Destrezas y estrategias para la universidad [1a ed.] 9786071507051, 6071507057

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Temoltzin • Sánchez • González

Por ello, con base en las directrices del College Board, organismo al que recurren numerosas escuelas para elaborar ese tipo de exámenes, en este libro se presentan estrategias para resolver, de forma correcta y en el menor tiempo posible, cada uno de los problemas planteados en un examen de ingreso a la universidad.

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Es importante señalar que los autores de esta obra explican estrategias de razonamiento verbal (RV) y matemático (RM), así como de redacción indirecta (RI) para que el estudiante resuelva eficazmente no sólo los problemas presentados en un examen, sino, también, aquellos que día a día se le plantean en la escuela y fuera de ella. En suma, Destrezas y estrategias para la universidad es un texto que resultará de gran ayuda para quien habrá de presentar un examen de ingreso a la universidad y para quien desea seguir desarrollando su capacidad de razonamiento.

DESTREZAS Y ESTRATEGIAS PARA LA UNIVERSIDAD

Uno de los objetivos del bachillerato es que el estudiante aprenda a resolver problemas de diversos tipos, para lo cual resulta indispensable que desarrolle al máximo sus habilidades de razonamiento, las cuales ha de demostrar claramente al resolver el examen de ingreso a una institución de educación superior.

Destrezas y estrategias para la universidad Ejercita tus habilidades de razonamiento Gabriela Temoltzin • Lya Sánchez • Héctor González

Destrezas y estrategias para la universidad

Destrezas y estrategias para la universidad María Gabriela Temoltzin Espejel Lya Sánchez Méndez Héctor Francisco González Fernández Colaboradores: Razonamiento verbal

María Leticia Temoltzin Espejel Maritza Aguirre Córdova Adrián Pérez Méndez Razonamiento matemático

Juana Deysi Santamaría Juárez Miguel Ángel Vargas Lomelí Gerardo David Morales Tecotl Redacción indirecta

Laura Lima Xalteno David Salazar Nieva

Gerente editorial: Alejandra Martínez Ávila Editor sponsor: Sergio G. López Hernández Supervisora de producción: Marxa de la Rosa Pliego Diseño de portada: José Eduardo Pérez Pérez

Destrezas y estrategias para la universidad Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2014, respecto a la primera edición por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0705-1

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Impreso en México

Printed in Mexico

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Introducción La finalidad de esta obra es proporcionarte herramientas que te permitan resolver de manera exitosa los ejercicios de razonamiento que conforman algunas de las pruebas de ingreso a la universidad. Los problemas que integran cada una de las partes de la obra han sido cuidadosamente diseñados y están apegados a los lineamientos y actualizaciones de las pruebas; así mismo fueron elaborados y revisados por especialistas en cada una de las áreas que integran el libro, lo que garantiza la calidad del material que tienes en tus manos. Una ventaja más de este libro es la flexibilidad, ya que puedes emplearlo y adecuarlo a tus necesidades, pues su diseño está pensado para que puedas utilizarlo en el orden que desees. La obra está organizada en tres bloques. El primero corresponde a la sección de Razonamiento verbal en la que se pretende incrementar tus habilidades verbales, esto es, tu capacidad para utilizar el lenguaje verbal en la comprensión e interpretación de textos; así como tu habilidad para determinar el significado de una palabra en cierto contexto además de que ejercites el razonamiento analógico. Los problemas de razonamiento verbal son de dos tipos: completar oraciones y de lectura de comprensión (simple y comparada) que se caracterizan por ser de opción múltiple. El bloque dos está formado por la sección de Razonamiento matemático en el que se busca acrecentar tus habilidades de análisis para procesar y utilizar información en la solución de problemas de álgebra, aritmética, geometría, probabilidad y estadística; en esta sección se hace énfasis en la utilización del razonamiento más que en los conocimientos, pues para resolverlos de manera acertada se requiere procesar información para probar, discriminar, inferir, concluir, evaluar y argumentar. Los problemas de razonamiento matemático son de dos tipos: ejercicios de opción múltiple y ejercicios para resolver y suplir la respuesta. El tercero corresponde a la sección de Redacción indirecta que busca mejorar tus habilidades básicas en la redacción. Los ejercicios de esta sección requieren de seleccionar una de las opciones para cambiar, sustituir, añadir o eliminar uno de los elementos del texto presentado, para mejorar la redacción. Cada una de las secciones presenta una breve introducción, la explicación de los tipos de problemas, los conceptos básicos que debes manejar para resolverlos, estrategias para resolver específicamente cada uno de los problemas, ejercicios guiados paso a paso y una práctica comentada; con ello se pretende no sólo que te familiarices con los ejercicios que integran una prueba de admisión, sino que además incrementes tus posibilidades de éxito en la solución. Con la finalidad de que vayas familiarizándote con las pruebas de admisión incluimos una Prática de ejercitación, este ejercicio previo te permitirá poner en práctica las habilidades y sugerencias que has desarrollado a lo largo del libro. También te recomendamos tomar en cuenta los tiempos destinados a cada una de las partes de la prueba y que registres tus respuestas en la hoja que se ha incluido al final del libro. Debes saber que al realizar este ejercicio, es indispensable que dediques el tiempo indicado, y que una vez que lo inicies lo concluyas; esto es, que no interrumpas la solución de esta sección. Para que puedas verificar el avance en tus habilidades, te proporcionamos las respuestas, pero es muy importante que las revises al finalizar la prueba y que reflexiones sobre tus aciertos, pero sobre todo de tus errores; de ser posible, verifica las estrategias de solución que te brindamos en cada una de las secciones. A continuación te hacemos llegar una serie de recomendaciones que te serán de utilidad en el momento que vayas a presentar tu examen de ingreso a la universidad. • El día del examen atiende las indicaciones de las personas que aplican el examen. • Lee con atención las instrucciones de cada bloque de ejercicios. La ventaja de familiarizarte con las instrucciones es que de antemano sabes qué es lo que debes hacer en cada sección de la prueba. • Recuerda que la interpretación de tus resultados son realizados por lectores ópticos, así que rellena los alvéolos de la hoja de respuestas completamente con el lápiz que te indiquen (normalmente es del número dos). Si vas a modificar una respuesta, asegúrate de borrar perfectamente, pero evita borrones y marcas innecesarias en esa hoja.

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Introducción

• Todos los problemas tienen el mismo valor, así que contesta primero los que consideres más fáciles. Asegúrate de marcar en la hoja de respuestas aquellas que no hayas realizado al momento, lo que te permitirá no cometer errores a la hora de asentar las demás respuestas. • Si no estás seguro de tener la respuesta correcta es mejor que no contestes y continúes, pues es posible que las respuestas erróneas te resten puntos; además no inviertas mucho tiempo en ejercicios que se te dificulten. • Utiliza los espacios junto a los ejercicios para realizar todos los cálculos que necesites, evita hacer operaciones mentalmente. • De ninguna manera estas pruebas incluyen preguntas capciosas. Todas las preguntas tienen respuesta; te recomendamos que analices las opciones y que sólo marques una de ellas. • Mientras te preparas no te acostumbres a utilizar la calculadora, ya que el día del examen no te será permitido utilizarla. • Cuando estés contestando la prueba apégate a los tiempos sugeridos, ten a la mano un cronómetro para que tengas un control adecuado del tiempo. Finalmente, agradecemos la confianza que depositas en nuestro material en la preparación para presentar tu prueba de admisión, sabemos el compromiso que ello representa y ten la seguridad de que te servirá para lograr con éxito tan importante objetivo. Los autores

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Contenido Razonamiento verbal

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Razonamiento matemático

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Redacción indirecta

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Práctica de ejercitación

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Hojas de respuestas

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Respuestas de ejercicios

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azonamiento verbal

I. Razonamiento verbal

El razonamiento verbal es el proceso de interpretar contenidos verbales, los cuales van desde una oración hasta un texto completo. En esta parte encontrarás las estrategias y los métodos que te permitirán resolver precisamente ejercicios de razonamiento verbal, ya sea que se refieran al análisis de una oración (la unidad mínima de significación) o incluso a la comparación y el contraste entre dos textos. Es importante señalar que mediante esos ejercicios se mide tanto tu habilidad como tu nivel de desarrollo verbal, esto es, la capacidad que tienes para usar material verbal en la comprensión y la interpretación de información. Además, se examina tu habilidad para interpretar el significado de palabras en un contexto determinado, así como tu razonamiento analógico (es decir, por analogías). Por eso, la ejercitación y el conocimiento claro del proceso de resolución te permitirán familiarizarte con los problemas de esta área y aumentar tus posibilidades de resolverlos acertadamente.

Organización Esta primera parte del libro está formada por dos componentes: completar oraciones y lectura de comprensión sencilla y comparada. En ambos casos encontrarás las estrategias particulares para resolver los ejercicios de oraciones y lecturas. Te proponemos seguir el procedimiento de resolución diseñado para cada componente. También hallarás un método para que enfrentes los problemas de razonamiento verbal. Cabe señalar que se trata sólo de un camino para llegar a la resolución, pero no es el único para contestar correctamente este tipo de ejercicios. Sin embargo, a nuestro juicio es un método recomendable, ya que al aplicarlo optimizas el tiempo de resolución y desarrollas tus habilidades de comprensión, interpretación, análisis y recuperación de la información.

Tipos de problemas Los problemas de “Razonamiento verbal” incluidos en la prueba de ingreso a una institución de educación superior son de dos tipos: • Completar oraciones. • Lectura de comprensión. En seguida explicamos qué se busca en cada uno de ellos y qué características tienen. Además, es muy importante que consideres, que brindamos una estrategia de resolución en cada caso.

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Razonamiento verbal

Problemas de completar oraciones La Real Academia Española (rae) define oración como la palabra o conjunto de palabras con sentido gramatical completo (rae: 2012). Por otro lado, las categorías gramaticales son: verbo, sustantivo, adjetivo, pronombre, artículo, adverbio, preposición, conjunción e interjección. Cada una de ellas cumple una función distinta en las oraciones. Los problemas de “Completar oraciones” miden tu habilidad para reconocer las relaciones de significado entre esas categorías gramaticales de la oración. Por tanto, para responderlos acertadamente debes manejar conceptos como oración y las categorías gramaticales y sus funciones. Además, has de ser capaz de identificar el significado de las palabras que se presentan como opciones de respuesta y distinguir su uso adecuado en un contexto específico. Estos ejercicios se caracterizan por tener uno o dos espacios en blanco, los cuales debes completar eligiendo una de las opciones planteadas, la que mejor complemente el sentido de las oraciones. Cabe mencionar que cada una de éstas contiene la información necesaria para llegar a la respuesta correcta.

Conceptos básicos del área de completar oraciones Como hemos dicho, en “Razonamiento verbal” hay un tipo de problemas llamado completar oraciones, cuya resolución implica reconocer las relaciones de significado que hay entre las palabras que forman una oración. Enseguida se presentan algunos conceptos básicos que debes conocer para resolver adecuadamente este tipo de ejercicios. Oración. Palabra o conjunto de palabras con que se expresa un sentido gramatical completo. Categoría gramatical. Tradicionalmente, cada una de las distintas clases de palabras que tienen en la oración diferente oficio. Verbo. Palabra que designa una acción y puede tener variación de persona, número, tiempo y modo. Sustantivo. Palabra con género inherente que puede funcionar, sola o con algún determinante, como sujeto de la oración. Adjetivo. Palabra que califica o determina al sustantivo. Artículo. Palabra de carácter átono que indica si lo designado por el sustantivo o elemento sustantivado es o no consabido. Adverbio. Palabra invariable, cuya función consiste en complementar el significado del verbo, de un adjetivo, de otro adverbio y de ciertas secuencias. Hay adverbios de lugar (aquí, delante, lejos…); de tiempo (hoy, mientras, nunca…); de modo (bien, despacio, fácilmente…); de cantidad o grado (bastante, mucho, muy…); de orden (primeramente…); de afirmación (sí…); de negación (no…); de duda o dubitativos (acaso…); de adición (además, incluso, también…); de exclusión (exclusive, salvo, tampoco…). Algunos pertenecen a varias clases. Nexo. Palabra que tiene la función de unir elementos de la oración u oraciones (preposiciones, conjunciones). Preposición. Palabra que sirve de enlace anteponiéndose a un sustantivo. Las preposiciones son: a, ante, bajo, con, contra, de, desde, durante, en, entre, hacia, hasta, mediante, para, por, según, sin, sobre y tras. En general, la función de las preposiciones, además de enlazar, es relacionar. Cada una de las preposiciones tiene un significado propio y una función particular. Conjunción. Palabra que se emplea para enlazar oraciones. Se clasifican en coordinantes y subordinantes. Coordinantes Copulativas (y, e, ni). Su función es sumar elementos u oraciones. Disyuntivas (o, u, o bien). Excluyen una de las dos afirmaciones que se hace en la oración. Distributivas (ya… ya, bien… bien, tan pronto… como). Funcionan como enlace de oraciones que presentan opciones, pero que no se excluyen.

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Adversativas (pero, más, aunque, sin embargo, no obstante, antes, antes bien, por lo demás, sino, excepto). Niegan el primer elemento y afirman el segundo. Subordinantes Causales (porque, pues, puesto que, ya que, como). Indican la causa expresada en la proposición principal. Comparativa (que). Inserta una idea de comparación. Concesivas (aunque, bien que, por más que, si bien). Su función es expresar dificultad para realizar lo enunciado en la oración principal. Condicionales (si, con tal que, siempre que, como). Indican condición o necesidad de que se verifique alguna circunstancia. Consecutivas (pues luego, así que, de modo que, conque, por tanto). Indican una consecuencia de lo que se expresa en la oración principal. Finales (para que, a fin de que). Expresan el fin u objetivo de lo manifestado en la proposición principal. Temporales (mientras, cuando). Expresan una idea de tiempo. Interjección. Palabra que expresa alguna impresión súbita o un sentimiento profundo, como asombro, sorpresa, dolor, molestia, amor, etcétera. Por ejemplo eh, hola, ay.

Estrategia para resolver problemas de completar oraciones La estrategia que te proponemos para resolver ejercicios de completar oraciones implica leer primero con atención el enunciado que se presenta y a partir de esta primera lectura entiendas su sentido global. Después debes identificar con qué elemento o elementos de la oración se relacionan la o las palabras faltantes. Es de suma importancia que identifiques esa relación, pues te permitirá llegar más rápido a la respuesta. Al respecto, te sugerimos prestar mucha atención a los nexos empleados en la oración, pues brindan claves de lo expresado en ésta. Por último, después de haber leído perfectamente las opciones de respuesta y descartado las que no complementan de forma coherente la oración, selecciona la adecuada.

Ejemplos guiados de completar oraciones A continuación te guiaremos paso a paso en la resolución de los problemas de completar oraciones. Caso 1 Paso 1. Lee con atención la oración siguiente y trata de entender lo que dice. Medicina es el nombre de un arte y de una profesión; también se denomina así a los remedios con los que el - - - - cura.

Paso 2. Como notaste, en la oración anterior hay un espacio en blanco; subraya en esa oración las palabras que creas que tienen relación con el término faltante y escribe en la línea de abajo la que consideras completa la oración de forma lógica y coherente. Puedes anotar más de una.

Paso 3. Compara la palabra que escribiste con las que se presentan a continuación; marca la que más se acerque a la que escribiste o bien, señala la que coincide con la tuya. (A) doctor (B) médico (C) profesionista

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(D) especialista (E) artista

Paso 4. Verifica tu respuesta. Desde la primera lectura que se hace de la oración, si bien a ésta le faltan una o dos palabras, debes tratar de entenderla y completarla con la ayuda de la misma información que aparece en el texto. En la oración presentada, la primera parte habla de la medicina y es ésta la palabra clave para llegar a la respuesta; la segunda parte se refiere a la persona que ejerce esta profesión, lo sabemos por el contexto de la misma oración y las opciones de respuesta que se ofrecen. Una vez identificado el tipo de palabra que se busca y tras asociarla con la palabra clave concluimos que la respuesta correcta se encuentra en el inciso (B). Quizá te surja la duda de por qué el inciso (A) no es la respuesta correcta, ya que es común que cuando enfermamos acudamos al doctor. Te invitamos a atender el contexto e identificar las palabras que te guían a la respuesta correcta; la oración hace referencia a la medicina, que está relacionada directamente con la profesión de médico, nunca se menciona una idea que se asocie al concepto de doctorado, que es un grado de estudio. Vale la pena reiterarlo: identifica en el texto presentado (no en tus conocimientos previos) las palabras que te guían a la respuesta, pues son la clave para resolver estos ejercicios de manera acertada. Como se observa, las oraciones siempre proporcionan la información necesaria para responder a los ejercicios, no necesitas acudir a otras instancias o medios, basta que analices perfectamente la oración presentada para llegar a la respuesta correcta. Sigamos practicando el proceso para resolver adecuadamente los problemas de completar oraciones. Caso 2 Paso 1. Lee con atención la oración siguiente y trata de entender lo que dice. El plato del bien comer es una representación - - - - de los grupos de alimentos que consumimos y proporciona útiles recomendaciones para - - - - correctamente.

Paso 2. Subraya en la oración las palabras que creas tienen relación con los términos faltantes y escribe abajo las que creas completan la oración de forma lógica y coherente. Puedes anotar más de una.

Paso 3. Compara las palabras que escribiste con las que se muestran a continuación; marca el inciso que más se acerque a las que escribiste o bien, señala el que coincide con tu respuesta. (A) simbólica – comer (B) descriptiva – nutrirse (C) icónica – cuidarse (D) informativa – mantenerse (E) gráfica – alimentarse

Paso 4. Verifica tu respuesta. Las palabras que mejor complementan esta oración se encuentran en el inciso (E). Lo primero que debes saber es a qué hace referencia el o los espacios en blanco. En el caso del primer espacio, alude a lo que es el plato del bien comer, y la misma oración indica que se trata de una representación; por tanto, debes buscar en las opciones la que informe qué tipo de representación es el plato del bien comer.

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Puede ser icónica, simbólica o gráfica; tenemos tres opciones, así que vayamos a la segunda parte de la oración, donde debes prestar atención a la información “alimentos que consumimos”, “recomendaciones” y “correctamente”, sin olvidar que la oración hace referencia al plato del bien comer. Al insertar la palabra “cuidarse” [inciso (C)] en la oración no obtenemos el sentido lógico que buscamos. El inciso(A), comer, tampoco complementa la oración armónicamente, pues la acción de comer correctamente se refiere a los hábitos (tomar la cuchara, no ensuciarse, etcétera), mientras que el inciso (E) se refiere a la alimentación, palabra que sí tiene relación inmediata y directa con “alimentos que consumimos”, con “recomendaciones” y “correctamente”. Hagamos un último repaso del método que te proponemos para responder a este tipo de ejercicios. Caso 3 Paso 1. Lee con atención la oración siguiente y trata de entender lo que dice. El niño aprende mediante la - - - - con las personas y las cosas en un intercambio permanente y - - - - con su medio.

Paso 2. Subraya en la oración las palabras que creas tienen relación con los términos faltantes y escribe abajo los que creas que completan la oración de forma lógica y coherente. Recuerda que puedes anotar más de uno.

Paso 3. Compara las palabras que escribiste con las que se presentan a continuación; marca el inciso que más se acerque a las que escribiste o bien, señala el que coincide con tu respuesta. (A) relación - continúo (B) interacción - variado (C) plática - informativo (D) interrelación - duradero (E) vida - activo

Paso 4. Verifica tu respuesta. Para resolver el ejercicio debes saber a qué hace referencia el primer espacio, por lo que atiende al significado de la palabra “aprender”, pues en el espacio debe ir una palabras que se refiera a cómo aprende un niño; el segundo espacio alude a un “intercambio permanente”, y antes de él se encuentra la conjunción “y”, cuya función es unir elementos interrelacionados, así que has de buscar en las opciones la que cumpla las condiciones expresadas. Al analizar las opciones sólo el inciso (A) da coherencia a la oración. A través de estos ejemplos guiados comprobaste que dentro de las mismas oraciones siempre habrá “claves” que te guiarán a la respuesta correcta. La estrategia es que primero entiendas e interpretes el sentido de la oración a partir de la primera lectura, para que luego leas las opciones, descartes las inapropiadas y elijas la adecuada.

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Razonamiento verbal

Problemas de lectura de comprensión Además de los ejercicios de completar oraciones, en “Razonamiento verbal” hay otro tipo de problemas: los de lectura de comprensión, que como ya se explicó miden tu habilidad para razonar sobre el contenido de un texto, comprender los argumentos que en él se plantean, establecer relaciones analógicas (o por analogías) y reconocer ideas implícitas. Es importante señalar que en lectura de comprensión se incluyen dos secciones y tres tipos de ejercicios. Las secciones son “Lectura simple”, donde se presenta un texto y preguntas relacionadas con él, y “Lectura comparada”, donde se trata de hallar similitudes y diferencias en un par de textos, cuya unidad temática es la misma pero el enfoque y la postura de los autores pueden ser semejantes u opuestos. Mientras que el tipo de ejercicios que integran el área de lecura de comprensión son: razonamiento extendido, comprensión de texto y de vocabulario en contexto, mismos que se explican más adelante.

Conceptos básicos de lectura de comprensión Antes que nada, recuerda que los textos están constituidos por párrafos, y que en cada párrafo se distingue una idea principal alrededor de la cual se organiza la información. Además, en general todo texto incluye una introducción, un desarrollo y una conclusión. En seguida te presentamos los conceptos básicos relacionados con este tipo de problemas para facilitarte su resolución. Idea principal. Es la idea que sostiene todo el texto; es lo que responde a la pregunta de qué trata el texto o qué expresa el texto. Tema. Es el asunto sobre el que trata el texto; es el marco en que se expone la idea central del texto. No debe confundirse con el título. Propósito del autor. Generalmente el autor escribe con el propósito de informar, pero también para instruir o convencer (persuadir) a los lectores. Objetivo. No debe confundirse con el propósito del autor, pues un texto puede tener el propósito de informar y, mediante la exposición de la información, el autor busca algo más, que puede ser crear conciencia, convencer, conmover, etcétera. Analogía. Es una relación que se da entre dos relaciones. En estas dos secciones se evalúa tu habilidad para extraer información mediante tres tipos de problemas: 1. Razonamiento extendido, en los que debes hacer una inferencia con base en la información que ofrece el texto para determinar lo que no está explícito en él. Evalúan tu habilidad de razonamiento analógico (o mediante analogías), pues buscan que establezcas una relación analógica entre dos conceptos presentados en la lectura y que luego identifiques esa misma relación en las opciones de respuesta que se presentan.

Estrategia para resolver los problemas de razonamiento extendido  Debes identificar la información que te permita obtener una conclusión. No debes apartarte de lo expuesto por el autor, pues si bien se te pide hacer una inferencia, en el texto encontrarás información que te llevará a plantearla sin salirte del contexto.

2. Vocabulario en contexto, en los que debes determinar el sentido que el autor da a una palabra. Recuerda que las palabras pueden tener más de un significado; por ejemplo, el término rama denota una parte de una planta y también el área en que se divide una ciencia o disciplina. Las palabras adquieren o determinan su significado de acuerdo con el contexto en el que se encuentran.

Estrategia para resolver problemas de vocabulario en contexto  Para resolver este tipo de problemas ubica la palabra en el texto presentado y luego determina su significado según en el contexto (por ejemplo, de acuerdo con el tema de

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la lectura, las palabras que están junto a ella, la categoría gramatical que adquiere en el texto, etcétera). Si no es posible determinar el significado partiendo de la oración en la que se ubica, remítete a las oraciones anteriores o posteriores a ésta, lo que te ayudará a identificar el sentido en que se emplea la palabra.

3. Comprensión del texto, ejercicios que miden tu habilidad para recuperar información explícita en el texto, lo que te permite regresar a la lectura y ubicar información que te lleva a la respuesta correcta.

Estrategia para resolver los ejercicios de comprensión del texto  Para resolver los ejercicios de comprensión del texto ubica y recupera la información explícita en el texto que responde literalmente o hace referencia a la pregunta planteada en el problema.

Todos los textos presentados en la parte de “Razonamiento verbal” van antecedidos de una breve introducción; es primordial que la leas atentamente, pues aporta información valiosa. Además, no debes olvidar que siempre tienes que apegarte a lo expuesto por el autor y nunca contestar con base en tus conocimientos, pues las preguntas se basan en la postura del autor de cada texto.

Ejemplos guiados de lectura simple Instrucciones: lee atentamente el texto que sigue. Subraya las ideas principales. Para extraerlas aplica el proceso de lectura de comprensión que, entre otras cosas, consiste en identificar el tema, el propósito (que puede ser informar, instruir o persuadir), la postura del autor, el objetivo del texto, etcétera. Recuerda: el propósito y el objetivo no son iguales, pues un texto, por ejemplo, puede tener el propósito de informar sobre el problema del agua, en tanto que su objetivo puede ser el de crear conciencia sobre la vitalidad de conservarla. El siguiente texto trata de cómo se descubrió la importancia del hipocampo cerebral. (1)

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Uno de los casos más notables en la historia de las neurociencias, y que ayudó a comprender los mecanismos de consolidación de la información en el cerebro fue el del paciente epiléptico conocido como H.M. Cuando era niño, H.M. sufrió un accidente y se golpeó fuertemente la cabeza. Años después comenzó a padecer fuertes ataques convulsivos que los medicamentos sólo controlaron durante un tiempo. Los médicos que lo trataban decidieron someterlo a una cirugía experimental, en la que extrajeron la parte medial de ambos lóbulos temporales del cerebro. Como consecuencia, H.M. presentó graves problemas de memoria, en especial era incapaz de aprender nueva información. Podía leer una y otra vez el mismo libro como si fuera la primera

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vez y reírse de los mismos chistes. Conservaba datos adquiridos tiempo atrás (como su nombre, el de sus padres o su dirección) y podía mantener una conversación durante un tiempo, pero si se le distraía no recordaba lo que estaba hablando ni reconocía a su interlocutor. Sus médicos tenían que decirle quiénes eran cada vez que los veía. Gracias a este caso se descubrió la importancia del hipocampo cerebral en la memoria episódica.

REFERENCIAS: Luis Fernando Cuevas Remigio, “El síndrome de la memoria falsa”, ¿Cómo ves?, año 14, núm. 160, 2012, pág. 12.

Contesta las preguntas siguientes con base en la información que presenta el texto. Sustenta tu respuesta señalando en éste la información necesaria. Recuerda: antes de responder, identifica el tipo de problema de que se trata (vocabulario en contexto, razonamiento extendido o comprensión del texto), así como la estrategia que es recomendable seguir para resolverlo. 1. Según la lectura, después de golpearse la cabeza el paciente H.M.

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Razonamiento verbal

Paso 1. Identifica el tipo de pregunta de que se trata. Contéstala con base en la información que presenta el texto y sustenta tu respuesta; escríbela en la línea.

Paso 2. Elige la opción que se relacione con la respuesta que anotaste y que responda correctamente a la pregunta. (A) no podía mantener una conversación. (B) recordaba datos posteriores al accidente. (C) comenzó a padecer de fuertes ataques convulsivos. (D) ayudó a comprender los mecanismos cerebrales. (E) era incapaz de aprender nueva información.

Paso 3. Verifica tu respuesta. Lo primero que debes hacer es entender bien la pregunta, pues es ilógico que contestes algo que no te preguntan; por ejemplo, si alguien te pregunta cómo te llamas nunca le contestas con un número que indique tu edad ni con la dirección donde vives, sería ilógico; lo lógico es responder con tu nombre. Lo mismo pasa en este tipo de ejercicio; es de vital importancia que, después de entender perfectamente el texto presentado, comprendas la pregunta que se plantea. En este ejercicio se cuestiona sobre lo que sucedió a H.M. después de sufrir el accidente. Se trata de un ejercicio de comprensión del texto que requiere regreses a la lectura y ubiques la información literal que te lleva a la respuesta. Vuelve al texto y ubica la información que se encuentra en las líneas (7) a (9). Con base en esto, la respuesta correcta es el inciso (C). Los incisos (A) y (E) podrían serlo, pero si leíste con atención el texto, en ellos se alude a las consecuencias que sufrió el paciente después de que lo sometieron a una cirugía, y recuerda que la pregunta se centra en las consecuencias posteriores al golpe en la cabeza. Sigamos: 2. La palabra “notables” en la línea (1) se emplea con el significado de…

Paso 1. Identifica el tipo de pregunta. Ubica la palabra en el texto. Infiere el significado que se le da a partir del contexto en el que se encuentra. Anótalo:

Paso 2. Selecciona la opción que contenga el significado que se da a la palabra “notables” en este texto. (A) (B) (C) (D) (E)

desdeñables. grandes. destacados. memorables. importantes.

Paso 3. Verifica tu respuesta Estos ejercicios, llamados de vocabulario en contexto, te piden regresar al texto y contextualizar las palabras. Recuerda: una palabra puede tener más de un significado, pero en un texto éste está delimitado. Atiende la explicación. El Diccionario de Lengua Española de la rae (drae) define la palabra “notable” como el adjetivo que indica atención o cuidado, pero también como adjetivo dicho de una cosa grande y sobresaliente. Con base en esta segunda definición podemos concluir que la palabra “notable” tiene relación con la palabra “destacado”, que significa “notorio, relevante”; habría que preguntarse por qué el autor considera que este caso es notable, y la respuesta es que fue muy importante para la ciencia, ya que permitió un avance y fue memorable.

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La respuesta correcta se ubica en el inciso (C) pues como se advierte, la palabra “destacado” incluye dentro de su significado las palabras “importante” y “memorable”, de modo que siempre debes volver al texto para saber cómo emplea el autor la palabra o por qué la usa. Además, cuando elijas una opción hazlo sabiendo que hay vocablos cuyo significado puede incluir otros términos, o sea, tienen una carga semántica más fuerte. 3. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones tendría mayor posibilidad de aparecer en el texto?

Paso 1. Identifica el tipo de pregunta. Escribe abajo una idea que tenga relación con lo tratado en el texto. Sustenta tu respuesta.

Paso 2. Elige la opción que tenga relación con lo que escribiste. (A) H.M. fue sometido a una segunda cirugía. (B) Los padres de H.M. se sentían orgullosos de él. (C) H.M. también recordaba el nombre de su mascota. (D) El caso de H.M. permitió hacer nuevos descubrimientos. (E) La vida de H.M. cambió drásticamente después del accidente.

Paso 3. Verifica tu respuesta. En los reactivos de razonamiento extendido es necesario que hagas una inferencia o llegues a una conclusión a partir de lo expuesto en el texto presentado, en otras palabras, la respuesta no se halla literalmente, de modo que debes ubicar información que te conduzca a ella. El inciso (A) habla de una segunda cirugía; en el texto no existe dato alguno que nos lleve a esa conclusión; lo mismo pasa con los incisos (B) y (C). El inciso (D) hace una afirmación que está explícita al final del texto, y como esta pregunta solicita hacer una inferencia, no puede ser la respuesta correcta. El inciso (E) es la opción que mejor responde a la pregunta, y si relees el texto advertirás que hay información necesaria para llegar a esta conclusión.

Ejemplos guiados de lectura comparada Instrucciones: lee los textos siguientes. Recuerda aplicar las estrategias de la lectura de comprensión, es decir, extrae la información más importante de ambos textos y compáralos. Ambos textos tratan el tema de los alimentos orgánicos. Texto A (1)

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La idea de una alimentación orgánica está intrínsecamente asociada con ecología, salud y beneficios tanto para humanos, como para el medio ambiente. Sin embargo, la controversia ha llegado tras publicarse un estudio de la Universidad de Stanford que pone en duda los beneficios de ingerir comida orgánica. El estudio se realizó sobre otros estudios, es decir, es un metaanálisis sobre 240 publicaciones del tema que reveló que la comida orgánica no marca la diferencia en términos de nutrición y contenido vitamínico respecto a la comida convencional. Lo que sí se traduce en un beneficio para las personas que consumen alimentos orgánicos es la reducción a la exposición de

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pesticidas y a las bacterias que resisten a los antibióticos, según el estudio. “Las personas eligen comprar orgánicos por muchas razones. Una de ellas es la percepción (que se tiene) de los beneficios para la salud”, señaló Crystal Smith Spangler, quien lideró a un grupo de investigadores de la Universidad de Stanford y el Veterans Affairs Palo Alto Health Care. Crystal indicó que “algunos creen que la comida orgánica es siempre más sana y nutritiva (…) estamos sorprendidos al no haberlo confirmado”, y reiteró que la salud no es la razón principal, la de mayor peso, “estamos a favor de las comidas saludables. Claro, hay que comer frutas y verduras, pero cómo se hayan cultivado importa menos”.

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Por su parte, el profesor Alan Dangour afirmó que “los consumidores seleccionan alimentos orgánicos por una variedad de razones, pero este último estudio identifica que no hay diferencias convincentes entre alimentos orgánicos y los convencionales en cuanto a nutrientes o beneficios para la salud (…)” y deseó que esta evidencia sea útil para los consumidores. Texto B

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La revista Annals Of Internal Medicine adoptó una postura crítica al cuestionar que no quedó claro cuáles fueron las normas para decidir lo “orgánico” de los alimentos en el estudio realizado por la Universidad de Stanford. Sin embargo, los integrantes del equipo del estudio estadounidense no son los únicos que apoyan esta nueva teoría. Miguel Ángel Rubio, secretario de la Sociedad Española de Endocrinología y Nutrición, expresó que el estudio “sólo avala lo que ya se sabía (…) no hay ninguna diferencia entre una naranja ecológica y una tradicional, (las) frutas y verduras

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son básicamente hidratos de carbono. Puede cambiar la cantidad de agua, pero eso no altera su valor nutricional.” De acuerdo con el periódico El País, lo que sí es seguro es que este tipo de alimentación (la orgánica) es más cara y que en España y Estados Unidos es un negocio en ascenso. En el lapso de tiempo entre 1997 y 2006, las ventas se multiplicaron por seis y alcanzaron hasta 24 mil 400 millones de dólares. Es importante tener en cuenta que se ha detectado que más de un tercio de los productos no orgánicos tienen residuos de plaguicidas, lo que contrasta con el 17% que tenían las muestras de productos orgánicos. Y tanto la carne de cerdo como la de pollo, tienen 33% menor probabilidad de tener bacterias que resistan a tres o más antibióticos, que la carne (de cerdo y de pollo) no orgánica.

REFERENCIAS: Alesandra Pámanes, “Los mitos de la comida orgánica”, Airport Style, núm. 1, octubre de 2012, págs. 63-64.

Responde con base en la información. Antes de empezar a contestar recuerda que todas las preguntas se basan en las ideas expuestas en los textos, por lo que no antepongas tus conocimientos sobre el tema. 1. C  uál de las relaciones siguientes es similar a la de alimentos orgánicos y la salud establecida en el texto A.

Paso 1. Reconoce el tipo de problema de que se trata. En este caso, es una analogía en contexto. Para resolverlo establece una relación entre los conceptos, basándote en lo que plantean los autores. Puedes auxiliarte redactando una oración, es decir, uniendo los conceptos mediante un verbo. Escribe la oración resultante.

Paso 2. Elige la opción que contenga una relación similar a la planteada por el autor en el texto A. (A) limpieza y enfermedad (B) sueño y cansancio (C) bacteria y enfermedad (D) ejercicio y deporte (E) vida y felicidad

Paso 3. Verifica tu respuesta. Este tipo de problemas de analogías en contexto requieren que identifiques cómo relaciona el autor dos conceptos, y al responderlos debes establecer una relación entre dos pares de palabras. ¿Cómo se relacionan las palabras? El proceso, aunque parece sencillo, requiere un proceso mental complejo. Las palabras pueden relacionarse de diferente forma, pueden ser sinónimas, antónimas, una puede ser la consecuencia de la otra, etcétera, por lo que es importante identificar cómo las relaciona el autor. Centrémonos entonces en el texto A y las ventajas que implica ingerir tales alimentos para la salud: “las personas eligen comprar orgánicos por muchas razones. Una de ellas es la percepción (que se tiene) de los beneficios para la salud”. Con esta información se puede concluir que comer un alimento orgánico ayuda a la buena salud; la relación que se está estableciendo es de causa-consecuencia.

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Teniendo clara la relación, analicemos ahora las opciones. En el inciso (A) se establece una relación antónima (contraria) entre limpieza y enfermedad; en el (B), la relación analógica es inversa, es decir, el cansancio produce sueño, por lo que no puede ser la respuesta correcta, ya que en las analogías, además de establecer las relaciones de manera horizontal, debes cuidar el orden en el que aparecen los elementos (en este caso, primero aparece la causa y luego la consecuencia, no al revés). En el inciso (C) se establece una relación causa - consecuencia, pues una bacteria provoca una enfermedad: esta es exactamente la misma relación que la establecida en la premisa. 2. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones tendría mayor posibilidad de aparecer en ambos textos?

Paso 1. Identifica el tipo de pregunta. Con base en lo leído, contéstala.

Paso 2. Selecciona la opción que tenga relación con lo que escribiste en la línea anterior. (A) A  pesar de no existir diferencias nutricionales entre los alimentos orgánicos y los inorgánicos, los consumidores prefieren los orgánicos. (B) Faltan pruebas que sustenten que ambos alimentos son igualmente de nutritivos. (C) Las personas ignoran los estudios y consumen de igual forma los alimentos orgánicos que los inorgánicos. (D) El estudio lo único que hizo fue incrementar las ventas de los alimentos orgánicos. (E) Este tipo de análisis muestra que la ciencia no ha avanzado en cuanto a la generación de alimentos saludables.

Paso 3. Verifica tu respuesta. Esta pregunta de razonamiento extendido implica que elijas la opción que incluya la postura de ambos textos, el A y el B. En las opciones ubica entonces la que aluda a ambas, en sentido estricto la postura que asumen frente al tema tratado. También debes cuidar que la opción elegida concuerde con lo presentado en el texto, pues si eliges, por ejemplo, el inciso (B), no corresponderá la respuesta con lo expuesto en los textos. El inciso (D) habla de las ventajas económicas que demostró el estudio; sin embargo, este hecho sólo se aborda el texto B y no lo hace en ese sentido. El inciso (E) se aleja mucho de lo tratado por ambos textos; recuerda: pese a no estar de forma literal la respuesta, siempre debe haber indicios que nos lleven a ella. De lo planteado en los incisos (A) y (C), la opción (A) es la que mejor responde a la pregunta. Sustentémosla en los textos; el inciso (A) hace referencia a ambos textos y lo argumentamos en la información de la línea 18: “Las personas eligen comprar orgánicos por muchas razones”, y líneas (58-60): “lo que sí es seguro es que este tipo de alimentación (la orgánica) es más cara y que en España y Estados Unidos es un negocio en ascenso”. Con base en esto concluimos que es el inciso (A) el que mejor responde a la pregunta.

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Razonamiento verbal

Práctica comentada A continuación se presentan algunos ejercicios que te permitirán poner en práctica las habilidades adquiridas en las páginas anteriores. Además, se incluyen los argumentos en los que se sustentan las respuestas correctas.

Completar oraciones 1. Los mercados de alimentos nos permiten imaginar con mayor facilidad la vida - - - - de un pueblo. (A) (B) (C) (D) (E)

culinaria diaria cotidiana comercial antigua

Solución: para responder a este ejercicio atiende la información, “mercados de alimentos”, pues es la que conduce a la respuesta correcta. El único inciso que guarda relación directa con la parte señalada de la oración es el (A).

2. Algunas personas pueden confundir lo - - - - o lo imaginado con la - - - - . (A) (B) (C) (D) (E)

soñado – realidad idealizado – verdad planeado – vida dicho – imaginación concreto – abstracción

Solución: la clave para responder correctamente se encuentra en la conjunción “o” que, como se explicó en la sección de conceptos básicos, tiene la función de unir elementos semejantes. Sobre esta base, tenemos que los incisos que conservan la relación de semejanza son el (A) y (E). El segundo espacio hace referencia a que lo “imaginado” se confunde con… el contexto nos lleva a buscar una opción que indique oposición; dicha oposición se logra solo con el inciso (A) como respuesta correcta.

3. La ciencia trata de dar explicación a los fenómenos que ocurren en nuestro - - - - , haciéndolos predecibles y cuantificables; es decir, - - - - . (A) (B) (C) (D) (E)

mundo – perceptibles alrededor – palpables entorno – objetivos ambiente – exactos universo – visibles

Solución: las palabras clave aquí son “ciencia”, “explicación”, “fenómenos”, “predecibles” y “cuantificables”. En cuanto al primer espacio, no hay mucha información contextual para descartar alguna de las opciones, excepto que la palabra “ambiente” remite a un contexto mucho más limitado que el campo de estudio de la ciencia. Sin embargo, si los fenómenos son predecibles y cuantificables, son posiblemente perceptibles, palpables y visibles, pero necesariamente objetivos. Por tanto, (C) es la respuesta correcta.

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4. La botánica no se limita a - - - - las plantas: busca entender la vida y evolución de estos - - - -. (A) (B) (C) (D) (E)

explicar – seres estudiar – vegetales examinar – individuos describir – organismos investigar – animales

Solución: la oración habla de las plantas, y esta palabra es precisamente la clave para llegar a la respuesta. Con base en esto revisemos las opciones; al hacerlo, nota que el inciso (C) y (E) están descartados, pues las plantas no son individuos ni animales. De los incisos sobrantes descarta el (A), pues al insertar las palabras propuestas la oración no cobra sentido; sólo quedan los incisos (B) y (D). Para resolver correctamente este ejercicio debes atender al significado de las palabras que se presentan como opciones y elegir la que presente conceptos incluyentes, es decir, qué opción no puede ser incluida por otra porque tiene una carga de significado mayor que el de los conceptos de la otra opción. Así, llegarás a la conclusión de que la clave es el inciso (D).

5. Pepe - - - - alimentos en mal estado; por lo tanto, está - - - (A) (B) (C) (D) (E)

consumió – molesto ingirió – enfermo comió – cansado preparó – consternado compró – aturdido

Solución: después de leer la oración reconoce que las palabras clave son “por lo tanto”; este nexo denota una relación de causa-consecuencia. Las opciones (D) y (E) no pueden ser correctas, pues la segunda parte de la respuesta no muestra la relación antes planteada. Los incisos (A) y (C) contienen en la primera palabra una posible respuesta lógica, pero en la segunda se pierde la lógica. La respuesta correcta se halla en el inciso (B), ya que si una persona ingiere algo en mal estado como consecuencia se enfermará.

6. Las flores secretan - - - - , sustancia rica en azúcares que las abejas transforman para producir - - - - . (A) (B) (C) (D) (E)

pupa – panales polen – enjambres néctar – miel jugo – jalea resina – dulce

Solución: la información clave de este ejercicio es “sustancia rica en azúcares” y “abejas”. De las opciones, sólo el inciso (C) completa de forma lógica y coherente la oración, pues el néctar es una sustancia y lo que las abejas hacen con ella es convertirla en miel.

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Razonamiento verbal

Lectura de comprensión A continuación te ofrecemos una serie de ejercicios que te permitirán reforzar los pasos revisados y por supuesto tus habilidades de lectura.

Lectura simple El siguiente texto aborda el tema de la importancia del olfato. (1)

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Los mamíferos poseen un sentido del olfato sumamente desarrollado y se ha sugerido que esta característica, entre otras, les posibilitó diversificarse más que los dinosaurios, al parecer dotados de un olfato menos desarrollado. El sentido del olfato en los mamíferos se ubica en la parte interna de la nariz. Se trata en general de una pequeña capa de células, o epitelio, inervada por numerosas neuronas llamadas olfativas primarias. Estas neuronas poseen receptores que se activan al percibir moléculas odoríferas. Cada objeto de nuestro entorno produce moléculas odoríferas diferentes, y no es difícil imaginar que las de las flores activen receptores en las neuronas distintos de los que se activan con los alimentos en descomposición. Una vez que los receptores se activan, se desencadena una serie de señales químicas que, mediante la participación de otras neuronas, viajan al cerebro. Allí las señales olfativas son procesadas e interpretadas para que el organismo actúe en consecuencia. En los humanos recién nacidos el olfato es uno de los primeros medios utilizados para reconocer el entorno, muy posiblemente antes que otros sentidos como la vista y el tacto. Por los olores reconocemos a nuestros familiares y

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nos formamos una primera idea de la realidad. Con el olfato percibimos aspectos que nos rodean; por ejemplo, gracias a él reaccionamos ante peligros como una fuga de gas o la ingestión de un alimento descompuesto, o elegimos el restaurante donde queremos comer. A pesar de la innegable importancia del sentido del olfato, las sociedades modernas han sucumbido al deseo de eliminar muchos de los olores más comunes, en particular los emitidos por nuestro cuerpo. Nos bañamos a diario, usamos jabones y champú con olores artificiales, además de lociones, desodorantes y perfumes. No conformes con ello, utilizamos un sinfín de productos para eliminar o atenuar los olores. Este afán de controlar el mundo de los olores nos ha llevado a limitar enormemente nuestras experiencias olfativas. Estamos ya muy lejos de aquellos tiempos en que el olfato era empleado de manera cotidiana en muchas facetas de la vida, entre ellas la medicina, pues muchos padecimientos se diagnosticaban por medio del olor de la orina, de las heces o de la sangre.

REFERENCIAS: ¿Cómo ves?, año 14, núm. 162, págs. 31–32.

1. Según el autor, el sentido del olfato tiene la función primaria de (A) (B) (C) (D) (E)

identificar a nuestros padres. diferenciar olores. desencadenar reacciones químicas. diagnosticar enfermedades. reconocer el entorno.

Solución: lo primero que debes identificar es el tipo de ejercicio y los pasos que has de seguir para resolverlo. Esta pregunta es de comprensión del texto, lo que implica ubicar información literal que conduzca a la respuesta. Regresa a la línea 23, en la que el autor explica la función primaria del olfato: “(…) el olfato es uno de los primeros medios utilizados para reconocer el entorno, muy posiblemente antes que otros sentidos como la vista y el tacto”. La respuesta correcta es el inciso (E).

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2. Con base en lo expuesto en el último párrafo se infiere que (A) (B) (C) (D) (E)

los dinosaurios no evolucionaron debido a su deficiente sentido del olfato. a los humanos les desagrada su aroma. la sociedad moderna desestima la importancia del sentido del olfato. en la medicina aún se emplea el sentido del olfato. cada aroma desencadena una reacción distinta.

Solución: recuerda que este tipo de ejercicio requiere que concluyas algo a partir de la información, de modo que la opción que elijas no aparece literalmente en el texto, pero sí debe haber indicios que te lleven a la conclusión que se te solicita. Los incisos (A) y (E) aluden a otros párrafos, así que descártalos, pues la pregunta te remite a lo expuesto sólo en el tercer párrafo. Al leer con atención el inicio del párrafo con facilidad llegarás a la respuesta: el inciso (C), ya que hoy en día se elimina cualquier olor y hay diversos productos para ello.

3. A partir de la información “este afán de controlar el mundo de los olores nos ha llevado a limitar enormemente nuestras experiencias olfativas” nos lleva a inferir que (A) (B) (C) (D) (E)

preferimos eliminar los olores a inhalarlos. los medios que empleamos para eliminar los olores terminan por atrofiar este sentido. es común emplear diversos utensilios para eliminar los olores. ya no inhalamos los olores producidos naturalmente. el hombre siempre quiere controlar todo lo que hay en el planeta.

Solución: los ejercicios de razonamiento extendido requieren que llegues a una conclusión a partir de lo expuesto en el texto, pero recuerda que, no encontrarás literalmente la respuesta correcta. El ejercicio nos sitúa específicamente en un párrafo y nos proporciona la información necesaria para concluir que si limitamos nuestro olfato es porque preferimos no inhalar malos olores. El inciso que engloba esta idea es el (A).

4. la palabra “sucumbido”, en la línea 36, se usa con el sentido de (A) (B) (C) (D) (E)

tolerado. rendido. sometido. resistido. cedido.

Solución: la palabra “sucumbido” significa literalmente ceder, rendirse. Regresa al texto y observa cómo el autor emplea ese término en el sentido de que los humanos hemos cedido ante la idea de eliminar los malos olores; por tanto, la respuesta correcta es el inciso (E).

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Razonamiento verbal

Lectura comparada Ambos textos abordan el tema de la bicicleta, pero de diferente punto de vista. Texto A (1)

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En etapas muy tempranas de la historia se descubrió la ventaja de utilizar ruedas para mover objetos pesados, en vez de arrastrarlos o intentar cargarlos. Desde la antigua Mesopotamia (…), se aprovecharon los troncos de los árboles para construir tornos, rodillos, molinos. Por centurias se utilizaron ruedas para fabricar carruajes que eran jalados por animales, pero el crecimiento continuo de las poblaciones y las ciudades obligaba a encontrar alguna otra manera de recorrer distancias cada vez más largas y durante mayores lapsos. Fue entonces que –lo mismo que en otras historias semejantes– apareció el personaje ideal en el momento idóneo: el alemán (…) Karl Drais. Inventor más o menos desafortunado, Drais por fin dio en el clavo, hacia 1817, cuando presentó un extraño artilugio al que llamó velocípedo. En realidad era algo así como una máquina para caminar más rápido, compuesta por una estructura semejante a un caballo de madera, una rueda trasera y otra delantera, acoplada a una barra que podía girarse con la mano. Para poner a funcionar el velocípedo había que impulsar los pies con el suelo, en una peculiar caminata. De inmediato surgieron fabricantes espontáneos de velocípedos, y el aparato aquel tuvo cierto éxito; sin embargo, la mayoría de la gente no se interesó en el audaz vehículo, por caro, pesado o, incluso, lento. Los fabricantes trataron de mejorar los velocípedos para que parecieran más atractivos: triciclos impulsados por palancas, carruajes con remos, gigantes vehículos con cuatro ruedas… Hasta que, en 1868, (…) Pierre Michaux encontró la solución para colocar los pies, y construyó el primer velocípedo con pedales, que colocó directamente en el eje de la rueda delantera. Las mejoras se sucedieron velozmente: hacia 1879, (…) Henry Lawson puso una cadena en la rueda trasera de un velocípedo y la unió con unos pedales colocados justo al centro; bautizó como byciclette su invento. Luego, (…) John Kemp Starley realizó el diseño más parecido a la bicicleta

como la conocemos actualmente, tan ingenioso que no necesitaba la fuerza de algún animal (a excepción del propio ciclista) o de un motor para (50) desplazarse. Texto B

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A pesar de su humilde sencillez, la bicicleta ha tenido relevante influencia en el desarrollo de la sociedad por esa mezcla entre su bajo precio (su fabricación requiere trescientas veces menos materia prima que la necesaria para un automóvil) y gran utilidad (a una rapidez promedio de diecisiete kilómetros por hora, un ciclista necesita –por kilómetro– entre tres y cuatro veces menos energía que una persona a pie). (…) Sentarse al manubrio de la bicicleta también significa participar en una serie de experimentos: sin alguna ayuda, una bici se cae cuando no está en movimiento, pero basta con poner a trabajar los pedales para conseguir cierto equilibrio. La masa del ciclista se suma a la de la bicicleta, sus centros de gravedad se desplazan al formar un solo sistema, que es empujado por los neumáticos rozando el suelo, capaces de aguantar hasta quinientas veces su propio peso; si algún imprevisto aparece, las zapatas de caucho se pegan a los aros de las ruedas, aumenta la fricción y disminuyen su movimiento; los tubos ovalados y cilíndricos con los que se fabrican las bicicletas modernas aligeran su marcha, al mismo tiempo que las vuelven sumamente resistentes (…). La bicicleta lo mismo transporta personas que recipientes para guardar tamales, tacos, nieves, o provoca el funcionamiento de lámparas de dínamo; la bicicleta necesita de la energía de nuestro cuerpo, pero al mismo tiempo fortalece nuestros músculos y huesos, agiliza el movimiento de la sangre, mejora la capacidad de los pulmones para conservar oxígeno.

REFERENCIAS: Juan Nepote, “Ciencia en bicicleta”, Ciencia y desarrollo, México, 2012, págs. 32-33.

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1. Ambos textos coinciden que la bicicleta (A) (B) (C) (D) (E)

tiene su origen en las culturas antiguas. necesita de la energía y fuerza del humano para desplazarse. fue un invento que cambió la forma de transportarse. se caracteriza por ser un medio de transporte versátil. tiene un costo inferior al de un automóvil.

Solución: este reactivo te pide hacer una inferencia que sea aplicable a los dos textos, de modo que la opción que elijas debe encajar perfectamente tanto en el texto A, como en el B; además recuerda que, aunque la respuesta no sea literal, debe haber información en ambos textos que te guían a la respuesta. En este caso, el texto A literalmente dice: “que no necesitaba la fuerza de algún animal (a excepción del propio ciclista) o de un motor para desplazarse”; por su parte, en el texto B el autor expone: “la bicicleta necesita de la energía de nuestro cuerpo”. Con esta información se puede concluir que la bicicleta, para ponerse en movimiento, necesita del hombre: su fuerza y energía. Por tanto, la respuesta correcta está en el inciso (B).

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría aparecer en el texto B, pero no el A? (A) No se sabe cuándo se inventó, ni quien inventó la bicicleta. (B) Otro beneficio de usar la bicicleta es que ayuda agudizar los reflejos. (C) Las ventajas no sólo son económicas sino físicas. (D) Tardaron siglos en diseñar la bicicleta como ahora la conocemos. (E) No importa para qué uses la bicicleta, tiene múltiples funciones.

Solución: para responder acertadamente a esta pregunta debes comprender que la respuesta no puede aparecer en el texto A. Así que, al analizar las opciones debes prestar mucha atención a esta restricción, además de recordar qué es lo que este texto dice sobre el tema. La opción que responde adecuadamente es el inciso (A), pues de aparecer esta información en el texto éste no tendría congruencia, ya que el autor en el tercer párrafo explica quién fue el creador de la bicicleta y el año en que se inventó. La información que aparece en dicho inciso sí puede aparecer en el texto B, pues al autor no le interesa quién la inventó, sólo le importan los beneficios y utilidades que representa el uso de la bicicleta.

3. A diferencia del texto B, en el A se aborda el tema de la bicicleta desde un punto de vista (A) (B) (C) (D) (E)

utilitario. antiguo. actual. filosófico. histórico.

Solución: para responder a este ejercicio debes identificar el tipo de información que se ofrece en cada uno de los textos. Si bien los dos hablan de la bicicleta, no relatan lo mismo ni lo hacen de la misma manera. El texto A trata el tema desde el punto de vista del origen de la bicicleta, es decir, lo hace adoptando un enfoque histórico. El texto B no hace alusión a la historia de la bicicleta; en

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Razonamiento verbal

cambio, se centra en las ventajas que ha representado y representa el uso de dicho medio de transporte, es decir, aborda el tema desde el punto de vista utilitario. Por tanto, la respuesta correcta se encuentra en el inciso (E).

4. Para el autor del texto B las ventajas del uso de la bicicleta (A) (B) (C) (D) (E)

es que es trescientas veces más barata que un automóvil. contribuye al medio ambiente, pues el hecho de usarla no implica contaminación. es que se pueden movilizar o transportar cosas muy pesadas. no necesita ni de un animal ni de un motor para ponerse en movimiento. fortalece los músculos y ayuda a los pulmones a conservar el oxígeno.

Solución: el ejercicio te solicita volver al texto B y ubicar las líneas que aluden a las ventajas del uso de la bicicleta. Si bien a lo largo del texto se explican las ventajas, son las últimas líneas las que llevan a la solución adecuada: “pero al mismo tiempo fortalece nuestros músculos y huesos, agiliza el movimiento de la sangre, mejora la capacidad de los pulmones para conservar oxígeno”. Esta información se presenta de forma sintetizada en el inciso (E), que es, por tanto, la respuesta correcta.

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azonamiento matemático

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II. Razonamiento matemático

Las preguntas de razonamiento matemático de la prueba de aptitud académica miden tus habilidades para procesar y aplicar algunos conceptos básicos de aritmética, probabilidad y estadística, álgebra y geometría. En la parte de “Razonamiento matemático” te mostraremos las estrategias de resolución de problemas propuestas por el College Board. Es importante señalar que esas estrategias no representan el único camino para obtener la solución; seguramente, con base en tu conocimiento y en tu creatividad se te ocurrirá otra forma de solucionar los problemas que se te presenten. Puesto que la Prueba de Aptitud Académica (paa) del College Board evalúa tus habilidades, los problemas que se presentan en esta parte del libro no te exigen conocimientos especializados, sino más bien la aplicación de algunos conceptos básicos. Por ello, al principio de cada una de las secciones de “Razonamiento matemático” hallarás un recordatorio de tales conceptos; te sugerimos que los leas con atención y, de ser necesario, que profundices en ellos en otros libros. Por último, vale indicar que con la práctica reconocerás los errores comunes que debes evitar. Esos errores (como olvidarse de hacer alguna operación, realizarla mal u omitir datos) son los que generalmente consideran quienes escriben los problemas para colocarlos como distractores en las preguntas de opción múltiple.

Organización Al principio de cada una de las secciones de “Razonamiento matemático” encontrarás conceptos básicos que te serán útiles al resolver los ejercicios. Posteriormente hallarás ejemplos guiados en los que analizarás los tipos de problemas que plantea la prueba de aptitud académica (paa) del College Board. Después pondrás a prueba las habilidades que has aprendido mediante la resolución de algunos ejercicios, los cuales te permitirán reconocer y evitar los posibles errores que comúnmente se cometen cuando no se está preparado para encarar un examen que mide tus habilidades de razonamiento.

Tipos de problemas En la actualidad, el College Board plantea en matemáticas dos tipos de problemas: de opción múltiple y de suplir respuesta (o spr). Las respuestas se colocan en hojas especiales, las cuales contienen círculos o alvéolos que debes rellenar. Después, estas hojas pasan por lectores ópticos, que finalmente arrojan los resultados de la prueba. A continuación se explica el formato de cada uno de los tipos de problemas y la forma de asentar su respuesta; las estrategias para resolverlos se verán más adelante. Problemas de opción múltiple. Estos problemas constan de un enunciado seguido de cinco opciones. El enunciado incluye datos explícitos e implícitos que constituyen las condiciones del problema, y también incluye la pregunta o requerimiento (lo que solicita el problema). En las opciones se encuentra una única respuesta correcta y cuatro respuestas plausibles conocidas como distractores. Cuando se ha elegido la respuesta correcta se rellena el alvéolo correspondiente en la hoja de respuestas. 23

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Razonamiento matemático

Ejemplo Daniel recibió el lunes el doble de e-mails de los que recibió el martes. El total de mensajes recibidos en ambos días es 99. ¿Cuántos recibió el día lunes? (A) 46 (B) 50 (C) 56 (D) 60 (E) 66

Para indicar la respuesta correcta se llena por completo el alvéolo, como se muestra en la figura siguiente:  A  

  B  

 C  

   D  

 

Problemas de suplir respuesta (spr). Igual que los de opción múltiple, en estos problemas se incluyen condiciones y requerimientos, pero no opciones para elegir la respuesta. Una vez obtenida la respuesta correcta, se asienta en un encasillado como se muestra en el ejemplo siguiente. 2. U  n médico receta a su paciente 5 ml de un jarabe tres veces al día. Si el frasco de jarabe contiene 60 ml, ¿para cuántos días le alcanzará?

4 .

/ / . .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

. 0 1 2 3 5 6 7 8 9

Como se observa, la respuesta se escribe en la parte superior derecha del encasillado y luego se oscurece el círculo correspondiente. En este tipo de problemas es necesario considerar lo siguiente: • Puede haber más de una respuesta; en tal caso, sólo escribe una de ellas. • No hay respuestas negativas. • Los números mixtos, como 4  12 , deben escribirse como 4.5 o bien como 92 , ya que si colocas en el encasillado , 4 1/ // 2 el lector óptico lo interpretará como 412 . • Si la respuesta es un número decimal que contenga más dígitos de los que se pueden acomodar en el encasillado, debes redondearlos o truncarlos, pero es necesario llenar por completo el encasillado. Por ejemplo, si tu respuesta es 0.6666…, debes registrar tu resultado como .666 o .667, ya que si sólo escribes .66 o .67 la respuesta se considerará incorrecta.

Estrategia general para resolver los problemas El método que te proponemos para resolver los problemas del área de razonamiento matemático, sea cual fuere su tipo, se compone de cuatro pasos generales:

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I. Entender el problema. Es necesario leer bien el problema para identificar la información que se proporciona (gráficas, relaciones de datos, medidas, etcétera), así como la información que se pide. Ello servirá también para desechar los datos que no son necesarios para obtener la respuesta.  II. Escoger una estrategia particular. Las estrategias particulares que te mostraremos en este texto son TRECE y se llaman particulares porque cada una de ellas se aplica según las características del problema que debes resolver. A continuación las enumeraremos y en la sección siguiente las explicamos; posteriormente, en cada una de las secciones de esta parte del libro (aritmética e interpretación de datos estadísticos, álgebra y geometría) ejemplificaremos paso a paso cómo aplicarlas. Esas trece estrategias son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Identificar el patrón. Resolver hacia atrás. Usar definiciones y propiedades. Hacer una lista o una tabla. Simplificar el problema. Usar prueba y error o evaluar las opciones propuestas. Hacer o seguir un modelo. Elaborar ecuaciones o utilizar fórmulas. Hacer o modificar una figura. Identificar submetas. Usar simetría. Usar coordenadas. Resolver un problema equivalente.

III. Desarrollar la estrategia particular. Esta parte consiste en llevar a cabo las operaciones, los dibujos o lo que haga falta para obtener la respuesta. Te darás cuenta de que muchas veces al resolver un problema se empieza con una estrategia y es necesario utilizar otras más.  IV. Verificar si la solución obtenida responde a la pregunta. Algunos problemas nos permiten comprobar la solución, como en el caso de haber encontrado un determinado valor que satisfaga cierta ecuación y que podemos comprobar evaluando el valor encontrado. En otros problemas sólo podemos verificar si nuestra respuesta se relaciona coherentemente con los demás elementos que intervienen en el problema. Debes tener en cuenta que, en ocasiones, al dar uno de los cuatro pasos es necesario regresar a alguno de los anteriores, ya sea para integrar algún dato que no se consideró o para corregir alguna operación. Nota: cuando presentes tu examen de admisión la lectura del problema te revelará si tienes los conocimientos necesarios para resolverlo; en caso de que no sea así te sugerimos pasar al problema siguiente para evitar perder tiempo.

Estrategias particulares A continuación se describe en qué consiste cada una de las trece estrategias particulares de las que puedes elegir al dar el paso II según el método para resolver problemas propuesto en esta obra. 1. Identificar el patrón. Hay problemas que presentan una sucesión de objetos (números, gráficos o términos algebraicos) generados siguiendo cierta regla. Es necesario identificar las relaciones entre esos objetos para reconocer el patrón que los genera y así llegar a la respuesta. 2. Resolver hacia atrás. Hay problemas en que los datos están encadenados de tal forma que primero es necesario resolver la relación que está al último, ya que ese resultado permitirá resolver las relaciones anteriores. 3. Usar definiciones y propiedades. Esta estrategia regularmente se aplica en problemas que implican números pares, impares, consecutivos, dígitos, divisores, múltiplos, primos, así como reglas de divisibilidad, raíz cuadrada, leyes de exponentes, etcétera.

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Razonamiento matemático

4. Hacer una lista o una tabla. Algunos problemas requieren enumerar algunos elementos, para lo cual se recomienda escribir una lista (no sólo hacerla mentalmente) que permita ver de forma ordenada los posibles casos que plantea el problema. En los problemas donde haya información relacionada o cruzada será mejor hacer una tabla. Las listas y las tablas previenen que omitamos o repitamos información. 5. Simplificar el problema. Algunos problemas contienen información que puede omitirse o simplificarse generando un problema más sencillo de resolver (con menos elementos o con números más pequeños). Es necesario estar seguro de que la información omitida no afecta la solución del problema. 6. Usar prueba y error. Esta estrategia consiste en probar con algunos valores simples siguiendo las condiciones del problema hasta hallar la solución. Incluso en ciertos problemas de opción múltiple conviene recordar el hecho de que la solución correcta está en uno de los incisos y que podemos verificar cada una de esas opciones hasta encontrar la que responde el problema. Aunque hacer esto último es útil, probar cada una de las opciones lleva más tiempo, así que sólo es recomendable hacerlo cuando no haya otra estrategia disponible. 7. Hacer o seguir un modelo. Hay problemas en los que dentro de las condiciones se presenta un ejemplo de cómo están relacionados los datos, ya sea mediante una función o alguna operación no convencional. Si se sigue ese modelo podremos hallar la solución. 8. Elaborar ecuaciones o utilizar fórmulas. Hay problemas expresados en forma verbal que requieren traducirse a ecuaciones para poder resolverlos; siempre hay que considerar las condiciones que presenta el problema y las relaciones entre sus elementos. Otros problemas, como los de áreas y perímetros, se resuelven utilizando las fórmulas preestablecidas para las figuras que estén implicadas. 9. Hacer o modificar una figura. A veces al trazar figuras o hacer diagramas se observan con mayor claridad las relaciones entre los elementos del problema, lo cual ayuda a comprender mejor este último y a que surjan ideas que lleven a la solución. 10. Identificar submetas. En ocasiones conviene descomponer el problema en partes más sencillas de resolver e ir solucionando cada una de ellas de forma aislada. Después habrá que enlazarlas para construir la solución del problema original. 11. Usar simetría. En algunos problemas puede observarse simetría geométrica o numérica. La simetría geométrica implica una correspondencia entre puntos y tal vez entre formas y medidas. Por ejemplo, las acciones de deslizar o girar conducen a ciertos tipos de simetría. Por su parte, la simetría numérica se da, por citar un caso, cuando valores numéricos pueden ser cambiados de orden y resulta algo similar. 12. Usar coordenadas. Se emplea en problemas en los que hay que elaborar un plano cartesiano para identificar puntos en él; o analizar un plano cartesiano dado para verificar relaciones entre los datos mostrados. 13. Resolver un problema equivalente. A veces es útil reformular el problema original generando uno equivalente. Entonces, si el problema equivalente puede ser resuelto, la solución puede ser interpretada para guiar o alcanzar una solución del problema original.

Destrezas y estrategias para la universidad

Problemas de aritmética y análisis de datos estadísticos Al principio de esta sección encontrarás algunos conceptos básicos relacionados con los problemas de aritmética y de análisis de datos estadísticos. Estos problemas abarcan los temas siguientes: • Números enteros y sus propiedades. • La línea recta. • Cuadrado de un número y raíces cuadradas. • Fracciones y números racionales. • Teoría de números ( factores, múltiplos y números primos). • Razones, proporciones y porcentajes. • Diagramas de Venn. • Patrones numéricos. • Interpretación de tablas y gráficas. • Media aritmética, mediana y moda. • Probabilidad de un evento simple. • Problemas de conteo. Después te presentaremos la estrategia propuesta para resolver cada uno de los problemas de razonamiento matemático mostrándote tres ejemplos resueltos paso a paso. Posteriormente pondrás en práctica tus habilidades resolviendo algunos ejercicios.

Conceptos básicos Enseguida se presentan algunos conceptos básicos que debes conocer para resolver bien este tipo de ejercicios. Números enteros. Son números negativos, el cero y positivos: …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,… (No se considera que el cero sea positivo o negativo.) Enteros pares. …, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, …, 2k, donde k es un entero. (El cero es un entero par.) Enteros impares. …, −5, −3, −1, 1, 3, 5, …, 2k + 1, …, donde k es un entero. Enteros consecutivos. Son los que siguen una secuencia, por ejemplo: 14, 15, 16, 17. Pueden representarse de forma general con n, n + 1, n + 2, n + 3, … Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. (En cualquier número entero, el dígito de las unidades es el que aparece hasta la derecha; por ejemplo, en 1463, el dígito de las unidades es el 3.) Múltiplo de un número entero. Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por un entero; por ejemplo, 15 es múltiplo de 5 porque (5)(3) = 15. Divisor. Un divisor de un entero es otro número entero que lo divide exactamente, es decir, con residuo cero. Por ejemplo, 6 es divisor de 24 porque 246 = 4 Número primo. Es un número entero mayor que 1 que sólo tiene dos divisores, el 1 y él mismo. (El 1 no es primo por ser la unidad, y el 2 es el único primo par.) Algunas reglas de divisibilidad. Un número es divisible entre: • 2, si el dígito de las unidades es divisible entre 2. • 3, si la suma de los dígitos es divisible entre 3. • 4, si el número formado por los dos últimos dígitos es divisible entre 4. • 5, si el dígito de las unidades es 0 o 5. • 6, si el número es divisible entre 2 y entre 3. • 9, si la suma de los dígitos es divisible entre 9. • 10, si el dígito de las unidades es 0. Signos de la multiplicación. Para indicar la multiplicación de dos números pueden utilizarse diversos signos, por ejemplo: (2)(2) = 2 ⋅ 2 = 2 * 2 = 2 × 2, aunque este último (llamado aspa, ×) no se usa en álgebra para no confundirlo con la literal x.

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28

Razonamiento matemático

Exponente. Es el número que indica las veces que otro número se multiplica por sí mismo; por ejemplo, 23 = (2)(2)(2) = 8 y se lee 2 elevado a la potencia 3 es igual a 8. En general nk = (n)(n) … (n) k veces. Cuadrado de un número. Significa elevar ese número a la potencia 2; por ejemplo, 52 = (5)(5) = 25. Raíz cuadrada de un número. Obtener la raíz cuadrada de un número es hallar otro número que al elevarlo al cuadrado resulte el primero; por ejemplo, la raíz cuadrada de 25 es 5 porque (5)(5) = 25. Utilizando el símbolo de la raíz cuadrada este ejemplo se vería así: 25 = 5. Fracciones y números racionales. Una fracción es una forma de representar las partes de un todo, las fracciones se denotan como ab , donde a (numerador) es el número de partes a considerar y b (denominador) es el número de partes en que está dividido el todo; b debe ser distinto de cero. Los números racionales pueden escribirse como una fracción o de forma decimal; por ejemplo, 52 puede escribirse también como 0.4. Operaciones con fracciones. a c

 bc 

a c

+ db = adcd+ bc

ab c

( ) = abc

a bc a c

ab ⋅ db = cd

a c

÷ db = ad bc

Porcentajes. La palabra porcentaje significa “de cada 100”; por ejemplo, 45% significa 45 de cada 100, 45 100 o 0.45. Para obtener el 15% de 250, por citar un caso, se puede indicar esta proporción de la siguiente forma: 250 x

% = 100 15%

es decir, si 250 es 100%, entonces x cantidad es 15%; por tanto: x=

( 250 )(15% ) 100%

= 37.5

es decir, 37.5 es 15% de 250. Recta numérica. Es una línea horizontal con marcas dispuestas a la misma distancia donde están representados los números de menor a mayor.

–3

–2

–1

0

1 2

1

2

3

Valor absoluto. El valor absoluto de un número es la distancia que hay de ese número al cero en la recta numérica. Por ejemplo, el −6 y el 6 tienen valor absoluto de 6. El valor absoluto se denota con barras verticales: |−6| = |6| = 6. Sucesiones. Son cadenas de números u otros objetos que siguen determinada regla o patrón. Conjuntos. Los conjuntos son colecciones de objetos. Por ejemplo, el conjunto de números primos menores que 17 está formado por los elementos o miembros siguientes: {2, 3, 5, 7, 11, 13}.

Destrezas y estrategias para la universidad

La unión de dos o más conjuntos combina los elementos de cada conjunto en uno solo. Por ejemplo, si se unen el conjunto de los divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12} con el conjunto de los divisores de 15: {1, 3, 5, 15}, el resultado será: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15}. La intersección de dos o más conjuntos da como resultado un nuevo conjunto con los elementos que tienen en común. Del ejemplo anterior, la intersección es el conjunto: {1, 3}. Diagramas de Venn. Los diagramas de Venn usan círculos para representar relaciones entre conjuntos.

FIG 2

Unión

Intersección

Conteo. Son las formas en las que se pueden hallar el número total de maneras en que dos o más eventos o situaciones pueden ocurrir. Tenemos dos reglas fundamentales: • Suma: el primer evento puede ocurrir de m formas y el segundo ocurre de n formas y ambos eventos no ocurren simultáneamente, entonces el total de formas en que los dos pueden ocurrir está dado por m + n. Por ejemplo, si se tiene tres libros de computación y cuatro de matemáticas, entonces se puede elegir 3 + 4 = 7 libros para estudiar los dos temas. • Producto: si el primer evento puede ocurrir de m formas y el segundo evento, que depende del primero, ocurre de n formas, entonces el total de formas en que los dos pueden ocurrir está dado por mn. Por ejemplo, si se puede escoger entre tres ensaladas con cuatro aderezos, el total de ensaladas con aderezos de los que se puede escoger será 12, ya que (3)(4)=12. Probabilidad de un evento simple. Se representa mediante una fracción que describe la posibilidad de que un evento ocurra. Si la fracción es casi cero es menos posible que ocurra el evento; cuanto más se acerque al uno es más posible que ocurra. Para formar la fracción, primero se calcula el número total de eventos posibles y se coloca como denominador; luego se calcula el número de eventos que cumplen con los requerimientos del problema en cuestión y se coloca como numerador de la fracción. Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar un dado caiga un número par es 36 = 12 porque de los seis números que tiene el dado sólo tres son pares. Moda, mediana y media aritmética o promedio. Dado un conjunto de datos, la moda es el valor que ocurre con más frecuencia, la mediana es el valor medio cuando los datos están ordenados de menor a mayor, y el promedio o media aritmética es el centro de la distribución de los datos. Para calcular la media se suman los valores y ese total se divide entre el número de valores sumados. Por ejemplo, en el conjunto de datos: 3, 3, 3, 7, 7, 7, 9, 17, 25 hay dos modas, el 3 y el 7; la mediana es el 7; la media aritmética o promedio es igual a 3 + 3 + 3 + 7 + 7 + 7 + 9 +17 + 25 = 9 9

Ejemplos guiados de aritmética e interpretación de datos estadísticos En esta sección presentamos algunos problemas en los que se ejemplifica la aplicación de la estrategia general de resolución de problemas de razonamiento matemático sugerida, la cual, como recordarás, consta de cuatro pasos: I. Entender el problema.  II. Escoger una estrategia particular (de las 13 propuestas). III. Desarrollar la estrategia particular.  IV. Verificar si la solución obtenida responde a la pregunta.

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30

Razonamiento matemático

El objetivo principal de estos ejemplos guiados es que observes la aplicación de cinco de las trece estrategias particulares. Ejemplo 1 (spr) ¿Cuál es el siguiente término en la sucesión 2, 12, 32, 62, 102, ___?

1. Tenemos los números 2, 12, 32, 62 y 102, y nos piden encontrar el número que sigue. 2. Cuando se trata de encontrar elementos de una sucesión podemos recurrir a la estrategia particular denominada IDENTIFICAR EL PATRÓN. 3. Para obtener la respuesta debemos observar con qué regla o patrón están generados los elementos de la sucesión; en este caso, vemos que si a 2 le sumamos 10 resulta 12; si a 12 le sumamos 20 resulta 32; si le sumamos 30 resulta 62 y, finalmente, si le sumamos 40 resulta 102. Por tanto, para encontrar el elemento que nos solicitan sumaremos 50. La respuesta es 152. 4. Al verificar las relaciones entre los elementos de la sucesión corroboramos que nuestra solución es coherente. Ejemplo 2 (om) Fernando se ejercita todos los días dando una vuelta al mismo parque y ha decidido mejorar el tiempo en el que lo recorre. ¿En cuánto tiempo lo recorrió el lunes si cada día mejoró su tiempo en 15 segundos y el jueves se tardó 8 minutos? (A) 8 (B) 8 (C) 7 (D) 7 (E) 6

minutos minutos minutos minutos minutos

45 15 30 15 45

segundos. segundos. segundos. segundos. segundos.

1. Fernando da una vuelta al mismo parque, por lo podemos concluir que siempre recorre la misma distancia. Nos dan el tiempo que mejora cada día, que son 15 segundos, es decir, cada día hace 15 segundos menos. También nos dan el tiempo que hizo el jueves, 8 minutos, y nos piden que obtengamos el tiempo que hizo el lunes. 2. El problema requiere RESOLVER HACIA ATRÁS, ya que tenemos el tiempo que hizo el jueves y nos piden el tiempo que hizo el lunes anterior. También podemos HACER UNA TABLA para ir anotando los datos. 3. Al hacer la tabla resulta lo siguiente: Día

Tiempo

Jueves

8 minutos

Miércoles

8 minutos + 15 segundos = 8 minutos 15 segundos

Martes

Más 15 segundos = 8 minutos 30 segundos

Lunes

Más 15 segundos = 8 minutos 45 segundos

4. Rectificando nuestras cuentas vemos que la respuesta es (A). Ejemplo 3 (spr) La mediana de la lista de números 5, 2, 10 y x es 6; por tanto, el valor de x es

I. Tenemos los números 5, 2, 10 y x; también tenemos que la mediana es 6. Nos piden hallar el valor de x.

Destrezas y estrategias para la universidad

 II. USAREMOS LA DEFINICIÓN de mediana, que es el valor medio cuando los datos están ordenados de menor a mayor si el número de datos es impar, y el promedio de los dos de en medio si el número de datos es par. III. Por tanto, si ordenamos los números que sí conocemos tenemos 2, 5, 10 y no conocemos qué posición ocupa x. Como tenemos un número par de elementos, la mediana será el promedio de los dos elementos centrales; si x estuviera al principio, el promedio de 2 y 5 no resulta 6; si x estuviera al final, el promedio de 5 y 10 no resulta 6, por lo que seguramente la x va en el centro; de ahí que si probamos con el 7 vemos que el promedio sí resulta 6. Por consiguiente, la respuesta es 7, x = 7.  IV. Ordenando los números de la forma 2, 5, 7 y 10 y obteniendo el promedio de 5 y 7 vemos que resulta 6, por lo que hemos encontrado la solución; x es 7. Ejemplo 4 (spr) Si se elige un número al azar del conjunto formado por los divisores de 10, ¿cuál es la probabilidad de elegir un número par?

1. El problema dice “el conjunto formado por los divisores de 10”; sin embargo no los proporciona explícitamente. Nos piden hallar la probabilidad de elegir un número par. 2. Resulta necesario HACER UNA LISTA de los divisores de 10 y luego UTILIZAR LA FÓRMULA para obtener la probabilidad solicitada. 3. Los divisores de 10 son {1, 2, 5, 10}; de ahí elegimos los pares, que son 2 y 10; la probabilidad de elegir un número par es 2 de un total de 4 elementos, es decir 42 = 12 o 0.5 4. Al revisar si hemos considerado todos los requerimientos del problema sabremos que hemos hallado la solución correcta, que es 12 o 0.5

Ejemplo 5 (om)

Número de estudiantes en cientos

FIG 3 5

A

4 3

B

2 1 2008

2009

2010 Año

2011

2012

En la gráfica anterior se muestra el número de estudiantes de nuevo ingreso inscritos en las universidades A y B, de 2009 a 2012. ¿Cuál es la diferencia total de estudiantes de nuevo ingreso inscritos en ese periodo de tiempo en las dos universidades? (A) 3 (B) 13 (C) 16 (D) 200 (E) 300

I. La información que podemos extraer de la gráfica es la que corresponde al año y a los cientos de estudiantes inscritos. Por ejemplo, que en 2008 se inscribieron 200 en la universidad A y 400 en la B, y así en los demás años. Nos piden hallar la diferencia de las cantidades mostradas y dar la respuesta en cientos.

31

Razonamiento matemático

 II. Lo primero que se nos ocurre es sumar los valores de cada una de las barras de la universidad A y de la universidad B y luego restar; pero podemos ahorrar tiempo si SIMPLIFICAMOS EL PROBLEMA. III. Si eliminamos las barras que son iguales en ambas universidades no afectamos el problema y obtenemos un problema más simple, que resolveremos en menos tiempo; marquemos con una cruz (x) esas barras para no tenerlas en cuenta.

FIG 4

Número de estudiantes en cientos

32

5

A

4 3 2

X X

B

X

X

X

X

1 2008

2009

2010

2011

2012

Año

Ahora sumamos las que quedan y hallamos la diferencia 10 − 7 = 3, pero como la respuesta nos la piden en cientos, entonces son 300. La respuesta es (E).  IV. Conviene revisar nuevamente que no hayamos eliminado información importante y rectificar las operaciones.

Ejercicios de opción múltiple Instrucciones: Haz los cálculos necesarios y oscurece el alvéolo correspondiente a la respuesta correcta. FIG 13 1.

X

0

1 10

7 10

1

< x < 107 , ¿cuál de las siguientes opciones NO podría ser un valor de x?

Si

1 10

(A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D) 23 (E)  A  

7 10

  B  

 C  

   D  

 E

2. 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,

24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

De la lista anterior, indique la cantidad de números primos cuya suma de sus dígitos sea un número par. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7  A  

  B  

 C  

   D  

 E

3. El pago de la mensualidad de tres tarjetas de

crédito suma $7000 pesos. Si en la primera se paga la mitad de lo que se paga en la segunda y en la segunda se paga la mitad de lo que paga en la tercera, la diferencia en pesos entre el pago de la primera y la tercera es (A) 1000 (B) 2000 (C) 3000 (D) 4000 (E) 5000  A  

  B  

 C  

   D  

 E

Destrezas y estrategias para la universidad

FIG 14

4.

 A  

=

=

 C  

   D  

 E

7. En una escuela de verano se ofrecen torneos

de dos deportes, futbol y basquetbol. De 30 estudiantes, 24 juegan futbol, 20 basquetbol y cuatro no juegan deporte alguno. ¿Cuántos estudiantes juegan futbol y basquetbol? (A) 24 (B) 20 (C) 18 (D) 16 (E) 10

=

De acuerdo con las equivalencias de peso anterior, ¿cuántas fresas se deben colocar en la balanza para equilibrarla? (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 30  A  

  B  

  B  

 C  

   D  

 A  

  B  

   D  

 E

FIG 16

 E

FIG 15

 C  

8.

5. Computación

Español 25 estudiantes

Inglés 40 estudiantes

El porcentaje que representan los cuadrados con rayas verticales es (A) 26 (B) 40 (C) 50 (D) 60 (E) 66  A  

  B  

 C  

   D  

 E

6. Carolina compró en el Buen Fin una pantalla

plana de 50” en $9200.00. Si la rebaja fue de 20%, ¿cuántos pesos más costaba la pantalla originalmente? (A) 11 500 (B) 11 040 (C) 9600 (D) 2300 (E) 1840

PREFERENCIAS DE ASIGNATURAS

En la gráfica se muestran los resultados de una encuesta escolar realizada a 100 alumnos. Se les preguntó cuál era su asignatura favorita. ¿Cuál es, en grados, la medida del ángulo que corresponde a la sección de computación? (A) 35 (B) 40 (C) 90 (D) 126 (E) 144  A  

  B  

 C  

   D  

 E

33

FIG 17 34

Razonamiento matemático

FIG 18

9.

11.

Ene Ene

Feb

Mar

Abr

 C  

   D  

 A  

  B  

 C  

Ene. Feb. Mar. Abr. May. 15 25 10 15 15 10 15 10 10

B

C

D

EU

6

7

8

9

Jun 10

CHN

10

6

7

8

GBR

9

10

6

7

25 10 5 25

15 15 5 10

20 10 10 5

15 10 15 15

RUS

8

9

10

8

En la tabla se muestra la cantidad de automóviles vendidos cada mes en una agencia. ¿Cuál es el auto de mayor demanda? (A) Compacto (B) Camioneta (C) Deportivo (D) Coupé (E) Convertible  A  

  B  

 C  

   D  

 E

A

VENTAS DE PRIMER SEMESTRE DEL AÑO

20 10 10 20

   D  

Calificaciones de la rutina de gimnasia País/Juez

Camioneta Deportivo Coupé Convertible

May

12.

 E

10. Automóvil Compacto

Abr

En la gráfica se indican la cantidad (en miles) de alfileres producidos en una fábrica. ¿Cuál será el pronóstico promedio de producción en miles para el mes de junio? (A) 50 (B) 100 (C) 150 (D) 200 (E) 250

En la gráfica se muestra el consumo de cartuchos de tinta en una empresa. ¿Cuál será el consumo esperado para el mes de julio si se incrementa 25% con relación a Junio y este último es el promedio del consumo de los meses anteriores? (A) 200 (B) 300 (C) 400 (D) 500 (E) 600   B  

Mar

May

CONSUMO MENSUAL DE TINTA

 A  

Feb

 E

En la tabla anterior se muestran las calificaciones de la última rutina de gimnasia realizada en una competencia. ¿Cuál es el valor de la moda? (A) 10 (B) 9 C) 8 D) 7 E) 6  A  

  B  

 C  

   D  

 E

35

Destrezas y estrategias para la universidad

13. Margarita decide viajar a la ciudad de Aguas-

calientes en automóvil. Hay siete posibles rutas, de las cuales dos son cortas, tres medianas y dos largas. Si Margarita desconoce esta información, ¿cuál es la probabilidad de que tome una de las vías cortas? (A)

1 7

(B)

2 7

(C)

3 7

 A  

2 10

(B)

3 10

(C) 0 (D) 2 (E) 3  A  

  B  

 C  

   D  

 E

15. Lupita tiene cuatro blusas, dos faldas, tres

(D) 57 (E)

(A)

pantalones y dos pares de zapatos. ¿De cuántas formas puede vestirse combinando estas prendas? (A) 11 (B) 16 (C) 24 (D) 40 (E) 48

7 7

  B  

 C  

   D  

 E

14. Si se elige un número n del 0 al 9, ¿cuál es la

probabilidad de que ese dígito cumpla con 2n + 3 ≤ 7?

 A  

  B  

 C  

   D  

 E

Ejercicios de suplir respuesta

FIG 19 superior del encasillado; luego Instrucciones: resuelve el ejercicio y escribe la respuesta en la parte sombrea los números y símbolos en la columna correspondiente. 2.

1. Vicente compra tres paletas al mismo

precio y un tamarindo de $1. Si paga con una moneda de $10 y le regresan cambio sin centavos, ¿cuánto pudo haber costado cada paleta?

.

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

B

C

D

E

No está dibujada a escala Si AB = DE , BC = CD, CD = 2 DE y AB = 13 , entonces AE es igual a .

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

36

Razonamiento matemático

FIG 20

3. ¿Qué número elevado al cuadrado

6.

resulta igual a la raíz cuadrada de 16?

.

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Brasil

Francia

China Inglaterra India México Holanda

MILLONES DE PERSONAS POR PAÍS

En la gráfica se indican los millones de personas registradas en cada uno de los países mostrados en una evaluación poblacional. ¿Qué promedio de habitantes corresponde a los países europeos?

4. En un fin de semana una tienda ven-

dió 60 computadoras, unas de escritorio (pc) y otras portátiles (laptop). Si por cada pc se vendieron tres portátiles, ¿cuántas portátiles se vendieron?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FIG 21 7.

25 % Mexicana

15 % Vegetariana 10 % Salami

5. 5, 12, 20, 11, 21, 32, 20, …

¿Qué número continúa en la sucesión anterior?

.

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

50 % Hawaiana

PIZZAS VENDIDAS

.

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

37

Destrezas y estrategias para la universidad

En la gráfica se muestran las ventas de esta semana en una pizzería. Si se vendieron 150 pizzas mexicanas, ¿cuántas se vendieron de salami?

9. 5, 7, 3, 5, 2, 9, 6, z .

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7, 5, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 3, 4, 7. La mediana es

.

/ / . .

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

bilidad de que caiga un número entre 1 y 6, incluidos el 1 y el 6?

Soluciones a los problemas de opción múltiple de aritmética y análisis de datos estadísticos

1. (E) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (B)

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/ / . .

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10. Se lanza un dado. ¿Cuál es la proba-

8. Uriel tiene curiosidad de saber cuál

es la mediana de la venta de pasteles en su panadería durante la primera quincena de enero. Sus ventas por día fueron las siguientes:

Si z es la moda de la lista de números anterior, el valor de z es

6. (D) 7. (C) 8. (D) 9. (C) 10. (B)

11. (D) 12. (C) 13. (B) 14. (B) 15. (D)

1. Una condición del problema es que x < 107 . El símbolo < indica que x debe ser estrictamente menor que 107 ; por tanto, se pueden evaluar cada una de las opciones propuestas, lo que permite ver que el inciso (E) 107 no podría ser un valor de x, ya que 107 no es menor que 107 , sino igual. La respuesta es (E). 2. Inicialmente conviene distinguir los números primos y hacer una lista, la cual contendrá los números 11, 13, 17, 19, 23 y 29. Luego es necesario corroborar cuáles de ellos cumplen la condición indicada en el problema (que la suma de sus dígitos sea un número par); los números que la cumplen son: 11, porque 1 + 1 = 2; 13, porque 1 + 3 = 4; 17, porque 1 + 7 = 8, y 19, porque 1 + 9 = 10. La respuesta es (B).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Razonamiento matemático

3. Probando algunas cantidades que satisfagan, es decir, que cumplan las condiciones del problema se obtiene que la primera tarjeta paga $1000, la segunda $2000 y la tercera $4000; por tanto, la diferencia entre la primera y la tercera son $3000. La respuesta correcta es (C). 4. Realizando algunas sustituciones con las equivalencias mostradas en la ilustración se tiene que una manzana se equilibra con dos peras; dos peras con cuatro plátanos y cuatro plátanos con 12 fresas. El problema solicita equilibrar dos manzanas, lo que se logra con 24 fresas. La respuesta correcta es (D). 5. En la figura hay seis cuadrados con rayas verticales de un total de 15 cuadrados. Estableciendo la relación para construir la ecuación que ayude a resolver el problema se tiene que 156 = 100x % , es decir 100% ) x = ( 6 )(15 . Al resolverla se obtiene x = 40%. La respuesta es (B). 6. Una forma similar más simple de ver este problema es la siguiente: si la rebaja fue de 20%, entonces Carolina sólo pagó 80% del precio original. Para saber cuál era el precio original de la pantalla se 80% puede hacer la ecuación $9200 , donde x = $11 500. Como en el problema se pide hallar cuántos x = 100% pesos más costaba la pantalla, debemos encontrar la diferencia: $11 500 − $9200 = $2300. La respuesta es (D). 7. Para este tipo de problemas lo más recomendable es recurrir al apoyo gráfico de un diagrama de Venn. Como cuatro estudiantes no juegan deporte alguno, no se tendrán en cuenta; entonces, se tiene que, de 26 estudiantes, 24 juegan futbol y 20 basquetbol. Para conocer la intersección hay que 22 (C), que muestra la respuesta correcta: resolver (24 + 20)− 26 = 18, o sea, FIG el inciso

Fútbol

Basquetbol

8. En este problema se puede aprovechar que los 25 estudiantes que prefieren español corresponden a la cuarta parte del total y, por tanto, también les corresponde la cuarta parte de los 360°, es decir, les corresponden 90°. Por otro lado, se puede obtener que los estudiantes que prefieren computación 90° son 35. Con estos datos se puede construir la ecuación 25 35 = x ; al resolverla para x, es decir, al despejar x se obtiene x = 126°. La respuesta es (D). 9. Aquí sirve resolver hacia atrás, es decir, inicialmente es necesario obtener el consumo del mes de junio, que según las condiciones del problema es el promedio de consumo de los meses anteriores. + 200 + 350 Para obtenerlo resolvemos 350 + 400 + 300 = 320. Debemos sumar a este dato su 25% para obtener 5 el consumo del mes de julio, el cual puede obtenerse mediante la operación (320)(1.25) = 400. La respuesta es (C). 10. Una forma de resolver este problema es llevando a cabo las sumas y elegir la mayor. O se puede hacer más simple el problema tachando las cantidades que se repiten en cada renglón (para hacer menos sumas), hasta que se haga visible la respuesta correcta, que es (B). 11. Este problema pide que se obtenga el promedio de enero a mayo para dar el pronóstico del mes de junio; por tanto, empleando la fórmula para obtener el promedio el resultado es 150 + 400 + 50 + 250 +150 = 200. La respuesta es (D). 5 12. Por definición, la moda es el dato que más se repite. En este caso, la calificación que se presentó más veces es 8. La respuesta es (C). 13. Las vías cortas son dos de un total de siete; por tanto, utilizando la fórmula para obtener la probabilidad se obtiene 27 . La respuesta es (B). 14. Resolviendo la desigualdad (o inecuación) se obtiene n ≤ 2, es decir, n puede ser 0, 1 o 2, o sea, tres números de un total de 10; por ello, la probabilidad es 103 . La respuesta correcta es (B). 15. Se pueden utilizar fórmulas de conteo. Lupita puede combinar cuatro blusas, dos faldas y dos pares de zapatos, es decir, (4)(2)(2) = 16; o cuatro blusas, tres pantalones y dos pares de zapatos, esto es, (4)(3) (2) = 24. Para obtener el total de formas es necesario sumar 16 + 24 = 40. La respuesta correcta es (D).

Destrezas y estrategias para la universidad

Soluciones a los problemas de suplir respuesta de aritmética y análisis de datos estadísticos

1. 1 o 2 2. 2 3. 2 4. 45 5. 33

6. 120 7. 60 8. 6 9. 5 10. 1

1. Se puede probar con algunos valores considerando que sí le devuelven cambio y éste es sin centavos. Si las paletas costaran $1, Vicente pagaría $4 y le devolverían $6; así, $1 sí cumple las condiciones. Si las paletas costaran $2, Vicente pagaría en total $7 y le devolverían $3; por tanto, $2 también satisface las condiciones. En cambio, si las paletas costaran $3, Vicente pagaría $10 y no le devolverían cambio; por ende, $3 ya no cumplen la condición. Entonces, las respuestas correctas son 1 o 2. (Recuerda: sólo debes indicar una de ellas.) 2. En este caso conviene colocar sobre la recta las medidas proporcionadas en las condiciones del problema; así se nota que tanto AB como DE miden 13 , y puesto que CD = 2 DE , entonces tanto CD como BC miden 23 . Sumando todos los segmentos se tiene 13 + 23 + 23 + 13 = 63 = 2. Por tanto, la respuesta correcta es 2. 3. Se puede probar con algunos números; por ejemplo, si probamos con el número 2, al elevarlo al cuadrado el resultado es 4, que es precisamente la raíz cuadrada de 16. La respuesta correcta es 2. 4. Se puede elaborar una tabla para probar con algunos valores que cumplan con la condición de que por cada pc se vendieron tres laptops hasta obtener la respuesta. pc

10 12 15

Laptops 30 36 45

Total 40 48 60

La respuesta correcta es 45. 5. En este problema hay que identificar el patrón. Se observa que del 5 al 12 la diferencia es 7; del 12 al 20 la diferencia es 8; del 20 al 11 es 9 (restado); del 11 al 21 es 10 (sumado). Esto indica que la diferencia se incrementa cada vez en 1, pero dos veces se suma y una vez se resta. Para comprobarlo se observa que del 21 al 32 se sumó 11 y del 32 al 20 se restó 12. Por tanto, para generar el siguiente elemento de la sucesión hay que sumar 13 a 20. La respuesta es 33. 6. Los países europeos son Francia, Inglaterra y Holanda, cuyas poblaciones son 100, 140 y 120, res+120 = 120. pectivamente. Al obtener el promedio mediante la fórmula se tiene que es igual a 100 +140 3 7. Se puede resolver hacia atrás de esta manera: como 150 pizzas mexicanas corresponden a 25%, es decir, una cuarta parte del total, entonces el total son 600 pizzas. La pregunta es cuántas pizzas de salami se vendieron, y según la gráfica, éstas corresponden a 10%; 10% de 600 es 60. Por tanto, la respuesta correcta es 60. 8. Para empezar es necesario ordenar los datos, que quedan como sigue: 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8. Por definición, la mediana es el dato que está en medio de los datos ordenados, así que la respuesta correcta es 6. 9. Por definición, la moda es el dato que se repite más; como el número 5 se presenta ya dos veces a excepción de los demás que sólo aparecen una vez, entonces z también debe ser 5, que es la respuesta correcta. 10. Según la fórmula, la probabilidad de que caiga cualquier número entre 1 y 6, incluidos 1 y 6 es 66 = 1. La respuesta es 1.

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Razonamiento matemático

Problemas de álgebra Para empezar, es recomendable que revises la parte de conceptos básicos de álgebra con la que empieza esta sección, y que tienen que ver con los temas siguientes: • Uso de variables para expresar relaciones • Relaciones de equivalencia o igualdad • Evaluación de expresiones algebraicas • Ecuaciones de primer grado en una variable • Desigualdades de primer grado en una variable • Ecuaciones cuadráticas • Patrones algebraicos • Valor absoluto • Ecuaciones racionales • Exponentes enteros y racionales • Ecuaciones con radicales • Variación directa y variación inversa • Funciones Después te mostraremos tres ejemplos resueltos paso a paso con la estrategia general propuesta para resolver los problemas de razonamiento matemático. Posteriormente evalúa las habilidades adquiridas resolviendo algunos ejercicios.

Conceptos básicos Bases, exponentes y radicales. La notación exponencial se usa para multiplicaciones repetidas del mismo número. Si n es un número entero positivo, tenemos que bn = b · b · b · b · b ·… · b, expresión que se lee “b a la potencia n” o “b a la n−ésima potencia”. La letra b se llama base y la n exponente de b. Por ejemplo, en 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 29, donde, 2 es la base y 9 el exponente. La radicación, que es la operación inversa de la potenciación, se usa para obtener la raíz de un número. Por ejemplo, 81 = 9 , ya que 9 · 9 = 81. Esto también puede expresarse como ( 81)1 2 = 9 . Otro ejemplo es 3 27 = ( 27 )1 3 = 3 , porque 3 · 3 · 3 = 27. Propiedades de los exponentes a n a m = a n +m

(a )

n m

= a nm ( ab )n = a n b n n ( ab )n = abn , con b ≠ 0 an am 1 an

= a n− m

an an 0

= a n− n = a 0 = 1

= a−n

a =1 Propiedades de los radicales n

a = a1 n

n

an = an n = a 1n ab = n a n b = ( ab )

n

n a b

1n

= n ab = a1 n n

b

n

ax = x a

n k

n

n

nk

1 nk

n

a = a1 n

n

an = an n = a 1n ab = n a n b = ( ab )

n

n a b

Destrezas y estrategias para la universidad

1n

= n ab = a1 n n

b

n

ax n = x n a

n k

a = nk a = a 1 nk

Variables. En lenguaje algebraico, una letra que representa un número cualquiera se denomina variable. Por ejemplo, x, y y z son variables. Coeficiente numérico. Cantidad numérica que multiplica a una o más variables. Por ejemplo, en la expresión 2xy, 2 es el coeficiente numérico. Término y expresión algebraica. Una expresión algebraica es la combinación de letras y números. Cuando la combinación se toma sólo a partir de productos y cocientes, la expresión se llama término. Por ejemplo −4xy, 37yx2 . La expresión algebraica que consta de un solo término se llama monomio. La suma o resta de dos monomios origina un binomio, la de tres, un trinomio y, en general, las de tres a más terminos se denominan polinomios. Por ejemplo 14x + 8x4 – 3x5 + 2x3 y 3p2q −4p + 5p3 + 3q son polinomios. Ecuación. Es una expresión formada por tres partes: el símbolo igual, una expresión algebraica situada a su izquierda y otra situada a su derecha. Por ejemplo 5x = 10. Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que satisfacen la igualdad; en el ejemplo anterior, la solución es x = 2 porque 5(2) = 10. Desigualdad. Una desigualdad, también llamada inecuación, indica los valores que puede tomar una variable o expresión algebraica. La desigualdad puede indicarse de forma directa o por intervalos. Desigualdades

Descripción

< > ≤

Menor que Mayor que

≥

Mayor o igual a Los números comprendidos entre el 1 y el 2, salvo el 1 y el 2 Los números comprendidos entre el 1 y el 2, incluidos ambos. Los números comprendidos entre el 1 y el 2, salvo el 1 e incluido el 2 Los números comprendidos entre el 1 y el 2, salvo el 2 e incluido el 1

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