Ejercicios resueltos de Matemática Financiera. (Catálogo General) (Spanish Edition) [1 ed.] 8497453751, 9788497453752

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Ejercicios resueltos de Matemática Financiera

Ejercicios resueltos de Matemática Financiera Olga del Orden Olasagasti

Ejercicios Resueltos de Matemática Financiera Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. QR code es una marca registrada por Denso Wave, inc. Derechos reservados 2009, respecto a la primera edición en español, por © Netbiblo, S. L.

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La Autora

O

lga del Orden Olasagasti, Doctora en CC.EE. y Empresariales, es profesora titular de la Universidad de Deusto donde desempeña en la actualidad su labor docente e investigadora como miembro del departamento de Finanzas y Contabilidad de la Facultad de CC.EE. y Empresariales en su campus de San Sebastián. Es profesora del grado en Dirección y Administración del Empresas y de diferentes postgrados, siendo su área de especialización las finanzas (imparte cursos sobre Matemática Financiera, Gestión del riesgo con Instrumentos Financieros Derivados y Finanzas Internacionales). Miembro del equipo de investigación de nombre “Competitividad y desarrollo económico” reconocido por el Departamento de Educación del Gobierno Vasco, su interés se centra en el estudio de las estructuras de propiedad y los grupos empresariales.

Contenido

Presentación........................................................................................................................

XI

1. Interés simple: Un capital. ....................................................................................

1

Unas breves notas técnicas............................................................................................... Ejercicios............................................................................................................................. Resolución de ejercicios....................................................................................................

2 4 15

2. Interés simple: Varios capitales.........................................................................

31

Unas breves notas técnicas............................................................................................... Ejercicios............................................................................................................................. Resolución de ejercicios....................................................................................................

32 33 42

3. Interés compuesto: Un capital............................................................................

65

Unas breves notas técnicas............................................................................................... Ejercicios............................................................................................................................. Resolución de ejercicios....................................................................................................

66 68 78

IX



Contenido

4. Interés compuesto: Rentas...................................................................................

95

Unas breves notas técnicas............................................................................................... 96 Ejercicios............................................................................................................................. 100 Resolución de ejercicios.................................................................................................... 112

5. Préstamos: Métodos de amortización........................................................... 145 Unas breves notas técnicas............................................................................................... 146 Ejercicios............................................................................................................................. 149 Resolución de ejercicios.................................................................................................... 164

6. Valoración de activos: Valoración de bonos y obligaciones........................................................................................ 207 Unas breves notas técnicas............................................................................................... 208 Ejercicios............................................................................................................................. 210 Resolución de ejercicios.................................................................................................... 219

Bibliografía.......................................................................................................................... 241

Presentación

D

esde que en 1999, con la Declaración de Bolonia, los diferentes sistemas universitarios europeos empezaran a trabajar en pro de una progresiva armonización imprescindible para lograr la construcción del Espacio Europeo de Educación Superior, estamos siendo testigos de un proceso de cambio en las universidades europeas de una dimensión sin precedentes. Este cambio en la nueva organización de las enseñanzas universitarias no sólo hace referencia a aspectos estructurales, sino también, y en buena medida, a las metodologías docentes empleadas que se pretende, en el futuro, centren su atención en el proceso de aprendizaje del estudiante a lo largo de toda su vida. Se aboga por una enseñanza que permita al estudiante la adquisición de competencias más que de contenidos y, que, en consecuencia, haga especial énfasis en los métodos de aprendizaje de dichas competencias y en los procedimientos para su evaluación. El alumno ha de lograr ser capaz de hacer y no tanto de acumular conocimientos. Además, ha de ser protagonista de su propio aprendizaje, haciéndose cada vez más autónomo a este respecto; ya que su formación no se reduce a los años de universidad, sino que se prolonga durante toda su vida profesional. El objetivo último de todo este cambio no es otro que el incrementar la empleabilidad de los estudiantes. El presente volumen se hace eco de todo lo anterior y persigue ayudar a los estudiantes a la hora de abordar el aprendizaje de una materia como es la Matemática Financiera, de gran aplicabilidad tanto en el mundo de la empresa como en el personal. Los casi 200 ejercicios y problemas cuyo planteamiento y resolución se recogen en este manual han de ser considerados como una herramienta de trabajo que no persigue, en ningún caso, sustituir la labor del profesor de Matemática Financiera ni de los libros de texto sobre dicha materia, sino complementarla haciendo especial énfasis en la dimensión más práctica de la misma y propiciando un aprendizaje más autónomo por parte del estudiante.

XI

XII

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Con dicho propósito, el libro se ha dividido en seis partes bien diferenciadas en el estudio de la Matemática Financiera: ▪ Interés simple: Un capital. ▪ Interés simple: Varios capitales. ▪ Interés compuesto: Un capital. ▪ Interés compuesto: Rentas. ▪ Préstamos: Sistemas de amortización. ▪ Valoración de activos: Valoración de bonos y obligaciones. Cada una de las partes comienza con una definición, en clave de competencias, de los objetivos que el estudiante ha de perseguir para, a continuación, ofrecer los conocimientos teóricos básicos al respecto, y que se presuponen ya adquiridos. En tercer lugar, se plantea una batería de ejercicios que sitúan al estudiante en diferentes contextos en los que la Matemática Financiera es requerida para la resolución de problemas y la toma de decisiones y le permiten, en consecuencia, aplicar de forma práctica sus conocimientos en la materia e ir desarrollando las capacidades perseguidas. Cada parte concluye con la resolución de todos los ejercicios propuestos de forma que el estudiante pueda medir su grado de avance y dominio de la materia, reconociendo posibles fallos o lagunas, y le posibilite avanzar en la consecución de los objetivos marcados al inicio.

Interés simple: Un capital

1

Objetivos A medida que se realizan los diferentes ejercicios propuestos, se ha de conseguir:

▪ Comprender la fórmula que permite capitalizar o actualizar un capital en interés simple y saber utilizarla. ▪ Distinguir el descuento comercial del racional y las repercusiones de uno y otro. ▪ Distinguir entre rentabilidad/coste nominal y real, teniendo en cuenta la influencia de la inflación en las operaciones financieras. ▪ Conocer y entender aspectos financieros relacionados con las letras de cambio. ▪ Calcular el valor de una letra con gastos de gestión. ▪ Entender el descuento de una letra como una operación de financiación. ▪ Entender el adelanto de un pago/cobro como una operación de inversión/financiación. ▪ Calcular el coste financiero o rentabilidad de una operación financiera y ser consciente de la importancia de considerar los gastos y comisiones (además del propio tipo de interés) en su cálculo. ▪ Utilizar los conceptos de coste y rentabilidad para elegir entre diferentes alternativas de financiación/inversión.



Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Unas breves notas técnicas ▪ El dinero cambia de valor en el tiempo. La matemática financiera se ocupa de calcular dicho valor en el tiempo. ▪ Una operación financiera es un intercambio temporal de dinero. ▪ Toda operación financiera consta de cuatro elementos: prestación, duración, ley financiera y contraprestación. ▪ La prestación, o capital inicial (también principal), es la cantidad con la que se inicia una operación financiera. ▪ La duración es el tiempo que dura el intercambio de dinero. ▪ La ley financiera, o tipo de interés (simple o compuesto) que se aplica en la operación financiera, es el porcentaje que se va a calcular sobre la prestación y que dará lugar a los intereses. Está referenciado al año. ▪ El tipo de interés es, pues, el precio del dinero durante un año. Depende, en cada operación, del tipo de interés libre de riesgo y de la prima de riesgo de la misma. ▪ El tipo de interés libre de riesgo depende, a su vez, del tipo de interés real y de la inflación. ▪ Los intereses son proporcionales a la ley financiera (tipo de interés), a la duración y al principal de la operación financiera. ▪ La contraprestación, o capital final, es la cantidad resultante de sumar a la prestación los intereses calculados teniendo en cuenta la ley financiera y la duración de la operación financiera. ▪ La fórmula que relaciona, en interés simple, los cuatro elementos de toda operación financiera es: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) 100

Donde Ct es la contraprestación, C0 es la prestación, r es el tipo de interés y t es la duración. La duración se puede expresar en años, meses, días, etc. El denominador es 100 si t se expresa en años, 1.200 si se expresa en meses, 36.500 si se expresa en días de un año natural o 36.000 si se expresa en días de un año comercial. ▪ El gráfico de flujo de fondos es una herramienta básica en el análisis de las operaciones financieras. ▪ Capitalizar o diferir un capital, C0, consiste en calcular el valor del mismo en una fecha futura, Ct. ▪ Descontar o actualizar un capital, Ct, consiste en calcular el valor del mismo en una fecha anterior, normalmente en el momento actual, C0.

Interés

simple:

Un

capital



▪ Existen dos sistemas de descuento:  Descuento racional: que resulta de aplicar la fórmula anterior sobre interés simple despejando la variable C0: C0 =

Ct r ×t 1+ 100

 Descuento comercial: en el que se aplica la siguiente fórmula: C0 = Ct × (1 −

r ×t ) 100

▪ El cálculo del coste o rentabilidad de una operación financiera se lleva a cabo aplicando la fórmula de capitalización: C0 = Ct × (1 −

r ×t ) 100

▪ En una parte importante de las operaciones financieras interviene la banca ofreciendo sus productos y servicios. En todas las ocasiones que así sucede, hay que tener muy en cuenta la influencia de los gastos por las comisiones de diferente índole que ésta aplica (gastos por descuento de letras, gastos por gestión de cobro, gastos por apertura de préstamos, etc.). ▪ El coste o rentabilidad de una operación financiera depende, tanto del interés aplicado a la misma como de los gastos soportados. ▪ El cálculo del coste o rentabilidad permite la comparación entre diferentes alternativas de inversión o financiación.



Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Ejercicios 1. Capitalizar y actualizar en interés simple EJ 1.

A un t.i. del 6%, 340 € de hoy se convierten en 348,5 € en: a. 10 meses. b. 5 años. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 2.

2.000 € de hoy equivalen, en el año 3, si el t.i. es 5%, a: a. 2.300 €. b. 2.025 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 3.

A un t.i. del 4%, 1.020 € de hoy se convierten en 1.037 € en: a. 2 años. b. 5 meses. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 4.

Si el t.i. del mercado es 10%, cobrar 400 € hoy o 580 € dentro de 5 años: a. Da igual. b. Mejor hoy 400 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 5.

Si el t.i. del mercado es 6%, cobrar 400 € hoy o 580 € dentro de 7 años: a. Da igual. b. Mejor hoy 400 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 6.

A un t.i. del 7%, 450 € de hoy se convierten en 460,94 € en: a. 3,47 meses. b. 125 días. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 7.

Si el t.i. del mercado es 8%, entre pagar 1.900 € dentro de 2 meses o 2.100 € dentro de 14 meses: a. Da igual salvo cuando el t.i del mercado es 0%. b. Resulta mejor pagar en el mes 2. c. Siempre, cuanto más tarde se pague, mejor.

EJ 8.

500 € de hoy equivalen a 504,375 € de dentro de 3 meses, para un interés del: a. 3,5%. b. 2,92%. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

EJ 9.

simple:

Un

capital



Considerando un interés del 2,5%, en lugar de pagar 115 € el mes 3, pagaremos 116,44 € el mes: a. 6. b. 9. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 10. 400 € se convierten en 421 € al cabo de 300 días (año comercial) para un interés del: a. 6,3%. b. 5,25%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 11. Para un interés del 2,7%, cobrar el mes 1, 8.900 €: a. Es igual que cobrar 8.960,075 € el mes 3. b. Es mejor que cobrar 9.180 el mes 13. c. Ninguna de las anteriores. EJ 12. Para un interés del 3,75%, cobrar 250 € el mes 4: a. Es igual que cobrar 253,91 € el mes 5. b. Es mejor que cobrar 255 el mes 12. c. Ninguna de las anteriores. EJ 13. Si el t.i. del mercado es 3%, cobrar 6.500 € dentro de 2 años o 7.100 € dentro de 5: a. Da igual. b. Mejor esperar 5 años. c. Ninguna de las anteriores.

2. Descuento comercial y racional EJ 14. Si tenemos una deuda a cobrar y nos quieren adelantar su pago, preferiremos: a. Descuento comercial. b. Descuento racional. c. Sólo es posible el descuento comercial. EJ 15. 1.309 € de hoy equivalen a 1.360 € del mes 9 a descuento comercial si el interés es: a. 5,19%. b. 5%. c. 3,90%. EJ 16. A un 8% de t.i., en descuento racional, 1.000 € del mes 10 son equivalentes el mes 4 a: a. 960 €. b. 961,54 €. c. Ninguna de las anteriores.



Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 17. Un cliente que quiere adelantar el pago de una deuda, prefiere el descuento: a. Comercial. b. Racional. c. Ninguna de las anteriores. EJ 18. A un 7,5% de t.i., en descuento comercial, 1.000 € son el valor actualizado de una cantidad del día 293 igual a: a. 942,47 €. b. 1.065,01 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 19. A un 5% de t.i., en descuento racional, 1.000 € del mes 13, son equivalentes el mes 3 a: a. 960 €. b. 948,62 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 20. A un 5% de t.i. y en descuento comercial, 9.000 € del mes 10 son equivalentes el mes 2 a: a. 8.709,68 €. b. 8.700 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 21. Un proveedor nos admite adelantar el pago de una deuda, preferirá aplicar el descuento: a. Comercial. b. Racional. c. Ninguna de las anteriores. EJ 22. 500 € son el valor actual de 531,5 € en el mes 9 para un interés: a. 8,4% en descuento comercial. b. 7,9% en descuento racional. c. Ninguna de las anteriores.

3. Rentabilidad/coste nominal y real EJ 23. Si la inflación es del 3%, un interés nominal de 8% supone una rentabilidad real de: a. 4,85%. b. 5%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 24. Si la inflación es 3%, una rentabilidad real del 4% se logra con un interés nominal del: a. 1%. b. 7,0%. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

simple:

Un

capital



EJ 25. Si por un préstamo de 250 € exigimos que nos devuelvan 300 € un año más tarde, con una inflación del 3%, nuestra rentabilidad real ha sido: a. 16,50%. b. 17,00%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 26. Si nos han cobrado un interés del 6% y sabemos que nuestro acreedor está contento porque ha obtenido una rentabilidad real de 3,5%, eso significa que la inflación ha sido del: a. 9,71%. b. 2,5%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 27. Si la inflación es 3%, una rentabilidad real del 5% se logra con un interés nominal del: a. 1,94%. b. 8,15%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 28. Si la inflación es del 2,5%, la rentabilidad real de una inversión de 2.500 € que en 1 año se convierte en 3.000 € será: a. 17,50%. b. 20%. c. 17,07%. EJ 29. Con una inflación del 2,5%, un 8% de rentabilidad nominal supone una rentabilidad real del: a. 10,70%. b. 5,50%. c. 5,37%. EJ 30. Si la inflación es del 2,5%, para incrementar nuestro poder adquisitivo un 4,5%, debemos recibir dentro de un año, por un préstamo que hagamos hoy de 3.000 €: a. 3.210 €. b. 3.135 €. c. 3.213,38 €. EJ 31. Si la rentabilidad real de una operación es 5% y la inflación 2%, la rentabilidad nominal ha de ser: a. 7,1%. b. 2,94%. c. 7%. EJ 32. Recibir 9.500 € un año después de invertir 9.100 € supone, dada una inflación anual del 2,5%, un interés real de: a. 1,85%. b. 4,4%. c. 7%.



Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 33. Hace un año invertimos 750 €, si la inflación ha sido del 3% y hoy recogemos 870 €: a. Hoy podemos comprar un 12,62% más de cosas. b. Nuestra rentabilidad real ha sido del 16%. c. Hoy podemos comprar menos cosas que hace un año.

4. Letras de cambio y otras operaciones financieras EJ 34. Si nos dan hoy 975 € al descontar una letra de 1.000 € a 6 meses, el t.i. aplicado por el banco en el descuento es: a. 2,5%. b. 5%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 35. Una deuda de 1.000 € a pagar en el mes 2 se cambia por otra de importe 1.060,61 €. Si acordamos un t.i. del 5% y gastos por gestión de cobro del 1%, la fecha del pago de la nueva deuda será en el mes: a. 12. b. 14,5. c. Ninguna de las anteriores. EJ 36. Llevamos a descontar al banco una letra de 400 € a 9 meses. 1. Nos aplican un interés del 5% y comisión del 0,8% (con un mínimo de 2,5 €), recibiremos: a. 381,80 €. b. 383,5 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. El coste global de la operación de descuento anterior resulta un: a. 6,36%. b. 4,77%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 37. Si nos dan hoy 950 € al descontar una letra de 980 € a 4 meses, el t.i. aplicado por el banco es: a. 9,47%. b. 9,18%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 38. Una deuda de 470 € a pagar en el mes 2 se cambia por otra de importe 480,68 €. Si acordamos un t.i. del 5% y gastos por gestión de cobro del 1%, la fecha del pago de la nueva deuda será en el mes: a. 5,4. b. 3. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

simple:

Un

capital



EJ 39. Llevamos a descontar al banco una letra a 9 meses. Nos aplican un interés del 6% y comisión del 0,8%, si recibimos 870,47 €, el importe inicial de la letra era de: a. 918,78 €. b. 916,92 €. c. 919,19 €. EJ 40. Si nos dan hoy 1.950 € al descontar una letra de 2.080 € a 6 meses con 5,2 € de gastos, el t.i. aplicado por el banco en el descuento ha sido: a. 13,33%. b. 12%. c. 12,77%. EJ 41. Una deuda de 470 € a pagar en el mes 2 se cambia por otra de importe 480,68 € en el mes 9. Si acordamos gastos por gestión de cobro del 1%, el interés aplicado ha sido: a. 2,90%. b. 3,90%. c. 2,14%. EJ 42. Si descontamos una letra de 580 € a cobrar el mes 7 y el banco aplica un interés del 4,2%, recibimos: a. 565,79 €. b. 566,13 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 43. Somos un banco y nos traen a descontar una letra de 1.200 € a cobrar dentro de 7 meses. Si le aplicamos un interés anual del 5% y una comisión del 1,5% (mínimo 3 €) obtenemos, con esta operación, una rentabilidad del: a. 7,57%. b. 7,92%. c. 6,5%. EJ 44. Somos un banco y nos traen a descontar una letra de 1.350 € a cobrar dentro de 5 meses. Si le aplicamos un interés anual del 9% y una comisión del 1,5% (mínimo 3 €): a. Obtenemos una rentabilidad del 5,54%. b. Pagamos 1.279,13 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 45. Llevamos a descontar al banco una letra de 460 € a 8 meses. Nos aplican una comisión del 0,8% y recibimos 434,72 €: a. El coste global de la letra ha sido 8,24%. b. El tipo de interés que nos ha aplicado el banco ha sido 7,04%. c. Ninguna de las anteriores.

10

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 46. Hemos solicitado a un proveedor el cambio de una deuda de 70.000 € a 2 meses por una letra a 11 meses con un nominal que recoge un interés del 12% anual y unos gastos de gestión del 1%. 1. Los 70.000 € son financieramente equivalentes, en la nueva fecha de pago a: a. 77.700 €. b. 76.300 €. c. Ninguna de las anteriores 2. El nominal de la letra que nos emitirá nuestro proveedor será: a. 78.477 €. b. 78.484,7 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Le pagaremos al banco gestor del cobro: a. 76.300 €. b. 74.200 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 47. Llevamos a descontar al banco una letra a 7 meses. Nos aplican un interés del 5% y comisión del 0,8% y recibimos 434,72 €: 1. El nominal de la letra es: a. 418,56 €. b. 451,50 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. El coste global de la operación de descuento es: a. 6,62%. b. 6,37%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 48. Llevamos a descontar al banco una letra de 760 € a 2 meses. Nos aplican un interés del 4,5% y comisión del 1% (con un mínimo de 2,5 €). 1. Recibiremos: a. 754,34 €. b. 753,03 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. El coste global de la operación de descuento es: a. 10,69%. b. 5,55%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 49. A petición de uno de nuestros clientes cambiamos el cobro de una deuda de 100 € a 90 días por una letra a 270 días con un nominal que recoge un interés del 12% anual y unos gastos de gestión del 1%. 1. Las 100 € son financieramente equivalentes, en la nueva fecha de pago, a: a. 109 €. b. 106 €. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

simple:

Un

2.

El nominal de la letra que le enviemos a nuestro cliente será: a. 110,101 €. b. 110,09 €. c. Ninguna de las anteriores.

3.

Nosotros recibiremos del banco: a. 106 €. b. 109 €. c. Ninguna de las anteriores.

capital

11

EJ 50. Sustituimos el cobro de una deuda de 300.000 € a 30 días por una letra a 210 días con un nominal que recoge un interés del 12% anual y unos gastos de gestión del 1%. 1. Los 300.000 € son financieramente equivalentes, en la nueva fecha de pago, a: a. 327.000 €. b. 318.000 €. c. Ninguna de las anteriores. 2.

El nominal de la letra que le enviemos a nuestro cliente será: a. 321.212,12 €. b. 330.270 €. c. Ninguna de las anteriores.

3.

El banco se queda: a. 3.212,12 €. b. 3.270 €. c. 3.180 €.

EJ 51. Retrasamos el pago de una deuda de 10.000 € a 4 meses y nuestro proveedor nos la cambia por una letra a 8 meses con un nominal que recoge un interés del 5% anual y gastos de gestión del 1%. 1.

Los 10.000 € son financieramente equivalentes, en la nueva fecha de pago, a: a. 10.333,33 €. b. 10.268,34 €. c. Ninguna de las anteriores.

2.

El nominal de la letra que nos envía nuestro proveedor es: a. 10.321,49 €. b. 10.268,34 €. c. Ninguna de las anteriores. El banco cobra por su gestión: a. 102,68 €. b. 103,21 €. c. 101,67 €.

3.

12

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

5. Análisis y selección de diferentes alternativas . de inversión/financiación EJ 52. Me ofrecen un negocio en el que tengo que invertir hoy 3.000 € para conseguir 4.000 € al cabo de 3 años: a. Prefiero invertir en una cuenta al 12% de interés. b. La rentabilidad es del 33,33%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 53. Un proveedor al que pagamos las facturas a 6 meses nos ofrece un descuento del 5% si lo hacemos al contado. Podemos pedir un préstamo al 10% para hacer el pago al contado: a. Nos da igual pagar a plazo o pedir el préstamo para pagar al contado. b. El proveedor está obteniendo una rentabilidad del 10,53%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 54. Un cliente al que cobramos las facturas a 2 meses nos ofrece el pago al contado si le hacemos un descuento del 1%. Necesitamos el dinero pero podemos pedir un préstamo al 6%: a. Nos da igual cobrar con descuento a nuestro cliente que pedir el préstamo. b. El coste de adelantar el cobro a nuestro cliente es un 6%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 55. Me ofrecen comprar un apartamento que, en 9 años, va a duplicar su valor: a. Prefiero invertir en un fondo que me ofrece una rentabilidad anual del 12%. b. Obtengo una rentabilidad del 100%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 56. Hoy puedo comprar por 4.900 € una obra de arte que seguro alcanzará un valor de 7.000 € dentro de 9 años. Es preferible invertir en: a. Una cuenta al 4,7% de interés. b. Un negocio que me permite duplicar mi dinero en 20 años. c. Ninguna de las anteriores. EJ 57. Un cliente al que facturamos a 5 meses aceptaría pagarnos al contado una factura por valor de 900 € si le ofrecemos un descuento del 4%. Como necesitamos el dinero, si no aceptamos, tendremos que pedir un préstamo al 10% para hacer el pago al contado: a. Ambas soluciones nos resultan el mismo coste. b. Es preferible la primera ya que el coste es del 9,6%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 58. Hoy puedo comprar por 1.900 € una obra de arte que seguro alcanzará un valor de 5.000 € dentro de 15 años. Es preferible invertir ese dinero en: a. Pagar deudas pendientes por las que me están aplicando un interés del 7%. b. Un negocio que me permite duplicar mi dinero en 12 años. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

simple:

Un

capital

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EJ 59. Necesitamos dinero para abordar un pago urgente. Tenemos la posibilidad de pedir a un cliente que adelante 6 meses el pago de una factura para lo cual nos exige un descuento del 5% sobre el importe de la misma. Si retrasamos el pago 3 meses, nos incrementan el importe en un 2,5%: a. Nos da igual cualquiera de las dos alternativas. b. Nuestro cliente se estaría llevando una rentabilidad del 10,53% con la operación. c. Ninguna de las anteriores. EJ 60. Hace 4 años invertí 17.100 € en Bolsa que se han convertido en 21.890 €, para ello me endeudé a un interés del 7,5%: a. Me ha compensado, aunque por poco. b. La ganancia ha sido más que considerable. c. No me ha compensado la inversión. EJ 61. Nos han pedido que decidamos la política a seguir en el pago a algunos proveedores que nos plantean las siguientes alternativas: pago al contado con descuento del 1%, pago a 2 meses sin recargo y pago a 3 meses con interés del 3% anual. Teniendo en cuenta que normalmente contamos con una tesorería saneada invertida al 3,5%: a. no nos conviene el pago al contado porque dejamos de ganar un 2,5%. b. el coste de la última alternativa es 7,07%. c. la segunda resulta la mejor alternativa. EJ 62. Hace 5 años presté a un amigo una cantidad de 1.900 € que me ha devuelto hoy incrementada en un 15%. Si por dar el préstamo dejé de lado la oportunidad de comprar acciones que, en los 5 años, han pasado de valer 5,4 € a valer 6,2 €: a. Con el préstamo de mi amigo he salido perdiendo. b. La acción ha dado una rentabilidad del 2,96%. c. En cualquier caso mejor me habría resultado ingresar mi dinero en la Kutxa al 2,75% de interés anual. EJ 63. Tenemos que decidir si pagar a un proveedor al contado con un descuento por pronto pago del 1%, o a 4 meses sin recargo. Teniendo en cuenta que, por un lado, contamos con dinero invertido en una cuenta al 3% anual y, por otra parte, contamos con una letra a pagar a 4 meses que podemos descontar al 2,25% anual y 0,25% de comisiones: a. Independientemente de cuál de las dos formas consigamos el dinero, es preferible el pago al contado. b. El coste del descuento es igual al del pago aplazado. c. Ninguna de las anteriores. EJ 64. Necesitamos dinero para abordar un pago urgente. Tenemos la posibilidad de pedir a un cliente que adelante 4 meses el pago de una factura para lo cual nos exige un descuento del 3% sobre el importe de la misma, o llevar letras a 6 meses a descontar en las que el banco nos aplicaría un interés del 9%. Si retrasamos el pago 4 meses, nos incrementan el importe en un 3%: a. Mejor retrasar el pago. b. Las tres opciones son iguales. c. Ninguna de las anteriores.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 65. Hace 5 años invertí 12.400 € en Bolsa que se han convertido en 17.300 €. Para ello, me endeudé a un interés del 8%: a. No me ha compensado la inversión. b. Me ha compensado ya que he obtenido una rentabilidad de casi el 40%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 66. Para conseguir dinero para una compra, ofrecemos a un cliente la posibilidad de liquidar una deuda de 100.000 € a 4 meses pagando hoy 98.000 €. 1. Nos hemos enterado que podríamos endeudarnos al 6% en el banco: a. Preferimos que se realice el pago por adelantado y no endeudarnos. b. Es más aconsejable endeudarnos con el banco. c. Nos da igual que se adelante o no el pago. 2. Otra alternativa para conseguir dinero sería llevar a descontar una letra a 4 meses sabiendo que el banco nos va a aplicar un interés del 6%: a. Nos interesa más que nos paguen por adelantado la deuda. b. Nos da igual cualquiera de las dos posibilidades ofrecidas por el banco (préstamo o descuento). c. Es preferible tomar el préstamo.

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1. Capitalizar y actualizar en interés simple RES EJ 1.

Datos del problema: C0 = 340 €, Ct = 348,5 €, r = 6%. Incógnita: t: 6×t r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 348,5 = 340 × (1 + ) 100 1.200 Solución: t = 5 meses. Respuesta correcta: c.

RES EJ 2. Datos del problema: C0 = 2.000 €, t = 3 años, r = 5%. Incógnita: C3 : r ×t 5× 4 Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C3 = 2.000 × (1 + ) 100 100 Solución: C3 = 2.300 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 3. Datos del problema: C0 = 1.020 €, Ct = 1.037 €, r = 4%. Incógnita: t: 4×t r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 1.037 = 1.020 × (1 + ) 100 1.200 Solución: t = 5 meses. Respuesta correcta: b. RES EJ 4. Datos del problema: C0 = 400 €, C5 = 580 €, r = 10%, t = 5 años. Incógnita: ¿cuándo cobrar?, ¿en t = 0 o en t = 5? Si cobramos en C0 podemos invertir el dinero al 10% y obtener, en 5 años: Ct = C0 × (1 +

r ×t 10 × 5 ) ⇒ C5 = 400 × (1 + ) = 600 € 100 100

Si cobramos en t = 5 obtenemos sólo 580 €. Solución: mejor cobrar hoy e invertir al 10%. Respuesta correcta: b. RES EJ 5. Datos del problema: C0 = 400 €, C7 = 580 €, r = 6%, t = 7 años. Incógnita: ¿cuándo cobrar?, ¿en t = 0 o en t = 7? Si cobramos en C0 podemos invertir el dinero al 6% y obtener, en 7 años: Ct = C0 × (1 +

r ×t 6×7 ) ⇒ C7 = 400 × (1 + ) = 568 € 100 100

Si cobramos en C7 obtenemos 580 €. Solución: mejor cobrar dentro de 7 años. Respuesta correcta: c.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 6. Datos del problema: C0 = 450 €, Ct = 460,94 €, r = 7%. Incógnita: t. RESOLUCIÓN DE rEJERCICIOS ×t 7×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 460,94 = 450 × (1 + ) 100 36.000 Solución: t = 125 días. Respuesta correcta: b. RES EJ 7.

Datos del problema: C2 = 1.900 €, C14 = 2.100 €, r = 8%, t = 12 meses. Incógnita: ¿cuándo pagar?, ¿en t = 2 o en t = 14? Si los 1.900 € los invertimos 12 meses al 8%, tendremos el mes 14: r ×t 8 × 12 Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C14 = 1.900 × (1 + ) = 2.052 € 100 1.200 Con 2.052 € no nos llega para pagar los 2.100 € que nos piden. Solución: mejor pagar el mes 2. Respuesta correcta: b.

RES EJ 8. Datos del problema: C0 = 500 €, C3 = 504,38 €, t = 3 meses. Incógnita: r: r ×3 r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 504,38 = 500 × (1 + ) 100 1.200 Solución: r = 3,5%. Respuesta correcta: a. RES EJ 9.

Datos del problema: C0 = 115 €, Ct = 116,24 €, r = 2,5%. Incógnita: t: 2,5 × t r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 116, 24 = 115 × (1 + ) 100 1.200 Solución: t = 6 meses. Respuesta correcta: a.

RES EJ 10. Datos del problema: C0 = 400 €, C300 = 421 €, t = 300 días. Incógnita: r: r × 300 r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 421 = 400 × (1 + ) 100 36.000 Solución: r = 6,3%. Respuesta correcta: a. RES EJ 11. Datos del problema: C1 = 8.900 €, C3 = 8.960,075 €, C13 = 9.180 €, r = 2,7%. Incógnita: ¿equivalen 8.900 € del mes 1 a 8.960,075 € del mes 3?, ¿es mejor cobrar 8.900 € el mes 1 que 9.180 € el mes 13? Calculamos el valor equivalente de C1 en C3 y C13 para un interés del 2,7%: Ct = C0 × (1 +

2, 7 × 2 r ×t ) ⇒ C3 = 8.900 × (1 + ) = 8.940, 05 €, y 100 1.200

2, 7 × 12 ) = 9.140,3 € 1.200 Solución: C1 no es equivalente a C3 y es peor que C13. Respuesta correcta: c. C13 = 8.900 × (1 +

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

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RES EJ 12. Datos del problema: C4 = 250 €, C5 = 253,91 €, C12 = 255 €, r = 3,75%. IncógRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS nita: ¿equivalen 250 € del mes 4 a 253,91 € del mes 5?, ¿es mejor cobrar 250 € el mes 4 que 255 € el mes 12? Calculamos el valor equivalente de C4 en C5 y C12 para un interés del 3,75%: Ct = C0 × (1 +

3, 75 × 1 r ×t ) = 250, 78 €, y ) ⇒ C5 = 250 × (1 + 1.200 100 C12 = 250 × (1 +

3, 75 × 8 ) = 256, 25 € 1.200  

Solución: C4 no es equivalente a C5 y es mejor que C12. Respuesta correcta: b. RES EJ 13. Datos del problema: C2 = 6.500 €, C5 = 7.100 €, r = 3%, t = 3 años. Incógnita: ¿equivalen 6.500 € del año 2 a 7.100 € del año 5?, ¿es mejor cobrar 6.500 € el año 2 que 7.100 € el año 5? Calculamos el valor equivalente de C2 en C5 para un interés del 3%: 3× 3 r ×t ) ⇒ C5 = 6.500 × (1 + ) = 7.085 € 100 100 O, también, calculamos la r que obtenemos si esperamos a cobrar C5 en el año 5: Ct = C0 × (1 +

7.100 = 6.500 × (1 +

r ×3 ) ⇒ r = 3,08% 100

Solución: Resulta más rentable esperar a cobrar el año 5. Respuesta correcta: b.

2. Descuento comercial y racional RES EJ 14. Incógnita: ¿es mejor el descuento comercial o el racional al recibir un cobro por anticipado? El descuento comercial da como resultado una cantidad actual menor que el descuento racional, por lo que es preferible, a la hora de recibir un cobro anticipado, aplicar el descuento racional. Respuesta correcta: b. RES EJ 15. Datos del problema: C0 = 1.309 €, C9 = 1.360 €, t = 9 meses. Incógnita: rcomercial: r ×9 r ×t C0 = Ct × (1 − ) ⇒ 1.309 = 1.360 × (1 − ) 100 1.200 Solución: rcomercial = 5%. Respuesta correcta: b.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 16. Datos del problema: C10 = 1.000 €, t = 6 meses, r racional = 8%. Incógnita: C4: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Ct = C0 × (1 +

r ×t Ct 1.000 8× 6 ⇒ 1.000 = C4 × (1 + ) ó C0 = ) ó C4 = r × t 8× 6 100 1.200 1+ 1+ 100 1.200

Solución: C4 = 961,54 €. Respuesta correcta: b. RES EJ 17. Incógnita: ¿es mejor el descuento racional o el comercial para adelantar el pago de una deuda? Solución: el descuento comercial da como resultado una cantidad actual menor que el descuento racional, por lo que es preferible a la hora de realizar un pago anticipado. Respuesta correcta: a. RES EJ 18. Datos del problema: C0 = 1.000 €, t = 293 días, rcomercial = 7,5%. Incógnita: C293: r ×t 293 × 7,5 C0 = Ct × (1 − ) ⇒ 1.000 = C293 × (1 − ) 100 36000 Solución: C0 = 1.065,01 €. Respuesta correcta: b. RES EJ 19. Datos del problema: C13 = 1.000 €, t = 10 meses, rracional = 5%. Incógnita: C3: Ct 10 × 5 C = 1.000 r ×t ⇒ 1.000 = C3 × (1 + Ct = C0 × (1 + ) ó C0 = )ó 3 10 × 5 r × t 100 1.200 1+ 1+ 1.200 100 Solución: C3 = 960 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 20. Datos del problema: C10 = 9.000 €, t = 8 meses, rcomercial = 5%. Incógnita: C2: 8×5 r ×t C0 = Ct × (1 − ) ⇒ 9.000 = C2 × (1 − ) 100 1.200 Solución: C2 = 8.700 €. Respuesta correcta: b. RES EJ 21. Incógnita: ¿es mejor el descuento comercial o el racional al recibir un cobro por anticipado? El descuento comercial da como resultado una cantidad actual menor que el descuento racional, por lo que es preferible a la hora de recibir un cobro anticipado aplicar el descuento racional. Respuesta correcta: b.

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

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RES EJ 22. Datos del problema: C0 = 500 €, C9 = 531,5 €, t = 9 meses. Incógnita: rracional: RESOLUCIÓN DE Calculamos enEJERCICIOS los tipos de descuento la r que correspondería: En el descuento racional, r sería: Ct 531,5 r ×9 r ×t ) ó C0 = ⇒ 531,5 = 500 × (1 + ) ó 500 = r ×t r ×9 100 1.200 1+ 1+ 100 1.200 rracional = 8,4%. Ct = C0 × (1 +

En el descuento comercial, r sería: r ×9 r ×t ) ⇒ 500 = 531,5 × (1 − ) 100 1.200 rcomercial = 7,9% C0 = Ct × (1 −

Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c.

3. Rentabilidad/coste nominal y real RES EJ 23. Datos del problema: rnominal = 8%, inflación = 3%. Incógnita: rreal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1, 08 = (1 + rreal ) × (1 + 0, 03) Solución: rreal = 4,85%. Respuesta correcta: b. RES EJ 24. Datos del problema: rreal = 4%, inflación = 3%. Incógnita: rnominal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ (1 + rnominal ) = (1 + 0,04) × (1 + 0,03) Solución: rnominal = 7,12%. Respuesta correcta: c. RES EJ 25. Datos del problema: C0 = 250, C1 = 300, inflación = 3%. Incógnita: rreal: r ×t r ×1 Primero calculamos la rnominal: Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 300 = 250 × (1 + ) 100 100 r = 20%. A continuación la rreal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1, 2 = (1 + rreal ) × (1 + 0, 03) Solución: rreal = 16,5%. Respuesta correcta: a.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 26. Datos del problema: rnominal = 6%, rreal = 3,5%. Incógnita: inflación:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

(1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1, 06 = (1 + 0, 035) × (1 + inf)

Solución: rreal = 2,42%. Respuesta correcta: c. RES EJ 27. Datos del problema: rreal = 5%, inflación = 3%. Incógnita: rnominal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ (1 + rnominal ) = (1 + 0, 05) × (1 + 0, 03) Solución: rnominal = 8,15%. Respuesta correcta: b. RES EJ 28. Datos del problema: C0 = 2.500, C1 = 3.000, inflación = 2,5%. Incógnita: rreal: r ×1 r ×t Primero calculamos la rnominal : Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 3.000 = 2.500 × (1 + ) 100 100 r = 20%. A continuación la rreal : (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1, 2 = (1 + rreal ) × (1 + 0, 025) Solución: rreal = 17,07%. Respuesta correcta: c. RES EJ 29. Datos del problema: rnominal = 8%, inflación = 2,5%. Incógnita: rreal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1, 08 = (1 + rreal ) × (1 + 0, 025) Solución: rreal = 5,37%. Respuesta correcta: c. RES EJ 30. Datos del problema: r real = 4,5%, inflación = 2,5%, C0 = 3.000 €. Incógnita: r nominal y C1. (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ (1 + rnominal ) = (1 + 0, 045) × (1 + 0, 025) rnominal = 7,1125%. r ×t 7,1125 × 1 ) ⇒ C1 = 3.000 × (1 + ) 100 100 Solución: C1 = 3.213,38 €. Respuesta correcta: c. Ct = C0 × (1 +

RES EJ 31. Datos del problema: rreal = 5%, inflación = 2%. Incógnita: rnominal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ (1 + rnominal ) = (1 + 0, 05) × (1 + 0, 02) Solución: rnominal = 7,1%. Respuesta correcta: a.

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

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RES EJ 32. Datos del problema: C0 = 9.100, C1 = 9.500, inflación = 2,5%. Incógnita: rreal: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS r ×t r ×1 Primero calculamos la rnominal : Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 9.500 = 9.100 × (1 + ) 100 100 r = 4,3956%. A continuación la rreal : (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1, 043956 = (1 + rreal ) × (1 + 0, 025) Solución: rreal = 1,85%. Respuesta correcta: a. RES EJ 33. Datos del problema: C0 = 870, C1 = 750, inflación = 3%. Incógnita: rreal: r ×t r ×1 Primero calculamos la rnominal : Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 870 = 750 × (1 + ) 100 100 r = 16%. A continuación la rreal: (1 + rnominal ) = (1 + rreal ) × (1 + inf) ⇒ 1,16 = (1 + rreal ) × (1 + 0, 03) Solución: rreal = 12,62%. Respuesta correcta: a.

4. Letras de cambio y otras operaciones financieras RES EJ 34. Datos del problema: C0 = 975 €, C6 = 1.000 €, t = 6 meses. Incógnita: r. r×6 r ×t C0 = Ct × (1 − ) ⇒ 975 = 1.000 × (1 − ) 100 1.200 Solución: rcomercial = 5%. Respuesta correcta: b. RES EJ 35. Datos del problema: C0 = 1.000 €, It = 1.060,61 €, r = 5%, gastos = 1%. Incógnita: t + 2. Eliminamos primero los gastos de gestión de la cantidad total final, It: Ct = It (1 – 0,01) = 1.060,61 × 0,99 ⇒ Ct = 1.050 € A continuación podemos aplicar la fórmula de capitalización simple: Ct = C0 × (1 +

5×t r ×t ) ⇒ 1.050 = 1.000 × (1 + ) ⇒ t = 12 100 1.200

Solución: t = 12 + 2 = mes 14. Respuesta correcta: c.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 36. Datos del problema: C1 = 400 €, t = 9 meses, r = 5%, gastos = 0,8% (mínimo 2,5 €). Incógnita: 1. I0 (C0 menos los gastos de gestión); 2. rtotal (incluido el RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS efecto de los gastos): 5×9 r ×t 1. I 0 = Ct × (1 − ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 400 × (1 − ) − 400 × 0, 008 100 1.200 Solución: I0 = 381,8 €. Respuesta correcta: a. r ×9 r ×t 2. Ct = C0 × (1 + ) ) ⇒ 400 = 381,8 × (1 + 1.200 100 Solución: rtotal = 6,36%. Respuesta correcta: a. RES EJ 37. Datos del problema: C0 = 950 €, C4 = 980 €, t = 4 meses. Incógnita: r. r×4 r ×t C0 = Ct × (1 − ) ⇒ 950 = 980 × (1 − ) 100 1.200 Solución: r = 9,18%. Respuesta correcta: b. RES EJ 38. Datos del problema: C0 = 470 €, It = 480,68 €, r = 5%, gastos = 1%. Incógnita: t + 2. Eliminamos primero los gastos de gestión de la cantidad total final, It: Ct = It (1 – 0,01) = 480,68 × 0,99 ⇒ Ct = 475,87 € A continuación podemos aplicar la fórmula de capitalización simple: 5×t r ×t ) ⇒ 475,87 = 470 × (1 + )⇒t=3 100 1.200 Solución: t = 3 + 2 = mes 5. Respuesta correcta: c. Ct = C0 × (1 +

RES EJ 39. Datos del problema: I0 = 870,47 €, t = 9 meses, r = 6%, gastos = 0,8%. Incógnita: C9 : r ×t 6×9 I 0 = Ct × (1 − ) − Ct × gastos ⇒ 870, 47 = C9 × (1 − ) − C9 × 0, 008 100 1.200 Solución: C9 = 919,19 €. Respuesta correcta: c. RES EJ 40. Datos del problema: I0 = 1.950 €, C6 = 2.080 €, t = 6 meses, gastos = 5,2 €. Incógnita: r.: r×6 r ×t I 0 = Ct × (1 − ) − Ct × gastos ⇒ 1.950 = 2.080 × (1 − ) − 5, 2 100 1.200 Solución: r = 12%. Respuesta correcta: b.

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

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RES EJ 41. Datos del problema: C2 = 470 €, I9 = 480,68 €, t = 7 meses, gastos = 1%. IncógRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS nita: r : Eliminamos primero los gastos de gestión de la cantidad total final, It : Ct = It (1 – 0,01) = 480,68 × 0,99 ⇒ Ct = 475,87 €. A continuación podemos aplicar la fórmula de capitalización simple: r×7 r ×t ) ⇒ 475,87 = 470 × (1 + ) 100 1.200 Solución: r = 2,14%. Respuesta correcta: c. Ct = C0 × (1 +

RES EJ 42. Datos del problema: C7 = 580 €, t = 7 meses, r = 4,2%. Incógnita: C0: 4, 2 × 7 r ×t C0 = Ct × (1 − ) ⇒ C0 = 580 × (1 − ) 100 1.200 Solución: C0 = 565,79 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 43. Datos del problema: C7 = 1.200 €, t = 7 meses, r = 5%, gastos = 1,5% (mínimo 3 €). Incógnita: rtotal (incluido el efecto de los gastos). Primero calculamos la cantidad que recibimos del descuento y, a continuación, el coste: I 0 = Ct × (1 − I0 = 1.147 €.

5× 7 r ×t ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 1.200 × (1 − ) − 1.200 × 0, 015 ⇒ 100 1.200

r×7 r ×t ) ⇒ 1.200 = 1.147 × (1 + ) 100 1.200 Solución: rtotal = 7,92%. Respuesta correcta: b. Ct = C0 × (1 +

RES EJ 44. Datos del problema: C5 = 1.350 €, t = 5 meses, r = 9%, gastos = 1,5% (mínimo 3 €). Incógnita: rtotal (incluido el efecto de los gastos) e I0. Primero calculamos la cantidad que recibimos del descuento y, a continuación, el coste: 9×5 r ×t ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 1.350 × (1 − ) − 1.350 × 0, 015 ⇒ 100 1.200 I0 = 1.279,125 €. I 0 = Ct × (1 −

Ct = C0 × (1 +

r ×5 r ×t ) ⇒ 1.350 = 1.279,125 × (1 + ) 100 1.200

Solución: I0 = 1.279,125 €; rtotal = 13,3%. Respuesta correcta: b.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 45. Datos del problema: C8 = 460 €, I0 = 434,72 €, t = 8 meses, gastos = 0,8%. Incógnita: r y EJERCICIOS rtotal. RESOLUCIÓN DE Calculamos primero la r aplicada por el banco: r ×8 r ×t ) − Ct × gastos ⇒ 434, 72 = 460 × (1 − ) − 460 × 0, 008 100 1.200 ⇒ r = 7,04%. A continuación aplicamos la fórmula de capitalización simple para calcular el coste global, rtotal : I 0 = Ct × (1 −

Ct = C0 × (1 +

r ×8 r ×t ) ⇒ 460 = 434, 72 × (1 + ) ⇒ rtotal = 8,72% 100 1.200

Solución: r = 7,04%; rtotal = 8,72%. Respuesta correcta: b. RES EJ 46. Datos del problema: C2 = 70.000 €, t = 9 meses, gastos = 1%, r = 12%. Incógnita: 1. C11, 2. I11 y 3. Crecibida: 12 × 9 r ×t 1. Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C11 = 70.000 × (1 + ) 100 1.200 Solución: C11 = 76.300 €. Respuesta correcta: b. 2. I t =

76.300 Ct ⇒ I11 = 1 − 0,01 1 − gastos

Solución: I11 = 77.070,71 €. Respuesta correcta: c. 3. Crecibida = I t − I t (1 − gastos ) = Ct Solución: C11 = 76.300 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 47. Datos del problema: I0 = 434,72 €, t = 7 meses, r = 5%, gastos = 0,8%. Incógnita: 1. C7 y 2. rtotal. 5× 7 r ×t 1. I 0 = Ct × (1 − ) − Ct × gastos ⇒ 434, 72 = C7 × (1 − ) − C7 × 0, 008 100 1.200 Solución: C7 = 451,5 €. Respuesta correcta: b. 2. Ct = C0 × (1 +

r×7 r ×t ) ⇒ 451,5 = 434, 72 × (1 + ) 100 1.200

Solución: rtotal = 6,62%. Respuesta correcta: a.

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

25

RES EJ 48. Datos del problema: C2 = 760 €, t = 2 meses, r = 4,5%, gastos = 1% (mínimo RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 2,5 €). Incógnita: 1. I0 y 2. rtotal: 4,5 × 2 r ×t 1. I 0 = Ct × (1 − ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 760 × (1 − ) − 760 × 0, 01 100 1.200 Solución: I0 = 746,7 €. Respuesta correcta: c. r×2 r ×t ) ⇒ 760 = 746, 7 × (1 + ) 100 1.200 Solución: rtotal = 10,69%. Respuesta correcta: a. 2. Ct = C0 × (1 +

RES EJ 49. Datos del problema: C90 = 100 €, t = 180 días, gastos = 1%, r = 12%. Incógnita: 1. C270, 2. I270 y 3. Crecibida: 12 × 180 r ×t 1. Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C270 = 100 × (1 + ) 100 36.000 Solución: C270 = 106 €. Respuesta correcta: b. 106 Ct ⇒ I 270 = 1 − 0,01 1 − gastos Solución: I270 = 107,07 €. Respuesta correcta: c. 2. I t =

3. Crecibida = I t − I t × gastos = Ct Solución: C270 = 106 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 50. Datos del problema: C30 = 300.000 €, t = 180 días, gastos = 1%, r = 12%. Incógnita: 1. C210, 2. I210 y 3. C banco. 12 × 180 r ×t 1. Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C210 = 300.000 × (1 + ) 100 36.000 Solución: C210 = 318.000 €. Respuesta correcta: b. 318 Ct 2. I t = ⇒ I 210 = 1 − 0,01 1 − gastos Solución: I210 = 321.212,12 €. Respuesta correcta: a. 3. Cbanco = I t × gastos = I t − Ct Solución: C banco = 3.212,12 €. Respuesta correcta: a.

26

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 51. Datos del problema: C4 = 10.000 €, t = 4 meses, gastos = 1,5%, r = 5%. Incógnita: 1. C8, 2. IEJERCICIOS y 3. Cbanco: RESOLUCIÓN DE 8 5× 4 r ×t 1. Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C8 = 10.000 × (1 + ) 100 1.200 Solución: C8 = 10.166,67 €. Respuesta correcta: c. 10.166,67 Ct ⇒ I8 = 1 − 0,015 1 − gastos Solución: I8 = 10.321,49 €. Respuesta correcta: a. 2. I t =

3. Cbanco = I t × gastos = I t − Ct Solución: Cbanco = 103,21 €. Respuesta correcta: b.

5. Análisis y selección de diferentes alternativas de inversión-financiación RES EJ 52. Datos del problema: Alternativa 1: inversión C0 = 3.000 €, C3 = 4.000 €, t = 3 años. Alternativa 2: cuenta de ahorro r cuenta = 12%. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Dos posibles formas de solucionar el problema: 1. Calcular r de la alternativa 1 y comparar con la de la alternativa 2: r ×3 r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 4.000 = 3.000 × (1 + ) ⇒ r = 11,11% 100 1.200 2. Calcular el capital acumulado al cabo de 3 años con la alternativa 2 y comparar con alternativa 1: 12 × 3 r ×t Ct = C0 × (1 + ) ⇒ C3 = 3.000 × (1 + ) = 4.080 € 100 1.200 Solución: C3 y r son mayores en la alternativa 2, esto es, mejores. Respuesta correcta: a. RES EJ 53. Datos del problema: Alternativa 1: descuento por pago al contado 5%, t = 6 meses. Alternativa 2: préstamo rpréstamo = 10%. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de pago a 6 meses y comparamos con la de la alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r×6 r ×t ) ⇒ 100 = 95 × (1 + ) ⇒ r = 10,53% 100 1.200

Solución: La r de la alternativa 2 es menor, esto es, mejor. Respuesta correcta: b.

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

27

RES EJ 54. Datos del problema: Alternativa 1: descuento por cobro al contado 1%, t = RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS = 2 meses. Alternativa 2: Préstamo rpréstamo = 6%. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de cobro anticipado 2 meses y comparamos con la de la alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r×2 r ×t ) ⇒ 100 = 99 × (1 + ) ⇒ r = 6,06% 100 1.200

Solución: La r de la alternativa 2 es menor, esto es, mejor. Respuesta correcta: c. RES EJ 55. Datos del problema: Alternativa 1: compra de apartamento C0 = A, C9 = 2A, t = 9 años. Alternativa 2: fondo rfondo = 12%. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Calculamos r de la inversión en el apartamento y comparamos con la de la alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r ×t r ×9 ) ⇒ 2 A = A × (1 + ) ⇒ r = 11,11% 100 100

Solución: La r de la alternativa 2 es mayor, esto es, mejor. Respuesta correcta: c. RES EJ 56. Datos del problema: Alternativa 1: inversión C0 = 4.900 €, C9 = 7.000 €, t = 9 años. Alternativa 2: cuenta de ahorro rcuenta = 4,7%. Alternativa 3: negocio C0 = A, C20 = 2A, t = 20 años. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Calculamos r de las alternativas 1 y 3, y comparamos las tres rentabilidades: r ×t r ×9 ) ⇒ 7.000 = 4.900 × (1 + ) ⇒ r = 4,76% 100 100 r ×t r × 20 ) ⇒ 2 A = A × (1 + ) ⇒ r = 4,55% Alternativa 3: Ct = C0 × (1 + 100 100 Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

Solución: La r de la alternativa 1 es mayor, esto es, mejor. Respuesta correcta: c. RES EJ 57. Datos del problema: Alternativa 1: descuento por cobro al contado 4%, C5 = 900 €, t = 5 meses. Alternativa 2: préstamo r préstamo = 10%. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de la alternativa 1 y la comparamos con la de la alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r ×5 r ×t ) ⇒ 900 = 900 × (1 − 0, 04) × (1 + ) ⇒ r = 10% 100 1.200

Solución: La r de ambas alternativas son iguales. Respuesta correcta: a.

28

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 58. Datos del problema: Alternativa 1: inversión C0 = 1.900 €, C15 = 5.000 €, t = 15 años. Alternativa 2: pagar deudas y evitar rdeudas = 7%. Alternativa 3: neRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS gocio C0 = A, C12 = 2A, t = 12 años. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Calculamos r de las alternativas 1 y 3, y comparamos las tres rentabilidades: r ×t r × 15 ) ⇒ 5.000 = 1.900 × (1 + ) ⇒ r = 10,88% 100 100 r ×t r × 12 ) ⇒ 2 A = A × (1 + ) ⇒ r = 8,33% Alternativa 3: Ct = C0 × (1 + 100 100 Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

Solución: La r de la alternativa 1 es mayor, esto es, mejor. Respuesta correcta: c. RES EJ 59. Datos del problema: Alternativa 1: descuento por cobro al contado 5%, t = 6 meses. Alternativa 2: retraso de un pago incremento del 2,5%, t = 3 meses. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de las dos alternativas las comparamos: r×6 r ×t ) ⇒ 100 = 95 × (1 + ) ⇒ r = 10,53% 100 1.200 r ×3 r ×t ) ⇒ 102,5 = 100 × (1 + ) ⇒ r = 10% Alternativa 2: Ct = C0 × (1 + 100 1.200 Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

Solución: La r de la alternativa 2 es menor, esto es, mejor. Respuesta correcta: b. RES EJ 60. Datos del problema: Inversión: inversión en Bolsa: C0 = 17.100 € C4 = 21.890 €, t = 4 años. Financiación: préstamo rpréstamo = 7,5%. Incógnita: ¿ha resultado interesante la inversión dada la financiación que ha requerido? Calculamos r de la inversión: r ×t r×4 ) ⇒ 21.890 = 17.100 × (1 + ) ⇒ r = 7% 100 100 Solución: La r de la inversión es menor a la de la financiación. Respuesta correcta: c.

Inversión: Ct = C0 × (1 +

RES EJ 61. Datos del problema: Alternativa 1: pago al contado con descuento del 1%, C0 = 99. Alternativa 2: pago a 2 meses sin recargo, C2 = 100. Alternativa 3: pago a 3 meses con raplazamiento = 3%, C3 = 100,75. Liquidez suficiente invertida al 3,5%. Incógnita: mejor alternativa de pago a proveedores. Calculamos r de las alternativas 2 y 3, y comparamos con la rentabilidad de la tesorería invertida: Alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r×2 r ×t ) ⇒ 100 = 99 × (1 + ) ⇒ r = 6,06% 100 1.200

Interés

simple:

Ucapitulo n capital

29

r ×3 r ×t ) ⇒ 100, 75 = 100 × (1 + ) ⇒ r = 7,07% EJERCICIOS 100 1.200

Alternativa 3: Ct = C0 × (1 +

RESOLUCIÓN DE

Solución: El aplazamiento es más caro que la inversión, no merece la pena. Respuesta correcta: b. RES EJ 62. Datos del problema: Alternativa 1: préstamo al amigo C0 = 1.900 €, C5 = 1.900 × 1,15 €, t = 5 años. Alternativa 2: compra de acciones C0 = 5,4 €, C5 = 6,2 €, t = 5 años. Alternativa 3: ingreso en Kutxa, rkutxa = 2,75%. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Calculamos r de las alternativas 1 y 2 y comparamos las 3 alternativas: r ×5 r ×t ) ⇒ 1.900 × 1,15 = 1.900 × (1 + ) ⇒ r = 10% 100 100 r ×t r ×5 ) ⇒ 6,2 = 5,4 × (1 + ) ⇒ r = 2,96% Alternativa 2: Ct = C0 × (1 + 100 100

Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

Solución: La r de la alternativa 1 es mayor, esto es, mejor. Respuesta correcta: b. RES EJ 63. Datos del problema: Alternativa 1: pago al contado con descuento del 1%, C0 = 99. Alternativa 2: pago a 4 meses sin recargo, C4 = 100. Liquidez suficiente invertida al 3% ó posible descuento de letras a 4 meses al 2,25% de interés y comisión 0,25%. Incógnita: mejor alternativa de pago a proveedores. Calculamos r de la alternativa 2 y comparamos con la rentabilidad de la tesorería invertida o la r del posible descuento de letras: r×4 r ×t Alternativa 2: Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 100 = 99 × (1 + ) ⇒ r = 3,03% 100 1.200 Descuento letras: Cantidad recibida en el descuento: 2, 25 × 4 r ×t I 0 = Ct × (1 − ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 100 × (1 − ) − 100 × 0, 0025 ⇒ I0 = 99 100 1.200 r×4 r ×t Coste del descuento: Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 100 = 99 × (1 + ) ⇒ r = 3,03% 100 1.200 Solución: Mejor pagar al contado que invertir el dinero al 3%. Respuesta correcta: b. RES EJ 64. Datos del problema: Alternativa 1: descuento por cobro al contado 3%, t = 4 meses, C0 = 97, C4 = 100. Alternativa 2: descuento de letras a 6 meses, r descuento = 9%, C0 = 95,5, C4 = 100. Alternativa 3: aplazamiento 4 meses con incremento del 3%, C0 = 100, C4 = 103. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de las tres alternativas y las comparamos: Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

r×4 r ×t ) ⇒ 100 = 97 × (1 + ) ⇒ r = 9,28% 100 1.200

30

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera r ×t

r×6

Alternativa 2:EJERCICIOS Ct = C0 × (1 + ) ⇒ 100 = 95,5 × (1 + ) ⇒ r = 9,42% RESOLUCIÓN DE 100 1.200 Alternativa 3: Ct = C0 × (1 +

r×4 r ×t ) ⇒ 103 = 100 × (1 + ) ⇒ r = 9% 100 1.200

Solución: La r de la alternativa 3 es la menor, esto es, la mejor. Respuesta correcta: a. RES EJ 65. Datos del problema: Inversión: inversión en Bolsa: C0 = 12.400 €, C5 = 17.300 €, t = 5 años. Financiación: préstamo rpréstamo = 8%. Incógnita: ¿ha resultado interesante la inversión dada la financiación que ha requerido? Calculamos r de la inversión: Inversión: Ct = C0 × (1 +

r ×t r ×5 ) ⇒ 17.300 = 12.400 × (1 + ) ⇒ r = 7,9% 100 100

Solución: La r de la inversión es menor a la de la financiación. Respuesta correcta: a. RES EJ 66. Datos del problema: Alternativa 1: cobro adelantado con descuento C4 = 100.000 €, C0 = 98.000. Alternativa 2: préstamo rbanco = 6%. Alternativa 3: descuento de letras a 4 meses, rdescuento = 6%, C0 = 98, C4 = 100. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de las alternativas 1 y 3, y comparamos las tres alternativas: Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

r×4 r ×t ) ⇒ 100.000 = 98.000 × (1 + ) ⇒ r = 6,12% 100 1.200

Alternativa 3: Ct = C0 × (1 +

r×4 r ×t ) ⇒ 100 = 98 × (1 + ) ⇒ r = 6,12% 100 1.200

1. Solución: La r de la alternativa 2 es la menor, esto es, la mejor. Respuesta correcta: b. 2. Solución: La r de la alternativa 2 es la menor, esto es, la mejor. Respuesta correcta: c.

Interés simple: Varios capitales

2

Objetivos A medida que se realizan los diferentes ejercicios propuestos, se ha de conseguir: ▪ Entender la problemática creada por el manejo de varias prestaciones y/o contraprestaciones a un tiempo en operaciones de inversión/financiación. ▪ Comprender el concepto de vencimiento medio (VM) y su utilidad en situaciones de varias prestaciones y/o contraprestaciones en interés simple. ▪ Comprender la fórmula de VM y utilizarla en diferentes contextos con las simplificaciones posibles (con periodos de tiempo y capitales constantes). ▪ Resolver problemas de capitalización y descuento en interés simple con varias prestaciones y/o contraprestaciones. ▪ Calcular el coste financiero y rentabilidad de operaciones de financiación e inversión, respectivamente, en interés simple con varias prestaciones y/o contraprestaciones.

32

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

UNAS BREVES NOTAS TÉCNICAS ▪ En las operaciones financieras nos podemos encontrar con varias prestaciones y/o contraprestaciones con vencimientos diferentes. ▪ La resolución de los problemas con varios capitales (sean prestaciones o contraprestaciones) con vencimientos diferentes consiste en sustituir dichos capitales por uno, suma de los anteriores, en una única fecha de vencimiento que se denomina vencimiento medio, VM. ▪ El nuevo capital, suma de los capitales originales, en la fecha del vencimiento medio, VM, se dice que es financieramente equivalente al total de los originales en sus respectivos vencimientos. ▪ Así, pues, resolver los problemas con varias prestaciones y/o contraprestaciones es sencillo si se calcula el VM de estas y se sitúa en el mismo su suma. ▪ El VM de varios capitales es la media ponderada de sus vencimientos; esto es, su cálculo consiste en obtener los números (productos de los capitales por sus respectivas fechas de vencimiento) y promediarlos con la suma del total de estos capitales: VM =

∑ Números = ∑ C × t ∑ Capitales ∑ C i

i

1

▪ Cuando los capitales son de igual cuantía, el cálculo del VM se reduce al cálculo de la media aritmética de los diferentes capitales: VM =

∑t

i

n

▪ Cuando, además de coincidir los capitales promediados, las fechas de vencimiento se suceden consecutivamente en plazos de tiempo iguales (p.e. cada mes, o cada tres meses, etc.), el cálculo del VM se reduce a la media aritmética de las fechas de los capitales primero y último: t +t VM = 1 n 2 ▪ Una vez sustituidas las diferentes prestaciones y/o contraprestaciones por su equivalente financiero (esto es, la suma de los capitales que constituyen dichas prestaciones y/o contraprestaciones en su respectiva fecha de VM), el problema se resuelve fácilmente utilizando las fórmulas de capitalización simple ya vistas.

Interés

simple:

Varios

capitales

33

EJERCICIOS 1. Vencimiento medio y común EJ 67. Tres deudas de 200 €, 500 € y 100 €, en los meses 2, 4 y 8, son equivalentes a otra de 800 € en el mes: a. 4,67. b. 4. c. Ninguna de las anteriores. EJ 68. Tres deudas de 200 €, 100 € y 400 €, en los meses 1, 7 y 11, son equivalentes a otra de 700 € en el mes: a. 7,57. b. 6,33. c. 6. EJ 69. Una deuda de 100 € el mes 3 y otra de 200 € el mes 6, se pueden sustituir por una de 300 € el mes: a. 4,5. b. 5. c. Ninguna de las anteriores. EJ 70. Tres deudas de 100 € cada una, en los meses 1, 2 y 3, son equivalentes a 300 € en el mes: a. 3. b. 6. c. Ninguna de las anteriores. EJ 71. 47 deudas de 50 € cada una, en los meses 1 a 47, son equivalentes a otra de 2.350 € en: a. El año 2. b. El mes 48. c. Ninguna de las anteriores. EJ 72. Una deuda de 200 € el día 75, otra de 500 € el día 115 y otra de 300 € el día 155, se pueden sustituir por dos deudas una de 700 € el día 110 y otra de 300 € el día: a. 120. b. 140. c. Ninguna de las anteriores. EJ 73. Una deuda de 150 € el mes 4, otra de 200 € el mes 7 y otra de 50 € en el mes 8, se pueden sustituir por: a. Otra de 400 € en el mes 6,33. b. Dos de 200 € cada una en los meses 4 y 8. c. Ninguna de las anteriores.

34

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 74. Cambiamos tres deudas de 300 € cada una a pagar en los meses 4, 6 y 8, por otras dos iguales de 452,26 €. Si nos han aplicado unos gastos por gestión del 0,5%, un interés del 6% y una se va a pagar en el mes 9, la otra se deberá abonar en el mes: a. 3. b. 5. c. Ninguna de las anteriores. EJ 75. Cambiamos cuatro deudas de 150 € cada una a pagar en los meses 2, 8, 14 y 20 por otras dos iguales de 301,51 € cada una. Si nos han aplicado unos gastos por gestión del 0,5% y un interés del 6%, siendo el plazo de una en el mes 9, la otra se deberá pagar en el mes: a. 13. b. 15. c. Ninguna de las anteriores. EJ 76. Para un interés del 6%, 5 deudas mensuales de 200 € cada una en los meses 3 a 7 son equivalentes a: a. Una deuda de 1.025 € el mes 5. b. Dos deudas de 500 € cada una los meses 2 y 8. c. Ninguna de las anteriores.

2. Análisis y selección de diferentes alternativas de inversión-financiación EJ 77. Vamos a contratar un crucero por el Nilo que cuesta 2.500 €. Podemos pagar al contado con un descuento del 5% o bien, entregar 700 € en el momento de contratarlo y firmar cuatro letras trimestrales de 450 € cada una a comenzar en el momento de la firma (mes 0. El coste del aplazamiento del pago es del: a. 20,41%. b. 19,90%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 78. Una deuda de 7.000 € a pagar en el mes 6 se cambia por otras dos de importe 3.564,82 € a pagar, una en el mes 9. Si acordamos un t.i. del 5% y gastos por gestión de cobro del 1%, la fecha del pago de la segunda deuda será en el mes: a. 7. b. 3. c. Ninguna de las anteriores. EJ 79. Una deuda de 10.125 € a pagar en el mes 9 se cambia por otras dos de importe 5.199,56 € a pagar, una en el mes 8 y otra en el 14. Si acordamos gastos por gestión de cobro del 1,5%, el interés aplicado ha sido: a. 7%. b. 9,45%. c. 16,24%.

Interés

simple:

Varios

capitales

35

EJ 80. Una deuda de 10.000 € a pagar en el mes 4 y otras dos de 5.000 € cada una a pagar en los meses 8 y 12, para un 5% de interés, son equivalentes a: a. 20.000 € en el mes 8. b. 20.166,67 en el mes 9. c. Ninguna de las anteriores. EJ 81. Vamos a contratar un tour por la India que cuesta 4.000 €. Podemos pagar al contado con un descuento del 5% o bien, entregar 1.500 € en el momento de contratarlo y firmar cinco letras trimestrales de 500 € cada una a comenzar en el momento de la firma (mes 0). El coste del aplazamiento del pago es del: a. 0%. b. 17,39%. c. 17,78%. EJ 82. Una deuda de 10.125 € a pagar en el mes 9 se cambia por dos iguales en los meses 8 y 14. Si acordamos gastos por gestión de cobro del 1,5% e interés del 6,5%, el importe de las deudas será: a. 5.194,10 €. b. 5.273,2 €. c. 5.195,27 €. EJ 83. Para un interés del 6%, una deuda de 5.000 € a pagar en el mes 8, otras dos de 5.000 € en los meses 10 y 12, y otra de 15.000 € en el mes 11, son equivalentes a: a. 30.825 € en el mes 16. b. 30.000 € en el mes 10. c. Ninguna de las anteriores. EJ 84. Vamos a contratar un tour por México que cuesta 4.600 €. Podemos pagar al contado con un descuento del 7% o bien, entregar 1.600 € en el momento de contratarlo y firmar cinco letras semestrales de 600 € cada una a comenzar en el momento de la firma (mes 0). El coste del aplazamiento del pago es del: a. 0%. b. 12,02%. c. Mejor haber pedido un préstamo al 12,25%. EJ 85. Paco es un vecino nuestro que tiene una tienda de electrodomésticos donde vamos a comprar algunas cosas que necesitamos para nuestra nueva cocina. El precio de lo que queremos asciende a 1.200 €. Paco nos ha dicho, que dado que somos buenos vecinos, nos da la oportunidad de pagar en cinco plazos mensuales de 240 € a comenzar en el momento de la entrega. Eso sí, si pagamos al contado nos hace un descuento del 7%. 1. Supongamos que el tipo de interés que nos resulta, si pagamos a plazos, es de un 15% y los tipos de interés en el mercado son un 10%: a. Merecería más la pena pagar al contado y endeudarnos con el banco. b. Merecería más la pena pagar a plazos. c. Sería preferible endeudarse con el banco si el tipo de interés fuera superior al 15%.

36

Ejercicios 2.

3.

4.

5.

resueltos de

Matemática Financiera

Si pagamos a plazo es como si nos hicieran un préstamo de: a. 960 €. b. 876 €. c. 1.116 €. El vencimiento medio de la deuda que contraemos con Paco si pagamos a plazos será: a. 2 meses. b. 2,5 meses. c. 4 meses. El coste del aplazamiento resulta: a. Siempre mejor que acudir al banco. b. En este caso del 46,03%. c. Ninguna de las anteriores. El precio real de los electrodomésticos es: a. 1.116 €. b. 1.200 €. c. 876 €.

EJ 86. Coro es una vecina amiga nuestra que tiene una papelería donde vamos a comprar algo de material para nuestra oficina. El precio de todo lo que queremos asciende a 300 €. Coro nos ha dicho que, dado que somos buenos vecinos, nos da la oportunidad de pagar en seis plazos mensuales de 50 € a comenzar en el momento de la entrega. Eso sí, si pagamos al contado nos hace un descuento del 7%. 1. El precio real del material es: a. 279 €. b. 300 €. c. 229 €. 2. Si pagamos a plazo es como si nos hicieran un préstamo de: a. 250 €. b. 229 €. c. 279 €. 3. El vencimiento medio de la deuda que contraemos con Coro si pagamos a plazos será: a. 2,5 meses. b. 3 meses. c. 5 meses. 4. El tipo de interés que nos aplica nuestra vecina es: a. 36,68%. b. 36,13%. c. Ninguna de las anteriores.

Interés 5.

simple:

Varios

capitales

37

Supongamos que el tipo de interés que nos resulta, si pagamos a plazos, es de un 10% y los tipos de interés en el mercado son un 13%: a. Merecería más la pena pagar al contado y endeudarnos con el banco. b. Merecería más la pena pagar a plazos. c. Siempre es mejor pagar al contado y no tener deudas.

EJ 87. Tenemos la posibilidad de comprar un coche por 50.000 €. Si lo pagamos al contado nos hacen un 10% de descuento, si no tenemos dinero, nos dan la oportunidad de pagarlo en 5 cómodos plazos de 10.000 € mensuales a partir del próximo mes (esto es, del mes 1 al 5) con un pago inicial de 2.500 €. 1. El coste real del coche es de: a. 47.500 €. b. 42.500 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. El tipo de interés simple que nos supone el pago diferido es: a. 21,05%. b. 70,59%. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si la financiación con el vendedor nos hubiera resultado a un interés del 10% y tuviéramos la posibilidad de adelantar el cobro de una deuda a nuestro favor, con vencimiento dentro de 1 año, de 52.500 € recibiendo hoy 47.500 € para pagar el coche: a. Aceptaríamos la financiación del vendedor del coche. b. Adelantaríamos el cobro de la deuda. c. Nos da exactamente igual hacer una cosa u otra. 4. Si sustituyes los tres últimos pagos por otros dos iguales a pagar en los meses 3 y 5, el importe de los mismos sería, con tipo de interés del 10% y gastos de gestión del 1%: a. 15.050 €. b. 15.151,52 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 88. Tenemos la posibilidad de vender un apartamento a un amigo por 500.000 €. Nos ofrece pagárnoslo en 10 meses, empezando hoy mismo (en el mes 0) a 50.000 € mes. Si se lo vendemos a una inmobiliaria recibimos, hoy mismo, 450.000 € que podemos invertir al 5% de interés. 1. El tipo de interés simple que obtenemos de la venta a plazos, teniendo en cuenta que el precio real del apartamento hoy es el que nos ofrece la inmobiliaria, es: a. 27%. b. 30%. c. 15%. 2. Ante las dos alternativas preferimos: a. Cualquiera de ellas. b. La segunda e invertir el dinero. c. La primera.

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Ejercicios 3.

resueltos de

Matemática Financiera

Si aceptamos la oferta de nuestro amigo, pero en el mes 6, cuando nos quedan 3 pagos por recibir, nos pide que le sustituyamos los tres últimos pagos por un único pago en el mes 12. El importe del mismo sería, con tipo de interés del 10% y gastos de gestión del 1%: a. 156.550 €. b. 156.565,66 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 89. Una empresa va a adquirir una máquina cuyo precio es 1 millón de € a pagar en 5 mensualidades (la primera un mes más tarde de la compra) de 150.000 € más una entrada de 250.000 €. Si paga al contado obtiene un descuento del 5%. 1. El tipo de interés simple que nos supone el pago diferido es: a. 17,14%. b. 28,57%. c. Ninguna de las anteriores. 2. Podemos financiar la compra descontando letras a 1 año al 4%, gastos de gestión 0,5%, o tomando un préstamo a 1 año al 3% y comisión de apertura del 1,5%: a. Nos resulta mejor el descuento. b. El préstamo supone un coste del 4,57%. c. Nos da igual cualquiera de las dos formas de financiación. 3. Si descontamos letras a 6 meses al 8% de interés anual, con unos gastos del 1,5% para pagar al contado, la financiación de la máquina nos resultaría a un coste, en capitalización simple, de: a. 11,64%. b. 9,5%. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si los tres últimos pagos se sustituyen por uno de 477,27 €, considerando un interés del 12% y unos gastos de gestión del 1%, se ha retrasado el pago al mes: a. 5. b. 9. c. Ninguna de las anteriores. 5. Si sustituyes los tres últimos pagos por uno en el mes 4, el importe del mismo sería, con tipo de interés del 10% y gastos de gestión del 1%: a. 454.500 €. b. 445.500 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 90. Una empresa va a adquirir una camioneta cuyo precio es 6.000 € a pagar en 6 mensualidades de 1.000 €, la primera en el momento de la entrega. Si paga al contado obtiene un descuento del 5%. 1. El tipo de interés simple que nos supone el pago diferido es: a. 15,32%. b. 25,53%. c. Ninguna de las anteriores.

Interés 2.

3.

4.

5.

simple:

Varios

capitales

39

Podemos financiar la compra descontando letras a 1 año al 4% —gastos de gestión 0,5%—, o tomando un préstamo a 1 año al 3% y comisión de apertura del 1,25%: a. El préstamo supone un coste del 4,25%. b. El descuento supone un coste del 4,71%. c. Nos da igual cualquiera de las dos formas de financiación. Si descontamos letras a 8 meses al 6% de interés anual, con unos gastos del 1,5% para pagar al contado, obtenemos una financiación al: a. 7,89%. b. 8,73%. c. Ninguna de las anteriores. Si los tres últimos pagos se sustituyen por uno de 3.212,121 €, considerando un interés del 12% y unos gastos de gestión del 1%, se va a realizar el pago el mes: a. 6. b. 10. c. Ninguna de las anteriores. Si sustituyes los tres últimos pagos por uno en el mes 4, el importe del mismo sería, con tipo de interés del 10% y gastos de gestión del 1%: a. 3.030,30 €. b. 3.030,00 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 91. Queremos comprar 10 ordenadores para los miembros del consejo de administración a un precio 800 € cada uno, 8.000 € en total. El distribuidor nos ofrece una financiación consistente en una entrada de 1.400 € y 10 pagos mensuales de 720 €, el primero en el momento de la compra. También nos han ofrecido, en caso de pago al contado, un descuento del 5%. 1. El tipo de interés simple que nos supone el pago aplazado es: a. 24,33%. b. 24,49%. c. 43,80%. 2. Nos financian la cantidad de: a. 5.880 €. b. 6.480 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Para el pago del mes 1 vamos a descontar letras por valor de 800 € a cobrar en el mes 7 a un 6% de interés con comisión del 1% (mínimo 10 €), el coste del descuento será: a. 7,30%. b. 8,55%. c. 8,08%.

40

Ejercicios 4.

5.

6.

resueltos de

Matemática Financiera

Podemos financiar la compra con un préstamo a 1 año al 8% —gastos de apertura 0,5%—, o retrasando el pago a proveedores 1 año, dejando de percibir el descuento del 8,5% por pago al contado que nos hacen: a. Nos resulta peor el préstamo. b. El retraso del pago a proveedores tiene un coste del 9,29%. c. Nos da igual cualquiera de las dos formas de financiación. Si sustituimos los pagos 5 a 9 por un único pago de 3.720 € (10% interés), éste será realizado en el mes: a. 4. b. 13. c. 11. Si sustituimos los pagos 2 a 8 por 3 cuotas iguales en los meses 2, 5 y 8 (10% interés y 1% gastos de gestión), la cuantía de cada una de las cuotas será: a. 1.696,97 €. b. 1.696,80 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 92. Queremos adquirir un equipo informático de última generación por un valor de 4.000 € en total. El distribuidor nos ofrece una financiación consistente en una entrada de 700 € y 5 pagos bimensuales de 720 €, el primero en el mes 4. También nos han ofrecido, en caso de pago al contado, un descuento del 5%. 1. Nos financian la cantidad de: a. 3.300 €. b. 3.100 €. c. 3.600 €. 2. Podemos financiar la compra con un préstamo a 1 año al 7% —gastos de apertura 1,5%—, o retrasando el pago a proveedores 1 año, dejando de percibir el descuento del 8,5% por pago al contado que nos hacen: a. Las dos siguientes son correctas. b. Nos resulta mejor el retraso del pago a proveedores. c. El coste verdadero del préstamo es del 8,63%. 3. El pago diferido explicado en el enunciado supone un interés del: a. 13,64%. b. 16,13%. c. 24,19%. 4. Para el pago del mes 8 vamos a descontar letras por valor de 800 € a cobrar en el mes 11 a un 8% de interés con comisión del 1% (mínimo 10 €), el coste del descuento es: a. 13,44%. b. 12,37%. c. Ninguna de las anteriores.

Interés 5.

6.

simple:

Varios

capitales

41

Si sustituimos los 5 pagos indicados en el anunciado por 3 cuotas iguales en los meses 9, 10 y 11 (10% interés), la cuantía de cada cuota sería: a. 1.220 €. b. 1.200 €. c. 1.333,33 €. Si sustituimos los dos últimos pagos (meses 10 y 12) por un pago de 1.476 € (10% interés), éste se realizará en el mes: a. 15. b. 14. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 93. Nos venden una moto de 800 € con dos alternativas de pago distintas. La primera consiste en el pago al contado con un descuento del 10%, la segunda supone un pago inicial, al recibir la moto, de 200 €, y 4 pagos trimestrales de 160 € cada uno a comenzar 6 meses más tarde de la compra (esto es, a realizar en los meses 6, 9, 12 y 15. a. El coste que supone el pago aplazado es el 7,62%. b. Sería preferible el pago al contado y apertura de un préstamo con el banco al 9%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 94. Tenemos una oferta de venta de un coche cuyo precio es 15.000 € (el pago al contado supone un descuento del 4%) y ofrecen la posibilidad de pagarlo a plazos con una entrada de 5.500 € y 10 pagos de 1.000 € cada uno —el primero a pagar en el momento de la entrega del coche (junto al pago de la entrada)—. El coste del pago a plazos es: a. 32,96%. b. 14,12%. c. 33,42%. EJ 95. Una deuda de 13.500 € a pagar en el mes 10 se cambia por otras dos de importe 6.932,74 € a pagar, una en el mes 9 y otra en el 15. Si acordamos gastos por gestión de cobro del 1,5%. 1. El interés aplicado ha sido: a. 16,24%. b. 9,45%. c. 7%. 2. Por otra parte: a. El banco se queda con 204,86 €. b. El acreedor recibe 13.657,5 €. c. Ninguna de las anteriores.

42

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1. Vencimiento medio y común RES EJ 67. Datos del problema: d2 = 200 €, d4 = 500 €, d8 = 100 €. Incógnita: VM. Las tres deudas son equivalentes a otra de 800 € en el mes del VM: VM =

d1 × t1 + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... 200 × 2 + 500 × 4 + 100 × 8 ⇒ VM = d1 + d 2 + d3 + ... 200 + 500 + 100

Solución: VM = mes 4. Respuesta correcta: b. RES EJ 68. Datos del problema: d1 = 200 €, d7 = 100 €, d11 = 400 €. Incógnita: VM. Las tres deudas son equivalentes a otra de 700 € en el mes del VM: VM =

d1 × t1 + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... 200 × 1 + 100 × 7 + 400 × 11 ⇒ VM = d1 + d 2 + d3 + ... 200 + 100 + 400

Solución: VM = mes 7,57. Respuesta correcta: a. RES EJ 69. Datos del problema: d3 = 100 €, d6 = 200 €. Incógnita: VM. Las dos deudas son equivalentes a otra de 300 € en el mes del VM: d × t + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... 100 × 3 + 200 × 6 VM = 1 1 ⇒ VM = d1 + d 2 + d3 + ... 100 + 200 Solución: VM = mes 5. Respuesta correcta: b. RES EJ 70. Datos del problema: d1 = 100 €, d2 = 100 €, d3 = 100 €. Incógnita: VM. Las tres deudas son equivalentes a otra de 300 € en el mes del VM: d × t + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... VM = 1 1 como las deudas son iguales ⇒ d1 + d 2 + d3 + ...

⇒ VM =

t1 + t2 + t3 + ... pero también los vencimientos son consecutivos. 1 + 1 + 1 + ...

⇒ VM =

t1 + tn 1+ 3 ⇒ VM = 2 2

Solución: VM = mes 2. Respuesta correcta: c.

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

43

RES EJ 71. Datos del problema: 47 deudas de 50 € en los meses 1 a 47. Incógnita: VM. RESOLUCIÓN DE Las 47 deudasEJERCICIOS son equivalentes a otra de 2.350 € en el mes del VM: d × t + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... VM = 1 1 como las deudas son iguales y de d1 + d 2 + d3 + ... vencimientos consecutivos: t1 + tn 1 + 47 ⇒ VM = 2 2 Solución: VM = mes 24, esto es, año 2.

⇒ VM =

Respuesta correcta: a. RES EJ 72. Datos del problema: por un lado: d75 = 200 €, d115 = 500 €, d155 = 300 €; por otro lado, d110 = 700 €, d? = 300 €. Incógnita: VM y t. Como la cantidad final a pagar de ambas formas es la misma, las deudas han de compartir el mismo vencimiento medio. Calculamos el VM de las tres primeras deudas. Las tres deudas son equivalentes a otra de 1.000 € en el mes del VM: VM =

d1 × t1 + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... ⇒ VM = 200 × 75 + 500 × 115 + 300 × 155 = 119 d1 + d 2 + d3 + ... 200 + 500 + 300

Utilizamos el VM para calcular la fecha de la segunda deuda por la que se sustituyen las tres primeras: d × t + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... VM = 1 1 ⇒ VM = 700 × 110 + 300 × t = 119 d1 + d 2 + d3 + ... 700 + 300 Solución: t = día 140. Respuesta correcta: b. RES EJ 73. Datos del problema: por un lado, d4 = 150 €, d7 = 200 €, d8 = 50 €; por otro lado, d4 = 200 €, d8 = 200 €. Incógnita: VM y deuda equivalente. Las tres deudas son equivalentes a otra de 400 € en el mes del VM: d × t + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... VM = 1 1 ⇒ VM = 150 × 4 + 200 × 7 + 50 × 8 = 6 d1 + d 2 + d3 + ... 150 + 200 + 50 Calculamos el VM de las dos deudas de 200 €: t + t + t + ... VM = 1 2 3 ⇒ VM = 4 + 8 = 6 1 + 1 + 1 + ... 2 Solución: las dos deudas de 200 € tienen igual VM que las originales. Respuesta correcta: b.

44

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 74. Datos del problema: por un lado, d4 = 300 €, d6 = 300 €, d8 = 300 €; por otro lado, d9 = 452,26 €, d? = 452,26 €, r = 6%, gastos = 0,5%. Incógnita: VM y t. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Dado que, en este caso, las nuevas deudas conllevan gastos de gestión, lo primero que tenemos que hacer es eliminar dichos gastos para poder utilizar las relaciones financieras: Deuda total: (452,26 × 2) = 904,52 € Deuda total sin gastos: 904,52 × 0,995 = 900 €. Como la cantidad final a pagar de ambas formas es la misma, las deudas han de compartir el mismo vencimiento medio. Calculamos el VM de las tres primeras deudas (de igual cuantía y vencimientos consecutivos. Las tres deudas son equivalentes a otra de 900 € en el mes del VM: t +t VM = 1 n ⇒ VM = 4 + 8 = 6 2 2 Utilizamos el VM para calcular la fecha de la segunda deuda por la que se sustituyen las tres primeras. Como las cantidades son iguales: t + t + t + ... 9+t VM = 1 2 3 ⇒ VM = =6 1 + 1 + 1 + ... 2 Solución: t = mes 3. Respuesta correcta: a. RES EJ 75. Datos del problema: por un lado, d2 = 150 €, d8 = 150 €, d14 = 150 €; d20 = 150 €; por otro lado, d9 = 301,51 €, d? = 301,51 €, r = 6%, gastos = 0,5%. Incógnita: VM y t. Dado que, en este caso, las nuevas deudas conllevan gastos de gestión, lo primero que tenemos que hacer es eliminar dichos gastos para poder utilizar las relaciones financieras: Deuda total: (301,51 × 2) = 603,02 €. Deuda total sin gastos: 603,02 × 0,995 = 600 €. Como la cantidad final a pagar de ambas formas es la misma, las deudas han de compartir el mismo vencimiento medio. Calculamos el VM de las cuatro primeras deudas (de igual cuantía). Las cuatro deudas son equivalentes a otra de 600 € en el mes del VM: t + t + t + ... 2 + 8 + 14 + 20 VM = 1 2 3 ⇒ VM = = 11 1 + 1 + 1 + ... 4 Utilizamos el VM para calcular la fecha de la segunda deuda por la que se sustituyen las cuatro primeras. Como las cantidades son iguales: t + t + t + ... 9+t VM = 1 2 3 ⇒ VM = = 11 1 + 1 + 1 + ... 2 Solución: t = mes 13. Respuesta correcta: a.

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

45

RES EJ 76. Datos del problema: por un lado, 5 deudas de 200 € en los meses 3 a 7; por otro lado: d2 = 500 €, d8 = 500 €. Incógnita: VM y deuda equivalente. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Calculamos el VM de las 5 deudas de 200 € (de igual cantidad y vencimientos consecutivos. Las cinco deudas son equivalentes a otra de 1.000 € en el mes del VM: t +t VM = 1 n ⇒ VM = 3 + 7 = 5 2 2 Calculamos el VM de las dos deudas de 500 €: t + t + t + ... 2+8 VM = 1 2 3 ⇒ VM = =5 1 + 1 + 1 + ... 2 Solución: las dos deudas de 500 € tienen igual VM que las originales. Respuesta correcta: b.

2. Análisis y selección de diferentes alternativas . de inversión-financiación RES EJ 77. Datos del problema: precio = 2.500 €, descuento pago contado = 5%, entrada = 700 €, 4 letras trimestrales de 450 € (meses 0, 3, 6 y 9). Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 2.500 € × 0,95 = 2.375 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 700 + 450 = 1.150 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 2.375 – 1.150 = 1.225 €. VM 3 pagos pendientes de 450 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): t +t VM = 1 n ⇒ VM = 3 + 9 = 6 2 2 Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 1.350 € (450 × 3) en el mes 6. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 1.350 = 1.225 × (1 + r × 6 ) 100 1.200

Solución: Coste del aplazamiento r = 20,41%. Respuesta correcta: a. RES EJ 78. Datos del problema: por un lado, d6 = 7.000 €; por otro lado, d9 = 3.564,82 €, d? = 3.564,82 €, r = 5%, gastos = 1%. Incógnita: t de la segunda deuda. Dado que, en este caso, las nuevas deudas conllevan gastos de gestión, lo primero que tenemos que hacer es eliminar dichos gastos para poder utilizar las relaciones financieras: Deuda total: (3.564,82 × 2) = 7.129,64 €. Deuda total sin gastos: 7.129,64 × 0,99 = 7.058,3436 €.

46

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Como la cantidad final a pagar es diferente a la deuda original, debemos encontrar la relaciónEJERCICIOS entre la fecha de pago de la original y el VM de las dos deudas RESOLUCIÓN DE nuevas teniendo en cuenta el 5% de interés. Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 7.058,3436 = 7.000 × (1 + 5 × t ) ⇒ t = 2 meses de distancia 100 1.200

El VM de las dos nuevas deudas está a una distancia de 2 meses de la deuda original, esto es, en el mes 8 (6 + 2). Conocido el VM de las dos nuevas deudas, podemos aplicar la fórmula correspondiente (cantidades iguales) y deducir el vencimiento de la segunda deuda: t + t + t + ... 9+t VM = 1 2 3 ⇒ VM = =8 1 + 1 + 1 + ... 2 Solución: t = mes 7. Respuesta correcta: a. RES EJ 79. Datos del problema: por un lado, d9 = 10.125 €; por otro lado, d8 = 5.199,82 €, d14 = 5.199,82 €, gastos = 1,5%. Incógnita: r. Dado que, en este caso, las nuevas deudas conllevan gastos de gestión, lo primero que tenemos que hacer es eliminar dichos gastos para poder utilizar las relaciones financieras: Deuda total: (5.199,82 × 2) = 10.399,12 €. Deuda total sin gastos: 10.399,12 × 0,985 = 710.243,13 €. Como la cantidad final a pagar es diferente a la deuda original, debemos encontrar la relación entre la fecha de pago de la original y el VM de las dos deudas nuevas. El VM de las dos nuevas deudas es: VM =

t1 + t2 + t3 + ... 8 + 14 ⇒ VM = = 11 1 + 1 + 1 + ... 2

El VM de las dos nuevas deudas está en el mes 11; esto es, a una distancia de 2 meses de la deuda original (11 – 9). A partir de los datos que tenemos, podemos aplicar la fórmula de capitalización para encontrar r: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 10.243,13 = 10.125 × (1 + r × 2 ) 100 1.200

Solución: r = 7%. Respuesta correcta: a.

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

47

RES EJ 80. Datos del problema: d4 = 10.000 €, d8 = 5.000 €, d12 = 5.000 €, r = 5%. Incógnita: VM y deuda equivalente. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Las tres deudas son equivalentes a otra de 20.000 € en el mes del VM: VM =

d1 × t1 + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... ⇒ VM = 10.000 × 4 + 5.000 × 8 + 5.000 × 12 = 7 d1 + d 2 + d3 + ... 10.000 + 5.000 + 5.000

La equivalencia de estas deudas en el mes 9 la calculamos a partir de la fórmula de capitalización: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ C9 = 20.000 × (1 + 5 × 7 ) = 20.166,67 €. 100 1.200

Solución: Las deudas son equivalentes a una de 20.166,67 € en el mes 9. Respuesta correcta: b. RES EJ 81. Datos del problema: Precio = 4.000 €, descuento pago contado = 5%, entrada = 1.500 €, 5 letras trimestrales de 500 € (meses 0, 3, 6, 9 y 12). Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 4.000 € × 0,95 = 3.800 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 1.500 + 500 = 2.000 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 3.800 – 2.000 = 1.800 €. VM 4 pagos pendientes de 500 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): t +t VM = 1 n ⇒ VM = 3 + 12 = 7,5 2 2 Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 2.000 € (500 × 4) en el mes 7,5. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 2.000 = 1.800 × (1 + r × 7,5 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 17,78%. Respuesta correcta: c. RES EJ 82. Datos del problema: por un lado, d9 = 10.125 €; por otro lado, d8 = ¿? €, d14 = ¿? €, gastos = 1,5% r = 6,5%. Incógnita: d8 y d14. Las dos deudas son equivalentes a otra, suma de ambas, en el mes del VM (cantidades iguales): t + t + t + ... 8 + 14 VM = 1 2 3 ⇒ VM = = 11 1 + 1 + 1 + ... 2 Como la deuda original era en el mes 9, las dos nuevas equivalen a otra que se sitúa 2 meses más tarde, en el mes 11, por lo que será de una cuantía de: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ C11 = 10.125 × (1 + 6,5 × 2 ) = 10.234,69 € 100 1.200

48

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

A la deuda hay que agregarle los gastos del 1,5%, por lo que, el importe final a pagar en dos partes iguales será de: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS It =

C11 10.234,69 ⇒ I11 = = 10.390,55 cada una de las dos nuevas deudas 1 − gastos 1 − 0,015

será 5.195,27 €. Solución: 5.195,27 €. Respuesta correcta: c. RES EJ 83. Datos del problema: d8 = 5.000 €, d10 = 5.000 €, d12 = 5.000 €, d11 = 15.000 €, r = 6%. Incógnita: VM y deuda equivalente. Las cuatro deudas son equivalentes a otra de 30.000 € en el mes del VM: d × t + d 2 × t2 + d3 × t3 + ... VM = 1 1 ⇒ d1 + d 2 + d3 + ...

⇒ VM =

5.000 × 8 + 5.000 × 10 + 5.000 × 12 + 15.000 × 11 = 10,5 5.000 + 5.000 + 5.000 + 15.000

La equivalencia de estas deudas en el mes 16 la calculamos a partir de la fórmula de capitalización: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ C9 = 30.000 × (1 + 6 × 5,5 ) = 30.825 € 100 1.200

Solución: las deudas son equivalentes a una de 30.825 € en el mes 16. Respuesta correcta: a. RES EJ 84. Datos del problema: precio = 4.600 €, descuento pago contado = 7%, entrada = = 1.600 €, 5 letras semestrales de 600 € (meses 0, 6, 12, 18 y 24). Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 4.600 € × 0,93 = 4.278 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 1.600 + 600 = 2.200 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 4.278 – 2.200 = 2.078 €. VM 4 pagos pendientes de 600 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): t +t VM = 1 n ⇒ VM = 6 + 24 = 15 2 2 Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 2.400 € (600 × 4) en el mes 15. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 2.400 = 2.078 × (1 + r × 15 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 12,40%. Respuesta correcta: c.

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

49

RES EJ 85. Datos del problema: precio = 1.200 €, descuento pago contado = 7%, 5 pagos mensuales de EJERCICIOS 240 € (meses 0, 1, 2, 3 y 4). RESOLUCIÓN DE 1. Supuesto que raplazamiento = 15% y rmercado = 10%. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Solución: siempre la financiación más barata. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: préstamo recibido, esto es, deuda pendiente en el aplazamiento. Precio real al contado – pagos en el mes 0 = 1.200 × 0,93 – 240 Solución: deuda pendiente = 876 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: plazo medio de endeudamiento. Calculamos VM de las deudas asumidas o pendientes de pago; esto es, 4 deudas de 240 €: t +t VM = 1 n ⇒ VM = 1 + 4 2 2 Solución: VM = mes 2,5. Respuesta correcta: a. 4. Incógnita: coste del aplazamiento. Teniendo en cuenta que la deuda que queda pendiente en el mes 0, al pagar a plazos, es de 876 € y que se salda con 4 pagos de 240 € que equivalen a un pago de 960 € (240 × 4) en el mes 2,5: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 960 = 876 × (1 + r × 2,5 ) 100 1.200

Solución: Coste del aplazamiento r = 46,03%. Respuesta correcta: b. 5. Incógnita: precio real de los electrodomésticos. Precio real = precio – descuento por pago al contado = 1.200 – 1.200 × 0,07 Solución: precio real = 1.116 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 86. Datos del problema: precio = 300 €, descuento pago contado = 7%, 6 pagos mensuales de 50 € (meses 0, 1, 2, 3, 4 y 5). 1. Incógnita: precio real del material adquirido: Precio real = precio – descuento por pronto pago = 300 – 300 × 0,07 Solución: precio real = 279 €. Respuesta correcta: a.

50

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. Incógnita: préstamo recibido, esto es, deuda pendiente en el aplazamiento:

RESOLUCIÓN DE Precio real al EJERCICIOS contado – pagos en el mes 0 = 300 × 0,93 – 50 Solución: deuda pendiente = 229 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: plazo medio de endeudamiento.

Calculamos VM de las deudas asumidas o pendientes de pago; esto es, 5 deudas de 50 €: t +t VM = 1 n ⇒ VM = 1 + 5 2 2 Solución: VM = mes 3. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: coste del aplazamiento. Teniendo en cuenta que la deuda que queda pendiente en el mes 0, al pagar a plazos, es de 229 € y que se salda con 5 pagos de 50 € que equivalen a un pago de 250 € (50 × 5) en el mes 3: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 250 = 229 × (1 + r × 3 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 36,68%. Respuesta correcta: a. 5. Supuesto que raplazamiento = 10% y r mercado = 13%. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Solución: siempre la financiación más barata. Respuesta correcta: b. RES EJ 87. Datos del problema: Precio = 50.000 €, descuento pago contado = 10%, 5 pagos mensuales de 10.000 € (meses 1, 2, 3, 4 y 5), pago inicial 2.500 €. 1. Incógnita: precio real del coche: Precio real = precio – descuento por pronto pago = 50.000 – 50.000 × 0,1 Solución: precio real = 45.000 €. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: coste del aplazamiento. Para ello calculamos primero la deuda pendiente y el plazo medio de pago. Deuda pendiente: Precio real al contado – pagos en el mes 0 = 50.000 × 0,1 – 2.500 = 42.500 €

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

51

Plazo medio de pago:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Calculamos VM de las deudas asumidas o pendientes de pago; esto es, 5 deudas de 10.000 €: VM =

t1 + tn 1+ 5 ⇒ VM = =3 2 2

Teniendo en cuenta que la deuda que queda pendiente en el mes 0, al pagar a plazos, es de 42.500 € y que se salda con 5 pagos de 10.000 € que equivalen a un pago de 50.000 € (10.000 × 5) en el mes 3: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 50.000 = 42.500 × (1 + r × 3 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 70,59%. Respuesta correcta: b. 3. Supuesto que raplazamiento = 10% y posible adelanto de cobro: C1 = 525.000 € por C0 = 475.000 €. Calculamos el coste que supone el adelanto de la deuda: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 52.500 = 47.500 × (1 + r × 1) = 10,53% 100 100

Solución: siempre la financiación más barata. Respuesta correcta: a. 4. Incógnita: d3 y d5. Calculamos el VM de los 3 últimos pagos de 10.000 € (de igual cantidad y vencimientos consecutivos). Las tres deudas son equivalentes a otra de 30.000 € en el mes del VM: VM =

t1 + tn 3+5 ⇒ VM = =4 2 2

Calculamos el VM de las dos nuevas deudas: VM =

t1 + t2 + t3 + ... 3+5 ⇒ VM = =4 1 + 1 + 1 + ... 2

Como el vencimiento es el mismo, las deudas han de ser iguales, esto es, sumar 30.000 €. No obstante, como se van a aplicar unos gastos de gestión del 1%, las cuantías finales serán: 30.000 /2 0,99 Solución: d3 = d5 = 15.151,52 €. d3 = d5 =

Respuesta correcta: b.

52

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 88. Datos del problema: precio = 500.000 €, 10 pagos mensuales de 50.000 € (meRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS ses 0 a 9) o venta al contado a 450.000 € e inversión al 5%. 1. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 450.000 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 50.000 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 450.000 – 50.000 = 400.000 €. VM 9 pagos pendientes de 50.000 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn 1+ 9 ⇒ VM = =5 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 450.000 € (50.000 × 9) en el mes 5. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 450.000 = 400.000 × (1 + r × 5 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 30%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: mejor alternativa de inversión. El cobro al contado nos permite invertir el dinero al 5%. El cobro aplazado nos permite cargarle al comprador un coste del 30%, esto es, una rentabilidad para nosotros del 30%. Solución: la mejor inversión es la más rentable. Respuesta correcta: c. 3. Incógnita: d12.

Calculamos el VM de los 3 últimos pagos de 50.000 € (de igual cantidad y vencimientos consecutivos). Las tres deudas son equivalentes a otra de 150.000 € en el mes del VM: VM =

t1 + tn 7+9 ⇒ VM = =8 2 2

Como el nuevo pago se va a realizar en el mes 12, necesitamos calcular la cantidad equivalente, ese mes, a 150.000 € del mes 8 para un interés del 10%: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ C12 = 150.000 × (1 + 10 × 4 ) = 155.000 € 100 1.200

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

53

A esta cantidad le aplicamos los gastos de gestión que van por cuenta del comprador: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS C 155.000 d12 = 12 = 0,99 0,99 Solución: d12 = 156.565,66 €. Respuesta correcta: b. RES EJ 89. Datos del problema: precio = 1.000.000 €, 5 pagos mensuales de 150.000 € (meses 1 a 5) descuento pago al contado = 5%, pago inicial 250.000 €. 1. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 1.000.000 × 0,95 = 950.000 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 250.000 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 950.000 – 250.000 = 700.000 €. VM 5 pagos pendientes de 150.000 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn 1+ 5 ⇒ VM = =3 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 750.000 € (150.000 × 5) en el mes 3. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 750.000 = 700.000 × (1 + r × 3 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 28,57%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Alternativa 1: descuento de letras a 1 año al 4%, gastos de gestión, 0,5%. Alternativa 2: préstamo al 3% comisión de apertura 1,5%. Coste alternativa 1: I 0 = Ct × (1 −

r ×t ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 100 × (1 − 4 × 12 ) − 100 × 0, 005 = 95,5 € 100 1.200

Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 100 = 95,5 × (1 + r × 12 ) = 4,71% 100 1.200

Coste alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 103 = 98,5 × (1 + r × 12 ) = 4,57% 100 1.200

Solución: la mejor financiación es la menos costosa. Respuesta correcta: b.

54

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

3. Incógnita: Coste del descuento, rdescuento, de letras a 6 meses con interés del 8% y gastos del 1,5%. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Calculamos primero I0 y después el coste. r ×t ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 100 × (1 − 8 × 6 ) − 100 × 0, 015 = 94,5 € 100 1.200

I 0 = Ct × (1 − Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 100 = 94,5 × (1 + r × 6 ) 100 1.200

Solución: rdescuento = 11,64%. Respuesta correcta: a. 4. Datos del problema: por un lado, d3 = 150.000 €, d4 = 150.000 € y d5 = 150.000 €; por otro lado, d? = 477.270 €, r = 12%, gastos = 1%. Incógnita: t de la nueva deuda. Dado que, en este caso, la nueva deuda conlleva gastos de gestión, lo primero que tenemos que hacer es eliminar dichos gastos para poder utilizar las relaciones financieras: Deuda total sin gastos: 477.270 × 0,99 = 472.497,3 € Calculamos la deuda equivalente a las tres deudas originales de 150.000 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): t +t VM = 1 n ⇒ VM = 3 + 5 = 4 2 2 Las tres deudas originales son equivalentes a una de 450.000 € (150.000 × 3), en el mes 4. Como la cantidad sin gastos a pagar (472.497,3 €) es diferente a la suma de las tres deudas originales (450.000 €) debemos encontrar la relación entre la fecha de pago medio, VM, de las originales y la de la nueva teniendo en cuenta el 12% de interés: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 472.497,3 = 450.000 × (1 + 12 × t ) ⇒ t = 5 meses de distancia. 100 1.200

La nueva deuda se encuentra a una distancia de 4 meses del VM de las tres deudas originales, esto es, en el mes 9 (4 + 5). Solución: t = mes 9. Respuesta correcta: b. 5. Datos del problema: por un lado, d3 = 150.000 €, d4 = 150.000 € y d5 = = 150.000 €; por otro lado, t = mes 4, r = 10%, gastos = 1%. Incógnita: d4 de la nueva deuda. Calculamos la deuda equivalente a las tres deudas originales de 150.000 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 3 + 5 = 4 2 2

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

55

Las tres deudas originales son equivalentes a una de 450.000 € (150.000 × 3), en el mes 4. EJERCICIOS RESOLUCIÓN DE Como la fecha de pago de la nueva deuda coincide con el VM de las originales, no es preciso sumar intereses a la nueva cantidad, sí los gastos de gestión; por lo que su importe será: Deuda total con gastos, I4: 450.000 / 0,99. Solución: I4 = 454.545,45 €. Respuesta correcta: c. RES EJ 90. Datos del problema: precio = 6.000 €, 6 pagos mensuales de 1.000 € (meses 0 a 5) dto pago contado = 5%. 1. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 6.000 × 0,95 = 5.700 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 1.000 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 5.700 – 1.000 = 4.700 €. VM 5 pagos pendientes de 1.000 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 1 + 5 = 3 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 5.000 € (1.000 × 5) en el mes 3. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 5.000 = 4.700 × (1 + r × 3 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 25,53%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Alternativa 1: descuento de letras a 1 año al 4%, gastos de gestión, 0,5%. Alternativa 2: préstamo al 3% comisión de apertura 1,25%. Coste alternativa 1: I 0 = Ct × (1 −

r ×t ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 100 × (1 − 4 × 12 ) − 100 × 0, 005 = 95,5 € 100 1.200

Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 100 = 95,5 × (1 + r × 12 ) = 4,71% 100 1.200

Coste alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 103 = 98, 75 × (1 + r × 12 ) = 4,30% 100 1.200

Solución: la mejor financiación es la menos costosa. Respuesta correcta: b.

56

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

3. Incógnita: coste del descuento, rdescuentos, de letras a 8 meses con interés del 6% y gastos del 1,5%. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Calculamos primero I0 y después el coste. I 0 = Ct × (1 −

r ×t 6×8 ) −⇒ CtI×0 = gastos 100 × (1 − ) − 100 × 0, 015 = 94,5 € 100 1.200

Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 100 = 94,5 × (1 + r × 8 ) 100 1.200

Solución: rdescuento = 8,73%. Respuesta correcta: b. 4. Datos del problema: por un lado, d3 = 1.000 €, d4 = 1.000 € y d5 = 1.000; por otro lado, d? = 3.212,121 €, r = 12%, gastos = 1%. Incógnita: t de la nueva deuda. Dado que, en este caso, la nueva deuda conlleva gastos de gestión, lo primero que tenemos que hacer es eliminar dichos gastos para poder utilizar las relaciones financieras: Deuda total sin gastos: 3.212,121 × 0,99 = 3.180 €. Calculamos la deuda equivalente a las tres deudas originales de 1.000 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 3 + 5 = 4 2 2

Las tres deudas originales son equivalentes a una de 3.000 € (1.000 × 3), en el mes 4. Como la cantidad sin gastos a pagar (3.180 €) es diferente a la suma de las tres deudas originales (3.000 €) debemos encontrar la relación entre la fecha de pago medio, VM, de las originales y la de la nueva teniendo en cuenta el 12% de interés. Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 3.180 = 3.000 × (1 + 12 × t ) ⇒ t = 6 meses de distancia. 100 1.200

La nueva deuda se encuentra a una distancia de 6 meses del VM de las tres deudas originales, esto es, en el mes 10 (4 + 6). Solución: t = mes 10. Respuesta correcta: b. 5. Datos del problema: por un lado, d3 = 1.000 €, d4 = 1.000 € y d5 = 1.000 €; por otro lado, t = mes 4, r = 10%, gastos = 1%. Incógnita: d4 de la nueva deuda. Calculamos la deuda equivalente a las tres deudas originales de 1.000 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ 3+5 = 4 VM = 2 2

Las tres deudas originales son equivalentes a una de 3.000 € (1.000 × 3), en el mes 4.

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

57

Como la fecha de pago de la nueva deuda coincide con el VM de las originales, no es preciso sumar intereses a la nueva cantidad, sí los gastos de gestión; por RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS lo que su importe será: Deuda total con gastos, I4: 3.000 / 0,99. Solución: I4 = 3.030,30 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 91. Datos del problema: precio = 8.000 €, 10 pagos mensuales de 720 € (meses 0 a 9) descuento pago al contado = 5%, pago inicial = 1.400 €. 1. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 8.000 × 0,95 = 7.600 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 1.400 + 720 = 2.120 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 7.600 – 2.120 = 5.480 €. VM 9 pagos pendientes de 720 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 1 + 9 = 5 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 6.480 € (720 × 9) en el mes 5. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 6.480 = 5.480 × (1 + r × 5 ) 100 1.200

Solución: c del aplazamiento r = 43,80%. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: cantidad financiada. Cantidad financiada = coste al contado – pagos realizados en el mes 0 = 7.600 – 2.120 Solución: cantidad financiada = 5.480 €. Respuesta correcta: c. 3. Incógnita: coste del descuento, r descuento, de letras por valor de 800 €, a 7 meses con interés del 6% y gastos del 1% (mínimo 10 €). Calculamos primero I0 y después el coste: I 0 = Ct × (1 −

r ×t ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 800 × (1 − 6 × 7 ) − 10 = 762 € 100 1.200

Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 800 = 762 × (1 + r × 7 ) 100 1.200

Solución: rdescuento = 8,55%. Respuesta correcta: b.

58

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

4. Incógnita: mejor alternativa de inversión.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS alternativa 1: préstamo al 8%, comisión de apertura 0,5%. alternativa 2: pago aplazado 1 año a proveedores eliminando descuento 8,5% por pago contado. Coste Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 108 = 99,5 × (1 + r × 12 ) = 8,54% 100 1.200

Coste Alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 100 = 91,5 × (1 + r × 12 ) = 9,29% 100 1.200

Solución: la mejor financiación es la menos costosa. Respuesta correcta: b. 5. Datos del problema: por un lado: d5 = 720 €, d6 = 720 €, d7 = 720 €, d8 = 720 € y d9 = 720 €; por otro lado, d? = 3.720 €, r = 10%. Incógnita: t de la nueva deuda. Calculamos la deuda equivalente a las cinco deudas originales de 720 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 5 + 9 = 7 2 2

Las cinco deudas originales son equivalentes a una de 3.600 € (720 × 5), en el mes 7. Como la cantidad sin gastos a pagar (3.720 €) es diferente a la suma de las cinco deudas originales (3.600 €) debemos encontrar la relación entre la fecha de pago medio, VM, de las originales y la de la nueva teniendo en cuenta el 10% de interés. Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 3.720 = 3.600 × (1 + 10 × t ) ⇒ t = 4 meses de distancia. 100 1.200

La nueva deuda se encuentra a una distancia de 4 meses del VM de las deudas originales, esto es, en el mes 11 (7 + 4). Solución: t = mes 11. Respuesta correcta: c. 6. Datos del problema: por un lado: d2 = .. = d8 = 720 €; por otro lado, d2 = d5 = d8 = ¿ r = 10%, gastos = 1%. Incógnita: d2 = d5 = d8. Calculamos la deuda equivalente a las siete deudas originales de 720 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 2 + 8 = 5 2 2

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

59

Las siete deudas originales son equivalentes a una de 5.040 € (720 × 7), en el mes 5.

RESOLUCIÓN DE Por otro lado,EJERCICIOS calculamos el VM de las tres nuevas deudas (igual cuantía y fecha consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 2 + 8 = 5 2 2

Como el VM de las nuevas deudas coincide con el VM de las originales, no es preciso sumar intereses a la cantidad original, sí los gastos de gestión; por lo que su importe será: Deuda total con gastos, I4: 5.040 / 0,99 = 5.090,91 € en total, los nuevos pagos serán la tercera parte. Solución: d2 = d5 = d8 = 1.696,97 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 92. Datos del problema: precio = 4.000 €, pago inicial 700 €, 5 pagos bimensuales de 720 € (meses 4 a 12) descuento pago al contado 5%. 1. Incógnita: cantidad financiada. Precio real (pago al contado): 4.000 × 0,95 = 3.800 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 700 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 3.800 – 700 = 3.100 €. Solución: Cantidad financiada = 3.100 €. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Alternativa 1: préstamo 1 año al 7% comisión de apertura 1,5%. Alternativa 2: pago aplazado 1 año a proveedores eliminando descuento 8,5% por pago contado. Coste alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 107 = 98,5 × (1 + r × 12 ) = 8,63% 100 1.200

Coste alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 100 = 91,5 × (1 + r × 12 ) = 9,29% 100 1.200

Solución: la mejor financiación es la menos costosa Respuesta correcta: c. 3. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 4.000 × 0,95 = 3.800 €.

60

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Pago inicial si se opta por pago a plazos: 700 €.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 3.800 – 700 = 3.100 €. VM 5 pagos pendientes de 720 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 4 + 12 = 8 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 3.600 € (720 × 5) en el mes 6. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 3.600 = 3.100 × (1 + r × 8 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 24,19%. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: coste del descuento, rdescuento , de letras por valor de 800 €, a 3 meses con interés del 8% y gastos del 1% (mínimo 10 €). Calculamos primero I8 y después el coste: I 0 = Ct × (1 −

r ×t 8×3 ) −⇒ Ct I×8 gastos = 800 × (1 − ) − 10 = 774 € 100 1.200

Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 800 = 774 × (1 + r × 3 ) 100 1.200

Solución: rdescuento = 13,44%. Respuesta correcta: a. 5. Datos del problema: por un lado, d4 = .. = d12 = 720 €; por otro lado, d9 = d10 = d11 = ¿ r = 10%, Incógnita: d9 = d10 = d11. Calculamos la deuda equivalente a las cinco deudas originales de 720 € cada una (cantidades iguales y fechas consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 4 + 12 = 8 2 2

Las cinco deudas originales son equivalentes a una de 3.600 € (720 × 5), en el mes 8. Por otro lado, calculamos el VM de las tres nuevas deudas (igual cuantía y fecha consecutivas): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 9 + 11 = 10 2 2

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

61

Como el VM de las nuevas deudas se encuentra desplazado 2 meses respecto del VM de lasEJERCICIOS originales, es preciso sumar intereses a la cantidad original. El RESOLUCIÓN DE valor total de las tres deudas será: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ C10 = 3600 × (1 + 10 × 2 ) = 3.660  €. 100 1.200

Los nuevos pagos serán la tercera parte de esa cantidad. Solución: d2 = d5 = d8 = 1.220 €. Respuesta correcta: a. 6. Datos del problema: por un lado, d10 = 720 € y d12 = 720 €; por otro lado, d? = 1.476 €, r = 10%. Incógnita: t de la nueva deuda. Calculamos la deuda equivalente a las dos deudas originales de 720 € cada una (cantidades iguales): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 10 + 12 = 11 2 2

Las dos deudas originales son equivalentes a una de 1.440 € (720 × 2), en el mes 11. Como la cantidad a pagar (1.476 €) es diferente a la suma de las dos deudas originales (1.440 €) debemos encontrar la relación entre la fecha de pago medio, VM, de las originales y la de la nueva teniendo en cuenta el 10% de interés. Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 1.476 = 1.440 × (1 + 10 × t ) ⇒ t = 3 meses de distancia. 100 1.200

La nueva deuda se encuentra a una distancia de 3 meses del VM de las deudas originales, esto es, en el mes 14 (11 + 3). Solución: t = mes 14. Respuesta correcta: b. RES EJ 93. Datos del problema: precio = 800 €, 4 pagos trimestrales de 160 € (meses 6 a 15), pago inicial 200 €, dto pago contado = 10%. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 800 × 0,9 = 720 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 200 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 720 – 200 = 520 €. VM 4 pagos pendientes de 160 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 6 + 15 = 10,5 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 640 € (160 × 4) en el mes 10,5.

62

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Coste del aplazamiento:

RESOLUCIÓN DE rEJERCICIOS ×t Ct = C0 × (1 +

100

) ⇒ 640 = 520 × (1 + r × 10,5 ) 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 26,37%. Respuesta correcta: b. RES EJ 94. Datos del problema: precio = 15.000 €, 10 pagos mensuales de 1.000 € (meses 0 a 9), pago inicial 5.500 €, dto pago contado = 4%. Incógnita: coste del aplazamiento r. Precio real (pago al contado): 15.000 × 0,96 = 14.400 €. Pago inicial si se opta por pago a plazos: 5.500 + 1.000 = 6.500 €. Cantidad pendiente de pago en el mes 0: 14.400 – 6.500 = 7.900 €. VM 9 pagos pendientes de 1.000 € (igual cuantía y vencimientos consecutivos): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 1 + 9 = 5 2 2

Los pagos pendientes son equivalentes a una deuda de 9.000 € (1.000 × 9) en el mes 5. Coste del aplazamiento: Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 9.000 = 7.900 × (1 + r × 5 ) 100 1.200

Solución: coste del aplazamiento r = 33,42%. Respuesta correcta: c. RES EJ 95. Datos del problema: por un lado, d10 = 13.500 €; por otro lado, d9 = 6.932,74 € y d15 = 6.932,74 €, gastos de gestión 1,5%. 1. Incógnita: r aplicado. Calculamos la deuda equivalente a las dos nuevas deudas de 6.932,74 € cada una (cantidades iguales): VM =

t1 + tn ⇒ VM = 9 + 15 = 12 2 2

Las dos nuevas deudas son equivalentes a una de 13.865,48 € (6.932,74 × 2), en el mes 12. Como la nueva cantidad a pagar (13.865,48 €) es diferente a la deuda original (13.500 €), para calcular el tipo de interés aplicado, conociendo que la distancia entre la fecha de pago de la deuda original y el VM de las nuevas deudas

Interés

simple:

Varios

capitales capitulo

63

es de 2 meses, debemos, primero, eliminar los gastos de gestión de las nuevas deudas y, después, aplicar la fórmula de capitalización simple: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Deuda total con gastos, I12: 13.865,48 × 0,985 = 13.657,50 €. Ct = C0 × (1 +

r ×t ) ⇒ 13.657,50 = 13.500 × (1 + r × 2 ) 100 1.200

Solución: r = 7%. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: reparto de I9 + I15. Total pagado por el deudor = 6.932,74 × 2 = 13.865,48 €. Total deducido por el banco = 13.865,48 × 0,015 = 207,98 €. Total cobrado por el acreedor = 13.865,48 × 0,985 = 13.657,50 €. Respuesta correcta: b.

Interés compuesto: Un capital

3

Objetivos A medida que se realizan los diferentes ejercicios propuestos, se ha de conseguir:

▪ Comprender la fórmula que permite capitalizar o actualizar un capital en interés compuesto. ▪ Saber utilizar la fórmula de capitalización y actualización de un capital en interés compuesto. ▪ Saber calcular el coste financiero y rentabilidad de operaciones de financiación e inversión, respectivamente, en interés compuesto. ▪ Entender el concepto de TIR y saber calcularlo. ▪ Entender el concepto de capitalización fraccionada y saber utilizarlo en problemas de capitalización y actualización de un capital. ▪ Entender el concepto de TAE (semejante al de TIR) en relación con la capitalización fraccionada. ▪ Saber calcular la TAE de una financiación o inversión (coste financiero o rentabilidad) en capitalización fraccionada (con o sin gastos). ▪ Distinguir entre TAE (Tasa Anual Equivalente) y TIN (Tasa de Interés Nominal).

66

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

UNAS BREVES NOTAS TÉCNICAS ▪ El interés simple conlleva el hecho de que los intereses sean improductivos durante toda la vida de la operación. ▪ El interés compuesto, por el contrario, considera que los intereses devengados durante un periodo de tiempo estipulado de antemano (mes, trimestre, semestre, año, etc.) han de ser añadidos al capital y generar, a su vez, más intereses. A esta operación se denomina capitalización de los intereses y supone que los intereses pasan a ser, en consecuencia, productivos. ▪ La fórmula que relaciona, en interés compuesto, los cuatro elementos propios de toda operación financiera cambia y pasa a ser la siguiente: Ct = C0 × (1 + r )t

donde Ct es la contraprestación, C0 es la prestación, r es el tipo de interés en tanto por 1 y t es la duración.



La duración se puede expresar en años, meses, días, etc; según la unidad de tiempo utilizada, el valor de r variará para adaptarse a la misma (tipo de interés anual, mensual, diario, etc.).

▪ Para actualizar un capital, en descuento racional, utilizamos la siguiente fórmula (despejando C0 de la anterior): Ct C0 = (1 + r )t ▪ Si t se expresa en años, la capitalización se dice que es anual y significa que los intereses se incorporan al capital al transcurrir un año. ▪ No obstante, la capitalización no siempre es anual y, en consecuencia, t no siempre se expresa en años. Cuando se acuerda que los intereses se incorporen al capital, para producir más intereses, con mayor frecuencia (esto es, en periodos de tiempo inferiores al año) hablamos de capitalización fraccionada. ▪ La capitalización fraccionada puede ser semestral, cuatrimestral, trimestral, mensual, diaria, etc., según se acuerde capitalización de los intereses cada 6, 4, 3, 1 mes o cada día. ▪ La fórmula que se utiliza en capitalización fraccionada es la misma, si bien, en este caso:  La variable t, indica el número de veces que se capitalizan los intereses a lo largo de la vida de la operación financiera considerada y, en consecuencia, se expresa en semestres, trimestres, meses, días, etc.  la variable r, recoge el interés correspondiente al periodo de capitalización; esto es, la parte proporcional a dicho periodo del interés nominal anual. Así, por ejemplo, si t se expresa en semestres porque la capitalización se produce cada 6 meses, r ha de ser el interés correspondiente a 6 meses y se obtendrá dividiendo la tasa de interés nominal anual (TIN) entre 2.

Interés

compuesto:

Un

capital

67

▪ La capitalización fraccionada de los intereses supone que, para una misma tasa de interés nominal anual (TIN), el coste o rentabilidad de una operación financiera resulta diferente según la frecuencia con que los intereses sean incorporados al capital (esto es, capitalizados). Cuanto más frecuente sea la capitalización de los intereses, mayor será el coste o rentabilidad de la operación financiera. ▪ La tasa anual equivalente, TAE, recoge el capital final resultante de 1 € para una determinada TIN y fraccionamiento de intereses. ▪ Cuando la capitalización es anual, TAE y TIN coinciden. En el resto de los casos (capitalización más frecuente que la anual), la TAE supera a la TIN, tanto más cuanto mayor es el fraccionamiento de los intereses. ▪ La TAE es una herramienta básica a la hora de comparar operaciones de inversión/ financiación con capitalización fraccionada. ▪ Para una determinada TIN y fraccionamiento de intereses, el cálculo de la TAE se lleva a cabo de acuerdo a la siguiente fórmula: r TAE = (1 + ) n − 1 n

donde, r es la TIN y n el número de veces que se capitalizan los intereses en todo un año.

68

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJERCICIOS 1. Capitalizar y actualizar en interés compuesto: Capitalización anual EJ 96. Si nos prestan 2.970 € y 4 años más tarde tenemos que devolver 3.800 €, el interés compuesto de la financiación ha sido: a. 6,99%. b. 6,09%. c. 6,35%. EJ 97. Hace 3 años compré un terreno por 12.500 €, si lo vendo dentro de dos años, para obtener un interés del 4,5%, tendré que venderlo a: a. 15.577,27 €. b. 13.062,5 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 98. Hace 3 años compré un cuadro por 2.900 €, si lo vendo dentro de tres años, para obtener un interés del 4,5%, tendré que venderlo a: a. 3.776,55 €. b. 3.683 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 99. A un t.i. del 6%, 340 € de hoy se convierten en 455 € en: a. 5,6 años. b. 5 años. c. Ninguna de las anteriores. EJ 100. 2.000 € de hoy equivalen en el año 3, si el t.i. es 5%, a: a. 2.300 €. b. 2.325,13 €. c. 2.315,25 €. EJ 101. A un t.i. del 4%, 1.020 € de hoy se convierten en 1.240,99 € en: a. 5 años. b. 2 años. c. 5,4 años. EJ 102. Si el t.i. del mercado es 10%, cobrar 400 € hoy o 680 € dentro de 5 años: a. Da igual. b. Mejor hoy 400 €. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

compuesto:

Un

capital

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EJ 103. Si el t.i. del mercado es 6%, cobrar 720 € hoy o 1.070 € dentro de 7 años: a. Da igual. b. Mejor hoy 720 €. c. Ninguna de las anteriores. EJ 104. En tres años, 450 € de hoy se convierten en 460,94 € a un interés del: a. 7%. b. 7,5%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 105. Para un t.i. del 8%, entre pagar 1.900 € dentro de 2 meses ó 2.100 € dentro de 14 meses: a. Da igual salvo cuando el t.i del mercado es 0%. b. Resulta mejor pagar en el mes 2. c. Siempre, cuanto más tarde se pague, mejor. EJ 106. Considerando un interés del 2,5%, en lugar de pagar 115 € el año 3, pagamos 133,36 € el año: a. 6. b. 9. c. Ninguna de las anteriores. EJ 107. Si el t.i. del mercado es 3%, cobrar 6.500 € dentro de 2 años ó 7.100 € dentro de 5: a. Da igual. b. Mejor esperar 5 años. c. Ninguna de las anteriores.

2. Capitalizar y actualizar en interés compuesto: Capitalización fraccionada EJ 108. Si devolvemos 2.411,74 € por un préstamo de 2.130 € al 5% anual capitalizable trimestralmente, habrán transcurrido: a. 10 años. b. 2 años y medio. c. Ninguna de las anteriores. EJ 109. Hemos obtenido una TAE del 5,136% en una cuenta que ofrecía: a. Un 5% anual capitalizable semestralmente. b. 0,4% mensual. c. 1,26% trimestral. EJ 110. Para acumular 10.000 € en 10 años a un interés del 5% anual capitalizable semestralmente, necesitamos invertir hoy: a. 6.102,71 €. b. 5.000 €. c. Ninguna de las anteriores.

70

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 111. La TAE de una cuenta corriente que paga intereses trimestralmente es del 6,422%, la tasa nominal anual será (redondear el interés expresado en%): a. Ninguna de las que siguen. b. 6,578%. c. 6,272%. EJ 112. Invertimos 9.525 € y obtenemos, 5 años más tarde, 12.725 €. Si el primer año aplican un 7% capitalizable semestralmente y los dos años siguientes el 6% capitalizable mensualmente: a. La TAE de la operación ha sido el 6,72%. b. Los dos últimos años nos han aplicado un 5% anual capitalizable trimestralmente. c. La TAE de los dos últimos años ha sido 5,19%. EJ 113. Si la TAE de una cuenta corriente que paga intereses mensualmente es del 1,815%, la tasa nominal anual será: a. 1,50%. b. 1,83%. c. 1,80%. EJ 114. 250 € invertidos al 2% capitalización anual durante 2 años, al 4% anual capitalización semestral por 1 año y al 5% capitalización trimestral durante 3 años: 1. Se convierten en: a. 507,27 €. b. 314,11 €. c. 810,39 €. 2. Dan una TAE del: a. 3,88%. b. 12,52%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 115. 1.000 € invertidos al 2% capitalización anual durante 3 años, al 7% anual capitalización semestral por 5 años y al 6% anual capitalización mensual durante 4 años: 1. Se convierten en: a. 1.901,84 €. b. 1.795,86 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. La rentabilidad de la inversión de los 1.000 € anteriores, habrá sido: a. 5%. b. 5,25%. c. 5,5%. EJ 116. Si la TAE de una cuenta corriente que paga intereses trimestralmente es del 10,43%, la tasa nominal anual será: a. 10,43%. b. 2,6%. c. 10,04%.

Interés

compuesto:

Un

capital

71

EJ 117. Llevamos a descontar una letra de 1.000 € a cobrar dentro de 6 meses. Nos aplican un interés anual del 6% y una comisión del 0,5% (mínimo 3 €): a. El coste de la operación es 7,39%. b. Recibimos 967 €. c. Si no hubiera comisión, el coste de la operación resultaría 6,09%. EJ 118. Si nos dan hoy 1.975 € al descontar una letra de 2.100 € a 3 meses, la TAE que nos resulta es: a. 6,33%. b. 27,82%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 119. Llevamos a descontar al banco una letra de 400 € a 9 meses. 1. Nos aplican un interés del 5% y comisión del 0,8% (con un mínimo de 2,5 €), recibiremos: a. 381,8 €. b. 383,5 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. El coste global de la operación de descuento resulta un: a. 6,36%. b. 4,77%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 120. Una deuda de 470 € a pagar en el mes 2 se cambia por otra de importe 480,68 € en el mes 9. La TAE de la operación ha sido: a. 2,90%. b. 3,93%. c. 2,14%. EJ 121. Hemos solicitado a un proveedor el cambio de una deuda de 70.000 € a 2 meses por otra a 11 meses de importe 75.250 €. La TAE de la operación ha sido: a. 5,57%. b. 10%. c. 10,12%. EJ 122. Invertimos 9.125 € y obtenemos, 6 años más tarde, 13.589,74 €. Nos han aplicado el primer año el 6% capitalizable semestralmente y los dos años siguientes el 9% capitalizable mensualmente: a. La TAE de la operación ha sido el 8,15%. b. Los últimos años nos han aplicado un 5,4% anual capitalizable semestralmente. c. La TAE de los tres últimos años ha sido 5,4%. EJ 123. A petición de uno de nuestros clientes cambiamos el cobro de una deuda de 12.500 € a 90 días por otra de 12.920 € a 275 días. La TAE de la operación ha sido: a. 3,36%. b. 6,64%. c. Ninguna de las anteriores.

72

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 124. Hemos obtenido una TAE del 7,82% en una cuenta que ofrecía: a. 7% anual capitalizable trimestralmente. b. 0,6% mensual. c. 1,9% trimestral. EJ 125. Somos un banco y nos traen a descontar una letra de 1.200 € a cobrar dentro de 7 meses. Si le aplicamos un interés anual del 7% y una comisión del 1,5% (mínimo 3 €): a. Recibe nuestro cliente 1.134,92 €. b. Obtenemos una TAE del 10,35% en la operación. c. Ninguna de las anteriores.

3. Análisis y selección de diferentes alternativas de inversión-financiación en capitalización compuesta EJ 126. Un cliente al que le cobramos las facturas a 3 meses, nos ha ofrecido pagarnos al contado si le hacemos un 2% de descuento: a. Si tuviera que endeudarse para ello a una TAE del 4,5%, no le resulta favorable lo que nos propone. b. El adelanto en el cobro nos supone un coste del 8,42%. c. Si los tipos de interés del mercado son del 5%, nos interesa cobrarle antes. EJ 127. Un proveedor al que le pagamos a 6 meses, nos ha ofrecido un 5% de descuento si le pagamos al contado: a. Si tenemos que pedir un préstamo al 10,5% para pagarle, no nos merece la pena el pago adelantado. b. El pago a plazos nos está suponiendo un coste del 10,80%. c. Ninguna de las anteriores. EJ 128. Llevamos a descontar una letra de 500 € a cobrar dentro de 4 meses. Nos aplican un interés anual del 6% y una comisión del 0,5% (mínimo 3 €): a. El coste de la operación es 7,76%. b. Recibimos 487,5 €. c. Nos resultaría mejor solicitar un préstamo al 8% anual si necesitamos el dinero. EJ 129. Nos han pedido que decidamos la política a seguir en el pago a algunos proveedores que nos plantean las siguientes alternativas: pago al contado con descuento del 1%, pago a dos meses sin recargo y pago a tres meses con interés del 4% anual. Teniendo en cuenta que normalmente contamos con una tesorería saneada invertida al 4% TAE: a. No nos conviene el pago al contado porque dejamos de ganar un 3%. b. El coste de la última alternativa es 8,33% TAE. c. La segunda resulta la mejor alternativa.

Interés

compuesto:

Un

capital

73

EJ 130. Tenemos que decidir si pagar a un proveedor al contado con un descuento por pronto pago del 1%, o a 4 meses sin recargo, teniendo en cuenta que, por un lado, contamos con dinero invertido en una cuenta al 3% anual capitalizable cuatrimestralmente y, por otro lado, contamos con una letra a cobrar en 4 meses que podemos descontar al 2,25% anual y 0,25% de comisiones. a. En cualquier caso es preferible el pago aplazado. b. Resulta igual una u otra forma de pago. c. El pago al contado resulta mejor si utilizamos el dinero de la cuenta. EJ 131. Dos hermanos invierten el dinero de una herencia común de forma distinta. El primero compra un terreno por 10 millones de euros que, al cabo de 5 años, vende en 18 millones. El segundo invierte 5 millones en un fondo que le ha rentado al 8% anual durante 1 año, 10% anual con pagos semestrales durante 2 años y 12% anual con pagos mensuales durante otros dos años. 1. La cantidad acumulada por el segundo es: a. 17.826.204,49 €. b. 6.708.553,82 €. c. 8.334.200,17 €. 2. La rentabilidad promedio anual del segundo hermano ha sido: a. 10,31%. b. 10,76%. c. 10%. EJ 132. Se juntan 3 amigos 4 años después de terminar sus estudios y comentan sus inversiones a fin de ver quién de los tres ha tenido mejor ojo a la hora de invertir su dinero. El primero compró un bloque de apartamentos de lujo en la Costa del Sol por 17 millones y lo acaba de vender un 20% más caro. El segundo invirtió 5 millones en una cuenta remunerada al 5% anual que capitalizó anualmente los dos primeros años, semestralmente el tercero y mensualmente el cuarto año. El tercer amigo empleó 7 millones en adelantar el pago de varios terrenos por los que debía pagar hoy (4 años más tarde del pago de 7 millones) 9 millones. 1. La rentabilidad del primero ha sido: a. 20%. b. 5%. c. Ninguna de las anteriores. 2. La rentabilidad real del primero, teniendo en cuenta que la inflación durante los dos primeros años ha sido del 2% y durante los dos últimos del 2,5%, será: a. 2,36%. b. 9,78%. c. 2,41%. 3. El dinero acumulado por el segundo ha sido de: a. 6.087.878 €. b. 16.021.434 €. c. Ninguna de las anteriores.

74

Ejercicios 4.

5.

6.

resueltos de

Matemática Financiera

La rentabilidad obtenida por el tercero ha sido: a. 28,57%. b. 6,48%. c. Ninguna de las anteriores. La rentabilidad real del tercero, teniendo en cuenta una inflación promedio anual del 2% durante los 4 años, ha sido de: a. 5,96%. b. 4,48%. c. Ninguna de las anteriores. El que mayor rentabilidad ha obtenido ha sido: a. El primero. b. El segundo. c. El tercero.

EJ 133. Tres ricos herederos se juntan 4 años después de haber recibido sus herencias para comentar sus inversiones. El primero compró bonos por valor de 11 millones de euros que acaba de vender por 13 millones. El segundo invirtió 8 millones en una cuenta remunerada al 4% que capitalizó anualmente los dos primeros años, semestralmente el tercero y que bajó a un 3% anual capitalizable mensualmente el cuarto año. El tercer amigo compró un terreno que se le ha revalorizado un 25%. 1. El dinero acumulado por el segundo ha sido de: a. 9.276.189 €. b. 12.583.560 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. La rentabilidad obtenida por el segundo durante los dos últimos años ha sido: a. 7,20%. b. 3,50%. c. 3,54%. 3. La rentabilidad del primero ha sido: a. 4,55%. b. 4,26%. c. 18,18%. 4. La rentabilidad obtenida por el tercero ha sido: a. 5,74%. b. 25%. c. 6,25%. 5. La rentabilidad real del tercero, teniendo en cuenta que la inflación durante los dos primeros años ha sido del 3% y durante los dos últimos del 3,5%, ha resultado ser: a. 2,49%. b. 2,41%. c. 10%.

Interés 6.

compuesto:

Un

capital

75

La rentabilidad real del tercero, teniendo en cuenta una inflación promedio anual del 3% durante los 4 años, ha sido de: a. 2,66%. b. 2,74%. c. 11,06%.

EJ 134. Tienes la posibilidad de invertir tu dinero de dos formas distintas: (1) comprando hoy por 1.643,85 € un bono que será amortizado en 5 años y por el que recibirás 2.000 €; (2) metiendo el dinero en una cuenta que ofrece incrementarlo un 25% en tres años y, por otros dos años, un interés del 6% anual con capitalización trimestral. 1. La rentabilidad de la primera inversión será: a. 7%. b. 4%. c. Ninguna de las anteriores. 2. El dinero acumulado en la cuenta si invirtiera 1.000 €, sería: a. 1.408,12 €. b. 2.375,51 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. La TAE de la segunda inversión será: a. 7,08%. b. 7,03%. c. Ninguna de las anteriores. 4. La rentabilidad real de la segunda inversión, teniendo en cuenta una inflación promedio anual del 2%, será de: a. 6,61%. b. 6,66%. c. 4,99%. EJ 135. Tienes la posibilidad de invertir tu dinero de dos formas distintas: (1) suscribiendo hoy un bono cupón 0 por 77.500 € y vendiéndolo dentro de 6 años a 98.570 €; (2) ingresando el dinero en un fondo que ofrece un 4% anual capitalizable semestralmente el primer año, 4% anual capitalizable trimestralmente el segundo año y un incremento total del 15% en los cuatro años siguientes. 1. La rentabilidad de la primera inversión será: a. 4,09%. b. 4,53%. c. Ninguna de las anteriores. 2. El dinero acumulado en la segunda inversión a los 6 años, si contamos con 1.000 €, será: a. 1.245,04 €. b. 1.459,62 €. c. Ninguna de las anteriores.

76

Ejercicios 3.

4.

5.

resueltos de

Matemática Financiera

La rentabilidad de la segunda inversión durante los 4 últimos años será: a. 15%. b. 3,56%. c. 3,75%. La TAE de la segunda inversión será: a. 6,51%. b. 3,72%. c. Ninguna de las anteriores. La rentabilidad real de la segunda inversión, teniendo en cuenta una inflación promedio anual del 2%, será de: a. 4,42%. b. 3,38%. c. 1,69%.

EJ 136. Acabo de vender a 10.000 € una colección de sellos que compré hace 8 años por 4.900 €. Un amigo mío invirtió, en esa fecha, 1.000 € en una supercuenta que le ha ofrecido un interés del 10% anual capitalizable trimestralmente los cuatro primeros años, un 8% anual capitalizable semestralmente los dos años siguientes y un 0,5% mensual los dos últimos años. El hecho es que la mujer de mi amigo nos ha dicho que invirtiendo en bolsa ha ganado, en promedio anual, más que cualquiera de los dos (su patrimonio se ha triplicado en los últimos 12 años —invirtió 4 años antes—). 1. El dinero acumulado por mi amigo ha sido: a. 1.957,50 €. b. 2.655,49 €. c. 7.046,34 €. 2. La rentabilidad de mi amigo ha sido: a. 12,98%. b. Ni (a) ni (c). c. 8,76%. 3. La TAE de mi inversión ha sido: a. 13,01%. b. 9,33%. c. Ninguna de las anteriores. 4. Teniendo en cuenta los datos anteriores: a. He rentabilizado mi dinero más que mi amigo. b. La mujer de mi amigo tenía razón, ha obtenido un 25% de rentabilidad anual. c. Su marido ha ganado más que ella. 5. Si la inflación ha sido del 2% promedio anual, mi rentabilidad real ha sido: a. 7,33%. b. 7,18%. c. Ninguna de las anteriores.

Interés 6.

compuesto:

Un

capital

77

Si la inflación anual ha sido 4% los primeros cuatro años, 3% los cuatro siguientes y 2% los cuatro últimos, la mujer de mi amigo ha logrado una rentabilidad real de: a. 6,40%. b. 0,30%. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 137. A tres alumnos de una escuela de negocios se les pide, al comienzo de sus estudios, que realicen un ejercicio práctico de inversión para ver qué resultados obtienen una vez finalizados dichos estudios. El primero decidió comprar una obra de arte por 100.000 € que, 4 años más tarde, ha logrado vender un 20% más caro. El segundo invirtió 50.000 € en una cuenta remunerada al 5% anual que capitalizó anualmente los dos primeros años, semestralmente el tercero y mensualmente el cuarto año. El tercero consideró interesante emplear 70.000 € para adelantar al constructor el pago inicial de una vivienda en construcción por la que debía pagar hoy (4 años más tarde del pago de 70.000 €) 90.000 €. 1. La rentabilidad del primero ha sido: a. 20,0%. b. 5,0%. c. Ninguna de las anteriores. 2. El dinero acumulado por el segundo ha sido de: a. 60.878,78 €. b. 160.214,34 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. La rentabilidad obtenida por el tercero ha sido: a. 28,57%. b. 6,48%. c. Ninguna de las anteriores. 4. El que mayor rentabilidad ha obtenido ha sido: a. El primero. b. El segundo. c. El tercero. 5. La rentabilidad real del tercero, teniendo en cuenta una inflación promedio anual del 2% durante los 4 años, ha sido de: a. 5,96%. b. 4,40%. c. 4,48%.

78

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1. Capitalizar y actualizar en interés compuesto: Capitalización anual RES EJ 96. Datos del problema: C0 = 2.970 €, C4 = 3.800 €, t = 4 años. Incógnita: r. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 3.800 = 2.970 × (1 + r )4

Solución: r = 6,35%. Respuesta correcta: c. RES EJ 97. Datos del problema: C0 = 12.500 €, t = 5 años, r = 4,5%. Incógnita: C5. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C5 = 12.500 × (1 + 0,045)5 Solución: C5 = 15.577,27 €. Respuesta correcta: b. RES EJ 98. Datos del problema: C0 = 2.900 €, t = 6 años, r = 4,5%. Incógnita: C6. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C6 = 2.900 × (1 + 0,045)6 Solución: C6 = 3.776,55 €. Respuesta correcta: a. RES EJ 99. Datos del problema: C0 = 340 €, Ct = 455 €, r = 6%. Incógnita: t.

Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 455 = 340 × (1 + 0,06)t , despejamos tomando ln:

455 ) = ln(1 + 0,06)t = t ln1,06 340 Solución: t = 5 años. Respuesta correcta: b. ln(

RES EJ 100. Datos del problema: C0 = 2.000 €, t = 3 años, r = 5%. Incógnita: C3. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C3 = 2.000 × (1 + 0,05)3 Solución: C3 = 2.315,25 €. Respuesta correcta: c. RES EJ 101. Datos del problema: C0 = 1.020 €, Ct = 1.240,99 €, r = 4%. Incógnita: t. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.240,99 = 1.020 × (1 + 0,04)t , despejamos tomando ln: 1.240,99 ln( ) = ln(1 + 0,04)t = t ln1,04 1.020 Solución: t = 5 años. Respuesta correcta: a.

Interés

compuesto:

Un

capital

79

RES EJ 102. Datos del problema: C0 = 400 €, C5= 680 €, r = 10%, t = 5 años. Incógnita: ¿cuándo cobrar? ¿C0 ó C5? Si cobramos C0 podemos invertir el dinero al 10% y obtener, en 5 años: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C5 = 400 × (1 + 0,1)5 = 644,20 €.

Si cobramos C5 obtenemos 680 €. Solución: mejor cobrar dentro de 5 años. Respuesta correcta: c. RES EJ 103. Datos del problema: C0 = 720 €, C7= 1.070 €, r = 6%, t = 7 años. Incógnita: ¿cuándo cobrar? ¿C0 ó C7? Si cobramos C0 podemos invertir el dinero al 6% y obtener, en 7 años: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C7 = 720 × (1 + 0,06)7 = 1.082,6 €.

Si cobramos C7 obtenemos 1.070 €. Solución: mejor cobrar hoy e invertir al 6%. Respuesta correcta: b. RES EJ 104. Datos del problema: C0 = 450 €, C3= 551,27 €, t = 3 meses. Incógnita: r. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 551,27 = 450 × (1 + r )3 Solución: r = 7%. Respuesta correcta: a. RES EJ 105. Datos del problema: C2 = 1.900 €, C14= 2.100 €, r = 8%, t = 1 año. Incógnita: ¿cuándo pagar? ¿C2 ó C14? Si pagamos en C14 podemos invertir los 1.900 € en el mes 2 al 8% y obtener, en 1 año: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C14 = 1.900 × (1 + 0,08)1 = 2.052 €

Con lo que obtenemos de la inversión no nos llega para abonar los 2.100 € del pago en el mes 14. Solución: mejor pagar en el mes 2. Respuesta correcta: b. RES EJ 106. Datos del problema: C3 = 115 €, Ct = 133,36 €, r = 2,5%. Incógnita: t. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 133,36 = 115 × (1 + 0,025)t , despejamos tomando ln: 133,36 ln( ) = ln(1 + 0,025)t = t ln1,025 ⇒ t = 6 años. 115 La distancia entre los dos capitales es de 6 años, por lo que el segundo capital está en el año 9 (6 + 3). Solución: t = año 9. Respuesta correcta: b.

80

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 107. Datos del problema: C2 = 6.500 €, C5= 7.100 €, r = 3%, t = 3 años. Incógnita: ¿cuándo cobrar? ¿C2 ó C5? Si cobramos C2 podemos invertir el dinero al 3% y obtener, en 3 años: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C5 = 6.500 × (1 + 0,03)3 = 7.102,73 €.

Si cobramos en C5 obtenemos 7.100 €. Solución: mejor cobrar el año 2 e invertir al 3%. Respuesta correcta: c.

2. Capitalizar y actualizar en interés compuesto: Capitalización fraccionada RES EJ 108. Datos del problema: C0 = 2.130 €, Ct = 2.411,74 €, ranual = 5%, capitalización trimestral. Incógnita: t. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 2.411,74 = 2.130 × (1 + 0,0125)t Solución: t = 10 trimestres. Respuesta correcta: b. RES EJ 109. Datos del problema: TAE = 5,136%. Incógnita: r. Calculamos la TAE de las tres posibles respuestas: ra n 0, 05 2 ) − 1 ⇒ TAE = (1 + ) − 1 = 5, 0625% n 2 r Respuesta b): TAE = (1 + a ) n − 1 ⇒ TAE = (1 + 0, 004)12 − 1 = 4,91% n ra n Respuesta c): TAE = (1 + ) − 1 ⇒ TAE = (1 + 0, 0126) 4 − 1 = 5,136% n Solución: 1,26% trimestral equivale a una TAE 5,136%. Respuesta correcta: c. Respuesta a): TAE = (1 +

RES EJ 110. Datos del problema: C10 = 10.000 €, ranual = 5%, capitalización semestral, t = 10 años. Incógnita: C0. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 10.000 = C0 × (1 + 0,025) 20 Solución: C0 = 6.102,71 €. Respuesta correcta: a.

RES EJ 111. Datos del problema: TAE = 6,422%, capitalización trimestral. Incógnita: TIN. Calculamos el interés trimestral que genera una TAE del 6,422% y de ahí la TIN: r TAE = (1 + a ) n − 1 ⇒ TAE = 0, 06422 = (1 + rt ) 4 − 1 ⇒ rt = 1,568% n Solución: TIN = 1,568% × 4 = 6,272%. Respuesta correcta: c.

Interés

compuesto:

Un

capital

81

RES EJ 112. Datos del problema: C0 = 9.525 €, C5 = 12.725 €, t = 5 años, ranual año 1 = 7% capitalización semestral, ranual años 2 y 3 = 6% capitalización mensual. Incógnita: ranual años 4 y 5 y TAE La TAE de la operación: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 12.725 = 9.525 × (1 + r )5 ⇒ r = TAE = 5,96%

Interés anual de los dos últimos años: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒12.725 = 9.525 × (1 + 0,035) 2 × (1 + 0,005) 24 × (1 + r ) 2 ⇒ r = 5,19%

Calculamos la TAE de un interés del 5% anual capitalizable trimestralmente para compararlo con el que nos ha resultado en los dos últimos años: TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + 0, 0125) 4 − 1 = 5, 09% n

Solución: TAE dos últimos años = 5,19%. Respuesta correcta: c. RES EJ 113. Datos del problema: TAE = 1,815%, capitalización mensual. Incógnita: TIN Calculamos el interés mensual que genera una TAE del 1,815% y de ahí la TIN: TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = 0, 01815 = (1 + r )12 − 1 ⇒ r = 0,15% m m n

Solución: TIN = 0,15% × 12 = 1,8%. Respuesta correcta: c. RES EJ 114. Datos del problema: C0 = 250 €, t = 6 años, ranual años 1 y 2 = 2%, ranual año 3 = 4% capitalización semestral, ranual años 4 a 6 = 5% capitalización trimestral. 1. Incógnita: C6: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C6 = 250 × (1 + 0,02) 2 × (1 + 0,02) 2 × (1 + 0,0125)12

Solución: C6 = 314,11 € Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 314,11 = 250 × (1 + r )6

Solución: TAE = 3,88%. Respuesta correcta: a.

82

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 115. Datos del problema: C0 = 1.000 €, t = 12 años, ranual años 1 a 3 = 2%, ranual año 4 a 8 = 7% capitalización semestral, ranual años 9 a 12 = 6% capitalización mensual. 1. Incógnita: C12: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C12 = 1.000 × (1 + 0,02)3 × (1 + 0,035)10 × (1 + 0,005) 48

Solución: C12 = 1.901,84 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.901,84 = 1.000 × (1 + r )12

Solución: TAE = 5,50%. Respuesta correcta: c. RES EJ 116. Datos del problema: TAE = 10,43%, capitalización trimestral. Incógnita: TIN Calculamos el interés trimestral que genera una TAE del 10,43% y de ahí la TIN: TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = 0,1043 = (1 + r ) 4 − 1 ⇒ r = 2,51% t t n

Solución: TIN = 2,51% × 4 = 10,04%. Respuesta correcta: c. RES EJ 117. Datos del problema: C6 = 1.000 €, r = 6%, gastos = 0,5% (mínimo 3 €). Incógnita: I0 y TAE. Calculamos la cantidad recibida del descuento de las letras (siempre descuento comercial con interés simple): I 0 = Ct × (1 −

r ×t 6×6 ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 1.000 × (1 − ) − 1.000 × 0, 005 ⇒ 100 1.200

⇒ I0 = 965 €. Calculamos el interés semestral: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.000 = 965 × (1 + r6 ) ⇒ r6 = 3,63% TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r ) 2 − 1 = 1, 03632 6 n

Sin gastos, I0 = 970 y TAE = 6,28%. Solución: TAE = 7,39%. Respuesta correcta: a.

Interés

compuesto:

Un

capital

83

RES EJ 118. Datos delDE problema: C3 = 2.100 €, I0 = 1.975 €, t = 3 meses. Incógnita: TAE. RESOLUCIÓN EJERCICIOS Calculamos el interés trimestral y, a continuación, la TAE correspondiente al mismo: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 2.100 = 1.975 × (1 + r3 ) ⇒ r3 = 6,33% TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r ) 4 − 1 = 1, 06334 3 n

Solución: TAE = 27,82%. Respuesta correcta: b. RES EJ 119. Datos del problema: C9 = 400 €, r = 5%, gastos = 0,8% (mínimo 2,5 €). 1. Incógnita: I0: Calculamos la cantidad recibida del descuento de las letras (siempre descuento comercial con interés simple): I 0 = Ct × (1 −

r ×t 5×9 ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 400 × (1 − ) − 400 × 0, 008 100 1.200

Solución: I0 = 381,8 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: TAE: Calculamos el interés para el periodo de 9 meses y después la TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 400 = 381,8 × (1 + r9 ) ⇒ r9 = 4,77% TAE = (1 +

ra n 12/9 ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r9 ) − 1 n

Solución: TAE = 6,40%. Respuesta correcta: c. RES EJ 120. Datos del problema: C2 = 470 €, C9 = 480,68 €, t = 7 meses. Incógnita: TAE. Calculamos el tipo de interés correspondiente a los 7 meses y después la TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 470 = 480,68 × (1 + r7 ) ⇒ r7 = 2,27% TAE = (1 +

12/7 ra n −1 ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r7 ) n

Solución: TAE = 3,93%. Respuesta correcta: b.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 121. Datos del problema: C2 = 70.000 €, C11 = 75.250 €, t = 9 meses. Incógnita: TAE. Calculamos el tipo de interés correspondiente a los 9 meses y después la TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 75.250 = 70.000 × (1 + r9 ) ⇒ r9 = 7,5% TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r9 )12/9 − 1 n

Solución: TAE = 10,12%. Respuesta correcta: c. RES EJ 122. Datos del problema: C0 = 9.125 €, C6 = 13.589,74 €, t = 6 años, ranual año 1 = 6% capitalización semestral, ranual años 2 y 3 = 9% capitalización mensual. Incógnita: ranual años 4 a 6 y TAE. La TAE de la operación: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 13.589, 74 = 9.125 × (1 + r )6 ⇒ r = TAE = 6,86%

Interés anual, TAE, de los tres últimos años: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 13.589,74 = 9.125 × (1 + 0,03) 2 × (1 + 0,0075) 24 × (1 + r )3 ⇒ r = 5,47%

03) 2 × (1 + 0,0075) 24 × (1 + r )3 ⇒ r = 5,47% Calculamos la TAE de un interés del 5,4% anual capitalizable semestralmente para compararlo con el que nos ha resultado en los tres últimos años: TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + 0, 027) 2 − 1 = 5, 47% n

Solución: TAE tres últimos años = 5,47% o TIN = 5,4% con capitalización semestral. Respuesta correcta: b. RES EJ 123. Datos del problema: C90 = 12.500 €, C275 = 12.920 €, t = 185 días. Incógnita: TAE. Calculamos el tipo de interés correspondiente a los 185 días y después la TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 12.920 = 12.500 × (1 + r185 ) ⇒ r185 = 3,36% TAE = (1 +

ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r185 )360/185 − 1 n

Solución: TAE = 6,64%. Respuesta correcta: b.

Interés

compuesto:

Un

capital

85

RES EJ 124. Datos del problema: TAE = 7,82%. Incógnita: r. Calculamos la TAE de las tres posibles respuestas: ra n 0, 07 4 ) − 1 ⇒ TAE = (1 + ) − 1 = 7,19% n 4 r Respuesta b): TAE = (1 + a ) n − 1 ⇒ TAE = (1 + 0, 006)12 − 1 = 7,57% n ra n Respuesta c): TAE = (1 + ) − 1 ⇒ TAE = (1 + 0, 019) 4 − 1 = 7,82% n Solución: 1,9% trimestral equivale a una TAE 7,82%. Respuesta a): TAE = (1 +

Respuesta correcta: c. RES EJ 125. Datos del problema: C7 = 1.200 €, r = 7%, gastos = 1,5% (mínimo 3 €), t = 7 meses Incógnita: I0 y TAE. Calculamos la cantidad recibida del descuento de las letras (siempre descuento comercial con interés simple): 7×7 r ×t ) − 1.200 × 0, 015 ⇒ ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 1.200 × (1 − 1.200 100 ⇒ I0 = 1.133 €. I 0 = Ct × (1 −

Calculamos el interés de los 7 meses y, a continuación, la TAE: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.200 = 1.133 × (1 + r7 ) ⇒ r7 = 5,91% ra n ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r7 )12/7 − 1 = 1, 059112/7 n Solución: TAE = 10,35%. TAE = (1 +

Respuesta correcta: b.

3. Análisis y selección de diferentes alternativas de inversión-financiación en capitalización compuesta RES EJ 126. Datos del problema: Alternativa 1: pago al contado con descuento del 1%, C0 = 99 €. Alternativa 2: pago a 2 meses sin recargo, C2 = 100 €. Alternativa 3: pago a 3 meses con raplazamiento = 3%, C3 = 100,75 €. Liquidez suficiente invertida al 3,5%. Incógnita: mejor alternativa de pago a proveedores.

86

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Calculamos r de las alternativas 2 y 3, y comparamos con la rentabilidad de la tesorería invertida: Alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r×2 r ×t ) ⇒ r = 6,06%. ) ⇒ 100 = 99 × (1 + 1.200 100

r ×3 r ×t ) ⇒ r = 7,07%. ) ⇒ 100, 75 = 100 × (1 + 1.200 100 Solución: el aplazamiento es más caro que la inversión, no merece la pena. Alternativa 3: Ct = C0 × (1 +

Respuesta correcta: b. RES EJ 127. Datos del problema: Alternativa 1: préstamo al amigo C0 = 1.900 €, C5 = 1.900 × 1,15 €, t = 5 años. Alternativa 2: compra de acciones C0 = 5,4 €, C5 = 6,2 €, t = 5 años. Alternativa 3: ingreso en Kutxa, rkutxa = 2,75%. Incógnita: mejor alternativa de inversión. Calculamos r de las alternativas 1 y 2 y comparamos las 3 alternativas: r ×t r ×5 ) ⇒ 1.900 × 1,15 = 1.900 × (1 + ) ⇒ r = 10%. 100 100 r ×5 r ×t ) ⇒ r = 2,96%. ) ⇒ 6,2 = 5,4 × (1 + Alternativa 2: Ct = C0 × (1 + 100 100 Solución: la r de la alternativa 1 es mayor, esto es, mejor. Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

Respuesta correcta: b. RES EJ 128. Datos del problema: Alternativa 1: pago al contado con descuento del 1%, C0 = 99 €. Alternativa 2: pago a 4 meses sin recargo, C4 = 100 €. Liquidez suficiente invertida al 3%. Posible descuento de letras a 4 meses al 2,25% de interés y comisión 0,25%. Incógnita: mejor alternativa de pago a proveedores. Calculamos r de la alternativa 2 y comparamos con la rentabilidad de la tesorería invertida o la r del posible descuento de letras: Alternativa 2: Ct = C0 × (1 +

r×4 r ×t ) ⇒ r = 3,03%. ) ⇒ 100 = 99 × (1 + 100 1.200

Descuento letras: cantidad recibida en el descuento: I 0 = Ct × (1 − ⇒ I0 = 99 €.

2, 25 × 4 r ×t ) − 100 × 0, 0025 ⇒ ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 100 × (1 − 1.200 100

Interés

compuesto:

Un

capital

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r×4 r ×t ) ⇒ r = 3,03%. ) ⇒ 100 = 99 × (1 + 1.200 100 Solución: mejor pagar al contado que invertir el dinero al 3% Coste del descuento: Ct = C0 × (1 + Respuesta correcta: b. RES EJ 129. Datos del problema: Alternativa 1: descuento por cobro al contado 3%, t = 4 meses, C0 = 97 €, C4 = 100 €. Alternativa 2: descuento de letras a 6 meses, r descuento = 9%, C0 = 95,5 €, C4 = 100 €. Alternativa 3: aplazamiento 4 meses con incremento del 3%, C0 = 100 €, C4 = 103 €. Incógnita: mejor alternativa de financiación. Calculamos r de las tres alternativas y las comparamos: r×4 r ×t ) ⇒ r = 9,28%. ) ⇒ 100 = 97 × (1 + 1.200 100 r×6 r ×t ) ⇒ r = 9,42%. ) ⇒ 100 = 95,5 × (1 + Alternativa 2: Ct = C0 × (1 + 1.200 100 r×4 r ×t ) ⇒ r = 9%. ) ⇒ 103 = 100 × (1 + Alternativa 3: Ct = C0 × (1 + 1.200 100 Solución: la r de la alternativa 3 es la menor, esto es, la mejor. Alternativa 1: Ct = C0 × (1 +

Respuesta correcta: a. RES EJ 130. Datos del problema: Alternativa 1: pago al contado con descuento del 1%, C0 = 99 €. Alternativa 2: pago a 4 meses sin recargo, C4 = 100 €. Liquidez suficiente invertida al 3% capitalizable cuatrimestralmente o Posible descuento de letras a 4 meses al 2,25% de interés y comisión 0,25%. Incógnita: mejor alternativa de pago a proveedores. Calculamos TAE de la alternativa 2 y comparamos con la rentabilidad de la tesorería invertida o la TAE del posible descuento de letras: Alternativa 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 100 = 99 × (1 + r ) ⇒ r = 1,01% 4 4 ra n 3 3 TAE = (1 + ) − 1 ⇒ TAE = (1 + r4 ) − 1 = 1, 0101 = 3, 06% n Descuento letras: Cantidad recibida en el descuento: I 0 = Ct × (1 − ⇒ I0 = 99

2, 25 × 4 r ×t ) − 100 × 0, 0025 ⇒ ) − Ct × gastos ⇒ I 0 = 100 × (1 − 1.200 100

Coste del descuento: TAE = 3,06%.

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resueltos de

Matemática Financiera

TAE de la inversión: r TAE = (1 + a ) n − 1 ⇒ TAE = (1 + r4 )3 − 1 = 1, 013 = 3, 03% n Solución: mejor pagar al contado. Respuesta correcta: c. RES EJ 131. Datos del problema: Hermano 1: compra de terreno, C0 = 10 millones, C5 = 18 millones. Hermano 2: fondo, C0 = 5 millones, ranual año 1 = 8%, ranual años 2 y 3 = 10% capitalización semestral y r anual años 4 y 5 = 12% capitalización mensual. 1. Incógnita: C5 en hermano 2. Inversión 2: capital acumulado el año 5: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C5 = 5.000.000 × (1 + 0,08)1 × (1 + 0,05) 4 × (1 + 0,01) 24 Solución: C5 = 8.334.200,17 €. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: TAE hermano 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 8.334.200,17 = 5.000.000 × (1 + r )5 ⇒ r = 10, 76% Solución: TAE = 10,76%. Respuesta correcta: b. RES EJ 132. Datos del problema: Amigo 1: compra de apartamento, C0 = 17 millones, C4 incremento del 20%. Amigo 2: cuenta, C0 = 5 millones, ranual años 1 y 2 = 5%, ranual año 3 = 5% capitalización semestral y ranual año 4 = 5% capitalización mensual. Amigo 3: compra anticipada de apartamento C0 = 7 millones en lugar de C4 = = 9 millones. 1. Incógnita: TAE amigo 1: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 17.000.000 × 1,2 = 17.000.000 × (1 + r )4 Solución: TAE = 4,66%. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: rentabilidad real amigo 1: Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 + inf)t ⇒ 17.000.000 × 1,2 = 17.000.000 × (1 + rreal ) 4 × (1 + 0,02) 2 × (1 + 0,025) 2 Solución: rreal = 2,36%. Respuesta correcta: a.

Interés

compuesto:

Un

capital

3. Incógnita: C4 en amigo 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C4 = 5.000.000 × (1 + 0, 05) 2 × (1 + 0, 025) 2 × (1 +

89

0, 05 12 ) 12

Solución: C4 = 6.087.878,04 €. Respuesta correcta: a. 4. Incógnita: TAE amigo 3: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 9.000.000 = 7.000.000 × (1 + r )4 Solución: TAE = 6,48%. Respuesta correcta: b.

5. Incógnita: rentabilidad real amigo 3: Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 +9.000.000 inf)t = 1.000.000 × (1 + rreal ) 4 × (1 + 0,02) 4 Solución: rreal = 4,39%. Respuesta correcta: c.

6. Incógnita: mejor inversión: Nos falta por calcular la TAE del amigo 2 y comparar las tres TAEs: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 16.087.878 = 5.000.000 × (1 + r ) 4 ⇒ r = TAE = 5, 04% €. Solución: la TAE del amigo 3 es la mayor, esto es, la mejor. Respuesta correcta: c. RES EJ 133. Datos del problema: Heredero 1: compra de bonos, C0 = 11 millones, C4 = 13 millones. Heredero 2: cuenta, C0 = 8 millones, ranual años 1 y 2 = 4%, ranual año 3 = 4% capitalización semestral y r anual año 4 = 3% capitalización mensual. Heredero 3: compra de terreno que en C4 vende un 25% más caro. 1. Incógnita: C4 en amigo 2: 0, 03 12 ) Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C4 = 8.000.000 × (1 + 0, 04) 2 × (1 + 0, 02) 2 × (1 + 12 Solución: C4 = 12.107.191 €. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: TAE años 3 y 4 heredero 2. El año 3 el interés ha sido del 4% capitalización semestral y el año 4 el 3% capitalización mensual: 2 Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ TAE = 2 1, 02 × (1 +

Solución: TAE años 3 y 4 = 3,54%. Respuesta correcta: c.

0, 03 12 ) −1 12

90

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

3. Incógnita: TAE heredero 1: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 13.000.000 = 11.000.000 × (1 + r )4 Solución: rreal = 4,26%. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: TAE heredero 3: Ct = C0 × (1 + r )t

⇒ 1,25 = 1× (1 + r ) 4

Solución: TAE = 5,74%. Respuesta correcta: a. 5. Incógnita: rentabilidad real heredero 3: Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 +1,25 inf)=t 1× (1 + rreal ) 4 × (1 + 0,03) 2 × (1 + 0,035) 2

Solución: rreal = 2,41%. Respuesta correcta: b.

6. Incógnita: rentabilidad real heredero 3: Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 +1,25 inf)=t 1× (1 + rreal ) 4 × (1 + 0,03) 4

Solución: rreal = 2,66%. Respuesta correcta: a.

RES EJ 134. Datos del problema: Inversión 1: compra de bonos, C0 =1.643,85 €, C5 = 2.000 €. Inversión 2: cuenta, C0 =1.000 €, incremento del 25% en 3 años y r anual años 4 y 5 = 6% capitalización trimestral. 1. Incógnita: TAE inversión 1: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 2.000 = 1.643,85 × (1 + r )5 Solución: TAE = 4%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: C5 en inversión 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C5 = 1.000 × (1 + 0,25) × (1 + 0,015)8 Solución: C5 = 1.408,12 €. Respuesta correcta: a.

3. Incógnita: TAE inversión 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.408,12 = 1.000 × (1 + r )5 Solución: TAE = 7,08%. Respuesta correcta: a.

Interés

compuesto:

Un

capital

91

4. Incógnita: rentabilidad real inversión 2. Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 +1.408,12 inf)t = 1.000 × (1 + rreal )5 × (1 + 0,02)5

Solución: rreal = 4,99%. Respuesta correcta: c.

RES EJ 135. Datos del problema: Inversión 1: compra de bonos, C0 =77.500 €, C6 = 98.570 €. Inversión 2: cuenta, C0 =1.000 €, ranual año 1 = 4% capitalización semestral, ranual año 2 = 4% capitalización trimestral e incremento del 15% los 4 últimos años. 1. Incógnita: TAE inversión 1: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 98.570 = 77.500 × (1 + r )6 Solución: TAE = 4,09%. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: C6 en inversión 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C6 = 1.000 × (1 + 0,02) 2 × (1 + 0,01) 4 × (1 + 0,15) Solución: C6 = 1.245,04 €. Respuesta correcta: a. 3. Incógnita: TAE inversión los últimos cuatro años: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1,15 = 1× (1 + r ) 4 Solución: TAE = 3,56%. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: TAE inversión 2: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.245,04 = 1.000 × (1 + r )6 Solución: TAE = 3,72%. Respuesta correcta: b. 5. Incógnita: rentabilidad real inversión 2: Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 +1.245,04 inf)t = 1.000 × (1 + rreal )6 × (1 + 0,02)6 Solución: rreal = 1,69%. Respuesta correcta: c. RES EJ 136. Datos del problema: Mi inversión: compra de sellos, C0 =4.900 €, C8 = 10.000 €. Inversión de mi amigo: C0 =1.000 €, ranual años 1 a 4 = 10% capitalización trimestral, ranual años 5 y 6 = 8% capitalización semestral y rmensual años 7 y 8 = 0,5%.

92

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Inversión mujer del amigo: bolsa. Triplica el capital en 12 años. 1. Incógnita: C8 en inversión del amigo: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C8 = 1.000 × (1 + 0,025)16 × (1 + 0,04) 4 × (1 + 0,005) 24 Solución: C8 = 1.957,50 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: TAE del amigo: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 1.957,50 = 1.000 × (1 + r )8 Solución: TAE = 8,76%. Respuesta correcta: c. 3. Incógnita: TAE de mi inversión: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 10.000 = 4.900 × (1 + r )8 Solución: TAE = 9,33%. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: mejor inversión: Nos falta por calcular la TAE de la mujer de mi amigo para compararla con las otras dos. Teniendo en cuenta que, de cada 1 € ha obtenido 3 € (su inversión se ha triplicado): Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 3 = 1× (1 + r )12 ⇒ TAE = 9,56%. Solución: mi inversión ha sido más rentable que la de mi amigo. Respuesta correcta: a. 5. Incógnita: rentabilidad real de mi inversión: Ct = C0 × (1 + rreal )t ×⇒ (1 +10.000 inf)t = 4.900 × (1 + rreal )8 × (1 + 0,02)8 Solución: rreal = 7,18%. Respuesta correcta: b. 5. Incógnita: rentabilidad real de la mujer de mi amigo: Ct = C0 × (1 + rreal )t × (1 + inf)t ⇒ ⇒ 3 = 1× (1 + rreal )12 × (1 + 0,04) 4 × (1 + 0,03) 4 × (1 + 0,02) 4 Solución: rreal = 6,40%. Respuesta correcta: a. RES EJ 137. Datos del problema: Alumno 1: compra obra de arte, C0 = 10.000 €, C4 = 10.000 € + 20%. Alumno 2: cuenta, C0 = 50.000 €, ranual años 1 y 2 = 5%, ranual año 3 = 5% capitalización semestral y r anual año 4 =5% capitalización mensual. Alumno 3: adelanto de pago de vivienda, C0 =70.000 €, C4 = 90.000 €.

Interés

compuesto:

Un

capital

93

1. Incógnita: TAE del alumno 1: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 10.000 × 1,2 = 10.000 × (1 + r )4 Solución: TAE = 4,66%. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: C4 en inversión del alumno 2:

0,05 12 Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ C4 = 50.000 × (1 + 0,05) 2 × (1 + 0,025) 2 × (1 + ) 12 Solución: C4 = 60.878,78 €. Respuesta correcta: a. 3. Incógnita: TAE del alumno 3: Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 90.000 = 70.000 × (1 + r )4 Solución: TAE = 6,48%. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: mejor inversión Nos falta por calcular la TAE del segundo alumno para compararla con las otras dos. Ct = C0 × (1 + r )t ⇒ 60.878,78 = 50.000 × (1 + r ) 4 ⇒ TAE = 5,04%. Solución: la mayor TAE es la del alumno 3. Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: rentabilidad real del alumno 3: Ct = C0 × (1 + rreal )t × (1 + inf)t ⇒ 90.000 = 70.000 × (1 + rreal ) 4 × (1 + 0,02) 4 Solución: rreal = 4,40%. Respuesta correcta: b.

Interés compuesto: Rentas

4

Objetivos A medida que se realizan los diferentes ejercicios propuestos, se ha de conseguir:

▪ Entender la problemática creada por el manejo de varias prestaciones y/o contraprestaciones a un tiempo en interés compuesto. ▪ Comprender el concepto de renta y su utilidad en situaciones de varias prestaciones y/o contraprestaciones en interés compuesto. ▪ Entender los diferentes criterios de clasificación de las rentas. ▪ Saber clasificar las rentas según los criterios aprendidos. ▪ Entender las fórmulas de valor actual (V0) y valor final (Vt) de los diferentes tipos de rentas, las variables implicadas y el sentido del valor resultante. ▪ Saber aplicar las fórmulas de V0 y Vt de los diferentes tipos de rentas a diferentes situaciones de inversión y financiación. ▪ Saber calcular la TAE o TIR (esto es, el coste financiero o rentabilidad) de operaciones de financiación e inversión en interés compuesto con varias prestaciones y/o contraprestaciones. ▪ Entender el interés de la aproximación mixta al concepto de TAE y en qué consiste su cálculo. ▪ Saber calcular la aproximación mixta de la TAE en operaciones de financiación e inversión.

96

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

UNAS BREVES NOTAS TÉCNICAS ▪ Ya hemos visto que, en las operaciones financieras, nos podemos encontrar con varias prestaciones y/o contraprestaciones con vencimientos diferentes. ▪ La resolución de los problemas con varios capitales (sean prestaciones o contraprestaciones) con vencimientos diferentes, si trabajamos con interés compuesto, ya no consiste (como en interés simple) en sustituir dichos capitales por uno, suma de los anteriores, en la fecha de vencimiento medio, VM. La resolución de este tipo de situaciones exige trabajar con lo que se denominan rentas. ▪ Una renta en una sucesión de capitales (denominados términos de la renta), cada uno con su vencimiento. Puede ser de diferentes tipos. ▪ Las rentas se clasifican de acuerdo a cuatro criterios principales: importe, duración, naturaleza, frecuencia y primer término. ▪ Las rentas según su importe pueden ser constantes o variables (en este último caso, en progresión geométrica o en progresión aritmética). ▪ Las rentas según su duración pueden ser temporales (número finito de términos) o perpetuas (número infinito de términos). ▪ Las rentas según su naturaleza pueden ser ciertas (conocido el número de términos finito o infinito) o aleatorias (número de términos finito no conocido inicialmente). ▪ Las rentas según su frecuencia pueden ser enteras, periódicas o fraccionadas, en función de que la distancia entre cada término sea igual, superior o inferior, respectivamente, al plazo de capitalización. ▪ Las rentas según su primer término pueden ser inmediatas, anticipadas o diferidas en función de que el primer término se encuentre, del momento actual, a igual, menor o mayor distancia, respectivamente, que del segundo término. ▪ Existen fórmulas que nos permiten calcular el valor actual, V0, o final, Vt, de todos los términos de una renta de una vez. Estas fórmulas son diferentes de acuerdo al tipo de renta que tratemos.  Rentas enteras, constantes e inmediatas:

Valor actual en el supuesto de renta temporal: V0 = R ×



(1 + r )t − 1 (1 + r )t × r

Valor final en el supuesto de renta temporal: Vt = R ×

(1 + r )t − 1 r

Interés

compuesto:

Rentas

97

Valor actual en el supuesto de renta infinita: V0 =

R r

 Rentas periódicas, constantes e inmediatas:

Valor actual en el supuesto de renta temporal: (1 + r )t× p − 1 V0 = R × (1 + r )t× p × (1 + r ) p − 1



Valor final en el supuesto de renta temporal: Vt = R ×



(1 + r )t× p − 1 (1 + r ) p − 1

Valor actual en el supuesto de renta infinita: V0 =

R (1 + r ) p − 1

 En el caso de las rentas enteras, en progresión geométrica (de razón g) e inmediatas, las fórmulas son:

Valor actual en el supuesto de renta temporal: V0 = R ×



Valor final en el supuesto de renta temporal: Vt = R ×



(1 + r )t − (1 + g )t (1 + r )t × (r − g ) (1 + r )t − (1 + g )t (r − g )

Valor actual en caso de renta infinita: V0 =

R r−g

 Rentas periódicas, en progresión geométrica (de razón g) e inmediatas:

Valor actual en el supuesto de renta temporal: (1 + r )t× p − (1 + g )t× p V0 = R × (1 + r )t× p × (1 + r ) p − (1 + g ) p 



Valor final en el supuesto de renta temporal: (1 + r )t× p − (1 + r )t× p Vt = R × (1 + r ) p − (1 + g ) p 



Valor actual en el supuesto de renta infinita: V0 =

R (1 + r ) − (1 + g ) p p

98

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

 Rentas enteras, en progresión aritmética (de razón a) e inmediatas:

Valor actual en el supuesto de renta temporal:  (1 + r )t − 1 a a×t  V0 =  × (R + ) − t r (1 + r )t × r   (1 + r ) × r



Valor final en el supuesto de renta temporal:  (1 + r )t − 1 a a×t  V0 =  × (R + ) − r r r  



Valor actual en el supuesto de renta infinita: R a  V0 =  + 2  r r 

 Rentas periódicas, en progresión aritmética (de razón a) e inmediatas:

Valor actual en el supuesto de renta temporal:  (1 + r )t× p − 1 1 a a×t  V0 = × (R + )− t× p  p p (1 + r )  (1 + r ) − 1 (1 + r ) − 1 (1 + r ) p − 1 



Valor final en el supuesto de renta temporal:  (1 + r )t − 1 a a×t  V0 =  × (R + ) − r r r  



Valor actual en el supuesto de renta infinita:  R  a V0 =  + p p×2  (1 + r )   (1 + r )

▪ Las rentas periódicas se pueden tratar como rentas enteras si calculamos macro-tasas equivalentes. Por ejemplo, una renta con términos cada dos años en capitalización anual, se puede tratar como una renta entera si calculamos la tasa de interés bienal equivalente TBE = (1 + ra )2 – 1. ▪ Las rentas fraccionadas se han de tratar siempre como rentas enteras. Para ello, se agrupan, en la fecha del vencimiento medio, los términos que se produzcan a lo largo del periodo de capitalización contemplado y se calcula un factor corrector que los sitúe al final del periodo de capitalización. Por ejemplo, si se trata de una renta de términos trimestrales en capitalización anual, se agrupan los 4 términos trimestrales de cada año en el vencimiento medio ((3 + 12)/2 = 7,5) y se calcula el factor corrector que permita llevar la cifra del mes 7,5 al final del año ( fc = 1+ r × 4,5/12). ▪ El uso de las fórmulas anteriores no resulta posible en el cálculo del valor actual y final de las rentas en progresión geométrica cuando la razón, g, es de igual valor que la tasa de descuento, r. En tales casos, se ha de recurrir a la actualización o capitalización individual de cada uno de los términos de la renta.

Interés

compuesto:

Rentas

99

▪ El cálculo del coste o rentabilidad (esto es, la TAE) de proyectos de financiación o inversión, respectivamente, cuando hay más de una variable que tener en cuenta y la información se distribuye a lo largo de periodos de tiempo más o menos amplios, se lleva a cabo planteando la ecuación del valor actual neto (VAN). ▪ El VAN de un proyecto es el neto del valor actualizado de los futuros ingresos menos el valor actualizado de los futuros gastos. La tasa de actualización que permite alcanzar un VAN igual a 0 es el coste o rentabilidad del proyecto, esto es, la TAE del proyecto. Así, si, para una determinada tasa de actualización, el VAN es positivo, significa que la TAE del proyecto es superior al considerado en la actualización; si es negativo, significa todo lo contrario. ▪ La complejidad del cálculo de la TAE en proyectos complejos con muchas variables implicadas hace imprescindible el uso de una hoja de cálculo (p.e. excel) para obtener un valor exacto de la misma. El modo de cálculo manual de la TAE consiste, en primer lugar, en el tanteo con diferentes tasas de interés hasta lograr dos tasas, relativamente próximas, que deriven una en un VAN positivo y la otra en uno negativo, y, en segundo lugar, en un ejercicio de interpolación. ▪ La TAE por aproximación mixta es, como su nombre indica, una aproximación al valor de la TAE en la que se utilizan conceptos de capitalización simple y compuesta, consiguiendo simplificar el proceso de cálculo en buena medida. Consiste en reducir la complejidad de la operación financiera objeto de análisis calculando el vencimiento medio (concepto asociado al interés simple) de las prestaciones, por un lado, y de las contraprestaciones, por otro, para, a continuación, aplicar la fórmula correspondiente de interés compuesto.

100

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJERCICIOS EJ 138. Tenemos la posibilidad de comprar un coche de segunda mano por 5.000 €. Si lo pagamos al contado nos hacen un 10% de descuento, pero, si no tenemos dinero, nos dan la oportunidad de pagarlo en 5 cómodos plazos de 1.000 € mensuales a partir del próximo mes (esto es, del mes 1 al 5) con un pago inicial de 250 €. Calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el vendedor. EJ 139. Queremos comprar un coche nuevo que cuesta 50.000 €. Si lo pagamos al contado nos hacen un 10% de descuento; si no tenemos dinero, nos dan la oportunidad de pagarlo en 5 cómodos plazos de 10.000 € anuales a partir del próximo año (esto es, del año 1 al 5) con un pago inicial de 500 €. Calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el concesionario. EJ 140. Vamos a contratar un crucero por el Nilo que cuesta 2.500 €. Podemos pagar al contado con un descuento del 5% o bien, entregar 700 € en el momento de contratarlo y firmar cuatro letras trimestrales de 450 € cada una a comenzar en el momento de la firma (mes 0). Calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por la agencia de viajes. EJ 141. Paco es un amigo nuestro que tiene una tienda de electrodomésticos donde vamos a comprar algunas cosas que necesitamos para nuestra nueva cocina. El precio de lo que queremos asciende a 1.200 €. Paco nos ha dicho que, dado que somos buenos vecinos, nos da la oportunidad de pagar en 5 plazos mensuales de 240 € a comenzar en el momento de la entrega. Eso sí, si pagamos al contado nos hace un descuento del 7%. Calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por nuestro amigo Paco. EJ 142. Queremos comprar 10 ordenadores para los miembros del consejo de administración a un precio de 800 € cada uno, 8.000 € en total. El distribuidor nos ofrece una financiación consistente en una entrada de 1.400€ y 4 pagos semestrales de 1.740 €, el primero en el momento de la compra. También nos han ofrecido, en caso de pago al contado, un descuento del 5%. Calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el distribuidor. EJ 143. DISFRUTE, S.A. es una agencia de viajes que acaba de instalarse en Madrid. Como somos conocidos de los dueños, estos nos han pedido que les asesoremos sobre el porcentaje de comisión que han de pedir a los mayoristas con los que trabajan y cuyos tours turísticos comercializan para obtener una rentabilidad del 10% anual. Para ello nos ofrecen los siguientes datos: ▪ Alquiler del local 1.000 € mensuales a abonar a principio de mes. Incremento: 10% cada 5 años. ▪ Salarios de 2 personas, 30.000 € anuales en total. Se incrementan un 5% cada 3 años.

Interés ▪ ▪ ▪ ▪



compuesto:

Rentas

101

Gastos de mantenimiento, 3.000 € al final del año a pagar a una empresa de mantenimiento: Incremento 4% anual. Inversión de 20.000 € y renovación de las instalaciones cada 4 años. Incremento 10% cada 4 años. Gastos de teléfono, 3.000 € cada 2 meses (pago al final del segundo mes). Se incrementará anualmente 150 €/bimestre. Ingresos: los ingresos dependen del % de comisión cobrada a las mayoristas sobre el precio de los paquetes turísticos que vendemos. Se estiman unas ventas a lo largo del año de 1 millón con incremento anual del 5% (resultan ingresos sólo el % de comisión que cobramos; esto es, si esta es del 10% nuestros ingresos serán 100.000 €).

Suponemos una vida INFINITA para el negocio y capitalización ANUAL. 1.

2.

3.

Si la capitalización fuera semestral, los salarios serían una renta: a. Entera. b. Periódica. c. Fraccionada. Los ingresos son una renta en progresión geométrica de razón: a. 5. b. 0,05. c. Ninguna de las anteriores. Si el VAN de una inversión es igual a 0, significa que: a. No tenemos ni pérdidas ni ganancias. b. Nuestra rentabilidad es alta. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 144. Una máquina cuesta hoy 1 millón de euros, tiene una vida de 8 años y un valor residual del 20%, se le calcula un incremento anual en el precio del 4%. La máquina es atendida por dos operarios cuyo coste total anual es de 70.000 € (repartidos en 12 pagas mensuales), con incremento del 5% anual. Los gastos de mantenimiento se estiman en 40.000 € anuales con incremento de 2.000 € anuales. Esta máquina produce 10.000 piezas a lo largo del año. Calcula el precio a poner a cada pieza si este se incrementa en un 15% anual y se quiere conseguir una rentabilidad anual del 15% durante los 40 años que va a funcionar esta empresa con la máquina inicial y sus futuras renovaciones. 1. Supongamos que en el problema anterior nos saliera un precio de 1 € como precio inicial de las piezas. Para al 15% de rentabilidad deseada, con un precio de 1,15 €, el VAN nos resultaría: a. Negativo. b. Positivo. c. Igual a 0. 2. En el caso del punto anterior, la rentabilidad que obtendríamos sería: a. Superior al 15%. b. Inferior al 15%. c. Igual a 15%.

102

Ejercicios 3.

resueltos de

Matemática Financiera

Si contratáramos una persona para trabajar los 6 primeros meses de cada año (pagándole mensualmente una cantidad durante esos 6 meses), en capitalización semestral, tendríamos que resolver la renta como: a. Una renta entera a la que añadimos un factor corrector. b. Una renta periódica a la que añadimos un factor corrector. c. Con las fórmulas específicas de las rentas fraccionadas.

EJ 145. Este verano has abierto un negocio de alquiler de tumbonas en las playas de Donosti que pretendes que siga funcionando durante los próximos 10 años. Este año te ha servido de prueba para conocer los gastos y determinar el beneficio que puedes sacarle al negocio. ▪ Por lo que has visto, la compra de las 500 tumbonas de las que quieres disponer para tu negocio suponen una inversión inicial de 5.000 € el próximo enero (la compra la vas a hacer a comienzo de cada año, en enero, porque encuentras mejores precios en esa fecha). ▪ Sabes que, por el trato que se les da, cada año vas a tener que reponer un 20% de las tumbonas a un coste que se incrementa anualmente en un 4%. Así, pues, el coste de renovación, a fecha de enero del año 1, supondría 1.000 € más el incremento. A los 10 años, las tumbonas que te queden las venderás, en promedio, a la mitad de su valor en ese momento. ▪ Además necesitas contar con 6 personas, durante los meses de junio, julio, agosto y septiembre, para que se ocupen de atender a los clientes. Los salarios por mes te van a ascender a 9.000 €. ▪ El permiso del ayuntamiento para montar tu negocio te supone el pago de unos impuestos de 100.000 € por cada dos años que se incrementan en un 6% de una vez para otra y que debes abonar el 1 de enero del año correspondiente (siempre a comienzo del periodo de 2 años). ▪ Para las múltiples reparaciones que surgen a lo largo del verano estimas unos gastos de 2.000 € por temporada que se abonará el 30 de septiembre a la empresa contratada para ello. Quieres obtener una rentabilidad del 10% anual con el alquiler de las tumbonas. Se toma como punto de partida el 1 de enero del próximo año. Calcula el precio de alquiler de cada tumbona por día teniendo en cuenta la rentabilidad buscada y los gastos que debes afrontar (se alquilan del 1 de junio al 30 de septiembre). 1. La renta correspondiente a los salarios de los empleados es: a. Fraccionada. b. Continua. c. Periódica. 2. La renta correspondiente al permiso del ayuntamiento es: a. Fraccionada. b. Entera. c. Periódica.

Interés

compuesto:

Rentas

103

EJ 146. Los dueños de un gimnasio puesto en marcha hace unos años quieren desentenderse de él y nos ofrecen, a cambio de una renta, hacernos cargo del mismo por los próximos 20 años. Estamos muy decididos y sólo nos queda comprobar que el número de personas que utilizan las instalaciones es suficiente para obtener el 10% de rentabilidad que pretendemos teniendo en cuenta los siguientes datos y capitalización ANUAL de los intereses: ▪ Alquiler de 30.000 € anual, a pagar a comienzo del año, que se incrementará un 8% cada 4 años. ▪ Gastos mensuales de agua, electricidad, personal, etc., valor 4.000 €/mes, que se incrementan anualmente 200 €/mes. ▪ Renovación de máquinas cada 5 años. El valor actual de las ya existentes es de 150.000 €. Su precio se incrementa un 5% anualmente. Las máquinas viejas tienen un mercado de segunda mano que nos permite recuperar el 40% de su valor a estrenar. A los 20 años dejamos el gimnasio tal cual lo encontramos. ▪ Los socios pagan cuotas trimestrales de 200 €/socio (a comienzo de cada trimestre) que suelen incrementarse un 5% anualmente. Además, se cuenta con gente que frecuenta el gimnasio de vez en cuando y que suponen unos ingresos de 10.000 € a lo largo del año y se van a incrementar a razón de un 10% anual. Calcula el número de socios que necesitamos tener para que nos resulte del negocio una rentabilidad del 10% durante los 20 años que va a funcionar este gimnasio en nuestras manos. 1. Supongamos que en el problema anterior nos saliera un número de 1.000 socios, si consiguiéramos 1.200 socios: a. Para VAN = 0 deberemos aumentar el tipo de interés. b. La rentabilidad será menor. c. Ya los gastos dejarán de ser iguales a los ingresos. 2. Los gastos por renovación son una renta: a. Entera. b. Periódica. c. Fraccionada. 3. Si contratáramos una persona para trabajar de abril a septiembre de cada año (pagándole mensualmente una cantidad durante esos 6 meses), en capitalización mensual, tendríamos que resolver la renta como: a. Una renta entera a la que añadimos un factor corrector. b. Una renta fraccionada a la que añadimos un factor corrector. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si la capitalización fuera bienal (cada 2 años), el alquiler del gimnasio sería una renta: a. Entera. b. Periódica p = 2. c. Fraccionada.

104

Ejercicios 5.

6.

resueltos de

Matemática Financiera

Con un 6% menos de los socios calculados en el problema: a. El VAN para un 10% de interés nos resultaría negativo. b. La rentabilidad es la misma porque los gastos se reducen también. c. Ninguna de las anteriores. En el caso de capitalización mensual, los gastos de agua, electricidad y personal resultarían una renta: a. Entera. b. Periódica. c. Fraccionada.

EJ 147. Vamos a poner en marcha un negocio de fabricación de piezas para atender a las empresas de automóviles de la zona y esperamos que perdure indefinidamente. La previsión de gastos e ingresos es la siguiente: ▪ Inversión inicial en pabellón, maquinaria, etc., para la que se ha acordado un pago en 5 años, a comenzar en el momento inicial. El primer importe será de 50.000 € y el resto se irán incrementando un 10% de un año para otro. ▪ Renovación de máquinas 30.000 € (a coste de hoy —año 0—) cada 10 años. Incremento del 3% anual. ▪ Gastos mensuales de agua, electricidad, etc., valor 1.000 €/mes, que se incrementan anualmente 100 €/mes. ▪ Sueldos: 120.000 € anuales repartidos en 12 mensualidades. Incremento anual del 2%. ▪ Se estiman unas ventas de 50.000 piezas anuales con incremento, cada dos años, del 5%. Calcula el precio que se necesita establecer para que le resulte del negocio una rentabilidad del 10%. 1. Supongamos que en el problema anterior nos saliera un precio de 100 €, si vendiéramos a 102 €: a. Para el mismo tipo de interés el VAN nos resultará positivo. b. Para mantener la rentabilidad tendríamos que aumentar las piezas vendidas. c. Ninguna de las anteriores. 2. Si la capitalización fuera mensual, los sueldos serían una renta: a. Fraccionada. b. Periódica p = 6. c. Entera. 3. Si contratáramos una persona para trabajar de abril a agosto de cada año (pagándole mensualmente una cantidad durante esos 5 meses), en capitalización semestral y sin incremento del sueldo, tendríamos que resolver la renta como: a. Entera con factor corrector. b. Periódica p = 5. c. Ninguna de las anteriores.

Interés 4.

5.

6.

compuesto:

Rentas

105

Si la capitalización fuera mensual, los ingresos serían una renta: a. Entera. b. Periódica p = 2. c. Ninguna de las anteriores. La TIR de un negocio: a. Es el tipo de interés que hace que los gastos sean iguales a los ingresos. b. Es la rentabilidad del negocio. c. Es un valor que siempre ha de ser positivo. En el caso de capitalización semestral, los gastos de agua, electricidad, etc. resultarían una renta: a. Entera. b. Periódica p = 2. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 148. Uno de los aeropuertos más importantes del país acaba de sacar a concurso público la concesión de la explotación del bar para los próximos 30 años. ▪ La concesión supondría realizar 5 pagos (a comienzo de cada periodo de 6 años y empezando desde el año 0) que se incrementarían un 20% de una vez para otra. ▪ El bar se equipó hace 2 años y sería necesario introducir, cada 6 años, mejoras por valor (hoy) de 90.000 € (el valor de las instalaciones se incrementa anualmente un 2% y la primera mejora se deberá realizar el año 4). ▪ Se estiman unos gastos mensuales de agua, electricidad, personal, etc., valoradas en 8.000 €/mes, que se incrementarán anualmente un 10%. ▪ Los ingresos provienen, por un lado, de los viajeros que frecuenten el bar a lo largo del año, lo que supondrían 1.000.000 € con incremento anual de 20.000 €; por otro lado, los servicios que daremos al personal del aeropuerto por los que hemos negociado un cobro bimestral de 50.000 €. En el último caso con incrementos, cada 3 años, del 10%. Calcula las cuantías a pagar en concepto de concesión para una rentabilidad del 10% durante los 30 años que dure la concesión 1. Si la capitalización fuera trienal, los pagos por concesión serían una renta: a. Periódica p = 3. b. Fraccionada p = 2. c. Ninguna de las anteriores. 2. Los gastos por mejoras son una renta: a. Diferida 3 años. b. Anticipada 2 años. c. Fraccionada. 3. Con un 6% menos en la cuantía de la concesión: a. El VAN para un 10% de interés nos resultaría negativo. b. La rentabilidad será menor. c. Ninguna de las anteriores.

106

Ejercicios 4.

resueltos de

Matemática Financiera

En el caso de capitalización mensual, los ingresos por servicios al personal serían una renta: a. Entera. b. Periódica. c. Fraccionada.

EJ 149. Uno de los aeropuertos más importantes del país acaba de sacar a concurso público la concesión de la explotación del bar para los próximos 45 años. ▪ La concesión supondría realizar 9 pagos (a comienzo de cada periodo de 5 años y empezando desde el año 0) que se incrementarían un 10% de una vez para otra. ▪ El bar se equipó hace 4 años y sería necesario introducir, cada 6 años, mejoras por valor (hoy) de 24.000 € (el valor de las instalaciones se incrementa cada dos años un 4% y la primera mejora se deberá realizar el año 2). ▪ Se estiman unos gastos trimestrales de agua, electricidad, personal, etc., por valor de 10.000 €/trimestre que se incrementarán cada 5 años un 15%. ▪ Los ingresos provienen, por un lado, de los viajeros que frecuenten el bar a lo largo del año, lo que supondrían 1.000.000 € anuales con incremento de 20.000 € por año; por otro lad de los servicios que daremos al personal del aeropuerto por los que hemos negociado un cobro bimestral de 50.000 €. En el último caso con incremento anual del 10%. Calcula las cuantías a pagar en concepto de concesión para una rentabilidad del 10% durante los 45 años que dure la concesión 1.

2.

3.

4.

Los gastos por mejoras son una renta: a. Anticipada 2 años. b. Diferida 2 años. c. Ninguna de las anteriores. En caso de capitalización mensual, los ingresos por servicios al personal serían una renta: a. Entera. b. Periódica. c. Fraccionada. Si la capitalización fuera bienal (cada 2 años), los pagos por mejoras serían una renta: a. Periódica p = 3. b. Entera. c. Ninguna de las anteriores. Si nos exigen el pago de un 6% más sobre las cuantías de la concesión antes obtenidas: a. El VAN para un 10% de interés nos resultaría negativo. b. La rentabilidad sería mayor. c. Ninguna de las anteriores.

Interés

compuesto:

Rentas

107

EJ 150. Te proponen analizar si merece la pena el siguiente negocio de comidas en una zona industrial para los próximos 10 años teniendo en cuenta que se pretende, cuando menos, obtener una tasa semestral del 5%. Supondría: ▪ Invertir en una máquina cuya vida es de dos años, cuesta 1 millón hoy si se compra nueva o un 50% de ese valor si es de segunda mano con un año de uso (decides comprarla siempre de 2ª mano). Su valor se incrementa un 3% anual y al final de la vida de la máquina nos dan el 20% del valor de una nueva. ▪ Alquilar un local por el que pagamos a final de mes 10.000 € con un incremento semestral de 1.000 €/mes. ▪ Contratar un seguro de accidentes con cuota anual de 12.000 € que se incrementa en un 5% anual ▪ Contratar personal cuyos sueldos suponen 800.000 € al año con incremento del 2% anual. ▪ Los ingresos a lo largo del semestre serian de 1.000.000 € con incremento del 1% semestral. 1. Si nos fijamos en la renovación de la máquina: a. Nos encontramos con una renta entera. b. Nos encontramos con una renta periódica con p = 2. c. Ninguna de las anteriores. 2. El alquiler del local es una renta: a. Periódica con p = 6. b. Fraccionada que convertimos en entera de 5 términos. c. Fraccionada con vencimiento medio 3,5 meses. 3. El seguro de accidentes da lugar a una renta: a. Periódica anticipada. b. Inmediata. c. Diferida dos periodos de capitalización de intereses. 4. Si la primera prima de seguros decidieran no cobrárnosla: a. Estaríamos ante una renta periódica diferida 1 periodo. b. Estaríamos ante una renta inmediata. c. Estaríamos ante una renta diferida 1 periodo de capitalización de intereses. 5. Los sueldos pagados se analizan como una renta: a. Periódica p = 6,5. b. Fraccionada vencimiento medio 6,5. c. Ninguna de las anteriores. 6. Los ingresos los deberemos analizar como una renta: a. Continua que se convierte en entera con el factor corrector. b. Fraccionada para la que hay que calcular un factor corrector. c. Ninguna de las anteriores. 7. El VAN del negocio nos proporciona: a. El interés para el que cobramos lo mismo que pagamos a lo largo de la vida del negocio. b. El interés al que rentabilizamos nuestro dinero. c. El interés a partir del cual empezamos a ganar.

108

Ejercicios 8.

resueltos de

Matemática Financiera

Si el VAN de este negocio para un interés del 4% semestral es positivo, quiere decir que: a. Nuestra rentabilidad anual será del 8,16%. b. Nuestra rentabilidad anual será superior al 8,16%. c. Tenemos que buscar un nuevo VAN con un interés inferior al 4%.

EJ 151. Te proponen el siguiente negocio en una zona de veraneo para los próximos 30 años: ▪ Invertir en una embarcación cuya vida es de dos años, cuesta 200.000 € hoy si la compro nueva o un 50% del valor si es de segunda mano con un año de uso (decides comprarla siempre de 2ª mano). Su valor se incrementa un 3% anual y al final de la vida de la embarcación nos dan el 15% del valor de una nueva. ▪ Alquilar un lugar en el embarcadero con coste, a fin de mes, de 2.000 € con incremento semestral de 100 €/mes. ▪ Contratar un seguro de accidentes con cuota anual de 22.500 € que se incrementa en un 5% anual. ▪ Contratar personal para mantenimiento de la embarcación cuyo sueldo te supone al año 100.000 € que se incrementan a razón de un 5% cada 3 años. ▪ Los ingresos a lo largo del semestre serían de 150.000 € con un incremento del 2% semestral. Analiza si resulta interesante teniendo en cuenta que se busca una rentabilidad del 6% semestral. Si trabajamos en capitalización semestral, contesta a las siguientes cuestiones. 1. Los sueldos pagados se analizan como una renta: a. Periódica p = 6,5. b. Fraccionada vencimiento medio 6,5. c. Ninguna de las anteriores. 2. Los ingresos los deberemos analizar como una renta: a. Continua que se convierte en entera con el factor corrector. b. Periódica para la que hay que calcular un factor corrector. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si nos fijamos en la inversión en la embarcación: a. Nos encontramos con una renta entera. b. Nos encontramos con una renta periódica con p = 2. c. Ninguna de las anteriores. 4. El alquiler en el embarcadero es una renta: a. Periódica con p = 6. b. Fraccionada que convertimos en entera de 5 términos. c. Fraccionada con vencimiento medio de 3,5 meses. 5. El seguro de accidentes da lugar a una renta: a. Periódica anticipada 1 periodo. b. Inmediata. c. Diferida dos periodos de capitalización de intereses.

Interés 6.

compuesto:

Rentas

109

Si la primera prima de seguros decidieran no cobrárnosla b. Estaríamos ante una renta periódica diferida 1 periodo. c. Estaríamos ante una renta periódica inmediata. d. Estaríamos ante una renta periódica anticipada 1 periodo.

EJ 152. DISFRUTE, S.A. es una agencia de viajes que acaba de instalarse en San Sebastián. Como somos conocidos de los dueños, estos nos han pedido que les asesoremos sobre el porcentaje de comisión que han de pedir a los mayoristas con los que trabajan y cuyos tours turísticos comercializan. Para ello nos ofrecen los siguientes datos: ▪ Alquiler del local. 3.000 € trimestrales a abonar a principio de trimestre. Incremento: 10% cada 5 años. ▪ Salarios de 2 personas. 24.000 € anuales (repartidos en 12 pagas). Se incrementan en 10% anualmente. ▪ Gastos de mantenimiento. 3.000 € a lo largo del año con un incremento de 300 €/año ▪ Renovación de las instalaciones cada 4 años cuyo coste actual sería 15.000 €. Incremento 10% cada 4 años ▪ Los ingresos dependen del porcentaje de comisión cobrada a las mayoristas sobre el precio de los paquetes turísticos que vendemos. Se estiman unas ventas a lo largo del año de 600.000 € con incremento anual del 5% cada 2 años (el porcentaje se calcula sobre las ventas). Calcula el porcentaje a negociar si queremos que el negocio dé una rentabilidad del 10% anual durante los próximos 40 años. EJ 153. Vamos a montar una academia muy novedosa dirigida a estudiantes de bachiller. Esta academia se va a fundamentar en el autoaprendizaje a través de cursos online, pedagógicamente preparados para facilitar el estudio autónomo de nuestros clientes. En este momento, nos preocupa conocer, con las previsiones que tenemos, cuántos clientes abonados necesitamos para que nuestro negocio nos dé la rentabilidad anual del 10% que, de partida, nos gustaría obtener durante los próximos 30 años al final de los cuales venderemos todo lo que sea de nuestra propiedad. Nuestras previsiones son las siguientes: ▪ Consideramos que sería necesaria una inversión inicial en 10 ordenadores cuyo coste, en el momento de la compra (año 0) prevemos será de 10.000 €. Estos ordenadores habrá que cambiarlos cada 3 años, estimándoles un valor residual del 25%. Suponemos un incremento total de los ordenadores del 5% cada 3 años. ▪ Contaremos con la presencia de dos personas de apoyo que resolverán dudas, tanto de carácter académico, como del uso del ordenador. El coste total de estas personas será de 3.000 €/mes (12 pagas al año). Se les incrementará el sueldo un 5% cada 2 años. Hemos acordado, no obstante, que durante los 4 primeros años el sueldo sea el mismo, mientras empezamos a funcionar, y que el primer incremento lo tengan en el año 5, el segundo en el 7, etc. ▪ El local en el que instalaremos la academia será alquilado, y hemos acordado pagarle al dueño 6.000 € al comienzo de cada trimestre, incluyendo en la cuantía los gastos de luz, agua, etc. Se incrementará un 4% cada año.

110

Ejercicios ▪

resueltos de

Matemática Financiera

Consideramos dos tipos de clientes: (a) aquellos abonados a la academia que pagarán una cuota al comienzo del año de 600 € con incremento anual del 10% y tendrá derecho a utilizar todos los programas; y, (b) aquellos esporádicos que aparezcan por la academia a lo largo del año (para cubrir problemas puntuales en alguna asignatura o con algún examen en previsión) que supondrán, estimamos, unos ingresos de 12.000 € con un incremento anual de 1.000 €.

EJ 154. Vamos a montar una academia muy novedosa dirigida a estudiantes de bachiller. Esta academia se va a fundamentar en el autoaprendizaje a través de cursos online, pedagógicamente preparados para facilitar el estudio autónomo de nuestros clientes. En este momento, nos preocupa conocer, con las previsiones que tenemos, cuántos clientes abonados necesitamos para que nuestro negocio nos dé la rentabilidad anual del 10% que, de partida, nos gustaría obtener por tiempo indefinido. Nuestras previsiones son las siguientes: ▪ Consideramos que sería necesaria una inversión inicial de 10 ordenadores cuyo coste, en el momento de la compra (año 0), prevemos será de 10.000 €. Hemos acordado —ya que al principio no tendremos dinero—, 5 pagos anuales, el primero de 2.000 € en el momento de la compra y el resto en los 4 años siguientes con un incremento del 8% anual. ▪ Estos ordenadores habrá que cambiarlos cada 6 años, estimándoles un valor residual del 25%. Suponemos un incremento total de los ordenadores (según precio en el momento de la compra) del 3% cada 2 años. ▪ Contaremos con la presencia de dos personas de apoyo que resolverán dudas, tanto de carácter académico, como del uso del ordenador. El coste total de estas personas será de 3.000 €/mes (12 pagas al año). Se les incrementará el sueldo un 2% anual. Hemos acordado, no obstante, que durante los 4 primeros años el sueldo sea el mismo, mientras empezamos a funcionar, y que el primer incremento lo tengan en el año 5, el segundo en el 6, etc. ▪ El local en el que instalaremos la academia será alquilado, y hemos acordado pagarle al dueño 6.000 € al comienzo de cada trimestre, incluyendo en la cuantía los gastos de luz, agua, etc. Se incrementará un 10% cada 4 años. ▪ Consideramos dos tipos de clientes: (a) aquellos abonados a la academia que pagarán una cuota al comienzo del año de 600 € con incremento del 6% cada 3 años y tendrá derecho a utilizar todos los programas; y, (b) aquellos esporádicos que aparezcan por la academia a lo largo del año (para cubrir problemas puntuales en alguna asignatura o con algún examen en previsión) que supondrán, estimamos, unos ingresos de 12.000 € con un incremento anual de 1.000 €. EJ 155. Nos estamos planteando la posibilidad de encargarnos del bar y comedor de un centro universitario durante los próximos 20 años. Nuestro problema es que perseguimos obtener una rentabilidad del 10% como mínimo y no sabemos el número de clientes potenciales que va a ser necesario para nuestro propósito.

Interés

compuesto:

Rentas

111

Plantea la ecuación que te permita calcular cuántos clientes habituales necesitamos. Nuestras previsiones son las siguientes: ▪ Consideramos que sería necesaria una inversión inicial en adecuar el local que tenemos intención de alquilar (pintura, electricidad, compra de muebles y equipos de música, etc.) de, valor hoy, 130.000 €, que habrá que renovar cada 4 años. Se estima un incremento, de una vez para otra, del 10%. ▪ El aprovisionamiento de comida y bebida lo hemos acordado con un mayorista al que vamos a pagar al principio de cada trimestre. Estimamos unos pagos de 12.000 €/trimestre que se incrementarán cada 2 años un 5%. ▪ El local lo vamos a alquilar pagando, cada 2 años, una cantidad de 80.000 € (al comienzo). Hemos acordado que esta cantidad se incrementará, a medida que se incrementen nuestros beneficios, lo equivalente a un 10% anual. ▪ Consideramos dos tipos de ingresos: (a) el de los trabajadores y alumnos, clientes habituales del comedor, que pagarán un abono, al comienzo de cada semestre, de 500 €/semestre con incremento anual de 30 €/semestre; y, (b) los correspondientes a la barra del bar y usuarios esporádicos del comedor, que estimamos supondrán, a lo largo del año, 80.000 € con incremento del 3% anual.

EJ 156. Nos estamos planteando la posibilidad de encargarnos del bar y comedor de un centro universitario durante los próximos 40 años. Nuestro problema es que perseguimos obtener una rentabilidad del 10% como mínimo y no sabemos el número de clientes potenciales que va a ser suficiente para nuestro propósito. Plantea la ecuación que te permita calcular cuántos clientes habituales necesitamos. Nuestras previsiones son las siguientes: ▪

▪ ▪ ▪

Consideramos que sería necesaria una inversión inicial en adecuar el local que tenemos intención de alquilar (pintura, electricidad, compra de muebles y equipos de música, etc.) de, valor hoy, 130.000 €, que habrá que renovar cada 8 años. Se estima un incremento de los pecios del 2% cada 2 años. El aprovisionamiento de comida y bebida lo hemos acordado con un mayorista al que vamos a pagar al principio de cada semestre. Estimamos unos pagos de 20.000 €/semestre que se incrementarán cada 4 años un 10%. El local lo vamos a alquilar pagando 70.000 € al comienzo de cada 2 años (pago por 2 años). Hemos acordado que esta cantidad se incrementará, a medida que se incrementen nuestros beneficios, lo equivalente a un 10% anual. Consideramos dos tipos de ingresos: (a) el de los trabajadores y alumnos, clientes habituales del comedor que pagarán un abono, a finales de marzo, septiembre y diciembre, de 500 € en cada ocasión, con incremento anual de 40 €/semestre; y, (b) los correspondientes a la barra del bar y usuarios esporádicos del comedor que estimamos supondrán, a lo largo del año, 70.000 € con incremento del 3% anual.

112

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS RES EJ 138. Datos del problema: precio del coche = 5.000 €, descuento pago al contado = 5%. Financiación del vendedor: pago a plazos = 1.000 €/mes durante 5 meses (del mes 1 al 5). Incógnita: TAE y TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el vendedor. Para calcular la TAE de la operación, planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta el valor actual de la deuda contraída con el vendedor del coche (precio menos descuento por pronto pago) y el valor actual de los pagos que se realizarían a cambio (pagos a plazo que constituyen una renta entera, constante R = 1.000 €, temporal t = 5 e inmediata) e igualamos a 0: VAN = 1.000 ×

(1 + rm )5 − 1 − 5.000 × 0,95 = 0 (1 + rm )5 × rm

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rm y, a partir de ella, la TAE. Calculando el valor de rm en excel, obtenemos el valor de 1,73%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rm)12 – 1 = (1 + 0,0173)12 – 1 = 7,1%. Solución: TAE = 7,1%. A continuación calculamos la TAE por aproximación mixta: ▪

Empezamos calculando el VM de las cuotas mensuales: VM =

1+ 5 =3 2

▪

Planteamos la fórmula del cálculo de r3 y resolvemos:



5.000 × 0,95 × (1 + r3 ) = 5 × 1.000 ⇒ 4.750 × (1 + r3 ) = 5.000 ⇒ r3 = 5,26%

▪

A continuación, calculamos la TAE:



TAE = (1 + r3)12/3 – 1 = 22,77%.

Solución: TAEaprox. mixta = 22,77%. RES EJ 139. Datos del problema: precio del coche = 50.000 €, descuento pago al contado = 10%. Financiación del vendedor: pago a plazos = 10.000 €/año en 5 años (del 1 al 5) y pago inicial 500 €. Incógnita: TAE y TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el vendedor. Para calcular la TAE de la operación, planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta el valor actual de la deuda contraída con el vendedor del coche (precio

Interés

compuesto:

Rentas

113

menos descuento por pronto pago y menos pago inicial) y el valor actual de los pagos que se realizarían a cambio (pagos a plazo que constituyen una renta entera, constante R = 10.000 €, temporal t = 5 e inmediata) e igualamos a 0: VAN = 10.000 ×

(1 + r )5 − 1 − (50.000 × 0,9 − 500) = 0 (1 + r )5 × r

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la r que, como es anual, equivale a la TAE buscada. Calculando el valor de r en excel, obtenemos el valor de 4,01%, por lo que la TAE será 4,01%. Solución: TAE = 4,01%. A continuación, calculamos la TAE por aproximación mixta: ▪ ▪

Empezamos calculando el VM de las cuotas anuales: 1+ 5 VM = =3 2 Planteamos, la fórmula del cálculo de r3 y resolvemos:

(50.000 × 0,90 − 500) × (1 + r )3 = 5 × 10.000 ⇒ 44.500 × (1 + r )3 = 50.000 ⇒ r = 3,96% 10.000 ⇒ 44.500 × (1 + r )3 = 50.000 ⇒ r = 3,96% Solución: TAEaprox.mixta = 3,96%. RES EJ 140. Datos del problema: precio del crucero = 2.300 €, descuento pago al contado = 5%. Financiación del vendedor: entrada de 700 € y pago en 4 plazos de 450 €/trimestre, el primero en la firma. Incógnita: TAE y TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por la agencia de viajes. Para calcular la TAE de la operación, planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta el valor actual de la deuda contraída con el vendedor del coche (precio menos descuento por pronto pago menos pagos en el momento de la firma) y el valor actual de los pagos que se realizarían a cambio (pagos a plazo que constituyen una renta entera, constante R = 450 €, temporal t = 3 e inmediata) e igualamos a 0: VAN = 450 ×

(1 + rt )3 − 1 − (2.300 × 0,95 − 700 − 450) = 0 (1 + rt )3 × rt

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rt y, a partir de ella, la TAE. Calculando el valor de rt en excel, obtenemos el valor de 14,56%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rt)4 – 1 = (1 + 0,1456)4 – 1 = 72,24%. Solución: TAE = 72,24%.

114

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

A continuación calculamos la TAE por aproximación mixta: ▪ ▪

Empezamos calculando el VM de las cuotas trimestrales: VM =

3+9 =6 2

Planteamos la fórmula del cálculo de r6 y resolvemos:

(2.300 × 0,95 − 700 − 450) × (1 + r6 ) = 3 × 450 ⇒ 1.035 × (1 + r6 ) = 1.350 ⇒ r6 = 30,43% 3 × 450 ⇒ 1.035 × (1 + r6 ) = 1.350 ⇒ r6 = 30,43% ▪

A continuación, calculamos la TAE:



TAE = (1 + r6)12/6 – 1 = 70,13%.

Solución: TAEaprox.mixta = 70,13%. RES EJ 141. Datos del problema: precio de los electrodomésticos = 1.200 €, descuento pago al contado = 7%. Financiación del vendedor: pago en 5 plazos de 240 €/mes, el primero en la firma. Incógnita: TAE y TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el vendedor. Para calcular la TAE de la operación, planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta el valor actual de la deuda contraída con el vendedor del coche (precio menos descuento por pronto pago menos pagos en el momento de la firma) y el valor actual de los pagos que se realizarían a cambio (pagos a plazo que constituyen una renta entera, constante R = 240 €, temporal t = 4 e inmediata) e igualamos a 0: VAN = 240 ×

(1 + rm ) 4 − 1 − (1.200 × 0,93 − 240) = 0 (1 + rm ) 4 × rm

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rm y, a partir de ella, la TAE. Calculando el valor de rm en excel, obtenemos el valor de 3,77%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rm)12 – 1 = (1 + 0,0377)12 – 1 = 55,91%. Solución: TAE = 55,91%. A continuación calculamos la TAE por aproximación mixta: ▪

Empezamos calculando el VM de las cuotas mensuales: VM =

1+ 4 = 2,5 2

▪

Planteamos la fórmula del cálculo de r2,5 y resolvemos:



(1.200 × 0,93 − 240) × (1 + r2,5 ) = 4 × 240 ⇒ 876 × (1 + r2,5 ) = 960 ⇒ r2,5 = 9,59%

Interés ▪

A continuación, calculamos la TAE:



TAE = (1 + r2,5)12/2,5 – 1 = 55,20%.

compuesto:

Rentas

115

Solución: TAEaprox.mixta = 55,20%. RES EJ 142. Datos del problema: precio de los ordenadores = 8.000 €, descuento pago al contado = 5%. Financiación del vendedor: entrada de 1.400 € y pago en 4 plazos de 1.740 €/semestre, el primero en la firma. Incógnita: TAE y TAE por aproximación mixta de la financiación ofrecida por el distribuidor. Para calcular la TAE de la operación, planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta el valor actual de la deuda contraída con el vendedor del coche (precio menos descuento por pronto pago menos pagos en el momento de la firma) y el valor actual de los pagos que se realizarían a cambio (pagos a plazo que constituyen una renta entera, constante R = 1.740 €, temporal t = 3 e inmediata) e igualamos a 0: VAN = 1.740 ×

(1 + rs )3 − 1 − (8.000 × 0,95 − 1.400 − 1.740) = 0 (1 + rs )3 × rs

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando el valor de rs en excel obtenemos el valor de 8,30%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,083)2 – 1 = 17,29%. Solución: TAE = 17,29%. A continuación calculamos la TAE por aproximación mixta: ▪

Empezamos calculando el VM de las cuotas semestrales:

▪

6 + 18 = 12 2 Planteamos, la fórmula del cálculo de r12 y resolvemos: VM =

(8.000 × 0,95 − 1.400 − 1.740) × (1 + r12 ) = 3 × 1.740 ⇒ 4.460 × (1 + r12 ) = 5.220 ⇒ r12 = 17,04 − 1.400 − 1.740) × (1 + r12 ) = 3 × 1.740 ⇒ 4.460 × (1 + r12 ) = 5.220 ⇒ r12 = 17,04% Solución: TAEaprox.mixta = 17,04%. RES EJ 143. Situación: agencia de viajes por tiempo indefinido. Datos: Gastos: ▪

Alquiler de local: 1.000 €/mes al comienzo, incremento del 10% cada 5 años.

▪

Personal: 30.000 € anuales, pagos mensuales, incremento del 5% cada 3 años.

▪

Mantenimiento: 3.000 € al final de cada año, incremento del 4% anual.

116

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

▪

Inversión y renovación. Inversión: 20.000 €. Renovación: cada 4 años por valor, hoy, de 20.000 €, incremento del 10% cada 4 años.

▪

Teléfono: 3.000 € cada 2 meses, incremento anual de 150 €/bimestre.

Ingresos: ▪

Total de ingresos: el porcentaje acordado sobre una venta a lo largo del año de 1.000.000 €, incremento del 5% anual.

Incógnita: porcentaje de comisión para obtener una rentabilidad anual del 10%. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN (valor actual de los ingresos menos valor actual de los gastos) y calculamos el porcentaje teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

▪

▪

▪



Alquiler de local: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + rs × 6,5/12), perpetua, cada 5 años en progresión geométrica g = 0,1 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 5 agrupando los 5 términos anuales constantes en un término quinquenal, R1 = 1.000 × 12 ×  fc × ((1 + r)5 – 1)/r. V ( Alquiler )0 =

6,5 (1 + r )5 − 1 )× 12 r (1 + r )5 − 1,1

12.000 × (1 + r ×

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1+ r × 5,5/12), perpetua, cada 3 años en progresión geométrica g = 0,05 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 3, agrupando los 3 términos anuales constantes en un término trienal, R1 = 30.000 ×  (1 + r × 5,5/12) × ((1 + r)3 – 1)/r. V ( Personal )0 =

5,5 (1 + r )3 − 1 )× 12 r 3 (1 + r ) − 1,05

30.000 × (1 + r ×

Mantenimiento: renta entera, inmediata, en progresión geométrica g = 0,04 anual, perpetua, R1 = 3.000 €. V ( Mantenimiento)0 =

3.000 r − 0,04

Inversión y renovación. Inversión: 20.000 €. Renovación renta periódica, p = 4, inmediata, perpetua, progresión geométrica, g = 0,1 cada 4 años, R4 = 20.000 × 1,1 (la primera renovación es a los 4 años, por lo que lleva el incremento correspondiente). V ( Inv + Ren)0 = 20.000 +

20.000 × 1,1 (1 + r ) 4 − 1,1

Interés ▪



compuesto:

Rentas

117

Teléfono: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5/12), perpetua, en progresión aritmética a = 150 × 6 × fc anual, R1 = 3.000 × 6 × fc. 5 18.000 900  V (Teléfono)0 =  + 2  × (1 + r × ) r  12  r

Ingresos: ▪



Total de ingresos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), perpetua, en progresión geométrica g = 0,05 anual, R1 = 1.000.000 × fc × C (% de comisión acordado). V ( Ingresos )0 =

1.000.000 × C r × (1 + ) [r − 0, 05] 2

Para calcular la comisión necesaria que permita obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos C: V ( Alquiler )0 + V ( Personal )0 + V ( Mantenimiento)0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ingresos )0 −  = V ( Inv + Ren)0 + V (Teléfono)0  1.000.000 × C 0,1 = × (1 + )− [0,1 − 0, 05] 2   6,5 (1 + 0,1)5 − 1 5,5 (1 + 0,1)3 − 1 30.000 × (1 + 0,1 × )× 12.000 × (1 + 0,1 × 12 ) ×  3.000 0,1 12 0,1  + + + 5 3 (1 + 0,1) − 1,1 (1 + 0,1) − 1, 05 0,1 − 0, 04  −   20.000 × 1,1 18.000 900 5    + 20.000 +  + + 2  × (1 + 0,1 × ) 4   (1 + 0,1) − 1,1  0,1 0,1  12

Solución: C (r = 10%) = 0,0444, esto es, 4,44%. 1. Si la capitalización fuera semestral, los salarios serían una renta: Solución: fraccionada. Respuesta correcta: c. 2. Los ingresos son una renta en progresión geométrica de razón: Solución: 0,05. Respuesta correcta: b. 3. Si el VAN de una inversión es igual a 0, significa que: Solución: Ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c.

118

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 144. Situación: compra de una máquina. Datos: Gastos: ▪

Inversión y renovación. Inversión: 1.000.000 €. Renovación: cada 8 años, incremento del 4% anual. Valor residual del 20% del valor de una máquina nueva.

▪

Personal: 70.000 € anuales, pagos mensuales, incremento del 5% anual.

▪

Mantenimiento: 40.000 € anuales, incremento de 2.000 € anuales.

Ingresos: ▪

Total de ingresos: 10.000 piezas/año.

Incógnita: precio de las piezas para obtener una rentabilidad anual del 15% durante 40 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos el precio por pieza teniendo en cuenta r = 15%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión y renovación. Inversión: 1.000.000 €. Renovación renta periódica, p = 8, inmediata, temporal t = 4, progresión geométrica, g = 0,04 anual, R8 = 1.000.000 × 1,048 × (1 – 0,2) (la primera renovación es a los 8 años, por lo que lleva el incremento correspondiente; además, la inversión es igual al valor de la máquina nueva menos el valor residual de la vieja). Valor residual de la última máquina: 100.000 × 0,2 × 1,0440/(1 + r)40. V ( Inv + Ren)0 = 1.000.000 + 1.000.000 × 1, 048 × (1 − 0, 2) ×

▪

▪



×

(1 + r ) 4×8 − (1 + 0, 04) 4×8 1.000.000 × 0, 2 × (1, 04) 40 − (1 + r ) 40 (1 + r ) 4×8 × (1 + r )8 − (1, 04)8 

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12), temporal t = 40, en progresión geométrica g = 0,05 anual, R1 = 70.000 × (1 + r × 5,5/12). 5,5 (1 + r ) 40 − (1 + 0, 05) 40 V ( Personal )0 = 70.000 × (1 + r × )× 12 (1 + r ) 40 ×[r − 0, 05] Mantenimiento: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 40, en progresión aritmética a = 2.000 × fc anual, R1 = 40.000 × fc.  (1 + r )40 − 1 2.000 2.000 × 40  r V ( Mantenimiento)0 =  × (40.000 + )−  × (1 + ) 40 40 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 2  

Ingresos: ▪

Total de ingresos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1+ r/2), temporal t = 40, en progresión geométrica g = 0,15 anual, R1 = 10.000 × fc × P (Precio de las piezas vendidas).

Interés

compuesto:

Rentas

119

Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 40 términos y vemos que la fórmula resultante es: 10.000 × P × 40 r × (1 + ) (1 + r ) 2 Para calcular el precio por pieza necesario para obtener una rentabilidad anual del 15%, planteamos la ecuación del VAN para r = 15% y despejamos P: V ( Ingresos )0 =

VAN(r = 10%) = V ( Ingresos )0 − [V ( Inv + Ren)0 + V ( Personal )0 + V ( Mantenimiento)0 ] = =

10.000 × P × 40 0,15 × (1 + )− (1 + 0,15) 2

  (1 + 0,15) 4×8 − (1 + 0, 04) 4×8 8 − 1.000.000 + 1.000.000 × 1, 04 × (1 − 0, 2) ×  4×8 8 8   (1 + 0,15) × (1 + 0,15) − (1, 04)       40 40 40 1.000.000 × 0, 2 × (1, 04) 5,5 (1 + 0,15) − (1 + 0, 05)  − − + 70.000 × (1 + 0,15 × ) × +  (1 + 0,15) 40 12 (1 + 0,15) 40 ×[0,15 − 0, 05]    40  2.000 2.000 × 40 0,15   (1 + 0,15) − 1  + × (40.000 + ) − × (1 + )  40   (1 + 0,15) 40 × 0,15  0,15 (1 + 0,15) × 0,15 2    

Solución: P (r = 15%) = 7,24 €. 1. Supongamos que en el problema anterior nos saliera un precio de 1 € como precio inicial de las piezas. Para al 15% de rentabilidad deseada, con un precio de 1,15 €, el VAN nos resultaría: Solución: positivo. Respuesta correcta: b. 2. En el caso del punto anterior, la rentabilidad que obtendríamos sería: Solución: más del 15%. Respuesta correcta: a. RES EJ 145. Situación: negocio de alquiler de tumbonas para los próximos 10 años. Datos: Gastos: ▪

Inversión en tumbonas: 5.000 € por 500 tumbonas.

▪

Renovación: 20% de las tumbonas anualmente, incremento anual del 4%. El último año quedará un 80% de las tumbonas que se venderán, en promedio, al 50% de su valor.

▪

Personal: 9.000 €/mes de junio a septiembre.

▪

Permisos: 100.000 € cada 2 años (pago al comienzo), incremento del 6% de una vez para otra.

▪

Reparaciones: 2.000 € anuales a abonar el 30 de septiembre.

120

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Ingresos: ▪

Total de ingresos: alquiler diario, de junio a septiembre, de las 500 tumbonas.

Incógnita: precio diario del alquiler de las tumbonas para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 10 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos el precio por pieza teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión en tumbonas y renovación. Inversión: 5.000 €. Renovación: renta entera, inmediata, temporal t = 9, progresión geométrica, g = 0,04 anual, R1 = 5.000 × 0,2 × 1,04 (coste del 20% de las tumbonas con el incremento del 4%). Valor residual de las últimas tumbonas 5.000 × 0,8 × 1,0410 × 0,5/(1 + r)10: V ( Inv + Ren)0 = = 5.000 + 5.000 × 0, 2 × 1, 04 ×



(1 + r )9 − (1 + 0, 04)9 5.000 × 0,8 × 1, 0410 × 0,5 − (1 + r )9 ×[r − 0, 04] (1 + r )10

▪

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 4,5/12), temporal t = 10, constante, R = 9.000 × × (1 + r × 4,5/12):



V ( Personal )0 = 9.000 × (1 + r ×

▪

Permisos: renta periódica p = 2, anticipada 2 años, temporal t = 5, en progresión geométrica g = 0,06 bienal, R0 = 100.000.

▪



V ( Permisos )0 = 100.000 ×

4,5 (1 + r )10 − 1 )× 12 (1 + r )10 × r

(1 + r )5×2 − (1 + 0,06)5 × (1 + r )2 (1 + r )5×2 (1 + r )2 − (1 + 0,06) 

Reparaciones: Renta entera, anticipada 3 meses, temporal t = 10, constante, R = 2.000 × (1 + r × 3/12): (1 + r )10 − 1 3 V ( Reparaciones )0 = 2.000 × × (1 + r × ) 10 (1 + r ) × r 12

Ingresos: ▪ Total de ingresos: Renta continua de junio a septiembre que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5/12), temporal t = 10, constante, R = 500 × 122 × fc × A (alquiler diario de cada tumbona los 122 días que hay entre junio y septiembre):

V ( Ingresos )0 = 500 × 122 × (1 + r ×

5 (1 + r )10 − 1 ) × A× 12 (1 + r )10 × r

Interés

compuesto:

Rentas

121

Para calcular el alquiler diario por tumbona necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos A: VAN(r = 10%) = V ( Ingresos )0 − [V ( Inv + Ren)0 + V ( Personal )0 + V ( Permiso)0 + V ( Reparaciones )0 ] = = 500 × 122 × (1 + 0,1 ×

5 (1 + 0,1)10 − 1 )× A× − 12 (1 + 0,1)10 × 0,1

 (1 + 0,1)9 − (1 + 0, 04)9 5.000 × 0,8 × 1, 0410 × 0,5 5.000 + 5.000 × 0, 2 × 1, 04 × − + (1 + 0,1)9 ×[0,1 − 0, 04] (1 + 0,1)10   4,5 (1 + 0,1)10 − 1 (1 + 0,1)5×2 − (1 + 0, 06)5 −  +9.000 × (1 + 0,1 × )× + 100.000 × × (1 + 0,1) 2 10  12 (1 + 0,1) × 0,1 (1 + 0,1)5×2 (1 + 0,1)2 − (1 + 0, 06)    (1 + 0,1)10 − 1 3 × (1 + 0,1 × )  +2.000 × (1 + 0,1)10 × 0,1 12 

    +     

Solución: A (r = 10%) = 1,21 €. 1. La renta correspondiente a los salarios de los empleados es: Solución: fraccionada. Respuesta correcta: a. 2. La renta correspondiente al permiso del ayuntamiento es: Solución: periódica. Respuesta correcta: c. RES EJ 146. Situación: Mantenimiento en marcha de un Gimnasio para los próximos 20 años. Datos: Gastos: ▪ Alquiler: 30.000 €/año (a abonar al inicio del año), incremento del 8% cada 4 años. ▪ Gastos varios: 4.000 €/mes, incremento anual de 200 €/mes. ▪ Renovación de máquinas: renovación cada 5 años, valor actual 150.000 €, incremento del 5% anual, valor residual el 40% de una nueva. A los 20 se deja el gimnasio tal cual lo recibimos. Ingresos: ▪

Socios: cuotas trimestrales de 300 €/socio (a comienzo del trimestre), incremento del 5% anual. ▪ Esporádicos: 10.000 € a lo largo del año, incremento del 10% anual. Incógnita: número de socios necesario para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 20 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos el precio por pieza teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN.

122

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Gastos: ▪

Alquiler: renta entera, anticipada 1 año, temporal t = 20, cada 4 años en progresión geométrica g = 0,08 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 4 anticipada 1 año, agrupando los 4 términos anuales constantes en un término cuatrienal, R3 = 30.000 × ((1 + r)4 – 1)/r. V ( Alquiler )0 = 30.000

▪

▪

(1 + r )4 − 1 (1 + r )5×4 − (1 + 0,08)5 × × (1 + r ) r (1 + r )5×4 × (1 + r )4 − (1 + 0,08) 

Gastos varios: Renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12), temporal t = 20, en progresión aritmética a = 200 × 12 × fc anual, R = 4.000 × 12 ×  (1 + r × 5,5/12):  (1 + r ) 20 − 1 2.400 2.400 × 20  5,5 V (Gastosvarios )0 =  × (48.000 + )− )  × (1 + r × 20 20 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 12  

Renovación máquinas: renta periódica p = 5, inmediata, temporal t = 4, progresión geométrica, g = 0,05 anual, R5 = 150.000 × (1 – 0,4) × 1,055 (el coste de las nuevas se reduce por el cobro del valor residual de las máquinas viejas, además, la primera renovación es a los 5 años con el incremento en el precio correspondiente). V ( Renovación)0 = 150.000 × 0, 6 × 1, 055 ×

(1 + r )5×4 − (1 + 0, 05)5×4 (1 + r )5×4 × (1 + r )5 − (1 + 0, 05)5 

Ingresos: ▪



Socios: Renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 7,5/12), temporal t = 20, en progresión geométrica g = 0,05 anual, R1 = 200 × 4 × (1 + r × 7,5/12) × S (número de socios necesarios). V ( Ing.Socios )0 = 200 × 4 × (1 + r ×

7,5 (1 + r ) 20 − (1 + 0,05) 20 )× S × 12 (1 + r )20 × (r − 0,05)

▪

Esporádicos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 20, en progresión geométrica g = 0,1, R1 = 10.000 × fc.



Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 20 términos y vemos que la fórmula resultante es:



V ( Ing.Esporádicos )0 =

10.000 × 20 r × (1 + ) (1 + r ) 2

Interés

compuesto:

Rentas

123

Para calcular el número de socios necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos S: V ( Alquiler )0 + V (Gastosvarios )0  VAN(r = 10%) = V ( Ing.Socios )0 + V ( Ing.Esporádicos )0 −  =  +V ( Renovación)0  7,5 (1 + 0,1) 20 − (1 + 0, 05) 20 10.000 × 20 0,1 = 200 × 4 × (1 + 0,1 × )× S × + × (1 + )− 12 (1 + 0,1) 20 × (0,1 − 0, 05) (1 + 0,1) 2   (1 + 0,1) 4 − 1 (1 + 0,1)5×4 − (1 + 0, 08)5 × × (1 + 0,1) + 30.000  5× 4 4 0,1 (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0, 08)      20  (1 + 0,1) − 1 2.400 2.400 × 20  5,5  − +  × (48.000 + ) − × (1 + 0,1 × ) +    (1 + 0,1)20 × 0,1 0,1 (1 + 0,1)20 × 0,1  12    5× 4 5× 4 (1 + 0,1) − (1 + 0, 05)   5  +150.000 × 0, 6 × 1, 05 ×  5× 4 5 5 (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0, 05)   

Solución: S (r = 10%) = 86,96, esto es, 87 socios. 1. Supongamos que en el problema anterior nos saliera un número de 1.000 socios, si consiguiera 1.200 socios: Solución: para VAN = 0 deberemos aumentar el tipo de interés. Respuesta correcta: a. 2. Los gastos por renovación son una renta: Solución: periódica. Respuesta correcta: b. 3. Si contratáramos una persona para trabajar de abril a septiembre de cada año (pagándole mensualmente una cantidad durante esos 6 meses), en capitalización mensual, tendríamos que resolver la renta como: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 4. Si la capitalización fuera bienal (2 años), el alquiler del gimnasio sería una renta: Solución: fraccionada. Respuesta correcta: c. 5. Con un 6% menos de los socios calculados en el problema: Solución: el VAN para un 10% de interés nos resultaría negativo. Respuesta correcta: a. 6. En el caso de capitalización mensual, los gastos de agua, electricidad y personal resultarían: Solución: una renta entera. Respuesta correcta: a.

124

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 147. Situación: negocio de fabricación de piezas por tiempo indefinido. Datos: Gastos: ▪ Inversión: en 5 plazos anuales, el primero de 50.000 € en el año 0, resto con incremento del 10% anual. ▪

Renovación de máquinas: cada 10 años por valor, hoy, de 30.000 €, incremento del 3% anual.

▪

Gastos varios: 1.000 €/mes, incremento anual de 100 €/mes.

▪

Personal: 120.000 €/año, pagos mensuales, incremento del 2% anual.

Ingresos: ▪

Ingresos totales: 50.000 piezas/años, incremento del 5% cada 2 años.

Incógnita: precio de las piezas para obtener una rentabilidad anual del 10% por tiempo indefinido. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos el precio por pieza teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión: renta entera, anticipada 1 año, temporal t = 5, en progresión geométrica g = 0,1.



Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 5 términos y vemos que la fórmula resultante es: 50.000 × 5 V ( Inversión)0 = × (1 + r ) = 50.000 × 5 (1 + r )

▪

▪

▪



Renovación: renta periódica p = 10, inmediata, perpetua, progresión geométrica g = 0,03 anual, R10 = 30.000 × 1,0310 (la primera renovación es a los 10 años, por lo que lleva el incremento correspondiente): V ( Renovación)0 =

30.000 × 1, 0310 (1 + r )10 − (1 + 0, 03)10

Gastos varios: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12), perpetua, en progresión aritmética a = 100 × 12 × fc anual, R1 =1.000 × 12 × fc. 5,5 12.000 1.200  V (Gastosvarios )0 =  + 2  × (1 + r × ) r r 12   Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + rs × 5,5/12), perpetua, en progresión geométrica g = 0,02 anual, R1 = 12.000 ×  fc. 12.000 5,5 V ( Personal )0 = × (1 + r × ) r − 0, 02 12

Interés

compuesto:

Rentas

125

Ingresos: ▪



Total de ingresos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), perpetua, cada 2 años en progresión geométrica g = 0,05 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 2, agrupando los 2 términos anuales constantes en un término bienal, R2 = 50.000 × fc × P × ((1 + r)2 – 1)/r (P es el precio de las piezas vendidas). (1 + r )2 − 1 50.000 × P × r r V ( Ingresos )0 = × (1 + ) 2 (1 + r ) − (1 + 0,05) 2

Para calcular el precio de las piezas necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos P: V ( Inversión)0 + V ( Renovación)0 + V (Gastosvarios )0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ingresos )0 −  = V ( Personal )0  (1 + 0,1)2 − 1 50.000 × P × 0,1 0,1 = × (1 + )− (1 + 0,1)2 − (1 + 0, 05) 2  30.000 × 1, 0310 5,5  12.000 1.200  + + × (1 + 0,1 × ) + 50.000 × 5 + 10 10 2  (1 + 0,1) − (1 + 0, 03) 0,1 0, 1 12     −  12.000  5,5 × (1 + 0,1 × ) +  12  0,1 − 0, 02 

Solución: P (r = 10%) = 1,00 €. 1. Supongamos que en el problema anterior nos saliera un precio de 100 €, si vendiéramos a 102 €: Solución: para el mismo tipo de interés el VAN nos resultará positivo. Respuesta correcta: a. 2. Si la capitalización fuera mensual, los sueldos serían una renta: Solución: entera. Respuesta correcta: a. 3. Si contratáramos una persona para trabajar de abril a agosto de cada año (pagándole mensualmente una cantidad durante esos 5 meses), en capitalización semestral y sin incremento del sueldo, tendríamos que resolver la renta como: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 4. Si la capitalización fuera mensual, los ingresos serían una renta: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c.

126

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

5. La TIR de un negocio: Solución: es la rentabilidad del negocio. Respuesta correcta: b. 6. En el caso de capitalización semestral, los gastos de agua, electricidad, etc. resultarían una renta: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. RES EJ 148. Situación: explotación del bar de un aeropuerto durante 30 años. Datos: Gastos: ▪

Concesión: pago en 5 plazos al comienzo de cada periodo de 6 años, incremento del 20% de una vez para otra.

▪

Mejoras: cada 6 años por valor, hoy, de 90.000 €, incremento del 2% anual. La última mejora se hizo hace 2 años, por lo que la próxima será dentro de 4.

▪

Gastos varios: 8.000 €/mes, incremento anual del 10%.

Ingresos: ▪

Viajeros: 1.000.000 € a lo largo del año, incremento anual de 20.000 €.

▪

Personal del aeropuerto: 50.000 € cada 2 meses, incremento del 10% cada 3 años.

Incógnita: valor de cada plazo a pagar en concepto de concesión para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 30 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

▪



Concesión: renta periódica p = 6, anticipada 6 años, temporal t = 5, en progresión geométrica g = 0,2 cada 6 años, R0 = C (cada pago que se va a realizar): (1 + r )5×6 − (1 + 0,2)5 V (Concesión)0 = C × × (1 + r )6 5×6 6 (1 + r ) × (1 + r ) − (1 + 0,2)  Mejoras: renta periódica p = 6, anticipada 2 años, temporal t = 5, en progresión geométrica g = 0,02 anual, R4 = 90.000 × 1,024 (las primeras mejoras son a los 4 años, por lo que lleva el incremento correspondiente): V ( Mejoras )0 = 90.000 × 1,024 ×

(1 + r )5×6 − (1 + 0,02)5×6 × (1 + r )2 (1 + r )5×6 × (1 + r )6 − (1 + 0,02)6 

Interés

compuesto:

Rentas

127

▪

Gastos varios: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12), temporal t = 30, en progresión geométrica g = 0,1 anual, R1 = 8.000 × 12 × fc.



Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 30 términos y vemos que la fórmula resultante es: 96.000 × 30 5,5 V (Gastosvarios )0 = × (1 + r × ) (1 + r ) 12

Ingresos: ▪

▪

Viajeros: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 30, en progresión aritmética a = 20.000 × fc anual, R1 = 1.000.000 × fc.  (1 + r )30 − 1 20.000 20.000 × 30  r V ( Ing.Viajeros )0 =  × (1.000.000 + )−  × (1 + ) 30 30 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 2  

Personal del aeropuerto: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5/12), temporal t = 30, cada 3 años en progresión geométrica g = 0,1 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 3, t = 10, agrupando los 3 términos anuales constantes en un término trienal, R3 = 50.000 × 6 × fc × ((1 + r)3 – 1)/r. V ( Ing.Personal )0 = = 50.000 × 6 × (1 + r ×

5 (1 + r )3 − 1 (1 + r )10×3 − (1 + 0,1)10 )× × 12 r (1 + r )10×3 × (1 + r )3 − (1 + 0,1) 

Para calcular el valor de los pagos por la concesión para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos C: V (Concesión)0 + V ( Mejoras )0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ing.Viajeras )0 + V0 ( Ing.Personal ) −  = V (Gastos var ios )0   (1 + 0,1)30 − 1 20.000 20.000 × 30  0,1 = × (1.000.000 + )− )+  × (1 + 30 0,1 (1 + 0,1)30 × 0,1  2  (1 + 0,1) × r +50.000 × 6 × (1 + 0,1 ×

5 (1 + 0,1)3 − 1 (1 + 0,1)10×3 − (1 + 0,1)10 )× × − 12 0,1 (1 + 0,1)10×3 × (1 + 0,1)3 − (1 + 0,1) 

  (1 + 0,1)5×6 − (1 + 0, 2)5 × (1 + 0,1)6 + C ×  5×6 6   (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0, 2)     −  5×6 5×6 (1 + 0,1) − (1 + 0, 02) 96.000 × 30 5,5 4 2  + 90.000 × 1, 02 × × (1 + 0,1) + × (1 + 0,1 × ) 5×6 6 6  (1 + 0,1) 12  (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0, 02)   

Solución: C (r = 10%) = 4.676.252,83 €. 1. Si la capitalización fuera trienal, los pagos por concesión serían una renta: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c.

128

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. Los gastos por mejoras son una renta: Solución: anticipada 2 años. Respuesta correcta: b. 3. Con un 6% menos en la cuantía de la concesión: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 4. En el caso de capitalización mensual, los ingresos por servicios al personal serían: Solución: periódica. Respuesta correcta: b. RES EJ 149. Situación: explotación del bar de un aeropuerto durante 45 años. Datos: Gastos: ▪

Concesión: pago en 9 plazos al comienzo de cada periodo de 5 años, incremento del 10% de una vez para otra.

▪

Mejoras: cada 6 años por valor, hoy, de 24.000 €, incremento del 4% cada 2 años. La última mejora se hizo hace 4 años, por lo que la próxima será dentro de 2.

▪

Gastos varios: 10.000 €/trimestre, incremento cada 5 años del 15%.

Ingresos: ▪

Viajeros: 1.000.000 € a lo largo del año, incremento anual de 20.000 €.

▪

Personal del aeropuerto: 50.00 € cada 2 meses, incremento anual del 10%.

Incógnita: valor de cada plazo a pagar en concepto de concesión para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 45 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Concesión: renta periódica p = 5, anticipada 5 años, temporal t = 9, en progresión geométrica g = 0,1 cada 5 años, R0 = C (cada pago que se va a realizar). V (Concesión)0 = C ×

▪

(1 + r )9×5 − (1 + 0,1)9 × (1 + r )5 9×5 5 (1 + r ) × (1 + r ) − (1 + 0,1) 

Mejoras: renta periódica p = 6, anticipada 4 años, temporal t = 8, en progresión geométrica g = 0,04 cada 2 años, R2 = 24.000 × 1,04 (las primeras mejoras son a los 2 años, por lo que lleva el incremento correspondiente). V ( Mejoras )0 = 24.000 × 1,04 ×



(1 + r )8×6 − (1 + 0,04)8×3 × (1 + r ) 4 (1 + r )8×6 × (1 + r )6 − (1 + 0,04)3 

Interés ▪

compuesto:

Rentas

129

Gastos varios: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 4,5/12), temporal t = 45, cada 5 años en progresión geométrica g = 0,15 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 5, t = 9, agrupando los 5 términos anuales constantes en un término quinquenal, R5 = 10.000 × 4 × fc × ((1 + r)5 – 1)/r. V (Gastosvarios )0 = 10.000 × 4 × (1 + r × ×

4,5 (1 + r )5 − 1 )× × 12 r

(1 + r )9×5 − (1 + 0,15)9 (1 + r )9×5 × (1 + r )5 − (1 + 0,15) 

Ingresos: ▪

▪





Viajeros: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 45, en progresión aritmética a = 20.000 × fc anual, R1 = 1.000.000 × fc.  (1 + r ) 45 − 1 20.000 20.000 × 45  r V ( Ing.Viajeros )0 =  × (1.000.000 + )−  × (1 + ) 45 45 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 2  

Personal del aeropuerto: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5/12), temporal t = 45, en progresión geométrica g = 0,1 anual, R1 = 50.000 × 6 × fc. Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 45 términos y vemos que la fórmula resultante es: V ( Ing.Personal )0 =

50.000 × 6 × 45 5 × (1 + r × ) (1 + r ) 12

Para calcular el valor de los pagos por la concesión para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos C:

V (Concesión)0 + V ( Mejoras )0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ing.Viajeras )0 + V0 ( Ing.Personal ) −  = V (Gastosvarios )0   (1 + 0,1)45 − 1 20.000 20.000 × 45  0,1 50.000 × 6 × 45 5 = × (1.000.000 + )− )+ × (1 + 0,1 × ) −  × (1 + 45 0,1 (1 + 0,1)45 × 0,1  2 (1 + 0,1) 12  (1 + 0,1) × 0,1  (1 + 0,1)9×5 − (1 + 0,1)9 (1 + 0,1)8×6 − (1 + 0, 04)8×3 × (1 + r )5 + 24.000 × 1, 04 × × (1 + 0,1) 4 C × 9×5 5 (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0,1)  (1 + 0,1)8×6 × (1 + 0,1)6 − (1 + 0, 04)3   − 5 (1 + 0,1)9×5 − (1 + 0,15)9  +10.000 × 4 × (1 + 0,1 × 4,5 ) × (1 + 0,1) − 1 ×  12 0,1 (1 + 0,1)9×5 × (1 + 0,1)5 − (1 + 0,15)  

Solución: C (r = 10%) = 8.026.762,57 €. 1. Los gastos por mejoras son una renta: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c.

 +     

130

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. En caso de capitalización mensual, los ingresos por servicios al personal serían una renta: Solución: periódica. Respuesta correcta: b. 3. Si la capitalización fuera bienal (cada 2 años), los pagos por mejoras serían una renta: Solución: periódica p = 3. Respuesta correcta: a. 4. Si nos exigen el pago de un 6% más sobre las cuantías de la concesión antes obtenidas: Solución: el VAN para un 10% de interés nos resultaría negativo. Respuesta correcta: a. RES EJ 150. Situación: negocio de comidas para los próximos 10 años. Datos: Gastos: ▪

Inversión en máquinas y renovación. Inversión: 50% sobre 1.000.000 €. Renovación: 50% sobre 1.000.000 € anuales, incremento anual del 3%, valor residual 20% de una nueva.

▪

Alquiler de local: 10.000 €/mes, incremento semestral de 1.000 €/mes.

▪

Seguro de accidentes: 12.000 € anuales, incremento del 5% anual.

▪

Personal: 800.000 € anuales, pagos mensuales, incremento anual del 2%.

Ingresos: ▪

Total de ingresos: 1.000.000 € a lo largo del semestre con incremento del 1% semestral.

Incógnita: análisis del interés del negocio para una rentabilidad semestral del 5%. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos su valor para rs = 5%. Si el VAN es igual a 0, el negocio nos ofrece la rentabilidad buscada; si es superior a 0, nos ofrece más que la rentabilidad buscada; por último, si es inferior a 0, el negocio no nos interesa porque ofrece una rentabilidad inferior a la requerida. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión en máquinas y renovación. Inversión: 500.000 €. Renovación: renta periódica, p = 2, inmediata, temporal t = 9, progresión geométrica,

Interés

compuesto:

Rentas

131

g = 0,03 anual, R1 = 1.000.000 (0,5 – 0,2) (al coste de la máquina de segunda mano le restamos el ingreso por el valor residual de la máquina vieja). Valor residual de la última máquina 1.000.000 × 0,2 × 1,0310/(1 + rs )20. V ( Inv + Re n)0 = 500.000 + 1.000.000 × 1, 03 × (0,5 − 0, 2) × ×

▪

▪

(1 + rs )9×2 − (1 + 0, 03)9 1.000.000 × 0, 2 × (1, 03)10 − (1 + rs )20 (1 + rs )9×2 × (1 + rs )2 − (1, 03) 

Alquiler de local: renta fraccionada que se convierte en entera con factor corrector fc = (1 + rs × 2,5/6), temporal t = 20, en progresión aritmética a = 1.000 × 6 × fc semestral, R1 = 10.000 × 6 ×  fc.  (1 + rs ) 20 − 1 6.000 6.000 × 20  2,5 V ( Alquiler )0 =  × (60.000 + )− )  × (1 + rs × 20 20 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 6 s s s s s  

Seguro de accidentes: renta periódica, p = 2, anticipada 2 semestres, en progresión geométrica g = 0,05 anual, temporal t = 10, R0 = 12.000 €. V ( Seguro)0 = 12.000 ×

▪



(1 + rs )10×2 − (1 + 0,05)10 × (1 + rs ) 2 10×2 2 (1 + rs ) × (1 + rs ) − (1,05) 

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera con factor corrector fc = (1 + rs × 2,5/6), temporal t = 20, cada 2 términos progresión geométrica g = 0,02 anual por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 2 y t = 10, agrupando los términos semestrales constantes en un término anual, R1 = 400.000 ×  (1 + rs × 2,5/6) ×  ((1 + rs )2 – 1)/rs. V ( Personal )0 = 400.000 × (1 + rs ×

(1 + rs )10×2 − (1 + 0,02)10 2,5 (1 + rs ) 2 − 1 )× × 6 rs (1 + rs )10×2 × (1 + rs ) 2 − (1,02) 

Ingresos: ▪



Total de ingresos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + rs/2), temporal t = 20, en progresión geométrica g = 0,01 semestral, R1 = 1.000.000 × fc. V ( Ingresos )0 = 1.000.000 × (1 +

rs (1 + rs )20 − (1, 01)20 )× 2 (1 + rs )20 × [rs − 0, 01]

132

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Para comprobar si el negocio es interesante, teniendo en cuenta que queremos una rentabilidad semestral del 5%, calculamos el VAN para rs = 5%: VAN(rs = 5%) = V ( Ingresos )0 − [V ( Inv + Ren)0 + V ( Alquiler )0 + V ( Seguro)0 + V ( Personal )0 ] = 1.000.000 × (1 +

(1 + 0, 05s ) 20 − (1, 01) 20 0, 05 )× − 2 (1 + 0, 05) 20 × [0, 05 − 0, 01]

  (1 + 0, 05)9×2 − (1 + 0, 03)9 500.000 + 1.000.000 × 1, 03 × (0,5 − 0, 2) ×  − (1 + 0, 05)9×2 × (1 + 0, 05) 2 − (1, 03)      10  1.000.000 × 0, 2 × (1, 03)  + −  (1 + 0, 05) 20     (1 + 0, 05) 20 − 1  6.000 6.000 × 20 2,5  − +  × (60.000 + )− )+  × (1 + 0, 05 × 20 0, 05 (1 + 0, 05) 20 × 0, 05  6   (1 + 0, 05) × 0, 05    10× 2 10 (1 + 0, 05) − (1 + 0, 05)  +12.000 ×  × (1 + 0, 05) 2 + 10× 2 2   (1 + 0, 05) × (1 + 0, 05) − (1, 05)      2,5 (1 + 0, 05) 2 − 1 (1 + 0, 05)10×2 − (1 + 0, 02)10 + 400.000 × (1 + 0, 05 × ) × ×   10× 2 2 6 0, 05   (1 + 0, 05) × (1 + 0, 05) − (1, 02)   

Solución: VAN (rs = 5%) = 4.541.855,03 € > 0, en consecuencia, el negocio sí interesa para un rs del 5% ya que nos ofrece una rentabilidad superior. 1. Si nos fijamos en la renovación de la máquina: Solución: nos encontramos con una renta periódica con p = 2. Respuesta correcta: b. 2. El alquiler del local es una renta: Solución: fraccionada con vencimiento medio 3,5 meses. Respuesta correcta: c. 3. El seguro de accidentes da lugar a una renta: Solución: periódica anticipada. Respuesta correcta: a. 4. Si la primera prima de seguros decidieran no cobrárnosla: Solución: estaríamos ante una renta inmediata. Respuesta correcta: b. 5. Los sueldos pagados se analizan como una renta: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 6. Los ingresos los deberemos analizar como una renta: Solución: continua que se convierte en entera con el factor corrector. Respuesta correcta: a.

Interés

compuesto:

Rentas

133

7. El VAN del negocio nos proporciona: Solución: el interés al que rentabilizamos nuestro dinero. Respuesta correcta: b. 8. Si el VAN de este negocio para un interés del 4% semestral es positivo, quiere decir que: Solución: nuestra rentabilidad anual será superior al 8,16%. Respuesta correcta: b. RES EJ 151. Situación: Negocio de embarcaciones para los próximos 30 años. Datos: Gastos: ▪

Inversión en embarcación y renovación. Inversión: 50% sobre 200.000 €. Renovación: 50% sobre 200.000 € anuales, incremento anual del 3%, valor residual 15% de una nueva.

▪

Alquiler de embarcadero: 2.000 €/mes, incremento semestral de 100 €/mes.

▪

Seguro de accidentes: 22.500 € anuales, incremento anual del 5%.

▪

Personal: 100.000 € anuales, pagos mensuales, incremento del 5% cada 3 años.

Ingresos: ▪

Total de ingresos: 150.000 € a lo largo del semestre con incremento del 2% semestral.

Incógnita: análisis del interés del negocio para una rentabilidad semestral del 6%. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos su valor para rs = 6%. Si el VAN es igual a 0, el negocio nos ofrece la rentabilidad buscada; si es superior a 0, nos ofrece más que la rentabilidad buscada; por último, si es inferior a 0, el negocio no nos interesa porque ofrece una rentabilidad inferior a la requerida. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión en embarcación y renovación. Inversión: 100.000 €. Renovación: renta periódica, p = 2, inmediata, temporal t = 29, progresión geométrica, g = 0,03 anual, R1 = 200.000 (0,5 – 0,15) (al coste de la embarcación de segunda mano le restamos el ingreso por el valor residual de la embarcación vieja). Valor residual de la última embarcación 200.000 × 0,15 × 1,0330/(1 + rs )60. V ( Inv + Ren)0 = 100.000 + 200.000 × 1, 03 × (0,5 − 0,15) ×



(1 + r ) 29×2 − (1 + 0, 03) 29 200.000 × 0,15 × (1, 03)30 s × − (1 + r )60 (1 + r ) 29×2 × (1 + r ) 2 − (1, 03)  s s s  

134

Ejercicios ▪

▪

resueltos de

Matemática Financiera

Alquiler de embarcadero: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + rs × 2,5/6), temporal t = 60, en progresión aritmética a = 100 × 6 × fc semestral, R1 = 2.000 × 6 × fc.  (1 + rs )60 − 1 600 600 × 60  2,5 V ( Alquiler )0 =  × (12.000 + )− )  × (1 + rs × 60 60 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 6 s s s s s  

Seguro de accidentes: renta periódica, p = 2, anticipada 2 semestres, en progresión geométrica g = 0,05 anual, temporal t = 30, R0 =22.500 €. V ( Seguro)0 = 22.500 ×

▪

(1 + rs )30×2 − (1 + 0,05)30 × (1 + rs )2 (1 + rs )30×2 × (1 + rs ) 2 − (1,05) 

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + rs × 2,5/6), temporal t = 60, cada 6 términos progresión geométrica g = 0,05 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 6 y t = 10, agrupando los términos semestrales constantes en un término trienal, R1 = 50.000 ×  (1 + rs × 2,5/6) ×  ((1 + rs )6 – 1)/rs. V ( Personal )0 = 50.000 × (1 + rs ×



(1 + rs )10×6 − (1 + 0,05)10 2,5 (1 + rs )6 − 1 )× × 6 rs (1 + rs )10×6 × (1 + rs )6 − (1,05) 

Ingresos: ▪

Total de ingresos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + rs/2), temporal t = 60, en progresión geométrica g = 0,02 semestral, R1 = 150.000 × fc. V ( Ingresos )0 = 150.000 × (1 +

rs (1 + rs )20 − (1, 02) 20 )× 2 (1 + rs )20 ×[rs − 0, 02]

Para comprobar si el negocio es interesante, teniendo en cuenta que queremos una rentabilidad semestral del 5%, calculamos el VAN para rs = 6%: VAN(rs = 6%) = V ( Ingresos )0 − [V ( Inv + Ren)0 + V ( Alquiler )0 + V ( Seguro)0 + V ( Personal )0 ] = = 150.000 × (1 +

0, 06 (1 + 0, 06) 20 − (1, 02) 20 )× − 2 (1 + 0, 06) 20 ×[0, 06 − 0, 02]

 (1 + 0, 06) 29×2 − (1 + 0, 03) 29 200.000 × 0,15 × (1, 03)30  − + 100.000 + 200.000 × 1, 03 × (0,5 − 0,15) × 29× 2 2 (1 + 0, 06)30×2 (1 + 0, 06) × (1 + 0, 06) − (1, 03)      60   (1 + 0, 06) − 1 600 600 × 60 2,5 +  × (12.000 + )− × (1 + 0, 06 × )+   60 60   (1 + 0, 06) × 0, 06  0, 06 (1 + 0, 06) × 0, 06  6  − 30× 2 30 (1 + 0, 06) − (1 + 0, 05)   2 + 22.500 × × (1 + 0, 06) +   30× 2 2   (1 + 0, 06) × (1 + 0, 06) − (1, 05)       6 10×6 10 2,5 (1 + 0, 06) − 1 (1 + 0, 06) − (1 + 0, 05)  + 50.000 × (1 + 0, 06 ×  )× × 10×6 6 0, 06   (1 + 0, 06)6 − (1, 05)  (1 + 0, 06) ×  

Interés

compuesto:

Rentas

135

Solución: VAN (rs = 6%) = –299.799,81 € < 0, en consecuencia, el negocio no interesa para un rs del 6% ya que no llega a ofrecer una rentabilidad del 6% semestral. 1. Los sueldos pagados se analizan como una renta: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 2. los ingresos los deberemos analizar como una renta: Solución: continua que se convierte en entera con el factor corrector. Respuesta correcta: a. 3. Si nos fijamos en la inversión en la embarcación: Solución: nos encontramos con una renta entera. Respuesta correcta: a. 4. El alquiler en el embarcadero es una renta: Solución: fraccionada con vencimiento medio 3,5 meses. Respuesta correcta: c. 5. El seguro de accidentes da lugar a una renta: Solución: periódica anticipada 1 periodo. Respuesta correcta: a. 6. Si la primera prima de seguros decidieran no cobrárnosla: Solución: estaríamos ante una renta periódica inmediata. Respuesta correcta: b. RES EJ 152. Situación: explotación de una agencia de viajes durante 40 años. Datos: Gastos: ▪ Alquiler de local: 3.000 €/trimestre a pagar al comienzo de cada trimestre, incremento del 10% cada 5 años. ▪ Personal: 24.000 €/año, pagos mensuales, incremento del 10% anual. ▪ Gastos de mantenimiento: 3.000 €/trimestre a lo largo del año, incremento de 300 €/año. ▪ Renovación de instalaciones: cada 4 años por valor, hoy, de 15.000 €, incremento del 10% cada 4 años. Ingresos: ▪ Ingresos totales: 600.000 € de ventas a lo largo del año, incremento del 5% cada 2 años. Incógnita: comisión sobre las ventas para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 40 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN.

136

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Gastos: ▪

▪



▪

▪

Alquiler: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 7,5/12), temporal t = 40, cada 5 años en progresión geométrica g = 0,1 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 5, t = 8, agrupando los 5 términos anuales constantes en un término quinquenal, R5 = 3.000 × 4 × fc × ((1 + r)5 – 1)/r. V ( Alquiler )0 = 3.000 × 4 × (1 + r ×

7,5 (1 + r )5 − 1 (1 + r )8×5 − (1 + 0,1)8 )× × 12 r (1 + r )8×5 × (1 + r )5 − (1 + 0,1) 

Personal: Renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12), temporal t = 40, en progresión geométrica g = 0,1 anual R1 = 24.000 × fc. Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 45 términos y vemos que la fórmula resultante es: V ( Personal )0 =

24.000 × 40 5,5 × (1 + r × ) (1 + r ) 12

Gastos de mantenimiento: Renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 40, en progresión aritmética a = 300 × fc anual, R1 = 3.000 × fc.  (1 + r )40 − 1 300 300 × 40  r V ( Mantenimiento)0 =  × (3.000 + )− × (1 + )  40 40 r (1 + r ) × r  2  (1 + r ) × r Renovación: renta periódica p = 4, inmediata, temporal t = 9, en progresión geométrica g = 0,1 cada 4 años, R4 = 15.000 × 1,1 (la primera renovación es en 4 años, por lo que lleva el incremento correspondiente). V ( Renovación)0 = 15.000 × 1,1 ×



(1 + r )9×4 − (1 + 0,1)9 (1 + r )9×4 × (1 + r ) 4 − (1 + 0,1) 

Ingresos: ▪



Ingresos totales: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1+ r/2), temporal t = 40, cada 2 términos progresión geométrica g = 0,05 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 2 y t = 20, agrupando los términos anuales constantes en un término bienal, R2 = 600.000 ×  C × fc ×  ((1 + r)2 – 1)/r. r (1 + r )2 − 1 (1 + r )20×2 − (1 + 0,05)20 V ( Ingresos )0 = 600.000 × C × (1 + ) × × 2 r (1 + r )20×2 × (1 + r )2 − (1,05) 

Interés

compuesto:

Rentas

137

Para calcular la comisión necesaria para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos C: V ( Alquiler )0 + V ( Personal )0 + V ( Mantenimiento)0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ingresos )0 −  = V ( Renovación)0  2 20× 2 20 0,1 (1 + 0,1) − 1 (1 + 0,1) − (1 + 0, 05) = 600.000 × C × (1 + )× × − 20× 2 2 0,1  (1 + 0,1) × (1 + 0,1) 2 − (1, 05)    7,5 (1 + 0,1)5 − 1 (1 + 0,1)8×5 − (1 + 0,1)8 )× × + 3.000 × 4 × (1 + 0,1 ×  8×5 5 12 0,1 (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0,1)      40   24.000 × 40 5,5 (1 + 0,1) − 1 300 300 × 40 0,1  − + × (1 + 0,1 × )+ × (3.000 + ) − × (1 + ) +  40   (1 + 0,1) 12 0,1 (1 + 0,1) 40 × 0,1  2  (1 + 0,1) × 0,1   (1 + 0,1)9×4 − (1 + 0,1)9   + 15.000 × 1,1 ×   9× 4 4   (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0,1)    

Solución: C (r = 10%) = 0,14885, esto es, 14,89%. RES EJ 153. Situación: academia para alumnos de bachiller durante 30 años. Datos: Gastos: ▪

Inversión y renovación. Inversión: 10.000 € en 10 ordenadores. Renovación: cada 3 años, incremento del 5% cada 3 años. Valor residual del 25% del valor de un ordenador nuevo.

▪

Personal: 3.000 €/mes, incremento del 5% cada 2 años, pero a partir del quinto año; los 4 primeros sin cambios.

▪

Alquiler de local: 6.000 €/trimestre a pagar al comienzo de cada trimestre, incremento del 4% anual.

Ingresos: ▪

Abonados: 600 €/año que pagarán al comienzo, incremento del 10% anual.

▪

Esporádicos: 12.000 € a lo largo del año, incremento de 1.000 €/año.

Incógnita: número de abonados necesario para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 30 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión en ordenadores y renovación. Inversión: 10.000 €. Renovación: renta periódica p = 3, inmediata, temporal t = 9, progresión geométrica g = 0,05 cada 3 años, R3 = 10.000 × (1 – 0,25) × 1,05 (coste con el incremento

138

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

del 4% y la reducción por el valor residual de los ordenadores viejos). Valor residual de los ordenadores 25% del valor de los nuevos, al final del negocio 10.000 × 0,25 × 1,0510/(1 + r)30. V ( Inv + Ren)0 = 10.000 + 10.000 × (1 − 0, 25) × 1, 05 × × ▪

(1 + r )9×3 − (1 + 0, 05)9 10.000 × 0, 25 × 1, 0510 − (1 + r )30 (1 + r )9×3 × (1 + r )3 − (1 + 0, 05) 

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12). Los 4 primeros términos constituyen una renta constante, temporal t = 4, inmediata. Los 26 términos restantes conforman una renta temporal t = 26, diferida 4 años, cada 2 años en progresión geométrica g = 0,05 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 2 t = 13, agrupando los 2 términos anuales constantes en uno bienal, R6 = 3.000 × 12 × fc × 1,05 × ((1 + r)2 – 1)/r. V ( Personal )0 = 3.000 × 12 × (1 + r × × (1 + r ×

▪



5,5 (1 + r ) 4 − 1 )× + 3.000 × 12 × 12 r × (1 + r ) 4

5,5 (1 + r ) 2 − 1 (1 + r )13×2 − (1 + 0, 05)13 1 ) × 1, 05 × × × 4 13× 2 2 12 r (1 + r ) × (1 + r ) − (1 + 0, 05)  (1 + r )

Alquiler: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 7,5/12), temporal t = 30, en progresión geométrica g = 0,04 anual, R1 = 6.000 × 4 × fc. V ( Alquiler )0 = 6.000 × 4 × (1 + r ×

7,5 (1 + r )30 − (1 + 0, 04)30 )× 12 (1 + r )30 × [r − 0, 04]

Ingresos: ▪

▪



Abonados: renta entera, anticipada, temporal t = 30, en progresión geométrica g = 0,1 anual, R0 = 600 × A (número de abonados). Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas enteras en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 30 términos y vemos que la fórmula resultante es: V ( Ing. Abonados )0 =

600 × A × 30 × (1 + r ) = 600 × 30 × A (1 + r )

Esporádicos: Renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 30, en progresión aritmética a = 1.000 × fc anual, R1 = 12.000 × fc:  (1 + r )30 − 1 1.000 1.000 × 30  r V ( Ing.Esporádicos )0 =  × (12.000 + )−  × (1 + ) 30 30 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 2  

Interés

compuesto:

Rentas

139

Para calcular el número de abonados necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos A: V ( Inv + Ren)0 + V ( Personal )0 VAN(r = 10%) = V ( Ing. Abonados )0 + V ( Ing.Esporádicos )0 −   + V ( Alquiler )0

+ = 

 (1 + r )30 − 1 1.000 1.000 × 30  r = 600 × 30 × A +  × (12.000 + )−  × (1 + ) − 30 30 (1 + r ) × r r (1 + r ) × r 2     (1 + r )30 − 1 1.000 1.000 × 30  r 5,5 (1 + r ) 4 − 1  × (12.000 + )− )× +   × (1 + ) + 3.000 × 12 × (1 + r × 30 30 r (1 + r ) × r  2 12 r × (1 + r ) 4    (1 + r ) × r   5,5 (1 + r ) 2 − 1 (1 + r )13×2 − (1 + 0, 05)13 1  −  +3.000 × 12 × (1 + r × ) × 1, 05 × × × + 4   12 r (1 + r )13×2 × (1 + r ) 2 − (1 + 0, 05)  (1 + r )     7,5 (1 + r )30 − (1 + 0, 04)30 )×  +6.000 × 4 × (1 + r ×  30 12 (1 + r ) × [ r − 0, 04]  

Solución: A (r = 10%) = 36,72, esto es, 37 abonados. RES EJ 154. Situación: academia para alumnos de bachiller por tiempo indefinido. Datos: Gastos: ▪

Inversión y renovación. Inversión: 10.000 € para la compra de 10 ordenadores, se acuerdan 5 pagos anuales, el primero de 2.000 € al inicio, incremento anual del 8% para el resto. Renovación: cada 6 años, incremento del 3% cada 2 años. Valor residual del 25% del valor de un ordenador nuevo.

▪

Personal: 3.000 €/mes, incremento del 2% anual, pero a partir del quinto año; los 4 primeros sin cambios.

▪

Alquiler de local: 6.000 €/trimestre a pagar al comienzo de cada trimestre, incremento del 10% cada 4 años.

Ingresos: ▪

Abonados: 600 €/año que pagarán al comienzo, incremento del 6% cada 3 años.

▪

Esporádicos: 12.000 € a lo largo del año, incremento de 1.000 €/año.

Incógnita: número de abonados necesario para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 30 años por tiempo indefinido. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN (valor actual de los ingresos menos valor actual de los gastos) y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

Inversión en ordenadores y renovación. Inversión: renta entera, anticipada, en progresión geométrica g = 0,08, temporal t = 5, R9 = 2.000 €. Renovación: renta periódica p = 6, inmediata, perpetua, en progresión geométrica

140

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

g = 0,03 cada 2 años, R6 = 10.000 × (1 – 0,25) × 1,033 (coste con el incremento del 3% bienal y la reducción por el valor residual de los ordenadores viejos): ▪

V ( Inv + Ren)0 = 2.000 ×

(1 + r )5 − (1 + 0, 08)5 10.000 × (1 − 0, 25) × 1, 033 × (1 + r ) + 5 (1 + r ) × (r − 0, 08) (1 + r )6 − (1 + 0, 08)3

Personal: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 5,5/12). Los 4 primeros términos constituyen una renta constante, temporal t = 4, inmediata. Los términos restantes conforman una renta perpetua, diferida 4 años, en progresión geométrica g = 0,02 anual, R5 = 3.000 × 12 × fc × 1,02. V ( Personal )0 = 3.000 × 12 × (1 + r ×

+

3.000 × 12 × (1 + r ×

▪

r − 0, 02

5,5 ) × 1, 02 12 ×

5,5 (1 + r ) 4 − 1 )× + 12 r × (1 + r ) 4

1 (1 + r ) 4

Alquiler: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 7,5/12), perpetua, cada 4 años en progresión geométrica g = 0,1 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 4, agrupando los 4 términos anuales constantes en uno cuatrienal, R4 = 6.000 × 4 × fc × ((1 +r)4 – 1)/r. V ( Alquiler )0 =



7,5 (1 + r ) 4 − 1 )× 12 r (1 + r )4 − (1 + 0,1)

6.000 × 4 × (1 + r ×

Ingresos: ▪

Abonados: renta entera, anticipada, perpetua, cada 3 años en progresión geométrica g = 0,06 por lo que convertimos la renta de entera anticipada a periódica anticipada p = 3, agrupando los 3 términos anuales constantes en uno trienal, R2 = 6.000 × A × ((1 + r)3 – 1)/r (A es el número de abonados). (1 + r )3 − 1 r V ( Ing. Abonados )0 = × (1 + r ) (1 + r )3 − (1 + 0, 06) 600 × A ×

▪



Esporádicos: Renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), perpetua, en progresión aritmética a = 1.000 × fc anual, R1 = 12.000 × fc r 12.000 1.000  V ( Ing.Esporádicos )0 =  + 2  × (1 + ) r  2  r

Interés

compuesto:

Rentas

141

Para calcular el número de abonados necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos A: V ( Inv + R en)0 + V ( Personal )0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ing. Abonados )0 + V ( Ing.Esporádicos )0 −  =  +V ( Alquiler )0  (1 + 0,1)3 − 1 600 × A × 0,1 12.000 1.000  0,1 = × (1 + 0,1) +  + × (1 + )− 3 2  (1 + 0,1) − (1 + 0, 06) 0,1  2  0,1   (1 + 0,1)5 − (1 + 0, 08)5 10.000 × (1 − 0, 25) × 1, 033  2.000 ×  × (1 + r ) + + 5 6 3 (1 + 0,1) × (0,1 − 0, 08) (1 + 0,1) − (1 + 0, 08)     5,5   3.000 × 12 × (1 + 0,1 × ) × 1, 02 4 5,5 (1 + 0,1) − 1 1 12  −  +3.000 × 12 × (1 + 0,1 × )× + × +  12 r × (1 + 0,1)4 0,1 − 0, 02 (1 + 0,1)4    4  6.000 × 4 × (1 + 0,1 × 7,5 ) × (1 + 0,1) − 1    12 0,1 +  4 (1 + 0,1) − (1 + 0,1)  

Solución: A (r = 10%) = 71,52, esto es, 72 abonados. RES EJ 155. Situación: bar y comedor de un centro universitario durante 20 años. Datos: Gastos: ▪ Inversión y renovación. Inversión: 130.000 €. Renovación: cada 4 años, incremento del 10% de una vez para otra. ▪ Provisiones: 12.000 €/trimestre a pagar al comienzo de cada trimestre, incremento del 5% cada 2 años. ▪ Alquiler de local: 80.000 € cada 2 años a pagar al comienzo, incremento del 10% anual. Ingresos: ▪ Clientes habituales: 500 €/semestre que pagarán al comienzo, incremento anual de 30 €/semestre. ▪ Esporádicos: 80.000 € a lo largo del año, incremento del 3% anual. Incógnita: número de clientes habituales necesario para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 20 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN (valor actual de los ingresos menos valor actual de los gastos) y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪ Inversión y renovación del local. Inversión: 130.000 €. Renovación: renta periódica p = 4, inmediata, temporal t = 4, progresión geométrica g = 0,1 cada 4 años, R4 = 130.000 × 1,1 (coste con el incremento del 10%). V ( Inv + Ren)0 = 130.000 + 130.000 × 1,1 ×

(1 + r ) 4×4 − (1 + 0,1) 4 (1 + r ) 4×4 × (1 + r ) 4 − (1 + 0,1) 

142

Ejercicios ▪

resueltos de

Matemática Financiera

Provisiones: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 7,5/12), cada 2 años en progresión geométrica g = 0,05 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 2, t = 10, agrupando los 2 términos anuales constantes en uno bienal, R2 = 12.000 × 4 × fc × ((1 + r)2 – 1)/r. V ( Provisiones )0 = 12.000 × 4 × (1 + r × ×



7,5 (1 + r ) 2 − 1 )× × 12 r

(1 + r )10×2 − (1 + 0, 05)10 (1 + r )10×2 × (1 + r ) 2 − (1 + 0, 05) 

Alquiler: renta periódica p = 2, anticipada 2 años, temporal t = 10, en progresión geométrica g = 0,1 anual, R0 = 80.000. Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas periódicas en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 10 términos y vemos que la fórmula resultante es:

V ( Alquiler )0 = 80.000 × 10 Ingresos:

▪

▪



Clientes habituales: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 9/12), temporal t = 20, en progresión aritmética a = 30 × 2 × fc × C anual, R1 = 500 × 2 × fc × C (número de clientes habituales).  (1 + r ) 20 − 1 30 × 2 30 × 2 × 20  9 V ( Ing. AClientes )0 =  × (500 × 2 + )−  × (1 + r × ) × C 20 20 r (1 + r ) × r  12  (1 + r ) × r

Esporádicos: renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 20, en progresión geométrica g = 0,03 anual, R1 = 80.000 × fc. r (1 + r ) 20 − (1 + 0, 03) 20 V ( Ing.Esporádicos )0 = 80.000 × (1 + ) × 2 (1 + r ) 20 × (r − 0, 03)

Para calcular el número de abonados necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos C:

V ( Inv + Ren)0 + V ( Provisiones )0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ing. Abonados )0 + V ( Ing.Esporádicos )0 −  =  +V ( Alquiler )0   (1 + 0,1)20 − 1 30 × 2 30 × 2 × 20  9 = × (500 × 2 + )−  × (1 + 0,1 × ) × C + 20 20 0,1 (1 + 0,1) × 0,1  12  (1 + 0,1) × 0,1 0,1 (1 + 0,1)20 − (1 + 0, 03) 20 +80.000 × (1 + )× − 2 (1 + 0,1)20 × (0,1 − 0, 03)   (1 + 0,1)4×4 − (1 + 0,1) 4 + 130.000 + 130.000 × 1,1 ×  4× 4 4   (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0,1)    −  2 10× 2 10 (1 + 0,1) − (1 + 0, 05)  +12.000 × 4 × (1 + 0,1 × 7,5 ) × (1 + 0,1) − 1 ×  + 80.000 × 10   12 0,1 (1 + 0,1)10×2 × (1 + 0,1)2 − (1 + 0, 05)   

Solución: C (r = 10%) = 41,96, esto es, 42 clientes habituales.

Interés

compuesto:

Rentas

143

RES EJ 156. Situación: bar y comedor de un centro universitario durante 40 años. Datos: Gastos: ▪

Inversión y renovación. Inversión: 130.000 €. Renovación: Cada 8 años, incremento del 2% cada 2 años.

▪

Provisiones: 12.000 €/semestre a pagar al comienzo de cada semestre, incremento del 5% cada 2 años.

▪

Alquiler de local: 70.000 € cada 2 años a pagar al comienzo, incremento del 10% anual.

Ingresos: ▪

Clientes habituales: 500 € a pagar a finales de marzo, septiembre y diciembre, incremento anual de 40 €/semestre.

▪

Esporádicos: 70.000 € a lo largo del año, incremento del 3% anual.

Incógnita: número de clientes habituales necesario para obtener una rentabilidad anual del 10% durante 40 años. Para resolver el problema planteamos la ecuación del VAN y calculamos los pagos por la concesión teniendo en cuenta r = 10%. Así, pues, analizamos cada aspecto del negocio, y calculamos el VAN. Gastos: ▪

▪

Inversión y renovación del local. Inversión: 130.000 €. Renovación: renta periódica p = 8, inmediata, temporal t = 4, progresión geométrica g = 0,02 cada 2 años, R8 = 130.000 × 1,024 (coste con el incremento del 2% bienal). V ( Inv + Ren)0 = 130.000 + 130.000 × 1, 024 ×

Provisiones: Renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 9/12), cada 4 años en progresión geométrica g = 0,1 por lo que convertimos la renta de entera a periódica p = 4, t = 10, agrupando los 4 términos anuales constantes en uno cuatrienal, R4 = 20.000 × 2 × fc × ((1 + r)4 – 1)/r. V ( Provisiones )0 = 20.000 × 2 × (1 + r × ×

▪

(1 + r ) 4×8 − (1 + 0, 02) 4×4 (1 + r ) 4×8 × (1 + r )8 − (1 + 0, 02) 4 

9 (1 + r ) 4 − 1 )× × 12 r

(1 + r )10×4 − (1 + 0,1)10 (1 + r )10×4 × (1 + r ) 4 − (1 + 0,1) 

Alquiler: renta periódica p = 2, anticipada 2 años, temporal t = 20, en progresión geométrica g = 0,1 anual, R0 = 70.000.

144

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera



Como g = r, no podemos utilizar la fórmula general de las rentas periódicas en progresión geométrica. Actualizamos uno a uno cada uno de los 10 términos y vemos que la fórmula resultante es:



V ( Alquiler )0 = 70.000 × 20

Ingresos: ▪

▪



Clientes habituales: renta fraccionada que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r × 4/12), temporal t = 40, en progresión aritmética a = 40 × 2 × fc × C anual, R1 = 500 × 2 × fc × C (número de clientes habituales).  (1 + r ) 40 − 1 40 × 2 40 × 2 × 40  V ( Ing.Clientes )0 =  × (500 × 2 + )− × 40 r (1 + r )40 × r   (1 + r ) × r 4 × (1 + r × ) × C 12

Esporádicos: Renta continua que se convierte en entera inmediata con factor corrector fc = (1 + r/2), temporal t = 40, en progresión geométrica g = 0,03 anual, R1 = 70.000 × fc: r (1 + r ) 40 − (1 + 0, 03) 40 V ( Ing.Esporádicos )0 = 70.000 × (1 + ) × 2 (1 + r ) 40 × (r − 0, 03)

Para calcular el número de abonados necesario para obtener una rentabilidad anual del 10%, planteamos la ecuación del VAN para r = 10% y despejamos C: V ( Inv + Ren)0 + V ( Provisiones )0 +  VAN(r = 10%) = V ( Ing. Abonados )0 + V ( Ing.Esporádicos )0 −  =  + V ( Alquiler )0   (1 + 0,1)40 − 1 40 × 2 40 × 2 × 40  4 = × (500 × 2 + )−  × (1 + 0,1 × ) × C + 40 0,1 (1 + 0,1) 40 × 0,1  12  (1 + 0,1) × 0,1 + 70.000 × (1 +

0,1 (1 + 0,1)40 − (1 + 0, 03) 40 )× − 2 (1 + 0,1)40 × (0,1 − 0, 03)

  (1 + 0,1)4×8 − (1 + 0, 02) 4×4 4 + 130.000 + 130.000 × 1, 02 ×  4×8 8 4 (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0, 02)    −  4 10× 4 10 9 (1 + 0,1) − 1 (1 + 0,1) − (1 + 0,1)  +20.000 × 2 × (1 + 0,1 × ) × × + 70.000 × 20  10× 4 4   12 0,1 (1 + 0,1) × (1 + 0,1) − (1 + 0,1)   

Solución: C (r = 10%) = 61,41, esto es, 62 clientes habituales.

Préstamos: Métodos de amortización

5

Objetivos A medida que se realizan los diferentes ejercicios propuestos, se ha de conseguir:

▪ Entender el concepto de préstamo en relación con el de inversión (uno invierte el otro toma un préstamo). ▪ Comprender que todo préstamo implica la devolución del principal y el pago de un interés. ▪ Conocer y entender los diferentes sistemas de amortización (pago de principal e intereses) de un préstamo. ▪ Saber resolver problemas de préstamos de acuerdo a los diferentes sistemas de amortización existentes. ▪ Profundizar en la amortización de préstamos según el sistema francés. ▪ Entender el concepto de carencia (de amortización o de amortización e intereses) en los préstamos. ▪ Saber calcular la TAE de cualquier préstamo: con o sin comisiones. ▪ Entender y saber construir el cuadro de amortización de un préstamo a amortizar según el sistema francés. ▪ Profundizar en la amortización de préstamos según el sistema americano. ▪ Entender y saber construir el cuadro de constitución de un préstamo a amortizar según el sistema americano.

146

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

UNAS BREVES NOTAS TÉCNICAS ▪ Un préstamo es una operación financiera por la que se transfieren, por un determinado periodo de tiempo, fondos de las manos de quien tiene un excedente de liquidez y quiere invertir sus recursos para obtener cierta rentabilidad de los mismos (prestamista, normalmente una entidad financiera) hacia las manos de quien necesita dichos recursos (prestatario) y está dispuesto a pagar por ello. ▪ Así, pues, todo préstamo supone la transferencia inicial de una cantidad de dinero (principal del préstamo) del prestamista al prestatario, asumiendo el segundo (prestatario) la doble obligación de devolver el dinero recibido en uno o varios plazos (amortización del préstamo) y pagar intereses durante el tiempo que dure la cesión y de acuerdo a la tasa acordada. ▪ Según como se establezca el cumplimiento de la obligación de amortización y pago de intereses por parte del prestatario, los préstamos pueden ser de diferentes tipos:  Reembolso único.  In fine.  De cuota de amortización constante.  Sistema francés.  Sistema americano. ▪ En los préstamos reembolso único, la amortización del préstamo y el pago de intereses se realiza de una vez al vencimiento del mismo, sin que medie pago alguno por parte del prestatario desde el momento de recibir el principal hasta dicho vencimiento. Son préstamos poco comunes por el riesgo de posible insolvencia que conllevan para el prestamista.

La cantidad a pagar al vencimiento es igual al valor capitalizado del principal, de acuerdo a la tasa de interés y plazo acordados: Pt = P0 × (1 + r )t



donde Pt es la cantidad a devolver al vencimiento, P0 es el principal del préstamo, r el tipo de interés acordado y t el número de periodos de capitalización durante la vida del préstamo.

▪ En los préstamos in fine, la amortización del préstamo se realiza de una vez al vencimiento del mismo, pero, contrariamente a lo que sucede con los anteriores, el prestatario realiza desembolsos periódicos de intereses. Como el préstamo no se amortiza hasta su vencimiento, la cantidad periódica a pagar en concepto de intereses es constante durante toda la vida de este. Al igual que en el caso anterior, este tipo de préstamos no es muy común por el riesgo que supone para el prestamista.

Préstamos: Métodos

de amortización

147

▪ En los préstamos de cuota de amortización constante, el prestatario se compromete, además de a realizar pagos periódicos de intereses, a amortizar el principal del préstamo en partes iguales a lo largo de la vida del mismo. La cuota de amortización constante se calcula dividiendo el principal entre el número de pagos acordados. La cantidad adeudada va reduciéndose de esta forma, así como los intereses a abonar periódicamente. El riesgo de insolvencia en este tipo de préstamos es menor. Hace unos años eran relativamente frecuentes. ▪ En los préstamos a amortizar por el sistema francés, el prestatario acuerda el pago periódico de unas cuotas constantes que comprenden el pago de intereses y la amortización de una parte del principal. La descomposición de estas cuotas entre interés y amortización se presenta en los llamados cuadros de amortización. A medida que pasa el tiempo, y como consecuencia de las sucesivas amortizaciones, la cantidad de la cuota destinada al pago de intereses disminuye y, como consecuencia, la destinada a amortización aumenta. Son, hoy en día, los más utilizados. ▪ El cálculo de las cuotas constantes a abonar periódicamente por el prestatario se realiza teniendo en cuenta que estas cuotas forman una renta constante, entera y temporal cuyo valor actual ha de ser igual al principal del préstamo recibido:





P0 = C ×

(1 + r )t − 1 (1 + r )t × r

C = P0 ×

(1 + r )t × r (1 + r )t − 1

Despejamos C,

Estos préstamos se pueden presentar con diferentes variantes, entre otras:  Carencia de amortización durante una parte de la vida del préstamo: se pagan sólo intereses y la deuda pendiente permanece constante.  Carencia de amortización e intereses: no se abona cantidad alguna durante un determinado periodo de tiempo, incrementándose el importe adeudado de acuerdo a los intereses generados no pagados.  Tipos de interés variables a lo largo de la vida del préstamo: las cuotas se van recalculando para adecuarse a los nuevos tipos de interés.  Tipos de interés fijos, pero diferentes para los distintos periodos del préstamo: existe una cuota constante a lo largo de la vida del préstamo que satisface los diferentes tipos de interés acordados inicialmente.  Cuotas con incremento constante en progresión geométrica o aritmética

▪ Por último, en los préstamos bajo el sistema americano de amortización, el prestatario se compromete, al igual que en los préstamos in fine, al pago periódico de intereses (constante a lo largo de la vida del préstamo) y a la amortización de todo el principal al vencimiento. No obstante, a diferencia de los préstamos in fine, el prestamista le exige al prestario el seguimiento de un plan de ahorro al objeto de reducir el riesgo de posible insolvencia. Así, pues, el prestatario se ve obligado a destinar periódicamente una

148

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

cantidad constante de dinero que permita acumular, para el vencimiento del préstamo, el total del principal a devolver.





Como el prestamista normalmente es una entidad financiera, las cantidades exigidas en concepto de ahorro se ingresan en una cuenta, a nombre del prestatario, en la propia entidad prestamista. Estas cuentas suelen ser remuneradas con una tasa de interés, ra, inferior a la acordada para el préstamo, lo que deriva en un coste superior de este. El cálculo de las cuotas constantes a ingresar periódicamente por el prestatario en la cuenta de ahorro se realiza teniendo en cuenta que estas cuotas forman una renta constante, entera y temporal cuyo valor final ha de ser igual al principal del préstamo que deberá ser amortizado al vencimiento: P0 = A ×

(1 + ra )t − 1 ra

A = P0 ×

ra (1 + ra )t − 1

Despejamos A,

Los préstamos de este tipo se suelen acompañar de un cuadro de capitalización para conocer, periodo a periodo, en qué medida se incrementa el importe de la cuenta de ahorro gracias a las aportaciones del prestatario y al cobro de interés.

▪ El coste de un préstamo (rentabilidad para el prestamista) depende tanto de la tasa de interés y el periodo de capitalización estipulados (cuotas mensuales, semestrales, anuales, etc.), como de las posibles comisiones exigidas por el prestamista (comisiones de apertura, notario, etc.). El cálculo del coste se lleva a cabo igualando a 0 la ecuación del VAN de la operación.

Préstamos: Métodos

de amortización

149

EJERCICIOS EJ 157. Algunas cuestiones básicas: 1. Un préstamo a amortizar según el sistema americano: a. Es el que se utiliza en los bonos cupón americano. b. El desembolso a realizar es distinto todos los periodos aunque los intereses los mismos. c. Exige ahorrar una cantidad constante todos los periodos. 2. Un préstamo que se amortiza según el sistema francés exige el pago: a. De una cuota constante lo que supone intereses y amortización constantes en cada periodo. b. De intereses constantes y amortizaciones variables en cada periodo. c. De intereses y amortizaciones variables para cada periodo. 3. Un préstamo que se amortiza según el sistema americano exige el desembolso: a. De una cuantía constante en cada periodo. b. De cuantía variable que incluye pago de intereses constante. c. De intereses y nada más hasta el vencimiento donde se amortiza el préstamo en su totalidad. 4. Si tenemos un préstamo a amortizar por el sistema francés: a. Es siempre más barato que un préstamo a amortizar por el sistema americano. b. Sería más barato que un préstamo americano si el interés de la cuenta de ahorro fuera menor. c. Es más caro que el préstamo americano ya que este no me exige más que el pago de intereses y se amortiza todo al final. 5. Si la TAE de un préstamo a amortizar por el sistema francés en cuotas trimestrales es del 8,24%: a. El tipo nominal del préstamo será del 8% si hay gastos de apertura. b. El interés trimestral será inferior al 2% si hay gastos de apertura. c. Haya o no gastos de apertura no afectan al cálculo del interés nominal. 6. Un préstamo con carencia de intereses y amortización: a. Tendrá un coste efectivo mayor que uno con sólo carencia de amortización. b. Tendrá el mismo coste efectivo que uno sin carencia de intereses. c. Ninguna de las anteriores. 7. Un préstamo según el sistema francés: a. Me exige la entrega de una cantidad constante todos lo periodos. b. Al igual que en el préstamo americano, el importe de los intereses a pagar es constante. c. Las dos afirmaciones anteriores son verdaderas.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

8.

La cuota de amortización de un préstamo americano hay que calcularla teniendo en cuenta que: a. El importe del préstamo es igual al valor final de una renta entera, temporal y constante. b. El valor del préstamo se trata del valor actual de una renta entera, temporal y constante. c. Las cantidades entregadas han de sumar el importe del préstamo.

9.

Si tenemos un préstamo a amortizar por el sistema americano: a. Sería más caro que un préstamo sistema francés si el interés de la cuenta de ahorro fuera menor. b. Es siempre más caro que un préstamo a amortizar por el sistema francés. c. Es más barato que el préstamo francés ya que este no me exige más que el pago de intereses y se amortiza todo al final.

10. En los prestamos in fine: a. No se pagan intereses. b. La amortización no se lleva a cabo hasta el final de la vida de los mismos. c. Los bonos cupón cero son prestamos con amortización in fine. 11. Los préstamos a amortizar por el sistema americano suelen resultar más caros que los amortizados por el sistema francés porque: a. Los segundos utilizan capitalización compuesta y los primeros no. b. Las cuentas de ahorro en los primeros tienen peores intereses que los que se han de pagar por el dinero tomado en préstamo. c. No es cierto que sean más caros, por eso nos da siempre igual que la amortización sea por el sistema francés o americano. 12. En un préstamo por reembolso único: a. Se pagan intereses periódicamente, pero se amortiza la totalidad del préstamo de una vez al final. b. Son la forma de amortización de los bonos cupón americano con prima de amortización. c. Ninguna de las anteriores. 13. El coste de los préstamos a amortizar por el sistema americano siempre: a. Es inferior al de los préstamos bajo el sistema francés de amortización. b. Depende del tipo de interés de la cuenta de ahorro asociada. c. Es el más difícil de calcular. 14. Un préstamo in fine: a. Supone pago de intereses periódicamente, pero la amortización de la totalidad del préstamo al final. b. Sería igual a los bonos cupón cero con prima de amortización. c. Supone el pago de intereses y amortización al final de la vida del mismo.

Préstamos: Métodos

de amortización

151

15. En los préstamos: a. A amortizar por el sistema francés la cantidad de préstamo amortizado aumenta cada periodo. b. Con amortización constante, los intereses a pagar son crecientes. c. Los más comunes son los in fine. 16. En un préstamo a amortizar por el sistema americano conviene que el interés de la cuenta de ahorro sea: a. Lo mayor posible. b. Lo menor posible. c. No nos afecta porque lo que importa es el interés que pagamos por el préstamo. EJ 158. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema americano en 3 años y nos pagan en cuenta un 2% semestral. Haz el cuadro de capitalización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 159. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema americano en 3 años y nos pagan en cuenta un 3% semestral. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 160. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 161. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años y tiene carencia de amortización el primer año. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 162. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años y tiene carencia de amortización e intereses el primer año. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 163. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años y se decide entregar 200.000 € el primer semestre y 150.000 € el segundo. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 164. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6% el primer año y 7% los dos siguientes, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 165. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años con carencia de amortización el primer semestre. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6% el primer año y 7% los dos siguientes, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 166. Calcula la cantidad constante total a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años con carencia de amortización e intereses el primer semestre. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6% el primer año y 7% los siguientes, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 167. Calcula las cantidades a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años con incremento semestral del 1%. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 168. Calcula las cantidades a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años con incremento semestral del 3%. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 169. Calcula las cantidades a ingresar mensualmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema francés en 3 años con incremento semestral del 1%. Haz el cuadro de amortización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas mensuales y comisión de apertura 1%. EJ 170. Calcula las cantidades a ingresar semestralmente por un préstamo de 1.000.000 € si la amortización es por el sistema americano en 3 años, nos pagan en cuenta un 2% semestral y nos exigen un incremento en las cuotas del 1% semestral. Haz el cuadro de capitalización y calcula la TAE y la TAE por aproximación mixta. Tipo de interés 6%, cuotas semestrales y comisión de apertura 1%. EJ 171. En un préstamo de 2 millones a amortizar por el sistema francés en 8 cuotas semestrales con un tipo de interés 8% anual: 1. La cuota de amortización, supuestas cuotas constantes y sin ningún tipo de carencia, es: a. 297.055,66 €. b. 294.085,44 €. c. Ninguna de las anteriores.

Préstamos: Métodos 2.

3.

4.

de amortización

153

La amortización del segundo semestre será de: a. 71.317,77 €. b. 225.737,89 €. c. 442.793,55 €. La TAE del préstamo, dado que tiene una comisión de apertura del 1%, será: a. 8 (1,01) = 8,08%. b. 8,16 / 0,99 = 9,25%. c. Ninguna de las anteriores. Si nos hubieran dado la posibilidad de contar con 2 semestres de carencia de intereses y amortización, y el pago en 8 cuotas semestrales: a. La cuota a pagar sería mayor porque hay carencia de intereses. b. La cuota a pagar sería la misma porque no tenemos que pagar intereses. c. La cuota a pagar sería la misma porque se mantiene el tipo de interés.

EJ 172. En un préstamo de 5 millones al 12% anual, pagadero en 3 cuatrimestres según el sistema francés: 1. La cuota de amortización supuestas cuotas constantes y sin ningún tipo de carencia, es: a. 1.819.942,42 €. b. 1.801.742,70 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. En el segundo cuatrimestre: a. La amortización será de 3.267.555,11 €. b. Los intereses acumulados serán 1.732.444,89 €. c. Los intereses serán 135.930,29 €. 3. Si el préstamo fuera americano y el interés de la cuenta de ahorro fuera del 12% anual: a. El coste efectivo del préstamo sería inferior al 12% si no hay gastos de concesión. b. El coste efectivo del préstamo sería del 12,49% si no hay gastos de concesión. c. El coste efectivo del préstamo sería superior al 12,49% si no hay gastos de concesión. EJ 173. En un préstamo de 10 millones a amortizar por el sistema francés en 4 cuotas semestrales con un tipo de interés 12% anual: 1. La cuota de amortización, supuestas cuotas constantes y sin ningún tipo de carencia, es: a. 2.885.914,92 €. b. 2.857.055,85 €. c. Ninguna de las anteriores.

154

Ejercicios 2.

3.

4.

resueltos de

Matemática Financiera

La amortización del segundo semestre será de: a. 462.845,10 €. b. 2.423.069,82 €. c. 4.708.984,74 €. La TAE del préstamo anterior, dado que tiene una comisión de apertura del 1%, será: a. 12 (1,01) = 12,12%. b. 12,36 / 0,99 = 12,48%. c. Ninguna de las anteriores. Si la TAE de un préstamo a amortizar por el sistema francés en cuotas mensuales es del 6,168%: a. El tipo nominal del préstamo será del 6% si hay gastos de apertura. b. El interés mensual será inferior al 0,5% si hay gastos de apertura. c. Los gastos de apertura no afectan al cálculo del interés nominal.

EJ 174. En un préstamo de 10 millones al 8% anual, pagadero en tres semestres según el sistema francés: 1. La cuota de amortización, supuestas cuotas constantes y sin ningún tipo de carencia, es: a. 3.567.807,92 €. b. 3.603.485,39 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. En el segundo semestre: a. La amortización acumulada será 3.331.624,81 €. b. Los intereses serán 271.860,58 €. c. Los intereses acumulados serán 6.535.110,20 €. 3. Si el préstamo anterior fuera americano, y el interés de la cuenta de ahorro fuera del 8% anual: a. El coste efectivo del préstamo sería inferior al 8% si no hay gastos de concesión. b. El coste efectivo del préstamo sería del 8,16% si no hay gastos de concesión. c. El coste efectivo del préstamo sería superior al 8,16% si no hay gastos de concesión. EJ 175. Pedimos un préstamo a 1 año de 1.000.000 €. Acordamos un interés del 9%, pagos mensuales con carencia de intereses y amortización los 3 primeros meses (esto es, se pagan 9 cuotas mensuales en total). Sistema de amortización francés con interés revisable a los 6 meses. Comisión de apertura 1%. 1. La TAE del préstamo será: a. 9,38%. b. Superior a 9,38%. c. Inferior a 9,38%.

Préstamos: Métodos 2.

3.

de amortización

155

La TAE del préstamo será: a. Mayor. b. Menor. c. Igual que la de otro a pagar en cuotas anuales con igual interés nominal. Si en lugar de amortización por el sistema francés, nos aplicaran el sistema americano, la TAE de la cuenta de ahorro (supuestos pagos mensuales), para que nos resultara menor el coste, con igual pago de interés (esto es, al 9%) al banco, debería ser: a. 9,38%. b. Superior a 9,38%. c. Inferior a 9,38%.

EJ 176. Tomamos un préstamo de 3 millones al 6% interés anual, pagadero en cuotas semestrales durante 3 años por el sistema francés, con carencia de amortización e interés durante el primer año (esto es, se pagan 4 cuotas). 1. La cuota constante a pagar, será: a. 856.232,38 €. b. 807.081,14 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Si se negocia el pago de cuotas con un incremento del 3% semestral, la cuota a pagar el tercer semestre, contando que hay carencia de amortización e interés durante el primer año, será: a. 772.500 €. b. 819.545,25 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si el préstamo fuera in fine SIN carencia de amortización e interés, la amortización semestral sería por importe de: a. 500.000 € semestrales. b. Variaría de unos semestres a otros. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si el préstamo del enunciado con cuotas constantes tuviera una comisión de apertura del 1%, la TAE sería: a. 6% + 1%. b. 6,09% + 1%. c. Ninguna de las anteriores. 5. En el caso de cuotas constantes y sólo carencia de amortización por 1 año, la cuantía a pagar los dos primeros semestres sería: a. Cero. b. Variará porque los intereses se van acumulando. c. Será constante pero distinta a las otras 4.

156

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 177. Tomamos un préstamo de 2 millones al 10% interés anual, pagadero en cuotas trimestrales durante 1,5 años (6 trimestres): 1. Si la amortización es por el sistema francés, la cuota constante a pagar, será: a. 363.099,94 €. b. 459.214,92 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Si se negocia el pago de cuotas por el sistema francés con un incremento del 2,5% trimestral, la cuota a pagar el primer trimestre será: a. 434.299,58 €. b. 341.666,67 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si la amortización es por el sistema americano, la cuota constante a ahorrar cada trimestre en la cuenta de ahorro que nos abre el banco al 8% será: a. 333.33,333 €. b. 317.051,62 €. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si se amortiza por el sistema francés con carencia de amortización e intereses durante los dos primeros trimestres (se pagan 4 cuotas constantes): a. Pagamos los intereses para que no se nos acumulen al principal. b. No pagamos intereses pero no se acumulan al principal porque hemos acordado carencia de amortización e intereses. c. El banco nos va a cobrar más adelante los intereses que no hayamos pagado durante los dos primeros trimestres. 5. En el caso de que el préstamo se amortice con cuotas constantes por el sistema francés y carencia de amortización por 2 trimestres, la cuantía a pagar por intereses el tercer trimestre (esto es, el primero después de los dos trimestres de carencia de amortización) será: a. Ninguna de las siguientes. b. 200.000 €. c. 50.000 €. EJ 178. Tomamos un préstamo de 50.000 € al 4% interés anual, pagadero en cuotas trimestrales durante un año y medio. Comisión de apertura 1%. 1. La cuota constante a pagar, en amortización por el sistema francés con carencia de amortización e interés por dos trimestres, será: a. 13.071,62 €. b. 12.814,05 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Si se negocia carencia de amortización e interés y el pago de cuotas con un incremento del 1% trimestral, la cuota a pagar el último trimestre, según las condiciones del enunciado y sistema francés de amortización, será: a. 13.007,55 €. b. 13.269 €. c. 13.671,06 €.

Préstamos: Métodos 3.

4.

5.

6.

de amortización

157

En el caso de amortización por el sistema francés en 6 cuotas constantes: a. Los intereses a pagar el segundo trimestre serán 418,73 €. b. La amortización del tercer trimestre será 8.373,69 €. c. Ninguna de las anteriores. Si el préstamo fuera a amortizar por el sistema francés con 6 cuotas constantes: a. En el trimestre 3 se habrán amortizado en total 24.626,90 €. b. Una vez pagada la cuarta cuota quedarán por amortizar 17.254,84 €. c. Ninguna de las anteriores. En el caso de amortización por el sistema francés con cuotas constantes y carencia de amortización por 2 trimestres: a. El préstamo pendiente de pagar al banco los dos primeros trimestres no varía. b. Pagará más intereses al banco el segundo trimestre. c. La carencia de amortización incrementa el coste. El importe a desembolsar el segundo trimestre, si el préstamo fuera a amortizar por el sistema americano, en 6 trimestres con un 2% de interés en la cuenta de ahorro: a. 8.127,42 €. b. 8.729,77 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 179. Tomamos un préstamo de 10.000 € al 6% de interés anual, pagadero en cuotas bimestrales (cada 2 meses) durante un año. Comisión de apertura 1%. 1. En el caso de amortización por el sistema francés en 6 cuotas constantes: a. Los intereses a pagar el tercer bimestre serán 100 €. b. La amortización del cuarto bimestre será 1.674,73 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Si el préstamo fuera a amortizar por el sistema francés con 6 cuotas constantes: a. En el bimestre 4 se habrán amortizado en total 5.074,64 €. b. Una vez pagada la tercera cuota quedarán por amortizar 4.925,36 €. c. La cantidad pagada en concepto de interés en el segundo bimestre será de 83,75 €. 3. La cuota constante a pagar, en amortización por el sistema francés con carencia de amortización e interés por dos periodos, será: a. 2.614,32 €. b. 2.562,81 €. c. Ninguna de las anteriores. 4. En el caso de amortización por el sistema francés con cuotas constantes y carencia de amortización e intereses por 2 bimestres: a. El préstamo pendiente de pagar al banco los dos primeros bimestres no varía. b. El mayor pago de intereses se producirá el tercer bimestre. c. La carencia de amortización incrementa el coste.

158

Ejercicios 5.

6.

resueltos de

Matemática Financiera

Si se negocia carencia de amortización e interés y el pago de cuotas con un incremento del 1% bimestral, la segunda cuota a pagar, según las condiciones del enunciado y sistema francés de amortización, será: a. 2.550,25 €. b. 2.601,51 €. c. 2.650 €. El importe a desembolsar el segundo bimestre, si el préstamo fuera a amortizar por el sistema americano, en 6 cuotas bimestrales con un 3% de interés anual capitalizable bimestralmente en la cuenta de ahorro, será: a. 1.695,95 €. b. 1.745,95 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 180. Tomamos un préstamo de 50.000 € al 6% interés anual, con cuotas semestrales durante 3 años. Comisión de apertura 1%. 1. La cuota constante a pagar, en amortización por el sistema francés, será: a. 10.168,13 €. b. 9.229,88 €. c. 9.137,58 €. 2. La cuota a pagar el último semestre, si se acuerda amortización por el sistema francés con carencia de amortización e interés el primer año y cuotas con incremento semestral del 3%, será: a. 14.068,86 €. b. 14. 925,66 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si la amortización fuera por el sistema americano, y sin gastos, la TAE de la operación sería: a. 6,09%. b. 6,00%. c. Nos faltan datos para realizar el cálculo. 4. En el caso de amortización por el sistema francés con carencia de amortización por 1 año y 4 cuotas que se incrementan un 1% semestralmente, la deuda pendiente de amortizar al finalizar el primer año, será: a. 50.000 €. b. 53.045 €. c. Ninguna de las anteriores. 5. En caso de amortización por el sistema francés, carencia de amortización por 1 año y 4 cuotas con incremento semestral del 1%, el semestre 4 (2 antes del final): a. La cuota será 13.256,13 €. b. Los intereses serán 1.147,32 €. c. Se amortizarán 12.986,87 €.

Préstamos: Métodos 6.

de amortización

159

En caso de amortización por el sistema francés, carencia de amortización por 1 año y 4 cuotas con incremento semestral del 1%, el semestre 4 (2 antes del final), la amortización acumulada será: a. 26.644,82 €. b. 23.997,50 €. c. Ninguna de las anteriores.

EJ 181. Tomamos un préstamo de 30.000 € al 6% interés anual, pagadero en cuotas semestrales durante 3 años por el sistema francés, con carencia de amortización e interés durante el primer año (esto es, se pagan 4 cuotas) 1. La cuota constante a pagar, será: a. 8.562,32 €. b. 8.070,81 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Si se negocia el pago de cuotas con un incremento del 3% semestral, la cuota a pagar el tercer semestre, contando que hay carencia de amortización e interés durante el primer año, será: a. 7.725 €. b. 8.195,45 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si el préstamo fuera in fine SIN carencia de amortización e interés, la amortización semestral sería por importe de: a. 500.000 € semestrales. b. Variaría de unos semestres a otros. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si el préstamo a amortizar por el sistema francés con cuotas constantes tuviera una comisión de apertura del 1%, la TAE sería: a. 6% + 1%. b. 6,09% + 1%. c. Ninguna de las anteriores. 5. Con cuotas constantes y carencia de amortización 1 año, los dos primeros semestres el pago: a. Será cero. b. Variará porque los intereses se van acumulando. c. Será constante pero distinto a los otros 4. EJ 182. Tomamos un préstamo de 12.000 € al 8% interés anual, con cuotas semestrales durante 3 años. Comisión apertura 1%. 1. La cuota constante a pagar, en amortización por el sistema francés, será: a. 2.289,14 €. b. 2.266,25 €. c. 2.595,78 €.

160

Ejercicios 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

resueltos de

Matemática Financiera

La cuota a pagar el último semestre, si se acuerda amortización por el sistema francés con carencia de amortización e interés el primer año y cuotas con incremento semestral del 4%, será: a. 3.374,59 €. b. 3.795,96 €. c. 3.947,80 €. Si el préstamo se amortizara por el sistema de cuotas constantes de amortización (el resto igual): a. Se pagarían cuantías constantes en concepto de interés. b. El segundo semestre se debería abonar un total de 2.400 . c. Ninguna de las anteriores. En el caso de amortización con cuotas semestrales constantes por el sistema francés con carencia de amortización e interés por 1 año, al final del primer año (cuando faltan cuatro cuotas por pagar), la deuda pendiente de amortizar será: a. 12.000 €. b. 12.979,2 €. c. Ninguna de las anteriores. En el caso de amortización con cuotas semestrales constantes por el sistema francés con carencia de amortización e interés por 1 año, al final del segundo año (cuando faltan dos cuotas por pagar): a. El total amortizado para entonces habrá sido 6.744 €. b. Los intereses de ese semestre habrán resultado ser 407,70 €. c. Ese semestre se amortizarán 3.178,73 €. En el caso de amortización con cuotas semestrales por el sistema francés con carencia de amortización por 1 año y cuotas con incremento del 1% semestral, al final del segundo año (cuando faltan dos cuotas por pagar): a. La amortización acumulada será 5.700,30 €. b. Los intereses abonados habrán sido 480 €. c. La cuota pagada habrá sido 3.258,29 €. Si la amortización fuera por el sistema americano (cuotas constantes y sin carencia) y nos aplicaran, además de los datos del enunciado, un interés en cuenta del 5% anual capitalización semestral: a. Al final del segundo semestre tendremos acumulado en cuenta 3.804,17 €. b. Pagaremos todos los semestres un total de 2.178,60 €. c. El coste del préstamo será inferior al 8%. La TAE por aproximación mixta, del préstamo del enunciado, supuesto amortización por el sistema francés con 6 cuotas semestrales constantes, sería: a. 15,61%. b. 8,64%. c. Ninguna de las anteriores.

Préstamos: Métodos

de amortización

161

EJ 183. Tomamos un préstamo de 1.000 € al 6% de interés anual, con cuotas mensuales durante 1 año. Comisión de apertura 1%. 1. Las 12 cuotas constantes a pagar, en amortización por el sistema francés, serán de: a. 86,07 €. b. 85,21 €. c. 119,28 €. 2. La cuota a pagar, si se acuerda amortización por el sistema francés con carencia de amortización e interés los 3 primeros meses (9 cuotas en total) y cuotas constantes, será: a. 112,77 €. b. 115,62 €. c. 114,47 €. 3. Si el préstamo se amortizara por el sistema in fine (el resto los datos del enunciado): a. Se pagarían cuantías constantes en concepto de interés y amortización. b. El segundo mes se debería abonar un total de 5 . c. Se paga todo al final. 4. En el caso de amortización con cuotas mensuales constantes por el sistema francés con carencia de amortización e interés por 3 meses, tras pagar la quinta cuota (cuando faltan cuatro por pagar), la deuda pendiente de amortizar, será: a. 456,80 €. b. 452,19 €. c. Ninguna de las anteriores. 5. En el caso de amortización con cuotas mensuales constantes por el sistema francés con carencia de amortización e interés por 3 meses, al final del quinto mes (cuando faltan 7 cuotas por pagar): a. Del total del préstamo inicial, se habrán amortizado para entonces 221,64 €. b. Los intereses de ese mes habrán resultado ser 4,52 €. c. Cada mes se amortiza una parte menor del préstamo. 6. La TAE por aproximación mixta, del préstamo del enunciado, supuesto amortización por el sistema francés con 12 cuotas mensuales constantes, sería: a. 6,15%. b. 8,13%. c. Ninguna de las anteriores. 7. Si la amortización fuera por el sistema americano (cuotas constantes y sin carencia) y nos aplicaran, además de los datos del enunciado, un interés en cuenta del 5% anual capitalización mensual: a. Al final del segundo mes tendremos acumulado en cuenta 163,22 €. b. Pagaremos todos los meses un total de 88,33 €. c. El coste del préstamo será inferior al 6%.

162

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 184. Hemos firmado un préstamo por valor de 9.000 € al 7% interés anual, con cuotas semestrales durante 4 años. Comisión apertura 2%. 1. La cuota constante a pagar, en amortización por el sistema francés, con carencia de amortización e interés el primer semestre, será: a. 1.471,90 €. b. 1.492,95 €. c. 1.523,42 €. 2. La cuota a pagar el último semestre, si se acuerda amortización por el sistema francés con carencia de amortización e interés el primer semestre, y cuotas con incremento semestral del 4%, será: a. 1.357,46 €. b. 1.717,62 €. c. 1.659,54 €. 3. En el caso de sistema francés con carencia de amortización e interés el primer semestre y cuotas con incremento semestral del 4%, al final del segundo año (cuando faltan cuatro cuotas por pagar): a. La deuda pendiente será de 5.944,16 €. b. Los intereses de ese semestre habrán resultado 245,55 €. c. Ese semestre se amortizarán 1.176,40 €. 4. Si la amortización fuera por el sistema americano (cuotas constantes y sin carencia) y nos aplicaran, además de los datos del enunciado, un interés en cuenta del 4% anual capitalización semestral: a. Al final del tercer semestre tendremos acumulado en cuenta 3.145,77 €. b. Pagaremos todos los semestres un total de 1.048,59 €. c. La TAE por aproximación mixta del préstamo sería 9,91%. 5. La TAE por aproximación mixta del préstamo del enunciado, supuesto amortización por el sistema francés y cuotas constantes con carencia de amortización e interés el primer semestre, sería: a. 7,02%. b. 7,89%. c. 8,80%. EJ 185. Hemos firmado un préstamo por valor de 19.000 € al 10% interés anual, con cuotas semestrales durante 6 años. Comisión de apertura 2%. 1. La cuota constante a pagar, en amortización por el sistema francés, será: a. 2.100,81 €. b. 2.143,68 €. c. 2.181,27 €. 2. En el caso de sistema francés con cuotas constantes, al final del segundo año (cuando faltan ocho cuotas por pagar): a. La deuda pendiente será de 13.855,10 €. b. Los intereses de ese semestre habrán resultado 746,61 €. c. Ese semestre se amortizarán 5.144,90 € del préstamo.

Préstamos: Métodos 3.

4.

de amortización

163

Si la amortización fuera por el sistema francés con carencia de amortización e interés el primer año, y cuotas con incremento semestral del 4%: a. La cuota del cuarto semestre sería 2.295,40 €. b. La deuda pendiente al final del segundo semestre sería 19.950 €. c. Los intereses correspondientes al segundo semestre serían 997,5 €. Bajo el sistema americano de amortización, si se hubiera establecido un interés para la cuenta de ahorro del 3,5% semestral y cuotas constantes: a. La TAE resultaría inferior a la del préstamo en sistema francés. b. La cantidad total a desembolsar semestralmente sería de 2.251,20 €. c. Los intereses pagados por el préstamo se reducirán semestre a semestre a medida que se amortiza el préstamo.

164

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS RES EJ 157. Algunas cuestiones básicas: 1. Un préstamo a amortizar según el sistema americano: Solución: exige ahorrar una cantidad constante todos los periodos. Respuesta correcta: c. 2. Un préstamo que se amortiza según el sistema francés exige el pago: Solución: de intereses y amortizaciones variables para cada periodo. Respuesta correcta: c. 3. Un préstamo que se amortiza según el sistema americano exige el desembolso: Solución: de una cuantía constante en cada periodo. Respuesta correcta: a. 4. Si tenemos un préstamo a amortizar por el sistema francés: Solución: sería más barato que un préstamo americano si el interés de la cuenta de ahorro fuera menor. Respuesta correcta: b. 5. Si la TAE de un préstamo a amortizar por el sistema francés en cuotas trimestrales es del 8,24%: Solución: el interés trimestral será inferior al 2% si hay gastos de apertura. Respuesta correcta: b. 6. Un préstamo con carencia de intereses y amortización: Solución: tendrá el mismo coste efectivo que uno sin carencia de intereses. Respuesta correcta: b. 7. Un préstamo según el sistema francés: Solución: me exige la entrega de una cantidad constante todos lo periodos. Respuesta correcta: a. 8. La cuota de amortización de un préstamo americano hay que calcularla teniendo en cuenta que: Solución: el importe del préstamo es igual al valor final de una renta entera temporal constante. Respuesta correcta: a. 9. Si tenemos un préstamo a amortizar por el sistema americano: Solución: sería más caro que un préstamo francés si el interés de la cuenta de ahorro fuera menor. Respuesta correcta: a.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

165

10. En los préstamos in fine:

RESOLUCIÓN EJERCICIOS Solución:DE la amortización no se lleva a cabo hasta el final de la vida del mismo. Respuesta correcta: b. 11. Los préstamos a amortizar por el sistema americano suelen resultar más caros que los amortizados por el sistema francés porque: Solución: las cuentas de ahorro en los primeros tienen peores intereses que los que se han de pagar por el dinero tomado en préstamo. Respuesta correcta: b. 12. En un préstamo por reembolso único: Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 13. El coste de los préstamos a amortizar por el sistema americano siempre: Solución: depende del tipo de interés de la cuenta de ahorro asociada. Respuesta correcta: b. 14. Un préstamo in fine: Solución: supone pago de intereses periódicamente pero la amortización de la totalidad del préstamo al final. Respuesta correcta: a. 15. En los préstamos: Solución: a amortizar por el sistema francés la cantidad de préstamo amortizado aumenta cada periodo. Respuesta correcta: a. 16. En un préstamo a amortizar por el sistema americano, nos conviene que el interés de la cuenta de ahorro sea: Solución: lo mayor posible. Respuesta correcta: a. RES EJ 158. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = americano, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales rC.Ahorro = 2% semestral. Incógnitas: pago semestral, cuadro de capitalización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Ahorro en cuenta Intereses = 1.000.000 × 0,03 = 30.000 €

166

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = A ×

(1 + rs )t − 1 1,026 − 1 = A× ⇒ A = 158.525,81 rs 0,02

C = 30.000 + 158.525,81 = 188.525,81 € 2. Cuadro de capitalización: Periodo

Ahorro

Intereses Ahorro acum.

0

0

1

158.525,81

0

158.525,81

2

158.525,81

3.170,51

320.222,14

3

158.525,81

6.404,44

485.152,39

4

158.525,81

9.703,05

653.381,25

5

158.525,81

13.067,63

824.974,69

6

158.525,82

16.499,49

1.000.000

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 188.525,81×

(1 + rs )6 − 1 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6 × rs

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,95%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0395)2 – 1 = 8,06% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las seis cuotas constantes semestrales: VM =

6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 6 + 36 = = 21 6 2

Planteamos la fórmula del cálculo de r21 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r21 ) = 6 × 188.525,81 ⇒ ⇒ 990.000 × (1 + r21 ) = 1.131.154,86 ⇒ r21 = 14, 26% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21)12/21 – 1 = 7,91%

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

167

RES EJ 159. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = americano, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS rC.Ahorro = 3% semestral. Incógnitas: Pago semestral, cuadro de capitalización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Ahorro en cuenta Intereses = 1.000.000 × 0,03 = 30.000 € Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = A ×

(1 + rs )t − 1 1,036 − 1 = A× ⇒ A = 154.597,50 rs 0,03

C = 30.000 + 154.597,50 = 184.597,50 € 2. Cuadro de capitalización: Periodo

Ahorro

Intereses

0

Ahorro acum. 0

1

154.597,50

0

154.597,50

2

154.597,50

4.637,93

313.832,93

3

154.597,50

9.414,99

477.845,42

4

154.597,50

14.335,36

646.778,28

5

154.597,50

19.403,35

820.779,13

6

154.597,50

24.623,37

1.000.000

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 184.597,50 ×

(1 + rs )6 − 1 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6 × rs

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,30%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0330)2 – 1 = 6,71% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 6 + 36 = = 21 6 2

168

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Planteamos la fórmula del cálculo de r21 y resolvemos:

RESOLUCIÓN EJERCICIOS 1.000.000DE × 0,99 × (1 + r ) = 6 × 184.597,50 ⇒ 21

⇒ 990.000 × (1 + r21 ) = 1.107.585 ⇒ r21 = 11,88% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21)12/21 – 1 = 6,62% RES EJ 160. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales. Incógnitas: 1. pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1,036 − 1 = C × ⇒ C = 184.597,50 (1 + rs )t × rs 1,036 × 0,03

2. Cuadro de amortización: Periodo

Ahorro

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

1.000.000

1

184.597,50

30.000,00

154.597,50

154.597,50

845.402,50

2

184.597,50

25.362,08

159.235,43

313.832,93

686.167,08

3

184.597,50

20.585,01

164.012,49

477.845,41

522.154,59

4

184.597,50

15.664,64

168.932,86

646.778,28

353.221,72

5

184.597,50

10.596,65

174.000,85

820.779,12

179.220,88

6

184.597,51

5.376,63

179.220,88

1.000.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 184.597,50 ×

(1 + rs )6 − 1 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6 × rs

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando el valor de rs en excel, obtenemos el valor de 3,30%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0330)2 – 1 = 6,71%

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

169

4. TAE por aproximación mixta: RESOLUCIÓN DEelEJERCICIOS Calculamos VM de las cuotas semestrales: 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 6 + 36 VM = = = 21 6 2 Planteamos, la fórmula del cálculo de r21 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r21 ) = 6 × 184.597,50 ⇒ ⇒ 990.000 × (1 + r21 ) = 1.107.585 ⇒ r21 = 11,88% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21)12/21 – 1 = 6,62% RES EJ 161. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales, carencia de amortización un año. Incógnitas: pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: P × rs P × rs (1 + rs )t − 1 1 1.000.000 = + + C × × = 1 + rs (1 + rs )2 (1 + rs )t × rs (1 + rs )2 =

30.000 30.000 1, 034 − 1 1 + + C × × ⇒ C = 269.027, 05 1, 03 1, 032 1, 034 × 0, 03 1, 032

2. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

0 1 2 3 4 5 6

30.000,00 30.000,00 269.027,05 269.027,05 269.027,05 269.027,03

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 30.000,00 30.000,00 30.000,00 22.829,19 15.443,25 7.835,74

0 0 239.027,05 246.197,86 253.583,80 261.191,29

0 0 239.027,05 485.224,91 738.808,71 1.000.000,00

1.000.000 1.000.000 1.000.000 760.972,95 514.775,09 261.191,29 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN =

(1 + rs )4 − 1 30.000 30.000 1 + + 269.027, 05 × × − 1.000.000 × 0,99 = 0 2 4 1 + rs (1 + rs ) (1 + rs ) × rs (1 + rs )2

170

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. RESOLUCIÓN DEpara EJERCICIOS Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,24%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2– 1 = (1 + 0,0324)2 – 1 = 6,58% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 × 30.000 + 12 × 30.000 + (18 + 24 + 30 + 36) × 269.027, 05 = 26, 05 30.000 × 2 + 269.027, 05 × 4

Planteamos la fórmula del cálculo de r26,05 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r26,05 ) = 2 × 30.000 + 4 × 269.027, 05 ⇒ ⇒ 990.000 × (1 + r26,05 ) = 1.136.108, 2 ⇒ r26,05 = 14, 76% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r26,05)12/26,05 – 1 = 6,55% RES EJ 162. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales, carencia de amortización e intereses un año. Incógnitas: pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1 1,034 − 1 1 × =C× × ⇒ C = 285.410,79 t 2 (1 + rs ) × rs (1 + rs ) 1,034 × 0,03 1,032

2. Cuadro de amortización Periodo

Cuota

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

1.000.000

1

0

30.000,00

0

0

1.030.000

2

0

30.900,00

0

0

1.060.900

3

285.410,79

31.827,00

253.583,79

253.583,79

807.316,21

4

285.410,79

24.219,49

5

285.410,79

16.383,75

261.191,30

514.775,09

546.124,91

269.027,04

783.802,14

277.097,86

6

285.410,80

8.312,94

277.097,86

1.060.900,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

171

3. TAE:

RESOLUCIÓN DElaEJERCICIOS Planteamos ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 285.410, 79 ×

(1 + rs )4 − 1 1 × − 1.000.000 × 0,99 = 0 4 (1 + rs ) × rs (1 + rs )2

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,23%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0323)2 – 1 = 6,56% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

(18 + 24 + 30 + 36) = 27 4

Planteamos, la fórmula del cálculo de r27 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r27 ) = 4 × 285.410, 79 ⇒ 990.000 × (1 + r27 ) = 1.141.643,16 ⇒ ⇒ r27 = 15,32%

A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r27)12/27 – 1 = 6,54% RES EJ 163. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales, entrega de 200.000 € el primer semestre y de 150.000 € el segundo semestre. Incógnitas: pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = =

(1 + rs )t − 1 200.000 150.000 1 + + C × × = 1 + rs (1 + rs ) 2 (1 + rs )t × rs (1 + rs )2

200.000 150.000 1, 034 − 1 1 + +C× × ⇒ C = 189.637,16 2 4 1, 03 1, 03 1, 03 × 0, 03 1, 032

172

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. Cuadro de amortización:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Periodo

Cuota

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

1.000.000

1

200.000,00

30.000,00

170.000,00

170.000,00

830.000,00

2

150.000,00

24.900,00

125.100,00

295.100,00

704.900,00

3

189.637,16

21.147,00

168.490,16

463.590,16

536.409,84

4

189.637,16

16.092,30

173.544,86

637.135,02

362.864,98

5

189.637,16

10.885,95

178.751,21

815.886,24

184.113,76

6

189.637,18

5.523,41

184.113,77

1.000.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN =

(1 + rs )4 − 1 200.000 150.000 1 + + 189.637,16 × × − 1.000.000 × 0,99 = 0 2 1 + rs (1 + rs ) (1 + rs )4 × rs (1 + rs )2

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,30%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0330)2 – 1 = 6,71% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 × 200.000 + 12 × 150.000 + (18 + 24 + 30 + 36) × 189.637,16 = 21,18 200.000 + 150.000 + 189.637,16 × 4

Planteamos la fórmula del cálculo de r21,18 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r21,18 ) = 200.000 + 150.000 + 4 × 189.637,16 ⇒ ⇒ 990.000 × (1 + r21,18 ) = 1.108.548, 64 ⇒ r21,18 = 11,97% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21,18)12/21,18 – 1 = 6,62% RES EJ 164. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual el primer año y 7% anual los dos siguientes, cuotas = semestrales. Incógnitas: pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización

Préstamos: Métodos

173

de amortización capitulo

Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = C × =C×

(1 + rs1 )t − 1 (1 + rs 2 )t − 1 1 +C× × = t t (1 + rs1 ) × rs1 (1 + rs 2 ) × rs 2 (1 + rs1 )2

1, 032 − 1 1, 0354 − 1 1 +C× × ⇒ C = 186.022,32 2 4 1, 03 × 0, 03 1, 035 × 0, 035 1, 032

2. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

1.000.000

1

186.022,32

30.000,00

156.022,32

156.022,32

843.977,68

2

186.022,32

25.319,33

3

186.022,32

23.914,61

160.702,99

316.725,31

683.274,69

162.107,71

478.833,02

521.166,98

4

186.022,32

18.240,84

5

186.022,32

12.368,49

167.781,48

646.614,49

353.385,51

173.653,83

820.268,32

179.731,68

6

186.022,29

6.290,61

179.731,68

1.000.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 186.022,32 ×

(1 + rs )6 − 1 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6 × rs

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,54%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2– 1 = (1 + 0,0354)2 – 1 = 7,21% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 + 36 = 21 2

Planteamos la fórmula del cálculo de r21 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r21 ) = 6 × 186.022,32 ⇒ 990.000 × (1 + r21 ) = 1.116.133,92 ⇒ ⇒ r21 = 12, 74%

A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21)12/21 – 1 = 7,09%

174

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 165. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual el primer año y 7% anual los dos RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS siguientes, cuotas = semestrales, carencia de amortización el primer semestre. Incógnitas: pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: P × rs1 (1 + rs 2 )t − 1 C 1 1.000.000 = + + C × × = (1 + rs1 )1 (1 + rs1 )2 (1 + rs 2 )t × rs 2 (1 + rs1 )2 =

30.000 C 1, 0354 − 1 1 + + C × × ⇒ C = 220.411, 41 1, 031 1, 032 1, 0354 × 0, 035 1, 032

2. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

Intereses

Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

1.000.000

1

30.000

30.000,00

0,00

0,00

1.000.000,00

2

220.411,41

30.000,00

190.411,41

190.411,41

809.588,59

3

220.411,41

28.335,60

192.075,81

382.487,22

617.512,78

4

220.411,41

21.612,95

198.798,46

581.285,68

418.714,32

5

220.411,41

14.655,00

205.756,41

787.042,09

212.957,91

6

220.411,44

7.453,53

212.957,91

1.000.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN =

(1 + rs )5 − 1 30.000 1 + 220.411, 44 × × − 1.000.000 × 0,99 = 0 5 1 + rs (1 + rs ) × rs (1 + rs )

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,51%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2– 1 = (1 + 0,0351)2 – 1 = 7,14% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 × 30.000 + (12 + 18 + 24 + 30 + 36) × 220.411, 41 = 23,52 30.000 + 220.411, 41 × 5

Préstamos: Métodos

175

de amortización capitulo

Planteamos la fórmula del cálculo de r23,52 y resolvemos:

RESOLUCIÓN EJERCICIOS 1.000.000DE × 0,99 × (1 + r23,52 ) = 30.000 + 5 × 220.411, 41 ⇒ ⇒ 990.000 × (1 + r23,52 ) = 1.132.057, 05 ⇒ r23,52 = 14,35% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r23,52)12/23,52 – 1 = 7,08% RES EJ 166. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual el primer año y 7% anual los dos siguientes, cuotas = semestrales, carencia de amortización e intereses el primer semestre. Incógnitas: pago semestral, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = =

(1 + rs 2 )t − 1 C 1 + C × × = 2 t (1 + rs1 ) (1 + rs 2 ) × rs 2 (1 + rs1 )2

C 1, 0354 − 1 1 + C × × ⇒ C = 227.023, 76 2 4 1, 03 1, 035 × 0, 035 1, 032

2. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0 1

1.000.000 0

30.000,00

0

0

1.030.000,00

2

227.023,76

30.900,00

196.123,76

196.123,76

833.876,24

3

227.023,76

29.185,67

197.838,09

393.961,85

636.038,15

4

227.023,76

22.261,34

204.762,42

598.724,28

431.275,72

5

227.023,76

15.094,65

211.929,11

810.653,39

219.346,61

6

227.023,75

7.677,13

219.346,62

1.030.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 227.023, 76 ×

(1 + rs )5 − 1 1 × − 1.000.000 × 0,99 = 0 5 (1 + rs ) × rs (1 + rs )

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE.

176

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,51%, por lo que la TAE será: 2 RESOLUCIÓN TAE = (1DE + rs )EJERCICIOS – 1 = (1 + 0,0351)2 – 1 = 7,14% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: 12 + 36 VM = = 24 2 Planteamos la fórmula del cálculo de r24 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r24 ) = 5 × 227.023, 76 ⇒ 990.000 × (1 + r24 ) = 1.135.118,8 ⇒ ⇒ r23,52 = 14, 66% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r24)12/24 – 1 = 7,08% RES EJ 167. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales con incremento, g, del 1%. Incógnitas: pagos semestrales, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pagos semestrales, C1 a C6: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = C ×

(1 + rs )t − (1 + g )t 1,036 − 1,016 = C × ⇒ C1 = 180.190,59 (1 + rs )t × (rs − g ) 1,036 × (0,03 − 0,01)

El resto de las cantidades se calcula multiplicando C1 por 1,01 elevado a las potencias de 1, 2, 3, 4 y 5. C2 = 181.992,50, C3 = 183.812,42, C4 = 185.650,55, C5 = 187,507,05 y C6 = 189.382,14 2. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

1.000.000

1

180.190,59

30.000,00

150.190,59

150.190,59

2

181.992,50

25.494,28

156.498,21

306.688,80

693.311,20

3

183.812,42

20.799,34

163.013,08

469.701,89

530.298,11

4

185.650,55

15.908,94

169.741,60

639.443,49

360.556,51

5

187.507,05

10.816,70

176.690,36

816.133,85

183.866,15

6

189.382,14

5.515,98

183.866,16

1.000.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

849.809,41

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

177

3. TAE:

RESOLUCIÓN DElaEJERCICIOS Planteamos ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 180.190,59 ×

(1 + rs )6 − (1 + 0, 01)6 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6 × (rs − 0, 01)

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,30%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0330)2 – 1 = 6,71% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 × 180.190,59 + 12 × 181.992,50 + 18 × 183.992,50 + 24 × 185.650,55 + 180.190,59 + 181.992,50 + 183.992,50 + 185.650,55 + 187.507, 05 + 189.382,14V

+

30 × 187.507, 05 + 36 × 189.382,14 = 180.190,59 + 181.992,50 + 183.992,50 + 185.650,55 + 187.507, 05 + 189.382,14V

=

23.475.500, 28 = 21,17 1.108.535, 24

Planteamos la fórmula del cálculo de r21,17 y resolvemos: 1.000.000 × 0,99 × (1 + r21,17 ) = 1.108.535, 24 ⇒ ⇒ 990.000 × (1 + r21,17 ) = 1.108.535, 24 ⇒ r21,17 = 11,97% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21,17)12/21,17 – 1 = 6,62% RES EJ 168. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales con incremento, g, del 3%. Incógnitas: pagos semestrales, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pagos semestrales, C1 a C6:

C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = C ×

(1 + rs )t − (1 + g )t 1, 036 − 1, 036 0 =C× = ⇒ Indeterminación t 6 (1 + rs ) × (rs − g ) 1, 03 × (0, 03 − 0, 03) 0

178

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Para evitar la indeterminación, actualizamos uno a uno cada uno de los pagos a realizar:DE EJERCICIOS RESOLUCIÓN 1.000.000 = =

C C × (1 + 0, 03) C × (1, 03)5 + + ... + = 2 1 + rs (1 + rs ) (1 + rs )6

C C × (1 + 0, 03) C × (1, 03)5 6 × C + + ... + = ⇒ C1 = 171.666, 67 2 1, 03 (1, 03) (1, 03)6 1, 03

El resto de las cantidades se calcula multiplicando C1 por 1,03 elevado a las potencias de 1, 2, 3, 4 y 5. C2 = 176,816,67, C3 = 182,121,17, C4 = 187,584,81, C5 = 193,212,35 y C6 = 199.008,70 2. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

0 1 2 3 4 5 6

171.666,67 176.816,67 182.121,17 187.584,81 193.212,35 199.008,70

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 30.000,00 25.750,00 21.218,00 16.390,90 11.255,09 5.796,37

141.666,67 151.066,67 160.903,17 171.193,90 181.957,26 193.212,33

141.666,67 292.733,34 453.636,51 624.830,41 806.787,67 1.000.000,00

1.000.000 858.333,33 707.266,66 546.363,49 375.169,59 193.212,33 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VAN = 171.666, 67 ×

(1 + rs )6 − (1 + 0, 03)6 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6 × (rs − 0, 03)

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,30%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0330)2 – 1 = 6,71% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas semestrales: VM =

6 × 171.666, 67 + 12 × 176.816, 67 + 18 × 182.121,17 + 171.666, 67 + 76.816, 67 + 182.121,17 + 187.584,81 + 193.212,35 + 199.008, 70

+

24 × 187.584,81 + 30 × 193.212,35 + 36 × 199.008, 70 = 171.666, 67 + 76.816, 67 + 182.121,17 + 187.584,81 + 193.212,35 + 199.008, 70

=

23.892.700,13 = 21,52 1.110.410,37

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

179

Planteamos la fórmula del cálculo de r21,52 y resolvemos:

RESOLUCIÓN EJERCICIOS 1.000.000DE × 0,99 × (1 + r21,52 ) = 1.110.410,37 ⇒ 990.000 × (1 + r21,52 ) = = 1.110.410,37 ⇒ r21,52 = 12,16% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21,52)12/21,52 – 1 = 6,61% RES EJ 169. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = mensuales con incremento, g, del 1% semestral. Incógnitas: pagos mensuales, cuadro de amortización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pagos mensuales, C1 a C36:

C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas mensualmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000.000 € en este caso. Podemos considerar 6 rentas constantes de 6 términos cada una, o bien, agrupar los términos constantes a la altura del último y tratar la renta resultante (renta en progresión geométrica y periódica):  (1 + rm )6 − 1   (1 + rm )6 − 1  1 1.000.000 = C1 × +  + C1 × 1, 01 × × 6 6 (1 + r ) × r (1 + r ) × r (1 + rm )6 m m  m m      (1 + rm )6 − 1  (1 + rm )6 − 1  1 + C1 × 1, 012 × + ... + C1 × 1, 015 × × × 6 12 (1 + rm ) × rm  (1 + rm ) (1 + rm )6 × rm    ×

1 ⇒ C1 = 29.695,99 (1 + rm )30

ó  (1 + rm )6 − 1  (1 + rm ) p×t − (1 + g )t 1.000.000 = C1 × = × p ×t p rm   (1 + rm ) × (1 + rm ) − (1 + g )   (1 + 0, 005)6 − 1  (1 + 0, 005)6×6 − (1 + 0, 01)6 = C1 × × ⇒ C1 = 29.695,99  6×6 6 0, 005   (1 + 0, 005) × (1 + 0, 005) − (1 + 0, 01) 

Las 6 primeras cantidades mensuales, C1 a C6, serán iguales a C1, el resto de las cantidades se calcula multiplicando C1 por 1,01 elevado a las potencias de 1, 2, 3, 4 y 5. C7 a C12 = 29.992,95; C13 a C18 = 30.292,88; C19 a C24 = 30.595,81; C25 a C30 = 30.901,77; y, C31 a C36 = 31.210,78

180

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. Cuadro de amortización:

RESOLUCIÓN DECuota EJERCICIOS Periodo Intereses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

29.695,99 29.695,99 29.695,99 29.695,99 29.695,99 29.695,99 29.992,95 29.992,95 29.992,95 29.992,95 29.992,95 29.992,95 30.292,88 30.292,88 30.292,88 30.292,88 30.292,88 30.292,88 30.595,81 30.595,81 30.595,81 30.595,81 30.595,81 30.595,81 30.901,77 30.901,77 30.901,77 30.901,77 30.901,77 30.901,77 31.210,78 31.210,78 31.210,78 31.210,78 31.210,78 31.210,70

5.000,00 4.876,52 4.752,42 4.627,70 4.502,36 4.376,40 4.249,80 4.121,08 3.991,72 3.861,72 3.731,06 3.599,75 3.467,78 3.333,66 3.198,86 3.063,39 2.927,25 2.790,42 2.652,90 2.513,19 2.372,78 2.231,66 2.089,84 1.947,31 1.804,07 1.658,58 1.512,36 1.365,42 1.217,74 1.069,32 920,15 768,70 616,49 463,52 309,78 155,28

Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 24.695,99 24.819,47 24.943,57 25.068,29 25.193,63 25.319,59 25.743,15 25.871,87 26.001,23 26.131,23 26.261,89 26.393,20 26.825,09 26.959,22 27.094,02 27.229,49 27.365,63 27.502,46 27.942,90 28.082,62 28.223,03 28.364,15 28.505,97 28.648,50 29.097,70 29.243,19 29.389,40 29.536,35 29.684,03 29.832,45 30.290,63 30.442,08 30.594,29 30.747,27 30.901,00 31.055,43

24.695,99 49.515,46 74.459,03 99.527,31 124.720,94 150.040,53 175.783,69 201.655,55 227.656,78 253.788,02 280.049,91 306.443,11 333.268,20 360.227,42 387.321,44 414.550,92 441.916,56 469.419,02 497.361,92 525.444,54 553.667,57 582.031,72 610.537,68 639.186,18 668.283,88 697.527,06 726.916,47 756.452,81 786.136,84 815.969,30 846.259,93 876.702,01 907.296,30 938.043,57 968.944,57 1.000.000,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

1.000.000 975.304,01 950.484,54 925.540,97 900.472,69 875.279,06 849.959,47 824.216,31 798.344,45 772.343,22 746.211,98 719.950,09 693.556,89 666.731,80 639.772,58 612.678,56 585.449,08 558.083,44 530.580,98 502.638,08 474.555,46 446.332,43 417.968,28 389.462,32 360.813,82 331.716,12 302.472,94 273.083,53 243.547,19 213.863,16 184.030,70 153.740,07 123.297,99 92.703,70 61.956,43 31.055,43 0,00

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

181

3. TAE: RESOLUCIÓN DElaEJERCICIOS Planteamos ecuación del VAN e igualamos a 0:  (1 + rm )6 − 1   (1 + rm )6 − 1  1 VAN = C1 × + C × 1, 01 × +   1 × 6 6 (1 + r ) × r (1 + r ) × r (1 + rm )6 m m  m m      (1 + rm )6 − 1  (1 + rm )6 − 1  1 5 + C1 × 1, 012 × × + ... + C × 1, 01 ×   × 1 (1 + rm )6 × rm  (1 + rm )12 (1 + rm )6 × rm    1 × − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rm )30 ó  (1 + rm )6 − 1  (1 + rm ) p×t − (1 + g )t VAN = C1 × − 1.000.000 × 0,99 = × p ×t p rm   (1 + rm ) × (1 + rm ) − (1 + g )   (1 + rm )6 − 1  (1 + rm )6×6 − (1 + 0, 01)6 = C1 × − 1.000.000 × 0,99 = 0 × 6×6 6 rm   (1 + rm ) × (1 + rm ) − (1 + 0, 01) 

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rm y, a partir de ella, la TAE. Calculando rm en excel obtenemos el valor de 0,5558%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rm )12 – 1 = (1 + 0,005558)12 – 1 = 6,88% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de las cuotas mensuales: 1 × 29.695,99 + 2 × 29.695,99 + ... + 36 × 31.210, 70 = 6 × (29.695,99 + 29.992,95 + 30.292,88 + 30.595,81 + 30.901, 77 + 31.210, 78) 20.469.467,1 = = 18, 67 1.096.140,99

VM =

Planteamos la fórmula del cálculo de r18,67 y resolvemos:

1.000.000 × 0,99 × (1 + r18,67 ) = 1.096.140,99 ⇒ 990.000 × (1 + r18,67 ) = = 1.096.140,99 ⇒ r18,67 = 10, 72%

A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r18,67)12/18,67 – 1 = 6,77% RES EJ 170. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 3 años, gastos de concesión = 1%, sistema de amortización = americano, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales rC.Ahorro = 2% semestral con incremento de cuota, g, del 1% semestral. Incógnitas: pagos semestrales, cuadro de capitalización, TAE y TAE por aproximación mixta. 1. Pago semestral, C: C = Intereses + Ahorro en cuenta Intereses = 1.000.000 × 0,03 = 30.000 €

182

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS esto es, 1.000.000 € en este caso: 1.000.000 = A1 ×

(1 + rs )t − (1 + g )t 1,026 − 1,016 = A 1× ⇒ A1 = 154.697,54 rs − g 0,02 − 0,01

C1 = 30.000 + 154.697,54 = 184.697,54 € El resto de las cantidades ahorradas semestralmente se calcula multiplicando A1 por 1,01 elevado a las potencias de 1, 2, 3, 4 y 5. A2 = 156.244,52, A3 = 157.806,96, A4 = 159.385,03, A5 = 160.978,88 y A6 = 162.588,67 2. Cuadro de capitalización: Periodo

Cuota

Intereses

Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

5.000.000

1

1.801.742,70 200.000,00

2

1.801.742,70 135.930,29

3

1.801.742,69 69.297,80S

1.601.742,70

1.601.742,70

3.398.257,30

1.665.812,41

3.267.555,11

1.732.444,89

1.732.444,89

5.000.000,00

0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

3. TAE: Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: 184.697,54 186.244,52 187.806,96 189.385, 03 190.978,88 VAN = + + + + + 1 + rs (1 + rs )2 (1 + rs )3 (1 + rs )4 (1 + rs )5 +

192.588, 69 − 1.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )6

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,93%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0393)2 – 1 = 8,01% 4. TAE por aproximación mixta: Calculamos el VM de los pagos semestrales: VM =

6 × 184.697,54 + 12 × 186.244,52 + 18 × 187.806,96 + 184.697,54 + 186.244,52 + 187.806,96 + 189.385, 03 + 190.978,88 + 192.588, 69

+

24 × 189.385, 03 + 30 × 190.978,88 + 36 × 192.588, 69 = 184.697,54 + 186.244,52 + 187.806,96 + 189.385, 03 + 190.978,88 + 192.588, 69

=

23.931.444, 72 = 21,15 1.131.701, 62

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

183

Planteamos la fórmula del cálculo de r21,15 y resolvemos:

RESOLUCIÓN EJERCICIOS 1.000.000DE × 0,99 × (1 + r21,15 ) = 1.131.701, 62 ⇒

⇒ 990.000 × (1 + r21,15 ) = 1.131.701, 62 ⇒ r21,15 = 14,31% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21,15)12/21,15 – 1 = 7,89% RES EJ 171. Datos del problema: P = 2.000.000 €, t = 4 años, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 8% anual, cuotas = semestrales. 1. Incógnita: cuota semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 2.000.000 € en este caso: 2.000.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1,048 − 1 = C × ⇒ C = 297.055,66 (1 + rs )t × rs 1,048 × 0,04

Solución: C = 297.055,66 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: amortización del segundo semestre, A2. Hacemos el cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cuota

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

297.055,66 80.000,00 297.055,66 71.317,77 297.055,66 62.288,26 297.055,66 52.897,56 297.055,66 43.131,24 297.055,66 32.974,26 297.055,66 22.411,01 297.055,70 11.425,22

217.055,66 225.737,89 234.767,40 244.158,10 253.924,42 264.081,40 274.644,65 285.630,48

217.055,66 442.793,55 677.560,95 921.719,05 1.175.643,47 1.439.724,87 1.714.369,52 2.000.000,00

2.000.000 1.782.944,34 1.557.206,45 1.322.439,05 1.078.280,95 824.356,53 560.275,13 285.630,48 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: A2 = 225.737,89 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: TAE si comisión de apertura = 1%. Para calcular la TAE deberíamos plantear la ecuación del VAN e igualar a 0: VAN = 297.055, 66 ×

(1 + rs )8 − 1 − 2.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )8 × rs

184

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. RESOLUCIÓN DEpara EJERCICIOS Calculando rs en excel obtenemos el valor de 4,24%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0424)2 – 1 = 8,66% No se puede calcular la TAE de ninguna otra forma. Solución: TAE = 8,66%. Respuesta correcta: c. 4. En caso de carencia de amortización e intereses por 2 semestres. Solución: la cuota a pagar será mayor porque hay carencia de intereses. Respuesta correcta: a. RES EJ 172. Datos del problema: P = 5.000.000 €, t = 1 año, sistema de amortización = = francés, rpréstamo = 12% anual, cuotas = cuatrimestrales. 1. Incógnita: cuota cuatrimestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas cuatrimestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 5.000.000 € en este caso: 5.000.000 = C ×

(1 + rc )t − 1 1,043 − 1 = C × ⇒ C = 1.801.742,70 (1 + rc )t × rc 1,043 × 0,04

Solución: C = 1.801.742,70 €. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: datos sobre el segundo semestre. Hacemos el cuadro de amortización: Periodo

Cuota

Intereses

Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

0

5.000.000

1

1.801.742,70 200.000,00

1.601.742,70

1.601.742,70

3.398.257,30

2

1.801.742,70 135.930,29

1.665.812,41

3.267.555,11

1.732.444,89

3

1.801.742,69

1.732.444,89

5.000.000,00

0,00

69.297,80

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: I2 = 135.930,29 €. Respuesta correcta: c. 3. Incógnita: el coste efectivo de un préstamo americano con cuenta de ahorro al 12% anual. Solución: sería del 12,49% (1,043) si no hay gastos de concesión. Respuesta correcta: b.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

185

RES EJ 173. Datos del problema: P = 10.000.000 €, t = 2 años, sistema de amortización = francés, rpréstamo = 12% anual, cuotas = semestrales. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 1. Incógnita: cuota semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas cuatrimestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 10.000.000 € en este caso: 10.000.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1,064 − 1 = C × ⇒ C = 2.885.914,92 (1 + rs )t × rs 1,064 × 0,06

Solución: C = 2.885.914,92 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: amortización del segundo semestre, A2. Hacemos el cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4

Cuota

Intereses

2.885.914,92 2.885.914,92 2.885.914,92 2.885.914,94

600.000,00 462.845,10 317.460,92 163.353,68

Amortización

Amort. acum.

2.285.914,92 2.423.069,82 2.568.454,00 2.722.561,26

2.285.914,92 4.708.984,74 7.277.438,74 10.000.000,00

Préstamo pte. 10.000.000 7.714.085,08 5.291.015,26 2.722.561,26 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: A2 = 2.423.069,82 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: TAE si comisión de apertura = 1%. Para calcular la TAE deberíamos plantear la ecuación del VAN e igualar a 0: VAN = 2.885.914,92 ×

(1 + rs )4 − 1 − 10.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )4 × rs

A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 6,44%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0644)2 – 1 = 13,29% No se puede calcular la TAE de ninguna otra forma. Solución: TAE = 13,29%. Respuesta correcta: c. 4. Si la TAE de un préstamo a amortizar por el sistema francés en cuotas mensuales es del 6,168%. Solución: el interés mensual será inferior al 0,5% si hay gastos de apertura. Respuesta correcta: b.

186

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 174. Datos del problema: P = 10.000.000 €, t = 1,5 años, sistema de amortización = RESOLUCIÓN EJERCICIOS = francés,DE rpréstamo = 8% anual, cuotas = semestrales. 1. Incógnita: cuota semestral, C. C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 10.000.000 € en este caso: 10.000.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1,043 − 1 =C× ⇒ C = 3.603.485,39 t (1 + rs ) × rs 1,043 × 0,04

Solución: C = 3.603.485,39 €. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: datos sobre el segundo semestre. Hacemos el cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3

Cuota

Intereses

Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

3.603.485,39 400.000,00 3.603.485,39 271.860,58 3.603.485,40 138.595,59

3.203.485,39 3.331.624,81 3.464.889,81

3.203.485,39 6.535.110,20 10.000.000,00

10.000.000 6.796.514,61 3.464.889,80 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: I2 = 271.860,58 €. Respuesta correcta: b.

3. Incógnita: el coste efectivo, si fuera un préstamo americano con cuenta de ahorro al 8% anual. Solución: sería del 8,16% (1,042) si no hay gastos de concesión. Respuesta correcta: b. RES EJ 175. Datos del problema: P = 1.000.000 €, t = 1 año, sistema de amortización = = francés, rpréstamo = 9% anual, cuotas = mensuales, carencia de amortización e intereses tres meses, comisión de apertura = 1%. 1. Incógnita: la TAE del préstamo. Solución: será superior a 9,38% (1,007512 – 1) por la comisión del 1%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: la TAE del préstamo. Solución: será mayor a la de otro a pagar en cuotas con igual interés nominal. Respuesta correcta: a.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

187

3. Incógnita: la TAE del préstamo, si fuera americano y la cuenta de ahorro del 9% anualDE nominal, el resto igual. RESOLUCIÓN EJERCICIOS Solución: será superior a 9,38% (1,007512 – 1) por la comisión del 1%. Respuesta correcta: b. RES EJ 176. Datos del problema: P = 3.000.000 €, t = 3 años, sistema de amortización = = francés, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales, carencia de amortización e intereses el primer año. 1. Incógnita: cuota semestral, C: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 3.000.000 € en este caso: 3.000.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1 1,034 − 1 1 × = C × × ⇒ C = 856.232,38 t 2 4 (1 + rs ) × rs (1 + rs ) 1,03 × 0,03 1,032

Solución: C = 856.232,38 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: cuota del tercer semestre en caso de incremento del 3% semestral (el resto igual): 4 × C1 1 4 × C1 1 3.000.000 = × = × ⇒ C = 819.545,25 2 (1 + rs ) (1 + rs ) (1 + 0,03) (1 + 0,03) 2 Solución: C = 819.545,25 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: si el préstamo fuera in fine sin carencia alguna, la amortización semestral sería por importe de: Solución: 0 €, esto es, ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: TAE del préstamo del enunciado si la comisión de apertura = 1%. Para calcular la TAE deberíamos plantear la ecuación del VAN e igualar a 0: (1 + rs )4 − 1 1 × − 3.000.000 × 0,99 = 0 (1 + rs )4 × rs (1 + rs )2 A partir de aquí, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. Calculando rs en excel obtenemos el valor de 3,23%, por lo que la TAE será: TAE = (1 + rs )2 – 1 = (1 + 0,0323)2 – 1 = 6,56% No se puede calcular la TAE de ninguna otra forma. Solución: TAE = 6,56%. Respuesta correcta: c. VAN = 856.232,38 ×

188

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

5. En caso de sólo carencia de amortización por 1 año (y no de intereses), la cuantía aDE pagar los dos primeros semestres sería: RESOLUCIÓN EJERCICIOS Solución constante pero distinta a las otras 4 (e igual a los intereses 3.000.000 × 0,03 = 90.000). Respuesta correcta: c. RES EJ 177. Datos del problema: P = 2.000.000 €, t = 1,5 años, r préstamo = 10% anual, cuotas = trimestrales. 1. Incógnita: cuota trimestral, C, por el sistema francés C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 2.000.000 € en este caso: (1 + rt )t − 1 1,0256 − 1 2.000.000 = C × =C× ⇒ C = 363.099,94 t (1 + rt ) × rt 1,0256 × 0,025 Solución: C = 363.099,94 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: cuota del primer trimestre, C1, si se incrementan 2,5% trimestralmente (el resto igual): 6 × C1 6 × C1 2.000.000 = = ⇒ C = 341.666,67 (1 + rt ) (1 + 0,025) Solución: C = 341.666,67 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: cantidad ahorrada trimestralmente si el préstamo americano y cuenta de ahorro al 8%: (1 + rt )t − 1 (1 + r 0,02)6 − 1 2.000.000 = C × =C× ⇒ C = 317.051,62 rt 0,02 Solución: C = 317.051,62 €. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: si se amortiza por el sistema francés con carencia de amortización e intereses durante los dos primeros trimestres y se pagan cuatro cuotas constantes: Solución: el banco nos va a cobrar más adelante los intereses que no hayamos pagado durante los dos primeros trimestres. Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: en el caso de préstamo sistema francés con cuotas constantes y carencia de amortización 2 trimestres, la cuantía a pagar por intereses el tercer trimestre (el primero tras los de carencia) será: Solución: 50.000 € (2.000.000 × 0,025). Respuesta correcta: c.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

189

RES EJ 178. Datos del problema: P = 50.000 €, t = 1,5 años, rpréstamo = 4% anual, cuotas = RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS = trimestrales, comisión de apertura = 1%. 1. Incógnita: cuota trimestral, C, por el sistema francés con carencia de amortización e intereses por dos trimestres: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 50.000 € en este caso: 50.000 = C ×

(1 + rt )t − 1 1 1,014 − 1 1 × = C × × ⇒ C = 13.071,62 t 2 4 (1 + rt ) × rt (1 + rt ) 1,01 × 0,01 1,012

Solución: C = 13.071,62 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: cuota del último trimestre, C6, si se incrementan 1% trimestral (el resto igual): 4 × C3 4 × C3 1 1 50.000 = × = × ⇒ C3 = 13.269,00 2 (1 + rt ) (1 + rt ) (1 + 0,01) 1,012 Solución: C6 = C3 × 1,013 = 13.671,06 €. Respuesta correcta: c. 3. Incógnita: en caso de cuotas constantes y sin carencias: Cuota, C: (1 + rt )t − 1 1,016 − 1 50.000 = C × = C × ⇒ C = 8.627,42 (1 + rt )t × rt 1,016 × 0,01 Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

Intereses

Amortización

Amort. acum.

0 1 2 3 4 5 6

8.627,42 8.627,42 8.627,42 8.627,42 8.627,42 8.627,41

500,00 418,73 336,64 253,73 169,99 85,42

8.127,42 8.208,69 8.290,78 8.373,69 8.457,43 8.541,99

8.127,42 16.336,11 24.626,90 33.000,58 41.458,01 50.000,00

Préstamo pte.

50.000 41.872,58 33.663,89 25.373,10 16.999,42 8.541,99 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: I2 = 418,73 €. Respuesta correcta: a. 4. Solución: amortización acumulada trimestre 3, AA3 = 24.626,90 €. Respuesta correcta: a.

190

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

5. Incógnita: en caso de préstamo sistema francés con cuotas constantes y carencia deDE amortización por dos trimestres: RESOLUCIÓN EJERCICIOS Solución: el préstamo pendiente de pagar al banco los dos primeros trimestres no varía. Respuesta correcta: a. 6. Incógnita: desembolso segundo trimestre, C, si el préstamo se amortiza por sistema americano, en 6 trimestres y cuenta de ahorro al 2% anual. Todos los trimestres son iguales: C = I + Ahorro en cuenta: I = 50.000 × 0,01 = 500 € A = 8.229,77 (1 + rt )t − 1 (1 + 0, 005)6 − 1 =C× ⇒ A = 8.229, 77 rt 0, 005 Solución: C = 8.729,77 € Respuesta correcta: b. 50.000 = C ×

RES EJ 179. Datos del problema: P = 10.000 €, t = 1 año, rpréstamo = 6% anual, cuotas = bimestrales, comisión de apertura = 1%. 1. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con cuotas constantes. C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas bimestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 10.000 € en este caso: 10.000 = C ×

(1 + rb )t − 1 1,016 − 1 =C× ⇒ C = 1.725,48 t (1 + rb ) × rb 1,016 × 0,01

Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

0 1 2 3 4 5 6

1.725,48 1.725,48 1.725,48 1.725,48 1.725,48 1.725,50

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 100,00 83,75 67,33 50,75 34,00 17,08

1.625,48 1.641,73 1.658,15 1.674,73 1.691,48 1.708,42

1.625,48 3.267,21 4.925,37 6.600,10 8.291,58 10.000,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: A4 = 1.674,73 €. Respuesta correcta: b. 2. Solución: I2 = 83,75 €. Respuesta correcta: c.

10.000 8.374,52 6.732,79 5.074,63 3.399,90 1.708,42 0,00

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

191

3. Incógnita: cuota, C, en caso de amortización constante por sistema francés con carencia amortización e intereses por dos periodos: RESOLUCIÓN DE de EJERCICIOS 10.000 = C ×

(1 + rb )t − 1 1 1,014 − 1 1 × = C × × ⇒ C = 2.614,32 (1 + rb )t × rb (1 + rb ) 2 1,014 × 0,01 1,012

Solución: C = 2.614,32 €. Respuesta correcta: a. 4. Incógnita: en caso de amortización constante por sistema francés con carencia de amortización e intereses por dos periodos. Cuadro de amortización: Periodo

Cuota

0 1 2 3 4 5 6

0 0 2.614,32 2.614,32 2.614,32 2.614,33

Intereses

Amortización

Amort. acum.

100,00 101,00 102,01 76,89 51,51 25,88

0 0 2.512,31 2.537,43 2.562,81 2.588,45

0 0 2.512,31 5.049,74 7.612,55 10.201,00

Préstamo pte. 10.000 10.100,00 10.201,00 7.688,69 5.151,26 2.588,45 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: el mayor pago de intereses se produce en el tercer bimestre. Respuesta correcta: b. 5. Incógnita: cuota del bimestre 4, C4, en caso de préstamo sistema francés con carencia de amortización por dos trimestres e incremento del 1% bimestral: 4 × C3 4 × C3 1 1 10.000 = × = × ⇒ C3 = 2.575,75 (1 + rb ) (1 + rb )2 (1 + 0,01) 1,012 Solución: C4 = C3 × 1,01 = 2.601,51 €. Respuesta correcta: b.

6. Incógnita: desembolso segundo bimestre, C, si el préstamo se amortiza por sistema americano, en 6 bimestres y cuenta de ahorro al 3% anual. Todos los trimestres son iguales: C = I + Ahorro en cuenta: I = 10.000 × 0,01 = 100 €. A = 1.645,95 €. 10.000 = C ×

(1 + rt )t − 1 (1 + 0, 005)6 − 1 =C× ⇒ A = 1.645,95 rt 0, 005

Solución: C = 1.745,95 €. Respuesta correcta: b.

192

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 180. Datos del problema: P = 50.000 €, t = 3 años, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales,DE comisión de apertura = 1%. RESOLUCIÓN EJERCICIOS 1. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con cuotas constantes: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas bimestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 10.000 € en este caso: (1 + rs )t − 1 1, 036 − 1 50.000 = C × = C × ⇒ C = 9.229,88 (1 + rs )t × rs 1, 036 × 0, 03 Solución: C = 9.229,88 €. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: la cuota del último semestre, C6, si el préstamo se amortiza por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer año y cuotas con incremento del 3% semestral. C = Intereses + Amortización. Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas bimestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 10.000 € en este caso: 4C3 4C3 1 1 50.000 = × = × ⇒ C3 = 13.659,09 (1 + rs ) (1 + rs )2 (1 + 0,03) (1 + 0,03) 2 Solución: C6 = C3 × 1,033 = 14.925,66 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: TAE en caso de amortización por el sistema americano. Para calcular la TAE en un préstamo a amortizar por el sistema americano necesitamos conocer el tipo de interés aplicado a la cuenta de ahorro asociada. En este caso no se nos da este dato. Nos faltan, pues, datos para realizar el cálculo. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: deuda pendiente al final del primer año en caso de amortización por el sistema francés con carencia de amortización 1 año y 4 cuotas que se incrementan un 1% semestralmente. Al tener sólo carencia de amortización, se van pagando semestralmente los intereses del préstamo evitando que el principal del mismo aumente; por lo que, al final del primer año (año en el que no se ha amortizado nada), la deuda seguirá siendo de 50.000 €. Solución: P.Ptesemestre 2 = 50.000 €. Respuesta correcta: a. 5. Incógnita: en caso de amortización por el sistema francés con carencia de amortización 1 año y 4 cuotas que se incrementan un 1% semestralmente, en el semestre 4.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

193

Cuotas: para calcular la cuota tenemos en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS de la deuda, esto es, 50.000 € en este caso: 50.000 = C3 ×

(1 + rs )t − (1 − g )t 1 1, 034 − 1, 014 1 × = C3 × × ⇒ t 2 (1 + rs ) × (rs − g ) (1 + rs ) 1, 034 × (0, 03 − 0, 01) (1 + 0, 03) 2

⇒ C3 = 14.063, 43

C4 = C3 × 1,01 = 14.204,06 €. Intereses y amortización. Planteamos el cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Cuota 0 0 14.063,43 14.204,06 14.346,10 14.489,55

Intereses 1.500 1.545 1.591,35 1.217,19 827,58 422,03

Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 50.000 0 0 51.500 0 0 53.045 12.472,08 12.472,08 40.572,92 12.986,87 25.458,95 27.586,05 13.518,52 38.977,47 14.067,53 14.067,52 53.045,00 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: A4 = 12.986,87 €. Respuesta correcta: c. 6. Incógnita: amortización acumulada en el semestre 4, AA4. Solución: AA4 = 25.458,95 €. Respuesta correcta: c. RES EJ 181. Datos del problema: P = 30.000 €, t = 3 años, rpréstamo = 6% anual, cuotas = semestrales. 1. Incógnita: cuota constante, C, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer año: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 30.000 € en este caso: (1 + rs )t − 1 1 1,034 − 1 1 30.000 = C × × = C × × ⇒ C = 8.562,32 t 2 4 (1 + rs ) × rs (1 + rs ) 1,03 × 0,03 (1 + 0,03) 2 Solución: C = 8.562,32 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: la cuota del tercer semestre, C3, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer año y cuotas con incremento del 3% semestral: C = Intereses + Amortización.

194

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS esto es, 30.000 € en este caso: 4C3 4C3 1 1 30.000 = × = × ⇒ C3 = 8.195,45 2 (1 + rs ) (1 + rs ) (1 + 0,03) (1 + 0,03) 2 Solución: C3 = 8.195,45 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: amortización semestral en caso de amortización in fine sin carencia alguna. En el sistema de amortización in fine la amortización se hace, de una vez, al final de la vida del préstamo. Solución: no hay amortización semestral. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: TAE del préstamo sistema francés con cuotas constantes y comisión de apertura del 1%. Para calcular la TAE deberíamos plantear la ecuación del VAN e igualar a 0. A partir de la fórmula, dada la dificultad de despejar la incógnita, deberíamos tantear e interpolar para aproximar el valor de la rs y, a partir de ella, la TAE. No se puede calcular la TAE de ninguna otra forma. Solución: ninguna de las anteriores. Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: cuantía a pagar los dos primeros semestres en caso de préstamo sistema francés de amortización con cuotas constantes y carencia de amortización por 1 año. Al no amortizar nada durante los dos primeros semestres, la única cantidad a entregar es la correspondiente a los intereses; esto es, 30.000 × 0,03 = 900 € en ambos semestres. En los siguientes semestres corresponderá pagar intereses más amortización del principal del préstamo. Solución: cuantía en ambos semestres = 900 €. Respuesta correcta: c. RES EJ 182. Datos del problema: P = 12.000 €, t = 3 años, rpréstamo = 8% anual, cuotas = semestrales, comisión de apertura = 1%. 1. Incógnita: cuota constante, C, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 12.000 € en este caso: (1 + rs )t − 1 1, 046 − 1 12.000 = C × = C × ⇒ C = 2.289,14 (1 + rs )t × rs 1, 046 × 0, 04

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

195

Solución: C = 2.289,14 €.

RESOLUCIÓN EJERCICIOS RespuestaDE correcta: a. 2. Incógnita: la cuota del último semestre, C6, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer año y cuotas con incremento del 4% semestral: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 12.000 € en este caso: 12.000 =

4C3 4C3 1 1 × = × ⇒ C3 = 3.374,59 2 (1 + rs ) (1 + rs ) (1 + 0,04) (1 + 0,04) 2

Solución: C6 = C3 × 1,043 = 3.795,96 €. Respuesta correcta: b.

3. Incógnita: en caso de amortización por el sistema de cuotas constantes de amortización. La afirmación (a) no es cierta ya que, al ir amortizando partes constantes del principal del préstamo, los intereses ser irán reduciendo. En cuanto a la afirmación (b), dado que el préstamo se va a amortizar en 6 partes de 2.000 € cada una, el segundo semestre se pagarán, por un lado los 2.000 € y, por otro lado, los intereses de la deuda pendiente al final del semestre 1 (12.000 – 2.000 = 10.0000 €), esto es, 10.000 × 0,04 = 400 €. En total se abonarán 2.000 + 400 = 2.400 €. Solución: el segundo semestre se debería abonar un total de 2.400 €. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: deuda pendiente al final del primer año en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con cuotas constantes y carencia de amortización e intereses el primer año. Al no amortizar y tampoco pagar intereses, durante el primer año el importe del préstamo va a aumentar a razón de un 4% semestral, por lo que, al final del año, la deuda pendiente será igual a 12.000 × 1,042 = 12.979,2. Solución: D.Pte. semesetre 2 = 12.979,2 €. Respuesta correcta: b.

5. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con cuotas constantes y carencia de amortización e intereses el primer año, al final del segundo año. Calculamos la cuota y, a continuación, elaboramos el cuadro de amortización.

196

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS esto es, 12.000 € en este caso: 12.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1 1, 044 − 1 1 × = C × × ⇒ (1 + rs )t × rs (1 + rs )2 1, 044 × 0, 04 (1 + 0, 04)2

⇒ C = 3.575, 64 Planteamos el cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Cuota

Intereses

0 0 3.575,64 3.575,64 3.575,64 3.575,64

Amortización Amort. acum. Préstamo pte.

480 499,2 519,17 396,91 269,76 137,52

0 0 3.056,47 3.178,73 3.305,88 3.438,12

0 0 3.056,47 6.235,20 9.541,08 12.979,20

12.000 12.480 12.979,2 9.922,73 6.744,00 3.438,12 0,00

Solución: A4 = 3.178,73 €. Respuesta correcta: c. 6. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con cuotas que se incrementan el 1% semestralmente y carencia de amortización el primer año, al final del segundo año. Calculamos la cuota y, a continuación, elaboramos el cuadro de amortización. Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 12.000 € en este caso: 12.000 = =

P × rs P × rs (1 + rs )t − (1 + g )t 1 + + C × × = 3 (1 + rs ) (1 + rs )2 (1 + rs )t × (rs − g ) (1 + rs )2

480 480 1, 044 − 1, 014 1 + + C3 × × ⇒ C3 = 3.258, 29 2 4 1, 04 1, 04 1, 04 × (0, 04 − 0, 01) (1 + 0, 04) 2

Planteamos el cuadro de amortización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Cuota 480 480 3.258,29 3.290,88 3.323,78 3.357,02

Intereses 480 480 480,00 368,87 251,99 129,12

Solución: AA4 = 5.700,30 €. Respuesta correcta: a.

Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 0 0 2.778,29 2.922,01 3.071,79 3.227,90

0 0 2.778,29 5.700,30 8.772,09 12.000,00

12.000 12.000 12.000 9.221,71 6.299,70 3.227,91 0,00

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

197

7. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema americano conDE cuotas constantes y sin carencia y rC.Ahorro = 5% anual capitalizable RESOLUCIÓN EJERCICIOS semestralmente. Calculamos las cantidades a entregar semestralmente en concepto de intereses y ahorro en cuenta y, a continuación, el cuadro de capitalización. C = Intereses + Ahorro en cuenta. Intereses = 12.000 × 0,04 = 480 €. Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 12.000 € en este caso: (1 + rs )t − 1 1,0256 − 1 12.000 = A × = A× ⇒ A = 1.878,60 rs 0,025 C = 480 + 1.878,60 = 2.358,60 €. Cuadro de capitalización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Ahorro 1.878,60 1.878,60 1.878,60 1.878,60 1.878,60 1.878,60

Intereses 0 46,97 95,10 144,45 195,02 246,86

Ahorro acum. 0 1.878,60 3.804,17 5.777,87 7.800,92 9.874,54 12.000

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

La afirmación (b) claramente no es correcta, ya que hemos visto que la cantidad total a pagar es de 2.358,60 € semestrales. La afirmación (c) tampoco, ya que si el t.i. del préstamo es del 4% semestral, como poco, el coste (esto es, la TAE) será 1,042 – 1 = 8,16. Si, además, añadimos que hay una comisión de apertura del 1% y que el sistema de amortización es americano con un t.i. en la cuenta de ahorro del 5%, el coste va a resultar muy superior al 8%. En consecuencia, la afirmación (a) es la única correcta tal y como se puede apreciar en el cuadro de capitalización. Solución: ahorro acumulado2 = 3.804,17 €. Respuesta correcta: a. 8. Incógnita: TAE por aproximación mixta del préstamo en caso de 6 cuotas semestrales constantes y sistema de amortización francés. Las cuotas, de acuerdo al punto 1, serán por cuantía de 2.289,14 €. Calculamos el VM de las cuotas semestrales: 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 6 + 36 VM = = = 21 6 2

198

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Planteamos, la fórmula del cálculo de r21 y resolvemos: RESOLUCIÓN 12.000 × DE 0,99 EJERCICIOS × (1 + r21 ) = 6 × 2.289,14 ⇒ 11.880 × (1 + r21 ) = 13.734,84 ⇒ ⇒ r21 = 15, 61% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r21)12/21 – 1 = 8,64% Solución: TAEaprox.mixta = 8,64%. Respuesta correcta: b. RES EJ 183. Datos del problema: P = 1.000 €, t = 1 año, rpréstamo = 6% anual, cuotas = mensuales, comisión de apertura = 1%. 1. Incógnita: cuota constante, C, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 1.000 € en este caso: 12.000 = C ×

(1 + rm )t − 1 1,00512 − 1 =C× ⇒ C = 86,07 t (1 + rm ) × rm 1,00512 × 0,005

Solución: C = 86,07 €. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: cuota constante, C, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses los 3 primeros meses: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 1.000 € en este caso: 12.000 = C ×

(1 + rm )t − 1 1 1, 0059 − 1 1 × = C × × ⇒ t 3 9 (1 + rm ) × rm (1 + rm ) 1, 005 × 0, 005 (1 + 0, 005)3

⇒ C = 115, 62 Solución: C = 115,62 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: en caso de amortización por el sistema in fine. En el préstamo in fine, sólo se pagan intereses a lo largo de la vida del préstamo. Como en este caso las cuotas se han establecido mensuales, los intereses correspondientes a cada mes serán: 1.000 × 0,005 = 5 €. Solución: el segundo mes se debería abonar un total de 5 €. Respuesta correcta: b.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

199

4. Incógnita: deuda pendiente tras pagar la quinta cuota (D.Pte8 si consideramos las tres primeras aunque no haya habido pago alguno, esto es, 4 antes del final) RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses los 3 primeros meses. Elaboramos el cuadro de amortización: Periodo Cuota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 0 0 115,62 115,62 115,62 115,62 115,62 115,62 115,62 115,62 115,62

Intereses Amortización Amort. acum. Préstamo pte. 5 5,03 5,05 5,08 4,52 3,97 3,41 2,85 2,28 1,72 1,15 0,58

0 0 0 110,54 111,10 111,65 112,21 112,77 113,34 113,90 114,47 115,09

0 0 0 110,54 221,64 333,29 445,51 558,28 671,61 785,52 899,99 1.015,08

1.000 1.005 1.010,03 1.015,08 904,54 793,44 681,79 569,57 456,80 343,47 229,56 115,09 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: D.Pte8 = 456,80 €. Respuesta correcta: a. 5. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses los 3 primeros meses, al final del quinto mes (faltando 7 cuotas por pagar): La afirmación (a) es falsa, ya que, del préstamo inicial (1.000 €) tan sólo se han amortizado 206,56 € al final del mes 5. La afirmación (c) es falsa, porque cada mes se amortiza una mayor parte del préstamo. En consecuencia, la afirmación correcta es la (b) tal y como se puede ver en el cuadro de amortización. Solución: I5 = 4,52 €. Respuesta correcta: b. 6. Incógnita: TAE por aproximación mixta del préstamo en caso de 12 cuotas mensuales constantes y sistema de amortización francés. Las cuotas, de acuerdo al punto 1, serán por cuantía de 86,07 €. Calculamos el VM de las cuotas semestrales: 1 + 12 VM = = 6,5 2 Planteamos, la fórmula del cálculo de r6,5 y resolvemos: 1.000 × 0,99 × (1 + r6,5 ) = 12 × 76, 07 ⇒ 990 × (1 + r6,5 ) = 1.032,84 ⇒ r6,5 = 4,33%

200

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

A continuación, calculamos la TAE:

RESOLUCIÓN EJERCICIOS TAE = (1DE + r6,5  )12/6,5 – 1 = 8,13% Solución: TAEaprox.mixta = 8,13%. Respuesta correcta: b.

7. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema americano con cuotas constantes y sin carencia y rC.Ahorro = 5% anual capitalizable semestralmente: Calculamos las cantidades a entregar semestralmente en concepto de intereses y ahorro en cuenta, y, a continuación, el cuadro de capitalización: C = Intereses + Ahorro en cuenta Intereses = 1.000 × 0,05 = 5 € Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 1.000 € en este caso: 1.000 = A ×

(1 + rs )t − 1 (1 + 0, 05 / 12)12 − 1 = A× ⇒ A = 81, 44 rs 0, 05 / 12

C = 5 + 81,44 = 86,44 € Cuadro de capitalización: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ahorro

Intereses

81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44 81,44

0,00 0,34 0,68 1,02 1,37 1,71 2,06 2,41 2,75 3,11 3,46 3,81

Ahorro acum. 0 81,44 163,22 245,34 327,80 410,61 493,76 577,26 661,10 745,30 829,84 914,74 1.000,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

La afirmación (b) claramente no es correcta, ya que hemos visto que la cantidad total a pagar es de 86,44 € mensuales. La afirmación (c) tampoco, ya que, si el t.i. del préstamo es del 0,5% mensual, como poco, el coste (esto es, la TAE) será 1,00512 – 1 = 6,17. Si, además, añadimos que hay una comisión de apertura del 1% y que el sistema de amortización es americano con un t.i.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

201

en la cuenta de ahorro del 5% anual, el coste va a resultar muy superior al 6%. En consecuencia, la afirmación (a) es la única correcta tal y como se puede RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS apreciar en el cuadro de capitalización. Solución: Ahorro Acumulado2 = 163,22 €. Respuesta correcta: a.

RES EJ 184. Datos del problema: P = 9.000 €, t = 4 años, rpréstamo = 7% anual, cuotas = semestrales, comisión de apertura = 2%. 1. Incógnita: cuota constante, C, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer semestre: C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 9.000 € en este caso: 9.000 = C ×

(1 + rs )t − 1 1 1, 0357 − 1 1 × = C × × ⇒ t 1 7 (1 + rs ) × rs (1 + rs ) 1, 035 × 0, 035 (1 + 0, 035)1

⇒ C = 1.523, 42 Solución: C = 1.523,42 €. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: cuota del último semestre, C8, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer semestre e incremento del 4% semestral. C = Intereses + Amortización Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 9.000 € en este caso: 9.000 = C2 × = C2 ×

(1 + rs )t − (1 + g )t 1 × = t (1 + rs ) × (rs − g ) (1 + rs )1

1, 0357 − 1, 047 1 × ⇒ C2 = 1.357, 46 1, 0357 × (0, 035 − 0, 04) (1 + 0, 035)1

Solución: C8 = C2 × 1,046 = 1.717,62 €. Respuesta correcta: b.

3. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer semestre e incremento del 4% semestral, al final del segundo año. Elaboramos el cuadro de amortización:

202

Ejercicios

resueltos de

Periodo

Matemática Financiera

Cuota

Intereses Amortización

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1.357,46 1.411,76 1.468,23 1.526,96 1.588,04 1.651,56 1.717,59

315 326,03 289,92 250,66 208,05 161,88 111,97 58,08

0 1.031,44 1.121,83 1.217,57 1.318,91 1.426,15 1.539,59 1.659,51

Amort. acum.

Préstamo pte.

0 1.031,44 2.153,27 3.370,84 4.689,75 6.115,90 7.655,49 9.315,00

9.000 9.315 8.283,57 7.161,73 5.944,16 4.625,25 3.199,10 1.659,51 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: D.Pte4 = 5.944,16 €. Respuesta correcta: a. 4. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema americano con cuotas constantes y sin carencia y rC.Ahorro = 4% anual capitalizable semestralmente, al final del segundo año. Calculamos las cantidades a entregar semestralmente en concepto de intereses y ahorro en cuenta, y, a continuación, el cuadro de capitalización: C = Intereses + Ahorro en cuenta Intereses = 9.000 × 0,035 = 315 €. Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 9.000 € en este caso: 9.000 = A ×

(1 + rs )t − 1 (1 + 0,02)8 − 1 = A× ⇒ A = 1.048,59 rs 0,02

C = 315 + 1.048,59 = 1.363,59 € Cuadro de capitalización: Periodo

Ahorro

Intereses

Ahorro acum.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.048,59 1.048,59 1.048,59 1.048,59 1.048,59 1.048,59 1.048,59 1.048,57

0,00 20,97 42,36 64,18 86,44 109,14 132,29 155,91

0 1048,59 2118,15 3209,10 4321,88 5456,90 6614,63 7795,52 9000,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

La afirmación (a) claramente no es correcta, ya que hemos visto que la cantidad acumulada es de 3.209,15 €. La afirmación (b) tampoco, ya que, como hemos visto, la cantidad total a pagar cada semestre es de 1.048,59 € + 315 €.

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

203

Comprobemos que la afirmación (c) es la correcta. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS La cantidad total a pagar semestralmente, de acuerdo a lo visto, es de 1.363,59 €. Calculamos el VM de las cantidades semestrales: 6 + 48 VM = = 27 2 Planteamos, la fórmula del cálculo de r27 y resolvemos: 9.000 × 0,98 × (1 + r27 ) = 8 × 1.363,59 ⇒ 8.820 × (1 + r27 ) = 10.908,72 ⇒ r27 = 23,68% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1+ r27)12/27 – 1 = 9,91% Solución: TAEaprox.mixta = 9,91% Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: TAE por aproximación mixta del préstamo en caso de 8 cuotas semestrales constantes, sistema de amortización francés y carencia de amortización e intereses el primer semestre. Las cuotas, de acuerdo al punto 1, serán por cuantía de 1.523,42 €. Calculamos el VM de las cuotas semestrales: 12 + 48 VM = = 30 2 Planteamos la fórmula del cálculo de r30 y resolvemos: 9.000 × 0,98 × (1 + r30 ) = 7 × 1.523,42 ⇒ 8.820 × (1 + r30 ) = 10.663,94 ⇒ r30 = 20,91% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r30 )12/30 – 1 = 7,89%. Solución: TAEaprox.mixta = 7,89%. Respuesta correcta: b. RES EJ 185. Datos del problema: P = 19.000 €, t = 6 años, rpréstamo = 10% anual, cuotas = = semestrales, comisión de apertura = 2%. 1. Incógnita: cuota constante, C, en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés. C = Intereses + Amortización. Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 19.000 € en este caso: (1 + rs )t − 1 1,0512 − 1 19.000 = C × =C× ⇒ C = 2.143,68 t (1 + rs ) × rs 1,0512 × 0,05 Solución: C = 2.143,68 €. Respuesta correcta: b.

204

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con cuotas constantes, al final del segundo año. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Elaboramos el cuadro de amortización: Periodo

Cuota

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,68 2.143,72

Intereses Amortización Amort. acum. 950,00 890,32 827,65 761,85 692,75 620,21 544,03 464,05 380,07 291,89 199,30 102,08

1.193,68 1.253,36 1.316,03 1.381,83 1.450,93 1.523,47 1.599,65 1.679,63 1.763,61 1.851,79 1.944,38 2.041,64

1.193,68 2.447,04 3.763,08 5.144,91 6.595,84 8.119,31 9.718,95 11.398,58 13.162,19 15.013,98 16.958,36 19.000,00

Préstamo pte. 19.000 17.806,32 16.552,96 15.236,92 13.855,09 12.404,16 10.880,69 9.281,05 7.601,42 5.837,81 3.986,02 2.041,64 0,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Solución: D.Pte4 = 13.855,09 €. Respuesta correcta: a. 3. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema francés con carencia de amortización e intereses el primer año e incremento del 4% semestral. Cuota. Se calcula teniendo en cuenta que el valor actual de las cantidades pagadas semestralmente al banco ha de ser equivalente al principal de la deuda; esto es, 19.000 € en este caso: 19.000 = C ×

(1 + rs )t − (1 + g )t 1 1, 0510 − 1, 0410 1 × =C× × ⇒ t 2 10 (1 + rs ) × (rs − g ) (1 + rs ) 1, 05 × (0, 05 − 0, 04) (1 + 0, 05) 2

⇒ C = 2.295, 40

Elaboramos el cuadro de amortización: Periodo

Cuota

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 0 2.295,40 2.387,22 2.482,70 2.582,01 2.685,29 2.792,71 2.904,41 3.020,59 3.141,41 3.267,14

Intereses Amortización Amort. acum. 950 997,5 1.047,38 984,97 914,86 836,47 749,19 652,39 545,37 427,42 297,76 155,58

0 0 1.248,03 1.402,24 1.567,84 1.745,54 1.936,10 2.140,32 2.359,04 2.593,17 2.843,65 3.111,56

0 0 1.248,03 2.650,27 4.218,11 5.963,65 7.899,75 10.040,07 12.399,11 14.992,28 17.835,94 20.947,50

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

Préstamo pte. 19.000 19.950 20.947,5 19.699,48 18.297,23 16.729,39 14.983,85 13.047,75 10.907,43 8.548,39 5.955,22 3.111,56 0,00

Préstamos: Métodos

de amortización capitulo

205

Solución: I2 = 997,5 €. RESOLUCIÓN EJERCICIOS RespuestaDE correcta: c. 4. Incógnita: en caso de que el préstamo se amortice por el sistema americano con cuotas constantes y sin carencia y rC.Ahorro = 3,5% semestral. Calculamos las cantidades a entregar semestralmente en concepto de intereses y ahorro en cuenta y, a continuación, el cuadro de capitalización. C = Intereses + Ahorro en cuenta Intereses = 19.000 × 0,05 = 950 € Ahorro en cuenta. Se calcula teniendo en cuenta que el valor final de las cantidades ahorradas semestralmente ha de ser equivalente al principal de la deuda, esto es, 9.000 € en este caso: (1 + rs )t − 1 (1 + 0,035)12 − 1 19.000 = A × = A× ⇒ A = 1.301,20 rs 0,035 C = 950 + 1.301,20 = 2.251,2 €. Cuadro de capitalización: Periodo

Ahorro

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,20 1.301,13

Intereses Ahorro acum. 0,00 45,54 92,68 141,46 191,96 244,22 298,31 354,29 412,23 472,20 534,27 598,51

0 1.301,20 2.647,94 4.041,82 5.484,48 6.977,64 8.523,06 10.122,57 11.778,05 13.491,49 15.264,89 17.100,36 19.000,00

* La última cuota se ajusta para que no sobre ni falte ningún céntimo de euro.

La afirmación (a) no es correcta ya que la cuenta de ahorro se remunera por debajo del 5% semestral. La afirmación (c) no es correcta, ya que el préstamo no se amortiza hasta el final, por lo que los intereses pagados semestralmente son los mismos a lo largo de toda la vida del préstamo. En cuanto a la afirmación (b) la cantidad total a pagar semestralmente, de acuerdo a lo visto, es de 2.251,2 €, por lo tanto es cierta. Para terminar, y aunque ya hemos visto que la afirmación (a) no es cierta, calculamos el valor de la TAE por aproximación mixta. Calculamos el VM de las cantidades semestrales: 6 + 72 VM = = 39 2

206

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Planteamos la fórmula del cálculo de r39 y resolvemos:

RESOLUCIÓN 19.000 × DE 0,98 EJERCICIOS × (1 + r39 ) = 12 × 2.251, 2 ⇒ 18.620 × (1 + r39 ) = 27.014, 4 ⇒ ⇒ r39 = 45, 08% A continuación, calculamos la TAE: TAE = (1 + r39 )12/39 – 1 = 12,13% Solución: TAEaprox.mixta = 12,13%. Respuesta correcta: b.

Valoración de activos: Valoración de bonos y obligaciones

6

Objetivos A medida que se realizan los diferentes ejercicios propuestos, se ha de conseguir: ▪ Entender el concepto de bono y obligación como una forma de préstamo. ▪ Diferenciar entre bono y obligación. ▪ Conocer y entender la diferencia de los distintos tipos de bonos y obligaciones: cupón cero, cupón americano y de renta perpetua. ▪ Comprender en qué consiste la valoración de bonos y obligaciones. ▪ Asociar la valoración de bonos y obligaciones con la de cualquier bien, financiero o no (empresas, terrenos, otros productos financieros, etc.). ▪ Diferenciar claramente el interés ofrecido por un bono u obligación (esto es, el cupón) del interés del mercado. ▪ Entender la influencia del interés del mercado en la valoración de bonos y obligaciones. ▪ Valorar bonos y obligaciones de cualquier tipo. ▪ ������������������������������������������������������������������������������ Calcular la rentabilidad de una inversión en bonos y obligaciones y comprobar que se asemeja al cálculo de la rentabilidad de cualquier otro tipo de inversión.

208

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

UNAS BREVES NOTAS TÉCNICAS ▪ Cuando las empresas necesitan financiación y deciden tomarla de inversores distintos de los accionistas o entidades financieras, emiten lo que se denominan empréstitos. Los empréstitos son préstamos que se dividen en partes iguales, títulos, denominadas bonos u obligaciones. ▪ Los bonos y obligaciones son partes alícuotas de un empréstito con un valor nominal (VN) resultante de dividir el principal total del préstamo en tantas partes como títulos se hayan emitido. La diferencia entre ambos productos radica en los años de vida desde su emisión hasta su amortización. Los bonos suelen ser títulos a medio plazo (no superior a 7 años) y las obligaciones a largo plazo (superior a 7 años). ▪ Como en cualquier préstamo, la empresa emisora de los bonos u obligaciones, a cambio de recibir el principal del préstamo (valor de emisión de los bonos u obligaciones), asume, frente a los prestamistas, la doble obligación de pago de intereses y amortización de dicho principal. ▪ Dependiendo de cómo se estipule el pago de intereses y amortización del principal, los bonos y obligaciones pueden ser: cupón americano, cupón 0 (normalmente a descuento) y de renta perpetua. ▪ Los bonos y obligaciones cupón americano son los más comunes, por ello, cuando no se hace mención a ningún tipo a la hora de mencionar los títulos, se sobreentiende que se trata de estos. Son títulos que ofrecen a su propietario (prestamista), por parte de la empresa emisora (prestataria), el pago periódico de intereses (pago de cupón, C) y la amortización de todo el principal (normalmente el VN) a la finalización de la vida de los mismos. Son préstamos del tipo in fine. ▪ Los bonos y obligaciones cupón 0 son aquellos en los que la empresa prestataria no desembolsa cantidad alguna en concepto de pago de intereses o amortización hasta la finalización de la vida del título. El pago de intereses y la amortización del préstamo se realiza de una vez al vencimiento. Son préstamos del tipo “reembolso único”. La empresa devolverá a los inversores el valor recibido capitalizado a la tasa de interés ofrecido por los títulos. Este tipo de títulos comúnmente es “a descuento”, lo que significa que el emisor del título devuelve, al vencimiento (después de n periodos de capitalización), el VN del mismo a cambio de recibir del inversor prestamista el valor descontado de dicho VN a la tasa de interés acordada. (VN / (1 + r) n). ▪ Las obligaciones de renta perpetua son aquellas que ofrecen al inversor el cobro periódico y por tiempo indefinido de un cupón. No se contempla la amortización del principal. Así, a cambio de entregar a la empresa prestataria el VN del título, los obligacionistas reciben indefinidamente los intereses correspondientes (C) y nada más. ▪ En muchas ocasiones, los bonos y obligaciones se emiten con primas para resultar más atractivos al inversor. Estas primas pueden ser de dos tipos: de emisión y de amortización.  Las primas de emisión consisten en que la empresa ofrece los títulos por debajo de su VN (VN × (1 – Pe)) a cambio de devolver, al vencimiento, la totalidad de dicho VN. El cálculo del pago de intereses se realiza sobre el VN.

Valoración

de activos:

Valoración

de bonos...

209

 Las primas de amortización consisten en que la amortización de los títulos por parte de la empresa prestataria se realiza por un valor superior al VN de los mismos (VN × (1 + Pa)). ▪ Los bonos y obligaciones se pueden negociar en mercados secundarios como la Bolsa. El precio al que se transmiten los títulos de unas manos a otras depende, al igual que en cualquier otro bien de carácter financiero o no, del valor actualizado, al tipo de interés del mercado, de los futuros flujos de dinero que ofrezcan a su propietario según el tipo de título de que se traten. ▪ Teniendo en cuenta lo anterior, el precio de los títulos, en una fecha cualquiera, se calcula de la siguiente forma en los diferentes tipos de títulos:  Cupón americano: P =C×

(1 + r )t − 1 Vamotización + (1 + r )t r (1 + r )t

donde, t es el número de cupones pendientes de cobro, r el tipo de interés del mercado y Vamortización es el VN si no hay prima de amortización (de haberla, sería igual a VN × (1 + Pa)).

 Cupón 0 a descuento: P=

Vamotización (1 + r )t

donde, t es el número de periodos de capitalización hasta el vencimiento, r el tipo de interés del mercado y Vamortización es el VN si no hay prima de amortización (de haberla, sería igual a VN × (1 + Pa)).

 Renta perpetua: P=

C r

donde, r el tipo de interés del mercado.

▪� Si calculamos el precio de los títulos para diferentes tipos de interés del mercado, observamos que a mayor tipo de interés de mercado menor es el precio a pagar por los títulos y, viceversa, a menor tipo de interés de mercado mayor precio. ▪� Por otra parte, en el caso de los títulos cupón americano, si partimos del supuesto de que el valor de amortización es el valor nominal de los títulos, el precio de estos, en un momento cualquiera de su vida, depende de la comparación entre el tipo de interés del mercado y el cupón ofrecido por los mismos. Cuando ambos coinciden, el precio es igual al VN, cuando el tipo de interés del mercado es superior, el precio está por debajo del VN y, por último, cuando el tipo de interés del mercado es inferior, el precio se sitúa por encima del VN. ▪� La rentabilidad de un título adquirido en un momento cualquiera de su vida, y en el caso de que lo mantengamos hasta su vencimiento, será igual al tipo de interés del mercado en el momento de su adquisición.

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resueltos de

Matemática Financiera

EJERCICIOS EJ 186. Compramos un bono cupón 0 a descuento con VN 100.000 € y emitido a 5 años, cuando quedan 3 años para su amortización. Si hemos pagado 89.933,34 €: 1. El interés del mercado está: a. Por encima del 5%. b. Por debajo del 5%. c. En el 5%. 2. Si lo vendemos un año antes de su amortización, cuando el t.i. del mercado es del 4%, cobraremos por él: a. 96.153,85 €. b. 96.000 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si el bono del que hablamos en el enunciado fuera cupón americano, cupón del 5% y lo hubiéramos comprado a 107.271 €, significaría que el interés del mercado es: a. Superior a 5%. b. 5%. c. Inferior a 5%.  EJ187. Supongamos un bono cupón 0 a descuento con 5 años de vida y valor nominal 1 millón. 1. Si compramos el bono 4 años antes de su vencimiento a su Valor Nominal, en la amortización del bono nos devolverán: a. 1 millón. b. 747.258,17 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Nos venden el bono a 970.500 € en el año 2 (3 años antes de su vencimiento), si lo mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad de: a. 6%. b. Inferior al 6%. c. Superior al 6%. 3. Si se vende el bono a 960.000 € en el año 1, el tipo de interés del mercado es: a. 6%. b. Superior al 6%. c. Inferior al 6%. 4. Si el bono del anunciado fuera un cupón americano, cupón 6%, que adquirimos en el año 1 a 1.060.000 €, al vencimiento habremos obtenido una rentabilidad: a. Del 6%. b. Superior al 6%. c. Inferior al 6%.

Valoración 5.

6.

7.

de activos:

Valoración

de bonos...

211

Si el bono del anunciado fuera un cupón americano, cupón 6%, que adquirimos en el año 1 a 1.060.000 €, el vendedor del mismo, que lo compró durante su emisión habrá obtenido una rentabilidad: a. Del 6%. b. Superior al 6%. c. Inferior al 6%. El precio del bono cupón americano, cupón 6%, dos años antes de su vencimiento, si el tipo de interés del mercado es del 4%, será: a. 924.556 €. b. 1.037.721,89 €. c. 1.237.265 €. El inversor que tiene la intención de comprar un bono cupón 0, para pagar un menor precio necesitará que, antes de la compra, los tipos de interés de mercado: a. Suban. b. Bajen. c. Le da igual ya que, después de comprarlo, va a esperar a su amortización.

EJ 188. Plantea la ecuación que te permite calcular la rentabilidad que obtendría un inversor que adquiere un bono cupón americano (VN = 500.000 €, cupón 6%) en su emisión si hay una prima de emisión del 5% y lo vende 3 años después al 110%. EJ 189. Compramos un bono cupón americano que se emitió hace 2 años, y al que le quedan 3 años de vida, con un nominal de 1 millón y cupón del 4%. 1. Si compramos el bono a 1.100.000 €, nos devolverán al final de su vida: a. 1 millón. b. 1.237.350 €. c. 1.216.653 €. 2. Si compramos el bono por 1.000.000 € y lo mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad: a. Superior al 4%. b. Inferior al 4%. c. 4%. 3. Si dentro de dos años (en el año 4 de vida del bono) vendemos el bono a 1.040.000 €, el tipo de interés del mercado es, en ese momento: a. 4%. b. Superior al 4%. c. Inferior al 4%. 4. Si compramos el bono a 1.020.000 € y dentro de un año (en el año 3 de vida del bono) lo vendemos a 1.040.000, nuestra rentabilidad habrá sido: a. 4%. b. Inferior al 4%. c. Superior al 4%.

212

Ejercicios 5.

6. 7.

resueltos de

Matemática Financiera

El precio de mercado del bono hoy (3 años antes de su vencimiento), si el tipo de interés del mercado es del 4%, será: a. Ninguno de los siguientes. b. 1.000.000 €. c. 1.124.864 €. Calcula el precio del bono hoy (3 años antes de su vencimiento), si el tipo de interés del mercado es del 5%. Plantea la ecuación que te permite calcular la rentabilidad que obtendría un inversor que adquirió el bono en su emisión con una prima de emisión del 5%, si lo vendiera hoy (año 2) cuando el tipo de interés del mercado es del 5%.

EJ 190. Una empresa emite 1.000 obligaciones a 10 años, valor nominal 1.000 €, cupón 4% y prima de emisión del 2%. 1. Nos venden las obligaciones a 1.020 en el año 7 (3 años antes de su vencimiento). Si las mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad de: a. 4%. b. Inferior al 4%. c. Superior al 4%. 2. Si se venden las obligaciones a 950 en el año 9, el tipo de interés del mercado es: a. 7,37%. b. 9,47%. c. 11,58%. 3. Si suscribimos una obligación y la vendemos 1 año después a 1.015 €, nuestra rentabilidad es de: a. 5,5%. b. 3,57%. c. Ninguna de las anteriores. 4. El valor de la obligación 2 años antes de su vencimiento, cuando el tipo de interés del mercado es del 5%, será: a. 1.342,63 €. b. 981,41 €. c. 999,55 €. 5. Plantea la ecuación que te permitiría calcular la rentabilidad que se obtendría de suscribir 10 obligaciones y venderlas 5 años después al 105%. EJ 191. Una empresa emitió, hace 1 año, 1.000 bonos (cupón americano) a 5 años, VN 1.000 €, cupón 3% y prima de amortización del 2%. 1. Nos venden bonos a 1.000 € en el año 2 (3 años antes de su vencimiento), si los mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad de: a. 3%. b. Inferior al 3%. c. Superior al 3%.

Valoración 2.

3.

4.

5.

de activos:

Valoración

de bonos...

213

Si se venden los bonos a 1.000 € en el año 4, el tipo de interés del mercado es: a. 0%. b. 5%. c. 3%. El que suscribió un bono y lo vende 1 año más tarde a 1.015 €, obtiene una rentabilidad de: a. 4,5%. b. 6,63%. c. Ninguna de las anteriores. El valor del bono dos años antes del vencimiento, cuando el interés del mercado es del 5%, será: a. 962,81 €. b. 980,95 €. c. Ninguna de las anteriores. Plantea la ecuación que te permitiría calcular la rentabilidad que se obtendría de comprar 1.000 bonos al 95% dos años antes de su vencimiento y esperar hasta la amortización.

EJ 192. La empresa Zimmer ha emitido obligaciones (cupón americano) a 10 años, cupón del 4% y VN 1.000 €. Prima de amortización 3%. 1. Nos venden las obligaciones a 980 €, tres años antes de su vencimiento (año 7): a. Si las mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad del 9,18%. b. Nos lo venden con una prima de emisión del 2%. c. En el año 10 ingresaremos un total de 1.070 €. 2. Si el t.i. del mercado es del 5% en el año 8, el precio deberá ser: a. 934,24 €. b. 1.008,62 €. c. 970,42 €. 3. Si la obligación del enunciado se vende a 950 € en el año 9, el interés del mercado es: a. 9,47%. b. 12,63%. c. 5,26%. 4. Si la obligación fuera cupón 0 a descuento (resto igual) y el t.i. de mercado 5%, el año 5 valdría: a. 807,03 €. b. 783,53 €. c. Ninguna de las anteriores. 5. Un bono cupón 0 (a descuento): a. Podrá valorarse sobre par o bajo par en función del t.i. del mercado. b. Se valora siempre por encima de su VN. c. Ninguna de las anteriores.

214

Ejercicios 6.

7.

resueltos de

Matemática Financiera

Un bono de renta perpetua cupón 4% y VN 500 €, si se vende a 510 € en el año 1, significa que el interés del mercado es: a. 3,92%. b. 20%. c. 25,5%. Plantea la ecuación que te permitiría calcular la rentabilidad resultante de comprar la obligación del enunciado a 980 € cuatro años antes de su vencimiento y mantenerla hasta su amortización.

EJ 193. Acabo de vender a 10.000 € unos bonos cupón 0 a descuento que compré hace 8 años por 5.900 €. He obtenido una rentabilidad de: a. Ninguna de las siguientes. b. 6,82%. c. 8,69%. EJ 194. La empresa ABC,S.A. ha emitido obligaciones (cupón americano) a 10 años, cupón del 4% y VN 500 €. Prima de emisión 3%. 1. Si la obligación del enunciado se vende a 475 € en el año 9, el interés del mercado es: a. 9,47%. b. 12,63%. c. 5,26%. 2. Nos venden las obligaciones a 450 € tres años antes de su vencimiento (año 7): a. Si las mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad del 14%. b. Nos han aplicado una prima de emisión del 10%. c. El interés del mercado será superior al 4%. 3. Si la obligación del enunciado fuera Cupón 0 a descuento (el resto igual), en el año 5, si el t.i. de mercado es 5%, valdría: a. 403,52 €. b. 391,76 €. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si el t.i. del mercado es del 5% en el año 8, el precio de la obligación del enunciado será: a. 490,70 €. b. 471,66 €. c. 504,31 €. 5. Un bono cupón 0 (a descuento) sin prima de amortización: a. Se valora siempre por debajo de su VN si el t.i. del mercado es distinto del 0%. b. Podrá valorarse sobre par o bajo par en función del t.i. del mercado. c. Paga interés periódico.

Valoración 6.

7.

de activos:

Valoración

de bonos...

215

Un bono cupón 0 (a descuento) con 5 años de vida y VN 1.500 €, si se vende a 1.330 € en el año 1, significa que el interés del mercado es: a. 3,05%. b. 12,82%. c. Se sitúa por encima del 3,05% y por debajo del 12,82%. Plantea la ecuación que te permitiría calcular la rentabilidad resultante de suscribir la obligación del enunciado y venderla a 540 € cuatro años más tarde.

EJ 195. Una empresa ha emitido obligaciones a 10 años, cupón del 3% y VN 200 €. 1. Si la obligación del enunciado se vende a 195 en el año 9, el interés del mercado es: a. 2,56%. b. 5,64%. c. Ninguna de las anteriores. 2. Nos venden las obligaciones del enunciado a 200 €, tres años antes de su vencimiento (año 7), si las mantenemos hasta el final: a. Obtendremos una rentabilidad del 3%. b. No obtenemos beneficio en esta inversión. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si el t.i. del mercado es del 3,5% en el año 6, el precio de la obligación deberá ser: a. 196,33 €. b. 245,85 €. c. Ninguna de las anteriores. 4. Si la obligación del enunciado fuera cupón 0 a descuento (el resto igual), en el año 5, si el t.i. de mercado es 5%, valdría: a. 255,26 €. b. 156,71 €. c. Ninguna de las anteriores. 5. Si se tratara de un bono cupón 0 a descuento, su precio 8 años antes de su vencimiento, cuando el t.i. es del 3%: a. Será el valor nominal, esto es, 200 €. b. Al no pagar intereses, se valorará por encima de su VN. c. Ninguna de las anteriores. 6. Con las condiciones del enunciado, si se tratara de deuda perpetua y el t.i. del mercado estuviera en el 4%, tres años después de su emisión, su valor sería: a. 150 €. b. 183,03 €. c. Ninguna de las anteriores. 7. Plantea la ecuación que te permitiría calcular la rentabilidad resultante de comprar la obligación del enunciado al 105% 6 años antes de su vencimiento y venderla un año antes de su amortización, teniendo en cuenta que tiene prima de amortización del 3% y el t.i. del mercado es del 6%.

216

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

EJ 196. Una empresa ha emitido obligaciones (cupón americano) a 8 años, cupón del 4% y VN 500 €. 1. Nos venden las obligaciones a 500 €, tres años antes de su vencimiento (año 5), si las mantenemos hasta el final: a. Obtendremos una rentabilidad del 4%. b. No obtenemos beneficio en esta inversión. c. Recibiremos el año 8, 562,43 €. 2. Si el t.i. del mercado es del 3,5% en el año 6, el precio de la obligación del enunciado deberá ser: a. 485,43 €. b. 504,75 €. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si la obligación del enunciado se vende a 490 € en el año 7, el interés del mercado es: a. 2,04%. b. 6,12%. c. 4%. 4. En el caso de que se tratara de un bono cupón a descuento, su precio cinco años antes de su vencimiento, cuando el t.i. del mercado está en el 3%: a. Sería superior al VN. b. Al no pagar intereses, no cambia con su precio en el mercado. c. 431,30 €. 5. Con las condiciones del enunciado, en caso de ser deuda perpetua y el t.i. del mercado estuviera en el 4%, tres años después de su emisión su valor sería: a. 500 €. b. 562,43 €. c. 444,50 €. EJ 197. Una empresa ha emitido obligaciones a 10 años, cupón del 5% y VN 3.000 €. Prima de emisión del 2% y de amortización del 4%. 1. Si suscribimos las obligaciones y al año siguiente las vendemos al 104%, nuestra rentabilidad resultaría: a. 6,86%. b. 11,22%. c. Ninguna de las anteriores. 2. Nos venden las obligaciones del enunciado a 3.000 € siete años antes de su vencimiento (año 3), si las mantenemos hasta el final, nuestra rentabilidad será: a. Superior al 5%. b. Mejor que si las hubiéramos adquirido en la suscripción. c. Ninguna de las anteriores. 3. Si el t.i. del mercado es del 4,5% en el año 5, el precio de la obligación deberá ser: a. 2.503,65 €. b. 3.065,85 €. c. 3162,14 €.

Valoración 4.

5.

de activos:

Valoración

de bonos...

217

Si se tratara de deuda perpetua y el t.i. del mercado fuera del 4%, su precio sería: a. 3.000 €. b. 3.750 €. c. Ninguna de las anteriores. Si el título del enunciado fuera cupón 0 a descuento, su precio cuatro años antes del vencimiento, con el tipo de interés de mercado en el 6%, se valoraría a: a. 2.471,33 €. b. 2.423,81 €. c. 2.566,83 €.

EJ 198. Una empresa ha emitido obligaciones a ocho años, cupón del 6% y VN 5.000 €. Prima emisión del 2% y de amortización del 3%. 1. Suscribimos 10 obligaciones y al cabo de 2 años las vendemos a 4.950 €: a. La rentabilidad de la operación ha sido superior al 6%. b. El interés del mercado el año 2 era inferior al 6%. c. Si hubiéramos esperado a su vencimiento nuestra rentabilidad habría sido del 6%. 2. Si el t.i. del mercado es del 5% en el año 5, el precio de la obligación deberá ser: a. 5.136,16 €. b. 5.265,74 €. c. 5.222,55 €. 3. Si: a. Compramos una obligación a 5.100 € el año 7, obtendríamos una rentabilidad del 6,86%. b. El título del enunciado (con las primas correspondientes) fuera cupón 0 a descuento, su precio, 4 años antes del vencimiento, con el t.i. de mercado en el 7%, sería 3.814,48. c. Fueran títulos de renta perpetua, con el interés del mercado al 7%, se valorarían a 4.414,29 €. EJ 199. Bono cupón 0 (a descuento) con cinco años de vida, valor nominal 1.000 €. 1. Si compramos el bono 4 años antes de su vencimiento a 846 €, en la amortización del mismo nos devolverán: a. 1.000 €. b. 1.068,06 €. c. Ninguna de las anteriores. 2. Nos venden el bono a 903,5 € en el año 2 (3 años antes de su vencimiento), si lo mantenemos hasta el final, obtendremos una rentabilidad de: a. 6%. b. 3,44%. c. 10,68%.

218

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Si el bono fuera cupón americano del 6% y se vendiera a 1.060 € en el año 1, el t.i. del mercado sería: a. 6%. b. Superior al 6%. c. Inferior al 6%. 4. Si el bono del anunciado fuera un cupón americano que adquirimos en el año 1 a 1.060 €, al vencimiento habremos obtenido una rentabilidad: a. Del 6%. b. Superior al 6%. c. Inferior al 6%. 5. Si el bono del enunciado fuera un cupón americano que adquirimos en el año 1 a 1.060 €, el vendedor del mismo, que lo compró durante su emisión, habrá obtenido una rentabilidad: a. Del 6%. b. Superior al 6%. c. Inferior al 6%. 6. El precio del bono cupón americano dos años antes de su vencimiento, si el tipo de interés del mercado es del 4%, sería: a. 924,56 €. b. 1.037,72 €. c. 1.237,27 €. 7. El inversor que tiene la intención de vender un bono cupón americano querrá que, antes de la venta, los tipos de interés de mercado: a. Suban. b. Bajen. c. Le da igual ya que, después de comprarlo, va a esperar a su amortización. 8. Plantea la ecuación que te permite calcular la rentabilidad que obtendría un inversor que adquiere un bono cupón americano (cupón del 6% a 5 años) en su emisión si hay una prima de emisión del 5% y lo vende tres años después, cuando el tipo de interés del mercado es del 4%. 3.

Valoración

de activos:

Valoración

de bonos capitulo ...

219

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS RES EJ 186. Datos del problema: bono cupón 0 a descuento, VN = 100.000 €, duración = 5 años, t hasta vencimiento = 3 años P2 = 89.933,34 €. 1. Incógnita: interés del mercado, rm. El interés del mercado está implícito en el valor del bono, como P2 = 89.933,34, planteamos la ecuación de valoración de un bono cupón 0 sabiendo que su valor de amortización, si no hay prima, es igual al VN (100.000 €). VN 100.000 P2 = = = 89.933,34 ⇒ rm = 11,19% 3 (1 + rm ) (1 + rm )3 Solución: rm > 5%. Respuesta correcta: a. 2. Incógnita: valor en el año 4, P4 siendo el t.i. del mercado, rm, 4%. Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón 0: VN 100.000 P4 = = ⇒ P4 = 96.153,85 (1 + rm )1 (1 + 0, 04)1 Solución: P4 = 96.153,85 €. Respuesta correcta: a. 3. Incógnita: interés del mercado, rm, si se tratara de bono cupón americano y P2 fuera 107.271 €. Como no hay prima de amortización, por el bono se recibirá su VN al vencimiento y el cupón del 5% anual. El precio del bono se habrá calculado a partir de la fórmula de valoración de bonos cupón americano y del concepto de VAN: P2 = C × +

(1 + rm )3 − 1 (1 + rm )3 − 1 VN + = 100.000 * 0, 05 × + (1 + rm )3 rm (1 + rm )3 (1 + rm )3 rm

(1 + rm )3 − 1 100.000 VN = 107.271 ⇒ VAN = C × + − P2 = (1 + rn )3 (1 + rm )3 rm (1 + rm )3

= 100.000 * 0, 05 ×

(1 + rm )3 − 1 100.000 + − 107.271 (1 + rm )3 rm (1 + rm )3

Así, pues, el rm que haga que el valor se ajuste a 107.271 o que el VAN sea igual a 0, será el t.i. buscado. Extraer de estas fórmulas el valor de rm no es sencillo si no se cuenta con una hoja excel. Se podría proceder al tanteo y la interpolación. No obstante, como lo que se pide es determinar si el tipo de interés será superior, igual o inferior a 5%, lo más rápido es sustituir en la fórmula rm por 5% y ver qué nos resulta. Si VAN resulta 0, el t.i. del mercado será 5%, si el VAN es

220

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

positivo, el t.i. del mercado será superior a 5% y si VAN es negativo, el t.i. del mercado DE será EJERCICIOS inferior al 5%. RESOLUCIÓN VAN = 100.000 × 0, 05 ×

(1 + 0, 05)3 − 1 100.000 + − 107.271 = −7.271 3 (1 + 0, 05) × 0, 05 (1 + 0, 05)3

También podríamos haber tenido en cuenta la teoría sobre valoración de bonos cupón americano, según la cual, si el tipo de interés del mercado es inferior a la del cupón ofrecido, el valor del bono se sitúa por encima de su valor nominal, y si, por el contrario, es superior, el valor del bono en el mercado resulta inferior a su valor nominal. En este caso, como el valor de mercado es superior al VN, el tipo de interés del mercado ha de ser inferior al del cupón ofrecido. Solución: rm < 5%.

Respuesta correcta: c. RES EJ 187. Datos del problema: bono cupón 0 a descuento, VN = 1000.000 €, duración = 5 años. 1. Incógnita: valor de amortización, Vamortización, si se adquiere en el año 4 al VN.

En los bonos cupón 0 a descuento, salvo que exista prima de amortización, el valor a vencimiento del bono es siempre su valor nominal. Solución: Vamortización = 1.000.000 €. Respuesta correcta: a.

2. Incógnita: rentabilidad, r, de la inversión si se compra el bono en el año 2 a 970.500 € y se espera a su amortización. El cálculo de la rentabilidad de cualquier inversión consiste en plantear la ecuación del VAN y encontrar la r que hace que este sea igual a 0. Para plantear la ecuación del VAN tenemos en cuenta los ingresos que vamos a obtener por el bono cupón 0 y los pagos realizados (compra). VAN =

VN 1.000.000 − P2 = − 970.500 = 0 ⇒ r = 1,00% 3 (1 + r ) (1 + r )3

Solución: r < 6%. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: interés del mercado si P1 es 960.000 €.

Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón 0: P1 =

VN 1.000.000 = = 960.000 ⇒ rm= 1,03% 4 (1 + rm ) (1 + rm ) 4

Solución: rm < 6%. Respuesta correcta: c.

Valoración

de activos:

Valoración

de bonos capitulo ...

221

4. Incógnita: rentabilidad de la inversión, r, si se tratara de bono cupón americano, 6%, comprado a 1.060.000 € en el año 1 y se esperara a RESOLUCIÓN DEcupón EJERCICIOS su amortización. El cálculo de la rentabilidad de cualquier inversión consiste en plantear la ecuación del VAN y encontrar la r que hace que este sea igual a 0. Para plantear la ecuación del VAN tenemos en cuenta los ingresos que vamos a obtener por el bono y los pagos realizados (compra). Como no hay prima de amortización, por el bono se recibirá su VN al vencimiento y el cupón del 6% anual: VAN = C × +

(1 + r ) 4 − 1 VN (1 + r ) 4 − 1 + − P = 1.000.000 * 0, 06 × + 1 (1 + r ) 4 r (1 + r ) 4 (1 + r ) 4 r

1.000.000 − 1.060.000 (1 + r ) 4

Así, pues, la r que haga que el VAN sea igual a 0, será el t.i. buscado. Extraer de esta fórmula el valor de r no es sencillo si no se cuenta con una hoja excel. Se podría proceder al tanteo y la interpolación. No obstante, como lo que se pide es determinar si el tipo de interés será superior, igual o inferior a 6%, lo más rápido es sustituir en la fórmula r por 6% y ver qué nos resulta. Si VAN resulta 0, la rentabilidad será 6%, si el VAN es positivo, la rentabilidad será superior a 6% y si VAN es negativo, la rentabilidad será inferior al 6%. VAN = 1.000.000 * 0, 06 ×

(1 + 0, 06) 4 − 1 1.000.000 + − 1.060.000 = −60.000 (1 + 0, 06) 4 × 0, 06 (1 + 0, 06) 4

También podríamos haber tenido en cuenta, por un lado, que el inversor que espera a la amortización del bono obtiene, como rentabilidad de la inversión el t.i. del mercado existente en el momento de la compra del título (implícito en el precio de compra del mismo), y, por otro lado, la teoría sobre valoración de bonos cupón americano, según la cual, si el tipo de interés del mercado es inferior a la del cupón ofrecido, el valor del bono se sitúa por encima de su valor nominal, y si, por el contrario, es superior, el valor del bono en el mercado resulta inferior a su valor nominal. En este caso, como el valor de mercado es superior al VN, el tipo de interés del mercado ha de ser inferior al del cupón ofrecido y, derivado de ello, la rentabilidad de la inversión propuesta. Solución: r < 6%. Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: rentabilidad de la inversión, r, si se tratara de bono cupón americano, cupón 6%, suscrito en la emisión (no hay prima de emisión, por lo tanto se adquiere al VN) y vendido a 1.060.000 € en el año 1.

222

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta y cobro de cupones) gastos (compra) habidos y resolvemos: RESOLUCIÓN DEy EJERCICIOS V C 1.000.000 × 0, 06 1.060.000 + venta 1 − Pcompra = + − 1 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )1 (1 + r )1 −1.000.000 = 0 ⇒ r = 12 % VAN =

Solución: r > 6%. Respuesta correcta: b. 6. Incógnita: valor en el año 3, P3 en caso de ser bono cupón americano (cupón del 6%) y estar el t.i. del mercado, rm, en el 4%. Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano: P3 = 1.000.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 04) 2 − 1 1.000.000 + (1 + 0, 04) 2 × 0, 04 (1 + 0, 04) 2

Solución: P3 = 1.037.721,89 €. Respuesta correcta: b. 7. Incógnita: movimiento de t.i. preferible previo a una compra de bono. Tenemos que tener en cuenta la valoración de los bonos y la situación concreta del inversor. En cuanto a la valoración, ya hemos visto que la relación entre t.i. y valor es inversa; esto es, a mayor t.i. menor valor y viceversa. Respecto a la situación del inversor, como este quiere comprar, se supone que querrá realizar la operación al precio más bajo posible. Uniendo ambas ideas, lo ideal en esta ocasión es que los t.i. suban. Solución: que suban los t.i. Respuesta correcta: a. RES EJ 188. Datos del problema: bono cupón americano, VN = 500.000 €, cupón = 6% y prima de emisión = 5%. Se suscribe en la emisión y se vende tres años más tarde, P3 = 110%. Para calcular la rentabilidad de la inversión, planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta y cobro de cupones) y los gastos (suscripción) habidos, e igualamos a 0: VAN = C ×

(1 + r )3 − 1 Vventa + − Pemisión = (1 + r )3 r (1 + r )3

= 500.000 × 0, 06 ×

(1 + r )3 − 1 500.000 × 1,1 + − 500.000 × 0,95 = 0 (1 + r )3 r (1 + r )3

RES EJ 189. Datos del problema: bono cupón americano, VN = 1.000.000 €, cupón = 4%, duración = 5 años. Han transcurrido 2 años desde su emisión.

Valoración

de activos:

Valoración

de bonos capitulo ...

223

1. Incógnita: valor de amortización, Vamortización, si se adquiere en el año 2 a 1.100.000DE €. EJERCICIOS RESOLUCIÓN En los bonos cupón americano, salvo que exista prima de amortización, el valor a vencimiento del bono es siempre su valor nominal. Solución: Vamortización = 1 millón de €. Respuesta correcta: a.

2. Incógnita: rentabilidad, r, de la inversión de comprar el bono en el año 2 a 1.000.000 € y esperar a su amortización. Planteamos la ecuación del VAN: VAN = C × +

(1 + r )3 − 1 VN (1 + r )3 − 1 + − P = 1.000.000 × 0, 04 × + 2 (1 + r )3 r (1 + r )3 (1 + r )3 r

1.000.000 − 1.000.000 (1 + r )3

Así, pues, la r que haga que el VAN sea igual a 0, será el t.i. buscado. Extraer de esta fórmula el valor de r no es sencillo si no se cuenta con una hoja excel. Se podría proceder al tanteo y la interpolación. No obstante, como lo que se pide es determinar si el tipo de interés será superior, igual o inferior a 4%, lo más rápido es sustituir en la fórmula r por 4% y ver qué nos resulta. VAN = 1.000.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 04)3 − 1 1.000.000 + − 1.000.000 = 0 3 (1 + 0, 04) × 0, 04 (1 + 0, 04)3

Como el VAN nos da 0, concluimos que la rentabilidad de la operación es del 4%. También podríamos haber tenido en cuenta, por un lado, que el inversor que espera a la amortización del bono obtiene como rentabilidad de la inversión el t.i. del mercado existente en el momento de la compra del título (implícito en el precio de compra del mismo), y, por otro lado, la teoría sobre valoración de bonos cupón americano, según la cual, si el tipo de interés del mercado es igual al del cupón, el valor del bono se iguala al VN, si es inferior al del cupón ofrecido, el valor del bono se sitúa por encima de su valor nominal, y si, por el contrario, es superior, el valor del bono en el mercado resulta inferior a su valor nominal. En este caso, como el valor de mercado es igual al VN, el tipo de interés del mercado coincide con el cupón ofrecido y, derivado de ello, la rentabilidad de la inversión propuesta. Solución: r = 4% . Respuesta correcta: c.

224

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

3. Incógnita: interés del mercado si P4 es 1.040.000 €.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano: P4 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamortización (1 + rm )1 − 1 1.000.000 + = 1.000.000 × 0, 04 × + = (1 + rm )t r (1 + rm )t (1 + rm )1 rm (1 + rm )1

1.000.000 × 0, 04 + 1.000.000 = 1.040.000 ⇒ rm = 0% 1 + rm

Solución: rm < 4%. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: rentabilidad de la inversión, r, si se compra a 1.020.000 € y un año más tarde se vende a 1.040.000 €. El cálculo de la rentabilidad de cualquier inversión consiste en plantear la ecuación del VAN e igualar a 0. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos que vamos a obtener por el bono (venta y cupón) y los pagos realizados (compra): V C 40.000 1.040.000 VAN = + venta 1 − Pcompra = + − 1.020.000 = 0 ⇒ 1 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )1 (1 + r )1 ⇒ r = 5,88% Solución: r > 4%. Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: valor en el año 2, P2 estando el t.i. del mercado, rm, en el 4%. Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano: P2 = 1.000.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 04)3 − 1 1.000.000 + ⇒ P2 = 1.000.000 3 (1 + 0, 04) × 0, 04 (1 + 0, 04)3

Nos bastaba habernos dado cuenta que, no habiendo prima de amortización, el valor de un bono cupón americano, cuando el t.i. del mercado y el del cupón coinciden, es igual a su VN. Solución: P2= 1.000.000 €. Respuesta correcta: b. 6. Incógnita: valor en el año 2, P2, estando el t.i. del mercado, rm, en el 5%. En este caso el t.i. del mercado es distinto al del cupón, por lo que aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano: P2 = 1.000.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 05)3 − 1 1.000.000 + (1 + 0, 05)3 × 0, 05 (1 + 0, 05)3

7. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Suscripción con prima de emisión del 5%, venta en el año 2 cuando el t.i. del mercado es del 5%.

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de activos:

Valoración

de bonos capitulo ...

225

Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta en el año 2, DE P2 =EJERCICIOS 972.767,52 €, y cobro de cupones) y los gastos (suscripción), e RESOLUCIÓN igualamos a 0: VAN = 1.000.000 × 0, 04 ×

(1 + r ) 2 − 1 972, 767,52 + − 1.000.000 × 0,95 = 0 ⇒ (1 + r ) 2 × r (1 + r ) 2

⇒ P 2 = 972.767,52 € RES EJ 190. Datos del problema: 1.000 obligaciones, VN = 1.000 €, duración = 10 años, prima de emisión = 2% y cupón = 4%. Las soluciones se plantean para el caso de 1 obligación en lugar de 1.000 obligaciones, ya que no modifica en nada los resultados. 1. Incógnita: rentabilidad, r, de la inversión de comprar las obligaciones en el año 7 a 1.020 € y esperar a su amortización. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta que, al vencimiento, amortizaremos las obligaciones por su VN: VAN = C ×

(1 + r )3 − 1 VN (1 + r )3 − 1 1.000 + − P = 1.000 × 0, 04 × + − 1.020 7 (1 + r )3 r (1 + r )3 (1 + r )3 r (1 + r )3

Así, pues, la r que haga que el VAN sea igual a 0, será el t.i. buscado. Extraer de esta fórmula el valor de r no es sencillo si no se cuenta con una hoja excel. Se podría proceder al tanteo y la interpolación. No obstante, como lo que se pide es determinar si el tipo de interés es superior, igual o inferior a 4%, lo más rápido es sustituir en la fórmula r por 4% y ver qué nos resulta. VAN = 1.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 04)3 − 1 1.000 + − 1.020 = −20 3 (1 + 0, 04) × 0, 04 (1 + 0.04)3

Como el VAN nos da negativo, concluimos que la rentabilidad de la operación es inferior al 4%. También podríamos haber tenido en cuenta, por un lado, que el inversor que espera a la amortización de la obligación obtiene como rentabilidad de la inversión el t.i. del mercado existente en el momento de la compra del título (implícito en el precio de compra del mismo), y, por otro lado, la teoría sobre valoración de obligaciones cupón americano, según la cual, si el tipo de interés del mercado es igual al del cupón, el valor del bono se iguala al VN, si es inferior al del cupón ofrecido, el valor del bono se sitúa por encima de su valor nominal, y si, por el contrario, es superior, el valor del bono en el mercado resulta inferior a su valor nominal. En este caso, como el valor de mercado es superior al VN, el tipo de interés del mercado resulta inferior al del cupón ofrecido y, derivado de ello, la rentabilidad de la inversión propuesta. Solución: r < 4%. Respuesta correcta: b.

226

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

2. Incógnita: interés del mercado si P9 es 950 €.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano. P9 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamortización (1 + rm )1 − 1 1.000 + = 1.000 × 0, 04 × + = (1 + rm )t r (1 + rm )t (1 + rm )1 rm (1 + rm )1

1.000 × 0, 04 + 1.000 = 950 1 + rm

Solución: rm = 9,47%.

Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: rentabilidad de la inversión, r, si se suscribe en la emisión y un año más tarde se vende a 1.015 €. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos que vamos a obtener por la obligación (venta y cupón) y los pagos realizados (suscripción) e igualamos a 0: VAN =

V C 40 1.015 + venta 1 − Pcompra = + − 1.000 × 0,98 = 0 1 1 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )1

Solución: r = 7,65%. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: valor en el año 8, P8, estando el t.i. del mercado, rm, en el 5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P8 = 1.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 05) 2 − 1 1.000 + (1 + 0, 05) 2 × 0, 05 (1 + 0, 05) 2

Solución: P8 = 981,41 €. Respuesta correcta: b.

5. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Suscripción con prima de emisión y venta en el año 5 al 105%. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta en el año 5, P5 = 1.000 × 1,05 € y cobro de cupones) y los gastos (suscripción con prima = 1.000 × 0,98), e igualamos a 0: VAN = 1.000 * 0, 04 ×

(1 + r )5 − 1 1.000 × 1, 05 + − 1.000 × 0,98 = 0 (1 + r )5 × r (1 + r )5

RES EJ 191. Datos del problema: 1.000 bonos, VN = 1.000 €, duración = 5 años, cupón  = 3% y prima de amortización = 2% × 1. Incógnita: rentabilidad, r, de la inversión de comprar los bonos en el año 2 a 1.000 € y esperar a su amortización.

Valoración

de activos:

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de bonos capitulo ...

227

Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta que al vencimiento amortizaremosDE las EJERCICIOS obligaciones por su VN más la prima de amortización: RESOLUCIÓN (1 + r )3 − 1 VN + Pamortización (1 + r )3 − 1 + − P2 = 1.000 × 0, 03 × + 3 3 (1 + r ) r (1 + r ) (1 + r )3 r 1.000 × 1, 02 + − 1.000 (1 + r )3 VAN = C ×

La r que haga que el VAN sea igual a 0, será el t.i. buscado. Extraer de esta fórmula el valor de r no es sencillo si no se cuenta con una hoja excel. Se podría proceder al tanteo y la interpolación. No obstante, como lo que se pide es determinar si el tipo de interés será superior, igual o inferior a 3%, lo más rápido es sustituir en la fórmula r por 4% y ver qué nos resulta. VAN = 1.000 × 0, 03 ×

(1 + 0, 03)3 − 1 1.020 + − 1.000 = 18,30 (1 + 0, 03)3 × 0, 03 (1 + 0.03)3

Como el VAN nos da positivo, concluimos que la rentabilidad de la operación es superior al 3%. También podríamos haber tenido en cuenta, por un lado, que si se adquieren los títulos a su VN y se amortizan por encima de este VN, la rentabilidad, teniendo en cuenta que se cobran periódicamente cupones, resulta superior a la del cupón cobrado. Solución: r > 3%. Respuesta correcta: c. 2. Incógnita: interés del mercado si P4 es 1.000 €. Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano: P4 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamotización (1 + rm )1 − 1 1.020 + = 1.000 × 0, 03 × + = (1 + rm )t r (1 + rm )t (1 + rm )1 rm (1 + rm )1

1.000 × 0, 03 + 1.020 = 1.000 1 + rm

Solución: rm = 5%. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: rentabilidad de la inversión, r, si se suscribe en la emisión y un año más tarde se vende a 1.015 €. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos que vamos a obtener por la obligación (venta y cupón) y los pagos realizados (suscripción), e igualamos a 0: V C 30 1.015 VAN = + venta 1 − Pcompra = + − 1.000 = 0 1 1 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )1 Solución: r = 4,5%. Respuesta correcta: a.

228

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

4. Incógnita: valor en el año 3, P3, estando el t.i. del mercado, rm, en el 5%.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P3 = 1.000 × 0, 03 ×

(1 + 0, 05) 2 − 1 1.020 + 2 (1 + 0, 05) × 0, 05 (1 + 0, 05) 2

Solución: P3 = 980,95 €. Respuesta correcta: b.

5. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Compra al 95% dos años antes del vencimiento y amortización con prima del 2%. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (amortización en el año 5, Vamortización = 1.000 × 1,02 €, y cobro de cupones) y los gastos (compra el año 3, P3 = 1.000 × 0,95) e igualamos a 0: VAN = 1.000 × 0, 03 ×

(1 + r )2 − 1 1.000 × 1, 02 + − 1.000 × 0,95 = 0 (1 + r ) 2 × r (1 + r ) 2

RES EJ 192. Datos del problema: obligaciones, VN = 1.000 €, duración = 10 años, cupón = 4% y prima de amortización = 3%. 1. Datos: nos venden a 980 € las obligaciones tres años antes del vencimiento. Con relación a la afirmación (a), planteamos la ecuación del VAN y sustituimos r por 9,18% para comprobar si nos resulta igual a 0: (1 + r )3 − 1 VN + Pamortización (1 + r )3 − 1 + − P = 1.000 × 0, 04 × + 7 (1 + r )3 r (1 + r )3 (1 + r )3 r 1.000 × 1, 03 + − 980 (1 + r )3 VAN = C ×

Para r = 9,18%, el VAN resulta: VAN = 1.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 0918)3 − 1 1.000 × 1, 03 + − 980 = −87, 65 3 (1 + 0, 0918) × 0, 0918 (1 + 0, 0918)3

El VAN resulta negativo, por lo que la rentabilidad es inferior al 9,18%. Afirmación falsa. La afirmación (b) es falsa, ya que, en primer lugar, no nos hablan de una prima de emisión en el enunciado, además de que si se adquieren en el año 7, el precio de adquisición es el que se negocie en Bolsa y no tiene nada que ver con el de la emisión y la existencia de una posible prima de emisión. La afirmación (c) es correcta ya que, al vencimiento, además del último cupón de 40 € (4% de 1.000 €) recibiremos los 1.000 € del VN de las obligaciones más los 30 € correspondientes a la prima de amortización (3% sobre 1.000 €).

Valoración

de activos:

Valoración

de bonos capitulo ...

229

2. Incógnita: valor en el año 8, P8, situándose el t.i. del mercado, rm, en el 5%. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P8 = 1.000 × 0, 04 ×

(1 + 0, 05) 2 − 1 1.030 + 2 (1 + 0, 05) × 0, 05 (1 + 0, 05) 2

Solución: P8 = 1.008,62 €. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: interés del mercado si P9 es 950 €. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P9 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamortización (1 + rm )1 − 1 1.030 + = 1.000 × 0, 04 × + = (1 + rm )t r (1 + rm )t (1 + rm )1 rm (1 + rm )1

1.000 × 0, 04 + 1.030 = 950 1 + rm

Solución: rm = 12,63%. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: valor en el año 5, P5, si se trata de una obligación cupón 0 a descuento y el t.i. del mercado, rm, se sitúa en el 5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación cupón 0 a descuento: P5 =

Vamortización + Pamortización 1.030 = t (1 + rm ) (1 + 0, 05)5

Solución: P5 = 807,03 €. Respuesta correcta: a. 5. Incógnita: valor de un bono cupón 0 a descuento. Los bonos y obligaciones cupón 0 a descuento se valoran siempre igual o por debajo del VN siempre que no tengan prima de amortización, nunca por encima (para ello deberían darse en la economía tipos de interés negativos). Respuesta: c. 6. Incógnita: interés del mercado de deuda perpetua cupón = 4%, VN = 500 € y P1 = 510 €. Aplicamos la fórmula de valoración de un título de deuda perpetua: P1 =

C 500 × 0,04 = = 510 rm rm

Solución: rm = 3,92%. Respuesta correcta: a. 7. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Compra de obligación cupón del 4% a 980 € cuatro años antes del vencimiento y amortización con prima del 3%.

230

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (amortización en el añoDE 10, EJERCICIOS Vamortización = 1.000 × 1,03 €, y cobro de cupones) y los gastos RESOLUCIÓN (compra el año 6, P6 = 980 €) e igualamos a 0: VAN = 1.000 × 0, 04 ×

(1 + r ) 4 − 1 1.000 × 1, 03 + − 980 = 0 (1 + r ) 4 × r (1 + r ) 4

RES EJ 193. Datos del problema: bonos cupón 0 a descuento, Pventa = 10.000 €, duración = 8 años, Pcompra = 5.900 €. Incógnita = rentabilidad, r: 10.000 − 5.900 = 0 (1 + r )8 Solución: r = 6,82%. Respuesta correcta: b. VAN =

RES EJ 194. Datos del problema: obligaciones, VN = 500 €, duración = 10 años, cupón = 4% y prima de emisión = 3%. 1. Incógnita: interés del mercado si P9 es 475 €. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P9 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamortización (1 + rm )1 − 1 500 + = 500 × 0, 04 × + = t t 1 (1 + rm ) r (1 + rm ) (1 + rm ) rm (1 + rm )1

500 × 0, 04 + 500 = 475 1 + rm

Solución: rm = 9,47%. Respuesta correcta: a. 2. Datos: nos venden a 450 € las obligaciones tres años antes del vencimiento. Con relación a la afirmación (a), planteamos la ecuación del VAN y sustituimos r por 14% para comprobar si nos resulta igual a 0: VAN = C ×

(1 + r )3 − 1 VN (1 + r )3 − 1 500 + − P = 500 × 0, 04 × + − 475 7 (1 + r )3 r (1 + r )3 (1 + r )3 r (1 + r )3

Para r = 14%, el VAN resulta: VAN = 500 × 0, 04 ×

(1 + 0,14)3 − 1 500 + − 475 = −91, 08 3 (1 + 0,14) × 0,14 (1 + 0,14)3

El VAN resulta negativo, por lo que la rentabilidad es inferior al 14%. Afirmación falsa. La afirmación (b) es falsa, ya que, en primer lugar, no nos hablan de una prima de emisión en el enunciado, además de que si se adquieren en el año 7, el precio de adquisición es el que se negocie en Bolsa y no tiene nada que ver con el de la emisión y la existencia de una posible prima de emisión.

Valoración

de activos:

Valoración

de bonos capitulo ...

231

La afirmación (c) es correcta ya que, si se han vendido las obligaciones por debajo deDE su VN, significa que el interés del mercado es superior al del cupón RESOLUCIÓN EJERCICIOS que ofrecen; esto es, es superior al 4%. 3. Incógnita: valor en el año 5, P5, si se trata de una obligación cupón 0 a descuento y el t.i. del mercado, rm, se sitúa en el 5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación cupón 0 a descuento: P5 =

Vamortización 500 = t (1 + rm ) (1 + 0,05)5

Solución: P5 = 391,76 €. Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: valor en el año 8, P8, estando el t.i. del mercado, rm, en el 5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P8 = 500 × 0, 04 ×

(1 + 0, 05) 2 − 1 500 + 2 (1 + 0, 05) × 0, 05 (1 + 0, 05) 2

Solución: P8 = 490,70 €. Respuesta correcta: a. 5. Incógnita: valor de un bono cupón 0 a descuento sin prima de amortización. Los bonos y obligaciones cupón 0 a descuento se valoran siempre igual o por debajo del VN, nunca por encima (para ello deberían darse en la economía tipos de interés negativos). Respuesta: a. 6. Incógnita: interés del mercado de bono cupón 0 a descuento vida = 5 años, VN = 1.500 € y P1 = 1.330 €. Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón 0 a descuento: P1 =

Vamortización 1.500 = = 1.330 t (1 + rm ) (1 + rm ) 4

Solución: rm = 3,05%. Respuesta correcta: a. 7. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Suscripción de obligación cupón del 4% con prima del 3% y venta cuatro años más tarde a 540 €. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta en el año 4, P4= 540 € y cobro de cupones) y los gastos (suscripción con prima del 3% P0 = 500 × (1 – 0,03) €), e igualamos a 0: VAN = 500 × 0, 04 ×

(1 + r ) 4 − 1 540 + − 500 × 0,97 = 0 (1 + r ) 4 × r (1 + r ) 4

232

Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

RES EJ 195. Datos del problema: obligaciones, VN = 200 €, duración = 10 años y cupón = 3%.

RESOLUCIÓN DE interés EJERCICIOS 1. Incógnita: del mercado si P9 es 195 €.

Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P9 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamortización (1 + rm )1 − 1 200 + = 200 × 0, 03 × + = t t 1 (1 + rm ) r (1 + rm ) (1 + rm ) rm (1 + rm )1

200 × 0, 03 + 200 = 195 1 + rm

Solución: rm = 5,64%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: rentabilidad, r, de la inversión de comprar la obligación en el año 7 a 200 € y esperar a su amortización. Dado que no hay prima de amortización, al comprar la obligación al valor de amortización y esperar a que esta se produzca, aseguramos una rentabilidad igual al cupón que ofrece; esto es, en este caso 3%. Solución: r = 3%. Respuesta correcta: a. 3. Incógnita: valor en el año 6, P6, estando el t.i. del mercado, rm, en el 3,5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P6 = 200 × 0, 03 ×

(1 + 0, 035) 4 − 1 200 + (1 + 0, 035) 4 × 0, 035 (1 + 0, 035) 4

Solución: P6 = 196,33 €. Respuesta correcta: a. 4. Incógnita: valor en el año 5, P5, si se trata de una obligación cupón 0 a descuento y el t.i. del mercado, rm, se sitúa en el 5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación cupón 0 a descuento: V 200 P5 = amortizaciónt = (1 + rm ) (1 + 0,05)5 Solución: P5 = 156,71 €. Respuesta correcta: b. 5. Incógnita: valor en el año 2, P2, si se trata de una obligación cupón 0 a descuento y el t.i. del mercado, rm, se sitúa en el 3%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación cupón 0 a descuento: V 200 P2 = amortizaciónt = = 157,88 (1 + rm ) (1 + 0,03)8 Solución: P2 = 157,88 €. Respuesta correcta: c.

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6. Incógnita: valor de deuda perpetua tres años después de su emisión, cupón = 3%,DE VNEJERCICIOS = 200 € y t.i. del mercado, rm = 4%. RESOLUCIÓN Aplicamos la fórmula de valoración de un título de deuda perpetua: P1 =

C 200 × 0,03 = rm 0,04

Solución: P3= 150 €.

Respuesta correcta: a. 7. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Compra de obligación cupón del 3% al 105% seis años antes del vencimiento y venta 1 año antes, cuando t.i. del mercado es del 6%. Tiene prima de amortización del 3%. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta en el año 9 y cobro de cupones) y los gastos (compra el año 4, P4 = 200  ×  1,05 €), e igualamos a 0: VAN = 200 × 0, 03 ×

(1 + r )5 − 1 200 × 1, 03 + 200 × 0, 03 / 1, 06 + − 200 × 1, 05 = 0 (1 + r )5 × r (1 + r )5

donde, 200 × 1, 03 + 200 × 0, 03 / 1, 06 es P9 , el precio del título un año antes del vencimiento (amortización con prima del 3% y cobro del último cupón del 3%). RES EJ 196. Datos del problema: obligaciones, VN = 500 €, duración = 8 años, cupón = 4% 1. Datos: nos venden a 500 € las obligaciones tres años antes del vencimiento y las mantenemos hasta la amortización. Con relación a la afirmación (a) planteamos la ecuación del VAN y sustituimos r por 4% para comprobar si nos resulta igual a 0: VAN = C ×

(1 + r )3 − 1 VN (1 + r )3 − 1 500 + − P5 = 500 × 0, 04 × + − 500 3 3 3 (1 + r ) r (1 + r ) (1 + r ) r (1 + r )3

Para r = 4%, el VAN resulta: VAN = 500 × 0, 04 ×

(1 + 0, 4)3 − 1 500 + − 500 = 0 3 (1 + 0, 4) × 0, 4 (1 + 0, 4)3

El VAN resulta igual a 0, por lo que la rentabilidad es el 4%. Afirmación cierta. Podíamos haber dado por buena la afirmación teniendo en cuenta, tan sólo, que el precio de venta es igual al VN. Siempre que esto sucede, si no hay prima de amortización, la rentabilidad obtenida por el inversor que espera a la amortización del título es igual al interés del cupón ofrecido por los títulos.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

La afirmación (b) es falsa, pues esta inversión sí nos da beneficio (los cupones que recibimos anualmente y que hacen que nuestra rentabilidad sea del 4%). RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS En cuanto a la afirmación (c) es falsa, ya que, al vencimiento, año 8, se cobrará el valor de amortización (VN = 500 €) más el último cupón (500 × 0,04); esto es, 500 + 20 = 520 €. 2. Incógnita: valor en el año 6, P6, estando el t.i. del mercado, rm, en el 3,5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P6 = 500 × 0, 04 ×

(1 + 0, 035) 2 − 1 500 + (1 + 0, 035) 2 × 0, 035 (1 + 0, 035) 2

Solución: P6 = 504,75 €. Respuesta correcta: b.

3. Incógnita: interés del mercado si P7 es 490 €.

Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P9 = C × =

(1 + rm )t − 1 Vamortización (1 + rm )1 − 1 500 + = 500 × 0, 04 × + = t t (1 + rm ) r (1 + rm ) (1 + rm )1 rm (1 + rm )1

500 × 0, 04 + 500 = 490 1 + rm

Solución: rm = 6,12%.

Respuesta correcta: b. 4. Incógnita: valor en el año 3, P3 , si se trata de una obligación cupón 0 a descuento y el t.i. del mercado, rm, se sitúa en el 3%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación cupón 0 a descuento: P3 =

Vamortización 500 = t (1 + rm ) (1 + 0, 03)5

Solución: P3 = 431,0 €. Respuesta correcta: c.

5. Incógnita: valor tres años después de su emisión si se tratara de deuda perpetua y el t.i. del mercado, rm, es el 4%. Aplicamos la fórmula de valoración de un título de deuda perpetua: P3 =

C 500 × 0, 04 = rm 0, 04

Solución: P3= 500 €.

Respuesta correcta: a.

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RES EJ 197. Datos del problema: obligaciones, VN = 3.000 €, duración = 10 años, cuRESOLUCIÓN EJERCICIOS pón = 5%,DE prima de emisión = 2% y prima de amortización = 4%. 1. Incógnita: rentabilidad de la inversión, r, si se suscribe en la emisión y un año más tarde se vende al 104%. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos que vamos a obtener por la obligación (venta y cupón) y los pagos realizados (suscripción), e igualamos a 0: V C 3.000 × 0, 05 3.000 × 1, 04 + venta 1 − Pcompra = + − 1 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )1 (1 + r )1 −3.000 × (1 − 0, 02) = 0 VAN =

Solución: r = 11,22%. Respuesta correcta: b. 2. Incógnita: rentabilidad, r, de la inversión que resulta de comprar la obligación 7 años antes de su vencimiento a 3.000 € y esperar a su amortización. Planteamos la ecuación del VAN y sustituimos r por 5% para ver cómo nos resulta el VAN y comprobar si es cierta o no la afirmación (a): (1 + r )7 − 1 VN + Pamortización (1 + r )7 − 1 + − P = 3.000 × 0, 05 × + 3 (1 + r )7 r (1 + r )7 (1 + r )7 r 3.000 × 1, 04 + − 3.000 (1 + r )7 VAN = C ×

Para r = 4%, el VAN resulta: VAN = 3.000 × 0, 05 ×

(1 + 0, 05)7 − 1 3.000 × 1, 04 + − 3.000 = 85, 28 7 (1 + 0, 05) × 0, 05 (1 + 0, 05)7

El VAN resulta superior a 0, por lo que la rentabilidad es superior al 5%. La afirmación es cierta. Podíamos haber resuelto razonando de la siguiente forma: si no hubiera prima de amortización, al comprar la obligación al valor nominal y esperar a su amortización, aseguramos una rentabilidad igual al cupón que ofrece; esto es, en este caso un 5%. Al haber prima de amortización, al final recibimos más que el VN —esto es, el valor nominal más la prima de amortización—, lo que supone que la rentabilidad será superior a la del cupón. La afirmación (b) es cierta porque, si las hubiéramos adquirido en la suscripción, habríamos pagado por ellas menos de su VN dado que hay prima de emisión del 2%, lo que habría llevado a una rentabilidad aún mayor. Solución: r > 5%. Respuesta correcta: a.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

3. Incógnita: valor en el año 5, P5, estando el t.i. del mercado, rm, en el 4,5%. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P5 = 3.000 × 0, 05 ×

(1 + 0, 045)5 − 1 3.000 × 1, 04 + 5 (1 + 0, 045) × 0, 045 (1 + 0, 045)5

Solución: P5 = 3.162,14 €. Respuesta correcta: c.

4. Incógnita: valor de deuda perpetua y t.i. del mercado, rm = 4%. Aplicamos la fórmula de valoración de un título de deuda perpetua: C 3.000 × 0, 05 P= = rm 0, 04 Solución: P = 3.750 €. Respuesta correcta: b. 5. Incógnita: valor en el año 6, P6, si se trata de una obligación cupón 0 a descuento y el t.i. del mercado, rm, se sitúa en el 6%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación cupón 0 a descuento: V 3.000 × 1, 04 P6 = amortizaciónt = (1 + rm ) (1 + 0, 06) 4 Solución: P6 = 2.471,33 €. Respuesta correcta: a.

RES EJ 198. Datos del problema: obligaciones, VN = 5.000 €, duración = 8 años, cupón = 6%, prima de emisión = 2% y de amortización = 3%. 1. Datos: suscribimos 10 obligaciones y las vendemos 2 años después a 4.950 €. Con relación a la afirmación (a), planteamos la ecuación del VAN y sustituimos r por 6% para comprobar si nos resulta igual a 0: VAN = C × +

P2 (1 + r ) 2 − 1 (1 + r ) 2 − 1 + − V = 5.000 × 0, 06 × + emisión (1 + r ) 2 r (1 + r ) 2 (1 + r ) 2 r

4.950 − 5.000 × 0,98 (1 + r ) 2

Para r = 6%, el VAN resulta: VAN = 5.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 06) 2 − 1 4.950 + − 5.000 × 0,98 = 55,50 (1 + 0, 06) 2 × 0, 06 (1 + 0, 06) 2

El VAN resulta mayor que 0, por lo que la rentabilidad es superior al 6%. Afirmación cierta. Podíamos haber dado por buena la afirmación teniendo en

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cuenta, tan sólo, que el precio de venta es superior al de la compra y este, a su vez, inferior valor nominal. Esto supone un beneficio extra al 6% que nos RESOLUCIÓN DE alEJERCICIOS da el cupón. Para comprobar que la afirmación (b) es falsa, planteamos la ecuación que nos permite calcular el valor de los títulos en el año 2 y sustituimos el t.i. del mercado, r m, por el 6% para ver si nos resulta el valor de 4.950 € pagado en el año 2: P2 = C × +

(1 + rm )6 − 1 Vamortización (1 + 0, 06)6 − 1 + = 5.000 × 0, 06 × + 6 6 (1 + rm ) rm (1 + rm ) (1 + 0, 06)6 × 0, 06

5.000 × 1, 03 = 5.105, 74 (1 + 0, 06)6

En cuanto a la afirmación (c) es falsa, ya que, al vencimiento, se cobrará el valor de amortización 5.000 × 1,03 = 5.150 € (VN más prima de amortización) una cantidad superior a la pagada por los títulos. Así, pues, la rentabilidad será superior al 6%. Podríamos comprobarlo, también, planteando la ecuación del VAN y sustituyendo r por el 6%, el resultado será positivo: (1 + r )8 − 1 Vamortización (1 + r )8 − 1 + − V = 5.000 × 0, 06 × + emisión (1 + r )80 r (1 + r )8 (1 + r )8 r 5.000 × 1, 03 + − 5.000 × 0,98 (1 + r )8 VAN = C ×

Para r = 6%, el VAN resulta: VAN = 5.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 06)8 − 1 5.000 × 1, 03 + − 5.000 × 0,98 = 194,11 8 (1 + 0, 06) × 0, 06 (1 + 0, 06)8

2. Incógnita: valor en el año 5, P5, estando el t.i. del mercado, rm, en el 5%. Aplicamos la fórmula de valoración de una obligación: P5 = 5.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 05)3 − 1 5.000 × 1, 03 + 3 (1 + 0, 05) × 0, 05 (1 + 0, 05)3

Solución: P5 = 5.265,74 €. Respuesta correcta: b.

3. Con relación a la afirmación (a) (compra a 5.100 en el año 7), planteamos la ecuación del VAN: VAN = C ×

r = 6,86%.

(1 + r )1 − 1 Vamortización 5.000 × 0, 06 + 5.000 × 1, 03 + − P7 = − 5.100 = 0 (1 + r )1 r (1 + r )1 (1 + r )1

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

Con relación a la afirmación (b), para comprobar que es falsa planteamos la ecuación DE que nos permite calcular el valor del título si fuera cupón 0 a descuenRESOLUCIÓN EJERCICIOS to, 4 años antes de su vencimiento y con el t.i. en el 7%, y comprobamos si nos resulta 3.814,48: P4 =

Vamortización 5.000 × 1,03 = = 3.928,91 (1 + rm )t (1 + 0,07) 4

Por último, para rechazar la afirmación (c), planteamos la ecuación que nos permite calcular el valor del título si fuera de renta perpetua, con t.i. = 7% y comprobamos si nos resulta 4.414,29: P=

C 5.000 × 0, 06 = = 4.285, 71 rm 0, 07

RES EJ 199. Datos del problema: bono cupón 0 a descuento, VN = 1.000 €, duración = 5 años. 1. Incógnita: valor en la amortización, Vamortización. Al tratarse de un cupón 0 a descuento, sin prima de amortización, el valor de amortización será su valor nominal. Solución: Vamortización = 1.000 €. Respuesta correcta: a.

2. Incógnita: rentabilidad, r, si se compra a 903,5 el año 2 y se mantiene hasta su amortización. Planteamos la ecuación del VAN e igualamos a 0: VN 100.000 P2 = = = 903,5 (1 + r )3 (1 + r )3 Solución: r = 3,44%. Respuesta correcta: b. 3. Incógnita: t.i. de mercado, rm, si se tratara de bono cupón americano, cupón 6%, comprado a 1.060 € en el año 1. Planteamos la ecuación del cálculo del valor de un bono cupón americano cuatro años antes de su amortización sin prima: Pt = C ×

(1 + rm )t − 1 (1 + rm ) 4 − 1 1.000 VN + = 1.000 × 0, 06 × + = 1.060 (1 + rm )t rm (1 + rm )t (1 + rm ) 4 rm (1 + rm ) 4

Como no es sencillo despejar rm, sustituimos esta variable por el 6% para ver si nos resulta igual a 1.060 €: P1 = 1.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 06) 4 − 1 1.000 + = 1.000 (1 + 0, 06) 4 × 0, 06 (1 + 0, 06) 4

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El valor que nos resulta es inferior a 1.060, para que nos resultase 1.060, rm debería ser al 6%. Tengamos en cuenta, además, que, sin necesidad de RESOLUCIÓN DEinferior EJERCICIOS utilizar la formula anterior, en un bono cupón americano sin prima de amortización, cuando el t.i. del mercado es inferior al cupón ofrecido por este, su valor en el mercado es superior al VN. Solución: rm < 6%. Respuesta correcta: c. 4. Incógnita: rentabilidad, r, si se tratara de bono cupón americano, cupón 6%, comprado a 1.060 € en el año 1 y mantenido hasta el vencimiento. La rentabilidad que se obtendrá será la del interés del mercado implícito en su precio de compra siempre que se mantenga hasta su vencimiento. Podemos plantear la ecuación del VAN y sustituir por el 6% para ver cómo resulta o, simplemente valernos de la solución del apartado anterior en el que veíamos que el t.i. implícito en el precio del título el año 1 era inferior al 6%. Si planteamos la ecuación del VAN y sustituimos r por el 6% nos resulta lo siguiente: VAN = C ×

(1 + r )t − 1 VN (1 + r ) 4 − 1 1.000 + − Pcompra = 1.000 × 0, 06 × + − 1.060 t t (1 + r ) r (1 + r ) (1 + r ) 4 r (1 + r ) 4

Sustituyendo r por 6%: VAN = 1.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 06) 4 − 1 1.000 + − 1.060 = −60 4 (1 + 0, 06) × 0, 06 (1 + 0, 06) 4

El VAN resulta negativo para un r = 6%, por lo que la rentabilidad es menor al 6%. Solución: rm < 6%.

Respuesta correcta: c. 5. Incógnita: rentabilidad, r, si se tratara de bono cupón americano, cupón 6%, adquirido en la emisión y vendido a 1.060 € en el año 1. Planteamos la ecuación del VAN y despejamos r: (1 + r )t − 1 Pventa (1 + r )1 − 1 1.060 + − P = 1.000 × 0, 06 × + − compra (1 + r )t r (1 + r )t (1 + r )1 r (1 + r )1 1.120 −1.000 = − 1.000 = 0 ⇒ r = 12% 1+ r VAN = C ×

Nos resulta una rentabilidad del 12%, por lo tanto superior al 6%. Esto podríamos haberlo deducido comparando el precio de adquisición y el de venta; ya que, al ser mayor el segundo que el primero, obtenemos un beneficio extra al que ya, de por sí, nos ofrece el cupón del 6% ofrecido por el bono. Solución: r > 6%. Respuesta correcta: b.

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Ejercicios

resueltos de

Matemática Financiera

6. Incógnita: valor en el año 3, P3 en caso de ser bono cupón americano (cupón del 6%) yDE estando el t.i. del mercado, rm, en el 4%. RESOLUCIÓN EJERCICIOS Aplicamos la fórmula de valoración de un bono cupón americano: P3 = 1.000 × 0, 06 ×

(1 + 0, 04) 2 − 1 1.000 + 2 (1 + 0, 04) × 0, 04 (1 + 0, 04) 2

Solución: P3 = 1.037,72 €. Respuesta correcta: b.

7. Incógnita: movimiento de t.i. preferible previo a una venta de bono. Tenemos que tener en cuenta la valoración de los bonos y la situación concreta del inversor. En cuanto a la valoración ya hemos visto que la relación entre t.i. y valor es inversa. Esto es, a mayor t.i. menor valor y viceversa. Respecto a la situación del inversor, como este quiere vender, se supone que querrá realizar la operación al precio más alto posible. Uniendo ambas ideas, lo ideal en esta ocasión es que los t.i. bajen. Solución: que bajen los t.i. Respuesta correcta: b. 8. Incógnita: ecuación para cálculo de rentabilidad. Suscripción de obligación cupón del % con prima del 5% y venta tres años más tarde cuando el t.i. del mercado es del 4%. Planteamos la ecuación del VAN teniendo en cuenta los ingresos (venta en el año 3 y cobro de cupones) y los gastos (suscripción con prima del 5% P0 = 1.000 × (1 – 0,05) €), e igualamos a 0: VAN = 1.000 × 0, 06 ×

(1 + r )3 − 1 1.000 / 1, 042 + 60 × (1, 042 − 1) / 1, 042 × 0, 04 + − (1 + r )3 × r (1 + r )3

−1.000 × 0,95 = 0

Donde, 1.000 / 1, 042 + 60 × (1, 042 − 1) / 1, 042 × 0, 04 es el precio del título el año 3, dos años antes de su vencimiento, teniendo en cuenta que el t.i. del mercado es del 4%.

Bibliografía

Miner, J. (2005): Matemática Financiera. Madrid, McGraw-Hill (Serie Schaum). Miner, J. (2008): Curso de matemática financiera. 2ª edición. Madrid, McGraw Hill. Villalobos, J. L. (2001): Matemáticas Financieras. 2ª edición. México, Prentice Hall. Zima, P. y Robert, L. B. (2005): Matemáticas Financieras. 2ª edición. México, McGrawHill (Serie Schaum).

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