Ecuații cu derivate parțiale: (Anul III Matematică)

Citation preview

U N I V E R S I T A T E A D I N . B U C. U R E FACULTATEA DE ·MATEMATICA

Ş

TI

V. IFTIMIE

ECUAlll CU DERIVAU PARTIUI (ANUL III

MATEMATICĂ)

BUCUREŞTI,

1989

I

.. Prezentul curP este destinat l!'ncllltiiUate~a -

studenţilor anului IIJ ai ţii ~e MateQatică, secţia

tic!!..

Tox!:ul a fost nualizat în colectivul de catedră car,J s-a declclrat de acord ou 11ultiplicarea în actuala red ctare,

INTRODUCERE

il?i'aetica

pa:rţie.le1

011 c.ari•1ate

o l!B.l·e varietate de

f11rnbează

oo

vedsm 7de exa'llPln, Ci.lill apsr c

"cle.sioe' ale fizicii .catematioe1 e

r

clllil

şi

căidur11,

cr._,:-e sint pX'oblemele ea:N

88

a undel

pun in mod na

oounţ;i1.

l o IDaJ;h căldurii Fie ..0.. un de:.tohis dl

a s .D. r

[O,

e,O ) - - -

R,

11

..n.c.

oi:iogen

(adică

a- ..{"l

"'.!.'onti

= u(x, t), care

ra tn pw:iatul x = (xl'x"',x.3) d.iul

R},

e.?i,

la

dellfJita„s • oildar :sp

„f

de conduotibilitate termic~ ~int conetant ),s fică

o egalitate dl:l fo~ma

u.ade a el!!ta o c orus te.ntii,

b.

operato-r

t

l

nit prin

.6 u jar F eare o nerntă

'isau

=

a2u. ~

ax-l

funcţie

ab3orbltă

a2u +----r.

r.r.2

a a

11nţ1e1

a 2u

-,

~

ax'"-

c11uoscut~, det rm:Lna~1 d~ intr-un :punct x

i1.1t.tnp111f de 0xe111plu, într-o ţie

•!•

d.l 2 , dar direcţia

'l J1.

-=(1,0) este tangentl

fl

}O

la ~ 1n aoest panot.

Teore111& 1.2.2 atrage

atenţia

asupra faptului ol partea principa-

parţiale

li a unuJ. operator ou derivate

(adicîl grupul termenilor de or-

din muia) joaol u.n rol important 1n studiul aoelai operat~r. In partiolllar. polinomul oaraoteristio (sau simbolul principal) al ppec.rato:rul11i P, definit prin

fm(x, "1) poate fu.rniza

., -~ -.c

Mulţillea veotoriior oaracte~istioi 1n raport ou P 1n punctul~ H

JlOVHII

••t•

r-pCz)

r1;1Cx) IJi H numeşte 00.ll O&Hoterl•tio 1n punetatl X , eteotiv lln con. deo&reoe datorit! omogenitrlţ11 lui ,.(x,J),

daol

'f 6 r.P (,:)

,1

)t G R

,{oJ ,

'

A 'J €~·(X)•

abnoi .

I

ro1011nd aoeat limbaj, p~tem reformula

aup~at•~•

E

oporatqr1,1l

'i

definiţia

1.2.11 bipe~-

••t• oaraotcriet i ol (reape otiv nooaraoteri•tiol), pentru 111· pwiotul z e-

I:

daoll 8'f(x) 6-

r.P (x)

{rt1pootiv

f

Sf(x) ri,Cxj, ou alte cuvinte dacii. veotorU. ~ormali la I: 1n pnnctul x •1nt o~aoteriot1o1 (reapeotiv naoa.raoteristioi) tn rapo~t OQ P 111 x.

Detlpltia 1,e.i.!!;. Operatorul F 80 x 6 ~

do.ol

f'1, (x) • p • 1,'l III

Jl ae

din

.n. ,

numoştn

( ,c,

Cil

numeşte

eliptic

al t e ouvi ntie dooll

"J )

r-

0 ..J'

"'f •

0•

ol1pt1o tn .O. d1lol1 lll onto fJl:l.pt:t.a in ori,:o pu.not

31 Un exemplu de operator eliptio 1n Â

„

'fil eete operatorlll loi

Las,llatt

n

Eai , al olrlli simbol prineipal va ti I-yf.

i=l

l)!tinitia 1,2.5.

Presupunea ol b1;persuprafaţa

E

este noce-

raoteriatioil pentru P 1n toate punctele sale. Vom spune c! P &ete, etr~

E

hiperbolic 1n raport 011 -

daol putru

01'101t

şi orioe

E

x G

y e aA I

liniar independent de c> 9'(x), ,ouaţ1a bi Jl

1

'

....·•·: -,· '

'. ,

I~ partioulu. claol hiperbolic 1n rapor11 F11(x.

:-!.

'f)

2

o, are•

•co, ."•• ,o,.•) /.O

~

-I

an-1 \

e11M ~U'f.~

:11\\

'fa •• . .,:, .

1'14lttini reile ♦i „ţntnate ort.oaro• fi \

6

,~

h1-pel'p1'nul ~ • O daoil ecllajia

011

,

y

~ ..l'l.0

{o}

•

•

I

ze~ I

j

I

I tWW.1};: I

.ll-l

OpeHtorul ~elei în raport o~ h!perpl~IJl za .•

O "a~ •

f-1 ~~ •~

~rio11

~f.•

o.

Se mai pot detilli ti alt• ole" tiiilJ,ortuitti, !oe! oei •1 ' 110lţ$. •

I

•

•

ope~atori scapi uiolni cla.sifiol•l• O ~ţwt1eare re)•ta OOIIIPl•~"

poate taoe 1n oazul operatorll~ 4• od.S.11 • ,.

a.

ou c(M.ftc1e,.,t ~Ml.le

Sl presupu~em atunci ol

n

J> (x,a ,> •

L

at

•tj(x) 81 04 ~E-i o} •

1')

ii I) 111.')

U n .Q :.{x ~ U I (f (x) < O} Une.n ={x_G U I Cf(x) = O},

un (Rn, 15.) = lxf;, u t

Cf(x)

Raoiproc, d..tndu-ee o funoţ1e reală

1

o}.

de:f'i.nită pa o vecioăt.itfi

•

1 ·

48

4e■oh1ail

U

a

O

1111111

punct x 0 G O rămtnind a fi precizat. Observ!lm oă

g G

lC

00

D

şi

)

= - 2

f

.-~R

2

.-~lxl2 (4\'21.xl2 ~

> D/2

(.:l, x 0 )

r2•

Proprietăţile

în punotal x 0 după direcţia Â

pe D.

'oontor11111) şi exemplultli,

2.np)> .-~R\4~2r2-2Df)> o dac!

lui v. Este evident că v e,

eup i > o, eonterm 11), m1 < tt(x0 ) S(O;r) Alegînd JJ, >O astfel taeît şi~=

1v

o,

~

7 e D .

1 = 1.2, ••• ,n,

o.

Fie aown m1 ~ v(x0 ) .

= sttp a S(01r)

x C- S(O;r),

D este

Aşadar maximul lui~ pe n111tăţi1

atins pe B(O;R)1 eonrorm ii) 9i eoati-

l ui 11, pentr11 x e--S(O 1R), v(x) == u(x) ~ 11(:1:0 ) :: v(x0 ).

;J (x

e) Vom aril.ta el1

)

0

~

O. In acest eciop se oo~-aide-ril

ţia

t, -

da0,l

tii > O eete eu.!ieient de miei ea

T(x0+ & Â) i

[ - ,f

•O]-__: R,

b1..11e di:,tinit!

şi

de elad.

tun•• qj l

işi atinge ma.rllliul pentru ~ ::0.

Daoă

am avea ; ; (x0) < o, funcţia de mai :sus ar 1"1 desoMscătoare i.11 veeinătatea 1111 c. = O, care n-u putea fi ptmct de m:nim. In ooncl 11z1e, de unde

Fie

..n

!JCx

~ -JJ,

)

0

;

;;(x

J(x0 ) "'

:J

0

(x0 )

:,-

)

+Jl

:1

>

(x9 )

o.

O,

q.a.d

Teorema 2 1 1,2• (Principiul de maxim pentru ope?~rul .~t Laplue). un deschie din R•, mărginit şi conex. Daoli 11 & fd 2 (.n) ~ (ii)

este reală ş1

~ u ~') pe

.n....., atuno1 are una din armătcarele

d1~ pro-

prietăţii

a)

ll 1ş1

b)

u este •onetant!i.

ati.oge valoare

~

IIUlX

e

n.

~ . Fie J. :: BUR_ 11(x). Sl pz,een 111em

că

mut pe

an. ,

.:nu are proprietatea a),

X4:-.0,

adicli ex1eti1 x B(x0

;

2 d) C

c. .n

..n

astfel 1no1t

J voia erl1ta cil.

11

U\ -rv

"' ! • Fie

~

'?

O astfel inoit

= J. pe B'(x0 J cl). Intr-:idevu, dacii

.

exi.eta un pWlet a e-B_(x0 , .E )•uttel îneît u-(a) < A., de.todtă oontinuit11ţii lui u vom ayea u(x) < J. pentru x GB(••~) pentru r 7 O sutioi-

ai·

ent. de Dote. I n particular, Tom p11tea l11a r egal eu

dis•anţa

lui a

la

52 mulţim•a M = { x e, ..Cl I a(x) =

el•

••t• ooa•1aa1:

aceeţ

ia

.l},

oar• ee1.& îa•hit.'lil. 1- ..o. dia eaasl

eaz pe S(air)

iaeît u(y) = !. Collform l emei 2.1.4

exiata u

TC

aplieată

pu•t 7 ••tfel şi

lui B(a1r)

puetalui

exterior bilei B(a; r) ia pra•ttLI, y Tom &Tea : : (y) > o; aceasta eoatraz1•• faptul ea î•tr-11a pact de maxim iaterior, oum eate y, toate derivatele de ordi a I al• lui u •e

am arltat eA

işada.r,

mulţimea

M de ~ai· auo eete deacbid. ta n

•ar• este co.a•x; atuaai M S'lU ooacide eu .n ,tiau este

Deoarece am presupt.U! ll

= A pe

oă

li

conţ ine

aaulează.

puţin

cel

mulţimea vidă.

un punct x: 0 ,

rezultă

rl. •

ol

q.e ,d,

Vom mai avea nevoie de un p'!.'inoipiu de maxirn pentru un operator

ana mai general deoît oel al 1111 J,11.plaoe.

Teorema 2 1 1.6. Fi~ ..o. un deschis din Rn, tcl!.rginit şi conex ~

reală, a~ O ;;►,.

pe

..o • Dao~ u

O pe .îl., a tunci u are a) u ~

2 (.n)

fi- ~

1111a

dintre

11

este

următoarele

trei

8'8.Ximă p8

.n.

WI!

> o,

lui u,pentru J deci

6 u.

>

proi:,rietliţia

i pe c,_,-i,

că

unu

ver1fiaă

...n,

sufioient de m1o, u(,::)

-au~ O pe B(x0 ;

oonstantl pe 'B(x0 ; ~

) •

Aşadar,

~).

>

O pent':11 xG"9(x0; $ ) , Confc,m teor mei 2.1 • .5, u va !1

ll $şi

relativ l a O-

Obseryatie. Exact în

continuităţii

oa şi .tu. dem::>Ustraţia de mai sus, mulţi­

mea. li a punctelor din .o. î n care şi deschisă

aşadar,

nioi a), nici b)f

x 0 G.!1. astfel încît u(x0 ) = a.!Y) u > v. Din oauz

există

l. Du. + au~ '

constantă .

Dem. S! presupunem

ohisl

(&' (..ci.) este redă

Open,

b) u ioi atinge val :>aren o)

n

acelaşi

atinge va..1.oarea llll!:ld.m! este tn-

rezu.ltli , = ..ci.

•

mod, goneral1z1nd

q.e.d uşor

lema 2.1.4,

ee poate demonstra un prinoipi u de maxim pentru oparator11 de forma (1.2 .7)

pe _un deeohie

mărginit şi

eonex n

, care

verifică

o

condiţie

;.,; de elipticitate

"un1.forml"a se presupune c! exist! o constantă

~~ O

astfel iuoit ll

~

aij (x)

ţi J j ~ J /J/ • j a1/x) / ~ J

~l' f •1 (:z:) ,~ .ş •l pentn

1,;1=1

xe.n, (A se vedea

[l] ) .In schimb, nu exist! rezultate analoage pentr11 opera..

torii eliptici de ordin superior lui 2.

§

2.2. Aplicatii la problemele la liritl,

Vom da mai iutii o formulare

a problemelor de

generală

O&l'e

ne

~om ocupa. In primul rind, operatorul studiat nu va fi chiar laplaoeta~

nul, oi

proprietAţile

mai bine

pe oare se refleotl mult

operatorilor eliptici de

aoeaata va permite abordarea problemei pentru comoditate,

Totuşi,

şi

+a, oa.re apare în teorema 2.1.6

monetratl dertt în oazul a

formă generală;

funcţiilor şi

existenţa soluţiilor

în plms,

valoriloir proprii;

nclasice" nu va fi dc-

O.

z

In al doilea rind, desohieal

n

din

II'

pe care

88

pun proble--

mele la limitl, nu poate fi arbitrar. Pe de o parte, trebuie sJ impunem condiţii

de regularitate frontierei salo

aa.

Pe da alt! parte, atunci

oind .!"1. este nemărginit este foarte gre11 dtt formulat şi (mai a.leal)

de studiat asemenea problemei ..n. este

mllrginită.

In

exoepţi•

~unoţie

de aceasta vom distinge prcbleme la 11-

mitll. interioare (atunci cînd ..O. oind complementara 111! ..O.

face c zul oind complementara lui

este

este

mărginit)

mărginită).

i 9:z:terioare (atunci

. .

S11. considerăm atu.noi u.n deschis ..n.. G tfJ , k q- 1, u.n oimp de vec-

an ,

jJll = l, aatf9l Snoît pentru orioe x e;. a ..n , Jl(x) sll. fie exterior lui .o.. in punct~l x ş!. funcţiile date a , .n.. ---.R ,oe, fa :a..n. -a, t , .n. - o , 'fi a.n. -c. tori pe

. a

a.o.

-Rn,

Problema la limită interioarl. n mine u t ~ 2 (.n.) n ~ (ii) astfel iuoit

fiind

mărginit, să

se deter-

54 -1) ~ u + au

=t

pe ..O.

(2 .2. l)

2) u să fie deriTabill după direeţia

an

x G

pentru care el

. O astfel

d} 41 Tom lua g(x) "' e f d - e rxl

t

fi precizat. Se observi ol

f2~

-1

Proprietăţile

ol ilg + ag =şi

r 2 efXl + .

Î ~ 1.

lui h. Se obsenl ol

a.n

el

.n şi

daci. X 6 fl.

h ~ Sllp şi

T "

lui g.

g b ~oo (R11), g;>O pe

b)

şi

..0.

f:f 00 (Rn).

Flcînt o translaţie, p ut em presapwie ol există d

inoît

f11noţi•

int r odaoe a ltl

Ooa!'or• (2.2.4), eate u t lll'al al-1 clutl• pe h de h =

a)

(2.2.4)

t,

O suficient de mare pentru ca Rl'J.,.n C B(0 1l ) .

Aplicînd teorema 2.2.1 lui B(O;R) n .o , care este un deschis mărginit şi

frontieră

oonex • clrui k

este S(O ; R) U a..n. • se deduoe ol

I I

sup u B(O;H)/')S2.

~

sup I 11 I S(O;R)

. i

Din (2.2,3) se deduce că part ea dreaptă a inegalltQţii de mai au:1 t i ndo lA zero atunci oind R -

oo •

q.e ,d. Ob~orvRţ_!!!.

ţia

R

TeoremQ nu este

(2,2.3) , Intr-adevdr, daol .O.

adevăratl

d~cl n u s e impune c ondi-

este exteriorul bi l e i B(O;R),

> O, problemu ~11

nr 1.1

s oluţ;a

= O pe .D.

, u : .O pe S(O;R) ,

nobl.\Jlall u(x) = lxl2-n - R2-n •

In cnzul n~2, ea cu

con.n=f xGV1 x0 =1"(::r.')} , 0

::r.n >'l/f(x•)f.

(R \ n.) = {x6V1 .

11' (O) = O şi

Conform alegerii axelor,

aj

,;"(O) =

aplioînd formula l ui Taylor şi mioşurind e•entual pe

· 'f(x~) C > O.

=

j x' / 2 ţ. ( x ' ),

unde /

X-/

'

Laim ,- = (O, • • • ,o,-r) ou

Daci r

r

>

mărginit-ii pe

ş~ S ( yp.•)

Teorema 2 1 2.4. Pia

„n.

€

1) + 2) are cel mult

0

ij

nu sint

I x•j 2 :X (x'),

oo:"!Cx, a~ O Nl .n., a-parti:nfod lt1i ~ 2 (..n.)tl ff(i'i) şi

alcproblemei l) + 2 ) pot el dti'era num~i printr-o şi

il

q.o.tl.

murginit

O şi cCţ., ~ O pe a.n.·nouă soluţii

In plus, dac~ a

J=l, •• n-l 1

U obţinem ~ U de o oonstan

J r 2-jx•! 2
,

o,

O 11tît de mic încît B(y;r) c V.

< 1/20 şi O< jx 'I ~ r, atunci --r 1

deci B(yar)c.o.

el,/.

este

•

oonstantţ.

imulten ideutic r1 J.e, probloma

soluţie.

Dem. DaoJ. u1 şi u sînt două aoluţil a l e problemei l) + 2) 1 di2 ,2 c# · torenţa lor u ::z 111 - u2 G ~ (Ji.) n B> (fl), est.a derivabllă după di.recţia Jl

(x) i n ori ce punct x

€- ;J.n. şi

fiu + au = O pe ..o. , el

~X+

1!,

1

u = O pe

inversa lui f 0

şi

Nk(x0 ) (k = 1,2, ••• ,n) egal cu ( - 1) k ori determifl8.n-

!tlllcţional

al

transformării

tul

oaloulat in punctul f 0 (x0 ) , x 0 e

VO

dacă g la

an

Revenind la funcţia g, observăm că g

op

f(K). Vom spune că g este integrabilă pe

\.

vectorul

in punctul x 0 • se anuleazl pe

c:}.n.

dac3. şi numai

j

este integrabili!!. ( 1n seo9 Le bessue ) pG VO• Integralui B pe c)fl va fi prin definiţie o

jgds_

=J(goj)/N/