Complex Methods on Partial Differential Equations [Reprint 2021 ed.] 9783112530467, 9783112530450

Citation preview

Mathematical Research Complex Methods on Partial Differential Equations edited by C. Withalm Volume 53

AKADEMIE-VERLAG BERLIN

W

In this series original contributions of mathematical research In all fields are contained, such as —

research monographs

In diese Reihe w e r d e n Originalbeiträge zu allen Gebieten der mathematischen Forschung a u f g e n o m m e n wie

—

collections of papers to a single topic

— —

Forschungsmonographien S a m m l u n g e n von Arbeiten zu einem speziellen Thema

—

Berichte v o n Tagungen, die für die mathematische Forschung besonders aktuell sind.

•—

reports on congresses of exceptional interest for mathematical research. This series is aimed at promoting quick i n f o r m a t i o n and c o m m u n i cation b e t w e e n mathematicians of the various special branches.

Manuscripts in English and German comprising at least 1 0 0 pages and not more than 500 pages can be admitted to this series. W i t h respect to a quick publication the manuscripts are reproduced photomechanically. A u t h o r s w h o are interested in this series please turn directly to the 'Akademie-Verlag'. Here y o u w i l l get more detailed information about the form of the manuscripts and the modalities of publication.

Die Reihe soll die schnelle Information und gute K o m m u n i k a t i o n zwischen den Mathematikern der verschiedenen Fachgebiete fördern.

Manuskripte in englischer und deutscher Sprache, die mindestens 100 Seiten u n d nicht mehr als 500 Seiten umfassen, können in diese Reihe a u f g e n o m m e n w e r d e n . Im Interesse einer schnellen Publikation w e r d e n die Manuskripte auf f o t o m e c h a n i s c h e m W e g reproduziert. A u t o r e n , die an der V e r ö f f e n t l i c h u n g entsprechender Arbeiten in dieser Reihe interessiert sind, w e n d e n sich bitte direkt an den Akademie-Verlag. Sie erhalten dort genauere Informationen über die Gestaltung der Manuskripte und die Modalitäten der Veröffentlichung.

Complex Methods on Partial Differential Equations

Mathematical Research

• Mathematische Forschung

Wissenschaftliche Beiträge herausgegeben von der Akademie der Wissenschaften der DDR Karl-Weierstraß-Institut für Mathematik

Band 53 Complex Methods on Partial Differential Equations

Complex Methods on Partial Differential Equations Aspects in Complex Analysis

edited by Claudio I. Withalm

Akademie-Verlag Berlin 1989

Herausgebert Prof.

Dr.

Claudio

I.

Witkalm

Karl-Franzens-Universitat Institut

Die

für

Titel

dieser

Autoren

Schriftenreihe

werden

vom Originalmanuskript

der

reproduziert.

ISBN

3-05-500680-1

ISSN

0138-3019

Erschienen (c)

Graz

Mathematik

im Akademie-Verlag

Akademie-Verlag

Lizenznummer: Printed

in

Gesamthers Lektor: LSV

German Democratic

tellung:

Dr.

Berlin,Leipziger

Str,3-4,Berlin,DDR-1086

1989

202-100/539/89 the

Reinhard

VEB KongreßHöppner

1065

Bestellnummeri 03600

Berlin

763

992 8

Republic und Werbedruck,

Oberlungwitz,

DDR-9273

Vorwort Erklärtes Ziel des vorliegenden Sammelbandes ist es, Methoden, Perspektiven und Intentionen der modernen komplexen Analysis zu orten und in korrelativen Beiträgen neue und neueste Ergebnisse einschlägiger Forschung darzulegen - einem Anliegen, welches dem Programm des Internationalen Symposiums "Komplexe Analysis", das in der Zeit vom 12. bis zum 17. Juni 1988 im Bildungshaus Maria-Trost in Graz (unter der Leitung des Herausgebers) tagte, ganz entsprach. Demgemäß fungiert diese dank dem außerordentlich kreativen Gestaltungspotential der Vortragenden und dank der mannigfachen konstruktiven Diskussionskolloquien besonders befruchtende Konferenz als Quelle und Träger dieses Buches. Disposition und Kontext zeigen auf, daß den zahlreichen Tagungsteilnehmern aus Österreich, der Bundesrepublik Deutschland, der Deutschen Demokratischen Republik, aus Polen und aus der Türkei Beiträge, die unter den Auspizien der Chairmen F r a n k nover) ,

(Berlin), J.

J. G.

N i k o l a u s

S c h n i t z e r

(Leoben)

H . F l o r i a n

K r z y i

(Lublin),

(Siegen), und

N.

L.

E.

R e i c h

S t e i n m e t z

(Graz), G. M u e s

(Han-

(Graz),

F. J.

(Karlsruhe)

standen, unter besoderer Berücksichtigung komplexer Methoden bei partiellen Differentialgleichungen, insbesondere mit Bezug auf Lösungsdarstellungen vermöge konsistenter Differential- und Integraloperatoren, allgemein tiefgreifender funktionentheoretischer Ergebnisse sowie Analysen von Lösungsstrukturen und wertverteilungstheoretischer Entwicklungen und Erkenntnisse präsentiert wurden. Den vielen Autoren, die ihre trefflichen Beiräge eigens für die Gestaltung dieses Bandes adaptiert haben, sei an dieser Stelle für ihre wohlfundierte, sorgfältige und saturierte Arbeit aufrichtig gedankt. Die Ermöglichung und Bewerkstellung der Drucklegung in der Deutschen Demokratischen Republik, mit welcher ja das nunmehr schon langjährige Wissenschaftlich-technische Abkommen mit Österreich besteht, aber hat in dankenswerter Weise der AKADEMIE-VERLAG•BERLIN übernommen, wobei es mir ein Anliegen ist, insbesondere die freundliche und konstruktive Kooperation mit Frau R.H e 1 1 e

und Herrn Dr. R.

H ö p p n e r

hochachtungsvoll hervorzuheben.

Graz, im September 1988

Cl. Withalm

CONTENTS - INHALT

The Structure of the Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations from the Theory of Lie Series by L. BERG Uber Lösungsdarstellungen bei partiellen Differentialgleichungen durch Differentialoperatoren von P. BERGLEZ

24

Uber die Nullstellen von linearen Differentialpolynomen mit meromorphen Koeffizienten von G. FRANK

39

Eigenschaften von Lösungsdarstellungen bei elliptischen Differentialgleichungen durch Differential- und Integraloperatoren von R. HEERSINK 49 Uber die Nullstellen von Lösungen linearer Differentialgleichungen und eine Vermutung von A. Wiman 55 von G. JANK Abschätzungen für verallgemeinerte Schwarzsehe Derivierte von R. KLOUTH

77

Der Raum P^(F,fF) in den verallgemeinerten analytischen Funktionen 89 von K. KOCA Quasisymmetric Functions and Harmonie Analysis by J. G. KRZYZ Bemerkungen zum Vier-Punkte-Satz von E. MUES Uber die Lösungen der Differentialgleichung aw ( 3 ) + (bz+c)w" + dw1 - w = 0 von J. NIKOLAUS Additionsformeln für Riemannfunktionen und Bergmannerzeugende von J. PUNGEL

101

lo9

118

126

Die Differentialgleichungen von Aczel-Jabotinsky, von Briot-Bouquet und maximale Familien konvergenter vertauschbarer Potenzreihen von L. REICH

137

Ganze ganzwertige Funktionen: Historische Bemerkungen von F. GRAMAIN und F. J. SCHNITZER*

151

Hornichsche Produkte und verallgemeinerte Lambertsche Reihen in einer und mehreren komplexen Veränderlichen von F. J. SCHNITZER und J. SCHWAIGER*

178

Algebraische Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung von N. STEINMETZ

187

Constructive Methods for Solving Higher Order Formally Hyperbolic Differential Equations by K. W. TOMANSCHGER

193

Bifurkationen bei Operatorgleichungen von J. VOGEL

203

Zur Fortsetzung analytischer Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen von W. WATZLAWEK

225

Approximationseigenschaften der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen und die Eindeutigkeitseigenschaft im Kleinen von G. WILDENHAIN

233

On the Behavior of Meromorphic Functions in the Plane, if the Preimages of Two Values or Subsets of Preimages are Neighbored by J. WINKLER

*Referendarius

243

T h e

S t r u c t u r e

o-f

N o n

E q u a t i o n s I

i e

t h e

S o 1 u t i o n s

P a r t i a l

- f r o m

t h e

D i - f - f e r - e n t i a l

~P ht e o

i— y

o -f

S e r i e s

Lothar

1.

o f

1 ¿ n e a r

Berg

Introduction

The operational

calculus of

explicit solution of zations of Rolewicz

it cf.

C15D,

J. Mikusirtski

linear differential

the survey

and

C2] ,

calculus was recently

operational

calculus

and similar

equations

rent approach

for

you

find

to nonlinear

in V.

improved

by

product

'U' with

the properties

(xu)U(yv)

calculus

Lie series,

cf.

operational

calculus

ferential In

M. Fliess

= x CuU(yv)3

This operational

for

what

in

real

assuming

[8],

generali-

PrzeworskaA

nonlinear [5]. An equation

C13]. by

A

diffe-

K.—T.

the so called

1, xUl = lUx

which

=

can

with

Chen

shuffle

x and

the

theory of as an

be considered

solution

systems of

is

Z'(t)

the general

partial

without

the given

using

and

ones. The considerations

a

value

possesses

for holomorphic

of nonlinear

dif-

the special

are done

C12],

gs-i era 1 i z at ion of

differential

searched

but of

functions.

stucture

in

the

course,

known

the

equations Lie

functions

The main

the well

of

methods to

be

framework the

result fact

of

results of

this

that

the

problem

=A(Z),

Z(0)

= z

in case of A(Z)

t + f(z), and

(2)

introduced

connected

the explicit

theory of e.g. E. Kamke

lecture

(1)

is closely

the Lie theory

d also

initial

[163.

the

y[(xu)Uv].

follows we determine

without

holomorphic the

=

D.

by R. Bittner

A. Marchenko

using

1U1

of

for

Korteweg—de Vries

was

[7],

tool

equations.

appearing

are va

+

W. Grbbner

solutions of nonlinear

and

J. Piingel

problems

[6] and

book

developed

the nonlinear

is a

equations. For

the new

in particular

operational

C14]

=

therefore also

l/f'(Z)

the

implicit solution

the explicit

f(Z) =

solution

Z=F(t+f(z)),

9

where F ( t ) is the i n v e r s e f u n c t i o n of (3)

F ( f C z ) ) = z,

Here

f(z),i.e.

f ( F ( t ) ) = t.

and in the following

z p l a y s t h e role both of a

itial v a l u e and a v a r i a b l e p a r a m e t e r . A c c o r d i n g D. B r o n a u [10], t i l ] and G. T a r g o n s k i also f o l l o w s from the t r a n s l a t i o n (4)

Z(t;z) =

the In

system (3)

to L . R e i c h

[17],

[ 1 8 ] the r e p r e s e n t a t i o n

(2)

Z(t-s;Z(s,z))

differential

solution of

in-

equation

for the s o l u t i o n Z ( t ) = Z ( t j z ) of that

fined

equation

(4) is c o n t a i n e d

in

(1), w h i c h a r i s e s in

(1)

is

from the

autonomous,

fact

Another

CI].

c a s e that the o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l

equation

in

(1) is a

with

Z ( t ) = CZx(t)

Zr,(t)],

A ( Z ) = CAi.(Z) , . . . , A „ ( Z ) ] ,

we i n t r o d u c e the n o t a t i o n s (6)

z = [zi

z„],

and have according Lemma

1;

continuous

If A(z)

is different

(7)

Z = F(w)

being the

(B)

from

of each

neighbourhood

f(Z)

of

possesses of

(1)

1 =

[1,...,1]

zero,

in

the neighbourhood

first

order

and

then

there

exist

= [Fj. (H), . . . ,Fn (H) J,

inverses

solution

w„],

to C3] the

derivatives

A(z)

w = [Wl

of

other,

so

t = O the

M =

that

of

vector

fixed

=

f ' (z) ) explicit

z of

functions

= Cfx(z),

and

a

component

f(Z)

A(z)

implicit

if one

,fr,(Z)J, ,

form

and

in

of

the

can

be

read

= tl + f(z),

Z = F(tl

+

f(z)),

respectively. Let u s mention (9) is

10

3 / 3 z = ld/dzx a matrix.

that h e r e f ' ( z ) =

(3/3z)f(z)

with

3/9z„]T

A s it is w e l l

known

the s o l u t i o n

Z = Z(t)

continued

in

both d i r e c t i o n s ,

so far as the p r e m i s s e s

of

the

lemma are satisfied. 2. A n a l y s i s of the twodimensional

case

Let us consider the generalization of (10) Z* = A(Z),

Z_ = B(Z ) ,

with Z = Z(t,s),

(1)

Z(0,0) = 2

two s c a l a r variables t, s and

vector functions A, B as in

(3).

Lemma 1 with respect to the second equation the

theorem of Schwarz

Z*»

two n-dimensional

Under a n a l o g o u s premisses as in

= Z»t

the

in

(IO) we find

necessary

from

compatibility

cond i t ion (11) B ( z ) A ' ( z ) = A(z)B' (z ) , and

by application of L e m m a 1 to the differential

for suitable small

equations

(10)

t, s

Z(t,s) = F(tl_ + f(Z(0,s))),

Z(t,s) = 6(sl + g(Z(t,0))),

(12) Z(t,0) = F ( tl_ + f(z)),

Z(0,s) = G(sl. + g ( z ) )

with G ( g ( z ) ) = z, g ( G ( w ) ) = w. Using the n o t a t i o n s (13) H ( w ) = g(F(w)),

h ( w ) = f(G(w)),

so that H(w) and h(w) are also inverses of e a c h o t h e r , a s well

as

the notation (14) p = g(z) with

the

consequences z = G ( p ) and

(12) imply in case of solvability of

f(z) = h ( p ) ,

the

equations

(10) the f u n c t i o n a l

equation

(15) H (ti. + h(sl + p ) ) = si + H(tl + h ( p ) ) with two scalar variables t, s and o n e vector v a r i a b l e This functions,

equation

is s a t i s f i e d ,

if H and

i.e. matrices to be multiplied

this case we obtain from

h are

p.

linear

vector

from the r i g h t , and in

(12) the result

(16) Z(t,s) = F ( ti. + s Ih + f ( z ) ) •

11

Now

w e search for further solutions of (15),

where we

usé

the notations (17)

C

=

[C l p ...,Cn],

0

=

[O,...,0].

By simple calculations w e find

If

Lemma 2 :

and

the

first

mutually

inverse

q = h(p) s a t i s f y the equivalent

(IB)

h(sl

+ p) = se + h ( p ) ,

then

they

simultaneously

(19)

Z(t, s)

vector

functions

functional

H( sc

p = H(q)

equations

+ q) = sl_ + H(q),

s a t i s f y (15),

and (12)

yields

= F( tl_ + sc + f ( z ) ) .

The equivalence of (18) can be seen from p = H ( q ) , q = h(p). In case of h(O) = 0 so that ing.

the first equation of (18) i m p l i e s h(lj = c ,

(19) turns over into (16), disregarding

the way of writ-

Since c = 0 is impossible, there exists a c o m p o n e n t c,
,)l

functions

h, H on the

the equations

0.

the

the struc

ture

+ H(q - ( q „ / c « ) c ) right-hand

s i d e s , so

( I B ) to be independent

from

each

other. Second, analogously

considering

Lemma 3:

and

(14) and h(g(z))

If

the mutually

inverse

q = h(p) s a t i s f y the equivalent

vector functional

h(sl_

+ p) = sa(p

- Pi.UL

+

h(p),

H(sl_

+ q) = sb (q

- qj.l)l_

+ H(q),

( 2 1 )

where (22) 12

a,

=

f(z),

we

find

(with different m e a n i n g s for the variable s )

b are

a(p — p i i ;

two scalar

functions

= l/b(q - q*l),

with

functions equations

p = H(q)

then

they

simultaneously

(23)

Z ( t , s)

=

s a t i s f y

F ( t l

Choosing

s

+

=

s b ~ * ( f ( z ) -

-pi

and

2 s Every

Corollarv

(15),

s

=

and

(12)

f i ( z ) l ) l _+

-qi,

solution

y i e l d s

f (z ) ) .

respectively,

of

(21)

h(p)

=

p±a(p

-

PiL)L

+

h(p

~

P±L)

H(q)

=

qx b(q

-

qxUL

+ H(q

-

q

we

possesses

obtain

the

s t r u c t u r e

t

(24)

with Me

a r b i t r a r y consider In

(25)

and

(26)

case

p

q

of

=

H(q),

the to

=

right-hand

be

h(p)

we

-

pil)l

+

h(p

-

Pil_) ,

p

=

qib(q

-

qilll

+

H(q

-

qil),

this

for

the

from

first

obtain

=

pia(p

-

pil)

+

hi(p

-

PiJJ ,

Pi

=

qib(q

-

qxl)

+

Hi(q

-

qil).

multiplied

by

1. f r o m

(25)

q

-

qxl. =

h(p

-

pilj

-

h i (p -

PiU-L.

p

-

Pil =

H(q

-

qil)

-

Hi(q

qiL>L-

hi ( p

Hence,

the

-

by

h(p)

equations

ptl)

=

qil)

=

given by

the

(26)

— H i (q

-

- h i (p

first

-

from from

so each

far

as

o t h e r .

(24)

components

qi

(26)

sides,

independent

Pia(p

H i (q

from

(21)

=

Moreover,

(28)

H at

equations

q

Subtracting

(27)

f u n c t i o n s h,

the

l )

x

-

imply

in

q 11_) / b ( q piJJ/a(p

equation

in

obtain

of

(22)

view

-

we

qiL), Pil.) .

(24),

we

the

f i r s t

can

determine

H(q)

following

Algorithm i

( i )

Determine

p

( i i )

Calculate

b(q

-

p*l_ -

by

qxl.)

i n v e r t i n g from

equation

of

( 2 7 ) .

( 2 2 ) .

13

(Hi)

Calculate

H±(q

(iv)

Calculate

H(q

(v)

Calculate

H(q)

Note first the

- qil_) from - qxi_) from from

equation

of

(28).

equation

of

(27).

equation

the trivial

of

Pr._Pi,

first step must be used us consider

(24).

first

(27) is in fact a system of

n-1 unknowns

Let

the

the second

that disregarding

equation of

first

the second

components,

the

n-1 e q u a t i o n s

for

and that the result

in the next three

of

the

we use

the

steps.

two e x a m p l e s w i t h n = 2,

where

notations z = [x,y],

(29) Z = CX.Y3,

1 =

Example 1: The initial value

[1,1]. problem

Xt = Yt « 1, X_ = Y„ = (Y - X)=, possesses in view of

(Y - X)„ = O and therefore Y ( 0 , s ) - X(0,s) =

y - x the intermediate

solutions

Z(t,s) = tl + Z(0,s), and

Z(OpO) = z

therefore the final

Z(O,5) = s(y - x)=U + z,

solution

Z(t,s) = tl. + s(y - x ) = 1_ + z, which is an example for

(23) with F ( z ) = f(z) = z.

Example 2: The initial value X t = Y* = 1, possesses

in

view

X_ = 1, of

problem

Y _ = 1 / ( Y - X ) + 1 ,

(Y — X ) „ = 1/(Y

— X)

Z (0,0 ) = z the

intermediate

solutions Z ( t, s ) X(O,s)

t ^ + Z(0,s) s + x

(Y(0,s) - X(0,s))= = 2s + (y - x)=, and final

therefore

in view of Y(t,s) - X(t,s) = Y C O , s ) - X(0,s)

solution X ( t, s )

= t +

s + x,

X ( t, s ) + ( Y ( t, s ) X ( t , s ) ) 3 = t + 3s + x + (y - x)=

14

the

which

is

an example

for

with c = [1,3] and f(z) the

inverse vector

reads and

F(w)

(19)

=

form

f(Z)

(y - x) z ].

'-' for y < x.

where

=

tl + sc + f(z)

Let us mention

function, z = F(w) of w =

= Cu, u ±l|v-u] ,

the sign

in the

Cx, x +

f(z)

the sign

with w =

' + ' holds

The case y = x,

of

that [u,v]

for y > x

course,

must

be

excluded.

3. Synthesis of a special

twodimensional

In this paragraph we show

that

all

existing

ourselves

(30)

Z. = B ( Z ) ,

Z* = 1 ,

If we speak is

possibilities

to the case A(Z)

chosen

compatibility

(31)

IB

and

we shall

and

condition

Z(0,0)

that

2 and

3 enclose

First we

to the initial

restrict

value

problem

= z.

this problem,

then

we mean

t, s are sufficiently

that z

small.

The

reads

(z) = O,

see that it is also sufficient

(30).

in

(29) with X = Zi, x =

In what

(32) Y = C Z

a

follows we use for

, . • • y

An analogous splitting (n—1)-dimensional

solution of

written

in

Z and

Zi, however

=

for

z the

the same

solvability splitting

as

with

[zz,...,z„].

we also use for

vector with all

general

the partial

1. = [l,e],

components

differential

where

equal

to

equation

e is

an

1. Then

the

(31) can

be

the form

B(z) = b(y - xe),

where

b is an arbitrary

arguments analogous

(34)

Lemma

for our application. = 1_, i.e.

(11) now

of

(33)

the cases of

about a solution of

suitable

case

vector

function

and continuous derivatives of

bi

n

components,

first order.

We make

n-1 an

splitting

b(y - xe) = Cb^iy - xe), b„(y -

where

with

is a scalar

function

and

b*

xe)],

an

(n-1)-dimensional

vector

function.

15

Theorem 1: If B(z) value

problem

(35) Z(t,s)

= tl + sbx(y

(even without continuous vector other,

functions that

(36) Z(t,s) where

c

is

independent Proof: from

(29),

of

an

+ sc +

first

respect

to t,

that

order,

the

the

initial

solution

s).

these there

w — g(z)f

being

functions exist

possess

n—dimensional

inverses

of

each

g(z)), constant

vector

being

1inearly

.

In the case b* = b x e we find (32) and

from

(34) that b = bjl,

(35) that Y - Xe = y - xe, and Hence

from

(33)

that

it follows immediately

that

(35)

(30).

In the case that b* * bie we w r i t e g(Z) = t l +

(37) l_g ' ( z ) = 1,

(37) possesses

the general

solution

k(y - xe),

k is an n—dimensional

Considering

if

BCz)g'(z) = c.

The first equation of (38) g ( z ) = x l +

(36) in the form

sc + g(z),

so that the theorem is proved

where

then

reads

n-dimensional

6(Z) = B(z) = bi(y-xe)l. satisfies

with

z — G(w),

from

(33),

b* — bxe

- xe)l_ + z

the solution

= G(tl

form

the case

that bm * b±e and

derivatives

so

the

in

restrictions

the case

In

possesses

(30) possesses

vector

function with n—1

(33), (34) and

(

L ~ ek ' (y - xe) \ I , k'(y - xe)

the second equation of

/

(37) turns over

(40) (b, - bie) k' = c - b^l, if we drop the variables. 16

Splitting

into

arguments.

(41) k = Cka.,k.],

k. = [ k =

kn],

and choosing c = CO,e], w e find

from

(40)

(42) (b, - bie) ( k « - kie) = e. According

to

E. Kamke C12D,

this system of differential

tions, which is in fact one single equation k. - kie, possesses for

b, * bxe

0.

(39) we also have after suitable

But

then in view of

a solution with det

combinations of the rows and c o l u m n s ,

(ki-kie) * linear

respectively,

* O

det g'(z)

where

equa-

for all c o m p o n e n t s of

here O is the

(n—1)—dimensiona 1 null vector.

This

shows

that g ( z ) is invertible, and the theorem is proved. Let us mention is included

that the c a s e , w h e r e bi(y-xe) is a

4. The general

twodimensional

Now

back to the general

we

problem

come (lO).

the solution

first

fied,

(43) Z(t,s) with

twodimensional

initial

value

We exclude the trivial case A(z) = B ( z ) = O

2i

order,

then

case

with

Z(t,s) = z, and assume therefore that A ( z ) # O.

Theorem of

constant,

in the theorem

If A(z)

and

if

the solution = F(tl

a scalar

and B(z)

possess

the compatibi1ity of

(lO) possesses

+ s bo(f(z)

function

continuous condition either

derivatives

(11) the

is

satis-

structure

- f±(z)l.)l_ + f ( z ) )

or it possesses

the structure

(36).

Proof ! In view of A ( z ) * O we can apply L e m m a 1 to the first equation of

(lO) and make the substitution

f(Z) = U,

Z = F(U)

with f and F from

(8). From

(B) and

(lO) we find

(44) A( Z ) f ' ( Z ) = 4.»

17

so

that

we

f'(Z)F'(U) over

=

have I,

Z*f'(Z)

= 1..

From F(f(Z>>

= Z

Hence

we

find

(44)

turns

into

(45) A(Z)

and we

= IF'(U),

have moreover U„ = Z„f'(Z)

the type

with

U. = B ( Z ) F - M U ) ,

Z = F(U).

scalar

= B(Z)F'(U),

i.e. a system of

(30)

(46) U* = 1 ,

To check

U(0,0)

= f (z J

the condition

(31)

we

introduce

the

operator

D = uddU)

cf.

LU =

the n-dimensional unit matrix.

=

d/dui

+

... + 9/e(E2'

meiR.

(12) 35

Dabei kann man zwei ; der drei Koeffizienten a , b und c beliebig wählen, der dritte ist dann durch die beiden anderen über eine bestimmte Gleichung festgelegt (vgl. [9]). Ist m £ Z , so kann für die Gleichung (12) und damit auch für (11) eine explizite Darstellung aller Lösungen unter Verwendung von Differentialoperatoren angegeben werden. Gleichungen dieses Typs treten unter anderem auf bei der Beschreibung der Strömung in elastischen Leitungen, die mit Flüssigkeiten gefüllt sind, bei Schwingungsproblemen in inhomogenen Medien und bei der antiplanen Deformation inhomogener Materialien. In der Theorie der biaxialsymmetrischen Potentiale sucht man nach solchen Lösungen der Potentialgleichung

u

=

:=1

V x . j j

=

0

'

die nur von den Größen x = (x2 + ... + x 2 )1 / 2 und

y = U 2 + 1 + ... + x 2 ) 1 / 2 ,

1 < j < r-1 , abhängen. Dies führt für die gesuchte Funktion ®(x,y) auf die Gleichung ®xx + ^yy + IT ®x + T

°y

=

° '

2v=r-j-1.

Läßt man hier zu, daß p und v beliebige reelle Werte annehmen, so beschreibt diese Gleichung die verallgemeinerten biaxialsymmetrischen Potentiale. Auch hier gelangt man durch geeignete Transformationen auf eine Differentialgleichung, deren Lösungen mit Hilfe von BAUER - Operatoren dargestellt werden können. Es ist dies die Gleichung

c

36

- (Ü-Ü^IL - vivzli ) (z+er (z-c)

w

= o .

Damit gelingt es unter anderem für y , v £ IN diese verallgemeinerten biaxialsymmetrischen Potentiale aus den Potentialfunktionen des IR2 zu gewinnen (vgl. [10]). Darüber hinaus konnten für y , v £ R gewisse Klassen partikulärer Lösungen angegeben werden, die zur Approximation dieser Potentiale verwendet werden können. Für diese Funktionen findet man auch bestimmte Funktional Differentialrelationen, die interessante Zusammenhänge zwischen verallgemeinerten biaxialsymmetrischen Potentialen beschreiben.

LITERATUR [1]

K.W. Bauer, über eine der Differentialgleichung (1 ±zz) 2 w z ~ ± n(n+1) w = O zugeordnete Funktionentheorie, Bonn. Math. Sehr. 23 (1965), 1 -98.

[2]

K.W. Bauer, Riemannfunktionen und Differentialoperatoren, Z. Anal. Anwendungen 3 (1984), 7 - 1 7 .

[3]

K.W. Bauer, On the Determination of Riemann Functions, Complex Variables Theory Appi. 8 (1987), 195-203.

[4]

K.W. Bauer, Bestimmung von Riemannfunktionen durch Differentialoperatoren, Seminarbericht, Graz, 1988 (unveröffentlicht).

[5]

K.W. Bauer, St. Ruscheweyh, Differential Operators for Partial Differential Equations and Function Theoretic Applications, Lecture Notes in Math., 791, Springer, Berlin - New York, 1980.

[6]

P. Berglez, Differentialoperatoren bei partiellen Differentialgleichungen, Ann. Mat. Pura Appi. 143, (1 986) , 155 - 185.

[7]

P. Berglez, On the Representation of Solutions of Partial Differential Equations in the Neighbourhood of Isolated Singularities, Complex Variables Theory Appi. 8 (1987), 181-193. 37

[8]

P. Berglez, Über funktionentheoretische Eigenschaften der Lösungen gewisser elliptischer Differentialgleichungen, Z. Anal. Anwendungen 6 (1987) , 23 - 34.

[9]

P. Berglez, On the General Solution of Linear Partial Differential Equations with Coefficients Depending on one Variable, erscheint in Z. Angew. Math. Mech.

[10]

P. Berglez, Zur Darstellung von verallgemeinerten biaxialsymmetrischen Potentialen, erscheint in Z. Angew. Math. Mech.

[11]

R. Heersink, Characterization of Certain Differential Operators in the Solution of Linear Partial Differential Equations, Glasgow Math. J. 17 (1976), 8 3 - 8 8 .

[12]

R. Heersink, Uber Lösungsdarstellungen und funktionentheoretische Methoden bei elliptischen Differentialgleichungen, Ber. Math.-Statist. Sekt. Forsch. Graz 67 (1976) , 1 - 79 .

[13]

M. Kracht, Über Bergman - Operatoren für lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Habilitationsschrift, Düsseldorf, 1974.

[14]

J. Püngel, Zur Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen, Ber. Math.-Statist. Sekt. Forsch. Graz 72 (1977), 1 - 1 0 .

[15]

J. Püngel, Lineare Abbildungen zwischen Lösungsmengen partieller Differentialgleichungen im Komplexen, Ber. Math.-Statist. Sekt. Forsch. Graz 91 (1978), 1 - 8 1 .

[16]

J. Püngel, Riemann Functions for Associated Operators, Ber. Math.-Statist. Sekt. Forsch. Graz 158 (1981), 1 -

[17]

10.

I.N. Vekua, New Methods for Solving Elliptic Equations, North Holland, Amsterdam, 1967.

[18]

H. Wallner, Associated Differential Equations and their Bergman Kernels, Complex Variables Theory Appl. 1 (1983) , 395 - 403.

[19]

W. Watzlawek, Über Zusammenhänge zwischen Fundamentalsystemen, Riemann - Funktion und Bergman - Operatoren, J. Reine Angew. Math. 251

(1971), 200-211.

Uber die Nullsteller, von linearen Differentialpolynomen mit meromorphen Koeffizienten Günter Frank

1.

Einleitung Unter einer meromorphen Funktion verstehen wir hier immer eine in I meromorphe Funktion. Darüber hinaus benutzen wir die bekannten Bezeichnungen der Nevanlinna Theorie wie T(r,f), m(r,f), N(r,f), S(r,f),... . Man vergleiche

[4] oder [6].

Eine meromorphe Funktion g heißt klein bzgl. der meromorphen Funktion f, falls T(r,g) = S(r,f) gilt. Unter W(w^,...,w n ) verstehen wir die Wronskideterminante der Funktionen w,,...w . 1 n Ein wesentlicher Schritt zum Beweis des zweiten Hauptsatzes der Werteverteilungstheorie für kleine Funktionen ist eine Abschätzung der Größe m(r, 1/L(f))

nach oben oder äquivalent

dazu, eine Abschätzung der Größe N(r, 1/L(f))

nach unten,

wobei W(w ,...,w ,f) (1)

L(f)

-

w

(

;

^ r

ist. Die linear unabhängigen meromorphen Funktionen sind klein gegenüber der meromorphen Funktion f. In [2] wurde die folgende Abschätzung bewiesen: (2)

p N(r,f) < N (r,1/L(f)) + (1 + E)N(r,f) + S ( r , f )

39

für jedes e > 0 . Man beachte, daß S(r,f) von e abhängt, aber die zugehörige Ausnahmemenge von e unabhängig ist ([8]). Mit dem ersten Hauptsatz und der Gleichung T(r,L(f) ) = m(r,L (f) ) +N(r,f) + pN(r,f) +S(r,f) sieht man, daß (2) äquivalent zu (3)

m(r, 1 /L(f).) 0 m(r, 1/L(f) ) 0 * 1 m ( r , f ) + I m ( r , - • ) < (2 + e ) T ( r , f ) + S ( r , f ) . t - t 3 j=1 j Beweisskizze: Wir f o l g e n e i n e r auf Chuang Sei w.jf...,w

[3] zurückgehenden

Beweisanordnung.

e i n e B a s i s d e r ( E - l i n e a r e n H ü l l e von

{ b ^ , . . . , b^}

und

L(f)

Dann

W(w,,...,w ,f) '1 ' • ' ' ' p ' W(w1,...,wp)

gilt: (i)

L(f) * 0

(ii)

L(f - b . ) = L ( f )

(iii)

m ( r , L (f - b j ) / ( f - b j )) = S ( r , f )

Nach [ 6 ] , p . 6 2 , g i l t Bj, j = 1 , 2 , . . . , q ,

j = 1 , 2 , . . . ,q

für geeignete kleine

,+a-N £ und für alle z€U R (0) g i l t . | f .( z ) | < e 2 . Definiert man auf U r (O)xU 1 (O) eine Funktionenfolge g^ durch (z,t) := f j (|(1-t 2 )) • (1-t 2 )" 1 / 2 , so kann man zeigen, daß für alle j>Ng gilt: (1 + R )

|g.(z,t)|< £, • ' D

fp

für alle ziüK n (O) und alle t«U. (O) 1

und damit |(B1 f j) (x,y)|< E

für alle (x,y)€KCUR(0) ^

d.h. es ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz der Folge B-^fj gegen B.jf^O für jede kompakte Teilmenge Kcör(0). B^ f ^ konvergiert also (bzgl. der Metrik d) gegen B^fQ=0, d.h. B^ ist stetig an der Stelle f o = 0. c2) Analog zeigt man die Stetigkeit von B_ an der Stelle # ik f Q =0, wobei vorher fj6H(Ur(0)) so zerlegt wird, daß in f^(z)=:f*(0)+??(z) die Funktion f^ÄH(0,0,-Ur (0)) . 5) Die Operatoren D n m , I und B als lineare Homöomorphismen Da die drei betrachteten Operatoren D n m > I und B auf ihren Definitionsmengen linear, stetig und bzgl. der gewählten Bildmenge bijektiv sind, sind die jeweiligen inversen Operatoren - 1 - 1 - 1 und B linear und bijektiv. D , I J nm' Da sowohl die jeweiligen Definitionsmengen der Operatoren D » I und B als auch deren (gemeinsame) Bildmenge C^lineare, vollständige metrische Räume sind, ergibt sich als eine Folgerung des Satzes von Banach-Schauder (für vollständige, metrisierbare topologische lineare Räume), daß die inversen Operatoren D n m , I und B ebenfalls stetig sind, d.h. es gilt der SATZ: Die drei Operatoren D

nm :H (zu ,n;G) x H (zo ,m-1 ; G ) - > c i ? ( G ) ,

I: H(z

O . 0 ; D ) x H ( D * ) - * cC"j( D ) ,

B:H(0,0;U

r

(0) ) xH (U (0) ) - * c " ( U

r

r, r

(0) )

stellen lineare Homöomorphismen dar.

53

Literatur: Bauer, K.W. und St. Ruscheweyh: Differential Operators for Partial Differential Equations and Function Theoretic Applications. Lecture Notes in Mathematics 791 (1980). C2] Bergman, St.: Integral Operators in the Theory of Linear Partial Differential Equations. Ergebn. Math. Grenzgeb. 23, Springer, Berlin-Heidelberg-New York (1969). [3]

Diederich, K. und R. Remitiert: Funktionentheorie I. Heidelberger Taschenbücher 1Q3, Springer Verlag (1972).

[4] Heersink, R.: Zur Charakterisierung spezieller Lösungsdarstellungen für elliptische Gleichungen, ö. Akad. d. Wiss., Math.-naturw. Klasse, Bd. 192, Heft 4-7, 267-293 (1983). £5J Heersink, R.: Lösungsdarstellungen für die Bauer-PeschlGleichung als lineare Homöomorphismen. Math. Nachr. 13Q, 241-244 (1987). [ö] Heersink, R.: Eigenschaften von Bauer-Operatoren für elliptische Differentialgleichungen. Im Druck bei ZAMM. [7] Vekua, I.N.s New Methods for Solving Elliptic Equations. North-Holland-Publishing-Company (1968) .

Anschrift:

54

Prof. Rudolf Heersink Institut für Mathematik Technische Universität Graz Steyrergasse 17 A-8010 Graz, Österreich

über die Nullstellen von Lösungen linearer Differentialgleichungen und eine Vermutung von A. Wiman Gerhard Jank

1. Einleitung. In dieeer Arbeit verstehen wir unter einer globalen Lösung einer Funktional- bzw. Differentialgleichung immer eine in (E meromorphe Funktion. Es gibt dann im Prinzip drei typische Fragenstellungen betreffend das globale Verhalten. Zuerst versucht man notwendige Bedingungen für die Gestalt einer derartigen Gleichung herzuleiten, die wenigstens eine meromorphe Lösung zuläßt. Besondere schön ist diese Charakterisierung - abgesehen von den linearen Gleichungen - im Fall der

binomischen Differenti-

algleichung gelungen, für die nach N. Steinmetz [ 17 ] nur sechs wesentlich verschiedene Typen möglich sind. Eine wichtige Gleichung ist darunter die Riccatische Differentialgleichung. Erweitert man die Lösungsklasse auf algebroide Funktionen, so ist nach J. v. Rieth [ 16 ] keine so einfache Klassifikation mehr möglich. Im wesentlichen offen ist die Fragestellung bei Differentialgleichungen von zweiter und höherer Ordnung. Wendet man die Methoden der Nevanlinnaschen Wertverteilungslehre (man vgl. z.B. [ 7 ]

[12 ][15][22]) auf Funktionalgleichungen an, so ergeben sich

keine so starken Ausschließungsbedingungen wie im Fall der Differentialgleichungen, wie dies z.B. aus der Arbeit von G. Jank und L. Volkmann [11 ] hervorgeht. Als zweiten

Schritt muß man die Frage stellen, ob die durch die notwendigen

Bedingungen charakterisierten Gleichungen auch tatsächlich meromorphe (algebroide) Lösungen haben. Im Fall der binomischen Differentialgleichungen ist dies unter gewissen Einschränkungen an die Koeffizienten immer möglich, sofern man eindeutige Lösungen betrachtet. Für algebroide Lösungen trifft dies bereits nicht mehr zu. Noch ungünstiger ist die Situation bei den Funktionalgleichungen, wo man nur durch Beispiele nachweisen kann, daß die erhaltenen Klassen nicht leer sind. Diesen Fragen wird ebenfalls in der oben zitierten Literatur nachgegangen. Im dritten Schritt möchte man die Eigenschaften der Lösungen der verbliebenen Gleichungen genauer studieren. Hierzu gibt es zahlreiche Untersuchungen. Z.B. werden in [ 17 ] die Wertverteilungsgrößen der Lösungen binomischer Differentialgleichungen bestimmt. Oder in [14]["3] werden die Lösungen Riccatischer Differentialgleichungen auf ihre Faktorisierbarkeit untersucht. 55

Im weiteren möchte mich mich etwas genauer mit der Wertannahme von derartigen globalen Lösungen befassen. Hier erhält man z.B. für die Riccatische Differentialgleichung nach [ 10 ] das folgende Resultat: Satz A.

Es sei

(1.1)

w

eine transzendente Lösung der Differentialgleichung

w'=a+bw+cw

2

a,b,c rational, ac 0 0 ,

, 2

und

a G C

mit

a + ba + Ca

ft 0 . Dann gibt es Konstanten

ß,K > 0 , so

daß 1 — < r

|w(z) - o |

für genügend große Breite

w - 0 .

Bei A. Wiman [21 ] und G. Valiron [19](man vgl. hierzu [ 12 ]

Seite 199 ff.)

findet man die Aussage, daß für jede ganze transzendente Lösung (1.3) mit

(1 .4)

M(r,w) =

w

von

max |w(z)| M=r

P log M(r,w) = tr (1 + o(1 ) ), r - », 0 < T < ® , p e f t

gültig ist. Die Ordnung der Lösung

P(w) = P

mit

1 p > —

muß eine der Steigungen des

zu (1.3) zugeordneten Newton-Puiseux-Polygons sein. Mit Hilfe der Methode der asymptotischen Integration, wie sie auf L.W. Thomé, H. Poincaré und G.D. Birkhoff zurückgeht (man vgl. hierzu etwa [20],[13.]) und wie sie von V. Dietrich [4 ] verfeinert wurde, ist es nun möglich in einem ersten Schritt mehr Information über

T

in (1.4) und vor allen Dingen

über den Nullstellentyp einer Lösung zu erhalten, indem man noch ein zugeordnetes Indikatordiagramm betrachtet. In einem weiteren Schritt wollen wir uns mit der Frage der Verteilung der Nullstellen einer transzendenten Lösung befassen und damit eine Vermutung von A. Wiman ([21] Seite 19 Fußnote 2) behandeln. Die Untersuchung der Lage der Nullstellen von transzendenten Lösungen von linearen Differentialgleichungen wurde z.B. bei St. Bank [ 1 ] vorgenommen, der erstmals zeigen konnte, daß es neben festen (d.h. durch die Differentialgleichung bestimmten) kritischen (Stokesschen) Richtungen auch bewegliche, (d.h. durch die Anfangswerte bestimmte) kritische Richttingen geben kann.

57

Ergebnisse dieser A r t für Differentialgleichungen zweiter Ordnung f i n d e t m a n z.B. in [ 9 ] Seite 168 ff. u n d [ 3 ] Seite 178 ff. jedoch sind d i e d o r t benutzten Methoden nicht auf den Fall

n ^ 3

anwendbar.

Nach einer mündlichen Kitteilung h a t N. S t e i n m e t z unabhängig Shnliche Resultate,wie sie hier angegeben w e r d e n sollen, erzielt. Herrn V. Dietrich danke ich an dieser Stelle für viele hilfreiche Diskussionen.

2. Wachstumsverhalten von LOsungen u n d d e r e n A n z a h l f u n k t l o n der N u l l s t e l l e n

Zunächst gehen w i r v o n (1.3) zu dem Äquivalenten l i n e a r e n System

(2.1 )

mit

w' - B w ,w(n-1>)

w m col(w,w',

(2.2)

0

1

0

0

0

1

u n d der

(n,n)-Matrix

B = 0 a

a

0

1 a. n-1

1

Ober. Um ein Maß für das W a c h s t u m einer Lösung

w

v o n (2.1) z u bekommen d e f i -

nieren wir m i t

(2.3)

|w(z)| -

[|w(z)

M(r,w) » "

max M - r

2

+ | w ( z ) I 2 + ... +

|w

(n

"1)(z)|2]

|w(z) "

und m i t der üblichen Definition der W a c h s t u m s o r d n u n g

p(w) - lim r-Mo

log log M(r,w) log r

ergibt sich nach einfacher Rechnung

(2.4)

58

p(w)

=

p(w)

1/2

Bemerkung 2.1

Es wird sich als vorteilhaft erweisen, mit der Kurve

und nicht mit

w

in

zu arbeiten, da

w(z) 4 0

w

bis auf endlich viele Punkte

—«cn

lo

gT(r'w) log r

.

3

Im Verlauf dieses Abschnitts werden wir noch sehen, daß für die Charakteristik eine zu (1.4) analoge asymptotische Formel existiert. Hierzu benötigen wir das Lemma 2.1

Für eine ganze Funktion

g = c o l ( g , g ' , — ,

(2.7)

g ft 0

von endlicher Ordnung und

n e B , mit

1 2* 16 V(r) =•=!-/ log |g(rex )|d« * 0

und (2.8)

2K .. V+(r) = j j / log ^(re 1 )|d« 0

gilt i)

T(r,g) » m(r,g)
V + (r) iii) N(r, 1) +0(1) V(r) . g Beweis.

Aus

|g(z)| < la(z)|

zusammen mit (2.5) und (2.8) erhalten wir

i).indem wir auf beiden Seiten den

log

bilden und integrieren. Logarith59

mieren wir beide Seiten und integrieren, so erhalten wir Iii) zusammen mit der Jensen-Formel ([l2]Seite

47,48).

Außerhalb der Nullstellen von

(2.9)

/ Vi

|£| =

und damit für lSg|g|
0 , dann existieren

iz.iu;

60

ni«j = u m r— 0 2 0

(2.13)

p 2 1 * N(r, ¿)= f - / w Q

Bemerkung 2.4.

h(«)

de + o(r ) .

2H / h(G) di ^ 0 , so ist nach (2.13) Null kein Borelscher 0 w . Der Nullstellendefekt ergibt sich in jedem Fall zu

Ist

Ausnahmewert von

1

6(0,w) = 1 - -l f h(6)d« T 0 Beweis.

und

.

Von Lemma 2.2 zusammen mit (2.8) erhalten wir

V + (r) = r p (i + o(1 )) mit

T > 0 . Wäre

T = 0 , so würde die Lösung

w

vom Minimaltyp sein,

was nach (1.4) nicht sein kann. Dies liefert zusammen mit Lemma 2.1 i) und ii) (2.12). Analog ergibt sich im zweiten Fall aus (2.10) und (2.7)

V(r) =

o 2* f h(«)d« + o(rp) 2 " 0 61

und damit zusammen mit Lemma 2.1 die Behauptung. Im nächsten Abschnitt wollen wir uns der Bestimmung von

i

und

2* / h(e)d« , 0

möglichst direkt aus den Koeffizienten der Differentialgleichung.zuwenden.

Außerdem soll der Fall digerweise

P(w)

2sh(«)de = 0 J 0

näher untersucht werden, wobei notwen-

ganzzahlig ist. Dazu ist es erforderlich, etwas tiefer in

die Methode der asymptotischen Integration hineinzugehen.

3. Die formale Indikatorfunktion und das Indikatordiagramm Von [ 4 ] übernehmen wir die Existenz eines (normalisierten) formalen Fundamentalsystems zu (2.1) in der Form (3.1)

H(z) •» (h,(z), ... , h (z)) —1 —n

mit (3.2)

h..(z) = T(z 1 / p ) z 1 / p

für geeignetes

L

p e B , wobei

Einheitsvektor in

Kn

exp(q.. ( z V p ) ) , j = 1, ... , n ,

e

T,L> (n,n)-Matrizen und

bezeichnen.

gente) formale Potenzreihe und

L

T

e.

den j-ten

ist dabei eine (i.A. nicht konver-

eine konstante Matrix in Jordanscher

Normalform. q.j , ... , q n

sind Polynome mit

q^iO) = 0 , j - 1, ..., n .

Setzen wir Q - diag(q1, ... , q n ) ,

so gilt außerdem (3.3)

LQ - QL .

Von [5] folgt weiter , daß die Zahlen

(3.4)

p..» 1 deg q.. mit

P., > P 2 > • • • > P n > °

als Steigungen des Newton-Puiseux-Streckenzuges, der (2.1) zugeordnet ist, auftreten. Bezeichnen wir mit 62

z , ..., z

die Nullstellen des Newton-Puiseux Polynoms

und setzen wir zusammen mit (3.4) z . j = p1 '

(J

(3.5)

j = 1 » ... i n ,

dann können wir die Polynome

(3.6)

qj(z

,/

P• ) = u> z 3 +

q^

0(z

in der Form P.-1/p 3 ) , j = 1, ..., n

schreiben. Sind nicht alle

q^ , j = 1,

Richtungen. Dabei nennen wir

n , gleich, dann existieren Stokessche 6

eine Stokessche Richtung von (2.1) bzw.

des formalen Fundamental6ystems (3.1), wenn es zwei verschiedene Polynome q^, q^

in

Q

gibt und wenn wir noch

q.(2 1 / p ) - qk ( z 1 / P ) = Z 1 (a 1 + 0( Z " 1 / P ))

setzen, dann existiert

lim M — argz=9

. a ^ O ,

e > 0 , so daß

Re Cq.(z 1/P ) - q. (Z 1/P )] = ¡z|

r > 0 ,

0

«3 , i e und

u

0

P. < P Jq

= 0

P(w)

einer Lösung

w

von (2.1)

ist das kleinste konvexe Polygon, welches die Punkte M ( p w)

enthält, falls

existiert). Die

u. 3

Mp(w) ^ J(w)

(d.h. falls

j Q e J(w)

mit

sind gemäß (3.5) durch die Nullstellen des

Newton-Puiseux Polynoms zur Steigung Des weiteren definieren wir für

P

bestimmt.

j e J(w)

i

und

§ G K

die Funktionen

| co | cos(p6 + arguj^) , falls 0 , falls

p

=p

Pj < p.

Diese Definition ist sinnvoll, da wir aus [4 ] wissen, daß p = p (w) =

max p . j£J(w) 3

gilt. Nun definieren wir noch die formale Indikatorfunktion einer Lösung von (2.1) der Ordnung Definition 3.2

P.

Für eine transzendente Lösung

w

von (2.1) der Ordnung P

nennt man (3.12)

I(P«) = I(P«,w) =

max I.(P«) , « C K jej(w) 3

ihre formale Indikatorfunktion. Wichtig ist nun der folgende Zusammenhang aus [4 ] . Es gilt die Gleichheit von formaler Indikatorfunktion und Indikatorfunktion, d.h. es gilt 64

w

(3.13) und

h(«) = I(p«) , « e K

I(pO)

ist eine stückweise glatte Funktion. Analog gilt

h+(«> = I+(p«) : =

(3.14)

max {l.(P,«) , 0 } , e e K . jGJ(w) 3

Damit können wir nun analog zu den Exponentialpolynomen (vgl.[l8] ) die Integrale in Satz 2.1 durch eine geometrische Betrachtung berechnen. Satz 3.1

Für eine ganze transzendente Lösung

sei

I(pe)

und

P(w)

die formale Indikatorfunktion und

die Indikatorfunktion

2)i 2)t J h(6) de = J" I (p-6) d« = lOP(w)) , 0 0 1 (ÖP(w))

den Umfang des Diagramms bezeichnet. Analog gilt

2n V' + J h («) d« = / I+(pO) de = lOP„(w)) , 0 0 0

(3.16)

wobei

von (2.1) der Ordnung P

h(6)

das Indikatordiagramm, dann gilt

(3.15)

wobei

w

PQ(w)

das kleinste konvexe Polygon bezeichnet, welches die Punkte

{».I j e K (w) } U {0} umfaßt. 3

P

Beweis.

-

Da der Beweis von (3.16) analog zu (3.15) verläuft, wollen wir

nur diesen Fall betrachten. Nehmen wir an, daß Ecken von

P(w)

". ,

sind.

V

, ... , "> •'n

die

Zunächst gilt mit (3.11) 2* 2 *p / I(pe) de = 1 / max I. z 3 P . (log z V p ) w(z) - e q ( z 1 jej (w)

(4.5)

,1/p. womit da

w(z) = Q(z)eq

wir

w

mit einem geeigneten Polynom

Q

gelten muß,

als ganz transzendent voraussetzen.

Im zweiten Fall setzen wir die Existenz fester kritischer Richtungen Ty(w)

von

w

voraus. Nach einer eventuell vorzunehmenden Umnumerierung

in (4.3) nehmen wir an, daß die Polynome q. - q, - . .. = q . « : q in dem Sektor

S -

1

< arg

j e JJ*(w) , j ^ 1 .... «j^ , mit

2

die


, z -

gilt

lim r-xo Vi

< a r g

Re[q (Z 1 / P ) - q ( z V p ) ] 3 < 0 . rß z 0

genauer untersucht werden. Da *

P^

P*(log z 1 / p ) « Q (log z 1 / p ) + 0

schreiben, wobei

Q^ t^k

« o(1)

1/P|dl | log z

ein Polynom mit Koeffizienten der Form

c(1+o(1 )), c / 0; und wicklungen von

log z / z

in der Form

ß^^ das Minimum der positiven Exponenten der Entist .

Nun gilt Lemma 4.1

Gibt es unter den in (4.8) benutzten Eigenwerten

genau einen Eigenwert Re

X >

X^...,^

X mit maximalem Realteil, d . h .

max X^X

Re

X., 3

71

dann gilt in

für ein geeignet gewähltes

a

4(z) = (log z)01 z X/p (1+o(1 )) , 7. - ® .

(4.10) Beweis.

S^

Da P^ sich wie ein Polynom verhält und (X -X)/p

(log z)* z

= o(1)(für

z e S^ , z - » , Re ^

(z) =

7 [S, + 1

. X./p j1 „ ' )] z Pflog z ) + t(z) , log z

wobei sich

®

mit (4.8)definiert. Für jene

gibt es nun ein

so, daß

ImX^

1»1 ,...,m

mit

c^ 4 0

kleinstmöglich ist. Dies sei o. E.

X^ . Damit folgt dann aus (4.12) zusammen mit (4.11)

X /p . 4(z) = z 1 P(log z 1 / p ) [

(4.13)

a

8 1 = — , wobei c Dabei haben wir noch

mit

e

l

c

\

log z + a.

P

e

+ o(1)]

der Koeffizient der höchsten Potenz von

P

ist.

log z — 0 , z—

log z

benutzt. Setzen wir im weiteren X -X io, = — - mit 1 p

o, > 0 1

für

1 ^ 1 ,

so können wir (4.13) schließlich in der Form

(4.14)

i(z) = z

X /p 1

e

a

. P(log z 1 / P )

1

[

Je

io l o g r-c 9 + a -a 1

1

1

+ 1+o(1)]

öj/0 1 ¿1 schreiben, wobei

9

1 1 c, 1

+ e

log(m-1) + —^ o . min

und für genügend große

r

io logr-o o+a -a (4.16)

| Z

e

1

1

| 3, n i l N

für eine in D holomorphe, unverzweigte Funktion (f'(z) $ 0), so ist u n wegen des einfachen Aufbaus (10) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung S2u = -

(16) 2 wobei 5.U ^ = (1-zz) u Zu_2

und

1,

§,U= (1-zz)2 u ZZ _ m

die der hyperbolischen

Metrik des Einheitskreises D angepaßten Beltrami-Operatoren sind. Für die reellwertigen Lösungen dieser Differentialgleichung hat E. Peschl [^13 1 [^5] eine Abschätzungsmethode angegeben, die auf einem verallgemeinerten Maximumprinzip beruht. Abhängig von den Eigenschaften der Lösung von (16), ergeben sich scharfe Abschätzungen der Form £,u

(17)


:=w(z • iQ ) \:=lim i • [Err.(z) i \. — u(z)-ü)(zn)i A T--(z —^ i—OjL] Z 0 €DCCD 0

z_z

z+Zo

O

existiert.Es ist bekannt,daß die Menge P D (E) einen additiven Vektorraum über IR bildet,wenn

vorhanden ist.

Ist E=(1 ,i) = :A,so ist A.qj holomorph in D,P D (A) bezeichnet also die Menge der in D erklärten holomorphen Funktionen. Nach L.Bers nennt man für E=(F,G)6E m (1)

FG

F

„ ._ 5 " Z aE:=—— FG-FG

5

FG

F

.u z" z i bE : = — 5 FG-FG

die Funktionen °

G E

FG —F G FG -F G z z_ . ._ z z FG-FG ' ^ FG-FG

die charakterischen Koeffizienten. Wenn w£PD(E) ist,so besitzt w nach dem Ähnlichkeitsprinzip

die Form

w(z)=f (z)e s(z) wobei f eP D (A) und . a (?) +b (?) [iTTc) /w (c ) ] s(z):=—JJ —| dudn D ^

, ?=£+in

gleichmäßig stetig, |s¡¿M,M=(D,E) sind. Außerdem erfüllt w=E. u=Fip+Gi|i die Relationen

89

(2)

w 5 =a E w + b E w

mit Fcp_ -tGil_=0 und z z ( 9 '

'

_

dirW

w=Fip -tGiJi =w -A_w-B„w: =-5=— z z z £ £ az Die Funktion C-iP G-iF _ ,w:= - - w — _ _ w FG-FG FG-FG

heißt die zu w(z) korrespondierende pseudoholomorphe Funktion 2. Art modulo E= (F,G) . Es seien Eo,E.|€ED .E^ nennt man den Nachfolger von E Q ,wenn die Relation a„ =a„ , b„ = - B g ü l t i g ist.Wir wissen,daß w€P„(E.) ist,falls E E E D 1 1 Eo 1 o w£P D (E o ) und E 1 Nachfolger von E q ist. 2-DER RAUM P^(F,fF). SATZ 1- Es seien wEP^fE),f€P^(A).w ist eine Lösung der Differentialgleichung w

(3)

5=aEw

genau dann,wenn E=(F,fF) mit lmf>0. BEWEIS:Wenn wGP ß (E) ist, dann erfüllt w die Differentialgleichung (2).Wir nehmen nun an,daß die Differentialgleichung (3) gilt.Dann ist bE=0.Hieraus erhält man G=fF.Es sei nun G=fF.Dann ist b E =0 für E=(F,fF) mit f€Pß(A),Imf>O.Weil w£P D (E) ist, erfüllt w (3) Somit ist der Satz vollständig bewiesen. SATZ2-Die Gesamtheit der Lösungen von ( 3 ) sind in der Form (4)

w(z)=0.Andererseits erhält man aus (j)

fF j=F-/F.Weil

man aus (4)

V ^ f F ) ' schreiben kann,ist (.4) eine Lösung von (3). Es sei nun w. neben w eine wcitGirG Lösung von ^3) rd• h • für a.^, a. ^p ff) (W

so gilt

1 ) Z = a (F,fF) W 1 (F, fF)

^ z ^ [ a (F,fF) W 1 W - W i a (F,fF) w ] s 0 Also ist (w1/w)=®*, ®*£PD(A) und w 1 ^ " w ^ * * F m it in (4) in der Form ®(z)= +vi(i =0, y x ' y wobei f=u+iv ist.Aus (5) erhält man durch die Ableitung nach x und y das reelle System ^

VAIJJ + 2Vv. Vi|i=0 Aip+uAtJ +2 Vu. Vi|/=0

wobei wie üblich A den Laplace-und V den Nabla Operator (.) das innere Produkt im üblichen Sinne ist.

bedeutet und

Es ist klar,daß Aip=0,Ai(i=0 für f=a+ib,a,b£R,b>0 sind.Die erste Gleichung in (6) kann man in der Form frj\ (II

v -u v +u AiJj + — — ' J j ——iJj =0 v

x

v

y

schreibendann wir in (7) U=-T,V=O>0 wählen, dann erhalten wir die elliptische Differentialgleichung gemäß in t3]»Seite 27,(7.11).Aus oder aus der I.Gleichung von (6) kann man (8) °der

At(H——tii t 2v y» =0 v x v y 2u

v

2u

x

schreiben.Wenn f eine Lösung von (7) oder (8) ist,dann kann man die Funktion tp durch das Kurvenintegral .z tp(z)=] (V1|I -Ulpx )dx-(ui|; +vi|i )dy Z 1 Y * 0 berechnen.

91

Es sei w eine Lösung von C 3) und wir betrachten nun die Form (9)

w(z)=a(z)*(z)+B(z) +b E (öw^-bj,^ (öw,)

(öw^+bg

(av^-öw^)

schreiben kann,muß b^, =0 sein.Denn.es gilt aw^-aw^+0.Also ist die Erzeugendenvektor E 1 in der Form E^=(gF f f F ^ darstellbar. Wenn wir F=F^ wählen, dann ergibt sich w 1 £P Q (gF,fF).Das ist ein Widerspruch zur Behauptung w^P

(gF,fF) .Damit ist die Behauptung vollständig bewiesen. FOLGERUNG: P D (z* , U

function on

extended

such that for any pair of adjacent of

CO (z* ,

symmetric

be a Jordan curve in the

be its complementary

open subarcs

If

L

automor-

following

if and only if there exist two points

and a constant

we have

Let

qc

of

ID

of a given

quasi-

, then s i m u l t a n e o u s

of

generate a

qc

which induces the boundary corespondence h(x + 23t) = h(x) + 2'3t . Consequently,

a continuous, periodic function of period

2lt

mappings

automorh

satisfying

6"(x) = h(x)-x

is

. This i m p l i e s

the

following Corollary

1 , [5],[7]

. Boundary correspondence

under

qc

m a p p i n g s of Jordan domains can be characterized by a c o n t i n u o u s , p e r i o d i c function M

the

(1.4)

(>

of period

2 3t

which satisfies for

some

condition

M-1

^

t+

_

t+ C (x) - 6"(x-1)

The function

6"

may be considered as the deviation from

of an induced automorphism of the boundary

104

curve.

identity

2.

Classical harmonic analysis and the class t (M)

Let Obviously

(M)

denote the class of functions

any

er

defined

above.

determines a welding homeomorphism leading to a

quasicircle and thus to a point of the universal Teichmtlller • [8]>

• F° r this reason alone

%

(M) deserves more

space,

detailed

investigation. Without loss in generality we may assume that any £ % (M)

is subject to the

normalization

23C (2.1)

$

(x)dx = 0

0 The functions

CT 6

(M)

have many nice properties from the point

of view of the classical harmonic

analysis.

They are continuous, of monotonic type and of bounded Since

h(x) = x+/)> T(r,f). Mit i V ( r , / ) wird die Anzahlfunktion der Pole bezeichnet, wobei jede Polstelle ohne Berücksichtigung der Vielfachheit nur einfach gezählt wird. Schließlich sei Ni(r,f) = N(r,f) — N(r,f). Mit S(r, f) werde jede Größe bezeichnet, die ein o ( T ( r , / ) ) ist für r —• oo mit eventueller Ausnahme einer Menge von endlichem Lebesgue-Maß.

m(r»/)i

W i r setzen voraus, daß der Leser mit den grundlegenden Tatsachen und Hilfsmitteln der Nevanlinna-Theorie vertraut ist (siehe z.b [3]), wie etwa mit dem Satz über die Schmiegungsfunktion der logarithmischen Ableitung

und seinen Folgerungen, etwa m

0 < p < Jfe,

oder

hier sind die a v

m I r, m ( r ' ( / - a ) . / . ( / - a , ) ) l paarweise verschieden.

=S(rtf);

109

R . Nevanlinna bewies die folgenden beiden wohlbekannten Sätze. S a t z A (Fünf-Punkte-Satz, [5, p. 109]). Teilen zwei nichtkonstante morphe Funktionen f und g fünf Werte I M , dann ist f = g.

mero-

S a t z B (Vier-Punkte-Satz [5, p. 122]). Wenn zwei verschiedene nichtkonstante merotnorphe Funktionen f und g vier Werte . . . , a 4 C M teilen, dann ist g = T o f mit einer Möbiustransformation T. Es ist weiter = a 4 und T ( a 4 ) = a3. Damit sind 03 und a 4 T ( « i ) = a i , T{a2) = a2, Picardsche Ausnahmewerte von f und g, und für das Doppelverhältnis der vier Punkte hat man ( a j , a2> a3> a 4 ) = — 1Es ist nun nicht möglich, in Satz B die Bedingung C M durch I M zu ersetzen. Dazu sei mit einer nichtkonstanten ganzen Funktion -y e^ + 1 *

_

(e~< — l ) ' 2

1 (e^ + l ) 2 8

9

e"11 — 1

/ und g teilen die vier W e r t e 0, 00, 1 und — Punkt!

und zwar D M in j e d e m

Dieses Beispiel stammt von Gundersen [1], der auch zeigte, daß man in Satz B die Bedingung, daß etile vier W e r t e C M geteilt werden, durch die folgende ersetzen kann: drei W e r t e werden C M geteilt, ein vierter W e r t wird I M geteilt. Unter diesen Voraussetzungen bleibt das Ergebnis von Satz B noch richtig. Es gilt sogar S a t z C [2]. Wenn zwei verschiedene meromorphe Funktionen vier Werte teilen, und zwar zwei C M und zwei I M , dann bleibt das Ergebnis von Satz B richtig. / und g mögen den Wert a I M teilen. Es bezeichne N0 (r, jz^)

die Anzahl-

funktion derjenigen a-Stellen von f (und auch von g), in denen a C M geteilt wird. Diese Stellen sollen in N0 ohne Berücksichtigung der Multiplizität nur einfach geteilt werden. Es sei dann r ( a ) = liminf

N

°

(r» T b ) . — "/ ,

falls a-Stellen auftreten, r ( o ) = 1 sonst. M a n beachte: W i r d a C M geteilt, dann ist r ( a ) = 1; für einen stets D M geteilten Wert ist r ( a ) = 0. D i e zur Zeit weitreichendste Version des VierPunkte-Satzes ist S a t z D [4], Es seien f und g zwei verschiedene nichtkonstante meromorphe Funktionen, die vier Werte teilen. Einer der geteilten Werte werde C M geteilt. Für einen weiteren geteilten Wert b gelte r ( 6 ) > |. Dann bleiben die Folgerungen in Satz B richtig.

110

Wird zusätzlich vorausgesetzt, daß das Doppelverhältnis schon —1 ist, dann genügt die Bedingung r(b) > 2.

der

vier

Werte

Ergebnisse

Es ist ein offenes Problem, ob man das Ergebnis von Satz B erhält, wenn nur einer der vier geteilten Werte als C M geteilt vorausgesetzt wird, die anderen drei dagegen nur als I M . W i r werden hier zeigen, daß es für den Fall ,ein Wert C M , drei Werte I M ' kein Gegenbeispiel vom Gundersen-Typ gibt, also drei Werte D M , wenn zusätzlich gefordert wird, daß der CM geteilte Wert Picardscher Ausnahmewert von / und g ist. Die Eigenschaft zweier meromorpher Funktionen, einen Wert C M , IM oder D M zu teilen, ist invariant gegenüber Möbiusabbildungen: Wird a geteilt, dann teilen T o / und T o g den Wert T(a) C M , IM oder D M . Wir können so o.B.d.A. annehmen, daß der C M geteilte Wert, der j a Picardscher Ausnahmewert sein soll, der Wert oo ist. S a t z 1 . Es gibt kein Paar plexe Zahlen D M teilt.

von ganzen

Funktionen

f und g, das drei

kom-

W i r beachten zunächst, daß die Zahl 3 bestmöglich ist. Mit q(z) = ez H

2

und

J/

= — 2g — 1

hat man zwei ganze Funktionen, die die beiden Werte 0 und 1 DM teilen. 3.

Zwei Hilfssätze

W i r stellen im folgenden Hilfssatz eine Reihe von wesentlichen Eigenschaften zweier meromorpher Funktionen, die vier Werte I M teilen, zusammen. Diese Tatsachen sind nicht neu, aber hier so formuliert, daß es für unsere spätere Anwendung geeignet ist. H i l f s s a t z 1 (vergl. auch [4]). Die nichtkonstanten meromorphen nen f und g, f g, mögen vier Werte a l 5 . . . , a 4 IM teilen. Dann (1)

(2)

(3)

T(r, f ) — T(r, g) + S(r, / ) ,

f : N (r,

m (r,

T(r,g)

= T(r, f ) +

= 2T(r, f ) +

Funktiogilt:

S(r,g),

S(r),

= S(r).

111

Es sei N*{r) die Anzahlfunktion der Stellen, wo ein Wert d aj mehrfach angenommen wird, und derjenigen Stellen, wo ein geteilter Wert von f und g gleichzeitig mehrfach angenommen wird. In N*(r) werde jede Stelle mit um Eins verminderter Vielfachheit gezählt (also k — 1-fach, wenn k die Vielfnchheit einer d-Stelle ist und min ( p , q ) — 1-fach, wenn p bzw. q die Vielfachheiten für den geteilten Wert aj sind). Dann ist N'(r)

= 5(r).

W i r schreiben hier stets S ( r ) , da jedes S(r, / ) ein S(r,g) B e w e i s : Es seien zunächst alt..., ist 2T(r,f)

ist und umgekehrt.

a4 £ C . Nach dem zweiten Hauptsatz




der

Cl) m+3

1 J

=

Vn f, " Z " l.1

~

15 16

a

2l J"

Folgen

O.

Induktionsannahme

123

—2*

ebenfalls

e

und

e*

in

zu L ö s u n g e n

D x {z | |z|y(2'j)l q 4 yl 2

M

nw

nM

(ß)

den Funktionen E , E+ und E zugeordneten formalen Potenzreihen sind wegen (3.7) und (3.8) Lösungen der formalen Anfangswertprobleme F

(3.11)

cxa - F ß ß

mit 134

+

(F

cc"Fß)/n

F(oi,ß;0) = 1

=

tf (°0 " g(B) ] F

und F

(3.12)

+

L

F

a/n

F~g + F~/n mit

f ( a )

= =

F +

g(ß)

F"

F + ( a , 0 ) = F~(ß,0) = 1

.

W i e d e r i s t - im G e g e n s a t z zu (3.1) - d a s f o r m a l e A n f a n g s w e r t p r o b l e m (3.11) für F s e p a r i e r b a r , d h . , sind F+ und F~ L ö s u n g e n v o n (3.12), so i s t (3.13)

F(a,0;n)

=

F+(ct;ri) F ~ ( ß ; n )

L ö s u n g e n v o n (3.11). A u s d e n R e k u r s i o n e n (3.8) für und q~(S) ist somit d i e R e k u r s i o n (3.7) für

(3.14)

q

(a,ß) =

l A=0

h e r z u l e i t e n . Demnach g i l t

2

q > )

q+(a)

q^tß)

der

S A T Z 2. Ist e+(z,£;s) = E+(z+C;zs2) Bergman(erster Art) von (2.1a) und -ist e ~ ( z , C ; s ) = erzeugende Bergmanerzeugende (erster Art) von (2.1b), = E (z—C;zs2) dann -ist e(z,C;s) =

£ q (z+C,z-C) z y a X=o y

!

m-i. t

A=o

dr)

Bergmanerzeugende(erster

4.

Art)

dri von

(1.9).

B E M E R K U N G E N

Die H e r l e i t u n g von A d d i t i o n s f o r m e i n für K e r n e a n d e r e r L ö s u n g s d a r s t e l l u n g e n für (1.9) o d e r a u c h a n d e r e r f o r m a l hyperbolischer Differentialgleichungen erscheint durch Einführung g e e i g n e t e r T r a n s f o r m a t i o n e n b z w . d u r c h sie d e f i n i e r te "Produkte" m ö g l i c h . Für d i e h i e r a n g e g e b e n e n F ä l l e i s t R

=

R + * R~

:=

T - 1 (TR + • T R ~ ) 135

E

=

E+

*

E

:=

n

1

(RTE + -RRE

)

m i t d e n , auf d e n e n t s p r e c h e n d e n M e n g e n formaler P o t e n z r e i h e n definierten Abbildungen T bzw. n , gemäß S = TR (vgl. (2.6) , (2.10) ) b z w . F = TIE (vgl. ( 3 . 5 ) , ( 3 . 9 ) ) . A u c h e i n e generelle U n t e r s u c h u n g des B e g r i f f s d e r S e p a r i e r b a r k e i t bei formalen A n f a n g s w e r t p r o b l e m e n s c h e i n t u n t e r d i e s e m verallgemeinerten Gesichtspunkt v o n Interesse.

L I T E R A T U R

[1 ]

St.BERGMAN. Integral Differential Partial

Operators Equations

[2]

J . S . P A P A D A K I S , D.H.WOOD. A n A d d i t i o n Formula for Eiemann F u n c t i o n s . J.Piff.Equ. 24 , 397-411 (1977).

[3]

B.RIEMANN. Uber die F o r t p f l a n z u n g e b e n e r L u f t w e l l e n von endlicher S c h w i n g u n g s w e i t e . G e s a m m e l t e M a t h e m a t i s c h e W e r k e , 145-164, L e i p z i g 1876. Abh. Königt. Ges. d. (1860). Wiss. Göttingen

[4]

I.N.VEKUA. New Methode for, Solving North-Holland Publ. C o . , A m s t e r d a m

Jürgen Püngel Institut für Mathematik D T e c h n i s c h e Universität G r a z Steyrergasse 17 A-8010 GRAZ Österreich

136

in the Theory of Linear . S p r i n g e r , B e r l i n 1971.

Elliptio 1968.

Equations.

Die Differentialgleichungen von Acz61Jabotinsky, von Briot-Bouquet und maximale Familien konvergenter vertauschbarer Potenzreihen Ludwig Reich (Graz) §

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit handelt es sich um die Beschreibung der maximalen Familien konvergenter vertauschbarer Potenzreihen der Form 2 F(z) = pz + c 2 z + ... , deren Multiplikator p von Null verschieden ist. Wir studieren also Familien 7 solcher Reihen 7 = (F. l ). ie TI, für die, wenn wir mit ° die Substution bezeichnen, F. ° F. = F. ° F. , Vi, j e I, i J J i % gilt. Eine solche Familie 7 heißt maximal, wenn gilt: Ist 7 eine weitere Fa*

*

milie vertauschbarer Reihen mit 7 £ 7 , so ist 7-7

*

{7 ,7

hier als Mengen

betrachtet). Familien 7 formaler Potenzreihen wurden in meiner Arbeit [l] klassifiziert und charakterisiert, deren Ergebnisse, wie auch viele Notationen, wir hier verwenden werden. Wir werden aber jetzt hauptsächlich mit Familien befaßt sein, deren Reihen alle konvergieren. Wir setzen nicht voraus, daß die Reihen der gegebenen maximalen Familie ein gemeinsames Konvergenzgebiet aufweisen, sondern werden eine teilweise, wenn auch nicht abschließende Antwort auf die Frage des Konvergenzgebietes in der Arbeit finden. In der Arbeit [l] über Familien vertauschbarer formaler Reihen wurden maximale Familien noch nicht ausdrücklich untersucht. Wir werden daher in § 2 dies nachholen. Auf Grund der in [l] vorgenommenen Typeneinteilung und näheren Beschreibung dieser Typen ist jede Familie 7 vertauschbarer formaler Reihen (kurz FCPS) in der Lösungsmenge £. einer Differentialgleichung von Aczel-Jabotinsky1 ' (J)

G ° 0 (x) = ||-G(x),

, m+1, .. + d ,,x +...,m>1, m+1 enthalten. Dabei ist G(x) gegeben, die Lösungen (x) sind (formale) Reihen ^

i

v

G(x) = x

m

der Form 0(x) = px +

x o.

l ) Einem wohlbegründeten Vorschlag von Gy. Targonski folgend nenne ich Differentialgleichungen des Typs (J) hier nach J.Aczel und E.Jabotinsky.

137

Abgesehen von einem Typus der Familien 7, der aber bei maximalen Familien nicht auftreten kann, ist die Gleichung (J) durch 7 eindeutig bestimmt, weshalb wir J = Jy schreiben können. In [2] ist umgekehrt gezeigt worden, daß die Lösungsmenge einer Gleichung von Ac z61 -Jabotinsky gegenüber ° eine abelsche Gruppe, also eine FCPS bildet. Das Hauptresultat von § 2 wird die Aussage enthalten, daß eine FCPS genau dann maximal ist (eine "MFCPS" ist) , wenn sie die Lösungsmenge der zugeordneten Gleichung von Aczel-Jabotinsky ist. Mittels der in [2] gegebenen Resultate über die Lösungsmengen dieser Gleichungen, die auch in [l] wesentlich sind, ist daher die algebraische Struktur der MFCPS bekannt. Darüber hinaus erlauben diese Resultate eine rekursive Konstruktion der MFCPS. Das Hauptziel der vorliegenden Note ist Untersuchung derjenigen maximalen Familien, die nur aus konvergenten Reihen bestehen. Wir werden beweisen: Eine maximale Familie vertauschbarer Reihen besteht genau dann nur aus konvergenten Reihen, wenn die Reihe G = Gy. in der zugeordneten Differentialgleichung von Aczel-Jabotinsky konvergent ist. Der Beweis dieses Satzes wird in § 3 und § 4 dargestellt. Setzen wir die Konvergenz aller Reihen der MFCPS voraus (in 9 3), so wird sich die Konvergenz der Reihe G = G^ u.a. daraus ergeben, daß G der infinitesimale Generator einer geeigneten analytischen Iterationsgruppe ist. Eine wesentliche Rolle wird ein Ergebnis von I. N. Baker aus [3] über die Existenz infinitesimaler Generatoren spielen. In § 4 setzen wir die Konvergenz der Reihe G = G^ in (J) voraus, und haben also die Konvergenz aller Reihenlösungen 0(x) = px + c 2 x 2 + ...

, p * o,

einer solchen Gleichung, und noch darüber hinausgehend, die analytische Abhängigkeit von einem "inneren Parameter" cm zu beweisen. Dies gelingt durch Reduktion der Differentialgleichung (J) auf gewisse Briot-Bouquet'sehe Differentialgleichungen. Dieser Konvergenzbeweis, in [4] skizziert, soll hier näher ausgeführt werden. Ich danke Herrn Detlef Gronau (Graz) für wertvolle Hinweise. Dieser Konvergenzbeweis liefert auch zugleich die "natürliche" Parametrisierung der maximalen Familien, und einige Information über die Frage des gemeinsamen Konvergenzgebietes. In § 5 folgen die Normalformen der MFPCS aus konvergenten Reihen, als einfache Konsequenz der Arbeiten [l] , [2] und von § 4.

138

§ 2_;_ Maximale Familien In der Arbeit [l] (p. 2) wurden folgende vier Typen von Familien vertauschbarer formaler Potenzreihen unterschieden: A) In der Familie 7 =

gibt es eine Reihe F^ (x) = p^ x + .... o o keine Einheitswurzel ist.

bei der p.l o B) In der Familie 7 treten nur Reihen F^(x) = p^x+..

,

auf, deren Multiplika-

toren Einheitswurzeln sind; deren Menge ist unendlich. C) In der Familie 7 treten nur Reihen F^(x) = p^x+. .

auf, deren Multiplika-

toren Einheitswurzeln sind; deren Menge ist endlich, und die Familie ist simultan linearisierbar, d.h. es existiert eine Transformation T, T(x) = x+t2x2 + ..., derart, daß T -1 » F^ » t(x) = p.x, für alle ie I. D) In der Familie 7 treten nur Reihen F^(x) = p^x+... , deren Multiplikatoren Einheitswurzeln sind; deren Menge ist endlich, aber die Familie ist nicht simultan linearisierbar. Es wurde in [l] (Th. 1) gezeigt, daß es zu Familien des Typs A) und B) genau eine Potenzreihentransformation S:S(x) = x + s^x2 + ... - . (S 1 (p.Sx)). T . 7 ist daher enthalten in der Familie 'iel

7 =(S

we

, gibt, sodaß 7

l c ^ e i bis auf die Parametrisierung, eine analytische

Iterationsgruppe ist. 7* bildet nach [l] , Th. 2 und [2] , Th.l die Lösungsmenge einer eindeutig bestimmten Gleichung von Aczél-Jabotinsky Gjr

° 0(x) = G r (x)^|

(0 (x) = px+

2 wo G7(x) - x. + r 2 x +\ . . der infinitesimale Generator (im formalen Sinn) der vorhin erwähnten Iterationsgruppe ist. Wir zeigen nun Satz 1. a) Die FCPS 7 = (S

(pSx))

. ist maximal, und ist Lösungsmenge einer (ein-

deutig) bestimmten Aozé.l-Jabotinsky-Gleichung G t • 0(x) =

d0

mit GJA x ) = x + r 2 x 2 + b) Umgekehrt ist die Lösungsmenge einer solchen Aczei-Jabotinsky-GAeichung eine maximale Familie. c) Enthält eine MFCPSH eine Reihe K(p )x - p . . . , deron Multiplikator p o n o keine Einheitswurzel ist, so gilt r = (s- l (psx)) pec . mit einer eindeutig bestimmten Potenzreihentransformation S. 139

Beweis: a d a) Offensichtlich genügt es zu beweisen, daß die Familie 7 q = ( P x ) p e £ • maximal ist, d a dieser Begriff invariant gegenüber simultaner Konjugation ist. Angenommen, es sei 7 eine FCPS m i t 7^ H(x) =

c 7,

ctx

und

^2x2

+

+ . . .

in 7 . Es sei p keine Einheitswurzel. Dann ist nach Voraussetzung H(x) mit p x vertauschbar. D a p x eine Normalform ist, so folgt aus der Theorie der Normalformen (vgl. die in [l] d a z u zitierte Literatur), daß wegen der Vertauschbarke it auch H(x) = CTX, also H(x) e 7,

7g

c 7;

7 maximal. D i e Behauptung über die Gleichung von

Aczel-Jabotinsky wurde in [l] , Th. 2. bewiesen. a d b) Folgt aus [2] , p.138. Denn d i e Lösungsmenge ist v o n d e r Form (S

1

also nach a) maximal.

a d c) Es sei 7 maximal. D a 7 eine R e i h e mit einem Multiplikator, der keine Einheitswurzel ist, besitzt, ist sie v o m T y p A), also in einer Familie der Form 7*-(S

1

(PSx))^^.

enthalten. D i e s e ist nach a) maximal u n d somit 7 =

7*.

Eine FCPS vom T y p C) kann nicht maximal sein. Denn sie ist nach [l] , Th. 3, jedenfalls eine endliche M e n g e d e r Form (S Eine FCPS vom T y p D) ist nach

1

(pjSx))^e^.

[l] , Th. 6 enthalten in der Lösungsmenge

J?(Jy.) einer durch 7 eindeutig bestimmten Aczel-Jabotinsky-Gleichung der Form (1) mit / o v (2)

Gy

° 0(x) =

i * = x G^ (x) t

m

+. dj

±1x m+1

1...,m>2. ^o

Als Multiplikatoren der Reihen v o n £ ( J y ) kommen alle und nur die

(m-l)-ten

Einheitswurzeln in Frage. F.(Jj) ist in diesem Fall selbst v o m T y p D) . Wir zeigen nun Satz 2. a) 7 sei eine maximale Familie, d e r e n Multiplikator sämtlich Einheitswurzeln sind. Dann ist 7 die Lösungsmenge d e r zu 7 assoziierten Aczel-JabotinskyGleichung (1)

G * 0(x) =

•G(x) ,

wobei (2)

G(x) = x m

+

dm+1xm+1+...,

und m > 2 , eine maximale Familie. Sämtliche Multiplikatoren sind (m-l)=te Einheitswurzel. Beweis. ad a) Wenn 7 maximal ist u n d sämtliche Multiplikatoren Einheitswurzeln sind, dann kann es nicht vom Typ B)(aus [l] p. 2) sein, d a nach [l] , Th. 1 eine solche Familie simultan linearisierbar u n d daher in einer maximalen 140

Familie der Form (U

1

(pUx) )

• enthalten wäre, deren Multiplikatoren p nicht

alle Einheitswurzeln sind, obwohl diese Familie wegen der Maximalität mit 7 übereinstimmen müßte. Somit ist 7 vom Typus D), und also gibt es nach [l] , Th. 6, genau eine Aczel-Jabotinsky-Gleichung

(1)

G r ° 0(x) =

• G r (x),

G ? (x) = x m + • d m + 1 x m + 1 +..., m>2,

(2)

in deren Lösungsmenge 7 enthalten ist. Dieses £ (Jy ) ist aber nach [2] , Th. 3 selbst eine FCPS, also stimmt sie mit 7 überein ad b) Wir gehen hier ion einer Aczel-Jabotinsky-Gleichung (J) der Form (1) * aus lind haben zu beweisen, daß £(J) -7 maximal ist. Es sei 7 eine FCPS mit * * 7 c j ,7 ist dann notwendigerweise vom Typus D), da sonst 7 simultan linearisierbar wäre, was aber für ein £(J) bei einer gegebenen Reihe G(x) einer Ordnung 22 nicht sein kann. Somit existiert zu 7 % x % Gleichung J , sodaß 7 £ £(J ). Daher haben wir

*

eine Aczel-Jabotinsky-

7 £ £(J) c 7* £ £(J*) , woraus nach der Eindeutigkeitsaussage aus [l] , Th. 6 bzgl. (J) bzw. (J ) %

J = J

und 7 - £(J) £ 7* £ £(J)

folgt. Also ist 7 maximal. Wir fügen diesen algebraischen Vorbereitungen die Bemerkung hinzu, daß wir durch Satz 1 und Satz 2 eine "natürliche" Parametrisierung der (zunächst formalen) maximalen Familien erhalten haben. Wir nennen die in Satz 1 charakteriseirten MFCPS von erster, die in Satz 2 charakterisierten von zweiter Art• Dann ist bei den maximalen Familien erster Art der Multiplikator peC ' ein Parameter, Nach [2] , Th. 3 wird die Lösungsgesamtheit einer Aczel-JabotinskyGleichung mit m£2 gegeben durch F(p,(c ,x) = px + c z x 2 + . . .+c m x m + £

(3) wobei p

m-1

= 1 und c

P^fp.c )xl\

P:>nl

e C beliebig ist, während alle übrigen Koeffizienten m sind, welche für die gegebene Differentialgleichung festlie-

Polynome in c m gen. Somit ist, bei festem p, der Koeffizient c

ein natürlicher Parameter. m Aus den zitierten Sätzen von [l] folgt zusammen mit den Sätzen 1 und 2

der vorliegenden Note auch, daß jede FCPS in einer maximalen Familie enthalten ist. Das kann auch direkt mit dem Zornschen Lemma bewiesen werden.

141

§

Der infinitesimale Generator einer maximalen Familie In diesem Paragraphen beginnen wir mit den Konvergenzbetrachtungen.

Satz 3. Besteht eine maximale Familie 7 vertauschbarer Reihen nur aus konvergenten Potenzreihen, so ist die Reihe Gy(x) in der 7 zugeordneten Aczel-JabotinskyGleichung (1) konvergent. Beweis. Es sei zunächst 7 eine maximale Familie erster Art, also 7 - (T 1 (pTx)

• • Nach [l] , p.5 konstruiert man die zugeordnete Aczel-Jabo-

tinsky-Gleichung wie folgt. Da p < o, so können wir 7 , nach einer einfachen Umparametrisierung auch als 7 = (T -1

(4)

( e S * ) ) ^

schreiben. Die Reihen von 7 haben also die Form F (x) = eSi +£

v>Z

Ql,(et)x'-'

mit Polynomen Q^ in e 1 . G^(x} wird dann gegeben durch G ? (x) = f t F t ( x ) I t=0 = *

s ätVet>lt=(/ l>2 2 sie ist daher der infinitesimale Generator einer analytischen Iterations(5)

+

gruppe formaler Reihen. Die konjugierende Transformation T ist aber bereits festgelegt als die2

jenige Transformation T(x) = x + t x

+ ... , welche eine Reihe

F(p) (x) = px + c x 2 + ... der Familie, für die p keine Einheitswurzel ist, auf ihre Normalform, eine lineare Abbildung, transformiert. Dann ist aber bekannt, (vgl, z.B. [5] , S.162, oder [6] ) daß T konvergent ist, wenn wir |p| < 1 wählen, und wenn F(p)(x) konvergiert, was ja nach Voraussetzung zutrifft. Somit ist die Abbildung (p,x) -» T"' (pT(x) ) = K(p)(x) holomorph, wenn wir p in einem beschränkten, mit seinem Abschluß in C" liegendem Gebiet K variieren lassen, während |x| < 6(K) beliebig sein kann, wo 6(K) > o geeignet gewählt werden kann. (Dies folgt leicht aus der Konvergenz von T und T

1

). Ebenso ist (t,x) -» T"1 (eSlx)) = F t (x)

holomorph» wenn t in einem beliebigen beschränkten Gebiet der C-Ebene variiert, während |x|
o können wir Bestimmungsgleichungen für die c (1 ß aufstellen. Der erste Weg verläuft ganz wie im Beweis von Hilfssatz 1. Also sind die Reihen V1 c „ c* »20 für a = 1,... ,m-l die schon gefundenen Konstanten c ,. . . ,c und es ist also 1 g m-i c = 0 für ß > 0, a = 1 m-1. Die Reihe V c „ c ist frei wählbar, und a/i «5< m/3 m ß wir nehmen hier V c ac = c , also c = 0, c , = c , c „ = 0 für ß > 1. Die mIi m m mo ml m mß ß a > m Koeffizienten £ °aß °m si™* dann eindeutig bestimmt, und es sind m ßzo dies die Polynome Q,,(c )aus dem Hilfssatz 1, d.h. V c „c = Q (c ) für alle i' m " vß m v m ß v, wenn £ c ~c = c gesetzt wird. n ^ nw m m ßi-O Der zweite Weg, die direkte Berechnung der c a ^ , führt zu Gleichungen der Form (15)

^^i^ko^

(k e IN), mit Polynomen

6

li

a

+

Q

ik(aaß'c^''

die positive Koeffizienten haben. Bei den

Argumenten c^g ist y + 6 < i + k. Das Ergebnis der Rechnung muß natürlich mit dem Vorangehenden übereinstimmen, wenn die c , wie vorhin gewählt mk werden, nämlich: (15a)

c „ = 0 , c 1 = c , c „ = 0 für 0 > 1. mU ml m m/1 Um nun zu (14) eine konvergente Majorante zu konstruieren, betrachten wir die Bestimmung einer impliziten Funktion gemäß dem Hauptsatz über implizite

145

Funktionen. Es sei, wenn die rechte Seite von (6) als konvergent vorausgesetzt wird, A = |a|, A a ß = |a aß |. Die Gleichung (16)

W(z,c ) = Az + c z m + V m

\ _zaW(z,c a ß

m

a+ß > 2 (a,ß )* (m,0)

m

)ßza

hat dann, nach dem Satz über die impliziten Funktionen im Komplexen (vgl. z.B. [9] N° . 185) genau eine Lösung (17)

W(z,cm) = a> E 1 C ^ z V , die in Umgebung von (0,0) konvergent ist, also eine holomorphe Funktion der beiden Variablen z und c darstellt. Die Bestimmungsgleichungen der m Koeffizienten C ^ lauten hier

C

atf = 6 o o 6 W A

+ 6

al60m

+ Q

a,3 < V '6 »'

mit den gleichen Polynomen Q ^ wie in (15). Daraus sieht man, daß die ca/.j alle eindeutig bestimmt und nichtnegativ sind. Für a < m folgt durch Vergleich von (18) und (15) rekursiv

I°aß I 4 6

=

T ^ W

ao61ßM

5

ao6

1 ßa

+

Q

aß < V

'c,6

^ « I v l ' l ^ ß l »

£ 6 6, ,A + 6 ,6 , + Q , (A ,C , ) = C ,, , ao Iß al ßm aß iiv rb aß' da die Polynome Q^positive Koeffizienten haben. Für a = m finden wir C ^ > 6.. a c _ nach (16a). ß1 m/s Für a > m gelten wieder die Formeln (12), und im Vergleich mit (9) beweist man z.B. mittels vollständiger Induktion nach a + ß, daß

Icaß I

s

C

aß

allgemein gilt. Somit ist die Reihe V c 0zCtc'? (absolut) konvergent (etwa für Izl 1 1 < r , ir^ 1 o» ® l ai 1 ßzo |c I < r ), da dies für die Lösung (17) von (18) zutrifft. Es ist daher die aß

ß

Unordnung £ ^ ^ m = I , «W2"' mit V c m > = £ °vßCm richtig a>l ß>o V2.1 ßto Izl1 < r , 1Icl < r ) und also ist, zunächst für diese c , das Integral ' l m1 2 m

(für

£ Q^(c )zV von (6) holomorph. Es ist aber noch der hier wesentliche Zusatz m r> 1 für die Konvergenz zu beweisen: Zu jedem 77 > o gibt es ein 6(77), sodaß die Reihe (15) für •z i 0 beliebig. Setzen wir c m = 1 > s o läßt sich W (z) = |a|z + 77zm + £ 71 a+/3i 2

|a

(a,ß)*(m,0)

'

I z ^ 2

P^ (cm)xm(Pmn k

ist, muß

f < In 2

Ak = a k .nk! = 3

r = 2nk, so folgt:

• » i , , , ,,, (r+c I Ak I = I a k I . n k ! = 0 ( e

Wegen

f(z) dz. Sk ( z )

muß daher

hinreichend große Interpolationsreihe

k

1 , . — ) . 2

A k , und somit auch

gleich F(z)

)r

0

ak , für

sein. Dh. die Newtonsche

ist ein Polynom. Nun gilt aber:

F(n k ) = f (n k ) ,

sodaß die Anwendung des Satzes von Rubel die Aussage des Satzes ergibt. Hierher gehört auch das folgende, etwas allgemeinere Resultat, das mit gewissen Lückenbedingungen und gleichfalls von W. Schwarz ([42])

Satz 6: Sei

f(z)

herrührt:

eine ganze Funktion vom exponentiellen

Typ, für deren Xndikatrix gilt:

158

zusammenhängt

Mo)

Weiters sei

{n r }


I ... \

r0(£),

was zeigt, daß dieses Ergebnis bestmöglich ist.

Diese Resultate wurden in den Sechzigerjahren von D. Sato und E. G. Straus (1964, [41] und 1965, [40]) in folgender Weise

genügt, während jede ganze Hurwitzfunktion für die

166

s 1 gilt, ein Polynom sein muß. Weiters wurden auch, wiederum von E. G. Straus (1950, [45]) aber auch von L. Bieberbach (1953, [3]), ganze Funktionen untersucht, die gemeinsam mit all ihren Ableitungen an "mehreren" ganzzahligen Stellen ganzwertig sind. Es sollen hier, stellvertretend für den allgemeinen Fall, kurz ganze Hurwitzfunktionen in den Punkten

0

und

1

besprochen

werden. Die beiden folgenden Sätze stammen von D. Sato und E. G. Straus ([40]). Satz 11: Es seien

*>(r), y> (r)

die Funktionen des Satzes 8.

Dann gibt es eine überabzählbare Menge von ganzen Hurwitzfunktionen in

0

und

M( r ) < für

r > R

gilt, worin

R

1, für die

ro. Dann ist

eine ganze Hurwitzfunktion In den

und es gelte: M(r) < ( r ( r-1 ) )

so gewählt wird, daß [-1 2 »lrlr-11) =

ist. Wenn daher ist

lb„l < 1

jedoch, daß

Ü l - Ü i (-1 2

M(r) < i>(r(r-l))

für

und somit folgt für g(z)

r > ro

besteht, dann

n > no : bn = 0. Das bedeutet

ein Polynom ist.

Der Vergleich der beiden letzten Sätze zeigt, daß es transzendente ganze Hurwitzfunktionen in den Punkten 1

0

mit

M(r)
1 | > i komplexer Zahlen die Beziehungen a

180

v

= r ~ a k -b L für alle | v \ >-1 kI v k'v

(5)

und b

= YZL "k"ai_. • k Iu

für

alle

I1*!-1

me|N =

). Genauer heißt dies, daß für alle m e IN die Beziehung

) /!j'aa = 5 t j Im ,i

m

gilt. Wegen ßta - atß

= 6 ist offensichtlich nur zu

zeigen,.daß aus (5) die Gleichung (6) folgt.Sei v e

, I v I > 1.

Dann gilt: ) "k-ai. , = E Z kUk klt E Z m U'

a ,b

> j\L. v

j i..i..|; = ) < V « j - b t .. = J k ' k 11', k • j \v k-j

;3

$

0, sodaß |/?k| s

a

Silt für alle k 2 1.

Sodann schätzen wir ab: |bV 11 = 1if—;— r ~ /vai 1 s (—.— y— * i-'V
2 und sei

at'ßt

= 1, woraus wegen

= 1 ist. Wir schließen weiter durch

|/Jj| s Bj für lsjX2wr7 - ww")

+

(wC(z,w)

+

2B{Z,UI)UI'

-

2D(z,*o))w" + 2A(z,w)

= 0

und

(

'

u m z u s c h r e i b e n . M i t t e l s eines V e r f a h r e n s , d a s m a n m i t „ I n t e r p o l a t i o n d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ( 1 0 ) " b e s c h r e i b e n k ö n n t e , gelingt es in [18], eine n e u e Gleichung der Form C ( z , u>)(2ti>/2 — ww")

+

D(z,w)w"

+ B{z,

w)w'

+

Ä(z,u)=

h ( z ) f l ( w- T } ) 1

(11)

zu k o n s t r u i e r e n . D a b e i sind T\ i m w e s e n t l i c h e n frei w ä h l b a r e K o n s t a n t e n , A,...,D sind P o l y n o m e b e z ü g l i c h w m i t r a t i o n a l e n K o e f f i z i e n t e n v o m G r a d h ö c h s t e n s 6, 4, 3, b z w . 4, u n d h ist eine „ k l e i n e " m e r o m o r p h e F u n k t i o n . E i n e F a l l u n t e r s c h e i d u n g , die sich d a n a c h r i c h t e t , o b h selbst r a t i o n a l ist o d e r nicht, f ü h r t zu f o l g e n d e m E r g e b n i s (vgl. [18]). Satz 4 Unter

den oben angegebenen

Voraussetzungen

d e g A < 6, d e g - S < 4, d e g C < 3 and

d e g (wC

gilt - 2D) < 4.

(12)

D a ß alle a n g e g e b e n e n S c h r a n k e n s i m u l t a n s c h a r f sind, zeigt d a s Beispiel

190

dz2

~~

2 l

(*

(z + €j)w

+

-

, 1 t (z + e,)xv-\)

1

J

\ dz

)

dT

(*

+

+

2 ^

(* + e , ) w - l )

^

mit der Lösung w = ( t > ( « ' ) + z ) _ l . D a b e i ist t; eine elliptische Funktion als L ö s u n g von

( e , ^ e. f ü r i ^ j ) . Satz 4 ist als erstes Ergebnis zu werten. Es ist anzunehmen, daß wesentlich einschneidendere notwendige B e d i n g u n g e n gelten müssen. Vielleicht sollten zunächst folgende Fragen untersucht werden: ( a ) H a t die algebraische Gleichung D( z. y( z)) ( b ) G i l t L(z,w)

= const. Dm(z,

w )/D( z, w )

= 0 nur einfache W u r z e l n ?

?

Literatur 1. S. Bank, R. K a u f m a n , O n meromorphic solutions of first-order differential equations. C o m m e n t . M a t h . Helvetici 3 9 ( 1 9 7 6 ) , 289-299. 2. S.B. Bank, R . K a u f m a n , O n the growth of m e r o m o r p h i c solutions of the differential equation ( y ' ) m = - R ( z . y ) - A c t a M a t h . 144 ( 1 9 8 0 ) , 223-248. 3. G . Barsegian, E s t i m a t e s of derivatives of m e r o m o r p h i c functions on sets of a-points. J. L o n d o n M a t h . Soc. 3 4 (1986), 534-540. 4. A . E . Eremenko, M e r o m o r p h i c solutions of algebraic differential equations. Uspeki M a t . N a u k . 3 7 (1982), 53-82. 5. A . A . G o l d b e r g , On single-valued integrals of differential equations of first order ( R u s s i a n ) . Ukrain. M a t . Zh. 8 ( 1 9 5 6 ) , 254-261. 6. E. Hille, Ordinary differential equations in the c o m p l e x domain. W i l e y & Sons, N e w Y o r k , 1976. 7. J. M a l m q u i s t , Sur les fonctions à. un nombre fini de branches satisfaisant à une équation différentielle de premier ordre. A c t a M a t h . 3 6 (1913), 297-343. 8. J. M a l m q u i s t , Sur les fonctions à un nombre fini de branches satisfaisant à une équation différentielle de premier ordre. A c t a M a t h . 42 (1920), 59-79. 9. J. Malmquist, Sur les fonctions à un nombre fini de branches satisfaisant à une équation différentielle de premier ordre. A c t a M a t h . 74 (1941), 175-196.

191

10. A . Z . Mokhonko, V . D . Mokhonko, Estimates for the Nevanlinna characteristics of some classes of meromorphic functions and their applications to differential equations. Sibirsk M a t . Zh. 1 5 ( 1 9 7 4 ) , 1305-1322. 11. J. v.Rieth, Untersuchungen gewisser Klassen algebraischer Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung im K o m p l e x e n . Dissertation, Aachen 1986. 12. N . Steinmetz, Zur Theorie der binomischen Differentialgleichungen. Math. Ann. 2 4 4 (1979), 263-274. 13. N. Steinmetz, Ein Malmquistscher Satz für algebraische Differentialgleichungen erster Ordnung. J. reine angew. M a t h . 316 (1980), 44-53. 14. N. Steinmetz, Zur Wertverteilung der vierten Painlevéschen Differentialgleichung. M a t h . Z. 181 (1982), 553-561. 15. N. Steinmetz, Uber eine Klasse von Painlevéschen Differentialgleichungen. Archiv d. Math. 4 1 (1983), 261-266. 16. N. Steinmetz, Ein Malmquistscher Satz für algebraische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Resultate M a t h . 10 (1986), 152-167. 17. N. Steinmetz, Meromorphe Lösungen der Differentialgleichung Q(z, = P(z,w)

w)

( i f f ) 2 - C o m p l e x Variables l O (1988), 31-41.

18. N . Steinmetz, Meromorphic solutions of second order algebraic differential equations. T o appear. 19. H. Wittich, Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen. Springer-Verlag 1968. 20. K . Yosida, A generalization of Malmquist's theorem. Japan J. M a t h . 9 (1932), 253-256.

Nobert Steinmetz Universität Karlsruhe Mathematisches Institut I Englerstraße 2 D-7500 Karlsruhe

192

CONSTRUCTIVE METHODS FOR SOLVING HIGHER ORDER

FORMALLY HYPERBOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS by KURT WALTER TOMANTSCHGER A B S T R A C T . The approach used in this paper generalizes Eichler's treatment [8] of second order elliptic equations in two independent variables to n'th order formally hyperbolic equations with n independent complex variables. This method is essentially a function theoretic one. Two integral operators are constructed which map holomorphio< functions of k, 1 < k < n — 1, variables into families of solutions of the partial differential equation. 1980 Mathematics Stbjtci Classification (1985). Primary 35C15; Secondary 35L25. Kef words and phrases, partial differential equation, linear, order », n complex variables, representation of solutions, integral operator method.

1. I N T R O D U C T I O N Both BERGMAN [1,2] and VEKUA [21] developed integral operators for solving elliptic differential equations in two variables. These theories of integral operators were extended to higher dimensions [e.g. 6,7,13,14] and also to higher order equations with several variables [e.g. 3,4,10,11,12,14,16,18,19,20]. BERGMAN [1] had shown that the general solutions of elliptic equations can always be represented by the real parts of (1) where f ( z ) is an arbitrary analytic function of the complex variable z — x + iy and K ,E ,n as well as the limits of the integral are real or complex functions which have to satisfy certain conditions. Independently of this result EICHLER [8,9] introduced an integral operator which is a special form of (1): K(x, y) = —1, n(z,i) = t, the integration is taken over C from the arbitrary constant ZQ to z. In this paper we are able to introduce two types of new integral operators Ti, T2 which construct solutions of the formally hyperbolic differential equation (2)

Lw = wzizz...zn

+ C(zi,...,

zn)w

= 0,

C holomorphic,

n>2,

of order n and in n space variables. For that we start from EICHLER's idea. We shall restrict ourselves to self-adjoint differential equations because the computations to more general partial differential equations are more complicated. It may be noted however that the whole theory can be developed also for these. In Section 3, the first class of operators Tj. is introduced. That (3) represents partial solutions of Lw = 0, sufficient conditions for the kernel E of J \ are given. The proof of the

193

existence-uniqueness theorem for the kernel in form of a. power series is peformed by using Cesari's Banach space method. Also a recursive scheme for calculating the coefficients of (5) is given. It can be shown that we obtain global representations of solutions. Examples are given in Section 4. The second class of operators Tj is defined in Section 5. By proving a relation of the complex Riemann function to the kernel F of Xj the existence and holomorphy of this kernel can be shown. 2. PRELIMINARY MATERIAL Let := {1,2,... ,m}, m € N (We denote by N, Z, R, and

0

mi! 1

mt! *

then the sufficient conditions to E are that Emii...imk cursive relations (6a)

1 K ,

werden,

LEe

mit

= o}

definiert, daß

und

zeigt

nicht-

(5.1)

die

dann

echte

= öj = ö 2

2 und 3 sind

T

U^

(V.2 sei e r f ü l l t )

* / 0: ö g

der L e m m a t a

vom Typ

kann

Obermenge

(u,x)

invariant

für die D i s k u s s i o n

gegen der

die Verzwei-

erforderlich.

| = 0 , v e Ux

Dar B e w e i s e r g i b t d a n n aus

L;kv) 1 = 0 , 0 vfrU x

j=l

n

s i c h a u s der U n i t ä t der

.

(5.2)

Lösung

von

( 4 . 6 ) u n d für

la) B . ( 0 )

= p.,

B. 1

lb)

:= B

0 . . 0 nI 0 . . 0 (i)

L?(0)

= 0 ,

,

L : = 1

L"1 , 0..0I0..0 (i)

ga e l t e n :

i,j = l,...,n,

(5.3)

2b) L } ( V ) 1 = ( f - 1 ( 8 + v , x ) q . , p * ) J v»U,

2a) B . ( v ) U T' ^(U + v , x )q. , 1 vtU^ x

3a) B . ( v ) I = p i-i vtu1nu2 1

Die A u s s a g e n

ergibt nach L.2 N u l l , u n d die

= 0 , 3b) L ^ C v ) | vtu1nu2

la) u n d lb) s i n d in 3a) b z w .

BQ(v)

= 0.

T-Differenz

Ein u n b e s t i m m t e r

Ansatz

aus

ist der

enthält keine

für

liefern wegen der Existenz 2b) f o l g t d a n n

Damit h von

(nach

letzte

in

(4.1))

T ^(u+v.x)

S.

(5.4)

i, j = l, ...,n ,

h

i,j=l,...,n

3b) e n t h a l t e n . Term

in ( 4 . 7 )

linearen und

(5.5)

.

Terme

v i U^ gleich

mehr.

Koeffizientenvergleich

die A u s s a g e

2a).

(4.4).

Gilt

v e U 1 A U2,

reduziert

dung

T'^u+v.x)

auf

210

die

(4.3).

L.3: Mit d e n A b k ü r z u n g e n

Beweis:

gilt

.

gelten:

B (v)

L^

erreicht

des Operators

gungsgleichungen

0

g

(u,x)

Aussagen

Nichtlinearitäten

L . 2 : Es

von

u n d für L E e

Die f o l g e n d e n

Funktional

W i r d für e i n e G l e i c h u n g

sich wegen Aus

der S t e t i g k e i t

der

Inversenbil-

( 3 . 1 ) f o l g t bei A n w e n d u n g

von

Tx(u,x)

auf

pi: Tx(u,x)pi

= T"1(u,x)q±,

= T ) < (u,x)p i + C ( P . , P ; >

q , = q.

3b) folgt dann aus 2 = k

2b). T i c'* [(ü,x)]

g ü l t i g ; die Reihen sind dann d u r c h T a y l o r s c h e

R e s t g l i e d zu

d.h.

i = 1,...,n.

Lemmata 2, 3 siehe auch in /10/. Sie b l e i b e n auch bei mit

,

Formeln

mit

ersetzen.

6. B e m e r k u n g e n zur U n t e r s u c h u n g der V e r z w e i g u n g s g l e i c h u n g

im

eindimen-

sionalen Verzweigungsfall Es gelte

n = 1 .

A) k = w ,

IK = I

(T

analytisch)

Nach (3.4") gibt es genau eine

Verzweigungsgleichung 00

:= L (v) + L,(v)z + H L.(v)z1 0 1 i=2

V(v,z) mit

V(0,0) = 0

gen

z(v)

und

Vz(0,0) = 0 .

g e s u c h t sind.

(3.4"). Für

L^O)

AI) L i ( 0 ) - 0 , m

>

m

(Für alle

v = 0

m

= p,

Rekursion

q* = q*

der N u l l s t e l l e n

minimal

auf die LEe

zfeK-iO.d,) U. z

z 6 K ^ O . d p \ |ü)

Isoliertheit S.

B•(0)z1, 1

Fortsetzun-

.

(6.2)

unterscheiden:

= 2: L m ( 0 ) ^ 0 ,

DO

i=l

ist LE, für das

1 = 0,1,2,. . . ,

Der Fall AI) führt für x (u) = X +

Pl

(6.1)

ist genau die A u s s a g e c) n a c h

folgt aus der oben z i t i e r t e n

Also sind zwei Fälle zu

3

(0,0)

Vz(0,0) = 0

L2(0) = ^ x KR2C0,d1)

- 1

(9.15)

(3.2))

2 = - T x ( v , 0 ) + < . ,p*> q = - I + C - T - + < v 1 ) 2 - ( v 2 ) 2 ) K

Nach dem S c h m i d t s c h e n Lemma e x i s t i e r t explizit b e s t i m m t und aus (9.15)

L, (v)

(v

U

wird

"

(V

(9.16)

daß

= 0 i

n

V

U

g

gilt ( V e r i f i k a t i o n die A b s c h ä t z u n g

von Lemma 3, 3b)).

0

2

= —

.

(Aus (9.16) e r g i b t sich für 2 2 i 2 2 2 T Jv^ — v 2 1 v^ + v 2 < d^ =

Dann ist

Damit sind die A u s s a g e n , die über die G l e i c h u n g g

Diese Inverse

folgt:

2

Es ist sofort klar, L,(v)

q .

2)2 i i! -((Vi) -(V2)2)

l I vco.d,)

l)2

T ^(v,0).

+

für die Suche nach F o r t s e t z u n g e n des LE

(9.8) bei dem

(0,0)

sen und die i n v a r i a n t gegen die N i c h t l i n e a r i t ä t e n ständig. Es w i r d nun

F

d^ 2

.)

gewählten

g e t r o f f e n w e r d e n müsvon

F

sind,

voll-

vorgegeben.

9. Es sei 00 c

Fx F

, r , n i := cosx + x-1 = x+£ r (-1) 1=1

=

x

~

12 2X

+

i v T T x"

erfüllt V.l und die unter 2. f e s t g e l e g t e n E i g e n s c h a f t e n .

reits z i t i e r t e n R e k u r s i o n

220

x21 (21) !

(/10/, /14/) für die

B^(v)

Aus der be-

ergibt

sich

B2(0) = g(0)fx1KF2C0)(p,p) 1 mit

2

F 2 (0)(p,p) = - 2 P •

82(0)

von

s t [0, l]

Für

L2(0)

(In dieser Formel ist die Abhängigkeit des

enthalten; sie ist ebenfalls aus der Formel für

B^(0) = p = y?sin j s nicht explizit

(9.17)

(Lemma 3)

ersichtlich. Diese Abhängigkeit wird

angegeben.)

folgt aus (9.17):

L 2 ( 0 ) = < B 2 ( 0 ) , p * > = g(0) < T ^ 1 K F 2 ( 0 ) ( p , p ) , p * > = = g(0) CKF 2 (0)(p,p),f*" 1 p*>=

(9.18)

= g(0) . (Wird im Lemma von E. Schmidt

(v = 0)

gegangen, so folgt bei Anwendung von ,S-K* und Beachtung von *

q

j

7*

'zum 1adjungierten Operator

Tx

auf die

*

q. J

über* r *1 n (N(T )=lin1q . | . _, ) x J J-i

*

=

T

x 'Pj '

T* -1

•

in (9.18) eliminierbar.)

Aus (9.18) folgt

L2(O) =

/ f /

10. Wegen des

K'0.

r *

X P

-

Tür

neNo,

X= q , q + l , . . .

Ist dann die Reihe £ a k ( k ! ) " 1 v t l

v k(t0,x0)

konvergent,

so gilt

mit beliebigem E>0

Kombiniert man nun dies mit dem Resultat über Konvergenzstreifen, so erhält

man

folgenden Fortsetzungssatz: SATZ 2: Es gebe Konstanten Kt 8

XP

^ cx

n

K t > 0 , K 2 > 0 , 5>0 und ein T!lN 0 mit p - r < t , so daß

( (x ( n + 1 X - ) ) ! V * *

gilt. Ist dann die Reihe Z a ^ k l ^ ' v ^

für n e N 0 , X = q. q + 1 . . . . v k(t,x)

(10)

für Itl < o, lxl

Literatur

[1] D. Colton and I. Wimp, Analytic solutions of the heat equation and some formulas for Laguerre and Hermite polynomials, Complex Variables 3 (1984), 397-412. [2] D.T.Haimo, Expansions in terms of generalized heat polynomials and of their Appel transforms, J. Math. Mech. 15 (1966), 7 3 5 - 7 5 8 . [3] P.C.Rosenbloom and D.V.Widder, Expansions in terms of heat polynomials and associated funetions, Trans. Amer. Math. Soc. 92 (1959), 220-266. [ 4 ] W. Watzlawek, Zur Verallgemeinerung von Wärmepolynomen, Monatsh. Math. 100 (1985), 6 7 - 76. [5] W. Watzlawek, Two examples of an alternative approach to systems analogous to the heat polynomials, Banach Center Publications, Vol. 19 (1987), 363-369.

231

[ 6 ] W. Watzlawek, Remarks on polynomial expansions of solutions of the heat equation in two space variables, Applicable Analysis 27 (1988), 1 9 - 2 9 . [ 7 ] D.V. Widder, Series expansions of solutions of the heat equation in n dimensions, Ann. Mat. Pura Appl. 55 (1961), 3 8 9 - 4 1 0 . [ 8 ] D.V.Widder, Analytic solutions of the heat equation, Duke Math. J . 29 (1962), 497-504.

W. Watzlawek F a k u l t ä t fiir M a t h e m a t i k Universität Konstanz P o s t f a c h SS60 D - 7 7 S 0 Konstanz 1

Approxiaationseigenschaffcen Differentialgleichungen

der

LOsurmflen

elliptischer

und die Eindeutigkeitseigenschaft

im

Kleinen vor» Günther Wildenhain, Rostock 1.Vorbemerkungen Die

Thematik

natürlichen gegeben

des

Zusammenhang

durch

Kleinen,

Vortrages

die

hat einen

zur komplexen

sogenannte

,

sehr

Analysis.Dieser

Eindeutigkeitseigenschaft

Differentialgleichungen

Koeffizienten gilt und die aussagt, Teilmenge

mit

ist im

analytischen

daß eine in einer offenen

£1' des Definitionsgebietes Q verschwindende

Q identisch verschwinden muß.Dies entspricht

der

aber

die zum Beispiel für die Lösungen homogener linearer

elliptischer

in

losen

analytischen

Abschluß

des

Fortsetzung für

holomorphe

dem

Lösung Prinzip

Funktionen.Zum

Vortrages soll eine auf U.Hamann

zurückgehende

analytische Charakterisierung derjenigen linearen elliptischen Operatoren welche

mit glatten Koeffizienten

die

angegeben

Eindeutigkeitseigenschaft

im

werden,

Kleinen

für

gilt.Es

handelt sich um eine Approximationseigenschaft, auf die wir im folgenden ausführlich eingehen wollen. 2.Approximation

durch

Lösungen elliptischer

Gleichugen

auf

Teilmannigfaltigkeiten Wir

beginnen mit einer kurzen historischen Übersicht über die

zu

dieser

Problematik

Resultate.Ausgangspunkt H.Beckert n

Q=IR

einem

ein

[2],in

zum

Jahre

1981

bewiesenen Arbeit

der folgender Satz bewiesen wurde:

einfach zusammenhängendes beschränktes

glatten

Dimension

bis

der Entwicklung war eine

Rand

n-1,

30

die

zusammenhängend.Vs3G

und P=P=£J £1

sei

nicht

eine

glatte

zerlegt,

Es

sei

Gebiet

mit

Fläche

der

d.h.

ein fixierter Teil des

von

£J\r sei

Randes

mit

relativ zu 3Q offenem Innern.V ist insbesondere beliebig klein vorgebbar.Ferner

seien auf T Funktionen gQCWgCn

Soblev-Raum über D

(klassischer

und g^CLo(T) gegeben.Unter diesen Annahmen

233

existiert zu belibiegem e > 0 eine in Q harmonische Funktion u mit ulof.,^0 derart,daß llg0-ulrllwl(r) + ||Ä1- ^ l r l l L 2 ( r ) < e

(1)

gilt. Diese

Aussage gilt auch für Lösungen

homogener

elliptischer

des

Dirichlet-Problems

Differentialgleichungen

2.

Ordnung,

falls das Dirichlet-Problem mit homogenen Randwerten im Gebiet •

nur

die

triviale Lösung besitzt und der Operator

Eindeutigkeitseigenschaft im

wesentlichen

erweiterte

im Kleinen erfüllt.Auch dies

bereits in [2]

l|gQ-u| pltC{P) ^

die wurde

A.Göpfert

[4],[5]

Richtungen.

daß £3\r nicht zusammenhängend ist, daß

für elliptische Gleichungen 2. das

gezeigt.

das Beckertsche Resultat in folgenden

Er zeigt für den Fall,

L

Ordnung die Approximierbarkeit

£

gilt,

auch

dann,

wenn

homogene Problem in O nicht-trivial lösbar ist.Unter

der

zusätzlichen Annahme J^g^(y)d6(y) = 0 für g^ e L g ( D zeigt "In'r _ g l ll L 2 (Gg) < £ ' Die simultane Approximierbarkeit (1) kann nicht gelten, Q\r nicht

zusammenhängend ist.

allgmeinere

Randbedingungen

falls

A.Göpfert betrachtete sowie

spezielle

er

ferner

elliptische

Systeme und parabolische Gleichungen 2. Ordnung. G Anger

[1]

bewies

für

den

Laplace-Operator

und

Q\r

zusammenhängend die gleichmäßige Approximierbarkeit l|g0-ulrllC(r) < e und

G.Wanka

zerlegende Operatoren

(2)

erweiterte Flächen 2.

T

die im

Ordnung,

(g 0 C C ( D )

Aussage

(2)

wesentlichen deren

für

glatte , Q

für

elliptische

Adjungierte

L

Eindeutigkeitseigenschaft im Kleinen erfüllt.(Die bei und

bereits

schärfer.Die

früher

bei

H.Beckert

benutzte

Eindeutigkeitseigenschaft

im

die G.Wanka

Bedingung Kleinen

ist wird

explizit erstmals in den Arbeiten [17]-[19] verwendet.) Bei dem hiermit charakterisierten Stand der Entwickung setzten die Untersuchungen des Autors ein, Verallgemeinerung höherer

Ordnung

der

erstens mit dem Ziel einer

Resultate auf elliptische

und zweitens in der

Absicht,

Gleichungen ein

tieferes

Verständnis der untersuchten Approxiinationseigenschaft zu reichen. Es 234

er-

gelang hierbei, in gewisser Hinsicht abschließende

Aussagen zu beweisen. Bevor wir auf Gleichungen höherer Ordnung zu sprechen

kommen,

bleiben wir zunächst bei der Laplace-Gleichung und untersuchen die Approximation auf geschlossenen, nicht-glatten Flächen. 3.Der Fall L=A für nicht-glatte T Wir

greifen

die

Beaeichnugen von Absatz 2 Q u

Hly(Q) - {u: Au = 0 in > laQ\V~ der

Innengebiet

T

O^

(einfach

setzen Raum

zusammenhängend)

Außengebiet fl& zerlegen.Wir wollen sagen, äußeren

und sei der

auf r.Die Fläche T möge das Gebiet Q

Einschränkungen

ein

auf

=

Kegelbedingung

genügt,

und

daß T in

y

falls ein Kegel K y

in ein

einer

mit

der

Spitze in y und KjAiy}*1^ existiert. Satz

1([20]): £J=fRn sei ein beschränktes Gebiet mit

Rand

30 (d.h.3Q enthalte nur reguläre Randpunkte,

regulärem vgl.

etwa

dl]). Die

Menge

r

genüge

in

jedem

ihrer

Punkte

einer äußeren

Kegelbedingung. Dann liegt ily(r) in C(D dicht: Hy(D = C(T) Beweis:Obwohl

der

Charakterisierung dennoch

eine

Satz

1

Anschluß

zu

der Dichtheit verschärft wird, Beweisskizze

Beweisschritte

im

andeuten,

da

einer

wollen

die

im Gegensatz zum folgenden Satz 2

wir

einzelnen im

auf Gleichungen höherer Ordnung Ubertragbar sind.Wir

Prinzip fixieren

in beliebiger Weise eine offene Menge Uc0c£l , setzen a « U (Q) = {u:Au = geCgCÜ);u|gjj= 0} und betrachten die Einschränkung B]j(r>

=

ByCD^

C(D

«0(Q)|p .Es genügt nun

nachzuweisen,

denn nehmen wir

die

Dichtheit

an,

dies

sei

bereits gezeigt, so erweitern wir das Gebiet ft derart zu einem größeren

Gebiet

« ö =Wp

es,

mittels

Voraussetzungen

(r) =Jlv(r) =w| m _ 1 ( D

Dichtheit

m_1/p

daß

die

(für

einer

geschlossene

modifizierten Flächen

Beschränkung für den oberen

Raum-Index lediglich in der Beweismethodik,

wurde

(T) verschärft.

am Beispiel Diriehletscher Randbedingungen

Laplace-Gleichung

nachzuweisen,

wir

zu wählen ist.

und mittels einer Verfeineung der

dieses

der

(a)

und T)

Sobolev-

nicht aber in der

Natur der Problematik begründet ist. Er zeigte äS^ry=n v (r)=w|" 1/2 (r) für

beliebige

ganze

Zahlen s>l.Dieses

Resultat

wurde

von

D.Hamann [6] erheblich ausgebaut. Wir

wollen

beschreiben.Es

die

wesentlichen Ergebnisse von U.Hamann v bezeichne D u|p die k-te Normalableitung auf

der Fläche T. R x u = {u|r,Du|r, . . . ,D 1 u| r } , (1»0 ganz) sei der Vektor der ersten 1 Normalableitungen und R^yííl) = {Rxu = (Dju\r, j=0, 1, . . . , l:uC«ü(£l)}.R;Lnv(n) werde entsprechend definiert. Es sollen Funktionenräume Fj(F) (j=l,...,2m) über T betrachtet werden, Uber welche wir folgende Voraussetzungen machen. (f)

Es gelte C (T) = F , ( D für s alle j und es existiere eine ganze Zahl s ^ O , so daß C ° ( D für alle j stetig in F j ( D eingebettet ist.

Die üblichen k

Funktionenräume genügen diesen Bedingungen,

Beispiel C ( D , W ^ ( D

2 40

(«tV x z-d v

= n v( n

x=i y=i

z_c

X

v.,u

)

and \

00

/ m v\ z-d \ (Z) = n ( n Z"d. h z - c xo X = 1 v , ' X*X o it follows because of with some constant c

h

(1.2), c

2 • 2. I 9' (C x ) I , , jp+(j~1) + (2j —j)e \ lim _ exp(- a | ) = • V V X -.co 1 + |g(c x ) | 2 X '

249

and lim | 9 ' < C »»I e x p f _ U i-n»1 +•|g(c |q(r,)| V x>

,jpMj-1)M2j-1)e\ A

, /

But this gives that g(z) fulfills the suppositions of lemma 1 and therefore lemma 1 gives that there must be a w Q point of g(z) in C^ and this contradicts (1.9). Therewith we 'have the desired * contradicition and therewith theorem 1 is proved. We remark that the addition to theorem 1 needs no prove: one has just to use theorem 1 instead of theorem 1 from [6] and to formulate the remaining theorems in [6] according to this substitution.

3. Proof of theorem 2: Again we remark at first that because of (2.1) all but finitely many discs are disjoint. We now introduce the notation E =

U C . v=l V

We remark that we can suppose without any restriction w^ * O and furthermore that there exists an angle A Q centered at z = O of opening a = with

lim sup | f (z) (f (z)-wb) | * O | z | -• |z|q|c(y*)|-q

1m

*-n * P* y* (y*)i z-c

•_ i i q ° .QQ.-q K ^ p ' ' 11 y=1 ' |z-c