Explicit estimates in iso-energetic K.A.M. theory

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Explicit estimates in iso-energetic K.A.M. Theory∗ Luca Biasco Settore di Analisi Funzionale SISSA/ISAS Via Beirut 2–4, 34013 Trieste (Italy) ([email protected])

January, 2002

Sommario We consider a general Hamiltonian in action-angle variables of the form H(I, ϕ) = h(I) + εf (I, ϕ), with ε a small parameter. Under appropriate non degeneracy conditions on h we prove an iso-energetic K.A.M. Theorem. Namely we prove the persistence of a majority (apart from a region of order ε) of invariant tori. This result, well known in the literature, was never discussed in the view of applications to degenerate systems. We give therefore precise quantitative estimates of all the involved quantities.

Indice Introduzione 0.1 Serie di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Lemmi tecnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3

1 Teorema della Media 5 1.1 Set up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Lemma iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Teorema della forma normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∗

Supported by M.U.R.S.T. Variational Methods and Nonlinear Differential Equations.

1

2 Teorema KAM

21

Indice

Introduzione 0.1

Serie di Lie

Vogliamo ora dare una formula per calcolare la composizione di una qualsiasi funzione f ∈ C ∞ con il flusso hamiltoniano Xφ generato da una hamiltoniana φ ∈ C ∞. A tale scopo indicheremo con

d Lφ f := {f, φ} = f (Xφt (p, q)) = fp φq − fq φp dt t=0

la parentesi di Poisson di f con φ. Inoltre scriveremo L0φ := Id e

jvolte

Ljφ

}|

z

{

:= Lφ ◦ . . . ◦ Lφ

Proposizione 0.1 Con le notazioni precedentemente introdotte abbiamo che f ◦ Xφε =

X j

εj j L f. j! φ

(0.1)

Precisiamo che la precedente formula `e per il momento da intendersi in maniera puramente formale e in questa sede non ci preoccuperemo della convergenza della serie a secondo membro. La serie presente nella (0.1) si chiama serie di Lie. Dimostrazione. Scriviamo F (ε) :=

X j

2

εj dj F (0). j! dεj

(0.2)

Vogliamo ora mostrare per induzione che dm ε (f ◦ Xφε (p, q)) = Lm φ f ◦ Xφ (p, q). m dε

(0.3)

Osserviamo che la base induttiva con m = 0 `e ovvia per la definizione di L0φ . Supponiamo la (0.3) vera fino ad m − 1 e dimostriamola per m. Abbiamo usando l’ipotesi induttiva dm−1 d dm ε f ◦ X (p, q) = f ◦ Xφε (p, q) φ dεm dεm−1 dε dm−1 = ({f, φ} ◦ Xφε (p, q)) = Lm−1 {f, φ} ◦ Xφε (p, q) φ m−1 dε ε = Lφm−1 Lφ f ◦ Xφε (p, q) = Lm φ f ◦ Xφ (p, q) con cui abbiamo mostrato la (0.3). Ora calcolando tutto in ε = 0 avremo dj F dj j ε ε = Ljφ f (p, q) = L f ◦ X (p, q) (0) = f ◦ X (p, q) φ φ φ j j ε=0 ε=0 dε dε

perch´e ovviamente Xφ0 (p, q) = (p, q). Sostituendo il tutto nella (0.2) otteniamo la tesi.

0.2

Lemmi tecnici

Lavoreremo con vettori in Cn e matrici in M(n × n). Definizione 0.2 Se v = (v1 , . . . , vi , . . . , vn ) ∈ Cn definiamo |v| := Se A = (aij ) ∈ M(n × n) definiamo kAk := kAk1,1 := sup|v|=1 |Av|.

Pn

i=1

|vi |.

Seguono immediatamente dalla definizione le seguenti propriet`a : Proposizione 0.3 i) kABk ≤ kAkkBk ii) kAk ≤ n max |aij | iii) se B = (bij ) e |aij | ≤ bij allora kAk ≤ kBk iv) se A ∈ M(n × n) e v ∈ Cn e B :=

A 0 v 0

!

allora kBk ≤ kAk + maxi |vi | v) se definiamo abs : M(n × n) → M(n × n) in modo che abs(A) := (|aij |) allora kAk ≤ kabs(A)k vi) se kBk ≤ 1/2kA−1 k allora k(A + B)−1 k ≤ 2kA−1 k. 3

¯ r) Definizione 0.4 Siano h = h(I), v = v(I), A = A(I) con I ∈ B := B(I, n n ¯ := {I ∈ C |I − I| < r} a valori in C, C , M(n × n). Definiamo inoltre |h|r : = supI∈B |h(I)|, |v|r := supI∈B |v(I)|, kAkr : = supI∈B kA(I)k. Diamo ora le stime di Cauchy sulle derivate Lemma 0.5 Siano 0 < r < R allora i) |∂i h|R−r ≤ 1/r|h|R ii) |∂ij h|R−r ≤ 2/r 2 |h|R . ¯ allora: i)|∆v|r ≤ k∂vkr r Lemma 0.6 Se scriviamo ∆f := f (I) − f (I) r ii)k∆Akr ≤ R−r kabs(A)kR Lemma 0.7 Siano a, b, c > 0 con a2 = bc e sia a b c a

B :=

!

allora per ogni k ≥ 1 intero B k = 2k−1 ak−1 B. Dimostrazione. Gli autovalori di B sono 2a e 0 e quindi esiste una matrice ˜ −1 con invertibile M tale che B = M BM ˜ := B

2a 0 0 0

!

˜ −1 = 2k−1ak−1 M BM ˜ −1 2k−1ak−1 . e quindi B k = M BM Definizione 0.8 Siano z, z ′ due vettori in R2 . Diremo che z ≤ z ′ se1 zi ≤ zi′ per i = 1, 2. Definizione 0.9 Se y := (I, ϕ) ∈ Cn × Cn indichiamo con y∗ il vettore in P R2 definito come segue y∗ := ( ni=1 |Ii |, max1≤i≤n |ϕi |)

Lemma 0.10 Consideriamo la successione yi ∈ Cn × Cn con i ∈ N. Siano zi := (yi)∗ e wi ∈ R2 con wi := ci Bzi con ci ≥ 0 e B ∈ Mat(2 × 2) a elementi positivi. Supponiamo che (yj −yj−1 )∗ ≤ wj−1 per ogni j ≤ i. Allora (yi −y0 ) ≤ Pjk−1 −1 Pjk−2 −1 Pi Pi−1 Pj1 −1 k i i cj k . jk =0 jk−1 =1 cjk−1 k=1 B z0 dk con dk := j1 =k−1 cj1 j2 =k−2 cj2 · · · Se poi B `e la matrice del Lemma 0.7 allora si ha: (yi − y0 )∗ ≤ Bz0

i X

2k−1 ak−1 dik .

k=1

1

E’ evidente che se B `e una matrice ad elementi positivi z ≤ z ′ implica Bz ≤ Bz ′ .

4

1

Teorema della Media

1.1

Set up

Consideriamo un insieme qualsiasi A ⊆ Rn e prendiamo d > 0 allora definiamo Ad := {z ∈ Cn t.c. ∃ x ∈ A con |z − x| < d}. Se di nuovo prendiamo d > 0 e se z = (z1 , . . . , zi , . . . , zn ) ∈ Cn avremo Tnd := {z ∈ Cn t.c. max |Im zi | < d} i

dove Tn := Rn /2πZn . Per gli angoli useremo la seguente norma |ϕ|∞ := max1≤i≤n |ϕi |. Considereremo una hamiltoniana H(I, ϕ) := h(I) + f (I, ϕ) dove I ∈ P ⊆ Rn e ϕ ∈ Tn che sia reale analitica ed estendibile analiticamente su un intorno complesso di P × Tn della forma WR,S := PR × TnS con R, S > 0 fissati. Essendo f analitica e periodica possiamo ovviamente svilupparla in serie di Fourier nelle ϕ f (I, ϕ) =

X

fk (I)eik·ϕ .

k∈Zn

Ricordiamo che se f (ϕ) `e analitica e ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕj , . . . , ϕn ) ∈ Tn posP siamo svilupparla in serie di Fourier scrivendo f (ϕ) = k∈Zn eik·ϕ dove i coefficienti di Fourier sono Z 2π 1 Z 2π fk = ··· f (ϕ)eik·ϕ dϕ1 . . . dϕn . n (2π) 0 0

Se k ∈ Zn allora scriviamo |k| :=

Pn

j=1

|kj |.

Lemma 1.1 Supponiamo che f (ϕ) sia analitica per ϕ ∈ Tns e sia M := supϕ∈Tns |f (ϕ)| < ∞ allora |fk | ≤ Me−|k|s . 5

Dimostrazione. Tenendo conto del Teorema di Cauchy per le funzioni analitiche e della periodicit`a possiamo sostituire al cammino ϕj (t) := t per t ∈ (0, 2π) il cammino ϕj (t) := 2π − t − ai sign kj per t ∈ (0, 2π) cos`ı che |e−ik·ϕ(t) | = Πnj=1 e−|kj |a = e−|k|a dove a < s. Inoltre possiamo scrivere ∀a < s 1 |fk | ≤ (2π)n

Z

2π

0

···

Z

2π 0

Me−|k|a dϕ1 . . . dϕn = Me−|k|a

e concludere. Vogliamo ora definire una norma per le funzioni f (I, ϕ) analitiche con (I, ϕ) ∈ WR,S e prendiamo 0 < r < R e 0 < s < S. Definizione 1.2 kf kr,s := sup

X

I∈Pr k

dove kf (I)ks :=

P

k

|fk (I)|e|k|s = sup kf (I)ks I∈Pr

|fk (I)|e|k|s.

Lemma 1.3 Sia |f |r,s := supWr,s |f (I, ϕ)| e sia σ > 0 allora |f |r,s ≤ kf kr,s ≤ cothn σ |f |r,s+2σ . Dimostrazione. La prima disuguaglianza `e evidente, la seconda deriva P dal lemma precedente e dal fatto che cothn σ = k e−2σ|k| come si vede facilmente. Lemma 1.4 Per ogni I ∈ Pr kf g(I)ks ≤ kf (I)ks kg(I)ks. Dimostrazione. Se f = f g(I) =

X

P

j

fj (I)eij·ϕ e g =

fj (I)gl (I)ei(j−l)·ϕ =

j,l

P

l

X X

(

k

=

fj (I)gl (I))eik·ϕ

j+l=k

X X

(

k

6

gl (I)eil·ϕ allora abbiamo che

l

fk−l (I)gl (I))eik·ϕ .

Per cui kf g(I)ks =

X X

|

k

≤

l

XX k

=

fk−l (I)gl (I)|e|k|s

|fk−l (I)|e|k−l|s|gl (I)|e|l|s

l

X

|gl (I)|e|l|s

l

=

X

X

|fk−l (I)|e|k−l|s

k

|l|s

|gl (I)|e

l

X

|fh (I)|e|h|s

h

da cui la tesi. Considereremo le I coniugate alle ϕ cio`e andremo a studiare il seguente sistema di equazioni canoniche     

I˙ = − ∂H ∂ϕ ∂H ∂I

ϕ˙ =

Per prima cosa abbiamo bisogno di stime sulle derivate prime di f in termini della funzione stessa a patto di avere una perdita di analiticit`a . Lemma 1.5 Sia 0 < ρ < r, 0 < σ < s. Allora valgono le seguenti stime: X

k

1≤i≤n

1 ∂f 1 ∂f kr,s−σ ≤ kf kr,s , max k kr−ρ,s ≤ kf kr,s i ∂ϕi eσ ∂Ii ρ

∂2f 4 ∂2f 2 kr,s−σ ≤ 2 2 kf kr,s, max k kr−ρ,s ≤ 2 kf kr,s k i,j eσ ∂Ii ∂Ij ρ 1≤i,j≤n ∂ϕi ∂ϕj X

max i

X

1≤j≤n

k

1 ∂2f kr−ρ,s−σ ≤ kf kr,s . ∂Ii ∂ϕj eρσ

Dimostrazione. X

1≤i≤n

k

∂f (I)ks−σ = ∂ϕi

X X

1≤i≤n k

7

|ki||fk (I)|e|k|(s−σ)

=

X X

|ki||fk (I)|e|k|(s−σ)

k 1≤i≤n

=

X

|k||fk (I)|e|k|(s−σ)

k

=

X

|k|e−|k|σ |fk (I)|e|k|s

k

1 X ≤ |fk (I)|e|k|s eσ k 1 kf (I)ks = eσ dove nella disuguaglianza abbiamo usato il fatto che sup te−tσ = t≥0

1 eσ

e questo mostra la prima disuguaglianza. La terza `e analoga. Usando la formula di Cauchy con una circonferenza di raggio ρ otteniamo: |

1 2 ∂ 2 fk ∂fk (I)| ≤ sup |fk |, | (I)| ≤ 2 sup |fk | ∂Ii ρ Pr ∂Ii ∂Ij ρ Pr

per ogni I ∈ Pr−ρ. Segue la tesi. Diamo ora una stima sulle parentesi di Poisson. Lemma 1.6 Sia ora 0 < r − ρ < r0 , 0 < s − σ < s0 con ρ, σ > 0, abbiamo 1 1 1 k{f, g}kr−ρ,s−σ ≤ [ + ]kf kr0 ,s0 kgkr,s e (r0 − r + ρ)σ (s0 − s + σ)ρ , ∂g i(I)ks−σ con il Dimostrazione. Fissiamo I ∈ Pr−ρ . Stimiamo kh ∂f ∂I ∂ϕ Lemma 1.4 kh

n X ∂f ∂f ∂g ∂g k (I)ks−σ k , i(I)ks−σ ≤ (I)ks−σ ∂I ∂ϕ ∂ϕi i=1 ∂Ii

n X ∂f ∂g (I)ks−σ k (I)ks−σ 1≤i≤n ∂Ii i=1 ∂ϕi 1 1 kf kr0 ,s0 kgkr,s ≤ r0 − (r − ρ) eσ

≤ max k

8

dove abbiamo usato il Lemma 1.5 con r0 al posto di r e r0 − (r − ρ) al posto di ρ. Stimiamo ora kh ∂g , ∂f i(I)ks−σ . ∂I ∂ϕ kh

n X ∂f ∂g ∂g ∂f (I)ks−σ , i(I)ks−σ ≤ k (I)ks−σ k ∂I ∂ϕ ∂ϕi i=1 ∂Ii

n X ∂f ∂g k ≤ max k (I)ks−σ (I)ks−σ 1≤i≤n ∂Ii i=1 ∂ϕi 1 1 ≤ kf kr0,s0 kgkr,s e(s0 − (s − σ)) ρ

dove abbiamo usato il Lemma 1.5 con s0 al posto di s e s0 − (s − σ) al posto di σ. Unendo i due pezzi avremo la tesi. Consideriamo una hamiltoniana analitica φ definita su Wr0 ,s0 . Prendiamo in esame il flusso hamiltoniano Xφt generato da φ al tempo t = 1. Lemma 1.7 Siano 0 < ρ < r ≤ r0 − ρ, 0 < σ < s ≤ s0 − σ e kφkr0 ,s0 < G :=

2ρσ e

allora avremo kφkr0 ,s0 −1 ) kf kr,s . G Dimostrazione. Come sappiamo dalla Proposizione 0.1 kf ◦ Xφ1 kr−ρ,s−σ ≤ (1 −

f ◦ Xφ1 =

X h

¯ := Fissiamo h ≥ 1 e poniamo ρ¯ := hρ , σ

1 h L f. h! φ σ h

ed anche

k · ki := k · kr−i¯ρ,s−i¯σ ∀ i con 1 ≤ i ≤ h. Usiamo il Lemma 1.6 con ρ → ρ¯, σ → σ ¯ e r → r − (i − 1)¯ ρ, s → s − (i − 1)¯ σ . Abbiamo ∀ i con 1 ≤ i ≤ h kLiφ f ki = k{Lφi−1 f, φ}ki 1 1 + ]kφkr0 ,s0 kLi−1 ≤ [ φ f ki−1 e(r0 − r + i¯ ρ)¯ σ e(s0 − s + i¯ σ )¯ ρ 1 2 ) kφkr0 ,s0 kLi−1 ≤ ( φ f ki−1 e¯ ρσ ¯ h+i 9

dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato il fatto che r0 − r ≥ ρ e s0 − s ≥ σ. Se iteriamo h volte la stima precedente otteniamo kLhφ f kh = kLhφ f kr−ρ,s−σ 2 h h! ≤ [ ] kφkhr0,s0 kf kr,s e¯ ρσ ¯ (2h)! 2 h h2h h! ] kφkhr0 ,s0 kf kr,s = [ eρσ (2h)! e h ≤ [ ] h!kφkhr0 ,s0 kf kr,s 2ρσ 1 = h!kφkhr0 ,s0 kf kr,s Gh dove nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato la formula di Stirling per avere h2h e2h e2 h2h ≤ 2h 2h = ( )h . (2h)! 2 h 4 Per concludere la dimostrazione non resta che sommare su tutti gli h kf ◦ Xφ1 kr−ρ,s−σ = k

X h

1 h L f kr−ρ,s−σ h! φ

1 h kLφ f kr−ρ,s−σ h h! X 1 kφkhr0 ,s0 ≤ kf kr,s h G h kφkr0 ,s0 −1 = (1 − ) kf kr,s . G ≤

X

Lemma 1.8 Con le stesse ipotesi vale la medesima tesi del lemma precedente per Xφt se 0 ≤ t ≤ 1. Dimostrazione. E’ facile vedere che circa il riscalamento dei tempi per un sistema hamiltoniano vale: 1 Xφt = Xtφ .

Se 0 ≤ t ≤ 1 avremo che ktφkr0 ,s0 ≤ kφkr0 ,s0 10

e dunque la tesi segue applicando il Lemma 1.7 alla hamiltoniana tφ e avendo osservato che ovviamente (1 −

kφkr0,s0 −1 ktφkr0 ,s0 −1 ) ≤ (1 − ) . G G

Lemma 1.9 Supponiamo che 0 < r − ρ < r e 0 < s − σ < s e che max k i

n X ∂φ ∂φ kr,s ≤ σ ˘, k kr,s ≤ ρ˘ ∂Ii i=1 ∂ϕi

con σ ˘ T ≤ σ, ρ˘T ≤ ρ dove T `e un tempo positivo. Avremo che se (I0 , ϕ0 ) := (I(0), ϕ(0)) ∈ Wr−ρ,s−σ allora Xφt (I(0), ϕ(0)) = (I(t), ϕ(t)) ∈ Wr,s ∀ t con |t| ≤ T e, inoltre, per gli stessi tempi valgono |I(t) − I(0)| =

n X

|Ii (t) − Ii (0)| ≤ ρ˘T

i=1

|ϕ(t) − ϕ(0)|∞ = max |ϕi (t) − ϕi (0)| ≤ σ ˘ T. i

˜ ϕ(t)) Sia inoltre (I˜0 , ϕ˜0 ) ∈ Wr−ρ,s−σ 2 e (I(t), ˜ = Xφt (I˜0 , ϕ˜0 ). Denotiamo 2φ P kr,s , cII ≥ ∆I0 := |I0 − I˜0 | e ∆ϕ0 := |ϕ0 − ϕ˜0 |∞ e cϕϕ ≥ 1≤i,j≤n k ∂ϕ∂i ∂ϕ j 2

φ maxi,j k ∂I∂i ∂I kr,s , cIϕ ≥ maxi j

P

2

1≤j≤n

φ k ∂I∂i ∂ϕ kr,s e sia3 c2Iϕ = cϕϕ cIϕ . Siano j

∆I := 2T (cIϕ ∆I0 + cϕϕ ∆ϕ0 ) ∆ϕ := 2T (cII ∆I0 + cIϕ ∆ϕ0 ). Allora per ogni |t| < T con la condizione T ≤ (4cIϕ )−1 abbiamo: ˜ − I0 + I˜0 | < ∆I, |ϕ(t) − ϕ(t) |I(t) − I(t) ˜ − ϕ0 + ϕ˜0 |∞ < ∆ϕ. 2 3

Supporremo il dominio P convesso. Questa `e solo un’ipotesi di comodo sempre possibile senza problemi.

11

Dimostrazione. Dimostreremo il tutto per t > 0 essendo il caso t < 0 analogo. Supponiamo per assurdo che esista 0 < t¯ < T che sia il primo tempo positivo per cui valga |I(t¯) − I(0)| = ρ oppure R|ϕi (t¯) − ϕi (0)| = σ ¯ ∂φ (I(τ ), ϕ(τ )) dτ per un qualche i ≤ n. Naturalmente Ii (t¯) − Ii (0) = − 0t ∂ϕ i R t¯ ∂φ e ϕi (t¯) − ϕi (0) = 0 ∂Ii (I(τ ), ϕ(τ )) dτ per le equazioni di Hamilton-Jacobi. Usando le ipotesi sulle derivate di φ abbiamo ρ=

X

|Ii (t¯) − Ii (0)| =

i

X Z

|

i

t¯

∂φ (I(τ ), ϕ(τ )) dτ | ≤ t¯ρ˘ < ρ ∂ϕi

0

ed anche σ = max |ϕi(t¯) − ϕi (0)| = max | i

i

Z

0

t¯

∂φ (I(τ ), ϕ(τ )) dτ | ≤ t¯σ ˘ 0 con H := h + g + f reale analitica su Wr,s h = h(I) e ω := h′ . Supponiamo che valga αρσ (1.1) kf kr,s < 2 con 2ρ < r, 2σ < s. Allora esiste una trasformazione simplettica reale anali˜ ϕ) tica Φ : Wr−2ρ,s−2σ −→ Wr,s tale che Φ(I, ˜ = (I, ϕ) e H ◦ Φ = h + g+ + f+ dove g+ − g = f0 e kf+ kr−2ρ,s−2σ ≤ (1 −

2 1 kf kr,s )−1 [ kf k2r,s + k{g, φ}kr−ρ,s−σ + e−Kσ kf kr,s ] αρσ αρσ

dove Φ := Xφ1 per una certa φ con φ : Wr,s → C e φ(I ′ , ϕ′ ) = (I, ϕ). Inoltre |I ′ − I| ≤

1 kf kr,s . eασ

13

∀ I ′ ∈ Dr−2ρ e |ϕ′ − ϕ|∞ ≤

1 kf kr,s αρ

∀ ϕ′ ∈ Tns−2σ . ˜ ϕ) Supponiamo inoltre che (I, ϕ), (I, ˜ ∈ Wr−2ρ,s−2σ 5 e siano6 cIϕ := cϕϕ := cIϕ ρ/σ, cII := cIϕ σ/ρ e

4 , αρσ

˜ + cϕϕ |ϕ − ϕ| ∆I := (cIϕ |I − I| ˜ ∞ )ε ˜ + cIϕ |ϕ − ϕ| ∆ϕ := (cII |I − I| ˜ ∞ )ε con ε := kf kr,s ≤ αρσ/8 allora7 ˜ ϕ) ˜ ≤ ∆I |ΠI Φ(I, ϕ) − ΠI Φ(I, ˜ − I + I| ˜ ϕ) |Πϕ Φ(I, ϕ) − Πϕ Φ(I, ˜ − ϕ + ϕ| ˜ ∞ ≤ ∆ϕ. Dimostrazione. Scriviamo H = h + g + f = h + (g + TK f ) + (f − TK f ) e H ◦ Φ = h ◦ Φ + (g + TK f ) ◦ Φ + (f − TK f ) ◦ Φ. Sviluppando i primi due addendi dell’ultima equazione avremo: h ◦ Φ = h + {h, φ} + (g + TK f ) ◦ Φ = (g + TK f ) +

Z

Z

1

0 1

0

(1 − t){{h, φ}, φ} ◦ Xφt dt {(g + TK f ), φ} ◦ Xφt dt

per cui H ◦ Φ = h + g+ + f+ = h + [{h, φ} + g + TK f ] + Z

+ [ +

Z

1

0 1

0

(1 − t){{h, φ}, φ} ◦ Xφt dt +

{(g + Tk f ), φ} ◦ Xφt dt +

+ (f − TK f ) ◦ Φ] 5 6 7

Supporremo il dominio P convesso come nel Lemma 1.9. Vedi nota 3. Indichiamo con ΠI e Πϕ le proiezioni sulle azioni e sugli angoli.

14

volendo g+ = [{h, φ} + g + TK f ] e avendo chiesto g+ − g = f0 abbiamo P {h, φ} + TK f = f0 ovvero {h, φ} = − 0 0 tale che Ks ≥ 6. Se αr kf kr,¯s+s =: ε =: ε0 ≤ 7 (1.2) 2K allora esiste Ψ : Wr∗ ,¯s+s∗ −→ Wr,¯s+s , con r∗ := r/2, s∗ := s/6, simplettica e reale analitica tale che H ◦ Ψ = h + g + f∗ , dove g = g(I) e si hanno le seguenti stime: (i) per quanto riguarda g abbiamo kg − f0 kr∗ ≤ 16

ε0 4

(1.3)

(ii) per quanto concerne f∗ , ovvero il resto, kf∗ kr∗ ,¯s+s∗ ≤ e−Ks/6 ε

(1.4)

(iii) inoltre se Ψ(I ′ , ϕ′ ) = (I, ϕ) allora ∀ (I ′ , ϕ′ ) ∈ Wr∗ ,¯s+s∗ |I ′ − I| ≤

r 10 s 3 ε ≤ 8 , max |ϕ′ − ϕ| ≤ ε ≤ 6. i αs 2 αr 2

(1.5)

˜ ϕ) (iv) Supponiamo inoltre che (I, ϕ), (I, ˜ ∈ Wr∗ ,¯s+s∗ 9 e definiamo cIϕ := 2 1 3 · 26 ( α8K 2 ρ2 ε + αrs ), cII := cIϕ s/r, cϕϕ := cIϕ r/s e ˜ + cϕϕ |ϕ − ϕ| ∆I := (cIϕ |I − I| ˜ ∞ )ε ˜ ∆ϕ := (cII |I − I| + cIϕ |ϕ − ϕ| ˜ ∞ )ε

(1.6)

˜ ϕ) ˜ ≤ ∆I |ΠI Ψ(I, ϕ) − ΠI Ψ(I, ˜ − I + I| ˜ ϕ) |Πϕ Ψ(I, ϕ) − Πϕ Ψ(I, ˜ − ϕ + ϕ| ˜ ∞ ≤ ∆ϕ.

(1.7)

allora10

Dimostrazione. Supponiamo da principio che ε0 e−Ks ≤ αρ0 σ0

(1.8)

dove ρ0 := r/8, σ0 := s/6. L’idea `e usare il Lemma Iterativo con r1 := r − 2ρ0 = 3/4r e s1 := s − 2σ0 = 2/3s. Essendo poi kf kr,¯s+s =: ε =: αρ0 σ0 ε0 ≤ 2αr l’applicabilit`a del Lemma 1.10 `e ampliamente garantita 7K ≤ 16 cos`ı che se definiamo W1 := Wr1 ,¯s+s1 allora otteniamo una trasformazione Φ0 : W1 → Wr,¯s+s con H ◦ Φ0 = h + g0 + f1 , dove g0 = f0 e usando la (1.8) kf1 k1 := kf1 kr1 ,¯s+s1 =: ε1 2ε0 −1 ε0 ) [ + e−Ks ]ε0 ≤ (1 − αρ0 σ0 αρ0 σ0 2ε0 −1 2ε0 ≤ (1 − ) ε0 αρ0 σ0 αρ0 σ0 ε0 ε0 16ε0 ε0 ≤ ≤ . ≤ 7αρ0 σ0 7 4 9 10

Supporremo il dominio P convesso come nel Lemma 1.9. Indichiamo con ΠI e Πϕ le proiezioni sulle azioni e sugli angoli.

17

(1.9)

Se poi (u, ϕ) = Φ0 (u(1) , ϕ(1) ) sempre dal Lemma 1.10 abbiamo che |I (1) − I| ≤

8 6 (1) ε0 , max |ϕi − ϕi | ≤ ε0 i eαs αr

∀ (I (1) , ϕ(1) ) ∈ W1 . < L + 1. Definiamo ρ := Sia ora L ∈ N tale che L ≤ 12Ks ln 2 e osserviamo anche che con questa posizione si ha che

(1.10)

r 8L

e σ :=

Ks ≥ 8L,

s , 4L

(1.11)

e si definiscano inoltre ∀1 ≤ i ≤ L ri := ri−1 − 2ρ = r1 − 2(i − 1)ρ e si := si−1 − 2σ = s1 − 2(i − 1)σ e Φi : Wi+1 → Wi := Wri ,¯s+si con Hi := Hi−1 ◦ Φi−1 =: h + gi−1 + fi su Wi ed inoltre εi := kfi kWi =: kfi ki . Osservando che Wi+1 ⊆ Wi possiamo iterare il Lemma 1.10 perch´e verifichiamo per 16ε0 induzione che εi ≤ ε1 e allora, usando la (1.11) ed essendo ε1 ≤ 7αρ ε0 per 0 σ0 αsρ Lαρσ αrs 16ε0 6ε0 αrs ≤ cui ε0 ≤ 27 Ks ≤ 210 L = 27 = 25 otteniamo εi ≤ ε1 ≤ 7αrs 48ε0 ≤ 7Ks 3αρσ 6ε0 ≤ 7·27 da cui si evince che il Lemma iterativo `e applicabile ad ogni 7·8L passo. Possiamo vedere ancora di pi´ u ovvero che εi ≤ 41−i ε1 , ∀1 ≤ i ≤ L + 1 e kgi − gi−1 ki = k(fi )0 k ≤ εi, ∀ 1 ≤ i ≤ L. Mostriamo ora per induzione che P εi+1 ≤ 41 εi . Per stimare fi+1 osserviamo che gi−1 = i−1 j=0 (fj )0 , se poniamo 1 1 f0 := f. Dal momento che kφiki ≤ α kfi ki = α εi stimiamo k{gi−1 , φi}kri −ρ,¯s+si −σ ≤

i−1 X

k{(fj )0 , φi }kri −ρ,¯s+si −σ

j=0 i−1 X

≤

1 k(fj )0 kj kφiki j=0 e(rj − ri + ρ)σ

≤

i−1 εi ε0 εj εi X ≤ [ε1 + ] eασ j=0 rj − ri + ρ 2αρσ L

usando il Lemma 1.6, il fatto che per j > 0 si ha rj −ri +ρ ≥ ri−1 −ri +ρ = 3ρ, mentre per j = 0 si ha r − ri + ρ ≥ r − r1 + ρ ≥ 2Lr e aver utilizzato l’ipotesi induttiva εj ≤ 41−j ε1 . Usando il fatto che e−Ks ≤ 1/8, che ε1 ≤ 3αρσ e εi ≤ ε1 otteniamo sempre 7·27 usando il Lemma 1.10 εi+1 = kfi+1 ki+1 18

1 ε0 2εi −1 εi ) [ + (ε1 + ) + e−Ks ]εi αρσ αρσ 2αρσ L ε0 1 2ε1 −1 3ε1 ) [ + + ]εi ≤ (1 − αρσ 2αρσ 2αρσL 8 1 1 1 1 εi ≤ (1 − 7 )−1 [ 7 + 6 + ]εi ≤ . 2 2 2 8 4 ≤ (1 −

Osservando che

Ks 12 ln 2

≤ L + 1 si ha la seguente stima

kf∗ kr∗ ,¯s+s∗ = kfL+1 kL+1 = εL+1 ≤ 4−L ε1 Ks

≤ 4−(L+1) ε0 ≤ 4− 12 ln 2 ε0 = e−Ks/6 ε0 . Inoltre kg − g0 kr∗ ≤

L X

kgi − gi−1 kri ≤

εi

i=1

i=1 L X

≤ 4

L X

1 4 e0 ( )i ε 1 = ε 1 ≤ 3 4 i=1 4

Definiamo Ψ := φ0 ◦ · · · ◦ φL e (I (i) , ϕ(i) ) = Φi ((I (i+1) , ϕ(i+1) )) con (I, ϕ) = (I (0) , ϕ(0) ) e (I ′ , ϕ′ ) = (I (L+1) , ϕ(L+1) ). Usando la stima precedente, che in P 210 ε2 particolare implica Li=1 εi ≤ 7αrs0 , la (1.11), la (1.10) e il Lemma 1.10 che 1 4L dice |I (i+1) − I (i) | ≤ eασ εi = eαs εi avremo |I − I ′ | = |I (L+1) − I (0) | ≤

L X

|I (i+1) − I (i) |

i=0

L X

6 4L r 7 ε0 + ε0 ≤ 8 . εi ≤ eαs eαs i=1 eαs 2

≤

Analogamente per gli angoli avremo max |ϕ′i − ϕi | ≤ i

s 10 ε0 ≤ 6 . αr 2

Passiamo ora all’ultima parte del Teorema. Definiamo (I [0] , ϕ[0] ) := (I, ϕ), ˜ ϕ), (I , ϕ˜[0] ) := (I, ˜ (I [i] , ϕ[i] ) := ΦL−i+1 (I [i−1] , ϕ[i−1] ), (I˜[i] , ϕ˜[i] ) := ΦL−i+1 (I˜[i−1] , ϕ˜[i−1] ) e inoltre yi := (I [i] − I˜[i] , ϕ[i] − ϕ˜[i] ) e11 zi := (yi )∗ per ogni ˜[0] 11

Ricordando le notazioni del Lemma 0.10.

19

i ≤ L + 1. Sia inoltre wi := (∆I [i] , ∆ϕ[i] ) := 4i Bzi per ogni 0 ≤ i ≤ L − 1 3·4L ε mentre wL := (∆I [L] , ∆ϕ[L] ) := B ′ zL dove B ′ := 8L 2ε B e 1 B :=

a b c a

!

9

2 dove12 a := L2 4−L αrs ε1 , b := ar/s e c := as/r. Per applicare il Lemma 1.10 28 L2 basta verificare che αrs ε1 ≤ 1 come segue dal fatto che, come abbiamo visto, ; allora segue che per j ≤ L abbiamo (yj −yj−1)∗ ≤ wj−1 . Usando ora ε1 ≤ αρσ ·28 P il Lemma 0.10 con ci := 4i otteniamo13 (yi − y0 )∗ ≤ Bz0 ik=1 2k−1 ak−1 dik ≤ 4i Bz0 se i ≤ L. Essendo poi ε0 ≤ αρ80 σ0 possiamo applicare ancora il Lemma 1.10 e avere: (yL+1 − yl )∗ ≤ wL = B ′ zL . Osservando che zL ≤ z0 + 4L Bz0 e che B 2 = 2aB, ne segue che (yL+1 − y0 )∗ ≤ (yL+1 − yL )∗ + (yL − y0 )∗ ≤ L 3ε42L 2 3ε4L L L B ′ zL + 4L Bz0 ≤ 8ε3ε4 2 BzL + 4 Bz0 ≤ 8ε L2 B z0 + ( 8ε L2 + 4 )Bz0 ≤ (1 + 1L 1 1 2 2s ε ) 3 4L Bz0 ; da questo, osservando che 4Lε ε1 ≤ 8K ε, segue la tesi. 4ε1 L2 2 αr

u semInvece nel caso in cui abbiamo e−Ks/6 > αρε00σ0 la stima `e molto pi´ r s plice in quanto `e sufficiente un solo passo definendo ρ := 4 e σ := 3 vediamo subito che r − 2ρ = r∗ e s − 2σ = 2s∗ . Verifichiamo subito l’applicabilit´a del Lemma 1.10 con g = 0, essendo αr αrs αρσ αρσ kf kr,¯s+s =: ε ≤ ≤ = 6 < . AK 6A 2 2 Definendo Ψ := Φ si ha subito la (i) essendo g − f0 = 0, inoltre 2ε −1 1 ) [ ε + e−Ks/3 ]ε αρσ αρσ 2ε −1 1 −Ks/6 ≤ (1 − ) [ e + e−Ks/6 · e−Ks/6]ε αρσ 4 1 1 1 ≤ (1 − 5 )−1 [ + ]e−Ks/6 ε ≤ e−Ks/6ε 2 4 e Banalmente si ha anche ε 4ε |I ′ − I| ≤ , max |ϕ′i − ϕi | ≤ . eασ αr kf∗ kr∗ ,¯s+s∗ ≤ (1 −

12

Ricordando che εk ≤ 41−k ε1 . Pm−1 L’ultima disuguaglianza si ottiene facilmente considerando che, se x ≥ 2, s=0 xs ≤ Pi 2 2xm−1 da cui derivano le stime dik ≤ 4ki /2k e k=1 2k−1 ak−1 dik ≤ 4i ; dove abbiamo usato il fatto che, per definizione di ε1 , a4L ≤ 1/2. 13

20

Le ultime due stime si dimostrano analogamente al caso precedente.

2

Teorema KAM

Teorema 2.1 Consideriamo la hamiltoniana reale analitica H = h + f con h = h(I) e f = f (I, ϕ) con estensione analitica al dominio complesso WR,S := PR × TnS . Siano ρ, s¯, s > 0 tali che ρ < R e s¯ + s < S. Suppo¯ niamo inoltre che ρ ≤ 1 e s ≤ 1/4. Fissiamo I¯ ∈ P tale che ω := h′ (I) MF ′′ sia γ-τ diofantino. Definiamo F := kf kρ,¯s+s , M := kabs(h )kρ , x := γ 2 , K := 6s ln x−1 , ρ˜ := pM Kγ τ +1 , L := max{2kU −1 kρ , M −1 } dove U :=

¯ ω h′′ (I) ω 0

!

`e invertibile. Chiediamo che x ≤ e−2(τ +1) , che s ≤ 1/4 e che p ≥ 2 sia tale che ρ˜ ≤ ρ. Supponiamo infine che valga la condizione: 6 c1 ( )2(τ +1) (LM)2 x(ln x−1 )2(τ +1) ≤ 1 s

(2.1)

dove c1 := p2 n27 . Inoltre esiste una applicazione analitica ¯ < (pqK 2(τ +1) x)˜ χ :→ {I ∈ Rn , |I − I| ρ} × Tn con χ(ϕ) = (v(ϕ), ϕ+u(ϕ)), tale che H(χ(ϕ)) = E e χtH (χ(ϕ)) = χ(ϕ+ω∞ t). Lemma 2.2 Consideriamo una hamiltoniana H = h(I) + f (I, ϕ) analitica ¯ ρ,s := {(I, ϕ) ∈ Cn × Cn |I − I| ¯ < ρ Im |ϕi | < s¯ + s} per (I, ϕ) ∈ Ω := Ω(I) ¯ sia diofantino con ρ, s¯, s positivi fissati. Supponiamo inoltre che ω := h′ (I) τ n |ω · k| ≥ γ/|k| per certi γ, τ positivi e ∀k ∈ Z − {0}. Siano F ≥ kf kρ,¯s+s , 6 1 M ≥ kabs(h′′ )kρ , x := FγM ˜ := pM Kγ τ +1 tale che ρ˜ ≤ ρ ≤ 1. 2 , K := s ln x , ρ Supponiamo pure che s ≤ 1/4 e Ks ≥ 6. Supponiamo che γ ρ˜ (2.2) F ≤ c2 τ +1 K 21

˜ := Ω(I) ¯ ρ˜/2,¯s+s/6 → Ω con allora esiste una trasformazione canonica Φ : Ω 3qK τ 8 Φ(I+ , ϕ+ ) = (I, ϕ), |I+ − I| ≤ γs F ≤ ρ˜/2 e maxi |ϕ+ − ϕ|∞ ≤ 10qK τ γ ρ˜F ≤ s/26 e tale che H+ := H ◦ Φ = h+ + f+ dove h+ (I+ ) = h(I+ ) + g(I+ ) con kgkρ˜/2 ≤ 54 F e kf+ kρ˜/2,¯s+s/6 ≤ F x. Supponiamo inoltre che la matrice U :=

¯ ω h′′ (I) ω 0

!

sia invertibile e se L ≥ max{2kU −1 k, M −1 } sia soddisfatta la condizione14 L2 M F ≤1 (2.3) ρ˜2 ¯ ≤ r e |α+ | ≤ r dove r := allora esistono I¯+ ∈ Rn e α+ ∈ R con |I¯+ − I| ρ ˜ ¯ e h′ (I¯+ ) = ω+ = (1 − α+ )ω. 8n LF ≤ 16 e valgono h+ (I¯+ ) = E = h(I) + ρ˜ ρ˜ Se γ+ := (1 − 16 )γ allora ω+ `e γ+ -τ diofantino. Se poi ! h′′+ (I¯+ ) ω+ U+ := ω+ 0 c3

allora kU+−1 k ≤ 2kU −1 k. I valori delle costanti sono: c2 = 1/q = 1.

1 27 q

e c3 = 27 n dove q `e tale che 1/p +

Dimostrazione. La prima parte del Lemma segue dal Teorema 1.11 con ¯ α = γ/qK τ infatti se I ∈ B(I, ¯ ρ˜) abbiamo |h′ (I) · k| ≥ r = ρ˜, D = {I}, |ω · k| − M ρ|k| ˜ ≥ α. Per quanto riguarda la seconda parte osserviamo invece che, mostrando l’invertibilit`a della funzione G(y) := G(I+ , α) := (h′+ (I+ )−(1−α)ω, h+(I+ )− ¯ 0) ad un intorno di G(y0 ) = E), da un intorno di raggio r del punto y0 := (I, ′ ¯ ¯ (g (I), g(I)) sufficientemente grande da contenere l’origine, si pu`o ottenere (I¯+ , α+ ) = G−1 (0). Per il teorema della funzione inversa sar`a sufficiente mostrare che: (i) |G(y0)| ≤ r/2kT k 14

Osserviamo inoltre che questa condizione implica la (2.2) infatti

2

c3 Lρ˜2M F ≤ 1.

22

F K τ +1 c2 γ ρ˜

≤ c3 MFρ˜2 ≤

(y)k ≤ (ii) sup|y−y0 |≤r kId − T ∂G ∂y

1 2

(y0 ))−1 . Osserviamo che kT k ≤ L. Infatti T = (U + V )−1 dove dove T := ( ∂G ∂y V :=

¯ 0 g ′′(I) ′ ¯ g (I) 0

!

e dunque usando la (2.3), il Lemma 0.5 e li punto vi) del Lemma 0.3 con ¯ + kg ′(I)k ¯ ≤ ( 8n2 + n )|g|ρ˜/2 ≤ A = U e B = V, otteniamo kV k ≤ kg ′′ (I)k ρ˜ ρ˜ 1 1 20n F ≤ 2L ≤ 2kU −1 k , avendo usato LM ≥ 1 e ρ˜ ≤ 1. ρ˜2 ¯ + |g(I)| ¯ ≤ La i) `e allora verificata con l’aiuto del Lemma 0.5: |g ′(I)| 2n 4n r ( ρ˜ + 1)|g|ρ˜/2 ≤ ρ˜ F ≤ 2kT k , dove abbiamo usato ancora ρ˜ ≤ 1. Per mostrare la ii) osserviamo che kabs(h′′+ )kρ˜/4 ≤ 2M; infatti usando il 5 Lemma 0.5 e la (2.3) kabs(h′′ )kρ˜/2 + kabs(g ′′)kρ˜/2 ≤ M + 2ρ˜2n |g|ρ˜/2 ≤ 2M. La ii) segue allora dal Lemma 0.3 punto iv), dal Lemma 0.6 e dalla condizione (2.3): kId − T ∂G (y)kr = kT ∆ ∂G k ≤ kT k(k∆h′′+ kr + |∆h′+ |r ) ≤ ∂y ∂y r r kabs(h′′+ )kρ˜/4 + rkh′′+ kr ) ≤ 8r kT kkabs(h′′+ )kρ˜/4 ≤ 8r kT kM ≤ 12 dove kT k( ρ˜/4−r ρ˜ ρ˜ ρ˜ r abbiamo usato ancora ρ˜ ≤ 1 e r ≤ 16 per mostrare che ( ρ˜/4−r + 1) ≤ ρ8˜ . ¯ + |g ′(I¯+ )| ≤ Mr + 4n |g|ρ˜/2 ≤ Stimiamo ora: |ω+ − ω| ≤ |h′ (I¯+ ) − h′ (I)| ρ˜ F LM LM 13n F + 5n ≤ 13n F ≤ 13n F ≤ dove abbiamo usato LM ≥ 1 8n LM 2 ρ˜ ρ˜ ρ˜ ρ˜ c3 L ′′ ¯ ′′ ¯ ′′ ¯ e ρ˜ ≤ 1. Inoltre, sempre usando LM ≥ 1 : kh+ (I+ ) − h (I)k + kg (I+ )k ≤ 2 5F LM 2r M + n (˜ρ/4) F + 40n ρ˜F2 ≤ 56n LM F ≤ c56n . 2 4 ≤ 16n ρ ρ˜ ˜2 ρ˜2 3L Scriviamo U+ = U + V con V :=

¯ + g ′′ (I¯+ ) ω+ − ω h′′ (I¯+ ) − h′′ (I) ω+ − ω 0

!

′′ ¯ ¯ allora per quanto visto e per il Lemma 0.3 kV k ≤ kh′′ (I¯+ )−h′′ (I)+g (I+ )k+ 82n 1 1 −1 −1 2|ω+ − ω| ≤ c3 L ≤ L ≤ 2kU −1 k ; da questo segue kU+ k ≤ 2kU k. Possiamo ora applicare il precedente Lemma alla hamiltoniana del Teorema 2.1 infatti si vede subito che Ks = 6 ln x−1 ≥ 6e2(τ +1) ≥ 6 e la (2.3) `e esattamente la (2.1). Otteniamo allora una trasformazione canonica Φ := Φ0 = Φ0 (I (1) , ϕ(1) ) tale che H1 := H◦Φ0 = h1 (I (1) )+f1 (I (1) , ϕ(1) ) `e definita su Ω1 := Ω(I¯(1) )ρ1 ,¯s+s1 ¯ e h′ (I¯(1) ) = ω1 = (1 − α1 )ω ⊂ Ω con I¯(1) ∈ Rn tale che h(I¯(1) ) = E = h(I) 1 dove α1 ∈ R.

23

Definiamo ricorsivamente: sj := Fj := xj := Kj := γj :=

sj−1 s = j 6 6 Mj−1 2 Fj−1 Mj := 3Mj−1 2 γj−1 Mj Fj Lj := 2Lj−1 γj2 1 γj 6 ln ρ˜j := sj xj pMj Kjτ +1 ρ˜j−1 ρ˜j−1 )γj−1 ρj := (1 − 16 4

Allora valgono: i) kfj kρj ,¯s+sj ≤ Fj ii) kabs(h′′j )kρj ≤ Mj iii) Kj sj ≥ 6 iv) γ ρ˜j ρ˜j ≤ ρj v) Fj ≤ c2 Kjτ +1 vi) ωj `e γj -τ diofantino vii) Lj ≥ max{2kUj−1 k, Mj−1 } j

L2 Mj c3 jρ˜2 Fj j

≤ 1. viii) Infatti la base induttiva `e vera per ipotesi e, supponendo che le precedenti disuguaglianze siano vere fino a j − 1, mostriamole per j : i) kfj kρj ,sj ≤ j−1 2 ′′ Fj−1 ii) kabs(h′′j )kρj ≤ kabs(h′′j−1)kρj + kabs(gj−1 )kρj ≤ Fj−1 xj−1 = M γ2 j−1

7

8

Mj−1 + n suph,k |∂hk gj−1 |ρj ≤ Mj−1 + ρ˜n2 |gj−1 |ρ˜j /2 ≤ Mj−1 + ρ˜n2 Fj−1 ≤ 2 2 j−1 j−1 3Mj−1 . Prima di proseguire mostriamo che per ogni 1 ≤ i ≤ j vale γi ≥ 1 i−1 γ ; infatti γi = (1 − ρ˜16 )γi−1 ≥ 21 γi−1 perch´e per ipotesi induttiva 2 i−1 ρ˜i−1 ≤ ρi−1 = ρ˜i−2 ≤ . . . ≤ 1. Mostriamo inoltre per induzione che per 2 Mi Fi γi−1 xi i ogni 1 ≤ i ≤ j vale anche xi ≤ xi−1 ; infatti xi−1 ≤ 12 FFi−1 = Mi−1 = Fi−1 γi2 12xi−1 quindi la base induttiva per i = 1 `e vera per come `e stato scelto x0 , inoltre se `e valida fino a i − 1 allora si avrebbe xi−1 ≤ x0 e quindi xi ≤ x0 ≤ 1. La iii) risulta ora evidente dal fatto che xj ≤ e−1 . La iv) xi−1 ρ˜

ln 1/x

j−1 τ +1 j ≤ 13 ( 6 ln 1/x ) ≤ 31 ( 61 )τ +1 ≤ 14 . La vi) sesi pu`o mostrare cos`ı : ρ˜j−1 j gue dal Lemma 2.2 ed anche la vii) infatti Lj ≥ L0 ≥ M0−1 ≥ Mj−1 e Fj −1 Lj = 2Lj−1 ≥ 4kUj−1 k ≥ 2kUj−1 k. Notiamo poi che Fj−1 = xj−1 e che quindi

xj−1 xj

6

≤

Fj−1 3Fj

ln x−2 j−1 −ln 3 ln x−1 j−1

=

1

. Da questa disuguaglianza discendono: 3xj−1

≤ 12 e

ρ˜j ρ˜j−1

=

γj Mj−1 Kj−1 τ +1 ( Kj ) γj−1 Mj

viamo infine che dal fatto che s ≤ 1/2 e 24

Kj Kj−1

ln x−1

j ≤ = 6 ln x−1 j−1

1 τ +1 ≥ 16 ( KKj−1 )τ +1 ≥ 16 ( 12 ) . Osserj che 3(12)2 ≤ c1 segue: 3(12)2(τ +2) x ≤

c1 (12)2(τ +1) x ≤ c1 ( 6s )2(τ +1) x ≤ 1 dove l’ultima disuguaglianza segue dalla (2.1). Per quanto detto c3

L2j Mj Fj ρ˜2j

≤ 3(12)2(τ +1) c3

L2j−1 Mj−1 Fj ρ˜2j−1

F

j ≤ 3(12)2(τ +1) Fj−1

= 3(12)2(τ +1) xj−1 ≤ . . . ≤ 3(12)2(τ +1) x ≤ 1. Questo mostra la viii) da cui segue pure la v) per quanto detto alla nota 14. Da quanto detto segue che possiamo iterare il Lemma 2.2 e ottenere allora delle trasformazioni canoniche Φj−1 = Φj−1 (I (j) , ϕ(j) ) tale che le Hj := Hj−1 ◦ Φj−1 = hj (I (j) ) + fj (I (j) , ϕ(j) ) siano definite su Ωj := Ω(I¯j )ρj ,¯s+sj ⊂ Ωj−1 con I¯j ∈ Rn tale che hj (I¯j ) = E = hj−1 (I¯j−1) e h′j (I¯j ) = ωj = (1 − αj )ω dove αj ∈ R. Osserviamo poi che ρ˜j ≤ ρj ≤ 41 ρ˜j−1 ≤ . . . ≤ 41j ρ˜. Facciamo la se-

qKjτ +1 Fj = γj ρ˜j 2(τ +1) (122(τ +1)+1 x0 )j pqK0 x0

guente stima15

2(τ +1)

pqKj

j −1

xj ≤ pq122(τ +1)j (12x0 )2

2(τ +1)

K0

x0 ≤

3qKjτ

≤ 4−j pqK 2(τ +1) x =: Gj . Essendo poi γj sj Fj ≤ P ¯ Gj ρ˜j /2, abbiamo che la successione I¯j `e di Cauchy in Rn perch´e ∞ j=1 |Ij − P P −j I¯j−1 | ≤ 12 ∞ ˜j−1 ≤ ρ2˜ ∞ ≤ pqK 2(τ +1) x˜ ρ < ∞; perci`o esiste j=1 Gj ρ j=0 Gj 4 n I¯∞ ∈ R tale che limj→∞ I¯j = I¯∞ e inoltre I¯∞ ∈ B(I¯j , ρj ) per ogni j essendo P ρ ρj P∞ −i ¯ ¯ = 12j . |I¯j − I¯∞ | ≤ ∞ i=0 4 i=j |Ii − Ii+1 | ≤ 16 13n Dal Lemma 2.2 segue anche che |ωj − ωj−1 | ≤ c313n = c3 L2 j−1 e quindi ωj Lj−1 n `e una successione di Cauchy in R e quindi converge ad un certo ω∞ ∈ Rn . Sia Ψj := Φ0 ◦ · · · ◦ Φj−1 : Ωj → Ω e se 0 ≤ j < i sia Ψji := Φj ◦ · · · ◦ Φi−1 : Ωi → Ωj mentre Ψjj `e l’identit`a su Ωj . Definiamo inoltre χj (ϕ) := Ψj (I¯j , ϕ) : Tsn¯ → Ω. Osserviamo che ρ˜j+i ≤ ρ˜j 4−i e sj+i = sj 6−i ed anche che |ΠI Φj (I, ϕ)−I| ≤ ρ˜j /28 e |Πϕ Φj (I, ϕ) − ϕ|∞ ≤ sj /26 , se con ΠI e Πϕ intendiamo, come al solito, le proiezioni sulle azioni e sugli angoli. Sia h ≥ 0 allora, essendo P j+i+1 j+i+1 |Ψjj+h (I, ϕ) − (I, ϕ)| ≤ h−1 i=0 |Φj+i (Ψj+h (I, ϕ)) − Ψj+h (I, ϕ)|, otteniamo P P −i |ΠI Ψjj+h (I, ϕ) − I| ≤ 218 h−1 ˜j+i ≤ 2ρ˜8j h−1 ≤ ρ2˜7j e |Πϕ Ψjj+h (I, ϕ) − i=0 ρ i=0 4 P P sj s h−1 −i ≤ 25j per ogni (I, ϕ) ∈ Ωj+h . ϕ|∞ ≤ 216 h−1 i=0 sj+i ≤ 26 i=0 6 j

15

Usiamo il fatto che per quanto visto si hanno le disuguaglianze xj ≤ 12−1 (12x0 )2 , 2(τ +1) 2(τ +1) , 2j − 1 ≥ j e che per la (2.1) 122(τ +1)+1 x0 ≤ 4−1 . ≤ 122(τ +1)j K0 Kj

25

2(τ +1)

8q 2 Kj γj2 ρ˜2 3(τ +1)+1

Inoltre aj := 3 · 26 (

3 122(τ +1)+1 x ≤ 1 e 12 2 aj rs˜jj ≤ 4−j 26 pqK 2(τ +1) x rs˜

Fj +

qKjτ )Fj γj ρ˜j sj

≤ 26 Gj Similmente16 essendo

x ≤ 1 dal momento che s ≤ 1/4, abbiamo: e ≤ 4−j 26 pqK 2(τ +1) x rs˜ . Consideriamo ora ΨL+1 = Φ0 ◦ · · · ◦ ΨL per ogni L ∈ N e definiamo [i] I , ϕ[i] , I˜[i] , ϕ˜[i] , yi , zi , wi e B come nella dimostrazione del Teorema 1.11 eccetto per a, b, c che, per la precedente disuguaglianza, prendendo j = L − i, definiamo a := 4−L 26 pqK 2(τ +1) x, b := a ρs˜ , c := a ρs˜ ; allora (yL+1 − y0 )∗ ≤ ˜ ϕ) 4L+1 Bz0 . Da quanto detto, prendendo j = L + 1, segue che se (I, ϕ), (I, ˜ ∈ 8 2(τ +1) Ωj allora se poniamo cIϕ := 2 pqK x, cϕϕ := cIϕ ρ˜/s, cII := cIϕ s/˜ ρ ˜ ˜ ∆I := (cIϕ |I − I| + cϕϕ |ϕ − ϕ| ˜ ∞ ) e ∆ϕ := (cII |I − I| + cIϕ |ϕ − ϕ| ˜ ∞ ) avremo ˜ ˜ ˜ |ΠI Ψj (I, ϕ)−ΠI Ψj (I, ϕ)−I ˜ + I| ≤ ∆I e |Πϕ Ψj (I, ϕ)−Πϕ Ψj (I, ϕ)−ϕ+ ˜ ϕ| ˜∞≤ ∆ϕ. Vogliamo ora mostrare che χj `e una successione di Cauchy-uniforme e che quindi converge ad una certa funzione analitica χ∞ : Tsn¯ → Ω. Naturalmente poniamo χ := χ∞ . Per ogni ϕ ∈ Tsn¯ abbiamo la seguente stima: (χj+h (ϕ) − χj (ϕ))∗ = (Ψj (Ψjj+h (I¯j+h , ϕ))−Ψj (I¯j , ϕ))∗ ≤ (Ψj (Ψjj+h (I¯j+h , ϕ))−Ψj (I¯j , ϕ)− Ψjj+h (I¯j+h , ϕ) + (I¯j , ϕ))∗ + (Ψjj+h(I¯j+h , ϕ) − (I¯j , ϕ))∗ ≤ M(Ψjj+h (I¯j+h , ϕ) − (I¯j , ϕ))∗ + (Ψjj+h (I¯j+h , ϕ) − (I¯j , ϕ))∗ , dove M `e la matrice aj rs˜jj

M :=

cIϕ cϕϕ cII cIϕ

!

.

Per concludere basta osservare che (Ψjj+h (I¯j+h , ϕ)−(I¯j , ϕ))∗ ≤ (Ψjj+h (I¯j+h , ϕ) −(I¯j+h , ϕ))∗ + ((I¯j+h , ϕ) − (I¯j , ϕ))∗ ≤ (˜ ρj /27 , sj /25 ) + (|I¯j+h − I¯j |, 0). T Fissiamo T > 0 e ϕ ∈ Tsn¯ , vogliamo mostrare che XH (χ∞ (ϕ)) − χ∞ (ϕ + T T ω∞ T ). Sia j ∈ N, abbiamo (XH (χ∞ (ϕ)) − χ∞ (ϕ + ω∞ T ))∗ ≤ (XH (χ∞ (ϕ)) − T T XH (χj (ϕ)))∗ +(XH (χj (ϕ))−χj (ϕ+ω∞ T ))∗ +(χ∞ (ϕ+ω∞ T )−χ∞ (ϕ+ω∞ T ))∗ , dove il primo e il terzo pezzo tendono a zero con j → ∞ perch´e χj converge uniformemente e quindi puntualmente a χ∞ e per la continuit`a dai dati t iniziali del flusso XH . Per la commutativit`a del flusso hamiltoniano con le traT sformazioni canoniche e quanto detto della matrice M abbiamo (XH (χj (ϕ))− T ¯ T ¯ ¯ χj (ϕ + ω∞ T ))∗ = (Ψj (XHj (Ij , ϕ)) − Ψj (Ij , ϕ + ω∞ T ))∗ ≤ M(XHj (Ij , ϕ) − T ¯ T ¯ (I¯j , ϕ + ω∞ T ))∗ ; inoltre (XH (Ij , ϕ) −(I¯j , ϕ + ω∞ T ))∗ ≤ (XH (Ij , ϕ) −(I¯j , ϕ + j j 1 τ +1 ) )˜ ρ ≤ ρ˜j ≤ ( 14 )j ρ˜; e quindi che Osservando che sj = s/6j e ( 16 ( 12 ≤ (12τ +1 )j ρs˜

16 sj ρ˜j

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ρ˜j sj

≤ ( 32 )j ρs˜ e

ωj T ))∗ + (I¯j , ϕ + ωj T ) − (I¯j , ϕ + ω∞T ))∗ dove l’ultimo pezzo tende a 0 perch´e ˜ j (I, ϕ) := Hj (I, ϕ)−ωj I allora (X T (I¯j , ϕ)−(I¯j , ϕ+ωj T ))∗ = ωj → ω∞ . Se H Hj T ¯ 17 ¯ (XH ( I , ϕ) − ( I , ϕ)) . Vogliamo ora applicare il Lemma 1.9 alla hamiltoj ∗ ˜j j ˜j ˜j ∂H H j j j ¯ j = ∂f e ∂∂I = ∂h − ∂h (Ij ) + ∂f e usando ∂ϕ ∂ϕ ∂I ∂I ∂I Pn ˜ F ∂H il Lemma 1.5 otteniamo i=1 k ∂ϕij kρ˜j /2,¯s/2 ≤ s¯j =: ρ˘j e, usando il Teorema ˜ della media, max1≤i≤n k ∂∂IHij kρ˜j /2,¯s/2 ≤ (Mj ρ˜2j + ρ˜2j Fj ) =: σ ˘j . Se j `e abbastanza grande abbiamo18 ρ˘j T ≤ ρ˜j /4 e σ ˘j T ≤ s¯/4 e quindi possiamo applicare il T ¯ Lemma 1.9 e ottenere (XH ( I , ϕ)−( I¯j , ϕ+ωj T ))∗ ≤ (˘ ρj T, σ ˘j T ) che tende a 0. j j T Questo conclude la dimostrazione del fatto che XH (χ∞ (ϕ)) = χ∞ (ϕ + ω∞ T ) n

˜ j ; osservando che niana H

per ogni t e ϕ ∈ T . Si verifica immediatamente il fatto che H(χ(ϕ)) = E per ogni ϕ ∈ Tn ; infatti H(χ∞ (ϕ)) = limj→∞ H(χj (ϕ)) = limj→∞ H(Ψj (I¯j , ϕ)) = limj→∞ (hj (I¯j ) +fj (I¯j , ϕ)) = E + limj→∞ fj (I¯ − j, ϕ) = E. Naturalmente v(ϕ) := limj→∞ ΠI Ψj (I¯j , ϕ) e u(ϕ) := limj→∞ Πϕ Ψj (I¯j , ϕ)− ¯ ≤ |ΠI Ψj (I¯j , ϕ) − I¯j | + |I¯j − I| ¯ ≤ ρ˜/27 + ρ˜/8 ≤ ρ˜/4. ϕ. Allora |ΠI Ψj (I¯j , ϕ) − I|

17 18

Con (˜ ρj /2, ρ˜j /4, s¯/2, s¯/4) al posto di (r, ρ, s, σ). Infatti Mj ρ˜j ≤ 43 Mj−1 ρ˜j−1 ≤ . . . ≤ ( 43 )j M ρ˜.

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