El lenguaje de las matemáticas. Historias de sus símbolos

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El lenguaje de las matemáticas

CIENCIA

PARA

TODOS

Historias de sus símbolos

L A C IE N C IA P A R A T O D O S

251

El lenguaje de las matemáticas

En 1984 el Fondo de C ultura Económ ica concibió el proyecto edito­ rial La C iencia desde México con el propósito de divulgar el conoci­ m iento científico en español a través de libros breves, con carácter introductorio y u n lenguaje claro, accesible y am eno; el objetivo era despertar el interés en la ciencia en u n público am plio y, en especial, entre los jóvenes. Los prim eros títulos aparecieron en 1986, y si en u n principio la colección se conform ó por obras que daban a conocer los trabajos de investigación de científicos radicados en México, diez años m ás tarde la convocatoria se am plió a todos los países hispanoam ericanos y cam bió su nom bre por el de La C iencia para Todos. C on el desarrollo de la colección, el Fondo de C ultura E conóm i­ ca estableció dos certám enes: el concurso de lectoescritura Leamos La C iencia para Todos, que busca prom over la lectura de la colección y el surgim iento de vocaciones entre los estudiantes de educación m e­ dia, y el Prem io Internacional de Divulgación de la Ciencia Ruy Pérez Tamayo, cuyo propósito es incentivar la producción de textos de cien­ tíficos, periodistas, divulgadores y escritores en general cuyos títulos p uedan incorporarse al catálogo de la colección. Hoy, La C iencia para Todos y los dos concursos bienales se m a n ­ tienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, con u n objetivo aún m ás am bicioso: hacer de la ciencia parte fundam ental de la cul­ tu ra general de los pueblos hispanoam ericanos.

RAÚL ROJAS GONZÁLEZ

El lenguaje de las matemáticas Historias de sus símbolos

CONACYT

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología

FONDO DE CULTURA ECONÓMICA

Primera edición, 2018

Prim era edición electrónica ( p d f) , 2018 Rojas González, Raúl El lenguaje de las matemáticas. Historias de sus símbolos / Raúl Rojas González — Méxi­ co : f c e , s e p , Conacyt, 2018 260 p . : ilu s.; 21 x 14 cm — (Colee. La Ciencia para Todos; 251) Texto para nivel medio superior ISBN 968-607-16-5971-2 1. Matemáticas — Lenguaje 2. Matemáticas — Símbolos 3. Matemáticas — Estudio y en­ señanza 4. Divulgación científica I. Ser. II. t. LC QA93

Dewey 508.2 C569 V. 251

La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. D. R. © 2018, Fondo de Cultura Económica Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Ciudad de México www.fondodeculturaeconomica.com Comentarios: [email protected] Tel. (55) 5227-4672 Diseño de portada, ilustraciones y viñetas: Laura Esponda Aguilar

ISBN 978-607-16-5971-2 (impreso) ISBN 978-607-16-6058-9 (pdf)

Hecho en México - M ade in México

ÍN D IC E

A g r a d e c i m i e n t o s ............................................................................... 13 I n t r o d u c c i ó n ........................................................................................ 15 I. P r o l e g ó m e n a ...................................................................... El n a c im ie n to d el á l g e b r a .............................................. ¿C ó m o u s a m o s lo s sím b o lo s m a te m á tic o s? . . . Las fó rm u la s m a te m á tic a s m á s b e l l a s ....................... ¿P o r q u é e x tra e m o s r a í c e s ? ..........................................

19 19 24 28 31

II. N ú m ero s y v a r i a b l e s ........................................................ Las cifras in d o a rá b ig a s y el m e rc a n tilis m o . . . El alfa b eto g rieg o y su s p re d e c e so re s ....................... El cero ....................................................................................

36 36 42 46

L a s im e tría d e lo s sím b o lo s .......................................... L a v aria b le x ...................................................................... El v a lo r a b so lu to ............................................................ Las p o te n c ia s c o m o s u p e rín d ic e ................................. L os su b ín d ic e s ................................................................. El p u n to d e c im a l ............................................................

53 56 65

III. O peradores aritm éticos ................................................... L a c ru z g rie g a de la a d ic ió n .......................................... L a su stra c c ió n y lo s n ú m e ro s a b su rd o s ................... S eg ú n A d a m R ies ............................................................

82 82

68

73 76

86

92

9

L a c ru z d e la m u ltip lic a c ió n .......................................... L a b a r r a d e la d i v i s i ó n ................................................... H o m e ro , el ó b elo y la d i v i s i ó n .....................................

95 100 103

IV. O peradores d e relación y a g r u p a m i e n t o ................... N o h a y d o s cosas m á s i g u a l e s ..................................... Los s ím b o lo s d e d e s i g u a l d a d ..................................... El (p a ré n te sis) c o n tra el v i n c u l u m ............................ L a c o m a y el p u n t o ........................................................

107 107 110 113 118

V. C álculo / A n á l i s i s ............................................................ L a g u e r r a d e las g alax ias: L e ib n iz c o n tr a N e w to n L a d e riv a d a p a r c i a l ........................................................ N a b la, el a r p a d e A siria .................................................. J o h n W allis y el i n f i n i t o ............................................. D e lta .................................................................................... L a n o ta c ió n f ( x ) y el c o n c e p to d e fu n c ió n . . . . É p silo n s, d eltas y la in v e n c ió n d e lo s n ú m e ro s r e a l e s ............................................................................... L leg ar al l í m i t e ................................................................. El d a rd o m a te m á tic o ........................................................

120 120 126 131 135 137 140 146 150 155

V I. C o nju ntos y fu n c io n e s ................................................... E xistencia: u n a v e n ta n a p a r a v e r v ariab les . . . El c u a n tific a d o r u n iv e rsa l ............................................... E es p a r a p e r t e n e n c i a ................................................... El c o n ju n to de lo s n ú m e ro s r a c i o n a l e s ................... Las m a te m á tic a s y la N a d a .......................................... U n ió n e in te rse c c ió n ........................................................ El A lep h y el p a ra ís o d e los in fin ito s ......................

161 161 165 169 170 175 182 185

V II. C onstantes ............................................................................. La im a g in a c ió n al p o d e r ............................................... Pi, c o n s ta n te d e A rq u ím e d e s y n ú m e ro lu d o lfin o El n ú m e ro d e E u ler y el c re c im ie n to e x p o n e n c ia l

191 191 195 200

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L a c o n s ta n te d e P la n c k y el c u a n to d e ac ció n . . L a v e lo c id a d d e la lu z c ...................................................

204 207

V III. C o m b in a to r ia ...................................................................... El f a c t o r i a l .......................................................................... Sigm a: s u m a to ria s c o n c o l m i l l o ................................. U n su elo y u n te c h o p a r a los n ú m e r o s ................... El sím b o lo b i n o m i a l ........................................................

212 212 215 218 221

IX. Á reas v a r i a s ...................................................................... El sím b o lo invisible: la co n v e n c ió n d e E in ste in . L a cajita de H a lm o s ........................................................ El sen o de te ta y la t r i g o n o m e t r í a ............................ El sím b o lo d e c o n g ru e n c ia y a ritm é tic a en m i n i a t u r a ................................................................. Las m atrice s: la e s tru c tu ra m a d r e ............................ P u b lic a r o m o rir. Las p rim e ra s rev istas científicas

225 225 227 229 233 236 240

^ E p í l o g o ........................................................................................ B ibliografía .................................................................................... Tabla de sím bolos y e x p r e s i o n e s ..............................................

245 247 259

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A G R A D E C IM IE N T O S

T en g o q u e ag ra d e c e rle s a lo s e stu d ia n te s d e m is c u rso s so b re h is to ria d e las m a te m á tic a s su ay u d a lo c a liz a n d o fu e n te s y d is­ c u tie n d o so b re lo s sím b o lo s. A m i e sp o sa M a rg a rita y a m i h ija T a n ia les a g ra d e z c o su c o n tin u o ap o y o d u ra n te ta n to s añ o s. M i h e r m a n a G ra ciela, ta m b ié n m a te m á tic a , m e a y u d ó a re v isa r el m a n u s c rito e n m ú ltip le s o c a sio n e s, tro p e z a n d o c o n m u c h o s d e aq u e llo s e rro re s q u e el au to r, d e ta n to v e rlo s, lo s d e sa p a re c e in ­ c o n s c ie n te m e n te d e la p á g in a . M i a m ig o el d o c to r V ícto r P érez A b re u ley ó u n a p r im e r a v e rs ió n y m e h iz o s u g e re n c ia s m u y v alio sas. T a m b ié n le a g ra d e z c o a m i su e g ra , d o ñ a H o rte n s ia A rg ü e ro , p o rq u e n u n c a d e jó d e p re g u n ta rm e so b re el m a n u s ­ c rito ..., h asta que m e obligó a term in arlo . F inalm ente, n o m e q u e ­ d a m á s q u e a g ra d e c e r al e q u ip o e d ito ria l d el f c e el m ag n ífico c u id a d o e d ito ria l d e esta e d ició n . E ste lib ro se lo d e d ic o a las n u e v a s g en e rac io n e s: a m i re cién n a c id o n ie to N ik o lai A n d re i. E sp ero q u e a lg ú n d ía lo lea, q u izás e n u n a e d ic ió n q u e p u e d a r e u n ir a ú n m á s s ím b o lo s y m á s h is ­ to ria s.

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IN T R O D U C C IÓ N La filosofia é scritta in questo grandissimo libro che con­ tinuam ente ci sta aperto innanzi a g li occhi (io dico lu niverso), m a non si puo intendere se p rim a non s’im para a intender la lingua, e conoscer i caratteri, n e’ quali é scritto. Egli é scritto in lingua m atem atica, e i caratte­ ri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali m ezi é impossibile a intenderne um anam ente parola; senza questi é un aggirarsi vanam ente per un oscuro laberinto .1

— G a lile o G a lile i,

El ensayador

El lib ro q u e el le c to r tie n e e n su s m a n o s es re s u lta ­ d o d e d é c a d a s d e d o c e n c ia e n el á re a d e las m a te ­ m áticas. El tex to in te n ta m o stra rle s a los e s tu d ia n te s d e cien c ias e in g e n ie ría q u e c o n c e p to s q u e h o y e n d ía u tiliz a m o s casi e n f o r m a a u to m á tic a tie n e n u n a la rg a h is ­ to ria , in c lu id o s sus sím b o lo s. D e sd e G alileo sa b e m o s q u e el m u n d o d e la n a tu ra le z a e s tá e sc rito e n el “le n g u aje d e las m a te ­ m á tic a s ”. Sin e m b arg o , ra ra v ez n o s a d e n tra m o s e n la h is to ria d e e s ta cien cia, lo cu a l re p re s e n ta u n a p é r d id a d o b le: p o r u n lad o , c u ltu ra l, y p o r el o tro , in c lu so d e c o n te n id o , y a q u e si sa ­ b e m o s d e d ó n d e p ro v ie n e n lo s c o n c e p to s y q u é d isp u ta s g e n e ­ ró su p r im e r a fo rm u la c ió n , e sta m o s m e jo r p re p a ra d o s p a r a u tiliz a rlo s c o m o p a r te d e n u e s tro a rse n a l m a te m á tic o . 1 La filosofía está escrita en ese libro e n o rm e que ten e m o s c o n tin u a m e n te abierto delante de n u e stro s ojos (hablo del universo), p ero que n o p u e d e en ten d erse si no a prendem os p rim e ro a c o m p re n d er la lengua y a co n o cer los caracteres con que se h a escrito. E stá escrito en lengua m atem ática, y los caracteres son triángulos, círcu­ los y otras figuras geom étricas sin los cuales es h u m an a m en te im posible e n te n d er u n a palabra; sin ellos se d eam bula en vano p o r u n laberinto oscuro [traducción de A urora B ernárdez, to m a d a de Italo C alvino, Por qué leer a los clásicos, Siruela, Bar­ celona, 2012].

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El lib ro está d iv id id o e n n u e v e cap ítu lo s c o n 54 seccio n es en to ta l. C a d a u n a d e ellas se lim ita a e x a m in a r u n o o d o s sím b o lo s m atem ático s, su h is to ria y las v aria n tes q u e p u e d e n h a b e r ten id o . L as s e c c io n e s s o n a u to c o n te n id a s , así q u e se les p u e d e le e r en c u a lq u ie r o rd e n . El lib ro está c o n c e b id o p re c is a m e n te p a r a q u e el le c to r d e a m b u le d e u n c a p ítu lo al o tro , p a r a q u e e x p lo re el o rig e n d e n u e s tro le n g u aje m a te m á tic o sig u ie n d o la in sp ira c ió n d e l m o m e n to . M i e x p e rie n c ia es q u e e sta s p e q u e ñ a s h is to ria s p u e d e n se rv ir ta m b ié n p a r a d e sp a b ila r a lo s e stu d ia n te s e n clase, p a r a d a rle s u n e m p u jó n m e n ta l c u a n d o c o m ie n z a n a a b u rrirs e o q u ie re n c la u d ic a r e n fre n ta d o s al fo rm a lis m o d el p iz a rró n . Es sie m p re in te re sa n te e sc u c h a r ac erc a d e las m a te m á tic a s d e L eibn iz o d e G a u ss, o v e r c u á n v a ria d a s c ru c e s h e m o s a d o p ta d o c o m o s ím b o lo s m a te m á tic o s. E sta e s tra te g ia d e s e c c io n e s a u to c o n te n id a s tie n e el efecto co la te ra l d e p r o d u c ir u n a c ie rta re d u n d a n c ia . A lg u n a s ex p lica­ cio n es, o b ie n la p re s e n ta c ió n d e a lg ú n m a te m á tic o , ap a re c e n en d o s o m á s p a rte s del tex to . H e tra ta d o d e lim ita r las re p e tic io n e s al m ín im o p o sib le, sin h a b e rla s p o d id o e v ita r d el to d o . A p e lo a la p a c ie n c ia d e l le c to r, re c o r d á n d o le q u e la re p e tic ió n a y u d a a g ra b a rs e m e jo r las cosas. M i p rim e r s e m in a rio so b re la h is to ria d e lo s sím b o lo s m a te ­ m ático s lo o rg anicé e n B erlín e n 1997, hace y a 21 años. Los te m a s aq u í re u n id o s lo s fu i g a rra p a te a n d o a lo larg o del tie m p o , alg u ­ n a s v eces e n in g lé s y o tra s e n a le m á n . S in e m b a rg o , n o e sta b a satisfec h o p o rq u e n o lo g ra b a e n c o n tr a r el estilo a d e c u a d o p a r a d e s a r r o lla r el te m a . D e p la n o m e re g re s é al id io m a m a te r n o , y fu e así c o m o e n 2 0 1 7 el m a n u s c r ito p u d o e n c o n tr a r s u f o r ­ m a fin al, m á s flu id a y m á s a m e n a . Ya h a b ie n d o e n c o n tr a d o la fo rm a c o rre c ta d e re a liz a r la e x p o sic ió n s e rá m á s fácil p re p a ra r u n a e d ic ió n e n in g lés d e la ob ra. E ste lib ro n o es u n tra ta d o en c ic lo p éd ico , c o m o la o b ra m o ­ n u m e n ta l d e F lo ria n C a jo ri d e 1928 (A H isto ry o f M a th em a tic a l N o ta tio n s), q u e h a s ta el d ía d e h o y n o h a sid o s u p e ra d a . N o se tr a t a a q u í d e s e g u ir to d a la n o ta c ió n m a te m á tic a e n el tie m p o ,

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p u n tu a lm e n te y a u to r p o r au to r, a v eces d é c a d a p o r d é c a d a . Se tr a ta m á s b ie n d e m a ra v illa rse c o n la h is to ria del q u e h a c e r m a ­ te m á tic o y d e c o n o c e r a lo s g ig an tes en cu y o s h o m b ro s h o y n o s e rig im o s . Se tr a t a d e e n te n d e r c ó m o se p u d o fo rja r el le n g u a je d e las m a te m á tic a s a trav é s d e u n e sfu erzo co lectiv o q u e a b a rc a m á s d e v e in te siglos y a m u c h o s im p e rio s, a lg u n o s y a d e s a p a re ­ cid o s. L o q u e q u e d a , lo ú n ic o p e rm a n e n te , es el p ro g re s o d e las m a te m á tic a s, sie m p re a la b ú s q u e d a d e u n a m e jo r fo rm a d e e x ­ p re s a r re la c io n e s e n tre e s tru c tu ra s a b stra c ta s, sie m p re a la b ú s ­ q u e d a d e su p ro p ia voz.

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I. Prolegómena

E l n a c im ie n t o d e l á l g e b r a

_

Á l-gebra es u n a p a la b ra árab e. P a ra e n te n d e r su o rig e n te n e m o s q u e re m o n ta rn o s a la ép o < : 0 r Q _ l_ Q = Q ca y al am b ien te re tra ta d o s e n Las m il y una noches, c u a n d o el Im p e rio islám ic o se t r a n s ­ fo rm ó e n u n a p o te n c ia m ilita r y científica. ¿ Q u ié n n o re c u e rd a al califa H a rú n a l-R a s h id p a tru lla n d o d e n o c h e B agdad, la c a ­ p ita l d el im p e rio ? ¿ Q u ié n n o re c u e rd a a S c h eh e rez ad e, q u ie n lo g ra ev itar su p ro p ia ejecución, d ía c o n día, c o m e n z a n d o u n re ­ la to q u e d e ja in c o n c lu so al am a n e c e r? El s u ltá n S ch ah ria r, d e ­ seo so d e c o n o c e r el d e se n la c e d e la h isto ria , le p e r d o n a la v id a c a d a m a ñ a n a , a u n q u e h a b ía ju ra d o e je c u ta r a to d a s sus e sp o sa s d e sp u é s d e u n so lo d ía d e m a trim o n io p a r a h a c e r im p o sib le u n ad u lte rio . A sí d u ra n te m il y u n a n o c h e s. P ero a n tes d e lo s árab es, el o rig e n d e las m a te m á tic a s se re ­ m o n ta a lo s p rim e ro s c o n o c im ie n to s a ritm ético s, a la in v e n c ió n d e los n ú m e ro s y d e las o p eracio n es p o sib les c o n ellos. M ás ta rd e los g riegos d e sa rro lla ro n la g e o m e tría y los ru d im e n to s d e m a n i­ p u la c io n e s sim b ó licas en las m a tem ática s. H ace y a 23 siglos q u e el leg en d ario Euclides de A lejandría co m p en d ió los co nocim ientos aritm ético s y g eo m étric o s d e su é p o c a en su o b ra m ag n a, los Ele­ m en to s. Sin em b arg o, el álgebra to m ó m á s tie m p o , y a q u e en esta d iscip lin a se o p e ra c o n n ú m e ro s co n ceb id o s co m o entes ab stra c­ tos, es decir, co m o variables que p u e d e n a d o p tar diferentes valores.

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Fue otro matemático griego quien se atrevió a representar variables y ecuaciones complejas con combinaciones simbólicas. Nos referimos al gran Diofanto, cuya vida se pierde en la bruma de los tiempos. Ni siquiera estamos seguros de cuándo nació, pero algunos autores piensan que vivió en el siglo i i i de nuestra era. Con los 13 libros de su Aritmética, Diofanto aspiró a alcanzar el mismo nivel de virtuosismo que Euclides. Y aunque los conoci­ mientos geométricos de los griegos nunca se extraviaron, sí se perdió en Europa la tradición algebraica de Diofanto, quien fue redescubierto y traducido al latín apenas en el Renacimiento. M ientras en Europa se transitaba a tientas por la noche de la Edad Media, los persas y los árabes se encargaron de rescatar el legado científico de los griegos. Durante la época retratada en Las mil y una noches, la llamada Edad de Oro del Islam, la cultu­ ra árabe se extendió desde el Asia Menor hasta el norte de Áfri­ ca y la península ibérica. En un intervalo de 600 años, desde el siglo v i i i hasta el x i i i , los árabes absorbieron la ciencia y la tec­ nología egipcias, babilónicas, griegas y romanas. Al establecerse el llamado califato abasí, se dio gran importancia a la ciencia, la medicina y la educación. La capital del imperio se trasladó de Damasco a Bagdad, y fue en esta ciudad donde se fundó la Casa de la Sabiduría, que al principio era simplemente una biblioteca pero que evolucionó hasta transformarse en un centro de reu­ nión y docta disputa de los ilustrados de aquel tiempo. Uno de esos sabios fue Abu Abdallah Muhammad ibn Musa Al-Khwarizm! (ca. 780-850 d.C.), cuya fama perdura hasta la actualidad y al que evocamos cada vez que hablamos de algorit­ mos, un vocablo derivado de su nombre. De la proveniencia de Al-Khwarizm! no estamos seguros, pero nació en algún lugar situado entre Persia y Uzbekistán. Era él un erudito universal, que lo mismo se atareó realizando observaciones astronómicas que levantando mapas y estudiando la geografía del imperio, así como las matemáticas. La palabra álgebra es precisamente un fragmento del título del libro más famoso de Al-Khwarizml: Kitab al-mukhtasar f i hisab al-jabr wa-l-muqabala, que algunos tradu20

F ig u r a 1 .1 . Primera página del Álgebra de A l-K hw arizm i, ca. 863 d.C. (fuente: John L. Esposito, The Oxford H istory of Islam, Oxford University Press, N ueva York, 1999).

cen como Compendio de cálculos completando y balanceando. Este libro fue importante porque popularizó el sistema decimal posicional y porque contiene una exposición extensa y didácti­ ca de la manera en que se pueden resolver problemas algebraicos de manera metódica. Siglos después, en Italia, se hablaría de re­ solver problemas numéricos con el ábaco, o bien con papel y tin­ ta, usando algoritmos y guarismos, es decir, cifras decimales. 21

El libro de Al-Khwarizm! procede en forma similar a la de muchos otros “recetarios” algebraicos posteriores. Plantea un problema particular y muestra cómo hallar la solución. El proble­ m a podría ser encontrar un número que reducido tres unidades se convierte en 2. Lo importante es el método para llegar al re­ sultado, que se puede después extrapolar a situaciones nuevas. El libro estaba dirigido a los mercaderes, e incluso a los jueces que tenían que distribuir herencias de acuerdo con ciertas p ro­ porciones. El estilo es el de un manual, no el de una obra de investigación. En el caso de las igualdades algebraicas se proce­ de como cuando se tiene una balanza para pesar y comparar objetos. Si movemos un peso —es decir, un número— de un lado de la balanza al otro, debemos tener cuidado de no destruir la igualdad. Por eso, la palabra Al-jabr del título del libro de

F ig u r a 1 .2 . Páginas del Álgebra de A l-K h w a rizm ! donde se muestra “cómo completar el cuadrado”para resolver una ecuación (fuente: The Bodleian Library, Universidad de Oxford).

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Al-Khwarizm! muchos la interpretan como completar, en refe­ rencia a la idea de completar expresiones matemáticas para m an­ tener el equilibrio. La traducción al latín del libro de Al-Khwarizmr, realizada en 1145, fue titulada Liber algebrae et almucabola. Es éste el momento en el que el vocablo “álgebra” ingresa definiti­ vamente al repertorio verbal europeo. Con los años transcurridos, podría parecer que la acepción de álgebra como completar es aceptada universalmente. Pero no es así: hace casi ochenta años los historiadores de la ciencia Sa­ lom ón Gandz y Otto Neugebauer rastrearon, como si fueran detectives, el origen del térm ino al-jabr y arribaron a un resul­ tado diferente. Los dos investigadores analizaron las fuentes de Al-Khwarizm!, quien se basó en textos babilónicos, asirios y sumerios. En particular, la palabra asiria gabru-maharu signifi­ ca contraponer o ser igual. Los árabes adoptaron el sonido de la palabra, pero la escribieron como al-jabr. Además, los árabes tenían su propia expresión con el mismo significado: al-muqabala. Por eso el título del libro de Al-Khwarizm! (Kitab al-mukhtasar f i hisab al-jabr wa-l-muqabala) es en realidad redundante y se refiere, en suma, a “la ciencia de las ecuaciones”, siendo al-jabr y al-muqabala los términos asirio y árabe, respectivamen­ te, para denotar la misma cosa: una ecuación. Todos los libros tienen una doble historia, la de su escritura y la de su posterior influencia. Mientras que Al-Khwarizm! no llegó al nivel de complejidad de Diofanto, sí tuvo un impacto directo más inmediato. Diofanto podía resolver problemas con distintas variables y hasta sextas potencias, pero su libro no p o ­ día ser utilizado como manual algebraico para los problemas más relevantes en la práctica. El libro de Al-Khwarizm!, por el contrario, incidió en las matemáticas de uso diario en Europa a través de los popularizadores de su obra. Muchos escritores se han interesado por la Antigüedad ára­ be. Jorge Luis Borges escribió alguna vez: “En el siglo x v se re­ cogen en Alejandría, la ciudad de Alejandro Magno, una serie de fábulas. Esas fábulas tienen una historia extraña, según se 23

supone. Fueron habladas al principio en la India, luego en Persia, luego en Asia Menor y finalmente, ya escritas en árabe, se com­ pilan en El Cairo. Es el libro de Las mil y una noches”. Edgar Allan Poe incluso completó las Arabian Nights con una sátira, la historia de la noche 1002. Habría sido bueno que Borges, tan aficionado a las matemáticas, hubiera extendido también Las mil y una noches con alguna alucinante historia, como su cuento sobre el Aleph, pero que tratara de Al-Khwarizm!, Bagdad y los libros de matemáticas que transformaron al mundo.

¿C ó m o u sa m o s lo s sím b o lo s m a t e m á t ic o s ?

En la historia de las matemáticas se distinguen tres periodos: las matemáticas retóricas, las ma/ temáticas anotadas y nuestra m oderna matemáti­ ca simbólica. Los más antiguos textos matemáticos, de la prim era fase, resuelven problemas aritméticos o algebraicos uti­ lizando únicamente texto, sin símbolos, o un mínimo de ellos. El ejemplo que sigue, tomado de un libro del italiano renacentista Luca Pacioli (c. 1445-c. 1514), nos da una idea de la forma en que se argumentaba retóricamente: “Tenemos tres cantidades en proporción continua. Multiplicamos cada una por la suma de las otras dos y agregamos los resultados. Esto se divide entre el doble de la suma de las tres cantidades y el resultado final es siempre la segunda cantidad”. Todo esto es mucho más difícil de comprender que cuando vemos la fórmula a la que se refiere el texto y que es relativamente simple:

é

Si x/y = y/z, entonces x(—+ z )+ y (x + z) + — (x + —>= y 2(x + y + z) En la actualidad no esperamos abrir un libro de matemáticas sin encontrarnos con un sinnúmero de expresiones simbólicas. De hecho, este lenguaje matemático resulta oscuro al principio 24

p a r a lo s n o in ic ia d o s y h a c o n trib u id o a a h u y e n ta r al p ú b lic o del e stu d io d e la d iscip lin a . P ero q u ie n c o n o c e la s im b o lo g ía p u e d e c a p ta r d e u n v ista z o la e se n c ia d e u n a e x p re sió n ; p u e d e in clu so c o m e n z a r a o p e ra r m e n ta lm e n te c o n ella. P o r to d o esto, n o es e x tra ñ o q u e alg u n o s m a te m á tic o s h ay a n d e c id id o a n a liz a r el tip o d e e x p re sio n e s q u e u tiliz a m o s e n lo s lib ro s e id en tific a r lo s sím b o lo s m á s fre c u e n te m e n te em p lead o s. D ic h o d e o tra m a n e ra , si a b rim o s u n a o b ra d e m a te m á tic a s e n u n a p á g in a c u a lq u ie ra , ¿ q u é tip o d e s ím b o lo s e n c o n tr a re m o s c o n m a y o r p ro b a b ilid a d ? V iv im o s e n la é p o c a d e l big d a ta , es decir, d e las g ra n d e s b ase s d e d ato s. E x isten v a sto s re p o sito rio s d e tra b a jo s m a te m á tic o s q u e se p u e d e n u tiliz a r p a r a u n a e v a ­ lu a c ió n e s ta d ís tic a . S ólo h a y q u e to m a r la c o m p u ta d o ra y c o n ­ ta r c o n q u é fre c u e n c ia a p a re c e n lo s d iv erso s sím bolos. ¿Q u é n o s d ice u n an álisis d e este tip o ? N o s o rp re n d e q u e el sím b o lo m á s fre c u e n te sea el d e ig u a l­ d ad : ¡94% d e las ex p resio n es m a te m á tic a s lo c o n tie n e n ! Y es q u e en las m a te m á tic a s siem p re esta m o s tra n s fo rm a n d o ex p resio n es y n e c e s ita m o s e sp e cificar q u é c o sa es ig u al a q u é o tr a cosa. Los d o s s ím b o lo s s ig u ie n te s m á s u s a d o s s o n lo s p a ré n te s is , el d e a p e rtu ra y el d e cierre, q u e n o s a y u d a n a o rg a n iz a r las o p e ra c io ­ n e s p a r a e v ita r a m b ig ü e d a d e s d e cá lc u lo . P o r eso, casi 60% de las e x p re s io n e s m a te m á tic a s c o n tie n e n p a ré n te s is . D e d ic h a s ex p re sio n e s, 93% a lb e rg a n a d e m á s a lg ú n o p e r a d o r a ritm é tic o ; d e a h í q u e u n a e x p re sió n típ ic a e n m a te m á tic a s p u d ie ra ser algo c o m o esto: (■ + ■) - ■ = ■ x ■, d o n d e lo s c u a d ra d o s só lo n o s sirv e n p a r a reservar el esp a cio p a r a alg ú n sím bolo. Si e x a m in a m o s to d o s los sím b o lo s q u e p u e ­ d e n a p a re c e r e n u n a e x p re sió n a ritm é tic a , esto es lo q u e n o s d ice la estad ística: • 36% s o n le tra s latin as. • 13% s o n n ú m e ro s.

25

• • • • • •

6 % so n le tra s d el alfa b eto griego.

15% s o n o p e ra d o re s m a te m á tic o s. 7% so n o p e ra d o re s relacio n ales. 8 % so n p a ré n te sis. 3% s o n flechas. 6 % so n sím b o lo s d e p u n tu a c ió n .

N o a s o m b ra q u e las le tra s o c u p e n ta n to esp a cio e n u n a e x ­ p re s ió n m atem ática : las u tiliza m o s p a r a in d ic a r variables y c o n s ­ ta n te s . Los n ú m e ro s sie m p re e stá n ahí, d e a lg u n a fo rm a , y a que n o s a y u d a n a esp ecificar el p ro b le m a . Las le tra s latin as y las g rie ­ g as ju n to c o n lo s n ú m e ro s re p re s e n ta n , p o r sí solas, 55% d e los c a ra c te re s d e u n a e x p re s ió n m a te m á tic a . L os o p e ra d o re s relac io n a le s s o n m u y im p o rta n te s , y a q u e n o s in d ic a n ig u a ld a d , o b ie n , q u e alg o es m e n o r o m a y o r q u e o tr a co sa. T a m b ié n h a y o p e ra d o re s d e sim ilitu d . L e v a n ta r esto s d a to s n o es u n e je rc ic io o c io so : si se q u ie re d e sa rro lla r re co n o ce d o res d e caligrafía c o m p u ta riz a d o s q u e p u e ­ d a n tr a n s f o r m a r lo e sc rito e n u n a ta b le ta e n u n a fó rm u la p a r a u n lib ro o p a r a u n cá lc u lo , es im p o r ta n te s a b e r cu á le s so n lo s sím b o lo s m á s im p o rta n te s, los q u e e n c o n tra re m o s m á s fre c u e n ­ te m e n te . Si m i re c o n o c e d o r c o m p u ta riz a d o d e e s c ritu ra es m u y b u e n o p a r a las le tra s la tin a s , p e r o n o p a r a las g rie g a s, te n d r é s e g u ra m e n te p ro b le m a s c o n 6 % d e lo s c a ra c te re s. E n c u a n to a la e s tru c tu ra d e las e x p resio n es m a te m á tic a s, lo m á s im p o rta n te es re c o n o c e r su b ín d ices, p o te n c ia s y fracc io n e s, y a q u e e n to d o s e sto s caso s se p ie rd e la s e c u e n c ia lin e a l d e la e s c ritu r a y la fó r­ m u la c o m ie n z a a e x te n d e rse e n d o s d im e n sio n e s. Si a h o ra in sp e c c io n a m o s cuáles d e las le tra s la tin a s y griegas s o n las m á s p o p u la re s e n las ex p resio n es, n o s e n c o n tra m o s c o n q u e n, i, x s o n las tre s m á s fre c u e n te s e n te x to s d e m a tem ática s, m ie n tra s x, y, n so n las tres m á s p o p u la re s en tex to s d e ingeniería. L a v aria b le x , c o m o se ve, es ig u a lm e n te im p o rta n te e n m a te m á ­ ticas q u e en in g en iería . La le tra i es m u y u tiliz a d a e n ex p resio n es c o n su b ín d ic e s y su ce sio n e s, al ig u al q u e la le tra n .

26

arXiv, textos de matemáticas identificadores operadores

Libros de ingeniería identificadores operadores

Símbolo Apariciones Símbolo Apariciones Símbolo Apariciones Símbolo Apariciones

n

48 150

=

128715

x

49 740

=

58 988

i

43 280

-

116064

29 481

(

50 843

x

36 240

,

112 818

y n

21 152

32 060

@

103090

z

18 859

) -

50 838

k t

25 967

+

79404

t

17 100

+

31 297

X

23 369

43 942

f

13 092

,

25 350

j

23 038

3 *

p A

22 832

a

21 435

22 791

/


13 528

n

7 664

s

17659

13 138

k

7 194

d

4 105

r

17 248

-

12451

m

6437

3 922

C

16915


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F ig u r a 11 .1 . Página del Liber abaci del matemático Leonardo de Pisa (mejor conocido como Fibonacci). El ejemplar se encuentra resguardado en la Biblioteca Nacional de Florencia, Italia (fuente: W ikim edia Commons).

El L ib er abaci c o m ie n z a c o n la frase: “Las n u ev e cifras in d ias so n 9, 8 , 7, 6 , 5, 4, 3, 2, 1”. D e ah í p a s a a a ñ a d ir zephir, el cero, al c o n ju n to d e sím b o lo s n e c e sa rio s p a r a re p re s e n ta r c u a lq u ie r n ú ­ m e ro d ec im a l. C o n su m o n u m e n ta l o b ra, F ib o n a cci c o n trib u y ó a p o p u la riz a r la n o ta c ió n in d o a rá b ig a m o d e rn a , ta n s u p e r io r a la ro m a n a . Los grieg os, ta n v e rsa d o s e n m a te m á tic a s, e sp e c ia lm e n te en g e o m e tría , n o c o n ta b a n c o n sím b o lo s a d ic io n a le s p a r a lo s d íg i­ to s d ecim ales. A las letra s, d esd e alfa h a s ta o m ega, les asig n a b a n u n v a lo r n u m é ric o p ro p io y así, sin siste m a p o sic io n a l, c o m p o ­ n ía n los n ú m e ro s (d e m a n e r a sim ila r a lo q u e h a ría n d esp u é s los ro m a n o s c o n su n o ta c ió n n o p o sic io n a l). El siste m a p o s ic io n a l se d ifu n d ió d e B ab ilo n ia a la In d ia y fu e ah í d o n d e se sim plificó, al c a m b ia r d e la b ase 60 a la b ase 1 0 , y d o n d e m ú ltip le s escrib as fu e ro n c re a n d o las p rim e ra s cifras d ec im a le s. Los ára b e s a d o p -

F ig u r a ii. 2 . El Códice vigilano (C odex Vigilanus, de 976 d.C.) contiene la prim era referencia europea conocida a las cifras indoarábigas. Antes de presentarse los números aparece una leyenda (en latín): “Hemos de saber que la gente de la India es poseedora de un entendimiento m uy agudo y que las otras civilizaciones le conceden el prim er lugar en el conocimiento de la aritmética y de la geometría, así como de las otras artes liberales. Esto se comprueba con las nueve figuras con las que representan cada uno de los números, cuyo trazo se presenta a continuación: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ” fuente: Wikimedia Commons).

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t a r o n lo s m é to d o s y la n o ta c ió n in d io s , y p o r e so h o y h a b la ­ m o s d e las cifras in d o a rá b ig a s, p a r a re c o n o c e r la a p o rta c ió n d e los d o s c e n tro s cu ltu ra le s en la a p a ric ió n del siste m a d e n ú m e ro s d ecim ales. A n te s d e F ib o n acci, las cifras in d ia s y a h a b ía n sid o i n tr o d u ­ c id a s e n E u ro p a a tra v é s d e las c o lo n ia s á ra b e s d e E sp a ñ a . El lla m a d o C ó d ice vig ila n o , a lb e rg a d o e n el M o n a s te rio d e El E s­ co rial, c o n tie n e la p r im e r a re fe re n c ia a la n u e v a n o ta c ió n . D e la p e n ín s u la ib é ric a las cifras in d o a rá b ig a s se a b rie ro n p a s o le n ta ­ m e n te p o r E u ro p a , h a s ta q u e lle g a ro n las g ra n d e s o b ra s d e d i­ v u lg ació n . El L ib e r abaci fu e p u b lic a d o p o r p r im e r a v ez e n 1202, h ac e y a m á s d e o c h o siglos. H a s ta la in v e n c ió n d e l s is te m a d e c im a l p o s ic io n a l e x istía n d o s fo rm a s d e e s c rib ir n ú m e ro s : u tiliz a n d o u n s is te m a d e a g reg ac ió n , c o m o el ro m a n o , b a s a d o e n a s ig n a r­ le u n v a lo r fijo a c a d a le tra re p e tid a (p o r ejem plo, 50 a la L, 1 000 a la M ), o b ien , h a c ie n d o u so d e u n siste m a p o s ic io n a l c o m o el d e lo s b ab ilo n io s, d e b a se 60. E clécticos c o m o so m o s, seg u im o s u s a n d o la n o ta c ió n ro m a n a p a r a las fechas, p e ro la b ase 60 p a ra el reloj y las b rú ju la s c o n su s 360 g ra d o s, así c o m o la n o ta c ió n d ec im a l p a r a lo s cálculos com erciales. A u n q u e fu e ro n lo s asirios y lo s b a b ilo n io s q u ie n e s in ic ia lm e n te in tro d u je ro n la n o ta c ió n p o sic io n a l, lo s in d io s m á s ta rd e p e rfe c c io n a ro n el siste m a d e c i­ m al, a d o p ta n d o el cero b ab iló n ico . L e o n a rd o d e P isa n a c ió e n u n a fa m ilia d e m e rc a d e r e s y a p re n d ió re c o rrie n d o el M e d ite rrá n e o , a b so rb ie n d o las m a te m á ­ tic a s á ra b e s e n v iajes a B izan c io , E g ip to , S iria y c iu d a d e s del n o r te d e Á frica. D e su v id a se sab e p o c o , p rá c tic a m e n te só lo lo q u e reveló e n lo s p ró lo g o s d e sus lib ro s. C o m o e ra el h ijo (filius) d el m e rc a d e r B o n acci, s u n o m b re se tra n s f o rm ó e n F ib o n a cci. H o y e n d ía m u c h a g en te h a o íd o h a b la r d e la serie de Fibonacci, esto es, la serie d e lo s n ú m e ro s 1, 1, 2, 3, 5, 8 , etc., c u y o o rig e n se re m o n ta al L iber abaci, d o n d e esta se c u e n c ia ap arece c o m o la s o lu c ió n al p ro b le m a d e c a lc u la r el to ta l d e p a re s d e c o n e jo s en g e n e ra c io n e s sucesivas.

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E n la é p o c a d e F ib o n a c c i la n o ta c ió n c o n n ú m e ro s ro m a n o s h a c ía m u y d ifícil e je c u ta r m u ltip lic a c io n e s o d iv isio n e s. T o d o s lo s cá lc u lo s c o m p le jo s d e la v id a c o m e rc ia l e ra n la re s p o n s a b i­ lid a d d e u n a c a sta esp ecial d e téc n ic o s, lo s lla m a d o s calculistas. L os m e rc a d e re s m is m o s te n ía n q u e d o m in a r el u s o d el á b a c o y las m e s a s d e c á lc u lo o e m p le a r a u n calc u lista, así c o m o h o y se c o n tra ta a u n c o n ta d o r p a r a q u e lleve lo s lib ro s d e la em p re sa . U tilizar el áb aco e ra lo m ism o q u e calcular. D e ah í el n o m b re del libro. El L ib er abaci se p u b lic ó a n tes d e la in v e n c ió n d e la im p r e n ­ ta d e G u ten b e rg . C a d a eje m p la r d e la o b ra e ra u n a c o p ia co n fec­ c io n a d a a m a n o , y se g u ra m e n te su p re c io sólo re s u lta b a a se q u i­ ble a m erc ad eres o bibliotecas. M ás aún, estab a escrito en latín: n o se d irig ía al p u eb lo , e n su m a y o ría ile tra d o , sin o al p ú b lic o e d u ­ ca d o . D u ra n te el sig lo x i i i c o m ie n z a n a a p a re c e r las p rim e ra s e m p re sa s d e d ic a d a s a r e p ro d u c ir lib ro s p o r en carg o . A n tes, los m o n a s te rio s se o c u p a b a n d e c o p ia rlo s, p e r o y a e n la é p o c a de F ib o n a c c i é s ta e ra u n a a c tiv id a d s e c u la r y c o m e rc ia l. Es m u y d ifícil sa b e r c u á n to s ejem p lares del L ib er abaci fu e ro n p r o d u c i­ d o s e n s u é p o c a , p e r o u n a s e g u n d a e d ic ió n a p a re c ió e n 1228, casi u n c u a rto d e siglo d e sp u é s d e la p rim e ra . F ib o n a c c i n o fu e el p rim e ro n i el ú n ic o e x p o sito r del siste m a in d o a rá b ig o , p e r o sí el m á s ex ito so , d a d o el c a rá c te r d e l L ib e r ab aci c o m o “m a n u a l p rá c tic o ”. L os p r im e r o s c a p ítu lo s c u b r e n p a s o a p a s o lo q u e a h o ra a p re n d e m o s e n las esc u elas p rim a ria s d u r a n te lo s p r im e r o s a ñ o s, p o r e je m p lo , la r e p re s e n ta c ió n d e n ú m e ro s d e m a n e r a p o sic io n a l, la a d ic ió n y s u s tra c c ió n c o n v a ­ ria s cifras, así c o m o la m u ltip lic a c ió n y la d iv isió n . E n lo s c a p í­ tu lo s m á s a v a n zad o s se e stu d ia n el cálcu lo d e p ro p o rc io n e s , q u e h o y c o r re s p o n d e ría a o p e ra c io n e s c o n fra c c io n e s, y la so lu c ió n d e p ro b le m a s d el tip o 4 x + 1 = 21, d o n d e x es u n a c a n tid a d d e s ­ c o n o c id a . Y to d o esto sin n in g u n a m a q u in a r ia alg eb raica, sin o ex p lica n d o las o p e ra c io n e s p u ra m e n te d e m a n e ra verbal. Es esto lo q u e m á s s o rp re n d e a u n le c to r d e la é p o c a m o d e rn a , la fa lta a b s o lu ta d e fó rm u la s e n u n lib ro d e m a te m á tic a s c o n c ie n to s de

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p á g in a s. S ólo h a y p a la b ra s y m á s p a la b ra s, in te rc a la d a s c o n n ú ­ m e ro s y fra c c io n e s q u e re p re s e n ta n lo s re su lta d o s p arc ia le s q u e v a n sie n d o o b te n id o s. S ig u ie n d o a lo s árab es, F ib o n a c c i u tiliz a u n a n o ta c ió n p a r a las fracc io n e s q u e co lo ca la p a rte fra c c io n a ria a n te s d e la e n te ra . D o n d e h o y e s c rib iría m o s 3 ^ , F ib o n a c c i e s­ c rib e V£3. L os m é to d o s del L iber abaci fu e ro n e stu d ia d o s e n las e s c u e ­ las d o n d e se fo r m a b a a lo s m a e s tro s ca lc u listas, scuole d ’a baco. E n Italia s u rg ie ro n c e n tro s d e d ic a d o s a este arte , c o m o e n F lo ­ re n c ia y V en ecia, es d ec ir, e n la s m e tró p o lis c o m e rc ia le s m á s av an zad as. T an só lo e n F lo ren cia se e stab le ciero n 20 escu elas de ca lc u listas e n tre el siglo x i v y el x v i. Se llegó in c lu so a la m asific a c ió n d e la e d u c a c ió n e n el c á lc u lo y e x is tía n e sc u e la s c o n o c h o m il o d iez m il alu m n o s. F ib o n a cci lo g ró h a c e rse fa m o so e n vida. Los m a g istra d o s de P isa le o to rg a ro n u n a p e n s ió n a n u a l d e 20 lira s p o r su “d e d ic a ­ c ió n a la cien cia, c o m o p a g o del tra b a jo q u e h a in v e rtid o [ . ] y p a r a q u e siga a p o y a n d o a la c iu d a d d e P isa y a su s fu n c io n a rio s en la p rá c tic a del cálculo”. D el Liber abaci sólo su b siste n 12 e je m ­ p lares, a lg u n o s d e ellos e n el V aticano. S in e m b arg o , c o n el p a so d e lo s siglos o tro s lib ro s fu e ro n s u s titu y e n d o la o b ra d e L e o n a r­ d o d e Pisa. La im p re n ta d e G u te n b e rg a c a b ó p o r d e s p la z a r a la lite ra tu ra m a n u s c r ita a n tig u a y el n o m b re d e F ib o n a cci re tro c e ­ d ió a lo s rin c o n e s d e la ley en d a . Ya e n el siglo x v i p o c o s sab ían e n q u é é p o c a e x a c ta m e n te h a b ía v iv id o . Y es q u e, h a b ie n d o a d o p ta d o to d o s lo s lib ro s la n o ta c ió n y lo s m é to d o s d e F ib o n acci, la o b ra o rig in a l y a n o e ra n e c e sa ria . El L iber abaci es u n o d e lo s lib ro s q u e tra n s fo rm a ro n al m u n d o y p a ra le la m e n te se d iso l­ v ie ro n e n el tie m p o . A m e d id a q u e el m e rc a n tilis m o le a b rió el p a s o al c a p ita lis m o o tra s o b ra s se h ic ie r o n im p o rta n te s , p o r ejem plo , la S u m m a de arithm etica, geom etria, p ro p o rtio n i e tp ro p o rtio n a lita d e L u ca P acioli, q u ie n e n 1494 le d io su fo rm a d efi­ n itiv a a la a r itm é tic a ita lia n a y e n s e ñ ó al m u n d o el s is te m a de c o n ta b ilid a d d oble.

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E l a lf a b e t o g r ie g o y

a . . . (

su s

p red eceso res

L as m a te m á tic a s n o c o m ie n z a n c o n lo s griegos, p e r o sí las m a te m á tic a s rig u ro sa s. O tra s c u ltu ra s so lían ju stific a r o m o tiv a r el u s o d e té c n ic a s m a o te m á tic a s c o n ex ten sa s re c o p ila c io n e s d e p ro b le ­

m a s re su elto s. P a ra ellas, las m a te m á tic a s e ra n m á s b ie n u n m é ­ t o d o p a r a h a c e r algo, u n sa b er hacer. L os g rie g o s f u e ro n lo s p rim e ro s en p o n e r el c o n c e p to d e d e m o s tra c ió n e n el c e n tro del q u e h a c e r m a te m á tic o ; m o s tra ro n q u e se p o d ía a s p ira r al c o n o ­ c im ie n to m a te m á tic o p o r sí m ism o , p o r la b ellez a in te le c tu a l d e las e s tru c tu ra s te ó ric a s q u e se p u e d e n erigir. P a ra los griegos, las m a te m á tic a s e ra n u n saber p o r q u é .

aP ySeZqdiK Xpv& nQ paqrvfxfw F ig u r a 11 .3 . L etras q u e co n fo rm a n el alfabeto griego. El lu g a r p riv ile g ia d o q u e el a lfa b eto g rie g o a ú n tie n e en las m a te m á tic a s p ro v ie n e p re c is a m e n te d e e sa h is to ria y esa t r a d i ­ c ió n . N o es e x a g e ra d o d e c ir q u e lo s p r im e r o s tr a ta d o s im p o r ­ ta n te s d e c ie n c ia m a te m á tic a fu e ro n e sc rito s u s a n d o ese alfa b e­ to ; d e h ec h o , h a sid o u tiliz a d o sin in te rru p c ió n d e sd e h a c e m á s d e v e in tic in c o siglos y sus le tra s so n lo s sím b o lo s m á s a n tig u o s q u e a ú n u tiliz a m o s e n m a te m á tic a s. El alfa b eto griego, sin e m ­ barg o , n o su rg ió c o m p le to y c o n a r m a d u ra d e la ca b eza d e Z eus, c o m o la d io s a A ten e a. Sus le tra s tie n e n m á s b ie n u n a la rg a h is ­ to ria . In clu so , es m á s p re c iso h a b la r d e lo s v a rio s alfab eto s g rie ­ gos, p u e s to q u e e n las d iv e rsa s re g io n e s h e lé n ic a s se u tiliz a b a n v a ria n te s d e c a d a sím b o lo ; a lg u n o s in c lu so c o n ta b a n c o n u n a o d o s le tra s ad icio n ales. C o n s id e re m o s a lg u n o s d a to s so b re su s p re c u rs o re s . El alfa­ b e to g rieg o q u e h o y c o n o c e m o s d e sc ie n d e d el fenicio, el fa m o so p u e b lo d e n av e g an tes y c o m e rc ia n te s del M e d ite rrá n e o . Ya e n el c u a rto m ile n io a n te s d e n u e s tra era, e n el M e d io O rie n te h a b ía

42

s u rg id o la e s c ritu ra c u n e ifo rm e . Los s u m e rio s la u tiliz a b a n g r a ­ b a n d o in c is io n e s e n p ie z a s c e rá m ic a s, q u e lo m is m o r e p re s e n ­ ta b a n te x to q u e cálcu lo s n u m é ric o s . Las ta b le ta s s u m e ria s e ra n u n a fo rm a d e d o c u m e n ta r p e r m a n e n te m e n te to d o s lo s a su n to s civiles y esta ta le s e n s o c ie d a d e s c u ltu ra lm e n te c o m p le ja s. M u ­ ch as d e esas p e q u e ñ a s tab le ta s, alo jad a s h o y e n m u se o s, c o n tie ­ n e n cálculos a ritm é tic o s e in v en tario s d e bienes. P ro g re siv a m e n ­ te, la e s c ritu ra c u n e ifo rm e — al p rin c ip io se m ijero g lífica— , c o n m á s d e m il q u in ie n to s sím b o lo s, fu e h a c ié n d o s e m á s a b s tra c ta y el n ú m e r o d e p ic to g ra m a s se re d u jo d rá s tic a m e n te . H a c ia el p r im e r m ile n io a n tes d e n u e s tra e ra se h a b ía a d a p ta d o la e s c ri­ t u r a c u n e ifo rm e a m u c h a s le n g u a s d el área, y el p rin c ip io fo n é-

Jeroglíficos egipcios

Alfabeto protosinaítico

Alfabeto fenicio

Alfabeto fenicio Actualidad

2000 a.C.

1750 a.C.

1000 a.C.

800 a. C.

mano

kaph, "mano"

serpiente

nun, "pescado" (= ¿anguila?)




O

O

o

ayin, "ojo"

F ig u r a 11.4 . Ilustración del texto de D avid Sacks Letter Perfect: The M arvelous H istory of O ur A lphabet From A to Z. Muestra la procedencia de los caracteres K, N y O de nuestro actual alfabeto, desde los jeroglíficos egipcios (hacia 2000 a.C.) de mano, serpiente y ojo, a los símbolos de kaph (mano), n u n (pescado ¿o anguila?) y ayin (ojo) del alfabeto protosinaítico (hacia 1750 a.C.), y luego sus equivalentes en el alfabeto fenicio de los años 1000 y 800 a.C.

43

tic o q u e p o s ib ilita lo s alfa b eto s c o m e n z a b a a se r u tiliza d o . U n o d e lo s p rim e ro s alfa b eto s fu e el lla m a d o p ro to s in a ític o , d el cu al se d e riv ó el alfa b eto fenicio. A sí q u e el g ra n sa lto c o n c e p tu a l lo d ie ro n lo s p u e b lo s d el S in aí y lo s fe n ic io s h a c ia el siglo x i a.C . E n lu g a r d e u s a r p ic to g ra m a s y g ra n v a rie d a d d e sím b o lo s, el alfa b eto fe n ic io se c o m ­ p o n e d e 2 2 le tra s. F u e e x tr a o r d in a r ia m e n te ex ito so , y a q u e se c o n v irtió e n la b a se p a r a la e s c ritu r a d e l a ra m e o , d e l h e b re o y, fin a lm e n te , ta m b ié n del griego. A u n q u e c o n stitu y e n u n alfab eto fo n ético , las le tra s fen icias so n e n c ie rta fo rm a estiliz ad o s p ic to g ra m a s d e o b jetos: el p r im e r s o n id o d e su n o m b re c o rre s p o n d e al so n id o d e la le tra e n c u e stió n . E ra éste u n re c u rso m n e m o té c n ic o d e lo s fe n ic io s p a r a re c o rd a r m e jo r el s o n id o a so c ia d o c o n c a d a letra . B asta v e r u n a ta b la d e las le tra s fe n ic ias p a r a re c o n o ­ c e r e n ellas d iv erso s o b je to s d e la v id a d iaria. E n lo s te rr ito r io s d e lo q u e h o y es G re c ia se lle g a ro n a u tili­ z a r o tro s siste m as d e e sc ritu ra , c o m o lo s lla m a d o s lin e a l A y li­ n e a l B, p e r o fu e ro n a b a n d o n a d o s u n a v ez q u e el alfab eto fenicio se c o m e n z ó a e x te n d e r p o r to d o el M e d io O rie n te . Las p rim e ra s v aria n tes del alfabeto g rieg o d a ta n d e 800 a.C ., o sea, c in co siglos an tes d e E uclides. L a ta b la d e las le tra s g rieg as re p ro d u c id a aquí m u e s tra su re la c ió n c o n las le tra s fenicias. L o s g rie g o s a d o p ta r o n y m o d ific a r o n el a lfa b e to fe n ic io . U n a v a r ia c ió n m u y im p o r ta n te c o n s is tió e n c a m b ia r la d ir e c ­ c ió n d e la e s c ritu ra p a r a m o v e r la m a n o d e iz q u ie rd a a d e re c h a e n v ez d e d e re c h a a iz q u ie rd a , c o m o to d a v ía es el ca so d e l á r a ­ b e o d e l h e b re o . A d e m á s, lo s g rie g o s a g r e g a ro n la s v o c a le s al alfa b eto , y a q u e éste ú n ic a m e n te c o n te n ía c o n s o n a n te s , m o d i ­ fic a n d o p a r a ello el sig n ific a d o o v a lo r fo n é tic o d e a lg u n a s d e las le tra s. El h is to ria d o r H e ró d o to a trib u y ó la d ifu s ió n d el alfa ­ b e to a lo s m e rc a d e r e s fe n ic io s, q u ie n e s e n su s la rg o s v iajes lo d is e m in a ro n p o r m u c h a s islas. A l p rin c ip io , a d e m á s , el a lfa b e ­ to g rie g o c o n s is tía só lo d e m a y ú s c u la s. Las m in ú s c u la s fu e ro n in tr o d u c id a s re la tiv a m e n te ta rd e , e n el sig lo ix o x d .C ., p a r a a y u d a r a la calig rafía.

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Kemet 3200 a.C.

&

Semítico 1500 a.C.

i/

Cabeza de buey

ra Casa

Aleph = buey

Fenicio 1000 a.C.


4 # Y >

> 4 * Y > a

Búmeran

Gimel = vara de lanzamiento

Puerta

Daleth = puerta

Hombre gritando

1

Cuerda trenzada

Cheth = cuerda

Mano

Mano

Mano ahuecada

in clu sió n (a veces ta m b ié n p a ra d e n o ta r in feren cia lógica) n in te rs e c c ió n d e c o n ju n to s C in c lu sió n T, u tiliz a d a p a r a d e n o ta r A T v e c to r o m a triz tra n s p u e s ta (c o m o s u p e rín d ic e ) h a se rc ió n ló g ica -L c o n tra d ic c ió n H fu n to r a d ju n to V, u tiliz a d a e n ló g ic a y á lg e b ra p a r a d e n o ta r V > A
s o n ro ta c io n e s d e esta le tra , o b te n e m o s u n u s o a d ic io n a l. E sta clase d e p a r é n te s is es g e n e ra lm e n te m á s g ra n d e q u e u n a V m ay ú scu la .

53

A lg u n o s m a te m á tic o s, c o m o G iu se p p e P eano, ta m b ié n u s a ­ r o n la le tra C c o n sus c u a tro ro tac io n es, p e ro esta n o ta c ió n n u n ­ c a alc a n z ó g ra n p o p u la rid a d . H a y d o s le tra s q u e se u s a n in v e rtid a s e n la ló g ic a d e p r e d i­ c a d o s, u n a h o riz o n ta lm e n te , la o tr a v e rtic a lm e n te . Se t r a t a d e 3 V

p a r a d e n o ta r ex isten c ia p a r a d e n o ta r “p a r a to d o ( a ) ”

P o r su p a rte , la M ro ta d a 90 g ra d o s se tra n s f o rm a e n sig m a y ro ta d a 180 g ra d o s, e n W. L a le tra L, ro ta d a 90 g ra d o s y reflejad a v ertic alm e n te, se p u e ­ d e id e n tific a r c o n el sím b o lo d e n e g a c ió n e n la ló g ica: - . El d í­ g ito 3, ro ta d o 180 g ra d o s, p u e d e se r u tiliz a d o c o m o ép silo n . R o ta r las le tra s e ra e sp e c ia lm e n te ú til p a r a las im p re n ta s. Si el s ím b o lo e sta b a e n la caja d e tip o s, a u to m á tic a m e n te se le p o ­ d ía n d a r h a s ta c u a tro n u e v o s u sos. El m is m o p rin c ip io fu e e m ­ p le a d o e n lo s alfab eto s p a r a g e n e ra r n u e v a s le tra s a p a r tir d e u n n ú m e ro re d u c id o d e fo rm a s elem e n ta le s. E n el alfa b eto la tin o y en los díg ito s arábigos los siguientes sím b o lo s c o n fo rm a n clusters d e sim e tría : M -W , P -b -d , 6-9, N -Z . L etra s c o n s im e tría d e re flex ió n c o n re s p e c to al eje v e rtic a l s o n las sig u ien tes: A, H , I, M , O, T, U, V, W, X, Y. L as le tra s c o n s im e tría d e reflex ió n c o n re sp e c to al eje h o r i­ z o n ta l son: E, I, O, H , X, C , B, D, K. L as sig u ien tes le tra s tie n e n s im e tría ce n tral: I, O, X.

54

Las le tra s q u e p u e d e n se r ro ta d a s 180 g ra d o s son: O, I, S, H , Z, X, N. P o cas le tra s n o tie n e n n in g u n a sim etría: F, G, J, L, Q, R. P o d ría ser q u e la s im e tría h a c e m á s fácil re c o rd a r lo s sím b o ­ los, es decir, lo s h a c e m á s m e m o ra b le s.

s ig n o r u m

L ó g ic a * S ig n a m p K n u

—

s ig n a

S ig n if lc a tio

propositio classi8 et vel

A r t t h m ít ic a e

V II X

vn, x vni, x, xi vm, x

non

Ts L

L ó g ic a

0

= e [] 3

Th Hp

»

S ig n a

—< —u> 3D M3D

s ig n a

Signa 1, 2...... = , > , < , + , — , X valgarem habent significationem. Divisionia signnm est / .

Pag.

absurdum aut nihil V III, X I deducitur aut contmetur v i i i , xi est aéquális V II I est X inversionis signum XI qui vel [e] xn Theorema XVI Hypothesis » Thesis »

A

tabttla

S ig n u m

.

S ig n if lc a tio

N

n um ervs

R

num .

Q

q u a n tita s ,

P ag.

in te g e r p o s itiv u s

r a tio n a lis p o s itiv u s

sive n u m

1 12

eru s rea-

t i j p o s itiv u s

16

Np M

n u m e r u s p r im r u s

9

W T D

m in im u s

m a x im u s

te r m in u s ,

vel l i m e s

d iv id it

a

e st m u ltip le x

it

e st p r im u s

cum

su m m u s

6 6 15 9 9 9

c o m p o s it a

non est minor est aequalis aut maior divisor maooimus divisor

F ig u r a 11 .12 . Giuseppe Peano y sus rotaciones de las letras M, E, C, V, D para la creación de símbolos matemáticos (A rithm etices principia: nova m ethodo, Fratres Bocca, Roma, 1889; fuente: Internet Archive). 55

La v a r ia b l e

x

Si a lg u ie n n o s p id e q u e so lu c io n e m o s la ecuac ió n a x + b = 0 , n i lo p e n sa m o s, re so lv e m o s p a r a x, a u n q u e b ie n p u d ie ra se r q u e a o b re ­ p re s e n te n la in c ó g n ita d el p ro b le m a . Y es q u e en las m a te m á tic a s n o s h e m o s a c o s tu m b ra d o a u tiliza r la x p a r a d e ­ n o ta r la in c ó g n ita buscada. P ero ¿ p o r q u é es así?, ¿de d ó n d e v ien e e sta co n v en ció n q u e se tra n sm ite e n los colegios d e g en eració n en g en eración? P ara en ten d e rlo te n d re m o s q u e atravesar la b ru m a de los tie m p o s y re m o n ta rn o s a u n a c iu d a d leg endaria: A lejandría. N u e stra s m a te m á tic a s se n u tre n d e div ersas tra d ic io n e s h is ­ tó ric a s: d e las o b se rv a c io n e s a s tro n ó m ic a s d e lo s b a b ilo n io s, d e lo s c o n o c im ie n to s g e o m é tric o s d e lo s egip cios, p e r o so b re to d o d e las in v e s tig a c io n e s d e lo s g rie g o s, re s c a ta d a s p o r lo s á ra b e s p a r a re g re s a r p o r a h í a E u ro p a . P o r eso el m u n d o h e lé n ic o n o só lo n o s d e jó el le g a d o d e u n P la tó n o d e u n A ristó te le s, sin o ta m b ié n lo s re su lta d o s m a te m á tic o s d e P itá g o ras y E ra tó ste n es. M ie n tra s e n la A n tig ü e d a d A te n a s p o s e ía la m a y o r p ro y e c ­ c ió n c u ltu ra l en lo q u e se ría el c o n tin e n te e u ro p e o , e n el caso d e las m a te m á tic a s y la a s tro n o m ía h u b o u n a c iu d a d q u e le p u d o d is p u ta r la s u p re m a c ía científica. Se tr a ta d e A le ja n d ría , la u rb e f u n d a d a p o r A le ja n d ro M a g n o e n el a ñ o 331 a.C . en la d e s e m ­ b o c a d u ra del N ilo. A n tes, el m a c e d o n io h a b ía c o n q u is ta d o Persia y E gipto. E n su n u e v a ciu d a d , A le ja n d ro in s ta ló e n el p o d e r a la d in a s tía d e lo s P to lo m eo s, s o b e ra n o s g rieg o s q u e a p a r tir de a h í y h a s ta la m u e rte d e C le o p a tra g o b e rn a ro n el m ile n a rio re i­ n o d e lo s fa ra o n e s. T a m b ié n fu e e n A le ja n d ría d o n d e E u clid es esc rib ió , a p e n a s c ien a ñ o s d e sp u é s d e la in s ta u ra c ió n d e la c iu ­ d a d , su s 13 lib ro s d e lo s E lem e n to s, el e jem p lo m á s c o n s u m a d o d e la a p lica ció n d el m é to d o ax io m á tic o e n la a n tig ü e d a d griega. A le ja n d ría era, si se q u ie re , u n a esp e cie d e “S ilico n V alley” d e la A n tig ü e d a d . E n esta c iu d a d se e n c o n tr a b a u n a d e las siete m ara v illas d el m u n d o : el F aro m a rítim o q u e c o n su s 150 m e tro s e ra s u p e ra d o e n a ltu ra sólo p o r la g ra n p irá m id e d e G uiza, o tra s-ig -—;

J \

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d e las m a ra v illa s a n tig u as. La b ib lio te c a d e A le ja n d ría e ra e s p e ­ cialm en te célebre p o r su in co m p arab le colección d e m an u scrito s. T o do s los tra ta d o s im p o rta n te s se p o d ía n e n c o n tra r ahí. C u a n d o u n b a rc o a tra c a b a en el p u e r to e ra in s p e c c io n a d o p a r a d e c o m i­ s a r to d o s lo s lib ro s (ro llo s y p a p iro s ) q u e lle v a ra , q u e le e ra n d ev u e lto s d e sp u é s d e h a b e r sid o co p ia d o s e n la b iblioteca. E n su re c in to se a lb e rg a b a el M u se io n , q u e h a sid o lla m a d o la p rim era u n iversid a d d el m u n d o y d o n d e e ru d ito s p ro d u je ro n , p o r e je m ­ p lo , la p r im e r a tr a d u c c ió n d e l A n tig u o T e s ta m e n to al g rie g o s u m e rg ié n d o s e e n p r o f u n d o s e s tu d io s filo ló g ic o s. H a s ta q u e R o m a le a rre b a tó la b a tu ta , A le ja n d ría fu e la c iu d a d m á s g ra n d e y d in á m ic a d e la A n tig ü e d a d . Las c ie n c ia s y las m a te m á tic a s flo re c ie ro n e n ese th e a te r m u n d i d e la h is to ria u n iv e rsa l, la u rb e d o n d e C le o p a tra , Ju lio C é s a r y M a rc o A n to n io se d e s p e ñ a ro n en u n triá n g u lo s e n tim e n ta l a n tes d e la c o n v e rsió n d e E g ip to e n p ro v in c ia ro m a n a , m a te ria l d ra m á tic o q u e S h ak esp e are a b o r d a ­ ría e n su día. G eo m etriza ció n de las m a tem á tica s L os E lem en to s d e E u clid es s o n im p o rta n te s p a r a la h is to ria d e las m a te m á tic a s p o rq u e m u e s tra n u n c a m in o claro y s iste m á ti­ co p a r a la s o lu c ió n d e m u c h o s p ro b le m a s n u m é ric o s , c a m in o c o n s is te n te e n la g eo m etriza c ió n . E n v ez d e re so lv e r p ro b le m a s n u m é ric o s m a n ip u la n d o siste m as d e e c u acio n es, se les p u e d e tra n s f o rm a r e n u n p ro b le m a g e o m é tric o eq u iv ale n te . P a ra ello, la variab le cu y o v alo r h a y q u e elu cid a r se p u e d e id en tificar c o n la lo n g itu d d e u n seg m en to . El v o lu m e n d e u n c u b o c o n ese c a n to re p re s e n ta e n to n c e s la te rc e ra p o te n c ia d e la in c ó g n ita , y el área d e u n c u a d ra d o la seg u n d a . N u e stro in g e n io se in v ie rte e n e n ­ c o n tra r u n a c o n s tru c c ió n g e o m é tric a q u e re la c io n e to d o s los d a to s d el p ro b le m a y q u e n o s p e r m ita e n c o n tr a r así u n a so lu ­ c ió n c o n regla y co m p á s. L eer lo s E lem e n to s, h o y e n día, so b re to d o e n e d ic io n e s q u e re p ro d u c e n lo s d ia g ra m a s e n c o lo r p a r a q u e c ie rta s re la c io n e s

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g e o m é tric a s salten a la v ista, sig n ifica e n c o n tra rs e c o n m é to d o s d e d e m o s tra c ió n q u e s o rp re n d e n p o r lo m o d e rn o . ¡Es a s o m b ro ­ so q u e 22 siglos n o s s e p a re n d e E u clid es y q u e p o d a m o s seg u ir r e s o lv ie n d o p ro b le m a s e x a c ta m e n te c o n las m is m a s té c n ic a s ! S in e m b arg o , la g e o m e triz a c ió n d e las m a te m á tic a s , a p e s a r d e to d o s su s éx ito s, c o n d u jo a c ie rto s ca lle jo n e s sin salid a. A l­ g u n o s m a te m á tic o s, p o r ejem plo, el fra n c é s V iete, q u e ría n m a n ­ t e n e r la h o m o g e n e id a d d e lo s té r m in o s y re h u ía n s u m a r u n a v a ria b le c o n s u c u a d ra d o , y a q u e las lo n g itu d e s n o d e b ía n c o m ­ b in a rs e c o n su p e rfic ie s. S o b re to d o , las c a n tid a d e s n e g a tiv a s p r o d u c ía n d o lo re s d e ca b eza . A p e s a r d e q u e a lg e b ra ic a m e n te fu e ra n n ecesarias, c o m o p a r a e n c o n tra r la so lu ció n d e x - 4 = 2x, la fa n ta s ía n o a lc a n z a b a p a r a re p re se n ta rla s ta m b ié n c o m o se g ­ m e n to s en d ia g ra m a s . P are ce e x tra ñ o , p e r o h a s ta b ie n e n tra d o

F ig u r a 11 .13 . Manuscrito de 1296 de la A ritm ética de Diofanto de Alejandría, Biblioteca Apostólica Vaticana, C odex Vaticanus graecus 191, fol. 388v, Roma (fuente: W ikimedia Commons). 58

el R e n a c im ie n to se v e n d ía n lib ro s cu y o ú n ic o o b jetiv o e ra fa m i­ lia riz a r a sus lecto res c o n la a ritm é tic a d e los n ú m e ro s negativos.

A lgebraizació n d e las m a tem á tica s L a a lte rn a tiv a a la g e o m e triz a c ió n es la re d u c c ió n algebraica: lo s p ro b le m a s m a te m á tic o s se e sc rib e n c o m o e c u acio n es, las q u e so n tra n s fo rm a d a s p a s o a p a s o h a s ta q u e se despeja el v alo r d e u n a v aria b le d e sc o n o c id a , c o m o se d e sp e ja el cielo al sa lir el sol. E l á lg e b ra es u n a d is c ip lin a q u e re q u irió siglos p a r a m a d u ­ rar, y en re a lid a d n o se p u d o a lg eb raiza r c o m p le ta m e n te a las m a te m á tic a s h a s ta el siglo x ix . G e n e ra c io n e s d e m a te m á tic o s b a ta lla ro n h a s ta lleg ar a la c o n c e p tu a liz a c ió n y n o ta c ió n c o ­ rrectas. U n p a r d e e jem p lo s b a s ta n p a r a ilu s tra r este p u n to : u n m a ­ te m á tic o d el siglo x i i n o c o n ta b a c o n sím b o lo s e s tá n d a r p a r a la ad ic ió n , la s u s tra c c ió n o la m u ltip lic a c ió n , y n i s iq u ie ra el s ím ­ b o lo d e ig u a ld a d e sta b a a su d isp o sic ió n . P o r eso al p rin c ip io los p ro b le m a s n u m é ric o s se p la n te a b a n e n fo rm a p u ra m e n te verbal. U n lib ro d e a q u e lla ép o c a, le íd o hoy, s o rp re n d e p o r la a u se n c ia d e sim b o lo g ía . S ólo e n c o n tr a m o s fra se s y m á s fra se s q u e n o s h a b la n d e la v a ria b le , su c u a d ra d o o su cu b o . E ste tip o d e d e s ­ c rip c ió n v erb al d e lo s p ro b le m a s n u m é ric o s es lo q u e h o y lla m a ­ m o s álgebra vern á cu la o retórica. F ue p re c is a m e n te en A le ja n d ría d o n d e se d io el p rim e r p aso h a c ia u n a n o ta c ió n sim b ó lica . D io fa n to , u n sab io local, h a sid o lla m a d o p o r a lg u n o s el p a d re del álgebra. La p a la b ra álgebra, de o rig e n á ra b e , n o e x istía a ú n , p o r su p u e sto . P ero si d e E u c lid e s n o sa b e m o s m u c h o , d e D io fa n to sa b e m o s m e n o s. Se h a s o s p e ­ c h a d o q u e E uclides, m á s q u e u n a p e rs o n a , e ra u n g ru p o d e m a ­ te m á tic o s q u e p u b lic a b a n u s a n d o el m is m o s e u d ó n im o , c o m o h ic ie ra el g ru p o B o u rb a k i e n el siglo x x . T an ex ten sa , a c a b a d a y to ta l se a n to ja la o b ra d e E u clid es c o m o p a r a se r d e u n so lo i n ­ d iv id u o .

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S o b re D io fa n to ex iste n p o c a s re fe re n c ia s h is tó ric a s c o n fia ­ b les. Se cree q u e v iv ió e n el siglo iii d e n u e s tr a era, a u n q u e los re la to s so b re su v id a y o b ra fu e ro n re d a c ta d o s siglos d e sp u é s de su m u e rte . P ero lo q u e n a d ie d isc u te es q u e, d e sp u é s d e lo s Ele­ m e n to s , la A r itm é tic a es la o b r a m a te m á tic a m á s fa m o s a d e la A n tig ü e d a d clásica. D e su s 13 v o lú m e n e s o rig in a le s su b siste n seis e n g rie g o y c u a tr o e n á ra b e (p a rc ia lm e n te r e d u n d a n te s ). A lg u n o s fra g m e n to s h a n sid o re e d ita d o s c o n n o ta c ió n m o d e rn a . L a A r itm é tic a d e D io fa n to se n tó n u e v a s p a u ta s , d e e n tra d a , p o r la d ific u lta d d e lo s p ro b le m a s q u e a b o rd a . D io fa n to resu elv e n o só lo ec u acio n es d e se g u n d o y te rc e r g rad o , c o n u n a o d o s in c ó g ­ n ita s, sin o ta m b ié n fo rm u la c o n je tu ra s m a te m á tic a s m u y g e n e ­ ra le s. E n el lib ro se m u e s tra , p o r e jem p lo , c ó m o r e d u c ir u n a s u m a d e c u a d ra d o s , d a d a d e a n te m a n o , a o tra su m a eq u iv ale n te d e c u a d ra d o s. L a s e g u n d a c u e s tió n im p o rta n te es q u e D io fa n to y a p re s e n ­ t a en la A r itm é tic a u n a n o ta c ió n s im b ó lic a p a r a c ie rta s e x p re ­ s io n es m a te m á tic a s. Ya n o es sólo álg eb ra p la tic a d ita o re tó ric a, s in o u n a fo rm a h íb rid a in te rm e d ia , q u e e n in g lés se h a lla m a d o sincopada —lla m é m o s la n o s o tro s álgebra a n o ta d a — . El p ro b le ­ m a d e D io fa n to fue, sin e m b arg o , q u e m ie n tra s el sa b e r g e o m é ­ tr ic o d e E u clid es n o se p e r d ió e n lo s siglos p o s te rio re s , la A r it­ m é tic a sí cay ó e n el o lv id o , h a s ta q u e lo s á ra b e s e n el sig lo x y d e sp u é s lo s e u ro p e o s c o m e n z a ro n a re d e sc u b rirla . E n la n o ta c ió n d e D io fa n to las le tra s g rie g a s se u tiliz a b a n p a r a e s c rib ir p a la b r a s y ta m b ié n p a r a r e p re s e n ta r n ú m e r o s (a e ra el 1, 5 el 2, etc.). A dem ás, los sím b o lo s AY y Ky re p re se n ta b a n el c u a d ra d o y el cu b o , re sp e c tiv a m e n te , d e la in c ó g n ita . L a e x ­ p re s ió n K Y yA Y ^M a, p o r ejem p lo , re p re s e n ta lo q u e h o y e s c ri­ b im o s c o m o 3 x 3 + 2 x 2 + 1. L os c o e fic ie n te s d e las p o te n c ia s se e sc rib e n d esp u é s del sím b o lo p a r a el c u a d ra d o y el cubo, re sp e c ­ tiv a m e n te , m ie n tra s q u e la le tra M a n u n c ia u n v a lo r c o n sta n te . La A ritm ética es u n híb rid o , p u es D io fan to n o te n ía u n sím b o ­ lo d e ig u a ld a d y sus d esa rro llo s n o so n p u ra m e n te sim bólicos. Es u n lib ro q u e co n siste casi c o m p le ta m e n te e n te x to c o n sím b o lo s

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in te rc a la d o s o c a s io n a lm e n te ; p o r eso d e c im o s q u e es álgebra a n o ta d a . P a ra n u e s tra h is to ria es re le v an te q u e D io fa n to u tiliz a ­ ra u n a le tr a p a r a la in c ó g n ita (álogos a rith m ó s) y é s ta fu e ra p a ­ re c id a a la le tra sig m a, e n la v a ria n te q u e se u tiliz a b a al fin al d e las p a la b ra s (lla m a d a sig m a te rm in a l). Es decir, to d a v ía n o e ra n u e s tra x , sin o m á s b ie n u n a esp ecie d e s. P a s a ro n lo s sig lo s y p e r s is tió la n e c e s id a d d e h a b la r d e la v aria b le d e sc o n o c id a . Los m a te m á tic o s italia n o s, p a r a ay u d arse, se re fe ría n a la cosa; p o r eso al álg eb ra se le lla m a b a arte cossista y lo s m a te m á tic o s q u e p o d ía n re so lv e r las e c u a c io n e s e r a n los cossistas. C o m o v em o s, c a d a v ez e ra m á s u rg e n te e n c o n tr a r u n n o m ­ b re e s tá n d a r p a r a la in c ó g n ita d e u n a e c u a c ió n . H u b o m u c h a s e sta c io n e s e n el tray e cto : F ib o n acci, p o r ejem plo, llegó a u tiliza r le tra s p a r a d e n o ta r n ú m e ro s ; M ic h a e l S tifel u s a b a la q c o m o ab rev iació n d e q u a n tita , y e n u n a tra d u c c ió n d e la A ritm é tic a de D io fa n to se u tiliz ó la N e n v e z d e sig m a. E n 1585 el fla m e n c o S im o n S tevin p ro p u s o algo q u e m e p a re c e m u y in g en io so : n o le a sig n ó n o m b re a la in c ó g n ita , s in o q u e la re p re s e n tó c o n u n círcu lo , c o n la p o te n c ia c o rre s p o n d ie n te e n su in te rio r, c o m o se a p re c ia e n el fa c sím il d e su lib ro D e T hiende, p u b lic a d o e n h o ­ la n d é s y e n fra n c é s. É sa e ra la s itu a c ió n h a s ta q u e el s e g u n d o p a d re del álgebra e n tró e n escena. E n 1591 el m a te m á tic o fra n c é s F ran ^ o is V iete (15 4 0 -1 6 0 3 ) le d io o tr a v u e lta a la tu e rc a d e la n o ta c ió n c o n su o b ra Isagoge

Qui mulripliépar la fpmmp dii doublctju notnbre rcquis, & le quarréde— i & 4 , q ü u f t par ¿ 8 24ÍD— 96 F ig u r a 11 .1 4 . Representación de las expresiones 2x + 8 y 2x 3 + 8x 2 - 24x - 96 en el libro de Simon Stevin De Thiende, versión francesa de 1585 (fuente: Digitale Bibliotheek voor de Nederlandse letteren). 61

in a rte m a n a lytica m . A h í a d o p tó a lg u n o s s ím b o lo s q u e y a e s ta ­ b a n e n c irc u la c ió n y u n s ím b o lo p a r a la ig u a ld a d , d e l q u e n o d is p o n ía D io fa n to . Y lo m á s im p o r ta n te d e este re la to : V iete d e c id ió u tiliz a r c o n s o n a n te s la tin a s p a r a re p re s e n ta r c o n sta n te s y v o cales p a r a las variables. C o m o n o te n ía a ú n u n sím b o lo p a ra lo s e x p o n e n te s , e s c rib ía A c u b u m o A q u a d r a tu m c u a n d o se q u e r ía re fe rir a A 3 o a A 2, re s p e c tiv a m e n te . C o n esa in n o v a c ió n V ie te a f irm a b a n o só lo p o d e r tr a b a ja r c o n n ú m e r o s (lo g istica n u m e ro sa ), s in o ta m b ié n c o n s ím b o lo s (logistica speciosa), q u e es la b a s e d e l á lg e b ra . S in e m b a rg o , u n a re v is ió n r á p id a d e la Isagoge n o s re v e la u n te x to q u e se a n to ja a ú n m u y a rcaico . La m a y o r p a r te d e la a r g u m e n ta c ió n sig u e s ie n d o r e tó r ic a y lo s sím b o lo s a p a re c e n só lo d o n d e se les n ec esita, d e v ez e n c u a n d o , sin q u e V iete se a tre v a a h ilv a n a r tra n s fo rm a c io n e s alg eb raicas s u c e s i v a s . P ero e ra u n inicio.

L a g eo m etría analítica com o n u eva síntesis Se n e c e sitó u n a v e rd a d e ra e stre lla filosófica p a r a afia n z a r y p o ­ p u la riz a r la n o ta c ió n algebraica. E n a q u e lla é p o c a E u ro p a e s ta ­ b a fra g m e n ta d a e n v arias reg io n es d e c u ltu ra m a te m á tic a d o n d e a h o r a te n e m o s a Italia, A lem an ia , F ra n c ia y el R ein o U n id o . P o r eso fu e m u y im p o rta n te la in flu e n c ia d e m a te m á tic o s cé le­ b res, q u ie n e s a v eces lo g ra b a n esta b le c e r u n a n o ta c ió n u n ifo r­ m e e n u n a re g ió n . O tra v ez es u n fran cé s, R ené D e sc arte s (1 5 9 6 -1 6 5 0 ), q u ie n n o s v a a llev ar d e las v o cales a las c o n s o ­ n a n te s y al fin al d e c u e n ta s a la v aria b le x, p a r a d e s d ic h a d e los b ritá n ic o s , q u e d e s e a ría n v e r en T h o m a s H a rrio t (1560-1621) al v e rd a d e ro su c e so r d e V iete. L a o b ra d e H a rrio t A r tis a n a lyticae p ra x is fu e p u b lic a d a d e sp u é s d e su m u e rte , p e r o a n tes de q u e a p a re c ie ra el lib ro d e D e sc a rte s. H a rrio t ta m b ié n u tiliz a b a le tra s p a r a d e n o ta r c a n tid a d e s y re p re s e n ta b a p ro d u c to s p o r c o n c a te n a c ió n . N o u tiliz a b a p o te n c ia s , y p o r eso e n v ez d e e s­ c rib ir a d 3 c 3 esc rib ía adddccc.

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L A

CEOMETRI E. LIVRE PREMIER. ‘Des problefmes (ju'on peut conflruirt f*ns y employerque des cercles & des (ignes droites. O u s les Problcfroes d e G com etrie fe pcuucot facileincnr reduire a tclt term es, qu’il n'eft befoin par apres que de connoiftre la loogeur de quclques ligncs droites, p oor les conftruire. E t comme toute l Arithnietique n'eft compofce, que Comnjfc de quatre ou cinq operations, qui íont l’Addition, Souftra& ion, la M ultiplicación, laD iuifíon, & l'Extrad io o des racine», q u o o peut prendre po u rv n e efpece de Diuifion : Ainli n'at'on autre chole a faire en G e o - »»«°p