Die wirtschaftlichen Entscheidungen des Haushalts [1 ed.] 9783428400751, 9783428000753

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Frankfurter Wirtschaftsund Sozialwissenschaftliche Studien

Band 18

Die wirtschaftlichen Entscheidungen des Haushalts Von

Karl Otwin Becker

Duncker & Humblot · Berlin

FRANKFURTER

WIRTSCHAFTS-

UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE

STUDIEN

Heft 18

Herausgegeben von der Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main

Die wirtschaftlichen Entscheidungen des Haushalts

Von Dr. K a r l O t w i n Becker

DUNCKER

&

H U M B L O T /

BERLIN

Alle Rechte vorbehalten © 1967 Duncker & Humblot, Berlin 41 Gedruckt 1967 bei Berliner Buchdruckerei Union GmbH., Berlin 61 Printed in Germany

Vorwort Die vorliegende Arbeit wurde der Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Johann Wolfgang Goethe-Universität in Frankfurt am Main i m Mai 1966 als Dissertation eingereicht. Sie wurde von Herrn Professor Dr. Heinz Sauermann angeregt, für dessen verständnisvolle Förderung ich an dieser Stelle herzlich danken möchte. Desgleichen bin ich Herrn Professor Dr. Hans Jürgen Jaksch für wertvolle Ratschläge zu Dank verpflichtet. A n dieser Stelle möchte ich mich auch bei Herrn Dr. Reinhard Selten für die Anregungen bedanken, die ich i n der Diskussion über die hier vorliegende Arbeit von ihm erhalten habe. Schwalbach, i m September 1966 Otwin Becker

Inhaltsverzeichnis Einleitung:

1. Die Problemstellung 2. Der Gang der Untersuchung

15 19

1. Kapitel: Grundlegende Betrachtung

21

A . Die Dispositionen des Haushalts

21

1. Das Untersuchungsobjekt 2. E i n Haushaltsmodell m i t Entscheidungen i n aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten 3. Einige Definitionen 4. Die Diskretheit der Planungsgrößen B. Die Transformation des Kapitals

28 31

C. Die Präferenzen des Haushalts

33

Die Zielfunktionen Verschiedene Eigenschaften der Nutzenfunktion Die Randbedingungen Die nominale Nutzentransformation

33 36 38 38

D. Einige immanente Eigenschaften des Modells 1. 2. 3. 4. 5.

43

Eine methodische Vorbemerkung Die Zahl der Güterarten Die Periodenlänge Einige Unvollkommenheiten des Marktes Gebrauchs- u n d Verbrauchsgüter

43 44 45 46 47

E. E i n Vergleich der Planungsaufgaben des Haushalts und der U n t e r nehmung 1. Die Produktion des Nutzens 2. Die Planungsaufgabe einer Unternehmung Institution 3. E i n Vergleich der Zielfunktionen

48 48

bei

gegebener

2. Kapitel: Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen A . Die gegebene Entscheidungssituation 1. E i n Ausblick 2. Die Planungsaufgaben

25 26 28 28

1. Die allgemeine Transformationsfunktion 2. Die interpolierte Transformationsfunktion

1. 2. 3. 4.

21

49 50 52 52 52 52

Inhaltsverzeichnis Β . Die Bestimmung der optimalen Transformation 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Die Die Die Die Die Die

Zielsetzung der Transformation bei gegebenem Konsum . . M a x i m i e r u n g des Vermögens Substitutionsbedingungen marginalanalytische Lösung Ertragsfunktion des Kapitals Opportunitätsfunktion des Vermögensverzehrs

54 54 55 56 60 65 66

C. Die Bestimmung des optimalen Konsums

67

1. Die M a x i m i e r u n g der Nutzenfunktion 2. Die Substitutionsbedingungen 3. Die marginalanalytische Lösung

67 68 70

D. Die Marktdispositionen des Haushalts

73

1. Die Abhängigkeit der optimalen Dispositionen v o m Parametersystem 2. Die begrenzte W i r k u n g von Preisänderungen

73 74

3. Kapitel: Die sequentielle Bestimmung der optimalen Konsumdispositionen

76

A. Verschiedene Aspekte des Zeitmoments 1. Die historische D y n a m i k 2. Die Wiederkehr der Entscheidungsmöglichkeiten 3. Die Wiederkehr der Bedürfnisse B. Die zeitliche Konsistenz der Entscheidungen 1. Verschiedene Definitionen der zeitlichen Konsistenz 2. Lösungsversuche bei zeitlicher Inkonsistenz 3. Das Festhalten am ursprünglichen Plan C. Periodennutzenfunktionen 1. Die totale Nutzenfunktion 2. Separable Nutzenfunktionen 3. Der Ubertragungsefïekt des Konsums D. Die Zeitpräferenz des Haushalts 1. Das stationäre Modell 2. Die Zeitpräferenzfunktionen 3. Das Prinzip der Minderschätzung zukünftiger Bedürfnisse E. Die Analyse einer quadratischen Zeitpräferenzfunktion 1. 2. 3. 4. 5. 6.

76 76 77 77 78 78 81 83 84 84 86 90 92 92 93 93 96

Die Bestimmung der Konsumfunktion 96 Die reine Zeitstruktur des Konsums 99 Der tendenzielle Zeitverlauf des wirksamen Konsums 99 Der Schlußeffekt i m Zeitverlauf des wirksamen Konsums 101 Die asymptotische Entwicklung der Konsumfunktion 102 Der Anfangseffekt und der Schlußeffekt i n der Entwicklung der Konsumausgaben 105

Inhaltsverzeichnis F. Die Analyse einer logarithmisch-additiven Periodennutzenfunktion 107 1. Die Bestimmung des optimalen Konsumpfads 107 2. Die Marginalbedingungen 108 3. Die asymptotische Entwicklung der wirksamen Verbrauchsmengen 109 4. Die asymptotische Entwicklung der tatsächlichen Verbrauchsmengen 111 5. Die Anpassung der Verbrauchsmengen 111

4. Kapitel: Die Entscheidungen des Haushalts unter Unsicherheit bei vollkommener Entscheidungstechnik 114 A. Die allgemeine Lösung der Dispositionsaufgabe 1. Die Entscheidungssituation 2. Rationales Verhalten bei Unsicherheit 3. Die sequentielle Bestimmung der optimalen P o l i t i k B. Die Entscheidungen bei unsicherem Transformationsergebnis 1. E i n einfaches Modell 2. Die optimale Transformationspolitik 3. Die optimale Konsumpolitik

114 114 116 121 123 123 126 132

C. Die optimale P o l i t i k bei Periodennutzenfunktionen m i t unabhängiger Transformationspolitik 133 1. Das logarithmische Modell 2. Das monomiale Modell

133 137

D. Die optimale P o l i t i k bei quadratischen Periodennutzenfunktionen 141 1. 2. 3. 4.

Eine vergleichende Betrachtung der Investitionspolitik Die M a x i m u m f u n k t i o n e n des diskreten Modells Die Konsumpolitik des diskreten Modells Erwartungswerte

141 147 149 149

5. Kapitel: Die Dispositionen des Haushalts bei unvollkommenen Informationen und beschränkter Entscheidungstechnik 152 A . Ansatzpunkte einer Theorie eingeschränkt rationalen Verhaltens . . 152 1. 2. 3. 4. 5.

Die Die Das Die Die

Entscheidungssituation Entstehung der Wünsche Rationalitätsprinzip einfachsten Prüfsysteme Fonds

152 155 156 159 162

B. Die Planung des Haushalts bei eingeschränkt rationalem Verhalten 165 1. Der Umfang der Planung 2. Die Anspruchsanpassung

165 168

10

Inhaltsverzeichnis C. Die durchschnittlichen Verbrauchsfunktionen

172

1. Die Bestimmungsfaktoren des Verbrauchs 2. Der Verbrauch bei einem Spezialfonds 3. Der Verbrauch bei einem Gruppenfonds

172 173 181

6. Kapitel: Eine Schlußbetrachtung

188

A . Über die Planungsaufgabe des Haushalts

188

B. Über die E r k l ä r u n g der Dispositionen des Haushalts

190

Literaturverzeichnis

193

Verzeichnis der Abbildungen 1 Der technische Dispositionsbereich 2 Die Veränderung der Transformationskapazität 3 Skizzen zur Konvexitätsdefinition 4 Substitutionsbedingungen bei alternativen Isoquantenformen 5 Die Ertragsfunktion und die maximale Rentabilitätsrate des Kapitals 6 Eine Skizze zweier Substitutionen 7 Indifferenzkurven der Zeitpräferenzfunktion 8 Mögliche Verlaufsformen des wirksamen Konsums bei alternativem Ausmaß der Impatience 9 Die relative Abweichung des wirksamen Konsums von seiner asymptotischen Entwicklung — Schlußeffekt 10 Grafische Bestimmung des tatsächlichen Konsums bei gegebenem wirksamen Konsum 11 Der Schlußeffekt beim wirksamen und beim tatsächlichen Konsum . . 12 Die Anpassung des Konsums an ein neues Gleichgewicht 13 Der asymptotische Verlauf der wirksamen Konsummengen bei alternativem Ausmaß der Impatience 14 Die Anpassung der tatsächlichen Verbrauchsmengen an neue Gleichgewichtswerte 15 Die Zusammensetzung von tU aus einem laufenden und einem prospektiven Nutzenindex 16 Verschiedene M a x i m u m f u n k t i o n e n 17 Nomogramm der optimalen Investitionsanteile an Risikokapital i m Falle r = 1 u n d i = 1 18 Die optimale Investitionspolitik f ü r das Risikokapital i n verschiedenen Perioden; (a) stetige und (b) diskrete Version des Modells 19 Die M a x i m u m f u n k t i o n e n i n verschiedenen Perioden 20 Die optimale Konsumpolitik i n verschiedenen Perioden 21 Einfache Programme m i t zwei zu prüfenden Bedingungen 22 Beispiel eines Programms m i t einer Fondsbedingung und zwei Höchstpreisen 23 Programm der Anspruchsanpassung 24 Der mögliche Zufallsbereich der Anzahl der realisierten Wünsche bei fester Fondszuweisung 25 Der Durchschnittsverbrauch bei alternativem Fondsumfang 26 Der Durchschnitts verbrauch bei alternativen Preisen 27 Der mögliche Zufallsbereich der Anzahl der realisierten Wünsche i n einem Planungsintervall 28 Die Erwartungswerte des Verbrauchs i m Falle alternativer Fondszuweisungen 29 Die Erwartungswerte des Verbrauchs i m Falle alternativer Übergangswahrscheinlichkeiten 30 Die bei einer Realisierung von 9 5 % der auftretenden Wünsche erforderliche Fondszuweisung

29 30 32 58 65 70 94 101 102 104 106 106 110 112 133 145 145 146 147 149 161 163 171 175 177 178 178 179 180 181

Verzeichnis der Abkürzungen AER

The American Economic Review

Behav. Sc.

Behavioral Science

Bull. Am. Math. Soc.

B u l l e t i n of the American Mathematical Society

Ec. Jl.

The Economic Journal

Jl. Pol. Ec.

The Journal of Political Economy

Jl. of Roy. Stat. Soc.

Journal of the Royal Statistical Society

QJE

The Quarterly Journal of Economics

Rev. of Ec. Stud.

The Review of Economic Studies

ZfN

Zeitschrift f ü r Nationalökonomie

ZfdgSt

Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft

ZfVS

Zeitschrift für Volkswirtschaft u n d Sozialpolitik

Verzeichnis der wichtigsten Variablen I n dem nachstehenden Verzeichnis bedeuten der Index i , (i = 1, 2 , . . . , n), eine bestimmte Güterart, der Index j , (j = 1 , 2 , . . . , m), einen bestimmten (außerökonomischen) Zustand und der Index t eine bestimmte Periode. c (t)

= Konsumausgaben i n der Periode t.

η (t)

= „ w i r k s a m e r " Konsumbetrag i n der Periode t.

ρ (i, t)

= Preis des Gutes i i n der Periode t.

Ρ (t)

= (Ρ (1, t), ·..,

tP s

Ρ (n, t)) Preisvektor der Periode t.

= (P (t), . . . , Ρ (s)) Preispfad von Periode t bis Periode s Fehlt der l i n k e Index, so impliziert dies t = 1; fehlt der rechte Index, so impliziert dies s — T.

Q Ü, t)

= Charakteristik des außerökonomischen Zustandes j i n der Periode t.

Q (t)

= (q (1, t), . . . , q (m, t)) Zustandsvektor i n der Periode t.

tQs

=

(Q (V> — ·> Q ( s )) Zustandspfad von Periode t bis Periode s.

(Qs = ιQs und tQ

=tQ T).

Verzeichnis der wichtigsten Variablen r (i, t)

= Einsatzmenge der Transformation an Gut i i n der Periode t.

R (t)

= (r (1, t), . . . , r (n, t)) Einsatzvektor i n der Periode t.

13

tR s

= {R (t), . . . , R (s)) Einsatzpfad von Periode t bis zur Periode s. (R s = tR s und tR = tR T).

ut

=

tU

= Nutzenindex des Konsumpfads von Periode t an.

ν (t)

= Vermögen des Haushalts zu Beginn der Periode t.

υ (t)

= Vermögen des Haushalts nach Abzug der Konsumausgaben i n der Periode t.

χ (i, t)

= Konsum an Gut i i n der Periode t.

X (t)

= (a: (1, t), . . . , χ (n, t)) Konsumvektor der Periode t.

Periodennutzenindex.

= (X (t), . . . , X (s)) Konsumpfad von Periode t bis zur Periode s. (X s = i X s und tX = tX T). ξ (i, t)

= „wirksame" Verbrauchsmenge an Gut i i n der Periode t.

y (i, t)

= Angebots- bzw. Nachfragemenge an Gut i i n der Periode t.

Y" (t) fY 5

= (y (1, t) t ...,

y (η, t)) Transaktionsvektor der Periode t.

= (Y (t),..., Y (t)) Transaktionspfad von Periode t bis zur Periode s. (Y, = i Y s und tY = , Y r ) .

2 (i, t)

= Bestandsmenge des Gutes i am Ende der Periode t.

Ζ (t)

=

tZ s

(ζ (1, t), . . . , ζ (η, t)) Bestandsvektor am Ende der Periode t.

= (Z (t), . . . , Ζ (s)) Bestandspfad von Periode t bis zur Periode s. (Z s = und = tZ T).

Einleitung 1. Die Problemstellung I n der Nationalökonomie werden die wirtschaftlichen Entscheidungen des Haushalts von zwei verschiedenen Seiten aus betrachtet. Einerseits fragt man sich, welche Entscheidungen der Haushalt zu seinem Vorteil treffen sollte, und andererseits stellt man sich die Frage, wie dessen tatsächliche Dispositionen erklärt werden können 1 . I n der vorliegenden Arbeit w i r d versucht — was einem unvoreingenommenen Leser wohl als das einzig Richtige erscheinen dürfte —, die angedeuteten Seiten des Problems, die normative und die explikative, i m Zuge einer einheitlichen Theorie zu behandeln. Dieser Gedanke ist nicht neu, und auch der Weg zu seiner Verwirklichung ist allgemein bekannt. Man hat zunächst zu ermitteln, welche Dispositionen ein Haushalt bei gegebener Entscheidungssituation und gegebener Handlungsmaxime zu treffen hätte. Stimmen nun die Prämissen dieser (normativen) Theorie mit der Realität überein, so müssen die empfohlenen den tatsächlichen Dispositionen entsprechen. Das ist eine nahezu tautologische Feststellung, denn man kann sich keine mehr als zufällige oder anfängliche und vorübergehende Abweichung zwischen beidem vorstellen, ohne daß die Verität der Prämissen mit Recht i n Zweifel gerät, wobei allerdings unterstellt wird, daß die Handlungsmaxime selbstevident ist und nicht substantielle Wertungen enthält, die dem Haushalt fremd sind und i h m deshalb nicht erstrebenswert erscheinen 2. 1 Die obigen Aspekte der Problemstellung findet man i n entsprechender Weise bei Hicks als „Weif are Purpose" und als „ P i a i n Economic Purpose". M a n vgl. J. R. Hicks, A Revision of Demand Theory, Oxford 1956, insbes. S. 4 ff. 2 von Mises v e r t r i t t dieses Verhaltenspostulat i n einem sehr extremen Sinne. M a n vergleiche L . von Mises, H u m a n Action, London-EdinburghGlasgow 1949 u n d derselbe, Die Wurzeln des Antikapitalismus, Frankfurt/ M a i n 1958. Es ist strittig, ob es zweckmäßig ist, diese Auffassung einzunehmen. W i r können diesbezüglich auf zwei neuere Darstellungen verweisen: Gerald Gängen, Theorie der wirtschaftlichen Entscheidungen, Tübingen 1963, S. 28 ff. u n d Peter Meyer-Dohm, Sozialökonomische Aspekte der Konsumfreiheit, Freiburg 1965, S. 98 ff. U m jedoch zu einer einheitlichen Theorie zu gelangen, ist die Annahme einer selbstevidenten Handlungsmaxime notwendig; man siehe hierzu auch: W i l h e l m Krelle, Theorie wirtschaftlicher Verhaltensweisen, 2. Aufl., Meisenheim/Glan, 1959, S. 11 ff. Herrn vergleicht diese M a x i m e m i t dem Hamiltonschen Prinzip. Vgl. Rudolf Henn, Über dynamische W i r t schaftsmodelle, Stuttgart 1957, S. 26 ff.

16

Einleitung

W i r werden voraussetzen, daß der Haushalt eine rationale Verhaltensweise befolgt, wobei darin nur zum Ausdruck kommen soll, daß dessen Verhalten gewollt und erklärbar ist. I n dieser Arbeitshypothese liegt nicht das Problem. Die Schwierigkeiten der Aufgabe zeigen sich vielmehr darin, ein i n allen relevanten Voraussetzungen realistisches Modell aufzustellen und zu überblicken. Über das gegebene Problem existiert allein schon von Seiten der Nationalökonomie eine umfangreiche und vielseitig orientierte Literatur 3 . W i r halten es deshalb für angebracht, die speziell i n dieser Arbeit gesetzten Akzente etwas genauer zu erläutern. Die Theorie des Haushalts stützt sich vor allem auf die sogenannte Wahlhandlungstheorie. A u f dieser Grundlage w i r d auch unsere Untersuchung beginnen, und w i r werden eigentlich nichts anderes zu t u n haben, als dem bereits deutlich sichtbaren Entwicklungspfad dieser Theorie zu folgen. Zwar w i r d gelegentlich die Entwicklung der Wahlhandlungstheorie von ihren Vorstufen, der subjektiven Wertlehre und der Nutzentheorie, bis zu den heutigen Varianten i m Rahmen der Entscheidungstheorie als ein sprunghafter Pfad m i t geradezu dialektischen Übergängen beschrieben 4 . Aber als eine einheitliche Entwicklungstendenz zeigt sich doch, daß Fortschritte stets m i t der genaueren Erfassung des eigentlichen Entscheidungsproblems erzielt wurden. Dies zeigt sich erstens hinsichtlich der logisch-formalen Struktur des Problems und zweitens i n bezug auf die Realitätsnähe der untersuchten Entscheidungssituationen. Ein Beispiel für den zuerstgenannten Gesichtspunkt ist die Entwicklung i n den Konzeptionen von Gossen, Edgeworth und Pareto. Doch heute dürfte das formale Entscheidungsproblem des Haushalts längstens zum Anwendungsfall einer weit ausgebauten allgemeinen Entscheidungstheorie geworden sein und kaum noch selbständige Bedeutung haben. A l l e i n der zweite Gesichtspunkt dürfte nach wie vor auf spezifische Aufgaben der Haushaltstheorie hinweisen. Es bedarf keiner allzu großen Mühe, die Vielfalt von Einflußfaktoren zu erkennen, die eigentlich zu berücksichtigen wären, wenn man ein völlig realistisches Modell 3 Einen Überblick über den Stand der Wahlhandlungstheorie findet man beispielsweise i n folgenden Aufsätzen: J. Kenneth Arrow, „Utilities, A t t i t u des, Choices: A Review Note" i n : Econometrica, Vol.26 (1958), S. 1—23. M . J . Farrel, „The New Theories of the Consumption Function" in: Ec.Jl., Vol. 69 (1959), S. 678—696. H. S. Houthakker, „The Present State of Consumption Theory" i n : Econometrica, Vol.29 (1961), S. 704—744. 4 Vgl. Wassily W. Leontief , „Introduction to a Theory of the Internal Structure of Functional Relationships" i n : Econometrica, Vol. 15 (1947), S. 361 bis 373; insbes. S. 371.

Einleitung

aufstellen wollte. Es genügt natürlich nicht, diese Faktoren aufzuzählen. Man muß wesentlich mehr über ihren Einfluß auf die Entscheidungen wissen, um darauf eine modelltheoretische Betrachtung gründen zu können. Auf diesem Gebiet ist es vor allem das Verdienst der empirischen Haushaltsstudien, i n großem Umfange positives Wissen über diese Einflußfaktoren zu erarbeiten 5 . Angesichts dessen sind die früheren Modelle — beispielsweise zur Bestimmung der optimalen Verbrauchsmengen einer Periode — äußerst einfach und eigentlich nur zu rechtfertigen entweder als eine A r t Partialanalyse — u m einzelne Aspekte i n ihrer Wirkung isoliert betrachten zu können — oder als vollständige Modelle i n Verbindung mit der (widerlegbaren) Hypothese, daß eigentlich die wenigen und gerade berücksichtigten Aspekte den „ K e r n " des Problems ausmachen. Hinweise auf die Einfachheit eines Modells geben stets solche Prämissen, die, i n welchem Sinne auch immer, Unabhängigkeit, Gleichheit oder Vollkommenheit als gegeben ansehen. I n der kardinalen Nutzentheorie des Haushalts w i r d beispielsweise noch unterstellt, daß die Grenznutzen voneinander unabhängig sind. Dem „Gesetz von der Wiederkehr der Bedürfnisse" entspricht die Gleichheit der (Perioden-) Nutzenfunktionen. Die Vollkommenheit zeigt sich bereits bei den Annahmen über den Modellmarkt, wenn unterstellt wird, daß dort beliebige Angebots- bzw. Nachfragemengen zu festen Preisen gehandelt werden können. Während hierbei die Stilisierung noch einigermaßen vertretbar zu sein scheint, so ist demgegenüber die meistens unterstellte Vollkommenheit der Information und der Entscheidungstechnik ein sehr drastisches Beispiel für die Untersuchung unrealistischer Entscheidungssituationen. I m Laufe der Zeit hat man nun versucht, realistischere Modelle zu entwickeln, indem man die Einfachheitsannahmen, so weit es ging, aufgab. Den Anlaß einer Änderung und die A r t der notwendigen Modifizierung haben w i r i n der folgenden Aufzählung zusammengefaßt: 1. Es gibt eine allgemeine Interdependenz zwischen den ökonomischen Zielgrößen und den Größen des (beeinflußbaren) außerökonomischen Geschehens. Die Nachfrage des Haushalts hängt beispielsweise nicht nur ab von den Preisen und dem verfügbaren Vermögen, sondern auch von solchen Merkmalen wie dem derzeitigen Aufenthaltsort der Mitglieder des Haushalts, dem Gesundheitszustand derselben, usw. Es ist deshalb notwendig, die „Einbettung" der w i r t -

5 M a n vergleiche hinsichtlich dieses Untersuchungsziels auch : S. J. Prais und H. S. Houthakker, The Analysis of F a m i l y Budgets, Cambridge 1955, S. 3 f.

2 O. Becker

18

Einleitung

schaftlich orientierten Zielsetzung i n die Zielvorstellung des gesamten Lebensablaufs i n irgendeiner Weise zu erreichen 6 . 2. Es gibt eine ökonomische Interdependenz, denn die Konsumausgaben eines Haushalts hängen ab von den Einkommensdispositionen, von den möglichen Vermögenstransformationen und den möglichen Markttransaktionen i m gleichen Zeitpunkt, die i n der Planung natürlich auch berücksichtigt werden müssen. Deshalb ist es notwendig ein Modell aufzustellen, das der Gesamtheit der erforderlichen Entscheidungen gerecht wird. 3. Die für die Entscheidung maßgeblichen Informationen können i n gewissen Grenzen und unter gewissen Kosten beschafft werden. Jedenfalls gibt es zum Zeitpunkt der Entscheidung so etwas wie den Stand der Information, der fast immer Unsicherheit über die zukünftigen Größen und i n der Regel noch nicht einmal vollkommene Kenntnis der augenblicklichen Größen enthält. I n einem realistischen Modell ist es deshalb notwendig, die verfügbaren Informationen zu berücksichtigen, andernfalls ist eben aus dem Modell heraus ein Teil der Verhaltensweise nicht zu verstehen. 4. Die Entscheidungen des Haushalts müssen i n begrenzter Zeit m i t den vorhandenen Möglichkeiten und den Rechen- und Gedächtnisfähigkeiten des Aktors gefällt werden. W i r wollen die genannten Aspekte der Entscheidungssituation als die dem Haushalt verfügbare Entscheidungstechnik bezeichnen. Eine vollkommene Entscheidungstechnik ist dem Haushalt sicherlich nicht gegeben. Die verfügbare Entscheidungstechnik muß aber berücksichtigt werden, wenn eine für den Haushalt operationale Theorie entwickelt werden soll. Wer die verfügbare Entscheidungstechnik nicht berücksichtigt und von einer vollkommenen ausgeht, muß geradezu auf extrem unrealistische Lösungsmöglichkeiten verfallen 7 . 6 Jedenfalls kann man sich nicht darauf verlassen, daß die folgende, von Arrow beschriebene „Zerschlagung" des Problems sinnvoll ist: „We are thus led to a universal theory of choice where each decision is effectively a choice among total life histories. Such a theory is certainly impractical at our present state of knowledge, and we are forced to compartmentalize the different aspects of life, decisions of each area being treated i n some sense independently." Vgl. J. Kenneth Arrow , „Utilities, Attitudes, Choices: A Review Note" in: Econometrica, Vol.26 (1958), S. 2. 7 Bei einer erklärenden Theorie mag es angehen, das Zustandekommen ihrer Ergebnisse so zu verstehen, als ob gewisse Verhaltensweisen dazu geführt hätten. Eine Rechtfertigung hierfür mag vielleicht darin zu sehen sein, daß man den einfachsten Ansatz wählt, u m ein Phänomen zu erklären. Eine normative Theorie muß jedoch operational sein, also angewendet werden können, wenn sie einen Sinn haben soll. I n dieser Hinsicht steht es u m die traditionelle Wahlhandlungstheorie sehr schlecht. Man vergleiche auch: W. W. Cochrane und C. S. Bell, The Economics of Consumption, New Y o r k Toronto-London 1956, S. 143 f.

Einleitung

19

Bis heute ist noch kein Modell entwickelt worden, welches alle aufgeführten und als notwendig erachteten Modifikationen enthält. Ein derart extremer Anspruch auf Vollständigkeit w i r d auch mit der hier vorliegenden Untersuchung nicht erhoben. W i r sehen unsere Aufgabe i n erster Linie darin, Möglichkeiten aufzuzeigen, wie man diesem letzten Ziel der Theorie etwas näher kommen kann. 2. Der Gang der Untersuchung Verfolgt man die genannte Problemstellung mit der Absicht, zunächst die einfacheren und anschließend die komplizierteren Entscheidungssituationen zu erörtern, so ergibt sich fast von selbst der folgende Gang der Untersuchung: Zuerst w i r d ein Modell des Haushalts eingeführt, dessen Konzeption die Gesamtheit der erforderlichen Dispositionen, deren Zeitorientierung und die jeweiligen Entscheidungssituationen berücksichtigt. Aus dem Modell selbst, das i m wesentlichen i m Laufe der Arbeit beibehalten wird, erfolgt anschließend eine Definition der wichtigsten Grundbegriffe, soweit man diese i m Rahmen einer modellimmanenten Betrachtungsweise m i t den entsprechenden Größen der Realität identifizieren kann. Dies w i r d i m ersten Kapitel geschehen, das m i t einem Vergleich zwischen den Planungsaufgaben eines Haushalts und einer Unternehmung endet. I m zweiten Kapitel w i r d zunächst die einfachste Version des Modells behandelt; hierbei werden vollkommene Information und vollkommene Entscheidungstechnik vorausgesetzt. Das Zeitmoment der Dispositionen w i r d hierbei so behandelt wie es i n der statischen Theorie des Haushalts üblich ist. Die Zeit w i r d als solche nicht ignoriert, aber die Irreversibilität des Zeitablaufs und die intertemporalen Abhängigkeiten bleiben verborgen. I m dritten Kapitel w i r d die sequentielle Eigenart des Problems berücksichtigt, um verschiedene dynamische Aspekte zu analysieren. I n diesem und i n den folgenden Kapiteln werden gelegentlich auch spezielle Funktionen untersucht 8 . Die Annahme vollkommener Information w i r d i m vierten Kapitel aufgegeben. Die damit gegebene Version unseres Modells entspricht der Entscheidungssituation unter Unsicherheit. Auch hier w i r d die Erörterung gelegentlich auf bestimmte Klassen von Funktionen beschränkt, sobald sich die allgemeine Be8 Z u den numerischen Analysen ist folgendes zu sagen: Es w i r d an einzelnen Stellen dieser A r b e i t darauf hingewiesen werden, daß die betreffenden Ergebnisse auf einer elektronischen Rechenanlage ermittelt wurden. I n diesen Fällen w u r d e n die betreffenden Aufgaben von m i r programmiert u n d i m Deutschen Rechenzentrum i n Darmstadt auf einer I B M 7090 durchgerechnet. Es ist m i r eine angenehme Pflicht, an dieser Stelle meinen Dank auch dem der Universität F r a n k f u r t / M a i n angegliederten Zentralen Recheninstit u t für die Finanzierung dieser Programmläufe auszusprechen.

2*

20

Einleitung

handlung als zu kompliziert oder wenig aussagefähig erweist. I m fünften Kapitel w i r d die Annahme der vollkommenen Entscheidungstechnik aufgegeben zugunsten einer Version des Modells, die man wohl als realistisch bezeichnen darf. Die verfügbare Entscheidungstechnik des Haushalts w i r d nämlich durch dessen mögliche Einstellungen und Fähigkeiten, gewisse Aufgaben zu lösen, direkt eingeführt. Hierbei w i r d zunächst eine allgemeine Betrachtung über derartige Entscheidungssituationen angestellt, die anschließend auf den Fall der w i r t schaftlichen Dispositionen übertragen wird. Einzelne Beispiele einfacher Programmausschnitte von gegebenen Einstellungen werden hiernach auf ihre Konsequenzen untersucht. Das sechste und letzte Kapitel ist ein Rückblick auf die Frage der Anwendungsmöglichkeiten der einzelnen Versionen unseres Modells.

Erstes

Kapitel

Grundlegende Betrachtung A. Die Dispositionen des Haushalts 1. Das

Untersuchungsobjekt

Bevor w i r m i t der Beschreibung des Entscheidungsmodells eines Haushalts beginnen, soll ein Leitbild von dem wirtschaftlichen Geschehen skizziert werden, das für die nachfolgende Konzeption als Vorlage dienen kann. W i r knüpfen hierbei an die i n der Mikrotheorie übliche Auffassung an, indem w i r unterstellen, daß sich die wirtschaftlichen Vorgänge i n oder zwischen Wirtschaftseinheiten vollziehen, die zugleich auch die Entscheidungseinheiten hierfür sind 1 . Jede Einheit verfügt über Bestände an wirtschaftlichen Gütern, und zwar über den realen Besitz dieser Güter, wobei der Ausdruck Besitz i n einem dispositiven und nicht i m juristischen Sinne gemeint ist. A l l e wirtschaftlichen Vorgänge lösen Bestandsveränderungen aus. Der Konsum beispielsweise führt zu einer einseitigen Verringerung der Vorräte. Die Produktion und die Transaktionen auf dem M a r k t — man kann bei den letzteren stets an einen Tausch denken — haben bei den als Produktionsfaktor eingesetzten bzw. zum Tausch angebotenen Güter eine Abnahme zur Folge und eine Zunahme bei den hergestellten bzw. eingetauschten Gütern. Der Begriff des wirtschaftlichen Gutes w i r d hierbei i n einem weitgehenden Sinne verstanden, der es uns gestattet, neben den realen Gütern auch finanzielle A k t i v a und Passiva darin einzubeziehen. I n diesem Sinne sind beispielsweise Verbindlichkeiten Vorräte m i t einem negativen Preis, und es können auf diese Weise alle Finanzierungsvorgänge als Markttransaktionen erfaßt werden 2 . 1 Vgl. hierzu Heinz Sauermann, Einführung i n die Volkswirtschaftslehre, Band I, 2. Aufl., Wiesbaden 1965, S. 43. W i l l a r d W. Coochrane u n d Carolyn Shaw Bell, a.a.O., S. 13. 2 Dieser weitgefaßte „Katalog" der wirtschaftlichen Güter w i e auch die i m folgenden beschriebenen A k t i v i t ä t e n des Haushalts sind i n dieser Form w o h l erstmals von Makower u n d Marschak (1938) dargelegt worden. M a n vgl. H. Makower and J. Marschak , „Assets, Prices and Monetary Theory" i n : Economica, N. S., Vol. 5 (1938), S. 261—288. J. Marschak, „Money and the Theory of Assets" i n : Econometrica, V o l . 6 (1938), S. 311—325.

22

1. Kapitel: Grundlegende Betrachtung

Es gibt nun mit dem Haushalt und der Unternehmung zwei Arten von Wirtschaftseinheiten, die sich grundsätzlich i m Ursprung ihrer (ökonomischen) Zielsetzung unterscheiden, und zwar muß man i m Haushalt damit rechnen, originäre Ziele vorzufinden, während die Zielsetzung der Unternehmungen derivativ ist, also aus dem Zweck des Bestehens abgeleitet werden kann 3 . Würden w i r stattdessen die Beschäftigung der Wirtschaftseinheiten zur Unterscheidung heranziehen, so müßten w i r bedenken, daß zwischen den beiden Arten eher graduelle als prinzipielle Unterschiede bestehen. Selbstverständlich ist die Produktion i n erster Linie Sache der Unternehmungen, und es konsumieren die Haushalte, was von den Unternehmungen hergestellt wird. Aber man sollte nicht unberücksichtigt lassen, daß die Haushalte eine — wenn auch häufig nur interne, also nicht für den Markt bestimmte — Produktion betreiben, und daß — wie w i r i m 4. Abschnitt dieses Kapitels erläutern werden — auch die Unternehmungen ihr Konsumproblem haben, das sich dort hinter den Fragen der optimalen Gewinnausschüttung verbirgt 4 . Unser Untersuchungsobjekt ist also eine Wirtschaftseinheit, die als Institution besonders häufig i n der Form eines Privathaushaltes vorkommt. Aber auch die vielfältigen Formen der öffentlichen Haushalte gehören hierzu, wobei w i r uns nicht mit der Frage beschäftigen wollen, ob deren Zielsetzung tatsächlich originär ist. Der von uns betrachtete Haushalt kann sich zu festen, d. h. von seiner Seite aus nicht beeinflußbaren Tauschrelationen (Preisen) am Markt beteiligen. Diese Annahme dürfte i m allgemeinen zumindest für den typischen Privathaushalt erfüllt sein, der — wie man i n der Preistheorie zu sagen pflegt — nur als Mengenanpasser auftreten kann. Die weiteren Handlungsmöglichkeiten haben w i r bereits angedeutet. Der Haushalt muß laufend über seine Vermögenshaltung und die 3 Diese Unterscheidung findet sich auch bei Sauermann, der die Haushalte als ökonomisch-heteronome und die Unternehmungen als ökonomischautonome Wirtschaftseinheiten i m Hinblick auf die Determination ihrer Existenz bezeichnet. M a n vgl. H. Sauermann, Einführung i n die V o l k s w i r t schaftslehre, Band I, a.a.O., S. 43/44. 4 Wenn die haushaltsinterne Fertigung auch nicht auf den M a r k t kommt, so w i r d sie dort dennoch i n F o r m einer verringerten Nachfrage wirksam. Über die der Erzeugung zukommende „Pufferwirkung" vergleiche man auch: Erich Egner, Der Haushalt, B e r l i n 1952, S. 126. Der Haushalt ist Konsument und — wenn auch nur i n gewissen Grenzen — Produzent i n einer Person. Die Verteilung seiner A k t i v i t ä t auf diese Bereiche wurde i m Rahmen einer statischen Analyse von Graaff und Clower untersucht. M a n vgl. hierzu J. de V. Graaff, „Income Effects and the Theory of the F i r m " i n : The Rev. of Ec. Stud., Vol. 18 (1950—51), S. 79—86. Robert W. Clower, „ M r . Graaff's Producer-Consumer Theory: A Restatement and Correction" i n : Rev. of Ec. Stud., Vol. 20 (1952—53), S. 84—85. Gary S. Becker, „ A Theory of the Allocation of Time" i n : Ec. Jl., Vol. 75 (1965), S. 493—517, insbes. S. 516.

Α. Die Dispositionen des Haushalts

23

eigene Produktion oder, allgemeiner zusammengefaßt, über die Transformation seiner Bestände entscheiden; wobei w i r schließlich zusammen m i t den (Markt-) Transaktionen und dem Konsum auf drei Arten wirtschaftlicher Vorgänge kommen, die grundsätzlich bei jeder W i r t schaftseinheit auftreten können 5 . W i r legen das Hauptinteresse bei der Betrachtung des Haushalts auf das Problem der Bestimmung des Konsums. Das soll uns jedoch nicht dazu verleiten, zu diesem Zweck die Fiktion eines Repräsentativhaushalts zum Untersuchungsobjekt zu wählen 6 , dessen Dispositionen geeignet sein könnten, dem Gesamtergebnis oder was auf dasselbe hinausläuft, den durchschnittlichen Werten von Angebot und Nachfrage zu entsprechen. Wenn immer i m folgenden speziellere Voraussetzungen hinsichtlich unseres Untersuchungsobjekts eingeführt werden, so sollen diese stets für einen (real-) typischen Haushalt gelten 7 . Daß darin Unterschiede bestehen, kann man sich leicht vorstellen. Der typische Haushalt beschränkt beispielsweise seinen Verbrauch auf wenige Güterarten — gemessen an der großen Zahl der angebotenen Güter —, während der repräsentative Haushalt sozusagen von allem etwas konsumiert was auf dem Markt ist. Auch die Anzahl und das Alter der Mitglieder eines Haushalts führen zu unterschiedlichen Betrachtungen. Der typische Haushalt hat einen Lebenszyklus aufzuweisen, also eine charakteristische Entwicklung seines Mitgliederbestandes. U m eine möglichst einfache Tatsache festzuhalten, jedes Jahr werden die Mitglieder u m ein Jahr älter. Soll dagegen eine i m Altersaufbau stationäre Gesamtheit von Familien repräsentiert werden, so müssen die Mitglieder des Repräsentativhaushalts offensichtlich ein gleichbleibendes Alter haben. Wohin dies bei einer wachsenden oder schrumpfenden Bevölkerungsentwicklung führt, ist leicht zu erraten. Wie man aus der allgemeinen Theorie

s Die Beschreibung der wirtschaftlichen Vorgänge an den Veränderungen des dispositiven Besitzes führt folglich dazu, auch die seitens der Mitglieder des Haushalts verfügbaren Zeiten als Güter eigener A r t der Ausstattung zuzurechnen. Für diese Zeit gibt es ebenfalls drei Verwendungen: 1. der Verkauf derselben zur Erzielung von kontraktbestimmten Einkommen, 2. der Einsatz als Produktionsfaktor bei der internen Transformation und 3. der Verbrauch als Freizeit meist i n Verbindung m i t dem Konsum anderer Güter. 6 Hier sind die Definitionen des „ideal consumer" (Hicks) oder des „representative individual" (Ragnar Frisch) zu nennen, die eine Analogie zu der von A. Marshall stammenden „representative firm" erkennen lassen. Man vgl. J. R. Hicks , A Revision of Demand Theory, Oxford 1956, S. 16 ff. R. Frisch , „ A Complete Scheme for Computing A l l Direct and Cross Demand Elasticities i n a Model w i t h Many Sectors" in: Econometrica, Vol. 27 (1959), S. 177—196; insbes. S. 177. 7 W i r unterstellen, daß ein derartiger Haushalt typische Merkmale hat. Das dürfte nicht ein Idealtyp i m Sinne von Eucken sein, sondern vielmehr eine Institution, die m i t diesen Merkmalen häufig i n der Realität anzutreffen ist. M a n vgl. hierzu: Erich Egner, Der Haushalt, Berlin 1952, S. 49.

24

1. Kapitel: Grundlegende Betrachtung

weiß, ist schließlich die Frage des lebenszeitlichen Verzehrs des für den Konsum bestimmten Vermögens maßgebend für die Entscheidungen des Haushalts. Wenn der repräsentative Haushalt jedoch eine Altersentwicklung hat, die m i t keinem lebenden Haushalt übereinstimmt, so ist bei diesem die Rationierung des für den Rest des Lebens vorhandenen Vermögens unter völlig anderen und reichlich fiktiveren Gesichtspunkten zu sehen als bei einem typischen Haushalt. Unser L e i t b i l d würde unvollständig und manche Handlung unerklärbar bleiben, wenn w i r nicht neben dem wirtschaftlichen Geschehen auch die übrigen Vorgänge — und sei es nur i n Form erklärender Größen einbeziehen würden 8 . Aus der Sicht eines Haushalts muß also beispielsweise der Gesundheitszustand seiner Mitglieder, der Besuch der Verwandten, die Witterung am Wohnort, kurzum alles was irgendwie aus der Beschreibung der „ U m w e l t " für die Dispositionen von Bedeutung ist, aufgenommen werden. Die Abhängigkeit der Entscheidungen des einzelnen Haushalts hiervon kann nicht bestritten werden. Wie w i r später sehen werden, ist die Frage, ob man diese Größen deshalb auch explizit i n das Modell aufnehmen muß, unter anderem davon abhängig, welche Informationen der Haushalt hat. W i r erinnern i n diesem Zusammenhang an das bereits angedeutete Postulat des rationalen Verhaltens. Damit w i r d festgelegt, daß die Entscheidungen der Haushalte erklärbar sind. Die A r t ihrer Erklärung stützt sich auf die Vorstellung, daß alle Dispositionen gewollt sind und damit den ebensogut für möglich erachteten vorgezogen wurden. Die Präferenz des Haushalts ist abhängig von den oben erwähnten Zustandsgrößen. Da nun der Haushalt bei unvollkommenen Informationen über diese Zustandsgrößen keinen festen Plan, sondern höchstens eine feste Politik aufstellen kann, womit eine vollständige Beschreibung der Dispositionen gemeint ist, die stattfinden sollen, wenn bestimmte Zustände eintreten, müssen i n diesem Falle auch die maßgebenden Zustandsparameter explizit berücksichtigt werden 9 .

s M a n vgl. hierzu auch: Kenneth E. Boulding, A Reconstruction of Economics, New York, London 1950, insbes. S. 144—147. 9

Die durchschnittlichen Einflüsse einiger Zustandsparameter sind durch die empirischen Untersuchungen, die vorwiegend anhand von Haushaltsbudgets geführt wurden, schon seit langem bekannt. M a n vgl. beispielsweise: A. Henderson , „The Cost of a F a m i l y " , i n : Rev. of Ec. Stud., Vol. 17 (1949/50), S. 127—148. H. S. Houthakker, „The Econometrics of Family Budgets", i n : Jl. of Roy. Stat. Soc., Series A, Vol. 115 (1952), S. 1—21. S. J. Prais, „The Estimation of Equivalent A d u l t Scales from Family B u d gets", i n : Ec. Jl., Vol. 63 (1953), S. 791—810. S. J. Prais and H. S. Houthakker , The Analysis of F a m i l y Budgets, Cambridge 1955.

Α. Die Dispositionen des Haushalts

2. Ein Haushaltsmodell mit Entscheidungen auf einander jolg enden Zeitabschnitten

25

in

W i r beschreiben nun die Entscheidungen des Haushalts i n einem Modell. U m das Problem möglichst einfach zu behandeln, werden w i r nach bekanntem Vorbild den Zeitablauf i n diskreter Form berücksichtigen. I n unserem „Periodenmodell" sei die Lebenszeit des Haushalts auf maximal Τ aufeinanderfolgende Zeitintervalle gleicher Länge (Perioden) begrenzt. Als Zeitindex wollen w i r die Variable t einführen, die nach unserer Voraussetzung nur die Werte 0, 1, 2, . . . , Τ annehmen kann. Ferner wollen w i r einen Güterartenindex i, (i = 1, 2, . . . , n), einführen, wobei jede Zahl i genau einer der η möglichen Güterarten zugeordnet ist 1 0 . Wie klein die Perioden sind und mit welcher Feinheit die Güter i n Güterarten unterteilt sind, werden w i r noch erörtern. Zunächst ist es vielleicht angebracht darauf hinzuweisen, daß damit i n unserer Konzeption zwar eine nur höchstens abzählbare Anzahl von Perioden bzw. Güterarten impliziert wird, daß w i r jedoch praktisch keinen nennenswerten Verzicht auf Allgemeinheit des Modells darin sehen. I m folgenden werden w i r Variablen und Funktionen einführen, die das Ergebnis der Dispositionen eines Haushalts beschreiben. Es sei z(i, t) die Bestandsmenge des Gutes i, die der betrachtete Haushalt am Ende der Periode t besitzt. W i r gehen davon aus, daß innerhalb einer Periode zuerst, und zwar am Anfang, die Markttransaktionen stattfinden. Anschließend werden die für den Konsum der laufenden Periode vorgesehenen Güter abgesondert. Die restlichen Vorräte werden als Einsatz der Transformation betrachtet, deren Ergebnis am Ende der Periode entsteht. Es sei y(i, t) die an Gut i i n der Periode t eingetauschte Transaktionsmenge. W i r können stets von einem Kauf oder gleichbedeutend von einer wirksamen Nachfrage sprechen, falls y(i y t) > 0 ist und von einem Verkauf bzw. einem wirksamen Angebot, falls y(i, t) 0), auszuwählen und neue Nutzenindices Ν = N (U (Χ) ) zu definieren. Das ist ebenso w i l l k ü r l i c h wie die Wahl der ursprünglichen Funktion, solange nicht das neue Maß Ν objektiv i n Zahlen ausgedrückt werden kann. W i r nehmen eine weitere Überlegung vorweg: Der maximal erzielbare Nutzenindex — sagen w i r U* — ist eine Funktion des zu Beginn der Planung verfügbaren Vermögens (sagen wir) ϋ und aller Preise P. Diesen Zusammenhang beschreibt die Maximumfunktion (1.17)

U* = U* (v, P)= m a x U (X) ,

ΧζΧ wobei zu beachten ist, daß die Menge aller realisierbaren Konsumpfade 3£ eine Funktion der angedeuteten Parameter ist. Grundsätzlich kann jeder Parameter, von dem U* i n eindeutiger Weise abhängt, zur Definition einer Maßeinheit herangezogen werden. Das zeigt der folgende „Kunstgriff" sehr deutlich. Von den oben zur Wahl stehenden Parametern bietet sich ν für diesen Zweck an, denn aufgrund der Unersättlichkeit n i m m t 17* monoton m i t ν zu. Eine eindeutige Abhängigkeit zwischen dem Nutzenindex und bestimmten Preisen braucht nicht ohne weiteres gegeben zu sein. U* ist eine streng monoton zunehmende Funktion von ν und kann deshalb eindeutig nach ν invertiert werden. Bezeichnet man die inverse Funktion nun gerade m i t N, so können w i r schreiben: (1.18)

v = N(U*,P)

29)

Das ist bis dahin nur eine Umformung. W i r ersetzen nun U* durch U (X) und führen m i t (1.19)

Ν = N (U (Χ), Ρ)

29 F ü r die obige M a x i m u m f u n k t i o n wurde von Houthakker der Ausdruck „indirect u t i l i t y function" eingeführt. M a n vgl. H. S. Houthakker, „Compensated Changes i n Quantities and Qualities Consumed" i n : Rev. of Ec. Stud., Vol. 19 (1951—52), S. 157. Oers., „ A d d i t i v e Preferences" i n : Econometrica, Vol. 28 (1960), S. 244.

40

1. Kapitel: Grundlegende Betrachtung

eine „nominale" Nutzenfunktion ein; die Benennung soll andeuten, daß Ν i n Geldeinheiten ausgedrückt wird. Diese Normierung hat folgende Vorteile: 1. Alle Nutzenfunktionen, die sich nur durch eine monotone Transformation voneinander unterscheiden, haben die gleiche nominale Nutzenfunktion. Der Beweis hierfür ergibt sich aus dem nächsten Punkt. 2. Zu jeder Nutzenfunktion U gibt es genau eine nominale Nutzenfunktion N, denn die Inversion der Maximumfunktion ist nach Voraussetzung eindeutig. 3. Die Nutzenfunktion ist nach oben beschränkt, und zwar gilt N^v

.

Das ergibt sich unmittelbar aus (1.17)—(1.19) wegen 3 N/d U > 0 und U* ^ 17 (X). 4. Der Wert der nominalen Nutzenfunktion kann i n der Form N (U (Χ), P) =

λ-ν

ausgedrückt werden, wobei der Parameter λ, (λ 0 entspricht einer effektiven Nachfrage; bei einem effektiven Angebot gilt y (i, t) < 0). Ersetzt man die Variablen y (i, t) in (2.3) aufgrund der Gleichung (2.7), so ergeben sich hieraus die Beziehungen (2.8)

Ρ (t) - [Z (t - 1) - X (t) - R (t)] = 0

t = 1, 2, . . . , Τ ,

die nun die Stelle der Nebenbedingungen (2.2) und (2.3) i n unserer Aufgabe einnehmen. Den vorliegenden Ansatz findet man i n speziellerer Form i n zahlreichen Untersuchungen über die Dispositionen des Haushalts. A m Anfang stehen wohl die Arbeiten von Böhm-Bawerk

54

2. K a p i t e l : Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

und Irving Fisher über die Bestimmung des Zinssatzes aus der Zeitpräferenz 2 . Die mehrperiodige Nutzenfunktion erweist sich als geeignet für eine Theorie des Sparens — man vgl. die Arbeiten von Boulding 3 — und damit als ein Instrument zur Determination der lebenszeitlichen Konsumdispositionen wie aus den neueren Arbeiten von Friedman 4 und Modigliani und Brumberg 5 hervorgeht. Bereits von Hicks 6 w i r d die Nutzenfunktion über den Planungszeitraum — i n Analogie zur einperiodigen Analyse — i n Abhängigkeit vom Konsumpfad untersucht. Er zeigt, daß das seiner Auffassung nach dynamische Problem auf ein statisches zurückgeführt werden kann. Weitere Darstellungen finden sich beispielsweise bei Tintner 7, Henn 8 und Henderson und Quandt 9.

B. Die Bestimmung der optimalen Transformation 1. Die Zielsetzung

der Transformation

bei gegebenem

Konsum

Aus der Aufgabestellung sieht man, daß die zu maximierende Funktion — vgl. (2.1) — nur von dem Konsumpfad und nicht von den Einsatz- und Ausstoßmengen der Transformation abhängt. Der Einfluß dieser Variablen auf die Zielfunktion, der formal durch die Gleichungen (2.8) und (2.2) gegeben ist, besteht i m wesentlichen darin, daß das erzielbare Vermögen den möglichen Konsum limitiert. Durch welche Endbestände das Vermögen jeweils repräsentiert wird, ist unbedeutend, solange — wie i n unserem Modell — ein M a r k t vorhanden ist, m i t dessen Hilfe man jede Bestandskombination i n eine andere Bestandskombination m i t gleichem Vermögenswert umtauschen kann. 2 Vgl. I r v i n g Fisher, The Rate of Interest, New Y o r k 1907, insbes. Kap. V I I , V I I I und X I . Ders., Die Zinstheorie, Jena 1932. 3 Vgl. Kenneth E. Boulding, Economic Analysis, 3. Aufl., New Y o r k 1955, S. 734 ff. 4 M i l t o n Friedman, A Theory of the Consumption Function, Princeton 1957, insbes. Chapt. I I . 5 Franco Modigliani u n d Richard Brumberg, „ U t i l i t y Analysis and the Consumption Function" i n : K . K . K u r i h a r a (ed.), Post Keynesian Economics, New Brunswick 1954, S. 388—436. 6 J. R. Hicks, Value and Capital, 2. Aufl., Oxford 1946. 7 G. Tintner, „The Maximization of U t i l i t y over Time", i n : Econometrica, Vol. 6 (1938), S. 154—158. Ders., „ E i n Beitrag zur nicht-statischen Werttheorie" i n : ZfN, Bd. 14, Heft 2—4, 1954, S. 358—365. β Rudolf Henn, Über dynamische Wirtschaftsmodelle, Stuttgart 1957, insbes. S. 87 ff. 0 James M. Henderson u n d Richard E. Quandt, Microeconomic Theory, New York, Toronto, London 1958; insbes. S. 225 ff.

Β . Die Bestimmung der optimalen Transformation

55

Wegen der Monotonie der Transformationsfunktionen muß es möglich sein, mit einem geeignet vergrößertem Einsatz entsprechend größere Endbestände und damit ein größeres Vermögen zu erzielen. I n folge der Monotonie der Nutzenfunktion kann ein größeres Vermögen sofort i n der darauffolgenden Periode oder nach weiteren Transformationen auch später konsumiert werden und zwar so, daß mit einer Erhöhung des Vermögens stets ein vergleichsweise höherer Nutzenindex erreicht werden kann. Aus diesem Grund ergibt sich für die Transformation als selbständige Teilaufgabe das Ziel, jeweils gerade den Plan zu realisieren, der bei gegebenem Einsatzkapital (ν (t) — c (t) ) das Anfangsvermögen der nächsten Periode υ (t + 1) maximiert. Dies kann für den Fall, daß die Transformationsfunktion und die Nutzenfunktion i n der approximativen Form gelten, wie folgt nachgewiesen werden: Gegeben sei eine zulässige Lösung X°, Y°, Z°, die zu der Vermögensentwicklung υ (1), v° (2), . . . , v° (t), . . . , v° (Τ), ν (Τ + 1) führe. Wenn es gelingt, anstelle des Transformationsplans [R° (t), Z° (t)], der zu dem Vermögenswert v° (t) führt, einen Plan [R 1 (t), Z 1 (t)] mit υ1 (t) > v° (t) zu finden, so kann man stets eine bessere Gesamtlösung konstruieren. Man hat erstens die Möglichkeit, die Vermögensdifferenz υ1 (t) — v° (t) i n der Periode t + 1 zusätzlich zu konsumieren. Das führt auf ein höheres Nutzenniveau, denn nach Voraussetzung gibt es einen derartigen Konsumpfad. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Einsatzmengen der Transformation i n der Periode t so zu verringern, daß der Wert der Ausbringung wieder den alten Wert v° (t) erreicht und zugleich den eingesparten Kapitaleinsatz i n der Periode t selbst zur Erhöhung der Konsumausgaben zu verbrauchen. I n unserem diskreten Modell ist natürlich der Fall denkbar, daß auch ein geringfügig schlechterer Transformationsplan optimal ist, einfach weil die Differenz gegenüber dem maximal erreichbaren Vermögenswert zu klein ist, um einen besseren Konsumpfad zu realisieren. Diesem Grenzfall dürfte jedoch wenig Bedeutung zukommen, denn man kann sich kaum einen nennenswerten zusätzlichen Vermögensbetrag denken, für den der Haushalt keine nutzbringende Verwendung finden könnte. 2. Die Maximierung

des Vermögens

W i r konnten aus dem Gesamtproblem die folgende Teilaufgabe mit selbständiger Zielsetzung herauslösen. Maximiere i n den Perioden t = 1, 2, . . . , Τ - 1 den Wert von (2.9)

υ (t + 1) = Ρ (t + 1) · Ζ (t)

mit Rücksicht auf die Variablen R (t) und Ζ (t) unter den Nebenbedingungen

56

2. K a p i t e l : Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

(2.2)

F t[R(t),Z(t)]£

0

und (2.10)

P(t)-R (t) =v(t)-c

(t)

Die Nebenbedingung (2.10) ergibt sich aus (2.8), wobei das Anfangsvermögen der Periode t und der Konsum dieser Periode als gegebene Größen aufzufassen sind. I n der Schlußperiode und wahlweise auch von Periode 2 an, kann die Aufgabe darin gesehen werden, den linken Ausdruck von (2.10) zu minimieren unter den Nebenbedingungen (2.2) und (2.9), wobei dann ν (t + 1) eine gegebene Größe ist. Es ist nicht uninteressant, die m i t den Gleichungen (2.8)—(2.10) beschriebene Aufgabe mit der Bestimmung des optimalen Produktionsplanes einer Unternehmung zu vergleichen. Bis auf die Zusatzbedingung (2.10) stimmt die formale Darstellung der Aufgabe mit der üblichen Konzeption der statischen Mikrotheorie der Unternehmung überein. Ein wesentlicher Unterschied ist jedoch, daß i n unserem Modell nicht nur die (sagen wir) güterwirtschaftlichen Produktionsvorgänge, sondern darüber hinaus auch die finanziellen Transformationen einbezogen werden, wodurch sich schließlich auch die Existenz der Nebenbedingung (2.10) erklärt. Das Finanzierungsproblem w i r d i n der statischen Produktionstheorie meist unberücksichtigt gelassen. Warum sollte man es auch betrachten, wenn Ausgaben und Einnahmen stets i m gleichen Augenblick erfolgen und die Produktion, der Absatz usw. mit unendlicher Geschwindigkeit verläuft? Es ist zu beachten, daß das verfügbare Eigenkapital — das ist der Wert der rechten Seite in (2.10) — nicht einfach die Einkaufsmöglichkeiten von Produktionsfaktoren i m engeren Sinne begrenzt. Würde man die dort auf der linken Seite als Produkt einer Einsatzmenge mit einem negativen Preis entstehenden Termini mit dem umgekehrten Vorzeichen auf die rechte Seite bringen — es sind dies die durch Fremdfinanzierung beschafften M i t t e l —, so würde die i n (2.10) berücksichtigte Finanzierung durch Kredite noch deutlicher hervortreten. Worin zeigen sich die zur Auswahl stehenden Möglichkeiten der Kreditaufnahme? Diese sind i n den Transformationsfunktionen (2.2) enthalten. 3. Die

Substitutionsbedingungen

W i r wollen nunmehr die Bedingungen einer optimalen Lösung unserer Aufgabe herleiten. Zunächst ist uns daran gelegen, diese Bedingungen möglichst voraussetzungsfrei, d. h. ohne besondere Annahmen über die Gestalt der zu berücksichtigenden Funktionen, darzustellen. Zu

Β. Die Bestimmung der optimalen Transformation

57

diesem Zweck wollen w i r anstelle von marginalen Substitutionsraten — auf die w i r später noch zurückgreifen werden — zuerst endliche Differenzen einführen. Es sei R° (t) = (r° (1, t), . . . , r° (n, t) ) ein Einsatzvektor. Δ r (i, t) sei die Differenz r (i, t) - r° (z, t) und Δ R (t) = R (t) - R° (t) = (Δ r (1, t), . . . , Δ r (n, t)) sei der Differenzvektor. I m folgenden wollen w i r auch den speziellen Differenzvektor Δ r (z, t) einführen, dessen Komponenten gleich 0 sind bis auf die z-te Komponente, die gleich Δ r (z, t) ist. Bildet —ν man beispielsweise den Vektor R° (t) + Δ r (z, t) + Δ r (j, t), so ändert sich R° (t) nur i n den Komponenten ζ und j. Die hier eingeführte Schreibweise werden w i r auch bei den übrigen Variablen entsprechend anwenden. W i r gehen davon aus, daß mit [R° (t), Z° (t)] eine zulässige Lösung gegeben ist, die ein Endvermögen von (t) erbringt. Eine Verbesserung dieser Lösung kann zunächst durch die Substitution zweier Einsatzfaktoren versucht werden. Wenn die gleiche Ausbringung mit einer i m Vergleich zur vorläufigen Lösung billigeren Kombination realisiert werden kann, so kann das eingesparte Kapital aufgrund der Monotonie der Transformationsfunktion zur Erzielung zusätzlicher Endbestände verwendet werden, womit also ein höheres Endvermögen entsteht. Bei einer optimalen Lösung darf es somit diese Möglichkeit nicht geben, und w i r erhalten deshalb für alle (z, j) die folgende Bedingung: Die Lösung [R° (t), Z° (t)] ist nur dann optimal, wenn für alle möglichen Substitutionen für die F t (RO (t) + Δ r (i, t)+2r

(j, t), ZO (t)) ^ 0

gilt, die Beziehung ρ (i, t) · Δ r (i, t) + ρ (j, ΐ)-Δτ

(j, t) > 0

erfüllt ist. Diese Ungleichung muß für positive und für negative Δ r (i, t) gleichermaßen gelten, und zwar stets dann, wenn die Änderung i n der Einsatzmenge i durch eine Änderung der Einsatzmenge j kompensiert werden kann. Die obige Beziehung kann wie folgt umgeformt werden:

(2.11)

Ar(j,t) Δ r (i, t)

ρ (j, t)

Δ r (j, t) ^ Δ r (i, t) -

ρ (i, t) ρ (j, t)

im Falle Zi r (i, t) > 0 , i m Falle Δ r (i, t) < 0 .

Eine anschauliche Darstellung dieser Optimalbedingungen verschaffen die alternativen Figuren der Abbildung 4. Die dort i n allen Fällen gleichförmige Gerade ist die Abbildung der Ausgabengleichung:

58

2. K a p i t e l : Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen Ρ (J, t) · [r α t) -

(j, t)] + ρ (i, t ) . [r (i, t) - ro (i, t)] = 0 ,

die h ä u f i g auch B i l a n z g e r a d e g e n a n n t w i r d . r

(jtt)

r°(|,t) r(i,t)

r°(i.t)

r°(i,t)

(a) r(j,t)

r°(i,t)

r(j,tV

(c)

r(i,t)

r(i,t)

(b)

(d)

r°(i,t)

r(i,t)

Abb. 4. Substitutionsbedingungen bei alternativen Isoquantenformen

Während i m Falle (α) durch die Zeichnung angedeutet wird, daß die Isoquante Qi die Ausgaben gerade i m Punkte Pi tangiert, weicht i n den übrigen Fällen das Steigungsmaß der Isoquanten von dem der Ausgabengerade ab. Dennoch sind i n allen Fällen — soweit man sieht — die Bedingungen (2.11) erfüllt. Nur i m Falle (α) gibt es sowohl positive als auch negative Werte von Δ r (i, t) für die eine Substitution durch das Gut j möglich ist. Hierbei sind die Tangenten an Qi rechts (links) von Pi flacher (steiler) als die Ausgabengerade, wie dies auch aus (2.11) abzulesen ist. I m Falle (b), der eine limitationale Transformation charakterisieren soll, gibt es nur die Möglichkeit, eine größere Menge als r° (i, t) einzusetzen, um die gleiche Ausbringung zu erhalten. Doch wegen Δ r (j, t) = 0 ist auch der Quotient Δ r (j, ΐ)/Δ r (i, t) gleich 0 und somit größer als der negative Quotient der beiden Preise. Eine Ungleichheit zwischen Substitutionsrate und Preisverhältnis ist auch i n den Fällen (c) und (d) zu sehen, die jeweils Randlösungen darstellen. I m Falle (c) ist der Anstieg i n P3 flacher und i m Falle (d) in P4 steiler als der Anstieg der Bilanzgerade. Man sieht aus (2.11), daß die für den negativen Anstieg maßgeblichen Bedingungen erfüllt sind. W i r kommen nun zu einer weiteren Bedingung. Eine optimale Lösung kann nicht gegeben sein, wenn durch eine Substitution zwischen

Β . Die Bestimmung der optimalen Transformation

zwei Ausbringungsarten cet. werden kann. Dies führt uns Die zulässige Lösung [R° (t), möglichen Substitutionen für

59

par. ein höheres Endvermögen realisiert auf eine zweite A r t von Bedingungen: Z° (t)] ist nur dann optimal, wenn für alle die

F t (RO (t), zo (t) + A z (i, t) + A z (j, t)) ^ 0 gilt, die Beziehung p (i, t + 1) · A z (i, t) + p (j, t + 1) - A z (j,t) ^ 0

erfüllt ist. Daß auch diese Ungleichungen für alle Kombinationen (i, j), (i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n), notwendige Bedingungen darstellen, ist offensichtlich. Wenn der Wert der Ausbringungsänderungen größer als 0 wäre, so könnte durch die damit angedeutete Substitution unmittelbar eine bessere Lösung erreicht werden. Je nachdem ob A ζ (i, t) größer oder kleiner 0 ist, kann die obige Beziehung wie folgt umgeformt werden:

(2.12)

i m Falle J ζ (i, t) > 0 ,

Az(i,t)

p ( j , t + l)

A z (j, t) ^

p (i, t + 1) i m Falle Zi z (i, t) < 0 . p (j, t + 1)

A z (i, t) -

Als dritte Möglichkeit der Substitution zwischen zwei Variablen wollen w i r den folgenden Fall erörtern. Gegeben sei die Lösung [R° (t), Z° (t)] m i t Ρ (t) · R° (t) = ν (t), i n der also das verfügbare Vermögen voll eingesetzt ist. Es sei nun möglich, mit der zusätzlichen positiven Einsatzmenge A r (i, t) die gleichfalls positive Differenz Δ z (j, t) zu erzielen. Der Plan [R° (t) + A r (i, t), Z° (t) + A z (j, t)] kann jedoch nicht realisiert werden, da nunmehr ρ (i, t) · Δ r (i, t) Geldeinheiten am hierzu notwendigen Vermögen fehlen. W i r müssen deshalb zusammen m i t dieser Änderung eine „ausgabenausgleichende" Änderung vornehmen. Die letztere können w i r wie folgt festlegen. Es sei A R (t) eine Änderung der Einsatzmengen des Plans [R° (t) + A r (i, t), Z° (t) + Δ z (j, t)], die der Bedingung p (i, t) -Ar (i, t) + P (t) · A R (t) = 0 genügt und die Differenz Δ Ζ (t) herbeiführt. M i t ρ, 9 =

P(t + 1)-A Z(t) Ρ (t) · A R (t)

wollen w i r die Ertragsrate dieser ausgabenausgleichenden Änderung bezeichnen. M i t Hilfe dieser Größen können w i r die folgende Bedingung aufstellen:

60

2. Kapitel: Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

Die zulässige Lösung [R° (t), Z° (t)] ist nur dann optimal, wenn zu der Änderung Δ r (i, t), Δ ζ (j, t), (Δ r (i, t) > 0), selbst für die minimale Ertragsrate der ausgabenausgleichenden Änderung (o m i n ) die Beziehung - £>min P (ht)- Δ r (i, t) + p (j, t + 1) - Δ z (j, t) ^ 0 gilt. Beweis: Gilt diese Ungleichung selbst für £ m in, dann gilt sie erst recht für alle anderen Ertragsraten der ausgabenausgleichenden Änderungen. Würde in einem Falle die Ungleichung verletzt werden, so könnte man die beiden Änderungen durchführen und käme auf einen zusätzlichen Vermögensbetrag i n Höhe von ρ (j, t) · Δ z (j, t) — P (t + 1) · • Δ Z (t). Aus der obigen Beziehung ergibt sich schließlich (2 13) ( 2 13) '

AlSLÌL < ο . . _PJk«_ Δ r (i, t) P ö, t + 1) '

Der optimale Transformationsplan muß die Substitutionsbedingungen (2.11)—(2.13), erfüllen. Man sieht hieraus, daß die Entscheidung von den Preissystemen Ρ (t) und Ρ (t + 1) abhängt. Dies beruht natürlich auf unserer Annahme, daß die Produktion Zeit erfordert, also die Ausbringung erst eine bestimmte Zeit nach dem Einsatz entsteht. Hinreichende Bedingungen für das Maximum von ν (t + 1) sind erst dann gegeben, wenn man Veränderungen i n allen Variablen zugleich berücksichtigt. Wie man sieht, werden alle zulässigen Transformationspläne durchmustert, wenn von einem Plan [R° (t), Z° (t)] ausgehend alle Substitutionsmöglichkeiten betrachtet werden, die folgende Bedingungen erfüllen: (2.14)

P(t)-A R (t) = 0

und (2.15)

F t (R0 (t) + A R (t), Z0 (t) + AZ (t)) < 0 .

Die Lösung [R° (t), Z° (t)] ist stets dann optimal, wenn für alle möglichen Substitutionen gemäß (2.14) und (2.15) die Bedingung (2.16)

Ρ (t + 1) · Δ Z (t) ο .

Die Konvexität gelte wenigstens in schwacher Form. Es sei m Φ (x, u) = g (χ) - Σ Uj fj (χ) 7=1 die verallgemeinerte Lagrangefunktion. Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen g (χ) und fj (x) differenzierbar sind, ferner, daß wenigstens ein Punkt — sagen w i r — χ existiert, für den fj {x) < 0, j = 1, 2, . . . , m gilt, sind die folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend für ein Maximum der Funktion g (χ) an der Stelle (x 0 , u°) 3φθ

3 go

A

0

3/0 1

j=i

M

0 r a l -

=

0

'

> = 1,2,..., m

χθ ^ ο . 3 Φ°

η

uî-/î = 0 ,

j = 1, 2, . . . , m

u0 ^ 0 . Hierbei ist 3 Φ°/3 x\ der Wert der partiellen Ableitung der Funktion Φ nach Xi an der Stelle χ = x°, u = u0\ dementsprechend sind auch die 10 M a n vgl. hierzu: H. W. Kuhn u n d A. W. Tucker , „Nonlinear Programming" i n : Proceedings of the Second Berkely Symposium on Mathematical Statistics and Probability, hrsgg. von J. Neyman, Berkely 1951, S. 481—492. Robert Dorfman, Paul S. Samuelson und Robert M. Solow, Linear Programming and Economic Analysis, New York, Toronto, London, 1958, S. 189—203. Hans Paul Künzi u n d W i l h e l m Krelle, Nichtlineare Programmierung, B e r lin-Göttingen-Heidelberg 1962, insbes. S. 55—66.

62

2. K a p i t e l : Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

Werte der Funktionen g° und bzw. deren Ableitungen aufzufassen. Zum Beweis verweisen w i r auf die bereits angegebene Literatur. Gesucht ist i n unserem Anwendungsfalle das Maximum der Funktion (2.9) unter den Nebenbedingungen (2.2) und (2.10). Unsere lineare Zielfunktion (2.17)

Ρ (t + 1) · Ζ (t)

erfüllt die zuvor an g (χ) gestellten Forderungen. Die Nebenbedingungen (2.18)

F t [R (t), Ζ (t)] £ 0

(2.19)

Ρ (t) - R (t) - [v (t) - c (t)] ^ 0

sind konvex nach unten, so daß zusammen m i t (2.20)

R (t) ^ 0 und Ζ (t)

0

alle zuvor geforderten Voraussetzungen erfüllt sind. W i r bilden die Lagrangefunktion (2.21)

φ = P (t + 1) · Z (t) - λ · F t[R (t), Z (t)] — ρ · [P (t) - R (t) — ν (t) + c (t)]

und erhalten schließlich die folgenden Marginalbedingungen: (2.22)

3 Φ« —ZJàl 3 r (i, t)

=

, 0n _ 2

3F? 3 r (i, t)

- ρ · p (i, t) ^ 0

(2.23) (2.24)

(2.25)

i = 1, 2, . . . , n

i = 1,2, . . . , n r0 (i, t) ^ 0

3F?

(2.26) (2.27)

z°(i, t ) > 0

(2.28)

A**· F, [R0 (t),Z0(t)] = 0

Β. Die Bestimmung der optimalen Transformation (2.29)

ρΟ.[Ρ (t).R0 ( t ) - v ( t ) + c ( t ) ] = 0

(2.30)

AO^O

(2.31)

Q° ^ 0 .

63

W i r wissen aufgrund der Monotonie der Transformationsfunktion, daß i m Optimum stets ein effizienter Plan gewählt wird, und daß das verfügbare Kapital v o l l eingesetzt wird. Wäre beides nicht der Fall, könnte man sofort angeben, wie die betreffende Lösung verbessert werden kann. W i r können deshalb davon ausgehen, daß i m allgemeinen positive „Preise" λ und ρ gegeben sein werden und i n (2.18) und (2.19) die Gleichheitszeichen gelten. Z u dem gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man λ und ρ als Lagrangesche Multiplikatoren i m üblichen Sinne auffaßt 1 1 . Die i n (2.20)—(2.31) enthaltenen Ausdrücke lassen sich leicht interpretieren 1 2 . Zunächst die Multiplikatoren: ρ° ist die marginale Ertragsrate des vorhandenen Kapitals; λ° ist der marginale Kapazitätspreis. Der Ausdruck λ° · 3 F° t/d ζ (j, t) kennzeichnet die marginalen Produktionskosten der Ausbringung ζ (j, t), und p (j, t + 1) ist der marginale Ertrag hierzu. Aus (2.25) folgt: i m Optimum sind die Werte beider Termini einander gleich; wenn bereits für ζ (j, t) = 0 die marginalen Kosten über dem Ertrag liegen, so w i r d von der betreffenden Güterart nichts hergestellt. Der Ausdruck — λ° · 3 F° t/d r (i, t), der stets das umgekehrte Vorzeichen von ρ (i, t) hat, entspricht dem marginalen Faktorertrag der Kapazität, hier und i m vorigen Fall w i r d jeweils auf das Periodenende „aufgezinst". M i t diesem Ertragswert werden i n (2.22) die ebenfalls aufgezinsten marginalen Faktorausgaben verglichen. Bei einem Optimum m i t r° (i, t) > 0 sind die Werte beider Ausdrücke einander gleich; liegt der marginale Faktor ertrag jedoch unter den aufgezinsten Faktorausgaben, so folgt daraus, daß r (i, t) = 0 zu setzen ist. W i r nehmen i m folgenden an, i n (2.22) und (2.25) gelte stets das Gleichheitszeichen für die Güterart i. (Eine derartige Güterart muß es immer geben, sie braucht natürlich für Einsatz- und Ausstoßmengen nicht die gleiche zu sein.) Aus (2.22) und (2.25) ergibt sich dann: 11 Z u der dann erforderlichen Prüfung, ob ein M a x i m u m vorliegt, siehe Paul Anthony Samuelson, Foundation of Economic Analysis, Cambridge 1947, Appendix A, S. 357 ff. James M. Henderson und Richard E. Quandt, a.a.O., insbes. S. 272 ff. 12 Vgl. hierzu auch: Vernon L. Smith, Investment and Production, Cambridge 1961, insbes. den Anhang über die Kuhn-Tucker Bedingungen, S. 321 bis 327.

64

2. Kapitel: Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

(2.32)

drüVO < d r (i, t)

(2.33)

dz (λ t) d ζ (i, t)

(234)

d z ü ^

(2 ύ4)

'

d r (i, t)

_

Ρ (i, t) Ρ Ü, t)

Ρ (i, t + 1) P ü , t + F)

p (j, t + 1)

j = l,2,

j = 1, 2, . . . , η

j = 1, 2, . . . , η

'

' '

Ein Vergleich von (2.11)—(2.13) m i t (2.32)—(2.34) zeigt, daß die notwendigen Substitutionsbedingungen einander entsprechen. W i r wissen, daß die Bedingungen (2.22)—(2.31) nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend sind. Wollte man die Bestimmung der optimalen Werte tatsächlich durchführen, so würde sich hierbei allerdings die Tatsache bemerkbar machen, daß die Werte λ° und ρ° i m voraus nicht bekannt sind. Man kann auch nicht einfach — sagen w i r — ri Ableitungen aus (2.22) und n " aus (2.25) heraussuchen, für die das Gleichheitszeichen gilt, und zusammen mit den 2 Nebenbedingungen zur Bestimmung der ebenso großen Zahl von (ri + η " + 2) Variablen verwenden. Der Rechengang dürfte etwas komplizierter sein, namentlich, wenn es sich nicht um lineare oder quadratische Funktionen handelt. Doch über diese Schwierigkeiten werden w i r uns vorerst hinwegsetzen. Wir wollen schließlich noch auf die Bedeutung der Randlösungen hinweisen. Es erscheint uns plausibel, daß die meisten Produktionsfaktoren völlig substituiert werden können. Wie die Alltagserfahrung lehrt, gibt es fast immer verwendungsmäßig ähnliche Güter, so daß sozusagen unabdingbare Einsatzfaktoren den Ausnahmefall darstellen. Unter diesen Voraussetzungen t r i t t das ein, was i n jedem Haushalt, genausogut aber auch i n jeder Unternehmung beobachtet werden kann: die meisten der auf dem Markt erhältlichen Güter werden nicht verarbeitet, also völlig durch andere substituiert. Bei derartigen Gütern gibt es Preisschwellen unter denen (im Falle des Angebots) bzw. über denen (im Falle einer Nachfrage) der Haushalt sich nicht effektiv an deren Markt beteiligt. Eine weitere Eigenschaft der Transformation zeigt sich insbesondere an den Bedingungen (2.22). Die marginale „Kapitalrentabilität" w i r k t wie eine Aufzinsung der Faktorpreise, so daß die Grenzraten zwischen Einsatz- und Ausbringungsmengen auf den gleichen Zeitpunkt bezogen werden. Die Produktion muß — grob gesprochen — mit den Faktorpreisen von heute, aber mit Rücksicht auf die Marktpreise von morgen geplant werden.

Β . Die Bestimmung der optimalen Transformation

5. Die Ertrag s funktion

65

des Kapitals

Es erweist sich als zweckmäßig, das größtmögliche Ergebnis der Transformation als eine Funktion des verfügbaren Kapitals auszudrücken. Bezeichnen w i r mit ν (t) das nach Abzug der Konsumausgaben vorhandene Vermögen v(t) — c (t) und mit = ρ, (v(t), P (t), P (t + 1)) die maximal erzielbare Rentabilitätsrate — diese hängt aufgrund der vorigen Bestimmung positiv von den Preisen Ρ (t + 1) und negativ von den Preisen Ρ (t) ab —, so können w i r die Ertragsfunktionen der einzelnen Perioden wie folgt schreiben: (2.35)

ü*(t + l ) = ^ ( ü ( t ) , P ( t ) , P ( t + l)).v(t)

t = l,2, . . . , Τ .

Man w i r d i m allgemeinen damit rechnen können, daß eine Kapitalanlage zu einem festen positiven Zinssatz möglich ist, so daß Qt nicht unter dieses Niveau absinkt. Namentlich bei der internen Transformation des Haushalts ist zu vermuten, daß damit vergleichsweise größere Rentabilitätsraten erzielt werden können, die mit zunehmendem Kapitaleinsatz allmählich bis auf das zuvor beschriebene Niveau absinken. Wie die Funktionen i n diesem Falle verlaufen, zeigen die durchgezogenen Kurven i n den Abb. 5a und b. Die Größe at gibt insbesondere das Vermögensäquivalent an — man könnte auch von einer Transformationsrente des Kapitals sprechen —, die der Wirtschaftseinheit neben

Abb. 5. Die Ertragsfunktion u n d die maximale Rentabilitätsrate des Kapitals

dem durch den Marktzins erzielbaren Vermögen (gestrichelte Linie) zusätzlich zufließt. Die punktierten Kurven sollen auf eine alternative Verlaufsmöglichkeit hinweisen, die dann entsteht, wenn diese „Rente" erst bei einem gewissen Mindestkapital erwirtschaftet werden kann. W i r halten es jedoch für plausibel, daß der typische Haushalt zur Realisierung dieser Rente kein größeres Vermögen braucht — i m Bereich der Unternehmungen können andere Verhältnisse vorliegen. 5 O. Becker

66

2. Kapitel: Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

Jedenfalls ist es unter dem Gesichtspunkt nicht zunehmender Grenzerträge plausibel anzunehmen, daß erstens 3 v* (t + l)/3 ν (t) positiv ist und zweitens 3 2 υ* (t + l)/3 υ (t) 2 ^ 0 gilt. 6. Die Opportunitätsfunktion

des Vermögensverzehrs

Aus dem Gleichungssystem (2.35) und den Randbedingungen (2.5) soll nun die bereits von I. Fisher verwendete Opportunitätsfunktion bestimmt werden 1 3 . Dazu können w i r von den inversen Funktionen des Gleichungssystems (2.35) ausgehen. Die Vermögenswerte v* (t + 1) sind eine monoton zunehmende Funktion des eingesetzten Kapitals ν (t), so daß ein derartiges System existiert. Wir schreiben hierfür υ (t) = cpt (ν* (t + 1)) ,

t = 1,2, ...,

Τ .

Setzt man die einzelnen Gleichungen mit t = 1 beginnend schrittweise ineinander ein, so ergibt sich: - V (1) + c (1) + ψ\ (c (2) + φ 2 (c (3) + . . . +

+ Ψτ -i (c (T) + Ψτ (V (Τ + 1))) ...)) = 0. Für diesen Ausdruck führen w i r verallgemeinernd die Opportunitätsfunktion (2.36)

H = H (c (1), . . . , c (Τ) ; ν (1), ν (Τ + 1), Ρ) ^ 0

ein, wobei das Gleichheitszeichen gilt, wenn ein Konsumplan gerade noch finanziert werden kann. Man sieht aus der Herleitung dieser Funktion, daß i m Falle Η < 0 ein Teil der Finanzmittel nicht genutzt wird. Die Eigenschaften der Funktion Η ergeben sich aus dem Verlauf der Ertragsfunktionen. Für die inversen Funktionen gilt aufgrund der früheren Überlegungen: (p' f > 0 und q>" t ^ 0. Daraus folgt, daß auch Η konvex nach unten ist. Es dürfte für viele Haushalte wenigstens näherungsweise zutreffen, daß die marginale Kapitalrentabilität konstant ist, also eine Ertragsfunktion i n Form von (2.37)

υ* (t + 1) = at + b

r

(v (t) - c (t))

gegeben ist, wobei at und bt Konstante sind, die parametrisch von den Preisen abhängen. Sicher ist: b* Ξ> 1. Die Konstante at dagegen, die w i r in der Abb. 2a als einen positiven Wert angedeutet haben, könnte natürlich auch negativ sein, vielleicht infolge einer weder vom Vermögen noch vom Ertrag abhängigen direkten Steuer. Wir wollen uns deshalb auf deren Vorzeichen nicht festlegen. « Vgl. I r v i n g Fisher, The Rate of Interest, New Y o r k 1907, S. 374 ff.

C. Die Bestimmung des optimalen Konsums

67

Gilt (2.37), so bestimmt sich die Opportunitätsfunktion aus den folgenden Rekursionsformeln: ν* (2) =a1

+

brv(l)-b 1c(l)

ν* (3) = 02 + a1 b2 + b x b2 ν (1) -b1b2c

(1) -b2c

(2) ,

usw., bis schließlich i n der letzten Periode v(T + 1) = aT + Σ 1 at Π bT + ν (1) Π bt - Σ c(t) Π bT t=1 r=i-rl τ=1 t=1 r=t entsteht. Setzt man zur Abkürzung t (2.38)

qt = II bT

m i t dem Zusatz q 0 = 1 ,

τ=1

so kann man die letzte Gleichung nach Multiplikation m i t q^ 1 — was der Abzinsung auf den Barwert entspricht — und einigen Umstellungen auf folgende Form bringen: (2.39)

2 c (t). q ^ - [ν (1) - ν (Τ + 1) · q ^ 1 + ß

0 ,

t = 1,2, . . . , Τ .

Anstelle der Opportunitätsfunktion (2.36) könnte man auch auf das zugrundeliegende System der Ertragsfunktionen ρ? — vgl. (2.35) — zusammen mit den Randbedingungen (2.5) und (2.6) bei der Aufgabestellung zurückgehen. Die Konsumbeträge c (t) können i n (2.36) durch die Definitionsgleichungen (1.5) ersetzt werden, so daß nur eine Nebenbedingung berücksichtigt werden muß. 2. Die

Substitutionsbedingungen

W i r werden nunmehr wieder versuchen, möglichst voraussetzungsfrei die notwendigen Bedingungen einer optimalen Lösung herzuleiten. Angenommen, X° = (X° (1), . . . , X° (T) ) ist eine zulässige Lösung und die Substitution von Δ x (i, t) durch Λ χ (j , t) führt auf eine Lösung m i t gleichem Nutzenindex. Wenn die veränderte Güterkombination weniger kostet als die vorausgehende, kann der i n der Periode t ersparte Ausgabebetrag beispielsweise i n der gleichen Periode zur Erhöhung des Konsums verwendet werden, wodurch jedenfalls eine bessere Lösung erreicht w i r d als zuvor. Hieraus folgt die notwendige Bedingung: Eine Lösung X° ist nur dann optimal, wenn für alle möglichen Substitutionen Λ χ (i, t), Δ χ (j, t), für die U (XO) = U (ΧΟ + Ax(i,t)

+ 2x(i,

t))

gilt, die Beziehung ρ ( i f t ) - Δ χ (i, t)+p

(j, t) - Δ x (j, t)>

0

erfüllt ist. Je nachdem welches Vorzeichen Δ x (i, t) hat, ergeben sich hieraus die Beziehungen:

. Die Bestimmung de optimalen

Δ χ (3, t) è Δ x (i, t) =

_

.m

ρ (j, t)

F a n e

nsm

69

t) >

Δ χ

0

u n d

(2.43)

Δ x (j, t) Δα: (i, t) -

ρ (i, t) ρ (j, t)

i m Falle Δ χ (i,t)

n

>

0

u n d

(2.44) Α

α

Χ(

?'12 ^ -

Δχ(ι, t')

p

f:

-g,, - - - g l » 1 1

P(3,t )

'

i m Falle J χ (i, f ) < 0 .

Der Aufzinsungsfaktor ist von besonders einfacher Form, wenn konstante und i m Zeitablauf gleichbleibende Grenzerträge gegeben sind. Wie man aus den Ertragsfunktionen (2.37) für bi = 02 = . . . = br = Q leicht herleiten kann, ergibt sich -

-

9r · · · Qv- 1

-V'-V = Q

70

2. K a p i t e l : Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

und w i r erhalten für die Substitutionsbedingung der Konsumbeträge die spezielle Form:

(2.45)

4 ^ 1

^ -

Δ c(t')

~

A

< - ρ 1 "- 1 '

.

C

Δ c(t') —

i m

Falle Δ c (f) > 0 und

i m Falle Δ c (t r ) < 0 .

Die folgende Interpretation kann entsprechend auf die zuvor hergeleiteten Bedingungen übertragen werden. I n Abb. 6 charakterisiert die Gerade RS die Opportunitätsfunktion einer zulässigen Lösung, wobei nun die Werte c (t') und c (t") variiert werden. Aus (2.45) sehen wir, daß tgß = — ρ ' " - * ' gilt. Eine bessere Lösung existiert, wenn ein Konsumpfad gefunden wird, der den gleichen Nutzen m i t geringeren Ausgaben zu realisieren gestattet. Das ist stets der Fall, wenn eine Substitution möglich ist derart, daß der neue Pfad Ausgaben zeitigt, die cet. par. durch einen Punkt innerhalb des Dreiecks OSR dargestellt werden.

Abb. 6. Eine Skizze zweier Substitutionen

Die beiden i n Abb. 6 angedeuteten Substitutionen von Ρ nach P' bzw. von Q nach Q' führen zu höheren Ausgaben. Ein Vergleich der Winkel α, β und γ zeigt, daß die i n (2.45) auf schlechtere Lösungen hinweisenden Beziehungen, nämlich tgoc > tgß und tgy < tgß, gegeben sind. 3. Die marginalanalytische

Lösung

Wie i m Falle der Transformationsaufgabe werden w i r nunmehr die Marginalbedingungen unter Anwendung des Kuhn-Tucker-Theorems angeben. Die Nutzenfunktion U (X) ist konvex nach oben, vgl. unsere

. Die Bestimmung de optimalen

nsm

71

diesbezügliche Annahme i m vorigen Kapitel. Die Opportunitätsfunktion ist unter der Voraussetzung nicht-zunehmender Kapitalerträge konvex nach unten, so daß die Marginalbedingungen i m folgenden wiederum notwendig und hinreichend sind. W i r bilden m i t dem M u l t i plikator ν die Lagrangefunktion: (2.46)

φ = U (X) — ν · Η [Ρ (1) ' X (1), ...,

Die Kuhn-Tucker-Bedingungen der Stelle X = X ° < 2 ' 47 >

3φθ 3ïcû)

lauten für eine Optimallösung an

3 ü° 8ÏCÛ) - ^ '

=

Ρ (Τ) · X (T)] .

p

}

3H0 ' "37(0 -

i = l,2, . . . , n;

(2.48)

(ί

'

t}

3 φθ

' 3 χ (i t)

=

°

(2.49)

x°(i,t)^0

(2.50)

y0 . H° = 0

(2.51)

^ 0

i =

...,n;

i = l,2, . . . , n ;

t = l,2, . . . , Τ

t = 1, 2, . . . , Τ t = 1,2, . . . , Τ

Die Bedingungen (2.49) und (2.51) sind trivial. Aus (2.50) sieht man, daß v° = 0 gelten muß, wenn H° < 0 gegeben ist und aus v° > 0 die Beziehung H° = 0 folgt. M a n kann den Wert des Multiplikators ν als den i m Optimum erzielbaren Grenznutzen des Vermögens interpretieren. Grob gesprochen: hat man eine Einheit mehr an Vermögen zum Zeitpunkt t = 1, so kann man damit zusätzlich ν Einheiten an Nutzen erzielen, wobei natürlich zu beachten ist, daß dieser Wert von dem gewählten Nutzenmaß abhängt. Es ist auch klar, daß v° = 0 gilt, wenn bereits das vorhandene Vermögen nicht v o l l verbraucht wird. Der i n (2.47) enthaltene Differentialquotient 3 H°/3 c (t) läßt sich aus den inversen Ertragsfunktionen wie folgt bestimmen: 3 HO _ f 1 * 2' 52)

dc(t)

\ g^.

i m Falle t = 1 φ' 2 ... (p> t

l

sonst .

Deshalb ist ν · 3 H°/3 c (t) der erzielbare Grenznutzen, wenn dem Vermögen i n der Periode t eine Einheit hinzugefügt w i r d . I n (2.47) w i r d deshalb der Grenznutzen der Güterkomponente χ (i, t) m i t dem für eine Einheit hiervon entgehenden Nutzen verglichen. G i l t i m

72

2. Kapitel: Die einmalige Bestimmung der optimalen Dispositionen

Optimum für 3 Φ °/3 χ (i, t) das Kleinerzeichen, so wissen w i r aus (2.48), daß x° (i, t) = 0 ist. I m anderen Falle w i r d χ (i, t) gerade so groß gewählt, daß i n (2.47) das Gleichheitszeichen gilt. Nehmen w i r an, daß sich für das Gut i eine positive Verbrauchsmenge ergibt. W i r haben dann für die übrigen Güterarten folgende Grenzraten der Substitution: (2.53) v '

j = 1, 2, . . . , η . dx(i,t)

Ρθ,ί)

und allgemein (2.54)

dx ö, t") ^ dx (i, t' ) -

p (i, t ) ρ (j, t")

de (t")

j = 1, 2, . . . t', Γ = 1, 2, . . . , Τ

de ( f )

I m Falle konstanter Grenzerträge des Kapitals gilt: ,«

de ( n de (f )

_ dH/dc (Ϊ) dH/dc it")

tn_ v ρ

Hieraus ergibt sich für (2.54) die spezielle Form: