Colecao Fisica: Mecanica [Volume 1, 2 ed.] 8578610105, 9788578610104

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I

4

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í) & H rSp; ?■'*’ S- \

líOtw S.6

i>V

[I l. J-1> ; í . . '.

/ 202 + 302 + 2.20.30 -cos 60° r = VTÕÕÕ .-. r s 44 N

27

_____ __ / / / /

r

*

à Fig. 1.20 Exemplo 1.4 Um barco tenta atravessar uma corrente usando sua força máxima. Sua velocidade em águas paradas.com força máxima, éde4m/s. A velocidade da corren­ teza é de 3 m/s. Sabendo-se que o barco aproa perpendicularmente à corrente, qual será, na verdade, a velocidade com que atravessa o rio e em que direção o faz? Solução. Na Fig. 1.21 mostramos o esquema das velocidades. A velocidadedo bar­ co é designada por b , a velocidade da correnteza i indicada por C . A velocidade resul­ tante do barco é indicada por v*.

b

c

Fig. 1.21 De acordo com a fórmula (1.12), o quadrado do módulo da velocidade resultante é dado por: v2 = b2 + c2 + 2bc cos 90u

v = 'Tb2 + c2 v = x/4J + 3J v = >/25 /. v = 5 m/s A direção de v* fica definida por , b 4 4 tg 4> = —.. tg = —.'. 4> = arc tg — c 3 3 Exemplo 1.5 A que expressões ficam reduzidas a fórmula da_resukante re do ân­ gulo que faz com um dos vetores, em cada um dos casos abaixo? (u + v = r , sendo a o ângulo entre u e v )

28

(a) ot = 0o ; (d) cr = 180° ; (c) a = 90°

Solução. Na Fig. 1.22 mostramos um esquema para a aplicação da regra do parale­ lograma (ou método do paralelograma}. Em qualquer um dos três casos, podemos escre­ ver:

Fig. 1.22 v u2 + V2 + 2 UV COS Ot

tg 0 =

u sen a v + u cos a

A seguir aplicaremos as duas fórmulas anteriores nos três casos considerados: (a) a = 0o __________________ du2 + y2 + u. v . cos ot .*. r = x/u2 + v2 + uv . cosO” = xj u2 + v2 + 2 uv r = V (w + v)2 r = u + v tg 0 =

u . sen 0° /. tg 0 = 0 v + u cos 0°

0°

(d) a - 180°

tg 0 =

= xíü2 + v2 + 2uvcos 180° Logo: r = V (xz - v)‘

r = 4 u2 + v2 — 2uv r= u - v

u sen 180° v + u cos 180°

V— U

tg 0 = 0 = —~= 180° ou 0°) —1

(c) a = 90° r - v ir + v2 + 2 uv cos 90°

u sen 90°

Chamamos intervalo de tempo entre dois eventos, um anteerior e outro posterior, a diferença entre os instantes posterior e anterior que lhes correspondem. Simbolizare­ mos por Ar o intervalo de tempo considerado, ou seja, At — tpo^0KB ~~ r,mnV*

Observação: Em vista da convenção que estabelecemos, Aí é um número sempre positivo.

Unidade de intervalo de tempo A unidade de intervalo de tempo é um intervalo de tempo decorrido entre dois even­ tos arbitrariamente escolhidos. A unidade universal utilizada é o segundo, símbolo “s”, que corresponde aproximadamente a 1/86.400 de um dia. O segundo será definido no Capítulo 2 (no qual estudaremos com detalhes asunidades e asdimensões das grande­ zas físicas). Ver também o Apêndice D. 39

Unidade de Comprimento A unidade de comprimento é um comprimento arbitrariamente escolhido. A uni­ dade internacionalmente adotada é o melro, símbolo “m”, que corresponde aproxi­ madamente a 1 /40.000.000 do comprimento do equador terrestre. No Apêndice D apre­ sentaremos uma definição mais rigorosa do metro. Posição Consideremos um ponto M que observado de um certo sistema de referência des­ creve a trajetória C. Ao sistema de referência fixamos um par de eixos perpendiculares entre si, Ox e Oy, como mostra a Fig. 1.39. Suponhamos que num certo instante t o ponto encontra-se em M. A posição do móvel no instante t é dada pelo vetor de origem O e extremidade M que designaremos por r , ou seja, r* = DAT?

y Trajetória C

yj ,r

Xl ' K\

I

r o

I 7 - ÕM I I

T

I I -çj------------------

xi

r é o vetor posição de M no instante t. __ r = xi + yj Fig. 1.390 vetor posição de um ponto M é o vetor que liga a origem 0 do sistema de coordenadas com o ponto M considerado.

O vetor r é denominado vetor posição de M no instante/.Pode-se exprimir 7 em função das coordenadasxey do ponto M, como se vê na Fig. 1.39. Podemos escrever: 7 = xl~ + y7 Em algumas situações, quando a trajetória Ci bem conhecida, representamos a posição por um número apenas. Para fazê-lo vamos primeiramente escolher um ponto fixo na curva C, ao qual denominaremos origem O (ver Fig. 1.40). Arbitrariamente, es­ colhemos uma unidade, e, a partir da origem, repetimos esta unidade de modo a asso­ ciar a cada ponto da curva um número. O sentido de crescimento destes números é arbi­ trado e indicado por uma seta. Chama-se posição do móvel no instante / ao número s que corresponde ao ponto M por ele ocupado neste instante. 40

c M

Trajetória

s 2

3

/ 7 O sé a posição escalar do móvel no instante t. Fig. 1.40 Podemos localizar um ponto M sobre uma curva C di­ zendo qual é a distância s entre o ponto M e um pontofixo 0 si­ tuado sobre a trajetória C.

Dissemos anteriormente que a Cinemática é a descrição do movimento. Pois bem, descrever um movimento é dizer de que modo sua posição (yetorial ou escalar) varia à medida que os instantes se sucedem, à medida que o tempo passa. Se pudermos dizer, para cada instante, qual é a posição do móvel estaremos dando uma descrição do movi­ mento.

Exemplo 1.6 Um móvel desloca-se de tal forma que seu vetor posição tem módulo constante e igual a 2 m e o ângulo 0 do vetor posição com o eixo Ox varia com o tempo de acordo com a equação 0 = irt/2

onde 0 se exprime em radianos e t em segundos. Qual e a trajetória do móvel? Indique sua posição no instante t = 3 s; 0 é medido no sentido positivo da TYigonometria. Solução. Se |/| = constante, a trajetória é uma circunferência de raio igual a r* = 2 m. Ver a Fig. 1.41. Em t = 3 s. temos: 0 = 3(r/2), ou: 0 = (3r/2) radianos.

6- 3x72 A

M Fig. 1.41 Esquema do Exemplo 1.6. Exemplo Z.7Um móvel desloca-se de tal forma que seu vetor posição varia com o tempo de acordo com r - 2t i , onde t se exprime em segundos e r* em metros. Qual a trajetória do móvel? Indique a posição em t - 3 s. 41

Solução. Temos:

xF r yf Pelo enunciado:

“ = 2tF Comparando as duas relações anteriores, como v = O. vemos que a trajetória c o eixo Ox. Ver a Fig. 1.42.

M O

1

2

3

4

5

6

Fig. 1.42 Esquema do Eremp/o /. 7.

Comox- 2r,parat = 3s. concluímos que o móvel se encontra num ponto .W dado por:

X = 6 metros. Exemplo 1.8 Sobre a curva da Fig. 1.43. um móvel se desloca de acordo com a equação s = 2/ + I. Indiquesuaposicãoemr = 2econstruaográficosX I. Considerescm melros c t em segundos.

Fig. 1.43 Ilustração para o Exemplo 1.8. Solução. Em t - 2, se tem: s - 2X2 + I, ou : s = 5 m. Ver a parte (a) da Fig. 1.44. Na parte (A) da Fig. 1.44. construimos o gráfico s X r.

5(m)

s = 2l + 1 s (cm metros)

3 / 1 Z0

i

(a)

I

I Fig. 1.44

42

7

(b)

Z(s)

Velocidade A velocidade é a grandeza que informa como o móvel muda de posição à medida que o tempo passa, se o faz muito depressa ou se o faz devagar. A velocidade é a rapi­ dez com que a posição muda. Para conceituá-la de modo mais exato vamos estabelecer algumas idéias auxiliares. (a) Variação de posição (ou vetor deslocamento) Considere um móvel que no instante t está em Mc num instante posterior t’ está em M'(ver Fig. 1.45). Chama-se vetor variação de posição ou vetor deslocamento à di­ ferença entre o vetor posição r~< no instante t' e o vetor posição r no instante t. Ou seja. = r (1.15) onde Ar* c o vetor deslocamento entre M e M’. y

M' Ar

7

M

t

75

f

x

Fig. 1.45 Ilustração para mostrar queo vetor deslo­ camento dr~ fornece a variação do vetor posição en­ tre dois pontos M e M' da trajetória considerada. Quando a trajetória é bem conhecida pode-se usar a variação de posição escalar que é a diferença entre as posições j’es ocupadas nos instantes t' e t. Ou seja, iss = s' — s Observando a Fig. 1.45 e a Fig. 1.46, vemos que o módulo do vetor deslocamento pode ser comparado com o módulo da variação escalar de posição do seguinte modo: |aF| < |As| A igualdade | Ari = | As| ocorre somente no caso de uma trajetória retilínea\ quando

a trajetória não é retilínea, o módulo do vetor deslocamento é sempre menor do que Ar. (b) Velocidade média O vetor velocidade média de um móvel que no intervalo de tempo de t a t' sofre 43

M*

s*

M

r

As

s t O

As = — í - arco MM’ (Variação de posição escalar no intervalo de tempo de t a H Fig. 1.46 Ilustração para mostrar a variação da posição es­ calar ao longo da trajetória entre dois pontos M e M\

'

um deslocamento Ar* é o vetor definido por Ar* /Ar (ver a Fig. 1.47). Ou seja, a veloci­ dade média é um vetor dado por: = Ar /Ar (1.16) onde Ar* é ò vetor deslocamento definido pela equação (1.15) e Ar é o intervalo de tem­ po, ou seja: Ar = t’— t. Ár*

M’

M

t Fig. 1.47 O vetor velocidade média v^„ tem a mesma dire­ ção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ísr .

Velocidade escalar média no intervalo de tempo de r a r 'é o quociente da variação escalar de posição As pelo intervalo de tempo Ar = r’ - r, conforme ilustrado na Fig. 1.48. Ou seja, As (1.17) Vrn = ---------

âr

M

As

t

v, =

A* AZ Fig. 1.48 Esquema para ilustrar a definição de velocidade escalar média. 44

Observe que vm tem o mesmo sinal de Aí visto que Af é positivo. Quanto a uma comparação entre os módulos de vZ e vm podemos verificar que: | v*.| s |v. | (1.18) É claro que no caso de um movimento retilíneo, vale a igualdade na relação (1.18), porque |á~| = |Aj|. Contudo, se o movimento não for retilíneo |i£| é sempre me­ nor do que |v„|. (c) Velocidade instantânea Vetor velocidade instantânea em t é o vetor para o qual se aproxima o vetor velo­ cidade média entre t e t’ (t‘ > t) quando t’se aproxima de t, isto é, quando át tende a zero. Ou seja, levando em conta a relação (1.16), temos: — _ limite £sr~ (1.19) tst-ü âr Velocidade escalar instantânea no instante t é o valor para o qual se aproxima a velocidade escalar média entre tet'(J’ > t) quando í'se aproxima de /, isto é, quando AZ tende a zero. Logo, levando em conta a relação (1.17), resulta: limite As (1.20) v ” AZ-0 AZ

Exemplo 1.9 Um automóvel segue uma trajetória retilínea de A até B com uma ve­ locidade constante de 40 km/h e retorna de B até A com uma velocidade constante igual a 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média do automóvel ha viagem de ida e volta. Solução. Quando um estudante resolve pela primeira vez um problema deste tipo, normalmente ele confunde a velocidade média com a média das velocidades e fornece a sguinte resposta errada: 50 km/h. Vamos mostrar que a velocidade média neste exemplo não é 50 km/h. . Seja d a distância entre A e B. Seja h o tempo que o automóvel leva para ir de A até B com velocidade constante v( = 40 km/h e h o tempo que o automóvel leva para voltar de B até A com uma velocidade constante v2 = 60 km/h. Pela definição de velocidade ins­ tantânea, no caso de um movimento retilíneo e uniforme, temos: v = x/t ondexé o espaço percorrido e/éo tempo do percurso. Logo, o intervalo de tempo total para ir de A até B e voltar de B até A é dado por: A/ = r, + 6 = (d/v.) + {d/v2) (D onde d é a distância de A até B. Portanto, a relação (I) acarreta: AZ = d(vt + v:)/v(vj (2) De acordo com a definição do vetor velocidade média (1.16) o vetor v„ é nulo, uma vez que o deslocamento total ár é igual a zero. Contudo, de acordo com a definição de velocidade escalar média (1.17), verificamos que o deslocamento escalar total vale: .s = 2d (3)

45

Substituindo as relações (2) e (3) na definição de velocidade escalar média (1.17), obtemos:

vm

2v,v;/(r, + v?)

(4)

Substituindo os dados v, = 40 km/h e v2 = 60 km/h na relação (4) achamos o se­ guinte valor para a velocidade escalar média:

v,„ = 48 km/h

F.stc exemplo mostra claramente que o vetor velocidade média é uma grandeza complciamemcf//7OT,i/eda velocidade escalar média. Além disto, a média aritmética das ve­ locidades não tem nenhuma relação com a velocidade média nem com o vetor velocidade média.

Observações: 1 - A velocidade instantânea nos dá a cada instante a capacidade de um móvel pa­ ra varrer distâncias. Quando dizemos que um automóvel tem, num certo instante, uma velocidade de 80 km/h estamos dizendo que ele poderia, na próxima hora, percorrer 80 km. 2 - Suponha que um corpo, apoiado sobre uma mesa horizontal, esteja preso a um fio cujo outro extremo é ligado a um ponto fixo da mesa. O corpo movimenta-se em trajetória circular. Se o fio se rompe o corpo tende a seguir uma trajetória retilínca, tangente à circunferência no ponto em que o fio se rompeu. A velocidade tem, a cada instante, a direção tangente à trajetória. Esta conclusão decorre da própria definição de velocidade. Na Fig. 1,49 ilustramos esta importante propriedade característica do vetor velocidade.

Fig. 1.49 Ilustração para mostrar que a velocidade é um vetor tangente à trajetória (em cada um de seuspontos), (a) Uma partícula descreve uma trajetória circular, (b) Quando o fio que prende a partícula se rompe, a partícula é projetada numa direção tangente à trajetória.

Exemplo 1.10 Os blocos A e B estão presos um ao outro por um fio inextensível. A sc move com a velocidade s indicada na Fig. 1.50. Com que velocidade se move 5?

Solução. Tomemos um eixo Os com origem no eixo da roldana e orientado para baixo e marquemos, para um instante t qualquer, as posições sA e dos móveis A e B. Observe que a soma sA 4- sH é constante, visto que é igual ao comprimento total da corda menos

46

o pedacinho que encosta cm meia circunferência da roldana. Chamemos L a este compri­ mento dc corda pendente.

(D

s, + Su - L ; no instante t 7////////

O

__ A-

"• j

A

"te

I-

B

s Fig. 1.51 Esquema paru a sohiçüo do Exemplo 1.10.

Fig. 1.50 Esquema do enunciado do Exemplo 1J0.

Um pouco depois, num instante /terá mudado, sM também. Chamemos e $n as novas posições. A soma s\ + s» não mudou, pois é igual ao comprimento de corda pen­ dente. Temos então: + s!i s L, no instante r*

(2)

Subtraindo membro a membro as equações (2) e (1), vem: (Sx — 5\) + (5|* — S») = L — L

Logo,

Asx 4 A.Si, - 0

(3)

on As\ e As» são as variações de posição que A c B experimentaram no intervalo de tem­ po Ar - r- t. Note que ás positivo fs{ > sx) e Mié negativo (sii < sH). Dividindo ago­ ra por Ar todos os termos de (3), vem: ASh

_

H)

---- + — = 0 : ou < vx> Ar Ar

onde < v.\> é a velocidade média de «4 e < yM> é a velocidade média de B. A equação anterior é uma relação entre as velocidades médias de A e B no intervalo Ar. Se agora imaginarmos que Ar se aproxima de zero, ou seja, se supusermos o instante i ’ cada vez mais próximo de r, passaremos a ter uma relação entre as velocidades (a propó­ sito, quando nos referirmos simplesmente à velocidade, será sempre à velocidade instan­ tânea):

limite-^-' + limite

Ar —0

= 0

A/-0 •*'

47

Logo, Va + VB = 0

VA = — VB

Observe que os sinais diferentes vA e vB originam-se nos sinais diferentes de As\ e As» e indicam movimentos de sentidos contrários. Como os dois movimentos são relilineos, as duas velocidades possuem a mesma direção (da própria corda), mas possuem sentidos contrários. Na Fig. 1.52, mostramos o resultado final. Resumo da solução: (a) Estabelecemos uma relação entre as posições, conforme indicado em (1). (Z>) Obtivemos uma relação entre as variações de posição, conforme indicado na re­ lação (3).

7T 0

0 l ■■

Fig. 1.52 Esquema para o resu­ mo da solução do Exemplo 1.10.

(c) Em seguid,a, passamos para uma relação entre as velocidades médias, conforme o resultado (4). (d) Finalmente, imaginando que Aí-> 0, obtivemos a relação final entre as velocida­ des: _____________ VA = - VH

Exemplo 1.11 Direção da velocidade instantânea. Como sc justifica o fato de ser o vetor velocidade instantânea tangente à trajetória do móvel a cada instante? Solução. Suponha que uma partícula se mova sobre a curva Cindicada na Fig. 1.53. Desejamos mostrar que ao passar em M, no instante /. sua velocidade tem a direção tan­ gente à trajetória em M. Para tanto, tomemos um instante posterior t’ em que o móvel es­ tá em M *. O vetor velocidade média entre t e í * tem a direção do segmento MM'. Se Aí = C—t se aproxima de zero, o instante t ’se aproxima de t e M’ se aproxima de M. À medida que M‘ se aproxima de M, a direção de v^ se aproxima da tangente à curva Cem M e, por­ tanto, o vetor velocidade instantânea tem a direção tangente à trajetória. Exemplo 1.12 Equivalência entre o módulo do vetor velocidade instantânea e a ve­ locidade escalar instantânea. Mostre que o módulo do vetor velocidade instantânea é igual ao módulo da velocidade escalar instantânea. Solução. O módulo do vetor velocidade média é o quociente entre o comprimento da cordaMM't o intervalo de tempo Aí. Quando o intervalo de tempo tende a zero, o ponto M' se aproxima de Me corda e arco têm comprimentos cada vez mais próximos, isto é, o comprimento da corda tende para o comprimento do arco.

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M’

c

c

M'

v

M

t Fig. 1.53 Esquema para mostrar que o vetor velocidade instantâ­ nea é tangente à trajetória em ca­ da instante t.

M

t

Fig. 1.54 Quando t’ tende a t ,o ponto M’se aproxi­ ma de M, de modo que o comprimento da corda entre MeM' torn-se cada vez mais próximo do com­ primento de arco entre M

eM\

Portanto, o valor da velocidade escalar instantânea tende ao mesmo valor do mó­ dulo do vetor velocidade instantânea.

Exemplo 1. 13 Na Fig. 1.55 mostramos um gráfico descontra / para o movimento de um corpo. Determinar a velocidade escalar instantânea correspondente ao instante / indicado no eixo Ot.

-/

O Fig. 1.55 Esquema para o enunciado do Exemplo /. 13.

Solução. Considerando um instante / ‘posterior a t e determinando a variação esca­ lar de posição no intervalo de tempo de t a temos para

vw = Cxs/tsi ; As = QR, ãf = PR Logo, v„, = tg 0, desde que as unidades métricas nos eixos Os e Ot sejam iguais. Ver a Fig. 1.56. Se £st tende a zero, o ponto Q se aproxima de Pe a secante PQaproxima-se da tan­ gente PT, o ângulo 0 aproxima-se de a .Então, pela relação (1.11), temos: v = tg a = ds/dt

49

s

r *’ AS = s'- S ’ u 5

O

t

Át = t’~ t Fig. 1.56 Esquema para a solução do Exemplo 1.13. Observações: 1 - Quando empregamos a expressão “velocidade" estamos nos referindo ao ve­ tor velocidade instantânea. 2 - A velocidade instantânea não pode ser medida diretamente; contudo, o módu­ lo da velocidade instantânea pode ser determinado com boa aproximação medindo-se a velocidade média num intervalo de tempo suficientemente pequeno. Aceleração A aceleração i a grandeza criada para informar como a velocidade de um móvel varia (se lentamente ou se rapidamente). A aceleração é a rapidez com que a velocidade muda, ou melhor,’ a aceleração é a taxa de variação da velocidade. Para conceituar a aceleração é necessário definir algumas quantidades auxiliares. (a) Variação de velocidade. A variação do vetor velocidade no intervalo de tempo de t a t ’(f‘ > t) é a diferença entre os vetores v’e v, velocidades instantâneas correspondentes aos instantes z'e t. Ou seja, ] A~ = v’- v | Na Fig. 1.57 ilustramos como se obtém a variação da velocidade.

Fig. 1.57 Esquema para determinar a va­ riação do vetor velocidade entre tet.

50

Denomina-se variação da velocidade escalar no intervalo de tempo de t a t ’ (t' > /) a diferença entre a velocidade escalar v'correspondente ao instante l’e a velocidade escalar v no instante t. Logo, Av = V - v Do triângulo indicado na Fig. 1.57 concluímos facilmente que: lAv"l Z lAvI Note que a igualdade indicada na relação anterior só ocorre no caso de trajetória retilínea (sem inversão no sentido da velocidade). Compare o resultado anterior com a equação (1.18). (b) Aceleração média Vetor aceleração média no intervalo de tempo de t a t' é o quociente da variação do vetor velocidade ocorrida no intervalo de tempo At = t’ — t: —

Av" ~ bt

(1.21)

Na Fig. 1.58, ilustramos como se obtém o vetor aceleração média.

Fig. 1.58 Ilustração para mostrar co­ mo se determina o vetor aceleração média. A celeração escalar média no intervalo de tempo de t a t 'é o quociente da variação de velocidade escalar ocorrida no intervalo de tempo At = t' — /:

Ãv (1.22) a. = — ãt Observação: Estamos adotando neste Livro as seguintes notações para designar valores médios- e , Ve v., etc. Observe que: è |a«| Verifica-se que a igualdade na relação anterior ocorre somente no caso de movi­ mento retilíneo (sem inversão de velocidade). 51

(c) Aceleração instantânea Vetor aceleração instantânea no instante ré o vetor para o qual se aproxima o ve­ tor aceleração média entre os instantes t e t'(t’> f) quando t' se aproxima de t, isto é, quando AZ tende a zero. Ou seja, levando em conta a relação (1.21), vem: 5" - limite Av~ (1.23) AZ-0 AZ Aceleração escalar instantânea no instante Z é o valor para o qual se aproxima a aceleração escalar média (1.22) entre os instantes t e Z* (Z'> Z), quando Z’ se aproxima de Z, isto é, quando AZ = t‘ — Z tende a zero. Logo, a = limite Ag (1.24) A/-0 Aí v

flt

a an Raio de curvatura r

Centro de curvatura

C O vetor a tem um componente tangencial e um componente normal à trajetória Fig. 1.59 O vetor aceleração instantânea pode ser decomposto em dois componen­ tes ortogonais (ã' = õ“ + ).

Observações: 1 - O vetor a geralmente possui módulo maior que o módulo da aceleração esca­ lar. No caso de movimento retilíneo o vetor ã* possui módulo igual ao módulo da ace­ leração escalar. Logo,

|r|> |o | 2 - A direção do vetor .O vetor posição do cen­ tro O’ do sistema S'em relação a Sé igual aí*. Logo, obsevando a Fig. 1.63, podemos escrever:

r O' s O

S

Fig. 1.63 Um ponto Ppossui vetor posição T> em relaçõa a S' e r* em relação a A- O vetor posição de 0’ em relação a S é igual as~. r~ = m + s*

Logo, Ar* = Ar> + As* (1.28) Dividindo ambos os membros da relação (1.28) por At, fazendo At tender a zero e lembrando a definição de velocidade instantânea, obtemos a regra para transformar a velocidade em relação a um sistema S’ para a velocidade em relação ao referndial ab­ soluto S: _____________ (L29) 7 = v, + v,

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onde v* é a velocidade do ponto P indicado na Fig. 1.64 em relação a S, v*« é a velo­ cidade do ponto P em relação a S’ e v", é a velocidade deiranslação de S’em relação a S. Na Fig. 1.65 ilustramos a soma vetorial indicada na relação (1.29).

v.

S’

S Fig. 1.64 O ponto P se desloca com velocidade v", emrelação a S'. A velocidade de S' em relação a Sé igual a C . Qual é a velocidade de P em relação a S?.

Fig. 1.65 Regra para obter a velocidade v em relação a S.

Velocidade relativa A equação (1.29) mostra que só tem sentido físico falar de uma velocidade quan­ do especificamos osistema de referência emrelação ao qual desejamos determinarareiocidade. A equação (1.29) é conhecida como “ transformação de Galileu para as velocidades". A transformação de Galileu é baseada num dos postulados fundamentais da Mecânica Clássica. Na Seção anterior dissemos que o tempo é absoluto, isto é, um in­ tervalo de tempo At no sistema S é igual ao intervalo de tempo At' no sistema S ’. Na Lei­ tura Complementar, no final deste Capítulo, mostraremos que este postulado não i aceito na Física Moderna-, consequentemente, a relação (1.29) só vale na Mecânica Clássica. Mostraremos, na Leitura Complementar, que a velocidade relativa na Física Moderna

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não é calculada pela equação (1.29). Contudo, na esmagadora maioria das aplicações práticas, como asvelocidades envolvidas são muito menoresdoque avelocidade da luz no vácuo, verifica-se que a fórmula (1.29) fornece resultados que concordam com os dados experimentais. Vamos explicar a velocidade relativa vÇ dada pela equação (1.29):

| yj = 7 - vf [

(1.30)

Seja v* = = velocidade de P em relação aS. Seja {T = yT = velocidade do referencial S’ em relação a S. Seja Ç = A - velocidade de B em relação a A. Po­ demos escrever a regra da velocidade relativa (1.30) do seguinte modo:

|r „.a =

|

(>-3i)

A equação (1.31) fornece a regra para se obter a velocidade relativa de B em relaçãoaA, sendo B e A dois corpos determinados. Por exemplo, no caso da relação (1.30), Bi o ponto Pe A i o corpo no qual fixamos o referencial S’; i a velocidade ví do ponto P em relação a A. A velocidade é a velocidade do corpo B em relação ao referencia!fixo na Terra e é a velocidade de A (ou do sistema S0 em relação ao re­ ferencial fixo na Terra. A seguir, vamos exemplificar o uso da equação (1.31). Exemplo 1.17 Um homem caminha pela rua com velocidade de 3 m/s. A chuva cai verticalmente com velocidade de 4 m/s. Como o homem vê a chuva cair? Solução. Na parte (o) da Fig. 1.66 mostramos as velocidades em relação a um ob­ servador fixo no solo. 3 m/s

3 m/s

(

vc = 4 m/s 4 m/s

$

VR

(a)

- VC,A

(b) Fig. 1.66 Esquema do Exemplo 1.17.

Na parte (ò) da Fig. 1.66 indicamos um referencial S'fixo no homem (corpo A) e um referencial S fixo no solo. O índice C maiúsculo indica chuva c o índice A refere-se ao homem. Portanto, vÇ A - velocidade da chuva em relação ao homem. De acordo com a relação (1.31), temos: = ''C.A

= VC

~

_

C’

onde vt é a velocidade da chuva em relação ao referencial S fixo no solo ei; é a veloci­ dade do homem em relação ao referencial S. Na parte (c) da Fig. 1.66 mostramos a dife­ rença velorial indicada na equação (1). Como o triângulo indicado na parte (c) da Fig. 1.66 é um triângulo retângulo, temos:

vR = y/ vl + vi = V 47 + 37 vR = 5 m/s

58

4

tg *A

3

O homem vê a gota cair a 5 m/s numa direção inclinada de um ângulo em relação à horizontal, sendo: 0 = arc tgA 3

Exemplo 1.18\lm bombardeiro viaja a 300 km/h na direção SO-NE, horizontal­ mente. Um caça viaja para interceptá-lo na direção Norte-Sul. Com que velocidade o pi­ loto do bombardeiro vê o caça se aproximando? Solução. Na parte (o) da Fig. 1.67 indicamos as direções Norte-Sul c Leste-Oeste, bem como as direções intermediárias. Na parte (Z?) mostramos as velocidades em relação a um referencial fixo na Terra.

Fig. 1.67 Esquema do Exemplo 1.18. Seja vc a velocidade do caça e v 8 a velocidade do bombardeiro. A velocidade re­ lativa do caça em relação ao bombardeiro, de acordo com a equação (1.29) vale: “« = n, = v, Na Fig. 1.68 ilustramos a determinação da diferença vetorial indicada na relação acima.

Fig.1.68 59

Levando em consideração o triângulo da Fig. 1.68, obtemos: v„ — -Jvc + v(— 2vcvb cos 135° vR = j 6007

3oo7 + z.soo.eoo.iVTj/z

v, = V 70,2 x 10‘ v, s 8,4 . 1(F v, = 840 m/s (na direção indicada na Fig. 1.68)

Aceleração relativa De acordo com a equação (1.31), temos: Aik. = ~ ai; Dividindo ambos os membros da equação anterior por AZ e fazendo Az tender a zero, encontramos a seguinte expressão da aceleração relativa'. Õ’>.^= ã~, -ã\ (1.32) onde ÕJ.A é a aceleração relativa de B em relação a A, ã", ia aceleração de B em rela­ ção a um referencial fixo na Terra e ã~B é a aceleração de A em relação a um referen­ cial fixo na Terra.

1.5 Aplicações da Cinemática Nas seções anteriores estudamos os conceitos fundamentais de Cinemática. Nes­ ta Seção vamos aplicar os conceitos da Cinemática para a descrição de alguns tipos de movimentos importantes. Vamos descrever o movimento retilineo uniforme (MRU), o movimento retilírieo uniforme acelerado, o movimento de um corpo em queda livre, o movimento circular uniforme e o movimento circular uniformemente acelerado. Movimento uniforme Denomina-se movimento curvilíneo uniforme ou, simplesmente, movimento uniforme, todo movimento que possui aceleração escalar nula. Portanto, o movimento uni­ forme é aquele cuja velocidade é constante. Convém distinguir o movimento retilineo uniforme (MRU) do movimento curvilíneo uniforme. No MR Ua velocidade é um vetar constante, ao passo que no movimento curvilíneo uniforme a velocidade é um vetor va­ riável (em direção), mas possui módulo constante. Um caso particular importante de movimento uniforme é o movimento retilineo uniforme, que, como o nome indica, é o movimento uniforme de trajetória retilinea. O que se vai exporá seguir é verdadeiro para qualquer movimento uniforme, independen­ temente de sua trajetória. a. Gráfico da Aceleração no Movimento Uniforme Num m. u., como vimos a = 0. O gráfico a x t é uma reta coincidente com o eixo Ot. Ver Fig. 1.69. b. Gráfico da Velocidade do Movimento Uniforme Comoa = 0 no m.u., então, a velocidade é constante. O gráfico vxti uma reta paralela ao eixo Ot. Ver Fig. 1.70. 60

a

v v= k

a = 0

t

0

0

t

Fig. 1.69 O gráfico a X t num movimento retilí­ neo uniforme é uma reta que coincide com o ei­ Fig. \ -lOGráficov X t no m. u. (v k é uma constante}. xo Oi (a = o).

k, onde

c. Gráfico da Posição no M. U. Equação Horária Como num m.u. vi constante, o gráficos x 11 uma reta. A equação horária do m.u. t uma equação do 1? grau em t, da forma: s = At + B Para determinar o significado das constantes A eB da equação, observemos o grá­ fico da Fig. 1.71. — B é o valor de s quando t = 0: i a posição inicial s». — A t o coeficiente angular (tg a) que fornece a velocidade v do movimento. Assim, a equação horária de um m.u. é:

Is = & + w|

0

t

Fig. 1.71 Gráfico s X t no m. u.

Movimento retilíneo uniformemente acelerado a. Definição Denomina-se movimento uniformemente variável (m.u.v.) todo movimento cuja aceleração tangencial possuí módulo constante. Quando a aceleração tangencialpossui o mesmo sentido da velocidade instantânea dizemos que o movimento é uniformemen­ te acelerado (a >0).Quando a aceleração possui sentido contrário ao sentido da veloci­ dade instantânea, dizemos que o movimento é uniformemente retardado (aceleração ne-

61

gativa). Vamos considerar, aseguir, um movimento retilíneo uniformemente acelerado (a> 0). Para estudar um movimento retilíneo uniformemente retardado basta substituir a por —a nas equações que serão deduzidas a partir de agora. Tudo que afirmamos a sguir sobre o m.r.u.v. também vaie para o m.u.v. de um modo geral.

b. Equação da Aceleração e Gráfixo ax t A equação da aceleração do m.u.v. é

fõ = Ar | onde k é uma constante não nula. Assim sendo ojgráfico a x t terá a forma indicada na Fig. 1.72. J I

0

a = k

0

t

Fig. 1.72 Gráfico a X t no movimento uniformemente acelerado.

Observação: O movimento uniformemente variável pode ser retilíneo ou curvilíneo. No caso do movimento retilíneo uniformemente variável, o vetor aceleração tf é constante (isto é, possui módulo, direção e sentido constantes). No caso de uma trajetó­ ria curvilínea com movimento uniformemente variável somente o módulo da acelera­ ção a permanece constante, pois a direção do vetor õ* varia. Além disto, no caso do mo­ vimento curvilíneo uniformemente variável, além da aceleração tangencial existe uma aceleração normal à trajetória. Contudo, no movimento retilíneo uniformemente variável não existe aceleração normal à trajetória. O tratamento que será feito a seguir vale para qualquer movimento retilíneo uniformemente variável ou então para a velocidade esca­ lar e para a aceleração escalar (isto é, ao longo da trajetória) num movimento curvilíneo uniformemente variável. Como exemplo de um movimento curvilíneo uniformemente variável estudaremos o movimento circular uniformemente variável (ver mais adiante). c. Gráfico vxt e Equação da Velocidade do M. U. V. No m.u.v. a aceleração é constante, logo o gráfico vxt é uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos. Assim sendo, a equação da velocidade em função do tem­ po será da forma: v = At + B. Béo valor de v para t = 0, que denominaremos v„, A é o coeficiente angular tg a. Mas como tg a = aceleração (a), vem: |v = Vo + ar | (1.33) Na Fig. í .73 mostramos o gráfico da velocidade v contra o tempo t no movimento uniformemente acelerado. No caso de um movimento uniformemente retardado basta trocar a por — a na equação (1.33) 62

v = v0 4- at

v

vo

a

*• t

0

Fig. 1.73 %rqfico de v contra i no movimento uniformemente acelerado.

Observação: Afirmaremos sem demonstrar que no m. u. v. a velocidade média num intervalo de tempo (/«, t) é a média aritmética entre as velocidades v0 e v, corresponden­ tes aos extremos do intervalo. d. Equação Horária e Gráfico S x t Consideremos um móvel que, num certo instante r0, passa por um ponto de po­ sição * com velocidade v„ e que num instante posterior t passa em um ponto de posi­ ção s com velocidade v, executando umm.u.v. de aceleração a. No intervalo de tempo (/□, /) sua velocidade média foi:

s — Sa t - t„ Fazendo /„ = 0 na relação anterior, teremos: v = (s-s„)/r (1.34) Conforme dissemos na observação anterior, a velocidade média pode ser expres­ sa através da seguinte média aritmética: v = (v0 - v)/2 (1.35) Igualando as equações (1.34) e (1.35), encontramos: (s - *)// = (v„ + v)/2 (1.36) Substituindo a equação (1.33) na relação (1.36), achamos: ~ ■Sin

t

V, + v„ + at . s - So 2 " t

2v„ + at . s - s, = Vc + 2 " t

[at:. 63

s — s, = v„z + -!■ ar

2

Donde se conclui que:

1 , s = s,, + v„z + —ar

(1.37)

Vamos obter agora o gráfico s X z. Note que a equação horária (1.37) é uma equa­ ção do segundo grau da forma: y = ax2 + bx + c Portanto, como toda função dada por um polinômio do segundo grau representa uma parábola, concluímos que é parabólica a forma da curva do espaço percorrido s em função de Z. Supondo a maior do que zero {movimento uniformemente acelerado) e v» maior do que zero (velocidade inicial no mesmo sentido de a), podemos construir o gráfico indicado na Fig. 1.74. Faça como exercício a construção de gráficos de s con­ tra Z nos seguintes casos: (a)s, = 0, a>0, v„>0; (b)s„ = 0, a>0, v„0, v„ é a variação da velocidade angular num intervano de tempo AZ. N aceleração angular instantânea (ou, simplesmente, aceleração angular), é o limite da aceleração an­ gular média quando o intervalo de tempo Ar tende a zero, ou seja,

a = limite AZ - 0 AZ

Podemos definir o movimento circular uniformemente variável como sendo aquele para o qual a velocidade angular a é constante. Como no m.c.u. v. a aceleração tangencia! o, também é constante, temos um ca­ so particular de um m.u.v. (já estudado anteriormente). Quando a aceleração tanencia! ã~, possui o mesmo sentido da velocidade instantânea v~, dizemos que o movimen­ to circular é uniformemente acelerado. Quando ã~T possui sentido contrário ao senti­ do de v~, temos um. caso de movimento circular uniformemente retardado. As fórmu­ las (1.33), (1,37) e(l .38) podem também ser usadas num movimento circular uniforme­ mente variável. No m. c. u. v. vale a equação geral: v = uR A aceleração norma! (ou aceleração centrípetá) num m.c.u. v. é dada por: k = w2R | Observação: As duas relações anteriores valem tanto no m.c.u. quanto no m.c.u.v. Como no m.c.u. a velocidade angular é constante, concluímos que v" e ã"N possuem módulos constantes (no m.c.u.). Contudo, como no m.c.u.v. a velocidade angular é va­ riável, concluímos que v e õ"N possuem módulos variáveis. Potanto, no m.c.u. v. as duas relações anteriores devem ser aplicadas tomando-se o valor de u a cada instante. No m.c. u. v. existem duas acelerações: a aceleração tangencia! ü*T e a aceleração norma! ã\. Ver Fig. 1.86. É fácil perceber que; 0=0",+

r =v i5;r.+ |rN| tg 76

=

|r„|

Kl

2

V

ax \a

d>

a

= a N + a t

tg «= tfN/aT an

Fig. 1.86 Esquema para mostrar co­ mo se determina a aceleração total a .

No Capítulo 5 (Mecânica das Rotações) estudaremos com detalhes a Cinemática do Movimento Circular.

Leitura Complementar A MECÂNICA CLÁSSICA EA FÍSICA MODERNA

Os estudos da Mecânica influíram significativamente sobre o desenvolvimento da Física desde o início do século XVI até os dias atuais. A Mecânica Clássica é também cha­ mada de MecânicaNewtoniana. Os conceitos fundamentais da Mecânica Clássica foram, elaboradas principalmente por GALILEU (1564-1642) e por NEWTON (1642-1727). Neste Livro pretendemos esclarecer os conceitos básicos da Mecânica Clássica. Nos demais Li­ vros da Coleção “FÍSICA para o Segundo Grau, para o Vestibular epara a Universida­ de”, o leitor poderá apreciar a importância da Mecânica Clássica no estudo da Física Clássica e no desenvolvimento da Física Moderna. Convencionamos chamar de *'Mecânica Clás­ sica” o conjunto dos conhecimentos de Mecânica adquiridos desde os tempos de Galileu até o final do século XIX. A Física Clássica abrange os conhecimentos de Física adquiri­ dos pela Humanidade até o final do século XIX. A partir do final do século XIX começa­ ram a surgir novos e importantes conceitos de Física que complementaram e que estende­ ram os conceitos da Física Clássica. A Física Moderna abrange estes novos conceitos ela­ borados desde o final do século XIX até os dias atuais. Na Seção 1.2 mostramos que os dois postulados fundamentais da Cinemática afir­ mam que todo comprimento AL permanece invariante e que todo intervalo de tempo At também nâo depende do sistema de referência adotadoJEstes postulados fundamentais con­ duzem a outras conclusões especificas da Mecânica Clássica como, por exemplo, o méto­ do de determinação da velocidade relativa (ver a Seção 1.4). No início do século XX, Einstein estabeleceu os princípios da Teoria da Relatividade Restrita que é uma das bases da Física Moderna. De acordo com a Teoria da Relatividade, a velocidade da luz no vácuo é uma constante c que permanece invariante em relação a qualquer sistema de referência móvel. Contudo, todo comprimento AL depende do sistema de coòrdenadas e todo inter77

valo de tempo Aí assume diferentes valores em relação a sistemas de coordenadas que se movem comdiferentes velocidades. Denomina-se Mecânica Relativística a Mecânica Mo­ derna baseada na Teoria da Relatividade. As fórmulas da Mecânica Relativística concor­ dam com as fórmulas da Mecânica Clássica quando as velocidades envolvidas forem mui­ to menores do que a velocidade da luz no vácuo (dada por c = 300.000 km/s). Como todos os corpos macroscópicos se deslocam com velocidades muito menores do que c, concluí­ mos que os dois postulados citados, bem como todas as conclusões da Mecânica Clássi­ ca, concordam muito bem com os resultados experimentais. Contudo, no estudo do mo­ vimento de partículas microscópicas (qvaxióo as velocidades envolvidas nâo forem muito menores do que c), verifica-se que os dois postulados mencionados, bem como todas as fórmulas da Mecânica Clássica, não concordam com os dados experimentais. O leitor in­ teressado em comparar a Mecânica Clássica com a Mecânica Relativística pode consultar o Livro ''Ótica e Física Moderna1' de Adir M. Luiz e Sérgio L. Gouveia. As fórmulas (1.3l)e (1.32) só podem ser usadas no limite dc validade da Mecânica Clássica, isto é, quando as velocidades envolvidas forem muito menores do que r; caso con­ trário, a transformação de Galileu (1.31) deve ser substituída pela seguinte equação: -

vh

~ va

onde o ponto indica produto escalar ec é a velocidade da luz no vácuo. Quando as veloci­ dades envolvidas forem muito menores do que c, a expressão anterior se reduz ao caso da fórmula da velocidade relativa indicada na expressão (1.31). Note que, de acordo com a relação anterior, não pode existir nenhuma velocidade relativa maior do que c. Conside­ re, por exemplo, doisfótons (partículas de luz) se movendo em sentidos contrários. Neste caso, substituindo vB = c e vA = -c na equação (1.31), obtemos: í^ A = 2c . A experiência mostra que a transformação de Galileu não vale para a luz nem para o movi­ mento de partículas com velocidades próximas da velocidade da luz. Pela relação anterior, podefnos concluir que:

v5Questionário

1.1

1.2 1.3

1.4 1.5

1.6 78

As grandezas da relação abaixo foram medidas sem erro até o penúltimo algarismo significativo. Especifique o erro relativo máximo e o número de algarismos signifi­ cativos de cada uma destas grandezas: (a) 0,0093 m; (b) 0,08275 m O que é acréscimo ou variação de uma grandeza? (a) O que é coeficiente angular de uma linha reta? (d) Como se determina o coefi­ ciente angular de uma linha reta? Dê 5 exemplos de grandezas escalaras e 5 exemplos de grandezas vetoriais. (o) A soma de dois vetores de módulos diferentes pode ser igual a zero? (b) A soma de três vetores não-coplanares pode ser igual a zero? (c) Em que condições a soma vetorial de um número N de vetores fornece um vetor nulo? Um vetor unitário pode possuir unidade ou dimensão?

1.7 1.8 1.9

1.10

1.11 1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

Escreva uma equação vetorial envolvendo dois vetores: (a) ortogonais, (ò) parale­ los. Seja a equação vetorial ã" .b = a .c". Podemos concluir desta equação que b~ é umv etor equipolente ac? Uma Lei Física deve ser válida qualquer que seja o sistema de coordenadas utiliza­ do para descrever a referida Lei. Além disto, as equações que representam Leis Físi­ cas são dimensionalmente homogêneas. Seria possível dispensar os sistemas de re­ ferência e os sistemas de unidades para descrever os fenômenos físicos? (a) O módulo do vetor deslocamento é sempre igual ao deslocamento escalar? (6) O módulo do vetor velocidade média é sempre igual à velocidade escalar média? (c) O módulo do vetor aceleração média é sempre igual ao módulo da aceleração ins­ tantânea? (d) O módulo do vetor velocidade instantânea é igual ao módulo da velei­ dade escalar instantânea? O que indica o velocímetro ou tacômetro de um automóvel? Diga quais das situações seguintes são possíveis e quais são impossíveis: (a) um cor­ po com um vetor velocidade orientado de Leste para Oeste e um vetor aceleração orientado de Oeste para Leste, (d) um corpo com velocidade nula e aceleração dife­ rente de zero, (c) um corpo com um vetor aceleração constante e um vetor velocida­ de constante, {d) um corpo com um vetor aceleração de módulo constante e uma ve­ locidade escalar constante, (e) um corpo com um vetor aceleração constante e um vetor velocidade variável. (J) um corpo com uma velocidade escalar constante e um vetor aceleração tangencial diferente de zero, (g) um corpo com um vetor velocida­ de constante e um vetor aceleração variável, (Ti) uma partícula com vetor aceleração variável e velocidade escalar constante, (z) uma partícula com vetor velocidade de Leste para Oeste e vetor aceleração de Norte para Sul, (j) uma partícula com veloci­ dade escalar constante e vetor velocidade variável, (Ar) uma partícula com vetor ve­ locidade constante e velocidade escalar variável, (/) um corpo cuja velocidade esca­ lar instantânea está aumentando e cuja aceleração escalar instantânea está diminuin­ do, (m) um corpo cuja velocidade escalar está diminuindo e cuja aceleração escalar está aumentando, (n) uma partícula com velocidade instantânea diferente de zero mas com aceleração instantânea nula, (o) uma partícula com velocidade escalar média diferente de zero, mas com vetor velocidade média igual a zero. Um estudante está sentado num trem do metrô, numa posição semelhante à do ma­ quinista, isto é, olhando para a frente. O estudante arremessa uma bola verticalmente para cima. Verifique se a bola cairá na frente do estudante, atrás do estudante ou na mão do estudante, nos seguintes casos: (a) o trem se desloca com velocidade cons­ tante, (b) o trem está acelerando, (c) o trem está desacelerando. Descreva a trajetória da bola mencionada naquestão anterior em relação a um ob­ servador fixo na Terra. Repita a descrição para um observador em repouso dentro do trem. Um menino deixa cair um livro no interior de um elevador. Diga qual é o módulo da aceleração do livro em relação ao menino quando: (a) o elevador se move com velocidade constante, (h) o elevador está subindo com aceleração constante, (c) o elevador está descendo com aceleração constante. Considere um observador fixo naTerra. Qual seria o módulo da aceleração do livro nos três casos mencionados na questão anterior?

79

Exercícios

1.17 Dentre as grandezas abaixo, assinale a única vetorial. (At Comprimento. (B) Tempo (C) Arco (D) Velocidade (E) Área 1.18 Dentre as grandezas abaixo, assinale a única escalar. (A) Velocidade. (B) Força. (C) Aceleração (D) Massa. (E) Torque. 1.19 A grandeza área é obtida pelo produto de dois comprimentos; logo, a sua dimensio­ nal é: (A) L. (B) L2. (C) I?. (D) L/T. (E) T 1.20 Sabemos que o Equador Terrestre mede 40.000 km. Qual a ordem de grandeza em metros? (A) 104. (B) 10’. (C) IO’. (D) 10’. (E) IO. 1.21 Qual a ordem de grandeza do número de segundos em um mês? (A) Itt. (B) Itf. (C) 10*. (D) 102. (E) 10M. 1.22 Qual a ordem de grandeza do número de habitantes de São Paulo (capital)? (A) 10*. (B) 10*. (C) 10'. (D) 107. (E) 10". 1.23 O ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano, supondo que se propague no vácuo. Em um segundo a luz percorre 3,0 x 105 km. Qual a ordem de grandeza em metros do ano luz? (A) ÍO*. (B) 10“. (C) 10H. (D) 10°. (E) IO*’. 1.24 Estime a ordem de grandeza da espessura de uma folha deste livro. (A) 10‘1 m.

(B) 10'6 m.

(D) IO"4 m.

(Cl 10’2 m.

(E) 10“7 m.

1.25 Expresse a ordem de grandeza da massa de um homem adulto normal, em gramas. (A) 10. (B) 10J. (C) 10*. (D) itf. (E) 10’. 1.27 O mostrador de um amperimetro está graduado como mostra a Fig. 1.87 A marcação indicada é: (A) 5A. (B) 5,0A. (C) 0,5A. (D) 5.00A. (E) 4.99A

P

4-

4-

1

2

3

4

45

1

4-


—F , o burro entra em movimento. Ver Fig. 2.17.

-F
/’/’/>/ Fig. 2.26 Desenho do enunciado do Exemplo 2.14.

Solução. A primeira força agindo é o peso (lembre-se: sempre vertical). Agora tra­ cemos um eixo normal à superfície (aqui será um eixo que passa pelo centro da circunfe­ rência e pelo centro do bloco); coloquemos sobre ele a componente normal. Trace agora o eixo "paralelo” (aqui será um eixo paralelo à tangente à circunferência no ponto de con­ tato entre ela e o plano); coloque/; sobre ele. Ver a Fig. 2.27. Exemplo 2.15 Na Fig. 2.28 mostramos uma viga A B apoiada sobre o canto de uma parede. A viga está em repouso. Faça o esquema das forças que atuam sobre a viga. Solução: O peso da viga é uma força aplicada no centro da viga. O centro da viga é o centro de massa ou centro de gravidade da viga (no Capítulo 4 explicaremos estes con­ ceitos). Desenhe no ponto B uma força normal ao plano da parede e uma/orç? de atrito tangente à parede (contrária à tendência do movimento). Analogamente, no ponto A existe uma força /VA ortogonal ao solo e uma força de atrito f[ paralela ao solo c com sentido contrário à tendência do movimento. Ou seja, se a viga escorregasse, a extremidade A se deslocaria da direita para a esquerda; logo, a força de atrito é orientada da esquerda para a direita. Ner a Fig. 2.29. 112

o f.

eixo normal N

\eixo TTWTTTV P

paralelo

Fig. 2.27 Esquema da solução do Exemplo 2.14.

A

A

Fig. 2.28 Desenho do enunciado do Exemplo Fig. 2.29 Esquema da solução do Exemplo 2.15. 2.15.

113

Origem da Força de Atrito Considere a situação decrita na Fig. 2.22. Por que a força de reação R se inclina em relação à horizontal quando tentamos arrastar um bloco? É o mesmo que pergun­ tar: qual é a origem da força de atrito f, indicada na Fig. 2.24? Imagine que olhásse­ mos para a região da extremidade do bloco através de uma lente de aumento, confor­ me mostramos na Fig. 2.30. As superfícies do bloco e do solo apareceríam cheias de rugosidades, conforme indicado na Fig. 2.31. Em alguns pontos pode ocorrer até mes­ mo o encaixe entre uma saliência e uma reentrância das superfícies que estão em conta­ to: Fixemos nossa atenção no encaixe da região indicada pela letra a na Fig. 2.31. R

2

////////////r///.

7////Z/Z

p Fig. 2.30 A tentativa de arrastar o bloco é contra­ riadapor umaforça de atrito que se origina nos en­ caixes entre as rugosidades das superfícies em con­ tato. Ver a ampliação indicada na Fig. 2.31.

Fig. 2.31 Ampliação da extremida­ de direita do contato entre o bloco e o solo.

Quando o bloco é tracionado para a direita, a saliência do bloco força o chão para a direita e para baixo. O chão reage com uma força de mesma direção e sentido oposto sobre a saliência do bloco. Se aumentarmos a tração para a direita, mais o bloco em­ purrará o chão pára adireita, ou seja, as forças indicadas na Fig. 2.31 mais se inclinam para a direita. Suas reações, que agem sobre o bloco, mais se inclinam para a esquerda. A força R i a resultante de todas as pequenas forças que agem sobre o bloco nos pon­ tos de contato; se estas se inclinam para a esquerda R também se inclina. Se continuarmos a aumentar o módulo da tração T, as forças de encaixe entre as rugosidades não serão suficientes para suportar a tração e o equilíbrio se rompe, de modo que o bloco A se deslocará no sentido da tração. Portanto, durante a aceleração do bloco, você deverá notar que a. força resultante Fí na direção horizontal possui mó­ dulo dado por: Fi = T — f. No equilíbrio, T = /A. Então, pelo Princípio da Inércia, ou o bloco A está em re­ pouso (se já estava antes da aplicação de T) ou então o bloco descreverá um movimen­ to retilíneo uniforme (caso o bloco possuísse uma velocidade v~ antes da aplicação da força T). 114

Atrito Estático Na parte ( T

7//////////////////,//////////////////

P .r

V P R máx

(o)

'A 77

I I I I

(6)

0 míx

T

►

7777777777777777777777777777777777777

w

y

p

Fig. 2.32 (a) Quando não existe nenhuma força de tração aplicada ao bloco, não existeforça de atrito estática (b) Aplicando-se uma tração horizontal T surge uma força de atrito f, . (c) De­ pois de aumentar suficientemente o valor da tração T, 0 bloco começará a deslizar sobre o pla­ no horizontal. Aumentando-se o valor de T, o módulo f„ também aumenta, de modo a manter o bloco em repouso. Entretanto, a força de atrito f„ não pode crescer indefinidamen­ te Existe um valor máximo para(que depende das rugostdades do corpo e do solo). Quano o valor de T superar o valor máximo f„„u_, o bloco começará a deslizar sobre o plano, conforme indicado na parte (c) da Fig. 2.32. Neste caso, a reação Tt também atingiu seu valor máximo e o ângulo 6 também atingiu sua inclinação máxima (a partir da vertical 6 = 0). O válor 6^,, denomina-se ângulo critico ou ângulo de atrito. A for­ ça máxima de atrito denomina-seforça máxima de atrito estático ou, simplesmente, atrito máximo. Há, para um mesmo par de superfícies, uma razão constante entre a força máxi­ ma de atrito estático e a normal. 115

A Fig. 2.33 mostra vários blocos de mesmo material e pesos diferentes apoiados numa mesma superfície. Todos os blocos estão a ponto de se mover sob a ação das tra­ ções a eles aplicadas. Assim a força de atrito em cada um é a máxima.

♦ fih /"l.mix

f J.mix

---- |r.

rrrrrrTTTn7

♦ 75

///////7//////////// ///Z ////Z/ Z/////////////////////

▼3

Fig. 2.33 Os três blocos indicados nesta ilustração são de um mesmo material, apoiados sobre a mesma superfície horizontal.

A experiência mostra que a razão entre o componente horizontal de J? (a força de atrito máximo} e o componente normal é constante, para um mesmo par de superfí­ cies em contato, ou sjea, na Fig. 2.33, temos: f.mí.

A±.' _ /l.mi»

M

constante

N>

A constante de proporcionalidade entre/, ^, e Ndenomina-se coeficiente de atri­ to estático e será designado pela letra tu (ou, simplesmente, pela letra grega /r). Pode­ mos, então, escrever a seguinte expressão para a. força máxima de atrito estático:

onde Né o módulo da componente norma! da reação do apoio R sobre o corpo. É interessante notar que o coeficiente de atrito estático é dado por: | Ak = tg

|

(2.4)

Para verificar a relação anterior basta examinar a Fig. 2.34. No triângulo retân­ gulo, hachureado, tomando-se a tangente do ângulo , obtemos imediatamente a re­ lação (2.4) fazendo uso da equação (2.3).

Atrito Cinético ou Atrito de Deslizamento Quando um corpo desliza sobre uma superfície rugosa, ele fica submetido a uma força que se opõe ao sentido do movimento. Esta força denomina-se força de atrito ci­ nético ou força de atrito de deslizamento. A experiência mostra que a força de atrito de deslizamento é praticamente constante, desde que a velocidade do corpo não seja muito elevada. Também experimentalmente se observa que entre a força de atrito de desliza­ mento e a componente normal da reação de apoio há, para um mesmo par de superfí­ cies, uma razão constante. Denominamos a esta razão constante de coeficiente de atrito de deslizamento (/u): 116

N

I I I I I I

'^máx — Oc

T

7«.nulx

! 111 / l/l l/l/////// >////!/ f////////// p

Fig. 2.34 Esquema para mostrar que o coeficiente de atrito estático édado pela relação (2.4).

f*. = /a/N De um modo geral o coeficiente de atrito de deslizamento é menor que o coeficien­ te de atrito estático, o que explica porque é mais fácil manter um corpo deslizando do que iniciar o seu movimento.

Exemplo 2.16 Coeficiente de atrito estático. Descreva uma experiência simples para a determinação experimental do coeficiente de atrito estático fu- Escreva a expressão usada para a determinação deste coeficiente. Solução. Um método simples para a determinação do coeficiente de atrito estático de um material é o seguinte. Coloca-se um bloco do material sobre um plano Indicado, ar­ ticulado de tal modo qu e sua inclinação em relação à horizontal possa aumentar continua­ mente e partir da posição horizontal. Eleva-se o plano até que ele atinja uma inclinação critica e o corpo comece a deslizar sobre o plano. Considere a Fig. 2.35. Levando em conta o esquema de forças indicado nesta figura, e de acordo com a definição da força de atrito dada pela equação (2.3), encontramos: F* = /a, N = mg cos ã, (1) Quando o corpo está na iminência de se deslocar ou quando ele se desloca com velo­ cidade constante, podemos aplicar a primeira lei de Newton. Igualando a força de atrito com a componente do peso ao longo do plano inclinado, temos: = mg sen 8, (2)

117

N

p sen 0e I t

p cos Ôf

ee

P Fig. 2.35 Esquema de forças para a solução do Exemplo 2.16 e do Exemplo 2.7 7.

e, usando as relações (1) e (2), resulta: | /^ = tg 0. |

(3)

A equação (3) pode, então, ser usada para a determinação do coeficiente de atrito estático em função do ângulo limite 0, medido cxperimentalmente.

Exemplo 2.17 Coeficiente de atrito cinético. Descreva uma experiência para a de­ terminação do coeficiente de atrito cinético Solução. No problema anterior, vimos que o ângulo limite abaixo do qual o corpo permanece em repouso e acima do qual ele se desloca é dado por: 0c = arc tg Para de­ terminar o coeficiente de atrito cinético podemos fazer a seguinte experiência: coloca-sc o corpo sobre um plano inclinado, de tal modo que o ângulo de inclinação do plano seja maior do que 6r. De acordo com a seunda Lei de Newton, e levando em conta a figura do problema anterior, podemos escrever: mg sen 8 — ^mg cos 6 = ma ou seja, explicitando o coeficiente de atrito cinético, = tg 0 — (a/g cos 0). Observações: 1 — As forças de atrito descritas anteriormente referem-se ao atrito entre duas su­ perfícies sólidas, sem levarem conta a possibilidade derolamento. No Capítulo 5 analisa­ remos o papel desempenhado pelo atrito no rolamento. 2 — Considere \im fluido {líquido ou gás) em contato com um sólido ou com outro fluido). O movimento relativo entre o sólido e o fluido (ou entre doisfluidos) é impedido pelo atrito viscoso. As leis que governam o atrito viscoso são completamente diferentes das leis que governam o atrito entre superfícies sólidas. O leitor interessado em saber as noções básicas sobre a Mecânica dos Fluidos deve ler o Livro “Elementos de Termodinâ­ mica' ’ de Adir M. Luiz e Sérgio L. Gouveia.

2 - Força de Tração A,força de tração num/zo (numa corda ou numa viga) produz uma solicitação que tende a esticar ofio (a corda ou a viga). A força de compressão numa viga é uma força que tende a encurtar a viga através de uma compressão. A seguir, vamos descrever so­ mente as forças de tração.

118

Considere um blocozl suspenso por um fio preso ao teto, conforme indicado na parte (o) da Fig. 2.36. O fioé flexível e de peso desprezível. O fio exerce sobre o bloco uma força de tração T. Na parte (b) da Fig. 2.36 isolamos o bloco para fazer o esque­ ma das forças que atuam sobre o bloco.

///////////////Z////Z

A T

A (a)

V? Fig. 2.36 (a) Um bloco A ésuspenso por um fio inextensível de massa desprezível, (b) Esquema das forças que atuam no bloco A.

Sobre o bloco atuam duas forças: o peso p' e a tração T. Conforme indicado na Fig. 2.36, o sentido da tração T só pode ser oposio ao do pesop~, uma vez que o bloco A está em repouso. Observações: (a) Note que a tensão ou tração T não é a reação do peso p .A rea­ ção do peso j5* é uma força — p exercida sobre a Terra e aplicada no centro da Terra, (b) Qual é a reação da tração T que o fio exerce sobre o bloco Al É uma força — T exercida pelo bloco sobre o fio; esta reação faria o fio se romper ou esticar (caso esta força de reação ultrapassasse certos limites). Note que o módulo de — T é igual ao mó­ dulo de p , mas não podemos dizer que — T é a reação do peso p’ (ver a observação do item anterior). Exemplo 2.18 Faça um esquema das forças que atuam sobre o bloco A Indicado na Fig. 2.37.

z/z Z Z Z/Zz Z Z ZZZ/Z

A

Fig. 2.37 Desenho do Exemplo 2.18. 119

▼p Fig. 2.38 Esquema da solução do Exemplo 2.18.

Solução. As três forças que atuam sobre o bloco A são esquematizadas na Fig. 2.38. 3 - Reação de Apoio Já vimos que a força de atrito é o componente tangenciai da reação de apoio. As forças de reação de apoio surgem toda vez que um corpo está em contato com outro corpo ou com um&superficie qualquer (plana ou não-plana). Quando não existe nenhuma outra força externa aplicada ao corpo, o módulo de reação do apoio R é numericamente igual ao módulo do peso. Contudo, para que o corpo esteja em repouso é necessário que R = — p~, confortpe ilustrado na Fig. 2.39.

♦ *

▼ ? / 7'/'/'/'/'/'/'/'/'/'/'/ Fig. 2.39 Quando não existe nenhuma outraforça externa (exceto o peso) a reação do apoio R tem que ser igual contrária ao peso p (para que o corpo permaneça em repouso).

Conforme dissemos anteriormente, é sempre conveniente decompor a reação do apoio em dois componentes; (o) a componente normalN da reação do apoio é octo­ gonal à superfície considerada no local onde se encontra o corpo; (b) a componente tan­ genciai da reação K é a força de atrito, conforme definimos anteriormente. Por exem120

pio, se o bloco indicado na Fig. 2.39 está em repouso, a componente normal R é ortogona ao plano inclinado (dirigida de baixo para cima) e a componente tangencial é aforça de atrito fs orientada ao longo do plano e que equilibra a componente tangencial do peso p sen 0, onde & é o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal. 4 - Reação de uma articulação Um tipo especial de reação de apoio é a reação que ocorre numa articulação ounuma junta (ou Junção) entre dois materiais. A seguir, estudaremos apenas o caso da reação de uma articulação. Na Fig. 2.40 mostramos uma articulação A.

/////////////, // ////

(A)

haste

pino

(*) Fig. 2.40 (a) Uma haste A B está presa ao teto por um fio e articulada no ponto A. (b) Detalhe para mostrar a arti­ culação do ponto A. Consideremos uma haste AB fixada a uma parede de forma que se segue. No ex­ tremo A existe um orifício na haste. Através desse orifício passa um pino que é fixado à parede. Chama-se reação de articulação à força que o pino exerce na haste. Em geral trabalha-se com esta força imaginando-a decomposta em duas componentes, uma ho­ rizontal e outra vertical. Às vezes imagina-se a reação 77 de articulação decomposta de uma direção normal ã haste e em uma direção paralela à mesma. Na Fig. 2.41 ilustramos as técnicas usuais para a decomposição da força de rea­ ção da articulação R. Na parte (c) decompomos a reação da articulação num compo­ nente normal à superfície de apoio e em outro componente tangencial à superfície de apoio. Na parte (b) da Fig. 2.41 mostramos a decomposição de R num componente ortogonai à haste AB e num componente paralelo à haste AB.

121

Fig. 2.41 ItuslruçSo para mostrar os principais tipos de decomposição da reação de uma articu­ lação.

5 - Força de deformação — Lei de Hooke A Lei de Hooke define o sistema elástico ideal. A deformação produzida num sistema elástico é tal que a força de reação do sistema é dada pela Lei de Hooke:

|f =-*r|

onde?' éa força de reação do sistema, k é a constante elástica do sistema c.v” é um vetor que fornece a deformação linear do sistema, isto é, x é um vetor que caracteriza a dife­ rença entre o comprimento do sistema num dado instante e o comprimento do sistema no equilíbrio (quando não existe nenhuma deformação do sistema). A Lei de Hooke vale para qualquer deformação elástica linear. Neste Livro aplicaremos a Lei de Hooke somente no caso da deformação de uma dada mola; neste caso, a deformaçãoxé a dife­ rença entre o comprimento da mola num dado instante e o comprimento da mola quando ela não está nem esticada nem comprimida. 2.4 Aplicações das Leis de Newton O objetivo da Dinâmica é estabelecer a relação entre o movimento e suas causas (isto é, zs forças). Nesta Seção apresentaremos diversos problemas resolvidos para ilus­ trar algumas aplicações das Leis de Newton. Vamos considerar nesta Seção somente re­ ferenciais inerciais, isto é, referenciais para os quais podemos aplicar a Lei da Inércia (Primeira Lei de Newton). Na próxima Seção faremos uma discussão sobre a descrição da Mecânica no interior de um referencial não-inerciat.

Exemplo 2.19 A esfera da Fig. 2.42 pesa 100 kgf e está em equilíbrio. Não existe atrito entre a esfera e as superfícies que estão em coniato com ela. Determine as reações do apoio. A parede 1 é vertical.

122

Fig. 2.42 Desenho do Exemplo 2.19.

Soluçãa As forças que atuam sobre a esfera são: o peso p , a reação N, da parede número 1 e a reação Ã?_, da parede 2. Como não há atrito, a reação N, é ortogonal à pa­ rede I e N 2 é ortogonal à parede 2. Todas as três forças que atuam sobre a esfera passam pelo centro da esfera, conforme indicado na Fig. 2.43.

1

N, 60"

7v,

2

P ▼ 60"

Fig. 2.43 Esquema das forças que aluam sobre a esfera do Exemplo

2.19.

123

Podemos considerar um sistema cartesiano Oxy com origem O no centro da esfera, sendo Ox um eixo horizontal e Oy um eixo vertical. As forças que atuam sobre a esfera podem então ser decompostas conforme indicado na Fig. 2.44.

*2

.. Nj/3

' k ~2~

I I I I I

N1

M/2

p

Fig. 2.44 Decomposição dasforças indicadas na Fig. 2.43. Como a esfera está em equilíbrio, de acordo com a Primeira Lei de Newton, con­ cluímos que são nulas as resultantes R, e R, (onde /?, é a soma vetorial das forças ao lon­ go do eixo Ox e R, i a resultante ao longo do eixo Oy). Donde se conclui que: N, - N,/2 (1) M = 2p3'Zi (2) Substituindo os dados numéricos em (2) e (l), obtemos os resultados aproximados: N, = 57 kgf; N, = 114 kgf

Exemplo 2.20 O coeficiente de atrito estático entre o bloco da Fig. 2.45 e o plano inclinado vale 0,7. Determine o módulo da menor força (paralela ao plano) que deve ser aplicada ao bloco a fim de que o bloco escorregue para a parte inferior do plano inclinado. O peso do bloco í igual a 100 kgf.

F

30°

Fig. 2.45 Ilustração do Exemplo 2.20.

Pi sen d3

Solução. Como a polia possui massa desprezível, a tensào Tnos dois lados da polia é a mesma. Aplicando a segunda lei de Newton ao bloco de massa nu, obtemos: Pi sen Oi — T = /nyz (1) Aplicando a segunda Lei de Newton ao bloco de massa mit encontramos: T — p\ sen = mta (2) Somando as relações (1) e (2) e explicitando a, resulta: (m* sen (L — mt sen 0t)g a - --------------------------------nh + nii

(3)

A tensào na corda, quando não há atrito, será dada por:

T=

mtm: (sen 9, + sen 0;) ni, + m-

(4)

2.5 Forças de inércia Nesta Seção vamos estudar as forças de inércia. As forças de interação foram ana­ lisadas na Seção 2.3. O leitor deve consultar o início da Seção 2.3, a Leitura Comple­ mentar no final deste Capitulo e o Apêndice A no final deste Livro. Considere um vagão de um trem que se move em linha reta com uma aceleração constante õ] relativamente a um referencialfixo na ferrovia (SA). No interior deste va­ gão existe um pêndulo simples cujo pingente está em repouso em relação a um referen­ cial fixo no vagão Logo, ã\ = lT,a.y = ã", . Nestas condições, o pêndulo se in­ clina em relação à horizontal. A posição de repouso do pêndulo é caracterizada por um ângulo 6 constante, conforme indicado na Fig. 2.52,

/////////////////,

Fig. 2.80

2.22 (ISE/STA. CECÍLIA-SP) Dois sólidos de massas m, - 2,0 kg e m2 = 1,0 kg são colocados sobre uma superfície plana horizontal sem atrito. Uma força horizontal Fs= 3,0 Né aplicada a um dos sólidos, conforme indicado na Fig. 2.81. Sabendo-se que o conjunto executa movimento retiiíneo uniformemente variado, podemos con­ cluir que a aceleração do conjunto é:

F 1 2

Fig. 2.81 (A)

1,5 m/s:.

(B) 6,0 m/s!.

(C) 9,0 m/s'.

(D) 5,0 m/s:.

(E)

l,0m/s;.

2.23 No exercício anterior, o módulo da força de contato entre os solidos é: (B) 1,5 N; (A) 1,0 N; (D) Nula; (C) 3,0 N; (E) Nenhuma resposta anterior 2.24 (IME) No plano inclinado da figura abaixo os corpos A e B, cujos pesos são 200 N c 400 N, respectivamente, estão ligados por um fio que passa por uma polia lisa. O coeficiente de atrito entre os corpos e os planos é 0,25. Para que o movimento se torne iminente, deve ser aplicada, ao corpo A, uma força F de: (A) 25 72 N. (B) 25 VÕ N. (C) 25 N. (D) 50 N. (E) 2,5 N.

—150

B

A F 30°

Fig. 2.82 2.25 (MACK) A figura 2.83 representa dois corpos de massa mA = 2 kg e mB = 4 kg li­ gados por um fio flexível, inextensível, de massa desprezível. A polia que guia o fio tem massa desprezível, e o coeficiente de atrito entre o corpo de massa mAeo pla­ no horizontal de apoio é g = 0,2. Sendo g = 10 m/s3, a aceleração do sistema e a tração no fio"sào, respectivamente: (A) 6 m/s3; 16 N (D) 10 m/s3; 100 N (B) 8 m/s3; 16 N (E) 5 m/s3; 10 N (C) 2 m/s3; 8 N

mA

/7Ja

Fig. 2.83 ™ l.lfi (ESCOLA NAVAL) O sistema indicado na Fig. 2.84 está em repouso. São despre­ zíveis todos os atritose as massas dos fios e roldanas. Os fios sào flexíveis einextensíveis. A relação entre as massas dos corpos é: (A) Mx = Mi = Mú (B> M\ sen y = M\ sen 0 = Mj (C) Mt sen y = Mi cos 0 = My/2 (D) M\ sen y = Mi cos 0 = 2M3 (E) Mx cos y = Mi sen 0 = M\

s A X?

M, -----

Fig. 2.84

151

I

Problemas

2.27 Um bloco de massa igual a 6 kg está apoiado sobre um plano inclinado de 30° em relação à horizontal, e permanece em repouso sobre o plano. Qual é a força de atri­ to que impede o corpo de se deslocar? 2.28 Um bloco de massa igual a 2 kg se encontra em repouso sobre um plano inclinado. Aumentando-se lentamente a inclinação do plano, verifica-se que o corpo começa a deslizar quando o ângulo do plano inclinado for igual a 40°. Calcule: (a) o coefi­ ciente de atrito estático; (ô) a força de atrito. 2.2? Um corpo escorrega sobre uma superfície horizontal com velocidade v = 2 m/s, pa­ rando depois de percorrer uma distância igual a 20,4 m. Calcule o coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície. 2.30 Um trem se move com aceleração a - 49 cm/s?. Calcule o coeficiente de atrito sa­ bendo que 50 por cento da potência do motor são gastos para superar a força de atrito e a outra metade é gasta para acelerar o trem. Um bloco pesa 10 kgf e, num dado instante, sua velocidade é de 4 m/s. O bloco está 2.31 escorregando sobre uma pista de gelo horizontal, e a partir do instante mencionado ele leva 10 s até parar. Determine a força de atrito FA entre o bloco e a superfície su­ pondo que a mesma permaneça constante. 2.32 Um carro de massa 10? kg move-se com uma velocidade de 28 m/s por uma estrada horizontal e retilínea quando o motorista subitamente vê uma árvore caída bloquean­ do a estrada a uma distância de 100 m. O motorista freia tão rapidamente quanto permite o seu tempo de reação (0,75s) e consegue parar a 9 m da árvore. Considere g = 9,8 m/s2. (a) Supondo uma desaceleração constante causada pelos freios, qual é a força desaccleradora? (b) Qual é a razão entre esta força c o peso do carro? 2.33 Uma caixa de 150 N deve ser arrastada por um assoalho plano. O coeficientede atri­ to estático entre a caixa e o assoalho é 0,6. (a) Calcule a força necessária para em­ purrar a caixa com uma força que faz um ângulo 0 com a horizontal. (6) Calcule a força necessária para puxar a caixa, fazendo também um ângulo 0 com a horizon­ tal. (c) Compare os dois resultados anteriores e diga qual é o modo mais convenien­ te de arrastar a caixa, ( para que m\ se mova juntamente con. m2 sem que haja deslizamento de m, sobre /n2? Deter­ mine a tensão máxima no fio para este valor limite.

m\

m2

nh Fig. 2.89 2.40 Despreze o atrito, a massa da polia e as massas das cordas da Fig. 2.90. Considere os dados: m\ = 1 kg, m2 - 2 kg e m2 = 3 kg. Determine: (a) a aceleração comum dos blocos; (b) a tensão na corda entre e m2‘, (c) a tensão na corda entre m2 e mj.

m2

Fig. 2.90

154 .

2.41 Não existe atrito entre as partes que estão em contato rio sistema indicado na Fig. 2.91. As polias possuem massas desprezíveis e as massas dos bloco» são dadas por: mi = 1,0 kg; m2 = l ,5 kg e - 2,5 kg. Calcule: (a) o módulo da aceleração co­ mum dos blocos: (ô) a tensão na corda que liga o bloco de massa m, ao bloco de massa (c) a tensão na corda que une o bloco de massa m2 ao bloco de massa mj.

m2

m\

m3

Fig. 2.91

2.42 As roldanas da Fig. 2.92 possuem massas desprezíveis. Suponha que m2 > mt. (a) Calcule as acelerações; (d) determina as tensões nas cordas.

B

Fig. 2B2

Fig. 2.93 2.43 Um bloco de massa m repousa sobre um apoio preso a uma corda inextensível que passa pela polia móvel B. sendo que a outra extremidade da corda está amarra­ da ao mesmo apoio horizontal. Uma corda é amarrada ao centro da polia B e, de­ pois desta corda passar pela polia A, ela é ligada ao mesmo apoio horizontal, con­ forme indicado na Fig. 2.93. Despreze as massas dos fios, do apoio e das polias. De­ termine as tensões nas cordas para que o sistema fique em equilíbrio. 2.44 Despreze as massas das polias e os atritos no sistema indicado na Fig. 2.94. (a) De­ termine as acelerações dos blocos, (ò) Qual deveria ser o valor de m: para que o sis­ tema permaneça em equilíbrio? 2.45 (IME) Um astronauta de massa m move-se no espaço interplanetário com velocida­ de uniforme v*. Ele segura um pequeno objeto de massa A/n. Num dando momen­ to, o referido astronauta atira o objeto com velocidade v„ , em relação ao seu mo-

155

Ml

m2

Fig. 2.94 vimento inicial. Determinar a distância da posição real do astronauta àquela que este ocuparia se não tivesse lançado o objeto, decorrido um tempo / após o lançamento. 2.46 No topo de um plano inclinado de altura h existem dois blocos. A inclinação do pla­ no em relação à horizontal valefl = 45°. Um dos blocos é largado no ar, sem veloci­ dade inicial, e o tempo da queda livre deste bloco é igual a l. O outro bloco é largado sobre o plano, sem velocidade inicial, e leva um tempo iguala 2t para deslizar até a base do plano. Calcule: (o) a aceleração do bloco que deslizou sobre o plano; (b) o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco. 2.41 Um corpo de massa m = 10 kg é lançado de baixo para cima ao longo de um plano inclinado de30° em relação à horizontal. A velocidade inicial é v, = 30 m/s. O cor­ po retorna à base do plano com velocidade v2 * 20 m/s. Calcule: (a) o módulo da aceleração na subida; (b) o módulo da aceleração na descida. 2.48 (IME) Determinar a massa necessária ao bloco A para que o bloco B, partindo do repouso, suba O,75m ao longo do plano inclinado liso, em um tempo t = 2,Os. Des­ prezar as massas das polias e dos tirántes e as resistências passivas ao movimento. A massado bloco B vale 5,0 kg e a aceleração da gravidade deve ser considerada igual a 10 m/s2. Ver a Fig. 2.95. 2.49 Sobre o piso de um ônibus se encontra um corpo de massa m em repouso. Qual é a maior aceleração do ônibus para que a caixa escorregue? 2.50 Considere uma estrada com uma curva plana horizontal de raio igual a R. Seja n o coeficiente de atrito entre o pneu e a estrada. Obtenha uma expressão para a veloci­ dade máxima de um veiculo nesta curva sem que o veículo derrape e saia da curva. 2.51 Uma particuia se encontra em repouso sobre uma mesa, que pode girar livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo centro de massa da mesa. A distância da partícula ao centro da mesa é dada por r = 0,3 m. O coeficiente de atrito estático entre a mesa e o corpo é dado por n = 0,6. Calcule a menor velocidade angular de rotação da mesa acima da qual a partícula será centrifugada. 2.52 Normalmente, acurvade umaestrada éconstruída de tal maneiraque o plano daestrada na curva forme um ângulo flcom o plano horizontal. Para um dado limite de velocidade, qual deve ser o melhor ângulo de inclinação do plano da estrada para que um veículo possa completar uma curva de raio R com mais segurança?

156

B

60°

A

/////////^ Fig. 2.95

2.53 Calcule o peso aparente de uma pessoa de massa m no interior de um elevador que desce com aceleração a = g/3. 2.54 Qual é o peso aparente de uma pessoa de massa m no interior de um elevador que sobe com aceleração a = g/4? 2.55 Uma corda, presa ao teto de um elevador, possui um corpo de massa m = 2 kg pre­ so em sua extremidade. O elevador está descendo com aceleração a = 0,1 g. Calcule a tensão na corda que sustenta o corpo. 2.56 Um elevador possui massa igual a 2 toneladas. Calcule a tensão Tno cabo do elevador («) quando ele sobe com aceleração n = 2,2 m/s:; (b) quando ele desce com acelera­ ção a = 2,2 m/s:. 2.57 Num elevador existe um plano inclinado de um ângulo de 30° em relação ao piso do elevador. Coloca-se um bloco sobre o plano inclinado. Desprezando o atrito, de­ termine o módulo da aceleração a do bloco nos seguintes casos:(a) o elevador sobe com velocidade constante; (d) o elevador sobe com aceleração a = 2,2 m/s2; (c) o elevador desce com aceleração a = 2,2 m/s2. 2.58 No interior de um elevador, uma pessoa faz a seguinte experiência: larga um corpo, sem velocidade inicial, de uma altura h = 2 m em relação ao piso do elevador. A pessoa verifica que o tempo que o objeto leva para atingir o piso do elevado é igual a 1 segundo. Qual é a aceleração do elevador? 2.59 Um garoto está num elevador que sobe com aceleração a. Ele gira um balde conten­ do água num círculo vertical de raio R. Qual é o menor módulo da velocidade do balde para que a água não caia no balde na parte superior da circunferência? 2.60 Um passageiro no interior de um trem deseja medir a aceleração do trem. Para isto, ele utiliza um acelerômetro simples constituído por um fio inextensível preso ao te­ to do trem e que sustenta um pingente. Quando o trem está se deslocando numa fer­ rovia num plano horizontal, o passageiro mede um ângulo de 30° entre a vertical e o fio do pêndulo. Calcule a aceleração do trem. 2.61 Um trem se desloca em linha reta ao longo de um plano horizontal. Num dado ins­ tante, o velocímetro do trem acusa uma velocidade v0 = 60 km/h, e um fio de pru-

157

mo preso ao teto do trem forma um ângulo 6 = 30° com a vertical. A massa de chum­ bo presa à extremidade do fio está a uma altura de 2 m em relação ao piso do trem. No momento cm que foi feita esta medida de v0 e de 9,um passageiro corta o fio com uma tesoura, (a) Calcule o tempo que a massa leva para atingir o piso do trem, (b) Determine a distância horizontal percorrida pela massa em relação a um observa­ dor dentro do trem, (c) Determine o espaço horizontal percorrido pela massa em re­ lação a um observador situado num sistema fixo na plataforma. 2.62 Um trem se desloca num plano horizontal ao longo de uma circunferêcia de raio R = 0,3 km. A aceleração tangencial do trem possui módulo o, = 4 m/s2. Calcule o módulo da força de inércia que atua sobre uma partícula em repouso no interior do trem no momento em que o módulo da velocidade do trem vale v = 30 m/s. Despre­ ze as forças incrciais oriundas do movimento de rotação da Terra. A partícula pos­ sui massa m = I kg. 2.63 Uma roldana de massa desprezível se encontra presa ao teto dc um elevador. Um fio passa pela roldana e sustenta duas massas m, e m2 (sendo m2 > m}). Este dispo­ sitivo é conhecido pelo nome de máquina de Atwood. Considere três hipóteses: (a) o elevador se desloca com velocidade constante, (b) o elevador sobe com aceleração constante a em relação a um observador fixo na Terra, (c) o elevador desce com uma aceleração constante o. Determine para cada uma destas três hipóteses o módulo da aceleração de cada bloco em relação a um observador fixo no interior do elevador. 2.64 No Problema 2.60 você verificou que um pêndulo simples pode ser usado como acelerômetro. Agora você vai verificar que um recipiente contendo um líquido pode ser usado como acelerômetro. A Fig. 2.96 mostra um caminhão freiando com uma ace­ leração a contrária ao vetor velocidade v . O líquido no recipiente se inclina. Dctermineo ângulo 6 entre a direção da superfície livre do líquido e a direção horizon­ tal.

/////7//W///////// Fig. 2.96 2.65 Denomina-se pêndulo cônico um pêndulo que gira com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical, conforme indicado na Fig. 2.97. Seja a o ângulo entre o fio do pêndulo e a vertical do ponto de suspensão do pêndulo, (a) Diga qual é a força resultante sobre o corpo de massa m em relação a um observador fixo na Ter­ ra; (b) determine o módulo da tensão no fio em função de m, g e a. 2.66 Foucault (1819-1868), mostrou que a Terra não é um referencial inercial. Na Feira de Amostras de Paris, em 1851, Foucault fez uma demonstração pública de que a Têrra tem movimento áespin (rotação própria). Foucault instalou um pêndulo simples de 67 m na cúpula de uma igreja e mostrou que o pêndulo traçava um segmento de reta que mudava constantemente de direção. Explique como Foucault provou que a Terra gira em torno do próprio eixo e diga qual é o sentido do desvio do pêndulo de Foucault.

158

I

Fig. 2.97 2.67 Na Fig. 2.98 mostramos uma cunha de massa Mapoiada sobre um plano horizontal sem atrito. Um bloco de massa tn está apoiado sobre a cunha. Não existe atrito en­ tre o bloco e a cunha. Seja õ? a aceleração relativa do bloco em relação à cunha, quando a cunha se desloca com uma aceleração a em relação a um referencial inercial Oxy, conforme indicado na Fig. 2.98. (a) Qual é a aceleração ã] do bloco em relação a um observador fixo no sistema Oxyl (b) Como um observador fixo no sis­ tema Oxy aplica a Segunda Lei de Newton para a cunha? (c) Existe alguma força de inércia atuando sobre o bloco em relação a um observador fixo no sistema Oxyl Caso exista, decreva esta força, (d) Existe alguma força de inércia atuando sobre o bloco para um observador fixo na cunha? Caso exista, descreva esta força. y

a O

Fig. 2.98 2.68 Considere a Fig. 2.99. Despreze o atrito entre o bloco de massa mx e o carrinho de massa M. Despreze também os demais atritos. Aplica-se uma força horizontal de módulo Fe verifica-se que não existe movimento relativo entre o bloco de massa

159

e o carrinho. Nestas circunstâncias, pedimos para você determinar: (a) a relação en­ tre mlt m> e 6; (b) a expressão da aceleração do sistema; (c) a expressão da tensão T; (d) a expressão da força F; (e) o valor da força F, considerando os seguintes da­ dos: m, = 5 kg, m2 = 4 kg e M = 21 kg. ffll

T

F

ei

M

Q

zzn

mi

Fig. 2.99

Respostas do Questionário (massa) = FL-/T2 Pode. Ver a fórmula 2.4; para que este coeficiente seja maior do que um, o ângulo deve ser maior do que 45°. 2.3 (a) O peso de um corpo é a força gravitacional exercida sobre o corpo; o módulo do peso é dado por p - mg, onde g é a aceleração local da gravidade,ou seja.g é o módulo do campo gravitacional no local onde se encontra a massa m. A massa inercialm de uma partícula pode ser definida como a "constante de proporcionali­ dade entre aforçaresultante {dada pela Segunda Lei de Newton) e a aceleração re­ sultante". K mássa gravitacional dc uma partícula pode ser definida como a "cons­ tante de proporcionalidade entre o peso e a aceleração da gravidade' *. O Princípio da Equivalência afirma que a massa inércia! é igual à massa gravitcional; {b) e (c) — O peso aparente ou peso efetivo é a força resultante indicada por uma balança de mola (ver o Exemplo 2;28). 2.4 Os planos das rodovias devem ser inclinados com uma inclinação voltada para den­ tro da curva. O trilho da parte externa da curva de uma ferrovia deve estar num pla­ no mais elevado do que o trilho interno. Isto é necessário para dificultar a derrapa­ gem motivada pela ação da força centrífuga (ver a definição deforça centrífuga na Seção 2.5). Você só pode aplicar a Segunda Lei de Newton sobre um corpo (ou sobre um siste­ 2.5 ma) identificando as forças externas que atuem no corpo (ou no sistema). A força F não é a única força externa aplicada sobre a carroça, assim como a força - F não é a única força externa aplicada sobre o cavalo. Ver o Exemplo 2.8. 2.6 {a) A afirmativa é falsa. A reação ao peso do corpo é uma força igual e contrária exercida pelo corpo sobre a Terra, (d) A afirmativa éfalsa. A força centrífuga êuvna força de inércia e, portanto, não possui reação', só tem sentido falar de "reação" de uma "força de interação". Como o nome indica, uma força de interação é uma força entre dois corpos A e B\ se A exerce uma força F sobre B, então B exerce uma força de reação - F sobre A.

2.1 2.2

160

2.7

Nâo> trata-se de uma força interna ao sistema. Nenhumaforça interna pode produ­ zir aceleração externa. O vento do ventilador sobre a vela cria uma força; contudo, esta força é anulada pela força oposta criada pela variação da quantidade de movi­ mento transferida pelo ar que sai do ventilador (ver a Lei da Conservação da Quan­ tidade de Movimento — Cap. 4). 2.8 (o) p = m(g + tfi); (b) M = m(g + aí)/(g — a2) 2.9 Aforça de inércia é tão real como aforça da gravidade ou qualquer outra força. Você já deve ter seatido a ação da força de Einstein quando você está no interior de um ônibus que acelera ou que freia, Você também já deve ter sentido a ação força centrífuga quando você está no interior de um veículo que faz uma curva. A expres­ são “força fictícia" é imprópria e, portanto, não foi adotada neste Livro. A força de inércia é uma realidade objetiva para todo observador que se encontra no inte­ rior de um referencial não-inerclal. Contudo, força de inércia não existe para um observador situado num referencial inercial. 2.10 Quando usamos a expressão “ausência de peso' ’ ou ‘ * estado de imponderabilida­ de" queremos dizer que o peso efetivo é igual a zero. Ou mais precisamente, quere­ mos dizer que o peso aparente indicado por uma balança de mola é igual a zero. No interior de um satélite artificial existe o pesop ; contudo, este peso é igual e contrá­ rio ò.força centrífuga (porque o satélite artificial decreve uma órbita circular). Por­ tanto, todo corpo situado sobre uma balança no interior de um satélite artificialpossui peso aparente iguala zero. Ver o Exemplo 2.28. 2.11 Não, a força de Coriolis faz com que o corpo se afaste ligeiramente da vertical; o desvio é para Leste, ou seja, para o lado direito do observador (em ambos hemisfé­ rios). 2.12 O sentido de rotação de um ciclone é anti-horário no Hemisfério Norte e horário no Hemisfério Sul. Ver o Exemplo 2.27. Respostas dos Exercícios 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19

E A B C C C C

2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26

E E E A B A C

Respostas dos Problemas

2.27 2.28 2.29 2.30 2.3) 2.32 2.33

FA = 29,4 N (a) - 0,84; (d) FA = 12,6 N g = 0,01 g = 0,05 FA = - 4 N (a) F = 5.600 N: (b) F/p = 0,57 (a) Ft = gp/(cos 0 — p. sen 6) fb) f = gp/(cos 6 + g sen 0); (c) Como Fr è menor do que concluímos que é mais conveniente puxar a carga, porque o esforço pa­ ra puxar é menor do que o esforço para empurrar a caixa. 161

(d) F< = 159 N, FP = 77 N, para 9 = 30°; para 9 = 0o, temos: Ft » Fp = 90 N. 2.34 a + mt); F = mAmig/(mA + rn,) 2.35 (o) a = (2F- mg)/m; (b) F = mg/2 2.36 T = mja + Fa — a sen 9, onde a é dado por:

a

(Pi + pò sen g — F| — F2 ni\ + m3

sendo: Fi = cos d; F, = n,mig cos 6 2.37 (a) T - rrug(sen a — /i cos