Dialectica Y Positivismo Logico

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DIALECTICA y POSITIVISMO LOthem atica (1910-1913) , obra próxim a al error -contra el que reaccionó Coutura t- de considerar que la Logística es una Lógica especial de la matem ática y/o para matemáticos. 11 Die Primipicn der Logik, pág. 138-139, en Encyc/opadie de r Philosophischen Wissenchaft en, 1 Bd ., T ubingen, 191 2.

Dialéctica y positivism o lógico I 21 Gottlob F rege - quizá entre los m atem áticos el de más aguda visión lógica- , fu e quien llevó a sus últimas consecuencias formales la lógica clásica, acercando a ell a la aritmética. Con su obra Bases de la Aritmética (1 884 ) e Ideografía: ( 1879) influ yó decisivamente en las elabnraciones logísticas de Russell y vVhitehead, que adoptaron en lo fund amental sus originales puntos de vista y criterio m etodológico, aunq ue aquéllos no subrayaro n la n ecesidad, para los interesados en estos estudios, de tomar contacto directo con la obra de Frege, cuyos escritos recién en 1952, fueron traducidos al inglés; p ero el pensamiento del m atem á6co y lógico germano está bien prese nte en Principia Math.em atica. Frege se cmpeña en demostrar que los juicios aritméticos son a nalíticos, de donde él ex trae la consecuencia que los m ás altos principios de la a ritmética son .lógicos. Introduce, ad em ás, otra noción de alean ce me todológico: el conce pto de relación. A este respecto escribe : "El con cep tO' de relación p ertenece, pues, como el simple a la lógica pura. No se toma en consideración aquí .el contenido particular de la relación, sino sólo la fo rma ,lógica. y lo que de ésta se puede enunciar, su verdad, es con'O cido an alíticam ente y a priori" 12 . Russell también sigue el camino an alítico de Frege. Distingue, en una explicación metodológica previa, dos direcciones e n la m atem ática, la const r uctiva, que desech a, y la otra "m enos conocida" que "progresa ana'líticamente a abstracciones cada vez m ás grandes y a la simplicid ad lógica. Ella no interroga qué se puede definir y deducir de los supuestos fundam entales 'Originarios sino qu é clase d e con ceptos y principios m ás gen erales pueden ser encontrados, m ediante los cuales nuestro punto de p artida pued ser definido o deducido" 3 . Russell ha construido su teoría de las fun cion es p roposicionales b asándola en la tcorí'a de Frege, acerca d e los concep tos de relación. Adem ás, él intenta reducir los principios del álgebra a una lógica ampliada de los conceptos de clase. Quiere mostra r que todos los enun ciados sobre cosas, incluso sobre espacio y tiempo - que siempre fu eron asentados como incl ependientes- p u eden ~er redu cidos a con struccion es; luego, m edi ante éstas, las totalid ades de ualidades, qu e sólo son dadas individualmente, se ar ticularían, sin sup uesto alguno, en sistemas unitarios de orden acion es sobre la base de los nexos existentes entre aquell as totalid ades o conjuntos. 2 D ie Grundlagen der A,.ithm etik. E ine L ogisc h-math ematische Unt er. :ch un.1! ¡¡b er d en 'B egriff d er Z ahl. p ág. 8 2, Bresla u, 1884, 19 34. 3 lntroduction to M ath ema tical Ph ilosoph )" pág. 1, 2. ed. London, 1920.

22 I Carlos Astrada La reform a d e la Lógica, entrañada por la Logística, tendió a crear un instrumental de símbolos, dotado de precisión y eficiencia. Por este aspecto de su programa, a la Logística se la designó con el nombre de "Lógica simbólica". También la lógica clásica usó símbolos. Asi, Aristóteles fue el primero que los empleó (Alfa, Beta, Gamma) para las operaciones lógicas y lo que él llamó apofansis. El sím· bolo en las modernas transformaciones de la Lógica, y las m ás reCientes de las lógicas polivalentes, trata de excluir la forma de expresión material. Es de hacer notar que las palabras del lenguaj e son ya símbolos conceptuales. Sobre su significación no puede surgir ninguna duda desde que, en virtud de uno de los m ás fuertes influjos a que se encuentra sometido el espíritu humano, tal significación ya está fijada por la costumbre. Los signos poseen en gran medida constancia y determinación. Ya que la palabra, en su significado, no es absolutamente estable, esa constancia de los signos es una gran ventaja para el lenguaje. L as palabras, como es sabido, m ediante los procesos de desplazamiento o condensación de las representaciones, se adaptan a las necesidades d el p ensar. Aún en los dominios del pensamiento en que nos es posible servirn os de otros sistemas artificiales de signos, no podemos prescindir d el todo del auxilio del lenguaje. "Es que -como explica Wundt- el lenguaje es el único sistem a de signos concebido en constante e interna evolución. M ediante esta evolución, él es apto para insuflar vida a cu alquier simbólica artificial. Es así cómo ba,io este influjo, los símbolos de las operaciones matem áticas han experimentado múltiples modificaciones y se han creado nuevos simbolos para nuevas relaciones descubiertas" 4 . Ningún sistem a artificial de signos puede remplazar al lenguaje. (Pavlov ll ama justamente a éste el segundo sistem a de signalación, siendo el primero los reflejos condicionados ). Por el contrario, el lenguaje comunica a cualquier sistema artificial de signos la posibilidad de desarrollo que él posee. Esto sólo puede su ceder cuando el lengu aje mismo permanece en una continua acción recíproca con tal sistem a. T ales sistemas artificiales, como señala Wundt, sólo pueden intervenir momentáneamente en lugar del lenguaje p ara aligerarlo de tareas que éste puede realizar de modo imperfecto. Tal es el caso de la interven ción o a porte de la matemática, la que suministra al respecto un testimonio irrefutable . 4 W . !Wundt, L ogik, L Bd. Allgemeine L ogi k und Erkenntnistheorie, pág. 233 3 Auf. 1906.

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"Sin embargo, la evolución d e esta cien cia está liga da a la formación de su sistem a artificial d e signos casi tanto com o la evolución del p ensar a la formación del lengu aje" 5, H ay, sin duda, que evitar el error o m ala comprensión, bastante difundida, que tiende a ver en el cálculo de .J a especie ya indicada, introducido por la Logística, un juego enteram ente inútil de formas, o lo que es aún m ás ,erróneo y exagerado, la tendencia a reducir el pensar humano viviente a un estéril y seco mecanism o, y nivelar, así, la riqueza del lenguaje n atural (del "lenguaje-obj eto" , como lo llaman en su jerga los sem antistas) h asta un fo rmalismo abstracto. D e h echo, la Logística, con r elación a un objetivo limitado, empero, es sólo un instrumento, adoptado para lograr con su auxilio, en todo proceso probatorio de las ciencias deductivas, exactitud, secuencia y corrección lógica. M edi ante éstas cabe alcanzar conocimientos o evidencias en las conexiones lógicas, los que no se podrían h aber logrado sin cierto cálculo. G. Frege, exagerando un poco quizá, h a comparado la relación del cálculo .Jogístico con el lenguaje usual con la que existe entre el microscopio y el ojo humano. Con el advenimiento y difusión de la sem ántica (en íntimo m arida je con el 'positivismo lógico) , se comenzó a sosten er la tesis de la necesid ad de remplazar enteramente el lenguaje conceptual de las palabras y oraciones por un lengua je simbólico, del todo artificial, extraído de la matem ática contemporánea. Les asiste, sin dud a, razón a los sem antistas al requerir qu e se establezca una terminología científi ca exacta y univalente, como lo reconoce P . V. Kopnin . Ya L eibniz reclam ó 10 mismo e hizo aportes valiosos con su idea de una Zin,l!ua rationalis en conexión con una characteri1:tica universalis y el " alfabeto de las ideas" . N adie niega a los semantistas que "tienen razón al afirmar que la exactitu d ,( o más propiamente, estri ctez ) en el lenguaje tiene importancia primordial, y que las ideas m ás grandes y los ideales m ás elevados pierden su signi.ficado si se comunican sin precisión. El requerimiento de los semantistas para que se establezca una terminología científica exacta y univalente, es justo" 6 . Pero, se equivocan al especular con ciertas insuficiencias de la lengua n atural -el "lenguaje-objeto" - y sostener que en la cien cia es neceW . Wundt, Op.cit" pág. 233 . L a nat u raleza d el juicio y sus formas de expresión en el le nguaje, en D . P. Gorski, Pensam ie nto y L engua,je, p ág. 44 1. Pu eblos Unidos, Montevideo, 1958. 5

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2-4 I Carlos Astrada sario sustituir el lenguaje conceptual de las p alabras y proposiciones por un lenguaje artificial vaciado en la simbólica matemática. El len guaje es el m edio fundamental (el recurso fónico) para expresar los juicios. Con él "no puede competir ningún lenguaje artificial de los símbolos gráficos y tablas ... El simbolismo mat~mático, los gráficos, las tablas, enriquecen los recursos de que disponemos, surgen como consecuencia de las necesidades del desarrollo de las ciencias. Su aplicación e n el lugar correspondiente posee sus ventajas. en comp aración con el lenguaje verbal ... ; facilita, sobre todo, el progreso de ciencias como la matemática, la fí'sica, la química y diversas ciencias técnicas. La v entaja del simbolismo radica en su rigurosa monoval en ci a"~ . No cabe negar, pues, que el simbolismo matemático, los gráficos, los diagramas, las tabl as (funcionales y de "valor de verdad") contribuyen, al desenvolvimiento de las ciencias d eductivas, y representan un sistem a de connot.ación científica precisa en las demás. Por medi'O del empleo d el simbolismo ')(- se puede deslindar un sector del saber científico y referirse siempre al mismo con precisión expresiva y exactitud. Existen, ciertamente, medios para expresar los juicios que difieren del le nguaje u su al ; pero tales ·recursos son auxiliares y no pueden existir independientemente de éste. Son recursos que únicam ente sirven como' complemento del lenguaje y no pueden tener carácter universal. Certeramente afirma Kopnin: "No es posible aplicar y comprender designaciones simbólicas, sean de la clase que fueren, sin palabras y sin oraciones" 8 .

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LÓGICA DIALÉCTIC A y CARÁCTE R I NSTRUMENTAL DE LA LOGÍ S TICA

La Logística no está por sí misma vinculada a ninguna concepción o doctrina filosófica. Un'O de sus def.ensores más decididos, H cinOp. cit., pág. 442 . F.n Jo que resp ecta a la Drct'cnsión d e Jos Logísticos de que sólo l ~s proposiciones que pueden traducirse en fórmulas p oseen pleno sentido y los prob 1-:mas nu e, en fun ción d e u na rc",la d p 'c álculo. n o son susceptibles d e ser p lanteados por ésta, son probl emas fictic ios nos dice B. V. Freytag Loringhoff : "De nuevo se destaca bien que estos fi lósofps Logís ticos naufragan justamente con su propia filosofía, y ellos mismos to,r nan a abandonar uno de estos dogmas tras otro. Los viejos problemas son m ás fu ertes qu e los nuevos cálcu los" (Lo gik, ihl' System und ihr Verh.,(iltnis zur LogiStik, pág. 191 , Stuttgart, 1955). 8 La naturaleza del juicio y sus form as de expresió n en el lenguaje, en D . P. Gorski, Op. cit ., pág. 442. 7

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Dialéctica y positivism o lógico I 25 rich Scholz, le asigna cn su Geschichte de r L ogik ( 1931) un ,: arácter meramente instrumental, señal ando que ella no está necesariamente ligada al p ositivismo . Pero 1'0 cierto es que el positivismo lógico del Círculo de Viena y los seman tistas de él provenientes o por él influidos la vin culan, sin reparo alguno, a su propia posición doctrinaria. Por lo demás, h ay que señalar que el positivismo lógico ha trasvasado, con alguna modificación ines.encial, a sus propios moldes lo fund amental de la problemática de E. M ach . El Círculo de Viena, con sus proliferaciones anglosajonas es, en el fondo y h as ta en la form a, una reiteración tardía on recursos simbólicos y semánticos, de la concepción positivista del machismo. Ante todo, es nccesari'O subrayar que no hay oposición entre Logística y Lógica dialéctica, como suponen y lo proclaman los partidarios de la primera. Entre éstos, algunos latinoamericanos con mentalidad colonial, que exteriorizan una .a dhesión idolátrica, y muy pasatista, por B. Russell , afirm an con ingenuid ad de n eófitos que la "lógica matemática" (así designan 'ellos a la Logística) es muy sup erior a la lógica dialéctica. Además de falsa, tal opinión aparece como ridícula, cuando se acotan estrictamente los dominios de ambas disciplinas. El radio de aplicación de la lógica dialéctica materialista es enormemente m ás am plio y rico de contenido que el de la Logística, como tendremos oportunidad de verlo. L a fertilidad de la primera es eviden te, no sólo en el terreno del acaecer socialhistórico, sino también en el de las diversas cie ncias naturales, incluyendo hasta la microfísi a . L a influen cia tardía de B. Russell, 'Wittgenstein, C arnap, ha obrado deformativam ente sobre la mesocracia universitari a de L atino América . Sus representantes, dogmáticamente, h an h echo de la "lógica m a temá tica" o " lógica simbólica" un a esp ecie de p anacea. Si los positivistas del Círcu lo de Viena desvirtuaron el carácter instrumental de la Logística, adosándole sus propios y, a veces, subrepticios supuestos fil05óficos, los módicos panegiristas de estos p aíses coloniales la h an absolutizado h aciendo de ella una Weltansc hauun g. Según ellos, la " lógica matemática" hace inútil toda pesquisición en los dominios filosóficos (en el de la gnoseología, epistemología, ética, me tafísica, etc.) ya que en éstos los problem as " no tien en sentido" , son mal planteados o no cabe plantearlos. Sólo los logísticos son aptos para d eclarar su legitimidad y discutirlos, ya que ellos saben acudir al m etalenguaje Ln y a l cálculo sentencial, de clases, de rel aciones, etc., empleando, además las "tablas d e verdad"

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Astr,a da

("valor de verdad" es una expreSlOn introducida por Frege, para los juicios) y las "conectivas". A los l'Ogísticos nativos que se dedican a proclamar y poner en práctica las ventajas de estos cálculos para toda clase de conocimientos (aunque se mueven con lentitud y a tropezones dentro de los esquemas m eramente deductivos y "formalizad'Os", partiendo. de "axiomas"), les sucede que con una mano ordeñan la vaca y con la otra. . . sostienen la criba . . Cuando, en el segundo Congreso de Filosofía de Ginebra (1904), Couturat, Lalande e Itelson, sin acuerdo previo entre sí, propusieron designar con el nombre de "Logística" al conjunto de nociones, fórmulas y reglas d e cálculo de la nueva Lógica (que ya delataba en los lineamientos lo que sería su construcción) p ensaron que ella podía constituir, en el dominio de las ciencias, sobre todo deductivas, una especie de lengua internacional clara y compr,ensible para la comunicación científica. Facilitaría esta tarea a la Logística la tendencia, quizá ínsita en ella, hacia la form alización; su carácter formal mismo, además, la hace indispensable para la d educción científica, aunque se pone en duda que sea un medio útil para la invención y la demostración. Sin embargo, posteriormente a la enunciación de este programa ajustado y legítimo, comenzó a imperar el arbitrio individual y cada tratadista introdujo nuevos signos y connotaciones simbólicas en el lenguaj e form alizado de la Logística; aumentó el número de las llamadas "conectivas" o modificó sus signos. Además, en la lógica modal, en la cuantificacional (o cálculo funcional de las clases), unos l'Ogísticos emplean letras m ayúsculas, otros minúsculas, y algunos letras diferentes que los anteriores, para la notación. También varía el significado que asign an a los símbolos. Otro tanto acontece con los signos m etalógicos. Así, Lukasiewicz creó una notación enteramente personal y diferente de las anteriores ; además 'Otra notación para el " cuantificador". V ale decir que el sistema de notación de la Logística está muy lejos de ser unívoco, sino que, por el contrario, se ha convertido en una especie de varios Vo'lafJüks, cada uno de uso particular y exclusivo de los teóricos e innovadores de la Logística, los que se ponen de acuerdo h aciendo una mezcla de aquéll'os. Proliferan de este modo los sistemas de notación, tablas, diagramas (para las lógicas tri valen tes y polivalentes) hasta el extremo de constituir una verd adera Babel. En presen cia de sus primeras y ya evidentes extralimitaciones,

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Alois Riehl llamó al cálculo logístico " deporte lógico". Si él pudiese observar en alguno de nuestros países coloniales el terrorismo sintáctico-semántico-logístico militante implantado por l'Os cultores de aquél, especificaría m ás esa acertada calificación llamándole a ese deporte "boxeo lógico" . Los que lo practican, como m atemáticos y físicos o aficionados a la m atem á tica y a la física, se caracterizan en la mayoría de los casos por su d esconocimiento de la filosofía (de su gran problemática), a la que enjui cian en n ombre de la panacea de la "lógica simbólica" con celo e intransigencia de neófitos. H ay que destaca r que los m aestros, tan citados y a veces mal interpretados por ellos, jam ás levantaron la objeción fundamental que h ace la friolera de cincuenta años hizo Paul Natorp al forma· lismo deductivo de la Logísti ca. Al r ferirse a la tenta tiva de sus rep resentantes de hacer de la lógica formal una rama de la m atem ática (basándose en el carácter deductivo de ambas) y de asignade como tarea el establecer las leyes del procedimiento d eductivo y la justificación de la validez universal y necesaria que él pretende, escribe N atorp : "¿ Puede, empero, establecerse y justificarse un procedimien to lógico median te la operación del procedimiento mismo? Esto es en sí un contrasentido puesto que el mét'O do de la deducción tenía que ser ya presupuesto como formul ado y justificado para que las pcticionadas formulación y justifi ación puedan resultar válid as. La marcha circular de la fund amentación es evid ente ... L a imposibilidad de tal propósito está manifiesta, si luego se comprueba cómo además el procedimiento de la deducción mism a es presentado. Se asientan en la cima defini iones, las que expresam ente sólo significan conven cion es sobre el uso de ciertos símbolos, no iuicios, los que necesariam ente serían verdaderos o falsos. Se formulan después principios con respecto a estos símbolos. es decir, se dan prescripciones sobre la admisión de ciertas combinaciones diversas y cambiantes de los mismos. . . D e h echo, p ara estas combinaciones tampoco es indicado o ech ad'O de m enos ningún sentido ulterior; ellas están úni cam ente sujetas a la restricción de no poder anuhl rse a sí mismas" 9. Esto es sólo un a mue tra de las críticas formuladas a la logística, a su "fundamentación" deductiva en círculo (circulus in probando). Pero, desde h ace m edio siglo, h ay otras que ponen de m anifi.esto las extralimitaciones e insuficien cias de las construcciones logísticas, en 9 Die Logisc hen Gnmdlagen der Exakten W issenschaften, pág. Berlín 1910.

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razón de la pretendid a y no probada validez de sus principios. Los que conocen Filosofía y Lógica, a la vez (y no solam ente Logística de modo fervorosam ente mnemotécnico) no pueden pasar por alto las críticas que desde el punto de vista filosófico se han h echo a los aspectos centrales de la Logística y a sus p asos operativos. Nos referiremos únicam ente (dejando de lado la de Cassirer, Riehl, también importantes) a la crítica de H. Poincaré. Éste, acerca de la pasiografi a de Peana (contenida en su Fo rmulaire de mathem atique, París 1901) nos dice : "El elem ento esencial de este lenguaje son ciertos signos algébricos que r epresentan las diferentes conjunciones: si, y, o, pues. Que estos signos sean cómodos, es posible ; pero que ellos estén .destinados a r en ovar tod a la filosofía, es otro as un to. Es difí cil :ldmitir que la palabra si a dquiere, cu ando se la escribe 3, una virtud q ue ell a no tenía cuan d se la escri ba si" 1 0 (3 es uno ele los die ciséis .símbolos de la tabl a id eogr áfica de Peano) . En tal observación, Poincaré apunta certer am ente a la dep enden cia inabolible en que es tá el simbolism o logístico respecto del lenguaje. Sobre los principios que Russell introduce en el cálculo proposicional y que considera ind em os trables, explica Poincaré : "Pero estos pri ncipios indemostrables son llamados a la intui ción, son jui cios sintéticos a priori. Nosotros los v e ríamo ,~ com o intuitivos cuando los encontrásemos, más o · menos explícitamente enunciados, en' los trat ados de matem á ticas; ; h an ca mbiado ell os de carácter, porque el sentido de la palabra lógica se ha ampli a do, y nosotros los en contramos al presente en un libro intitul a do Tratado de L ógica? Ellos no han cambiado de naturaleza,' ellos solam ente han cambiado de lugar" 1'1. Poincaré h a visto p er f.ec tamente que los errores y contra dicciones en que, según propia confesión, suelen in currir, tan a m enudo, los logí'sticos, .a m en azan de ruina el edificio entero que ellos está n levantando y constantemente refaccion an do. Para que prosiga la construcción de és te y se logre m antenerlo incólume se requiere que las reglas - ya que la intui ción no está llam a d a a p ermitirnos cliscriminar acerca de las mism as- p osean una validez incuestionable. "Pero enton ces - afirm a P oin caré, dirigiéndose a los logísticoses necesario que ellas sean infalibles; es sólo a 'una autoridad infalible que se puede tener confianza ciega. E sto es, pues, un a necesidad para vosotros. Seréis infalibles o vosotros no seréis. No tenéis el derecha de decirnos : " Nosotros nos equivocamos, es verdad, pero 10

S cience et M ét h r> de, págs· 166-1 67, París 1912,

n Op, cit. , p ág . .1 75.

Dialéctica y positivismo lógico I 29 vosotros os equivocáis también". Equivocarnos, p ara nosotros, es una desgracia, es una desgracia muy grande, p ero para vosotros es la muerte" 12 . • Aparte de esta obj ción fundam ental respecto a las desastrosas consecuencias de la falibilidad de las reglas logísticas, Poincaré también señala la impotencia y complej id ad de las e cuaciones logísticas para la demostración, y qu e ellas en lugar d e facilitar ~a invención científica, la traba n. Carece la logística, además, de concisión desde el mom ento que para establecer que 1 es un n úmero necesita 27 (veintisiete) ecuaciones, como aquél h ace notar ; y, con respecto a idénti ca complicación en las distinciones, nos di ce: "Si nosotros distinguimos, con Whiteh ead, el individuo x, la clase de la cual el único miembro es x y que se ll amará ix, después la clase de la cual el único miembro es la clase de la cual el único miembro es x, y que sc llamará iix ¿ puede creerse que con estas dis tin ciones por ú tiles que ellas sean se va a aligerar mucho nuestro p aso?" ~~ . 4)

DED UCCIÓN MATEMÁTICA y

D E DUCCIÓN LÓGICA

En lo que respecta a B. Russell, en su propósito de fund am entarlógicamente la teorí'a de las clases, cae en el error de tr.atar, en vano, de deducir el conceDto d e clase, que tal como él lo fo rmula, es específi cam ente matem ático, del con cepto de juicio, ql,le es esp ecíficamente lógico. Para ello, ap ela al recurso, m atem á tico y no lógico, de la interpretación cu antificante de la relación de la cópula lógica - trámite subrepticio en la llamada fun ción proposicional- a fin de suministrar al jui cio un fund amento positivo. Aparte de esto, B. Russell llama " deducción lógica" a la deducción matem ática, las que son esencialmente diferentes. E sta confusión corre a través de todas sus disquisiciones sobre lóglca simbólica. Ello está bien manifiesto, por ejemplo, en esta expli cación: "En la deducción, una m ás proposiciones son llamadas pTemisas, de las cuales nosotros inferimos un a proposición llamada conclusión . Para nuestro propósito será conveniente, cuando h ay originalm nte varias premisas, unirlas 'e n un a p roposición simple, a fin de esta r autorizados p ara hablar de la premisa así como de la con clusión, De este modo nosotros podemos considera r la conclusión como' un proceso en el cual pasamos del conocimiento de una cierta proposición, la premisa, ' al

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11.l 1.3

Op. cit., pág. 194, Op. cit., p;íg, 193.

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conocimiento de otra proposición, la conclusión, pero no consideraremos tal proceso como deducción lógica a m enos que él sea conecto, es decir, si n o h ay una tal relación entre premisa y conclusión, que tengamos el derecho de creer en l a conclusión si nosotros sabemos que la premisa es verdadera. Esta es la relación que es principalmente de interés en la teoría de la deducción lógica" H . No se trata aquí de un a dedu cción lógica, como cree Russell, sino m atem ática. Kant fundamentó claramente la diferencia entre ambas. Es sabido que el procedimiento de Russell y de los repre · sentantes de la lógica simbólica es an alítico. Pero, un análisis que se remonta a los principios - Kant lo h a mostrado bien en la Crítica de la razón pura y en la L ógica- requiere ser probado por una deducoión de los principios an alizados, trámite m ediante el cu al éstos son puestos suficientemente en eviden cia. La deducción analítica como deducción lógica y, en general, filosófica, es fund am entalmente diferente de la deducción matemática. Aquella tiene que partir de principios evidentes o demostrables como tales. El análisis ti ene por supuesto una diversidad ordenada y él va a las d efiniciones inmanentes a tal ordenación. El análisis lógico se ,d irige a la idea de ordenación dada y, por lo tanto, al fundamento de la orden ación. En cambio, el an álisis matemático se dirige a las relaciones de ordenación de los elem entos del orden dado. La confusión de ambos trámites, en B. Russell, está patente. Su análisis deductivo no es, como él afirma, lógico, por cu anto, bajo modificación del punto d e vista de la ordenación, toma las definiciones consecutivas como fundamento de la deducción. Tal procedimiento proviene d e la inveterada y explicable propensión del m atemático .a servirse d e este' m odus operandi, legítimo en m atemática, pero, en h omenaje a la claridad y precisión filosóficas, es n ecesario llamar a las cosas por su nombre y determinarlas d e acuerdo a su naturaleza .: