Ciências da Natureza e Matemática [1, 2023 ed.] 9786554380089

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Frente A BIOLOGIA 07 Capítulo 1 ORGANIZAÇÃO E CARACTERÍSTICAS DOS SERES VIVOS 13 Capítulo 2 COMPOSIÇÃO QUÍMICA DOS SERES VIVOS 35 Capítulo 3 O CÓDIGO GENÉTICO E A SÍNTESE PROTEICA 43 Capítulo 4 ORIGEM DA VIDA 51 Capítulo 5 EVOLUÇÃO

ORGANIZAÇÃO E CARACTERÍSTICAS DOS SERES VIVOS Introdução

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

A Biologia é a área do conhecimento que estuda os seres vivos e, portanto, é um campo de estudo extremamente amplo, pois contempla a origem e a evolução das espécies, sua composição química, as reações metabólicas, a fisiologia, as interações entre as diferentes espécies e as relações destas com os ecossistemas. A resposta para a pergunta “o que é um ser vivo?” é muito complexa e, ao longo do estudo da Biologia, novas complementações foram surgindo, como, por exemplo, a hipótese da autopoiese, ou seja, a capacidade de renovação e regulação dos seres vivos. 1.

Capítulo 1

ORGANIZAÇÃO DOS SERES VIVOS

Assim como a matéria bruta, os seres vivos são formados por átomos, que se organizam em moléculas, com os mesmos tipos de átomos, como o gás oxigênio (O2), por exemplo, ou então com átomos distintos, como a glicose (C6H12O6), fundamental para a geração de energia celular. Moléculas são responsáveis pela formação de estruturas celulares fundamentais para a fisiologia celular, denominadas organelas (que podem ser membranosas ou não membranosas) e que serão encontradas na menor unidade funcional dos seres vivos: a célula (divididas basicamente em procariontes e eucariontes). Ao conjunto de células com funções e morfologia semelhantes, dá-se o nome de tecidos, encontrados em animais (tecidos epitelial, conjuntivo, muscular e nervoso) e vegetais (meristemáticos e permanentes) e que formarão os órgãos, fundamentais para o surgimentos dos sistemas, um conjunto de órgãos responsáveis por funções específicas, como a digestão, respiração, circulação, excreção e coordenação nervosa. Os diferentes sistemas são responsáveis pela formação do organismo, como animais e plantas. Organismos de mesma espécie, vivendo numa mesma área, ao mesmo tempo e que, portanto, apresentam potencial de reprodução, formam uma população, que ao interagir com outras, formarão uma comunidade (=biota). A interação da comunidade com fatores abióticos, como temperatura, umidade, fatores edáficos (de solo), formam o ecossistema, que somados constituem a parte habitável do planeta: a biosfera.

1. Organização dos seres vivos 2. Principais características dos seres vivos

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H14 - Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros.

Mesmo que outras formas de vida, como bactérias e protozoários, não apresentem todos os padrões de organização citados, também são considerados organismos vivos, pois realizam as mesmas atividades (ou ao menos muito semelhantes) àquelas realizadas por animais e plantas.

ANOTAÇÕES

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Organização dos seres vivos: do átomo ao conjunto de ecossistemas: a biosfera.

PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DOS SERES VIVOS 2.

Caracterizar um ser vivo não é tão simples, pois existem divergências em relação ao que realmente nos difere da matéria bruta. Para muitos biólogos, a capacidade de se renovar (autopoise) é o critério principal, enquanto para outros é a capacidade de reprodução ou então ser formado por, no mínimo, uma célula.

Se a presença de célula é usada como critério principal para caracterizar um ser vivo, vírus, bacteriófagos e príons, por serem acelulares, não entram nesse grupo.

A) Célula: menor unidade morfofisiológica dos seres vivos, os seres vivos podem ser unicelulares, como bactérias, cianobactérias, protozoários, algumas algas e leveduras ou então multicelulares, como cogumelos, plantas e animais. Em relação a estrutura celular, a célula procarionte possui o padrão mais simples, enquanto a eucarionte apresenta maior complexidade, assunto que será discutido no capítulo de Citologia. B) Metabolismo: conjunto de reações químicas que ocorrem predominantemente no meio intracelular, as reações metabólicas podem ser divididas em anabólicas e catabólicas. Nas reações anabólicas, ocorre a síntese de moléculas orgânicas, como a glicose via fotossíntese e a formação de proteínas no tecido muscular. Já as catabólicas garantem a quebra de moléculas, liberando energia, como o caso da respiração celular aeróbia, em que a glicose é degradada para a formação de ATP.

Os processos anabólicos e catabólicos estão intimamente ligados nas células. 08

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Através das reações metabólicas, os organismos aproveitam a energia disponível em moléculas orgânicas.

C) Reprodução e hereditariedade: o sucesso de uma espécie no planeta está associado à sua capacidade reprodutiva. Na reprodução assexuada, a grande vantagem é a rapidez do processo, porém, com baixa variabilidade genética, enquanto na sexuada, a recombinação de genes garante maior variabilidade. A hereditariedade é garantida pela passagem de DNA de uma geração a outra graças à capacidade de replicação desta molécula. D) Crescimento: o crescimento dos seres vivos pode ocorrer através da hiperplasia, em que há um aumento do número de células, processo garantido pela divisão simples, como em bactérias e mitoses nos seres eucariontes. Já a hipertrofia é o aumento do volume celular, como observado em células musculares e adipócitos (células de gordura). E) Autopoise: capacidade de sintetizar moléculas essenciais à manutenção dos processos fisiológicos. Estima-se que a cada 10 anos, um humano passe por uma completa renovação física, com a substituição de praticamente todos os átomos do corpo. F) Evolução: ao longo das gerações, indivíduos portadores de variações adaptativas possuem maior probabilidade de serem selecionados, o que pode alterar padrões na espécie. Por exemplo, zebras mais rápidas possuem maiores chances de sobreviver, por fugirem dos predadores e, assim, passarão essa característica (através dos genes) para a descendência. Portanto, a velocidade média das populações de zebras aumenta de geração para geração.

Como zebras mais rápidas tendem a ser selecionadas, leoas mais rápidas e com outras características que as tornem predadoras mais eficientes também acabam sendo selecionadas, em um processo chamado de coevolução.

G) Reação e irritabilidade: seres vivos reagem a estímulos, que podem ser externos, como intensidade luminosa, fotoperíodo, temperatura e umidade, além de internos, como mudanças de pressão arterial ou de pH. A partir destes estímulos, a irritabilidade (sensibilidade) pode provocar mudanças na fisiologia das células/tecidos. H) Composição química: todos os seres vivos são formados pelos mesmos compostos, mudando apenas a porcentagem dos mesmos. Assim, a composição dos seres vivos é baseada em compostos inorgânicos (água e sais minerais) e orgânicos (carboidratos, lipídios, proteínas, vitaminas e ácidos nucleicos). Após a morte, a matéria orgânica é decomposta por bactérias e fungos, enquanto a inorgânica ficará disponível para outros seres, como por exemplo, as plantas, que absorvem a água e sais minerais, formando a chamada seiva bruta.

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Composição química do corpo humano.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 Sabemos que todos os seres vivos, com exceção dos vírus, são formados por células.

Entretanto, alguns organismos possuem apenas uma célula, enquanto outros possuem milhares. O conjunto de células com estrutura e funções semelhantes recebe o nome de: (A) órgão. (B) organela. (C) tecido. (D) organismo. (E) molécula. Gabarito: C Presentes apenas em plantas e animais, os tecidos são formados por células que desempenham mesmas funções, mesmo que apresentem morfologia diferente. Além das células, os tecidos costumam ter material extracelular, como as fibras de colágeno e elastina nos tecidos conjuntivos, que serão estudados mais adiante.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. Constantemente, ao falarmos de anatomia e fisiologia humana, citamos alguns sistemas presentes no corpo, tais como o esquelético e o digestório. Um sistema pode ser definido como um conjunto de: (A) células. (B) tecidos. (C) órgãos. (D) organelas. 02. Os seres vivos estão separados em diferentes níveis de organização. Quando falamos em um conjunto de seres vivos da mesma espécie que ocupam a mesma área geográfica, referimo-nos à qual nível? (A) Espécimes. (B) População. (C) Comunidade. (D) Ecossistemas. (E) Biosfera. 03. Observe a seguir os níveis de organização de um ser vivo e marque a alternativa que contém os termos que substituem adequadamente os números 1, 2 e 3. Célula → (1) → (2) → Sistema → (3) (A) 1- tecido, 2- organismo, 3- corpo. (B) 1- órgão, 2- tecido, 3- organismo. (C) 1- tecido, 2- órgão, 3- organismo. (D) 1- organela, 2- tecido, 3- corpo. (E) 1- organela, 2-órgão, 3- tecido.

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COMPOSIÇÃO QUÍMICA DOS SERES VIVOS

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Como visto no final do capítulo anterior, os seres vivos são formados por compostos inorgânicos e orgânicos. Depois da morte de um ser, fungos e bactérias irão decompor a matéria orgânica, enquanto a inorgânica ficará disponível no ambiente, podendo ser utilizada por outros seres, numa verdadeira reciclagem da matéria. Neste capítulo, serão trabalhados os compostos inorgânicos (água e sais minerais) e os orgânicos (carboidratos, lipídios, proteínas, vitaminas e ácidos nucleicos). Nos compostos orgânicos, moléculas maiores denominadas de polímeros podem ser formadas pela união de moléculas menores, chamadas de monômeros, assim como trens são formados por vagões. Um exemplo bem conhecido é a molécula do carboidrato amido, um polímero formado por milhares de moléculas do monômero glicose. 1.

Capítulo 2

1. Água 2. Sais minerais 3. Carboidratos 4. Lipídios 5. Proteínas 6. Vitaminas 7. Ácidos Nucleicos

Na prática, um composto inorgânico não possui C associado ao H, enquanto os compostos orgânicos possuem esses dois elementos associados.

ÁGUA

Constitui cerca de 70% a 85% da massa da maioria dos seres vivos e a vida, como é conhecida hoje, só é possível graças à presença de água. É uma molécula polarizada, isto é, apesar de ter carga elétrica total igual a zero, possui carga elétrica parcial negativa na região do oxigênio e carga elétrica parcial positiva na região de cada hidrogênio. Assim, é capaz de realizar ligações de hidrogênio, que ocorre entre um átomo com carga parcial negativa e um átomo de hidrogênio de uma molécula vizinha. Quando essa interação ocorre entre duas moléculas de água, ocorre a força de coesão, formando a tensão superficial, uma película de moléculas de água aderidas entre si na zona de contato com o ar.

Estrutura da molécula de água.

Ligação de hidrogênio entre duas moléculas de água, formando a força de coesão.

Muitos animais utilizam a tensão superficial para ficar na lâmina d'água.

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Moléculas de água, por serem polares, podem estabelecer ligações tanto com substâncias de carga negativa quanto positiva. Essas substâncias que se dissolvem em água são chamadas de hidrofílicas, enquanto substâncias apolares (como lipídios) são denominadas hidrofóbicas. Na interação da água com moléculas hidrofílicas, ocorre a força de adesão, como observado na madeira (xilema) e no papel (fibras de celulose). Quando uma molécula de água interage com a celulose do papel, por exemplo, outras moléculas de água, por forças de coesão, serão “atraídas”, o que explica o fato de o papel “ficar encharcado”. Esse fenômeno, com forças de adesão e coesão interagindo, é conhecido como capilaridade, o que explica parcialmente como a seiva bruta (que contém água) ascende pelo xilema (hidrofílico) no interior de uma planta vascular, como será estudado em fisiologia vegetal.

Exemplo de capilaridade, em que o papel se comporta como uma substância hidrofílica, interagindo com a água.

No interior de uma planta vascular, as moléculas de água interagem entre si (coesão) e com a parede do xilema (adesão).

Graças a capacidade de dissolver gases, carboidratos, aminoácidos entre outras substâncias, a água é considerada o solvente universal, ocupando maior parte do citoplasma (formando o chamado citosol ou hialoplasma) e pode participar de inúmeras reações químicas, atuando como reagente, na hidrólise ou então como produto, na síntese por desidratação. Um exemplo clássico de síntese por desidratação é a formação de moléculas maiores (polímeros) a partir da união de monômeros, como aminoácidos que se unem para formar proteínas. Já na digestão dessas proteínas e outros polímeros, a água atuará como reagente, na reação de hidrólise.

Exemplo de síntese por desidratação: ao unir dois aminoácidos para formar em dipeptídeo, há formação de uma molécula de água. Caso a reação seja inversa, a água será quebrada, na chamada reação de hidrólise. 14

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O alto calor específico da água faz com que esta molécula demore tanto para ganhar quanto ceder calor. Por exemplo, é muito mais rápido aquecer uma barra de ferro do que uma chaleira de água, assim como esta última também irá demorar para perder calor (na prática, uma chaleira de água que ferveu demorará para esfriar). O fato de os seres vivos serem constituídos predominantemente por água evita grandes oscilações de temperatura corpórea, quando expostos a ambientes com baixa ou alta temperatura (suportamos ficar algum tempo numa sala gelada ou muito quente, por exemplo). Essa característica é observada também nos diferentes ecossistemas, como os desertos que, pelo baixo volume de água, oscilam bruscamente de temperatura entre o dia e a noite, enquanto nas florestas tropicais, graças à alta umidade (água na forma de vapor), a variação térmica é mínima ao longo de 24 horas do dia. 2.

Jacarés e outros animais ectotérmicos, que utilizam fontes externas para aquecer seu corpo, passam o dia fora da água, aquecendo seu corpo com o calor do sol e durante à noite, movem-se para a água, que pode apresentar uma temperatura mais elevada que o ambiente externo, por ter incorporado calor o dia todo e manter essa temperatura por boa parte da noite.

SAIS MINERAIS

Os elementos minerais são fundamentais para o metabolismo intra e extracelular, atuando muitas vezes como cofatores enzimáticos, ou seja, regulando e ativando enzimas. Abaixo, uma tabela com os principais elementos minerais, suas funções e fontes. Sal mineral Cálcio (Ca++) Cloreto (Cl-) Cobre (Cu++) Enxofre (SO4-2) Ferro (Fe++) Fluoreto (F-) Fósforo (íon fosfato PO43-) Iodeto (I-) Magnésio (Mg++)

Potássio (K+) Sódio (Na++)

Principais Funções Atua na formação de tecidos, ossos e dentes; age na coagulação do sangue e na oxigenação dos tecidos Forma o suco gástrico, participa do transporte de CO2 pela corrente sanguínea, principal ânion do corpo humano Age na formação da hemoglobina (pigmento vermelho do sangue) Facilita a digestão; é desinfetante e participa do metabolismo das proteínas Indispensável na formação do sangue; atua como veiculador do oxigênio para todo o organismo Forma ossos e dentes; previne dilatação das veias, cálculos da vesícula e paralisia Atua na formação de ossos e dentes; indispensável para o sistema nervoso e o sistema muscular juntamente com o cálcio e a vitamina D Forma hormônios da glândula tireoide. Atua na formação dos tecidos, ossos e dentes; ajuda a metabolizar os carboidratos; controla a excitabilidade neuromuscular. Entra na constituição da molécula de clorofila. Atua associado ao sódio, influenciando as batidas do coração e o sistema muscular; contribui para a formação as células Controle osmótico e impulso nervoso

Fontes Queijo, leite, nozes, uva, cereais integrais, couve, feijão, lentilha, amendoim Quase todos os vegetais Centeio, lentilha, figo, banana, ameixa, batata, espinafre Nozes, batata, couve-flor, agrião, laranja, abacaxi Fígado, rim, coração, gema de ovo Agrião, aveia, brócolis, beterraba, couve-flor, maçã, trigo integral Carnes, miúdos, aves, peixes, ovo, leguminosas, queijo, cereais integrais Alimentos de origem marinha Frutas cítricas, leguminosas, gema de ovo, agrião, espinafre, tomate Azeitona verde, ervilha, figo, lentilha, espinafre, banana, laranja, tomate, carnes, arroz integral Abundante nos vegetais, queijo, nozes, aveia Fleming 2023

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3.

CARBOIDRATOS (=GLICÍDIOS)

Moléculas orgânicas abundantes na natureza, produzidos principalmente pelo processo de fotossíntese em células de seres autotróficos (cianobactérias, algas e vegetais). Formam a principal fonte de energia rápida para as cadeias alimentares, sendo facilmente utilizados na via glicolítica (produção de energia celular), mas também podem ter função estrutural, participando da constituição dos ácidos nucleicos. Os monossacarídeos representam os monômeros dos carboidratos, sendo essencialmente formados na fotossíntese. Possuem fórmula geral Cn(H2O)n, sendo que o número de carbonos determina sua classificação: - Triose: C3H6O3 Exemplo: Gliceraldeído, um composto precursor na formação de glicose na fotossíntese. - Tetrose: C4H8O4 - Pentose: C5H10O5 Exemplos: Ribose, presente na molécula de RNA e ATP; desoxirribose (C5H10O4, devido a perda de um átomo de O), na molécula de DNA. - Hexose: C6H12O6 Exemplo: Glicose, frutose e galactose, fundamentais para a geração de energia celular. - Heptose: C7H14O7

Biologicamente, a molécula de Alfa glicose é mais facilmente quebrada, sendo usada pelas células para a formação de ATP (energia celular). O amido, por exemplo, é formado por milhares de moléculas de Alfa glicose, podendo ser utilizado por humanos como fonte de energia.

Glicose

Exemplos de monossacarídeos do tipo hexose.

Os dissacarídeos são formados por síntese por desidratação, a partir da união de dois monossacarídeos, através de uma ligação glicosídica, com formação de água no final. Na digestão dos dissacarídeos, a ligação é quebrada, consumindo uma molécula de água (reação de hidrólise).

A reação de síntese por desidratação garante a formação de água

A ligação glicosídica ocorre entre dois monossacarídeos

Dois monossacarídeos se unem através da ligação glicosídica, na chamada síntese por desidratação.

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Os dissacarídeos, quando quebrados por suas respectivas enzimas, fornecerão monossacarídeos que por sua vez poderão ser utilizados como fonte de energia. Os mais conhecidos são formados por hexose, como a sacarose, comumente usada como adoçante, a lactose, presente no leite e a maltose, encontrada em cereais.

Quando quebrados, os dissacarídeos fornecem monossacarídeos que serão usados na formação de ATP na célula.

Os polissacarídeos são os polímeros dos carboidratos , sendo formados pela união de centenas ou milhares de monossacarídeos por meio das ligações glicosídicas. Assim, se um polissacarídeo é formado por 1.400 moléculas de monossacarídeos, serão necessárias 1.399 ligações glicosídicas e 1.399 moléculas de água serão produzidas. Na digestão do mesmo, serão quebradas 1.399 ligações glicosídicas e consumidas 1.399 moléculas de água na reação de hidrólise (por isso que massas, pães e outros alimentos ricos em amido dão sede!). Principais polissacarídeos com função de reserva energética: - Amido: formado por milhares de moléculas de Alfa glicose, é produzido por muitas algas e pelas plantas, sendo armazenado principalmente em raízes e caules. Desta forma, atua como verdadeira reserva energética para períodos em que a planta diminui/zera a taxa de fotossíntese, como na estação fria, em que muitas espécies caducas perdem todas as folhas. - Glicogênio: presente em fungos e animais, onde é sintetizado e armazenado no fígado, além da musculatura esquelética. Possui milhares de moléculas de Alfa glicose, proveniente da alimentação. No capítulo de sistema endócrino, será estudado o processo de glicogênese (formação do glicogênio), assim como o de glicogenólise (quebra do glicogênio), ambos regulados por hormônios pancreáticos (insulina e glucagon, respectivamente). Polissacarídeos com função estrutural: - Celulose: formado por moléculas de Beta glicose, é constituinte da parede celular de vegetais e algumas algas e apresenta assim, função estrutural. - Quitina: formado por monômeros que apresentam Nitrogênio (N-acetilglicosamina), forma as paredes celulares das células de fungos, língua (rádula) dos moluscos e o exoesqueleto dos artrópodes.

Dezenas de monossacarídeos são classificados como oligossacarídeos. Como exemplo, pode-se citar carboidratos que formam o glicocálix na parte externa da membrana plasmática, que será estudado no capítulo de envoltórios celulares.

Muitos animais, incluindo humanos, são incapazes de digerir a celulose, por falta de microrganismos que produzem a enzima celulose. Assim, as fibras dessa molécula, quando ingeridas e não quebradas, auxiliarão no peristaltismo, aumentando o volume do bolo fecal.

Os carboidratos do tipo polissacarídeos são formados pela união de centenas/milhares de monossacarídeos. Fleming 2023

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Polímero é um carboidrato, feito a partir de monossacarídeos

Resumo de carboidratos.

4.

LIPÍDIOS

Moléculas apolares e, portanto, hidrofóbicas, porém, solúveis em solventes orgânicos. Nos seres vivos, possuem diversas funções, incluindo reserva energética de longo prazo, estrutural e hormonal. Os glicerídeos são formados por uma molécula de glicerol e uma, duas ou três moléculas de ácidos graxos. Constituem os óleos (ligações insaturadas na cadeia de ácido graxo e mais comuns em vegetais) e gorduras (ligações saturadas, mais encontradas em animais). Pelo tipo de ligação, os óleos apresentam estado líquido, enquanto as gorduras são sólidas. Desempenham função de estocagem energética, sendo as gorduras encontradas comumente no tecido adiposo dos animais e os óleos em sementes.

Os triglicerídeos são formados pela união do glicerol com três moléculas de ácidos graxos.

Os cerídeos são ésteres de ácidos graxos superiores com álcoois superiores e as ceras podem ser encontradas em vegetais (cera de carnaúba, folhas e frutos), com função de impermeabilização e ceras animais (cera de abelha, lanolina na lã dos ovinos e como impermeabilizante nas penas das aves).

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A cera de abelha tem importante função estrutural na colmeia.

Os esteroides são lipídios de estruturas cíclicas, sendo que o mais conhecido é o colesterol, sintetizado apenas por animais, principalmente no fígado, sendo encontrado nas membranas celulares, além de ser precursor dos hormônios sexuais, do calciferol (vitamina D) e entrar na formação dos sais biliares, responsáveis pela formação da bile.

HDL: forma uma classe de lipoproteínas de alta densidade que variam em tamanho e capacidade e carregam colesterol dos tecidos do corpo para o fígado. Uma vez que HDL pode remover o colesterol das artérias e transportá-lo de volta ao fígado para ser excretado, é chamado de "bom colesterol". LDL: (lipoproteína de baixa den-

Estrutura química do colesterol.

Os fosfolipídios compõem membranas celulares, conforme o modelo do mosaico fluido que será estudado mais adiante. Essas moléculas possuem, além do glicerol e duas cadeias de ácidos graxos, um grupo fosfato, o que as tornam anfipáticas: a cauda apolar, hidrofóbica (ácidos graxos) e a cabeça polar, hidrofílica, representada pelo grupo fosfato. A estrutura de dupla camada das membranas na biologia são explicadas justamente por esta característica.

sidade) refere-se à gama de partículas de lipoproteína, que variam em tamanho e capacidade, as quais carregam colesterol no sangue e pelo corpo para ser usado pelas células. É geralmente chamado de "mau colesterol" devido à relação de altos níveis de LDL e doença cardíaca. De forma geral, LDL transporta colesterol e triglicerídeos de células e tecidos que produzem mais do que usam, para aqueles que estão necessitando.

Lipoproteínas transportadoras de colesterol: o HDL costuma retirar colesterol do sangue, enquanto o LDL o deposita na corrente sanguínea.

Prostaglandinas: estes lipídios não de sem penham fun çõe s estruturais, mas são importantes componentes em vários processos metabólicos e de comunicação intercelular. Um dos processos mais importantes controlados pelas prostaglandinas é a inflamação. Como os meios intracelular e extracelular são ricos em água, as cabeças hidrofílicas ficam voltadas para a porção externa, enquanto as caudas apolares se voltam para dentro da dupla camada.

Carotenoides: encontrados em plantas onde participa do processo de fotossíntese e em animais, onde o betacaroteno é precursor para a produção de vitamina A.

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Resumo de lipídios.

5.

PROTEÍNAS

Macromoléculas (polímeros) formadas por aminoácidos (monômeros), sendo os compostos orgânicos mais abundantes nos animais e o segundo em plantas (pois através da fotossíntese, os vegetais possuem mais carboidratos). Existem milhares de proteínas na natureza, capazes de realizar inúmeras funções, desde estruturais até catalíticas (enzimas).

Estrutura do aminoácido Cada aminoácido possui um Carbono central (Carbono Alfa), onde estão ligados um grupo amino (-NH2), um grupo carboxila (-COOH), um hidrogênio e um Radical, que varia de um aminoácido para o outro. Na natureza, existem 20 tipos de radicais e, partindo do princípio de que este é o trecho da molécula que varia de um aminoácido para o outro, conclui-se que existem mais de 20 tipos de aminoácidos, porém somente 20 deles formarão estruturas protéicas em seres vivos. A base para a formação dos aminoácidos é a fotossíntese, onde os seres autotróficos produzem o ácido glutâmico, sendo os demais aminoácidos produzidos a partir deste. ANOTAÇÕES

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Estrutura de um aminoácido, onde a variação ocorre apenas no Radical, explicando diferenças de estrutura, carga elétrica, tamanho e solubilidade em água dos aminoácidos.

Organismos podem produzir aminoácidos, sendo estes denominados aminoácidos naturais (não essenciais), ou então obtê-los a partir da dieta, caracterizando os aminoácidos essenciais. Nos humanos, existem 11 aminoácidos naturais e 9 essenciais, conforme imagem abaixo:

Tipos de aminoácidos naturais e essenciais para a espécie humana. Para alguns autores, o aminoácido Histidina é considerado natural.

A formação de proteínas Os aminoácidos formam proteínas a partir de ligações peptídicas, que ocorrem entre o grupo carboxila de um aminoácido e o grupo amino de outro, por meio da síntese por desidratação, formando água, além da cadeia polipeptídica.

Na formação do dipeptídeo acima, por síntese por desidratação, ocorre também a formação de uma molécula de água.

Para cada ligação peptídica que ocorre, há formação de uma molécula de água (síntese por desidratação). Assim, se uma molécula de proteína é formada por 50 aminoácidos, ocorrem 49 ligações peptídicas e 49 moléculas de água. Caso essa proteína seja digerida, 49 ligações peptídicas deverão ser quebradas e, por se tratar de uma reação de hidrólise, serão consumidas 49 moléculas de água (por isso, comer dá sede).

Estrutura das proteínas As proteínas podem ser formadas apenas por aminoácidos, sendo chamadas de proteínas simples, enquanto nas conjugadas (compostas), podem ocorrer grupos prostéticos, como as glicoproteínas (carboidratos + proteína), lipoproteínas (lipídios + proteínas), nucleoproteínas (ácidos nucleicos + proteínas) e cromoproteínas (elementos minerais + proteínas). Fleming 2023

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Cada proteína assume uma conformação estrutural necessária para desempenhar sua função, e basicamente, podem apresentar quatro padrões estruturais: - Estrutura primária: sequência linear de aminoácidos de uma cadeia polipeptídica. A substituição de um único aminoácido pode alterar a função da proteína. - Estrutura secundária: graças a atrações que ocorrem entre certos átomos de aminoácidos próximos, as proteínas podem apresentar um aspecto helicoidal. Essa estrutura é caracterizada por ligações que se repetem regularmente pela atração dos átomos dos aminoácidos e podem ser do tipo Alfa-hélice, com arranjo tridimensional em que a cadeia se organiza ao redor de um eixo imaginário e Beta-folha, onde o arranjo da cadeia se organiza em zig-zag e as duas partes podem ficar dispostas ao lado uma da outra. - Estrutura terciária: resulta do enrolamento da hélice ou da folha pregueada, sendo mantido por pontes de hidrogênio, pontes disulfeto, ligações iônicas e outras interações. - Estrutura quaternária: quando proteínas apresentam duas ou mais cadeias polipeptídicas, como a hemoglobina.

(Sequência de aminoácidos)

Durante a formação de uma proteína, as interações entre os radicais dos aminoácidos podem levar às diferentes estruturas da molécula.

As proteínas podem ainda ser classificadas em globulares, quando possuem forma esférica e solúveis em água (a ovoalbumina, imunoglobulinas e a hemoglobina, por exemplo) e fibrosas, com longos filamentos em estrutura secundária e insolúveis na água, como a queratina, a fibrina e o colágeno.

Estrutura secundária do tipo Alfa-hélice e Beta-folha.

Desnaturação proteica A função de uma proteína está associada diretamente à sua estrutura, que pode ser alterada por fatores como aumento da temperatura e mudanças de pH. Essa mudança de estrutura é denominada desnaturação proteica e será responsável pela perda da função da molécula. O aumento da temperatura e as mudanças de pH podem provocar alterações nas interações entre os radicais dos aminoácidos, o que provocará a mudança na forma da proteína. Tal mudança pode ser reversível, processo denominado de renaturação. ANOTAÇÕES

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Desnaturação e renaturação proteica.

No dia a dia, é possível perceber vários exemplos de desnaturação proteica, como a alteração da clara do ovo (proteína albumina) após seu cozimento, passando ao estado sólido; além da adição de limão no leite, formando o “coalho”, que nada mais é que a desnaturação das suas proteínas, para o preparo da coalhada e da famosa sobremesa ambrosia. O aparelho usado no cabelo, conhecido como “chapinha”, também leva à desnaturação, nesse caso, da proteína queratina.

Funções das proteínas - Estrutural ou plástica: são aquelas que participam dos tecidos, conferindo rigidez, consistência e elasticidade, como o colágeno e a elastina na derme; a actina e miosina nos músculos e citoesqueleto das células em geral e a queratina, associada à epiderme de répteis, aves e mamíferos. No caso da actina e miosina, ainda pode ser atribuída a função contráctil. - Hormonal: a maioria dos hormônios possuem constituição proteica, como a insulina e o hormônio do crescimento, que serão estudados no capítulo de sistema endócrino. Alguns hormônios, entretanto, são formados por lipídios, derivados do colesterol. - Defesa: anticorpos (imunoglobulinas): são proteínas que realizam a defesa do organismos contra substâncias estranhas, os antígenos. - Transporte de gases: o transporte de gases é realizado por cromoproteínas, como a hemoglobina (associada ao elemento Ferro). - Reserva energética: apesar de não serem as fontes principais de energia para a células, proteínas como a caseína do leite e a albumina nos ovos amnióticos (o ovo “com casca”) podem ser utilizadas como fonte de calorias. - Catalítica: as enzimas são proteínas que atuam sobre moléculas denominadas substratos, permitindo a quebra do mesmo, ou então a síntese de moléculas maiores. Enzimas como as dissacarases, por exemplo, podem quebrar moléculas maiores em menores. Já outras, participam de reações de síntese, unindo moléculas menores, como no caso da síntese protéica. Cada enzima apresenta um centro ativo, em que o substrato é modificado, formando produtos da reação. Um aspecto importante quanto a ação das enzimas é que estas não são degradadas/alteradas durante ou após a reação, podendo ser utilizadas diversas vezes sobre o mesmo tipo de substrato.

Enzima atuando numa reação catabólica.

Junta os substratos

Holoenzima é uma enzima formada por uma parte proteica chamada apoenzima, combinada com uma molécula não proteica orgânica chamada coenzima (normalmente uma vitamina). Nem a apoenzima nem a coenzima são ativos quando estão separados, mas, quando associados, passam a ter função catalítica. Caso a porção não proteica da holoenzima seja um elemento mineral, este passa a se chamar cofator.

Enzima atuando numa reação anabólica.

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hemoglobina

Sem a presença de uma coenzima ou de um cofator, as enzimas não possuem função biológica.

Fatores que afetam a atividade enzimática - Concentração da enzima: à medida que a concentração de enzimas aumenta, a taxa de reação aumenta proporcionalmente. Caso ocorra limitação de moléculas do substrato, a velocidade irá estabilizar.

A inibição enzimáica pode ser do tipo reversível e do tipo irreversível. Na inibição reversível, o inibidor e as moléculas da enzima se unem por ligações não covalentes, que, por serem mais instáveis, podem ser rompidas, fazendo com que a enzima retome a sua atividade posteriormente. A inibição reversível pode ser do tipo:

- Temperatura: dentro de certos limites, a velocidade de uma reação enzimática aumenta com a elevação da temperatura, entretanto, a partir de determinada temperatura, a velocidade da reação diminui, por provocar desnaturação enzimática. Faixas menores de temperaura, são insuficientes para permitir a reação entre a enzima e seu substrato. Portanto, cada tipo de enzima atua melhor em uma faixa de temperatura característica (temperatura ótima). - pH: cada enzima tem um pH ótimo de atuação, no qual sua atividade é máxima. Fora dessa faixa de pH, a reação enzimática diminuirá de velocidade ou até mesmo cessar, devido à desnaturação. - Concentração do substrato: aumentar a concentração do substrato aumenta a velocidade da reação, pois mais moléculas de substrato colidem com as moléculas da enzima, formando mais rapidamente os produtos. No entanto, ao exceder uma certa concentração de substrato, não haverá efeito na velocidade da reação, pois as enzimas estarão saturadas e funcionando na velocidade máxima.

- Inibição competitiva: as moléculas desses inibidores têm uma estrutura muito parecida com a do substrato da enzima e, por isso, se unem reversivelmente às enzimas, formando um complexo enzima-inibidor muito semelhante ao complexo enzima-substrato, que inativa a catálise da enzima. - Inibição não competitiva: a substância inibidora pode ligar-se tanto à enzima quanto ao complexo enzima-substrato, mas num sítio de ligação diferente. Nesse caso, a ligação do inibidor com a enzima não atrapalha a ligação do substrato, mas gera uma alteração que impede a formação do produto da reação. Já na inibição irreversível, a atividade da enzima é inativada de forma definitiva. Nesse tipo de inibição, a substância inibidora se une à enzima por ligações covalente (mais estáveis), tornando-a inativa de forma permanente, como o cianeto que se liga a enzimas da respiração celular. 24

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Fatores que afetam as enzimas.

Na inibição reversível competitiva, o inibidor ocupa o sítio ativo da enzima.

Na inibição reversível não competitiva, o inibidor altera a conformação da enzima, inativando-a.

6.

VITAMINAS

Atuam como cofatores em reações enzimáticas e, portanto, são indispensáveis para o metabolismo celular. A carência total de vitamina(s) é denominada de avitaminose, enquanto a deficiência parcial caracteriza a hipovitaminose, e seu excesso, a hipervitaminose. Algumas vitaminas são moléculas polares e, portanto, dissolvem-se em água (vitaminas hidrossolúveis: Complexo B e vitamina C) e devem ser ingeridas diariamente enquanto outras são apolares (lipossolúveis: K, A, D, E), podendo ser armazenadas no tecido adiposo e fígado. Estas últimas são absorvidas junto aos lipídios da alimentação, por isso, a importância de usar azeite nos vegetais.

• Vitaminas hidrossolúveis Vitamina

Principais funções

Fontes

B1 (Tiamina)

Auxilia no metabolismo dos carboidratos Participa das reações da respiração celular Metabolismo dos neurônios Carência: beribéri (problemas musculares)

Carne de porco, cereais integrais, nozes, lentilha, soja, gema de ovo

B2 (Riboflavina)

Participa das reações da respiração celular (FAD) Saúde da pele e anexos (unhas e cabelos)

Fígado, rim, lêvedo de cerveja, espinafre, berinjela

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B3 (PP, Niacina, Nicotinamida)

Metabolismo das gorduras e carboidratos Participa das reações da respiração celular (NAD) Carência: pelagra (diarreia, dermatite e demência)

Lêvedo, fígado, rim, ovo, cereais integrais

B5 (Ácido Pantotênico)

Participa das reações da respiração celular (Coenzima A) Síntese de hemoglobina

Carnes, leite e vegetais folhosos

B6 (Piridoxina)

Atua no metabolismo de proteínas e lipídios

Carnes de boi e de porco, fígado, cereais integrais, batata, banana

B9 (Ácido fólico)

Atua na formação dos glóbulos vermelhos e na síntese de bases nitrogenadas Previne de defeitos congênitos graves na gravidez (espinha bífida); prevenção do câncer

Carnes, fígado, leguminosas, vegetais de folhas escuras

B12 (Cianocobalamina)

Colabora na formação dos glóbulos vermelhos e na síntese do ácido nucléico Carência: anemia perniciosa

Fígado e rim de boi, ostra, ovo, peixe

C ou ácido ascórbico

Conserva os vasos sanguíneos e os tecidos Aumenta a absorção do ferro Aumenta a resistência a infecções Produção de colágeno Carência: escorbuto (sangramento das gengivas)

Limão, laranja, abacaxi, mamão, goiaba, caju

A carência de Vitamina B9 está associada à formação da espinha bífida no feto.

ANOTAÇÕES

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Principais funções e fontes de vitamina C.

• Vitaminas lipossolúveis Vitamina

Função

Fontes

A (Retinol) precursor: ß-caroteno

Atua sobre a pele Atua na retina, sintetizando rodopsina Carência: xerodermia (pele seca), nictalopia (cegueira noturna) e xeroftalmia (“vista seca)

Cenoura, abóbora, gema de ovo, fígado, leite e derivados

D (Calciferol)

Permite absorção do Cálcio e Fosfato Auxilia no sistema imunológico Controle do diabetes Carência: raquitismo e osteomalácia

Óleo de fígado de peixes, leite, manteiga, gema de ovo, sol

E (Tocoferol)

Antioxidante Favorece o metabolismo muscular Possível carência: esterilidade

Nozes, carnes, amendoim, óleo, gema de ovo.

K (Filoquinona)

Essencial para que o organismo produza protrombina, proteína indispensável para a coagulação sanguínea

Fígado, verduras, ovo e é produzida por bactérias da microbiota intestinal

ANOTAÇÕES

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O filme Endless Night (Ninguém quer a noite) de 2015 mostra diversas hipovitaminoses de duas mulheres que permanecem por um longo período “presas” no Ártico. Com uma alimentação pobre e restrita de nutrientes, o filme mostra os efeitos que a falta de vitaminas provoca no organismo humano.

A carência de Vitamina D em adultos pode levar ao enfraquecimento e desmineralização dos ossos, quadro conhecido como osteomalacia.

7.

ÁCIDOS NUCLEICOS

Os ácidos nucleicos são moléculas longas, podendo ser do tipo DNA (Ácido desoxirribonucleico) ou RNA (Ácido Ribonucleico), ambos formados pela sequência de monômeros denominados de nucleotídeos. Constituem o material genético dos seres vivos e fazem parte do Dogma Central da Biologia (Francis Crick, 1958), que será estudado no capítulo seguinte. Estruturalmente, cada nucleotídeo é formado por um grupo fosfato (ácido fosfórico), um carboidrato monossacarídeo do tipo pentose e uma base nitrogenada. Na molécula de DNA, a pentose é do tipo desoxirribose, enquanto no RNA será a ribose. Em relação às bases nitrogenadas, estas podem ser formadas por dois anéis de carbono (púricas) ou apenas um anel (pirimídicas).

Base nitrogenada

Pentose

Grupo fosfato Estrutura de um nucleotideo, monômero dos ácidos nucleicos.

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Estrutura da pentose do DNA (desoxirribose).

Estrutura da pentose do RNA (ribose).

A molécula de ribose, além de ser encontrada no RNA, está presente no ATP (Adenosina Trifosfato).

As bases nitrogenadas podem ser do tipo púricas ou pirimídicas, sendo a Timina exclusiva do DNA e a Uracila, do RNA.

A união entre os nucleotideos para a formação de uma sequência que formará uma fita de ácido nucleico ocorre por meio de ligações do tipo fosfodiéster, em que o grupo hidroxila do carbono-3 da pentose do primeiro nucleotídeo se une ao grupo fosfato ligado à hidroxila do carbono-5 da pentose do segundo nucleotídeo.

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As ligações fosfodiéster mantém nucleotídeos de mesma fita unidos.

Proteínas serão construídas a partir da informação genética.

Principais diferenças entre DNA e RNA.

Ácido Desoxirribonucleico (DNA) Molécula em forma de fita dupla (dupla hélice), sua estrutura foi inicialmente descrita pela química inglesa Rosalind Franklin e posteriormente detalhada por James Watson e Francis Crick. O DNA representa o material genético de todos os seres vivos, com exceção dos vírus de RNA, e pode ser encontrado no núcleo (DNA nuclear), mitocôndrias (DNA mitocondrial) e plastos de células eucariontes, além de disperso no citosol dos procariontes. Cada molécula de DNA é formada por duas sequências antiparalelas de nucleotídeos, sendo que um nucleotídeo de uma fita irá se ligar ao nucleotídeo da fita vizinha através de ligações de hidrogênio em suas bases nitrogenadas. Em pareamentos normais, uma base púrica irá parear com uma base pirimídica, processo conhecido como Relação de Chargaff. Dessa forma, ocorrerá uma proporção de bases púricas e pirimídicas em uma amostra de DNA fita dupla. Mais precisamente, a base Adenina irá estabelecer duas ligações de hidrogênio com a base Timina, enquanto a Guanina estabelecerá três ligações com a Citosina, conforme imagem abaixo:

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A=T

G=C

EXEMPLO: 20% A = 20% T

30% G = 30% C

LOGO: SOMA DAS BASES PÚRICAS (A + G = 50%) SOMA DAS BASES PIRIMÍDICAS (T + C = 50%) A+G/T+C=1

No núcleo da célula eucarionte,

as moléculas de DNA estão compactadas graças a presença de proteínas globulares chamadas de histonas.

Na molécula de DNA, o pareamento entre as bases nitrogenadas ocorre por ligações de hidrogênio.

Ácido Ribonucleico (RNA) Molécula em forma de fita simples, o RNA também é formado por uma sequência de nucleotídeos, com pentose do tipo ribose e bases nitrogenadas do tipo Adenina, Guanina, Citosina e Uracila (esta última, ausente no DNA). Uma molécula de RNA é sintetizada a partir de uma fita molde de DNA, processo chamado de transcrição e que será detalhado no capítulo seguinte. Principais tipos de moléculas de RNA: - RNA mensageiro (mRNA): responsável por determinar a sequência de aminoácidos na formação da proteína, pois apresenta as informações contidas no DNA. - RNA transportador (tRNA): responsáveis por capturar e levar os aminoácidos até os ribossomos, local da síntese proteica. - RNA ribossômico (rRNA): proveniente do nucleolo, é responsável pela formação da organela chamada ribossomo (função estrutural).

Ao observar as extremidades livres de uma cadeia de nucleotídeos, é perceptível que, de um lado, há o grupo fosfato ligado ao carbono 5' e, de outro, um grupo hidroxila ligado ao carbono 3'. Desse modo, ocorrem duas extremidades em cada cadeia: a extremidade 5' e a extremidade 3'. As cadeias principais apresentam as direções 5’ → 3’ opostas, ou seja, uma cadeia está no sentido 5' → 3’, e a outra, no sentido 3' → 5’. Em razão dessa característica, conclui-se que as fitas são antiparalelas.

Ribozima é uma molécula de RNA com função catalítica (como uma enzima), inclusive em processos de splicing (remoção de determinadas sequências de mRNA), processo que será estudado no capítulo seguinte. Por atuarem sozinhas, a hipótese que estas tenham sido as primeiras moléculas autoreplicadoras no planeta é cada vez mais aceita por muitos pesquisadores.

Estrutura da molécula de RNA e detalhamento de suas bases nitrogenadas.

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Visão geral do processo de síntese proteica, com a participação dos três tipos de RNA.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UEL) Células epiteliais de cobaia, em diferentes fases do ciclo celular, foram expos-

tas durante alguns minutos à timidina radioativa (nucleotídeo de timina). A sua posterior observação para avaliar a incorporação do nucleotídeo, feita pela técnica de autorradiografia (impressão em película fotográfica), mostrou que o padrão de radioatividade permaneceu difuso em todos os estágios do ciclo celular, exceto nas células que se encontravam no período S. Nestas, a radioatividade concentrou-se no núcleo. A figura, a seguir, representa esquematicamente os resultados obtidos na experiência:

com timidina radioativa

C

com timidina radioativa

D com timidina radioativa

M G1

G2

A

S com timidina radioativa

. Timidina radioativa

B

Com base na figura, se na experiência apresentada fosse utilizado nucleotídeo de adenina radioativa em vez de timidina radioativa, os resultados não seriam conclusivos porque o nucleotídeo de: (A) timina é comum ao DNA e RNA. (B) adenina existe apenas no DNA. (C) adenina existe apenas no RNA. (D) adenina é comum ao DNA e RNA. (E) timina é complementar de uracila. Gabarito: D Nos nucleotídeos que formam o DNA, as bases nitrogenadas que podem ser encontradas são: Adenina, Timina, Guanina e Citosina, enquanto no RNA são encontradas: Adenina, Guanina, Uracila e Citosina. 32

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2 (UFRGS) Os quatro tipos de macromoléculas biológicas estão presentes, aproximadamente, nas mesmas proporções, em todos os organismos vivos.

Sobre essas macromoléculas, assinale a alternativa correta. (A) As vitaminas são triglicerídeos sintetizados no fígado e podem funcionar como coenzimas. (B) Os polissacarídeos, como a frutose e o glicogênio, são respectivamente compostos armazenadores de energia em plantas e animais. (C) As proteínas têm, entre as suas funções, o suporte estrutural, a catálise e a defesa dos organismos. (D) Os ácidos nucleicos são polímeros de nucleotídeos, caracterizados pela presença de hexoses. (E) Os carboidratos, assim como os ácidos nucleicos, podem funcionar como material hereditário. Gabarito: C Glicerídeos são lipídios, enquanto a frutose é um carboidrato do tipo monossacarídeo. Nos ácidos nucleicos (material hereditário) são encontradas pentoses e não hexoses. Como proteínas estruturais, podemos citar a queratina e colágeno, enquanto as catalisadoras são denominadas enzimas e as de defesa são chamadas de anticorpos (imunoglobulinas).

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFPR) Um experimento foi realizado para demonstrar a atividade da enzima catalase, também conhecida como peroxidase: em um recipiente foi colocado um pedaço de fígado bovino fresco (condição A), enquanto que em outro foi colocado um pedaço de fígado bovino cozido (condição B). A seguir, peróxido de hidrogênio (água oxigenada) foi adicionado a cada um dos recipientes. Na condição A, muitas bolhas foram observadas saindo do pedaço de fígado; na condição B não foi observada a formação de bolhas. A partir dessas informações, assinale a alternativa correta. (A) A catalase está ativa na condição A, promovendo a formação de gás oxigênio pela quebra do peróxido de hidrogênio. (B) As bolhas que apareceram na condição A são conseqüência da formação de vitamina C, pela reação conhecida como peroxidação hepática. (C) A catalase aumentou a energia de ativação da reação do peróxido de hidrogênio, produzindo calor e conseqüentemente as bolhas no fígado fresco. (D) As bolhas formadas na condição A são de gás hidrogênio, produzido pelo contato do peróxido de hidrogênio com o ar. (E) A água oxigenada foi convertida em gases na condição A e convertida em água pura na condição B. 02. (UNIOESTE) Em uma das fitas de DNA de uma espécie de vírus encontram-se 90 Adeninas e 130 Citosinas. Sabendo-se ainda que nesta fita ocorre um total de 200 bases púricas e 200 bases pirimídicas, assinale a alternativa correta. (A) Na dupla fita de DNA ocorrem 180 Adeninas. (B) Na dupla fita de DNA ocorrem 140 Guaninas. (C) Na fita complementar ocorrem 300 bases púricas e 100 bases pirimídicas. (D) Na fita complementar ocorrem 70 Adeninas e 110 Citosinas. (E) Não é possível determinar a composição de bases nitrogenadas da fita complementar . 03. (UCS) Acredita-se que 75% das mortes no mundo são causadas por doenças crônicas, como diabetes, câncer e complicações cardíacas (Diet, nutrition and the prevention of cronic diseases). A comida, sobretudo a industrializada, tem sido apontada como a principal causa dessas enfermidades. A molécula de colesterol, considerada prejudicial em grandes quantidades, e as moléculas constituintes dos lipídios considerados “bons” para a saúde, são, respectivamente: (A) colesterol HDL; ácidos graxos insaturados. (B) colesterol HDL; ácidos graxos saturados. (C) colesterol HDL; ácidos graxos poli-insaturados. (D) colesterol LDL; ácidos graxos saturados. (E) colesterol LDL; ácidos graxos linoleico e oleico. 34

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04. (UFT) O termo vitamina é empregado para substâncias orgânicas necessárias em pequenas quantidades, desempenhando importante função biológica. Abaixo temos exemplos de vitaminas, principais funções e sintomas de deficiência. Principais funções Mantém a integridade da pele e de epitélios

Sintomas de Deficiência Cegueira noturna, pele escamosa e seca

C-Ácido ascórbico

II

Escorbuto

D-Calciferol

Absorção de cálcio e fósforo

III

E-Tocoferol

IV

Anemia e esterilidade

Vitamina I

Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA para I, II, III e IV. (A) A - retinol; Síntese de queratina; Raquitismo; Próoxidante. (B) B 8 – Biotina; Síntese de colágeno e antioxidante; Raquitismo; Pró-oxidante. (C) A - retinol; Síntese de colágeno e antioxidante; Raquitismo; Antioxidante. (D) A – retinol; Síntese de queratina e antioxidante; Raquitismo; Antioxidante. (E) B 8 – Biotina; Síntese de colágeno e antioxidante; Cegueira noturna; Antioxidante.

O CÓDIGO GENÉTICO E A SÍNTESE PROTEICA Introdução Conforme estudado no final do capítulo anterior, os Ácidos Nucleicos são polímeros essenciais para a caracterização dos padrões genéticos dos seres vivos. Entretanto, a expressão da informação genética ocorre a através da produção de proteínas, a partir da coordenação das moléculas de DNA e RNA. O Dogma Central da Biologia explica como ocorre a transferência da informação genética do DNA para o RNA e deste, para as proteínas.

Capítulo 3

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Replicação do DNA 2. Transcrição 3. Código genético 4. Tradução

Segundo o dogma, a molécula de DNA, além da capacidade de replicação, transfere-se informações genéticas para o RNA, em um processo denominado transcrição, que, por sua vez, por meio da tradução, irá sintetizar uma proteína. A molécula de RNA também apresenta a capacidade de replicação, o que é observado em vírus de RNA (Ribovírus), enquanto os retrovírus, como o HIV, produzem DNA a partir do RNA, processo denominado transcrição reversa ou retrotranscrição. Os eventos de replicação, transcrição e tradução ocorrem ao longo do ciclo celular, em etapas específicas que serão detalhadas na frente B do livro.

A molécula de DNA é capaz de sintetizar cópias de si mesma, além de moléculas de RNA.

1.

REPLICAÇÃO DO DNA

A replicação ou duplicação do DNA garante que novas moléculas sejam formadas, e assim, as células sejam capazes de se duplicar, garantindo a manutenção do organismo; além de garantir a formação de células reprodutoras, como gametas e esporos. Nas células procariontes, esse evento ocorre no citosol, enquanto nas células eucariontes, o DNA nuclear irá duplicar dentro do núcleo. O processo ocorre durante o período de interfase do ciclo celular, mais precisamente na etapa S (Synthesis), onde basicamente uma molécula de DNA, ao separar suas fitas, dará origem a duas moléculas com a mesma sequência de bases nitrogenadas (se não houver mutações gênicas). Como cada fita de DNA servirá como referência para a Fleming 2023

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formação de uma nova molécula completa, é utilizado o termo Replicação Semiconservativa, onde em cada molécula, uma fita será nova e outra originaria da molécula mãe, conforme imagem abaixo:

Na replicação semiconservativa, cada fita da molécula original servirá como referência para a formação de um nova fita (em azul).

O processo de replicação é complexo e envolve uma séries de enzimas e outras moléculas orgânicas, podendo ser dividido em três etapas: iniciação, alongamento e terminação.

Iniciação Existem múltiplas origens de replicação no cromossomo eucariótico, de modo que a replicação pode ocorrer simultaneamente a partir de vários locais no genoma. A formação de várias bolhas de replicação evita que, em caso de erro em um trecho do DNA, toda a molécula seja comprometida. Já nos procariontes, ocorre apenas uma bolha de replicação.

Etapa que assegura que o DNA seja replicado somente uma vez por ciclo celular e uma proteína iniciadora exponha a molécula de DNA às enzimas que serão responsáveis pela deselicoidização da fita dupla. A enzima DNA girase (topoisomerase) desfaz o padrão helicoidal do DNA na região denominada forquilha de replicação, onde em seguida, a enzima Helicase irá romper as ligações de hidrogênio entre as bases nitrogenadas.

Em uma molécula de DNA eucarionte, durante o processo de replicação, são observadas diversas bolhas de replicação.

A enzima topoisomerase desfaz o padrão helicoidal da molécula de DNA, enquanto a helicase rompe as ligações de hidrogênio entre as bases nitrogenadas das duas fitas complementares.

Alongamento Nesta etapa, a enzima DNA primase permite que um curto segmento de RNA, chamado de primer, oriente outra enzima, a DNA polimerase III, a adicionar novos nucleotídeos. Este primer será removido mais tarde e seus nucleotídeos de RNA serão substituídos por nucleotídeos de DNA. Uma cadeia, que é complementar à cadeia de DNA parental, é sintetizada continuamente na direção da forquilha de replicação, de modo que a DNA polimerase possa adicionar nucleotídeos nessa direção. Esta fita continuamente sintetizada é conhecida como fita líder, isso porque a DNA polimerase só pode sintetizar DNA na direção de 5’ para 3’. Assim, a outra nova fita é montada em pequenas sequências, chamada de Frag36

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mentos de Okazaki, onde cada fragmento requer um primer para iniciar a síntese. Esta fita é denominada de fita atrasada. À medida que a síntese prossegue, uma enzima remove o primer RNA, que é então substituído por nucleotídeos de DNA e os intervalos entre os fragmentos são selados por uma enzima chamada DNA ligase.

Replicação do DNA: após a helicase separar as duas fitas, a DNA polimerase III irá adicionar nucleotídeos de forma contínua na fita líder e em fragmentos (fragmentos de Okazaki) na fita atrasada.

Terminação

Tipos de DNA polimerase: Tradicionalmente, três tipos de polimerases são identificados em procariontes: I, II e III. Nos eucariotos, são reconhecidos cinco tipos: α, β, γ, δ e ε. Além de inserir nucleotídeos nas novas fitas, elas atuam também no reparo do DNA.

A fita molde 3’→5’ é complementada de forma contínua pela ação das DNA polimerases, originando a fita líder. Já a fita molde 5’→3’ é complementada de forma descontínua, originando a fita tardia (ou retardada) pela formação de Fragmentos de Okazaki.

Ocorre pelo encontro de duas bolhas de replicação ou pela ação de sequências específicas no DNA, bloqueando a forquilha de replicação. 2.

TRANSCRIÇÃO

Durante a etapa G1 (GAP 1) do ciclo celular, que antecede a etapa S onde ocorrerá a replicação, o DNA produz as moléculas de RNA, sendo que a do tipo mRNA (RNA mensageiro) será responsável pela tradução (síntese proteica), que também ocorre na mesma etapa do ciclo celular. A transcrição ocorre no citosol das células procariontes, enquanto nos eucariontes ocorre ainda no núcleo e diversas enzimas, denominadas de fatores de transcrição, serão necessárias, como RNA polimerase. Antes que a transcrição possa ocorrer, a dupla hélice de DNA deve se desenrolar próximo ao gene que está sendo transcrito, região chamada de bolha de transcrição. A transcrição usa uma das duas fitas de DNA expostas como molde, a chamada fita molde. O produto de RNA é complementar à fita molde e é quase idêntico à outra fita de DNA, chamada de fita não molde. No entanto, existe uma diferença importante: no RNA recém-formado todos os nucleotídeos com base nitrogenada do tipo Timina (T) são substituídos por nucleotídeos do tipo Uracila (U). A RNA polimerase sempre forma uma nova fita de RNA (fase de alongamento) na direção 5' para 3', pois ela só é capaz de adicionar nucleotídeos de RNA (A, U, C ou G) à extremidade 3' da cadeia.

Na formação de uma molécula de RNA, a Uracila é a base complementar quando a base de DNA for Adenina (A = U), enquanto a Guanina continua tendo a Citosina como base complementar (G = C).

Para iniciar a transcrição de um gene, a RNA polimerase liga-se ao DNA do gene numa região denominada promotor, que sinaliza à RNA polimerase onde iniciar a transcrição. Cada gene (fragmento de DNA) tem seu próprio promotor. Um promotor contém sequências de DNA que deixam a RNA polimerase ou as suas proteínas auxiliares se ligarem ao DNA. Uma vez formada a bolha de transcrição, a polimerase pode iniciar a transcrição.

Com a ação da RNA polimerase, uma fita de RNA será sintetizada a partir de uma fita de DNA, chamada fita molde. Fleming 2023

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Observe um exemplo de transcrição: DNA Fita complementar: 5’ ATG CCA GAA TAT GGC 3’ DNA Fita molde: 3’ TAC GGT CTT ATA CCG 5’ RNAm: 5’ AUG CCA GAA UAU GGC 3’

ÉXON = expressed region, ou seja, região que se expressa sob a forma de proteína. ÍNTRON = intragenic region, região “entre os genes”, não codificante. Lembre-se de que os trechos de DNA do tipo íntrons são os “intrometidos” e que devem deixar a sequência final do RNA mensageiro.

Nos eucariontes, o processo de transcrição produz uma sequência de RNA denominada transcrito primário (Pré mRNA), que contém sequências intercaladas que não serão traduzidas (não formarão proteínas), chamadas íntrons (antigamente chamadas de DNA-lixo), que interrompem os éxons, as sequências que serão traduzidas. Os segmentos de éxons serão unidos para formar a moléculas de RNAm final. A remoção de íntrons e a formação da molécula final de RNAm pela união dos éxons é chamada de splicing do RNA (na espécie humana, estima-se que a quantidade de RNA descartado varia de 50% a 90% do transcrito primário). Mais de 100 proteínas distintas e algumas moléculas de RNA, formam um complexo conhecido como spliceossomo, que interage com sequências de nucleotídeos específicas que delimitam as fronteiras éxons-íntrons, também chamadas sítios de splicing.

O splicing alternativo é o processo pelo qual, durante a expressão gênica, éxons de um transcrito primário são clivados em locais diferentes na molécula de RNA recém sintetizada, possibilitando diversas combinações de sequências de nucleotídeos e assim, possibilitando a formação de diversas proteínas com a mesma sequência

de DNA. Diferentes combinações de sequências nucleotídicas permitem a formação de diferentes tipos de proteínas.

Ainda no núcleo das células eucariontes, o splicing retira os segmentos de íntrons do mRNA.

3.

CÓDIGO GENÉTICO

As informações genéticas de cada indivíduo estão contidas em sequências de bases nitrogenadas da molécula de DNA (Adenina, Timina, Guanina e Citosina). A cada trinca de bases (triplets), serão formados códons (trincas do mRNA), que, por sua vez, serão reconhecidos pelos anticódons (trincas de tRNA). Como na molécula de mRNA são encontrados quatro tipos de bases nitrogenadas (A, U, G e C), e cada códon é uma trinca dessas bases, existem 64 combinações (códons) possíveis (4 bases reunidas em trios = 43 = 64). Desses, 3 códons determinam o final da tradução (códons de terminação) e, portanto, 61 códons codificarão os 20 aminoácidos.

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(Gln)

GAU GAC GAA GAG

Tabela de códons: 61 códons codificam 20 aminoácidos, enquanto UAA, UAG e UGA representam os códons de terminação.

Toda proteína inicia com o aminoá-

-cido Metionina (Met), pois o códon AUG é o de início, orientando o ribossomo onde deve iniciar o processo de tradução.

A leitura da molécula de mRNA ocorre no sentindo 5’ para 3’, sendo que a primeira base nitrogenada do códon está em 5’ (primeira coluna da tabela), a segunda está na linha superior e a última na coluna da direita (3’). Ao analisar a tabela, é possível concluir que um códon sempre codifica o mesmo aminoácido (código genético não-ambíguo), mas um aminoácido pode ser codificado por mais de um códon (código genético degenerado). Como todos os seres vivos fazem uso dos mesmos códons, pode-se dizer que o código genético é universal. Exemplo de aplicação do código genético: Triplets (trincas de DNA): TAC GGC GGA TTA ACT Códons (trincas de mRNA): AUG CCG CCU AAU UGA Aminoácidos: MET - PRO - PRO - ASN - STOP (start) No exemplo acima, a sequência peptídica inicia com Metionina e possui um códon de terminação, o que representa um tetrapeptídeo, por apresentar quatro aminoácidos. 4.

TRADUÇÃO

A expressão da informação genética ocorre através da síntese de proteínas, processo denominado tradução, coordenado pelo RNA mensageiro, que apresenta as informações contidas na molécula de DNA que a originou, conforme estudado no item anterior (transcrição). A produção de proteínas também ocorre na etapa G1 do ciclo celular, logo após a transcrição, e necessita de um aparato citoplasmático complexo, incluindo ribossomos, onde ocorrem as ligações peptídicas entre os aminoácidos; moléculas de RNA transportador, responsáveis pela captura dos aminoácidos; e a molécula de RNA mensageiro, que determinará a sequência e o número de aminoácidos. A seguir, uma visão geral do processo de tradução, que ocorre no citoplasma de todas as células:

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Na tradução, a molécula de mRNA determinará a sequência de aminoácidos, capturados pelo tRNA.

O processo de tradução pode ser dividido em três etapas: iniciação, alongamento e terminação (término).

Iniciação Ocorre no ribossomo, quando as duas subunidades (menor e maior) se ligam em torno de uma molécula de mRNA. O RNA transportador inicial deve transportar o aminoácido metionina, codificado pelo códon AUG, que é o sinal para o início da síntese da cadeia polipeptídica. Esse conjunto ribossomo-tRNA-mRNA-metionina é conhecido como o complexo de iniciação e é necessário para que a tradução ocorra.

Alongamento É a etapa da tradução onde aminoácidos são adicionados à cadeia polipeptídica, sendo que cada molécula de tRNA adiciona um aminoácido. Assim, para sintetizar uma proteína, basta uma única molécula de RNA mensageiro, mas são necessárias várias moléculas de RNA transportador, pois a cada códon do mRNA haverá um anticódon de uma molécula de tRNA. No sítio A do ribossomo, um anticódon emparelha com um códon enquanto no sítio P ocorre o rompimento da ligação de alta energia entre o aminoácido e o RNA transportador. O aminoácido do tRNA que está no sítio P é então ligado ao aminoácido que está no sítio A, acompanhado pelo deslocamento da subunidade menor do ribossomo. Esse deslocamento reposiciona os tRNAs que estão nos sítios P e A para os sítios E e P, respectivamente. O tRNA que está no sítio E se dissocia do ribossomo.

Ao longo da subunidade maior do ribossomo, aminoácidos são adicionados, aumentando o tamanho ada cadeia polipeptídica.

Terminação Ocorre quando um códon de terminação (UAG, UAA ou UGA) aparece no mRNA, promovendo a liberação da proteína formada e o desligamento do ribossomo na molécula de mRNA. 40

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Em procariontes, devido à simplicidade celular e ausência de carioteca, os eventos de transcrição e tradução ocorrem simultaneamente, característica vantajosa para a rápida produção de proteínas de interesse na biotecnologia.

Visão geral da tradução: cada molécula de tRNA leva ao ribossomo um aminoácido, que estabelecerá uma ligação peptídica com os demais aminoácidos, para a formação de uma cadeia polipeptídica.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (ENEM) Nos dias de hoje, podemos dizer que praticamente todos os seres humanos já ouviram em algum momento falar sobre o DNA e seu papel na hereditariedade da maioria dos organismos. Porém, foi apenas em 1952, um ano antes da descrição do modelo do DNA em dupla hélice por Watson e Crick, que foi confirmado sem sombra de dúvidas que o DNA é material genético. No artigo em que Watson e Crick descreveram a molécula de DNA, eles sugeriram um modelo de como essa molécula deveria se replicar. Em 1958, Meselson e Stahl realizaram experimentos utilizando isótopos pesados de nitrogênio que foram incorporados às bases nitrogenadas para avaliar como se daria a replicação da molécula. A partir dos resultados, confirmaram o modelo sugerido por Watson e Crick, que tinha como premissa básica o rompimento das pontes de hidrogênio entre as bases nitrogenadas. GRIFFITHS, A. J. F. et al Introdução à Genética Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2002.

Considerando a estrutura da molécula de DNA e a posição das pontes de hidrogênio na mesma, os experimentos realizados por Meselson e Stahl a respeito da replicação dessa molécula levaram à conclusão de que: (A) a replicação do DNA é conservativa, isto é, a fita dupla filha é recém-sintetizada e o filamento parental é conservado. (B) a replicação de DNA é dispersiva, isto é, as fitas filhas contêm DNA recém-sintetizado e parentais em cada uma das fitas. (C) a replicação é semiconservativa, isto é, as fitas filhas consistem de uma fita parental e um recém-sintetizada. (D) a replicação do DNA é conservativa, isto é, as fitas filhas consistem de moléculas de DNA parental. (E) a replicação é semiconservativa, isto é, as fitas filhas consistem de uma fita molde e uma fita codificadora. Gabarito: C Durante a fase S do ciclo celular, a enzima helicase separa as duas fitas da molécula original de DNA. Para que duas novas moléculas sejam formadas (o que caracteriza a replicação), em cada fita original se observa o pareamento de novos nucleotídeos, o que caracteriza a replicação semiconservativa. Fleming 2023

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (PUCRS) Uma linhagem de bactérias foi suprida com uma solução rica em adenina marcada com fósforo radioativo. Após, as mesmas bactérias foram mantidas em meio de cultura e em temperatura adequados para que se multiplicassem. No dia seguinte, uma análise das bactérias detectou a presença de grandes quantidades de adenina radioativa em (A) carboidratos. (B) proteínas. (C) lipídeos. (D) ácidos nucleicos. (E) ácidos graxos. 02. (UEL) Em 1953, James Watson e Francis Crick elucidaram a estrutura tridimensional da dupla hélice de DNA e postularam que o pareamento específico de bases nitrogenadas sugere um possível mecanismo de cópia para o material genético. Baseado neste postulado, o processo de duplicação do DNA é considerado como sendo semiconservativo porque: (A) A dupla-hélice original permanece intacta e uma nova dupla-hélice é formada. (B) Os dois filamentos da dupla-hélice original se separam e cada um serve como molde para uma nova fita. (C) Ambos os filamentos da dupla-hélice original se fragmentam e servem como moldes para síntese de novos fragmentos. (D) Um dos filamentos da dupla-hélice original serve de cópia para as duas fitas de DNA. (E) Os filamentos da dupla-hélice original permutam as suas fitas para servirem de cópias de DNA. 03. (UEL) Em uma população, foi identificado um indivíduo que possui resistência genética a um vírus que provoca uma importante doença. Em um estudo comparativo, verificouse que esse indivíduo produz uma proteína que confere tal resistência, com a seguinte sequência de aminoácidos: serina-tirosina-cisteína-valina-arginina. A partir da tabela de código genético, a seguir: AGU - serina UAC - tirosina UGC - cisteína GUA - valina AGG - arginina

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AGC - serina UAU - tirosina UGU - cisteína GUU - valina CGA - arginina

e considerando que o RNA mensageiro deste gene contém: 46,7% de uracila; 33,3% de guanina; 20% de adenina e 0% de citosina, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de bases da fita-molde deste gene. (A) TCA - ATA - ACA - CAA - TCC (B) TCA - ATA - ACG - CAT - TCC (C) TCA - ATG - ACA - CAT - TGG (D) AGU - UAU - UGU - GUU - AGG (E) AGC - UAC - UGC -CAA- CGA 04. (UFT) A figura a seguir representa uma dupla fita de DNA, com as seguintes características definidas: polaridades (5’ e 3’), ponto origem de replicação (Ori), direções de abertura das fitas e de síntese das novas cadeias de DNA (setas). Os fragmentos designados por A, B, C e D são as fitas moldes para o processo replicativo. Ori 3’ 5’

A

C

B

D

5’ 3’

Com relação à replicação contínua e descontínua, marque a alternativa CORRETA: (A) A replicação será contínua para os fragmentos A e C e descontínua para os fragmentos B e D. (B) A replicação será contínua para os fragmentos A e B e descontínua para os fragmentos C e D. (C) A replicação será contínua para os fragmentos B e D e descontínua para os fragmentos A e C. (D) A replicação será contínua para os fragmentos B e C e descontínua para os fragmentos A e D. (E) A replicação será contínua para os fragmentos A e D e descontínua para os fragmentos B e C.

ORIGEM DA VIDA

Introdução Certamente um dos assuntos mais polêmicos e que chama a atenção na área da ciência é a origem dos seres vivos. Desde a antiguidade, inúmeras hipóteses foram elaboradas para tentar explicar como surgiram os primeiros seres e/ou grupos específicos, como vegetais e animais. A dedicação de muitos estudiosos, aliada à descoberta de novas rochas e fósseis, além do desenvolvimento da tecnologia, permitem novas inferências sobre a evolução geológica e biológica do planeta, eliminando hipóteses antigas e corroborando outras. Através de estudos de rochas, estima-se que o planeta Terra apresente uma idade de 4,6 bilhões de anos, formado a partir de rochas, poeiras e gases que surgiram da união de átomos provenientes do Big Bang. Em relação a esta hipótese, considera-se que há cerca de 13,5 bilhões de anos atrás todos os componentes do universo estariam aglomerados em um único ponto extremamente denso e quente. Segundo a paleontologia, fósseis microscópicos de bactérias e cianobactérias datando de 3,8 bilhões de anos são as evidências de vida mais remota na Terra. Portanto cerca de 1 bilhão de anos após a formação da Terra, a evolução molecular já havido dado origem à vida. Desde então, as formas de vida sofreram inúmeras mutações e a evolução darwiniana selecionou as formas de vida mais adaptadas às condições climáticas da Terra.

1.

Capítulo 4

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Hipóteses para a origem da vida 2. Primeiras formas de nutrição dos seres vivos 3. Primeiras moléculas com capacidade de replicação 4. Origem da célula eucarionte

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 - Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.

HIPÓTESES PARA A ORIGEM DA VIDA

Geração espontânea Conhecida antigamente também pelo termo “Abiogênese” (não confundir com a abiogênese que se refere atualmente às hipóteses de origem dos seres na Terra a partir de origem química), esta hipótese, já não mais aceita pela ciência, teve como defensores importantes estudiosos, como Aristóteles, Lamarck e Needham. Segundo essa hipótese, as espécies surgem por geração espontânea, ou seja, os organismos podem surgir a partir de uma massa inerte, uma matéria bruta, graças a presença de um princípio ativo (por exemplo, o nascimento de um rato a partir da combinação de uma camisa suja e de um pouco de milho; lixo e carne em decomposição que eram capazes de originar larvas de moscas; pedras em lugares úmidos originavam anfíbios). Needham realizou em 1745, um experimento cujo resultados supostamente ajudaram na comprovação da geração espontânea, colocando caldos nutritivos em frascos, aquecendo-os e fechando-os. Ao aquecer, as formas de vida presentes no caldo deveriam morrer, mas o observado foi a presença de microrganismos, fato explicado por que somente o aquecimento não foi suficiente para matá-los e, como na época não se sabia disso, a geração espontânea foi erroneamente confirmada como a teoria que explicava a origem da vida.

Uma hipótese não é necessariamente verdadeira, pois trata-se de especulações, que, no método científico, precede a fase dos testes. Caso a hipótese seja comprovada a partir destes testes (experimentos), será corroborada e aceita pela comunidade científica. Já uma teoria é comprovada, pois surgem de hipóteses exaustivamente testadas.

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O aquecimento do caldo nutritivo foi insuficiente para eliminar os microrganismos, o que justifica a presença de vida ao final do experimento de Needham.

Biogênese O italiano Francesco Redi, em 1668, deu início ao combate à teoria da Abiogênese, colocando pedaços de peixe em vidros abertos, notando que, depois de poucos dias, esses pedaços se cobriam com grande quantidade de larvas de insetos, que se tornavam moscas adultas. Em frascos mantidos fechados, as larvas não apareciam. Os partidários da Abiogênese argumentaram que os frascos fechados não permitiam a entrada de ar e, por conseguinte, do princípio ativo. Redi então passou a cobrir os vidros com gaze perfurada e mesmo assim, não verificou o aparecimento de larvas, ou seja, seres vivos só deveriam aparecer a partir de um ser vivo pré-existente. Essa ideia é o fundamento da teoria da Biogênese, que começou a se opor à Abiogênese, considerando que um ser vivo só pode ser proveniente de um ser já existente. Esta teoria foi trabalhada de forma controlada, com muita observação e uso do método científico. Em 1770, Lazzaro Spallanzani afirmou que Needham não aqueceu o caldo nutritivo por tempo suficiente para destruir os microrganismos. Para comprovar sua hipótese, Spallanzani realizou o mesmo experimento de Needham, porém, aquecendo o caldo por mais tempo e assim, não foram encontrados microrganismos.

No experimento de Spallanzani, o aquecimento e o frasco isolado do meio externo evitaram a contaminação do caldo.

Em 1862, Louis Pasteur preparou quatro frascos de vidro com caldos ricos em substâncias orgânicas e moldou seus gargalos no fogo, esticando-os e curvando-os 44

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na forma do pescoço de um cisne. Em seguida, ferveu o caldo dos frascos até sair vapor pelas extremidades dos gargalos e deixou que os frascos esfriassem lentamente. Assim, as partículas em suspensão no ar ficaram retidas nas paredes do gargalo longo e curvo, agindo como um filtro. Em nenhum dos quatro frascos com pescoço de cisne foram encontrados microrganismos, apesar de o caldo estar em contato direto com o ar. A explicação é que os microrganismos, presentes no ar, retidos nas curvas do gargalo, não atingiam o líquido do frasco. Pasteur quebrou os gargalos de alguns frascos e verificou que, em poucos dias, seus conteúdos tornavam-se repletos de microrganismos, derrubando definitivamente a hipótese da abiogênese, afinal, os microrganismos presentes no caldo eram provenientes do ar (vida origina vida!).

A pasteurização é um processo

No experimento de Pasteur, as gotículas de água no gargalo atuaram como um filtro, impedindo a contaminação do caldo estéril.

térmico, no qual o líquido é submetido a um aquecimento de 60ºC e depois é resfriado, eliminando microrganismos e dando mais estabilidade de conservação ao produto. Graças a esse processo, é assegurada uma data de validade ao produto após a fabricação, sendo muito utilizado na indústria de alimentos e bebidas.

Com a hipótese da biogênese corroborada através do experimento de Pasteur, era necessário responder a mais uma pergunta: se a vida surge de uma vida já existente, de onde surgiu a primeira forma de vida? Para essa pergunta, são tradicionalmente consideradas três hipóteses: o criacionismo, a panspermia e a hipótese da evolução química.

Criacionismo Hipótese que considera que o mundo foi criado por um deus, um ser divino, a partir do nada (sem matéria pré-existente). Atrelada ao fixismo, considera que os seres vivos não estão sujeitos a modificações, sendo que deus criou todas as espécies. Entretanto, graças aos estudos de genética e evolução, sabe-se que mutações e recombinações gênicas são fontes de variabilidade genética, fundamentais para o processo de especiação, ou seja, o surgimento de novas espécies.

Panspermia Hipótese que considera que a vida foi trazida ao planeta Terra do espaço em corpos celestes que abrigavam formas de vida primárias. O apoio à ideia reside no fato de que já foi encontrada matéria orgânica nesses corpos, como aminoácidos, etanol e ácido láctico, além de que há seres microscópicos conhecidos suficientemente resistentes para, em hipótese, suportar uma viagem espacial até a Terra, mesmo considerado que as condições que esses teriam de enfrentar sejam as mais extremas já cogitadas (hoje no planeta, existem diversas espécies de procariontes chamadas de arqueas extremófilas, ou seja, que habitam ambientes extremos, como desertos de sais e fontes de águas termais). Embora as pesquisas em busca de vestígios de vida em outros planetas continuem, a hipótese da panspermia continua desacreditada pela ciência, visto que a vida é conhecida apenas na Terra, logo, sendo mais provável que os primeiros seres realmente tenham surgido em nosso planeta.

Evolução química Proposta por Thomas Huxley, em 1869, admite que a vida é resultado de um processo de evolução química em que compostos inorgânicos se combinaram, Fleming 2023

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Os coacervados não são conside-

rados seres vivos, mas sim formas pré-bióticas de vida, servindo como base para a formação das primeiras formas de vida, as células procariontes.

originando moléculas orgânicas simples, como aminoácidos, carboidratos e bases nitrogenadas. Estas por sua vez seriam responsáveis por formar polímeros, como as proteínas e os ácidos nucleicos. Em 1924, a hipótese criada por Oparin e Haldane, considera que as origens da vida na Terra foram o resultado de um processo lento e gradual de evolução química, que ocorreu cerca de 3,8 bilhões de anos atrás. Segundo a hipótese, as condições da Terra primitiva eram bem distintas das existentes atualmente, como elevadas temperaturas (devido à ausência de uma camada de ozônio), um ciclo constante de água (evaporação e precipitação) e intensas descargas elétricas, provocadas por tempestades. Assim, os cientistas propuserem que a atmosfera primitiva era constituída por grandes quantidades de gás hidrogênio, metano, amônia e vapor d'água, gases simples, mas que continham os ingredientes básicos para formar a vida. O vapor d’água teria deixado o interior da Terra graças à enorme atividade de vulcões, acumulando-se nas regiões mais elevadas e frias do espaço, onde condensava-se em nuvens e em seguida precipitava, acompanhado por tempestades violentas e descargas elétricas contínuas. Formava-se assim um ciclo que compreendia a evaporação e a condensação da água e que se vem repetindo até hoje. Acredita-se que na Terra de pouco mais de 500 milhões de anos de idade, a superfície sofria um resfriamento e, portanto, a água na forma líquida pudesse acumular nas regiões mais baixas da crosta, formando áreas alagadas argilosas (mares primitivos, sopa primordial), onde teriam surgido os primeiros seres vivos. Oparin acreditava que as moléculas orgânicas foram produzidas nesses mares primitivos, a partir de reações ocorridas entre os gases existentes na atmosfera primitiva, provocadas pela energia dos raios ultravioletas do Sol e pelas descargas elétricas dos raios durantes as tempestades, então muito frequentes. Entre as diversas moléculas orgânicas supostamente produzidas a partir de gases primitivos, destacam-se os monossacarídeos e os aminoácidos, que através de ligações peptídicas deram origem a outras substâncias mais complexas, as proteínas (monômeros formando polímeros). Ao longo de milhões de anos, as proteínas e outras moléculas orgânicas foram se acumulando nos mares primitivos e se juntando em minúsculos aglomerados, aos quais Oparin chamou de coacervados, que se isolaram do meio aquoso através de uma membrana chamada de película de solvatação. A hipótese admite também que no interior dos coacervados ocorreram muitas reações entre substâncias que apresentavam átomos de Carbono, Oxigênio, Hidrogênio e Nitrogênio, até que, depois de milhões de anos, surgiram os nucleotídeos, responsáveis pela formação dos ácidos nucleicos, as primeiras moléculas replicadoras. Os ácidos nucleicos organizam o material genético de uma célula e comandam suas atividades, inclusive a reprodução. Assim, com o surgimento dessas moléculas, os coacervados tiveram a capacidade reprodutiva, criando uma condição pré-biótica de vida, seguido do surgimento das primeiras células procariontes.

H2 CH4 NH3 H2O (VAPOR)

Esquema da hipótese da evolução química.

Alguns experimentos têm demonstrado que moléculas orgânicas podem ter se formado a partir de reações entre as moléculas dos gases atmosféricos da Terra primitiva, como o experimento de Miller em 1953, que simulou em laboratório as condições da terra primitiva. Miller e Urey construíram um aparelho para testar esta hipótese, reproduzindo nele as condições primitivas da atmosfera terrestre, isto é, colocando amônia, metano, vapor d'água e hidrogênio em seu interior e submetendo-o não só a temperatura extremamente elevada, como também a descargas elétricas constantes. A mistura evaporava-se em uma parte do aparelho, condensava-se em outra e era reconduzida à anterior, de modo a estar sempre submetida às mesmas condições físicas, o que se verificou durante uma semana. O produto desta experiência revelou, na porção 46

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basal do aparelho (coletor que simulou o mar primitivo), a presença de glicina, alanina e mais nove aminoácidos, quatro dos quais são constituintes das proteínas mais comumente encontradas na matéria viva.

No experimento de Miller e Urey, compostos orgânicos foram produzidos a partir dos gases presentes na atmosfera primitiva.

PRIMEIRAS FORMAS DE NUTRIÇÃO DOS SERES VIVOS 2.

Em relação à estrutura dos primeiros seres vivos, há um consenso na comunidade científica que estes eram unicelulares procariontes (possivelmente descendentes dos coacervados). Estes primeiros seres vivos, obviamente necessitavam de moléculas orgânicas para sintetizar ATP (energia celular). Tradicionalmente, existem duas hipóteses para explicar a nutrição das primeiras formas de vida: a hipótese heterotrófica e a quimiolitoautotrófica. A) Hipótese Heterotrófica: as moléculas orgânicas presentes nas áreas argilosas e mares rasos serviram de fonte para produção de ATP, na ausência de O2. Portanto, segundo esta teoria, as primeiras formas de vida eram fermentadoras, mais precisamente realizando a fermentação alcoólica, que desprende gás carbônico. A fonte de alimento (carboidratos) pode ter se tornado escassa, devido à grande proliferação de formas fermentadoras e algumas linhagens teriam evoluído a ponto de captar energia luminosa do sol e empregá-la para produzir moléculas orgânicas, juntamente com a água e as moléculas de gás carbônico liberadas pela fermentação. Surge assim, a fotossíntese e consequentemente, maior quantidade de O2 liberado na atmosfera (cerca de 2,5 bilhões de anos). Os organismos que sobreviveram à presença do oxigênio na atmosfera, além de desenvolverem sistemas químicos antioxidantes, passaram a aproveitar o poder oxidante do O2 para quebrar as moléculas orgânicas usadas como alimentos. A oxidação controlada das substâncias orgânicas usadas como alimento garantia alta eficiência na obtenção de ATP. Surgia assim a respiração aeróbica (cerca de 2 bilhões de anos).

Nos primórdios da evolução da vida,

um grupo de eubactérias encontrou uma maneira de capturar energia luminosa, através de pigmentos fotossensíveis, e de transformá-la em ATP [...] Puderam, em seguida, utilizar essa energia para quebrar moléculas de dióxido de carbono, água e sais minerais, transformando-as em açúcar. Só havia um problema: essa maravilhosa nova maneira de produzir seu próprio alimento e energia estava também criando poluição. Esse processo dava origem a um resíduo altamente venenoso (O 2). Provavelmente, a maioria das bactérias primitivas tenha sido aniquilada por essa substância, que saturava a atmosfera, o que desencadeou uma grave crise ecológica. Esse evento ficou conhecido como Holocausto do Oxigênio, com uma taxa de extinção estimada em 96%.

Sequência das reações químicas segundo a hipótese heterotrófica.

A formação da camada de ozônio, há 400 milhões de anos, foi crucial para o desenvolvimento da vida na Terra. Situada na estratosfera, entre 20 e 35 quilômetros de altiFleming 2023

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tude, essa camada tem cerca de 15 quilômetros de espessura e funciona como uma espécie de escudo do planeta, impedindo a passagem de parte da radiação ultravioleta emitida pelo Sol. B) Hipótese Autotrófica: seus defensores argumentam que na Terra primitiva não havia moléculas orgânicas em quantidade suficiente para sustentar a multiplicação dos primeiros seres vivos até o aparecimento da fotossíntese. Segundo esta hipótese, os primeiros seres foram quimiolitoautotróficos, ou seja, produziam suas próprias substâncias alimentares a partir da energia liberada por reações químicas entre componentes inorgânicos da crosta terrestre. Uma possibilidade é que eles utilizassem compostos de Ferro e de Enxofre (FeS e H2S). As arqueas, procariontes extremófilos, realmente apresentam este tipo de forma de produção de energia até nos dias de hoje, o que fortalece esta hipótese, em comparação à hipótese heterotrófica. FeS + H2S

FeS2 + H2 + energia

Segundo a hipótese autotrófica, compostos de Ferro e Enxofre foram utilizados para que microrganismos sintetizassem suas próprias moléculas orgânicas.

Depois do surgimento da quimiossíntese, o incremento de moléculas orgânicas nos mares primitivos, permitiu o surgimento dos processos de fermentação alcoólica (surgem os organismos heterotróficos anaeróbios), seguido pela fotossíntese e da respiração celular aeróbia (tal qual a sequência da hipótese heterotrófica).

PRIMEIRAS MOLÉCULAS COM CAPACIDADE DE REPLICAÇÃO 3.

Para que a vida seja capaz de perpetuar, é necessária uma molécula com capacidade de reprodução. Atualmente, o material genético dos seres vivos é a molécula de DNA (fita dupla), entretanto, segundo a hipótese conhecida como “Mundo do RNA”, o Ácido Ribonucleico teria surgido antes. Além de ser uma molécula estruturalmente mais simples (fita simples), o RNA do tipo Ribozima apresenta capacidade catalítica, sendo capaz de se duplicar, sem a necessidade de outras moléculas, ao contrário do DNA, que precisa de uma série de enzimas para fazer cópias de si mesmo. 4.

ORIGEM DA CÉLULA EUCARIONTE

Segundo a hipótese de Robertson, a membrana da célula procarionte que originou a célula eucarionte emitiu internamente prolongamentos ou invaginações da sua superfície, os quais se multiplicaram, adquiriram complexidade crescente, até formar a intrincada malha do retículo endoplasmático e carioteca, além de outros processos de dobramentos, originando outras estruturas intracelulares como o complexo golgiense, vacúolos, lisossomos e outras vesículas que, juntas, são chamadas atualmente de sistema de endomembranas. A estrutura semelhante entre a membrana plasmática e a membrana destas organelas, formadas por uma dupla camada de fosfolipídios e proteínas, fortalecem esta hipótese.

Segundo a hipótese de Robertson, invaginações de membrana formaram, inicialmente, a carioteca e o retículo endoplasmático.

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Segundo a Teoria da Endossimbiose, proposta pela bióloga Lynn Margulis, organismos procariontes aeróbios foram englobados por células anaeróbias, sendo que o primeiro passou a fornecer proteção contra a ação tóxica do gás oxigênio e maior quantidade de ATP (energia celular) para a célula hospedeira, que em troca garantiu proteção à célula aeróbia. Deste organismo procarionte aeróbio surge a organela citoplasmática chamada de mitocôndria. A dupla membrana (a membrana externa seria a preservação da membrana do fagossomo, enquanto a membrana interna seria a preservação da membrana plasmática do próprio organismo aeróbico), a presença de características típicas de procariontes, como o DNA circular sem histonas e ribossomos do tipo 70’s nas mitocôndrias, corroboram esta hipótese. Numa segunda relação de parasitismo que viria a se tornar mutualismo, uma cianobactéria fagocitada por uma célula, acabou por fornecer moléculas orgânicas e gás oxigênio, via fotossíntese, para a sua célula hospedeira, originando os plastos.

Conforme será estudado em bioenergética, processos de geração de energia anaeróbios, como a fermentação, rendem 2 moléculas de ATP por molécula de glicose, enquanto a respiração aeróbia rende 36 ATPs. Assim, o benefício de uma célula hospedar um ser aeróbio é evidente: o saldo energético salta de 2 para 38 ATPs.

Na Teoria da Endossimbiose, mitocôndrias surgem a partir de bactérias aeróbias, enquanto os plastos tem origem de cianobactérias.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (ACAFE) Em janeiro de 2000 recebemos as melhores imagens de Titã, uma das luas de Saturno, por meio do Telescópio Keck. Através delas foi observado que o satélite deve conter, em sua atmosfera, nitrogênio molecular, gás carbônico e metano. Logo, nela encontramos os três elementos químicos fundamentais para a vida (carbono, hidrogênio e nitrogênio).

Esses elementos combinados podem formar moléculas como a adenina. Há, ainda, a desconfiança, por parte dos cientistas, de que Titã tem água líquida em seu subsolo. Apenas uma alternativa está incorreta. Assinale-a. (A) Sendo a adenina uma das bases do DNA, nesse satélite poderiam ocorrer eventos semelhantes aos do surgimento da vida na Terra. (B) Essas informações são de extrema importância para entendermos como a vida pode ter surgido na Terra. (C) A ausência de oxigênio molecular na atmosfera inviabiliza o surgimento da vida em qualquer lugar, uma vez que esse composto é indispensável a todos os seres vivos. (D) Em experimentos realizados por Stanley Miller, com uma atmosfera criada em laboratório, assemelhada a de Titã, foram obtidos aminoácidos, os constituintes básicos das proteínas. (E) Se Titã possuir água líquida em seu subsolo, haverá maior possibilidade de lá existir vida. Gabarito: C Existem formas de vida anaeróbias, ou seja, capazes de viver sem a presença do gás oxigênio. Estes microrganismos podem realizar a respiração celular anaeróbia, ou então fermentações, como a láctica e alcoólica. Fleming 2023

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) Leia a tira abaixo.

Adaptado de: . Acesso em: 17 ago. 2012.

Com base nos dados apresentados na tira acima e em seus conhecimentos sobre a presença de vida na Terra, considere as afirmações abaixo. I. A presença de metano poderia ser indício de vida em Marte, uma vez que algumas espécies procariontes conhecidas produzem metano através da redução de CO2. II. A atmosfera de Marte apresenta os mesmos componentes da atmosfera atual da Terra, mas, em nosso planeta, o oxigênio é o componente predominante. III. A capacidade de quebrar moléculas de água, na Terra, levou à liberação de O2, o que abriu caminho para a evolução das reações de oxidação aeróbicas. Quais estão corretas? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas I e III. (D) Apenas II e III. (E) I, II e III. 02. (ENEM) Em certos locais, larvas de moscas, criadas em arroz cozido, são utilizadas como iscas para pesca. Alguns criadores, no entanto, acreditam que essas larvas surgem espontaneamente do arroz cozido, tal como preconizado pela teoria da geração espontânea. Essa teoria começou a ser refutada pelos cientistas ainda no século XVII, a partir dos estudos de Redi e Pasteur, que mostraram experimentalmente que: (A) Seres vivos podem ser criados em laboratório. (B) A vida se originou no planeta a partir de microrganismos. (C) O ser vivo é oriundo da reprodução de outro ser vivo pré-existente. (D) Seres vermiformes e microorganismos são evolutivamente aparentados. (E) Vermes e microrganismos são gerados pela matéria existente nos cadáveres e nos caldos nutritivos, respectivamente.

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03. (UNICAMP) Na antiguidade, alguns cientistas e pensadores famosos tinham um conceito curioso sobre a origem da vida e em alguns casos existiam até receitas para reproduzir esse processo. Os experimentos de Pasteur foram importantes para a mudança dos conceitos e hipóteses alternativas para o surgimento da vida. Evidências sobre a origem da vida sugerem que (A) a composição química da atmosfera influenciou o surgimento da vida. (B) os coacervados deram origem às moléculas orgânicas. (C) a teoria da abiogênese foi provada pelos experimentos de Pasteur. (D) o vitalismo é uma das bases da biogênese. 04. (UDESC) Uma das hipóteses quanto à origem da vida é a evolução gradual dos sistemas químicos, também conhecida como a hipótese de Oparin e Haldene. Assinale a alternativa incorreta em relação a esta hipótese. (A) Oparin acreditava que as descargas elétricas das tempestades promoveram várias reações químicas nos coacervados, formando os primeiros complexos moleculares inorgânicos nos oceanos primitivos. (B) Época em que havia muitas tempestades com descargas elétricas frequentes, fornecendo energia necessária para que algumas moléculas, presentes na atmosfera, se unissem e formassem as primeiras moléculas orgânicas. (C) Oparin suspeitou que a formação dos complexos moleculares pudesse ter ocorrido nos mares ou oceanos primitivos, dando aos complexos o nome de coacervados. (D) O resfriamento da crosta terrestre ocorreu pela intensa frequência de chuvas, o que permitiu o acúmulo de água, dando origem aos mares primitivos. (E) Além das tempestades intensas, havia grande quantidade de radiações, principalmente de raio ultravioleta, que atingiam a Terra, pois não existia o escudo de ozônio (O3).

EVOLUÇÃO Introdução “Nada em Biologia faz sentido senão sob à luz da evolução”. (Theodosius Dobzhansky, geneticista, 1900-1975). A enorme variedade de espécies de seres vivos que existiram e existem (biodiversidade) é resultado dos processos de transformação e adaptação inerentes à própria vida. Ideias evolucionistas são antigas e já estavam presentes em escritos de filósofos da Grécia pré-socrática, mas foi no final do século XVIII e início do século XIX que alguns naturalistas passaram a adotar ideias evolucionistas para explicar a biodiversidade. 1.

EVIDÊNCIAS DA EVOLUÇÃO

Órgãos vestigiais São aqueles que, em alguns organismos, encontram-se com tamanho reduzido e geralmente sem função, mas em outros organismos são maiores e exercem função definitiva. A importância evolutiva desses órgãos vestigiais é a indicação de uma ancestralidade comum. Um exemplo bem conhecido de órgão vestigial no homem é o apêndice vermiforme, estrutura pequena e sem função que parte do ceco (estrutura localizada no ponto onde o intestino delgado liga-se ao grosso). Nos mamíferos roedores, o ceco é uma estrutura bem desenvolvida, na qual o alimento parcialmente digerido é armazenado e a celulose, abundante nos vegetais ingeridos, é degradada pela ação de microrganismos produtores da enzima celulase. Em alguns desses animais o ceco é uma bolsa contínua e em outros, como o coelho, apresenta extremidade final mais estreita, denominada apêndice que corresponde ao apêndice vermiforme humano.

Em humanos, o apêndice vermiforme não desempenha mais sua função original: a digestão da celulose.

Capítulo 5

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Evidências da evolução 2. Hipóteses e teorias evolutivas 3. Tipos de seleção 4. Importantes fatores de seleção natural 5. Genética de populações 6. Especiação 7. Evolução humana

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 – Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de carac-

terísticas dos seres vivos.

H14 – Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros. H15 – Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos. H16 – Compreender o papel da evolução na produção de padrões,

processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.

Apesar de vestigial, o apêndice humano é capaz de abrigar uma série de bactérias mutualísticas, além de produzir células de defesa. Sua inflamação, por conta da presença de material fecal, é conhecida como apendicite.

Os Registros Fósseis É considerado fóssil qualquer indício da presença de organismos que viveram em tempos remotos da Terra. As partes duras do corpo dos organismos são aquelas mais frequentemente conservadas nos processos de fossilização (ossos, dentes, troncos etc.), mas Fleming 2023

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existem casos em que a parte mole do corpo também é preservada. Os fósseis podem conter seres vivos praticamente completos, como mamutes e cavalos encontrados no gelo, além de insetos preservados na resina secretada por gimnospermas. Também são consideradas fósseis impressões deixadas por organismos que viveram em eras passadas, como, por exemplo, pegadas de animais extintos e impressões de folhas, de penas de aves extintas e da superfície da pele dos dinossauros. Além do gelo e âmbar, rochas sedimentares são locais capazes de fossilizar, principalmente em condições ideais de umidade e temperatura: ambientes secos e frios, por diminuir a atividade de fungos e bactérias decompositoras.

Normalmente, os fósseis mais recentes são encontrados mais próximos à superfície do solo, por conter os estratos mais jovens. Entretanto, por movimentação do solo, estratos mais recentes podem afundar, levando fósseis mais recentes para as partes mais profundas do terreno, bem como o soerguimento do solo pode elevar os fósseis mais antigos.

Rochas sedimentares podem cobrir estruturas vegetais e animais, que posteriormente serão considerados fósseis.

Peixe fossilizado em rocha sedimentar.

A importância do estudo dos fósseis para a evolução está na possibilidade de identificar organismos que viveram na Terra em tempos remotos, sob condições ambientais distintas das encontradas atualmente e que podem fornecer indícios de parentesco com as espécies atuais. Por isso, os fósseis são considerados importantes testemunhos da evolução.

Embriologia comparada O estudo comparado da embriologia de diversos vertebrados mostra a grande semelhança de padrão de desenvolvimento inicial. À medida que o embrião se desenvolve, surgem características específicas e, portanto, as semelhanças diminuem, ou seja, o desenvolvimento embrionário realmente é muito semelhante para todas as espécies animais. Segundo a Teoria da recapitulação (a ontogenia recapitula a filogenia), o desenvolvimento de determinado organismo (ontogenia) percorre os mesmos caminhos da evolução da espécie. Realmente, os estágios embrionários, como mórula, blástula, 52

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gástrula e nêurula são muito semelhantes entre as diferentes espécies, principalmente aquelas com maior relação de parentesco (filogenia).

Órgãos Homólogos e Análogos Por homologia entende-se semelhança entre estruturas de diferentes organismos, devida unicamente a uma mesma origem embriológica. As estruturas homólogas podem exercer ou não a mesma função. O braço do homem, a pata do cavalo, a asa do morcego e a nadadeira da baleia são estruturas homólogas entre si, pois todas têm a mesma origem embriológica, pois são membros anteriores de quatro mamíferos. Nesse exemplo, não há similaridade funcional. Entretanto, ao comparar a asa do morcego e a asa da ave, verifica-se que ambas têm a mesma origem embrionária e estão também associadas à mesma função. A homologia entre estruturas de dois organismos diferentes sugere que eles se originaram de um grupo ancestral comum, de onde partem várias linhas evolutivas que originaram várias espécies diferentes, processo denominado de irradiação adaptava.

A embriologia usada como evidência evolutiva foi “exagerada” por muitos estudiosos, principalmente em desenhos que comparam embriões de peixes, anfíbios, répteis, aves e mamíferos. Os desenhos mostram semelhanças morfológicas, que apesar de existirem, foram exageradas nos desenhos. "Torna-se difícil, se não impossível, desenhar uma árvore genealógica dos vertebrados com base apenas em dados embriológicos. Assim sendo, a teoria da recapitulação não é aceita e aplicada tão livremente como antes" (John Wiley and Sons).

A irradiação adaptativa sugere que diversas espécies possuem um ancestral comum e que, por pressões de seleção natural diferentes em cada ambiente, surgem diferenças morfológicas.

Ave ancestral

Diferentes espécies de aves atuais possuem um ancestral em comum.

ANOTAÇÕES

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Um ancestral comum levou ao surgimento de órgãos homólogos entre répteis, aves e mamíferos, com a mesma origem embrionária e logo, mesma sequência óssea.

Já a analogia refere-se à semelhança morfológica entre estruturas, em função de adaptação à execução da mesma função, por pressões seletivas semelhantes. As asas dos insetos e das aves são estruturas diferentes quanto à origem embriológica, mas ambas estão adaptadas à execução de uma mesma função: o voo, sendo assim consideradas estruturas análogas. As estruturas análogas não refletem por si sós qualquer grau de parentesco, mas fornecem indícios da adaptação de estruturas de diferentes organismos a uma mesma variável ecológica. Quando organismos não intimamente aparentados apresentam estruturas semelhantes exercendo a mesma função, considera-se que eles sofreram evolução convergente, ao contrário da irradiação adaptativa, caracterizada pela diferenciação de organismos a partir de um ancestral comum.

Poríferos e ascídias (protocordados) são animais filtradores e que possuem morfologia semelhante, sendo assim, mais um caso de convergência adaptativa.

Golfinhos (mamíferos) e tubarões (peixes) possuem morfologia semelhante, pois a pressão do ambiente é semelhante (ambos compartilham o mesmo hábitat), representando um exemplo de convergência evolutiva.

Biologia molecular As comparações de sequências de nucleotídeos nas moléculas de DNA, assim como de aminoácidos nas proteínas são capazes de revelar índices de similaridade entre diferentes espécies, corroborando com as evidências evolutivas estudadas nos itens anteriores. A tripsina, por exemplo, enzima proteolítica integrante do suco pancreático e da atividade intestinal, está presente em numerosos animais, desde os protozoários até os mamíferos. Não há diferenças nas sequências de aminoácidos da hemoglobina humana e a do chimpanzé, enquanto entre a hemoglobina humana e a do gorila, se observa duas trocas de aminoácidos. A hemoglobina do macaco-rhesus tem 12 aminoácidos distintos em relação à hemoglobina humana e 43 em relação à do cavalo. Assim, ao se comparar a mesma proteína em duas espécies, conclui-se que, quanto maior o número de aminoácidos semelhantes, maior a relação de parentesco evolutivo entre elas. 54

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Tais estudos têm sido extremamente úteis na construção de cladogramas, representações onde táxons mais próximos evolutivamente ficam mais próximos nos ramos (assunto que será estudado no capítulo de sistemática).

No cladograma, todos os táxons representados descendem de um ancestral único e, quanto mais próximo dois ramos estiverem, maior será a relação de parentesco entre eles.

HIPÓTESES E TEORIAS EVOLUCIONISTAS 2.

Na busca por explicações quanto ao processo de origem dos seres vivos, da evolução e da grande diversidade da vida, inúmeras hipóteses foram criadas, entretanto, muitas sequer podem ser testadas e corroboradas pelas etapas do método científico, assim, não são consideradas nos estudos mais sérios sobre evolução. Um exemplo é o fixismo, que considera que as espécies não estão sujeitas a modificações e, portanto, permanecem idênticas ao longo do tempo. Processos de especiação de bactérias (surgimento de novas espécies) já foram documentados em laboratório, derrubando esta hipótese.

As ideias evolucionistas de Lamarck

Um dos grandes méritos de Lamarck foi admitir a influência do meio sobre os seres vivos.

O francês Jean-Baptiste Antoine de Monet (1744 -1829), conhecido como Jean-Baptiste Lamarck, em 1809, em seu livro Philosophie zoologique propôs a primeira teoria baseada em argumentos para explicar a evolução biológica. Trabalhando principalmente com moluscos, considerou a transmutação das espécies ao longo do tempo, ou seja, que os seres vivos eram passíveis de sofrer mudanças ao longo do tempo, por influência do meio. Assim, criou duas “leis” (que na verdade são hipóteses, por não terem sido corroboradas por testes e se mostrarem falsas na maioria dos exemplos). Fleming 2023

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Atualmente, sabe-se que o tamanho das patas e do pescoço de uma girafa são definidos por um padrão genético e não pela necessidade de buscar alimentos. Assim, animais de patas e pescoço mais longos são selecionados, por apresentarem variações adaptativas, como será estudado no próximo item (darwinismo). No caso de tecido muscular, realmente o constante uso, numa academia por exemplo, pode levar à sua hipertrofia, bem como a superfície hepática pode aumentar quando o fígado é exposto a fármacos/drogas.

Para que uma característica adquirida ao longo da vida seja herdável, esta deve alterar células germinativas (formadoras de gametas), por meio de mutações. Entretanto, estudos recentes indicam que o ambiente uterino pode influenciar nas características fisiológicas e comportamentais futuras de um indivíduo, caso conhecido como Epigenética. Ao final da Segunda Guerra Mundial, mulheres grávidas tiveram sua dieta reduzida a cerca de 400 calorias diárias. Nos anos 2000, cientistas passaram a estudar filhos e filhas dessas mulheres e descobriram que esses indivíduos, ao alcançarem idades entre 56 e 59 anos, apresentaram sérios déficits cognitivos associados a um processo de envelhecimento precoce. As pesquisas também apontaram que netos (especificamente os filhos dos filhos) das gestantes expostas à fome apresentavam maior peso associado à obesidade do que descendentes daquelas que se alimentaram normalmente.

“O desafio de Darwin” (2010) e “Criação” (2009).

“Lei” do uso e desuso: o uso mais frequente e contínuo de um órgão desenvolve e o aumenta gradualmente, enquanto que a não utilização de qualquer órgão causa o seu enfraquecimento e diminui progressivamente a sua capacidade para funcionar, até que finalmente desaparece. Tais mudanças surgem por uma necessidade imposta pelo ambiente. Por exemplo, os membros anteriores e o pescoço das primeiras girafas eram curtos, mas pela necessidade de se alimentar das folhas mais altas nas árvores, estas estruturas foram alongando com o passar do tempo.

Na hipótese do uso e desuso, estruturas como patas anteriores e o pescoço de uma girafa, por estarem constantemente em uso, se desenvolvem.

“Lei” das características adquiridas: as características são adquiridas ou perdidas por imposição da natureza aos indivíduos, através da influência do ambiente no qual a espécie vive. Estas características adquiridas são preservadas pela reprodução e transferidas para os novos indivíduos. Assim, Lamarck defendia a hipótese de que girafas que adquiriram pescoço longo pelo constante uso, gerariam descendentes de pescoço longo. Em resumo, Lamarck acreditava que o ambiente sofre modificações, forçando os seres a se transformarem para se adaptarem ao novo meio, seja por atrofia ou desenvolvimento de estruturas/órgãos/partes do corpo. Tais características adquiridas por imposição do ambiente, eram passadas à próxima geração. Ao longo de muitas gerações, o acúmulo de alterações pode levar ao surgimento de novos grupos de seres vivos. Suas idéias também evoluíram ao longo de seus estudos e contribuiram para a biologia moderna.

As ideias evolucionistas de Charles Darwin e Alfred Russel Wallace “Darwin fez mais do que postular a evolução biológica. Ele explicou a evolução naturalmente, usando fenômenos e processos que qualquer um pode observar cotidianamente na natureza.” Ernst Mayr (evolucionista). "As espécies, ao contrário da crença quase universal, não são estáticas e imutáveis, mas se modificam através de longos períodos de tempo, pela seleção natural, permanecendo vivo o mais apto." Charles Darwin.

Charles Darwin (1809 – 1882). 56

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Graças a longos anos de viagens, estudos e observações realizadas no ambiente natural, Darwin considerou que as populações naturais das espécies tendem a crescer rapidamente, pois o potencial reprodutivo dos seres vivos é muito grande. Entretanto, seu tamanho mantém-se relativamente constante ao longo do tempo, sendo limitado pelo ambiente, pois a cada geração morre grande número de indivíduos, muitos deles sem deixar descendentes. Outra observação fundamental é que os indivíduos de uma população diferem quanto a diversas características, inclusive aquelas relacionadas à capacidade de explorar com sucesso os recursos naturais e de deixar descendentes, como tamanho/ formato de bicos, comprimento de patas, cores, padrões de exibição para seleção sexual, etc. Os indivíduos que sobrevivem e se reproduzem, a cada geração, são preferencialmente os que apresentam determinadas variações de diversas características relacionadas com a adaptação às condições ambientais. Essa conclusão resume o conceito darwinista de seleção natural, ou sobrevivência dos mais aptos. Uma vez que a cada geração sobrevivem os mais aptos, estes tendem a transmitir aos descendentes as características relacionadas a essa maior aptidão para sobreviver, isto é, maior adaptação.

Exemplo de seleção natural: ratos com pelagem clara chamam mais atenção de raposas, pois se destacam no solo escuro, sendo predados. Já os de pelagem escura, camuflados no ambiente (solo escuro) são selecionados, repassando esse padrão de pelo para a descendência. Assim, pode-se afirmar que pelo claro é uma variação não adaptativa, enquanto pelo escuro é a variação adaptativa.

A viagem mais importante de Darwin durou quatro anos e nove meses (1831 – 1836), com o objetivo de mapear a costa da América do Sul, na embarcação HMS Beagle, que inclui o Brasil (Salvador e Rio de Janeiro), Uruguai, Patagônia argentina e chilena, além das Ilhas Galápagos (Equador). De volta a Europa, com o auxílio de inúmeros especialistas (ornitólogos, botânicos, geólogos), Darwin reuniu suas ideias em diversos documentos, entretanto sem haver uma publicação única e que abrangesse todas suas ideias a respeito da evolução. Em 1858, Darwin recebe uma carta de Alfred Russel Wallace, um jovem naturalista que estava trabalhando no Arquipélago Malaio. Nessa carta, Wallace apresenta um esboço de suas observações no Arquipélago e solicita a opinião de Darwin, que, ao lê-la, fica surpreso e escreve ao seu amigo Lyell (geólogo), dizendo: "Ele (Wallace) não poderia ter feito melhor resumo do meu trabalho desenvolvido nesses últimos 22 anos..." Finalmente, em 24 de Novembro de 1859, depois de 20 anos escrevendo, Darwin publica sua obra definitiva: A Origem das Espécies por Meio da Seleção Natural, ou Preservação das Raças Favorecidas na Luta pela Vida.

O aumento do pescoço da girafa por Charles Darwin: os ancestrais das girafas, de acordo com o documentário fóssil, tinham pescoço mais curto e o comprimento do pescoço variava entre os indivíduos das antigas populações de girafas. Indivíduos com pescoço mais longo alcançavam o alimento dos ramos mais altos das árvores, sendo selecionados e passando essa variação adaptativa para seus descendentes. Assim, a seleção natural, privilegiando os indivíduos de pescoço mais longo, durante milhares de gerações, é responsável pelo pescoço longo das girafas atuais.

Comparação entre as ideias de Lamarck e de Darwin: no Lamarckismo, o esforço contínuo foi responsável pelo aumento do pescoço da girafa (ideia equivocada). Já no Darwinismo, animais de pescoço mais longo possuem uma variação adaptativa, sendo mais eficientes no momento de se alimentar.

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Teoria Sintética da Evolução (Neodarwinismo) Darwin morreu sem saber quais mecanismos eram responsáveis pela grande variabilidade de formas e padrões encontrados nos seres vivos. Com o desenvolvimento da biologia molecular e as redescobertas dos trabalhos de Gregor Mendel, atualmente sabe-se que as mutações e a recombinação gênica são as duas importantes fontes de variabilidade, o que permite que os indivíduos se mostrem aptos aos seus ambientes naturais. Esta é a base da teoria sintética da evolução ou neodarwinismo, que considera três fatores evolutivos principais: mutação gênica, recombinação gênica e seleção natural. - Mutação Gênica: são mudanças que ocorrem nos genes, envolvendo a eliminação ou substituição de um ou poucos nucleotídeos da fita de DNA. Podem ser do tipo: I) Adição ou subtração de bases: a adição ou subtração de bases altera o número de nucleotídeos, e consequentemente poderá alterar o tipo de aminoácido incluído na cadeia proteica e, em última análise, poderá alterar a expressão da proteína. II) Substituição de bases: a substituição de uma purina (adenina e guanina) por outra purina, ou de uma pirimidina (citosina e timina) por outra pirimidina é denominada de transição. A substituição de uma purina por uma pirimidina, ou vice-versa é denominada de transversão.

Mutações de sentido trocado, onde

ocorrem trocas nas sequências de aminoácidos, podem ser adaptativas ou não, sendo a pressão do ambiente a responsável em definir quais serão selecionadas ou eliminadas. Já as mutações sem sentido costumam comprometer a formação da proteína, sendo assim, uma mutação normalmente não adaptativa, como no caso do albinismo em ambientes escuros (florestas). E por último, as mutações silenciosas, por não ocorrer mudança no aminoácido, são indiferentes para o processo de seleção natural.

Além das mutações gênicas, existem as mutações cromossômicas, que serão estudadas no capítulo de genética.

No exemplo acima, é possível observar que, mesmo mudando os dois primeiros códons no DNA mutante (de GUC para GUA e UUA para CUU), os aminoácidos permaneceram os mesmos (VAL e LEU). Tal tipo de consequência é chamada de mutação silenciosa, enquanto que nos dois últimos códons, a alteração de AAA para AAU e CGG para ACG provocou mudanças de aminoácidos (de LYS para ASN e de ARG para THR), caracterizando a mutação de sentido trocado, quando a mudança de códon implica na mudança do aminoácido. Caso um códon de terminação (UAA, UAG, UGA) apareça antes do final da sequência de RNAm, ocorrerá uma mutação sem sentido. - Recombinação Gênica: é a troca de genes entre duas moléculas de DNA, para formar novas combinações de genes, ocorrendo geralmente durante a formação das células reprodutivas, de modo que essas células contenham DNA recombinante. Já em bactérias, a oportunidade para a recombinação genética pode surgir de várias maneiras

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diferentes, incluindo a conjugação, que será estudada no capítulo sobre Reino Monera. A ocorrência de crossing-over, durante a meiose I, aumenta ainda mais a variabilidade nas formas de vida que possuem esse tipo de divisão celular.

A reprodução sexuada garante grande variabilidade genética, por recombinação de genes dos parentais.

Ao longo de gerações, o homem foi capaz de selecionar indivíduos com características desejáveis utilizando-os em cruzamentos planejados, processo conhecido como seleção artificial, como observado em plantas cultiváveis, cavalos, bovinos e cães.

O crossing-over permite a troca entre cromátides de cromossomos homólogos, aumentando a variabilidade genética.

- Seleção Natural: como já estudado no item anterior, a seleção natural permite que em cada geração, uma parte dos indivíduos de uma população seja eliminada, devido à competição pelo alimento, refúgio, espaço, fuga aos predadores etc. Desse modo, sobrevivem os mais aptos, isto é, os que possuem variações de características que lhes conferem qualquer vantagem em relação aos restantes (camuflados, mais velozes, entre outros padrões). Os indivíduos mais aptos transmitem essas características à descendência, e a acumulação das pequenas variações determina, em longo prazo, a formação de novas espécies. 3.

Mutações e recombinação gênica aumentam a variabilidade genética, enquanto a seleção natural diminui.

TIPOS DE SELEÇÃO

A seleção natural pode ser dividida em três tipos básicos: estabilizadora, direcional e disruptiva. A) Estabilizadora: aumenta a frequência de indivíduos com fenótipos intermediários e diminui a frequência de indivíduos dos extremos da curva normal. Um exemplo deste tipo de seleção pode ser observado em algumas regiões africanas, onde pessoas heterozigóticas para genes da anemia falciforme são imunes a malária, enquanto homozigóticos recessivos morrem de anemia e homozigóticos dominantes são mais susceptíveis a malária. Em plantas, caule muito curto faz com que as folhas não recebam intensidade luminosa suficiente (devido ao sombreamento), enquanto caules muito longos são quebrados pelo vento. Assim, plantas com caule de tamanho médio são selecionadas.

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Ao contrário do que o senso comum costuma acreditar, as bactérias não se tornam resistentes devido ao uso do antibiótico. A resistência surge por mutações e conjugação, enquanto o uso do antibiótico permite que variedades resistentes sejam selecionadas. Em outras palavras, os antibióticos não induzem a resistência, mas selecionam as resistentes.

Na seleção estabilizadora, fenótipos intermediários apresentam maior frequência.

B) Direcional: aumenta a frequência de indivíduos de um dos extremos da curva normal, como observado na velocidade de zebras e leoas, onde em ambos os casos, os mais rápidos são frequentemente selecionados. A seleção de antibióticos também é do tipo direcional, pois as bactérias que apresentam maior resistência são selecionadas.

Na seleção direcional, um fenótipo extremo se torna mais abundante, como as borboletas mais escuras do exemplo.

C) Disruptiva: aumenta a frequência dos dois extremos da curva normal, diminuindo a frequência de intermediários. Em rios, peixes pequenos podem se esconder dos predadores, enquanto os maiores, da mesma espécie, são evitados pelos predadores (por possuírem praticamente o mesmo tamanho). Assim, a taxa de predatismo é maior sobre os peixes de tamanho médio, pois não são tão pequenos ao ponto de se esconder dos predadores e não tão grandes para intimidar seus predadores.

Na seleção disruptiva, os dois fenótipos extremos são mais abundantes que os fenótipos intermediários.

IMPORTANTES FATORES DE SELEÇÃO NATURAL 4.

Entre importantes fatores que influenciam na seleção natural, pode-se destacar a seleção sexual, a camuflagem, o mimetismo, a migração e a deriva genética. A) Seleção sexual: as características estão associadas a competição por parceiros reprodutivos, ao invés das características envolvidas diretamente na sobrevivência, como no conceito de seleção natural. Obviamente que animais selecionados para reprodução, estão sujeitos a seleção natural, pois suas características serão passadas à descendência. Exemplos clássicos são machos que disputam entre si territórios e o acasalamento com fêmeas (seleção intrasexual), seja através de violentos combates, odores lançados no 60

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ambiente, exibições de dança e até mesmo a retirada do esperma de cópulas prévias (o que explica o formato de pistão do pênis de muitas espécies, que provoca uma sucção no aparelho reprodutor feminino e assim, retira o sêmen do macho que copulou anteriormente). Fêmeas costumam escolher machos com determinados padrões (como comprimento e cores de penas em aves), o que caracteriza a seleção intersexual. B) Camuflagem: os membros de uma espécie apresentam uma ou mais características (cores, texturas e morfologia) que os assemelham ao ambiente, dificultando sua localização por espécies com as quais interage, sejam elas predadores ou presas.

Quando visto de cima, o dorso escuro de um tubarão se confunde com o escuro do fundo do mar, enquanto seu ventre, quando visto de baixo para cima, o camufla com o claro do céu.

No exemplo hipotético acima, certamente os círculos em verde mais escuro chamam mais a atenção, enquanto os mais claros se camuflam ao fundo branco. Se cada círculo representa uma presa, muito provavelmente os mais escuros serão predados, enquanto os mais claros serão selecionados, aumentando sua frequência nas próximas gerações.

C) Mimetismo: duas espécies diferentes assemelham-se em certas características, o que constitui vantagem para uma ou para ambas em relação a outras espécies. No mimetismo batesiano, uma espécie (mímico) assume a morfologia ou outra característica de outra espécie, bem protegida e evitada por predadores (espécie modelo), como a coral-verdadeira (Micrurus) e outras espécies de cobras, popularmente chamadas de corais-falsas. No mimetismo mülleriano, várias espécies, todas frequentes e bem protegidas, mostram traços comuns de advertência e assim evitam predadores. Um exemplo são as borboletas das espécies Heliconius erato e H. melpomene, onde ambas evoluíram para asas e corpos pretos com marcas vermelho-laranja em suas asas, além de possuir um sabor que é indesejável para predadores. Outro exemplo são os anfíbios do gênero Dendrobates, pois todas as espécies são coloridas e realmente venenosas.

O aposematismo descreve uma série de adaptações que evitam predatismo, com uma aparência conspícua (visual, olfativa ou auditiva) servindo como sinal de alerta sobre a inapetência ou toxicidade do organismo aos potenciais predadores. Quanto às cores, normalmente, as mais frequentes são as que destacam o indivíduo do ambiente, como o laranja, vermelho e amarelo. Assim, atua como uma defesa primária, “avisando” aos possíveis predadores que existe uma segunda defesa, como toxicidade.

O mimetismo batesiano é a exibição das características de uma espécie perigosa por uma espécie inofensiva para evitar predadores, enquanto no mülleriano, há a exibição de características semelhantes por espécies próximas para evitar predadores.

Seres camuflados e com mimetismo não se tornam semelhantes ao ambiente ou a outros indivíduos pela necessidade de sobreviver, mas sim por mutações adaptativas, que os tornam semelhantes ao ambiente ou a espécies evitadas pelos predadores. Tais mutações ocorrem lenta e gradualmente, sendo acumuladas por diversas gerações, até se chegar em indivíduos muito bem camuflados ou com mimetismo acentuado.

Anfíbios com aposematismo, onde as cores de advertência indicam a presença de substâncias tóxicas, evitando assim, a ação de predadores (mimetismo mülleriano).

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D) Migração: a imigração se carateriza pela chegada de indivíduos numa população, o que pode acarretar na chegada de novos genes alelos, que apresentando grande valor adaptativo, se tornarão mais abundantes nas gerações seguintes. Por exemplo, se numa população formada por presas que costumam fugir de seus predadores chegam novos indivíduos mais velozes, espera-se que estes imigrantes, portadores de uma variação adaptativa, sejam selecionados e passem esta variação para a prole. A emigração de indivíduos também pode alterar as frequências dos genes na população, afinal, é de se esperar que os alelos dos emigrantes diminuam de frequência, enquanto os genes alelos dos indivíduos que permanecem na população, aumentem sua frequência. Este tipo de oscilação de frequências gênicas será abordado no próximo item, sobre genética de populações. E) Deriva Genética: intempéries como incêndios, secas, terremotos e ventos fortes selecionam indivíduos de forma aleatória, não necessariamente os mais aptos. A drástica redução de indivíduos (e logo uma diminuição na variabilidade genética) na população é conhecida como efeito gargalo e, destes poucos indivíduos selecionados, poderá surgir uma nova população, processo conhecido como efeito fundador. A chegada de poucos imigrantes numa nova área, como uma ilha, por exemplo, também pode ser considerada como efeito fundador. Em uma ilha do Pacífico, há muitos anos, ocorreu um Tsunami que vitimou grande parte da população (deriva genética). Dos poucos sobreviventes, alguns deles possuíam uma mutação gênica que foi transmitida para seus descendentes, fazendo com que a nova população gerada nessa ilha possuísse uma frequência de alelos diferente da população original, configurando um caso típico de efeito fundador.

Na deriva genética, a seleção ocorre ao acaso, diminuindo a variabilidade genética da população.

5.

Acreditar que os humanos estão perdendo o terceiro molar (siso) pelo seu desuso, remete às ideias lamarckistas, que nesse caso não podem ser aplicadas, pois hoje se sabe que o número de dentes tem base genética, ou seja, são determinados por genes. Não ter o número esperado de dentes na dentição permanente (32), é uma mutação conhecida como agenesia dentária.

GENÉTICA DE POPULAÇÕES

No estudo da genética das populações, é possível determinar a composição genética de uma população, a partir das frequências dos genes (frequências gênicas) e dos genótipos (frequências genotípicas). Segundo o Teorema de Hardy-Weinberg, em populações grandes, com cruzamentos ao acaso (panmítica), que não estiverem sofrendo influência dos fatores evolutivos (mutações, seleção natural, migrações etc...), não haverá alteração do pool gênico, isto é, as frequências gênicas e genotípicas se manterão constantes. Por exemplo, se um gene dominante é responsável por um padrão de camuflagem em uma espécie animal, enquanto seu recessivo faz com que o animal se destaque no ambiente, espera-se seleção dos camuflados, logo, a frequência do gene dominante irá aumentar, não caracterizando um exemplo de equilíbrio gênico (seleção diminui variabilidade genética). Entretanto, se um gene mutante (mutação aumenta a variabilidade genética) inibe a formação do terceiro molar (o popular dente do siso), este alelo não sofre pressão de seleção natural, tampouco traz vantagens na sobrevivência de pessoas com 28 dentes (afinal, tanto quem tem 32 quanto 28 dentes consegue comer). Assim, os genes responsáveis pela formação dos 32 dentes ou 28 (um tipo de agenesia dentária) se encontram em equilíbrio gênico, por não sofrerem seleção natural. Numa população em equilíbrio, para uma determinada característica existem dois genes, o dominante (A) e o recessivo (a). A soma das frequências dos dois genes (frequência gênica) na população é 100% (frequência de 1,0). f(A) = p f(a) = q logo: p + q = 1, pois f(A) + f(a) = 100% Na mesma população, são possíveis três genótipos: homozigoto dominante (AA), heterozigoto (Aa) e homozigoto recessivo (aa). A soma das frequências dos três genótipos (frequência genotípica) na população deve ser 100%.

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Se f(A) = p e f(a) = q, então: f(AA) = p.p = p2 f(Aa) = 2.p.q f(aa) = q.q = q2 logo: p2 + 2pq + q2 = 1, pois f(AA) + f(Aa) + f(aa) = 100% Exemplo 1: uma população em equilíbrio gênico, formada por 1.000 indivíduos, está assim distribuída para um determinado par de alelos: AA

640 indivíduos

Aa

320 indivíduos

aa

40 indivíduos

Total

1.000 indivíduos

Quais as frequências gênicas e genotípicas? Frequências Gênicas: Número total de genes = 2.000 (pois são 1.000 indivíduos, cada um com dois genes) AA Aa total de genes f(A) = p = 640 + 640 + 320 / 2.000 = 0,8 ou 80% aa Aa total de genes f(a) = q = 40 + 40 + 320 / 2.000 = 0,2 ou 20% Caso o número de indivíduos na população não seja conhecido, mas sabe-se a porcentagem de algum genótipo, será possível determinar os demais. Exemplo 2: se, numa população em equilíbrio gênico, 16% dos indivíduos são afetados por uma doença recessiva (aa), qual a porcentagem de indivíduos homozigotos dominantes (AA) e heterozigóticos (Aa)? Passo 1: se 16% dos indivíduos são aa, logo q2 = 0,16 Passo 2: q = √0,16 = 0,4 Passo 3: se p + q = 1,0 e q=0,4, logo p + 0,4 = 1,0; p = 0,6 Passo 4: f(AA) = p2 = (0,6)2 = 0,36 ou 36% f(Aa) = 2.p.q = 2 . 0,6 . 0,4 = 0,48 ou 48% Exemplo 3: sabendo que, numa população em equilíbrio gênico, a frequência do alelo dominante (A) é de 0,8, qual a porcentagem de indivíduos do sexo feminino com genótipo homozigoto recessivo (aa)?

Genética de populações em casos de polialelia: Exemplo: sistema ABO Frequências gênicas: F(IA) = p = 0,4 F(IB) = q = 0,3 F(i) = r = 0,3 Logo: p + q + r = 1,0 (a soma de todos os alelos deve ser 100%) Frequências genotípicas: Sangue A: IA IA ou IAi = p2 + 2.p.r = 0,42 + 2.0,4.0,3 = 0,16 + 0,24 = 0,40 = 40% Sangue B: IB IB ou IBi = q2 + 2.q.r = 0,32 + 2.0,3.0,3 = 0,09 + 0,18 = 0,27 = 27% Sangue AB: IAIB = 2.p.q = 2.0,4.0,3 = 0,24 = 24% Sangue O: ii = r2 = 0,32 = 0,09 = 9%

Passo 1: f(A) = p = 0,8 Passo 2: p + q = 1,0; logo: 0,8 + q = 1,0; q = 0,2 Passo 3: f(aa) = q2 = 0,22 = 0,04 = 4% de indivíduos homozigotos recessivos, sendo 2% do sexo masculino e 2% do feminino. 6.

ESPECIAÇÃO

Especiação é o processo de formação de novas espécies, por diversificação de uma espécie ancestral. Mutações e isolamento de populações são os eventos responsáveis pelo surgimento de novas espécies, que pode levar poucos meses em bactérias ou milhares de anos, em animais vertebrados, por exemplo. O que define o surgimento de uma nova espécie é o isolamento reprodutivo entre os indivíduos. Fleming 2023

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De acordo com a definição tradicionalmente utilizada, uma espécie é um grupo de organismos que pode potencialmente intercruzar, para produzir uma prole fértil e viável. Entretanto, esse conceito exclui as espécies que possuem reprodução assexuada, como bactérias e cianobactérias. Assim, torna-se necessário um conceito mais amplo: a grande similaridade genética entre indivíduos garante que estes possam ser considerados como sendo da mesma espécie. Por meio do isolamento de populaçõçes, há dois tipos principais de processos de especiação: alopátrica (cladogênese) e simpátrica (anagênese). A) Especiação Alopátrica (Cladogênese): separação geográfica entre populações, evitando os cruzamentos entre seus membros. Assim, o fluxo gênico é interrompido, de modo que mutações novas em uma das populações não seja compartilhada com a outra e conforme o tempo passa, a tendência é que a adaptação particular de cada uma conduza a um isolamento reprodutivo. Em outras palavras, conforme o tempo passa, as diferenças genéticas entre as duas populações aumentam, ao ponto de os indivíduos não apresentarem potencial reprodutivo entre si. Um exemplo de especiação alopátrica é a dos tentilhões de Galápagos, em que apenas um ancestral colonizou o arquipélago e, posteriormente, dispersou-se para as diferentes ilhas, onde as populações sofreram diferentes pressões e hoje podem ser encontradas mais de dez espécies diferentes.

Ave ancestral

Uma população ancestral, ao dispersar nas diferentes ilhas do arquipélago de Galápagos, originou as espécies atuais de tentilhões, num exemplo de especiação alopátrica.

A simpatria pode ocorrer também em consequência de alguma modificação genética que afeta o cruzamento entre indivíduos de uma mesma população. Um caso típico de vegetais é a especiação por poliploidia, em que cruzamentos interespecíficos originam espécies t e t ra p l o i d e s , p o r ex e m p l o, incapazes de cruzar com indivíduos parentais diploides, formando assim um isolamento reprodutivo. Essa forma de mutação será estudada no capítulo sobre mutações cromossômicas.

Espécies de tentilhões nas ilhas Galápagos.

B) Especiação Simpátrica (Anagênese): ocorre entre populações que vivem em uma mesma área geográfica, sem uma barreira geográfica, ou seja, não há isolamento geográfico. Isso acontece, por exemplo, quando as populações passam a explorar um novo nicho e gradativamente vão se isolando. Há 200 anos, os ancestrais da mosca da maçã depositavam seus ovos somente em espinheiros, entretanto, hoje em dia essas moscas depositam seus ovos em espinheiros (que são nativos da América) e em maçãs domésticas 64

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(que foram introduzidas na América). As fêmeas geralmente escolhem os tipos de frutos em que cresceram para depositar seus ovos, enquanto os machos tendem a procurar por companheiras nos tipos de frutos onde eles cresceram. Assim, moscas de espinheiros geralmente acabam acasalando com outras moscas de espinheiros e moscas da maçã geralmente acabam acasalando com outras moscas da maçã, fazendo com que o fluxo gênico entre as duas populações seja reduzido. Esta mudança de hospedeiro de espinheiro para maçã pode ser o primeiro passo para a especiação simpátrica.

Subespécies e raças são populações de uma mesma espécie que diferem entre si quanto a determinadas características, mas ainda com potencial reprodutivo entre elas. Um exemplo clássico são as direrentes raças de cães, todas pertencentes a mesma espécie, o Canis familiaris. O SRD (sem raça definida, vira-lata) é um exemplo de como o DNA de diferentes raças ainda apresenta altíssima similaridade genética. A formação de raças e subespécies representa uma etapa de transição na origem de novas espécies.

Esquema exemplificando as duas formas básicas de especiação: a anagênese, apenas com isolamento reprodutivo, e a cladogênese, com isolamento geográfico e reprodutivo.

Mecanismos de isolamento reprodutivo A especiação se completa com o surgimento de isolamento reprodutivo, que impede indivíduos de espécies diferentes de trocar genes por cruzamento. Os principais mecanismos de isolamento reprodutivo podem ser divididos em processos pré-zigóticos de isolamento reprodutivo (atuam antes da formação do zigoto) e processos pós-zigóticos (atuam depois da formação do zigoto).

• Mecanismos pré-zigóticos I) Isolamento de hábitat: duas espécies muito aparentadas vivem em hábitats distintos. Exemplo: Panthera leo (leão) e Panthera tigris (tigre). II) Isolamento estacional (sazonal): os períodos reprodutivos de duas espécies são distintos. Muito comum em plantas e aves. III) Isolamento etológico (comportamental): comportamentos de exibições, vocalizações distintas. Comum em aves, onde o canto do macho de uma espécie não atrai fêmeas de outras espécies. IV) Isolamento mecânico: órgãos reprodutores incompatíveis, como um tubo polínico que não é capaz de germinar em um estigma. V) Gamético: incompatibilidade entre gametas do sexo masculino e feminino de espécies distintas. Exemplo: corais que liberam muitos gametas no ambiente marinho.

• Mecanismos pós-zigóticos I) Inviabilidade do híbrido: morte prematura do embrião originado a partir do cruzamento de dois indivíduos de espécies diferentes. II) Esterilidade do híbrido: o híbrido pode ser até mais vigoroso que os pais, entretanto é estéril. Exemplo: cruzamento entre Equus caballus (égua) e Equus asinus (jumento) originando a mula.

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À esquerda, uma mula, animal híbrido, fruto do cruzamento interespecífico.

Em cativeiro, leões e tigres podem gerar descendentes, conhecidos como ligre, que são híbridos estéreis.

7.

EVOLUÇÃO HUMANA

Certamente um dos mais interessantes assuntos abordados em evolução é a origem da espécie humana. A linha evolutiva dos primatas ocorreu durante os últimos 60 milhões de anos, com mamíferos ocupando ambientes arborícolas, sendo o dedo polegar opositor uma vantagem nesse tipo de deslocamento (sobre as árvores). A seguir, características de algumas espécies de hominídeos: Ardipithecus: os fósseis estão datados em um período de 3,8 a 5,2 milhões de anos a.C., com representantes vivendo em florestas africanas. Pelo estudo fóssil, sabe-se que eram animais bípedes, o que corrobora a hipótese que a bipedia ocorreu antes da ocupação das savanas (campos tropicais). Os estudos mais recentes sugerem que o bipedalismo em floresta trouxe grandes vantagens, como o manuseio de alimentos e o cuidado maior com a prole, ao invés de simplesmente utilizar os membros anteriores para se locomover. Australopithecus: os fósseis mais antigos são originários do Pleistoceno Inferior e o seu crânio revela volume pequeno (em torno de 700 cm3), maxilares robustos e acentuado prognatismo. A estrutura óssea revela a capacidade de manter-se uma postura vertical quase perfeita. Um fóssil que se tornou famoso foi o de Lucy, uma fêmea de A. afarensis que viveu há 3,2 milhões de anos na região da Etiópia. Homo naledi: espécie de hominídeo mais recentemente descoberta, em 2015, na África do Sul, os ossos podem datar de 100 mil a 4 milhões de anos. Representa, até então, a espécie mais antiga do gênero Homo, inclusive com algumas características ainda semelhantes ao gênero Australopithecus (região dos quadris), mas com pés e tornozelos de padrão do gênero Homo. Homo habilis: viveu há 1,7 milhões de anos, apresentava 1,25 m de altura, dentes pequenos e pés semelhantes aos do homem, além de ser capaz de trabalhar a pedra (junto com os fósseis foram encontrados seixos trabalhados com bordas cortantes). Homo erectus: o adulto atingia 1,70 m de altura, pesava 70 Kg, apresentava um andar semelhante ao do homem atual e a capacidade craniana variava de 700 a 1.100 cm3. Ao lado de alguns fósseis, foram encontrados objetos talhados em pedra e restos de cinza, provando o uso do fogo. Viveram de 1,8 milhões a 100 mil anos atrás e realizaram migrações da África para Ásia, Europa, Indonésia e Oceania. 66

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Homo neanderthalensis ou Homo sapiens neaderthalensis: em relação a este hominídeo, existem duas hipóteses quanto a sua classificação: era uma espécie distinta do H. sapiens, sendo assim classificado como H. neanderthalensis (hipótese mais aceita) ou então uma subespécie (H. sapiens neanderthalensis). O homem de Neandertal, que surgiu na Europa e viveu de 400 mil a 30 mil anos atrás, apresentava uma altura que variava entre 1,50 m e 1,60 m e uma capacidade craniana de 1.750 cm3. Habitavam cavernas, fabricavam armas de sílex, caçavam e enterravam seus mortos com alimentos e ornamentos. Sus extinção possivelmente ocorreu por viver em grupos pequenos, o que favorecia os cruzamentos consanguíneos, diminuindo a variabilidade genética e favorecendo a homozigose recessiva, que pode ser responsável por doenças graves. Homo sapiens: única espécie atual da família Homenidae, o H. sapiens surgiu há aproximadamente 160 mil anos, no leste africano e foi capaz de realizar diversos movimentos migratórios. Com volume de caixa craniana de 1.350 cm3, a variabilidade do H. sapiens e o desenvolvimento de suas faculdades intelectuais são responsáveis pelo amplo sucesso da espécie, sendo capaz de habitar todos os continentes.

Para alguns autores, a Homo ergaster é uma subespécie de H. erectus , sendo assim chamado de H. erectus ergaster. Realmente, possuem características muito semelhantes, como volume da caixa craniana.

Alguns autores defendem a ideia de que o aumento do volume cerebral no gênero Homo ocorreu graças a capacidade de cozinhar os alimentos, aproveitando, assim, maiores quantidades de nutrientes.

Padrões de crânio, data de ocorrência e distribuição geográfica dos principais hominídeos.

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFG) Leia o texto a seguir.

Os animais não podem digerir a celulose sem a ajuda de bactérias, e muitos vertebrados reservam um beco sem saída no intestino, o ceco, que abriga esses micro-organismos. O apêndice humano é um resquício do ceco mais avantajado dos nossos ancestrais vegetarianos. DAWKINS, R. O maior espetáculo da Terra: As evidências da evolução. São Paulo: Companhia das Letras. 2009. p. 113.

Este texto exemplifica a: (A) presença de órgãos vestigiais. (B) presença de estruturas análogas. (C) ocorrência de adaptação ao meio. (D) ocorrência de convergência adaptativa. (E) transmissão de caracteres adquiridos. Gabarito: A Estruturas presentes em diversas espécies de seres vivos atuais, mas que não desempenham sua função original e principal, são considerados órgãos vestigiais. A presença destes indica relações evolutivas com espécies até mesmo já extintas e ancestralidade comum com espécies atuais.

2 (UEM) Com relação à evolução biológica, assinale a alternativa correta.

(A) O mimetismo, como processo de adaptação evolutiva, faz que a mesma espécie apresente duas ou mais formas distintas. (B) O desenvolvimento da linguagem simbólica, do pensamento abstrato e da escrita fazem parte da evolução humana. (C) A especiação alopátrica tem por princípio a formação de novas espécies sem considerar o isolamento geográfico. (D) A vida na Era Paleozóica estava restrita aos oceanos e aos mares. (E) O equilíbrio gênico de uma população não é afetado pela mutação nem pela seleção natural. Gabarito: B O mimetismo ocorre quando duas ou mais espécies possuem semelhanças. Na especiação alopátrica, deve ocorrer isolamento geográfico e reprodutivo. Na Era Paleozóica, diversos filos do reino vegetal e animal já habitavam o ambiente terrestre. Mutações criam novos genes e a seleção natural os eliminam, logo, o equilíbrio gênico pode ser quebrado. Processos cerebrais, como a linguagem simbólica e o pensamento também são características selecionadas ao longo da evolução humana, visto que são processos fundamentais para o sucesso adaptativo.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFU) Leia o trecho a seguir. “No processo evolutivo, muitos animais foram extintos depois de se diferenciarem de seus parentes mais próximos. Boa parte deles virou fóssil e, quando descobertos, ajudaram a remontar o passado das espécies [...].” ISTOÉ, Ed. 1934, 24 de janeiro de 2007.

Acerca da evolução dos organismos, considere as afirmativas abaixo. I. Para avaliar as relações evolutivas entre as espécies são consideradas as semelhanças anatômicas, fisiológicas e moleculares, bem como os fósseis. II. Os fósseis humanos encontrados até o momento fortaleceram as primeiras hipóteses da origem humana, já que é possível se estabelecer quaisquer graus de variações entre as espécies fósseis e a espécie atual. III. O grande avanço na passagem evolutiva de australopiteco para Homo sapiens é o desenvolvimento do sistema nervoso e, conseqüentemente, da inteligência, evidenciado pelo aumento do volume craniano. Assinale a alternativa que apresenta, apenas, afirmativas corretas. (A) I, II, III (B) I e III (C) II e III (D) I e II 02. (UFG) Os fatos biológicos a seguir se referem ao processo de formação de novas espécies (especiação): I. Para que ocorra a especiação é necessário que grupos de indivíduos pertencentes à mesma população original separem-se e deixem de se cruzar. II. Mutações ao acaso do material genético, ao longo do tempo, promovem o aumento da variabilidade, permitem a continuidade da atuação da seleção natural e o consequente aparecimento de novas espécies. III. Barreiras mecânicas, diferenças comportamentais no processo de acasalamento, amadurecimento sexual em épocas diferentes, inviabilidade e/ou esterilidade do híbrido ou da geração F2 são mecanismos que levam ao isolamento reprodutivo e, consequentemente, à formação de novas espécies. Está correto o que se afirma em: (A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) I e II, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III.

03. (UNIOESTE) Três populações de anfíbios, A, B e C, pertencentes a uma mesma espécie, habitavam uma mesma região. Com o tempo, modificações no ambiente acarretaram no isolamento geográfico destas populações. Após muitos anos, com o desaparecimento da barreira geográfica, verificou-se que o cruzamento dos indivíduos da população A com os da população B produzia descendentes férteis. O cruzamento dos indivíduos da população A com os da população C produzia híbridos inférteis, e o dos indivíduos da população B com os da população C, não produzia descendentes. A análise desses resultados permite concluir que: (A) A, B e C formaram três espécies diferentes. (B) A, B e C continuaram a pertencer à mesma espécie. (C) A e B tornaram-se espécies diferentes, enquanto C continuou a pertencer a mesma espécie. (D) A e B continuaram a pertencer à mesma espécie enquanto C tornou-se uma espécie diferente. (E) A e C continuaram a pertencer à mesma espécie, enquanto B tornou-se uma espécie diferente. 04. (ENEM-2020) Uma população (momento A) sofre isolamento em duas subpopulações (momento B) por um fator de isolamento (I). Passado um tempo, essas subpopulações apresentam características fenotípicas e genotípicas que as distinguem (momento C), representadas na figura pelas tonalidades de cor. O posterior desaparecimento do fator de isolamento I pode levar, no momento D, às situações D1 e D2. B

C

D

A

D1 I D2

Tempo A representação indica que, no momento D, na situação (A) D1 ocorre um novo fator de isolamento geográfico. (B) D1 existe uma única população distribuída em gradiente. (C) D1 ocorrem duas populações separadas por isolamento reprodutivo. (D) D2 coexistem duas populações com características fenotípicas distintas. (E) D2 foram preservadas as mesmas características fenotípicas da população original A.

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GABARITO CAPÍTULO 1 01. C

02. B

03. C

CAPÍTULO 2 01. A

02. D

03. E

04. C

03. A

04. D

03. A

04. A

03. D

04. C

CAPÍTULO 3 01. D

02. B

CAPÍTULO 4 01. C

02. C

CAPÍTULO 5 01. B

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02. E

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Frente B BIOLOGIA 73 Capítulo 1 NÚCLEO INTERFÁSICO E PLOIDIA CELULAR 81 Capítulo 2 CICLO CELULAR E DIVISÕES CELULARES 95 Capítulo 3 GENÉTICA I 109 Capítulo 4 GENÉTICA II 119 Capítulo 5 HERANÇA SEXUAL

127 Capítulo 6 GENES LIGADOS 133 Capítulo 7 MUTAÇÕES CROMOSSÔMICAS

NÚCLEO INTERFÁSICO E PLOIDIA CELULAR Introdução A manutenção das atividades celulares é garantida por uma série de proteínas, principalmente enzimas, produzidas principalmente a partir do DNA localizado no núcleo de células eucariontes. Assim, o núcleo é considerado o grande centro de controle celular. Apesar da universalidade da molécula de DNA, a quantidade dessa molécula varia de espécie para espécie, caracterizando a ploidia, ou seja, o número de cromossomos de cada espécie. Por exemplo, na espécie humana, o material genético está presente em 23 cromossomos e como cada indivíduo possui dois parentais, apresentamos 23 pares de cromossomos. 1.

NÚCLEO INTERFÁSICO

Presente na maioria das células eucariontes, o núcleo contém a maior parte do DNA celular, o chamado DNA nuclear. Os genes, fragmentos de DNA, são os responsáveis pela síntese proteica, incluindo importantes proteínas responsáveis pela manutenção celular. Assim, costuma-se atribuir ao núcleo, a função de centro de controle da atividade celular.

Número de núcleos Como será estudado no capítulo de citologia, células procariontes não possuem núcleo, sendo assim, denominadas anucleadas. Algumas células eucariontes também são desprovidas de núcleo, como as hemácias de muitas espécies de mamíferos. A grande maioria das células eucariontes é uninucleada, mas podem ocorrer células binucleadas (como as células musculares do coração e alguns protozoários) e polinucleadas (multinucleadas), como células musculares esqueléticas.

Estrutura do núcleo

Capítulo 1

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Núcleo interfásico 2. Cromossomos 3. Ploidia das células 4. Cariótipos

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 - Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H14 - Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros.

Sincício: célula multinucleada, formada a partir da fusão de células uninucleadas ou por muitas divisões celulares incompletas de células. Em placentários, o sinciciotrofoblasto é um exemplo de sincício, fundamental para a formação da placenta.

Em células eucariontes, o DNA está separado do citoplasma por duas membranas lipoprotéicas formando a carioteca ou envelope nuclear, definindo o núcleo celular. A presença de poros nucleares que se abrem a partir de sinais identificadores na carioteca permite o fluxo de substâncias entre núcleo e citoplasma.

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A doença conhecida como talassemia, uma forma de anemia hereditária, caracteriza-se pela produção muito baixa de hemoglobina nas células precursoras das hemácias. Devido a uma mutação no gene que codifica uma das cadeias polipeptídicas da hemoglobina, as moléculas do RNAm não possuem o sinal correto para sair do núcleo, e o poro não se abre para deixá-las passar. Assim, a síntese proteica fica comprometida, pois é o RNAm que coordena o processo.

Estrutura do núcleo.

Os nucléolos representam massas densas formadas por aglomerados de ribossomos em processo de amadurecimento. Um cromossomo organizador do nucléolo produz continuamente moléculas de RNAr, que se acumulam ao seu redor e se associam a proteínas específicas para formar os ribossomos. O nucleoplasma (cariolinfa) representa a solução aquosa que contém íons, ATP, enzimas e nucleotídeos. No núcleo é encontrado o retículo nucleoplasmático, estrutura descrita apenas em 1997, responsável pelo armazenamento do íon Cálcio e síntese de proteínas. Em relação ao material genético, percebe-se no núcleo apenas o conjunto dos cromossomos formando uma massa denominada cromatina, constituída de nucleoproteínas (DNA em maior parte), além de proteínas globulares (histonas), fosfatídeos e elementos minerais tais como cálcio e magnésio. A acomodação da cromatina no interior do núcleo e o seu estado de condensação variam de um tipo celular para outro e são característicos de cada célula.

Nos eucariontes, a molécula de DNA está associada a proteínas globulares, as histonas.

Quando altamente condensada, a cromatina forma trechos de DNA não codificante (incapaz de coordenar a síntese proteica) chamado de heterocromatina. Isso ocorre através da metilação das histonas associadas ao DNA, ou seja, da adição de radicais Metila junto às proteínas responsáveis pela compactação do DNA, “silenciando os genes”. Já os trechos de DNA descompactados formam a eucromatina, reconhecidas por enzimas e, portanto, capaz de apresentar atividade de expressão. Tal evento ocorre por acetilação das histonas, o que leva à descompactação do DNA, permitindo que este seja ativo, capaz de realizar a transcrição. 74

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Uma analogia para compreender

o comportamento do DNA é a compactação dos arquivos em um computador: se este está compactado, a informação não pode ser lida, assim como trechos de DNA compactados (heterocromatina) também não. Para que o arquivo possa ser lido no computador, esse deverá ser descompactado, assim como os fragmentos de eucromatina, o DNA descompactado.

EXONS (Expressed Region): trechos de DNA capazes de codificar proteínas.

Diferentes graus de compactação no DNA: quando compactada, a molécula de DNA está “inacessível”, logo, os genes estarão inativados. Com a descompactação do DNA, os genes serão ativados.

2.

CROMOSSOMOS

Quando as células eucariontes entram em processo de divisão celular, é fundamental que o DNA condense, a fim de evitar que as moléculas fiquem emaranhadas umas às outras, o que poderia comprometer a divisão do material genético para as células-filhas. Assim, todo o material genético nuclear se condensa, formando os cromossomos, filamentos de cromatina condensados. Mas então, qual a diferença entre cromatina e cromossomo? O grau de compactação, pois as duas estruturas são formadas por DNA e histonas, entretanto, o cromossomo apresenta maior grau de compactação, enquanto a cromatina, principalmente a eucromatina, menor grau. Durante a divisão de uma célula, serão encontrados cromossomos e, na fase de interfase (quando a célula não está se dividindo), cromatina.

INTRONS (Intragenic Region): DNA não codificante.

A Cromatina Sexual, também chamado de corpúsculo de Barr, é o nome dado ao cromossomo X inativo e condensado das células que constituem as fêmeas de mamíferos. Nos seres humanos, cada célula feminina possui dois cromossomos X (um de origem materna e outro paterna), acontecendo condensação ao acaso de um desses cromossomos. No gênero masculino, exceto a ocorrência de síndrome de Klinefelter, os organismos não apresentam cromatina sexual. A presença ou não de cromatina sexual permite análise com diagnóstico citológico do sexo genético, a partir do cromossomo condensado na forma de um pequeno grânulo visível em preparações de células tratadas com corantes para observação microscópica no núcleo, podendo, assim, ser um método empregado na determinação do sexo de um indivíduo, quando os caracteres fenotípicos são duvidosos.

Estrutura do cromossomo Um cromossomo simples é representado por uma molécula de DNA, associada a moléculas da proteína histona. Sua estrutura é conhecida também como cromátide, que normalmente é formada por dois braços, unidos pelo centrômero (contrição primária). Já o cromossomo duplicado, é formado por duas moléculas de DNA, idênticas (à exceção de mutações), conhecidas como cromátides-irmãs. Durante a interfase, a célula prepara-se para futura divisão e um dos principais eventos desta preparação é a duplicação dos cromossomos. Cada cromossomo simples produz um outro idêntico e os dois permanecem aderidos um ao outro por meio de proteínas especiais, as coesinas. Estas cópias unidas de um cromossomo duplicado são denominadas cromátides-irmãs. As coesinas permanecem ativas até a etapa de divisão chamada anáfase, quando se desagregam e permitem que as cromátides-irmãs se separem, conforme será abordado no capítulo seguinte. Assim, o início da divisão celular é marcado pela condensação dos cromossomos duplicados. Fleming 2023

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Estrutura de um cromossomo duplicado.

O centrômero divide os cromossomos em dois braços cromossômicos. Quanto à posição do centrômero, os cromossomos podem ser classificados em:

Cada vez que a célula se divide, os telômeros são ligeiramente encurtados, e, como não se regeneram, chega a um ponto em que não permitem mais a correta replicação dos cromossomos. Nesse momento, a célula perde completa ou parcialmente a sua capacidade de divisão. Como o processo de renovação do corpo não tolera a morte das células antes da sua divisão correta, o organismo tende a morrer num curto prazo de tempo no momento em que seus telômeros se esgotam. Por diversos motivos, os telômeros também têm sido alvo de pesquisas no ramo da clonagem. O fato é que em todas as clonagens feitas através de transferência nuclear, o ser vivo clonado acaba por morrer muito precocemente, como a ovelha Dolly.

Cromossomos duplicados classificados quanto a posição do centrômero.

Os telômeros (do grego telos, final, e meros, parte) são estruturas constituídas por fileiras repetitivas de proteínas e DNA não codificante que formam as extremidades dos cromossomos. Sua principal função é manter a estabilidade estrutural do cromossomo.

Os cromossomos politênicos são comumente encontrados nas glândulas salivares de mosca Drosophila melanogaster, onde suas células especializadas submetem-se a repetidas replicações do DNA , sem que ocorra a divisão celular.

Um cromossomo duplicado é formado por duas cromátides-irmãs, sendo cada uma constituída por uma molécula de DNA e proteínas do tipo histona. 76

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3.

PLOIDIA DAS CÉLULAS

O termo genoma (n) é usado para designar o conjunto de genes de uma espécie. Considerando que o gene é um fragmento de DNA, que por sua vez forma o cromossomo, pode-se concluir que o genoma de uma espécie está contido em um número específico de cromossomos. Na espécie humana, por exemplo, estima-se que o genoma seja formado por aproximadamente 19.000 genes, contidos em 23 cromossomos. Se uma célula apresenta apenas um conjunto de cromossomos, ou seja, apenas um genoma, será chamada de célula haploide (n), como observado em gametas animais e esporos vegetais, por exemplo. Já células com dois genomas são denominadas de células diploides (2n), como as células somáticas, ou seja, formadoras de tecidos em animais. Estas células possuem dois genomas devido ao encontro dos cromossomos paternos e maternos, surgindo assim, os cromossomos homólogos, ou seja, cromossomos de mesmo tamanho, posição de centrômero e informações genéticas.

O Projeto Genoma Humano foi capaz de sequenciar as três bilhões de bases nitrogenadas da espécie humana, entretanto, sem saber com exatidão quais os fragmentos realmente são capazes de produzir proteínas, que possivelmente representem apenas 1,5% do DNA humano. Esse percentual representa assim, o exoma, ou seja, o conjunto de exons (DNA codificante).

Cromossomos homólogos simples à esquerda e duplicados à direita. Estes cromossomos possuem no mesmo locus gênico, genes responsáveis pelas mesmas características, entretanto, podendo apresentar variações de genes.

4.

CARIÓTIPOS

O cariótipo representa o conjunto de características morfológicas dos cromossomos de uma célula. Na espécie humana, por exemplo, os cariótipos de homens e mulheres são iguais quanto a 22 pares de cromossomos, mas diferem quanto ao 23º par. Os cromossomos comuns a ambos os sexos (do 1 ao 22) são chamados de autossômicos, enquanto os que diferem são chamados de cromossomos sexuais.

Cariótipo haploide humano: cromossomos autossômicos (1 ao 22) e sexuais, onde o masculino é representado pelo Y, enquanto nas mulheres é o X. Fleming 2023

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Os cromossomos usados para a elaboração dos cariótipos costumam ser fotografados quando a célula se encontra em metáfase, uma etapa da mitose que será estudada no próximo capítulo. Esse fato se explica porque o DNA atinge seu grau máximo de condensação nessa etapa.

Cariótipos diploides no homem e na mulher. No homem, o cromossomo X é herdado da mãe, enquanto do pai é herdado o Y. Já na mulher, os dois cromossomos sexuais herdados são do tipo X (um paterno e materno).

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UFRGS) Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações abaixo, referentes aos constituintes do núcleo celular.

( ) A carioteca é uma membrana lipoproteica dupla presente durante as mitoses. ( ) Os nucléolos, corpúsculos ricos em RNA ribossômico, são observados na interfase. ( ) Os cromossomos condensados na fase inicial da mitose são constituídos por duas cromátides. ( ) Cromossomos homólogos são os que apresentam seus genes com alelos idênticos. A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é (A) V – V – F – V. (B) V – F – V – F. (C) F – V – V – F. (D) F – F – V – V. (E) V – F – F – V. Gabarito: C A carioteca, envoltório que delimita o núcleo, é encontrada na célula no período de interfase, enquanto ao longo das divisões celulares, acaba desaparecendo. No caso de cromossomos homólogos, os genes alelos não precisam necessariamente ser idênticos, podendo um ser dominante e o outro recessivo, por exemplo.

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2 (UFU) Com relação aos componentes do núcleo interfásico das células dos eucariontes, é correto afirmar que:

I. A carioteca é constituída por duas membranas lipoprotéicas separadas por um espaço perinuclear. Apresenta muitos poros, denominados de annulli, através dos quais ocorre troca de macromoléculas entre o núcleo e o citoplasma. A carioteca é considerada como uma diferenciação do retículo endoplasmático. II. A cromatina é uma massa densa, formada pelas cromátides que constituem os cromossomos interfásicos. Existem dois tipos de cromatina: eucromatina (mais densa), característica dos eucariontes, e a heterocromatina (menos densa), característica dos procariontes. III. O nucléolo é formado por proteínas, mas também por lipídios, polissacarídeos, água DNA e, principalmente, possui em sua constituição RNA ribossômico. Está(ão) correta(s)? (A) II e III (B) I e II (C) I e III (D) Apenas III Gabarito: C O DNA, quando presente no núcleo interfásico é chamado de cromatina, sendo a eucromatina os fragmentos descompactados e a heterocromatina os mais compactados. Tais termos são utilizados para células eucariontes, já que procariontes não possuem capacidade de compactar o DNA.

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (PUCRS) Sabe-se que o centrômero encontra-se situado em uma região heterocromática, numa constricção que recebe o nome de: (A) satélite. (B) acrocêntrica. (C) secundária. (D) primária. (E) submetacêntrica. 02. (UFMS) Observe as figuras A e B, que são representações de dois organismos distintos, e assinale a alternativa correta.

Figura A

Figura B

(A) A Figura A representa um organismo eucarionte, e a Figura B representa um organismo procarionte. Apresentam diferença na forma. Em B, há a presença de membrana nuclear e cloroplasto. Em A, as enzimas responsáveis pelo processo de respiração localizam-se na mitocôndria. (B) A Figura A representa um organismo eucarionte, e a Figura B representa um organismo procarionte. Apresentam diferença no tamanho. Em B, há a presença de membrana plasmática e organelas citoplasmáticas. Em A, as enzimas responsáveis pelo processo de respiração localizam-se na membrana plasmática. (C) A Figura A representa um organismo procarionte, e a Figura B representa um organismo eucarionte. Apresentam diferença no tamanho. Em B, há a presença de membrana nuclear e organelas citoplasmáticas. Em A, as enzimas responsáveis pelo processo de respiração localizam-se na membrana plasmática. (D) A Figura A representa um organismo procarionte, e a Figura B representa um organismo eucarionte. Apresentam diferença na forma. Em B, há a presença de membrana nuclear e cloroplastos. Em A, as enzimas responsáveis pelo processo de respiração localizam-se no núcleo. (E) A Figura A representa um organismo procarionte, e a Figura B representa um organismo eucarionte. Apresentam diferença no tamanho. Em B, há a presença de membrana plasmática e mitocôndrias. Em A, as enzimas responsáveis pelo processo de respiração localizam-se no citoplasma.

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ANOTAÇÕES

CICLO CELULAR E DIVISÕES CELULARES Introdução A célula, por ser a unidade fisiológica dos seres vivos, realiza diversas funções, como a síntese de proteínas, a duplicação do DNA e a formação de novas células. Apesar de muitas atividades ocorrerem simultaneamente, existem períodos em que diferentes processos ocorrem, formando o chamado ciclo celular. Basicamente, o ciclo celular pode ser dividido em interfase e divisão celular. Neste capítulo, serão abordadas as principais características de cada etapa, assim como os processos de mitose e meiose. 1.

CICLO CELULAR

O tempo que uma célula leva para realizar um ciclo celular é usado como critério para classificação. - Células lábeis: realizam ciclos rápidos e constantes, o que garante a formação de novas células de forma muito eficiente (hiperplasia). Ocorre em células de tecido epitelial (como, por exemplo, a epiderme, onde muitas células são perdidas e rapidamente substituídas por outras) e células hematocitopoiéticas, localizadas na medula óssea, responsáveis pela formação dos elementos figurados do sangue (hemácias, leucócitos e plaquetas). - Células estáveis: costumam permanecer sem processos de divisão, entretanto, sob determinados estímulos, são capazes de formar novas células. São abundantes nos tecidos conjuntivos, como os fibroblastos, que formam fibras proteicas. - Células permanentes: possuem capacidade de realizar todas as atividades do ciclo celular, porém, sem a capacidade de divisão, como células musculares esqueléticas e neurônios (na maioria das vezes). Assim, a explicação do aumento de massa muscular é explicado por hipertrofia (aumento de volume) e não hiperplasia (aumento no número de células).

Capítulo 2

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Ciclo Celular 2. Divisões celulares 3. Mitose 4. Meiose

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 - Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H14 - Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros.

Ciclo celular: interfase e divisão celular (mitose).

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Interfase

O tempo de ciclo celular é variável para cada tipo de célula. Células bacterianas podem realizar todas as tarefas do ciclo em 20 minuntos, enquanto células lábeis humanas levam 20 horas e células estáveis podem realizar o ciclo no período de um ano. Numa célula de epiderme humana, por exemplo, com o ciclo de 20 horas, a fase G1 costuma levar de seis a oito horas, a fase S de oito a dez horas e a fase G2, aproximadamente 2 a 6 horas.

Uma das chaves para a resposta ao dano do DNA é uma proteína chamada p53, um importante supressor tumoral que atua no ponto de checagem de G1, evitando que esse DNA seja passado para as células filhas. A proteína p53 também ativa as enzimas de reparo do DNA e se o dano ao DNA não é reparável, a p53 vai desempenhar a última função: ativar a morte celular programada para que o DNA danificado não seja transmitido. Já os oncogenes são genes associados ao surgimento de tumores (tanto benignos quanto malignos) e surgem a partir de mutações (entre outros fatores, incluindo externos) dos proto-oncogenes, que, por sua vez, estão associados ao crescimento celular e diferenciação celular.

Para facilitar o estudo do ciclo celular, a interfase costuma ser subdividade em três períodos principais: G1, S e G2. No período G1 (do inglês Gap One; primeiro intervalo), a célula realiza a transcrição e a tradução, processos que serão estudados na frente A, juntamente com a estrutura dos ácidos nucleicos. Resumidademnte, a transcrição é a produção de RNA a partir do DNA, enquanto a tradução é a produção de proteínas a partir do RNA. Com a intensa atividade do DNA, RNA e enzimas, o termo “primeiro intervalo” dá uma falsa ideia que a célula apresenta baixa intensidade metabólica. A síntese proteica garante também o crescimento das células filhas que surgiram na etapa anterior (divisão celular). Algumas células podem deixar o ciclo e entrar no período chamado de G0, em que a atividade metabólica se mantém alta, entretanto, as células perdem a capacidade de divisão. Caso uma célula em G0 volte ao ciclo, poderá se dividir, como observado em células estáveis (células ósseas após uma fratura, por exemplo) ou então permanecer constantemente nessa etapa, como ocorre nas células permanentes. Na fase S ( do inglês Synthesis; síntese), ocorre a replicação semiconservativa do DNA, processo que também será estudado na frente A do livro 1. Aqui, a cromatina (conjunto de DNA nuclear) se duplica, para garantir que as células filhas apresentem todo o material genético da célula mãe. Costuma ser a fase mais longa do ciclo. Para terminar a interfase, ocorre a fase G2, em que a célula se prepara para uma nova divisão, já com o DNA duplicado, podendo ocorrer também uma discreta síntese proteica e crescimento celular.

Regulação do ciclo celular O ciclo celular para em determinados pontos e só avança se determinadas condições se verificarem, tais como a presença de uma quantidade adequada de nutrientes ou quando a célula atinge determinadas dimensões. Estes pontos são conhecidos como pontos de checagem e conforme na figura acima, ocorrem nas etapas G1, G2 e na metáfase da mitose. A regulação do ciclo celular é realizada por proteínas chamadas de ciclinas (G1, G1/S, S, M). Como os nomes sugerem, cada ciclina está associada a uma determinada fase, transição, ou conjunto de fases no ciclo celular e ajuda a levar os eventos dessa fase ou período. Por exemplo, a ciclina M promove os eventos da mitose, tais como a desorganização da carioteca e a condensação cromossômica, que serão estudados no item sobre divisões celulares. Muitas vezes, em casos de erros celulares, a célula pode reparar estes erros durante os períodos dos pontos de checagem. Em alguns casos, os erros não podem ser reparados, assim a célula realiza apoptose, ou seja, suicídio celular programado. Caso esta morte não ocorra, a célula permanecerá com esses erros ao longo do ciclo, o que explica o aumento de um tumor (neoplasia). 2.

DIVISÕES CELULARES

A etapa do ciclo celular conhecida como divisão celular é fundamental para garantir o sucesso de uma espécie, afinal, a formação de novas células garante o crescimento dos organismos pluricelulares, das colônias de unicelulares, além de regenerar tecidos e formar células de reprodução, como gametas e esporos. Nos procariontes, os termos mitose e meiose não podem ser aplicados, pois conforme será estudado a seguir, nestes tipos celulares não ocorrem diversos eventos característicos destas divisões. Assim, costuma-se utilizar o termo divisão simples, divisão binária, cissiparidade ou fissão binária. Já em relação aos eucariontes, a divisão que efetivamente faz parte do ciclo celular é a mitose, pois a meiose é um processo final, que formará, por exemplo, gametas em animais e esporos em plantas. A partir do próximo item, serão estudadas as principais funções e características das duas divisões celulares: a mitose e a meiose. 82

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3.

MITOSE

Divisão que garante a formação de células-filhas com a mesma ploidia da célula-mãe. Assim, se a célula for diploide (o que é mais comum), as novas células permanecerão diploides, como por exemplo, na espécie humana, onde a célula com 46 cromossomos, caso sofra mitose, formará duas células-filhas também com 46 cromossomos. Por ser capaz de manter a ploidia, a mitose é conhecida como uma divisão equacional (E!). Células haploides de fungos, triploides e tetraploides de alguns vegetais também sofrem mitose, logo, é uma divisão que independe do tipo de ploidia.

Células diploides humanas possuem 46 cromossomos e a mitose garante a mesma ploidia para as células-filhas.

Funções da mitose - Garante todo o desenvolvimento embrionário, deste a primeira divisão do zigoto; - responsável pelo crescimento de organismos pluricelulares (hiperplasia); - regeneração de tecidos e/ou órgãos; - substituição de células mortas em tecidos, como na epiderme; - reprodução assexuada dos eucariontes unicelulares, como os protozoários; - nas plantas, forma gametas (pois os esporos serão formados por meiose); - nos fungos, além de crescimento, garante a formação de esporos.

Etapas A mitose ocorre de forma contínua, mas, a fim de facilitar o seu estudo, são observadas quatro etapas: I) Prófase, II) Metáfase, III) Anáfase e IV) Telófase (PROMETo ANA TELefonar). Alguns autores podem considerar uma etapa intermediária entre prófase e metáfase, chamada de prometáfase, além da citocinese, ao final da telófase. Quando a célula encontra-se em G2, ou seja, na etapa que antecede a divisão celular, o núcleo está organizado, com carioteca íntegra, além do material genético descompactado, sendo ainda chamado de cromatina, como na imagem abaixo.

Durante o final da fase G1 até final

de G2, ocorre a duplicação dos centríolos, estruturas citoplasmáticas que participam da divisão celular de muitas células eucariontes. A estrutura dos centríolos será estudada no capítulo de citologia, juntamente com outros componentes do citoesqueleto.

A célula em interfase apresenta núcleo organizado e DNA descompactado (cromatina).

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O exemplo que será utilizado para compreender as etapas da mitose será de uma célula diploide com quatro cromossomos (dois paternos e dois maternos), logo, as duas células-filhas deverão apresentar quatro cromossomos cada.

• I) Prófase - Os cromossomos, que foram duplicados durante a fase S da interfase, se condensam (cromatina passa a se chamar cromossomo); - os microtúbulos (constituintes do citoesqueleto) formam o fuso mitótico e o cromossomo mitótico consiste em duas cromátides (cromossomos duplicados) que estão conectadas pelo centrômero; - na superfície deste centrômero, existem dois cinetócoros, um deles está associado à cromátide e outro associado ao fuso mitótico. É por meio dele que resulta a movimentação dos cromossomos; - ocorre a desorganização da carioteca e desaparecimento do nucléolo. Essa desorganização nuclear é fundamental para que os cromossomos possam se movimentar no citoplasma.

O rompimento da carioteca ocorre devido ao aumento de volume da cariolinfa, ou seja, da porção líquida do núcleo.

As fibras do fuso podem ser divididas em três tipos: as fibras do áster, que permanecem pequenas ao redor dos centríolos; as fibras polares, que se estendem de um polo celular ao outro; e as fibras cromossômicas, que se ligam aos centrômeros dos cromossomos, num complexo de proteínas chamado de cinetócoro.

Na prófase, o DNA se compacta, formando os cromossomos.

• II) Metáfase A colchicina é um alcaloide que inibe a formação das proteínas do fuso na metáfase e assim a célula não entra no próximo estágio de divisão, a anáfase, em que as cromátides-irmãs são separadas. Na presença dessa droga, a mitose ocorre normalmente, mas é interrompida na metáfase, o que facilita o estudo dos cariótipos.

- Graças a atividade cinética (de movimento) das fibras cromossômicas, os cromossomos se movimentam de tal maneira a se alinhar na região equatorial da célula, numa região conhecida como placa equatorial ou placa metafásica; - os cromossomos atingem condensação máxima, o que os torna propícios para estudos de cariótipos, conforme visto no capítulo anterior; - os centríolos se encontram nos polos celulares. Placa metafásica

Durante a metáfase, mais um importante ponto de checagem ocorre e, caso os cromossomos não fiquem alinhados na placa equatorial, pode ocorrer o suicídio celular programado (apoptose). Inúmeras pesquisas buscam novas substâncias (quimioterápicos) que obriguem as células neoplásicas a sofrer apoptose, a fim de eliminar as células tumorais. Na metáfase, os cromossomos atigem a compactação máxima, além de ocuparem a placa metafásica.

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• III) Anáfase - Devido ao encurtamento das fibras cromossômicas, ocorre a separação das cromátides-irmãs, evento determinante para que as futuras células-filhas herdem todos os cromossomos da célula-mãe. Tal encurtamento ocorre devido à perda de proteínas do tipo tubulina nos microtúbulos que formam as fibras;

O encurtamento das fibras cromossômicas garante a separação das cromátides-irmãs.

• IV) Telófase - Separação completa das cromátides irmãs para cada polo da célula e descompactação dos cromossomos-filhos; - reconstituição da carioteca ao redor dos cromossomos e dissolução do aparato mitótico; - como ocorre a reorganização dos núcleos, os nucléolos reaparecem; - rompimento citoplasmático na zona equatorial da célula-mãe, que termina por dividir o citoplasma e suas organelas em duas partes iguais, evento chamado de citocinese. Neste ponto, a célula termina a fase de divisão celular e entra na fase de interfase, iniciando um novo ciclo.

Na telófase, ocorre a formação das duas células-filhas.

A partir do exemplo estudado, é possível identificar a presença dos quatro cromossomos simples em cada célula-filha, comprovando o caráter equacional da mitose. Cada célula-filha, ao passar pela fase S da interfase, irá duplicar o DNA, garantindo assim, uma próxima divisão celular. Em resumo, pode-se dizer que na mitose o número de cromossomos se mantém o mesmo, mas a quantidade de DNA cai pela metade, pois a célula-mãe apresenta cromossmos duplicados (duas moléculas de DNA), enquanto as células filhas apresentam cromossomos simples (uma molécula de DNA). No exemplo utilizado acima, quatro cromossomos duplicados representam oito moléculas de DNA, enquanto quatro cromossomos simples possuem quatro moléculas de DNA. Fleming 2023

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Na mitose, o número de cromossomos se mantém o mesmo, porém, a quantidade de DNA cai pela metade.

Na fase S ocorre a duplicação do DNA, enquanto na anáfase mitótica a separação das cromátides-irmãs faz com que as células-filhas tenham a metade da quantidade de DNA da célula-mãe.

Quanto à citocinese, nas células animais ocorre o estrangulamento de um anel de actina, o que provoca a separação do material citoplasmático, processo chamado de citocinese centrípeta (de fora para dentro). Já nas nas células vegetais fragmentos do complexo golgiense, chamados de fragmoplastos, crescem do centro para a periferia da célula até tocar na parede celular separando as duas células-filhas, na chamada citocinese centrífuga. MITOSE

A citocinese vegetal, ao final da telófase, é do tipo centrífuga.

Outras diferenças entre as mitoses em animais e vegetais é a ausência de fibras do áster no segundo grupo, além de ausência de centríolos em vegetais do tipo espermatófitas (gimnospermas e angiospermas).

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Característica

Célula animal

Célula vegetal

Fibras do áster

Presente (Astral)

Ausente (Anastral)

Centríolo

Presente (Cêntrica)

Ausente em espermatófitas (Acêntrica)

Citocinese

Anel contrátil de actina Centrípeta (fora para dentro)

Fragmoplasto Centrífuga (dentro para fora)

4.

MEIOSE

Processo reducional, responsável por formar quatro células haploides a partir de uma célula diploide. Na verdade, não se trata de uma divisão, mas sim duas, onde a meiose I é efetivamente reducional.

Tipos de meiose e ciclos de vida A meiose pode ser responsável pela formação de gametas em animais e algas; esporos em vegetais e algas; adultos haploides em fungos e algas. O momento de ocorrência do processo meiótico define os tipos de ciclos de vida. Na meiose Inicial ou zigótica, o zigoto divide-se por meiose e resulta um indivíduo formado por células haploides. É o tipo mais primitivo e ocorre em alguns fungos, algas e protozoários, definindo o ciclo de vida do tipo haplobionte (apenas um tipo de indivíduo adulto no ciclo) haplonte (pois esse indivíduo é haploide).

Na meiose zigótica, as células que formam os indivíduos adultos serão haploides, como observado em fungos.

Na meiose final ou gamética, comum nos animais, há formação de gametas. É considerada final por ocorrer no último estágio de vida, o estágio adulto e participa do ciclo haplobionte (um tipo de indivíduo adulto) diplonte (pois o adulto, é diploide, fruto do encontro de dois gametas haploides).

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Nos animais, a meiose gamética forma gametas haploides, que, ao se fundirem, formarão seres diploides.

Na meiose intermediária ou espórica, que ocorre em plantas e algas com alternância de gerações, há formação de esporos. É encontrada no ciclo diplobionte (dois tipos de indivíduos adultos, o gametófito haploide e o esporófito diploide), também conhecido como alternância de gerações.

Nos vegetais, a meiose espórica garante a formação de células assexuadas, os esporos.

Etapas da meiose Como são duas divisões, a meiose é dividida em meiose I (prófase I, metáfase I, anáfase I e telófase I) e meiose II (prófase II, metáfase II, anáfase II e telófase II). Entre as duas divisões, as células passam por um rápido intervalo conhecido como intercinese. No exemplo abaixo, a célula é 2n = 6, logo, deverão ser formadas ao final das duas meioses, quatro células n = 3.

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Meiose I • I) Prófase I: momento em que os cromossomos homólogos pareiam (sinapse cromossômica) e podem trocar partes de suas cromátides (crossing-over). Como ocorrem diversos processos, a prófase I costuma ser subdividida em: Leptóteno: início da condensação dos cromossomos. Zigóteno: sinapse cromossômica (emparelhamento dos cromossomos homólogos) a partir do complexo sinaptonêmico (complexo de proteínas). Paquíteno: formação das tétrades ou bivalente (dois cromossomos homólogos emparelhados) e ocorrência do crossing-over ou permutação. A troca de fragmentos entre cromátides homólogas aumenta a variedade de gametas formados. Diplóteno: início do afastamento de cromossomos homólogos devido ao desaparecimento do complexo sinaptonêmico. Os cromossomos permanecem unidos por áreas onde ocorreu a permutação, locais denominados de quiasmas. Diacinese: continua o afastamento dos homólogos, unidos apenas pelos quiasmas (fenômeno conhecido como terminalização dos quiasmas). Desaparecimento do nucléolo e desorganização da carioteca. Dica: Led Zeppelin Para Deus e o Diabo ou Linda Zebra Passeando Durante o Dia.

Durante a prófase I, o pareamento dos cromossomos homólogos permite a ocorrência do crossing over, importante fonte de variabilidade genética.

O crossing over é um processo que que envolve cromátides homólogas, em que ocorre a quebra dessas cromátides em certos pontos, seguida de uma troca de fragmentos correspondentes entre elas. Como consequência, as trocas provocam o surgimento de novas sequências de genes ao longo dos cromossomos, aumentando a variabilidade genética no conjunto de células produzidas. A formação de gametas a partir de células que sofreram o crossing (os chamados gametas recombinantes) será estudada no capítulo de genética “genes ligados”.

O crossing over permite a troca entre cromátides de cromossomos homólogos. Fleming 2023

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• II) Metáfase I Já com a desorganização da carioteca e os centríolos nos polos celulares, os cromossomos homólogos pareados se localizam na placa equatorial. Cada cromossomo fica preso a uma única fibra cromossômica, ao contrário da metáfase mitótica, em que os cromossomos individualizados ficam presos por duas fibras (uma de cada polo).

Na metáfase I, os cromossomos homólogos pareados se encontram na placa equatorial.

• III) Anáfase I Devido ao encurtamento das fibras cromossômicas, os cromossmos homólogos migram para os polos opostos, sem que ocorra divisão do centrômero e separação de cromátides-irmãs. O evento obervado, a separação dos cromossomos homólogos, é determinante para o caráter reducional da meiose I, além de explicar a Primeira Lei de Mendel, que será estudada nos próximos capítulos.

Na anáfase I ocorre a separação dos cromossomos homólogos.

• IV) Telófase I - A carioteca se reorganiza e os cromossomos se descompactam, desaparecendo o fuso acromático. Às vezes, no entanto, isto não ocorre e os cromossomos sofrem diretamente a segunda divisão meiótica; - cada célula apresenta metade do número de cromossomos constituídos por duas cromátides; - geralmente, após a primeira divisão meiótica se completar, ocorre a citocinese I, ou seja, a divisão do material citoplasmático, surgindo as duas células-filhas; - durante o breve período entre as duas meioses, chamado de intercinese, os centrossomos (região onde surgem os centríolos) se duplicam nas duas células-filhas recém-formadas.

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SE CINE CITO

Na telófase I, as duas células-filhas já são haploides, com cromossomos duplicados.

Meiose II Semelhate à mitose, onde duas células haploides provenientes da meiose I formam quatro células também haploides, entretanto, com cromossmos simples (devido à separação das cromátides-irmãs).

• I) Prófase II: condensação cromossômica, desorganização da carioteca e nucléolo. Não ocorre crossing over;

• II) Metáfase II: cromossomos em máxima condensação, localizados na placa equatorial. Ao contrário da metáfase I, cada cromossomo está ligado a microtúbulos em ambos os lados do centrômero.

• III) Anáfase II: separação das cromátides-irmãs pela liberação de moléculas de tubulina dos microtúbulos próximo ao centrômero;

• IV) Telófase II: cromossomos se descondensam, reaparecimento do nucléolo e carioteca. Ocorre a citocinese II e surgem duas células-filhas para cada célula que passou pela meiose II.

Na meiose II, os eventos são muito semelhantes à mitose

.

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Na sequência, um resumo das duas divisões que caracterizam a meiose. Na meiose I, pareamento de cromossomos homólogos, crossing over e redução da ploidia pela metade são os eventos mais importantes, enquanto na meiose II, destaca-se a separação das cromátides-irmãs, tal qual a mitose. No início da meiose I do esquema abaixo, quatro cromossomos duplicados representam oito moléculas de DNA, enquanto no início da meiose II, há, em cada célula-filha, dois cromossomos duplicados, ou seja, quatro moléculas de DNA. Ao final da meiose II, cada célula-filha possui dois cromossomos simples, portanto, duas moléculas de DNA. Assim, conclui-se que a quantidade de DNA ao longo da meiose cai quatro vezes (de oito para duas moléculas, no exemplo abaixo).

Resumo da meiose, sendo a meiose I reducional e a II, equacional.

Na meiose I, a separação dos cromossomos homólogos e na meiose II, a separação das cromátides-irmãs garantem a diminuição na quantidade de DNA.

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (PUCRS) Considere ilustrações abaixo.

A

B

As ilustrações representam duas células durante a divisão celular de um organismo com número diploide de cromossomos igual a oito (2n = 8). Ao analisar ambas as células, conclui-se que as células A e B se encontram, respectivamente, na anáfase da: (A) meiose I e meiose II. (B) meiose I e mitose. (C) mitose e meiose I. (D) mitose e meiose II. (E) meiose II e mitose. Gabarito: A Na meiose I, os cromossomos homólogos se encontram pareados durante a meiose I e metáfase I. Assim, como consequência do encurtamento das fibras cromossômicas na anáfase, ocorrerá a separação dos cromossomos homólogos. Já no segundo desenho, o número de cromossomos é a metade da primeira célula, caracterizando uma célula haploide, com separação de cromátides-irmãs.

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UNIOESTE) Considere as associações abaixo sobre as fases da meiose e suas características. Fases Anáfase I Prófase I Metáfase I Telófase Metáfase II Telófase II

Características Cromossomos duplicados nos polos da célula com divisão dos centrômeros Permuta gênica entre cromossomos homólogos. Os cromossomos permanecem unidos pelos quiasmas. Os cromossomos encontram-se nos polos e duplicados. Cromossomos não alinhados no equador da célula e não permutados. Cada uma das células formadas apresenta cromossomos não duplicados e geneticamente diferentes.

Assinale a alternativa cujas associações estão todas corretas. (A) II, V, VI. (B) II, IV, VI. (C) II, III, VI. (D) I, III, V. (E) I, V, VI. 02. (UEL) Leia o texto a seguir. Quando se fala em divisão celular, não valem as regras matemáticas: para uma célula dividir significa duplicar. A célula se divide ao meio, mas antes duplica o programa genético localizado em seus cromossomos. Isso permite que cada uma das células-filhas reconstitua tudo o que foi dividido no processo. AMABIS, J. M.; MARTHO, G. R. Biologia v.1. São Paulo: Moderna, 1994. p.203.

Considerando uma célula haploide com 8 cromossomos (n = 8), assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a constituição cromossômica dessa célula em divisão na fase de metáfase da mitose. (A) 8 cromossomos distintos, cada um com 1 cromátide. (B) 8 cromossomos distintos, cada um com 2 cromátides. (C) 8 cromossomos pareados 2 a 2, cada um com 1 cromátide. (D) 8 cromossomos pareados 2 a 2, cada um com 2 cromátides. (E) 8 cromossomos pareados 4 a 4, cada um com 2 cromátides.

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03. (FUVEST) Analise os eventos mitóticos relacionados abaixo: I. II. III. IV.

Desaparecimento da membrana nuclear. Divisão dos centrômeros. Migração dos cromossomos para os pólos do fuso. Posicionamento dos cromossomos na região mediana do fuso.

Qual das alternativas indica corretamente sua ordem temporal? (A) IV – I – II – III (B) I – IV – III – II (C) I – II – IV – III (D) I – IV – II – III (E) IV – I – III – II

GENÉTICA I

Capítulo 3

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Genética é a ciência que estuda os padrões de herança reprodutiva, a variação de diversas características, além do conjunto de fenômenos e problemas relativos à hereditariedade. Assim como outras áreas da ciência, a genética evoluiu muito, iniciando com as observações em variações de características realizadas por Gregor Mendel até chegarmos nos conhecimentos atuais, como o sequenciamento de genomas, edições de DNA e outros processos que serão estudados no livro 4, em Biotecnologia.

OS ESTUDOS DE MENDEL E A PRIMEIRA LEI 1.

1. Os estudos de Mendel e a Primeira Lei 2. Nomenclatura na genética 3. Heredogramas e tipos de heranças 4. Monoibridismo e alelos letais 5. Polialelia e sistema ABO 6. Sistema Rh

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 - Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H15 - Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.

Gregor Mendel, o pai da genética.

As leis da hereditariedade sobre as quais a moderna ciência da genética está baseada foram descobertas pelo monge austríaco Gregor Mendel (1822 – 1884). Apesar de sua importância, suas descobertas permaneceram desconhecidas por mais de 30 anos após ter completado os seus experimentos. Os experimentos de Mendel com as ervilhas-de-jardim iniciaram em 1856 nos jardins do monastério onde ele vivia, onde propôs que a existência de características tais como as cores das flores é devido a ocorrência de um par de unidades elementares de hereditariedade, agora conhecidas como genes. Em seus experimentos, Mendel tinha por objetivo entender os padrões de transmissão de características através das gerações, realizando cruzamentos experimentais com ervilhas-de-cheiro, que apresentam ciclo reprodutivo curto e variedades com características simples, visíveis e contrastantes, conforme exemplos na tabela abaixo. Característica Textura da semente Cor da semente Cor do fruto (vagem) Cor da flor

1º Variação Lisa Amarela Verde Púrpura

2º Variação Rugosa Verde Amarela Branca

Noções a respeito de probabilidades: probabilidade pode ser definida como a forma de expressar numericamente a chance de ocorrência de um entre os vários eventos possíveis. Dois ou mais eventos são ditos exclusivos quando a ocorrência de um deles implicar, obrigatoriamente, exclusão dos demais. Um exemplo: num determinado jogo de dados, o prêmio em dinheiro será daquele que obtiver, em um único lançamento, a face 3 ou 5. Nesse caso, as chances dos apostadores são maiores, pois qualquer um dos dois á válido para a obtenção do prêmio. Como cada uma das faces tem 1/6 de chances de aparecer, a probabilidade de um jogador conseguir o prêmio será de 1/6 + 1/6 = 2/6 Dois ou mais eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não exercer qualquer influência sobre os demais. Imagine que num jogo de dados, o jogador ganha o prêmio se em duas jogadas consecutivas aparecerem as faces 3 e 5, nessa ordem. Neste caso, a probabilidade do jogador ganhar o prêmio é de 1/6 x 1/6 = 1/36.

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Atualmente, a partir da lei da segregação, pode-se afirmar que: - os filhos herdam dos pais “instruções genéticas”, os genes, a partir das quais desenvolvem suas características. Estes genes são transmitidos por células reprodutivas, como os gametas, que contêm um conjunto completo de genes (um genoma), típico da espécie. - os genes ocorrem aos pares em cada indivíduo, pois este se forma pela fusão de dois gametas, um de origem materna e o outro de origem paterna (fecundação); - as duas versões de cada gene, uma recebida do pai e outra da mãe, são denominados alelos, e não se misturam no filho, separando-se quando este forma gametas.

Antes de iniciar cada cruzamento, Mendel certifica-se de estar lidando com plantas de linhagens puras. Para ele, eram puras as linhagens que, por autofecundação, davam origem somente a plantas iguais a si. Nos cruzamentos realizados por Mendel, plantas puras formavam a geração parental (P), a descendência imediata destes cruzamentos era chamada de primeira geração híbrida (F1) e a descendência resultante da autofecundação de F1 era denominada segunda geração híbrida (F2). Tal nomenclatura é utilizada até hoje. Mendel observou que os indivíduos da F1 eram sempre iguais a um dos pais. No caso da cor da semente da ervilha-de-cheiro, plantas de F1, resultantes do cruzamento de uma planta de semente amarela e outra de semente verde, produziam sempre sementes amarelas. A variação de sementes verdes simplesmente desaparecia na F1, reaparecendo em F2. Isso levou Mendel a concluir que, nas plantas da geração de F1, o traço de um dos pais ficava encoberto, reaparecendo novamente na F2. O traço que desaparecia nas plantas híbridas foi chamado de recessivo, enquanto o traço que se manifestava foi chamado de dominante. Em um problema de genética que conste apenas uma característica, onde um gene alelo domina sobre outro, é utilizado o termo Monoibridismo com dominância. O aspecto essencial da hipótese testada por Mendel é a separação dos cromossomos homólogos durante a meiose I (mais precisamente na anáfase I). Segundo suas palavras: “os fatores (genes alelos) que condicionam uma característica segregam-se (separam-se) na formação dos gametas; estes, portanto, são puros com relação a cada fator”. Esse enunciado forma a Lei da segregação dos fatores ou 1º Lei de Mendel. 2.

NOMENCLATURA NA GENÉTICA

Os genes alelos são aqueles que ocupam a mesma posição (lócus gênico) em cromossomos homólogos. Considerando que nas células somáticas (diploides) os cromossomos estão sempre aos pares, conclui-se que a expressão dos genes também se dá aos pares. O genótipo é o conjunto de genes recebido pelo indivíduo dos seus respectivos pais, durante a fecundação ou a constituição genética de um indivíduo (herança genética). Quando, para um determinado caráter, o indivíduo possuir ambos os genes dominantes ou ambos recessivos, ele é dito puro ou homozigoto (AA ou aa). Sendo AA, o genótipo é denominado homozigoto dominante e aa, homozigoto recessivo. Já o indivíduo híbrido ou heterozigoto apresenta alelos diferentes no mesmo lócus (Aa).

Representação de pares de cromossomos homólogos simples, com apenas uma cromátide. Os genes alelos ocupam o mesmo lócus gênico.

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Já o fenótipo refere-se às características observáveis de uma espécie, que são determinadas por genes e que podem ser alteradas pelo ambiente, como por exemplo as cores das sementes de ervilha, o tipo sanguíneo do sistema ABO, do sistema Rh, a altura das plantas, a cor da pele em humanos etc.

Em flores, o pH do solo pode influenciar o fenótipo, comprovando a importância do ambiente sobre diversas características dos seres vivos.

A fenocópia é uma característica que, embora adquirida, pode ser confundida com uma similar geneticamente determinada, como em humanos, onde surgem indivíduos surdos-mudos devido a uma infecção adquirida no período de amamentação. No quadro de Punnett, cruzamentos podem ser esquematizados na forma de uma tabela com duas colunas, correspondentes aos gametas de um dos sexos, e com duas linhas, correspondentes aos gametas do sexo oposto. Exemplo: cruzamento entre planta de ervilhas amarelas heterozigotas (Aa x Aa).

A análise do cruzamento acima permite concluir que a proporção genotípica esperada é de 1/4 de AA, 2/4 de Aa e 1/4 de aa. Usando o exemplo trabalhado por Mendel, onde A = semente amarela e a = semente verde, a proporção fenotípica esperada é de 3/4 de plantas produtores de sementes amarelas e 1/4 de plantas que produzirão sementes verdes, afinal, o padrão dominante amarelo, se manifesta tanto em homozigose dominante (AA) quanto heterozigose (Aa). Aplicando a “regra do ou”: a planta é amarela sendo AA ou Aa, logo 1/4 + 2/4 = 3/4. Tal resultado é considerado o padrão para o cruzamento de dois indivíduos heterozigotos no monoibridismo com dominância: 3 do padrão dominante : 1 do padrão recessivo, conforme será estudo a seguir. Na expressividade gênica (norma de reação), um mesmo genótipo pode expressar distintos fenótipos, como no caso dos cães da raça Beagle, em que os diferentes padrões de manchas (distintos fenótipos) são provenientes de um mesmo genótipo. Esse caso é conhecido como expressividade gênica variável, em que certos genótipos estão sujeitos às influências ambientais, manifestando-se numa grande quantidade de expressões fenotípicas. Caso o padrão de pelo seja uniforme, sem variações de manchas, utiliza-se o termo expressividade gênica uniforme.

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Os diferentes padrões de manchas em cães da raça Beagle são provenientes de um mesmo genótipo, caso clássico de expressividade gênica variável.

A penetrância gênica é a frequência em que um gene é expresso, definida pela porcentagem de pessoas que possuem o gene e que desenvolvem o fenótipo correspondente. Um gene de alta penetrância costuma expressar o fenótipo na maioria de seus portadores, enquanto genes de baixa penetrância se expressam em baixa porcentagem em indivíduos que os possuem. Por exemplo, se a penetrância para o gene para a doença de Huntington é de 100%, significa que 100% dos portadores desse gene expressam o fenótipo correspondente. Alguns genes possuem uma penetrância incompleta, ou seja, apenas uma parcela dos portadores do genótipo apresenta o fenótipo correspondente. Para determinar o genótipo de um indivíduo com o fenótipo dominante (A_), realiza-se o chamado cruzamento teste, o qual irá cruzar este indivíduo com outro indivíduo que seja homozigoto recessivo (aa). Se, no resultado do cruzamento, surgirem indivíduos com fenótipo recessivo (aa), o indivíduo parental que se deseja saber o genótipo é Aa, e, caso o resultado for de muitos indivíduos apenas dominantes (Aa), o genótipo do parental será AA, evitando, assim, o nascimento de indivíduos aa.

HEREDOGRAMAS E TIPOS DE HERANÇAS 3.

Heredogramas Heredogramas são representações gráficas das relações de parentesco entre indivíduos de uma família, onde cada indivíduo é representado por um símbolo, que indica suas características particulares e sua relação de parentesco com os demais. É uma maneira de resumir informações genéticas, facilitando a interpretação de uma doença, de um padrão estudado.

Gêmeos monozigóticos

Gêmeos dizigóticos

Cruzamento consanguíneo

Principais símbolos utilizados em heredogramas. 98

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Os números romanos, que costumam aparecer ao lado esquerdo do heredograma, representam as gerações, enquanto os números arábicos representam os indivíduos, conforme exemplo abaixo, onde os indivíduos afetados são os representados por II.2, II.3 e III.1.

Tipos de herança I) Herança autossômica: ocorre quando os genes estão localizados nos cromossomos autossômicos, ou seja, naqueles encontrados em indivíduos de ambos os sexos. Genes que definem a cor da pele, o sistema ABO, Rh, altura são exemplos desse tipo de herança, logo, ocorrem em mesma frequência em indivíduos masculinos e femininos. II) Herança sexual: genes localizados nos cromossomos sexuais (que podem ser do tipo X,Y, Z e W), o que pode determinar frequências distintas nos dois sexos. Por exemplo, o daltonismo costuma ser mais comum em homens, enquanto a síndrome de Turner acomete apenas mulheres. Esse tipo de herança será estudado mais adiante. Tanto as heranças do tipo autossômica quanto sexual podem ser dominantes quanto recessivas: III) Herança recessiva: os distúrbios recessivos, quando autossômicos, expressam-se apenas em homozigotos, que, portanto, devem ter herdado um alelo mutante de cada genitor. Por exemplo, no albinismo, o indivíduo afetado (aa) certamente herdou um gene alelo recessivo de cada parental. Logo, não necessariamente seus pais devam ser albinos.

Na herança recessiva, pais não afetados podem ter filhos afetados, enquanto pais afetados, sempre terão filhos afetados.

IV) Herança dominante: na herança dominante, um fenótipo é expresso da mesma maneira em homozigotos e heterozigotos. Toda pessoa afetada em um heredograma possui um genitor afetado, que por sua vez possui um genitor afetado, e assim por diante. Ao contrário, familiares fenotipicamente normais não transmitem o fenótipo para seus filhos.

Na herança dominante, um indivíduo afetado certamente tem um dos parentais afetados e pais afetados podem ter filhos não afetados.

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4.

MONOIBRIDISMO E ALELOS LETAIS

No monoibridismo, considera-se apenas um par de genes alelos (A e a, por exemplo), se tratando dos exemplos mais comuns e básicos de genética.

Monoibridismo com dominância - Herança condicionada por um par de alelos. - dois fenótipos possíveis em F2 (amarelo e verde). - três genótipos possíveis em F2 (AA, Aa, aa). - proporção fenotípica:3:1 - proporção genotípica: 1:2:1 Ex.: cor das sementes em ervilhas. P: planta com sementes amarelas homozigotas (AA) x planta com sementes verdes homozigotas (aa) F1: 100% de plantas com sementes amarelas heterozigotas (Aa) F1 x F1: amarelas heterozigotas (Aa) x amarelas heterozigotas (Aa) F2: 75% amarelas: 1/4 AA + 2/4 Aa = 3/4 25% verdes: 1/4 aa

Monoibridismo com dominância incompleta O fenótipo dos indivíduos heterozigotos é intermediário, em termos quantitativos, entre os fenótipos dos dois homozigotos. Portanto, não há dominância de um alelo do gene em relação a outro. Exemplo: na determinação genética da cor da flor da planta conhecida como boca-de-leão, a presença de dois alelos funcionais nas células das pétalas gera pigmento em quantidade suficiente para que a flor seja vermelha. Nos indivíduos heterozigotos, a quantidade de pigmento é cerca de metade daquela que se forma nos homozigóticos, o que faz a cor das pétalas ser mais clara, cor-de-rosa. Indivíduos homozigóticos com dois alelos que não determinam produção de pigmento têm flores brancas. - Herança condicionada por um par de alelos; - três fenótipos possíveis em F2 (vermelho, rosa e branco); - três genótipos possíveis em F2 (RR, RW, WW); - proporção fenotípica: 1:2:1; - proporção genotípica: 1:2:1. Ex.: cor das pétalas.

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Em casos de monoibridismo com codominância, o genótipo heterozigoto expressa os dois fenótipos extremos, como plantas heterozigotas com manchas vermelhas e brancas; e pessoas de sangue AB, em que as hemácias apresentam ambos os aglutinogênios (A e B) na sua membrana.

No monoibridismo sem dominância, plantas heterozigotas expressam um fenótipo intermediário.

Em casos de genes alelos letais, como o próprio nome sugere, sua presença determina a morte do indivíduo, podendo exercer o seu efeito letal antes ou depois do nascimento. Se o efeito é tardio, ele não provoca alteração nas proporções genotípica e fenotípica. Porém, há genes letais que provocam a morte dos embriões antes do nascimento e, nesses casos, as proporções obtidas na descendência de um cruzamento serão diferentes das proporções clássicas do monoibridismo (2:1). Os genes letais podem ser dominantes ou então recessivos. Um exemplo de letal recessivo é o que determina a cor da pelagem e a sobrevivência de camundongos. Um alelo mutante desse gene, conhecido como Ay, determina pelagem amarela na condição heterozigótica com o alelo selvagem A (AyA), mas mata seu portador na condição homozigótica (AyAy). O alelo Ay atua, portanto, na característica cor da pelagem e na característica sobrevivência. O genótipo AA determina o padrão cinza.

Em algumas espécies vegetais, o genótipo heterozigoto é responsável por manifestar dois fenótipos, o que explica o fato da planta ter manchas em duas cores.

Monoibridismo com dominância incompleta = heterozigoto produz flores na cor rosa Monoibridismo com codominância = heterozigoto produz flores com manchas vermelhas e manchas brancas.

Em genes letais, o genótipo letal deve ser desconsiderado. Logo, a proporção fenotípica do exemplo acima é de 2 : 1.

5.

POLIALELIA (ALELOS MÚLTIPLOS)

Certos genes podem apresentar três ou mais alelos para uma determinada característica, devido à ocorrência de mutações (lembre que mutações aumentam a variabilidade genética, inclusive criando novos genes). Embora existam três ou mais versões (alelos) de um gene na população, cada indivíduo diploide possuirá apenas dois alelos, um de origem paterna e outro materno. Por exemplo, se numa população existe um gene selvagem A e dois mutantes (o gene a e o gene a1) em cada indivíduo, é possível encontrar, no máximo, dois tipos de genes: Aa, Aa1, aa1. Indivíduos homozigotos possuem apenas um tipo de alelo (AA, aa ou a1a1). Exemplos clássicos de polialelia são os padrões de pelagem em coelhos e a determinação dos grupos sanguíneos do SISTEMA AB0.

Polialelia: três ou mais genes alelos = 1 característica

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Exemplo 1: a determinação da cor da pelagem de coelhos:

Em 2010, a UFRGS criou uma questão afirmando que o gene alelo para o padrão chinchila apresenta dominância incompleta em relação ao alelo albino e codominância em relação ao alelo himalaia. Assim, um animal de genótipo cchca teria um padrão cinza claro (entre o cinza de chinchila com o branco do albino), e um animal de genótipo cchch teria padrão com manchas na cor cinza, manchas brancas e extremidades pretas.

Genes alelos envolvidos: C: selvagem (aguti). Relação de dominância: C > cch > ch > ca ch c : chinchila (pelo cinza). ch: himalaia (branco com as extremidades escuras). ca: albino (completamente branco). Genótipos para o animal: Selvagem: CC, Ccch, Cch, Cca Chinchila: cchcch, cchch, cchca Himalaia: chch, chca Albino: caca Mesmo existindo quatro genes alelos para a determinação na pelagem nos coelhos, note que cada animal, por ser diploide, possui apenas dois alelos, que por combinações definem o padrão do pelo. Exemplo 2: o sistema ABO na espécie humana: Uma série de três alelos múltiplos determina o tipo sanguíneo do sistema ABO, classificando os indivíduos com quatro fenótipos distintos: os tipos sanguíneos A, B, AB e O. A classificação é baseada na presença de moléculas glicoproteicas na membrana plasmática das hemácias, os aglutinogênios. Essas moléculas podem se comportar como antígenos quando introduzidos no corpo de um indivíduo que não as possui e, assim, induzem a produção de substâncias aglutinadoras, as aglutininas. A descoberta dos grupos sanguíneos por Karl Landsteiner (1868-1943) teve grande importância médica, pois permitiu realizar transfusões de sangue entre pessoas de grupos sanguíneos compatíveis. Se uma pessoa receber sangue de um tipo incompatível com o seu, as hemácias do sangue recebido podem aglutinar e provocar, até mesmo, a morte do indivíduo.

Ausente

Ausente

Aglutinogênios (antígenos) presentes nas hemácias e aglutininas (anticorpos) no plasma definem os diferentes tipos sanguíneos do sistema ABO.

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Observando a imagem acima, nota-se que pessoas de sangue A possuem aglutinogênios do tipo A e aglutininas anti-B; pessoas de sangue B possuem aglutinogênio B e aglutininas anti-A; pessoas de sangue AB possuem os dois aglutinogênios e nenhuma aglutinina; e por fim, pessoas de sangue O não possuem aglutinogênios em suas hemácias e as duas formas de aglutininas no plasma. A ausência de aglutinogênios nas hemácias do sangue O permite que este seja doado para qualquer indivíduo, tornando-o, no sistema ABO, o doador universal. Já a ausência de aglutininas no plasma do sangue AB permite que estes indivíduos recebam qualquer tipo de sangue, o que os torna receptores universais.

O sangue O, por não possuir aglutinogênios, pode ser doado para todos os tipos sanguíneos, enquanto o sangue AB, por não apresentar aglutininas, é considerado o receptor universal.

Em transfusões incompatíveis, as aglutininas provocarão a aglutinação de hemácias, conforme mostrado na figura da direita.

Como determinar o tipo de sangue no sistema ABO: - são necessárias duas gotas de sangue do indivíduo; - em cada gota é colocada um tipo de aglutinina (anti-A e anti-B); - caso ocorra aglutinação na gota de sangue, é sinal de que a aglutinina encontrou seu respectivo aglutinogênio (aglutinina anti-A reage com aglutinogênio A; aglutinina anti-B reage com aglutinogênio B); - caso não ocorra aglutinação na gota de sangue, não há o aglutinogênio respectivo à aglutinina utilizada.

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Exame para a determinação dos tipos sanguíneos.

Em relação à genética do sistema ABO, são encontrados três genes: IA, IB e i, podendo qualquer um dos três ocupar o lócus ABO em cada elemento do par de cromossomos responsáveis por este sistema, o que justifica que uma pessoa possui apenas dois genes para a determinação do sistema ABO. O indivíduo do grupo AB é possuidor de um gene IA e de um gene IB, tendo sido um herdado da mãe e o outro do pai. Ele possui nos seus glóbulos vermelhos os aglutinogênios A e B e seu genótipo é IA IB, revelando um caso de codominância (IA = IB). No caso do grupo O, foi herdado do pai e da mãe o mesmo gene i, assim o indivíduo tem genótipo ii. Este gene não é capaz de produzir aglutinogênios e, portanto, as células de grupo O são reconhecidas pela ausência de aglutinogênios A ou B. Indivíduos do grupo A possuem o gene IA em homozigose ou heterozigose com i, podendo ser respectivamente, IAIA ou IAi e pessoas do grupo B, possuem o gene IB, em homozigose ou heterozigose com o alelo i (IBIB e IBi, respectivamente).

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Fenótipos

Genótipos

Grupo A Grupo B Grupo AB Grupo O

IAIA ou IAi IBIB ou IBi IAIB ii

O Efeito Bombaim (falso O): indivíduos de genótipo HH ou Hh sintetizam uma enzima capaz de formar o Antígeno H, que será transformado em Aglutinogênio A ou Aglutinogênio B, respectivamente pelas enzimas sintetizadas sob o comando dos genes IA e IB. Os indivíduos hh, no entanto, sintetizam uma enzima inativa que não transformará a substância percursora em Antígeno H. Na sua ausência, as enzimas produzidas pelos genes IA e IB são inoperantes e, desta forma, não há aglutinogênios A ou B, surgindo hemácias fenotipicamente iguais a de uma pessoa de sangue O (por isso, o termo “falso O”).

Em um casal, onde um indivíduo possui sangue A e o outro de sangue B, ambos heterozigotos, podem ter filhos com os quatro tipos sanguíneos.

O sistema MN: em 1927, Landsteiner e Levine descobriram dois aglutinogênios nas hemácias humanas, que foram denominados M e N. A produção desses aglutinogénios é condicionada por um par de genes alelos: - Gene AgM - condiciona a produção do aglutinogênio M;

6.

O SISTEMA Rh

Em 1940, Wiener e Landsteiner injetaram numa cobaia os glóbulos vermelhos do macaco da espécie Macaca mullata (antigamente M. rhesus), que desenvolveu anticorpos contra o sangue recebido. Depois, quando os anticorpos produzidos pela cobaia foram injetados no sangue do macaco, acabaram por destruir as hemácias do animal. Tal antígeno foi chamado de fator Rh (as duas primeiras letras de Rhesus) e a substância defensiva produzida pela cobaia recebeu o nome de anticorpos Rh. Pessoas que apresentam o fator Rh em suas hemácias apresentam o fenótipo Rh+ (cerca de 85% da população), enquanto as que não apresentam este fator são Rh-. O tipo de herança do sistema Rh é monoibridismo com dominância completa, sendo pessoas de Rh+ de genótipo RR ou Rr e as de Rh-, de genótipo rr.

- Gene AgN - condiciona a produção do aglutinogênio N. Como entre os genes AgM e AgN não há dominância, podemos distinguir os seguintes fenótipos e genótipos para o sistema MN (caso de codominância). As transfusões sanguíneas efetuadas com incompatibilidade entre grupos do sistema MN não oferecem problema, a não ser quando elas são repetidas muitas vezes. Fenótipos

Genótipos

Grupo M

AgM AgM

Grupo N

AgN AgN

Grupo MN

AgM AgN

Transfusão sanguínea no sistema RH - Doador Rh- pode doar para Rh-; - doador Rh- pode doar para Rh+; - doador Rh+ pode doar para Rh+; - doador Rh+ não pode doar para Rh-, pois o fator Rh atuando como antígeno, induzirá a produção de anti-Rh, provocando a aglutinação no sangue do receptor. Na imagem a seguir, é possível compreender como se realiza a tipagem sanguínea: o uso de anticorpos sobre as gotas de sangue podem levar à aglutinação, revelando a presença do respectivo antígeno. Por exemplo, na pessoa de sangue AB+, repare que as três gotas de sangue sofreram aglutinação, o que revela a presença de três tipos de antígenos: aglutinogênio A, aglutinogênio B e fator Rh. Já na pessoa de sangue O-, nenhuma gota de sangue aglutina, pois não existem aglutinogênios e fator Rh.

Baseado nas incompatibilidades dos sistemas ABO e Rh, a conclusão é que o doador universal possui sangue O-, enquanto o receptor universal apresenta sangue AB+.

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O uso de reagentes Anti-A, Anti-B e Anti-Rh são usados para a determinação dos tipos sanguíneos do sistema ABO e do Rh.

A eritroblastose fetal (doença hemolítica do recém-nascido) Durante a gravidez e principalmente na hora do parto, ocorrem rupturas nos vasos sanguíneos da placenta, com passagem de hemácias da criança Rh+ para a circulação da mãe Rh-. Isso estimula o sistema imunológico da mãe a produzir anticorpos anti-Rh e adquirir uma memória imunitária, ficando sensibilizada quanto ao fator Rh. Nas próximas gestações de filhos de Rh+, os anticorpos anti-Rh atravessam a placenta e destroem as hemácias fetais, processo que ocorre incessantemente ao longo de todo período da gestação. A destruição das hemácias leva à anemia profunda e o recém-nascido adquire icterícia (pele amarelada), devido ao acúmulo de bilirrubina, produzida no fígado a partir de hemoglobina das hemácias destruídas. Como resposta à anemia, são produzidas e lançadas no sangue hemácias imaturas, chamadas de eritroblastos, o que explica o nome da doença. Como profilaxia, até 72 horas após o parto de uma mulher de sangue do tipo Rh-, injeta-se nela um soro com anticorpos anti-Rh (anti-D), cuja a função é destruir rapidamente as hemácias fetais Rh+ que penetram na circulação da mãe durante o parto, antes que seu sistema imunológico seja ativado. Caso seja diagnosticada a eritroblastose, a primeira medida terapêutica é a transfusão de sangue, que pode ser realizada ainda com o feto no útero.

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFRGS) Em genética, o cruzamento-teste é utilizado para determinar

(A) o número de genes responsável por uma característica (B) o padrão de herança de uma característica (C) a recessividade de uma característica (D) o grau de penetrância de uma característica (E) a homozigoze ou a heterozigoze de um gene dominante Gabarito: E Quando se deseja saber se um indivíduo portador de um gene dominante (A_) é homozigoto (AA) ou heterozigoto (Aa), este pode ser cruzado com um outro indivíduo, de genótipo homozigoto recessivo (aa). Caso a descendência seja formada apenas por indivíduos dominantes, o parental dominante é homozigoto (AA). Isso porque se cruzarmos AA x aa, 100% da prole será Aa. Caso sejam 50% de descendentes dominantes e 50% de recessivos, o parental é heterozigoto (Aa), pois do cruzamento de Aa x aa, espera-se 50% da prole Aa e 50% aa. Tal cruzamento com o indivíduo homozigoto recessivo é conhecido como cruzamento-teste.

2 (UFPR) As figuras ao lado representam as frequências do alelo da anemia falciforme

(à esquerda) e as regiões de endemia da malária (à direita), causada pelo Plasmodium falciparum, na África. Regiões com maior quantidade de indivíduos heterozigotos para a anemia falciforme são as que apresentam maior incidência de malária.

Alelo da anemia falciforma 1-5% 5-10% 10-20%

Incidência de malária na África Malária

Por que se observa a coincidência das distribuições dessas duas situações? (A) A malária atinge, preferencialmente, indivíduos com anemia falciforme. (B) Os indivíduos heterozigotos têm menor chance de contrair o Plasmodium. (C) Os indivíduos infectados pela malária têm maiores chances de desenvolver anemia falciforme. (D) Os indivíduos heterozigotos têm maior chance de sobreviver quando infectados pelo Plasmodium. (E) O Plasmodium invade apenas as hemácias em forma de foice, típica dos indivíduos com anemia falciforme. Gabarito: D O padrão genético da anemia falciforme é do tipo codominância, ou seja, indivíduos heterozigotos possuem hemácias normais e hemácias falciformes. A presença deste último de hemácia, protege os indivíduos dos efeitos da malária, sendo uma vantagem em regiões de ocorrência da doença.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) O quadro apresenta a distribuição dos 4 diferentes alelos do gene A cujas combinações genotípicas são responsáveis pelos padrões de coloração da pelagem de algumas raças caninas. Padrão de coloração tan dourada dourada

Raça Doberman Collie Collie Pastor de Shetland Pastor de Shetland Pastor de Shetland Eurasier Eurasier Eurasier Eurasier Eurasier

Genótipo atat ayay ayat

preta

aa

tan

ata

dourada

aya

preta prateada prateada dourada prateada

aa aa awat ayaw awa

w w

Adaptado de Dreger D.L.; Schmutz, S. M. A SINE insertion causes the Black – and- tan and Saddle Tan Phenotypes in domestic dogs. Journal of Heredity, volume 102, supplement 1,September/ October 2011, S11-S18.

Com base no quadro, a hierarquia de dominância dos diferentes alelos é (A) aw > a > ay > at. (B) ay > at > a > aw. (C) at > ay > aw > a. (D) ay > aw > at > a. (E) aw > ay > a > at. 02. (UFSC) Considere que o caráter analisado – cor da pelagem em coelhos – obedece ao proposto pela 1ª Lei de Mendel, tendo sido realizados os cruzamentos abaixo: P F1 F2

Preto x Branco 100% Preto 75% Preto e 25% Branco

Todos os descendentes pretos de F2 foram cruzados com os F1, resultando em 192 descendentes. Qual o número esperado de descendentes com pelagem branca?

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03. (UFSC adaptada) Uma mulher teve uma menina em sua primeira gravidez, ocorrendo o mesmo na sua segunda gestação. Qual o percentual esperado que um terceiro filho venha a ter o sexo feminino?

GENÉTICA II

Introdução As observações de Mendel sobre os fenótipos das ervilhas podem ser consideradas separadamente, como nos casos estudados no capítulo anterior (monoibridismo), ou, então considerando dois pares de genes alelos, caracterizando o diibridismo. Se, num problema de genética, forem observados três pares de alelos, será considerado um caso de triibridismo e assim por diante. Na espécie humana, por exemplo, milhares de pares de alelos definem as características, assim, fala-se em poliibridismo. Muitas vezes, dois ou mais pares de alelos são responsáveis por apenas uma característica, caso chamado de interação gênica, e, ao contrário, se um par de genes define duas ou mais características (comum em síndromes, por exemplo), utiliza-se o termo pleiotropia.

A SEGUNDA LEI DE MENDEL (LEI DA SEGREGAÇÃO INDEPENDENTE) E O DIIBRIDISMO 1.

Diibridismo No capítulo anterior, foram considerados casos de monoibridismo, ou seja, características determinadas por apenas um par de genes, como A e a, por exemplo. Todavia, em um determinado momento do seu trabalho, Mendel passou a analisar simultaneamente duas ou mais características e o acompanhamento simultâneo de dois pares de genes alelos em cromossomos distintos passa a se chamar de diibridismo; de três pares, triibridismo e assim sucessivamente. Um desses pares de características estudados por Mendel, com a ervilha-de-cheiro (Pisum sativum), foi a textura das sementes, que podem ser lisas ou rugosas, e a cor das sementes, que, como já estudado, pode ser amarela ou verde. Como cada característica é determinada por um par de genes alelos (cor = Y e y; textura = R e r) e há dominância nos dois casos, utiliza-se o termo diibridismo com dominância.

Capítulo 4

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. A Segunda Lei de Mendel e o diibridismo 2. Interação Gênica 3. Pleiotropia

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 - Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H15 - Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.

Característica 1: cor da semente Y = ervilha amarela y = ervilha verde Característica 2: textura da semente R = lisa r = rugosa Na geração parental, Mendel cruzou plantas puras de ervilhas com sementes amarelas e lisas (YYRR) e plantas puras com sementes verdes e rugosas (yyrr). Na primeira geração, todas as plantas obtidas apresentavam sementes amarelas e lisas (YyRr). Isso não se mostrou nenhuma novidade para Mendel, afinal em seus trabalhos com o monoibridismo ele já havia determinado que essas eram as variedades dominantes. Ao realizar a autopolinização das plantas da geração F1 (YyRr xYyRr), a geração obtida (segunda geração filial ou geração F2) apresentava a seguinte distribuição fenotípica: Fleming 2023

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9/16 de plantas amarelas e lisas (Y_R_) 3/16 de plantas amarelas e rugosas: (Y_rr) 3/16 de plantas verdes e lisas: (yyR_) 1/16 de plantas verdes e rugosas: (yyrr)

yyRr

yyRr

yyrr

Resultado fenotípico do cruzamento entre dois indivíduos duplamente heterozigotos.

Outra maneira de resolver o cruzamento entre dois indivíduos diíbridos é aplicando o conceito de separação dos cromossomos homólogos na meiose I, mas considerando uma característica por vez e, depois, aplicando a regra do “e”, multiplicar os resultados, afinal toda planta tem cor na semente E textura.

Proporção fenotípica entre dois indivíduos duplo-heterozigotos: 9 Y_R_ : 3 Y_rr : 3 yyR_ : 1 yyrr

Gametas para cor

Y

y

Gametas para textura

R

r

Y y

YY

Yy yy

R

RR

Rr

r

Rr

rr

Yy

Separando as duas características nos cruzamentos e multiplicando os resultados, é possível chegar nas proporções fenotípicas, assim como no quadro de Punnett de 16 resultados. Interpretando os cruzamentos acima, conclui-se que plantas amarelas e lisas (Y_R_) = 3/4 x 3/4 = 9/16; plantas amarelas e rugosas: (Y_rr) = 3/4 x 1/4 = 3/16; plantas verdes e lisas: (yyR_) = 1/4 x 3/4 = 3/16; plantas verdes e rugosas: (yyrr) = 1/4 x 1/4 = 1/16.

Segunda Lei de Mendel (Lei da Segregação Independente) Segundo Mendel, "na formação dos gametas, os diferentes pares de fatores se segregam independentemente, de tal maneira que cada gameta recebe apenas um fator de cada par. Todos os possíveis tipos de gametas serão produzidos nas mesmas proporções". A partir do enunciado da Lei da Segregação Independente, conclui-se que a quantidade de gametas diferentes que um indivíduo pode produzir depende de quantos pares de genes alelos estão sendo considerados (sendo cada par de alelo localizado em cromossomos distintos). Por exemplo, se um 110

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indivíduo de genótipo AaBb, com genes localizados em cromossomos distintos, ele poderá gerar quatro tipos diferentes de gametas e todos deverão aparecer nas mesmas proporções: 25% de AB, 25% de ab, 25% de Ab e 25% de aB. Essa proporção é explicada pelo comportamento dos cromossomos na meiose I, conforme imagem abaixo.

Formação de gametas a partir de um indivíduo duplo-heterozigoto.

Considerando um caso de tetraibridismo (quatro pares de genes envolvidos) e um indivíduo de genótipo AAbbccDD, por exemplo, este produzirá apenas um tipo de gameta, pois, como ele é homozigoto para todos os pares de genes considerados, todos os seus gametas receberão os mesmos genes: AbcD. Portanto, o número de tipos diferentes de gametas que podem ser produzidos depende do número de pares de genes que estão em heterozigose. A quantidade de tipos diferentes de gametas que podem ser gerados é obtida pela fórmula 2n, onde n = número de pares em heterozigose. 2.

INTERAÇÃO GÊNICA

Consiste no processo pelo qual dois ou mais pares de genes, com distribuição independente, condicionam em conjunto um único caráter (A, a + B, b = 1 característica).

Genes Complementares São genes que interagem produzindo a expressão de um fenótipo diferente daquele que ocorreria se estivessem isolados um do outro, como observado na forma das cristas em galináceos. Característica: forma da crista em galináceos. Fenótipo Crista noz Crista ervilha Crista rosa Crista simples

Genótipo E_R_ E_rr eeR_ eerr

Observando a tabela, é possível notar que a interação entre dois pares de alelos determina apenas uma característica, em que as combinações entre genes recessivos e dominante definem o fenótipo (tipo de crista). Caso dois animais duplo-heterozigotos sejam cruzados, a proporção clássica da segunda lei será mantida: 9 de E_R_ (crista noz) : 3 E_rr (crista ervilha) ; 3 eeR_ (crista rosa) : 1 eerr (crista simples). Fleming 2023

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Epistasia As interações epistáticas ocorrem quando dois ou mais genes determinam a produção de enzimas que catalisam diferentes etapas de uma mesma via metabólica (via em que as enzimas produzidas por determinados genes atuam, de maneira que uma substância inicial, chamada de substância precursora, é transformada em substratos até dar origem a um produto final, ou seja, o fenótipo). Na epistasia, há a supressão (inibição) gênica, ou seja, os alelos de um loco gênico encobrem a expressão de outro alelo pertencente a outro loco gênico (não-alelo). O gene que inibe é chamado de epistático, enquanto o(s) inibido(s) chama(m)-se hipostático(s).

Se o gene epistático for recessivo, utiliza-se o termo epistasia recessiva, e, caso ele seja dominante, será considerado um caso de epistasia dominante.

No exemplo acima, existem três possibilidades para cores de pétalas para uma espécie de angiosperma: branca, amarela e vermelha. Para se chegar ao padrão esperado (produto final, representado pela cor vermelha), a planta precisa do gene A, capaz de produzir uma enzima que converte a substância precursora (ausência de pigmento), em substância A, que determina a flor na cor amarela. Já para a substância A ser convertida em produto final (cor vermelha), é necessária uma enzima produzida pelo gene B. Por sua vez, genes a e b, em homozigos e, bloqueiam a via, por não produzirem as enzimas necessárias. Assim, pode-se chegar a seguinte interpretação de fenótipos e genótipos: Flor vermelha: A_B_ Flor amarela: A_bb Flor branca: aaB_ ou aabb Como o gene a em homozigose inibe pigmento, acaba atuando como o gene epistático, enquanto os genes B e b, por serem inibidos, podem ser considerados genes hipostáticos. Outro exemplo clássico de epistasia recessiva é o da pelagem dos cães da raça labrador, em que pode ser observada a coloração preta, marrom ou dourada, padrões determinados por dois pares de genes, comprovando ser um caso de diibridismo com interação gênica. O alelo B determina a cor preta; o alelo b em homozigose determina a cor marrom e o alelo e em homozigose determina a cor dourada, por justamente inibir a deposição de pigmentos (preto ou marrom) no pelo. Assim, temos: - Labrador preto: B_E_ - Labrador marrom: bbE_ - Labrador dourado: B_ee ou bbee

Na raça labrador, um gene epistático inibe os padrões marrom e preto. 112

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Se dois animais duplo-heterozigotos forem cruzados, será possível obter a proporção fenotípica a partir da proporção clássica de 9:3:3:1? Sim, basta somar as duas proporções obtidas para animais de padrão dourado, conforme esquema abaixo. Proporção esperada conforme o diibridismo: 9 B_E_ : 3 B_ee : 3 bbE_ : 1 bbee Onde: 9 para pelo preto : 3 para pelo marrom e 3 + 1 = 4 para pelo dourado, pois um labrador tem pelo dourado com o genótipo B_ee ou bbee (regra do “ou” = somar). Logo: 9 : 4 : 3

Herança Quantitativa ou Poligênica Neste tipo de herança, o fenótipo é condicionado por dois ou mais pares de alelos, onde em cada um deles, há um alelo aditivo (gene dominante) e outro não-aditivo (recessivo). Cada alelo aditivo presente em um indivíduo determina o aumento da intensidade da expressão do fenótipo, não importando de qual par é esse alelo aditivo, enquanto os alelos não-aditivos pouco ou nada acrescentam na expressão do fenótipo. O estudo da herança quantitativa difere dos padrões estudados até aqui, que foram do tipo variação descontínua, em que fenótipos bem determinados foram considerados. Por exemplo, no caso dos labradores acima, cada animal tem apenas três fenótipos possíveis quanto ao padrão de pelagem: preto, marrom ou dourado. Se numa outra raça de cães o padrão da pelagem fosse uma herança quantitativa, tratar-se-ia de variação contínua, com diversos fenótipos, do mais escuro ao mais claro.

Na variação descontínua, existem fenótipos bem determinados, enquanto na contínua, a diferença entre os fenótipos é mais sutil.

Outros exemplos de herança poligênica também revelam bem a variação gradual do fenótipo: cor da pele em humanos, cor dos olhos, altura, padrões de manchas em alguns mamíferos e em muitas plantas a altura é determinada por mais de um par de alelos (há plantas com altura máxima e plantas com altura mínima e entre esses dois tipos, há fenótipos intermediários).

A altura em humanos é definida por diversos pares de alelos, cujos genes aditivos aumentam a expressão do fenótipo, caracterizando a interação gênica do tipo herança quantitativa.

Na herança quantitativa, há distribuição dos fenótipos em curva normal ou de Gauss. Normalmente, os fenótipos extremos são aqueles que se encontram em quantidades menores, enquanto os fenótipos intermediários são observados em frequências maiores. Isso significa que em cruzamentos ao acaso, padrões fenotípicos extremos são raros, como pessoas muito baixas e muito altas; olhos claros e olhos escuros (o que explica o fato do olho castanho, que é intermediário, ser considerado “comum”).

Para determinar o número de pares de genes envolvidos num caso de herança quantitativa, é usada a fórmula 2n + 1 = número de fenótipos, onde n = número de pares de alelos envolvidos. Fleming 2023

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Por exemplo, na determinação da cor da pele na espécie humana, existem cinco fenótipos básicos: branco, mulato claro, mulato médio, mulato escuro e negro. Os genes aditivos aumentam a produção da melanina, pigmento que torna a pele mais escura e quanto mais genes aditivos, mais melanina é produzida e mais escura é a pele. E como saber quantos pares de genes estão envolvidos nessa característica? Aplicando a fórmula 2n + 1 = número de fenótipos: 2n + 1 = 5 fenótipos, logo, n = 2 pares de genes (A, a + B, b). Assim, o exemplo da cor pele é um caso de interação gênica do tipo diibridismo (dois pares de genes alelos). Quantidade de melanina

Fenótipo

Genótipos possíveis

Quantidade de genes aditivos (A, B)

Máxima

Negro

AABB

4

Moreno escuro

AaBB ou AABb

3

Moreno médio

AAbb ou aaBB ou AaBb

2

Moreno claro

Aabb ou aaBb

1

Branco

aabb

0

Apesar de o exemplo da cor da pele considerar cinco fenótipos, sabe-se que o número de padrões de cores é muito maior, afinal, existe influência do volume de sangue que circula nos vasos sanguíneos periféricos, além da quantidade de caroteno acumulado na camada de tecido adiposo e a exposição ao sol.

Média Mínima

Considerando um casal de duplo heterozigotos (AaBb), portanto, ambos com padrão moreno médio, qual a proporção fenotípica esperada na descendência? Cada indivíduo heterozigoto produz quatro tipos de gametas, conforme estudado no diibridismo: AB, Ab, aB e ab. Logo, o quadro de Punnett fica distribuído da seguinte maneira:

Em casos de herança quantitativa que envolvam três ou mais pares de genes alelos, os cruzamentos de heterozigotos geram resultados com 7 ou mais proporções fenotípicas, o que tornam os problemas de genética extensos e mais complicados. Uma forma de resolver esses exercícios é aplicando o triângulo de Pascal, conforme a tabela abaixo: CRUZAMENTO

NÚMERO DE PARES DE GENES

PROPORÇÃO FENOTÍPICA

NÚMERO DE FENÓTIPOS POSSÍVEIS

AaBb x AaBb

2

1:4:6:4:1

5

Resultado esperado: 1 / 16 negro (AABB) 4 / 6 mulato escuro (AaBB ou AABb) 6 / 16 mulato médio (Aabb ou aaBB ou AaBb) 4 / 16 mulatos claro (Aabb ou aaBb) 1 / 16 branco (aabb)

1: 5 : 10 : 10 :5:1 AaBbCc x AaBbCc

3

1 : 6 : 15 : 20 : 15 : 6 : 1

7

1 : 7 : 21 : 35 : 35 : 21 : 7 : 1 AaBbCcDd x AaBbCcDd

4

1 : 8 : 28 : 56 : 70 : 56 : 28 :8:1

9

3.

PLEIOTROPIA

É um tipo de herança considerada o oposto da interação gênica, pois, nela, um par de genes alelos (genes pleiotrópicos) atua na determinação de diversos fenótipos. Um exemplo é o gene que controla a cor do hipocótilo (parte basal do embrião das plantas) e das flores de soja. A presença do gene dominante (A) determina tanto a cor roxa da flor quanto do hipocótilo, enquanto o alelo recessivo (a) é responsável pela cor branca da flor e a cor verde do hipocótilo. Assim, nunca serão encontradas plantas com flor roxa e hipocótilo verde, assim como plantas com flores brancas e hipocótilos roxos.

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Genótipo AA Aa aa

Cor da Flor Roxa Roxa Branca

Cor do Hipocótilo Roxo Roxo Verde

Muitas síndromes também podem ser consideradas como casos de pleiotropia, pois um gene afetado pode manifestar diversas características, que estarão sempre associadas. Um exemplo é a Síndrome de Marfan, cujas as principais manifestações clínicas da doença concentram-se em três sistemas principais: o esquelético, caracterizado por estatura elevada, escoliose, braços e mãos alongadas e deformidade torácica; o cardíaco, caracterizado por prolapso de válvula mitral e dilatação da aorta; e o ocular, caracterizado por miopia e luxação do cristalino.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFU) Em uma determinada raça de cão há três possibilidades de cores de pelo: preta, amarela e marrom. O alelo M é responsável pela cor preta, e seu alelo recessivo, pela cor marrom. O gene E, não alélico de M, condiciona o depósito de pigmento preto ou marrom no pelo. Já o alelo recessivo (e) impede esse depósito, originando o pelo amarelo. No cruzamento entre dois cães dessa raça, um de pelo preto heterozigoto para os dois pares de genes e outro marrom descendente de uma mãe amarela, espera-se na descendência uma proporção fenotípica de:

(A) 6 pretos: 2 amarelos. (B) 3 pretos: 3 marrons: 2 amarelos. (C) 3 pretos: 5 marrons. (D) 4 pretos: 3 marrons: 1 amarelo. Gabarito: B Fenótipos possíveis: preto (M_E_); marrom (mmE_); amarelo ( _ _ ee) Como o alelo e inibe pigmentação, é considerado um gene epistático, ou seja, com efeito inibidor. Como existem dois pares de genes que determinam a característica tipo de pelo, trata-se de um caso de interação gênica e diibridismo. Cruzamento: preto heterozigoto (MmEe) x marrom (mmE_) com mãe amarela ( _ _ ee), logo é um animal marrom de genótipo mmEe. MmEe x mmEe ME

Me

mE

me

mE MnEE MmEe mmEE mmEe me MmEe Mnee MmEe mmee Resultado esperado: pretos (M_E_) = 3/8; marrons (mmE_) = 3/8; amarelos ( _ _ ee) = 2/8

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2 (UFPR 2020) Considere o cruzamento parental entre dois indivíduos de linhagens puras e contrastantes para duas características: pelos pretos e longos x pelos brancos e curtos. A geração F1 era constituída por 100% de indivíduos com pelos pretos e longos. Considerando que as características de cor e comprimento dos pelos são condicionadas cada uma por um gene e que esses genes têm segregação independente, a proporção esperada entre 240 indivíduos da F2 é:

(A) 135 pelos pretos e longos – 45 pelos pretos e curtos – 45 pelos brancos e curtos – 15 pelos brancos e longos. (B) 180 pelos pretos e longos – 60 pelos brancos e curtos. (C) 135 pelos pretos e longos – 45 pelos pretos e curtos – 45 pelos brancos e longos – 15 pelos brancos e curtos. (D) 180 pelos pretos e curtos – 60 pelos pretos e longos. (E) 135 pelos pretos e curtos – 105 pelos brancos e longos. Gabarito: C Como o cruzamento inicial entre indivíduos puros (homozigotos) diferentes entre si gera na F1 apenas indivíduos de pelos pretos e longos, conclui-se que os pelos pretos são dominantes em relação aos brancos e que os pelos longos são dominantes em relação aos curtos. São dois genes envolvidos na questão e com segregação independente, assim, trata-se de uma questão da Segunda Lei da Genética. Como o cruzamento de F1 ocorre entre dois indivíduos duplo heterozigotos (AaBb), a forma mais simples de resolver a questão é usando a proporção de 9 : 3 : 3 : 1, onde 9 para A_B_ : 3 para A_bb : 3 para aaB_ : 1 aabb.

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFU) A cor dos grãos de trigo está relacionada com a quantidade de pigmento produzido. Essa cor é determinada por dois pares de genes Aa e Bb. Do cruzamento entre uma planta de grãos vermelhos (AABB)com uma planta de grãos brancos (aabb) foram obtidas na geração F1 plantas com grãos róseos (AaBb). Do cruzamento entre plantas de F1 a proporção fenotípica, relacionada à cor dos grãos observada em F2, foi 22 vermelhos, 81 vermelhos claros, 123 róseos, 79 róseos claros e 18 brancos.

ANOTAÇÕES

Com relação à determinação genética da cor dos grãos de trigo, analise as afirmativas abaixo. I. A proporção fenotípica observada em F2 é característica de herança quantitativa. II. Na determinação da cor dos grãos de trigo não há dominância. III. Do cruzamento entre plantas duplo heterozigotas, é possível encontrar descendentes de 5 classes fenotípicas diferentes. Marque a alternativa que apresenta somente afirmativas corretas. (A) I, II e III. (B) I e III. (C) II e III. (D) I e II. 02. (UEL) Na espécie humana, a miopia e a habilidade para a mão esquerda são caracteres condicionados por genes recessivos que se segregam de forma independente. Um homem de visão normal e destro, cujo pai tinha miopia e era canhoto, casa-se com uma mulher míope e destra, cuja mãe era canhota. Qual a probabilidade de esse casal ter uma criança com fenótipo igual ao do pai? (A) 1/2. (B) 1/4. (C) 1/8. (D) 3/4. (E) 3/8.

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HERANÇA SEXUAL Introdução Até o capítulo anterior, foram estudados padrões genéticos determinados por genes localizados em cromossomos autossômicos, ou seja, idênticos em machos e fêmeas, o que caracteriza a herança autossômica. Neste capítulo, serão estudados os padrões definidos por genes localizados em cromossomos sexuais, que diferem em machos e fêmeas, caracterizando a herança sexual, bem como genes autossômicos, mas influenciados por hormônios sexuais, como nas heranças do tipo influenciada e com efeito limitado ao sexo. 1.

TIPOS DE DETERMINAÇÃO SEXUAL

Ao estudar os padrões genéticos dos seres vivos, nota-se, em muitas espécies, a presença de dois cromossomos sexuais, que podem, nas células diploides, ser iguais nas fêmeas, e dois diferentes, nos machos. Tal tipo de padrão é conhecido como sistema XY, como ocorre na espécie humana e nas drosófilas. Já em aves, por exemplo, as fêmeas possuem dois cromossomos sexuais distintos (sendo chamados de Z e W), enquanto os machos possuem dois iguais (ZZ), definindo o sistema ZW. Cada uma das formas de diferenciação cromossômica entre as células masculinas e femininas é conhecida como um sistema cromossômico de determinação sexual.

Sistema XO Não há cromossomo Y e as fêmeas têm um par de cromossomos homólogos XX, enquanto os machos possuem um número ímpar de cromossomos no cariótipo, um a menos que as fêmeas, ou seja, possuem apenas um cromossomo sexual. Ocorre, por exemplo, em insetos como os gafanhotos.

Capítulo 5

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Tipos de determinação sexual 2. O sistema sexual XY 3. Herança ligada ao sexo 4. Herança holândrica (restrita ao sexo) 5. Herança influenciada pelo sexo e herança com efeito limitado ao sexo

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 – Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H14 – Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros. H15 – Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.

Sistema Z0 Ocorre em algumas aves, como galináceos, e alguns répteis, em que as fêmeas possuem um cromossomo a menos, pois apresentam apenas um cromossomo sexual (Z0), enquanto os machos possuem dois cromossomos sexuais iguais (ZZ).

Sistema ZW Os machos apresentam cromossomos sexuais iguais (ZZ), enquanto que as fêmeas possuem dois cromossomos distintos (ZW). Ocorre em algumas espécies de répteis e peixes, insetos como as borboletas e mariposas, além de muitas espécies de aves.

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No sistema haplodiploide (haplodiploidia), os machos são haploides, pois surgem de óvulos não-fecundados (partenogênese), enquanto as fêmeas são diploides, pois são formadas a partir da fecundação do óvulo pelo espermatozoide. Esse padrão pode ser encontrado em algumas espécies de artrópodes e será estudado em zoologia.

Em muitas aves, a fêmea possui dois tipos de cromossomos sexuais (ZW), enquanto os machos possuem apenas o tipo Z.

Sistema XY Sistema encontrado em algumas plantas, alguns insetos e na maioria dos mamíferos, incluindo a espécie humana. As fêmeas apresentam cromossomos sexuais iguais (XX), enquanto os machos apresentam um cromossomo sexual X e um Y (XY). É o padrão comumente encontrado em questões de vestibular e Enem, portanto, será estudado com maior atenção.

Em humanos, são produzidos dois tipos de espermatozoides quanto a presença de cromossomos sexuais (X e Y), enquanto nas mulheres, todos os ovócitos normais possuem apenas um cromossomo sexual do tipo X.

Sistema Macho Fêmea

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X0

X0

XX

Espermatozoide 50% X / 50% Sem Cromossomo Sexual (Sexo Heterogamético)

Z0

ZZ

Z0

100% Z (Sexo Homogamético)

50% Z / 50% Sem Cromossomo Sexual (Sexo Heterogamético)

ZW

ZZ

ZW

100% Z (Sexo Homogamético)

50% Z / 50% W (Sexo Heterogamético)

XY

XY

XX

50% Y / 50% X (Sexo Heterogamético)

100% X (Sexo Homogamético)

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Óvulo 100% X (Sexo Homogamético)

2.

O SISTEMA SEXUAL XY

Conforme citado na tabela acima, no sistema XY, machos representam o sexo heterogamético, ou seja, produzem dois tipos de espermatozoides: metade portando o cromossomo sexual X e a outra metade com o cromossomo sexual Y. Já as fêmeas possuem apenas o cromossomo sexual do tipo X, portanto, representam o sexo homogamético, por produzem todos seus ovócitos II com cromossomo X.

No sistema XY, a diferenciação sexual ocorre pela presença do cromossomo Y em machos, como no cariótipo acima.

Utilizando a espécie humana como exemplo, o cariótipo diploide é formado por 46 cromossomos, onde 44 são autossômicos e dois sexuais (46, XX nas mulheres e 46, XY nos homens). Assim, células haploides humanas, como os gametas, devem possuir a metade do número de cromossomos: 22 autossômicos e um sexual (22A + X nos gametas femininos; 22A + X e 22A + Y nos espermatozoides). Como o homem possui dois tipos de cromossomos sexuais, metade dos espermatozoides formados possuem o cromossomo sexual X e a outra metade, o do tipo Y. Durante a meiose I, quando ocorre o pareamento dos cromossomos homólogos, os dois cromossomos sexuais pareiam, observando-se um região de cromossomo X homóloga a Y, conforme imagem abaixo.

Na herança ligada ao sexo, os genes estão localizados na porção não homóloga do cromossomo X e, portanto, fêmeas possuem dois genes em cada célula diploide, enquanto machos possuem apenas uma cópia desse gene. Na herança parcialmente ligada ao sexo, nota-se homologia entre os cromossomos X e Y, e assim, tanto machos quanto fêmeas possuem duas cópias dos genes. E, por fim, na herança restrita ao sexo, os genes estão localizados na porção não homóloga do cromossomo Y, o que justifica o fato de apenas machos possuírem tais genes. Fleming 2023

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HERANÇA LIGADA AO SEXO (HERANÇA LIGADA AO X) 3.

Genes localizados no cromossomo sexual X, sem homologia com o Y, o que justifica o fato de fêmeas possuírem dois genes em cada célula diploide, enquanto machos possuem apenas um. Assim como nas heranças autossômicas, as sexuais podem ser do tipo dominante e do tipo recessiva. Tradicionalmente, utiliza-se o daltonismo e a hemofilia como padrão recessivo, enquanto a Síndrome de Alport (comprometimento da visão e atividade renal) é um exemplo de herança dominante.

Herança ligada ao sexo recessiva, com mulher portadora à esquerda e homem afetado na situação da direita.

Herança Ligada ao Sexo Recessiva O daltonismo é uma anomalia visual recessiva em que o indivíduo tem deficiência na distinção das cores vermelha ou verde. Os homens daltônicos possuem um gene Xd, pois são portadores de apenas um cromossomo sexual X, enquanto as mulheres daltônicas (0,64%) devem ser homozigotas recessivas (Xd Xd).

Teste para o daltonismo.

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BIOLOGIA

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Mulheres Genótipo

Fenótipo

Homens Genótipo

Fenótipo

X D XD (homozigoto dominante)

Normal

XD Y (hemizigoto dominante)

Normal

XD Xd (heterozigoto)

Normal portadora

XdY (hemizigoto recessivo)

Daltônico

Xd Xd (homozigoto recessivo)

Daltônica

A hemofilia caracteriza-se pela incapacidade de coagulação do sangue. Homens hemofílicos são hemizigotos recessivos (frequência de 1/10.000), e mulheres hemofílicas são homozigotas recessivas (frequência de 1/100.000.000). Fenótipos Mulher normal Mulher portadora Mulher hemofílica Homem normal Homem hemofílico

Genótipos XHXH XHXh XhXh XHY XhY

Herança Ligada ao Sexo Dominante Neste padrão, um gene dominante e, portanto, em dose simples, é capaz de manifestar a doença. Observe no heredograma abaixo, que o homem II.6 é afetado e possui as duas filhas afetadas.

Como fêmeas possuem dois cromossomos sexuais do tipo X, um deles, de forma aleatória, permanece constantemente inativo, sendo chamado de cromatina sexual ou Corpúsculo de Barr. Assim, uma mulher heterozigota para genes localizados no cromossomo sexual X podem ser afetadas. Por exemplo, uma mulher heterozigota para o daltonismo (XDXd) pode ter como cromatina sexual o cromossomo que contém o gene dominante (XD), ficando o gene recessivo ativo, o que leva ao daltonismo (Xd).

No padrão dominante, um homem afetado, se tiver filhas, estas sempre serão afetadas.

Nos cruzamentos que envolvem genes localizados em cromossomos sexuais, é fundamental representar os cromossomos, conforme exemplo abaixo. Um homem daltônico é casado com uma mulher não daltônica, porém filha de pai daltônico. Quais as chances de terem filhos e filhas afetadas?

Na herança ligada ao sexo recessiva, basta um gene para o macho ser afetado, o que explica a maior frequência destes padrões no sexo masculino. Já na herança ligada ao sexo dominante, se o pai for afetado, todas as filhas serão, pois basta um gene dominante para a característica se manifestar. Fleming 2023

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Caso venha a nascer um menino, as chances de que venha a ser daltônico é de 50%, assim como para o sexo feminino também há 50% de chances que a menina seja daltônica.

HERANÇA HOLÂNDRICA (RESTRITA AO SEXO) 4.

Genes localizados na porção não-homóloga do cromossomo Y (genes holândricos), como o gene SRY , que desencadeia a diferenciação do testículo nos embriões de mamíferos. Neste padrão de herança, se um macho for afetado, certamente todos os filhos do sexo masculino serão afetados, afinal, herdam o cromossomo Y do pai.

Até pouco tempo atrás acreditava-se que o gene responsável pela hipertricose auricular (presença de pelos na orelha) estivesse localizado no cromossomo Y, porém estudos recentes sugerem que o gene responsável pelos pelos na orelha localiza-se em um autossomo.

Na herança holândrica, filhos de machos afetados, sempre serão afetados.

HERANÇA INFLUENCIADA PELO SEXO E HERANÇA COM EFEITO LIMITADO AO SEXO 5.

Muitos genes autossômicos são influenciados por hormônios sexuais, podendo se manifestar mais em um sexo, devido à maior quantidade de um hormônio, caracterizando a herança influenciada pelo sexo, como no caso de um padrão de calvície. Na tabela abaixo, pode-se notar que a diferença entre os dois sexos está no genótipo heterozigoto, pois um gene dominante (C1) somado a maior concentração de testosterona leva o homem a desenvolver a calvície, enquanto a menor quantidade desSe hormônio, em mulheres, não provoca a queda do cabelo. Genótipos

Fenótipos

C1C1

Homem calvo

Mulher calva

C1C2

Homem calvo

Mulher não-calva

CC

Homem não-calvo

Mulher não-calva

2 2

A calvície de padrão genético é um exemplo de como hormônios influenciam sobre os genótipos. 124

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Na herança com efeito limitado ao sexo, os genes, apesar de estarem localizados em autossomos e, portanto, presentes em ambos os sexos, expressam-se apenas em um deles. A expressão desses genes é, em geral, controlada pela presença ou ausência de hormônios de um ou de outro sexo, como a produção de leite em mamíferos, por exemplo, onde os genes são encontrados em machos também, mas não se manifesta. Isso explica como uma vaca pode ser boa produtora de leite, mesmo tendo uma mãe que produz baixo volume de leite: o gene foi herdado de seu pai, apesar deste não ter a capacidade de produzir leite. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UEL) Em seres humanos, uma forma de daltonismo que provoca cegueira para as cores vermelho e verde, é determinada pelo gene recessivo d, ligado ao cromossomo X. Ao consultar um médico, um casal fica sabendo que todos os seus filhos do sexo masculino serão daltônicos; já as meninas serão normais. Qual das opções fenotípicas abaixo corresponde à do casal em questão?

(A) Homem normal e mulher normal. (B) Homem normal e mulher daltônica. (C) Homem daltônico e mulher daltônica. (D) Homem daltônico e mulher normal. (E) Homem normal e mulher normal, porém portadora de gene recessivo d. Gabarito: B Para que todos os filhos do sexo masculino sejam daltônicos, o genótipo da mulher deve ser XdXd. Assim, certamente seus filhos herdarão o gene recessivo, levando ao daltonismo (meninos XdY). Seu marido não deve ser daltônico, assim, meninas herdarão o gene dominante do pai, podendo evitar o daltonismo.

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) O heredograma abaixo se refere à herança da calvície em alguns membros da família real britânica.

Diana

Charles

03. (UFG) Analise o heredograma abaixo que representa uma família que tem pessoas portadoras de uma anomalia hereditária.

Caroole

Michael

Kate

Wiliam

O tipo de herança que determina essa anomalia é George Supondo que, nessa família, a calvície tenha herança autossômica influenciada pelo sexo, ou seja, homens são calvos em homo e heterozigose e mulheres, somente em homozigose, considere as afirmações abaixo, assinalando-as com V (verdadeiro) ou F (falso). ( ) A calvície em questão é ocasionada pelo cromossomo X. ( ) Diana transmitiu para William o alelo responsável pela sua calvície. ( ) Charles recebeu de seu pai um alelo para calvície. ( ) George terá 75% de chance de ser calvo, considerando Kate heterozigota. A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é (A) V – V – F – V. (B) V – F – V – F. (C) F – V – V – F. (D) F – V – F – V. (E) V – F – F – V. 02. (UEM) Em humanos, um tipo de daltonismo é codificado por um gene recessivo ligado ao sexo. Do cruzamento de um homem daltônico com uma mulher normal, filha de pai daltônico, espera-se: (A) 1/4 de mulher normal e 3/4 de homem daltônico. (B) 1/2 de mulher normal e 1/2 de homem daltônico. (C) 1/4 de mulher normal, 1/4 de mulher daltônica e 1/2 de homem normal. (D) 1/2 de mulher normal, 1/4 de mulher daltônica e 1/4 de homem daltônico. (E) 1/4 de homem normal, 1/4 de homem daltônico, 1/4 de mulher normal e 1/4 de mulher daltônica.

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(A) autossômica recessiva. (B) autossômica dominante. (C) dominante ligada ao cromossomo X. (D) recessiva ligada ao cromossomo Y. (E) recessiva ligada ao cromossomo X.

GENES LIGADOS Introdução Todos os capítulos já estudados em genética tratam de genes localizados em pares diferentes de cromossomos homólogos, e, portanto, segregam-se independentemente durante a meiose. Por sua vez, genes localizados em um mesmo cromossomo tendem a migrarem juntos para o mesmo gameta, processo conhecido como genes ligados (ligação gênica, ligamento fatorial ou linkage). Neste caso, as leis de Mendel não apresentam validade, conforme observado pelo geneticista Thomas Morgan, que, trabalhando com a mosca-das-frutas (Drosophila melanogaster), não observava a proporção de 9:3:3:1, típica do cruzamento de dois indivíduos duplo heterozigotos (AaBb). Os resultados eram sempre com duas proporções fenotípicas semelhantes e mais abundantes, além de outras duas, também semelhantes, mas com valores menores, como por exemplo, 6:6:2:2. 1.

GENES LIGADOS

Morgan e colaboradores chegaram à conclusão que os dois pares de genes que participam das duas características estudadas (cor do corpo e tipo de asas da mosca-das-frutas) estavam localizados em um mesmo par de cromossomos homólogos, e, portanto, tinham a tendência de migrar juntos na hora da formação dos gametas.

Capítulo 6

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Genes ligados (linkage) 2. Mapas genéticos (mapas cromossômicos)

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 – Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H14 – Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros. H15 – Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos. H17 – Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.

Estudos em moscas-das-frutas foram fundamentais para o desenvolvimento da genética não-Mendeliana. Não esqueça que um gene é um fragmento de DNA contido no cromossomo, logo, um cromossomo é formado por diversos genes. Se estes genes estão próximos uns dos outros, tendem a permanecer juntos no mesmo gameta.

Nos genes ligados, dois ou mais pares de genes alelos estão localizados no mesmo par de cromossomos.

Considerando a célula com segregação independente, são formas quatro gametas em mesmas proporções: 25% de AB, 25% de Ab, 25% de aB e 25% de ab, conforme estudado no capítulo 4. Fleming 2023

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No caso da célula do exemplo acima, que apresenta genes ligados, a princípio serão formados dois tipos de gametas: AB e ab. Entretanto, graças à ocorrência do crossing-over na meiose I, pode ocorrer a formação de mais dois gametas: Ab e aB. No exemplo abaixo, os gametas de constituição gênica AB e ab são chamados de parentais, afinal, possuem genes de apenas um progenitor; enquanto os gametas formados pós crossing-over (aB e Ab) são chamados de gametas recombinantes, por conter genes tanto do pai quanto da mãe. Obviamente, os gametas recombinantes possuem maior variabilidade genética que os parentais, uma das grandes vantagens da ocorrência de formação de células reprodutivas por meiose.

Para diferenciar genótipos de segregação independente de genótipos de genes ligados, costuma-se sublinhar esses últimos, numa alusão de estarem no mesmo cromossomo. Exemplo: AB, ab, Ab, aB.

A porcentagem de gametas recombinantes equivale à taxa de crossing-over, portanto, no exemplo, diz-se que a taxa de crossing é de 24%.

Supondo que, no exemplo acima, 12% dos gametas tenham constituição gênica aB, quais as porcentagens dos outros três gametas? Como ocorre meiose, se 12% dos gametas são aB, 12% possuem os genes Ab, totalizando 24% de gametas recombinantes. Logo, 76% dos gametas são parentais, sendo 38% AB e 38% ab. Caso os genes dominantes estiverem em um mesmo cromossomo e os genes recessivos no outro, estarão na posição cis (AB//ab) e quando os genes ligados são um dominante e um recessivo no mesmo cromossomo, estarão na posição trans (Cd//cD). Os gametas parentais formados em cis serão do tipo AB, ab, enquanto em trans, terão constituição Cd e cD.

Genes em trans: AB//ab; genes em cis: Cd//cD.

E como descobrir se um indivíduo possui genes em cis ou trans? Por meio do cruzamento-teste, ou seja, cruzando com um indivíduo duplo homozigoto recessivo (ab// ab). Em posição cis, os indivíduos duplo-dominantes e duplo-recessivos aparecem em quantidades maiores. Na posição trans, eles são os indivíduos recombinantes e aparecem em menor quantidade. Por exemplo, no estudo da cor do corpo e das asas na mosca-das-frutas, tem-se: Característica 1: cor do corpo P: corpo cinza p: corpo preto Característica 2: tipo de asa V: asa normal v: asa vestigial 128

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Caso uma fêmea de Drosophila (mosca-da-fruta) duplo-heterozigótica (PpVv) for cruzada com um macho duplo recessivo (ppvv), são possíveis dois tipos de resultados: I: 41,5% de moscas cinzas com asas normais (P_V_); 41,5% de moscas pretas com asas vestigiais (ppvv); 8,5% de moscas cinzas com asas vestigiais (P_vv), 8,5% de moscas pretas com asas normais (ppV_). Nesse caso, a fêmea cruzada produziu os seguintes tipos de gametas: 41,5% - PV (parental; 41,5% - pv (parental; 8,5% Pv (recombinante); 8,5% pV (recombinante). Conclui-se, portanto, que nela os alelos estavam em arranjo cis (PV//pv). II. 41,5% de moscas cinzas com asas vestigiais (P_vv); 41,5% de moscas pretas com asas normais (ppV_); 8,5% de moscas cinzas com asas normais (P_V_), 8,5% de moscas pretas com asas vestigiais (ppvv). Nesse caso, a fêmea cruzada produziu os seguintes tipos de gametas: 41,5% - Pv (parental; 41,5% - pV (parental; 8,5% PV (recombinante); 8,5% pv (recombinante). Conclui-se, portanto, que nela os alelos estavam em arranjo trans (Pv//pV).

Apesar de representar cromossomos com apenas uma cromátide, lembre que na prófase I, em que ocorre o crossing-over, os cromossomos se encontram pareados. A taxa de crossing-over nunca irá passar de 50%, afinal as cromátides externas dos cromossomos homólogos não sofrem crossing. Logo, sempre formarão gametas parentais. Assim, se 100% das células de um indivíduo sofrerem crossing, ainda assim, 50% dos gametas serão parentais e, portanto, 50% de gametas recombinantes (que equivale a taxa de crossing). Observe o esquema abaixo:

MAPAS GENÉTICOS (MAPAS CROMOSSÔMICOS) 2.

A chance de ocorrer crossing-over entre dois pares de genes alelos que estão ligados é diretamente proporcional a distância que existe entre eles. Quanto maior for a distância, maior é a probabilidade de permutação. A partir dessa constatação,Thomas Morgan e alguns outros geneticistas propuseram uma forma de se medir distâncias entre os genes de um cromossomo. Não se trata de uma distância absoluta, como o comprimento de um objeto, mas um valor relativo, útil para se mapear os cromossomos. Para se avaliar a ocorrência da permutação, determina-se a taxa de recombinação entre dois genes. O valor expressa a porcentagem de gametas recombinantes, no total de gametas. Dessa forma, se os gametas recombinantes perfazem 30% do total, a taxa de recombinação é de 30%. Foi estabelecido que, para cada 1% de taxa de recombinação, a distância entre os dois genes seria convencionada em uma unidade de recombinação (UR). Essa unidade também é chamada unidade de mapeamento cromossômico (u.m.c.) ou centimorganídeo (cM), em homenagem a Thomas Morgan. Lembre-se de que a taxa de recombinação não reflete a quantidade de células que sofrem recombinação, mas a porcentagem de gametas recombinantes. Lembre, ainda, que, mesmo as células nas quais acontece o crossing-over, as cromátides externas não trocam fragmentos e dão origem a gametas parentais. Por exemplo, imagine que um indivíduo tenha o genótipo AB/ab e que, durante a formação dos seus gametas, 20% das células sofram permutação entre esses dois loci gênicos. As células que não sofrem permutação (80% do total) formam apenas dois tipos de gametas: 40% AB e 40% ab. Os 20% de células nas quais aconteceu o crossing-over originam 4 tipos de gametas: 5% AB, 5% Ab, 5% aB e 5% ab. No total dos gametas produzidos, tem-se: 45% AB (parental)

5% aB (recombinante)

5% Ab (recombinante)

45% ab (parental)

Mesmo que todas as células de um indivíduo sofram crossing, as cromátides externas ainda formarão gametas parentais.

Portanto, são 90% de gametas parentais (AB e ab) e 10% de gametas recombinantes (Ab e aB). Conclui-se que a taxa de recombinação equivale à metade da porcentagem de células que sofre permutação. Essa constatação leva a uma conclusão muito importante: os gametas parentais são sempre aqueles que surgem em maiores quantidades. Fleming 2023

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Alfred Sturtevant, estagiário de Morgan, imaginou que seria possível saber as sequências dos genes ao longo dos cromossomos, a partir da estimativa da distância entre os genes com base na taxa de recombinação observada nos cruzamentos. Por exemplo, se um cromossomo apresenta os genes A, B, C e D com as seguintes frequências de recombinação: A - B = 17% ; B - C = 3 % ; A - D = 5 % ; A - C = 20 % ; D - B = 12%, qual será a sequência provável desses genes no cromossomo?

Ao representar os genes ao longo do cromossomo, começar com a maior distância, assim os demais genes ficarão entre os dois extremos. No exemplo acima, a maior distância é de 20UM entre A e C, o que os torna os dois genes das extremidades.

Com a construção do mapa cromossômico, é possível chegar na sequência dos genes: ADBC ou CBDA. EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UEM) No tomateiro, a cor vermelha do fruto é codificada por alelo R, dominante sobre o alelo r, que codifica a cor amarela do fruto, enquanto a cor amarela da flor é codificada por uma alelo Y, dominante sobre o alelo y, que codifica a cor branca da flor. Uma planta de flor amarela e tomate vermelho foi cruzada com uma planta de flor branca e tomate amarelo. Todos os descendentes desse cruzamento apresentavam flor amarela e tomate vermelho e foram cruzados com plantas de flor branca e tomate amarelo. O resultado desse cruzamento foi:

42% com flor amarela e tomate vermelho; 43% com flor branca e tomate amarelo; 08% com flor amarela e tomate amarelo; 07% com flor branca e tomate vermelho. Assinale a alternativa que apresenta a explicação correta para esse resultado. (A) Os dois pares de genes estão localizados em pares de cromossomos diferentes. (B) Os dois pares de genes estão no mesmo par de cromossomos. (C) O gene que codifica flor amarela é epistático sobre o gene que codifica tomate vermelho. (D) Ocorre interação gênica entre os dois pares de genes. (E) O solo em que os tomateiros foram plantados contém muito ferro, acarretando o resultado observado. Gabarito: B Note que os resultados obtidos na descendência possuem duas proporções semelhantes: 42% são semelhantes a 43% e 8% se aproximam de 7%. Tal resultado não condiz com a proporção esperada na segregação independente (9:3:3:1), mas sim com genes ligados no mesmo par de cromossomos homólogos. Lembre que como a taxa máxima de crossing over é de 50%, a maioria dos descendentes são provenientes de gametas parentais.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFPR) A figura abaixo representa um cromossomo hipotético, em que estão assinaladas as posições de 5 genes (aqui chamados de able, binor, clang, ebrac e fong), e a tabela na sequência mostra a distância entre eles.

1

2 able

Par de genes clang – binor binor – able able – fong able – clang fong – ebrac fong – binor fong – clang ebrac – able ebrac – binor ebrac – clang

3

4

Distância entre eles (unidades de recombinação - UR) 10,7 2,8 72,6 13,5 8,4 75,4 86,1 81,0 83,8 94,5

Com base nos estudos sobre mapeamento genético, considere as seguintes afirmativas: 1. Depois de able, o gene mais próximo do centrômero é binor. 2. Os genes fong e ebrac estão no mesmo braço cromossômico. 3. A maior chance de ocorrer uma permuta é entre os genes clang e binor. 4. Os genes identificados com os números 3 e 4 são, respectivamente, ebrac e binor. Assinale a alternativa correta. (A) Somente a afirmativa 4 é verdadeira. (B) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. (C) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. (D) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. (E) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. 02. (UEG) O processo de divisão celular é extremamente importante nos processos biológicos. Durante a prófase da primeira divisão da meiose, os cromossomos homólogos podem passar por permutações entre si (recombinação ou crossing over), gerando gametas com uma combinação de alelos diferentes das combinações existentes nos cromossomos dos pais. A soma desses recombinantes é chamada de taxa ou frequência de recombinação. A figura a seguir exemplifica um caso de três genes (A, B e C) situados em um par de cromossomos homólogos.

par de homólogos GEWANDSZNAJDER, F.; LINHARES, S. Biologia hoje. São Paulo: Ática, vol.3, 2014, p. 73.

Sobre as taxas de recombinação entre esses loci, verifica-se que a taxa de recombinação entre (A) A, B e C é randomizada e inespecífica. (B) A e C é maior que entre A e B. (C) A e B é equivalente à taxa entre B e C. (D) A e B é menor que entre B e C. 03. (UFT) Durante a gametogênese humana, uma célula diploide é capaz de originar quatro células filhas haploides. A figura a seguir representa um par de cromossomos homólogos de uma célula gamética (2n). Avalie as assertivas a seguir e marque a opção INCORRETA: A b

a B

(A) Os genes “A” e “b” são considerados ligados, ou em linkage, por se situarem em um mesmo cromossomo. (B) Na prófase da primeira divisão meiótica pode ocorrer permuta genética e se os gametas formados forem 50% do tipo A-b e 50% do tipo a-B, pode-se afirmar que estes genes estão em linkage completo. (C) A segunda Lei de Mendel torna-se inválida para genes que estão ligados, ou em linkage, uma vez que as características não se transmitem de forma independente. (D) Considerando que a distância entre os dois loci apresentados é de 20 unidades, os gametas serão formados nas seguintes proporções: 40% Ab, 10% AB, 10% ab e 40% aB. (E) A taxa de recombinação entre os genes “A” e “B” independe da distância entre os loci gênicos no cromossomo.

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MUTAÇÕES CROMOSSÔMICAS Introdução Mutações são mudanças nas sequências de nucleotídeos de ácidos nucleicos, tanto do DNA quanto do RNA, e podem ocorrer ao acaso ou por exposição a agentes mutagênicos, como Raio X, radiação ultravioleta e agentes químicos. Essas mutações podem ser pontuais e ocorrer em um gene, como estudado no capítulo 5 da frente A (Evolução), sendo assim chamadas de mutações gênicas. Entretanto, algumas mutações ocorrem num espectro mais amplo, afetando, portanto, diversos genes, sendo assim chamadas de mutações cromossômicas, sendo divididas em mutações cromossômicas numéricas (euploidias e aneuploidias) e estruturais (deleção, duplicação, inversão e translocação).

MUTAÇÕES CROMOSSÔMICAS NUMÉRICAS 1.

São as mutações que levam a um número de cromossomos diferente do esperado para a espécie, seja pelo incremento de um genoma completo (euploidias) ou alteração no número de alguns cromossomos (aneuploidias).

Euploidias As euploidias formam células com três (3n), quatro (4n) ou mais genomas, o que torna inviável a sobrevivência da maioria dos animais que sofrem tais mutações, entretanto ocorre em muitas espécies vegetais. Nos casos de haploidia, há perda de um genoma completo, ocorrendo assim, a permanência de apenas um genoma (n), como observado em animais que se reproduzem por partenogênese (zangões, por exemplo). Já nas poliploidias, genomas inteiros são inseridos juntamente aos dois genomas já esperados, surgindo assim, células triploides (3n), tetraploides (4n) e assim por diante. Esses incrementos de genomas surgem por erros de replicação dos cromossomos e de mitose, sendo chamados de autopoliploidia, pois os genomas extras pertencem a própria espécie. Em casos de plantas, os cruzamentos interespecíficos levam a formação de híbridos diploides, mas que apresentam erros de replicação de cromossomos e divisão celular, mutação chamada de alopoliploidia, o que explica o grande número de novas espécies vegetais poliploides usadas na alimentação humana atualmente.

Capítulo 7

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Mutações cromossômicas numéricas 2. Principais Síndromes 3. Mutações cromossômicas estruturais

Competência 4 - Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. H13 – Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos. H14 – Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros. H15 – Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos. H16 – Compreender o papel da evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.

As mutações gênicas podem ser do tipo substituição, adição e deleção de bases nitrogenadas. Quanto à consequência, podem ser do tipo silenciosa (quando não há alteração na sequência de aminoácidos), de sentido trocado (alteração do aminoácido) e sem sentido (quando ocorre a antecipação de um códon de parada).

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As poliploidias possuem uma grande importância em termos evolutivos, principalmente em vegetais, em que constituiem um mecanismo frequente para a geração de novas espécies, uma vez que a carga cromossômica é uma condição herdável. Estima-se que 40% das espécies cultivadas hoje surgiram por poliploidia e, na maioria dos casos, os poliploides diferem fisiologicamente das espécies nativas, podendo, assim, colonizar ambientes com novas características. O trigo usado mundialmente é tetraploide (4n), proveniente do cruzamento de duas espécies diploides (2n). Outro exemplo é o cruzamento de repolho com rabanete, que originou o híbrido Raphanobrassica.

Em espécies haploides, ocorre apenas um genoma, em diploides dois e assim sucessivamente. Em animais, o esperado é a presença de células somáticas 2n e gametas n. Células triploides, tetraploides são consideradas portadoras de mutações do tipo euploidias.

Em plantas, o cruzamento entre duas espécies pode originar espécies poliploides.

Muitas variedades de plantas são poliploides, como a banana triploide (3n) e, portanto, uma variedade estéril, o que explica o fato de não possuir sementes (fruto partenocárpico).

Aneuploidias São mutações que alteram a quantidade esperada de cromossomos presentes em um indivíduo, podendo ser subtrativas (2n-1), sendo chamadas de monossomias, ou aditivas, como as trissomias (2n+1) e tetrassomias (2n+2). Surgem por erros na separação (disjunção) dos cromossomos homólogos durante a meiose, evento conhecido como não disjunção. Caso a não disjunção ocorra durante a meiose I, uma das células acaba recebendo dois cromossomos homólogos que não se separaram e, no caso da não disjunção cro134

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mossômica durante a meiose II, uma célula recebe dois cromossomos-irmãos que não se separaram. Das duas maneira, o observado é a formação de gametas com excesso ou falta de cromossomos.

Na formação de células haploides por meiose, o esperado é a separação dos cromossomos homólogos durante a meiose I e a separação de cromátides-irmãs na meiose II.

A não disjunção dos cromossomos homólogos durante a meiose pode acarretar na formação de gametas com um número de cromossomos diferente do esperado.

2.

PRINCIPAIS SÍNDROMES

A partir de gametas que surgem por não disjunção e que, portanto, podem apresentar um número de cromossomos diferente do esperado, surgem zigotos com aneuploidias. Por exemplo, se um espermatozoide normal, com 22 cromossomos autossômicos e um cromossomo sexual do tipo X fecundar um óvulo que apresente os 22 cromossomos autossômicos, mas não tenha cromossomo sexual, o zigoto terá cariótipo 44A + X0, o que caracteriza uma monossomia sexual (falta de um cromossomo sexual), típico da Síndrome de Turner. No caso de um espermatozoide com dois cromossomos do par 21 (gameta que surgiu de não disjunção) fecundar um óvulo com um cromossomo do tipo 21 (gameta normal), o cariótipo do zigoto será 47,XX + 21 ou 47, XY + 21, caracterizando uma menina e um menino com Síndrome de Down, respectivamente (trissomia autossômica, ou seja, um cromossomo autossômico a mais). Caso a aneuploidia seja observada em cromossomos autossômicos, a síndrome será chamada de autossômica e caso o número de cromossomos sexuais seja distinto, será considerada uma síndrome sexual.

Um indivíduo portador de uma síndrome pode apresentar tanto células com 46 cromossomos quanto células portadoras de aneuploidias, caracterizando o chamado mosaicismo. O mosaicismo acontece quando a mutação ocorre em uma célula embrionária, geralmente a perda ou a duplicação de um cromossomo, o que faz com que a pessoa desenvolva o seu organismo com dois tipos de células e dois tipos de material genético.

Síndrome de Down (trissomia autossômica do cromossomo 21) São indivíduos que possuem três cromossomos do tipo 21 (47,XX + 21 ou 47,XY + 21), normalmente por não disjunção no gameta feminino, ou seja, com a presença de dois cromossomos no óvulo, com frequência de 1/650 nascimentos. Como Fleming 2023

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características clínicas clássicas, incluem olhos voltados para cima e dobras epicânticas, baixa estatura, fissuras na língua, deformidades cardíacas, prega única na palma da mão e retardamento mental de moderado a grave. Os fatores de risco incluem a idade materna aumentada (pelo fato de as células femininas permanecerem por muito tempo paradas em meiose) e pais que são portadores da translocação genética para síndrome de Down (outra forma de levar à Síndrome, que será estudada no item 3).

Cariótipo de uma menina portadora da Síndrome de Down.

Síndrome de Patau (trissomia autossômica do 13) Presença de uma cópia a mais do cromossomo 13 no cariótipo dos afetados (47,XX + 13 ou 47, XY + 13), com frequência de 1/10.000 nascimentos. Tem como principal causa a não disjunção dos cromossomos durante a segunda divisão meiótica da gametogênese feminina, associada ao fator idade da mãe, gerando gametas com 24 cromátides. Normalmente, os bebês com esta doença sobrevivem menos de três dias, mas há casos de sobrevivência até aos 10 anos de idade. Entre os principais sinais clínicos, destacam-se malformações graves no sistema nervoso central, retardo mental grave, defeitos cardíacos congênitos, fenda labial e no céu da boca, além de malformação das mãos.

Cariótipo de uma criança portadora da Síndrome de Patau.

Crianças com Síndrome de Patau costumam nascer com dedos sobrepostos.

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Síndrome de Edwards (trissomia autossômica do 18) Indivíduos que possuem três cópias do cromossomo do tipo 18 (47,XX + 18 ou 47,XY + 18), fazem parte da segunda trissomia autossômica mais frequente, atrás da Síndrome de Down, com frequência de 1/8.000 nascimentos. Aproximadamente 30% dos portadores da Síndrome demonstram algum comprometimento do sistema nervoso central, como hidrocefalia, além de atraso do crescimento e, por vezes, malformação grave do coração. O crânio é alongado na região occipital e o pavilhão auditivo apresenta poucos sulcos. Estima-se que 95% dos casos dessa trissomia levem ao aborto espontâneo.

Cariótipo de um menino portador da Síndrome de Edwards.

Síndrome de Turner (Monossomia sexual) Ocorre exclusivamente em mulheres e se caracteriza pela ausência de um cromossomo sexual, sendo, portanto, 45,X0, com frequência de 1/2.500 nascimentos. A maioria das portadoras levam uma vida normal, desde que tenham cuidados médicos regulares. Durante a infância, alguns sinais podem ocorrer, como o pescoço largo, a mandíbula inferior pequena e o palato alto e estreito, além de peito largo com mamilos bem espaçados, entre outros. Pode ocorrer atraso ou ausência de puberdade e não podem engravidar sem a ajuda de hormônios exógenos.

Devido a presença de apenas um cromossomo sexual do tipo X, mulheres portadoras da Síndrome de Turner não costumam apresentar cromatina sexual (cromossomo sexual X constantemente compactado). Cariótipo de uma menina portadora da Síndrome de Turner.

Síndrome do Triplo X (trissomia sexual) Também conhecida como trissomia X ou super fêmeas, mulheres portadoras desta síndrome possuem três cromossomos sexuais em suas células diploides, e, portanto, duas cromatinas sexuais em cada célula (47,XXX). Usualmente são fenotipicamente normais, mas podem aparecer algumas características, como atraso no desenvolvimento da fala, estatura acima da média, menor tonicidade muscular e anormalidades no ovário. A frequência é de 1/1.000 nascimentos de mulheres. Fleming 2023

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Cariótipo de uma mulher portadora da Síndrome do Triplo X.

Síndrome de Klinefelter (trissomia sexual) Ocorre exclusivamente em homens e se caracteriza pela presença de dois ou mais cromossomos sexuais do tipo X em cada célula (47,XXY), apresentando, assim, uma cromatina sexual em cada célula. Como sinais clínicos, é observado crescimento dos seios (ginecomastia), micropênis, poucos pelos no corpo e azoospermia (incapacidade de produzir espermatozoides). Sua frequência é de 1/1.000 nascimentos do sexo masculino.

Cariótipo de um menino portador da Síndrome de Klinefelter.

Síndrome do Duplo Y (trissomia sexual) Homens que possuem em suas células diploides um cromossomo sexual do tipo X e dois do tipoY (47,XYY). Podem ter estatura acima da média e acne no rosto entre outros sinais clínicos nem sempre presentes. A frequência é de 1/1.000 nascimentos de meninos.

Cariótipo de um indivíduo do sexo masculino portador da Síndrome do Duplo Y.

MUTAÇÕES CROMOSSÔMICAS ESTRUTURAIS 3.

São mutações que afetam a morfologia dos cromossomos, podendo levar ao nascimento de indivíduos sindrômicos ou até mesmo inviabilizar a formação do embrião, 138

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pois genes podem ser deletados ou inativados. São classificadas em quatro tipos principais: deleção, duplicação, inversão e translocação.

Deleção Perda de parte do cromossomo, podendo ser uma região terminal ou em partes internas. As severidades estão diretamente ligadas ao tamanho da deleção, pois fragmentos maiores perdidos levam à maior perda de genes, além da importância funcional do gene. Um exemplo é a Síndrome do Miado do Gato (cri-du-chat), uma deleção do braço curto do cromossomo 5.

Duplicação Ocorre quando um cromossomo perde uma porção de seu material genético, que se liga a uma cromátide-irmã, formando um segmento extra (assim, o cromossomo passa a ter uma porção repetida). Como é um processo que envolve dois cromossomos homólogos, essa mutação é mais comum no período do crossing-over.

Inversão Partes do cromossomo se separam e voltam a se unir, entretanto, com sequências trocadas, como o próprio nome da mutação sugere. Na inversão paracêntrica, o centrômero do cromossomo não estará envolvido, ou seja, a inversão ocorre em apenas um braço cromossômico, enquanto na pericêntrica, partes dos dois braços são trocados. A hemofilia do Tipo A é provocada por inversão do cromossomo sexual X.

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Translocação Uma parte de um cromossomo é passada para um cromossomo não homólogo. Caso um cromossomo receba um fragmento de outro, será chamada de translocação simples (não-balanceada) e, se dois cromossomos homólogos trocarem fragmentos, será considerada uma translocação recíproca (balanceada), como numa espécie de crossing-over entre não homólogos. Por exemplo, cerca de 3% dos casos de Síndrome de Down são causados pela translocação entre os cromossomos 14 e 21, gerando um cromossomo híbrido.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (ENEM) Cientistas encontraram um gene cuja ausência provoca a aneuploidia – uma anomalia ligada ao surgimento o câncer. Essa anomalia consiste na mudança do número normal de cromossomos no núcleo de algumas células. A não ser nos casos em que o indivíduo tem alguma síndrome específica, as células humanas têm 46 cromossomos cada – exceto espermatozoides e óvulos, que têm 23. Durante a divisão celular, esse gene é responsável pela separação de cromossomos repetidos. Dessa forma, a ausência do gene aumenta as chances de que as células resultantes da divisão tenham um número irregular de cromossomos. Essas células têm potencial para desenvolver o câncer. A pesquisa publicada pela revista Science detectou que 20% das amostras de câncer no cérebro (glioblastoma multiforme), na pele (melanoma maligno) e nos ossos (sarcoma de Ewing) não produziam a proteína STAG2, por consequência de alguma mutação num gene com o mesmo nome. http://g1.globo.com/ciencia-e-saude/noticia/2011/08/cientistas-descobrem-gene-relacionado-aosurgimento-do-cancer.html

O desenvolvimento das células cancerígenas devido à ausência da produção da proteína STAG2 ocorre: (A) durante o processo mitótico por não ter havido a não disjunção das cromátides irmãs; (B) enquanto decorre a meiose nas células germinativas durante a formação dos gametas; (C) quando células em mitose não forma o fuso mitótico sem a disjunção cromossômica; (D) momentos antes da separação celular, com a não disjunção total das cromátides em meiose I; (E) perante a segunda divisão meiótica quando há a separação dos cromossomos homólogos. Gabarito: A Por se tratar de células neoplásicas, a mutação ocorre em células que sofrem mitoses. A não disjunção dos cromossomos pode acarretar no aumento e redução no número de cromossomos, o que no caso tratado na questão, leva à neoplasia. 140

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFSC adaptada) Leia atentamente o trecho abaixo. “... o que ele quer resolver agora não é o problema da criança, mas o espaço que ela ocupa na sua vida. E esses contatos medonhos do dia-a-dia: explicar. Já viu na enciclopédia que o nome da síndrome se deve a John Haydon Down (1828-1896), médico inglês. À maneira da melhor ciência do império britânico, descreveu pela primeira vez a síndrome frisando a semelhança da vítima com a expressão facial dos mongóis, lá nos confins da Ásia; daí “mongolóides”. Que tipo de mentalidade define uma síndrome pela semelhança com os traços de uma etnia?...” TEZZA, Cristóvão. O filho eterno. 8. ed. Rio de Janeiro/São Paulo: Record, 2009. p. 42-43.

No texto acima é citado o nome do médico que descreveu uma síndrome, hoje chamada de Síndrome de Down e a razão de se usar (erroneamente) o termo mongolismo. As síndromes cromossômicas são ocasionadas por alterações no número de cromossomos (aneuploidias) ou por alterações na sua estrutura (deleções, inversões, entre outras). Normalmente os seres humanos apresentam 46 cromossomos em pares de homólogos, um paterno e outro materno. A Síndrome de Down é determinada pela presença de 3 cromossomos (trissomia), ao invés do par usual de cromossomos homólogos no genoma humano.

Sobre essas aberrações no ser humano, marque a alternativa CORRETA: (A) Doenças genéticas como hemofilia, polidactilia, eritroblastose fetal e anemia falciforme são exemplos de alterações genéticas estruturais. (B) As síndromes de Down, de Turner e de Klinefelter são exemplos de aneuploidias no ser humano. (C) Por apresentar a ausência de um cromossomo no núcleo de suas células, um indivíduo com síndrome de Down pode ser considerado um transgênico. (D) O hermafroditismo verdadeiro é uma alteração cromossômica bastante comum no ser humano e é constituído por cromossomos sexuais do tipo XXY. (E) Um clone, por apresentar os cromossomos idênticos ao ser que o originou, pode ser considerado uma aberração cromossômica numérica. 03. (UFT) Uma criança apresenta em seu cariótipo três cromossomos sexuais, dois correspondem ao X e um ao Y. Podemos dizer que está criança: (A) possui síndrome de Turner e é do sexo feminino (B) possui síndrome de Klinefelter e é do sexo masculino (C) possui síndrome de Turner e é do sexo masculino (D) possui síndrome de Down e é do sexo feminino (E) possui síndrome de Klinefelter e é do sexo feminino

A) Qual par cromossômico apresenta a trissomia na Síndrome de Down? B) Escreva o cariótipo do portador da Síndrome de Down. C) Cite o nome e escreva o cariótipo de uma Síndrome Cromossômica Numérica envolvendo os cromossomos sexuais.

02. (UEG) Muitos vegetais cultivados pelo homem, como plantas ornamentais e frutas são poliplóides e normalmente mais robustos que seus ancestrais diplóides; têm geralmente folhas, flores e frutos maiores. Batata, café, alfafa e amendoim são normalmente tetraplóides e maiores que as variáveis diplóides. O trigo é geralmente hexaplóide (6n); os morangos grandes são octoplóides (8n). CÉSAR; SEZAR. Biologia 1. ed. São Paulo: Saraiva. p. 551.

O texto acima trata de aberrações cromossômicas numéricas, mais especificamente, euploidias. No ser humano, as aberrações cromossômicas (numéricas ou estruturais) também podem ocorrer com uma certa freqüência. Fleming 2023

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GABARITO CAPÍTULO 1 01. D

02. C

CAPÍTULO 2 01. B

02. B

03. D

CAPÍTULO 3 01. D

02. 32

03. 50%

CAPÍTULO 4 01. A

02. E

CAPÍTULO 5 01. D

02. E

03. C

CAPÍTULO 6 01. B

02. B

03. E

CAPÍTULO 7 01. *

02. B

03. B

01. a) 21 b) 47, XX + 21 ou 47, XY + 21 c) Síndrome de Turner: 45 X0, Síndrome de Klinefelter: 47 XXY

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Frente A FÍSICA 145 Capítulo 1 ONDULATÓRIA Classificação das ondas 153 Capítulo 2 ONDULATÓRIA Espectro eletromagnético 159 Capítulo 3 ONDULATÓRIA Fenômenos ondulatórios 177 Capítulo 4 ACÚSTICA

ONDULATÓRIA Classificação das ondas

Introdução As ondas são um dos principais assuntos da física. A maior parte das informações que recebemos chega até nós por ondas. É pelo movimento ondulatório que o som chega aos nossos ouvidos, a luz que chega aos nossos olhos para que possamos ver os objetos, os sinais eletromagnéticos chegam aos nossos aparelhos, como televisão, telefone, rádio etc. Os aparelhos de raios X emitem ondas que permitem obter diagnósticos ou até mesmo tratar de doenças cancerígenas. Essas e tantas outras aplicações veremos ao longo do nosso estudo de ondulatória.

CONCEITO E PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 1.

Capítulo 1

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Conceito e propriedade fundamental 2. Classificação das ondas 3. Elementos de uma onda

Competência de área 1 – Compreender as ciências naturais e as tecnologias a ela associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.

Onda é uma perturbação que se propaga através de um meio. Uma onda não transporta matéria, apenas energia. Se colocarmos um pedaço de cortiça na água e produzirmos ondas na sua superfície, verificaremos que as ondas não carregarão o pedaço de cortiça que apenas realizará um movimento de subida e descida, mostrando que as ondas não transportam matéria, apenas transmitem energia.

Para saber mais sobre ondulatória utilize os simuladores.

O pedaço de cortiça não é transportado pela onda, apenas realiza o movimento de subida e descida.

Considerando uma corda esticada na horizontal, se segurarmos numa extremidade e a sacudirmos para cima e para baixo, vamos gerar uma onda que irá se propagar horizontalmente através da corda, em que cada partícula vai subir e descer, mas não acompanhará a propagação horizontal da onda. O que se propaga é a onda e não o meio.

Uma onda que se propaga na superfície da água.

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FÍSICA

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2.

CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS

Quanto à natureza as ondas, elas podem ser mecânicas (elásticas) ou eletromagnéticas e, quanto aos tipos as ondas, essas podem ser transversais, longitudinais ou mistas.

Quanto à natureza Ondas mecânicas - são aquelas que necessitam de um meio material para se propagarem, não se propagam no vácuo. Exemplos: ondas numa corda, ondas na superfície da água, ondas numa mola, ondas sonoras etc.

H1 – Reconhecer características ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos.

Ondas eletromagnéticas - são aquelas que não necessitam de meio material para se propagarem, propagam-se inclusive no vácuo. Exemplos: ondas de rádio, ondas de TV, micro-ondas, infravermelho, luz, ultravioleta, raios X e raios gama (γ). Ondas eletromagnéticas são constituídas por campos elétricos e magnéticos perpendiculares entre si e que se propagam numa direção perpendicular a esses campos.

Uma onda eletromagnética constituída pelos campos elétricos e magnéticos perpendiculares entre si e perpendiculares ao vetor velocidade, são três vetores ortogonais. Os campos elétricos e magnéticos dão a direção de vibração e, o vetor, velocidade a direção de propagação.

Quanto aos tipos Ondas transversais - são aquelas em que a direção de propagação é perpendicular a direção de vibração. Exemplos: ondas numa corda, todas as ondas eletromagnéticas etc. Onda numa corda: quanto à natureza é mecânica; quanto aos tipos é transversal.

Ondas longitudinais - são aquelas em que a direção de propagação coincide com a direção de vibração. Exemplos: ondas sonoras em fluidos etc.

Uma onda sonora se propagando no ar; as compressões correspondem à cristas, e as rarefações correspondem a vales ou depressões.

Onda sonora se propagando no ar (fluido): corresponde a compressões e rarefações das camadas de ar; é uma onda mecânica e longitudinal. As compressões correspondem a cristas, e as rarefações correspondem a vales ou depressões. 146

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Ondas mecânicas no interior de fluidos são somente longitudinais. Com uma mola, podemos gerar ondas transversais ou longitudinais.

As ondas que se propagam no solo, geradas por terremotos, são de dois tipos principais: as ondas longitudinais P e as ondas transversais S. As ondas S não podem se propagar através do material líquido, ao passo que as ondas P se propagam através tanto das partes sólidas como das partes fluidas do interior do planeta.

A segunda imagem mostra uma onda longitudinal se propagando na mola, e a terceira imagem mostra uma onda transversal.

Ondas mistas são aquelas que vibram longitudinalmente e transversalmente ao mesmo tempo. Exemplos: ondas sonoras em sólidos. 3.

ELEMENTOS DE UMA ONDA

Cristas e vales ou depressões – cristas são os pontos mais altos da onda e os vales ou depressões são os pontos mais baixos. Amplitude (A) – é a distância entre a posição de equilíbrio e a crista (ou vale) da onda. A amplitude é o máximo afastamento em relação a posição de equilíbrio. A unidade do Sistema Internacional é o metro [m]. Comprimento de onda (λ) – é a distância que vai de uma crista à outra adjacente, ou entre dois vales sucessivos, ou ainda é a distância entre quaisquer duas partes idênticas e sucessivas da onda. A unidade do Sistema Internacional é o metro [m]. Frequência (⨍) – é o número de oscilações por unidade de tempo. A unidade do Sistema Internacional é o hertz [Hz].

n ⨍= t

n = número de oscilações

t = tempo

Período (T) – é o tempo que dura uma oscilação completa. A unidade do sistema Internacional é o segundo [s]. T=

t n

n = número de oscilações

As ondas de rádio AM operam com frequências em kHz, enquanto as de rádio FM são medidas em MHz. Radares e fornos de micro-ondas operam com frequências medidas em GHz. 1 giga (G) = 109 1 mega (M) = 106 1 kilo (k) = 103 1 mili (m) = 10-3 1 micro (µ) = 10-6 1 nano (n) = 10-9

t = tempo Fleming 2023

FÍSICA

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Relação entre a frequência e o período e entre as unidades. T=

1 f

[Hz] = 1

s

Velocidade de uma onda (v) – é a razão entre a distância percorrida pela onda e o tempo gasto para percorrê-la. A unidade do Sistema Internacional é metro por segundo [m/s].

v= d

∆t

substituindo a d pelo comprimento de onda (λ) e o tempo pelo

período (T) ficamos com A velocidade de uma onda depende do meio de propagação. A frequência de uma onda depende da fonte emissora.

ficamos com

v= λ.⨍

v= .

λ T

e substituindo o período pelo inverso da frequência

Tsunami

Tsunami: devido ao deslocamento vertical da coluna de água formase a onda de grande energia. Quando ela se aproxima da praia, sua velocidade diminui mas, a sua amplitude aumenta.

O termo tsunami é de origem japonesa, em que tsu significa porto e nami, onda. Essas ondas são formadas após rápido deslocamento vertical da coluna de água em regiões de grande profundidade. Esses deslocamentos podem ser causados por um abalo sísmico, por uma atividade vulcânica, por um grande deslocamento de terra ou gelo ou pela queda de um meteorito. A potência de um tsunami é em função de sua amplitude e de sua velocidade. Quando a onda se aproxima da praia, sua velocidade diminui e, sua amplitude aumenta. A região de maior probabilidade de ocorrer tais ondas é o Oceano Pacífico, onde existem muitas placas oceânicas que deslizam sob placas continentais. Esses deslizamentos, que ocorrem a grandes profundidades (4000 m), provocam ondas que se propagam na superfície da água em até 800 km/h.

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UFPR 2021) Uma onda é produzida numa corda de modo que a velocidade de

propagação vale v = 5 m/s. Sabe-se que a distância entre dois nós sucessivos dessa onda é de 5 mm. Considerando as informações apresentadas, assinale a alternativa que apresenta corretamente o período T da onda na corda. (A) T = 1 ms. (B) T = 2 ms. (C) T = 5 ms. (D) T = 10 ms. (E) T = 20 ms.

Gabarito: B Para resolvermos esta questão, primeiramente é preciso lembrar da relação existente entre período (T) e frequência (f), onde o período é o inverso da frequência (T = 1/f) e que a distância entre dois nós sucessivos equivale a meio comprimento de onda (λ/2). Sendo assim, temos que a velocidade de propagação da onda é igual a 5 m/s e que o comprimento de onda (λ) dessa onda equivale a 10 mm. λ/2 = 5 mm → λ = 10 mm = 0,01 m

UNIDADES DE COMPRIMENTO

km = quilômetro hm = hectômetro dam = decâmetro m = metro dm = decímetro cm = centímetro mm = milímetro

TRANSFORMAÇÕES

1 km = 1000 m = 103 m 1 hm = 100 m = 102 m 1 dam = 10 m = 101 m 1 dm = 0,1 m = 10-1 m 1 cm = 0,01 m = 10-2 m 1 mm = 0,001 m = 10-3 m

Aplicando a equação para a velocidade de uma onda e isolando a variável T (período), temos: 0,01 m λ λ → T= = = 0,002 s 5 m/s T v Utilizando as transformações, 0,002 s = 2 . 10–3 = 2 ms v=

UNIDADES DE VELOCIDADE

m/s = metro/segundo km/h = quilômetro/hora Para passar de km/h para m/s, dividir por 3,6.

ANOTAÇÕES UNIDADES DE TEMPO

h = hora min = minuto s = segundo TRANSFORMAÇÕES

1 h = 60 min 1 h = 3600 s 1 min = 60 s

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) Na figura abaixo, estão representadas duas ondas transversais P e Q, em um dado instante de tempo. Considere que as velocidades de propagação das ondas são iguais.

03. (UFRGS) Uma onda transversal propaga-se com velocidade de 12 m/s numa corda tensionada. O gráfico abaixo representa a configuração desta onda na corda, num dado instante de tempo. 3 y (cm)

P

Q Sobre essa representação das ondas P e Q, são feitas as seguintes afirmações. I. A onda P tem o dobro da amplitude da onda Q. II. A onda P tem o dobro do comprimento de onda da onda Q. III. A onda P tem o dobro da frequência da onda Q. Quais estão corretas? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas I e II. (E) I, II e III. 02. (UEM-adaptada) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Considere g = 10,0 m/s2. (01) Uma onda é uma perturbação que se propaga sem transporte de matéria e tem como exemplos as ondas sonoras, as luminosas e as sísmicas. (02) As ondas mecânicas, como as ondas na superfície de um lago ou em uma corda de violão, se propagam por um meio material. (04) As ondas eletromagnéticas, como as ondas de rádio e as de micro-ondas, se propagam exclusivamente no vácuo. (08) Quando partículas de um determinado meio elástico são atingidas por frentes de ondas transversais, estas partículas sofrem deslocamentos na direção de propagação da onda. Desta forma, estas partículas podem percorrer grandes distâncias.

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0

2 4 6 8 10 12 14 16 x (cm)

-3 O comprimento de onda e a amplitude desta onda transversal são, respectivamente: (A) 4 cm e 3 cm. (B) 4 cm e 6 cm. (C) 6 cm e 3 cm. (D) 8 cm e 3 cm. (E) 8 cm e 6 cm. 04. (UFPR-2020) Uma onda sonora se propaga num meio em que sua velocidade, em módulo, vale 500 m/s. Sabese que o período dessa onda é de 20 µs. Considerando os dados apresentados, a onda nesse meio apresenta o seguinte comprimento de onda (λ): (A) λ = 250 mm. (B) λ = 100 mm. (C) λ = 25 mm. (D) λ = 10 mm. (E) λ = 1 mm. 05. (FUVEST) A Rádio USP opera na frequência de 93,7 megahertz. Considerando-se que a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas na atmosfera é igual a 300000 km/s, o comprimento de onda emitida pela Rádio USP é aproximadamente igual a: (A) 3,2 m (B) 32,0 m (C) 28,1 m (D) 93,7 m (E) 208,1 m

06. (UERJ) Observe no diagrama o aspecto de uma onda que se propaga com velocidade de 0,48 m/s em uma corda:

0

2,0

4,0

6,0

8,0

10

ANOTAÇÕES

12

Calcule, em hertz, a frequência da fonte geradora da onda.

07. (UEG) Nos filmes de ficção científica, tal como Guerra nas estrelas, pode-se ouvir, nas disputas espaciais dos rebeldes contra o Império, zunidos de naves, roncos de motores e explosões estrondosas no espaço interestelar. Esse fenômeno constitui apenas efeitos da ficção e, na realidade, não seria possível ouvir o som no espaço interestelar devido ao fato de que as ondas sonoras (A) possuem índice de refração dependentes do meio. (B) se propagam apenas no éter, invisível a olho nu. (C) necessitam de um meio para se propagarem. (D) têm amplitude de frequência modulada. 08. (UEG) As ondas em um oceano possuem 6,0 metros de distância entre cristas sucessivas. Se as cristas se deslocam 12 m a cada 4,0 s, qual seria a frequência, em Hz, de uma boia colocada nesse oceano? (A) 1,80. (B) 1,50. (C) 1,00. (D) 1,20. (E) 0,50. 09. (UFT) Uma série de oscilações periódicas que agitam um barco provoca, na superfície de um lago, ondas que se propagam, inicialmente, com velocidade de 2,3 m/s e comprimento de onda de 3,1 m. Na região rasa do lago, essas ondas passam a ter uma velocidade de 1,1 m/s. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, na situação descrita, o comprimento de onda das ondas na região rasa do lago é de, aproximadamente: (A) 0,8 m. (B) 1,5 m. (C) 6,5 m. (D) 7,8 m.

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FÍSICA

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ONDULATÓRIA

Capítulo 2

Espectro eletromagnético

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução

1. Espectro eletromagnético

Estudaremos neste capítulo cada uma das ondas eletromagnéticas, suas aplicações e sua grande importância. As ondas eletromagnéticas são as ondas de rádio, ondas de TV, micro-ondas, infravermelho, luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama. 1.

ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

É a distribuição das ondas eletromagnéticas de acordo com a frequência e o comprimento de onda característico de cada radiação. O espectro eletromagnético por ser representado assim: Rádio

103

Microondas

1

Infravermelho

10–3

10–5

Luz visível

Raios X

Ultravioleta

10–7

10–9

Raios Gama

10–11

10–13

Ondas de rádio – tudo começa no estúdio da emissora, onde os locutores gravam a programação por meio do microfone. A vibração do diafragma desse aparelho é convertida em sinais elétricos, que variam com a mesma frequência e a mesma amplitude da onda sonora. Em seguida, em um processo chamado modulação de frequência, os sinais são codificados para transmissões em FM (frequência modulada), ou modulação de amplitude para transmissões em AM (amplitude modulada); depois são transmitidos pela antena da emissora em forma de ondas eletromagnéticas. As ondas de amplitude modulada (AM) são divididas em três faixas, de acordo com o seu comprimento de onda: ondas curtas, ondas médias e ondas longas, normalmente utilizadas para grandes alcances. As ondas de frequência modulada, embora tenham um alcance menor, podendo ser captadas apenas em um raio de pouco mais de 100 km da fonte emissora, apresentam melhor qualidade. O alcance das ondas de rádio depende de sua potência de emissão. A mudança da intensidade I do sinal em função da distância r da fonte de emissão com potência P se deve a energia contida na onda se espalhar pelo espaço à medida que a onda se propaga. Pode ser obtida pela expressão:

I = AP = 4πPr2 A unidade do Sistema Internacional de potência é o watt [W], da distância é o metro [m]. A representa a área de distribuição da onda e, a sua unidade no SI é o metro quadrado [m²]. Ondas de TV – as transmissões das emissoras de televisão, feitas pela antena, realizam um processo semelhante; porém, além do som, a imagem é codificada na onda eletromagnética responsável pelo transporte das informações.

Antena que emite ondas de rádio.

RADAR Radar é um acrônimo para Radio Detection And Ranging. É um sistema que foi desenvolvido durante a Segunda Guerra Mundial para medir a distância e a velocidade dos objetos usando ondas de rádio.

O radar é constituído basicamente de uma válvula emissora de micro-ondas e um receptor. Ambos estão no foco de uma superfície parabólica. A válvula emite um pulso de micro-ondas que é refletido pela superfície e, em seguida, pela aeronave. O receptor capta a onda refletida pelo avião e pela superfície parabólica. A medida do intervalo de tempo entre a emissão do pulso e sua recepção possibilita a localização da aeronave.

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Até a data que consta no texto, o aquecimento dos alimentos no forno de micro-ondas era explicado pela ressonância. Vestibulares anteriores davam ressonância como resposta. A PUCRS, no vestibular de verão 2021, deu como resposta Aquecimento Diéletrico.

Nos EUA, uma pesquisa entre 1000 dermatologistas em todo o país sobre preferências para o tratamento de primeira linha para psoríase moderada a grave em adultos saudáveis em idade fértil revelou que o tratamento de primeira linha preferido é com UVB. Os raios UVB também são utilizados para tratamento de vitiligo.

Algumas espécies de células doentes são destruídas mais facilmente por raios X do que células sadias. Portanto, feixes de raios X, cuidadosamente controlados, podem ser usados no tratamento de algumas doenças, como, por exemplo, o câncer. Os raios X,são ondas eletromagnéticas que podem se propagar através de músculos, tendões e pele, porém, ao atravessarem os ossos perdem mais energia. Uma película sensível a essas radiações é sensibilizada quando atingida. Assim podemos “tirar uma foto” de partes do nosso corpo e observar sua estrutura óssea. As radiografias são pouco eficientes na visualização de determinadas estruturas quando há superposição de órgãos. É por meio da tomografia computadorizada que se pode observar uma imagem melhor de qualquer parte do corpo. Nos tomógrafos, o paciente é deitado sobre uma mesa de exame, que desliza lentamente no meio de um anel. Uma fonte de raios X, acoplada ao anel, gira ao redor do paciente. A radiação emitida é captada por inúmeros detectores. Desse modo, são produzidas diversas radiografias transversais, de uma série de seções fatiadas da região do corpo a serem examinadas. Esses dados, enviados a um computador, são processados, e as imagens são visualizadas no monitor. 154

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Micro-ondas – as micro-ondas são ondas eletromagnéticas com frequência entre 109 e 1011 Hz, aproximadamente, e comprimento de onda entre 1 m e 1 mm. Existem inúmeras aplicações dessas ondas, entre as quais se destacam o radar, os telefones celulares e o forno de micro-ondas. Entretanto, as faixas de micro-ondas são específicas para cada uma das aplicações. As micro-ondas na faixa de 300 MHz a 300 GHz, denominadas ondas de radar, são utilizadas na detecção de aviões e outros veículos. A telefonia celular é atualmente a mais importante aplicação das micro-ondas, utilizando ondas na faixa de 850 MHz a 2200 MHz. Como essas ondas se propagam na atmosfera de forma praticamente retilínea, são muito utilizadas nas telecomunicações, na troca de mensagens telefônicas, também via satélite, entre dois continentes. No caso do forno de micro-ondas, a forma como os alimentos são aquecidos é um fenômeno conhecido como aquecimento dielétrico. Uma molécula polar, como a água, quando inserida em um campo elétrico, tende a girar de maneira a se alinhar como o campo. Quando o campo elétrico inverte o seu sentido periodicamente, como nas ondas eletromagnéticas produzidas pelo forno, as moléculas giram em sentido alternado em busca de se realinhar com o campo. Este fenômeno acontece para toda uma faixa de frequências e não requer uma ressonância para acontecer. Dessa forma, as ondas de micro-ondas provocam rotação das moléculas de água, que, ao girarem, “raspam” nas moléculas vizinhas transferindo energia e aumentando sua agitação. Essa transferência de energia resulta no aquecimento do alimento. Infravermelho – o controle remoto de um aparelho eletrônico utiliza ondas eletromagnéticas (infravermelhos) para enviar sinais que provocam alterações no funcionamento do aparelho: aumentar ou diminuir a intensidade do som e mudar de canal (em uma TV), dentre outras. Alguns sistemas de segurança são ativados quando recebem infravermelhos emitidos por uma pessoa. Luz visível - o espectro do visível é a parte do espectro eletromagnético que pode ser percebida pelo nosso sistema de visão. A luz visível compreende a radiação com comprimento de onda entre 380 nm e 750 nm. Estudaremos em detalhes a luz visível no capítulo de Óptica Geométrica. Ultravioleta – a radiação ultravioleta pode ser classificada em três diferentes tipos: UVA, UVB e UVC. Os raios UVA são aqueles em que o comprimento de onda varia entre 320 e 400 nm e não são absorvidos pela camada de ozônio, portanto são os que mais chegam a superfície terrestre. Os raios UVB são aqueles com comprimentos de onda que variam entre 280 e 320 nm, sendo parte deles absorvida pela camada de ozônio. A maior intensidade ocorre entre 10 h e 16 h. Os raios UVC são aqueles com comprimento de onda menores que 280 nm até o limite com os raios X. São absorvidos pela camada de ozônio. Podem ser produzidos artificialmente e utilizados para esterilizar equipamentos cirúrgicos e no tratamento da água, porque possuem alta propriedade bactericida. Raios X – em 1895, Wilhelm Röntgen descobriu que, quando um feixe de elétrons em movimento muito rápido atinge um alvo metálico, uma radiação é emitida. Essa radiação é constatada por meio de inúmeros feitos, como sensibilizar chapas fotográficas e atravessar corpos opacos à luz. Por desconhecer sua natureza, Röntgen denominou essas radiações de raios X. Atualmente sabemos que raios X são ondas eletromagnéticas com frequências ainda maiores que as da radiação ultravioleta. Os raios X são produzidos em uma ampola (tubo de vidro) em que é feito vácuo e que contém um filamento e um alvo metálico chamado ânodo. O filamento, ligado a um gerador, é aquecido pela passagem de corrente elétrica, liberando elétrons. Os elétrons que saem do filamento são acelerados pela alta ddp no sentido do ânodo, aí chegando com velocidade muito elevada. Ao incidirem no ânodo, são desacelerados, seguindo-se a emissão de ondas eletromagnéticas (raios X) de alta frequência. O ânodo é feito de um metal com elevado ponto de fusão, geralmente tungstênio, porque grande parte da energia cinética dos elétrons incidentes se converte em calor. Os comprimentos de onda dos

raios X vão de aproximadamente 10-8 m até 10-11 m. Quanto menor o comprimento de onda dos raios X, maior é o seu poder de penetração. O poder de penetração dos raios X depende também do material penetrado, são bastante absorvidos pelos ossos humanos, que contém cálcio (material de alta densidade) e atravessam especialmente tecidos moles como a pele humana. Os raios X devem ser utilizados com grande cautela. Os operadores de aparelhos de raios X geralmente usam aventais de chumbo, metal cuja alta densidade retém eventuais radiações que possam atingi-los, além de um crachá que avalia o grau de exposição de radiação em dado intervalo de tempo.

RADIAÇÃO IONIZANTE

Tubo de raios X : os elétrons saem do filamento acelerados devido ao campo elétrico gerado pelo ânodo e nele incidem gerando os raios X.

Raios gama (γ) – existem ondas eletromagnéticas com frequências ainda mais altas do que os raios X. São os chamados raios γ. A radiação γ é emitida pelos núcleos instáveis dos elementos radioativos, que se desintegram natural ou artificialmente. O espectro eletromagnético pode ser representado de maneira simplificada assim:

f = frequência da onda eletromagnética λ = comprimento de onda E = energia dos fótons associados as ondas eletromagnéticas p.p. = poder de penetração das ondas eletromagnéticas nos materiais i = radiação ionizante n.i. = radiação não ionizante É importante destacar que a energia das ondas eletromagnéticas é quantizada (discreta ou descontínua), ou seja, é constituída por pacotes de energia que são os fótons ou os quanta. Quando as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo, todas possuem a mesma velocidade, que é c = 3 x 108 m/s.

É uma forma de radiação que carrega consigo energia suficiente para arrancar elétrons que se encontram ligados a átomos e moléculas. Essa radiação pode ser de natureza corpuscular, como radiações alfa e beta, ou de natureza eletromagnética, como a radiação gama, os raios X e algumas frequências do ultravioleta. Para que a radiação consiga ionizar átomos e moléculas, é necessário que ela carregue consigo uma grande quantidade de energia. No caso das ondas eletromagnéticas, somente aquelas que se encontram no final do espectro eletromagnético são capazes de ionizar.

Uma aplicação prática importante dos raios gama é o mapeamento por radioisótopos, substâncias radioativas como por exemplo o iodo-131. Quando administrados aos pacientes se concentram de maneiras diferentes nos diferentes órgãos do corpo, como o caso do iodo na glândula tireóide. Os raios γ emitidos são detectados por uma câmara especial, que gera em tela de vídeo, uma imagem do órgão em estudo.

Energia de um fóton ( E ) E=h.f h = constante de Planck h = 6,6 x 10 -34 J . s f = frequência da onda eletromagnética

Quanto maior a potência de uma determinada fonte emissora de fótons, maior será o número de fótons emitidos por unidade de tempo.

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UFRGS) Considere as seguintes afirmações sobre ondas eletromagnéticas.

I. Frequências de ondas de rádio são menores que frequências da luz visível. II. Comprimentos de onda de micro-ondas são maiores que comprimentos de onda da luz visível. III. Energias de ondas de rádio são menores que energias de micro-ondas. Quais estão corretas? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas II e III. (E) I, II e III.

Gabarito: E Esta questão aborda diversos aspectos das ondas eletromagnéticas. Justificaremos abaixo cada uma das afirmativas: I. Correta. De acordo com a classificação das ondas no espectro eletromagnético, temos uma relação inversamente proporcional entre frequência e comprimento de onda das ondas. O espectro eletromagnético classifica as ondas de forma que a frequência possa ser organizada de crescentemente. Sendo assim, as ondas de rádio, por possuírem maior comprimento de onda quando comparadas às ondas do espectro da luz visível, possuem menor frequência. II. Correta. Novamente, de acordo com o espectro eletromagnético, temos que as ondas de micro-ondas, por possuírem menor frequência que a da luz visível, possuem maior comprimento de onda. III. Correta. A energia de uma onda pode ser obtida através da equação E = h . f, em que h é a constante de Planck e f é a frequência da onda. Considerando que a energia de uma onda é diretamente proporcional à sua frequência, como a frequência das ondas de rádio é menor que a frequência das ondas de micro-ondas, temos para as ondas de rádio também uma energia menor.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFPR) O primeiro forno de micro-ondas foi patenteado no início da década de 1950, nos Estados Unidos, pelo engenheiro eletrônico Percy Spence. Fornos de microondas mais práticos e eficientes foram desenvolvidos nos anos 1970, e a partir daí, ganharam grande popularidade, sendo amplamente utilizados em residências e no comércio. Em geral, a frequência das ondas eletromagnéticas geradas em um forno de micro-ondas é de 2450 MHz. Em relação à Física de um forno de micro-ondas, considere as seguintes afirmativas: 1. Um forno de micro-ondas transmite calor para assar e esquentar alimentos sólidos e líquidos. 2. O comprimento de onda dessas ondas é de aproximadamente 12,2 cm. 3. As ondas eletromagnéticas geradas ficam confinadas no interior do aparelho, pois sofrem reflexões nas paredes metálicas do forno e na grade metálica que recobre o vidro da porta. Assinale a alternativa correta. (A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. (B) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. (C) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. (D) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. (E) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 02. (UFSC) Sobre as emissões de estações de rádio, é CORRETO afirmar: (01) as recepções em AM são pouco prejudicadas por colinas e montanhas, pois são refletidas pela atmosfera. (02) não são influenciadas pelas ondas luminosas, devido à natureza ondulatória diferente. (04) as emissões em FM têm pequeno alcance, pois não se refletem na atmosfera. (08) as ondas curtas, emitidas por algumas rádios AM, têm grande alcance, devido à sua grande velocidade. (16) nunca poderiam ser captadas por um astronauta no espaço. (32) nunca poderiam ser emitidas a partir da Lua. 03. (UNIOESTE) Segundo dados da Anatel (Agência Nacional de Telecomunicações) sobre a densidade de aparelhos no Brasil, divulgados em agosto de 2006, concluise que metade dos brasileiros possui telefone celular. Todo aparelho de telefonia celular se comunica com as antenas que estão nos topos das torres através de radiações (ou ondas) eletromagnéticas que se propagam a uma velocidade c e pode operar na frequência de F1 = 800 MHz empregando tecnologias chamadas TDMA e CDMA, ou na frequência de F2 = 1,80 GHz, empregando a tecnologia GSM. Sendo c a velocidade da luz no vácuo, é INCORRETO afirmar que:

(A) Em uma hora as ondas eletromagnéticas com frequências F1 e F2, propagando-se no vácuo, percorrem uma distância de 1,08 x 109 km. (B) O comprimento de onda da radiação de frequência F1 é maior do que o comprimento de onda da radiação de frequência F2. (C) O comprimento de onda da radiação de frequência F1 é 0,375 metros. (D) A energia da onda de frequência F2 é 2,25 vezes menor do que a energia da onda de frequência F1. (E) Se uma destas ondas eletromagnéticas parte da Terra e chega a Plutão depois de 320 minutos, conclui-se que a distância entre a Terra e Plutão é de 5760 x 106 km. 04. (UFMS) O Programa Apollo foi um conjunto de missões espaciais coordenadas pela NASA (Agência Espacial dos Estados Unidos) entre 1961 e 1972, com o objetivo de colocar o homem na Lua. O projeto teve seu momento mais emblemático com o pouso da Apollo 11 no solo lunar em 20 de julho de 1969. Chegando à Lua, foi dita uma frase pelo astronauta Neil Armstrong: "Um pequeno passo para um homem, um salto gigante para a humanidade". A comunicação entre a nave na Lua e a base da NASA na Terra, só era possível por um tipo específico de ondas que se propagam no vácuo. Essas ondas são do tipo: (A) mecânicas. (B) eletromagnéticas. (C) bidimensionais. (D) unidimensionais. (E) qualquer tipo de onda. 05. (UFT) A radiação são ondas eletromagnéticas ou partículas que, ao interagir com a matéria, produz efeito sobre ela. Suas aplicações tecnológicas são fundamentais para o desenvolvimento da medicina, da agricultura, da indústria e das telecomunicações. Com relação às radiações aplicadas em nosso cotidiano, é CORRETO afirmar que: (A) para a realização de imagem em tempo real, utiliza-se a radiação de ultrassom, que é facilmente absorvida pelos tecidos. (B) os alimentos, quando expostos por muito tempo à radiação de micro-ondas, tornam-se radioativos, o que pode ser prejudicial à saúde. (C) em um exame de radiografia, os raios-X atravessam o osso, que é menos denso que os tecidos ao seu redor, produzindo então uma imagem na placa. (D) ao submeter frutas e legumes a raios gama, ocorrerá a eliminação de microrganismos patogênicos, como, por exemplo, a salmonela, aumentando sua vida útil. Fleming 2023

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06. (UnB)

A figura acima ilustra o esquema de funcionamento do equipamento denominado telefone de barbante, usado para comunicação em brincadeira de criança. Ele pode ser construído com dois copos de plástico cujos fundos estejam unidos por um fio de barbante completamente estirado. As ondas sonoras, ao serem produzidas, no interior do copo, por uma das crianças, propagam-se pelo ar e, em contato com o fundo do copo, o fazem vibrar. Essa perturbação propaga-se pelo barbante até o fundo do outro copo, onde o processo físico inverso ocorrerá, permitindo que a criança na outra extremidade do fio ouça o comunicado. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. Considerando-se que o ouvido humano percebe sons na faixa de frequências de 20 Hz até 20.000 Hz e que a velocidade do som no ar é igual a 340 m/s, então o comprimento de onda correspondente à frequência audível mais baixa é igual a 17 m. ( ) CERTO ( ) ERRADO 07. (UEG) Ondas de rádio FM, raios X e a luz visível são exemplos de radiações eletromagnéticas. No vácuo, qual é a característica física comum dessas radiações? (A) O período (B) A amplitude (C) A velocidade (D) O comprimento de onda

08. (UNESP-2022) Nossos olhos percebem, apenas, uma pequena faixa do espectro eletromagnético, chamada de luz visível. Outras faixas dessa radiação podem ser detectadas por instrumentos específicos. No espaço extraterrestre, partículas de alta energia produzidas em todo o universo se propagam e, normalmente, são bloqueadas por campos magnéticos. Porém, como a Lua não possui campo magnético, essas partículas atingem a superfície lunar, interagem com a matéria e produzem raios gama como resultado, que podem ser detectados na Terra. A figura da esquerda mostra uma imagem da Lua obtida na faixa da luz visível e, a da direita, obtida na faixa dos raios gama.

(https://revistapesquisa.fapesp.br) (https://gizmodo.uol.com.br)

Comparando os raios de luz visível com os raios gama, é correto afirmar que: (A) como todas as ondas eletromagnéticas, ambos só podem se propagar pelo vácuo, e com velocidades iguais. (B) por apresentarem comprimentos de onda maiores do que os da luz visível, os raios gama são inofensivos quando atingem os seres humanos. (C) os raios gama apresentam frequências menores do que as da luz visível, o que explica terem velocidade de propagação maior do que essa luz, no vácuo. (D) provenientes simultaneamente de uma mesma fonte no espaço, ambos chegam à Terra em intervalos de tempo diferentes, produzindo imagens distintas dessa fonte. (E) apesar de terem frequências e comprimentos de onda diferentes, ambos se propagam pelo vácuo com velocidades iguais. 09. (UNICAMP-2020) Em 2019 foi divulgada a primeira imagem de um buraco negro, obtida pelo uso de vários radiotelescópios. Também recentemente, uma equipe da NASA propôs a utilização de telescópios de infravermelho para detectar antecipadamente asteroides que se aproximam da Terra. Considere que um radiotelescópio detecta ondas eletromagnéticas provenientes de objetos celestes distantes na frequência de frádio = 1,5 GHz, e que um telescópio de infravermelho detecta ondas eletromagnéticas originadas em corpos do sistema solar na frequência de finfravermelho = 30THz. Qual é a razão entre os correspondentes comprimentos de onda no vácuo, λrádio/λinfravermelho? (A) 5,0 x 10–5. (B) 6,7 x 10–5. (C) 2,0 x 104. (D) 6,0 x 1012.

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ONDULATÓRIA Fenômenos ondulatórios

Capítulo 3

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução

1. Fenômenos ondulatórios

Neste capítulo, serão apresentados os mais importantes fenômenos ondulatórios, destacando-se o fato de que as ondas apresentam muitas características em comum, qualquer que seja a sua natureza. Estudaremos os fenômenos ondulatórios: reflexão, refração, difração, interferência (construtiva e destrutiva) e polarização. 1.

FENÔMENOS ONDULATÓRIOS

Reflexão É o fenômeno pelo qual uma onda incide em uma superfície e volta ao meio de origem. Quando uma onda sofre reflexão, o módulo de sua velocidade, o seu comprimento de onda e a sua frequência não variam. Ocorre dessa forma porque a velocidade da onda depende do meio onde se propaga, a frequência depende da fonte emissora e o comprimento de onda depende da frequência e da velocidade. Como o meio antes da reflexão e depois é o mesmo, o módulo da velocidade permanece constante. A fonte emissora antes da reflexão e depois da reflexão é a mesma portanto, a frequência permanece constante. Como a frequência e o módulo da velocidade não variam, o comprimento de onda também não varia.

• Reflexão de pulsos Quando um pulso atinge a extremidade de uma corda, verifica-se que ela retorna, propagando-se de volta para a fonte. A reflexão de pulsos pode ser com inversão de fase ou sem inversão de fase.

• Reflexão com inversão de fase Considere que uma das extremidades da corda seja fixa. Quando o pulso chega a essa extremidade, a corda exerce uma força para cima no suporte. Pelo princípio da ação e reação, o suporte exerce na corda uma força de reação no sentido contrário. O efeito dessa força é originar a inversão do pulso incidente. Dizemos que o pulso sofreu uma reflexão com inversão de fase.

A frequência de uma onda depende da fonte emissora, e a velocidade da onda depende do meio de propagação.

A reflexão com inversão de fase ou sem inversão de fase ocorre também com as demais ondas. Por exemplo, quando uma onda sonora se propaga no ar e incide numa parede, sofre reflexão com inversão de fase; se estivesse se propagando na parede e incidisse no ar, sofreria reflexão sem inversão de fase. No caso de ondas luminosas, sabemos que a reflexão ocorre com ou sem inversão de fase por meio dos índices de refração. Quando a onda se propaga no sentido do meio menos refringente para o mais refringente, há reflexão com inversão de fase; propagando-se no sentido do meio mais refringente para o menos refringente, há reflexão sem inversão de fase.

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pulso incidente

Reflexão de pulso com inversãopulso de faserefletido (extremidade fixa).

• Reflexão de pulso sem inversão de fase

O sonar emite ultrassons que refletem no objeto. Conhecendo o intervalo de tempo de ida e volta da onda e a velocidade do ultrassom na água, podemos determinar a distância que se encontra o objeto.

A figura abaixo mostra a extremidade da corda ligada a um anel que se movimenta livremente em um eixo vertical sem atrito. Quando o pulso atinge o anel, a corda se movimenta para cima até que sua energia cinética seja transformada em energia potencial elástica. Ao se movimentar para baixo, a extremidade da corda envia um pulso em sentido oposto, exatamente igual ao pulso incidente. Diz-se que o pulso sofreu uma reflexão sem inversão de fase. pulso incidente

pulso refletido

Reflexão de pulso sem inversão de fase (extremidade livre).

Morcegos e golfinhos usam a ecolocalização para se orientar e capturar presas.

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O Sonar é um dispositivo que, instalado em navios e submarinos, possibilita medir profundidades oceânicas detectar a presença de obstáculos e cardumes. Seu funcionamento baseia-se na reflexão de ondas sonoras. O sonar emite ultrassons e capta as ondas que se refletem no eventual obstáculo, medindo o intervalo de tempo entre a emissão e a recepção. Conhecida a velocidade de propagação das ondas sonoras na água, é possível determinar a que distância se encontra o obstáculo. A ecolocalização é um sistema de emissão e recepção de sinais ultrassônicos. A partir da reflexão desses sinais, em qualquer obstáculo, como construções, árvores, insetos ou fios elétricos, os morcegos conseguem se localizar. Golfinhos, baleias e algumas espécies de esquilos e pássaros também usam a ecolocalização, mas nos morcegos e nos golfinhos ela é mais sofisticada.

As ondas de rádio com frequências entre 104 Hz e 107 Hz são muito bem refletidas pela ionosfera e, por isso, podem ser captadas a grandes distâncias da emissora. As ondas para transmissão de sinais de televisão têm frequências em torno de 108 Hz e não são refletidas pela ionosfera. Essas ondas necessitam de estações repetidoras entre a emissora e os locais de recepção. Para distâncias maiores há necessidade de satélites. As ondas de rádio refletem na ionosfera porque têm baixa frequência.

Refração É o fenômeno que ocorre quando a velocidade da onda varia. Na refração, a frequência da onda permanece constante, e o comprimento de onda varia na mesma proporção da velocidade. Se a velocidade for reduzida à metade, o comprimento de onda também se reduzirá à metade; se a velocidade triplicar, o comprimento de onda também triplicará. Considerando agora o exemplo de ondas na superfície da água: quando estamos na praia podemos ver que a distância entre as cristas das ondas na água diminui à medida em que a onda se aproxima da praia. Isso ocorre porque a velocidade de uma onda na superfície da água depende da profundidade. Quanto menor a profundidade, menor será a velocidade dessas ondas e, como diminui a velocidade, o comprimento de onda diminui na mesma proporção.

Refração e reflexão de ondas transversais em cordas Considere duas cordas de densidades lineares diferentes emendadas. Supondo que a densidade linear de B seja maior que a densidade linear de A. Quando o pulso que se propaga em A incide na emenda com B, parte do pulso reflete e parte refrata. O módulo da velocidade do pulso refletido é igual ao módulo da velocidade do pulso incidente. O pulso refletido inverte a fase e, o pulso refratado não inverte a fase. Nesse caso, a corda de maior densidade funciona como extremidade fixa. O módulo da velocidade do pulso refratado é menor do que o módulo da velocidade do pulso incidente ou do refletido.

Velocidade de propagação de ondas transversais em cordas tensas. Considere uma corda de massa m e comprimento L, a densidade linear µ dessa corda é a razão entre a sua massa e seu comprimento. µ=

Pulso incidente

|V2| = |V1|

V1

|V1| > |V3| |V2| > |V3| Pulso refratado V3 Pulso refletido

m L

A unidade do Sistema Internacional da densidade linear é [kg/m] . Na propagação de um pulso transversal ou de uma onda periódica transversal considerando que a intensidade da força tensora é T, a velocidade é determinada pela expressão: v=

T µ

A unidade do Sistema Internacional da força tensora é newton [N] e da velocidade é [m/s].

V2 Reflexão e refração de pulsos em cordas com diferentes densidades, com sentido de propagação da de menor densidade para a de maior densidade.

Se o pulso se propagar na corda de maior densidade e incidir na de menor densidade, o pulso refletido não inverte a fase, porque, nesse caso, a corda de menor densidade funciona como extremidade livre. O pulso refratado não inverte a fase. O módulo da velocidade do pulso refletido é o mesmo do incidente, mas o módulo do pulso refratado é maior do que o do pulso incidente ou refletido.

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Pulso incidente

|V1| = |V2|

V1

|V1| < |V3| |V2| < |V3| Pulso refratado V3 Pulso refletido V2 Reflexão e refração de pulsos em cordas de diferentes densidades com sentido de propagação da de maior densidade para a de menor densidade.

Princípio de Huygens No final do século XVII, Huygens propôs um método de construção gráfica de frentes de onda que ficou conhecido como Princípio de Huygens que diz: Cada ponto de uma frente de onda se comporta como uma nova fonte de ondas elementares, que se propagam para além da região já atingida pela onda original e com a mesma frequência que ela. B

A

B A

cdo

Fonte Primária Fontes Secundárias

Frente de Onda Plana

cdo

Frente de Onda Esférica

Em determinado instante, cada ponto da frente de onda, representado por uma bolinha amarela, comporta-se como fonte das ondas elementares de Huygens. Passado algum tempo, a frente de onda envolve ondas elementares. Em meios homogêneos e isótropos, a frente de onda desloca-se mantendo sua forma geométrica. Portanto, uma frente circular continua circular, uma frente reta continua reta, uma frente esférica continua esférica e assim por diante, desde que não haja obstáculos que afetem a propagação.

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Difração É o fenômeno pelo qual uma onda contorna obstáculos. A difração depende do comprimento de onda da onda e das dimensões do obstáculo. Quando o comprimento de onda é muito menor do que as dimensões do obstáculo, não ocorre difração. A menina e o menino conseguem conversar mesmo separados pelo muro porque as ondas sonoras difratam.

Difração de ondas na água.

A telefonia celular utiliza ondas eletromagnéticas de frequências entre 1 GHz e 3 GHz, comprimentos de onda entre 0,1 m e 0,3 m. Um celular pode ser localizado, mesmo que esteja no interior de um carro, no bolso de uma roupa ou até mesmo dentro de sacolas ou malas. A onda é detectada depois de sofrer reflexões, refrações e difrações. Essas ondas difratam-se com grande facilidade em fendas de pequenas dimensões, como nos quase invisíveis orifícios existentes em tramas têxteis, já que o comprimento de onda é da ordem de 10 cm. As ondas de rádio têm comprimento de onda grande e, portanto, facilidade para contornar obstáculos de grandes dimensões como montanhas, edifícios etc. A luz, apesar de ter comprimento de onda muito pequeno, na ordem de grandeza de 10-6 m, pode difratar desde que o obstáculo tenha dimensões da mesma ordem de grandeza do seu comprimento de onda.

Interferência É a superposição de ondas. Pode ser construtiva ou destrutiva.

• Interferência construtiva Ocorre quando a crista de uma onda se superpõe a crista de outra, seus efeitos individuais se somam e produzem uma onda resultante com amplitude maior.

Interferência construtiva: a amplitude da onda resultante é a soma da amplitudes. Interferência destrutiva: a amplitude da onda resultante é a subtração das amplitudes.

Interferência construtiva: a amplitude da onda resultante é o somatório da amplitude de cada uma das ondas: a = a1 + a2. Fleming 2023

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• Interferência destrutiva Ocorre quando a crista de uma onda se superpõe ao vale de outra, seus efeitos individuais são reduzidos e produzem uma onda com amplitude menor.

Interferência destrutiva: a amplitude da onda resultante é a subtração entre as ondas: a = a1 – a2.

Difração e interferência com ondas luminosas – nas regiões claras ocorrem interferências construtivas; nas regiões escuras ocorrem interferências destrutivas.

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É importante saber que, após o cruzamento, tanto na interferência construtiva como na destrutiva, as ondas continuam mantendo suas características, a mesma velocidade, o mesmo comprimento de onda, a mesma frequência e a mesma amplitude. Se for o caso de duas ondas, com amplitudes iguais, mas em oposição de fase, teremos uma interferência totalmente destrutiva, ou seja, a amplitude será zero. Mas, após o cruzamento, as ondas continuam mantendo suas características, assim como nos casos anteriores. A interferência é um fenômeno do momento. O fenômeno da interferência ocorre com todas as ondas, vamos ver algumas situações: na cabine de um avião, por exemplo, é possível que haja um som de fundo devido aos motores. Para resolver esse problema, um computador instalado na cabine irá receber o som de fundo, por meio de um microfone, e analisá-lo. Em seguida, emitirá,por meio de alto-falantes, uma onda sonora idêntica à recebida, com exceção da fase, que será invertida. A superposição dessas duas ondas idênticas, porém em oposição de fase, irá proporcionar um silêncio no interior da cabine, devido à interferência destrutiva. Algumas indústrias do setor automotivo têm instalado esse mesmo sistema em alguns veículos, garantindo o conforto sonoro para os usuários e para a população em geral. Outra situação de interferência destrutiva é caso de bloqueio de celulares. Esse bloqueio é feito por meio de emissões de ondas eletromagnéticas nas mesmas frequências das emitidas pelas operadoras, porém em oposição de fase. A finalidade é provocar uma interferência destrutiva, evitando que os celulares existentes no interior dos presídios possam receber ligações. A interferência pode ocorrer também com a luz, como acontece em bolhas de sabão e manchas de óleo que ficam coloridas quando expostas à luz solar. No CD, que também fica colorido quando exposto à luz solar, a explicação é mais complexa; ocorre reflexão, difração e interferência. Nos três exemplos, ocorrem interferências construtivas e destrutivas. No caso de uma onda que incide em um obstáculo que têm duas fendas, a onda, ao passar em cada uma das fendas, irá difratar, desde que obedeça as condições para ocorrer a difração. Logo após a difração, em cada uma das fendas, teremos duas ondas que irão se superpor, teremos então o fenômeno da interferência. Nesse caso haverá interferência tanto construtiva quanto destrutiva. Nos pontos de interferências construtivas, as amplitudes serão somadas e, nos pontos de interferências destrutivas, as amplitudes serão diminuídas.

Linhas contínuas representam cristas e, descontínuas representam vales ou depressões. Nos pontos de cruzamento de linha contínua, com linha contínua ou descontínua com descontínua ocorrem interferências construtivas e, nos pontos de cruzamento de linha contínua com linha descontínua ocorrem interferências destrutivas.

Onda Estacionária É o resultado da superposição de duas ondas de mesma velocidade, mesmo comprimento de onda, mesma frequência, mesma amplitude, mas de sentidos contrários. Na formação de uma onda estacionária, ocorrem dois fenômenos: reflexão e interferência.

A formação de uma onda estacionária a partir dos fenômenos da reflexão e da interferência.

Na formação de uma onda estacionária, ocorrem interferências construtivas e destrutivas. Os ventres (V) são pontos de interferências construtivas e, os nodos ou nós (N) são pontos de interferências destrutivas. A distância entre dois nodos sucessivos corresponde a meio comprimento de onda. A distância entre um nodo e um vale sucessivos corresponde a um quarto de comprimento de onda. A velocidade de uma onda estacionária é calculada através da expressão:

v= λ.⨍

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Experimento de Young Em 1803, Thomas Young provou experimentalmente que a luz é uma onda, ao contrário do que pensavam muitos cientistas da época. O que o cientista fez foi demonstrar que a luz sofre interferência como as ondas do mar, as ondas sonoras e todos os outros tipos de ondas.

Thomas Young (17 73-1829), médico e físico inglês, demonstrou a teoria ondulatória da luz com o experimento que leva seu nome. Sua descoberta comprovou a teoria de Huygens, publicada no fim do século XVII.

A experiência de Young, que comprova o comportamento ondulatório da luz.

Os máximos são interferências construtivas com a luz e portanto faixas iluminadas e os mínimos são interferências destrutivas com a luz e portanto faixas escuras.

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No experimento de interferência de Young, a luz monocromática incidente é difratada pela fenda S0, que se comporta como uma fonte luminosa pontual, emitindo frentes de ondas semicirculares. Quando a luz chega ao anteparo com duas fendas, é difratada em S1 e S2, que se comportam como duas fontes luminosas pontuais. As ondas luminosas que deixam as fendas S1 e S2 se combinam e sofrem interferência, formando um padrão de interferência composto de máximos e mínimos observados no anteparo. A figura acima é uma secção reta, os anteparos, as fendas e a figura de interferência se estendem para dentro e para fora da página. Entre o anteparo que possui as fendas S1 e S2 e o anteparo onde são visualizados os máximos e mínimos, as frentes de ondas semicirculares com centro em S2 mostram as ondas que existiriam se apenas a fenda S2 estivesse descoberta; as frentes de onda semicirculares com centro em S1 mostram as ondas que existiriam se apenas a fenda S1 estivesse descoberta. A fenda S0 no primeiro anteparo faz com que a luz atinja as fendas S1 e S2 no segundo anteparo em fase, transformando-as em “fontes” coerentes, já que pertencem a uma mesma frente de onda.

A franja central é a região de maior intensidade luminosa e chamada de máximo central. As demais franjas claras apresentam intensidades decrescentes a partir do máximo central, tanto para a direita como para a esquerda. Como as fontes do segundo anteparo estão em fase as interferências, no terceiro anteparo irão depender apenas da diferença (∆) entre os caminhos percorridos pelas ondas.

• Equações . ∆ = dLy

∆ = n λ2

∆ = d2 - d1

∆ = diferença entre os caminhos percorridos pelas ondas d = distância entre as fendas y = distância da franja central (máximo central) no anteparo ao ponto P considerado ou separação entre as franjas L = distância entre o anteparo e as fendas n = número de λ 2 d1 = distância da fonte 1 ao ponto P no anteparo d2 = distância da fonte 2 ao ponto P no anteparo

Para existir em P um máximo de intensidade (franja clara), é necessário que Δ seja igual a um número inteiro de comprimentos de onda ou um número par de meios comprimentos de onda. ( n = 0, 2, 4, 6, .....) Para existir em P um mínimo de intensidade (franja escura), é necessário que Δ seja igual a um número semi-inteiro de comprimentos de onda ou um número ímpar de meios comprimentos de onda. (n = 1, 3, 5, 7, .......) P é um ponto qualquer no anteparo onde são visualizadas as interferências.

Dedução da equação

P d1 F1

y

θ

d

d2 θ

L

Máximo central

∆ F2

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L >> y ⟶ θ tende a zero tg θ =

sen θ cos θ

sen θ =

∆ d

cos 0º = 1 tg θ = sen θ tg θ =

cateto oposto y = = sen θ cateto adjacente L

y ∆ = L d

. ∆ = dLy Interferência em lâminas delgadas

Interferência por luz refletida.

Interferência por luz transmitida.

Em lâminas delgadas, é possível observar figuras de interferência luminosa. A interferência responsável por essas figuras ocorre pela superposição das ondas luminosas que atravessam a lamina e das que sofrem reflexão nas faces da lâmina. Na figura 1, representa-se a situação de interferência por luz refletida. Numa fina lamina de vidro de espessura d, colocada no ar, incide uma luz monocromática. Seja λ o comprimento de onda da luz considerada no material que constitui a lâmina. Os raios luminosos 1 e 2 que se superpõem no ponto P são tais que: o raio 1 sofreu refração na primeira face da lâmina, foi refletido na face interna e novamente refratou-se; o raio 2 foi refletido na primeira face e sofreu inversão de fase, pois está se propagando do meio menos refringente (ar) para o meio mais refringente (vidro). Vamos considerar a incidência praticamente perpendicular. Nesse caso, a diferença de caminhos ∆ das duas ondas que se superpõem (correspondentes aos raios 1 e 2) é o dobro da espessura d da lâmina, ou seja, 2d. Como são ondas em oposição de fase, a interferência será destrutiva, se ∆ for igual a um número par (n) de meios comprimentos de onda, ou construtiva, se ∆ for igual a um número ímpar (n) de meios comprimentos de onda. Resumindo, temos: ∆ = 2d = n λ → interferência destrutiva (face escura), sendo n = 0, 2, 4, 6, ... 2

∆ = 2d = n λ → interferência construtiva (face brilhante), sendo n = 1, 3, 5, 7, ..... 2

Considerando que a luz é monocromática, o observador verá a face da lâmina totalmente escura (interferência destrutiva) ou brilhante, na cor da luz utilizada (interferência construtiva). Na figura 2, está representada a situação de interferência por luz transmitida. Na mesma lâmina de vidro de espessura d, colocada no ar, incide uma luz monocromática cujo comprimento de onda no vidro é λ.Vamos considerar agora que os raios luminosos 3 e 4 se superpõem no ponto Q da segunda face da lâmina. O raio 3 sofreu refração na primeira face, foi refletido na segunda face e, em seguida, na primeira face, mas em ambas as situações, não sofreu inversão de fase, pois está se propagando do meio mais refringente (vidro) para o meio menos refringente (ar). Por fim, o raio 3 sofreu refração na segunda face e emergiu no ar. O raio 4 sofreu refração nas duas faces da lâmina e emergiu no ar, não havendo, pois, inversão de fase. Considerando a incidência praticamente perpendicular, a diferença de caminhos ∆ das duas ondas que se superpõem (correspondentes aos raios 3 e 4) é o dobro da espessura d da lâmina, ou seja, 2d. Como são ondas em concordância de fase, pois não há inversão em nenhum dos fenômenos ocorridos, a interferência será construtiva, se ∆ for igual a um número par (n) de meios comprimentos 168

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de onda, ou destrutiva, se ∆ for igual a um número ímpar (n) de meios comprimentos de onda. Resumindo, temos: ∆ = 2d = n λ → interferência construtiva (face brilhante), sendo n = 0, 2, 4, 6, ... 2 ∆ = 2d = n λ → interferência destrutiva (face escura), sendo n = 1, 3, 5, 7, ... 2 Portanto, na interferência por luz transmitida, o observador verá a face da lâmina totalmente escura (interferência destrutiva) ou brilhante, na cor da luz utilizada (interferência construtiva). Entretanto, a face que, na primeira situação (por luz refletida), se apresenta escura, agora (por luz transmitida) vai se apresentar brilhante. Nas figuras 1 e 2, para melhor entendimento, houve um exagero na inclinação dos raios e na espessura da lâmina. Além disso, só foram representados os raios que determinam diretamente o fenômeno. Em ambos os tipos de interferência, se a luz utilizada for branca (policromática), a interferência será construtiva para alguns comprimentos de onda e destrutiva para outros, determinando uma série de faixas coloridas. Nas situações descritas, a lamina foi suposta de espessura constante, razão pela qual cada face se apresenta uniformemente brilhante ou uniformemente escura. Se a espessura da lâmina não for constante, as condições de interferência vão se modificando de ponto para ponto, originando, para o observador, uma alternância de faixas brilhantes e escuras, conforme a interferência seja construtiva ou destrutiva, respectivamente. Os anéis de Newton Newton obteve experimentalmente uma figura de interferência numa lâmina de ar de espessura variável que se tornou conhecida como anéis de Newton. Para realizar essa experiência, coloca-se uma lente esférica plano-convexa de vidro com pequena curvatura apoiada sobre uma lâmina de faces paralelas também de vidro. O raio da face curva da lente deve ser da ordem de alguns metros. Faz-se então incidir um feixe paralelo de luz monocromática perpendicularmente à face plana da lente (figura ao lado). A lâmina de ar de espessura variável é a que se estabelece entre a face curva da lente e a face plana da lâmina de vidro. Ocorre interferência entre os raios refletidos e refratados nas superfícies de separação entre a curva da lente e a face plana da lâmina de vidro. Como a lâmina tem espessura variável, a superfície observada não se apresenta uniformemente clara ou escura. Para pontos equidistantes do centro, ocorre o mesmo tipo de interferência, construtiva ou destrutiva, de maneira a formarem-se anéis concêntricos alternadamente brilhantes (da cor da luz utilizada) e escuros. Se um anel for brilhante quando visto por luz refletida, isto é, com o observador posicionado acima da lente (figura ao lado), ele será escuro quando visto por luz transmitida, isto é, com o observador posicionado abaixo da lâmina de vidro (figura ao lado). A região central é sempre escura por luz refletida e sempre brilhante por luz transmitida, qualquer que seja o comprimento de onda da luz utilizada.

Interferência numa lâmina de ar de espessura variável (d).

Anéis de Newton observados por luz refletida.

Cores de interferência Uma bolha de sabão parece iridescente sob a luz branca, quando a espessura da película de sabão é aproximadamente igual ao comprimento de onda da luz. As ondas luminosas refletidas nas superfícies externa e interna da película percorrem distâncias diferentes. Quando a película é iluminada com luz branca, pode acontecer de a película ter a espessura exata numa região para causar interferência da luz amarela, por exemplo. Quando a luz amarela é subtraída da luz branca, a mistura

Anéis de Newton observados por luz transmitida. Fleming 2023

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A mancha de óleo colorida quando exposta à luz solar devido a interferência com as ondas luminosas.

restante aparecerá com a cor complementar ao amarelo que é o azul. Num outro lugar em que a película seja mais fina, uma cor diferente pode ser cancelada pela interferência, e, neste caso, a luz refletida será vista com a cor complementar daquela cor. A mesma coisa acontece no óleo espalhado sobre o pavimento de uma rua. A luz se reflete tanto na superfície superior como na superfície inferior da película de óleo. Se sua espessura for tal que ela cancela o azul, então a superfície do óleo parecerá amarela ao olho. Isso acontecerá porque o azul, ao ser subtraído da luz branca, restará sua cor complementar, o amarelo. As diferentes cores vistas, portanto, correspondem a diferentes espessuras ao longo da película delgada.

Interferência com a luz em bolhas de sabão.

Polarização

Um único elétron oscilante pode emitir uma onda eletromagnética plano-polarizada. O plano de polarização conterá a direção de vibração do elétron. Um elétron acelerado verticalmente, então, emite uma onda eletromagnética com polarização vertical, enquanto um elétron acelerado horizontalmente emite uma onda eletromagnética polarizada no plano horizontal. Uma fonte luminosa comum emite luz não polarizada. Isso porque não existe qualquer direção preferencial de vibração dos elétrons acelerados que emitem a luz. Os planos de vibração das ondas eletromagnéticas emitidas podem ser tão numerosos quanto são os elétrons que as produzem.

Se sacudirmos verticalmente uma corda esticada teremos uma onda polarizada no plano vertical e, se sacudirmos horizontalmente, teremos uma onda polarizada no plano horizontal, ou seja, uma onda é polarizada quando possui apenas um plano de vibração.

Onda polarizada no plano vertical.

Onda polarizada no plano horizontal.

Se a corda for posta a vibrar em vários planos de vibração, teremos uma onda natural ou não polarizada.

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Onda com diversos planos de vibração é uma onda não polarizada ou natural.

A polarização consiste em transformar uma onda de vários planos de vibração (onda natural ou não polarizada) em uma onda com apenas um plano de vibração. Isso se faz com o uso de um polarizador.

polarizador

Polarizador Onda natural com vários planos de vibração

onda não polarizada

onda polarizada

Onda natural com um planos de vibração

Uma representação muito utilizada de onda não polarizada, polarizador e onda polarizada.

O fenômeno da polarização: uma onda natural sendo transformada em uma polarizada com o uso de um polarizador.

A polarização é um fenômeno que ocorre somente com ondas transversais, não ocorre com ondas longitudinais. A luz é polarizável, mas o som quando se propaga nos fluidos não é polarizável. Todas as ondas eletromagnéticas são polarizáveis porque todas são transversais. Isso não quer dizer que somente as ondas eletromagnéticas são polarizáveis, porque existem ondas transversais que não são eletromagnéticas, mas são polarizáveis.

Ondas transversais e ondas longitudinais no capítulo 01 (Classificação das ondas) dessa mesma frente.

• Polarização da luz A luz é uma onda eletromagnética, portanto constituída por campos elétricos e magnéticos. No estudo da polarização dessas ondas, opta-se por representar o vetor campo elétrico. Uma fonte de luz comum emite ondas luminosas não polarizadas, portanto contém campos elétricos variáveis no tempo, que podem estar vibrando em qualquer direção. Se os vetores campo elétrico se tornarem restritos a uma única direção de vibração, teremos luz plano-polarizada ou linearmente polarizada. O plano que contém o vetor campo elétrico e a direção de propagação é denominado plano de vibração da onda. Quando o feixe de luz é plano-polarizado, todos os planos de vibração são paralelos entre si e qualquer um deles é o plano de polarização do feixe.

Os polarizadores mais usados atualmente são as lâminas polarizadoras denominadas polaroides. Um dos tipos de polaroides é uma lâmina de álcool polivinílico, um polímero orgânico sintético constituído de cadeias de moléculas de hidrocarbonetos muito longas. A lâmina é estirada de modo que as longas cadeias moleculares se alinhem e se disponham paralelamente uma à outra. Após serem impregnados de iodo, essas moléculas passam a ter elétrons de condução, sendo o eixo de transmissão perpendicular às longas cadeias moleculares.

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Luz polarizada

Luz não polarizada Polarizador Luz não polarizada incide no polarizador, vários planos de vibração são bloqueados passando apenas aquele que o polarizador permite, no caso, o plano vertical que corresponde ao eixo de transmissão.

Lei de Malus Na figura abaixo, luz não polarizada, representada por seus vetores campos elétricos E incide em um polarizador de eixo de transmissão como mostrado. A onda transmitida pelo polarizador tem intensidade Io e o vetor campo elétrico tem amplitude Eo. Essa luz incide em outro polarizador denominado analisador, cujo eixo de transmissão forma um ângulo θ com o eixo de transmissão do polarizador. Étienne Malus, capitão e engenheiro militar do exército de Napoleão que publica a sua lei em 1809.

A polarização tem aplicação na construção de óculos cujas lentes são polarizadores e bloqueiam luz refletida, por exemplo em poças d’água na estrada, prejudicando a visão de motoristas, ou ainda, na praia diminuindo a intensidade de luz refletida na água do mar. Há filtros polarizadores para máquinas fotográficas com o objetivo de evitar reflexos indesejáveis melhorando a qualidade da fotografia.

Luz não polarizada incide no polarizador que transmite luz polarizada de acordo com o seu eixo de transmissão e logo a seguir no polarizador.

Se representarmos por I a intensidade de luz que passa pelo analisador e por Io a intensidade de luz que passa pelo polarizador, I pode ser determinada pela lei de Malus, que é representada pela expressão:

I = Io cos²θ Fotos sem e com o uso de filtros polarizadores.

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Se o ângulo formado entre o polarizador e o analisador for de 90°, a intensidade de luz à direita do analisador é mínima.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

(UFRGS) Em um experimento de interferência, similar ao experimento de Young, duas fendas idênticas são iluminadas por uma fonte coerente monocromática. O padrão de franjas claras e escuras é projetado em um anteparo distante, conforme mostra figura abaixo. 1

Fendas

Anteparo

Sobre este experimento, são feitas as seguintes afirmações. I. A separação entre as franjas no anteparo aumenta se a distância entre as fendas aumenta. II. A separação entre as franjas no anteparo aumenta se a distância entre o anteparo e as fendas aumenta. III. A separação entre as franjas no anteparo aumenta se o comprimento de onda da fonte aumenta. Quais estão corretas ? (A) Apenas I . (B) Apenas II . (C) Apenas III . (D) Apenas II e III . (E) I , II e III . Gabarito: D A distância entre as franjas projetadas sobre o anteparo aumenta quando afastamos o anteparo e diminui quando o aproximamos, pois o padrão espacial é função do ângulo subentendido pela franja com origem no ponto entre as fendas, por exemplo, θ (Figura I), que marca um máximo de intensidade. Para uma distância fixa entre fendas e anteparo, o padrão pode ser ainda modificado de forma independente, tanto pela separação entre as fendas, como pela variação do comprimento da onda incidente. Para perceber como essas franjas são modificadas, podemos observar, em primeiro lugar, que, ao se separarem lateralmente as fendas, o número de pontos no espaço onde ocorre a superposição entre as frentes de onda aumenta, aumentando também a frequência com que ocorrem angularmente as condições de máximo e mínimo (Figura II); e, em segundo lugar, que, ao se aumentar o comprimento de onda, o número de pontos no espaço onde ocorre a superposição entre as frentes de onda diminui, diminuindo a frequência com que ocorrem angularmente as condições de máximo e mínimo (Figura III).

θ

Fendas

Anteparo

Figura I

θ

θ

Fendas

Anteparo

Figura II

Fendas

Anteparo

Figura III

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFSC) Na era da informação, os fenômenos e instrumentos ópticos são de fundamental importância. Desde a construção de aparatos para buscar informações do Cosmo, como telescópios, até a utilização da luz como meio de enviar informações, a óptica é um dos ramos da Física com grande valor para o desenvolvimento do conhecimento humano. Com relação aos fenômenos e instrumentos ópticos, é correto afirmar que: (01) espelho é a denominação dada para qualquer superfície reta que permita a reflexão regular ou especular da luz. (02) quando a luz atinge a fronteira entre dois meios transparentes e homogêneos, ela sofre reflexão, refração e absorção. (04) a cor percebida de um objeto depende da cor da luz incidente sobre o objeto e do pigmento existente nele. (08) uma das leis da reflexão diz que o ângulo de reflexão com a normal é igual ao ângulo de incidência com a normal, mas ela só é aplicável aos espelhos. (16) o arco-íris é consequência somente da reflexão da luz nas gotículas de água dispersas na atmosfera após a chuva. (32) qualquer superfície transparente pode se tornar um espelho, desde que as condições para a reflexão total – ângulo de incidência maior do que o ângulo limite e propagação da luz do meio mais refringente para o menos refringente – sejam respeitadas 02. (UFRGS) Uma onda sonora propagando-se em um meio fluido, com velocidade de módulo 1.440 m/s, sofre reflexão entre duas barreiras de modo a formar nesse meio uma onda estacionária. Se a distância entre dois nós consecutivos dessa onda estacionária é 4 cm, a frequência dessa onda sonora é: (A) 180 Hz. (B) 360 Hz. (C) 1.800 Hz. (D) 3.600 Hz. (E) 18.000 Hz.

(A) A luz é uma onda transversal e o som é uma onda longitudinal, e as ondas transversais possuem maior comprimento de onda que as longitudinais. (B) A luz é onda polarizada, o som é uma onda sem polarização, e as ondas polarizadas possuem maior interação com o ar atmosférico que as sem polarização. (C) A luz é uma onda eletromagnética, o som é uma onda mecânica e as ondas eletromagnéticas possuem maior velocidade que as mecânicas. (D) A luz é uma onda unidimensional, e o som é uma onda bidimensional e as ondas unidimensionais possuem maior frequência que as bidimensionais. 04. (UEM) Uma corda de náilon de uma guitarra, com densidade linear igual a 7,2 g/m, está sob uma tração de 72 N. Os suportes fixos que mantêm a corda esticada estão a uma distância de 90 cm um do outro. Assinale o que for correto sobre as ondas estacionárias (modos de vibração) que podem se formar na corda. (01) A onda estacionária pode ser vista como uma superposição de ondas incidentes e refletidas. (02) A velocidade das ondas transversais na corda corresponde (em módulo) a 100 m/s. (04) Na onda estacionária com dois ventres, o comprimento de onda da vibração na corda é igual a 0, 45 m. (08) Na onda estacionária com três ventres, a corda vibra em uma frequência de (500/3) Hz. (16) O comprimento de onda do som emitido pela corda é igual ao comprimento de onda da vibração correspondente na corda, independentemente do modo de vibração. 05. (UNESP) A figura representa ondas chegando a uma praia. Observa-se que, à medida que se aproximam da areia, as cristas vão mudando de direção, tendendo a ficar paralelas à orla. Isso ocorre devido ao fato de que a parte da onda que atinge a região mais rasa do mar tem sua velocidade de propagação diminuída, enquanto a parte que se propaga na região mais profunda permanece com a mesma velocidade até alcançar a região mais rasa, alinhando-se com a primeira parte.

03. (UFU) Um efeito que, às vezes, se observa em dias de chuva é a emissão de luz característica de relâmpagos seguido da audição do respectivo barulho do trovão após decorrido um intervalo de tempo. Qual é o motivo, nesse caso citado, de haver essa diferença de tempo entre a observação da luz e a audição do som do trovão?

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www.if.ufrgs.br. Adaptado.

O que foi descrito no texto e na figura caracteriza um fenômeno ondulatório chamado: (A) reflexão. (B) difração. (C) refração. (D) interferência. (E) polarização. 06. (UFG) Uma estação de rádio emite ondas médias na faixa de 1 MHz com comprimento de onda de 300 m. Essa radiação contorna facilmente obstáculos como casas, carros, árvores, etc., devido ao fenômeno físico da (A) difração. (B) refração. (C) reflexão. (D) interferência. (E) difusão. 07. (UEL) A figura a seguir representa uma área coberta pela radiação eletromagnética emitida por duas antenas.

1

2

08. (UEG) Dois estudantes de Física, aficionados por cinema, querem usar o seu novo aparelho de blu-ray com o áudio do home theater que eles já possuem. O aparelho de blu-ray possui duas conexões de saída de áudio, uma, por meio de cabos de cobre e, outra, por meio de cabo óptico. Para prever qual das conexões produzirá o melhor efeito, um dos estudantes baseia-se em conceitos que estudou em Eletromagnetismo e Óptica, compartilhando essas informações com seu colega. Das observações feitas pelo estudante, a única CORRETA é a seguinte: (A) no cabo óptico, a informação é transmitida com a velocidade de uma onda eletromagnética, ou seja, com a velocidade da luz. (B) no fio de cobre, a informação é transmitida com a velocidade da luz da mesma forma que no cabo óptico, pois os princípios físicos são semelhantes. (C) no cabo óptico, a luz é transmitida através de reflexões e refrações e, portanto, sua velocidade diminui com o tempo porque a intensidade luminosa também diminui. (D) nos fios de cobre, a velocidade, com a qual a informação é transmitida, tem o mesmo valor da velocidade de deriva dos elétrons no sólido, portanto, muito menor que no cabo óptico.

43

Considerando que a radiação eletromagnética é uma onda e que, nesta questão, essa onda está representada pelos semicírculos, cujas cristas são os traços cheios e os vales os traços pontilhados, assinale a alternativa correta. (A) No ponto 1 a amplitude resultante é mínima. (B) No ponto 2 a amplitude resultante é máxima. (C) No ponto 3 a amplitude resultante é metade do que a do ponto 1. (D) No ponto 4 a amplitude resultante é nula. (E) No ponto 2 a amplitude resultante é o dobro do que a do ponto 3.

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ACÚSTICA

Introdução Os conceitos de onda serão agora aplicados às ondas sonoras. Essas ondas têm origem mecânica, pois são produzidas por deformações em um meio elástico e não se propagam no vácuo. O ar, ou outro meio, torna-se alternadamente mais denso ou mais rarefeito quando uma onda sonora se propaga através dele. As variações na pressão fazem com que os nossos tímpanos vibrem com a mesma frequência da onda, o que produz a sensação auditiva. O sistema auditivo de uma pessoa normal é sensibilizado por ondas sonoras de frequências entre, aproximadamente, 20 Hz e 20.000 Hz. As ondas sonoras nessa faixa audível são denominadas sons. As frequências inferiores a 20 Hz são denominadas infrassons. Ondas sonoras com frequências superiores a 20 000 Hz constituem os ultrassons. Essas ondas, infrassons e ultrassons, embora não sejam audíveis para o homem, muitos animais conseguem ouvi-las. A velocidade do som no ar a 15°C é 340 m/s ou 1224 km/s, na água é 1450 m/s e no ferro é 4 480 m/s. Estudaremos nesse capítulo as qualidades fisiológicas do som e as propriedades das ondas. 1.

QUALIDADES FISIOLÓGICAS DO SOM

Nosso aparelho auditivo distingue no som certas características, denominadas qualidades fisiológicas, que são altura, intensidade e timbre.

Altura A qualidade pela qual diferenciamos sons graves de sons agudos é denominada altura, que depende da frequência do som. O som será tanto mais grave quanto menor for sua frequência e será tanto mais agudo quanto maior for sua frequência. Entre músicos, um som alto é agudo e um som baixo é grave. A voz feminina é mais aguda, pois as cordas vocais femininas geralmente vibram mais vezes (maior frequência) que as cordas vocais masculinas. A altura do som também caracteriza as notas musicais. Uma escala musical é uma sequência crescente. A escala mais conhecida é a chamada escala natural em que as frequências dos sons são classificadas em sete notas. Quando uma nota é emitida com o dobro da frequência, dizemos que está uma oitava acima; por exemplo, a nota Lá tem frequência 440 Hz, se for emitida uma nota de frequência 880 Hz estará uma oitava acima.

Intensidade A qualidade fisiológica pela qual diferenciamos os sons fracos dos sons fortes é denominada intensidade auditiva ou sonoridade. Depende da energia transportada pela onda e, portanto, de sua intensidade física. A intensidade física é o quociente entre a energia que atravessa uma superfície (perpendicular à direção de propagação) na unidade de tempo e a área da superfície:

I = A .E∆t

o quociente E é a potência da onda, portanto podemos escrever: ∆t

Capítulo 4

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Qualidades fisiológicas do som 2. Propriedades das ondas sonoras 3. Cordas sonoras 4. Tubos sonoros

Amplitude

Tom

A primeira figura é de uma onda de pequena amplitude representando um som fraco, a segunda é de uma onda de grande amplitude representando um som forte, a terceira é de uma onda com pequena frequência representando um som grave, e a última figura é de uma onda de grande frequência representando um som agudo.

Notas

Frequências

Dó

261,63 Hz

Ré

293,66 Hz

Mi

329,63 Hz

Fá

349,23 Hz

Sol

391,99 Hz

Lá

440,00 Hz

Si

493,88 Hz

A tabela apresenta as sete notas musicais que constituem a escala natural.

I = AP Fleming 2023

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Os danos fisiológicos ao ouvido começam a acontecer quando ele é exposto a 85 decibels, com o grau de danos dependendo da duração da exposição e de suas características quanto à frequência. Danos causados por um som muito intenso podem ser temporários ou permanentes, dependendo se os órgãos de Corti, os órgãos receptores dentro do ouvido interno foram danificados ou destruídos.

A mínima intensidade que uma onda sonora deve ter para ser audível (limiar de audição) é aproximadamente 10-12 W/m2. Por outro lado, se a intensidade física exceder aproximadamente 1 W/m2, ela provocará efeitos dolorosos (limiar da dor). O sistema auditivo humano não é excitado linearmente pela intensidade do som. Ao dobrar a intensidade de um som, percebemos um som mais forte, mas não duas vezes mais intenso. Experimentos mostram que, para medir a intensidade auditiva, também denominada nível sonoro do som, deve-se usar uma escala logarítmica. Considerando Io a menor intensidade do som audível (geralmente adota-se 10-12 W/m²) e I a intensidade do som que se quer medir, define-se a intensidade auditiva ou β de um som como o expoente a que se deve elevar o número 10 para se obter a relação I . Então 10β = I , pela definição de logaritmo decimal, podeI0 I0 I mos escrever: β = log ( ), nessa fórmula, β é medida em bel (símbolo B). Na práI0 ca geralmente medimos β em uma unidade menor, o decibel (dB), sendo 1dB =

1 B. Portanto, ficamos com 10

β = 10 · log I I0

A intensidade de um som depende da amplitude das vibrações de pressão no interior da onda sonora (a intensidade é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude da onda).

Timbre

Sons com timbres diferentes representados por ondas com formas diferentes.

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FÍSICA

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Diferentes instrumentos musicais podem tocar a mesma nota, com a mesma frequência e a mesma intensidade. Mesmo assim, sabemos distinguir quando essa nota é tocada por um violão ou um violino. Isso acontece porque, embora o músico toque apenas as cordas do violão, todas as outras partes do instrumento também vibram (a madeira, as outras cordas, o ar dentro do violão), produzindo ondas sonoras. A superposição de todas essas ondas emitidas pelo instrumento define uma qualidade fisiológica do som chamada timbre. O violino e o violão possuem timbres diferentes. O fato de as outras partes do instrumento musical participarem na composição da onda sonora resultante torna o timbre de cada instrumento diferente. Por exemplo, não são apenas as cordas do violão que vibram, mas a madeira da caixa também. Quando um instrumento musical emite determinada nota, diversos sons de frequências múltiplas se superpõem para constituir essa nota, Desses sons, o de menor frequência constitui o som fundamental, e os demais, com frequências múltiplas, são os harmônicos. Assim, sendo f1 a frequência do som fundamental, podemos ter o segundo harmônico (f2 = 2f1), o terceiro harmônico (f3 = 3f1) e assim sucessivamente. A superposição do som fundamental com os harmônicos determina a forma da onda emitida pelo instrumento. O som fundamental ou primeiro harmônico que determina a frequência do som emitido. Os harmônicos que acompanham o som fundamental variam de instrumento para instrumento. O timbre está relacionado com a forma resultante da onda sonora emitida pelo instrumento. A voz humana ou o som emitido por qualquer animal também possui timbres característicos. Conseguimos reconhecer facilmente a voz de nossos pais ou amigos, pois cada uma delas possui timbre diferente, embora existam casos de pessoas que possuem timbres de voz muito parecido. As características físicas de cada pessoa (forma da garganta, cordas vocais, pulmões, traqueia, cavidades nasais) definem seu timbre de voz.

2.

PROPRIEDADES DAS ONDAS SONORAS

Reverberação e eco A reverberação e o eco ocorrem devido à reflexão do som e à persistência acústica. Quando uma pessoa emite um som que se propaga no ar, incide em uma parede e sofre reflexão, essa pessoa escuta dois sons, o som direto no momento em que é emitido e um tempo depois escuta o som refletido pela parede. Se o intervalo de tempo em que a pessoa recebe o som refletido é menor do que 0,1 s, ocorre o fenômeno chamado reverberação, que consiste em um prolongamento da sensação auditiva. Mas, se o intervalo de tempo até escutar o som refletido for maior do que 0,1 s, a pessoa escutará o som refletido separado do emitido, porque já terá se esgotado a sensação sonora do som direto, nesse caso estará ocorrendo o eco.

A persistência acústica é o intervalo de tempo que a sensação sonora permanece nos nossos ouvidos após escutarmos um determinado som e é de 0,1 segundo.

Batimento Quando dois sons com frequências ligeiramente diferentes soam simultaneamente, escuta-se uma flutuação na intensidade do som resultante, tornando-se fraco e forte alternadamente. Essa variação na intensidade do som é denominada batimento. Isso ocorre devido às interferências construtivas e destrutivas entre os dois sons. O batimento pode ser utilizado para comparar frequências. Para afinar um violão, por exemplo, o músico escuta os batimentos produzidos entre uma frequência padrão e a frequência emitida por uma das cordas do instrumento. Quando o batimento desaparecer, o instrumento estará afinado.

Ressonância Quando a frequência da vibração forçada de um objeto se iguala a frequência natural dele, ocorre um aumento na amplitude de movimento do mesmo; esse fenômeno é denominado ressonância. Um exemplo bastante utilizado para explicar a ressonância é o do balanço. Quando colocamos um balanço em movimento, ele oscila num ritmo igual a sua frequência natural. Mesmo que os empurrões sejam com forças pequenas, mas se forem na mesma frequência natural do balanço, sua amplitude de movimento irá aumentar. Uma experiência que pode ser feita em aula é com diapasões de frequências iguais. Se batermos em um deles, o outro que está próximo entrará também em vibração. Outra situação interessante ocorre quando sintonizamos uma determinada estação de rádio, estaremos ajustando a frequência natural do circuito eletrônico à frequência das ondas eletromagnéticas dessa estação. A ressonância não ocorre somente com ondas. Em 1831, tropas da cavalaria marchando ao longo de uma ponte para pedestres próxima a Manchester, Inglaterra, causaram o colapso da ponte quando a frequência da marcha se igualou a frequência natural da ponte.

a b

c

A superposição das duas ondas a e b resulta na formação da onda c, o batimento. A frequência do batimento é dada pela expressão:

f = fa – fb

Frequência natural – quando deixamos cair no piso uma colher metálica não vamos confundir o som emitido com o de um pedaço de madeira, porque os dois vibram de maneira diferente após baterem no piso. Qualquer objeto formado por um material elástico vibrará com uma determinada frequência, a qual denominamos frequência natural depende de um conjunto de fatores tais como elasticidade e a forma do objeto.

Na figura, A e B são diapasões idênticos. Batendo-se apenas no diapão A, o diapasão B também vibra, porque B é excitado pelo som proveniente de A, cuja frequência é igual à sua frequência natural. Esse fenômeno é a ressonância.

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Efeito Doppler

O observador e a ambulância se aproximam, portanto o observador perceberá uma frequência maior do que a real.

Para entendermos o efeito Doppler, vamos começar pelo exemplo mais conhecido dos alunos: o caso de uma ambulância que se aproxima ou se afasta de um observador, ou ainda, quando o observador se aproxima ou se afasta da ambulância. Quando uma ambulância com a sirene ligada se aproxima de um observador, este escuta o som da sirene com uma frequência maior do que a frequência real emitida por ela. Escuta um som de altura maior, mais agudo e comprimento de onda menor. Também perceberia, dessa forma, se a ambulância estivesse parada, com a sirene ligada, e se aproximasse dela, ou ainda os dois, ambulância e observador, se aproximando. Por outro lado, se a ambulância se afasta do observador, ele perceberia o som com frequência menor do que a real, pois escutaria um som mais grave, de altura menor e com maior comprimento de onda. Da mesma forma que se a ambulância estivesse parada e o observador se afastasse, ou ainda, quando os dois se afastam. Em resumo, quando há aproximação, a frequência percebida pelo observador é maior, a altura é maior, o som é mais agudo e o comprimento de onda é menor. Quando há afastamento, a frequência percebida pelo observador é menor, altura menor, mais grave e comprimento de onda maior. Como foi citado acima, iniciamos pelo exemplo mais conhecido dos alunos, mas é importante ressaltar que o efeito Doppler ocorre com todas as ondas. O efeito Doppler é usado por alguns animais como o morcego para orientação e para captura de presas; usado no funcionamento dos radares para verificação se um carro está acima da velocidade permitida em determinada estrada; usado na medicina através do exame Doppler para verificação do fluxo sanguíneo, e em outras situações. Para determinarmos a frequência percebida pelo observador, denominada frequência aparenteƒ', usamos a expressão:

ƒ' = ƒ . ( Exame Doppler sendo realizado no paciente. Por meio desse exame, é possível determinar o módulo e o sentido da velocidade do fluxo sanguíneo. O sentido do fluxo sanguíneo é mapeado em cores azul e vermelha.

Para o observador que a fonte sonora se aproxima, a frequência percebida é maior e, para a observadora que a fonte sonora se afasta, a frequência percebida é menor.

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v ± v0 ) v ± vf

em que v é a velocidade do som, vf é a velocidade da fonte, v0 a velocidade do observador e ƒ a frequência real. Quanto aos sinais, devemos proceder da seguinte maneira: se ocorrer aproximação do observador, a frequência aparente será maior, portanto o numerador deverá ser maior, então devemos usar +v0 ; se ocorrer afastamento do observador, a frequência aparente será menor, portanto o numerador deverá diminuir, então devemos usar –v0 . Se for o caso de a fonte se aproximar, a frequência aparente será maior, portanto o denominador deverá diminuir, então usaremos –vf . E, finalmente, se a ambulância estiver se afastando, a frequência será menor, portanto o denominador deverá ser maior, então usaremos +vf .

Importante citarmos o efeito Doppler com as ondas luminosas. Como a velocidade da luz é muito elevada, ele só é perceptível se a fonte estiver em movimento com velocidade muito grande. Isso acontece com as estrelas e as galáxias que se afastam da Terra. Quando a fonte está se afastando, a luz percebida por um observador tem frequência aparente menor que a frequência real emitida. Dizemos, nesse caso, que houve um desvio para o vermelho (luz de menor frequência no espectro visível). Caso a fonte esteja se aproximando, o observador perceberá uma frequência maior do que a frequência real emitida, ocorrendo um desvio para o violeta (luz de maior frequência no espectro visível). No mesmo nível de importância, vem a ultrassonografia como um recurso indispensável para o diagnóstico de muitas doenças e o acompanhamento do desenvolvimento do feto durante a gestação. Nos aparelhos de ultrassom, ondas são emitidas por um dispositivo especial e recebidas de volta após refletirem nos órgãos internos da pessoa. Com a utilização combinada de efeito Doppler, é possível determinar a velocidade de parte móveis do interior do organismo, como abertura e fechamento das válvulas cardíacas. 3.

CORDAS SONORAS

Uma corda elástica apresenta várias frequências naturais de vibração, denominadas modos de vibração, que podem ser obtidos sacudindo-se uma das extremidades da corda em uma de suas frequências naturais. Dessa maneira, a corda entra em ressonância com o agente que a sacode . Uma vez atingido determinado modo de vibração, ainda que se pare de sacudir a extremidade da corda, ela continuará vibrando até perder toda a energia de vibração. Essa maneira de obter os modos de vibração permite tratar cada modo como uma configuração de onda estacionária, resultante da superposição da onda que emitimos quando balançamos a corda com a onda refletida na outra extremidade. A figura a seguir mostra os quatro primeiros modos de vibração de uma corda de comprimento L, presa pelas extremidades. Evidentemente, apenas algumas frequências podem gerar ondas estacionárias, uma vez que nas extremidades fixas há, necessariamente, nós.

Revisar ondas estacionárias no livro 01, frente A, capítulo 3.

Violão – instrumento de cordas – e seus componentes mais importantes.

Quando a pessoa gira a tarraxa aumentando a tensão na corda, esta passará a emitir um som de maior frequência, ou seja, mais agudo.

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O modo mais simples de vibrar uma corda denomina-se modo fundamental ou primeiro harmônico. Temos, nesse caso:

L=1 λ → λ=2L 2

Sendo v a velocidade de propagação das ondas na corda e lembrando que v = λ f, temos: v = 2 L f → f = v /2 L (frequência fundamental de vibração da corda ou primeiro harmônico). O segundo modo de vibração chama-se segundo harmônico e, para ele, temos: L = 2 λ/2 → λ = 2 L/2

Como v = λ f , temos: V = 2 (L/2) f → f = 2 v / 2 L (segundo harmônico) Com relação ao terceiro harmônico, temos: L = 3 λ / 2 → λ = 2 L /3

Como v = λ f → v = 2 L f / 3 → f = 3 v / 2 L ( terceiro harmônico )

Procedendo da mesma maneira, podemos determinar a frequência de vibração correspondente a qualquer outro harmônico. Observe que a ordem do harmônico (primeiro, segundo, terceiro etc.) representa quantas vezes a frequência desse harmônico é maior que a frequência correspondente ao modo fundamental. Sendo n a quantidade de meios comprimentos de onda (ou ordem do hamônico), podemos, então, generalizar, escrevendo a seguinte expressão para as frequências de vibração:

nv f= 2L

( n = 1, 2, 3, ... )

Só poderemos gerar ondas estacionárias numa corda presa pelas extremidades se a fizermos vibrar em determinadas frequências de modo que entre as extremidades “caiba” um número inteiro de λ / 2 . Quando uma corda de violão é tangida, ela vibra no modo fundamental e, simultaneamente, em vários harmônicos. Nesse caso, a forma da corda vibrando é muito mais complexa do que a forma correspondente a cada harmônico. No caso de um instrumento de corda, não podemos confundir as ondas nas cordas, que são transversais, com as ondas sonoras emitidas, que, como sabemos, são longitudinais. Na verdade, a corda vibrante é a fonte das ondas sonoras e, por isso, elas têm a mesma frequência das vibrações das cordas. Porém a velocidade de propagação do som emitido e seu comprimento de onda nada tem que ver com a velocidade e o comprimento de onda das ondas produzidas na corda. Quando uma pessoa dedilha a corda de um instrumento musical, ela fornece energia à corda, que, por sua vez, vibra o ar ao seu redor, fornecendo-lhe energia. Ocorre, assim, a emissão do som. Se a corda vibra no modo fundamental, o som emitido é também denominado som fundamental. O mesmo vale para os demais harmônicos. Supondo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental emitido é inversamente proporcional ao diâmetro da corda. Supondo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental emitido é inversamente proporcional ao comprimento da corda. Supondo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental emitido é diretamente proporcional à raiz quadrada da força tensora. 182

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Supondo fixas as demais variáveis, a frequência do som fundamental emitido é inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade linear da corda. Num violão, se substituirmos uma corda de náilon por uma corda metálica (maior densidade linear) de mesmo diâmetro e sujeita à mesma tensão, obteremos um som mais grave, ou seja de menor frequência. 4.

TUBOS SONOROS

Uma coluna gasosa também possui suas frequências naturais de vibração (longitudinal). Assim, quando uma dessas colunas é excitada em uma ou mais de suas frequências naturais, ocorre ressonância, e o som amplifica-se. Essas colunas gasosas, normalmente de ar, estão confinadas em tubos sólidos e ocos denominados tubos sonoros. Muitos intrumentos musicais utilizam tubos sonoros como ressonadores (flauta, saxofone etc.) Nesses instrumentos, os sons são produzidos por fluxos de ar numa das extremidades. Os tubos são classificados em abertos e fechados: Abertos: são aqueles que tem as duas extremidades abertas (uma delas próxima da embocadura). Fechados: são aqueles que tem uma extremidade aberta, próxima da embocadura, e a outra fechada.

O ar soprado na embocadura de uma flauta gera um jato vibrante, dirigido ora para fora, ora para dentro, que emite um som de muitas frequências.

Saxofone – instrumento de sopro – e seus principais componentes.

Na formação de ondas sonoras em tubos, devem ser obedecidas as seguintes condições: em extremidade aberta, sempre existe um ventre e, em extremidade fechada, sempre existe um nó. ANOTAÇÕES

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Tubos abertos L

Flauta de pan – instrumento de sopro – funciona com tubos com diferentes comprimentos emitindo sons com diferentes frequências.

v 2L 2v 2º harmônico: L = 2 λ e f = 2 2L λ 4v

1º harmônico: L =

λ

e f =

2

4º harmônico: L = 4

2

e f =

2L

Sendo v o valor da velocidade do som no gás interno ao tubo, temos, para modo fundamental: L=1λ/2 → λ=2L → f=v/λ = 1v/2L

Para o segundo harmônico:

L=2λ/2 → λ=2L/2 → f=v/λ = 2v/2L

Para o quarto harmônico:

L=4λ/2 → λ=2L/4 → f=v/λ = 4v/2L Generalizando para um harmônico de ordem n qualquer, obtemos:

f= nv 2L

( n = 1, 2, 3, ...)

O número n é a ordem do harmônico e corresponde à quantidade de meios comprimentos de onda em cada configuração de onda estacionária.

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Tubos fechados L

v 4L 4 3v λ 3º harmônico: L = 3 e f = 4L 4

1º harmônico: L =

λ

5º harmônico: L = 5

e f =

λ 4

e f =

5v 4L

Para o modo fundamental, temos: L=1λ/4 → λ=4L → f=v/λ = 1v/4L

Para o terceiro harmônico temos:

L=3λ/4 → λ=4L/3 → f=v/λ = 3v/4L

Para o quinto harmônico temos:

L=5λ/4 → λ=4L/5 → f=v/λ = 5v/4L

Note que os tubos fechados apenas emitem o som fundamental e os harmônicos de ordem ímpar, isto é, os harmônicos cujas frequências são múltiplos ímpares da frequência do som fundamental. Generalizando para um harmônico qualquer de ordem ímpar, temos:

f= nv 4L

( n = 1, 3, 5, 7, ...)

o número n continua sendo a ordem do harmônico, porém corresponde à quantidade de quartos de comprimento de onda.

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Tubo de ressonância

Ressonância de uma coluna de ar com um diapasão.

Considere uma fonte sonora, por exemplo, um diapasão, vibrando sobre a extremidade aberta de um tubo de vidro parcialmente preenchido com água. Em certas condições, o som emitido pelo diapasão é reforçado, aumentando sua intensidade: quando o reservatório R da figura é levantado, o nível da água no tubo sobe e verifica-se existirem determinadas posições do nível da água para as quais a coluna de ar no tubo vibrando entra em ressonância com o som emitido pelo diapasão. As ondas sonoras emitidas pelo diapasão propagam-se pelo ar no tubo e interferem com as ondas refletidas na superfície da água, originando ondas estacionárias no ar. O tubo da figura terá um nó na extremidade fechada e um ventre na extremidade aberta. De fato, na extremidade fechada, as moléculas de ar do tubo são impedidas de se movimentarem pela superfície da água, enquanto, na extremidade aberta, elas se movimentam facilmente para o espaço aberto. Então o ar no tubo somente entra em ressonância para ondas que se encaixam no comprimento L do tubo, com um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 Na extremidade aberta do tubo de Quincke mostrado na figura a seguir, é colocado um diapasão, que emite um som puro (única frequência). Abrindo-se a torneira, a água escoa lentamente e, para certos valores de h, ocorre um aumento na intensidade do som que sai do tubo. Os três menores valores de h são 5 cm, 15 cm e 25 cm.

Determine: O comprimento de onda do som emitido pelo diapasão; A velocidade desse som no ar, sabendo que sua frequência é 1600 Hz.

Gabarito: λ = 20 cm e V = 320 m/s

Enquanto a água escoa, a região de altura h comporta-se como um tubo sonoro fechado de comprimento variável. Para certos valores de h, a coluna de ar no interior da região entra em ressonância com o som emitido pelo diapasão. Da figura, concluímos que: Da relação v = λ f, temos: 186

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λ = 20 cm

V = 0,20 m x 1600 Hz V = 320 m/s

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UEM) Em relação a tubos sonoros cilíndricos, assinale o que for correto. (01) Quanto maior for o comprimento de um tubo com as duas extremidades abertas, mais grave poderá ser o som emitido por ele. (02) Os furos existentes ao longo do tubo de uma flauta tornam possível modificar o tamanho da coluna de ar que vibra em seu interior, viabilizando, assim, diferentes frequências em um mesmo instrumento. (04) Ao soprarmos ar pela embocadura de um desses tubos com uma extremidade aberta e outra fechada, podemos produzir ondas estacionárias longitudinais em seu interior. (08) Ao soprarmos ar pela embocadura de um desses tubos com as duas extremidades abertas, podemos produzir ondas estacionárias transversais em seu interior. (16) A menor frequência de uma onda estacionária em um tubo com as duas extremidades abertas é necessariamente menor do que a menor frequência de uma onda estacionária em um tubo de mesmas dimensões com apenas uma das extremidades abertas. 02. (UFRGS) Uma onda sonora propagando-se no ar é uma sucessão de compressões e rarefações da densidade do ar. Na figura abaixo, estão representadas, esquematicamente, ondas sonoras estacionárias em dois tubos, 1 e 2, abertos em ambas as extremidades. Os comprimentos dos tubos 1 e 2 são, respectivamente, L e L/2.

L L/2 1

2

03. (UFSC) Quando estamos apaixonados, muitas vezes fazemos coisas improváveis que não faríamos em outras situações, tudo para chamar a atenção ou fazer a felicidade da pessoa amada. A análise de algumas dessas situações serve para melhor compreender os fenômenos físicos relacionados a tais eventos, como na situação a seguir. Um ciclista apaixonado se aproxima com velocidade de 36,0 km/h da casa de sua namorada, que o observa parada na janela. Ao avistar a moça, o ciclista dá um toque na buzina da bicicleta, emitindo um som de 600,0 Hz. Com base no exposto acima, é correto afirmar que: (01) o som ouvido pelo ciclista possui frequência maior do que o som emitido pela buzina da bicicleta. (02) o som ouvido pela namorada do ciclista tem velocidade de 350,0 m/s. (04) o som ouvido pela namorada do ciclista tem frequência aproximada de 618,0 Hz. (08) o som refletido pela casa tem frequência de 600,0 Hz. (16) o comprimento de onda do som ouvido pela namorada do ciclista é maior do que o comprimento de onda do som emitido pela buzina da bicicleta. (32) o som refletido pela casa, e em seguida ouvido pelo ciclista, tem frequência aproximada de 636,0 Hz. 04. (UFPR) Para participar de um importante torneio, uma equipe de estudantes universitários desenvolveu um veículo aéreo não tripulado. O aparelho foi projetado de tal maneira que ele era capaz de se desviar de objetos através da emissão e recepção de ondas sonoras. A frequência das ondas sonoras emitidas por ele era constante e igual a 20 kHz. Em uma das situações da prova final, quando o aparelho movimentava-se em linha reta e com velocidade constante na direção de um objeto fixo, o receptor do veículo registrou o recebimento de ondas sonoras de frequência de 22,5 kHz que foram refletidas pelo objeto.

Sendo λ1 e λ2 os respectivos comprimentos de onda das ondas representadas nos tubos 1 e 2, e f1 e f2 suas frequências, as razões entre os comprimentos de onda λ1/λ2 e as frequências f1/f2 são, nessa ordem:

Considerando que, nesse instante, o veículo se encontrava a 50 m do objeto, assinale a alternativa correta para o intervalo de tempo de que ele dispunha para se desviar e não colidir com o objeto. Considere a velocidade do som no ar igual a 340 m/s.

(A) 1 e 1. (B) 2 e 1. (C) 2 e 1/2. (D) 1/2 e 1. (E) 1/2 e 2.

(A) 1,0 s. (B) 1,5 s. (C) 2,0 s. (D) 2,5 s. (E) 3,0 s.

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05. (UFU) O morcego é um animal que possui um sistema de orientação por meio da emissão de ondas sonoras. Quando esse animal emite um som e recebe o eco 0,3 segundos após, o obstáculo está a que distância dele? (Considere a velocidade do som no ar de 340 m/s).

08. (UFG) Uma ambulância transita com velocidade constante em uma via retilínea com a sirene ligada em uma frequência fixa fa. A frequência da sirene percebida pelos pedestres que estão parados na calçada, antes e depois da passagem da ambulância, respectivamente,

(A) 102 m. (B) 51 m. (C) 340 m. (D) 1.133 m.

(A) aumenta com a velocidade relativa. (B) diminui e aumenta, gradativamente. (C) é menor que fa e maior que fa. (D) é maior que fa e menor que fa. (E) não sofre quaisquer alterações.

06. (UFT) Os instrumentos musicais de uma orquestra, em geral, são divididos em famílias ou classes. A família dos metais representa uma dessas classes, sendo compostos pelo trompete, tro--mbone de vara, trompa e a tuba, que estão indicados do instrumento mais agudo para o mais grave. Assim, dentro dessa família e considerando que não haja sobreposição de espectro de frequência entre os instrumentos, pode-se dizer que: (A) o trompete é o instrumento da família capaz de produzir sons com maior comprimento de onda. (B) a trompa é capaz de produzir sons com comprimento de onda menor que o do trompete. (C) o trombone de vara é capaz de produzir sons com comprimento de onda maior que a da tuba. (D) o trombone de vara é capaz de produzir sons com comprimento de onda menor que a do trompete. (E) a tuba é o instrumento da família capaz de produzir sons com maior comprimento de onda. 07. (UniRV) É durante a noite que os morcegos, ao voarem, utilizam sua eficaz forma de localização sonora, conhecida como ecolocalização. Através dessa ecolocalização, os morcegos emitem uma onda ultrassônica no alvo pretendido que volta até ele com forma de eco, assim na falta de luz eles conseguem se orientar durante o voo à noite sem utilizar a visão. Considere um morcego voando em uma caverna, orientando-se com o auxílio de pulsos ultrassônicos. A frequência dos sons emitidos pelo morcego é 40.000 Hz. O morcego se aproxima de uma parede plana da caverna com uma velocidade igual a 0,025 vezes a velocidade do som no ar. Dada a situação, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. ( ) O som que o morcego ouve refletido pela parede da caverna é mais grave que o som emitido por ele. ( ) O som que o morcego ouve refletido pela parede da caverna é mais agudo que o som emitido por ele. ( ) O som que o morcego ouve refletido pela parede da caverna tem maior intensidade que o som emitido por ele. ( ) O som que o morcego ouve refletido pela parede da caverna é mais alto que o som emitido por ele.

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09. (UNESP) Radares são emissores e receptores de ondas de rádio e têm aplicações, por exemplo, na determinação de velocidades de veículos nas ruas e rodovias. Já os sonares são emissores e receptores de ondas sonoras, sendo utilizados no meio aquático para determinação da profundidade dos oceanos, localização de cardumes, dentre outras aplicações. Comparando-se as ondas emitidas pelos radares e pelos sonares, temos que: (A) as ondas emitidas pelos radares são mecânicas e as ondas emitidas pelos sonares são eletromagnéticas. (B) ambas as ondas exigem um meio material para se propagarem e, quanto mais denso for esse meio, menores serão suas velocidades de propagação. (C) as ondas de rádio têm oscilações longitudinais e as ondas sonoras têm oscilações transversais. (D) as frequências de oscilação de ambas as ondas não dependem do meio em que se propagam. (E) a velocidade de propagação das ondas dos radares pela atmosfera é menor do que a velocidade de propagação das ondas dos sonares pela água.

GABARITO CAPÍTULO 1 01. B

02. 03

03. D

04. D

05. A

06. *

07. C

08. E

09. B

03. D

04. B

05. D

06. *

07. C

08. E

09. C

03. C

04. 11

05. C

06. A

07. B

08. A

03. 36

04. D

05. B

06. E

07. *

08. D

02. 01 + 02 = 03 06. 6 Hz

CAPÍTULO 2 01. E

02. 05

02. 01 + 04 = 05 06. CERTO

CAPÍTULO 3 01. 38

02. E

01. 02 + 04 + 32 = 38 04. 01 + 02 + 08 = 11

CAPÍTULO 4 01. 07

02. C

09. D

01. 01 + 02 + 04 = 07 03. 04 + 32 = 36 07. F - V - F - V

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Frente B FÍSICA 193 Capítulo 1 229 Capítulo 4 ÓPTICA ÓPTICA GEOMÉTRICA GEOMÉTRICA Fundamentos e reflexão Lentes esféricas da luz em espelhos delgadas planos 205 Capítulo 2 ÓPTICA GEOMÉTRICA Reflexão nos espelhos esféricos 215 Capítulo 3 ÓPTICA GEOMÉTRICA Refração da luz

ÓPTICA GEOMÉTRICA

Fundamentos e reflexão da luz em espelhos planos

Introdução Ao longo dos tempos, houve muitas especulações a respeito da natureza da luz. Muitos cientistas como, Galileu, Descartes e Isaac Newton, defendiam a ideia que a luz era constituída por partículas, e outros, como Grimaldi, Huygens e Young, acreditavam que a luz era uma onda. Na Física Moderna, vamos estudar o que os físicos defendem atualmente em relação a natureza da luz. Neste livro, nossa preocupação é com a óptica geométrica, que estuda os fenômenos que ocorrem com a luz baseada em alguns princípios simples. A luz é uma onda eletromagnética na faixa de frequências que varia de 4 x 1014 Hz (luz vermelha) até 8 x 1014 Hz (luz violeta). Aqui, estudaremos conceitos básicos, como raio de luz, feixe luminoso, fontes de luz e princípios fundamentais; também vamos estudar o fenômeno da reflexão da luz, abordando a cor de um corpo, como, por exemplo, porque um corpo é vermelho, azul ou outra cor qualquer.Veremos as leis da reflexão, a formação de imagens e a associação de espelhos. O estudo dos espelhos e lentes é de grande importância devido as aplicações práticas como o espelho retrovisor do carro, óculos de correção, entre outros.

Capítulo 1

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Raio de luz, feixe de luz e fontes de luz 2. Princípios fundamentais 3. Reflexão da luz 4. A cor de um corpo por reflexão 5. Cores primárias e secundárias 6. Transmissão seletiva 7. Leis da reflexão 8. Ponto objeto e ponto imagem 9. Espelhos planos

Para saber mais sobre óptica, utilize os simuladores.

RAIO DE LUZ, FEIXE DE LUZ E FONTES DE LUZ 1.

Raio de luz – é uma linha orientada que representa graficamente a direção e o sentido de propagação da luz. Feixe de luz – É um conjunto de raios de luz. Pode ser convergente, divergente e paralelo. O feixe de luz convergente é aquele em que os raios luminosos convergem para um ponto; um exemplo é um feixe de luz que atravessa uma lente convergente. Feixe luminoso divergente é aquele em que os raios de luz divergem de um ponto; a iluminação realizada com uma lanterna é um exemplo. Feixe luminoso paralelo é constituído por raios luminosos paralelos entre si; os raios solares que atingem a Terra constituem um feixe paralelo. Fontes de luz – são corpos que emitem luz. Podem ser primárias, secundárias, puntiformes (pontuais) e extensas. Uma fonte de luz primária (ou luminosa) é aquela que emite luz que produz, como, por exemplo, o Sol, uma lâmpada acesa, a chama de uma vela etc. Fonte de luz secundária (ou iluminada) é aquela que emite luz que recebe de outro corpo, como, por exemplo, a Lua, os planetas a maioria dos corpos no nosso entorno. Fonte de luz pontual ou puntiforme é aquela que tem dimensões desprezíveis em relação a distância que se encontra dos corpos que ilumina; uma pequena lâmpada iluminando uma sala de grandes dimensões as estrelas são pontuais. Fonte de luz extensa é aquela que tem dimensões relevantes em comparação com as distância que se encontra dos corpos que ilumina. O Sol iluminando a Terra e uma lâmpada fluorescente iluminando uma sala são exemplos de fonte extensa.

Feixe paralelo

Feixe divergente

Feixe convergente

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2.

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS

1º) Princípio da propagação retilínea da luz Propagando-se em um meio homogêneo e transparente, a trajetória da luz será uma linha reta. A câmara escura funciona devido a propagação retilínea da luz. A B' i

0

A'

B A formação da sombra comprova que a luz se propaga em linha reta.

do

di

Uma câmara escura em que a luz emitida pelo objeto passa pelo orifício e forma, na parede ao fundo, uma imagem invertida.

A relação entre as distâncias do objeto e da imagem com os tamanhos da imagem e do objeto é obtida usando-se a semelhança de triângulos:

di i = do o A formação da imagem no olho humano segue o mesmo princípio da câmara escura, porém utiliza lentes para projetar a imagem na retina.

• Ângulo visual O ângulo visual diminui com o aumento da distância do objeto ao olho do observador.

Considerando dois pontos que representam as extremidades do objeto, teremos os raios de luz que partem desses pontos e formam um ângulo denominado ângulo visual. À medida que o objeto se afasta do observador, o ângulo visual diminui, e o objeto parece ficar menor.

2º) Princípio da independência dos raios luminosos Quando ocorre o cruzamento de raios de luz, cada um deles continua sua propagação independentemente da presença dos outros.

3º) Princípio da reversibilidade dos raios luminosos Logo após o cruzamento, os feixes luminosos continuam como se não tivesse ocorrido o cruzamento.

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A trajetória percorrida pelos raios de luz é independente do sentido de propagação desses raios.

A

A

B

B

Se a moça está vendo o bebê, o bebê também está vendo a moça.

Se o observador A enxerga o observador B, então o observador B também enxerga o observador A.

Meios físicos Quando a luz incide em determinados corpos, apresenta comportamentos diferentes. De acordo com esses comportamentos, os corpos são classificados em transparentes, translúcidos e opacos. Meios transparentes – são aqueles que a luz os atravessa seguindo trajetórias bem definidas. O vácuo é um meio transparente, assim como o ar, a água e um vidro polido em pequenas espessuras. Os objetos que estão do outro lado do vidro podem ser vistos com nitidez. Quando a luz entra no vidro, ocorre uma transferência de energia entre os átomos até que a luz sai do outro lado com um certo atraso, por isso a luz tem velocidade menor no vidro quando comparada à sua velocidade no ar. Mas estamos tratando de velocidades muito altas. O vidro é transparente à luz, mas não ao infravermelho ou ao ultravioleta. Meios translúcidos – são aqueles que a luz os atravessa seguindo trajetórias irregulares, e os objetos atrás deles não podem ser vistos com nitidez. São exemplos o papel vegetal, o vidro fosco e alguns plásticos. Meios opacos – são aqueles que não permitem que a luz os atravesse. As vibrações comunicadas aos seus átomos ou moléculas pela luz são transformadas em energia interna. Os metais são opacos porque os elétrons mais externos dos átomos metálicos não estão ligados a um átomo em particular, são livres para se movimentarem, por isso são bons condutores de calor. Quando a luz incide sobre o metal e coloca seus elétrons livres em vibração sua energia não passa de átomo a átomo e, portanto, é refletida, por isso os metais são brilhantes. São ainda exemplos de corpos opacos uma pessoa, um pedaço de madeira etc.

O infravermelho, com frequência menor do que a luz visível, faz vibrar não apenas os elétrons, mas também átomos ou moléculas inteiras da estrutura do vidro aumentando a sua energia interna, enquanto o ultravioleta entra em ressonância com os elétrons dos átomos do vidro.

Peixe transparente.

No corpo transparente, a luz segue trajetórias regulares; no translúcido, segue trajetória irregulares e não se propaga no opaco.

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3.

Reflexão regular ou especular: os feixes incidentes são paralelos, e os refletidos também.

A reflexão ocorre quando a luz incide em uma determinada superfície e retorna ao meio de origem (meio que se propagava antes de incidir nessa superfície). A reflexão da luz pode ser: reflexão regular (especular) ou reflexão difusa (difusão da luz). A reflexão regular ou especular ocorre quando a luz incide em uma superfície totalmente lisa. A reflexão difusa ou difusão ocorre quando a luz incide em uma superfície irregular e retorna propagando-se em várias direções e sentidos. Como a luz reflete em várias direções e sentidos, permite que observadores em diferentes posições possam enxergar o corpo em que ocorreu a reflexão. Por isso, enxergamos os corpos iluminados sem a necessidade de uma posição determinada. 4.

Reflexão difusa ou difusão: os raios luminosos refletem em várias direções e sentidos.

vermelho+azul = magenta

A COR DE UM CORPO POR REFLEXÃO

A luz branca é constituída por uma infinidade de luzes monocromáticas, que podem ser agrupadas em sete luzes, em ordem crescente de frequência: vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta. A cor que um corpo apresenta por reflexão é determinada pelo tipo de luz que ele reflete difusamente. Um corpo apresenta-se amarelo, porque, ao ser iluminado com luz branca, reflete difusamente a luz amarela e absorve as demais cores. Um corpo apresenta-se branco, quando iluminado com luz branca, reflete difusamente as luzes de todas as cores. Se um corpo branco for iluminado com luz vermelha, refletirá a luz vermelha, e vamos enxergá-lo como vermelho. Em resumo, um corpo branco reflete a luz que nele incide. Se um material absorve toda a luz que nele incide, nada refletindo, ele aparece em preto. 5.

vermelho + verde = amarelo

REFLEXÃO DA LUZ

CORES PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS

Se projetarmos as luzes vermelha, verde e azul sobre uma parede branca, onde houver superposição das três luzes, veremos branco. Onde houver a superposição de duas dessas cores, enxergaremos outra cor. Variando a proporção de vermelho, verde e azul, produz-se qualquer cor do espectro, por isso são chamadas de cores primárias. Se projetarmos em um anteparo branco, as luzes vermelha e azul, onde ocorrer a superposição das duas enxergaremos, a cor magenta. Se repetirmos o experimento com as luzes vermelha e verde, vamos obter o amarelo e, com as luzes azul e verde, vamos obter o ciano. Portanto, magenta, amarelo e ciano são cores secundárias.

verde +azul = ciano vermelho +verde+azul= branco

6. A intensidade da luz solar varia com a frequência, sendo mais intensa na parte amarelo-esverdeada do espectro. É interessante notar que nossos olhos evoluíram para ter a máxima sensibilidade nessa faixa de frequências. Essa é a razão pela qual, cada vez mais, os novos equipamentos contra incêndios são pintados com essa cor, particularmente nos aeroportos, onde a visibilidade é vital.

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TRANSMISSÃO SELETIVA

A cor de um objeto transparente depende da cor da luz que ele transmite. Um vidro colorido contém pigmentos que absorvem determinadas frequências e permitem a passagem de outras. Se um vidro é verde, permite a passagem da luz verde e absorve as demais luzes. Se analisarmos em nível atômico, verificaremos que os elétrons dos pigmentos absorvem determinadas frequências, mas permitem a transmissão da luz verde de molécula a molécula através do vidro. A energia da luz absorvida aumenta a energia cinética das moléculas, e o vidro aquece. No caso de vidros incolores, todas as cores são transmitidas. Vidros coloridos funcionam como filtros e são utilizados por fotógrafos, permitindo que penetrem no interior da máquina fotográfica apenas as luzes desejadas.

7.

LEIS DA REFLEXÃO

A figura abaixo representa um raio luminoso que incide em uma superfície denominado raio incidente, um raio que retorna ao meio de origem denominado raio refletido e a normal (N). A normal (N) é uma reta que passa pelo ponto onde o raio incide e forma 90° com a superfície. O ângulo de incidência ^i é o ângulo entre o raio incidente e a normal, o ângulo de reflexão ^r é o ângulo formado entre o raio refletido e a normal.

R. I. - raio incidente R. R. - raio refletido N - normal î - ângulo de incidência r - ângulo de reflexão

1ª Lei: o raio incidente, o raio refletido e a normal estão sempre no mesmo plano. 2ª Lei: o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ou seja, î = r.

9.

PONTO OBJETO E PONTO IMAGEM

Ponto objeto é definido como o vértice do feixe de luz incidente num sistema óptico; é a intersecção dos raios luminosos que incidem nesse sistema. Ponto imagem é o vértice do feixe de luz emergente de um sistema óptico; é o ponto de intersecção dos raios luminosos emergentes do sistema óptico. Ponto objeto real é o vértice de um feixe incidente divergente, sendo formado pelo cruzamento dos raios luminosos incidentes. Ponto objeto virtual é o vértice de um feixe incidente convergente, sendo formado pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios incidentes. Ponto objeto impróprio é o vértice de um feixe incidente cilíndrico, estando situado no infinito. Ponto imagem real é o vértice do feixe emergente cônico convergente, sendo formado pelo cruzamento dos raios de luz. Ponto imagem virtual é o vértice do feixe emergente cônico divergente, sendo formado pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios luminosos. Ponto imagem impróprio é o vértice do feixe emergente cilíndrico, estando situado no infinito. POR

Objeto está associado a raios luminosos incidentes, e imagem está associada a raios luminosos emergentes. Real está associado a raios luminosos, e virtual está associado a prolongamentos de raios luminosos.

POV POI PII

PIR PIV

POR é o ponto objeto real, POV é o ponto objeto virtual, POI é ponto objeto impróprio, PIR é o ponto imagem real, PIV é o ponto imagem virtual, e PII é o ponto imagem imprópria. Fleming 2023

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9.

ESPELHOS PLANOS

Espelho plano é uma superfície plana, perfeitamente lisa, com alto poder refletor onde a reflexão da luz ocorre de forma regular. Em relação a imagem virtual: na verdade, o observador enxerga o objeto P por reflexão, mas, para ele, tudo acontece como se os raios luminosos que chegam aos seus olhos estivessem partindo de P’.

Construção da imagem de um objeto pontual Para construirmos a imagem de um objeto pontual, devemos traçar no mínimo dois raios luminosos emitidos pelo objeto que incidem no espelho e são refletidos. A partir disso, traçamos os prolongamentos dos raios refletidos que irão se cruzar. No cruzamento dos prolongamentos dos raios refletidos, teremos a formação da imagem que será virtual. Essa imagem também é simétrica, por apresentar a mesma forma do objeto e porque a distância da imagem ao espelho é igual à distância do objeto ao espelho.

Os prolongamentos de raios luminosos são representados por linhas descontínuas.

No espelho plano, o objeto e a sua imagem têm naturezas opostas, se o objeto for real, a imagem será virtual, se o objeto for virtual, a imagem será real.

Imagem virtual e simétrica.

Construção da imagem de um objeto extenso Um objeto extenso nada mais é do que um conjunto de objetos pontuais, portanto a construção da imagem se dará da mesma forma.

O cãozinho é um objeto real, portanto sua imagem é virtual, direta (direita), mesmo tamanho e simétrica. A imagem do cãozinho também é enantiomorfa, ou seja, tem forma contrária a do objeto.

Características da imagem produzida por um espelho plano: i) Objeto e imagem são equidistantes do espelho; ii) Objeto REAL → imagem VIRTUAL; Objeto VIRTUAL → imagem REAL; iii) Objeto e imagem têm iguais dimensões; iv) Objeto e imagem são enantiomorfos (simétricos); v) A imagem é DIRETA (ou direita) em relação ao objeto.

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Objeto em movimento em relação a um espelho plano Se um objeto se aproximar de um espelho plano com velocidade de módulo v, sua imagem se aproximará do espelho com velocidade de módulo v, no entanto, a imagem se aproximará do objeto com velocidade de módulo 2v. Se ocorrer afastamento, o raciocínio é o mesmo. Mesmo na aproximação ou no afastamento, a imagem terá sempre o mesmo tamanho do objeto. A impressão que se tem é que, no afastamento, a imagem ficaria menor do que o objeto, mas isso decorre da diminuição do ângulo visual de observação.

Para que a pessoa possa se ver por inteira, basta que o espelho tenha a metade da altura da pessoa.

O objeto se aproxima do espelho plano com velocidade v, a imagem se aproxima do espelho com velocidade v e do objeto com velocidade 2v.

Translação de um espelho plano Considere um objeto real colocado na frente de um espelho plano. Teremos, por reflexão, uma imagem virtual e simétrica desse objeto. Se afastarmos o espelho do objeto de uma distância d, a imagem se afastará de uma distância 2d da sua posição anterior.

Se o espelho for transladado de uma distância d em relação ao objeto, a imagem será transladada de uma distância 2d em relação a ela mesma, (D = 2 � d).

Rotação de um espelho plano

Considere um espelho plano, um raio luminoso incidente, a normal e o raio luminoso refletido. Se girarmos o espelho de um ângulo α em torno de um eixo perpendicular ao plano de incidência, o raio refletido sofrerá uma rotação no mesmo sentido de um ângulo 2α.

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Se o espelho girar de um ângulo α, o raio refletido girará de um ângulo 2α.

Campo visual de um espelho plano

Campo visual de um espelho plano para um determinado observador é a região que ele enxerga por reflexão através do espelho. É comum aparecer em óptica geométrica a expressão “imagem conjugada”; utilizamos o verbo conjugar para dizer que o espelho forma determinada imagem a partir do objeto.

É importante destacar que o campo visual de um espelho é uma região tridimensional.

Campo visual: para determinar o campo visual, basta colocar um ponto O’ simétrico em relação a O e, a partir de O’, traçar retas que passem pelas extremidades do espelho. A região delimitada pelas retas, a partir do espelho, será o campo visual para esse observador nessa posição.

Imagens de um objeto entre dois espelhos planos Considere um objeto qualquer entre dois espelhos planos que formam entre si um ângulo α. As várias reflexões da luz proveniente desse objeto permitem a formação de inúmeras imagens. O número de imagens (n) desse objeto é dado pela expressão

n = 360° –1 α Zona morta é a região onde se forma a última imagem.

Plano bissetor de um ângulo diedro é o plano que divide esse diedro em dois iguais.

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A fórmula pode ser aplicada quando a razão 360° for um número par, para qualα quer posição dos objetos entre os espelhos, ou quando a razão 360° for um número ímα par, somente se o objeto estiver no plano bissetor do ângulo α. As imagens P1, P2 e P’’1 ou P’’2 são enantiomorfas, enquanto as imagens P’1 e P’2 são homomorfas. No caso de um objeto colocado entre dois espelhos paralelos, serão conjugadas infinitas imagens.

As duas primeiras imagens são enantiomorfas, e a imagem ao fundo é homomorfa.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (ENEM) Os olhos humanos normalmente têm três tipos de cones responsáveis pela percepção das cores: um tipo para tons vermelhos, um para tons azuis e outro para tons verdes. As diversas cores que enxergamos são o resultado da percepção das cores básicas, como indica a figura.

A protanopia é um tipo de daltonismo em que há diminuição ou ausência de receptores da cor vermelha. Considere um teste com dois voluntários: uma pessoa com visão normal e outra com caso severo de protanopia. Nesse teste, eles devem escrever a cor dos cartões que lhes são mostrados. São utilizadas as cores indicadas na figura. Para qual cartão os dois voluntários identificarão a mesma cor? (A) Vermelho. (B) Magenta. (C) Amarelo. (D) Branco. (E) Azul Gabarito: E As cores primárias, vermelho, verde e azul, ao se misturarem, formam as demais colorações, tais como: magenta, amarelo, ciano e também o branco. A questão diz que uma pessoa com protanopia, que não consegue enxergar a luz vermelha, e outra com visão normal deveriam enxergar a mesma cor, o que significa dizer que não pode ter em sua composição a cor vermelha, logo a resposta é azul.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFSC) Um estudante possui uma luminária constituída por três lâmpadas de mesma intensidade sobre a mesa. Cada lâmpada emite luz de cor primária. Para verificar os conhecimentos aprendidos nas aulas de Física, ele faz três experimentos (figuras 1, 2 e 3), nos quais direciona as três lâmpadas para uma mesma palavra colocada sobre a mesa. Na figura 1, em que as três lâmpadas estão acesas, e na figura 3, em que apenas a lâmpada 2 está acesa, o estudante visualiza a palavra FÍSICA na cor verde. 1

2

3

1

Física

2

3

1

Física

Figura 1

3

2

Física

Figura 2

Figura 3

Com base no exposto acima, é CORRETO afirmar que: (01) na figura 1, ocorre a união das três luzes primárias – amarela, vermelha e azul –, que resulta na luz branca. (02) na figura 2, a palavra FÍSICA aparece na cor preta porque as luzes que incidem sobre ela são azul e vermelha. (04) a lâmpada 2 emite luz de cor verde, por isso a palavra FÍSICA, na figura 3, aparece na cor verde. (08) a relação entre as frequências das luzes das lâmpadas 1, 2 e 3 é f3 < f2 < f1, portanto as cores das luzes das lâmpadas 1, 2 e 3 são vermelha, verde e azul, respectivamente. (16) a palavra FÍSICA aparece na cor preta, na figura 2, porque as luzes das lâmpadas 1 e 3 formam a cor preta.

03. (UEM) Com relação à formação de imagens em espelhos planos, assinale o que for correto. (01) Se um objeto extenso se afasta de um espelho plano com uma velocidade escalar v0, a imagem formada por esse objeto se afasta do espelho com velocidade escalar 2v0. (02) Ao girar-se de um ângulo α um espelho plano postado em frente a um ponto objeto fixo P, a imagem desse ponto objeto também gira de um ângulo α em relação ao ponto objeto. (04) Em um espelho plano o raio incidente, a normal e o raio refletido encontram-se no mesmo plano. (08) Em espelhos planos, que são sistemas ópticos estigmáticos, cada ponto objeto conjuga um único ponto imagem. Esses pontos são equidistantes ao espelho. (16) Quando o ângulo formado entre dois espelhos planos for de 90°, e um objeto extenso for colocado sobre o plano bissetor a esse ângulo, o número de imagens formadas nos espelhos será 3. 04. (FUVEST) Uma jovem está parada em A, diante de uma vitrine, cujo vidro, de 3 m de largura, age como uma superfície refletora plana vertical. Ela observa a vitrine e não repara que um amigo, que no instante t0 está em B, se aproxima, com velocidade constante de 1 m/s, como indicado na figura, vista de cima. Se continuar observando a vitrine, a jovem poderá começar a ver a imagem do amigo, refletida no vidro, após um intervalo de tempo, aproximadamente, de: vidro

02. (UEL) Um observador O observa a imagem de um objeto P refletida num espelho plano horizontal. A figura mostra um feixe de raios luminosos que partem de P.

A 1m

O

A

B

C

D

O raio que atinge o observador O é: (A) PEO. (B) PDO. (C) PCO. (D) PBO. (E) PAO.

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1m B

P

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3m

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E

(A) 2 s. (B) 3 s. (C) 4 s. (D) 5 s. (E) 6 s.

05. (UnB) Nos parques de diversões, uma atração de muito sucesso são as salas especiais com espelhos que distorcem as imagens ou que se movimentam em relação aos visitantes. A respeito de espelhos e suas propriedades, julgue o próximo item. Se um espelho plano for deslocado, com velocidade constante v, na direção de um observador parado, então a velocidade de deslocamento da imagem em direção ao observador também será igual a v. (A) CERTA (B) ERRADA

(A) Os insetos enxergam no lugar da cor vermelha a cor branca. (B) A radiação ultravioleta tem maior comprimento de onda que a luz. (C) As abelhas enxergam nos objetos as mesmas cores vistas pelos seres humanos. (D) A cor de um objeto é determinada pela composição cromática da luz por ele refletida. 07. (UFRGS) Nos diagramas abaixo, 0 representa um pequeno objeto luminoso que está colocado diante de um espelho plano P, perpendicular à página, ambos imersos no ar; I representa a imagem do objeto formada pelo espelho, e o olho representa a posição de quem observa a imagem. Qual dos diagramas abaixo representa corretamente a posição da imagem e o traçado dos raios que chegam ao observador? P 0 I (B)

P 0

P I

0

(D)

P I

0

(E)

06. (UEG) Atualmente, o mecanismo de visão das abelhas tem sido amplamente estudado. O conhecimento sobre como elas veem as cores das plantas pode ser de interesse prático em apicultura e agricultura. As flores vermelhas em geral não são visitadas pelos insetos, pois eles são cegos para o vermelho. As poucas flores vermelhas polinizadas pelas abelhas refletem parte da radiação ultravioleta. Considerando seus conhecimentos sobre a visão das cores, é CORRETO afirmar:

(A)

(C)

P 0

I

08. (UNESP-2021) Em uma barbearia existem dois espelhos planos verticais, paralelos e distantes 3 m um do outro, com a face refletora de um voltada para a face refletora do outro. Um cliente está sentado de frente para um deles, a 1 m de distância dele. Na figura, fora de escala, pode-se notar a infinitude de imagens geradas devido a reflexões sucessivas nesses espelhos.

https://repositorio.unesp.com.br. Adaptado. Nessa situação, considerando as distâncias informadas e as características das imagens formadas por espelhos planos, a distância entre a cabeça do cliente, indicada pela seta azul na figura, e a imagem da sua cabeça, indicada pela seta vermelha, é de (A) 3 m. (B) 4 m. (C) 7 m. (D) 5 m. (E) 6 m.

I

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ÓPTICA GEOMÉTRICA Reflexão nos espelhos esféricos

Capítulo 2

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Os espelhos esféricos que podem ser côncavos ou convexos têm aplicações práticas muito importantes. Espelhos côncavos podem ser utilizados na construção de um fogão solar, na fabricação de lanternas e de faróis; dentistas os utilizam para visualizar os dentes mais detalhadamente. Segundo alguns historiadores, espelhos côncavos já foram utilizados como arma de guerra quando Arquimedes, no século III a.C., conseguiu incendiar uma esquadra romana ao concentrar o feixe de raios solares sobre ela. Espelhos convexos são utilizados com o objetivo de obter um campo visual maior, como nos retrovisores de carros. Estudaremos neste capítulo as propriedades desses espelhos, a formação de imagens e suas equações.

1. Espelhos esféricos – definições, elementos e propriedades 2. Construção geométrica de imagens no espelho côncavo 3. Construção geométrica de imagens no espelho convexo 4. Equações dos espelhos esféricos e significados

ESPELHOS ESFÉRICOS – DEFINIÇÕES, ELEMENTOS E PROPRIEDADES 1.

Definição – espelho esférico é uma calota esférica de grande poder refletor. Quando a superfície refletora é a interna, denomina-se espelho côncavo, e, quando a superfície refletora é a externa, denomina-se espelho convexo.

Elementos de um espelho esférico Centro de curvatura (C) – é o centro da superfície esférica que o espelho faz parte. Raio de curvatura (R) – é o raio das superfície esférica que o espelho faz parte. Eixo principal (EP) – é a reta definida pelo centro de curvatura e pelo foco. Vértice (V) – é o ponto de intersecção do E.P. com o espelho. Distância focal ( f ) – é a distância do foco ao vértice ou a distância do foco ao centro de curvatura. É a metade do raio de curvatura: f = R 2

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Propriedades do espelho côncavo 1ª) Todo raio luminoso incidente paralelo ao eixo principal reflete passando pelo foco.

Fogão solar – uma aplicação da 1ª propriedade: os raios solares chegam paralelos, refletem no espelho e convergem para o foco onde está a panela.

2ª) Todo raio luminoso incidente que passa pelo foco reflete paralelamente ao eixo principal.

3ª) Todo raio luminoso incidente que passa pelo centro de curvatura reflete sobre si mesmo. Lanterna – aplicação da 2ª propriedade: o ponto de onde partem os raios luminosos é a posição da lâmpada. Os raios de luz refletidos constituem o feixe luminoso emitido pela lanterna.

4ª) Todo raio luminoso incidente no vértice reflete simetricamente ao EP. Esquema de funcionamento do farol: a lâmpada é colocada no ponto S, que é o centro de curvatura do espelho pequeno e o foco do espelho grande. Aplicação da 2ª e 3ª propriedades.

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Propriedades do espelho convexo 1ª) Todo raio luminoso incidente paralelo ao eixo principal reflete com o prolongamento passando pelo foco.

2ª) Todo raio luminoso incidente na direção do foco reflete paralelamente ao eixo principal.

3ª) Todo raio luminoso incidente na direção do centro de curvatura reflete sobre si mesmo.

4ª) Todo raio luminoso incidente no vértice reflete simetricamente ao EP.

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CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DE IMAGENS NO ESPELHO CÔNCAVO 2.

1º caso – objeto situado a uma distância maior do que o raio de curvatura ( do >R ) Considerando um telescópio do tipo refletor, a imagem da Lua será aproximadamente real e invertida.

A imagem é real, invertida, menor estará posicionada entre o foco e o centro de curvatura. A distância da imagem ao espelho é menor do que a distância do objeto ao espelho, e a imagem é menor do que o objeto. 2º caso – Objeto no centro de curvatura ( do = R ) A relação que existe entre as distâncias da imagem ao espelho e do objeto ao espelho é igual a relação entre os tamanhos da imagem e do objeto.

A imagem é real, invertida, mesmo tamanho e estará posicionada no centro de curvatura. A distância da imagem ao espelho é igual a distância do objeto ao espelho, e a imagem tem o mesmo tamanho do objeto. 3º caso) – Objeto entre o foco e o centro de curvatura ( f < do < R ) Constatamos pela construção geométrica de imagens que, quando aproximamos um objeto de um espelho côncavo, do infinito ao foco, a imagem se afasta do espelho aumenta de tamanho em relação a ela mesma, mantendo-se real e invertida. Por outro lado, quando o objeto é aproximado do foco ao vértice, a imagem se aproxima do espelho diminui de tamanho em relação a ela mesma, mantendo-se virtual e direta.

A imagem será real, invertida, maior e estará posicionada a uma distância maior do que o raio de curvatura. A distância da imagem ao espelho é maior do que a distância do objeto ao espelho, e a imagem é maior do que o objeto.

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4º caso – Objeto no foco ( do = f ) Só imagens reais podem ser projetadas em um anteparo.

Nesse caso, não há formação de imagem, também podemos dizer que a imagem se forma no infinito ou ainda que a imagem é imprópria. 5º caso – Objeto entre o foco e o vértice (do < f )

A imagem é virtual, direta (direita), maior estará posicionada atrás do espelho. A distância da imagem ao espelho é maior do que a distância do objeto ao espelho, e a imagem é maior do que o objeto.

O dentista costuma usar um espelho côncavo para observar mais detalhadamente os dentes de seus pacientes, aproximando o espelho do dente a ser observado até que este fique entre o foco e o vértice, fornecendo uma imagem ampliada. (6ºcaso).

CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DE IMAGENS NO ESPELHO CONVEXO 3.

Caso único – Objeto a uma distância qualquer do espelho.

A imagem é virtual, direta (direita), menor estará posicionada entre o foco e o vértice.

O espelho convexo é utilizado no carro como retrovisor, porque tem um campo visual maior, mas, como as imagens são menores, nosso cérebro as interpreta como mais distantes do que realmente estão, por isso devemos ter um certo cuidado.

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OBSERVAÇÃO: Tanto para o espelho côncavo, quanto para o convexo, caso o objeto real se encontre infinitamente afastado dos espelhos (do → ∞), imagem localizar-se-á no foco dos espelho (di = f).

EQUAÇÕES DOS ESPELHOS ESFÉRICOS 4.

Equação de Gauss:

1 1 1 = + f di do f = distância focal di = distância da imagem do = distância do objeto

Equação da amplificação:

A=

i d =– i do o

A = aumento linear transversal i = tamanho da imagem o = tamanho do objeto

• Convenção de sinais

Para todos os casos estudados até aqui: toda imagem real é invertida, e toda imagem virtual é direita (direta).

f > 0 → espelho côncavo; f < 0 → espelho convexo; do > 0 → objeto real; di > 0 → imagem real; di < 0 → imagem virtual;

A > 0 → imagem direta; A < 0 → imagem invertida; |A| = 1 → imagem de igual tamanho; |A| > 1 → imagem maior; |A| < 1 → imagem menor.

ANOTAÇÕES

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FÍSICA

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UFPR) Deseja-se obter a imagem de uma lâmpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância da lâmpada. Quais as características e a posição do espelho esférico que se pode utilizar? Ele deverá ser:

(A) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lâmpada. (B) côncavo, com 5 cm de raio, a 3cm da lâmpada. (C) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lâmpada. (D) côncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lâmpada. Gabarito: B Como a imagem será projetada sobre uma parede, então imagem e objeto possuem o mesmo sinal, sendo ambos reais. Dessa forma, as alternativas que indicam a existência de uma imagem virtual (espelho convexo), podem ser descartadas. Pela descrição de ampliação da imagem, podemos também descartar os espelhos convexos. Logo, temos a seguinte descrição da imagem: • Real e invertida (di (+) imagem real; A (–) imagem invertida); • Maior que o objeto (|A|>1 imagem maior); • Objeto localizado entre o centro de curvatura e o foco do espelho (fo (+) espelho côncavo).

parede

Se fosse possível desenhar esta situação, assim ela seria:

C

f

12cm Para sabermos o raio do espelho, utilizaremos a equação para o aumento linear, substituindo os valores de ampliação (A = – 5) e distância do objeto até a imagem (12 cm). di – do = 12 cm A = – di → – 5 = – di → di = 5 do do do

Substituindo a segunda equação na primeira, ficamos com 5do – do = 12 cm 4do = 12 cm → do = 3 cm

Logo, temos também di – do = 12 cm → di = 15 cm

Da equação de Gauss, tiramos a distância focal:

1 = 1 + 1 → 1 = 1 + 1 → f = 2,5 cm f0 di do f0 15 3

E da relação entre distância focal e raio de curvatura, temos que C = 2 · f → C = 2(2,5) → C = 5 cm

Assim, o espelho deverá ser côncavo, com 5 cm de raio e a 3 cm da lâmpada. Fleming 2023

FÍSICA

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) Observe a figura abaixo. E O

04. (UFU) Uma pessoa vai até um museu de ciências e numa sala de efeitos luminosos se posiciona frente a diferentes tipos de espelhos (côncavo, convexo e plano). Qual situação a seguir representa a correta imagem (i) que é possível essa pessoa obter de si própria? (A)

10 cm Na figura, E representa um espelho esférico côncavo com distância focal de 20 cm, e O, um objeto extenso colocado a 60 cm do vértice do espelho. Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas do enunciado abaixo, na ordem em que aparecem. A imagem do objeto formada pelo espelho é ........, ........ e situa-se a ........ do vértice do espelho. A alternativa que completa, corretamente, as lacunas é:

F

côncavo (B)

(A) real – direita – 15 cm. (B) real – invertida – 30 cm. (C) virtual – direita – 15 cm. (D) virtual – invertida – 30 cm. (E) virtual – direita – 40 cm.

F

côncavo 02. (UNIOESTE) Um espelho esférico convexo de distância focal igual a 22,5 cm forma, de um objeto real, uma imagem com um terço do tamanho do objeto. Considerando satisfeitas as condições de nitidez de Gauss, assinale a alternativa CORRETA (A) A distância do objeto ao espelho é igual a 60,0 cm. (B) A distância da imagem ao espelho é igual a 15,0 cm. (C) A imagem é real. (D) A distância entre o objeto e a imagem é igual a 30,0 cm. (E) A imagem é invertida em relação ao objeto. 03. (UFPR) Deseja-se obter a imagem de uma lâmpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância da lâmpada. Quais as características e a posição do espelho esférico que se pode utilizar? Ele deverá ser: (A) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lâmpada. (B) côncavo, com 5 cm de raio, a 3cm da lâmpada. (C) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lâmpada. (D) côncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lâmpada.

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(i)

(C)

(i) plano (D)

F (i) convexo

(i)

05. (UFSC) Considere um espelho esférico côncavo com um objeto à sua frente, situado a uma distância do foco igual a duas vezes a distância focal, conforme está representado na figura abaixo.

F objeto

07. (UNICAMP) Espelhos esféricos côncavos são comumente utilizados por dentistas porque, dependendo da posição relativa entre objeto e imagem, eles permitem visualizar detalhes precisos dos dentes do paciente. Na figura abaixo, pode-se observar esquematicamente a imagem formada por um espelho côncavo. Fazendo uso de raios notáveis, podemos dizer que a flecha que representa o objeto

foco

Em relação à imagem fornecida pelo espelho, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S): (01) Como não foi fornecida a distância focal, não podemos afirmar nada sobre a posição da imagem. (02) A distância da imagem ao foco é igual à metade da distância focal. (04) A imagem é real, invertida e seu tamanho é igual à metade do tamanho do objeto. (08) A distância da imagem ao espelho é igual a uma vez e meia a distância focal. (16) A distância da imagem ao espelho é igual a duas vezes a distância focal. (32) A imagem é real, direita e seu tamanho é igual a um terço do tamanho do objeto. (64) A distância da imagem ao foco é igual à distância focal e a imagem é real e invertida.

C

F

V

I C: Centro de curvatura F: Foco V: Vértice I: Imagem

(A) se encontra entre F e V e aponta na direção da imagem. (B) se encontra entre F e C e aponta na direção da imagem. (C) se encontra entre F e V e aponta na direção oposta à imagem. (D) se encontra entre F e C e aponta na direção oposta à imagem. 08. (UEG) Por possuir a propriedade de ampliar o campo visual do observador, os espelhos esféricos apresentam várias aplicações.

06. (UERJ) Um lápis com altura de 20 cm é colocado na posição vertical a 50 cm do vértice de um espelho côncavo. A imagem conjugada pelo espelho é real e mede 5 cm. Calcule a distância, em centímetros, da imagem ao espelho.

As imagens fornecidas pelos espelhos convexos (A) são sempre reais, menores e invertidas. (B) são sempre virtuais, maiores e invertidas. (C) são sempre virtuais, menores e direitas. (D) são sempre reais, maiores e direitas.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA Refração da luz

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Desde os meados do século XIX, sabia-se que luz se propaga em alta velocidade, com valores próximos aos 300 000 000 m/s no ar. Entretanto, essa velocidade depende do meio no qual se propaga. Na água, sua velocidade é de 225 000 000 m/s e no vidro é de 200 000 000 m/s. Essa mudança de velocidade é a principal característica da refração. Estudaremos neste capítulo como a refração explica a profundidade aparente de uma piscina, um lápis parecer quebrado quando está parcialmente imerso na água, as miragens, o funcionamento das fibras ópticas, a decomposição de um prisma à luz branca e a formação do arco-íris. 1.

Capítulo 3

1. Refração da luz 2. Ângulo limite e reflexão total 3. Dispersão luminosa

REFRAÇÃO DA LUZ

Quando a velocidade da luz varia, o fenômeno é denominado refração. Nesse fenômeno ocorre também uma variação no comprimento de onda da onda luminosa, mas a frequência permanece constante.

Índice de refração absoluto de um meio (n) É dado pelo quociente entre a velocidade de propagação da luz no vácuo (c) e a velocidade de propagação da luz no meio considerado (v).

n = vc O índice de refração absoluto de um meio é uma grandeza adimensional, ou seja, não tem unidade, por que é a razão entre duas velocidades. Não existe índice de refração menor do que 1, porque não existe meio no qual a luz se propague com maior velocidade do que c . O índice de refração do vácuo é 1, porque dividiremos c por c . Quando dizemos que um meio é mais refringente do que outro, significa que tem maior índice de refração, oferece maiores dificuldades a propagação da luz e, portanto, a luz nele se propaga com menor velocidade. Um meio é menos refringente do que outro, quando possui menor índice de refração, oferece menores dificuldades à propagação da luz e portanto nele a luz se propaga com maior velocidade. Como c é constante n e v são inversamente proporcionais. Lembrando que a luz branca é constituída de várias frequências (várias luzes de cores diferentes), é importante salientarmos que o índice de refração absoluto de um meio depende da frequência (da cor) da luz que nele se propaga. Por isso, normalmente tratamos de luz monocromática.

Tabela com alguns índices de refração Meio Vácuo Ar Água Álcool etílico Vidro Diamante

índice de refração 1 1,00029 1,33 1,36 1,52 2,42

A tabela acima fornece índices de refração para determinados meios para a luz amarela de sódio. É importante saber que existem vários tipos de vidro e que na tabela está o índice de refração de um determinado tipo.

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Índice de refração relativo Considere que, para luz de determinada frequência, os meios 1 e 2 têm índices de refração n1 e n2 , respectivamente. O índice de refração do meio 1 em relação ao meio 2 é dado por

n n1,2 = n1 2

ou

v n1,2 = v2 1

Raio luminoso passando do meio menos refringente para o mais refringente com incidência oblíqua na superfície

A luz emitida pela parte submersa do lápis chega aos nossos olhos após sofrer desvio ao passar da água para o ar, enquanto a luz emitida pela parte emersa chega diretamente até nossos olhoss. Essa diferença faz com que o lápis pareça quebrado.

Quando a luz incide obliquamente na superfície de separação de dois meios de refringências diferentes e passa para o outro meio ocorrendo a refração (alteração de velocidade), o raio luminoso refratado sofre desvio em relação à direção de incidência. Se passar de um meio menos refringente para um meio mais refringente, o raio refratado irá se aproximar da normal, resultando em um ângulo de refração menor do que o de incidência.

Onde o ângulo for menor, a velocidade também será menor. No meio 2, a velocidade é menor do que no meio 1, o comprimento de onda da luz também será menor, mas a frequência será igual.

Raio luminoso passando do meio mais refringente para o menos refringente com incidência oblíqua na superfície Quando a moeda é colocada no recipiente sem água, o observador não a enxerga, mas, quando coloca-se água no recipiente, o observador passa à enxergá-la devido a refração da luz.

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FÍSICA

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Se a luz passar do meio mais refringente para o menos refringente, o raio refratado irá se afastar da normal, resultando em um ângulo de refração maior do que o de incidência.

Onde o ângulo for maior a velocidade também será maior. No meio 2, a velocidade é maior do que no meio 1, o comprimento de onda da luz também será maior, mas a frequência será igual.

Quando a luz emitida pelo peixinho passa da água para o ar, o raio luminoso refratado afasta-se da normal chegando aos olhos do pescador. Sendo assim o pescador vê o peixinho no prolongamento do raio luminoso refratado, ou seja, vê a imagem do peixinho.

Raio luminoso com incidência perpendicular à superfície

Quando um bastão de vidro é mergulhado em um líquido incolor denominado tetracloroetileno, a parte imersa torna-se invisível. Isso ocorre porque os índices de refração do vidro usado e do tetracloroetileno são aproximadamente iguais. Assim, há praticamente uma continuidade óptica na interface líquido vidro, ou seja, a luz praticamente não percebe a mudança no meio de propagação quando passa do líquido para o vidro ou do vidro para o líquido. Com isso, praticamente não ocorrem reflexões na fronteira líquido-vidro, nem desvios de raios de luz que atravessam o vidro. Consequentemente fica difícil de perceber a presença do vidro no interior do líquido.

Quando a luz incide perpendicularmente a superfície de separação de dois meios, o raio luminoso refratado não sofre desvio, mas haverá refração, porque o módulo da velocidade irá se alterar.

Essa é a única situação em que o ângulo de incidência e o ângulo de refração são iguais. No meio 2, a velocidade da luz é menor do que no meio 1, e o comprimento de onda da onda luminosa também é menor, mas a frequência permanece constante.

Lei de Snell-Descartes Considere n1 o índice de refração absoluto do meio 1, no qual a luz se propaga, o ângulo de incidência, n2 o índice de refração absoluto do meio 2, para o qual a luz passa a se propagar, e r o ângulo de refração, a lei de Snell-Descartes é dada pela expressão

n1� seni = n2� senr

Lembrar que, em muitas questões, há necessidade de substituir o índice de refração absoluto pelo quociente entre a velocidade de propagação da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio. Fleming 2023

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Polarização da luz por reflexão Quando um feixe de luz não polarizada incide sobre uma superfície que separa dois meios com um ângulo , o feixe refletido é completamente polarizado na direção paralela à superfície. Utilizando-se as equações de Maxwell, pode-se mostrar que, quando o ângulo entre os feixes refletido e refratado é de 90°, o feixe refletido é completamente polarizado na direçãoparalela à superfície. Nesse caso, o ângulo de incidência é denominado ângulo de Brewster.

A luz refletida estará polarizada quando o ângulo entre o feixe refletido e o refratado for de 90°. A luz natural, ao ser refletida em poças d’água e em placas de vidro, se polariza. Os óculos polaróides, atuando como analisadores, não permitem a passagem da luz refletida polarizada. Isso também ocorre com filtros polaróides existentes em máquinas fotográficas. Dessa forma, ocorre a eliminação de reflexos, como já foi citado na frente A, capítulo 03.

Dioptro plano e lâmina de faces paralelas Dioptro plano é o conjunto de dois meios transparentes e homogêneos separados por uma superfície plana.

O objeto O se encontra a uma profundidade do e sua imagem é vista em I a uma menor profundidade di.

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FÍSICA

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A relação entre as profundidades do objeto e da imagem com os índices de refração dos meios 1 e 2 é dada pela expressão

n1 di n2 = do Lâmina de faces paralelas É um meio transparente e homogêneo, no qual a luz pode se propagar, constituído por duas superfícies de separação planas e paralelas.

O ângulo de incidência é igual ao ângulo de emergência. Não ocorre desvio angular, o raio emergente tem a mesma direção do raio incidente, mas ocorre desvio linear. O desvio lateral é determinado pela expressão

d=e.

2.

sen(i - r) cosr

ÂNGULO LIMITE E REFLEXÃO TOTAL

À medida que aumenta o ângulo de incidência, aumenta o ângulo de refração até que ocorra a reflexão total. Fleming 2023

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Fibras ópticas – as fibras ópticas têm aplicações práticas muito importantes, como, por exemplo, nas comunicações pela grande capacidade de transporte simultâneo de uma enorme quantidade de informações, por cabos muito finos (cada fibra têm diâmetro entre 0,1 mm e 0,2 mm). Outra vantagem das fibras ópticas é que são imunes às interferências eletromagnéticas, por serem feitas de materiais dielétricos como vidro de óxido de silício e óxido de germânio, plásticos e outros materiais. Na medicina, são utilizadas em equipamentos para observação de órgãos internos. Um raio de luz penetra por uma das extremidades de uma fibra óptica e emerge pela outra extremidade, após sofrer diversas reflexões totais. Uma fibra óptica é constituída por um núcleo (meio mais refringente) e uma casca (meio menos refringente).

Quando um feixe de luz monocromática propaga-se em determinado meio 1 e incide obliquamente na superfície de separação com outro meio 2 de menor refringência, parte da luz refrata e parte reflete. A luz que refrata afasta-se da normal; se afastarmos o feixe luminoso incidente da normal, aumentando o ângulo de incidência, o feixe luminoso refratado também irá se afastar aumentando o ângulo de refração, diminuindo a intensidade de luz refratada e aumentando a intensidade de luz refletida, se continuarmos aumentando o ângulo de incidência, continuará aumentando o ângulo de refração, diminuirá a intensidade de luz refratada e aumentará a intensidade de luz refletida. Esse processo ocorre até que o ângulo de refração será aproximadamente de 90°, nesse caso o ângulo de incidência é denominado ângulo limite. Apesar de, na figura, o ângulo estar representado como 90°, devemos saber que é muito próximo desse valor mas não é igual. Se o ângulo de incidência for maior que o ângulo limite, toda a luz incidente sofrerá reflexão e denominaremos então de reflexão total. Esse fenômeno ocorre quando o sentido de propagação da luz é do meio mais refringente para o meio menos refringente. Aplicando-se a lei de Snell-Descartes, ficamos com

n1 � seni = n2 � senr ,

substituindo

i

por

L

e

r

por

90°

n1 � senL = n2 � sen90° como sen90° = 1 ficamos com n senL = n2 1

ou

n senL = nmenor maior

Expressão que determina o ângulo limite.

Fibras ópticas

A luz incide com ângulo maior do que o ângulo limite e com sentido de propagação do meio mais refringente para o meio menos refringente, sofrendo sucessivas reflexões totais até atingir a outra extremidade.

Miragens A luz percorre camadas de ar cada vez mais aquecidas, menos densas e de índices de refração cada vez menores, sofrendo sucessivas refrações, afastando-se cada vez mais da normal até que o ângulo de incidência supera o ângulo limite e ocorre a reflexão total. Após a reflexão total, a luz passa a se propagar para as camadas superiores do ar aproximando-se da normal. O observador tem a impressão de ver água sobre o solo, quando na verdade está vendo a imagem do céu.

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FÍSICA

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O observador vê a imagem do céu e da árvore, tendo a impressão de ver água e a imagem da árvore refletida na água, é uma miragem.

Isso também acontece quando estamos viajando e enxergamos o asfalto como se estivesse molhado, o que na verdade é a imagem do céu ou de outros carros, postes, placas etc. Um fenômeno mais interessante ainda é a Fata Morgana, que ocorre quando a região próxima ao solo está fria, e a região mais acima está a uma maior temperatura. O objeto emite luz que se propaga da região de menor temperatura para a região de maior temperatura, afastando-se da normal, até que o ângulo de incidência supera o ângulo limite, ocorrendo a reflexão total e retorna agora da região mais aquecida para a mais fria, chegando aos olhos do observador que enxerga no prolongamento dos raios de luz que chegam aos seus olhos.

O asfalto parece molhado devido à refração e à reflexão total da luz

Fata Morgana

ANOTAÇÕES

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Prisma óptico É um sistema formado por um meio homogêneo e transparente que possui duas faces planas não paralelas.

Um raio de luz, ao atravessar um prisma imerso no ar, sofre duas refrações: a primeira ao entrar no prisma, isto é, do ar para o prisma, e a segunda ao emergir para o ar, ou seja, do prisma para o ar. Na figura acima, o ângulo A entre as faces do prisma denomina-se ângulo de refringência, e ∆m representa o desvio angular que é o ângulo formado entre a direção de incidência e a direção de emergência. O esquema mostra um raio de luz monocromático incidente na primeira face do prisma.

i1 : ângulo de incidência na face 1 i2: ângulo de emergência na face 2 r1: ângulo de refração na face 1 r2 : ângulo de refração na face 2 Podemos determinar o desvio angular por meio da expressão

∆m = i1 + i2 – A Quando os ângulos de incidência e de emergência do prisma assumem o mesmo valor ( i1= i2 ), dizemos que o desvio é mínimo, isto é, o ângulo ∆m assume o menor valor possível, determinado pela expressão

∆m = 2i – A

Nesse caso, o raio de luz que atravessa o prisma é sempre paralelo à sua base. Prismas de reflexão total – são prismas construídos especificamente para que os raios luminosos que incidirem neles sofram reflexão em seu interior. Para sua confecção, é necessário ajustar o índice de refração do material que é feito o prisma e conhecer o índice de refração do meio em que ficará imerso. Esses prismas são muito utilizados em instrumentos ópticos, como telescópios e máquinas fotográficas, pois possuem menor capacidade de absorção da luz que os espelhos. Por esse motivo, há instrumentos ópticos que utilizam prismas de reflexão total, como espelhos. Tais prismas apresentam, como seção principal, um triângulo retângulo isósceles.

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Os raios emergentes são perpendiculares: o desvio é de 90° em relação ao feixe de luz incidente.

Os raios emergentes são paralelos: o desvio é de 180° em relação ao feixe de luz incidente.

3.

DISPERSÃO LUMINOSA

Quando a luz branca incide em um prisma sofre refração, decomposição nas sete luzes, ao sair nova refração e maior afastamento das cores, é a dispersão luminosa. O material que é feito o prisma tem um índice de refração para cada cor, ou seja, o prisma oferece dificuldades diferentes à propagação da luz para luzes de cores diferentes. Sendo assim, cada luz de cor diferente terá velocidade diferente ao se propagar no prisma. A imagem mostra a dispersão da luz branca em um prisma óptico.

A luz branca, ao atravessar o prisma, decompõe-se nas sete luzes, é o fenômeno da dispersão luminosa. Da luz vermelha para a luz violeta, aumenta a frequência da onda luminosa, a energia dos fótons associados à onda, o desvio, o índice de refração do meio (material do prisma); diminui o comprimento de onda e a velocidade de propagação.

A frequência natural ou de ressonância da maior parte dos materiais transparentes se situa na região do ultravioleta do espectro, logo a luz de alta frequência se propaga mais lentamente do que a luz de frequência mais baixa. Isso explica porque a luz violeta propaga-se no prisma com menor velocidade, enquanto a luz vermelha propaga-se com maior velocidade. Fleming 2023

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O arco-íris Quando a luz solar, que contém raios de muitos comprimentos de onda, é interceptada por uma gota de chuva parte da luz é refratada para o interior da gota, refletida na superfície interna da gota e novamente refratada para o exterior da gota. Como no caso do prisma, a primeira refração separa a luz solar nas cores componentes e a segunda refração acentua o efeito.Vamos mostrar apenas dois raios luminosos, o vermelho e o violeta, mas é claro que entre as luzes vermelha e violeta estão as demais cores, alaranjado, amarelo, verde, azul e anil. Quando muitas gotas são iluminadas simultaneamente, o observador acaba enxergando as setes cores. É importante sabermos que algumas gotas enviam luz vermelha para nossos olhos e outras, mais abaixo enviam luz alaranjada, amarela, verde azul anil e violeta formando um arco.

Na gota de chuva, ocorre a refração da luz, dispersão luminosa, reflexão total e novamente refração, saindo as sete luzes.

Um conjunto de gotas de chuva enviam até nossos olhos luz vermelha, outro conjunto de gotas enviam luz alaranjada, e assim sucessivamente. Ao final, enxergamos um arco com as sete cores, o arco-íris.

A formação do arco-íris.

224

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UFRGS) No diagrama abaixo, i representa um raio luminoso propagando-se no ar,

que incide e atravessa um bloco triangular de material transparente desconhecido. i 30o

30o Dados: índice de refração do ar = 1; sen 30° = cos 60° = 1/2 ; sen 60° = cos 30° = 3/2 . Com base na trajetória completa do raio luminoso, o índice de refração deste material desconhecido é: (A) 3/2 . (B) 2/ 3 . (C) 3 . (D) 4/ 3 . (E) 2 3 . Gabarito: C Ao traçarmos a normal, vamos verificar que o ângulo de incidência é de 60°, e o ângulo de refração será de 30°. Aplicando a lei de Snell-Descartes: n1 . seni = n2 . senr → 1 . sen60o = n2 . sen30o → 1 . 3/2 = n2 . 1/2

n2 = 3

ANOTAÇÕES

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FÍSICA

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) Um feixe de luz monocromática atravessa a interface entre dois meios transparentes com índices de refração n1 e n2, respectivamente, conforme representa a figura abaixo. n1

03. (UNESP) A figura representa um feixe formado por dois raios de luz monocromática, um azul e um vermelho, que se propagam juntos pelo ar em uma direção definida pela reta r e incidem, no ponto P, sobre uma lâmina de faces paralelas constituída de vidro homogêneo e transparente.

θ1

n2

r Ar

θ2

P

Vidro Com base na figura, é correto afirmar que, ao passar do meio com n1 para o meio com n2, a velocidade, a frequência e o comprimento de onda da onda, respectivamente: (A) permanece, aumenta e diminui. (B) permanece, diminui e aumenta. (C) aumenta, permanece e aumenta. (D) diminui, permanece e diminui. (E) diminui, diminui e permanece.

Após atravessarem a lâmina, os dois raios de luz emergem separados e voltam a se propagar pelo ar. Sendo nA e nV os índices de refração absolutos do vidro para as cores azul e vermelha, respectivamente, e sabendo que nA > nV, a figura que melhor representa a propagação desses raios pelo ar após emergirem da lâmina de vidro é: (A)

r

02. (UEM) Um feixe de laser é dirigido para a superfície das águas plácidas de um lago, como ilustra a figura abaixo. Normal laser

1

Vidro

(B)

r

ar

Ar

superfície

Vidro

2

3

4

P

Ar

(C)

P

r

Quais pontos seriam iluminados pelo laser?

Ar

P

Vidro

(A) 1 e 3. (B) 1 e 2. (C) 2 e 4. (D) 2 e 3. (E) 3 e 4.

(D)

r Ar

P

Vidro

(E)

r Ar Vidro

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FÍSICA

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P

04. (UNICAMP) Uma imagem capturada recentemente pela sonda Perseverance na superfície de Marte mostrou o que parece ser um arco-íris no céu daquele planeta. Na Terra, um arco-íris surge como resultado da decomposição da luz branca do Sol por refração nas gotículas quase esféricas de água, suspensas na atmosfera. Em Marte, contudo, não há chuva. Portanto, a origem do arco-íris ainda é controversa. Em relação ao fenômeno de formação do arco-íris na Terra, quando a luz solar incide em uma gotícula de água, é correto afirmar que (A) o índice de refração da água para as diferentes cores da luz branca é menor do que o do ar; assim, no interior das gotículas, os raios de luz das diferentes cores se aproximam mais da reta normal à interface entre os meios de refração, quanto maior for o índice de refração corresponde àquela cor, na água. (B) o índice de refração da água para as diferentes cores da luz branca é menor do que o do ar; assim, os raios de luz das diferentes cores, no interior das gotículas, se afastam mais da reta normal à interface entre os meios de refração, quanto maior for o índice de refração corresponde àquela cor, na água. (C) o índice de refração da água para as diferentes cores da luz branca é maior do que o do ar; assim, os raios de luz das diferentes cores, no interior das gotículas, se aproximam mais da reta normal à interface entre os meios de refração, quanto maior for o índice de refração corresponde àquela cor, na água. (D) o índice de refração da água para as diferentes cores da luz branca é maior do que o do ar; assim, os raios de luz das diferentes cores, no interior das gotículas, se afastam mais da reta normal à interface entre os meios de refração, quanto maior for o índice de refração corresponde àquela cor, na água. Instrução: Para as três próximas questões, utilize o enunciado abaixo.

que a densidade do gelo é igual a 0,918 g/cm3 e a da água do copo, a 1 atm e 25 °C, é igual a 1,0 g/cm3; que o calor latente de fusão do gelo é igual a 80 cal/g; e o calor específico do gelo e o da água são, respectivamente, iguais a 0,50 cal . g–1 . K–1 e 1,00 cal . g–1 . K–1. Considere, ainda, que o ar e a água estão à mesma temperatura e a condutibilidade térmica do ar é menor que a da água do copo. 05. (UnB–adaptada) Tendo como referência essas informações, julgue o item. O desvio do feixe de luz representado na figura II deve-se ao fato de o índice de refração da água ser maior que o do ar. ( ) CERTO ( ) ERRADO 06. (UnB–adaptada) Tendo como referência essas informações, julgue o item. Na figura III, na qual o lápis parece quebrado, está representada a refração, fenômeno físico explicado pela lei de Snell. ( ) CERTO ( ) ERRADO 07. (UnB–adaptada) Tendo como referência essas informações, julgue o item. Para que ocorra reflexão interna total na situação representada na figura II, é necessário que nar > nágua, em que nar e nágua são, respectivamente, os índices de refração do ar e os da água. ( ) CERTO ( ) ERRADO 08. (UFG) Um feixe de luz branca, ao atravessar um prisma, decompõe- se em suas componentes monocromáticas por causa do efeito da dispersão. A componente que apresenta maior desvio da direção original é aquela que possui

Figura I

Figura II

Figura III

As figuras ilustram três fenômenos físicos que envolvem a presença de água. Na figura I, um cubo de gelo está parcialmente submerso em uma taça completamente cheia de água. Na figura II, está representada a reflexão interna total, em que um feixe de luz monocromático é orientado de forma a atravessar um copo com água e, no ponto indicado pela seta, no centro do copo, se desvie completamente de sua trajetória inicial no interior do líquido. Na figura III, está representado um lápis parcialmente imerso em um copo com água. Com relação à figura I, considere

(A) maior amplitude. (B) menor comprimento de onda. (C) menor índice de refração. (D) menor frequência. (E) maior velocidade.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA Lentes esféricas delgadas

Introdução Religiosos com óculos foram retratados por artistas desde a Idade Média, mostrando que o domínio da arte de fabricar lentes é antigo. Os primeiros óculos que se tem notícia destinavam-se a pessoas que não podiam ver bem objetos próximos dos olhos. Sabemos que lentes são utilizadas em aparelhos como luneta, microscópio, máquina fotográfica, projetores além de outros. O estudo das lentes, suas características e aplicações são o assunto deste capítulo. 1.

Capítulo 4

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Lentes esféricas – nomenclatura 2. Lentes esféricas – elementos e propriedades 3. Lentes esféricas – construção geométrica de imagens 4. Equações

LENTES ESFÉRICAS – NOMENCLATURA

Uma lente esférica é a associação de dois dioptros: um necessariamente esférico e outro plano ou esférico. Consideraremos lentes esféricas com espessura desprezível em comparação aos raios de curvatura; as lentes que satisfazem essa condição são denominadas lentes delgadas. As lentes podem ser convergentes ou divergentes. Se a lente é mais refringente que o meio onde está imersa, será convergente se tiver bordas finas e será divergente se tiver bordas grossas. Se a lente é menos refringente que o meio onde está imersa, será convergente se tiver bordas grossas e será divergente se tiver bordas finas.

Se as lentes 1, 2 e 3 forem feitas com um material com índice de refração menor do que o do meio onde estão imersas serão divergentes. Se as lentes 4, 5 e 6 forem feitas com um material com índice de refração menor do que o do meio onde estão imersas serão convergentes. Na nomenclatura das lentes esféricas, uma face é denominada convexa, plana ou côncava em relação a um observador externo à lente. Além disso, menciona-se, em primeiro lugar o nome da face de maior raio de curvatura.

As lentes acima serão convergentes se o índice de refração do material de que são feitas for maior do que o do meio onde estão imersas. A lente 1 é biconvexa, a 2 é plano-convexa, a 3 é côncavo-convexa e, em vermelho, temos a representação mais simples de uma lente convergente.

As lentes acima serão divergentes se o índice de refração do material que são feitas for maior do que o do meio onde estão imersas. A lente 4 é bicôncava, a 5 é plano-côncava, a 6 é convexo-côncava e, em vermelho, temos a representação mais simples mais simples de uma lente divergente. Fleming 2023

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Quando um feixe de raios luminosos paralelos incide em uma lente e refrata-se convergindo para um ponto, trata-se de uma lente convergente. Quando um feixe de raios luminosos paralelos incide em uma lente e refrata-se divergindo, trata-se de uma lente divergente.

LENTES ESFÉRICAS – ELEMENTOS E PROPRIEDADES 2.

Elementos de uma lente esférica convergente

Lente convergente – um feixe de raios luminosos paralelos incidem na lente, refratam e convergem para um ponto (foco real).

Os elementos são: raio de curvatura (R), centro de curvatura (C), eixo principal (EP) e centro óptico (O). As lentes têm dois centros de curvatura.

Elementos de uma lente divergente

Lente divergente – um feixe de raios luminosos paralelos incide na lente, refrata e diverge. Os prolongamentos dos raios refratados se encontram em um ponto (foco virtual).

Os elementos são: raio de curvatura (R), centro de curvatura (C), eixo principal (EP) e centro óptico (O). As lentes têm dois centros de curvatura.

Propriedades da lente convergente 1ª) Todo raio luminoso incidente paralelo ao eixo principal refrata-se passando pelo foco.

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2ª) Todo raio luminoso incidente que passa pelo foco refrata-se paralelamente ao eixo principal.

3ª) Todo raio luminoso incidente no centro óptico não sofre desvio.

Propriedades da lente divergente 1ª) Todo raio luminoso incidente paralelo ao eixo principal refrata-se com o prolongamento do raio refratado passando pelo foco.

2ª) Todo raio luminoso incidente que tem a direção do foco refrata-se paralelamente ao eixo principal.

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3ª) Todo raio luminoso incidente que incide no centro óptico não sofre desvio.

LENTES ESFÉRICAS – CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DE IMAGENS 3.

Lente convergente 1º caso – objeto posicionado a uma distância maior do que 2F'

Olho normal (emétrope) – conjuga na retina uma imagem real, invertida e menor.

A imagem é real, invertida, menor está posicionada entre o F e 2F. A distância da imagem a lente é menor do que a distância do objeto a lente, e a imagem é menor do que o objeto. Quando enxergamos um corpo, a formação da imagem na retina é um exemplo desse caso. 2º caso – objeto posicionado em 2F'

Projetor – é um dispositivo que fornece de um objeto real (arquivo eletrônico, diapositivo ou filme) uma imagem real, invertida, maior que é projetada em um anteparo (tela ou parede). A objetiva do projetor é um sistema convergente de lentes. Aplicação prática do 3º caso.

A imagem é real, invertida, mesmo tamanho, está posicionada em 2F. A distância da imagem à lente é igual a distância do objeto à lente, e o tamanho da imagem é o mesmo do objeto. A copiadora, considerando uma cópia do mesmo tamanho, é um exemplo desse caso. 3º caso – objeto posicionado entre F' e 2F

O farol com lente funciona com um sistema convergente de lentes. Coloca-se a lâmpada no foco, os raios refratados formam um feixe luminoso cilíndrico. Aplicação prática do 4º caso. 232

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A imagem é real, invertida, maior está posicionada a uma distância maior do que 2F. A distância da imagem à lente é maior do que a distância do objeto à lente, e a imagem tem tamanho maior do que o objeto. O projetor de slides é uma aplicação prática desse caso. 4º caso – objeto posicionado no foco

A imagem é imprópria, também podemos dizer que se forma no infinito, ou ainda, que não há formação de imagem. Uma aplicação prática é o farol. 5º caso – objeto posicionado entre o foco e o centro óptico

A lente convergente funcionando como lupa, quando o objeto é colocado entre o foco e a lente, a imagem é virtual, direta e maior. É uma aplicação prática do 5º caso.

A imagem é virtual, direta (direita), maior. A distância da imagem à lente é maior do que a distância do objeto à lente, e a imagem tem tamanho maior do que o objeto. A lupa é um exemplo desse caso.

Lente divergente Caso único

A imagem é virtual, direta (direita), menor e está posicionada entre o foco e o centro óptico. A distância da imagem a lente é menor do que a distância do objeto à lente, e a imagem é menor do que o objeto. O olho mágico é um exemplo desse caso.

Se aproximarmos o objeto da lente convergente do infinito até o foco, a imagem irá se afastar da lente, aumentará de tamanho em relação a ela mesma, mantendo-se real e invertida. Mas, se aproximarmos o objeto do foco a lente, a imagem irá se aproximar da lente, diminuirá de tamanho em relação a ela mesma, mantendo-se virtual e direta. Nos casos citados até agora, sempre que a imagem foi real, também foi invertida, e sempre que foi virtual, também foi direta. Lembrando que somente imagens reais podem ser projetadas em um anteparo.

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4.

EQUAÇÕES

Equação de Gauss:

Equação da amplificação:

1 1 1 = + f di do

A=

f = distância focal di = distância da imagem do = distância do objeto

i d =– i do o

A = aumento linear transversal i = tamanho da imagem o = tamanho do objeto

• Convenção de sinais f > 0 → lente convergente; f < 0 → lente divergente; do > 0 → objeto real; di > 0 → imagem real; di < 0 → imagem virtual;

A > 0 → imagem direta; A < 0 → imagem invertida; |A| = 1 → imagem de igual tamanho; |A| > 1 → imagem maior; |A| < 1 → imagem menor.

Convergência ou vergência (C) É o inverso da distância focal. A unidade do Sistema Internacional é a dioptria. Na linguagem popular, é comum ouvirmos a convergência ou vergência expressa em graus. Geralmente, 1 grau equivale a 1 dioptria.

1 C= f

[di] =

1 [m]

A distância focal de uma lente convergente é positiva, portanto a convergência ou vergência será positiva; a distância focal de uma lente divergente é negativa, portanto a convergência ou vergência será negativa.

Defeitos visuais e suas correções O esforço visual para obter a nitidez da imagem será maior ou menor, conforme a posição do objeto. Ponto remoto – consideramos como ponto remoto a posição mais distante na qual é visto com nitidez sem que haja esforço visual. Ponto próximo – é a posição mais próxima na qual o objeto é visto com nitidez realizando o maior esforço visual possível. Para um olho normal, o ponto próximo está a 25 cm do olho, enquanto o ponto remoto está posicionado no infinito.

Visao normal

Miopia – a pessoa têm dificuldades para ver longe, o globo ocular é mais alongado do que o normal, a imagem se forma antes da retina. O ponto remoto do míope está a uma distância finita, e o ponto próximo está a uma distância menor do que 25 cm. A miopia é corrigida com lente divergente.

Miopia

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Cálculo da convergência: A convergência é negativa.

1

C= f

Hipermetropia – a pessoa têm dificuldades para ver perto, o globo ocular é mais curto do que o normal, a imagem se forma depois da retina. Para o hipermétrope, o ponto próximo é mais distante do que 25 cm. A hipermetropia é corrigida com lente convergente.

Hipermetropia

Cálculo da convergência:

1 1 C= – d o di

A convergência é positiva.

Presbiopia (ou vista cansada) – o defeito consiste no enrijecimento dos músculos ciliares, o que ocorre com o evoluir da idade. A presbiopia é comum às pessoas com idade superior a 40 anos, que, com a limitação de sua capacidade de acomodação visual, têm dificuldades para ver de perto. É corrigida com lente convergente. Astigmatismo – o defeito consiste em imperfeições na simetria de revolução do sistema óptico ocular em torno de seu eixo óptico. Em geral, o astigmatismo deve-se a irregularidade na curvatura da córnea, eventualmente abrangendo também o cristalino. A correção é feita mediante o uso de lentes cilíndricas que tem o objetivo de compensar a assimetria do sistema óptico ocular.

Presbiopia

Estrabismo – o defeito consiste na incapacidade de dirigir simultaneamente as retas visuais dos dois olhos para o ponto usado. A correção pode ser feita com o uso de lentes prismáticas, exercícios da musculatura de sustentação do globo ocular ou, em casos mais graves, cirurgia. Astigmatismo

ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIO RESOLVIDO

1 (UFSC) Fazendo uma análise simplificada do olho humano, pode-se compará-lo a uma câmara escura. Fazendo uma análise cuidadosa, ele é mais sofisticado que uma câmera fotográfica ou filmadora. A maneira como o olho controla a entrada de luz e trabalha para focalizar a imagem para que ela seja formada com nitidez na retina é algo espetacular. A figura abaixo apresenta, de maneira esquemática, a estrutura do olho humano e a forma pela qual a luz que parte de um objeto chega à retina para ter a sua imagem formada. Na tabela abaixo, é apresentado o índice de refração de cada uma das partes do olho.

Disponível em: . [Adaptado] Acesso em: 18 jul. 2012.

Com base no exposto, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) A imagem do objeto formada na retina é real, invertida e menor, o que nos leva a afirmar que o cristalino é uma lente de comportamento convergente. (02)A velocidade da luz, ao passar pelas partes do olho, é maior no humor aquoso e no humor vítreo. (04) O fenômeno da refração da luz é garantido pelo desvio da trajetória da luz, sendo mantidas constantes todas as outras características da luz. (08) A refração da luz só ocorre no cristalino, cujo índice de refração é diferente do índice de refração do humor aquoso e do humor vítreo. (16) A miopia é um problema de visão caracterizado pela formação da imagem antes da retina, sendo corrigido com uma lente de comportamento divergente. (32) A presbiopia, popularmente chamada de “vista cansada”, é um problema de visão similar à hipermetropia, sendo corrigido com uma lente de comportamento convergente. (64) A hipermetropia é um problema de visão caracterizado pela formação da imagem depois da retina, sendo corrigido com uma lente de comportamento divergente. Gabarito: 51 01. V - O cristalino é uma lente de comportamento convergente e, nesse caso, o objeto está a uma distância maior do que o dobro da distância focal, fornecendo uma imagem real, invertida e menor. 02. V - O índice de refração do humor aquoso e do humor vítreo são iguais (1,33), e esse valor é menor do que o índice de refração da córnea e do cristalino, portanto no humor aquoso e no humor vítreo a velocidade da luz é maior. Velocidade da luz e índice de refração são inversamente proporcionais. 04. F - O fenômeno da refração da luz é garantido pela variação da velocidade, ocorrendo ou não desvio da luz. 08. F - A refração da luz ocorre sempre que a luz passa de um meio para outro com diferentes índices de refração, ou seja, ao passar da córnea para o humor aquoso, do humor aquoso para o cristalino e do cristalino para o humor vítreo. 16. V 32. V 64. F – A hipermetropia é um problema de visão caracterizado pela formação da imagem antes da retina, sendo corrigido com uma lente de comportamento convergente.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFSC) A deficiência visual é considerada em dois casos: a cegueira, na qual a pessoa perde a visão totalmente ou apresenta um resíduo mínimo que a leva a necessitar da leitura e escrita em Braille, e a baixa visão, na qual a pessoa possui um comprometimento visual em ambos os olhos, mesmo com o uso de óculos, mas consegue ler textos impressos ampliados. Considere a situação em que um estudante com baixa visão utiliza uma lupa constituída de uma lente biconvexa de raios R1 = R2 = 40 cm que obedece às condições de Gauss. Ele a coloca em uma posição na qual o centro óptico de sua lente esteja a 20 cm do seu livro para enxergar as letras cinco vezes maiores e, assim, conseguir ler o texto. Sobre o assunto abordado e com base no exposto acima, é correto afirmar que: (01) a distância entre a imagem de uma letra conjugada pela lente da lupa e a própria letra é de 80 cm. (02) as imagens das letras vistas pelo estudante são virtuais. (04) as imagens das letras vistas pelo estudante encontramse a 25 cm do centro óptico da lente. (08) se o estudante posicionar o centro óptico da lente da lupa a 30 cm do livro, ele vai ler com maior facilidade, pois as letras ficarão maiores. (16) o índice de refração da lente que compõe a lupa é 1,5. (32) se aumentarmos o índice de refração da lente que compõe a lupa sem alterarmos seus raios, a vergência da lente aumentará. 02. (UFPR) Sabe-se que o objeto fotografado por uma câmera fotográfica digital tem 20 vezes o tamanho da imagem nítida formada no sensor dessa câmera. A distância focal da câmera é de 30 mm. Para a resolução desse problema, considere as seguintes equações: A = – p' / p = I/O e 1/f = 1/p + 1/p'.

(A) A vergência da lente é 2,0 di. (B) A imagem é real, invertida e possui 20 cm de altura. (C) A imagem é virtual, direta e possui 5,0 cm de altura. (D) A imagem é virtual, direta e possui 20 cm de altura. (E) As lentes convergentes sempre produzem imagens reais de objetos reais. 04. (FUVEST) Uma pessoa observa uma vela através de uma lente de vidro biconvexa, como representado na figura. F

Considere que a vela está posicionada entre a lente e o seu ponto focal F. Nessa condição, a imagem observada pela pessoa é: (A) virtual, invertida e maior. (B) virtual, invertida e menor. (C) real, direita e menor. (D) real, invertida e maior. (E) virtual, direita e maior. 05. (UniRV) O conhecimento do comportamento da luz possibilitou ao homem a descoberta de um novo mundo. O princípio de funcionamento dos instrumentos óticos, como lentes, microscópios, etc., é regido pelo efeito ocasionado pela refração da luz. Sobre a refração da luz e a figura abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas.

a

b

d

a

Assinale a alternativa que apresenta a distância do objeto até a câmera. (A) 630 mm. (B) 600 mm. (C) 570 mm. (D) 31,5 mm. (E) 28,5 mm. 03. (UNIOESTE) Uma vela com 10 cm de altura é colocada a 10 cm de uma lente convergente de distância focal igual a 20 cm. Com relação a estes dados, assinale a alternativa correta.

c

( ) Considerando que o feixe de luz inicia no material a, a ordem decrescente do índice de refração dos materiais é: d, b, a, c. ( ) Considerando que o feixe de luz inicia no material a, a ordem crescente do índice de refração dos materiais é: c, a, d, b. ( ) Os materiais a e c possuem o mesmo índice de refração. ( ) O material d é o que mais retarda a velocidade da luz. Fleming 2023

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06. (UFG) Uma lente convergente de vidro possui distância focal f quando imersa no ar. Essa lente é mergulhada em glicerina, um tipo de álcool com índice de refração maior que o do ar. Considerando-se que o índice de refração do vidro é o mesmo da glicerina (iguais a 1,5), conclui-se que o diagrama que representa o comportamento de um feixe de luz incidindo sobre a lente imersa na glicerina é o seguinte: (A)

f

(B) f

(C) f

(D) f

(E) f

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ANOTAÇÕES

GABARITO CAPÍTULO 1 01.

06

02. B

03. 28

04. A

05. *

06. D

07. E

08. E

03. B

04. A

05. 14

06. *

07. A

08. C

03. C

04. C

05. *

06. *

07. *

08. B

03. D

04. E

05. *

06. E

01. 02 + 04 = 06 03. 04 + 08 + 16 = 28 05. ERRADA

CAPÍTULO 2 01.

B

02. B

05. 02 + 04 + 08 = 14 06. 12,5 cm

CAPÍTULO 3 01.

D

02. A

05. CERTO 06. CERTO 07. ERRADO

CAPÍTULO 4 01.

35

02. A

01. 01 + 02 + 32 = 35 05. V - F - F - V

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Frente A QUÍMICA 243 Capítulo 1 ATOMÍSTICA 261 Capítulo 2 ELETROSFERA 275 Capítulo 3 TABELA PERIÓDICA 293 Capítulo 4 LIGAÇÕES QUÍMICAS I Iônica e Metálica 303 Capítulo 5 LIGAÇÕES QUÍMICAS II Ligação Covalente ou Molecular 315 Capítulo 6 GEOMETRIA MOLECULAR

ATOMÍSTICA

Introdução A Química é a ciência que estuda a matéria, e, como apresentado no capítulo de sistemas materiais (Cap. 1, Frente B), é tudo aquilo que possui massa e volume. Essa ciência tem como objetivo abordar as propriedades, as transformações e a estrutura – composição – da matéria. Sendo assim, a questão central deste capítulo é estudar e entender a respeito do principal formador da matéria: o átomo. Dentro desse conceito, serão apresentadas as principais hipóteses atômicas e sua evolução ao longo da história. Esses conceitos foram bem explicados nas palavras de R. Feynman, agraciado com o prêmio Nobel de Física de 1965, e autor do livro “Lectures on Physics”. Segundo Feynman, “Se, em algum cataclismo, todo o conhecimento científico fosse destruído e apenas uma frase fosse transmitida para as próximas gerações de criaturas, que afirmação conteria mais informações em menos palavras? Acredito que seja a hipótese atômica de que todas as coisas se compõem de átomos em movimento perpétuo, atraindo umas às outras quando estão a certa distância, mas se repelindo quando comprimidas umas contra as outras.” Além disso uma segunda pergunta emerge dessa primeira questão – como é possível acreditar na existência de átomos? A resposta definitiva para essa dúvida é simples e direta: átomos existem, pois podemos vê-los.

Capítulo 1

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Átomo filosófico 2. Modelo de Dalton 3. Modelo de Thomson 4. Modelo de Tutherford 5. Modelo de Bohr

Lições de Física - R. Feynman.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NIST_Atom_Logo.jpg Átomos de cobalto ordenados com microscopia de tunelamento com o logo do National Institute of Standards - NIST.

A microscopia de tunelamento (Scanning Tunneling Microscopy) foi desenvolvida, na década de 1980, por pesquisadores da IBM. Essa técnica permite visualizar, medir e manipular substâncias em escala atômica e possibilitou a criação de uma engenharia atômica e a construção de ferramentas e de máquinas em dimensões atômico-moleculares. A evolução de tal modelo ocorreu de maneira progressiva por mais de 2000 anos, progredindo de uma concepção puramente filosófica para um modelo científico e que experimenta constantes aprimoramentos até os dias atuais. Nas próximas seções, estudaremos a evolução da hipótese atômica e dos modelos atômicos e as consequências tecnológicas dessa evolução. 1.

ÁTOMO FILOSÓFICO

O problema relacionado à natureza da matéria foi objeto de profunda especulação filosófica na antiguidade desde, aproximadamente, 400 anos a.C. O filósofo Leucipo de Mileto elaborou a ideia atômica com a ajuda de seu discípulo Demócrito. Imaginava-se, intuitivamente, que, dividindo-se um corpo qualquer ao meio continuamente, seria possível obter-se uma partícula tão pequena que seria impossível Fleming 2023

QUÍMICA

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dividi-la. Então, essa partícula seria a menor parte de matéria, a partícula elementar de toda a natureza. Foi nesse contexto que se cunhou a palavra átomo, do grego ατοµο, que significa não divisível. Epicuro também era adepto do atomismo e considerava que tais partículas diferiam em tamanho, forma e rigidez. No entanto, esse pensamento era muito mais filosófico do que científico, uma vez que não estavam alicerçado no método científico e em dados experimentais. Entretanto, pode-se afirmar que a semente da concepção atômica surgiu nessa ocasião, e, se não fosse pelas influências negativas de Aristóteles e de Platão – que combatiam veementemente o atomismo – a ideia atômica não teria sido esquecida até início de 1800 d.C. Para esses influentes filósofos, a matéria seria formada pela composição de quatro principais elementos – ar, água, fogo e terra – em quantidades diferentes e específicas para cada material.

Ar Água Fogo Terra A concepção dos quatro elementos de Aristóteles e Platão.

MODELO DE DALTON - A BOLA DE BILHAR 2.

A teoria do inglês John Dalton, proposta em 1808 na obra: A New System of Chemical Philosophy postula que a matéria é composta por átomos, partículas de dimensões muito pequenas e indestrutíveis, que conservam suas características individuais em todas as transformações químicas.Trata-se de um modelo científico fundamentado em um conjunto de experimentos chamado de Leis Ponderais. As Leis Ponderais são leis que relacionam as massas – medidas com o auxílio de balanças - das substâncias que participam de reações químicas. A teoria atômica de Dalton interpretou teoricamente as Leis Ponderais experimentais e consolidou a ideia da existência do átomo. Dentre as leis ponderais, encontra-se a Lei de Proust da composição definida – a qual afirma que uma substância é formada por elementos em uma proporção simples e com números inteiros de átomos –, Lei de Lavoisier – a qual afirma que as massas de reagentes não se alteram na formação de novas substâncias - e a Lei de Dalton - que está relacionada à formação de diferentes substâncias a partir dos mesmos elementos, como o monóxido de carbono e o dióxido de carbono, os quais guardam uma proporção diferente de átomos. Tais conceitos serão aprofundados no capítulo de Cálculos Químicos no Livro 02.

John Dalton

A teoria atômica de J. Dalton pode ser compreendida a partir das seguintes considerações e interpretações das Leis Ponderais. Edição moderna da obra de Dalton com a concepção de seu modelo atômico.

– Átomo: toda a matéria é formada por átomos que são considerados esferas maciças (não ocas) e indivisíveis.Tal concepção rendeu ao modelo o apelido de “bola de bilhar”.

O modelo atômico de Dalton da bola de bilhar.

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QUÍMICA

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– Elementos Químicos: existem diferentes tipos de átomos - os elementos químicos que diferem quanto à massa e ao tamanho da esfera. Sendo assim, átomos de hidrogênio seriam concebidos como esferas menores e mais leves, enquanto átomos de chumbo, por exemplo, esferas maiores e mais pesadas. Dalton organizou uma representação rudimentar dos elementos conhecidos, na sua época, por meio de círculos diferentes. As letras representavam o nome do elemento em inglês, sua língua nativa, sendo G de Gold e S de Silver, por exemplo. Representação dos átomos simples: hidrogênio

carbono

alumínio

nitrogênio

sódio

enxofre

magnésio

cálcio

potássio

mercúrio

oxigênio

prata

S

estrôncio

G

ouro

bário

P

platina

fósforo

I

ferro

Z

zinco

Química e Medicina John Dalton nasceu em Eaglesfield, Inglaterra, e era professor e cientista obstinado, ministrando sua primeira aula aos 12 anos, na comunidade religiosa Quaker, a qual pertencia. Em 1807, quando concluía sua teoria atômica, estudava também sobre a cegueira humana para determinadas cores. Essa condição, da qual o próprio Dalton era portador, é conhecida como daltonismo. Trata-se de uma incapacidade de se diferenciar todas ou algumas cores e é uma herança genética ligada ao cromossomo X, sendo mais frequente em homens.

C

cobre

Representação de Dalton para os elementos químicos, denominados na época de “átomos simples”.

– Substâncias: a combinação de átomos entre si, por meio de números simples e inteiros, pode formar todas as substâncias conhecidas. Por exemplo, o gás carbônico (ácido carbônico na época), seria constituído por um átomo de carbono (esfera preta) e por dois átomos de oxigênio (esferas brancas). A combinação de esferas do mesmo tipo (mesmo elemento) formaria as substâncias simples, enquanto a combinação de esferas distintas (diferentes elementos) produziria substâncias compostas ou, simplesmente, compostos químicos. Essa explicação do modelo de Dalton é, na verdade, uma interpretação da Lei de Proust da composição definida, a qual que afirma que as substâncias são formadas por determinados elementos que obedecem a uma quantidade constante em massa para cada elemento (conforme será estudado no capítulo "Substâncias e Misturas" da frente B).

No entanto, sabe-se que, hoje, átomos de um mesmo elemento químico não são necessariamente idênticos em massa, uma vez que a maioria dos elementos são constituídos por isótopos (átomos do mesmo elemento mas com diferentes massas atômicas). De maneira moderna, o que caracteriza um elemento químico é o seu número atômico (Z), grandeza que representa o número de prótons que um átomo possui no seu núcleo. Esses conceitos serão aprofundados na seção "Grandezas Atômicas" desse mesmo capítulo.

Representação dos “átomos compostos” de água, amônia e de outras partículas que poderiam ser formadas, obedecendo à lei das proporções múltiplas: ÁGUA

AMÔNIA

ÓXIDO CARBÔNICO

ÁCIDO CARBÔNICO

Representação de Dalton para substâncias compostas, denominadas na época de “átomos compostos”.

– Reações Químicas: quando ocorre uma transformação química (reação química), os átomos não são criados nem destruídos, apenas reorganizados para formar novas substâncias denominadas produtos. Essa também é a explicação teórica para uma das Leis Ponderais, a Lei de Lavoisier da conservação da massa. Numa reação, as massas dos reagentes se mantêm constantes ao formarem produtos, evidenciando que átomos não foram criados nem destruídos.

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QUÍMICA

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Representação esquemática da reação entre carbono (esfera preta) e a molécula de gás oxigênio (esferas brancas) com formação de gás carbônico e consequente conservação dos átomos.

MODELO DE THOMSON - A DESCOBERTA DO ELÉTRON 3.

Joseph John Thomson - Nobel de Física em 1906 pela descoberta do elétron.

Apesar do modelo anterior de Dalton explicar satisfatoriamente as Leis Ponderais das reações químicas, não era capaz de explicar a existência de partículas com carga elétrica e o eletromagnetismo recentemente unificado. As observações aventadas pelo britânico Joseph John Thomson foram feitas a partir de experimentos com descargas elétricas em amostras gasosas e lhe renderam o Nobel de Física em 1906 e o título de descobridor do elétron – a partícula mais importante da Química. Tal estudo evidenciou que átomos e moléculas, aparentemente neutros, são cindidos, quebrados, em partículas carregadas formando elétrons e íons. Gases não são bons condutores de eletricidade, mas, quando se encontram rarefeitos (baixa pressão) em um tubo especial de vidro (ampola de Crookes) e são submetidos a uma descarga de alta tensão (10000 volts), observa-se um feixe de partículas provenientes do polo negativo (cátodo) em direção ao polo positivo (ânodo). Esse feixe produzido era chamado de raios catódicos - provenientes do cátodo - e sua formação é independente do gás utilizado e do material utilizado nos eletrodos.

Ampola de crookes

Amostra de gás baixa pressão

Efeito luminoso

Ânodo

Cátodo Vácuo Alta tensão 10 volts 4

Tubo de vidro contendo gás rarefeito submetido a uma descarga elétrica de alta tensão. As setas em vermelho representam o feixe de raios catódicos produzidos.

Inicialmente, pensava em que esse feixe de raios era apenas luz, ondas eletromagnéticas, pois, ao colidir com um anteparo posicionado atrás do ânodo, observava-se um efeito luminoso. Entretanto, a posteriori, experiências evidenciaram que esses raios eram portadores de carga elétrica, uma vez que sofriam desvios (deflexão) quando submetidos a um campo elétrico posicionado de maneira longitudinal ao feixe de raios. Como o desvio era em direção à placa positiva do capacitor (dispositivo formado por duas placas paralelas entre si e carregadas com sinais opostos), J. J. Thomson inferiu que os raios catódicos deveriam portar carga negativa, e por meio de medidas experimentais e cálculos teóricos chegou ao valor de 1,6.10-19 C, atualmente denominada carga elementar. 246

QUÍMICA

Fleming 2023

Ampola de crookes

Amostra de gás baixa pressão

Efeito luminoso

Ânodo

Cátodo Carga Elétrica q = – 1,6.10-19C

Vácuo Alta tensão 104 Volts

Experimento com capacitor paralelo aos raios catódicos e que permitiu evidenciar e determinar a carga negativa associada a essas partículas. As setas em vermelho mostram o desvio dos raios catódicos quando atraídos pela placa positiva do capacitor.

Uma segunda evidência experimental foi que os raios catódicos apresentam massa, uma vez que esses raios movimentam as hélices de um pequeno cata-vento posicionado em frente à trajetória linear do feixe. A massa pode ser medida a partir do seu momento p, produto entre massa e velocidade (p = m.v), e é chamada de massa reduzida, a qual vale, aproximadamente, 9,1.10-31 kg. J. J. Thomson também demonstrou que a relação carga-massa (e/m) era independente do material dos eletrodos e do gás presente na ampola, e que tais partículas constituintes dos raios catódicos eram individuais e universais. Ampola de crookes Movimento Linear p = m.v

Amostra de gás baixa pressão

Ânodo

Cátodo

m = 9,1.10-31Kg

Efeito luminoso

Vácuo Alta tensão 104 volts

Os raios catódicos movimentam as hélices de um pequeno cata-vento quando posicionado em frente ao feixe.

Tal feito é considerado a descoberta oficial do elétron, nome que ganhou aceitação de toda a comunidade científica e que faz alusão ao âmbar - do grego ηλεκτρον, élektron - resina vegetal que apresenta propriedades elétricas quando atritada com a lã. O elétron é, em geral, representado por e, e– ou β–. A investigação da descarga elétrica em gases rarefeitos levantou a hipótese de um átomo divisível, que pode ser concebido como formado por uma massa positiva com elétrons incrustados, e que, por isso, apresenta neutralidade de carga. Quando os átomos ou moléculas são submetidos à descarga de alta tensão, os elétrons são removidos em um processo chamado ionização. Os elétrons são orientados e formam os raios catódicos enquanto os íons positivos remanescentes produzem os chamados raios canais. O modelo de J. J. Thomson foi batizado ironicamente e sem seu conhecimento de “pudim de ameixas” (plum pudding), uma comida típica do natal inglês. Fleming 2023

QUÍMICA

247

O modelo atômico de Thomson, constituído de uma esfera de massa positiva com elétrons incrustados.

MODELO DE RUTHERFORD - O ÁTOMO NUCLEAR 4.

Em 1911, o físico e químico neozelandês Ernest Rutherford, juntamente com H. Geiger e E. Marsden, alunos de doutorado de Thomson, realizaram uma série de experimentos com o espalhamento de partículas alfa (α) na tentativa de comprovar a simplicidade do modelo do pudim de ameixa. Os detalhes do experimento são apresentados a seguir.

Ernest Rutherford - Nobel de Química em 1908.

As partículas α são partículas positivas - constituídas por 2 prótons e 2 nêutrons - e emitidas por núcleos de elementos radioativos como o Polônio (84Po210). No aparelho de H. Geiger e E. Marsden uma amostra de Polônio foi alocada dentro de um recipiente de chumbo com um pequeno orifício colimador. Assim, um feixe de partículas α foi orientado em direção a uma lâmina muito fina de ouro com espessura de alguns átomos (10-4 mm). O ouro foi utilizado por tratar-se de um metal bastante maleável. A lâmina delgada encontrava-se envolvida por um anteparo revestido de sulfeto de zinco (ZnS), substância fluorescente e que permite a detecção de partículas α que eventualmente atravessam a lâmina do metal. Detector de partículas ZnS POLÔNIO Fonte de partículas α

Atravessam a lâmina de ouro

Ouro Ouro

Partículas positivas Equipamento construído no espalhamento de partículas α ao colidirem com uma lâmina delgada de ouro. O aparato revestido com ZnS emite cintilações ao ser colidido por partículas que atravessam a lâmina.

E. Rutherford esperava que absolutamente todas as partículas α atravessassem a lâmina de ouro praticamente sem sofrer desvios, pois, tendo-se em vista o átomo de Thomson, nem os elétrons incrustados, nem a massa positiva do pudim de ameixa teriam densidades de carga e de massa suficientes para impor resistência às partículas. Para surpresa dos investigadores e do próprio E. Rutherford, embora a grande maioria das partículas α tenham atravessado a lâmina de ouro sem sofrer desvios, algumas sofreram desvios expressivos, com ângulos próximos da reflexão. O espanto de Rutherford pode ser evidenciado com suas próprias palavras em uma carta redigida anos após e com tradução livre do autor: “Esse foi o evento mais incrível que pude observar em toda a minha vida. Foi tão inacreditável quanto disparar um projétil de 15 polegadas contra uma 248

QUÍMICA

Fleming 2023

folha de papel e ele ricochetear e atingi-lo de volta… Foi isso que me inspirou a imaginar que o átomo deveria ter um núcleo diminuto com uma carga positiva.” Como explicado nas palavras de E. Rutherford, em razão de uma pequena quantidade de partículas α sofrer um grande desvio foi imaginado que o átomo teria uma região central, muitas vezes, menor que o tamanho do próprio átomo e que concentrava quase toda sua massa. Os elétrons então ocupariam uma região bem distante ao redor desse núcleo, pouco densa e com massa desprezível. Essa concepção foi chamada de modelo planetário de E. Rutherford.

O átomo planetário de Rutherford. Ao centro o núcleo atômico denso e positivo 10000 a 100000 vezes menor - envolvido pelos elétrons dispersos na eletrosfera difusa.

• Partículas Atômicas Após a realização dos experimentos de Rutherford e de seu grupo de pesquisa, ficou comprovada definitivamente a natureza descontínua (divisível) da matéria. De posse dos resultados de E. Goldstein (1886) sobre o comportamento dos raios canais (contrários aos raios catódicos) e os resultados de W. Wein (1898) que concluíra que esses raios eram feitos de íons positivos de Hidrogênio (H+), E. Rutherford publicou, em 1919, a descoberta do próton, a partícula positiva da Química, cuja origem é grega e significa “o primeiro”. Como previsto pelo próprio E. Rutherford, em 1932, J. Chadwick isolou o nêutron, outra partícula existente no núcleo, mas, dessa vez, com carga nula. Sendo assim, o modelo atômico clássico conta com um núcleo formado por prótons e nêutrons – coletivamente chamados de núcleons – envolvidos por uma eletrosfera ocupada pelos elétrons. Conceitualmente, prótons, nêutrons e elétrons são chamados de partículas elementares ou fundamentais. Cada uma dessas partículas apresenta características específicas quanto às suas cargas e massas, expressas em coulomb (C) e em grama (g), respectivamente, e reunidas na tabela abaixo. Partícula Próton Nêutron Elétron

Carga / C +1,6 . 10-19 zero -1,6 . 10-19

Massa / g 1,673 . 10-24 1,675 . 10-24 9,109 . 10-28

* Carga e Massa das Partículas Fundamentais.

Nota-se que a massa do elétron é quase 2000 vezes menor que a massa de um próton e de um nêutron, as quais são praticamente iguais, e, com isso, a ideia de que toda a massa atômica está concentrada no núcleo é reforçada. Ainda, a carga de prótons e elétrons são iguais em módulo e diferem apenas quanto aos sinais.

Quarks e o Modelo Padrão Desde a década de 1970 e até os dias modernos, considera-se que toda a matéria seja formada por um zoológico de partículas, termo utilizado pelos próprios físicos para descrever as partículas subatômicas. Essas partículas são classificadas de acordo com seu spin, uma grandeza análoga à rotação da partícula. Fleming 2023

QUÍMICA

249

Zoo

Gauge Bosons

de partículas

Massa Carga Spin

Quarks ≈ 2.3 MeV/C2 2/3 1 /2

u up

≈ 1.275 GeV/C2 2/3 1 /2

c

charm

≈ 4.8 MeV/C2 -1 /3 1 /2

d down

≈ 95 MeV/C2 -1 /3 1 /2

t

0 0 1

top ≈ 4,18 GeV/C2 -1 /3 1 /2

s b strange botton

< 2.2 eV/C2 0 1 /2

105.7 MeV/C -1 1 /2

2

τ

1.777 GeV/C -1 1 /2

2

tau

< 0,17 MeV/C2 0 1 /2

< 15.5 MeV/C2 0 1 /2

nuon neutrino

tau neutrino

Ve Vµ Vτ

electron neutrino

g

gluon 0 0 1

γ

photon

e µ electron muon

0.511 MeV/C -1 1 /2

H

Higgs boson

≈ 173.07 GeV/C2 2/3 1 /2

Leptons 2

0.511 MeV/C2 -1 1 /2

91,2 GeV/C2 0 1

z

z boson 80.4 GeV/C2 +1 1

w

w boson

No entanto, o modelo padrão é mais sofisticado ainda, e mostra que os prótons e nêutrons são formados por partículas ainda menores denominadas de quarks, que nunca são diretamente observados ou encontrados isoladamente devido a um fenômeno denominado confinamento, apresentam cargas que são uma fração da carga elementar do elétron e podem ser de 6 tipos (sabores) diferentes: up (u), down (d), charm (c), strange (s), bottom (b) e top (t). Tais partículas interagem fortemente em trios, por meio das partículas de interação chamadas de glúons - do inglês glue (cola). O próton, por exemplo, é formado pela interação de dois quarks ups e um quark down, e juntos têm carga elétrica positiva. O nêutron é formado por dois quarks down e um quark up. O último férmion importante para a Química é o elétron, e, por não ser constituído por outras partículas menores, é chamado de lépton. Assim, o elétron é realmente uma partícula elementar.

Zoológico de Partículas Subatômicas do Modelo Padrão.

• Grandezas Atômicas. De volta ao estudo do átomo clássico e ainda valendo-se do modelo de Rutherford, podemos definir duas principais grandezas atômicas: o número atômico (Z) e o número de massa (A). Esses dois conceitos são importantes para o estudo da Química e na descrição dos 118 tipos de átomos diferentes conhecidos. Na natureza, apenas 92 elementos são encontrados de maneira natural, sendo os demais obtidos artificialmente por técnicas da Física Nuclear. – Número Atômico (Z): É o número de prótons (P). Antigamente, um elemento químico deveria ser caracterizado por sua massa atômica. No entanto, depois da descoberta oficial do próton, ficou evidente para os químicos que o que diferencia um elemento de outro é a quantidade de prótons que esse possui em seu núcleo. Na verdade, independente da massa, átomos, com a mesma quantidade de prótons, têm as mesmas características químicas. A partir desse conceito, pode-se definir que um elemento químico é constituído por átomos com o mesmo número atômico. Por exemplo, todos os átomos do elemento boro têm 5 prótons em seu núcleo, enquanto os átomos de bismuto têm 83 prótons. – Número de Massa (A): É a soma do número de prótons (P) e de nêutrons (N). Como apresentado anteriormente, como a maior parte da massa de um átomo encontra-se no núcleo, a quantidade de partículas nucleares - os núcleons - é um indicativo da massa desse átomo. Deve-se salientar, no entato, que número de massa é uma quantidade de partículas, um número inteiro, e não deve ser confundido com a massa atômica, que é a expressão da massa de um átomo em unidades relativas u, onde u vale, aproximadamente, 1,66.10-27 kg. De posse das definições acima, pode-se construir uma notação química para os elementos conhecidos. Nessa notação, o número atômico (Z) é escrito abaixo e, à esquerda do símbolo, enquanto o número de massa (A) é escrito acima e à direita do símbolo. Algumas vezes, o número de massa (A) pode ser escrito também à esquerda, mas sempre acima do símbolo. Isso permite que a carga (Q) do átomo ou íon seja indicada à direita e acima. Na figura a seguir, encontra-se um exemplo da aplicação dessa notação na determinação das partículas elementares do elemento cloro.

E Z

A

A ou

E Z

Q Carga

Notação dos elementos químicos. "E" representa o símbolo químico, "Z" o número atômico e "A" o número de massa. A carga Q para átomos neutros é zero e para íons pode ser positiva (cátions) ou negativa (ânions), dependendo do número de elétrons perdidos ou ganhos, respectivamente.

250

QUÍMICA

Fleming 2023

17

Cl

37

Prótons = 17 Nêutrons = 20 Nº Massa = 37 Elétrons = 17 Notação para o elemento cloro (Cl; Z = 17) e a atribuição de suas partículas fundamentais.

Os elementos são representados por símbolos, originalmente organizados por J. J. Berzelius, e escolhidos a partir da primeira letra maiúscula do nome do elemento em latim. Para evitar duplicidade, utiliza-se uma segunda letra sempre minúscula, como para o cobalto (Co) e o cobre (Cu). Modernamente, outras fontes – grego, alemão e homenagens a pessoas e a localidades são utilizadas como simbologia dos elementos. – Carga (Q): O número de elétrons para um átomo neutro é sempre igual ao número de prótons. Isso permite que a espécie tenha neutralidade de cargas, pois o número de partículas negativas é igual ao número de partículas positivas. Quando o número de prótons é diferente do número de elétrons, tem-se a formação de íons, espécies carregadas, como explicado no parágrafo abaixo. No entanto, muitos processos da Química envolvem transferência de elétrons, tais como formação de ligações, reações de oxirredução e ionização de espécies covalentes. Metais, em geral, perdem elétrons e formam íons positivos, os cátions. Um exemplo com o metal lítio é apresentado na figura abaixo. Os ametais, por sua vez, tendem a receber elétrons e formar espécies negativas, os ânions. Na mesma figura, a formação do ânion a partir do elemento flúor é ilustrada. É importante salientar que em processos de formação de íons, sejam positivos ou negativos, apenas os elétrons são transferidos. O número de prótons não se modifica em processos químicos, apenas em fenômenos envolvendo decaimento radiativo. A notação da carga dos íons também obedece aos critérios da IUPAC, sendo sugerido, por exemplo, para o cátion alumínio a notação Al3+ ou Al (III), e não Al+3 ou Al+++. 7 3

Li

7

0 _

e

Prótons = 3 Nêutrons = 4 No Massa = 7 Elétrons = 3

3

Li

Após décadas de controvérsia, a IUPAC - União Internacional de Química Pura e Aplicada - comunicou em 30 de agosto de 1997 que os nomes e símbolos dos elementos transférmicos - com número atômico maior que o do férmio (Fm; Z = 100) - ficariam estabelecidos. Alguns exemplos interessantes são: rutherfórdio (Rf; Z = 104), e bóhrio (Bh; Z = 107), homenagens aos cientistas E. Rutherford e N. Bohr, pais de dois dos modelos atômicos mais importantes.

A IUPAC - União Internacional para a Química pura e aplicada - é o órgão que regulamenta toda a nomenclatura, banco de dados, e registros das propriedades físicas e químicas dos elementos. No seu logotipo, está representada uma balança, um dos símbolos da Química.

1+

Prótons = 3 Nêutrons = 4 No Massa = 7 Elétrons = 2

Ionização (perda de elétron) do átomo de lítio.

_

19 0 9

F

e

Prótons = 9 Nêutrons = 10 No Massa = 19 Elétrons = 9

19 1– 9

F

Prótons = 9 Nêutrons = 10 No Massa = 19 Elétrons = 10

Formação do ânion (ganho de elétron) do átomo de flúor. Fleming 2023

QUÍMICA

251

Quando diferentes elementos químicos, seja na forma neutra ou carregada, formam espécies com mesmo número de elétrons, são denominados de isoeletrônicos. Tais espécies não apresentam nenhuma semelhança química ou física, mas apenas o mesmo arranjo de elétrons. Na figura abaixo, é apresentada uma clássica série de isoeletrônicos.

Al 13

3+

2+

1+

Mg 11Na 12

_

_

_

0

Ne 10

O 8

_

_

2-

N 7

3-

_

10 e 10 e 10 e 10 e 10 e 10 e Série de espécies isoeletrônicas. Todas essas espécies apresentam 10 elétrons.

• Propriedades Nucleares. A partir dos conceitos fundamentais de número atômico e de massa, é possível fazer a comparação entre o número de núcleons de elementos iguais ou diferentes. Com isso, surgem três principais relações: Isótopos, isótonos e isóbaros. – Isótopos: São espécies com mesmo número atômico (Z) e diferentes números de massa. Pela própria definição, percebe-se que os átomos isótopos têm o mesmo número de prótons e, portanto, pertencem ao mesmo elemento químico. A diferença em suas massas modifica ligeiramente algumas de suas propriedades físicas de seus compostos. Os exemplos mais marcantes são apresentados a seguir. O elemento hidrogênio é formado por três isótopos distintos. Todos eles apresentam apenas um próton nos seus núcleos e diferem quanto ao número de nêutrons, que varia de 0, 1 e 2. Em virtude dessa diferença no número de nêutrons é que os isótopos possuem diferentes números de massa. Os isótopos do hidrogênio apresentam diferenças tão marcantes que são chamados por nomes especiais, a saber: o hidrogênio-1 é o prótio, o hidrogênio-2 o deutério, e o hidrogênio-3 o trítio. Normalmente, os isótopos apresentam diferentes abundâncias naturais relativas, sendo alguns deles tão escassos na natureza que são chamados de elementos traços. Para se ter uma noção das abundâncias isotópicas naturais do hidrogênio, o prótio (1H1) existe na natureza com uma porcentagem em massa de 99,984%. O deutério (1H2) tem abundância isotópica relativa de 0,016% e o trítio, que é um elemento radioativo, é menos abundante ainda.

P

1

H 1

Prótio

P

2

H 1

Deutério

P

3 1

H

Trítio

Isótopos do elemento hidrogênio. Todos eles apresentam um próton no núcleo e diferem quanto ao número de nêutrons, e por consequência têm diferentes números de massa.

Uma aplicação interessante do isótopo deutério é a substância chamada de água pesada (água deuterada), na qual os dois átomos de hidrogênio-1 da água comum (H2O) são substituídos por hidrogênio-2 (D2O). Essas substâncias apresentam propriedades físicas bastante distintas, muito em função da massa do deutério que é o dobro da massa do prótio, e por isso é chamada de água pesada. A substância D2O pode ser utilizada em reatores nucleares, pois é capaz de absorver nêutrons de alta energia formados na fissão do urânio e que devem ser “resfriados” para um maior controle da reação em cadeia dentro do reator. 252

QUÍMICA

Fleming 2023

Água Pesada Deuterada D2O: M = 20 u d = 1,10 g/cm3 P.F. = 3,82 oC P.E. = 101,4 oC

2u

2u

D

16u

D

O

D 2O 1u

1u

H

16u

H

O

H2O Propriedades físicas da água deuterada (D2O) e estruturas comparativas com H2O.

Outro exemplo importante de elemento e seus isótopos é o carbono. Esse elemento apresenta 15 isótopos identificados, sendo apenas dois deles estáveis. Os mais conhecidos são o carbono-12, carbono-13 e o carbono-14. Vale ressaltar que o número identificado no nome é o número de massa, que difere entre os isótopos, já que todos eles são átomos de carbono e possuem número atômico igual a 6. O carbono-12 é utilizado como padrão químico na definição da unidade de massa atômica (u) enquanto o carbono-14, radioativo é utilizado na datação de artefatos arqueológicos. – Isótonos: São espécies que apresentam em comum apenas o número de nêutrons (N) e diferem quanto ao número atômico (Z) e o número de massa (A). – Isóbaros: São espécies que apresentam em comum apenas o número de massa (A) e diferentes números atômico (Z) e número de nêutrons (N). Na figura abaixo, são exemplificados isótonos e isóbaros de alguns elementos. ISÓTONOS

ISÓBAROS

= N; ≠ Z; ≠ A Exemplo: 40

= A; ≠ Z; ≠ N Exemplo:

37

Ca 20

Cl 17

14

C 6

14 7

N

Prótons = 20

Prótons = 17

Prótons = 6

Prótons = 7

Nêutrons = 20

Nêutrons = 20

Nêutrons = 8

Nêutrons = 7

N Massa = 40

N Massa = 37

N Massa = 14

No Massa = 14

o

o

o

Exemplos de pares de isótonos e isóbaros e quadro comparativo de suas partículas fundamentais.

5.

MODELO DE BOHR - A ELETROSFERA

Embora o modelo de E. Rutherford explicasse a estrutura geral do átomo, com um núcleo circundado pela eletrosfera, tal visão não explicava como essa eletrosfera é organizada. Tampouco explicava porque esses elétrons negativos não colidiam com o núcleo. Essa inconsistência no modelo, chamada de paradoxo de Rutherford, era bastante grave frente às leis da mecânica clássica de I. Newton e do eletromagnetismo de M. Faraday e outros. Segundo essas leis, qualquer carga elétrica em movimento deveria emitir energia na forma de onda eletromagnética de maneira contínua. Isso faria com que os elétrons emitissem energia até colidir com o núcleo, ou seja, pela mecânica clássica o átomo de E. Rutherford seria inviável. Fleming 2023

QUÍMICA

253

De qualquer forma, o trabalho do físico dinamarquês N. Bohr, tem como fundamento o estudo da espectroscopia, ou seja, da luz emitida pelo aquecimento de amostras gasosas dos elementos. Sabe-se que a luz branca emitida por uma fonte comum decompõe-se ao atravessar um prisma por um fenômeno chamado de refração. Na refração da luz branca, observa-se um conjunto de linhas contínuas (raias) que correspondem a cada uma das cores do espectro do visível, do violeta ao vermelho. No entanto, quando N. Bohr observou o padrão de uma lâmpada de vapores do elemento mercúrio, observou que o espectro emitido não era contínuo, mas sim discreto, ou seja, formado por apenas algumas raias específicas, como observado nas figuras a seguir.

LUZ BRANCA

Espectro CONTÍNUO Luz Branca

Espectro contínuo formado na refração da luz branca.

LÂMPADA DE MERCÚRIO

Espectro DISCRETO Luz de Hg

Espectro discreto (quantizado) de emissão do mercúrio.

No estudo da espectroscopia, foi ainda observado que cada elemento produz um espectro de emissão discreto e característico, com suas próprias raias associadas a cores e a comprimentos de onda específicos.

Hidrogênio Hélio Neônio Sódio Mercúrio Espectro de emissão discreto e característico de alguns elementos.

Mas como N. Bohr utilizou esses espectros de emissão para investigar a eletrosfera dos átomos? A resposta para essa questão foi concebida em três principais postulados do modelo de Bohr: 254

QUÍMICA

Fleming 2023

– Órbitas Estacionárias: os elétrons orbitam o núcleo do átomo em órbitas estacionárias e com energia constante (por isso o termo estacionário), e, enquanto permanecem em uma determinada órbita, não podem emitir radiações. Cada órbita corresponde a um nível ou camada de energia, representados pelas letras K, L, M, N… e assim por diante. – Salto Quântico: ao absorver uma determinada quantidade de energia (quantum de energia), que pode ser recebida como calor ou luz, o elétron é promovido para órbitas mais energéticas e mais afastadas do núcleo. Esse fenômeno é conhecido com o nome de salto quântico ou excitação eletrônica. Esse conceito de quantização da energia foi uma inovação no modelo atômico e, originalmente, proposto por M. Planck, o qual percebeu que a energia se propaga na forma de pequenas quantidades (pacotes, do latim quantum) com valores discretos de energia e iguais a E=h.f, onde f é a frequência e h é a constante de Planck que vale 6,626.10-34 J.s. – Relaxação: na órbita mais afastada, a situação do elétron é menos estável. A tendência natural é ocorrer liberação de energia, também quantizada e na forma de luz, com a volta do elétron para a órbita original. É essa luz emitida que é característica de cada elemento e que é a responsável pela formação do espectro de emissão particular de cada espécie. Nota-se que apenas algumas raias espectrais são observadas, as quais correspondem a apenas algumas transições permitidas entre órbitas. Além disso, segundo a interpretação dual da luz – caráter duplo partícula-onda – proposta por A. Einstein, essa luz emitida pode ser associada a uma partícula denominada fóton, que porta uma energia característica. Uma representação dos postulados de N. Bohr e a sua interpretação são apresentadas na figura abaixo. Além da importante contribuição na elucidação do comportamento do elétron na eletrosfera, a espectroscopia auxiliou na identificação dos elementos constituintes dos corpos celestes a partir da luz proveniente das estrelas e também explica a cor característica observada em fogos de artifício.

CALOR LUZ ABSORVIDA

LUZ EMITIDA

Fóton K L M N

1. Órbitas Estacionárias Energia Constante Quantizada E = h.f Níveis de Enegia 2. Salto Quântico Excitação Eletrônica 3. Relaxação Volta do elétron Emissão de Luz FÓTON

Cor característica emitida por cada elemento utilizado na confecção de fogos de artifício.

VERMELHO Estrôncio

LARANJA Cálcio

AMARELO Sódio

VERDE Bário

AZUL Cobre

ROXO Estrôncio + Cobre

PRATEADO Magnésio + Alumínio

BRANCO Magnésio + Titânio

Espectro de Emissão Característico do elemento

Salto quântico e relaxação acompanhada de transições eletrônicas.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (ENEM) Em 1808, Dalton publicou o seu famoso livro intitulado Um novo sistema

de filosofia química (do original A New System of Chemical Philosophy), no qual continha os cinco postulados que serviam como alicerce da primeira teoria atômica da matéria fundamentada no método científico. Esses postulados são numerados a seguir:

1. A matéria é constituída de átomos indivisíveis. 2. Todos os átomos de um dado elemento químico são idênticos em massa e em todas as outras propriedades. 3. Diferentes elementos químicos têm diferentes tipos de átomos; em particular, seus átomos têm diferentes massas. Fleming 2023

QUÍMICA

255

4. Os átomos são indestrutíveis e nas reações químicas mantêm suas identidades. 5. Átomos de elementos combinam com átomos de outros elementos em proporções de números inteiros pequenos para formar compostos. Após o modelo de Dalton, outros modelos baseados em outros dados experimentais evidenciaram, entre outras coisas, a natureza elétrica da matéria, a composição e organização do átomo e a quantização da energia no modelo atômico. OXTOBY, D. W.; GILLIS, H. P.; BUTLER, L. J. Principles of Modern Chemistry. Boston: Cengage Learning, 2012 (adaptado).

Com base no modelo atual que descreve o átomo, qual dos postulados de Dalton ainda é considerado correto? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Gabarito: E Segundo o comando da questão “com base no modelo atual”, o único postulado de Dalton considerado correto seria: 1. Falso. Átomos não são indivisíveis. A presença de núcleo (prótons e nêutrons) e eletrosfera (elétrons) por si só já é uma evidência da divisibilidade atômica. Além disso, modernamente, temos partículas menores ainda (os quarks) que compõem os prótons e nêutrons. 2. Falso. A propriedade que caracteriza um elemento químico é o seu número de prótons - número atômico (Z) - e não sua massa. Modernamente, sabemos que existem os isótopos, átomos do mesmo elemento mas que possuem diferentes massas atômicas. 3. Falso. Ler a justificativa anterior. 4. Falso. Átomos não são indestrutíveis, apesar de manterem suas propriedades nas reações químicas. Processos nucleares, como a fissão e a fusão nuclear, podem transformar um elemento em novos elementos. O mesmo ocorre com decaimentos radiativos. 5. Verdadeiro. A Lei de Proust, válida até hoje, afirma que compostos químicos são formados pela combinação de átomos em quantidades simples e inteiras, como no gás carbônico CO2, formado por um átomo de carbono e dois de oxigênio.

2 (ENEM) No final do século XIX, muitos cientistas estavam interessados nos intrigantes fenômenos observados nas ampolas de raios catódicos, que são tubos sob vácuo em que se ligam duas placas a uma fonte de alta tensão. Os raios catódicos passam através de um orifício no ânodo e continuam o percurso até a outra extremidade do tubo, onde são detectados pela fluorescência produzida ao chocarem-se com um revestimento especial, como pode ser observado na figura. Medições da razão entre a carga e a massa dos constituintes dos raios catódicos mostram que a sua identidade independe do material do cátodo ou do gás dentro das ampolas.

Alta tensão

Cátodo

Ânodo

Placa negativa

Tubo de raios catódicos

Placa positiva Raios catódicos

CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Química. Porto Alegre: Bookman, 2013 (adaptado). 256

QUÍMICA

Fleming 2023

Essa radiação invisível detectada nas ampolas é constituída por: (A) ânions. (B) cátions. (C) prótons. (D) elétrons. (E) partículas alfa. Gabarito: D Os raios catódicos observados em experimentos com descarga em gases rarefeitos são na verdade os elétrons, partículas universais da matéria e descobertas por J. Thomson em 1897.

3 (UPF) Uma forma de determinar a extensão de uma fratura em um osso do corpo é por meio do uso do equipamento de Raios X. Para que essa tecnologia e outros avanços tecnológicos pudessem ser utilizados, um grande passo teve de ser dado pelos cientistas: a concepção científica do modelo atômico.

Sobre o modelo atômico proposto, associe as afirmações da coluna 1, com seus respectivos responsáveis, na coluna 2. Coluna 1 1. Toda a matéria é formada por átomos, partículas esféricas, maciças, indivisíveis e indestrutíveis. 2. Elaborou um modelo de átomo constituído por uma esfera maciça, de carga elétrica positiva, que continha ''corpúsculos'' de carga negativa (elétrons) nela dispersos. 3. O átomo seria constituído por duas regiões: uma central, chamada núcleo, e uma periférica, chamada de eletrosfera. 4. Os elétrons ocupam determinados níveis de energia ou camadas eletrônicas.

Coluna 2 ( ) Rutherford-Bohr ( ) Rutherford

( ) Dalton ( ) Thomson

A sequência correta de preenchimento dos parênteses da coluna 2, de cima para baixo, é: (A) 3 – 4 – 1 – 2. (B) 4 – 2 – 1 – 3. (C) 2 – 3 – 1 – 4. (D) 3 – 2 – 1 – 4. (E) 4 – 3 – 1 – 2. Gabarito: E A correta associação entre os modelos é: 4, 3, 1, 2. 4. O modelo de Ruherford-Bohr prevê elétrons orbitando o núcleo em níveis ou camadas de energia quantizados, ou seja, com determinados valores permitidos. 3. E. Rutherford contribuiu com a concepção de núcleo, denso e positivo, envolvido pela eletrosfera. 1. J. Dalton explica em seu modelo que o átomo é uma esfera maciça e indivisível e indestrutível. 2. J. Thomson descobre o elétron em 1897 e idealiza o átomo como uma esfera de massa positiva neutralizada por elétrons incrustados Fleming 2023

QUÍMICA

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFPR 2023) O isótopo ítrio-90, de número atômico Z = 39 e número de massa A = 90, é produzido a partir do isótopo A, que é um subproduto de reatores nucleares. O núcleo de A decai radioativamente por emissão de partícula beta e transforma-se no ítrio-90 que, por sua vez, emite uma radiação beta adequada para tratar certos tipos de câncer. Após o decaimento beta, o ítrio-90 transformase no isótopo B, que não é radioativo. Considerando as informações apresentadas, os valores corretos de número atômico (Z) e número de massa (A) dos isótopos A e B são, respectivamente: (A) Z = 37 e A = 90; Z = 41 e A = 90. (B) Z = 38 e A = 90; Z = 40 e A = 90. (C) Z = 39 e A = 89; Z = 39 e A = 91. (D) Z = 40 e A = 91; Z = 38 e A = 89. (E) Z = 41 e A = 94; Z = 37 e A = 86. Nota do autor: a emissão de uma partícula beta aumenta em uma unidade o número atômico e mantém o número de massa constante. 02. (UFRGS) Associe as contribuições relacionadas na primeira coluna com o nome dos pesquisadores listados na segunda coluna Contribuições 1. Energia da luz é proporcional à sua frequência. 2. Modelo pudim de ameixa. 3. Princípio da incerteza. 4. Elétron apresenta comportamento ondulatório. 5. Carga positiva e massa concentrada em núcleo pequeno. 6. Órbita eletrônica quantizada. 7. Em uma reação química, átomos de um elemento não desaparecem nem podem ser transformados em átomos de outro elemento. Pesquisadores ( ) Dalton ( ) Thomson ( ) Rutherford ( ) Bohr A relação numérica, de cima para baixo, da segunda coluna, que estabelece a sequência de associações corretas é: (A) 7 - 3 - 5 - 4 (B) 7- 2 - 5 - 6 (C) 1- 2 - 4 – 6 (D) 1 - 7 - 2 - 4 (E) 2 - 7 - 1 – 4

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03. (UNESP) Leia o texto para responder à questão. Água coletada em Fukushima em 2013 revela radioatividade recorde A empresa responsável pela operação da usina nuclear de Fukushima, Tokyo Electric Power (Tepco), informou que as amostras de água coletadas na central em julho de 2013 continham um nível recorde de radioatividade, cinco vezes maior que o detectado originalmente. A Tepco explicou que uma nova medição revelou que o líquido, coletado de um poço de observação entre os reatores 1 e 2 da fábrica, continha nível recorde do isótopo radioativo estrôncio-90. www.folha.uol.com.br. Adaptado.

O estrôncio-90, 9038Sr, é o principal isótopo desse elemento químico encontrado nos reatores nucleares. Sobre esse isótopo,é correto afirmar que seu cátion bivalente possui: (A) 38 prótons, 50 nêutrons e 36 elétrons. (B) 36 prótons, 52 nêutrons e 38 elétrons. (C) 38 prótons, 50 nêutrons e 38 elétrons. (D) 38 prótons, 52 nêutrons e 36 elétrons. (E) 36 prótons, 52 nêutrons e 36 elétrons. 04. (UFN) Assinale a segunda coluna de acordo com a primeira, associando o nome do autor com a teoria atômica a ele atribuída. 1. Dalton 2. Rutherford 3. Bohr 4. Thomson ( ) Átomos indivisíveis, maciços e indestrutíveis ( ) Elétron, de carga negativa, em órbita em torno de um núcleo central, de carga positiva. Apenas certos valores dos raios das órbitas e das energias do elétron são possíveis. ( ) Elétron, de carga negativa, incrustado em uma esfera de carga positiva. A carga positiva está distribuída, homogeneamente, por toda a esfera. ( ) Elétron, de carga negativa, em órbitas circulares em torno de um núcleo central, de carga positiva. Não há restrição quanto aos valores dos raios das órbitas e das energias do elétron. A ordem correta é: (A) 1, 2, 3, 4. (B) 4, 3, 2, 1. (C) 1, 3, 4, 2. (D) 1, 4, 3, 2. (E) 4, 2, 1, 3.

05. (UFT) De posse do conhecimento das teorias atômicas, desenvolvidas por Dalton,Thomson e Rutherford, marque a alternativa INCORRETA.

ANOTAÇÕES

(A) De acordo com Dalton, os átomos são as menores partículas de um elemento e são os componentes básicos da matéria. (B) Segundo Dalton, ao participarem de reações químicas, os átomos se alteram para formar novas substancias. (C) Thomson, ao descobrir os elétrons, propôs que essas partículas negativas estariam dispersas no átomo positivo, como “passas em um pudim”. (D) Rutherford descobriu que os átomos continham partículas positivas, o que derrubou a teoria de Thomson sobre a estrutura atômica. (E) Rutherford propôs uma estrutura planetária para o átomo, com a carga positiva no núcleo e as cargas negativas orbitando ao seu redor. 06. (UFRGS) Na reunião da IUPAC, que celebrou o fim do Ano Internacional da Química, os mais novos elementos foram oficialmente denominados de fleróvio, em homenagem ao físico russo Georgiy Flerov, e de livermório, em homenagem ao Laboratório Livermore da Califórnia. Esses são os dois elementos mais pesados da tabela periódica e são altamente radioativos. O fleróvio (Fl) apresenta número atômico 114 e número de massa 289, e o livermório (Lv) apresenta número atômico 116 e número de massa 292. O número de nêutrons em cada átomo do elemento fleróvio e o número de nêutrons em cada átomo do elemento livermório são, respectivamente, (A) 114 e 116. (B) 175 e 176. (C) 189 e 192. (D) 289 e 292. (E) 403 e 408.

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ELETROSFERA

Introdução Foi por volta de 1923, em congressos periódicos em Solvay, Bruxelas, que os físicos e químicos mais importantes na época fundaram as bases do conceito atômico válido até os dias atuais. A nova ciência (mecânica quântica) utilizava princípios filosóficos diferentes da mecânica newtoniana (mecânica clássica) e uma matemática robusta para explicar o comportamento do elétron no átomo.

Capítulo 2

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Modelo Quântico 2. Diagrama de Pauling - Princípio da Construção (AUFBAU)

H24 - Utilizar códigos e nomenclaturas da Química para caracterizar materiais, substâncias ou tranformações químicas.

Congresso Solvay em 1927. Congresso que ocorre periodicamente na cidade de Bruxelas, capital da Bélgica, onde na década de 1920 foram lançados os fundamentos da Mecânica Quântica. Alguns destaques na foto: A. Einstein, M. Curie, M. Planck, E. Schrödinger, L. de Broglie, W. Heisenberg, e N. Bohr, entre outros.

1.

MODELO QUÂNTICO

Nesta seção, são apresentados os princípios teóricos que auxiliam na compreensão do modelo quântico. Por tratar-se de um modelo bastante moderno e que utiliza muitos princípios da mecânica quântica, esse modelo também é estudado na física moderna.

Quantização da Energia O modelo atômico moderno teve como principal inspiração a ideia de quantização de energia, proposta por M. Planck em 1900. Segundo a hipótese de Planck, a energia não pode ser transferida de maneira contínua (como um fluxo de água numa torneira aberta), mas sim na forma de quantidades discretas (como gotas d’água que pingam numa torneira mal fechada). Essas quantidades discretas, com valores bem definidos de energia, foram batizadas pelo próprio Planck de quantum (do latim pacote), e serviriam Fleming 2023

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para explicar as quantidades de energia envolvidas nas transições eletrônicas (salto quântico e relaxação) já explicados no modelo de Bohr no capítulo anterior. Portanto, nessas transições, a energia é transferida de maneira descontínua, ou seja, quantizada, como na equação abaixo.

E=h.f De acordo com essa equação, a energia de um quantum é dada pelo produto da frequência da radiação (f) pela constante de Planck (h), a qual vale 6,63.10-34 J.s. Como a energia é quantizada, só são permitidos valores de energia que sejam números inteiros de h.f. Esses números serão chamados no modelo quântico de números quânticos principal (n).

E = n . (h . f); n = 1,2,3,4... Essa importante contribuição rendeu a M. Planck o prêmio Nobel de Física em 1918, e, em reconhecimento a sua contribuição para a ciência, sua imagem foi estampada na moeda alemã de 2 marcos.

Natureza Dual do Elétron Em 1924, o francês L. de Broglie defendeu, em sua tese de doutorado, a ideia de que toda a partícula teria um comprimento de onda associado. Sendo assim, o elétron, a partícula mais importante da Química, passa a ser compreendida como tendo um caráter duplo, dual, ora comportando-se como matéria e tendo massa (m), ora como onda e tendo um comprimento de onda (λ) associado. Na equação abaixo, "m" é a massa do elétron e tem valor de 9,1.10-31 kg, e "c" é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente, 3.108 m/s. As evidências experimentais eram amplas: o elétron apresenta massa de repouso bastante reduzida – como demonstrado por J. J.Thomson no estudo de raios catódicos – e, por isso, pode ser considerada uma partícula. O mesmo elétron, no entanto, pode apresentar comportamento ondulatório, ou seja, semelhante à radiação eletromagnética, como demonstrado por George Paget Thomson – filho do próprio J. J Thomson –, ao difratar um feixe de elétrons da mesma forma que um feixe de luz pode ser difratado.

λ= h c.m

Natureza Dual do elétron DUPLA

Partícula MASSA Onda

λ

r

λ= h c.m

Constante de Plank h = 6,62.10-34 J.s Velocidade da Luz c = 3.108 m.s-1

Louis de Broglie

Descrição esquemática do comprimento de onda associado a uma partícula como o elétron. 262

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Princípio da Incerteza O físico W. Heisenberg, Nobel em 1932, postula que é impossível determinar, com precisão e simultaneamente, a posição (x) e a velocidade (v) de um elétron. Na verdade, o princípio foi estabelecido sobre o momento linear (quantidade de movimento) (p), do elétron, que é o produto da sua massa pela velocidade. De maneira geral, na equação abaixo, ∆x representa uma incerteza e uma imprecisão, na medida da posição do elétron, enquanto ∆p representa a incerteza da medida do momento.

∆x . ∆p ≥ h 2π O princípio pode ser explicado porque, quando se pretende medir a velocidade de um elétron, deve-se incidir luz com pequeno comprimento de onda. Mas o elétron, que também tem caráter ondulatório, interage com essa radiação e é promovido para situações energéticas diferentes (salto quântico), passando a apresentar nova posição e nova velocidade. Microscópio

Princípio da Incerteza ''É impossível determinar simultaneamente a posição e a velocidade do elétron.''

Novo caminho e velocidade

∆x ∆p ≥ h 2

Elétron

Caminho original

Caminho esperado

Werner Karl Heisenberg

∆p Incerteza na posição

Fóton incidente

Fóton refletido

Incerteza no momento

∆x

p = m.v

Esquema do Princípio de Heisenberg que postula que para um elétron é impossível determinar, com precisão e simultaneamente, a posição (x) e a velocidade (v) de um elétron. Na verdade, o princípio foi estabelecido sobre o momento linear (quantidade de movimento) (p), do elétron, que é o produto da sua massa pela velocidade.

Assim, os elétrons não podem ser caracterizados por uma posição instantânea, e, portanto, não apresentam uma trajetória fixa e bem definida como pensava N. Bohr. Dessa forma, o conceito de órbita estacionária circular é derrubado e formula-se um novo conceito: o orbital.

Orbital e Função de Onda (ψ). Diante do exposto acima, o elétron não deve apresentar uma órbita circular bem definida ao redor do núcleo, mas sim uma região, determinada por cálculos estatísticos, de maior probabilidade e que é chamada de orbital. Essa região é descrita, matematicamente, por uma função do tempo (t) e das coordenadas (x) do elétron. Tal função é representada pela letra ψ (psi) e é chamada de função de onda. Fleming 2023

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ψ = f (x, t) As funções que descrevem os orbitais são bastante complexas e além da geometria (momento angular) do orbital fornecem também a energia. A energia do elétron em um orbital é fornecida pela equação de Schrödinger, Nobel de Física em 1933. Tais orbitais são denominados por letras minúsculas e seus principais tipos são: s (sharp), p (principal), d (diffuse) e f (fundamental), todos os termos são utilizados na espectroscopia - estudo da luz emitida pelos átomos. ORBITAL Região ao redor do Núcleo onde provavelmente o elétron se encontra. Schrödinger

Função da Onda

ψ = f (x, t) – h2 ∂2ψ = ih ∂ψ 2m ∂x2 ∂t Equação de Schrödinger

Definição de orbital e a equação de Schrödinger que descreve um orbital.

Representações espaciais de alguns orbitais atômicos d e f.

Por tratar-se de um modelo muito matemático, utiliza-se um conjunto de numerais - os números quânticos - para descrever as propriedades de um elétron em um átomo. A próxima seção descreve esses números.

Números Quânticos Números quânticos são um conjunto de quatro números, derivados do formalismo da mecânica quântica, e que caracterizam cada elétron em um átomo. Segundo o Princípio da Exclusão de Pauli, não existem dois elétrons em um átomo que tenham o mesmo conjunto de números quânticos.

• Número Quântico Principal (n) É o número inteiro, ou seja, n = 1, 2, 3, 4… e que caracteriza a quantidade de energia que um elétron possui. Esse número foi, outrora, associado ao nível ou órbita estacionária no modelo de Bohr, os quais eram representados pelas iniciais maiúsculas K, L, M, N… mas, como visto anteriormente, o modelo quântico não 264

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Fleming 2023

prevê para o elétron uma órbita estacionária, e portanto o número quântico simplesmente descreve o teor energético do elétron. Na equação abaixo, tem-se a energia eletrônica em função de n. Essa energia chamada de eletrônica é, na verdade, uma energia total do elétron e engloba as contribuições das energias cinética e potencial.

En = –

me4 Z2 8ε20 h2 n2

Nessa equação acima, aparentemente complicada, o número quântico n aparece no denominador elevado ao quadrado, e toda a expressão do lado direito tem sinal negativo. Assim, quanto maior for n, menos negativa será a energia, ou seja, maior será a energia do elétron descrito. As grandezas "m", "e", "Z", correspondem, respectivamente, à massa do elétron, carga elementar e número de prótons (número atômico da espécie envolvida). Os valores ε0 e h são, respectivamente, as constantes de permissividade do vácuo e a constante de Planck. A figura a seguir fornece uma representação esquemática dos diferentes níveis de energia e a quantidade máxima de elétrons permitidos para cada nível. Esse número máximo de elétrons é previsto pela equação de Rydberg e é válida apenas até o quarto nível ou camada N. Para os demais níveis, o número máximo de elétrons experimentalmente observados são apresentados na figura.

Nº max e = 2n2 Principal (n) Energia do Elétron = NÍVEL 4 (n) En = – me 8ε20 h2 1 K 2e 2 L 8e 3 M 18e No máximo de elétrons 4 N 32e Teórica 5 O 32e Equação de Rydberg 6 P 18e Maior 7 Q 8e No máx. e = 2.n2 Energia

Z2 n2

Quanto maior n menos negativa é a energia total do elétron

Representação esquemática do número quântico principal e o número máximo de elétrons permitidos para cada nível.

Número Quântico Secundário ou Azimutal (l ou ) O segundo número quântico é chamado de secundário ou azimutal e representa, como os físicos denominam, o momento angular do elétron em um orbital. De maneira mais simples, podemos dizer que o número azimutal representa a geometria do orbital, e, por consequência, sua energia específica nesse orbital. Alguns autores definem esse número como representando o subnível de energia do elétron. Como visto anteriormente, existem quatro principais tipos de orbitais - s, p, d, f - e os números quânticos associados são, respectivamente, 0, 1, 2, 3. Além disso, a geometria de cada orbital é bem específica e aumenta de complexidade passando de s para f. Por exemplo, o orbital s, o mais simples dos orbitais, tem formato de esfera representando a eletrosfera com o núcleo atômico bem centralizado. Os orbitais p, por sua vez, têm formato de halteres ou duplo-esferóide, com os dois lóFleming 2023

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bulos encontrando-se no núcleo. Orbitais d têm formato de duplo halteres, também encontrando-se no núcleo, e os orbitais f de geometria bastante complexa como descrita na figura abaixo. AZIMUTAL Secundário () Energia + Geometria = SUBNÍVEL

Sharp (s)

()

Principal (p) Difuse (d) Fundamental (f)

Representações geométricas dos orbitais atômicos e seus respectivos números quânticos secundários.

Número Quântico Magnético (m) O número magnético indica a possibilidade de diferentes orientações espaciais - no espaço cartesiano x, y, z - para cada um dos orbitais. Os orbitais s esféricos são os de geometria mais simples e simétrica, e, portanto, apresentam uma única orientação espacial possível. É comum na descrição da eletrosfera apresentar-se esses orbitais com o diagrama de caixas. Como para o orbital s, tem-se apenas uma orientação no espaço, esse pode ser representado por uma caixinha. Os orbitais p,por sua vez, podem apresentar três orientações espaciais diferentes, cada uma nos eixos x, y e z, e todas perpendiculares (90º) entre si. O diagrama de caixas é então composto por três caixinhas e cada orbital p é designado por px, py e pz. Coletivamente, podem ser chamados de subnível p. Conforme a geometria do orbital fica mais complexa, o número de orientações possíveis aumenta, e o subnível é representado por mais caixinhas. Subnível d é constituído por cinco orientações possíveis e o subnível f por sete. Como observados, na figura, os diferentes orbitais em um mesmo subnível assumem números magnéticos m com valores inteiros que vão de l (número secundário) positivo até l negativo, passando por zero. O orbital central - caixinha do meio - sempre tem número magnético zero. Magnético (m) m=0

ORIENTAÇÕES ESPACIAIS ORBITAL

Subníveis

–1 0 +1 –2 –1 0 +1 +2 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 Diferentes orientações no espaço cartesiano e os correspondentes números magnéticos.

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Número Quântico Spin (s ou ms) O spin é uma propriedade própria da Mecânica Quântica e cuja melhor analogia seria o movimento de rotação do elétron em torno do próprio eixo. Sendo assim, o elétron pode apresentar apenas duas possibilidades para o seu spin: rotação em sentido horário e rotação no sentido anti-horário. Os valores que descrevem esses dois sentidos são + ½ e – ½, ou, pictoricamente, representados como uma seta para cima ↑ ou uma seta para baixo ↓.

Spin (ms)

ROTAÇÃO do ELÉTRON

ms = – ½

N

S

S

N

Princípio da Exclusão de Pauli ''Cada orbital contém no máximo 2 elétrons, desde que tenham spins opostos''

ms = + ½

Representação esquemática do número quântico spin e o sentido e rotação do elétron em torno do próprio eixo. A rotação em sentidos opostos permite a criação de pólos magnéticos opostos o que diminui a repulsão entre cargas negativas no mesmo orbital.

Uma consideração importante que pode ser feita sobre o spin é que ele permite a existência de dois elétrons em um mesmo orbital. Orbitais são regiões bem confinadas do espaço e, a princípio, não deveriam conter mais de um elétron, uma vez que esses são negativos e geram repulsão eletrostática. No entanto, como podem apresentar spins opostos, essa repulsão é minimizada pela criação de pólos magnéticos opostos (norte e sul), uma vez que cargas em movimento produzem pólos magnéticos. Sendo assim, o Princípio da exclusão de Pauli de que dois elétrons não podem ter o mesmo conjunto de números quânticos pode agora ser reescrito como: Em um mesmo orbital (caixinha), são possíveis, no máximo, dois elétrons, desde que tenham spins opostos.

DIAGRAMA DE PAULING - PRINCÍPIO DA CONSTRUÇÃO (AUFBAU) 2.

De posse das informações fornecidas pelos números quânticos e de experimentos com a energia dos elétrons, o químico estadunidense Linus Pauling elaborou um diagrama que permite entender a eletrosfera de maneira quase definitiva. Segundo Pauling, a eletrosfera, de qualquer elemento, deve ser considerada como um arcabouço com vários orbitais vazios que envolvem o núcleo. A eletrosfera seria como um grande armário com inúmeras gavetas vazias. Na construção da eletrosfera de um determinado elemento, os elétrons vão sendo adicionados aos orbitais em ordem crescente de energia. Essa ordem crescente foi determinada experimentalmente por medidas de espectroscopia - estudo da luz emitida por átomos - e escrita na seguinte ordem: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2… e sumarizada na figura abaixo. O diagrama apresenta os níveis eletrônicos (K, L, M, N…) dispostos em linhas que contemplam o número máximo de elétrons para cada subnível (s, p, d, f). O número de elétrons é escrito como o expoente e as setas diagonais indicam a ordem correta de preenchimento em ordem crescente de energia.

Linus Pauling, químico estadunidense, ganhador do Nobel de Química em 1954 pelo seu trabalho sobre a natureza das ligações químicas. Foi também um importante ativista que lutou contra os testes nucleares, tendo recebido o Nobel da Paz em 1962. Na imagem, uma homenagem aos estudos que fez sobre a anemia falciforme.

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Princípio de AUFBAU Diagrama de Pauling 2 8 18 32 32 18 8

K L M N O P Q

1s2 2s2 3s2 4s2 5s2 6s2 7s2

2p6 3p6 4p6 5p6 6p6 7p6

Construção

Ordem Crescente de Energia

3d10 4d10 4f14 5d10 5f14 6d10

No máx. de elétrons/Nível O Diagrama de Pauling e o Princípio da Construção (representado pela sigla AUFBAU, em alemão )

Deve ser notado que algumas divergências, aparentemente, são encontradas. Por exemplo, o subnível 3d10 vem depois de 4s2. Apesar de parecer óbvio que os elétrons na camada N (4) deveriam ter maior energia que aqueles na camada M (3), as medidas de Pauling mostraram o contrário. Os elétrons no subnível d possuem maior energia do que aqueles em s, e, às vezes, superam o nível principal de energia. O mesmo acontece para a sequência 6s2 e 4f14, mais para o final do diagrama. Dessa forma, é obrigatório o preenchimento de elétrons obedecendo às setas verdes em diagonal na figura anterior. A seguir, é feita a análise de alguns exemplos de distribuição eletrônica, a maneira como é chamada a sequência de elétrons preenchidos de um átomo. O elemento mais simples conhecido é o Hidrogênio (Z = 1) que possui apenas um próton em seu núcleo e apenas um elétron em sua eletrosfera. Sendo assim, esse único elétron deve ocupar o primeiro nível no diagrama (n = 1), no primeiro orbital s. A distribuição eletrônica do hidrogênio fica então: 1s1. Esse único elétron pode ainda ser representado como uma seta para cima ↑ em uma caixinha que representa o orbital s. Para os demais elementos, distribui-se o número de elétrons observando-se a sequência de energia e o número máximo de elétrons em cada nível e em cada subnível. Para o flúor (Z = 9), por exemplo, a distribuição dos elétrons é: 1s2, 2s2, 2p5. E para o ferro (Z = 26) a eletrosfera é: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d6, perfazendo um total de 26 elétrons, como indicado na soma dos expoentes.

H0 = 1s1 K 0 2 2 5 9F = 1s 2s 2p K L 1

26

Elétron diferenciador

Fe0 = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 K L M N M

Elétron diferenciador

Distribuição eletrônica de alguns elementos. O elétron diferenciador é o último elétron adicionado pelo diagrama de Pauling.

Importante também é atentar para a regra de Hund, que trata da distribuição dos elétrons em um mesmo subnível. Segundo a regra, os elétrons (setas) de um mesmo subnível devem ser preenchidos, inicialmente, em orbitais (caixinhas) vazios, e, se preciso for, completar depois os orbitais já semi-preenchidos. Por convenção, o primeiro elétron adicionado no orbital é representado por uma seta para cima (↑) e tem spin –½, enquanto o segundo orbital é representado por seta para baixo (↓) e tem spin +½. 268

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Alguns conceitos muito fundamentais derivam da análise da distribuição eletrônica. A camada de valência é o nível de energia (K, L, M, N…) com maior número quântico principal (1, 2, 3, 4…) na distribuição de elétrons. Sendo assim, para o flúor, a camada de valência é a 2 (camada L) com 7 elétrons, e para o ferro, a camada de valência é a 4 (camada N) com 2 elétrons. A camada de valência é aquela que tem os elétrons mais afastados (externos) da eletrosfera e que, por isso, são os responsáveis por fazer ligações químicas. Aliás, a palavra valência significa ligação química entre dois átomos. O elétron diferenciador é o último elétron escrito na distribuição eletrônica, e, por isso, também é o elétron de maior energia - uma vez que o diagrama obedece à ordem crescente de energia. O elétron diferenciador está escrito numa configuração chamada de subnível mais energético. Por exemplo, para o ferro, o elétron diferenciador é o último elétron escrito em 3d6, ou seja, o sexto elétron colocado no subnível d do terceiro nível. A configuração 3d6 é chamada de subnível mais energético.

26

Fe0 = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 K L M N M

SUBNÍVEL + ENERGÉTICO Configuração eletrônica de maior energia (última)

CAMADA DE VALÊNCIA Nível de energia com maior no quântico principal Camada de valência e subnível mais energético em destaque para o átomo de ferro.

Convém ressaltar que a distribuição eletrônica de um elemento pode ser escrita de maneira resumida utilizando-se o kernel ou cerne de um gás nobre (grupo 18) imediatamente anterior ao elemento descrito. Na figura a seguir, está expressa a distribuição eletrônica do ferro (26 elétrons) a partir do cerne do argônio (18 elétrons) que é o gás nobre imediatamente anterior ao ferro na tabela periódica. O cerne do gás nobre é representado entre colchetes [Ar] e após ele são acrescidos os elétrons que faltam para preencher a eletrosfera do elemento de interesse. Mesmo observadas todas as regras de distribuição, alguns elementos apresentam exceção ao diagrama de Pauling. Essas exceções incluem os elementos que terminam a eletrosfera em d4 e d9, e também, f6 e f13. Todos esses elementos possuem os subníveis d e f quase que totalmente preenchidos ou totalmente semi-preenchidos. Por isso, um elétron do orbital s da camada de valência próxima é transferido para semi-preencher ou preencher esses orbitais. As novas configurações originadas após a excitação eletrônica são: d5 e d10, e f7 e f14. Os principais exemplos incluem os elementos do grupo do cromo - cuja eletrosfera termina em d4 - e os elementos do grupo do cobre - com distribuição terminando em d9. ANOTAÇÕES

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Gás Nobre

Kernel/Cerne Fe0 = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 K L M N M 0 2 6 26F e = [Ar] 4s 3d

26

Representação resumida da configuração eletrônica do ferro a partir do cerne de gás nobre.

Exceções:

4s2 3d4 → 4s1 3d5 4s2 3d9 → 4s1 3d10 Exceções ao diagrama de Pauling.

A última consideração sobre o diagrama de distribuição eletrônica é dedicada à distribuição de íons, especialmente os cátions. Na formação de um cátion, elétrons são removidos a partir do átomo neutro, e a maneira correta na remoção desses elétrons é: primeiro são retirados elétrons da camada de valência (nível com maior número quântico principal) e, depois, se for necessário, são removidos mais elétrons do subnível mais energético (última configuração da distribuição). Por exemplo, na figura abaixo, o átomo neutro de ferro (Z = 26) tem distribuição [Ar], 4s2, 3d6. Como o ferro forma dois cátions distintos, o cátion Fe2+ (ferroso) e o cátion Fe3+ (férrico), no íon ferroso os elétrons são removidos de 4s2, enquanto no íon férrico, além dos elétrons de 4s2, mais um elétron é removido, o de 3d6.

26

Fe0 = [Ar] 4s2 3d6

26 26

Fe2+ = [Ar] 3d6

Fe3+ = [Ar] 3d5

Distribuição eletrônica de íons. Os íons ferroso e férrico são formados, respectivamente, pela remoção de dois e três elétrons do átomo neutro de ferro.

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QUÍMICA

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UCS) O poema Quantificando, de Odonírio Abrahão Júnior do Instituto de Ciências

Biológicas e Naturais da Universidade do Triângulo Mineiro, faz uma breve alusão a um dos princípios mais intrigantes da Física Moderna – o da dualidade onda-partícula, e que foi fundamental para a consolidação do modelo atômico atual. QUANTIFICANDO Deixe sua porção partícula Nesse estado frio, Fundamental. E então assuma a tua função de onda. Assim, tudo é possível! Atravessar as barreiras vibrando, Viajar a toda velocidade E alcançar a luz. Para a existência eterna!

Disponível em: https://pt.slideshare.net/OdonrioAbrahoJr/poesia-qumica. Acesso em: 2 set. 2019. (Adaptado.)

Tal princípio foi enunciado no início do século XX por __________________, o que tornou possível uma compreensão mais abrangente a respeito da natureza dos átomos, bem como das ligações químicas por eles estabelecidas. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna acima. (A) Planck (B) de Broglie (C) Pauli (D) Heisenberg (E) Hund Gabarito: B Duas palavras principais do poema ajudam a reconhecer o princípio quântico abordado: “deixe sua porção partícula” e “assuma a tua função de onda”. O princípio enunciado no início do séc XX foi o princípio de de Broglie da natureza dual do elétron, o qual pressupõe que o elétron tem ora caráter de partícula ora caráter de onda

2 (UFPR) As teorias atômicas vêm se desenvolvendo ao longo da história. Até o início do século XIX, não se tinha um modelo claro da constituição da matéria. De lá até a atualidade, a ideia de como a matéria é constituída sofreu diversas modificações, como se pode observar no modelo atômico de Bohr, que manteve paradigmas conceituais sobre a constituição da matéria, mas também inseriu novos conceitos surgidos no início do século XX.

No modelo atômico de Bohr: 1. O elétron circula em órbita com raio definido. 2. O elétron é descrito por uma função de onda. 3. Para descrever o elétron num orbital são necessários 4 números quânticos. 4. Toda a massa do átomo está concentrada no núcleo, que ocupa uma porção ínfima do espaço.

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Entre as afirmativas acima, correspondem ao modelo atômico de Bohr: (A) 1 e 2 apenas. (B) 2 e 3 apenas. (C) 2, 3 e 4 apenas. (D) 1 e 4 apenas. (E) 1, 3 e 4 apenas. Gabarito: D O comando do exercício refere-se apenas ao modelo de Bohr, logo, apenas as afirmativas 1 sobre órbitas estacionárias e a afirmativa 4, a ideia de núcleo central e positivo - uma contribuição do modelo de Rutherford e incorporado por Bohr - são consideradas corretas. As afirmativas 2 e 3 são válidas, mas pertencem ao modelo moderno da mecânica quântica.

3 (UFSC) Considere um átomo representado pelo seu número atômico Z= 58 e em seu estado normal.

É CORRETO afirmar que: 01. o mesmo possui um total de 20 elétrons em subnível f. 02. sua última camada contém 2 elétrons no total. 04. se um de seus isótopos tiver número de massa 142, o número de nêutrons desse isótopo é 82. 08. os subníveis 5s 4d 5p 6s 4f não estão escritos na sua ordem crescente de energia. 16. o primeiro nível de energia com elétrons em orbitais d é o n = 4. 32. um de seus elétrons pode apresentar o seguinte conjunto de números quânticos: n = 2,  = 0, m = +1, s = +1/2. Gabarito: 02 A resolução da questão é facilitada escrevendo-se a distribuição do elemento com cério (Z = 58) segundo o diagrama de Pauling. Ce: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2, 4d10, 5p6, 6s2, 4f2.

58

A partir dessa distribuição, verifica-se: Afirmativa 01. Falsa. O subnível f tem apenas 2 elétrons, e não 20. Afirmativa 02. Verdadeira. A última camada, ou seja, a de valência que, nesse caso, é a camada 6, tem 2 elétrons. Afirmativa 04. Falsa. Se o número atômico do elemento é 58 e o número de massa é 142, o número de nêutrons deve ser 84. Lembrando, a soma de prótons e nêutrons é o número de massa. Afirmativa 08. Falsa. Observando-se a distribuição do elemento segundo o diagrama de Pauling, que obedece à ordem crescente de energia, os subníveis estão, sim, em ordem energética. Afirmativa 16. Falsa. O primeiro nível com elétrons em subnível d é o terceiro nível. Afirmativa 32. Falsa. Para que o número azimutal ( = 0) o subnível deve ser o s. Com isso, o número magnético m pode assumir apenas o valor de 0 também.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (PUCRS-2023) Uma célula nervosa transmite um sinal elétrico por meio de um mecanismo de transporte de íons sódio para fora da membrana celular e de íons potássio para dentro da membrana celular. As configurações eletrônicas para os íons Na+ e K+ são, respectivamente: (A) 1s2 2s2 2p6 e 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6. (B) 1s2 2s2 2p6 3s2 e 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6. (C) 1s2 2s2 2p6 3s1 e 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1. (D) 1s2 2s2 2p6 3s2 e 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2. 02. (UEM-2020) Assinale o que for correto. (01) Os elétrons foram descobertos através de experimentos feitos com tubos de raios catódicos. (02) Ernest Rutherford é o cientista que definiu a Lei da Conservação da Massa. (04) O número de massa indica a massa do átomo e é dado pela soma do número de prótons com o número de nêutrons. (08) O subnível mais energético nem sempre é o mais afastado do núcleo. (16) Para um número quântico principal n, teremos n subníveis possíveis. 03. (UCS) Uma equipe da Organização Europeia de Pesquisa Astronômica no Hemisfério Sul descobriu um exoplaneta um tanto peculiar na constelação de Peixes, a 390 anos-luz da Terra: por lá, “chove” ferro todas as noites! A descoberta do WASP-76b (vide imagem meramente ilustrativa ao lado), ocorreu graças ao Very Large Telescope (VLT), situado no deserto do Atacama, no Chile. De acordo com os especialistas, esse fenômeno ocorre porque apenas uma face do planeta fica apontada para sua estrela-mãe. Isso faz com que em um lado do WASP-76b seja sempre dia e no outro sempre noite, já que ele leva muito tempo para girar em torno do próprio eixo. Como a face iluminada recebe milhares de vezes mais radiação de sua estrela-mãe do que a Terra recebe do Sol, as temperaturas no WASP-76b ultrapassam os 2400 ºC. Consequentemente, o ferro presente na superfície do planeta acaba “literalmente” sublimando. Entretanto, o metal não permanece nessa condição por muito tempo: devido à diferença de temperatura entre as faces do planeta, ventos fortes são gerados e as nuvens carregadas com o metal são levadas para o lado escuro do WASP-76b. Como as temperaturas nesta região estão por volta dos 1500 ºC, a nuvem ultraquente acaba resfriando um pouco, o que já é suficiente para provocar a “precipitação” do ferro no estado sólido. De acordo com os astrônomos, a descoberta só foi possível graças ao ESPRESSO, um instrumento do VLT que ajuda os especialistas a monitorar a atmosfera de exoplanetas. “O que temos agora é uma maneira totalmente nova de rastrear

o clima desses planetas”, declarou David Ehrenreich, líder do estudo. Disponível em: https://revistagalileu.globo.com/Ciencia/Espaco/ noticia/2020/03/chove-ferro-todas-noites-neste-planeta-da-constelacao-de-peixes.html. Acesso em: 17 mar. 2020. (Parcial e adaptado.)

Em relação aos átomos que constituem o elemento químico mencionado no texto acima, é correto afirmar que: (A) possuem, no estado fundamental, vinte e seis elétrons distribuídos em cinco níveis de energia. (B) apresentam, no estado fundamental, apenas elétrons em subníveis s e p. (C) apresentam, no estado fundamental, elétrons de maior energia em subníveis p. (D) originam cátions de configuração eletrônica [Ar] 3d5, ao perderem três elétrons. (E) têm, no estado fundamental, doze elétrons nas suas respectivas camadas de valência. 04. (ACAFE) Um átomo X possui o conjunto de números quânticos do seu elétron mais externo dado por: n = 4, l = 0, m = 0 e s = +1/2 (considerando que o primeiro elétron a ocupar o orbital possui número quântico de spin +1/2). Este átomo é isótono de um átomo hipotéticoY que possui uma relação com X dada por AY – AX = 7. Assinale a alternativa que apresenta o conjunto de números quânticos do elétron mais externo do cátion trivalente do átomo Y. (A) n = 3, l = 2, m = –2, s = –1/2 (B) n = 4, l = 0, m = 0, s = –1/2 (C) n= 3, l = 2, m = 0, s = +1/2 (D) n = 3, l = 2, m = +2, s = +1/2 05. (ENEM) As células fotovoltaicas (placas semicondutoras compostas de silício) são os componentes principais dos painéis solares e são capazes de converter, com certa eficiência, parte da energia dos raios solares em energia elétrica. Essa conversão é causada pelo fenômeno físico denominado “efeito fotoelétrico”, que pode ocorrer em uma variedade de materiais, incluindo metais e semicondutores. Na superfície dos metais, a sequência de eventos que caracteriza esse efeito, de forma simplificada, é a: (A) absorção de fótons e a emissão de elétrons. (B) absorção de elétrons e a emissão de fótons. (C) emissão de fótons e a absorção de elétrons. (D) absorção e a emissão de elétrons. (E) absorção e a emissão de fótons.

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06. (UEL-2022) Na tabela periódica, os elementos Na e K são metais alcalinos que pertencem à família IA, e F e I são halogênios da família VIIA; todos exercem diferentes funções no organismo humano. O consumo de sal (NaCl) em excesso pode causar maior incidência de pressão alta em mulheres grávidas. Uma das opções de sais para diminuir a quantidade de sódio ingerida é o sal light (50% de NaCl + 50% de KCl). Tanto o sal light quanto o sal de cozinha comum possuem o micronutriente iodo (I), importante para prevenir o bócio, uma alteração na glândula tireoide. Estudos também inferem que a presença de flúor (F) na água potável pode levar a casos de tireoide subativa, especialmente nas mulheres, diminuindo a absorção do iodo pelo organismo. Em relação aos conhecimentos sobre classificação periódica e estrutura atômica dos elementos Na, K, F e I, considere as afirmativas a seguir. Dados: Número atômico de Na = 11, K = 19, F = 9, I = 53 I. Na+ e K+ possuem configuração isoeletrônica. II. Se o número de massa atômica do K+ é 39, então o número de prótons, nêutrons e elétrons é de 19, 21 e 20, respectivamente. III. Ao representar a configuração eletrônica do átomo de I em ordem de preenchimento energético, atinge-se o subnível 5p. IV. Os 3 números quânticos que caracterizam o elétron mais energético do íon flúor (F−) são n = 2, l = 1 e ml = +1. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

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ANOTAÇÕES

TABELA PERIÓDICA

Capítulo 3

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Com a consolidação da Química como ciência no final do século XVIII e a descoberta de novos elementos químicos, fez-se urgente uma classificação e organização desses e das propriedades físicas e químicas que se acumulavam. A primeira ideia de organização surgiu com o conceito de tríades, proposto pelo alemão J. W. Döbereiner. Segundo o autor, os elementos deveriam ser agrupados em trios com propriedades muito semelhantes. Para reforçar o conceito, o elemento central apresentava-se com uma massa atômica que era uma média aritmética dos outros componentes da tríade. Em seguida, novos arranjos mais abrangentes e inusitados foram criados. O geólogo francês A. B. de Chancourtois organizou todos os elementos conhecidos na sua época em ordem crescente de massas sobre uma linha helicoidal que descia sobre um cilindro. Como no meio da série, ficava o elemento telúrio, o sistema foi batizado de parafuso telúrico. Após a confecção do arranjo, elementos com propriedades semelhantes ficavam sobre uma mesma linha vertical (geratriz) do cilindro. De maneira semelhante, J. Newlands observou que os elementos escritos também em ordem crescente de massas apresentavam, a cada intervalo de sete elementos, semelhanças físicas e químicas, ou seja, a cada oito elementos, as propriedades se repetiam. O cientista, que também era músico, notou semelhança desse arranjo com as notas da escala musical, dó, ré, mi… em que a cada oito notas se repetia. A semelhança foi chamada de lei das oitavas.

Elemento

Massa atômica

Litio

6,9

Sódio

23

Potássio

39

Dobereiner 1829

Parafuso Telúrico Massa atômica

Tríades

14 12 10 8 0 2 4 6 2H 4 6 8 U 10 12 14 16 O 18 20 22 24 Na 26 28 30 32

2 00 2 H 4 6 8 10 12 14 O 16 18 20 22 24 26 28 30 S 32

4

6

1. Classificação de Mendeleev 2. Tabela Periódica Moderna 3. Propriedades Periódicas

Lei das Oitavas

8 10 12 14 16

U

Escala musical

1a oitava

2a oitava

1a; dó

H

F

2 ; ré

Li

Na

3a; mi

Be

Mg

4a; fá

B

Al

5 ; sol

C

Si

6a; lá

N

P

7 ; si

O

S

a

Ba C N O

Na

a

Mg Si P

S

a

Chancourtois 1862

Newlands 1864

Classificações periódicas primitivas.

1.

CLASSIFICAÇÃO DE MENDELEEV

Em 1869, o químico dedicado e excêntrico, D. I. Mendeleev organizou os 63 elementos conhecidos em um formato muito parecido com a atual tabela periódica. Ainda utilizando como critério de organização as massas atômicas crescentes, Mendeleev utilizou os versos das cartas de um baralho velho para anotar todas as propriedades coFleming 2023

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275

nhecidas de cada elemento – densidade, pontos de fusão e ebulição, fórmulas dos principais compostos – e, ao organizar esse baralho em ordem crescente de massas, posicionou os elementos que apresentavam semelhança em uma mesma coluna vertical. Após construído o arranjo, algo parecido com o jogo de paciência, observou ainda que alguns espaços deveriam ser deixados vazios, pois no futuro novos elementos deveriam ser descobertos e completariam o arranjo final. Mendeleev atribuiu sua criatividade na construção da tabela a um sonho que supostamente teria tido, como contado na obra biográfica “O Sonho de Mendeleev” de Paul Strathern.

D. I. Mendeleev

Previsões: 31

3d104s24p1

Ga Gálio

“Há uma fotografia desbotada do químico russo Dmitri Mendeleiev trabalhando em São Petersburgo, feita em algum momento no final do século XIX. Mostra uma figura gnômica sentada a uma mesa vasta e entulhada. Em 1868, Mendeleiev estava debruçado sobre o problema dos elementos químicos. Eles eram o alfabeto de que a língua do universo se compunha. Àquela altura, 63 diferentes elementos químicos haviam sido descobertos. Iam desde o cobre e o ouro, que eram conhecidos desde tempos pré-históricos, ao rubídio, que fora detectado recentemente na atmosfera do Sol. Sabia-se que cada um desses elementos consistia de átomos diferentes, e que os átomos de cada elemento apresentavam propriedades singulares próprias. No entanto, havia-se descoberto que alguns deles possuíam propriedades vagamente similares, o que permitia classificá-los conjuntamente em grupos… Na década anterior, Darwin descobrira que todas as formas de vida progrediam por evolução. E dois séculos antes Newton descobrira que o universo operava segundo a gravidade. Os elementos químicos eram a cavilha entre os dois. A descoberta dessa estrutura faria pela química o que Newton fizera pela física e Darwin pela biologia. Revelaria o esquema do universo.”

69.723

32

3d104s24p2

Ge Germânio 72.61

21

3d14s2

Sc

Escândio 44.956

A tabela original de Mendeleev e as previsões sobre a descoberta dos elementos gálio (Ga), germânio (Ge) e escândio (Sc).

2.

TABELA PERIÓDICA MODERNA

O principal avanço da tabela moderna em relação àquela proposta por Mendeleev foi a organização dos elementos em termos de seu número de prótons (Z) - número atômico - e não da massa atômica. Como visto no capítulo 1 da Química A, o que caracteriza um átomo como sendo de um certo elemento é o número de prótons existentes em seu núcleo. Dessa forma, faz sentido que a maneira mais adequada de organizar elementos seja em ordem crescente de Z. Na tabela atual, com 118 elementos reconhecidos, observa-se que o primeiro elemento a ser preenchido é o hidrogênio (H) com apenas um próton no núcleo. Em direção à direita, sobre uma mesma linha, está localizado o hélio (He) com Z = 2. Movendo-se em uma mesma linha, da esquerda para a direita, o número atômico aumenta uma unidade. Cada linha horizontal é chamada de período ou série, e a tabela atual conta com sete períodos, que, como será visto na sequência, correspondem aos sete níveis eletrônicos.

O sonho de Mendeleev de Paul Strathern.

Tabela Periódica Moderna

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Da mesma forma que na tabela original de Mendeleev, elementos posicionados em uma mesma coluna são elementos muito semelhantes. As colunas são chamadas de grupos ou famílias e são 18 grupos ao longo da tabela numerados em algarismos arábicos de 1 a 18. Outrora eram subdivididos em elementos do bloco A e bloco B, que eram representados por algarismos romanos. A IUPAC preconiza o uso apenas da numeração atual. Por fim, a essência na concepção da tabela está em reconhecer que elementos em um mesmo grupo ou família apresentam propriedades semelhantes. Alguns grupos têm elementos tão semelhantes que foram batizados com nomes especiais, como indicado na tabela abaixo. Nº do Grupo 1 2 11 15 16 17 18

Nome do Grupo Metais alcalinos Metais alcalinos terrosos Metais nobres Pnictogênios Calcogênios Halogênios Gases nobres

Elementos Li, Na, K, Rb, Cs, Fr Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra Cu, Ag, Au N, P, As, Sb, Bi O, S, Se, Te, Po F, Cl, Br, I, At He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn

* Principais grupos de Elementos.

No grupo 1 (antigamente IA), são agrupados os elementos Li, Na, K, Rb, Cs, Fr. Esses elementos são chamados de metais alcalinos. Metais por serem todos sólidos, com brilho característico, bons condutores de calor e eletricidade. O termo "alcalino" significa caráter básico. Todos os elementos do grupo 1 reagem vigorosamente com a água produzindo gás hidrogênio (H2) inflamável e uma base forte, tal como, NaOH ou KOH. Justificativa semelhante pode ser utilizada para os elementos do grupo 2 (IIA) que também são metais e alcalinos. A adição do termo “terroso” é antiga e utilizada para designar os óxidos desses elementos, especialmente CaO e MgO, que são sólidos, pouco solúveis em água e resistentes ao aquecimento. O termo nobre, utilizado tanto para os metais do grupo 11 (IB) quanto para os gases do grupo 18 (VIIIA), significa que são elementos pouco reativos, que não oxidam facilmente e tampouco formam compostos comuns. Halogênios (grupo 17 ou VIIA) é um termo de origem grega e significa "o que forma sais". O cloro, por exemplo, é o elemento que produz o sal de cozinha (NaCl), e os demais halogênios podem formar sais correlatos do tipo fluoretos, brometos e iodetos. O astato (At) - elemento natural - e o novíssimo Tennesso (Ts) - artificial - são radioativos e com tempos de meia-vida curtos. O astato é considerado o elemento mais raro do planeta e estima-se que existam apenas 31 gramas na natureza. Calcogênios são os elementos do grupo 16 (VIA) e recebem esse nome por serem associados ao cobre na crosta terrestre, especialmente, na forma de óxidos e sulfetos de cobre. O termo “pnictogênios” para o grupo 15 (VA) não é tão frequentemente utilizado como os demais nomes e, por isso, esses elementos são chamados de elementos do grupo do nitrogênio.

A última grande revolução na tabela periódica foi a inclusão dos elementos denominados de artificiais. Elementos que não existem na natureza e que são preparados artificialmente por técnicas de física nuclear realizadas em aceleradores de partículas. Deve-se destacar, nesse aspecto, a importância do químico estadunidense G. T. Seaborg, que sintetizou mais de uma dezena de elementos artificiais. Todos esses elementos têm número atômico maior que o do elemento urânio (Z = 92) e, por isso, são denominados de transurânicos. Seaborg foi agraciado com o Nobel de Química em 1951, e, em 1997, ainda em vida, foi homenageado pela IUPAC, a qual atribuiu ao elemento 106 o nome seabórgio, de símbolo Sg.

G. T. Seaborg e seu elemento seabórgio (Sg) de número atômico 106.

Tabela Periódica e Distribuição Eletrônica A posição ocupada por um elemento na tabela periódica, seu período e grupo, nada mais é do que um reflexo da configuração eletrônica em níveis e subníveis desse elemento. O padrão geral indica que a camada de valência indica o período (série) do elemento, enquanto o grupo periódico (família) é indicado pelo subnível mais energético e seu elétron diferenciador. • Camada de Valência = Período ou Série. Para qualquer um dos 118 elementos na tabela periódica moderna, o nível ou Fleming 2023

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camada de valência será igual ao período do elemento. Lembrando que a camada de valência é o nível eletrônico com maior número quântico principal. Por exemplo, o elemento cálcio (Ca) com Z = 20 e distribuição eletrônica 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2 tem como camada de valência o nível 4 (camada N) e, por isso, está localizado no quarto período, ou seja, na quarta linha horizontal. O mesmo argumento justifica a existência de apenas 7 períodos na tabela, os quais coincidem com os sete níveis K, L, M, N, O , P, e Q.

1 2 3 4 5 6 7

C.V = Período Ca = 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2

1

H

hidrogênio 1,008 4

3

boro 10,81 13

12

Al

Mg

alumínio 26,982

magnésio 24,305 20

19

K

potássio 39,098

B

berílio 9,0122

Na

sódio 22,990

5

Be

Li

lítio 6,94 11

21

Ca

cálcio 40,078(4) 38

37

Sr

Rb

estrôncio 87,62

rubídio 85,468

Sc

escândio 44,956

22

Ti

titânio 47,867

23

V

vanádio 50,942 41

39

40

ítrio 88,906

nióbio 92,906

Y

Zr

Nb

24

Cr

crômio 51,996 42

Mo

molibdênio 95,95

25

Mn

26

Fe

ferro manganês 55,845(2) 54,938 43

Tc

tecnécio [98]

44

Ru

rutênio 101,07(2)

27

Co

cobalto 58,933 45

Rh

ródio 102,91

28

Ni

níquel 58,693 46

Pd

paládio 106,42

29

Cu

cobre 63,546(3) 47

Ag

prata 107,87

30

Zn

zinco 65,38(2) 48

Cd

cádmio 112,41

31

Ga

gálio 69,723 49

In

índio 114,82

6

C

carbono 12,011 14

Si

silício 28,085 32

Ge

germânio 72,630(8) 50

Sn

estanho 118,71

2

He

hélio 4,0026 7

N

nitrogênio 14,007 15

P

fósforo 30,974 33

As

arsênio 74,922 51

Sb

antimônio 121,76

8

O

oxigênio 15,999 16

S

enxofre 32,06 34

Se

selênio 78,971(8)

9

F

flúor 18,998 17

Cl

cloro 35,45 35

Br

bromo 79,904

52

53

telúrio 127,60(3)

iodo 126,90

Te

I

10

Ne

neônio 20,180 18

Ar

argônio 39,948 36

Kr

criptônio 83,798(2) 54

Xe

xenônio 131,29

56

57 - 71

zircônio 91,224(2) 72

césio 132,91

bário 137,33

Série dos Lantanídios

háfnio 178,49(2)

tântalo 180,95

tungstênio 183,84

rênio 186,21

ósmio 190,23(3)

irídio 192,22

platina 195,08

ouro 196,97

mercúrio 200,59

tálio 204,38

chumbo 207,2

bismuto 208,98

polônio [209]

astato [210]

radônio [222]

87

88

89 - 103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

55

Cs

Ba

Ra

Fr

Rf

Série dos Actinídios rutherfórdio [267]

rádio [226]

frâncio [223]

Hf

6 7

57

La

lantânio 138,91 89

Ac

actínio [227]

73

Ta

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

74

W

Sg

seabórgio [269]

59

Pr

75

Re

Bh

bóhrio [270]

60

Nd

praseodímio neodímio 144,24 140,91 91

Pa

protactínio 231,04

92

U

urânio 238,03

76

Os Hs

hássio [269]

61

Pm

promécio [145] 93

Np

netúnio [237]

77

Ir

Mt

78

Pt

Ds

79

Au

Rg

80

Hg

Cn

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Pu

plutônio [244]

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

65

Tb

térbio 158,93 97

Bk

berquélio [247]

81

Tl

Nh

nihônio [286]

66

Dy

disprósio 162,50 98

Cf

califórnio [251]

82

Pb Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

83

Bi

Mc

moscóvio [288]

68

Er

érbio 167,26 100

Fm

férmio [257]

84

Po Lv

livermório [293]

69

Tm

túlio 168,93 101

Md

mendelévio [258]

85

At

Ts

86

Rn

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

1 2 3 4 5 6 7

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

Na tabela periódica, o período de um elemento coincide com a camada de valência.

• Subnível mais energético = Grupo ou família. A identificação do elemento em um grupo dá-se por meio do elétron diferenciador, ou seja, o último elétron escrito na distribuição eletrônica e também o de maior energia. Nesse sentido, os elementos são diferenciados por blocos, de acordo com o subnível do elétron diferenciador. Os blocos s, p, d e f são assim estudados: Os elementos do bloco s incluem os metais alcalinos e os metais alcalinos terrosos, ou seja, elementos dos grupos 1 e 2. São assim chamados, pois têm elétron diferenciador na camada de valência (C.V.) preenchendo o orbital s com um até dois elétrons, respectivamente. Nas figuras a seguir, são apresentados alguns elementos dos grupos 1 e 2, respectivamente, e a distribuição eletrônica correspondente. Atenção especial merece o hidrogênio, que, apesar de não ser metal alcalino, está localizado no grupo 1, pois apresenta eletrosfera terminando em s1.

ns1

e dif. = Grupo H = 1s2 2 1 Li = 1s , 2s Na = 1s2, 2s2, 2p6, 3s1

1

H

hidrogênio 1,008 3

Li

lítio 6,94 11

Na

sódio 22,990 19

K

potássio 39,098 37

Rb

rubídio 85,468

4

5

Be

B

berílio 9,0122

boro 10,81 13

12

Al

Mg

magnésio 24,305 20

Ca

cálcio 40,078(4) 38

Sr

estrôncio 87,62

21

Sc

escândio 44,956

22

Ti

titânio 47,867

45

rênio 186,21

ósmio 190,23(3)

irídio 192,22

105

106

107

108

109

háfnio 178,49(2)

87

89 - 103

104

Ra

44

tungstênio 183,84

57 - 71 Série dos Lantanídios

rádio [226]

43

Co

cobalto 58,933

tântalo 180,95

56

Fr

Fe

ferro manganês 55,845(2) 54,938

27

nióbio 92,906

88

frâncio [223]

42

Mn

26

40

Zr

bário 137,33

Ba

41

Cr

crômio 51,996

25

39

Y

césio 132,91

55

V

vanádio 50,942

24

ítrio 88,906

zircônio 91,224(2) 72

Cs

23

Hf Rf

Série dos Actinídios rutherfórdio [267]

57

La

lantânio 138,91 89

Ac

actínio [227]

Nb 73

Ta

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

Mo

molibdênio 95,95 74

W

Sg

seabórgio [269]

59

Pr

Tc

tecnécio [98] 75

Re

Bh

bóhrio [270]

60

Nd

praseodímio neodímio 144,24 140,91 91

Pa

protactínio 231,04

92

U

urânio 238,03

Ru

rutênio 101,07(2) 76

Os Hs

hássio [269]

61

Pm

promécio [145] 93

Np

netúnio [237]

Rh

ródio 102,91 77

Ir

Mt

28

Ni

níquel 58,693 46

Pd

paládio 106,42 78

Pt

29

Cu

cobre 63,546(3) 47

Ag

prata 107,87 79

Au

platina 195,08

ouro 196,97

110

111

Ds

Rg

30

Zn

zinco 65,38(2) 48

Cd

cádmio 112,41 80

Hg

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Pu

plutônio [244]

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

65

97

Bk

berquélio [247]

17

Cl

fósforo 30,974

enxofre 32,06

cloro 35,45

32

33

34

35

Ga

gálio 69,723 49

In

índio 114,82 81

Tl

112

Tb

16

S

9

F

flúor 18,998

silício 28,085

113

térbio 158,93

15

P

8

O

oxigênio 15,999

31

tálio 204,38

Cn

14

Si

7

N

nitrogênio 14,007

alumínio 26,982

mercúrio 200,59

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

6

C

carbono 12,011

2

He

hélio 4,0026

Nh

nihônio [286]

66

Dy

disprósio 162,50 98

Cf

califórnio [251]

Ge

germânio 72,630(8) 50

Sn

estanho 118,71 82

Pb

As

arsênio 74,922 51

Sb

antimônio 121,76 83

Bi

chumbo 207,2

bismuto 208,98

114

115

Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

Mc

moscóvio [288]

68

Er

érbio 167,26 100

Fm

férmio [257]

Se

selênio 78,971(8)

Br

bromo 79,904

52

53

telúrio 127,60(3)

iodo 126,90

Te 84

Po

I

85

At

10

Ne

neônio 20,180 18

Ar

argônio 39,948 36

Kr

criptônio 83,798(2) 54

Xe

xenônio 131,29 86

Rn

polônio [209]

astato [210]

radônio [222]

116

117

118

Lv

livermório [293]

69

Tm

túlio 168,93 101

Md

mendelévio [258]

Ts

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

Metais alcalinos estão localizados no grupo 1 pois suas eletrosferas terminam em s1, com este elétron diferenciador na camada de valência.

278

QUÍMICA

Fleming 2023

ns1 1 2 3 4 5 6 7

1

H

hidrogênio 1,008 3

Li

lítio 6,94 11

Na

sódio 22,990 19

K

ns2 Be = 1s2, 2s2 4

5

Mg = 1s , 2s , 2p , 3s 2

Be

berílio 9,0122 12

2

6

2

B

boro 10,81 13

Al

Mg

alumínio 26,982

magnésio 24,305 20

Ca

21

Sc

22

Ti

23

V

24

Cr

potássio 39,098

cálcio 40,078(4)

escândio 44,956

titânio 47,867

vanádio 50,942

crômio 51,996

37

38

39

40

41

42

Rb

2

He

hélio 4,0026

Sr

Y

Zr

Nb

Mo

25

26

Mn

Fe

43

44

ferro manganês 55,845(2) 54,938

Tc

Ru

27

Co

28

Ni

29

Cu

30

Zn

31

Ga

6

C

carbono 12,011 14

Si

silício 28,085 32

Ge

7

N

nitrogênio 14,007 15

P

fósforo 30,974 33

As

8

O

oxigênio 15,999 16

S

enxofre 32,06 34

Se

9

F

flúor 18,998 17

Cl

cloro 35,45 35

Br

cobre 63,546(3)

zinco 65,38(2)

gálio 69,723

germânio 72,630(8)

arsênio 74,922

selênio 78,971(8)

bromo 79,904

criptônio 83,798(2)

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Rh

Pd

Ag

Cd

In

Sn

Sb

Te

I

estrôncio 87,62

ítrio 88,906

molibdênio 95,95

tecnécio [98]

rutênio 101,07(2)

ródio 102,91

paládio 106,42

prata 107,87

cádmio 112,41

índio 114,82

estanho 118,71

antimônio 121,76

telúrio 127,60(3)

iodo 126,90

57 - 71

zircônio 91,224(2) 72

nióbio 92,906

56

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

bário 137,33

Série dos Lantanídios

háfnio 178,49(2)

tântalo 180,95

87

Fr

frâncio [223]

Ba 88

Ra

rádio [226]

89 - 103

Hf 104

Rf

Série dos Actinídios rutherfórdio [267]

6 7

57

La

lantânio 138,91 89

Ac

actínio [227]

Ta 105

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

W

tungstênio 183,84 106

Sg

seabórgio [269]

59

Pr

Re

rênio 186,21 107

Bh

bóhrio [270]

60

Nd

praseodímio neodímio 144,24 140,91 91

Pa

protactínio 231,04

92

U

urânio 238,03

Os

ósmio 190,23(3) 108

Hs

hássio [269]

61

Pm

promécio [145] 93

Np

netúnio [237]

36

Kr

níquel 58,693

45

55

Cs

18

Ar

argônio 39,948

cobalto 58,933

rubídio 85,468

césio 132,91

10

Ne

neônio 20,180

Ir

irídio 192,22 109

Mt

Pt

platina 195,08 110

Ds

Au

ouro 196,97 111

Rg

Hg

mercúrio 200,59 112

Cn

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Pu

plutônio [244]

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

65

Tb

térbio 158,93 97

Bk

berquélio [247]

Tl

tálio 204,38 113

Nh

nihônio [286]

66

Dy

disprósio 162,50 98

Cf

califórnio [251]

Pb

chumbo 207,2 114

Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

Bi

bismuto 208,98 115

Mc

moscóvio [288]

68

Er

érbio 167,26 100

Fm

férmio [257]

Po

polônio [209] 116

Lv

livermório [293]

69

Tm

túlio 168,93 101

Md

mendelévio [258]

At

astato [210] 117

Ts

Xe

xenônio 131,29 86

Rn

radônio [222] 118

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

1 2 3 4 5 6 7

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

Metais alcalinos terrosos estão localizados no grupo 2 pois suas eletrosferas terminam em s2, com estes dois elétrons na camada de valência.

O segundo bloco de elementos, bloco p, contempla os grupos 13 ao 18. São assim denominados porque todos os elementos deste bloco terminam sua eletrosfera com elétrons diferenciadores em orbitais p, preenchidos com um até seis elétrons, todos na camada de valência. Assim, o subnível mais energético desses elementos pode ser resumido por (C.V.)p1-6, em que C.V. é a camada de valência.

ns1-2

np1-6

1

H 3

Li

lítio 6,94 11

Na

sódio 22,990 19

K

potássio 39,098 37

Rb

rubídio 85,468 55

Cs

césio 132,91 87

Fr

frâncio [223]

2

He

B = 1s2, 2s2, 2p1 Mg = 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p1

hidrogênio 1,008 4

Be

berílio 9,0122 12

hélio 4,0026 5

B

boro 10,81 13

Al

Mg

alumínio 26,982

magnésio 24,305 20

Ca

cálcio 40,078(4) 38

Sr

estrôncio 87,62

21

Sc

escândio 44,956

22

Ti

titânio 47,867 40

nióbio 92,906

tântalo 180,95

Zr

56

57 - 71 Série dos Lantanídios

háfnio 178,49(2)

88

Ra

41

39

Y

bário 137,33

rádio [226]

V

vanádio 50,942

ítrio 88,906

zircônio 91,224(2) 72

Ba

23

89 - 103

Hf 104

Rf

Série dos Actinídios rutherfórdio [267]

57

La

lantânio 138,91 89

Ac

actínio [227]

Nb 73

Ta 105

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

24

Cr

crômio 51,996 42

Mo

molibdênio 95,95 74

W

tungstênio 183,84 106

Sg

seabórgio [269]

59

Pr

25

Mn

91

Pa

Fe

ferro manganês 55,845(2) 54,938 43

Tc

tecnécio [98] 75

Re

rênio 186,21 107

Bh

bóhrio [270]

60

Nd

praseodímio neodímio 144,24 140,91

protactínio 231,04

26

92

U

urânio 238,03

44

Ru

rutênio 101,07(2) 76

Os

ósmio 190,23(3) 108

Hs

hássio [269]

61

Pm

promécio [145] 93

Np

netúnio [237]

27

Co

cobalto 58,933 45

Rh

ródio 102,91 77

Ir

irídio 192,22 109

Mt

28

Ni

níquel 58,693 46

Pd

paládio 106,42 78

Pt

platina 195,08 110

Ds

29

Cu

cobre 63,546(3) 47

Ag

prata 107,87 79

Au

ouro 196,97 111

Rg

30

Zn

zinco 65,38(2) 48

Cd

cádmio 112,41 80

Hg

mercúrio 200,59 112

Cn

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Pu

plutônio [244]

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

65

Tb

térbio 158,93 97

Bk

berquélio [247]

31

Ga

gálio 69,723 49

In

índio 114,82 81

Tl

tálio 204,38 113

Nh

nihônio [286]

66

Dy

disprósio 162,50 98

Cf

califórnio [251]

6

C

carbono 12,011 14

Si

silício 28,085 32

Ge

germânio 72,630(8) 50

Sn

estanho 118,71 82

Pb

chumbo 207,2 114

Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

7

N

nitrogênio 14,007 15

P

fósforo 30,974 33

As

arsênio 74,922 51

Sb

antimônio 121,76 83

Bi

bismuto 208,98 115

Mc

moscóvio [288]

68

Er

érbio 167,26 100

Fm

férmio [257]

8

O

oxigênio 15,999 16

S

9

F

flúor 18,998 17

Cl

enxofre 32,06

cloro 35,45

34

35

Se

selênio 78,971(8)

Br

bromo 79,904

52

53

telúrio 127,60(3)

iodo 126,90

Te 84

Po

polônio [209] 116

Lv

livermório [293]

69

Tm

túlio 168,93 101

Md

mendelévio [258]

I

85

At

astato [210] 117

Ts

10

Ne

neônio 20,180 18

Ar

argônio 39,948 36

Kr

criptônio 83,798(2) 54

Xe

xenônio 131,29 86

Rn

radônio [222] 118

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

Elementos do bloco p, com um até seis elétrons de diferenciação no subnível p, todos na camada de valência.

Coletivamente, os elementos do bloco s e do bloco p são chamados de elementos representativos. O adjetivo refere-se ao fato de que, em um mesmo grupo desses elementos, as propriedades são muito semelhantes. Nota-se ainda que, em elementos representativos, os elétrons diferenciadores estão sempre na camada de valência, algo que não ocorre com os elementos de transição, como será apresentado para os próximos blocos. Os elementos do bloco d, também denominados de transição simples ou externa, correspondem aos elementos dos grupos 3 a 12. Tais elementos apresentam elétron diferenciador preenchendo o subnível d com um até dez elétrons. No entanto, ao contrário do que ocorre com os elementos representativos dos blocos s e p, os elétrons de diferenciação agora não estão na camada de valência, mas sim, numa camada anterior à camada de valência que pode ser chamada de penúltimo nível de energia e representada por (C.V. -1)d1-10. Na figura a seguir, são apresentados os elementos do bloco d e o representante escândio (Sc) com 21 elétrons distribuídos. A partir da configuração do escândio, percebe-se que o elétron mais energético tem configuração 3d1, enquanto a camada de valência é a quarta camada. Fleming 2023

QUÍMICA

279

Descritos cada um dos blocos de elementos, tem-se agora um panorama geral da tabela periódica e uma representação esquemática do próprio diagrama de Pauling. Conforme a tabela vai sendo construída, um novo elétron é adicionado ao diagrama de Pauling. No ano de 2019, a IUPAC comemorou o “International Year of Periodic Table”, uma homenagem aos 150 anos do trabalho definitivo de Mendeleev.

Atenção especial deve ser dada ao fato de que alguns autores não consideram os elementos do grupo do 12 (grupo do zinco) como elementos de transição. São elementos do bloco d, mas por terem camada fechada, isto é, com dez elétrons no subnível d, não apresentam comportamento “transitório” entre os metais muito reativos do bloco s e os metais do bloco p. São elementos menos reativos (metais nobres) e em raras situações formam ligações, não apresentando uma química tão versátil quanto aos demais elementos do bloco d. C.V. S + E Sc = 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d1

ns1-2 1

H

np1-6 2

He

hidrogênio 1,008

1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s

1s 2p 3p 4p 5p 6p 7p

3d 4d 5d 6d

3

Li

lítio 6,94 11

Na

sódio 22,990 19

K

potássio 39,098 37

Rb

rubídio 85,468 55

Cs

4f 5f

césio 132,91 87

Fr

frâncio [223]

K

1s

L

2s2

2p6

M

3s

3p

N

4s2 4p6

2

2

6

4

5

Be

berílio 9,0122

(n - 1)d

12

Mg

magnésio 24,305 20

Ca

cálcio 40,078(4) 38

Sr

estrôncio 87,62

21

Sc

escândio 44,956

22

Ti

titânio 47,867

nióbio 92,906

tântalo 180,95

56

57 - 71 Série dos Lantanídios

háfnio 178,49(2)

88

Ra

89 - 103

Hf 104

Rf

Série dos Actinídios rutherfórdio [267]

57

La

lantânio 138,91

3d

89

4d10

4f14 5f14

5s2

5p6

5d10

P

6s2 6p6

6d10

Q

7s

7p

6

41

40

Zr

bário 137,33

rádio [226]

V

vanádio 50,942

39

Y

zircônio 91,224(2) 72

Ba

23

ítrio 88,906

10

O

2

hélio 4,0026

Ac

actínio [227]

Nb 73

Ta 105

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

24

Cr

crômio 51,996 42

Mo

molibdênio 95,95 74

W

tungstênio 183,84 106

Sg

seabórgio [269]

59

Pr 91

Pa

26

25

27

Fe

Mn

ferro manganês 55,845(2) 54,938 43

Tc

tecnécio [98]

76

107

Hs

61

Pm 93

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Np

netúnio [237]

Pu

plutônio [244]

6

C

carbono 12,011

13

Al

28

Ni

níquel 58,693 46

Pd

paládio 106,42 78

Pt

platina 195,08 110

Ds

29

Cu

cobre 63,546(3) 47

Ag

prata 107,87 79

Au

ouro 196,97 111

Rg

30

Zn

zinco 65,38(2) 48

Cd

cádmio 112,41 80

Hg

mercúrio 200,59 112

Cn

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

promécio [145]

92

U

urânio 238,03

Mt

hássio [269]

60

Nd

Ir

irídio 192,22 109

108

Bh

Rh

ródio 102,91 77

Os

ósmio 190,23(3)

bóhrio [270]

Co

cobalto 58,933 45

44

Ru

rutênio 101,07(2)

75

Re

rênio 186,21

praseodímio neodímio 144,24 140,91

protactínio 231,04

B

boro 10,81

1-10

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

65

Tb

térbio 158,93 97

Bk

berquélio [247]

14

Si

8

7

O

N

oxigênio 15,999

nitrogênio 14,007 15

16

P

S

9

F

flúor 18,998 17

Cl

alumínio 26,982

silício 28,085

fósforo 30,974

enxofre 32,06

cloro 35,45

31

32

33

34

35

Ga

gálio 69,723 49

In

índio 114,82 81

Tl

tálio 204,38

Ge

germânio 72,630(8) 50

Sn

estanho 118,71 82

Pb

chumbo 207,2

113

Nh

nihônio [286]

66

Dy

disprósio 162,50 98

Cf

califórnio [251]

114

Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

Se

As

selênio 78,971(8)

arsênio 74,922 51

Sb

Po

polônio [209]

115

Mc

116

Lv

livermório [293]

69

68

Tm

Er

túlio 168,93

érbio 167,26

101

100

Fm

férmio [257]

53 iodo 126,90

84

83

Bi

bismuto 208,98

moscóvio [288]

52

telúrio 127,60(3)

Te

antimônio 121,76

Br

bromo 79,904

Md

mendelévio [258]

I

85

At

astato [210] 117

Ts

10

Ne

neônio 20,180 18

Ar

argônio 39,948 36

Kr

criptônio 83,798(2) 54

Xe

xenônio 131,29 86

Rn

radônio [222] 118

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

Elementos do bloco d, com um até dez elétrons de diferenciação no subnível d, todos na penúltima camada em relação a de valência.

Diagrama de Pauling

Construção da tabela periódica e sua correlação com o diagrama de Pauling.

O último bloco de elementos corresponde aos elementos denominados de lantanóides e actinóides, que são localizados abaixo da tabela por comodidade, e constituem os elementos do bloco f. Tais elementos são também denominados de transição interna, pois seus elétrons diferenciadores estão no antepenúltimo nível energético em relação à camada de valência. Na figura abaixo, está apresentada a distribuição eletrônica do elemento lantânio (La), cuja eletrosfera termina em 4f1, sendo que a camada de valência é a sexta camada.

ns1-2

np1-6

1

2

H

He

hidrogênio 1,008 3

Li

lítio 6,94 11

Na

sódio 22,990 19

K

potássio 39,098 37

Rb

rubídio 85,468

hélio 4,0026 4

5

Be

berílio 9,0122

(n - 1)d

12

Mg

magnésio 24,305 20

Ca

cálcio 40,078(4) 38

Sr

estrôncio 87,62

21

Sc

escândio 44,956

22

Ti

titânio 47,867

23

V

vanádio 50,942 41

39

40

ítrio 88,906

nióbio 92,906

Y

Zr

Nb

24

Cr

crômio 51,996 42

Mo

molibdênio 95,95

B

1-10

26

25

Fe

Mn

ferro manganês 55,845(2) 54,938 43

Tc

tecnécio [98]

44

Ru

rutênio 101,07(2)

27

Co 45

Rh

ródio 102,91

28

Ni 46

Pd

paládio 106,42

29

Cu

cobre 63,546(3) 47

Ag

prata 107,87

30

flúor 18,998

16

17

Ga

gálio 69,723 49

48

Cd

cádmio 112,41

9

F

oxigênio 15,999

15

31

Zn

zinco 65,38(2)

O

nitrogênio 14,007

14

Al

níquel 58,693

8

7

N

carbono 12,011

13

alumínio 26,982

cobalto 58,933

6

C

boro 10,81

In

índio 114,82

Si

silício 28,085 32

Ge

germânio 72,630(8) 50

Sn

estanho 118,71

P

S

fósforo 30,974

enxofre 32,06 34

33

As

arsênio 74,922

Se

selênio 78,971(8)

35

Br

bromo 79,904

52

53

telúrio 127,60(3)

iodo 126,90

51

Sb

antimônio 121,76

Cl

cloro 35,45

Te

I

10

Ne

neônio 20,180 18

Ar

argônio 39,948 36

Kr

criptônio 83,798(2) 54

Xe

xenônio 131,29

56

57 - 71

zircônio 91,224(2) 72

césio 132,91

bário 137,33

Série dos Lantanídios

háfnio 178,49(2)

tântalo 180,95

tungstênio 183,84

rênio 186,21

ósmio 190,23(3)

irídio 192,22

platina 195,08

ouro 196,97

mercúrio 200,59

tálio 204,38

chumbo 207,2

bismuto 208,98

polônio [209]

astato [210]

radônio [222]

87

88

89 - 103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

55

Cs Fr

frâncio [223]

Ba

Ra

rádio [226]

Hf Rf

Série dos Actinídios rutherfórdio [267]

57

La

lantânio 138,91 89

Ac

actínio [227]

73

Ta

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

74

W

Sg

seabórgio [269]

59

Pr

75

Re

Bh

bóhrio [270]

60

Nd

praseodímio neodímio 144,24 140,91 91

Pa

protactínio 231,04

92

U

urânio 238,03

76

Os Hs

hássio [269]

61

Pm

promécio [145] 93

Np

netúnio [237]

77

Ir

Mt

78

Pt

Ds

79

Au

Rg

81

80

Hg

Cn

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Pu

plutônio [244]

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

Tl

Nh

nihônio [286]

66

65

Tb

térbio 158,93 97

Dy

disprósio 162,50 98

Bk

berquélio [247]

Cf

califórnio [251]

82

Pb Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

84

83

Bi

Mc

moscóvio [288]

Po Lv

livermório [293]

69

68

Tm

Er

túlio 168,93

érbio 167,26

101

100

Fm

férmio [257]

Md

mendelévio [258]

85

At

Ts

86

Rn

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

C.V. S + E La = 1s , 2s , 2p , 3s , 3p , 4s , 3d , 4p , 5s , 4d , 5p , 6s2, 4f1 2

2

6

2

6

2

10

6

2

10

6

Elementos do bloco f, com um até dez elétrons de diferenciação no subnível f, todos na antepenúltima camada em relação a de valência.

Dessa forma, os elementos do bloco f começam com o lantânio (La) e terminam com o itérbio (Yb), no sexto período, com eletrosfera final em f14, recomeçam com o actínio (Ac) e terminam com o Nobélio (No) já no sétimo período.

280

QUÍMICA

Fleming 2023

Os elementos lutécio (Lu) e laurêncio (Lr) devem ser localizados, na verdade, no grupo 3 (grupo do escândio) nos sexto e sétimo períodos, respectivamente. Esse fato é facilmente justificado pela distribuição eletrônica que termina em d1 para ambos os elementos. Adicionalmente, os elementos lantanóides (La - Yb) mais o lutécio, escândio e ítrio, são denominados em conjunto de elementos terras-raras. Tais elementos são encontrados em diversos minerais e possuem propriedades análogas. Nos últimos anos têm apresentado interesse econômico bastante importante por suas diversas aplicações nas áreas tecnológicas, de catalisadores em automóveis para redução de poluentes até fabricação de lasers e materiais luminescentes.

Metais, Não-Metais e Gases Nobres Uma classificação subjacente, e que deriva da própria distribuição eletrônica, é a que subdivide os elementos em três principais categorias: – Metais: correspondem a quase ⅔ da tabela periódica e apresentam-se no estado sólido em condições ambientes (exceto o mercúrio (Hg), o único metal líquido e o gálio (Ga) que funde a 29,78 ºC). São ótimos condutores de calor e eletricidade (condutores isotrópicos), têm brilho metálico característico - sendo a maioria prateados, com exceção do ouro amarelado e do cobre avermelhado -, são dúcteis (podem ser transformados em fios) e maleáveis (podem ser transformados em lâminas). Todas essas propriedades dos metais podem ser explicadas pelo modelo da nuvem eletrônica, o qual será estudado no capítulo 4 desta mesma frente. – Ametais ou Não-metais: correspondem aos elementos mais à direita da tabela periódica e têm propriedades antagônicas às dos metais. Podem ser encontrados no estado gasoso (O2, N2, F2, Cl2) ou líquido (Br2), predominantemente, mas alguns também são sólidos (S(rômb), I2). São isolantes elétricos ou quando condutores são do tipo anisotrópico - conduzem em apenas uma direção específica do material -, como o grafite. São também isolantes térmicos e quando no estado sólido são quebradiços. Adicionalmente, formam óxidos (compostos com oxigênio) de caráter ácido, ao contrário dos metais que formam óxidos básicos ou alcalinos. – Gases Nobres: são os elementos do grupo 18 e como visto anteriormente, são muito estáveis e pouco reativos. São todos gases monoatômicos, ou seja, não formam moléculas nas suas substâncias simples e são todos naturais, com exceção do novíssimo oganésson (Og). Apesar da baixa reatividade são conhecidos centenas de compostos de gases nobres, especialmente com xenônio (Xe) e radônio (Rn), muitos desses na forma de óxidos ou haletos.

Química e Medicina Metais Pesados, é uma designação utilizada para um grupo de elementos metálicos que são relativamente densos (superior a 4,0 g/cm3) e tóxicos em baixas doses. Os principais elementos incluídos nesse grupo são: cádmio, cobre, chumbo, mercúrio e cromo. Tais elementos apresentam diversos mecanismos de atuação. Alguns substituem outros metais importantes em matrizes fisiológicas (como o cádmio que substitui o cálcio na matriz óssea), outros são poderosos inibidores enzimáticos e alguns modificam o material genético ao interagir com as bases nitrogenadas do DNA e RNA. São bioacumulados - não apresentam metabolismo de excreção - e podem provocar distúrbios em diversos sistemas, tais como, neurológico (central e periférico), pulmonar (bronquite e câncer de pulmão), renal e hepático.

Uma outra categoria que foi deixada em desuso pela IUPAC é a classe dos semi-metais ou metalóides. Estes elementos incluiam boro (B), silício (Si), germânio (Ge), arsênio (As), antimônio (Sb) e Telúrio (Te), e têm propriedades intermediárias às dos metais e ametais. Por exemplo, silício e germânio são excelentes semicondutores empregados em toda a eletrônica. Atualmente a IUPAC preconiza que os metalóides sejam posicionados como metais ou ametais, de acordo com suas propriedades predominantes.

ANOTAÇÕES

Fleming 2023

QUÍMICA

281

3.

PROPRIEDADES PERIÓDICAS

A concepção de que a ordem correta dos elementos na tabela periódica é o número atômico (Z) e não a massa do átomo fez com que os químicos, especialmente H. G. Moseley, um assistente de E. Rutherford, observassem propriedades que ora assumiam valores máximos, ora assumiam valores mínimos ao longo da tabela periódica. Tais propriedades foram denominadas de propriedades periódicas (raio atômico, potencial de ionização, afinidade eletrônica, etc.), ao contrário das propriedades aperiódicas (massa atômica e calor específico), que variam linearmente com o Z.

– Massa Atômica – Calor Específico

Z

Propriedades Periódicas (P.P.) Variam periodicamente com Z potencial de Ion./kJ

massa atômica/u

Propriedades Aperiódicas (P.A.) Variam linearmente com Z

Z – Densidade – Raio Atômico – Eletronegatividade – Potencial de Ionização

Representação gráfica das propriedades periódicas e aperiódicas em função do número atômico Z.

A partir de tal observação, Moseley foi capaz de enunciar a chamada Lei Periódica: “quando os elementos são listados sequencialmente, em ordem crescente de Z, é observada uma repetição periódica em suas propriedades”. A seguir serão estudadas as propriedades periódicas em detalhes.

LEI PERIÓDICA DOS ELEMENTOS ''Quando os elementos são listados sequencialmente, em ordem crescente de Z, é observada uma repetição periódica em suas propriedades''. H. Moseley

Raio Atômico (R.A.) O raio atômico (R ou R. A.) é a grandeza periódica que define o tamanho relativo dos átomos. Por definição, pode ser considerado como a distância do núcleo até o final da eletrosfera. De maneira prática, como a eletrosfera tem uma natureza dispersa, difusa, deve ser medida como metade da distância (d) entre dois núcleos entre átomos ligados. Núcleos são rígidos e podem ter sua posição determinada por experimentos com difração de raios-X. Dependendo do tipo de ligação envolvida entre os átomos - iônica, covalente ou metálica - tem-se diferentes raios para um mesmo elemento. Essas diferenças podem ser especificadas por adjetivos como raio covalente, raio iônico ou raio metálico. Por exemplo, medindo-se a distância entre os átomos de cloro na molécula Cl2, teremos o raio covalente do cloro. Já, se a mesma medida for feita em cristais de cloreto de sódio (NaCl), teremos o raio iônico do cloro. Quando comparados na tabela periódica, é comum utilizar-se o mesmo tipo de raio. 282

QUÍMICA

Fleming 2023

RAIO ATÔMICO = Tamanho do Átomo Raio Metálico Raio Covalente Raio Iônico Na

R

Na

Cl

RCl

RNa

d

Na+

Cl–

RNa

RCl

Cl

+

-

TIPOS DE RAIOS

Unidade: Angstrom (A) R = d 2 Definição de raio atômico e os diferentes tipos de raios medidos experimentalmente.

Os raios devem ser definidos em unidade de comprimento, uma vez que expressam tamanhos dos átomos. A unidade S. I. é o metro, e, em geral, são expressos em picômetros (pm = 10-12 m). Uma unidade usual frequentemente utilizada em Química é o angstrom (Å = 10-10 m). A variação dessa importante propriedade periódica pode ser prevista em termos da posição do elemento em um determinado grupo e período. Por exemplo, descendo nos grupos (colunas verticais), observa-se um aumento do número de níveis eletrônicos, e, com isso, maior será a distância do núcleo até o final da eletrosfera, e, portanto, maior raio atômico - por exemplo, para os elementos lítio (Li) e césio (Cs), ambos do mesmo grupo dos metais alcalinos. Com eletrosfera bem menor, o lítio tem apenas dois níveis eletrônicos, enquanto o césio tem impressionantes seis níveis eletrônicos. Representando-se, figurativamente, cada nível como uma órbita circular ao redor do núcleo fica evidente o maior raio atômico do césio. A tendência pode ser confirmada pelos valores de raios atômicos metálicos medidos experimentalmente para o lítio de 167 pm e para o césio de 265 pm.

3

1,67 A

Li0 = 1s2 2s1

9

F0 = 1s2 2s2 2p5

Raio Atômico (R.A.)

3 Prótons

0,42 A 9 Prótons

2,65 A

55

Cs0 = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s1 Variação dos raios atômicos em um mesmo grupo e um mesmo período na tabela.

Para a análise da variação do raio atômico em um determinado período, deve-se utilizar o conceito de carga nuclear efetiva (Zef), uma vez que, em um mesmo período, o número de níveis eletrônicos é o mesmo. Por exemplo, na figura acima, o lítio e o flúor têm ambos dois níveis eletrônicos, porém, o núcleo do flúor é muito mais positivo e poderoso (com 9 prótons) do que o núcleo de lítio (com apenas 3 prótons). Sendo assim, por Fleming 2023

QUÍMICA

283

ter uma carga nuclear efetiva maior, o núcleo de flúor atrai mais fortemente os seus níveis eletrônicos e, por isso, seu raio atômico é bem menor. Em resumo, em um mesmo período, o elemento mais à esquerda tem um maior raio atômico do que o elemento mais à direita.

Raio Atômico Variação esquemática do raio atômico na tabela periódica.

Potencial ou Energia de Ionização (P.I.) A energia potencial de ionização ou simplesmente potencial de ionização é a energia, em joule (J) ou elétron-volt (eV), que um átomo isolado (sem estar ligado a outro átomo) e, no estado gasoso, deve absorver para que seja removido um elétron da sua camada de valência. Essa energia é quantizada e, ao contrário da energia utilizada no salto quântico, o P.I. remove completamente o elétron transformando o átomo em um cátion (íon positivo). ENERGIA DE IONIZAÇÃO (P.I.) Potencial de Ionização = energia (KJ/mol ou eV) para remover o elétron de um átomo isolado e gasoso Potencial de Ionização

EQUAÇÕES: X0(g) + P.I.1

X+(g) + e–(g)

X+(g) + P.I.2

X2+(g) + e–(g)

X2+(g) + P.I.3

X3+(g) + e–(g)

P.I.3 > P.I.2 > P.I.1

Elétron removido K L M N

A energia necessária para remover o elétron de um átomo isolado e no estado gasoso, com a formação de um cátion, é o potencial ou energia de ionização.

Pela análise da figura acima, observa-se que mais de um elétron pode ser removido a partir de um átomo neutro e isolado (X). Para cada elétron removido, necessita-se uma diferente quantidade de energia, a qual será chamada de primeira, segunda, terceira… energia de ionização (P.I.1, P.I.2, P.I.3…). Como esperado, a remoção do primeiro elétron é sempre a mais fácil, pois se trata de um átomo neutro que ainda não perdeu elétrons, e, por isso, a primeira energia de ionização é sempre menor que as demais. Por exemplo, o berílio (Be), com quatro elétrons, tem distribuição eletrônica 2 2 1s , 2s , e a remoção do primeiro elétron - um dos elétrons de 2s2 - envolve 9,8 eV (valores determinados experimentalmente pelos químicos). A remoção do segundo elétron de 2s2 requer maior energia, como visto anteriormente, e, para tanto, necessita de 18 eV. Teoricamente, ainda seria possível remover mais dois elétrons do berílio, mas, ao se observar o terceiro potencial de ionização (P.I.3) de 154 eV, verifica-se a inviabilidade da retirada desse terceiro elétron. Com isso, é possível compreender que o berílio pode perder, no máximo, dois elétrons, formando um cátion bivalente positivo (Be2+) e a remoção de outros elétrons é, energeticamente, inviável. 284

QUÍMICA

Fleming 2023

4

Be = 1s2 2s2 K L

P.I.1 = 9,8 eV P.I.2 = 18 eV

Be2+

P.I.3 = 154 eV Potenciais de ionização do berílio. A remoção de apenas dois elétrons é, energeticamente, viável, e por isso, o berílio apresenta-se na forma de cátions bivalentes em seus compostos, o que está de acordo com a sua localização no grupo 2 da tabela periódica.

Quanto à variação dos potenciais de ionização na tabela periódica, pode-se utilizar o raio atômico para compreender esse padrão. Elementos com raios menores - aqueles mais acima e à direita na tabela periódica - têm o elétron de valência mais fortemente atraído pelo núcleo e, por isso, necessitam de maior energia para serem ionizados. Enquanto isso, os elementos de maiores raios atômicos têm elétrons de valência mais afastados e mais fracamente atraídos pelo núcleo e, por isso, menores potenciais de ionização. Com isso, os potenciais de ionização variam de maneira oposta aos raios atômicos.

Potencial de Ionização Variação dos potenciais de ionização na tabela periódica.

Atenção especial deve ser dada aos gases nobres, com valores consideravelmente elevados de P.I. Além de serem os átomos de menores raios atômicos de um mesmo período, apresentam uma camada de valência fechada (octeto completo), eletrosfera muito estável e nada afim de perder elétrons e ionizar.

Afinidade Eletrônica (A.E.) A afinidade eletrônica ou, ainda, eletroafinidade, é outro parâmetro energético que apresenta comportamento periódico em função de Z. Por definição, a afinidade eletrônica é a energia liberada no momento em que um elétron é adicionado a um átomo isolado e, no estado gasoso, com formação de um ânion. AFINIDADE ELETRÔNICA (A.E.) X0(g) + e(g)

X–(g)

Eletroafinidade = Energia liberada na adição de elétron a um átomo + A.E. isolado e gasoso (KJ/mol ou eV) Elétron Afinidade Eletrônica

K L M N Representação esquemática da Afinidade Eletrônica (A.E.)

Fleming 2023

QUÍMICA

285

Uma tendência natural observada na tabela periódica é que átomos de ametais tendem a receber elétrons com mais facilidade e, por isso, a adição de um elétron é mais espontânea e libera mais energia. Sendo assim, os elementos mais à direita da tabela periódica apresentam maiores eletroafinidades em módulo - valores mais negativos, uma vez que a energia é liberada - ao contrário dos metais, que preferem perder elétrons a ganhar. Os gases nobres merecem atenção também quanto a esse aspecto. Por apresentarem a camada de valência fechada com oito elétrons, não têm orbitais vazios suficientes para receber um elétron adicional. A adição de elétrons extras deveria ocorrer em subníveis muito mais energéticos e, portanto, torna-se improvável. Muito frequentemente, desprezam-se os gases nobres quanto à afinidade eletrônica.

Afinidade Eletrônica Afinidade Eletrônica (A.E.) e a variação na tabela periódica.

A adição de um número maior de elétrons é menos favorável, uma vez que cada elétron adicionado forma um ânion com carga cada vez mais negativa. Por isso, a adição de elétrons extras ocorre com cada vez menos energia liberada, e, algumas vezes, o processo é tão pouco espontâneo que absorve energia (energia positiva) ao invés de liberar.

Eletronegatividade (χ) Ao contrário do potencial de ionização (P.I.) e da afinidade eletrônica (A.E.) que são grandezas energéticas para a remoção ou adição de elétrons, respectivamente, a eletronegatividade (χ) é um parâmetro que mede a tendência que um átomo possui de atrair elétrons quando ligado a outro átomo por meio de ligação covalente. Analogamente, é como uma disputa de cabo de guerra - jogo em que dois adversários competem puxando uma corda - onde o ganhador é o átomo que atrai mais o par eletrônico em sua direção. ELETRONEGATIVIDADE (χ) Caráter Ametálico X + X

δ+

Y

Tendência que um átomo possui de atrair elétrons quando ligado a outro átomo

– Y Carga Parcial Negativa Y = mais eletronegativo δ-

Eletronegatividade

Distorção do orbital Eletronegatividade e a formação de cargas parciais.

Pelas propriedades apresentadas anteriormente, fica evidente que a tendência de atrair elétrons é maior pelos ametais, e, dessa forma, a eletronegatividade pode ser entendida como uma medida do caráter ametálico de um elemento. O elemento mais eletronegativo tende a atrair para si os elétrons compartilhados na ligação covalente, e, com isso, distorce a nuvem eletrônica em sua direção, propiciando a formação de uma carga “parcial” negativa (-δ). Essa carga é chamada de parcial, pois o elétron não é, definitivamente, removido do outro átomo participante da ligação. O par eletrônico é apenas deslocado em direção ao elemento mais eletronegativo. 286

QUÍMICA

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Diversas abordagens foram criadas pelos químicos no intuito de fornecer valores numéricos para a eletronegatividade. Os dois modos mais bem sucedidos são chamados de eletronegatividades de Mulliken (R. S. Mulliken) e a escala de Pauling, do mesmo autor do diagrama de distribuição eletrônica. A escala de Mulliken é baseada em uma expressão que leva em consideração uma média aritmética entre o potencial de ionização (P.I.) e a afinidade eletrônica (A.E.) do elemento envolvido para determinar a eletronegatividade (χ). Para Pauling, a eletronegatividade foi definida a partir da energia de ligação (energia necessária para quebrar a ligação covalente entre dois átomos unidos) entre átomos iguais em moléculas de substâncias simples (H2, Cl2, N2) ou átomos diferentes em moléculas de substâncias compostas (HCl, NH3). Pauling criou sua escala de eletronegatividades a partir dessas diferenças nas energias de ligações. Os valores consideram o flúor (F) como o elemento mais eletronegativo com χ próxima de 4,0, seguido do oxigênio (O) nitrogênio (N) e o cloro (Cl). É a partir de argumentos como a diferença de eletronegatividade que os químicos construíram os conceitos como polaridade da ligação e caráter da ligação, que serão estudados no próximo capítulo. Uma propriedade antagônica à eletronegatividade é a eletropositividade, definida como sendo a capacidade que um átomo possui de ceder elétrons quando ligado a outro átomo. Como metais apresentam maior eletropositividade do que ametais, a propriedade pode também ser denominada de caráter metálico. Na tabela periódica, o frâncio (Fr) pode ser considerado o elemento mais eletropositivo, ou seja, aquele com maior tendência a perder elétrons e formar cátions de metal. De maneira geral, os metais alcalinos (grupo 1) e os alcalinos terrosos (grupo 2) são os elementos de maior eletropositividade, ou seja, os elementos com maior caráter metálico.

Densidade A densidade ou massa específica de um elemento químico é também uma propriedade periódica. Como visto no capítulo 1 da frente B, a densidade é a razão entre a massa molar do elemento (massa atômica expressa em gramas) e o volume molar. A massa molar é constante para cada elemento, no entanto, o volume molar depende do raio atômico e da maneira como a substância simples é formada no estado sólido ou líquido nas suas diferentes variedades alotrópicas. Em um mesmo grupo, os elementos mais densos estão localizados abaixo, mesmo porque são os elementos mais pesados (de maior massa), enquanto que, nos períodos, os elementos mais densos estão localizados no centro, onde estão os metais mais coesos da tabela. O elemento ósmio (Os) é o mais denso com densidade de 22,5 g/cm3, seguido do irídio (Ir) cuja densidade é 22,4 g/cm3. A densidade é uma grandeza que depende da temperatura e pressão, pois essas variáveis afetam o volume dos elementos que podem sofrer dilatação. METAIS PESADOS

DENSIDADE Massa Específica d = Massa Volume

Os = 22,5 g/cm3 Ir = 22,4 g/cm3

Densidade

– Densidade > 4 g/cm3 – Tóxicos – Bioacumulação – Magnificação Trófica

Variação da densidade na tabela periódica e propriedades dos chamados metais pesados.

A densidade pode ser utilizada para definir, quimicamente, a classe dos metais chamados de pesados. São aqueles metais com densidade superior a 4,0 g/cm3, e que Fleming 2023

QUÍMICA

287

apresentam letalidade biológica por meio de diversos mecanismos de intoxicação. Não apresentam rota metabólica para excreção e podem concentrar-se ao longo da cadeia alimentar (magnificação trófica).

Pontos de Fusão e Ebulição As temperaturas nas quais um sólido derrete (ponto de fusão) e um líquido ferve (ponto de ebulição) são propriedades periódicas, mas que não são tão previsíveis como as anteriormente estudadas. Tais propriedades variam de maneira distinta, nos grupos, à esquerda e, nos grupos, à direita. Na tabela abaixo, são apresentados os valores de P.F. e de P.E. dos metais alcalinos (grupo 1) e de alguns halogênios (grupo 17). Nota-se que as temperaturas aumentam, de baixo para cima, nos metais (grupos à esquerda) e, de cima para baixo, nos grupos mais à direita. Entre elementos de um mesmo período o que observa-se é um aumento das extremidades para o centro. Grupo 1 Li Na K Rb

P.F. (ºC) 179,0 97,5 63,5 39,0

P.E. (ºC) 1372 892 774 679

Grupo 17 F Cl Br I

P.F. (ºC) -223 -101 -72 113,5

P.E. (ºC) -187 -34 58,8 184,4

* Pontos de fusão (P.F.) e de ebulição (P.E.) para alguns elementos.

Cabe salientar que as temperaturas de fusão e ebulição dependem de muitas variáveis, tais como, estrutura sólida, forças intermoleculares, arranjo cristalino ou amorfo, etc. Exemplos notáveis são o carbono (C), que, apesar de estar bem acima e à direita da tabela, possui P.F. de 3550 ºC e P.E. de 4827 ºC - na forma do alótropo diamante - e o tungstênio (W), no centro e abaixo da tabela, com P.F. de 3410 ºC e, impressionante, P.E. de 5660 ºC. É devido a esse elevado P.E. que o tungstênio é utilizado como filamento em lâmpadas incandescentes.

Ponto de Fusão Variação das temperaturas de fusão e ebulição na tabela periódica.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (ENEM) Na mitologia grega, Nióbia era a filha de Tântalo, dois personagens conhecidos pelo sofrimento. O elemento químico de número atômico (Z) igual a 41 tem propriedades químicas e físicas tão parecidas com as do elemento de número atômico 73 que chegaram a ser confundidos. Por isso, em homenagem a esses dois personagens da mitologia grega, foi conferido a esses elementos os nomes de nióbio (Z = 41) e tântalo (Z = 73). Esses dois elementos químicos adquiriram grande importância econômica na metalurgia, na produção de supercondutores e em outras aplicações na indústria de ponta, exatamente pelas propriedades químicas e físicas comuns aos dois. KEAN, S. A colher que desaparece: e outras histórias reais de loucura, amor e morte a partir dos elementos químicos. Rio de Janeiro: Zahar, 2011 (adaptado). 288

QUÍMICA

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A importância econômica e tecnológica desses elementos, pela similaridade de suas propriedades químicas e físicas, deve-se a: (A) terem elétrons no subnível f. (B) serem elementos de transição interna. (C) pertencerem ao mesmo grupo na tabela periódica. (D) terem seus elétrons mais externos nos níveis 4 e 5, respectivamente. (E) estarem localizados na família dos alcalinos terrosos e alcalinos, respectivamente. Gabarito: C O exercício explora o conceito mais relevante da classificação periódica: grupos ou famílias são as colunas e contêm elementos com propriedades muito semelhantes entre si.

2 (UPF) Leia as seguintes afirmações sobre a tabela periódica dos átomos dos elementos químicos e sobre as propriedades desses átomos.

I. Quando os elementos químicos são organizados em ordem crescente de número atômico, ocorre periodicidade em algumas de suas propriedades. II. Os elementos que se encontram na série lantanídea e actinídea são chamados de elementos de transição interna. III. A disposição dos elementos na tabela periódica é tal que aqueles com propriedades semelhantes ficam sempre num mesmo período. IV. Num período ou num grupo, a energia de ionização será tanto maior quanto maior for o raio atômico. Está correto apenas o que se afirma em: (A) II. (B) I e II. (C) I, II e III. (D) II e III. (E) III e IV. Gabarito: B A análise das afirmativas fornece: I. Verdadeiro. Esta é a afirmação da Lei Periódica de Moseley. II. Verdadeiro. Os lantanóides e actinóides - nomes sugeridos pela IUPAC - são os elementos do bloco f e denominados de elementos de transição interna. III. Falso. Elementos semelhantes são localizados em um mesmo grupo (colunas) e não em um mesmo período (linhas). IV. Falso. Quanto maior o raio atômico de um elemento, mais afastado e mais fracamente ligado estará o elétron de valência em relação ao núcleo. Por isso, átomos maiores precisam de menos energia para remoção desses elétrons e apresentam menores potenciais de ionização.

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QUÍMICA

289

3 (UFRGS) O gálio (Ga) é um metal com baixíssimo ponto de fusão (29,8 °C). O cromo (Cr) é um metal usado em revestimentos para decoração e anticorrosão, e é um importante elemento constituinte de aços inoxidáveis. O potássio e o césio são metais altamente reativos.

Assinale a alternativa que apresenta os átomos de césio, cromo, gálio e potássio na ordem crescente de tamanho. (A) Ga < Cr < K < Cs (B) Cs < Cr < K < Ga. (C) Ga < K < Cr < Cs. (D) Cr < Cs < K < Ga. (E) Ga < Cs < Cr < K. Gabarito: A Com o auxílio da tabela periódica fornecida na prova da UFRGS, localizam-se os elementos fornecidos identificando a ordem crescente de raios atômicos. Lembrando que os elementos de maior raio estão localizados mais abaixo e mais à esquerda da tabela periódica. 18

1 1

H

2

hidrogênio 1,008

2

3

4

Li

lítio 6,94 11

Na

13 14 15 16 17 5

Be

B

berílio 9,0122

boro 10,81

12

Mg

13

sódio 22,990

magnésio 24,305

3

4

5

19

20

21

22

23

K

potássio 39,098 37

Rb

Ca

cálcio 40,078(4) 38

Sr

rubídio 85,468

estrôncio 87,62

55

56

Cs

Ba

césio 132,91

bário 137,33

87

88

Fr

frâncio [223]

Ra

rádio [226]

Sc

escândio 44,956 39

Y

ítrio 88,906 57 - 71 Série dos Lantanídios 89 - 103

Ti

titânio 47,867 40

Zr

V

vanádio 50,942 41

Nb

6 7

8

9 10 11 12

24

26

27

Cr

crômio 51,996 42

Mo

25

Mn

Fe

ferro manganês 55,845(2) 54,938 43

Tc

44

Ru

Co

cobalto 58,933 45

Rh

28

Ni

níquel 58,693 46

Pd

29

Cu

cobre 63,546(3) 47

Ag

N

nitrogênio 14,007 15

P

O

oxigênio 15,999 16

S

9

F

flúor 18,998 17

Cl

enxofre 32,06

cloro 35,45

argônio 39,948

33

34

35

36

Ga

gálio 69,723 49

In

Ge

germânio 72,630(8) 50

Sn

As

arsênio 74,922 51

Sb

Se

Br

selênio 78,971(8)

bromo 79,904

52

53

Te

I

tecnécio [98]

rutênio 101,07(2)

ródio 102,91

paládio 106,42

prata 107,87

cádmio 112,41

índio 114,82

estanho 118,71

antimônio 121,76

telúrio 127,60(3)

iodo 126,90

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

Re

Os

Ir

Pt

Au

Hg

18

Ar

fósforo 30,974

32

74

W

Ne

neônio 20,180

silício 28,085

molibdênio 95,95

Ta

10

31

73

Hf

He

hélio 4,0026

alumínio 26,982

nióbio 92,906

Tl

Pb

Bi

Po

At

Kr

criptônio 83,798(2) 54

Xe

xenônio 131,29 86

Rn

háfnio 178,49(2)

tântalo 180,95

tungstênio 183,84

rênio 186,21

ósmio 190,23(3)

irídio 192,22

platina 195,08

ouro 196,97

mercúrio 200,59

tálio 204,38

chumbo 207,2

bismuto 208,98

polônio [209]

astato [210]

radônio [222]

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

Rf

Série dos rutherfórdio Actinídios [267]

57

La 89

actínio [227]

Db

dúbnio [268]

58

Ce

cério 140,12 90

Th

tório 232,04

Sg

seabórgio [269]

59

Pr

Bh

bóhrio [270]

60

Nd

praseodímio neodímio 144,24 140,91 91

Pa

protactínio 231,04

92

U

urânio 238,03

Hs

hássio [269]

61

Pm

promécio [145] 93

Np

netúnio [237]

Mt

Ds

Rg

Cn

meitnério darmstádio roentgênio copernício [278] [281] [281] [285]

62

Sm

samário 150,36(2) 94

Pu

plutônio [244]

63

Eu

európio 151,96 95

Am

amerício [243]

64

Gd

gadolínio 157,25(3) 96

Cm cúrio [247]

R.A.

ANOTAÇÕES

Fleming 2023

48

Cd

14

Si

8

72

Ac

QUÍMICA

Zn

zinco 65,38(2)

C

carbono 12,011

7

zircônio 91,224(2)

lantânio 138,91

290

30

Al

6

65

Tb

térbio 158,93 97

Bk

berquélio [247]

Nh

nihônio [286]

66

Dy

disprósio 162,50 98

Cf

califórnio [251]

Fl

fleróvio [289]

67

Ho

hólmio 164,93 99

Es

einstênio [252]

Mc

moscóvio [288]

68

Er

érbio 167,26 100

Fm

férmio [257]

Lv

livermório [293]

69

Tm

túlio 168,93 101

Md

mendelévio [258]

Ts

Og

tenessino oganessônio [294] [294]

70

Yb

itérbio 173,05 102

No

nobélio [259]

71

Lu

lutécio 174,97 103

Lr

lawrêncio [262]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFPR) Em 2019, foi comemorado o aniversário de 150 anos da primeira versão da tabela periódica proposta por Dmitri Mendeleev. Ele criou um sistema que, além de catalogar os elementos, permitiu prever propriedades em função da posição que o elemento ocupa na tabela. Em 1869, o sódio (Na) e o potássio (K) já constavam da primeira versão da tabela periódica. Na versão atual, esses elementos pertencem ao primeiro grupo, o dos metais alcalinos. Esses metais reagem de maneira violenta com água, na qual se produz gás hidrogênio, conforme esquematizado abaixo:

Em relação aos elementos químicos e às substâncias que compõem o corpo humano, é correto afirmar que:

2 M(s) + 2 H2O(l) → 2 MOH(aq) + H2(g), M = Na ou K

16. os carboidratos presentes no corpo humano são caracterizados pela presença de ligações metálicas. 32. os elementos Ca, P, N e Mg são classificados como metais alcalinos terrosos.

A propriedade comum a esse grupo, que é responsável pelo comportamento descrito em água, é o: (A) alto valor de densidade. (B) baixo valor de energia de ionização. (C) baixo valor de volume atômico. (D) alto valor de eletronegatividade (E) alto valor de afinidade eletrônica. 02. (UFSC) No corpo humano, proteínas, carboidratos, lipídios e ácidos nucleicos são constituídos por elementos como carbono, oxigênio, nitrogênio, hidrogênio, fósforo etc. Conforme ilustrado na figura ao lado, esses elementos estão entre os mais abundantes do corpo humano. 65% Oxigênio 9,5% Hidrogênio

18% Carbono

3,0% Nitrogênio 1% Fósforo 0,3% Enxofre 0,2% Cloro

01. o raio atômico do cloro é maior que o raio atômico dos elementos sódio e magnésio. 02. o raio do íon Cl– é maior que o raio dos íons Na+ e Mg2+. 04. nitrogênio e oxigênio apresentam maiores valores de energia de ionização do que sódio e potássio. 08. a glicose é um lipídio que tem fórmula molecular C6H12O6.

03. (UFRGS-2022) Em 2021, celebra-se o 154º aniversário de nascimento de Marie Curie e o 110º aniversário do Prêmio Nobel de Química, conquistado pela cientista franco-polonesa. Marie Curie foi a primeira mulher a ganhar o Prêmio Nobel e única pessoa a receber a láurea duas vezes em diferentes áreas da ciência, um de Física (1903), pelas descobertas no campo da radioatividade, e outro de Química (1911), pela descoberta dos elementos químicos Rádio e Polônio. Em 1935, foi a vez de Irène Joliot Curie, filha de Marie Curie e Pierre Curie a ganhar o Nobel de Química, pela descoberta da radioatividade artificial, tornando a família Curie a maior ganhadora de prêmios Nobel até hoje. Em relação aos elementos químicos rádio e polônio, considere as afirmações abaixo.

1,5% Cálcio

I. O raio atômico do rádio é menor do que o do polônio. II. O polônio é mais eletronegativo do que o rádio. III. Po2- e Ra2+ têm a mesma configuração eletrônica.

0,4% Potássio

Quais estão corretas?

0,2% Sódio

(A) Apenas I. (B) Apenas III. (C) Apenas I e II. (D) Apenas II e III. (E) I, II e III.

0,1% Magnésio

1000nm Partículas Grosseiras

1000 nm

Dispersões grosseiras ou suspensões e algumas propriedades.

Alguns exemplos comuns de suspensões incluem uma mistura de areia (SiO2) em água e o granito, rocha magmática composta especialmente pelos minerais quartzo (forma cristalina da SiO2), feldspato e mica. Apresentam aspecto distinto na rocha e podem ser observados facilmente como uma mistura heterogênea. 3.

COLÓIDES

Colóides ou suspensões coloidais são misturas intermediárias às soluções e suspensões. Apresentam aspecto microscopicamente heterogêneo, ou seja, a olho nu apresentam-se homogêneos, mas, com o auxílio de uma lente, é possível distinguir-se suas fases. As partículas dispersas são constituídas por estruturas com diâmetro entre 1 nm e 1000 nm. Trata-se de macromoléculas poliméricas ou micelas que são agregadas de átomos ou moléculas. Os sistemas coloidais podem ser classificados de acordo com o tamanho das partículas em monodispersos (partículas coloidais com um único tamanho) ou polidispersos (partículas coloidais com uma ampla distribuição de tamanhos).

COLÓIDES SOLUÇÕES

COLÓIDES

SUSPENSÕES

1 nm 1000 nm

No Partículas

Homogêneo φ disperso < 1 nm Átomos Íons Moléculas

1 nm

1000 nm

Heterogêneo φ disperso > 1000nm Partículas Grosseiras

Diâmetro/nm

Colóides e a distribuição do tamanho das partículas em um sistema polidisperso.

Fleming 2023

QUÍMICA

359

Colóides ainda podem ser classificados de acordo com os estados físicos do disperso e do dispersante. Na tabela abaixo, são apresentados os tipos de colóides e alguns dos inúmeros exemplos encontrados. Colóide Aerossol líquido Aerossol sólido

Disperso líquido sólido

Dispersante gás gás

Exemplo neblina, nevoeiro poeira, fumaça espuma de barbear, chantilly isopor, poliuretana leite, maionese manteiga/margarina (água em gordura), geleia (água em pectina), tintas tixotrópicas

Espuma

gás

líquido

Espuma sólida Emulsão

gás líquido

sólido líquido

Gel

líquido

sólido

Sol (Hidrossol)

sólido

líquido

sangue, tinta, pasta de dente

Sol sólido

sólido

sólido

vidros, plásticos pigmentados

* Classificação dos colóides de acordo com os estados físicos do disperso e do dispersante.

Na figura a seguir, estão apresentados dois exemplos importantes de sistemas coloidais: o leite, uma emulsão, com gotículas de lipídios disseminadas em água, e o sangue, um sol, com uma fase celular sólida (hemácias, plaquetas e leucócitos) disseminadas no soro aquoso.

Sangue = Sol

Leite = Emulsão

Leite e sangue. Sistemas coloidais e o aspecto microscopicamente heterogêneo de suas fases.

Na próxima seção, descrevem-se as principais características dos sistemas coloidais que auxiliam na diferenciação das soluções e suspensões. ANOTAÇÕES

360

QUÍMICA

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Efeito Tyndall Quando um feixe de luz atravessa uma solução, o meio apresenta-se opticamente transparente, ou seja, não impõem nenhum desvio ao feixe luminoso. No entanto, quando o mesmo feixe luminoso incide sobre um sistema coloidal, observa-se a trajetória do feixe. Esse evento luminoso é denominado de efeito Tyndall. Foi descrito pela primeira vez por M. Faraday em 1857, mas foi J. Tyndall quem o explicou: as partículas coloidais apresentam diâmetro da mesma ordem de grandeza dos comprimentos de onda da luz visível (400 - 700 nm) e, por essa semelhança, podem espalhar a luz evidenciando sua trajetória. O espalhamento da luz é um fenômeno óptico complexo, no qual ocorrem reflexões e difrações simultaneamente.

J. Tyndall.

Lanterna Solução

Coloide

Efeito Tyndall e o espalhamento do feixe luminoso por um sistema coloidal.

Movimento Browniano Quando o botânico R. Brown (1827) observava uma suspensão de pólen em água com o auxílio de um microscópio, notou que as partículas dispersas apresentavam um movimento caótico (randômico, aleatório) e contínuo motivado pela agitação térmica das moléculas do dispersante que colidem com as partículas do disperso.

Química e Medicina

Movimento Browniano.

Quanto menores as partículas coloidais, mais intenso será o movimento browniano, assim como a temperatura também intensifica o movimento. O movimento complexo em zigue-zague foi descrito teoricamente por A. Einstein e depende, além da temperatura anteriormente citada, do raio da partícula coloidal e da viscosidade - capacidade de resistir ao escoamento - do meio. Devido ao seu incessante movimento, as partículas coloidais tendem a distribuir-se por toda a fase dispersante. Esse evento é chamado de difusão e, por terem partículas maiores, os colóides difundem mais lentamente que soluções de líquidos ou gases.

Diálise A diálise está fundamentada na capacidade que membranas semi-permeáveis (por exemplo, papel celofane) têm de reter partículas coloidais enquanto moléculas e íons pequenos as atravessam. Trata-se de um método útil na separação e purificação de colóides. A diálise é um processo bastante lento, mas pode ser intensificado pelo uso de um campo elétrico que influencia a carga portada por muitas das partículas coloidais. Nesse caso, o processo é denominado de eletrodiálise.

Hemodiálise é um procedimento de purificação do sangue na qual uma máquina (dialisador) remove toxinas do sangue, fazendo parte do trabalho que um rim doente não executa. As pessoas que necessitam de hemodiálise são aquelas com insuficiência renal e, no tratamento, que pode ser feito em até três sessões de 4 horas por semana. Seu mecanismo de funcionamento baseia-se na filtragem do sangue por essa membrana semipermeável a partir do processo de difusão, na qual se utiliza um fluido de diálise com concentrações de íons diferentes da do sangue e que tem o intuito de promover a retirada de íons que estiverem em excesso no sangue e o retorno daqueles que estiverem em poucas quantidades. A membrana semipermeávei ainda possui poros pequenos o suficiente para não permitir a passagem de células e protéinas, protegendo o sangue da perda desses componentes. A membrana semipermeável utilizada pode ser tanto artificial (como na hemodiálise) quanto natural, que é o que acontece na diálise peritoneal, na qual a membrana semipermeável utilizada é o próprio peritônio do paciente (membrana que reveste a parede abdominal). Fleming 2023

QUÍMICA

361

DIÁLISE

Corrente sanguínea

Fluido de diálise

Toxinas metabólicas, ureia, pequenas proteínas Células sanguíneas

Moléculas de água

Membrana de dialisador

Eletrólitos como sódio, magnésio

Diálise e a retenção de partículas coloidais por uma membrana semi-permeável.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(ENEM) O principal componente do sal de cozinha é o cloreto de sódio, mas o produto pode ter aluminossilicato de sódio em pequenas concentrações. Esse sal, que é insolúvel em água, age como antiumectante, evitando que o sal de cozinha tenha um aspecto empedrado. 1

O procedimento de laboratório adequado para verificar a presença do antiumectante em uma amostra de sal de cozinha é o(a): (A) realização do teste de chama. (B) medida do pH de uma solução aquosa. (C) medida da turbidez de uma solução aquosa. (D) ensaio da presença de substâncias orgânicas. (E) verificação da presença de cátions monovalentes. Gabarito: C A transparência é a melhor medida da solubilidade de um soluto em um certo solvente. Quando um sistema encontra-se turvo, é um indício de que temos um sistema coloidal e não uma solução.

2 (UFRGS) O sal de cozinha (cloreto de sódio) tem solubilidade de 35,6 g em 100 ml de água em temperatura próxima a 0 ºC. Ao juntar, em um copo, 200 ml de água a 0,1 ºC, três cubos de gelo e 80 g de cloreto de sódio, o número de componentes e fases presentes no sistema, imediatamente após a mistura, será:

(A) três componentes e quatro fases. (B) dois componentes e duas fases. (C) dois componentes e três fases. (D) três componentes e duas fases. (E) um componente e uma fase. Gabarito: C A solubilidade do NaCl em 200 ml de água é de 71,2 g de sal em temperaturas próximas de 0 ºC. Como são adicionados 80 g de sal em 200 mL de água, apenas parte dele se dissolve, ficando o restante na forma de um precipitado. Com isso, teremos um sistema com dois componentes (água e sal), e três fases (gelo, água com sal dissolvido e sal precipitado). 35,6 g – 100 mL x – 200 ml x = 71,2 g de NaCl 362

QUÍMICA

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (FGV) Em um experimento na aula de laboratório de química, um grupo de alunos misturou em um recipiente aberto, à temperatura ambiente, quatro substâncias diferentes: Substância Quantidade Polietileno em 5g pó Água 20 mL Etanol 5 mL Grafite em pó 5g

ANOTAÇÕES

Densidade (g/cm3) 0,9 1,0 0,8 2,3

Nas anotações dos alunos, consta a informação correta de que o número de fases formadas no recipiente e sua ordem crescente de densidade foram, respectivamente: (A) 2; mistura de água e etanol; mistura de grafite e polietileno. (B) 3; polietileno; mistura de água e etanol; grafite. (C) 3; mistura de polietileno e etanol; água; grafite. (D) 4; etanol; polietileno; água; grafite. (E) 4; grafite; água; polietileno; etanol. 02. (ENEM) Um laudo de análise de laboratório apontou que amostras de leite de uma usina de beneficiamento estavam em desacordo com os padrões estabelecidos pela legislação.Foi observado que a concentração de sacarose era maior do que a permitida. Qual teste listado permite detectar a irregularidade descrita? (A) Determinação da cor. (B) Medida da condutividade. (C) Medida da densidade. (D) Determinação do pH. (E) Medida da turbidez.

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SEPARAÇÃO DE MISTURAS

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Dificilmente uma substância será encontrada na natureza em sua forma pura. A maioria das substâncias são observadas misturadas com outras em maior ou menor quantidade. O próprio ar atmosférico é constituído, majoritariamente, pelo gás nitrogênio (N2), mas também encontra-se combinado com o gás oxigênio (O2) e o gás nobre argônio (Ar) em menores proporções. A água existente em todo o planeta não está na forma de composto puro e, na maioria das vezes, encontra-se misturada com diversos sais, especialmente o cloreto de sódio (NaCl) nos oceanos e mares. A área da Química que se dedica a separação de misturas, ou se preferir, purificação de substâncias, é a Química Analítica. O nome provém do termo análise, que consiste no método a ser utilizado para separar os componentes puros de uma mistura. A análise química pode ser imediata ou elementar. Na primeira, os componentes puros são extraídos de uma mistura, por exemplo, o sal é removido da água do mar. Na análise elementar, como o nome sugere, um composto é separado em seus elementos, como na eletrólise da água (H2O) que é separada em gás hidrogênio (H2) e gás oxigênio (O2). Neste capítulo, são apresentados os principais processos, mecânicos ou químicos, utilizados na análise imediata de misturas. Muitas vezes, mais do que um método pode ser útil na separação de uma mistura, no entanto, opta-se por aquele mais eficiente e com menor gasto energético. 1.

Capítulo 4

CATAÇÃO

É o método manual e rudimentar para separação de misturas heterogêneas de sólidos. É um dos métodos mais simples de separação de misturas. Os sólidos separados por catação devem apresentar diferentes aspectos, como tamanhos de partículas, formatos dos grãos ou cores. Por exemplo, a escolha de grãos de feijão separados da sujeira é realizada por catação. Um exemplo clássico de catação foi realizado pelo bioquímico francês L. Pasteur, que ao separar os cristais quirais do ácido tartárico presente, no vinho, inaugurou uma área inteira da Química denominada estereoquímica ou isomeria espacial. Nota-se ainda que, a catação é um método físico, ou seja, não envolve reações químicas, e que é utilizado para separar misturas heterogêneas envolvendo sólidos.

1. Catação 2. Peneiração ou Tamisação 3. Levigação 4. Filtração 5. Decantação 6. Dissolução e Cristalização Fracionadas 7. Extração com solvente (Partição) 8. Destilação 9. Separação Magnética 10. Flotação 11. Cromatografia 12. Estação de Tratamento da Água

H8 - Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recuros naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos. H19 - Avaliar métodos, processos ou procedimentos das ciências naturais que contribuem para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica ou ambiental.

d(+) – Ác. Tartárico

l(–) – Ác. Tartárico Cristais quirais de ácido tartárico separados por catação. O par de cristais corresponde a um objeto e sua imagem no espelho. L. Pasteur

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2.

PENEIRAÇÃO OU TAMISAÇÃO

A peneiração também permite a separação de misturas entre sólidos com diferentes tamanhos de partículas. Com o uso de uma peneira, os grãos maiores são retidos enquanto os menores passam pelos orifícios (trama) da peneira. Com movimentos circulares da peneira, a tamisação fica mais efetiva. O processo é utilizado na construção civil para separar a areia grossa da fina, na culinária para peneirar a farinha em grãos, cada vez mais finos, e em muitos outros processos da indústria química e alimentícia.

A peneira separa sólidos com diferentes granulometrias.

3.

LEVIGAÇÃO

Na levigação, a mistura heterogênea de sólidos é separada por diferenças nas densidades dos constituintes. Por meio de um fluxo d’água, a substância menos densa é arrastada e separada da mistura. O exemplo mais importante de levigação é o da separação do ouro de aluvião, uma mistura de ouro pulverizado (em pó) com areia, encontrado nos leitos dos rios. O procedimento é realizado na beira do próprio rio com uma bateia - bacia rasa na qual a mistura é depositada. O garimpeiro deixa passar a corrente de água que arrasta a areia (d = 2,3 g/cm3) ficando o ouro puro retido (d = 19,3 g/cm3). Uma maneira de favorecer a levigação é despejar o mercúrio líquido (Hg) sobre a mistura. O metal forma uma liga com o ouro (amálgama) muito mais densa e que facilita a levigação. Na sequência, a amálgama é separada por aquecimento e evaporação do mercúrio que, por tratar-se de um metal pesado e tóxico, produz grave dano ambiental. Levigação Mistura Heterogênea Sólidos com diferentes densidades

Ventilação Separados por um fluxo de Ar

Separados por um fluxo de água

Amendoim das cascas Ouro de Aluvião Areia Ouro 2,5g/cm3

19,3g/cm3

Levigação do ouro de aluvião (mistura de ouro e areia).

Quando, ao invés do fluxo de água, é utilizada uma corrente de ar o processo é denominado de ventilação. A ventilação é comumente utilizada na separação de cascas das sementes e dos grãos. 366

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4.

FILTRAÇÃO

Um método bastante simples para a remoção de sólidos dispersos em líquidos é a filtração. O filtro, uma membrana porosa com diâmetro de poro específico, permite a passagem do líquido e retém as partículas sólidas. O filtro pode ser adaptado a um funil como suporte que permite o escoamento mais rápido do fluido. Alguns filtros residenciais não utilizam, necessariamente, um papel filtro. Filtros de torneiras são preenchidos com carvão ativo - carbono amorfo - um sólido poroso que atua como uma membrana seletiva. O carvão ativo e outros sólidos porosos são capazes de reter em sua superfície moléculas indesejáveis provenientes do tratamento da água. Por exemplo, clorofórmio (CHCl3) e diclorometano (CH2Cl2) são haletos orgânicos tóxicos formados como subprodutos da desinfecção da água por cloro (Cl2) em estações de tratamento. O fenômeno no qual moléculas são retidas na superfície de um sólido poroso é chamado de adsorção e ocorre por meio de vários tipos de forças intermoleculares.

Adsorção

Funil com papel filtro e esquema da adsorção de moléculas por filtros porosos.

Muitas vezes a filtração ocorre de maneira lenta, e, para acelerar o processo, adapta-se uma bomba de vácuo no recipiente que coleta o líquido filtrado. Com vácuo no recipiente interno, a própria pressão atmosférica torna-se efetiva e a filtração fica mais rápida. O processo passa então a ser chamado de filtração a vácuo. 5.

DECANTAÇÃO

A decantação é utilizada para separar misturas heterogêneas de sólidos dispersos em líquidos ou dispersões de líquidos em líquidos. A propriedade utilizada é a densidade, que deve ser apreciavelmente diferente entre os constituintes para permitir decantação. Na decantação, o componente mais denso deposita-se (sedimenta-se) no fundo do recipiente por meio da ação da gravidade. Trata-se de um processo lento, no qual o depositado é chamado de precipitado ou corpo de fundo, enquanto o líquido superficial é o sobrenadante. Muitas vezes, a decantação é bastante lenta, e o processo pode ser acelerado por meio de uma centrifugação. No aparelho chamado centrifugadora, a amostra a ser decantada é submetida a um movimento circular. No movimento circular, as partículas mais densas da amostra se depositam distalmente ao centro da trajetória, podendo ser separadas. Esse método é utilizado na separação do sangue em parte celular (hemácias, leucócitos e plaquetas) e plasma sanguíneo, e na separação do leite em manteiga (sobrenadante) e o leite desnatado (precipitado).

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Após a separação das duas fases, por meio de decantação simples ou centrifugação, a substância sobrenadante deve ser removida da mistura. Duas técnicas principais permitem essa remoção: o uso de um funil de separação (funil de bromo) que contém na extremidade uma torneira que permite o escoamento do líquido mais denso e retenção do líquido menos denso, e a sifonação. Na sifonação, a diferença de pressão entre os dois ramos do tubo em “U” permite a remoção do líquido sobrenadante. Para que a sifonação funcione é preciso uma diferença de altitude entre os dois frascos, o que permite uma diferença de pressão hidrostática.

Decantação Misturas heterogêneas Diferentes densidades

Tempo Funil de Bromo

Sifonação

Centrifugação

Sifão plasma (55%) células brancas e plaquetas (4%) células vermelhas (41%)

Líquido + líquido Líquido

Decantação e centrifugação.

Um exemplo clássico de separação por decantação é o abrandamento da água dura. Em algumas regiões de solo dolomítico - rico em dolomita CaMg(CO3)2 - a água utilizada é rica em íons cálcio Ca2+ e Mg2+ dissolvidos. Esses íons são completamente solúveis em água e mudam as propriedades dessa substância. A água dura é salobra (salgada), não faz espuma com sabões e detergentes e não pode ser utilizada para fins domésticos e industriais. Uma alternativa para a purificação dessa água é adicionar Ca(OH)2 e Na2CO3, que promovem reações químicas formando como produtos CaCO3 e Mg(OH)2, muito pouco solúveis. Esses produtos então decantam pela ação da gravidade.

DISSOLUÇÃO E CRISTALIZAÇÃO FRACIONADAS 6.

A solubilidade de uma substância em água é determinada pelo seu coeficiente de solubilidade (C.S.), o qual expressa a massa de soluto em gramas que pode ser dissolvida em 100 gramas de água em uma dada temperatura. A partir dessa consideração, pode-se separar uma mistura de sólidos por diferenças nas suas solubilidades. Por exemplo, uma mistura de cloreto de sódio (NaCl) e areia (SiO2), ambos sólidos, pode ser separada com a adição de água. O sal, que é muito mais solúvel em água, dissolve-se enquanto a areia não. Após a dissolução do sal, a areia pode ser removida por filtração simples. O processo oposto à dissolução fracionada, mas que utiliza o mesmo princípio de solubilidade, é a cristalização ou precipitação fracionada. Por exemplo, a água do mar contém inúmeros sais com diferentes solubilidades. Quando uma quantidade dessa água é coletada em um tanque e submetida a evaporação, a quantidade de água diminui e os componentes menos solúveis acabam precipitando. No caso dos componentes da tabela, o primeiro a sedimentar seria o carbonato de cálcio (CaCO3), que é o menos solúvel. Soluto Brometo de sódio Carbonato de cálcio Cloreto de sódio Cloreto de magnésio Sulfato de magnésio Sulfato de cálcio

Fórmula NaBr CaCO3 NaCl MgCl2 MgSO4 CaSO4

*Componentes da água do mar e suas respectivas solubilidades.

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Solubilidade (g/100 g H2O) 120,0 0,0013 36,0 54,1 36,0 0,068

EXTRAÇÃO COM SOLVENTE (PARTIÇÃO) 7.

Uma substância líquida - chamada solvente - pode ser utilizada para remover um dos componentes da mistura com o qual tenha maior afinidade, e, por conseguinte, maior solubilidade. O princípio aqui é que “semelhante dissolve semelhante”. A água é um solvente polar (como estudado no capítulo 5 da frente B) e, por isso, é capaz de dissolver outras substâncias polares. Por outro lado, solventes apolares são capazes de dissolver outras substâncias apolares. Os principais exemplos de solventes apolares são: hexano (C6H14), benzeno (C6H6), tetracloreto de carbono (CCl4) e clorofórmio (CHCl3). Vários tipos de misturas podem ser separados por extração com solvente e os exemplos mais clássicos são: – Extração dos componentes do café e do chimarrão por meio da extração com água e posterior filtração. Dentre os principais componentes extraídos do café pela água, encontram-se a cafeína e outras xantinas (responsável pelo amargor e pelas propriedades estimulantes), ácidos orgânicos como o cafeico, vanílico e flavonóides (responsáveis pelo sabor e odor) e tiamina e caroteno (vitaminas). – Extração do etanol (C2H5OH) utilizado como aditivo na gasolina. No Brasil, a adição de etanol (álcool etílico) na gasolina é obrigatória por lei desde 2015, sendo o teor máximo permitido de 27%. Uma das maneiras de verificar esse teor (percentual) é fazer a extração do álcool por meio de uma solução salina (água + NaCl). Para tanto, adicionam-se 50 ml de gasolina aditivada em um frasco graduado (proveta) e adicionam-se mais 50 ml de solução salina. Sob agitação, o etanol dissolvido na gasolina é extraído para a fase aquosa, uma vez que essa substância é bem mais solúvel em água. O sal serve para aumentar a polaridade e a densidade do sistema aquoso, o que facilita o processo de extração e posterior decantação. Após a agitação, a mistura é deixada em repouso e a fase aquosa - mais densa - decanta-se, agora com um volume maior por conta do etanol extraído. Extração com solvente Extração do etanol da gasolina H3C – CH2 – OH C7H14 C8H16

50 mL de H2O/NaCl AGITAR Gasolina com Álcool = 50 mL

Uma substância líquida pode ser utilizada para ''retirar'' um dos componentes com maior afinidade. Gasolina pura 40 mL Menos densa H2O/NaCl + Etanol = 60 mL

Teor de Etanol: 50 mL – 100% 10 mL – x% x = 20%

Extração do etanol utilizado como aditivo na gasolina.

A remoção do etanol presente na gasolina é explicada por meio de forças intermoleculares fortes (ligações de hidrogênio) que surgem entre as moléculas do álcool e as moléculas de água na fase aquosa. 8.

DESTILAÇÃO

A destilação é um dos métodos mais eficientes na separação de misturas homogêneas líquidas ou heterogêneas de sólido em líquido e está fundamentada nas diferentes temperaturas de ebulição dos seus componentes. A mistura é submetida a aquecimento e seus componentes fervem em diferentes temperaturas. O constituinte com menor ponto de Fleming 2023

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ebulição ferve e é coletado em um tubo de vidro comprido resfriado por água corrente ao redor (condensador). Os vapores da substância destilada são resfriados e então recolhidos. Destilação

H2O(v) H2O(l) + NaCl

Calor

Destilação da salmoura. A água (P.E. = 100 ºC) é separada do NaCl (P.E. = 1465 ºC) sob aquecimento. Os vapores d’água são resfriados no condensador e posteriormente recolhidos.

Quando a destilação, como no exemplo acima, é capaz de separar apenas um líquido da mistura, será chamada de destilação simples. Quando dois ou mais líquidos puderem ser separados da mistura o procedimento recebe o nome de destilação fracionada. Exemplo muito importante de destilação fracionada é a separação dos componentes do petróleo. O petróleo é uma mistura rica em hidrocarbonetos (compostos formados exclusivamente por carbono e hidrogênio) que podem ser separados em misturas com menor número de componentes - as denominadas frações do petróleo - por meio de diferenças nos pontos de ebulição. Esses componentes não podem ser separados um a um, pois apresentam temperaturas de ebulição bastante próximas. A destilação fracionada é realizada em uma refinaria de petróleo e conta com uma coluna de fracionamento que possibilita o processo. Na destilação, as moléculas menores (com menos carbonos) têm menores pontos de ebulição e são destiladas primeiro. Quanto maior o tamanho da cadeia carbônica do componente, maior será seu ponto de ebulição, pois mais intensas são suas forças intermoleculares. As principais frações do petróleo também são apresentadas na figura abaixo. DESTILAÇÃO FRACIONADA PETRÓLEO

gás

Fração

Número de carbonos

< 25OC

Gás

de 1 a 4

< 25-60OC

gasolina

Gasolina

de 5 a 10

< 60-180OC

nafta

Querosene

de 12 a 18

< 180-220 C

parafina

Óleo diesel

de 15 a 25

< 220-250OC

diesel

Óleo lubrificante

acima de 17, com estruturas cíclicas

< 250-300OC

óleo combustível

< 300-350OC

Resíduo sólido: parafinas, ceras, asfalto, piche

óleo lubrificante

mais de 20

O

< 350 C O

óleo cru

forno

piche

Destilação fracionada do petróleo e suas principais frações.

Convém ressaltar que, embora não completamente eficiente, a destilação fracionada também pode ser utilizada para separar os componentes de uma mistura azeotrópica, como o álcool hidratado. Como essa mistura apresenta um ponto de ebulição constante, a fração que ferve tem maior teor de etanol (componente mais volátil), mas é sempre acompanhada de uma certa fração de água. Em outras palavras, a destilação fracionada não é totalmente eficiente na separação dos componentes de um azeotrópico. Uma destilação alternativa é a destilação por arraste de vapor, muito utilizada na farmacêutica e perfumaria para extração de óleos essenciais em amostras vegetais. Nessa técnica, faz-se passar vapor d’água sobre a amostra da mistura, sólida e macerada (triturada), e os componentes mais voláteis são carregados pelo vapor d’água. Esses 370

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vapores são então condensados e recolhidos em um recipiente. Como a fase aquosa tem diferente polaridade da fase volátil, que geralmente é apolar, uma mistura heterogênea é obtida: a fase oleosa e a fase aquosa. A fase oleosa contém as substâncias de interesse e seus componentes são chamados de óleos essenciais. Destilação por arraste de vapor H2O (vapor) Condensador

Amostra vegetal

Óleo essencial

Destilação por arraste de vapor.

9.

SEPARAÇÃO MAGNÉTICA

A separação magnética utiliza diferentes propriedades magnéticas para separar substâncias por meio de um campo magnético externo (ímã). Na prática, utiliza o fato de que algumas substâncias são atraídas por um ímã, enquanto outras não são atraídas ou são até mesmo repelidas. Tais propriedades são explicadas por meio da orientação dos spins eletrônicos (capítulo 2 frente A). Quando dois elétrons ocupam o mesmo orbital, seus spins são opostos ou antiparalelos. Segundo o eletromagnetismo, qualquer partícula carregada em movimento produz um campo magnético. No caso de dois elétrons em um mesmo orbital (spins opostos), ocorrerá uma compensação das forças magnéticas. Entretanto, se na distribuição eletrônica do elemento existirem elétrons desemparelhados (celibatários), esses elétrons podem ser orientados por um campo magnético externo, o que produz a atração por ímã. Quanto ao magnetismo, as substâncias são classificadas em: – Paramagnéticas: as substâncias possuem alguns elétrons celibatários que alinham seu spin de maneira oposta ao campo magnético externo, promovendo uma fraca atração. Exemplos: sódio (Na) e alumínio (Al). – Diamagnetismo: elementos que não possuem elétrons desemparelhados não têm como alinhar spins em relação ao campo magnético externo e apresentam repulsão fraca em relação ao ímã. Exemplos: cálcio (Ca), argônio (Ar) e magnésio (Mg). – Ferromagnetismo: espécies com muitos elétrons desemparelhados são fortemente atraídos por campo magnético externo. Exemplos: ferro (Fe), cobalto (Co) e níquel (Ni). Um principal exemplo de separação magnética ocorre em processos de separação de sucatas. As peças que contém ferro e aço (uma liga de ferro e carbono) podem ser separadas das peças de plásticos pela ação de um poderoso eletroímã enquanto passam por uma esteira.

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Separação Magnética Misturas heterogêneas Substâncias com diferentes propriedades magnéticas

Exemplo: Sucatas

PARA-magnético DIA-magnético Atraído por imã Repelido por imã Na, Al, N Ca, Ar, Mg Ferromagnético Forte atração magnética Fe, Co, Ni 0 2 2 6 2 6 2 6 26Fe = 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d

elétrons celibatários

Separação Magnética.

10.

FLOTAÇÃO

A flotação, do inglês flotation, que significa flutuar, é utilizada para separar misturas sólidas heterogêneas de componentes com diferentes densidades. Considere, por exemplo, uma mistura de areia e serragem. A adição de um fluido, nesse caso a água, com densidade intermediária a dos dois sólidos, permite que um componente flutue enquanto o outro deposita-se. Flotação Exemplo: Polímeros Polímero Mistura heterogênea Sólidos com diferentes Polipropileno (PP) densidades Separados por um fluido de densidade intermediária

Serragem Areia

Densidade (g/cm3) 0,90 - 0,91

Polietileno de alta densidade (PEAD)

0,95 – 0,96

Poliestireno (PS)

1,04 - 1,05

Policloreto de vinila (PVC)

1,16 – 1,58

Politeraftalato de etileno (PET)

1,29 – 1,40

Serragem H2O Areia Flotação.

1 = Poli (tereftalato de etileno) 2 = Poloetileno de alta densidade 3 = Poli (cloreto de vinila) 4 = Polietileno de baixa densidade 5 = Polipropileno 6 = Poliestireno 7 = Outros

O método é particularmente importante na separação de polímeros (plásticos) antes do processo de reciclagem. Por meio da flotação, os diferentes tipos de polímeros podem ser separados e, com isso, a reciclagem torna-se mais seletiva. Por exemplo, para separar poliestireno (PS) encontrado no isopor, com densidade de 1,05 g/cm3, do policloreto de vinila (PVC), utilizado na confecção de tubos hidráulicos e com densidade média de 1,37 g/cm3, trituram-se os dois materiais e adiciona-se a um tanque contendo solução salina (H2O + NaCl) com densidade intermediária, por exemplo de 1,15 g/cm3. Repare que, nesse caso, em particular a água pura não seria capaz de promover a separação, uma vez que tem densidade inferior a dos dois polímeros. 11.

CROMATOGRAFIA

Cromatografia é uma técnica que permite a separação de misturas por meio da afinidade seletiva das substâncias constituintes por um solvente (fase móvel) e uma superfície 372

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sólida (fase estacionária). A expressão tem origem na palavra grega chroma, que significa cor, uma alusão aos pigmentos que originalmente foram separados por essa técnica. Na técnica, a mistura é depositada em uma fase fixa ou estacionária (papel ou coluna recheada por sílica), e uma fase móvel flui continuamente sobre a mistura. A escolha apropriada da fase estacionária e da fase móvel, além de outras variáveis, permite que os constituintes da mistura sejam arrastados diferencialmente. Aqueles que interagem pouco com a fase estacionária são arrastados mais facilmente, e aqueles com maiores interações ficam mais retidos. As interações envolvidas devem-se a todo o tipo de forças intermoleculares: ligações de hidrogênio, dipolo-dipolo, forças de dispersão, etc. Tais interações serão abordadas no capítulo 1, frente B do livro 2. CROMOTOFGRAFIA

Fase estacionária PAPEL (CELULOSE) SÍLICA

Componentes que têm maior afinidade pelo solvente são arrastados mais facilmente. Os componentes mais afim da fase estacionária ficam retidos por absorção.

Mistura sob análise FASE MÓVEL SOLVENTES ORGÂNICOS Cromatografia em papel e em coluna.

Em geral, a fase estacionária é papel (celulose) e é uma substância bastante polar. Por isso, componentes da mistura que têm maior polaridade (presença de muitos grupos polares como -OH e -NH2) ficam mais retidos e situados na base da fase estacionária. 12.

ESTAÇÃO DE TRATAMENTO DA ÁGUA

As técnicas empregadas nas estações de tratamento da água são bastante específicas e merecem uma seção especial. A água é inicialmente coletada em um manancial (barragem, lago, rio, represas e lençóis freáticos) e passa por diversas etapas até tornar-se potável.

1

6 7 2

4 3

1. Filtração Grosseira 2. Coagulação 3. Floculação 4. Decantação 5. Filtração Fina 6. Cloração 7. Fluoração

5

E.T.A ESTAÇÃO DE TRATAMENTO DA ÁGUA Etapas na estação de tratamento de água (ETA).

A água captada do manancial passa, na etapa 1, por uma filtração grosseira, na qual objetos maiores como galhos de árvores, folhas, plásticos, e papelão são removidos por meio de grades que atuam como filtros. As etapas 2, 3 e 4 são as mais importantes para o processo de purificação e ocorrem de maneira consecutiva. Na etapa 2, a coagulação, são adicionados agentes químicos como o sulfato de alumínio (Al2(SO4)3) ou o cloreto de ferro (III) (FeCl3), que promovem, por meio de reações químicas, a formação de substâncias gelatinosas Fleming 2023

QUÍMICA

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(Al(OH)3 e Fe(OH)3) que aderem a sua superfície partículas de sujeira. Na coagulação, as partículas de sujeira encontram-se adsorvidas - retidas na superfície - e, aos poucos, formam agregados cada vez maiores. Esses agregados formam flocos (floculação) que, quando, tornam-se mais densos, decantam-se, processo chamado de sedimentação. Al2(SO4)3 + 6H2O → 2Al(OH)3 + 3H2SO4 FeCl3 + 3H2O → Fe(OH)3 + 3HCl Sujeira Al(OH)3

Micelas

Coagulação, floculação e sedimentação por agentes químicos.

Após esse procedimento todo, a água encontra-se límpida, mas ainda apresenta pequenas partículas suspensas. Esse sistema então é encaminhado para uma filtração mais fina. O filtro fino consiste em camadas de materiais com diferentes porosidades: areia, cascalho e carvão ativado. As etapas finais do processo incluem a cloração e a fluoretação. Na cloração ou desinfecção, o gás cloro (Cl2) ou o sal hipoclorito de sódio (NaClO) reage efetivamente com a água segundo as equações da figura abaixo. O agente desinfectante ativo é o ácido hipocloroso (HClO) e ele é o responsável por eliminar bactérias, vírus, protozoários e outros agentes patogênicos. Algumas vezes, é utilizado o gás ozônio (O3). Cl2 + H2O → HClO + HCl NaOCl + H2O → HClO + NaOH Equações envolvidas na etapa de cloração.

A fluoretação é uma técnica de saúde pública e recomendada pela Organização Mundial de Saúde (OMS) utilizada na prevenção de cáries na população. Os principais agentes fluoretantes são o fluossilicato de sódio (Na2SiF6) e o ácido fluossilícico (H2SiF6). O teor médio de ânions fluoreto (F-) é de 0,8 mg/L. A eficiência do fluoreto, no combate às cáries, deve-se à formação de um composto mineral mais resistente do que a hidroxiapatita, mineral que reveste os dentes. Os íons fluoretos (F-) substituem os ânions hidroxila (OH-) na matriz mineral e formam a fluorapatita. Esmalte 97%

Dentina 70%

Dentina exposta

Polpa

HIDROXIAPATITA

Flureto

FLUORAPATITA

Ca10(PO4)6(OH)2

F

Ca10(PO4)6F2

–

Formação da fluorapatita, mineral mais resistente que a hidroxiapatita, constituinte do esmalte que reveste os dentes.

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFPR) A extração de petróleo em águas profundas segue basicamente três etapas: i)

perfuração, utilizando uma sonda; ii) injeção de água pressurizada, que extrai o petróleo das rochas subterrâneas; e iii) separação do petróleo misturado com água e pedaços de rochas. A terceira etapa é realizada por meio dos métodos de: (A) decantação e filtração. (B) extrusão e evaporação. (C) sedimentação e flotação. (D) destilação e centrifugação. (E) evaporação e cromatografia. Gabarito: A Na etapa III, o petróleo, que é menos denso e insolúvel em água, deve ser separado por decantação em tanques apropriados. Os pedaços de rochas, por sua vez, podem ser filtrados e removidos da mistura.

2 (ENEM) Uma forma de poluição natural da água acontece em regiões ricas em dolomita (CaCO3MgCO3). Na presença de dióxido de carbono (dissolvido na água), a dolomita é convertida em Ca(HCO3)2 e MgCO3, elevando a concentração de íons Ca2+ e Mg2+ na água. Uma forma de purificação dessa água, denominada água dura, é adicionar Ca(OH)2 e Na2CO3 a ela. Dessa forma, ocorre uma série de reações químicas gerando como produto final CaCO3 e Mg(OH)2, que são menos solúveis que o Ca(HCO3)2 e MgCO3.

Uma técnica apropriada para obtenção da água pura após o abrandamento é: (A) decantação. (B) sublimação. (C) dissolução fracionada. (D) destilação fracionada. (E) extração por solvente apolar. Gabarito: A No processo denominado “abrandamento da água”, os íons Ca2+ e Mg2+ que se encontram dissolvidos na água dura devem ser precipitados na forma de produtos insolúveis. Por serem substâncias insolúveis e mais densas, esses compostos podem ser separados por decantação.

ANOTAÇÕES

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3 (ENEM) O tratamento convencional da água, quando há, remove todas as impurezas? Não. À custa de muita adição de cloro, a água que abastece residências, escolas e trabalhos é bacteriologicamente segura. Os tratamentos disponíveis removem partículas e parte das substâncias dissolvidas, resultando em uma água transparente e, geralmente, inodora e insípida, mas não quimicamente pura. O processo de purificação da água compreende etapas distintas, que são: a decantação, a coagulação/floculação, a filtração, a desinfecção e a fluoretação.

Dentre as etapas descritas, são consideradas processos químicos: (A) Decantação e coagulação. (B) Decantação e filtração. (C) Coagulação e desinfecção. (D) Floculação e filtração. (E) Filtração e fluoretação Gabarito: C Conforme as equações abaixo, observa-se que reações químicas ocorrem apenas nas etapas de coagulação, cloração e fluoretação, nas quais substâncias iniciais são transformadas em diferentes substâncias, evidência de um processo químico. Coagulação Al2(SO4)3 + 6H2O → 2Al(OH)3 + 3H2SO4

Cloração Cl2 + H2O → HClO + HCl NaOCl + H2O → HClO + NaOH Fluoretação Ca10(PO4)6(OH)2 + F– → Ca10(PO4)6F2 + 2OH– ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS-2022) Microplásticos são partículas de polímeros que apresentam menos de cinco milímetros de comprimento e causam grande impacto ao meio ambiente, principalmente em sistemas aquáticos. Para isolar microplásticos de comprimento entre 1 e 3 mm e densidade entre 0,8 e 1,3 g.cm–3 de um leito de rio, o processo de separação mais adequado é a (A) decantação. (B) filtração. (C) flotação. (D) dissolução fracionada. (E) levigação 02. (ENEM) Uma pessoa é responsável pela manutenção de uma sauna úmida.Todos os dias cumpre o mesmo ritual: colhe folhas de capim-cidreira e algumas folhas de eucalipto. Em seguida, coloca as folhas na saída do vapor da sauna, aromatizando-a, conforme mostrado na figura. Parede Sauna úmida Gerador de vapor

As ações indicadas possuem em comum o fato de: (A) exigirem o fornecimento de calor. (B) fazerem uso da energia luminosa. (C) necessitarem da ação humana direta. (D serem relacionadas a uma corrente elétrica. (E) ocorrerem sob a realização de trabalho de uma força. 04. (UFPR) Uma das etapas do processo de reciclagem de plásticos é a separação de diferentes polímeros. Um dos métodos mais empregados consiste na separação por densidade. Uma amostra contendo diferentes polímeros é triturada e colocada num líquido. Os plásticos mais densos que o líquido afundam e os menos densos flutuam, permitindo a separação. Considere uma mistura constituída por peças de PET (politereftalato de etila), cuja densidade varia entre 1,29 e 1,39 g.mL-1,e peças de PVC (policloreto de vinila), de densidade entre 1,46 e 1,58 g.mL-1. Dentre as soluções aquosas abaixo, qual será a apropriada para efetuar a separação desses dois polímeros? (A) Etanol 24%, d = 0,955 g.mL-1 (B) Etanol 38%, d = 0,941 g.mL-1 (C) Ácido fosfórico 85 %, d = 1,685 g.mL-1 (D) Cloreto de cálcio 6%, d = 1,0505 g.mL-1 (E) Cloreto de cálcio 40%, d =1,4082 g.mL-1

Folhas

Saída de vapor Qual processo de separação é responsável pela aromatização promovida? (A) Filtração simples. (B) Destilação simples. (C) Extração por arraste. (D) Sublimação fracionada. (E) Decantação sólido-líquido. 03. (ENEM) Para que se faça a reciclagem das latas de alumínio são necessárias algumas ações, dentre elas: 1. recolher as latas e separá-las de outros materiais diferentes do alumínio por catação; 2. colocar as latas em uma máquina que separa as mais leves das mais pesadas por meio de um intenso jato de ar; 3. retirar, por ação magnética, os objetos restantes que contêm ferro em sua composição.

05. (ENEM) Industrialmente é possível separar os componentes do ar, utilizando-se uma coluna de fracionamento. Com esse processo, obtêm-se gases como: oxigênio (O2), nitrogênio (N2) e argônio (Ar). Nesse processo, o ar é comprimido e se liquefaz; em seguida ele é expandido, volta ao estado gasoso e seus componentes se separam um a um. A ordem de separação dos gases na coluna de fracionamento está baseada em qual propriedade da matéria? (A) Na densidade dos gases, ou seja, o menos denso separa-se primeiro. (B) Na pressão parcial dos gases, ou seja, o gás com menor pressão parcial separa-se primeiro. (C) Na capacidade térmica dos gases, ou seja, o gás que mais absorve calor separa-se primeiro. (D) Na condutividade térmica dos gases, ou seja, o gás que mais rápido absorve calor separa-se primeiro. (E) Na temperatura de ebulição dos gases, ou seja, o gás com menor temperatura de ebulição separa-se primeiro.

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06. (ENEM-2021) Para demonstrar os processos físicos de separação de componentes em misturas complexas, um professor de química apresentou para seus alunos uma mistura de limalha de ferro, areia, cloreto de sódio, bolinhas de isopor e grãos de feijão. Os componentes foram separados em etapas, na seguinte ordem: Etapa Material separado Método de separação 1 Grãos de feijão Catação 2 Limalha de ferro Imantação 3 Bolinhas de isopor Flotação 4 Areia Filtração 5 Cloreto de sódio Evaporação Em qual etapa foi necessário adicionar água para dar sequência às separações? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

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ANOTAÇÕES

POLARIDADE Introdução Após a descrição da ligação covalente e a formação de moléculas por meio do par eletrônico compartilhado, o estudo agora se concentra na polaridade destas ligações. O princípio básico utilizado, nessa abordagem, é a diferença de eletronegatividade entre os átomos envolvidos na ligação. A eletronegatividade (χ) é a tendência que os átomos possuem de atrair elétrons em sua direção quando ligados a outros átomos. Os elementos mais eletronegativos incluem o flúor, oxigênio, nitrogênio e cloro, e estão localizados à extrema direita da tabela periódica.

1.

Capítulo 5

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Polaridade na Ligação 2. Polaridade na Molécula

POLARIDADE NA LIGAÇÃO

Para caracterizar uma ligação química como polar ou apolar, deve-se analisar se os átomos envolvidos possuem diferentes eletronegatividades e qual o teor dessa diferença. Por exemplo, o líquido ácido fluorídrico (HF) é formado por um átomo de hidrogênio ligado covalentemente ao átomo de flúor. Pela posição na escala de eletronegatividade, percebe-se que o flúor é muito mais eletronegativo (4,0 na escala de Pauling) do que o hidrogênio (2,1 na escala de Pauling). Devido a essa diferença na eletronegatividade, o par de elétrons compartilhados na ligação encontra-se atraído, deslocalizado, em direção ao flúor. É como se o orbital molecular sofresse distorção em direção ao flúor. Essa deslocalização assimétrica de cargas promove a formação de um polo parcialmente negativo no flúor e um polo positivo no hidrogênio. Os polos ou cargas elétricas geradas são chamadas de parciais (δ), pois, de fato, o elétron não é totalmente transferido como em uma ligação iônica. Os dois polos elétricos estabelecidos têm a mesma carga em módulo (unidade coulomb) e sinais opostos e encontram-se separados por uma distância d (em metros). Por si só constituem um chamado dipolo elétrico, ou seja, um sistema constituído por duas cargas separadas por uma distância. O dipolo elétrico é uma grandeza vetorial, ou seja, representada por um módulo, uma direção e um sentido, e é representada por um segmento de reta orientado do polo negativo para o positivo por convenção. O módulo do dipolo elétrico é chamado de momento de dipolo (µ) e é o produto vetorial do módulo da carga elétrica (Q) pela distância (d). A unidade C.m é chamada de debye em alusão ao químico P. Debye. Quando uma ligação covalente apresenta um dipolo elétrico não-nulo, será denominada de ligação polar, e, quanto maior for a diferença de eletronegatividade entre os átomos envolvidos, mais polarizada será a ligação. Ligações especialmente polarizadas incluem os grupos hidroxila (O-H) e amino (N-H) e a presença desses numa molécula afeta bastante suas propriedades físico-químicas.

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F

DIFERENÇA DE ELETRONEGATIVIDADE (χ) , O, N, Cl Ácido Fluorídrico DIPOLO ELÉTRICO H F d –δ δ+ Maior H F densidade µ +Q –Q eletrônica

MOMENTO DIPOLAR µ=Q.d Unidade = C.m = debye

LIGAÇÃO POLAR

Ligação polar no ácido fluorídrico (HF) e a definição do vetor momento de dipolo.

Quando os átomos envolvidos na ligação são idênticos, como na ligação H - H, ou com eletronegatividades muito próximas, como na ligação C - H em compostos orgânicos (cuja eletronegatividade do carbono é 2,5 na escala de Pauling e a do hidrogênio 2,1), o par eletrônico fica igualmente distribuído e não ocorre formação de cargas parciais opostas. Por consequência, não existe momento de dipolo ou seu valor é muito reduzido e a ligação será considerada apolar. Gás Hidrogênio 0

H

H

H

H

0

LIGAÇÃO APOLAR Ligação apolar no gás H2 e a ausência de polarização entre átomos iguais.

2.

POLARIDADE NA MOLÉCULA

Quando espécies poliatômicas são estudadas, a molécula apresenta mais do que uma ligação covalente, e também pode apresentar mais do que um vetor momento dipolar. Para que a polaridade desse conjunto de átomos seja estabelecida, deve-se identificar cada ligação polar, representar a orientação vetorial do momento dipolar de cada ligação, e, por fim, calcular o vetor de dipolo resultante. Se o momento dipolar resultante for não-nulo, tem-se uma molécula definitivamente polar. Caso contrário, se o vetor resultante de dipolo for nulo, a molécula será considerada apolar, mesmo que apresente algumas ligações polarizadas. Exemplos muito ilustrativos ocorrem com o gás carbônico (CO2) e a água. O CO2 apresenta duas duplas ligações C = O e uma geometria linear. Cada ligação é bastante polarizada por conta da presença do oxigênio muito eletronegativo (3,5 na escala de Pauling). Com isso, são estabelecidos dois vetores dipolares que possuem a mesma direção horizontal, mas sentidos opostos. Dessa forma, o vetor resultante obtido é nulo, e a molécula de CO2 é considerada apolar, apesar de ter duas ligações polares.

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µ2

Gás Carbônico δ– O δ+ C O –δ

DIPOLO RESULTANTE NULO

µ1

LIGAÇÃO POLAR MOLÉCULA APOLAR

Molécula de gás carbônico e o vetor resultante nulo para o momento de dipolo.

No caso da água, a molécula, que tem geometria angular, também possui duas ligações polares O-H. Cada ligação é representada por vetores de dipolo orientados em direção ao átomo de oxigênio e, para realizar a soma desses vetores, pela regra do paralelogramo, coincide-se as origens dos vetores. O vetor dipolar resultante é não nulo e aponta para cima na molécula da água. Por isso, a água é considerada uma molécula polar, pois, além de suas ligações polares, o vetor dipolo resultante é não-nulo.

H

Água O

µ2

DIPOLO RESULTANTE NÃO-NULO

H µ1

LIGAÇÃO POLAR MOLÉCULA POLAR

Molécula de água e o vetor resultante não nulo para o momento de dipolo.

Os exemplos apresentados fornecem uma orientação geral na determinação da polaridade de qualquer molécula. Para tanto, devem ser observados os seguintes passos: – Desenha-se a fórmula estrutural da molécula com a geometria apropriada. – Indica-se cada ligação polar por meio do vetor momento dipolar, o qual é orientado em direção ao elemento mais eletronegativo. – Por meio da regra do paralelogramo, obtém-se o vetor momento de dipolo resultante. – Moléculas com vetor resultante nulo serão apolares. A próxima figura apresenta diversas outras espécies com as representações geométricas e o vetor de dipolo resultante. Repare que apenas com a correta geometria molecular, prevista pela TRPECV, no capitulo 6 da frente A, será possível prever a polaridade de uma molécula.

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µR = 1,08 D

µR = 1,46 D

µR = 0,82 D Amônia

Ác. clorídrico µR = 0,00 D

µR = 0,00 D

Clorofórmio

Tetracloreto de carbono Trifluoreto de boro Polaridade de algumas moléculas poliatômicas.

Polaridade nas Moléculas Orgânicas Para moléculas mais elaboradas, como aquelas da Química Orgânica, que apresentam uma cadeia carbônica e a possibilidade de um ou mais grupos funcionais, a análise da polaridade deve ser feita de maneira mais subjetiva. Para hidrocarbonetos - compostos formados apenas por carbono e hidrogênio - a molécula é sempre apolar. Como visto anteriormente, as ligações C-C são completamente apolares por terem átomos idênticos, e as ligações C-H são, predominantemente, apolares devido aos valores de eletronegatividade muito próximos entre carbono e hidrogênio. Sendo assim, os principais solventes apolares são hidrocarbonetos, como o hexano e o benzeno. Quando a cadeia carbônica aumenta, como no dodecano com doze carbonos, mais apolar o composto se torna. Isto, na verdade, é uma regra geral: quanto maior o tamanho da cadeia carbônica, mais apolar será o composto.

HIDROCARBONETOS

C – C APOLAR C – H ~ APOLAR

Hexano

Dodecano

Hidrocarbonetos e suas cadeias apolares.

Quando a molécula orgânica tem acrescido um grupo funcional além de sua cadeia hidrocarbônica, a presença desse grupo pode impactar na polaridade global da estrutura. Os principais grupos funcionais polares são a hidroxila (-OH) e o amino (-NH2), sendo o primeiro característico de álcoois, fenóis e ácidos carboxílicos, enquanto o grupo -NH2 pode aparecer em aminas ou amidas. Quanto menor for a cadeia carbônica e maior o número de grupos polares, mais polar será a molécula orgânica. Exemplo clássico dessa relação ocorre com a vitamina C (ácido ascórbico) e a sacarose (C12H22O11), pois é o principal componente do açúcar comum. Com a grande quantidade de grupos OH e uma cadeia de carbonos mediana, esses dois compostos são considerados bastante polarizados, e, por consequência, sólidos e solúveis em água em condições ambientes. 382

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HO HO

HO

HO

O OH

Ác. Ascórbico

CH2OH CH2OH H OH O OH H H HO O OH CH2OH H OH OH H Sacarose H

Moléculas orgânicas polares. Ácido ascórbico e sacarose.

Polaridade e Solubilidade A principal utilidade da previsão da polaridade de uma molécula é a informação subjacente sobre a solubilidade desse composto. A regra geral diz: “semelhante dissolve semelhante”, ou seja, substâncias polares são solúveis em solventes polares - cujo principal representante é a água -, enquanto compostos apolares são miscíveis com solventes também apolares, tais como, hexano, tetracloreto de carbono e benzeno. Dessa forma, prevendo-se a polaridade, pode-se inferir se um determinado composto será solúvel ou não em um determinado solvente. Por exemplo, como visto anteriormente, o ácido fluorídrico é uma molécula polar e, portanto, solúvel em água. O mesmo é válido para o ácido ascórbico (vitamina C), o qual também é apreciavelmente solúvel em água e, por isso, denominado de vitamina hidrossolúvel. Nesse contexto, são utilizados dois termos: hidrofílica é toda a substância polar e solúvel em água, enquanto o termo lipofílico designa as substâncias apolares e portanto insolúveis em água e solúveis em solventes apolares, óleos ou gorduras.

Moléculas Anfifílicas (Anfipáticas) Comportamento especial ocorre com as moléculas de caráter duplo quanto à polaridade. Algumas moléculas apresentam uma porção apolar – em geral, uma cadeia carbônica apreciável - e um grupo fortemente polarizado, muitas vezes, iônico. O exemplo principal desse tipo de comportamento ocorre com os detergentes e os sabões, que serão melhor abordados no estudo da Bioquímica. Ambos são considerados sais orgânicos com cadeia carbônica relativamente grande (a cauda) e um grupo iônico bastante polar (a cabeça). Tais substâncias apresentam comportamento duplo quanto à solubilidade também: a cauda é miscível em substâncias apolares (óleos e gorduras), enquanto a cabeça é hidrofílica. Isso explica a capacidade de limpeza dos sabões e detergentes e explica também o fato de serem substâncias utilizadas como tensoativos ou surfactantes. Moléculas anfifílicas podem interagir de forma seletiva com a água: suas cabeças interagem com a superfície da água diminuindo a tensão superficial (capítulo 1 frente B) no solvente. É daí que surge o termo surfactante, do inglês “surface active”.

Hidrofóbico

Hidrofílico

Estearato de sódio

Óleo/graxa

Água

Surfactantes diminuem a tensão superficial da água, criando uma espuma, e emulsificando óleos e graxas que podem ser lavados.

Lauril-sulfato de sódio

Estrutura anfifílica dos sabões e detergentes.

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFRGS) Considere a tira abaixo.

Socorro! Eu estou dissolvendo! Mas ursos são insolúveis...

É fácil para você falar isso... Você não é polar!!!

Adaptado de: . Acesso em: 05 ago. 2019.

O conceito químico, associado a essa tira, pode ser interpretado como: (A) substâncias apolares são menos densas que a água. (B) substâncias polares são geralmente solúveis em água. (C) substâncias polares são mais densas que substâncias apolares. (D) substâncias apolares são mais solúveis em água que polares. (E) substâncias polares e apolares são miscíveis entre si. Gabarito: B Nesse exercício, é explorado o conceito de polaridade e de solubilidade, que explora a regra “semelhante dissolve semelhante”, e explica que substâncias polares devem ser solúveis em água, o principal solvente polar.

2 (ENEM) A crescente produção industrial lança ao ar diversas substâncias tóxicas que

podem ser removidas pela passagem do ar contaminado em tanques para filtração por materiais porosos, ou para dissolução em água ou solventes orgânicos de baixa polaridade, ou para neutralização em soluções ácidas ou básicas. Um dos poluentes mais tóxicos liberados na atmosfera pela atividade industrial é a 2,3,7,8-tetraclorodioxina. Cl

O

Cl

Cl

O

Cl

Esse poluente pode ser removido do ar pela passagem através de tanques contendo: (A) hexano. (B) metanol. (C) água destilada. (D) ácido clorídrico aquoso. (E) hidróxido de amônio aquoso. Gabarito: A A análise da molécula orgânica mostra uma estrutura com cadeia carbônica apolar e algumas ligações C-Cl, relativamente polares. No entanto, a análise vetorial dos momentos dipolares permite prever que o dipolo resultante é nulo, e por isso a molécula 384

QUÍMICA

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é apolar e lipofílica. Uma maneira de remover substâncias dessa natureza é o uso de solventes também apolares, como o hexano na afirmativa A. Cl

O

Cl

Cl

O

Cl

Nota: Os grupos éter (-O-) centrais na molécula também são pouco polarizados.

3 (ENEM) O armazenamento de certas vitaminas no organismo apresenta grande

dependência de sua solubilidade. Por exemplo, vitaminas hidrossolúveis devem ser incluídas na dieta diária, enquanto vitaminas lipossolúveis são armazenadas em quantidades suficientes para evitar doenças causadas pela sua carência. A seguir são apresentadas as estruturas químicas de cinco vitaminas necessárias ao organismo. CH3 CH3 H3C CH3 CH3

CH3

CH3

OH CH3

HOCH O

CH3

I

O

H3C H3C H2C

CH3 CH3

HO

CH3

O

HO

II

CH3 CH3

H3C HO

IV

CH2OH

CH3 CH3 O

III

O OH

CH3

CH3

CH3 CH3

CH3

V

Dentre as vitaminas apresentadas na figura, aquela que necessita de maior suplementação diária é: (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V Gabarito: C Como apresentado no comando, a vitamina que necessita de maior suplementação diária é a vitamina mais hidrossolúvel, ou seja, a de maior polaridade. Observando-se as estruturas orgânicas apresentadas, observa-se que a escolha deve ser a molécula de menor cadeia carbônica e maior quantidade de grupos hidroxila OH, ou seja, a vitamina III. Trata-se do ácido ascórbico ou vitamina C. CH3 CH3 H3C CH3 CH3

CH3

CH3

OH CH3 O

H3C H3C H2C HO

HOCH O

CH3

I CH3 CH3

IV

CH3

O

CH3

HO

II

CH3 H3C HO

CH2OH

CH3 CH3 O CH3

III CH3

O OH

CH3

CH3 CH3

V Fleming 2023

QUÍMICA

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

I. É um composto molecular com ligações covalentes sigma e pi. II. Trata-se de um óxido ácido. III. É formado por elementos não metais altamente eletropositivos. IV. Por possuir momento dipolar resultante igual a zero tende a realizar interações do tipo Dispersões de London entre suas moléculas. São corretas as afirmativas: (A) I, III e IV. (B) I, II e III (C) II, III e IV. (D) I, II e IV (E) I, II, III e IV

''Cabeça''

Fosfato Glicerol Ácido graxo saturado ''Cauda''

01. (UCPEL) O dióxido de carbono é um gás bastante utilizado em medicina estética (Carboxterapia) e em criocauterizações em Dermatologia e Ginecologia. Sobre esse composto são feitas as seguintes afirmações:

Ácido graxo insaturado

Disponível em: http://courses.lumenlearning.com/introchem/chapter/phospholipids_e_em: http://biologiavegetal.com/aula-21-efeito-da-temperatura-sobre-a-permeabilidade-das-membranas-celulares. Acesso em: 12 abr. 2019. Sobre o assunto e com base nas informações acima, é correto afirmar que:

02. (UFSC) O modelo do mosaico fluido foi proposto na década de 1970 para explicar a estrutura da membrana plasmática. O modelo prevê que a membrana possui, entre outras substâncias, duas camadas formadas por fosfolipídios, com “cabeças” orientadas para os meios extracelular e intracelular. Essas moléculas estão em constante deslocamento, formando um modelo fluido. Disponível em: https://www.biologianet.com/biologia-celular/modelo-mosaico-fluido.htm. [Adaptado]. Acesso em: 12 abr. 2019. As representações esquemáticas da membrana plasmática e da estrutura geral de um fosfolipídio são mostradas abaixo: Glicolipídios Glicoproteína

Bicamada fosfolipídica Proteína periférica Proteína integradas

(01) nos fosfolipídios a “cabeça” é polar e, portanto, possui elevada afinidade por moléculas de água. (02) a interação entre as “caudas” de moléculas de fosfolipídios é facilitada pelo estabelecimento de ligações de hidrogênio entre os átomos presentes nas cadeias de ácidos graxos. (04) o glicerol e o fosfato, que constituem a “cabeça” do fosfolipídio, unem-se por meio de ligações iônicas, o que permite a interação com centros metálicos de enzimas e facilita o transporte destas para o meio intracelular. (08) a “cauda” dos fosfolipídios é hidrofílica e interage com íons Na+ e K+ na membrana plasmática devido a seu caráter polar, atuando no transporte desses nutrientes para o interior das células. (16) o caráter polar das moléculas de fosfolipídios sugere que a membrana plasmática seja um eficaz impermeabilizante que impede a passagem de substâncias do meio extracelular para o meio intracelular. (32) o fosfolipídio é uma molécula capaz de interagir com substâncias polares e também com substâncias apolares. 03. (UFRGS) Assinale a alterantiva que preenche corretamente as lacunas do enunciado abaixo, na ordem em que aparecem. O cis-1,2-dicloroeteno é uma molécula ........ , e o seu isômero trans apresenta ........ ponto de ebulição por ser uma molécula ........ . (A) apolar – maior – polar (B) apolar – menor – polar (C) polar – mesmo – polar (D) polar – maior – apolar (E) polar – menor – apolar

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04. (ENEM) Em 2011, uma falha no processo de perfuração realizado por uma empresa petrolífera ocasionou derramamento de petróleo, na bacia hidrográfica de Campos, no Rio de Janeiro. Os impactos decorrentes desse derramamento ocorrem porque os componentes do petróleo

ANOTAÇÕES

(A) reagem com a água do mar e sofrem degradação, gerando compostos com elevada toxicidade. (B) acidificam o meio, promovendo o desgaste das conchas calcárias de moluscos e a morte de corais. (C) dissolvem-se na água, causando a mortandade dos seres marinhos por ingestão da água contaminada. (D) têm caráter hidrofóbico e baixa densidade, impedindo as trocas gasosas entre o meio aquático e a atmosfera. (E) têm cadeia pequena e elevada volatilidade, conta minando a atmosfera local e regional em função dos ventos nas orlas marítimas. 05. (ACAFE) Considere as seguintes espécies químicas: cloropentano, pentanol, pentan-1,5-diol e pentano. Baseado nas informações fornecidas e nos conceitos químicos, assinale a alternativa correta que contém a ordem decrescente de solubilidade em água: (A) pentano > cloropentano > pentanol > pentan-1,5-diol (B) pentan-1,5-diol < pentanol < cloropentano < pentano (C) pentano < cloropentano < pentanol < pentan-1,5-diol (D) pentan-1,5-diol > pentanol > cloropentano > pentano 06. (ENEM-2021) Segundo a propaganda de uma rede de hotéis, “milhões de toneladas de detergentes são lançados na natureza para a lavagem de toalhas utilizadas uma única vez”. Num projeto para reduzir os impactos ambientais da lavagem de toalhas, além de incentivar a sua reutilização a rede implementou melhorias no processo de lavagem e substituição dos surfactantes sintéticos por biossurfactantes. A vantagem do uso de biossurfactantes na rede de hotéis seria (A) aumentar a maciez e durabilidade das toalhas. (B) diminuir o consumo de água utilizada na lavagem. (C) economizar com a compra de produtos de limpeza. (D) incrementar a desinfecção no processo de lavagem. (E) reduzir a contaminação ambiental por resíduos de limpeza.

Fleming 2023

QUÍMICA

387

GABARITO CAPÍTULO 1 01.

E

02. 27

03. 10

04. A

05. C

06. A

02. C

03. B

04. 30

05. B

06. 25

02. C

03. E

04. E

05. E

06. C

02. 33

03. E

04. D

05. D

06. E

02. 01 + 02 + 08 + 16 = 27 03. 02 + 08 = 10

CAPÍTULO 2 01.

A

04. 02 + 04 + 08 + 16 = 30 06. 01 + 08 + 16 = 25

CAPÍTULO 3 01.

B

02. C

CAPÍTULO 4 01.

B

CAPÍTULO 5 01.

D

02. 01 + 32 = 33

388

QUÍMICA

Fleming 2023

MATEMÁTICA 391 Capítulo 1 PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS 405 Capítulo 2 CONJUNTOS Representações e operações

437 Capítulo 6 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 447 Capítulo 7 EXPRESSÕES E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 453 Capítulo 8 MATRIZES

411 Capítulo 3 MÚLTIPLOS E 461 Capítulo 9 DIVISORES DE UM DETERMINANTES NÚMERO NATURAL 419 Capítulo 4 RAZÃO, PROPORÇÃO, DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE TRÊS 429 Capítulo 5 PORCENTAGEM

471 Capítulo 10 SISTEMAS LINEARES

NOTA DO AUTOR Sabemos que a preparação para os vestibulares e para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) não é algo simples. Além de termos um oceano de informações distribuídas em vários tipos de conhecimento, temos que reconhecer, avaliar, interpretar e resolver as situações-problema propostas de forma rápida e conveniente. No que tange à matemática e a suas tecnologias, dispor de um bom material como base para os estudos é crucial. Nos livros de matemática, trabalharemos, de forma objetiva, definições e relações presentes no ENEM e em provas de vestibulares para os quais tradicionalmente o Fleming prepara seus alunos. Este material é direcionado aos itens propostos nas provas, buscando excelência e agilidade na resolução desses, sem rigor catedrático, mas comprometido com o alcance das competências e desenvolvimento das habilidades necessárias para atingir a tão sonhada vaga em medicina. Tendo como meta o aprimoramento das competências de leitura, escrita e resolução de problemas, necessitamos de harmonia em três frentes matemáticas: a aritmética, a álgebra e a geometria. Essas diferentes linguagens em conjunto aos conceitos e propriedades matemáticas viabilizam a leitura compreensiva de contextos do dia a dia permitindo a resolução de situações-problemas e interferência na realidade, exigências recorrentes dos exames. Desejo a todos um ótimo ano de estudos, que o trabalho desenvolvido contribua na conquista de suas metas e que a vaga para cursar medicina seja apenas o início da realização dos seus sonhos. “É claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida do homem, e se há validade no princípio biológico da “sobrevivência do mais apto” a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos.” BOYER, C.B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Não é de hoje que atrelamos nosso desenvolvimento à capacidade de abstração matemática. Vivemos à luz dos números e das equações, mas não foi fácil. Passamos por milênios de descobertas, de transformações e de aprimoramentos para alcançarmos nosso atual sistema de escrita dos números. Muito mais teremos à frente. Para iniciarmos nosso trabalho, estudaremos as definições e representações dos principais conjuntos numéricos no que tange aos mais diversos itens (questões) de nossos vestibulares e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). 1.

Capítulo 1

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O conjunto dos Números Naturais até o final do século XIX tinha sua construção baseada de forma intuitiva. A partir da publicação, em 1889, de seus axiomas, Giuseppe Peano define os Naturais em termos de um conjunto, um marco, sem dúvida, para a história da lógica e dos fundamentos da matemática. O conjunto dos Números Naturais pode ser representado por: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} O conjunto dos naturais possui infinitos elementos e é ordenado, dado que para dois números naturais distintos a e b temos que ou a > b ou a < b. Em alguns contextos, o Conjunto dos Números Naturais pode não conter o zero, mas isso não será tema para nossos fins. Para uma representação dos números naturais positivos, sem o número zero, temos:

1. Conjunto dos Números Naturais 2. Conjunto dos Números Inteiros 3. Números Racionais 4. Números Irracionais 5. Números Reais

A Competência 1 é composta por cinco habilidades, refere-se ao pensamento numérico. O pensamento numérico permite explorar situações presentes no contexto social e analisar situações da realidade. Essa competência refere-se ainda à capacidade de identificar diferentes representações dos números, seus significados e operações. Cabe destacar que os números podem ser utilizados para quantificar, ordenar ou construir códigos. Estão presentes em diferentes situações do cotidiano, como notícias veiculadas em jornais e revistas, textos científicos e jogos” (Fonte: Inep).

N*={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Ordens e Classes

classe dos bilhões

7

classe dos milhões

8

7

0

classe dos milhares

1ª Ordem

9

unidades

5

2ª Ordem

9

dezenas

4

3ª Ordem

1

Centenas

4ª Ordem

5ª Ordem

6ª Ordem

7ª Ordem

8ª Ordem

9ª Ordem

10ª Ordem

11ª Ordem

Centenas de bilhão Dezenas de bilhão Unidades de bilhão Centenas de milhão Dezenas de milhão Unidades de milhão Centenas de milhar Dezenas de milhar Unidades de milhar

12ª Ordem

Com a finalidade de organizar a escrita, facilitar a leitura e a compreensão os algarismos foram separados em classes (grupos de três) e cada posição recebe o nome da ordem.

7

0

0

classe das unidades Fleming 2023

MATEMÁTICA

391

Representações de um número Natural A representação de números Naturais pode ser feita de diversas maneiras. Abaixo temos algumas formas de representar a unidade astronômica (U.A.): 149.597.870.700 m: Unidade Astronômica ( U.A.) Em 21 de setembro de 2012, o Observatório de Paris emitiu um comunicado de imprensa sobre a nova definição da unidade astronômica, agora fixada. Na sua Assembléia Geral, realizada em Pequim, 20-31 agosto de 2012, a União Astronômica Internacional (IAU) adotou uma nova definição da unidade astronômica, unidade de comprimento usada pelos astrônomos para expressar as dimensões do sistema solar. A unidade de comprimento é exatamente 149.597.870.700 metros, valor convencional escolhido para ser compatível com o sistema de constantes astronômicas em vigor desde 2009. A unidade astronômica é aproximadamente igual à distância Terra-Sol, foi criada em 1958 para medir as distâncias de objetos no sistema solar. Fonte: Adaptado de astronoo.com.

– Com a utilização de algarismos: 149.597.870.700 – Com palavras: cento e quarenta e nove bilhões, quinhentos e noventa e sete milhões, oitocentos e setenta mil e setecentos; – Com palavras e algarismos: 149 bilhões, 597 milhões, 870 mil e 700;

Números Naturais e as operações aritméticas básicas As operações aritméticas básicas com números naturais possuem algumas propriedades particulares e muito importantes como base no estudo da matemática, não só no âmbito da aritmética, sendo fundamentais na resolução de problemas algébricos.

• Adição Adicionar significa somar, juntar, acrescentar, acrescer, reunir. Para executar uma adição, usamos esquemas para auxiliar na operação. Esses esquemas são chamados de algoritmos. CDU

Algoritmo é um conjunto finito e ordenado de passos (regras), com um esquema de processamento que permite ou auxilia na realização de uma tarefa (resolução de problemas, cálculos etc.).

237 +4 2 5 662

parcela parcela soma

A adição possui algumas propriedades, tais como: a propriedade comutativa, a propriedade do elemento neutro e a propriedade associativa. A propriedade comutativa se refere à ordem das parcelas. Ao trocarmos a ordem das parcelas, a soma não é alterada. Como exemplo, temos: 10 + 2 = 2 + 10 = 12 A propriedade do elemento neutro diz respeito ao valor que adicionado não altera a soma. O elemento neutro da adição é o zero. Como exemplo, temos:

H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. Essa habilidade busca verificar se o aluno consegue entender a composição numérica, a representação dos números (as notações decimais, por exemplo), as propriedades que diferenciam conjuntos numéricos.

17 + 0 = 0 + 17 = 17 A propriedade associativa diz respeito aos agrupamentos das parcelas. Em uma adição com três ou mais parcelas, não causa diferenciação à soma de parcelas que adicionamos primeiro. Como exemplo, temos: 10 + 5 + 3 = 10 + ( 5 + 3) = ( 10 + 5 ) + 3 = ( 10 + 3 ) + 5 = 18

• Subtração Subtrair significa diminuir, retirar, reduzir. Para subtrair utilizamos, por exemplo, o seguinte algoritmo: CDU 737 - 425 312 392

MATEMÁTICA

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minuendo subtraendo diferença ou resto

• Multiplicação A multiplicação é, em tese, uma adição de parcelas iguais. Para multiplicarmos dois números naturais, utilizamos o seguinte algoritmo: CDU 121 x 5 605

fator fator produto

A multiplicação possui algumas propriedades, tais como: a propriedade comutativa, a propriedade do elemento neutro, a propriedade associativa e a propriedade distributiva. A propriedade comutativa se refere à ordem dos fatores. Ao trocarmos a ordem dos fatores, o produto permanece o mesmo. Como exemplo, temos: 10 x 2 = 2 x 10 = 20 A propriedade do elemento neutro diz respeito ao valor que multiplicado não altera o produto. O elemento neutro da multiplicação é o número 1. Como exemplo, temos: 1 x 14 = 14 x 1 = 14 A propriedade associativa diz respeito aos agrupamentos dos fatores. Em uma multiplicação com três ou mais fatores, a ordem não causa diferenciação ao produto. Como exemplo, temos: 10 x 5 x 3 = 10 x ( 5 x 3) = ( 10 x 5 ) x 3 = ( 10 x 3 ) x 5 = 150 A propriedade distributiva diz que ao multiplicarmos um número natural por uma adição ou subtração de números naturais, o resultado é o mesmo quando multiplicamos esse número pelos termos da adição e adicionamos os resultados ou multiplicamos pelos termos da subtração e depois subtraímos na mesma ordem. Como exemplos, temos: 2x(3+4)=2x3+2x4 5x(3–1)=5x3–5x1

• Divisão

Dividendo

Utilizamos a divisão em situações que se necessite repartir, distribuir, agrupar em partes iguais. D 6 -5 1 -1

U 8

5 13

8 5 3 resto

divisor quociente

No ensino fundamental, vimos que uma das formas de se verificar se a divisão esta correta: dividendo = divisor x quociente + resto.

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MATEMÁTICA

393

2. H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

O conjunto dos Números Inteiros (Z) é formado pela reunião dos números Naturais com seus elementos opostos. Representamos o conjunto da seguinte forma: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Temos também, o conjunto dos números inteiros não nulos, representado da seguinte maneira: Z* = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} Podemos restringir e gerar alguns subconjuntos conhecidos: Z– = { ... , -3, -2, -1,0 } , inteiros não positivos; Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}, inteiros não negativos; Z–* = { ... , -3, -2, -1}, inteiros negativos; Z+* = { 1, 2, 3, ...}, inteiros positivos. O conjunto dos Números Inteiros possui infinitos elementos e é ordenado, de tal forma que para dois números naturais distintos a e b temos: ou a > b ou a < b.

Números Inteiros e as operações aritméticas básicas As operações aritméticas básicas com números inteiros possuem algumas propriedades particulares que são importantes para o estudo da matemática, não só no âmbito da aritmética, por isso são fundamentais na resolução de problemas algébricos.

Números Opostos Dado um número real a seu oposto é definido por -a. Números Pares O conjunto dos números pares pode ser definido por: {x ∈ ℤ | x = 2n, onde n ∈ ℤ}

• Adição Na Adição de dois números inteiros, se os dois números tiverem mesmo sinal, somamos e mantemos o sinal, porém, se os dois números tiverem sinais diferentes, subtraímos e mantemos o sinal do número que tiver o maior módulo. Como exemplo, temos:

ou representado pelo conjunto { ... , -4, -2, 0, 2, 4, ...}.

5 + 9 = 14 – 4 – 7 = – 11 12 – 5 = 7 14 – 18 = – 4

Números Ímpares O conjunto dos números ímpares pode ser definido por: {x ∈ ℤ | x = 2n+1, onde n ∈ ℤ}

ou representado pelo conjunto { ... , -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

• Subtração Para subtrairmos dois números, adicionamos ao primeiro o oposto do segundo. Como exemplo, temos: ( 3 ) – (– 5 ) = 3 + 5 = 8 (– 7 ) – (– 4 ) = – 7 + 4 = – 3 (– 10 ) – ( 6 ) = – 10 – 6 = – 16 ( 12 ) – ( 7 ) = 12 – 7 = 5

394

MATEMÁTICA

Fleming 2023

• Multiplicação Na multiplicação de dois números inteiros, se os dois números tiverem sinais iguais, multiplicamos e mantemos o sinal positivo, porém, se os dois números tiverem sinais diferentes, multiplicamos e mantemos o sinal negativo. Como exemplo, temos: ( 3 ) x ( 4 ) = 12 (– 5 ) x ( 7 ) = – 35 ( 6 ) x (– 8 ) = – 48 (– 4 ) x (– 9 ) = 36

• Divisão Na Divisão de dois números inteiros, se os dois números tiverem sinais iguais, dividimos e mantemos o sinal positivo, porém, se os dois números tiverem sinais diferentes, dividimos e mantemos o sinal negativo. Como exemplo, temos:

Para a multiplicação e divisão temos: (+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1

( 24 ) ÷ ( 6 ) = 4 (– 25 ) ÷ ( 5 ) = – 5 ( 36 ) ÷ (– 12 ) = – 3 (– 54 ) ÷ (– 6 ) = 9

(+1) x (-1) = -1

(+1) ÷ (-1) = -1

(-1) x (+1) = -1

(-1) ÷ (+1) = -1

(-1) x (-1) = +1

(-1) ÷ (-1) = +1

• Potenciação Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Expoente

23 = 8

Base

Potência

Observe que, para números inteiros, temos que: – Número negativo elevado a um expoente par: positivo – Número negativo elevado a um expoente ímpar: negativo Como exemplo, temos: (−3 )2 = 9 (−2 )3 = −8

• Radiciação Radiciação é a operação inversa da potenciação. Índice

2

16 = 4

Raiz

Radicando Fleming 2023

MATEMÁTICA

395

Observe que, para números inteiros, temos: – Radicando negativo e índice ímpar: negativo. – Radicando negativo e índice par: não existe no conjunto dos números reais. Como exemplo, temos:

3.

3

(–27) = -3

2

(– 4) = ∄ nos reais

NÚMEROS RACIONAIS

O conjunto dos números racionais é aquele formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração de inteiros, em que o numerador é número inteiro e o denominador é inteiro diferente de zero. Podemos representar o conjunto por:

Frações

Q = { xy │x ∈ Z e y ∈ Z* }

Fração é uma parte de um todo. Ela é representada por dois termos: o numerador e o denominador. O numerador indica o número de partes consideradas do todo e o denominador, o número de partes em que foi dividido o inteiro. numerador , com y ≠ 0. x y = denominador

• Frações equivalentes Frações Equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do inteiro. Como exemplo, temos: 3 é equivalente a 6 5 10 2 é equivalente a 20 3 30 15 é equivalente a 3 55 11

• Comparação de frações A comparação de frações é feita com denominadores iguais; a fração maior será aquela que tiver maior numerador; se os denominadores forem diferentes, utilizamos frações equivalentes para torná-los iguais. Como exemplo, temos: 1 é menor que 3 pois 5 é menor que 12 4 5 20 20 4 é maior que 2 pois 7 5

396

MATEMÁTICA

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20 é maior que 35

14 35

• Adição e subtração de frações Tanto a adição quanto a subtração de frações é feita com denominadores iguais. Assim, mantemos os denominadores e adicionamos, ou subtraímos, os numeradores; se os denominadores forem diferentes, utilizamos frações equivalentes para torná-los iguais. Como exemplo, temos: 2 3 5 + = 7 7 7 3 5 20 41 21 + = + = 4 7 28 28 28

• Multiplicação e divisão de frações Para multiplicarmos frações, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a “primeira” pela “segunda” invertida. Como exemplo, temos: 18 3 6 × = 35 5 7 5 5 3 4 20 ÷ = × = 9 9 4 3 27

• Potenciação e radiciação de frações Para elevarmos uma fração a um expoente, elevamos o numerador e o denominador a esse expoente. Para se extrair a raiz de uma fração, extraímos a raiz do numerador e a raiz do denominador dessa fração. Como exemplo, temos: ( 3 ( = 27 125 5 4 16 = 9 81 3

• Frações especiais As frações, em que o numerador é menor do que o denominador, são nomeadas de frações próprias. Como exemplo, temos: 3 5 11 , , 4 9 12 As frações, em que o numerador é maior do que o denominador, são nomeadas de frações impróprias. Como exemplo, temos: 5 11 13 , , 4 9 12 As frações, em que o numerador é divisível pelo denominador, também são chamadas de frações aparentes. Como exemplo, temos: 16 18 36 , , 4 9 12 As frações, em que o numerador e o denominador não podem ser simplificadas são chamadas de frações irredutíveis. Dizemos que o maior divisor comum entre numerador e denominador é o número 1. Como exemplo, temos: 1 7 17 , , 3 9 12 Fleming 2023

MATEMÁTICA

397

As dízimas periódicas e o número dos racionais

H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Dízimas Periódicas

O aluno deve reconhecer padrões lógicos em sequências e séries.

0,7 = 7 , (sete décimos) 10

 

Decimais Exatos

Todo número decimal finito ou decimal infinito periódico pode ser representado por fração de números inteiros. Os decimais infinitos periódicos são nomeados de dízimas periódicas. Como exemplos, temos:

77 0,77 = 100 , (setenta e sete centésimos) 777 0,777 = 1000 , (setecentos e setenta e sete milésimos) 7777 0,7777 = 10000 , (sete mil setecentos e setenta e sete décimos de milésimos) 7 0,777… = 0,7 = 9 , (sete nonos) 17 0,171717… = 0,17 = 99 , (dezessete noventa e nove avos)

Algumas dízimas têm sua parte periódica aparecendo logo após a vírgula. Essas dízimas recebem o nome de dízimas periódicas simples. Como exemplo, temos: 0,333...; 2,515151...; 0,89472. Também temos as chamadas dízimas periódicas compostas. Nessas dízimas, encontramos uma parte não periódica (antiperíodo) antes da parte periódica à direita da vírgula. Como exemplo, temos: 0,312222…;1,21213333…;0,3412.

4.

Todos os números decimais infinitos não periódicos são números irracionais.

NÚMEROS IRRACIONAIS

Nem todo número real pode ser representado por uma fração de inteiros (números racionais). Nesse caso, recebe o nome de número irracional. Seguem alguns números irracionais: I = {…, 2,…, 3,…,e,…,π,…}

5.

NÚMEROS REAIS

Com a união entre racionais e irracionais temos o conjunto dos números reais. Assim temos: Q∪ I=R

Os conjuntos numéricos trabalhados até agora, neste livro, permitem a construção deste diagrama: O conjunto dos racionais e o conjunto dos irracionais são conjuntos disjuntos, isto é, não possuem elemento em comum.

N

Z

Q

R

Também podemos representar a relação entre os conjuntos da seguinte forma: N⊂Z⊂Q⊂R 398

MATEMÁTICA

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I⊂R

O conjunto dos números reais e a reta orientada Uma das formas de representação do conjunto dos números reais é através da reta orientada. Cada número racional ou irracional possui um ponto correspondente em uma reta orientada. Essa inter-relação entre números e pontos, aritmética e geometria, foi a “mola propulsora” do desenvolvimento da matemática. Algumas representações de conjuntos de números reais:

-1

-1

3

1

-1

-1

-1

-1

6

6

6

[-1, ∞)

{x ∈ R|x ≥ -1}

(-1, ∞)

{x ∈ R|x > -1}

(∞, 3]

{x ∈ R|x ≤ 3}

(∞, 1)

{x ∈ R|x < 1}

[-1, 6]

{x ∈ R|-1 ≤ x ≤ 6}

(-1, 6)

{x ∈ R|-1 < x < 6}

[-1, 6)

{x ∈ R|-1 ≤ x < 6}

(-1, 6]

{x ∈ R|-1 < x ≤ 6}

6

ANOTAÇÕES

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MATEMÁTICA

399

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.

1 (ENEM) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco de figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.

U

CM

D

M

C

DM

Nessa disposição, o número que está representado na figura é: (A) 46 171. (B) 147 016. (C) 171 064. (D) 460 171. (E) 610 741. Gabarito: D Ao posicionarmos os elementos de acordo com a sequência das ordens numéricas envolvidas, temos CM, DM, M, C, D, U, gerando o número 460171 como apresenta a letra d.

2 (ENEM) Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter espessuras mais

H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. Aqui, o aluno deve aplicar os conhecimentos sobre os números para resolver problemas práticos, contextualizados.

próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de: (A) 2,099. (B) 2,96. (C) 3,021. (D) 3,07. (E) 3,10. Gabarito: C A lente indicada é aquela que possui menor variação de tamanho em relação à lente de 3mm. Assim, calculamos o módulo da diferença entre a espessura de cada uma das lentes em relação à lente de 3mm. |3 – 3,10|= 0,1 |3 – 3,021|= 0,021 |3 – 2,96|= 0,04 |3 – 2,099|= 0,901 |3 – 3,07|= 0,07 comparando os resultados, a espessura mais próxima de 3mm é a de 3,021.

400

MATEMÁTICA

Fleming 2023

3 (UFRGS) Entre os números apresentados nas alternativas, qual é o único que é racional?

(A) 2,333... (B) 0,01001000100001... (C) 25 2 (D) 33 (E) Razão do comprimento de um círculo e seu raio. Gabarito: A Das alternativas apresentadas pela prova, apenas a letra A corresponde a um número racional representado por um número decimal infinito periódico. 2,3333... = 2 + 0,3333... = 2 + 3 = 7 9 3

4 (UFPR) Rafaela e Henrique participaram de uma atividade voluntária que consistiu na pintura da fachada de uma instituição de caridade. No final do dia, restaram duas latas de tinta idênticas (de mesmo tamanho e cor). Uma dessas latas estava cheia de tinta até a metade de sua capacidade e a outra estava cheia de tinta até 3 de sua capacidade. Ambos 4 decidiram juntar esse excedente e dividir em duas partes iguais, a serem armazenadas nessas mesmas latas. A fração que representa o volume de tinta em cada uma das latas, em relação à sua capacidade, após essa divisão é:

(A) 1 . 3 5 (B) . 8 (C) 5 . 6 (D) 4 . 3 5 (E) . 2

Gabarito: B Como decidiram dividir meio a meio ( 1 para cada um) o total restante, o resul2 tado é dado por 1 .(1 + 3) = 5. 2 2 4 8

ANOTAÇÕES

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MATEMÁTICA

401

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFSC-adaptada) Considere as proposições abaixo. I.

0,999... + 0,444... = 55 . 141 1 + 0,424242...

II. Entre os números 1 e 1.000.000 (incluindo 1 e 1.000.000), existem 1.000 números naturais quadrados perfeitos. III. O número ( 2 + 1) . ( 2 – 1) é irracional. É correto afirmar que:

04. (UFRGS) Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a: (A) 1,01. (B) 1,11. (C) 10 9 (D) 100 99 (E) 110 99

(A) Somente a proposição I é verdadeira. (B) Somente a proposição II é verdadeira. (C) Somente a proposição III é verdadeira. (D) Somente as proposições I e II são verdadeiras. (E) Somente a proposição II e III são verdadeiras.

02. (ENEM-2022) Definem-se o dia e o ano de um planeta de um sistema solar como sendo, respectivamente, o tempo que o planeta leva para dar 1 volta completa em torno de seu próprio eixo de rotação e o tempo para dar 1 volta completa em tomo de seu Sol. Suponha que exista um planeta Z, em algum sistema solar, onde um dia corresponda a 73 dias terrestres e que 2 de seus anos correspondam a 1 ano terrestre. Considere que 1 ano terrestre tem 365 de seus dias. No planeta Z, seu ano corresponderia a quantos de seus dias? (A) 2,5 (B) 10,0 (C) 730,0 (D) 13.322,5 (E) 53.290,0

03. (UEL) Efetuando a multiplicação de um número inteiro x por 2.435, um estudante enganou-se e achou o produto 355.510. Se o engano foi a troca de posição em x, do algarismo das dezenas pelo das unidades, o verdadeiro produto é: (A) 238.210 (B) 357.350 (C) 399.340 (D) 1.012.960 (E) 1.122.535

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05. (UFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabese que a representação decimal de x é a dízima periódica y 7,363636... Então, o valor de x + y + z é: (A) 190. (B) 193. (C) 191. (D) 192.

06. (UEG) Dados os conjuntos A = {x ∈ R|–2 < x ≤ 4} e B = {x ∈ R|x > 0}, a intersecção entre eles é dada pelo conjunto:

ANOTAÇÕES

(A) {x ∈ R|0 < x ≤ 4} (B) {x ∈ R|x > 0} (C) {x ∈ R|x > –2} (D) {x ∈ R|x ≥ 4}

07. (UFU) Em uma gráfica, uma impressora foi ajustada para imprimir as 323 páginas de um livro, em ordem crescente da 1ª até a 323ª página. Assuma que ocorreu uma pane, interrompendo a impressão e deixando de ser impresso um total de páginas, em cujas enumerações seriam utilizados 636 algarismos. Se A é o conjunto de todos os números usados na enumeração das páginas, então a quantidade de elementos desse conjunto que são quadrados perfeitos é igual a: (A) 11. (B) 8. (C) 9. (D) 10.

08. (FUVEST) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional. II. x ≥ 10 3 . III. x 102.000.000 é um inteiro par. Então: (A) nenhuma das três afirmações é verdadeira. (B) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. (C) apenas a afirmação I é verdadeira. (D) apenas a afirmação II é verdadeira. (E) apenas a afirmação III é verdadeira.

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CONJUNTOS

Representações e operações

Introdução

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Os termos: elemento, conjunto e subconjunto são denominados entes primitivos da matemática, portanto, não possuem definição. O que estudamos é a relação existente entre eles. 1.

Capítulo 2

1. Representação dos conjuntos 2. Conjunto vazio, unitário e Universo 3. Subconjuntos de um conjunto 4. Conjunto das Partes 5. Operações com conjuntos

REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS

Um conjunto pode ser representado de várias formas. Como exemplo, vamos representar um conjunto A formado pelos elementos 2, 4, 6, 8, 10. Podemos representar enumerando os números:

H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.

A = { 2, 4, 6, 8, 10 }; Utilizando uma propriedade característica dos elementos: A = { x | x é numero natural par e positivo menor que 12 }; Através da representação em diagrama (Diagrama de Venn):

2

8

4 6

10

Independentemente da representação, podemos relacionar elementos com o conjunto A através da relação de pertinência da seguinte forma: – 4 pertence a A. Simbolizamos por 4 ∈ A . – 5 não pertence a A. Simbolizamos por 5 ∉ A. 2.

CONJUNTO VAZIO, UNITÁRIO E UNIVERSO Veremos agora alguns conjuntos especiais, que possuem característica própria.

Conjunto vazio Considere o conjunto A = { x | x é numero natural menor que -2 }. Observe que não há número negativo no conjunto dos números naturais. Logo, o conjunto A não possui elemento, e, por isso, é nomeado de ConjuntoVazio.

Conjunto unitário

Conjunto vazio é representado por: { } ou ∅.

Observe o conjunto A definido por { x | x é numero natural par e primo }. Sabemos que o único número natural que é, ao mesmo tempo, primo e par é o 2. Assim, o conjunto A={2} possui um único elemento e é chamado de Conjunto Unitário. Fleming 2023

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Conjunto Universo Quando agrupamos todos os elementos de determinada situação, nomeamos o conjunto de Conjunto Universo, geralmente, representado pela letra U. Por exemplo, a equação x2 – 9 = 0 possui apenas uma solução x = 3 caso o conjunto universo seja o conjunto dos números naturais. Caso o conjunto universo seja o conjunto dos números reais, essa possui duas soluções, x = 3 e x = -3. 3.

SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO Observe o diagrama representado abaixo: A 1 2 3 B

0 -1 -2

Temos o conjunto A ={ -2, -1, 0, 1, 2, 3} e o conjunto B = { 1, 2, 3 }. Note que todos os elementos de B também são elementos de A. Nesse caso, dizemos que B é subconjunto de A. Também podemos dizer que B está contido em A (B⊂A) ou dizer que A contém B (A⊃B). Quando houver pelo menos um elemento de um conjunto qualquer C que não for elemento de um conjunto D, dizemos que C não está contido em D (C⊄D) ou D não contém C (D⊅C) . Para a relação de inclusão, temos algumas propriedades:

• ∅ ⊂A

O conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos

• Propriedade reflexiva: A ⊂ A

Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

• Propriedade antissimétrica Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.

• Propriedade transitiva A propriedade transitiva é muito empregada em construções lógicas. Também é conhecida por silogismo.

Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.

• Número de subconjuntos de um conjunto Um conjunto A com n elementos possui 2n subconjuntos distintos. 4.

CONJUNTO DAS PARTES

O Conjunto das Partes de um conjunto C é formado por todos os subconjuntos do conjunto C. Também denominado Conjunto dos Subconjuntos de C. P (C) = { x | x ⊂ C}

Como exemplo, temos o conjunto C ={1,2,{3}}. Logo, para o conjunto das partes de C temos: P(C) = {∅, {1}, {2}, {{3}}, {1,2}, {1,{3}}, {2,{3}}, {1,2,{3}}} Como C possui 3 elementos, o conjunto das partes de C possui 23 elementos, ou seja, C possui 8 subconjuntos. 406

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5.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define-se que a união dos conjuntos A e B é o conjunto representado por A ∪ B, que é formado por todos os elementos pertencentes a A ou B.

A

B

A

B

A

B

Intersecção de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, define-se que a intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto representado por A ∩ B, que é formado por todos os elementos pertencentes a A e B simultaneamente.

Diferença de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define-se que a diferença entre A e B (nessa ordem) é o conjunto representado por A - B, que é formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

Complementar de B em relação a A Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, denominamos complementar de B em relação a A o conjunto diferença A – B. Complementar de B em relação a A : C BA , se B ⊂ A

A

B

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (PUCPR) Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a preferência de cada um com três tipos diferentes de sucos (laranja, manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado: 300 estudantes gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150 gostam do suco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola; 100 gostam dos sucos de laranja e manga; 10 gostam dos três sucos e 65 não gostam de nenhum dos três sucos.

O número de alunos que gosta dos sucos de manga e acerola é: (A) 40. (B) 60. (C) 120. (D) 50. (E) 100.

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Gabarito: D Para melhor compreensão da distribuição dos estudantes nos três grupos propostos usamos a representação geométrica ( diagrama de Venn), conforme ilustração abaixo: Laranja

Manga 135

90 10 65

100 – x x

75 – x Acerola

65

135 + 100 – x + 75 – x + 90 + 10 + x + 65 + 65 = 500 – x = 500 – 540 → – x = – 40 → x = 40 O número de elementos da intersecção do conjunto Manga com o conjunto acerola é: 40 + 10 = 50.

2 (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos

“A Competência 6, com três habilidades, abriga os conceitos matemáticos envolvidos com o tratamento da informação cotidiana que permitem selecionar aquelas que são importantes para cada situação. A leitura de tabelas e gráficos permite interpretar adequadamente o significado dos dados, tomar decisões, fazer inferências diante de questões de natureza científica ou socioeconômica” (Fonte: Inep).

de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: (A) 135. (B) 126. (C) 118. (D) 114. (E) 110. Gabarito: C Considere o diagrama abaixo. C1

C2 x 2

6 4

y 1

z C3

Temos que y = 45 - (6 + 4 + 1) = 34 e

z = 40 - (2 + 4 + 1) = 33.

Portanto, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a 50 + y + 1 + z = 50 + 34 + 1 + 33 = 118 408

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFSC adaptada) Preocupado com a saúde de seus funcionários, o dono de uma empresa realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus empregados. Ele constatou que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia e que, devido à rotina familiar e de trabalho, os únicos momentos de alimentação são: café da manhã, almoço e jantar. Os funcionários deveriam responder quando se alimentavam com algum tipo de proteína de origem animal. A pesquisa revelou que: - 12 ingerem algum tipo de proteína animal apenas no café da manhã; - 17 ingerem algum tipo de proteína animal apenas no jantar; - 147 ingerem algum tipo de proteína animal no almoço; - 97 ingerem algum tipo de proteína animal no café da manhã e no almoço; - 94 ingerem algum tipo de proteína animal no café da manhã e no jantar; - 87 ingerem algum tipo de proteína animal no almoço e no jantar; e - 66 ingerem algum tipo de proteína animal no café da manhã no almoço e no jantar. Se o total de funcionários da empresa for 260 determine o número de funcionários que não se alimentam com proteína animal em nenhuma das refeições. (A) 36 (B) 42 (C) 48 (D) 52 (E) 56 02. (UEL adaptada) Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três redes sociais. Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas entrevistadas, constatou que: - 55 utilizam Snapchat, Instagram e Facebook; - 70 utilizam Snapchat e Facebook; - 105 utilizam Snapchat e Instagram; - 160 utilizam Instagram e Facebook; - 180 utilizam Snapchat; - 225 utilizam Instagram; - 340 utilizam Facebook; - 85 não utilizam qualquer uma das redes sociais da pesquisa.

03. (UEG) Em uma pesquisa sobre a preferência para o consumo de dois produtos, foram entrevistadas 970 pessoas. Dessas, 525 afirmaram consumir o produto A, 250 o produto B e 319 não consomem nenhum desses produtos. O número de pessoas que consomem os dois produtos é: (A) 124 (B) 250 (C) 525 (D) 527 (E) 775

04. (UFRGS) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de certo artigo de consumo, obteve-se a seguinte amostragem de dados: Artigos de Consumo

No de Respostas

A

400

B

1200

C

900

AeB

200

BeC

500

Nenhum dos artigos

200

Foram consultadas m pessoas, verificando-se que n pessoas NÃO utilizam o artigo A e p pessoas SOMENTE utilizam o artigo B. Sabendo que os usuários de A não são usuários de C, os valores de m, n e p são respectivamente: (A) 2000, 1800 e 1200 (B) 2000, 1600 e 500 (C) 2700, 1600 e 500 (D) 2700, 1800 e 1200 (E) 3400, 1600 e 120

A partir dessas informações, quantas pessoas foram entrevistadas? (A) 500 (B) 525 (C) 535 (D) 550 (E) 570 Fleming 2023

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05. (UFT) Uma Instituição de Ensino Superior oferece os cursos A e B. Em seu processo seletivo o candidato pode optar por inscrever-se nos dois cursos ou apenas em um curso. Ao final, o número de inscrições por curso e o número total de candidatos inscritos pode ser observado no quadro que segue: Número de Inscrições no Curso A 480

Número de Inscrições no Curso B 392

Número total de candidatos inscritos 560

Com base nas informações acima e nas possibilidades de inscrições, pode se afirmar que o número de candidatos que optaram por inscrever-se somente no curso A foi:

07. (PUCPR-2021) Todos os 300 vestibulandos de uma das turmas de um curso pré-vestibular prestaram vestibular apenas para o curso de medicina em ao menos uma das universidades A, B ou C. Desses alunos, exatamente 240 fizeram as provas do vestibular da universidade A; 180 fizeram as provas do vestibular da universidade B; 150 fizeram as provas do vestibular da universidade C; m alunos prestaram vestibular na universidade A e também na C. Determine quantos são, ao todo, os possíveis valores de m. (A) 61 (B) 60 (C) 90 (D) 120 (E) 150

(A) 80 (B) 168 (C) 312 (D) 480 (E) 560

06. (FICSAE) Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89 já estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas Regiões Norte e Sul é: (A) 10. (B) 13. (C) 17. (D) 20.

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08. (PUCRS-2022) Uma rede de farmácias fez uma pesquisa de mercado com consumidores para descobrir suas preferências em relação a dois tipos de analgésicos, tipo 1 e tipo 2. Os resultados da pesquisa indicam que I. II. III. IV.

190 pessoas compram o analgésico do tipo 1; 130 pessoas compram o analgésico do tipo 2; 60 pessoas compram os dois tipos de analgésicos; 230 pessoas não compram nenhum dos dois tipos.

De acordo com essas informações, o número de entrevistados foi (A) 230 (B) 320 (C) 490 (D) 610

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MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Introdução Números podem estar associados entre si ou formar conjuntos numéricos com características comuns relevantes ou significativas. Essas características são usualmente conhecidas por padrões ou regularidades. Quem gosta de resolver problemas matemáticos, certamente já se deparou com situações em que se faz necessário observar a regularidade em certas sequências numéricas na busca de uma lei ou uma regra geral para os elementos do conjunto analisado. Com isso, mergulhar nas ideias de múltiplos e divisores será muito útil na resolução de problemas do nosso cotidiano, apresentados nos itens que teremos pela frente, tanto no ENEM como nos vestibulares tradicionais. 1.

Capítulo 3

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Múltiplos de um número natural 2. Divisores de um número natural

H2 – Identificar padrões lógicos em sequências e séries.

MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL

Em várias situações, precisamos saber se um número é divisível pelo outro. Nem sempre precisamos executar uma divisão para termos certeza da possibilidade ou não. Veremos abaixo alguns casos que não há necessidade de dividir para garantir multiplicidade. Múltiplo de um número natural não nulo é qualquer número natural resultante da multiplicação de um número natural pelo número dado. • Múltiplos de 2: { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} Um número natural é múltiplo de 2 quando, na casa das unidades, verificarmos o 0, 2, 4, 6 ou 8;

Sendo n um número natural não nulo, o conjunto dos múltiplos naturais de n equivale ao conjunto dos números naturais divisíveis por n.

• Múltiplos de 3: { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...} Um número natural é múltiplo de 3 quando a soma de seus algarismos resultar em um número divisível por 3; • Múltiplos de 4: { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}

Qual é o próximo ano bissexto?

Um número natural é múltiplo de 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por quatro; • Múltiplos de 5: { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} Um número natural é múltiplo de 5 quando, na casa das unidades, verificarmos o 0, ou 5; • Múltiplos de 6: { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} Um número natural é múltiplo de 6 quando o número for divisível por 2 e por 3; • Múltiplos de 8: { 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Um número natural é múltiplo de 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos for divisível por oito; Fleming 2023

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• Múltiplos de 9: { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...} Um número natural é múltiplo de 9 quando a soma de seus algarismos resultar em um número divisível por 9; • Múltiplos de 10: { 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...} Um número natural é múltiplo de 10 quando o algarismo da casa das unidades for o zero; • Múltiplos de 11: { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, ...}

Teorema Fundamental da Aritmética Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a não ser pela ordem, como produto de números primos.

Um número natural é múltiplo de 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par resultar em um número múltiplo de 11. Em nosso estudo, trabalharemos, além desses casos estudados, com números naturais compostos. Esses exigem fatoração em fatores primos. Como exemplo, temos: • Múltiplos de 12: { 0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} Fatoramos o número 12 em fatores primos: 12 = 22 . 3. Assim, temos que todo múltiplo de 12 deve ser múltiplo de 22 = 4 e múltiplo de 3. • Múltiplos de 36: { 0, 36, 72, 108, ...} Fatoramos o número 36 em fatores primos: 36 = 22 . 32. Assim temos que todo múltiplo de 36 deve ser múltiplo de 22 = 4 e múltiplo de 32 = 9. Essa sequenciação ocorre com todos os números compostos.

Mínimo múltiplo comum ( M. M. C. ) O mínimo múltiplo comum ou simplesmente m.m.c. entre dois ou mais números naturais é o menor múltiplo, diferente de zero, desses números. Usualmente, representamos o menor múltiplo comum entre a e b por m.m.c.(a,b). Como exemplo, vamos determinar o m.m.c. entre 12 e 18. Primeiro, vamos observar os múltiplos de 12 e de 18: M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, ...} M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, ...} Agora, vamos localizar os elementos comuns aos dois conjuntos: M(12) ∩ M(18) = { 0, 36, 72, 108, 144, ...}

O menor múltiplo comum (m.m.c.) é geralmente utilizado como ferramenta para localizar coincidências entre eventos periódicos.

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Como o menor número, não nulo, do conjunto M(12) ∩ M(18) é 36, dizemos que o m.m.c. (12, 18) = 36. Observe que o conjunto dos múltiplos de 12 e o conjunto dos múltiplos de 18 apresentam elementos periódicos. Assim, teremos também para o conjunto dos múltiplos comuns aos números 12 e 18 um conjunto de elementos periódicos.

2.

DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL

Muitos problemas exigem a ideia de repartir, dividir, agrupar em conjuntos que tenham a mesma quantidade de elementos sem deixar elemento sobrando, isto é, utilizando, para tal, todos os elementos envolvidos. A ferramenta que nos auxilia nesses casos é o grupo dos divisores naturais de um número natural. Divisor de um número natural a é todo número natural b que o divide em partes inteiras sem deixar resto (resto = 0). D(1) = { 1 } D(2) = { 1, 2 }

O número 1 e considerado divisor universal, pois divide todos os elementos naturais.

D(3) = { 1, 3 } D(4) = { 1, 2, 4 } D(5) = { 1, 5 } D(6) = { 1, 2, 3, 6 } D(7) = { 1, 7 } D(8) = { 1, 2, 4, 8 } D(9) = { 1, 3, 9 } D(10) = { 1, 2, 5, 10 } D(11) = { 1, 11 } D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } A partir deste estudo, podemos perceber a característica dos números primos. Note que alguns desses números possuem apenas dois elementos no conjunto dos divisores. Todo número natural que possui dois e somente dois divisores distintos é classificado como número primo.

Dois ou mais números são ditos primos entre si quando o m.d.c. (máximo divisor comum) desses números é 1.

Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

Máximo divisor comum ( M. D. C.) Em alguns problemas, há a necessidade de dividirmos os elementos de dois ou mais grupos em quantidades iguais sem que se misturem ou que haja sobra de elementos. A ferramenta indicada é o máximo divisor comum. Como exemplo, vamos verificar o máximo divisor comum entre 18 e 24. D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Agora, buscamos os elementos do conjunto D(18) ∩ D(24) = { 1, 2, 3, 6 } O maior elemento do conjunto D(18) ∩ D(24) é nomeado de máximo divisor comum de 18 e 24. Representamos por: m.d.c. (18,24) = 6. ANOTAÇÕES

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (FUVEST) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b.

Constituem dois inteiros positivos equivalentes: (A) 8 e 9. (B) 9 e 11. (C) 10 e 12. (D) 15 e 20. (E) 16 e 25. Gabarito: E Iniciamos determinando os conjuntos dos divisores e executando a soma: Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores Divisores

de de de de de de de de

8 → {1, 2, 4, 8} → Soma = 15 9 → {1, 3, 9} → Soma = 13 10 → {1, 2, 5, 10} → Soma = 18 11 → {1, 11} → Soma = 12 12 → {1, 2, 3, 4, 6, 12} → Soma = 28 15 → {1, 3, 5, 15} → Soma = 24 16 → {1, 2, 4, 8, 16} → Soma = 31 25 → {1, 5, 25} → Soma = 31

Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equivalentes.

2 (ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas,

H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x � 5y � 7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é: (A) x � y � z (B) (x + 1) � (y + 1) (C) x � y � z-1 (D) (x + 1) � (y + 1) � z (E) (x + 1) � (y + 1) � (z + 1) -1

Gabarito: E Sendo N = 2 x � 5 y � 7 z, o número total de divisores positivos de N é dado por (x + 1)(y + 1)(z + 1). Como um dos divisores de N é o próprio N e que a pergunta foi o número de divisores de N diferentes de N, temos a resposta (x + 1) (y + 1)(z + 1) – 1.

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3 (PUCPR-2021) Coincidentemente, no dia doze de fevereiro do ano passado, Luiz e Laura foram, pela primeira vez, ao mesmo shopping e desde então eles passaram a visitar esse shopping com certa frequência. Se Luiz passou a frequentá-lo a cada doze dias e Laura, a cada nove dias, regularmente, em exatamente quantas datas daquele ano coincidiu de ambos terem ido àquele shopping?

H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

(A) 10 (B) 9 (C) 11 (D) 8 (E) 36

Gabarito: B Para coincidência de eventos periódicos, a ferramenta apropriada é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum). Assim, temos: mmc(12, 9) = mmc(22 . 3, 32) = 22 . 32 = 36 dias = {72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, 360} Portanto, as visitas coincidiram em 9 datas distintas.

4 (ACAFE) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre

várias famílias de um bairro carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que cada família receba o mesmo e o menor número possível de frutas de uma mesma espécie. A quantidade total de frutas recebida por cada família representa um número: (A) divisível por 9. (B) múltiplo de 7. (C) múltiplo de 12. (D) entre 40 e 50.

Gabarito: B Para que tenhamos o menor número de frutas por família, precisamos do maior número de famílias. Assim o m.d.c. (máximo divisor comum) é a ferramenta da vez. 576 = 26 . 32 432 = 24 . 33 504 = 23 . 32 . 7

MDC (432, 504, 576) = 23 . 32 = 72 famílias

Assim, cada família receberá: 576 ÷ 72 = 8 goiabas 432 ÷ 72 = 6 laranjas 504 ÷ 72 = 7 maçãs Somando as frutas que cada família receberá tem-se o número 21, que é múltiplo de 7.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UEG-2022) João e seu irmão dividem o aluguel de um apartamento em Goiânia, para onde voltam sempre nos dias de folga. João trabalha 8 dias e folga no nono dia. Seu irmão trabalha 20 dias e folga no vigésimo primeiro dia. Se eles folgaram juntos hoje, eles vão se encontrar no apartamento novamente daqui a (A) 40 dias (B) 50 dias (C) 52 dias (D) 63 dias (E) 65 dias

03. (UFPR) Giovana deseja fazer um painel usando folhas de papel de tamanhos carta e A4. O painel será composto por duas faixas, cada uma contendo apenas folhas inteiras de um tipo dispostas lado a lado (sem sobreposição e sem espaço entre elas), formando uma figura retangular, sem sobras e sem cortes de papel. As folhas do tipo carta (1) serão dispostas na posição vertical, e as folhas do tipo A4 (2) serão dispostas na posição horizontal, conforme ilustra a figura abaixo: Carta A4

1

1

2

1 2

1 2

1 2

Sabendo que as folhas A4 têm tamanho 210 mm por 297 mm e que as folhas carta têm tamanho 216 mm por 279 mm a menor quantidade total de folhas de papel (incluindo A4 e carta) que Giovanna precisa usar para conseguir atender às exigências do enunciado é: (A) 12. (B) 19. (C) 21. (D) 57. (E) 88.

02. (UEM adaptada) Analise as afirmativas sobre o conjunto dos números inteiros: I. Seja a = MDC(b, c). Então, o resto da divisão de b por a e o resto da divisão de c por a são iguais. II. Se a = 33 . 5 . 7 e b = 22 . 5 . 11, então, o MMC(a,b) = 2310. III. Todo número maior que 1, que não é composto, é primo. São verdadeiras as afirmativas: (A) III. (B) I e II. (C) I e III. (D) II e III. (E) I, II e III.

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04. (FAMEMA-2020) Sílvia e Márcio moram em cidades diferentes no interior. Sílvia vai à capital uma vez a cada 10 dias, e Márcio vai à capital uma vez a cada 12 dias. A última vez em que eles se encontraram na capital foi um sábado. O próximo encontro dos dois na capital ocorrerá em (A) uma terça-feira. (B) uma quarta-feira. (C) um domingo. (D) um sábado. (E) uma segunda-feira.

05. (UEL) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita é (A) 18 (B) 68 (C) 75 (D) 126 (E) 143

07. (UFRGS) Observe o que ocorre na figura a seguir. P0 56o 56o 56o o 56o 56

P5

P1

P2

P4 P3 Inicialmente, marca-se um ponto P0 sobre o círculo, como apresentado na figura. A seguir, anda-se 56° sobre o círculo no sentido horário e marca-se um ponto P1. Segue-se repetindo esse procedimento: cada vez se anda 56° no sentido horário e se marca um novo ponto sobre o círculo. Quantas voltas sobre o círculo terão sido completadas quando pela primeira vez se retornar ao ponto de partida P 0? (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10.

06. (UEPG adaptada) Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? (A) Oito. (B) Dez. (C) Doze. (D) Quatorze. ( E) Quinze.

08. (ACAFE) Um grupo de 216 mulheres e 180 homens inscreveram-se como voluntários para visitar pessoas doentes em hospitais de uma cidade. Todas as pessoas inscritas serão divididas em grupos segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas, e em cada grupo só haverá pessoas do mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar hospitais distintos, o menor número de hospitais a serem visitados é um número: (A) par. (B) divisível por 6. (C) quadrado perfeito. (D) primo.

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RAZÃO, PROPORÇÃO, DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE TRÊS Introdução Neste capítulo, estudaremos uma relação entre dois elementos muito útil em nossas análises sobre alguns elementos do dia a dia, a razão. Ela está presente quando falamos em velocidade, escalas, densidade e muitas outras relações. Também veremos sobre proporcionalidade, grandezas direta e inversamente proporcionais e divisão proporcional. Elementos esses que serão muito úteis na resolução de problemas e, mais adiante, nas geometrias que estudaremos. 1.

RAZÃO

Uma forma de relacionar, comparar duas informações, quantidades ou medidas, é por meio de uma divisão. A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente entre a e b, que pode ser representado de várias maneiras, como, por exemplo: a , a : b, b ou outra forma que seja equivalente. Por exemplo: a razão entre 12 e 15 pode ser representada por 12 , ou 12:15 de formas equivalentes. 15 A ordem dos elementos no cálculo da razão é muito importante. Por conta disso, cada elemento recebe um nome diferente. Em uma razão entre a e b ( a ) , o a, que se b localiza no numerador é chamado de antecedente e o b que se localiza no denominador é chamado de consequente. Como exemplo, temos a porcentagem que é a razão em que o consequente é igual a 100. Assim, falar em 60% equivale a razão entre 60 e 100 : 60 = 3 . 5 100

Capítulo 4

ESTRUTURA DO CAPÍTULO 1. Razão 2. Proporção 3. Regra de Três

“Relacionam-se à Competência 3 cinco habilidades que envolvem as noções de grandezas e medidas, associando-as a temas matemáticos presentes em situações do cotidiano. Os itens exploram ações como selecionar instrumentos de medida mais adequados a uma determinada situação proposta; identificar, utilizar, avaliar e relacionar unidades de medidas adequadas a uma determinada grandeza que se queira medir”. (Fonte: Inep) “A Competência 4, com quatro habilidades, envolve a ação de identificar, resolver, avaliar a interdependência de grandezas e suas variações em situações-problema que permitam analisar a natureza dessa relação”. (Fonte: Inep)

Algumas razões especiais • Densidade de um corpo ou de uma matéria A densidade é uma razão entre duas propriedades de um corpo ou de uma matéria qualquer: massa e volume. Por que boiamos na piscina? Por que o gelo não afunda em um copo de água? O que gera as correntes de convecção em elementos no estado líquido? Essas respostas vocês encontrarão ao longo do ano, mas todas possuem uma razão que as relaciona, a densidade. Como exemplo, temos : uma barra de ouro de 2 quilogramas possui 103,63cm3 g de volume. Assim, a densidade do ouro é de: 2000 g 3 ≅ 19,3 3 . cm 103,63 cm

Falar em 60% de alguma coisa, equivale a falar em 3/5 da mesma coisa.

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• Densidade demográfica Podemos verificar se uma região é pouco ou muito povoada comparando a área dessa região com o número de habitantes dela. Como exemplo, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), no censo de 2010 foi verificada para a cidade de Curitiba – PR uma população de 1.751.907 pessoas. Como a cidade possui 435,036 km2 de área, a densidade demográfica da cidade é dada pela razão 1.751.907 habitantes ≅ 4.027 hab2 . 435,036 km2 km

• Velocidade média Um corpo em movimento pode ter variação de velocidade ao longo de um percurso. Mas, mesmo assim, podemos determinar sua velocidade média estabelecendo uma razão entre a distância percorrida e o tempo que o corpo gastou para percorrê-la. Para exemplificar, podemos considerar um carro que se desloca de Porto Alegre-RS a Torres-RS, que distam 193km, com deslocamento estimado em 2h30min. A velocidade média estimada fica 193 km = 77,2 km . 2,5 h h

• Escala

Escala é sempre linear, por isso utiliza medida de comprimento.

Escala é um conteúdo trabalhado nas aulas de cartografia na disciplina de Geografia. A razão entre um comprimento em sua representação gráfica e o comprimento real, apresentados numa mesma unidade de medida, é nomeada de escala. Os mapas e as plantas baixas, na construção civil, são exemplos de representação gráficas. Como exemplo, temos os extremos (norte/sul) do Brasil são Chuí, no Rio Grande do sul e Oiapoque, no Amapá. A distância aproximada, em linha reta, entre essas cidades é de 4.180 km. Um mapa apresenta 80 centímetros de distância entre elas. Assim 80 cm 1 = sabemos que a escala usada foi de ou 1 : 5.225.000. 418.000.000 cm 5.225.000

2.

PROPORÇÃO

Se duas razões forem iguais então elas formam uma proporção. Assim, se a razão entre os números a e b for a mesma razão entre c e d, dizemos que a = c é uma b d proporção. Uma leitura conveniente é: a está para b assim como c está para d. Chamamos a e d de extremos e b e c de meios. Também podemos dizer que o produto dos meios equivale ao produto dos extremos. Assim, nasce a propriedade fundamental das proporções que, algebricamente, pode ser representada assim: Se

a c = é um a proporção então a . d = b . c. b d

Outras propriedades também são muito úteis como: Se a = c , então a + b = c + d ou Se a = c , então a - b = c - d . b d b d b d b d Ou ainda: a c a a+c a c a a-c Se b = d , então b = b + d ou Se b = d , então b = b - d .

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Utilizando as normas de proporcionalidade em um conjunto de razões equivalentes encontramos que se a proporção ocorre nas partes então ocorre nos sub grupos e no todo, como verificamos abaixo: a = b = c = d = a + b = a - b = 2a + c = a + b + c + d a' b' c' d' a' + b' a' - b' 2a' + c' a' + b' + c' + d'

Divisão Proporcional • Divisão em duas partes diretamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A + B = M, mas A B p = q A solução segue das propriedades das proporções: A B A+B M p = q = p+q = p+q =K O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K . p e B = K . q Exemplo: Para decompor o número 840 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 3 e 4, montaremos o sistema de modo que A + B = 840, cuja solução segue de: A B A+B 840 = = = = 120 3 4 3+4 7 Segue que A = 120 . 3 = 360 e B = 120 . 4 = 480. Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A - B = 60 e escrever: A B A-B 60 = = = = 12 8 3 8-3 5 Segue que A = 12 . 8 = 96 e B = 12 . 3 = 36.

• Divisão em duas partes inversamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q. Assim, basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M. Desse modo: A B A–B M = = = =K 1 1 1– 1 1+1 p q p q p q O valor de K proporciona a solução pois: A =

K K . eB= p q

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Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A + B = 120, de modo que: A B A+B 120 = = = = 144 1 1 1+1 5 2 2 3 6 3 Assim A = 144.

1 1 = 72 e B = 144. = 48 . 2 3

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver esse problema, tomamos A – B = 10. Assim: A B A+B 10 = = = = 240 1 1 1+1 1 6 8 6 8 24 Assim A = 240 .

3.

H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Dentro desta habilidade, o aluno tem de aplicar a proporcionalidade para resolver problema práticos, a partir de conhecimentos como regra de três e razão. H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. A fim de comparar situações diferentes, envolvendo proporcionalidade, e tomar decisões, o aluno deve aplicar os conhecimentos de proporções para identificar situações vantajosas e desvantajosas.

1 1 = 40 e B = 240 . = 30. 6 8

REGRA DE TRÊS

Em muitos dos problemas propostos confrontamo-nos com variadas grandezas (tudo que pode ser medido ou contado) e suas medidas (comparação entre a grandeza que se quer medir e outra, de mesma espécie, tomada como unidade). Uma forma prática de resolvermos problemas envolvendo grandezas proporcionais é a renomada regra de três. Mas antes, vamos falar sobre grandezas direta e inversamente proporcional. Grandezas diretamente proporcionais são aquelas que variam sempre na mesma razão. Se uma dobra, a outra dobra também. Se uma reduz à quarta parte a outra também reduz à quarta parte, por exemplo. Grandezas inversamente proporcionais são aquelas que variam sempre na razão inversa. Se uma grandeza triplica a outra, reduz-se à terça parte. Se uma reduz à metade, a outra dobra.

Regra de três simples A regra de três simples é a ferramenta que nos auxilia na resolução de problemas que apresentem três dos quatro termos de uma proporção e seja necessário obter o quarto termo desconhecido. Ela pode relacionar duas grandezas diretamente proporcionais ou duas grandezas inversamente proporcionais.

• Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais é resolvida facilmente com o auxílio da igualdade das razões ( proporções ). Como exemplo, temos: (UFPR) Sabe-se que uma máquina foi usada para abrir uma vala. Se essa máquina gastou 45 minutos para remover 5/8 do volume de terra do terreno, então é esperado que o restante da terra seja removido em: (A) 1 hora (B) 27 minutos (C) 1h e 10 minutos (D) 30 minutos (E) 35 minutos 422

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Gabarito: B Se a fração de terra retirada foi de 5/8 do total, conclui-se que o restante equivale a 3/8 do total. Assim temos: Fração da terra

5 8

3 8

Tempo

45 minutos

X

Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos que: 5 3 = 8 8 x 45 Aplicando a relação fundamental das proporções (produto dos meios equivale ao produto dos extremos), temos: 5 . x = 3 . 45 8 8 x = 27 minutos

• Regra de três simples com grandezas inversamente proporcionais Regra de três simples com grandezas inversamente proporcionais é resolvida facilmente com o auxílio da igualdade das razões ( proporções ). Como exemplo, temos: Para chegar em seu trabalho, Dideron leva 40 minutos dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se aumentar a velocidade média para 100 km/h, o tempo gasto em minutos para fazer o mesmo percurso será de: (A) 20 min (B) 25 min (C) 30 min (D) 35 min (E) 50 min Gabarito: B Observe que, para percorrer uma mesma distância, a velocidade maior exige um tempo menor. Como, nesse problema, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, temos: Tempo

40 minutos

x

Velocidade

75 km/h

100 km/h

Com grandezas inversamente proporcionais, trabalharemos com o inverso da razão de proporcionalidade: 40 x = 1 1 75 100 Ou ainda:

40 . 75 = x . 100 x = 30 minutos

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Regra de três composta A regra de três composta nos auxilia na resolução de problemas que envolvam mais de duas grandezas proporcionais. Uma boa leitura e análise de grandezas é o primeiro passo para resolvermos os itens propostos. Como exemplo, temos: Em uma obra, 6 trabalhadores constroem 30 metros lineares de um muro em 2 horas. Quantos trabalhadores são necessários para construir 40 metros lineares do mesmo muro em 1 hora? (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 24 Gabarito: D Primeiro, vamos organizar os dados em uma tabela: Trabalhadores

Metros lineares de muro

Tempo

6

30

2

x

40

1

Ao apresentarmos a proporção teremos: 6 = 30 . 1 x 40 2 Assim teremos

6 30 = ou x = 16. x 80

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UNIOESTE 2022) A única unidade básica de saúde de um bairro que aplica vacinas contra uma determinada doença possui 3 equipes de vacinação: A, B e C. Por conta da diferença de experiência de cada equipe em relação a esta vacinação, a equipe A consegue vacinar uma pessoa a cada 5 minutos, a equipe B vacina uma pessoa a cada 4 minutos e a equipe C vacina uma pessoa a cada 3 minutos. Considerando que as 3 equipes trabalham 8 horas por dia e que a população do bairro é de 5.000 pessoas, o número mínimo de dias que a unidade de saúde precisa para vacinar toda a população do bairro é:

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15

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Gabarito: D Tomamos como VA, VB e VC as velocidades de vacinação das equipes A, B e C. O tempo (em min.) para que toda a população seja vacinada será : VA + VB + VC = Pessoas Tempo 1 + 1 + 1 = 5000 5 4 3 t 12 + 15 + 20 = 5000 60 t 47t = 30000 t = 6383 min Como as equipes trabalham 8 horas por dia (8 x 60min = 480min), o número necessário de dias é de: d = 6383 min ≅ 13,3 dias 480 min Portanto, são necessários pelo menos 14 dias para vacinar toda a população.

2 (UFSC) Três agricultores resolveram alugar um trator para arar a terra. Combinaram que o custo do aluguel seria dividido de acordo com o tempo de uso de cada um. Após ararem as terras, pagaram pelo aluguel do trator R$ 486,00. Sabendo-se que Paulo usou o trator por 4 horas, Pedro por 6 horas e Antônio por 8 horas, então Pedro deve pagar

(A) R$ 216,00 (B) R$ 108,00 (C) R$ 162,00 (D) R$ 270,00 Gabarito: C Tomamos x, y e z, respectivamente, como as partes respectivas de Paulo, Pedro e Antônio. Assim, temos: x = y = z = k, 4 6 8 em que k é a constante de proporcionalidade. Mas, como: 4k + 6k + 8k = 486 → k = 27. Assim, a parte que cabe a Pedro é 6k = 6 . 27 = 162 reais.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UNICAMP-2023) Um recipiente de 30 litros contém uma solução de 14 partes de álcool e 1 parte de água. Quantos litros de água devem ser adicionados para que se tenha uma solução com 70% de álcool?

04. (UEL) José limpa o vestiário de um clube de futebol em 30 minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa o mesmo vestiário em 45 minutos. Quanto tempo levarão os dois para limpar o vestiário juntos?

(A) 8 litros. (B) 10 litros. (C) 12 litros. (D) 14 litros.

(A) 15 minutos e 30 segundos (B) 18 minutos (C) 20 minutos (D) 36 minutos (E) 37 minutos e 30 segundos

02. (UFRGS) O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$ 10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais:

05. (UFSC) Três agricultores resolveram alugar um trator para arar a terra. Combinaram que o custo do aluguel seria dividido de acordo com o tempo de uso de cada um. Após ararem as terras, pagaram pelo aluguel do trator R$ 486,00. Sabendo-se que Paulo usou o trator por 4 horas, Pedro por 6 horas e Antônio por 8 horas, então Pedro deve pagar:

(A) 15. (B) 20. (C) 25. (D) 40. (E) 80.

(A) R$ 216,00. (B) R$ 108,00. (C) R$ 162,00. (D) R$ 270,00.

03. (ENEM) O artigo 33 da lei brasileira 11343 de 2006, sobre drogas, prevê a pena de reclusão de 5 a 15 anos para qualquer pessoa condenada por tráfico ilícito ou produção não autorizada de drogas. Entretanto, caso o condenado seja réu primário com bons antecedentes, essa pena pode sofrer uma redução de um sexto a dois terços. Se um réu primário com bons antecedentes for condenado pelo artigo 33 da lei brasileira sobre drogas, após o benefício da redução de pena, sua pena poderá variar: (A) de 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses. (B) de 1 ano e 8 meses a 5 anos. (C) de 3 anos e 4 meses a 10 anos. (D) de 4 anos e 2 meses a 5 anos. (E) de 4 anos e 2 meses a 12 anos e 6 meses.

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06. (UNIOESTE-2021) Para fazer 800 ml de um produto, deve-se misturar 100 ml da substância A1, 200 ml da substância A2 e 500 ml da substância A3. Deseja-se aumentar o tamanho da embalagem e o produto agora deverá ter 900 ml. Assim, para manter a proporcionalidade entre as substâncias A1, A2 e A3 as quantidades usadas serão (em ml), respectivamente, (A) 112,5; 225 e 562,5. (B) 110; 220 e 570. (C) 133,3; 233,3 e 533,4. (D) 120; 230 e 550. (E) 115; 225 e 560.

Avenida Anápolis

3 cm

A 6 cm

Avenida Brasil Rua Bahia

(A) 48 segundos. (B) 54 segundos. (C) 60 segundos. (D) 72 segundos.

09. (UEG) Analise o desenho.

Rua Goías

07. (UNICAMP 2021) Duas impressoras funcionando simultaneamente imprimem certa quantidade de páginas em 36 segundos. Sozinha, uma delas imprime a mesma quantidade de páginas em 90 segundos. Funcionando sozinha, para imprimir a mesma quantidade de páginas, a outra impressora gastaria:

Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma área de 1800 m2, a escala numérica da planta é: (A) 1:10000 (B) 1:1000 (C) 1:100 (D) 1:10

08. (UEG-2022) O corpo humano necessita de pelo menos 7 horas de sono por dia. Se uma pessoa dormiu às 22 horas e acordou depois de 345 minutos, então ela dormiu (A) 2 do valor necessário. 3 1 (B) do valor necessário. 7 (C) menos que 4 do valor necessário. 5 (D) menos que 2 do valor necessário. 5 4 (E) mais que do valor necessário. 5

10. (FUVEST) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a: (A) 100 (B) 105 (C) 115 (D) 130 (E) 135

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PORCENTAGEM

Capítulo 5

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Em nossos estudos, inúmeras vezes, temos que nos reportar a frações ou partes de algum valor como também representar a razão entre dois valores. A partir dessa observação, podemos nos reportar à porcentagem, amplamente utilizada em problemas de matemática financeira, mas com uma larga aplicação em diversas áreas do conhecimento: estatística e geometria são exemplos na matemática, além de uma infinidade de outras contribuições como em genética, por exemplo. Taxas de crescimento, aumento e desconto em valores de mercadorias também são ambientes em que a porcentagem é ferramenta básica. 1.

TAXAS PERCENTUAIS

A forma mais popular de representar razões é a porcentagem ou percentagem. Tal razão possui algumas formas de apresentação como fração centesimal, número decimal ou por meio da representação com o símbolo % que identifica divisão por 100. Taxa Percentual 0,5% 1% 6,3% 17% 18,35% 48% 100% 103% 219% 456,1% 1300% 10.000%

Razão Centesimal 0,5 100 1 100 6,3 100 17 100 18,35 100 48 100 100 100 103 100 219 100 456,1 100 1300 100 10000 100

Taxa Unitária

1. Taxas Percentuais 2. Fator de Capitalização 3. Aumentos e Descontos Sucessivos

H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. Aqui, o aluno deve aplicar os conhecimentos sobre os números para resolver problemas práticos, contextualizados. H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. O aluno deve comparar situações diferentes e ser capaz de reconhecer quais as mais vantajosas e desvantajosas quando se têm dados numéricos a respeito dessas situações.

0,005 0,01 0,063 0,17 0,1835 0,48 1 1,03 2,19 4,561 13 100

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429

Quando calculamos porcentagem de algum valor, utilizamos a multiplicação como ferramenta associada. Como exemplo, temos: As preposições da, de e do, indicam, na matemática, operação de multiplicação.

20% de R$ 450,00 é R$ 90,00, dado que 20 . 450 = 90 100 1 20 Falar em 20% equivale a ou . Portanto 20% de algum valor equivale a 1 desse 5 5 100 valor. Assim, 20% de R$ 450,00 equivale a 1 de R$ 450,00 ou 1 . 450 = 90. 5 5

2.

FATOR DE CAPITALIZAÇÃO

lização:

Para falarmos em aumentos e descontos, precisamos recorrer ao fator de capita-

(1� i)

30 Uma taxa de aumento de 30% equivale ao fator de aumento (1 + 100 ) ou (1+ 0,3) ou 1,3. Portanto, para gerar um aumento de 30% em um valor, devemos multiplicar esse valor por 1,3. 20 Uma taxa de desconto de 20% equivale ao fator de desconto (1 – ) ou (1 – 0,2) 100 ou 0,8. Portanto, para gerar um desconto de 20% em um valor, devemos multiplicar esse valor por 0,8. Fator de Capitalização (1 � i)

Taxa de Aumento ou Taxa de Desconto

Número Decimal ou Taxa Unitária (i)

+0,5%

0,005

(1 + 0,005) = 1,005

–1%

0,01

(1 – 0,01) = 0,99

+6,3%

0,063

(1 + 0,063) = 1,063

–17%

0,17

(1 – 0,17) = 0,83

+18,35%

0,1835

(1 + 0,1835) = 1,1835

–48%

0,48

(1 – 0,48) = 0,52

+100%

1

(1 + 1) = 2

+103%

1,03

(1 + 1,03) = 2,03

+219%

2,19

(1 + 2,19) = 3,19

456,1%

4,561

(1 + 4,561) = 5,561

1300%

13

(1 + 13) = 14

10.000%

100

(1 + 100) = 101

AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 3.

Com o fator de capitalização, conseguimos gerar aumentos e descontos com as mais variadas taxas que, quando combinadas, geram o que nomeamos de aumentos e descontos sucessivos.

430

MATEMÁTICA

Fleming 2023

Como exemplo temos: Qual é o aumento equivalente a dois aumentos sucessivos de 30%? Para gerarmos um aumento de 30%, utilizamos o fator de capitalização (1 + 0,3) ou 1,3. Assim, temos: 1,3 x 1,3 = 1,69 +30% e +30% = +69% Logo, dois aumentos sucessivos de 30% equivalem a um aumento de 69%. Qual é a taxa equivalente a um aumento de 10% e um desconto de 30% gerados de forma sucessiva? Para gerarmos um aumento de 10%, utilizamos o fator de capitalização (1 + 0,1) ou 1,1. Para gerarmos um desconto de 30%, utilizamos o fator de capitalização (1 – 0,3) ou 0,7. Assim temos: 1,1 x 0,7 = 0,77 +10% e –30% = –23% Logo, um aumento de 10% e um desconto de 30% gerados de forma sucessiva equivalem a um desconto de 23%. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UEG 2021) Determinado produto custava em janeiro de 2020 o valor de R$ 103,50,

mas em julho esse produto sofreu aumento de 83%. Em novembro de 2020, o preço do produto para compra à vista tinha um desconto de 55%. Desse modo, quem comprou esse produto à vista em novembro pagou um valor

H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

(A) igual a R$ 121,40 (B) igual a R$ 131,40 (C) igual a R$ 149,40 (D) maior que R$ 103,50 (E) menor que R$ 90,50

Gabarito: E Quando desejamos gerar aumentos ou descontos utilizamos o fator de capitalização (1 + i). Assim, para determinarmos o valor pago em novembro, trabalhamos da seguinte forma: (1 + 0,83)(1 – 0,55)103,5 ≅ R$ 85,23 ou seja, um valor menor do que R$ 90,50.

2 (ENEM) A baixa procura por carne bovina e o aumento de oferta de animais para abate fizeram com que o preço da arroba do boi apresentasse queda para o consumidor. No ano de 2012, o preço da arroba do boi caiu de R$ 100,00 para R$ 93,00. Disponível em: www.diariodemarilia.com.br. Acesso em: 14 ago. 2012.

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

Com o mesmo valor destinado à aquisição de carne, em termos de perda ou ganho, o consumidor: Fleming 2023

MATEMÁTICA

431

(A) ganhou 6,5% em poder aquisitivo de carne. (B) ganhou 7% em poder aquisitivo de carne. (C) ganhou 7,5% em poder aquisitivo de carne. (D) perdeu 7% em poder aquisitivo de carne. (E) perdeu 7,5% em poder aquisitivo de carne. Gabarito: C O consumidor poderá comprar 100 - 93 . 100% ≅ 7,53% a mais de carne. 93

4

2

3 (UFSC) Um produtor de trigo vendeu 9 de sua produção com 5% de lucro; 3 do

H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

resto com 3% de lucro e o restante com um prejuízo de 6%. Se o lucro total do produtor foi de R$ 7.500,00, então o custo de produção foi de (A) R$ 600.000,00 (B) R$ 37.500,00 (C) R$ 675.000,00 (D) R$ 337.500,00

Gabarito: D Para iniciar, tomamos p para representar a produção. Se ele vendeu 4p com lucro de 5%, então sobrou p – 4p = 5p . 9 9 9 Dessa diferença, o produtor vendeu 2 . 5p = 10p com lucro de 3% e 27 3 9 5p – 10p = 5p com prejuízo de 6%. 27 27 9 Portanto, como o lucro total do produtor foi de "R$" 7.500,00, segue que: 5 . 4p + 3 . 10p – 6 . 5p = 7500 → p = 7500 → p = R$ 337.500,00. 45 100 9 100 27 100 27

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

4 (PUC GOIÁS 2022) Entre 2017 e 2020, o Projeto de Monitoramento da Amazônia Andina (MAAP) registrou a perda de aproximadamente dois milhões de hectares de florestas primárias na Amazônia Ocidental; apenas 9% do total ocorreram em áreas protegidas, destacando a importância das unidades de conservação. Imagens de satélite trazem uma primeira visão dos hotspots de desmatamento (áreas com grande biodiversidade, ricas em espécies endêmicas, com alto grau de ameaça de desmatamento), no ano de 2021, na Amazônia Ocidental, totalizando mais de 860 mil hectares, entre janeiro e setembro. Nesse mesmo ano e período, a maior parte do desmatamento (79%) ocorreu no Brasil e se concentrou em torno das rodovias federais BR-230 (Transamazônica), BR-319 (Manaus-Porto Velho), BR-163 e BR-364. Disponível em: https://www.ecycle.com.br/relatorio-aponta-que-79-do-desmatamento-em-2021-aconteceu-nobrasil/#:~:text=Entre%202017%20e,unidades%20de%20 conserva%C3%A7%C3%A3o. Acesso em: 10 nov. 2021.

A partir das informações presentes no texto sobre desmatamento, analise os itens que se seguem:

432

MATEMÁTICA

Fleming 2023

I. A área desmatada entre 2017 e 2020, em terras protegidas, corresponde a 180 mil hectares. II. Entre janeiro e setembro de 2021, a área desmatada na Amazônia Ocidental correspondeu a aproximadamente 180.000 alqueires. III. De janeiro a setembro de 2021, a maior parte do desmatamento ocorreu no Brasil, o que correspondeu a 679.400 hectares. Consideradas as afirmativas apresentadas, assinale a única alternativa que apresenta todos os itens corretos: (A) I e II apenas. (B) I e III apenas. (C) I, II e III. (D) II e III apenas.

Gabarito: C [I] Verdadeira. De fato, pois 0,09 . 2000000 = 180000 hectares. [II] Verdadeira. Com efeito, pois 860000 ≅ 180000 alqueires mineiros. 4,84 [III] Verdadeira. De fato, pois 0,79 . 860000 = 679400 hectares. Observação: O fator de conversão entre o alqueire e o hectare depende da região do Brasil. Considerando o gabarito oficial, aparentemente foi utilizado o alqueire mineiro, de tal sorte que 1 alqueire mineiro corresponde a 4,84 hectares.

5 (UNESP) Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2 alunos porque os cinco estavam gripados. Dos alunos e alunas que foram à aula, 2 meninos e 1 menina também estavam gripados. Dentre os meninos presentes à aula, a porcentagem dos que estavam gripados era 8% e, dentre as meninas, a porcentagem das que estavam gripadas era 5%. Nos dias em que a turma está completa, a porcentagem de meninos nessa turma é de

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

(A) 52%. (B) 50%. (C) 54%. (D) 56%. (E) 46%.

Gabarito: C Tomamos x e y com o número de meninos e o número de meninas da turma. Assim, temos que: 2 = 0,08 → x = 27 x–2 e 1 = 0,05 → y = 23. y–3 Concluímos então que a resposta é igual a:

27 . 100% = 54%. 27 + 23

Fleming 2023

MATEMÁTICA

433

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (FAMERP-2022) Segundo dados do Instituto Trata Brasil, 83,3% dos brasileiros contam com água encanada, mas apenas 51,9% têm acesso a tratamento de esgoto. De acordo com estimativas do IBGE, em 2021 a população brasileira atingiu a marca de 213,3 milhões de pessoas. Considerando-se que todos os brasileiros que têm acesso a tratamento de esgoto também têm acesso à água encanada, o número aproximado de brasileiros que, em 2021, têm acesso à água encanada, mas não têm acesso ao tratamento de esgoto, é de (A) 110 milhões. (B) 85 milhões. (C) 92 milhões. (D) 102 milhões. (E) 67 milhões.

03. (UFRGS) Supondo-se que o número de vagas de um curso em um concurso vestibular aumentou 25% e que o número de candidatos aumentou 35%, o número de candidatos por vaga para esse curso aumentou: (A) 8%. (B) 9%. (C) 10%. (D) 11%. (E) 12%.

04. (UFPR) Numa série de testes para comprovar a eficiência de um novo medicamento, constatou-se que apenas 10% dessa droga permanecem no organismo seis horas após a dose ser ministrada. Se um indivíduo tomar uma dose 250 mg desse medicamento a cada seis horas, que quantidade da droga estará presente em seu organismo logo após ele tomar a quarta dose? (A) 275 mg. (B) 275,25 mg. (C) 277,75 mg. (D) 285 mg. (E) 285,55 mg.

02. (ENEM-2021) Para realizar um voo entre duas cidades que distam 2.000 km uma da outra, uma companhia aérea utilizava um modelo de aeronave A, capaz de transportar até 200 passageiros. Quando urna dessas aeronaves está lotada de passageiros, o consumo de combustível é de 0,02 litro por quilômetro e por passageiro. Essa companhia resolveu trocar o modelo de aeronave A pelo modelo de aeronave B, que é capaz de transportar 10% de passageiros a mais do que o modelo A, mas consumindo 10% menos combustível por quilômetro e por passageiro. A quantidade de combustível consumida pelo modelo de aeronave B, em relação à do modelo de aeronave A, em um voo lotado entre as duas cidades, é (A) 10% menor. (B) 1% menor. (C) igual. (D) 1% maior. (E) 11% maior.

05. (UFSC adaptada) Na segunda-feira, um comerciante decide vender um produto com um desconto de 10%. Na sexta-feira, como não obteve muito sucesso, decide acrescentar um novo desconto de 20% sobre o valor obtido após o primeiro desconto. O desconto total no preço original do produto foi de: (A) 17% (B) 21% (C) 25% (D) 28% (E) 30%

06. (FUVEST) Um comerciante adotou como forma de pagamento uma máquina de cartões, cuja operadora cobra uma taxa de 6% em cada venda. Para continuar recebendo exatamente o mesmo valor por cada produto, ele resolveu aplicar um reajuste nos preços de todos os produtos da loja. Se P era o valor de uma mercadoria antes da adoção da máquina, o novo valor V deve ser calculado por: (A) V = P + 0,06 (B) V = 0,94 . 1,06 . P (C) V = 1,6 . P (D) V = P 0,94 (E) V = 0,94 . P

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MATEMÁTICA

Fleming 2023

07. (UEG-2021) O valor do imposto anual de um determinado imóvel é R$ 810,00. Se for pago antecipadamente, a prefeitura do município onde ele está localizado dá um desconto de 3,5% sobre o valor do imposto. Pagando antecipadamente, o proprietário desse imóvel pagará (A) R$ 781,65 (B) R$ 695,27 (C) R$ 723,34 (D) R$ 756,42 (E) R$ 792,71

10. (PUC-GOIÁS-2021) Leia o fragmento do texto sobre a imigração internacional na década de 2000: [...] Conforme relatório de desenvolvimento humano de 2009, realizado pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD), aproximadamente 195 milhões de pessoas moram fora de seus países de origem, o equivalente a 3% da população mundial, sendo que cerca de 60% desses imigrantes residem em países ricos e industrializados. No entanto, em decorrência da estagnação econômica oriunda de alguns países desenvolvidos, estima-se que, em 2010, 60% das migrações ocorram entre países em desenvolvimento. [...] Disponível em: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/ geografia/migracao-internacional.htm. Acesso em: 23 jan. 2020.

08. (UNESP) Um quilograma de tomates é constituído por 80% de água. Essa massa de tomate (polpa + H2O) é submetida a um processo de desidratação, no qual apenas a água é retirada, até que a participação da água na massa de tomate se reduza a 20%. Após o processo de desidratação, a massa de tomate, em gramas, será de: (A) 200. (B) 225. (C) 250. (D) 275. (E) 300.

Considere as informações apresentadas no texto e marque a única alternativa que indica o número aproximado da população mundial em milhões, naquela década: (A) 5000. (B) 5500. (C) 6000. (D) 6500.

09. (UFT) Uma TV de plasma com 20% de desconto é vendida por R$ 2.500,00. O preço da TV sem desconto é: (A) R$ 3.125,00 (B) R$ 3.000,00 (C) R$ 2.800,00 (D) R$ 3.100,00 (E) R$ 3.500,00

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MATEMÁTICA

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POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Neste capítulo, abordaremos os temas de potenciação e radiciação de números reais de uma forma clara e prática. Essas operações são muito úteis para executar cálculos de uma forma mais rápida e na representação de valores. 1.

POTENCIAÇÃO

Dada a evolução tecnológica, cada vez mais utilizamos números muito grandes ou muito pequenas para representar valores e grandezas. A escrita ora em forma de potências ora notação científica são relevantes em nossos estudos para o ENEM e vestibulares que teremos pela frente. Auxilia no estudo, não só da matemática, como na física, na química, na biologia, na geografia, etc. Com relação ao significado do dicionário, potência significa poder, força, capacidade de realizar. Na matemática, significa um produtório de um número por si n vezes.

• Representação

1. Potenciação 2. Radiciação

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. “A Competência 5, com cinco habilidades, trata do desenvolvimento do pensamento algébrico/geométrico para resolver situações-problema. O conhecimento matemático construído ao longo da vida, muitas vezes contextualizado em situações do cotidiano, pode e deve ser generalizado e transferido a outros contextos” (Fonte: Inep).

a → base n → expoente p → potência



an = p, onde:

Capítulo 6

• Casos Particulares 1) a0 = 1, ∀ a ≠ 0 1 2) a-1 = a , a ≠ 0 3) 1n = 1 4) 0n = 0, ∀ n ∈ R+*

Propriedades da Potenciação As propriedades nos auxiliarão nas reescritas dos números e, mais adiante, nas expressões algébricas. n

a m � a n = am + n

1) Produto de potências de mesma base

a m : an = am – n

2) Divisão de potências de mesma base 3) Potência de um produto 4) Potência de um quociente 5) Potência de potência

Obs: (am)n � am

(a � b)n = an � bn

a b

n

an = bn ∀ b ≠ 0

(am)n = am�n Fleming 2023

MATEMÁTICA

437

Potências de base 10 A notação em potências de base 10 são amplamente utilizadas em elementos macroscópicos e microscópicos. H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. Essa habilidade busca verificar se o aluno consegue entender a composição numérica, a representação dos números (as notações decimais, por exemplo), as propriedades que diferenciam conjuntos numéricos.

• Múltiplos de 10 – Potências O expoente indica o número de zeros. 10 = 101 100 = 102 1000 = 103

• Submúltiplos de 10 – Potências O expoente indica o número de casas decimais. 0,1 = 10–1 0,01 = 10–2 0,001 = 10–3

Notação Científica Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: α . 10n O número α é denominado mantissa e n determina a ordem de grandeza. A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente inteiro. b) 230.000 = 2,3 . 105

Ex : a) 0,00002 = 2 . 10–5

2.

RADICIAÇÃO

A radiciação é considerada a operação inversa da potenciação. Ela é muito utilizada nas expressões aritméticas e algébricas. Vamos estudar suas propriedades, mas antes, temos que definir o que é radiciação. Dado um número real a e um número natural n ≥ 1, chamamos de raiz n-ésima de a o número x tal que xn = a. A simbologia utilizada para a representação da raiz n n-ésima de a é a. n

a = x → xn = a

• Representação

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MATEMÁTICA

Fleming 2023

a = x, onde



n

a → radicando n → índice do radical x → raiz n-ésima de a → radical

Propriedades da Radiciação Assim como em potenciação, podemos realizar operações com elementos em radiciação. Para isso, temos que dominar algumas propriedades de radiciação como as apresentadas abaixo: 1) Radical de um produto

n

2) Radical de um quociente 3) Expoente fracionário 4) Radical de radical 5) Simplificação de índices 6) Introdução de um número sob o radical

n

n

a�b= a� b n

a = b

n

n

n

Se a ≠ b ≠ 0 então: n

n

n

a+b≠ a+ b a2 + b2 ≠ a + b a2 – b2 ≠ a – b

a b

m

am = a n

n m

a = n�m a

n�m

am = n a

a � n b = n an � b (n a)m = n am

7) Potência de radical

(a2)= |a|

8) Radical de um produto com índices diferentes

n

ax � m by = m.n ax.m � by.n

Racionalização de denominadores A racionalização de denominadores remonta ao tempo que não existiam as calculadoras. Realmente é muito mais simples estabelecer o algoritmo das divisões com denominadores racionais do que irracionais. Dado que 1 = 2 = 0,7071… temos duas 2 2 opções: dividir 1 por 2 ou dividir 2 por 2. Como 2 = 1,4142… , vamos pensar: Será mais simples dividir 1 pelo 1,4142... ou dividir o 1,4142... por dois? Sendo assim, seguem alguns exemplos de racionalização de denominadores. 1) Denominador monômio da forma a : N = N. a = N. a a a. a a a) 1 → 1 . 2 = 22 = 2 2 2 2 2 2 b) 1 + 3 = 3

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2) Denominador monômio da forma n am : n n N = N . an-m = N . an-m n m . n n-m a a a a

n m 3 2 a) 3 1 → 3 1 . 3 2 = 2 21 22

3 3

22 = 3 4 23 2

10 = 103

b)

10

3) Denominador binômio: . (a - b ) N . (a - b ) N = =N 2 a -b a + b (a + b ) . (a - b ) . 1 = 1 . (3 - 2 ) = 1 (3 - 2 ) = 3 - 2 = 3 - 2 3 + 2 (3 + 2 ) (3 - 2 ) 32 - ( 2 ) 2 9-2 7

a)

2- 3 2+ 3

b)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UPF) Considere as afirmações abaixo, onde a e b são números reais.

a2 = a

I.

II. a2 + b2 = a + b III. a2 x b2 = a2 x b2 IV.

a2 = b2

a2 ,b≠0 b2

(A) Apenas III e IV são verdadeiras. (B) Apenas IV é verdadeira. (C) Apenas II é falsa. (D) Apenas I, II e IV são verdadeiras. (E) Todas são verdadeiras. ,

Gabarito: A [I] Falsa. Se a = – 4 então (– 4)2 = 42 = 4. [II] Falsa. Se a = 1 e b = 2 então 12 + 22 = 5 e não 1 + 2 = 3. [III] Verdadeira. Propriedade de radiciação: a2 . b2 = a2 . b2 . [IV] Verdadeira. Propriedade de radiciação:

440

MATEMÁTICA

Fleming 2023

a2 . a2 2 = b b2

2 2 (PUC-CAMPINAS) Usando a tecnologia de uma calculadora, pode-se calcular a

divisão de 2 por 3 4 e obter um resultado igual a: (A) 4 . 3 (B) 3 . (C) 5 . 3 (D) 2 . (E) 42. Gabarito: D 3 3 2 = 2 . 2 = 2. 2 =32 3 3 3 4 3 22 3 2 2

32 (FICSAE) A tabela seguinte permite exprimir os valores de certas grandezas em

relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados. NOME

SÍMBOLO

FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

tera

T

1012 = 1 000 000 000 000

giga

G

109 = 1 000 000 000

mega

M

106 = 1 000 000

quilo

K

103 = 1 000

hecto

h

102 = 100

deca

da

10 = 10

deci

d

10–1 = 0,1

centi

c

10–2 = 0,01

mili

m

10–3 = 0,001

micro

µ

10–6 = 0,000 001

nano

n

10–9 = 0,000 000 001

pico

p

10–12 = 0,000 000 000 001

Fonte: Quadro geral de Unidades de Medida, 2a ed. – INMETRO, Brasília, 2000.

Por exemplo, se a unidade de referência fosse o ampère (A), teríamos: . 3A 152 000 µ A = 152 000 . 10–6 A = 152 10 = 0,152 A 106 . 9 Se o grama (g) for a unidade de referência e x = (12500 10 Gg) . (0,0006 ng) , então 0,000012 Tg o valor de x, em gramas, é tal que: (A) x < 500 (B) 500 < x < 1 000 (C) 1 000 < x < 1 500 (D) x > 1 500

Fleming 2023

MATEMÁTICA

441

Gabarito: B . 6 . 107 . 2 . 109 . 109 g . 6 . 10–4 . 10–9 g = 125 x = 125 10 12 . 10–6 . 1012 g 12 . 106 = 62,5 . 10 = 625g Portanto, 500 < x < 1 000.

4 (UFRGS) O algarismo das unidades de 999 – 444 é:

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5. Gabarito: C Todas as potências com expoentes naturais de nove terminam em nove quando o expoente é ímpar e em 1, quando o expoente é par, da mesma forma todas as potências com expoentes naturais de quatro terminam em quatro quando o expoente é ímpar e em seis quando o expoente é par. Concluímos então que o último algarismo de 999 é 9 e o último algarismo de 444 é 6, portanto a diferença entre eles é 3.

5 (ENEM) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre

H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para construção de argumentação.

medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k x m em que k e uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal? 3

(A) 16 (B) 4 (C) 24 (D) 8 (E) 64 Gabarito: B k . (8m) = 8 k . m = (3 8 )2 . k . m = 4 . A Logo, a área ficará multiplicada por 4.

442

MATEMÁTICA

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6 (UFRGS) A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38 . 45 . 512 quilômetros. A notação científica desse número é:

(A) 9,5 . 1010. (B) 0,95 . 1012. (C) 9,5 . 1012. (D) 95 . 1012. (E) 9,5 . 1014. Gabarito: C 38 . 45 . 512 = 19 . 2 . (22)5 . 512 = 19 . 2 . 210 . 512 = 19 . 5 . 211 . 511 = 95 . (2 . 5)11 = 95 . 1011 = 9,5 . 1012

7 O quadrado do número ( 2 + 3 )2 + ( 2 – 3 )2 é:

(A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8. Gabarito: C 2 2 ( 2+ 3 + 2– 3 ) = 2+ 3 +2. 2+ 3 . 2– 3 +

2– 3

2

=2+ 3+2. 4-3+2- 3=6

ANOTAÇÕES

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443

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.

04. (UEL) O "jogo de dominó" consiste em um conjunto de peças que são dispostas sequencialmente. Cada peça pode ser colocada ao lado da peça anterior desde que os lados que se unem representem a mesma quantidade. Por exemplo, as três peças a seguir formam uma possibilidade de sequência.

Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).

Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm é: (A) 1,1 x 10–1. (B) 1,1 x 10–2. (C) 1,1 x 10–3. (D) 1,1 x 10–4. (E) 1,1 x 10–5.

a2b2 (b2+ab)÷b 3a + b – 2a

A a0

I. a2 + b2 = a + b. II. a2 = a III. Se 0 < b < a, então ab ≤ a + b . 2 Quais estão corretas? (A) Apenas I. (B) Apenas III. (C) Apenas I e II. (D) Apenas II e III. (E) I, II e III.

03. (UFRGS) Considere as desigualdades a seguir. I. 32000 < 23000. II. – 1 < (– 1 )2. 3 3 2 2 2 III. < ( ) . 3 3 Quais são verdadeiras? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas I e II. (D) Apenas I e III. (E) Apenas II e III. MATEMÁTICA

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(a + b)2

a+ b

B a2 + b2

D

02. (UFRGS-2022) Considere as seguintes afirmações sobre números reais.

444

Mesma Mesma quantidade quantidade

5b + a – 4b

C a÷ b

E

2a ÷ 2b

1

ab

F

Observe as seis peças (A, B, C, D, E e F) de um "dominó de álgebra" que obedece à mesma regra do "jogo de dominó", ou seja, cada peça pode ser colocada ao lado da peça anterior desde que os lados que se unem representem a mesma quantidade. Considere que cada peça do "dominó de álgebra" deve manter a posição de horizontalidade apresentada e que a e b são números reais positivos e diferentes de zero. Assinale a alternativa que indica, correta e respectivamente, uma sequência de três peças entre as possíveis. (A) A, B e C (B) B, C e D (C) C, D e E (D) D, C e F (E) F, A e E

05. (FUVEST) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

07. (UNISINOS) Simplificando-se a expressão

(A) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que a + b = a + b (B) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a2 – b2 = 0, é verdadeiro que a = b. (C) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que a2 = a. (D) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1 < 1 . b a (E) Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, é verdadeiro que a2 < a .

19 4 (B) 19 2 (C) 0,4

237 , obtém-se o número 2 + 238 + 239 35

(A)

(D) 0,16 (E)

2 237

06. (UFRGS-2020) O valor de (1 – 1 ) . (1 – 1 ) . (1 – 1 ) . … . (1 – 1 ) é 3 4 100 2 (A) 1 . 10 (B) 1 . 100 (C) 1. (D) 2. (E) 3.

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445

EXPRESSÕES E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Expressões e equações algébricas são aquelas operações aritméticas que contêm letras e números. Nas expressões algébricas, as letras são chamadas de variáveis, nas equações, de incógnitas. Sempre buscamos apresentar uma expressão em sua forma mais simples, para tanto, uma ferramenta muito importante é fatoração. Desmontando a expressão ou a equação em “fatias” menores, chamadas de fatores. 1.

Capítulo 7

ALGUMAS FATORAÇÕES ESPECIAIS Seguem abaixo algumas formas comuns de fatoração:

1) Fator em comum ax + bx = x . (a + b) 2) Agrupamento ax + bx + ay + by = (x + y) . ( a + b)

1. Algumas fatorações especiais 2. Fatoração de expressões e equações do segundo grau

“A Competência 5, com cinco habilidades, trata do desenvolvimento do pensamento algébrico/geométrico para resolver situações-problema. O conhecimento matemático construído ao longo da vida, muitas vezes, contextualizado em situações do cotidiano, pode e deve ser generalizado e transferido a outros contextos” (Fonte: Inep).

3) Trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 4) Diferença de dois quadrados a2 – b2 = (a + b) . (a - b) 5) Soma de cubos a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2) 6) Diferença de cubos a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES E EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 2.

Uma expressão ou uma equação do segundo grau pode ser fatorada de uma maneira simples com o auxílio das raízes da equação. Assim, temos: ax2 + bx + c = a(x – x') . (x – x'') As raízes x’ e x’’ podem ser verificadas a partir da relação de Bhaskara ou pela relação de soma e produto das raízes das equações do segundo grau. Bhaskara

x=–b ±

b2 – 4ac 2a

Soma e Produto

Soma = – ba c Produto = a

Como exemplo, temos: a) x2 – 2x – 3 = (x + 1) . (x – 3) b) 2x2 – 14x + 24 = 2 . (x – 3) . (x – 4) c) – x2 – 3x – 2 = –1 . (x + 1) . (x + 2) d) 2x2 + 5x – 3 = 2 . (x + 3) . (x – 1 ) 2

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447

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFRGS) Se x – y = 2 e x2 + y2 = 8, então x3 – y3 é igual a:

(A) 12. (B) 14. (C) 16. (D) 18. (E) 20. Gabarito: E x – y = 2 → (x – y)2 = 4 → x2 + y2 – 2xy = 4 → 8 – 2xy = 4 → xy = 2

Logo,

x3 – y3 = (x – y) . (x2 + y2 + xy) = 2 . (8 + 2) = 20

2 (UFPR) Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:

(A) R$ 55,00. (B) R$ 60,00. (C) R$ 65,00. (D) R$ 70,00. (E) R$ 75,00. Gabarito: B Tomando n (número de perfumes) e p (preço unitário), teremos: np = 900 p = 2n + 30

n . (n + 15) = 450







n . p = 900 (n + 5) . (p – 10) = 1000

n = 15 p = 60

3 (FUVEST) A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que

zero, é: 3

(A) a3 + b3 = a + b 1 =–1 (B) b a - a2 + b2 2 (C) ( a – b ) = a – b 1 =1 + 1 (D) a + b a b (E) a3 – b3 a–b a2 + ab + b2 =

448

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Gabarito: E 3

[A] Tomando a = 2 e b = 1, temos 9 = 3. Falso. [B] Tomando a = 2 e b = 1, vem

1 = – 1. Falso. 2– 5

[C] Tomando a = 2 e b = 1, segue que 3 – 2 2 = 1. Falso. [D] Tomando a = 2 e b = 1, obtém-se 1 = 1 + 1. Falso. 3 2 [E] Verdadeiro, pois

a3 – b3 (a – b)(a2 + ab + b2) a – b = 2 = a2 + ab + b2 a + ab + b 2

para quaisquer a e b reais positivos.

4 (FAMEMA 2020) Um grupo de N amigos decidiu comprar um presente para uma de suas professoras. O preço do presente é R$ 396,00 e será dividido em partes iguais entre eles. No dia de comprar o presente, um dos amigos desistiu de participar da compra, o que resultou em um aumento de R$ 3,00 na parte de cada um dos amigos que restou no grupo.

O número N de amigos no grupo original era igual a (A) 11. (B) 18. (C) 12. (D) 9. (E) 6.

Gabarito: C Tomamos c como a cota de cada um dos N amigos. Assim, temos: Nc = 396 (N – 1)(c + 3) = 396 Nc = 396 c = 3N – 3 N(N – 1) = 132 c = 3N – 3 Como N – 1 e N são números inteiros positivos e consecutivos, só pode ser N = 12.

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449

H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimento algébricos.

5 (ENEM) Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as 90 toneladas de sua produção semanal. Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de cada caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima de carga de cada caminhão.

Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a política de redução de carga? (A) 36 (B) 30 (C) 19 (D) 16 (E) 10

Gabarito: A Tomando n e c como o número de caminhões e a capacidade máxima de cada caminhão, respectivamente, temos: n . c = 90 e (n + 6) . (c – 1 ) = 90. 2 2 Combinando as equações, temos: n + 6n – 1080. Assim, como n é inteiro positivo, ele deve ser 30, gerando o resultado 30 + 6 = 36.

6 (UEPG) Sendo p e q as raízes da função y = 2x2 – 5x + a – 3, onde 1 + 1 = 4 ,

assinale o que for correto.

p

q

(01) O valor de a é um número inteiro. (02) O valor de a está entre – 20 e 20. (04) O valor de a é um número positivo. (08) O valor de a é um número menor que 10. (16) O valor de a é um número fracionário. Gabarito: 02 + 04 + 08 + 16 = 30 Para resolvermos o problema, utilizaremos as relações de soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau na função e substituiremos na segunda equação reescrita de forma conveniente representada abaixo. 1 + 1 = 4 → p + q = 4 → 3 . (p + q) = 4 . p . q p q p.q 3 3 3 . –(–5) = 4 . a – 3 → 15 = 4a – 12 → 4a = 27 → a = 27 → a = 6,75. 2 2 4 [01] Falsa, 6,75 não é inteiro. [02] Verdadeira, –20 < 6,75 < 20. [04] Verdadeira, 6,75 > 0. [08] Verdadeira, 6,75 < 10. [16] Verdadeira, pois a = 27 . 4

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3

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UFRGS) O número 3 + 2 2 é igual à raiz quadrada de: (A) 6 + 5 2 . (B) 9 + 4 2 . (C) 12 + 8 2 . (D) 15 + 10 2 . (E) 17 + 12 2 .

02. (UEM - ADAPTADA) Nas simplificações abaixo, assinale a alternativa incorreta. (A) 3x2 – 3 = 3 , para x ≠ 1 e x ≠ – 1. x –1 x+1 2 x – 6x + 9 (B) = x + 3, para x ≠ – 3. x+3 3 2 (C) x + x – 5x – 2 = x2 + 3x + 1, para x ≠ 2. x–2 2 x + 3x + 2 = 1, para x ≠ – 1 e x ≠ – 2. (D) (x + 2)(x + 1) x (E) x + 5 = 5, para x ≠ – 5. +1 5

03. (UNISINOS-2022) Sobre números reais são feitas as seguintes afirmações; I. Para quaisquer números reais a e b temos que (a + b)2 = a2 + b2. II. Para qualquer número real x vale que x2 = x. III. Para quaisquer números reais a e b temos que (a + b) (a – b) = a2 – b2. Sobre as proposições acima, pode-se afirmar que (A) apenas I está correta. (B) apenas III está correta. (C) apenas I e II estão corretas. (D) apenas II e III estão corretas. (E) I, II e III estão corretas.

04. (FUVEST-2022) Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi: (A) R$ 10,00 (B) R$ 15,00 (C) R$ 20,00 (D) R$ 25,00 (E) R$ 40,00

05. (UNIOESTE) Considere as seguintes afirmações: 2 I. x + 1 = x + 1 , para todo x ∈ R. x+2 2 II. 2x + 5 = 2(x + 5), para todo x ∈ R. III. (x – 2)2 = x2 – 4x + 4, para todo x ∈ R.

Assim, é CORRETO afirmar que: (A) somente a afirmação I está correta. (B) somente a afirmação II está correta. (C) somente as afirmações I e II estão corretas. (D) somente a afirmação III está correta. (E) as três afirmações estão corretas.

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06. (UNICAMP 2021) A soma dos valores de x que resolvem a equação 1 1 + 2 3 1 = 2 x 1 + 4 x é igual a: (A) 14 3 16 (B) 3 18 (C) 3 (D) 20 3

07. (UFSC) Guardadas as condições de existência, determine o valor numérico da expressão (51x4y + 51xy4) . (mx – 2m + nx – 2n) . (x2 – 4) 3 (x – 4x2 + 4x) . (17my + 17ny) . (x2 – xy + y2) . (69x + 69y) para x = 343.

08. (UFRGS-2022) Se a e b são as raízes da equação x2 – 6x + 3 = 0, então o valor de (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. (E) 10.

1 1 1 + a b

–2

é:

09. (ACAFE) Uma biblioteca possui 300 livros, todos do mesmo tamanho. Um funcionário pretende dividi-los igualmente entre as prateleiras da loja. Sabendo que, se os livros forem igualmente divididos entre 3 prateleiras a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais do que o previsto inicialmente. Assim, o número de prateleiras para colocar todos os livros é: (A) Múltiplo de 4. (B) Múltiplo de 3. (C) Entre 10 e 12. (D) Maior que 20.

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MATRIZES

Capítulo 8

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução

1.



A=

a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 .. .. . . am1 am2

a33 .. . am3

... ... ...

a3n .. . amn



Com a necessidade de representar um conjunto de informações ou facilitar operações mais complexas, é usual trabalharmos com tabelas numéricas. Essas tabelas são chamadas de matrizes e têm sua organização em linhas (horizontais) e colunas (verticais). Largamente utilizadas na computação gráfica, na Estatística, na Física e na engenharia. Uma matriz possui seus elementos agrupados em m linhas e n colunas em uma tabela dentro de parênteses ou colchetes. Cada elemento possui dois índices que o localizam na tabela em que o primeiro indica a linha e o segundo identifica a coluna em que o elemento se encontra na tabela. Para exemplificar, temos a chamada matriz genérica que se apresenta como uma matriz modelo.

1. Ordem de uma matriz 2. Matrizes Especiais 3. Operações com Matrizes 4. Matriz Inversa (A-1)

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

aij i identifica a linha e j identifica a coluna

ORDEM DE UMA MATRIZ

Uma matriz com m linhas e n colunas possui ordem m x n, o que caracteriza o tamanho da matriz. As matrizes que possuem o número de linhas igual ao número de colunas (m = n) são chamadas de matrizes quadradas. Já, aquelas em que o número de linhas difere do número de colunas (m ≠ n) são chamadas de matrizes retangulares. Ainda, há aquelas que têm todos seus elementos alocados em uma única linha (m = 1), essas são chamadas de matrizes linha. Assim, caso seus elementos estejam todos em uma única coluna (n = 1), as matrizes são ditas matrizes coluna. 2.

MATRIZES ESPECIAIS

Algumas matrizes são notórias, ou pela forma ou pelas propriedades particulares. Veremos algumas matrizes recorrentes em nossas provas.

Matriz transposta (At) 







É a matriz que se obtém trocando, ordenadamente, as linhas pelas colunas. Logo uma matriz de ordem mxn tem como transposta uma matriz nxm. 1 2 3 Tomando como exemplo a matriz A = , temos como sua matriz 4 5 6 1 4 transposta At = 2 5 3 6 Fleming 2023

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Matrizes Opostas 







Duas matrizes ditas opostas são, de tal forma, que todos os seus elementos localizados em mesma posição da tabela são opostos. Como exemplo, se tomarmos a matriz 1 –2 –1 2 A= , temos para sua oposta a matriz – A = . 0 3 0 –3

Matriz Nula 



Matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero. Como exemplo, temos a matriz A = 0 0 0 . 0 0 0

Matriz Triangular Superior 



Matriz que possui todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero. 1 2 3 Como exemplo, temos A = 0 2 3 . 0 0 3

Matriz Triangular Inferior 



Matriz que possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero. 1 0 0 Como exemplo, temos A = 1 2 0 . 1 2 3

Matriz Diagonal Quando a matriz for triangular superior e inferior.

Matriz Identidade 







Um caso especial de matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a um. Podemos dizer que a matriz identidade possui a lei que diz: se i = j 1 0 então aij = 1, caso contrário (i ≠ j), aij = 0. Assim, temos, por exemplo, I2 = , 0 1 1 0 0 I3 = 0 1 0 , etc. 0 0 1

Matriz Simétrica

454

MATEMÁTICA

Fleming 2023





É a matriz que possui como particularidade ser igual a sua transposta (A = At). Logo, deve ter número de linhas igual ao número de colunas, ser uma matriz quadrada. É possível reconhecê-la observando que há uma simetria para os elementos entorno da 1 2 –3 diagonal principal. Como exemplo, podemos ver a matriz A = 2 1 5 . –3 5 0

Matriz Antissimétrica

3.





É a matriz que possui a particularidade de possuir sua matriz transposta igual à 0 2 –3 oposta (At = – A). Por exemplo, podemos dizer que a matriz A = –2 0 π é uma matriz antisimétrica. 3 –π 0

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Veremos agora as principais operações entre matrizes como adição entre matrizes, subtração entre matrizes, multiplicação de um número real por uma matriz e produto matricial (produto entre matrizes).

Adição e subtração

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 

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Para a adição de matrizes e para a subtração de matrizes, temos como pré-requisito que tenham a mesma ordem. Tanto a adição como a subtração de matrizes são feitas entre os elementos das matrizes que ocupam posições equivalentes. Como exemplo de adição, temos 1 2 + 4 5 = 5 7 . No caso –3 7 2 6 5 –1 4 5 –3 –3 1 2 da subtração, um exemplo é – = . –3 7 8 –8 5 –1

Número real x matriz 







Em uma multiplicação de número real por uma matriz, executamos o produto do número real por todos os elementos da matriz. Como exemplo dessa multiplicação, 3 6 1 2 temos 3 � = . 0 –3 0 –1

Matriz x Matriz

É necessário frisar que o produto entre matrizes não possui a propriedade comutativa, ou seja, a ordem das matrizes afeta o produto!









4.





Para que possamos multiplicar duas matrizes, é necessário observarmos a condição que o número de colunas, na primeira matriz, seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá ordem composta de tal forma que o seu número de linhas será equivalente ao número de linhas da primeira matriz e o seu número de colunas será equivalente ao número de colunas da segunda matriz. Se tomarmos como exemplo o produto A2x3 x B3x2 = P2x2, veremos que, ao inverter a ordem das referidas matrizes A e B, a matriz produto B3x2 x A2x3 = P3x3 não será a mesma. 2 5 1 2 3 . 3 3 = 14 14 Exemplo: 0 –1 4 2x3 5 1 2x2 2 1 3x2

MATRIZ INVERSA (A-1)

Uma matriz é dita matriz inversa da matriz A quando ela é quadrada, possui determinante diferente de zero e, na multiplicação pela matriz A, encontramos a matriz identidade. Assim, Anxn . Bnxn = Bnxn . Anxn = In. Logo, a matriz B é a inversa da matriz A (B = A–1).

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As propriedades mais importantes são: – Cada matriz possui uma única inversa; – A matriz inversa da matriz inversa é a própria matriz. Assim, (A-1)-1 =A; – A matriz inversa da transposta é transposta da inversa. Assim, (At)-1 = (A-1)t; – Possui determinante não nulo (det A ≠ 0).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (ENEM) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de

valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [aij], em que 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5, e o elemento aij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos aii = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise:



A=

0 0 1 0 3

2 0 2 2 0

0 2 0 2 1

2 1 1 0 1

2 0 1 0 0



H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5. Gabarito: A Os totais transferidos, em milhões, por cada um dos bancos foram a1j = 0 + 2 + 0 + 2 + 2 = 6 a2j = 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3 a3j = 1 + 2 + 0 + 1 + 1 = 5 a4j = 0 + 2 + 2 + 0 + 0 = 4 a5j = 3 + 0 + 1 + 1 + 0 = 5

2 (FICSAE) Uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa é igual a sua transposta.

(A) 6 + 4i (B) 6 – 4i (C) 6 (D) 4

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



x – 3 – 5 em que x ∈ C*, a soma dos valores de x que a tor5 x–3 nam uma matriz ortogonal é igual a: Dada a matriz A =

Gabarito: C Matriz Ortogonal é tal que sua transposta é igual a inversa. Assim, temos: At = A–1 → A . At = A . A–1 → A . At = I

Logo, pode-se escrever:

1 0 0 1

1 0 0 1





1 0 0 1





=



0 x2 – 6x + 14

=



5 . (x – 3) – 5 . (x – 3) (x – 3)2 + 5

(x – 3)2 + 5 . 5 (x – 3) – 5 . (x – 3)

x2 – 6x + 14 0

=







x–3 5 – 5 x–3



.



  

x–3 – 5 5 x–3

x2 – 6x + 14 = 1

x2 – 6x + 13 = 0 Como a soma das raízes de uma equação do segundo grau se dá por soma = – b = – –6 = 6. 1 a

3 (UFPR) Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.

D

370 520 225

450 305 190

290 485 260

Percentuais de mistura A B C D



210 340 145

C





nutriente 1 nutriente 2 nutriente 3

B



A

35% 25% 30% 10%

Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de rações? (A) 389 mg. (B) 330 mg. (C) 280 mg. (D) 210 mg. (E) 190 mg. Gabarito: A Basta fazer o produto das matrizes





35% 340 520 305 485 . 25% = 340 . 0,35 + 520 . 0,25 + 305 . 0,30 + 485 . 0,10 30% 10% = 389 mg

Fleming 2023

MATEMÁTICA

457

2a + 1





a

4 (FUVEST) Considere a matriz A = a – 1 a + 1

em que a é um número real.





Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira coluna é 2a – 1 , a soma dos elementos –1 da diagonal principal de A–1 é igual a: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 Gabarito: A A . A–1 = I2







1 0 0 1



Temos o sistema

 



a 2a + 1 . 2a – 1 x = a–1 a+1 –1 y

a . (2a – 1) – (2a + 1) = 1 (a – 1) . (2a – 1) – 1(a + 1) = 0









2 5 3 –5 Resolvendo o sistema, temos a = 2, A = 1 3 e A–1 = –1 2

Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5.

ANOTAÇÕES

458

MATEMÁTICA

Fleming 2023

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

x x = a , com y y

≠

0 0

é igual a:

. aij i j, se i ≤ j e B = A2. Assim, a soma dos elementos i + j, se 1 > j da diagonal secundária de B é: (A) 149. (B) 153. (C) 172. (D) 194.

(A) –156 (B) –1 (C) 1 (D) 25 (E) 156

A B 0 1o jogo 2o jogo 0

No caso do jogador A, sua matriz de pontuação foi: A B

A 0 –1

B 1 0

Se a matriz de pontuação do jogador B era igual a matriz resultante da multiplicação matricial 0 1 . x y –1 0 z w então x + y + z + w é igual a

(A) (B) (C) (D) (E)

20 –20 –20 20

    

A B

04. (UNIOESTE) Sendo A uma matriz quadrada e n um inteiro maior ou igual a 1, define-se An como a multiplicação 0 –1 de A por A , n vezes. No caso de A ser a matriz –1 0 é correto afirmar que a soma A + A2 + A3 + ... + A39 + A40 é igual à matriz:



02. (FAMEMA-2021) Dois jogadores, A e B, disputaram a final de um torneio de xadrez em dois jogos. Em cada partida, se ocorresse empate, cada jogador ganharia 1 ponto, caso contrário, o vencedor ganharia 2 pontos e o perdedor perderia 1 ponto. As matrizes que indicaram a pontuação obtida por cada jogador tinham, ambas, a seguinte estrutura:



x y

    

4 12 12 –3

03. (UEM) Sejam duas matrizes A e B: A = (aij)3x3, tal que 

01. (UNIOESTE-2022) A soma dos valores possíveis da constante a ∈ R que satisfazem a equação matricial

40 –20 –20 40 0 –40 –40 0

40 –40 –40 40 20 0 0 20

(A) 0. (B) 2. (C) 1. (D) 3. (E) –1.

Fleming 2023

MATEMÁTICA

459

05. (UNICAMP) Sendo a um número real, considere a

  

1 a . 0 –1

(C) 1 1 (D)

0 . 1

(E)

31 22 20 17

1 . 1

1 a2017 . 0 –1

06. (UEG) Em um torneio de vôlei, as equipes A, B, C e D obtiveram os resultados registrados na tabela a seguir. Vitórias Vitórias por 3×2 Equipe por 3×0 ou 3×1 A B C D

7 3 1 0

4 5 2 4

Derrotas por 3×2 ou 3×1 2 3 6 4

Derrotas por 3×0 0 2 4 5

Sabendo-se que cada resultado, pelo regulamento do torneio, tem a pontuação correspondente segundo a tabela a seguir, a matriz que corresponde à pontuação total no torneio de cada equipe é Resultado Vitórias por 3×0 Vitórias por 3×2 ou 3×1 Derrotas por 3×2 ou 3×1 Derrotas por 3×0

460

(D)



(B)

   

(A) 1 0





matriz 1 a . Então, A2017 é igual a: 0 –1

31 19 13 12

(A)

31 22 13 17

(B)

31 19 13 17

(C)

31 22 13 12

MATEMÁTICA

Fleming 2023

Número de pontos 3 2 1 0

–1 0 0 2 representa uma mensagem codificada. A mensagem deco–1 x y dificada é a matriz quadrada M–1 = z w , tal qiue M é a inversa da matriz M. Sendo assim, o valor de x+y+z+wé 07. (FAMERP) A matriz quadrada M =

(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 1 2 (E) – 1 2

DETERMINANTES

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução Toda matriz quadrada de números reais possui um número associado chamado de determinante. Ele aparece em vários estudos como, por exemplo, em volumes de sólidos tridimensionais, mudanças de coordenadas, resolução de equações lineares, definição de vetores, produto vetorial e muitos outros cálculos avançados na física e na economia.

NOTAÇÃO ou det B, onde B =

1 5 2 7



1 5 2 7 2.

DETERMINANTE DE PRIMEIRA ORDEM Sendo A = [a11], o determinante de A é det A = a11

3.

1. Notação 2. Determinante de Primeira Ordem 3. Determinante de Segunda Ordem 4. Determinante de Terceira Ordem, Regra de SARRUS 5. Teorema de Laplace



1.

Capítulo 9

Uma matriz é dita singular quando for quadrada e seu determinante for igual a zero.

DETERMINANTE DE SEGUNDA ORDEM

É a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

DS

a11

a12

a21

a22

= a11 . a22 – a12 . a21 DP DS DP

DETERMINANTE DE TERCEIRA ORDEM, REGRA DE SARRUS 4.

Para facilitar, a regra de Sarrus pode ser aplicada de duas maneiras, conforme os exemplos que seguem.

• Exemplo 1 1 0 1 (UFRGS) Se 2 1 x = 0, então x é: 0 1 2 (A) – 5 (B) – 4 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Fleming 2023

MATEMÁTICA

461

Gabarito: D 1º Repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz. 2º Traçam-se as diagonais, conforme o apresentado a seguir. 1

0

1

1

0

2

1

x

2

1 = 0

0

1

2

0

1

3º Fazendo o somatório do produto dos elementos da diagonal principal e suas paralelas e subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária e suas paralelas, vem 1 · 1 · 2 + 0 · x · 0 + 1 · 2 · 1 – ( 1 · 1 · 0 + 1 · x · 1 + 0 · 2 · 2) = 0 ou 2 + 2 – x = 0 ou x = 4.

• Exemplo 2 1 –1 2 (UFRGS) A solução da equação 2 2 x = 0 é: 3 0 1 (A) – 3 (B) – 1 (C) 0 (D) 1 (E) 3 Gabarito: A Repetem-se as duas primeiras linhas abaixo da matriz e procede-se de forma análoga ao exemplo anterior, ou seja, 1

-1

2

2

2

x

3 1

0 -1

1 2

1

2

x

= 0

Isto é, 1 · 2 · 1 + 2 · 0 · 2 + 3 · (– 1) · x – (2 · 2 · 3 + x · 0 · 1 + 1 · (– 1) · 1) = 0 ou 2 – 3x – 12 + 1 = 0 ou x = – 3.

462

MATEMÁTICA

Fleming 2023

Propriedades dos Determinantes 1. O determinante de uma matriz que tem uma fila de zeros é nulo.

• Exemplo

0 1 3 0 9 5 = 0 0 6 2

2. O determinante de uma matriz que tem duas filas paralelas iguais é nulo.

• Exemplo

1 3 –3 2 –2 7 = 0 1 3 –5

3. O determinante de uma matriz que tem duas filas paralelas proporcionais é nulo.

• Exemplo

1 2 6 –2 1 3 = 0 5 –4 –12 x3

4. Trocando-se, ordenadamente, as linhas pelas colunas de uma matriz, seu determinante não se altera.

det A = det At • Exemplo 







3 –1 3 2 Seja A = 2 4 e det (A) = 12 + 2 = 14. Sua transposta é At = –1 4 e det At = 12 + 2 =14. 5. Trocando-se de posição duas filas paralelas de uma matriz, seu determinante troca de sinal.

• Exemplo A = –2 –4 A= 3 1

3 = –2 + 12 = 10 . Trocando-se de posição suas colunas, obtemos 1 –2 = –12 + 2 = –10 . –4

Fleming 2023

MATEMÁTICA

463

6. Multiplicam-se todos os elementos de uma fila de uma matriz por k, o determinante dessa matriz fica multiplicado por k.

• Exemplo 

3 4 e det (A) = – 18 – 8 = – 26. 2 –6



Sendo A =





Vamos obter uma matriz B multiplicando os elementos da primeira linha de 9 2 A por 3 e dividindo os elementos da segunda coluna de A por 6. Então B = 2 –1 e det B = – 9 – 4 = – 13. Observe que esses cálculos de determinantes não precisariam ser feitos caso aplicás. ( ) semos a 6ª propriedade, pois det (A) = – 26, det (B) = 3 det A = det A = –26 = –13 6 2 2 7. O determinante da matriz inversa da matriz A é igual ao inverso do determinante da matriz A.

• Exemplo









4 –32 1 3 –1 Seja a matriz A = e det (A) = 8 – 6 = 2 , sua inversa é A = 2 8 –1 21 e det(A–1) = 4 – 3 = 1 . 2 2 2

8. O determinante do produto de duas matrizes quadradas, de mesma ordem, é igual ao produto dos determinantes de cada uma das matrizes. (Teorema de BINET).

det (A . B) = det A . detB • Exemplo –1 1 e det(A) = 3 + 2 = 5.

 

Seja B =

 

3 Seja A = 2

2 3 e det(B) = – 2 + 12 = 10. –4 –1

Sem multiplicarmos as matrizes A e B, obtemos o det (A · B) multiplicando o det(A) pelo det(B). Assim se o det (A · B) = det (A) · det (B), temos det (A · B) = 5 · 10 = 50. 9. O determinante de uma matriz não se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila, os elementos de outra fila, paralela a ela, multiplicados ou não por uma constante.





Seja a matriz A = 3 2 4 5

e det (A) = 15 – 8 = 7.

464

MATEMÁTICA

Fleming 2023

3 2 10 9



Adicionando na 2ª linha a primeira multiplicada por 2, temos determinante é igual a 27 – 20 = 7.



• Exemplo

e seu

5.

TEOREMA DE LAPLACE

Para cálculo de determinantes de quarta ordem ou mais, utilizaremos o Teorema de Laplace. O dispositivo de Laplace consiste em: 1º Escolher uma fila (linha ou coluna); 2º O valor do determinante será a soma dos produtos dos elementos da linha escolhida pelos seus respectivos cofatores.

Menor Complementar e Cofator O menor complementar(MCij) de um elemento aij é o determinante da matriz que fica após a exclusão da linha i e da coluna j da matriz do elemento aij. Cofator do elemento aij corresponde ao menor complementar multiplicado por (–1)i+j, ou seja:

Cof aij = (–1)i+j . MCij

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UNICAMP) Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3.



1 a 1 b 1 a 2 b 2



A=

Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a: (A) 0. (B) 2. (C) 5. (D) 10. Gabarito: D Desde que 2 + a = a + b + 1 = b + 4, temos a = 3 e b = 1. Logo, vem det A =

1 3 1 1 1 3 2 1 2

= 10

2 (UFSC 2022) Some os números associados às proposições corretas.

(01) Uma matriz quadrada de ordem n que satisfaz a propriedade A . AT = AT . A = In, sendo In a matriz identidade de ordem n, é chamada “ortogonal”. Se B é uma matriz ortogonal, então det(B) = ±1.

Fleming 2023

MATEMÁTICA

465

(02) Odete comprou dois copos e três canecas por R$ 136,00. As canecas tiveram o mesmo preço, e um dos copos custou o mesmo que duas canecas. O outro copo custou um terço do valor de cada caneca. Entre as peças que Odete comprou, a mais em conta custa menos que R$ 10,00. x – 2y – z = a (04) Se –x + 4y + 2z = b, então o sistema tem solução para quaisquer valores a, b, c ∈ R. 3x +3y +5z = c 1 2 4 (08) Se A–1 = –1 2 3 é a matriz inversa de A, então det(5A) = 125. 0 –1 –2 (16) Sejam A, B e C matrizes quadradas. Se A . B = A . C, então B = C. (32) Uma matriz quadrada é chamada “simétrica” quando A = AT. Se A, B e A . B são matrizes simétricas, então o produto de A por B é comutativo. (64) Se A = (aij)3×3 tal que aij = 0, se i > j , então det( A . A–1) = 6. 2, se i ≤ j

Gabarito: 01 + 02 + 04 + 32 = 39 [01] Verdadeira. Temos que: B . BT = In → det(B . BT) = det In → det B . det BT = 1 → (det B)2 = 1 = det B ∴ det B = ±1 [02] Verdadeira. Sendo x, y e z, respectivamente, os preços do copo mais caro, do copo mais barato e de uma caneca, temos: x + y + 3z = 136 x = 2z → 2z + z + 3z = 136 → 16z = 136 3 3 z y= 3 ∴ (x, y, z) = (R$ 51,00; R$ 8,50, R$ 25,50) Logo, o item mais barato custa menos que R$ 10,00. [04] Verdadeira. Calculando o determinante dos coeficientes, obtemos: 1 –2 –1 –1 4 2 = 20 – 12 + 3 – (–12 + 6 + 10) = 7 3 3 5 Como D ≠ 0, o sistema possui solução para quaisquer valores de a, b, c ∈ R. D=

[08] Falsa. Determinante da inversa: det A–1 =

1 2 4 –1 2 3 = – 4 + 0 + 4 – (0 – 3 + 4) = –1 0 –1 –2

Pelas propriedades dos determinantes, chegamos a: det A = 1 –1 = 1 = –1 → det (5A) = 53 . det A = 125 . (–1) det A –1 ∴ det (5A) = – 125 [16] Falsa. Se A for matriz nula, a igualdade vale mesmo para B ≠ C. [32] Verdadeira. Temos que: A . B = (A . B)T = BT . AT = B . A Logo, o produto A . B é comutativo. [64] Falsa. Da propriedade da matriz inversa, temos: det(A . A–1)=det In = 1 466

MATEMÁTICA

Fleming 2023



reais distintos. Podemos afirmar que:

1 a 1 b 1 a 1 b 1



3 (UNICAMP) Considere a matriz M =

, em que a e b são números

(A) a matriz M não é invertível. (B) o determinante de M é positivo. (C) o determinante de M é igual a a2 – b2. (D) a matriz M é igual a sua transposta. Gabarito: B Temos det M =

1 a 1 b 1 a 1 b 1

= 1 + a2 + b2 – 1 – ab – ab = (a – b)2. Logo, sabendo que a ≠ b (o que implica M não ser simétrica), tem-se (a – b)2 > 0 para quaisquer a e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em consequência, M é invertível.

4 (PUC GOIÁS 2021) Em uma situação de comunicação, um hacker e seu amigo combinaram uma forma de comunicar, utilizando matrizes quadradas de ordem 2; combinaram ainda que cada letra do alfabeto, na ordem em que aparecesse, seria associada aos números 1, 2, 3, ... 26. Uma matriz código era utilizada para embaralhar a matriz mensagem, utilizando a multiplicação à direita. Essa, depois de enviada, deveria ser decodificada pelo amigo, utilizando o processo de inversão de matriz.

Suponha que o amigo recebeu a seguinte matriz mensagem: 32 51 e utilizou a matriz 17 27 5 8 como matriz código. Marque a única alternativa que indica a mensagem transmitida: 2 3 (A) LADO. (B) CASA. (C) FADA. (D) FACA. Gabarito: D 5 Tem-se que o determinante da matriz 2

8 3

Logo, como 3 –8 é a matriz adjunta de 5 –2 5 2

é

5 2

8 = 15 – 16 = – 1. 3

8 , segue que a matriz inversa de 3

1 . 3 –8 = –3 8 –2 5 2 –5 –1 Se T é a matriz mensagem e I é a matriz identidade de ordem 2, então T. 5 2

8 = 32 51 → T . 5 17 27 2 3 T . I = –96 + 102 –51 + 54

8 = –3 8 = 32 51 . –3 8 17 27 3 2 –5 2 –5

256 – 255 → T = 6 136 – 135 3

1 1

A resposta é FACA. Fleming 2023

MATEMÁTICA

467

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

2 det (A4) = x . O valor de x é:

0 0 2





04. (UFRGS) A matriz A =

x 0 0 2 0 0





01. (UNICAMP-2020) Sabendo que p é um número real, considere a matriz A = p 2 e sua transposta AT. 0 p T Se A + A é singular (não invertível), então

é tal que

(A) 1 32 (B) 1 2 (C) 1 5 (D) 5 (E) 32

(A) p = 0. (B) |p|= 1. (C) |p|= 2. (D) p = 3.

02. (UERJ) Observe a matriz:





3 + t –4 3 t–4

Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.

03. (UEG-2020) Calculando-se o determinante a seguir, obtém-se y 2 –1 4 5 x –1 2 3 (A) –4x2y + 15y – 37 (B) –2x + 17xy2 – 37 (C) –2x – 2xy + 15y – 37 (D) –2x + 2xy – 15y – 37 (E) –2x2y – 17xy2 – 37

468

MATEMÁTICA

Fleming 2023

05. (UFU-2021) Sejam A e B matrizes quadradas e invertíveis, tais que x = det (A) e y = det (B) satisfaçam as equações 1 + 1 = 9 e 3 + 4 = 31. x y x y Logo, é correto afirmar que det( A2B–1) é igual a (A) 4 . 25 (B) 4 . 21 (C) 4 . 17 (D) 4 . 11

08. (PUCPR-2022) Considere k ∈ R* e a matriz

06. (UEM adaptada) Considere as matrizes





e B=

0 0 0 k 0 0 k 0 A = 0 k 0 0 . Com base nestes dados, julgue as k 0 0 0 proposições a seguir: 0 0 0 k 0 0 k 0 I. A matriz inversa de A é A–1 = 0 k 0 0 k 0 0 0

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4





A=

2 1 0 3 2 5 0 1 2

A partir delas, é correto afirmar que: (A) A matriz B é uma matriz invertível. (B) A primeira e a última linhas de A . B são iguais. (C) É possível calcular o determinante da matriz B. (D) O determinante da inversa de A é – 1 . 10 . . (E) A B = B A.

II. A matriz A2 =

0 0 0 k2

0 0 k2 0

0 k2 0 0

k2 0 0 0

III. O determinante de A é – k4. IV. Supondo que k = i (unidade imaginária) o determinante de A vale −1. (A) Somente II é correta. (B) Somente I é correta. (C) Somente III é correta. (D) Somente IV é correta. (E) Somente II e IV são corretas.



1 0 0 0 6 14 0 14 34



07. (UNESP) Seja A uma matriz. Se A3 = o determinante A é:

,

(A) 8. (B) 2 2 . (C) 2. 3 (D) 2 . (E) 1.

Fleming 2023

MATEMÁTICA

469

SISTEMAS LINEARES

Capítulo 10

ESTRUTURA DO CAPÍTULO

Introdução As equações do primeiro grau com uma ou mais incógnitas são chamadas de equações lineares. Nessas equações, cada termo deve ser composto por apenas uma incógnita e ter expoente igual a 1. No caso de a equação linear ter o seu termo independente igual a zero, é chamada de equação linear homogênea.

1. Resolução de um Sistema com n Equações e n Incógnitas 2. Discussão de um Sistema com Três Equações e Três Incógnitas

RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA COM N EQUAÇÕES E N INCÓGNITAS 1.

Regra de Cramer É de grande importância, nos vestibulares, o uso desta regra para a resolução de sistemas com três equações e três incógnitas.

x = Dx D

y = Dy D

z = Dz D

D é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. Dx é o determinante da matriz formada substituindo-se, no D, a primeira coluna (coeficientes de x) pelos termos independentes. Dy é o determinante da matriz formada substituindo-se, no D, a segunda coluna (coeficientes de y) pelos termos independentes. Dz é o determinante da matriz formada substituindo-se, no D, a terceira coluna (coeficientes de z) pelos termos independentes.

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. “A Competência 5, com cinco habilidades, trata do desenvolvimento do pensamento algébrico/geométrico para resolver situações-problema. O conhecimento matemático construído ao longo da vida, muitas vezes, contextualizado em situações do cotidiano, pode e deve ser generalizado e transferido a outros contextos” (Fonte: Inep).

Segue exemplo resolvido:

• Exemplo 

x + 3y + 2z = 5 Calcule x, y, e z em 2x + y + 3z = 12 3x – y + z = 10 Resolução: 1 3 2 D = 2 1 3 = 15 3 –1 1

5 3 2 Dx = 12 1 3 = 30 10 –1 1

1 5 2 Dy = 2 12 3 = –15 3 10 1

x = ∆x = 30 = 2 15 ∆

y = ∆y = –15 = –1 15 ∆

z = ∆z = 45 = 3 15 ∆

1 3 5 Dz = 2 1 12 = 45 3 –1 10

Assim, x = 2, y = – 1 e z = 3. Fleming 2023

MATEMÁTICA

471

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA COM TRÊS EQUAÇÕES E TRÊS INCÓGNITAS 2.

Pela Regra de Cramer ∆≠0 ∆=0

∆x = ∆y = ∆z = 0 ∆x ≠ 0 ou ∆y ≠ 0 ou ∆z ≠ 0



Se



Atenção: a implicação de os deltas todos nulos indicarem um sistema indeterminado não é válida se os coeficientes das equações forem proporcionais e os termos independentes não acompanharem essa proporcionalidade.

possível e determinado possível e indeterminado impossível

uma única solução infinitas soluções não possui solução

Seguem questões resolvidas sobre o assunto estudado.

• Exemplo 

x – 2y + 3z = 4 (UFRGS) O sistema 2x + y – z = 1 tem: 3x – y + 2z = 5 (A) nenhuma solução (B) uma única solução (C) exatamente duas soluções (D) exatamente três soluções (E) infinitas soluções Gabarito: E 1 –2 3 ∆ = 2 1 –1 = 0, como D = 0 o sistema não é determinado e vamos, então, 3 –1 2 4 –2 3 1 4 3 1 –2 4 1 1 –1 2 1 –1 = 0, ∆y = = 0 e ∆z = 2 1 1 = 0 calcular o ∆x = 5 –1 2 3 5 2 3 –1 5 Como ∆x = ∆y = ∆z = 0, podemos concluir que o sistema possível e indeterminado, logo, possui infinitas soluções.

ANOTAÇÕES

472

MATEMÁTICA

Fleming 2023

Discussão de um Sistema Homogêneo com Três Equações e Três Incógnitas Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes de suas equações são iguais a zero. 

ax + by + cz = dx + ey + fz = gx + hy + iz =

0 0 0

– Um sistema homogêneo sempre tem solução, chamada de solução nula ou trivial, ou seja, (0, 0, 0). – ∆x = ∆y = ∆z = 0 – ∆ = 0 → Sistema indeterminado, infinitas soluções. ∆ ≠ 0 → Sistema determinado, 1 solução (0,0,0). Segue exemplo resolvido sobre o assunto estudado.

• Exemplo 

(UFRGS) O conjunto solução do sistema

2x + y + 3z = 0 3x – 2y + z = 0 é: x – 3y – 2z = 0

(A) {(1, 1, – 1)}. (B) constituindo apenas pela solução nula. (C) vazio. (D) finito, mas constituído por mais de uma solução. (E) infinito. Gabarito: E 2 1 3 ∆ = 3 –2 1 = 0 . Concluímos então que o sistema é possível e 1 –3 –2 indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. Dessa forma, o conjunto solução é infinito.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (FICSAE) Um parque tem 3 pistas para caminhada, X, Y e Z. Ana deu 2 voltas na

pista X, 3 voltas na pistaY e 1 volta na pista Z, tendo caminhado um total de 8.420 metros. João deu 1 volta na pista X, 2 voltas na pista Y e 2 voltas na pista Z, num total de 7.940 metros. Marcela deu 4 voltas na pista X e 3 voltas na pista Y, num total de 8.110 metros. O comprimento da maior dessas pistas, excede o comprimento da menor pista em: (A) 1.130 metros. (B) 1.350 metros. (C) 1.570 metros. (D) 1.790 metros. Fleming 2023

MATEMÁTICA

473

Gabarito: A Equacionando os dados, temos:

2x + 3y + z = 8420 –3x – 4y = –8900 7x = 5740

x = 820 y = 1610 z = 1950

2x + 3y + z = 8420 –3x – 4y = –8900 4x + 3y = 8110





 

2x + 3y + z = 8420 x + 2y + 2z = 7940 4x + 3y = 8110

2x + 3y + z = 8420 –9x – 12y = –26700 16x + 12y = 32440

z – x = 1950 – 820 = 1130 m

2 (PUCPR) Clarice e suas colegas de Engenharia resolveram organizar uma festa junina

para arrecadar fundos para a formatura. Com esse intuito, montaram três quiosques, nos quais eram vendidos pipoca, cachorro quente e quentão. Ao término da festa, foi feito o levantamento das vendas nos três quiosques: No primeiro, foram vendidos 10 sacos de pipoca, 20 cachorros quentes e 10 copos de quentão. No segundo, foram vendidos 50 sacos de pipoca, 40 cachorros quentes e 20 copos de quentão. No terceiro, foram vendidos 20 sacos de pipoca, 10 cachorros quentes e 30 copos de quentão. Os três quiosques lucraram R$ 150,000, R$ 450,00 e R$ 250,00 respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o preço de cada saco de pipoca, cachorro quente e copo de quentão, respectivamente. (A) R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00 (B) R$ 3,00, R$ 4,00 e R$ 5,00 (C) R$ 3,50, R$ 4,50 e R$ 5,50 (D) R$ 1,50, R$ 2,50 e R$ 3,50 (E) R$ 5,00, R$ 3,00 e R$ 4,00 Gabarito: E Equacionando os dados, temos: 

10x + 20y + 10z = 150 50x + 40y + 20z = 450 20x + 10y + 30z = 250

D=

474

MATEMÁTICA

Fleming 2023

1 2 1 5 4 2 = – 15 2 1 3

15 2 1 Dx = 45 4 2 = – 75 25 1 3

–75 =5 –15

1 15 1 Dy = 5 45 2 = – 45 2 25 3

–45 =3 –15

10x + 20y + 10z = 150

50 + 60 + 10z = 150

z=4

3 (UNICAMP) Considere o sistema linear nas variáveis reais x,y, z e w, 

x – y = 1, y + z = 2, w – z = 3.

Logo, a soma x + y + z + w é igual a: (A) –2. (B) 0. (C) 6. (D) 8. Gabarito: D Como há mais incógnitas que equações, não podemos determinar os valores das incógnitas, apenas solucionar o problema. Assim, somando todas as equações do sistema, temos como resultado x + w = 6. Logo, somando essa equação à segunda, obtemos x + y + z + w = 6 + 2 = 8.

4 (ENEM) Na figura, estão representadas três retas no plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.

s r

y

t

H24 - Utilizar as informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

Q P A

R B

C

x

Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e duas incógnitas que: (A) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam. (B) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas. (C) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um ponto. (D) não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente às três retas. (E) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se intersectam. Gabarito: D Sabendo que a solução do sistema corresponde ao par ordenado que coincidem as três retas, é imediato que o sistema não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente as três retas.

Fleming 2023

MATEMÁTICA

475

5 (UFRGS) Uma pessoa tem no bolso moedas de R$ 1,00, de R$ 0,50, de R$ 0,25

e R$ 0,10. Se somadas, as moedas de R$ 1,00 com as de R$ 0,50 e com as de R$ 0,25, têm-se R$ 6,75. A soma das moedas de R$ 0,50 com as moedas de R$ 0,25 e com as de R$ 0,10, resulta em R$ 4,45. A soma das moedas de R$ 0,25 com as de R$ 0,10 resulta em R$ 2,95. Das alternativas, assinale a que indica o número de moedas que a pessoa tem no bolso. (A) 22. (B) 23. (C) 24. (D) 25. (E) 26. Gabarito: A Associando: x moedas de R$ 1,00 y moedas de R$ 0,50

z moedas de R$ 0,25 w moedas de R$ 0,10 

x + 0,5y + 0,25z = 6,75 Temos o seguinte sistema: 0,5y + 0,25z + 0,1w = 4,45 0,25z + 0,1w = 2,95 Substituindo a terceira equação na segunda, temos: y = 3. Da terceira equação, temos: w =

295 – 25z 10

Para que w seja um número inteiro devemos considerar z como sendo um número ímpar. Se z = 1, temos w = 27, y = 3 e x = 5. Logo, x + y + z + w = 36. Se z = 3, temos w = 22, y = 3 e x = 4,5 (não convém). Se z = 5, temos w = 17, y = 3 e x = 4. Logo, x + y + z + w = 29. Se z = 7, temos w = 12, y = 3 e x = 3,5 (não convém). Se z = 9, temos w = 7, y = 3 e x = 3. Logo, x + y + z + w = 22. Se z = 11, temos e = 2, y = 3 e x = 2,5 (não convém). Se z = 13, temos x = –3 (não convém). Portanto, a resposta possível é x + y + z + w = 22 moedas.

6 (UFPR) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 25 centavos,

totalizando R$ 3,25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? (A) 6. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 12.

Resolvendo o sistema por adição, temos: 7x = 70 x = 10 476

MATEMÁTICA

Fleming 2023







Gabarito: D Modelando, temos: x moedas de 25 centavos, y moedas de 10 centavos e y moedas de 5 centavos. Considerando as informações do problema, temos o seguinte sistema: x + 2y = 20 x + 2y = 20 . (–3) –3x – 6y = –60 0,25 . x + 0,15y = 3,25 . (20) 5x + 3y = 65 . (2) 10x + 6y = 130

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01. (UNIOESTE) José precisa pesar três peças de metal A, B e C. Mas, a balança que ele dispõe não é precisa para pesos menores do que 1 kg. José decide então pesar as peças de duas em duas. A e B juntas pesam 1.600 g, B e C juntas pesam 1.400 g e A e C juntas pesam 1700 g.

03. (UFPR) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel.Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações:

Nestas condições, qual o peso da peça mais leve?

1o. motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km. 2o. motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km. 3o. motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km.

(A) 550 g (B) 650 g. (C) 700 g. (D) 950 g. (E) 1.400 g.

Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava?

02. (UEL adaptada) Uma mãe, com o intuito de organizar os brinquedos dos seus filhos, teve a ideia de colocá-los em caixas coloridas. Ela classificou os brinquedos em três categorias, de acordo com seus tamanhos, sendo elas: brinquedos pequenos, médios e grandes. Para a organização, a mãe utilizou caixas de acrílico amarelas, verdes e azuis, as quais comportam as seguintes quantidades de brinquedos:

Considere que as crianças possuem 12 brinquedos grandes, 72 brinquedos de tamanho médio e 84 pequenos e que foi colocada, em cada caixa, exatamente a quantidade de brinquedos de cada categoria que ela comporta. Quantas caixas amarelas essa mãe utilizou para acomodar todos os brinquedos de seus filhos?

04. (UFRGS-2020) Para que o sistema de equações lineares x+y=7 seja possível e determinado, é necessário e ax + 2y = 9



- Caixas Amarelas: 2 grandes, 8 médios e 10 pequenos. - Caixas Verdes: 2 grandes, 20 médios e 16 pequenos. - Caixas Azuis: 1 grande, 10 médios e 14 pequenos.

(A) 824 km (B) 820 km (C) 832 km (D) 798 km (E) 812 km

suficiente que: (A) a ∈ R. (B) a = 2. (C) a = 1. (D) a ≠ 1. (E) a ≠ 2.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (D) 5

Fleming 2023

MATEMÁTICA

477

é correto afirmar que:

08. (FUVEST 2021) Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados dessa jogadora?

(A) Homogêneo e indeterminado. (B) Impossível e indeterminado. (C) Possível e determinado. (D) Impossível e determinado. (E) Possível e indeterminado.

(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20

06. (FAMEMA-2022) Considere o sistema linear

09. (PUCRS-2022) Uma loja de artigos de festa vende velas dos tipos I, II e III a preços, em reais, de x, y e z, respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão representados na tabela a seguir.

05. (UEL) Sobre o sistema linear 

5x + y – z = 0 –x – y + z = 1 3x – y + z = 2



x + 2y – z = 4 –x + y + 2z = 3 , onde a e b são constantes reais. x – y + az = b

1º dia

Quantidade de velas do tipo I 2

Quantidade de velas do tipo II 3

Quantidade de velas do tipo III 4

20,00

2º dia

3

3

5

25,00

3º dia

4

2

2

20,00

Sobre esse sistema, assinale a afirmativa correta. (A) Se a = –3 e b = –2, então o sistema é impossível. (B) Se a = –2 e b = –2, então o sistema é possível indeterminado. (C) Se a = –2 e b = –3, então o sistema é impossível. (D) Se a = –3 e b = –3, então o sistema é possível determinado. (E) Se a ≠ –3 e b = –2, então o sistema é possível determinado.

(A) 1.500.000. (B) 2.000.000. (C) 2.500.000. (D) 3.000.000.

478

MATEMÁTICA

O preço, em reais, da vela do tipo II e o preço, em reais, da vela do tipo III são, respectivamente: (A) 1,00 e 2,00 (B) 1,00 e 3,00 (C) 2,00 e 1,00 (D) 2,00 e 2,00

10. (UNICAMP-2023) Para qual valor de a o sistema de equações lineares ax – y = |a|, (4 – 5a2)x + ay = 1



07. (UNICAMP 2022) Certo país adquiriu 5.000.000 de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de $40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta e Gama custou $5,00, $10,00 e $20,00, respectivamente. Sabendo que o número de doses adquiridas da vacina Beta é o triplo do número de doses adquiridas da vacina Gama, o número de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:

admite infinitas soluções? (A) 1. (B) 2. (C) −1. (D) −2.

Fleming 2023

Total (R$)

GABARITO CAPÍTULO 1 01.

B

02. A

07. D

08. E

03. C

04. D

05. C

06. A

03. A

04. B

05. B

06. D

03. B

04. B

05. E

06. C

05. C

06. A

05. D

06. D

CAPÍTULO 2 01.

E

02. D

07. A

08. C

CAPÍTULO 3 01.

D

02. C

07. B

08. D

CAPÍTULO 4 01.

B

02. E

03. A

04. B

07. C

08. E

09. B

10.

E

02. B

03. A

04. C

07. A

08. C

09. A

10.

02. B

03. B

04. E

05. E

06. A

E

02. B

03. B

04. D

05. D

06. D

07. 15

08. B

09. B

D

CAPÍTULO 5 01.

D

CAPÍTULO 6 01.

D

07. C

CAPÍTULO 7 01.

Fleming 2023

MATEMÁTICA

479

CAPÍTULO 8 01.

C

02. E

03. A

04. A

05. B

06. C

B

02. A

03. C

04. B

05. A

06. B

07. C

08. B

05. E

06. D

07. E

CAPÍTULO 9 01.

CAPÍTULO 10 01.

480

B

02. D

03. B

04. E

07. D

08. B

09. D

10.

MATEMÁTICA

Fleming 2023

C