Finanzplanung mit Netzwerken: Konzeption eines Netzwerkmodells und einer Datenbank für die betriebliche Finanzplanung [1 ed.] 9783428468454, 9783428068456

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ERNST TROSSMANN

Finanzplanung mit Netzwerken

Betriebswirtschaftliche Forschungsergebnisse Begründet von

Prof. Dr. Dres. h. c. Erich Kosiol Freie Universität Berlln

Herausgegeben von

Prof. Dr. Ralf-Bodo Schmidt

Albert·Ludwip-Unlversltät Frelbui'J I. Br.

und

Prof. Dr. Mareeil Schweitzer Eberbard-Karls-Unlversltät Tüblnpn

in Gemeinschaft mit

Prof. Dr. Franz Xaver Bea Eberbard-Karls-Universltät Tüblnaen

Prof. Dr. Knut Bleicher Hochschule St. Gallen

Prof. Dr. Klaus Chmielewicz Ruhr-Universität Boc:hum

Prof. Dr. Günter Dlugos Freie Universität Berllll

Prof. Dr. Erich Frese Universität zu Köln

Prof. Dr. Oskar Grün Wlrtscblll'lsunlversität Wien

Prof. Dr. Wilfried Krüger Justus-LiebiJ-Universität Gießen

Prof. Dr. Hans-Uirich Küpper

Jobann Wolfpac Goethe-Universltät Frankfurt am Maln

Prof. Dr. Siegfried Menrad Eberbard-Karls-Unlversität Tiiblngen

Prof. Dr. Dieter Pohmer

Eberbard-Karls-Unlversltät Tüblngen

Prof. Dr. Henner Schierenheck Wesdällsc:he Wllhelms-Unlversltät Münster

Prof. Dr. Norbert Szyperski Universität zu Köln

Prof. Dr. Dres. h. c. Eberhard Witte Ludwig-Mulmlllans-Unlversltät München

Prof. Dr. Rötger Wossidlo Universität Bayreuth

Band 94

Finanzplanung mit Netzwerken Konzeption eines Netzwerkmodells und einer Datenbank für die betriebliche Finanzplanung

Von Prof. Dr. Ernst Troßmann Universität Hohenheim

Duncker & Humblot · Dertin

Als Habilitationsschrift auf Empfehlung der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Universität Tübingen gedruckt mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Trossmann, Ernst: Finanzplanung mit Netzwerken: Konzeption eines Netzwerkmodells und einer Datenbank für die betriebliche Finanzplanung I von Ernst Trossmann. - Berlin: Duncker u. Humblot, 1990 (Betriebswirtschaftliche Forschungsergebnisse; Bd. 94) Zugl.: Tübingen, Univ., HabiL-Sehr., 1988 ISBN 3-428-06845-9 NE:GT

Alle Rechte vorbehalten © 1990 Duncker & Humblot GmbH, Berlin 41 Druck: Berliner Buchdruckerei Union GmbH, Berlin 61 Printed in Germany ISSN 0532-1027 ISBN 3-428-06845-9

Vorwort

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der betrieblichen Finanzplanung einem Gebiet also, das bereits Gegenstand zahlreicher Publikationen ist. Der hier gewählte Ansatz unterscheidet sich von ihnen jedoch in mehrerer Hinsicht. Zum einen handelt es sich nicht um eine theoretische Analyse. So werden keine allgemeinen Hypothesen etwa über das Verhalten von Kapitalanlegern und -nachfragern oder über die Entwicklung von Zinsen und Kursen entwickelt. Zum anderen ist die Arbeit aber auch nicht in die Reihe der Beiträge einzuordnen, die unter Finanzplanung nur Sachverhalte beschreibender Art oder das ZUsammenstellen und Anwenden von Faustregeln verstehen. In diesem Buch wird vielmehr eine Methodik für die einzelbetriebliche Finanzplanung entwickelt. Auf die konkrete Problemsituation eines Betriebes angewendet, ergibt sich unmittelbar eine passende Finanzplanungstechnik. Der Ansatz beruht auf zwei Kernelementen. Ein spezieller Typ von Netzwerkmodellen dient dazu, Finanzplanungsprobleme gleichzeitig präzise und eingängig darzustellen und sie rechnerisch zu bearbeiten. Die Konzeption einer planungsbezogenen Datenbank der betrieblichen Finanzströme schafft die Voraussetzung dafür, die Planungsmethode laufend routinemäßig einzusetzen. Diese Arbeit ist, nahezu unverändert, meine Habilitationsschrift, die 1988 von der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen angenommen worden ist. Für seine stete Förderung und Unterstützung während des Entstehens dieser Schrift danke ich an erster Stelle meinem verehrten akademischen Lehrer, Professor Dr. Mareeil Schweitzer. Er war mir nicht nur inhaltlich ein wertvoller Ratgeber, sondern hat vor allem stets die ermutigende, optimistische Atmosphäre geschaffen, die für die Arbeit eines Habilitanden so wichtig ist. Das Zweitreferat im Habilitationsverfahren hat freundlicherweise Professor Dr. Pranz Xaver Bea übernommen. Dafür sowie für eine ganze Reihe wertvoller Hinweise danke ich ihm herzlich. Besonderen Dank schulde ich auch meiner Kollegin an der Forschungsabteilung für Industriewirtschaft der Universität Tübingen, Frau Dr. Birgit Friedl, in der ich eine immer aufgeschlossene und hilfreiche Diskussionspartnerin hatte.

6

Vorwort

Für die Aufnahme meiner Habilitationsschrift in die Reihe »Betriebswirtschaftliche Forschungsergebnisse« danke ich den Herausgebern. Bei der technischen Herstellung habe ich vielfältige Mitarbeit erfahren. Die helfenden Hände können hier nicht alle genannt werden. Besonders erwähnt werden soll aber Professor Dr. Wilhelm Ott vom Zentrum für Datenverarbeitung der Universität Tübingen. Dank seiner Unterstützung ist es gelungen, mit dem Tübinger Textverarbeitungssystem TUSTEP eine reproduktionsfähige Druckvorlage zu erzeugen, die auch satztechnische Besonderheiten ursprünglich nicht vorgesehener Art berücksichtigt. Ferner ist Frau Inge Bamberger hervorzuheben, die mit unermüdlicher Einsatzfreude und sicherer Hand einen Großteil der zahlreichen Zeichenarbeiten übernommen hat. Schließlich danke ich der Deutschen Forschungsgemeinschaft. Sie hat die Veröffentlichung durch einen Druckkostenzuschuß gefördert. Tübingen, im Oktober 1989 Ernst Troßmann

Inhaltsübersicht Seite

A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen

13

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblieben Finanzplanung

27

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung . . . . . . .

27

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

52

111. Übertragung von Problemen der betrieblichen Finanzplanung in die graphentheoretische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

C. Grundzüge eines Verfahrens zur Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 I. Kennzeichnung bekannter Verfahren zur Suche eines optimalen Flusses in bewerteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

161 168

111. Bestimmen eines optimalen Flusses in allgemeinen Vergenzgraphen bei vorliegender zulässiger Anfangslösung . . . 239 IV. Formale Analyse der entwickelten Verfahren

312

D. Die Finanzplanung mit dem Netzwerkmodell . .

341

I. Analyse finanzwirtschaftlicher Alternativen mit der graphentheoretischen Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 II. Konzeption einer rollenden Finanzplanung mit Netzwerken

391

111. Finanzplanung bei teilweise fehlenden Voraussetzungen des Netzwerkmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 E. Konzeption einer Datenbank zur computergestützten Routine-Anwendung des Netzwerkmodells in der Finanzplanung . . . . . . . . . . . . 459 I. Grundlagen zur Entwicklung einer Finanzplanungs-Datenbank . II. Entwicklung einer Datenbank für finanzwirtschaftliche Projekte

459 484

111. Erweiterungen zum Einsatz der Datenbank für die Finanzplanung mit Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 IV. Weiterführende Anwendungen der entwickelten Datenbankkonzeption in der Unternehmungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 569 F. Zusammenfassende Beurteilung des Konzepts der Finanznetzwerke . . . . 581

Inhaltsverzeichnis Seite

A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen

13

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

27

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung . . . . . . . 1. Die Finanzplanung als Teil der betrieblichen Finanzwirtschaft 2. Inhaltliche Analyse des Gegenstandes der Finanzplanung 3. Strukturelle Analyse der Finanzplanung . . . . . . a) Strukturmerkmale der Finanzplanung . . . . . b) Standard-Aufbau der betrieblichen Finanzplanung c) Schnittstellenproblematik bei der Abgrenzung und Untergliederung der Finanzplanung . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 36 36 40

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung 1. Überblick über Modelle zur betrieblichen Finanzplanung 2. Parameterorientierte Kassenhaltungsmodelle als Instrumente der Finanzplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Kennzeichnung der parameterorienterlen Kassenhaltungsmodelle b) Beurteilung der parameterorientierten Kassenhaltungsmodelle 3. Modelle der linearen Planungsrechnung als Instrumente der Finanzplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Kennzeichnung von Grundstrukturen deterministischer linearer Finanzplanungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Systematisierung von linearen Finanzplanungsmodellen bb) Modelle der Finanzplanung mit globaler Einbeziehung einzelner Realgüterprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . cc) Modelle der Zahlungsmitteldisposition . . . . . . . . . . . dd) Modelle der Finanzplanung mit umfassender Berücksichtigung finanzwirtschaftlicher Alternativen b) Ansätze zur Berücksichtigung des Risikos in linearen Finanzplanungsmodellen . . . . . . . . . . . . . c) Beurteilung der linearen Finanzplanungsansätze 4. Modelle mit Netzwerkstruktur als Instrumente der Finanzplanung a) Ansätze in der Formalstruktur des Transportmodells . . . . . b) Allgemeine graphentheoretische Ansätze . . . . . . . . . . 5. Konsequenzen aus dem Stand der Modellentwicklung zur betrieblichen Finanzplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 52

45

57 57 60 64 64 64 69 71 73 79 82 85 85 88 93

111. Übertragung von Problemen der betrieblichen Finanzplanung in die graphentheoretische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1. Grundlagen betriebswirtschaftlicher Anwendungen der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 a) Präzisierung graphentheoretischer Begriffe . . . . . . . . . . . 99 b) Überblick über die Anwendungen graphentheoretischer Modelle auf betriebswirtschaftliche Probleme . . . . . . . . . . . . . 105 c) Anforderungen an ein Netzwerkmodell für die Finanzplanung 111

Inhaltsverzeichnis 2. Aufbau eines Netzwerkmodells für die betriebliche Finanzplanung a) Darstellung von Zahlungsströmen in Finanznetzwerken . . . . b) Grundkomponente des Finanznetzwerks zur Darstellung von Investitionsprojekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Grundkomponente des Finanznetzwerks zur Darstellung von Finanzierungsprojekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Abbildung aller finanzwirtschaftlichenAlternativen im entwickelten Finanznetzwerk . . . . . . . . . . . . . . . e) Darstellung von Restriktionen im Finanznetzwerk f) Darstellung der Zielvorstellung im Finanznetzwerk 3. Beispiele von Finanznetzwerken

9 112 112 114 123 126 134 148 154

C. Grundzüge eines Verfahrens zur Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

I. Kennzeichnung bekannter Verfahren zur Suche eines optimalen Flusses in bewerteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen 1. Grobkonzeption des Iterationsverfahrens 2. Grundstufe des Markierungsprozesses . . . . . . a) Markieren von Knoten für Defizitübertragungen b) Zweifache Markierungsmöglichkeit von Knoten c) Überblick über Verzweigungsmöglichkeiten beim Markieren in Vergenzfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Suche nach einem linearen Durchbruch bei Verzweigungen . a) Suche nach dem ersten Teilpfad eines verzweigten Weges b) Suche nach parallelen Teilpfaden eines verzweigten Weges c) Durchbruchsuche in Alternativ-Verzweigungsmengen 4. Suche nach einem rückführenden Durchbruch a) Realisierbarkeilsbedingungen für Rückführzyklen b) Regeln zur Untersuchung potentieller Rückführzyklen c) Gesamtablauf der Suche nach rückführenden Zyklen 5. Zusammenfassung der iterativen Flußänderungen im entwickelten Eröffnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. Bestimmen eines optimalen Flusses in allgemeinen Vergenzgraphen bei vorliegender zulässiger Anfangslösung . . . . . . . . . . . . . . 1. Optimalitätsbedingungen für Flüsse in allgemeinen Vergenzgraphen a) Aufbau des zum Graph gehörenden linearen Modells b) Optimalitätsbedingungen für ungebundene Kanten c) Optimalitätsbedingungen für Konvergenzknoten . . d) Optimalitätsbedingungen für Divergenzknoten . . . 2. Grundidee eines primal-dualen Optimierungsverfahrens für Vergenzgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Die Relationen von Dualänderungen in Grundsituationen . . . . . a) Prinzipielle Bestimmung der Dualänderungen innerhalb derselben Knotenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Dualänderungen an Verzweigungen mit nichtrückführenden Wegen c) Dualänderungen bei zusammenführenden Wegen . . . . . d) Dualänderungen beim Zusammentreffen von Alternativwegen . .

168 168 171 171 177 179 185 185 189 198 202 202 216 223 231 239 239 239 248 251 257 261 269 269 274 279 284

10

Inhaltsverzeichnis 4. Dualänderungen bei rückführenden Zyklen . . . . . . a) Dualänderungen bei blockierten Abzweigungen b) Dualänderungen bei Fehlen blockierter Abzweigungen c) Besonderheiten der Dualänderungen bei verzweigten Rück führzyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zusammenfassung des Iterationsverlaufs im entwickelten Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . a) Durchführung einer Dualänderung . . b) Iteratives Erreichen der Optimallösung

291 291 295 300 307 307 309

IV. Formale Analyse der entwickelten Verfahren I. Exaktheit der beiden Teilverfahren 2. Analyse der algorithmischen Realisierung

312 312 321

D. Die Finanzplanung mit dem Netzwerkmodell . .

341

I. Analyse finanzwirtschaftlicher Alternativen mit der graphentheoretischen Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Illustration der Lösungstechnik an numerischen Beispielen a) Lösungsrechnung in einem abstrakten Netzwerk b) Lösungsrechnung in einem Finanznetzwerk . . . . . 2. Entwicklung und Realisierbarkeilsprüfung von Alternativen im Finanznetzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Finanzplan-Entwicklung als Serie von Umfinanzierungen b) Umfinanzierungsarten bei den verschiedenen Transferpfaden aa) Umfinanzierungen bei linearen Transferpfaden . . . . bb) Umfinanzierungen bei zyklischen Transferpfaden . . . 3. Beurteilung von Alternativen im Finanznetzwerk mit Schattenpreisen II. Konzeption einer rollenden Finanzplanung mit Netzwerken I. Aufbauprinzipien eines Systems rollender Planung a) Die Komponenten der rollenden Planung . . . . . . b) Besondere Merkmale der revolvierenden Planung 2. Mehrstufige Finanznetzwerke als erste Komponente rollender Planung a) Abgrenzungskriterien und Integrationsregeln verschiedener Stufen der Finanzplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Mehrstufige SchachteJung unterschiedlich detaillierter Finanznetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Ansatzpunkte für Unterschiede in der Modelldetailliertheit . . bb) Netzwerkverdichtung zur Verringerung zeitlicher Detailliertheil cc) Netzwerkverdichtung zur Verringerung sachlicher Detailliertheil dd) Änderung der Detailliertheil durch Vernachlässigung von Netzwerkelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Rhythmische Konkretisierung der Netzwerkgrößen im mehrstufigen Planungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Zeitliche Überlappung der Finanznetzwerke gleicher Planungsstufe als zweite Komponente rollender Planung . . . . . . . . 4. Beurteilung der rollenden Finanzplanung mit Netzwerken . . . . .

341 341 341 352 365 365 371 371 375 379 391 391 391 395 397 397 404 404 407 409 412 414 421 427

111. Finanzplanung bei teilweise fehlenden Voraussetzungen des Netzwerkmodells . . . . . . . . . . . . . 431 431 1. Die Grenzen des Netzwerkmodells

Inhaltsverzeichnis

11

2. Anwendung des Netzwerkmodells bei Nichtlinearitäten und Ganzzahligkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 3. Berücksichtigung nichtdeterministischer Informationslage . . . . . 441 4. Erweiterung des Anwendungsbereichs durch benutzerfreundliches Gestalten der computergestützten Finanzplanung mit Netzwerken . . . 450 E. Konzeption einer Datenbank zur computergestützten Routine-Anwendung des Netzwerkmodells in der Finanzplanung . . . . . . . . . . . . . . . . 459 I. Grundlagen zur Entwicklung einer Finanzplanungs-Datenbank . . . . I. Die Notwendigkeit einer Datenbank bei Routine-Anwendung des Netzwerkmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Kennzeichnung einer Datenbank . . . . . . . . . . . 3. Die Objekttypen-Methode zum Entwurf von Datenbanken a) Der Grundgedanke der Objekttypen-Methode b) Die Subsumtion als Prinzip der Objekttypen-Bildung . c) Identifikation und Beschreibung von Objekten in Datensätzen d) Bildung abgeleiteter Objekttypen . . . . . . . . . . . e) Zusammenstellen des konzeptionellen Schemas . . . . . . II. Entwicklung einer Datenbank für finanzwirtschaftliche Projekte I. Die Geschäftsbeziehung als Grundeinheit einer Finanzdatenbank 2. Erfassung der einzelnen Zahlungen einer Geschäftsbeziehung a) Das Problem der unvollkommenen Information bei der Datenbankdarstellung der Zahlungen . . . . . . . b) Der Objekttyp TERMINEINZELZAHLUNG . . . . . . . . . . . . 3. Datenbankdarstellung eines Gesamtprojekts . . . . . . . . . . . a) Der Objekttyp GESAMTPROJEKT als Ergebnis der Strukturierung von Zahlungsströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Erfassen des Realisationsniveaus eines Projekts . . . . . 4. Besondere Objekttypen für einen kompakten Datenbankaufbau a) Kompakte Darstellung von Dauerzahlungen . . . . . . . b) Datenbankdarstellung von Projekten mit beliebigem Beginn c) Besondere Strukturbeziehungen bestimmter Projekte mit beliebigem Beginn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Erweiterung der Datenbank auf Mehrgüter-Projekte . . . . . . . a) Zweckmäßigkeit des Einführens von Güterarten in die Datenbank b) Festlegung der in der Datenbank abzubildenden Güterarten . . . aa) Kriterien für die Festlegung der abzubildenden Güterarten . . bb) Zweckmäßigkeit der Datenbankabbildung bei einzelnen Güterklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cc) Die Bedeutung der Güterarien-Konstruktion für isolierte Sichten von Entscheidungssituationen . . . . . . . . . . . c) Objekttypen zur Erfassung von Güterarten in der Datenbank d) Projektdarstellung auf der Grundlage von Güterbewegungen

459 459 465 470 470 473 474 477 481 484 484 491 491 495 497 497 504 506 506 510 519 526 526 529 529 532 534 535 540

111. Erweiterungen zum Einsatz der Datenbank für die Finanzplanung mit Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 I. Vervollständigung der Datenbankwiedergabe von Finanzplanungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 a) Zusammenfassung der bisher entwickelten Objekttypen zur Datenbankdarstellung finanzwirtschaftlicher Alternativen . . . . . . . 547

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Inhaltsverzeichnis b) Datenbankdarstellung von Restriktionen der Finanzplanung c) Datenbankdarstellung von Zielen der Finanzplanung . . . 2. Objekttypen zur Formulierung von Netzwerk-Planungsmodellen a) Notwendigkeit weiterer Informationen zur Datenaufbereitung für die Modellformulierung . . . . . . . . . . . . . . . b) Objekttypen zur Periodeneinteilung . . . . . . . . . c) Objekttypen für die Eingangsdaten eines Planungsmodells 3. Erfassung geplanter und realisierter Prozesse . . . . . . . a) Objekttypen zur Datenbankdarstellung von Finanzplänen b) Objekttypen zur Datenbankdarstellung von Entscheidungen und Realisationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

548 554 555 555 557 559 563 563 564

IV. Weiterführende Anwendungen der entwickelten Datenbankkonzeption in der Unternehmungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 569 F. Zusammenfassende Beurteilung des Konzepts der Finanznetzwerke

581

Glossarium graphentheoretischer Begriffe

589

Verzeichnis der Symbole

598

Literaturverzeichnis

600

Register

623

A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen Die Wissenschaft zur betrieblichen Finanzierung hat sich spätestens ab den sechziger Jahren in zwei weitgehend voneinander getrennten Zweigen entwickelt: Auf der einen Seite hat sich eine Kapitalmarkttheorie angloamerikanischen Ursprungs herausgebildet. Sie beschäftigt sich hauptsächlich mit Modellen zur Preisbildung auf Finanzmärkten. Auf der anderen Seite steht eine auf der Tradition der deutschsprachigen Betriebswirtschaftslehre fußende Lehre von Finanzierungsformen, Finanzierungsinstitutionen und Finanzierungssituationen aus der Sicht des einzelnen Betriebs. Sie mündet in eine Reihe praktischer Problemstellungen, die unter der Annahme gegebener Marktkonditionen bearbeitet werden. Dieser Dualismus der Finanzierungswissenschaft spiegelt sich, wie mehrfach beklagt wird (vgl. z. B. Hax [Unternehmungspolitik] 8 ff., Schmidt [Finanzierungstheorie] 136), in zwei unterschiedlichen Typen von Modellen wider: Einerseits wird in Gleichgewichtsmodellen ein vereinfachter Markt mit z. B. vollkommener Information auf allen Seiten und daher einheitlichen Konditionen für gleiche Finanztitel untersucht. Andererseits nimmt man in Modellen zur betrieblichen Finanzierung Markterscheinungen als gegeben und unerklärt hin; mögliche Ausgleichsmechanismen des Marktes werden nicht erfaßt. Bestrebungen zu einer Integration der beiden Richtungen (vgl. vor allem Schmidt [Finanzierungstheorie] 137) sind bis heute (noch) ohne größere Bedeutung geblieben. Eine Trennung der eher gesamtwirtschaftlichen Analyse von Marktphänomenen und der betrieblichen Politik, die Marktgegebenheiten weitgehend unbeeinflußbar voraussetzt, führt immerhin zu isolierten Teilfragen, deren Separierung zwar nicht nachgewiesenermaßen zweckmäßig ist, jedoch (mindestens vorläufig brauchbare) Teillösungen herzuleiten erlaubt. Eine solche Problemaufteilung besteht vielfach auch in anderen betrieblichen Entscheidungsbereichen, sie präsentiert sich allerdings bei Finanzierungsfragen besonders augenfällig. Da sich Kapitalmarktanalysen notwendigerweise auf Grundfragen beschränken müssen, sind praxisrelevante Resultate gegenwärtig vor allem aus der zweiten der genannten Richtungen zu erwarten

14

A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen

(vgl. Hax [Unternehmungspolitik] 17). Dieser Kategorie ist auch die vorliegende Arbeit zuzuordnen. Sie behandelt Probleme, Modelle und Methoden der betrieblichen Finanzplanung. Die Marktsituation wird insoweit als unbeeinflußbar angenommen, als sie sich für die Unternehmung zu einem bestimmten Zeitpunkt in den bestehenden Handlungsmöglichkeiten, Restriktionen und Bewertungsgrößen, wie z. B. Zinssätzen, äußert. Mit dieser ersten Einordnung ist der Ansatz der vorliegenden Arbeit nur grob charakterisiert. Er wird deutlicher, wenn man das angewendete Vorgehen näher betrachtet. Daher werden zunächst einige methodische Vorüberlegungen angestellt. Für die Anwendung auf Planungsfragen sind Modelle zu bilden und zu analysieren, die letztlich Entscheidungen unterstützen. Ein Planungsmodell muß daher das zu behandelnde Problem - oder einen Teilaspekt davon - erfassen. Der Versuch, diese Vorstellung zu präzisieren, zeigt indessen, daß es keine objektive Basis (etwa der Realität) gibt, auf die sich der Nachweis einer korrekten Modelldarstellung des Problems stützen könnte. Die Realität weist zunächst keine Probleme auf. Probleme entstehen, worauf besonders Bretzke hinweist, durch eine bestimmte Sicht. Empirisch nachzuweisen sind sie damit nur im »Bewußtsein eines Subjekts« (Bretzke [Problembezug] 34). Diese Abhängigkeit von Sichtweisen bzw. Vorstellungen besteht generell bei der Modellbildung. In Abb. A-1 ist der Prozeß der modellmäßigen Fassung eines Sachverhalts schematisch skizziert. Die Modellbildung stellt sich als ein Prozeß zunehmender Strukturierung eines ursprünglich unscharf umrissenen und noch undefinierten Komplexes der realen bzw. einer vorgestellten Welt dar (ähnlich auch Müller-Merbach [Entscheidungsvorbereitung] 23 ff.). In einem ersten Schritt schält sich durch eine bestimmte Vorstellung (einer idealen Welt) bzw. durch eine bestimmte Sichtweise (der realen Welt) ein Betrachtungsgegenstand heraus. Auch er wird noch unklare Konturen und eine geringe Präzision aufweisen. Immerhin klärt sich grob, von welchen Sachverhalten überhaupt die Rede sein kann und von welcher Art grundsätzlich die Aussagen über sie sein können. Während sich dieser erste Schritt einer Objektivierung und damit einer Nachprüfung entzieht, wird der folgende zweite Schritt bewußt getan. Er ist damit auch eher begründbar. Hier wird ein Teilzusammenhang herausgegriffen, auf den sich die weitere Behandlung beschränkt (vgl. Schweitzer [Bilanz] 20, 22). Seine Auswahl folgt an einem zu formulierenden Analysezweck, anband dessen die Relevanz der betrachteten Elemente und Beziehungen beurteilt werden kann. Damit sind Inhalt und Art der Betrachtung feiner abgrenzbar.

15

A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen

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Abb. A -1: Schematische Darstellung des Modellbildungsprozesses

Im dritten Schritt geht es darum, den ausgewählten Teilzusammenhang so auszudrücken, daß er einer weiteren Bearbeitung zugänglich wird (so auch Schneeweiß [Modellbildung] 484, der in der Modellbildung zwei Stufen unterscheidet; die bei ihm als erste Stufe angeführte Voranalyse entspricht etwa den beiden ersten hier unterschiedenen Schritten zur Modellbildung). Dies bedeutet im betriebswirtschaftliehen Bereich die Formulierung in der Fachsprache, häufig auch die Übertragung des betrachteten Teilzusammenhangs in eine formalisierte Sprache, etwa eine mathematische Formalsprache oder eine graphisch-symbolische Darstellung. Das Ergebnis ist ein (formales) Modell. Obwohl man auch in früheren Stufen des beschriebenen Konstruktionsprozesses bereits von Modellen sprechen könnte, ist es üblich, den Modellbegriff auf die beschriebene dritte Stufe zu beschränken. So kann ein Modell als » ... Abbildung eines Teilzusammenhangs aus einem Betrachtungsgegenstand« (Schweitzer [Bilanz] 20; [Industriebetriebslehre] 18) definiert werden. Diese Abbildung ist dort strukturähnlich, wo bereits vorstrukturiert wurde, dort strukturgebend, wo Strukturierungselemente noch fehlten.

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A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen

Auch die vorherigen Modellbildungsschritte können freilich als Abbildungen verstanden werden. Dort überwiegt jedoch stark die (erstmalige) Strukturgebung. Das Abbilden ist in diesen Vorstufen eher so aufzufassen, daß der Modellkonstrukteur »sich ein Bild von etwas macht«, als daß er einen schon weitgehend vorstrukturierten Teilzusammenhang strukturähnlich abzubilden versucht. In vielen Fällen werden die beschriebenen Phasen der Modellbildung aus Abb. A-1 mehrfach nacheinander durchlaufen, indem vorher formulierte Modelle wieder als Betrachtungsgegenstand zur Konstruktion weiterer Modelle (höherer Präzision, kleineren Umfangs, anderer Sprache usw.) dienen. So wird eine schrittweise zunehmende Strukturierung erreicht. Dann kann es zweckmäßig sein, die Bezeichnung Modell für solche Abbildungen zu reservieren, die einen bestimmten (in einem »Vor-Modell«) verbal beschriebenen Sachverhalt formal wiedergeben. Ein Vergleich des (Ab-)Bilds mit dem Original, auf den der Begriff der Strukturähnlichkeit aufbaut, ist erst dann möglich, wenn das Original bereits strukturiert ist. Der Vergleich bleibt jedoch subjektiv, solange das Original nicht nachprüfbar formuliert ist. Dies erklärt zu weiten Teilen die unterschiedliche Beurteilung vor allem der » Realitäts-« und » Problemadäquanz« von Modellen. Besteht dagegen eine Übereinkunft darüber, unter welcher Vorstellung bzw. Sichtweise ein Betrachtungsgegenstand ausgewählt und unter welcher Relevanzbeurteilung ein bestimmter Teilzusammenhang herausgegriffen wird, dann kann dieser Teilzusammenhang zum Maßstab für Modellbeurteilungen werden. Die aus dem Teilzusammenhang abgeleiteten Modelle lassen sich dann etwa danach beurteilen, welche Teilaspekte des Analyseobjekts wegen der beschränkten Möglichkeiten der Modellsprache, im Interesse der Übersichtlichkeit, wegen der Gewährleistung der weiteren Bearbeitbarkeit (etwa der rechnerischen Lösbarkeit) des Modells oder aus anderen Gründen gar nicht oder nur unvollkommen (strukturverändernd) abgebildet wurden. Diese Vorgehensweise ist insbesondere in der Betriebswirtschaftslehre üblich. Das einen objektiven Modellvergleich ermöglichende Original ist in der Regel ein Vormodell, das einen Sachverhalt fachsprachlich-verbal darstellt. Für diesen Sachverhalt ist zur weiteren Bearbeitung ein Beschreibungsmodell, Erklärungs- und Prognosemodell bzw. ein Entscheidungsmodell zu bilden (zu den verschiedenen Modellklassen vgl. Schweitzer [Bilanz] 27 ff.).

A. Zur Methodik der Lösung von Finanzplanungsproblemen

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Im hier besonders interessierenden Fall der Konstruktion von Entscheidungsmodellen orientiert man sich an einer verbal beschriebenen Problemstellung. Ihre Definition geht der Bildung von Entscheidungsmodellen voraus. Dies reduziert zwar die Komplexität, stellt aber im allgemeinen noch nicht die Lösbarkeit des Problems sicher (eine nur scheinbar andere Auffassung vertritt Bretzke [Problembezug] z. B. 222 ff.; die Unterschiede rühren daher, daß er die hier besprochene Zwischenstufe der Modellbildung nicht explizit betrachtet). Die Lösbarkeit erreicht man erst durch die Formulierung von besonders darauf ausgerichteten Entscheidungsmodellen. Insbesondere wenn es sich um quantitativ zu bearbeitende Planungsaufgaben handelt, ist die Aufgabenstellung in der Modellformulierung so zu strukturieren, daß für sie ein geeignetes Lösungsverfahren überhaupt existiert bzw. konstruierbar ist. Erst hier wird sichtbar, ob sich die vorherigen Schritte, insbesondere die Formalmodellbildung, fruchtbar in dem Sinne erweisen, daß eine modellgestützte (z. B. quantitativ-rechnerische) Lösung möglich ist. Eine Problemlösung liegt nicht vor, wenn die Bearbeitung mit der Formulierung eines Entscheidungsmodells endet, für das ein Lösungsverfahren aber fehlt. Zentes sieht die Modellbildung (er nennt sie Modellisation) sogar erst dann als beendet an, wenn eine (formale) Lösungsmethode angewendet werden kann (vgl. Zentes [Optimalkomplexion] 30 ff.). Verfahrenstechnische Aspekte werden somit zu einem zentralen Prüfstein der Problemlösung. Dies tritt allerdings dann nicht deutlich hervor, wenn der Modellierungsprozeß in eine Formulierung mündet, für die eine Standardlösungsprozedur existiert, wie es etwa bei linearen Planungsmodellen mit dem Simplexverfahren der Fall ist. Alle verfahrenstechnischen Fragen des Lösungsprozesses sind in diesem gerade für betriebswirtschaftliche Planungsmodelle sehr häufigen Fall durch Anwendung eines Programmes für den Standardalgorithmus gelöst. In anderen Fällen jedoch liegt ein Schwerpunkt der Problemlösung auch in der Entwicklung eines Lösungsverfahrens. Dies bedeutet ein wechselseitiges Abstimmen von Modellstruktur und Fähigkeiten des Lösungsverfahrens. Wegen der Erfordernisse der Lösungsmethode erfassen Entscheidungsmodelle in der Regel nur Teilaspekte des definierten Problems; der von ihnen wiedergegebene (lösbare) ))Problemtyp« (Bretzke [Problembezug] 222) ist also das Ergebnis einer weiteren Komplexitätsreduktion. Diese zweite Vereinfachung geschieht absichtlich und bewußt, um das Problem wenigstens teilweise oder annähernd lösen zu können. Dabei werden die bei jeder Modellbildung bestehenden Freiheitsgrade in der Abstraktion, der Strukturähnlichkeit, der Operationalität und Praktikabilität genutzt (vgl. zu diesen Arten von Freiheits-

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graden Zentes [Optimalkomplexion] 39 ff., der allerdings nicht die beiden hier unterschiedenen Vereinfachungsstufen trennt). Die Zweckmäßigkeit dieses Schrittes steht·denn auch bei der Beurteilung alternativer Modellformulierungen zur Diskussion. Durch einen Vergleich mit dem zugrunde liegenden Vor-Modell wird sichtbar, in welchem Ausmaß der Modellansatz das formulierte Problem adäquat erfaßt. Dies ist in diesem Schritt von mindestens gleicher Bedeutung wie eine Beurteilung seiner Realitätsnähe. Die beiden genannten Kriterien verwenden verschiedene Stufen des Modellbildungsprozesses als Bezugsgrößen des Vergleichs. Während die Problemerfassung anband eines mit allen Einflußgrößen der Modellentwicklung behafteten Vor-Modells beurteilt wird, stellt das Kriterium der Realitätsnähe auf einen unmittelbaren Vergleich von Modell und ursprünglichem, realem Betrachtungsgegenstand ab. Es wird danach gefragt, inwieweit die Anwendungsbedingungen des Modells einen Situationstyp unterstellen, der (annähernd) in der Realität vorkommen kann (vgl. Bretzke [Problembezug] 214 f.). Diese Untersuchung beschränkt sich freilich auf die im Modell vorkommenden Größen; deren Relevanz (und ))Vollständigkeit«) kann so nicht kritisiert werden - sie bezieht sich auf eine bestimmte Problemstellung und gehört somit zum erstgenannten Merkmal. Das Kriterium der Realitätsnähe ist ferner nur insoweit von Bedeutung, als sich der Betrachtungsgegenstand auf bereits realisierte Sachverhalte bezieht. Für lediglich vorgestellte Betrachtungsgegenstände (etwa prognostizierte oder nur denkbare künftige Größen, erwünschte oder befürchtete Zustände) scheidet dieses Merkmal weitgehend aus; allenfalls könnte nach Realisationswahrscheinlichkeiten gefragt werden. Im übrigen wird ein Modell wegen mangelnder Realitätsnähe nur dann unbrauchbar, wenn die Modellprämissen ))allzu stark« von möglichen realen Situationen abweichen, d. h. eine Situation unterstellen, die auch nicht annähernd vorliegen kann. Ansonsten liegt der Nutzen eines Entscheidungsmodells oft gerade darin, sich in bestimmten Punkten durch Vereinfachungen und Vergröberungen von der Realität mehr oder weniger deutlich zu entfernen, um so wenigstens annähernde Lösungen finden zu können (vgl. auch Bretzke [Problembezug] 221 ). Solche bewußten und absichtlichen Komplexitätsreduktionen durch ))Realitätsentfernungen« lassen sich durch Vergleich mit der (umfassenderen) Problemformulierung ausmachen. Demgegenüber sind für die Auswahl, Formulierung und Abgrenzung der Problemstellung auch (teilweise unbewußte) Voraussetzungen von Bedeutung, die sich letztlich mangels Vergleichsbasis einer auch nur subjektiv nachprüfbaren Begründung entziehen. Bretzke unterscheidet vier Bestim-

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mungselemente für die Problemdefinition (vgl. Bretzke [Problembezug] 39 ff., 72 ff., 103 ff., 142 ff.). Sie sind zugleich teils Voraussetzung, teils Gegenstand der Problemdefinition: (1) das Akzeptieren bzw. Entwickeln und Anwenden eines bestimmten Deutungsmusters als »eine bestimmte Art und Weise, die Dinge zu sehen« (Bretzke [Problembezug] 42); (2) das Bilden und Verfolgen von Zielvorstellungen, die Voraussetzung dafür sind, Probleme als relevante Sollzustands-Abweichungen zu erkennen; (3) das (vorläufige) Abstecken eines Entscheidungsfeldes, indem durch Definitionsmerkmale bestimmte Handlungsalternativen zugelassen, andere ausgeschlossen werden (den Aspekt der Aufbereitung des Entscheidungsfeldes als Voraussetzung zur Konstruktion lösbarer Entscheidungsmodelle betont insbesondere auch Hax; vgl. z. B. [Bewertungsprobleme]751); (4) das Erwarten bestimmter Zustände, Entwicklungen bzw. Zielrealisationen, wodurch Probleme erst als bedeutungsvoll und verfolgenswert eingestuft werden.

Diese vier Bestimmungselemente gelten sowohl für eine allgemeinere verbale als auch für die engere, formale Problemdefinition eines bereits aufbereiteten Entscheidungsmodells. Sie dienen der Reduktion von Komplexität und damit dem Erreichen einer Problemformulierung, die eine Lösbarkeit erlaubt oder mindestens erleichtert. Nach den bisherigen methodischen Überlegungen ist also die umfassende inhaltliche Kennzeichnung der Probleme für eine nachvollziehbare und beurteilbare Bearbeitung jeder Planungsaufgabe grundlegend. Präzisiert wird das Vorgehen im Prozeß der Komplexitätsreduktion (vgl. Abb. A-1, insbesondere Stufe 3 und Stufe 4) durch die Art der herangezogenen (Formal-)Modelle sowie durch die angewendeten Lösungsmethoden. Für den Ansatz der vorliegenden Arbeit gilt: (1) Bearbeitete Probleme:

Inhaltlich werden Probleme der betrieblichen Finanzplanung betrachtet. Hierunter wird hauptsächlich die Planung inner- und außerbetrieblicher Geldströme verstanden.

(2) Verwendete Modelle: Es werden hauptsächlich zwei Typen von Modellen verwendet: (a) Zur Wiedergabe der Entscheidungsprobleme der Finanzplanung dienen quantitativ-graphentheoretische Modelle (quantitative Netzwerkmodelle). Um allzu große Strukturabweichungen zwischen definierter Problemstellung und graphentheoretischer Modelldarstellung zu vermeiden, wird ein besonderer Typ graphentheoretischer Darstellungsweise eingeführt. Dabei wird jedoch nicht eine abgeschlossene Zahl fertiger Graphenmodelle entworfen, um sie anschlie-

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ßend für den allgemeinen Fall zu lösen. Vielmehr wird gezeigt, auf welche Weise sich Teilzusammenhänge des Finanzbereichs in Modelle dieses Typs einbringen lassen. Insgesamt wird daher nicht das einzelne Modell, sondern eine »Model/ierungstechnik« (vgl. Bretzke [Problembezug] 15, 238) nach Art z. B. der Netzplantechnik oder der Nutzwertanalyse eingeführt. Mit ihr kann ein Planer die für ihn relevanten Teilaspekte (zugelassener Kategorie) in solchen Modellen abbilden. (b) Zur Beschreibung von speicherbaren Ein- und Ausgabedaten der Finanzplanungsrechnungen wird ein Datenbank-Modell entworfen. Auch hier kommt es nicht auf die Formulierung eines Einzelmodells für eine spezielle Anwendung an, sondern auf das Prinzip des Datenbank-Aufbaus. Mit der von Wedekind vorgeschlagenen »Objekttypen-Methode« (vgl. z. B. [Datenbanksysteme I]) steht hierfür eine geeignete allgemeine Modellierungstechnik bereits zur Verfügung. Sie wird herangezogen, um ein Rahmenmodell einer auf Finanzplanungszwecke ausgerichteten Datenbank zu entwerfen. Gegenstand der Entwicklung ist in diesem Fall also nicht eine Modellierungstechnik, sondern ein allgemeines Grundmodell, aus dem man in jedem Anwendungsfall durch Spezialisierung die adäquate Ausprägung erhält. (3) Eingesetzte Lösungsmethode:

Zur quantitativen Lösung der in Netzwerken modellmäßig formulierten Entscheidungsaufgaben wird eine Methode vorgeschlagen, die ebenfalls graphentheoretisch begründet ist und somit eine besondere Modell-Umformulierung zum Zwecke der Lösung erübrigt. Um auch für Problemstellungen, die über die in einzelnen Netzwerkmodellen erfaßten hinausgehen, Modellergebnisse nutzen zu können, werden die exakten ModellBerechnungsmethoden durch heuristische Anwendungsregeln ergänzt. Derartige Regeln stellen auch die Verbindung zwischen Datenbank und den Netzwerkmodellen her. Insgesamt entsteht so ein System von Lösungsmethoden für das gesamte Problemfeld der Finanzplanung im definierten Sinn.

Eine erste Begründung für die gewählten Modelle und Methoden ergibt sich aus folgenden Überlegungen: In vorläufiger Grobabgrenzung ist es Aufgabe der betrieblichen Finanzplanung, künftige Einund Auszahlungen sowie (gemäß einer präzisen Problemabgrenzung) bestimmte andere, damit zusammenhängende Größen so festzulegen, daß ein Liquiditätsziel und weitere Ziele erreicht werden. Die be-

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triebswirtschaftliche Forschung hat zur Finanzplanung nur wenige Typen von Ansätzen entwickelt. In vielen Fällen handelt es sich um Modelle, die eher den Aufbau eines fertigen Finanzplans beschreiben als den Prozeß seiner Entwicklung analysieren. An Gestaltungsmodellen zur Finanzplanung lassen sich bisher hauptsächlich zwei Arten unterscheiden: die (in der Regel nichtlinearen) Kassenhaltungsmodelle sowie die auf der linearen Planungsrechnung basierenden Modelle. Kassenhaltungsmodelle behandeln nur einen kleinen Teilbereich der betrieblichen Finanzplanung. Durch die Annahme bestimmter Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zahlungsströme gehen in diese Modelle zwar auch Risiko-Überlegungen ein, wegen einer Reihe stark beschränkender Modellvoraussetzungen sowie wegen der Lösungstechnik, die nur wenige Variablen erlaubt, ist ihr Anwendungsbereich sehr eng. Für die Klasse der linearen Finanzplanungsmodelle gelten diese Einschränkungen nicht. Zwar lassen sich mit ihnen Ganzzahligkeitsprobleme in praktisch bedeutsamen Größenordnungen kaum sowie Fälle mit nicht sicheren Informationen nur rudimentär behandeln, immerhin aber ist mit linearen Modellen eine systematische Behandlung der Datenmassen möglich, die in der betrieblichen Praxis bei der Finanzplanung anfallen. Bei diesem Stand der Entwicklung scheinen Finanzplanungsprobleme, auf die lineare Modelle anwendbar sind, wissenschaftlich unergiebig. Andererseits sind für sie nur relativ wenige praktische Anwendungen bekannt. Typisch für die Wirtschaftspraxis ist vielmehr ein manuelles, eher heuristisches Vorgehen von Finanzdisponenten und -Strategen. Das hat u. a. folgende Gründe: (1) Das Übertragen von Planungsfragen in ein lineares Planungsmodell erfordert eine mehrstufige Abstraktion. Die letztlich formulierten Gleichungssysteme lassen den Zusammenhang mit dem ursprünglichen Problem häufig nicht mehr unmittelbar erkennen. (2) Lineare Finanzplanungsmodelle sind in der Regel als Neuaufwurfs-Modelle

konzipiert, d. h., sie gehen (implizit) davon aus, daß alle Entscheidungsvariablen erstmals und zugleich endgültig zu bestimmen sind. Die praktischen Anwendungen sind aber eher durch eine Situation rollender Planung gekennzeichnet, bei der zu jedem Entscheidungszeitpunkt einige der nicht beeinftußbaren Größen (leicht) verändert sind und nur einige der beeinftußbaren Entscheidungsgrößen neu festgelegt werden können.

(3) Die bisher in der Literatur diskutierten linearen Finanzplanungsmodelle lassen meist nur zu, die ermittelte Optimallösung insgesamt zu akzeptieren oder insgesamt zu verwerfen. Ein Einsatz in einer interaktiven Entscheidungstindung ist nicht vorgesehen. (4) Die für die linearen Planungsmodelle erforderlichen Daten liegen im betrieblichen Rechnungswesen oft nicht in adäquater Form vor. Sie müssen teilweise aus Daten, die zu anderen Zwecken erfaßt worden sind, erst gewonnen werden.

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Aus diesen Punkten ergibt sich das Vorgehen dieser Arbeit: (1) Da man bei der Formulierung von Gestaltungsmodellen für die Finanzplanung ohnehin häufig eine graphentheoretische Darstellung als leicht verständliches »Zwischenmodell« verwendet, bietet sich eine Erfassungs- und Lösungstechnik an, die auf dieser Formalebene verbleibt. Dies ist auch deshalb vorteilhaft, weil sich Probleme der Planung von Zahlungsströmen in Netzwerken darstellen lassen, die nur geringfügig allgemeiner sind als Netzwerke vom Ford/Fulkerson-Typ, für die sehr effiziente Lösungstechniken bekannt sind. (2) Es wird eine Konzeption für eine rollende Planung mit Finanznetzwerken entwickelt. Für die einzelnen Netzwerkkomponenten ergeben sich dabei besondere Fortschreibungs-, Detaillierungs- und Präzisierungsregeln. (3) Der Planungsansatz wird so aufgebaut, daß zu jedem Entscheidungszeitpunkt Vorgaben aus früheren Festlegungen, aus der aktuellen Datenlage sowie Vorgaben aus Entscheidungen außerhalb des Modells ohne besonderen Verfahrensaufwand berücksichtigt werden können und für die verbleibenden, nicht festgelegten Entscheidungsgrößen eine »Rest«-Optimierung möglich ist. Dies ist auch deswegen zweckmäßig, weil bestimmte Entscheidungen, insbesondere solche über stark risikobehaftete Alternativen, in Modellen auf linearer Basis nicht adäquat abgebildet werden und daher besser interaktiv zu entwickeln sind. (4) Es wird das Konzept einer Datenbank vorgelegt, das neben den Anforderungen, die für das sonstige Rechnungswesen gelten, vor allem jene erfüllt, die eine interaktive, rollende Finanzplanung mit Netzwerken stellt. Bei diesem Vorgehen mag auffallen, daß für nahezu denselben Betrachtungsgegenstand zwei Abbildungstechniken verwendet werden: einmal ein graphentheoretischer Ansatz zum Formulieren von Finanzplanungsmodellen, zum anderen die Objekttypen-Metbade Wedekinds zum Konstruieren einer Datenbank für Finanzplanungsdaten. In beiden Fällen werden damit, wie Abb. A-2 zeigt, auf verschiedene Weise gleiche Schritte des Modellbildungsprozesses parallel vollzogen. Ist dieses doppelte Vorgehen erforderlich oder mindestens zweckmäßig? In der Tat wird man, wenn eine Datenbank bereits besteht, ein gewünschtes Entscheidungsmodell auf indirekte Weise formulieren: Kennt man die Struktur des Entscheidungsmodells, dann kann die Bestückung mit den passenden Daten ein (automatisierter) Modellgenerator übernehmen, der, wie in Abb. A-2 angedeutet, zwi-

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sehen Datenbank und Entscheidungsmodell eingeschalet ist. Dieses Verfahren ist für die laufende Anwendung einer programmierbaren Modellierungstechnik von Bedeutung, wo mehrfach, oft in rhythmischer Wiederholung, gleichartige Entscheidungsmodelle mit wechselnder Datenbasis zu berechnen sind. Für die laufende Modellanwendung ist dies vorteilhaft, nicht jedoch für die Konzeption und den erstmaligen Aufbau eines Entscheidungsmodells.

Betr.:htungsgegenllend der Datenbank· Konstruktion

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I

IOEALITAT

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REALITAT

Betrachtungsgegenstand der Entschtldungsmodellformulierung

Abb. A-2: Parallele Modellbildung zur Entwicklung eines Entscheidungsmodells und einer Datenbank

Ein Entscheidungsmodell wird, auch bei allgemeiner Formulierung, im Hinblick auf einen ganz bestimmten Einzelfall entworfen. Es ist fallorientiert und zweckbezogen. Eine Datenbank ist dagegen auf eine dauernde Bereitstellung von Daten für möglicherweise mehrere Anwendungszwecke und eine Vielzahl von Fällen ausgerichtet. Sie stellt daher sowohl mehr Daten als auch Daten in anderer Form bereit, als für ein bestimmtes Entscheidungsmodell gebraucht werden. Für die Formulierung nur eines einzigen Entscheidungsmodells ist daher der Umweg über ein Datenbankmodell nicht vorteilhaft. Zur Erläuterung eines Entscheidungsmodellansatzes ist er nicht zweckmäßig. Auch wenn in der späteren Daueranwendung die erforderlichen Modelle durch einen Modellgenerator aus der Datenbank erzeugt werden, ist der Modellanwender damit nicht befaßt. Für ihn stellt sich, unabhängig von etwa software-internen Modellbildungs- und Datenübergabe-

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prozeduren, das Entscheidungsmodell als unmittelbares Abbild des Problems dar. So kann er Entscheidungen anband des Modells treffen und ihre abgebildeten Auswirkungen analysieren. Daher werden in dieser Arbeit die Netzwerk-Entscheidungsmodelle gemäß Abb. A-2 als unmittelbare Abbildungen des entsprechenden vorformulierten Teilzusammenhangs eingeführt und untersucht. Bei einer Daueranwendung wird indessen der Weg einer jeweils isolierten Einzelformulierung der Modelle nicht beschritten. Hier erweist sich eine Datenbank als vorteilhaftes ZwischenmodelL Ohne redundante Dateneingabe können so z. B. zeitlich aufeinanderfolgende Modelle gebildet werden, Modelle mit nur in einigen Punkten veränderten Größen, Modelle verschiedenen Detailliertheits- oder Präzisionsgrades zum gleichen Problembereich, Modelle, die Resultate aus Vorgängermodellen berücksichtigen sollen usw. Die DatenbankEigenschaften betreffen lediglich den Datenfluß von und nach einzelnen Modellen. Die Datenbankstruktur kann daher unabhängig von Entscheidungsmodell und Lösungsverfahren entworfen werden, wenn nur die in den Entscheidungsmodellen erforderlichen Inputdaten sowie relevante Outputdaten in der Datenbank enthalten sind. Die Überlegungen zur Konstruktion einer Datenbank für die Finanzplanung werden aus diesen Gründen in einem separaten Kapitel E vorgenommen. Sie gehören aus Sicht der Entwicklung von Entscheidungsmodellen für die Finanzplanung ebenfalls zur Implementierungsund Anwendungsproblematik. Für die Darstellung von Lösungsverfahren besteht eine analoge Wahl. Jede Lösungsmethode ist ein Umformungsvorgang von Daten. Dementsprechend kann seine Beschreibung am Umformungsprozeß selbst oder an seinem Input und Output anknüpfen. Somit stehen sich eine algorithmusorientierte (dynamische) und eine datenorientierte (statische) Darstellung gegenüber. Vielfach wird die Meinung vertreten, insbesondere zur Beschreibung von Computerprogrammen sei die datenorientierte Wiedergabe einfacher zu verstehen und daher, soweit möglich, zu bevorzugen (vgl. z. B. Jackson [Programmentwurf] 22 ff.). Sie zeigt das Ergebnis eines Rechenprozesses und aus welchen Eingangsdaten es gewonnen wurde. Die algorithmusorientierte Darstellung zeigt dagegen die Umwandlungsschritte. Gerade bei betriebswirtschaftlichen Problemen sind die Rechenvorgänge indessen inhaltlich oft nicht so schwierig, daß sie explizit dargestellt werden müßten. Zahlreiche Beispiele, besonders aus dem Rechnungswesen, zeigen, daß hier die Datenflüsse häufig mehr Aufschluß über den Verarbeitungsvorgang geben als die Angabe einzelner Rechenschritte. Dies gilt auch für viele Finanzplanungsmodelle, die algorithmusorientiert beschrieben werden, obwohl in der Tat der Algorithmus-Aspekt gering

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ist. Über Datenherkunft und -verbleib wird dann höchstens außerhalb der eigentlichen Methodenbeschreibung gesprochen. Bei den in dieser Arbeit behandelten Finanzplanungsmodellen hingegen sind algorithmische Fragen nicht vernachlässigbar. Es handelt sich um typische Entscheidungsrechnungen, die wenige Datenbewegungen, jedoch erhebliche modellendogene Umformungen umfassen. Daher werden die Methoden algorithmusorientiert eingeführt. Notwendige Datenbewegungen werden in Zusammenhang mit Datenbankanwendungen behandelt. Den bisherigen Überlegungen entsprechend ist die vorliegende Arbeit im weiteren wie folgt aufgebaut: - Im Kapitel B I wird das Problem der Finanzplanung im hier verstandenen Sinn definiert, in die betriebliche Gesamtplanung eingebettet sowie in typische, unter dem gewählten Blickwinkel relevante Teilfragen aufgegliedert. Diese (verbale) Problemformulierung ist Grundlage und Bezugsvorstellung für alle weiteren Teile der Arbeit. - Im Kapitel B li werden zunächst die wichtigsten bekannten (Formal-)Modelle zur Finanzplanung im Überblick gekennzeichnet und beurteilt. Im für das Weitere grundlegenden Teil/li des Hauptkapitels B wird eine Modellierungstechnik für FinanzNetzwerke eingeführt, und es werden Besonderheiten der gewählten Formalisierung besprochen. - Hauptkapitel C ist der ausführlichen Herleitung, (algorithmusorientierten) Beschreibung und Begründung eines graphentheoretischen Lösungsverfahrens gewidmet, das auf die Struktur der Finanznetzwerke ausgerichtet ist. Die beiden folgenden Hauptkapitel können der Anwendungsproblematik für das Netzwerkmodell zur Finanzplanung zugerechnet, zu Teilen aber auch als weitergehende Methoden- bzw. Modellentwicklung angesehen werden. - Die Planungsarbeit mit Finanznetzwerken beschreibt Hauptkapitel D. Es zeigt zunächst an Beispielen die Formulierung, Lösung und Interpretation von Finanznetzwerken. Da jedes Finanznetzwerk nur einen Teil des aufgeworfenen Finanzplanungsproblems abdeckt, braucht man Verfahrensergänzungen (Regeln) dafür, wie man Modelle der eingeführten Art zur Lösung des Gesamtproblems einsetzt. Diese Problematik behandeln die weiteren Teile des Hauptkapitels D. Hierzu gehören die Aufbauprinzipien eines mehrstufigen Finanzplanungssystems sowie

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Regeln für den Modelleinsatz bei rollender Planung. Ferner wird die weitergehende Verwendung von Modellansatz und -ergebnissen erötert. - Alle datenorientierten Überlegungen zur Anwendung der Finanznetzwerke, d. h. zum Aufbau und Einsatz einer finanzplanungsbezogenen Datenbank sind in Hauptkapitel E zusammengefaßt. Bei der Analyse der einzelnen Teilschritte einer Planung mit Finanznetzwerken fallen Ergebnisse an, die auch auf andere Planungsprobleme anwendbar sind. Ein Ausblick hierauf wird am Ende der Arbeit gegeben.

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung 1. Die Finanzplanung als Teil der betrieblichen Finanzwirtschaft Die in einer Unternehmung fließenden Güterströme können grob den Realgütern oder den Nominalgütern zugeordnet werden. Zu den Nominalgütern rechnet man Geld und alle Arten von Geldansprüchen. Die Realgüter umfassen alle anderen Wirtschaftsgüter (vgl. Kosiol [Aktionszentrum] 120). Der Unternehmungsprozeß als ein System von Handlungen der Bereitstellung und Verwendung von (Wirtschafts-) Gütern (vgl. Schweitzer/Küpper [Systeme] 17) läßt sich demgemäß in einen Realgüterprozeß und einen Nominalgüterprozeß aufteilen, wenn man jeweils Bereitstellung und Verwendung von Realgütern und von Nominalgütern getrennt betrachtet. Der Unternehmungsprozeß wie auch alle seine Teilprozesse drücken sich in beobachtbaren Güterbewegungen aus, so daß jeder Prozeß als System von Güterflüssen angesehen werden kann. Der Realgüterprozeß wird auch als Produktionsprozeß, der Nominalgüterprozeß auch als Finanzprozeß bezeichnet. In dieser Sprechweise sind Nominalgüter, Finanzen und Finanzgüter Synonyma. Geht man vom Erkenntnisgegenstand der Betriebswirtschaftslehre, dem Wirtschaften als dem Entscheiden über knappe Güter (vgl. Schweitzer [Gegenstand] 34) aus, ist der Inhalt der Finanzwirtschaft als »Wirtschaft« des Nominalgüterbereichs wie folgt abzugrenzen: Die betriebliche Finanzwirtschaft umfaßt die Gesamtheit aller Überlegungen im Zusammenhang mit Entscheidungen, welche die Nominalgüter (Finanzen) und den Nominalgüterbereich (Finanzbereich) eines Betriebes betreffen. Finanzplanung, eine Teilaufgabe innerhalb der Finanzwirtschaft, ist die Planung der Nominalgüterströme.

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

In der vorliegenden Arbeit werden alle finanzwirtschaftliehen Tatbestände und Vorgänge auf Zahlungen zurückgeführt. Dies erweist sich vor allem für die konkrete Planungsarbeit als vorteilhaft. Eine konsequent monetäre Sichtweise aller Teilbereiche der Finanzwirtschaft wird in neuerer Zeit insbesondere von Benner ([Finanzwirtschaft]) vertreten. Zu einer genaueren Kennzeichnung der Finanzplanung gelangt man einerseits durch eine tiefere Analyse der Nominalgüterftüsse, andererseits durch eine präzisere Abgrenzung der dabei bestehenden Planungsaufgabe. Die erstgenannte, inhaltliche Analyse des Gegenstandes der Finanzplanung wird im nachfolgenden Abschnitt 2 vorgenommen. Die zweitgenannte Analyse betrifft Strukturfragen der Finanzplanung. Sie wird in Abschnitt 3 behandelt.

2. Inhaltliche Analyse des Gegenstandes der Finanzplanung Gegenstand der Finanzplanung sind Nominalgüterftüsse. Nach der Richtung sind eingehende, innerbetriebliche und ausgehende Flüsse zu unterscheiden. Nach ihrer Art handelt es sich bei den in der Finanzplanung behandelten Größen um Geld oder Ansprüche auf bzw. Verpflichtungen zu Geldflüssen. Die letztgenannten sind verschieden stark abgesichert und führen zeitlich unmittelbar oder erst nach gewissen Mindestzeiträumen zu tatsächlichen Geldbewegungen. Es ist zweckmäßig, Nominalgüteransprüche, die rechtlich und terminlieh eine hohe Geldähnlichkeit aufweisen, etwa Sichtguthaben auf Bankkonten, mit Geld zu den liquiden Mitteln (Zahlungsmitteln) zusammenzufassen. Die Abgrenzung zu den verbleibenden Nominalgüterarten sowie innerhalb dieser Restmenge hängt vom Analysezweck ab. Zu- bzw. Abflüsse liquider Mittel werden als bare (Ein- bzw. Aus-) Zahlungen aufgefaßt. Die verbleibenden Nominalgüterbewegungen umfassen sehr unterschiedliche Fälle, so etwa die Entstehung einer Termingeldforderung gegen eine Bank, einer Forderung aus Warenlieferung gegen einen Kunden oder einer Wechselverpflichtung gegenüber einem Lieferanten. Daher ist eine Untergliederung nach weiteren Nominalgütern zweckmäßig. Die Bezeichnungswahl hierzu ist in der Betriebswirtschaftslehre uneinheitlich. Begreift man alle Arten von Nominalgüterbewegungen als Zahlungen, sind eine Reihe verschiedener ZahlungsUnterarten zu unterscheiden (vgl. zu einer konsequenten Durchführung dieses Gedankens vor allem Schweitzer [Axiomatik] 103 ff. und

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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Kosiol [Pagatorische Bilanz] 130 ff.). Eine zweite verbreitete Möglichkeit orientiert sich an den Nominalgüterkategorien, die in Buchführung und Bilanzierung auftreten. Betrachtet werden daher alle Nominalgüterbewegungen, die sich in diesem Rechenwerk niederschlagen. Definiert man als Geldvermögen die Summe aus (Bar-) Geldbeständen und (Geld-) Forderungen abzüglich der (Geld-) Schulden, können z. B. alle Nominalgüterbewegungen, die das Geldvermögen erhöhen, als Einnahmen, jene, die das Geldvermögen vermindern, als Ausgaben festgelegt werden. Mit der Bezeichnung »Zahlung« sind dann stets Barzahlungen gemeint, während die in Buchführung und Bilanz vorkommenden Forderungs- und Schuldenarten weitere Einnahmenund Ausgabenarten zu unterscheiden erlauben (zu dieser Auffassung vgl. z. B. Wöhe [Bilanzierung] 8 ff., zum Überblick Weber [Ausgaben] 93 ff.). Unabhängig von den gewählten Bezeichnungen ist es eine problemabgrenzende Grundfrage finanzwirtschaftlicher Überlegungen, welche einzelnen Nominalgüterarten überhaupt betrachtet, zu welchen Gruppen sie zusammengefaßt und welche Bewegungen dieser Nominalgüterarten analysiert werden sollen. Festlegungen dieser Art bestimmen nach Art einer methodischen Vorentscheidung den Charakter der Problemstellungen, die in der Finanzwirtschaft behandelt werden. Da alle Nominalgüterbewegungen letztlich zu Veränderungen des Bestandes an Geld bzw. (bei erweiterter Fassung) an Zahlungsmitteln führen, sind von den mit einem betrieblichen Vorgang verbundenen Nominalgüterbewegungen in jedem Fall die (baren) Zahlungen zu betrachten (Krümme} grenzt die Finanzplanung sogar hierauf ein: vgl. [Grundsätze] 227). Dies gewährleistet eine vollständige, wenn auch keine zeitlich früheste Berücksichtigung aller Vorgänge im Nominalgüterbereich. Wie das Entstehen bzw. Erlöschen verschiedener Verpflichtungsstufen einer Forderung (unverbindlich versprochene - vertraglich abgemachte - fällige - eingeklagte - gerichtlich bestätigte- . . . - Forderung auf eine Zahlung) unterschieden werden, ist eine Zweckmäßigkeitsfrage. Sobald mehrere Nominalgüterarten unterschieden werden, muß jedoch darauf geachtet werden, Mehrfachzählungen zu vermeiden (vgl. Weber [Ausgaben] 95). Richtung und Art decken auf, um welche Nominalgüterbewegungen es sich grundsätzlich handelt. Zur weiteren genauen Kennzeichnung von Zahlungen dienen vor allem folgende drei Merkmale (vgl. zu diesen »Dimensionen« von Zahlungen Benner [Finanzwirtschaft] 50): - die Höhe der Zahlung, - die Termine der Zahlung, - der Grad der Gewißheit, d. h. die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zahlung erwartet werden kann.

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Insbesondere das dritte Merkmal dieser Liste bedarf im konkreten Anwendungsfall noch weiterer Operationalisierung. So ist z. B. zu überlegen, wie Abweichungen in Höhe oder Termin bei der Gewißheitsquantifizierung berücksichtigt werden (zu Beispielen vgl. Benner [Finanzwirtschaft] 102 ff. ). Für Planungs- und Entscheidungszwecke zentral ist schließlich eine Gliederung der Zahlungen nach ihrer Disponierbarkeit. Zu jedem Zeitpunkt sind jeweils nur einige Zahlungen disponibel. Ein großer Teil ist durch frühere Entscheidungen festgelegt. Insbesondere sind viele Ein- und Auszahlungen die Folge früherer Entscheidungen im Produktionsbereich oder früherer Entscheidungen über Finanzanlagen bzw. Kreditaufnahmen. Nicht disponibel sind auch von außerbetrieblichen Stellen fixierte Zahlungen, etwa Steuern oder Subventionen. Auch sie sind letztlich auf Entscheidungen der Vergangenheit zurückzuführen. Eigentlicher Entscheidungsgegenstand ist stets eine Gesamtheit mehrerer Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten erfolgen. Sie sind die finanziellen Auswirkungen eines einheitlichen Projekts (vgl. Harms [Steuerung] 76). Es kann im übrigen durch weitere Konsequenzen im Produktionsbereich, im sozialen Bereich u. a. gekennzeichnet sein. Für Entscheidungszwecke empfiehlt sich somit eine projektorientierte Vorgehensweise. Dann ist in der Finanzwirtschaft jeweils eine Reihe zusammengehörender Zahlungen zu betrachten, die als Zahlungsstrom (Geldstrom) bezeichnet wird. In Ausnahmefällen kann ein Zahlungsstrom nur aus einer einzigen Zahlung bestehen. Ein Zahlungsstrom ist insgesamt zu wählen oder abzulehnen. Durch die zugehörige Entscheidung wird der Zahlungsstrom in seiner Breite (d. h. in der Höhe seiner Zahlungen), seiner zeitlichen Struktur und mit bestimmten Gewißheitsgraden seiner Zahlung begründet (vgl. Benner [Finanzwirtschaft] 52, 95 f.). Insbesondere bei längerfristigen Projekten folgt häufig eine Reihe weiterer (Detail-) Entscheidungen, die einzelne Komponenten des Zahlungsstroms konkretisieren. So werden beispielsweise Zahlungstermine, die anfänglich nur ungenau bestimmt waren, im Projektverlauf präzisiert, nur bereichsweise vereinbarte Zahlungen (etwa Zinsen oder Tilgungen) werden eindeutig festgelegt usw. Dennoch ist der Zahlungsstrom durch die ursprüngliche Begründungsentscheidung im Kern festgelegt. In vielen Fällen gibt es eine Hauptzahlung, in der sich der Zweck des Projekts niederschlägt. In anderen Fällen kann eine solche zumindest definiert werden. Harms ([Steuerung] 90) bezeichnet diesen Kernteil eines Zahlungsstroms als Leitzahlung, die anderen Zahlungen zum gleichen Projekt als induzierte Zahlungen. Nach ihrem Kernteil bzw. allgemein nach dem Zweck lassen sich wichtige Grundarten zahlungs-

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wirksamer Projekte kennzeichnen: Investitionen und Finanzierung sowie ihre inversen Prozesse. Unter Investition wird die Umwandlung liquider Mittel in andere Wirtschaftsgüter verstanden (vgl. zum Investitionsbegriff z. B. Kern [lnvestitionsrechnung] 8, Kruschwitz [Investitionsrechnung] 3 ff., Schneider {lnvestitionsrechnung] 148). Leitzahlung ist hier eine Auszahlung gegen Anfang des Projektzeitraums, weitere finanzielle Kennzeichen sind andere (kleinere) Auszahlungen sowie vor allem Einzahlungen im weiteren Projektverlauf. Den Investitionsbegriff nur auf den Zahlungsaspekt zu beschränken (wie Schneider [Investition] 148) erscheint unzweckmäßig, da bei vielen Investitionen nicht die Erzielung von Zahlungsüberschüssen, sondern andere Zielgrößen im Vordergrund stehen. Ferner ist der hier gegebene Definition nicht zwingend, daß eine Investition mit einer Auszahlung beginnt. Die erste Zahlung könnte durchaus auch eine (kleinere) Einzahlung sein, der die eigentliche Auszahlung der Investitionssumme folgt (vgl. dazu Swoboda [Finanzierung] 15). Der hier verwendete Investitionsbegriff schließt Finanzinvestitionen (d. h. Nominalgüter-Investitionen), immaterielle Investitionen sowie schnell umschlagende Investitionen, z. B. im Produktionsbereich ein. Es kann allerdings zweckmäßig sein, von Investitionen im engeren Sinn erst ab einem gewissen Auszahlungsbetrag sowie ab einer gewissen Mindestlaufzeit des Projekts zu sprechen, deren Höhe sich an den Verhältnissen im betrachteten Betrieb ausrichtet. Als Finanzierung wird das Erlangen und Sichern liquider Mittel bezeichnet. Damit ist das Ergebnis entsprechender Aktivitäten gemeint. Eine ohne eigenes Zutun (passiv) erhaltene Schenkungszahlung etwa rechnet - unbeschadet ihrer Einzahlungswirkung - nicht zur Finanzierung (zu ähnlicher Auffassung der Finanzierung vgl. Köhler [Finanzierungsbegriff] 451, zum Überblick über verschiedene Finanzierungsbegriffe vgl. z. B. Grochla [Finanzierung] 413 ff., Lehrnano [Begriff] 267 f. sowie Benner [Finanzwirtschaft] 241 ff.; zur historischen Entwicklung des Finanzierungsbegriffs vgl. auch Engelhardt [Finanzierung] 29 ff.). Finanzierung ist hier ein rein monetär begründeter Begriff (vgl. Benner [Finanzwirtschaft]245 ff.); er bezieht sich nur auf Nominalgüterbewegungen. Durch eine genauere Betrachtung der Wirkung auf Zahlungen lassen sich daher verschiedene Finanzierungsformen unterscheiden. So handelt es sich um einen typischen Finanzierungsvorgang, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Zufiuß liquider Mittel erfolgt, mit dem eine Folge späterer Auszahlungen beginnt (vgl. Schneider [Investition] 151 ). Dies trifft etwa für eine Kreditaufnahme zu. Eine Rei-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

he weiterer Finanzierungsarten stimmen mit diesem Beispiel darin überein, daß der Mittelzuftuß nicht aus dem betrieblichen Umsatzprozeß stammt, sondern zusätzlich von außen hinzutritt. Diese Formen rechnen zur Außenfinanzierung und umfassen die Zuführung neuen Eigenkapitals durch Einlagen bisheriger und neuer Teilhaber sowie die Zuführung neuen Fremdkapitals bei den einzelnen Arten der Kreditfinanzierung. Ist der Zuftuß liquider Mittel Ergebnis der betrieblichen Umsatztätigkeit, handelt es sich zunächst um Desinvestitionen. Besonders hier ist der Finanzierungsaspekt vom Investitionsaspekt des gleichen Projekts in der Regel nicht trennbar. Die Ein- und Auszahlungen beruhen auf der gleichen Entscheidung. Solche Desinvestitionen sind dann als Finanzierung aufzufassen, wenn der Mittelzuftuß durch eine besondere diesbezügliche Entscheidung ausgelöst wird, etwa durch Abrechen einer auf Dauer angelegten Investition (Verkauf von Beteiligungsaktien oder ewigen Anleihen) oder durch vorzeitiges Beenden eines ansonsten länger laufenden Projekts (Verkauf von Vermögensanteilen, vorzeitiger Verkauf von Vorräten, Halbfabrikaten, Forderungsverkauf usw., vgl. Schneider [Investitionen) 153). Diese Mittelerlangung aus dem Umsatzprozeß zählt zur Innenfinanzierung. Die bisher genannten Finanzierungsarten betreffen das Erlangen liquider Mittel. Bei der Finanzierung durch Sichern liquider Mittel beruht der eigentliche Mittelzuftuß nicht auf einer besonderen (Finanzierungs-) Entscheidung. Er ist Folge früherer, jetzt nicht diskutierter Entscheidungen. Hier kommt es jedoch auf die davon zu trennende Entscheidung über die Verwendung der zugeflossenen Beträge an. Im Sinne der hier gegebenen Definition handelt es sich um eine Finanzierung, wenn durch entsprechende Maßnahmen liquide Mittel einer ansonsten vorgesehenen Auszahlung nicht zugeführt werden, sondern weiterhin im Betrieb verbleiben. Die Finanzierungsentscheidung betrifft dann eine Umleitung von Zahlungsströmen: Zur Vermeidung einer Auszahlung werden die liquiden Mittel vorübergehend oder dauerhaft z. B. mit Hilfe bestimmter innerbetrieblicher Verrechnungen anderen Verwendungszwecken zugeführt. Beispiele für ein derartiges Sichern schon vorhandener liquider Mittel sind im Bereich der Innenfinanzierung vor allem Maßnahmen zur rechnerischen Verminderung des handels- bzw. steuerrechtlich ausgewiesenen Gewinns, soweit sich an dessen Höhe bestimmte Auszahlungen orientieren. Dies gilt etwa für Dividenden, Tantiemen, bestimmte Steuern. Maßnahmen des Sicherns liquider Mittel im Bereich der Außenfinanzierung sind z. B. Kreditprolongationen und Stundungen. (Eine analoge Position zu diesem Teil des Finanzierungsbegriffs vertritt u. a. Benner [Finanzwirtschaft) 250 ff., 289 f.; vgl. auch Schneider [Investition) 154).

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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Mit dieser Konzeption lassen sich die liquiditätswirksamen Maßnahmen der herkömmlich als Innenfinanzierung bezeichneten Entscheidungen erfassen, ohne in die von Schneider (vgl. [Investition] 149) befürchteten Widersprüche zu verfallen. Andererseits erlaubt diese Auffassung zur Finanzierung dennoch, Güterzuflüsse, die die Nominalgütersphäre berühren, von anderen Güterzuflüssen zu trennen. Dies ist z. B. bei der »kapitalwirtschaftlichen« Auffassung der Finanzierung, die auf Änderung der Kapitalhöhe und der Kapitalstruktur abstellt, nicht durchgängig der Fall (vgl. jedoch zu den Vorzügen jener Konzeption z. B. Vormbaum [Finanzierung] 24, Swoboda [Finanzierung] 15, zum Vergleich auch Lehmann [Begriff] 269 ff. sowie Benner [Finanzwirtschaft] 252 ff.). Zur vollständigen Beschreibung der denkbaren Zahlungsströme sind noch Auszahlungen zu betrachten, denen nicht ein Zugang anderer Wirtschaftsgüter gegenübersteht, die also nicht Teil einer Investition sind. Es handelt sich um Eigenkapitalrückzahlungen und -ausschüttungen sowie um Fremdkapitaltilgungen. Als Güterzugang ist hier höchstens die Verringerung entsprechender Verpflichtungspositionen konstruierbar. Sie werden Definanzierungen genannt und stehen damit der Außenfinanzierung gegenüber. Unter welchem Gesichtspunkt eine Maßnahme betrachtet wird, hängt vorn Zweck ab, zu dem sie durchgeführt werden soll. So fließen durch die Umsatztätigkeit dem Betrieb erhebliche liquide Mittel zu, ohne daß dies als Einzelmaßnahme zur Erlangung von Geld geplant wäre. Dieser Mittelzufluß ist vielmehr Folge früherer Investitionsentscheidungen. Soweit sie daher unbeeinflußbar sind, können diese Mittelzuflüsse nicht Gegenstand heutiger Finanzentscheidungen sein. Sie zeigen nur den Liquiditätsaspekt früherer Entscheidungen und sind für die heutige Finanzierungssituation als unbeeinflußbare, aber vielleicht ungewisse (Prognose-) Daten interesssant. Maßnahmen der Investition, Desinvestition, Innenfinanzierung, Außenfinanzierung und Definanzierung sind häufig in einem Gesarntprojekt, über das simultan zu entscheiden ist, miteinander verbunden. Ob man ein derartiges Maßnahmenbündel z. B. als Investition oder als Finanzierung bezeichnet, ist unbedeutend. Sinnvoll dürfte es aber sein, auf den Hauptzweck des Projekts abzustellen: Finanzierungsprojekte dienen in erster Linie der Bereitstellung liquider Mittel, mit Investitionsprojekten werden andere, im Einzelfall sehr verschiedene Ziele verfolgt, die aber stets mit einer Mittelbindung einhergehen. Aber auch bei Einzelentscheidungen, die z. B. als typische Finanzierungsentscheidungen einzustufen sind - etwa die Art der Außenfinanzierung bei feststehender Mittelverwendung - wird gelten, daß

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

sich die Entscheidungskonsequenzen kaum auf den Finanzbereich beschränken lassen: Als Begleiterscheinungen von Finanzierungsmaßnahmen werden aus Sicht der Unternehmung z. B. besondere vertragliche Verpflichtungen, die Stellung von Sicherheiten, die Gewährung von Informations- oder Mitwirkungsrechten hinzutreten. Mitunter können derartige nichtmonetäre Zielwirkungen von Finanzierungsmaßnahmen von größerer Bedeutung sein als der eigentliche Mittelzuftuß. Ihre Analyse wird durch die hier vertretene Finanzierungsauffassung nicht ausgeschlossen (vgl. hierzu Drukarczyk [Finanzierung] 2). Die Unterscheidung von Investitionen und Finanzierung entspricht der traditionellen Vorstellung einer Trennung von Geldverwendung und Geldbereitstellung. Manches Projekt ist nur schwer in eine der beiden Kategorien einzuordnen, weil Investitions- und Finanzierungsmerkmale gleichzeitig auftreten. Dies kann etwa für Leasingoder andere Kombinationsprojekte zutreffen. Da die zum gleichen Entscheidungsbereich gehörenden (Investitions- und Finanzierungs-) Projekte zweckmäßig gemeinsam analysiert und beurteilt werden, ist die Frage ihrer artmäßigen Zuordnung ohne weitere Auswirkung. Sinnvoll ist daher auch eine undifferenzierte, neutrale Einordnung unter dem Oberbegriff der finanzwirtschaftlich wirksamen Projekte. Die besprochenen Projektarten sind die grundsätzlichen Handlungsaltemativen mit jinanz wirtschajilichen Konsequenzen. Allgemein lassen sich finanzwirtschaftliche Alternati~·en als (zulässige) Möglichkeiten der Bereitstellung, Sicherung und Verwendung vn Nominalgütern kennzeichnen. Diese allgemeine Definition kann auf zwei Weisen interpretiert werden: In einer weiten Begriffsauffassung umfaßt sie alle zulässigen betrieblichen Handlungsmöglichkeiten, die eine Wirkung auf den Nominalgüterprozeß haben. Hierzu zählen sämtliche Investitions- und Finanzierungsprojekte (sowie ihre inversen Vorgänge). Viele sind jedoch nicht ausschließlich Gegenstand der Planung im Finanzbereich, d. h. rein finanzwirtschaftliche Alternativen. Der finanzwirtschaftliche Alternativenraum enthält vielmehr einen großen Teil aller betrieblichen Alternativen, insbesondere überschneidet er sich stark mit dem produktionswirtschaftlichen Alternativenraum. Zur Abgrenzung gerade von diesem Bereich mag daher eine engere Interpretation finanzwirtschaftlicher Alternativen zweckmäßig sein. Nach ihr sind finanzwirtschaftliche Alternativen solche Handlungsmöglichkeiten, deren (direkte) Wirkungen sich auf den Nominalgüterprozeß beschränken. Damit werden finanzwirtschaftliche Alternativen von den nur finanzwirtschaftlich relevanten Vorgängen, die etwa aus produktionswirtschaftlichen Entscheidungen herrühren, abgegrenzt. Dies verdeutlicht, wo der Finanzwirtschaft eine eher passiv reagierende und wo ihr eine aktiv gestaltende Rolle zukommt.

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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Die angesprochenen Wirkungen auf den Nominalgüterprozeß lassen sich nach Benner ([Finanzwirtschaft] 57, 59, 118 f.) wie folgt präzisieren: - ein Zahlungsstrom wird begründet; - das Entstehen eines Zahlungsstroms wird vermieden; - ein bereits begründeter Zahlungsstrom wird in einer oder mehreren Dimensionen (Breite, Zeitstruktur, Gewißheitsgrad) verändert; Zahlungen werden z. B. erhöht, vermindert, vorgelagert, verzögert oder im Gewißheilsgrad vergrößert oder verringert; - die künftigen Zahlungspotentiale, d. h. potentielle Ein- oder Auszahlungsvolumina werden verändert. Benner ([Finanzwirtschaft] 119, 172 f.) unterscheidet zwei Arten von (künftigen) Zahlungspotentialen: das Liquiditätspotential als Zahlungspotential bei Fortführung des Betriebs sowie das Haftungspotential als Zahlungspotential bei Zerschlagung des Betriebs. Mit dieser Konzeption gelingt es ihm, andere Maßnahmen und Wirkungen, die die Zahlungsfähigkeit und die Schuldenfähigkeit beeinflussen, in die monetäre Sicht zu integrieren. Nach den bisherigen Ausführungen kann nunmehr der Aufgabenbereich der Finanzwirtschaft, und damit der inhaltliche Gegenstand der Finanzplanung, gemäß der engeren Eingrenzung finanzwirtschaftlicher Alternativen wie folgt präzisiert werden (vgl. zu alternativen, teilweise ähnlichen Begriffsextensionen u. a. Benner [Finanzwirtschaft] 42, 49 ff., Chmielewicz [Finanzwirtschaft] 19, Grochla [Finanzierung] 426, Lehmann [Begriff] 272, Hax [Finanzierung] 371 f., zur Problematik alternativer Fassungen von Grundbegriffen der Finanzwirtschaft vgl. Cremer [Grundfragen]): Finanzwirtschaft umfaßt (1) die Analyse der Auswirkungen aller betrieblichen Aktivitäten auf gegenwärtige und künftige Zahlungsströme, d. h. auf ihre Begründung, Vermeidung, Veränderung sowie auf die Beeinflussung der Zahlungspotentiale, und (2) die alternative Gestaltung dieser Zahlungsströme, soweit sich die Auswirkungen der entsprechenden Entscheidungen im wesentlichen auf den Finanzbereich beschränken lassen. Finanzwirtschaftliche Alternativen sind damit im einzelnen: Finanzinvestitionen, alle Arten der Außenfinanzierung sowie diejenigen Teile der Innenfinanzierung, die nicht Maßnahmen im Realgüterbereich erfordern (also z. B. keine Verkäufe von Realgütern zu Finanzierungszwecken). Die dadurch erfaßten Aktivitäten betreffen die pro-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

duktionsbereich-unabhängige Gestaltung des Finanzbereichs. Senner führt hierfür den Begriff der >>monetären Subsidiaritätsprozesse« ein und ersetzt damit die von Gutenberg verwendete weitere und in manchen Fällen unscharfe Begriffsbildung des Kapitalfondsprozesses (vgl. Benner [Finanzwirtschaft] 128 f., Gutenberg [Finanzen] 123 ff.).

3. Strukturelle Analyse der Finanzplanung a) Strukturmerkmale der Finanzplanung Nach der Klärung des inhaltlichen Gegenstandes der betrieblichen Finanzplanung wird nachfolgend ihre Aufgabenstellung strukturell und methodisch genauer gekennzeichnet. Die betriebliche Finanzplanung ist Teil der betrieblichen Finanzwirtschaft. Ihr Zweck ist eine zielorientierte Gestaltung künftiger betrieblicher Zahlungen. Die Ziele der Finanzplanung ergeben sich aus den Zielen im Gesamtzielsystem der Unternehmung, zu deren Erreichen der Finanzbereich beitragen soll. Für diesen Bereich ist jedoch die Vielfalt möglicher Ziele nicht so groß: Einmal kommen nur solche Ziele in Frage, deren Erreichung von Zahlungsprozessen abhängen kann. Zum anderen gilt als Existenzbedingung für alle Unternehmungen die Aufrechterhaltung der Zahlungsbereitschaft d. h. das »Postulat der Liquidität« (vgl. Kosiol [Finanzplanung] 263 ff.). Häufig werden die Zwecke der Finanzplanung auf die Aufrechterhaltung der Liquidität und die Erhöhung der Rentabilität verkürzt (vgl. z. 8. Reichmann [Finanzplanung] 1485, Senner [Finanzwirtschaft] 345). Neben der Liquidität ist jedoch nicht nur die Rentabilität als Zielgröße von Bedeutung, ergänzend hierzu oder an ihre Stelle können Zielinhalte wie Vermögen, Sicherheit, Unabhängigkeit u. a. treten. Mit dem allgemeinen Planungsbegriff (vgl. hierzu z. B. Schweitzer [Planung] 1 1 sowie Pfohl [Planung] 28 ff.) ist daher die Aufgabe der Finanzplanung wie folgt allgemein zu definieren : Finanzplanung ist ein geordneter informationsverarbeitender Prozeß, mit dem ein Entwurf (ein Plan) erstellt wird, der künftige Zahlungen sowie andere, damit zusammenhängende Größen so festlegt, daß ein Liquiditätsziel und weitere Ziele erreicht werden (zu verschiedenen Finanzplanungsbegriffen vgl. u. a. Krümmel [Grundsätze] 225; Reichmann [Finanzplanung] 1477; Lücke [Finanzplanung] 547 ; Witte [Finanzrechnung] 548, 550; Witte [Finanzplanung]41; zu einer Diskussion unterschiedlicher Begriffsfassungen der Finanzplanung vgl. z. B. Harms [Steuerung] 18 ff., 23 ff.; zum Überblick über alternative Planungsbegriffe

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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vgl. Fandei [Unternehmensplanung] 480, Hentze/Brose [Unternehmensplanung] 14 ff. sowie Rau [Unternehmungsplanung] 20 ff.). Ein Finanzplan ist demnach ein Entwurf, in dem künftige Ein- und Auszahlungen und andere, damit zusammenhängende Größen so festgelegt werden, daß ein Liquiditätsziel und weitere Ziele erreicht werden. Finanzplanung und Finanzplan sind damit noch sehr allgemein gekennzeichnet. Für eine genauere Behandlung ist zu klären, von welcher zeitlichen und sachlichen Problemstruktur bei der Finanzplanung auszugehen ist. Beide Aspekte der Problemstruktur können formal nach den gleichen Kriterien beurteilt werden. Folgende Strukturmerkmale der Finanzplanung lassen sich unterscheiden: (1) die zeitliche und sachliche Reichweite der Finanzplanung, (2a) die zeitliche und sachliche Differenziertheil der Finanzplanung, (2b) die zeitliche und sachliche Detailliertheil der Finanzplanung, (3) die Berücksichtigung von zeitlichen und sachlichen Interdependenzen in der Finanzplanung, (4) die zeitliche und sachliche Präzision der Teilpläne, (5) die Art der zeitlichen und sachlichen Plankoordination. Auf die zeitliche Problemstruktur angewandt, ergeben sich daraus folgende Teilfragen (zu teils ähnlichen, teils anderen Einteilungen vgl. Töpfer [Planungssysteme] 97 ff.; zu einigen Ausprägungen der zeitlichen und sachlichen Einteilungsmerkmale vgl. - unter anderer Bezeichnung - die Übersicht über Finanzplanungsarten bei Kremeyer [Eigenfertigung] 50 ff.): (1) Zeitliche Reichweite der Finanzplanung (Pianungshorizont):

Auf welchen Zeitraum erstreckt sich die Finanzplanung (vgl. Teichmann [Planungshorizont] 295 ff., Bitz [Zeithorizonte] 176 und [Strukturierung] 195 sowie Töpfer [Planungssysteme] 104 ff.)? (2a) Zeitliche Differenziertheil der Finanzplanung: Ist der Planungszeitraum zeitlich untergliedert, d. h., handelt es sich um einen einperiodigen oder mehrperiodigen Planungsansatz? (2b) Zeitliche Detailliertheil der Finanzplanung: Wie wird eine Untergliederung in Teilperioden vorgenommen (zu (1) und (2a, 2b) vgl. auch Lücke [Finanzkontrolle] 63 ff.)? (3) Berücksichtigung zeitlicher Interdependenzen: Werden Zusammenhänge von finanziellen Größen verschiedener Teilperioden berücksichtigt, d. h., ist der Planungsansatz (komparativ-) statisch oder dynamisch? Welcher Art sind die dynamischen Zusammenhänge?

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

(4) Zeitliche Präzision der Finanzplanung:

Wie genau werden innerhalb der berücksichtigten Zeitstruktur Termine, z. B. Zahlungs- oder Fälligkeitstermine, erfaßt und geplant?

(5) Zeitliche Plankoordination:

Wie werden Teilpläne verschiedener Perioden miteinander abgestimmt? Welche Plangrößen bilden die Schnittstellen einer zeitlich sukzessiven Plankoordination?

Teilfragen der sachlichen Problemstruktur sind: (1) Sachliche Reichweite der Finanzplanung (Sachumfang der Finanz-

plammg): (a) Auf welche Größen erstreckt sich die Finanzplanung inhaltlich? Sind nur bare Ein- und Auszahlungen Gegenstand der Planung? Ab welcher rechtlichen Abgesichertheil werden auch Forderungen und Verbindlichkeiten in die Planung aufgenommen? Bis zu welcher weiteren Liquidierbarkeitsstufe werden Größen wie Bestände an Fertigprodukten, Halbfabrikaten und Einsatzmaterialien oder Ergebnisse rechtlich unverbindlicher Verkaufsvorgespräche berücksichtigt? (b) Bezieht sich die Finanzplanung nur auf die rein finanzwirtschaftliehen Alternativen, d. h., beschränkt sie sich auf die monetären Subsidiaritätsprozesse im Sinne Benners (vgl. Benner [Finanzwirtschaft] 400, 409)? Inwieweit ist die Investitionsplanung und die Planung des Produktionsbereichs in die Finanzplanung integriert?

(2a) Sachliche Differenziertheil der Finanzplanung:

Werden die in die Finanzplanung einbezogenen Größen differenziert behandelt? Wird neben dem Liquiditätspotential das Haftungspotential separat ausgewiesen? Werden in der Planung verschiedene Sachbereiche, wie etwa Produktions- und Finanzbereich, unterschieden?

(2b) Sachliche Detailliertheil der Finanzplanung: Nach welchen Kriterien werden Gruppen von Planungsgrößen gebildet? In welche sachlichen Teilpläne wird die Planung untergliedert? Inwieweit sind Einzelheiten erfaßt? (3) Berückichtigung sachlicher Interdependenzen: Welche Zusammenhänge von Planungsgrößen verschiedener sachlicher Teilbereiche werden berücksichtigt?

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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(4) Sachliche Präzision der Finanzplanung:

Wie genau werden innerhalb der berücksichtigten inhaltlichen Struktur der Finanzplanung die Plangrößen erfaßt und geplant? Wird mit pfenniggenauen oder (grob) gerundeten Zahlungsbeträgen gerechnet?

(5) Sachliche Plankoordination:

Wie werden verschiedene sachliche Teilpläne miteinander abgestimmt? Welche Plangrößen bilden die Schnittstellen einer sachlich sukzessiven Plankoordination?

Abb. B-1 zeigt die Kriterien zur zeitlichen und sachlichen Einteilung der Finanzplanungsarten zusammenfassend im Überblick. Strukturmerkmale der Finanzplanung (1) Reichweite der

Finanzplanung

zeitliche Problemstruktur

sachliche Problemstruktur

sachlicher Planungsumfang: Planungshorizont: Zeitraum, für.den ein Finanz- Weldte betrieblidten Teilbereiplan aufgestellt wird ehe umfaßt die Finanzplanung?

Anzahl der Teilperioden, die (2a) Differenziertheil im Finanzplan unterschieden der Finanzplanung werden

Anzahl der Sachbereiche, die im Finanzplan unterschieden werden

Länge der Teilperioden, Aus(2b) Detailliertheil maß, in dem zeitliche Einzelder Finanzplanung heiten erfaßt werden

Art und Umfang der sachlichen Teilpläne, Ausmaß, in dem sadtliehe Einzelheiten erfaßt werden

Art der berüdcsichtigten zeit- Art der berüdcsich tigten sadtliehen Interdependenzen: Iichen Interdependenzen von Interdepenstatische, komparativ-statische, denzen verschiede- stationär-dynamische oder ner Teilpläne evolutorisch-dynamische Planung

(3) Berücksichtigung

(4) Präzision der

Finanzplanung

Art der Plankoordination

terminliehe Genauigkeit der Plangrößen; Ein-/Mehrwertigkeit von Zeitangaben

sachliche (betragsmäßige) Genauigkeit der Plangrößen; Ein-/Mehrwertigkeit nicht zeitlicher Plangrößen

zeitlich sukzessive oder zeitlieh simultane Planabstimmung (dazu eingesetzte Rechentechnik), Art der zeitlichen Schnittstellen

sachlich sukzessive oder sachlieh simultane Planabstimmung (dazu eingesetzte Rechentechnik), Art der sachlichen Schnittstellen

Abb. P-1: Einteilung von Finanzplanungsarten

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

b) Standard-Aufbau der betrieblichen Finanzplanung Auf die hier formulierten Fragen zur Problemstruktur der Finanzplanung haben sich in Wissenschaft und Praxis bestimmte Standardantworten herausgebildet, die gleichzeitig eine verbreitete Sollvorstellung zum Aufbau der betrieblichen Finanzplanung wiedergeben. Der Aufbau der Finanzplanung ist als Vorentscheidung darüber anzusehen, welche (Teil-) Probleme der Finanzplanung überhaupt bearbeitet und in welcher Weise sie gelöst werden sollen. Damit ist im Anwendungsfall erst die Zweckmäßigkeit der herkömmlichen Finanzplanungssztruktur nachzuprüfen. Der übliche Aufbau der Finanzplanung ist wie folgt zu charakterisieren: Nach dem Planungshorizont werden drei Finanzplanungen unterschieden (vgl. z. 8. Witte [Finanzplanung] 33 ff., Witte [Führungsinstrument] 77): (a) eine sehr kurzfristige Planung, (b) eine mittelfristige Planung, (c) eine langfristige Planung. Die zeitliche Ausdehnung der kurzfristigen Finanzplanung wird mit einem Tag bzw. einigen Tagen angegeben (vgl. Witte [Führungsinstrument] 77). In ihr stehen die Aufrechterhaltung der aktuellen Tages-Liquidität sowie die Steuerung des aktuellen Zahlkungsverkehrs, einschließlich kurzfristiger Kreditaufnahmen und Zahlungsmittelanlagen im Mittelpunkt. Häufig ist dabei der Planungscharakter nur schwach ausgeprägt. Oft beschränkt man sich hier auf die Planungsteilphase der Lagediagnose (zu den Planungsphasen vgl. Wild [Unternehmungsplanung] 32 ff. und Schweitzer [Planung] 14 ff.), indem die Ein- und Auszahlungen des Tages (bzw. der folgenden Tage) in einem Liquiditätsstatus gegenübergestellt werden. Hierauf werden die aktuellen Tagesfinanzentscheidungen basiert. Diese Art einer Rumpf-Finanzplanung wird daher auch als tägliche Liquiditätsrechnung, als Zahlungsmittelplanung oder tägliche Finanzdispositionsrechnung bezeichnet (vgl. Witte [Finanzplanung] 38, Witte [Führungsinstrument] 78 f.). Die langfristige Finanzplanung erstreckt sich mindestens auf ein (folgendes) Jahr, in der Regel aber auf mehrere Jahre. Als obere Grenze für den Planungshorizont führt z. 8. Lücke die Informationsbasis an. Er schlägt vor, die Finanzplanung so weit auszudehnen, wie Informationen über die zu planenden Größen vorliegen. Reichen diese Informationen bei (gleich bedeutenden) einzelnen Prozessen verschieden weit in die Zukunft, soll sich der Planende am Minimum der möglichen Horizonte orientieren. Prognosen von weniger bedeuten-

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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den Größen, die nicht entsprechend weitreichend sind, sollen hilfsweise durch ad-hoc-Hypothesen verlängert werden (Lücke (Finanzkontrolle] 65 f.). Auch in der langfristigen Finanzplanung wird das Schwergewicht oft auf die Lagediagnose gelegt, indem die künftigen jährlichen Veränderungen der einzelnen Positionen von Außen- und Innenfinanzierung, von Desinvestition, Investition und Definanzierung pauschal aufgelistet werden. Dies geschieht z. B. in Form einer Bewegungsbilanz, die Kapitalflußrechnung bzw. Kapitalbindungsplan genannt wird. Als Kapitalflußrechnung wird dabei vor allem die vergangenheitsorientierte Gegenüberstellung von Mittelherkunft und Mittelverwendung bezeichnet, die im Zusammenhang mit dem Jahresabschluß der Unternehmung als zusätzliches Instrument der Rechnungslegung angesehen wird (vgl. vor allem Käfer (Kapitalflußrechnungen], Busse von Colbe [Kapitalflußrechnungen] 99 ff., Mühthaupt [Finanzierungslehre], Coenenberg!Schmidt [Kapitalflußrechnung] 507 ff., Chmielewicz/Caspari [Problematik], Dellmann/Kalinsky [Rechnungslegung] 176 ff. und Jonas [Finanzbewegungsrechnung]. Vgl. zu einer ausgereiften Form einer derartigen Rechnung auch die Finanzflußrechnung im Konzept der pagatarischen Bilanz Kosiols: [Pagatorische Bilanz] 634 ff.; zur Rechenbasis retro- und prospektiver Kapitalflußrechnungen vgl. Schweitzer [Bilanz] 146 ff.). Für künftige Zeiträume aufgestellt, wird auch vom Kapitalbindungsplan gesprochen, um damit besonders die stärkere Abkoppelung von der buchhalterischen Erfassung der Rechnungsgrößen zu betonen (vgl. Witte [Finanzplanung] 38, 40 f.).

Der pauschale Vergleich der geplanten Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen soll sichtbar machen, ob längerfristig eine Abkehr vom bisherigen Finanzierungsverhalten erforderlich oder zweckmäßig wird, etwa um entstehende Finanzierungslücken zu decken oder die Möglichkeit zusätzlicher Investitionen auszunutzen. Damit werden vor allem Fragen einer finanziellen Gleichgewichtsstruktur analysiert (vgl. Witte [Führungsinstrument] 82). Freilich ist der Kapitalbindungsplan im Kern lediglich eine Darstellungsart einer globalen, langfristigen Finanzplanung, deren Ergebnisse bei gleichem Informationsgehalt auch auf andere Art darstellbar sind. Besonders Buchner weist darauf hin, daß daher Kapitalflußrechnungen Finanzpläne nicht ersetzen können (vgl. Buchner [Finanzanalyse] 87; zur Beurteilung von Kapitalflußrechnungen vgl. auch Chmielewicz [Finanzwirtschaft] 237 ff.).

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Die mittelfristige Finanzplanung bildet in dieser zeitlichen Gliederung das Verbindungsstück zwischen der Tages-Liquiditätsplanung und der Jahres-Kapitalbindungsplanung. Ihr Planungshorizont reicht daher bis zu einem Jahr, es werden jedoch auch kürzere Fristen, etwa 3 Monate genannt (vgl. Witte [Führungsinstrument] 77). Der mittelfristige Finanzplan wird häufig als eingentlieber Finanzplan bezeichnet (vgl. Witte [Finanzplanung] 41), da er nicht lediglich als kurzfristige Dispositionsunterlage oder zu langfristigen KapitalstrukturAnalysen dient, sondern die in nächster Zeit anfallenden Ein- und Auszahlungen erfaßt. Eine zeitliche Differenzierung und Detaillierung ist bei der vorgestellten Konzeption nur beim mittelfristigen Finanzplan zwingend. Hier wird z. B. nach Monaten untergliedert. In vielen Fällen dürften anfänglich kürzere Teilperioden (Tage, Wochen), im späteren Teil des Planungsjahres längere Teilperioden (Quartale) sinnvoll sein (vgl. Witte [Führungsinstrument] 86). Bei der kurzfristigen Liquiditätsplanung und der langfristigen Kapitalbildungsplanung ist eine Untergliederung des Zeitraums von einem Tag bzw. einem Jahr nicht üblich. Ein mehrperiodiger Ansatz ergibt sich hier nur dann, wenn mehrere Einzelplanungen aneinander gereiht werden. Dabei sind gleichlange Teilperioden üblich (vgl. Witte [Finanzplanung] 41). Bei der geschilderten zeitlichen Grundstruktur der Finanzplanung können nur in der mittelfristigen Finanzplanung dynamische Zusammenhänge berücksichtigt werden. Inwieweit das geschieht, hängt vom angewendeten Finanzplanungsmodell ab. Für die zeitliche Plankoordination sind zwei Abstimmungsprobleme zu betrachten. Einmal geht es um die gegenseitige Abstimmung der drei verschiedenfristigen Finanzpläne, die sukzessiv aufgestellt werden. Zum anderen ist jeder von ihnen in sich zu koordinieren. Da aber in der Regel lediglich der mittelfristige Plan mehrperiodig ist, tritt nur hier ein zeitliches Koordinationsproblem auf. Eine insgesamt simultane Planung scheidet in der Regel aus. Deshalb werden mindestens einige Teilpläne auch zeitlich sukzessiv abzustimmen sein. In jedem Fall gilt dies für die zeitliche Plankoordination am Ende des Planungshorizonts bei rollender Planung. Für jede Untergliederung in sukzessiv abzustimmende Teilpläne ist als Vorentscheidung über den Aufbau der Planung festzulegen, wo Schnittstellen für die Abkoppelung und die Verbindung von Teilplänen liegen, wie sie definiert sind und welche Interpretation sie im Planungsprozeß gestatten. Solche Schnittstellen sind Planungsparameter, die in einem Teilplan als Entscheidungsgröße, in anderen damit abzustimmenden, nachgelagerten Plänen als unbeeinftußbare Daten gelten. Bei der zeitlichen Koordination sind solche Schnittstellen z. B. Anfangs- oder Endbe-

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stände an Zahlungsmitteln, Forderungen, Verbindlichkeiten o. ä. zu Anfangs- und Endterminen der verschiedenen Planungszeiträume. Die beschriebenen zeitlichen Einteilungen der Finanzplanung stellen Vorentscheidungen über ein Grobraster dar, nach dem Fragen der Finanzplanung eingeordnet und behandelt werden können. Eine zusätzliche Kennzeichnung dieses Grobrasters ergibt sich aus den Vorentscheidungen über die sachliche Struktur der unterschiedenen Finanzplanungsarten. Anband der bearbeiteten Planungsgrößen läßt sich die folgende Aufteilung des Sachumfangs erkennen (vgl. z. B. Lücke [Finanzplanung] 547 ff., Witte [Finanzplanung] 38 ff.): Gegenstand der kurzfristigen Liquiditätsplanung sind bare Ein- und Auszahlungen, wobei die liquiden Mittel den Planungsperioden entsprechend eng abgegrenzt werden. In der mittelfristigen Finanzplanung wird der Betrachtungsgegenstand mindestens auf Geldforderungen und Geldschulden ausgedehnt. Hierbei ist jedoch zunächst mehrdeutig, ab wann die Zusage eines Marktpartners, einen bestimmten Geldbetrag zu zahlen, als Forderung aufzufassen ist. Dies wird bereits an einfachen Handelsgeschäften deutlich, bei denen Kontaktaufnahme, Vertragsschluß, Lieferung und Zahlung zeitlich auseinanderfallen. Selbst wenn man sich auf vertraglich festgelegte, damit rechtlich verbindliche Positionen beschränkt, gibt es mehrere Zeitpunkte, ab denen z. B. der Geldforderungsteil des betrachteten Geschäfts in die Finanzplanung aufgenommen werden kann (vgl. Kosiol [Aktionszentrum] 132). Dementsprechend können zu einem bestimmten Zeitpunkt verschiedene Arten von Forderungen unterschieden werden, je nachdem, wie weit der zugrunde liegende Geschäftsvorgang bereits fortgeschritten ist: (a) Forderungen aus einem abgeschlossenen Handelsgeschäft, bei dem keiner der Vertragspartner schon eine Leistung erbracht hat (schwebendes Geschäft), (b) Forderungen aus einem Handelsgeschäft, für das bereits eine Anzahlung des Kunden, jedoch noch keine Lieferung erfolgt ist, (c) Forderung aus einem Handelgeschäft, für das bereits eine Teillieferung erfolgt ist, (d) Forderungen aus einem Handelsgeschäft, für das die Lieferung komplett erfolgt ist, jedoch noch keine Rechnung gestellt ist, (e) Forderungen aus einem Handelsgeschäft nach Rechnungsstellung. Im Falle der Teillieferung (c) ist ferner offen, in welcher Höhe die Forderung anzusetzen ist. Die Vielfalt möglicher Festlegungen vergrößert sich, wenn besondere Vertragsarten, wie etwa Sukzessivlieferverträge vorliegen, wenn zwischen Warenabgang bei der liefernden Unternehmung und Wareneingang beim Kunden unterschieden wird oder wenn die abzusetzenden Produkte selbst gefertigt werden. Für andere Forderungen sowie Verbindlichkeiten entstehen ähnliche Mehrdeutigkeilen der Festlegung.

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8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Im Schrifttum zur Finanzplanung wird diese Zuordnungsproblematik kaum angesprochen. Soweit besprochen wird, was z. B. unter Forderungen zu verstehen ist, orientiert man sich an der Erfassung in der Buchführung (vgl. Lücke [Finanzkontrolle] 17 ff., Sachs [Technik] 94 ff., Witte [Finanzrechnung] 547). Hier werden die Geschäftsvorgänge regelmäßig erst dann verbucht, wenn eine der Vertragsseiten eine (Teil-) Leistung erbracht hat und darüber ein Beleg vorliegt (vgl. Leffson [Grundsätze] 243). Diese Vorgehensweise führt zu der üblichen engen Auffassung von Forderungen und Verbindlichkeiten, hat aber den Vorteil, daß Daten der Finanzbuchhaltung direkt in die Finanzplanung übernommen werden können. Soweit nicht für den gesamten Planungszeitraum bereits derart fixierte Forderungen und Verbindlichkeiten vorliegen, sind die erforderlichen Größen zu prognostizieren. Neben der Unterscheidung in bekannte und prognostizierte Gröen, wird eine weitere Detaillierung, etwa eine Untergliederung von Forderungen und Verbindlichkeiten nach Stärke der rechtlichen Absicherung, in der Literatur zur Finanzplanung nicht besprochen. Üblich ist lediglich eine Grobgliederung der zu Einnahmen bzw. Ausgaben zusammengefaßten Barzahlungen, Forderungs- und Schuldenbewegungen (vgl. z. B. Lücke [Finanzkontrolle] 18 sowie oben, S. 28) nach Begründungs- bzw. Herkunftsarten. Im Kapitalbindungsplan schließlich orienteirt man sich eng an entsprechenden Positionen der Bilanz und grenzt inhaltlich weitgehend übereinstimmend ab (vgl. Witte [Führungsinstrument] 82). Hauptsächlich innerhalb der mittelfristigen Finanzplanung werden drei weitergehende, sachliche Differenzierungen genannt. Sie orientieren sich an der Erfolgswirksamkeit der Zahlungen, an ihrer Sachzielbezogenheit sowie an der Vorstellung eines » Normalausmaßes« der laufenden betrieblichen Umsatztätigkeit Die Trennung nach den ersten beiden genannten Kategorien schlägt, wenn auch mit anderer Bezeichnung, vor allem Chmielewicz (vgl. [Finanzwirtschaft] 32 ff.) vor. Nach der Erfolgswirksamkeit werden hier erfolgswirksame Zahlungen von reinen Finanzbewegungen, wie Kreditaufnahmen und -tilgungen sowie Finanzanlagen und ihre Auflösung getrennt. Innerhalb der erfolgswirksamen Zahlungen lassen sich nach ihrer Sachzielbezogenheit die mit Kosten und Leistungen verbundenen Zahlungen von den Zahlungen im neutralen Bereich trennen. Mellerowicz (vgl. [Planung] 530) schließlich schlägt zusätzlich eine Unterscheidung in einen »ordentlichen« und ))außerordentlichen« Finanzplan vor (vgl. z. B. auch Kosiol [Finanzplanung] 257 f.). Der ordentliche Finanzplan umfaßt Zahlungen, die sich aus der normalen laufenden Umsatztätigkeit ergeben; im außerordentlichen Plan werden dagegen die Zahlungs-

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ströme erfaßt, die mit den laufenden Invetitionen und ihrer Finanzierung in Zusammenhang stehen. Obwohl diese Untergliederung besonders in der Wirtschaftspraxis verbreitet zu sein scheint (vgl. Witte [Finanzplanung] 48), ist sie problematisch. Nach der hier vertretenen Auffassung verlangt sie eine Beschränkung auf »große« Investitionen, wobei diese Abgrenzung willkürlich ist; ferner erscheint es nahezu unmöglich, die mit Investitionen zusammenhängenden Zahlungen auf eine betrieblich ))normale« Umsatztätigkeit und einen (außerordentlichen) Rest aufzuteilen. Die willkürliche Trennung in einen ordentlichen und einen außerordentlichen Finanzplan soll daher nicht weiter untersucht werden. c) Schnittstellenproblematik bei der Abgrenzung und Untergliederung der Finanzplanung

Durch die Abgrenzung der Finanzplanung von anderen betrieblichen Planungsbereichen sowie durch ihre Untergliederung in Teilpläne entstehen Schnittstellen. Mit dem oben angeführten Strukturmerkmal der Plankoordination ist die Frage angesprochen worden, auf welche Art die Pläne an den Schnittstellen abgestimmt werden. Im folgenden soll grundsätzlich untersucht werden, welche Merkmale für eine zweckmäßige Abgrenzung und Untergliederung der Finanzplanung herangezogen werden können. Zum einen ist dabei zu fragen, welche Schnittstellen überhaupt definiert werden können. Zum anderen handelt es sich darum, Schnittstellen zu finden, die vergleichsweise ))einfacher« koordinierbare Teilbereiche der Planung voneinander trennen. Mehrere Möglichkeiten der Schnittstellenbildung bestehen insbesondere bei der sachlichen Plandifferenzierung. Demgegenüber sind die bei der zeitlichen Plandifferenzierung erforderlichen zeitlichen Schnittstellen prinzipiell bekannt: Es sind Grenztermine der einzelnen Planungsperioden. Beide Arten von Schnittstellenfestlegungen sind aber nicht als bloße Konsequenz des Entscheidungssystems zu begreifen- sie bestimmen dieses vielmehr aktiv mit: Durch festgelegte Schnittstellen entstehen vielfach erst abgegrenzte Entscheidungsprobleme; definierte Planungsbereiche schaffen ihre spezifischen Teilprobleme. Im folgenden wird insbesondere die Schnittstellenproblematik bei der sachlichen Planungsdifferenzierung betrachtet. Orientiert man sich an den im vorhergehenden Abschnitt gekennzeichneten Vorschlägen, ist insbesondere zu untersuchen, inwieweit sich das Kriterium der Erfolgswirksamkeit für eine sachliche Plandifferenzierung eignet. Die Trennung nach der Erfolgswirksamkeit orientiert sich an der Denkweise in Buchführung und Bilanzie-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

rung, sie läßt sich gemäß den dort angewendeten Regeln durchführen. Ob sie allerdings unter dem Aspekt von Planungsüberlegungen erforderlich oder zweckmäßig ist, ist nicht offensichtlich. Nach dem Kriterium der Erfolgswirksamkeit werden zusammengehörende Zahlungen desselben Projekts voneinander getrennt. So ist bei einem Kredit die Tilgung eine erfolgsunwirksame reine Finanzbewegung, während die gleichzeitig anfallenden Zinsen erfolgswirksam sind. Diese Zahlungen gehören unmittelbar zusammen. Nun werden bei jeder Plandifferenzierung bestehende Interdependenzen getrennt; wegen der deshalb entstehenden Koordinationsnotwendigkeiten empfehlen sich derartige Trennungen aber nur dort, wo schwächere oder lose Interdependenzen bestehen. Eine Differenzierung in Finanzteilpläne nach dem Kriterium der Erfolgswirksamkeit scheidet daher aus. Unbeschadet dessen mag aus Gründen einer gleichzeitigen Erfolgsplanung ein getrennter Ausweis erfolgswirksamer und erfolgsunwirksamer Zahlungen vorteilhaft sein; hierbei kann es sich jedoch nur um eine besondere Aufbereitung einer diesbezüglich nicht differenzierten Planung handeln. Besser zur Differenzierung der Finanzplanung geeignet sind die Zielarten, die als Teilkriterien der Erfolgswirksamkeit genannt wurden. Bezieht man sich nicht auf die einzelnen Zahlungen, sondern auf ganze Projekte bzw. deren Zahlungsströme, können folgende Teilplanungen differenziert werden (zu den hier unterschiedenen Zielarten vgl. u. a. Schweitzer [Gegenstand] 36):

- Planung der sachzielorientierten Projekte : Sie umfaßt Projekte, die in Verfolgung der betrieblichen Sachziele gewählt werden, sich also an der betrieblichen Produktionsaufgabe und am Produktionspotential orientieren. Damit handelt es sich um Projekte, die auch zu Kosten bzw. zu Leistungen führen. Durch Beschränkung auf bestimmte Produktarten bzw. -gruppen oder Produktionshereiche kann in weitere sachliche Teilpläne differenziert werden. - Planung der nicht primär sachzie/orientierten Projekte: Hier geht es um Projekte, die sich im Rechnungswesen in neutralen Erträgen bzw. neutralen Aufwendungen niederschlagen. Sie sind sozialzielorientiert oder formalzielorientiert Die Projekte werden hier z. B. primär aus Gründen der Gewinnerzielung, der Umsatzsicherung, aber auch der Liquiditätssicherung oder der Erzielung eines Finanzüberschusses bestimmter Definition gewählt. Bei entsprechender Bedeutung der Ziele kann man weitere sachliche Teilplanungen nach einzelnen Zielarten bilden, etwa eine besondere Liquiditätsplanung.

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Die skizzierte sachliche Plandifferenzierung nach Zielarten ist dem Gliederungsprinzip der Güterbewegungen im Rechnungswesen analog. Sie orientiert sich an den hauptsächlich angestrebten Konsequenzen eines Projekts. Als modifizierte Ausprägung dieses Prinzips kann die Ausrichtung nach prognostizierten anstelle von nur angestrebten Konsequenzen angesehen werden. Eine Differenzierung hiernach führt u. a. zu den oben abgegrenzten Planbereichen der Produktionswirtschaft und der Finanzwirtschaft, die nach demselben Kriterium in weitere sachliche Teilpläne untergliedert werden können. Mit der Differenzierung der Finanzplanung in sachliche Teilplanungen sind Schnittstellen zwischen der Finanzplanung und der sonstigen Unternehmungsplanung sowie zwischen den Finanz-Teilplanungen zu bilden. An ihnen entstehen Probleme der sachlichen Koordination. Grundlegend ist hierbei die Koordination zwischen den produktionswirtschaftlichen Planungen und den finanzwirtschaftliehen Planungen, d. h. den beiden sachlichen Hauptplanungsbereichen für Güterströme. Hier ist zu fragen, ob und inwieweit man produktionswirtschaftliche Entscheidungen in die Finanzplanung miteinbezieht Eine vollständige Bearbeitung des gesamten Planungsproblems würde die Einbeziehung des Produktionsbereiches verlangen, um auch Realgüterinvestitionen sowie daraus resultierende Rückflüsse zu erfassen. Diese Art einer simultanen Planbestimmung wird von Albach als aktive Finanzplanung bezeichnet (vgl. Albach [Kapitalbindung] 382, 389). Soll dagegen, wie oft stillschweigend unterstellt, eine isolierte Finanzplanung betrieben werden, ist mit einer adäquaten Schnittstelle zum Produktionsbereich - etwa gewissen Zahlungssalden - die Verbindung zwischen beiden Planungsbereichen herzustellen. Die oben eingeführte Definition der Finanzwirtschaft grenzt zwar u. a. produktionswirtschaftliche und finanzwirtschaftliche Projekte voneinander ab, die Abgrenzung gilt aber nur für schon zusammengestellte, eindeutig definierte Projekte. Nur dann kann gesagt werden, ob sie ausschließlich den Real- oder Nominalgüterbereich oder beide zusammen berühren. Die definitorische Festlegung spezifisch finanzwirtschaftlicher Fragen bedeutet zwar noch nicht, eine zweckmäßige Abgrenzung eines Planungs- und Entscheidungsbereichs gefunden zu haben. Immerhin zeigt sie eine realisierbare Möglichkeit der Abgrenzung auf. Nun ist aber die Frage, welche Zahlungen und, allgemeiner, welche Güterbewegungen demselben Projekt zugeordnet werden, in welchen Fällen dagegen einige von ihnen als Auswirkungen eines eigenen Projekts anzusehen sind, durchaus mehrdeutig zu beantworten. Allge-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

meines Kriterium hierfür ist immer die Rückführbarkeit auf dieselbe Entscheidung. Verschiedene Projekte sind dann zu definieren, wenn sie separaten Entscheidungen unterliegen. Dieses Abgrenzungsprinzip ist deshalb möglicherweise mehrdeutig, weil es Entscheidungen verschiedenen Festlegungsgrades gibt. So wird z. B. über eine Investition im Produktionsbereich einschließlich einer bestimmtem Grundart der Finanzierung entschieden, während die eigentliche Wahl der konkreten Finanzierungsform innerhalb des dann festgelegten Rahmens gesondert getroffen wird. Hier kann die Feinentscheidung als Präzisierung der früheren Grobentscheidung angesehen werden, so daß es sich um verschiedene Präzisierungsstufen der Entscheidung über dasselbe Projekt handelt (besonders Benner betont, daß Zahlungsströme meist durch einen »Komplex ineinandergreifender Entscheidungsakte« begründet werden, [Finanzwirtschaft] 96; vgl. auch Harms [Steuerung] 80 ff.). Will man aber verschiedene Entscheidungsbereiche auseinanderhalten, bilden in diesem Beispiel Bedarf und Bestand an den Finanzierungsgrundarten, die bei der erstgenannten Entscheidung zur Wahl gestellt werden, die adäquate Schnittstelle. Dieselbe Überlegung gilt für andere Beispiele zusammenhängender Teilentscheidungen. Letztlich sind alle Entscheidungen der Unternehmung in irgendeiner Weise miteinander verbunden. Es ist daher nicht nur zu fragen, welche Prozesse eigenen Entscheidungen unterliegen, sondern ergänzend und genauer, ab welchem »Autonomie-Umfang« eine Entscheidung als selbständig gelten kann und nicht nur als Präzisierungsentscheidung einer zugehörigen (vorherigen) Hauptentscheidung aufgefaßt wird. Zur Entscheidungsabgrenzung dienen regelmäßig Bestandsgrößen, da Aufbau und Abbau von Beständen bestimmter Güterarten als typische separierbare Entscheidungstatbestände gelten. Die angesprochenen Schnittstellen sind daher im Kern als Güterarten interpretierbar (dieser Aspekt hat z. B. weitgehende Konsequenzen für die Gestaltung einer entscheidungsorientierten Datenbank, vgl. Abschnitt 5 des Kapitels E II, S. 526). Herkömmlich ist als Schnittstelle zwischen produktions- und finanzwirtschaftliehen Entscheidungen, u. a. der sog. Kapitalbedarf verwendet worden. Mit ihm sollen die beiden Planungsbereiche voneinander abgekoppelt werden, wobei in einem sukzessiven Planungskonzept der Produktionsplan dem Finanzplan vorgelagert wird. Der Kapitalbedarf zu einem Zeitpunkt wird z. B. als Differenz der bis zu diesem Zeitpunkt kumulierten kapitalbindenden Ausgaben und der bis zu diesem Zeitpunkt kumulierten kapitalfreisetzenden Einnahmen definiert (vgl. Heinen [Kapital] 18). Kapitalbedarfsrechnungen

I. Aufgaben der betrieblichen Finanzplanung

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sind damit lediglich Prognoserechnungen, eine weiterreichende Bedeutung als allgemeine Planungsrechnungen mit Alternativenvergleichen kommt ihnen nicht zu. Kapitalbindende Maßnahmen stimmen weitgehend mit Investitionen im hier verwendeten, allgemeinen Sinn überein, Kapitalfreisetzung entspricht Desinvestitionen. Beides wird im Zusammenhang mit Kapitalbedarfsrechnungen jedoch häufig auf den Produktionsbereich eingeschränkt. Ein Kapitalbedarf (oder »Kapitalüberschuß«, falls der ermittelte Betrag negativ ist) wird nach dieser Konzeption durch kapitalzuführende Einnahmen bzw. kapitalentziehende Ausgaben ausgeglichen (vgl. insbesondere Gutenberg [Finanzen] 123 ff., ferner Pauluhn [Verrechnung] 15 ff.). Diese in der Kernidee klare Grundkonzeption erweist sich in manchen Fällen deshalb als problematisch, weil die zugrunde liegende Unterscheidung von Zahlungen nicht entscheidungsbezogen ist. So lassen sich manche Einzahlungen (die auf frühere Entscheidungen zurückzuführen sind) kaum überzeugend den kapitalfreisetzenden oder den kapitalzuführenden Einnahmen zuordnen. Beispielsweise gilt dies für Verkaufserlöse: Ein Teil von ihnen stellt sicher eine Freisetzung früherer Kapitalbindung dar, ein darüber hinausgehender Teil (Gewinn) ist Kapitalzuführung. Solche und eine Reihe anderer Beispiele (vgl. vor allem Schneider [Investition] 627 ff.) verdeutlichen, daß eine absolute Trennung der Zahlungen in die Kapitalbindung verändernde und die Kapitaldeckung verändernde nicht eindeutig und auch nicht zweckmäßig ist. Sie ist auch gar nicht erforderlich. Für Planungs- und Entscheidungszwecke ist eine Aufgliederung der nicht mehr disponiblen Konsequenzen früherer Entscheidungen uninteressant - gleichgültig, ob sie als Zahlungen aus Kapitalbindungsprozessen oder aus Kapitaldeckungsprozessen angesehen werden können. Die noch disponiblen Zahlungen lassen sich aber zu zusammengehörenden Zahlungsströmen grupieren und nach Wirkungen bzw. Zwecken ordnen. Auch bei dieser Vorgehensweise ist ein (terminierter) Kapitalbedarf definierbar, und zwar als Deckungslücke zwischen Jeumutierten künftigen Auszahlungen und kumulierten künftigen Einzahlungen schon dispanierter Prozesse (vgl. hierzu auch Kloock [Kapitalbedarfsrechnung] 1040). Ein projektbezogenes Separieren von produktionswirtschaftlichen Sachentscheidungen und zugehörigen Finanzentscheidungen ist nach dem hier vertretenen Konzept dann möglich, wenn für beide Teilentscheidungen eigene Freiheitsgrade bestehen. Dann verändert die produktionswirtschaftliche Teilentscheidung im einzelnen lediglich bestimmte Finanzüberschüsse bzw. -defizite. Durch finanzwirtschaftliehe Teilentscheidungen werden diese z. B. in entgegengesetzter Richtung geändert, um so insgesamt die Zahlungssalden in eine angestreb-

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te Höhe zu bringen. Schnittstellen sind hier die gesamten Finanzgrößen der einzelnen Perioden. Sie trennen die beiden Entscheidungsklassen. Die Zahlungsströme der finanzwirtschaftliehen Entscheidungen, mit denen auf die finanzwirtschaftliehen Auswirkungen einer ursprünglichen produktionswirtschaftlichen Entscheidung reagiert wird, sind die monetären Subsidiaritätsprozesse in der Sprechweise Benners (vgl. [Finanzwirtschaft] 128). Sie sind somit eine Folge der skizzierten sachlichen Plandifferenzierung und in ihrem Umfang von der Schnittstellendefinition abhängig. Bei Differenzierung in einen produktionswirtschaftlichen und einen finanzwirtschaftliehen Planungsbereich kann z. B. folgendes Koordinationsverfahren angewendet werden: - Zunächst werden Planungen im Produktionsbereich durchgeführt, wobei die damit verbundenen Zahlungsströme nur im Hinblick darauf beachtet werden, daß sie in der Summe eine Gesamtbeschränkung (eine Liquiditätsobergrenze) nicht überschreiten. An ihrer Stelle kann auch formal von unbeschränkter Finanzierbarkeit ausgegangen werden, wobei dann der Ansatz von Zinsen für die eingesetzten liquiden Mittel zweckmäßig ist. Der letztgenannte Fall ist planungstechnisch in der Regel einfacher zu handhaben und daher in Produktionsplanungsmodellen mehr verbreitet. - Die Ergebnisse der Produktionsplanung werden in der Finanzplanung als definitive, unbeeinfiußbare Daten angesehen. Aus ihnen lassen sich Ein- und Auszahlungströme und damit ein Kapitalbedarf prognostizieren. Hierzu sind bestimmte Hypothesen über die Zusammenhänge von Produktionsdaten und Zahlungen erforderlich. Insgesamt kommt diesem Schritt der Kapitalbedarfsermittlung jedoch kein Planungscharakter zu, es handelt sich allenfalls um eine Finanzprognose. Damit reduziert sich die leistungswirtschaftliche Finanzplanung auf eine Ermittlungs- und Prognosefunktion. - Die eigentliche Finanzplanung ist dann auf die Zahlungsbewegungen im neutralen Bereich sowie auf die reinen Finanzbewegungen als Kern eingeengt. Aufgabe ist es, die hier beeinfiußbaren Einzahlungs- und Auszahlungsprozesse unter Beachtung weiterer Zielvorstellungen so zu gestalten, daß der vorgegebene Kapitalbedarf gedeckt wird und seine Deckung aufrechterhalten bleibt. Diese Form der Finanzplanung bezeichnet Albach als passive Finanzplanung (vgl. Albach [Kapitalbindung] 379). - Für die nächste Planungsrunde ist in der Finanzplanung ein neuer Liquiditätshöchstbetrag bzw. ein aktuell gültiger Zinssatz festzulegen, der in der Produktionsplanung als Datum angesehen wird und eine detaillierte Zahlungsstromplanung ersetzt:

Neben den Planungstechniken für die beiden Planungsereiche ist hier ein besonderes Verfahren erforderlich, um die zur Koordination verwendete Schnittstellengröße (Liquiditätsobergrenze bzw. Kalkulationszinssatz) so festzulegen, daß die entstehenden Pläne realisierbar sind und einem (näher zu definierenden, allerdings unbekannten) Gesamtoptimum möglichst nahe kommen.

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Die skizzierte Abgrenzung zeigt grob, wie eine Schnittstelle zwischen den beiden zentralen Bereichen der betrieblichen Güterstromplanung sowie ein zugehöriges Koordinationsprinzip definiert werden können. Insgesamt machen die Überlegungen zur Schnittstellenproblematik deutlich, daß die zweckmäßige Abgrenzung und Untergliederung der Finanzplanung von der Art und den Interdependenzen der im Betriebsprozeß zu treffenden Entscheidungen abhängen. Hierzu sind Aussagen über künftige Planungs- und Entscheidungssituation sowie über die (zu erwartende) Qualität von Entscheidungen bei alternativen Planungsschnittstellen erforderlich. Die Gewinnung solcher Aussagen trifft indessen auf die prinzipielle Problematik jeder Art von Metaplanungsfragen: Um die Vorteilhaftigkeil der Entwicklung von alternativ abgegrenzten Teilplanungsansätzen zu beurteilen, (1) müßten sie bereits bekannt und auf künftige Planungsprobleme angewendet werden,

(2) müßte als Vergleichsmaßstab für die gleichen Probleme ein simultanes Gesamtoptimum bestimmbar sein. Daher kann eine zweckmäßige Aufgbenstellung der betrieblichen Finanzplanung und ihrer Teile letztlich nur nach heuristischen Prinzipien abgegrenzt werden. Die gekennzeichneten Strukturmerkmale erlauben es, hierbei isotierbare Teilaspekte zu unterscheiden. Mit ihnen lassen sich die im Schrifttum diskutierten Varianten im Grobaufbau der Finanzplanung als spezielle Ausprägungsform erkennen. In der weiteren Arbeit wird davon ausgegangen, daß die Aufgabenstellung der Finanzplanung inhaltlich mindestens die Planungsaufgaben umfaßt, die sich aus der Definition der Finanzwirtschaft des Abschnitts 2 dieses Kapitels (S. 35) ergeben. Welche Ausprägung die Finanzplanung in den einzelnen Strukturmerkmalen annimmt, ist zweckmäßig dem Einzelfall der praktischen Anwendung zu überlassen. Die Abgrenzung einer bestimmten Aufgabenstellung der Finanzplanung ist freilich nur sinnvoll, wenn sie in auch einem Modell entsprechender Struktur formuliert und bearbeitet wird. Im nächsten Kapitel II werden daher typische Finanzplanungsmodelle analysiert. Dabei ist die bisher noch offen gelassene Vorgehensweise zur Lösung von Finanzplanungsaufgaben von zentraler Bedeutung.

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung 1. Überblick über Modelle zur betrieblichen Finanzplanung Ein Finanzplanungsmodell ist eine strukturgleiche oder -ähnliche Abbildung eines finanziellen Teilzusammenhangs aus einem Betrachtungsgegenstand (analog zu Schweitzer vgl. z. B. [Industriebetriebslehre] 18), mit der ein Finanzplan beschrieben, insgesamt oder im einzelnen Komponenten erklärt, prognostiziert oder gestaltet werden soll. Die bekannten Finanzplanungsmodelle lassen sich nahezu vollständig in folgende Gruppen einteilen: (1) Modelle, die den Aufbau eines Finanzplans oder eines Systems von Finanzplänen beschreiben. Dabei handelt es sich in der Regel um Ansätze, die bestimmte Anordnungen der Ergebnisse von Finanzplanungen vorschlagen, oft ergänzt um einige Fortschreibungsgleichungen. Im Kern sind dies Beschreibungsmodelle. (2) Modelle, die einzelne Komponenten zur Finanzplanung zu prognostizieren gestatten. Bei diesen Prognosemodellen geht es in der Regel darum, die finanziellen Auswirkungen bekannter betriebsinterner oder -externer Maßnahmen zu prognostizieren. Diese Modelle stellen Theorien zu bestimmten betrieblichen Finanzströmen dar. (3) Modelle, mit denen eine Gestaltung finanzwirtschaftlicher Sachverhalte angestrebt wird. Man kann sie als Finanzplanungsmodelle in einem engeren Sinn ansehen. Innerhalb dieser Gruppe von Ansätzen ist weiter danach zu unterscheiden, ob auf eine Planung der einzelnen Finanzströme abgestellt oder weniger detailliert vorgegangen wird. Im letztgenannten Fall geht es um globale Entscheidungen, an denen sich dann die Gestaltung der Finanzströme im einzelnen ausrichten soll. Zum ersten sind dies Modelle, mit denen die Struktur der betrieblichen Finanzierung insgesamt untersucht wird. Sie fragen danach, in welchem Verhältnis einzelne Finanzierungsquellen herangezogen werden sollen. Es handelt sich um KapitalstrukturModelle. Ein zweites Hauptbeispiel sind strategische Kassenhal-

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tungsmodelle. Mit ihnen sollen generelle Regeln für die Optimierung des Zahlungsmittelbestandes bestimmt werden, ohne auf die Einzelheiten der Gestaltung von Zahlungsströmen einzugehen. Diese Ansätze arbeiten daher mit pauschalen Annahmen über die Alternativen der Bereitstellung und Anlage liquider Mittel, die neben der Kassenhaltung bestehen. Planungsmodelle, mit denen eine detaillierte Gestaltung der Finanzströme bezweckt wird, sind die Finanzplanungsmodelle im engsten Sinn. Sie sind auf die Einzelheiten der kurz- und längerfristigen praktischen Dispositionsarbeit ausgerichtet.

Zu den genannten Gruppen von Finanzplanungsansätzen liegen unterschiedlich viele Beiträge vor. Mit Fragen der Darstellungsart von Finanzplänen sowie mit grundsätzlichen Anforderungen und Grundüberlegungen zur Finanzplanung beschäftigen sich eine Reihe von Publikationen. Im deutschsprachigen Raum hat Schmalenbach (vgl. [Finanzpläne)) als einer der ersten eine Konzeption hierzu entworfen. Zur heute in der Betriebswirtschaftslehre üblichen Grundauffassung der Finanzplanung stammen Beiträge u. a. von Kosiol (vgl. [Finanzplanung] 251 ff., von Kortzfteisch (vgl. [Finanzplanung)), Krümmel (vgl. [Grundsätze] 225 ff.) Lücke (vgl. [Liquiditätspolitik] sowie [Finanzkontrolle)), Mellerowicz (vgl. [Planung] 526 ff.), Gutenberg (vgl. [Finanzen] 297 ff.), Vieweg (vgl. [Finanzplanung] 31 ff.), Hahn [PuK] 449 ff.) sowie Witte (vgl. [Finanzplanung)). Ein integriertes Gesamtsystem, das insbesondere die Finanzrechnung mit der Bilanz- sowie der Erfolgsrechnung verbindet, hat Chmielewicz ([Finanzplanung)) vorgeschlagen. Weniger zahlreich sind die Publikationen zu Theorien, mit deren Hilfe Finanzströme prognostiziert werden können. Für die Basis solcher Finanzprognosen gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder werden die Prognosegrößen aufgrund einer Fortschreibung gleichartiger Daten der Vergangenheit gewonnen oder sie werden aus gegenwärtigen oder künftigen Daten sachlich vorgelagerter Bereiche übernommen. Entsprechend kann man daher von extrapolierender, vergangenheitsorientierter und von kausaler (z. B. programmorientierter) Prognose sprechen. Bei vergangenheitsorientierten Prognosen werden mit der Hypothese, daß die bisher wirksamen, im einzelnen unbekannten Bestimmungsgrößen weiterhin gelten, die gesuchten Größen aus der bekannten, vergangenen Entwicklung derselben Größe hergeleitet. Die spezielle Form der genannten Hypothese bestimmt die anzuwendende Prognosetechnik. Formal sind für vergangenheitsorientierte Finanzprognosen die gleichen Vorgehensweisen möglich, wie in allen An-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

wendungsbereichen, so etwa in der verbrauchsorientierten Materialbedarfsprognose (vgl. dazu Grochla [Materialwirtschaft] 61 ff.). Die verschiedenen Formen der exponentiellen Glättung oder Regressionsanalysen sind Beispiele dafür (vgl. zu den Methoden z. B. Brackhoff [Prognosverfahren], Mertens [Prognoserechnung], Gahse [Vorhersageverfahren] sowie [Techniken] 30 ff., zu einer Systematik Schultheiss [Systematisierung], Bretzke [Prognoseprobleme], Weston/ Copeland [Finance] 241 ff.; zu Anwendungsbeispielen in der Finanzprognose: Lücke (Finanzkontrolle] 73 ff.). Spezifischer ausgerichtet sind kausale Finanzprognosen. Hier werden Ein- und Auszahlungen als Folge einzelner Ereignisse oder Aktivitäten angesehen. Hypothesen über den Zusammenhang solcher auslösender Größen und den Zahlungen bilden die Grundlage der Prognosen. In pauschaler Form versucht man, Zahlungsprozesse aus dem betrieblichen Umsatzprozeß in Kapitalbedarfsfunktionen zu erfassen (vgl. z. B. Gutenberg [Finanzen] 41 ff., Seelbach/Zimmermann [Kapitalbedarfsanalyse] 329 ff., Pauluhn [Verrechnung] 140 ff.). Als Bestimmungsgrössen des Kapitalbedarfs werden hierin vor allem die von Gutenberg zusammengestellten Kapitalbedarfsdeterminanten untersucht: Prozeßanordnung, Prozeßgeschwindigkeit, Beschäftigungsniveau, Produktionsprogramm, Betriebsgröße und Faktorpreise (vgl. Gutenberg [Finanzen] 12 ff.; zum Überblick: Seelbach [Kapitalbedarf] 973 ff.; zu einem anderen System von Bestimmungsfaktoren des Kapitalbedarfs vgl. Oettle [Finanzpolitik] 40 ff.). Auch in teilweise modifizierter Form hat sich jedoch aus diesem Ansatz bisher kein unmittelbar in der Finanzplanung anwendbares Konzept entwickelt. Eine detailliertere Analyse ist möglich, wenn man sich auf Teilzusammenhänge beschränkt. Für die Einzahlungen aus dem betrieblichen Umsatzprozeß lassen sich z. B. mit Hilfe von statistisch ermittelten Liquidationsspektren brauchbare Prognosen gewinnen. Grundlage ist ein quantitativer Zusammenhang zwischen den realisierten (und fakturierten) Umsätzen einer Periode und den zugehörigen Zahlungseingängen der folgenden Perioden (vgl. hierzu Langen (Prognose] 289 ff. und die von seinem Ansatz ausgehende Literatur, vor allem Kossbiel [Liquiditätsplanung], ferner Gahse [Liquiditätsprognosen]; vgl. auch Lücke [Finanzkontrolle] 91 ff.; ähnliche Prognosemodelle behandeln Corcoran [Forecasting] 733 ff. und Lewellen/Edminster Model]). Der Zusammenhang ist statistischer Art. Dies bedeutet, daß nicht für den einzelnen Umsatzwert gesagt werden kann, wann er zur Bareinzahlung führt, vielmehr wird für eine Gesamtheit von Umsätzen einer Periode prognostiziert, welcher Anteil in den einzelnen Folgeperioden zu einem Zahlungseingang führt. Kern dieses Prognosekonzepts sind daher Verweilzeitverteilungen. Für jede mögliche

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Verweilzeit sagen sie aus, wieviel Prozent der Ereignisse eines Typs (z. B. Umsätze) nach diesem Zeitabstand ein anderes Ereignis (z. B. Zahlungseingang) bewirken (vgl. Langen u. a. [Verweilzeitverteilungen] 19). Dieses Konzept Langens ist nicht auf den Zusammenhang von Umsätzen und Zahlungseingängen beschränkt, sondern kann sachlich auf vor- und nachgelagerte Ereignisfolgen ausgedehnt werden, etwa auf die Folge Werbeausgaben, Kundenanfragen, Kundenaufträge, Forderungen, Einzahlungen oder Materialbestellungen, Wareneingang, Rechnungseingang, Auszahlungen (vgl. Langen u. a. [Verweilzeitverteilungen] 12 ff., vgl. außerdem die programmorientierten Zahlungsprognosen bei Niebling [Finanzrechnung] 77 ff.). Ferner läßt es sich auf die Prognose weiterer dynamischer betrieblicher Zusammenhänge anwenden (vgl. Langen u. a. [Verweilzeitverteilungen] 81 ff.) sowie auf den Fall unsicherer Ereignisse erweitern (vgl. Rath [Prognose] 1170 ff.). Als weiteres Beispiel für Teiltheorien innerhalb einer umfassenden Finanzplanung kann der Ansatz von Eiseie (vgl. [Kapitaltheorie] 31 ff., 49 ff.) gelten. Auf Basis einer dynamischen Analyse mit zeitabhängigen Zahlungsfunktionen gelingen hier u. a. grundsätzliche Erkenntnisse über Ein-/Auszahlungs-Zusammenhänge von Projekten. Bei den Gestaltungsmodellen liegt eine große Zahl von Publikationen zur Problematik der Kapitalstruktur vor. Besonders im Anschluß an die These von Modigliani und Miller, die Kapitalstruktur einer Unternehmung sei ohne Einfluß auf die Kapitalkosten sowie den Marktwert der Unternehmung (vgl. Modigliani/Miller [Capital] 261 ff.) ist eine Flut von Untersuchungen zur optimalen Kapitalstruktur und zum optimalen Verschuldungsgrad erschienen (vgl. zum Überblick bis 1980 z. B. Drukarczyk [Finanzierungstheorie] 143 ff., ferner Hax/Laux [Finanzierung] 85 ff., Seelbach [Finanzierung] 259 ff. sowie Schneider [Investition] 453 ff.; vgl. auch Menrad [fheorem] 266 ff.). Diese Ansätze gehen im einzelnen von unterschiedlichen Annahmen über den Kapitalmarkt aus, wobei insbesondere versucht wird, die Aussagen der Kapitalstrukturmodelle auch für realitätsnähere Situationen herzuleiten. Basisansatz, der einschränkende Bedingungen der ursprünglichen Modigliani/Miller-Untersuchung aufhebt, ist vielfach das in der englischsprachigen Literatur seit längerem und in der deutschsprachigen Literatur in den letzten Jahren verstärkt diskutierte Capital Assel Pricing Model, mit dem Marktpreise risikobehafteter Wertpapiere untersucht werden sollen (vgl. ursprünglich Sharpe [Capital] 433 ff., Lintner [Valuation] 15 ff., Mossin [Equilibrium] 769 ff.; zum Überblick Rudolph [CAPM] 1034 ff., Drukarczyk [Finanzierungstheorie] 319 ff.,

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Schneider [Investition] 517 ff., Swoboda [Finanzierung] 48 ff., 98 ff., Süchting [Finanzmanagement] sowie Sharpe [Investments] 145 ff.). Dynamisierte Varianten sind mit der von Black/Scholes begründeten Optionspreistheorie entwickelt worden ( vgl. Black/Scholes [Pricing]; zum Überblick z. B. Schneider [Investition] 602 ff.). Erste Anwendungen dieser Grundmodelle auf Investitionsentscheidungen bzw. langfristige Finanzierungsentscheidungen zeigen z. B. Weston [Decisions] 25 ff., Myers/Pogue [Approach] 581 ff. sowie Ben-Shahar/Werner [Budgeting)). Die Ansätze dieser Kategorie bezwecken insgesamt in erster Linie eine Analyse der Preisbildung auf Finanzmärkten. Eine unmittelbare Anwendung auf einzelbetriebliche Finanzierungsprobleme scheint nicht beabsichtigt. Versucht man sie dennoch in die herkömmliche Systematik der Finanzplanung einzuordnen, gehören sie zur Kapitalbindungsplanung. Hier behandeln sie z. B. die Aufteilung in Eigenund Fremdfinanzierung. Sie beschränken sich auf wenige Entscheidungsvariable. Die meisten der Modelle sind weder zeitlich noch sachlich mehrstufig, eine Koordinationsproblematik tritt daher nicht auf. Auch in zeitlich oder sachlich differenzierten Ansätzen werden einzelne Zahlungsströme nicht detailliert berücksichtigt. Insgesamt können daher diese Ansätze eher als grobe Globalplanungsmodelle einer auf lange Sicht anzustrebenden Finanzierungsstruktur angesehen werden. Die Bedeutung der skizzierten Modelle liegt allerdings nicht in einer möglichen Anwendung als Gestaltungsinstrumente für konkrete Entscheidungssituationen. Sie sind vielmehr dazu geeignet, durch einen Vergleich von Anwendungsbedingungen und Modellergebnissen zu klären, unter welchen Voraussetzungen allgemein bestimmte Folgerungen über finanzwirtschaftliche Entscheidungssituationen gezogen werden können. So verwendet man sie in erster Linie zur Herleitung, Erklärung und Analyse von Separationstheoremen, mit denen z. B. die Trennbarkeit von (risikobehafteten) Investitions- und Finanzierungsentscheidungen untersucht wird (vgl. z. B. die Analysen, Verfeinerungen und Modifikationen der Tobin-Separation nach Tobin ([Preference]), zum Überblick: Drukarczyk ([Finanzierungstheorie] 322 f.); ferner Möller ([Capital-Asset-Pricing-Modell] 707 ff.). Die nach der obigen Einteilung verbleibenden Gruppen von Finanzplanungsansätzen sind für das Anliegen dieser Arbeit von größerer Bedeutung. Sie werden in den weiteren Abschnitten dieses Kapitels eingehender behandelt. Im folgenden Abschnitt 2 werden parameterorientierte Kassenhaltungsmodelle, im Abschnitt 3 allgemeine lineare Planungsmodelle auf ihre Eignung als Instrumente der

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Finanzplanung untersucht. Eine besondere Teilklasse linearer Ansätze sind Netzwerkmodelle. Ihnen ist Abschnitt 4 gewidmet. Zum Abschluß dieses Kapitels B II werden in Abschnitt 5 Folgerungen aus den Vor- und Nachteilen bekannter Finanzplanungs-Ansätze für den Vorschlag eines weiterentwickelten Ansatzes zur modellgestützten Finanzplanung gezogen.

2. Parameterorientierte Kassenhaltungsmodelle als Instrumente der Finanzplanung a) Kennzeichnung der parameterorientierten Kassenhaltungsmodelle

Neben der Gruppe der global ausgerichteten Kapitalstruktur- und Kapitalkostenmodelle gibt es eine weitere Gruppe von Finanzplanungsmodellen, die ebenfalls weniger detailliert aufgebaut, jedoch stärker an einer täglich bestehenden Entscheidungssituation ausgerichtet sind. Dies sind Modelle der Kassenhaltung, mit denen nicht eine spezielle Lösung für eine bestimmte Entscheidungssituation gefunden werden soll, sondern eine generelle Regelung (eine »Strategie«), die für alle denkbaren Entscheidungssituationen eine bedingte Handlungsanweisung darstellt (vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 19). Eine derartige generelle Lösung des Kassenhaltungsproblems kann durch einen oder mehrere Parameter gekennzeichnet werden. Durch Vergleich des aktuellen Kassenbestandes (ggf. auch anderer Größen) mit den Parametern ergibt sich die konkrete, situationsbezogene Handlungsweise. Modelle zur Bestimmung solcher Parameter werden als strategische Kassenhaltungsmodelle bezeichnet (vgl. Kistner [Modelle] 621). Diese Modelle sind nicht in einen größeren sachlichen Planungsumfang eingebettet, sondern lösen isoliert nur das Problem des optimalen Liquiditätsbestandes. Es wird typischerweise wie folgt abgegrenzt (vgl. z. B. Kistner [Modelle] 635, lnderfurth [Stand] 304 ff.): Betrachtet wird der Bestand an liquiden Mitteln, wobei einzelne Arten nicht unterschieden werden. Diese Kassenhaltung ist vor allem als Sichtguthaben auf einem Kontokorrentkonto vorstellbar. Der Zahlungsmittelbestand kann oder soll nur zu gewissen diskreten Zeitpunkten aktiv verändert werden: entweder indem liquide Mittel z. B. zum Zweck der Anlage abgeschöpft werden oder indem durch entgegengerichtete Finanzierungsmaßnahmen der Kassenbestand erhöht wird. Zwischen diesen als Transferzahlungen bezeichneten Steuerun-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

gen finden anderweitig bestimmte Geldzu- und -abgänge statt, die als modellexogen anzusehen sind. Durch sie kann der Kassenbestand vorübergehend oder insgesamt ansteigen, aber auch negativ werden. Die exogenen Zahlungen bilden die Schnittstelle der Kassenhaltungsplanung zu anderen Finanzplanungsbereichen. Zur Berechnung des neuen Kassenbestands interessiert nur die Differenz der exogenen Einund Auszahlungen. Daher beschränkt sich die Vorgabe häufig auf deren (Aus-)Zahlungssaldo. Gesucht wird eine kostengünstige Gestaltung der Transferzahlungen und damit des sich ergebenden Kassenbestandes. In die Kostenberechnung gehen folgende Komponenten ein: - die Kosten eines nicht ausreichenden Kassenbestandes, etwa in Form von Kontokorrent-Sollzinsen oder Verzugszinsen (vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 55), - die Kosten der Kassenhaltung in Form von Opportunitätskosten für die entgangene Verzinsung bei anderweitiger Geldanlage (vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 36 ff.), eventuell vermindert um die Kontokorrent-Habenzinsen, - die Kosten der Kassenbestandssteuerung, d. h. die Transferkosten (vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 57 ff., Kistner [Modelle 635). Sie können pro Transfervorgang fix oder proportional zur Transferzahlung sein, ferner sind sie u. U. in beiden Transferrichtungen verschieden.

Mit der sachlich undetaillierten Problemstruktur sowie der Art von Kostenkomponenten als Zielgrößen erweist sich ein so gefaßtes Modell der Kassenhaltung als einfache Erweiterung der Lagerhaltungsmodelle für ein Gut, die mit Parameter-Dispositionsregeln arbeiten. Einige Unterschiede zeigen jedoch, daß nicht völlige Strukturgleichheit der Problemstellungen vorliegt. Zusätzlich zum exogenen Güterabgang und dispanierbaren Güterzugang im Lagerhaltungsmodell gibt es in Kassenhaltungsmodellen auch exogene Zuflüsse und disponierbaren Abgang in Form von Geldanlagen. Entfällt diese letztgenannte Möglichkeit aus bestimmten Gründen, können die Ergebnisse von Lagerhaltungsansätzen direkt auf das Kassenhaltungsproblem übertragen werden (vgl. z. B. Inderfurth [Stand] 305, Schneeweiß [Rules] 386 ff.). Ein zweiter Unterschied liegt in der Bewertung. Während es im Lagerhaltungsmodell genügt, die Kostenberechnung am Periodenendbestand, d. h. an der Vorrats- oder Fehlmengenbestandshöhe, zu orientieren, kann bei der Kassenhaltung hierdurch ein Liquiditätsengpaß innerhalb der Periode für die modellmäßige Erfassung verborgen bleiben, wenn er durch exogene Zuflüsse bis zum Periodenende wieder ausgeglichen wird (vgl. Kistner [Modelle] 635). Die präzisere Gundlage der Kostenberechnung ist bei der Kassenhaltung daher das Maximum der Differenz von kumulierten Aus- und Einzahlungen innerhalb der Periode (vgl. Kistner [Modelle] 636). Dennoch wird in

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strategischen Kassenhaltungsmodellen in der Regel auf die Erfassung der Zahlungsverläufe zwischen den Dispositionszeitpunkten verzichtet (vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 31). Bei pauschaler Erfassung der exogenen Zahlungen durch deren Saldo scheidet eine differenzierte Rechnung ohnhin aus. Allerdings dürften bei kurzer Periode Einund Auszahlungen gegenseitig kompensierbar sein, so daß die Genauigkeitsabweichung gering bleibt. Ein dritter Unterschied von Kassenhaltungs- und Lagerhaltungsmodellen ergibt sich daraus, daß beim Problem der Kassenhaltung der »lost-sales-Fall« nur selten auftreten dürfte. Er hätte zur Folge, daß der Kassenbestand nicht negativ würde (vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 56), Liquiditätsengpässe würden dann ohne Notwendigkeit einer Kreditrückzahlung außerhalb des Modells behoben. Kassenhaltungsprobleme entsprechen deshalb Lagerhaltungsproblemen mit Vormerkung (»back-order-Fall«). Teilweise ausgehend von Lagerhaltungsansätzen, teilweise als spezielle Entwicklungen sind zahlreiche strategische Kassenhaltungsmodelle formuliert worden. Sie stimmen im Grundaufbau überein, unterscheiden sich jedoch in einzelnen Annahmen über die exogenen Zahlungen und die Kosten sowie darin, ob die Gesamtstrategie oder nur die Höhe der Parameter Gegenstand der Modelloptimierung ist. Nach der Annahme über die exogen vorgegebenen Zahlungssalden lassen sich deterministische und stochastische, nach der Berücksichtigung zeitlicher Interdependenzen statische und dynamische Ansätze unterscheiden (vgl. zum Überblick: lnderfurth [Stand] 304 ff. sowie Kistner [Modelle] 634 ff.; vgl. zum deterministischen Grundmodell ursprünglich Baumol [Demand] und Tobin [Demand]; zu neueren Ergebnissen stochastischer Kassenhaltungsansätze vgl. z. B. Milbourne [Uncertainty]). Bei den dynamisch-stochastischen Ansätzen kompliziert sich das rechnerisch zu lösende Formalproblem teilweise so stark, daß nicht in allen Fällen die Strategie vollständig bestimmt werden kann. Daher wird hier das Problem häufig zweistufig angegangen (vgl. Inderfurth [Stand] 309, Ballwieser [Kassendisposition] 19): Umfassendere Modelle ermitteln die gesamte Struktur der Kassenhaltungsstrategie. Sie drückt sich in Anzahl und Bedeutung der Parameter sowie Art der ausgelösten Transferzahlungen aus. Mit gesonderten Ansätzen wird ansebliessend bei gegebener Strategienstruktur die optimale Höhe der Parameter gesucht. Aus allen strategischen Kassenhaltungsmodellen ergibt sich eine stationäre Kassenhaltungspolitik Sie kann durch einen einzigen Parameter, den stets anzustrebenden Kassenbestand, gekennzeichnet sein, aber auch durch mehrere Parameter: Liquiditätsuntergrenzen, bei de-

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8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

ren Erreichen Kredite in bestimmter (parameterbestimmter) Höhe aufzunehmen sind, sowie Liquiditätsobergrenzen, bei denen Geldanlagen in bestimmter (parameterbestimmter) Höhe ausgelöst werden. Ob eine ein-, zwei- oder mehrparametrische Strategie optimal ist, hängt von den Voraussetzungen über die exogenen Zahlungssalden und die Kassenhaltungs-, Fehlbestands- und Transferkosten ab. Typische Kassenhaltungsstrategien sind in Abb. B-2 schematisch dargestellt. Kassenbestand

Kassenbestand

Geldanlage , Höchstkassend ~@~:a:t;@~:L'LJZbes tand

Auflösung der Geldanlage

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"""""""'~ Mindestkassen-

~"0-~~J: bestand Auflösung der Geldanlage

Zeit

Zeit (u,d)- Strategie

z- Strategie

Kassenbestand

Kassenbestand d

Geldanlage

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Höchstkassenbestand

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Auflösung der \.... Geldanlage

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u u Auflösung der \.... Geldanlage

Auffüllungszielbestand Mindestkasse n, bestand Zeit

Zeit (u. z.d)-St rategie

(u, U,D.dl- Strategie

Abb. B-2: Graphische Darstellung einer Ein-, einer Zwei-, einer Drei- und einer Vier-Parameter-Strategie der Kassenhaltung

b) Beurteilung der parameterorientierten Kassenhaltungsmodelle

Die Vorteile einer parametrisch fixierten Kassenhaltungsstrategie liegen zweifellos in der Einfachheit der Anwendung, in der Plausibilität

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

61

der Einzelmaßnahmen sowie im insgesamt geringen Planungsaufwand: Einmal errechnete Parameter können solange angewendet werden, bis sich die Daten, mit denen sie bestimmt worden sind, ändern. Diesen Vorteilen steht jedoch die Problematik ihrer sehr restriktiven Voraussetzungen gegenüber, welche die Anwendbarkeit stark einschränken. Hierzu zählen insbesondere folgende Eigenschaften der von strategischen Kassenhaltungsmodellen behandelten Problemstruktur: (1) Der Sachumfang des behandelten Kassenhaltungsproblems ist sehr klein. Daher ergeben sich besondere Schnittstellenprobleme, insbesondere in der Art der vorausgesetzten exogenen Zahlungssalden. (2) Die Problemstellung wird kaum sachlich detailliert. Beispielsweise wird nur eine Art (bzw. auch in ausgereifteren Modellen nur eine sehr geringe Zahl) von Geldanlagen berücksichtigt. (3) Die Art der zeitlichen Problemstrukturierung schränkt in einigen Modellansätzen die Anwendbarkeit zusätzlich ein. Der geringe sachliche Problemumfang von strategischen Kassenhaltungsmodellen zeigt sich darin, daß nur die Frage des optimalen (Bar-)Geldvorrats untersucht wird. Es werden nicht nur (wie in Finanzplanungsmodellen üblich) Planungsergebnisse der Realgütersphäre als gegeben angenommen, sondern auch alle Finanzinvestitions- und Kreditprobleme als anderweitig gelöst unterstellt. Die liquiditätswirksamen Konsequenzen dieser Vorentscheidungen drücken sich in den exogen vorgegebenen Zahlungssalden aus. Die Abgrenzung der Kassenhaltungsplanung von den ihr vorgelagerten Planungen würde keine starke Einschränkung bedeuten, wenn für diese Schnittstelle eine hinreichende Allgemeinheit vorgesehen wäre. Die Anwendung parameterorientierter Kassenhaltungsmodelle läßt sich indessen nur begründen, wenn die nach ihnen ausgerichtete Liquiditätspolitik optimal sein kann. Will man die parametrisch gekennzeichnete allgemeine Strategie aber als optimal nachweisen, darf man nur wenige Möglichkeiten für die Art der vorgegebenen Zahlungssalden erlauben. Im Kern ergibt sich nur bei einem stationären Zahlungsverlauf auch eine stationäre Optimalstrategie. In deterministischen Kassenhaltungsmodellen wird daher ein bekannter, stets gleichartiger Zahlungsverlauf, in stochastischen Modellen eine zu allen Zahlungszeitpunkten gleichartige Verteilung der Zahlungssalden angenommen. Teilweise wird nur gefordert, daß Erwartungswerte und Varianzen der Zahlungsverteilungen verschiede-

62

8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

ner Zeitpunkte gleich sind, während die Verteilungsfunktionen aber verschieden sein können (zu dieser ))Schwachen Stationarität« vgl. z. B. Ballwieser [Kassendisposition] 63). Freilich ist diese etwas schwächere Voraussetzung für die praktische Anwendbarkeit der Kassenhaltungsmodelle kaum weniger restriktiv. In der Realität muß von ausgeprägten Instationaritäten im Verlauf der Zahlungen ausgegangen werden. Hinzu kommen saisonale Effekte, die aus Vorschriften, Vereinbarungen, Gepflogenheiten des Wirtschaftslebens oder anderen Gründen entstehen. So ist eine Vielzahl von betragsmäßig bedeutenden Zahlungen terminlieh gebunden: Löhne und Gehälter, Zinsen, Mieten, Versicherungen, Steuern, Abgaben u. a. werden periodisch bezahlt. Daneben sind oft auch für den Eingang von Forderungen sowie die Begleichung von Verbindlichkeiten bevorzugte Termine festzustellen. Zudem kann die gesamte Umsatztätigkeit saisonalen Bewegungen unterliegen. Von gleichen Zahlungshöhen zu verschiedenen Betrachtungsterminen könnte man allenfalls dann ausgehen, wenn die einzelnen Teilperioden hinreichend groß sind, so daß die Saisoneffekte möglicherweise innerhalb der Periode liegen. Wegen der verschiedenen Periodizität der Zahlungen dürfte auch dies allerdings fraglich sein. Wenn - wie in Kassenhaltungsmodellen üblich - in jeder Teilperiode nur einmal aktive Transfermaßnahmen ergriffen werden können, rücken durch eine grobe Teilperioden-Verlängerung die Dispositionstermine auseinander. Damit hat man die eine realitätsferne Voraussetzung durch eine andere ersetzt. Auch verschiedene andere Versuche, mit allgemeineren Voraussetzungen die beschränkte Anwendbarkeit der parametrischen Kassenhaltungsmodelle aufzuheben (vgl. zum Überblick Ballwieser [Kassendisposition] 62 ff.) erlauben keine Ausdehnung des mit Kassenhaltungsmodellen bearbeitbaren Problemumfangs. Die einzige Möglichkeit, diese Kassenhaltungsmodelle überhaupt anzuwenden, scheint darin zu liegen, sie auf die Optimierung der Vorsichtskasse zu beschränken. Grundlage ist die Zerlegung der exogenen Zahlungsströme in einen instationären Teil und einen stationären Rest. Der erste Teil der Zahlungen könnte als ))quasideterministisch« betrachtet werden und z. B. mit einem anderen Finanzplanungsansatz bearbeitet werden. Die eigentliche Finanzdisposition wird so in einem eigenen Modell erfaßt. Das Kassenhaltungsmodell gilt nur noch für die zufallsabhängige Restkomponente der Zahlungen (vgl. z. B. Lenz [Kassenhaltung] 485 f. ). Dann erscheint die ansonsten sehr einschränkende Annahme identisch und unabhängig verteilter exogener Zahlungssalden nicht nur als annehmbar, sondern als zweckmäßig (zur Problematik der Aufspaltung in zwei unabhängige Optimierungsaufgaben, wenn die im deterministischen Teil verwendeten Zahlungssalden als

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

63

Erwartungswerte entsprechender Verteilungen interpretiert werden, vgl. Ballwieser [Kassendisposition] 80 f.). Der zweite Grund einer eingeschränkten Einsetzbarkeit strategischer Kassenhaltungsmodelle ist deren mangelnde sachliche Detail/iertheit. Als Problem wird nur die Frage »Kassenhaltung oder abschöpfende bzw. zuführende Transferzahlung« behandelt. Der Zahlungsmittelbestand wird durch eine einzige Kassenhaltungsvariable erfaßt. Für die Errechnung eines optimalen Kassenbestands dürfte es aber auch von Bedeutung sein, die Aufteilung der liquiden Mittel auf verschiedene Zahlungsmittelkonten und deren gegenseitigen Ausgleich zu erfassen. Bei größeren Betrieben kommt die Aufteilung auf Teilbetriebe bzw. Filialen hinzu. Ebenso wird die Alternative der Transferzahlung als der Art nach gegeben vorausgesetzt, sie bleibt im einzelnen ungeklärt. Der Bestand an abgeschöpftem Geld (z. B. ein Wertpapierbestand) sowie der Bestand an aufgenommenem Geld (z. B. die kumulierte Kredithöhe) werden in den Grundmodellen nicht erfaßt. Daher sind Entscheidungen der Art »Geldanlage durch Wertpapierkauf oder Rückzahlung früher aufgenommener Kredite« nicht abgebildet. Als Transferzahlungen sind nur Veränderungen an einem gleichartigen Bestand (von Finanzanlagen oder Krediten) denkbar. Probleme der Wahl zwischen Transfermöglichkeiten, wie Kredite verschiedener Laufzeiten und anderer Konditionenunterschiede, Wertpapierkäufe verschiedener Rentabilität und verschiedenen Risikos, werden nicht betrachtet. Eine Erweiterung der strategischen Kassenhaltungsmodelle in diese Richtung ist nur in geringem Maße möglich. Dies wird z. B. deutlich, wenn versucht wird, das gesamte Portefeuille-Problem in das Kassenhaltungsmodell mit einzubeziehen (vgl. hierzu vor allem Ballwieser [Kassendisposition] 239 ff.). Aber auch bescheidenere Ausprägungen einer größeren Detailliertheit zeigen deutlich die Grenzen strategischer Kassenhaltungsmodelle. Eine eingeschränkte Detailliertheit der Kassenhaltungsmodelle zeigt sich ferner in der Berücksichtigung der Kosten. Vielfach bereitet es für die Modellösung Schwierigkeiten, sowohl fixe als auch variable Transferkosten zu berücksichtigen bzw. für die variablen Kosten auch andere als proportionale Verläufe vorzusehen. Bei allgemeinerer Kostenstruktur wird die Strategie deutlich komplizierter (dies zeigt z. B. für den Fall von Sprüngen in den Kostenverläufen ein Ansatz von Inderfurth [Kassenhaltung] 661 ). Ein drittes Argument zur Beurteilung strategischer Kassenhaltungsmodelle ist die Art der zeitlichen Problemstrukturierung. In zeitlicher Hinsicht sind zwar die Ansätze weniger restriktiv formuliert, teilweise sind aber Umfang, Differenzierung und Detaillierung der zeitlichen Problemstruktur nicht aufeinander abgestimmt. Kassenhaltungs-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

modelle sind für die Anwendung in der kurzfristigen Liquiditätsdisposition gedacht. Der erfaßte Planungshorizont umfaßt daher entweder selbst eine kurze Frist, oder er ist in kurze Teilperioden zu unterteilen. Problematisch sind häufig die Voraussetzungen über Termine möglicher Transferzahlungen. Der interessierenden kürzerfristigen Betrachtung würde es entsprechen, nur zeitdiskrete Dispositionstermine vorzusehen. Sie bilden z. B. die täglich einmal bestehende Transfermöglichkeit ab. In einigen Modellen wird jedoch davon ausgegangen, daß Transferzahlungen jederzeit möglich sind. Die zeitkontinuierliche Formulierung wird vor allem deshalb gewählt, um das Modell überhaupt lösen zu können. Sie ist aber nur problemadäquat, wenn es auf einzelne Zahlungstermine nicht ankommt, weil z. B. - wie bei längerfristiger Betrachtung - in einer Planungs(-teil-)periode »viele« mögliche Dispositionstermine gleichmäßig verteilt sind. Gerade für die Kassenhaltungsplanung ist es in vielen Anwendungsfällen zweckmäßiger, diskrete Dispositionstermine vorauszusetzen. Dies bedeutet eine stärkere zeitliche Detailliertheit der Planung. Aus der Beurteilung ergibt sich insgesamt, daß aufgrund ihrer restriktiven Anwendungsbedingungen die strategischen Kassenhaltungsmodelle zur laufenden Disposition der liquiden Mittel kaum geeignet sind. Sobald man die engen Annahmen, unter denen die Strategien hergeleitet werden, auch nur teilweise aufhebt, erscheinen oft sogar einfache Heuristiken zielgünstiger als die Strategieanwendung (vgl. z. B. zu einem Vergleich bei mehreren Transferalternativen Daellenbach [Models]). Strategische Kassenhaltungsmodelle können eine detaillierte, an Zahlungsströmen orientierte Finanzplanung nicht ersetzen. Sie kommen, allerdings mit den genannten Zusatzproblemen, allenfalls dafür in Frage, eine deterministisch aufgebaute Planung um eine stochastische Modellkomponente zur Bestimmung einer Vorsichtskasse zu ergänzen.

3. Modelle der linearen Planungsrechnung als Instrumente der Finanzplanung a) Kennzeichnung von Grundstrukturen deterministischer linearer Finanzplanungsmodelle aa) Systematisierung von linearen Finanzplanungsmodellen Finanzplanungsmodelle im engsten Sinn orientieren sich an den einzelnen betrieblichen Finanzströmen. Sie optimal zu gestalten, wird

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

65

mit diesen Modellen angestrebt. Im Gegensatz zu den parametrischen Kassenhaltungsmodellen wird hier nicht eine generelle Regelung für ein Teilproblem der Finanzplanung gesucht, sondern ein einzelfallbezogener kompletter Finanzplan als spezielle Lösung für eine bestimmte Entscheidungssituation. Die Höhe der Kassenhaltung sowie die Art und Höhe von Transferzahlungen sind Teil dieses Finanzplans. Viele der bekannten Finanzplanungsmodelle dieser Art gleichen sich im verwendeten Formalaufbau. Zur Erfassung einer Vielzahl von Details, insbesondere der Alternativen zur Gestaltung der Finanzströme eignet sich besonders der Ansatz allgemeiner linearer Planungsmodelle. Die meisten der umfassenden Finanzplanungsmodelle sind daher in dieser Formalstruktur formuliert. Daneben gibt es eine kleine Gruppe von Ansätzen, in denen die Finanzplanung in ähnlicher, jedoch speziellerer Formalstruktur angegangen wird. Dort wird ihre Aufgabenstellung z. B. als Transport-, Umlade- oder Netzwerkftußproblem formuliert. Inhaltlich vergleichbare Ansätze, die formal und methodisch anderen als den hier genannten Strukturen folgen, sind kaum bekannt. Ein (historisches) Beispiel bildet etwa das dynamische Planungsmodell von Wagner ([Planung] 709 ff.), in dem rudimentär auch finanzwirtschaftliche Größen optimiert werden. Zunächst sollen Grundstrukturen linearer Modelle zur Finanzplanung betrachtet werden. Nach dem abgebildeten Problemumfang sind hier zwei Hauptgruppen erkennbar (vgl. Abb. B-3): (1) Die eine Hauptgruppe weist folgende Charakteristika auf: Der Planungszeitraum ist sehr lang; es wird sachlich bzw. zeitlich nicht so stark differenziert; der Schwerpunkt der betrachteten Problemstellung liegt außerhalb des Finanzbereichs, und das Finanzierungsproblem tritt lediglich als Folge und in Zusammenhang mit hauptsächlich betrachteten Fertigungs- oder Investitionsfragestellungen auf. (2) Die Modelle der zweiten Hauptgruppe behandeln das Problem der Finanzplanung schwerpunktmäßig und in zeitlich differenzierter lang- bzw. kurzfristiger Form. Zur ersten Hauptgruppe der linearen Finanzplanungsansätze sind neben den isolierten Ansätzen zur Finanzgrobplanung z. B. von Albach (vgl. [Liquidität] 101 ff. sowie [Kapitalbindung] 389 ff., 396 ff.) vor allem die Modelle zur simultanen Planung von Investitions- und Finanzierungsprogrammen sowie zur simultanen Planung von Investitions-, Fertigungs- und Finanzierungsprogrammen zu rechnen. Erste Grundmodelle zur simultanen Investitions- und Finanzierungspla-

- Albach ([ Kapitalbindung I 382 ff.) - Wissenbach ([Finanzie· rungsregeln)) - Waldmann ([ Unterneh· mensfinanzierung) 76 ff.) - Hamilton/Moses (fPiannina) 680 ff.) - Deppe ([ Grundriß I 37 ff.) - Müller·Merbach ([Früh· warnsysteme) 430 ff.)

I. Art: tellweise Einbeziehung von Realgüterentsdleidungen

I.

- Grundmodell von Robichek/Teichroew /Jones [Decisions] I ff.) -Anwendung bei Mao ([Application) 221 ff.) - Erweiterung von Orgler ((Model) 8-80 ff.) - Verallgemeinerung und Systematisierung von Steinmann ((Liquiditätsoptimierung] 257 ff.) - Modellentwurf von Cohen/Hammer ((Decisions]ISO ff.) - Dreistufiger Ansatz flir Bankbetriebe von Meyer zu Seihausen ([Optimalplanung] 23 ff.) - Modell von Späth/Gutgeseii/Grün (!Liquiditäts· disposition] 191 ff.) - Formulierung fur öffentliche Haushalte von Eichhorn ICLiquiditltsplanunaJ ISO ff.) - Modifizierte Anwendung in einem zweistufigen An· salz von Paptistella ((Liquidititsoptimi erung]65 ff.) - Modell von Schroeder ((Modell] 223 ff.) - Stochastische Erweiterung von Pogue/Bussard ((Model] 69 ff.) - Verallgemeinerter Ansatz von Rosenberg ([Finanzplanungsmodelle] 580 ff. sowie (Gesamtplanung] 53 ff.) - Anwendung bei Liebig ((Erhaltung]49 ff.) - Allgemeiner Ansatz von Glaser ([Liquidillits· reserven] 82 ff.)

Schauenberg ([Finanzplanung] 32 ff.)

interner Finanzströme in einem internationalen Konzern von

- Grundmodell von Calman ([Cash Management] 24 ff.) - Anwendung bei Pogue/Faucett/ Bussard ((Model]69 ff.) - Erweiterung von Stone ([Banking System] 65 ff.) - Statischer Ansatz zur Steuerung

3. Art: 2. Art: (eher dynamische) Finanzplanungsmodelle milumftwen· (eher statlsdle) Finanzp/4nungs· mode/le mit Sdlwerpunkt auf der der Berücksldltigung jinanzwirtsdraftlidler Alternativen kurzfristigen Zahlungsabwicklung

Zweite Hauptsruppe: Finanzplanungsmodelle im en1eren Sinn Der Schwerpunkt liegt auf Finanzentscheidungen

Abb. B-3: Überblick über lineare Finanzplanungsmodelle

- Chames/Cooper/Miller ([Applicalion) 20 ff.) - Albach ({Uquiditlt ]17 ff., 262 ff., [Kapital· bindung] 389 rr.• 396 ff.) - ljiri/Lcvy/Lyon ([Model] 198 ff.) - Weinprtner ({ProJfOmming) 141 ff.) - Hax ({lnvestitionsplanung]435 ff. sowie zu all&emeineren Versionen: {lnvestitionstheorie) 85 rr.. 110 rr.> - Jacob ([lnvestitionsrcchnung] 34 rr. sowie [lnvcstitionsplanung] 34 ff., 81 ff.) - Baumoi/Quandt ([Investment] 319 ff.) -: Swoboda ({PianunaJ I 52 ff.) - Jllskellinen ([Financing) SO ff.) - Blumentrath ({Endwertmaximicrung) 75 ff., III ff.) - Laux/Franke (llnvestitionsplanunl) 44 ff.) - Schweim ([Untemehmungsplanung] 75 ff.) - Seelbach ((lnvestitionsrechnung) 63 ff. , 81 ff.) - Meyhak ([Gesamtplanung]IOS ff., 410 ff.) - Haberstock ([lntegrierung) 38 ff., 119 ff., 178 rr.. 2os rr.) - Haegert ([Einfluß) 22 ff.) - Grundmann ([Finanzplanuna) 163 ff.) - Wegener ([Optimierung] 69 ff.) - Roscnbera ([Gesamtplanung] 13 ff.)

Ente Hauptsruppe: lanafristiae Simultanmodelle Der Schwerpunkt der Ansitze lieat nicht eindeutiJ auf Finan.entscheidunaen; mindestens gleich· &ewichtis werden Entscheidungen aus der Real· gütersphlre cinbezoacn.

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Lineare Finanzplanungsmodelle

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li. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

67

nung gehen auf Charnes/Cooper/Miller ([Application] 21 ff.), Weingartner ([Programming] 141 ff.) und Albach ([Liquidität] 170 ff., 262 ff.) zurück. Die eher langfristige Orientierung dieser Ansätze wird z. B. daran deutlich, daß fast ausschließlich über Alternativen zu entscheiden ist, die längerfristige Festlegungen bedeuten. Im grundlegenden Simultanmodell von Albach ist z. B. aus einem Katalog von Investitions- und längerfristigen Finanzierungsalternativen ein optimales Programm auszuwählen. In einer komparativ-statischen Version liegen alle Entscheidungsvariablen in der ersten Periode, nur die Liquiditätsrestriktion erfordert eine Mehrperiodigkeit (vgl. Albach [Kapitalbindung] 396 ff.). In Erweiterungsformen bestehen Investitionsund Finanzierungsalternativen in jeder Periode. Verallgemeinerte Ansätze einer dynamischen simultanen Realinvestitions- und Finanzplanung, die auch Ganzzahligkeitsbedingungen bei Investitionen berücksichtigen, analysieren vielfältige Zusammenhänge von Entscheidungen verschiedener Perioden. Hierzu sind u. a. die Modelle von Hax, Baumol/Quandt, Blumentrath, Laux/Franke, Seelbach bekannt geworden (vgl. die Titelangaben in Abb. B-3). Einige dieser Ansätze gehen in der Lösungsmethode über die lineare Struktur hinaus. So kombiniert Seelbach periodenbezogene lineare Ansätze mit der Lösungstechnik der dynamischen Planungsrechnung. Ebenfalls die Methode der dynamischen Planungsrechnung verwenden die Ansätze der flexiblen Investitionsplanung (vgl. Laux [Planung], Hax [Investitionstheorie] 165 ff., vgl. auch Abschnitt D Ill 3, S. 442), die zur Behandlung von Situationen unvollkommener Information vorgeschlagen werden (vgl. zu den sonstigen Vorschlägen hierzu AbschnittDIll 3, S. 441 ff.). Auf den Zusammenhang von Fertigungsentscheidungen und Finanzplanung stellen andere Simultanplanungsansätze ab. Auch hier kann ein einfaches Modell von Albach als Vorläufer angesehen werden (vgl. Albach [Liquidität] 262 ff. sowie [Kapitalbindung] 389 ff.). Bei ihm geht es um die Festlegung von Absatzmengen sowie der Höhe einer bestimmten Werbetätigkeit in zwei Perioden. In Nebenbedingungen wird die Liquiditätswirkung der Alternativen, insbesondere die Innenfinanzierung, betrachtet. Da hier der Finanzbereich als Engpaß letztlich die Höhe der Realgütervariablen bestimmt, handelt es sich nach Albach um »aktive Finanzplanung« (vgl. Albach [Kapitalbindung] 389). Umfassendere Fertigungs- und Finanzplanungsmodelle unterscheiden in mehreren Perioden verschiedene Produktarten und gegebenenfalls auch verschiedene Produktionsverfahren. Sie beziehen neben der Innenfinanzierung, die sich direkt aus den Fertigungsvariablen ergibt, auch Arten der Außenfinanzierung in das Modell mit ein. Solche Modelle erlauben in der Regel allerdings auf bei-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

den Seiten keine starke Detaillierung. Bekannte Simultanmodelle dieser Art stammen z. B. von Jacob und Swoboda. Modelle zur simultanen Planung von Investitions-, Fertigungs- und Finanzierungsgrößen sind von Schweim, Haberstock und Rosenberg vorgelegt worden. Zusätzlich Steuereffekte beziehen ein die Modelle von Jääskeläinen, Haegert, Grundmann sowie die schon genannten umfassenden Modelle von Haberstock und Rosenberg (zu den Titelnachweisen der genannten Ansätze vgl. Abb. B-3). Der Ansatz von Rosenberg kann wegen seines hohen Allgemeinheitsgrades bei entsprechender Spezifizierung auch der nachfolgend besprochenen Gruppe der linearen Finanzplanungsmodelle im engeren Sinn zugeordnet werden. Die Simultanmodelle der ersten Hauptgruppe berücksichtigen insgesamt Finanzierungsalternativen nur global und undetailliert. Insbesondere zeigt sich dies etwa an den Modellen von Jacob, Swoboda und Seelbach, in denen die Finanzierungsseite auf typische Grundalternativen beschränkt bleibt. Zusammenfassend sind wichtige Simultanmodelle der ersten Hauptgruppe im linken Teil der Abb. B-3 chronologisch aufgeführt. Die zweite Hauptgruppe der linearen Finanzplanungsansätze legt den Analyseschwerpunkt auf die Finanzentscheidungen (zum Überblick vgl. auch Hielscher/ Lehner [Finanzplanungsmodelle] 418 f., 454 f.). Schnittstellen zum Realgüterbereich sind Vorgaben oder sehr grobe Globalvariable. Die Ansätze dieser Gruppe lassen sich, wie Abb. B-3 darstellt, grob in drei Unterklassen gliedern. In einer ersten Art werden die abgebildeten Finanzentscheidungen noch stärker an Prozesse aus dem Realgüterbereich angekoppelt, Realgüterentscheidungen werden grob miteinbezogen oder mindestens explizit abgebildet. Ansätze einer anderen Art (hier als dritte Art eingestuft) legen dagegen den Schwerpunkt auf die kurzfristige Zahlungsabwicklung. Sie sind von den Entscheidungen im Realgüterbereich weitgehend losgelöst. Eine Mittelstellung nehmen schließlich Ansätze ein, die in Abb. B-3 als Ansätze zweiter Art zusammengestellt sind. Sie beschränken sich in den Entscheidungsvariablen auf reine Finanzgrößen, gehen jedoch über die engeren Zahlungsströme hinaus, indem sie vor allem die Auswahl von Finanzierungs- sowie Finanzanlagealternativen behandeln. Traditionelle Grundmodelle zur ersten Teilgruppe sind z. B. ein weiteres Modell von Albach, die Modelle von Deppe und Wissenbach, zur zweiten Teilgruppe die Modelle von Robichek/Teichroew/Jones, von Steinmann u. a. sowie zur dritten Teilgruppe das Modell von Calman. Sie bilden den Ausgangspunkt für Modifikationen, Erweiterungen und Verallgemeinerungen. Abb. B-3 vermittelt hierzu einen Überblick. Im folgenden wird die Struktur der Grundmodelle und darauf aufbauender Weiterentwicklungen gekennzeichnet.

Il. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

69

bb) Modelle der Finanzplanung mit globaler Einbeziehung einzelner Realgüterprobleme Einfach strukturiert ist das ältere Finnanzplanungsmodell von Albach (vgl. [Kapitalbindung] 382 ff.), das zur ersten der unterschiedenen Teilgruppen linearer Finanzplanungsansätze zu rechnen ist. Vorgaben aus dem Realgüterbereich sind für jede Periode die Ein- und Auszahlungen aus der Umsatzsphäre. Als Planungsvariable enthält das Modell verschiedene Finanzierungsalternativen, über die in der ersten Periode zu entscheiden ist. Folge-Entscheidungen späterer Perioden werden nicht betrachtet. Außer den Liquiditätsbedingungen aller Perioden werden sachliche oder zeitliche Zusammenhänge zwischen den Entscheidungsvariablen nicht betrachtet. Die grobe Problemstellung, die weitgehende Unabhängigkeit der Variablen und damit die einfache Struktur der Nebenbedingungen kennzeichnen dieses Modell Albachs als einen Grundansatz, der beispielhaft nur die wichtigsten Elemente enthält. Einige Modellkomponenten, so die Zielfunktion und die Liquiditätsbedingungen sind darüber hinaus in diesem ersten Ansatz angreifbar bzw. unzweckmäßig formuliert (vgl. Albach [Kapitalbindung] 383, 385, 387). Einen etwas größeren Problemumfang als im Albach-Modell behandelt Deppe (vgl. Deppe [Grundriß] 37 ff.). Neben vorgegebenen Zahlungsgrößen aus laufenden Prozessen bildet auch eine Produktionsvariable für jede Periode die Schnittstelle zum Realgüterbereich. Sie bezeichnet die Fertigungsmenge dieser Periode, wobei eine Einproduktfertigung (vgl. Deppe [Grundriß] 19) oder eine bestimmte Indexmessung bei einer Mehrproduktfertigung vorauszusetzen ist (vgl. zu den Möglichkeiten hierzu Schweitzer/Troßmann [Break-evenAnalysen] 107 ff.). Aus dem Realgüterbereich werden ferner explizit die Mengen der (bei Deppe drei) Einsatzgüter berechnet, die in einem konstanten Verhältnis zur Fertigungsvariablen stehen. Insgesamt gibt es für jede Periode folgende fünf Entscheidungsvariablen (vgl. Deppe [Grundriß] 37 ff.): - die Fertigungsmenge, - die Aufteilung der Ausgaben für das erste Einsatzgut in bare Auszahlung und Inanspruchnahme eines einperiodigen Zahlungsziels, - die Aufteilung der Ausgaben für das zweite Einsatzgut in bare Auszahlung und Akzeptierung eines Dreiperiodenwechsels, - die Aufnahme eines Bankkredits mit einer Laufzeit von zwei Perioden, - den Verkauf von Wertpapieren bestimmter Art aus einem vorhandenen Bestand.

In den Liquiditätsbedingungen werden mehr Einzelheiten abgebildet als etwa im Albach-Modell (vgl. Deppe [Grundriß] 58 f., 65 f.). So

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8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

werden die Verkaufserlöse prozentual in Bareinzahlungen unter Skontoabzug und Zielzahlungen in der Folgeperiode untergliedert. Ferner werden die vorgegebenen Ein- und Auszahlungen auf mehrere Einzelprozesse zurückgeführt, z. B. die Tilgung eines früher aufgenommenen Schuldscheindarlehens. Zusätzlich zu den Liquiditätsnebenbedingungen und isolierten Obergrenzen der Entscheidungsvariablen gibt es im Modell weitere Nebenbedingungen (vgl. Deppe [Grundriß] 64). Einmal sind dies einfache dynamische Fortschreibungsbedingungen sachlich gleichartiger Variabler: die Summe der laufenden Bankkredite darf das bilanzierte Eigenkapital nicht überschreiten; es kann höchstens soviel an Wertpapieren verkauft werden, wie nach bisherigen Verkäufen noch verblieben ist. Zum anderen sind einfache Zusammenhänge sachlich verschiedener Variabler der gleichen Periode einzuhalten: dies betrifft die Fertigungsmenge und die Bezahlungsart der Einsatzgüter. Die allgemeinste Struktur in diesem System hat schließlich die Bedingung, daß die Bilanzregel » Fremdkapital .s; Eigenkapital« einzuhalten ist (vgl. Deppe [Grundriß] 58, 64). Damit ist das abgebildete Problem von etwas komplizierterer Struktur als dasjenige im Albach-ModelL Dennoch bleibt es dadurch einfach, daß neben den Liquiditätsbedingungen nur eine einzige gemeinsame Restriktion für mehrere sachliche Variablenarten verschiedener Perioden besteht. Zudem bezieht sich im Modell Deppes, das als Periodenlänge einen Monat vorsieht, die Wirkung einer Entscheidung auf höchstens zwei Perioden nach der Entscheidungsperiode. Dadurch treten in den Nebenbedingungen keine Variablen weit auseinanderliegender Perioden auf. Inhaltlich bedeutet dies, daß Entscheidungen mit langfristiger Bindung nicht abgebildet werden. In der Zielfunktion des Deppe-Modells wird die Maximierung der entscheidungsrelevanten Deckungsbeiträge angestrebt (vgl. Deppe [Grundriß] 66). Dabei zeigt sich unter anderem das bei einer Zeitabschnittsoptimierung generell bestehende Problem der Bewertung von Endbeständen und laufenden Projekten (vgl. Teilabschnitt 2 f des Kapitels B III, S. 148). Ein Verzicht auf eine Bewertung (wie im Ansatz Deppes) kann in Einzelfällen zu nur kurzfristig optimalen, langfristig aber zielungünstigen Modellösungen führen. Schließlich kann auch das Modell von Wissenbach ( Finanzierungsregeln 447 ff.) der ersten Teilgruppe von linearen Finanzplanungsansätzen zugerechnet werden. Dieser statische Ansatz bildet zwar nur einen kleinen Problemumfang ab, ist aber wegen der Vorgehensweise interessant. Zu entscheiden ist lediglich über die Mengen der Produkte, die bar bzw. auf Ziel verkauft werden, jeweils aufgeteilt in eigenoder fremd-finanzierte Anteile. Diese Entscheidung ist so zu treffen, daß bestimmte Finanzierungsregeln eingehalten und im übrigen eine

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Gewinnfunktion maximiert wird (vgl. Wissenbach [Finanzregeln] 450 ff.). cc) Modelle der Zahlungsmitteldisposition Enger an die oben besprochenen Kassenhaltungsmodelle schließen die Modelle an, die zur dritten Art linearer Finanzplanungsansätze gerechnet werden können. Ihr Schwerpunkt liegt auf der kurzfristigen Zahlungsabwicklung, dem Cash-Management. Sie sind vorwiegend auf die zeitlich isolierte Lösung gegebener Zahlungsprobleme ausgerichtet, betrachten kaum längerfristige Wirkungen und werden daher häufig statisch formuliert. Das besonders im US-amerikanischen Raum weit verbreitete Grundmodell hierzu ist das Modell von Calman ([Cash Management]): In seinem Modell sowie in den im Anschluß an ihn vorgeschlagenen Modellen sind Höhe und Termine von Ein- und Auszahlungen und damit der Finanzbedarf vorgegeben. Auch über die Art der Finanzierung ist grundsätzlich schon entschieden: Der noch verbliebene Geldbedarf wird mit Kontokorrentkrediten befriedigt. Offen und damit Gegenstand der Finanzplanung ist allerdings die Frage, in welchem Umfang die einzelnen Banken, mit denen die Unternehmung in Geschäftsverbindung steht, für die Finanzierungsaktivitäten herangezogen werden. Im Gegensatz zu den bisher behandelten Modelltypen wird das Schwergewicht auf die Steuerung des Geldflusses sowie die Abwicklung des Zahlungsverkehrs gelegt. Zwei Gruppen von Variablen sind dabei auseinanderzuhalten, die je nach Modellformulierung als weitere Vorgaben oder als eigentliche Entscheidungsgrößen verwendet werden (vgl. Stone [Banking System] 67, 69): (1) die Verteilung der Auszahlungen sowie ggf. der (beeinflußbaren) Einzahlungen auf die Banken, (2) die Höhe der Kreditlinien und Kreditinanspruchnahmen bei den einzelnen Banken. Im Grundmodell von Calman (vgl. [Cash Management] 24 ff.) stehen lediglich die Verteilung der Auszahlungen auf die Banken zur Disposition, alle anderen Größen werden als bereits festgelegt angenommen. Mit einem prinzipiell gleichen Modellansatz optimiert dagegen Stone (vgl. [Banking System] 67 ff.) Kreditlinien und Kredite der Kontokorrentkonten bei den Banken unter der Voraussetzung einer gegebenen Verteilung der Zahlungen. Die Optimierung der genannten Größen ist für die Finanzplanung nicht nur zur Vermeidung unnötiger Kreditaufnahmen interessant, sondern auch wegen derbesonderen Berechnungsart von Gebühren und Zinsen für Konto-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

korrentkredite und die Abwicklung des Zahlungsverkehrs bei OSamerikanischen Banken. Folgende, für OS-Verhältnisse charakteristische Bankkonditionen werden in den Modellen vom Calman-Typ berücksichtigt: - Im allgemeinen ist sowohl eine Kreditaufnahme als auch eine zugesagte Kreditlinie der gewährenden Bank dadurch zu honorieren, daß im Durchschnitt mindestens in Höhe bestimmter Prozentsätze dieser Beträge das Kontokorrentkonto ein Guthaben aufweist (vgl. Stone [Banking System] 66). Eine entsprechende Bedingung kommt auch im Modell von Robichek!Teichroew/Jones vor (vgl. [Decisions] 9). Im Grundmodell Calmans tritt sie nicht explizit auf, da dort über die Kontokorrentkredite bereits entschieden ist (vgl. Ca lman [Cash Management] 24 ff.). - Ein Guthabensaldo auf dem Kontokorrentkonto bringt in seiner Durchschnittshöhe einen zweiten Positiveffekt für die Unternehmung: Unabhängig von der oben besprochenen Bedingung wird ein gewisser Prozentsatz des Guthabensaldos als an die Bank entrichtete Gebühr angesehen. Er verringert damit die tatsächlich zu bezahlenden Gebühren, die der Bank für die Abwicklung des Zahlungsverkehrs zustehen (vgl. Calman [Cash Management) 28). Für die Banken ist diese Art der Kompensation so vorteilhaft, daß sie teilweise die bar zu zahlenden Gebühren auf einen Höchstanteil beschränken (vgl. Stone [Banking System] 67). - Eine weitere Möglichkeit, die tatsächlich zu zahlenden Gebühren zu verringern, sind Steuerzahlungen (vgl. Calman [Cash Management] 22, 28). Für eine Bank sind Steuerzahlungen, die über sie abgewickelt werden, vorteilhaft, weil sie diese Beträge der öffentlichen Hand auf einem Sonderkonto in der Regel unverzinslich gutschreibt, von dem sie erst mit einiger zeitlicher Verzögerung wieder abgerufen werden. Auch Steuerzahlungen akzeptieren daher die Banken oft anstelle tatsächlich gezahlter Bankgebühren, wobei ein gewisser Prozentsatz des Steuerbetrages als Gebühr verrechnet wird. Diese Möglichkeit ist bisweilen nach unten oder oben beschränkt (vgl. z. B. Calman [Cash Management] 29).

Sind, wie im Calman-Grundmodell, die Kreditentscheidungen schon getroffen und liegen die ein- und ausgehenden Zahlungen in Art und Höhe fest, dann lassen sich die Gesamtaufwendungen für die Abwicklung des Zahlungsverkehrs noch durch die Aufteilung der Zahlungen auf die verschiedenen Banken beeinflussen, mit denen die Unternehmung in Geschäftsverbindung steht. Die Zahlungseingänge sind dabei im allgemeinen weniger steuerbar. Im Grundmodell Calmans werden sie als externe Variable angesehen - für sie stellt sich allenfalls ein Prognoseproblem. Ebenso wie die in der Verteilung auf die Banken disponierbaren Steuerzahlungen und sonstigen Ausgaben beeinflussen sie aber die Höhe eines Guthabensaldos, der für die Gebührenaufteilung von Bedeutung ist. Das Entscheidungsmodell Calmans enthält somit neben rechentechnischen Variablen im wesentlichen zwei Arten von Entscheidungsvariablen für jede berücksichtigte Bank: die Höhe der Steuerzahlungen sowie die Höhe der sonstigen Ausgaben, die über diese Bank getätigt werden. Der Planungszeitraum ist jeweils ein Monat, eine zeitliche Differenzierung findet nicht statt. Alle Restriktionen beziehen sich ebenfalls nur auf den

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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jeweils betrachteten Monat, so daß insgesamt ein statisches Modell vorliegt. Inhaltlich sind die Restriktionen zum einen Nebenbedingungen, die sich aus den Bankkonditionen ergeben, zum anderen sind es Aufteilungsbedingungen, mit denen die Verteilung von Zahlungsbeträgen gegebener Gesamthöhe auf die beteiligten Banken sichergestellt werden soll. Angestrebt wird eine Verteilung mit minimalen Gesamtkosten der Zahlungsabwicklung, wobei in die Berechnung alle entscheidungsrelevanten Gebührenkomponenten eingehen und für Guthabenbestände zusätzlich Opportunitätskosten berücksichtigt werden. Der gekennzeichnete Ansatz von Calman bildet in sachlicher und zeitlicher Hinsicht nur einen eingeschränkten Problemumfang ab. Dennoch ist er Ausgangspunkt für eine Reihe von Erweiterungen, die wie Stone (vgl. [Banking System] 69) berichtet, eine breite praktische Anwendung gefunden haben. Calman selbst bezieht in einer naheliegenden Modellerweiterung die Steuerung bestimmter Einzahlungen in die Optimierung mit ein (vgl. Calman [Cash Management] 51). Andere Erweiterungen betreffen weitere Verfeinerungen oder kleinere Ausweitungen des sachlichen Problemumfangs. So werden die häufig vordringlich interessierenden und kostenmäßig bedeutenderen Kreditlinien- und Kredit-Inanspruchnahme-Entscheidungen außerhalb des Grundmodells von Calman getroffen. Die Modellvariante von Pogue/Faucett/ Bussard (vgl. [Cash Management] 59 ff.) enthält dagegen auch Entscheidungen über die Inanspruchnahme der Kontokorrentkredite. Um die mit einer modellimmanenten Bestimmung der Kreditvariablen verbundene Ausweitung des linearen Ansatzes zu vermeiden, schlägt Stone hierzu ein zweistufiges heuristisches Verfahren vor, das ebenfalls auf dem Calman-Modell beruht (vgl. Stone [Banking System] 73 f.). Dennoch bleibt der Problemumfang der Modelle vom Calman-Typ vorwiegend auf die Art der aktuellen Zahlungsabwicklung begrenzt. Dies gilt auch für die zeitliche Problemstruktur. Erweiterungen in dieser Hinsicht führen nicht zu einem dynamischen Ansatz, sondern können allenfalls als Aneinanderreihung nahezu unverbundener statischer Calman-Modelle für mehrere Perioden angesehen werden (vgl. z. B. das mehrperiodige Modell bei Stone [Banking System] 77). dd) Modelle der Finanzplanung mit umfassender Berücksichtigung finanzwirtschaftlicher Alternativen Zwischen den beiden bisher besprochenen Arten von linearen Finanzplanungsansätzen einzuordnen sind Modelle, die zwar einen größeren Problemumfang aufweisen als Cash-Management-Modelle, aber den-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

noch auf dem Finanzbereich beschränkt bleiben. Hier werden alternative Finanzierungs- und Finanzanlagemöglichkeiten zur Gestaltung der betrieblichen Finanzströme bei gegebenen Finanz-Salden aus Realgüterentscheidungen betrachtet. Da sich die Wahl einzelner Alternativen nur in mehrperiodiger Sicht adäquat beurteilen läßt, sind die Modelle dieser Art in der Regel dynamisch. Weil sie im Betrachtungszeitraum zwischen den eher längerfristigen Simultanmodellen und den kurzfristigen Zahlungsverkehr-Modellen stehen, werden sie auch als mittelfristig bezeichnet (vgl. z. B. Seelbach [Finanzierung] 97). Im Überblick der Abb. B-3 sind wichtige Modelle dieser Kategorie als zweite Art der linearen Finanzplanungsmodelle im engeren Sinn chronologisch aufgeführt. Ein bedeutendes Grundmodell ist das lineare Finanzplanungsmodell von Robichek/Teichroew/Jones ([Decisions] 1 ff.). Die Schnittstelle, die den behandelten Problemumfang sachlich von anderen Planungsbereichen abgenzt, bildet der für jede Periode vorgegebene (positive oder negative) Finanzbedarf (vgl. Robichek/Teichroew/ Jones [Decisions] 2 ff.), der als Auszahlungsüberschuß der anderweitig geplanten finanzwirksamen Maßnahmen anzusehen ist. Zu seiner Deckung stehen im Modell eine Reihe kurzfristiger Finanzierungsalternativen zur Auswahl, wozu Lieferantenkredite und die typischen kurzfristigen Bankkredite gehören. Ferner sind Rückzahlungen und eine kurzfristige Geldanlage als Alternativen zum Ausgleich eines Überschusses vorgesehen. Für die Alternativen werden neben ihren isolierten Nebenbedingungen auch Beschränkungen abgebildet, die verschiedene Entscheidungsvariable verbinden. So erfaßt das Modell Bestandsfortschreibungen, das teilweise verzögerte Wirksamwerden von Maßnahmen sowie eine Reihe besonderer Konditionen des Zahlungsverkehrs mit nordamerikanischen Banken (vgl. Robichek/ Teichroew/Jones [Decisions] 4 ff.). Ziel in diesem Finanzplanungsmodell ist die Minimierung der gesamten relevanten Kosten. Hierzu zählen neben den Nettozinskosten auch nicht zahlungswirksame Opportunitätskosten für die Goodwill- bzw. Autonomieverluste bei Inanspruchnahme bestimmter Kreditarten sowie eine Endbestandsbewertung (vgl. Robichek/Teichroew/Jones [Decisions] 14 f., 22). Das Modell von Robichek/Teichroew/Jones ist insgesamt in erster Linie als Kreditplanungsmodell anzusehen. Die sachliche Schnittstelle bilden Finanzbedarfsdaten. Sie enthalten allerdings auch Zahlungsströme, über die im Rahmen des Modells noch disponiert wird, z. B. Forderungszugänge, die durch Lombardierung vorgezogen werden. Daher werden in den Liquiditätsnebenbedingungen entsprechende Korrekturposten berücksichtigt. Die zeitliche Schnittstelle zum folgenden Planungszeitraum ist durch Endbestände und deren Bewertung gegeben.

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Obwohl in manchen Teilen redundant oder unzweckmäßig formuliert (vgl. Seelbach [Finanzierung] 139, 141), ist der Ansatz von Robichek/Teichroew/Jones für den beschriebenen Planungsumfang ein ausbaufähiges Grundmodell, das praktische Anwendungsfälle zu erfassen gestattet (so z. B. bei Mao [Application] 221 ff.). Es ist Ausgangspunkt für wichtige Erweiterungen, wie die Ansätze von Steinmann ([Liquiditätsoptimierung] 257 ff.), von Orgler ([Modell] 80 ff. sowie [Cash-Management] 54 ff., 86 ff.), Pogue/ Bussard ([Model] 69 ff.) und Rosenberg ([Finanzplanungsrnodelle] 580 ff. sowie [Gesarntplanung] 13 ff., 53 ff.) zeigen. Verallgemeinerungen des Robichek/Teichroew/Jones-Modells sind insbesondere die Modelle von Rosenberg und Steinmann. In beiden werden die Finanzierungs- und Finanzanlage-Alternativen in allgemeinerer Form berücksichtigt, wobei Steinmann einen typisierenden Ansatz mit weniger Grundalternativen wählt, während Rosenberg rnehr Alternativenarten einzeln aufführt. Ferner berücksichtigt Rosenberg gegenüber Steinmann in einer zusätzlichen Bedingung eine vorgegebene geforderte Mindesthöhe einer Liquiditätsreserve (vgl. Rosenberg [Finanzplanungsmodelle] 590, zum Zweck vgl. Teil b dieses Abschnitts B' II 3, S. 80).

Steinmann, dessen Modell beispielhaft für die genannten Ansätze nachfolgend skizziert wird, behandelt ein als kurzfristig bezeichnetes umfassendes Finanzplanungsproblem (vgl. Steinmann [Liquiditätsoptimierung] 257 ff. sowie [Finanzplanung] 26 ff.). Die sachliche Schnittstelle zu anderen Planungsbereichen ist wiederum durch periodenbezogene Finanzierungssaldos gegeben. Im Finanzierungsaldo einer Periode schlagen sich die Zahlungswirkungen aller Teilplanungen nieder, die außerhalb der betrachteten kurzfristigen Finanzplanung stehen. Dazu gehören Zahlungen für die Realgütereinsätze, nicht beeinftußbare Forderungseingänge, aber auch Zahlungen aus rein finapzwirtschaftlichen Dispositionen, soweit sie längerfristig festgelegt sind, wie Zinszahlungen und Tilgungen längerfristiger Kredite. Im Modell behandelt werden folgende drei Arten von Entscheidungen (vgl. Steinmann [Liquiditätsoptimierung] 26 t f.): - die Termine, zu denen bestehende und fällig werdende Verbindlichkeiten bezahlt werden, - Kauf und Verkauf von Wertpapieren, die innerhalb des Planungszeitraums liquidierbar sind, - Anlagen und Abhebungen auf den Kontokorrentkonten. Mit der ersten Art von Entscheidungsvariablen verallgemeinert Steinmann die bei Robichek/Teichroew/Jones berücksichtigte Möglichkeit, Lieferantenkredite in Anspruch zu nehmen und sie ge-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

gebeneofalls zu verlängern. Er sieht dabei allgemein für jede Verbindlichkeit mehrere mögliche Zahlungsperioden vor, wobei die verschiedenen Beträge, die zum Ausgleich einer Schuld erforderlich sind, mit Hilfe von Skonto-Korrekturkoeffizienten berechnet werden (vgl. Steinmann [Liquiditätsoptimierung] 262). Auch die vorzeitige Begleichung von erst nach der Planungsperiode fälligen Verbindlichkeiten wird auf die gleiche Weise erfaßt. Die zweite Art von Entscheidungsvariablen ist als Verallgemeinerung der bei Robichek/Teichroew/ Jones vorgesehenen einzigen Geldanlage-Alternative mit nur einer Periode Laufzeit anzusehen. Steinmann geht von einer beliebigen Anzahl verschiedener Wertpapier-Anlagearten mit unterschiedlichen Laufzeiten und schwankenden Kurswerten aus. Für ihren Kauf bilden vorgegebene Portfeuille-Höchstquoten eine obere Grenze, der Verkauf ist durch den jeweiligen (Rest-)Bestand nach oben beschränkt (vgl. Steinmann [Liquiditätsoptimierung] 263). Mit den Variablen der Kontokorrentkonten erfaßt Steinmann die eigentliche Zahlungsabwicklung. Im Gegensatz zu anderen Ansätzen richtet er hier das Modell an den in Deutschland üblichen Bankkonditionen aus (vgl. Steinmann [Liquiditätsoptimierung] 268). Das System der Nebenbedingungen umfaßt die isolierten Beschränkungen der abgebildeten finanzwirtschaftliehen Alternativen, Aufteilungsbedingungen für Bestände mit alternativen Verfügungsmöglichkeiten sowie für jede Teilperiode die Liquiditätsbedingung, die konsequenterweise sehr viele entscheidungsabhängige Einzelpositionen enthält. Ziel ist die Maximierung des kurzfristigen Finanzgewinns. Als Erträge gelten dabei erzielte Skontoabzüge, Habenzinsen auf Kontokorrentkonten sowie Realzinserträge der Wertpapiere, einschließlich Dividenden und Kursgewinne. Aufwendungen sind Sollzinsen auf Kontokorrentkonten sowie Provisionen für Effektentransaktionen. Opportunitätsgrößen werden nicht berücksichtigt (vgl. Steinmann [Liquiditätsoptimierung] 271), wegen der Kurzfeistigkeit der Betrachtung wird auch auf eine Diskontierung verzichtet. Die im Vergleich zu Robichek/Teichroew/Jones bei Steinmann nicht abgebildete Möglichkeit der Forderungsbeleihung läßt sich analog der alternativen Verbindlichkeitsbegleichung verallgemeinern. Lediglich im Hinblick auf die Aufnahme eines Langfristkredites, die bei Robichek!Teichroew/Jones als Alternative besteht, ist der Ansatz von Steinmann sachlich eingeschränkter. Im übrigen ist sowohl der sachliche als auch der zetiliche Problemumfang erweitert, insbesondere allgemeiner. Zeitlich gilt der Ansatz für eine kurzfristige Betrachtung, und er ist in zeitliche Teilpläne differenziert. Für die Erfassung von Interdependenzen gilt, daß die einzelnen Variablenarten sachlich kaum Abhängigkeiten aufweisen, sieht man von zusammenhängen-

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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den Variablengruppen wie den je vier Variablen eines Kontokorrentkontos (für Ein- und Auszahlungen bei Haben- und Sollsalden) ab. Zeitliche Interdependenzen treten in den dynamischen Fortschreibungsbedingungen sowie in der Liquiditätsbedingung und in der Zielfunktion auf, wo die unterschiedliche Wirkung zeitlich verschieden indizierter Variabler erfaßt ist. Von einigen Modellen der hier betrachteten Teilklasse sind größere betriebliche Anwendungen bekannt. Dies gilt z. B. für das Modell von Späth/ Gutgese/1/Grün ([Liquiditätsdisposition] 191 ff.), das im Aufbau und den Voraussetzungen dem Steinmann-Modell ähnlich ist. Es ist für die Finanzplanung in einem Großversandhaus implementiert und mit Erfolg angewendet worden. Im Vergleich zum SteinmannModell wird davon ausgegangen, daß die Unternehmung vorwiegend als Kreditnehmer auftritt. Daher sind mehr Kreditvarianten, jedoch weniger GeldanJage-Alternativen als bei Steinmann vorgesehen. Insgesamt wird das ausformulierte Modell von Späth/Gutgeseli/Grün weniger kompliziert. Es werden zwar im einzelnen eine große Zahl von Varianten, jedoch weniger grundsätzlich verschiedene Arten von Alternativen berücksichtigt. So bleiben z. B. Lieferantenkredite und Wertpapier-Anlagen unberücksichtigt. Damit entfallen die Modellkomplikationen, die sich aus der Abbildung von Laufzeitentscheidungen und Kursschwankungen ergeben. Als Zielvorstellung verwenden Späth/Gutgeseii/Grün die Minimierung der Nettozinszahlungen (vgl. Späth/Gutgeseii/Grün [Liquiditätsdisposition] 195 f.). Dies entspricht der von Steinmann verwendeten Zielvorstellung. Allerdings werden bei Späth/Gutgesell/ Grün in den einzelnen Zielfunktionskoeffizienten mehr Einzelheiten, z. B. unterjährige Zinseszinsberechnungen, berücksichtigt (vgl. [Liquiditätsdisposition] 192). Einen Ansatz, der nach Art der Modelle von Steinmann und Späth/Gutgeseii/Grün aufgebaut ist, legt Paptistella (vgl. [Liquiditätsoptimierung] 19 ff.) einer weiteren praktischen Anwendung zugrunde. Wie Eichhorn (vgl. [Liquiditätsplanung]150 ff.), von dem ein einfacheres Vorläufer-Modell stammt, behandelt er die Gelddisposition in einem öffentlichen Haushalt. Abgesehen von einigen Modifikationen in der Modellformulierung, mit denen bestimmte Nebenbedingungen übersichtlicher und implementationsgünstiger ausgedrückt werden (vgl. Paptistella [Liquiditätsoptimierung] 58 ff.), besteht die Besonderheit dieses Ansatzes in einem zweistufigen Aufbau. Aus Gründen des Rechenaufwandes zerlegt Paptistella das Finanzplanungsmodell in zwei Teilmodelle : ein langfristiges mit einem Planungszeitraum von einem Jahr, unterteilt in 52 Wochen, sowie ein

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

kurzfristiges 35-Tage-Modell mit Teilperioden von je einem Tag (vgl. Paptistella [Liquiditätsoptimierung] 65 ff.). Besondere Verknüpfungsbeziehungen zwischen den beiden Modellteilen sollen ein näherungsweises Erreichen eines Gesamtoptimums sicherstellen (vgl. Paptistella [Liquiditätsoptimierung] 89 ff.). Eine ähnliche Untergliederung findet sich bereits auch in einem früheren Ansatz von Meyer zu Seihausen (vgl. [Optimalplanung] 23 ff.). In diesem Ansatz, der umfassend auf die Besonderheiten der bankbetrieblichen Finanzplanung ausgerichtet ist, werden drei Teilmodelle verschiedener zeitlicher Reichweite unterschieden. Den umfassendsten linearen Ansatz zur kurzfristigen, deterministischen Finanzplanung stellt das System von Glaser ([Liquiditätsreserven] 82 ff.) dar. Glaser entwickelt ein allgemeines lineares Planungsmodell, das bei geeigneter Wahl von Daten und vorgesehenen Typen von Abhängigkeitsbeziehungen die bisher genannten konkreten linearen Finanzplanungsmodelle im Kern als Spezialfälle umfaßt. Hierzu unterscheidet er insgesamt elf verschiedene Gruppen von Finanzierungsalternativen: Kontokorrentkredite, gewöhnliche Lieferantenkredite, Lieferantenkredite auf Wechselbasis, Akzeptkredite, Wechseldiskontkredite, Termingelder mit bzw. ohne vorzeitiger TIIgungsmöglichkeit, sonstige Kredite mit bzw. ohne vorzeitiger Tilgungsmöglichkeit, die vorzeitige Kündigung von Termingeldanlagen sowie die vorzeitige Kündigung sonstiger Finanzanlagen (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 83 ff.). Bei den Anlagealternativen führt er neben der Kassenhaltung und der Guthabenanlage auf Kontokorrentkonten folgende acht weiteren Arten an (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 91 f.): Termingelder mit bzw. ohne vorzeitiger Kündigungsmöglichkeit, Annahme diskontfähiger bzw. nichtdiskontfähiger Wechsel, sonstige Anlage mit bzw. ohne vorzeitige Kündigungsmöglichkeit sowie die vorzeitige Tilgung aufgenommener Termingelder bzw. anderer Kredite. Für die Zielvorstellung sieht Glaser insgesamt sieben Möglichkeiten vor, von denen sich zwei als äquivalent zu anderen erweisen. Zielinhalt bei den einzelnen Varianten ist entweder ein definierter Finanzgewinn innerhalb des Planungszeitraums oder das jeweils besonders definierte Vermögen am Ende des Planungshorizonts (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 156 ff.). Auch die Restriktionen formuliert Glaser insofern allgemein, als er sie nicht auf konkrete Anwendungsfälle bezieht, sondern ihre Strukturen für eine Reihe denkbarer Fälle aufzeigt. Er gliedert dabei in Liquiditäts- und Liquiditätsreservenrestriktionen, Finanzierungs- und Finanzanlagerestriktionen, in denen er isolierte Bedingungen für jede einzelne Finanzierungs- bzw. Anlageart sowie für mehrere Arten gemeinsam erfaßt, ferner in Restriktionen für den Endzustand sowie Restriktionen zur Erhaltung

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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gewünschter Finanzierungsrelationen (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 98 ff.). Die allgemeine Formulierung aller Handlungsalternativen in Zielfunktion und Nebenbedingungen wird dadurch ermöglicht, daß Glaser einheitlich alle Variablen als Häufigkeit der Durchführung einer finanzwirtschaftliehen Alternative definiert und sämtliche Konsequenzen in zugehörigen Ein- und Auszahlungsreihen über mehrere Teilperioden voraussetzt (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 85 ff.). Die einheitliche Auffassung aller finanzwirtschaftliehen Maßnahmen als Investitionen (vgl. Abschnitt 2 des Kapitels B I, S. 28) macht es zwar mitunter etwas aufwendiger, die für manche Zielfunktionen wichtigen Nettofinanzierungskosten zu isolieren, sie erlaubt es aber auch, einige kompliziertere Nebenbedingungen einfacher und übersichtlicher auszudrücken (vgl. z. B. Glasers Formulierungen der Modelle von Steinmann, Kistner, Rosenberg: Glaser [Liquiditätsreserven] 280 ff.). Das System von Glaser legt insgesamt die übereinstimmende Grundstruktur deterministischer linearer Finanzplanungsmodelle offen. Es kann als umfassendes Modell angesehen werden, das für eine Vielzahl spezieller linearer Finanzplanungsansätze einen einheitlichen Rahmen bildet. b) Ansätze zur Berücksichtigung des Risikos in linearen Finanzplanungsmodellen

In den bisher gekennzeichneten linearen Finanzplanungsmodellen ist stets von einer Situation der Sicherheit in Daten und Beziehungen ausgegangen worden. Gerade bei Finanzentscheidungen kann aber die Vernachlässigung der Möglichkeit, daß in die Planung eingehende prognostizierte Werte nicht exakt eintreffen, sondern mehr oder weniger davon abweichen, schwerwiegende Konsequenzen haben. Besonders trifft dies für den Finanzbedarf zu, der bei den gekennzeichneten Finanzplanungsmodellen als sachliche Schnittstelle modellexogen vorgegeben wird. Hier setzen daher auch die Versuche an, das Risiko in die Planung einzubeziehen. In entsprechenden Modellen wird der Finanzbedarf als risikobehaftet, alle anderen Größen weiterhin als deterministisch angesehen. Es werden zwei unterschiedliche Konzepte diskutiert, diese Risikogröße in lineare Finanzplanungsansätze einzubringen: der Chance-constrained-Ansatz und der Kompensationsansatz (vgl. zu den Methoden: Bühler/Dick [Optimierung] 101 ff., zur Anwendung: Inderfurth [Stand] 302). Die Anwendung des Chance-constrained-Ansatzes (vgl. ursprünglich Charnes/Cooper [Programming] 73 ff. sowie [Chance Constraints] 18 ff.) in der Finanzplanung geht auf Jääskeläinen (vgl. [Financing]

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8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

154 ff.), Schweim (vgl. [Unternehmungsplanung] 151 ff.) und Pogue/ Bussard (vgl. [Model] 69 ff.) zurück. Ein Beispiel eines neueren Chance-constrained-Ansatzes, das 5 Projekte mit vierperiodiger Laufzeit umfaßt und auch numerisch exakt gelöst wird, stammt von Oe/ Acharya/Sahu (vgl. [Budgeting] 635 ff.). Während Jääskeläinen sein eigenes, nur teilweise den finanzwirtschaftliehen Bereich betreffendes Modell (vgl. Abb. B-3) heranzieht, benutzen Pogue/Bussard im Kern eine leicht erweiterte Variante des Robichek/Teichroew/Jones-Modells. So werden weitere Alternativen der Finanzierung und der Finanzanlage berücksichtigt und die Einhaltung einer Bilanzrelation zusätzlich gefordert, ohne daß aber der Allgemeinheilsgrad des Modells von Steinmann erreicht wird. In diesem Rahmen setzen Pogue/Bussard den gegebenen Finanzbedarf jeder Periode als normalverteilt mit bekannten Parametern voraus. Aufgrund dieser Vorgabe und bei bekannten Zielfunktions-, d. h. Kostenkonsequenzen von zu hoher bzw. zu niedriger Liquidität könnte in einer umfassenden stochastischen Planungsrechnung die optimale Höhe einer Liquiditätsreserve bestimmt werden. Um exakt zu sein, müßte diese Rechnung mehrperiodig und wegen der normalverteilten Größen nichtlinear durchgeführt werden. Möglichkeiten einer verkürzten Lösung bestünden allenfalls dann, wenn das Problem als eine Aufgabe der flexiblen Planung aufgefaßt und mit einem Entscheidungsbaumverfahren angegangen wird. Um den damit verbundenen, vergrößerten Lösungsaufwand zu vermeiden, reduzieren Pogue/ Bussard die Problemstellung durch Vorgabe eines Suboptimuns für die Liquiditätsreserve (vgl. Pogue/ Bussard [Model] 95 f.). Nach Art der Chance-constrained-Methode wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit vorgegeben, mit der die Liquiditätsreserve den (stochastischen) Finanzbedarf keinesfalls unterschreiten darf. Aus den Angaben über den normalverteilten Finanzbedarf läßt sich diese stochastische Bedingung unschwer in eine deterministische Mindestbedingung für die Liquiditätsreserve jeder Teilperiode umrechnen. Die Liquiditätsreserve ist als Summe aus Kassenhaltung und Anteilen anderer Finanzierungsalternativen, wozu z. B. auch nicht ausgenutzte Kreditlinien zählen, festgelegt (vgl. Pogue/ Bussard [Model] 80 ff.). Daher ist mit der Umformulierung wieder eine lineare Struktur aller Nebenbedingungen erreicht. Der Modellumfang hat sich gegenüber der Nichtberücksichtigung des Risikos nicht nennenswert vergrößert. Es wird lediglich ein größeres Liquiditätspotential gefordert. Erkauft wird diese vereinfachte Lösung freilich dadurch, daß ein Optimum für den vorliegenden stochastischen Fall nicht berechnet, vielmehr ein Suboptimum aufgrund gesetzter Teilresultate ermittelt wurde. Die optimale Höhe und damit die Sinnhaftigkeit einer Liqui-

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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ditätsreserve läßt sich nur in einem Modell nachprüfen, das auch die möglichen stochastischen Schwankungen und ihre Zielwirkung explizit abbildet. So verwundert das Resultat Glasers nicht, der Liquiditätsreserven »weder aus liquiditätspolitischer noch aus erfolgswirtschaftlicher Sicht« in kurz- und mittelfristigen (und damit in der Regel deterministischen) Finanzplanungsansätzen eine Bedeutung zuspricht (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 364). Das Konzept, ein lineares Finanzplanungsmodell um Chanceconstrained-Bedingungen zu ergänzen, läßt sich auch bei weniger präzisen Angaben über die risikobehaftete Größe des modellexogenen Finanzsaldos einsetzen. Insbesondere die Modelle von Bühler/ Gehring ([Planning] 313 ff.) sowie Bühler/Gehring/ Glaser ([Finanzplanung] 75 ff.) zeigen, daß selbst bei nur intervallweiser Kenntnis der Eintrittswahrscheinlichkeiten von Finanzsalden derartige Modelle formuliert und gelöst werden können. Eine zweite Möglichkeit, risikobehaftete Informationen in linearen Finanzplanungsmodellen zu verarbeiten, wird als Kompensationsansatz bezeichnet (vgl. z. B. Kali [Stand] 84). Hierzu haben zunächst Kistner ([Modelle] 631 ff.), später Bühler/Gehring/ Glaser ([Finanzplanung] 58 ff.) Vorschläge formuliert. Grundlage des Kompensationsansatzes ist für jede risikobehaftete Größe die Unterscheidung von »geplantem« Wert (der in der Regel als Erwartungswert zu verstehen ist) und zufälligen Abweichungen davon. Gibt es Abweichungen, werden bei Zugrundelegung der erwarteten Werte einige Nebenbedingungen verletzt. Die mögliche Verletzung wird nicht wie beim Chance-constrained-Ansatz durch eine Verschärfung der Bedingung (indem z. B. der zu deckende Finanzbedarf letztlich erhöht wird) zu verhindern versucht, sondern es werden Maßnahmen betrachtet, mit denen eine eingetretene Nichteinhaltung von Nebenbedingungen ausgeglichen (kompensiert) werden kann. Wegen dieser expliziten Bestimmung eines Notprogramms wird der Kompensationsansatz eher als kürzerfristiges Modell angesehen, der Chance-constrained-Ansatz erscheint geeigneter für die längerfristige Analyse (vgl. Kistner [Modelle] 630). Für das Notprogramm müssen prinzipielle Möglichkeiten im Modell vorgegeben werden, wodurch der Ansatz ein strategisches Element erhält (vgl. Kistner [Modelle] 631 ). Im Modell von Kistner, das ansonsten den oben gekennzeichneten Grundmodellen der linearen Finanzplanung ähnlich ist, sind als Kompensationsmaßnahmen außerplanmäßige Kontokorrentkredite sowie darüber hinaus Überziehungskredite vorgesehen. Im Gesamtmodell sind die Variablen so zu bestimmen, daß der Erwartungswert der Kosten des regulären Finanzplans sowie der Kosten der Notprogramme minimal wird (vgl. Kistner [Modelle] 632). Die konkrete Berechnung der Lösung eines

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Kompensationsmodells kann sich allerdings als ziemlich aufwendig erweisen, insbesondere auch, weil durch die explizite Erfassung des Notprogrammes die Zielfunktion im allgemeinen nichtlinear wird. c) Beurteilung der linearen Finanzplanungsansätze

Obwohl in Einzelheiten sehr unterschiedlich, zeigen die linearen Finanzplanungsansätze nicht nur in der Formalstruktur, sondern auch in der Art der behandelten Problemstellung große Übereinstimmung. Sie sind an prognostizierten bzw. geplanten Zahlungsströmen orientiert, die gemäß einer gewinn-, kosten- bzw. endwertbezogenen Zielvorstellung optimiert werden sollen. Ein Hauptunterschied zu den Kassenhaltungsmodellen liegt darin, daß die Einhaltung der Liquidität ein Kernpunkt des behandelten Problems ist; die Liquiditätsbedingung ist regelmäßig eine der wichtigsten Nebenbedingungen. In den Kassenhaltungsmodellen dagegen wird das Liquiditätsproblem häufig dadurch eliminiert, daß Kreditaufnahmen in unbegrenzter Höhe zugelassen sind. Somit reduziert sich die Finanzplanungsfrage auf reine Rentabilitätsgesichtspunkte. Die linearen Finanzplanungsmodelle gestatten es dagegen, die Liquiditätsbedingung sowie viele Arten von Beschränkungen der Kreditaufnahmen und der Geldanlagen explizit in den Planungsansatz miteinzubeziehen. Ein zweiter Hauptunterschied liegt darin, daß Kassenhaltungsmodelle schon bei vergleichsweise wenigen Geldanlage- und Kreditaufnahme-Alternativen kompliziert werden, während es gerade zu den Charakteristika linearer Modelle gehört, daß eine Vielzahl von Alternativen erfaßt und in die Entscheidungsrechnung eingebracht werden können. Damit kann in linearen Finanzplanungsmodellen die reale Entscheidungssituation in Handlungsalternativen und ihren jeweiligen Beschränkungen mit hohem Hornamorphiegrad erfaßt werden. Die Vorteile der umfassenden Abbildung von Variablen und Beschränkungen bringen allerdings auch Einschränkungen in der Art der Problem-Abbildung und -Iösung mit sich, die in der Formulierung als lineare Planungsmodelle liegen. Sie lassen sich auf drei Sachverhalte zurückführen : (1) Die bekannten linearen Finanzplanungsmodelle sind für eine Neuaufwurfs-Planung konzipiert. (2) Die Vorteile einer schnellen und einfachen Lösung bestehen nur bei Linearität aller eingehenden Beziehungen. (3) Der Anwender erhält im allgemeinen eine fertige, zu realisierende Lösung, die alle Entscheidungsvariablen umfaßt und deren Verhältnis zu Alternativlösungen er nicht überblicken kann.

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Eine Neuaufwurfs-Planung arbeitet mit der Vorstellung eines isolierten Planungsaktes: Die jetzt betrachteten Entscheidungsvariablen sind weder schon vorher grob festgelegt worden, noch werden sie später ergänzt, konkretisiert oder präzisiert. Diese Modell-Vorstellung kann in der Anwendung nicht zutreffen. Als Instrument einer Neuaufwurfs-Planung bestehen daher für lineare Finanzplanungsmo delle besondere Erfordernisse in der abgebildeten Problemstruktur und Anwendungsart Um realitätsnah und praxisrelevant zu sein und um zu vermeiden, daß eine unvollständige oder nicht hinreichend detaillierte Modellösung nicht zielkonform ergänzt und auf nicht abgebildete Detailprobleme umgesetzt wird, muß die Problemstruktur des Modells sehr umfassend sein. Sachlich und zeitlich ist eine starke Differenzierung erforderlich. Sachlich sind die Einzelheiten der Finanzalternativen eingehend abzubilden, zeitlich sind (mindestens zu Beginn des Planungszeitraums) kurze Planungsteilperioden anzusetzen. Hieraus ergibt sich die schwerpunktmäßige Orientierung der Modelle an der kürzerfristigen, engeren Finanzplanung. Da bereits die rein finanzwirtschaftliehen Handlungsmöglichkeiten sehr zahlreich sind, von ihnen aber kaum einzelne Teilmengen aus dem Entscheidungsmodell ausgrenzbar sind, beschränken sich die anwendungsnäheren Modelle in der Regel auf die eigentlichen Finanzentscheidungen, d. h., sie behandeln eine vom Realgüterprozeß abgekoppelte Entscheidungssituation. Dies gelingt um so leichter, als sich die Aufteilung und sukzessive Lösung dieser beiden Planungsbereiche durch eindeutige Schnittstellen klar definieren läßt und auch der üblichen organisatorischen Trennung der Aufgabenbereiche in der betrieblichen Praxis entspricht. Für die Anwendungsart der Modelle ist bedeutsam, daß die Ergebnisse auf den einzelnen Fall ausgerichtet und nur für diesen gültig sind. Daher sollte die Planungsrechnung auf aktuellen Daten basieren. Sie kann in der Regel erst kurz vor der Realisation durchgeführt werden. Die erforderliche Schnelligkeit der Lösungsermittlung ist bei linearen Ansätzen gewährleistet. Allerdings ergibt sich ein gewisser Widerspruch daraus, daß der insgesamt doch große Aufwand der Modellformulierung mit Datenbeschaffung, Modellösung und -Umsetzung mitunter nur in größeren Abständen als wirtschaftlich vertretbar angesehen wird (vgl. z. B. Inderfuth [Stand] 304), andererseits aber nur sinnvoll ist, wenn die Planung in kürzeren Abständen den sich ändernden aktuellen Daten angepaßt wird. Als· Instrument einer naheliegenden und zweckmäßigen rollenden Planung bringen aber die bisherigen Ansätze der linearen Finanzplanung kaum Vorteile: Auch bei kurzen Wiederholungsfristen und nur wenig geänderten Daten ist der Gesamtansatz neu zu lösen.

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Beschränkungen aus dem gewählten Rechenansatz liegen vor allem im Erfordernis der Linearität aller eingehenden Beziehungen begründet. So lassen sich die Besonderheiten bei unteilbaren Geldanlage-, d. h. Investitions- sowie Geldaufnahme-Alternativen wie auch fixe Kosten, etwa der Inanspruchnahme einzelner Alternativen, nur mit Hilfe von Ganzzahligkeitsbedingungen erfassen. Stetig nichtlineare Funktionsverläufe kann man zwar stückweise linearisieren; dies erfordert aber zur korrekten formalen Darstellung ebenfalls ganzzahlige Variable. Schon wenige ganzzahlige Variable verzögern indessen spürbar den rechnerischen Lösungsprozeß, eine größere Zahl stellt ihn in Frage. In den gekennzeichneten Finanzplanungsmodellen wird daher auf die Abbildung von Sachverhalten, die Ganzzahligkeitsbedingungen erfordern, weitgehend verzichtet. Das gleiche gilt für andere Arten von Nichtlinearitäten, die vor allem bei Kostenberechnungen auftreten können. Ferner beruhen die Probleme bei der Berücksichtigung des Risikos auf der Linearitätsvoraussetzung. Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsfunktionen führen zu Nichtlinearitäten im Modell, eine diskrete Erfassung aller denkbaren Datensituationen bläht das Modell zu stark auf, um bei sachlich realitätsnaher Detaillierung noch mit angemessenem Aufwand lösbar zu sein. Daher sind die Möglichkeiten, lineare Finanzplanungsmodelle um Risiko-Aspekte zu ergänzen, beschränkt ( vgl. den obigen Teil b, S. 72). Dies hat zur Folge, daß auch alle damit zusammenhängenden Sachverhalte nur rudimentär abgebildet werden können (vgl. Swoboda [Finanzierung] 249, Hax [Unternehmungspolitik] 10, 18): die unterschiedliche Einschätzung von Projektrisiken und des Geldanlagerisikos in der Unternehmung durch Geldgeber, die Abhängigkeit der Konditionengestaltung von derartigen Risikoeinschätzungen, allgemein die Machteinflüsse der Finanzierungsbedingungen bis hin zum Risikoausgleich des Geldanlegers durch Portfeuillegestaltung. Ein weiterer Kritikpunkt betrifft die Akzeptanz durch den Anwender. Er kann vielfach Kalkül und Ergebnis nicht nachvollziehen (vgl. lnderfur'th [Stand] 304). Abgesehen von psychologischen Aspekten wirkt sich dies zwar zunächst kaum aus, wird aber von Bedeutung, wenn nicht abgebildete Sachverhalte, nachträgliche Datenänderungen oder präzisere Neu-Informationen zum Ersatz bisheriger Grobinformationen nachträglich in die Modellösung integriert werden sollen. Eine annähernd modelladäquate Ergänzung verlangt mindestens prinzipielles Verständnis von Modellstruktur und Lösungsalgorithmus, sollen größere Optimalitätsabweichungen vermieden werden. Immerhin lassen sich durch Sensitivitätsanalysen die Spielräume für erlaubte Datenvariationen bei gleichbleibender Modellösung feststellen (vgl. zu Sensitivitätsanalysen bei Finanzplanungsmodellen vor allem Dinkelbach/lsermann [Sensitivitätsanalysen]).

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Trotz der genannten Einwände bieten die bekannten linearen Finanzplanungsmodelle gegenwärtig die einzige Möglichkeit, die bei Finanzentscheidungen vorzufindende Problemsituation wenigstens annähernd umfassend abzubilden und in angemessener Zeit eine Lösung für das abgebildete Problem zu finden. Der Schlußfolgerung Inderfurths ([Stand] 304), angesichts der beschränkten Möglichkeiten linearer Finanzplanungsmodelle sei es zweckmäßiger, sich auf die generelle Lösung durch einfache, praktikable Kassenhaltungsstrategien zurückzuziehen, kann nicht gefolgt werden. Auch wenn die Anwendungsbedingungen der Kassenhaltungsmodelle weniger einschränkend wären: In jedem Fall lösen sie lediglich einen kleinen Teil des gesamten Finanzplanungsproblems. Im übrigen müßte auf Faustregeln und sonstige heuristische Verfahrenweisen zurückgegriffen werden.

4. Modelle mit Netzwerkstruktur als Instrumente der Finanzplanung a) Ansätze in der Formalstruktur des Transportmodells Das Ausmaß des Gleichungssystems und damit auch der rechnerische Lösungsaufwand linearer Finanzplanungsmodelle veranlassen es, nach Modellformulierungen zu suchen, die es gestatten, Finanzplanungsprobleme einfacher zu erfassen und vielleicht effizienter zu lösen. Hinweise dafür kann man vor allem aus der Struktur der Koeffizientenmatrix für lineare Finanzplanungsmodelle gewinnen, wie sie insbesondere bei Charnes/Cooper/Miller ([Application] 37, 39, 44) und bei Späth/Gutgesell/Grün ([Liquiditätsdisposition] 198) schematisch dargestellt ist. Es handelt sich um eine relativ dünn besetzte Matrix, wobei in den besetzten Feldern besonders häufig die Koeffizienten + 1 und -1 auftreten. Nur in wenigen Zeilen sind relativ viele Felder besetzt. Diese Zeilen entsprechen Restriktionen, die mehrere finanzielle Alternativen gleichzeitig betreffen. Bis auf derartige Ausnahmen besteht insgesamt eine starke Ähnlichkeit zur Koeffizientenmatrix eines linearen Transportproblems. Daher liegt der Versuch nahe, die Finanzplanungsaufgabe formal als Transportproblem aufzufassen und zu lösen. Diese Idee ist erstmals 1974 von Srinivasan in einem grundlegenden Aufsatz ([Transshipment Model]) aufgegriffen worden.

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Als Vorläufer für einen speziellen Anwendungsfall ist der Ansatz von Rutenberg ([Assets]) anzusehen. Rutenberg untersucht die finanziellen Verbindungen zwischen Schwesterunternehmungen in verschiedenen Ländern. In jeder Periode haben einige von ihnen Liquiditätsüberschüsse, andere Liquiditätsdefizite. Der Ausgleich soll durch zwischenbetriebliche Kredite, durch entsprechende Gewinnausschüttungen oder andere Transferzahlungen erfolgen. Weil bei solchen Geldtransfers von Land zu Land durch Steuern, Abgaben u. a. unterschiedlich viel verloren geht, (vgl. Rutenberg [Assets] 674 ff.), entsteht ein Verteilungsproblem. Es läßt sich auf die Form eines verallgemeinerten Transportproblems im Sinne Dantzigs ([Lineare Programmierung] 468 ff.) mit gewichteten Summen als Angebots- und Nachfragerestriktionen bringen und entsprechend lösen (vgl. Rutenberg [Assets] 682). Srinivasan behandelt demgegenüber die allgemeine Finanzplanungs-Fragestellung. Er geht von einem linearen Finanzplanungsmodell Orglers (vgl. Orgler [Cash Management] 54 ff., 70 ff., 86 ff.) aus, das zwar bis auf einige Bedingungen bereits sehr transportähnlich aufgebaut, jedoch noch als allgemeines lineares Modell zu lösen ist. Denk ( vgl. [Finanzdisposition]) legt 1978 einen erweiterten Ansatz mit derselben Grundidee vor. Justen (vgl. [Liquiditätsdisposition] 133 ff.) formuliert nach dem Vorbild Srinivasans ein mehrperiodiges Modell für die tägliche Liquiditätsdisposition in Banken. Ein einfacher Grundansatz wird ferner von Rössler (vgl. [Unternehmungsfinanzierung] 177 f.) vorgeschlagen. In den Modellen von Srinivasan und Denk wird die Aufgabe der Finanzplanung nicht nur formal als Transportproblem dargestellt, es wird darüber hinaus gezeigt, daß sie auch auf diese Weise interpretiert werden kann. So gibt es eine Reihe von liquiditätsanbietenden Stellen - bei Srinivasan (vgl. [Transshipment Model] 1353) sind dies die Kassenbestände der einzelnen Perioden und mehrere Wertpapieranlagensowie eine Reihe von liquiditätsnachfragenden Stellen: fällige Verbindlichkeiten und wiederum die Kassenbestände. Wie beim gewöhnlichen Transportproblem sind die gegebenen Kapazitäten der liefernden Stellen so auf die nachfragenden Stellen zu verteilen, daß deren ebenfalls gegebene Bedarfe erfüllt und die insgesamt entstehenden Kosten minimal werden. In die Kassenbestandskapazitäten der einzelnen Perioden gehen die vordisponierten Einzahlungen, in die Nachfragebeträge die vordisponierten Auszahlungen als Schnittstellen-Daten ein. Die zulässigen (d. h. nicht gesperrten) »Transport«-Verbindungen kennzeichnen Möglichkeiten der Deckung von Finanzbedarfen. So können später fällige Verbindlichkeiten unter Skontoabzug bereits mit Hilfe früherer Kassenbestände gedeckt werden, spätere

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Liquiditätsüberschüsse können unter Zinsverlusten zur Deckung früheren Geldbedarfs herangezogen werden, z. B. in Form eines Kontokorrentkredits oder durch vorzeitige Liquidierung von Geldanlagen. Neben diesen beiden Aktionsmöglichkeiten für jede Periode sind ferner im Modell von Srinivasan kurzfristige Geldanlagen über eine oder mehrere Perioden innerhalb des Planungszeitraums vorgesehen (vgl. Srinivasan [Transshipment Model] 1355). Mit ihnen kann Bargeld einer Periode in eine spätere Periode übertragen werden. Gegenüber dieser mehr prinzipiellen Abbildung weniger finanzwirtschaftlicher Alternativen sind im Transportmodell von Denk weitere Alternativenarten abgebildet (vgl. Denk [Finanzdisposition] 360 f.). Als zusätzliche Liquiditätsquellen treten bei ihm auf: die Diskontierung von Besitzwechseln, Factoring-Alternativen sowie die Inanspruchnahme eines längerfristigen (einjährigen) Kredits. Ferner ist eine Übertrag von Liquidität späterer Perioden auf frühere vorgesehen, womit Kontokorrentkredite erfaßt werden. Weiterhin ist eine Verschiebung von Zahlungen bis nach dem Planungshorizont zulässig. Als gegenüber dem Srinivasan-Ansatz zusätzliche Liquditätsnachfrage ist die von der Lieferantenschulden-Politik abgekoppelte Finanzierung durch Schuldwechsel zu nennen. Die Formulierung als Transportmodell erlaubt es, zur Lösung die sehr effizienten speziellen Algorithmen für diesen Modelltyp einzusetzen (zu den Lösungsverfahren vgl. z. B. Dantzig [Lineare Programmierung) 343 ff. und die an ihn anschließende Literatur). Dadurch läßt sich die Rechenzeit gegenüber einer Anwendung der allgemeinen linearen Planungsrechnung erheblich verkürzen. Glover/Klingman berichten von einem Liquiditätsdispositions-Modell mit transportmodellähnlicher Struktur, das bei General Motors angewendet wurde und Rechenzeitverkürzungen gegenüber einer Formulierung als lineares Planungsmodell von 40 Stunden zu 30 Minuten erlaubt habe (die Angaben stammen aus dem Jahr 1975, die genaue Modellformulierung ist allerdings nicht angegeben, vgl. Glover/ Kiingman [Applications) 49). Auch ansonsten oft aufwendige Sensitivitätsanalysen werden nun für die praktische Anwendung interessant (vgl. Srinivasan [Transshipment Model) 1358, 1360). Erkauft werden diese Vorteile freilich durch starke Einschränkungen in der Allgemeinheit der Modellformulierung. Diese liegen hauptsächlich in zwei Tatbeständen begründet, die für das herkömmliche Transportmodell gelten: (1) Absende-Menge und Ankunfts-Menge stimmen auf jeder Verbindung überein.

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

(2) Alle Restriktionen sind als Kapazitätsrestriktionen auf Angebots- oder Nachfrageseite darstellbar. Der erste Sachverhalt führt dazu, daß z. B. Zinsab- bzw. -zuschläge (Skonti oder andere Diskontbeträge, Agio- und Disagiobeträge, Ertragsausschüttungen usw.) als zahlungswirksame Größen nicht abgebildet werden können. Sie gehen zwar in die Zielfunktion ein, im Zahlungs-Zuordnungs-Tableau wird aber angenommen, daß alle Zahlungen in ursprünglich vorgesehener Höhe erfolgen. Hier wirkt sich aus, daß bei einem Transportmodell als Koeffizienten nur (positive oder negative) Einsen auftreten, wohingegen z. B. beim vergleichbaren allgemeinen linearen Modell Orglers an dieser Stelle »technical coefficients« eingesetzt werden, die im allgemeinen ungleich eins sind (vgl. Orgler [Cash Management] 73, 77). Insbesondere für größere Abweichungen dieser Nennbeträge von Zahlungen zu den tatsächlichen Zahlungsbeträgen stellt die vereinfachende Darstellung im Transportmodell eine erhebliche Realitätsentfernung dar. Die zweite der genannten Einschränkungen verhindert es, allgemeinere Beschränkungsarten in das Modell einzuführen. Dies führt zwar nicht soweit, wie Paptistella ([Liquiditätsoptimierung] 56) kritisiert, daß etwa die Rückzahlung aufgenommener Kredite nicht abbildbar wäre, jedoch ist in der Tat die Abbildung auf Dispositionsalternativen beschränkt, die jeweils lediglich eine einzige positive und negative Liquiditätswirkung haben, nämlich die Ein- und Auszahlung bei Anlage- und Kreditalternativen. So können z. B. Kredite mit festgelegten Tilgungsraten, Geldanlagen mit periodenweise aufgeteilter Rückzahlung, Höchst- oder Mindestanteile bestimmter Geldanlage- bzw. -aufnahmearten, einzelne Finanzierungsregeln u. a. nicht erfaßt werden. Dies reduziert die Realitätsnähe der Transportmodellansätze zusätzlich. Weitere Einschränkungen, wie sie etwa bei Denk ([Finanzdisposition] 365 f.) angeführt werden, sind nicht für den gewählten Ansatz spezifisch, sondern treffen für (lineare) Finanzplanungsmodelle allgemein zu.

b) Allgemeine graphentheoretische Ansätze

Weitgehend unabhängig von den Transportmodellansätzen hat sich eine zweite, damit verwandte Richtung der Anwendung vereinfachter Modellstrukturen auf Probleme der Finanzplanung entwickelt: die Erfassung und Lösung von Finanzplanungsfragen mit graphentheoretischen Mitteln. Auch hierzu liegen bisher nur sehr wenige Modelle vor. Sie unterscheiden sich in Fragestellung und Abbildungsart, stim-

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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men jedoch darin überein, daß die betrachteten Handlungsalternativen als Wege in einem Finanz-Netzwerk dargestellt werden. Ansätze dieser Art sind t 975 von Hinzen ([Finanzplanung] 55 ff., 65 ff. ), t 979 von Crum/Klingman/Tavis ([Implementation] 140 ff.), t 980 von Golden/Liberatone/ Lieberman ([Cash flow)) sowie t 982 von Hennemann ([Finanzplanung)) vorgeschlagen worden. Das Netzwerkmodell von Hinzen schließt dabei am ehesten an die Fragestellung der besprochenen Transportmodelle an. In seiner einfachsten Form (vgl. Hinzen [Finanzplanung] 58) ist der Kassenbestand jeder Periode durch einen Knoten dargestellt. Aufeinanderfolgende Kassenbestände sind durch Pfeile verbunden, durch die eine jeweils einperiodige Kassenhaltung erfaßt ist. Mit Pfeilen, die von einem Quellknoten ausgehen, werden der Anfangsbestand und die vordisponierten Einzahlungen erfaßt, mit Pfeilen zu einer Senke der Endbestand und die vordisponierten Auszahlungen. In erweiterten Netzwerken bildet Hinzen (vgl. [Finanzplanung]65 ff.) ferner Kreditund Geldanlagemöglichkeiten ab, für die jedoch keine anteilmäßigen Rückzahlungen in verschiedenen Perioden vereinbart sein dürfen. Wie bei den Transportmodell-Ansätzen steht die zeitliche Steuerung der Zahlungen im Vordergrund. Entscheidungsobjekte sind daher die Beträge an Ein- und Auszahlungen, die von ihrer ursprünglichen Zahlungsperiode (unter positiven oder negativen Zinswirkungen) auf andere Perioden verlagert werden, die periodenweise Übertragung von Kassenbeständen sowie die Kredit- und Geldanlage-Entscheidungen (vgl. Hinzen [Finanzplanung] 52, 65). Mit den als Transportmodelle formulierten Finanzplanungsansätzen hat das Netzwerkmodell Hinzens große Ähnlichkeit, es gibt jedoch auch einige wichtige Unterschiede. Ähnlichkeit besteht darin, daß die Zahlungen als Flüsse zwischen Stellen interpretiert werden. Diese Flüsse werden im einen Fall als Felder in einem Transportmengen-Tableau, im anderen Fall als Pfeile in einem Netzwerk wiedergegeben. Obwohl diese beiden Abbildungsarten weitgehend äquivalent sind, zeigt sich dennoch ein gewisser Vorteil bei der Darstellung als Graph: So läßt sich beispielsweise eine indirekte Verbindung zwischen zwei Stellen, wie sie beim Umladeproblem, aber auch etwa bei Zwischenanlagen von Geld auftritt, im Transporttableau nur mit einem formalen Trick darstellen (vgl. Srinivasan [Tansshipment Model] 1356), während das gleiche im Netzwerk keine besondere Überlegung erfordert. Ferner gestattet es die graphentheoretische Formulierung eher, Lösungsverfahren einzusetzen, die auf Besonderheiten hin ausgerichtet sind. So können die oben gekennzeichneten Zu- bzw. Abschläge der ursprünglichen Zahlungsbeträge bei Änderung des ursprünglichen Zahlungstermins mit einem speziellen Verfahren in das

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Modell einbezogen werden. Da der hierzu von Hinzen (vgl. [Finanzplanung] 73 ff.) beschrittene Weg verallgemeinerbar ist (vgl. hierzu das folgende Kapitel III, S. 99), entfällt für Netzwerk-Modelle der erste der oben für die Transportmodelle genannte Kritikpunkt Auch das Netzwerk-Modell von Golden/ Liberatone/ Lieberman (vgl. [Cash fl.ow] 13 ff.) dient der kurzfristigen Zahlungsdisposition. Es gestattet ebenfalls in Erweiterung des Srinivasan-Modells, die Wiederverwendung rückfließender Gelder und damit ihre Umverteilung sowie die Verzinsungszuwächse bzw. -abschläge abzubilden (vgl. Golden/Liberatone/ Lieberman [Cash Flow] 14). Insgesamt ähnelt es dem Modell von Hinzen (das aber den Autoren dieser späteren Publikation offenbar nicht vorlag). Crum/ Kiingman/Tavis ([Implementation] 141 ff.) und Hennemann ([Finanzplanung] 24 ff.) wählen ebenfalls eine allgemeine Netzwerkdarstellung, die auf jedem Pfeil eine multiplikative Veränderung der Flüsse zuläßt. Der inhaltliche Schwerpunkt dieser Modelle liegt aber weniger in der eher kurzfristigen Zahlungssteuerung, sondern in der Entscheidung über die Auswahl und liquiditätsmäßige Realisierung von mehrperiodig finanzwirksamen Projekten. Zeitliche Verschiebungen von in bestimmten Perioden fälligen Ein- und Auszahlungen werden nicht explizit betrachtet. Die Besonderheit des Graphenmodells von Crum/ Kiingman/ Tavis besteht darin, daß es auch die Abbildung von Binärvariablen umfaßt, wie sie bei Auswahlentscheidungen erforderlich sind. Dies erläutern sie am Beispiel eines einfacheren gemischt-ganzzahligen linearen Planungsmodells von Weingartner (vgl. Weingartner [Programming] 169, Crum/ Klingman/ Tavis [Implementation] 142 ff., 146). Kernpunkt ist die Unterscheidung von zwei Modellteilen, die sich durch jeweils eine besondere Pfeilart kennzeichnen lassen. Zum einen gibt es Pfeile, auf denen nur Binärwerte (0, 1) erlaubt sind, zum anderen gibt es die gewöhnlichen Netzwerkfl.ußpfeile. Mit einer bestimmten Verknüpfung von Binärpfeilen gelingt es, die mit einem Projekt verbundenen und sich über mehrere Perioden erstreckenden Ein- und Auszahlungen, die je nach Entscheidung entweder alle auftreten oder alle nicht auftreten, adäquat abzubilden. Für die übrigen Pfeile gelten die gleichen Bedingungen wie im Modell von Hinzen. So können zwar Kontokorrentkredite sowie weitere Kredite und Geldanlagen jeweils bekannter Laufzeit sowie mit ihren jeweiligen Obergrenzen erfaßt werden, wie in den Transportmodellansätzen und wie auch bei Hinzen dürfen sie aber keine Bedingungen der anteilmäßigen Rückzahlung nach einzelnen Teil-Laufzeiten enthalten. Da das angeführte Modell von Weingartner diesen Erfordernissen entspricht, kann es

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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uneingeschränkt nach der Methode von Crum/Klingman!Tavis in Netzwerkform wiedergegeben werden (vgl. Crum/Klingman!Tavis [Implementation] 146). Es kann ferner um Bedingungen der wechselseitigen Ausschließlichkeit von Projekten oder Projektgruppen ergänzt werden. Die Binärvariablen des Modells verhindern es, ein rein graphentheoretische Lösungsverfahren anzuwenden. Für die optimale Bestimmung dieser Variablen müssen Sonderrechnungen durchgeführt werden. Für den mit kontinuierlichen Variablen formulierten Modellteil lassen sich dagegen die sehr effizienten graphentheoretischen Algorithmen einsetzen. Bei einer Durchrechnung der bei Crum/Klingman!Tavis angegebenen Beispiel-Modelle würde sich freilich herausstellen, daß den graphentheoretischen Algorithmen bei der Lösung des Problems nur eine unbedeutende Rolle zukommt. Broyles ([Formulations] 890 f.) hat nämlich für die Weingartner-Modelle mit einfachen Umformulierungen von Zielfunktion und Nebenbedingungen nachgewiesen, daß sich die Werte der kontinuierlichen Variablen als unbedingte Konsequenz aus den ganzzahligen Variablen ergeben. Bei den von Crum/ Klingman!Tavis herangezogenen Weingartner-Problem handelt es sich daher um ein reines (0,1)-Problem, zu dessen Lösung die kontinuierlichen Variablen nicht benötigt werden. Dies stellt jedoch nicht den von Crum/Klingman!Tavis vorgeschlagenen Modellansatz in Frage, sondern zeigt nur die Unzweckmäßigkeit des von ihnen zur Illustration gewählten Beispiel-Modells. Mit dem Ansatz von Crum/Klingman!Tavis wird der behandelte Problemumfang auf Entscheidungen über Projekte ausgedehnt, die in ihrer allgemeinen Formulierung als Investitions- oder als Finanzierungsprojekte aufgefaßt werden können. Hennemann dagegen bezieht sich explizit auf die Abbildung von Investitionsprojekten und engt die Abbildung insbesondere auf solche Projekte ein, deren Zahlungsreihe durch eine einmalige Netto-Auszahlung zu Beginn und eine Folge von Netto-Einzahlungen im weiteren Verlauf des Nutzungszeitraums gekennzeichnet sind (vgl. Hennemann [Finanzplanung] 23 ff.). Dadurch gelingt es, mit der Fiktion zu arbeiten, daß der Rückfluß jeder Folgeperiode einem ganz bestimmten Anteil der Anschaffungsauszahlung zugerechnet werden kann. Diese Aufteilung nimmt Hennemann so vor, daß alle Teil-Rückfiüsse verschiedener Laufzeiten mit dem gleichen Jahreszinssatz aus ihrem Anteil der Anschaffungsauszahlung berechnet werden können. Als Jahreszinssatz ist damit der interne Zinssatz des Projekts anzusetzen (vgl. Hennemann [Finanzplanung] 28). Die Probleme der Existenz und Eindeu-

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

tigkeit interner Zinssätze sind dabei weitgehend durch die Beschränkung auf Projekte nur eines einzigen Vorzeichenwechsels in der Zahlungsreihe umgangen (vgl. zum internen Zins vor allem Kruschwitz [Investitionsrechnung] 87 ff.). Durch die gegenseitige Zurechnung von Ein- und Auszahlungen wird ein Projekt so abgebildet, als ob die einzelnen Einzahlungen späterer Perioden alternativ durch den Einsatz des jeweils zugehörigen Auszahlungsbetrages realisiert werden könnten. Mit Hilfe passender Maximalkapazitäten der Pfeile wird zwar eine realitätsgetreue Abbildung der Zahlungsströme erreicht, dies gilt aber nur, wenn sich in der Lösung zu Projektbeginn der gesamte Auszahlungsbetrag als optimal ergibt. Um eine tatsächlich nicht mögliche teilweise Projektrealisierung in einzelnen Perioden auch rechnerisch zu vermeiden, muß als Zusatzbedingung gefordert werden, daß die zu Investitionsprojekten gehörenden Auszahlungen entweder null oder den jeweiligen Gesamtanschaffungsbetrag des Projekts betragen (vgl. Hennemann [Finanzplanung] 33). Dies entspricht inhaltlich der Beschränkung auf Binärvariable bei Crum/ Klingman/Tavis ([Implementation] 142). Eine Lösung des Hennemann-Modells, das im übrigen um die zeitliche Steuerung der Zahlungen gemäß dem Vorschlag von Hinzen (vgl. Hinzen [Finanzplanung] 58, Hennemann [Finanzplanung] 44) ergänzt werden kann, ist nur teilweise mit graphentheoretischen Methoden möglich. Zur Festlegung der Projektvariablen muß ein Enumerationsverfahren herangezogen werden (vgl. Hennemann [Finanzplanung] 52). Die von Hennemann hierzu angegebenen Rechenvereinfachungen und Reduzierungen des Lösungsaufwandes gelten allerdings nur bei einzelnen Zielvorstellungen. Soweit sie auf der Anwendung des internen Zinssatzes als Rentabilitätsmaßstab beruhen, sind sie mit der Problematik der Wiederanlageprämisse verbunden (vgl. z. B. Hennemann [Finanzplanung] 49 f., zur Wiederanlageprämisse etwa Haberstock/Dellmann [Kapitalwert] 201 f.). Anwendungserfahrungen von Netzwerkmodellen zur Finanzplanung liegen bisher nicht vor. Im weiteren werden unter der Bezeichnung Netzwerkmodelle auch die in diesem Abschnitt besprochenen Transportmodell-Ansätze subsumiert, da sie ohne Schwierigkeiten auch graphentheoretisch dargestellt und dann als Spezialfall allgemeinerer Netzwerkansätze angesehen werden können.

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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5. Konsequenzen aus dem Stand der Modellentwicklung zur betrieblichen Finanzplanung Für eine Gesamtbeurteilung von Modellen zur betrieblichen Finanzplanung sind folgende Kriterien von Bedeutung (ein tiefer differenzierter Kriterienkatalog mit denselben Hauptkriterien wird in Abschnitt 4 des Kapitels D III, S. 450 angegeben): (1) Die Abbildbarkeil des betrachteten Problems, insbesondere die Möglichkeit, eine hinreichend umfassende, realitätsnahe Problemstrnktur zu erfassen, die vor allem in der Detailliertheit der betrachteten Entscheidungssituation weitgehend entspricht (zu den einzelnen Teilaspekten der Problemstruktur vgl. Abb. B-1); (2) die Beeinflußbarkeit und Anpassungsfähigkeit des Planungsansatzes, womit u. a. die Möglichkeit gemeint ist, das Modell in ein mehrstufiges Planungssystem einzubringen und bei aufeinanderfolgendem Einsatz im Zeitablauf Modellergebnisse zu verknüpfen; (3) die Wirtschaftlichkeit, insbesondere die Art der Lösbarkeit und des erforderlichen Rechenaufwandes, wofür u. a. bedeutend ist, inwieweit - Nichtlinearitäten, insbesondere Ganzzahligkeitsbedingungen, - nichtsichere Informationen im Modell auftreten; (4) eine Reihe von Bedienungsaspekten, d. h. die Ansprüche, die der Modelleinsatz an den Benutzer stellt; sie hängen z. B. von der Dialogfähigkeit des zum Modell gehörenden EDV-Programmsystems sowie von dessen allgemeiner Benutzerfreundlichkeit ab.

Die bisherige Analyse der vorliegenden Modellansätze zum Problem der betrieblichen Finanzplanung im engeren Sinn zeigt, daß gegenwärtig vor allem Modelle mit der Struktur der linearen Planungsrechnung die Möglichkeit bieten, die sachliche und zeitliche Prahlernstruktur umfassend und weitgehend detailliert zu erfassen. Bei ihnen bleiben dennoch die Lösbarkeit gesichert und der Rechenaufwand vertretbar. Dies gilt allerdings nur, solange von der linearen Struktur möglichst wenig abgewichen wird. Eine größere Zahl von Ganzzahligkeitsbedingungen erhöht die Rechenzeiten erheblich. Nichtsichere Informationen lassen sich bei Problemen realitätsnaher Größenordnung nur hilfsweise berücksichtigen. Ansätze dagegen, die

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8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

eher auf stochastische Modellelemente ausgerichtet sind, erlauben nur einen sehr bescheidenen Problemumfang, wenn sie angesichts ihrer Nichtlinearität lösbar bleiben sollen. Dies zeigen insbesondere die Kassenhaltungsmodelle, die häufig auch andere nichtlineare Beziehungen enthalten. Der Stand von Modellentwicklung und -anwendung kann insgesamt so interpretiert werden, daß lineare Planungsmodelle trotz ihrer nur hilfsweisen Berücksichtigung von Nichtlinearitäten und Risikoaspekten zu bevorzugen sind, wenn es darum geht, die bei der Finanzplanung betrachteten Entscheidungssituationen, insbesondere die Vielzahl möglicher Alternativen, ihre Besonderheiten, Zusammenhänge und Nebenbedingungen umfassend und in Einzelheiten modellmäßig abzubilden und zu lösen. Hinsichtlich der unter (1) und (3) genannten Kriterien der adäquaten Problemabbildung und der (Lösungs-)Wirtschaftlichkeit kommt also linearen Finanzplanungsmodellen ein relativer Vorteil zu. Andererseits sind mit den linearen Finanzplanungsansätzen weitere Nachteile verbunden, die, wie oben (vgl. Abschnitt II 3 c, S. 82) gekennzeichnet, in ihrem Ansatz als Neuaufwurfs-Planung sowie in der für den Anwender erschwerten Durchschaubarkeit liegen. Die Konzipierung als Neuaufwurfs-Planung tangiert insbesondere das unter (2) genannte Kriterium der Beeinflußbarkeit und Anpassungsfähigkeit Eine Neuaufwurfs-Planung schließt zwar nicht aus, daß die Modelle, wie es in der Regel gefordert wird, in rhythmischen Abständen mit aktualisierten Daten abgerechnet werden, erweist sich aber deshalb bisweilen als problematisch, weil in der wiederholten Lösung des Modells Ergebnisse bisheriger Rechnungen kaum berücksichtigt werden. Besondere Vorkehrungen für den zeitlichen Plananschluß sind weder an der Schnittstelle zu Beginn des Planungszeitraums noch zum Ende des Planungshorizonts vorgesehen. Selbst in der Bewertung von Endbeständen werden nur bei wenigen Ansätzen mögliche künftige Finanzplan-Entscheidungen pauschal antizipiert und damit in ihrer Auswirkung grob in die aktuelle Planung einbezogen. Damit ist insgesamt die Integration in den Ansatz einer rollenden Finanzplanung schwierig. Berichte praktischer Anwendungen von Finanzplanungsmodellen gehen, soweit es ersichtlich ist, denn auch eher von einer zeitlich aneindergereihten, sukzessiven Lösung jeweils separierter Probleme aus (innerhalb eines Rechnungsjahres jedoch teilweise anders: Späth/Gutgesell/Grün [Liquiditätsdisposition] 201; zur zeitlichen Verknüpfung von Teilplänen: Wild [Unternehmungsplanung] 177 ff., Schweitzer [Planung] 27 f. sowie Kapitel D II, S. 391).

Il. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Die geschilderte Einschränkung ließe sich bei linearen Modellen durch eine entsprechende Modellerweiterung vermeiden, bei der für bestimmte Variable bei wiederholter Rechnung Anschlußvorgaben als Teillösungen berücksichtigt werden. Andererseits empfiehlt sich die lineare Planungsrechnung hierfür nicht dadurch, daß die erforderliche Modellerweiterung etwa besonders einfach wäre. Abgesehen von den formal allgemeineren Entscheidungsbaumverfahren hat sie dies allerdings mit allen exakten Optimierungsverfahren gemeinsam. Die Einschränkung, die wegen der abstrakten Darstellung linearer Modelle und der für den Anwender schweren Durchschaubarkeil des Lösungsprozesses entsteht, betrifft das Kriterium der Bedienungsaspekte (Punkt (4) der obigen Auflistung). Die Probleme liegen hier in der äußeren Form allgemeiner linearer Modelle. Die Kassenhaltungsmodelle beispielsweise stellen zwar erheblich größere Ansprüche an ein formales Modellverständnis; da ihre Ergebnisse aber aus nur einigen, wenigen Parametern bestehen, die in länger gleichbleibende Strategien eingehen, ist für die Modellanwendung eine mangelnde Durchschaubarkeit weder auffällig noch mit vergleichbaren Folgeproblemen verbunden. Für die Modelle, die eine Netzwerkdarstellung des Finanzplanungsproblems verwenden, gelten die für allgemeine lineare Ansätze genannten Probleme allerdings ebenfalls nicht: Die Netzwerkdarstellung kommt der benutzerfreundlichen Umsetzung von zu lösendem Realproblem in ein Formalproblem und der Rückwärtsübertragung der Ergebnisse sogar entgegen. Gerade Finanzplanungsprobleme lassen sich intuitiv als Probleme der Steuerung von (Geld-)Flüssen durch ein System von (Zahlungs-)Wegen verstehen. Da nicht nur die Datenbasis des Ausgangsproblems und die einbezogenen Restriktionen, sondern auch alle Zwischen- und Endergebnisse im gleichen Netzwerk dargestellt werden können, dürfte es auch für einen Modellanwender, der über den Lösungalgorithmus keine Kenntnis hat, einfacher sein, Ergebnisse zu interpretieren und gegebenenfalls abzuändern, als dies bei einer Tabellen- bzw. Matrizendarstellung, die bestehende Zusammenhänge abstrakter wiedergeben, der Fall ist. Besonders Crum/Klingman/Tavis ([lmplementation] 136, 149 f.) weisen darauf hin, daß die visuelle Darstellung mit Hilfe von Knoten und Kanten für die praktische Arbeit mit dem Modell häufig fruchtbarer und überzeugender ist als die Darstellung in Gleichungssystemen. Insbesondere erleichtert eine dem Anwender ohne besondere Vorkenntnisse verständliche, unkomplizierte Darstellungsart auch den Übergang auf ein interaktives Modell, mit dem im Dialog gearbeitet werden kann.

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Nach den bisherigen Überlegungen sind lineare Modelle im Hinblick auf das erste und dritte der oben genannten Kriterien für die Finanzplanung vorteilhafter als nichtlineare Ansätze. Nach dem zweiten Kriterium ergibt sich kein Vorzug für einen besonderen Modelltyp. Das vierte Kriterium spricht dagegen eher für Netzwerkmodelle gegenüber allgemeinen linearen Ansätzen. Daher ist zu fragen, wie Netzwerkmodelle, die ja als spezieller Typ linearer Modelle anzusehen sind, gegenüber allgemeinen linearen Ansätzen nach den Kriterien (1) und (3), d. h. im Hinblick auf die Abbildbarkeit der Finanzplanungsprobleme sowie ihre Lösungs-Wirtschaftlichkeit, zu beurteilen sind. Der Vorteil von Netzwerkmodellen, mit dem auch üblicherweise die Vorschläge ihres Einsatzes für betriebswirtschaftliche Planungsprobleme begründet wird, liegt in ihrer guten und effizienten Lösbarkeit. Da Netzwerkmodelle eine spezielle Struktur der linearen Nebenbedingungen haben, können die Lösungsverfahren darauf ausgerichtet werden und sind dann regelmäßig in Aufwand und Zeit günstiger. Das bisweilen angeführte Argument, mit solchen graphentheoretischen Lösungsverfahren sei sogar eine ganzzahlige Lösung gesichert, trifft für Finanzplanungsprobleme im allgemeinen allerdings nicht zu. Da sich hier z. B. durch Verzinsungen die Höhe der Flüsse zwischen abgehenden und zugehenden Stellen verändert, ist es für eine realitätstreue Abbildung zweckmäßig, dies durch Veränderungsfaktoren auf den Pfeilen zu berücksichtigen. Ganzzahlige Lösungen sind für derartige Flußmodelle nicht zu erwarten. Die Modellerweiterung berührt nicht die relative Vorteilhaftigkeit der graphentheoretischen Lösungsverfahren, die auch hier gegeben ist (vgl. den Verfahrensüberblick in Kapitel C I, S. 161 ). Sie gilt aber immer nur für das Standardmodell mit kontinuierlichen Variablen. Ist für bestimmte Variable, etwa Investitionsvariable, Ganzzahligkeit gefordert, müssen wie bei der allgemein linearen Planungsrechnung Sonderalgorithmen angescplossen werden. Auch für die Erfassung von Risikosituationen besteht kein Unterschied; sie kann in beiden Fällen nur hilfsweise vorgenommen werden. So bleibt noch die Frage, ob Netzwerkmodelle eine für die Finanzplanung hinreichend allgemeine Problemstruktur zu erfassen in der Lage sind. Hierzu ergibt die bisherige Analyse, daß in diesem Punkt allgemeine lineare Ansätze den Netzwerkmodellen überlegen sind. Wohl lassen sich in Netzwerkmodellen zeitliche Verschiebungen von Zahlungen sowie allgemein alternative Geldbewegungen adäquat darstellen ; auch Liquiditätsbedingungen sowie ähnliche Summenbedingungen werfen keine Darstellungsprobleme auf. Bedingungen aber, die für mehr als zwei Flüsse gleichzeitig ein bestimmtes gegenseitiges

II. Analyse der Grundmodelle zur betrieblichen Finanzplanung

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Verhältnis fordern, sind nicht darstellbar. Dies wird auch daran deutlich, daß lineare Planungsmodelle, die auf eine Netzwerkdarstellung übertragen werden sollen, eine Koeffizientenmatrix besitzen müssen, in der pro Variablenspalte höchstens zwei nichtverschwindende Koeffizienten auftreten (vgl. z. B. Crum/Klingman/Tavis [Implementation] 142). Sind nun z. B. Obergrenzen für Finanzierungsalternativen einzuhalten, die ein bestimmtes Verhältnis mehrerer Entscheidungsvariablen fordern, wie es etwa in den Modellen von Robichek/ Teichroew/ Jones oder von Calman vorkommt (vgl. Abschnitt B II 3, S. 71, 74), oder stehen Alternativen zur Wahl, deren finanzielle Auswirkungen sich anteilmäßig auf mehrere Folgeperioden verteilen, wie es bei Anlagen mit sukzessiven Ausschüttungen und Zinszahlungen in Folgeperioden sowie bei Krediten mit festgelegten periodischen Tilgungs- und Zinsanteilen der Fall ist, dann versagen die herkömmlichen Netzwerkmodelle. Viele betriebliche Projekte sind aber durch einen Verbund von Zahlungen der gleichen und folgender Perioden gekennzeichnet (vgl. zum Auszahlungsverbund von Projekten vor allem Harms [Steuerung] 80 ff.). In den Ansätzen von Crum/Klingman/ Tavis sowie Hennemann (vgl. B II 4, S. 90) wird versucht, derartige Abhängigkeiten hilfsweise zu erfassen. In beiden Ansätzen gelingt dies aber nur dadurch, daß die beschriebenen Bedingungen mit einer Ganzzahligkeitsbedingung verbunden werden. Da dann ohnehin besondere Lösungsverfahren erforderlich sind, ergibt sich die Berücksichtigung der ansonsten nicht netzwerk-geeigneten Bedingungen im Rahmen dieser Sonderbehandlung (vgl. Crum/ Klingman/Tavis [Implementation] 142; Hennemann [Finanzplanung] 52 ff.). Diese Koppelung erscheint indessen unzweckmäßig. Zum einen sind die fraglichen Bedingungen im allgemeinen völlig unabhängig von Ganzzahligkeitserfordernissen, die zudem in den bisherigen Modellen nur in Form zweiwertiger Variablen auftreten. Zum anderen verlangen ganzzahlige Variablen Ergänzungen zu und Abweichungen von den graphentheoretischen Lösungsverfahren, die die Effizienz des Gesamtrechenprozesses unnötig gefährden. Die bisherigen Überlegungen lassen zwei mögliche Konsequenzen zu: Entweder man verzichtet auf die zusätzlichen Vorteile von Netzwerkmodellen und gibt wegen ihrer größeren Allgemeinheit linearen Ansätzen den Vorzug. Oder man versucht, Netzwerkansätze zu finden, mit denen auch die diskutierten Nebenbedingungen allgemeinerer Form abgebildet und bearbeitet werden können. Hier soll der zweite Weg beschritten werden. Er empfiehlt sich auch deswegen, weil bei der Finanzplanung unter den Nebenbedingungen nur wenige (allerdings oft wichtige) sind, die eine bisher nicht netzwerk-konforme

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8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Struktur haben. Daher kann vermutet werden, daß sich auch ein größerer zusätzlicher Rechenaufwand zu ihrer Berücksichtigung durch die Vorteile der graphentheoretischen Methoden, die im übrigen anwendbar bleiben, ausgleicht. In den folgenden Abschnitten wird der angedeutete Ansatz ausgeführt. Dazu werden zunächst die erforderlichen graphentheoretischen Grundbegriffe präzisiert, anschließend wird gezeigt, wie sich die allgemeine Problemstellung der Finanzplanung in einem ergänzten graphentheoretischen Modelltyp als Netzwerk darstellen läßt. Im Hauptkapitel C wird auf das Lösungsverfahren eingegangen. Die sich aus den letzten beiden obigen Kriterien ergebenden Forderungen nach Integration in eine revolvierende Planung sowie nach Erhöhung der Benutzerfreundlichkeit durch einen interaktiven Einsatz werden in Hauptkapitel D behandelt. In diesem Zusammenhang sind auch Ganzzahligkeitserfordernisse sowie - weiterhin nur hilfsweise - risikobehaftete Informationen berücksichtigbar. Die entwickelten Möglichkeiten werden ebenfalls am Netzwerkmodell gezeigt, lassen sich aber teilweise auch auf andere Modelltypen übertragen.

111. Übertragung von Problemen der betrieblichen Finanzplanung in die graphentheoretische Darstellung 1. Grundlagen betriebswirtschaftlicher Anwendungen der Graphentheorie a) Präzisierung graphentheoretischer Begriffe Die Graphentheorie kann als ein vergleichsweise junger Zweig der Mathematik angesehen werden. Gewiß wurden einzelne graphentheoretische Teilaufgaben schon in früheren Jahrhunderten behandelt, so etwa jene, einen geschlossenen Eutersehen Weg in einem Graphen zu finden- eine Frage, die beim Briefträgerproblem auftritt (vgl. Neumann [Operations Research III] 36 f.). Dennoch kann die Begründung einer eigentlichen Graphentheorie mit einheitlichen Fragestellungen, eigenen Begriffsbildungen und spezifischen Algorithmen mit dem Erscheinen der Schrift von König ([Theorie]) erst auf das Jahr 1936 angesetzt werden. Im folgenden werden die hier verwendeten Begriffe der Graphentheorie in der gegenwärtig üblichen Form präzisiert (vgl. z. B. Neumann [Operations Research III] 21 ff. sowie [Graphen und Netzwerke] 7 ff., Berge [Graphes] 3 ff., Ford/ Fulkerson [Flows] 2 ff., Henn [Graphenalgorithmen] 153 ff. , Noltemeier [Graphentheorie] 24 ff.). Ein Graph ist ein Paar (N, A), bestehend aus einer Menge N ~ N x N von Knoten i und einer Menge A ~ N x N von Kanten (i, j). Statt Graph wird auch die Bezeichnung Netz oder Netzwerk verwendet, statt von Knoten wird auch von Ecken, statt von Kanten auch von Bögen gesprochen. Werden die Knoten i, j, die einer Kante zugeordnet sind, als geordnetes Paar verstanden, handelt es sich um eine gerichtete Kante oder einen Pfeil, der von i nach j führt. Gibt es zwischen je zwei Knoten i und j höchstens einen der beiden möglichen Pfeile (i, j) und (j, i) und sind Pfeile (i, i), die zum Ausgangsknoten zurückführen (»loops«), ausgeschlossen, so heißt der Graph »schlicht>Digraph« bezeichnet (vgl. etwa Neumann [Operations Research III] 25).

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B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Um Aussagen, die auf einen Knoten innerhalb des Digraphen bezogen sind, kurz und übersichtlich formulieren zu können, werden die Begriffe der Vorgänger und der Nachfolger eines Knoten i eingeführt. Hierbei unterscheidet man unmittelbare und mittelbare Vorgänger eines Knotens i. Unmittelbare Vorgänger eines Knotens i sind alle Knoten k, von denen ein Pfeil (k, i) ausgeht, der direkt zum Knoten i hinführt. Sie werden in folgender Menge zusammengefaßt: V; :: {k

E:

NI (k,i) E: A).

(B.l)

Unmittelbare Vorgänger und unmittelbare Nachfolger eines Knotens werden gemeinsam auch als Nachbarn dieses Knotens bezeichnet. Mittelbare Vorgänger dagegen sind Knoten k, von denen aus man eine Pfeilfolge der Form (k, k2); (k 2, k3); (k 3, k4); ••• ; (km, km+t) mit km+t = i finden kann, so daß alle auftretenden Paare (ki, ki+t) Pfeile sind. Eine derartige Pfeilfolge, die die Knoten k und i verbindet und in der kein Knoten zweimal auftritt, heißt auch Weg von k nach i (vgl. Neumann [Operations Research 111] 27). Entsprechend definiert man mittelbare und unmittelbare Nachfolger eines Knoten i. Die unmittelbaren Nachfolger von i sind in folgender Menge zusammengefaßt: Ni :: { k

€

N I (i, k)

E:

AI·

(B.2)

Schließlich sind noch solche Knoten besonders ausgezeichnet, die keine Vorgänger bzw. keine Nachfolger haben. Knoten i ohne Vorgänger (Vi = 0) heißen Quellen solche ohne Nachfolger (N; = 0) heißen Senken (vgl. Neumann [Operations Research III] 24). Sie werden in den Mengen Q bzw. S, die Teilmengen von N sind, zusammengefaßt Wird jedem Pfeil (mindestens) eine Zahl zugeordnet, handelt es sich um bewertete Graphen (vgl. Neumann [Operations Research 111] 69). Solche Bewertungen sind insbesondere untere und obere Kapazitätsgrenzen bij bzw. bij, Kostenkoeffizienten C;i oder Pfeilfaktoren aii· Es sei vorausgesetzt, daß diese Bewertungen rational bzw. positivrational sind: (B.3)

In den Anwendungen dieser Arbeit wird ein Digraph mit einer vierfachen Kantenbewertung verwendet: (N, A, a_, b~ .• b0 _, c..) wobei die Symbole a. , bu , b0 ·' c .. jeweils die Gesamtheit aller Bewertungsfaktoren der betreffenden Art auf den Kanten kennzeichnen. Die Bedeutung der einzelnen Bewertungen tritt später deutlicher hervor.

111. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

Für die Kapazitätsgrenzen wird vorausgesetzt, daß stets gilt: buIJ

~ -

boIJ"

101

(B.4)

Es wird davon ausgegangen, daß von den n + 1 Knoten {0, . . . , n} Knoten 0 eine Quelle, Knoten n eine Senke sei. Ferner wird im folgenden die Bezeichnung Kante im ungerichteten Sinn verwendet; d. h., es wird jede bestehende direkte Verbindung zwischen zwei Knoten als Kante bezeichnet. Für jeden Pfeil (i, j) wird also sowohl von der Kante (i, j) als auch von der Kante (j, i) gesprochen. Ein Fluß (Strom) in einem solchen Digraphen ist eine Funktion r: A - Q (B.5) (i,j) f-+

r;j,

die jeder Kante einen Flußwert rii' Kantenfluß oder Bogenstrom genannt, zuordnet. Ein solcher Strom heißt kapazitiv zulässig, wenn gilt: (B.6)

Obwohl es formal nicht notwendig wäre, sollen in dieser Arbeit nur nichtnegative Flüsse vorgesehen werden. Es gilt dann: 0 5 bij. Negativen Flüssen eines Pfeils entsprechen positive Flüsse in die Gegenrichtung. Für eine betriebswirtschaftliche Interpretation von Flußgrößen ist die Beschränkung auf die positive Flußrichtung zweckmäßig. Diese Voraussetzung gilt allerdings nicht für Änderungsflüsse. Für sie sollen auch negative Flüsse erlaubt sein. Sie bedeuten eine Reduzierung eines (positiven) Flusses. Durch die passende Wahl der Untergrenzen wird vermieden, daß der Gesamtfluß nach Änderung negativ wird. Die bisher definierten Begriffe finden sich in ähnlicher Form in vielen graphentheoretischen Schriften (vgl. z. B. die oben, S. 99, angegebene Literatur). Sie erlauben die Untersuchung einfacher strukturierter Flußprobleme. Für allgemeinere betriebswirtschaftliche Anwendungen, insbesondere aus dem Finanzbereich, ist allerdings die vorgestellte Grundkonzeption von Graphen oft nicht ausreichend. Insbesondere müssen Nebenbedingungen graphentheoretisch abbildbar sein, die an bestimmten Knoten ein vorgegebenes Verhältnis von Kantenströmen zueinander fordern. Die betreffenden Knoten sind von den anderen zu unterscheiden. Ferner sind die bei ihnen geforderten Mengenverhältnisse der ein- und ausgehenden Flüsse besonders zu kennzeichnen. Derartige Bedingungen hat erstmals Schaefer ([Netze]) eingeführt. Er berücksichtigt allerdings lediglich Bedingungen für die Mengenverhältnisse an Knotenausgängen und bezeichnet die entstehenden Netze daher als Netze mit Verteilungsfak-

102

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Ioren (vgl. Schaefer [Netze] 5). Die gleiche Formalstruktur haben Netzwerke, die unter der Bezeichnung »pure processing networks« vereinzelt in der anglo-amerikanischen Literatur behandelt werden (vgl. Chen/Engquist [Networks] 1583 f.). Eine Netzwerk-Definition von Koene (vgl. [Flow], zitiert nach Chen/Engquist [Networks] 1584) erlaubt das gleichzeitige Auftreten von Verteilungsbedingungen der skizzierten Art für von einem Knoten ausgehende Pfeile wie auch für in einen Knoten eingehende Pfeile. In der hier verwendeten graphentheoretischen Konzeption sollen Bedingungen für die Mengenverhältnisse sowohl an Knoteneingängen als auch an Knotenausgängen gestellt werden können, ohne daß sich die Mengenkoeffizienten zu eins summieren müssen (vgl. zu einer ähnlichen Klassifikation hierzu auch Müller-Merbach [Entwurf] 528, [Konstruktion] 25 f.). Die von besonderen Bedingungen des Zusammenflusses mehrerer Eingangsströme bzw. des Abflusses mehrerer Ausgangsströme betroffenen Knoten werden als Konvergenz- bz w. Divergenzknoten bezeichnet. Diese Namensgebung lehnt sich an die entsprechende Sprechweise bei der Analyse des betrieblichen Güterflusses an (vgl. z. B. Schweitzer/ Küpper [Produktionstheorie] 34 f. sowie Küpper [Interdependenzen] 50). In der älteren Literatur zu Netzwerken wird vereinzelt der Ausdruck Divergenz ebenfalls verwendet. Er bezeichnet dort aber im Anschluß an einen Begriff der Vektorrechnung einen anderen Sachverhalt (vgl. z. B. Rosenkranz [Netzwerktechnik] 107). Geht man davon aus, daß ein Knoten nicht gleichzeitig Konvergenz- und Divergenzknoten sein kann - diese Voraussetzung läßt sich durch Einführung fiktiver Zwischenknoten stets erfüllen -, können überschneidungsfrei drei Arten von Knoten unterschieden werden: ( 1) ungebundene Knoten, (2) Konvergenzknoten, (3) Divergenzknoten. Die Konvergenzknoten sowie die Divergenzknoten werden in den Mengen K bzw. D zusammengefaßt; diese seien als Teilmengen der Knoten, die nicht Quelle oder Senke sind, gegeben: D, K ~ N \ Q\ S. Für jede Knotenart sind eigene Bedingungen für die Zulässigkeil von Flüssen zu erfüllen.

Ungebundene Knoten entsprechen den Knoten in der herkömmlichen graphentheoretischen Grundkonzeption. Für sie gelten keine besonderen Bedingungen über das Verhältnis ein- und ausgehender Ströme unter- und zueinander. An allen ungebundenen Knoten, die weder Quelle noch Senke sind, muß lediglich die allgemeine Bedingung

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

103

des Kirchhoffschen Knotensatzes erfüllt sein (vgl. Neumann [Operations Researchs 111] 107). Er besagt, daß in einem Knoten ebenso viel hinein- wie herausfließt; es entsteht also weder Überschuß noch Defizit. In dieser Bilanzgleichung ist allerdings zu berücksichtigen, daß im betrachteten Netz positive Pfeilfaktoren aii zugelassen sind. Mit ihnen werden Mengenveränderungen des Flusses auf den Kanten erfaßt. Die Idee, Pfeilfaktoren aii # 1 einzuführen, geht auf Jewell ([Flow]) zurück. Bei Absendung der Menge rii von Knoten i kommt die mit dem Kantenfaktor aii multiplizierte Menge aii' rii beim Nachfolger j an (vgl. Abb. B-4). Der Pfeilfaktor aii wird stets auf die abgesandte Menge bezogen. Er gibt diejenige Menge an, die bei Absendung einer Mengeneinheit beim Empfängerknoten ankommt. Ist aii > 1, so liegt ein Kantengewinn vor, bei aii < 1 entsteht Kantenverlust Daher lautet die Kirchhoffsche Knotenbedingung für Abb. B-4: Flüsse bei ungebuneinen ungebundenen Knoten i : denen Knoten für i€N'K'D'Q'S.

(B.7)

Für Konvergenzknoten besteht die Bedingung, daß die Flüsse eingehender Pfeile jeweils ein bestimmtes Vielfaches des gesamten Knotenabflusses sind. Der Übersichtlichkeit G) r;zi II .. G) rik .tk' \V halber sei vorausgesetzt, daß nur ein einziger ausgehender Pfeil vorhanden ist: 'Vj E K : INJ = 1; er heißt Konvergenzfolgepfeil. Der Knoten, zu dem er hinführt, ist der Konvergenznachfolger. Die Flußbedingung für Abb. B-5: Flüsse bei Konvergenz- einen Konvergenzknoten j, dessen knoten Konvergenznachfolger Knoten k ist, lautet (vgl. Abb. B-5):

~~.

-~

~

(B.8) Für Divergenzknoten müssen ausgehende Flüsse jeweils ein bestimmtes Vielfaches des gesamten Knotenzuflusses betragen. Analog zum Fall der Konvergenz sei vorausgesetzt, daß ein Divergenzknoten nur einen einzigen unmittelbaren Vorgänger, den Divergenzvorgän-

104

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

ger, hat: \fj E D: IVil = l. Der von ihm herführende Pfeil heißt Divergenzvorgängerpfeil. Für einen Divergenzknoten j, dessen Divergenzvorgänger Knoten i ist, lautet die Flußbedingung (vgl. Abb. B-6): VjE:D mit Vi={i}:

(B.9)

Abb. B-6: Flüsse bei Divergenz-

Die Bedingungen B.8 und B.9 werden im weiteren als Vergenzbedingungen bezeichnet. Koene bezeichnet einen Konvergenzknoten als »blending node«, einen Divergenzknoten als »refining node«; Chen/ Engquist sprechen einen Divergenzknoten als »splitting node« an (vgl. zu den Bezeichnungen Chen/ Engquist [Networks] 1584 sowie Crum/Klingman/ Tavis [Approach] 350 f.). Als Oberbegriff zu Konvergenz- und Divergenzknoten wird im folgenden kurz von Vergenzknoten gesprochen. In der Terminologie Müller-Merbachs (vgl. [Entwurf] 528, [Konstruktion] 25 f.) entsprechen die hier definierten Konvergenzknoten Sammlern mit festen Mengenverhältnissen, die Divergenzknoten entsprechen Verzweigern mit festen Mengenverhältnissen, ungebundenen Knoten sind dagegen gleichzeitig als Sammler und Verzweiger mit jeweils offenen Mengenverhältnissen zu interpretieren. knoten

Aus den eingeführten drei Knotenarten ergeben sich die folgenden Arten von Pfeilen: (1) Pfeile, die in Konvergenzknoten eingehen - sie werden als Konvergenzpfeile bezeichnet, (2) Pfeile, die von Divergenzknoten wegführen - sie werden als Divergenzpfeile bezeichnet, (3) alle anderen Pfeile - sie werden als ungebundene Pfeile bezeichnet. Die unter (1) und (2) genannten Pfeile werden mit dem Oberbegriff Vergenzpfeile angesprochen. Für den bei ihnen behandelten einfacheren Fall bezeichnen Chen/Engquist (vgl. [Networks] 1583 f.) die Divergenzpfeile als processing arcs, den Divergenzvorgängerpfeil als allocation arc, während Schaefer (vgl. [Netze]) für diese Pfeile keine besonderen Bezeichnungen vorsieht.

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

105

Die Flüsse auf ungebundenen Pfeilen müssen nicht in einem bestimmten Verhältnis zu den Flüssen auf anderen Pfeilen mit dem gleichen unmittelbaren Vorgänger- bzw. Nachfolgerknoten stehen. Allerdings sind auf ungebundenen Pfeilen im allgemeinen Pfeilfaktoren zu berücksichtigen. Zu den ungebundenen Kanten zählen auch die Konvergenzfolgepfeile und die Divergenzvorgängerpfeile. In der graphischen Darstellung wird für die Knoten aller Arten einheitlich ein Kreis gewählt, Vergenzfälle werden dadurch kenntlich gemacht, daß auf den Vergenzpfeilen kleine Doppelbögen mit zum Vergenzknoten gewendeter Innenseite angebracht werden (vgl. Abb. B-5, Abb. B-6). Die Pfeilfaktoren a~ bzw. a~ für Vergenzpfeile sind durch einen hochgestellten Index K bzw. D zusätzlich gekennzeichnet. In der Definition sind sie auf die zugehörigen Vergenzknoten bezogen, die Flüsse auf den ein- und ausgehenden Pfeilen geben immer die bereits multiplizierten Größen an. Der Graph, der den weiteren Betrachtungen zugrunde gelegt wird, kann präzise als Tupel (N, A, K, D, a. ·' bu , b 0 ·' c.) gekennzeichnet werden. Ein solcher bewerteter Kapazitätsdigraph mit Konvergenzund Divergenzknoten sowie Pfeilfaktoren soll kurz allgemeiner Vergenzgraph genannt werden. In ihm lassen sich zwei Arten von Zulässigkeilsprädikaten eines Flusses unterscheiden. Neben den Begriff der kapazitiven Zulässigkeil tritt der Begriff der technologischen ZulässigkeiL Ein Fluß heißt technologisch zulässig, wenn er für alle Knoten die ihnen entsprechenden Knotenflußbedingungen erfüllt, d. h.: Vie: N'K'D;i:fO,n:

Lelx;rki =:Z::rii k ist ein Konvergenzknoten (vgl. B.8) und faßt alle Auszahlungen zusammen, die mit der Investition verbunden sind. Der andere, 12, ein Divergenzknoten (vgl. B.9), ist Ausgangspunkt für alle aus der Investition resultierenden Einzahlungen. Der ungebundene Teil zwischen den beiden Vergenzknoten kann als Fluß die Höhe der Investition (bzw. die Häufigkeit der Investitionsdurchführung) aufnehmen. Handelt es sich beispielsweise um Konvtfgenzknoten

Dlv......· knoten

Abb. B-13: Netzwerk-Darstellung eines mehrperiodigen Investitionsprojekts im Vergenzgraphen

120

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

den Kauf bestimmter Wertpapiere, könnte hier ihre Anzahl erfaßt werden. Die Investitionshöhe wird damit als unabhängige Flußvariable behandelt. Dies hat gegenüber den vorher behandelten Darstellungsvarianten den Vorteil, daß keine zusätzlichen Knoten und Kanten eingeführt werden müssen, wenn über eine mehrfache Durchführung des gleichen Investitionsprojekts entschieden werden soll. Durch die Konvergenz- und Divergenzfaktoren wird die Verteilung der Zahlungsflüsse über die Projektlaufzeit korrekt erfaßt. Dies gelingt zwar nicht mit der einfachen Kirchhoffschen Bedingung, sondern mit Vergenzbedingungen, aber es bedarf dazu keiner netzwerkfremden Ganzzahligkeitsbedingung. Die vorgeschlagene Abbildung von Investitionsprojekten in Vergenzgraphen ist flexibel. Sie erlaubt es, die jeweils hauptsächlich interessierenden Merkmale einer Entscheidungssituation zu betonen. Dies soll nachfolgend an einigen Grundfällen erläutert werden. Bisher sind die finanziellen Konsequenzen der Investition implizit als Nettozahlungen angesehen worden. Verschiedene Gründe können aber dafür sprechen, in jeder Periode die Ein- und Auszahlungen des Projekts ohne Saldierung getrennt auszuweisen. Aus Abb. B-13 ist ersichtlich, daß ein derartiger Bruttoausweis keine besonderen Änderungen verlangt. Für das Beispiel dieser Abbildung werden Auszahlungspfeile von den Knoten K3 , K4 und K5 zum Knoten I 1 ergänzt. Sie tragen die Konvergenzfaktoren a3 , a 4 bzw. a 5• Ebenso werden Divergenzpfeile von K 1 und K 2 nach I2 für die Einzahlungen e 1 und e2 eingefügt. Die bisherigen Faktoren a 1, a2, e 3, e4 , e5 sind nunmehr als Bruttogrößen zu interpretieren. Etwas aufwendiger wird der Graph, wenn zu berücksichtigen ist, daß das Projekt möglicherweise vorzeitig abgebrochen wird. Es kann etwa in jeder Periode die Alternative bestehen, das bereits realisierte Projekt mit den ursprünglichen Ein- und Auszahlungsströmen weiterzufahren oder gegen einen bestimmten Liquidationserlös abzubrechen. Abb. B-14 zeigt, wie dieser Sachverhalt im Netzwerk erfaßt wird. Das Teilnetzwerk jeder Periode wird um einen Entscheidungsknoten E ergänzt. Dies ist ein ungebundener Knoten, von dem aus die zu Periodenanfang noch bestehende Investitonshöhe in den weiterzuführenden und den zu liquidierenden Teil aufgeteilt wird. Für die Weiterführung einer Investition ist notwendig, daß bisher sie überhaupt (noch) besteht und daß die in der laufenden Periode fälligen Auszahlungen getätigt werden. Diese beiden Bedingungen sind in den Perioden 2, 3, 4 durch Konvergenzknoten I 1 dargestellt. Der darauffolgende Divergenzknoten I2 zeigt die Konsequenzen: Die Anzahl der weitergeführten Projekte wird durch den Pfeil (1 2, E) mit dem

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

Periode 1

Periode 2

Periode 3

121

Periode 4

Abb. B-14: Netzwerk-Darstellung eines Investitionsprojekts mit periodischer Liquidationsmöglichkeit

Divergenzfaktor 1 in die folgende Periode übertragen; in der laufenden Periode fallen Einzahlungen an. Für Periode 2 z. B. fließen sie auf dem Divergenzpfeil (1 2, K2) mit dem Faktor e2• Eine Besonderheit dieser Darstellung gegenüber der in Abb. B-13 angegebenen Grundform ist ferner, daß für die Anfangsauszahlung der ungebundene Pfeil (K\ 11) vorgesehen ist. Da für den Projektbeginn nur eine einzige Auszahlung erforderlich ist, braucht in Periode 1 der Knoten 11 nicht als Konvergenzknoten definiert zu werden. Um jedoch die lnvestitionshöhe nicht durch die Anfangszahlung messen zu müssen, wurde auf dem Pfeil (K\ 11) der Pfeilfaktor 1/a1 eingeführt. Beim betrachteten Beispiel bestehen durch die vorzeitigen Liquidationsmöglichkeiten in den Perioden 2, 3, 4 drei zusätzliche Entscheidungssituationen. Sie schlagen sich in Abb. B-14 in den drei neu eingeführten ungebundenen Knoten der Art E sowie die zugehörigen ungebundenen Pfeile (E, K1) für t = 2, 3, 4, sowie (1 1, 12) nieder. Allgemein sind die beiden Knotenarten 11 und 12, die in Abb. B-14 für die Investitionen eingeführt worden sind, wie folgt zu interpretieren: Im Knoten 11 einer Periode werden die einzusetzenden »Vorleistungen« in funktionsfähige Investitionsobjekte umgesetzt. Solche Vorleistungen sind in Periode 1 die Anschaffungsauszahlungen, in späteren Perioden sind es weitere Auszahlungen (z. B. für Wartung, Reparaturen, Betriebsstoffen bei Realinvestitionen, z. B. für verschiedenartige Ratenzahlungen bei Finanzinvestitionen) sowie die Übergabe bereits in Gang befindlicher Projekte aus der Vorperiode. Knoten 11 sendet daher an seine Nachfolger funktionsfähige (weitergeführte) Investitionsobjekte der betreffenden Periode in der Anzahl,

122

8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

für die die Vorleistungen erbracht sind. Im Grundmodell der Abb. B-14 gibt es immer nur Knoten 12 als Nachfolger von 11• Knoten 12 stellt dar, welche Konsequenzen sich aus dem Einsatz funktionsfähiger Investitionsobjekte einer Periode ergeben. Sie sind von zweierlei Art: einmal entstehen bestimmte Ausschüttungen in der gleichen Periode, zum anderen werden »gebrauchte« Investitionsobjekte in die Folgeperiode weitergereicht Bei sachlich ausgedehnterem Planungsumfang können auf die gleiche Weise auch weitere Konsequenzen abgebildet werden (vgl. hierzu die folgenden Ausführungen zu Abb. B-15).

&Y

vLeinungabpben . ...... in Ptriod•4

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V'

Abb. B-15: Netzwerk-Darstellung von Konsequenzen eines Investitionsprojekts im Realgüterbereich

Auch wenn die Möglichkeit einer vorzeitigen Liquidation aus der Sicht zu Projektbeginn nicht zu bestehen bzw. nicht erwägenwert zu sein scheint, wird vielleicht die im Vergleich zu Abb. B-13 etwas aufwendigere Darstellung der Abb. B-14 bevorzugt, weil sie deutlicher sichtbar macht, welche Zahlungen in den einzelnen Projektjahren anfallen. Hierzu zieht man das Netzwerk aus Abb. B-14 heran, läßt aber die Pfeile der Art (E, K1) für t = 2, 3, 4 weg. Für den von den Knoten E wegführenden Fluß gibt es dann nur noch eine einzige Möglichkeit, eine Entscheidungsfreiheit besteht dort nicht mehr. Die größere Ausführlichkeit der Darstellung kompliziert die rechnerische Bearbeitung dieses falles letztlich nicht, hat aber für den Ansatz einer rollenden Planung gewisse Vorteile (vgl. Kapitel D II, S. 427).

111. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

123

Bei Realinvestitionen reicht häufig eine ausschließliche Analyse der Zahlungsströme zur Beurteilung nicht aus. Solche Investitionen werden auch aus materialen oder sozialen Gründen erwogen. Je nachdem, wo im Planungskonzept die Schnittstelle zum Realgüterbereich angesetzt wird, ist es erforderlich, den Finanzplan durch die Abbildung materialer Konsequenzen zu ergänzen. Dies ist im Vergenzgraphen in naheliegender Weise möglich, indem neben den Einzahlungspfeilen weitere Divergenzpfeile mit den Investitionsknoten verbunden werden. Im Beispiel von Abb. B-15 ist auf diese Weise die Wirkung einer Realinvestition auf die Produktionskapazität erfaßt. Die neu eingeführten Knoten V1 geben den Vorrat an Leistungsabgabemöglichkeiten in Periode t an, der durch das betrachtete Investitionsprojekt induziert wird. Der Faktor v1 besorgt dabei die Umrechnung der Investitionshöhe in die passende Kapazitätsgröße.

c) Grundkomponente des Finanznetzwerks zur Darstellung von Finanzierungsprojekten Als grundlegend für alle Arten von Finanzierungsaktivitäten ist die Aufnahme von Krediten anzusehen. Die Grundkomponente des Netzwerks, mit der Finanzprojekte dargestellt werden, soll daher zunächst in diesem Teilabschnitt c am Beispiel von Krediten eingeführt werden. Im folgenden Teilabschnitt d wird gezeigt, daß sich auch alle anderen Finanzierungsprojekte auf die gleiche Weise darstellen lassen. Ein Kredit kann als Übertragung von Liquidität späterer Perioden in die laufende Periode interpretiert werden. An dieser Auffassung orientiert sich die Netzwerk-Darstellung. Abb. B-16 zeigt die Grundform. Hier handelt es sich um einen Kredit mit einperiodiger Laufzeit, etwa einen Kontokorrentkredit Der Pfeilfaktor auf den Kanten (K\ F-1) für t = 2, 3, 4 drückt aus, daß der Rückzahlungsbetrag einer Folgeperiode nur einen Finanzierungsbetrag deckt, der um den zugehörigen Zinsabschlag kleiner ist. Besteht die Möglichkeit, die Kreditlaufzeit auf zwei oder mehr Perioden zu verlängern, könnten Pfeile der Art (F3, F 2) eingeführt werden, wie es in Abb. B-16 gestrichelt angedeutet ist. Dies ist aber nur dann notwendig und sinnvoll, wenn für Kreditverlängerungen bzw. für von vornherein als mehrperiodig vereinbarte Kreditbeträge besondere Konditionen gelten. Andernfalls können solche mehrperiodigen Kredite als aufeinanderfolgende Kredite jeweils einperiodiger Laufzeit angesehen werden. Auf Pfeile der Art (F3, F 2) kann dann verzichtet werden.

124

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Periodel

Periode2

Periode3

Periode4

PeriodeS

p: Zinssatz des

Kredits

Abb. B-16: Netzwerk-Darstellung einperiodiger Kredite

Mehrperiodige Kredite, die in Raten getilgt werden oder für die periodisch Zinsen entrichtet werden müssen, sind neben der AnfangsEinzahlung der Kreditsumme durch eine Reihe von Auszahlungen über die Kreditlaufzeit gekennzeichnet. Das Verhältnis dieser Zahlungen zueinander ist in der Regel fest vereinbart und daher nicht disponibel. Werden z. B. die Zins- und Tilgungszahlungen für einen Kreditbetrag von 1,-- DM berechnet und mit a 1, a2, a3, ••• bezeichnet, dann ergibt sich die Zahlungsreihe für einen Kreditbetrag von y durch Multiplikation der Faktoren at> a 2, a 3 mit y. Dies zeigt die formale Ähnlichkeit zu Investitionsprojekten und ermöglicht es, die Größen at> a 2, a3, • • • als Vergenz-Pfeilfaktoren in einer NetzwerkDarstellung zu verwenden, die der Abbildung von Investitionen analog ist. Abb. B-17 enthält ein Beispiel für einen Kredit mit fünfperi~;:·.·

Periode 1

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Periode2

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Periode4

Periode3

PeriodeS

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i11

Abb. B-17: Netzwerk-Darstellung eines mehrperiodigen Kredits mit periodischen Zins- und Tilgungszahlungen

Ill. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

125

odiger Laufzeit. Der Finanzierungsknoten F ist als Konvergenzknoten definiert und faßt alle Tilgungs- und Zinszahlungen zusammen. Wie für Investitionen in Abb. B-14 dargestellt, kann auch bei längerfristigen Krediten die Möglichkeit einer vorzeitigen Beendigung bestehen. Durch Entrichten einer bestimmten Ablösesumme s, pro DM Kreditbetrag wird dann der weitere Lauf der Zins- und Tilgungszahlungen abgebrochen. Eine derartige Ablösung der späteren Zahlungen ist in Abb. B-18 für die Periode 3 analog zu Abb. B-14 dargestellt. Die Teilgraphen für die Perioden 2 und 4 zeigen, wie auch ohne neue Entscheidungssituation die Zahlungen periodenbezogen abgebildet werden. Als weitere Besonderheit ist in Abb. B-18 vorgesehen, daß der Kredit in zwei Teilbeträgen zur Verfügung gestellt wird, und zwar von jeder DM des Kredits der Teil e 1 in der ersten sowie der Teil e?. in der zweiten Periode. Periode 1

Kon..-er.-nr·

knoten

Periode2

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knoten

Konvergenz-

knoten

Periode3

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:::-::: Entscl'leidungs· Konvergenz- : knoten ) knoten

•1 Hier stehen Konvervenzfilktoten, die kleiner 11s tins sind, wenn • 2 .

'J· .. befeitt Tilgungen tnthtlten.

Abb. B-18: Netzwerk-Darstellung eines Kredits mit ratenweiser Bereitstellung der Kreditsumme und vorzeitiger Ablösemöglichkeit

Die Finanzierungsknoten F der Abbildung B-16 bis B-18 lassen sich entsprechend den Investitionsknoten aus Abb. B-14 interpretieren. So kennzeichnen die Knoten F 1 in Abb. B-18 die Umsetzung einer gewünschten Kreditsumme (als Einzahlungspfeile (K', F 1) dargestellt) in die erforderliche Voraussetzung, nämlich das Bestehen einer bestimmten (Neu- bzw. Rest-) Kredithöhe in der gleichen Periode. Diese Kredithöhe muß von Knoten der Art F2 bereitgestellt werden, die ihrerseits abbilden, welche Verpflichtungen mit dem Kredit eingegangen werden: es sind gewisse Zahlungen in der laufenden Periode zu leisten, die (restliche) Tilgung des Kreditbetrages und die Erfüllung der Zinsverpflichtungen aus Zahlungen späterer Perioden sicherzustellen. Bei übersichtlichen Situationen sind in den Netzwerken der

126

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung Periode\

Periode2

~~

Periode3

;;

Abb. B-19: Netzwerk-Darstellung eines Kredits mit kumulierter Zinszahlung für mehrere Perioden

angeführten Beispiele die Knoten F 1 und F2 in einem Finanzierungsknoten F zusammengefaßt. Bei manchen Kreditarten, insbesondere bei Kontokorrentkrediten, wird vereinbart, daß Zinsen in kumulierter Form nur zu bestimmten Terminen zu entrichten sind. So werden die Zinsen für Kontokorrentkredite oft erst am Jahresende fällig. Sind die Teilperioden im Finanzplanungsmodell kürzer als ein Jahr, müssen daher die anfallenden Zinsen in besonderer Weise erfaßt und gesammelt beglichen werden. Dieser Sonderfall ist in Abb. B-19 in Netzwerkform mit Hilfe eines neu eingeführten Zins-Knotens sowie zusätzlicher Konvergenzpfeile wiedergegeben. Diesem Netzwerk liegt der Kontokorrentkredit aus Abb. B-16 zugrunde. Da jetzt jedoch Tilgungs- und Zinszahlungen getrennt erfolgen, werden die Kreditknoten F als Konvergenzknoten definiert; in Abb. B-16 waren sie ungebundene Knoten. d) Abbildung aller finanzwirtschaftliehen Alternativen im ·entwickelten Finanznetzwerk

Als umfassende Systematik der Finanzanlage- und Finanzierungsalternativen, die in der Finanzplanung zu berücksichtigen sind, ist oben die Auflistung Glasers ([Liquiditätsreserven] 83 ff., 91 f.; vgl. B II, S. 78) genannt worden. Sie soll hier herangezogen werden, um in einem Überblick zusammenzufassen, auf welche Weise die einzelnen Alternativen in der Finanzplanung im Vergenzgraphen dargestellt werden. Dabei zeigt sich, daß die für Investitions- und Finanzierungsprojekte eingeführten zwei Netzwerk-Grundkomponenten ausreichen, um alle üblichen Arten solcher Projekte darzustellen. Für die zehn von Glaser ([Liquiditätsreserven] 91 f.) aufgeführten Arten von

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

127

Finanzanlagen sind nachfolgend die zugehörigen Netzwerk-Abbilder zusammengestellt: (a) Kassenhaltung: Diese einfachste Art einer Finanzanlage ist stets von einperiodiger Dauer. Sie wird durch die Verbindungspfeile der Kassen zweier aufeinanderfolgender Perioden (Kt, K1+ 1) dargestellt (vgl. Abb. B-7). (b) Anlage von Mitteln auf Kontokorrentkonten: Diese Anlageform entspricht im einfachsten Fall formal der Kassenhaltung bis auf den Unterschied, daß möglicherweise Zinserträge ausgeschüttet werden. Auf diesen Fall ist Abb. B-8 ausgerichtet. Die Abbildung von Kontokorrentbewegungen kann allerdings auch komplizierter sein. Da in den hier verwendeten Netzwerken nur nichtnegative Flüsse vorgesehen sind, müssen Soll- und Habensalden eines Kontokorrentkontos auf zwei verschiedenen Pfeilen dargestellt werden. Dies empfiehlt sich aber auch deshalb, weil für positive und negative Kontostände unterschiedliche Konsequenzen gelten, etwa unterschiedliche Zinssätze. Abb. B-20 zeigt ein solches Kontokorrentkonto. Soll- und Habenzinsen werden in kumulierter Form erst nach Jahres-(bzw. Quartals-, Halbjahres-)Ende fällig .

....

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Periode 2

Periode 3

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Abb. B-20: Netzwerk-Darstellung eines Kontokorrentkredits

128

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

In jeder Periode ist sowohl eine Geld-Anlage als auch eine Kreditaufnahme auf dem Kontokorrentkonto vorgesehen. Die Optimierungsrechnung sorgt dafür, daß im Planungsergebnis in jeder Periode höchstens eines von beiden mit einem positiven Fluß vorkommt. (c) Termingelderohne vorzeitige Kündigungsmöglichkeit: Diese Finanzinvestition erstreckt sich über mehrere Perioden und kann daher wie in Abb. B-13 dargestellt werden. Üblicherweise wird der gesamte Anlagebetrag in einer Summe eingebracht. In diesem Fall entfällt der Pfeil (K 2, I 1), und der Investitionsknoten I 1 kann als ungebundener Knoten behandelt werden. Werden ferner während der Laufzeit keine Zins- oder Teilrückzahlungen geleistet, entfallen auch die Pfeile der Art (1 2, K3 ) und (I 2, K4) in Abb. B-13. Es verbleibt nur der Pfeil der Gesamtrückzahlung am Laufzeitende ((I 2, K5) in Abb. B-13). Knoten I2 wird dann ebenfalls zum ungebundenen Knoten. (d) Termingelder mit vorzeitiger Kündigungsmöglichkeit: Für sie gilt das Netzwerk in Abb. B-14, wobei einzelne Pfeile, wie für (c) beschrieben, entfallen können. (e) Diskontfähige Wechsel: Abgesehen von den für sie geltenden besonderen Zinssätzen unterscheiden sich Besitzwechsel in der Entscheidungssituation und daher auch formal nicht von Termingeldern mit vorzeitiger LiquidationsmöglichkeiL Nimmt eine Unternehmung einen Wechsel herein, verzichtet sie auf sofortige Zahlung zugunsten einer späteren (entsprechend höheren) Einzahlung. Dies entspricht also einer Geldanlage mit vereinbarter Laufzeit ohne zwischenzeitliche Ein- und Auszahlungen. Die Diskontfähigkeit stellt sicher, daß jederzeit vor dem Fälligkeitstermin eine vorzeitige Liquidation dieser Anlage möglich ist. Wie im entsprechenden Fall bei den Termingeldern ergibt sich eine vereinfachte Form von Abb. B-14 (vgl. Abb. B-21). (f) Nichtdiskontfähige Wechsel: Bei Besitzwechseln ist es wie bei allen 'Investitionsmöglichkeiten für die Finanzplanung zweckmäßig, mehrere Arten zu unterscheiden. Zu Gruppen zusammengefaßt können die Alternativen (hier: Wechsel) werden, für die Entscheidungssituation in allen Punkten (Laufzeiten, Verzinsungen, mögliche Liquidationserlöse) übereinstimmt. Für Besitzwechsel dürfte sich mindestens eine Klassifaktion in (1) bundesbankfähige Wechsel, (2) nicht bundesbankfähige, jedoch (zu höheren Diskontsätzen) diskontierbare Wechsel sowie (3) nicht diskontierbare Wechsel ergeben. Wahrscheinlich wird sich zumindest Gruppe (2) im Anwendungsfall noch tiefer aufsplitten. Jede Gruppe ist im Netz-

III. Graphentheoretische Darstellung von Problernen der Finanzplanung

129

ln P•lod. 5 tllllo• Betitrwechul

p: Diskontuu · ·

lnPtriodeJ fillige

e.iu-

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Periode 1

Periode 2

Periode 3

Periode 4

Periode 5

Abb. B-21: Netzwerk-Darstellung von Finanzanlagen in diskontfähigen Wechseln

werk mit eigenen Knoten und Kanten darzustellen. Formal entstehen gleiche Bilder der Art von Abb. B-21. Allenfalls fehlen bei Gruppe (3) die Pfeile für die vorzeitige Liquidation. Der Gedanke der Gruppenbildung wird in diesem Teilabschnitt (S. 143) sowie in Abschnitt D II 2 (S. 405) wieder aufgegriffen und genauer erläutert. (g)/(h) Sonstige Anlagealternativen unterschiedlicher Laufzeit bzw. unterschiedlicher sonstiger Konditionen ohne (g) bzw. mit (h) vorzeitiger Kündigungsmöglichkeit: Zum Fall (h) zählt Glaser (vgl. [Liquiditätsreserven] 92) insbesondere Wertpapierkäufe. Für alle unter der Rubrik der sonstigen Anlagen zusammengefaßten Investitionsmöglichkeiten gilt die allgemeine Netzwerk-Darstellung aus Abb. B-14, die sich fallweise vereinfacht. (i) Vorzeitige 1ilgung aufgenommener Termingelder sowie U) Vorzeitige 1ilgung sonstiger Kredite: Tilgungen von Krediten sind Definanzierungen in engerem Sinn. Ihre Netzwerk-Darstellung richtet sich danach, wie die zu tilgende Finanzierungsart abgebildet ist. Die Grundkomponente bildet ein Auszahlungspfeil der Art (K3, E) in Abb. B-18.

An Finanzierungsalternativen unterscheidet Glaser (vgl. [Liquiditätsreserven] 83 ff.) insgesamt elf Arten. Für sie ergeben sich folgende Netzwerk-Darstellungen:

130

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

(a) Kontokorrentkredite: Vgl. hierzu die Abbildungen B-16, B-19 und B-20.· (b) Lieferantenkredite ( Nichtausnutzung einer Skontoabzugs-Möglichkeit): In einer Lieferantenrechnung wird eine Zahlungsverpflichtung sichtbar, die aus Maßnahmen des Realgüterbereichs resultiert. Je nachdem, wo die Schnittstelle zwischen der Realgüter- und der Nominalgüterplanung liegt, wird auch die zugehörige Beschaffungsmaßnahme (eventuell mit ihren sachlichen Konsequenzen) abgebildet, oder es wird lediglich der resultierende Zahlungsbetrag als exogen geplante Auszahlung angegeben. Wird ein Zahlungsziel unter Skontogewährung bei früherer Zahlung eingeräumt, gibt es zwei Fristen für die Abwicklung der Auszahlung: eine kürzere Skontofrist und das längere Zahlungsziel. In Abb. B-22 ist dies im Netzwerk abgebildet. Der Knoten »Lieferverbindlichkeiten« ist ein (ungebundener) Entscheidungsknoten. Hier kann gewählt werden, durch welche Kombination von Sofortzahlung und Zielzahlung die Zahlungsforderung erfüllt wird. Auch in den Perioden 1 sowie 3, 4, 5 sind Zahlungen denkbar. Die entsprechenden Pfeile sind aber nicht eingezeichnet, da Zahlungen in diesen Perioden in der vorliegenden Situation gegenüber Zahlungen in der Periode 1 bzw. der Periode 6 jedenfalls nicht vorteilhafter sind (es sei denn, wirtschaftliche Ziele hätten für die Finanzplanung nicht die vorherrschende Bedeutung).

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Abb. B-22: Netzwerk-Darstellung von Lieferantenkrediten

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

131

(c) Lieferantenkredite auf Wechselbasis: Eine Lieferantenforderung statt bar mit einem Akzept begleichen zu können, stellt eine zusätzliche Finanzierungsalternative dar. Sie ist in Abb. B-22 zusätzlich eingetragen. Im Gegensatz zur gewöhnlichen Lieferantenforderung ist hier eine Begleichung der Schuld vor dem Fälligkeitstermin (im Beispiel in Periode 15) nicht denkbar, da die Wechsellaufzeit in der Regel eingehalten wird. Sollten die drei in Abb. B-22 aufgeführten Zahlungsalternativen nicht gleichzeitig bestehen, fällt einer der Pfeile weg. (d) Akzeptkredite: Akzeptkredite entsprechen in der Entscheidungssituation und formal - bis auf ihre Kosten, die sich aus Akzeptprovision und ggf. Zinsen zusammensetzen - entweder Lieferantenkrediten oder einer gewöhnlichen Wechseldiskontierung. Entsprechend ist ihre Netzwerk-Darstellung. (e) Wechseldiskontkredite: Kennzeichen dieser Kreditform sind eine vereinbarte feste Laufzeit ohne vorherige Kündigungsmöglichkeit, die Netto-Auszahlung sowie die Rückzahlung in einem einzigen Betrag in Form der Wechseleinlösung. Dies ergibt insgesamt eine sehr übersichtliche Entscheidungssituation und eine einfache Formaldarstellung. Zu entscheiden ist die Frage, ob überhaupt ein Diskontkredit beansprucht werden soll. Daneben ist der Diskontierungszeitpunkt disponibel. Diese Entscheidungssituation ist bereits in Abb. B-21 in Zusammenhang mit der Investition in Wechseln dargestellt worden. Dabei wird die Diskontierung als Verkaufsgeschäft aufgefaßt. Im Falle des Wechselrückgriffs müßte daher die Kreditrückzahlung gesondert erfaßt werden. (f) Aufnahmen von Termingeldern ohne vorzeitige Tilgungsmöglichkeit:

Hierunter vesteht Glaser (vgl. [Liquiditätsreserven] 84) vor allem Eurodollar-Kredite, die Laufzeiten ab drei Dekaden haben. Dieser Fall ist formal den Wechseldiskontkrediten ähnlich, er ist in Abb. B-23 (Perioden 1, 2, 3) dargestellt. (g) Aufnahme von Termingeldern mit vorzeitiger Tilgungsmöglichkeit: Dies entspricht der eben behandelten Finanzierungsart (f) mit der zusätzlichen Entscheidung über eine vorzeitige Ablösung des Kredits (vgl. den Teilgraph für Periode 4 in Abb. B-23). (h)/(i) Sonstige Kredite von Banken oder anderen Geldgebern mit unterschiedlicher Laufzeit bzw. unterschiedlichen sonstigen Konditionen ohne (h) bzw. mit (i) vorzeitiger Tilgungsmöglichkeit: Unter diese Gruppe sind viele unterschiedliche Formen von Krediten zu subsumieren. Für die Darstellung im Netzwerk ist nicht nur von Bedeutung, ob eine vorzeitige Tilgungsmöglichkeit besteht oder nicht, sondern auch, ob Ein- und Auszahlung in je einem Gesamt-

132

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

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Periode 2

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Periode 4

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p: ZinuufschiiQ fUr fünfperiodige Termingelder q: prozentualer Abschlag für eine um eine Periode vor-zeitige Kündigung

Abb. B-23: Netzwerk-Darstellung von Krediten mit vereinbarter Laufzeit ohne periodische Zins- und Tilgungsleistungen

betrag erfolgen oder ob periodische Teilzahlungen vorkommen. Im letztgenannten Fall muß mit Vergenzknoten gearbeitet werden. Abb. B-17 und Abb. B-18 sind hierfür die zutreffenden Beispielnetzwerke. Werden Ein- und Auszahlung in einer Summe erledigt, liegt formal die gleiche Situation vor wie bei Wechselkrediten und Termingeld-Aufnahmen. Hierfür zeigen die Abbildungen B-21 und B-23 passende Netzwerke. Auch die von Glaser ([Liquiditätsreserven] 85) zum Punkt h besonders hervorgehobenen Lombardkredite fallen hierunter. Ihre Netzwerk-Darstellung entspricht der von Wechseldiskontkrediten. (j) Vorzeitige Kündigung von Terminge/d-Anlagen SOWie

(k) Vorzeitige Kündigung sonstiger Finanzanlagen, wozu vor allem der Verkauf von Wertpapieren zählt: Diese Finanzierungsarten sind Desinvestitionen im engeren Sinn. Sie sind in der allgemeinen Netzwerk-Darstellung von Investitionen in Abb. B-14 durch Liquidationspfeile wiedergegeben. Die Auflistung zeigt, daß alle von Glaser zusammengestellten Anlage- und Finanzierungsalternativen mit denselben, einfachen Grundelementen in einem Netzwerk wiedergegeben werden können. Die Zusammenstellung Glasers umfaßt alle Arten von finanziellen Aktionsmöglichkeiten, die bisher (in der Regel als Spezialfälle) in Modellen zur linearen Finanzplanung einbezogen worden sind. Glaser richtet seine Untersuchung auf die kurzfristige Finanzplanung aus, (vgl. [Liquiditätsreserven] 82). Daher werden längerfristige Alter-

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

133

nativen nicht explizit berücksichtigt. Da es aber beim Prinzip der Netzwerkdarstellung auf die Fristigkeit der Projekte nicht ankommt, bilden mit den oben eingeführten Interpretationen auch hierzu die Formen der Abbildungen B-14 und B-18 die allgemeine Grundlage für die Netzwerk-Konstruktion. Die gezeigten Grundkomponenten sind in das Finanznetzwerk so oft aufzunehmen, wie verschiedenartige Alternativen derselben Investitions- bzw. Finanzierungsart bestehen. So wird für jede Art von Kassenbestand, jedes Kontokorrentkonto, jede durch besondere Zinssätze gekennzeichnete Art von Termingehdem bestimmter Laufzeit und jede Art von Verbindlichkeiten mit einem bestimmten Fälligkeitstermin ein eigener Knoten eingeführt. Alternativen mit gleichen Konditionen oder nicht relevanten (nur gerinfügigen oder im Planungszusammenhang nicht interessierenden Unterschieden) faßt man zweckmäßigerweise zu Gruppen zusammen. Dies entspricht der Vorgehensweise bei der Variablendefinition in linearen Finanzplanungsmodellen. Bisher ist in der Darstellung stets zwischen Investitions- und Finanzierungsprojekten unterschieden worden. Die Hauptflußrichtung der Geldströme verläuft in Teil-Netzwerken für Investitionen von links nach rechts (vgl. Abb. B-14), für Finanzierungen entgegengesetzt (vgl. Abb. B-18). Die gewählte Darstellungsart kommt damit einer intuitiven Sicht der Finanzströme entgegen. Die beiden Netzwerktypen können jedoch ineinander überführt werden. So braucht in Abb. B-18 (vgl. z. B. das Teilnetzwerk für Periode 2) lediglich die Reihenfolge der Knoten F 1 und F2 vertauscht und die Flußrichtung des bisherigen Pfeiles (F2, E) - er wird nun zum Pfeil (F 1, E) - umgedreht zu werden, um ein Bild der Art von Abb. B-14 zu erhalten. Beides ist ohne Beeinträchtigung der inhaltlichen Korrektheit möglich. In der Tat läßt sich eine Kreditaufnahme auch als »Kauf« eines Kreditbetrages, mithin als Investitionsprojekt interpretieren, bei dessen Abwicklung die Hauptausgaben eben erst in späteren Perioden anfallen. Somit kann für alle Arten von Investitionen und Finanzierungen nach Belieben, d. h. nach der zweckmäßigeren Interpretation, die eine oder die andere Darstellung gewählt werden. Dies ist schon deshalb günstig, weil Investition und Finanzierung inhaltlich äquivalente Prozesse sind. Zudem vermeidet es, kombinierte Prozesse willkürlich in Investitionsund Finanzierungskomponenten aufteilen zu müssen. Ein Leasingprojekt etwa läßt sich problemlos als Investition nach Abb. B-14 erfassen.

134

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

e) Darstellung von Restriktionen im Finanznetzwerk

Die Wahl finanzwirtschaftlicher Alternativen unterliegt einer Reihe von Restriktionen, die sich, wie oben (S. 78) gekennzeichnet, weitgehend in Form linearer Gleichungen und Ungleichungen erfassen lassen. Die in linearen Planungsmodellen zu berücksichtigenden Restriktionen hat Glaser (vgl. [Liquiditätsreserven] 79) in sechs Arten eingeteilt: Liquiditätsrestriktionen, Liquiditätsreservenrestriktionen, Finanzierungsrestriktionen, Finanzanlagerestriktionen, Endrestriktionen sowie Restriktionen zur Einhaltung vorgegebener Finanzrelationen. Diese Systematik soll dazu herangezogen werden, zu zeigen, daß alle in linearen Finanzplanungsmodellen abbildbaren Restriktionen auch in graphentheoretische Ansätze einbezogen werden können. Gleichzeitig werden hierbei die Netzwerk-Komponenten für die einzelnen Restriktionen erarbeitet.

Liquiditätsrestriktionen /

Mit einer Liquiditätsrestriktion wird gefordert, daß in jeder (abgebildeten) Periode die Zahlungsfähigkeit gesichert ist. Das bedeutet in Zahlungsgrößen, daß bei Berücksichtigung des Anfangsbestandes und der geplanten Einzahlungen die liquiden Mittel dazu ausreichen, die geplanten Auszahlungen zu tätigen. Zu den geplanten Ein- und Auszahlungen gehören die exogen als Daten vorgegebenen Zahlungen, die Ergebnisse früherer Finanzpläne sowie die noch disponiblen, neu geplanten Zahlungen. Die Liquiditätsrestriktion kann im FinanzNetzwerk so ausgedrückt werden, daß der Pfeil für den Übertrag der liquiden Mittel in die Folgeperiode keinen negativen Fluß haben darf. Dies wird durch eine Untergrenze von null auf diesen Pfeilen vollständig erfaßt (vgl. Abb. B-24).

Finanziernngsrestriktionen Alle in der Finanzplanung bestehenden Alternativen unterliegen bestimmten Beschränkungen in bezug auf den Umfang, in dem siegewählt werden können. Für jede Finanzierungsart und für jede Finanzanlageart gelten neben den allgemeinen Beschränkungen, die die Wahl der einzelnen Alternativenart indirekt beeinflussen, auch eigene, direkt auf sie bezogene Beschränkungen. Für Finanzierungsalternativen ist die einfachste (und häufigste) solcher Beschränkungen eine gegebene Obergrenze. Sie kann in zwei Formen auftreten: Entweder ist für die einzelne Kreditaufnahme eine Obergrenze einzuhal-

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

[FiuS·Untergrerue bij. fluB-Obefgrenu

135

bljJ

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erste Periode

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Periode t

Abb. B-24: Netzwerk-Darstellung der Liquiditätsrestriktion

ten, die unabhängig von den Kreditaufnahmen in anderen Perioden und anderer Kreditarten besteht; oder es ist ein Kreditkontingent vorhanden, auf das mehrere Kredite angerechnet werden. Im ersten Fall sind die Obergrenzen durch einfache Pfeil-Beschränkungen zu erfassen. In Abb. B-18 ist z. B. auf dem Pfeil (F2, F 1) , der den Gesamtkreditbetrag wiedergibt, eine Flußobergrenze einzuführen. Für die kontokorrentartigen Kredite der Abbildungen B-19 und B-20 gilt dies für die Pfeile (F, K1) für t = 1, 2, 3, ... , entsprechend in Abb. B-22 für die Pfeile (K6, F) und (K 15, F) sowie in Abb. B-23 für den Pfeil (F, K 1) . Das für einen Kredit bestehende Kontingent, seine Inanspruchnahme sowie das verbleibende Restkontingent können stärker hervorgehoben werden, indem ein eigener Knoten hierfür eingeführt wird. Eine Kreditaufnahme ist dann als Abfluß von diesem KontingentKnoten, die Rückzahlung als Zufl.uß zu ihm zu interpretieren (vgl. Abb. B-25). Auf diese Weise erfaßt auch Hinzen (vgl. [Finanzplanung] 66) die Kreditbeschränkungen. Freilich gelingt eine Darstellung wie in Abb. B-25 nur dann, wenn zu gleicher Zeit immer nur ein einziger Kredit der kontingentierten Art besteht. Bezieht sich das betrachtete Kontingent auf verschiedene Kreditarten gleichzeitig oder auf mehrperiodige Kredite, die nicht auf eine Folge einperiodiger zurückgeführt werden können (vgl. S. 124), ergibt sich das Problem, die Ein- und Auszahlungen jedes Kredits einander zuzuordnen. Diese Fälle sind im Ansatz von Hinzen und in

136

8. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Unw.y.n1e:

Get~mtkontinvent

für PerioOe 1

Periode 3

Periode 2

Periode 1

Abb. B-25: Netzwerk-Darstellung der isolierten Kontingentierung einer einzigen Kreditart mit explizitem Ausweis des Kreditkontingents

den anderen bekannten graphentheoretischen Finanzplanungsmodellen nicht vorgesehen (vgl. z. B. Hinzen [Finanzplanung] 65 ff.). Sie machen es erforderlich, die Entwicklung des Kreditkontingents als separaten Fluß getrennt vom eigentlichen Geld- und Kreditfluß darzustellen. Die Verbindung gelingt über Vergenzpfeile. Dies zeigt Abb. B-26.

Periode 1

Periode 2

Periode 3

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Periode 4

I! PeriodeS ~.;:;;;:

Abb. B-26: Netzwerk-Darstellung der Kontingentierung von sich überschneidenden Krediten mehrperiodiger Laufzeit

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

137

In diesem Beispiel kann in jeder Periode ein Kredit mit zweiperiodiger Laufzeit aufgenommen werden. Zu keinem Zeitpunkt darf aber die Summe der schon bestehenden und der neu aufgenommenen Kredite ein bestimmtes, gegebenes Gesamtkontingent überschreiten. Die Kreditalternative jeder Periode ist in Abb. B-26 durch zwei Knoten dargestellt: Der Divergenzknoten F 1 bildet den Zugang an Geld in der Periode der Kreditaufnahme sowie den Zugang an Kreditkontingent der Tilgungsperiode ab; der Konvergenzknoten den Abgang an Kreditkontingent in der Aufnahmeperiode sowie den Abgang an Geld in der Tilgungsperiode. Mit den beschriebenen Komponenten können die wichtigsten Beschränkungen aller Kreditarten in ein Finanz-Netzwerk eingebracht werden. Für Kontokorrentkredite kann es naturgemäß nur Aufnahmebeschränkungen geben - es sei denn, es handelt sich um eine kombinierte Restriktion, die gleichzeitig mehrere Kontokorrentkredite oder zusätzlich eine andere Kreditart umfaßt. Für Lieferantenkredite dürfte hauptsächlich eine Gesamtkontingentierung gelten. Zunächst ist die Inanspruchnahme dieser Finanzierungsart natürlich auf den vorhandenen Bestand an Lieferverbindlichkeiten beschränkt. Diese Bedingung trifft auch für Wechseldiskontkredite, für Lombardkredite und andere Arten sonstiger Kredite sowie für die vorzeitige Kündigung angelegter Mittel zu. Durch die eingeführte NetzwerkDarstellung sind derartige Obergrenzen implizit durch die Kirchhoffsche Knotengleichung erfaßt. Dies wird bereits an Abb. B-9 deutlich, wo die nichtnegative Reinvestition auf Pfeil (A 1, K1) durch den in Knoten A 1 einfließenden Investitionsbestand beschränkt ist. Allgemein ist die (vorzeitige) Liquidation von nachperiodigen Investitionen in Abb. B-14 durch die Pfeile (E, K1) für t = 2, 3, 4 dargestellt, deren Obergrenze ebenfalls der in die Knoten einfließende Investitionsbetrag ist. Das gleiche gilt in Abb. B-21 für die Pfeile (W3, K1) für t = 2, 3 und (W5, K1) für t = 2, 3, 4, 5 sowie in Abb. B-22 für die Pfeile (K6, F) und (K 15, F). Eine weitere Kontingentierung von Lieferantenkrediten ist möglicherweise durch eine von Lieferanten gesetzte absolute Obergrenze für die kreditierte Summe gegeben. In manchen Fällen werden auch Höchstquoten festgelegt, etwa für den vom Lieferanten gegen Wechselakzept kreditierten Teil seiner Gesamtforderung. Alle Spielarten einer in absoluten, konstanten Größen vorgegebenen Kontingentierung haben die gleiche Netzwerk-Darstellung. Eine relative, in Quoten gegebene Kontingentierung kann dagegen in einfacherer Form erfaßt werden.

138

B. Aufgaben und Lösungsansätze der betrieblichen Finanzplanung

Abb. B-27 zeigt einen Netzwerk-Ausschnitt für eine gleichzeitig absolute und quotenmäßige Kontingentierung. Es geht um die Verbindlichkeiten bei einem Lieferanten, mit dem ständige Geschäftsbeziehung besteht. Die Verbindlichkeiten sind als Knoten V jeweils in der Periode eingetragen, in der letztmals Barzahlungs-Skonto abgezogen werden könnte. Mit dem Lieferanten wurde vereinbart, daß höchstens 25 o/o der in einer Periode bestehenden Verbindlichkeiten durch Wechsel (mit dreiperiodiger Laufzeit) beglichen werden. Im übrigen sind die bestehenden Lieferantenschulden durch Bezahlung innerhalb der (einperiodigen) Zielzahlungsfrist oder durch Barzahlung auszugleichen. Die Beträge der durch Zielzahlungen und Wechsel kreditierten Verbindlichkeiten dürfen in keiner Periode ein vom Lieferanten gesetztes Gesamtkontingent überschreiten. Die Quotenkontingentierung stellt man im Netzwerk dadurch dar, daß der Knoten V als Konvergenzknoten vorgesehen wird. Zu ihm führen Konvergenzpfeile, die zunächst einen Schuldausgleich zu 1/4 von einem Knoten VW (Verbindlichkeiten, mit Wechsel beglichen) und zu 3/4 von einem Knoten VA (Verbindlichkeiten, anderweitig beglichen) vorschreiben. Barzahlungen und gewöhnliche Zielinanspruchnahme sind durch Pfeile symbolisiert, die zum Knoten VA führen, Wechselkredite durch Pfeile zum Knoten VW. Nach dieser Darstellung müßten genau 25 o/o der fälligen Verbindlichkeiten jeder Periode durch Wechsel beglichen werden. Da dieser Anteil aber lediglich als Höchstgrenze gedacht ist, wird durch einen Verbindungspfeil (VA, VW) eine Ausnutzung des 25 %-Kontingents auch durch die anderen Zahlungsarten ermöglicht. Wenn es sich nicht um eine Höchst-, sondern eine Mindestbedingung handelte, würde man einen Pfeil in umgekehrter Richtung (VW, VA) einführen. Die für die Zielinanspruchnahme und den Wechselkredit gleichermaßen bestehende, gemeinsame Obergrenze ist in Abb. B-27 als absolutes Kontingent durch die Konvergenzpfeile der Inanspruchnahme und die Divergenzpfeile der Rückführung in der bisherigen Form (vgl. Abb. B-26) dargestellt. Die für die absolute Kontingentierung entwickelte Darstellung gilt für Bestandsrestriktionen auch bei Akzeptkrediten, Wechseldiskontkrediten, terminierten Krediten von Banken oder Nichtbanken sowie bei der vorzeitigen Kündigung angelegter Mittel, jeweils soweit Bestandsrestriktionen der gekennzeichneten Art überhaupt bestehen (zur Formulierung als lineare Ungleichungen vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 129 ff.). Ferner sind auch die bei Glaser separat aufgeführten gemeinsamen Restriktionen für mehrere Kreditarten (vgl. Glaser [Liquiditätsreserven] 129 ff.) nach demselben Prinzip abzubilden.

III. Graphentheoretische Darstellung von Problemen der Finanzplanung

139

· ·,: Kgnti}--!:=~"--"-(1

'

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~: ......... Konc~

Periode 1

IIi

Periode 2

Periode 3

Periode 4

Abb. B-27: Netzwerk-Darstellung einer Kombination von absoluter und quotenmäßiger Kontingentierung

In Abb. B-28 ist als Beispiel hierzu eine Kreditgesamtgrenze dargestellt, die von der Bank für alle von ihr gewährten Kreditarten gesetzt wird. Drei Kreditarten sind in das Netzwerk eingezeichnet: ein kurzfristiger (Kontokorrent-) Kredit, ein längerfristiger Kredit sowie eine einperiodige Stundung von Frachtgebühren, für die eine Bankbürgschaft benötigt wird. Während die ersten beiden Kredite in voller Höhe das Kontingent beanspruchen, wird die Bürgschaft als Kredithöhe nur zu 50 o/o auf die Kreditlinie angerechnet. Dies ist im Netzwerk auf den Pfeilen (Kont 1 , F2) durch Vergenzfaktoren berücksichtigt. In Periode 3 ist die Möglichkeit eines Wertpapierkaufs eingetragen. Für die Dauer dieser Anlage (d. h. bis Periode 5) würde sich das Kreditkontingent erhöhen, und zwar um den beleihungsfähigen Anteil von 70 o/o des Investitionsbetrages. Auch dies wird durch Vergenz-

Periode 2

i~
a~2 >, ist zu beachten, daß alle Markierungsnachfolger von k ihre Markierung behalten; ihre Übertragungsfaktoren ak sind jedoch zu korrigieren, und zwar durch Multiplikation mit ~ak

Markierungssituation MS 2ii ist dadurch gekennzeichnet, daß die Defizitmenge, die von i nach k übertragen werden kann, jetzt wieder nach i zurückgeführt werden könnte. Durch Pfeilfaktoren kann sich aber auf diesem Weg die zu übertragende Defizitmenge geändert haben. Ist at2> > ak, würde sich das Defizit auf dem Umweg über k noch vergrößern. Es ist also durch diesen Umweg nichts gewonnen; besser ist es, nur für die ursprüngliche Menge ak einen Übertragungsweg zu suchen; die neue Markierung wird also gestrichen. Dasselbe gilt, wenn beide Übertragungsfaktoren gleich sind: a~2> = ak. Von Bedeutung allerdings ist die Situation, daß der ursprüngliche Übertragungsfaktor ak größer ist als der der neuen Markierung: a~2 l < ak. Wird ein Flußänderungsstrom von i0 über i nach j geführt, so hat er bei Knoten k zunächst die Höhe ak. Der Strom fließt nun aber über j und eventuell andere Zwischenknoten wieder nach k zurück und hat jetzt nur noch die geringere Höhe a~2>. Ab Knoten k ist jetzt ein Defizit der Höhe a~2 J zu übertragen. Dieses Problem läßt sich aber lösen, indem das (größere) Defizit ak, das von i0 ~ber i nach k übertragen wird, entsprechend verringert wird. Es entsteht ab Knoten k also ein Korrekturfluß der Höhe a~2J in rückwärtiger Richtung bis zu i0 so daß als Nettofluß des Änderungsstromes insgesamt am Eingangspfeil (i, k) des Knotens k noch ak - a~2J > 0 verbleibt (vgl. Abb. C-8). Auf der Ausgangsseite sendet Knoten k in Richtung j die Menge ak ab, wovon der Teil a~2 l am zweiten Eingangspfeil wieder zurückkommt, so daß Zufluß und Abfluß an diesem Knoten ausgeglichen sind. Dieser Zusammenhang erklärt auch, warum bei der Markierungssituation MS 2i die Markierung mit dem kleineren Übertragungsfaktor gewählt wird. Die Knotenfolge (i, ... , j, ... , k) mit allen Zwischenknoten absorbiert also ein Defizit der Höhe ak - a~2> > 0. Jewell ([Gains] 492) nennt eine derartige Kantenfolge deshalb Absorbierungszyklus. Um die ursprüngliche Übertragungsmenge vor dem Knoten j zu belassen, werden die zunächst errechneten Werte für die Knoten auf dem Zyklus ab und bis Knoten k mit

~

a.k- a.~l

= 1-

1 ci;l a.k

=

1 1- 1

z

mit z = ~

cx!~l

>

1

(C.12)

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

179

(1)

(3)

-~1 j ------

1 " "' Q-----~--.

l·z

Abb. C-8: Defizitübertragung mit einem Absorbierungszyklus bei Markierungssituation MS 2ii

multipliziert (derselbe Multiplikator kann auch durch Argumentation mit der Summenformel für die geometrische Reihe hergeleitet werden.) Der Knoten k, bei dem der Zyklus beginnt und endet, heißt Zyklusknoten. Der Wert z = aJa~2 > heißt Zykluswert. Alle Übertragungsfaktoren der Knoten im Absorbierungszyklus sowie von Markierungsnachfolgern dieser Knoten werden also mit dem Faktor 1 _11/z multipliziert. Dieser Faktor heißt Zyklusmultipkkator. Da im Zyklusknoten k jetzt von zwei Seiten Flußmengen eingehen, kann man einen Übertragungsfaktor für den vom ursprünglichen Herweg eingehenden (ak) und einen für den ausgehenden Strom (a~2 >) unterscheiden. Ein Eingangsübertragungsfaktor ak bleibt wie bisher; für den Ausgangsübertragungsfaktor gilt: a~ = ak 1 _11/z. Mit einem Absorbierungszyklus ist ein Durchbruch erzielt, und es kann die Flußänderung gemäß Abschnitt 5 durchgeführt werden. Einen Überblick zur gesamten Vorgehensweise bei Markierungssituation MS 2 vermittelt Abb. C-9. c) Überblick über Verzweigungsmöglichkeiten beim Markieren in Vergenzfällen

Sind all~ Markierungen nach den bisherigen Markierungssituationen vorgenommen, ohne daß ein Durchbruch gefunden wurde, ist die Menge Dio maximal. Alle Pfeile, auf denen eine Flußänderung jetzt

180

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Zweifache Markierung an einem bereits markierten Knoten k bei gleicher Obertragungsrichtung

---

Bisheriger Übertragungsfaktor: a.k ; möglid!er neuer Übertragungsfaktor: a.':'

r:P' !:1 .l z =~ a.k -

I Die bisherige Markierung bleibt. Die neue Markierungsmöglid!keit wird nicht beachtet.

-------

Die neue Markierungsmöglid!keit ist vorzuziehen. Der Herweg zu k wird untersucht.

k liegt auf seinem eigenen Herweg. Ein Zyklus ist gefunden.

Bei positivem ~ handelt es sich um einen Absorbierungszyklus, bei negativem a.k um einen Entstehungszyklus. Die Übertragungsfaktoren im Zyklus wer· den mit dem Zyklusmultiplikator . liz.tert. - 1 1 muItlp 1--

k liegt nicht auf seinem eigenen Herweg Die bisherige Markierung wird durch die neue ersetzt. Die Übertragungsfaktoren aller Markierungsmld!folger von Knoten k werden mit .l multipliziert. z

z

Abb. C-9: Vorgehensweise bei zweifacher Markierungsmöglichkeit am seihen Knoten

überhaupt noch vorgenommen doppelte Markierung werden könnte, unterliegen Vergenzbedingungen. Je nach Art des Knotens i in Di, von dem ausgegangen wird, lassen sich hier vier Verzweigungsmöglichkeiten unterscheiden (vgl. hierzu die zwei Fälle bei Schaefer [Netze] 25): Markierungssituation MS 3i: Der Knoten in Dio ist ein Konvergenzknoten i, zu dem Pfeile ü i) von Knoten j 1 außerhalb (oder auch innerhalb) der Menge Dio hinführen. Markierungssituation MS 3ii: Der Knoten in Dio ist ein Divergenzknoten i, von dem aus Divergenzpfeile (i, j 1) zu Knoten j 1 außerhalb (oder auch innerhalb) von Dio führen.

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

181

Markierungssituation MS Jiii: Der Knoten i in Di ist Nachfolger eines Konvergenzknotens j 1• Dieser Konvergenzknoten j 1 sowie die anderen Konvergenznachfolger können außerhalb oder innerhalb von Dio liegen. Markierungssituation MS Jiv: Der Knoten i in Di ist Vorgänger eines Divergenzknotens j 1• Dieser Divergenzknotens j 1 sowie die anderen Divergenzvorgänger können außerhalb oder innerhalb von Di0 liegen.

m.u kiertc

markierte Knoten in

KnCi1 1en in Oio

Verzweigungsmöglichkeit MS

3 i

Verzweigungsmöglichkeit MS 3 iii

.• .

Oio

I Verzweigungsmöglichkeit

MS 3 ii

1 Verzweigungsmöglichkeit MS 3 iv

Abb. C-10: Vier Verzweigungsmöglichkeiten für von Di, ausgehende bzw. in Di, eingehende Vergenzpfeile

Die vier Verzweigungsmöglichkeiten sind in Abb. C-1 0 dargestellt. Bei jeder dieser Verzweigungsmöglichkeiten spaltet sich ein möglicher Flußänderungspfad in verschiedene parallel laufende Teilpfade auf. Eine Verzweigung beginnt mit Vergenzpfeilen, die von einem Knoten i der Knotenmenge Di zu einem Vergenz- oder Vergenznachbarknoten führen, der Beginn'ein Teilpfades ist. Diese Knoten heißen daher Beginnknoten. Knoten i heißt Verzweigungsknoten, er ist ebenfalls je nach Verzweigungsmöglichkeit ein Vergenz- oder Vergenznachbarknoten. Für jeden Beginnknoten werden zum Auffinden von Teilpfaden nach denselben Prinzipien wie für Dio Knotenmengen gebildet.

182

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Sie heißen Verzweigungsmengen. Bei den einzelnen Verzweigungsmöglichkeiten müssen folgende Flußänderungsmöglichkeiten untersucht werden (vgl. Abb. C-10): Bei Verzweigungsmöglichkeit MS Ji ist zu untersuchen, ob durch Rückwärtsbetrachtung (d. h. durch Flußvergrößerung) das Defizit von i auf die Knoten j 1, j2, j 3 usw. übertragen werden kann. Bei Verzweigungsmöglichkeit MS Jii ist die entsprechende Defizitübertragung auf die Knoten j 1, j 2, j 3 usw. durch Vorwärtsbetrachtung, d. h. Flußverminderung vorzunehmen. Bei den Verzweigungsmöglichkeiten MS Jiii und MS Jiv wird gleichzeitig Defizit und Überschuß verschoben. In Fall MS 3iii wird j 1 durch Flußvergrößerung auf (j 1, i) zum Defizitknoten. Um die technologische Zulässigkeit beizubehalten, muß jedoch gleichzeitig auch der Fluß auf allen anderen Kanten (j 1, j 1) vergrößert werden. Damit werden die Knoten j 2, j 3 usw. zu Überschußknoten. Bei allen Verzweigungsmöglichkeiten sind für jeden Nachbarknoten des Vergenzknotens, außer natürlich für Knoten i selbst, neue Knotenmengen zu bilden. Sie enthalten Knoten, auf die das bestehende Defizit (bzw. bei MS 3iii und MS 3iv der bestehende Überschuß) übertragen werden könnte. Dies wird nun für die vier Verzweigungsmöglichkeiten gezeigt. In der Verzweigungsmöglichkeit MS Ji wird für einen Konvergenzknoten i, der in D;. liegt, zunächst geprüft, ob hier eine adäquate Flußänderung möglich ist. Hierzu müßten alle Flüsse rii auf den Konvergenzpfeilen (j, i) vergrößert werden können, also unterhalb der Kapazitätsobergrenze liegen: für alle

j

E

V;.

(C.13)

Nur wenn diese Bedingung auf allen Konvergenzpfeilen j E V erfüllt ist, wird überhaupt der Knoten i dieser Richtung weiter untersucht. Ansonsten ist eine weitere Markierung ausgehend von i nicht möglich, und es ist ein anderer Knoten i zu wählen. Für jeden Vorgänger j E V des Konvergenzknotens wird nun eine Menge Dij aufgebaut. Sie enthält Knoten, auf die vom Knoten j aus ein Defizitbetrag übertragen werden kann, ohne daß Vergenzpfeile benutzt werden. Daher heißt eine derartige Menge auch defizitübertragend oder Dejizitmenge. Diese Knotenmengen werden im Verhältnis zueinander als Parallelmengen, im Verhältnis zur Menge D;. als Verzweigungsmengen bezeichnet. Ferner sind sie im Verhältnis zu D;0 Nachfolgermengen; Dio ist zu ihnen eine Vorgängermenge.

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

183

Die zur Knotenmenge Dii gehörenden Knoten werden sukzessive in einem Markierungsprozeß festgestellt. Erstes Element der Knotenmenge Dii ist der Beginnknoten j selbst. Er erhält die Marke (li,jl;i;R;a)

mit a.i=a.;a~.

(C.14)

Die erste Komponente zeigt die Menge an, zu der diese Markierung gehört. Bei den anderen Komponenten gibt es keine Besonderheiten. Im weiteren wird die Menge D;i genauso aufgebaut wie die Menge D;. Es besteht nur der Unterschied, daß für die Beginnknoten j selbst lediglich Rückwärtsbetrachtungen erlaubt sind, da der Knoten j als einzigen Nachfolger nur Knoten i hat und von diesem her selbst erreicht worden ist. Für die Verzweigungsmöglichkeit MS Jii gilt das Entsprechende. Falls für alle Nachfolger j des Divergenzknotens i der Fluß über der Kapazitätsuntergrenze liegt, läßt sich durch eine Flußverringerung auf (i, j) das Defizit von Knoten i auf die Divergenznachfolger j E N; übertragen: für alle j t N;.

(C.15)

Dann werden für alle solchen Nachfolger j E N; wie oben Mengen D;i aufgebaut. Erstes Element der Knotenmenge Dii ist der Beginnknoten j. Er erhält die Markierung (C.16) Bei den ersten beiden Verzweigungsmöglichkeiten MS 3i und MS 3ii stimmt daher die Ausgangslage zum Aufbau von Verzweigungsmengen überein. Einzelheiten des weiteren Markierungsprozesses hierzu werden im folgenden Teilabschnitt 3 behandelt. Bei den beiden anderen Abzweigungsmöglichkeiten MS 3iii und MS 3iv besteht die Besonderheit, daß unter den neu zu bildenden Verzweigungsmengen auch solche sind, bei denen eine ÜberschuBübertragung anzustreben ist. Dies ergibt sich für die beiden angesprochenen Verzweigungsmöglichkeiten aus den nachfolgenden Überlegungen. Bei Verzweigungsmöglichkeit MS Jiii (vgl. Abb. C-9) ist der Verzweigungsknoten i Nachfolger des Divergenzknotens j 1, der innerhalb oder außerhalb von D; liegen kann. Eine weitere Übertragung eines Defizits am Knoten j 1 fst nur dann möglich, wenn der Fluß auf dem Divergenzpfeil (j 1, i) vergrößert und gleichzeitig die Flüsse auf den anderen Divergenzpfeilen (j 1, j) mit j E Ni, (j '# j 1) ebenfalls vergrößert werden können. Auf dem Divergenzknoten j selbst wird bei Flußänderung zunächst ein Defizit erzeugt, auf den anderen Knoten

184

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

ein Überschuß. Voraussetzung für den Aufbau eines entsprechenden Weges ist also, daß auf allen Divergenzpfeilen zu j E Ni, der Fluß vergrößert werden kann: (C.17) Ist diese Bedingung nicht erfüllt, wird ab dem Knoten i keine weitere Markierung durchgeführt. Im anderen Fall wird die Menge D;· mit dem Beginnknoten j 1 als erste Verzweigungsmenge definiert. Si~ soll alle Knoten umfassen, auf die ausgehend vom Knoten j 1 ohne Benutzung von Vergenzpfeilen Defizitbeträge übertragen werden können. Der Beginnknoten j wird mit . 1 (Ii j )· i- R. a., ) mtt kann also auf dem gleichen Zyklus absorbiert werden wie schon bisher der Betrag a.k. Zyklusknoten für diesen Teilprozeß ist zwar Knoten k, der Zykluswert ist aber derselbe. Insgesamt ergibt sich die in Abb. C-14 gezeigte Flußänderung. Die auf den Kanten vermerkten Zahlen sind die auf der jeweiligen Eingangs- bzw. Ausgangsseite geltenden Übertragungsfaktoren. Hieraus wird ersichtlich, daß der gleiche Zyklus hier zweifach verwendet wird. Alle bisherigen Übertragungsfak-

1\,

toren auf dem Zyklus werden mit dem Faktor

ä

+

ä

k

a, multipliziert. (2)

Auf dem Weg zwischen dem ersten Knoten k und dem bisherigen Zyklusknoten k 2 wird der neu ankommende Betrag a.~2 J (multipliziert mit den jeweiligen Pfeilfaktoren) addiert. Abb. C-14 zeigt, daß dies das Problem der Defizitübertragung auf beiden Teilpfaden löst. Damit ist in den Markierungssituationen MS 4i b und MS 4i c stets ein Durchbruch gefunden.

ak2 Ja.k :ursprüngliche Übertragungsfaktoren vor Multiplikation mit dem

Zyklusmultiplikator - 1-

l·t

Z : Zykluswert

IZI

(4 : Übertragungsfaktor der zweiten, jetzt diskutierten Markierungsmöglichkeit von k Qk2k, Qkk2 ; Produkt der PfeilfaktCKen zwischen k2 und k bzw. k und k2

Abb. C-14: Gemeinsamer Durchbruchzweier Teilpfade auf einem Zyklus

194

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Es bleibt die Markierungssituation MS 4i d zu betrachten, wo k nicht auf dem Durchbruchweg der Menge D;i liegt. Hier ist es nicht erforderlich, nach der Art des Durchbruchs zu' unterscheiden. Es geht lediglich darum, einen Defizitübertragungsweg ab k zu finden. Knoten ~.erhält also eine Marke, die ihn zur Menge Dii, zuordnet, und den Ubertragungsfaktor a~2 > für die Defizitmenge aus Dii. Ist für D;i ein Durchbruch bereits bekannt, kann die bisherige Markierung von k gelöscht werden. Wird in den folgenden Schritten auch für D;i dieser Durchbruchweg erreicht, tritt eine der Markierungssituationen' MS 4i b oder MS 4i c ein. Wird ein neuer Durchbruch gefunden, sind ebenfalls beide Probleme gelöst.

Markierungssituation MS 4ii wird an dem Fall erläutert, daß die überschußübertragende Menge Uii im Aufbau ist und der nächste zu markierende Knoten zur defizitübertragenden Menge D;i gehört. Auch hier gilt, daß der spiegelbildliche Fall analog zu beha~deln ist. Ferner wird der Einfachheit halber davon ausgegangen, daß die behandelte Situation bereits bei einmaliger Verzweigung eintritt. Auch dies ist aber für die Allgemeinheit der Ergebnisse ohne Belang. Der hier angenommene Fall entsteht, wenn ab Verzweigungsknoten i zunächst die Menge Dii, aufgebaut wurde. Die Mengen D;i und U;i sind Parallelmengen zueinander, d. h., in beiden Mengen muß ein Durchbruch gefunden werden, wenn vom Verzweigungsknoten i ab eine Flußänderung möglich sein soll. Da in der einen Menge (Dii,) eine Flußverminderung, in der anderen (U;) eine Flußerhöhung angestrebt wird, liegt es nahe, am Knoten k des Zusammentreffens nur noch für die bei Zusammenfassung entstehende Differenz eine Übertragungsmöglichkeit zu suchen. Der neue Übertragungsfaktor des Knotens k ergibt sich also als Summe (C.26) Anband des Vorzeichens entscheidet sich, welcher Menge der Knoten letztlich zugeordnet wird. Sollte sich (zufällig) die Summe null ergeben, so ist gleichzeitig sowohl das Problem der Defizitübertragung in D;i, als auch das der Überschußübertragung in U;i gelöst. In Markierungssituation MS 4ii a ist die Summe der Übertragungsfaktoren aus C.26 positiv. Dann ist das Problem der Überschußübertragung gelöst, es ist in D;i, eine im Vergleich zu bisher kleinere Defizitmenge zu übertragen. Der ~noten k bleibt der Menge D;i, zugeordnet, erhält aber den neuen Ubertragungsfaktor ak + a~2>. Alle Folgemarkierungen von k werden in ihren Übertragungsfaktoren mit

a • + a'''• < 1 (da aF> negativ) multipliziert. Das weitere Vorgehen richak

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

195

tet sich danach, ob Knoten -~ auf dem Dur.chbruchweg in Dii, liegt. Trifft dies zu, ist durch die Anderung der Ubertragungsfaktoren auf diesem Weg auch ein Durchbruch für den neu definierten NettoDefizitübertragungsbetrag gefunden, der zunächst bei Knoten k registriert ist. Bestand der Durchbruch in Form eines Absorbierungszyklus, wird dieser Zyklus jetzt mit einem durch Multiplikation mit a, (2) erhöhten Zyklusfaktor durchlaufen. Ist allerdings k nicht auf (lk

+

(lk

dem Weg zu einem Durchbruch gelegen, kann man wie folgt zu einem schon existierenden Durchbruchweg in Dii, gelangen: Da der Herweg von j 1 nach k in Dii, ein.~ Defizitübertragung ermöglicht, ist in umgekehrter Richtung eine Oberschußübertragung zulässig. Insbesondere gilt dies für den Teil (jt> ... , k 2) des Herwegs von j 1 nach k, der gleichzeitig auch auf dem Durchbruchweg liegt (vgl. Abb. C-15); der Spezialfall j 1 = k 2 ist zugelassen. Nun wird auf dem Weg von j 1 bis k2 ein Defizit in der bisherigen Höhe übertragen. Auf dem Weg von j über k nach k 2 wird ein Überschuß in Höhe des bisherigen Überschußbetrags übertragen, und ab k2 gilt die Übertragung des (positiven Defizit-) Differenzbetrages. Dementsprechend werden die Markierungen gewählt: Die Markierungen der Knoten von j 1 bis k2 und von j bis vor k bleiben. Für die Strecke von k bis k 2 gelten neue Marken, die diese Knoten jetzt der Menge Ui. zuordnen. Für k z. B. lautet die Marke: ((i, j); k 3 ;. ; a~2 >). Insbesondere sind die Übertragungsfaktoren dieser Knoten negativ. Die Knoten ab k behalten ihre Zuordnung zur Menge Dii,' ihr Übertragungsfaktor verringert sich aber mit dem Faktor

a,

+

(lk

(2)

a, (dieser Quotient kann bereits bei k berechnet werden). Falls

der bisherige Durchbruch mit einem Absorbierungszyklus erzielt wurde, gilt eine entsprechende Erhöhung des Zykluswertes. Im übrigen ändern sich die Übertragungsfaktoren von Markierungsnachfolgern des Durchbruchweges ebenfalls. Markierungsnachfolger des Verbindungsstückes von k nach k 2 werden gelöscht, da sich die Übertragungsrichtung geändert hat. Die angeführten Änderungen der Übertragungsfaktoren gelten sinngemäß auch dann, wenn in Dii, ein endgültiger Durchbruch noch gar nicht vorliegt (vgl. hierzu Abschnitt 4, S. 202). Auch dann kann das Problem der Überschußübertragung in Uii als gelöst betrachtet werden. In Dii, ist für den verbleibenden (kleineren) Betrag ak + a~2l in späteren Schritten noch ein endgültiger Durchbruch zu suchen. In diesem Fall können daher Markierungen von Dii, nicht gelöscht werden.

196

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Bei positiver Nettosumme ak + a~2> ist insgesamt somit in jedem Fall ein Durchbruch für U;i gefunden.

Markierungssituation MS 4ii b ist durch eine negative Summe der Übertragungsfaktoren in C.26 gekennzeichnet. Zur gleichzeitigen Lösung der Übertragungsprobleme in D;i und U;i muß eine ÜberschuBübertragung in Höhe von ak + a~2> reahsiert werden. Ein Unterschied zum gerade betrachteten Fall besteht darin, daß hierfür in jedem Fall noch kein Durchbruch gefunden ist. Mit der Argumentation von oben ist klar, daß alle Knoten auf dem Herweg von j 1 zu k (vgl. Abb. C-15) in umgekehrter Richtung mit einer Überschußübertragung erreicht werden können. Jeder solche Knoten auf dem Weg zwischen j 1 und k ist also potentieller Ausgangspunkt der Netto-Überschußübertragung. Entsprechend werden diese Knoten markiert. In der ersten Komponente m ihrer }vfarken werden sie mit m = (i, j) der Menge U;i zugeordnet, der Ubertragungsfaktor wird durch Multiplikation mit + a, a, ( < 0) negativ und auf die passende Größe gebracht. Alle (2)

ak

Markierungen auf bisherigen Markierungsnachfolgern dieser unmarkierten Knoten verschwinden.

Abb. C-15: Formale Struktur der Zusammenführung von überschußübertragenden und defizitübertragenden Wegen in Parallelmengen D;i und Uii

Aber nicht nur für die Knoten zwischen k und j 1, auch für die bisherigen Knoten aus U;i ändern sich die Übertragungsfaktoren. Da eine Übertragung von Defizit in Vorwärtsrichtung letztlich dasselbe ist wie eine Übertragung von Überschuß in Rückwärtsrichtung, kann der ursprünglich in D;i, zu übertragende Defizitbetrag ab k über k 1 bis hin zu j übertragen werden, so daß schließlich ab j ebenfalls nur für die

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

197

(hier negative) Nettomenge ein Übertragungspfad gesucht werden muß. Dies bedeutet mithin, daß alle bish~rigen Knoten von Uii ihre Markierung beibehalten, allerdings im Übertragungsfaktor durch

+

Muliplikation mit dem Wert a, a,, der zwischen null und eins ak liegt, geändert werden. (2)

Insgesamt ist also im Fall negativer Summe ak + a~2 > stets das Problem der Defizitübertragung gelöst, während für das Problem der Überschußübertragung alle Knoten auf der Verbindung zwischen j und j 1 (vgl. Abb. C-15) Ausgangspunkte einer weiteren Markierung sind. Da auf jedem der Knoten dieses Verbindungsweges sowohl von j 1 her Defizite als auch von j her Überschüsse übertragen werden können, wird der Weg als Zusammenführungsweg bezeichnet. Findet man in späteren Markierungsschritten einen Durchbruch, ist auf dem Durchbruchherweg der letzte Knoten k des Zusammenführungsweges festzustellen. Die Übertragungsfaktoren auf dem Herweg von j 1 zu diesem Knoten sind durch eine Korrekturmultiplikation mit a, (2) wieder auf eine volle Defizitübertragung zu k hin zu ändern, a~

+:. ak

dte Ubertragungsfaktoren auf dem Herweg von j zu k durch Multia~" auf eine volle Überschußübertragung. Alle plikation mit (tk

+

(tk

Markierungsnachfolger des Zusammenführungsweges, die nicht zum Durchbruchweg gehören, sind zu löschen. Die Übertragungsfaktoren auf dem Durchbruchweg ab dem Knoten k bleiben unverändert, sie geben die ab dort geltende Nettoübertragung an. Auf diese Weise ist bei einem Durchbruch ein korrekter Ausweis der Übertragungsfaktoren sichergestellt. Sobald im weiteren Markierungsprozeß von solchen Knoten ausgehend ein Durchbruch gefunden wird, sind beide Probleme gelöst. Abschließend zur Markierungssituation MS 4ii b sei auf einen Sonderfall hingewiesen. Falls bisher für die defizitübertragende Menge ein Zyklus existierte, zu dem der Knoten k gehört, ergibt sich als Lösung ein neuer Zyklus durch das Durchlaufen des bisherigen Zyklus in Markierungsgegenrichtung. Er ist jetzt nicht Absorbierungs-, sondern Erzeugungszyklus (Entstehungszyklus). In diesem Sonderfall ist auch in Markierungssituation MS 4ii b mit Markierung des Knotens k unmittelbar ein Durchbruch gefunden.

198

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

c) Durchbruchsuche in Alternativ-Verzweigungsmengen

Nach Auffinden eines Durchbruchs auf einem Teilpfad eines Verzweigungsknotens wird sukzessive je eine der verbleibenden Parallelmengen aufgebaut. Ein Gesamtdurchbruch ab dem betrachteten Verzweigungsknoten i liegt erst vor, wenn im Falle - des Konvergenzknotens (Verzweigungsmöglichkeit MS 3i) für alle Teilmengen Dii für j E Vi - des Divergenzknotens (Verzweigungsmöglichkeit MS 3ii) für alle Teilmengen Dii für j E Ni ein Durchbruch gelungen ist. Liegt der Verzweigungsknoten i in der Grundmenge Di,0 kann dann der Netzwerkfluß gemäß Abschnitt 5 •• geändert werden. Andernfalls sind die Uberlegungen beim nächstfrüheren Beginnknoten, für den nunmehr ein Durchbruch vorliegt, analog fortzusetzen. Im Aufbau jeder beliebigen Verzweigungsmenge in diesem Prozeß kann allerdings auch der Fall eintreten, daß alle Markierungsmöglichkeiten und Verzweigungsmöglichkeiten ausgeschöpft sind, ohne daß ein Durchbruch gefunden wurde. Solche Verzweigungsmengen heißen blockierte Mengen. Zu einer blockierten Verzweigungsmenge Parallelmengen aufzubauen, ist überflüssig, da ein Durchbruch ab dem vorhergehenden Verzweigungsknoten ohnehin nicht mehr gefunden werden kann. Es ist also ein anderer Verzweigungsknoten nach Markierungssituation MS 3 zu wählen. Bei wiederholteT Verzweigung ist dazu schrittweise in Vorgängermengen soweit zurückzugehen, bis ein noch nicht untersuchter Verzweigungsknoten gefunden ist. Anhand von Abb. C-16 sei diese Wahl des nächsten Verzweigungsknotens betrachtet. In der Menge Di J. sei ein Durchbruch nicht mög'. lieh. Zum Beginnknoten j 9 dieser blockierten Menge gehören der Verzweigungsknoten i7 und als Parallelmengen Di7.J. sowie D, J. • Ohne Bedeutung ist, daß in Di,j, bereits ein Durchbruch gefunden ist, Di J. wird nicht mehr aufgebaut. In Menge Di.i, zu der VerzweigungsJ,.l2 knoten i7 gehört, gibt es die weiteren Verzweigungsknoten i5 und i6 • Von beiden sei jedoch aus vorherigen Markierungsschritten bekannt, daß zu ihnen kein Durchbruch auffindbar ist. Somit sind alle Verzweigungsknoten in DiJ, blockiert, damit ist DiJ, selbst _l;llockiert. Für Beginnknoten j 1 werden jetzt anstelle j 9 entsprechende Uberlegungen wie für die blockierte Menge Di,,J. angestellt. Auf diese Weise findet man i1 der Menge Di,i, als neuen Verzweigungsknoten, ab dem jetzt ein Durchbruch gesucht wird. Hier wird gemäß den Markierungssituationen MS 3 und MS 4 etwa zunächst DiJ, aufgebaut. 1 10

' 10

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

199

Beim Aufbau der Mengen Dii bzw. U;i ab Verzweigungsknoten i3 kommen zu den bisher bekannten Markierungssituationen weitere hinzu. Es gibt nämlich Knotenmengen, die in bezug auf die jetzt aufzubauenden Mengen Dii und U;i weder Vorgänger- noch Parallelmengen sind. Diese sollen als Alternativ- Verzweigungsmengen bezeichnet werden, da (alternativ) entweder sie oder die jetzt aufzubauenden Knotenmengen relevant sind. Beim Aufbau von Verzweigungsmengen Dii oder U;i sind die Markierungen von Alternativmengen eigentlich ohne Bedeutung, da sie zum Aufbau des jetzt gesuchten Durchbruchwegs keinen Beitrag liefern. Sie könnten alle gelöscht werden. Besondere Markierungssituationen bräuchten hierzu dann nicht betrachtet zu werden. Andererseits sind in den Markierungen der Knoten von Alternativmengen gewisse Informationen gespeichert, die den weiteren Markierungsprozeß abkürzen können. Daher ist es zweckmäßig, Markierungen vonAlternativ-Verzweigungsmengen nichtgrundsätzlich zu löschen, sondern zu prüfen, ob mit ihrer Hilfe der Aufbau der gegenwärtig betrachteten Knotenteilmenge beschleunigt werden kann. Hierzu ist von Bedeutung, daß nicht alle Alternativmengen ohne Durchbruchweg zu sein brauchen. Z. B. hat der Teilast ab Knoten j 8 in Abb. C-16 einen Durchbruch.

'

'l

I

I

'

I

''

'

Abb. C-16: Schematische Darstellung der Wahl eines neuen Verzweigungsknotens und des Vorliegens von Alternativmengen

200

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Folgende Markierungssituationen entstehen im Zusammenhang mit Alternativmengen:

Markierungssituation MS 5i: Der zur Markierung anstehende Knoten k liegt in einer Alternativmenge mit gleicher Übertragungsrichtung, die keinen Durchbruch hat (z. B. D;,i. in Abb. C-16). Markierungssituation MS 5ii: Der zur Markierung anstehende Knoten k liegt in einer Alternativmenge mit gleicher Übertragungsrichtung, die einen Partialdurchbruch hat (z. B. in D; i in Abb. C-16, drei typische Fälle sind in Abb. C-17 dargestellt).' Markierungssituation MS 5iii: Der zur Markierung anstehende Knoten k liegt in einer Alternativmenge gegenteiliger Übertragungsrichtung. Alle drei Markierungssituationen werden für den Fall besprochen, daß die aufzubauende Menge defizitübertragend ist. Handelt es sich um eine Überschußmenge, ergeben sich auf analoge Weise die gleichen Ergebnisse. Für die Zuordnung des Knotens k zur gegenwärtig aufgebauten Menge ist die bisherige Markierung als Mitglied einer Alternativmenge prinzipiell kein Hindernis. In Markierungssituation MS 5i weiß man allerdings, daß in der Alternativmenge schon alle Möglichkeiten einer Defizitübertragung ohne Erfolg überprüft worden sind. Wird jetzt ausgehend von der im Aufbau befindlichen Defizitmenge von außen der Knoten k markiert, so bleibt also nur noch eine einzige noch nicht geprüfte Möglichkeit, in der Alternativmenge einen Durchbruchweg zu finden: das Beschreiten des Herwegs zu k in der Alternativmenge in rückwärtiger Richtung im Bestreben, hier einen Absorbierungszyklus zu konstruieren. Solange dies möglich scheint, wird also der betreffende Knoten der im Aufbau befindlichen Menge zugeordnet. Erfolglos ist eine weitere Markierung dann, wenn der nächste Knoten auf dem Herweg der Alternativmenge in Markierungsgegenrichtung nicht markiert werden kann. Dann kann die Markierung in der Alternativmenge abgebrochen werden. In Markierungssituation MS 5ii besteht bei Zuordnung von k zu der jetzt betrachteten Menge nicht nur die Möglichkeit, auf den bestehenden Durchbruchweg zu gelangen oder den bisherigen Herweg zu k zu einem neuen Absorbierungszyklus zu machen, sondern es können auch weitere Durchbruchwege gefunden werden. Da ein Partialdurchbruch für die Alternativmenge, zu der k gehört, gefunden worden ist, wurde nämlich die weitere Suche nach Durchbruchwegen die möglicherweise existieren - auf diesem Teilast abgebrochen. Sie aber könnten jetzt interessant sein. Insbesondere gilt dies für den Fall

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

(a) ...

(b)

0

-er::

~-·

o-.·· ·-+~·· · -+Durchbruch

-~

i2

··•

··--0::.

k liegt in der Alternativmenge auf dem Durchbruchweg bzw. gehört zu einem Zyklus, der nicht vor k zurückführt

+{)-...-. ~

'

j,

·· · -~

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#?

}--7--+t-+()-. .../

.

0

(c)

201

.#

0-. .. ·. . ._

.

··-+Durchbruch

··~ ~

,,.

?

-

--

k ist ein Markierungsnachfolgerdes Durchbruchwegs in der Alternativmenge; er gehört selbst nicht zum Durchbruchweg

~

H*----o-···+0-

~®-+· · ·

k liegt auf einem zyklischen Durchbruchweg in der Alternativmenge

Abb. C-17: Schematische Kennzeichnung verschiedener Möglichkeiten für einen Partialdurchbruch in einer Alternativ-Verzweigungsmenge

b der Abb. C-17, wo Knoten k nicht selbst auf dem Durchbruchweg liegt. Ist k dagegen selbst Knoten eines Durchbruchwegs der Alternativmenge, ist es zweckmäßig, diesen Durchbruchweg in der Markierung zu verfolgen. Er kann, u. U modifiziert, übernommen werden. Dies gilt für die Fälle a und c der Abb. C-17. Im Fall c des zyklischen Durchbruchs wird Knoten k selbst neuer Zyklusknoten; der Zykluswert bleibt

202

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Auch in Markierungssituation MS 5iii wird Knoten k in jedem Fall der im Aufbau befindlichen Menge zugeordnet. Wie im entsprechenden Fall bei Parallelmengen (Markierungssituation MS 4ii) ist hier im übri~_en nicht immer schon ein Durchbruch gefunden, da die Summe der Ubertragungsfaktoren positiv oder negativ sein kann und auf einem Weg in Alternativmengen Vergenzknoten getroffen werden können, ab denen ein Durchbruch endgültig versperrt ist.

4. Suche nach einem rückführenden Durchbruch a) Realisierbarkeitsbedingungen für Rückführzyklen

Die bisher ausgesparte Markierung von Knoten in Vorgängermengen kann zu einem rückführenden Durchbruch führen. Hier werden zunächst Realisierbarkeitsbedingungen für solche Rückführzyklen untersucht. Aus ihnen werden später Regeln für die noch offenen Markierungssituationen abgeleitet. Die einschränkenderen Bedingungen sind, wie sich zeigt, für Rückführzyklen zu erfüllen, die in Vorgängermengen mit gleicher Übertragungsrichtung zurückführen. Sie werden zuerst untersucht, wobei von einer Defizitübertragung ausgegangen wird. Es werden drei Fälle steigenden Allgemeinheitsgrades unterschieden: (1) es gibt nur einen Rückführzyklus; (2) es gibt mehrere Rückführzyklen, deren Zyklusknoten jedoch alle in derselben Vorgängermenge liegen; (3) es gibt viele Rückführzyklen, die in verschiedene Vorgängermengen zurückreichen. Zum einfachsten, ersten Fall zeigt Abb. C-18 ein Beispiel. Für die Defizitübertragung ab Beginnknoten j 1 führt hier der Markierungsprozeß zurück zu einem Knoten k auf dem Herweg der Vorgängermenge. Ist der Durchbruch für die Parallelmenge ab j 2 linear, dann ist die Tatsache der Verzweigung für die Zyklusbedingungen letztlich ohne Bedeutung. Mit gleicher Begründung wie beim einfachen Zyklus (vgl. Markierungssituation MS 2ii) ist also ein Rückführzyklus gefunden, wenn der reziproke Wert 1/z = ai2l!a kleiner als eins ist. Der Zyklusmultiplikator sowie die veränderten Übertragungsfaktoren bei Realisierung des Zyklus werden ebenfalls wie in Markierungssituation MS 2ii berechnet. Die Ergebnisse ändern sich nicht, wenn der Zyklusknoten nicht in der unmittelbar vorhergehenden, sondern ei-

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

~~-···~:··~ ·. .

''

'

203

.·

Abb. C-18: Rückführzyklus über zwei Mengen

ner früheren Vorgängermenge liegt, solange auf den sonstigen Abzweigungen des Zyklusweges ausschließlich lineare Durchbrüche bestehen. Für den zweiten Fall zeigt Abb. C-19 ein Beispiel mit zwei Rückführzyklen. Zur Herleitung der Realisierbarkeilsbedingung fragt man wieder danach, wie im Falle realisierbarer Zyklen die Übertragungsfaktoren zu berechnen wären. In der vorliegenden Situation ist es zweckmäßig, den »inneren« Zyklus zuerst zu bearbeiten, d. h. den mit dem spätesten Zyklusknoten. Isoliert betrachtet, ist er realisierbar, wenn sein reziproker Zykluswert kleiner als eins ist. Im Beispiel von Abb. C-19 ist also vorauszusetzen, daß der reziproke Zykluswert 1/z2 des Zyklus zu j 2 kleiner als eins ist. Geht man davon aus, daß dieser Zyklus bereits realisiert ist, dann sind alle Markierungsnachfolger des

Abb. C-19: Zwei Rückführzyklen mit Zyklusknoten in derselben Vorgängermenge

204

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Zyklusknotens 2 mit dem zugehörigen Zyklusmultiplikator verändert. Insbesondere gilt dies auch für die zweite Markierung des anderen Zyklusknotens 1. Bei ihm hat der so entstandene Übertragungsfaktor a.\21 im Vergleich zum ursprünglichen a folgende Höhe: -121 _a._l-

a.l2l-

1 -

l -

l

mt·t

Z2

2

(C.27)

a. = 71 ·

a:2

Z2

Mit der gleichen Überlegung wie in Markierungssituation MS 2ii ist auch der Zyklus von j 1 realisierbar, wenn a.f> < ä 1 gilt. In diesem Fall werden also ab der Ausgangsseite von Zyklusknoten 1 alle Übertragungsfaktoren mit dem Multiplikator 1

1-

(C.28)

a.I2J

.:::.Js.

a.k

multipliziert. Dies gilt auch für alle Knoten auf dem bisherigen Zyklus. Im Ergebnis erzielen beide Verzweigungsmengen, diejenige ab j 1 und diejenige ab j 2, einen rückführenden Durchbruch. Die Realisierbarkeitsbedingung für die beiden Zyklen besteht insgesamt aus den beiden Ungleichungen (1)

l.

z2

< -12)

(2)

mit

_s_

12) --

o:.l

(C.29)

1-.!_

z2

Die zweite Bedingung enthält auf der linken Seite den Zyklusmultiplikator des zweiten Zyklus. Formt man sie so um, daß nur die ursprünglichen Übertragungsfaktoren vorkommen, erhält man:

ct21

1 1 < 1 oder z2 zl

....!. + -

ak

+

1 < 1 z2 '

-

(C.30)

wobei z 1 als isolierter Zykluswert für den ersten Zyklus aufzufassen ist. Beide Zyklen müssen also mit ihren Zykluswerten in der Summe die Bedingung erfüllen, die ansonsten für einen einzelnen Zyklus gilt. Bei positiven Zykluswerten genügt es, die strengere Bedingung C.30 zu prüfen, aus ihr folgt die Gültigkeit beider Ungleichungen in C.29. Für die Übertragungsfaktoren gilt nach Realisation der beiden Rückführzyklen insgesamt: Knoten i vor Zyklusknoten 1 haben den ursprünglichen Übertragungsfaktor ä;; Knoten i zwischen Zyklusknoten 1 und Zyklusknoten 2 sowie ihre Markierungsnachfolger außerhalb des Herweges zu 2 haben einen mit dem Multiplikator C.28 erhöhten Übertragungsfaktor, der sich jetzt wie folgt angeben läßt:

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

0.·I

=

-

O.j

---m = a, 1

1-~ a.,

205

1 ) (1 - -

z2

(C.31)

1 1 1----

z2 z,

Sämtliche Knoten nach Zyklusknoten 2 auf beiden Zyklen bis vor die Zyklusknoten sowie ihre Markierungsnachfolger außerhalb der Durchbruchwege haben den Übertragungsfaktor -

a.A = 0.• 1

1

1

1

• -- --

1 1--

z2

cJ.21 1-~ a.,

-

1 1 1 1----

= a.A • - - • 1

z2 z,

(C.32)

Wie im Falle zweier Rückführzyklen können die Realisierbarkeitsbedingungen für eine beliebige Zahl von Rückführzyklen hergeleitet werden, wenn alle Zyklusknoten in derselben Verzweigungsmenge liegen. Allgemein gibt es dann L Zyklen mit den Zyklusknoten k 1, k 2, • • • , kL. Der Herweg zum letzten gemeinsamen Verzweigungsknoten aller Zykluswege wird Hauptweg genannt. Alle Zyklusknoten liegen im betrachteten Fall auf dem Hauptweg. In Abb. C-20 ist eine derartige Situation gezeigt. Der Verzweigungsknoten ist ausgefüllt gezeichnet. Knoten zwischen den Zyklusknoten auf dem Hauptweg sowie nicht zu Zyklen gehörende Markierungsnachfolger sind nicht eingetragen.

Abb. C- 20: Beispiel mehrerer rückführender Zyklen mit Zyklusknoten auf demselben Hauptwegstück

Mit äi sei der ursprüngliche Übertragungsfaktor eines beliebigen Knotens i bezeichnet, zk1 sei der Zykluswert des l-ten Zyklus. Sind alle Zykluswerte positiv, unterliegt eine Realisation aller L Zyklen folgender Bedingung:

206

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

(C.33) Ist sie erfüllt, können alle Rückführzyklen gleichzeitig realisiert werden. Die Übertragungsfaktoren nehmen dann folgende Höhe an: Für einen Knoten I - , der ein Markierungsnachfolger des letzten Zyklusknotens ist, insbesondere z. B. ein Knoten auf einem Zyklusweg vor dem Zyklusknoten: - zwischen zwei Zyklusknoten kv und kv+ 1 auf dem Hauptweg sowie auf vom Hauptweg wegführenden Markierungsnachfolgern:

(C.34)

vor dem ersten Zyklusknoten: Jeweils im Nenner erscheint als Subtrahend die Summe aller reziproken Zykluswerte. Die Realisierbarkeitsbedingung C.33 stellt sicher, daß der Nenner positiv ist. Für die bisherigen Ergebnisse ist ohne Belang, wie viele weitere Verzweigungsknoten auf dem Herweg zum letzten gemeinsamen Verzweigungsknoten der betrachteten Rückführzyklen sowie auf den einzelnen Zyklusrückwegen liegen - wenn nur feststeht, daß von diesen dazwischenliegenden Verzweigungen keine rückführenden Zyklen ausgehen. Es ist damit unerheblich, wie oft sich der Weg auf einem Rückführzyklus verzweigt, d. h. in welchem Abstand die von ihm erreichte Vorgängermenge zur aufzubauenden Verzweigungsmenge liegt. Die Anwendungsbedingung des behandelten zweiten Falls kann damit entsprechend erweitert werden. Komplizierter allerdings werden die Überlegungen, wenn nach weiteren Verzweigungsknoten Rückführzyklen beginnen. Dies trifft im dritten Fall zu. Hier ist von einer komplexen Durchdringung mehrerer Zyklen auf den Parallelmengen auszugehen, wie sie in Abb. C-21 beispielhaft gezeigt ist. In dieser Abbildung sind nur Zyklusknoten mit Zahlen versehen, Verzweigungsknoten sind als kleinere, ausgefüllte Knoten eingezeichnet, andere Zwischenknoten auf den Verbindungswegen sind der Übersichtlichkeit halber fortgelassen. Ferner sind auch Markierungsnachfolger sowie Verzweigungsknoten, auf deren Teiläste keine rückführenden Zyklen sind, nicht eingezeichnet.

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

207

Abb. C-21: Beispiel einer komplexen Durchdringung vieler Rückführzyklen von Parallelmengen

Die allgemeine Situation ist dadurch zu kennzeichnen, daß mehrere Rückführzyklen existieren, die in verschieden weit zurückliegende Vorgängermengen zurückreichen und bei denen mindestens auf einigen Zykluswegen Verzweigungsknoten mit ebenfalls rückführenden Zyklen liegen. Dieser allgemeine Fall wird im folgenden untersucht. Er enthält die bisher besprochenen, einfacheren Möglichkeiten als Spezialfälle. Um Realisierbarkeilsbedingungen für Zyklen bei Verschachtelung der vorliegenden Art herzuleiten, wird untersucht, wie die Übertragungsfaktoren zu berechnen sind, falls alle Zyklen realisiert sind. Hierzu muß zunächst ein Überblick über die beteiligten Zyklen gewonnen werden. Zu diesem Zweck wird die Verschachtelungsmenge zu einer gegebenen Zyklenmenge eingeführt. Sie umfaßt neben den Zyklusknoten der gegebenen Menge zu jedem der bereits in ihr enthaltenen Zyklusknoten

- alle Zyklusknoten, die sich auf seinem Zyklusrückweg befinden sowte

208

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

- alle Zyklusknoten auf dem Herweg ab dem spätesten Beginnknoten, der nicht zum Weg eines Rückführzyklus gehört. Mit der letztgenannten Zuordnungsregel wird auf dem Herweg soweit zurückgeschritten, bis alle beteiligten Zyklen abgeschlossen sind. Im Beispiel der Abb. C-21 ist der späteste Beginnknoten, der auf einem nichtrückführenden potentiellen Durchbruchweg liegt, der vor Knoten 1 gelegene Beginnknoten (bzw. Knoten 1 selbst, falls bei ihm die Verzweigungsmenge beginnt). Unerheblich ist, ob in vorhergehenden Parallelmengen bereits ein rückführender Zyklus besteht. Wesentlich ist lediglich, daß der Herweg zu Knoten 1 wenigstens über eine kurze Strecke eine lineare Verbindung darstellt. In Abb. C-21 ergibt sich, welcher der neun Zyklusknoten auch als Ausgangspunkt gewählt wird, stets Knoten 1 als frühester Knoten der Verschachtelungsmenge. Es entsteht in jedem Fall dieselbe Verschachtelungsmenge, bestehend aus allen neun Zyklusknoten. Die Zyklusknoten der Verschachtelungsmenge sind jedoch für die Berechnung der Übertragungsfaktoren nicht alle gleichberechtigt. So bilden die Zyklusknoten 1 bis 4 eine zusammengehörende Menge. Die jeweils späteren Zyklusknoten liegen hier auf den Zyklusrückwegen der jeweils früheren Zyklusknoten. Dies trifft allerdings für die Knoten 5 bis 9 nicht in entsprechender Weise zu. Der Zyklusknoten 5 liegt nur auf dem Zyklusrückweg von 2; Knoten 6 und 8 liegen auf dem Zyklusrückweg von Knoten 3; Knoten 7 liegt auf den Zyklusrückwegen von 1 und 4. Diese Überlegung wiederholt sich auf kleinerer Ebene. Zyklusknoten 9 z. B. liegt nur auf dem Zyklusrückweg zu 5. Um die Zusammengehörigkeit von Zyklen ausdrücken und allgemein die Zyklusknoten einer Verschachtelungsmenge ordnen zu können, wird der Begriff des Hauptwegstückes zu einem Zyklusknoten k präzisiert: Zum Hauptwegstück gehören der Zyklusknoten k sowie alle Knoten des Zyklusweges bis einschließlich des ersten Verzweigungsknotens, an dem außer auf dem Teilweg des betrachteten Zyklusweges noch auf einem anderen Verzweigungsteilweg ein rückführender Zyklus existiert (andere Verzweigungsknoten werden wie gewöhnliche Knoten behandelt). Ferner werden alle Markierungsnachfolger der bisher definierten Knoten des Hauptwegstückes betrachtet. Darunter wird der am weitesten zurückführende Rückführzyklus gesucht, für den gilt, daß es zwischen seinem Zyklusknoten und dem gegebenen Knoten k keine Verzweigung mit rückführenden Zyklen auf mehr als einem Teilast gibt. Der Herweg zu k ab dem betreffenden Zyklusknoten gehört ebenfalls zum Hauptwegstück des Knotens k. Diese Festlegung hat zur Folge, daß allen Zyklusknoten des Haupt-

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

209

wegstückes eben dieses Hauptwegstück zugeordnet ist. In Abb. C-21 ist das Hauptwegstück der Zyklusknoten 1, 2, 3 und 4 gleich. Es umfaßt die Knoten des Herweges ab 1 bis zum Verzweigungsknoten, der auf Knoten 4 folgt. Das Hauptwegstück zu 6 und 8 ist der Herweg ab Knoten 6 bis zum Verzweigungsknoten, der auf 8 folgt. Das Hauptwegstück zu Knoten 10 ist der Herweg ab Knoten 10 bis zum Verzweigungsknoten, der auf Knoten 10 folgt, ebenso für Knoten 9 usw. Die Teile der Zykluswege, die nicht mehr zum Hauptweg gehören, werden als Nebenwege bezeichnet. Zum Zyklusknoten 2 wurde der Hauptweg bereits gekennzeichnet, der Nebenweg umfaßt die Knoten des Zyklusweges zwischen Knoten 2 (über Knoten 5) und dem Verzweigungsknoten nach Knoten 4. Für die Übertragungsfaktoren ist von Bedeutung, ob ein Nebenweg erster Ordnung in weitere Nebenwege tieferer Ordnung aufzuteilen ist. Dies ist notwendig, wenn auf dem erhaltenen Nebenweg Verzweigungen mit Rückführzyklen auf mehr als einem Teilweg existieren. Die Berechnung der Übertragungsfaktoren setzt bei den Nebenwegen niederster Ordnung an. Nebenwege niederster Ordnung sind solche, auf denen gar keine Zyklusknoten liegen. Nebenwege nächsthöherer Ordnung sind unter den noch nicht erfaßten solche, die höchstens Zyklusknoten mit Nebenwegen niedrigerer Ordnung enthalten. In Abb. C-21 beispielsweise gehört zum Nebenweg des Zyklusknotens 2 der Zyklusknoten 5. Der Nebenweg zu 2 ist damit nicht von niederster Ordnung. Das Hauptwegstück zu Zyklusknoten 5 umfaßt keine weiteren Zyklusknoten. Auf dem Rückweg zu Zyklus 5 liegt jedoch Zyklusknoten 9. Der Nebenweg von nächstniedrigerer Ordnung, d. h. der Nebenweg zu Knoten 5 ist deshalb ebenfalls noch nicht von niederster Ordnung. Dagegen ist der Nebenweg zu Knoten 9 ein Nebenweg niederster Ordnung. Weitere Nebenwege niederster Ordnung sind der Nebenweg zu Knoten 7, der zu Knoten 8 sowie der zu Knoten 10. Um die Übertragungsfaktoren bei verschachtelten Zyklen übersichtlich zu berechnen, werden sukzessive modifizierte Zykluswerte z definiert. Man beginnt bei den Zyklen mit Nebenwegen niederster Ordnung, für deren Zyklusknoten modifizierter und ursprünglicher Zykluswert gleichgesetzt wird. Für Abb. C-21 gilt: Nebenweg zu 9: Nebenweg zu 10:

~

210

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Nebenweg zu 7: Nebenweg zu 8: In den modifizierten Zykluswerten von Zyklusknoten mit Nebenwegen höherer Ordnung müssen alle Zyklusknoten berücksichtigt werden, die auf diesen Nebenwegen liegen. So kann im Beispiel von Abb. C-21 der modifizierte Zykluswert von Knoten 3 erst berechnet werden, wenn für die Knoten 6, 8 und 10 bereits modifizierte Zykluswerte vorliegen. Für die Berechnung hat man also die Zyklusknoten in einer Reihenfolge abzuarbeiten, daß ihre Nebenwege von gleicher oder höherer Ordnung sind als im vorhergehenden Rechenschritt Zu einem Nebenweg nächsthöherer Ordnung gelangt man, indem man das Hauptwegstück zu einem Zyklusknoten mit schon modifiziertem Zykluswert betrachtet. Sind für alle Zyklusknoten dieses Hauptwegstückes schon modifizierte Zykluswerte bestimmt, kann hier fortgefahren werden. Man ändert die Übertragungsfaktoren aller Knoten i des Hauptswegstückes sowie aller Markierungsnachfolger, einschließlich der auf Zykluswegen bis vor Zyklusknoten auf Wegen höherer Ordnung, indem wie folgt multipliziert wird: (neu)

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Abb. C-22: Struktogramm zur Prüfung der gleichzeitigen Realisierbarkeit einer Menge verschachtelter Zyklen

b) Regeln zur Untersuchung potentieller Rückführzyklen Die bisherigen Analysen zeigen, daß ein Durchbruch auch mit einem oder mehreren Rückführzyklen möglich ist. Da es Rückführzyklen mit positivem und solche mit negativem Zykluswert gibt, kann man an jedem Knoten insgesamt drei Arten von (Partial-)Durchbrüchen unterscheiden:

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

217

(1) Rückführender Durchbruch mit negativem Zykluswert, (2) linearer Durchbruch, (3) rückführender Durchbruch mit positivem Zykluswert Am stärksten schränkt ein rückführender Durchbruch mit positivem Zykluswert die weitere Durchbruchsuche in Parallelmengen ein, da er nur noch Rückführzyklen mit hinreichend kleinem Zykluswert zu realisieren gestattet. Umgekehrt weitet ein Durchbruch mit negativem Zykluswert die Realisierbarkeitsmöglichkeiten für Rückführzyklen in Parallelmengen aus. Dies scheint den Markierungsprozeß komplizierter zu machen: Bisher konnte davon ausgegangen werden, daß bei einer möglichen Markierung eines bereits markierten Knotens anband der Übertragungsfaktoren unmittelbar zu erkennen ist, ob ein Zyklus gefunden ist bzw. welche von beiden Markierungsmöglichkeiten zu bevorzugen und daher für die weitere Suche beizubehalten ist. Durch das spätere Auffinden eines Rückführzyklus mit negativem Zykluswert kann ein zunächst unrealisierbar scheinender anderer (mit positivem Zykluswert) doch noch zu einem Durchbruch führen. Solange nicht sicher ist, daß nicht im weiteren Suchprozeß ein Rückführzyklus mit negativem Zykluswert gefunden wird, kann daher kein potentieller Rückführzyklus ausgeschieden werden. Um keine Durchbruchmöglichkeit vorzeitig auszusondern, müßten somit bei jeder potentiellen Markierung von Vorgängermengen - sie könnte zu einem Rückführzyklus führen - alle möglichen, aber nur alternativ gültigen Markierungen desselben Knotens weiter verfolgt werden. In bestimmten Fällen wäre es darüber hinaus erforderlich, für Mengen mit schon vorhandenem Durchbruch einen »besseren« Durchbruch zu suchen. Hat man z. B. einen linearen Durchbruch für eine Verzweigungsmenge gefunden, steht aber in einer Parallelmenge nur ein Rückführzyklus mit zu großem reziproken Zykluswert zur Verfügung, dann ist zu prüfen, ob der lineare Durchbruch nicht durch einen Rückführzyklus mit negativem Zykluswert ersetzt werden kann. Durch eine geeignete Organisation des Markierungsprozesses kann allerdings die geschilderte Aufblähung des Verfahrens vermieden werden. So kann man zweistufig vorgehen. In einer ersten Markierungsstufe ist nur nach linearen Durchbrüchen zu suchen. Für sie ist ohne Belang, ob Rückführzyklen mit negativem Zykluswert schon gefunden sind oder später noch gefunden werden. Die Suche nach linearen Durchbrüchen erbringt somit ein endgültiges Ergebnis für diese Durchbruchart Wird insgesamt ein linearer Durchbruch gefunden, ist das Problem gelöst. Im anderen Fall wird in einer zweiten Markierungsstufe die Möglichkeit eines rückführenden Durchbruchs geprüft. In der ersten Markierungsstufe wird daher der Markierungsprozeß an

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C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

solchen Stellen (vorläufig) gestoppt, wo durch einen weiteren Markierungsschritt möglicherweise ein Rückführzyklus mit positivem Zykluswert entstehen würde. Dagegen sollten möglichst alle Rückführzyklen mit negativem Zykluswert bereits bei der Suche nach linearen Durchbrüchen herausgefunden werden. Ist man sicher, jeden existierenden Rückführzyklus mit negativem Zykluswert bereits gefunden (und realisiert) zu haben, kann man sich bei potentiellen Rückführzyklen (die jetzt nur noch positive Zykluswerte haben können) auf diejenigen mit einem Zykluswert kleiner eins beschränken. Bei verschachtelten Zyklen genügt es, für jedes Hauptwegstück nur jeweils die Realisierbarkeilsbedingung vom Typ C.37 des Hauptwegs höchster Ordnung zu überprüfen. Zunächst nach linearen Durchbrüchen zu suchen, hat zudem den Vorteil, daß die (i. d. R. kompliziertere) Suche nach positiven Rückführzyklen nur dann aufgenommen wird, wenn sicher kein linearer Durchbruch existiert. Die skizzierte Idee setzt voraus, daß (1) in der ersten Markierungsstufe durch das vorläufige Unterbrechen des Markierungsprozesses an Verbindungsstellen zu potentiellen (positiven) Rückführzyklen nicht gleichzeitig auch eine Möglichkeit für einen linearen Durchbruch ausgeschieden wird, (2) bei der Suche nach linearen Durchbrüchen alle relevanten Rückführzyklen mit negativem Zykluswert gefunden werden. Die erste Voraussetzung verlangt ein Kriterium, mit dem ein (positiver) Rückführzyklus erkennbar ist. Jede Markierung von Knoten einer Vorgängermenge gleicher Übertragungsrichtung auszuschließen, wäre zu einschränkend: Da solche Knoten jetzt mit einem anderen Übertragungsfaktor und in anderer Markierungsrichtung getroffen werden, könnte es sein, daß durch Markierung eines erreichbaren Vorgängermengen-Knotens (der nicht auf dem Herweg liegt) ein linearer Durchbruch für die aufzubauende Menge gefunden wird, z. B. in Form eines einfachen Zyklus. Damit sind markierbare Knoten in Vorgängermengen der aufzubauenden Menge zuzuordnen, solange es sich nicht um Knoten eines Herwegs handelt. Erst wenn durch eine weitere Markierung der Herweg erreicht würde, ist der Markierungsprozeß zu unterbrechen. Dies ist einerseits die letztmögliche Stelle hierzu, andererseits ist es aber auch die erste Markierungsmöglichkeit, bei der in jedem Fall sicher ist, daß von markierbaren Knoten aus kein linearer Durchbruch besteht - sonst hätte man ihn bereits vor (genauer: anstelle) der Verzweigung dieser Vorgängermenge finden müssen.

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

219

Insgesamt sind somit folgende Markierungssituationen zu unterscheiden: Markierungssituation MS 6i: Der folgende zu markierende Knoten k liegt in einer Vorgängermenge, jedoch nicht auf seinem eigenen Herweg; Markierungssituation MS 6ii: Der folgende zu markierende Knoten k liegt in einer Vorgängermenge, und zwar auf seinem eigenen Herweg. Die typische Lage in den behandelten Markierungssituationen zeigt Abb. C-23. In Markierungssituation MS 6i wird Knoten k der im Aufbau befindlichen Menge zugeordnet. In Markierungssituation MS 6ii wird die Markierung als Verbindungskante zu einem potentiellen Rückführzyklus abgespeichert und im ersten Markierungsschritt nicht weiter verfolgt. Dieses Prinzip ist bereits in den vorhergehenden Abschnitten angewendet worden.

Abb. C- 23: Beispiele zu den Markierungssituationen MS 6i und MS 6ii

In der ersten Stufe werden somit markierbare Verbindungen zu potentiellen Zyklusknoten rückführender Zyklen festgestellt, ohne aber schon markiert zu werden. Auch der zugehörige (isolierte) Zykluswert kann dabei bereits errechnet werden. Für die aufzubauende Verzweigungsmenge ist damit noch kein Durchbruch gefunden. Selbst wenn im weiteren Markierungsprozeß ein Durchbruch nicht erzielt wird, kann aber andererseits die Menge nicht als blockiert angesehen werden. Durch die markierbare Verbindung zu einem potentiellen Zyklusknoten eines rückführenden Zyklus, von dem die Realisierbarkeil noch nicht feststellbar ist, liegt vielmehr ein Eventualdurchbruch vor. Er wird zum Durchbruch, wenn sich (später, in der zweiten Stufe) herausstellt, daß der zugehörige Rückführzyklus zusammen mit so

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C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

vielen anderen Rückführzyklen aus Parallelmengen gleichzeitig realisiert werden kann, daß insgesamt ein Durchbruch entsteht. Zur Untersuchung der zweiten Voraussetzung ist das Zustandekommen von Rückführzyklen mit negativen Zykluswerten genauer zu beleuchten. Abb. C-24 zeigt ein Beispiel für die Markierung eines Knotens einer Vorgängermenge mit entgegengesetzter Übertragungsrichtung. Für die folgende Argumentation wird davon ausgegangen, daß in der Vorgängermenge ein Defizit übertragen wird, während die aufzubauende Verzweigungsmenge überschußübertragend ist. Nun entspricht einer Überschußübertragung in Markierungsrichtung eine Defizitübertragung in Markierungsgegenrichtung. Daher kann es sich bei einem überschußübertragenden Weg, der auch in eine defizitübertragende Vorgängermenge führt, nicht um eine Folge ungebundener Knoten handeln: Die Vorgängermenge ist vollständig in der Markierung ungebundener markierbarer Knoten (sonst würde man keine Verzweigung behandeln). Somit kann die diskutierte Markierungssituation nur entstehen, wenn ein Vergenz- oder ein Vergenznachbarknoten k 1 markiert wird (vgl. Abb. C-24). Da der Knoten k bei der Oberschußübertragung in umgekehrter Richtung zur vorherigen Defizitübertragung der Menge D; angegangen wird, ist mit Erreichen des • zum Ausgangsdefizitknoten i0 gefunKnotens k ein Weg bis zurück den. Wegen der Richtungsumkehrung erhöht jede Überschußübertragung auf diesem Weg die gewünschte Defizitübertragung ab in. Somit kann nach k stets ein Überschuß in beliebiger Höhe übertragen werden.

Abb.

C-24.~

Markierung eines Knotens einer defizitübertragenden Vorgängermenge beim Aufbau einer überschußübertragenden Verzweigungsmenge

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

221

Auf diese Weise läßt sich der gefundene Weg des Rückführzyklus interpretieren. Der späteste gemeinsame Herwegknoten i 1 der beiden Markierungsmöglichkeiten ist der Zyklusknoten. Den negativen Zykluswert errechnet man zu ai la\ 2>. Die Übertragungsfaktoren werden 1 1 wie üblich errechnet. Auf eine zweite Weise kann der gefundene Weg als Teil-Durchbruch in Form einer Zusammenführung interpretiert werden. Die beschriebene Verbindung zwischen dem Beginnknoten j der überschußübertragenden Menge Uii zum Knoten k 1 der defizitübertragenden Vorgängermenge (vgl. Abb. C-24) kann man nämlich auch dadurch erhalten, daß man von k 1 aus die Defizitübertragung fortsetzt. Auf diese Weise könnte man bis zum Beginnknoten j und weiter bis zum Verzweigungsknoten i gelangen. Es bestehen jedoch zwei U nterschiede zur Zusammenführung bei gleicher Übertragungsrichtung: Zum einen ist der gemeinsame Ausgangspunkt der verschiedenen Teilwege im allgemeinen kein Verzweigungsknoten, sondern, wie in Abb. C-21 ersichtlich, ein beliebiger vorhergehender Knoten k 2 auf dem Herweg. Zum anderen wird die Wegsuche immer nur an einem Verzweigungsknoten der Vorgängermenge fortgesetzt. Daher kann bei jedem Markierungsstand nur einer der beiden Verzweigungsknoten i oder k 1 gültiger Vorgängerknoten sein. Da in jeder behandelten Verzweigungsmenge alle Markierungsmöglichkeiten ausgeschöpft werden, bis ein Durchbruch gefunden ist, ist allerdings die Verbindung zwischen k 1 und i in jedem Fall dabei. Die beiden gekennzeichneten Unterschiede zeigen, daß ein Rückführzyklus mit negativem Zykluswert insgesamt eine Markierung von Alternativmengen darstellt. Die Beziehung zu einer Zusammenführung ergibt sich aus folgender Überlegung, die wieder mit den Bezeichnungen aus Abb. C-24 erläutert wird: Wenn nach dem Aufbau der Menge Uii der Knoten k 2 erreicht wird, dann ist offenbar bereits ab der Menge Uii aus weiter verzweigt worden. Verzweigungsknoten in Uii ist der Knoten k 1• Bereits bei der Definition der Beginnknoten dieser Verzweigung wird festgestellt, daß Beginnknoten k 2 in einer Vorgängermenge gegenteiliger Übertragungsrichtung liegt. Daher braucht nicht wie bei sonstigen Zyklen der weitere Weg der Überschußübertragungverfolgt werden, bis ein Zyklusknoten (hier wäre es k3) gefunden ist. Vielmehr kann unmittelbar für Beginnknoten k 2 ein Durchbruch angegeben werden: Ab k3 kann innerhalb der Menge Di i an k2 ein Defizit übertragen werden. Ab k3 kann aber auch über i, j und k 1 nach k 2 unter Wechsel der Übertragungsrichtung ein Überschuß übertragen werden. Damit sich an k 2 beide Beträge ausgleichen, ist der Defizitbetrag, der ab k3 in die beiden Richtungen übertragen wird, passend aufzuteilen. Dabei wird der bis Knoten k3 einheitliche

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C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Betrag in zwei Teile getrennt, einen Anteil x (0 ;s; x :s: 1) der auf dem Weg innerhalb von D; i zu Knoten k übertragen wird, sowie den restlichen Anteil 1-x, der' auf dem Weg ül?~r U;i nach Knoten k übertragen wird. Anstelle der ursprünglichen Ubertragungswerte a~l) (positiv) für den ersten Weg und af> (negativ) für den zweiten Weg entstehen jetzt die Übertragungsfaktoren x · a~l); und (1-x)a~2>. Für die Werte 121 a'~ 1 x = - a k 121 und damit (1- x) = (C.40) 2 a'~1

-

a.k

ci~

c:N

heben sich beide Überlegungen auf. Da a~l) und -a~2 > positiv sind, sind auch beide Faktoren aus C.40 positiv. In beiden Richtungen verkleinern sich die Übertragungsfaktoren - ein Effekt, der sich bei Interpretation als Rückführzyklus aus dem negativen Zykluswert ergibt (vgl. Markierungssituation MS 2). Um einen Gesamtdurchbruch zu erzielen, müssen wie bei jeder Verzweigung zunächst die anderen Verzweigungsmengen zu k, aufgebaut werden, anschließend die noch fehlenden am Verzweigungsknoten i. Die eben besprochene Durchbruchsuche gilt für den Fall, daß in der Verzweigungsmenge D; i am Knoten i verzweigt wird. Liegt die Verzweigung am Knoten k.; dann ist k 1 der Beginnknoten einer defizitübertragenden Verzweigungsmenge. Bei ihrem Aufbau ergibt sich u. a. auch die Verbindung zwischen k 1 und j, die schon in U;i gefunden wurde, als defizitübertragender Teilweg - jetzt aber in entgegengesetzter Richtung wie in Abb. C-24 eingezeichnet. Knoten j stellt nun einen Verzweigungsknoten dar. Wenn sich ansonsten kein Durchbruch ergibt, kann hier verzweigt werden. Dann ist i ein Beginnknoten, der in einer Verzweigungsmenge liegt. Da zwischen j und i gleichzeitig die Übertragungsrichtung wechselt, liegt insgesamt dieselbe Situation wie im bisherigen Fall vor. Dies bedeutet nach der ersten Interpretation, daß ein rückführender Zyklus mit negativem Zykluswert und Zyklusknoten k3 gefunden ist. Nach der zweiten Interpretation liegt eine ausgleichende Zusammenführung vor. Für sie errechnet man die schon bekannten Verteilungsfaktoren für ky Da jetzt zunächst für alle anderen Beginnknoten des Verzweigungsknotens j (dies sind in der vorhergehenden Sichtweise die unbearbeiteten Beginnknoten des Verzweigungsknotens i), sodann für alle noch unbearbeiteten Beginnknoten von k Verzweigungsmengen zu bilden sind, liegt insgesamt genau dieselbe Situation vor wie oben. Dennoch kann nicht darauf verzichtet werden, beide Verzweigungsmöglichkeiten in Menge D;,i, zu untersuchen. Die einander entsprechenden Mengen U;i (falls i Verzweigungsknoten) und Dkk, (falls k

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

223

Verzweigungsknoten) sind nämlich nicht identisch. Zwar enthalten beide den Verbindungsweg zwischen k und i, die restlichen Elemente sind jedoch unterschiedlich. Im Aufbau von U;i wer~en Markierungsnachfolger des Verbindungsweges gesucht, auf die Oberschüsse übertragen werden können; im Aufbau von Dkk wird danach gefragt, auf welche Knoten Defizite übertragen werden' können. Daher kann es sein, daß im einen Fall ein Durchbruch existiert, wo im anderen Fall der Markierungsweg gesperrt ist. Die fast identische Situation bei beiden Verzweigungsmöglichkeiten rechtfertigt also nicht, eine von beiden auszuscheiden. Lediglich wenn in Uii bzw. Dkk kein unverzweigter Durchbruch gefunden wird, könnte auf die weitere Untersuchung verzichtet werden, wenn die andere Variante sich schon vorher als blockiert erwiesen hat. Bisher wurde anband der in Abb. C-24 skizzierten Lage argumentiert. Man überzeugt sich leicht, daß die Ergebnisse unverändert bleiben, wenn auf dem diskutierten Weg zwischen i und k noch zusätzliche Verzweigungen liegen, wenn die Vorgängermenge überschußübertragend, die Nachfolgermenge, aus der die Rückführung stammt, defizitübertragend ist. Für den Markierungsprozeß können die bisherigen Überlegungen in folgender besonderer Markierungssituation und dazugehörender Markierungsregel zusammengefaßt werden: Markierungssituation MS 6iii: Beim Definieren der Beginnknoten zu einer Verzweigung wird ein Knoten k aus einer Vorgängermenge mit zur neuen Marke von k entgegengesetzter Markierungsrichtung erreicht. In dieser Markierungssituation ist also unmittelbar ein Durchbruch für die Verzweigungsmenge mit diesem Beginnknoten gefunden. Man geht auf dem ersten Markierungsweg zurück zum spätesten gemeinsamen Herwegknoten, interpretiert ihn als Zyklusknoten mit negativem Zykluswert und ändert alle Übertragungsfaktoren entsprechend. Dann kann wie üblich mit dem Aufbau der Verzweigungsmengen für die zu k parallelen Beginnknoten fortgefahren werden. c) Gesamtablauf der Suche nach rückführenden Zyklen

Bei Anwendung der hergeleiteten Verfahrensweise für die Markierungssituationen MS 6 sind die Voraussetzungen gegeben, Durchbrüche vereinfacht aufzufinden. Für jede Verzweigungsmenge liegt nach

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C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Beendigung ihres Aufbaus in der ersten Markierungsstufe eines der folgenden Ergebnisse vor: (1) Es wurde ein Durchbruch gefunden. Dann ist ein vorher fest-

gestellter Eventualdurchbruch ohne Belang. In diesem Fall ist die betrachtete Verzweigungsmenge in der Regel nicht vollständig aufgebaut. (2) Es wurde weder ein Durchbruch noch ein Eventualdurchbruch gefunden. Dann ist die Menge vollständig aufgebaut. Gibt es darin Verzweigungsknoten, kann weiter verzweigt werden. Andernfalls ist die aufgebaute Menge blockiert. Weitere Parallelmengen werden dann nicht mehr aufgebaut. Auch für den Herweg-Verzweigungsknoten der Vorgängermenge steht dann die endgültige Blockade fest. (3) Es wurde zwar kein Durchbruch, immerhin aber ein Eventualdurchbruch gefunden. Die betrachtete Menge ist vollständig aufgebaut. Wenn nicht weiter verzweigt werden kann, steht für diese Menge endgültig fest, daß ein Durchbruch nur rückführend sein kann. Für die zweite Stufe des Markierungsprozesses ist der dritte der angeführten Fälle interessant. Hier wird mit dem Aufbau von Parallelmengen so fortgefahren, als ob es sich um einen Durchbruch handeln würde. Erweist sich eine der Parallelmengen als endgültig blockiert, dann ist wie oben die Durchbruchsuche ab dem vorhergehenden Herweg-Verzweigungsknoten blockiert. Findet man dagegen für alle Parallelmengen einen Durchbruch oder mindestens einen Eventualdurchbruch, dann liegt auch für den vorhergehenden Verzweigungsknoten ein Eventualdurchbruch vor. Nach diesem Verfahrensgrundsatz endet die erste Markierungsstufe für einen bestimmten Verzweigun~~knoten i mit einem Durchbruch ab i, mit der Feststellung, daß der Ubertragungsweg ab i blockiert ist, oder mit einem Eventualdurchbruch ab i. In den ersten beiden Fällen ist ein endgültiges Ergebnis für den Verzweigungsknoten i gefunden. Nur im dritten Fall ist die Durchbruchsuche mit der zweiten Markierungsstufe fortzusetzen. Für die zweite Markierungsstufe gilt folgende Grundüberlegung, die mit Hilfe der Bezeichnungen aus Abb. C-25 erläutert wird: Ein Durchbruch, der nicht vor Knoten i zurückführt, existiert ab i nicht. Nach einem rückführenden Durchbruch zu suchen, ist deshalb für Markierungsstufe 2 zurückgestellt worden, weil man die Realisierbarkeil von Rückführzyklen erst dann beurteilen kann, wenn alle erforderlichen Rückführwege aus Parallelmengen gleichzeitig bekannt

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

---

j .... - -

-- ~~c-

-------

--------..... ..Weg A

225

Eventull·I· -durchbruch

"; 1/ I

..L.J,.l.J..U.1

Abb. C-25: Möglichkeiten eines rückführenden Durchbruchs ab einem Vergenzknoten

sind. In der vorliegenden Situation sind alle zum Knoten i gehörenden Verzweigungsmengen untersucht. Je nachdem, wie weit mögliche Rückführzyklen zurückreichen, kann es aber auch erforderlich sein, die Rückführzyklen von Parallelmengen zum Herweg-Beginnknoten j 2 oder noch früher abzweigender Parallelmengen von i zu kennen (vgl. Weg C in Abb. C-25). Daher geht man bei diesem Stand zwar zur Markierungsstufe 2 über, sucht aber vorerst nur nach solchen rückführenden Durchbrüchen, die höchstens bis zum Beginnknoten j 3 zurückreichen (vgl. Weg A in Abb. C-25). Weiter zurückreichende Wege könnte man noch nicht beurteilen. Wenn sicher ist, daß mit solchen Rückführzyklen ein über i verlaufender Transferpfad nicht existiert, setzt man die Durchbruchsuche an einem anderen Verzweigungsknoten derselben Menge (d. h. z. B. an i2 oder i3) fort. Dann wird wieder zunächst in Markierungsstufe 1 nach linearen Durchbruchwegen gesucht. Bleibt dies ohne Erfolg, wird wie eben beschrieben weiterverfahren. Daß ein über i verlaufender Durchbruch nicht existiert, kann folgende Gründe haben: ( 1) In einer der Verzweigungsmengen von i mit Eventualdurchbruch gibt es keinen Ausgangsknoten für einen potentiellen Rückführzyklus, dessen Zyklusknoten erst nach, frühestens bei j 3 liegt. (2) Es gibt zwar in jeder Verzweigungsmenge von i mit Eventualdurchbruch mindestens einen Rückführzyklus der gesuchten

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C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Art; keine Kombination mit je einem Rückführzyklus aus jeder dieser Verzweigungsmengen ist aber realisierbar. In Abb. C-25 würde dies bedeuten, daß es nicht möglich ist, einen Rückführzyklus für j 1 und einen für j 2 zu wählen, so daß beide gemeinsam realisierbar sind. Der erstgenannte Sachverhalt ist frühzeitig erkennbar und erlaubt es, die Suche vor einer kompletten Durchprüfung aller noch durchbruchlosen Parallelmengen abzubrechen. Geht man nach der skizzierten Grundidee vor, wird - solange kein Gesamtdurchbruch gefunden ist - im weiteren Verlauf festgestellt, daß ab Beginnknoten j 2 nur ein Eventualdurchbruch vorliegt. Ist kein Parallelknoten zu j 3 blockiert, gilt die gleiche Aussage auch für den Verzweigungsknoten i5• Damit ist man in der Vorgängermenge mit Beginnknoten j 4 angelangt. Für die Suche nach rückführenden Durchbrüchen in dieser Menge kann man bereits zulassen, daß die Zyklen bis j 4 zurückreichen. Unter den Rückführzyklen, die nach j 2 beginnen, gibt es zwei Arten: Einmal kann es sein, daß ein solcher Rückführzyklus von der zu j 3 gehörenden Menge ausgeht (vgl. Weg B in Abb. C-25). Zum anderen kann ein solcher Rückführzyklus auch aus einer Nachfolgermenge zu j 3 stammen. Dann verläuft er über mindestens eine weitere Verzweigung (z. B. i, vgl. Weg C in Abb. C-25). Der erste Fall entspricht dem vorhin betrachteten, alle beteiligten Knoten liegen lediglich um eine Verzweigung früher. Im zweiten Fall dagegen überspannen die zu untersuchenden Rückführzyklen mindestens eine Verzweigungsmenge mehr. Dies zeigt, daß bei entsprechender Fortführung letztlich Rückführzyklen jeder Ausdehnung untersucht werden. Wie z. B. in Abb. C-25 an der Menge ab j 3 ersichtlich wird, sind dabei im allgemeinen mehrere Alternativwege zu verfolgen. So kommen für den weiteren Weg ab j 2 (alternativ) alle nichtblockierten Verzweigungsknoten dieser Menge in Frage. Daher sind für die Suche nach rückführenden Durchbrüchen die nichtblockierten Alternativwege aus der ersten Stufe des Markierungsprozesses abzuspeichern, um sie in der späteren, zweiten Markierungsstufe wieder verfügbar zu haben. Dabei genügt die Kenntnis der Verbindungen zu potentiellen Rückführzyklen sowie ihrer Herwege. Endgültig blockiert ist der Weg ab einem Verzweigungsknoten i, wenn für eine bestimmte Rückführgrenze keine realisierbare Kombination von Rückführzyklen existiert und gleichzeitig in keiner der durchbruchlosen Verzweigungsmengen ein noch weiter zurückreichender Rückführzyklus existiert.

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

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Im folgenden wird detailliert darauf eingegangen, wie die Suche nach rückführenden Durchbrüchen zu gestalten ist. Allgemein ist davon auszugehen, daß eine bestimmte Verzweigungsmenge mit einem Eventualdurchbruch betrachtet wird, die im allgemeinen mehrere potentielle Rückführzyklen hat. Sie sind von verschieden weiter Ausdehnung, d. h., sie haben verschieden weit zurückliegende Zyklusknoten. Für die Suche nach Rückführzyklen ist nach den bisherigen Ablaufüberlegungen stets ein Herwegknoten angegeben, über den hinaus die gesuchten Rückführzyklen nicht zurückreichen dürfen. Dieser Knoten, er ist ein Verzweigungsknoten einer Vorgängermenge, wird als Rückführgrenze bezeichnet. Zu untersuchen ist also, ob für eine Verzweigungsmenge ein Rückführzyklus existiert, der nicht vor eine angegebene Rückführgrenze zurückführt und zugleich mit anderen (ebenfalls nicht vor die gleiche Rückführgrenze zurückführenden) Zyklen aus Parallelmengen realisiert werden kann. Dabei sind drei Möglichkeiten zu unterscheiden: (1) Die betrachtete Verzweigungsmenge enthält überhaupt keine Verbindungen zu potentiellen Rückführzyklen, die nicht vor die Rückführgrenze zurückreichen. Es gibt aber Verzweigungsknoten mit Eventualdurchbrüchen. (2) Die betrachtete Verzweigungsmenge enthält weder Ausgangsknoten potentieller Rückführzyklen, die nicht vor die Rückführgrenze zurückreichen, noch Verzweigungsknoten mit Eventualdurchbrüchen. (3) Die betrachtete Verzweigungsmenge enthält Ausgangsknoten zu potentiellen Rückführzyklen, die nicht vor die Rückführgrenze zurückführen. Im ersten Fall wird einer der Verzweigungsknoten mit Eventualdurchbruch ausgewählt und für alle zu ihm gehörenden durchbruchlosen Verzweigungsknoten ein Rückführzyklus gesucht. Diese Fragestellung entspricht in rekursiver Form der hier behandelten. Sie bezieht sich lediglich auf eine spätere Verzweigungsmenge. Im zweiten Fall gibt es für den Beginnknoten der betrachteten Verzweigungsmenge und damit für den unmittelbar davorliegenden Verzweigungsknoten keinen rückführenden Durchbruch der gesuchten Art. Die Suche nach einem derartigen rückführenden Durchbruch ist - soweit möglich - an einem anderen Verzweigungsknoten mit Eventualdurchbruch fortzusetzen. Um dieses Ergebnis im Rechenprozeß unmittelbar zu erkennen, kann zu jedem Verzweigungsknoten eine Mindestrückführgrenze angegeben werden. Wenn es überhaupt einen potentiellen rückführenden Durchbruch zu diesem Verzweigungsknoten gibt, führt er vor diesen Knoten zurück. Die Mindestrückführgrenze

228

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

verschiebt sich im Rechenverlauf nach vorn, wenn für die Rückführzyklen zur gegebenen Rückführgrenze die Nicht-Realisierbarkeit nachgewiesen wird. Nur im dritten Fall kann unmittelbar ein rückführender Zyklus gefunden werden. Möglicherweise gibt es aber in der betrachteten Verzweigungsmenge mehrere Ausgangsknoten zu rückführenden Zyklen der gewünschten Art, wie etwa die drei Zyklen in Abb. C-26. Dann ist einer von ihnen als Rückführzyklus dieser Verzweigungsmenge auszuwählen. Zusammen mit den (ggf. noch zu bestimmenden) Rückführzyklen der durchbruchlosen Parallelmengen zur untersuchten Verzweigungsmenge ist er der Realisierbarkeitsprüfung zu unterwerfen. Damit wird das Prinzip deutlich, nach dem ein Rückführzyklus auszuwählen ist: Er soll die Realisierbarkeitsmöglichkeiten der Rückführzyklen aus Parallelmengen möglichst wenig einschränken. Wevstück B

:

.. ·

\\~~' ,

·-·

'

'

-

-

-

-

''

·

'

''

........ 0

..........__....

ver:w•ivul'l9f-

_ _ _ _ _ _ _ _ Z'!.kl'!!J __ _

Abb. C-26: Alternative Rückführzyklen aus einer Verzweigungsmenge

Ein Blick auf die Realisierbarkeitsbedingungen zeigt, daß es bei der Umsetzung dieses Prinzips zu konkreten Auswahlregeln auf die Lage der einzelnen Zyklusknoten ankommt, die gemeinsam zu realisieren sind. Der Weg von der Rückführgrenze bis zum Beginnknoten der betrachteten Verzweigungsmenge ist in Hauptwegstücke einzuteilen. Die erste Rückführgrenze bildet daher der am weitesten zurückliegende (d. h. der früheste) Knoten des Herwegs, ab dem nur Mengen mit Durchbruch abzweigen. Die früheren Hauptweganfänge findet man ebenso. Am Ende jedes Hauptwegstückes zweigen Wege ab, auf denen möglicherweise Zyklusknoten von Parallelmengen liegen. Je nach Lage der Rückführzyklen aus Parallelmengen werden spätere Hauptwegstücke daher möglicherweise auch als Nebenwege aufzufassen sein. Anhand der Realisierbarkeitsbedingungen für verschachtelte Rückführzyklen (vgl. C.38) überzeugt man sich davon, daß bei je-

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

229

der denkbaren Lage der Zyklusknoten folgende Regel gilt: Innerhalb desselben Hauptwegstückes ist von mehreren alternativen Rückführzyklen zur selben Verzweigungsmenge diejenige mit dem kleinsten reziproken Zykluswert zu bevorzugen. Die anderen können endgültig als ungünstig gestrichen werden. Für eine Verzweigungsmenge verbleibt somit pro Hauptwegstück höchstens ein Rückführzyklus. So liegen in Abb. C-26 die Zyklusknoten der Zyklen 1 und 2 auf demselben Hauptwegstück (Wegstück B). Derjenige mit dem höheren reziproken Zykluswert wird gestrichen. Die Vorteilhaftigkeil der Rückführzyklen verschiedener Hauptwegstücke ist weniger eindeutig zu beurteilen. Aus den Realisierbarkeilsbedingungen verschachtelter Zyklen kann nur entnommen werden, daß bei mindestens gleich großem reziproken Zykluswert ein weiter zurückreichender Zyklus die Realisierbarkeil stärker einschränkt als ein in spätere Hauptwegstücke einmündender. Hat also ein »längerer« Rückführzyklus gleichzeitig auch einen höheren reziproken Zykluswert als ein »kürzerer«, so kann der »längere« sofort ausgeschieden werden. In Abb. C-26 steht der bessere der Zyklen 1 und 2 (dies sei Zyklus 1) und Zyklus 3 zur Wahl. Zyklus 3 kann aber ausgeschieden werden, wenn sein reziproker Zykluswert ungünstiger (d. h. größer) ist als der von Zyklus 1. Erfüllt nämlich Zyklus 1 sämtliche Realisierbarkeitsbedingungen, ist ein Durchbruch gefunden. Ist bei Realisation von Zyklus 1 eine Realisierbarkeilsbedingung auf Wegstück B verletzt, so kann die Situation keinesfalls dadurch verbessert werden, daß Zyklus 3 anstelle Zyklus 1 gewählt wird. Zwar mag durch Wegfall von Zyklus 1 nunmehr die Realisierbarkeilsbedingung für Wegstück B erfüllt sein, sicher aber ist sie für Wegstück A verletzt: Da Wegstück B ein Nebenweg des Zyklusweges zu 3 ist, besteht eine der Realisierbarkeitsbedingungen für Wegstück A darin, daß die Summe der reziproken Zykluswerte von Zyklus 3 und derjenigen Zyklen, die in Wegstück B eingehen, sowie ggf. weiterer Zyklen, kleiner als eins sein muß. Da aber der Zykluswert zu Zyklus 3 ungünstiger als der zu Zyklus 1 ist, kann diese Bedingung nicht erfüllt sein. Entsprechendes gilt, wenn die für Zyklus 1 nicht erfüllte Bedingung zu anderen Wegstücken gehört. Die Argumentation ist unabhängig davon, ob noch andere, ebenso weit oder weiter zurückreichende Zyklen aus Parallelmengen existieren oder nicht. Ist, umgekehrt zur bisher untersuchten Lage, der Zykluswert des weiter zurückreichenden Zyklus günstiger, dann sind beide als alternativ mögliche Zyklen eines rückführenden Durchbruchs zu betrachten.

230

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Nach diesen Auswahlregeln stehen im allgemeinen zu jeder Verzweigungsmenge mehrere Rückführzyklen zur Auswahl, von denen der in das früheste Hauptwegstück zurückreichende Zyklus den kleinsten reziproken Zykluswert hat. Die weniger weit zurückreichenden Rückführzyklen haben einen ungünstigeren (d. h. höheren) reziproken Zykluswert. Jeder von ihnen liegt auf einem Hauptwegstück, das möglicherweise letztlich ein Nebenweg ist. Sie beeinflussen dann nur über die modifizierten Zykluswerte der Hauptwegknoten die Summe in der Realisierbarkeilsbedingung (vgl. C.37, C.38). Diese Summe kann daher trotz eines höheren reziproken Zykluswertes niedriger ausfallen als bei Zyklen kleinerer reziproker Zykluswerte, die auf Wege höherer Ordnung zurückreichen. Insgesamt sind für jede Verzweigungsmenge also mehrere Rückführzyklen auf ihre gemeinsame Realisierbarkeil mit den Zyklen von Parallelmengen zu überprüfen. Ziel ist es, eine realisierbare Kombination mit je einem Rückführzyklus aus jeder beteiligten Verzweigungsmenge zu finden. Bei der Realisierbarkeilsprüfung beginnt man zweckmäßigerweise auf Nebenwegen. Überschreitet bereits dort die relevante Summe der reziproken Zykluswerte den Wert eins, brauchen weitere Bedingungen nicht mehr geprüft zu werden. Dieses Kriterium ist für den Rechenverlauf von Vorteil : Es veranlaßt nicht nur frühzeitig den Übergang zu einem anderen Rückführzyklus für die gleiche Verzweigungsmenge, sondern zeigt auch an, wann durch die Wahl der Rückführzyklen aus Parallelmengen die Realisierbarkeil unmöglich ist: Wurde nämlich der Rückführzyklus mit dem kleinsten Zykluswert einer Verzweigungsmenge gewählt und ist trotzdem auf Nebenwegen zu seinem Zyklusknoten die Realisierbarkeil nicht gegeben, dann kann durch einen anderen Rückführzyklus dieser Verzweigungsmenge die Realisierbarkeil erst recht nicht erreicht werden. Es sind also in den Parallelmengen andere Rückführzyklen zu wählen. Im umgekehrten Fall sind die Realisierbarkeilsbedingungen auf allen Nebenwegen erfüllt; die Realisierung der Zyklen scheitert jedoch auf dem Hauptweg. Dann muß geprüft werden, ob durch einen Rückführzyklus mit zwar größerem reziproken Zykluswert, aber kleinerer Ausdehnung (d. h. späterem Zyklusknoten) eine realisierbare Kombination gefunden werden kann. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig, die Auswahl der Rückführzyklen beim Zyklus mit dem kleinsten reziproken Zykluswert zu beginnen und in aufsteigender Reihenfolge fortzufahren.

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

231

Sind alle Kombinationen der Rückführzyklen eines Verzweigungsknotens nicht realisierbar, so ist nachgewiesen, daß ein rückführender Durchbruch weiter zurück als nur bis zur bisherigen Rückführgrenze führen muß. Dasselbe gilt auch, wenn in einer der durchbruchlosen Verzweigungsmengen überhaupt kein Rückführzyklus existiert, dessen Zyklusknoten nach oder frühestens bei der Rückführgrenze liegt. Keiner der bisher noch zur Auswahl stehenden Rückführzyklen darf aber als endgültig unrealisierbar ausgeschieden werden. In anderer Kombination ist er möglicherweise Bestandteil eines rückführenden Durchbruchs. Allerdings ist der untersuchte Verzweigungsknoten insgesamt blockiert, wenn in keiner der zugehörigen Verzweigungsmengen ein Ausgangsknoten für einen vor die bisherige Rückführgrenze zurückreichenden Zyklus existiert.

5. Zusammenfassung der iterativen Flußänderungen im entwickelten Eröffnungsverfahren Das entwickelte Eröffnungsverfahren bezweckt, in einem allgemeinen Vergenzgraphen eine zulässige Anfangslösung zu finden. Die Zulässigkeit um faßt zwei Komponenten: die technologische und die kapazitive. Technologisch zulässig ist ein Netzwerkfluß, wenn bei allen Knoten die ein- und ausgehenden Flüsse die geforderte Summe bzw. das geforderte Verhältnis haben. Kapazitiv zulässig ist ein Fluß, wenn sich alle Kantenflüsse innerhalb der geforderten Intervalle bewegen. Um den Lösungsprozeß zu vereinfachen, wird mit einer (unzulässigen) Anfangslösung begonnen, die kapazitiv zulässig ist und die bei allen Konvergenz- und Divergenzknoten auch den entsprechenden Relationeq ein- und ausgehender Flüsse genügt. Jeder beliebige Anfangsfluß (auch der Null-Fluß) kann unschwer auf diese Voraussetzung hin ~eändert werden, da die Einhaltung der Summenbedingung bei den ungebundenen Kanten nicht gefordert wird. Konsequenz davon ist, daß die Unzulässigkeit eines Flusses nur darin bestehen kann, daß sich bei ungebundenen Knoten, die nicht Quellen oder Senken sind, ein- und ausgehende Flüsse nicht ausgleichen. Im allgemeinen gibt es somit Defizit- und Überschußknoten. Nach dem dargestellen Iterationsverfahren wählt man einen Defizitknoten i0 und versucht, einen Weg zu Überschußknoten (oder zu Quellen oder Senken) zu finden, auf dem durch eine Flußänderung das Defizit ganz oder teilweise vom Ausgangsknoten i 0 weg verschoben werden kann. Nebenbedingung ist, daß dadurch an keiner anderen Stelle des Netzwerks ein Defizit oder ein Überschuß neu entsteht

232

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

oder sich ein schon bestehendes Ungleichgewicht vergrößert. Anstelle eines linearen Defizit- (bzw. Überschuß-) Ausgleichs ist auch ein Ausgleich durch einen zyklischen Weg möglich. In diesem Fall wird das Ungleichgewicht dadurch reduziert, daß beim Erreichen des schon vorher durchlaufenen Zyklusknotens weniger Defizit- (bzw. Überschuß) zurückübertragen wird, als vorher abgesendet wurde. Die Suche nach einem defizit- (bzw. überschuß-) ausgleichenden Weg erfolgt durch Markierung der durch zulässige Flußänderungen erreichbaren Knoten. Dadurch entstehen markierte Knotenmengen. Bei Erreichen von Vergenzknoten verzweigt sich der potentielle Weg, es entstehen Verzweigungsmengen. Je nach Verzweigungsart kann dabei auf Teilwegen die Übertragungsrichtung wechseln. Gleichzeitig zu durchlaufende (potentielle) Wege sind in Parallelmengen enthalten. Die angestrebte Defizitverringerung am Anfangsknoten i0 ist nur möglich, wenn in allen Parallelmengen ein Durchbruch erzielt, d. h. ein das Ungleichgewicht ausgleichender Knoten erreicht wurde. Der Markierungsprozeß folgt dem Prinzip, immer erst eine Verzweigungsmenge vollständig aufzubauen, ehe Parallelmengen bearbeitet werden. Daher ist bei einem Durchbruch auf einer Verzweigungsmenge auf dem Herweg soweit zurückzugehen, bis ein Verzweigungsknoten erreicht wird, dessen Verzweigungsmengen noch nicht sämtlich bearbeitet sind. Dort wird mit der Markierung von Parallelmengen fortgefahren. Findet man stets Durchbrüche, gelangt man auf diese Weise schließlich zur ersten Verzweigung in die ursprüngliche Menge Di zurück. Nach erfolgreicher Bearbeitung aller Verzweigungsmengen auch dieser Verzweigung ist insgesamt ein Durchbruch gefunden. Auf den dazugehörenden Durchbruchwegen können Defizitbeträge bzw. Überschußbeträge in zulässiger Weise übertragen werden. Der gesamte Weg heißt daher auch Transferpfad T, seine Verästelungen Transferteilpfade (vgl. zu dieser Bezeichnung Schaefer [Netze] 10 ff.). Abb. C-27 zeigt ein Beispiel für ein System von Verzweigungen mit den zugehörigen Transferteilpfaden. Ein Transferteilpfad Tii zwischen zwei Knoten i und j ist als Herweg vom Knoten i zum Knoten j definiert. Sein Aufbau läßt sich aus den Markierungen entnehmen, die im Laufe des Verfahrens an den erreichten Knoten angebracht wurden. Die zweite Komponente der Marken nennt den jeweiligen Markierungsvorgänger. Man schreitet daher den Weg in Markierungsgegenrichtung ab. Je zwei aufeinanderfolgende Knoten eines Transferteilpfades sind entweder durch eine Vorwärtskante oder durch eine Rückwärtskante verbunden. Dementsprechend lassen sich die beiden Teilmengen der Vorwärtkanten P~ und der Rückwärtskanten P~ der Knoten eines Transferpfades

II. Bestimmen einer Anfangslösung in allgemeinen Vergenzgraphen

233

Abb. C-27: Struktur von Verzweigungsmengen und Transferteilpfaden bei wiederholter Verzweigung

Tii bilden. Ob es sich um eine Vorwärtskante oder um eine Rückwärtskante handelt, zeigt das Kennzeichen in der dritten Komponente der Markierung des jeweils nachfolgenden Knotens:

Al = { (l,k) E Al

P,~ = {!k,l) P~

E

Paar (k,l) tritt in der Knotenfolge T,i auf; m~1 =V} Paar (k,l) tritt in der Knotenfolge

T;i

auf; m'~ = R}.

(C.41) Für den gesamten Transferpfad T, der auch sämtliche Verzweigungsknoten enthält, symbolisiert pv die Vorwärtskanten sowie pR die Rückwärtskanten.

234

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Die Trennung in Vorwärts- und Rückwärtskanten ist für die Berechnung der Flußänderungen von grundlegender Bedeutung. Bei Defizitübertragung wird auf Vorwärtskanten subtrahiert, auf Rückwärtskanten addiert; bei Überschußübertragungen gilt das Umgekehrte. Um die richtigen Verhältnisse der Flüsse auf den Kanten des Transferpfads T zu erhalten, kann man einen »Einheits.fluß« r, der beim Anfangsknoten i0 eine Stärke von eins hat, durch den Pfad leiten (vgl. zu dieser Idee Schaefer [Netze] 53 f.). Für Kanten außerhalb des Transferpfades gilt rii = 0. Für Kanten, die zu Knoten des ~~ansfer­ pfades gehören, sind die in den Markierungen berechneten Ubertragungsfaktoren bereits auf eine Defizitübertragung von einer Mengeneinheit ab dem ursprünglichen Defizitknoten i0 ausgerichtet. Im Standardfall, d. h., wenn nicht die besondere Situation eines Zyklus oder einer Zusammenführung berücksichtigt werden muß, gilt daher für den Einheitsfluß auf - einer ungebundenen Vorwärtskante (i, j) E Pv, falls nicht der Markierungsvorgänger ein Zyklusknoten oder ein Zusammenführungsknoten ist: - einer ungebundenen Rückwärtskante (i, j) E pR, falls nicht der Markierungsnachfolger ein Zyklusknoten oder ein Zusammenführungsknoten ist:

(C.42)

rii =

ai.

Die Zusammenhänge sind in Abb. C-28 dargestellt. Hierzu sei daran erinnert, daß die Flüsse auf Kanten immer in Mengeneinheiten des absendenden Knotens gemessen werden (vgl. Abb. B-4 in B III 1, S. 103). Die Übertragungsfaktoren sind ferner im Falle der Defizitübertragung positiv, woraus sich das negative Vorzeichen bei Vorwärtskanten erklärt. Pfeil in Kantenart Vorwärtskante :

Pfeil in

Markierungsrichtung Flußrichtung (i,j)t:Pv; (i,j)EA

A1.

_A a. =a.,a, Ä1 '

~ Q.;

O.j

=0.; . j_

~aii

Rückwärtskante : (i,j) t: PR ;(j,i)t:A ~

Flußänderung

~ a.

~

a. J

0-- 0

für alle (i, j)

E

E E

K,

D,

(C.59)

A.

Zur Analyse der Optimalitätsbedingungen ist es zweckmäßig, auch das Dualproblem zum linearen Modell C.57 zu formulieren. Hierzu werden folgende Dualvariablen definiert: (1) Dualvariable für Konvergenzknoten j

E

K:

(Vi = {il' i2, ... , iL}; L = IVJ). Es werden für jeden Konvergenzknoten so viele Dualvariablen gebraucht, wie der Knoten Vorgänger hat. (2) Dualvariable für Divergenzknoten i E D: 1\i• 1tiJ• ... , 1tiJ•

Die Anzahl der Dualvariablen eines Divergenzknotens bestimmt sich nach der Zahl seiner Nachfolger. (3) Dualvariable für ungebundene Knoten i, die nicht Quelle oder Senke sind, i E N\K\D\Q\S: 1ti.

Hier wird nur je eine Variable gebraucht. (4) Dualvariable für untere und obere Kapazitätsschranken auf Kanten (i, j) E A: u

0

1tij• 1tij"

Mit diesen Variablen, in passender Reihenfolge zu einem Vektor zusammengefaßt, lautet das Dualproblem zu C.57: Zielvorstellung~

o'· Tt =

-:2:: b,J ·Tt~J + :2:: b~j"n:~J liJ)tA

Nebenbedingungen : ~· · n: =

-

1t

minI

O,J~A

-C

lGie•chheit s zei ch e n, da Promalvar iablen ' ii [_n•cht vorzeoc henbeschrdnkt

Vorzeichenbedingungen : n:~i ,n:~1 ~ 0 für alle (i,j) e A .

(C.60)

248

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

b) Optimalitätsbedingungen für ungebundene Kanten

Die optimale Lösung einer linearen Planungsaufgabe ist dadurch charakterisiert, daß gleichzeitig alle Nebenbedingungen des Primals und alle Nebenbedingungen des Duals erfüllt sind. Die primalen Bedingungen liegen naturgemäß bereits in einer Form vor, die es erlaubt, sie auf einfache Weise unmittelbar am Netzwerk zu überprüfen: Es sind Bedingungen für die zu- und abfließenden Ströme an Knoten sowie Kapazitätsbedingungen für die Kantenflüsse. Im folgenden werden die einzelnen Arten von Dualbedingungen daraufhin geprüft, ob sie sich ebenfalls zu operationalen, lokal überprüfbaren Einzelbedingungen für Knoten oder Kanten des Netzwerks umformulieren lassen. Jede duale Nebenbedingung bezieht sich auf einen Pfeil (i, j) E A. Im Primalmodell wird für Pfeile nur gefordert, daß sich der Kantenfluß r;i innerhalb der angegebenen Flußkapazitätsgrenzen bewegen muß: bij :5 r;i :5 bij. Ein Optimum ist also gefunden, wenn (neben den primalen Knotenbedingungen) für jeden Pfeil sowohl diese Kapazitätsbedingung als auch die jeweilige Dualbedingung erfüllt ist. Die Dualvariablen und die primalen Schlupfvariablen sowie die Primalvariabien und die dualen Schlupfvariablen hängen im Optimum gemäß den Dualitätstheoremen der linearen Planungsrechnung zusammen. Daher können nur bestimmte Kombinationen von Dualvariabien-Ausprägung und Unterschreitung der primalen Kapazitätsobergrenzen bzw. Überschreitung der primalen Kapazitätsuntergrenzen optimal sein. Diese Kombinationen ergeben Optimalitätsbedingungen für die Kantenflüsse und ihre zugehörigen Dualwerte. Zunächst werden die Optimalitätsbedingungen für diejenigen Pfeile (i, j) analysiert, die weder selbst eine Vergenzbedingung erfüllen müssen, noch direkt auf Konvergenzpfeile folgen oder direkt Divergenzpfeilen vorangehen. Ferner sei zunächst angenommen, daß der Vorgänger i keine Quelle und der Nachfolger j keine Senke ist. Die dualen Nebenbedingungen für solche Pfeile haben eine sehr einfache Gestalt. Die Koeffizienten können aus dem Spaltenbereich 5 der Matrix in Abb. C-30 entnommen werden. Hier steht in jeder Spalte innerhalb der Zeilenbereich 3 bis 5 genau einmal der Koeffizient + 1 und einmal der Koeffizient -aii• innerhalb der Zeilenbereiche 6 und 7 ferner einmal der Koeffizient -1 sowie ein weiteres Mal + 1. Sind also die Knoten i und j weder Konvergenz- noch Divergenzknoten, so lautet die Bedingung: (C.61)

111. Bestimmen eines optimalen Flusses in Vergenzgraphen

249

Die Dualvariablen 1t;, 1ti für den Vorgängerknoten i und den Nachfolgerknoten j unterliegen keiner Vorzeichenbeschränkung, da die primalen Knotenbedingungen stets Gleichungen sind. Neben diesen knotenbezogenen Dualvariablen treten in jeder Knotenbedingung nach C-86 auch die zwei pfeilbezogenen Dualvariablen n:J und n:] auf, die in keiner anderen Dualbedingung vorkommen. Sie können als Schlupfvariable interpretiert werden. Nach ihrer Ausprägung lassen sich drei Fälle unterscheiden: (1) die Dualvariable n:J ist ungleich null, (2) die Dualvariable nij ist ungleich null, (3) beide Dualvariablen n:J und nij sind gleich null. Da sich zeigen wird, daß von den beiden Dualvariablen n:J und nij höchstens eine einen Wert ungleich null annehmen kann, schließen sich die drei Fälle gegenseitig aus. Im Optimalzustand gelten folgende Zusammenhänge zwischen Knotendualen und Kantenftüssen: (1) Ist n:J ungleich null, so verschwindet der zugehörige primale Schlupf: u:j = 0, d. h., der Fluß r;i nimmt seinen unteren Wert an: r;i = b:J. Dann ist aber die Schlupfvariable uij, die zur oberen Kapazitätsschranke gehört, positiv, so daß nij verschwindet. Insgesamt folgt also aus C.61 für den beschriebenen Fall n:J 0: Tt ; -a,irti

>

-c,i

oder :

C;i+Tt;-a;i Tti >O.

(C.62)

(2) Ist umgekehrt nij ungleich null, so gilt nach der gleichen Überlegung n:J = 0, r;i = bij und somit: Tt; - a;ini


0

Cj =0

ja

ja

Cj 0 und bij < r;) nur auf solche Weise verändert werden dürfen, die den bisherigen Zustand zumindest nicht verschlechtert.

266

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Konvergenzpfeile sowie der Konvergenzfolgepfeil sind entweder alle gleichzeitig zulässig oder alle gleichzeitig unzulässig. Soll auf einem der an einem Konvergenzknoten beteiligten Pfeile der Fluß verringert werden, muß wegen der technologischen Bedingungen auch an allen anderen Pfeilen der Fluß in passendem Verhältnis vermindert werden. Somit ist Voraussetzung für eine Defizitübertragung, daß alle beteiligten Flüsse nicht minimal sind. Außerdem darf aber die Höhe der indirekten Kosten des Konvergenzknotens nicht einen maximalen Fluß erfordern. Insgesamt entsteht folgende Zulässigkeitsbedingung: Die zu einem Konvergenzknoten j gehörenden Flüsse sind für eine Defizitübertragung in Vorwärtsrichtung genau dann zulässig, wenn gilt: für alle Konvergenzvorgänger i: .. d en Konvergenznachfl f ur o ger k :

b;;




0

ö

~ ~ =min

{ C;

- 6;

I

i € Ku D;

c; >0 ; 6;

< 0}.

(C.136)

(4) Für Vergenzknoten i mit negativen indirekten Kosten ci und positiver Einheits-Nettoänderung Ai:

C;

+

56; ~ 0 =>

I

5 ~ 54 :: min {- C; i € K uD; C; 0 }. 6; (C.137)

Der maximal mögliche Faktor Ö ist also durch das Minimum aus allen vier Bedingungen gegeben:

5 =min [ö,,52 ,5 3,5d.

(C.138)

Anstelle der bisherigen Dualwerte werden demnach jetzt folgende neue Werte 7t~neul gesetzt: _(neu) _ Ttlbishef) ö" Tt·

Tt1

-

t

+

I

für alle i

€

N.

(C.139)

Damit ist ein Dualänderungsschritt vollzogen. b) Iteratives Erreichen der Optimallösung Ausgangspunkt der Ausführungen zum entwickelten Dualänderungsverfahren war eine Out-of-kilter-Kante (k0, i0). Ziel der dargestellten Maßnahmen ist es, sie in einen In-kilter-Zustand zu bringen. Da dies durch eine (primale) Flußänderung nicht möglich war, wurden die Dualwerte geändert. Diese Änderung hat mindestens an einer Kante bzw. an einem Vergenzknoten positive bzw. negative indirekte Kosten auf den Wert null gebracht. Ist (k0, i0 ) eine derartige Kante, gilt also jetzt ck.io = 0, dann ist (k0, i0) nunmehr im In-kilter-Zustand, das Problem gelöst. Im anderen Fall ist an mindestens einer Stelle, wo bisher eine weitere Markierung nicht möglich war, eine neue zulässige Verbindung entstanden. Damit kann im nächsten Schritt wieder versucht werden, eine primale Flußänderung zu realisieren. Da alle Markierungen der vorhergehenden Iteration weiterhin möglich bleiben,

310

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

ist also nur zu analysieren, welche Markierungen infolge der geänderten Dualwerte jetzt zusätzlich realisierbar werden. Das Verfahren ist so aufgebaut, daß bei jedem Vergenzfall von den blockierten Abzweigungen jeweils nur eine als Problem behandelt wird. Erst wenn auf dieser Verzweigungsmenge ein Durchbruch gefunden ist, kommen andere blockierte Verzweigungsmengen der gleichen Verzweigungsstelle zum Zuge. Mit Ausnahme von rückführenden Zyklen werden alle Teiläste mit Durchbruch sowie alle noch nicht untersuchten Teiläste einer Verzweigungsstelle mit einer dualen Nettoänderung von null versehen. Auch hieran wird deutlich, daß jeweils nur ein Teilast aufgebaut wird. Sind mehrere Verzweigungsknoten vorhanden, an denen Blockaden auftreten, wird an allen von ihnen jeweils ein blockierter Teilast den Dualänderungen unterworfen. Die Knoten, an denen zusätzliche Markierungsmöglichkeiten entstehen, können dann in aufeinanderfolgenden Schritten jeweils zu anderen Verzweigungsfällen gehören. Dies ist sinnvoll, da prinzipiell an jeder alternativen Verzweigungsstelle ein Durchbruch durch nur eine einzige zusätzliche Markierungsmöglichkeit realisierbar werden kann. Durch eine Reihe von aufeinanderfolgenden primalen und dualen Änderungen gelingt es schließlich, die gewählte Kante in einen Inkilter-Status zu bringen. Es sei darauf hingewiesen, daß auch eine Primatänderung in der Regel nicht eine sofortige Erreichung dieses In-kilter-Zustandes sichert. Dies liegt daran, daß eine Flußänderung zwar in die passende Richtung wirkt, jedoch wegen Kapazitätsbeschränkungen u. U. ein zu geringes Ausmaß annimmt. Daher kann auch bei einer möglichen Flußänderung in der folgenden Iteration die gewählte Kante (k0, i0 ) immer noch in einem Out-of-kilter-Zustand sein, so daß weitere Fluß- und Kostenänderungen erforderlich sind. Nachdem die ursprünglich gewählte Out-of-kilter-Kante (k0, i0) in einen zulässigen Zustand gebracht ist, wird eine weitere Out-of-kilterKante gewählt. Gibt es darunter keine ungebundenen Kanten mehr, wählt man eine.Kante (k0 , i0) eines Vergenzfalles. In beiden Vergenzfällen kann diese Wahl so vo~~enommen werden, daß der Knoten i0 als Defizitknoten und k 0 als Oberschußknoten anzusehen ist. Allerdings verzweigen sich die Wege sofort am Anfangsknoten i0 • Im Verfahren der Flußänderung sind auch Out-of-kilter-Kanten für Änderungen der Primalwerte zugelassen, und zwar für solche, die ihren Out-of-kilter-Zustand mindestens nicht verschlechtern. Beispielsweise darf auf einer Kante mit positiven indirekten Kosten, deren Fluß also minimal sein sollte, es aber nicht ist, der Fluß verringert werden. Kann eine Primaländerung durchgeführt werden und ist diese Kante für die Höhe der Änderung (d. h. für die Wahl von e) be-

111. Bestimmen eines optimalen Flusses in Vergenzgraphen

311

stimmend, so erhält die Kante damit einen gültigen Zustand (kommt in kilter). Durch dieses Prinzip kann es also gelingen, daß bei Analyse eines Out-of-kilter-Pfeiles (k0, i0) durch Änderungsprozesse weitere Out-of-kilter-Pfeile bereits mitbearbeitet werden. Dasselbe gilt auch für Dualänderungen. Falls das gestellte graphentheoretische Problem überhaupt lösbar ist, gelingt es mit dem dargestellten Verfahren, sukzessive alle Out-ofkilter-Pfeile in einen zulässigen Zustand zu versetzen. Der beschriebene Markierungsprozeß sowie die daran anschließenden Änderungen der Primal- bzw. Dualwerte werden dabei iterativ so oft wiederholt, bis alle Optimalitätsbedingungen erfüllt sind. Im folgenden Abschnitt wird das beschriebene Lösungsverfahren einer ergänzenden formalen Analyse unterzogen, wobei sich insbesondere einige Vereinfachungen für die algorithmische Realisierung herausstellen.

IV. Formale Analyse der entwickelten Verfahren 1. Exaktheit der beiden Teilverfahren Die Erläuterungen und Begründungen der einzelnen Teilschritte des dargestellten Optimierungsverfahrens werden hier noch um einige formale Überlegungen ergänzt. Die beschriebenen Teilverfahren - zur Suche nach einem zulässigen Fluß sowie - zur Suche nach einem optimalen Fluß sind iterativ aufgebaut. In einer formalen Analyse der Verfahren sind daher folgende Fragen von Interesse: - Endet jede Iteration nach endlich vielen Einzeloperationen (Endlichkeit einer Iteration)? - Wie ändert sich in einer Iteration die Abweichung der vorhandenen Lösung zur angestrebten Lösung (Ä'nderungswirkung einer Iteration)? - Führt das Verfahren nach endlich vielen Iterationen zu der angestrebten Lösung, bzw. kann mit seiner Hilfe festgestellt werden, daß eine solche nicht existiert (Verläßlichkeit des Verfahrens)? Jede dieser Fragen kann sowohl für den Algorithmus zum Auffinden einer zulässigen Anfangslösung wie auch für den eigentlichen Optimierungsalgorithmus gestellt werden. Ihre Beantwortung klärt, ob es sich bei dem hier dargestellten graphentheoretischen Verfahren insgesamt um ein exaktes Verfahren oder ein Näherungsverfahren handelt. Hierzu werden nachfolgend einige Argumente skizziert. Zunächst wird die Endlichkeit einer Iteration untersucht. Beide Teilverfahren sind Markierungsalgorithmen. Eine Iteration ist beendet, wenn keine Markierungen mehr nötig bzw. möglich sind. Die Frage der Endlichkeit ist also beantwortet, wenn bekannt ist, wie viele Markierungen maximal vollzogen werden können. Insgesamt gibt es nur endlich viele Knoten, wovon ein Teil Vergenzknoten sind. Betrachtet man jeweils nur die Knotenteilmengen einer äußersten Verzweigung (vgl. zu dieser Idee Schaefer [Netze] 61), so hat jede Knotenteilmenge nur endlich viele Markierungs-Vorgänger, und es gibt nur endlich viele noch nicht dieser Knotenteilmenge zugeordnete Knoten. Es ist also

IV. Formale Analyse der entwickelten Verfahren

313

lediglich noch zu untersuchen, wie oft bereits markierte Knoten ein weiteres Mal auf eine Markierung untersucht werden können. Für das erste Teilverfahren ist zu unterscheiden, ob nach einem linearen oder einem rückführenden Durchbruch gesucht wird. Bei der Suche nach einem linearen Durchbruch kommen für eine mehrfache Markierungsmöglichkeit nur Knoten aus Parallel- oder Alternativmengen in Frage. Von je zwei konkurrierenden Markierungsmöglichkeiten wird definitiv eine ausgewählt. Die abgelehnte Markierungsmöglichkeit scheidet endgültig aus. Eine weitere Markierung desselben Knotens kommt daher nur in Frage, wenn für sie ein weiterer, bisher noch nicht so weit untersuchter Herweg gilt. Da es nur endlich viele alternative Herwege gibt, ist der Markierungsprozeß endlich. Bei der Suche nach einem rückführenden Zyklus werden Vorgängerknoten markiert. Hier kann zwar eine Markierung einer bestimmten Wegverbindung mehrfach untersucht werden, die Gesamtorganisation dieses Verfahrensteils folgt aber einer Enumerationstechnik, mit der die Kombinationsmöglichkeiten der jeweils endlich vielen potentiellen Rückführzyklen der beteiligten Knotenmengen durchlaufen werden. Deshalb kann es auch hier zu keiner sich zyklisch wiederholenden Folge gleicher Markierungsuntersuchungen kommen. Der Markierungsprozeß ist insgesamt also endlich. Zum Nachweis der Endlichkeit des zweiten Teilverfahrens genügt es, den Prozeß der Festlegung von Dualänderungen zu betrachten. Hier ist von Bedeutung, daß nur an (nach dem ersten Teilverfahren) markierten Knoten Dualwerte geändert werden. Eine nicht endliche Schrittfolge könnte nur dort entstehen, wo die Dualänderung entgegen der bestehenden Markierung bestimmt wird. Die Dualänderung eines Knotens wird dann gemäß einem anderen als dem markierten Herweg berechnet. Dies ist in manchen Fällen ( vgl. z. B. Änderungssituation ÄS 6) erforderlich. In solchen Fällen scheint es zunächst denkbar, daß in. aufeinanderfolgenden Teilschritten innerhalb derselben Iteration ein ständiger Wechsel zwischen zwei oder mehr Berechnungsarten von Dualänderungen erfolgt. Eine Analyse des Optimierungsverfahrens zeigt indessen, daß diese Möglichkeit ausgeschlossen werden kann. Ein bestehender Änderungsfaktor eines Knotens wird nur dann ersetzt, wenn der auf einem alternativen Herweg berechnete kleiner ist. Daher ist eine spätere Rückänderung auf einen vorher ersetzten Wert ausgeschlossen. Insgesamt ergibt sich in allen Fällen eine endliche Anzahl von Operationen bis zum Abschluß des Markierungsprozesses einer Iteration.

314

C. Lösung graphentheoretisch formulierter Finanzplanungsprobleme

Die beiden anderen Fragen zur Exaktheit werden zunächst für das erste, danach für das zweite Teilverfahren behandelt. Zur Untersuchung der Konvergenz des ersten Teilverfahrens muß, nachdem die Endlichkeit einer Iteration sichergestellt ist, nunmehr die .A"nderungswirkung einer (primalen) Iteration betrachtet werden. Bei gewöhnlichen Netzwerkalgorithmen (ohne Pfeilfaktoren und ohne Vergenzknoten) läßt sich die Konvergenz gewöhnlich problemlos zeigen, da es sich um ganzzahlige Probleme handelt. Bei jedem Schritt verbessert sich die Lösung um mindestens eins, so daß die Konvergenz entsprechender Verfahren ohne weiteres folgt (vgl. z. B. Ford/ Fulkerson [Flows] 18 oder Steckban [Güterströme] 83). Hier kann diese Argumentation nicht übernommen werden, da durch Vergenzknoten und durch Pfeilfaktoren rationale Zahlen entstehen können. Einer Idee von Schaefer (vgl. [Netze] 62 f.) für einen einfacheren Fall folgend läßt sich jedoch eine rationale Zahl 1/q1, q 1 E N finden, die eine gleichmäßige untere Grenze für die Stromerhöhung j'(vJ bildet:

!_

i? / /nein

b---------~~~--------------------r-------------------~==~-,~~~

~iltz>7~ Die Markierung von j wird endgültig gestrichen. Der zugehörige Verzweigungsknoten erhält den 8locka·

(Einziger) RückfUhrzyklus flir j gdunden. j ist möJli· eher Zyklusknoten.

dev~rmerk.

.,.

Setze i = z. Der zu z gehörende Zyklusknoten wird als neuer möglicher Zyklusknoten abgespeichert. Die Markierung zum bisherigen RückfUhrzyklusknoten wird gestrichen.

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Es gibt keine Ausgangsknoten für potentielle RückfUhrzyklen in der Mengt! abj. Zu untersuchen sind diejenigen Kanten (k1. k) bei denen k 1 in Rü:htuna~: kein Ausgomgsknoten für potentielle RückfUhrzyklen in der untersuchten Menge ist und k ein Herwegknoten. der nicht vor h lieKl. Wiederhole fUr alle derartigen Kanten (k 1, k) : Gilt z ,. i? !'euer Rückführzyklus für j gefunden. Setzei= z k wird als neuer möglkher Rück führzyklusknoten abgespeichert. Der Zyklus wird noch nicht realisiert . Die Markierung zum bishericen Rückft.ihrz~· klusknoten wird a,estrkhen uchtcn Knotenmengen gibt. bei dem bis >Situationsunabhängigkeit«, vgl. Wedekind [Datenbanksysteme I] 32 f.) bringt es mit sich, daß für sie keine Struktur offensichtlich ist. Während bei herkömmlichen, anwendungsorientierten Dateien häufig eine Datenordnung durch das Lösungsprinzip des Anwendungsprogramms nahegelegt wird, ist für Datenbanken eine abstrakte Struktur zu wählen. Dadurch wird es möglich, Datenbanksysteme unabhängig von konkreten Dateninhalten und -Verwendungen als Standardsoftware anzubieten. Die Zwischenstellung zwischen dem (sonstigen) Betriebssystem einer EDV-Anlage einerseits und der Anwendungssoftware andererseits führt dazu, in einem Datenbanksystem verschiedene Betrachtungsebenen zu trennen. Von den verschiedenen Vorschlägen hierzu (vgl. hauptsächlich die ursprüngliche Einteilung von Senko u. a. [Data Structures] 64 ff.) hat sich vor allem die Gliederung der ANSII SPARC-Gruppe (vgl. [Report] 12 ff.) durchgesetzt. Hier wird ein Datenbanksystem durch drei Typen von Teilmodellen, Schemata genannt, beschrieben. Grundlegend ist die Trennung zwischen einer logischen und einer physischen Datenstruktur. Die logische Datenstruktur zeigt den sachlich-inhaltlichen Zusammenhang der gespeicherten Datentypen, z. B. Über-/Unterordnungsbeziehungen. Sie drückt sich im »logischen (Daten-)Modell«, dem konzeptionellen (Daten-)Schema, aus (vgl. ANSIISPARC [Report] 13, 29, Schlageter/ Stucky [Datenbanksystem] 28 ff.). Die physische Datenstruktur beschreibt die technisch-organisatorischen Fragen der Abspeicherung und des Zugriffs der Daten. Hier geht es um die Länge von Feldern, um die räumliche Verteilung der Speicherplätze, um die blockweise Zusammenfassung häufig gemeinsam benötigter Daten usw. Aus der physischen Datenstruktur ergibt sich das interne (Daten-)Schema der Datenbank (vgl. z. 8. Schlageter/ Stucky [Datenbanksysteme] 33 ff.). Für den Benutzer der Datenbank ist nur das konzeptionelle Schema von Interesse. Hieraus kann er diejenigen Datentypen entnehmen, die er für seine Anwendung benötigt, wobei er auch die für ihn passende Datenstruktur bildet. Daraus ergibt sich für jede Anwendung ein eigenes externes (Daten-)Schema (ein externes Datenmodell, eine externe »Sicht«, vgl. ANSI/SPARC [Report] 29).

I. Grundlagen zur Entwicklung einer Finanzplanungs-Datenbank

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Sollen in dieser Einteilung verschiedene Formulierungen der Modelle unterschieden werden, wird der Ausdruck ))Schema« immer nur für diejenige Modellformulierung gewählt, die für die Computereinund -ausgabe verwendet werden kann (vgl. Vinek/Rennert/Tjoa [Datenmodellierung] 29). Ein Schema in diesem engeren Sinn ist ein Modell in einer standardisiert-formalen Sprache. Datenunabhängigkeit der

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