Geometria Proyectiva. Una Introducción. [1 ed.] 9786073031462

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Vinicio Antonio Gómez Gutiérrez

GEOMETRÍA PROYECTIVA UNA INTRODUCCIÓN

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

5516.5 516.5 Gómez Gutiérrez, Vincio Antonio, autor. Geometría proyectiva. Una introducción / Vinicio Antonio Gómez Gutiérrez.—1ª edición. -- Ciudad de México : Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias, 2020. x, 200 páginas: ilustraciones ; 22 cm. – (Temas de matemáticas) Incluye bibliografías e índice. Bibliografía: paginas 331-334 ISBN: 978-607-30-3146-2 1. Geometría proyectiva. 2. Geometría proyectiva—Estudio y enseñanza (Superior). 3. Planos proyectivos. I. Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias, editor. II. Título. Biblioteca Nacional de México

Esta obra contó con el apoyo del proyecto PAPIME PE-100917 Geometría proyectiva. Una introducción 1a edición, 10 de marzo de 2020

© D.R. 2020. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán, C. P. 04510, Ciudad de México Coordinación de servicios editoriales: [email protected] Plaza Prometeo: tienda.fciencias.unam.mx

ISBN: 978-607-30-3146-2 Diseño de portada: Laura Uribe Hernández y Eliete Martín del Campo Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.

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´Indice general Prefacio

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1. El plano euclidiano extendido 1.1. El plano euclidiano extendido . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Puntos al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. El plano euclidiano extendido . . . . . . . . . . . 1.1.3. Hileras y haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Perspectividades y proyectividades I . . . . . . . . . . . 1.2.1. Correspondencias elementales . . . . . . . . . . . 1.2.2. Proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Perspectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Construcciones con regla . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El espacio euclidiano extendido . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Perspectividades y proyectividades II . . . . . . . . . . . 1.4.1. Correspondencias elementales . . . . . . . . . . . 1.4.2. Proyectividades y perspectividades en el espacio clidiano extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. El teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. El teorema de Desargues (versi´on espacial) . . . 1.5.2. El teorema de Desargues (versi´on bidimensional) 1.6. Hileras y haces arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Cuadr´angulos completos . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Cuadril´ateros completos . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eu. . . . . . . . . . . . . .

1 . 1 . 2 . 2 . 4 . 5 . 5 . 6 . 6 . 9 . 17 . 19 . 19 . . . . . . .

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´Indice general

1.6.3. Hileras arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Haces arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Efecto bajo proyectividades . . . . . . . . . . . . . . 1.7. El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva . . . . . 1.7.1. El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva (versi´on 3 puntos en 3 puntos) . . . . . . 1.7.2. Otras versiones del teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Una caracterizaci´on de las perspectividades . . . . . 1.8. El teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. El eje de una proyectividad . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. El teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Raz´on cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. El teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2. Polos y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. El teorema de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4. Dualidad en el plano euclidiano extendido . . . . . . 1.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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34 43 44 50

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53 54 55 56 61 62 66 66 70 73 75 76

2. El plano proyectivo real 2.1. La l´ınea proyectiva real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. La l´ınea proyectiva real como haz de l´ıneas en el plano 2.1.2. Parametrizaciones de la l´ınea proyectiva . . . . . . . . 2.1.3. La l´ınea proyectiva real como cociente de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. El punto al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real . . . . . . . . . . 2.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva para puntos colineales . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Una clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Raz´on cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. El plano proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´Indice general

2.4.

2.5. 2.6.

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2.8.

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2.3.1. El plano proyectivo real como haz de l´ıneas en el espacio105 2.3.2. Relaci´on entre el plano euclideano extendido y RP 2 . 108 2.3.3. El plano proyectivo real como espacio cociente de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.3.4. Relaci´on entre RP 2 y la banda de Moebius . . . . . . 114 2.3.5. Otras formas de representar al plano proyectivo real . 117 Transformaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.4.1. Teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva versi´on para cuadr´angulos (4 en 4) . . . . . . . . . . . . . 122 2.4.2. El teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.4.3. El teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 El espacio proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.6.1. Equivalencia proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.6.2. Polos y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.6.3. El teorema de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6.4. El teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Introducci´on a la geometr´ıa algebraica . . . . . . . . . . . . . 145 2.7.1. Curvas algebraicas reales . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.7.2. Curvas algebraicas complejas . . . . . . . . . . . . . . 147 2.7.3. El teorema de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3. Planos proyectivos abstractos 3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva . . . . . . 3.1.1. Planos afines . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Completaci´on de un plano af´ın . . . . 3.1.3. Planos proyectivos . . . . . . . . . . . 3.1.4. Un plano proyectivo no desarguesiano 3.1.5. Pappus ñ Desargues . . . . . . . . . . 3.1.6. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Planos proyectivos finitos . . . . . . . . . . . 3.2.1. Campos finitos y planos proyectivos .

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165 . 165 . 165 . 166 . 168 . 169 . 170 . 174 . 176 . 179 . 179

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´Indice general

3.2.2. El plano de Fano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. El orden de un plano proyectivo finito . . . . . . 3.2.4. N´ umero de puntos de un plano proyectivo finito . 3.2.5. Dos problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. El plano proyectivo de orden 3 . . . . . . . . . . 3.2.7. El plano proyectivo de orden 4 . . . . . . . . . . 3.2.8. Transformaciones proyectivas . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

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Prefacio Este libro pretende servir como material de apoyo para los cursos de Geometr´ıa Proyectiva, asignatura optativa concebida para estudiantes de los primeros semestres de la carrera de Matem´atico que se imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Se ha elegido un enfoque que trata de partir de un m´ınimo de conocimientos (suponemos que los conocimientos indispensables para comprender el material son los correspondientes a las materias de los primeros dos semestres, particularmente Geometr´ıa Moderna I, los ´ dos cursos de Geometr´ıa Anal´ıtica y los dos de Algebra Superior), adem´as, muchas nociones nuevas se van introduciendo conforme se van necesitando. Cabe mencionar que en esta obra se retoman aportes e ideas de varios autores, en particular de Harold Coxeter [16], David Hilbert [28], Rey Cass´e [14], Javier Bracho [9] y tambi´en de Jos´e Luis Abreu, Alejandro Radillo y Joel Espinoza, autores del proyecto DESCARTES [1], entre otros citados en la bibliograf´ıa. En el transcurso de la elaboraci´on de este libro, el joven Francisco Giovanni L´opez S´anchez utiliz´o geogebra para elaborar abundante material de apoyo para el estudio de la geometr´ıa proyectiva. Su trabajo [33] complementa esta obra. Otros autores que debemos mencionar son [35], [47] y [46]. En el cap´ıtulo 1 se toma la geometr´ıa euclidiana como punto de partida. Se trata de que el estudiante se sienta en un terreno conocido, muy parecido al trabajado en el curso de Geometr´ıa Moderna I, en particular se trabajan construcciones con regla, paso a paso. Por otra parte, se hace ´enfasis en el nuevo conjunto en el que estamos trabajando, y se discuten con detalle nociones como punto al infinito o l´ınea al infinito. Se tratan convii

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Prefacio

ceptos fundamentales como hileras y haces arm´onicos, proyectividades y el teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva en su versi´on m´as sencilla. Tambi´en se demuestran los teoremas de Desargues, de Pappus, de Pascal y de Brianchon. Se aprovechan los conceptos de polos y polares para dar un primer acercamiento al principio de dualidad. Se eligi´o trabajar en varios momentos en el contexto tridimensional, considerando que en m´as de un teorema proporciona una demostraci´on m´as sencilla. Para entender este cap´ıtulo el prerrequisito es haber llevado Geometr´ıa Moderna I, y entender el concepto de relaci´on de equivalencia. En el cap´ıtulo 2 se toma la geometr´ıa anal´ıtica como punto de partida. Se introduce la definici´on del plano proyectivo real como un espacio cociente de R3 menos el origen. Se presentan las coordenadas homog´eneas y se utilizan las matrices y clases de equivalencia de matrices para estudiar las transformaciones proyectivas. Se repasan pr´acticamente todos los temas discutidos en el primer cap´ıtulo, pero ahora desde una perspectiva anal´ıtica. Se aprovecha el producto escalar para dar una segunda aproximaci´on al principio de dualidad. Se cierra el cap´ıtulo con una introducci´on a la geometr´ıa algebraica real y compleja, incluyendo una motivaci´on del teorema de B´ezout. Para entender este cap´ıtulo los prerrequisitos son los cursos de Geometr´ıa Anal´ıtica I y II, en los cuales se estudian las c´onicas y las cu´adricas en R3 , adem´as de operaciones como multiplicaci´on de matrices y producto escalar de dos vectores. En una de las secciones se da por hecho que el estudiante ha tenido un primer acercamiento con los n´ umeros complejos, al nivel de los cursos de ´ Algebra Superior. No se da por conocido el concepto de grupo, sin embargo s´ı se da la definici´on, se da el ejemplo de los grupos proyectivos real y complejo y se dan referencias para su estudio posterior. En el cap´ıtulo 3 se define el concepto de plano proyectivo de una manera m´as general, aprovechando que la geometr´ıa anal´ıtica nos permite ir del ´algebra a la geometr´ıa y viceversa. Los diferentes campos de n´ umeros nos permiten construir diferentes tipos de planos proyectivos, en particular los planos proyectivos finitos. Tambi´en se da un tercer acercamiento al principio de dualidad, ahora en un contexto m´as general. En este cap´ıtulo se pone al estudiante en contacto con problemas abiertos, en los que se realiza in-

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vestigaci´on de frontera. En este cap´ıtulo se da por conocida la definici´on de campo y tambi´en se da por supuesto que el estudiante ha trabajado con las clases de residuos m´odulo p donde p es un n´ umero primo. En ambos casos ´ el tratamiento se piensa accesible a un estudiante que ha llevado Algebra Superior I y II. Algunos temas interesantes, como las aplicaciones de la geometr´ıa proyectiva a la criptograf´ıa, a la teor´ıa de c´odigos, las configuraciones de puntos y l´ıneas, no se incluyen en este texto, sin embargo para estos y otros temas, se sugiere consultar obras como [6], [12], [15], [20], [21], [24], [40], [42] y [54]. Por otra parte debo mencionar que la publicaci´on de este trabajo fue posible gracias al apoyo de la UNAM a trav´es del proyecto PAPIME PE100917. Tambi´en agradezco a la profesora Tania Chicalote todo el apoyo que brind´o para la realizaci´on de este libro, al igual que al estudiante Atzin Ernesto Velasco Villegas y al t´ecnico acad´emico Rafael Reyes por su apoyo para darle a este libro el formato requerido por Las Prensas de Ciencias. PD. Finalmente quiero agradecer a mi madre, a Santiago, a Javier y a muchos colegas, amigos, estudiantes y familiares que de alguna u otra manera hicieron posible esta obra. Espero que sea de su agrado.

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Cap´ıtulo 1

El plano euclidiano extendido En este cap´ıtulo presentaremos la versi´on de la geometr´ıa proyectiva m´as cercana a la geometr´ıa euclidiana. Empezaremos por establecer el lugar de trabajo (el plano euclidiano extendido) y las transformaciones de inter´es (las proyectividades), luego discutiremos los teoremas b´asicos, y finalmente abordaremos el principio de dualidad de una manera muy concreta, utilizando los conceptos de polos y polares. En este cap´ıtulo, daremos por conocidos y utilizaremos todos los axiomas de la geometr´ıa euclidiana. El lector podr´a notar la influencia de [14], [16] y [25].

1.1.

El plano euclidiano extendido

El plano euclidiano extendido, tambi´en conocido como la completaci´on proyectiva del plano euclidiano, es el conjunto que se obtiene al a˜ nadirle al plano euclidiano otro conjunto de puntos, la l´ınea al infinito. En esta secci´on describiremos este conjunto y algunas de sus propiedades b´asicas.

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1. El plano euclidiano extendido

1.1.1.

Puntos al infinito

En el conjunto de l´ıneas rectas del plano euclidiano definamos la relaci´on de paralelismo como sigue: a es paralela a b si y s´olo si se cumple una de las dos condiciones siguientes: 1. a X b “ H 2. a “ b Se puede ver que, con esta definici´on, ´esta es una relaci´on de equivalencia (se deja como ejercicio al lector). Esta relaci´on induce una partici´on del conjunto de las l´ıneas rectas del plano euclidiano en clases de equivalencia. Definici´ on 1.1 Sea l una l´ınea recta en el plano euclidiano. Sea rls la clase de equivalencia de l. El punto al infinito en la direcci´ on de la l´ınea l es rls.

1.1.2.

El plano euclidiano extendido

Los puntos del plano euclidiano extendido Definici´ on 1.2 El conjunto de puntos del plano euclidiano extendido es la uni´ on del conjunto de puntos del plano euclidiano y el conjunto de todos los puntos al infinito. Las l´ıneas del plano euclidiano extendido Hemos cambiado nuestra noci´on de punto, y ahora admitimos puntos de dos tipos diferentes: los puntos ordinarios del plano euclidiano, y los puntos al infinito. Hagamos lo mismo con nuestra noci´on de l´ınea recta; ampli´emosla de manera que admitamos dos tipos de l´ıneas diferentes; a continuaci´on precisaremos esta idea: Definici´ on 1.3 Una l´ınea recta extendida es un conjunto de puntos de la forma l Y trlsu para alguna l´ınea recta l del plano euclidiano.

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1.1. El plano euclidiano extendido

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Definici´ on 1.4 La l´ınea al infinito es el conjunto de todos los puntos al infinito. La denotaremos por l8 . Definici´ on 1.5 Un subconjunto de puntos del plano euclidiano extendido es llamado una l´ınea si es una l´ınea recta extendida, o si es la l´ınea al infinito. Una consecuencia de las definiciones anteriores: Proposici´ on 1.1 (Propiedades de incidencia) 1. Dos puntos distintos determinan una u ´nica l´ınea en el plano euclidiano extendido. 2. Dos l´ıneas distintas determinan un u ´nico punto en el plano euclidiano extendido. Demostraci´ on. 1. Tomemos dos puntos cualesquiera en el plano euclidiano extendido. Queremos demostrar que existe una u ´nica l´ınea en el plano euclidiano extendido, tal que contiene a ambos puntos. Procederemos examinando caso por caso. Si P y Q son dos puntos que pertenecen al plano euclidiano. Existe una l´ınea r en el plano euclidiano que pasa por ambos puntos. Claramente la l´ınea r Y trrsu es una l´ınea del plano extendido que contiene a ambos puntos. Si P es un punto del plano euclidiano y Q‹ es un punto al infinito, entonces existe una l´ınea recta q en el plano euclidiano tal que Q‹ “ rqs. Si P P q, entonces la l´ınea buscada es q Y tQ‹ u. Si P no pertenece a q, existe una u ´nica l´ınea recta p paralela a q, que pasa por P . Por definici´on, p P Q‹ , por lo cual p Y tQ‹ u es la l´ınea buscada.

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1. El plano euclidiano extendido

Si los dos puntos son puntos al infinito. En este caso ambos puntos pertenecen a la l´ınea al infinito. 2. Consideremos dos l´ıneas distintas en el plano extendido. Si una de ellas es la l´ınea al infinito, necesariamente la otra es de la forma a Y trasu para alguna l´ınea a del plano euclideano. Claramente se intersecan en un punto del plano euclidiano extendido, a saber, ras. Si ninguna de ellas es la l´ınea al infinito, podemos decir que una de ellas es a “ a Y trasu y la otra es b “ b Y trbsu para algunas l´ıneas a y b del plano euclideano. Si a y b no son paralelas, ya acabamos, pues se intersecan en un punto P del plano euclideano el cual tambi´en est´a en el plano extendido. Si a y b son paralelas, entonces ras “ rbs y ´ese es el punto del plano extendido en el cual se intersecan a y b. Con esto terminamos la demostraci´on de esta proposici´on.



Definici´ on 1.6 Diremos que un punto y una l´ınea son incidentes si el punto pertenece a la l´ınea.

1.1.3.

Hileras y haces

Definici´ on 1.7 Sea l una l´ınea en el plano euclidiano extendido. A un subconjunto de l con dos o m´ as puntos lo llamaremos hilera. Diremos que dichos puntos son colineales. Sea P un punto en el plano euclidiano extendido. A un conjunto de dos o m´ as l´ıneas que pasen por P lo llamaremos haz de l´ıneas que pasan por P . Diremos que dichas l´ıneas son concurrentes. Diremos que P es el v´ertice del haz. En la figura 1.1 tenemos un haz de l´ıneas por P y una hilera de puntos en l.

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1.2. Perspectividades y proyectividades I

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Figura 1.1: Una correspondencia elemental.

1.2.

Perspectividades y proyectividades I

En esta secci´on definiremos a las proyectividades o transformaciones proyectivas. Siguiendo a Coxeter, las proyectividades ser´an composiciones de correspondencias elementales [16]. Finalmente, describiremos un tipo de proyectividades especiales, las perspectividades.

1.2.1.

Correspondencias elementales

Definici´ on 1.8 Sea l una l´ınea en el plano euclidiano extendido. Sea P un punto que no est´ a en l, y sea HazpP q el haz de todas las l´ıneas que pasan por P . La correspondencia elemental determinada por l y HazpP q es la funci´ on f HazpP q Ñ l tal que

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1. El plano euclidiano extendido

A cada l´ınea x que pasa por P se le asocia el punto tXu “ x X l. V´ease la figura 1.1. Esta funci´on es biyectiva (ejercicio 2), y podemos dar la regla de correspondencia de su inversa: A cada punto X que pertenece a l se le asocia la l´ınea x “ XP Tambi´en a la inversa de f la llamaremos correspondencia elemental.

1.2.2.

Proyectividades

Definici´ on 1.9 Una proyectividad es una composici´ on de un n´ umero finito de correspondencias elementales. Existen cuatro tipo de proyectividades, seg´ un el tipo de elementos que relacionan: Puntos con puntos. Se denotan X X Y . L´ıneas con l´ıneas. Se denotan x X y. L´ıneas con puntos. Se denotan x X Y . Puntos con l´ıneas. Se denotan X X y.

1.2.3.

Perspectividades

Definici´ on 1.10 Una perspectividad es la composici´ on de dos correspondencias elementales. Existen dos tipos de perspectividades, seg´ un el tipo de elementos que relacionan: Puntos con puntos. Se denotan X Z Y . L´ıneas con l´ıneas. Se denotan x Z y.

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1.2. Perspectividades y proyectividades I

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N´otese que no hay perspectividades que relacionen puntos con l´ıneas o viceversa, pues tendr´ıan que ser composici´on de un n´ umero impar de correspondencias elementales. Examinemos las perspectividades m´as de cerca. Sean l y m dos l´ıneas distintas. Sea P un punto que no est´a ni en l ni en m. Consideremos la funci´on: f :lÑm cuya regla de correspondencia Y “ f pXq es la siguiente: A cada punto X en l le corresponde el punto Y en m que se obtiene al intersecar la l´ınea m con la l´ınea x que une X con P . Esta funci´on puede expresarse como composici´on de dos correspondencias elementales: X X x seguida de x X Y Tenemos una perspectividad X ZY V´ease la figura 1.2.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.2: Una perspectividad X Z Y . El punto P es el centro de la perspectividad.

Sean L y M dos puntos distintos. Sea p una l´ınea que no pasa ni por L ni por M . Consideremos la funci´on g que va del haz de l´ıneas que pasan por L al haz de l´ıneas que pasan por M , cuya regla de correspondencia y “ gpxq es la siguiente: A cada l´ınea x que pasa por L le corresponde la l´ınea y que pasa por M y por el punto X “ x X p. Esta funci´on puede expresarse como composici´on de dos correspondencias elementales: x X X seguida de X X y Tenemos una perspectividad x Z y. V´ease la figura 1.3.

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1.2. Perspectividades y proyectividades I

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Figura 1.3: Una perspectividad xZy. La l´ınea p es el eje de la perspectividad.

1.2.4.

Construcciones con regla

Empezaremos esta secci´on dando los axiomas que caracterizan a un plano proyectivo (v´ease [25] y [14]), y a continuaci´on mostraremos que el plano euclidiano extendido satisface estos axiomas. Estos axiomas permiten el uso de la regla (sin graduar). Para obtener construcciones que podamos generalizar a planos proyectivos distintos del plano euclidiano extendido, valdr´a la pena dedicar un tiempo al estudio de construcciones que podemos realizar sin el comp´as. En el resto de esta secci´on abordaremos el problema de construir perspectividades que pongan en correspondencia algunos puntos.

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1. El plano euclidiano extendido

Planos proyectivos Definici´ on 1.11 Un plano proyectivo π es un conjunto, cuyos elementos llamaremos puntos, junto con una familia de subconjuntos, a los cuales llamaremos l´ıneas, que cumplen los axiomas siguientes: 1. Para cualesquiera dos puntos distintos, existe una u ´nica l´ınea que los contiene. 2. Cualesquiera dos l´ıneas distintas se intersecan en un u ´nico punto. 3. Existen al menos tres puntos no colineales. 4. Toda l´ınea contiene al menos tres puntos. Que el plano euclidiano extendido satisface los dos primeros axiomas de plano proyectivo es el contenido de la proposici´on 1.1. Y claramente el plano euclidiano extendido satisface los otros dos axiomas. Tenemos, pues, el resultado siguiente: Proposici´ on 1.2 El plano euclidiano extendido es un plano proyectivo. N´otese que el el plano euclidiano no satisface el segundo axioma (¡no habr´ıa paralelas!). El segundo axioma es, en cierto sentido, el dual del primero. Establezcamos las reglas de traducci´on: puntos Ø l´ıneas colineales Ø concurrentes Vemos que el primer axioma se traduce en el segundo. Diremos que son duales. Enunciaremos una primera versi´on de un hecho general. Proposici´ on 1.3 (Principio de dualidad) Sea Q una proposici´ on que ˚ tiene sentido en un plano proyectivo. Sea Q la proposici´ on dual (que se obtiene aplicando las reglas de traducci´ on reci´en mencionadas). Si Q es verdadera, entonces Q˚ tambi´en.

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1.2. Perspectividades y proyectividades I

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El estudio de otros ejemplos de planos proyectivos, as´ı como la demostraci´on de esta proposici´on, los pospondremos para el tercer cap´ıtulo. Por ahora solamente ilustraremos c´omo podemos aplicar este principio a una construcci´on con regla para obtener una construcci´on dual. Perspectividades que ponen en correspondencia dos parejas de puntos Sean AB y A1 B 1 dos parejas de puntos. Supongamos que la l´ınea AB es distinta de la l´ınea A1 B 1 . Vamos a ver que es posible construir una perspectividad tal que: AB Z A1 B 1 Construcci´on. 1. Tracemos las l´ıneas AA1 y BB 1 . Sea O el punto donde se intersecan ambas l´ıneas. 2. La correspondencia que a cada punto X en la l´ınea AB le asocia el punto X 1 , donde la l´ınea OX cruza a la l´ınea A1 B 1 , es la perspectividad buscada. Esta perspectividad X Z X 1 tiene centro en O. V´ease la figura 1.4. Perspectividades que ponen en correspondencia dos parejas de l´ıneas Vamos a plantear el problema dual del anterior, traduciendo puntos por l´ıneas y l´ıneas por puntos. Sean a y b dos l´ıneas que pasan por un punto L. Sean a1 y b1 dos l´ıneas que pasan por un punto M . Supongamos que el punto L es distinto del punto M . Vamos a ver que es posible construir una perspectividad tal que: ab Z a1 b1 Construcci´on. 1. Marquemos los puntos a X a1 y b X b1 . Tracemos ω, la l´ınea que pasa por ambos puntos.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.4: Una perspectividad tal que AB Z A1 B 1 . 2. La correspondencia que a cada l´ınea x en el haz de l´ıneas que pasa por L le asocia la l´ınea x1 , que pasa por el punto M y por el punto donde la l´ınea x interseca a la l´ınea ω, es la perspectividad buscada. Esta perspectividad x Z x1 tiene a ω como su eje. V´ease la figura 1.5. Proyectividades que ponen en correspondencia dos ternas de puntos Sean ABC y A1 B 1 C 1 dos ternas de puntos colineales. Supongamos que la l´ınea AB es distinta de la l´ınea A1 B 1 . Vamos a ver que es posible construir una proyectividad tal que: ABC X A1 B 1 C 1 Vamos a dar la demostraci´on en el caso general, la demostraci´on en los casos excepcionales se dejan como ejercicio. Sea E el punto donde se intersecan las l´ıneas AB y A1 B 1 .

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1.2. Perspectividades y proyectividades I

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Figura 1.5: Una perspectividad tal que ab Z a1 b1 . Caso general El punto E es distinto de los puntos A, B, C, A1 , B 1 , C 1 . Construcci´on. 1. Tracemos las l´ıneas AA1 , BA1 y CA1 . (Hemos trazado un haz de tres l´ıneas que pasan por A1 ). 2. Tracemos las l´ıneas AB 1 y AC 1 . (Ahora tenemos un haz de tres l´ıneas que pasan por A). 3. Sean P “ BA1 X AB 1 y Q “ CA1 X AC 1 . 4. Tracemos la l´ınea P Q. Sea R “ AA1 X P Q. 5. La correspondencia que a cada punto X P AB le asocia el punto Y “ XA1 X P Q, es una perspectividad X Z Y tal que ABC Z RP Q. 6. La correspondencia que a cada punto Y P P Q le asocia el punto X 1 “ AY XA1 B 1 , es una perspectividad Y ZX 1 tal que RP QZA1 B 1 C 1 .

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1. El plano euclidiano extendido 7. La composici´on de ambas perspectividades X Z Y Z X 1 es la proyectividad buscada. V´ease la figura 1.6.

Figura 1.6: Tenemos una proyectividad X X X 1 . N´otese que esta construcci´on parte del supuesto de que las l´ıneas AB y A1 B 1 son distintas. ¿Qu´e podemos hacer si este supuesto no se cumple? Tenemos dos hileras ABC y A1 B 1 C 1 en la misma l´ınea. Tracemos una l´ınea auxiliar (distinta) y en ella marquemos tres puntos A”B”C”. Utilizando la construcci´on anterior podemos ver que ABC X A”B”C” X A1 B 1 C 1 Proyectividades que ponen en correspondencia dos ternas de l´ıneas Vamos a plantear el problema dual del anterior, traduciendo puntos por l´ıneas y l´ıneas por puntos. Sean abc y a1 b1 c1 dos ternas de l´ıneas que con-

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1.2. Perspectividades y proyectividades I

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curren en los puntos V y V 1 respectivamente. Supongamos que V y V 1 son diferentes. Vamos a ver que es posible construir una proyectividad tal que: abc X a1 b1 c1

Figura 1.7: abc X KLM y KN O X a1 b1 c1 . Construcci´on. 1. Marquemos los puntos K “ a X a1 , L “ b X a1 y M “ c X a1 . (Tenemos una hilera de tres puntos en la l´ınea a1 . M´as a´ un: tenemos una correspondencia elemental abc X KLM ). 2. Marquemos los puntos N “ a X b1 y O “ a X c1 . (Ahora tenemos una hilera de tres puntos en la l´ınea a. M´as a´ un: 1 1 1 tenemos una correspondencia elemental KN O X a b c . V´ease la figura 1.7). 3. Sean p y q las l´ıneas LN , M O respectivamente, y denotemos por W “ p X q el punto donde concurren. Obtenenemos el centro de una perspectividad LM Z N O. Trazando r “ KW notamos que, de hecho, KLM Z KN O. V´ease la figura 1.8.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.8: KLM Z KN O. Esto permite argumentar que abc X KLM Z KN O X a1 b1 c1 Con el fin de hacer expl´ıcita la regla de correspondencia de la proyectividad que construimos haremos las observaciones siguientes: i) La correspondencia que a cada l´ınea x que pasa por V le asocia la l´ınea y que une el punto W con el punto donde la l´ınea x interseca a la l´ınea a1 , es una perspectividad x Z y tal que abc Z rpq. ii) La correspondencia que a cada l´ınea y que pasa por W le asocia la l´ınea x1 que une el punto V 1 con el punto donde la l´ınea y interseca a la l´ınea a, es una perspectividad y Z x1 tal que rpq Z a1 b1 c1 . iii) La composici´on de ambas perspectividades xZyZx1 es la proyectividad buscada. V´ease la figura 1.9. La argumentaci´on de que abcXa1 b1 c1 para el caso en el cual V “ V 1 se puede basar en los resultados anteriores y se deja como ejercicio al lector.

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1.3. El espacio euclidiano extendido

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Figura 1.9: x Z y Z x1 .

1.3.

El espacio euclidiano extendido

El espacio euclidiano extendido, tambi´en conocido como la completaci´on proyectiva del espacio euclidiano, es el conjunto que se obtiene al a˜ nadirle al espacio euclidiano los puntos al infinito. En esta secci´on describiremos este conjunto y algunas de sus propiedades b´asicas. L´ıneas paralelas en el espacio euclidiano Sean l y m dos l´ıneas en el espacio euclidiano. Diremos que son coplanares si existe un plano que las contiene a las dos. Diremos que son paralelas si se cumple una de las dos condiciones siguientes: 1. a y b son coplanares pero a X b “ H. 2. a “ b.

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1. El plano euclidiano extendido

Los puntos del espacio euclidiano extendido En el conjunto de las rectas del espacio euclidiano podemos considerar la relaci´on l „ m si y s´olo si l y m son paralelas. Se puede ver que esta es una relaci´on de equivalencia (ejercicio). Un punto al infinito es la clase de equivalencia rls de una recta l. Tendremos tantos puntos al infinito como l´ıneas que pasan por el origen del espacio euclidiano. Los puntos del espacio euclidiano extendido son los puntos ordinarios del espacio euclidiano junto con los puntos al infinito asociados a las l´ıneas del espacio euclidiano. Al conjunto de todos los puntos al infinito se le puede dar una estructura de plano proyectivo en el sentido de la definici´on dada en la secci´on anterior (ejercicio). Al conjunto de los puntos al infinito lo llamaremos el plano al infinito. Las l´ıneas del espacio euclidiano extendido Dada una l´ınea l en el espacio euclidiano, su completaci´on l Y trlsu ser´a una l´ınea del espacio euclidiano extendido. Pero ´estas no ser´an las u ´nicas l´ıneas. Tambi´en, dado un plano π, la l´ınea al infinito asociada a π ser´a el conjunto de puntos al infinito de la forma rls con l Ă π. Tendremos tantas l´ıneas al infinito como planos que pasan por el origen del espacio euclidiano. Los planos del espacio euclidiano extendido Dado un plano π en el espacio euclidiano, su completaci´on π Y trls : l Ă πu ser´a un plano del espacio euclidiano extendido. Adem´as tendremos otro plano, el plano de los puntos al infinito. Algunas propiedades de puntos, l´ıneas y planos Dos puntos distintos determinan una u ´nica l´ınea que los contiene. Tres puntos no colineales determinan un u ´nico plano que los contiene. Dos l´ıneas distintas coplanares se intersecan en un u ´nico punto. Dos l´ıneas que se intersecan en un u ´nico punto determinan un u ´nico plano que las contiene. Dos l´ıneas son ajenas si y solamente si no son coplanares. Cualesquiera dos planos distintos se intersecan en una l´ınea.

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1.4. Perspectividades y proyectividades II

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Si la intersecci´on de tres planos distintos no es una l´ınea, entonces tiene que ser un punto. Sea π un plano y l una l´ınea. Si l no est´a contenida en π, entonces π X l contiene exactamente un punto.

1.4.

Perspectividades y proyectividades II

En esta secci´on definiremos las proyectividades o transformaciones proyectivas en el espacio euclidiano extendido. Conceptualmente, seguiremos el mismo camino que en el caso de las proyectividades del plano euclidiano extendido, pero con las peculiaridades del contexto tridimensional.

1.4.1.

Correspondencias elementales

Sea π un plano en el espacio euclidiano extendido. Sea P un punto que no est´a en π, y sea HazpP q el haz de todas las l´ıneas que pasan por P . La correspondencia elemental determinada por π y HazpP q es la funci´on f HazpP q Ñ π tal que a cada l´ınea x que pasa por P se le asocia el punto tXu “ x X π. Tambi´en a la inversa de f la llamaremos correspondencia elemental.

1.4.2.

Proyectividades y perspectividades en el espacio euclidiano extendido

Como antes, una proyectividad es una composici´on de un n´ umero finito de correspondencias elementales. Existen cuatro tipo de proyectividades, seg´ un el tipo de elementos que relacionan: Puntos de un plano con puntos de otro plano. Se denotan X X Y . L´ıneas que pasan por un punto con l´ıneas que pasan por otro punto. Se denotan x X y.

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1. El plano euclidiano extendido

L´ıneas que pasan por un punto con puntos de un plano. Se denotan x X Y . Puntos de un plano con l´ıneas que pasan por un punto. Se denotan X X y. Como antes, una perspectividad es la composici´on de dos correspondencias elementales. Existen dos tipos de perspectividades, seg´ un el tipo de elementos que relacionan: Puntos con puntos. Se denotan X Z Y . L´ıneas con l´ıneas. Se denotan x Z y. N´otese que una perspectividad X Z Y en el espacio euclidiano extendido pone en correspondencia puntos de un plano con puntos de otro plano, mientras que una perspectividad en el plano euclidiano extendido pone en correspondencia puntos de una l´ınea con puntos de otra l´ınea. Examinemos las perspectividades m´as de cerca. Sean π1 y π2 dos planos distintos. Sea P un punto que no est´a ni en π1 ni en π2 . Sea X un punto variable que se mueve en π1 . A cada X en π1 le corresponde una l´ınea x que pasa por P , dicha l´ınea es la que pasa por X y por P . Pero a su vez, a dicha l´ınea x que pasa por P le corresponde un punto Y en el plano π2 , a saber, el punto donde la l´ınea x interseca al plano π2 . Tenemos una perspectividad X ZY El punto P juega un papel especial. Diremos que P es el centro de la perspectividad. Sean L y M los v´ertices de dos haces de l´ıneas distintos. Sea π un plano que no pasa ni por L ni por M . Sea x una l´ınea variable que se mueve en el haz de l´ıneas que pasan por L. A cada l´ınea x le corresponde un punto X en π, a saber, el punto donde la l´ınea x interseca al plano π. Pero a su vez, a dicho punto X en π le corresponde una l´ınea y que pasa por M , a saber, la l´ınea que pasa por X y por M . Tenemos una perspectividad xZy

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1.5. El teorema de Desargues

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El plano π juega un papel especial. Diremos que π es el plano de la perspectividad.

1.5.

El teorema de Desargues

En esta secci´on definiremos los conceptos de tri´angulos en perspectiva desde un punto y desde una recta. Demostraremos el teorema de Desargues y su rec´ıproco, lo cual muestra que ambas nociones de tri´angulos en perspectiva son equivalentes en el plano euclidiano extendido. Por ser m´as geom´etrica, primero daremos la demostraci´on para la versi´on tridimensional, y luego daremos las demostraciones para la versi´on bidimensional (sugerimos ver [16], [13] y [28]). Cabe se˜ nalar que en planos proyectivos m´as generales puede no ser v´alido el teorema de Desargues. Los planos proyectivos en los cuales es v´alido reciben el nombre de planos proyectivos desarguesianos. En la secci´on siguiente aplicaremos el teorema de Desargues y su rec´ıproco al estudio de las hileras y haces arm´onicos.

Tri´ angulos en perspectiva Definici´ on 1.12 Se dice que dos tri´ angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 est´ an en 1 1 1 perspectiva desde un punto O si las tres l´ıneas AA , BB y CC concurren en el punto O. V´ease la figura 1.10. En general podr´ıamos decir que dos pol´ıgonos de n lados ABCD . . . y 1 A B 1 C 1 D1 . . . est´an en perspectiva desde un punto O si las l´ıneas que unen los puntos correspondientes AA1 , BB 1 , CC 1 , DD1 , . . . concurren en el punto O. Definici´ on 1.13 Se dice que dos tri´ angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 est´ an en perspectiva desde una l´ınea l si los puntos donde se intersecan los lados

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.10: Tri´angulos en perspectiva desde un punto. correspondientes: D “ BC X B 1 C 1 E “ AC X A1 C 1 F “ AB X A1 B 1 pertenecen a l (es decir, son colineales). V´ease la figura 1.11.

1.5.1.

El teorema de Desargues (versi´ on espacial)

Teorema 1.1 (Desargues) Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´ angulos en el 1 espacio, en planos distintos, digamos π y π respectivamente. Si est´ an en perspectiva desde un punto, entonces est´ an en perspectiva desde una recta. V´ease la figura 1.12.

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1.5. El teorema de Desargues

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Figura 1.11: Tri´angulos en perspectiva desde una l´ınea.

Demostraci´ on. Sea O el punto desde el cual los tri´angulos est´an en perspectiva. Para que los tri´angulos est´en en perspectiva desde una l´ınea hay que ver que los lados correspondientes se intersequen en puntos colineales. Tomemos en cuenta que las l´ıneas que determinan los lados son l´ıneas en el espacio, y podr´ıan no tener ning´ un punto en com´ un. Veamos que tienen intersecci´on no vac´ıa. Consideremos primero las rectas AA1 y BB 1 . Por hip´otesis, ambas rectas pasan por el punto O. Esto implica que los cinco puntos O, A, B, A1 y B 1 pertenecen a un mismo plano (el plano determinado por el tri´angulo ∆OAB). De lo dicho anteriormente se sigue que las l´ıneas AB y A1 B 1 est´an en un mismo plano. Necesariamente tienen en com´ un un punto F “ AB X 1 1 AB. Notemos que (i) F P AB y AB Ă π implican que F P π, (ii) F P A1 B 1 y 1 A B 1 Ă π 1 implican que F P π 1 , y finalmente, (iii) F P π X π 1 “ l. An´alogamente podemos decir que O, B, C, B 1 y C 1 son coplanares, que

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.12: ¿Cu´al ser´a la l´ınea desde la cual los tri´angulos estar´an en perspectiva? las rectas BC, y B 1 C 1 se intersecan en un punto D y que D P l.

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1.5. El teorema de Desargues

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Tambi´en podemos decir que O, A, C, A1 y C 1 son coplanares, que las rectas AC y A1 C 1 se intersecan en un punto E, y que E P l. Como D, E, F P l, entonces los tri´angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 est´an en perspectiva desde l.  Teorema 1.2 Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´ angulos contenidos en planos distintos π y π 1 respectivamente. Si est´ an en perspectiva desde una l´ınea, entonces est´ an en perspectiva desde un punto. V´ease la figura 1.13.

Figura 1.13: Cada par de lados correspondientes determina un plano. Tenemos tres planos en posici´on general. Demostraci´ on. Sean F “ AB X A1 B 1 , E “ AC X A1 C 1 y D “ BC X B 1 C 1 . Consideremos las rectas AB y A1 B 1 . Como se intersecan en F , existe un

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1. El plano euclidiano extendido

plano que contiene a ambas l´ıneas. Denotemos a ese plano por πF . An´alogamente las rectas AC y A1 C 1 son parte de otro plano πE y las rectas BC y B 1 C 1 son parte de un tercer plano πD . Veamos que las tres l´ıneas AA1 , BB 1 y CC 1 concurren. Los planos πF y πE se intersecan en la l´ınea AA1 . Los planos πF y πD se intersecan en la l´ınea BB 1 . Los planos πD y πE se intersecan en la l´ınea CC 1 . Tres planos que se intersecan por parejas en tres l´ıneas distintas tienen que estar en posici´on general. De aqu´ı se sigue que la intersecci´on de dichos tres planos es un punto. Sea O este punto. Tenemos que las tres l´ıneas AA1 , BB 1 y CC 1 son concurrentes en el punto O, pues: O P πF X πE “ AA1 . O P πF X πD “ BB 1 . O P πE X πD “ CC 1 . 

Figura 1.14: Queremos demostrar que ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 est´an en perspectiva desde una l´ınea.

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1.5. El teorema de Desargues

1.5.2.

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El teorema de Desargues (versi´ on bidimensional)

Teorema 1.3 (Desargues) Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´ angulos en un mismo plano. Si est´ an en perspectiva desde un punto, entonces est´ an en perspectiva desde una recta. V´ease la figura 1.14. La idea general de la demostraci´on para el caso en el que los dos tri´angulos est´an en el mismo plano es llevar el problema al caso en el que no son coplanares y utilizar lo que ya demostramos. Demostraci´ on. Sea H un punto afuera del plano en el que est´an los tri´angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 . Tracemos el tri´angulo ∆HCC 1 . Como O est´a en la l´ınea CC 1 , entonces O tambi´en est´a en el plano que determina el tri´angulo ∆HCC 1 . V´ease la figura 1.15.

Figura 1.15: Trazamos una l´ınea que pasa por O y est´a en el plano HCC 1 . Sea K un punto en la l´ınea HC. Tracemos la l´ınea OK. Corta a la l´ınea HC 1 en un punto K 1 . Ahora consideremos los tri´angulos ∆ABK y ∆A1 B 1 K 1 . Son dos tri´angulos que est´an en perspectiva desde un punto (figura 1.16), y est´an en planos

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1. El plano euclidiano extendido

distintos. Podemos aplicar el teorema ya demostrado. Los tri´angulos ∆ABK y ∆A1 B 1 K 1 est´an en perspectiva desde una l´ınea l. Para ser m´as precisos:

AB X A1 B 1 “ F P l AK X A1 K 1 “ E 1 P l BK X B 1 K 1 “ D1 P l

Figura 1.16: Los tri´angulos ∆ABK y ∆A1 B 1 K 1 est´an en perspectiva desde O. Ahora, desde H, proyectemos los tri´angulos ∆ABK y ∆A1 B 1 K 1 sobre el plano original. Sus im´agenes son los tri´angulos originales ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 . Afirmamos que la l´ınea l va a dar a una l´ınea m en el plano original. Vamos a ver que esta es la l´ınea desde la cual est´an en perspectiva los tri´angulos originales. La proyecci´on deja fija a la l´ınea AB y en particular a F . Como tambi´en preserva incidencias, tenemos que F PlñF Pm

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1.5. El teorema de Desargues

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La l´ınea AK va a dar a la l´ınea AC, la l´ınea A1 K 1 va a dar a la l´ınea A1 C 1 , entonces E 1 (el punto com´ un de las l´ıneas AK y A1 K 1 ) va a dar a E (el punto com´ un de las l´ıneas AC y A1 C 1 ). Como la proyecci´on preserva incidencias, tenemos que E1 P l ñ E P m An´alogamente BK va a dar a BC y B 1 K 1 va a dar a B 1 C 1 . D1 va a dar a D. D1 P l ñ D P m Tenemos que F , E y D pertenecen a la l´ınea m. Los tri´angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 est´an en perspectiva desde m.



Teorema 1.4 (Rec´ıproco del teorema de Desargues) Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´ angulos contenidos en un mismo plano. Si est´ an en perspectiva desde una l´ınea, entonces est´ an en perspectiva desde un punto. Demostraci´ on. Sea π el plano en el cual est´an los tri´angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 . Queremos demostrar que est´an en perspectiva desde un punto. La idea de la demostraci´on ser´a sacar el problema del plano encontrando un tri´angulo auxiliar, encontrar los puntos en el espacio desde los cuales las parejas de tri´angulos est´en en perspectiva, y proyectar sobre el plano π para encontrar el punto desde el cual los tri´angulos originales estar´an en perspectiva. Por hip´otesis los tri´angulos est´an en perspectiva desde una l´ınea m. Sean F “ AB X A1 B 1 E “ AC X A1 C 1 D “ BC X B 1 C 1 Consideremos un plano π 1 cuya intersecci´on con el plano original sea m. Tracemos en este plano una l´ınea d que pase por D, una l´ınea e que pase por E y una l´ınea f que pase por F , de modo que formen un tri´angulo. V´ease la figura 1.17.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.17: ABC, A1 B 1 C 1 y A2 B 2 C 2 est´an en perspectiva desde m. Sean A” “ e X f B” “ d X f C” “ d X e Observemos que: 1. Los tri´angulos ∆ABC y ∆A”B”C” est´an en planos distintos y en perspectiva desde m. Entonces est´an en perspectiva desde un punto S.

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1.5. El teorema de Desargues

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2. Los tri´angulos ΔA1 B 1 C 1 y ΔA”B”C” est´an en planos distintos y en perspectiva desde m. Entonces est´an en perspectiva desde un punto S1. 3. Los puntos S y S 1 son distintos, pues S “ S 1 ñ ΔABC “ ΔA1 B 1 C 1 , lo cual no es el caso. Tracemos la l´ınea SS 1 . Sea R el punto donde el plano π corta a esta l´ınea. Afirmamos que las tres l´ıneas AA1 , BB 1 y CC 1 concurren en R. V´ease la figura 1.18.

Figura 1.18: ABC y A1 B 1 C 1 est´an en perspectiva desde R. Veamos que R pertenece a la l´ınea AA1 . Por una parte A, A” y S son colineales, pues los tri´angulos ΔABC y ΔA”B”C” est´an en perspectiva desde

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1. El plano euclidiano extendido

S. Por otra parte A1 , A” y S 1 tambi´en son colineales, pues los tri´angulos ∆A1 B 1 C 1 y ∆A”B”C” est´an en perspectiva desde S 1 . Los cinco puntos A, A1 , A”, S y S 1 son coplanares. Entonces las l´ıneas AA1 y SS 1 se intersecan en un punto X. Como dicho punto pertenece al plano π pues est´a en la l´ınea AA1 , X tiene que ser R. De aqu´ı se sigue que R pertenece a la l´ınea AA1 . An´alogamente podemos ver que R P BB 1 y que R P CC 1 . En consecuencia, los tri´angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 est´an en perspectiva desde R. 

1.6.

Hileras y haces arm´ onicos

En esta secci´on definiremos los conceptos de cuadril´atero y cuadr´angulo completo, y en t´erminos de ellos daremos una definici´on de hilera y de haz arm´onico que tendr´a la virtud de que coincidir´a con la definici´on que se da en los cursos de Geometr´ıa Moderna en el contexto del plano euclidiano extendido, pero se podr´a generalizar a otros planos proyectivos.

1.6.1.

Cuadr´ angulos completos

Sean P QRS cuatro puntos, entre los cuales no hay tres colineales. Definici´ on 1.14 Un cuadr´ angulo completo es la figura formada por Cuatro v´ ertices, los puntos P ,Q, R y S. Seis lados, las l´ aneas P Q, P R, P S, QR, QS y RS. A menos que se indique lo contrario, los cuadr´ angulos a los que nos referiremos en este trabajo ser´ an cuadr´ angulos completos, raz´ on por la cual omitiremos la palabra completo. Los lados de un cuadr´angulo se intersecan en otros tres puntos distintos de los v´ertices del cuadr´angulo. Estos tres puntos se llaman puntos diagonales del cuadr´angulo. Forman el tri´ angulo diagonal del cuadr´angulo. V´ease la figura 1.19.

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Figura 1.19: El tri´angulo diagonal de un cuadr´angulo completo P QRS.

1.6.2.

Cuadril´ ateros completos

El concepto de cuadril´atero completo es el dual del concepto de cuadr´angulo completo. A continuaci´on traduciremos la definici´on de cuadr´angulo completo en la de su concepto dual. Sean pqrs cuatro l´ıneas, entre las cuales no hay tres concurrentes. Definici´ on 1.15 Un cuadril´ atero completo es la figura formada por Cuatro lados, las l´ıneas p, q, r y s. Seis v´ ertices, los puntos donde se intersecan las seis parejas de lados del cuadril´ atero. Hay tres l´ıneas que no son lados del cuadril´atero pero que pasan por dos de los seis v´ertices del cuadril´atero. Estas l´ıneas se llaman las diagonales del cuadril´atero, y forman el tri´ angulo diagonal del cuadril´atero. V´ease la figura 1.20.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.20: El tri´angulo diagonal de un cuadril´atero completo pqrs.

1.6.3.

Hileras arm´ onicas

En los cursos de Geometr´ıa Moderna (v´ease [13], [49]) se define hilera arm´onica utilizando el concepto de raz´on en la que un punto M divide a un segmento dirigido AB. AM MB Si M est´a en el interior del segmento AB la raz´on es positiva. Si M est´a en la l´ınea AB pero no en el segmento AB, la raz´on es negativa. Se diferencian ambos casos hablando de divisi´on interna y externa, respectivamente. Se dice que un punto N es el conjugado arm´ onico de M con respecto al segmento AB si AN AM “´ NB MB Se dice que los cuatro puntos colineales A, B, M, N forman una hilera arm´ onica si N es el conjugado arm´onico de M con respecto a A y B. Para indicar que estos cuatro puntos forman una hilera arm´onica utilizaremos la notaci´on HpAB, M N q. A continuaci´on daremos una definici´on m´as general de hilera arm´onica, que pueda tener sentido en otros planos proyectivos. Para motivar el paso de

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una a otra definici´on utilizaremos el teorema de divisi´on interna y externa. Se puede formular como sigue: Teorema 1.5 Consideremos un tri´ angulo 4ABC. Sean K P BC, L P AC y M P AB, tales que las tres l´ıneas AK, BL, CM sean concurrentes. Sea N el punto en el cual la l´ınea KL interseca a la l´ınea AB. Entonces los cuatro puntos A, B, M, N forman una hilera arm´ onica HpAB, M N q.

V´ease la figura 1.21.

Figura 1.21: Dados A, B y M colineales, construir una hilera arm´onica HpAB, M N q. Omitiremos la demostraci´on de este teorema por ser consecuencia de los teoremas de Ceva y Menelao, que suele ser vista en los cursos de Geometr´ıa

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1. El plano euclidiano extendido

Moderna. Dicha demostraci´on puede consultarse en el libro de Shively [49], cap´ıtulo 3, secci´on 3.6. Este teorema nos permite construir el conjugado arm´onico de un punto M con respecto a un segmento AB, utilizando solamente regla. Construcci´on: Supongamos dada la l´ınea AB y un punto M en ella. 1. Utilizando el segmento AB tracemos un tri´angulo 4ABC. 2. Tracemos la l´ınea CM . Marquemos un punto Q en CM . 3. Tracemos la l´ınea AQ. Interseca a BC en un punto K. 4. Tracemos la l´ınea BQ. Interseca a AC en un punto L. 5. Tracemos la l´ınea KL. Corta a AB en un punto N . Teorema 1.6 En la construcci´ on anterior, (i) N queda determinado solamente por A, B y M , sin importar la elecci´ on de C ni la de Q. (ii) N es el conjugado arm´ onico de M con respecto a AB. Demostraci´ on. (i) Realicemos la construcci´on eligiendo un punto C 1 distinto de C y un punto Q1 P C 1 M . El resultado podr´ıa ser un punto N 1 . Veamos que N 1 “ N . V´ease la figura 1.22. Vamos a aplicar el teorema de Desargues y su rec´ıproco. Para ello buscamos tri´angulos que est´en en perspectiva desde la l´ınea l “ AB. Observemos que QK X Q1 K 1 “ A CQ X C 1 Q1 “ M KC X K 1 C 1 “ B Entonces los tri´angulos ∆CQK y ∆C 1 Q1 K 1 est´an en perspectiva desde la l´ınea l. Aplicando el rec´ıproco del teorema de Desargues obtenemos que las l´ıneas CC 1 , QQ1 y KK 1 son concurrentes.

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Figura 1.22: Queremos ver que la l´ınea K 1 L1 pasa por N . Por otra parte notemos que QL X Q1 L1 “ B CQ X C 1 Q1 “ M LC X L1 C 1 “ A Entonces los tri´angulos ∆CQL y ∆C 1 Q1 L1 est´an en perspectiva desde la l´ınea l. Aplicando el rec´ıproco del teorema de Desargues obtenemos que las l´ıneas CC 1 , QQ1 y LL1 son concurrentes. M´as a´ un, podemos decir que las cuatro l´ıneas CC 1 , QQ1 , KK 1 y LL1 concurren en un mismo punto O. V´ease la figura 1.23.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.23: CQKL y C 1 Q1 K 1 L1 est´an en perspectiva desde O. De lo anterior se sigue que los tri´angulos ∆CKL y ∆C 1 K 1 L1 est´an en perspectiva desde el punto O. Aplicando el teorema de Desargues deducimos que est´an en perspectiva desde una l´ınea. Los puntos donde se intersecan los lados correspondientes deben ser colineales. En particular el punto donde se intersecan los lados KL y K 1 L1 pertenece a la l´ınea AB. Esto quiere decir que las tres l´ıneas AB, KL y K 1 L1 son concurrentes. El punto de concurrencia es precisamente el punto N . V´ease la figura 1.24. Por una parte, el punto N es aquel donde se intersecan las l´ıneas AB y KL. Por otra parte, el punto N 1 es aquel donde se intersecan las l´ıneas AB y K 1 L1 . Concluimos que N 1 “ N y el resultado de la construcci´on no depende de la elecci´on de C ni de Q.

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(ii) Basta aplicar el teorema de divisi´on interna y externa citado previamente.

Figura 1.24: ∆CKL y ∆C 1 K 1 L1 est´an en perspectiva desde la l´ınea AB.  Observemos el cuadr´angulo QKCL de la figura 1.25. El punto A es un punto diagonal de este cuadr´angulo, ya que en ´el se cortan los lados opuestos QK y CL. El punto B es otro punto diagonal de este cuadr´angulo, pues en ´el se intersecan los lados opuestos LQ y KC. La l´ınea AB es una l´ınea que pasa por dos de los tres puntos diagonales del cuadr´angulo. Las l´ıneas QC y KL son las otras diagonales del cuadr´angulo. El punto M est´a donde la l´ınea QC corta a la l´ınea AB, y el punto N est´a donde la l´ınea KL corta a la l´ınea AB. Esto motiva otra definici´on de hilera arm´onica. Definici´ on 1.16 Sean A, B, M y N cuatro puntos colineales. N es el conjugado arm´ onico de M con respecto a A y B, si existe un cuadr´ angulo tal que:

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1. El plano euclidiano extendido

1. A y B sean dos de los puntos diagonales de este cuadr´ angulo. 2. Los dos lados del cuadr´ angulo que pasan por el otro punto diagonal, cortan a la l´ınea AB precisamente en los puntos M y N . En el contexto anterior, se dice que A, B, M y N forman una hilera arm´ onica. La denotaremos por HpAB, M N q.

Figura 1.25: El cuadr´angulo QKCL y la hilera arm´onica HpAB, M N q. N´otese que esta nueva definici´on tiene sentido en planos proyectivos en los que no est´e definida la raz´on en la que un punto divide a un segmento. Y una virtud de la demostraci´on de la unicidad del teorema anterior, es que es v´alida en cualquier plano proyectivo en el que sea v´alido el teorema de Desargues. Extra: hileras arm´ onicas en el espacio Para finalizar esta subsecci´on, vamos a retomar una idea de Jos´e Luis Abreu, Alejandro Radillo y Joel Espinoza [1], de llevar el problema al espacio tridimensional.

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Teorema 1.7 Sea ABC una terna de puntos colineales en el espacio. Sea l la l´ınea AB. Tomemos un punto D en el espacio, no perteneciente a l, y realicemos la construcci´ on del conjugado arm´ onico de C con respecto a A y B. El resultado ser´ a un punto I en la l´ınea l. Tomemos otro punto K en el espacio, no perteneciente al plano determinado por A, B y D. Realicemos la construcci´ on pero ahora partiendo de K. El resultado ser´ a el mismo que el de la construcci´ on que empez´ o con D. Demostraci´ on. Describamos la primera construcci´on: Elegimos un punto D. Trazamos AD, BD y CD. Sea E un punto en CD. Tracemos AE y BE. Sea G el punto donde se intersecan AE y BD. Sea H el punto donde se intersecan AD y BE. Tracemos GH. Sea I el punto donde GH y AB se intersecan. Todo esto queda en un mismo plano. Describamos la segunda construcci´on: Elegimos un punto K. Trazamos AK, BK y CK. Sea F un punto en CK. Tracemos AF y BF . Sea L el punto donde se intersecan AF y BK. Sea M el punto donde se intersecan AK y BF . Tracemos LM . Sea J el punto donde LM y AB se intersecan. Todo esto queda en otro plano. V´ease la figura 1.26.

Figura 1.26: Construyendo el conjugado arm´onico usando dos planos distintos.

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1. El plano euclidiano extendido

Queremos demostrar que J “ I. Hasta ahora lo u ´nico que queda claro es que ambos pertenecen a la l´ınea AB, que es la intersecci´on de los dos planos. Observemos que la primera construcci´ on produjo un cuadr´angulo completo. La segunda construcci´on produjo otro cuadr´ angulo completo. El plan es ver que existe un punto en el espacio desde el cual podemos proyectar el primer cuadr´ angulo sobre el segundo. Para ello tracemos las l´ıneas DK y EF . V´ease la figura 1.27. Afirmamos: 1. Ambas rectas se intersecan en un punto. 2. Dicho punto es el centro de perspectiva desde el cual el primer cuadr´angulo completo se proyecta sobre el segundo.

Figura 1.27: Desde N tenemos una proyectividad tal que DHEG Z KM F L. Para convencerse de que dichas dos rectas en el espacio tienen intersec-

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ci´on no vac´ıa consideremos el tri´angulo DKC. El punto E est´a en el lado DC, y el punto F est´a en el lado CK. Las dos rectas DK y EF pertenecen al plano determinado por el tri´angulo DKC. Entonces se tienen que intersecar en un punto N . N´otese que puede ser un punto al infinito. Ahora consideremos la proyectividad que a cada punto X del plano ABD le asocia el punto Y del plano ABK determinado por la intersecci´on de la l´ınea N X con el plano ABK. Para comprobar que bajo esta proyectividad el cuadr´angulo DHEG va a dar al cuadr´angulo KM F L, basta ver que los cuatro v´ertices del primer cuadr´angulo van a dar a los cuatro v´ertices del segundo cuadr´angulo. Por la elecci´on de N , tenemos que D ÞÑ K E ÞÑ F Claramente A, B y C quedan fijos, por estar en la recta en la cual se intersecan los planos que contienen a los cuadr´angulos. Entonces tenemos que las im´agenes de las l´ıneas AD, AE, BD y BE son precisamente las l´ıneas AK, AF , BK y BF . De aqu´ı se sigue que G ÞÑ L H ÞÑ M Con esto vemos que la imagen del primer cuadr´angulo es el segundo. Esto nos dice que la imagen de I es J. Pero por otra parte, los puntos de la l´ınea AB quedan fijos. En consecuencia I “ J.  Se puede ver que la unicidad de la construcci´on del conjugado arm´onico en el espacio euclidiano extendido usando puntos D y K en planos distintos, implica la unicidad de la construcci´on cuando D y K se eligen en el mismo plano. La demostraci´on no es dif´ıcil, y se deja como ejercicio al lector.

1.6.4.

Haces arm´ onicos

Podemos revisar cada paso de la construcci´on de una hilera arm´onica y transformemos los puntos en l´ıneas y las l´ıneas en puntos, reformulando de

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1. El plano euclidiano extendido

manera adecuada las relaciones de incidencia. Supongamos dadas tres l´ıneas a, b y m que concurren en un punto P . 1. Tracemos una l´ınea c que no pase por P . 2. Tracemos una l´ınea q que pase por m X c. 3. Tracemos la l´ınea k que una los puntos a X q y b X c. 4. Tracemos la l´ınea l que una b X q con a X c. 5. Tracemos la l´ınea n que una P con k X l. Se deja como ejercicio al lector realizar esta construcci´on y mostrar que la l´ınea n no depende de la elecci´on de c ni de q. Definici´ on 1.17 Sean a, b y m tres l´ıneas que pasan por un punto P . Una l´ınea n que pasa por P es conjugada arm´ onica de m con respecto a las l´ıneas a y b si existe un cuadril´ atero qkcl tal que: 1. Las l´ıneas a y b sean dos de sus lados diagonales. 2. El otro lado diagonal sea el que pasa por los puntos q X c y k X l. 3. q X c P m, k X l P n y adem´ as n pasa por a X b. En el contexto anterior, se dice que el haz abmn es arm´ onico. Se denotar´ a Hpab, mnq. V´ease la figura 1.28.

1.6.5.

Efecto bajo proyectividades

Consideremos un haz de cuatro l´ıneas abcd con v´ertice en P . Tracemos una l´ınea l que no pase por P . La correspondencia que asocia a cada l´ınea por P un punto en l, dada por x ÞÑ tXu “ x X l es una correspondencia elemental que se denotar´a abcd X ABCD. V´ease la figura 1.29.

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Figura 1.28: La l´ınea n es la conjugada arm´onica de m con respecto a a y b. Teorema 1.8 El haz abcd es arm´ onico si y s´ olo si la hilera ABCD es arm´ onica. M´ as precisamente: d es la l´ınea conjugada arm´ onica de c con respecto a ab si y s´ olo si D es el conjugado arm´ onico de C con respecto a AB.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.29: Tenemos un cuadr´angulo EGP F y una hilera arm´onica HpAB, CDq. Demostraci´ on. ð Supongamos que la hilera ABCD es arm´onica, siendo D el conjugado arm´onico de C con respecto a A y B. Utilicemos a P para realizar la construcci´on del conjugado arm´onico de C con respecto a A y B. Habr´ıa que trazar las l´ıneas AP , BP y CP , es decir, justamente a, b y c. Luego habr´ıa que elegir un punto E en CP , trazar AE y BE, marcar los puntos G y F donde estas l´ıneas intersecan a las l´ıneas b y a respectivamente. Finalmente trazamos GF , esta l´ınea interseca a la l´ınea l “ AB precisamente en D. Queremos ver que existe un cuadril´atero tal que abcd cumpla la definici´on de haz arm´onico. Vamos a tratar de descubrir el cuadril´atero requerido. El cuadril´atero que buscamos debe tener como lados diagonales a las l´ıneas a y b. Recordemos que una diagonal de un cuadril´atero completo es una l´ınea que une dos de los v´ertices del cuadril´atero, sin ser una de las cuatro l´ıneas del cuadril´atero. Esto quiere decir que ni a ni b ser´an l´ıneas del cuadril´atero requerido. Sin embargo, deben pasar por v´ertices de dicho cuadril´atero. Esto nos llevar´ıa a pensar en los puntos A, F , B y G como

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cuatro de los seis v´ertices del cuadril´atero requerido. Los otros dos v´ertices podr´ıan ser D y E. Proponemos al cuadril´atero completo determinado por las l´ıneas g “ DA, n “ DF , e “ EA y m “ EF . V´ease la figura 1.30.

Figura 1.30: Encontramos un cuadril´atero egmn y un haz arm´onico Hpab, cdq. Verifiquemos que cumple las condiciones requeridas. Dos de sus lados diagonales son a y b. El otro lado diagonal es DE. La l´ınea c pasa por E y la l´ınea d pasa por D. En consecuencia, el haz abcd es un haz arm´onico. El rec´ıproco se deja como ejercicio al lector. 

Corolario 1.1 Toda proyectividad lleva (hileras, haces) arm´ onicos en (hileras, haces) arm´ onicos. En particular: ABCD X P QRS y HpAB, CDq implican que HpP Q, RSq.

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1. El plano euclidiano extendido

Naturaleza rec´ıproca de la relaci´ on arm´ onica inmediatas. Por ejemplo:

Algunas relaciones son

HpAB, M N q ô HpAB, N M q HpBA, M N q ô HpAB, M N q Hay otras relaciones cuya demostraci´on no es tan simple sin usar la definici´on basada en el concepto de raz´on en que un punto divide a un segmento. Las proyectividades nos permitir´an mostrar que dichas relaciones siguen siendo v´alidas con la definici´on de hilera arm´onica basada en el concepto del cuadr´angulo completo. Para ello necesitamos un resultado preliminar. Proposici´ on 1.4 Dados cuatro puntos colineales A, B, M y N , existe una proyectividad tal que ABM N X M N AB. Demostraci´ on. Sea R un punto que no pertenece a la l´ınea AB. Tracemos una l´ınea cualquiera que pase por N . Sean T , Q y W los puntos donde esta l´ınea corta a las l´ıneas AR, M R y BR respectivamente. Tracemos la l´ınea AQ, y sea Z el punto donde interseca a la l´ınea RB. Tenemos una perspectividad ABM N Z ZBRW con centro en Q. V´ease la figura 1.31.

Figura 1.31: ABM N Z ZBRW .

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Tambi´en tenemos una perspectividad ZBRW Z QN T W con centro en A. V´ease la figura 1.32.

Figura 1.32: ZBRW Z QN T W . Tambi´en tenemos una perspectividad QN T W Z M N AB con centro en R. La composici´on de estas tres perspectividades es la proyectividad buscada. ABM N Z ZBRW Z QN T W Z M N AB  V´ease la figura 1.33. Corolario 1.2 HpAB, M N q ô HpM N, ABq y Hpab, mnq ô Hpmn, abq. La demostraci´on se deja como ejercicio al lector.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.33: QN T W Z M N AB.

1.7.

El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva

Esta secci´on est´a dedicada al teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva en el plano euclidiano extendido. La demostraci´on es muy sencilla si adoptamos un axioma adicional. Nosotros as´ı lo haremos, pero daremos una motivaci´on de dicho axioma, utilizando el concepto de redes arm´onicas. Tomando en cuenta que el plano cartesiano es un modelo de la geometr´ıa euclidiana, sobre la cual hemos hecho las construcciones previas, para efectos de este trabajo daremos por cierta la propiedad de densidad de los puntos en las l´ıneas rectas del plano euclidiano. Finalmente comentaremos las diferentes versiones que tiene este teorema, seg´ un el tipo de proyectividades con las que estemos trabajando.

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1.7. El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva

1.7.1.

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El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva (versi´ on 3 puntos en 3 puntos)

Siguiendo a Coxeter [16] adoptaremos el axioma siguiente: Si una proyectividad fija tres puntos colineales distintos, entonces es la identidad. Este axioma es necesario para la demostraci´on del teorema fundamental. Teorema 1.9 Sean ABC y A1 B 1 C 1 dos ternas de puntos colineales en dos l´ıneas l y l1 respectivamente. Existe una u ´nica proyectividad f : l Ñ l1 tal que f pAq “ A1 , f pBq “ B 1 y f pCq “ C 1 . Demostraci´ on. Para demostrar la existencia de una proyectividad como la requerida, es suficiente una de las construcciones que vimos anteriormente. Procedemos a demostrar la unicidad. Supongamos que existen dos proyectividades f1 , f2 : l Ñ l1 que cumplen las condiciones requeridas. Ahora bien, toda proyectividad es una funci´on biyectiva, y por lo tanto, invertible. Sea f2´1 la inversa de f2 . Consideremos la composici´on g “ f2´1 ˝ f1 : l Ñ l g tiene la propiedad de que gpAq “ A, gpBq “ B y gpCq “ C. Esto quiere decir que g deja fijos tres puntos distintos. Gracias al axioma que reci´en adoptamos podemos concluir que g es la identidad, y por tanto f1 ” f2 

Redes arm´ onicas Sean ABC tres puntos colineales. Podemos utilizar la construcci´on del cuarto arm´onico de varias maneras: 1. Trazar D, el conjugado arm´onico de C con respecto a A y B. 2. Trazar E, el conjugado arm´onico de B con respecto a A y C.

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1. El plano euclidiano extendido

3. Trazar F , el conjugado arm´onico de A con respecto a B y C. As´ı obtenemos una hilera de seis puntos ABCDEF que extiende a la hilera original de tres puntos (v´ease la figura 1.34). Para cada una de las posibles parejas y cada punto de los cuatro restantes, podemos trazar el conjugado arm´onico correspondiente, y as´ı obtenemos una nueva hilera que extiende a la anterior. Repitiendo este proceso podemos construir una sucesi´on de hileras con cada vez m´as puntos, las cuales van siendo los puntos de un conjunto denso en la recta. El conjunto de todos los puntos que se obtienen mediante este proceso es la red arm´ onica determinada por la terna ABC.

Figura 1.34: A partir de tres puntos colineales A, B y C podemos generar una hilera arm´onica de tres maneras distintas: HpAB, CDq, HpAC, BEq y HpBC, AF q.

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1.7. El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva

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Vamos a usar el concepto de red arm´onica para motivar la aceptaci´on del axioma que enunciamos al principio de esta secci´on. Supongamos que una proyectividad f tiene la propiedad de que deja fijos a tres puntos colineales A, B y C. Sea D el conjugado arm´onico de C con respecto a A y B. Entonces f tiene que dejar fijo a D, pues de lo contrario tendr´ıamos una proyectividad que no preservar´ıa hileras arm´onicas. An´alogamente f tiene que dejar fijos a E, el conjugado arm´onico de B con respecto a A y B; y tambi´en debe dejar fijo a F , el conjugado arm´onico de A con respecto a B y C. Siguiendo este razonamiemto, f tiene que dejar fijos a todos los puntos de la red arm´onica generada por A, B y C. Como resulta ser un conjunto denso, la u ´nica manera en que f pueda ser una funci´on continua, es que deje fijos a todos los puntos de la l´ınea l.

1.7.2.

Otras versiones del teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva

Teorema 1.10 (3 l´ıneas en 3 l´ıneas) Sean abc tres l´ıneas que pasan por un v´ertice L. Sean a1 b1 c1 otras tres l´ıneas que pasan por otro v´ertice L1 . Existe una u ´nica proyectividad f : HazpLq Ñ HazpL1 q tal que f paq “ a1 , 1 f pbq “ b y f pcq “ c1 . Demostraci´ on. Basta demostrar el caso particular en el cual a “ a1 , b “ b1 1 y c “ c . Para convencerse de que la u ´nica proyectividad h : HazpLq Ñ HazpLq tal que abc X abc es la identidad, consideremos una l´ınea m que no pase por el punto donde concurren las rectas del haz. Tenemos una correspondencia elemental g : HazpLq Ñ m tal que abc X ABC. Entonces g ˝ h ˝ g ´1 : m Ñ m es tal que ABC X ABC. Aplicando la versi´on ya demostrada del teorema, tenemos que g ˝ h ˝ g ´1 “ Id|m . De aqu´ı se sigue que h “ Id|HazpLq . 

Teorema 1.11 (3 puntos en 3 l´ıneas) Sean ABC tres puntos en una l´ınea l. Sean a1 b1 c1 tres l´ıneas que pasan por un v´ertice L1 . Existe una u ´nica pro1 1 1 yectividad f : l Ñ HazpL q tal que f pAq “ a , f pBq “ b y f pCq “ c1 .

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1. El plano euclidiano extendido

Esta versi´on y su rec´ıproca se pueden demostrar de manera an´aloga a la versi´on anterior. Se dejan como ejercicio.

1.7.3.

Una caracterizaci´ on de las perspectividades

Teorema 1.12 Sea f : l1 Ñ l2 una proyectividad que pone en correspondencia puntos de dos l´ıneas. Sea E el punto donde se intersecan ambas l´ıneas. Una condici´ on necesaria y suficiente para que f sea una perspectividad, es que f pEq “ E. V´ease la figura 1.35.

Figura 1.35: Una proyectividad entre l´ıneas que deja fijo el punto de intersecci´on. Demostraci´ on. Necesidad. Si f : l1 Ñ l2 es una perspectividad desde un punto O, a cada punto X P l1 le asocia el punto f pXq P l2 en el cual la l´ınea OX interseca a l2 . En particular, si X “ E, el punto donde se cortan ambas rectas, f pEq es el

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1.8. El teorema de Pappus

punto donde la l´ınea OE corta a la l´ınea l2 . Estas dos l´ıneas se intersecan en un u ´nico punto, y el punto E pertenece a ambas. Entonces f pEq “ E. Suficiencia. Ahora nuestra hip´otesis es que f : l1 Ñ l2 es una proyectividad que deja fijo al punto donde se intersecan l1 y l2 . Ahora queremos demostrar que f es una perspectividad. Sean A y B otros dos puntos en l1 . Sean A1 “ f pAq y B 1 “ f pBq los puntos correspondientes en l2 . El primer teorema fundamental nos dice que existe una u ´nica proyectividad tal que ABE X A1 B 1 E Sabemos que f es una proyectividad que cumple estas condiciones. Si encontramos otra proyectividad g : l1 Ñ l2 que ponga en correspondencia A, B y E con A1 , B 1 y E, entonces podremos concluir que f “ g. Sea O el punto donde se cruzan las l´ıneas AA1 y BB 1 . Sea g : l1 Ñ l2 la perspectividad con centro en O. Los valores de f y g coinciden en los puntos A, B y E. Entonces f pXq “ gpXq para toda X P l1 , lo cual demuestra que f es una perspectividad. 

1.8.

El teorema de Pappus

En esta secci´on demostraremos el teorema de Pappus usando el concepto de eje de una proyectividad (v´ease [16]). Para tener una idea de la importancia del teorema de Pappus, basta mencionar que est´a relacionado con la conmutatividad del campo de los n´ umeros reales. En este tema trabaj´o el matem´atico David Hilbert en su obra Grundlagen der Geometrie (Los Fundamentos de la Geometr´ıa) [27]. V´ease tambi´en el libro del profesor Carlos Torres [51] y la introducci´on a Fundamentos de las Matem´ aticas [29].

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1. El plano euclidiano extendido

Cabe se˜ nalar que en planos proyectivos m´as generales, puede no ser v´alido el teorema de Pappus. A los planos en los que se verifica el teorema de Pappus se les llama pappianos.

1.8.1.

El eje de una proyectividad

El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva nos dice que dadas dos l´ıneas l1 y l2 , y dadas dos ternas ordenadas de puntos A, B, C P l1 y A1 , B 1 , C 1 P l2 respectivamente, existe una u ´nica proyectividad f : l1 Ñ l2 tal que f pAq “ A1 f pBq “ B 1 f pCq “ C 1 Si las l´ıneas l1 “ AB y l2 “ A1 B 1 son distintas, entonces podemos expresar a f como f “ g2 ˝ g1 la composici´on de dos perspectividades g1 : l1 Ñ l3 g2 : l3 Ñ l2 donde g1 es una perspectividad con centro en A1 y g2 es una perspectividad con centro en A, que se componen utilizando una l´ınea l3 “ P Q, donde P es el punto donde se cruzan las l´ıneas BA1 y AB 1 , y Q es el punto donde se cruzan las l´ıneas CA1 y AC 1 . En principio, la l´ınea l3 “ P Q depende de la elecci´on de los centros de perspectividad A y A1 . Es notable que solamente dependa de la proyectividad f , en otras palabras, la l´ınea l3 no cambia si utilizamos otros puntos correspondientes como centros de perspectividad.

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1.8. El teorema de Pappus

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Teorema 1.13 Toda proyectividad entre dos l´ıneas f : l1 Ñ l2 determina una u ´nica l´ınea l3 con la propiedad de que si tomamos cualesquiera dos puntos A y B en l1 y sus correspondientes puntos A1 “ f pAq y B 1 “ f pBq en l2 , y trazamos las l´ıneas AB 1 y A1 B, el punto en el cual se cruzan pertenece a l3 . Esta l´ınea l3 es llamada el eje de la proyectividad f . Demostraci´ on. Sean A, B y C tres puntos en l1 . Sean A1 “ f pAq, B 1 “ 1 f pBq y C “ f pCq los puntos correspondientes en l2 . La proyectividad f ˜ determinada por la correspondencia ABC X A1 B 1 C 1 . Aplicamos la estA¡ construcci´on reci´en repasada. Obtenemos una l´ıanea l3 determinada por los puntos P Q. Queremos ver que ´esta l´ınea es aquella a la cual hace referencia el teorema. Sea E el punto donde se cruzan las l´ıneas l1 y l2 . Caso 1. f pEq “ E. V´ease la figura 1.36.

Figura 1.36: ABE X A1 B 1 E. En este caso, f es una perspectividad tal que ABE X A1 B 1 E. El centro de esta perspectividad es O “ AA1 X BB 1 . Consideremos el cuadr´angulo ABB 1 A1 . Sus puntos diagonales son

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1. El plano euclidiano extendido

E “ AB X A1 B 1 ,

O “ AA1 X BB 1 ,

P “ AB 1 X A1 B

El haz de las cuatro l´ıneas l1 , l2 , OE y EP es un haz arm´onico. V´ease la figura 1.37.

Figura 1.37: Tenemos un haz arm´onico con v´ertice en E. M´as a´ un: 1. f determina al punto O pues es una perspectividad. 2. El punto O determina a la l´ınea l4 “ EO. 3. La l´ınea l3 “ EP est´a determinada un´ıvocamente porque es la conjugada arm´onica de l4 con respecto a la pareja de l´ıneas l1 y l2 . Caso 2. f pEq ‰ E. V´ease la figura 1.38. Sean E 1 “ f pEq P l2 y E0 “ f ´1 pEq P l1 . Se forma un tri´angulo 4E0 EE 1 . Ahora bien, f “ g2 ˝ g1 . ¿Qu´e podemos decir de g1 pE0 q? Por una parte, es el punto donde se intersecan las l´ıneas A1 E0 y l3 . Por otra parte, g1 pE0 q “ g2´1 pEq, es decir, es el punto donde se intersecan las

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1.8. El teorema de Pappus

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l´ıneas AE y l3 . Pero la l´ınea AE es la l´ınea l1 , es decir, g1 pE0 q es el punto que tienen en com´ un las l´ıneas l1 y l3 . Esto quiere decir que las tres l´ıneas l1 , A1 E0 y l3 concurren en g1 pE0 q. Pero l1 y A1 E0 se cortan en E0 , entonces g1 pE0 q “ E0 . En consecuencia, l3 pasa por E0 . Afirmamos que l3 tambi´en pasa por E 1 . Recordemos que E 1 “ f pEq “ g2 pg1 pEqq. Por una parte, g1 pEq es el punto donde l3 interseca a la l´ınea A1 E. Observemos que la l´ınea A1 E coincide con la l´ınea l2 . Es decir, g1 pEq es el punto que tienen en com´ un las l´ıneas l2 y l3 . Por otra parte, g1 pEq “ g2´1 pE 1 q, es decir, es el punto donde la l´ınea AE 1 interseca a la l´ınea l3 . La u ´nica manera de que esto suceda es que las tres l´ıneas AE 1 , l2 y l3 sean concurrentes, y ´esto solamente puede suceder en el punto E 1 el cual est´a tanto en AE 1 como en l2 . Entonces g1 pEq “ E 1 . En consecuencia, l3 pasa por E 1 .

Figura 1.38: ABCEE0 Z SP QE 1 E0 Z A1 B 1 C 1 E 1 E. La recta l3 es la recta E0 E 1 , sean cuales sean los centros de proyectividad A y A1 que hayamos elegido. Como E0 y E 1 est´an determinados un´ıvocamente por f : l1 Ñ l2 , la l´ınea l3 queda determinada por la proyectividad f .

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1. El plano euclidiano extendido 

Corolario 1.3 Sea ABC X A1 B 1 C 1 una proyectividad l1 Ñ l2 . Entonces los puntos P “ AB 1 X A1 B Q “ AC 1 X A1 C R “ BC 1 X B 1 C son colineales. V´ease la figura 1.39.

Figura 1.39: P , Q y R est´an en el eje de la proyectividad ABC X A1 B 1 C 1 . Demostraci´ on. En la argumentaci´on del teorema anterior vimos que si expresamos la proyectividad ABC X A1 B 1 C 1 como composici´ on de una pers1 pectividad con centro en A seguida de una perspectividad con centro en A, entonces el eje de la proyectividad es la l´ınea P Q. Si expresamos la misma proyectividad como composici´on de una perspectividad con centro en B 1

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1.8. El teorema de Pappus

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seguida de una perspectividad con centro en B, llegaremos a que el eje de la proyectividad es la l´ınea P R. De aqu´ı se sigue que los tres puntos P , Q y R son colineales, pues est´ an en el eje de la proyectividad. 

1.8.2.

El teorema de Pappus

El teorema de Pappus habla de hex´agonos ’ordenados’, precisemos a qu´e nos referimos antes de enunciar el teorema. Definici´ on 1.18 Un hex´ agono ABCDEF es un conjunto de seis puntos en un orden establecido (los v´ertices del hex´ agono), y las seis l´ıneas que unen puntos consecutivos, considerando el u ´ltimo punto y el primero como consecutivos (estas seis l´ıneas son los lados del hex´ agono). Se dice que dos lados son opuestos si al borrarlos quedan dos ’bisagras’ con tres puntos cada una. V´ease la figura 1.40.

Figura 1.40: Lados opuestos de un hex´ agono.

Teorema 1.14 (Pappus) Si los seis v´ertices de un hex´ agono yacen alternativamente en dos l´ıneas, entonces los tres pares de lados opuestos se intersecan en puntos colineales.

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1. El plano euclidiano extendido

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Figura 1.41: El teorema de Pappus. V´ease la figura 1.41. Demostraci´ on. Sean A, B, C, D, E, F los v´ertices del hex´agono. Los tres pares de lados opuestos son: AB y DE. Sea P el punto donde se cortan. BC y EF . Sea R el punto donde se cortan. CD y F A. Sea Q el punto donde se cortan. Queremos demostrar que P , Q y R son colineales. Sea l la l´ınea que pasa por A, C, E. Sea m la l´ınea que pasa por B, D, F . Por el teorema fundamental sabemos que existe una proyectividad tal que AEC X DBF . (N´otese que relaciona v´ertices opuestos). Aplicando el corolario reci´en demostrado, podemos concluir que P , Q, y R son colineales. 

1.9.

Raz´ on cruzada

En esta secci´on definiremos la raz´on cruzada de cuatro puntos colineales, la raz´on cruzada de cuatro l´ıneas concurrentes, y mostraremos que la raz´on

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´ n cruzada 1.9. Razo

cruzada permanece invariante bajo proyectividades. Definici´ on 1.19 Sea ABCD una cuarteta ordenada de cuatro puntos distintos en el plano euclidiano extendido. 1. Si los cuatro puntos pertenecen al plano euclidiano, su raz´ on cruzada se define como pA, B; C, Dq “

AC CB AD DB

2. Si A, B y C pertenecen al plano euclidiano y D es el punto al infinito colineal con ellos, su raz´ on cruzada se define como pA, B; C, Dq “ ´

AC CB

3. Si A, B y D pertenecen al plano euclidiano y C es el punto al infinito colineal con ellos, la raz´ on cruzada se define como pA, B; C, Dq “ ´

DB AD

4. Si A, C y D pertenecen al plano euclidiano y B es el punto al infinito colineal con ellos, la raz´ on cruzada se define como pA, B; C, Dq “

AC AD

5. Si B, C y D pertenecen al plano euclidiano y A es el punto al infinito colineal con ellos, la raz´ on cruzada se define como pA, B; C, Dq “

DB CB

6. Si los cuatro puntos pertenecen a la l´ınea al infinito, su raz´ on cruzada se define como pA, B; C, Dq “

senpAOCq senpCOBq senpAODq senpDOBq

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1. El plano euclidiano extendido

Donde O es un punto cualquiera del plano euclidiano. Recordemos que los puntos al infinito son clases de equivalencia de rectas paralelas. El ´ angulo AOC es el determinado por las rectas a y c donde a es la recta perteneciente a la clase A que pasa por O, y c es la recta perteneciente a la clase C que pasa por O. Los otros ´ angulos se definen an´ alogamente. Veamos algunos ejemplos con n´ umeros reales: 1. Sean A “ ´1, B “ 1, C “ 0, D “ 2. Hagamos las cuentas: AC “1 CB 3 AD “ “ ´3 DB ´1 ´1 1 “ pA, B; C, Dq “ ´3 3 2. Sean A “ ´1, B “ 1, C “ 0, D “ 8. 1 pA, B; C, Dq “ ´ “ ´1 1 (Es una hilera arm´onica). Definici´ on 1.20 Sea abcd un haz de l´ıneas distintas que pasan por un v´ertice V . Definimos su raz´ on cruzada como sigue: 1. Cuando V es un punto del plano euclidiano pa, b; c, dq “

senpAOCq senpCOBq senpAODq senpDOBq

Donde A, B, C y D son puntos cualesquiera en a, b, c y d respectivamente (pero distintos de O).

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´ n cruzada 1.9. Razo

2. Cuando V es un punto al infinito, las cuatro l´ıneas a, b, c y d son paralelas. En este caso definimos pa, b; c, dq “

AC CB AD DB

Donde A, B, C y D son puntos donde una l´ınea cualquiera l corta a las cuatro l´ıneas a, b, c y d (l no debe ser paralela a ninguna de ellas). Veamos algunos ejemplos con rectas en el plano euclidiano: 1. Sean a la recta y “ ´x, b la recta y “ x, c el eje Y , y d la recta y “ x2 . La raz´on cruzada es pa, b; c, dq “ ´1 3 . 2. Sean a la recta y “ ´x, b la recta y “ x, c el eje Y , y d el eje X. La raz´on cruzada es pa, b; c, dq “ ´1. (Es un haz arm´onico). Proposici´ on 1.5 Las correspondencias elementales preservan la raz´ on cruzada. Corolario 1.4 La raz´ on cruzada queda invariante bajo proyectividades. Las demostraciones se dejan como ejercicio. Corolario 1.5 Dados tres puntos colineales ABD y un n´ umero k existe un u ´nico punto C tal que pA, B; C, Dq “ k Demostraci´ on. Sea l la l´ınea que pasa por A, B y D. Consideremos un punto O P l. Sea I otro punto en l tal que OI “ 1. Sea U el punto al infinito de la l´ınea l. Sea X P l tal que OX “ k. Existe una u ´nica proyectividad f : l Ñ l tal que OU I X ABD. Proponemos C “ f pXq. Como f preserva la raz´on cruzada, entonces pO, U ; X, Iq “ pA, B; C, Dq

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1. El plano euclidiano extendido

Por construcci´on tenemos que pO, U ; X, Iq “

OX “k OI

En consecuencia, pA, B; C, Dq “ k.



Cabe se˜ nalar que, al requerir que los cuatro puntos (o las cuatro l´ıneas) sean distintas, queda excluida la posibilidad de divisi´on entre cero, y la raz´on cruzada resulta ser un n´ umero real. Por otra parte, se puede definir la raz´on cruzada de cuatro n´ umeros complejos, esencialmente igual que lo hicimos aqu´ı pz1 , z2 ; z3 , z4 q “

z3 ´z1 z2 ´z3 z4 ´z1 z2 ´z4

incluyendo la posibilidad de que uno de ellos sea 8, en tal caso la raz´on cruzada ser´a un n´ umero complejo. M´as adelante trataremos esta cuesti´on.

1.10.

C´ onicas

En esta secci´on demostraremos el teorema de Pascal bas´andonos en las propiedades de la raz´on cruzada (v´ease [45]). Tambi´en utilizaremos los conceptos de polos y polares para dar una demostraci´on del teorema de Brianchon, y adem´as dar una introducci´on al principio de dualidad en el plano euclidiano extendido.

1.10.1.

El teorema de Pascal

El teorema de Pascal para la circunferencia Teorema 1.15 Sean ABCDEF los seis v´ertices de un hex´ agono inscrito en una circunferencia. Los puntos donde se intersecan los lados opuestos son colineales. V´ease la figura 1.42.

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´ nicas 1.10. Co

Figura 1.42: La l´ınea de Pascal. Demostraci´ on. Sean P “ AB X DE, Q “ BC X EF , R “ CD X F A, H “ AF X DE y K “ EF X CD. Sean e “ AE, b “ AB, d “ AD, f “ AF , e1 “ CE, b1 “ CB, d1 “ CD, f 1 “ CF . Se forman dos haces de cuatro l´ıneas: uno, ebdf , con v´ertice en A; el otro, e1 b1 c1 d1 , con v´ertice en C. V´ease la figura 1.43. Por las propiedades de los ´angulos inscritos en la circunferencia, las razones cruzadas son iguales (ejercicio). pe, b; d, f q “ pe1 , b1 ; d1 , f 1 q Cortemos el haz ebdf con la l´ınea ED, Se forma una hilera EP DH. Cortemos el haz e1 b1 d1 f 1 con la l´ınea EF . Se forma una hilera EQKF . Como las correspondencias elementales preservan la raz´on cruzada, tenemos que: pe, b; d, f q “ pE, P ; D, Hq pe1 , b1 ; d1 , f 1 q “ pE, Q; K, F q Por transitividad pE, P ; D, Hq “ pE, Q; K, F q

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.43: Los haces ebdf y e1 b1 d1 f 1 . A partir de la hilera EP DH formemos un haz con v´ertice en R. Lo conforman las cuatro l´ıneas RE, RP , RD, RH. A partir de la hilera EQKF formemos un haz con v´ertice en R. Lo conforman las cuatro l´ıneas RE, RQ, RK y RF . V´ease la figura 1.44. Observemos que: RE es una l´ınea com´ un. Las l´ıneas RD y RK son la misma. Las l´ıneas RH y RF son la misma. Las razones cruzadas de ambos haces son iguales. De lo anterior se sigue que la l´ınea RP tiene que coincidir con la l´ınea RQ. Es decir, los tres puntos P , Q y R son colineales.  Definici´ on 1.21 La l´ınea que pasa por los puntos donde se intersecan los lados opuestos se llama la recta de Pascal.

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Figura 1.44: Si dos haces de cuatro l´ıneas con un mismo v´ertice tienen tres l´ıneas en com´ un, y la misma raz´on cruzada, entonces son iguales. El teorema de Pascal para cualquier c´ onica Teorema 1.16 Sean ABCDEF los seis v´ertices de un hex´ ogono inscrito en una c´ onica. Los puntos donde se intersecan los lados opuestos son colineales. V´ease la figura 1.45. Demostraci´ on. Toda c´onica puede obtenerse cortando con un plano a un cono circular recto. Sea π en el cual est´a la c´onica dada. Sea O el v´ertice del cono en cuesti´on. Sea π 1 un plano que corte al cono en una circunferencia. Sean A1 , B 1 , C 1 , D1 , E 1 y F 1 los puntos donde las l´ıneas OA, OB, OC, OD, OE y OF cortan a π 1 . Podemos aplicarle la versi´on ya demostrada del teorema de Pascal al hex´agono A1 B 1 C 1 D1 E 1 F 1 . Sean P 1 “ A1 B 1 X D1 E 1 , Q1 “ B 1 C 1 X E 1 F 1 y R1 “ C 1 D1 X F 1 A1 los puntos donde se intersecan los lados opuestos del hex´agono inscrito en la circunferencia. Si proyectamos desde O al hex´agono A1 B 1 C 1 D1 E 1 F 1 sobre el

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.45: Versi´on general del teorema de Pascal. plano π recuperamos precisamente al hex´agono ABCDEF . M´as a´ un, los lados opuestos del hex´agono inscrito en la circunferencia van a dar a los lados opuestos del hex´agono inscrito en la c´onica. Los puntos P 1 , Q1 y R1 van a dar a puntos P , Q y R en el plano π, en los cuales se intersecan los lados opuestos del hex´agono ABDCEF . En resumen: tenemos una perspectividad P 1 Q1 R1 Z P QR con centro en O. Y env´ıa puntos colineales en puntos colineales. 

1.10.2.

Polos y polares

Polos y polares con respecto a una circunferencia En esta parte consideraremos dada una circunferencia C dada con radio r ą 0 y centro O. Definici´ on 1.22 Sea l una l´ınea en el plano euclidiano extendido. Si l no es la l´ınea al infinito y no pasa por O, diremos que su polo (con respecto a

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C) es el punto L tal que: 1. L pertenece al rayo perpendicular a l que emana de O. 2. OL ¨ OM “ r2 donde M es el punto de l m´ as cercano a O. Si l pasa por O, diremos que su polo L es el punto al infinito de la l´ınea perpendicular a l que pasa por O. Si l es la l´ınea al infinito, diremos que su polo es O. Si un punto L es el polo de una l´ınea l, diremos que la l´ınea polar de L es l. Esta definici´on se puede ver en los textos usados en los cursos de Geometr´ıa Moderna (v´ease, por ejemplo, [13] y [49]). Tenemos una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos y las l´ıneas del plano euclidiano extendido. A cada punto le corresponde su l´ınea polar, y a cada l´ınea le corresponde su polo. M´as a´ un, si un punto pertenece a una recta, la l´ınea polar del punto pasa por el polo de la l´ınea. Una correspondencia biun´ıvoca con estas caracter´ısticas es una polaridad. Teorema 1.17 Sean L y N dos puntos. Sean l y n las l´ıneas polares de L y N respectivamente. Entonces LPnñN Pl En otras palabras, una polaridad dualiza las relaciones de incidencia. V´ease la figura 1.46. Demostraci´ on. Empecemos dibujando n y L P n. Sin p´erdida de generalidad, n ser´a una l´ınea vertical. Luego tracemos l, la l´ınea polar de L. Sea M el punto donde la l´ınea OL interseca a la l´ınea l. Tracemos la l´ınea perpendicular a n que pasa por O. Sea P el punto donde l corta a esta perpendicular. Sea Q el punto donde OP corta a n. Observemos los tri´angulos ∆P OM y ∆LOQ: 1. Son tri´angulos rect´angulos.

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1. El plano euclidiano extendido

Figura 1.46: El polo de n resulta ser P . 2. Son tri´angulos semejantes. 3.

PO LO

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MO QO .

Tenemos que P O ¨ QO “ M O ¨ LO. Pero M O ¨ LO “ r2 porque L es el polo de l. Entonces P O ¨ QO “ r2 . De aqu´ı se sigue que P es el polo de n, es decir, N “ P . Con esto tenemos que N P l. 

Polos y polares con respecto a cualquier c´ onica Sea l una l´ınea y E una c´onica cualquiera. Podemos definir el polo de l con respecto a E como sigue: Sea π el plano que contiene a E. Consideremos un cono circular recto cuya intersecci´on con π sea precisamente E. Consideremos otro plano π 1

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tal que corte al cono en una circunferencia C. Sea O el v´ertice del cono. Consideremos el plano que contiene a l y pasa por O. Este plano interseca a π 1 en una l´ınea l1 . Sea L1 el polo de l1 con respecto a C. Tracemos la l´ınea OL1 . Interseca al plano π en un punto L. Diremos que el polo de l con respecto a E es L. An´alogamente, dado un punto Q podemos definir la l´ınea polar de Q con respecto a E.

1.10.3.

El teorema de Brianchon

El teorema de Brianchon para una circunferencia Antes de enunciar el teorema de Brianchon, precisaremos el significado del t´ermino ’diagonal’ en dicho resultado. Las diagonales de un hex´agono son las l´ıneas que unen los v´ertices opuestos. Teorema 1.18 (Brianchon) Las diagonales de un hex´ agono circunscrito a una circunferencia son concurrentes. V´ease la figura 1.47.

Figura 1.47: El teorema de Brianchon.

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1. El plano euclidiano extendido

Demostraci´ on. Sean A, B, C, D, E y F los polos de las l´ıneas a, b, c, d, e y f respectivamente. Estos seis puntos son los v´ertices de un hex´agono inscrito en la circunferencia (ejercicio). El teorema de Pascal nos dice que los puntos P “ AB X DE, Q “ BC X EF y R “ CD X F A son colineales. Sea l la l´ınea que pasa por P , Q y R. ¿Cu´al es el polo de la l´ınea AB? A P AB implica que el polo de AB pertenece a la l´ınea a. B P AB implica que el polo de AB pertenece a la l´ınea b. El polo de la l´ınea AB es el punto donde se intersecan las l´ıneas a y b. Justo uno de los v´ertices del hex´agono circunscrito. El polo de la l´ınea DE es el punto donde se intersecan las l´ıneas d y e. Justo el v´ertice opuesto al v´ertice a X d. ¿Cu´al es la l´ınea polar de P ? P P AB implica que la l´ınea polar de P pasa por a X b. P P DE implica que la l´ınea polar de P pasa por d X e. Entonces la l´ınea polar de P es la diagonal que une los v´ertices opuestos a X b y d X e. Sea p la l´ınea polar de P , q la l´ınea polar de Q y r la l´ınea polar de R. p, q y r son las diagonales que unen los v´ertices opuestos del hex´agono circunscrito. P PlñLPp QPlñLPq RPlñLPr De lo anterior se sigue que p, q y r concurren en L.



El teorema de Brianchon para una c´ onica cualquiera Teorema 1.19 Las diagonales de un hex´ agono circunscrito a una c´ onica son concurrentes.

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Para convencernos de este teorema podemos revisar la demostraci´on anterior, usando los conceptos de polos y polares con respecto a una c´onica en lugar de con respecto a una circunferencia. V´ease la figura 1.48. O si el lector lo prefiere, se puede dar una demostraci´on an´aloga a la del teorema de Pascal para una c´onica a partir de la versi´on demostrada para la circunferencia, llevando el problema en el espacio euclidiano extendido. La demostraci´on se deja como ejercicio.

1.10.4.

Dualidad en el plano euclidiano extendido

Con el concepto de polo de una l´ınea con respecto a una c´onica y con el concepto de l´ınea polar de un punto con respecto a una c´onica tenemos muchas correspondencias entre puntos y l´ıneas del plano euclidiano extendido. ¡Por lo menos una por cada c´onica! Todas estas correspondencias son ejemplos de polaridades. Con la existencia de una sola de ellas podr´ıa enunciarse el resultado siguiente:

Figura 1.48: El teorema de Brianchon y el teorema de Pascal son duales.

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1. El plano euclidiano extendido

Teorema 1.20 (Principio de dualidad) En el plano euclidiano extendido, si es verdadera una proposici´ on que solamente haga referencia a los conceptos de incidencia entre puntos y l´ıneas, entonces tambi´en ser´ a verdadera la proposici´ on dual, la cual se construye a partir de la proposici´ on original transformando los puntos en l´ıneas, las l´ıneas en puntos, y preservando las relaciones de incidencia. Podemos pensar al principio de dualidad como una f´abrica de conceptos y teoremas. Cada vez que tenemos un concepto o un teorema el cual solamente haga referencia a los conceptos de incidencia entre puntos y l´ıneas, tendremos un concepto o un teorema dual. Por ejemplo, el concepto de l´ıneas concurrentes es dual del concepto de puntos colineales. El concepto de cuadr´angulo completo es dual del concepto de cuadril´atero completo. El dual del teorema de Desargues es su rec´ıproco. Podr´ıamos decir que en la geometr´ıa proyectiva los teoremas est´an al dos por uno.

1.11.

Ejercicios

1. Demuestre que la relaci´on definida en la secci´on 1.1.1 es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de las l´ıneas del plano euclidiano, es decir, que es reflexiva, transitiva y sim´etrica. Muestre que la relaci´on de paralelismo entre l´ıneas del espacio euclidiano tambi´en es una relaci´on de equivalencia. 2. Verifique que una correspondencia elemental entre las l´ıneas de un haz con v´ertice P y los puntos de una l´ınea l que no pasa por P es biyectiva. Muestre que esto es falso si nos restringimos al plano euclidiano usual (es decir, si no incluimos los puntos al infinito). 3. Sean ABC y A1 B 1 C 1 dos ternas de puntos colineales. Supongamos que las l´ıneas AB y A1 B 1 son distintas. Construir una proyectividad tal que ABC X A1 B 1 C 1 en el caso en el cual alguno de los seis puntos dados sea el punto donde se intersecan las l´ıneas AB y A1 B 1 .

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4. Formule el enunciado dual del ejercicio anterior y realice la construcci´on correspondiente. 5. Sean A, B, C, A1 , B 1 y C 1 seis puntos colineales. Construir una proyectividad tal que ABC ^A ¯ 1 B 1 C 1 . Trate de que la construcci´on sea lo m´as breve posible. 6. Sean abc y a1 b1 c1 dos ternas de l´ıneas concurrentes. Sean V y V 1 los v´ertices de los haces abc y a1 b1 c1 . Sea l una l´ınea que no pasa ni por V ni por V 1 . Utilice el ejercicio anterior para dar una construcci´on (distinta a la explicada en el texto) de una proyectividad tal que abc X a1 b1 c1 . 7. Sean a, b, c, a1 , b1 y c1 seis l´ıneas concurrentes. Construir una proyectividad tal que abc^a ¯ 1 b1 c1 . Procure que la construcci´on sea lo m´as breve posible. 8. Implemente las construcciones anteriores en Geogebra. 9. Muestre que el conjunto de los puntos al infinito vistos como clases de equivalencia de l´ıneas paralelas en el espacio euclidiano, satisface la definici´on de plano proyectivo si definimos una l´ınea de puntos al infinito como el subconjunto de puntos al infinito de la forma rls tales que l Ă π para un plano euclidiano usual π. N´otese que dos planos euclidianos paralelos dan lugar a una misma l´ınea de puntos al infinito. 10. Compruebe que se puede usar la definici´on del ejercicio anterior para dar una correspondencia biun´ıvoca entre los planos euclidianos que pasan por el origen y las l´ıneas de puntos al infinito. 11. Sea ABCD un cuadr´angulo completo. Sea P QR el tri´angulo diagonal asociado a ABCD. Construir (solamente con regla) un cuadril´atero completo ef gh cuyo tri´angulo diagonal sea P QR. 12. Sea abcd un cuadril´atero completo. Sea P QR el tri´angulo diagonal asociado a abcd. Construir (usando solamente regla) un cuadr´angulo completo EF GH cuyo tri´angulo diagonal sea P QR.

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1. El plano euclidiano extendido

13. Muestre que la unicidad de la construcci´on del conjugado arm´onico de M con respecto a A y B en el espacio explicada en la secci´on 1.6.3 implica la unicidad de la construcci´on en el plano. 14. D´e una demostraci´on de la unicidad de la construcci´on del conjugado arm´onico en el caso del plano utilizando el teorema de Desargues. 15. Realice la construcci´on de la conjugada arm´onica de m con respecto a las l´ıneas a y b descrita en la secci´on 1.6.4. Demuestre que no depende de la elecci´on particular de c ni de q. Sugerencia: haga dos demostraciones, una recurriendo a Desargues; otra gui´andose por la demostraci´on dada para hileras arm´onicas. 16. Sea abcd un haz arm´onico en el cual d es la conjugada arm´onica de c con respecto a a y b. Tracemos una l´ınea l que no pase por el v´ertice del haz. Se produce una hilera ABCD. Pruebe que D es el conjugado arm´onico de C con respecto a A y B. 17. Tracemos una l´ınea l. Marquemos un punto A en l y en el pongamos el origen de un sistema de coordenadas. Sea B otro punto en l. Elijamos el segmento AB como unidad de medida (a A le asociamos el cero y a B el uno). Sea C un punto digamos el que divide al segmento AB en la raz´on 3 : 1 (a C le corresponde el n´ umero 3{4). ¿Qu´e n´ umeros le corresponder´an a los puntos DEF correspondientes a las posibles elecciones de cuarto arm´onico que podemos formar a partir de los tres puntos dados? 18. Escriba las demostraciones de las otras versiones del teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva. 19. Sean ABC tres puntos en una l´ınea l. Construya una proyectividad l Ñ l tal que ABC X BCA. Trate de realizarla lo m´as sencilla posible. 20. Sean ABCD cuatro puntos en una l´ınea l. Construya una proyectividad l Ñ l tal que ABCD X BADC.

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21. Verifique que las propiedades mencionadas del espacio euclidiano extendido son ciertas. 22. Utilice el teorema de Desargues para demostrar que en cualquier tri´angulo, el circuncentro, el ortocentro y el gravicentro, son colineales. 23. Enunciar el teorema dual de Pappus. Haga un dibujo que represente el enunciado. 24. Compruebe que las definiciones dadas para la raz´on cruzada pAB; CDq cuando uno de los puntos pertenece a la l´ınea al infinito coinciden con los l´ımites de las razones cruzadas cuando uno de los puntos tiende al infinito y los dem´as permanecen constantes. Compruebe que la definici´on dada de pAB; CDq cuando los cuatro puntos pertenecen a la l´ınea al infinito no depende del punto O seleccionado. 25. Compruebe que la definici´on dada de raz´on cruzada de un haz de cuatro l´ıneas paralelas no depende de la elecci´on de l. 26. Demuestre que la raz´on cruzada queda invariante bajo proyectividades. 27. Sean ABCDEF seis puntos distintos en una circunferencia. Sean a “ EA, b “ EB, c “ EC, d “ ED, a1 “ F A, b1 “ F B, c1 “ F C y d1 “ F D. Muestre que pab; cdq “ pa1 b1 ; c1 d1 q. 28. Muestre que dados tres puntos colineales ACD y un n´ umero k, existe un u ´nico punto B tal que pAB; CDq “ k. 29. Demuestre que si l es una l´ınea tangente a una circunferencia, el polo de l es el punto donde l es tangente a la circunferencia. 30. Dado un punto Q y una circunferencia C, construir la l´ınea polar de Q con respecto a C. ¿Podr´ıa construir la l´ınea polar de un punto dado con respecto a una c´onica cualquiera?

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31. Dada una l´ınea l y una circunferencia C, construir el polo de l con respecto a C. ¿Podr´ıa construir el polo de un punto dado con respecto a una c´onica cualquiera? 32. Use Geogebra para trazar el dibujo correspondiente a la demostraci´on del teorema de Pascal para cualquier c´onica. Lo mismo para la definici´on de polar de un punto con respecto a una c´onica E dada en el texto. 33. D´e dos demostraciones de la versi´on general del teorema de Brianchon a partir de la versi´on v´alida para una circunferencia. Una de ellas basada en la figura 1.48, y otra basada en la figura 1.49. 34. Enuncie el teorema dual del teorema de Desargues. 35. Dibujamos dos rectas en una hoja de papel, de manera que su intersecci´on est´e fuera de la hoja de papel. Sea P un punto en la regi´on del papel ubicada entre las dos rectas. i) Use el teorema de Desargues para construir otro punto Q en la hoja de papel, tal que la recta P Q pase por el punto de intersecci´on de las dos rectas dibujadas. ii) Use el teorema de Pappus para dar una soluci´on diferente a la del inciso anterior. 36. Si tres tri´angulos est´an en perspectiva por parejas desde un mismo punto O, entonces los tres ejes de perspectiva correspondientes son concurrentes. 37. Enuncie el problema dual del ejercicio anterior y demu´estrelo. 38. Los tres lados de un tri´angulo variable ABC pasan cada uno por uno de tres puntos fijos colineales D, E y F . Si A y B se mueven en l´ıneas fijas, demostrar que C se mueve en una l´ınea fija, la cual es concurrente con las otras dos. 39. Enunciar el problema dual del ejercicio anterior y demu´estrelo.

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Figura 1.49: Mediante una perspectividad podemos llevar una c´onica a una circunferencia. 40. Si A, B, D, E, N , M son seis puntos tales que las rectas AE, DM y N B son concurrentes en un punto C, y las rectas AM , DB y N E son concurrentes en un punto F , ¿qu´e podemos decir de las rectas AB, DE y N M ? Justifique su respuesta. 41. Si cinco de los seis v´ertices de un hex´agono est´an situados en una c´onica, y los tres lados opuestos se cortan en tres puntos colineales, entonces el sexto v´ertice est´a situado en la misma c´onica. 42. Sean A, B, C, D y E cinco puntos en posici´on general (no hay tres de ellos colineales). Sean b “ AB, b1 “ CB, d “ AD, d1 “ CD, e “ AE y e1 “ CE. i) Construya una proyectividad x X x1 entre el haz de l´ıneas que

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1. El plano euclidiano extendido pasan por A y el haz de l´ıneas que pasan por C, tal que bdeXb1 d1 e1 . ii) Use Geogebra para implementar la construcci´on anterior. Use la herramienta de rastro para dibujar la curva que describe el punto donde se intersecan las l´ıneas del los haces que la proyectividad pone en correspondencia.

43. Marque cinco puntos en una hoja de papel, en posici´on general. Solamente usando l´apiz y doblado de papel, dibuje la c´onica que pasa por los cinco puntos marcados. 44. Hemos visto que toda proyectividad entre dos l´ıneas determina una tercera l´ınea con ciertas propiedades, el eje de la proyectividad. ¿Qu´e podemos decir de una proyectividad entre dos haces de l´ıneas? Formule un enunciado, realice una construcci´on con Geogebra para convencerse de que es cierto, y demuestre el resultado. 45. Demuestre que el teorema de Pappus implica el teorema de Desargues.

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Cap´ıtulo 2

El plano proyectivo real En este cap´ıtulo presentaremos la versi´on de la geometr´ıa proyectiva m´as cercana a la geometr´ıa anal´ıtica en dimensiones bajas. Empezaremos por introducir las coordenadas homog´eneas en los espacios proyectivos reales de dimensi´on 1, 2 y 3. Mostraremos algunas parametrizaciones que nos permitir´an trabajar localmente como si estuvi´eramos en Rn con n “ 1, 2, 3. En cada caso estudiaremos las transformaciones de inter´es (las proyectividades), y luego revisaremos los teoremas y construcciones del cap´ıtulo anterior a la luz de las herramientas propias de la geometr´ıa proyectiva anal´ıtica.

2.1.

La l´ınea proyectiva real

En esta secci´on presentaremos uno de los espacios proyectivos m´as simples: el de dimensi´on uno. Esperamos que el estudio de este espacio proyectivo familiarice al lector con algunos de los conceptos y notaci´on que utilizaremos en el resto del libro, as´ı como un primer acercamiento a varias cuestiones necesarias para comprender el contexto en el que estaremos trabajando.

2.1.1.

La l´ınea proyectiva real como haz de l´ıneas en el plano

En R2 ztp0, 0qu definamos la siguiente relaci´on de equivalencia: 83

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2. El plano proyectivo real

px, yq „ pu, vq si y s´olo si existe un n´ umero real λ ‰ 0 tal que pu, vq “ λpx, yq Podemos visualizar las clases de equivalencia que se forman con esta relaci´on como el haz de l´ıneas que pasan por el origen de R2 . A este conjunto de clases de equivalencia lo denotaremos por RP 1 y lo llamaremos ‘la’ l´ınea proyectiva real. A la clase de equivalencia de un punto px, yq ‰ p0, 0q en R2 la denotaremos por rx : ys. Cuando denotamos as´ı a un punto de la l´ınea proyectiva estamos usando las llamadas coordenadas homog´ eneas.

2.1.2.

Parametrizaciones de la l´ınea proyectiva

Podemos describir localmente la l´ınea proyectiva real mediante una funci´on: ϕ : R Ñ RP 1 x ÞÑ rx : 1s Podemos interpretar esta regla de correspondencia como sigue: Cada punto x P R determina un punto px, 1q en la l´ınea y “ 1. A su vez, este punto determina una l´ınea que pasa por el origen en R2 . La funci´on ϕ pone en correspondencia este punto x con esta l´ınea. V´ease la figura 2.1. Diremos que esta funci´on es una parametrizaci´ on local de RP 1 . La primera coordenada no tiene nada que no tenga la segunda coordenada. Podemos trabajar con otra funci´on ψ : R Ñ RP 1 y ÞÑ r1 : ys Diremos que esta funci´on es otra parametrizaci´on local de RP 1 . N´otese que la uni´on de las im´agenes de ambas parametrizaciones cubre a RP 1 . M´as a´ un, tenemos una funci´on de cambio de coordenadas, definida en un dominio adecuado: ψ ´1 ˝ ϕ „  1 1 x ÞÑ rx : 1s “ 1 : Þ Ñ x x

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2.1. La l´ınea proyectiva real

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Figura 2.1: Una parametrizaci´on local de RP 1 . Esta funci´on nos dice la coordenada que tendr´a un punto en la segunda parametrizaci´on sabiendo la coordenada que tiene en la primera parametrizaci´on. N´otese que el punto r0 : 1s solamente queda cubierto por la primera parametrizaci´on, mientras que el punto r1 : 0s solamente queda cubierto por la segunda parametrizaci´on.

2.1.3.

La l´ınea proyectiva real como cociente de la circunferencia

Cada una de las l´ıneas que pertenece al haz de l´ıneas que pasa por el origen de R2 interseca a la circunferencia unitaria x2 ` y 2 “ 1 en dos puntos. Podemos identificar a cada una de las l´ıneas de este haz con las clases de equivalencia que se obtienen en la circunferencia mediante la relaci´on: px, yq „ pu, vq si y s´olo si pu, vq “ px, yq o pu, vq “ p´x, ´yq Consideremos el hemisferio superior de la circunferencia, dado por la desigualdad y ě 0. Casi todas las l´ıneas del haz est´an representadas con

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2. El plano proyectivo real

un u ´nico punto, la excepci´on es el eje X, el cual est´a representado por dos puntos. Como deben representar a la misma l´ınea, podemos identificar ambos puntos. Podemos interpretar esta operaci´on como el resultado de tomar la semicircunferencia superior y pegar los extremos. Esta idea intuitiva de construir un objeto geom´etrico a partir de otro pegando puntos se formaliza en los cursos de topolog´ıa. Un texto introductorio en el cual se mencionan los espacios proyectivos expl´ıcitamente es el M. A. Armstrong [4], cap´ıtulo 4. Tambi´en sugerimos consultar las obras de Javier Bracho [9], Jos´e Seade y Ana Irene Ram´ırez [45], y de Carlos Prieto [43].

2.1.4.

El punto al infinito

Podemos pensar la l´ınea proyectiva real como una extensi´on de R obtenida al a˜ nadirle un punto especial, el punto al infinito, al cual denotaremos por 8. Para ser m´as precisos, podemos extender la funci´on ϕ como sigue: ϕ : R Y t8u Ñ RP 1 Definiendo 8 ÞÑ r1 : 0s x ÞÑ rx : 1s cuando x P R. Podemos interpretar esta regla de correspondencia como antes, solamente que el punto al infinito queda en correspondencia con la l´ınea y “ 0 es decir, el eje X. V´ease la figura 2.2. Podemos dar otra biyecci´on, cuya descripci´on es m´as geom´etrica. Es una versi´on de la proyecci´on estereogr´afica. Sea C la circunferencia con centro en el punto p0, 1q y radio 1. Definamos f : C Ñ RP 1 como sigue: ” ı A cada punto px, yq P C con y ą 0 le asociamos el punto 2x : 2 P RP 1 y el cual podemos identificar con un punto en la recta y “ 2. V´ease la figura 2.3.

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2.1. La l´ınea proyectiva real

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Figura 2.2: A cada l´ınea que pasa por el origen le corresponde un punto en la semicircunferencia, salvo al eje X, al cual le corresponden dos puntos.

Figura 2.3: A cada punto de la circunferencia x2 `py´1q2 “ 1 le corresponde un punto de la l´ınea y “ 2, salvo al origen, al cual le asociamos el punto al infinito.

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2. El plano proyectivo real

Al punto p0, 0q le asociamos el punto r1 : 0s. Cuando entre dos objetos geom´etricos X e Y tenemos una funci´on continua f : X Ñ Y con inversa continua f ´1 : Y Ñ X decimos que son homeomorfos. Se puede ver que RP 1 y C son homeomorfos.

2.2.

Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

En esta secci´on presentaremos al grupo de transformaciones que act´ uan en la l´ınea proyectiva real. Veremos que est´an relacionadas con las transformaciones lineales fraccionarias (tambi´en conocidas como transformaciones de Moebius) y el teorema de 3 en 3 desde el punto de vista anal´ıtico. Finalmente daremos una demostraci´on anal´ıtica de que estas transformaciones preservan la raz´on cruzada. Consideremos RP 1 como el haz de l´ıneas que pasan por el origen en R2 . Consideremos una transformaci´on lineal asociada a una matriz A TA : R2 Ñ R2 ˆ ˙ ˆ ˙ˆ ˙ x a b x ÞÑ y c d y Supongamos que TA es invertible. Entonces TA manda l´ıneas que pasan por el origen en l´ıneas que pasan por el origen. Entonces podemos definir T A : RP 1 Ñ RP 1 rx : ys ÞÑ rax ` by : cx ` dys N´otese que es posible que T A “ T B sin que necesariamente A “ B. La condici´on necesaria (y suficiente) es que A “ λB para alguna λ distinta de cero. Se puede comprobar que el conjunto G de las matrices invertibles de 2 ˆ 2 con coeficientes reales, junto con la operaci´on ˚ de multiplicaci´on de matrices, es un grupo (unas l´ıneas m´as abajo daremos la definici´on). Este grupo se llama el grupo general lineal de 2 ˆ 2 con coeficientes en R. Se suele denotar por GLp2, Rq.

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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Para facilidad del lector, reproduciremos la definici´on de grupo que usualmente se estudia en los cursos de ´algebra moderna. Aqu´ı no pretendemos profundizar en este concepto, simplemente avisamos al lector con qu´e tipo de objetos algebraicos estamos trabajando. Para m´as referencia sobre el concepto de grupo remitimos al lector a los libros cl´asicos, como [18] y [26]. Sin embargo, tambi´en hay libros que abordan el concepto de grupo en un contexto m´as geom´etrico. V´ease por ejemplo [50] y [38]. Definici´ on 2.1 Una operaci´ on binaria * en un conjunto S es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto, alg´ un elemento del conjunto. Se dice que es asociativa si pa ˚ bq ˚ c “ a ˚ pb ˚ cq para cualesquiera a, b, c P S. Definici´ on 2.2 Un grupo pG, ˚q es un conjunto G junto con una operaci´ on binaria ˚ en G, tal que satisface los siguientes axiomas: 1. La operaci´ on binaria es asociativa. 2. Existe un elemento e en G tal que e ˚ x “ x ˚ e “ x para todas las x P G. (Se dice que e es el elemento identidad del grupo). 3. Para cada a en G existe un elemento a1 en G con la propiedad de que a ˚ a1 “ a1 ˚ a “ e. (Se dice que a1 es el inverso de a con respecto a la operaci´ on ˚). Ahora introduzcamos una relaci´on de equivalencia en GLp2, Rq, dada por A „ B si y solamente si existe un λ ‰ 0 tal que A “ λB. En el conjunto de clases de equivalencia que resultan podemos definir una operaci´on de multiplicaci´on rAs rBs “ rABs donde rAs denota a la clase de A. El resultado es otro grupo. Definici´ on 2.3 El grupo reci´en mencionado es el grupo proyectivo general lineal de 2ˆ2 con coeficientes en R. Se suele denotar por P GLp2, Rq.

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2. El plano proyectivo real

A cada transformaci´on proyectiva T A : RP 1 Ñ RP 1 le corresponde una transformaci´on de Moebius: fA : R Y t8u Ñ R Y t8u La correspondencia nos la dan las ecuaciones siguientes: T A “ ϕ ˝ fA ˝ pϕq´1 fA “ pφq´1 ˝ T A ˝ ϕ Donde ϕ coincide con φpxq “ rx : 1s cuando x P R y ϕp8q “ r1 : 0s. En t´erminos m´as simples, si ˆ ˙ a b A“ c d entonces fA pxq “

ax ` b cx ` d

Para que esto est´e bien definido necesitamos x ‰ 8 y x ‰ Para esos valores especiales definimos

´d c .

a fA p8q “ ˙ c ˆ ´d “8 fA c Observemos qu´e pasa si multiplicamos un n´ umero real λ ‰ 0 por A: ˆ ˙ λa λb λA “ λc λd Obtenemos fλA pxq “

λax ` λb ax ` b “ “ fA pxq λcx ` λd cx ` d

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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Incluso en los puntos especiales coinciden λa a fλA p8q “ “ “ fA p8q c ˆ ˙λc ˆ ˙ ´λd ´d fλA “ 8 “ fA λc c

2.2.1.

Ejemplos

Una homotecia

Sea f : R Y t8u Ñ R Y t8u dada por f p8q “ 8 f pxq “ ax

para alguna constante a ‰ 0 y para x variable en R. Consideremos la composici´on φ ˝ f ˝ pφq´1 : RP 1 Ñ RP 1 Esta funci´on tiene la regla de correspondencia siguiente: r1 : 0s ÞÑ 8 ÞÑ 8 ÞÑ r1 : 0s rx : 1s ÞÑ x ÞÑ ax ÞÑ rax : 1s Esta funci´on puede verse como T A : RP 1 Ñ RP 1 para ˆ A“

a 0 0 1

˙

Su regla de correspondencia es: rx : ys ÞÑ rax : ys En particular, si y ‰ 0, entonces rx : ys “ ru : 1s para u “ xy , en cuyo caso ru : 1s ÞÑ rau : 1s

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2. El plano proyectivo real

Por otra parte, cuando y “ 0, se tiene que rx : 0s “ r1 : 0s ÞÑ ra : 0s “ r1 : 0s La funci´on f tiene dos puntos fijos, a saber: 0 e 8. Los dem´as puntos se acercan o alejan a los puntos fijos seg´ un el valor del par´ametro a. Si a “ 1 tenemos la identidad. Si a ą 1 entonces f aleja a los puntos x del 0 y los acerca a 8. V´ease la figura 2.4.

Figura 2.4: Cuando a “ 2 tenemos la correspondencia rx : ys ÞÑ r2x : ys. Si a ă 1 entonces f acerca a los puntos x al 0 y los aleja de 8. Pens´andola como correspondencia entre haces de l´ıneas, los ejes se relacionan consigo mismos.

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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Una traslaci´ on Sea f : R Y t8u Ñ R Y t8u dada por f p8q “ 8 f pxq “ x ` b para x P R. Consideremos la composici´on φ ˝ f ˝ pφq´1 : RP 1 Ñ RP 1 Esta funci´on tiene la regla de correspondencia siguiente: r1 : 0s ÞÑ 8 ÞÑ 8 ÞÑ r1 : 0s rx : 1s ÞÑ x ÞÑ x ` b ÞÑ rx ` b : 1s Sin dividir en casos: rx : ys ÞÑ rx ` by : ys Esta funci´on puede verse como T A : RP 1 Ñ RP 1 para ˆ A“

1 b 0 1

˙

La funci´on f tiene la propiedad de que tiene un solo punto fijo: 8. La transformaci´on T A mueve a todas las l´ıneas salvo una: el eje X. V´ease la figura 2.5. Una involuci´ on Sea f : R Y t8u Ñ R Y t8u dada por f p8q “ 0 f p0q “ 8 1 f pxq “ x

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.5: Cuando b “ 1 tenemos la correspondencia rx : ys ÞÑ rx ` y : ys. para x P R distinta de cero. Consideremos la composici´on φ ˝ f ˝ pφq´1 : RP 1 Ñ RP 1 Esta funci´on tiene la regla de correspondencia siguiente: r1 : 0s ÞÑ 8 ÞÑ 0 ÞÑ r0 : 1s r0 : 1s ÞÑ 0 ÞÑ 8 ÞÑ r1 : 0s „  1 1 rx : 1s ÞÑ x ÞÑ ÞÑ : 1 “ r1 : xs x x En general rx : ys ÞÑ ry : xs V´ease la figura 2.6. Esta correspondencia puede verse como T A : RP 1 Ñ RP 1

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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para ˆ A“

0 1 1 0

˙

La funci´on f tiene exactamente dos puntos fijos, a saber, 1 y ´1. M´as a´ un, tiene la propiedad de que f pf pxqq “ x es decir, f ´1 “ f . Una funci´on as´ı se llama involuci´ on.

Figura 2.6: La correspondencia rx : ys ÞÑ ry : xs.

2.2.2.

El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva para puntos colineales

Teorema 2.1 (Teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva para puntos colineales) Sea x1 , x2 , x3 una hilera de tres puntos distintos en R Y t8u. Sea y1 , y2 , y3 otra hilera de tres puntos distintos en R Y t8u. Entonces existe una u ´nica proyectividad f : R Y t8u Ñ R Y t8u

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2. El plano proyectivo real

tal que f px1 q “ y1 f px2 q “ y2 f px3 q “ y3 Para la demostraci´on de este teorema, utilizaremos el resultado siguiente: Lema 2.1 Sea x1 , x2 , x3 una hilera de tres puntos distintos en R Y t8u. Entonces existe una proyectividad f : R Y t8u Ñ R Y t8u tal que f px1 q “ 0 f px2 q “ 1 f px3 q “ 8 Demostraci´ on. Vamos a dar la demostraci´on indicando expl´ıcitamente la funci´on en cada caso posible. Caso 1) Cuando ninguna de las xi es 8. Proponemos f pxq “

x ´ x1 x2 ´ x3 ¨ x ´ x3 x2 ´ x1

Caso 2) Cuando x1 “ 8. Proponemos f pxq “

x2 ´ x3 x ´ x3

Caso 3) Cuando x2 “ 8. Proponemos f pxq “

x ´ x1 x ´ x3

Caso 4) Cuando x3 “ 8. Proponemos f pxq “

x ´ x1 x2 ´ x1

Con esto acabamos la demostraci´on del lema.



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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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Ahora empezamos la demostraci´on del teorema. Demostraci´ on. Aplicando el lema podemos decir que existe f tal que f px1 q “ 0 f px2 q “ 1 f px3 q “ 8 Aplicando otra vez el lema, tambi´en podemos decir que existe g tal que gpy1 q “ 0 gpy2 q “ 1 gpy3 q “ 8 Notemos que dicha g es invertible. La funci´on F “ g ´1 ˝ f es una proyectividad tal que F px1 q “ y1 F px2 q “ y2 F px3 q “ y3 Con esto queda demostrada la existencia de la proyectividad buscada. Veamos la unicidad. Sea G una proyectividad tal que Gpxi q “ yi para i “ 1, 2, 3. Queremos ver que G “ F . Consideremos la composici´on H “ G´1 ˝ F . Es una funci´on de la forma ax ` b Hpxq “ cx ` d tal que Hp0q “ 0 Hp1q “ 1 Hp8q “ 8 La primera igualdad implica que b “ 0. De la u ´ltima igualdad deducimos que c “ 0. Entonces a Hpxq “ x d

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2. El plano proyectivo real

Dado que Hp1q “ 1, se tiene a “ d, por lo que Hpxq “ x para toda x P R Y t8u. En consecuencia G”F 

Ideas para otra demostraci´ on La demostraci´on anterior aprovech´o el modelo de RP 1 como R Y t8u. Podemos enfocar la cuesti´on de determinar una proyectividad desde el punto de vista de determinar una matriz de 2ˆ2. Daremos el argumento para el caso en el cual ninguno de los tres puntos es el punto al infinito. Demostraci´ on. Sea T A la proyectividad buscada. Sea ˆ ˙ a b A“ c d Si queremos que T A env´ıe r1 : 0s al punto rx3 : 1s basta elegir a y c de modo que ra : cs “ rx3 : 1s Digamos que a “ λx3 y c “ λ para alguna λ ‰ 0. Si queremos que T A lleve r0 : 1s al punto rx1 : 1s basta elegir b y d de modo que rb : ds “ rx1 : 1s Digamos que b “ µx1 y d “ µ para alguna µ ‰ 0. Si queremos que T A lleve r1 : 1s al punto rx2 : 1s basta que ra ` b : c ` ds “ rx2 : 1s Esto se cumple si λ y µ satisfacen el sistema de ecuaciones λx3 ` µx1 “ x2 λ`µ“1

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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Dado que los vectores px1 , 1q y px3 , 1q son linealmente independientes el determinante de este sistema de ecuaciones es distinto de cero y por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene soluci´on u ´nica. El lector puede comprobar que la soluci´on es: x1 ´ x2 x1 ´ x3 x2 ´ x3 µ“ x1 ´ x3 λ“

Por construcci´on, T A pone en correspondencia 8 “ r1 : 0s ÞÑ x3 “ rx3 : 1s 0 “ r0 : 1s ÞÑ x1 “ rx1 : 1s 1 “ r1 : 1s ÞÑ x2 “ rx2 : 1s (las igualdades denotan identificaciones)



Ejercicio: Hacer los ajustes necesarios para adaptar este argumento al caso en el cual alguno de los tres puntos xi coincide con 8. Algunos comentarios adicionales: 1. Aunque para definir TA basta especificar a d´onde van dos elementos, para determinar T A se necesita especificar a d´onde van tres elementos. 2. Mientras que en el caso de una transformaci´on lineal TA : R2 Ñ R2 los dos elementos en cuesti´on deben formar una base de R2 , en el caso de una transformaci´on proyectiva T A los tres elementos en cuesti´on deben formar un marco proyectivo. Definici´ on 2.4 En el contexto de la l´ınea proyectiva real, un marco proyectivo es un subconjunto de tres puntos rxi : yi s P RP 1 tales que cualesquiera dos de sus representantes pxi , yi q P R2 forman una base.

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2.2.3.

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2. El plano proyectivo real

Una clasificaci´ on

Podemos clasificar las proyectividades T : RP 1 Ñ RP 1 seg´ un el n´ umero de puntos fijos que tengan. Definici´ on 2.5 Decimos que T es El´ıptica si no tiene puntos fijos. Parab´ olica si tiene exactamente un punto fijo. Hiperb´ olica si tiene exactamente dos puntos fijos. En esta clasificaci´on solamente falta una proyectividad: la identidad. El teorema anterior nos dice que cualquier proyectividad que tenga tres puntos fijos o m´as coincide con ella. Un ejemplo de una proyectividad el´ıptica ˆ A“

cospθq ´senpθq senpθq cospθq

˙

A es la matriz asociada a una rotaci´on de un ´angulo θ alrededor del origen, en el sentido de las manecillas del reloj. Si 0 ă θ ă π, entonces la transformaci´on TA no deja fija ninguna l´ınea que pasa por el origen. La proyectividad T A no tiene puntos fijos. Un ejemplo de una proyectividad parab´ olica ˆ A“

1 1 0 1

˙

La transformaci´on lineal TA deja invariante a una sola recta: el eje X. Se sigue que la proyectividad T A tiene exactamente un punto fijo: r1 : 0s.

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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Un ejemplo de una proyectividad hiperb´ olica ˙ ˆ 0 1 A“ 1 0 La transformaci´on lineal TA deja invariante a las rectas cuyas ecuaciones son y “ ˘x. Se sigue que la proyectividad T A tiene exactamente dos puntos fijos: r1 : 1s y r´1 : 1s.

2.2.4.

Raz´ on cruzada

En los cursos de Geometr´ıa Moderna se suele definir la raz´on cruzada de cuatro puntos colineales A, B, C y D en t´erminos del concepto de divisi´on de un segmento mediante un punto. Para ser m´as precisos: Definici´ on 2.6 La raz´ on cruzada de cuatro puntos A, B, C, D es pAB; CDq “

AC CB AD DB

En esta subsecci´on nos proponemos demostrar el resultado siguiente: Teorema 2.2 La raz´ on cruzada es invariante bajo transformaciones de Moebius. (Las transformaciones de Moebius son las proyectividades K Y t8u Ñ K Y t8u con K “ R ´o C.) Para la demostraci´on de este teorema es conveniente utilizar otra definici´on de raz´on cruzada, una definici´on en la cual est´an involucradas las transformaciones de Moebius. A continuaci´on daremos una motivaci´on de la definici´on alternativa. Supongamos que los cuatro puntos A, B, C y D est´an en la recta de los n´ umeros reales, y que tienen asociados los n´ umeros x1 , x2 , x3 y x4 respectivamente. Entonces

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2. El plano proyectivo real

AC “ x3 ´ x1 CB “ x2 ´ x3 AD “ x4 ´ x1 DB “ x2 ´ x4 Podemos calcular la raz´on cruzada de los cuatro puntos como sigue x3 ´x1 x2 ´x3 x4 ´x1 x2 ´x4

pA, B; C, Dq “

Tres puntos x1 , x2 y x3 determinan una u ´nica transformaci´on de Moebius T tal que T px1 q “ 0 T px2 q “ 8 T px3 q “ 1 T se puede expresar como sigue T pxq “

x´x1 x´x2 x3 ´x1 x3 ´x2

Definici´ on 2.7 La raz´ on cruzada de cuatro puntos A, B, C y D en R Y t8u con coordenadas x1 , x2 , x3 , x4 , respectivamente, es pA, B; C, Dq “

1 T px4 q

donde T es la u ´nica transformaci´ on de Moebius tal que T px1 q “ 0, T px2 q “ 8 y T px3 q “ 1. Observaciones:

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2.2. Transformaciones de la l´ınea proyectiva real

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1. Si A “ 8, T toma la forma T pxq “

x3 ´ x2 x ´ x2

2. Si B “ 8, T toma la forma T pxq “

x ´ x1 x3 ´ x1

3. Si C “ 8, T toma la forma T pxq “

x ´ x1 x ´ x2

4. Esta definici´on depende del orden en el cual se tomen los puntos A, B, C, D. 5. Esta definici´on se puede extender al caso en el cual los cuatro puntos est´en en la esfera de Riemann C Y t8u. En tal caso la raz´on cruzada toma valores en C. 6. Esta definici´on de raz´on cruzada para cuatro puntos en la esfera de Riemann no coincide totalmente con la definici´on de Ahlfors [2], se diferencian en el orden en que se toman los puntos. Las dos razones por las cuales en esta ocasi´on no segu´ı a Ahlfors, son (a) que esta definici´on se conecta m´as naturalmente con la definici´on dada en los cursos de Geometr´ıa Moderna; y (b) coincide num´ericamente con la definici´on de Coxeter [16]. 7. N´otese que la raz´on cruzada no toma ninguno de los valores 0, 1, 8, pues esto estar´ıa en contradicci´on con el hecho de que la transformaci´on T usada para definirla sea inyectiva. Ahora veamos que la raz´on cruzada es invariante bajo transformaciones de Moebius.

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2. El plano proyectivo real

Teorema 2.3 Sean A, B, C y D cuatro puntos en R Y t8u. Sea k1 “ pA, B; C, Dq su raz´ on cruzada. Sea F una transformaci´ on de Moebius. Sean F pAq, F pBq, F pCq y F pDq las im´ agenes de dichos puntos. Sea k2 “ pF pAq, F pBq; F pCq, F pDqq la raz´ on cruzada correspondiente. Entonces k2 “ k1 . Demostraci´ on. Sea T1 la transformaci´on tal que T1 pAq “ 0 T1 pBq “ 8 T1 pCq “ 1 1 . Entonces k1 “ T1 pDq Sea T2 la transformaci´on tal que

T2 pF pAqq “ 0 T2 pF pBqq “ 8 T2 pF pCqq “ 1 Entonces k2 “ T2 pF1pDqq . Basta demostrar que T1 pDq “ T2 pF pDqq Comparemos las dos transformaciones de Moebius T1 y T2 ˝ F . Las dos coinciden en tres puntos, A, B y C. El teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva para ternas de puntos colineales nos dice que ambas transformaciones son id´enticas, es decir, T1 ” T2 ˝ F 

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2.3. El plano proyectivo real

2.3.

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El plano proyectivo real

En esta secci´on presentaremos el plano proyectivo real como clases de equivalencia de puntos en R3 menos el origen. Tambi´en mostraremos su relaci´on con el plano euclidiano extendido, y con un espacio cociente de la esfera.

2.3.1.

El plano proyectivo real como haz de l´ıneas en el espacio

Definamos la relaci´on siguiente entre los puntos de R3 ztp0, 0, 0qu: px, y, zq „ pu, v, wq si y s´olo si existe un n´ umero real λ ‰ 0 tal que pu, v, wq “ λpx, y, zq Se puede ver que esta relaci´on es una relaci´on de equivalencia. Para cada px, y, zq P R3 distinto del p0, 0, 0q denotemos por rx : y : zs a la clase de equivalencia de px, y, zq (el conjunto de todos los pu, v, wq que est´an relacionados con px, y, zq). Los puntos del plano proyectivo real ser´an estas clases de equivalencia. Definici´ on 2.8 El plano proyectivo real es el conjunto RP 2 “ trx : y : zs |px, y, zq P R3 zp0, 0, 0qu Cuando expresamos a un punto P en la forma P “ rx : y : zs diremos que lo expresamos en coordenadas homog´ eneas. Ahora definamos las l´ıneas del plano proyectivo real. Una l´ınea debe ser un cierto conjunto de puntos. Cada punto del plano proyectivo puede interpretarse como una recta que pasa por el origen de R3 . Una l´ınea del plano proyectivo puede interpretarse como un conjunto de rectas que pasan por el origen en R3 . Este conjunto de rectas formar´a una superficie: un plano que pase por el origen. Definici´ on 2.9 Una l´ınea l del plano proyectivo real es un conjunto de la forma l “ trx : y : zs P RP 2 | ax ` by ` cz “ 0u donde pa, b, cq ‰ p0, 0, 0q.

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2. El plano proyectivo real

Es decir, las ecuaciones de los planos que pasan por el origen en R3 nos dar´an las ecuaciones de las l´ıneas del plano proyectivo real. N´otese que esta definici´on nos dice que para saber si un punto rx : y : zs del plano proyectivo real pertenece a la l´ınea l lo que tenemos que hacer es tomar un representante de la clase (el cual es un punto px, y, zq P R3 ) y ver si este representante satisface o no la ecuaci´on ax ` by ` cz “ 0, la cual es la ecuaci´on que define la l´ınea. El lector puede convencerse de que esta definici´on no depende del representante, en otras palabras, que si un representante px0 , y0 , z0 q de una clase rx0 : y0 : z0 s satisface la ecuaci´on, entonces cualquier otro representante px1 , y1 , z1 q de la misma clase rx0 : y0 : z0 s tambi´en satisface la ecuaci´on. Dado un punto ra : b : cs P RP 2 podemos tomar un representante pa, b, cq de dicha clase para formar la ecuaci´on de un plano que pasa por el origen en R3 , a saber ax ` by ` cz “ 0 N´otese que si tomamos otro representante de la misma clase se obtiene el mismo plano aunque cambie la ecuaci´on. Y en consecuencia se obtiene la misma l´ınea del plano proyectivo real. Esto significa que existe una correspondencia entre los puntos de RP 2 y las l´ıneas de RP 2 : Al punto P0 “ rx0 : y0 : z0 s le asociamos la l´ınea l0 que tiene por ecuaci´on x 0 x ` y0 y ` z0 z “ 0 Esta correspondencia es biun´ıvoca. M´as a´ un: Teorema 2.4 Sean P0 y P1 dos puntos en RP 2 . Sean l0 y l1 las l´ıneas correspondientes. Entonces P0 P l1 ñ P1 P l0 Demostraci´ on. Pongamos que P0 “ rx0 : y0 : z0 s y que P1 “ rx1 : y1 : z1 s. Las ecuaciones de l0 y de l1 ser´an x0 x ` y0 y ` z0 z “ 0 y x1 x ` y1 y ` z1 z “ 0 respectivamente. P0 P l1 significa que P0 satisface la ecuaci´on de l1 . Entonces

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2.3. El plano proyectivo real

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se cumple la igualdad x0 x1 ` y0 y1 ` z0 z1 “ 0. Justo la igualdad que se debe verificar para afirmar que P1 P l0 .  Esta correspondencia proporciona otra forma de argumentar el principio de dualidad. Sin embargo, empecemos por estudiar las propiedades b´asicas del plano proyectivo real. Teorema 2.5 En el plano proyectivo real: 1. Dos puntos distintos determinan una u ´nica l´ınea en la que inciden. 2. Dos l´ıneas distintas determinan un u ´nico punto en el que concurren. Demostraci´ on. 1. Sean P y Q dos puntos distintos en RP 2 . Sean p “ pp1 , p2 , p3 q y q “ pq1 , q2 , q3 q representantes de P y Q respectivamente. Podemos pensarlos como dos vectores en R3 , los cuales son linealmente independientes. Estos dos vectores generan un plano en R3 el cual pasa por el origen. La ecuaci´on de este plano determina una l´ınea en RP 2 que contiene a P y a Q. M´as a´ un: podemos calcular un vector normal n “ pn1 , n2 , n3 q a este plano mediante el producto cruz p ˆ q. Podemos presentar la ecuaci´on de dicho plano utilizando el hecho de que un determinante de 3 ˆ 3 vale cero si y solamente si sus vectores rengl´on son coplanares: ¨ ˛ x y z det ˝ p1 p2 p3 ‚ “ 0 q1 q2 q3 Simplificando, el plano de R3 que pasa por el origen, p y q tiene por ecuaci´on n1 x ` n2 y ` n3 z “ 0 Esta es la ecuaci´on de la l´ınea de RP 2 que pasa por P y Q.

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2. El plano proyectivo real

2. Sean l y m dos l´ıneas distintas en el plano proyectivo real RP 2 . Sean l1 x ` l2 y ` l3 z “ 0 y m1 x ` m2 y ` m3 z “ 0 las ecuaciones que definen estas l´ıneas. Estas ecuaciones tambi´en definen dos planos en R3 que pasan por el origen. Estos planos claramente se intersecan en una recta que pasa por el origen. Sea pa, b, cq P R3 un vector que genera a esta recta. El punto ra : b : cs P RP 2 pertenece a las dos l´ıneas l y m. De hecho podemos elegir pa, b, cq como el producto cruz de pl1 , l2 , l3 q ˆ pm1 , m2 , m3 q. (Recordemos que el producto cruz de dos vectores es ortogonal a cada uno de los vectores en cuesti´on. Y la l´ınea en la que se intersecan los dos planos es ortogonal a los vectores normales de cada uno de los planos). 

2.3.2.

Relaci´ on entre el plano euclideano extendido y RP 2

Definamos una funci´on φ3 : R2 Ñ RP 2 como sigue: φ3 px, yq “ rx : y : 1s

Esta funci´on es inyectiva. Geom´etricamente podemos pensar que encajamos a R2 en R3 como el plano z “ 1. Cada punto de este plano determina una l´ınea en R3 que pasa por el origen, y por lo tanto un punto en RP 2 . Sin embargo, hay l´ıneas en R3 que pasan por el origen y no cruzan al plano z “ 1. Estas l´ıneas son las l´ıneas contenidas en el plano z “ 0 es decir, el plano XY . La funci´on φ3 no es suprayectiva, pues los puntos de la forma rx : y : 0s

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no est´an en la imagen de φ. Diremos que φ3 es una parametrizaci´ on local 2 de RP . N´otese algo m´as. Tomemos una l´ınea l en R2 . Esta l´ınea tiene una ecuaci´on de la forma ax ` by ` c “ 0. ¿Cu´al es la imagen de l bajo φ3 ? Tomemos un punto px, yq P l. Pong´amoslo en el espacio a la altura del plano z “ 1, es decir, llev´emoslo al punto px, y, 1q P R3 . Este punto determina una l´ınea en el espacio, la cual est´a asociada a la clase de equivalencia rx : y : 1s. Movamos el punto px, yq en la l´ınea l original. El punto px, y, 1q se mueve en una l´ınea en el espacio, para ser m´as preciso, en una l´ınea contenida en el plano z “ 1. ¿Qu´e le pasa a la recta en el espacio generada por el vector px, y, 1q? Va describiendo un plano que pasa por el origen en R3 . Se puede ver que la ecuaci´on de este plano es ax ` by ` cz “ 0. Consecuencia de lo anterior: φ3 manda puntos colineales en R2 a puntos colineales en RP 2 . Se pueden dar otras parametrizaciones de RP 2 , por ejemplo: φ2 : R2 Ñ RP 2 px, zq ÞÑ rx : 1 : zs φ1 : R2 Ñ RP 2 py, zq ÞÑ r1 : y : zs N´otese que con estas tres parametrizaciones cubrimos a todo RP 2 . El plano proyectivo real es una superficie parametrizada localmente. Cambios de coordenadas Sea Ui la imagen de la correspondiente φi . Tomemos un punto P en U2 X U3 . Dado que P P U3 existe un punto px, yq P R2 tal que φ3 px, yq “ P . Por otra parte, dado que P P U2 existe un punto pu, vq P R2 tal que φ2 pu, vq “ P . Tenemos una funci´on de cambio de coordenadas φ´1 2 ˝ φ3 px, yq “ pu, vq Describamos expl´ıcitamente la regla de correspondencia de esta funci´on. Por una parte, el hecho de que P “ φ3 px, yq nos dice que P “ rx : y : 1s. Por otra parte, el hecho de que P “ φ2 pu, vq nos dice que P “ ru : 1 : vs.

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2. El plano proyectivo real

Esto quiere decir que los puntos px, y, 1q y pu, 1, vq son dos representantes de la misma clase de equivalencia, es decir, existe λ ‰ 0 tal que λpx, y, 1q “ pu, 1, vq Como tenemos las igualdades coordenada a coordenada, entonces λ “ y1 . Entonces x u“ y 1 v“ y Las reglas de correspondencia para los otros cambios de coordenadas son an´alogas. Puntos al infinito La parametrizaci´on φ3 : R2 Ñ RP 2 cubre casi todos los puntos del plano proyectivo real. Los que faltan son de la forma rx : y : 0s. (Si la tercera coordenada fuera distinta de cero, podr´ıamos encontrar otro representante de la misma clase cuya tercera coordenada fuera 1, y entonces dicha clase pertenecer´ıa a la imagen de φ3 ). Los puntos de la forma rx : y : 0s forman una l´ınea (que tiene por ecuaci´on z “ 0) y se pueden identificar con los puntos al infinito del plano euclidiano R2 como sigue: Sea P “ rls un punto al infinito de una l´ınea l Ă R2 . Dicha recta l tiene una ecuaci´on, digamos ax ` by ` c “ 0. Vamos a asociarle a P el punto r´b : a : 0s. Veamos que esta correspondencia est´a bien definida, es decir, que no depende del representante de P que usamos para definirla. Supongamos que P “ rl1 s “ rl2 s, esto quiere decir que las dos l´ıneas l1 y l2 son paralelas en R2 . Sean a1 x ` b1 y ` c1 “ 0 a2 x ` b2 y ` c2 “ 0 las ecuaciones de l1 y l2 respectivamente. Queremos ver que r´b1 : a1 : 0s “ r´b2 : a2 : 0s

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2.3. El plano proyectivo real

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Para ello tenemos que ver que existe un n´ umero λ ‰ 0 tal que p´b2 , a2 , 0q “ λp´b1 , a1 , 0q Esto sucede si satisface el sistema de ecuaciones b2 “ λb1 a2 “ λa1 Ahora bien, por hip´otesis l1 y l2 son dos l´ıneas paralelas. Entonces los vectores normales correspondientes son paralelos. De aqu´ı se sigue la ecuaci´on vectorial pa2 , b2 q “ λpa1 , b1 q De donde se sigue que se cumple el sistema de ecuaciones requerido para decir que la correspondencia P ÞÑ r´b : a : 0s est´a bien definida cuando P es el punto al infinito de la l´ınea dada por la ecuaci´on ax ` by ` c “ 0. Ahora podemos definir una funci´on φ3 : R2 Y l8 Ñ RP 2 como sigue: φ3 px, yq “ rx : y : 1s si px, yq P R2 φ3 pP q “ r´b : a : 0s si ax ` by ` c “ 0 es la ecuaci´on de una l´ınea l que sea un representante del punto al infinito P . Ejemplo. Consideremos el haz de las l´ıneas paralelas a la diagonal y “ x. Es un conjunto de las rectas dadas por ecuaciones de la forma y “ x`c para alguna constante c P R. Podemos escribir sus ecuaciones en la forma x ´ y ` c “ 0. Bajo φ3 van a dar a l´ıneas dadas por ecuaciones de la forma x ´ y ` cz “ 0. (En R3 estas son las ecuaciones de un haz de planos, los planos que contienen a la recta y “ x del plano z “ 0). Todas las l´ıneas paralelas a la diagonal y “ x pasan por el punto al infinito D asociado a dicha recta. Como esta recta se puede escribir en la forma ax`by`c “ 0 con a “ 1, b “ ´1 y c “ 0, entonces φ3 pDq “ r1 : 1 : 0s. (Este punto de RP 2 es la clase de equivalencia de los puntos distintos del origen que pertenecen a la recta y “ x del plano z “ 0).

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.7: Identificando puntos del ecuador, con los puntos del hemisferio norte podemos representar al plano proyectivo real.

2.3.3.

El plano proyectivo real como espacio cociente de la esfera

Los puntos de RP 2 son clases de equivalencia de puntos en R3 , excluyendo al origen. Si les pegamos el origen obtenemos rectas que pasan por el origen. Claramente cualquiera de estas rectas cruza a la esfera unitaria S 2 dada por la ecuaci´on x2 ` y 2 ` z 2 “ 1, de hecho la cruza en dos puntos ant´ıpodas (opuestos). Desde un punto de vista m´as formal podemos decir que en toda clase de equivalencia hay exactamente dos representantes cuya norma es igual a 1. Es decir, hay dos representantes que est´an en la esfera unitaria. En S 2 definimos la relaci´on: px, y, zq „ pu, v, wq si y s´olo si existe un n´ umero real λ P t´1, 1u tal que pu, v, wq “ λpx, y, zq Se puede ver que esta relaci´on es una relaci´on de equivalencia entre los puntos de la esfera. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de las clases de equivalencia de puntos de la esfera y los puntos de RP 2 .

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Definamos el concepto de l´ınea en el conjunto de clases de equivalencia de la esfera como sigue: Una l´ınea consta de las clases de equivalencia cuyos representantes pertenecen a un mismo c´ırculo m´aximo. Es decir, que pertenecen a un mismo plano que pasa por el origen (el plano que contiene al c´ırculo m´aximo). Tambi´en tenemos una correspondencia biun´ıvoca entre las l´ıneas del plano proyectivo real definido a partir de clases de equivalencia de puntos en R3 menos el origen, y las l´ıneas que acabamos de definir para el conjunto de clases de equivalencia de puntos en la esfera. Representando RP 2 a partir de un disco. Sea D2 “ tpx, yq P R2 : x2 ` y 2 ď 1u Consideremos la funci´on f : D2 Ñ RP 2 ” ı a 2 2 f px, yq “ x : y : 1 ´ x ´ y Esta funci´ on es suprayectiva, pues todo punto rx : y : zs P RP 2 tiene dos representantes en la esfera unitaria, y al menos uno de ellos satisface la desigualdad z ě 0. V´ease la figura 2.8.

Figura 2.8: Identificando aristas de un disco, podemos representar al plano proyectivo real.

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2. El plano proyectivo real

Cada punto rx : y : zs P RP 2 con z ‰ 0 tiene exactamente un representante tal que x2 ` y 2 ă 1 zą0 En otras palabras, restringida a los puntos del interior del disco, f es 1 a 1. Sin embargo, en los puntos de la circunferencia, x2 ` y 2 “ 1, f es 2 a 1. Para obtener una correspondencia biun´ıvoca procedemos como sigue: En el disco unitario D2 definamos la relaci´on de equivalencia: px, yq „ pu, vq si y s´olo si: px, yq “ ˘pu, vq cuando x2 ` y 2 “ 1, o bien px, yq “ pu, vq cuando x2 ` y 2 ă 1. Intuitivamente estamos pegando puntos ant´ıpodas de la orilla del disco (v´ease la figura 2.8). Tenemos una biyecci´on entre las clases de equivalencia de D2 y los puntos de RP 2 . En los cursos de topolog´ıa se puede ver que son homeomorfas. Recomendamos el libro de Massey, Introducci´ on a la topolog´ıa algebraica [34], en el cual se aborda con todo detalle c´omo representar cualquier superficie compacta pegando aristas de un disco.

2.3.4.

Relaci´ on entre RP 2 y la banda de Moebius

Una diferencia importante entre RP 2 y RP 1 es que RP 2 no es homeomorfo a una esfera bidimensional S 2 , aunque RP 1 sea homeomorfo a una esfera unidimensional S 1 . A continuaci´on estudiaremos algunas propiedades de RP 2 que har´an m´as clara esta diferencia. Considerando que el plano euclidiano extendido, el plano proyectivo real y el espacio cociente de la esfera tienen las mismas propiedades desde el punto de vista de la geometr´ıa proyectiva, (para ser m´as precisos, existen biyecciones entre ellos que llevan puntos colineales en puntos colineales) los consideraremos como distintos modelos de un mismo plano proyectivo, y trabajaremos indistintamente con cualquiera de ellos. Afirmaci´ on: Si al plano proyectivo real le quitamos un disco peque˜ no, lo que nos queda es una banda de Moebius.

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2.3. El plano proyectivo real

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Podemos representar a todos los puntos del plano proyectivo con puntos de la esfera unitaria S 2 tomando en cuenta que dos puntos ant´ıpodas en la esfera representan a un mismo punto en el plano proyectivo. Quit´emosle a la esfera un peque˜ no disco, por ejemplo, cortando con un plano vertical paralelo al plano Y Z, digamos x “ 1 ´ . Para que esta operaci´on corresponda a quitarle un disco al plano proyectivo, debemos quitarle a la esfera los puntos ant´ıpodas, es decir, que tambi´en cortemos la esfera con el plano x “ ´1 ` . La esfera menos estos dos discos es como un cilindro acostado que parece una llanta. Cada punto est´a representado dos veces. Qued´emonos con los del hemisferio superior. V´ease la figura 2.9.

Figura 2.9: A la esfera quit´emosle dos discos sim´etricos centrados en p˘1, 0, 0q. Qued´emonos con la parte del hemisferio superior. Salvo los que est´en a la altura del ecuador, cada punto solamente representa un punto del plano proyectivo. Los puntos del hemisferio superior que quedan en la esfera doblemente trepanada se pueden proyectar sobre el plano XY en los de un cuadril´atero ABCD con dos lados curvos. V´ease la figura 2.10.

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.10: Observemos la esfera doblemente trepanada desde el eje Z. Los puntos que quedan a la altura del ecuador resultan pertenecer a dos lados opuestos de este cuadril´atero curvo. Los puntos pertenecientes a los lados AD y CB se identifican relacionando puntos ant´ıpodas. As´ı obtenemos una banda de Moebius. Una de las propiedades m´as impresionantes de la banda de Moebius es el hecho de que es una superficie no orientable. Esta propiedad se la hereda al plano proyectivo real. Intuitivamente, una superficie no es orientable si un ser plano que viva en ella puede caminar a lo largo de una curva cerrada de manera que al dar una vuelta regrese del otro lado de la curva sobre la que caminaba. V´ease la figura 2.11. En t´erminos m´as propios de la Geometr´ıa Diferencial esto significa que si ponemos una base ortonormal del plano tangente a la superficie en un punto de la curva de modo que uno de los vectores de la base sea tangente a la curva, y movemos esta base a lo largo de la curva manteniendo tangente al primer vector, el segundo vector llega en direcci´on opuesta a la que sali´o. Si la superficie est´a encajada en R3 al tomar el producto cruz de ambos vectores obtenemos un vector normal a la superficie. Dicho vector normal tambi´en regresa apuntando en direcci´on contraria a la cual sali´o.

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Figura 2.11: Un ser bidimensional parecido a un tri´angulo, el cual caminara a lo largo de la l´ınea x “ 0 se voltear´ıa al atravesar las aristas identificadas. Regresar´ıa como su propio reflejo. Para una discusi´on m´as rigurosa sobre el concepto de superficie no orientable en R3 recomendamos los textos de Manfredo do Carmo [17] y de Oscar Palmas [41]. En ellos se trata expl´ıcitamente el ejemplo de la banda de Moebius. Proposici´ on 2.1 El plano proyectivo real es una superficie no orientable. Dado que una demostraci´on rigurosa requiere conceptos propios de Geometr´ıa Riemanniana, solamente ilustraremos el fen´omeno de ‘regresar volteado’. Para abundar en este tema de una manera accesible recomendamos al lector consultar el libro de Javier Bracho [9].

2.3.5.

Otras formas de representar al plano proyectivo real

Existen varias formas de representar al plano proyectivo real como una superficie con autointersecciones. Una de ellas es la llamada capa cruzada, a la cual dedicaremos unas cuantas im´agenes. Cabe mencionar que hay otras

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2. El plano proyectivo real

formas de visualizar al plano proyectivo real en R3 , el lector interesado puede buscar en internet t´erminos como Steiner-Romann surface o Boy’s surface, y para un estudio m´as profundo, consultar la obra de Ap´ery [3].

Figura 2.12: Una banda de Moebius en Universum.

RP 2 como una capa cruzada La llamada capa cruzada es la imagen del plano proyectivo real bajo una funci´on f : RP 2 Ñ R3 la cual puede pensarse como una superficie con autointersecciones, como la botella de Klein. Para una visualizaci´on de esta superficie recomendamos al lector visitar la p´agina de Wolfram MathWorld [56] http://mathworld.wolfram.com/Cross-Cap.html

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Una parametrizaci´on de esta superficie es la siguiente: 1 xpu, vq “ cospuqsenp2vq 2 1 ypu, vq “ senpuqsenp2vq 2 ˘ 1` 2 zpu, vq “ cos v ´ cos2 usen2 v 2 Para aprender a graficar estas superficies tambi´en recomendamos consultar el libro de Alfred Gray [23] el cual se centra en el uso del software M athematica˚ en el estudio de la geometr´ıa. Aqu´ı no abordaremos los detalles de la parametrizaci´on, solamente nos limitaremos a dar dar una idea cualitativa de c´omo se obtiene esta superficie a partir del plano proyectivo, representado como el disco D2 con identificaciones en la frontera. Vea las figuras 2.13, 2.14 y 2.15.

Figura 2.13: Partimos del disco con aristas identificadas.

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.14: Lo imaginamos como una esfera menos un gajo con aristas identificadas.

Figura 2.15: Obtenemos una superficie llamada capa cruzada.

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Imaginemos que un habitante caminara sobre esta superficie y tuviera la impresi´on de estar afuera. Supongamos que se dirigiera a la l´ınea de las autointersecciones, y caminara en direcci´on perpendicular a ella, la atravesar´ıa, y aparecer´ıa por adentro. Es justamente el mismo fen´omeno que en la botella de Klein: son dos superficies no orientables. RP 2 en R4 El plano proyectivo real no se puede representar en R3 sin autointersecciones, pero s´ı en R4 . Un modelo nos lo da la funci´on φ : RP 2 Ñ R4 rx : y : zs ÞÑ pxy, xz, y 2 ´ z 2 , 2yzq Veamos que esta funci´on est´a bien definida. Sea p “ px, y, zq un punto en la esfera unitaria. Comparemos φppq y φp´pq. φ r´x : ´y : ´zs “ pxy, xz, y 2 ´ z 2 , 2yzq “ φ rx : y : zs Efectivamente, φ est´a bien definida. Veamos que φ es inyectiva. Supongamos que φ rx : y : zs “ φ ru : v : ws para dos puntos en la esfera unitaria. Entonces xy “ uv xz “ uw 2

y ´ z 2 “ v 2 ´ w2 2yz “ 2vw Las dos u ´ltimas ecuaciones pueden verse como las partes real e imaginaria de una ecuaci´on compleja py ` izq2 “ pv ` iwq2

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2. El plano proyectivo real

Esto quiere decir que pv, wq “ ˘py, zq Las primeras dos ecuaciones nos dicen que xpy, zq “ upv, wq Si py, zq “ p0, 0q entonces rx : 0 : 0s “ r1 : 0 : 0s “ ru : 0 : 0s. Si py, zq “ pv, wq ‰ p0, 0q entonces x “ u de donde rx : y : zs “ ru : v : ws. Si py, zq “ p´v, ´wq ‰ p0, 0q entonces x “ ´u de donde rx : y : zs “ ru : v : ws. De lo anterior se sigue que φ es inyectiva. Un estudio m´as profundo de las propiedades geom´etricas de esta superficie requiere herramientas propias de cursos de Geometr´ıa Diferencial, v´ease por ejemplo, la obra de Michael Spivak, [48].

2.4.

Transformaciones proyectivas

Esta secci´on trata sobre las transformaciones biyectivas del plano proyectivo real que llevan puntos colineales en puntos colineales. Proyectividades Sea A una matriz invertible de 3 ˆ 3 con coeficientes en R. Define una transformaci´on lineal TA : R3 Ñ R3 que lleva l´ıneas que pasan por el origen en l´ıneas que pasan por el origen. Induce una transformaci´on T A : RP 2 Ñ RP 2 que a cada punto P P RP 2 representado por un punto x P R3 le asocia el punto Q P RP 2 representado por TA pxq P R3 . Como antes, dos transformaciones T A y T B son id´enticas si y s´olo si existe un n´ umero λ ‰ 0 tal que A “ λB. Los grupos de matrices GLp3, Rq y P GLp3, Rq se definen de manera an´aloga al caso de las matrices de 2 ˆ 2.

2.4.1.

Teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva versi´ on para cuadr´ angulos (4 en 4)

Recordemos que cuatro puntos son los v´ertices de un cuadr´ angulo si no hay tres de ellos que sean colineales.

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2.4. Transformaciones proyectivas

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Teorema 2.6 Sean X1 X2 X3 X4 y Y1 Y2 Y3 Y4 los v´ertices de dos cuadr´ angu2 los en RP . Entonces existe una u ´nica transformaci´ on proyectiva T A tal que T A pXi q “ Yi . La demostraci´on de este teorema es m´as f´acil si primero demostramos un caso particular, cuando los v´ertices de uno de los cuadr´angulos tiene coordenadas sencillas. Definici´ on 2.10 El cuadr´ angulo fundamental U1 U2 U3 U4 del plano proyectivo real es aquel que tiene por v´ertices U1 “ r1 : 0 : 0s U2 “ r0 : 1 : 0s U3 “ r0 : 0 : 1s U4 “ r1 : 1 : 1s Lema 2.2 Sea U1 U2 U3 U4 el cuadr´ angulo fundamental y sea Y1 Y2 Y3 Y4 otro cuadr´ angulo en RP 2 . Entonces existe una u ´nica transformaci´ on proyectiva T A tal que T A pUi q “ Yi . La demostraci´on del lema y de este teorema son an´alogas del teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva para ternas de puntos colineales. Se dejan como ejercicio al lector. Cabe insistir en la necesidad del cuarto punto para la unicidad de la transformaci´on proyectiva mencionada en el lema anterior, aunque est´e representada por una matriz de 3 ˆ 3. Esto marca una diferencia entre las transformaciones proyectivas y las transformaciones lineales, an´aloga a la que ten´ıamos en el estudio de la l´ınea proyectiva real.

2.4.2.

El teorema de Desargues

Teorema 2.7 (Desargues) Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´ angulos en RP 2 . Si est´ an en perspectiva desde un punto, entonces est´ an en perspectiva desde una recta.

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2. El plano proyectivo real

La demostraci´on se simplifica si utilizamos los dos lemas que veremos a continuaci´on. Lema 2.3 (Condici´ on de colinealidad en RP 2 ) Los puntos P “ rp1 : p2 : p3 s, Q “ rq1 : q2 : q3 s y R “ rr1 : r2 : r3 s son colineales si y s´ olo si ¨ ˛ p1 q1 r1 det ˝ p2 q2 r2 ‚ “ 0 p3 q3 r3 Demostraci´ on. P , Q y R son colineales como puntos de RP 2 si y solamente si los tres representantes p “ pp1 , p2 , p3 q, q “ pq1 , q2 , q3 q y r “ pr1 , r2 r3 q son coplanares como puntos de R3 . Pero esto sucede si y s´olo si el determinante de la matriz cuyos vectores columnas son p, q y r es igual a cero. 

Lema 2.4 Sean U “ ru1 : u2 : u3 s, A “ ra1 : a2 : a3 s y A1 “ ra11 : a12 : a13 s tres puntos distintos y colineales en RP 2 . Entonces podemos elegir un representante de A y un representante de A1 tales que A “ rα1 : α2 : α3 s 1

A “ ru1 ` α1 : u2 ` α2 : u3 ` α3 s Demostraci´ on. La hip´otesis de que U , A y A1 sean colineales se traduce en el hecho de que sus representantes u “ pu1 , u2 , u3 q, a “ pa1 , a2 , a3 q y a1 “ pa11 , a12 .a13 q son tres vectores coplanares no nulos en R3 . Esto significa que u est´a en el plano generado por a y a1 . Es decir, existen λ1 y λ2 tales que u “ λ1 a ` λ2 a1 pu1 , u2 , u3 q “ λ1 pa1 , a2 , a3 q ` λ2 pa11 , a12 , a13 q es decir pu1 , u2 , u3 q “ pλ1 a1 , λ1 a2 , λ1 a3 q ` pλ2 a11 , λ2 a12 , λ2 a13 q

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2.4. Transformaciones proyectivas

N´otese que λ1 y λ2 son distintos de cero, pues en caso contrario no tendr´ıamos tres puntos distintos. Proponemos pα1 , α2 , α3 q “ ´λ1 pa1 , a2 , a3 q Entonces A “ ra1 : a2 : a3 s “ rα1 : α2 : α3 s. Por otra parte “ ‰ “ ‰ ru1 ` α1 : u2 ` α2 : u3 ` α3 s “ λ2 a11 : λ2 a12 : λ2 a13 “ a11 : a12 : a13 “ A1  Armados con estos dos lemas, ahora comenzamos la demostraci´on del teorema de Desargues. Demostraci´ on. Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´angulos en perspectiva desde U . Esto quiere decir que en particular U , A y A1 son colineales. Aplicando el lema reci´en visto elegimos representantes adecuados de A y de A1 . Tambi´en U , B y B 1 son colineales. Elegimos representantes adecuados de B y B 1 . Tambi´en U , C y C 1 son colineales. Para C y C 1 elegimos los representantes que nos dice el lema. Entonces podemos escribir: U “ ru1 : u2 : u3 s A “ rα1 : α2 : α3 s B “ rβ1 : β2 : β3 s C “ rγ1 : γ2 : γ3 s 1

A “ ru1 ` α1 : u2 ` α2 : u3 ` α3 s B 1 “ ru1 ` β1 : u2 ` β2 : u3 ` β3 s C 1 “ ru1 ` γ1 : u2 ` γ2 : u3 ` γ3 s Queremos demostrar que los tres puntos F “ AB X A1 B 1 ,

E “ AC X A1 C 1 ,

D “ BC X B 1 C 1

son colineales. ¿C´omo son las coordenadas homog´eneas de F “ rf1 : f2 : f3 s?

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2. El plano proyectivo real

F P AB significa que el vector f “ pf1 , f2 , f3 q tiene que estar en el plano generado por α y β, los representantes de A y B. Es decir f “ t1 α ` t2 β F P A1 B 1 significa que el vector f tiene que estar en el plano generado por α ` u y β ` u, los representantes de A1 y B 1 . Es decir f “ s1 pα ` uq ` s2 pβ ` uq f “ s1 α ` s2 β ` ps1 ` s2 qu La u ´nica manera en que esto puede suceder es que s2 “ ´s1 . Es decir, f es un m´ ultiplo de α ´ β. Podemos elegir a α ´ β como representante de F . An´alogamente podemos elegir a β ´ γ como representante de D, y a γ ´ α como representante de E. Los vectores representantes de D, E y F tienen la propiedad de que suman cero. Son linealmente dependientes. Son tres vectores coplanares en R3 . El determinante vale cero. En consecuencia D, E y F son colineales. 

2.4.3.

El teorema de Pappus

Teorema 2.8 (Pappus) Si los seis v´ertices de un hex´ agono yacen alternativamente en dos l´ıneas, entonces los tres pares de lados opuestos se intersecan en puntos colineales. Demostraci´ on. Sean A, B, C, D, E, F los v´ertices del hex´agono. Los tres pares de lados opuestos son: AB y DE. Sea P el punto donde se cortan. BC y EF . Sea Q el punto donde se cortan. CD y F A. Sea R el punto donde se cortan.

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2.4. Transformaciones proyectivas

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Queremos demostrar que P , Q y R son colineales. Aplicando la versi´on adecuada del teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva, podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que el cuadr´angulo ABDE es el siguiente: A “ r0 : 1 : 0s B “ r´1 : 0 : 1s D “ r1 : 0 : 0s E “ r0 : ´1 : 1s V´ease la figura 2.16. La l´ınea AE tiene por ecuaci´on x “ 0 (es el eje Y ).

Figura 2.16: A es el punto al infinito del eje Y . D es el punto al infinito del eje X. La l´ınea DB tiene por ecuaci´on y “ 0 (es el eje X).

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2. El plano proyectivo real

C debe ir a un punto colineal con AE, debe ser de la forma C “ r0 : c : 1s . F debe ir a un punto colineal con DB, debe ser de la forma F “ rf : 0 : 1s . Las ecuaciones de las l´ıneas AB y DE son: x ` z “ 0,

y`z “0

Se intersecan en un punto P cuyas coordenadas son r´1 : ´1 : 1s. Las ecuaciones de las l´ıneas CD y F A son: y “ cz,

x “ fz

Se intersecan en un punto R cuyas coordenadas son rf : c : 1s. Las ecuaciones de las l´ıneas BC y EF son: cx ´ y ` cz “ 0,

x ´ fy ´ fz “ 0

Queremos ver que se intersecan en un punto Q que pertenece a la l´ınea P R. Usando el producto cruz podemos obtener las coordenadas de un representante de Q: » fi i j k pc, ´1, cq ˆ p1, ´f, ´f q “ – c ´1 c fl “ pf ` f c, cf ` c, ´cf ` 1q 1 ´f ´f Entonces Q “ rf ` f c : cf ` c : ´cf ` 1s. Por otra parte, la l´ınea P R pasa por los puntos r´1 : ´1 : 1s y rf : c : 1s. Su ecuaci´on es ¨ ˛ x y z det ˝ ´1 ´1 1 ‚ “ p´1 ´ cqx ` p1 ` f qy ` pf ´ cqz “ 0 f c 1

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2.5. El espacio proyectivo real

Para comprobar que Q pertenece a la l´ınea P R, basta ver que sus coordenadas homog´eneas satisfacen la ecuaci´on de la l´ınea P R. p´1 ´ cqpf ` f cq ` p1 ` f qpcf ` cq ` pf ´ cqp´cf ` 1q “ ´ f ´ f c ´ cf ´ c2 f ` cf ` c ` cf 2 ` cf ´ cf 2 ` f ` c2 f ´ c “ 0 

2.5.

El espacio proyectivo real

En esta secci´on describiremos a grandes rasgos las tres presentaciones del espacio proyectivo real que generalizan los tres modelos del plano proyectivo real que hemos discutido. El espacio proyectivo real como extensi´ on de R3 3 las rectas en R definimos la relaci´on de paralelismo

En el conjunto de

lkm de manera que resulte ser una relaci´on de equivalencia. Denotemos por rls a la clase de equivalencia de la recta l. El espacio euclideano extendido ser´a el resultado de a˜ nadirle a R3 las clases de equivalencia de todas sus rectas. Las l´ıneas del espacio euclideano extendido ser´an de dos tipos: las de la forma l Y rls para rectas l en R3 , y las que consisten de puntos de la forma rls con l Ă π donde π es un plano fijo en R3 . Ahora tendremos planos extendidos, los cuales se obtienen al unirle a los planos de R3 los puntos al infinito determinados por las rectas que contienen dichos planos. El espacio proyectivo real como haz de l´ıneas en R4 Sean x, y P R4 ztp0, 0, 0, 0qu. Digamos que x „ y si y s´olo si existe un n´ umero real λ ‰ 0 tal que y “ λx.

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2. El plano proyectivo real

El conjunto de las clases de equivalencia es el conjunto de puntos del espacio proyectivo real. Se puede denotar RP 3 . Este conjunto se puede interpretar como el conjunto de las rectas de R4 que pasan por el origen. Dos puntos en RP 3 son dos clases de equivalencia de puntos en R4 menos el origen. Escojamos un representante de cada una de ellas. Obtenemos dos vectores en R4 los cuales son linealmente independientes. Generan un subespacio bidimensional de R4 , es decir, un plano. El conjunto de puntos en RP 3 tales que son clases de equivalencia de vectores en este plano es lo que llamaremos una l´ınea en RP 3 . Tomemos tres vectores en R4 los cuales sean linealmente independientes. Generan un subespacio tridimensional V ă R4 . El conjunto de puntos en RP 3 tales que son clases de equivalencia de vectores en V es lo que llamaremos un plano en RP 3 . Todo plano en RP 3 est´a dado por una ecuaci´on de la forma ax ` by ` cz ` dt “ 0 para alg´ un vector no nulo pa, b, c, dq P R4 . Dicho vector determina un u ´nico punto ra : b : c : ds P RP 3 . Esto nos da una correspondencia biyectiva entre los planos y los puntos de RP 3 . Tambi´en tenemos parametrizaciones locales de RP 3 : φ4 : R3 Ñ RP 3 px, y, zq ÞÑ rx : y : z : 1s φ3 : R3 Ñ RP 3 px, y, tq ÞÑ rx : y : 1 : ts φ2 : R3 Ñ RP 3 px, z, tq ÞÑ rx : 1 : z : ts φ1 : R3 Ñ RP 3 py, z, tq ÞÑ r1 : y : z : ts Se deja como ejercicio al lector deducir las funciones de cambios de coordenadas entre estas parametrizaciones.

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´ nicas 2.6. Co

El espacio proyectivo real como cociente de S 3 Sea S 3 Ă R4 la esfera unitaria centrada en el origen. Consideremos la relaci´on de equivalencia entre sus puntos tal que p „ q si y s´olo si p P t´q, qu. Como antes, el conjunto de clases de equivalencia que se obtiene est´a en correspondencia biun´ıvoca con RP 3 .

2.6.

C´ onicas

En esta secci´on abordaremos el estudio de las c´onicas desde el punto de vista anal´ıtico. Lo primero que haremos ser´a extender la definici´on utilizando polinomios homog´eneos de segundo grado. Despu´es mostraremos c´omo se puede llevar la ecuaci´on de una c´onica no singular a una forma normal utilizando transformaciones proyectivas. Luego revisitaremos los conceptos relacionados con c´onicas que tratamos en el cap´ıtulo anterior, as´ı como los teoremas de Pascal y Brianchon.

2.6.1.

Equivalencia proyectiva

Definici´ on 2.11 Sea f : R3 Ñ R una funci´ on polinomial. Se dice que f es homog´enea de grado d si para toda t P R y para cualesquiera px, y, zq P R3 se cumple la igualdad f ptx, ty, tzq “ td f px, y, zq Ejemplos: La funci´on f px, y, zq “ 1 ` x ` y 2 ` xyz no es homog´enea. La funci´on f px, y, zq “ z 3 ` xz 2 ` y 2 z ` xyz es homog´enea de grado 3. Definici´ on 2.12 Sea f px, y, zq “ ax2 ` bxy ` cy 2 ` dxz ` eyz ` f z 2 un polinomio homog´eneo de segundo grado en tres variables. Una c´ onica es el conjunto de soluciones C “ trx : y : zs P RP 2

f px, y, zq “ 0u

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2. El plano proyectivo real

Definici´ on 2.13 Dos subconjuntos del plano proyectivo real son proyectivamente equivalentes si existe una transformaci´ on proyectiva que lleva uno en el otro. El teorema fundamental, en su versi´on de 3 en 3, nos dice que cualesquiera dos ternas de puntos colineales son proyectivamente equivalentes. Dos cuartetas de puntos colineales son proyectivamente equivalentes si y s´olo si sus razones cruzadas son iguales. El teorema fundamental, en su versi´on de 4 en 4, nos dice que cualesquiera dos cuadr´angulos son proyectivamente equivalentes. Pronto veremos otros ejemplos, pero antes, una definici´on. Definici´ on 2.14 Sea rx0 : y0 : z0 s P RP 2 un cero del polinomio f que define una c´ onica. Diremos que es un punto singular de la c´ onica si px0 , y0 , z0 q es un punto cr´ıtico del polinomio f . Se dice que la c´ onica es no singular si no tiene puntos singulares. En caso contrario diremos que la c´ onica es singular. Algunos ejemplos de c´onicas singulares son los siguientes: 1. f px, y, zq “ x2 “ 0. 2. f px, y, zq “ x2 ` y 2 “ 0. 3. f px, y, zq “ x2 ´ y 2 “ 0. N´otese que si hici´eramos z “ 1 tendr´ıamos las ecuaciones de una l´ınea doble, un punto, y dos l´ıneas, respectivamente. Estos tres ejemplos tienen un punto singular en r0 : 0 : 1s, lo cual se puede verificar evaluando en dicho punto los gradientes correspondientes 1. 5f px, y, zq “ p2x, 0, 0q. 2. 5f px, y, zq “ p2x, 2y, 0q. 3. 5f px, y, zq “ p2x, ´2y, 0q.

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Trabajando en RP 2 incluso tenemos la posibilidad de que el conjunto de ceros del polinomio dado sea vac´ıo. Por ejemplo: f px, y, zq “ x2 ` y 2 ` z 2 Ejemplos de c´onicas no singulares son los siguientes: 1. x2 ´ yz “ 0 2. x2 ` y 2 “ z 2 3. x2 ´ y 2 “ z 2 N´otese que si hici´eramos z “ 1 tendr´ıamos las ecuaciones de una par´abola, una circunferencia y una hip´erbola, respectivamente. Recordemos que, estas tres curvas pueden verse como el resultado de cortar un cono circular recto con un plano que no pase por el v´ertice del cono. Aplicando una perspectividad desde el v´ertice del cono podemos llevar estas c´onicas a la circunferencia unitaria, (figuras 2.17 y 2.18).

Figura 2.17: Una par´abola y una circunferencia son proyectivamente equivalentes. No solamente estas c´onicas son proyectivamente equivalente a la circunferencia, en realidad, lo son casi todas. Este es el contenido del resultado siguiente.

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.18: Una hip´erbola y una circunferencia son proyectivamente equivalentes. Teorema 2.9 Todas las c´ onicas no singulares (y no vac´ıas) son proyectivamente equivalentes. Demostraci´ on. La ecuaci´on general de una c´onica en RP 2 es ax2 ` bxy ` cy 2 ` dxz ` eyz ` f z 2 “ 0 Recordemos que en toda ecuaci´on de segundo grado en varias variables se pueden eliminar los t´erminos mixtos aplicando una rotaci´on adecuada [44]. Entonces podemos llevar la c´onica a la forma ax2 ` cy 2 ` f z 2 “ 0 en la cual ni los coeficientes ni las variables tienen por qu´e ser exactamente los mismos que al principio. Las hip´otesis de que la c´onica es no singular y no vac´ıa implican que los tres coeficientes son distintos de cero, y no todos del mismo signo. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que a y c son positivos, y f es negativo. Entonces, mediante un cambio de variables de la forma a ? ? x1 “ ax, y 1 “ cy, z 1 “ ´f z la c´onica puede llevarse a la forma x2 ` y 2 ´ z 2 “ 0

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(renombrando a las variables).



Ejemplos: La transformaci´on T : RP 2 Ñ RP 2 dada por “ ‰ rx : y : zs ÞÑ x1 : y 1 : z 1 “ rz : y : xs lleva a los puntos de la c´onica x2 ´ y 2 “ z 2 en los puntos de la c´onica px1 q2 ` py 1 q2 “ pz 1 q2 . La transformaci´on T1 : RP 2 Ñ RP 2 dada por „  y´z y`z rx : y : zs ÞÑ rx1 : y1 : z1 s “ x : ? : ? 2 2 lleva a los puntos de la c´onica x2 ´ yz “ 0 en los puntos de la c´onica y2 z2 x21 ` 21 ´ 21 “ 0. La transformaci´on T2 : RP 2 Ñ RP 2 dada por  „ y1 z1 rx1 : y1 : z1 s ÞÑ rx2 : y2 : z2 s “ x1 : ? : ? 2 2 y2

z2

lleva a los puntos de la c´onica x21 ` 21 ´ 21 “ 0 en los puntos de la c´onica x22 ` y22 ´ z22 “ 0. Un comentario adicional. Para ver otras demostraciones de que las c´onicas son proyectivamente equivalentes, recomendamos consultar en el libro de Robert Bix [7]. Y hacer los ejercicios 29, 30 y 31.

2.6.2.

Polos y polares

Vamos a revisar anal´ıticamente los conceptos de polos y polares vistos en el plano euclidiano extendido y generalizar la definici´on en el contexto de RP 2 . En R2 Yl8 consideremos la circunferencia unitaria con centro en el origen O. x2 ` y 2 “ 1

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2. El plano proyectivo real

Sea P “ pa, bq. La l´ınea polar de P la definimos como la l´ınea perpendicular a OP que pasa por el punto P 1 P OP tal que pOP q ¨ pOP 1 q “ 1 Calculemos las coordenadas de P 1 en t´erminos de las de P . Dado que P 1 est´a en la recta OP , las coordenadas de P 1 son d la forma pta, tbq para alg´ un n´ umero t ą 0. La condici´on pOP 1 qpOP q “ 1 implica que a a t2 a2 ` t2 b2 a2 ` b2 “ 1 es decir tpa2 ` b2 q “ 1 Las coordenadas de P 1 son ˆ 1

P “

a b , 2 2 2 a ` b a ` b2

˙

La ecuaci´on de una l´ınea l que pasa por P 1 y es perpendicular a la l´ınea OP se puede deducir como sigue: X “ px, yq P l si y solamente si cospθq “ es decir a

OP 1 OX

px, yq ¨ pa, bq 1 a ? “? 2 2 2 2 2 2 x `y a `b a ` b x2 ` y 2

simplificando ax ` by “ 1 Sin embargo, esta f´ormula no incluye el caso en el cual P sea el origen o sea un punto al infinito. Para extender la f´ormula a RP 2 , pensemos en la ecuaci´on ax ` by “ 1 como una consecuencia del sistema de ecuaciones ax ` by ´ z “ 0 z“1

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Un punto P “ ra : b : 1s debe ir a la l´ınea cuya ecuaci´on es ax`by´z “ 0. La regla general ser´ıa que un punto P “ ra : b : cs vaya a dar a la l´ınea cuya ecuaci´on sea ax ` by ´ cz “ 0. Definiendo as´ı las cosas, la l´ınea polar del punto O “ r0 : 0 : 1s (el origen de R2 ) tendr´ıa que ser la l´ınea cuya ecuaci´on es z “ 0 (la l´ınea al infinito del plano euclideano extendido). Y la l´ınea polar del punto r1 : 0 : 0s (el punto al infinito en la direcci´on del eje X) vendr´ıa a ser la l´ınea cuya ecuaci´on es x “ 0 (esto concuerda con nuestra intuici´on, pues deb´ıa ser una l´ınea perpendicular al di´ametro horizontal, y deb´ıa pasar por el origen, porque si P es un punto al infinito entonces P 1 debe ser el punto medio del di´ametro). Entonces la l´ınea ax ` by ´ cz “ 0 es la l´ınea polar del punto P “ ra : b : cs con respecto a la c´onica x2 ` y 2 ´ z 2 “ 0. M´as en general: Definici´ on 2.15 Sea ax2 `2bxy`2cxz`dy 2 `2eyz`f z 2 “ 0 la ecuaci´ on de una c´ onica C. Vamos a definir la l´ınea polar de un punto P0 “ rx0 : y0 : z0 s con respecto a la c´ onica C como la l´ınea cuya ecuaci´ on es pax0 ` by0 ` cz0 qx ` pbx0 ` dy0 ` ez0 qy ` pcx0 ` ey0 ` f z0 qz “ 0 Se dice que P0 es el polo de una l´ınea l0 con respecto a la c´ onica C si l0 es la l´ınea polar de P0 con respecto a la c´ onica C. N´otese que la c´onica C tiene asociada la matriz ¨

˛ a b c A“˝ b d e ‚ c e f Multiplicando esta matriz por las coordenadas de P0 obtenemos los coeficientes de la l´ınea polar de P0 con respecto a la c´onica C.

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2.6.3.

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2. El plano proyectivo real

El teorema de Brianchon

Vamos a dar una demostraci´on anal´ıtica del teorema de Brianchon para el caso de la circunferencia unitaria en R2 Y l8 . Aprovecharemos la relaci´on con el hiperboloide de una hoja x2 ` y 2 ´ z 2 “ 1 en R3 Y Π8 (el espacio euclidiano extendido). Las ideas esenciales las retomamos de [28]. La circunferencia de radio uno se obtiene al cortar el hiperboloide con el plano z “ 0. Tomemos un punto en esa circunferencia, digamos p0, 1, 0q. Pertenece al plano y “ 1. Consideremos la intersecci´on de este plano con el hiperboloide. Es el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones x2 ` y 2 ´ z 2 “ 1 y“1 Son puntos de la forma px, 1, zq tales que x2 `1´z 2 “ 1, es decir x2 “ z 2 . Este conjunto de puntos es la uni´on de dos rectas z “ ˘x

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en el plano y “ 1. V´ease la figura 2.19.

Figura 2.19: Las rectas z “ ˘x en el plano y “ 1. Dado que el hiperboloide es sim´etrico bajo rotaciones alrededor del eje vertical, el fen´omeno que observamos en el punto p “ p0, 1, 0q sucede en cualquier otro punto de la circunferencia x2 ` y 2 “ 1 inmersa en el plano z “ 0. Se dice que el hiperboloide es una superficie doblemente reglada. El hiperboloide contiene dos familias de rectas, digamos F` y F´ . Dichas familias tienen las propiedades siguientes: 1. Si l P F` y m P F´ , entonces l X m ‰ H. 2. Si l, m P F` o l, m P F´ , entonces l X m “ H. N´otese que 1q se cumple incluso en el caso de que l y m sean paralelas en R3 , pues estamos trabajando en el espacio euclidiano extendido e incluimos los puntos al infinito. Una manera de argumentar 1q en el caso de que l y m no sean paralelas, es la siguiente: proyectemos l y m sobre el plano z “ 0. Sus im´agenes, l1 y m1

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2. El plano proyectivo real

son dos rectas tangentes a la circunferencia unitaria. Sean L y M los puntos de tangencia. Sea Q1 el punto donde se intersecan l1 y m1 . Observemos que ambas l´ıneas tienen pendientes de magnitud 1 pero de signos contrarios, esto tiene como consecuencia que las dos rectas l y m tienen la misma altura en sobre el punto Q1 y por lo tanto su intersecci´on es no vac´ıa. Para convencernos de 2q, basta tomar en cuenta que dos l´ıneas l y m pertenecen a la misma familia si y s´olo si una se obtiene rotando a la otra alrededor del eje Z. La u ´nica manera en que l X m ‰ H es que l “ m. Tenemos el siguiente: Lema 2.5 Para cada hex´ agono ABCDEF circunscrito a la circunferencia x2 ` y 2 “ 1 existen puntos A1 , B 1 , C 1 , D1 , E 1 y F 1 en el hiperboloide x2 ` y 2 ´ z 2 “ 1 tales que: i) Cada una de las rectas A1 B 1 , B 1 C 1 , C 1 D1 , D1 E 1 , E 1 F 1 y F 1 A1 est´ a contenida en el hiperboloide. ii) Las rectas A1 B 1 , C 1 D1 y E 1 F 1 pertenecen a una de las familias, mientras que las rectas B 1 C 1 , D1 E 1 y F 1 A1 pertenecen a la otra familia. iii) Cada uno de los puntos A1 , B 1 , C 1 , D1 , E 1 y F 1 se proyecta verticalmente sobre el punto correspondiente del hex´ agono ABCDEF . M´ as a´ un, las l´ıneas que unen dos puntos se proyectan en l´ıneas que unen dos puntos correspondientes. La demostraci´on no es dif´ıcil y se deja como ejercicio al lector. V´ease la figura 2.20. Teorema 2.10 Las diagonales A1 D1 , B 1 E 1 y C 1 F 1 del hex´ agono contenido en el hiperboloide son concurrentes. Demostraci´ on. Consideremos las diagonales A1 D1 y B 1 E 1 . Vamos a ver que estas rectas tienen intersecci´on no vac´ıa. A1 B 1 es una recta de una de las dos familias y D1 E 1 es una recta de la otra familia. Se intersecan en un punto. Esto quiere decir que los cuatro puntos A1 , B 1 , D1 y E 1 son coplanares.

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Figura 2.20: A partir del hex´agono en el plano construimos un hex´agono en el hiperboloide. En el espacio euclidiano extendido cuatro puntos coplanares determinan rectas que necesariamente tienen intersecci´on no vac´ıa. Entonces las l´ıneas A1 D1 y B 1 E 1 tienen intersecci´on no vac´ıa. An´alogamente podemos argumentar que A1 D1 X C 1 F 1 ‰ H y que B 1 E 1 X 1 C F 1 ‰ H. Veamos lo que tenemos: tres rectas que se intersecan de dos en dos. Si no fueran concurrentes, tendr´ıan que formar un tri´angulo. Pero en tal caso, las tres l´ıneas ser´ıan coplanares, y los seis puntos A1 B 1 C 1 D1 E 1 F 1 ser´ıan coplanares, lo cual entra en contradicci´on con la construcci´on de dicho hex´agono generalizado. La u ´nica posibilidad es que las tres l´ıneas A1 D1 , B 1 E 1 y C 1 F 1 sean concurrentes. 

Corolario 2.1 (Teorema de Brianchon) Las rectas AD, BE y CF son concurrentes. V´ease la figura 2.21.

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2. El plano proyectivo real

Demostraci´ on. Basta proyectar en la direcci´on vertical las rectas A1 D1 , B 1 E 1 y C 1 F 1 sobre el plano z “ 0. Sus im´agenes son las rectas AD, BE y CF . El punto donde concurren las rectas en el espacio se proyecta sobre un punto en el cual concurren las rectas en el plano. 

Figura 2.21: El hiperboloide y el teorema de Brianchon.

2.6.4.

El teorema de Pascal

En esta secci´on veremos una demostraci´on ’tridimensional’ del teorema de Pascal, en ella retomamos ideas del Proyecto Descartes [1]. En ´el se hace referencia a este resultado como ’el teorema de Pappus-Pascal-Dandelin’. Recordemos el enunciado: Los puntos donde se intersecan los lados opuestos de un hex´ agono inscrito en una circunferencia, son colineales. Demostraci´ on. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que la circunferencia en la que est´a inscrito el hex´agono es la circunferencia unitaria x2 ` y 2 “ 1, la cual est´a en el plano z “ 0 en el espacio euclidano extendido. Sea AP BRCQ un hex´agono cuyos v´ertices est´an en dicha circunferencia.

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´ nicas 2.6. Co

Queremos ver que los puntos donde se intersecan los lados opuestos, son colineales. Los puntos a los cuales nos referimos son: X “ AP X RC Y “ P B X CQ Z “ BR X QA Digamos que las coordenadas de los v´ertices del hex´agono son las siguientes: A “ pcosptA q, senptA q, 0q B “ pcosptB q, senptB q, 0q C “ pcosptC q, senptC q, 0q P “ pcosptP q, senptP q, 0q Q “ pcosptQ q, senptQ q, 0q R “ pcosptR q, senptR q, 0q Consideremos las tres l´ıneas a, b y c tales que pasan por A, B y C respectivamente, y adem´as tienen el vector de direcci´on uA “ p´senptA q, cosptA q, 1q uB “ p´senptB q, cosptB q, 1q uC “ p´senptC q, cosptC q, 1q Consideremos las tres l´ıneas p, q y r tales que pasan por P , Q y R respectivamente, y adem´as tienen el vector de direcci´on vP “ p´senptP q, cosptP q, ´1q vQ “ p´senptQ q, cosptQ q, ´1q vR “ p´senptR q, cosptR q, ´1q V´eanse las figuras 2.22 y 2.23. Es claro que cada una de las l´ıneas a, b y c tienen intersecci´on no vac´ıa con cada una de las l´ıneas p, q y r.

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.22: Tenemos dos familias de l´ıneas que se intersecan

Figura 2.23: Vista de las l´ıneas a, b c, p, q y r desde el eje z.

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´ n a la geometr´ıa algebraica 2.7. Introduccio

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Ejercicio: encuentre las coordenadas del punto donde se intersecan las l´ıneas a y r. Sea π el plano determinado por los tres puntos a X r, b X q y c X p. Veamos que Z “ AQ X BR pertenece a este plano. La l´ınea AQ est´a contenida en el plano πaq que contiene a las l´ıneas a y q pues A, Q y el punto donde se intersecan a y q forman un tri´angulo. La l´ınea BR est´a contenida en el plano πbr que contiene a las l´ıneas b y r pues B, R y el punto donde se intersecan b y r forman un tri´angulo. El punto Z “ AQ X BR est´a contenido en la intersecci´on de los planos πaq X πbr . Dichos planos se intersecan en una l´ınea que pasa por los puntos a X r y b X q. De aqu´ı se sigue que Z P π. An´alogamente X e Y tambi´en pertenecen al plano π. Pero por otra parte X, Y y Z pertenecen al plano z “ 0. Estos dos planos se intersecan en una l´ınea. Esto quiere decir que los tres puntos X, Y Z son colineales. 

2.7.

Introducci´ on a la geometr´ıa algebraica

En esta secci´on nos proponemos proporcionar al lector un primer acercamiento a la geometr´ıa algebraica, en dos de sus vertientes, la real y la compleja. En el caso de la geometr´ıa algebraica real elegimos presentar un problema abierto, el cual no es dif´ıcil de entender y muestra horizontes de investigaci´on en los que se est´a trabajando con herramientas m´as avanzadas. En el caso de la geometr´ıa algebraica compleja elegimos comentar algunas diferencias entre el caso complejo y el real al trabajar con las c´onicas. Para finalizar presentamos un resultado cl´asico, el teorema de B´ezout.

2.7.1.

Curvas algebraicas reales

Definici´ on 2.16 Una curva algebraica real y plana de grado n es el conjunto de ceros en RP 2 de un polinomio real homog´eneo en tres variables, f px, y, zq. Sea rx0 : y0 : z0 s P RP 2 un cero del polinomio. Diremos que es un punto singular real de la curva si px0 , y0 , z0 q es un punto cr´ıtico del polinomio f . Se dice que la curva es no singular si no tiene puntos singulares

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2. El plano proyectivo real

reales. Definici´ on 2.17 Sea C una curva conexa en RP 2 . Decimos que C es una pseudol´ınea si su complemento es conexo. En caso de que el complemento de C tenga dos componentes conexas, diremos que C es un ´ ovalo. Veamos algunos ejemplos. f0 px, y, zq “ x ` y ´ z.

Es una pseudol´ınea, y no tiene puntos singulares.

f1 px, y, zq “ x2 ` y 2 ´ z 2 .

Es un ´ovalo, y tampoco tiene puntos singulares.

f2 px, y, zq “ x3 ´ yz 2 . Es una pseudol´ınea que tiene un punto singular en r0 : 1 : 0s, como se puede verificar evaluando el gradiente 5f2 px, y, zq “ p3x2 , ´z 2 , ´2yzq. f3 px, y, zq “ x3 ´ xz 2 ´ y 2 z.

Es la uni´on de una pseudol´ınea y un ´ovalo.

f4 px, y, zq “ px2 ` y 2 ´ z 2 qpx2 ` y 2 ´ 4z 2 q. Es la uni´on de dos ´ovalos. Este ejemplo sirve para mostrar que una misma curva puede tener comportamientos diferentes en el plano proyectivo real y complejo. Se puede ver que f4 “ 0 no tiene puntos singulares en RP 2 , pero en cambio, el punto r1 : i : 0s es un punto singular de la curva definida por el mismo polinomio en CP 2 . Un problema abierto Se saben bastantes resultados parciales sobre cu´antos ´ovalos y pseudol´ıneas puede tener una curva algebraica real (no singular): desigualdades, ejemplos y prohibiciones, pero el problema de describir exactamente cu´antas posibilidades hay en cuanto al n´ umero de ´ovalos y sus posiciones relativas de unos con respecto de otros, as´ı como con las posibles pseudol´ıneas, est´a lejos de ser resuelto. Para saber m´as al respecto una referencia son las notas de Oleg Viro [53], las cuales se pueden consultar en su p´agina de internet. Su estudio sistem´atico rebasa el alcance de este libro, por ahora solamente se˜ nalamos que existe investigaci´on actual sobre este problema.

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´ n a la geometr´ıa algebraica 2.7. Introduccio

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Figura 2.24: f3 px, y, 1q “ x3 ´ xz 2 ´ y 2 “ 0

Figura 2.25: f4 px, y, 1q “ px2 ` y 2 ´ 1qpx2 ` y 2 ´ 4q “ 0

2.7.2.

Curvas algebraicas complejas

El plano proyectivo complejo En C3 ztp0, 0, 0qu definamos la siguiente relaci´on de equivalencia: pz1 , z2 , z3 q „ pw1 , w2 , w3 q si y s´olo si existe un n´ umero complejo λ ‰ 0 tal que pw1 , w2 , w3 q “ λpz1 , z2 , z3 q Al conjunto de clases de equivalencia lo denotaremos por CP 2 . Este es el plano proyectivo complejo. A la clase de equivalencia de un punto pz1 , z2 , z3 q ‰ p0, 0, 0q la denotaremos por rz1 : z2 : z3 s.

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2. El plano proyectivo real

C´ onicas en CP 2 En esta parte comentaremos algunas de las diferencias que aparecen al estudiar las c´onicas en CP 2 en vez de en RP 2 . Todas las circunferencias tienen un punto en com´ un . En R2 la ecuaci´on general de una circunferencia es de la forma x2 ` y 2 ` dx ` ey ` f “ 0 En RP 2 la ecuaci´on de una circunferencia tiene la forma x2 ` y 2 ` dxz ` eyz ` f z 2 “ 0 (Donde las variables y los coeficientes son reales). Convengamos en que el subconjunto de CP 2 dado por las soluciones de una ecuaci´on de la misma forma x2 ` y 2 ` dxz ` eyz ` f z 2 “ 0 Donde las variables y los coeficientes son complejos, sea una circunferencia. Pues bien, sean cuales sean los coeficientes d, e, f , los puntos r1 : i : 0s y r1 : ´i : 0s son soluciones de esta ecuaci´on. A estos puntos se les llama puntos circulares. V´ease [14].

2.7.3.

El teorema de B´ ezout

El teorema de B´ezout afirma que si dos curvas algebraicas C y D en CP 2 no tienen componentes comunes, entonces se intersecan en a lo m´as nm puntos, siendo n y m los grados de C y D respectivamente. De hecho, contando multiplicidades, el n´ umero es exactamente nm. Es un teorema cl´asico, y existen varias demostraciones (v´eanse, por ejemplo, [10], [31], [22], [30], [19]). Sin embargo, aqu´ı solamente daremos algunas ideas e introduciremos algunos conceptos clave para guiar una demostraci´on, la cual dejamos pendiente para un curso m´as avanzado.

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Proyecci´ on sobre una l´ınea desde un punto Sea l una l´ınea en CP 2 . Sea S un punto que no pertenece a l. Sea Q un punto distinto de S. Sea Ql el punto donde la l´ınea SQ interseca a la l´ınea l. En el caso particular de que S “ r0 : 0 : 1s, y l sea la l´ınea z “ 0, entonces la regla de correspondencia es la siguiente: Sea Q “ ra : b : cs. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la l´ınea SQ? La l´ınea tiene una ecuaci´on de la forma a0 x ` b0 y ` c0 z “ 0 Como debe pasar por S entonces c0 “ 0. Se puede ver que la l´ınea bx ´ ay “ 0 pasa por S y por Q. Esta l´ınea interseca a la l´ınea z “ 0 en el punto Ql “ ra : b : 0s. Sean F y G dos polinomios homog´eneos en tres variables. Sin p´erdida de generalidad podemos escribirlos como: F px, y, zq “ F0 px, yqz m ` ¨ ¨ ¨ ` Fm px, yq Gpx, y, zq “ G0 px, yqz n ` ¨ ¨ ¨ ` Gn px, yq Donde Fi , Gj son polinomios homog´eneos de grados i, j respectivamente. Sea Q “ rx0 : y0 : z0 s un punto en la intersecci´on de las curvas definidas por F y G. Esto quiere decir que F px0 , y0 , z0 q “ 0 y Gpx0 , y0 , z0 q “ 0 simult´aneamente. Proyectemos Q sobre la l´ınea z “ 0. V´ease la figura 2.26. Su imagen es Ql “ rx0 : y0 : 0s Ahora pensemos en los polinomios de una variable f pzq “ F px0 , y0 , zq y gpzq “ Gpx0 , y0 , zq. z0 viene a ser una ra´ız com´ un de f y g. Podemos tratar de realizar el razonamiento de regreso. Tomemos un punto P “ rx0 : y0 : 0s P l. Tracemos la l´ınea SP . Para que P sea la imagen de un punto P 1 en el cual se intersequen las curvas F “ 0

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2. El plano proyectivo real

y G “ 0, se necesita que los polinomios f y g tengan una ra´ız com´ un z0 . Esto quiere decir que, en el caso en el cual las curvas se intersecan transversalmente el problema de contar el n´ umero de puntos donde se intersecan las curvas F “ 0 y G “ 0 se traduce en el problema de contar el n´ umero de puntos en la l´ınea l para los cuales los polinomios f y g tengan una ra´ız com´ un. Ahora bien, existe una herramienta para decir si dos polinomios de una variable tienen una ra´ız com´ un o no. Es el resultante de los dos polinomios.

Figura 2.26: Eligiendo adecuadamente el punto desde el cual proyectar, los puntos donde se intersecan dos curvas est´an en correspondencia biun´ıvoca con sus proyecciones sobre una l´ınea apropiada.

El resultante de dos polinomios Sean f y g dos polinomios en una variable. f ptq “ a0 ` a1 t ` a2 t2 ` ¨ ¨ ¨ ` an tn gptq “ b0 ` b1 t ` b2 t2 ` ¨ ¨ ¨ ` bm tm

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´ n a la geometr´ıa algebraica 2.7. Introduccio

Definici´ on 2.18 El resultante de f y g es el de pn ` mq ˆ pn ` mq ¨ a0 a1 ¨ ¨ ¨ an 0 0 ˚ 0 a0 ¨ ¨ ¨ an´1 a 0 n ˚ ˚ .. .. .. .. .. .. ˚ . . . . . . ˚ ˚ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 a a 0 1 ˚ ˚ b0 b1 b2 ¨ ¨ ¨ b b m´1 m ˚ ˚ 0 b0 b1 b2 ¨ ¨ ¨ bm´1 ˚ ˚ . . . . .. .. .. .. .. ˝ .. . . 0 ¨ ¨ ¨ b0 b1 b2 b3

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determinante de la matriz 0 0 .. .

¨¨¨ ¨¨¨ .. .

0 0 .. .

¨¨¨ 0 bm .. .

¨¨¨ ¨¨¨ 0 .. .

an 0 ¨¨¨ .. .

¨¨¨

¨¨¨

bm

˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚

Cuyos primeros m renglones tienen los coeficientes de f y ceros, y cuyos u ´ltimos n renglones tienen los coeficientes de g y ceros. Dicho determinante se denota por Rf,g . Ejemplos 1. Sean f ptq “ 1 ` x ` x2 y gptq “ ´1 ` x3 . ¨ 1 1 1 ˚ 0 1 1 ˚ ˚ 0 1 Rf,g “ det ˚ 0 ˝ ´1 0 0 0 ´1 0 2. Sean f ptq “ 1 ` x ` x2 y gptq “ x3 . ¨ 1 1 ˚ 0 1 ˚ Rf,g “ det ˚ ˚ 0 0 ˝ 0 0 0 0

1 1 1 0 0

0 1 1 1 0

0 1 1 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 0 1

˛ ‹ ‹ ‹“0 ‹ ‚

˛ ‹ ‹ ‹“1 ‹ ‚

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2. El plano proyectivo real

Proposici´ on 2.2 Los polinomios f y g tienen un factor com´ un no constante si y s´ olo si Rpf, gq “ 0. En la demostraci´on de esta proposici´on, utilizaremos el lema siguiente, el cual intuitivamente dice que si dos polinomios tienen un factor en com´ un, basta multiplicar cada uno por los factores que no tiene en com´ un con el otro polinomio para obtener dos polinomios iguales. (Nota: denotaremos el grado de un polinomio f por degpf q). Lema 2.6 Sea D igual a R, C, R rx, ys ´ o C rx, ys. Sean f y g polinomios con coeficientes en D. Entonces f y g tienen un factor com´ un no constante si y s´ olo si existen polinomios α y β, tales que f ¨ β “ α ¨ g, con degpαq ă degpf q y degpβq ă degpgq. Demostraci´ on.

ñ

Supongamos que f y g tienen un factor com´ un no constante h. Entonces f “ h¨α y g “ h¨β para algunos polinomios α y β tales que degpαq ă degpf q y degpβq ă degpgq. Claramente f ¨β “h¨α¨β “α¨g ð Supongamos que existen los polinomios α y β con grados menores que f y g respectivamente, y tales que f ¨ β “ α ¨ g. Salvo constantes, todos estos polinomios tienen factorizaci´on u ´nica. En particular, todos los factores de g deben ser factores de f ¨ β. Pero no puede ser que todos sean factores de β, pues entonces degpgq ď degpβq lo cual contradice la hip´otesis de que degpβq ă degpgq. Entonces al menos uno de los factores de g es un factor de f . Tienen un factor com´ un no constante h.  Terminada la demostraci´on del lema, empezamos la demostraci´on de la proposici´on. Demostraci´ on. f y g tienen un factor com´ un no constante si y s´olo si existen α y β como en el lema.

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Sean αptq “ α0 ` α1 t ` ¨ ¨ ¨ ` αn´1 tn´1 βptq “ β0 ` β1 t ` ¨ ¨ ¨ ` βm´1 tm´1 con alg´ un coeficiente αi y alg´ un coeficiente βj no cero (con i, j ‰ 0). La relaci´on f ¨ β “ α ¨ g se cumple si y s´olo si se cumple el sistema de ecuaciones a0 β0 “ b0 α0 a1 β0 ` a0 β1 “ b1 α0 ` b0 α1 ¨¨¨ “ ¨¨¨ an βm´1 “ bm αn´1 Estas ecuaciones se obtienen desarrollando los productos e igualando t´erminos de igual grado. Ahora bien, los polinomios α y β son no constantes si y s´olo si este sistema de m ` n ecuaciones tiene soluci´on no trivial para los n ` m coeficientes de α y β. Es claro que el vector de n ` m ceros es una soluci´on de este sistema de ecuaciones. La condici´on que buscamos es la existencia de una soluci´on no trivial del sistema de ecuaciones anterior. Sin embargo, esto es equivalente a la existencia de una soluci´on no trivial pβ0 , β1 , ¨ ¨ ¨ , βm´1 , α0 , α1 , ¨ ¨ ¨ , αn´1 q del sistema de ecuaciones a0 β0 ` b0 α0 “ 0 a1 β0 ` a0 β1 ` b1 α0 ` b0 α1 “ 0 a2 β0 ` a1 β1 ` a2 β2 ` b2 α0 “ 0 ¨¨¨ “ ¨¨¨ an βm´1 ` bm αn´1 “ 0 (Basta multiplicar por ´1 las α’s de una soluci´on no trivial del primer sistema de ecuaciones para obtener una soluci´on no trivial del segundo sistema de ecuaciones, y viceversa).

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2. El plano proyectivo real

Ahora bien, un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas tiene soluci´on no trivial si y s´olo si el determinante de la matriz asociada vale cero. En este caso, el determinante de la matriz ¨ ˛ a0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 b0 0 0 0 ¨¨¨ 0 ˚ a1 a0 0 ¨ ¨ ¨ 0 b1 b0 0 0 ¨¨¨ 0 ‹ ‹ ˚ ˚ a2 a1 a0 ¨ ¨ ¨ 0 b2 b1 b0 0 ¨ ¨ ¨ 0 ‹ ‹ ˚ ˚ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ‹ ˝ . . . . . . . . . . . ‚ 0

0

0

¨¨¨

an

0

0

0

¨¨¨

0

bm

es igual a cero. El determinante de esta matriz es igual al resultante de f y g.



El discriminante Sea f ptq “ at2 ` bt ` c, con a ‰ 0. Sea gptq “ f 1 ptq “ 2at ` b. f tiene una ra´ız doble si y s´olo si su discriminante ∆pf q “ Rpf, f 1 q “ 0. La matriz resultante en este caso es » fi c b a – b 2a 0 fl 0 b 2a El determinante de esta matriz es igual a ∆pf q “ Rpf, f 1 q “ 4ac2 ´ ab2 “ ´apb2 ´ 4acq Dado que por hip´otesis a ‰ 0 tenemos que la condici´on para que f tenga una ra´ız doble es que b2 ´ 4ac “ 0. Proposici´ on 2.3 Sean F y G dos polinomios homog´eneos en tres variables, con coeficientes en K “ R ´ o C. Expres´emoslos como polinomios en z con coeficientes en K rx, ys. F px, y, zq “ An ` An´1 z ` ¨ ¨ ¨ ` A0 z n Gpx, y, zq “ Bm ` Bm´1 z ` ¨ ¨ ¨ ` B0 z m

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con Ak y Bk polinomios homog´eneos de grado k en las variables x e y con coeficientes en K, y adem´ as A0 y B0 no nulos. Entonces el resultante RpF, Gq con respecto a z tiene que ser, o bien un polinomio homog´eneo de grado nm en las variables x e y, o bien id´enticamente cero. Esta proposici´on ya no la demostraremos, pero la utilizaremos considerando que el enunciado no es dif´ıcil de comprender. El polinomio R es de la forma r0 xmn ` r1 xmn´1 y ` r2 xnm´2 y 2 ` ¨ ¨ ¨ ` rmn´1 xy mn´1 ` rmn y mn El conjunto de ceros de este polinomio homog´eneo en C2 define un conjunto finito de puntos en CP 2 . A menos que uno de esos puntos sea r0 : 1s, podemos dividir entre x sin perder soluciones. Supongamos que ´este es el caso. Dividiendo entre xmn queda una funci´on racional que se puede expresar como un polinomio r en una variable t “ xy . r0 ` r1 ¨

´ y ¯2 ´ y ¯mn y ` r2 ¨ ` ¨ ¨ ¨ ` rmn “ r0 ` r1 t ` r2 t2 ` ¨ ¨ ¨ ` rmn tmn x x x

El problema de contar las intersecciones de las curvas dadas por F px, y, zq “ 0,

Gpx, y, zq “ 0

en CP 2 se lleva al problema de contar las ra´ıces del este polinomio R en CP 1 , y mediante la nueva variable t “ xy este problema es el de contar las ra´ıces complejas de un polinomio en la variable t. Un ejemplo Consideremos las curvas dadas por F px, y, zq “ x2 ` y 2 ´ 9z 2 “ 0 Gpx, y, zq “ x2 ´ 4z 2 ´ yz “ 0

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2. El plano proyectivo real

Figura 2.27: Para visualizar las curvas F px, y, zq “ 0, Gpx, y, zq “ 0 usamos la parametrizaci´on px, yq ÞÑ rx : y : 1s. N´otese que p0, 0q ÞÑ S “ r0 : 0 : 1s y que la l´ınea z “ 0 viene a ser la l´ınea al infinito. Veamos estas curvas como polinomios en z f pzq “ A0 ` A1 z ` A2 z 2 gpzq “ B0 ` B1 z ` B2 z 2 donde A0 “ x 2 ` y 2 ,

A1 ” 0,

A2 ” ´9,

B0 “ x2 ,

Para calcular el resultante identificamos la ¨ A0 A1 A2 0 ˚ 0 A0 A1 A2 ˚ ˝ B0 B1 B2 0 0 B0 B1 B2

B1 “ ´y,

B2 ” ´4

matriz resultante ˛ ‹ ‹ ‚

Considerando que A1 ” 0, el determinante se reduce a Rpf, gq “ A20 B22 ` A0 A2 B12 ´ 2A0 A2 B0 B2 ` A22 B02

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´ n a la geometr´ıa algebraica 2.7. Introduccio

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Sustituyendo y simplificando queda R “ 16px2 ` y 2 q2 ´ 9y 2 px2 ` y 2 q ´ 72x2 px2 ` y 2 q ` 81x4 Dividiendo entre x4 y sustituyendo t “

y x

queda

rptq “ 16p1 ` t2 q2 ´ 9t2 p1 ` t2 q ´ 72p1 ` t2 q ` 81 Se puede ver que este polinomio tiene cuatro ra´ıces reales distintas. V´ease la figura 2.28.

Figura 2.28: Gr´afica del polinomio rptq. Las ra´ıces de este polinomio son las pendientes de las rectas que unen el origen con los puntos de intersecciones de las curvas de la figura anterior. Finalmente enunciaremos una versi´on del teorema de B´ezout: Teorema 2.11 Sean C y D dos curvas algebraicas en CP 2 , sin componentes comunes. El n´ umero de puntos en los que se intersecan es menor o igual que nm, siendo n y m los grados de C y D respectivamente.

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2.8.

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2. El plano proyectivo real

Ejercicios

1. Sobre las parametrizaciones locales definidas en la secci´on 2.1 de RP 1 . ¿Cu´al es el dominio natural de la funci´on ψ ´1 ˝φ ? ¿Cu´al es su imagen? ¿Es invertible? ¿Cu´al es su inversa? 2. Interpretando la l´ınea proyectiva real como el haz de l´ıneas que pasan por el origen e R2 , podemos definir la distancia entre dos puntos rx0 : y0 s y rx1 : y1 s de RP 1 como la medida en radianes del ´angulo m´as chico que forman las l´ıneas generadas por los vectores px0 , y0 q y px1 , y1 q. ¿Cu´al es valor m´aximo que toma esta funci´on distancia entre dos puntos de RP 1 ? 3. Construir con regla una proyectividad (en el sentido de la definici´on del cap´ıtulo anterior) tal que geom´etricamente se comporte como una dilataci´on. Lo mismo para una traslaci´on y para una involuci´on. 4. Cualquier funci´on RP 1 Ñ RP 1 dada por rx : ys ÞÑ rax ` by : cx ` dys para alguna matriz invertible ˆ A“

a b c d

˙

puede verse como composici´on de las tres funciones anteriores (dilataciones, traslaciones e involuciones). 5. Compruebe que la matriz 1 A“ x1 ´ x3

ˆ

px1 ´ x2 qx3 px2 ´ x3 qx1 x1 ´ x2 x2 ´ x3

˙

induce una transformaci´on T A tal que rx1 : 1s ÞÑ r0 : 1s rx2 : 1s ÞÑ r1 : 1s rx3 : 1s ÞÑ r1 : 0s

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2.8. Ejercicios

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6. Completar la demostraci´on alternativa del teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva para ternas de puntos colineales para el caso en el cual alguno de los puntos es 8. 7. Sobre las parametrizaciones locales de RP 2 . Describa expl´ıcitamente los dominios de las funciones de cambio de coordenadas φj ˝ φ´1 i para todas las i ‰ j. 8. Describa expl´ıcitamente las reglas de correspondencia de las funciones ´1 de cambio de coordenadas de RP 2 , φ1 ˝ φ´1 3 y φ1 ˝ φ2 . 9. Compruebe que la funci´on φ3 : R2 Y l8 Ñ RP 2 definida en la secci´on 2.3.2, es biyectiva. M´as a´ un, compruebe que: a) La imagen, bajo φ3 , de la l´ınea al infinito l8 , es la l´ınea dada por la ecuaci´on z “ 0. b) La imagen, bajo φ3 , de una l´ınea de la forma l Y trlsu (donde l Ă R2 est´a dada por la ecuaci´on ax ` by ` c “ 0), es la l´ınea dada por la ecuaci´on ax ` by ` cz “ 0. 10. Demuestre que con la definici´on de l´ınea dada para el espacio cociente de la esfera en el cual se identifican puntos ant´ıpodas. i) Cualesquiera dos l´ıneas distintas se intersecan en un solo punto del espacio cociente. ii) Por cualesquiera dos puntos distintos del espacio cociente pasa una sola l´ınea. 11. Demostrar el teorema fundamental en su versi´on 4 en 4 traduci´endolo en un problema de sistema de ecuaciones lineales. 12. Demuestre anal´ıticamente el rec´ıproco del teorema de Desargues. 13. Compruebe num´ericamente el lema de cambio de representantes usado en la demostraci´on del teorema de Desargues cuando U “ r0 : 0 : 1s, A “ r1 : 0 : 1s y A1 “ r10 : 0 : 1s

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2. El plano proyectivo real

14. En R2 Y l8 considere una proyectividad f : l1 Ñ l2 donde l1 sea el eje X y l2 sea el eje Y . Salvo contadas excepciones, la regla de correspondencia es la siguiente: a cada punto px, 0q le corresponde un punto p0, f pxqq con ax ` b f pxq “ cx ` d i) Encuentre la ecuaci´on del eje de perspectividad cuando f p0q “ 0. Compruebe su resultado con la funci´on f pxq “ 2x. ii) Encuentre la ecuaci´on del eje de perspectividad cuando f p0q ‰ 0. Compruebe su resultado con las funciones f pxq “ x ` 1 y f pxq “ 1 x. iii) Pruebe anal´ıticamente que el eje de perspectividad tiene la propiedad siguiente: ’Para cualesquiera dos puntos P y Q en l1 , las l´ıneas que unen P con f pP q y Q con f pQq se intersecan en un punto que pertenece al eje de perspectividad.’ iii) ¿Puede utilizar este resultado para mostrar la propiedad anterior cuando l1 y l2 son dos rectas cualesquiera? 15. Deduzca la regla de correspondencia de las funciones de cambios de 3 coordenadas φ´1 j ˝ φi para RP . Indique el dominio de cada uno de ellas. 16. (Teorema de Menelao). Sean P “ r0 : p : 1s, Q “ r1 : 0 : qs y R “ rr : 1 : 0s con p, q, r ‰ 0. Mostrar que P , Q y R son colineales si y s´olo si pqr “ ´1. 17. (Teorema de Ceva). Dualice el enunciado y la demostraci´on del ejercicio anterior. 18. Sea A una matriz invertible de 2 ˆ 2 con coeficientes reales. Sean b y c dos vectores constantes en R2 . Sea δ un n´ umero real. Sea x un vector variable en R2 . Considere la regla de correspondencia x ÞÑ P pxq “

Ax ` b xc, xy ` δ

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2.8. Ejercicios

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a) Muestre que el dominio natural es R2 menos una l´ınea recta. b) ¿Es P invertible? ¿Cu´al ser´ıa el dominio natural de la inversa? c) ¿Falso o verdadero? P lleva l´ıneas en l´ıneas. Justifique su respuesta. d ) ¿Se podr´a extender P a una transformaci´on proyectiva de RP 2 Ñ RP 2 ? En caso de que s´ı, ¿c´omo? e) ¿Y si A es de 3 ˆ 3 con b y c en R3 ? ¿Obtendremos transformaciones proyectivas RP 3 Ñ RP 3 ? 19. Diga si la siguiente afirmaci´on es falsa o verdadera: Para cualquier cuadr´ angulo ABCD existe una transformaci´ on P como en el ejercicio anterior, tal que lleva al cuadrado unitario en el cuadr´ angulo ABCD. En caso de que sea falsa, muestre un ejemplo de un cuadr´angulo para el cual no se cumpla la afirmaci´on. En caso de que sea verdadera, justifique su respuesta. 20. Considere tres vectores u, a y a1 , los cuales son distintos de cero y coplanares en R3 . Sean U , A y A1 los puntos del plano proyectivo real cuyas coordenadas homog´eneas tienen los mismos n´ umeros que u, a y a1 . Considere la construcci´on siguiente: a) Trace la l´ınea paralela al vector a que pasa por el punto u. Sea b1 el punto donde esta paralela interseca a la recta generada por a1 . El punto b1 nos da otro representante de A1 . b) Trace la paralela al vector u que pasa por el punto a2 . Sea b el punto donde esta recta interseca a la recta generada por a. El punto b nos da otro representante de A. ¿Esto da otra demostraci´on del lema 4? Justifique su respuesta. 21. D´e la ecuaci´on de la l´ınea del plano proyectivo real que une los puntos r1 : 1 : 1s y r1 : ´1 : 0s. ¿En qu´e punto interseca a la l´ınea x “ 0? 22. D´e las coordenadas homog´eneas del punto D que sea conjugado arm´onico del punto C “ rx1 : x2 : 0s con respecto a los puntos A “ r1 : 0 : 0s y B “ r0 : 1 : 0s.

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2. El plano proyectivo real

23. Sean l, m y n las l´ıneas dadas por ecuaciones a1 x ` a2 y ` a3 z “ 0 b1 x ` b2 y ` b3 z “ 0 pa1 ` b1 qx ` pa2 ` b2 qy ` pa3 ` b3 qz “ 0 Muestre que la l´ınea conjugada arm´onica de n con respecto a l y m tiene por ecuaci´on pa1 ´ b1 qx ` pa2 ´ b2 qy ` pa3 ´ b3 qz “ 0 24. En el caso de la l´ınea polar de un punto P “ pa, bq con respecto a la circunferencia unitaria x2 ` y 2 “ 1 se tiene la f´ormula ax ` by “ 1. Deduzca cu´al es la f´ormula de la l´ınea polar de un punto P “ pa, bq con respecto a: i) La circunferencia x2 ` y 2 “ r2 . ii) La hip´erbola equil´atera x2 ´ y 2 “ 1. iii) La elipse

x2 a2

`

y2 b2

“ 1.

iv) La hip´erbola xy “ 1. 25. En el texto se dio una definici´on de l´ınea polar de un punto con respecto a una circunferencia unitaria en el plano euclidiano extendido. Enuncie la definici´on an´aloga de plano polar de un punto con respecto a la esfera unitaria en el espacio euclidiano extendido. Muestre que nos da una correspondencia puntos

Ø

planos

en la cual se preservan las relaciones de incidencia, lo cual da como resultado extra una correspondencia lineas

Ø

lineas

26. ¿Se puede usar la definici´on del ejercicio anterior para estudiar el principio de dualidad en el espacio euclidiano extendido?

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2.8. Ejercicios

27. ¿C´omo se puede definir el plano polar de un punto con respecto a una c´onica? Piense en los ejemplos siguientes: i) El hiperboloide ’de una hoja’ x2 ` y 2 ´ z 2 “ 1 ii) El hiperboloide ’de dos hojas’ x2 ´ y 2 ´ z 2 “ 1 iii) El elipsoide

x2 a2

`

y2 b2

`

z2 c2

“1

¿Qu´e pasa con los puntos al infinito? 28. Encuentre el error en el razonamiento siguiente, considerando que estamos trabajando en el plano euclidiano extendido: Una hip´erbola no puede ser proyectivamente equivalente a una circunferencia porque la hip´erbola es disconexa y la circunferencia es conexa. 29. Muestre que la c´onica y 2 ´ xz “ 0 contiene a los puntos r0 : 0 : 1s, r1 : 0 : 0s y r1 : 1 : 1s, que no contiene al punto r0 : 1 : 0s, pero que, sin embargo ´este u ´ltimo punto est´a en la intersecci´on de las tangentes a la c´onica en el primer par de los puntos antes indicados. 30. Utilice el ejercicio anterior para mostrar que el problema de encontrar una transformaci´on proyectiva que lleve una c´onica no singular C a la c´onica y 2 ´ xz “ 0 se puede replantear en los t´erminos siguientes: si la c´onica C pasa por tres puntos P , Q, R en posici´on general y se sabe un cuarto punto S elegido convenientemente, la transformaci´on que lleva el cuadr´angulo de referencia en el cuadr´angulo P QRS ser´ıa la transformaci´on buscada. Diga c´omo se debe elegir al punto S. 31. Compruebe que su m´etodo funciona aplic´andolo para encontrar una transformaci´on proyectiva que lleve la c´onica x2 ´ y 2 ´ z 2 “ 0 en la c´onica y 2 ´ xz “ 0. 32. Encuentre las coordenadas del punto en R3 Yπ8 en el cual se intersecan las l´ıneas a y r mencionadas en la demostraci´on del teorema de Pascal. 33. Utilice Geogebra para visualizar paso a paso la demostraci´on tridimensional del teorema de Pascal.

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2. El plano proyectivo real

34. Demuestre el lema del hex´agono A1 B 1 C 1 D1 E 1 F 1 utilizado en la demostraci´on del teorema de Brianchon. 35. Sean f ptq “ t3 ` 4t ´ 1 y gptq “ 2t2 ` 3t ` 7. Muestre que sobre C el resultante de f y g es no cero, y por lo tanto f y g no tienen ra´ıces comunes. Muestre que sobre Z3 el resultante vale cero, encuentre la ra´ız com´ un. (Recuerde que 7 – 4 – 1mod3 y que 3 – 0mod3). 36. Muestre que el polinomio c´ ubico t3 ` at ` b tiene discriminante ∆ “ 4a3 ` 27b2 .

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Cap´ıtulo 3

Planos proyectivos abstractos 3.1.

Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

En este cap´ıtulo introduciremos el concepto de plano proyectivo desde una perspectiva axiom´atica. Trataremos de seguir el enfoque de R. Hartshorne [25], por su sencillez y claridad. Despu´es nos concentraremos en los planos proyectivos finitos, los cuales han resultado especialmente fruct´ıferos en aplicaciones de la geometr´ıa proyectiva (v´ease tambi´en [6]). De los planos proyectivos finitos examinaremos con detalle los que se construyen a partir de los campos finitos de dos, tres y cuatro elementos. El plano proyectivo correspondiente al campo finito con cinco elementos se puede ver en detalle en el libro de Coxeter [16]. Como referencia para un estudio m´as general de los planos proyectivos construidos a partir de un campo recomendamos el texto de Cass´e [14].

3.1.1.

Planos afines

Definici´ on 3.1 Un plano af´ın es un conjunto π, cuyos elementos llamaremos puntos, junto con una familia de subconjuntos, a los cuales llamaremos l´ıneas, tales que satisfacen los axiomas siguientes: 165

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3. Planos proyectivos abstractos

1. Dados dos puntos P y Q, existe una u ´nica l´ınea que contiene a P y a Q. (Es posible que dos l´ıneas no tengan puntos en com´ un. Diremos que son paralelas). 2. Dada una l´ınea l y un punto P , existe una u ´nica l´ınea m tal que es paralela a l y pasa por P . (Hagamos la convenci´ on de que una l´ınea es paralela a s´ı misma, esto permitir´ a que la relaci´ on de paralelismo sea una relaci´ on de equivalencia). 3. Existen al menos tres puntos no colineales. Ejemplos. 1. R2 junto con las l´ıneas dadas por ecuaciones de la forma ax`by`c “ 0 es un plano af´ın. 2. C2 junto con las l´ıneas dadas por ecuaciones de la forma az`bw`c “ 0 es un plano af´ın. 3. El conjunto de cuatro puntos A “ p0, 0q, B “ p1, 0q, C “ p0, 1q y D “ p1, 1q, el cual tiene por l´ıneas a los subconjuntos tA, Bu, tA, Cu, tA, Du, tB, Cu, tB, Du y tC, Du es un plano af´ın. Figura 3.1. Con la definici´on que hemos dado, un plano af´ın puede ser finito.

3.1.2.

Completaci´ on de un plano af´ın

Definici´ on 3.2 Dado un punto P , el conjunto de l´ıneas que pasan por P es llamado el haz de l´ıneas que pasan por P . Definici´ on 3.3 Dada una l´ınea l, el conjunto de las l´ıneas que son paralelas a l es llamado el haz de l´ıneas paralelas a l. Lo denotaremos por rls, dado que es una clase de equivalencia. A esta clase de equivalencia la llamaremos el punto al infinito en la direcci´ on de l.

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3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

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Figura 3.1: Un plano af´ın con cuatro puntos y seis l´ıneas. Completaci´ on de un plano af´ın. Sea A un plano af´ın con una familia de l´ıneas LA . La completaci´on de A es un conjunto S que tiene por puntos a: i) Los puntos de A. ii) Los puntos al infinito determinados por cada una de las l´ıneas de A. En S tambi´en definimos una familia de l´ıneas LS . En S hay dos tipos de l´ıneas: i) Las l´ıneas extendidas l Y rls con l P LA . ii) La l´ınea al infinito l8 cuyos elementos son todos los puntos al infinito de l´ıneas l P LA . Ejemplo: En el caso del plano af´ın con cuatro puntos las seis l´ıneas se agrupan en tres parejas de l´ıneas paralelas: 1. Las l´ıneas ’horizontales’ AB y CD. Sea H el punto al infinito en la direcci´on horizontal.

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3. Planos proyectivos abstractos

2. Las l´ıneas ’verticales’ AC y BD, Sea V el punto al infinito en la direcci´on vertical. 3. Las l´ıneas ’inclinadas’ AD y BC. Sea X el punto al infinito en la direcci´on de AD (que es la misma que la de BC). Los puntos de S ser´an siete: A, B, C, D, H, V y X. Las l´ıneas de S tambi´en ser´an siete: 1. La l´ınea cuyos puntos son A, B, H. 2. La l´ınea cuyos puntos son B, D, H. 3. La l´ınea cuyos puntos son A, C, V . 4. La l´ınea cuyos puntos son B, D, V . 5. La l´ınea cuyos puntos son A, D, X. 6. La l´ınea cuyos puntos son B, C, X. 7. La l´ınea cuyos puntos son H, V , X. La u ´ltima es la l´ınea al infinito de nuestro plano af´ın.

3.1.3.

Planos proyectivos

Recordemos la definici´on que dimos de plano proyectivo en el primer cap´ıtulo. Definici´ on 3.4 Un plano proyectivo π es un conjunto, cuyos elementos llamaremos puntos, junto con una familia de subconjuntos, a los cuales llamaremos l´ıneas, que cumplen los axiomas siguientes: 1. Para cualesquiera dos puntos distintos, existe una u ´nica l´ınea que los contiene. 2. Cualesquiera dos l´ıneas distintas se intersecan en un u ´nico punto.

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3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

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3. Existen al menos tres puntos no colineales. 4. Toda l´ınea contiene al menos tres puntos. Ejercicio: Si S es la completaci´on de un plano af´ın, entonces S es un plano proyectivo. Definici´ on 3.5 Dos planos proyectivos π1 y π2 son isomorfos si existe una transformaci´ on biyectiva T : π1 Ñ π2 tal que env´ıa puntos colineales en puntos colineales. A dicha transformaci´ on le llamaremos colineaci´ on. Los tres modelos del plano proyectivo real son isomorfos, es decir, desde el punto de vista de la geometr´ıa proyectiva, son equivalentes. Hagamos la convenci´on de denominar plano proyectivo algebraico definido sobre un campo K al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensi´on 3 sobre dicho campo K. Todo plano proyectivo algebraico definido sobre un campo es un plano proyectivo en el sentido de la definici´on 3.4, pero no al rev´es. La existencia de ejemplos no algebraicos est´a relacionada con los teoremas de Pappus y Desargues. Todos los planos proyectivos algebraicos satisfacen ambos teoremas. Resulta que no son equivalentes, y que hay ejemplos de planos proyectivos que no satisfacen ninguno de los dos teoremas. Un plano proyectivo en el que se verifica el teorema de Desargues se llama desarguesiano, y un plano proyectivo en el que se cumpla el teorema de Pappus, pappiano. Se pueden construir planos proyectivos a partir de estructuras algebraicas como anillos de divisi´on. Su estudio rebasa el alcance de este trabajo. Sugerimos al lector leer tambi´en el libro del profesor Carlos Torres [51]. A continuaci´on veremos un ejemplo de un plano proyectivo no desarguesiano, el cual es conocido como el plano de Moulton. V´ease tambi´en [14], [6], [52] y [36].

3.1.4.

Un plano proyectivo no desarguesiano

Sea π el conjunto cuyos puntos son los del plano euclideano extendido. Definamos el conjunto de las l´ıneas de π como la familia de subconjuntos de π en la cual est´an:

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3. Planos proyectivos abstractos

1. Los subconjuntos dados por ecuaciones de la forma x “ h junto con los puntos al infinito correspondientes. 2. Los subconjuntos dados por ecuaciones de la forma y “ k junto con los puntos al infinito correspondientes. 3. Los subconjuntos dados por ecuaciones de la forma y “ mx ` b con m negativa, junto con los puntos al infinito correspondientes. 4. La l´ınea al infinito. 5. Los subconjuntos de la forma Lm “ tpx, yq P R2 : y “ f pxqu Y tPm u donde Pm es el punto al infinito asociado a una recta de pendiente m y f pxq “ mpx ´ aq si x ě a f pxq “ 2mpx ´ aq si x ă a siendo m ą 0. Se deja como ejercicio ver que con estas definiciones de puntos y l´ıneas, ´este conjunto satisface los axiomas de plano proyectivo. V´ease la figura 3.2.

3.1.5.

Pappus ñ Desargues

Recordemos ambos teoremas: Teorema 3.1 (Pappus) Si los seis v´ertices de un hex´ agono yacen alternativamente en dos l´ıneas, entonces los tres pares de lados opuestos se intersecan en puntos colineales. Teorema 3.2 (Desargues) Sean ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 dos tri´ angulos en RP 2 . Si est´ an en perspectiva desde un punto, entonces est´ an en perspectiva desde una recta.

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3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

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Figura 3.2: Estos dos tri´angulos est´an en perspectiva desde la l´ınea al infinito pero no est´an en perspectiva desde un punto. Demostraci´ on. Empecemos por hacer un dibujo con Geogebra, de ah´ı propondremos el hex´agono y las l´ıneas a las que hace referencia el teorema de Pappus, de modo que las intersecciones de los lados opuestos del hex´agono sean precisamente los puntos donde se intersecan lados correspondientes de los tri´angulos dados en el teorema de Desargues. V´ease la figura 3.3. 1. Primero dibujemos los tri´angulos ∆ABC y ∆A1 B 1 C 1 en perspectiva desde un punto O. Como antes, sean D, E y F los puntos donde se intersecan los lados correspondientes. 2. Sea S el punto donde se intersecan AB y A1 C 1 . 3. Tracemos la l´ınea OS. Sea T el punto donde corta a la l´ınea BC. 4. Tracemos la l´ınea BC 1 . Sea U el punto donde corta a la l´ınea OA. 5. Sea V el punto donde la l´ınea OS corta a la l´ınea B 1 C 1 .

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3. Planos proyectivos abstractos

Figura 3.3: Buscamos dos l´ıneas tales que contengan tres puntos cada una y un hex´agono cuyos lados opuestos se intersequen en los puntos D, E y F .

Por construcci´on, los tres puntos B, C 1 y U pertenecen a una misma recta. Por otra parte, los puntos V y T pertenecen a la l´ınea OS. En particular V , T y S son colineales. Apliquemos el teorema de Pappus al hex´agono BT U V C 1 S. En nuestro dibujo, este hex´agono tiene la propiedad de que sus lados opuestos se intersecan en D, E y F respectivamente. En consecuencia son colineales.  Vamos a argumentar por qu´e tiene que suceder lo mismo en cualquier plano proyectivo en el cual sea v´alido el teorema de Pappus. En general, los puntos donde se intersecan los lados opuestos del hex´agono BT U V C 1 S son los siguientes:

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3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

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BT X V C 1 “ BC X B 1 C 1 “ D T U X C 1 S “ T U X C 1 A1 “ E 1 U V X SB “ U V X AB “ F 1 N´otese que la l´ınea BT coincide con la l´ınea BC porque T P BC, que la l´ınea V C 1 coincide con la l´ınea B 1 C 1 porque V P B 1 C 1 , que la l´ınea C 1 S coincide con la l´ınea C 1 A1 porque S P A1 C 1 y que la l´ınea SB coincide con la l´ınea AB porque S P AB. Lo que tenemos hasta este momento es que los puntos D, E 1 y F 1 son colineales. Vamos a ver que, de hecho, E “ E 1 y F “ F 1 . Lema 3.1 Los puntos T , U y E son colineales. Por hip´otesis, los tres puntos O, C y C 1 pertenecen a una misma l´ınea. Por construcci´on, los tres puntos B, S y A pertenecen a otra recta. Apliquemos el teorema de Pappus al hex´agono OSC 1 BCA. Los puntos donde se intersecan los lados opuestos de este hex´agono son los siguientes: OS X BC “ T 1

SC X CA “ C 1 A1 X CA “ E C 1 B X AO “ U Estos tres puntos son colineales. Con esto terminamos la demostraci´on de este primer lema. De aqu´ı se sigue que E P T U . Por construcci´on, E P C 1 A1 . Pero E 1 es el punto donde de intersecan las l´ıneas T U y C 1 A1 . En consecuencia E “ E 1 . Para terminar la demostraci´on del teorema de Desargues solamente falta ver que F “ F 1 .

Lema 3.2 Los puntos U , V y F son colineales.

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3. Planos proyectivos abstractos

Demostraci´ on. Por hip´otesis, los tres puntos O, B y B 1 pertenecen a una misma l´ınea. Por construcci´on C 1 , A1 y S pertenecen a otra recta. Apliquemos el teorema de Pappus al hex´agono OA1 B 1 C 1 BS. Los puntos donde se intersecan los lados opuestos de este hex´agono son los siguientes: OA1 X C 1 B “ OA X C 1 B “ U A1 B 1 X BS “ A1 B 1 X AB “ F B 1 C 1 X SO “ V Estos tres puntos son colineales. De aqu´ı se sigue que F P U V . Por construcci´on, F P A1 B 1 . Pero F 1 es el punto donde se intersecan las l´ıneas U V y A1 B 1 . En consecuencia F “ F 1 . Con esto terminamos la demostraci´on de este segundo lema. Con esto concluimos que D, E y F son colineales, y terminamos la demostraci´on del teorema de Desargues a partir del teorema de Pappus. 

3.1.6.

Dualidad

Sea π un plano proyectivo. A partir de π vamos a construir otro plano proyectivo π ˚ , llamado el plano proyectivo dual de π. Definici´ on 3.6 (Plano proyectivo dual) Los puntos de π ˚ son las l´ıneas de π. Las l´ıneas de π ˚ son los haces de l´ıneas de π. Proposici´ on 3.1 π ˚ es un plano proyectivo. Para demostrar que π ˚ es un plano proyectivo basta verificar que en ´el se cumplen los axiomas de plano proyectivo. Tenemos como hip´otesis que dichos axiomas se cumplen en π. Vamos a comprobar que en π ˚ tambi´en. 1. Por cualesquiera dos puntos distintos de π ˚ pasa una u ´nica l´ınea de ˚ π . Sean l y m dos puntos de π ˚ , es decir, dos l´ıneas de π. Queremos ver que hay una u ´nica l´ınea de π ˚ que pasa por ellos, es decir, un u ´nico

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3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

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haz de l´ıneas de π que contiene a l y a m. El haz en cuesti´on es aquel que tiene por v´ertice al punto donde se intersecan l y m. 2. Cualesquiera dos l´ıneas distintas de π ˚ tienen en com´ un un u ´nico punto de π ˚ . Tomemos dos l´ıneas de π ˚ . Son dos haces de l´ıneas de π. Sean P y Q los v´ertices de dichos haces de l´ıneas. La l´ınea P Q es la u ´nica l´ınea que pertenece a ambos haces de l´ıneas. Es el u ´nico punto de π ˚ que tienen en com´ un las l´ıneas de π ˚ dadas en un principio. 3. Existen al menos tres puntos de π ˚ que no son colineales. Tres puntos de π ˚ son tres l´ıneas de π, digamos l, m y n. Que no sean colineales en π ˚ significa que no hay una l´ınea de π ˚ que pase por los tres. Es decir, que no hay un haz de l´ıneas de π que las contenga a las tres. Un haz de l´ıneas con v´ertice V contiene a una l´ınea si y s´olo si dicha l´ınea pasa por V . La condici´on necesaria y suficiente para que un haz de l´ıneas contenga a l, m y n, es que las tres l´ıneas pasen por el v´ertice del haz, es decir, que sean concurrentes. Para probar que en π ˚ se satisface este axioma hay que ver que en π existen tres l´ıneas que no son concurrentes. El hecho de que π sea un plano proyectivo implica que existen tres puntos A, B y C en π, que no son colineales. Las l´ıneas l “ AB, m “ BC y n “ CA son tres l´ıneas no concurrentes. Supongamos que fueran concurrentes en un punto Q. Por una parte, del hecho de que Q P l X m podemos deducir que Q “ B. Por otra parte, del hecho de que Q P m X n podemos decir que Q “ C. En consecuencia B “ C, ya no tendr´ıamos tres puntos, sino dos, y por ellos pasar´ıa una recta. La u ´nica salida es que las tres l´ıneas l, m y n no sean concurrentes. 4. Toda l´ınea de π ˚ tiene al menos tres puntos. Una l´ınea de π ˚ es un haz de l´ıneas de π. Queremos ver que contiene al menos a tres l´ıneas. Sea V el v´ertice del haz. Sea l una l´ınea que no pasa por V . Como π es un plano proyectivo, l tiene al menos tres

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3. Planos proyectivos abstractos

puntos, digamos, P , Q y R. Consideremos las l´ıneas P V , QV y RV . Ellas son tres l´ıneas que contiene el haz cualquiera que hab´ıamos dado. Definici´ on 3.7 Sea P una proposici´ on concerniente a puntos y l´ıneas de un plano proyectivo π. La proposici´ on dual P ˚ es aquella cuyo enunciado se construye a partir del enunciado de T sustituyendo punto ÐÑ l´ınea pertenece a ÐÑ pasa por colineales ÐÑ concurrentes etc´etera. Teorema 3.3 (Principio de dualidad) Sea T un teorema v´ alido para un plano proyectivo π, el cual puede demostrarse a partir de los cuatro axiomas. Entonces el teorema dual T ˚ tambi´en es v´ alido. Demostraci´ on. N´otese que T ˚ no es m´as que T aplicado a π ˚ , el plano proyectivo dual de π. A partir de la demostraci´on de T se puede construir la demostraci´on de T ˚ paso a paso, realizando las traducciones adecuadas. 

3.1.7.

C´ onicas

Hay una manera de definir c´onica sin hacer referencia a conceptos m´etricos, ni siquiera ecuaciones. En esta subsecci´on presentaremos esta definici´on, y veremos algunos ejemplos. Definici´ on 3.8 Sean A, B, C, D y E cinco puntos en posici´ on general (no hay tres de ellos colineales). Sean a, a1 , b, b1 , c, c1 las l´ıneas AD, AE, BD, BE, CD, CE respectivamente. Sea abc X a1 b1 c1 una proyectividad entre los haces de l´ıneas que tienen a D y a E como v´ertices. Decimos que una c´ onica es el conjunto de puntos en los que se intersecan l´ıneas correspondientes de ambos haces.

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3.1. Axiomas de la geometr´ıa proyectiva

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Ejemplo En el plano euclidiano extendido, sean: A “ p´5, 1q, B “ p0, 3q, C “ p5, 1q, D “ p´5, ´1q, E “ p5, ´1q. Las l´ıneas de la definici´on son las siguientes: L´ınea a “ AD: x ` 5 “ 0. L´ınea a1 “ AE: x ` 5y “ 0. L´ınea b “ BD: ´4x ` 5y ´ 15 “ 0. L´ınea b1 “ BE: 4x ` 5y ´ 15 “ 0. L´ınea c “ CD: ´x ` 5y “ 0 L´ınea c1 “ DE: x ´ 5 “ 0. Observemos que podemos parametrizar las l´ıneas que pasan por D como y ` 1 “ mpx ` 5q variando m P R Y t8u, haciendo la convenci´on de que cuando m “ 8 la recta sea x ` 5 “ 0. An´alogamente podemos parametrizar las l´ıneas que pasan por E como y ` 1 “ npx ´ 5q haciendo la convenci´on de que cuando n “ 8 la recta sea x ´ 5 “ 0. Las l´ıneas a, b, c corresponden a los valores de m “ 8, 54 , 15 . Las l´ıneas ´4 1 a , b1 , c1 corresponden a los valores de n “ ´1 on 5 , 5 , 8. Una transformaci´ de Moebius tal que n “ f pmq resulta ser f pmq “

´5m ´ 8 25m ´ 5

Podemos deducir las coordenadas del punto donde se intersecan las l´ıneas correspondientes igualando las cantidades npx ´ 5q “ mpx ` 5q

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3. Planos proyectivos abstractos

Sustituyendo n “ f pmq queda una ecuaci´on en la que podemos despejar x en funci´on de m, el resultado es x“

40 ` 50m ´ 125m2 25m2 ` 8

Si adem´as tomamos en cuenta que y “ mpx`5q´1 tenemos que podemos parametrizar px, yq en t´erminos de m. Usando Geogebra se puede ver que la traza de esta curva parametrizada es precisamente la elipse que pasa por los cinco puntos dados. O si el lector lo prefiere, puede utilizar un programa adecuado y verificar que las coordenadas pxpmq, ypmqq deben cumplir la ecuaci´on de la elipse 8x2 ` 25y 2 “ 225. V´ease la figura 3.4.

Figura 3.4: Los puntos de la elipse 8x2 ` 25y 2 “ 225 son los puntos donde se intersecan l´ıneas correspondientes bajo la proyectividad abc X a1 b1 c1 . La definici´on proyectiva de las c´onicas se debe a Steiner. Una demostraci´on sint´etica de este teorema se puede consultar en el libro de Coxeter [16]. Se puede utilizar esta definici´on para dar un m´etodo que permita, dados cinco puntos en posici´on general, trazar los puntos de la c´onica que pasa por ellos utilizando solamente doblado de papel. Sugerencia: dadas dos ternas de l´ıneas concurrentes, tome en cuenta la construcci´on de una proyectividad entre ellas.

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3.2. Planos proyectivos finitos

3.2.

Planos proyectivos finitos

3.2.1.

Campos finitos y planos proyectivos

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Una manera de producir planos proyectivos finitos es generalizar la construcci´on de RP 2 y CP 2 utilizando campos finitos. Sea K un campo finito, es decir, un campo con un n´ umero finito de elementos. Consideremos el producto cartesiano K3 . Quit´emosle el origen p0, 0, 0q. En el conjunto restante definamos una relaci´on de equivalencia pa1 , a2 , a3 q „ pb1 , b2 , b3 q si y solamente si existe λ P K, λ ‰ 0, tal que pb1 , b2 , b3 q “ pλa1 , λa2 , λa3 q Como antes, ra1 : a2 : a3 s denotar´a a la clase de equivalencia de pa1 , a2 , a3 q. Cada una de estas clases de equivalencia es uno de los puntos del plano proyectivo KP 2 . Las l´ıneas de este plano proyectivo son los subconjuntos de la forma lA “ trx1 : x2 : x3 s P KP 2 : a1 x1 ` a2 x2 ` a3 x3 “ 0u donde A “ ra1 : a2 : a3 s P KP 2 .

3.2.2.

El plano de Fano

El plano proyectivo m´as chico es el plano de Fano, el cual se puede obtener con la construcci´on anterior utilizando K “ Z2 “ t0, 1u con las operaciones de suma y producto m´odulo 2. Tiene 7 puntos: 1. A “ r0 : 0 : 1s 2. B “ r1 : 0 : 1s 3. C “ r0 : 1 : 1s

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3. Planos proyectivos abstractos

4. D “ r1 : 1 : 1s 5. H “ r1 : 0 : 0s 6. V “ r0 : 1 : 0s 7. X “ r1 : 1 : 0s Elegimos estas letras para facilitar la identificaci´on con la completaci´on del plano af´ın Z22 . Tiene 7 l´ıneas: 1. lA dada por la ecuaci´on x3 “ 0, contiene a los puntos H, V y X. 2. lB dada por la ecuaci´on x1 ` x3 “ 0, contiene a los puntos B, D y V . 3. lC dada por la ecuaci´on x2 ` x3 “ 0, contiene a los puntos C, D y H. 4. lD dada por la ecuaci´on x1 ` x2 ` x3 “ 0, contiene a los puntos B, C y X. 5. lH dada por la ecuaci´on x1 “ 0, contiene a los puntos A, C y V . 6. lV dada por la ecuaci´on x2 “ 0, contiene a los puntos A, B y H. 7. lX dada por la ecuaci´on x1 ` x2 “ 0, contiene a los puntos A, D y X. El plano de Fano aparece en el estudio de otras ramas de las matem´aticas, menci´on especial merecen las matroides y los octoniones. Sugerimos ver [39], [8], [5] y [55].

3.2.3.

El orden de un plano proyectivo finito

Teorema 3.4 En un plano proyectivo cualesquiera dos l´ıneas tienen el mismo n´ umero de puntos. Demostraci´ on. Sean l1 y l2 dos l´ıneas. Basta mostrar que existe una funci´on biyectiva φ : l1 Ñ l2 . Nos proponemos algo m´as: mostrar que existe

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3.2. Planos proyectivos finitos

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Figura 3.5: El plano de Fano.

una perspectividad entre ambas l´ıneas. Para ello, necesitamos un punto O que sea el centro de la perspectividad. Sea E el punto donde se cruzan ambas l´ıneas. Sean P1 P l1 , P2 P l2 puntos distintos de E. La l´ınea P1 P2 debe tener al menos tres puntos (gracias a uno de los axiomas). Sea O un punto en esta l´ınea, distinto de P1 y de P2 . Este punto O no pertenece ni a l1 ni a l2 . Este punto de apoyo es el que necesitamos para definir φ. Sea X P l1 . Consideremos la l´ınea XO. Cruza a l2 en un punto Y . Entonces definamos φpXq “ Y . Para ver que es biyectiva propondremos su funci´on inversa. Queremos definir ψ : l2 Ñ l1 . Sea Y P l2 . Definamos ψpY q “ Z como el punto en el cual la l´ınea OY interseca a la l´ınea l1 . Ahora veamos que ψ ˝ φ : l1 Ñ l1 es la funci´on identidad. Sea X P l1 . Y “ φpXq es el punto donde la l´ınea XO cruza a la l´ınea l2 . Entonces Y P XO y las l´ıneas XO y OY coinciden. Z y X son dos puntos tales que est´an tanto en la l´ınea OY como en la l´ınea l1 . Tienen que ser el mismo. An´alogamente podemos ver que φ ˝ ψ : l2 Ñ l2 es la funci´on identidad. 

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3. Planos proyectivos abstractos

Definici´ on 3.9 Sea π un plano proyectivo finito. Decimos que π es de orden q si toda l´ınea de π pasa por exactamente q ` 1 puntos. Ejemplo: El plano de Fano es de orden 2. En general, si K es un campo finito con q elementos, entonces el plano proyectivo KP 2 es de orden q. Corolario 3.1 Sea π un plano proyectivo de orden q. Sea P P π. Entonces hay exactamente q ` 1 l´ıneas que pasan por P . Demostraci´ on. Sea l una l´ınea que no pasa por P . Toda l´ınea m que pasa por P corta a l en un punto. Como l tiene q ` 1 puntos, por P pasan a lo m´as q ` 1 l´ıneas. Pero cada punto Q P l determina una l´ınea P Q que pasa por P . Entonces por P pasan exactamente q ` 1 l´ıneas. 

3.2.4.

N´ umero de puntos de un plano proyectivo finito

Sea π un plano proyectivo de orden q. ¿Cu´antos puntos distintos tiene π? Sea P P π. Consideremos el haz de l´ıneas que pasan por P . Este haz de l´ıneas contiene a todos los puntos de π. Podemos convencernos de ello tomando un punto Q P π. Si Q “ P ya acabamos. Si Q ‰ P entonces la l´ınea P Q es una l´ınea que pasa por P . Para contar los puntos de π basta contar a los puntos que contenga el haz de l´ıneas que pasan por P . Sabemos que este haz de l´ıneas est´a formado por q `1 l´ıneas. Y que cada una de estas l´ıneas tiene q ` 1 puntos. Sin embargo, todas esas l´ıneas pasan por P . Pong´amoslo aparte, por un momento. Entonces cada l´ınea se queda con q puntos. Son q ` 1 l´ıneas. Van qpq ` 1q “ q 2 ` q puntos. No olvidemos a P . En total tenemos q 2 ` q ` 1 puntos. Gracias al principio de dualidad tambi´en podemos decir que en total tenemos q 2 ` q ` 1 l´ıneas. Corolario 3.2 El plano proyectivo m´ as chico tiene siete puntos y siete l´ıneas.

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3.2. Planos proyectivos finitos

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Demostraci´ on. Como consecuencia de los axiomas, un plano proyectivo debe tener al menos una l´ınea que pase por al menos tres puntos. Esto significa que dicho plano proyectivo tendr´ıa orden q ě 2. En consecuencia tiene al menos 22 ` 2 ` 1 “ 7 puntos y 7 l´ıneas. En el plano de Fano se alcanza el m´ınimo n´ umero de puntos y l´ıneas que puede tener un plano proyectivo. 

3.2.5.

Dos problemas abiertos

¿Para cu´ales enteros q existe un plano proyectivo de orden q? ¿Para cada entero q, cu´antos planos proyectivos no isomorfos hay? Parte de lo que se sabe es lo siguiente: 1. Si q es el n´ umero de elementos de un campo finito, existe un plano proyectivo de orden q. Sin embargo, hay una diferencia entre decir que a partir de un campo finito podemos construir un plano proyectivo finito y decir que todo plano proyectivo finito se puede construir de esa manera. 2. Para q de la forma 8n ` 6 no existen planos proyectivos de orden q. Esta es una consecuencia de un teorema de Bruck y Ryser [11]. 3. Utilizando t´ecnicas computacionales se comprob´o que no hay planos proyectivos de orden 10. V´ease el art´ıculo de Lam [32]. 4. Oswald Veblen y Joseph H. Maclagan-Wedderburn, dieron un ejemplo de un plano proyectivo finito no desarguesiano con 91 puntos (v´ease [52]). Y tambi´en existe un plano proyectivo algebraico con 91 puntos definido sobre un campo finito con 9 elementos.

3.2.6.

El plano proyectivo de orden 3

Una manera de ver el plano proyectivo de orden 3 es mediante la completaci´on del plano af´ın Z3 ˆ Z3 . De entrada tiene los 9 puntos del plano af´ın.

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3. Planos proyectivos abstractos

Tiene tres rectas horizontales, tres verticales, tres de pendiente 1, tres de pendiente 2, y la recta al infinito. En total tiene trece l´ıneas. Cada una de sus l´ıneas tiene 4 puntos. La l´ınea al infinito tambi´en. Los 9 puntos originales m´as los 4 de la l´ınea al infinito nos da un total de 13 puntos. Por cada punto pasan 4 l´ıneas. La otra manera, como cociente de Z33 menos el origen, nos permite describir sus puntos en la forma ra : b : cs con a, b, c en Z3 . Gr´aficamente sean A “ r0 : 0 : 1s B “ r1 : 0 : 1s C “ r2 : 0 : 1s D “ r0 : 1 : 1s E “ r1 : 1 : 1s F “ r2 : 1 : 1s G “ r0 : 2 : 1s H “ r1 : 2 : 1s I “ r2 : 2 : 1s Estos puntos corresponden a los puntos del plano af´ın Z3 ˆ Z3 . A˜ nadamos los puntos al infinito: J “ r1 : 0 : 0s K “ r0 : 1 : 0s L “ r1 : 1 : 0s M “ r1 : 2 : 0s Veamos las ecuaciones de cada una de las l´ıneas, y cu´ales puntos pertenecen a cada una de ellas. lA . Tiene por ecuaci´on z “ 0. Pasa por los puntos J, K, L y M . lB . Tiene por ecuaci´on x ` z “ 0. Pasa por los puntos K, C, F e I. lC . Tiene por ecuaci´on 2x ` z “ 0. Pasa por los puntos K, B, E y H.

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3.2. Planos proyectivos finitos

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Figura 3.6: El plano proyectivo de orden 3. lD . Tiene por ecuaci´on y ` z “ 0. Pasa por los puntos J, G, H e I. lE . Tiene por ecuaci´on x ` y ` z “ 0. Pasa por los puntos M , G, E y C. lF . Tiene por ecuaci´on 2x ` y ` z “ 0. Pasa por los puntos L, G, B y F . lG . Tiene por ecuaci´on 2y ` z “ 0. Pasa por los puntos J, D, E y F . lH . Tiene por ecuaci´on x ` 2y ` z “ 0. Pasa por los puntos L, D, H y C. lI . Tiene por ecuaci´on 2x ` 2y ` z “ 0. Pasa por los puntos M , D, B e I. lJ . Tiene por ecuaci´on x “ 0. Pasa por los puntos K, A, D y G. lK . Tiene por ecuaci´on y “ 0. Pasa por los puntos J, A, B y C. lL . Tiene por ecuaci´on x ` y “ 0. Pasa por los puntos M , A, F y H. lM . Tiene por ecuaci´on x ` 2y “ 0. Pasa por los puntos L, I, A y E.

3.2.7.

El plano proyectivo de orden 4

Dado que el campo de orden 4 no es tan conocido como los campos Zp con p un n´ umero primo, dedicaremos unas cuantas l´ıneas a explicar c´omo es este

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3. Planos proyectivos abstractos

campo, antes de estudiar el plano proyectivo de orden 4 desde un punto de vista anal´ıtico. ?

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Un campo finito con 4 elementos Sea ρ “ e 3 “ 1`i2 3 la ra´ız compleja del polinomio x2 ´ x ` 1 con parte imaginaria positiva. Sea F4 “ t0, 1, ρ, 1 ` ρu Obs´ervese que son n´ umeros complejos a ` bρ con a, b iguales a cero o uno. Entre ellos podemos definir operaciones m´odulo 2. Tomando en cuenta que ρ2 ´ ρ ` 1 “ 0 definamos la suma y la multiplicaci´on como sigue: ‘ 0 1 ρ 1`ρ b 0 1 ρ 1`ρ

0 0 1 ρ 1`ρ 0 0 0 0 0

1 1 0 1`ρ ρ 1 0 1 ρ 1`ρ

ρ ρ 1`ρ 0 1 ρ 0 ρ 1`ρ 1

1`ρ 1`ρ ρ 1 0 1`ρ 0 1`ρ 1 ρ

El conjunto F4 ˆ F4 tiene la estructura de un plano af´ın. Describamos algunas de las l´ıneas de este plano af´ın. Empecemos con las l´ıneas horizontales 1. La l´ınea que pasa por p0, 0q, p1, 0q, pρ, 0q, p1 ` ρ, 0q. Tiene la ecuaci´on y “ 0. 2. La l´ınea que pasa por p0, 1q, p1, 1q, pρ, 1q, p1 ` ρ, 1q. Tiene la ecuaci´on y “ 1.

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3.2. Planos proyectivos finitos

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3. La l´ınea que pasa por p0, ρq, p1, ρq, pρ, ρq, p1 ` ρ, ρq. Tiene la ecuaci´on y “ ρ. 4. La l´ınea que pasa por p0, 1 ` ρq, p1, 1 ` ρq, pρ, 1 ` ρq, p1 ` ρ, 1 ` ρq. Tiene la ecuaci´on y “ 1 ` ρ. Describamos ahora las l´ıneas de pendiente 1. 1. La l´ınea que pasa por p0, 0q, p1, 1q, pρ, ρq, p1`ρ, 1`ρq. Tiene la ecuaci´on y “ x. 2. La l´ınea que pasa por p0, 1q, p1, 0q, pρ, 1`ρq, p1`ρ, ρq. Tiene la ecuaci´on y “ x ` 1. 3. La l´ınea que pasa por p0, ρq, p1, 1`ρq, pρ, 0q, p1`ρ, 1q. Tiene la ecuaci´on y “ x ` ρ. 4. La l´ınea que pasa por p0, 1`ρq, p1, ρq, pρ, 1q, p1`ρ, 0q. Tiene la ecuaci´on y “ x ` 1 ` ρ. An´alogamente se pueden describir las otras l´ıneas de este plano af´ın. Como antes podemos completar este plano af´ın a˜ nadiendo puntos al infinito. Tambi´en podemos identificarlos con clases de equivalencia de F34 zp0, 0, 0q. Por ejemplo, la l´ınea y “ 0 tendr´ıa los cinco puntos: r0 : 0 : 1s , r1 : 0 : 1s , rρ : 0 : 1s , r1 ` ρ : 0 : 1s , r1 : 0 : 0s An´alogamente se pueden describir las otras l´ıneas de este plano proyectivo.

3.2.8.

Transformaciones proyectivas

En el caso de un plano proyectivo obtenido a partir de campo K, las transformaciones proyectivas (colineaciones) se pueden describir en t´erminos de las matrices de 3ˆ3 con coeficientes en K y de los automorfismos del campo en s´ı mismo. A continuaci´on vamos a ver un ejemplo de una y de otra.

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3. Planos proyectivos abstractos

Figura 3.7: El haz de l´ıneas paralelas a la recta y “ x. Una colineaci´ on asociada a una matriz En Z33 definamos una transformaci´on lineal TA asociada a una matriz ¨ ˛ 0 1 0 A“˝ 1 0 0 ‚ 0 0 2 TA px, y, zq “ py, x, 2zq Induce una colineaci´on T A : Z3 P 3 Ñ Z3 P 3 T A prx : y : zsq “ ry : x : 2zs A manera de ejemplo evaluemos T A pr1 : 2 : 2sq “ r2 : 1 : 1s. Una colineaci´ on asociada a un automorfismo de campo En F4 definamos una funci´on biyectiva f : F4 Ñ F4 mediante la regla de correspondencia: f pa ` ρbq “ a ` p1 ` ρqb

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3.3. Ejercicios

Esta funci´on tiene la propiedad de que f pa ` bq “ f paq ` f pbq y f pabq “ f paq ¨ f pcq. Se dice que una funci´on biyectiva con estas propiedades es un automorfismo de campo. Induce una colineaci´on Tf en el plano proyectivo de orden 4 mediante la regla de correspondencia: rx : y : zs ÞÑ rf pxq : f pyq : f pzqs A manera de ejemplo evaluemos Tf pr1 : ρ : 1 ` ρsq “ r1 : 1 ` ρ : ρs.

3.3.

Ejercicios

1. Pruebe que si en un plano proyectivo π es v´alido el teorema de Desargues, entonces en el plano proyectivo dual, π ˚ , tambi´en se cumple el teorema de Desargues. 2. D´e un ejemplo de dos tri´angulos que est´en en perspectiva desde el punto J “ r1 : 0 : 0s en el plano proyectivo de orden 3. 3. Cuente cu´antos tri´angulos tiene el plano de Fano. ¿Cu´antos tiene el plano proyectivo de orden 3? 4. ¿Es falso o verdadero el teorema de Desargues en el plano proyectivo de orden 3? Justifique su respuesta. 5. ¿Es falso o verdadero el teorema de Desargues en el plano de Fano? Justifique su respuesta. 6. Usando los axiomas de plano proyectivo, muestre con detalle la existencia que para cualquier punto V existe una l´ınea l que no pasa por V. 7. Complete la descripci´on de las l´ıneas del plano af´ın F4 ˆ F4 . Dibuje el haz de l´ıneas paralelas a la recta y “ ρ ¨ x y el haz de l´ıneas paralelas a la recta y “ p1 ` ρqx. 8. Describa todas las l´ıneas que pasan por el punto A “ r0 : 0 : 1s del plano proyectivo de orden 4.

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3. Planos proyectivos abstractos

9. Describa el plano proyectivo de orden cinco, elaborando una lista de sus puntos, l´ıneas y relaciones de incidencia (qu´e puntos tiene cada l´ınea y qu´e l´ıneas pasan por cada punto). 10. Considere el conjunto de soluciones en Z3 P 2 de la ecuaci´on x2 ` y 2 “ z 2 . Describa exactamente cu´ales de los 13 puntos de dicho plano proyectivo son soluciones de esta ecuaci´on. 11. En Z3 P 2 considere el haz de l´ıneas que pasan por el punto r1 : 0 : 1s. Para cada una de dichas l´ıneas, cuente cu´antos puntos pasan por la curva x2 ` y 2 “ z 2 . ¿Habr´a alguna l´ınea cuya intersecci´on con la curva tenga un solo punto, como lo ten´ıan las rectas tangentes a una circunferencia en el plano euclidiano extendido? 12. ¿C´omo se podr´ıa definir la l´ınea polar de un punto en Z3 P 2 con respecto a la ecuaci´on x2 ` y 2 ´ z 2 “ 0? 13. Considere la colineaci´on T A del plano proyectivo de orden 3 definida en el texto. i) Compruebe que est´a bien definida. ii) Compruebe que lleva puntos colineales en puntos colineales. iii) ¿A qu´e l´ınea va a dar cada una de las 13 l´ıneas del plano proyectivo de orden 3? 14. Considere la colineaci´on Tf del plano proyectivo de orden 4 definida en el texto. i) Compruebe que est´a bien definida. ii) Compruebe que lleva puntos colineales en puntos colineales. iii) ¿A qu´e linea va a dar cada una de las l´ıneas que pasan por el punto A “ r0 : 0 : 1s? 15. Considere la funci´on T : CP 2 Ñ CP 2 rz1 : z2 : z3 s ÞÑ rz 1 : z 2 : z 3 s

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3.3. Ejercicios

Muestre que est´a bien definida, que es biyectiva y que lleva puntos colineales en puntos colineales. 16. Ciclos de Singer, v´ease [6]. Considere el conjunto de los polinomios en una variable, de grado menor o igual que dos, con coeficientes en Z2 . t0, 1, x, x ` 1, x2 , x2 ` 1, x2 ` x, x2 ` x ` 1u A este conjunto se le puede dar una estructura de campo, definiendo la suma reduciendo los coeficientes m´odulo 2 y definiendo la multiplicaci´on tomando el residuo al dividir entre el polinomio x3 ` x ` 1. a) Elabore la tabla de multiplicaci´on correspondiente. b) Muestre que la biyecci´on a0 ` a1 x ` a2 x2 ÞÑ pa2 , a1 , a0 q induce una biyecci´on entre este campo y Z32 . c) Usando la biyecci´on anterior, muestre que la multiplicaci´on por el polinomio x induce una transformaci´on lineal. Compruebe que la matriz asociada a esta transformaci´on es ¨ ˛ 0 1 0 A“˝ 1 0 1 ‚ 1 0 0 d ) Muestre que el grupo c´ıclico generado por x es de orden 7 (es decir, el primer entero positivo para el cual xn “ 1 es n “ 7). ¿Qu´e se puede decir de las potencias de la matriz A? e) Use el resultado anterior para mostrar que para cualesquiera dos puntos P, Q P Z2 P 2 existe una transformaci´on proyectiva T asociada a la multiplicaci´on por una potencia de x, tal que Q “ T pP q. 17. Piense un an´alogo del ejercicio anterior para darle al conjunto t0, 1, x, x ` 1u

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3. Planos proyectivos abstractos

una estructura de campo finito. ¿Coincide con la estructura mencionada en el texto? 18. (Matroides, v´ease [39], [5], [8] y [55]). Sea E un conjunto finito. Sea B una familia de subconjuntos de E. Decimos que la pareja pE, Bq es una matroide si se satisfacen los axiomas siguientes a) B ‰ H. b) Si B1 , B2 P B y e P B1 zB2 , entonces existe f P B2 zB1 tal que el conjunto pB1 zteuq Y tf u pertenece a la familia B. Se dice que los elementos de la familia B de subconjuntos de E son las bases de la matroide. Mostrar que si E es el plano de Fano y B es la familia de las ternas de puntos no colineales, la pareja pE, Bq es una matroide. 19. Suponga que E es el conjunto de 10 puntos involucrados en el teorema de Desargues y B es la familia de ternas de puntos no colineales. ¿Es una matroide? Justifique su respuesta.

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Bibliograf´ıa [1] Abreu, J.L, Radillo, A., y Espinosa, J. Proyecto Descartes http://descartes.matem.unam.mx [2] Ahlfors, L.V. Complex Analysis: An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill, 1979. [3] Ap´ery, F. Models of the real projective plane: computer graphics of Steiner and Boy surfaces Vieweg, 1987. [4] Armstrong, M. A. Basic Topology. Springer, 1983. [5] Baez, J.C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 39, Number 2, pp. 145-205. (2001). [6] Beutelspacher, A., Rosenbaum, U. Projective Geometry: From Foundations to Applications. Cambridge University Press, 1998. [7] Bix, R. Conics and cubics: a concrete introduction to algebraic curves. Springer, 2006. [8] Bonin, J.E. A brief introduction to matroid theory. P´agina personal del autor. blogs.gwu.edu/jbonin/ (2001). [9] Bracho, J. Introducci´ on anal´ıtica a las geometr´ıas. Fondo de Cultura Econ´omica, 2009. [10] Brieskorn, E.; Kn¨orrer, H. Plane Algebraic Curves. Springer Science and Business Media, 2012. 193

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Bibliograf´ıa

[11] Bruck, R.H., Ryser, H.J. The non existence of certain finite projective planes. Canadian J. Math. vol. 1 No. 191, p. 9, 1949. [12] Buckenhout, F. (editor) The crc handbook of incidence geometry. CRC Press, 1995. [13] Bujalich, R. y G´omez Ortega, J.A. Geometr´ıa. Cuadernos de Olimpiadas de Matem´aticas. Instituto de Matem´aticas de la UNAM y Sociedad Matem´atica Mexicana. 2012. [14] Cass´e, R. Projective Geometry: An introduction. Oxford University Press, 2006. [15] Colbourn, CH. J.; Dinitz, J.H. (editores) The crc handbook of combinatorial designs. CRC Press. 1996. [16] Coxeter, H.S.M. Projective Geometry. Springer-Verlag, 1987. [17] do Carmo, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. ´ [18] Fraleigh, John B. Algebra Abstracta. Addison-Wesley Iberoamericana, 1987. [19] Fischer, G. Plane Algebraic Curves. American Mathematical Society, 2001. [20] Galaviz Casas, J. Criptograf´ıa y curvas el´ıpticas. V´ınculos matem´aticos No. 109, Facultad de Ciencias, UNAM, 2017. [21] Galaviz Casas. J. Introducci´ on a la teor´ıa de c´ odigos y de la informaci´ on. Las prensas de ciencias, 2012. [22] Gibson, C.G. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. Cambridge University Press, 1998. [23] Gray, A., Abbena, E, y Salamon, S., Modern differential geometry of curves and surfaces with M athematica˚ . Chapman and Hall/CRC, 2006.

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Bibliograf´ıa

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[24] Gr¨ unbaum, B. Configurations of Points and Lines. American Mathemathical Society, 2009. [25] Hartshorne, R. Foundations of Projective Geometry. WA Benjamin, 1967. ´ [26] Herstein, I.N. Algebra Moderna. Trillas, 1970. [27] Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie. B. G. Teubner, Stuttgart, 1962. [28] Hilbert, D., Cohn Vossen, S. Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company, N.Y., 1952. [29] Hilbert, D. Fundamentos de las Matem´ aticas. Las prensas de ciencias, 2015. [30] Hulek, K. Elementary Algebraic Geometry. Student Mathematical Library vol. 20. American Mathematical Society, 2003. [31] Kirwan, F. Complex Algebraic Curves. London Mathematical Society Student Texts 23. Cambridge University Press, 1992. [32] Lam, C.W. The search for a finite projective plane of order 10. The American Mathematical Monthly 98 (4) 305-318 (1991). [33] L´opez S´anchez, F.G. Material de apoyo para un curso de geometr´ıa proyectiva elaborado en geogebra Facultad de Ciencias, UNAM, 2017. [34] Massey, W. Introducci´ on a la topolog´ıa algebraica. Revert´e. 1972. [35] Moreno Castillo, R. Pl¨ ucker y Poncelet: Dos modos de entender la geometr´ıa. N´ıvola, 2008. [36] Moulton, F. R. A simple non-desarguesian plane geometry. Trans. Amer. Nath. Soc. 3, 1902, pp. 192-195. [37] Needham T. Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1998.

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Bibliograf´ıa

[38] Neumann, P. M., Stoy, G. A., and Thompson, E. C. Groups and Geometry. Oxford University Press, 1994. [39] Oxley, J.G. Matroid Theory. Oxford University Press, 1992. [40] P´aez-Osuna, Octavio. Teor´ıa de c´ odigos y campos de funciones. Publicaciones internas del Departamento de Matem´aticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM, 2011. [41] Palmas-Velasco, Oscar, y Reyes-Victoria, J. Guadalupe. Curso de geometr´ıa diferencial. Parte 1. Curvas y Superficies. Las prensas de ciencias, 2005. [42] Penna, M.A. Projective geometry and its applications to computer graphics. Prentice-Hall, 1991. [43] Prieto de Castro, C. Topolog´ıa b´ asica. Fondo de Cultura Econ´omica, 2013. [44] Ram´ırez-Galarza, A.I., Geometr´ıa anal´ıtica. Una introducci´ on a la geometr´ıa. UNAM, Facultad de Ciencias, 2013. [45] Ram´ırez-Galarza, A.I., Seade-Kuri, J. Introducci´ on a la geometr´ıa avanzada. Las Prensas de Ciencias, 2002. [46] Richter-Gebert, J., Perspectives on Projective Geometry: A guided tour through real an complex geometry. Springer Science and Business Media, 2011. [47] Seidenberg, A. Elementos de geometr´ıa proyectiva. CECSA. 1965. [48] Spivak, Michael. A comprehensive introduction to differential geometry. Volumen 1, Publish or perish, 1999. [49] Shively, L. Introducci´ on a la geometr´ıa moderna. CECSA. 1961. [50] Sossinsky, A.B., Geometries. Student Mathematical Library, Volume 64, American Mathematical Society, 2012.

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Bibliograf´ıa

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[51] Torres, C., Hilbert y G¨ odel: dos perspectivas de la matem´ atica. Las prensas de ciencias, 2018. [52] Veblen, O. y Maclagan-Wedderburn, J. H. Non-Desarguesian and NonPascalian Geometries. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 8, No. 3, (Jul. 1907), pp. 379-388. [53] Viro, Oleg. Introduction to Topology of Real Algebraic Varieties. P´agina personal del autor. www.pdmiras.ru/˜olegviro/ [54] Washington, L., Elliptic curves: number theory and cryptography. Chapman and Hall/CRC Press, 2003. [55] White, N. Theory of Matroids. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Volume 26. Cambridge University Press, 1986. [56] Weisstein, E., tomado de MathWorld: A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Cap.html.

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´Indice anal´ıtico Grupo proyectivo, 90

B´ezout teorema de, 157 Brianchon teorema de, 73, 75, 141

Haz, 4 Haz arm´onico, 44 Hilera, 4 Hilera arm´onica, 40

C´onicas, 131 Capa cruzada, 118 Colineaciones, 187 Colinealidad condici´on de, 124 Completaci´on de un plano af´ın, 167 Coordenadas homog´eneas, 84 Correspondencia elemental, 5, 19 Cuadr´angulo, 32 Cuadril´atero, 33 Curva algebraica real, 146

L´ınea al infinito, 3 L´ınea polar de un punto, 71, 73, 137 L´ınea proyectiva real, 84 Moebius banda de, 114, 118 Orden de un plano proyectivo finito, 182

Desargues teorema de, 22, 27, 124, 170 Dualidad, 76, 176

Pappus teorema de, 62, 126, 170 Pascal recta de, 68 teorema de, 66, 69, 143 Perspectiva, tri´angulos en, 21 Perspectividad, 6, 19

Espacio euclidiano extendido, 18 Espacio proyectivo real, 130 Grupo, 89 Grupo general lineal, 89 199

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´Indice anal´ıtico

Plano af´ın, 166 Plano de Fano, 179 Plano euclidiano extendido, 1, 108 Plano proyectivo abstracto, 10, 169 complejo, 147 real, 105 Polaridad, 71 Polo de una l´ınea, 71, 73, 137 Proyectividad, 6, 19 Punto al infinito, 2, 86, 110 Raz´on cruzada, 63, 64, 101, 102 Red arm´onica, 52 Resultante, 151 Teorema fundamental de la geometr´ıa proyectiva, 51, 53, 96, 123

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Geometría proyectiva. Una introducción, editado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México se terminó de imprimir el 8 de abril de 2020 en los talleres de Navegantes de la Comunicación Gráfica, S.A. de C.V. Antiguo Camino a Cuernavaca 14, Col. San Miguel Topilejo, Alcaldía de Tlalpan C.P. 14500, Ciudad de México. El tiraje fue de 500 ejemplares. Impresión offset sobre papel Book creamy de 60 g. En su composición se utilizó tipografía Computern modern 11/13 pts. El cuidado de la edición estuvo a cargo de Mercedes Perelló Valls