Introducción a la teoría de la representación conforme [Traducción de la 5. ed. alemana ampliada. Reprint 2020] 9783112319345, 9783112308073

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA REPRESENTACIÓN CONFORME

INTRODUCCIÓN A LA

TEORÍA DE LA REPRESENTACIÓN CONFORME por el

Prof. Dr. L U D W I G B I E B E R B A C H

T R A D U C C I Ó N D E LA Q U I N T A ALEMANA AMPLIADA

EDICIÓN

por

ENRIQUE FIGUERAS C A L S I N A Profesor Adjunto d e lo Universidad d e B a r c e l o n a

C o n 4 2 figuras

EDITORIAL

LABOR,

S.

A.

Barcelona - Madrid - Buenos Aires - Rio de Janeiro México - Montevideo 1966

Título d e la o b r a o r i g i n a l : L. B i e b e r b a c h , E i n f ü h r u n g in die K o n f o r m e Editada por W a l t e r de Gruyter & Co. Berlin ©

E d i t o r i a l L a b o r , S. A . C a l a b r i a , 2 3 5 - 2 3 9 . B a r c e l o n a - 1 5

(1966)

D e p ó s i t o L e g a l : B. 12 8 2 3 . - 1 9 6 6 P r i n t e d in S p a i n Talleres Gráficos Ibero-Americanos, S. A . Provenza, 86. B a r c e l o n a - 1 5

Abbildung

índice de materias I.

Fundamentos. Funciones lineales § 1. § 2.

Las funciones analíticas y la representación conforme . . . Funciones lineales enteras

§3.

II.

La función w = — z Apéndice al § 3. Proyección estereográfica § 4. Funciones lineales § 5. Funciones lineales (continuación) § 6. Grupos de funciones lineales Funciones racionales § 7. § 8.

III.

Los principios de contorno y de simetría § 9. § 10.

IV.

w = zn Funciones racionales Relación entre la transformación conforme en el contorno de un dominio y la de su interior El principio de simetría de Schwarz

Otras representaciones mediante funciones dadas § 11.

Sobre algunas representaciones obtenidas mediante la f u n ción w = z2

§ 12.

V.

La función w = z — —•• z § 13. L a función exponencial y las funciones t r i g o n o m é t r i c a s . . § 14. La integral elíptica de primera especie Transformación de dominios dados § 15. § § § §

16. 17. 18. 19.

Transformación de un dominio dado en el interior de u n círculo. (Recopilación de ejemplos) El teorema de Vitali p a r a las series dobles U n teorema sobre la convergencia de aplicaciones lisas . . Demostración del teorema de R i e m a n n Sobre la realización efectiva de la transformación conforme de un dominio en el interior de u n círculo

Págs. 1 1 10 11 16 18 25 32 38 38 45 52 52 54 58 58 62 68 70 79 79 87 91 92 95

VI

ÌNDICE

DE

MATERIAS

Págs. § 20. § 21. § 22. § 23. § 24. § 25. § 26. § 27. ÍNDICE

Algunas consideraciones sobre la teoría del potencial La correspondencia en los bordes definida en una transformación conforme Teoremas sobre la distorsión efectuada por las transformaciones lisas de | z | < 1 Teoremas sobre la distorsión efectuada por las transformaciones lisas de | z | > 1 La ecuación diferencial de Lówner Sobre la transformación conforme de dominios simplemente conexos no lisos en un círculo El problema de la uniformización Transformación de dominios planos múltiplemente conexos en un dominio normal

ALFABÉTICO

99 109 115 126 148 157 163 172 189

Bibliografía La mayoría de los resultados de la Teoría de funciones que se utilizan en este libro, y no se demuestran en él, los encontrará el lector en K . K N O P P , Teoria de Funciones (Editorial Labor). Otras obras, a las que remitimos el lector, para el estudio de la Teoría de Funciones son: H. B E M K E y F. S O M M E R , Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Berlin, 1 9 5 5 ; L. B I E B E R B A C H , Einführung in die Funktionentheorie, Bielefeld, 1 9 5 2 , y C . C A R A T H É O D O R Y , Funktionentheorie, 2 tomos, Basilea, 1950. Para una ulterior profundización en la Teoría de la representación conforme, recomendamos especialmente: G . M. G O L U S I N , Geometrische Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen (en ruso), Moscú, 1952; Z. N E H A R I , Conformai mapping, Nueva York, 1952; C . G A T T E N G O y A. O S T R O W S K I , Representation conforme à la frontière, Mém. Sc. Math., 109-110, París, 1949; A. C . S C H A E F F E R y D. C . S P E N C E R , Coefficient regions for schlicht functions, Am. math. Soc. Coli. Pubi., 35, Nueva York, 1950 ('). (') Entre las obras que t r a t a n de la Representación Conforme, aparecidas posteriormente a la publicación de la edición alemana del presente libro, recomendamos: J . A . J E N K I N S , Univalent functions and conformal mapping, Springer, Berlín, 2. a ed. corregida, 1965 ; W. von K O P P E N F E L S y F. S T A L L M A N N , Praxis der konformen Abbildung, Berlín, Springer, 1959; D. G A I E R , Construktioe Methoden der konformen Abbildung, Springer, Berlin, 1964. — N. del T.

CAPÍTULO

I

Fundamentos. Funciones lineales § 1.

Las f u n c i o n e s analíticas y la representación

C o m o es sabido, se llama función

analítica

conforme

w = f (z) de u n a

variable c o m p l e j a z = x + i y (i — ]/ — 1), regular en u n

domi-

nio G (*), a t o d a f u n c i ó n u n i f o r m e definida en G y derivable en c a d a u n o de sus p u n t o s . Como c o n s e c u e n c i a de la derivabilidad, se

obtienen

las

ecuaciones

en

derivadas

parciales

de

Cauchy-

Riemann: 8 u ' '

~d~x

8 v —

8 y

_

8v

~8~y ~

8u

Wx

a las q u e d e b e n satisfacer t a n t o la parte real c o m o la p a r t e i m a g i naria

de f (z) = u (x, y) + i v (x, y).

También

se s a b e

que

las

f u n c i o n e s analíticas a d m i t e n u n desarrollo en serie de potencias, d e m o d o q u e en el e n t o r n o de cada p u n t o a del d o m i n i o G, es v á l i d a u n a r e p r e s e n t a c i ó n de la f u n c i ó n de la f o r m a : w = c 0 + c 1 (z — a) + c 2 (z — a) 2 +

(2)

•• •

(') Se llama dominio a todo conjunto de puntos satisfaciendo las condiciones siguientes: 1.°, cada punto del conjunto es el centro de un círculo contenido también en el conjunto; 2.°, cada dos puntos del conjunto pueden unirse mediante una curva continua contenida en el conjunto. En este libro, como en Teoría de Funciones, la palabra « recinto » se utilizará como equivalente a la palabra « dominio », y a la reunión de un dominio con su contorno se le llamará indistintamente « dominio cerrado » o «recinto cerrado ». (N. del T.). Así pues, en este libro se utilizan indistintamente las palabras dominio y recinto para designar un conjunto conexo (por arcos) y abierto del plano complejo. Ciertos autores reservan una délas dos palabras para el conjunto que nosotros llamamos dominio cerrado, mientras que otros la emplean para designar cualquier conjunto que sea reunión de un dominio (según nuestra definición) y una parte cualquiera (que puede ser vacía) de su contorno. 1.

BIEBERBACH: Representación conforme.

2

I. Fundamentos. Funciones lineales

Aquí consideraremos en particular aquellas funciones f (z) para las cuales es f (z) ^ 0 en todo G. Entonces, si x, y y u, v son las coordenadas cartesianas rectangulares de dos planos, y si consideramos la aplicación de G en un conjunto de puntos G', se de muestra, en la teoría de funciones, que G' también es un dominio (teorema de la conservación de los dominios). Es decir: 1.° Si c0 designa un punto de G' tal, que el punto a dado por c0 = f (a) sea un punto interior de G, también pertenecen a G' todos los puntos de un círculo de centro en c0 y radio suficientemente pequeño. 2.° El conjunto de puntos G' es conexo. La primera parte de esta afirmación es tan sólo una expresión geométrica del hecho de que las series de potencias se pueden invertir. Si a es un punto interior de G, de w = c0 + c1 (z — a) + ... se sigue precisamente z = a -j—— (w — c0) + . . . Esta serie de poc i tencias converge en un círculo de centro w = c0 y radio convenientemente acotado. A los puntos de este círculo corresponden valores de z situados en un entorno de z = a, y, si nos limitamos a un círculo de centro en w = c0, suficientemente pequeño, podremos asegurar que este entorno pertenece al dominio G. Luego el último círculo considerado está contenido totalmente en el conjunto G'. La segunda parte de nuestro teorema afirma que se pueden unir dos puntos interiores cualesquiera del dominio G' mediante una línea continua de puntos interiores. Pero esto no es sino una consecuencia inmediata del hecho de que ello es posible para los puntos correspondientes de G y de que las funciones u (x, y) y v {x, y) son continuas. Observaciones. 1. a Si la función es también regular en el contorno del dominio, a los puntos del contorno de G también les corresponden puntos del contorno de G', pues, de lo contrario, la conservación de los dominios no se cumpliría en la transformación inversa de G' en G. 2. a Hemos demostrado el anterior teorema con ciertas restricciones. Pronto veremos que basta ampliar un poco la definición de dominio para que su validez se mantenga, tanto para las funciones

§ 1. Las funciones analíticas y la representación conforme

3

que posean polos en los puntos donde no son regulares, como para las definidas en un dominio infinito (§ 7). 3. a Un mismo punto del plano w puede aparecer simultáneamente como punto interior y como punto frontera de G'. Ello depende de la multivalencia de la función. No es necesario, ni mucho menos, que ésta tome cada valor una sola vez en el recinto G, y puede presentarse el caso en que un mismo valor lo tome en el interior y en la frontera de G; entonces, el punto del plano w representado por este valor es tanto un punto interior como un punto frontera de G'. Esto presenta dificultades para la

interpretación geométrica; pero, gracias a los trabajos de Riemann, lo que necesitamos comprender por ahora puede ser aclarado así intuitivamente: Imaginemos, por ejemplo, una lengüeta unida por AB al rectángulo de la figura 1, y que se superponga a éste en la parte rayada. La figura así obtenida se puede tomar como muestra de un dominio G', en el que un punto como el C es tanto punto frontera como punto interior; pues, por pertenecer al contorno del rectángulo, es punto frontera, y por pertenecer a la lengüeta, es punto interior. Asimismo, el lector encontrará sin dificultad puntos que, como el D, aparecen dos veces como puntos interiores de G'. La mejor manera de entender este sencillo ejemplo consiste en realizar un modelo de papel, lo cual puede bastar, por ahora, para dejar aclarada intuitivamente la cuestión. En lo que sigue, todo dominio que no recubra más de una vez a nin-

4

I. Fundamentos. Funciones lineales

guno de los puntos del plano w será llamado liso y en caso contrario, no liso. Asimismo, llamaremos lisa toda aplicación w=f (z) que transforme un dominio G del plano z en un dominio liso G' del plano w. Aplicación del teorema de la conservación de los dominios. Si f (z) es regular en el interior de un dominio G, \ f (z) | no posee ningún máximo en el interior del dominio (principio del módulo máximo). Esta afirmación — conocida como una consecuencia fácil del teorema de la integral de Cauchy — puede obtenerse también inmediatamente a partir del teorema de la conservación de los dominios. Basta tener en cuenta que | f (z)\ es la distancia, en el plano w, del origen del punto imagen del z, y que en el entorno de todo punto w = c0, imagen de un punto z = a interior de G — y también, por tanto, en el entorno del supuesto f (z) situado a distancia máxima del origen — existe un círculo formado por puntos que son las imágenes de los puntos de un entorno de a. La propiedad de conservar los dominios la poseen, además de las aplicaciones realizadas mediante funciones analíticas, aquellas aplicaciones que son continuas en cada punto del dominio considerado y que en él poseen una función inversa uniforme, o multiforme, con un número finito de determinaciones. En cambio, el distintivo que caracteriza las primeras y que será decisivo para nuestros estudios ulteriores, nos viene dado por el teorema de isogonalidad. En efecto, la aplicación definida por una función analítica w = f (z) es isogonal en todo punto z = a en el que no se anula la derivada f (a). Es decir, si y C2 son dos curvas pasando por a, diferenciables en este punto y formando entre sí un ángulo í>, las curvas imágenes en el plano w, C\ y C"2 forman en el punto f (a), imagen del punto a, un ángulo que es igual al í>, tanto en magnitud como en sentido. Para comprender claramente el sentido de este teorema, además de tener en cuenta que en el punto z = a, f (z) es regular, y posee derivada no nula, debemos convenir, sin que quede lugar a dudas, la forma en que deseamos medir los ángulos. Para ello elegiremos previamente como sentido de rota-

§ 1. Las funciones analíticas y la representación conforme

5

ción positivo en el plano z aquel que hace pasar del semieje positivo de las x al semieje positivo de las y, mediante el giro más corto; asimismo, tomaremos como sentido positivo de rotación en el plano w aquel que, mediante el giro más corto, conduce del sentido positivo de las u al sentido positivo de las v. Entonces, si se elige un sentido de recorrido sobre cada una de las curvas consideradas y C2, el ángulo entre ambas, en su punto de intersección z = a, se definirá como el ángulo & que debe girar, en sentido positivo, el vector unitario tangente a en a ( 1 ), para que pase a coincidir con el vector unitario tangente a C2 en el mismo punto. Mediante la aplicación, estas dos curvas orientadas, Cx y C 2 , se convierten en otras dos curvas orientadas, C\ y C' 2 , que se cortan en w — f (a), y lo que nuestro teorema afirma es que el vector unitario tangente a C\, en f (a) debe girar el mismo ángulo & para que pase a coincidir con el tangente a C' 2 en f (á). Por otra parte, este teorema de la isogonalidad es sólo una consecuencia inmediata de las ecuaciones diferenciales de CauchyRiemann. Sean z = zx (í) y z = z2 (t) las dos curvas dadas. En ambas se puede elegir t de modo que al valor t = 0 le corresponda el punto z = a y que a los valores crecientes de t les correspondan los sentidos de recorrido en ellas elegidos. También se puede admitir que existen las derivadas z\ (t) y z\ (i), siendo z\ (0) 0 y z\ (0) 0, con lo cual quedan excluidas las curvas con puntos singulares y se descarta toda elección inadecuada del parámetro t. Con estas hipótesis, el ángulo que debe girar el vector unitario, y que indica la orientación de C1 en z = a para que pase a coincidir con el que señala la orientación de C,, viene dado por *

=

a r g

i t i o y

(Recuérdese que si es z' = r ei(p, siendo

0, el valor (p se llama argumento de z',

y que el radio de este último tiende a 0 cuando el del primero crece por encima de cualquier valor dado. Es decir, que la transformación se realiza como si en el exterior de todo círculo de centro z = 0 hubiese un punto que se transformase en el w = 0, y como si en el exterior de todo círculo de centro w = 0 hubiese otro punto que fuese el transformado de z = 0. Estas condiciones

§ 3. La función w = 1/z

15

son análogas a otras conocidas, que se presentan en Geometría proyectiva. En ésta se introduce una recta impropia, de la cual se dice que se encuentra en el infinito. Aquí, apoyándonos en la transformación w =

introduciremos un sólo punto impropio, que

designaremos por z = °° (resp. w = y que llamaremos punto impropio, o, también, punto del infinito. Con ello, w = oo será la imagen de z = 0, a z = oo le corresponderá w = 0, y la transformación w = — resultará biunívoca sin excepción. De la misma z manera que la continuidad en un punto situado a distancia finita se puede explicar mediante el conjunto de sus entornos, o bien, por ejemplo, mediante el conjunto de los círculos abiertos (*) que lo contienen, el concepto de la continuidad en el punto impropio se consigue considerando todos los exteriores a algún círculo. Pero aquí debemos limitar, en la presente Introducción, nuestras indicaciones sobre estos conceptos, cuyo establecimiento compete a la Topología. La transformación w =

es de importancia fundamental. De

la misma manera que en la Geometría proyectiva se emplean las colineaciones para investigar el comportamiento de las curvas en el infinito, asimismo, esta transformación se emplea en la Teoría de funciones para estudiar el comportamiento de una función en el infinito. Por ejemplo, se conviene en decir que una función f (z) es regular en el punto del infinito, si f

j es regular en w = 0.

Entonces, esta función será desarrollable en serie de potencias de w en el entorno de w = 0, y, por tanto, toda función regular en z = oo será desarrollable en serie de potencias de —. Es decir, se entenderá por entorno de z = oo la imagen que w = -- nos da z de un entorno de w = 0, es decir, por ejemplo, del exterior de (*) Se llama círculo abierto al conjunto de todos los puntos interiores de un círculo de radio > 0. — N. del T.

16

I. Fundamentos. Funciones lineales

un círculo. Asimismo, diremos que la transformación f (z) conserva los ángulos, para z =

si esta propiedad la cumple f

j en w = 0,

y por ángulo entre dos curvas en z = 00, entenderemos el ángulo que forman en w = 0 sus curvas imagen en el plano w, obtenidas mediante la transformación w =

La función w =

desempeña

también un papel, en el estudio de una función f (z), en aquellos puntos donde ésta se hace infinita. Pues si ésta no se halla acotada en el entorno de z = a, se considera en su lugar la función -r^r, f(z) y si ésta es uniforme y está acotada en el entorno de z = a, se puede representar en la forma ^-r-r = (z— a)" (a 0 + aL (z—a) + con a0

...),

0, de donde se obtiene

Entonces, z = a se llama punto singular no esencial o polo de f (z), y, según el convenio hecho anteriormente, si es n = 1, la transformación conserva los ángulos en el punto z = a. Apéndice al § 3.

Proyección estereográfica

Frecuentemente es útil ayudar los razonamientos lógicos mediante la intuición. Aquí también nos resultará ventajoso hacer intuitiva la introducción del punto del infinito mediante un modelo situado completamente a distancia finita. Esto nos proporcionará, además, una manera de poder relacionar el plano ampliado mediante la adjunción del punto impropio, con la superficie de la esfera, y ello, mediante una transformación que, además de ser biunívoca, es isogonal. Esta transformación se obtiene mediante la llamada proyección estereográfica. Imaginémonos una esfera de radio unidad, colocada encima del plano z, de modo que su punto más bajo, al que llamaremos polo Sur, coincida con el z — 0. Proyectando desde el polo Norte (punto de la esfera opuesta al polo Sur) el plano sobre la esfera, obtendremos una correspondencia

§ 3. La función w = 1/z

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biunívoca entre los puntos del plano y los de la esfera, de modo que, por ejemplo, el polo Sur nos dará la imagen de z = 0, mientras que el polo Norte será la imagen del punto del infinito de nuestro plano. Esta correspondencia es isogonal, como nos permitirán ver las breves consideraciones siguientes: De un modo semejante a como se define el ángulo entre dos curvas planas por el ángulo que forman las tangentes a ellas en su punto de intersección, se define asimismo el ángulo entre dos curvas esféricas como el formado por las tangentes a la esfera que tocan a las curvas consideradas en su punto de intersección (1).

Sean ahora Cx y C2 dos curvas planas que se cortan en el punto P, C\ y C'2, sus imágenes en la esfera, y P\, la imagen de P. Los planos que pasan por el rayo proyectante PP' y por las dos tangentes a Q y C2, en P contienen también las tangentes a la esfera, que en P' lo son a C\ y C'2, tangentes que pertenecen también al plano tangente a la esfera en P'. Además, sea el plano que representa la figura 4 el plano meridiano de la esfera que pasa por PP', yjsean t la traza del plano tangente; e, la del plano z; s, el rayo proyectante; M, el centro de la esfera, y N, el polo Norte. Considerando las líneas punteadas de la figura se deduce, de las relaciones existentes entre los ángulos centrales y los ángulos inscritos en una circunferencia, que t y e forman el mismo ángulo a con s. Luego los dos planos que pasan por e y t y que cortan a los dos (') Es decir, el ángulo que forman las tangentes a las dos curvas en su punto de intersección. — N. del T. 2.

BIEBERBACH: Representación conforme.

18

I. Fundamentos. Funciones lineales

planos que tenemos pasando por s, son simétricos respecto del plano perpendicular a PP' que pasa por su punto medio; asimismo, los dos pares de rectas de intersección forman ángulos iguales entre sí. Y como de nuestro convenio acerca de la medida de ángulos en el infinito se deduce también la conservación de los ángulos en el paso del punto del infinito del plano al polo Norte, resulta que la proyección estereográfica es una transformación isogonal. Mientras que el plano de los números complejos (finitos) z — x + i y (x, y, reales) se suele llamar también plano numérico de Gauss, al plano ampliado mediante la adjunción del punto impropio z = oo, se le llama plano de Riemann. § 4.

Funciones lineales

Parecería natural empezar el estudio de la función lineal w =

az + b r cz + a

efectuando la división del numerador por el denominador y obteniendo, si c 0, la fórmula: a

be-— a d (c z + d) c

que nos permitiría expresar fácilmente la función dada, como resultado de realizar sucesivamente cuatro aplicaciones pertenecientes a los tipos ya estudiados con detalle en los §§ 2 y 3. Pero esto complicaría excesivamente nuestros razonamientos ulteriores, por lo cual elegiremos otro camino y emplearemos tan sólo la fórmula anterior para deducir el teorema siguiente. Teorema I.

Es condición necesaria y suficiente

para que la

función w = --sea distinta de una constante, que no se anule cz + d el determinante ad — be. Suponiendo, como supondremos siempre desde ahora, que esta condición se cumple, la función anterior se puede invertir; ello dw — b , de donde se deduce: nos da z = — cw + a

§ 4. Funciones lineales

19

Teorema II. Toda función lineal no constante define una aplicación del plano sobre sí mismo, que es isogonal en cada uno de los puntos de éste (incluido el z = ) y admite una aplicación inversa. Que este teorema se cumple para z = oo, se demuestra haü ciendo la sustitución z = —, u con lo cual se obtiene w = c + d\ u que es una función regular para u = 0, excepto si c = 0, y cuya

derivada í ^ W ) = ———— es distinta V d u )u=o c2

de cero; luego, de ' s>

acuerdo con el convenio del § 3, w es isogonal para z = oo. Si c = 0 ; según lo prescrito en el § 3, debe estudiarse ^ ^ ^ ^ para z = oo; finalmente, se comprueba en seguida que el teorema se cumple d cz + d . para z = —, porque en este punto, ^ ^ es isogonal. Con el fin de abreviar, introduzcamos ahora un par de símbolos nuevos: Designemos por S cualquier función lineal no constante, 1 y, como se acostumbra hacer en Álgebra, por su función inversa anteriormente calculada. Con ello resulta evidente la siguiente conclusión. Teorema III. La composición de dos funciones lineales no constantes da nuevamente una función lineal no constante. E n efecto, si ponemos S± S.¿ = Zx [l2 (z)], siendo S1 = Z1 (z) y S2 = l2 (z), la inversa de S1 S2 será S^-1 »Sf-1, y su determinante, por ser el producto de los determinantes de S1 y S 2 , al igual que éstos, tampoco podrá anularse. Teorema IY. En la aplicación del plano z sobre el plano w definida por una aplicación lineal, la totalidad de las rectas y circunferencias de uno de los planos se transforma en la totalidad de las rectas y circunferencias del otro. Este teorema se demuestra fácilmente, haciendo el cálculo correspondiente, si se tiene en cuenta que, en coordenadas rectángulares, las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias se pueden resumir en la forma azz-\-f}z-\-f}z-\-y = Q, siendo a y y reales; y complejos conjugados, y z = x + i y, z = x —• i y.

20

I. Fundamentos. Funciones lineales

E s decir, en una transformación de este tipo, una recta puede darnos una circunferencia, pero nunca otra cónica, ni una curva de tercer grado, etc. Así, por ejemplo, la función w =

nos trans-

forma toda circunferencia que pasa por z = 0, en una circunferencia que pasa por w = oo, es decir, en una recta, y toda recta que pasa por z = oo y por z = 0, en otra recta. Desde ahora, pues, usaremos frecuentemente la palabra circunferencia nombre genérico para designar, indistintamente,

como

circunferencias

y rectas. Teorema Y. Mediante una función lineal adecuada, se transformar siempre tres puntos cualesquiera distintos a, y plano z, en otros tres puntos cualesquiera distintos a', ¡3' y plano w, y ello de modo que a se transforme precisamente /?, en y y, en y'. Además, la función que efectúa esto está camente determinada.

pueden y, del y' del en a'; unívo-

Corolario. Geométricamente, y ya que tres puntos determinan una circunferencia y, según el teorema IV, las circunferencias se transforman en circunferencias, lo que el teorema Y afirma es que: Toda circunferencia se puede transformar en otra circunferencia cualquiera dada, mediante una aplicación conforme que haga dados corresponder tres puntos dados de una de ellas, a tres puntos de la otra. Demostración del teorema V: Se obtiene una función que satisface el teorema, eliminando u entre u =

z— a p — y y z — y /3 — a

u =

w—a'

fi'—y'

w — y' f} — a'

ya que estas funciones transforman z = a, ft, y en u = 0, 1, oo, y w = a', /?', y' en u = 0, 1, oo. E n seguida vemos que ésta es la única función que satisface las condiciones de nuestro teorema. Pues si hubiese dos S1 y Sz distintas, X r 1 S1 dejaría invariantes los tres puntos a, (i y y. Pero entonces, esta última también debería dejar invariantes todos los puntos del plano, y las y S 2 no

21

§ 4. Funciones lineales

podrían ser distintas. En efecto, si suponemos que Sr21 S1t = w =

az + b —cz + d

deja invariantes tres puntos propios a, fí y y, la ecuación cuadrática z =

az + b cz

equivalente a z2 c + z (d — a) — b = 0, debe poseer las tres raíces a, /S y y, y, por tanto, en virtud de un teorema elemental del Álgebra, deben anularse todos sus coeficientes, lo que implica b = 0, c = 0, a = d. Es decir, la única función que deja invariantes tres puntos propios del plano es la w = z. Si la función lineal deja invariante el punto impropio z = oo, es una función entera, w = a z + b, y si, además, suponemos que deja invariantes otros dos puntos impropios, la ecuación lineal z = a z + b debe poseer más de una solución, lo cual implica a = 1 y 6 = 0. Por tanto, también podemos enunciar: Teorema VI. Una función lineal distinta de w = z deja invariantes, a lo sumo, dos puntos del plano de Riemann. Las coordenadas de estos puntos, que llamaremos dobles, se calculan, para c =f= 0, resolviendo la ecuación cuadrática anteriormente indicada, obtendremos: (1)

z =

« — d ± ]/(a — d)* 2 c

+TVc

Los dos puntos dobles coinciden si se cumple: (a — df + 4 b c = 0. Las funciones enteras, que se presentan cuando es c = 0, deja invariante z = oo, y su punto doble situado a distancia finita es

I. Fundamentos. Funciones lineales

22

Vistos los teoremas anteriores, estudiemos ahora con más detalle las funciones lineales que poseen dos puntos dobles finitos y distintos. P a r a tener una cómoda visión de conjunto de la relación existente entre z y w, representemos de nuevo estas dos variables en un mismo plano y designemos por zx y z2 los dos puntos dobles de w =

^ ^ = S, suponiendo, por ejemplo, que zx es el que

corresponde al signo + de la fórmula (1). Entonces, si represen^ z z tamos las variables t y u definidas por L = t = yu = 1' JJJ

w — z2 z — z2 en un mismo plano auxiliar, la función lineal LSL~X, que establece la correspondencia existente entre ellas, posee los puntos dobles 0 e oo y, por tanto, es necesariamente de la forma t = a u. De aquí resulta que la S dada se puede expresar en la forma w — z, = a w — z% A esta expresión la llamaremos forma normal para el caso de dos puntos dobles propios, y el valor a que en ella aparece se puede obtener a partir de los coeficientes iniciales, observando que debe ser a =

y}

2

2,

Z

w — z2 z — zx a

con lo que un breve cálculo nos da a + d + y (a — df + 4 b c a + d—]/{a

— df + 4 b c

La correspondencia que acabamos de obtener nos permite limitarnos al estudio de la función t = a u, ya que de ésta podremos pasar siempre a la función lineal más general, mediante la sustitución w — z.-i t = w — z

§ 5. Funciones lineales (continuación)

25

u = — - — , se obtiene t = u + 8, de donde resulta, como íorma Z Zj normal de la transformación parabólica, — - — = — 1- 6. Esta w •— z1 z — z1 forma nos permite ver que el caso especial considerado aquí, se deduce del de las traslaciones ya tratadas anteriormente. En la traslación aquí obtenida, las rectas paralelas a la que pasa por cero y /?, se transforman en sí mismas, mientras que sus trayecto-

FIG.

6

rias ortogonales, que son las rectas de un segundo haz, se permutan entre sí. En el plano z, w, son dos haces de circunferencias que pasan por z± los que desempeñan el papel de las rectas anteriores. Por ser las imágenes de rectas paralelas, las circunferencias de cada uno de los haces pasan por z1 en una misma dirección, y, por tanto, existen dos rectas perpendiculares pasando por este punto, que poseen la siguiente propiedad: Cada una de ellas es tangente en z1, a todas las circunferencias de uno de los dos haces (figura 6). §5.

Funciones lineales

(continuación)

Consideremos aquellas funciones que corresponden a los giros de la esfera. Estas funciones son lineales. Pues las rotaciones de la esfera son transformaciones isogonales de ésta en sí misma, y

26

I. Fundamentos. Funciones lineales

como la proyección estereográfica es una aplicación isogonal de dicha superficie en el plano, resulta que a las rotaciones de la esfera deben corresponderles aplicaciones biunívocas e isogonales del plano sobre sí mismo. Pero esto implica la enunciada linealidad, en virtud del teorema siguiente: Toda aplicación biunívoca e isogonal del plano sobre sí mismo es lineal. Según los resultados del § 1, una aplicación que satisfaga a estas condiciones viene definida por una función analítica :w = f (z). En caso de que esta función no deje invariante el punto z = o°, sea w = a el punto correspondiente al punto impropio. Entonces, N

Fig. 7

la fracción v = •— nos da una aplicación conforme y biuníf(z) — a voca, que deja fijo el punto del infinito. Por tomar una sola vez cada uno de sus valores, esta función no puede aproximarse a cualquier valor dado, en el entorno de z = co. Por tanto, debe poseer un polo en el infinito, y como es regular en todo el plano, debe ser una función racional entera, y, además, de primer grado, ya que admite una sola vez a cada uno de sus valores. Pasemos ahora a determinar estas transformaciones lineales correspondientes a los giros de la esfera. Cada una de ellas posee dos puntos dobles, que son las intersecciones del eje de giro con la superficie esférica, o, mejor dicho, los puntos del plano correspondientes a éstos. Sean P1 y P2 dichas intersecciones; N, el polo Norte de la esfera, y representemos en la figura 7 el plano meridiano determinado por estos tres puntos. Entonces, los segmentos

§ 5. Funciones lineales (continuación)

27

i?! y R 2 pertenecen a la intersección de este plano con el plano z, y como P j P2 es un diámetro (de longitud unidad), el ángulo en N es recto. Luego, según el teorema de la altura, R1R2 = 1, o sea, si uno de los puntos dobles correspondientes a una rotación de la esfera es a, el otro es — i . Observando ahora que las trayectorias de las rotaciones de la esfera son las intersecciones de ésta con los planos perpendiculares al eje de giro, se deduce que las rotaciones de la esfera nos dan transformaciones elípticas del plano, y que, recíprocamente, toda transformación elíptica del plano cuyos puntos dobles satisfagan la condición indicada, corresponde a una rotación de la esfera. Por tanto, despejando w, bajo las condiciones anteriores, de la forma normal dada en el párrafo anterior, obtenemos como forma general correspondiente a las rotaciones de la esfera: az + b w = —= = — bz + a Finalmente, indiquemos que estas rotaciones satisfacen la propiedad (cuya demostración es inmediata) de transformar cada par de puntos, extremos de un diámetro de la esfera, en el par de extremos de otro diámetro. Como segundo ejemplo, consideremos a continuación las transformaciones lineales de un círculo en sí mismo. 1. En el corolario del teorema V de la página 20, hemos visto que, mediante una función lineal, se puede transformar una circunferencia en otra dada y, además, se pueden elegir las imágenes de tres de sus puntos. En particular se puede transformar toda circunferencia en el eje real (circunferencia que pasa por oo, 0 y 1). Ya que la representación conforme conserva los dominios, mediante esta transformación, el interior de la circunferencia deberá transformarse en el semiplano superior y > 0 o en el semiplano inferior y < 0 (siendo z = x + i y), y siempre se puede conseguir que este semiplano sea el superior. Pues basta aplicar w = ambos semiplanos.

para permutar

28

I. Fundamentos. Funciones lineales

2.

De momento, consideremos tan sólo las funciones lineales

que transforman el semiplano superior en sí mismo. La función lineal más general que transforma el eje real en sí mismo se obtiene escribiendo, como en la página 20, aquella que transforma tres puntos reales cualesquiera a, /? y y en 0, 1 e oo. De este modo se obtiene: z— a fl — y rw = ^ z — y p — a

(1)

que, evidentemente

( r ) , es la función lineal w = °

más

Z

cz + d general posible con coeficientes reales. Pero el que éstas conserven el eje real no quiere decir que todas ellas transformen el semiplano superior en sí mismo, como lo demuestra, por ejemplo, la w =

—,

que permuta ambos semiplanos. P o r tanto, se nos plantea la cuestión de buscar en qué se distinguen ambos casos. Vamos a demostrar que es condición necesaria y suficiente, para que el semiplano superior se transforme en sí mismo, que sea a d — b c >

0. Esto

se deduce de la forma (1) de las funciones. Pues si el semiplano superior debe transformarse en sí mismo, el sentido de rotación determinado por a, p y y debe coincidir con el determinado por 0, 1 e oo; en caso contrario, ambos semiplanos se permutarían. Pero como el valor del determinante de (1) es (¡3 — y ) (/? — a) (a — y), esto supone que dicho determinante sea positivo. Recíprocamente, de que este producto sea positivo, se deduce que la ordenación es la adecuada; por tanto, tenemos el siguiente teorema: Todas las transformaciones

conformes

mismo están definidas

lineales

del semiplano

por las funciones

w =

cientes son reales y satisfacen a ad — b c > forma

de expresar

superior CUU0S

en sí coefi-

0. (Naturalmente esta

la función no es la más general, puesto que

(!) Como, según se ha visto en la página 20, toda transformación lineal viene unívocamente determinada dando las imágenes de tres puntos, resulta que toda transformación lineal real puede escribirse en la forma (1) con a, fl y y, reales.

§ 5. Funciones lineales (continuación)

29

siempre se pueden multiplicar numerador y denominador por un factor común, que, por ejemplo, puede ser complejo.) 3. Aplicando ahora la transformación de un círculo dado en el semiplano superior, que hemos visto anteriormente, podremos determinar las transformaciones conformes de un círculo cualquiera en sí mismo. Indicaremos tan sólo las del círculo de radio unidad y centro en z = 0, para las cuales se obtiene az + b w = = =, bz + a

_ a a — b b > 0.

En el caso de una función lineal que deja invariante el semiplano superior, los puntos dobles son reales o imaginarios conjugados (véase su cálculo en la pág. 21). Las funciones que poseen puntos dobles reales son hiperbólicas, parabólicas o loxodrómicas con el factor a negativo, mientras que los de las elípticas son complejos conjugados (véanse el cálculo de a y la determinación de los puntos dobles hecho en las páginas 21 y 22). En cambio, las transformaciones loxodrómicas con el factor a no real no transforman nunca un círculo en sí mismo. Teniendo en cuenta estos resultados, para determinar cómo están situados los puntos dobles de las aplicaciones que transforman un círculo en sí mismo, nos bastará aclarar en qué se transforman los puntos simétricos respecto del eje real, al transformar el semiplano superior en un círculo. Esta cuestión nos viene resuelta por el teorema siguiente: En toda transformación lineal entre dos circunferencias, las imágenes de puntos simétricos respecto de una de ellas son también puntos simétricos respecto de la otra. Para demostrarlo, observemos que si por dos puntos, P y Q, simétricos respecto de una circunferencia K, se hace pasar otra circunferencia K', ésta es perpendicular a K. Pues si K es una recta, esto es consecuencia inmediata del hecho de hallarse en K el centro de K'. Y si K tiene un radio R, el cuadrado de la longitud de las tangentes a K', desde el centro M de K, vale, en virtud del teorema de la tangente, | MP ¡ • | MQ ], producto que es igual a R2, a causa de la posición simétrica ocupada por P y Q; luego la longitud de las tangentes desde M a K' vale R, los puntos

30

I. Fundamentos. Funciones lineales

de contacto de éstas coinciden con los de intersección de K y K', y, por tanto, K y K' son perpendiculares. A la inversa, el teorema de la tangente implica que toda circunferencia K' ortogonal a K esté formada de pares de puntos simétricos respecto de K. Además, la isogonalidad de la aplicación lineal que transforma la circunferencia K en otra dada, supone que la imagen de K' sea también ortogonal a la de K. Luego como cada dos puntos simétricos respecto de K son las intersecciones de dos circunferencias ortogonales a ésta, resulta que las imágenes de puntos simétricos respecto de una circunferencia, son puntos simétricos respecto de la circunferencia imagen. 4. La caracterización que acabamos de indicar de las transformaciones de un círculo en sí mismo, adquiere una importancia especial debido a que éstas son las únicas aplicaciones conformes y biunívocas, de un círculo sobre sí mismo. Para comprobar esto basta demostrar la linearidad de toda aplicación conforme y biunívoca, del círculo | z | < 1 sobre sí mismo, que deja invariante el origen. Pues un punto dado se puede transformar siempre en el z = 0 mediante una transformación lineal apropiada de | z | < 1 en sí mismo, por ejemplo, mediante una transformación hiperbólica adecuada cuyos puntos dobles sean los extremos del diámetro que pasa por el punto dado. Para las funciones que dejan fijo z = 0, la demostración se basa en el llamado Lema de Schwarz. Supongamos que f (z) = axz + a2z2 ... sea convergente para \z\ < 1, g que para estos valores de z se cumpla \ f (z) | ^ 1; entonces, también se cumple ¡ f (z) ^ | z j, para todo \z \ < 1, y la igualdad para alguno de estos valores de z se satisface tan sólo en el caso de que f (z) = eia z (a, real). , , En efecto, para \z \ < 1 ,

f(z)

=

a

i +

z

+ • • • también es

convergente, y según el principio enunciado en la página 4, el f(z) valor absoluto de 1 no posee ningún máximo en el interior del z 1 f(z) círculo ¡ z | < q < 1. Luego para \z \ < q, se tiene y "

31

> 5. Funciones lineales (continuación)

fijado un valor de z, esta desigualdad se mantiene para todo g < 1, con tal de que | z \ 1, lo que estaría en contra-

dicción con lo acabado de demostrar. Por tanto, si en algún punto de | z | < 1 se satisface la igualdad, debe ser f ( z ) constante, es decir [ f ( z ) = 1 en todo el círculo, y, por consiguiente, se tendrá: f (z) = eia z.

Del lema anterior se sigue que: Toda unidad

aplicación sobre sí mismo

conforme es

y biunívoca

del interior

del

círculo

lineal.

Pues si f (z) es una aplicación que satisface estas condiciones y deja invariante z = 0, según el lema de Schwarz, todo punto debe transformarse en otro situado más cerca del punto z = 0, y lo mismo debe realizar la función inversa; pero esto sólo es posible si la aplicación conserva la distancia de cada punto al centro, lo cual implica w = f (z) = eia z, es decir, que la función dada sea lineal. Si f (z) no deja invariante z = 0, esta condición se cumple para una función lineal, adecuada, de f (z); por tanto, esta última también es lineal. Observación. La «biunivocidad » es una hipótesis esencial para que se satisfaga el teorema que acabamos de demostrar, ya que,

32

I. Fundamentos. Funciones lineales

por ejemplo, w = z2 nos da también una transformación del círculo unidad en sí mismo ( 1 ). Ejercicios. 1. Mediante una transformación hiperbólica, apliqúese un anillo circular excéntrico sobre otro concéntrico. 2.

Indíquese el triángulo circular más general, que se trans-

forma en un triángulo rectilíneo, mediante w = —-— . z •— a 3. Transfórmese la lúnula limitada por dos circunferencias tangentes en una banda limitada por dos rectas paralelas. § 6. Grupos de funciones lineales Un conjunto de funciones lineales se llama grupo de funciones lineales si el resultado S1 S2 de componer dos funciones Sx y S 2 del mismo es también una función S3 del conjunto y éste contiene, además, la inversa S - " 1 de toda función S del conjunto. (Confróntese la introducción de estos símbolos realizada en la página 19.) En relación con cada uno de estos grupos nos interesa determinar un dominio íundamental, entendiéndose por tal un conjunto de puntos que satisfaga las siguientes condiciones: a) Es la reunión de un dominio y una parte de su frontera (2), y, por tanto, contiene siempre puntos interiores, es decir, puntos con un entorno circular contenido en el dominio, b) La reunión de todos los conjuntos imagen del dominio fundamental, obtenidos aplicando sucesivamente todas las transformaciones del grupo, constituye un simple recubrimiento de una parte del plano (o, eventualmente, de todo el plano), c) No es subconjunto de otro conjunto que satisface la propiedad anterior. (')

f (z)

Obsérvese que la biunivocidad de f (z) no implica la de g (z) = ——,

pudiendo anularse g' (z) en el interior del círculo. En la demostración aquí expuesta se aplica el teorema del valor máximo, que en la página 4 se ha demostrado como consecuencia del teorema de la conservación de los dominios, y por tanto, bajo la hipótesis de ser g' (z) =1= 0. Sin embargo, como allí se menciona, el teorema puede demostrarse también a partir de la integral de Cauchy, y entonces se ve que es consecuencia sólo de la regularidad de la función en el interior del círculo (cf. la obra de Knopp mencionada en la bibliografía, página 110). - N. del T. (2) Parte que puede ser eventualmente vacía. — N. del T.

§ 6. Grupos de funciones lineales

33

Pongamos a continuación algunos ejemplos, que aclararán las definiciones anteriores. Un grupo de rotaciones alrededor del punto z = 0 es el for2hin mado por las funciones z' = e n (h = 1, 2, . . . , n), con n entero. 2 n Es el grupo formado por el giro de un ángulo igual a — , entorno de z = 0, y por las sucesivas aplicaciones de este giro. Se ve en seguida que la composición de dos rotaciones z' = e n z y 2h, in 2(h, + hz)in n z" = e n z' del conjunto, da la rotación z" = e z que 2 (n—h) i n pertenece al conjunto. Y que la rotación inversa z = e n z' 2hin de la z' = e " Z, también está contenida en el conjunto. Además, el bivértice limitado por dos semirrectas trazadas desde el origen hasta el punto del infinito, y que forman en z = 0 el ángulo 2 71, se puede tomar como dominio fundamental si se admite que forma parte de él una de las semirrectas del contorno. Pues si a este conjunto le aplicamos todas las rotaciones del grupo, obtenemos un recubrimiento del plano entero mediante n bivértices. O, mejor dicho, cada punto del plano se puede transformar, mediante una rotación adecuada del grupo, en un punto del dominio fundamental, de tal modo que éste contiene un solo homólogo de cada punto del plano si, como hemos dicho, contamos con que sólo una de las semirrectas del contorno pertenece al dominio fundamental. Por el contrario, la parte del bivértice situada en el interior del círculo unidad, aunque mediante la aplicación de las rotaciones del grupo, nos recubre una parte del plano con n sectores circulares congruentes, no es un dominio fundamental, por la sencilla razón de que está contenido en una región (el bivértice entero) que también suministra un recubrimiento simple. Tampoco podemos utilizar como dominio fundamental un bivértice cuyo ángulo en z = 0 sea el doble del ángulo indicado, porque entonces el recubrimiento obtenido al efectuar las rotaciones sería doble y no simple. Finalmente, podemos terminar nuestras aclaraciones sobre el concepto 3.

Bieberbach: Representación c o n f o r m e .

34

I. Fundamentos. Funciones lineales

de dominio fundamental, observando que éste no está unívocamente determinado, ni mucho menos; pues para un mismo grupo, en general, se pueden indicar múltiples dominios fundamentales. Así, en nuestro ejemplo, no sólo se puede limitar mediante semirrectas, sino también mediante dos curvas que vayan desde el origen hasta el infinito sin cruzarse, y tales que una de ellas se 2ji i obtenga de la otra mediante el giro z' = e " z. Señalemos ahora que no todo grupo posee un dominio fundamental, como sucede, por ejemplo, con el grupo de todas las rotaciones alrededor del punto z = 0, o con el de todas las transformaciones lineales con determinante distinto de cero. Pues es inherente al concepto de dominio fundamental el que éste no puede poseer dos puntos tales que el uno resulte del otro al efectuar una transformación del grupo, ya que esto contradiría la condición exigida de que el recubrimiento sea simple. Luego todo punto interior P de un dominio fundamental debe poseer un entorno circular que no contenga ningún otro punto homólogo de P según una transformación del grupo. Pero en los ejemplos indicados, todo punto se puede transformar en otro punto distinto de él y tan próximo a él como se desee, mediante una adecuada aplicación del grupo, lo cual implicaría que el supuesto dominio fundamental no tuviera puntos interiores. Las consideraciones anteriores nos llevan a una condición necesaria para que un grupo posea un dominio fundamental: que existan dominios sin puntos homólogos según las transformaciones del grupo. Se comprende que esta condición resulte ser suficiente, pues para obtener el dominio fundamental bastará ampliar tanto como sea posible todo dominio inicial que carezca de puntos homólogos respecto de las transformaciones del grupo. Como el proseguir con el estudio de este procedimiento para obtener el dominio fundamental de un grupo dado nos llevaría demasiado lejos, aquí nos limitaremos a dar unos cuantos ejemplos de grupos con sus dominios fundamentales: 1. El grupo de las aplicaciones w = z + h, siendo h entero. Tiene como dominio fundamental cualquier banda de una unidad

§ 6. Grupos de funciones lineales

35

de ancho y limitada por ejemplo, por dos rectas paralelas al eje imaginario y distantes entre sí en una unidad. 2. Las transformaciones z' = z + 2 h± + 2 h2 a> (con y hz enteros y cu número complejo no real). Su dominio fundamental es un paralelogramo que tiene por lados los dos vectores 1 y co, cuyo origen se halla en el punto cero, y dos paralelas a los mismos. 1 2iii 3.

Las transformaciones z' = —, z' = e

n

z (con n entero) y

sus compuestas (grupo diédrico). En este caso, un dominio fundain in mental es el sector circular de vértices e n y e " , limitado por el arco de circunferencia unidad que pasa por z = 1 y por los radios in in que, partiendo de z = 0, terminan e n e " y e " . 4. Los grupos de rotaciones de los demás poliedros regulares. Mediante la proyección estereográfica (págs. 18 y 19), a los grupos indicados en el número 3 les corresponden grupos de rotaciones de la esfera que dejan invariantes los diedros, es decir, bipirámides que tienen sus vértices en los polos Norte y Sur de la esfera ( 1 ). Análogamente, los poliedros regulares originan los grupos de las rotaciones que los hacen coincidir consigo mismos. La mejor manera de buscar sus dominios fundamentales consiste en hacerlo sobre la esfera, para transformarlos luego, mediante la aplicación de ésta sobre el plano. Para ello se proyectan primero sobre la esfera, y desde el centro de la misma, las caras triangulares del poliedro — obsérvese que puede prescindirse tanto del cubo como del dodecaedro, porque sus grupos se presentan ya en el octaedro y en el icosaedro —, y luego, en cada uno de estos triángulos esféricos se trazan las alturas desde cada vértice hasta su punto de intersección; los nuevos triángulos así obtenidos son los dominios fundamentales del grupo en cuestión. 5. La yuxtaposición de los dominios fundamentales no siempre conduce a un recubrimiento del plano entero, como sucede en los ejemplos anteriores, sino que puede recubrir tan sólo una parte ( ' ) Un polígono considerado como límite de bipirámides, es decir como íormado por dos caras superpuestas, se llama diedro, y el grupo de sus simetrías es equivalente al de la bipirámide. — N. del T.

36

I. Fundamentos. Funciones lineales

del plano, por ejemplo, el interior de un círculo o el semiplano superior. Así, este último es recubierto por el grupo modular elíptico, que está formado por las aplicaciones z' —

e

n

"as

cuales a, b, c y d son números racionales enteros que satisfacen la relación a d — b e = 1. Este grupo tiene como dominio fundamental la parte de la banda comprendida entre las rectas x = —1¡2 y x = + 1¡2 (siendo z = x + i y)> que se halla en el exterior del círculo unidad (fig. 8). La demostración la encontrará el lector en

obras más extensas; aquí observaremos sólo que todas las transformaciones del grupo se pueden obtener componiendo únicamente dos adecuadas de ellas, a saber, la aplicación parabólica z' — z— 1, que permuta entre sí las dos rectas del contorno, y la aplicación elíptica w = —, que posee los dos puntos dobles i y — i, y pone en correspondencia los dos arcos de la circunferencia unidad que van desde + i hasta

+ ~ ]/ 3 y desde + i hasta + -i- + -— )/~3.

Constituyen una rama importante de la moderna teoría de funciones la teoría de las funciones automorfas. Estas funciones son aquellas que quedan invariantes frente a grupos de funciones lineales, es decir, que satisfacen todas las ecuaciones funcionales de la forma f (z) = f [íj (z)], en las que l¡ (z) designa una función

§ 6. Grupos de funciones lineales

37

del grupo considerado. En casos sencillos, estas funciones se pueden indicar fácilmente. Por ejemplo, las rotaciones z' = e " invariante w = zn;

z dejan

w = zn + —- es una función automorfa del z grupo diédrico del ejemplo 3; las funciones doblemente periódicas son funciones automorfas del grupo 2; del grupo 1, lo es la función w = e2l"z, y del 5, la función modular elíptica. Finalmente, se pueden obtener con facilidad funciones automorfas respecto del n grupo 4, buscándolas de la forma w = S i ^ t ' i í 2 ) ] . donde Z¡ (z) son i las transformaciones del grupo; n representa el número de ellas (es decir, el orden del grupo) y r (z) significa una función adecuada.

CAPÍTULO

II

Funciones racionales § 7.

w = zn

En el § 1, se tuvo que prescindir provisionalmente de los puntos singulares de la función como asimismo de los de la función inversa, y por consiguiente, de los ceros de la función derivada. Al estudiar la función w = — en el § 3, se dio un primer paso hacia la elimina-

z

ción de esta laguna y se pudo entrar en el estudio de las funciones que poseen polos simples. Ahora, alcanzaremos nuevos puntos de vista, mediante el estudio de la función w = z". Ésta posee una derivada nula en z = 0, mientras que su inversa muestra un comportamiento singular en este punto, presentando en él lo que llamaremos un punto de ramificación de orden n. Si se introducen coordenadas polares para estudiar el comportamiento de la aplicación w = zn en el entorno de r = 0, es decir, si se pone z = r eiv dará la imagen en el semiplano inferior del rectángulo obtenido. A partir de aquí, para obtener la imagen de toda la superficie de Riemann, basta aplicar, a la hoja entera ya obtenida, una simetóa respecto de los dos bordes del segmento comprendido entre a 2 y a 4 , por ejemplo, que constituye la línea de paso entre las dos hojas, y a lo largo del cual se cruzan éstas uniéndose entre sí. Luego, se

§ 14. La integral elíptica de primera especie

13

completará la imagen de la superficie de Riemann buscando el simétrico, respecto de la recta que pasa por — a>2 y + cu2, del rectángulo hasta ahora obtenido, y la imagen completa de la superficie de Riemann será el rectángulo de vértices — col — a>2, cüj — co2, a>1 + co2 y — col + tw2, construido con los cuatro rectángulos pequeños correspondientes a los cuatro semiplanos de que consta la superficie de Riemann. La integral que estamos estudiando tampoco es una función uniforme de la superficie de Riemann hasta aquí considerada. En efecto, para obtener la superficie de Riemann cerrada a partir del dominio construido hasta aqui con los cuatro semiplanos, bastaría unir entre sí los bordes todavía libies del eje real, a los que corresponden los lados del rectángulo. Si consideramos, por ejemplo, el segmento de eje real comprendido entre a2 y a3, vemos que debería cerrarse la ranura que está todavía abierta en cada una de las hojas; pero en los puntos de los dos bordes, situados todavía el uno frente al otro, la integral toma evidentemente valores distintos que difieren en 2 co2, ya que, por la manera en que se ha obtenido el rectángulo total a partir del pequeño, a dos valores situados en los bordes del primero y que difieran en 2 co2, les corresponde el mismo punto de la superficie de Riemann. Otro tanto sucede con el segundo par de lados del rectángulo mayor; a dos puntos que difieren en 2 colt les corresponde el mismo punto de la superficie de Riemann. Para que la forma del rectángulo esté de acuerdo con la manera de quedar soldada la superficie de Riemann tal como la hemos imaginado hasta ahora, se puede encorvar el rectángulo y unir sus bordes opuestos de modo que coincidan aquellos puntos correspondientes a un mismo punto de la superficie de Riemann. En realidad, para efectuar este proceso, es necesario abandonar el plano y efectuar el doblado del rectángulo' en el espacio, lo que conduce a una superficie cerrada. Ésta sería una superficie anular, o tórica; si primero se unen dos lados opuestos del rectángulo se obtiene una especie de manguera, y luego, al unir las bocas de ésta, un toro. Éste se puede relacionar con la superficie de Riemann mediante una aplicación biunívoca y continua, y por tanto, es muy apropiado para dar una representación

74

IV. Otras representaciones mediante funciones dadas

intuitiva de la estructura formal (*) de la superficie de Riemann. Al igual que sucede con ésta y al contrario de lo que le sucede con la esfera, que como ya vimos (en el § 3) admite una aplicación biunívoca y continua sobre el plano, el toro no queda dividido en dos partes distintas, al trazar sobre él una curva cerrada cualquiera. El hecho de que nuestra integral no defina una función uniforme, a pesar de ser regular sobre toda la superficie, descansa, en último extremo, en la existencia de estas curvas. Así, refiriéndonos a la figura 12, observaremos que, al recorrer x la curva allí trazada, w varía en 2 co2, y que, como se vio en la página 50, esta curva no parte la superficie. No hemos obtenido todavía una representación del comportamiento global de la integral de primera especie definida en la superficie de Riemann. Para conseguirla, tendremos en cuenta que puede aplicarse el principio de simetría respecto de cada lado del rectángulo, y que a cada simetría le corresponderá otra simetría en la superficie de Riemann. Mediante sucesivas simetrías obtendremos un recubrimiento simple e ininterrumpido de todo el plano w por infinitos rectángulos congruentes. Al proseguir este proceso de simetrización, se ve que los sucesivos valores que va tomando w en un mismo punto de la superficie de Riemann, vienen dados por w = w1 + 2 h co^ + 2 k co2, en donde w1 es uno de los valores tomados y h y k son valores enteros cualesquiera. Los correspondientes puntos del plano w se obtienen a partir de uno de ellos, por ejemplo, el w v trasladando el primer rectángulo, en el que se halla wv paralelamente a 2 h + 2 k a>2 y de modo que pase a coincidir con uno de los rectángulos en que se ha dividido el plano. Si no queremos estudiar la integral definida precisamente en la superficie de Riemann de dos hojas, nada nos impide considerar una superficie de Riemann más apropiada a esta integral, que se •construirá uniendo infinitos ejemplares de la superficie de la raíz según la misma disposición que se obtiene al descomponer el plano w •en rectángulos. Entonces, este plano resulta ser una imagen biunívoca e isogonal de la nueva superficie de Riemann, y diremos C1) Es decir, de la llamada estructura gina 158). - N. del T.

topológica

de la superficie

(cf. pá-

§ 14. La integral elíptica de primera especie

75

q u e constituye u n recubrimiento de la superficie de R i e m a n n de la raíz. Toda función definida en la superficie de R i e m a n n de la raíz, q u e en el entorno de cada p u n t o de ésta posea el carácter de u n a función racional de la correspondiente variable de uniformización local (*), se puede considerar, evidentemente, como u n a función de w de carácter racional en todo el plano. Al mismo tiempo y de acuerdo con la definición anteriormente dada, w será una variable de uniformización local p a r a todos los p u n t o s de esta superficie de R i e m a n n , y a que la integral de primera especie t r a n s f o r m a el entorno de cada p u n t o de la superficie en u n entorno liso del plano w ( 2 ). P o r t a n t o , todas las funciones no ramificadas definidas en toda la superficie de la raíz, se transforman en funciones uniformes al sustituir la variable independiente z por la w, pues t o d a función de w, de carácter racional en el entorno de todos los p u n t o s de plano w que se encuentran a distancia finita, es una función uniforme. Pero la superficie de R i e m a n n de la integral de primera especie es precisamente la superficie de R i e m a n n de t o d a s las funciones que satisfacen la propiedad ú l t i m a m e n t e indicada, y por t a n t o , debe ser posible construirla de a n t e m a n o sin conocimiento previo de las propiedades de la integral de primera especie. Luego, t o d a función que t r a n s f o r m e esta superficie en u n dominio liso se podrá considerar, al igual que la integral de primera especie, como una función uniformizadora de dicha clase de funciones. (Aunque aquí no nos interese, mencionaremos la propiedad de ser t o d a s las funciones de esta clase, funciones lineales de la integral de primera especie.) (') Se dice que una función posee el carácter de una función racional en el entorno de un punto a, si posee un polo, en a, o es regular en el entorno de dicho punto. (2) Según el teorema de monodromia, el cual dice que: Si en un dominio simplemente conexo, una función analítica es regular en todos los puntos salvo en los polos, dicha función es uniforme en todo el dominio. Esto se puede ver de la siguiente manera: Si en el dominio existiese una curva cerrada cuyo recorrido diese una variación de la función, esta variación se mantendría al reducir la curva a un punto deformándola continuamente dentro del dominio, lo que estaría en contradicción con la hipótesis de ser la función regular en todos los puntos, salvo en los polos.

76

IV. Otras representaciones m e d i a n t e funciones dadas

Según lo que acabamos de exponer, tanto z como la raíz W, se podrán expresar como funciones uniformes de w, presentando además estas funciones una propiedad particularmente notable. Ambas son funciones doblemente periódicas, pues correspondiendo a los valores w1 + 2 h a>1 + 2 k co2 el mismo punto de la superficie de Riemann que al punto tanto z (w) como W (w), deberán tomar los mismos valores en aquellos puntos, es decir, satisfarán las ecuaciones funcionales z{w-\-2hco1-\-2k co2) = z (w) y W(w

+

2hco1

+

2k

tu2) =

W

(w).

Y esto es precisamente lo que se quiere significar, al decir que z (w) y W (w) son funciones doblemente periódicas. Para mostrar la relación existente con la teoría de las funciones doblemente periódicas vamos a buscar la expresión formal de z (w) y W (w). Para ello, ante todo y mediante una adecuada transformación lineal de z, pasaremos la integral de primera especie y su superficie de Riemann de dos hojas, a la siguiente forma especialmente cómoda, llamada forma normal de Weierstrass: w

r

=

d z

1/4 Z® + g2 Z + g3 oo

En ésta, uno de los puntos de ramificación es el punto del infinito, mientras que los otros tres poseen z = 0 como centro de gravedad (es decir, la suma de los valores correspondientes a los tres puntos de ramificación es nula), debido a que el coeficiente de Z2, dentro de la raíz, es nulo. En estas condiciones, es 1 ^ [ 1 1 z (w)

1/473"+

íh

=

p (w)

= ~2 w

+

S h,k

(w

z + ( h = P' ( « , ) = — J

ws

con (tí =

2h

a*!

+ 2

k a>2, h2 +

(tí)2 1

2 £

h,k (w —

mf

k2 =¡= 0,

y siendo las funciones p (w) las ya conocidas en la teoría de las funciones doblemente periódicas (1). Para ver esto, recuérdese que (') E s decir, las llamadas funciones t) de Weierstrass la citada obra de K n o p p , libro II, § 9). — N. del T.

(véase, por ejemplo,

§ 14. La integral elíptica de primera especie

77

z (w) es una función doblemente periódica que posee un polo en w = 0, ya que en este caso el punto a4, al que correspondía el w = 0, coincide con el del infinito, y que por tanto, si se logra determinar la parte principal del desarrollo de z (w) en el entorno de este polo, se conocerá z (w) salvo una constante ( 1 ). Esta parte principal se obtiene partiendo del desarrollo de w (z) en el entorno del punto del infinito w(z)

= - z - í (

...)

de donde se deduce A;¿ = z f 1 + ^ z~-2 + • • A y por tanto, que la w \ 20 , parte principal es A ; , puesto que lím

— zj = 0 .

Por

consi-

guiente, z (w) — p (w) será una función doblemente periódica sin polos, es decir, una constante c. Se comprueba que esta constante es nula, considerando nuevamente el valor del lím(—= — z), que ! w—>o \W como se acaba de ver, es nulo. De

la

expresión

lím (p (w) w—>o\

de p (w)

íg) = 0, wJ

y

se deduce

teniendo

en

además

cuenta

que

que se

también obtuvo

z (w) — p (w) = c, se halla: c

r | / ^ = lím [z (w) — p (w)] = lím z (w) — — —(p (w) — ~ IV—*0 [ W \ W

= lím (z (w) w-*0\

"o I

w¿j

lím (p

w-> o\

(w)

V) = 0.

w2!

Por tanto, resulta z (w) = p (w) que es una función

=

1 W2

explícitamente

. „

¡ 1 ! (w — Oj)'~

determinada,

11 „2 acerca de la cual

observaremos ahora, con vistas a una aplicación posterior, que al ( ' ) La parte principal de un desarrollo en serie de potencias de Laurent es la suma de los términos de exponente negativo.

78

IV. Otras representaciones mediante funciones dadas

rectángulo semiplano

de vértices 0, OJv OJx + m2 y A>3 , lo hace corresponder situado por encima del eje real.

Para hallar finalmente la expresión de j/ 4 z3 -f- g2 z — g3 en función de w, derivaremos en z

d Z + g2Z + g2

„

oo

con lo que obtenemos: dw dz

=

1 |/ 4 z* + g2 z + g3

y por tanto, V

=

2 z

Aunque no vamos a ocuparnos de la transformación de la superficie de Riemann mediante una integral de primera especie, en el caso en que los cuatro puntos de ramificación no se encuentren sobre una circunferencia, antes de terminar, diremos acerca de este caso lo siguiente: Mediante una elección adecuada de los cortes efectuados en la superficie de Riemann, se obtiene una aplicación de ésta sobre un paralelogramo de períodos; tanto z (w) como la raíz son funciones doblemente periódicas y también la integral de primera especie resuelve el correspondiente problema de la uniformización.

el

CAPÍTULO

V

Transformación de dominios dados § 15.

Transformación de un dominio dado en el interior de un círculo (Recopilación de ejemplos)

En su tesis doctoral del año 1851, Riemann expuso el teorema según el cual todo dominio simplemente conexo, que posee al menos dos puntos frontera, admite una aplicación biunívoca e isogonal sobre el interior de un círculo. En los próximos párrafos nos ocuparemos de la demostración de este teorema, mientras que en éste recopilaremos ejemplos de dichas transformaciones tal y como pueden obtenerse a partir de lo que hemos visto en los párrafos anteriores. Mostraremos tanto funciones que transforman el dominio considerado en el interior del círculo unidad, como funciones que lo transforman en el semiplano situado por encima del eje real, lo que, en esencia, es lo mismo, puesto que la función w — |

lZ

.

transforma el semiplano superior J z > 0 en

el interior del círculo | w \ 0 (z = z + i y) se transforma en , ya que u = ^—L-1

el semiplano superior, mediante w = 71

lo transforma en el bivértice 0 < 9? < —, u = r ei < — ) se transforma en

¡z n + 1\2 el semiplano superior, mediante w = ( — jj . \zn — 1/ '

71 y ángulo —- se transforma en un semiplano. 5. La banda 0 < y < n (Z = x + i y) se transforma, mediante w = ez, en el semiplano superior, como se deduce de lo visto en el § 13. 6. Ahora ya podemos efectuar la transformación de la hoz circular limitada por dos circunferencias tangentes en el punto z = 0. Pues la función w =— la transforma en una banda limitada z por dos rectas paralelas que, mediante un giro, se colocarán en la dirección indicada en el n.° 5, y sólo faltará agregar una homotecia que efectúe la dilatación o contracción necesaria para que queden a la distancia requerida. 7. También podemos transformar las semibandas obtenidas a partir de una banda, tomando como frontera, además de dos semirrectas pertenecientes a las rectas que la limitan, un segmento de perpendicular comprendido entre ambas. Pues, en la transformación definida por la función exponencial, las rectas perpendiculares a la banda se transforman en circunferencias de centro en w = 0, de modo que la semibanda se convierte en un semicírculo, que se puede transformar a continuación, según se ha indicado en el número 2. 8. El rectángulo de vértices 0, cov ws, w1 + co2 (con o^ real y positivo y co2 imaginario positivo) se transforma en el semiplano superior, mediante (§ 14) 1

§ 15. Recopilación de ejemplos

81

9. La parábola y2 = 4 c2 (x + c2) tiene por foco z = x — i y = 0. El dominio exterior de la misma, el que no contiene z = 0, se transforma, mediante w = ]/ z, en el semiplano superior limitado por la recta r¡2 = c > 0 (w — r¡x + i r¡2) (§ 11). 10. Esta misma función transforma la mitad del interior de la dicha parábola, situada por encima del eje real, en una semibanda limitada por la recta = c > 0 (correspondiente al arco de parábola), por la r¡z = 0 (correspondiente al eje real positivo) y por un segmento de la recta r¡x = 0 (correspondiente al segmento que une el vértice con el foco) (fig. 33). Esta semibanda se trans71W forma luego, mediante Z = — e c , en el semicírculo de la fi-

gura 34, de radio 1, y en el que Z = + 1 corresponde al vértice de la parábola y Z = 0, a w = oo. Finalmente, la función Z— 1/

° \

2c

transforma la semiparábola en un semiplano superior (fig. 35), de modo que al borde rectilíneo de aquélla le corresponde la semirrecta que va desde 1 hasta oo pasando por 0 y al borde parabólico, la otra semirrecta entre 1 e oo, Por tanto, según el principio de simetría, f = tg 2

— j trans-

formará la parábola entera en el plano cortado a lo largo del eje real, desde 1 hasta oo, y como éste se transforma en el semiplano superior mediante la raíz w = 6.

, vr=i

BIEBERBACH: Representación conforme.

= i eos

se obtendrá \ 2c i

82

Y.

Transformación de dominios dados

el resultado siguiente: La función w = i eos ( " T ^ r j transforma el interior de la parábola i/2 = 4 c 2 (x — c2) (z — x — i y) en el semiplano superior limitado por el eje real. 11.

La elipse y la hipérbola se pueden tratar mediante cálcu-

los análogos en los que se hace entrar la función w = z + —. Según z

se vio en el § 12, ésta transforma el dominio comprendido entre las dos ramas de la hipérbola U2

(2 eos

V2

a)2

l

(2 sen a)2

= 1 i» = u — iv, " """

0 < a
| a deducida al aplicar el lema de Schwarz a la función inversa de la z'. Esta indicación es suficiente para mostrar que mediante la aplicación sucesiva de este método se puede lograr una transformación del dominio G de modo que su borde esté contenido en un anillo circular cuya relación de radios difiere en tan poco como se quiera de la unidad. A este procedimiento le llamaremos el método de ajuste. Hasta ahora este método no ha encontrado aplicación práctica, aunque cada paso aislado del mismo permita una adaptación

«6

V. Transformación de dominios dados

cómoda al tratamiento numérico, debido a que un estudio más profundo del mismo muestra que la convergencia obtenida es en general muy lenta. En cambio se logra un procedimiento de utilidad práctica si, según el proceso de F. Ringleb, los pasos aislados, anteriormente descritos, se sustituyen siempre que sea posible por la transformación de una lúnula que también contenga G. Pues si un arco de | z ¡ = Q no pertenece al borde de G, siempre es posible separar de | 2 | < Q una lúnula sin puntos comunes con G, de modo que el resto de | z \ < Q forme otra lúnula conteniendo G. Y si se transforma ahora esta última según el § 15 de modo que el origen se mantenga en | z j < g, de acuerdo con el lema de Schwarz aumentará la distancia al origen de cada uno de los puntos de G. El hecho de que este procedimiento dé lugar a un dominio parcial de ¡ z | < Q más pequeño que el obtenido mediante el método de ajuste tiene por consecuencia que los puntos del borde de G se acumulen hacia la periferia de | z | < Q más rápidamente que usando el citado método. Además, al contrario de lo que sucede con la empleada en el método de ajuste, esta transformación es isogonal en cada punto del borde de G con lo que se evita la deformación en los vértices; por tanto, el borde de G se aproximará a la periferia de | z \ < Q, determinando una mejor correspondencia entre las direcciones, con lo que resultará también más adecuada la aproximación del perímetro de G a la circunferencia. J . Heinhold (Sitzber. Bayr. Akad. 1948) utiliza en lugar de las lúnulas conteniendo G, aquellos dominios, que también contienen G, y se obtienen sacando del círculo unidad un segmento de radio comprendido entre la periferia y un punto del borde y) =

¿ TI J

TZ + e

U(co)d O) +• — ¿N

71 + e

U(co) dco + — ¿N

J TT

rr J

\ U (a>) d a>,

TT—e

debido a la acotación de U («), tanto la segunda como la tercera integral tienden a 0 con e mientras que la primera difiere de tt—e

—Tr +

e

106

V. Transformación de dominios dados

en una cantidad que también converge hacia 0 junto con £. De este modo queda demostrado lo que deseábamos, es decir, que, para valores en el contorno definidos por una función u (&), integrable y absolutamente acotada, la integral de Poisson representa una función potencial que, en cada punto del borde en el que u (&) sea continua, converge hacia el valor u (&0) asignado al entorno si la aproximación de z a S-0 se efectúa en el interior de un cierto ángulo situado en el interior del círculo. Obsérvese que de la fórmula (7) se deduce de nuevo que en el caso de una función potencial con valores acotados en el contorno, la integral de Poisson da valores comprendidos siempre entre el máximo y el mínimo de los valores que toma en el contorno. Las consideraciones anteriormente expuestas se pueden aplicar también en el entorno de las discontinuidades con salto finito presentadas por la función de contorno. Pues, al aproximarnos a uno cualquiera de estos puntos a lo largo de cada uno de los dos arcos de la periferia que parten de él, la función de contorno converge hacia un límite finito y estas consideraciones nos muestran que en el interior de un sector suficientemente pequeño, la función está comprendida entre dos valores, de los que el mínimo no es inferior es más de e al menor de los dos límites, mientras que el mayor tampoco supera en más de e al otro límite. Si los valores en el contorno definen una función continua a lo largo de un arco se deduce también de lo visto anteriormente que la función representada por la integral de Poisson es continua en el círculo orlado por este arco. Para demostrarlo se limita un sector mediante dos radios que dejen en medio el radio dirigido a uno de los puntos de este arco y luego se separa en este sector circular un sector de corona limitado por la circunferencia ¡ f | = R y otra concéntrica con ésta. Entonces, se debe demostrar que, si el sector de corona circular es suficientemente pequeño, la función potencial dentro del mismo difiere de u (90) en menos que cualquier valor positivo s dado. Para ello se elige ante todo el ángulo del sector suficientemente pequeño para que sobre el arco £

de circunferencia se cumpla | u (9) — u (&0) !0) en menos de e. Pero, de la demostración deducida anteriormente se sabe que el radio de los sectores puede ser elegido por encima de una cota distinta de 0 que depende solamente del valor absoluto máximo de los valores en el contorno. Por tanto, si se elige la circunferencia concéntrica que limita el sector de corona lo suficientemente cerca de la circunferencia de radio R para que la diferencia de radios sea menor que el radio de estos sectores, cada punto del interior del sector de corona pertenecerá también al interior de uno de los sectores. Por consiguiente, | u (x, y) — u (£0) ¡ < e se verificará en todo el sector de corona circular, con lo que la continuidad de la función potencial definida por la integral de Poisson quedará demostrada en todo círculo cerrado para el caso en que se cumple la continuidad de los valores en el contorno. En el caso de continuidad de los valores en el contorno se obtiene además que la función potencial definida por la integral de Poisson es la única función potencial continua en todo el círculo cerrado que posee los mismos valores en el contorno. Ya que en caso contrario la diferencia entre dos soluciones sería asimismo una función continua en todo el círculo cerrado y nula en el contorno, la cual no podría ser distinta de la constante cero, ya que no puede poseer su máximo ni su mínimo en el interior del círculo según se ha establecido previamente. Según el razonamiento anterior, la determinación de una función potencial por sus valores en el contorno también es posible, evidentemente, siempre que la función sea continua en un dominio cerrado. Si 'C = £ (w) es una función analítica que define una transformación conforme de un dominio G del plano z en un dominio G' del plano w, a partir de toda función potencial u (£, rj) = R f (C),

108

V. Transformación de dominios dados

regular en G, se obtiene una función potencial Rf{C(w)} también regular en G'. En esta observación casi trivial se basa la importancia del teorema de Riemann para las aplicaciones de la transformación conforme a la teoría de las corrientes y otras ramas de la Matemática aplicada. Así, por ejemplo, si existe una aplicación continua entre G y un dominio cerrado G', entonces la solución de un problema de valores en el contorno para el dominio G puede obtenerse a partir de la solución del correspondiente problema para G' mediante la transformación conforme. En particular, tomando G' igual a un círculo, el problema queda referido al de las cuestiones anteriores relativas a la integral de Poisson. De estas observaciones se desprende también la utilidad para la teoría del potencial de la cuestión estudiada algo más adelante acerca del comportamiento de la transformación conforme de la circunferencia en el borde del dominio transformado. Con este fin deduciremos todavía el siguiente lema de utilidad para la teoría del potencial: Sea u (x, y) una función potencial regular en un dominio G y continua en el dominio cerrado por su contorno, que supondremos ser un arco de curva analítico. Si es u = 0 en este contorno, entonces u (x, y) puede ser prolongada analíticamente más allá de dicho arco analítico. Es decir, que, para cada punto de este arco analítico, existe un entorno y una función potencial regular en el dominio ampliado con este entorno tales, que esta función potencial coincide con u (x, y) en todo G. Para efectuar la demostración obsérvese que, mediante la función z = z (t), a < t ^ /?, que representa el contorno analítico, todo entorno K del plano t correspondiente a un punto t0 comprendido en a < /0 < se transforma conformemente otro entorno U del punto z = z (/„) y que esta transformación es lisa si nos restringimos al caso de puntos t0 regulares de la curva, es decir, en los que es z' (t 0 ) 0. (Los puntos en los que esto no suceda los consideraremos como vértices del dominio.) Mediante esta aplicación, Ja función potencial, regular en la intersección de G y U y continua en el contorno, nos proporcionará otra fun-

§ 21. L a correspondencia en los bordes

109

ción potencial G regular en una de las partes de K situada a un lado del eje real t, continua sobre el eje real y anulándose en éste. Por razones de sencillez admitamos que K sea un círculo de radio R y que t0 sea el origen del plano í. Apliqúese ahora la integral de Poisson al círculo K, atribuyendo a una de las semicircunferencias los valores de G y a los puntos simétricos de la otra semicircunferencia los valores — G. L a función G (&) ( — 71 < 8- ^ 71), que expresa los valores en el contorno, verificará G (— í>) = — G (-0) y entonces, poniendo t = ^ + i t2, la (5) podrá escribirse de la siguiente manera: 1 I- / x (R2—r2)d» = „ ,x " (h> '2) = 2TI o — > u w R2 + r 2 — 2 rR eos (» — | w0 — w1\ = l 0. Elegido un r 0 determinado, consideremos la integral J \f'\2rdrd 0 .

§ 2 2 . Distorsión por las transformaciones lisas de ¡ z \ < 1

117

En particular, si r -> 1, nos queda: (6)

1

ai

+ 1) (**+ 2) | a 2 ]2 + (i> + 1 ) (v + 3)

. . . ^ 0.

Obsérvese en esta fórmula que el término general del primer miembro se puede expresar en la forma a ^ ) ¡2

(v + 1) (v + k) \ ak + f(a2,...,

donde f es una función racional entera cuyos coeficientes dependen 3 tan sólo de v y k. Si, en particular, se toma v = —, se tendrá 1

2 I a"2I I

n

y por tanto I a2 \ 0 y una sucesión nk, tales, que f^k (0) > //, y según el teorema de distorsión sería ! fnk (z) \ ;> f;t (0) - - L i L > ^

;

por tanto, los Gn no podrían converger hacia su núcleo constituido por sólo el valor cero. Pero de fn' (0) 0, se deduce, aplicando el teorema de distorsión,

124

V. Transformación de dominios dados

luego si las G„ convergen hacia el origen, también las fn convergerán uniformemente hacia 0 en | z \ < Q < 1, para todo Q limitado por 0 < Q < 1. Supongamos ahora el caso en que el núcleo de los Gn sea un dominio que contiene el origen. Como, por hipótesis, las fn (z) están regularmente acotadas, se puede elegir una sucesión parcial que converja uniformemente en ¡ z | ^ Q < 1 para todo Q comprendido en 0 < Q < 1. A continuación, considérense las funciones inversas de las de la sucesión elegida, que estarán acotadas uniformemente y serán regulares en G, y elíjase nuevamente una sucesión parcial de la sucesión así obtenida que converja uniformemente en todo dominio cerrado de G. Designemos nuevamente por fn (z) la sucesión así elegida, por cpn (w) sus inversas, y sean w = f (z) y z =

(w) es la función inversa de f (z). Si es w0 = f (z0), todo círculo k de radio r y conteniendo z0 se transforma, mediante w = f (z), en un dominio G' conteniendo w0, y para valores suficientemente grandes de n, las funciones fn (z) transformarán el círculo k en dominios G„', que, en virtud del teorema de Rouché, contendrán también w0. Luego, w0 pertenecerá, tanto al dominio G*, imagen de | z | < 1 dada por w = f (z), como al núcleo G; es decir, será G* < G. Las funciones inversas 1 que posea un valor dado de ctg, si para éste ha de ser \ai \ = 2U En particular, como se deduce de una de las fórmulas de la página 85, la función

\

> * J

'

3

*

define una aplicación lisa de | z | > 1. El contorno de la imagen dada por ella está constituido por los radios que, partiendo de 0, alcanzan los puntos —

3

3

3

— q Y 4, — g2 j/ 4, g3 = 1. La sospecha 2

inicial de que en general se verificase ¡ an \ 1, es F (z) = — |

'ItH

= z + cz 2 + . . . regular y

lisa en | z | < 1; por tanto, es |c¡ < . 2 y | c | = 2 sólo para las funciones

( i - e z r

£ =

1,

c =

2e

'

se cumplirá

§ 23.

Distorsión por las transformaciones lisas de | z | > 1

129

es decir, para f (z) = z -\- e[z, \ s \ = 1. Estas funciones extremales aplican | z | > 1 sobre el conjunto complementario de un corte rectilíneo de longitud 4 y cuyo centro se encuentra en el origen. Los ulteriores razonamientos de este párrafo se apoyarán eficazmente en el siguiente teorema de Rengel, relativo a la distorsión producida en la transformación del rectángulo. Sea F (C) una función regular y uniforme (lisa o no lisa) que transforma eonformemenle un rectángulo R del plano £ de dimensiones a y b. Si P es una cota inferior de las longitudes de las imágenes de los segmentos interiores al rectángulo paralelos al lado b, y si I = | [ |F'

fdt,dr¡

R

es el área del dominio imagen de R (con f = £ + ir¡), se verifica entonces a I T ~ J2' En esta relación la igualdad se cumple sólo si F (£) es una semejanza, y las imágenes de todos los segmentos tienen la longitud [}. En los demás casos, existe un segmento interior al rectángulo y paralelo al lado b, cuya imagen tiene una longitud mayor y existe también un número positivo p, determinado solamente por dicho segmento, tal que a I Para la demostración, se puede suponer siempre que R está determinado por 0 < , ^ < a y 0 < , r ] = b . Entonces, se tiene b

a

/ = { J | i ' ! d£d»? = f ?

2

R

o

o

¡*dr¡,

y como, según la desigualdad de Schwarz de la página 113, es i b

í J j F' ^0

9.

\2 b b | dr¡ ) 0 tal que b

J o

| F'

( i , r¡)

| dr¡

>

+ c,

p

en

|f—

| < ó,

de donde resulta

por lo tanto, será ahora Ta

4~

I

bd ef

Finalmente, para que sea .i b

J ~

b

deberá ser 6 = 0, es decir, J ¡ F' \ dr¡ = para todo valor de £. o Pero la desigualdad de Schwarz también deberá satisfacerse con el signo igual lo que, según se ha visto en la nota de pie de página relativa al lema de Schwarz, significa que A + | F' | = 0„

§ 23. Distorsión por las transformaciones lisas de [ z

>1

131

para un cierto X independiente de r¡, es decir, que | F' ¡ es independiente de r¡. Pero, esto implica que b

0 = j | F' I d?? = b \ F' | o sea independiente de es decir, que | F' | sea constante (1). Y si la función analítica F' es constante, F es entera y lineal, y por consiguiente, la aplicación es una semejanza. Desviándonos un poco del tema tratado en este párrafo, vamos a considerar ahora la transformación de un cuadrilátero en un rectángulo determinada por la correspondencia entre sus vértices. Aquí entenderemos por cuadrilátero el interior de una curva de Jordán en la que se han marcado cuatro puntos que designaremos por A, B, C y D, suponiéndolos dados en orden cíclico y recorridos en sentido positivo. Según los §§ 18, 21 y el n.° 8 del § 15, se puede definir una aplicación en un rectángulo de vértices A', B', C' y D' que sea conforme en el interior del cuadrilátero manteniéndose lisa y continua en el contorno de éste, y tal que se correspondan entre sí, los vértices designados por las mismas letras. En efecto, según los §§ 18 y 21, se puede efectuar primeramente una aplicación conforme y continua del cuadrilátero en un círculo, luego transformar éste en un semi plano, y finalmente, tal como se ha indicado en el n.° 8 del § 15, pasar de éste a un rectángulo en la forma deseada, por medio de la integral elíptica de primera especie. Esta transformación del cuadrilátero en un rectángulo, determinada por la correspondencia entre los vértices, está definida salvo una transformación de semejanza. Pues, si se designa por a el lado A' B' del rectángulo, por b, el lado B' C' del mismo, y por a y /?, los lados correspondientes de otro eventual rectángulo imagen, el área de éste será «/?, y aplicando el teorema de distorsión de Rengel a la transformación del primero en el segundo, se obtendrá a/b

0 + c, c > 0,

§ 23. Distorsión por las transformaciones lisas de | z | > 1

135

se podrá elegir e suficientemente pequeño para que f pertenezca a Re, de modo que la relación establecida mediante la demostración anterior seguirá siendo válida para RE y, por tanto, a—2s b

IE A 6c < ~¡P~!>J~

De aquí se sigue que, cuando e -> 0, se verifica a I T^JP

4 de bj

Exactamente igual que antes se deduce que, para que se cumpla a

l

F (C) debe ser entera y lineal. Si hay cortes en consideración, se descompondrá mediante las rectas contienen los cortes en un número finito de rectángulos parciales i?v definidos por: £v < | < f v + i , 0 1 que admita el desarrollo siguiente en z = oo; W = cp (z) = ax z + a0 -f — + ..., z

[ e^ | = 1.

Busquemos ahora cotas para | (z¡) = 0. Sea B la imagen de ¡ z | > 1 dada por

1 en uno de los dominios indicados, es decir, con un corte tal, que z = zx se transforme en el centro del corte

§ 23.

Distorsión por las transformaciones lisas de ¡ z | > 1

141

circular, o en un punto situado sobre la prolongación del corte rectilíneo. Por tanto, df-1 (W) dW ~ »•=0

dl,

|/7( 0 ) | £ 1 ,

de donde se deduce f ; (zj | ^ ¡ (p' (Zl) \ 1

143

y los dos puntos de intersección serán, pues, 1

i ' f - r I z^ziI y

\

!

h!

El punto medio del segmento que une ambos puntos será ¿o, _ ! _ mientras que el vector que los une vendrá dado por I % i2 Luego, la transformación buscada será y

i ei&> I' 1 l ' - l í 1/1 — t—^

i

2

2

¡—-—¡- e'^-

Pero, como en z = oo el módulo de la transformación de Fk (z) debe ser 1, esta función deberá multiplicarse por | / 1 — , — - , obteniéndose z — Fk

(z)

=

—

-r——¡- e'®1 i

i ei(>' í 1 e

Z

¡

De aquí se deduce 1 7¿e ia '

ie^.ll—~ /

•1 \

1 ..\ 2 —r e*Si nl 1

i ei&i

—:—

i

1

e '

144

V. Transformación de dominios dados

i ew>

1

7 1i2 n

con lo que el enunciado final del teorema de distorsión toma la siguiente forma definitiva: Si W =

1, que admite el desarrollo

1

145

en el entorno de z = oo, y que transforman | z | > 1 en un dominio con un corte circular o con un corte radial, de tal modo que z = zx tenga su imagen en el centro del corte circular o en un punto de la prolongación del corte rectilíneo. En el caso en que la ax de

1

147

A partir del teorema de Grótzsch que acabamos de demostrar, se deduce la acotación de Golusin antes indicada para el cociente de diferencias de q> (z) como sigue: La invariancia frente a una rotación del plano z permite suponer que es z1 = r ei&, z2 = r con 0 < & < n, con lo que cp*

(z) = z + 1/z

proporciona una aplicación de | z \ > 1 en un dominio con un corte hiperbólico que satisface la propiedad extremal expresada en el teorema de Grótzsch. Pero, para esta función se verifica: ¡ q?* (Zl) — 1 que admiten el desarrollo (p (z) = z + -J-+

• • • satisfacen la desigualdad i Z !2

¡ arg cp' (z) j < log j j j a ^ T Y Golusin demostró que la cota superior indicada en esta desigualdad es la cota precisa que, como se desprende de un trabajo de Grótzsch, sólo es alcanzada cuando el dominio imagen está limitado por un corte constituido por un trozo de espiral logarítmica. ( l ) Para las aplicaciones lisas de I z \ < 1 , este teorema no se verá hasta el § 24, en el que se aclarará también su significado geométrico.

V. Transformación de dominios dados

148

§ 24.

La ecuación diferencial de Lowner

A partir de una transformación acotada del círculo unidad, w = F(z),

| F (z) | < M, F (0) = 0, F' (0) = 1, | z | < 1,

se puede obtener siempre una transformación de [ z ¡ < 1 en una parte de sí mismo, poniendo M A su vez las transformaciones f (z) de ¡ z | < 1 en una parte de sí mismo se pueden aproximar, con toda la precisión deseada, mediante transformaciones de | z | < 1 en partes de sí mismo, limitadas por una curva de Jordán, ya que, en efecto, siendo lím f (QZ) = f (z), | z | < 1 , e—i f (qz) transforma, para 0 < g < 1 , el círculo unidad en una parte de sí mismo limitada por una curva de Jordán. Finalmente, las transformaciones del círculo [ z | < 1 en un dominio parcial B de j w | < 1 , limitado por una curva de Jordán, C pueden aproximarse también, con toda la precisión deseada, mediante transformaciones recortadas, entendiendo por transformación recortada de | z | < 1 toda transformación cuyo dominio imagen esté constituido por la totalidad de los puntos del círculo [ w | < 1 , con excepción de los de un arco de curva de Jordán que empiece en un punto de la periferia y termine en un punto interior | w | (z + b2 (i) z2

+...)

es decir, de modo que sea g' (0, 0 = é~ 1, y por tanto, a2 = 2. El paréntesis