Concrete introduction to classical Lie groups via the exponential map

324 112 899KB

English Pages 74 Year 2002

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD PDF FILE

Recommend Papers

Unitary Representation Theory of Exponential Lie Groups 9783110874235, 3110139383, 9783110139389

193 37 7MB Read more

Lie Groups and Subsemigroups With Surjective Exponential Function 0821806416, 9780821806418

115 101 2MB Read more

Lie groups and compact groups 9780521213400, 0521213401

The theory of Lie groups is a very active part of mathematics and it is the twofold aim of these notes to provide a self

428 59 4MB Read more

Introduction to Groups and Geometries

103 75 5MB Read more

Buildings and Classical Groups

471 25 2MB Read more

Lie Groups [1 ed.] 9783030618230, 9783030618247

This textbook provides an essential introduction to Lie groups, presenting the theory from its fundamental principles. L

395 26 4MB Read more

Buildings and Classical Groups

450 115 1MB Read more

Hall polynomials for classical groups

412 53 4MB Read more

Lie Groups Beyond an Introduction [Digital Second Edition, 2023] 0817639268, 0817642595

116 83 5MB Read more

Introduction to Quantum Groups 9783031238178, 9783031238161

165 50 5MB Read more

Concrete introduction to classical Lie groups via the exponential map

Author / Uploaded
Gallier J.

Similar Topics
Technique
Construction

0 0 0
Like this paper and download? You can publish your own PDF file online for free in a few minutes! Sign Up

File loading please wait...

Citation preview

! "# $ $$

½

!" # $ % # % Ê ¾ Ê ¿ " & ' ( ( % ) ) % *

'

'

#

+

Ê " Ê " " " Æ " Ê " " Ê " " " " % " # # , - % % % $ " % " # . */0" 1 % 23 + %4 Ê ¾ Ê ¿ # , " " ,

% # Ê 5 / 6" Ê " 2 4 (

" " # , " 7 !" #

"

-

8 9℄ & 8(℄ ; % 8

' >

Ê ½

)

@ " ' > ' > A Ê

½ " ½ "" ' ½ ½ ? ¾ ¾ ? ?

& A & = =

" ' " *

' B A = =

" ' " ,

¾

½

¾

½

B A =

Æ

'

Æ

& = ' ' Æ ' Æ '

+, % +, = " = % % + " +

+, % +, + & %

C

=

D

C '

-

" " ' "

*

"

*

"

Æ ' Æ " ' Æ " " Æ " " ' " " '

,

" " ' > " " ' >

" " ' "

" ' >

" ' > " ' >

"

" ' >

5 C ' C

= ( " # " ' - ( " " Æ

- & % &

B

½ ¾ " ? ½ ¾ " ' ½ ? ½ ¾ ? ¾ "

? "

' ?

" ' ? "

7 7

> " ' > " 9

> " "' ? ' , B ' ? 7 ½ " ½ > " > "" # B = =

? "' " ? " 6

.

&

= +

" "

" > ' >

= ½ ? ¾ ½ ¾

"' "? "

½ ? ¾ " ' ½ " ? ¾ "

" ' " "

" ' "

. "

"' ' > " >

=

- "

# @= ·

@ "' "

> > " ' >

" ' > ' >
" " ' > =

E

' >

! =

'

" * (

" ' > " "

"

A &

. " A 7 = ' ? = ' ? Ê

? " ' " ? "

? " ' ? " ? " ' ? ? " " ' " ' ?

" ' " " ' '

H

! = ? ' ? ' ' >

'

Ê ' >

!

!

" '

" ' # " $

I

% ' >

%

! ' >

! ' > ' >

"

"

' > ' > - , ( > . ' > ? ' (E ? ? ' ? ( ' > ' > ' ' > ' >

* ' ?

*

" ' ? ? (

" ' ' > ' > 7 ' > ' >

" " 6 ' > 1 "'

'

( > = " ( 7 1 . #

! = ½ " $

$

>

½

¾

$

$

'

>

#

7 '

& ( - " = ' ? " ' ? ? " #

( >

7 ' > ' ' > ' 7

" " (I " ;

7 ' > ' > ' " ' " ' # % ½

½

" 7 > ½ ' ½ ' ½ ' ¾ ' 7 > ½ ' ½ ' ½ ' ¾ ' 7

½ ¾" ½ ½ ½ ' ½ ½ ½ ½ ½ > . ( (I " *

& % +, % +, .

% " % . $

! = ½ "

$ $

½

¾

# 7 '

& ( * " = 5 ; " ; ( ' > ' > ' >

6 % ( ' >

% +

) ½

' ½

)

'

& +,

# . B %

+ @= Ê

@

" ' "

7

@ " '

$

@ " @ " ½

@ " ' @

?

;

@ " ' (

" "

+,

'

"

@

½ ' ½ " Ê ¾½ ? ? ¾ '

* ½ @ @ % ½ ; % @

Ê

*

@ " ' @ " ' >

½ @ "

@ " ' (

@ " '

"

(

(

" '

"

6 % +,

! = ½ " $

$

D

Ê > >

¾

'

>

>

%

!

' & ( ' ? Ê # ' > -

> $

½

" ' >

7 '

" ' " ' " ' " ' "

" ' >

& " ' " ' ?

" ' ' > ' " ' ? ' ? > '

*

? " ' >

' > ' > ' >

% ( ' > (

% + > 9

% +, +, ; (G >

-

! = ½ " $

$

½

¾

!

! ! > ! "

' & ( ' ? * ' ' 7 7 "

$

! ! ' !

%

Æ

Æ

" " ' ' " " ' Æ " " '

' ' > ' ' & * ! ! ( > ! > > ! " 7 " ' ? "

+ %

¾ Ê > % ! >

G

# ! $ $

$ '

&

& & &

½ &¾ &'

&

&

%

$

! !

& '

!

!

! ! > ! "

#

B # '

$ "

#

$ ' $

#

' ' $ # B #

&

'

"

!

'

"

'

'

' '

I

' %

# '

' "

7 . ½ " = ½ " , 5 + , . % +, % . 7 . ½ " ½ " = ½ " ½ "

, ½ " ½ "

- " " = " " ½

½

½

½

' ( ( #

"

# ! $ $ ! $ (

$ & ' (&( # & $

&

!

&

!

$ % & '%&( ) *

7 A = 7 $ .

+,

Æ

Æ " " ' " " ' Æ " "

Æ +, Æ Æ +,

Æ Æ $ 7 Æ > 7 Æ " " ' " "

*

Æ " " '

(>

> & Æ Æ > > Æ

Æ Æ

' " " ¾ ½

B = " ' #

¾

)= " '

" ) Æ %" ' " Æ ) % " ) Æ Æ ) ! > Æ Æ " & +, = > 7

# , Æ Æ +, + "

" > - % Æ Æ 3 = 7 " ½

½

7 " &

C " ? 7 " ' " " ? " ' "

!

# ! =

Æ Æ

C ' C " C ' C " C ' 7 " C ' 7 " 7 " ' 7 " C " ' C "

Æ

Æ (

" ' "" ' " 7 " ' > Æ " > " ' > C C Æ " ;

" " ' Æ " " " ' > 7 Æ " " ' > C Æ " C C ' C Æ " C ' C Æ " ;

" ' "

C ' 7 " C ' 7 " *

7 " ' C " 7 "" ' 7 " C ' 7 " C " ' 7 ""

7 " ' 7 " C " ' C " -

7 " ' 7 Æ "" ' 7 Æ "" Æ Æ % +, ! = *= ' *¾ ' * Æ * # C ' C *

½

*

¾½ ¾

¾

((

*

+, ) ½ "

½ %

Ê * > ' ¾ > 7 *= ½ "

" '

*

' *¾ * +, ½ " " 7 * ) = +, ¾

' ) ½ " )

½ ) > 6

" ' " '

)

¾

) )

"" '

¾

¾ 7 ½ ) ½ ¾ ( . ,

) "

' ½

' ' ( * > ' ¾ ' ¾ ¾½ ¾ ½ ) ' * * & C ' C * ½ * ¾½ ¾

# + * 8(9 (D℄ + Æ #

%

7 ;% 8I G()" !" * * . # * 1 % 44 . */0 * 1 % + % I>E" #1 % I (" &

I>( I 9" A % K */0 I)" &

" 7

" 7 ' C # ) = " = " ' ) # " ' ) * "" ' ) " ' ) " ' ' " ' " )Æ* " + " ' ) * "" ' ) > " ' > )Æ* " + ? " C ' C * "

' ) Æ * ) " " # ' * Æ ) 6

" ' Æ " " * ' Æ Æ "" " ' Æ* " "" ' * " ' " ' ' + " ' Æ " " ' "" ' > * + ?

" C ' 7 " * * ½

½

½

·½

½

½

½

½

½

·½

½

½

½

½

¾

¾ ¾

¾ ½

¾ ½

¾

¾

¾ ¾

·½

+, *¾¾ 9(

*¾ " ' (9

¾

+

*¾ " ' > + ? ½ " *¾ ½ ·½ ' ' ' >" *½ *¾ ½

&

' " *¾ Æ )" " ' *¾ ) "" ' *¾ " '

*½ *¾ Æ Æ +, Æ ' *¾½ Æ ' * ½ *½ *¾ ½

Æ Æ - *½ *¾

¾ ¾

*

Æ ' *¾½

9( *½ *¾ Æ ' Æ *½ ' *¾

Æ ' *¾½ ) ) ' Æ *½ ½

7

*

7 9D -

' -

& -

"

' (

'

'

'

' %

7 . 9) ) 7 ( . ,

' (,

(

6 > " B

A ½ " % " > % ½ " ½ " 7 " ' > , M 7 " > > ( - 1 1

(E

* " ' > , M M 9D "

$ (

$ & ' - & ( & # !

½

¾ &'

-

½

·½ ' ' ' > '

# " >

" ' " ' ?

(

&

-

( & - "

(

(

-

(

-

' - & ( ()*

7 * 8(9℄ ( - & ( ' .¾ - ' .½ & ' N */0

' .½ & . ¾ .½

.¾ ' .½ & .¾ .¾ " .½ " */0 7 ( - &

' -&(

& ½ ½ ·½ ' ' ' > 7 */0 % 7 ' ½ ½ ¾ & ' ¾ & ¾ ' ½ ¾ & ¾ ' - & (

-

' ½ ¾

( ' ¾ (G

B */0 ' - & ( ' - ( ' (& ( 7

' - ( (& ( ' - & ( ' 6

" ' ?

" >

99 # * 8(9℄" &

9) 9D $ = A 7

= ; ,

= =

" ¾ ' " ½

" "¾ ' Æ " " ½

' " # ' " / ' # " % / / ½ " C " ½ " ""

Æ '

C " = ! % / ' # "

Æ ' C " Æ ' > C 7 # % / ' # " "

' %

#

#

7

'

%

>

#"

> >

' %

%

# # ' " #%

(I

!

# ! = *½ =

*¾ =

! ) =

Æ

Æ

' ) *½ ' *¾ ) # + *½

*¾ ½

# ! ) *½ *¾

*½ ' *¾

Æ

Æ

*¾ =

Æ ' *

¾ ½

Æ

*½ = ' *¾¾ & 9)

; 9( " +,

C ' C *½

+ % ½ " *½ ½ " ½

*½ " ·½ " C ' C *½ ½ " C " ' 7

" '

BF* $ " + " + ' >" &

" 7 "

½

½

½

·½

7 ' C

/ ' # " ) =

" = " ' ) / " ' > ) / ? 6 + / L 9) " ' " )Æ* " + " ' ) * "" ' ) > " ' > )Æ* " + ? " C ' C * "

' ) Æ * ) % "

" ½

½

½

½

·½

½

½

½

½

)>

#

' *¾ Æ ) L 9) *¾¾ " ' ¾

+

*¾¾ " ' Æ " " ' "" ' > + ? # ·½ " C ' 7 " * *¾ +, *¾¾ 9( *¾ " ' + *¾ " ' > + ? # ½ " *¾ ½

·½ ' ' ' >" *½ *¾ ½

&

*¾ Æ )" " ' *¾ ) "" ' *¾ " ' ' " # * *½ *¾ Æ Æ +, Æ ' *¾½ Æ ' *¾¾ ½ *½ *¾ ½ Æ Æ - *½ *¾ Æ ' *¾½ Æ ' *¾½ 9( *½ *¾ ) ) ' Æ *½ ½ 7 * Æ ' Æ *½ ' *¾ 7 9< - #

% #

' # # $ & " ' 7 . 9< % ) % 7 # % # ( . ,

' (,

)

9< ½ " ½ " ½ " *½ ½ " + *¾ - ½ " 7 ·½ " C ½ " 7 ·½ " C H = +

!

# ! = ½ "

½ " + $

# $ &

½

¾ &' > > >

½

¾ &'

> >

> >

> >

> >

>

Æ Æ

' ' > / ' # " # ½ " Æ ½ " Æ

" ' / ' # " A & # $ & 9E

½

·½ '

"

# ! # $ ( "

- # #"

# $ & ' - & ( &

½

¾ &' > > >

½

¾ &'

> )(

> > > >

> >

> >

½

·½ '

' ' > ' " '

(

-

/

#

& ( & - " ' - & ( ()* */0 + * 8(9℄ 9< + - # B # % # ½

' ½ * ¾ &

' ¾ & ¾

' ½¾ & ¾ # ½ ¾ % 7

½ ¾" ½ ¾ " ' ¾ ½½"¾ #

½½ ' %

½ ¾" ½ ¾ " ' % ½ ¾ % # - */0 ' - & ( ( - # # & #

- # - # $ & & # $

- & ' - & # ' - & ( ))

( - # % & & % # - ( &

' - & ( # B # # # % # ½

' ½ * # # ¾ # # &

' ¾ & ¾

' ¾& ¾½ # ¾½ % 7

¾½ " ¾½ ' ½ ¾ ¾"½ ' ½½ ¾ #

½ ' ½

%

>

> >

> ¾ ¾ > > ¾½ % * # ¾½" ' ½¾ % & # % # - ( &

' - & ( # # # - % # ( ( % " # # &

' - & ( 7 - ( ' & %

½ " ½ '

)D

+ , -. 7 2 $4 7 Æ ; " & 8(℄ 5 8I℄ 3 8 E℄ 5 8 >℄ . 8 D℄ *

# 8(>℄

B "

' % ?

$ " %

'

/!

'

/!

' % O

+

'

$ " $ $

' $

%

'

$ "

$ " $ /!

,

!

$

'

/!

$

/

-

&

$ '

/ ' >

' %

" '

$ "

$ $ $ $

)9

$

" '

"

-

" $ "

$ /!

'

" / !

'

0!

7 & % '

! ! >

>

# >

!

!

>

'!

>

>

!

>

!

>

' !

>

>

1'

>

>

' %

?

' ! % ' ! 1 ' ! % ' ! 1

! 1 ! % ! 1 ? ! % ! (! )! D! )
3 > 3 ' $ ? ' " ' 3 % #

3 3 3 3 3 3 ' % ? ! (! % )! ? D! % ? 9! + " ' ( $ ? ' ' > &

+ " ( ( -

$

'

$ > $ '

>

>

$

& ½ -

'

+

(

$

½

' ( (

'

( (

"

&

( (

)G

(

½

( ( ½ " ( ( ½ ½ ½ ' /! ' /! ' ( /! ( ' ( ( ¼

¼

*

¼

$

$½ ½ $½ ¾ $½ ¿ $½ ½ > $¾ ¾ $¾ ¿ $¾ ½ > > $¿ ¿ $¿ ½ > >

> >

$½ $¾ $¿

$½ ½ $½

> $

> >

! $ $ $ $ 4 ' 4 ½ $ ' >

#

= ½ " - ' 7 ½ ½ # ¾ ½ "

½ ¾ "

¾ " 7 ½ ¾ "

$½ ½ $½ ¾ $½ > $¾ ¾ $¾ >

$ ¾ $

½ ½

½ ¾ "

/= , / ½ " ' > / " ' (

) = / Æ " " $ "¾ ¾ " ;

¾ " ) ' "½½ .

'

½

)I

" * / , ' )= /

Æ " '

" ' $ ? '

$ ; " ' 4 4

7 . $ $ > > $ > >

> >

> >

" "

>

' 4 4 #

D>

$ $ $

$

! $ $

½ #

; & " *

%

'

'

½

'

!

!

! !

' ½ ' ½ ' '

,

# ' ) % " % % . - ) ) %

> ' ' > $ ' $ >

! ' $¾ ? '¾ ? ¾

¾ $ $' $ ' $' '¾ ' $ ' ¾

. - /012 ' $ = )"

!

! !

' ! %¿ ?

' %¿ ?

!

!

!

!

! ' > ¼¿ ' %¿

?

?

!" !¾

!" !¾

-

¾

' ! ¾ % ? ' ' > D

- =

"

"

, ! L * " '

=

" "

, ! & = "

= "

"

"

,

' $ = "

"

= "

"

-

- %

'

% .

" ' " ' '

" ' ' ' ' % " ' % * " '

% . " ' ?

- , DE - ; DE ( & ' (&( - & "

9

? & ! ? ! ' &

&'

½

¾

7

!

!

'

!

% .

' &

' ( (

'

% . 7 ?

½

' ½

! ?

? ! ' >

% . $

&

' ( (

'

% .

# G .

9(

½

6 " " ) 3 &4 -. 3 . " # . " . " . "

!

!

!

. . & . % 8 ℄ . . "

# ! # ! '

$ $ $ $

7 > .

' (&(

& (

!

!

> = " " , 7 7 P , "

" " " & P > = - ( .

!

' (

!

!

, " " " ; " ¾

, " " ¾ 7 , 7 "

" " "

7 ' ( ( " ' ( + " . "

" > " ' " ' " " , " " " ""

!

9)

!

7 " Æ

# + , (" )"

, 0 - 1 - Æ Ê

Æ

?

"

?

"

9 Ê

9 " ' ? ( "" ( Ê

Æ " A

(

?

?

"

"

>

9 "

'

>

9 " ' ? (

'

Q %

(

? Q >

"

( >

?

"

( Ê "

" "

# = " " , -

%

9D

? "¢ ?

!

" $

(

Q >

'

>

( ¾ Ê

Q ! $

%

Q ' ,

-

&

- ( >

'

Q ( >

Q >

'

' % ?

Q 0 ? "!

0

Q ( >

Q >

'

'

0!

' % ? ' '

% ?

Q >

0!

Q ( >

>

- ( >

½

(

# #

% 7 -

-

' Q

% "

99

-

Q

H % ! - . =

Q - ' % ? ' 0 ? "!

D ,

' $

"

= "

* Q % E( +

= "

"

, % Q ' - ' % ?

Q 0 ? "!

; DD % Q Q ' & & %

& &'

&

&

% & > + & '

> !

! >

! ! > & ! ' 0 (" 0 ! ' 0 (" ' % & + %

$ - Q ' & ' &

- ' % ?

Q 0 ? "! 9
Q > " ' / = Q ( /

3 ; Ê ( ; ( ' ; Ê * = Q ( = ( Q * Q Ê / ; $ = Q ( ; / /" ' " Ê ½

½

½

½ / ½ # ; #" 7 2M 4 - (+ " -

# # ' > ( 7 > ,

7

Ê *

& (+

¾ ' "

Ê ¿

¾

¾ Ê ¿

? ¾ ? ¾ '

(+ $ ¾ = ( ( ¾ ? ¾

½ = " ¾ ? ¾ ? ¾ ? ¾ ? ¾ ? ¾ ?

½

¾ = "

( ( ¾ ¾ ¾ ? ¾ ? ¾ ? ¾ ? ¾ ? ¾ ?

½ , 6 5 ' > > " ' > ¾

, * ' > > " ' > -

5

<

½ "

" '>

¾ "

- = 7 ,

# % ½ $ ¾ 5 ¾ $ ¾

" H

½ $ % <

' > ½ 7 % ½

2 4 - % % ! #

A 7 ¾ $ 7 "

" " # "

" '

Q

!

> "" ' ;

(( 7 %

$

# ;

/ ; ! ( ( '

!

= Q (

= Q ( ; /

Æ = ( ( " ( ( " "

3

Æ = ( () - (

( " ( ( "

Ê * = Æ =

= Ê " ¼ > " , ¼ > " Ê ,

& $

%

8

= %

;

8 1

1

8 1

;

%

=

/

+ Ê - ¼ ;

4 ;

/

Ê A

;

Ê >" = ' >" #

/

=

/

=

4 ;

4 ;

;

' "

, ' ( , ' >

(G : Q " > Q "

% = Q

&

&

Q " '

" ( 7 ? " " ? " "

(

>

>

'

- ? ( >

>

½

½

(

& " " ;½ #½ ;¾ #¾

;½ ;¾ #½ ? #¾ " " " ? "

A " " + " " " 7 " "

B % (G :

+

& + 8 ℄= + $ ' = 8$ $℄ ' >

+ 4 ! = 8$ 8' ℄℄ ? 8 8$ '℄℄ ? 8' 8 $℄℄ ' >

" ' % # "" ' ℄ > > 8 H

' >

""

>"" ' >

7

" ' + " + >"" ' > ' >" & Ê "

" '

" ËÇ " >" ' %

Ê * " '

' + " ' > 5 Ê "

* "

" " ' %

> > 8 % ' >

℄

>" >" ? >" >" ' >

>" ' % ' >"

>" ? >" ' >

' >" % * %

! ' '¾ ? ¾ ? ¾ '

¼

¿

!¾

?

!" !¾

¾

> ' > ' '

¾

? ! ¾ %¿

>

¼¿ ' %¿

H " " & "

" & " " " * I 7

>

# - ; ; # + # + Ê & = ; ; / ; $ = Q ( ; / ? = Q ( ; /" (" (

? Æ Æ = Q Ê ¾

H () 0 ( > $ = Q ( ?= Q ( & " ,

# ; ; # + # + Ê - = ; ; / ; ¼ = 4; 4 ;

/ / " / = 4; = = % ; = >" ' / ¼ = >" ' ¼ " ' = "¼ >"

Æ

¼ 4 0

= ' " = " = ' = "

Æ

Æ Æ

Æ

Æ

Æ

"

() ¼

= 7 ¼

- E>

B :

½ :¾ + = :½ :¾ :½ :¾ " B ½ ¾ + = ½ ¾ ½ ¾ %

½

℄" ' 8

8

"

"℄

& + , ½ + ,

½ 7 = :½ :¾ ¼ = ½ 7 ¾ :½ :¾ +

"

¼

& 7 :

4 : % ' 4 : % # M + ,

+

$!

B : $ : 7 = : : 7 '" ' $' ' : = : :

'" ' '$ ' : 7 ½ 7

½ 7 " 6

Æ

½ 7 '" ' $'$ ½

½ 7 "¼ =

½ 7 % = : "

"

:

$

" ,

7

$" " ' " ' $$ ½ E

=

$ :

= ¼

% $=

"

"

" "

7

$

"

" ' 8 ℄

% L

$ % $ =

$ 8 ℄" ' 8$

"

$ "℄

% " % $ % %

, " # % 8

℄ ' $

"

"

= : - +

3 Æ " 5 8 >℄ *

# 8(>℄ 3 8 E℄ 5 # 8(E℄ 5 8I℄

* * 8( ℄ * 8 I℄ - & 8 ℄ # 8( A = B H * / 8D℄ ; ; B 6 6 "6 7 6 6 5 S P II( A = 0

B 6 9 * / 89℄ LA ; ,8 6 6 6 IG 8