _k statt k a(k) = sol(k) i # gibt Rekursion für die Koeffizienten der Reihe

co + +

C1

+ (2 C1 - 2 CO) x 2 + (2 C1 - 8 ｾｏ

X

CｾＱ＠

f

Ｉ＠ x 3 +

(4 ｾＱ＠

- 2 CO + 112 ) x4

- 161 O + 115 ) x 5 + O (x 6 ) a(k) =

4(a(k - l ) k - a(k -1) - a(k - 2)) k(k _ 1)

fan beachte daß die Rekursion für k = 4 wegen der Inhomogenität der Differentialgleichung a4 = (12a3 - 4a2 + 1)/12 heißen muß! B eispiel 2:

Zu lö

n it di Anfang w rtaufgab

y' =

x 2 + y2 mit y(O) = 1 .

Ivlan vergleiche dazu das Beispiel 3a aus MWS 3. Wir erinnern noch einmal daran , daß es sich um eine Rl ATI-DGL handelt , die nicht elementar integ rierbar is t .

> restart: Dgl := diff(y(x) ,x) = x-2+y(x)-2; AnfBed := y(O) = 1;

Dgl := y' = x 2 + y2

AnfBed := y(O)

=

1

Wir lösen diese AWA zunächst symbolisch: > dsolve({Dgl,AnfBed});

. (( ｟ ｲＨｾＩ

x

y =

Ｒ＠

+1r)BesselJ(43 ,

ｲＨ ｾ Ｉ＠

2

ｾＲ Ｉ＠

X2))

(- 3 + BesselY 4 ' 2"

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz (MWS)

245

Wenn wir auch die hier auftretenden B8SsEL-Funktionen im nächsten Abschnitt kennenlernen werden , so erschließt sich dennoch diese Formel nm dem, der im Umgang mit ihnen wirklich geübt ist. Die Gammafunktion r und die BE EL-Funktion n gehören, wie auch di später auftretenden ArRY- und hypergeometri ehen Funktionen , zu dem reichhal tigen Repertoire an tandardfunktionen von Mapl . Einen Überblick über all diese Funktionen kann man sich mit ?inifcns (initiaLLy known mathematical junctions) verschaffen .

Bei der Lösung mittel Potenzreihenansatz haben wir mehrere föglichkeiten, die Koeffizienten der TAYLOR-Reihe zu y zu bestimmen:

a) dmch fo rtgesetztes Differenzieren der Differentialgleichung : Wir beginnen mit einigen Gehversuchen in Einzelschritten: > Oy [0] : = AnfBed;

Dyo := y(O) = 1

> OGL[O] := convert(Ogl,O); Oy[l]

DGLo

:=

D(y)(x)

=

: = subs(x=O,Oy[O] ,%);

x 2 + y2 ,

DYl:= D(y)(O)

1

=

> OGL[ l ] : = conver t(diff(OGL[O] , x) , 0);

Oy [2]

: = subs (x=O, seq (Oy [k] ,k=O.. 1) , %) ;

DGL I

;=

D2(y)(x)

=

2x

+ 2y D(y)(x) ,

DY2;= D2 (y)(O)

= 2

und jetzt etwas kompakter; > OGL[O] : = convert(Ogl, D) : Oy[O] . = AnfBed : N := 8:

for n t o N do convert(OGL[n-1] ,0): Oy [n] : = subs (x=O, seq (Oy [k] , k=O.. n-1) , %) ; OGL[n] := convert(diff(OGL[n- l ] ,x) , O) end do: seq(Dy[k] , k=O . . 4) ;

y(O)

=

1, D(y)(O)

=

1, D2(y)(O)

=

2, D3(y)(O) =

D4 (y)(O)

=

2

> seri es(y(x),x=O,N+1) : convert (%,polynom) : subs(seq(Oy [k] ,k=O.. N),%) ;

b) durch KoeJfizientenvergleich:

y'( x ) =

:l)v + l)a v +l XV 11=0

Aus y(x)

=

L

v=o

a,/xv folgen 11

und

y(x )2 =

L (L aka 11=0

k=O

ll -

k) xv.

MWS 6

246

Es ist somit für

1/

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

E N \ {2} die Rekursion

v

2

(1/+1)a v+l = 2: akav-k mit ao = y(O) = 1 und 3a3 = 1 + 2: aka2-k k=O

k=O

zu lösen . Dazu stellen wir eine kleine Prozedur bereit: > a := proc(nu) option remember : local k: if nu=O then return 1 else return ('if'(nu=3,1,0)+add(a(k)*a(nu-l - k),k=0 . . nu-l»/nu end i f end proc: add(a(nu)*x-nu,nu=O . . N);

c) dir kt mit d m Map1 -B D h1 d o lv und d r Option type=

ri s :

> Order := N+l: dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),type=series);

H ermite-Diffe r e ntialgleichung > restart : Dgl := diff(y(x),x$2)-2*x*diff(y(x),x)+lambda*y(x) = 0;

Dgl := y" - 2xy' + AY = 0 > with(powseries): sol := powsolve(Dgl): tpsform(sol,x,S); a(_k) = sol(_k);

> with(Slode): # Special linear ordinary differential equations FPseries(Dgl,y(x),a(nu»; # formal power series # löst HOMOGENE lineare OGLen über Potenzreihenansatz # und gibt die Rekursion für die Koeffizienten op(2,%) = 0: isolate(%,a(nu»: factor(%); Rek := %: # Rekursion

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz (MWS)

FPS truct (_Co + -Cl X

241

+ L a(v)x V , (v 2 - v )a(v) + (>. - 2v + 4)a(v -

2))

v=2

a( v ) = (- >. + 2v - 4)a( v - 2) v(v-1) Man kann dabei noch den Entwicklungspunk (in unserem Beispiel ist das weiterhin 0) , die BezeichmUlg der freien Parameter (jetzt Co Cl) und die Anzahl der ausgewerteten Koeffizienten (nun 3) vorgeben: > FPseries(Dgl,y(x),a(nu),O,c,3);

FPSstruct( CO

+ CIX - ｾ＠ >. cox 2 + ( -ｾ＠ ＫｾＩ＠

CIX 3

+ L a(v)x V

,

1.1=4

(v 2

-

v)a(v)

+ (>. -

2v + 4) a(v - 2))

Mapl unt r cheid t - v rmutlich für ma h mati ch zartb ai et noch formale AYLOR-Reihen: > FTseries(Dgl,y(x),a(nu),O,c,3); op(2,%) = 0: isolate(%,a(nu»;

FPS tru t (Co

# formal Taylor series

+ Cl X - ｾ＠ >. Co X 2 + ( - ｾ＠ + ｾＩ＠

a(v)

+ (>. -

utzer -

Cl X 3 +

L ｡ｾＩ＠

Xl'

v=4

2v + 4) a(v - 2))

a(v) = - (>' - 2v +4) a(v - 2) Entsprechend dem Vorgehen im Textteil wollen wir die beiden LöslUlgen 771 ,>' und 772, >. mit ao = 1, al = 0 beziehungsweise ao = 0, al = 1 bestimmen: > subs(nu=2*k,Rek): rekl:= subs({a(2*k)=b(k),a(2*k-2)=b(k-l)},%); subs(nu=2*k+l,Rek): rek2 := subs({a(2*k+l)=b(k),a(2*k-l)=b(k-l)},%);

rek1 := b(k) =

1. (- >. + 4k - 4) b(k - 1)

rek2 := b(k) =

1. (->. + 4k -

2

2

k(2k - 1) 2)b(k - 1) k(2k+ 1)

Diese Rekursionen können nut dem Maple-Befehl rsolve gelöst werden: > rsolve({rekl,b(O)=l},b(k»: bl := unapply(%,k): rsolve({rek2,b(0)=1},b(k»: b2 := unapply(%,k): 'b[l] (k)' = b1(k) , 'b[2] (k)' = b2(k);

r(2 k + 2) r

( - 4":x + 21)

MWS 6

248

Nützlich es -

nicht nur für den Praktiker

E ergeben sich damit die gesuchten Funktionen, deren Gestalt von der verwende en Maple-Version abhängen kann: > ｳｵｭＨ｢ｬｫＩＪｸｾＲＬ

.. infinity): etal: = unapply('l.,x) : .. infinity) : eta2 := unapply('l.,x) : 'eta[l,lambda] (x), = etal(x), 'eta[2,lambda] (x), = eta2(x); ｫ ］ ｏ＠

ｳｵｭＨ｢ＲｫＩＪｸｾＫｬＬ

］ ｏ＠

171,,\(X)

= hypergeom ( [ Ｍ ｾ

172,,\(X)

= x hyp rg

ｯｭＨ｛

｝ Ｌ＠ ｛ｾ ｝＠ Ｍ ｾＫ｝

, x2)

Ｌ＠ ｛ｾ ｝ＬｘＲ

Ｉ＠

Zur Probe setzen wir diese in die HERMITE-Differentialgleichung ein und überprüfen die Anfangsbedingungen: > odetest(y(x) =etal(x),Dgl), odetest(y(x) =eta2(x),Dgl) ; etal(O) , eta2(O); eval(diff(etal(x),x),x=O), eval(diff(eta2(x),x),x=O);

0, 0 ,

1, 0

0 1

Aus dem Tex teil wissen wir bereits, daß sich für gewisse ganzzahlige Parameterwerte ). P olynome ergeben . Diese ind skalare Vielfache der HERMITEPolynome. > eval(etal(x),lambda=4*n) : seq(simplify('l.),n=O . . 3); eval(eta2(x) , lambda=4*n+2) : ｳ･ｱﾫｸｰ｡ｮ､ｾｩｭｬｦｹＩＨＧＮＬ］ｏ＠

1, -2x 2 + 1 , -4x 2 + ｾｘＴ＠ 2 3

x, - '3 x

.. 3);

+ 1

4 ,5 + x, x,-4'3 x 3 + 15 x

Die H .RlIl[1T . -Polynome als Onhogonalpolynome: Auf die Bedeutung der HERMITE-Polynome a ls s pezielle Orthogonalpolynome und die Füll der möglichen u. ag n dazu g hen wirnicht in. Wir erwähnen di sen Begriff 1 diglich, w il man diese Polynome in dem Paket orthopoly find e. > h := (n,x) - > expand(HermiteH(n,x» : seq(h(n,x)/coeff(h(n,x),x,ldegree(h(n,x»),n=O . . 5);

> with(orthopoly): wi th(plots) : h := (k,x) - > H(k,x)/coeff(H(k,x),x,ldegree(H(k,x»): folge := seq(pl ot(h(n,x),x=-2 .. 2 ,numpoint s=500 , color=blue ,

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz (MWS)

249

title=cat(convert(n,string), " . Hermite- Pol ynom")),n= l .. 5): display(folge,insequence=true,tickmarks=[[-2,-1,1,2] ,[-3,-1,1,3]], view=[-2 .. 2,-3 .. 3]);

3. H ERM ITE-Polynom 3

-2 -1

-3

Legendre-Differ entialgle ichung In die em Teilab chnitt verzicht n w ir auf erlällt rnde Kommentar Vorg hen dem Z lil" HER lITE-Diffi r ntialgleichung ent pricht.

da das

> restart: macro(dy1=diff(y(x),x),dy2=diff(y(x),x$2)): Dgl : = (1-x-2)*dy2-2*x*dy1+1ambda*(lambda+1)*y(x) = 0;

Dgl

;=

(1 -

X 2 )y"

- 2x y'

+ A(A + l ) y

=

> with(Slode): FPseries(Dgl,y(x),a(nu)); op(2,%) = 0; isolate(%,a(nu)): factor(%); Rek : = %:

FPSstrllct (_C o + _C 1 x

(v 2

-

v)a(v)

+ (3v -

#

Rekursion

00

+L

2 + A2

0

a(v)x V

v=2

+A

,

)

- v 2 )a(v - 2) = 0

a(v) = (v - 1 + A)(V - 2 - A)a(v - 2) (v - l )v > subs(nu=2*k,Rek):

rekl subs(nu=2*k+l,Rek): rek2

subs({a(2*k) =b(k),a(2*k-2) =b(k-l)},%); subs({a(2*k+l)=b(k),a(2*k-1)=b(k-l)},%);

k .= b(k) = ｾ＠ (2k - 1 + A)(2k - 2 - A) b(k - 1) re l . 2 (2k - 1)k rek2

;=

b(k)

=

ｾ＠ (2k 2

+ A) (2k -

1 - A) b(k - 1) k(2k+1)

MWS 6

250

Nützliches -

nicht nur f ür den Praktiker

> rsolve({rekl,b(O)=l},b(k»: bl : = unapply(%,k) :

rsolve({rek2,b(0)=1},b(k» : b2 := unapply(%,k) : 'b[l)(k)' = bl(k), 'b[2)(k)' = b2(k);

= b2 (k)

Ｍｾ＠

ＴｫｲＨＫｾＩＭ＠

ｲＨＲｫＫＱＩｾ＠

ＭｾＩ＠

ＴｫｲＨｾＫＱ

Ｋ ｫＩｲＨ＠ r(2k + ＲＩｲＨｾ＠

Ｍ ｾＫｫ Ｋ ｾＩ＠ +l)r( - ｾ＠ Ｋ Ｉ＠ｾ

> sum(bl(k)*x-(2*k),k=0 .. infinity):

etal:= unapply(%,x) : sum(b2(k)*x-(2*k+l),k=0 .. infinity): eta2 := unapply(%,x): 'eta [1, lambda) (x)' = eta1Cx), 'eta [2, lambda) (x)' = eta2 (x) ;

711 ,,\(X) = hyp 1J2,,\(X)

ｲｧ ･ ｯｭＨ｛

Ｍｾ

= x hypergeom([l Ｋｾ

Ｌ＠ ｾ＠ Ｋ ｾ ｝Ｌ＠ ｛ｾ｝＠ Ｌ＠ ｾ＠ Ｍｾ｝

x 2)

Ｌ＠ ｛ｾ｝＠

x 2)

> odetest(y(x) =etal(x),Dgl), odetest(y(x) =eta2(x),Dgl); etal(O) , eta2(O); eval(diff(etal(x),x),x=O), eval(diff(eta2(x),x),x=0);

0 ,0,

1, 0 ,

0, 1

> alias(StandFunc=StandardFunctions): seq(expand(convert(subs(lambda=2*n,etal(x»),StandFunc)),n=O .. 2); seq(expand(convert(subs(lambda= - (2*n+1) ,eta1(x») ,StandFunc )),n=0 .. 2);

1 , 1 - 3x 2 ' 1 + 353 x 4

-

10x2 '

> seq(expand(convert(subs( l ambda=2*n+1,eta2(x)),StandFunc)),n=0 .. 2); seq(expand(convert(subs( l ambda= - 2*n , eta2(x)),StandFunc)) ,n=1 .. 3);

Die LEGENDRE-Polynome als Onhogonalpolynome: > h := (n,x) -> expand(LegendreP(n,x)) : seq(h(n,x)!coeff(h(n,x),x,ldegree(h(n,x))),n=O . . 5);

6.1 > ｾｩｴｨＨｰｬｯｳＩＺ＠

Lösungen über Potenzreihenansatz (MWS)

251

with(orthopoly): h := (k,x) -> P(k,x)/coeff(P(k,x),x,ldegree(P(k,x))) : folge : = seq(plot(h(n,x),x=-l .. 1,numpoints=500,color=blue, title=cat(convert(n,string), ". Legendre-Polynom")) ,n=1. .6): display(folge,insequence=true,tickmarks=[[-l,O,l] ,[-3,-1,1,3]]) ;

6. LEGENDRE-Polynom 3

-3

Airy l-Diffe re nt ia lgle ichung > restart: Dgl := diff(y(x),x$2)-x*y(x) = 0;

Dgl

;=

y" - xy = 0

ach Satz 6.1. 1 beziehlmgsweise Folgerung 6.1.2 des Textteils erhalten wir durch Potenzreihenansatz analytische Lösungen mit Konvergenzradius r = 00 . Wir b stimmen die Rekur ionsform 1für di Ko ffizienten der R ihenentwicklung: > with(Slode): FPseries(DgI,y(x) , a(nu),x=0,c,6); op(2,%) = 0; isolate(%,a(nu)) : factor(%); Rek : = %: # Rekursion

FP struct ( CO

+ Cl X + ｾ＠

Co

x3

+ 112 Cl x 4 + 110 Co x 6 + L

a( 1.1) x//,

. ..

)

1.1=7

(1.1 2

-

l.I)a(v) - a(l.I- 3) = 0

a(l.I) = a(1.I - 3) 1.1 (1.1 - 1)

Da a,1 durch a//- 3 bestimmt ist, interessieren wir uns für Fundamentallösungen der Form 2://=0 a3 v x 3 // beziehungsweise 2:1.1=0 a31.1+1 x 3 //+1. (Der quadra ische Term tritt nicht auf; daher ist a3'1+2 = 0 nil" 1.1 END.) 1

Der englische Mathematiker und Astronom G80RG E BIOOELL AIRY (1 Oll 92) war in einen mat hemati ehen Arb iten durehau prakti eh orientiert. So befaßte er ieh u. a . mit numeri cher Mondtheorie, Frag n zum VenuOrbit, mathematischer Musikt heorie und entdeck eden As igmatismus des menschlich n Auges.

MWS 6

252

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

> subs(nu=3*k,Rek) : rekl:= subs({a(3*k)=b(k),a(3*k-3)=b(k-l)},%); subs(nu=3*k+l,Rek): rek2 := subs({a(3*k+l)=b(k),a(3*k-2)=b(k-l)},%);

'ekl .- b(k) _ 1 b(k - 1) .- "3k(3k-1)

1'ek2 := b(k) =

1

1 b(k - 1) (3k + l )k

"3

> rsolve({rekl,b(O)=l},b(k»; bl := unapply(%,k) : rsolve({rek2,b(O)=1},b(k»; b2 := unapply(%,k):

r(i) 2 . J3 r(k + i)r(k+ 1) r( k + ｾＩ＠ r(i) r (k + 1) g- k

g-l-k 7f

> sum(bl(k)*x-(3*k),k=O .. infinity):

Al : = unapply(%,x): sum(b2(k)*x-(3*k+l),k=O.. infinity): A2 : = unapply(%,x) : 'A [1] (x), = A1Cx) , 'A [2] (x), = A2 (x) ;

A1(x) =

ｾ＠

A 2 (x) = ｾ＠

31 ,

2ｾＩ＠

r(i) 32/ 3 (X 3)1/6 x Bessell (1 2 H) 35 / 6

BesselI(

9

ｲＨｾＩ＠

3'

3

7f

(X3)1/6

Di beid n Funkt ion n A l und A 2 haben Bedeut ung in der Quant nm chanik. An den Koeffizienten kann man erkennen, daß beide Lösungen für po itiv x in g wis e Ähllliehk it mit den Hyperb !funktionen hab n und d halb monoton wach n. Für n gative x be t ht in Ähnlichkeit mit d m o zillier nden V, rhalten der trigonometri eh n Funktion n. > series(Al(x),x=O,12); series(A2(x),x=O,10);

x

+ 1x 4 + _ 1_ x 7 + O(x I O) 12 504

> plot([Al(x),A2(x)] ,x=-8 . . 3,y=-1 . 3 . .3,color=blue,

linestyle= (1 ,2] ,thickness=2, labels= [" " , ",,] ) ;

Die AIRY-Funkt ionen A l und A 2

6.1

Lösungen über Potenzreihenansatz (MWS)

253

> odetest(y(x)=Al(x),Dgl), odetest(y(x)=A2(x),Dgl); limit (Al(x) ,x=O) , limit(A2(x),x=0); limit(D(Al) (x) ,x=O) , limit (D(A2) (x),x=O);

0, 0

1,0

0 ,1

Anwendung d er Potenzreihenmethode auf ein DGL-System B eispiel 3:

\lVir greifen das einfache Beispiel (B 2 ) a u A bschnitt 6.1 des Text teils auf:

y'

=

F(x) y mit F (x) := ( Xl

xl)

und y(O)

=

ＨｾＩ＠

.

> restart: with(LinearAlgebra): Sys := diff(y[l](x),x) = x*y[l] (x)+y[2] (x), diff(y[2] (x),x) = y[l] (x)+x*y[2] (x); AnfBed := y[l] (0)=1,y[2] (0)=0;

Sys := y{ = XYl

+ Y2, ｹｾ＠

= Yl

+ XY2

AnfBed = Yl (0) = 1 , Y2(0) = 0

Symboli he Lö n: > dsolve({Sys,AnfBed});

Wir komm n zum Potenzreihenansatz und arb iten d ab i a) mi Ko ffizient nvergleich: > E := IdentityMatrix(2): F[O] := Matrix([[O,l],[l,O]]): ' F(x)' = x*E+F[O];

F( x) = Aus einem Ansatz y(x) = und y' (x) =

L

11=0

(v

00

L

v=O

｛ｾ＠

!]

a"x'" folgen F (x) y(x) =

+ l )x"'a"'+l.

L

",=0

x'" (xE + Fo )a",

Es si t somit für v E N die Rekursion

(v+ l )a"'+l = a"- l +Fo a" mit ao = y(O) = (l , Of

und al = Foao = (0 l )T

zu lösen. Das machen wir natül"lich wieder mit einer Prozedur: > a := proc(nu) option remember : if nu=O then return [1,0]

MWS 6

254

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

elif nu=l then return F[O] . a(O) else return (a(nu-2)+F[O] .a(nu-l»/nu end i f end proc : y(x) = evalm(add(evalm(x- nu*a(nu»,nu=O . . 8»;

Y =

[1

5

2

4

19

6

191 2 3 13 5 0 X , X + "3 X + 60 X

+ X + 12 X + 10 X + 100

29

7]

+ 630 X

b) direk mit dem Maple-Befehl dsolve und der Option type=series , die offenbar auch auf Systeme anw ndbar ind: > Order := 7: dsolve({Sys,AnfBed},{y[l] (x),y[2] (x)},type=series);

{ Yl -- 1 + x 2 + ｾｘＴ＠ 12

+ ｾｸＶ＠ 1

+ O(x 7)

0

Y2 -- X + ｾｸＳ＠ 3

+ 60 13 x 5 + O(X 7) }

6.2 Schwach singuläre Punkte Differentialgleichungen mit singulären Stellen sind nicht immer durch einen Po enzreihenansatz lösbar. An EUL R-Differentialgleichungen wollen wir uns - wi chon in B i pi I (B3) d Textt il au gführt - nun auch mit iaple klarmachen, daß man mit in m modifiziert n An atz arb iten muß: Beispiel

4:

> restart : Dgl := x-2*diff(y(x) ,x$2)+4*x*diff(y(x) ,x)+2*y(x) = 0 ;

Dgl := x 2 y" + 4xy'

+ 2y

= 0

> with(Slode): FPseries(DgI,y(x),a(nu» ; op(2,%) = 0 ; isolate(%,a(nu»;

FP

ｴｲ ｵ ｣ｴ Ｈｾ

｡ＨｶＩｘｖＬ＠

a(v) (2 + 3v + v 2 )

a(v)(2 + 3v+v 2 )) =

0,

a(v)

=

0

PDEtool [d clar 1 (vgl. S it 11) i tzu B ginn folg nd r Anw i WlgSgrupp und liefert Differentialausdrücke (durch unsere Initialisierungsdatei) auf 0 im kompakt m vi Iod I . a h d r Variabl ntran formation woll n wir di mt rdrü k n und s halt n cl halb a uf OFF . > with(DEtools) : eulersols(Dgl,y(x»; OFF : Dchangevar({x=exp(t),y(x)=z(t)},Dgl,x,t) : Dg12 := expand('l.); sol := dsolve(Dg12,z(t»; y(x) = subs(t=log(x),rhs(sol» : simplify(%,exp) ;

6. 2

255

Schwach singuläre Punkte (MWS)

｛ＺＲ

Ｉ ｾ｝＠

Dgl2:= 3;t Z(t)

sol := z(t) = _Cl C

2t

+

ｾｚＨｴＩＫＲ＠

+ _C2 e- t )

= 0

y(x) = _Cl x2

+ _C2 x

Beispiel 5:

> restart : with(DEtools) : Dgl := x 2*di ff(y(x),x,x)-3*x*diff(y(x),x)+4*y(x) = Oj euIersols(Dgl,y(x))j OFF: A

> Dg12 := PDEtools[dchange]({x=exp(t),y(x)=z(t)},Dgl,simplifY)j

sol := dsolve(Dg12,z(t)) j PDEtools[dchange] ({t=log(x),z(t)=y(x)},sol)j d2

d

Dgl2 := (iiI z(t) - 4 dt z(t)

sol := z(t) = _Cl

2t

+ _C2

2t t

+ 4z(t)

= 0

y(x) = _Cl x 2 + _C2x 2 ln(x)

B essel- Differentialgleichung > restart : with(DEtools) :

Dgl := x 2*diff(y(x) ,x$2)+x*diff(y(x) ,x)+(x 2-rho 2)*y(x) = Oj A

A

Dgl := x 2 y" > regularsp(Dgl)j

reguIarsp(Dgl,x,y(x))j indicialeq(Dgl,x,O,y(x))j solve(%,x)j #

+ xy' + (x 2 - (l) Y

A

= 0

# schwache Singularität(en) # #

Maple 9 und früher Indexgleichung

Bekanntlich liefern J o und J- o ein Thndamentalsystem der BESSEL-Differenialgleichung, sofern {! nicht aus No ist. \Vir schauen uns speziell für (! = 2 an, welches Resultat Maple liefert: > rho := 2 : dsolve(Dgl,y(x))j

y = _Cl BesselJ (2, x)

+ _C2BesseIY(2 , x)

Mit J 2 und Y2 erhalten wir das erwartete Thndamentalsystem. Verwendet man in dsolve die Option type=series , so enthält die äherungslösung einen Logm'i hmus-Term und sieht deshalb v, ertrauenserweckend' aus, > infolevel[dsolve] : = 3 : Order := 6 : dsolve(Dgl,y(x),series)j

MWS 6

256

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

DEtools/convertsys : converted to first-order system Y'(x) = f(x,Y(x)) namely (with Y' represented by YP)

DEtools/convertsys : correspondence between Y[i] names and original fWlctions:

dsolve/series/ordinary : converted to first-order system Y'(x) = f(x,Y(x)) namely (with Y' represented by YP)

=

[ YPi

Y2

,

Y P2

= - X Y2 + :(: - 4) Y1

1

dsolve/series/ordinary: correspondence between Y[i] names and original fWlctions:

dsolve/series/ordinary: vector Y of initial conditions at xo = [y(o) , D(y) (0)] dsolve/series/ordinary: trying Newton iteration dsolve/series/direct: trying direct subs dsolve/series/froben: trying method of Frobenius dsolve/series/froben: indicial eqn is -4+r -2 dsolve/series/froben: roots of indicial eqn are [[2 , -2]]

°

y =

-

2 + _1_ x 4 Cl x 2 (1 - -.L 12 x 3 4

+ _C2

(

ln(X) (9 X4 + O(x 6 )) X

2

+ O(x6 )) +

- 144 - 36x 2 + O(X6 ) ) X

2

Als näch t vrw nd n wir d n B ｾ＠ hl Siod [FP rie 1 , um mitt ls in s modifizi rt n R ieh nan atz an ien Fundamental y t m zu g lang n: > with(Slode): FPseries(Dgl,y(x),a(nu),O,c,4); op(2,%) = 0; isolate(%,a(nu)): factor(%)j Rek := %: # Rekursion

FPS truct (

CO X2 -

112 Cox 4 2

+ ｾ＠

a(v )x V , a(v - 2) +

a(v - 2) + (- 4 + v ) a(v) = 0 ,

( -4 + v 2 ) a(v))

a(v - 2) a(v) = - (v _ 2)(v + 2)

> subs(nu=2*n+2,Rek); subs({a(2*n+2) =b(n),a(2*n) =b(n-l)},%)j sol := rsolve(%,{b(n)})j

6.3

251

Laplace- Transformation (MWS) a(2n + 2) =

1

a(2n)

- 2 n(2n + 4)'

sol := { b(n) =

b(n) =

1 b(n - 1)

- 2 n(2n + 4)

2( - I) n4- n b(O) } r (n +3) r (n+l)

> subs (b(0)=1/(2-rho*GAMMA (rho+l»,sol); subs(%,Sum(b(n)*x-(2*n+rho),n=0 .. infinity»: % = value(%);

{

I

b(n) = '4 r(n

(- 1)"4- "

+ 3) r(n + 1)

} ,

ｾ＠

1 (_ 1)n4- n x 2n +2

'4 r(n + 3) r(n + 1)

= BesseIJ(2, x)

Es überrasch nicht, daß wir nur eine Lösung erhalten. Für diese Situation ist also der Befehl Slode[FPseries] nur eingeschränkt geeignet. Zum Schluß dieses Abschnitts verifizieren wir durch eine Animation die Beziehung lim p -+ n Ye( x) = Y.,(x) für nE No. > with(plot s): rho : = 'rho': R : = [1,0 . 5,seq(1/(3*k) , k=1 . .10) J : folge : = seq(plot([BesseIY(O,x),BesseIY(rho,x)J,x=O . . 11,y=-1.3 . . 0.6, color=[black,bl ue),tickmarks=[[5,10) ,[-l ,O,O . 5))),rho=R) : display(fol ge,insequence=true);

BESSEL-Funktion Yo mit approximierender Funktion Y1 / 3 0.5

o y -I

6.3 Laplace-Transformation Wir erinnern un an die LAPLA E- Tran fonnation und ver uchen, mit ihrer Hilfe a uch Anfangswertaufgaben der Form yl

=

Ay + g(x) mit y(O)

=

b

zu lösen. Aufgrund bekannter Eigenschaften der L APLACE- Transformation rgibt ich Y() - y(O) = AY( ) + G( ), wobei Y b zi hung w i G

MWS 6

258

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

die L AP LACE- TI:ansformierten von y beziehungsweise 9 sind . \iVir erinnern daral1 , daß diese bei vektorwertigen F\mktionen komponentenweise zu bilden sind. Y(s) erhält man dann als Lösung des Gleichungssystems (sE - A)Y(s) = G( )+b, und y(x) ergibt sich durch Rücktransformation aus Y(s). Zunächst rechnen wir kurz die Beispiele (B 4) bis ( B ) des Textteils, um mit dem einfachsten Befehl, den Maple zur LAPLACE- TI:ansformation bietet, vertraut zu machen: > restart: with(inttrans): L('l')(s)

2'(l)(s) > L('exp(a*x)')(s)

> L('cosh(a*x)')(s) L('sinh(a*x)')(s)

=

1 -

s

laplace(exp(a*x),x,s);

laplace(cosh(a*x),x,s); laplace(sinh(a*x),x,s);

2'( cosh(ax))(s) = > L('cos(a*x)')(s) L('sin(a*x)')(s)

= laplace(l,x,s);

s 2 _

a2 '

a

2'( sinh(ax) ) (s)

laplace(cos(a*x),x,s); laplace(sin(a*x),x,s);

2' ( cos(ax))(s)

=

2

s +a2 '

2'( sin(ax))(s)

a

2

+ a2

> L('exp(b*x)*cos(a*x)')(s) = laplace(exp(b*x)*cos(a*x),x,s); L('exp(b*x)*sin(a*x)')(s) = laplace(exp(b*x)*sin(a*x),x,s);

2'(ebX sin(a x))(s) =

(

s-

｢ Ｒ＠ｾ +a2

Wir vollziehen die Überlegungen für Systeme an folgendem einfachen Beispiel (vgl. (B9) des Textteils) mi Maple nach: > restart: with(LinearAlgebra): with(inttrans): A := Matrix([[6,1], [4,3]]); b : = Vector([1,2]); vy := Vector([y[1](x),y[2](x)]):

A :=

｛ｾ＠ ｾ｝Ｌ＠

b:=

｛ ｾ｝＠

# (B9)

6.3

Laplace-Transformation (MWS)

259

> p := CharacteristicPolynomial(A,lambda); factor(p); p :=

>.2 _ 9>' + 14

(>. - 2)(>' - 7)

> LinearSolve(s*IdentityMatrix(2)-A,b): sol := map(factor,t.): 'Y(s)' = sol;

> map(invlaplace,sol,s,x): zip«u,v)->u=v,vy,t.): Loesung := convert(t.,list);

ｾ＠

Loesung := [Yl =

70; -

i

20;, Y2 = ｾ･Ｒｸ＠

+ ｾ＠

70;]

> Sys := convert(map(diff,vy,x)-(A . vy) ,list): sUbs(Loesung,Sys) : map(simplify,t.), eval(Loesung,x=O);

[0 0],

[Yl(O) =

1, Y2(0)

=

2]

Die folgende einfache lineare Anfangswertaufgabe zweiter Ordnung greift das Beispiel (B 10) des TextteHs auf: > restart : with(LinearAlgebra): with(DEtools): with(inttrans): vy : = [y[1],y[2]] : Dgl := diff(y(x),x$2)-6*diff(y(x),x)+10*y(x) = 0; AnfBed := y(O) = 0, D(y)(O) = 1;

Dgl := y" - 6y'

+ lOy

#

AnfBed: = y(O) = 0 , D(y)(O ) = 1

= 0,

> convertsys(Dgl,{AnfBed},y(x),x,y,Dy); Sys, b := op(1,%), Vector(op(4,%));

[[DYl = Y2 DY2 = 6Y2 - lOyI] Sys , b: = [DYl

= Y2,

DY2

[Yl = Y, Y2 =

= 6Y2 -

> A . =-GenerateMatrix(Sys,vy) [1] ;

> sol := LinearSolve(s*IdentityMatrix(2) - A,b) : 'Y(s)' = map(student[comp1etesquare] ,sol,s);

lOYl],

y,]

｛ｾ｝＠

0, [0

11]

(B10)

MWS 6

260

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

Hier benötigen wir nur zu der ersten Komponente ein Urbild: > invlaplace(sol[l],s,x) ; Loesung ;= y(x) = %; Loesung := y = e 3x sin(x)

o

> odetest(Loesung,Dgl);

Maple kommt bei diesem einfachen Beispiel natürlich auch ohne unsere Hilfestellung ,direkt' zum Ziel: > dsolve({Dgl,AnfBed},y(x),method=laplace);

y = e 3x sin(x) Auch da Bei piel aus Ab chnitt 5.4 (Seite 170ft') (vgl. a uch Bei piel 7 au MWS 5) greifen wir mit aple und der L APLA E- TI:ansformation auf: B eispiel 6: > restart ; with(LinearAlgebra): with(inttrans); A ; = Matrix( [[0, 1,0] ,[4 , 3,-4] ,[1,2,-1 ]J ); cO ; = Vector([1,8,4]); cl ; = Vector([0,4,1]); c2 ;= Vector([2,0,2]) ; g ; = exp(x)*cO + x*exp(x)*cl + x-2/2*exp(x)*c2; g ;= unapply(g,x) ; 'g(x) ' = g(x); b . = Vector([O,O,O]); vy ; = Vector([y[l) (x),y[2) (x) ,y[3) (x»)) ;

A '-

｛ ｾ＠1 ｾ＠ 2 -1Ｍｾｬ＠

> P ;= CharacteristicPolynomial(A,lambda) ; factor(p);

> map(laplace,g(x),x,s); map(normal,%); G ;= unapply(%,s) ; ' G(s) ' = Ges)

G(8) 48 2 - 78

+5

(8 - 1)3

6.3

Laplace-Transformation (MWS)

261

> LinearSolve(s*Ident i tyMatrix(3) - A,G(s)+b) : sol := map(fact or,%) : 'Y(s)' = sol ;

5s 2 Y(s)

+

3 + 1 - 3s ses - 1)4

4 (2 2 - 2 + 1) (s - 1)4

(1 + s)(4s 2 (

-

2s + 1)

_ 1)4

> map( invlaplace , sol,s, x): zip((u,v) - >u=v,vy,%) : Loesung := convert(%,li st);

Loesung :=

[Yl = Y2 =

1 + (3x 2 - 1 + ix3

i

(12 x

+ 2x) e

+ 6 x 2 + x 3) e

X,

X

Y3 = 1 + (x 3 +

ｾ＠ x 2 + 5 x -

1) ea]

Wir vergessen auch hier nkbt die Probe: > Sys := convert(map(diff ,vy , x) - (A . vy + g(x)),list) : subs(Loesung,Sys) : map(simplify,%);

[0

°

01

Die Behandlung der Beispiele (B 11) bis (B 14) des Textteils mit nun Routine:

aple ist

> restart : with(inttrans) : Dgl := diff(eta(x),x$2)-eta(x) = 0 ;

# (B ll )

Dgl := 1]" - 1] = 0 > PDEtools[decl are] ();

Declared: y(x) u(x) v(x) ,1](x) to be displayed as Y u, v, 1]; derivatives with respect to x oj junction oj one variable are being displayed with I Zur Abkürzung verwenden wir die folgende alias-Anweisung. Die e wir kt nicht wenn PDEtools[declarel sich im 0 -Modu befindet; de halb schalten wir vorher auf OFF: > OFF : alias(H(s)=laplace(eta(x),x,s)): # H als Großs chreibung von eta laplace(Dgl ,x,s) : expand(%): collect(%,H(s));

(S2 - l )H (s) - S1](O) - D(1])(O) = 0

MWS 6

262

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

> expr '= isolate(%,H(s»; convert(rhs(expr),parfrac,s);

expr

H(s)

:=

S7](O) + D(7])(O)

=

S2

ｾ＠

- 1

-D(7])(O) + 7](0) + ｾ＠ _7](,---,O_) +_ D _ (,---,1])---,-(O--,-) 2 + 1 2 - 1

Wir berechnen das Urbild und machen wieder die Probe: > ON: invlaplace(expr,s,x); odetest(%,Ogl);

1] = 7](0) cosh(x)

+ D(1])(O) sinh(x),

0

Maple kommt auch hier wieder ,direkt' zum Ziel: > dsolve(Ogl,eta(x),method=laplace);

1] = 17(0) cosh(x)

+ D(17) (0) sinh(x)

> restart : with(inttrans) : f := x - > ｰｩ･｣ｷｳＨｸ＼ｏＬ｡｢ｾｮＩﾻ L('f')(s) = laplace(f(x),x,s);

!L'(f)(s)

# (B12) Ｚ＠

coth ＨｾＩ＠

=

82

2

+1

Zum Vergleich mit dem Erg bni au dem 'D xtteil la e n wirumformen: > convert(%,exp): simplify(%);

> H[c] := x - > Heaviside(x- c) : L('H[2]')(s) = lapl ace(subs(c=2,H[c](x»,x , s);

# (B13), c=2

> lapl ace(subs(n=3,x-n),x,s);

# (B14) , n=3

6

4' > restart : with(inttrans) : Ogl : = x*diff(eta(x),x$2)-x*diff(eta(x),x)-eta(x) = 0 ; AnfBed := eta(O)=O, O(eta)(O)=l;

Dgl

:= X7]" - X7]' -

7]

=

0

AnfBed

=

7](0)

=

0 , D(7])(O)

# (B15)

= 1

6. 3

263

Laplace-Transformation (MWS)

> dsolve({Dgl,AnfBed},eta(x),method=laplace);

> OFF: alias(H(s)=laplace(eta(x),x,s» : laplace(Dgl,x,s);

> isolate(%,diff(H(s),s»: factor(%) : eq := subs(AnfBed,%);

eq :=

!L H (s)

= _

ds

2H(s)

- 1+

> subs(H(s)=z(s),eq); dsolve(%,z(s» ; sol : = subs(z(s)=H(s),%);

!L z(s) ds

= _ 2 z(s) -1 + s

_Cl ( ) zs = (-1+s)2 '

( ) sol := H s =

_Cl ( )2 - 1+s

> ON: eq : = invlaplace(sol,s,x); eval(diff(eq,x),x=O); convert(%,D);

eq := TJ = _Cl xe x

,

TJ' I

x= O

= _Cl ,

D(TJ)( O) = _Cl

> subs({AnfBed},%); solve(%,{_Cl}); eval(eq,%);

Unstetige rechte Seiten Bei dem folgenden Beispiel mit unstetigen rechten Seiten, wie sie etwa bei der Modellierung von Ein- und Ausschaltvorgängen in natürlicher Weise auftreten, greifen wir eine Anregung aus [Gu j Mo] auf, die wir ,lebendig' interpretieren. Ein Opa schubst seinen Enkel auf einer Schaukel an: > restart : with(plots): DGL := diff(y(x),x$2) + y(x); # eigentlich: diff(y(x),x$2)+sin(y(x» AWe := y(O)=O, D(y)(O)=l; Loesung := dsolve({DGL=O,AWe},y(x»;

DGL := y" + y,

A W e:= y(O) = 0 D(y)(O) = 1

Loesung := y =

in (x)

> alias(H=Heaviside) : PI := evalf(Pi,5): Schub := x -> sum«-l)-j*H(x-j*Pi),j=O .. 5);

MWS 6

264

Nützliches -

nicht nur für den Praktiker

5

Schub := x ｾ＠

L (- l)j H( x -

j7f)

j=O

)11

> set options(axesfont=[SYMBOL,12],thickness=3,scaling=constrained): OPTS : = discont=true,color=black: OPTL : = color=blue: xTICKS : = n -> [PI =p,seq(k*PI=cat(convert(k,string) , p),k=2 . .n) ] : GraphS : = n -> plot(g,0 .. n*3 . 2,OPTS): LoesO := rhs(Loesung): plot(LoesO,x=O .. 16,tickmarks=[xTICKS(5),[- 1,1]],OPTL); g := Schub: Y : = [seq(3*k,k=-2 .. 2)] : Loesungl:= dsolve({DGL=g(x),AWe},y(x),method=laplace); Loes1 := rhs(Loesungl): Bild1 : = plot(Loes1,x=O.. 7*3 . 2,OPTL): display (GraphS(7) ,Bild1, tickmarks= [xTICKS (7) ,Y]) ;

Loesungl := y

+ ( 2H(x -

27r)

=

1+

(

-

+ 2H(x -

2H(x - 7r) - 2H( x - 37r) - 2H(x - 57r) ) cos

47r) ) sin ＨｾＩＲ＠

Opa schläft

-

cos(x)

+ sin(x)

Enkel jauchzt, Mutter besorgt

> g : = X -> Schub(2*x): Loes2 := rhs (dsolve ({OGL=g(x) ,AWe},y(x) ,method=laplace)) : Bild2 : = plot(Loes2,x=O . . 3*3 . 2,OPTL) : display(GraphS(3) , Bild2,tickmarks=[xTICKS(3) ,[0,2]]) ; g : = x - > Schub(x!2) : Loes3 : = rhs (dsolve ({DGL=g(x) ,AWe},y(x) ,method=laplace)) : Bild3 := plot (Loes3,x=0 .. 6*3 . 2,OPTL) : displ ay(GraphS(6),Bild3,tickmarks= [xTICKS(6) ,[0,2]]) ;

Kontrolliertes Schaukeln

X 2 (2)

Weniger l angweilig

Kapitel 7

Rand- und Eigenwertprobleme 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

7.6

RWAn für lineare DGL-Systeme mit linearen Randbedingungen Randwertprobleme für lineare Differentialgleichungen k-ter Ordnung icht-lineare Randwertaufgaben und Fixpunktprobleme S lb tadjungi rt Randw rtaufgab n Selbstadj ungierte Randeigenwertaufgaben FOURIER-R ih n Entwicklungssätze STURM-LIOUVILLE-Randeigenwertaufgaben

Bei den bisher betrachteten Anjangswertaufgaben waren - zu einer gegebenen Differentialgleichung - für eine gesuchte Funktion (und eventuell einige ihrer Ableitungen) Bedingungen in einem Punkt gestellt worden. Bei den in diesem Kapitel untersuchten Randwertproblemen werden Bedingungen an den beiden Randpunkten a und b eines vorgegebenen Intervalls [a, b1 gestellt. Fragen dieser Art begegnen uns bei vielen Aufgaben der Physik und Technik. Ein Beispiel, das auch in der Entwicklung der Mathematik eine herausragende Bedeutung hatte, ist das der schwingenden Saite: Eine Saite einer festen Länge ist an zwei Punkten der x-Achse eingespannt und wird etwa durch Auslenkung angeregt. Bei den meisten Fragestellungen werden nur für gewisse Randbedingungen eindeutige Lösungen existieren. Die allgemeine Untersuchung führt zu Eigenwertaujgaben. Schon bei der schwingenden Saite, wo ein beliebiger Ton durch Kombination von Obertönen beschrieben werden kann, stößt man auf die Frage der Entwicklung nach ,speziellen' Funktionen. Wie in den Kapiteln 4, 5 und 6 ist es auch hier von Vorteil, zunächst allgemein Systeme zu betrachten und erst dann auf Differentialgleichungen k-ter Ordnung, schließlich speziell zweiter Ordnung, überzugehen.

266

Kapit el 'l

Rand- und Eigenwertprobleme

7.1 Randwertaufgaben für lineare DGL-Systeme mit linearen Randbedingungen Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

= F(x )y + g( x)

y'

(D)

mit der linearen Randbedingung

Ay(a)

+ B y( b) = c .

(R)

Hierbei seien k eine natürliche Zahl, a und b reelle Zahlen mit a < b, F E Co ([ a, b], h1 k), also eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b] mit Werten in dem Raum h1k der (komplexen) k x k-Matrizen, 9 E Co := Co ([ a, b], Ck ), also eine stetige Funktion auf [a, b] mit Werten im Ck , A und Baus h1 k und c E C k . Die gesuchten Lösungen y liegen also in Cl := Cl([a, b],Ck). Ein derartiges Problem heißt Randwertaujgabe oder Randwertproblem, kurz RWA oder RWP, genauer auch Zweipunkt-Randwertaujgabe oder ZweipunktRandwertproblem. Wir sprechen von einer homogenen Randwertaufgabe, wenn die Funktion 9 und der Vektor c Null sind. Ist mindestens eine dieser beiden Größen Null, so bezeichnen wir die Aufgabe als halbhomogen. Wir werden sehen, daß ohne zusätzliche Voraussetzungen an die Randbedingungen keine allgemeine Aussage über die Lösbarkeit einer Randwertaufgabe gemacht und - im Falle der Lösbarkeit - nicht Eindeutigkeit erschlossen werden kann. Durch (Hz)(x) := z'(x) - F(x)z(x) für z E Cl und xE [a, b] ist eine C-lineare Abbildung

H: Cl

Co

= g. Mit Rz .- Az(a) + Bz(b)

gegeben. (D) bedeutet damit gerade Hy hat man entsprechend eine C-l'ineare Abbild'ung

-----+

R : Cl

und die Randbedingung kann kurz als Ry

-----+

ck ,

= c geschrieben werden.

Es sei Y E Cl ([ a, b], h1 k) eine Fundamentalmatrix des homogenen Systems zu (D), d.h. Y'(x) = F(x)Y(x) mit detY(x) -=I- 0 für alle xE [a, b]. Mittels Variation der Konstanten - man vergleiche hierzu Abschnitt 4.6 erhält man die spezielle Lösung des inhomogenen Systems (D) x

yo(x) '- Y(x)

(J a

Y(t)-lg(t) dt)

(x

E

[a, bJ)

1.1

261

Randwertaufgaben für Syst em e

mit yo(a) =

o. Damit gewinnt man mit beliebigem y( x )

d E IR k

= yo( x ) + Y( x )d

(1)

als allgemeine Lösung von (D). Die Randbedingungen (R) führen dann auf das lineare Gleichungssystem

(A Y (a)

+ B Y (b)) d + B Yo (b)

=

(2)

c,

dessen Koeffizientenmatrix

G

:=

Gy

:= AY(a)

+ BY(b)

als charakteristische Matrix bezeichnet wird. Aus (2) liest man ab: Satz 7.1.1

Die Randwertaufgabe (D) mit (R) ist genau dann für beliebiges g und c eindeutig lösbar, wenn die Matrix G invertierbar ist, d. h. di e Det erminante von G nicht Null ist. Natürlich ist dies äquivalent dazu, daß die zugehörige homogene Randwertaufgabe y'

= F(x)y mit Ay(a) + By(b) = 0

(3)

nur trivial lösbar ist, d. h. nur y = 0 als Lösung hat.

Wir sehen uns zwei erste Beispiele dazu an: (B 1) Wir betrachten die lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

y' =

Ｈｾ＠ ｾＩ＠

Y

'-v-"

= :F

mit den Randbedingungen

GｾＩ＠

y(o)

+

Ｈ Ｍ ｾ＠

n (n y(l)

=

Es gilt F n = 0 für n 2': 2. Daherliefert Y(x): = exp(xF) =

GｾＩ＠

ei-

ne Fundamentalmatrix Y. Damit erhält man zu den g egebenen Randbedingungen d as lineare Gleichungssystem Gd =

mit

(n

(4)

268

Kapit el 'l C: = AY(O)+BY(l) =

Rand- und Eigenwertprobleme

GｮＫＨ ｇｾＩ＠

nGD Ｈｾ＠

Ｍ ｾ＠

=

-D·

Die Matrix C hat also den Rang 1, hingegen hat die erweiterte Koeffizientenmatrix (C, (0,1 )T) den Rang 2. Mithin besitzt das Gleichungssystem (4) und damit die Randwertaufgabe keine Lösung.

(B2) Mit einer beliebigen reellen Zahl

0: sei die lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit den Randbedingungen

(1o 0) 1

y(O)

+

(-1 0)

0 - 1 Y(7r)

betrachtet. Wir verwenden im Falle 0: = 0 die Fundamentalmatrix Y aus dem vorangehenden Beispiel und erhalten über die Randbedingungen das homogene Gleichungssystem Cd = 0 mit der charakteristischen Matrix C = ( 01 0) 1 (10 0) 1

+

( - 01 - 0) 1 (10 7r) 1 = (00 - 7r) 0 .

Dieses hat offensichtlich die eindimensionale Lösungsmannigfaltigkeit {( t, O)T I t E IR} , also unendlich viele nicht-triviale Lösungen. Im Falle

0:

i=- 0 is t z. B. Y( x ) = (

sin(o:x) cos(o:x)) 0: cos( 0: x) - 0: sin( 0: x)

eine Fundamentalmatrix des (homogenen) DGL-Systems. Für die charakteristische Matrix ergibt sich hier C = -

GnＨｾＩ＠ (

+

Ｈ Ｍ ｾ＠

-nＨｯＺｾ

ｾ＠

ＭｯＺｾ ｾｄ＠

- sin(O:7r) 1 - cos(O:7r)) 0:(1- cos(O:7r)) o:sin(O:7r) .

Wegen det C

=

- 20:(1 - cos(O:7r))

besitzt diese Randwertaufgabe - unter Beachtung von 0: i=- 0 - genau dann eine nicht-triviale Lösung, wenn 0: E 21 \ {O} ist.

1.1

269

Randwertaufgaben für Syst em e

Anmerkung Sind Y und Z Fundamentalmatrizen des homogenen Differentialgleichungssystems, so besteht zwischen ihnen - nach Bemerkung 4.3.5 - die Beziehung Z = YT mit einer invertierbaren Matrix T E h1k .

Mithin gilt Cz

= AZ(a) + BZ(b) = CyT.

Folglich ist die Matrix C z genau dann invertierbar, wenn C y dies ist. Im Fall der eindeutigen Lösbarkeit (durch die ,triviale' Nullfunktion) der zugehörigen homogenen Randwertaufgabe Hy

= 0 und Ry = 0 ,

also im Falle det C#-O was wir für den Rest dieses Abschnitts voraussetzen, kann man die Lösungsfunktion des allgemeinen Problems mit Hilfe der sogenannten GREEN1-Matrix beschreiben. Satz 7.1.2 Es gibt eine matrixwertige Abbildung

G: [a, b]x [a, b] ----+ h1 k mit den Eigenschaften: • Die Einschränkung von G auf di e beiden B ereiche {( x, t) I a ｾ＠ und {( x, t) I a ｾ＠ t ｾ＠ x ｾ＠ b} ist j eweils stetig.

• G(H , t) - G(t-, t)

=

x < t ｾ＠

b}

E für a< t < b.

• Für j edes g E Co ([ a , b], Ck ) ist durch

J b

y(x) .-

G(x , t) g(t)dt

a

die Lösung y der Randwertaufgabe mit homogener Randbedingung (c gegeben, also H y = g mit Ry = O. 1

= 0)

Der englische Mathematiker und Physiker GEORGE GREEN (1793- 1841) liefert e Grundlagen d er Potentialtheorie (GREEN-Funktion und GREEN-Formel) und Beiträge zur Schwingungslehre.

Kapit el 7

270

Rand- und Eigenwertprobleme

Definitionsbereich der GREEN-Matrix t

b -

-ｾ＠ x
t

I

llllITllll

a ...... .. ,

a

x

Beweis: Nach (1) und (2) gilt nämlich für die Lösung y der Randwertaufgabe mit homogener Randbedingung y(x) = yo( x ) + Y( x ) d

Cd

und

mit einem geeigneten d E Ck, hier also d nition der Funktion Yo hat man also

=

0

_ C - 1 BYo(b). Gemäß der Defi-

J J x

y(x) =

+ BYo(b) =

J b

Y(x) Y(t) - l g(t) dt - Y(x)C - 1 B

a

Y(b) Y(t) - l g(t) dt

a

b

=

G(x , t)g(t)dt

a

mit G( x, t) := {

Y(x)(E - C- 1 BY(b))Y(t) -l, ｡ｾｴｸ｢＠

- Y(x)C - 1 BY(b)Y(t) -l, ｡ｾｸ＼ｴ｢Ｌ＠

indem man das Integral von abis b aufspaltet in den Teil von a bis x und den Rest. Zusammen mit E -C-1 BY(b) = C-1AY(a),

was direkt aus der Definition von C folgt, und

1.1

Randwertaufgaben für System e G(H , t)

G(t -, t)

211

Y(t)C - 1 AY(a)Y(t) -1, - Y(t) C - 1BY(b) Y(t) -1 D

ergibt dies offenbar die Behauptung. Anmerkung Für die im Beweis definierte Abbildung G gilt: G x t

-

( , ) -

{

Y (X)C- l AY(a)Y (t )- 1 ,

a $. t $.x$. b

- Y (x)C - 1 BY(b)Y (t )- 1 ,

a$.x 0: Die allgemeine Lösung 'f) der Differentialgleichung ist in diesem Fall von der Form 'f) (x)

= Cl sin (.J:\ x) + C2 cos ( .J:\ x) .

'f)(O) = 0 liefert C2 = O. Dann zeigt 0 = 'f)( 7r) = Cl sin (.J:\ 7r) , daß eine nicht-triviale Lösung genau dann existiert, wenn sin (.J:\ 7r) = 0 gilt , also .J:\ eine natürliche Zahl ist. Damit haben wir unendlich viele Eigenwerte (speziell Eigenfrequenzen der Saite) An := n 2 mit zugehörigen n, ormierten' Eigenlösungen

'f)n =

Ifr

sin

(nl'A)

für n E IN. Die ,Normierung' bedeutet, daß ('f)n , 'f)n) = 1 mit dem Skalarprodukt ( , )aus Abschnitt 7.4 gilt. Der zugehörige Eigenraum 7

Der d eutsche Physiker und Physiologe HERMANN LUDWIG FERDINAND VON HELMHOLTZ (1821- 1894) untersuchte physiologische Vorgänge auf physikalischer Basis. In der Physik klärte er die Bedeutung des Energieprinzips und bereitete mit seinen Untersuchungen zur Elektrodynamik die Theorie von MAXWELL vor.

1.5

289

S elbstadjungierte Randeigenwertaufgaben

ist jeweils eindimensional. Zudem sind die Funktionen 'T)n paarweise orthogonal, bilden also ein Orthonormalsystem. Dieses ist bekanntlich vollständig, d. h. jede Funktion 'T) E Co ([ 0 , 'Ir ], c) 8 läßt sich darstellen in der Form 00

'T)

= 'I)'T) ,'T)n)'T)n. n= l

Die Koeffizienten ('T) , 'T)n) heißen FOURIER-Koeffizi enten, die Reihe FOURIER-Reihe. Die Konvergenz bezüglich d er Norm, die aus dem Skalarprodukt resultiert, ist einfach zu sehen. Entscheidende Fragen sind: Wann hat man punktweise, wann gleichmäßige Konvergenz ? Bei den folgenden Überlegungen betrachten wir als wichtigen Spezialfall den für viele Anwendungen - insbesondere auch bei der Behandlung partieller Differentialgleichungen d er Physik - wichtigen und ausreichenden Fall einer reellen selbstadjungierten Randwertaufgabe zweiter Ordnung mit homogen en Randbedingung en:

(L'T) )(x) .- - (p (x) 'T)' (X) )1 mit

R'T)

:=

",(a) ) A ( 'T)/ (a)

+ q(x) 'T)(x)

= l'(x)

("'(b)) =

+ B ",' (b)

(1)

(2)

0

Hierbei s eien wieder a und b reelle Zahlen mit a < b, x jeweils in [a , b1 , p E Cl := CI([a , b], lR) , q,l' E Co := Co([a , b], lR) , 'T) E C2 := C2 ([a , b], lR) und A und B reelle (2 , 2)-Matrizen. Wir bezeichnen wieder mit U d en Unterraum aller Funktionen, die die Randbedingungen (2) erfüllen, also U :=

{'T) E

C2 A(T('T)))(a) 1

+ B(T('T)))(b)

=

o}.

Wir machen die Annahme, daß die homogene R andwertaufgabe L'T) = 0 mit R'T) = 0 nur trivial lösbar ist. Die allgemeine R andwertaufgabe (1) mit (2) besitzt d ann eine eindeutig bestimmte Lösung 'T) , die mit Hilfe der hier reellen GREEN-Funktion G in der Gestalt

J b

'T)( x )

=

G( x, t) 1'(t) dt

a

geschrieben w erden kann. Wir haben also eine Integralgleichung mit Sat z 7.4.1 - symmetrischem ,Kern' G. 8

nach

Der passende Raum wäre e ig entlich 'c2 ( [0, 7f l, C). Die Kenntnisse der L EBESGU E-Integra tionstheorie wollen wir jedoch in diesem Buch nicht vora ussetzen.

Kapit el 'l

290

Wir betrachten mit einer Funktion wertaufgabe 9

l'

E

Rand- und Eigenwertprobleme

Co ([a , b], 10,

00 [)

die Randeigen-

(L7})(x) = Ar(x) 7}(x) mit R7} = O.

(3)

Wir sprechen oft lax von Eigenwerten von L, wenn wir Eigenwerte des auf U eingeschränkten Operators 1/1' L meinen. Bemerkung 7 .5. 1

Eigenwerte von L sind reell. Beweis: Für .\ E C und u EU \ {O} mit Lu

= .\ru

rechnet man unter Berücksichtigung der Selbstadjungiertheit der Aufgabe .\(ru, u) = (.\ru,u) = (Lu , u) = (u , Lu) = (u , Aru) = "X(u ,r u). Das zeigt .\ =

"X,

da (ru,u) = (vru,vru) = (u,ru) positiv ist.

D

Wir weisen ausdrücklich darauf hin, daß wir bisher noch keine allgemeinen Existenzaussagen für Eigenwerte bei dem vorliegenden Aufgabentyp haben! Die obige Annahme bedeutet gerade, daß .\ = 0 kein Eigenwert von List. Die Randeigenwertaufgabe (3) ist äquivalent zu

J b

7](x)

= .\

G(x,t)r(t)7](t)dt ,

a

also einem Eigenwertproblem für eine Integralgleichung. Mit dem FREDHOLMIntegraloperator 1o T, definiert durch

J b

(T'T]) (x) .-

G (x, t) r(t) 'T](t) dt

a

für 9

10

7]

E

Co, kann dies kurz als

Dieser zusätzlich auftretende Faktor l' ist wichtig, da bei der Umschreibung auf formal-selbstadjungierte Form gemäß Bemerkung 7.4.2 auch die gegebene Inhomogenität zu transformieren ist. Der schwedische Mathematiker ERIC IVAR FREDHOLlvl (1866-1927) beschäftigte sich besonders mit Problemen d er praktischen Mechanik. Die nach ihm benannte Integralgleichung zweiter Art spielt eine entscheidende Rolle bei d erLösung physikalischer Aufgaben. Seine Untersuchungen gaben erste Anregungen für die HILBERT-Raum-Theorie, wie sie später von DAVID HILB ERT, ERHARD SCHlvlIDT und FREDERIC RIESZ ausgestaltet wurde.

1.5

Selbstadjungierte Randeigenwertaufgaben

291

(4)

1} = >"T1}

notiert werden. T : Co

Co ist offenbar linear. Bez üglich des auf Co d urch ｾ＠

!

b

(u v) :=

r(x)u(x)v(x) dx

a

definierten Skalarproduktes l l ist T symmetrisch, d . h. es gilt

(T u , v) = (u , Tv)

(5)

fü r u und v a us Co .

=! b

Beweis:

(T u v)

a

=

T(X) ( !

!! ! a

=

b

b

b

b

a

G (x t) rex) r (t) u(t) v(x) dtdx b

r(t) ( !

a

G(x t) 1.(t)U(t )dt) V(X)dX

a

ｾ＠

1·(x)v(x)dx = (u, T v)

o

a =G(t ,x ) '----...v,.-----"

=(Tv )(t)

Man hat bei dieser Rechnung irgendwie den Eindruck, daß diese Symmetrie auch ohne Rechnung z u ehen sein müßte. Dazu notieren wir:

B em e rkung 7.5 .2 a) Für u E Co gelten T u E il und LT u = TU. b) Für v E 11 gilt v = T (l jT L )v . Beweis: a) ist unmittelbar durch d ie Definition und die Beschreibung einer Lö ung d r RWA durch d i GREEN-Funkt ion geg b n ; d nn f ü vr := T u gelten j a g rade R v = 0 und L v = TU . Für b) b a htet man zu v E 11 mit w := l /r L v : LT w = r w = L v , al 0 L(Tw - v) = O. Da 0 nich 0 Eigenwert von L ist , gilt v = Tw = T( I /r L )v. Mit a) kann man nun die Symmetrie v on T bezüglich ( , 11

)sehen' , :

Auch den Nachweis, daß ( ) ien Skalarproduk t is t , lassen wir weg. Man lies die zu zeigenden Eigenschaften direkt ab a us (u, v) = ( Jr u, Jr v) = (ru, v) für u v E Co . Wi r weisen nur darauf hin , daß die Po it ivität von r die Defin it heit sichert .

Kapit el 'l

292

Rand- und Eigenwertprobleme

(Tu , rv) = (Tu , LTv) = (LTu , Tv) = (ru, Tv) = (u, Tv)

(Tu, v)

An einigen Stellen ist im folgenden zu berücksichtigen , daß die Eigenwerte zu L und die zu T offenbar gerade reziprok zueinander sind. Bemerkung 7.5.3

Alle Eigenwerte zu T sind reell. Eigenlösungen zu verschiedenen Eigenwerten von T sind bezüglich ( , )zueinander orthogonal. Beweis: Die erste Aussage ist durch Bemerkung 7.5.1 mit obiger Anmerkung über die Reziprozität der Eigenwerte von L und T gegeben. Sind A und f-L verschiedene Eigenwerte von T, so gilt für Eigenlösungen zu A und v zu f-L

A(U, v)

=

(AU, v)

=

(Tu, v)

ｾ＠

(u, Tv)

U

f-L(u, v) .

(U, f-Lv )

D

Damit hat man (u, v) = O.

Für die nachfolgenden Überlegungen stellen wir einige einfache Anmerkungen zu FOURIER-Reihen zusammen. In Abrenzung von Spezialfällen mit trigonometrischen Funktionen (man vergleiche etwa (89)) spricht man oft auch von verallgemeinerten FOURIER-Reihen. Wir lassen jedoch den Zusatz" verallgemeinert" im folgenden jeweils weg.

Fourier-Reihen Eine gegebene Funktionenfolge ('Pv) sei ein Orthonormalsystem, d. h. ('Pv, 'PI')

o ,v = {1 ,

#- f-L

v = f-L

.

Dies ist beispielsweise gegeben, wenn man für v E IN zum Eigenwert Av von Teine normierte Eigenfunktion 'f'v hat.

Wir betrachten den Vektorraum lJt := {f I f: [a, b1 --+ IR

integrierbar}.

Der Kenner wird hier Integrierbarkeit im Sinne von L EBESGUE verstehen und den HILBERT-Raum ,l32( [a , b],C ) heranziehen. Für die Fragestellung dieses Abschnittes genügt jedoch weitgehend der R aum der RIEMANN-integrierbaren Funktionen beziehungsweise noch spezieller Co mit dem Skalarprodukt ( , ) als Prä-HILB ERTRaum , also ohne Vollständigkeit.

Zu

f

E lJt und n E tN sind Koeffizienten

J b

r(x) (J( x )

a

n

L v =l

Cl, ... , Cn

E IR derart gesucht, daß n

2 Cv

7]v (x )) dx

1f

-

L

v =l

2 Cv 7]v 12

1.5

293

Selbstadjungierte Randeigenwertaulgaben

minimal wird bezüglich der aus dem Skalarprodukt ( , ) resultierenden Norm I 1 2 ("Approximation im gewichteten quadratischen Mittel"). Für beliebige Cl/ gilt n

\I -

L

n

CI/ 171/ , I

1/=1

-

L

n

(I , f)

CI/ 171/ )

1/=1

+ L (CI/ -

n

(I , 171/ )) 2 -

1/=1

L

(I, 171/ )2.

1/=1

Dieser (nicht-negative) Ausdruck wird offenbar g enau dan n minimal, wenn = (1 , 171/ ) für v = 1 , ... , n gilt. Die Zahlen (1 , 171/ ) heißen FOURIERK oejfizienten (von I bezüglich 171/). Mit

CI/

n

L (I , 1]1/) 1]11

Fn :=

1/=1

liest man sofort

o < 1I - ｆｮ

n

111; - L

ｬ ｾ＠

(1 , 171/ )2

1/=1

ab und daraus

n

sowie die BESSEL- Ungleichung:

L (1 , 77,/)2 :5 (I , f)

ｉ ｉ ｉ ｾ＠

=

1/=0

Insgesamt hat man so den Approximationssatz: Satz 7.5.4

Unter allen Funktionen der Form

n

L

1/=1

CI/ 171/ wird

I

am besten durch F n im

quadratischen Mittel approximiert; dabei gilt:

U-

Fn , 1 - Fnl =

111; -

n

L (I , 171/ )2

1/=1

Es gilt also genau dann Gleichung 12

IFn - 112 --+

0 für n

--+ 00 ,

wenn die PARSEVAL-

00

L

(1 , 171/ )2

= (I, f) =

111;

1/=1 12

Im Spezialfall von dem französischen Mathematiker MARC-ANTOINE P ARSEVAL DES CH ENES (1755-1836) notiert.

Kapit el 'l

294

Rand- und Eigenwertprobleme

erfüllt ist. Man schreibt in diesem Fall 00

f =

LU,TJv ) TJv

(FOURIER-Reihe von f)

v=l

und sollte dabei beachten, daß dies ,nur' Konvergenz bezüglich I 12 bedeutet. Entwicklungssätze Das Ziel der nachfolgenden Überlegungen ist der Nachweis von: • L besitzt abzählbar unendlich viele reelle Eigenwerte An mit An n-+oo .

---+ 00

für

• Jede genügend glatte Funktion, welche die Randbedingungen erfüllt, kann in eine gleichmäßig konvergente FOURIER-Reihe nach den zugehörigen Eigenfunktionen TJn entwickelt werden.

Mit Hilfe der FOURIER-Reihen gelingt dann die Lösung der Randwertaufgabe. Für den durchaus aufwendigen Beweis gibt es mehrere Möglichkeiten: Der Weg über die PRÜ FER 13 -Transformation wird etwa in [Wal] ausgeführt. Verbreiteter, weil allgemeiner anwendbar, ist die Herleitung aus der Eigenwerttheorie selbstadjungierter Int egraloperatoren, allgemeiner der Eigenwerttheorie kompakter selbstadjungierter Operatoren im HILBERT-Raum. Auch wir folgen daher diesem Weg, verzichten aber darauf, naheliegende Verallgemeinerungen darzustellen, und beschränken uns konsequent auf die hier gegebene Fragestellung. Wir benötigen einige Vorbereitungen: Neben der Maximumsnorm I Is betrachten wir auf Co, wie schon oben vermerkt, noch die aus dem Skalarprodukt ( , ) resultierende Norm I 12 ' also

lul2 Man hat -

wie üblich -

:=

R

für u E Co .

die Ungleichung von CAUCHy-SCHWARZ:

Nach Definition von ( , ) gilt

lul 2

::;

clul s

mit c:=

J(b - a) Iris

(6)

Wir beginnen mit einer einfachen Abschätzung: 13

Der deutsche Mathematiker ERNST PAUL HEINZ PRÜFER (1896-1934) arbeitete hauptsächlich auf dem Gebiet der abelschen Gruppen und der Knotentheorie.

1.5

Selbstadjungierte Randeigenwertaufgaben

295

Bemerkung 7.5.5

Es existiert eine nicht-negative Konstante d mit

IT1712 :::; dl1712 Damit ist T :

(Co, I 12)

(Co, I 12)

----+

17 E Co .

für alle

gleichmäßig stetig.

B eweis: Mit einer Schranke (t für IG( x, t) Jrm l auf [a , tels der Ungleichung von CAUCHy-SCHWARZ

bj2

hat man mit-

J(t 117(t) IJrmdt :::; (tJb=(l 11712 b

I(T17)(x) 1 :::; und so mit

(! :=

b

Ja r(x) dx

JI

a

und d :=

(t y'(b -

(7)

a) (!

b

IT171ｾ＠

=

(T17) (x ) 2r (x ) d x :::; 1

(t2 (b -

a) (! 1rJ1; , folglich

IT1712 :::; d 1rJ12.

a

Die gleichmäßige Stetigkeit ist dann sofort mit der Linearität von T gegeben: D

Die Abbildungsnorm von T bezüglich I Abschät zung,

kann hier -

12' d. h. das optimale

wegen d er Sy mmetrie von T -

d in der obigen

beschrieben w erden durch:

Bemerkung 7.5.6

IITII Beweis: Für SCHWARZ

17 E Co

=

sup {I(T11 , 11)1 : 11 E Co

mit

11112 =

I}

11712 = 1 kann nach der Ungleichung von

mit

C AUCHY-

abgeschät zt werden. Bezeichnet man die rechte Seite in der Bemerkung mit 7, so hat m an also 7 :::; I TII . Es verbleibt der Nachweis von I TII :::; 7. Zunächst vermerken wir: Für alle Im nicht-trivialen Fall

I(T17,17)1 :::; 71171;·

11

Für

17 E Co

gilt

-=f. 0 gilt mit

171 ,172 E Co

I(T17 , 17/ I :::; 71171; . ij := 1/ 1rJ1217: 1(Tij , ij) 1 < 7,

hat man

(8) also

296

Kapitel 'l

Rand- und Eigenwertprobleme

(T(rJ1+rJ2),rJ1+rJ2) - (T(rJ1-rJ2),rJ1-rJ2) = 2(TrJ1,rJ2)+2(TrJ2 , rJ1) = 4(TrJI, rJ2) .

Hieraus erhält man mittels (8):

Für rJ E Co mit erhalten

IrJI2

=

I bilden wir rJ2 := TrJ , f..L :=

(TrJI, rJ2)

=

(f..LTrJ, TrJ)

Zusammen mit (9) ergibt dies 4f..L3 ::; damit I TII ::; 7.

47 f..L2;

=

IrJ2 12'

rJ1 := f..LrJ und

f..L3 .

folglich ist

ITrJI2 =

f..L ::;

7

und D

Entscheidend ist, daß der Operator T nicht nur symmmetrisch, sondern zudem in folgendem Sinne kompakt ist:

Satz 7.5.7 Es sei (1711.) eine Folge i n Co mi t l17n!z ::; I f ür n E IN. Dann gi bt es zu der Folge der B lder i (T17n) eine Teilfolge, die bezüglich I 18 - also nach (6) auch b ezüglich I Iz - konvergent ist. B eweis: Die Folge (w n ) := (TrJn) ist nach (7) gleichmäßig beschränkt. Zudem ist sie gleichgradig stetig: Die durch h(x , t) := G(x, t) jr(t5 gegebene Abbildung h ist auf [a , b j2 gleichmäßig stetig. Zu jedem E > 0 existiert also ein 0 > 0 derart , daß insbesondere

gilt für XI ,X2, t E [a , b] mit

lXI -X21 < O.

Damit hat man

Iwn(xd - wn(x2) 1 = I(TrJn)(xd - (TrJn)(X2) I

:; J b

Ih( XI, t) - h( X2, t) 1ｾｬｲｊｮＨｴＩ

Ｑ＠ dt

::;

ｅｾＬ＠

a

wobei für die letzte Abschätzung IrJn l2 = I berücksichtigt und wieder die Ungleichung von CAUCHy-SCHWARZ eingesetzt wurde. So existiert nach dem bekannten Satz von ARZELA-AscOLI (man vergleiche etwa [Wal]) eine D bezüglich I 18 konvergente Teilfolge. Zur Exist enz von Eig enwerten von T zeigen wir als erstes:

Satz 7.5.8 Es existiert ein E igenwert

Al

von T m i t lAll =

IITII.

1.5

291

S elbstadjungierte Randeigenwertaufgaben

Beweis: Es sei CE II T II

> o. Nach der Bemerkung 7.5.5 hat man CE

(sonst - T betrachten!) Daher existiert eine Folge (1]n) in Co mit l1]n l2 = 1 für n E IN und (T1]n, 1]n/ --+ II T II für n --+ 00. Nach dem vora ngehenden Satz ka nn CE von der I 12-Konvergenz von (T1]n) a usgega ngen werden (sonst geeignete Teilfolge betrachten).

IT1]n -

ｉ ｔ ｉ Ｑ｝ｮ ｬ ｾ＠

=

ｉ ｔＱ｝ｮ

ｬｾ＠ + ｉ ｔ ｉＱＲ ｉｔｊｮ

ｬ ｾ＠

- 2 1I T II(T1]n , 1]n/

::; 2 11 T I1 2 - 2 1I T II(T1]n , 1]n/

--+

0

(n

--+

00)

Mit (T1]n) konvergiert ( 1I T II 1]n) , folglich auch (1]n). So existiert ein 'PI E Co mit 1]n --+ 'PI, was T1]n --+ T 'PI nach sich zieht. Das zeigt

und daher l1]n l2 = 1 liefert 1'P112 = 1, speziell 'PI wert von T.

f::.

T'PI

= II T II 'PI .

O. Demzufolge ist II T II ein EigenD

Ist A ein beliebiger Eigenwert von T , so gilt mit einem zugehörigen normierten Eigenvektor 1]: lAI = IT1] 12 ::; II T II · Das obige Al ist also gerade der betraglieh größte Eigenwert von T . Nun betrachten wir den Unterraum aller Funktionen, die orthogonal zu 'PI sind: U2 := {1] E Co I (1] , 'PI) = O} Die Einschränkung T 2 von T a uf U2 bildet diesen Raum in sich ab; denn für 1] E U2 gilt

T 2 ist wieder symmetrisch und kompa kt. Daher liefern die obigen Überlegungen einen Eigenwert A2 und einen zugehörigen normierten Eigenvektor 'P2. Es gelten also

lAl l = sup { 1(T1] , 1]/ 1 1] E Co mit 11] 12

2': su p { (T 1] , 1] / 1

1

1] E U2 mit 11] 12

= I} = 1} = IA21 .

Induktiv erhält man so reelle Eigenwerte Av und zugehörige normierte Eigenvektoren 'Pv mit

Kapitel 'l

298

Rand- und Eigenwertprobleme

für n E 1N 2 . Die Dimension von Co ist nicht endlich; mithin endet das Verfahren nicht. Da die Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, kann zu festem A E IR die geometrische Vielfachheit, also die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, höchstens 2 sein. Das entsprechende An tritt nach Konstruktion zweimal auf, wenn diese Dimension 2 is t. Die so erhaltene Folge (An) ist eine Nullfolge; denn sonst hätte man - da (IAn i) antiton (monoton nicht-wachsend) ist - IAnl 2': c; für ein c; > o. Die Folge ('l/Jn) := (l/An'Pn) wäre dann beschränkt. Die Folge (T'l/Jn) = ('Pn) hätte so nach Satz 7.5.7 eine konvergente Teilfolge im Widerspruch zu 1

'Pn - 'Pm ｾ＠ 1

=

2

für n i= m .

Wir fassen diese Überlegungen zusammen:

Satz 7.5.9

Für jede n E IN gibt e einen Eigenwert An von T mit einer zugehörigen normierten E igenfunktion 'Pn derart daß

An

und

->

0

für n

- > 00 .

Die Eigenfunktionen sind orthonormiert n i= m n = m

für n , m E IN.

Mit d en Unterräumen U1 := Co und Un := {77 E Co 1(77 'PI) =

IAnl =

sup

... =

(77 'Pn - I ) = o}

{1(T77 , 77)1 : 77 E Un , 17712 =

l } = sup

für n E 1N 2 gilt:

{IT 7712 : 77 E Un , 1771z =

l}

Für das praktische Vorgehen hat das beschriebene Verfahren den Nachteil, daß zur Bestimmung des n- ten Eigenwertes die vorangehenden Eigenwerte mit zugehörigen Eigenfunktionen bekannt sein müssen. Es wurde eine große Fülle von Verfahren entwickelt, die hier weiterhelfen. Darauf gehen wir jedoch nicht mehr ein, nennen nur beispielhaft das Minimum-Maximum-Prinzip von COURANT.

1.5

299

S elbstadjungierte Randeigenwertaufgaben

Zusatz 7.5.10 Jedes Elem ent f au dem Bildbereich von T , al 0 f = T ry m it ein em ry E Co wird durch die FO URIE R-Reihe bezüglich d er Eigenfunktionen ( C

:=

A. Y(O)+B . Y(l);

Zu lösen ist das Gleiehungssystem: > C. d

= c;

1.1

301

Randwertaufgaben (MWS)

[6 -nod= [i] In diesem Falle sieht man direk , daß es unlösbar ist; allgemein läßt s ich dies etwa durch Vergleich der Ränge der Koeffizientenm atrix C und der erweiterten Koeffizientenmatrix überprüfen: > Rank(C) , Rank«C lc»;

1, 2

Da die Ränge verschieden sind besitzt das lineare Gleichungssystem und damit auch die RWA keine Lösung. B eispiel 2: > restart : wi t h(Li nearAlgebra):

Sys := D(y[1))(x) = y[2)(x), D(y[2))(x) = -alpha- 2*y[1) (x); RandBed : = [y[l)(O)=y[l](Pi ), y [2] (0)=y[2] (Pi) ) ;

Bys := D(YI)(X) = Y2 D(Y2 )(x) =

_Q2

YI

RandBed := [YI(O) = YI(1f) , Y2(0) = Y2(1f)] > sol := dsolve({Sys,op(RandBed)},{y[1) (x),y[2) (x)});

ol := {Y2 = 0, YI = O}

dsolve liefert nur die triviale Lösung der homogenen Randwertaufgabe. Wir werden sehen, daß dies nur für fast alle' Parameterwerte Cl! richtig ist. Analog zu Beispiel 1 lassen sich die Randbedingungen mit Hilfe der Matrizen A und B sowie des Vektors c vektoriell in der Form Ay(O) + BY(1f) = c darstellen: > vars := [[y[1) (0) ,y[2) (0)), [y[1) (Pi) ,y(2) (pi))) :

(A,B,c) := RandBed2Matrix(RandBed,vars); A.Vector(vars[1])+B.Vector (vars [2]) = c;

Im Falle

Q

= 0 r gib

ich folgend Fundam ntalmatrix:

> sol := dsolve(subs(alpha=0,{Sys}),{y [1](x),y[2] (x)}); V := Vector([y[1)(x),y[2)(x))): Matrix«subs(subs({_C1=1,_C2=0},sol),V) I subs(subs({_Cl=O,_C2= 1},sol),V») : Y := unapply(%,x) : 'Y(x)' = Y(x);

308

MWS 'l

Rand- und Eigenwertprobleme

Als charakteristische Matrix erhalten wir: > C := A. Y(O)+B .Y(Pi);

0 - 7r ] C: = [ 0 0

Das Gleichung y tem Cd = 0 hat offen ichtlieh eine e indiInen ionale Lösungsmannigfal tigkei t: > LinearSolve(C,c);

Im Falle a =F 0 rgibt ich analog: > sol := dsolve({Sys},{y[l] (x),y[2](x)}); Matrix«subs(subs({_Cl=1,_C2=O},sol),V) subs(subs({_Cl=O,_C2=1},sol),V»): Y : = unapply(%,x) : 'Y(x)' = Y(x);

sol :=

{Yl

= _Cl sin(ax) + _C2 cos(ax) Y2 = a(_Cl cos(ax) - _C2 sin(ax))}

Y (x) = [in(a X)

co (ax) ] cos(ax) a - sin(ax) a

> C := A. Y(O)+B .Y(Pi); Determinant(C): DET : = simplify(%); _EnvAllSolutions : = true : sOlve(DET,alpha);

C := [

-sin(7ra) ()

a - co 7ra a

1 - cos(7ra)]

. () 7ra a

S111

, DET:= 2a(-1+cos(7ra)) , 0 , 2_Z1

Mithin v erschwind t di D terminante für alle geraden ganzen Zahlen (ungleich 0) , und die Randwertaufgab be it zt dann ein nicht-triviale Lö ung.

7.2 Randwertprobleme für lineare DGLen k-ter Ordnung G reen-Funktion V\ ir gr if n da Bei piel (B 4) de 'D xtt il mit Maple a uf:

1. 2

RWPe für lineare Differentialgleichungen k-ter Ordnung (MWS)

309

> restart : with(LinearAlgebra):

Dgl := -diff(y(x),x$2)-nu-2*y(x) = 0; a := 0: b := 1: fO := -1: RandBed := [y(a)=y(b) ,D(y) (a)=D(y) (b)] ;

Dgl := _ y" - v 2 y = 0 ,

RandBed := [y(O) = y(l), D(y)(O) = D(y)(l)]

> DEtools[convertsys) (Dgl,{},y(x),x,y,Dy);

> vars

:=

(A,B,c)

[[y(a),D(y)(a»), [y(b),D(y)(b)]]: := RandBed2Matrix(RandBed,vars);

ie haben sicher daran gedacht, die Prozedm RandBed2Matrix in Ihre private Iniialisierungsdatei einzutragen , oder?

> dsolve(Dgl,y(x),output=basis); VectorCalculus[WronskianJ ('l.,x): Y := unapply('l.,x) : 'Y(x)' = Y(x);

[ in (v x) , cos(vx)] , > C

:=

Y( x) = [

COS(VX)] sin(vx) co (vx)v - sin(v x) v

A. Y(a)+B .Y(b); # charakteristische Matrix

C

:=

[

- sin(v)

1 -

v - cos(v) v

COS(v)]

in(v) v

Für die weiteren berlegungen setzen wir die R egularität von C voraus. Dazu chnen wir:

r

= simplify('l.); true : solve(rhs('l.'l.»;

> Determinant(C) : 'det(C), _EnvAllSolutions

:=

det(C) = 2v( - 1 + cos(v)) f n von v E C \ 27f Z aus. Wir gehen daher im olgend AY := map(simplify,C-(-1) . A. Y(a» : BY : = map(simplify,C-(-1) . B.Y(b»: AY, BY;

MWS 'l

310

1

1

2

[ 1

-2

2

1

in(v)

- 1 + cos(v )

in(v)

1

- 1 + cos(v)

1

2

[

'

2

Rand- und Eigenwertproblem e

in(v)

1

'2 - 1 + cos(v)

SubMatrix(Y(x) , 1,1 . . 2): # 1 . Zeile > Yl Y_k . = SubMatrix(Y(t) - (-l) ,1 .. 2, - 1) ; # letzte Spalte G ; = pie cewise(x>=t, (Yl _ .AY . Y_k) [l,l]/fO, x VectorCalculus[Wronskian] ([yl(x) ,y2(x)] ,x) : Y : = unapply('l.,x) : 'Y(x)' = Y(x); W ; = combine(Determinant(Y(x»)j

Y( x) =

[

Sinh(X) Sinh(-l+X) ] co hex) co h(- l + x)

W := sinh(l)

E

rgeb n sich hi rmit wi folgt di GREEN-FUnktion

> G

:=

piecewise(x>=t,y2(x)*yl(t)/(fO(t)*W), x restart : with(plots): f := (x,y) - > 3/2*y- 2 : a

:= 0 : b :1: = Dgl := diff(y(x),x$2) = f(x , y(x)); RandBed : = y(a)=4, y(b)=l;

Dgl := y" =

3 y2

"'""2'

RandBed := y(O) = 4 , y(l) = 1

Diese nich -lineare R'iVA mit inhomogenen Randbedingungen besitzt zwei Lösungen von denen eine durch die elementare Funktion > z

:= x - > 4/(1+x) - 2 ;

z

:= X --+ ＭＺｾ＠

4

(1

+ X)2

gegeben is , während die andere elliptische Funktionen benötigt. Wir könnten für z die Probe durch Einsetzen machen, verzichten jedoch darauf. Stattdessen formulieren wir die RWA als Fixpunktproblem T(y) = y und bestätigen dann die Fixpunkteigenschaft von z . Wie im vorangehenden Abschnitt kann die RWA in die halbhomogenen RWAn y" = 0 mit y(O) = 4 , y(l) = 1 b zi hungswei. y" = 3y2/2 mit y(O) = 0, y(l) = 0 aufg palt n werd n. Da. r e Probl m hat di Lö ung y = 4 - 3x ; das zwei i t äquivalent zu y(x) = - Jo1 G(x t) ｾ＠ y(t? dt. Hi rb i i t G die woWb kann e GREENFunktion zu _ y" = , (x) mit y(O) = 0, y(l) = O. Weg nd r ymmetrieeigenschaft g nügt di e nur im Drei ck' 0::; t ::; x ::; 1 zu kennen : > G := (x,t) -> t*(l-x);

G

:=

(x , t)

--+

t (1 - x)

Lösungen der vorgegebenen nicht-linearen RvVA sind dann Fixpunkte des folgenden Operators T: > T := y -> unapply(4-3*x-int(expand(G(x,t)*f(t , y(t))),t=a . . x)

- int(expand(G(t,x)*f(t,y(t))),t=x .. b),x): 'T(y)(x)' = factor(T(y)(x));

'l.3

Nicht-lineare Randwertaufgaben und Fixpunktpmbleme (MWS) x

T(y)(x)

=

4-3x-

JＭｾｴｹＨＩＲｉＫｘ､

313

JＭｾｘｹＨｴＩＲｉＫ､＠ 1

o

x

Wir überprüfen daß die Funktion z ein Fixpunkt ist: > d := T(z)(x)-z(x): dx := diff(d,x):

dxx:= diff(dx,x):

eval([d,dx],x=O), dxx;

[0,0] 0 Im Text eil ergab sich, daß die folgende Funktion w wich ig is t für den weis der Kontraktionseigenschaft des Operators T:

ach-

> int(G(x,t)*3*(4- 3*t),t=a .. x)+int(G(t,x)*3*(4- 3*t),t=x .. b):

factor(%): w : = unapply(%,x);

w:= ｸｾ＠

ｾｘＨＭｉＫＩＳ＠

Der Maximalwert von w im Intervall [0 1] liefert eine LIPSClilTZ-Konstante L zu T: > solve({D(w)(x)=O,O Animation := seq(plot([y(n)(x),z(x)),x=a .. b,color=[blue,black), view=[a .. b,O . . 4] ,linestyle=[l,3] ,thickness=[2,1], title=cat(n," . Fixpunkt-Iteration") ,n=O .. 6) : display(Animation,insequence=true);

Fixpunkt-Iterationen

o

0.2

0.4

x

0.6

0.8

7.4 Selbstadjungierte Randwertaufgaben Ein R andwertaufgabe mit f ormal- selbstadjungierter Differentialgleichung i t nicht notwendig selbstadjungiert. Dies z ig t da folgende B eispiel 3:

(vgl. [Weis

1 S. 147)

> restart: withCLinearAlgebra): Dgl := diff(yCx),x$2)+yCx) = 0; a : = 0 : b : =i:P fO := 1 : RandBed := [yCa) - D(y)(b)=O,yCb)=O];

Dgl := y"

+Y

= 0

R andB ed := [y(O) - D(y)(n) = 0 , y(n) = 0]

vars : = [[y(a) ,D(y) (a»), [y(b) ,D(y) (b»)] : (A,B,c) := RandBed2Matrix(RandBed,vars);

> dsolve(Dgl,yCx),output=basis); VectorCalculus[Wronskian] (%,x) : Y : = unapply(%,x): 'Y(x)' = Y(x);

1.4

Selbstadjungierte Randwertaufgaben (MWS)

[ sin(x) cos(x)]

315

y x = [in(x)

0 (x)] eos(x) -sin(x)

( )

> C := A.Y(a)+B.Y(b); # charakteristische Matrix Determinant(C): 'det(C), = simplify(%);

det(C)

=

-1

Die harakt ri ti h atrix C i tal 0 r gulär. Die homog n Randw rta ufgabe be itzt omit nur die trivial Lö ung· di iehert die Exi t nz d r GREEN-Funktion. an rhält ie z. B. mitt I folgend r Rehen ehri e: > AY : = map(simplify,C-(-l).A . Y(a)): BY : = map(simplify,C-(-l) . B.Y(b)): AY, BY;

0 1] [1 - 1] [o 0 ' 0 1 > beta

:= map(simplify,LinearSolve(Y(x),Vector([0,1/2/fO]))); alpha := map(simplify,LinearSolve(C,(A.Y(a)-B.Y(b» .beta),trig); alpha := unapply(alpha,x): beta : = unapply(beta,x) :

ß .- [ .-

Ｍｾ＠

ｾ＠

cos(x) ]

a

:=

[ -Sin(x) -

sin(x)

ｾ＠

eos(x) ]

ｾ＠ sin (x)

Die GREEN-Funktion ergibt sich hier dmeh: # 1 . Zeile > Y1_ := SubMatrix(Y(x),1,1 . . 2): G := piecewi se(x>=t, (Y1_. (alpha(t)+beta(t») [1] , x piecewise(x>Pi/2 and x 1/n*2/Pi*int(psi(x)*sin(n*x),x=0 .. Pi): 'B(n)' = B(n);

B(n) =

2 (cos

ＨｾＩ＠

- cos

ＨｾＩ＠

n 2 1f

Auch diesmal v eranschaulichen wir die Auslenkungen d er S aite durch eine Animation: > N : =200: U := (x , t) - > sum(B(n)*sin(n*x)*sin(n*t),n=l . . N) : animate(u(x,t),x=O .. Pi,t=0 . . Pi,OPT,ytickmarks=[0,0 . 2] ,frames=7);

1t

1.5

S elbstadjungierte Randeigenwertaufgaben (MWS)

321

Fourier-Re ihen , Entwicklungssätze Im folgenden verifizieren wir die Approximationsaussagen der Sätze 7.5.4 und 7.5.11 und legen dabei als Orthonormalsystem die orthonormierten Eigenfunktionen von Bei. piel (B9) zugTunde. Wir übernehmen die. e und definieren al p a ne de kalarprodukt: > restart : with(plots): SkalarProd := (u,v) -> Int(u(x)*v(x),x=O .. Pi); eta := n -> (x -> sqrt(2/Pi)*sin(n*x));

J 7r

SkalarProd .- (u, v)

-+

u(x )v(x) dx ,

1] :=

n

-+

X -+

(2 . V;: sll1(n x)

o

B eispiel 5:

Wir beginnen mit einer stetigen Funktion und berechnen deren FOURIERKoeffizienten: >

f := X - > x- Pi/2: assume(n,posint): c 'c(n)' = c(n);

n -> value(SkalarProd(f,eta(n))):

c(n) =

Vif!2 (1 + (_ 1) n) 2n

Mit Maple können wir im vorliegenden Fall die Gültigkeit der PARSEVALGleichung bestätigen: > Sum(c(n)-2,n=1 .. infinity): % = value(expand(%)); SkalarProd(f,f): % = value(%);

J( 7r

71)2dx

x- "2

o

ach Satz 7.5.4 sind die Partialsummen der FOURIER-Reihe I b -konvergent gegen f. 'Wir veranschaulichen dies wieder mittels einer Animation: > T := (x,n)-> sum(c(k)*eta(k)(x),k=1 .. n); # Partialsumme der Fourier-Reihe DurTicks := tickmarks=[[3.14="p"] , [-1.57="-p/2",O="O " ,1 .57="p/2"]] : animation := seq(pl ot([f(x),T(x,2*n)],x=O .. Pi,color=[black,bl ue], OurTicks,axesfont=[SYMBOL,12],title=cat("n = ",2*n)),n=1 .. 8): display(animation,insequence=true);

322

MWS 'l

Rand- und Eigenwertproblem e

n

T := (x n)

----->

L c(k) 71(k)(x) k=l

n=6

1lI2

o

- 1lI2

Die Animation verdeutlicht, daß die P artialsummen der FOURIER-Reihe an den Intervallenden nicht punktweise gegen f( x ) konvergieren können.

B eispiel 6: Als nächstes Beispiel greifen wir eine Funktion heraus, welche die Randbedingungen von (B9) erfüllt. Nach Satz 7.5.11 erwartet man also absolut gleichmäßige Konvergenz für x E [0, Ir ] . Wir beginnen mit der B erechnung der FOURIER-Koeffizienten und überprüfen auch in diesem F alle die Gültigkeit der PARsEvAL-Gleichung: : = x -> x*cos(x/2) : 'c(n) ' = Ｈｦ｡｣ｴｯｲｾｶｬｵ･Ｉｮﾻ［＠

> f

c(n) -

-

16 (_ l )1+n ..j2 n .fiT( 1 + 2n)2(-1+ 2n)2

Sum(simplify(c(n)-2),n=1 .. infinity): % = SkalarProd(f,f) : % = value(%); Ｈ･ｸｰ｡ｮ､ｾｶｬｵＩＥ［＠

J 7r

x 2 cos

o

Ｈ ｾＩＲ＠

dx =

1 3

-Ir

6

-

Ir

Diesmal zeigen die P artialsummen der FOURIER-Reihe ein wesentlich besseres Approximationsverhalten:

1.5

323

Selbstadjungierte Randeigenwertaufgaben (MWS)

> OurTicks1 := tickmarks=[[1.57="p/2",3.14="p"],[O,1]]: animation := seq(plot([f(x),T(x,n)] ,x=O .. Pi,color=[black,blue], OurTicks1, axesfont= [SYMBOL, 12] , ti tle=cat (Ol n = 01 ,n)) ,n=1. .4) : display(anirnation,insequence=true,view=[O .. Pi,O .. 1.2],thickness=2);

1. und 2. Partialsumme

o

ro2

rr

Die gleichmäßige Konvergenz läßt sich durch das Verhalten der Fehlerfunktionen d. h. der Differenz zwischen f und den Partialsummen der FOURIERReihe, deutlicher hervorheben: > DurTicks := tickmarks=[[1.57="p/2",3.14="p"],[O,O . 1,-O.05]]: animation := seq(plot(f(x)-T(x,n),x=O .. Pi,color=blue, OurTicks, axesfont= [SYMBOL, 12] , ti tle=cat (Ol n = 01 ,n)) ,n=1. .8) : display(anirnation,insequence=true); 0. 1

ｯｾＭＮ＠

-0.05

n = 2

8 Anhang

Matrixfunktionen .1 8.2 8.3

tfatrixpolynom fatrixfunktionen: Definition, Eigenschaften Beispiele zur Berechnung von Matrixfunktionen

In Kapitel 5 haben wir u. a . lineare Differentialgleichungssysteme mit konstan en Koeffizienten behandelt und dazu die Matrix-Exponentialfunktion eingeführt. Diese lieferte durch exp(x A) eine Fundamentalmatrix des homogenen Systems y' = Ay , deren Berechnung i. allg. die Kenntnis der Eigenwerte von A sowie zugehöriger Eigen- und Hauptvektoren voraussetzte. Für viele Anwendungsbereiche der Matrixanalysis ist es wünschenswert, dieses Konzept, eine gegebene Matrix A als Argument in eine Funktion feiner zunächst skalaren Variablen einzusetzen, auf eine größere Klasse von funktion n zu erweitern. Wir wählen ähnlich wie [H /Si], . 69- 107 einen Zugang, der - obwohl son t in d r L hrbuchHteratur wenig verbreitet - im Grunde wohlbekannt ein 01lt und z. B. in den Monographien [Gant], S. 121- 151 und [Ho/Jo] S. 3 2 -449 groß nt il zu find ni t . S ine Ur prünge gehen im Fall einfach r Eio' nwert auf SVLVE TER (1 3) bzw. im Falle mehrfacher Eigenwert auf BUCHHEIM (1 6) zurück. D m - auch hi tori h - interessanten Übersichtsartikel [Rine] verdanken wir wichtige Anregungen die in diesem Kapitel ihren iederschlag gefunden haben. Von zen ral r Bed utung i t die Sp ktr-aldarstellung von SVLVE TER-Bu HHEIM . Auf ihr beruht di hier g wählt D fini tion d B griff iner Matrixfunk ion. Zugleich rgibt ich hi rau in lem ntar B rechnung möglichkeit für f(A). Diese setzt von A nur di Kenntnis der Eigemverte (mit hi ren Vielfachheiten) voraus - benötigt also keine JORD N-Normalform - und basiert bemerkenswerterweise a uf HERMITE -Interpolation.

8.1 Matrixpolynome Für ein Polynom p vom Grade NE lNo m it Koeffizienten Co , · ·. gegeben also durch

,CN

E C

326

8 Anhang

Matrixfunktion en

definiert man zu A E IM n in natürlicher W eise das Matrixpolynom p(A )

;=

co B

+ clA + .. + cN A N ,

(1)

Wir notieren dazu vorab die folgenden einfachen Eigenschaften: a) Die Abbildung P f------+ p(A) ist ein Homomorphismus von der Algebra der Polynome in die Algebra IM n , d. h. für Polynome PI , P2 und komplexe Zahlen al , a2 gilt: al Pl + a 2P2 PI' P2

+ a 2P2(A)

f------+

a lPdA)

f------+

Pl(A)p2(A)

Zusätzlich hat m an die Kompositionsregel:

PI

0

P2

f------+

Pl(P2(A))

ß ) Für jede invertierbare Matrix 5 E IM n gilt p(5- 1 A5) = 5 - 1 p(A) 5. Bei den folgenden Überlegungen setzen wir HERMITE-Interpolation entscheidend ein. Da diese vielleicht nicht allen Lesern vertraut ist , führen wir die Fragest ellung vorweg etwas aus und beweisen kurz den zugehörigen Existenzund Eindeutigkeitssatz. Für Ergänzungen v erweisen wir auf die einschlägige Literatur , z. B. [Bu/ St] oder K [ i / Ch]. Zu s E tN, paarweise verschiedenen Al , "" As E C, ml , "" m s E tN und Wj ,v

suchen wir für M

E

C s

:=

2:: mj

(j

=

1, ... , s ; v = 0, ... , mj - 1)

ein Polynom P vom Grade kleiner M mit

j = 1

(j

=

1, ... , s; v = 0, ... , mj - 1) .

(H)

Man spricht von " HER MITE-Interpolation " , gelegentlich auch "verallgemeinerter L AGRANGE-Interpolation ". Anders als bei der LAGRANGE-Interpolation, die s ich las Spezialfall für m l = ... = m s = 1 ergibt , werden hier an d en ,Stützst ellen' Aj nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen bis zur Ordnung m j - 1 vorgegeben. Satz 8.1.1

Es gibt genau eine Lösung von (H).

B eweis: Sind PI und P2 Lösungen , dann ist r := PI - P2 ein Polynom vom Grade kleiner M mit

(j = 1, ... , s; v = 0, ... , mj - 1) .

°

Jedes Aj ist also eine mindestens mrfache Nullstelle. So hat r - entsprechend Vielfachheit gezählt - mindestens M Nullst ellen. Das liefert r = und somit PI = P2. Auch die Existenz folgt nun leicht: (H) ist äquivalent

8.1

Matrixpolynom e

327

zu einem linearen Gleichungssystem von M Gleichungen für die M Koeffizienten eines g esuchten Polynoms p. Die zugehörige Matrix ist regulär wegen der schon gezeigten Eindeutigkeit. Folglich besitzt das Gleichungssystem für beliebige rechte Seiten eine eindeutige Lösung. D Für (J = 1, ... , s; k lationsaufgabe

= 0 , ... , m u

-

1 wird die Lösung der speziellen Interpo-

(j = 1, ... , s; v = 0, ... , mj - 1) als H ERMITE-Grundpolynom bezeichnet und mit

h Ulk

notiert. Es gilt also

((J , j = 1, ... , s; k , v = 0, ... , mj - 1) und damit für die Lösung der allgemeinen Interpolationsaufgabe (H) s

m o-- l

s

L L

p =

m(Y- l

L L

Wu ,k hu,k = p(k) ()I.u)hu ,k . u=l k =O u=l k =O

Zur praktischen Bestimmung der hu,k zieht man oft ein einfaches Dijjerenzenschema heran , für das wir etwa auf [Bu j St] oder [Ki j Ch] verweisen. Nähere Einzelheiten dürften aber auch durch die in Abschnitt 8.3 gerechneten und in MWS 8 aufgegriffenen B eispiele von sich aus verständlich werden. Ein ganz einfaches B eispiel soll die Vorgehensweise schon hier etwas erläutern und auch - für reelles ,\ - veranschaulichen. Ausführliche Beispiele zu verschiedenen Gesichtspunkten finden sich dann in Abschnitt 8.3.

(Bi) Es seien s

=

2,'\1 = 0 , '\2 = 1,m1 = 1,m2 = 2 und mit

f( x ) Wj ,O := f('\j)

:=

(j

yX =

xE [0 , oo [

für

1, 2)

und

W2 ,1 := 1'('\2) .

°

Das g esuchte Polynom p höchstens zweiten Grades soll also an d er Stelle den gleichen Funktionswert wie f haben und an der Stelle 1 mit dem Funktionswert und der ersten Ableitung mit f übereinstimmen. Das gibt

'\('\ - 1) und

p(,\)

'\(2 - ,\)

1 + -,\(,\ 2

1)

1 2

-'\(3 - '\).

8 Anhang

328

Matrixfunktionen

Fehlerfunktion (f - p)

H ERMITE-Interpolation

0,/5

O,}

0,05

Eine gegebene Matrix A habe nun genau die (paarweise verschiedenen) Eigenwerte Al " ,. , As E C mit den algebraischen Vielfachheiten n1 ... , n s . Ihr charakteristisches Polynom XA ist also gegeben durch s

XA( A) = Für das Minimalpolynom 1

TI (A -

.,.=1

(A E C) .

AoT"

von A gilt somit

j.LA

s

J.LA (A) =

mit m u ｾ＠

II (A -

.,.=1

Au )m"

(A E C)

n.,. (a = 1, .. . s) .

Für n E lNo bezeichne IIn cl n Raum der Polynome vom Grade höch ten n . M

ei der Grad des Minimalpolynoms J.LA , al

s

0

lIJ :=

I:

mu ·

u=1 Satz 8.1.2 Zu jedem g egebenen Polynom p exi tien genau ein r E II M mit p(A) = 1'(A) , nämlich s

T

=

1

m a-l

I: I:

p (k ) (A.,.) h.,. ,k .

.,.=1 k = O

Es gilt damit al

0

die Spektraldar'stelhmg von

SYLVE

TER- BUCHHEllI!

s m",-l

p(A)

=

I: I:

p(k) (A.,.)

hu,k(A)

.,.= 1 k=O

B eweis: Division mit Rest ergibt 1

Zur Erinnerung: /-LA ist das normierte (höchster Koeffizient 1) Polynom P minimalen Grades mit P(A) = O.

8.1

Matrixpolynom e

329

p(), ) = q(), ) ILA(),) + r( ),)

C)

(), E

(2)

mit einem geeigneten Polynom q und r E II N/ - i . \ egen ILA(A) = 0 folgt hieraus p(A) = r(A). Sind rl r2 E II A/ - l mit p(A) = rl(A) = r2(A), so ist (rl - 1'2)(A) = und somi aufgrund des Grades und der Definition des Minimalpolynoms r l - r2 = 0 , also rl = r2 .

° °

\i\ egen Ｑｌ ｾＩ ＨＩＬ｡＠ = für diese Indizes:

für

0"

= 1, ... , sund k = 0, ... m u - 1 folgt aus (2)

Mithin ist

s

r

=

m,,- J

L L

p(k) (),a )ha,k ,

00=1 k=O

also s m ,, -l

p(A)

= r( A) = L

L

p(k)()'u)ha,k(A).

o

00= 1 k=O

Für 0" = 1, ... ,s und k = 0, ... ,ma - 1 setzen wir C a.k := ha,k(A) , speziell Pa := Cu,o, und rhalt n: Satz 8.1.3

a)

s

E

00 = 1

Pa = E

(j

+1 1 (A -

c) Ca,k+1

=

d) Ca ,k =

k (A -

e) (A -

),00

k

),00

e= 1 ... , s) ), 00

(k :S; m a

E) Cu,k

-

2)

E)k Pa

E)k Pa = 0 für k E IN mit k ｾ＠ m a

Beweis: a) ergibt sich direkt aus der Beziehung E;=l ha,o(),) = 1 für ala tz .l .I , da di link und le ), E C. Die e rhält man unmitt Ibar au S die r ehte Seite j ein Polynom au II U - 1 definier n, das an d en Stellen )'1 , . .. , )'8 d n Funktion wert 1 annimmt , während d.i AbI itungen der Ordnung 1, ... ) m a - 1 j eweils a n der Stelle ),00 ver. ehwinden. s m ,,- l

b)

PjPe = hjo( A) he,o(A) =

L L 00 = 1

s

=

L

｡ ］ ｬ ｾ＠

(h j,o·he,O/k)()'a )Ca,k

k=O

hj,o( )'a) he,o()'a) Cu ,o = bj,e Pj = 6j ."

= 61

. (7

8 Anhang

330

Matrixfunktionen

Bei der vorletzten Gleichung haben wir die LEIBNlz-Regel zur Differentiation einer Produkt funktion und die Interpolationsbedingungen eingesetzt .

c) Für das durch Per,k(A) := Polynom Per,k gilt

+1 1 (A

k

- Aer ) her,k(A) s

(A

E

IC) definierte

mj-l

L L

ｰｾｫＨａｪＩ＠

(3)

Cj ,v .

j=1 v =O

Mit Per,k(Aj) = 0 für j = 1, ... , sund

p(v ) (A) er,k

=

_1_ (A _ A ) h(v ) (A) k +1 er er,k

+ _v_ h(v- l\A) k + 1 er,k

für v :::: 1 ergibt sich

(j = 1, ... ,s; v = 0, ... , mj - 1) .

(4)

Aus (3) und (4) folgt Per,k (A) = Cer ,k+l . d) Gemäß Definition ist Cer,o = Per, und mit Hilfe von c) kann der Induktionsschritt durchgeführt werden: 1

1

k

-k- (A - Aer E)· k' (A - Aer E) Per

+1

.

e) Für k :::: m er ist /JA ein Teiler des durch (A - Aer)k her,o(A) für A E C gegebenen Polynoms; denn her,o hat Aj für j i=- (J" als mj-fache Nullstelle, und der erste Faktor liefert ja Aer als mindestens mer-fache Nullstelle. Mit /JA(A) = 0 folgt so (A - Aer E)k Pa = O. D Anmerkung: Die Matrizen {Cer ,k I (J"

linear unabhängig.

= 1, ... , s; k = 0, ... , m a - I} sind

Beweis: Aus einer Relation s

ma-l

L L

a=1 k=O

Cter,k Ca,k

=

0

mit Cter,k E C folgt für das entsprechende Polynom s

P

:=

ma-l

L L

er=1 k=O

Cter,k ha,k

p(A) = O. Das Minimalpolynom /JA hat den Grad M, P hingegen gehört zu II M - 1. Aufgrund der Minimalität von /JA ist also P = 0 , mithin sind alle Koeffizienten Cter,k Null. D

8.2

Matrixfunktion en : D efinition, Eigenschaften

331

Bei der lalgemeinen Formel sollte man nicht den einfachen Spezialfall au den Augen verlieren. Dazu notieren wir:

B e m erkung 8.1.4 Ist A diag onalisierhar, so gilt s

J.LA(A) =

II (A -

Aq

)

für A E C.

q= 1

Mit p( A)

=

A erhält man dann die Spektmldar tellung

Di auft r tenden P roj ktion n P I . .. Ps werden in der ein chlägigen Li eratur oft a l FROßE IUs -](ovar'ianten oder RI Esz-Projektor·en bezeichnet .

Zusatz 8.1.5:

Pq i t die Proj ektion auf den Hauptraum

d. h. es gilt rg(Pq ) = n q eine B asis von H q .

•

Je n q linear unabhängige Spalten von Pq liefern

B eweisskizze: Wegen rg«A - Aq E)n,, ) = n - n q ist di m H q = n q

•

ach e) a us a tz 1.3 . hat man (A - Aq E)n" Pu = O. Für Vu := Pu ( Cn ) gil alo Vq c H u , folgli h rg( Pq ) = dim Vq :s: dim H u . B rück i cht ig t man di B

zihung n a) und b) a u Satz .1.3 Cn = Vl EB .. . EB Vs

Hieraus e rgibt s ich rg( P q

)

=

nq

,

H q = Vq

(0-

0

rhält man

.

=

1, ... , s) .

o

Fü r die in dieser Beweisskizze nicht a usgeführten Überlegungen ziehe man bei Bedarf etwa [Halm], S. 113 f o der [HjSi], S. 73 f heran .

8.2 Matrixfunktionen: D efinition, Eige n schaften Das Minimalpolynom einer gegebenen Abschnitt 8.1 dargestellt:

iatrix A E rM n sei wieder wie in

(A E C)

332

8 Anhang

MatrixJunktionen

Dabei waren Al , ... , As E C mit sEIN die (paarwei e verschiedenen) Eigenwerte von A mit den (algebrai ehen) Vielfachheiten n}, .. . n s und m u natürliche Zahlen mit m u S n u für a = 1, . . . . Definition: J(A) bezeichn di Meng d r Funktionen J au C in C die für a = 1, .. . , in Au j weil. (m u - 1) - mal diffrenzierbar ind.

Für

J E J (A)

sei

Auch di s Y; rallg m in rung d r Form I au Satz .l.2 wird al Spektraldarstellung von YLVESTER-Bu HHETlIl b zei hn t . Anmerkungen:

a) Im Falle e infacher Eig nwerte werden an Funktion n J E J(A) nur sehr schwach Anforderung n g tellt: Si brauch n an di n Stellen nur d finiert zu sein. Für reelle Matrizen mit reellen Eigenwerten interpretieren wir ,Differenzierbarkeit als ,reelle Differenzierbarkeit" für komplexe Eigenwerte Au mit Vielfachheit m u ;::: 2 hingegen bedeute sie ,komplexe Differenzierbarkeit' . Bei (mindestens) zweimaliger Differ nzierbarkeit ist dann J in dem betreffenden Punkt holomorph, da ja die zweimalige Differenzierbarkeit die Existenz der er ten Ableitung in iner geeigneten Umg bung b dingt. b) Für Polynome p gilt nach Satz .l.2 und d) au Satz .l.3

p(A) =

t Ｑｾ

Ｑ＠ ｰ ＨｫＩ ｾｴｵＩ＠

(A - AuE)k Pu .

u=l k=O

Daher tim mt in die em Fall die obige D finit ion mit d r peziellen Defini ion für Matrixpolynom in Ab chnitt .1 über in. c) Es seien Ao lind Ck für k E 1N 0 gegebene komplexe Zahlen und damit

J(A)

=

2:

Ck (A - Ao )k

k=O

konvergent für >. E C mi I>. - >'01 < r und lAu - >'0 1< r (a = 1, .. . ,s) mit einem geeigneten r > O. Dann existiert der Grenzwert der entsprel J(A) , chenden latrixreihe2 2:;:'=0 Ck (A - >"0 E) k, und dieser i t geich also 2

Dies bedeutet Konvergenz in einer tlilatrixnorm auf IHn und damit gerade komponentenweise Konvergenz.

8.2

Matrixfunktionen: Definition, Eigenschaften

f(A)

=

L Ck (A -

333

'\0 E)k

k=O

B ewei : Di durch fN('\) := ｌｾ ］ ＠ｯ Ck (,\ - '\O)k für NE No d fini rten Partial ummen fN ind für j de 1" E 10, l' [ gleichmäßig konverg nt für ,\ E C mit 1 '\ - '\01:::; 7.1 (lokal gl i hmäßig Konvergenz) und e gilt

Zu ammen mit fN(A) für N

----7

L Ck (A- '\oE)k und f ;;)( ,\cr) k=O folgt hieraus die Behauptung. ----7

----7

f (k) ('\cr) 0

Die Potenzreihendefinition - al natürliche Erweiterung von Matrixpolynomen - ist mithin in unserer Definition als Spezialfall enthalten . ehung p( - 1 AS) = - 1 p (A)S für A E Il1 n , inver ierbares d) Die B zi E Il1 n und ein beliebiges Polynom p legt es nahe, Matrix/unktionen mitt I der JORDA -Block-Methode zu defini r n. Wir erläut rn die an folgend m Spezialfall iner (n,n)-Matrix, der ab r chon die Kernau age d allg mein 11 Falle binhaltet:

A = (

Es gilt hier J..LA('\) owie

'\1 .

ｾ＠

.

..

.

0)

. .. ... 1

°

'\1

= ('\-'\I )n für ,\ E C und A-'\E= 1

PI

= Ewegen

hI ,o('\ )

(0 1 0) °folgt aus° .

..

.

.

.. .. 1

t-./n t dieser peziellen Matrix A - '\1 E

n-1

=

L

k=O

f (k) (,\ ) k! 1 (A - ,\l E) k

=1

8 Anhang

334

Matrixfunktionen

Für f(>" ) := ｔｾＩＬ＠ zu fe emT E e \ {Al ... >"s} und>" E C \ {T} gilt f Ck) (>..) = (T ｾ｜ｫ Ｋ ｬ＠ fÜr k E N . Damit fÜhrt c) hier auf die Partialb'ittchdarstellung der- R e olvente: s

(TE-A) - l

=

1

m,,-l

L L

(T_ >..".)k+l (A - >..".E)k p".

(1)

".= 1 k=O

Die Beziehung f (A) = (TE - A )-l liest man dabei zunächst für hinr ich nd groß T au d r NEUMA N-R ih ab und hat dann (Id ntität rational r Funktionen!) di Aus ag a.llg m in. Alternativ multiplizi rt man die r ht S it von(l)mitTE - A = (T - >..".)E - (A - >..".E) .

f)

it Hilfe der Resolvente kann man - gemäß einem Vorschlag von E . CARTAN aus dem Jahre 192 - den Panktionalkalkül begrÜnden und fatrixfunktion n f(A) in Analogi zur Int gralform I von AUCHY definieren:

ｾ＠ 27n

f(A) :=

J

f(>") (>..E - A) -1 d>"

r

Hierbei sei die Funktion f holomorph um die Eigenwerte von A und r ein Wegezyklus bestehend aus genÜg nd kleinen Krei. en um die Eigenwert. fit Hilfe der P artialbruchda.r tellung (1) und der Int gral formel (von CAUCHY) für die Ableitung folg t

ｾ＠ ＲＷｲｾ＠

J

f(>") (>..E - A) - l d>"

r

L L 8

=

1 27ri

m,,-l (

J

f(>")

(>.. _ >..". )k+1 d>"

)

k (A - >..".E) P".

r

".=1 k = O ,

v, - - - - . . ;'

= -bf(k)( ).".)

CARTAN Definit ion i t al 0 ebenfall al Spezialfall in un erer Definition enthalten. Sie hat den Vorteil daß sie - im Gegensatz zur JORDA Block- fethode - direkt a uf unendlich-dimensionale Rä ume ausgedehnt werden kann. Die Bereclu1Ul1g von f(A) erfordert nicht notwendig die Kenntni des Minimalpolynoms J.i.A . Im folgenden sei c irgendein Polynom von der Form

rr (). - ).".)e" s

c( ).)

=

". = 1

(). E

C)

8. 2

Matrixfunktion en: Definition, Eigenschaften

335

mit Ca E tN für 0" = 1, ... s, das A annulliert , d. h. c(A) = O. Das Minimalpolynom /-LA teilt dann c . D emzufolge ist Ca 2:: m a für 0" = 1, ... , s.

Satz 8.2.1 Es sei f eine Funktion aus C in C , die für 0" = 1, ... , s in Aa jeweils (Ca - 1) -mal differenzierbar ist. Für j edes i, nterpolierende' Polynom p m it (O" = l , ... , s ; k = 0,... ,C a - 1) gilt f(A) = p(A) . Beweis: Dies liest m an unmittelbar aus der Dfinition e von f(A) und Anmerkung b) von Seite 332 - für p st att p - ab. D Wir ｾ･

ｺ ･ｩ ｣ ｨｮ･＠

zu N :=

mit ha,k E JIN gungen

2::;=1Cj

für

0"

=

1, ... , sund k = 0, ... , Ca - 1

das HERMITE-Grundpolynom zu den Interpolationsbedin-

1

und mit HJ ,c zu einer Funktion f das entsprechende HERMITE-Interpolationspolynom gemäß S atz 8.2.1, a lso s

H J,c =

R,,-l

L L

f (k)(Aa)ha ,k, a=l k =O

und erhalten die einfache Folgerung 8.2.2 s

f(A) mit

h a,k (A)

{Ca'k 0

=

R,,-l

L L

f (kl(A a ) ha,k(A) a=l k =O fü r 0 ::; k ::; m a - 1 für k 2:: m a

ｾ＠

Beweis: Sat z 8.2.1 liefert mit p := H J,c die erste Gleichung. s

ha,k(A)

=

m '- l

2:: 2:: J

j=l 1'=0

ｾ

Ｈ ｶ Ｉ＠

ha ,k(Aj) Cj ,v

zeigt den Rest .

D

'-v--' =8", j 8k , v

Anmerkung: Wegen ha,k(A) = 0 für k 2:: m a benötigt man nicht die Existenz der Ableit ungen f (k)(A a ) für m a ::; k < Ca. Das ent scheidende Polynom c ist also das Minimalpolynom. Mit Sat z 8,2,1 kann m an speziell für die Matrix-Exponentialfunktion eine weitere Lösungsformel gewinnen (man vgL dazu etwa a uch Kowa], [ S, 35-38

336

8 Anhang

oder R [ un], S. 211-216). Es seien dazu Co, ... normierten Polynoms c, also

Matrixfunktionen

die Koeffizienten des

,CN-l

(A E C) . Satz 8.2.3 Ordnet man das HERMITE-Interpolationspolynom Hj ,c zu der für x E IR und A E C durch f(A) := exp(xA) gegebenen Funktion f nach Potenzen von A, so bilden die Koeffizientenfunktionen 'Pv (als Funktionen von x) dies er Darstellung N-l

L

Hj ,c (A) =

'Pv(x) AV v=o ein Fundamentalsystem der homogenen linearen Differentialgleichung

(x E IR)

(2)

mit den kanonischen Anfangswerten

'PSf\;)(O) =

ov,,,,

(V,II; = 0, ... , N - 1) .

Hierbei ist c gerade das charakteristische Polynom der Differentialgleichung (2) . Ferner gilt: N- l

exp(x A) =

L

'Pv(x) AI'

(x

E

(3)

IR)

1'=1

Daß sich exp(xA) prinzipiell in der Form ｌＺ ｾ ｬ Ｑｦ［ｶ ＨｘＩ＠ A V mit geeigneten Koeffizientenfunktionen 1f;v darstellen läßt , liegt natürlich daran , daß sich A V für v 2 N durch die Potenzen A ü = E, . . . , AN - 1 linear kombinieren lassen , weil ja c(A) = 0 gilt. In der obigen Formel werden die Koeffizientenfunktionen konkret angegeben.

Beweis: Aus der ersten Gleichung von Hj ,c(A)

=

N-l

L

v=O

'Pv(x) AV

=

s

Ra-l (

L L

er =l k=O

ok

OA k exp (AX)

)

_

IA - Aer

her,dA) (4)

folgt durch Einsetzen von A - wegen exp (x A) = Hj ,c (A) - direkt die Beziehung (3). Ferner ergibt sich mit CN := 1 aus der zweiten Gleichung von (4) durch Differentiation nach x unter Beachtung des Satzes von SCHWARZ, der die Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Differentiationen sichert:

8. 2

Matrixfunktion en: Definition, Eigenschaften

337

Wegen c(k) (,\,J") = 0 für (J" = 1, ... , sund k = 0, ... ,f!" - 1 i st die rechte Seite dieser Gleichung gleich Null für jedes ,\ E C. Die linke Seite ergibt dann N

L C/IO 'PS/IO) (x)

= 0

für x E IR und v = 0, ... , N - 1 .

/10= 0

Die Funktionen 'Po, ... , 'P N - 1 lösen also die Differentialgleichung (2). Zur Bestimmung der Anfangswerte 'PS/IO) (0) differenzieren wirfür '" = 0, ... , N - 1 die zweite Gleichung in (4) ",-mal nach x und erhalten über

N- 1

L

'PS"') (x) ).'"

v=o

speziell für x = 0:

N- 1

L

'PS"') (0) ,\V

(5)

v=o Die rechte Seite ist Damit liefert (5)

als HERMITE-Interpolationspolynom -

N - l

L

'PS"') (O)'\v

v=O

gleich ,\"'.

= '\"' , also D

Anmerkung: Aus Formel (3) erhält man mittels Differentiation für k E No

N-1 A k exp (xA)

L

'PSk ) (x) A V

,

v=o speziell für x = 0 also

N- 1

L

Ak

'PSk ) (0) A V

(k E No) .

v=o Mithin liefern für v = 0, ... , N - 1 die Folgen 1/Jv: No ----+ IR mit 1/Jv (k) = 'PSk ) (0) ein Fundamentalsystem d er homogenen linearen Differenzengleichung

y(k+N)+ CN- 1y(k+N - 1)+···+coy(k) = 0

(k E No).

Umgekehrt kann man aus diesen Folgen die Funktionen 'P v zurückgewinnen:

'Pv ＨＩ x -｟ Ｂｾｫ＠ｾ＠

00

k =O

(k)() k! x

00

L 1/Jv(k) ｾＡ＠ k=O

k

8 Anhang

338

Matrixfunktionen

Satz 8.2.4

a) f f------+ f(A) ist ein Homomorphismus der Algebra ｾＨａＩ＠ in die Algebra Irl n , d. h. für Funktionen h , 12 E ｾＨａＩ＠ und komplexe Zahlen al , a2 gilt: a lh +a2h

f------+

alh(A) +a2h(A)

h·h

f------+

h(A)h(A)

b) Kompositionsregel: Es seien h E ｾＨａＩ＠ und eine Funktion 12 aus C in C für (J = 1, ... , s in h (A a ) jeweils (m a - 1) -mal differenzierbar. Dann gilt (12 0 h)(A) = h(h(A)). Beweis von a): Zu hund P2 mit ｦｾｫｬＨａ｡Ｉ＠

］

12

existieren nach Satz 8.1.1 Polynome PI und

ｰｾｫＩＨａ｡＠

((J = l , ... ,s; k= 0, ... ,ma -1)

und somit f",(A) = p",(A) für

K,

= 1, 2. Aus

(alh +a2h) (k) (A a ) = (al Pl +a2P2) (k)(A a )

mit Seite 326, a) -

folgt dann (al h

+ a2 h)(A)

=

=

+ a2P2)(A) alPl (A) + a2P2(A) (alPl

=

al h (A)

+ a2 h(A) .

Ferner ergibt sich mit Hilfe der LEIBNlz-Regel zur Differentiation einer Produktfunktion für (J = 1, ... , sund k = 0, ... , m a

-

Auf einen - deutlich aufwendigeren -

1 und so

0

Beweis zu b) verzichten wir.

Anmerkung:

Für die Gültigkeit der obigen Kompositionsregel reicht es nicht aus, h E und 12 E ｾＨｨａＩ＠ zu fordern; denn hieraus folgt nicht 12 0 h E ｾＨａＩＺ＠ Für A :=

Ｈｾ＠ Ｉ

und h

:=

cos z.B. gilt h(A) =

Ｈｾ＠

ｾＩＮ＠

ｾＨａＩ＠

Mithin

ist fJj,(A)(A) = A - 1. Wegen ml = 1 gehört also j ede beliebige Funktion 12: C -----+ C zu ｾＨｨ＠ (A)). Es gibt jedoch Funktionen 12 derart, daß differenzierbar ist. f := 12 0 h nicht in Al =

°

8.3

Beispiele zur B erechnung von Matrixjunktionen

339

8.3 Beispiele zur Berechnung von Matrixfunktionen Es folgen einige Beispiele, in denen wir zu einer gegebenen Matrix A E Il1 n und j E ｾＨａＩ＠ die Matrixfunktion j(A ) berechnen. Dies tun wir - ausgeh nd von d r Dfinition in Ab hnitt .2 bzw. von Satz .2.1 od r Folo' rung .2.2 - mit Hilf d HERM ITE-Int rpolation polynom in d r EWTQ Darstellung. Die Ko ffizi nt n di Polynom rhaJt n wir wie üblich mittel eines Differenzenschemas. Da Stützstellen mit höherer Vielfachheit auftreten können , verwenden wir darin verallgemeinerte dividierte Differenzen (man vgl. hierzu etwa [Bu/St]). Eine sehr elegante Al ernative i t die Re iduenformel' - vor allem auch deren spätere Umsetzung mi Maple. Obwohl wir in dieser Darstellung keine funktionentheoretischen Grundlagen voraussetzen 3 , halten wir es dennoch für lohnend, für den Kenner diese weitere explizite Darstellung für holomorphe Funktionen H c( ),) = _1 J, 27fi

J

c(z) - c( ), ) j( z) dz c(z) (z - ),)

(1)

r

hier aufzuführ n (vgl. twa [Dav], S. 6 ). r i t dabei ein Wegezyklu von hinreichend kleinen, einfach durchlaufenen positiv-orientierten Kreisen um die Eigenwerte von A. Mit dem Residuensatz erhält man aus (1) die Residuenjormel: Hf,c (),) = ｾ＠

'"

Re

In den folgenden Bei. pielen rakteri. tischen Polynom XA.

(BI) Es sei A

:=

( C(z) - c( ),) c(z) (z _ ), ) j( z) ; z =

ausgenommen (B4) -

),q

)

ist c gleich dem cha-

(! ｾＩ＠ .

Aus XA( ), ) = ), 2 - 2), - 3 ergeben ich die Eigenwerte ),1 = 3 wld ),2 = -1. Es ist also hier c := XA = f.J,A , daher s = 2 , nl = n2 = ml = m2 = e1 = 2 = 1 und somit NI = = 2. In d ie em einfachen Fall ) ie ht man direkt h1 ,o(>') = ｾＨ ＩＬ＠ + 1) und h2 ,O(>') = i(3 - >.). Mit

e

1(2 1)

PI = 4"

4 2

' P2 =

1( 2-1)

4"

-4

2

ergibt sich 3

Der in teressierte Leser findet ine zum vorli g nd n Buch b sonders passende Darstellung in [FojHo] .

8 Anhang

340

f(A) = f(3) PI

+ f( -

1) P2

Matrixfunktion en

.

Als Spezialfälle erhalten wir für k E [No die Matrixpotenzen Ak bzw. für die für x E IR und A E C durch f(A) = exp (x A) gegebene Funktion f die Matrix-Exponentialfunktion exp (x A):

A k = 3k PI + (_ l)k P2

exp (x A)

,

= e3x PI + e- x P2

Wir vergleichen die obigen R esultate mit denen der Residuenformel. Elementare Umformung oder auch Polynomdivision - etwa mit Hilfe des HORN ER-Schemas - ergibt

C(Z) - C(A) Z - A

=

Z+ A- 2 . '

dies erleichtert die weiteren Schritte:

ｾ＠ ( ( Z +A - 2 H jc, (A) = L.."Res z- 3) ( z+l ) f( z );

Z

= Aa )

a =l

1

1

-(A + 1)f(3) - -(A - 3)f( - 1) 4 4 1

1

'4 (1(3) + 3f( - 1)) + '4 (1(3) Für f(A)

- f( - 1)) A

= exp (XA) erhalten wir damit gem äß S atz

ｅｩｧ･ｮｾ＠

:= solve(c(lambda»;

Eigenw := 3, - 1

In diesem einfachen Falle erhält man mittels LAG RANGE-Interpolation: > X := ｛ｅ ｩ ｧ･ｮｾ｝ Ｚ＠ Y := map(f,X): interp(X,Y,lambda) : collect('l.,Y) : H := unapply ('l. ,lambda) : # Hermite-Interpolationspolynom 'H[f,c] (lambda)' = H(lambda);

H f .c(A) =

Ｈｾ

Ｋｾ

Ｉ＠

f (3)

+ＨＭｾ＠ Ｋｾ

Ｉ＠

f (- l )

Hieraus liest man direkt die HER IlTE-Grundpolynome, hier speziell LAGRANGE-Grundpolynome ab : > hl0

: = lambda -> coeff(H(lambda),f(3»: h20 : = lambda -> coeff(H(lambda),f(-l» : 'h10(lambda)' = h10(lambda) , 'h 20(lambda)' = h20(lambda) ;

Diese hätte man alternativ auch so gewinnen können: > CurveFitting[PolynomiaIInterpolation] (X,Y,lambda,form=Lagrange);

8.3

Beispiele zur Berechnung von Matrixjunktionen (MWS)

349

41 j(3) (A + 1) - 41 j( - l ) (A - 3) Mit Hilfe der Eigenprojekt ionen' > Pi := hlO(A): P2 := h20(A): ' Pi' = Pl, ' P2' = P2 ;

[ｾ＠ Ｔｾ｝＠ - 1

rgibt > F

i h di e

2

pktraldar t llung:

: = H3)*evalm(P1) +H-l) *evalm(P2) : 'HA)' = F;

Die vorang h nden S chrit t

la e n i chwie folgt kompakter au führen:

> 'f(A)' = H(A) :

Für j kann man spezielle Funktionen einsetzen: > subs(f=exp,F) : 'exp(A), = %;

[ｾ＠ 12 1

- 1

]

Die Matrixpotenzen und die Matrix-Exponentialfunktion erhält man z.B. so: > subs(f=(lambda->lambda-k),F): subs(f=(lambda->exp(x*lambda)),F) : 'A-k' = %'1., 'exp(x*A) ' = %;

Ak

[1f1] +

= 3k 2 1

2

( _ l) k

[1 T-1] 2

- 1

2

,exA

[1 f1] + [1 T-1]

= e3x 2 1

2

e- X

2

- 1

2

Einfacher geht es natürlich mit den iaple-Kommandos atFunc bzw. MatExp (vgl. die alias-Anweisung zu Beginn dieses Abschni ts) . > 'exp(A) , = MatExp(A); # MatFunc(A,exp(lambda),lambda); 'exp(x*A), = MatExp(A,x); # MatFunc(A,exp(x*lambda) ,lambda); 'A-k' = MatFunc(A,lambda-k,lambda); # ggf: MatrixPower(A,k);

8 Anhang über Matrixfunktion en

350

Wir verzichten auf eine Wiedergabe des Maple-Output s, um unnötige 'Wiederholungen zu v remeiden, Verwendet man in der vorangehenden Anweisungsgruppe die Prozeduren des linalg-P aketes, so si t zu beachten , daß das Paket LinearAlgebra zur Darstellung von Arrays eine andere Datenstrukt ur benutzt. Eine Weiterverwendung obiger Resultate erfordert deshalb z uvor eine Typumwandlung mi eIs des tIaple-Befehls cOl1vert( .. . , Matrix) . Mit funk tionentheoretischen Hilfsmitteln erhält man - wiein Abschnitt .3 des Textteils a ngegeben - für das H ERMITE-Interpolationspolynom H f ,c die ,Residuenfo rmel' als weit ere explizite Darstellung, derenUmsetzung in Maple sehr elegant gelingt: > H := (f,e) -> unapply(add(residue«e(z)-e(lambda))/ (e(z)*(z-lambda))*f(z),z=zeta), zeta={Eigenw}) ,lambda): 'H[f,e] (lambda) , = eolleet(H(f,c)(lambda),f);

H f ,c(>' ) =

(i Ｋ ｾＩ＠

f(3 )

+(-i Ｋ ｾＩ＠

f( - I )

Wendet man di e für ein f e te eell r x speziell auf die durch A 1-+ exp (Ax) gegebene Funkt ion f an und ordnet das Interpolationspolynom nach Potenzen von A so ergibt s ich: > N := degree (e (lambda) ,lambda): fO := lambda->exp(lambda*x): subs(f=fO,H(f,e)(lambda)): collect(%,lambda): Phi : = [seq(coeff(%,lambda,nu),nu=O . . N-l)];

3 - x 4"e 1 3x - 4"1 4" e3x + 4"e

rp ._ [1

.-

- x]

Die Koeffizienten o(x)E + 1>l(x) A > ｳｵｭＨｐｨｩ｛ｮＫｬ｝Ｊ｡｢､ｾＬ］ｏ＠

+ 1>2(x)A2 :

. . N-1): p := unapply(%,lambda): 'exp(x*A), = map(expand,p(A):

B ei piel 3 > A : =Matrix([[- 1,0, - 2] ,[0,0,0) ,[1 ,0,2]]); E IdentityMatrix(RowDimension(A»:

8.3

B eispiele zur B erechnung von Matrixjunktionen (MWS)

353

- 10 - 2] A := [ 0 0 0 1 0

2

Es ist >

Characterist i cPolynomial(A , lambda): 'chi[A]'(lambda) = factor(c) ;

C :=

mi hin also > Eigenw : = solve(c);

Eigenw

:=

1 , 0,0

Analog zu Beispiel 2 erhal en wir folgend s Interpolationspolynom > X

:= sort([Eigenw]): Y : = [f(O),D(f)(O),f(1)] : Hlnterp(X,Y,lambda): collect(%,Y) : H : = unapply(%,lambda) : 'H[f,c](lambda)' = H(lambda);

Hj ,c( >' ) = (1 - )..2)f(0)

+ >' (1

- )") D(f)(O) + >,2 f(l)

lmd hieraus (in ausmultiplizierter Form) die HERMITE-Grundpolynome: > coeff(H(lambda),f(O» :

expand(%): h10 : = unapply(%,lambda): coeff(H(lambda),D(f)(O»: expand(%): h11 := unapply(%,lambda): coeff(H(lambda),f(1» : expand(%): h20 := unapply(%,lambda): 'h10(lambda) , = h10(lambda), 'h11 (lambda) , = h11(lambda), 'h20(lambda) , = h20(lambda);

Dies ergibt: > P1 C11 P2 'P1 '

:= h10(A) : # P1 = C10 : = h11(A) : # A*Pl =Cll : = h20(A) : # P2 = C20 = P1, 'A*Pi ' = A Pi, ' P2' = P2;

PI =

[ 20 100 2] -1 0 -1

0 0 0] [ 000 000

[-1o 0-2] 0 1 0

0 2

In d r Spektraldar teilung > F := f(O)*evalm(P1)+D(f)(O)*evalm(C11)+f(1)*evalm(P2) : 'f(A)' = F;

0 0 0 ] + f(l ) [- 10 00 -2 0] f(A) = f(O) [ 02 01 02 ] + D(f)(O) [ 000 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 2

8 Anhang über Matrixfunktion en

354

wird also D(f)(O) nicht benö ig t . Die vorliegende Matrix A i t diagonalisierbar und hat folgendes Minimalpolynom : > Mini malPolynomial(A,lambda): 'mu[A]'(lambda)

factor(%);

J.L A( A) = A( A - 1) Wegen A 2 = A i t A eine Wurzel v on A. Die Rechnung mit der an d r Stelle A = 0 nicht differenzierbaren Quadratwurzeljunktion liefert: > F : = evalm(F): ' sqrt(A), = eval(F,f =sqrt) ;

VA =

- 10 - 2] [ 0 0 0 1 0 2

Dir kt Anw ndung von MatF\mc hingegen führt a uf ein F hlenneldwlg: atFunc(A,sqrt(l ambda) ,lambda) ; > 'sqrt(A), = M Error , (in LinearAlgebr a :-LA_Ma in:-Matrixfunct i on) Matrix function i s n ot def i ned for t hi s M atri x

MatFunc arbeitet bei der B erechnung von VA mit dem charakteristischen Polynom und nicht mit dem Minimalpolynom. Somit tritt d r'D rm D(f )(O ) explizit auf. Di r wird au g we r tet bevor r mit d r NulLnatrix multipliziert wird. Die s o zwangsläufig auftretende Fehlermeldung läßt s ichvermeiden , wenn man z. B. zunächst symbolisch VA + x E berechnet lmd anschließend für x = 0 auswertet: > MatFunc(A,sqrt( l ambda+x),lambda): 'sqrt(A+x*E) , = %;

'sqrt(A), = subs(x=O,!.!.);

VA +x E

[

- VI + ｾ＠ + 2 fi

VI + x VA

=

5x

fi

- 2vl +ox + 2 fi ]

- fi

0

+ 2..J'I+x

｛ Ｍ ｾ＠ ｾ＠ Ｍ ｾ ｝＠ 1 0

2

B eispiel 4 > A : = Matrix([[l, - l,l, - l], [- 3,3, - 5,4], [8, - 4,3, - 4], [15 , -10,11, - 11]]); E . = IdentityMatrix(RowDimension(A» :

8.3

B eispiele zur B erechnung von Matrixjunktionen (MWS)

A

:=

355

1 - 1 1 - 1] [ - 3 - 34 -35 - 44 15 - 10 11 - 11

Hierfür beobachten wir:

A

+E

= [

- 32

- 41 - 15 1 - ]4 [ 20 - 01 01 - 01 ] 2 - 4 4 - 4 ,(A + E ) = 0 0 0 0 15 - 10 11 - 10 - 2 1 - 1 1

> MinimalPolynomial (A,lambda): 'mu[A)'( l ambda)

= factor(%);

An Stelle des charakteristischen P olynoms kön nen wir deshalb das Minimalpolynom benutzen. Offensichtlich gilt : > h10 := 1; h11 := l ambda -> lambda+1; h12 := lambda - > (lambda+1)-2/2;

h 1 ,1: = A - A + 1 ,

h 1 ,o := 1

h 1 ,2: = A _ ｾ＠ (A

+ 1)2

Die Spektraldarstellung lautet damit:

j (A ) = ｪ Ｈ Ｍ Ｑ Ｉ ｅ

Ｋ ｄＨｦ

B eispiel 5

ＩＨ ＭＱ

ＩＨ ａＫｅ

Ｉ Ｋｾ

Ｈ ｄ Ｈ Ｒ Ｉ Ｈｦ Ｉ ＨＭＱ

ＩＨ ａＫｅ

ＩＲ＠

(vgl. Beispiel 2 im M WSzu Ka pitel 5)

Im Hinblick auf den K ontext mit Differentialgleichungssystemen bringen wir ein Bei p i Imit ( konjugiert) komplexen Eigenwerten: > A := Matrix([[4,5,8], [-1,-5,-7],[-2,1,0]]); c : = CharacteristicPolynomial(A,lambda): 'chi[A] '(lambda) = factor(c,I);

A:=

[-i-;-7] , -2

1

XA( A) = -(- A - 1 + 3i) (A+ 1 +3i)(A - 1)

0

> Eigenw .= [solve(c)];

Eigenw .- [1 , - 1+ 3 i , - 1 - 3i]

356

8 Anhang über Matrixfunktion en

In cliesem Falle erhält man mittels LAG RANGE-Interpolation: > Y

: = map(f,Eigenw): interp(Eigenw,Y,lambda): collect('l.,Y): evalc(%) : H : = unapplyC'l.,lambda): ' H[f,c] (l ambda)' = H(lambda);

Hieraus liest man direkt die LAGRANGE-Grundpolynome ab : > coeff(H( l ambda),fCl)) :

evalc('l.): hlO := unappl y(%, l ambda) : coeff(H( l ambda),f( - 1+3*I)): evalc('l.): h20 := unappl y(%, l ambda): coeff(H(lambda),f(-1-3*I)): evalc('l.): h30 := unapply(%,lambda): 'h10(lambda) , = h10(lambda) , 'h20( l ambda) , = h20(lambda) , 'h30(lambda) , = conjugate('h20(conjugate(lambda))');

Mit Hili d r ,Eig nproj ktion n > P1 : = h10(A) ; P2 : = h20(A); P3 : = h30(A); ' P1' = P1, 'P2' = P2, 'P3' = conjugate('P2');

PI

=

[ 1 11]

1 1 1 , P2 - 1 - 1 - 1

[ -1

=

- 1

ｔＭＺＲｾ＠

1 . - 1

- 1

2;2' TZ

1.

- 1

i

1

.

T - Z

T

1 . 1

:2 - :2 1,

+ :23.1,

, P3

- :21.z

ergibt sich weg n P3 = P 2 di Sp ktraldar tell ung: > 'f(A)' = f(1)*'Pl'+f(-1+3*I)*'P2'+f(-1-3*I)*conjugate('P2'); f(A ) = f(l) PI

+ f ( - 1 + 3i) P2 + f( -

1 - 3i) P2

Im Fall f(5. ) = f (>" ) für>.. E C vereinfacht ich cli e z u >F

f(1)*evalm(Pl)+Re(f(-1+3*I))*evalm(map(Re,2*P2)) -Im(f(-1+3*I))*evalm(map(Im,2*P2)); 'f(A)' = F; :=

= P2

8.3

B eispiele zur B erechnung von Matrixfunktion en (MWS)

f (A) = f (l) [

357

ｾ＠ ｾ＠ 1ｾ｝ Ｋ ＾ｊｴ･ｦ Ｈ Ｍ Ｑ Ｋ ＳｩＩ ｛ Ｍ ｩ1 Ｍ ｾ1 ］ 2ｾ ｝＠

- 1 - 1-

- :1m f( - 1 + 3i)

｛ Ｍ ｾ＠

-;

Ｍ ｾ ｝＠

0- 1- 1

Für die Matrix-Exponentialfunktion ergibt sich hieraus: > assume(x: :real): subs(f=(lambda -> exp(x*lambda)),F) :

'exp(x*A), = map(evalc,'l.);

ex A

= e [ 1 1 X

1 1]

1 1 + e- x cos(3x) - 1 - 1 - 1 -

-x

in (3 x)

[ 0 -11][-1 -1 -2] - 1

0 - 1

112

1 2 3 0- 1 - 1

Im Normalfall verzicht t man natürlich auf die Einzel chritte und b r h ne t d.i Matrix-Exponentialfu nktion mit atExp : > ' exp(x*A), = Mat Exp(A,x):

B eispiel 6

Zum chluß sei noch f olgende Klasse reeller latrizen betrachtet: > assume(alpha::real,beta : :real): A := Matrix([[alpha, - beta], [beta,al pha]]); c := CharacteristicPolynomial(A,lambda) : 'chi[A]'(lambda) = factor(c,I);

XA( A) = (a - ßi - A)(a + ßi - A) > Eigenw .= solve(c,lambda);

Eigenw := a + ßi , a - ßi

Im Falle ß

=I 0

erhält man mi tels LAGRANGE-Int r pola tion:

> X := [Eigenw]: Y := map(f,X) : interp(X,Y,lambda): collect(%,Y) : evalc('l.): H := unapply('l.,lambda) : 'H[f,c] (lambda)' = H(lambda);

H j ,c(A) = f (a

+ ßi)

G+ (- Ｒ ｾ＠

+ 2ß ) i ) + f (a - ￟ ｩＩ Ｈｾ＠

+ Ｈ Ｒ ｾ＠

Hi raus li st man dir kt di LAG RA GE-Gr undpolynom ab:

- 2ß ) i)

8 Anhang über Matrixfunktion en

358

> coeff(H( l ambda),f(X[l])): evalc(%): hi0 : = unapply(%,lambda) : coeff(H(lambda),f(X[2])): evalc(%): h20 := unapply(%,lambda) : 'hi0(lambda) , = hi0(lambda) , 'h20(lambda) , = h20(lambda) ;

h1 ,o (A) =

ｾ＠

+ ( - /ß' + 2C1.ß ) i h2.0(A) =

ｾ＠

+ (2Aß - 2C1.ß ) i

Mit Hilfe der ,Eigenproj ek ionen' > Pi : = map(simplify,hi0(A)) : P2 := map(simplify,h20(A)) : 'Pi ' = Pi, 'P2' = P2 ;

ergibt sich > F

wie im vorangehenden Beispiel -

die Spektraldarstellung:

: =Re(f(X[l]))*map(Re,2*Pi) - Im(f(X[l]))*map(Im , 2*Pi) : 'fCA)' = F;

f(A) = ['1{e f (a+ßi) - Jmf(a +ßi) ] Jmf(a + ßi) '1{ef(a + ßi) Für den Hauptwert des Logarithmus ergibt sich hieraus: > subs(f=(lambda - > log(lambda)),F) : L : = m a p(evalc,%) : ' log(A), = L;

10g(A)

= [ lOg( Ja 2 +

ß2) - arg(a + ßi) ] arg(a+ßi) 10g(Ja 2 +ß2 )

Wir machen die Probe: > M atExp(L) : 'exp(log(A)) , = map(simplify,%); Jog(A)

=

[ß-:]

Zum Vergleich kann 10g(A) mi Hilfe von MatF'unc berechnet werden: > L

:=

MatFunc(A,log(lambda) ,lambda);

Aus P la tzgründen verzichten wir auf eine Wiedergabe hier im Buch. Berücksichtigt man, daß arctan (y x) = argument (x + iy) bei 'Iaple der H au ptwert des Argumen es von x + iy ist so gilt für y f:. 0 die Beziehung arctan( -y, x) = - arctan(y, x) . Wegen > 'log(A)' = mapCz->subs(arctan(-beta,alpha)=-arctan(beta,alpha),z),L);

10g(A) = [

ｾ＠ log(a 2 + ß2 ) -arctan(ß , a) .

1

arctan(ß , a) ｾ＠ log(a 2 + ß2)

t immt di so erhal ene Dar t llung von 10g(A) rmt obig m R e ultat über in.

9 Anhang zu Maple 9.1 Ein erster Einstieg in Maple Maple ist eines der ausgereiftesten Computeralgebra-Systeme und ein in vielfacher Hinsicht mächtiges Werkzeug für Mathematik, Natur-, Ingenieur- sowie Wirtschaftswissenschaften. Seine Stärken liegen u. a. in der Fähigkeit, symbolisch rechnen zu können. Man kann natürlich mit Maple auch ganz normale numerische Berechnungen durchführen und dabei noch die Anzahl der zu berücksichtigenden Stellen wählen. Aber im Gegensatz zum numerischen Rechnen, wo die Resultate meist durch Rundungsfehler verfälscht werden, hat man beim symbolischen Rechnen keinerlei Informationsverlust. Zudem wird dem Benutzer viel lästige und fehleranfällige Rechenarbeit abgenommen. Eine wesentliche Stärke von Maple ist die Visualisierungsmäglichkeit von Funktionen und anderer geometrischer Objekte. Besonders eindrucksvoll kann man durch Animationen den dynamischen Charakter vieler Sachverhalte herausarbeiten. Dies macht Maple interessant als Motivationsvehikel für den Einsatz in der Lehre, wenn es darum geht, abstrakte Sachverhalte im wahrsten Sinne geometrisch begreifbar zu machen. Maple ist im Prinzip eine gewöhnliche Programmiersprache, die allerdings meist interaktiv eingesetzt wird. Der Wortschatz dieser Sprache ist zudem sehr umfangreich und orientiert sich an mathematischen Inhalten. Ihr Erlernen erfolgt idealerweise - auf angemessenem Niveau - schon in der Schule oder aber in den Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra, indem man parallel zu deren Fortschreiten immer wieder neue Vokabeln einführt und deren Handhabung am aktuellen Stoff einübt. Auf diese Weise steigt der Schwierigkeitsgrad unmerklich an. Unser Buch wendet sich keineswegs nur an Leser, die bereits über MapleGrundkenntnisse verfügen. Jedoch ist eine gewisse Bereitschaft, sich auf das Wechselspiel zwischen dem theoretischen und dem MWS-Teil der jeweiligen Kapitel einzulassen, sehr förderlich. Dabei kann man auf vielfältige Weise weitere Hilfestellung erhalten. Als Maple-Bücher empfehlen wir besonders [Heck], ferner den Maple 9 Learning Guide [LeG] und die Maple 9 Introductory and Advanced Programming Guides [PrGl, PrG2], welche auch für Maple 9.5 gelten, sowie [Walz] und das Standardwerk [Kof].

Die Hilfe-Funktion Das Arbeiten mit Maple wird durch die Hilfe-Funktion gut unterstützt. Dazu klickt man etwa Help in der Menüleiste an. Will man sich erst einmal einen

360

9 Anhang zu Maple

groben Überblick verschaffen über das, was faple alles bietet empfiehlt s ich die ew User's Tour. Erste (interaktive) chritte mit laple kann man z. B. mit Hilfe eines der oben genannten Bücher machen. Wir weisen zudem noch auf die im Lit raturverzeichni ergänzend aufgeführten Bü h r zu Mapl hin. Kurzinformationen üb r di Syntax von l\IIapl -B fehl n rhält man (etwa für plot) leicht auf folgende Wei > ?plot

Für das prakti ehe Arbeiten i t e oft ehr hilfreich, die Bei piele d r HilfeSeite ins Worksheet zu kopieren und sie a uszuführen bzw. auf die eigenen Bedürfnisse anzupassen. Eine weitere Hilfemöglichkeit bietet der Help Browser. Klickt man auf Help, so öffnet sich ein I enü mit den wichtigen Menüpunkten Topic Search und Full Text Search . B i der Eingabe von topic wirkt Topic Search wie ?topic . Mit Hilfe von Pult Text Search kann man nach Stichwörtern in den Hilfe-Seiten uchen .

Elementare Rechnungen Dieser Abschnitt will und kann keine Maple-Einführung ersetzen. Wir empfehlen deshalb, zusätzlich insbesondere folgende Teile der New User's Tour anzuschauen: 1. Algebraic Computations

2. Graphics 3. Calculus 4. Lin ear Algebra

Annahmen über Variable > restart: sqrt(a-2); # Quadratwurzel

Ohne weitere Annalunen über a kann Maple offen ichtlich die en Ausdruck nicht ver infachen . > assume(a,real): simplify(sqrt(a-2));

Mit dem Befehl assume machen wir Annahmen über a. Normalerweise hängt faple dann eine Tilde an den Variablennamen an. Mit additionally kann man weitere Annahmen hinzufügen und mit about kann man erfal1ren w Ich Annahmen üb I' ein Unbekannt gemacht worden ind.

9.1

Ein erster Einstieg in M aple

361

> assume(a>O): about(a); sqrt(a-2); Originally a, renamed a -: is assumed to be: RealRange(Open(O),infinity)

a> assume(a,real): sqrt(a-2); simplify(%,symbolic);

,;a::'l ,

a-

Vorsicht: Die Option symbolic bewirkt offenbar Vereinfachungen, bei denen a als nicht-negativ betrachtet wird. Eigentlich müßte sich ja lai ergeben.

Einige wichtige reelle Zahlen Maple kennt sowohl Pi als auch pi > Pi; pi;

E k ennt ab r nur für Pi einen Zahlenw rt: > evalf(Pi,40); evalf(pi,40); #evaluate using floating point arithmetic

3.1415926535 9793234626433 3279502 4197 , ｾ＠

Di E ULER-Zahl : > evalf(exp(1),40); evalf(e,40);

2.71 2 1828459045235360287471352662497757

e

ach der folgenden Anweisung kennt Maple a uch die übliche Schreibweise: > alias(e=exp(l»: evalf(e,40);

2.71 2 1 2 4590452353602 7471352662497757 eval, evalb, evalc val und

ub

li ｾ＠

rn (fa t) imm r da

lb

ult at:

> restart: eval(z-2+1,z=2), subs(z=2,z-2+1);

5, 5 > eval(sin(z)/cos(z),z=O), subs(z=O,sin(z)/cos(z»;

o

sin(O) , cos(O)

362

9 Anhang zu Maple

Vollständige Auswertung: > restart: a

:=

b: b

:=

c: c

d : eval(a);

d Auswertungen unterschiedlicher Tiefe: > eval(a,l), eval(a,2) , eval (a,3) , eval (a,4);

b , c, d, d

Au w rtung logi eher Ausdrücke: > expr

:=

x*(x-l)

= ｸｾＲＭ［＠

expand(expr);

expr := x (x - 1) = x 2

-

x,

x2

-

X

= x2

-

x

Der Variablen expr wird also der logische Ausdruck x (x - 1) Wert zugewiesen.

=

x2

-

x als

> evalb(expr), eval b(expand(expr));

fals e, true valb li fert offen ichtlich unter chi dliche Ergebni e, da e Au drück nicht von ich aus v r infacht. Vergleich n wir di nut > is(expr);

true

Und noch ein Vergleich von evalb und is: > evalb(Pi>3) , evalb(evalf(Pi»3) , is(Pi>3);

3
abs(x+I*y), evalc(abs(x+I*y)); subs(z=x+I*y,exp(z)) : 'l, = evalc('l,);

ex+ Iy = eX cos(y)

+ l ex sin(y)

evalc interpretiert offensichtlich ungebundene Variable a ls reelle Größen.

9.1

363

Ein erster Einstieg in M aple

A n füh r ungszeichen Maple kennt drei verschiedene Arten von Anführ ungszeichen: linksgericht te (bei Window auch "gerade" genannt) oder Apos roph1rechtsgerichtet (Gravis, accent grave)2 und Doppelanführungszeichen.

L inks gerichtete Anjührungszeichen > restart : x

:=

2: y

:=

'x'; y;

y := x,

2

L inksgeTichtete Anführungszeichen - eigentlich " im Ausdruck m eis t . - bewirken eine ver-zögerte Au wertung: Durch di Wertzuw i ung y := 'x' erhält y zunächst den am n von x zuO"ewie e n, e r t im äch n ten Schritt den tat ächlichen Wert von x. Man kann die dazu nu tzen , di Variabl x wieder zu in r ung bund n n Variablen zu machen, ab r ach u um di L bark it von Au gaben zu erhöhen:

>x

:= 'x'; x;

> 'sin'(O)

X

= sin(O);

:=x,

X

in(O) = 0

Verzögerte Au wertung einer Variablen i t z. B. dann notwendig, wenn sie al Ausgabeparamet r in einer Prozedur verwendet wird. Beim Progralmnaufruf muß der Nam e des Parame ers (und nicht, wie sonst üblich , sein aktueller "Vert) übergeben werden (calt by name an Stelle von caU by value): > a

:=

25: b

:=

7: r

:=

1: q

:=

iquo(a,b,'r'); r; b*q+r;

q := 3,

4,

25

Die Variable 1" lief r t den R s bgaJ1zzahliger i Divi ion. Da ihr vor Aufruf von iquo bereits ein Wert zugewi en wurde, muß man 'r' ehr iben und erhält den Ausgabewert r- = 4. im Au druck R echtsgerichtete Anjührun gszeichen - eigentlich meist . - dienen zur Kennzeichnung von Symbolen, aJ 0 von Bez ichnern für Variable. Ihre Verwendung is t dann no wendig wenn ein Variablenname unzulässige Zeichen enthält, z. B. die Va riable r ' : 1

2

Den Apo troph fi ndet man auf einer d ut ehen Ta tatur a uf der eIben Taste wie # . Au f manchen Tasta Ul"en liefer der Akut (accen aigu) das gleiche Ergebnis. Auf iner deutschen Tastatur erhält man dieses Zeichen , indem man mit der mschalttaste (Shift) die Taste rechts neben dem "ß" drückt.

9 Anhang zu Maple

364 > restart: ･ｲＢｾＬ＠ type('r",symbol); ･ｲＢｾ＠ := "r'''; type('l.,string); r :=

J t

r , t J; r; 1",

true,

'1'"

1":=

true ,

1':

=

1",

"1"

Wir haben hier zugleich die Doppelanjührungszeichen ins Spiel gebracht, mit denen Strings gekennzeichnet werden. fan ahnt , daß man durch solch virtuosen Einsatz von Anführungszeichen jeden Überblick verhindern kann . Abkürzungen mit macro und alias

Der macro -Befehl dient bei der Eingabe zur Abkürzung von Funktions- und Kommandonamen sowie zur Definition von Konstanten. Mit Hilfe von alias kann man Ausdrücke bei d er Ein- und Ausgabe vereinfachen. > restart: macro(J=BesselJ) : Diff(J(O,x),x): % = value(%);

d -d BesselJ (O, x) = - BesselJ(l, x) x > restart: alias(J=BesselJ): Diff(J(O,x),x): % = value(%);

d dx J(O , x)

= - J(l , x)

> restart: macro(s=1.2345): s;

1.2345 > s:= 3; Error, invalid left hand side of assignment

Durch d en macro-B fehl i t ein g chützt Variabl geword n. Machen wir nun ,ganz naiv' d nY, rsuch, s mit dem W rt .j2 zu d fini r 11: > restart: macro(s=sqrt(2)) : s, s-2;

.j22 >

S

:=

3; s;

Wir erhalt n iI ,er taunli he

.j2:= 3,

3

Re ultat! So i t e offenbar richtig:

> restart: macro(s=eval(sqrt(2))): s, s-2;

.j22 >

S

:=

3;

Error, invalid left hand side in assignment

9.1

365

Ein erster Einstieg in M aple

Schleifen, bedingte Anweisungen, Prozeduren Hier eine Schleife mit Inkrement 2 welche alle ungeraden Zahlen kleiner 20 a ufaddiert: > restart: s := 0: for k from 1 to 20 by 2 do s

: = s+k end do:

s;

100

Die Y< rwendung von bedingt n Anw i ung n d mon trier n wir im Zu amm nhang mit der Definit ion der Prozedur Fib, welche di durch

10

= 0,

h

= 1

In = In- 1+ 1"- 2

rek W'siv definierte Folge von FIBONACCI-Zahlen liefert : > Fib := proc(n) i f n=O then 0

elif n=1 then 1 else Fib(n-l)+Fib(n-2) end if end proc: seq(Fib(n),n=O . . 10);

0, 1, 1, 2,3, 5, , 13, 21, 34 55 Auf Feinheiten z. B. i h durch die Y< rwendung von option r m mber alte Zwischenergebnisse in einer Erinnerungstabelle zu merken und dadurch Rechenzeit zu sparen , haben wir hier bewußt verzichtet.

D as Arbeiten mit den Worksheets zu diesem Buch Beim ersten Durcharbeiten kann man die Workshee s einfach fast wie einen Film' ablaufen lassen . Größeren Gewinn hat m an na ürlich durch aktives Mittun. Im Normalfall empfiehlt es sich, die Worksheets chritt für chritt auszuführen und - event uell mit Unterstützung der Hilfe-F\mktion - nachäufig h zuvollzi h n. S hwi rigk i en b reiten ventull Prozd uren. Hi r i t zw kmäßig, g zielt Print-Anwei ung n inzu bau n, um anh and der Zwischenresultate zu verfolgen, was im ein zelnen darin abläuft. Bei d em bisweilen hr umfangr i ch nMaple-Cod zur Er tellung von Graphik n raten wir dazu dur hAu kommenti ren Än ern dr Stri h tärkn und Farb n 'I1 il zu lokali ieren.

9 Anhang zu Maple

366 Stolperfallen und wie man sie meidet

•

restar nicht verges. en; denn Variablen die irgendwann vorher mit \iVerten belegt worden sind können zu falschen Ergebnissen führen.

• z.B. den fultiplikationsoperator • Vergleichsoperator =

*

verge

n

und \iVel'tzuweisungszeich n '- verwechseln

• zu viele, zu wenige oder falsche Klammern • falsche An/ührung zeichen (z. B. ' , und

I J

verwechseln)

• bei Bereichen: eventuell ... statt .. •

pi und Pi verwech eln

• i nicht als Lau/variable benutzen fall i durch interfa e(imaginaryunit= i)

als imaginäre Einheit vereinbart ist. • Eventuelle Probleme durch Verwendung der dito-Operatoren o/c , o/c% bzw. %%% , wenn die Anweisungen eines \iVorksheets nicht der Reihe nach ausgefülut werden. Diese Probleme lassen sich vermeiden wenn man derartige Rückverweise nur innerhalb einer AnweislUlgsgruppe verwendet und and rnfalls 'vV rtzuw isung n an Hilf variabl vornimmt, auf di man sich dann b zi ht.

9.2 Der Befehl interface Mit d m B fehl interface kann man eine Reihe von Voreinstellungen, welche die Kommunikation zwischen Maple und der Benutzeroberfläche regeln den eigenen Bed ül'fnissen anpassen. DUl'ch restart werden alle vorgenonunenen Änderungen zurückgesetzt. Von den zahlreichen Optionen dieses Befehls interessieren uns hier nur die folgenden vier: Standardmäßig i t I b i Mapl di imaginär Einh it. Wi folgt kann man diese (mittels der erst ab Maple 6 verfügbaren Option imaginaryunit ) etwa zu J abändern: > restart : ｉｾＲ［＠

interfaceCimaginaryunit=J ) :

-1

ｉｾＲ［＠ ｊｾＲ［＠

-1

Variablen, über die mittel assume in Annahme g macht word ni t , werden in der Regel durch Anhängen ein r Tild gekennz ichnet:

9.2

361

Der Befehl interface

x- + 1

> assume(x>O): x+l;

Dies k ann man auf folgende Weise unterbinden: > interface(showassumed=O) : assume(x>O): x+l;

x +l

Will man d en apIe-Code einer Bibliotheksroutine, etwa von nextprime, anehen, e rgib der er te Veruch: > print('nextprime');

proc(n) ... end proc

Der eigentlich intere ierend Rumpf d er Proz dur wird al Die erreicht man wie folg t:

0

nicht angezeigt .

> interface(verboseproc=2) : print('nextprime ' );

proc(n) local i t1 ; option 'Copyright (c) 1990 by the University of Waterloo. All rights reserved. '; if type(n , integer) then if n < 2 then2 else if irem(n, 2) = 0 then t 1 := n + 1 else t 1 := n + 2 end if ; for i from t1 by 2 while not isprime( i) do end do ; i

end if elif type( n n umeric) then error "argument fiust be integer" else 'nextprime(n) , end if end proc B im Lad n z ahlr ich r Programm-Paket m ld tMapl Warnung n, di für d n Anfäng r mit unv r tändlich und dem K nner lästig ind : > wi thClinalg) : Warning, the protected names norm and trace have been redef i ned and unprotected

Derartige Meldungen lassen sich folgendermaßen u nterbinden: > interface(warnlevel=O): with(linalg):

368

9 Anhang zu Maple

9.3 Die Initialisie rungsdatei Häufig benutzte Maple-B fehl und Voreinstellungen kann man in die Initialisierung datei von 1aple a uslagern. Unter Windows heißt diese maple.ini lmd i t etwa in einem Verzeichnis mit Namen C: \Programme \ Maple9 . 5 \Users gespeichert· unter Unix/Linux befindet sie sich im Home-Verzeichnis und wird lnit .mapleini t (mit einem Punkt am Anfang) bezeichn t . Beim Start von aple (und nach jedem R tart) werden die Anwei. ungen dieser ASCIITextdat i ausgeführt . Bei d r Er. tellung die es Buches wollten wir mittels interface(warnlevel=O) : interface(showassumed=O):

läs ige Warnungen von Maple beim Laden gewisser Pakete unterbinden, da diese im Buchtext störend wirken, sowie die Maple-Eigenheit unterdrücken, Variablen, über die mittels assume Annahmen gemacht werden, eine Tilde anzuhängen und dadurch den Maple-O utpu t schwerer lesbar zu machen. Ent pr chend den Empt hlungen auf S it 11 b z üglich der Maple-Anw i ung PDEtools[declarel sowie in 'fWS 7, Seite 306 bezüglich der Prozedur RandBed2Matrix hat die von un verw ndete Initiali i rung datei folgendes Aus ehen:

](1

interface(warnlevel=O): # Unterdrückt Warnings interface(showassumed=O) : # Unterdrückt Tilde nach assume PDEtools(declare] (prime=x , (y , u,v,z,eta)(x),quiet): # vgl . S . 11 RandBed2Matrix : = proc(RandBed,vars) # vgl . MWS 7 , S.306 local n , A,B,c,d,u ,Vi n : = nops(RandBed) i subs ({ (vars (1] [j] =u [j)) $j =1. .n , (vars [2] [j] =v [j ]) $j =1. . n}, RandBed) : (A,d) . = L inearAlgebra[GenerateMatri x](%, [seq(u[j],j=l .. n)]) i (B,c) := LinearAlgebra[GenerateMatri x]([seq(-d[j]=O,j=l . . n)], [seq (v [j], j=l .. n)]) i return A, B, c end proc :

9.4 Der Befehl transform Ein Blick hinter die Kulisse n

Der tran form -Befehl au d m Plottool -P aket hat ich bel' it in un erem Buch [Fo/Hol als vielseitig e in tzbarer Maple-Befehl erwie en, de en Leiung fähigkeit in der Maple-Literatur mei t nicht genüg nd erkannt wird .

9.4

369

Der B ef ehl transform

( fan vergleiche daz u z. B. Abschnitt 5.3.) Seine Wirkung wei e wollen wir an einem einfachen B eispiel erläutern. Die Funktion f (s. u.) wird durch F := transform(J) zu einer Graphiktransformation, die hier ein 2D- in ein 3D-Graplükobjekt wandelt. Wir wollen lIDS genauer an chauen, wie dies gesclüeht: > restart: with(plots): with(plottools): Digits : = 4 : f : = (x,y) - > [2*x,2*y,x-2+y-2-1]/(1+x-2+y-2) : # stereographi sche Projektion F := transform(f): # Graphiktransformation zu f Punkt : = disk([1,2] ,0 . 2,color=blue,numpoints=20 ,style=patchnogrid ) : # Punkt z = [1,2] in der Ebene Kugel := plot3d(1,theta=0 . . 2*Pi,phi=0 . . Pi,coords=spherical, shading=zgrayscale) : display (Punkt ,axes =frame ,scaling=constrained,vi ew= [O . . 2,1 . . 3], t i ckmarks=[2,2] ,title="Graphikobjekt Punkt") ; displ ay(F(Punkt),Kugel,axes=framed,scaling=constrained,orientation =[60,60] ,t i ckmarks=[3,3,3],title=IIGraphikobjekt F(Punkt)");

'"

3

Graphikobjekt Punkt

Graphikobj kt F(Punkt)

0 2

-I

-I

0

-I

2

Dazu führen wir scllrittweise eine Reihe von r.,/Iaple-Anweisungen dmch , deren meist umfangreiche Ausgaben hier im Buch lIDterdrückt werden. Als erstes schauen wir uns das Graphikobj ekt Punkt genaller an lIDd erhalten dmch > Punkt; POLYGONS( [[ 1.2,2.) [1.190, 2.062), [1.162, 2.11 ), [1.11 , 2.162), [1.062, 2.190), [1.000, 2.200), [.9382, 2.190), [. 23 , 2.162), [. 3 1,2.117), [. 09 , 2.062), [. 000, 2.000), [. 09 , 1.93 ), [. 3 2 , 1. 2), [. 2 , 1. 3 ), [.93 3, 1. 10) [1.000, 1. 00), [1.062, 1. 10), [1.117, 1. 3 ), [1.162, 1. 2), [1.190, 1.93 ), [1.200,2.000)), STYLE(PATCHNOGRID) , COLOUR(RGB, 0. , 0., 1.00000000»

1aple's in erne Dars ellung. E. handelt ich offensichtlich um eine Folge von drei Operanden. Mi dem Befehl op(l Punkt) greifen wir auf den er ten Operanden zu :

370

9 Anhang zu Maple

> op(l,Punkt):

Dies ist eine Liste von 2D-Punkten, die mittels der stereographischen Projektion in 3D-Punkte transformiert werden ollen . Unter Zuhilfenahme von map geht dies sehr einfach . Versucht man e im ersten Anlauf mit > Punkt_3D := map(f,op(l,Punkt»; Error, (in f) f uses a 2nd argument, y, which is miss ing

so erhält man eine Fehlermeldung, denn hier wird f auf Punkte der Form [x , y] angewend t. Durch f ([x y]) wird f nämlich fäl chlich nur auf ein Al."gument ang wend t; korr kt wär vielm hr drAufruf f(x, y). Da Problem läßt ich mit folgendem Mapl -BeE hl1"· n: > op( [x,y]);

x, y

Offensichtlich ist also f (x y) = f(op([x , y])). Den Ausdruck auf der rechten Seite kann man mit dem Verknüpfwlgsoperator @ a uch in der Form (f op)( [x, y]) chI" ib n . Im zweiten Anlauf ind wir erfolgreicher: > Punkt_3D := ｭ｡ｰＨｦｾｯＬｬｐｵｮｫｴﾻ

Ｚ＠

' iVir substituieren in PunJ.,"f, den ersten Operanden durch die Liste PunkL3D und erhalten so ein 3D-Graphikobjekt: > f_Punkt . = subs(op(1,Punkt)=Punkt_3D,Punkt) :

> display (f_Punkt ,Kugel ,axes=frame, scaling=constrained, orientation=[60,60] ,tickmarks=[3,3,3]):

überzeugen wir uns schließlich daß f _Punkt dieselbe Graphik liefert wie F (Punkt). Durch unsere Konstruktion von f -.Punkt haben wir al 0 die Wirkung wider Graphiktran formation F nachvollzog 11.

Symbolverzeichnis Lateinische Buchstaben

152 G GREEN-Funktion ........... 275 GREEN-Matrix ............. 269

hu,k HERMITE-Grundpolynom 335 log natürlicher Logarithmus log für Matrizen .............. 344 ord Ordnung der Nullstelle eines Polynoms ............ 158 rg Rang einer Matrix sin tan w(x) WRONSKI-Determinante 128

H ................... 125, 266, 273

Fette Buchstaben

H, He HEAVISIDE-Funktion .. 236f Hf,e .......................... 335

C Körper der komplexen Zahlen

C EULER-Konstante .......... 223

C k := Ck(J,C n ) ........... 98,125 Ck(J) := Ck(J, IRn) ......... 27,70 Ck:= Ck([a, b],lR) ............ 289 D Differentiationsoperator .... 174

E Einheitsmatrix in II1 n

......

On Einheitsmatrix in II1 n IK Körper der reellen oder

H n HERMITE-Polynom ....... 208

Je BEssEL-Funktion erster Art 221

J(>..)

=

der komplexen Zahlen Menge der komplexen (n, n)Matrizen ............. 122 IN Menge der natürlichen Zahlen

Jr (>..) JORDAN-

II1 n

Elementarmatrix .......... 156 L Differentialoperator 27, 284, 289 L * adjungierter Differentialoperator

=

.................. 284 LEGENDRE-Polynom ...... 209

IN k := {k, k + I, ... } für ein k E 7L IR Körper der reellen Zahlen

Pn R ................... 266, 273, 289

Res Residuum ................ 339

lI(

ST= SoT .................... 71 T FREDHOLM-Integraloperator 290 T, Ta ..................... 68, 125 T n iterierte Abbildung ......... 71 Ye BESSEL-Funktion zweiter Art 223 arctan cos en n-ter Einheitsvektor .. 127, 273 exp exp für Matrizen .............. 153 Je ............................ 237 hu,k HERMITE-Grundpolynom 327

{I, 2, ... }

Funktion, die an der Stelle x den Wert x annimmt

Frakturbuchstaben

It Kurve ....................... 33 (It) Träger der Kurve It ......... 33 a(lt) Anfangspunkt der Kurve It 33 e(lt) Endpunkt der Kurve It .... 33 1)

ｾＨａＩ＠

Definitionsbereich ......... 3, 68, 79, 97, 210 ......................... 332