Calcul différentiel [2e édition enrichie. ed.] 9782761390651, 2761390652

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CALC U L

2 e édit ion enr ichie

différentiel JOSÉE HAMEL

LUC AMYOTTE

Inclut l’accès à 32 animations GeoGebra et à MonLab xL.

ANIMATIONS GEOGEBRA C H A P I T R E 1 2 3 4 5 6 7

1

Introduction au calcul différentiel (p. 6) Approche intuitive de la limite (p. 6 et 8) Approximations d’une aire sous une courbe (p. 9) Estimation d’une limite finie ou infinie (p. 10, 11, 13 et 16) Estimation d’une limite finie (p. 15) Estimation d’une limite à l’infini (p. 18) Continuité d’une fonction définie par parties (p. 49, 54 et 55)

C H A P I T R E

2

De la droite sécante à la droite tangente (p. 80) Droites tangente et normale (p. 83) Fonction de Weierstrass (p. 92) Cas de non-dérivabilité (p. 93) Interprétation géométrique du signe de la dérivée (p. 108) 13 Dérivation en chaîne (p. 126) 8 9 10 11 12

C H A P I T R E 14 15 16 17

Approche intuitive des formules de dérivation (p. 150) Estimation de la limite de (eh – 1)/h lorsque h → 0 et représentation graphique (p. 165) Théorème du sandwich (p. 187) Illustration de la démonstration du théorème 3.8 (p. 188)

C H A P I T R E 18 19 20 21

4

Taux liés : échelle appuyée contre un mur (p. 225) Taux liés : remplissage d’un récipient conique (p. 227) Différentielle et droite tangente (p. 232) Calcul d’incertitude : l’aire d’un carré (p. 239)

C H A P I T R E 22 23 24 25 26

3

5

Test de la dérivée première (p. 267, 268 et 269) Signe de la dérivée seconde et concavité (p. 274 et 336) Extremums absolus d’une fonction selon son domaine (p. 278) Optimisation : volume d’une boîte (p. 292) Optimisation : alimentation en électricité d’une île (p. 295)

C H A P I T R E

6

27 Concavité et points d’inflexion (p. 339)

A N N E X E 28 29 30 31 32

Représentations d’un intervalle (p. 367) Équation quadratique (p. 385) Définition d’une fonction (p. 388) Effets des paramètres dans une fonction (p. 393, 395, 398, 399, 401 et 407) Réciproque d’une fonction (p. 402)

CONTEXTES ET APPLICATIONS C H A P I T R E

1

Vitesse d’un objet : p. 6, exemple 1.2 ; p. 35, exemple 1.30 ; p. 60, no 17 ; p. 61, no 22 ; p. 61, no 23 ; p. 67, no 10. Croissance d’une population : p. 8, exemple 1.3 ; p. 40, exemple 1.35. Tarification d’électricité : p. 9, exemple 1.5 ; p. 16, no 5 ; p. 47, exemple 1.42. Coût de stationnement : p. 10, exemple 1.6 ; p. 47, exemple 1.43. Administration d’un médicament : p. 49, no 2 ; p. 63, no 29. Vente d’un produit de consommation : p. 59, no 10 ; p. 67, no 8. Fonction de demande : p. 59, no 12. Dépollution d’un lac : p. 59, no 13. Loi de Coulomb : p. 60, no 14. Publicité : p. 60, no 15. Théorie de la relativité : p. 60, no 16. Concentration saline : p. 62, no 26. Coût de production d’un bien : p. 62, no 27 ; p. 65, no 43. Résistance électrique : p. 63, no 28. Concentration d’un contaminant : p. 63, no 30. Investissement : p. 64, no 36. Coût de transport : p. 64, no 37. Force atomique : p. 64, no 38. Salaire brut d’un travailleur : p. 65, no 42. Fonction d’apprentissage : p. 67, no 9.

Ingestion de nourriture : p. 141, no 37. Test de collision : p. 143, no 46. Réaction à un médicament : p. 144, no 48. Effet du levain : p. 144, no 49. Investissement : p. 146, no 64. Fonction de demande : p. 149, no 10.

C H A P I T R E

3

Désintégration d’une substance radioactive : p. 155, exemple 3.1 ; p. 159, no 2 ; p. 164, no 2 ; p. 165, exemple 3.15. Investissement : p. 156, exemple 3.2 ; p. 159, exemple 3.7 ; p. 161, exemple 3.9 ; p. 209, no 2. Croissance d’une population : p. 156, question éclair 3.1 ; p. 158, exemple 3.6 ; p. 162, no 2 ; p. 166, exemple 3.16 ; p. 209, no 4. Amplification d’un signal : p. 161, exemple 3.8 ; p. 170, exemple 3.19. Culture bactérienne : p. 167, exemple 3.17 ; p. 210, no 18. Loi de refroidissement de Newton : p. 168, no 3 ; p. 209, no 3. Portée d’un projectile : p. 179, exemple 3.27 ; p. 215, no 64. Masse suspendue à un ressort : p. 195, exemple 3.46 ; p. 215, nos 62 et 63 ; p. 216, no 69. Mouvement d’un pendule : p. 197, no 3. Angle d’éclairage : p. 204, exemple 3.53. Charge d’un condensateur : p. 209, no 5.

C H A P I T R E

2

Variation de la position d’un objet : p. 74, exemple 2.1. Variation de la taille d’une population : p. 75, exemple 2.2. Vitesse moyenne d’un objet : p. 78, exemple 2.4. Taux de croissance moyen d’une population : p. 78, exemple 2.5. Ventes d’un bien : p. 79, no 1 ; p. 86, no 1. Concentration d’une solution : p. 79, no 2 ; p. 86, no 2 ; p. 107, no 5. Vitesse instantanée : p. 84, exemple 2.9 ; p. 116, exemple 2.40 ; p. 118, no 2 ; p. 143, nos 45 et 47. Croissance d’une population : p. 85, exemple 2.10 ; p. 102, exemple 2.30 ; p. 121, exemple 2.44 ; p. 144, no 52. Coût marginal : p. 87, exemple 2.11 ; p. 89, exemple 2.12 ; p. 107, no 3. Période d’un pendule : p. 89, exemple 2.13 ; p. 107, no 4. Profit marginal : p. 90, no 2. Hauteur maximale d’un projectile : p. 111, exemple 2.38. Profit maximal : p. 113, no 2. Accélération : p. 121, exemple 2.43 ; p. 122, no 2 ; p. 144, no 51. Coût de production d’un bien : p. 122, no 3. Culture bactérienne : p. 75, question éclair 2.1 ; p. 78, question éclair 4.3 ; p. 125, no 2 ; p. 144, no 50. Propagation d’une onde : p. 128, exemple 2.50. Propagation d’un virus : p. 138, no 3. Fuite d’un fluide : p. 138, no 9. Croissance d’un être vivant : p. 139, no 10 ; p. 145, no 59. Tracé d’une route : p. 141, no 27. Déplacement d’un objet : p. 141, no 29 ; p. 142, nos 36 et 39 ; p. 147, no 74 ; p. 149, no 11. Exposition à un contaminant : p. 141, no 30. Réaction à un stimulus lumineux : p. 141, no 31. Élasticité de la demande : p. 141, no 32 ; p. 147, no 75.

Administration d’un médicament : p. 209, no 6. Sédimentation : p. 209, no 7. Relation de travail : p. 209, no 8. Croissance d’un être vivant : p. 210, nos 19 et 21. Propagation d’un virus : p. 210, no 20. Psychologie de l’apprentissage : p. 211, nos 22 et 28. Prédation animale : p. 211, nos 23 et 24 ; p. 216, no 68. Absorption d’une substance nocive : p. 211, no 25. Injection d’un traceur radioactif : p. 211, no 26. Loi de Beer-Lambert : p. 211, no 27. Fonction logistique : p. 212, no 29. Élasticité de la demande : p. 212, no 33. Modélisation mathématique de la mémoire : p. 213, nos 38 et 39 ; p. 219, no 7. Loi de Weber-Feschner : p. 213, no 40. Météorologie : p. 216, no 67. Déplacement d’une masse : p. 216, no 70. Angle d’observation : p. 217, nos 75 et 76. Capacité pulmonaire : p. 219, no 6. Modélisation de croissance de Gompertz : p. 219, no 8.

C H A P I T R E

4

Remplissage d’un récipient : p. 224, exemple 4.1 ; p. 227, question éclair 4.2 ; p. 230, no 5 ; p. 245, no 29 ; p. 246, no 37 ; p. 248, no 53 ; p. 252, nos 1f et 5. Jeu d’ombre : p. 228, exemple 4.4 ; p. 244, no 21 ; p. 245, nos 28 et 30. Vitesse d’éloignement ou de rapprochement : p. 229, no 3 ; p. 230, no 6 ; p. 243, nos 9 et 18 ; p. 244, nos 22, 24 et 26 ; p. 245, no 27 ; p. 246, nos 31, 32 et 38 ; p. 247, nos 42, 47 à 49 ; p. 252, no 7 ; p. 253, no 8.

Vitesse angulaire : p. 229, no 3 ; p. 243, no 9 ; p. 244, nos 24 et 26 ; p. 246, nos 31 et 34 ; p. 247, nos 46, 47 et 49 ; p. 251, no 1c. Gaine isolante : p. 235, exemple 4.10. Croissance d’un être vivant : p. 235, exemple 4.11 ; p. 242, no 3 ; p. 244, no 20. Coût de production d’un bien : p. 236, exemple 4.12. Croissance d’une tumeur : p. 237, no 1 ; p. 242, no 1. Déplacement d’un objet sur un plan incliné : p. 237, no 2 ; p. 244, no 25. Fonction de demande : p. 238, no 2 ; p. 249, no 56 ; p. 250, no 71 ; p. 251, no 1d. Processus de fabrication : p. 240, no 1. Effet thermique : p. 235, question éclair 4.5 ; p. 242, no 6 ; p. 249, no 59 ; p. 251, no 1b ; p. 252, no 1e. no

Propagation d’une onde : p. 242,

11 ; p. 249,

no

Loi de Poiseuille : p. 243,

15 ; p. 253,

no

no

17.

19 ; p. 249,

no

Indice de masse corporelle : p. 243, Revenu de vente : p. 244,

no

Fonction de demande : p. 309, no 16. Psychologie de l’apprentissage : p. 309, no 23. Récolte : p. 309, nos 24 et 25. Profit : p. 310, no 29. Suspension d’un lustre : p. 310, no 30. Portée d’un projectile : p. 310, no 32. Modélisation de la toux : p. 310, no 33. Analyse marginale : p. 311, no 39.

Logistique du transport : p. 312, no 46. 61.

Pression d’un gaz : p. 243, no 12 ; p. 246, no 35 ; p. 247, no 40. no

Surface d’impression : p. 309, no 15.

Administration d’un médicament : p. 311, nos 44 et 45.

Fuite d’un fluide : p. 243, no 10 ; p. 248, no 52. Résistance électrique : p. 243,

Optimisation d’une distance : p. 302, exemple 5.27 ; p. 309, no 22 ; p. 310, no 31 ; p. 313, no 58.

Intensité de la chaleur : p. 311, no 43.

2.

Profit : p. 242, no 4 ; p. 249, no 57. no

Construction d’un enclos : p. 300, no 1 ; p. 308, no 9.

10.

Autocatalyse : p. 313, no 52. Circulation sanguine : p. 313, no 53. Exploitation forestière : p. 313, no 54. Réservoir hémisphérique : p. 313, no 55.

58.

Oscillation d’une masse : p. 313, no 57.

Le Lièvre et la Tortue : p. 244,

no

no

41.

Diffusion d’une innovation technologique : p. 313, no 60.

43.

Intensité lumineuse : p. 314, no 61.

Accidents routiers : p. 247, Énergie cinétique : p. 247,

no

23.

Croissance d’une population : p. 313, no 59.

Système bielle-manivelle : p. 248, no 50. Variation de concentration : p. 248,

no

Impulsion électrique : p. 314, no 62.

51.

Dépense énergétique : p. 314, no 63.

Recouvrement métallique : p. 249, no 60 ; p. 250, no 67.

Élasticité de la demande : p. 314, no 64.

Contraction musculaire : p. 249, no 62.

Coût de production d’un bien : p. 314, no 65.

Psychologie de l’apprentissage : p. 250,

no

65.

Principe de Fermat : p. 315, nos 66 et 67.

Relation de travail : p. 250, no 68.

Angle apical : p. 315, no 68.

Portée d’un projectile : p. 250, no 69.

Déplacement d’une masse : p. 315, no 3.

Surface corporelle : p. 250,

no

76.

Administration d’un médicament : p. 251, no 77 ; p. 253, no 9. Pollution : p. 252, no 1g. Relativité restreinte : p. 252, no 2. Intensité lumineuse : p. 252, no 4.

Loi d’Ohm : p. 315, no 4. Tracé d’une route : p. 315, no 9. C H A P I T R E

6

Trajectoire d’un avion au décollage : p. 361, no 10. C H A P I T R E

5

Fabrication d’une boîte : p. 292, exemple 5.21 ; p. 300, exemple 5.26 ; p. 305, no 1 ; p. 308, no 8 ; p. 316, no 8. Revenu de vente : p. 294, exemple 5.22 ; p. 315, no 1c. Alimentation en électricité : p. 295, exemple 5.23. Angle d’observation : p. 298, exemple 5.25 ; p. 303, exemple 5.28 ; p. 305, no 2.

Effet analgésique : p. 361, no 11. Niveau d’oxygène : p. 361, no 12. Taille d’un rongeur : p. 361, no 13. Équation de Morse : p. 361, no 14. Distribution de Maxwell-Boltzmann : p. 362, no 15. Fonction logistique : p. 362, no 16. Équation de Lennard-Jones : p. 362, no 17.

CALC U L

2 e édit ion enr ichie

différentiel JOSÉE HAMEL

LUC AMYOTTE

Animations GeoGebra : Jo-Annie Bédard et Olivier Turcotte

Développement de produits Philippe Dubé

Une fractale décrit des objets dont les formes découpées produisent à des échelles de plus en plus petites des motifs similaires. Le chou romanesco rappelle une fractale et évoque plusieurs éléments clés associés au calcul différentiel : le processus de limite, l’infiniment petit, l’infini et le mouvement.

Supervision éditoriale Sylvie Chapleau Révision linguistique Carole Côté Correction des épreuves Marie-Claude Rochon (Scribe Atout) Recherche iconographique Aude Maggiori Direction artistique Hélène Cousineau Supervision de la production Muriel Normand Conception graphique de l’intérieur Martin Tremblay Conception et réalisation de la couverture Frédérique Bouvier

Josée Hamel À Carole, qui va toujours au bout de ses rêves.

Édition électronique Info GL

Luc Amyotte

© ÉDITIONS DU RENOUVEAU PÉDAGOGIQUE INC. (ERPI), 2018 Membre du groupe Pearson Education depuis 1989 1611, boul. Crémazie Est, 10e étage Montréal (Québec) H2M 2P2 Canada Téléphone: 514 334-2690 Télécopieur: 514 334-4720 [email protected] pearsonerpi.com

Dépôt légal – Bibliothèque et Archives nationales du Québec, 2018 Dépôt légal – Bibliothèque et Archives Canada, 2018 Imprimé au Canada ISBN 978-2-7613-9065-1

À Yvan, Mariska et Marc-Antoine, qui m’apportent le meilleur de la vie…

123456789 SO 21 20 19 18 20825 ABCD SM9

Avant-propos J’aime à penser que la mathématique est un instrument de musique sur lequel on peut interpréter une quantité infinie de belles mélodies. Plusieurs générations de mathématiciens ont utilisé des tonalités riches qui nous offrent un nombre illimité de combinaisons harmonieuses. Donald E. Knuth La mathématique est la musique de l’esprit humain. La musique est la mathématique de l’âme. Anonyme

Tout comme une symphonie, l’analyse mathématique est une œuvre complexe, com­ portant plusieurs mouvements, le premier étant le calcul différentiel, et le second, le calcul intégral. Malheureusement, les étudiants n’en apprécient pas toujours toutes les subtilités mélodiques et perçoivent souvent le calcul comme une suite de recettes à suivre. Devant un tel constat, nous avons décidé d’écrire cet ouvrage de calcul différen­ tiel dans le but avoué d’en rendre l’apprentissage plus stimulant par un habile dosage de formalisme et d’intuition, de façon à faciliter la compréhension des concepts tout en répondant aux exigences de la rigueur mathématique. Nous avons évidemment abordé tous les sujets habituels d’un cours de calcul différentiel (limite, continuité, dérivation, taux liés, approximation linéaire, différen­ tielle, optimisation, tracé de courbe, etc.), mais en les inscrivant dans des contextes, en mettant l’accent sur le sens à donner aux calculs effectués et en insistant sur les stratégies de résolution de problèmes. Ainsi, dès le premier chapitre où nous traitons des concepts de limite et de continuité, nous avons donné des exemples variés illustrant la pertinence de l’étude de ces concepts. Nous avons également précisé la signification à donner au com­ portement asymptotique de fonctions dans des contextes appliqués. De même, dans le chapitre 2 portant sur la dérivée des fonctions algébriques, nous avons insisté sur le signe de la dérivée, celui­ci étant crucial dans l’interprétation des résultats, que ce soit dans l’étude des taux liés, dans les problèmes d’optimisation ou dans les tracés de courbes. Nous avons consacré le chapitre 3 à la dérivation des fonctions transcendantes. Cette séparation des fonctions algébriques et transcendantes per­ met aux professeurs qui le désirent de voir les applications de la dérivation des fonctions algébriques avant de voir les fonctions transcendantes. Un document pour cette séquence d’utilisation différente du volume est d’ailleurs disponible dans le matériel complémentaire offert aux enseignants. Le chapitre 4 est consacré aux problèmes de taux liés, au concept de différentielle, à l’approximation linéaire et aux calculs d’incertitudes. Il pourrait facilement être vu après le chapitre 5 ou après le chapitre  6 selon la vision pédagogique de chacun. Le chapitre  5 porte sur la recherche des extremums relatifs et absolus de fonctions et sur les problèmes d’op­ timisation dans différents contextes. Nous avons terminé le livre avec le chapitre 6 portant sur le tracé de courbes. Ce chapitre constitue une excellente synthèse puisqu’on recourt aux notions de limites, de dérivée première et de dérivée seconde.

VIII

AVANT-PROPOS

L’expérience nous a montré que la réussite dans un cours de calcul différen­ tiel dépend du nombre d’exercices que les étudiants effectuent. C’est pourquoi la deuxième édition de Calcul différentiel comporte quatre catégories d’exercices (questions éclair, exercices, exercices récapitulatifs et exercices de révision) rem­ plissant des fonctions différentes. Comme leur nom l’indique, les questions éclair admettent généralement des réponses brèves. Lorsqu’il les utilise en classe, le professeur peut vérifier rapidement si un point particulier est bien compris ou encore si une étape de la résolution d’un problème en comportant plusieurs est bien maîtrisée. Tout comme les questions éclair, les exercices se trouvent dans le corps du texte, mais généralement à la fin d’une section. Leur résolution demande plus de temps et plus de réflexion de la part des étudiants que les questions éclair. Ils peuvent être utilisés en lieu et place des exemples donnés dans le livre pour rendre la présentation en classe plus dyna­ mique. Les questions éclair et les exercices sont repris dans les cahiers d’exercices à compléter qui font partie du matériel complémentaire. Les exercices récapitulatifs se trouvent à la fin de chaque chapitre. Ils portent sur les concepts vus dans une ou plusieurs sections ; des renvois dans le texte pré­ cisent le moment où les étudiants peuvent s’y attaquer. Les exercices de révision à la fin de chaque chapitre sont l’occasion de faire la synthèse de l’ensemble des sujets traités antérieurement. Ainsi, les exercices de révision du chapitre 6 ont pour objet l’ensemble de la matière et permettent aux étudiants de se préparer à un examen final. Comme dans la première édition, les réponses (certaines détaillées) à tous les exercices récapitulatifs de fin de chapitre se trouvent à la fin du manuel. Par contre, les solutions des exercices (dans le corps du texte), des questions éclair et des exer­ cices de révision ne sont donnés que dans le matériel complémentaire offert aux professeurs utilisateurs, qui peuvent, s’ils le souhaitent, les rendre disponibles aux étudiants ou encore utiliser ces exercices (tout comme les exercices supplémen­ taires et les questions d’examen) à des fins d’évaluation formative ou sommative. À la suite des commentaires des utilisateurs, nous avons apporté les change­ ments suivants lors de la rédaction de la deuxième édition de Calcul différentiel : ■

Ajout d’exercices de routine sur les limites et les dérivées dans les cha­ pitres 1 à 3.

■

Meilleure organisation des exercices selon les différentes sections dans le chapitre 4.

■

Meilleur calibrage du niveau de difficulté des exercices récapitulatifs à la fin de chaque chapitre.

■

Ajout de questions éclair qui permettent une vérification plus rapide et plus fréquente des concepts.

■

Ajout d’une annexe regroupant les notions de base de niveau secondaire et des exercices permettant une révision en début de session aux professeurs qui le désirent.

■

Ajout d’une feuille de formules qui regroupe les propriétés et formules les plus utilisées en calcul différentiel. offre

Calcul différentiel est plus qu’un manuel. Il permet la réussite de l’apprentissage grâce à ses multiples composantes : la page Multimédia (sur laquelle se trouvent les ani­ mations GeoGebra), l’Édition en ligne, MonLab | xL et le Matériel complémentaire.

AVANT-PROPOS

L’étudiant peut choisir d’acheter le manuel, ce qui lui donnera accès à la page Mul­ timédia, à l’Édition en ligne, à MonLab | xL et au Matériel complémentaire. Il peut par ailleurs opter pour l’achat sur le site transactionnel de l’Édition en ligne, qui inclut la page Multimédia, MonLab | xL et le Matériel complémentaire. Page Multimédia

La page Multimédia permet à l’enseignant de projeter en classe très facilement les 32 nouvelles animations GeoGebra et à l’étudiant d’y accéder à sa guise. De plus, on y trouve pour chaque animation une brève présentation, la page où on y réfère dans le livre et des exercices visant à exploiter l’animation. Un code QR et une courte adresse URL dans les pages appropriées du livre permettent aussi d’accéder rapidement aux animations à l’aide d’un appareil mobile. Une liste complète des animations est donnée au tout début du livre. Édition en ligne

Le manuel peut être consulté sous la forme d’une Édition en ligne sur ordinateur. Il vous est également possible de télécharger gratuitement l’application Pearson eText (à votre boutique en ligne favorite) et d’accéder hors ligne à la version mobile de votre manuel sur tablette numérique ou téléphone intelligent. L’Édition en ligne propose les fonctions surligneur et annotation, qui per­ mettent de sélectionner le texte du manuel, de le surligner et d’ajouter une note au texte surligné. MonLab | xL

Si leur enseignant en fait le choix, les étudiants ont également accès à MonLab | xL, un outil informatisé de haut niveau qui compte plus de 5 millions d’utilisateurs dans le monde. La version accompagnant Calcul différentiel compte près de 600 exercices similaires à ceux qu’on trouve dans le manuel et qui sont associés aux objectifs d’apprentissage. Elle permet aux étudiants d’apprendre de manière autonome grâce à des rétroactions immédiates et automatiques. Les exer­ cices proposés comportent des paramètres qui changent de valeur à chaque utili­ sation. La majorité d’entre eux ont une rubrique d’aide et donnent un exemple solutionné de même nature que l’exercice. Aux enseignants, MonLab | xL fournit automatiquement des données sur le travail des étudiants (nombre de tentatives pour résoudre les exercices, temps mis pour les résoudre, nombre de bonnes réponses, etc.) et leur permet donc de suivre les progrès de ces derniers. De plus, comme MonLab | xL détecte les difficultés ren­ contrées par les étudiants, l’enseignant est en mesure de leur proposer un parcours personnalisé en fonction des obstacles à leur réussite. Enfin, la correction étant automatisée, la tâche de l’enseignant s’en trouve réduite d’autant. MonLab | xL constitue donc un puissant outil de gestion de classe. Matériel complémentaire

L’étudiant trouvera aussi dans MaBiblio tout le Matériel complémentaire qui lui est destiné. ■ L’aide­mémoire. ■ Des cahiers d’exercices à remplir. ■ Des rappels des notions préalables présentés sous forme de modules, chacun traitant d’un sujet particulier : fonctions, stratégies pour résoudre différents types d’équations, pièges à éviter, etc. ■ Une chronologie de l’évolution du calcul différentiel et intégral.

IX

X

AVANT-PROPOS

■ ■

Des adresses de sites Internet qui traitent des mathématiques. Des laboratoires qui illustrent l’utilisation du logiciel Maple (version 11) en calcul différentiel.

Les enseignants y trouveront aussi tout le matériel complémentaire qui leur est destiné. ■ Un modèle de plan de cours en sciences humaines. ■ Un modèle de plan de cours en sciences de la nature. ■ Une séquence d’utilisation du manuel conçue pour les sciences humaines. ■ Une séquence différente d’utilisation du livre qui propose d’aborder les fonctions transcendantes après les applications des fonctions algébriques. ■ Des cahiers qui reprennent les exercices et les questions éclair qu’on trouve dans l’exposé théorique et qu’il est possible d’utiliser en classe. ■ Une série d’examens (et leurs corrigés) en sciences humaines. ■ Une série d’examens (et leurs corrigés) en sciences de la nature. ■ Une imposante banque de questions d’examen (et leurs solutions détaillées) regroupées par chapitre et par thème. ■ Des exercices supplémentaires pour chacun des chapitres. ■ Un recueil des solutions détaillées de tous les exercices, exercices récapitu­ latifs, exercices de révision, exercices supplémentaires, exercices de l’annexe, exercices des rappels et examens. ■ Des fichiers PDF et JPEG des figures du manuel. ■ La version pour l’enseignant des laboratoires Maple.

QuelQues conseils aux étudiants Un bon manuel peut sans doute faciliter le travail des étudiants, mais il ne suffit pas. Personne, même ceux dont on dit qu’ils ont la « bosse des maths », ne peut réussir un cours de mathématiques sans efforts. Voici donc des conseils à propos des attitudes qui contribuent à augmenter sensiblement les chances de réussite : ■ Se préparer avant chaque cours en faisant une lecture sommaire des sec­ tions qui y seront abordées. ■ Être attentif en classe et essayer de comprendre les explications du profes­ seur plutôt que de simplement retranscrire le texte qu’il écrit au tableau. ■ En classe, éviter de se placer à côté d’une personne qui peut nous déranger, comme un ami ou une amie avec qui on aurait le goût de parler plutôt que d’écouter les explications du professeur : la classe n’est pas un lieu de socia­ lisation, mais un lieu de travail. ■ Poser des questions en classe, au centre d’aide ou au bureau du professeur dès qu’on éprouve une difficulté plutôt que d’attendre que celle­ci devienne insurmontable. ■ Ne pas hésiter à faire appel à un ou à une camarade de classe qui a d’excel­ lents résultats : les gens sont généralement flattés d’être reconnus pour leurs aptitudes et répondent avec empressement. ■ Après chaque cours, relire attentivement ses notes avant même de tenter de faire les exercices (pourquoi avoir pris des notes si on ne les relit pas ?). Devant un exemple, lire l’énoncé, tenter de le refaire par soi­même plutôt que de simplement relire la solution présentée par le professeur, comparer sa solution avec celle du professeur, prendre note des passages qui posent problème et, s’il y a lieu, demander de l’aide. ■ Refaire chaque exemple figurant dans le manuel jusqu’à pouvoir le repro­ duire par soi­même, sans aide, et être satisfait du résultat. Les étudiantes et

AVANT-PROPOS

■

■

■ ■

les étudiants qui adoptent cette stratégie sont généralement agréablement surpris de constater que les exercices proposés par le professeur sont plus faciles à faire. Prêter une grande attention aux définitions des termes mathématiques : on ne peut pas apprendre une langue comme les mathématiques sans connaître le sens des mots. Faire les exercices proposés par le professeur en ayant toujours l’aide­ mémoire à portée de main. En cas de retard, faire un exercice sur deux, ou un sur trois, afin de rattraper le temps perdu. Il ne faut pas oublier qu’en règle générale, les questions d’examen sont des problèmes semblables à ceux qu’on trouve dans les exercices. Se préparer aux examens en faisant les exercices de révision proposés après les exercices récapitulatifs de chaque chapitre. Après chaque examen, refaire les problèmes manqués parce que les ques­ tions d’examen portent généralement sur les points essentiels de la matière, ceux qui seront utiles pour le reste du cours ou pour les cours qui suivront.

remerciements Dans un premier temps, nous tenons à remercier les membres de nos familles res­ pectives qui nous ont soutenus tout au long de la rédaction de cet ouvrage. Sans cet appui indéfectible, nous n’aurions pu mener à bien ce travail si exigeant. Nous voulons également souligner l’encouragement que nous avons reçu de nos collègues actuels et retraités du département de mathématiques du Cégep de Drummondville : ils nous ont généreusement offert leurs conseils et ont toujours accepté de répondre avec empressement à nos questions, ce qui a grandement contribué à perfectionner les qualités pédagogiques du manuel. Nous avons sollicité des professeurs du réseau collégial à plus d’un titre lors de la première édition : relecture de l’ouvrage à différents stades de développement, par­ ticipation à des groupes de discussion, essai du manuscrit en classe, etc. Nous leur en savons gré. Merci aux nombreux professeurs et étudiants qui ont répondu à notre sondage en ligne. Leurs commentaires furent très utiles pour la conception de ce manuel et de ses compléments numériques. Nous avons tenu compte de beaucoup de leurs recommandations. Nous voulons également signaler la qualité du travail de Carole Côté à la révi­ sion linguistique. Ses suggestions furent toujours à propos et ont rendu l’ouvrage beaucoup plus agréable à lire. Carole a également revu tous les corrigés et nous a fait des recommandations des plus pertinentes. Grâce à son efficacité et à sa perspi­ cacité, Calcul différentiel est vraisemblablement exempt d’erreurs. Nous tenons aussi à remercier, pour leur excellent travail dans la réalisation des animations GeoGebra offertes avec ce manuel, les membres de l’équipe suivante : Jo­Annie Bédard, du Cégep de Drummondville, et Olivier Turcotte, du Cégep de Jonquière, qui ont créé les animations ; Thomas Racine, du Cégep de Jonquière, qui a conçu les textes d’accompagnement ; et Jean­Nicolas Pépin, du Cégep Édouard­ Montpetit, qui a agi à titre de consultant. Nous ne pouvons pas oublier Sylvie Chapleau et Philippe Dubé, des Éditions du Renouveau Pédagogique, qui nous ont prodigué de nombreux conseils et qui ont su répondre avec enthousiasme à toutes nos demandes tout en nous rappelant les échéances incontournables à respecter. Josée Hamel Luc Amyotte

XI

XII

GUIDE VISUEL

Guide visuel Conçu pour répondre à la fois aux exigences des enseignants et aux besoins des étudiants, ce manuel présente des caractéristiques pédagogiques novatrices qui facilitent le travail des professeurs et favorisent la réussite des étudiants.

2 Dérivée des fonctions algébriques

c h a p i t r e

Que sont ces fluxions ? Les vitesses d’incréments évanouissants, et que sont ces mêmes incréments évanouissants ? Ce ne sont ni des quantités finies, ni des quantités infiniment petites, ni pourtant rien. Ne pouvons-nous les appeler les fantômes des quantités défuntes ?

Les chapitres commencent par une introduction qui établit un lien avec les chapitres précédents.

George Berkeley

D

ans le premier chapitre, nous avons abordé les notions de limite et de continuité. Parmi toutes les limites que nous avons étudiées, il y en a une qui est fondamentale : lim

∆ x →0

f ( x + ∆ x) − f ( x ) ∆x

Cette limite, qui donne le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) , est si importante qu’on lui attribue un nom particulier : la dérivée. Comme tout concept clé, la dérivée se traduit par une notation qui en facilite l’utilisation, et que nous verrons dans ce chapitre. La dérivée peut, selon le contexte, représenter une pente de tangente, une vitesse instantanée, une accélération, un taux de croissance de population, un taux de propagation d’une rumeur ou d’une maladie, un taux de diffusion d’une technologie, un coût marginal, etc. Le fait qu’une même expression puisse être appliquée à des situations aussi variées que celles que nous venons d’énumérer est une illustration éloquente de sa richesse et de son intérêt. Le calcul différentiel consiste essentiellement dans l’étude du concept de dérivée, qui permet de mesurer le rythme auquel change une quantité variable définie par une fonction. Par contre, l’utilité du calcul différentiel serait grandement réduite s’il fallait évaluer, à l’aide des astuces développées dans le premier chapitre, la limite de la forme indéterminée servant à définir la dérivée. Heureusement, comme nous le verrons sous peu, il existe des algorithmes simples qui permettent de trouver l’expression de la dérivée d’une fonction sans avoir à procéder à l’évaluation d’une limite. Nous allons également porter un intérêt particulier au signe de la dérivée, qui s’avère particulièrement révélateur.

O b j e c t i f s ◗◗ Illustrer l’utilisation du concept de limite dans des

situations concrètes (1.1). apparaît le concept de limite (1.2, 1.3 et 1.5). 20673_02_chap_2.indd 70

14-02-21 5:43 PMde ◗◗ Traduire

manière symbolique une situation décrite dans la langue courante (1.2, 1.3 et 1.5).

◗◗ Utiliser les différentes notations de limite (limite en un

Chaque chapitre comporte un sommaire et une liste d’objectifs d’apprentissage mis en relation avec les sections correspondantes du chapitre.

◗◗ Utiliser les propriétés des limites pour évaluer une limite

ou dire pourquoi celle-ci n’existe pas (1.3, 1.4 et 1.5).

◗◗ Traduire en ses mots une expression symbolique où

point, limite à gauche, limite à droite, limite à l’infini, limite infinie, etc.) de manière appropriée (1.2, 1.4 et 1.5). ◗◗ Estimer une limite à partir d’un graphique ou d’un tableau

de valeurs approprié (1.2).

◗◗ Lever une indétermination de la forme

0 ∞ , ou ∞ − ∞ (1.6). 0 ∞

◗◗ Déterminer (de manière graphique ou à l’aide de la

définition) si une fonction est continue en un point ou sur un intervalle (1.7). ◗◗ Déterminer, s’il y a lieu, en quels points une fonction

admet une discontinuité (1.7). ◗◗ Donner la nature d’une discontinuité d’une fonction (1.7). ◗◗ Redéfinir une fonction qui présente une discontinuité

◗◗ Donner l’équation d’une asymptote horizontale ou

d’une asymptote verticale à la courbe décrite par une fonction (1.2).

non essentielle par trou ou par déplacement pour la rendre continue (1.7).

S o m m a i r e Un portrait de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

1.6 Évaluation de la limite d’une forme indéterminée (p. 32)

1.1 La limite : une approche intuitive (p. 6)

1.7 Continuité (p. 44)

1.2 Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs (p. 11) 1.3 Évaluation d’une limite (p. 22) 1.4 Évaluation d’une limite de la forme constante non nulle) (p. 26)

c (où c est une 0

1.5 Évaluation d’une limite à l’infini (p. 28)

Résumé (p. 55) Mots clés (p. 56) Réseau de concepts (p. 57) Exercices récapitulatifs (p. 57) Exercices de révision (p. 65)

GUIDE VISUEL

Les exemples illustrant un concept sont généralement suivis de questions éclair ou d’exercices qui permettent à l’étudiant de vérifier son degré de compréhension et d’établir un lien durable entre une nouvelle notion et ses connaissances antérieures. Comme les réponses ne sont pas fournies dans le manuel, ces questions et ces exercices peuvent être utilisés en classe pour donner aux étudiants l’occasion d’appliquer ce qu’ils ont appris.

XIII

EXEMPLE 2.2

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Déterminons la variation du temps et la variation de la taille 1+t de la population durant la deuxième année (c’est-à-dire sur l’intervalle de temps [1,  2 ]). La variation du temps sur l’intervalle [1,  2 ] est ∆t = 2 − 1 = 1 an. On constate que ∆t s’exprime en années, étant donné qu’on effectue la différence entre deux temps mesurés en années. La variation de la taille de la population sur ce même intervalle est donnée par  200 ( 2 )   200 (1)  ∆N = N ( 2 ) − N (1) =  + 60  −  + 600  = 33, 3  individus  1+2   1+1  Durant la deuxième année, la population augmente d’environ 33 individus. On remarque que ∆N s’exprime en individus puisqu’on effectue ici la différence entre les deux tailles d’une même population (c’est-à-dire le nombre d’individus) à deux instants différents.

EXEMPLE 3.7

On place un capital de 1 000 $ à un taux d’intérêt nominal de 9 % capitalisé mensuellement (c’est-à-dire que le taux d’intérêt périodique est de 0,75 % par mois). Le capital accumulé (en dollars) au bout de n années est donné par 12 n C ( n) = 1 000 (1, 007 5 ) . Évaluons lim C ( n). On a

 

n→∞

12 n lim C ( n) = lim 1 000 (1, 007 5 )   n→∞ 

question éclair 2.1

n→∞

= 1 000 lim (1, 007 512 )

n

n→∞

= ∞ forme k × ∞ par la propriétéé 16 ( b = 1, 007 512 > 1 ) Avec le passage du temps, le capital accumulé augmente sans borne.

a) Déterminez la variation de la variable indépendante (∆ t ) sur l’intervalle de temps [ 3,  5 ]. Indiquez bien les unités.

EXErcicEs 3.1

1. Évaluez la limite. a) lim

x→ 9

2 x ex− 9 + 2

b) lim+ 2

1

c)

lim 4 2 x − 1

x →−∞

d) lim ( 1 2 )

x

On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre N ( t ) de  bactéries présentes t h après la mise en culture est donné par 1 800 N ( t ) = 3 000 − . t +1

e)

lim e − x

b) Déterminez la variation du nombre de bactéries dans la boîte de Petri sur l’intervalle de temps [ 3,  5 ]. Indiquez bien les unités.

2

x →−∞

x

x →∞

x→ 0

2. Une substance radioactive se désintègre de telle sorte qu’après t années, il en reste une quantité Q ( t ) exprimée en grammes et donnée par la fonction Q ( t ) = 150 e − 0 , 02 t . a) Déterminez la quantité restante de cette substance radioactive au bout de 50 ans. b) Évaluez lim Q ( t ). t →∞

c) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en b.

Des rappels judicieusement placés dans le texte présentent chaque notion préalable à la compréhension d’un concept au moment opportun. Ils sont accompagnés d’un renvoi à la page de l’annexe Rappels de notions mathématiques où cette notion est traitée de manière plus approfondie.

✦ RAPPEL

Le domaine d’une fonction

Le domaine d’une fonction f ( x ) est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction f ( x ) est définie. On note cet ensemble par Dom f .

Les valeurs de x pour lesquelles la fonction n’existe pas ( ∃ ) sont exclues du domaine de la fonction. Par exemple, si une valeur x entraîne une division par 0 ou une valeur négative sous une racine paire (racine carrée, racine quatrième, etc.), alors on exclura cette valeur x du domaine de la fonction f ( x ).

x+1 . Alors, x = 1 fait partie du domaine de x−2 1+1 la fonction f , car f (1) = = −2 . 1−2 Par contre, x = 2 ne fait pas partie du domaine de la fonction f , car f ( 2 ) n’existe pas puisqu’on ne doit pas effectuer une division par 0. Soit la fonction f ( x ) =

Soit la fonction g ( x ) = 3 − 2 x . Alors, x = 0 fait partie du domaine de la fonction g , car g ( 0 ) = 3 − 0 = 3 .

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 389.

Par contre, x = 3 ne fait pas partie du domaine de la fonction g , car g ( 3) = 3 − 6 = −3 et donc g ( 3) n’existe pas puisqu’on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif dans l’ensemble des nombres réels.

XIV

GUIDE VISUEL

Des graphiques en couleur et de nombreuses illustrations enrichissent l’exposé et le rendent plus dynamique et visuellement plus attrayant.

Deuxième but

Premier but

Troisième but

L’idée qu’on se fait généralement d’une droite tangente à la courbe décrite par une fonction f ( x ) en un point ( a,  f ( a )) est celle d’une droite qui ne fait qu’effleurer cette courbe au point ( a,  f ( a )) sans la couper. Toutefois, cette conception d’une droite tangente n’est pas tout à fait juste, et il faut donc la raffiner en recourant au concept de limite. La figure 2.4 (p. 77) présente la droite sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) . Si on fait tendre b vers a, la droite sécante pivote sur le point ( a,  f ( a )) pour s’approcher de plus en plus d’une droite appelée la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a (figure 2.5). Figure 2.5

Droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = a y

90 pi

θ

f (x)

droite sécante droite sécante

f ( b) Marbre

a) À quel rythme la distance séparant le joueur du marbre varie-t-elle lorsque ce dernier est à 30 pi du deuxième but ? b) À quel rythme l’angle θ indiqué dans la figure varie-t-il lorsque le joueur est à 30 pi du deuxième but ? c) Supposons maintenant que Pedro tente de voler le troisième but et que le receveur lance la balle en direction du troisième but. À quel rythme la distance entre la balle et le joueur varie-t-elle, si au moment où le joueur est à 30 pi du troisième but et se déplace à une vitesse de 25 pi/s, la balle est à 20 pi du marbre et se déplace à une vitesse de 100 pi/s ?

∆ f = f ( b) − f ( a )

f (a)

droite tangente

∆x = b − a a

b

x

v THÉORÈME 3.3 Si u ( x ) est une fonction dérivable, alors d u (e ) = eu du dx dx

Les théorèmes sont numérotés et faciles à repérer.

(formule 11)

preuve Commençons par démontrer que

d x (e ) = e x . On a dx

d x e x +∆ x − e x (e ) = ∆lim x→ 0 dx ∆x = lim

∆ x→ 0

= lim

e x e∆ x − e x ∆x

e x ( e∆ x − 1)

∆ x→ 0

=

ex

∆x

e∆ x − 1   lim  ∆ x→ 0 ∆ x 

= e x (1) = ex Par conséquent, en vertu du théorème 2.10 (p. 126), on a

Les exercices récapitulatifs que les étudiants peuvent faire après chaque section sont clairement signalés aux endroits opportuns.

EXErcicE 5.6

Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné. a) f ( x ) = 4 x 3 − 9 x 2 − 12 x + 3 sur ]−1,  4[

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 4 à 7.

b) f ( x ) =

3 − 2 x2 sur ]0, ∞[ x

c) f ( x ) =

1 − x2 sur  x2 + 2

d u d u du (e ) = du (e ) dx = eu du dx dx

XV

GUIDE VISUEL

Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini. Il existe trois types d’asymptotes : verticale, horizontale et oblique.

● Asymptote Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini.

La droite x = a est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim− f ( x ) = ∞ (ou −∞) ou encore si lim+ f ( x ) = ∞ (ou −∞). Ainsi, la droite x→ a

● Asymptote verticale

Les définitions des termes clés (en gras dans le texte) sont bien mises en évidence dans les marges et sont reprises dans un glossaire à la fin du livre.

x→ a

1

( x − 2 )2

puisque lim− f ( x ) = ∞ et lim+ f ( x ) = ∞ . De même, la droite x = −1 est une x→ 2

x→ 2

asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) =

x→ a

donne ∞ ou −∞.

x→ a

x = 2 est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) =

La droite x = a est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si au moins une des deux limites lim− f ( x ) ou lim+ f ( x )

lim f ( x ) = −∞ et lim + f ( x ) = ∞.

x →−1−

1 puisque x+1

x →−1

Glossaire Accélération (p. 119) L’accélération a ( t ) d’un mobile est le taux de variation de la vitesse v ( t ) de ce mobile. Approximation linéaire (p. 237) Soit une fonction dérivable f ( x ). L’expression

Dérivation implicite (p. 131)

f ( x ) + f ′ ( x ) dx permet de donner une approximation linéaire de la valeur de f ( x + dx ). Plus ∆ x = dx est de faible amplitude, meil­ leure est l’approximation. Asymptote (p. 18 et 324) Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini. Asymptote horizontale (p. 21 et 327) La droite y = b (où b ∈ ) est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim f ( x ) = b ou x →∞ si lim f ( x ) = b.

UN PORTRAIT DE

Degré (p. 177) Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre entre deux rayons consécutifs mesure un degré (1°).

x →−∞

Soit une équation implicite contenant les variables x et y. La dérivation implicite est une technique de dérivation qui consiste à dériver par rapport à x chaque membre de l’équation implicite en considérant y comme une fonction dy dérivable de x, puis à isoler . dx Dérivation logarithmique (p. 172) La dérivation logarithmique est une technique de dériva­ tion qui consiste à appliquer le logarithme naturel à chaque membre d’une équation, puis à utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier chaque membre de l’équation ainsi obtenue et, finalement, à dériver implicitement pour dy obtenir . dx

Asymptote oblique (p. 329) Les rubriquesDérivée historiques d’ordre n (p. 118) La droite y = mx + b (où m ∈   \ {0} et b ∈ ) est une culturelle asymptote oblique à la courbe décrite par laajoutent fonction f (une x ) dimension La dérivée d’ordre n de la fonction f ( x ) est la fonction si lim [ f ( x ) − ( mx + b)] = 0 ou si obtientthéorique. en dérivant la dérivée d’ordre ( n − 1), importante auqu’on contenu x →∞ f ( n− 1) ( x ). On note lim [ f ( x ) − ( mx + b)] = 0 dn f aria Gaetana Agnesi naquit à Milan le 16 xmai 1718. →− ∞ f ( n) ( x ) ou n Son père, Pietro Agnesi, était issu d’une famille qui dx avait fait fortune dans le commerceverticale de la soie. Il(p. 18 eut Asymptote et 324) la dérivée d’ordre n. 21 enfants de trois mariages. Maria était l’aînée de la famille. = a (oùde ∈ ) est une asymptote verticale à a ses Après la mort de sa mère, elleLa dut droite veiller àxl’éducation les plus célèbres furent ceux de Maria de dérivée tire son par origine tat à partir il est facile de produire la courbe décrite ladufonction f (duquel x ) si au moins une des la dont nombreux frères et sœurs. e concept Dérivée d’une fonction (p. 88) problème géométrique de la recherche tangente à la courbe. En Angleterre, Isaac Gaetana Agnesi* (1718-1799) et de Leonhard df dy deuxà une limites f ( x ) ou lim f ((1630-1677) x ) donneraffina ∞ oules−∞. (1707-1783).de la fonction y = f ( x ), notée d’une tangente courbexlim et adu Barrow méthodes de Euler − problème La †dérivée , , f ′( x) Comme il était relativement à l’aise financièrement, Pietro x → → a+ physique calcul d’une pour vitesse instantanée. dx dx Leibniz et Newton avaient trouvé les forAgnesi put engager des tuteursducompétents faire instruire Fermat et de Descartes en introduisant un triangle, dit triangle différentiel, et en définismules de dérivation des fonctions rationnelles, Les ceux­ci Grecs detrigonométrique l’Antiquité résolurent ou , est (lorsqu’elle existe) la fonction définie par y Cercle ′ tous ses enfants, de sorte que reçurent tous une éduca­ (p. 177) sant la tangente à une courbe en un point P

Maria Gaetana Agnesi

M

un peu D’histoire

L

mais pas celles des fonctions transcendantes quelques problèmes de tangente. Ainsi, Euclide comme limite d’une corde PQ lorsque le (les fonctions trigonométriques, exponentielles cercle unlacercle de rayon 1 centré (330-275 av.Le J.-C.) montra trigonométrique que la tangente à tout est df dy point Q se rapproche de P . et logarithmiques). Pour sa part,=Thomas Simpson point d’un cercle est perpendiculaire au rayon à l’origine. Maria était particulièrement douée pour l’apprentissage Suivant les traces de Barrow, Isaac (1710-1761) formula la règle dérivation de du cercle passant par ce point. Archimède dx de dx des langues et des mathématiques, ce dont Pietro était très fier. (287-212 av. J.-C.) établit une procédure pour Newton (1642-1727) s’intéressa à la notion de la  fonction sinus, alors que Colin Maclaurin Il organisait régulièrement deslaConjugué réceptions au(p. 38) cours desquelles f ′ ( x ) des la dérivation produire tangente à une spirale. Apollonius vitesse et de taux de variation instantané. Il (1698-1746) formula celles de= Maria donnait des causeries philosophique et scien­ (262-190de av.nature J.-C.) décrivit des méthodes pour élabora le calcul des fluxions, qui est essen- fonctions logarithmiques et exponentielles. f ( x ) +unegforme f ( xdifférentiel. Le conjugué de l’expression ( x ) est ) − g ( x ). = y ′ et Leibniz de calcul tifique devant un auditoire composé deaux gens instruits de la tiellement trouver les tangentes coniques. Toutefois, Le calcul élaboré par Newton Réciproquement, lelesconjugué de l’expression f ( x ) − g (lex )di- produisait des résultats corrects, mais ses illustres mathématiciens traitèrent proFasciné par les mathématiques, haute société locale etces d’intellectuels venus de l’étranger. Ainsi, Maria Gaetana Agnesi f ( x + ∆ x) − f ( x ) blèmes de tangentes comme des questions plomate et philosophe allemand G. W. Leibniz lors d’une de ces réceptions, alors neuf ans, fondements n’étaient pas rigoureux. g ( xque est qu’elle f ( xdes ) +n’avait ). comme = limBien sûr, à chacune courbes, des (1646-1716) adopta une approche plus analye mot transcendant fut déjà utilisé pour la première par Gottfried Wilhelm Newton avait pressenti qu’il∆ xfaudrait uti-mathématiques → 0fois en Maria fit une allocution en latin pour réclamerpropres l’accession des femmes à l’enseignement ∆x problèmes isolés de nature purement géomé- tique. Leibniz inventa la notation de la différenLeibniz (1646-1716) par opposition au terme algébrique. Il fut repris par Leonhard Euler (1707-1783), liser le concept de limite, mais il ne l’avait pas supérieur. Charles de Brosses, témoin oculaire d’une Coût de ces donc rencontres chez lePietro (p. 88) trique et ne purentmarginal pas inventer con- tielle et fut le premier à interpréter l’expression qui qualifia certaines quantités de d’Alembert transcendantes dans la promesure où elles dépassent (transcendent) fait. Jean le Rond (1717-1783) Agnesi, raconta comment Maria était impressionnante, comment elle s’exprimait avec cept de dérivée. méthodes algébriques. posa une approche du concept de Dérivée d’unemoderne fonction en un point (p. 86) Le coût marginal C ′ Qsurest dy le comme taux de variation de laleslorsque fonc­ une pente de tangente y élégance et éloquence, non seulement sur des sujets philosophiques mais également dérivée en affirmant qu’il transcendants fallait le fonderet surdelafonctions transcendantes. On dit d’un Beaucoup plus tard, Galileo Galilei dx De nos jours, on parle de nombres des questions scientifiques comme la propagation de la lumière et l’analyse desde production courbes de est une La dérivée d’une fonction f x ( ) en un point x = a est le tion coût C fonction Q . Il de permet proxi­ x , mêmed’ap s’il ne se servit notion de limite, mais c’est le mathématicien (1564-1642) s’intéressa àtotal la physique du mounombre qu’il est transcendant (par opposition à un nombre algébrique) s’il n’est la racine d’aucun e l’espace. En 1738, Maria publia d’ailleurs un recueil (Propositiones philosodéfinir la dérivée. Augustin-Louis Cauchyrationnels. (1789-1857) qui ende for-de vementde et 191 établit des liens entre distance, la pas polynôme à coefficients L’existence transcendants taux de variation instantané la nombres fonction f ( x ) en fut x établie = a. meressais le coût de laproduction de de la ceQrésultat + 1 pour unité lorsque laDenon constant de Joseph phicae) traitant des sujets qu’elle avait abordés lors desetcauseries organisées par sonformupère. plus, Leibniz formula de nombreuses règles mulaLiouville la définition classique dans son plusieurs. Cours Parmi les nombres transcendants vitesse l’accélération sans toutefois 1844 par (1809-1882), qui en exhiba On utilise principalement deux pour la dérivée production est de Q unités.dérivation, soit celle d’une somme,en devient infini- notations d’analyse : « […] si, lorsque ler ces liens à l’aide de la dérivée. e (la hbase des logarithmes népériens) et le nombre π. Le lesd’un plusproconnus, on trouve le nombre Il cherComme nous l’avons dit précédemment, MariaLaétait trèsde douée pour les mathéma­ ment petit, le rapport différences nombre transcendant le plus facile àaux se rappeler est le nombre de Mahler, dont le développement création la géométrie analytique par duit, d’un quotient et d’une puissance. de 0,123 456 789 ∆ tiques. Le moine Ramiro Rampinelli, qui enseignait les mathématiques, de chait à créer une véritable arithmétique décimal est 101 x + 415 h ) −16… f ( x )Même si vous ne connaissez probablement pas y 112f (131 René Descartes (1596-1650) etjoua Pierreun derôle Fermat = ils sont extrêmement nombreux, comme Georg Cantor (1845-1918) d’autresétait nombres transcendants, premier plan dans la formation mathématique(1601-1665) de Maria.contribua Ainsi, non seulement lui pré­ également à faire pro- l’infiniment petit. La notation de Leibniz ∆x h tellement supérieure à celle de Newton qu’elle de manière très astucieuse en 1873. l’a démontré gresser les idées versconnaître la créationdes du concept senta­t­il les dernières découvertes de l’époque, mais aussi lui fit­il œuvres admet une limite finie, on le note f ′ ( x ), c’est est encore en usage de nos jours. dérivée. de Ainsi, Fermat décrivit tangente = xf (, xappelée est algébrique On dit d’une ) qu’ellefonction importantes comme celles de Reyneau et dudemarquis L’Hospital. Maria,la qui était dérivée.si » elle peut être définie par la relation unefonction fonctionyde Peu de temps après, en 1696,ps’inspirant n −1 + p ( x )y n = 0 , où p ( x ) est un polynôme en x . De manière étantselamit position limitedes de leçons sécantes, ce 0 ( x ) + p1 ( x )y +  + pn −1 ( x )y n i responsable de l’éducation de ses frères et 20673_10_glossaire.indd de comme ses sœurs, à589 écrire pour 14-03-07 10:37 AM reçues de qui est essentiellement la démarche encore uti- des leçons particulières qu’il avaitmoins technique, une fonction algébrique est une fonction qu’on obtient en effectuant des opéraleur faire comprendre les rudiments du calcul. Ce qui commença comme un simple Jean Bernoulli (1667-1748), Guillaume François lisée aujourd’hui pour définir la tangente à une tions algébriques sur des polynômes (addition, soustraction, multiplication, division, puissance, ouvrage à usage privé prit rapidement de l’ampleur. encouragea Maria à Antoine de l’Hospital (1661-1704) publia Analyse courbe en Rampinelli un point. Dans sa célèbre Géométrie extraction de racine). * Instituzioni analitiche ad uso delle gioventu italiana (1748). écrire un manuel complet en calcul différentiel, ceDescartes qu’elle fitproduisit avec empressement. Le des infiniment petits, pour l’intelligence des † Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones (1637), une méthode pour Une fonction qui n’est pas algébrique est dite transcendante. Les fonctions exponentielles, premier tome de Instituzioni analitiche ad usotrouver della gioventù parut c’est-à-dire en 1748 et lignes courbes, qui fut le premier manuel de calla normaleitaliana à une courbe, calculi differentialis (1755) et Institutiones calculi integralogarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses sont des exemples de fonctions cul différentiel. D’autres parurent par la suite, lis (1768-1770). une droite perpendiculaire à la courbe, résultraitait principalement d’algèbre ; le deuxième tome parut l’année suivante et portait sur transcendantes. De plus, les courbes décrites par les fonctions transcendantes passent générale calcul différentiel et intégral, les séries ainsi que les équations différentielles. Maria lement par des points dont au moins une des coordonnées est un nombre transcendant. À titre supervisa étroitement la production de l’ouvrage, faisant même installer l’imprimerie d’exemple, à l’exception du point ( 0 , 1), le graphique de la fonction f ( x ) = e x ne passe que par des points dont au moins une des coordonnées est un nombre transcendant.

tion de qualité.

DES mots Et DES symboles

( )

L

( ) (

)

XVI

GUIDE VISUEL

Résumé Fluctuations des prix de l’essence, changements dans la taille d’une population humaine ou animale, mouvement d’un mobile et variation de température sont autant d’exemples qui illustrent la variabilité de phénomènes observés dans la vie courante et pour lesquels la dérivée Accélération, p. 119 puissant. constitue un outil descriptif extrêmement Coût marginal, p. 88 La dérivée d’une fonction y = f ( x ) en un point d’absDérivation implicite, p. 131 cisse x = a est donnée par Dérivée d’ordre n, p. 118 f ( x ) − f (Dérivée a) f ( afonction, + ∆ x) − p. 88 f (a) d’une ou lim lim x→ a ∆ x→ 0 x−a ∆x Dérivée d’une fonction en un point, (lorsque cette expression p. 86 existe), et elle est notée par

Mots clés

de la tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . On peut évidemment utiliser ce résultat pour calculer l’équation de la tangente ou de la normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . Ainsi, l’équation de la tangente à la courbe décrite par une fonction Droite normale, p. 82 p. 76 dérivable f ( x ), en x = a , est y = f ′ ( a )( xPente − a ) d’une + f ( a )droite, et Droite sécante, p. 77 Point anguleux, p. 93 1 a ) + f ( a ), pour celle de la normale est y = − ( x − Profit Droite tangente, p. 80 marginal, p. 91 f ′(a) Droitesque parallèles, autant f ′ ( a ) ≠ p. 77 0 dans ce dernier cas. Propriété de linéarité, p. 98 Droites perpendiculaires, p. 77 Taux de variation instantané, p. 80 La richesse du concept de dérivée tient au fait qu’elle Définition Équation explicite, p. 129 Taux de variation offre d’autres interprétations que son interprétation géo- moyen, p. 77 f ( x ) − f ( a ) Variation de la variable Équation implicite, p. 129s ( tlim métrique. Ainsi, lorsque la position ) représente Dérivéed’un en x = a x−a x→ a indépendante, Fonction un point, mobile se dérivable déplaçanten selon une trajectoire rectiligne, alors p. 75 f ( x + ∆x ) − f ( x ) Variation s′ ( b)p. 86 = v ( b) donne la vitesselimdu mobile au temps td’une = dérivée b . fonction, p. 75 Fonction ∆x ∆x → 0 De même, si P ( t )vitesse, représente la taille d’une population en Grandeur d’une p. 111 Vitesse instantanée, p. 84 fonction duàtemps, alors P ′ ( b) représente Vitesse le taux de crois- p. 78 Ordonnée l’origine, p. 76 moyenne, Dérivable ⇒ Continue sance ou de décroissance de cette population au temps Formules de dérivation Continue ⇒ ⁄ Dérivable t = b . Si C (Q ) représente le coût de production de Q unid (k ) = 0 tés d’un bien, alors C ′ (Q ) constitue une excellente approxi- •

Réseau de concepts

df dy p. 118 Dérivée seconde, f ′ ( a ), ou dx x = atroisième, dx x = a p. 118 Dérivée Discriminant, Soulignons au passage que toutep. 113 fonction dont la dérivée existe en x = a Droite, est continue p. 76 en ce point, alors que l’inverse n’est pas nécessairement vrai, comme en fait foi la fonction f ( x ) = x qui est continue en x = 0, mais dont la dérivée n’existe pas en ce point. f ( a + ∆ x) − f ( a ) représente la ∆x pente de la sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( a + ∆ x,  f ( a + ∆ x)) , on peut donner une interprétation géométrique de la dérivée : la dérivée représente la pente Comme l’expression

La partie théorique de chaque chapitre se termine par un résumé, une liste des mots clés et un réseau de concepts.

dx

mation duDérivée coût marginal d’ordre n lorsque le niveau de production d du est de Q unités, c’est-à-dire le coût pour produire la • dx ( ku ) = k dx n ( n )e( x ) = d f = d  f ( n − 1 ) ( x )  f   (Q + 1) unité. Cette est si fiable qu’on l’utidxapproximation du dv d dx n lise habituellement comme définition duDérivée coût marginal. • dx ( u ± v ) = dx ± dx On définit de manière analogue le revenu marginal R′ (Q ) dv du d ( uv ) = u + v • Dérivation et le profit marginal π ′ (implicite Q). dx dx dx v

dv du −u dx dx v2

Dérivée d’une fonction composée (Dérivation en chaîne)

•

d  u   = dx  v 

dy  dy   du  =   du   dx  dx

•

d n ( u ) = nun − 1 du dx dx

Interprétation • • • • • •

générale : taux de variation instantané géométrique : pente de la droite tangente physique : vitesse, accélération économique : coût marginal, revenu marginal, profit marginal démographique : taux de croissance ou de décroissance d’une population etc.

Exercices récapitulatifs Section 4.1 1. Au moment où il atteint 1 cm, le rayon d’une tumeur de forme sphérique augmente à raison de 0,04 mm/semaine. À quel rythme le volume de la tumeur augmente-t-il ? 2. Un caillou lancé dans l’eau provoque une onde circulaire à la surface de l’eau. Au moment où il atteint 1 m, le rayon d’un front d’onde augmente à raison de 2 cm/s. À quel rythme la circonférence du cercle que décrit le front d’onde changet-elle à cet instant ?

4. Le profit π (en dollars) tiré de la vente de x unités d’un bien est de π ( x ) = 2 000 x − 1 2 x 2. Si le volume de vente augmente à raison de 20 unités/jour, à quel rythme le profit augmentet-il lorsque le nombre d’unités vendues est de 400 ? 5. Une planche de 5 m de longueur est appuyée contre un mur. L’extrémité inférieure de la planche glisse sur le sol glacé et s’éloigne du mur à raison de 0,5 m/s. a) À quel rythme l’extrémité supérieure de la planche descend-elle le long du mur lorsque l’extrémité inférieure de la planche est située à 1 m du mur ? b) À quel rythme l’angle déterminé par la planche et le sol change-t-il lorsque l’extrémité inférieure de la planche est située à 1 m du mur ? 6. Sous l’effet de la chaleur, une tige métallique de forme cylindrique se dilate de façon telle que sa longueur augmente à raison de 0,02 cm/min et que son rayon augmente à raison de 0,01 cm/min. À quel rythme le volume d’une tige de 50 cm de longueur et de 5 cm de diamètre varie-t-il ?

3. La masse c du cerveau d’un fœtus peut être estimée à partir de la masse

7. Les côtés d’un parallélogramme

mesurent respectivement 10 cm 10 cm Les exercices récapitulatifs à la fin de chaque chapitre totale m du fœtus à l’aide de la reθ 15 cm, et déterminent un angle 0 ,9 . Si, à un lation c = 0, 2 mvariés de sont nombreux, etstade gradués selon leur degré de et aigu θ , comme cela est indiqué Icônes représentant 15 cm les applications développement, la masse totale d’un difficulté (un triangle vert ( ) indique un exercice facile, dans le schéma. fœtus de 30 g augmente à raison de et les démonstrations dans les exercices un carré jauneà quel ( ) rythme indique un exercice un peu plus À quel rythme l’aire du parallélogramme progresse-t-elle si, 0,3 g/jour, la masse de son cerveau varie-t-elle ? rouge ( ) signale un exercice lorsqu’il mesure 60°, l’angle θ varie à raison de 1°/min ? difficile et un pentagone Chimie plus difficile encore).

Administration et économie

Les exercices récapitulatifs sont associés aux sections du manuel qui en traitent.

Physique et ingénierie

Sciences humaines

En plus des exercices de calcul, les exercices récapitulatifs illustrent l’utilisation du calcul différentiel tant en sciences humaines qu’en sciences de la nature, chaque domaine d’application étant désigné par une icône évocatrice.

Sciences de la vie

Démonstrations

XVII

GUIDE VISUEL

Exercices de révision Si vous êtes étudiant en sciences humaines, répondez aux questions 1 à 9. Si vous êtes étudiant en sciences de la nature, répondez aux questions 1 à 7 ainsi qu’à la question 10. 1. Traduisez la phrase sous la forme d’un énoncé écrit avec le symbolisme mathématique approprié. a) La valeur de la fonction f ( x ) devient aussi proche que l’on veut de L lorsque x est suffisamment proche de a mais demeure inférieur à a .

Les réponses à tous les exercices récapitulatifs se trouvent à la fin du manuel. Certaines sont détaillées.

Les exercices de révision qui suivent les exercices récapitulatifs de chaque chapitre permettent aux étudiants de se placer dans un contexte d’évaluation et de repérer leurs faiblesses de manière précise.

d) Si lim f ( x ) existe, alors f ( x ) est continue en x = a. x→ a

3. Tracez le graphique d’une fonction f ( x ) qui satisfait à la condition. a) f ( x ) présente une discontinuité non essentielle par trou en x = 2. b) f ( x ) présente une discontinuité infinie en x = −3. c) f ( x ) présente une discontinuité essentielle par saut en

Réponses aux exercices récapitulatifs C ha p i t re 1 1. a) f ( 2 ) = 4

lim f ( x ) = 4

l)

lim f ( x ) n’existe pas.

m) f ( 3) = 0

i)

f (1) n’existe pas.

n)

d) lim f ( x ) = 4

j)

lim− f ( x ) = 1

o)

e) f ( −2 ) n’existe pas.

k)

lim+ f ( x ) = 1

p) lim f ( x ) n’existe pas.

b) c)

g)

lim− f ( x ) = 4

h)

lim+ f ( x ) = 4

x→ 2 x→ 2 x→ 2

f)

A N N E X E

x → −2 + x → −2

x→1 x→1

lim f ( x ) = 1

x→1

lim f ( x ) = 2

x → 3−

lim f ( x ) = 0

x → 3+ x→ 3

lim f ( x ) = 1

x → −2 −

L’annexe contient des rappels détaillés de notions vues au secondaire et des exercices permettant de vérifier la compréhension de ces notions. Les réponses à ces exercices sont données à la fin du manuel.

Rappels de notions mathématiques A.1 Les opérations sur Les ensembLes Un ensemble est un regroupement d’éléments. Lorsqu’on énumère les éléments faisant partie d’un ensemble en les séparant par des virgules et en les plaçant entre accolades, on définit l’ensemble en extension. On peut également décrire les éléments d’un ensemble en indiquant les caractéristiques qu’ils doivent respecter. On parle alors de définition en compréhension.

Réponses aux exercices de l’annexe Exercices A.1 1. a) Faux

b) Faux

c) Vrai

d) Faux

2. A ∪ B = {1,  2,  3,  4,  6,  8,  9,  12,  15,  18,  21,  24, 27} A ∩ B = {3,  6,  12,  24}

A \ B = {9,  15,  18,  21,  27}

B \ A = {1,  2,  4,  8}

AIDE-MÉMOIRE CALC U L

2 e édition

différentiel JOSÉE HAMEL

20702 Aide-Mémoire.indd 1

L’aide-mémoire qui accompagne le manuel présente une synthèse des notions préalables, expose les concepts clés du calcul différentiel et propose des stratégies pour résoudre des problèmes.

LUC AMYOTTE

14-03-10 2:56 PM

e) Vrai

f) Vrai

les auteurs Josée Hamel est professeure de mathématiques au Cégep de Drummondville depuis 1996. Elle a également enseigné aux cégeps de Saint­Hyacinthe, de Granby Haute­Yamaska et de Victoriaville ainsi qu’à l’Institut de technologie agroalimentaire de Saint­Hyacinthe. Elle est titulaire d’un bac­ calauréat et d’une maîtrise en mathématiques. Elle a été consultante pour de nombreux ouvrages en mathématiques, en sciences de la nature et en soins infirmiers auprès des Éditions du Renouveau Pédagogique. Elle est l’auteure de deux ouvrages ayant chacun été primés : ■

Mise à niveau (ERPI, 2012). Prix Adrien­Pouliot de l’Association mathématique du Québec (AMQ) (2013).

■

Calcul différentiel (avec Luc Amyotte, ERPI, 2007). Prix Adrien­Pouliot de l’AMQ (2007) et prix de la ministre de l’Éducation, du Loisir et du Sport (2007).

En 2012, le Cégep de Drummondville l’honorait en lui décernant le prix de la réussite en ensei­ gnement en raison de ses méthodes pédagogiques novatrices, de la qualité de son implication auprès de ses étudiants et de ses actions centrées sur les valeurs éducatives favorisant la réussite de ses étudiants. Également en 2012, l’Association québécoise de pédagogie collégiale lui décernait une mention d’honneur pour souligner son engagement pédagogique et sa contribution à la qualité de l’enseignement collégial. Luc Amyotte a enseigné les mathématiques au Cégep de Drummondville de 1977 à 2010. Il est titulaire d’un brevet d’enseignement, d’un certificat en sciences sociales, d’un baccalauréat en mathématiques, d’un baccalauréat en administration des affaires, d’un baccalauréat en sciences économiques, d’une maîtrise en mathématiques et d’une maîtrise en didactique des mathéma­ tiques. Il est l’auteur de plusieurs ouvrages couronnés par de nombreux prix : ■

Méthodes quantitatives – Formation complémentaire (ERPI, 1998). Mention au concours des prix du ministre de l’Éducation (1999) et prix Adrien­Pouliot de l’AMQ (1999).

■

Méthodes quantitatives. Applications à la recherche en sciences humaines (3e  édition, ERPI, 2011). Prix du ministre de l’Enseignement supérieur, de la Recherche, de la Science et de la Technologie (2012­2013).

■

Complément de méthodes quantitatives. Applications à la recherche en sciences humaines (ERPI, 2012).

■

Introduction à l’algèbre linéaire et à ses applications (3e édition, ERPI, 2009). Prix du ministre de l’Éducation – Notes de cours (1999).

■

Introduction au calcul avancé et à ses applications en sciences (ERPI, 2004). Prix Frère­ Robert de l’AMQ (2002) et prix du ministre de l’Éducation (2003).

■

Calcul différentiel (avec Josée Hamel, ERPI, 2007). Prix Adrien­Pouliot de l’AMQ (2007) et prix de la ministre de l’Éducation, du Loisir et du Sport (2007).

■

Calcul intégral (ERPI, 2008). Mention (notes de cours) au concours des prix du ministre de l’Éducation, du Loisir et du Sport (2005) et prix Frère­Robert de l’AMQ (2006).

■

Calcul intégral (2e édition, ERPI, 2014).

En 2004, le Cégep de Drummondville l’honorait en lui décernant le prix Roch­Nappert pour la qualité de son enseignement. En 2005, l’Association québécoise de pédagogie collégiale lui décernait une mention d’honneur pour souligner l’excellence et le professionnalisme de son travail dans l’enseignement collégial. En 2010, le Cégep de Drummondville l’honorait à nouveau en lui décernant le prix de la réussite en enseignement en raison de ses méthodes pédagogiques novatrices, de son engagement auprès de ses étudiants et de ses actions axées sur les valeurs éducatives. Il a été le premier lauréat de ce prix.

Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Guide visuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII C H A P I T R E

1

Limite et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

UN PORTRAIT DE Karl Theodor Wilhelm Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1

La limite : une approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Estimation d’une limite finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 RAPPEL – Le domaine d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Limite à gauche et limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Asymptote verticale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.5 Limite à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3

Évaluation d’une limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 C __ Évaluation d’une limite de la forme (où C est une constante non nulle) . . . . . . . . . . . . . . 26 0 Évaluation d’une limite à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5

1.5.1 Arithmétique de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.2 Stratégies utiles à l’évaluation de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 RAPPEL – La mise en évidence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 RAPPEL – La fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6

Évaluation de la limite d’une forme indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 _ 1.6.1 Indétermination de la forme 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 RAPPEL – La factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 RAPPEL – Le conjugué d’une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ∞ __ ou de la forme ∞ – ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.6.2 Indétermination de la forme ∞ Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.7

Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7.1 Typologie des discontinuités possibles d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.7.2 Définition de la continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.7.3 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 RAPPEL – La composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.7.4 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Mots clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Réseau de concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

XX

TABLE DES MATIÈRES

Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

C H A P I T R E

2

Dérivée des fonctions algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

UN PORTRAIT DE Jean le Rond d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.1

Taux de variation moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.1.1 Variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 RAPPEL – La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.1.2 Droite sécante et taux de variation moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.2

Taux de variation instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.1 Droite tangente et taux de variation instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.2 Équation de la droite tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2.3 Équation de la droite normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.2.4 Autres applications du taux de variation instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.3

Dérivée en un point et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3.1 Dérivée d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4

Dérivée et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.5

Premières formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.5.1 Dérivée d’une fonction constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.5.2 Dérivée de la fonction identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.5.3 Dérivée du produit d’une constante par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.5.4 Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5.5 Dérivée du produit de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.5.6 Dérivée du quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.5.7 Dérivée de la fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.6

Interprétation géométrique du signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.6.1 Relations entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée . . . . . . . . . . . . . 108 2.6.2 Interprétation du signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.6.3 Tableau des signes d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 RAPPEL – La factorisation d’un polynôme de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.7

Dérivée d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.8

Dérivation des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.8.1 Dérivée de la puissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.8.2 Dérivée d’une fonction composée (dérivation en chaîne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.9

Dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Mots clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Réseau de concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

TABLE DES MATIÈRES

C H A P I T R E

3

Dérivée des fonctions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 UN PORTRAIT DE Charles Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.1

Dérivation des fonctions exponentielles et des fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . 154 3.1.1 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 RAPPEL – La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.1.2 Continuité des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.1.3 Fonctions exponentielles et calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.1.4 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 RAPPEL – La fonction logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.1.5 Continuité des fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.1.6 Fonctions logarithmiques et calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.1.7 Dérivée d’une fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.1.8 Dérivée d’une fonction logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.1.9 Dérivation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.2

Dérivation des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 RAPPEL – La trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 RAPPEL – La trigonométrie du triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.1 Continuité des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.2 Fonctions trigonométriques et calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 RAPPEL – Les identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.2.3 Théorème du sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 sin t cos t − 1 3.2.4 Évaluation de lim et de lim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 t →0 t t →0 t 3.2.5 Formules de dérivation des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3.3

Dérivation des fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 RAPPEL – Les fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Des mots et des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Mots clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Réseau de concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

C H A P I T R E

4

Taux liés et différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 UN PORTRAIT DE Galileo Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.1

Taux liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.2

Différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

4.3

Variation absolue et variation relative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.4

Approximation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.5

Calcul d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

XXI

XXII

TABLE DES MATIÈRES

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Mots clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Réseau de concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

C H A P I T R E

5

Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 UN PORTRAIT DE Pierre de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 5.1

Croissance, décroissance et extremums relatifs d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.1.1 Intervalles de croissance et intervalles de décroissance d’une fonction . . . . . . . . 258 5.1.2 Extremums relatifs d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 5.1.3 Test de la dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.1.4 Extremums relatifs d’une fonction sur un intervalle fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 5.1.5 Test de la dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.2

Extremums absolus d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.2.1 Extremums absolus d’une fonction sur un intervalle fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.2.2 Extremums absolus d’une fonction sur un intervalle non fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.3

Problèmes d’optimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Mots clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Réseau de concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

C H A P I T R E

6

Tracé de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 UN PORTRAIT DE Maria Gaetana Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 6.1

Domaine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6.2

Asymptotes à la courbe décrite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 6.2.1 Asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 6.2.2 Asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 6.2.3 Asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

6.3

Concavité et points d’inflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 6.3.1 Fonction concave vers le haut et fonction concave vers le bas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6.3.2 Points d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

6.4

Esquisse de la courbe décrite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Mots clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Réseau de concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

TABLE DES MATIÈRES

A N N E X E

Rappels de notions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 A.1

Les opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

A.2

Les ensembles de nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

A.3

Les intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

A.4

Les propriétés des exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

A.5

La valeur absolue d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

A.6

Les propriétés des radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

A.7

La rationalisation d’un dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

A.8

Les opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

A.9

La factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

A.10

Les fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

A.11

La résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

A.12

Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

A.13

La composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

A.14

La fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

A.15

La fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

A.16

La fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

A.17

La fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

A.18

La fonction exponentielle et la fonction logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

A.19

Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.20

Les identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

A.21

Les fonctions trigonométriques inverses (réciproques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

A.22

Les rapports trigonométriques dans les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Réponses aux exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Réponses aux exercices de l’annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Glossaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 Sources des photographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

XXIII

1 Limite et continuité

C H A P I T R E

La notion de limite est la vraie métaphysique du calcul différentiel. Jean Le Rond d’Alembert

L

’être humain a élaboré des systèmes de numération pour tenir une comptabilité, il a créé la géométrie et la trigonométrie pour mesurer le territoire et il a conçu l’algèbre pour formuler et résoudre des équations. Avec le temps, ces avancées intellectuelles importantes, mais rudimentaires, se révélèrent insuffisantes. C’est alors qu’apparurent des idées sophistiquées comme celles de fonction, de limite, de continuité et de dérivée, qui sont à la base du calcul différentiel. Le calcul différentiel est la partie des mathématiques supérieures qui a pour objet l’étude de la sensibilité d’une fonction à de faibles fluctuations de son argument. Il est indispensable à l’analyse mathématique du mouvement et du changement, c’est-à-dire à l’étude des phénomènes dynamiques. Dans ce chapitre, nous aborderons donc les notions de limite et de continuité, qui permettent de mettre en place les fondements théoriques du calcul différentiel. Nous traiterons également du concept d’infini dans le but précis d’étudier le comportement asymptotique d’une fonction.

O b j e c t i f s ◗◗ Illustrer l’utilisation du concept de limite dans des

situations concrètes (1.1).

◗◗ Utiliser les propriétés des limites pour évaluer une limite

ou dire pourquoi celle-ci n’existe pas (1.3, 1.4 et 1.5).

◗◗ Traduire en ses mots une expression symbolique où

apparaît le concept de limite (1.2, 1.3 et 1.5). ◗◗ Traduire de manière symbolique une situation décrite

dans la langue courante (1.2, 1.3 et 1.5). ◗◗ Utiliser les différentes notations de limite (limite en un

point, limite à gauche, limite à droite, limite à l’infini, limite infinie, etc.) de manière appropriée (1.2, 1.4 et 1.5). ◗◗ Estimer une limite à partir d’un graphique ou d’un tableau

de valeurs approprié (1.2).

◗◗ Lever une indétermination de la forme

0 ∞ , ou ∞ − ∞ (1.6). 0 ∞

◗◗ Déterminer (de manière graphique ou à l’aide de la

définition) si une fonction est continue en un point ou sur un intervalle (1.7). ◗◗ Déterminer, s’il y a lieu, en quels points une fonction

admet une discontinuité (1.7). ◗◗ Donner la nature d’une discontinuité d’une fonction (1.7). ◗◗ Redéfinir une fonction qui présente une discontinuité

◗◗ Donner l’équation d’une asymptote horizontale ou

d’une asymptote verticale à la courbe décrite par une fonction (1.2).

non essentielle par trou ou par déplacement pour la rendre continue (1.7).

S o m m a i r e Un portrait de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

1.6 Évaluation de la limite d’une forme indéterminée (p. 32)

1.1 La limite : une approche intuitive (p. 6)

1.7 Continuité (p. 44)

1.2 Estimation d’une limite à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs (p. 11)

Résumé (p. 55)

1.3 Évaluation d’une limite (p. 22) 1.4 Évaluation d’une limite de la forme constante non nulle) (p. 26)

c (où c est une 0

1.5 Évaluation d’une limite à l’infini (p. 28)

A n i m a t i o n s

Mots clés (p. 56) Réseau de concepts (p. 57) Exercices récapitulatifs (p. 57) Exercices de révision (p. 65)

G e o G e b r a

1 Introduction au calcul différentiel (p. 6)

5 Estimation d’une limite finie (p. 15)

2 Approche intuitive de la limite (p. 6 et 8)

6 Estimation d’une limite à l’infini (p. 18)

3 Approximations d’une aire sous une courbe (p. 9)

7 Continuité d’une fonction définie par parties (p. 49, 54 et 55)

4 Estimation d’une limite finie ou infinie (p. 10, 11, 13 et 16)

UN PORTRAIT DE

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

K

arl Theodor Wilhelm Weierstrass est né le 31 octobre  1815 à Osterfelde en Allemagne. Il était l’aîné des quatre enfants de Wilhelm Weierstrass et de Theodora Vonderforst. Wilhelm était fonctionnaire, et son emploi l’obligeait à se déplacer fréquemment, de sorte que Karl fréquenta de nombreuses écoles. En dépit de cela, et bien qu’il dût travailler à temps partiel pour subvenir aux besoins de la famille, Karl réussissait très bien à l’école secondaire. Déjà, il lisait régulièrement le Journal de Crelle, une des premières et des plus prestigieuses revues savantes entièrement consacrée aux mathématiques. Constatant le talent de son fils pour les chiffres, le père de Karl l’orienta vers des études en administration, en droit et en finance à l’Université de Bonn afin qu’il devînt comptable. Karl obtempéra, mais il n’acheva pas sa formation, consacrant plutôt son temps à pratiquer l’escrime et à boire dans les nombreuses tavernes de la région. Toutefois, son intérêt pour les mathématiques ne se démentit pas durant cette période Karl Theodor Wilhelm Weierstrass trouble de sa vie. En fait, il eut le temps de lire la célèbre Méca­ nique céleste de P. S. Laplace (1749-1827), des travaux sur les fonctions et les intégrales elliptiques de C. G. J. Jacobi (1804-1851) et les notes de cours de C. Gudermann (1798-1851). Après avoir quitté l’Université de Bonn, Karl s’inscrivit à une académie de Münster pour obtenir un brevet d’enseignement, qui lui fut décerné en 1841. Au cours de ses études à Münster, il suivit des cours de C. Gudermann, qui allait l’influencer grandement. En 1842, il entreprit sa carrière d’enseignant. Il dut enseigner non seulement les mathématiques, mais également la physique, la botanique, l’histoire, l’allemand, la calligraphie et même la gymnastique. Isolé des milieux de la recherche et submergé par une charge d’enseignement très lourde, Weierstrass n’avait que peu de temps à consacrer au développement de concepts mathématiques. Pourtant en 1854, à 39 ans, âge généralement considéré comme très avancé pour une première publication, Weierstrass publia Zur Theorie der Abelschen Functionem dans le Journal de Crelle. Cet article se révéla si important et si remarquable que l’Université de Königsberg lui décerna un doctorat honorifique le 31 mars 1854. À partir de ce moment, de nombreuses universités allemandes et autrichiennes le courtisèrent pour lui offrir un poste de professeur. C’est ainsi qu’en 1856, il commença sa carrière de professeur d’université, d’abord dans un institut technique, puis à l’Université de Berlin. Au cours de ses nombreuses années d’enseignement secondaire, Weierstrass avait acquis des habilités pédagogiques remarquables, qui ne firent que se développer à l’uni-

versité. Les étudiants affluaient de partout dans le monde, et par centaines, pour suivre ses cours, non seulement parce qu’il abordait des thématiques avancées et innovatrices, mais également parce que ses exposés étaient d’une grande limpidité malgré la difficulté inhérente des sujets traités. Tout au long de sa carrière universitaire, Weierstrass insista sur l’importance de la rigueur en mathématiques, à ce point qu’on le considère encore aujourd’hui comme le « père de l’analyse mathématique moderne ». Parmi les contributions remarquables de Weierstrass aux mathématiques, soulignons qu’il fut le premier à présenter une fonction continue partout sur les réels, mais dérivable en aucun point, soit la fonction f (x) =

∞

∑ an cos (π bn x )

n= 0

où 0 < a < 1, b est un entier impair plus grand que 1 et ab > 6. Ce résultat est tellement contraire à l’intuition que le célèbre mathématicien Charles Hermite (1822-1901) déclara : « Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont pas de dérivées. » Weierstrass fut également le premier à donner la définition moderne du concept de limite à l’aide des e et des d. De plus, il définit avec plus de rigueur encore que ses prédécesseurs la notion de continuité, et il introduisit le concept de convergence uniforme. Enfin, c’est lui qui fut le premier à utiliser le symbole |  | pour désigner la valeur absolue d’un nombre. Dans les dictionnaires de mathématiques, le nom de Weierstrass est associé à plusieurs concepts et théorèmes, les plus importants étant sans doute le critère de convergence uniforme de Weierstrass, le théorème d’approximation de Weierstrass (dit aussi de Stone-Weierstrass), le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème de Lindemann-Weierstrass. Même si Weierstrass ne publia pas beaucoup, il laissa un héritage considérable aux mathématiques, plusieurs de ses élèves s’étant révélés des mathématiciens et des mathématiciennes hors pair. Signe de sa grande ouverture d’esprit pour l’époque, il fut notamment le directeur de thèse de Sonya Kovalevsky (1850-1891), la première femme de l’histoire à recevoir un doctorat en mathématiques. Weierstrass fut très malade tout au long de sa vie. Il souffrait de vertiges, à tel point qu’il lui arrivait de tomber en classe. Vers la fin de sa vie, il donnait ses cours assis pendant qu’un étudiant doué transcrivait ses propos au tableau. Il mourut d’une pneumonie le 19 février 1897 à Berlin. ■

6

CHAPITRE 1

1.1 LA LIMITE : UNE APPROCHE INTUITIVE Dans cette section : vitesse moyenne – vitesse instantanée.

MaBiblio > Multimédia > 1. Introduction au calcul différentiel

La limite est une notion fondamentale dans l’étude du calcul différentiel et intégral. Elle permet d’analyser le comportement d’une fonction autour d’une valeur. Elle permet également de définir le concept de dérivée, dont les applications sont nombreuses, comme nous le verrons dans les prochains chapitres. Illustrons ce concept clé à l’aide de quelques exemples. EXEMPLE 1.1

Accédez directement à l’animation.

Considérons un aquarium vide. On y verse de l’eau à un certain rythme. Notons h la fonction donnant la hauteur du niveau de l’eau dans l’aquarium t s après le début du remplissage, et V ( h) la fonction donnant le volume d’eau dans l’aquarium au même moment (figure 1.1).

goo.gl/sDmmX4

FIGURE 1.1

Volume d’eau en fonction du temps

Lorsque la hauteur du niveau de l’eau s’approche de 10 cm, on peut vouloir trouver la valeur de laquelle s’approche le volume d’eau dans l’aquarium. Il s’agit là d’un problème simple dont la solution est tout aussi simple.

30 cm

En effet, on sait qu’il y a un lien entre le volume d’eau dans l’aquarium et la hauteur du niveau de l’eau. Ce lien est donné par la fonction

h

V ( h) = 50 × 20 × h = 1000 × h cm 3

20 cm 50 cm

Plus la hauteur (h) s’approche de 10 cm, plus le volume (V ) s’approche de 10 000 cm3 (soit 50 × 20 × 10 ). On écrira alors lim V ( h) = 10 000 cm3, ce qui se traduit par « la limite du h→ 10

volume d’eau V ( h) lorsque la hauteur h s’approche de 10 cm est de 10 000 cm3 ». Nous verrons plus loin que, lorsqu’on a des fonctions liées (comme la hauteur et le volume dans cet exemple), on peut déduire la vitesse à laquelle une des fonctions varie en connaissant la vitesse de variation de l’autre fonction. C’est ce qu’on appelle un problème de taux liés.   EXEMPLE 1.2

MaBiblio > Multimédia > 2. Approche intuitive de la limite Accédez directement à l’animation.

Un des problèmes de base en calcul différentiel est le calcul d’une vitesse instantanée. Considérons la situation ci-dessous. On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. En vertu de lois physiques, la position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1

goo.gl/pse9Ds

On veut déterminer la vitesse (instantanée) de la balle 0,5 s après son lancement. ● Vitesse moyenne La vitesse moyenne d’un mobile est le quotient de la distance parcourue par le mobile par rapport au temps de parcours.

Calculons d’abord la vitesse moyenne de la balle entre 0,5 s et 1 s. Il faut se rappeler qu’une vitesse s’exprime comme le quotient d’une distance par rapport au temps. Ainsi, la vitesse moyenne est donnée par vmoyenne =

variation de la position de la balle ∆s = variation du temps ∆t

=

s (1) − s ( 0, 5 ) 5, 9 − 4, 675 = = 2, 45 m/s 1 − 0, 5 0, 5

7

LIMITE ET CONTINUITÉ

On note ∆s la variation de la position de la balle sur l’intervalle de temps considéré et ∆t la variation du temps (ou la longueur de l’intervalle de temps). La lettre grecque ∆ (delta) correspond au D de notre alphabet et, dans le contexte, elle signifie différence ou variation. Graphiquement (figure 1.2), cette vitesse moyenne représente la pente de la droite sécante au graphique de la fonction s ( t ) passant par les points (0,5 ; 4,675) et (1 ; 5,9). Pour trouver la vitesse de la balle lorsque t = 0, 5 s, considérons des intervalles de temps de plus en plus courts à partir de t = 0, 5 (tableau 1.1). TABLE AU 1.1

Position d’une balle en fonction du temps

Calcul d’une vitesse moyenne

Position (m)

FIGURE 1.2

7

(1; 5,9)

6

Intervalle de temps (s)

s (t ) = − 4, 9t 2 + 9, 8t + 1

Vitesse moyenne sur l’intervalle (m/s)

[0,5 ; 1]

2,45

[0,5 ; 0,6]

4,41

3

[0,5 ; 0,51]

4,851

2

[0,5 ; 0,501]

4,895 1

1

[0,5 ; 0,500 1]

4,899 51

[0,5 ; 0,500 01]

4,899 951

5

(0,5; 4,675)

4

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5 t (s)

On remarque que plus l’intervalle de temps est petit, plus la vitesse moyenne s’approche de 4,9 m/s. Il est plausible de penser que la vitesse instantanée de la balle après 0,5 s, soit la vitesse de la balle à cet instant précis, est de 4,9 m/s. On obtiendrait également le même résultat en se rapprochant de t = 0, 5 par des valeurs inférieures à ce nombre (tableau 1.2). On définit la vitesse instantanée comme la limite des vitesses moyennes lorsque la longueur des intervalles de temps sur lesquels les vitesses moyennes sont calculées s’approche de 0 s. Comme on peut le constater sur la figure 1.3, au fur et à mesure que l’intervalle de temps se rétrécit, la sécante dont on calcule la pente pour trouver la vitesse moyenne se déplace et se rapproche de plus en plus de la droite tangente à la courbe lorsque t = 0, 5 s, c’est-à-dire la droite qui ne fait qu’effleurer la courbe lorsque t = 0, 5 s. Ainsi, la vitesse instantanée est donnée par la pente de la droite tangente au graphique de s ( t ) lorsque t = 0, 5 s. TABLE AU 1. 2

FIGURE 1.3

Calcul d’une vitesse moyenne

Interprétation géométrique de la vitesse instantanée

Intervalle de temps (s)

Vitesse moyenne sur l’intervalle (m/s)

[0 ; 0,5]

7,35

[0,4 ; 0,5]

5,39

[0,49 ; 0,5]

4,949

[0,499 ; 0,5]

4,904 9

[0,499 9 ; 0,5]

4,900 49

[0,499 99 ; 0,5]

4,900 049

Position (m)

● Vitesse instantanée La vitesse instantanée d’un mobile est la limite des vitesses moyennes du mobile lorsque la longueur des intervalles de temps sur lesquels les vitesses moyennes sont calculées tend vers 0.

sécante sécante

tangente

7

s (t ) = − 4, 9t 2 + 9, 8t + 1

6 5 4 3 2 1 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5 t (s)

8

CHAPITRE 1

Cet exemple de vitesse nous servira à introduire la notion de dérivée au chapitre 2.   EXEMPLE 1.3

> Multimédia > 2. Approche intuitive de la limite Accédez directement à l’animation. goo.gl/pse9Ds

La démarche proposée à l’exemple précédent ne sert pas seulement en physique. On la retrouve dans une multitude d’applications. Voyons comment on peut s’en servir pour étudier la croissance d’une population. Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée 200 t par N ( t ) = + 60. On veut calculer le taux de croissance (instantané) de la 1+t population au bout de 1 an. Calculons d’abord le taux de croissance moyen de cette population sur l’intervalle 1, 2  : Taux de croissance moyen =

variation de la taille de la population largeur de l’intervallle de temps

=

∆N ∆t

=

N ( 2 ) − N (1) 2−1

=

193, 3 − 160 1

= 33, 3 individus/année Ainsi, sur l’intervalle de temps 1, 2  , la population augmente au rythme d’environ 33,3 individus par année. Graphiquement (figure 1.4), ce taux de croissance moyen représente la pente de la droite sécante au graphique de la fonction N ( t ) passant par les points (1 ; 160 ) et ( 2 ; 193, 3 ). Pour trouver le taux de croissance de la population lorsque t = 1 an, considérons des intervalles de temps de plus en plus courts à partir de t = 1 (tableau 1.3). FIGURE 1.4

TABLE AU 1. 3

Population en fonction du temps

Calcul d’un taux de croissance moyen

Nombre d’individus

MaBiblio

200t + 60 1+t

N (t ) =

250 200

(1; 160)

(2; 193,3)

150 100 50 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

t (années)

Intervalle de temps (année)

Taux de croissance moyen (individus/année)

[1 ; 2]

33,333

[1 ; 1,5]

40

[1 ; 1,1]

47,619

[1 ; 1,01]

49,751

[1 ; 1,001]

49,975

[1 ; 1,000 1]

49,998

On remarque que plus l’intervalle de temps est petit, plus le taux de croissance moyen s’approche de 50 individus par année. Il est plausible de penser que le taux de croissance (instantané) de la population au bout de 1 an est de 50 individus par année. On obtiendrait le même résultat en se rapprochant de t = 1 par des valeurs inférieures à ce nombre.

9

LIMITE ET CONTINUITÉ

On peut donc définir le taux de croissance (instantané) d’une population comme la limite des taux de croissance moyens de cette population lorsque la longueur des intervalles de temps sur lesquels les taux de croissance moyens sont calculés s’approche de 0 année.

FIGURE 1.5

Nombre d’individus

Interprétation géométrique du taux de croissance instantané

Graphiquement (figure 1.5), le taux de croissance de la population au bout de 1 an est la pente de la droite tangente au graphique de N ( t ) lorsque t = 1. Comme précédemment, la droite tangente est celle qui ne fait qu’effleurer la courbe lorsque t = 1.

250 200 N (t ) =

150 100

200t + 60 1+t

Comme nous venons de le constater, la démarche pour trouver le taux de croissance est exactement la même que celle utilisée à l’exemple 1.2 pour trouver la vitesse instantanée. Encore une fois, la notion de limite est sous-jacente à la résolution du problème.

50 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

t (années)

  EXEMPLE 1.4

FIGURE 1.6

Supposons que l’on veuille déterminer l’aire de la région ombrée dans la figure 1.6.

Aire sous une courbe

On ne connaît pas de formule permettant d’obtenir facilement la valeur de l’aire de la surface, parce qu’une partie de sa frontière est curviligne. On peut cependant approximer cette aire à l’aide d’une somme d’aires de rectangles (figure 1.7).

y

2 1,5

FIGURE 1.7

Approximations d’une aire sous une courbe

1 0,5 0

0

1

2

3

4

5 x

MaBiblio

y

y

y

2

2

2

1,5

1,5

1,5

1

1

1

0,5

0,5

0,5

0

> Multimédia > 3. Approximations d’une aire sous une courbe

0

1

2

3

4

5 x

0

0

1

2

3

4

5 x

0

0

1

2

3

4

5 x

On remarque que, plus le nombre de rectangles augmente et plus leur largeur diminue, plus la somme des aires des rectangles se rapproche de l’aire de la région ombrée.

Accédez directement à l’animation.

On peut donc penser que l’aire cherchée est la limite de la somme des aires des rectangles quand le nombre de rectangles devient de plus en plus grand et que ceux-ci deviennent de plus en plus minces. C’est ce procédé de limite qui est utilisé en calcul intégral.

goo.gl/qskp3i

  EXEMPLE 1.5

La tarification de type D (domiciles) d’Hydro-Québec pour l’utilisation de l’électricité est une fonction un peu particulière qui dépend de la consommation quotidienne en kilowattheure (kWh). La facture quotidienne* d’un abonné est calculée de la façon suivante : Redevance d’abonnement : 40,64 ¢ par jour Les 30 premiers kWh par jour : 5,32 ¢ le kWh Le reste de la consommation : 7,51 ¢ le kWh * Tarifs en vigueur en date du 1 avril 2012.

10

CHAPITRE 1

Le coût C ( x ) de la facture quotidienne d’un abonné ayant une consommation quotidienne de x kWh (où x ≤ 30) sera donné par la fonction C ( x ) = 5, 32 x + 40, 64 tandis que le coût C ( x ) de la facture quotidienne d’un abonné ayant une consommation quotidienne de x kWh (où x > 30) sera donné par la fonction C ( x ) = 40, 64 + 5, 32 ( 30 ) + 7, 51( x − 30 ) = 7, 51 x − 25, 06 Quel sera le montant facturé à un client qui a une consommation quotidienne voisine de 30 kWh ? Ici, il faut faire attention, car la fonction coût n’est pas la même pour une consommation inférieure à 30 kWh que pour une consommation supérieure à 30 kWh.

FIGURE 1.8

Coût (¢)

Coût en fonction de la consommation 350

Si ce client a une consommation légèrement inférieure à 30 kWh, le coût de sa facture sera d’environ C ( 30 ) = 5, 32 ( 30 ) + 40, 64 = 200, 24 ¢ par jour.

C(x)

Si ce client a une consommation légèrement supérieure à 30 kWh, le coût de sa facture sera d’environ C ( 30 ) = 7, 51( 30 ) − 25, 06 = 200, 24 ¢ par jour.

300 250

On peut donc penser que la limite de la fonction donnant le coût quotidien quand la consommation s’approche de 30 kWh est égale à 200,24 ¢.

200 150

Il peut sembler surprenant qu’on obtienne le même coût pour une consommation voisine de 30 kWh avec des fonctions différentes. Pourtant, cela semble être confirmé graphiquement (figure 1.8). Comme nous le verrons dans la section 1.7, cette particularité est due au fait que la fonction coût est continue, c’est-à-dire que son graphique ne présente pas de brisure lorsque x = 30 kWh.

100 50 0

0

10

20

30

40

50 x (kWh)

  EXEMPLE 1.6

MaBiblio > Multimédia > 4. Estimation d’une limite finie ou infinie Accédez directement à l’animation. goo.gl/o4fbZB

Pour stationner votre voiture sur un terrain de stationnement, vous devez payer 3 $ pour la première heure (ou fraction d’heure) et 2 $ pour chaque heure (ou fraction d’heure) additionnelle jusqu’à un maximum de 10 $ par jour. Quel sera le coût de votre stationnement si vous laissez votre voiture pour une durée d’environ 2 h sur ce terrain de stationnement ? La fonction donnant le coût de stationnement en fonction du temps t (en heures) est donnée par  03  05  C ( t ) =  07 09  10

si si si si si

0 1 2 3 4

< < < <
Multimédia > 4. Estimation d’une limite finie ou infinie Accédez directement à l’animation.

1.2.1 Estimation d’unE limitE finiE Évaluer une limite, c’est étudier le comportement d’une fonction f ( x ) quand x devient de plus en plus proche d’une certaine valeur. EXEMPLE 1.7

goo.gl/o4fbZB

Considérons la fonction f ( x ) = x 2 . De quelle valeur la fonction f s’approche-t-elle quand x est de plus en plus proche de 2 ?

FIGURE 1.10

Sur la figure 1.10, on constate que plus x s’approche de 2, plus la valeur de la fonction f ( x ) = x 2 se rapproche de 4. On dit alors que la limite de la fonction f ( x ) quand x tend vers 2 est égale à 4, ce qui se traduit symboliquement par l’expression mathématique lim f ( x ) = 4.

lim x 2

x →2

y

x→ 2

7 f (x)

f ( x) = x 2

On peut également estimer cette limite à l’aide d’un tableau de valeurs (tableau 1.4).

6 5

TABLE AU 1.4

4

lim x 2

3

x →2

Quand x s’approche de 2,

f (x) 2 1 0

0

1

x

2

x

3

x

x

1,8

1,9

f (x)

3,24

3,61

1,99

Quand x s’approche de 2,

1,999 1,999 9

2

2,000 1 2,001

3,960 1 3,996 3,999 6

4

4,000 4 4,004 4,040 1

f (x) s’approche de 4.

2,01

2,1

2,2

4,41

4,84

f (x) s’approche de 4.

On obtient bien sûr le même résultat que celui obtenu à partir du graphique : plus x s’approche de 2, plus la valeur de la fonction f ( x ) s’approche de 4.  

12

CHAPITRE 1

● Limite On dit que la limite de la fonction f ( x ) quand x tend vers a vaut L, si la fonction f ( x ) prend des valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais dif férentes de a. On écrit alors lim f ( x ) = L .

On dit que la limite de la fonction f ( x ) quand x tend vers a vaut L, si la fonction f ( x ) prend des valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs  de plus en plus proches de a, mais différentes de a. On écrira alors lim f ( x ) = L . Ainsi, dans l’exemple 1.7, on écrirait lim x 2 = 4. x→ a

x→ 2

x→ a

✦ RAPPEL ● Domaine d’une fonction Le domaine d’une fonction f ( x ) est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction f ( x ) est définie. On note cet ensemble par Dom f .

Le domaine d’une fonction

Le domaine d’une fonction f ( x ) est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction f ( x ) est définie. On note cet ensemble par Dom f .

Les valeurs de x pour lesquelles la fonction n’existe pas ( ∃ ) sont exclues du domaine de la fonction. Par exemple, si une valeur x entraîne une division par 0 ou une valeur négative sous une racine paire (racine carrée, racine quatrième, etc.), alors on exclura cette valeur x du domaine de la fonction f ( x ).

x+1 . Alors, x = 1 fait partie du domaine de x−2 1+1 la fonction f , car f (1) = = −2 . 1−2 Par contre, x = 2 ne fait pas partie du domaine de la fonction f , car f ( 2 ) n’existe pas puisqu’on ne doit pas effectuer une division par 0. Soit la fonction f ( x ) =

Soit la fonction g ( x ) = 3 − 2 x . Alors, x = 0 fait partie du domaine de la fonction g , car g ( 0 ) = 3 − 0 = 3 .

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions

Par contre, x = 3 ne fait pas partie du domaine de la fonction g , car g ( 3) = 3 − 6 = −3 et donc g ( 3) n’existe pas puisqu’on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif dans l’ensemble des nombres réels.

mathématiques, p. 389.

EXEMPLE 1.8

x2 + x − 2 . Traçons d’abord le graphique de la fonction x→1 x−1 x2 + x − 2 f ( x) = . x−1

On veut estimer lim FIGURE 1.11

lim

x →1

x2 + x − 2 x −1

Notons que f (1) n’existe pas, car x = 1 entraîne une division par 0. Par conséquent, x = 1 ne fait pas partie du domaine de la fonction f .

y

6

x2 + x − 2 f ( x) = x−1

5 f(x) 4

On constate, sur la figure 1.11, que plus x est proche de 1, plus la valeur de la fonction f ( x ) est proche de 3. Par conséquent, on estime que

3 f(x)

x2 + x − 2 = 3 x→1 x−1

2

lim

1

–1

( x + 2 ) ( x − 1) x2 + x − 2 = = x + 2, qui est x−1 x−1 l’équation d’une droite. Le graphique de la fonction f est donc celui d’une droite avec un trou (symbolisé par un cercle vide) en x = 1 puisque la fonction n’existe pas en ce point, ce qui équivaut à dire qu’elle n’est pas définie en ce point. De plus, si x ≠ 1, on a f ( x ) =

0

x

1

x

2

3 x

Cet exemple nous permet de constater que même si la fonction n’est pas définie en x = 1, on peut quand même évaluer la limite de cette fonction quand x s’approche de 1.

13

LIMITE ET CONTINUITÉ

x2 + x − 2 = 3 à l’aide d’un tableau de x→1 x−1

On constate également que lim valeurs (tableau 1.5). TABLE AU 1.5

x2 + x − 2 x →1 x −1 lim

Quand x s’approche de 1,

Quand x s’approche de 1,

x

0,8

0,9

0,99

0,999 0,999 9

1

1,000 1 1,001

1,01

1,1

1,2

f (x)

2,8

2,9

2,99

2,999 2,999 9

∃

3,000 1 3,001

3,01

3,1

3,2

f (x) s’approche de 3.

 

f (x) s’approche de 3.

QUESTION ÉCLAIR 1.1 Traduisez la phrase sous la forme d’un énoncé écrit avec le symbolisme mathématique approprié. a) La fonction f ( x ) = 2 x − 3 prend des valeurs de plus en plus proches de −2 lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 1 2 . 1 − 2x prend des valeurs de plus en plus proches 2 lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de −4.

b) La fonction f ( x ) = de 3 2

MaBiblio

goo.gl/o4fbZB

1.2.2 limitE à gauchE Et limitE à droitE

> Multimédia > 4. Estimation d’une limite finie ou infinie

Certaines fonctions sont plus complexes à étudier. Parfois, une fonction se comporte différemment à gauche d’une valeur de x et à droite de celle-ci. Ce qui nous amène à établir les concepts de limite à gauche et de limite à droite.

Accédez directement à l’animation.

EXEMPLE 1.9

4 − x 2 si x ≤ 1 Soit la fonction f ( x ) =  . Étudions le comportement de la  x − 2 si x > 1 fonction autour de x = 1 (figure 1.12). FIGURE 1.12

lim f ( x )

x →1

y

5 4 f (x) f (x)

3 2 1 x

–2

–1

0 f (x) –1 –2

x

1

2

3

x

14

CHAPITRE 1

Si x prend des valeurs proches de 1 mais inférieures à 1 (ce qui se traduit en langage symbolique par x → 1− ), alors la valeur de la fonction f ( x ) s’approche de 3. Cette limite s’appelle limite à gauche et on la note lim− f ( x ) = 3. x→1

Si x prend des valeurs proches de 1 mais supérieures à 1 (ce qui se traduit en langage symbolique par x → 1+ ), alors la valeur de la fonction f ( x ) s’approche de –1. Cette limite s’appelle limite à droite et on la note lim+ f ( x ) = −1. x→1

On remarque ici que lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ). Dans un cas comme celui-ci, x→1

x→1

c’est-à-dire lorsque la limite à gauche diffère de la limite à droite, on dira que la limite de la fonction f ( x ) quand x s’approche de 1 n’existe pas et on écrira lim f ( x ) n’existe pas ou lim f ( x )  ∃  x→1  

x→1

On aurait également pu obtenir ce résultat avec un tableau de valeurs (tableau 1.6). TABLE AU 1.6

lim f ( x )

x →1

Quand x s’approche de 1 par la gauche (x → 1− ), x

0,8

0,9

0,99

0,999

Quand x s’approche de 1 par la droite (x → 1+ ), 0,999 9

f (x) 3,36 3,19 3,019 9 3,001 999 3,000 199 99

1 3

1,000 1

1,001

1,01

1,1

1,2

–0,999 9 –0,999 –0,99 –0,9 –0,8

f (x) s’approche de 3.

f (x) s’approche de –1.

On a lim− f ( x ) = 3 et lim+ f ( x ) = −1. Par conséquent, lim f ( x ) n’existe pas. x→1

x→1

x→1

  ● Limite à gauche On dit que la limite de la fonction f ( x ) , quand x tend vers a par la gauche, vaut L [ce qui se traduit en langage symbolique par lim− f ( x ) = L], si la fonction f ( x ) x→ a

prend des valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais inférieures à a.

● Limite à droite On dit que la limite de la fonction f ( x ) , quand x tend vers a par la droite, vaut L [ce qui se traduit en langage symbolique par lim+ f ( x ) = L], si la fonction f ( x ) x→ a

prend des valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais supérieures à a.

L’exemple 1.9 a permis d’introduire le concept de limite à gauche. On dit que la limite de la fonction f ( x ), quand x tend vers a par la gauche, vaut L [ce qui se traduit en langage symbolique par lim− f ( x ) = L ], si la fonction f ( x ) prend des x→ a

valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais inférieures à a. Le concept de limite à droite se définit de façon similaire. On dit que la limite de la fonction f ( x ), quand x tend vers a par la droite, vaut L [ce qui se traduit en langage symbolique par lim+ f ( x ) = L ], si la fonction f ( x ) prend des valeurs de x→ a

plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais supérieures à a. Ces deux définitions nous amènent au théorème 1.1.

v THÉORÈME 1.1

Existence de la limite d’une fonction

lim f ( x ) = L   si et seulement si lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L où L ∈ 

x→ a

x→ a

x→ a

Le théorème 1.1, que nous admettons sans démonstration, nous indique que la limite existe si et seulement si la limite à gauche est égale à la limite à droite. On utilise généralement le symbole ⇔ (ou l’abréviation ssi) pour représenter l’expression « si et seulement si ».

15

LIMITE ET CONTINUITÉ

QUESTIONS ÉCLAIR 1.2 1. Dites dans vos mots ce que signifie l’expression lim− ( x 2 − 2 x + 1) = 4. x→ 3

2. Dites dans vos mots ce que signifie l’expression lim + ( x + 2 − 3) = −2. x →−1

3. Que vaut lim f ( x ) si lim − f ( x ) = 7 et lim + f ( x ) = 7 ? x →− 4

x →− 4

x →− 4

4. Que vaut lim2 f ( x ) si lim − f ( x ) = x→

5

x→ 2 3

3

et lim + f ( x ) =

6

7

x→ 2 3

6?

EXERCICES 1.1

MaBiblio

1. Estimez l’expression à partir du graphique (figure 1.13).

> Multimédia > 5. Estimation d’une limite finie

FIGURE 1.13

f (x ) y

Accédez directement à l’animation.

4

goo.gl/cr6uK6

f(x)

3 2 1 –6

–5

–4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

x

–1 –2

a) lim f ( x ) x →−1

d) lim+ f ( x )

g)

b) lim f ( x )

e) lim f ( x )

h)

c) lim− f ( x )

f) f ( 2 )

i)

x→ 2

x→ 3

x→ 2

x→ 2

lim f ( x )

x →−3−

j) f ( −3)

lim f ( x )

x →−3+

lim f ( x )

x →−3

x3 + 2 x2 . x →−2 x + 2

2. Complétez le tableau de valeurs (tableau 1.7) pour estimer lim TABLE AU 1.7

lim

x →−2

x

x 3 + 2x 2 x +2

−2,1

−2,01

−2,001 −2,000 1

−2

−1,999 9

f (x)

3. À l’aide d’un tableau de valeurs, estimez lim f ( x ) où x→ 3

11 − x 2 f ( x) =   x + 1

si x ≤ 3 si x > 3

−1,999

−1,99

−1,9

16

CHAPITRE 1

4. À l’aide d’un tableau de valeurs, estimez lim f ( x ) où x→ 2

 x3  f ( x ) =  3x2  4 − x

si x < 2 si x ≥ 2

5. Reprenez l’exemple de la facturation quotidienne d’un abonné d’HydroQuébec (exemple 1.5, p. 9). a) Estimez lim C ( x ) à partir du graphique de C ( x ) et à l’aide d’un tableau x → 15

de valeurs.

b) Estimez lim C ( x ) à partir du graphique de C ( x ) et à l’aide d’un tableau

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 1 à 4.

x → 40

de valeurs.

MaBiblio > Multimédia > 4. Estimation d’une limite finie ou infinie Accédez directement à l’animation.

1.2.3 limitE infiniE L’exemple 1.10 nous permettra de constater que la limite d’une fonction n’est pas toujours un nombre réel, et que, par conséquent, elle n’existe pas toujours. EXEMPLE 1.10

goo.gl/o4fbZB

Soit la fonction f ( x ) = valeurs (tableau 1.8).

FIGURE 1.14

f (x ) =

1 . Estimons lim f ( x ) à l’aide d’un tableau de x→ 2 ( x − 2 )2

1

( x − 2 )2

TABLE AU 1.8

1

lim

y

x →2

25 f ( x) =

20

( x − 2 )2

1

( x − 2)

2

x

15

1,8

f (x)

25

Quand x s’approche de 2 par la gauche (x → 2–), 1,9 100

1,99 10 000

Quand x s’approche de 2 par la droite (x → 2+),

1,999

2

2,001

2,01

2,1

2,2

1 000 000

∃

1 000 000

10 000

100

25

10 f (x) devient de plus en plus grand.

f (x) devient de plus en plus grand.

5 0

0

1

2

3

On constate que plus x se rapproche de 2, plus la valeur de la fonction f ( x ) devient grande, de sorte que la limite est infinie, la valeur de la fonction augmentant sans fin. Pour décrire un tel comportement d’une fonction, on utilise le  symbole mathématique de l’infini, soit ∞. Ainsi, on écrira lim− f ( x ) = ∞ et x→ 2 lim+ f ( x ) = ∞ . Par conséquent, lim f ( x ) = ∞ .

4 x

● Limite infinie Lorsqu’on écrit lim− f ( x ) = ∞ [respectivement lim+ f ( x ) = ∞], cela signifie que x→ a

f ( x ) prend des valeurs de plus en plus grandes [c’est-à-dire f ( x ) → ∞] quand x → a − (respectivement x → a + ). Lorsqu’on écrit lim− f ( x ) = −∞ [respecx→ a

tivement lim+ f ( x ) = −∞], cela signifie x→ a

que f ( x ) prend des valeurs de plus en plus petites [c’est-à-dire f ( x ) → −∞] quand x → a − (respectivement x → a + ). Dans les deux cas, on parle de limite infinie.

x→ 2

x→ 2

La figure 1.14 permet de confirmer ce résultat.

x→ a

  L’exemple 1.10 nous amène à définir le concept de limite infinie. Lorsqu’on écrit lim− f ( x ) = ∞ [respectivement lim+ f ( x ) = ∞], cela signifie que f ( x ) prend x→ a

x→ a

des valeurs de plus en plus grandes [c’est-à-dire f ( x ) → ∞] quand x → a − (respectivement x → a + ). Lorsqu’on écrit lim− f ( x ) = −∞ [respectivement lim+ f ( x ) = −∞], cela signifie x→ a

x→ a

que f ( x ) prend des valeurs de plus en plus petites [c’est-à-dire f ( x ) → −∞] quand x → a − (respectivement x → a + ).

17

LIMITE ET CONTINUITÉ

Le théorème 1.1 est aussi valide pour les limites infinies. On aura donc lim f ( x ) = ∞ ⇔

x→ a

et

lim f ( x ) = −∞ ⇔

x→ a

lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = ∞

x → a−

x→ a

lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = −∞

x → a−

x→ a

Soulignons toutefois que ∞ et −∞ ne sont que des symboles mathématiques commodes pour désigner le comportement d’une variable ou d’une fonction. Comme ces symboles ( ∞ et −∞ ) ne sont pas des nombres, on ne peut pas conclure que lim f ( x ) existe même si on écrit lim f ( x ) = ∞ ou lim f ( x ) = −∞. x→ a

x→ a

x→ a

QUESTION ÉCLAIR 1.3 Traduisez la phrase sous la forme d’un énoncé écrit avec le symbolisme mathématique approprié. 2 prend des valeurs de plus en plus petites x−3 [c’est-à-dire f ( x ) → −∞] lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 3, mais inférieures à 3.

a) La fonction f ( x ) =

x+1 prend des valeurs de plus en plus grandes x 2 − 25 [c’est-à-dire f ( x ) → ∞] lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de −5, mais supérieures à −5.

b) La fonction f ( x ) =

EXEMPLE 1.11

Soit la fonction f ( x ) = (tableau 1.9).

1 . Estimons lim f ( x ) à l’aide d’un tableau de valeurs x →−1 x+1

TABLE AU 1.9

lim

x →−1

1 x +1

Quand x s’approche de –1 par la gauche (x → –1–),

FIGURE 1.15

f (x ) =

1 x +1

Quand x s’approche de –1 par la droite (x → –1+),

x

−1,2

−1,1

−1,01

−1,001

–1

−0,999

−0,99

−0,9

−0,8

f (x)

−5

−10

−100

−1 000

∃

1 000

100

10

5

y

10 8 6 4 2 –3

–2

–1

0 –2 –4 –6 –8 –10

f (x) devient de plus en plus petit [ f (x) → –∞]. f ( x) = 1

1 x+1

f (x) devient de plus en plus grand [f (x) → ∞].

On a lim − f ( x ) = −∞ et lim + f ( x ) = ∞. Par conséquent, lim f ( x ) n’existe x →−1

2 x

x →−1

x →−1

pas. La figure 1.15 permet de constater que le comportement de la fonction n’est pas le même à gauche de −1 et à droite de −1.  

18

CHAPITRE 1

DES MOTS ET DES SYMBOLES*

L

e Britannique John Wallis (1616-1703) fut le premier à utiliser le symbole ∞ pour désigner l’infini. Dans De sectionibus conicis (1655), il écrivit : « ∞ nota numeri infiniti » (« ∞ désigne un nombre infini »). Comme Wallis était érudit, certains supposèrent qu’il avait créé ce symbole à partir de l’ancien signe romain 00, qui ressemble à deux zéros joints et désignait la valeur 1 000 (un grand nombre dans la Rome antique), ou encore à partir de w, la dernière lettre de l’alphabet grec. * La plupart des informations réunies dans les rubriques « Des mots et des symboles » ont été tirées de F. Cajori, A History of Mathematical Notations, New York, Dover, 1993 (réimpression de l’édition de 1928-29), de B. Hauchecorne, Les mots & les maths. Dictionnaire historique et étymologique du vocabulaire mathématique, Paris, Ellipses, 2003, ainsi que des sites internet http://jeff560.tripod.com/mathsym.html et http://jeff560.tripod.com/mathword.html.

1.2.4 a symptotE vErticalE 1 (figure 1.15) x+1 illustrent le comportement asymptotique de ces deux fonctions, respectivement en x = 2 et en x = −1. Les graphiques de f ( x ) =

1

( x − 2 )2

(figure 1.14) et de f ( x ) =

● Asymptote Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini.

Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini. Il existe trois types d’asymptotes : verticale, horizontale et oblique.

● Asymptote verticale La droite x = a est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si au moins une des deux limites lim− f ( x ) ou lim+ f ( x )

1 ( x − 2 )2 puisque lim− f ( x ) = ∞ et lim+ f ( x ) = ∞ . De même, la droite x = −1 est une

x→ a

donne ∞ ou −∞.

x→ a

La droite x = a est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim− f ( x ) = ∞ (ou −∞) ou encore si lim+ f ( x ) = ∞ (ou −∞). Ainsi, la droite x→ a

x→ a

x = 2 est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x→ 2

x→ 2

asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = lim f ( x ) = −∞ et lim + f ( x ) = ∞.

x →−1−

1 puisque x+1

x →−1

Les valeurs susceptibles de produire une asymptote verticale sont notamment les valeurs de la variable indépendante qui annulent un dénominateur ou encore les valeurs de la variable indépendante qui annulent l’argument d’un logarithme.

QUESTION ÉCLAIR 1.4 Si lim − f ( x ) = −∞ et lim + f ( x ) = −∞, que peut-on dire de la droite x = x→ 1 4

x→ 1 4

1

4?

1.2.5 limitE à l’infini MaBiblio > Multimédia > 6. Estimation d’une limite à l’infini Accédez directement à l’animation. goo.gl/iTWNVk

Il arrive souvent qu’on veuille analyser le comportement d’une fonction quand x devient de plus en plus grand (x → ∞) ou de plus en plus petit (x → −∞). EXEMPLE 1.12

Soit la fonction f ( x ) = x 3 (figure 1.16). Estimons lim f ( x ) et lim f ( x ). x →−∞

x →∞

On constate que, lorsque x devient de plus en plus petit (x → −∞), la valeur de la fonction f ( x ) = x 3 devient de plus en plus petite  f ( x ) → −∞  . De plus,

19

LIMITE ET CONTINUITÉ

lorsque x devient de plus en plus grand (x → ∞), la valeur de la fonction f ( x ) = x 3 devient de plus en plus grande [ f ( x ) → ∞ ]. Par conséquent, lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = ∞. x →−∞

x →∞

FIGURE 1.16

Comportement à l’infini de f ( x ) = x 3 y

20 15 10 5

x –3

–2

–1

y

f ( x) = x 3

0 1 –5 –10 f ( x) –15 –20

2

f ( x) = x 3

20 15 f ( x) 10 5 x

3

–3

–1 –50 –10 –15 –20

–2

x 1

2

3

x

Confirmons ces résultats à l’aide de tableaux de valeurs (tableaux 1.10 et 1.11). TABLE AU 1.10

lim x 3

x →−∞

Quand x devient de plus en plus petit (x → - ∞),

x

−100

−10

−1

0

f (x)

−1 000 000

−1 000

−1

0

f (x) devient de plus en plus petit [ f (x) → - ∞]. TABLE AU 1.11

lim x 3

x →∞

Quand x devient de plus en plus grand (x → ∞),

x

0

1

10

100

f (x)

0

1

1 000

1 000 000

f (x) devient de plus en plus grand [ f (x) → ∞].

  EXEMPLE 1.13

Soit la fonction f ( x ) = 2 +

1 (figure 1.17). Estimons lim f ( x ) et lim f ( x ). x →−∞ x →∞ x

FIGURE 1.17

Comportement à l’infini de f ( x ) = 2 + y

1 x

12 10 8

f ( x) = 2 +

6

1 x

4

y=2

2 –6

–4

–2

0 –2 –4 –6 –8

2

4

6

x

20

CHAPITRE 1

On constate que, lorsque x devient de plus en plus petit (x → −∞), la valeur 1 s’approche de 2. De plus, lorsque x devient de plus x 1 en plus grand (x → ∞), la valeur de la fonction f ( x ) = 2 + s’approche de 2. x de la fonction f ( x ) = 2 +

Par conséquent, lim f ( x ) = 2 et lim f ( x ) = 2. x →−∞

x →∞

Confirmons ces résultats à l’aide de tableaux de valeurs (tableaux 1.12 et 1.13). TABLE AU 1.12

1  lim  2 +  x

x →−∞ 

Quand x devient de plus en plus petit (x → - ∞), x

−1 000

−100

−10

–1

f (x)

1,999

1,99

1,9

1

f (x) s’approche de 2. TABLE AU 1.13

1  lim  2 +  x

x →∞ 

Quand x devient de plus en plus grand (x → ∞), x

1

10

100

1 000

f (x)

3

2,1

2,01

2,001

f (x) s’approche de 2.

 

QUESTION ÉCLAIR 1.5 Dites dans vos mots ce que signifie l’expression lim

x →∞

2x − 4 2 = . 3x + 5 3

Les exemples 1.12 et 1.13 nous permettent de constater que la limite d’une fonction quand x → ∞ (ou x → −∞) peut être un nombre réel ou non. ● Limite à l’infini La limite à l’infini d’une fonction f ( x ) , notée lim f ( x ), représente le comporx →∞

tement de la fonction quand x → ∞. Elle peut être finie, infinie ou ne pas exister.

● Limite à moins l’infini La limite à moins l’infini d’une fonction f ( x ) , notée lim f ( x ), représente x →−∞

le comportement de la fonction quand x → −∞ . Elle peut être finie, infinie ou ne pas exister.

La limite à l’infini d’une fonction est le comportement de cette fonction lorsque x → ∞, tandis que la limite à moins l’infini (−∞) d’une fonction est le comportement de cette fonction lorsque x → −∞. Ces limites peuvent être finies, infinies ou ne pas exister. Lorsqu’on écrit lim f ( x ) = L [respectivement lim f ( x ) = L], cela signifie que x →∞

x →−∞

f ( x ) prend des valeurs de plus en plus proches de L quand x → ∞ (respectivement x → −∞). Lorsqu’on écrit lim f ( x ) = ∞ [respectivement lim f ( x ) = ∞], cela signifie que x →∞

x →−∞

f ( x ) prend des valeurs de plus en plus grandes [ f ( x ) → ∞] quand x → ∞ (respectivement x → −∞).

LIMITE ET CONTINUITÉ

21

Lorsqu’on écrit lim f ( x ) = −∞ [respectivement lim f ( x ) = −∞], cela signifie x →∞

x →−∞

que f ( x ) prend des valeurs de plus en plus petites [ f ( x ) → −∞] quand x → ∞ (respectivement x → −∞).

1.2.6 a symptotE horizontalE

● Asymptote horizontale La droite y = b est une asymptote hori zontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim f ( x ) = b ou si lim f ( x ) = b . x →−∞

x →∞

L’étude du comportement de la fonction f ( x ) lorsque x → ∞ (ou lorsque x → −∞) permet de déterminer si la courbe qu’elle décrit admet une asymptote horizontale. La droite y = b est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim f ( x ) = b [ou bien lim f ( x ) = b]. Ainsi, la droite y = 2 est une asympx →∞ x →−∞ 1 tote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 2 + puisque x lim f ( x ) = 2 et lim f ( x ) = 2 (figure 1.17). x →−∞

x →∞

QUESTIONS ÉCLAIR 1.6 1. Si lim f ( x ) = −5 et lim f ( x ) = ∞, la fonction f ( x ) admet-elle une ou des x →−∞

x →∞

asymptotes horizontales ? Si oui, donnez-en l’équation ou les équations. 2. Si lim f ( x ) = 3 et lim f ( x ) = 1, la fonction f ( x ) admet-elle une ou des x →−∞

x →∞

asymptotes horizontales ? Si oui, donnez-en l’équation ou les équations. 3. Si lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = −∞, la fonction f ( x ) admet-elle une ou x →−∞

x →∞

des asymptotes horizontales ? Si oui, donnez-en l’équation ou les équations.

EXERCICES 1.2

x . Estimez la limite à partir de la figure 1.18 et à x−1 l’aide d’un tableau de valeurs. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu.

1. Soit la fonction f ( x ) = a) lim f ( x )

b) lim+ f ( x )

x →∞

x→1

FIGURE 1.18

f (x ) =

x x −1 y

8 6

f ( x) =

4

x x−1

2 –4

–2

0 –2

2

4

6

x

–4 –6

x (figure 1.18) admet une asympx−1 tote verticale et une asymptote horizontale. Quelles sont les équations de ces asymptotes ?

2. La courbe décrite par la fonction f ( x ) =

22

CHAPITRE 1

2 x2 − 2 . Estimez la limite à partir de la figure 1.19. x2 − 4 Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu.

3. Soit la fonction f ( x ) = a) lim f ( x )

c) lim− f ( x )

b) lim f ( x )

d) lim+ f ( x )

x →∞

e) lim f ( x ) x→ 2

x→ 2

x →−∞

x→ 2

FIGURE 1.19

f (x ) =

2x 2 − 2 x2 − 4

y

14 12 10

f ( x) =

8 6

2x 2 − 2 x2 − 4

4 2 –6

–4

0 –2

–2

2

4

6

x

–4 –6 –8 –10

2 x2 − 2 (figure 1.19) admet deux x2 − 4 asymptotes verticales et une asymptote horizontale. Quelles sont les équations de ces asymptotes ?

4. La courbe décrite par la fonction f ( x ) = Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 5 à 8.

1.3 ÉVALUATION D’UNE LIMITE Pour évaluer algébriquement des limites, il faut en connaître les propriétés de base. Admises sans démonstration, ces propriétés sont énumérées dans le tableau 1.14. TABLE AU 1.14

Propriétés des limites Si a et k sont des nombres réels, si n est un entier positif et si f ( x ) et g ( x ) sont deux fonctions telles que lim f ( x ) et lim g ( x ) existent, alors x→ a

x→ a

1. lim k = k x→ a

2. lim x = a x→ a

3. lim k f ( x ) = k lim f ( x ) x→ a

x→ a

4. lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) x→ a

x→ a

x→ a

5. lim [ f ( x ) g ( x ) ] =  lim f ( x )   lim g ( x )   x→ a   x→ a  x→ a lim f ( x ) f ( x) = x→ a si lim g ( x ) ≠ 0 x→ a g ( x ) lim g ( x ) x → a

6. lim

x→ a

7. lim [ f ( x ) ] =  lim f ( x )   x→ a  x→ a n

8. lim n f ( x ) = x→ a

n

n

lim f ( x ) si n est impair ou si lim f ( x ) > 0 quand n est pair

x→ a

x→ a

LIMITE ET CONTINUITÉ

23

Toutes les propriétés énoncées dans le tableau 1.14 sont également valides si x → a − ou si x → a + . EXEMPLE 1.14

Évaluons lim ( x 2 + 2 x + 1). On a x→ 2

lim ( x 2 + 2 x + 1) = lim ( x 2 ) + lim ( 2 x ) + lim 1

x→ 2

x→ 2

(

= lim x x→ 2

x→ 2

x→ 2

) + 2 ( lim x) + 1

propriété 4

2

propriétés 1, 3 et 7

x→ 2

= 22 + 2 ( 2 ) + 1

propriété 2

= 9   Si l’on regarde attentivement l’exemple ci-dessus, on constate que, si P ( x ) = x 2 + 2 x + 1, alors lim ( x 2 + 2 x + 1) = 2 2 + 2 ( 2 ) + 1 = P ( 2 )

x→ 2

Il en sera toujours ainsi dans le cas d’un polynôme, comme l’indique le théorème 1.2.

v THÉORÈME 1.2 Si P ( x ) est un polynôme et si a un nombre réel (c’est-à-dire que a ∈ ), alors lim P ( x ) = P ( a ) . x→ a

prEuvE Soit un polynôme P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0 , où ai ∈  (pour i = 0, 1, …, n ). Alors lim P ( x ) = lim ( an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0 )

x→ a

x→ a

= lim ( an x n ) + lim ( an − 1 x n − 1 ) +  + lim ( a1 x ) + lim ( a0 ) x→ a

x→ a

x→ a

x→ a

propriété 4

= an lim ( x n ) + an − 1 lim ( x n − 1 ) +  + a1 lim x + a0 x→ a

(

= an lim x x→ a

x→ a

)

n

(

+ an − 1 lim x x→ a

x→ a

)

n−1

+  + a1 a + a0       propriétés 2 et 7

= an a n + an − 1 a n − 1 +  + a1 a + a0       propriété 2 = P (a)

propriétés 1 et 3

24

CHAPITRE 1

DES MOTS ET DES SYMBOLES

L

es principaux ensembles de nombres sont désignés par des symboles qui sont assez explicites. Ainsi, le symbole , choisi par l’Italien Giuseppe Peano (1858-1932), est la première lettre du mot italien naturale, et il désigne les nombres naturels. Ce même mathématicien a aussi utilisé le symbole , première lettre du mot italien quotiente, pour désigner les nombres rationnels, cet ensemble étant formé des quotients des nombres entiers. L’Allemand Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) proposa le symbole  pour désigner les nombres entiers, cette lettre étant la première du mot allemand Zahl, qui signifie « nombre », et  pour désigner les nombres réels (real en allemand). Enfin, selon la même logique, c’est-à-dire l’utilisation de l’initiale du nom de l’ensemble, les mathématiciens ont adopté le symbole  pour désigner les nombres complexes. C’est également Peano qui a créé les principaux symboles de la théorie des ensembles, notamment ∈ pour désigner l’appartenance d’un élément à un ensemble, ⊂ pour désigner l’inclusion d’un ensemble dans un autre, ∩ pour désigner l’intersection de deux ensembles, ∪ pour désigner l’union de deux ensembles, ∃ pour désigner l’existence d’une quantité et ∃ pour désigner la non-existence d’une quantité. Quant au quantificateur universel ∀ (pour tout), il a été établi par David Hilbert (1862-1943).

EXEMPLE 1.15

Évaluons lim

x→ 3

4 − 2x . On a 3x + 1

lim ( 4 − 2 x ) 4 − 2x = x→ 3 x→ 3 3 x + 1 lim ( 3 x + 1)

proprriété 6, car lim ( 3 x + 1 ) ≠ 0

lim

x→ 3

x→ 3

=

4 − 2 ( 3) 3 ( 3) + 1

= −  

théorème 1.2

1 5

EXEMPLE 1.16

Évaluons lim

x →−2

2 x 2 − 1 . On a lim

x →−2

 

2 x2 − 1 =

lim ( 2 x 2 − 1)

x →−2

=

2 ( −2 )2 − 1

=

7

propriété 8, car lim ( 2 x 2 − 1 ) > 0 x → −2

théorème 1.2

EXEMPLE 1.17

Évaluons lim ( 5 x − 1)2 3 x + 1  . On a x→1 lim ( 5 x − 1)2 3 x + 1  = lim ( 5 x − 1)2 × lim 3 x + 1 x→1 x→1

x→1 

2

=  lim ( 5 x − 1) ×  x→1 

3

lim ( x + 1)

x→1

= [ 5 (1) − 1] × 3 1 + 1 2

 

= 16 3 2

propriété 5 propriétés 7 et 8

théorèème 1.2

LIMITE ET CONTINUITÉ

25

EXEMPLE 1.18

4 − x 2 Soit la fonction f ( x ) =  x−2

si x ≤ 1 . Évaluons lim f ( x ). x→1 si x > 1

Ici, nous devons utiliser la limite à gauche et la limite à droite pour étudier le comportement de la fonction f ( x ) autour de x = 1, car la définition de f ( x ) n’est pas la même à gauche de x = 1 et à droite de x = 1. lim f ( x ) = lim− ( 4 − x 2 ) = 4 − 12 = 3

x → 1−

x→1

lim f ( x ) = lim+ ( x − 2 ) = 1 − 2 = −1

x → 1+

x→1

théorème 1.22 théorème 1.2

Puisque la limite à gauche diffère de la limite à droite, on en conclut que lim f ( x ) n’existe pas.

x→1

 

QUESTION ÉCLAIR 1.7 si x ≤ −2 5 − 2 x Soit la fonction f ( x ) =  2 . Évaluez l’expression. x + x + 7 si x > −2  a) lim f ( x )

b) lim f ( x )

x →− 4

c) lim f ( x )

x→ 0

x →−2

EXEMPLE 1.19

Évaluons lim x − 2 . x→ 2

Il faut faire très attention lorsque la fonction dont on veut déterminer la limite est une racine paire. En effet, si on regarde attentivement la propriété 8 et qu’on l’adapte à la limite qu’on veut calculer, on obtient lim x − 2 =

x→ 2

lim ( x − 2 ) si lim ( x − 2 ) > 0

x→ 2

x→ 2

Or, en vertu du théorème 1.2, lim ( x − 2 ) = 2 − 2 = 0. Par conséquent, on ne x→ 2

peut pas utiliser la propriété 8 pour évaluer cette limite. On doit donc étudier la limite à gauche et la limite à droite. Pour évaluer lim− x − 2 , étudions attentivement le comportement de l’exx→ 2

pression x − 2 quand x → 2 − . Quand x → 2 et que x est inférieur à 2, l’expression x − 2 est négative et de plus en plus proche de 0 (ce qu’on peut écrire x − 2 → 0 −), de sorte que l’expression x − 2 n’est pas définie. On peut donc conclure que lim− x − 2 n’existe pas. x→ 2

Pour évaluer lim+ x − 2 , on constate que, lorsque x → 2 et que x est supéx→ 2

rieur à 2, l’expression x − 2 est positive et de plus en plus proche de 0 (ce qu’on peut écrire x − 2 → 0 +). La fonction x − 2 s’approche elle aussi de plus en plus de 0. On peut donc conclure que lim+ x − 2 = 0. x→ 2

26

CHAPITRE 1

La figure 1.20 permet de confirmer les résultats obtenus. Puisque la limite à gauche n’existe pas, on peut conclure que lim x − 2 n’existe pas*.

FIGURE 1.20

f (x ) =

x −2

x→ 2

 

y

f ( x) =

2

x−2

EXERCICE 1.3

1,5

Évaluez la limite.

1

a) lim ( x 3 + 4 x 2 − 5 )

0,5 0

x →−2

0

1

2

3

4

5

t +2 +4

b) lim

6 x

t →−2 t 2

c) lim

x→ 0

2x − 5 4x − 3

3

d) lim ( x + 3)3 ( 2 − 4 x )2  x →−1 2 11 − x e) lim f ( x ) si f ( x ) =  x→ 5  x + 1

si x ≤ 3

2 11 − x f) lim f ( x ) si f ( x ) =  x→ 3  x + 1

si x ≤ 3

si x > 3

si x > 3

g) lim 3 8 − 2 x x→ 4

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 9 et 10.

h) lim 4 8 − 2 x x→ 4

C __ 1.4 ÉVALUATION D’UNE LIMITE DE LA FORME 0 (OÙ C EST UNE CONSTANTE NON NULLE)

f ( x) c est une forme lorsque lim f ( x ) = c ≠ 0 et que lim g ( x ) = 0. x→ a x→ a g ( x) 0 Autrement dit, lorsque x → a, le numérateur tend vers une constante non nulle c, tandis que le dénominateur tend vers 0. Pour évaluer de telles limites, il faudra généralement utiliser la limite à gauche et la limite à droite.

On dit que lim

x→ a

EXEMPLE 1.20

9 − x2 . On ne peut pas utiliser la propriété 6, car x→ 2 3 x − 6 lim ( 3 x − 6 ) = 3( 2 ) − 6 = 0

Évaluons lim

x→ 2

Nous sommes en présence d’une limite de la forme gauche et la limite à droite.

* Si on évalue lim

x→ 2

5 . Évaluons la limite à 0

x − 2 avec un logiciel de calcul symbolique comme Maple, on obtient 0 comme

réponse. Les logiciels de calcul n’évaluent qu’une seule des limites directionnelles, soit lim f ( x ) ou x → a+

lim f ( x ) lorsque le domaine de la fonction ne comprend pas respectivement des valeurs à gauche

x → a−

de a ou à droite de a.

LIMITE ET CONTINUITÉ

27

Commençons par la limite à gauche. On a lim− ( 9 − x 2 ) = 9 − 2 2 = 5. De x→ 2

plus, quand x → 2 − , la fonction 3 x − 6 s’approche de 0 mais est toujours négative (ce qu’on écrit 3 x − 6 → 0 − ). D’où 9 − x2 lim− = −∞ x→ 2 3 x − 6     forme

5 0−

Le numérateur étant positif et le dénominateur négatif, le quotient est négatif. De plus, diviser 5 par un nombre de plus en plus proche de 0 donnera un 9 − x2 nombre de plus en plus éloigné de 0, de sorte que lim− = −∞. x→ 2 3 x − 6 Un raisonnement similaire donne 9 − x2 lim+ = ∞ x→ 2 3 x − 6     forme

5 0+

Le numérateur et le dénominateur étant positifs, le quotient est positif. De plus, diviser 5 par un nombre de plus en plus proche de 0 donnera un nombre 9 − x2 de plus en plus éloigné de 0, de sorte que lim+ = ∞. x→ 2 3 x − 6 Puisque la limite à gauche diffère de la limite à droite, on en conclut que 9 − x2 lim n’existe pas. x→ 2 3 x − 6  

QUESTION ÉCLAIR 1.8 Complétez l’expression. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. 5 − 3x a) lim+ = ...... x→ 4 8 − 2 x   

b)

forme ......

x2 + 1 lim − = ...... x →−3 x + 3     forme ......

EXEMPLE 1.21

Évaluons lim

x →−1

2x − 6 −2 , car lim 3 2 x − 6 = 2 . Nous avons une forme x →−1 0 (1 + x ) 3

3

−8 = −2

et lim (1 + x )2 = [1 + ( −1)] = 0. Évaluons la limite à gauche et la limite à 2

x →−1

droite. Remarquons que lorsque x → −1− , alors l’expression 1 + x → 0 − , de sorte que l’expression (1 + x )2 → 0 + . De plus, lorsque x → −1+ , alors l’expression 1 + x → 0 + , de sorte que l’expression (1 + x )2 → 0 + . On obtient donc 3 2x − 6 3 2x − 6 lim − = −∞ et lim + = −∞ 2 x →−1 (1 + x ) x →−1 (1 + x )2   forme

−2 0+

Par conséquent, on a lim

x →−1

 

forme

3

2x − 6

(1 + x )2

= −∞ .

−2 0+

28

CHAPITRE 1

EXERCICES 1.4

1. Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. x+1 x→ 3 9 − x2

a) lim

3− x x→ 0 x4

b) lim

2. Déterminez si la droite x = −2 est une asymptote verticale à la courbe décrite x−1 par la fonction f ( x ) = . 3x + 6

1.5 ÉVALUATION D’UNE LIMITE À L’INFINI

Dans cette section : fonction racine carrée – fonction valeur absolue.

Pour évaluer des limites à l’infini, il faut ajouter des propriétés à celles du tableau 1.14 (p. 22). Admises sans démonstration, ces propriétés additionnelles sont énumérées dans le tableau 1.15. TABLE AU 1.15

Propriétés des limites* Si k est un nombre réel et si n est un entier positif, alors 9. lim k = k et lim k = k x →−∞

x →∞

10. lim x n = ∞ x →∞

si n est pair ∞ 11. lim x n =  x →−∞ −∞ si n est impair  1 1 12. lim n = 0 et lim n = 0 x →−∞ x x →∞ x 13. lim n x = ∞ x →∞

14. lim

x →−∞

n

x = −∞ si n est impair et lim

x →−∞

n

x n’existe pas si n est pair

En plus de ces propriétés, on peut utiliser les propriétés 3 à 8 du tableau 1.14 (p. 22), qui sont aussi valides quand x → ∞ (ou x → −∞), pour autant que lim f ( x ) ou lim f ( x ) et lim g ( x ) ou lim g ( x )  x →−∞  x →∞  x →−∞ 

x →∞

TABLE AU 1.16

Arithmétique de l’infini

existent toutes les deux.

Forme

Résultat

∞±k

∞

∞+∞

∞

∞×∞

∞

k×∞ k ∞

 ∞ si   −∞ si

k > 0 k < 0

Il faut faire très attention lorsqu’on manipule des expressions contenant le symbole ∞. On ne doit pas oublier que l’infini (∞) et moins l’infini (−∞) ne sont pas des nombres réels et ne se comportent donc pas comme tels. Tout au plus, ces deux symboles décrivent notamment le comportement d’une fonction qui croît [ f ( x ) → ∞ ] ou décroît  f ( x ) → −∞  sans borne.

1.5.1 arithmétiquE dE l’infini

0

k 0+

 ∞ si   −∞ si

k > 0 k < 0

k 0−

 −∞ si k > 0   ∞ si k < 0

Dans l’évaluation d’une limite, on peut obtenir des assemblages contenant une ou plusieurs expressions du type ∞, −∞, 0 − ou 0 + . Selon la forme, le résultat de l’assemblage apparaît dans le tableau 1.16, où k est une constante réelle. * Les huit premières propriétés des limites sont données dans le tableau 1.14 (p. 22).

LIMITE ET CONTINUITÉ

29

Par exemple, si lim f ( x ) = ∞ et si lim g ( x ) = ∞, alors lim [ f ( x ) + g ( x )] = ∞ . x→ a x→ a x → a    forme ∞ + ∞

∞ Dans le cas d’expressions de la forme ∞ − ∞, , 0 × ∞, ∞ 0 ou 1∞ , le résultat ∞ varie selon les circonstances et c’est pour cette raison qu’on les qualifie de formes indéterminées. Nous traiterons certaines d’entre elles à la section 1.6. EXEMPLE 1.22

Évaluons lim ( 2 x − 4 ). On a lim x = −∞ (propriété 11) et lim 4 = 4 (prox →−∞

x →−∞

x→−∞

priété 9). Alors lim 2 x = −∞ (forme k × −∞). Par conséquent, x →−∞

lim ( 2 x − 4 ) = −∞ x →−∞    forme − ∞ − k

  EXEMPLE 1.23

Évaluons lim ( 2 x 2 + 3 x ). Puisque lim x 2 = ∞ et lim x = ∞ (propriété 10), alors x →∞

lim

x →∞

2 x2

x →∞

x →∞

= ∞ et lim 3 x = ∞ (forme k × ∞). Par conséquent, x →∞

lim ( 2 x 2 + 3 x ) = ∞ x →∞   forme ∞+ ∞

  EXEMPLE 1.24

Évaluons lim x 2 x . On a lim x 2 = ∞ (propriété 10) et lim x = ∞ (prox →∞

x →∞

x →∞

priété 13). Par conséquent, lim x 2 x x →∞  

= ∞

forme ∞× ∞

  EXEMPLE 1.25

2 . Or, l’expression au dénominateur est de la forme −x ∞ + ∞ puisque lim x 2 = ∞ et que lim x = −∞ (propriété 11). Par conséquent,

On veut évaluer lim

x →−∞

x2

x →−∞

x →−∞

2 lim 2 = 0 x − x   x →−∞

forme

 

k ∞

1.5.2 stratégiEs utilEs à l’évaluation dE limitEs À l’occasion, lors de l’évaluation de certaines limites, il faut recourir à différentes stratégies (mettre en évidence, mettre au même dénominateur, multiplier par le conjugué, etc.).

30

CHAPITRE 1

✦ RAPPEL

La mise en évidence simple

La mise en évidence simple est une technique de factorisation qui repose sur la distributivité de la multiplication sur l’addition. ab + ac = a ( b + c ) Par exemple, x 2 + 2 x = x ( x + 2 ) si on met x en évidence.

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 377.

On obtient x 2 + 2 x = x 2 (1 +

2

x

) si on met plutôt x 2 en évidence.

QUESTION ÉCLAIR 1.9 Complétez l’équation. a) 3 x − 5 = x (..................)

c) 4 + 2 x − x 3 = x 3 (.................)

b) x 2 − 4 x + 3 = x 2 (..................)

✦ RAPPEL

La fonction racine carrée

Une racine carrée d’un nombre réel x est un nombre k tel que k 2 = x . Si x > 0, alors x possède deux racines carrées réelles, l’une positive (notée x ) et l’autre négative (notée − x ). Par exemple, si on cherche les racines carrées de x = 25, on cherche les solutions de l’équation k 2 = 25 qui sont 25 = 5 et − 25 = −5. Le nombre 0 possède une seule racine carrée soit 0 = 0 . Si x < 0, alors x ne possède pas de racine carrée dans . ● Fonction racine carrée La fonction racine carrée est la fonction qui associe à chaque nombre réel x ≥ 0 sa racine carrée non négative, c’est-à-dire un nombre k ≥ 0 tel que k2 = x .

La fonction racine carrée est la fonction qui associe à chaque nombre réel x ≥ 0 sa racine carrée non négative. Elle est notée f ( x ) = x (figure 1.21). FIGURE 1.21

f (x ) =

x

y

3

f ( x) =

x

2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

x

Voici quelques propriétés de la fonction racine carrée. ab =

a b

si a ≥ 0 et b ≥ 0

a b

si a ≥ 0 et b > 0

a = b a = a

1

a2 = a

2

si a ≥ 0 si a ∈ 

P

31

LIMITE ET CONTINUITÉ

Dans la dernière propriété, on retrouve la fonction valeur absolue. Cette fonction est celle qui donne la distance entre un nombre réel x et − x si x < 0 (figure 1.22). l’origine. Rappelons que f ( x ) = x =  si x ≥ 0 x

● Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est la fonction qui donne la distance séparant un nombre réel x de l’origine. Elle est notée f ( x ) = x et est définie par  − x si x < 0 f ( x) = x =  . si x ≥ 0 x

FIGURE 1.22

f (x ) = x y

y = −x

y = x

3

f ( x) = x

2 1 –3

–2

–1

0

1

2

3

x

Illustrons la dernière propriété de la fonction racine carrée avec un nombre positif et un nombre négatif. Si a = 4 alors 4 2 =

( −3)2 = 9 = 3 = −3 .

Si a = −3 alors

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions

16 = 4 = 4 .

mathématiques, p. 398-399.

QUESTION ÉCLAIR 1.10 Complétez : 16 x 2 =

16 ...... = 4......

EXEMPLE 1.26

Évaluons lim 3 x + 1 . x →∞

lim 3 x + 1 = lim x ( 3 +

x →∞

x →∞

1

x

)

mise en évidence sim mple

= lim

(

= ∞

forme ∞ 3 + 0 par les propriétés 12 et 13

x →∞

x 3+

1

x

)

propriété des radicaux :

ab =

a

b

ab =

a

b

  EXEMPLE 1.27

Évaluons lim

x →−∞

lim

x →−∞

x2 − 2 x . x 2 (1 −

x 2 − 2 x = lim

x →−∞

= lim

(

= lim

(x

x →−∞ x →−∞

= ∞

x

x2 1 −

= lim  − x x →−∞  

2

1−

2

)

2

x

)

x

mise en évidencee simple

)

propriété des radicaux : propriété des radicaux :

(1 − 2 x ) 

x2 = x

x = − x (lorsque x est négatif)

forme − ( −∞ ) 1 − 0 par les propriétés 11 et 12

32

CHAPITRE 1

DES MOTS ET DES SYMBOLES

L

e symbole |    | fut proposé en 1876 par Karl Weierstrass (1815-1897) pour désigner la « valeur absolue » d’un nombre complexe : « Ich bezeichne den absoluten Betrag einer complex Groesse x mit |x|. » (« Je note la valeur absolue du nombre complexe x par |x|. ») Toutefois, en analyse complexe, le nom de valeur absolue ne fut pas retenu, et on parle plutôt aujourd’hui de module d’un nombre complexe. Tiré d’une forme ancienne du participe passé du verbe absoudre (« débarrasser de ses péchés »), le mot absolu semble ici faire allusion à l’élimination de l’impureté que constitue le signe du nombre. Le symbole √ fut proposé par le mathématicien allemand Christoff Rudolff (1500-1545) dans Die Coss, un ouvrage de 1525 traitant d’arithmétique. Il utilisa ce symbole pour désigner une extraction de racine. Plus tard, René Descartes (1596-1650) ajouta une barre horizontale à ce symbole, ce qui a produit la notation moderne, soit . Selon le célèbre mathématicien Leonhard Euler (1707-1783), le symbole du radical est une déformation de la lettre r, première lettre du mot latin radix (qui veut dire « racine »), mais l’historien des mathématiques F. Cajori ne partage pas cette hypothèse. Le mot racine doit être compris dans le sens d’« origine », c’est-à-dire que 5 est la racine carrée de 25 dans la mesure où 25 tire son origine du nombre 5 qu’on a mis au carré. Lorsque le nombre n’est pas un carré parfait, son origine (sa racine) étant inconnue, il faut donc l’extraire, d’où l’expression « extraire la racine carrée d’un nombre ». Par ailleurs, l’introduction d’un indice dans l’ouverture du radical, comme 3 pour désigner une racine troisième, aurait été proposée en 1629 par Albert Girard (1595-1632).

EXERCICE 1.5

Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. a) lim ( x 2 + 2 x )

c) lim 2 x − 5

4 b) lim 3 x →−∞ x − 4 x 2 − 5

d) lim

x →∞

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 11 à 17.

x →∞

x →−∞

x2 − x − 2

1.6 ÉVALUATION DE LA LIMITE

D’UNE FORME INDÉTERMINÉE Dans cette section : forme indéterminée – fonction rationnelle – racine d’un polynôme – conjugué.

● Forme indéterminée On dit d’une expression qu’elle présente une forme indéterminée en x0 si cette expression évaluée en x0 prend l’une 0 ∞ des formes , , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 1∞ , 0 0 0 ∞ ou ∞ 0 .

● Fonction rationnelle Une fonction rationnelle est une fonction P ( x) de la forme f ( x ) = , où P ( x ) et Q( x ) Q ( x ) sont des polynômes, c’est-à-dire une fonction qui se présente sous la forme d’un quotient où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

On dit d’une expression qu’elle présente une forme indéterminée en x0 si cette 0 ∞ expression évaluée en x0 prend l’une des formes suivantes : , , ∞ − ∞, 0 × ∞, 1∞, 0 ∞ 0 0 ou ∞ 0 . On qualifie ces formes d’indéterminées parce que la limite d’une telle expression lorsque x → x0 peut donner un nombre réel, ∞ ou −∞, ou encore ne pas exister sans qu’on puisse savoir à priori laquelle de ces situations se produira. Nous verrons comment, à l’aide de transformations algébriques, lever l’indétermination des trois premières formes indéterminées (les quatre autres sont généralement abordées en calcul intégral). Pour lever une indétermination en recourant au processus de limite, il faut utiliser différentes stratégies (mettre en évidence, mettre au même dénominateur, factoriser, multiplier par un conjugué, etc.).

0 0

1.6.1 indétErmination dE la formE __ 0 lorsqu’on a une fonction ration­ 0 nelle, c’est-à-dire un quotient de polynômes dont le numérateur et le dénominateur On rencontre notamment l’indétermination de type

LIMITE ET CONTINUITÉ

33

tendent tous les deux vers 0 quand x s’approche d’une certaine valeur. Pour lever l’indétermination, on utilise le théorème de factorisation de polynômes (théorème 1.3).

✦ RAPPEL

● Racine d’un polynôme Soit P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0 où ai   ∈   (pour i = 0 , 1, …, n) et où an ≠ 0, un polynôme en x de degré n ≥ 1. Le nombre réel r est une racine (ou un zéro) d’un polynôme P ( x ) si P (r ) = 0 .

La factorisation de polynômes

Soit P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0 , où ai   ∈   (pour i = 0, 1, …, n ) et où an ≠ 0, un polynôme en x de degré n ≥ 1. Le nombre réel r est une racine (ou un zéro) d’un polynôme P ( x ) si P ( r ) = 0. Par exemple, x = −1, x = 1 et x = 2 sont des racines du polynôme P ( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 − 2 x + 4 , car P ( −1) = 2 ( −1)3 − 4 ( −1)2 − 2 ( −1) + 4 = 0 P (1) = 2 (1)3 − 4 (1)2 − 2 (1) + 4 = 0 et P ( 2 ) = 2 ( 2 )3 − 4 ( 2 )2 − 2 ( 2 ) + 4 = 0

v THÉORÈME 1.3

Théorème de factorisation

Soit P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0 , où ai ∈  (pour i = 0, 1, …, n ) et où an ≠ 0, un polynôme en x de degré n ≥ 1. Si r est une racine du polynôme P ( x ) , alors P ( x ) = ( x − r )Q ( x ) où Q ( x ) est un polynôme en x de degré n − 1. Par exemple, on a déterminé que x = 1 était une racine du polynôme P ( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 − 2 x + 4 . On peut donc écrire P ( x ) = ( x − 1)Q ( x ) Pour déterminer Q ( x ), on peut effectuer une division de polynômes. Q( x ) = 2 x3 − 4 x2 − 2 x + 4 − ( 2 x3 − 2 x2 ) −2 x 2

− 2x + 4 − ( −2 x 2 + 2 x )

P ( x) x−1 x−1 2 x2 − 2 x − 4 ← Q( x )

−4 x + 4 − (− 4 x + 4 ) 0

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 377.

D’où P ( x ) = ( x − 1)( 2 x 2 − 2 x − 4 ).

QUESTIONS ÉCLAIR 1.11 1. Vérifiez que x = 3 est une racine (ou un zéro) du polynôme P ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 et factorisez ce dernier. 2. Vérifiez que x = −1 est une racine (ou un zéro) du polynôme P ( x ) = 4 x 3 + 6 x 2 + 5 x + 3 et factorisez ce dernier.

34

CHAPITRE 1

EXEMPLE 1.28

3x3 + 5 x2 − 2 x . x →−2 x2 + 2 x

Évaluons lim

0 Nous sommes en présence d’une indétermination de la forme , car le numé0 rateur et le dénominateur sont nuls quand x = −2, de sorte que x = −2 est une racine de chacun de ces polynômes. Le numérateur et le dénominateur sont divisibles par x − ( −2 ), soit x + 2, de sorte que x ( 3x2 + 5 x − 2 ) 3x3 + 5 x2 − 2 x lim = x →−2 x →−2 x2 + 2 x x( x + 2) lim

= lim

x →−2

mise en évidence

x ( x + 2 ) ( 3 x − 1) x ( x + 2)

= lim ( 3 x − 1)

théorème 1.3

simplification des facteurs communs

x →−2

= 3 ( −2 ) − 1 = −7 La simplification des facteurs communs est possible puisque x + 2 et x sont différents de 0 lorsque x → −2. En effet, lorsque x → −2, x est voisin de –2 sans être égal à –2 et x + 2 est donc différent de 0.   EXEMPLE 1.29

x3 + x2 − 5 x + 3 . x→1 x3 − 3x + 2

Évaluons lim

0 Nous sommes en présence d’une indétermination de la forme , car le numé0 rateur et le dénominateur sont nuls quand x = 1, de sorte que x = 1 est une racine de chacun de ces polynômes. Le numérateur et le dénominateur sont donc divisibles par x − 1, et

( x − 1) ( x 2 + 2 x − 3) x3 + x2 − 5 x + 3 = lim 3 x→1 x → 1 ( x − 1) ( x 2 + x − 2 ) x − 3x + 2 lim

x2 + 2 x − 3 x→1 x 2 + x − 2

= lim

Cette expression est aussi de la forme rème 1.3. On obtient

simplification du facteur commun

0 . Appliquons à nouveau le théo0

x3 + x2 − 5 x + 3 x2 + 2 x − 3 = lim x→1 x→1 x2 + x − 2 x3 − 3x + 2 lim

= lim

( x + 3) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1)

= lim

x+3 x+2

x→1

x→1

=  

4 3

théorème 1.3

théorème 1.3 et simplification

théorème 1.3

simplification du facteur commun

LIMITE ET CONTINUITÉ

35

EXEMPLE 1.30

On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1 . On veut déterminer la vitesse (instantanée) de la balle 0,5 s après le lancement. Nous avons trouvé la réponse à cette question de façon intuitive à l’exemple 1.2 (p. 6). Essayons maintenant de trouver cette vitesse instantanée de manière plus formelle. La vitesse instantanée à t = 0, 5 s correspond à la limite de la vitesse moyenne lorsque la longueur de l’intervalle de temps sur lequel celle-ci est mesurée se rapproche de 0. On note généralement la longueur de cet intervalle par le symbole ∆t ; la lettre grecque ∆ (delta) correspond au D de notre alphabet et désigne ici une faible « différence ». Dans le contexte, ∆t signifie donc un écart de temps de faible amplitude ou, si on préfère, une faible variation du temps, soit une faible variation de t. La vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps de longueur ∆t autour de 0,5 s est donc donnée par vitesse moyenne =

variation de la position de la balle sur l’intervalle longueur de l’in ntervalle

=

s ( 0, 5 + ∆t ) − s ( 0, 5 ) ( 0, 5 + ∆t ) − 0, 5

=

s ( 0, 5 + ∆t ) − s ( 0, 5 ) ∆t

Pour obtenir la vitesse instantanée à t = 0, 5 s, il suffit de laisser ∆t tendre vers 0 : vitesse instantanée = lim

∆t → 0

s ( 0, 5 + ∆t ) − s ( 0, 5 ) ∆t

 − 4, 9 ( 0, 5 + ∆t )2 + 9, 8 ( 0, 5 + ∆t ) + 1  −  − 4, 9 ( 0, 5 )2 + 9, 8 ( 0, 5 ) + 1     = lim  ∆t → 0 ∆t

(

)

 − 4, 9 0, 25 + ∆t + ( ∆t )2 + 4, 9 + 9, 8 ∆t + 1  − 4, 675  = lim  ∆t → 0 ∆t  −1, 225 − 4, 9 ∆t − 4, 9 ( ∆t )2 + 5, 9 + 9, 8 ∆t  − 4, 675  = lim  ∆t → 0 ∆t 4, 9 ∆t − 4, 9 ( ∆t )2 ∆t → 0 ∆t

= lim = lim

∆t → 0

4, 9 ∆t (1 − ∆t ) ∆t

= lim 4, 9 (1 − ∆t ) ∆t → 0

= 4, 9 m/s La vitesse instantanée de la balle 0,5 s après le lancement est de 4,9 m/s, résultat que nous avions déjà anticipé.  

36

CHAPITRE 1

QUESTION ÉCLAIR 1.12 Mettez l’expression au même dénominateur. a)

4 2 − x−1 x+2

b)

3 4 − 3x + 1 5 − x

Une autre stratégie qu’on peut employer pour lever une indétermination de la 0 forme est la mise au même dénominateur, comme l’illustrent les exemples 1.31 0 et 1.32. EXEMPLE 1.31

1 x − 4 12 Évaluons lim . x→ 3 x − 3 0 Nous sommes en présence d’une indétermination de la forme , car le numé0 rateur et le dénominateur sont nuls quand x = 3. Puisque le numérateur est la différence de deux fractions, utilisons la mise au même dénominateur. 1 ( 3) x 1 x − − 4 ( 3) 12 lim 4 12 = lim x→ 3 x − 3 x→ 3 x−3

mise au u même dénominateur

1  3− x = lim  ⋅  x → 3  12 x − 3 3− x x → 3 12 ( x − 3)

= lim = lim

− ( x − 3) ( x − 3)

x → 3 12

 1 = lim  −  x → 3  12  = −

mise en évidence

simplification du facteur commum

1 12

  EXEMPLE 1.32

1 f ( x + h) − f ( x ) . Évaluons lim . Nous sommes h→ 0 2x + 1 h 0 en présence d’une forme . 0 Soit la fonction f ( x ) =

On a f ( x + h) =

1 1 = . 2 ( x + h) + 1 2x + 2h + 1

Attention, f ( x + h) ≠ f ( x ) + f ( h) et f ( x + h) ≠ f ( x ) + h. Pour évaluer f ( x + h), il faut remplacer x par x + h dans l’expression de f ( x ).

LIMITE ET CONTINUITÉ

37

Pour évaluer cette limite, nous aurons besoin de mettre au même dénominateur. 1 1 − f ( x + h) − f ( x ) 2 ( x + h) + 1 2 x + 1 lim = lim h→ 0 h→ 0 h h 1 ( 2 x + 1) 1 ( 2 x + 2 h + 1) − ( 2 x + 2 h + 1 )( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 )( 2 x + 2 h + 1 ) = lim h→ 0 h  ( 2 x + 1) − ( 2 x + 2 h + 1) 1  = lim  ⋅  h→ 0 h  ( 2 x + 2 h + 1 )( 2 x + 1 ) = lim

2x + 1 − 2x − 2h − 1 h ( 2 x + 2 h + 1 )( 2 x + 1 )

= lim

−2 h h ( 2 x + 2 h + 1 )( 2 x + 1 )

h→ 0

h→ 0

f ( x + h) = f ( x ) + h f ( x + h) = f ( x ) + f ( h)

−2 h → 0 ( 2 x + 2 h + 1 )( 2 x + 1 )

= lim =

−2 ( 2 x + 0 + 1 )( 2 x + 1 )

=

−2 ( 2 x + 1)2

Dans le prochain chapitre, nous définirons la fonction dérivée de f ( x ) de la f ( x + ∆ x) − f ( x ) façon suivante : lim . Il est donc très important de bien com∆ x→ 0 ∆x prendre l’exemple que nous venons de voir puisque vous devrez effectuer des opérations de même nature dans les sections et les chapitres qui suivent.  

QUESTIONS ÉCLAIR 1.13 1. Si f ( x ) = 2 x + 3, évaluez f ( x + 3). 2. Si f ( x ) =

3 − x , évaluez f ( x − 1).

3. Si f ( x ) = 4 x 2 − 1, évaluez f ( x + h). 4. Si f ( x ) =

4 , évaluez f ( x + ∆ x). 5 − 3x

Ce ne sont pas seulement les fonctions rationnelles (c’est-à-dire les quotients 0 de deux polynômes) qui peuvent conduire à une indétermination de la forme . 0 On peut également rencontrer des radicaux dans le quotient de fonctions. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de l’expression au numérateur ou au dénominateur est une stratégie qu’on peut employer pour lever de telles indéterminations.

38

CHAPITRE 1

✦ RAPPEL ● Conjugué Le conjugué de l’expression f ( x ) + g ( x ) est f ( x ) − g ( x ) . Réciproquement, le conjugué de l’expression f ( x ) − g ( x ) est f ( x ) + g ( x ) .

Le conjugué d’une expression

Le conjugué de l’expression f ( x ) + g ( x ) est f ( x ) − g ( x ). Réciproquement, le conjugué de l’expression f ( x ) − g ( x ) est f ( x ) + g ( x ). Par exemple, le conjugué de 2 x − 8 est 2 x + 8 et le conjugué de x + 1 + x − 5 est x + 1 − x − 5. La multiplication de conjugués permet l’élimination de radicaux. Ainsi,

(2

x − 8 ) ( 2 x + 8 ) = ( 2 x ) + 16 x − 16 x − 64 2

= 4 x − 64 et

(

x − 5 )( x + 1 −

x+1 + =

(

x + 1) − 2

x − 5)

x+1 x−5 +

x−5 x+1 −

(

x − 5)

2

= ( x + 1) − ( x − 5 ) = x + 1 − x + 5 = 6

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 374.

QUESTIONS ÉCLAIR 1.14 1. Multipliez l’expression 3 x + 1 − 5 par son conjugué. 2. Multipliez l’expression 2 x − 1 +

3 − 4 x par son conjugué.

EXEMPLE 1.33

Évaluons lim

x→ 0

2−

4−x . x

0 Nous sommes en présence d’une indétermination de la forme , car le numé0 rateur et le dénominateur sont nuls quand x = 0. En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de l’expression au numérateur, on obtient lim

x→ 0

2−

(2 − 4 − x )(2 + 4 − x ) 4− x = lim x→ 0 x x (2 + 4 − x ) = lim

4+ 2 4− x − 2 4− x − x (2 +

x→ 0

= lim

x→ 0

= lim

x→ 0

x (2 +

x

4 − x)

1 x→ 0 2 + 4 − x 2+

(

4 − x)

2

distributivité au numéraateur

4 − (4 − x) x (2 + 4 − x )

= lim =

4 − x)

mulltiplication par le conjugué

1 4−0

simplification du facteur commun

= lim

x→ 0

x (2 +

x

4 − x)

simplification du facteur commun LIMITE ET CONTINUITÉ

39

1 = lim x→ 0 2 + 4 − x = =

2+

1 4−0

1 4

  EXEMPLE 1.34

Évaluons lim

x→ 3

6 − 2x . 2x + 3 − 3

0 Nous sommes en présence d’une indétermination de la forme , car le numé0 rateur et le dénominateur sont nuls quand x = 3. En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de l’expression au dénominateur, on obtient lim

x→ 3

( 6 − 2 x ) ( 2 x + 3 + 3) 6 − 2x = lim x → 3 2x + 3 − 3 ( 2 x + 3 − 3) ( 2 x + 3 + 3) = liim

x→ 3

(

multiplication par le conjugué

( 6 − 2 x ) ( 2 x + 3 + 3)

2x + 3) + 3 2x + 3 − 3 2x + 3 − 9 2

disstributivité au dénominateur

( 6 − 2 x ) ( 2 x + 3 + 3) x→ 3 ( 2 x + 3) − 9

= lim = lim

− ( 2 x − 6 ) ( 2 x + 3 + 3) 2x − 6

x→ 3

= lim   − ( 2 x + 3 + 3) x→ 3

= −

(

2 ( 3) + 3 + 3

simplification du facteur commun

)

= −6   EXERCICE 1.6

Évaluez la limite. 4 x2 − 7 x − 2 x → 2 x 2 + 3 x − 10

a) lim b) lim

x3 − 2 x2 + x − x2 − x + 1

c)

f ( 2 + ∆ x) − f ( 2 ) où f ( x ) = 2 − x 2 ∆x

x→1 x3

lim

∆ x→ 0

d) lim

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) 2 où f ( x ) = h 1− x

e) lim

x→ 8

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 18 à 23.

f)

lim

x →−2

8−x 2x − 4 2−x − x+6 x2 − 4

misse en évidence

40

CHAPITRE 1

__ ou dE la formE ∞ – ∞ ∞ 1.6.2 indétErmination dE la formE ∞ ∞ lorsqu’on est en présence d’un ∞ quotient dont le numérateur et le dénominateur deviennent de plus en plus grands quand x s’approche d’une certaine valeur. La mise en évidence simple est une stratégie qu’on peut utiliser pour lever ce type d’indétermination. Il faut faire atten∞ tion de ne pas présumer que la limite d’une indétermination de la forme donnera ∞ toujours 1, comme on peut le constater dans les exemples 1.35 à 1.38. On rencontre des indéterminations de la forme

EXEMPLE 1.35

2 x3 − x2 + 1 . x →−∞ 4 x 2 − x − 3

Évaluons lim

Le numérateur tend vers −∞ et le dénominateur tend vers ∞ quand x → −∞ : −∞ on est donc en présence d’une forme . Une mise en évidence simple permet ∞ de lever cette indétermination. x3 ( 2 − 2 x3 − x2 + 1 lim = x →−∞ 4 x 2 − x − 3 x →−∞ x 2 ( 4 −

) x − x ) x (2 − 1 x + 1 x )

lim

1

x

+

1

x3

3

1

3

= lim

x →−∞

= −∞

4−

1

x

−

3

mise en évidence

2

simplification du facteur commu un

x2

−∞ ( 2 − 0 + 0 )

forme

4 − 0 − 0

  EXEMPLE 1.36

On veut évaluer lim

x →∞ x 2

5 − 2x . Effectuons une mise en évidence simple. − 2x + 4

x (5 x − 2) 5 − 2x lim = x →∞ x 2 − 2 x + 4 x →∞ x 2 (1 − 2 + 4 2 ) x x lim

= lim

x →∞

= 0

5

x (1 −

forme

x − 2 x

2 +

4

x2

)

mise en évidence

simplification du facteur commun

0 − 2 ∞ (1 − 0 + 0 )

  EXEMPLE 1.37

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Quelle sera la taille de cette population à long terme ? 1+t 200 t ∞ est de la forme lorsque t → ∞, effectuons une 1+t ∞ mise en évidence pour lever l’indétermination. Comme l’expression

41

LIMITE ET CONTINUITÉ

 200 t  lim N ( t ) = lim  + 60   t →∞  1 + t

t →∞

 200 t  + 60  = lim  1 t →∞ t ( 1 + ) t   200 + 60 0+1 = 260 =

mise en évidence

simplification du facteur commun

À long terme, il y aura 260 individus dans cette population.  

QUESTION ÉCLAIR 1.15 Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. 3 x2 + 2 x + 1 x →∞ x2 + 4

1 − x4 x →−∞ x 3 + 2

a) lim

b) lim

EXEMPLE 1.38

Évaluons lim

x →∞

3x 3x et lim . 2 x →−∞ +4 x +4

x2

∞ La première limite est de la forme , tandis que la deuxième est de la ∞ −∞ forme . La stratégie pour lever ces deux indéterminations est sensiblement ∞ la même dans les deux cas. lim

x →∞

3x 3x = lim x →∞ x 2 1 + x2 + 4 ( = lim

x →∞

= lim

x →∞

= lim

x →∞

= lim

x→ ∞

=

4

3x x2 1 + 3x x 1+ 3x x 1+

4

4

x2

4

)

mise en éviden nce

propriété des radicaux :

ab =

a

b

x2

propriété des radicaux :

x2 = x

x2

x = x (quand x → ∞ ) x2

3 1 + 4 x2

3 1+0

= 3 Pour calculer la deuxième limite, les trois premières étapes sont exactement les mêmes.

42

CHAPITRE 1

lim

x →−∞

3x 3x = lim x →−∞ x 1 + +4

x2

3x x 1+

= lim

x →−∞ −

= lim

x →−∞

=

4

x2

4

x = − x (quand x → −∞ ) x2

−3 1 + 4 x2

−3 1+0

= −3   Le dernier type de forme indéterminée que nous illustrerons est la forme indéterminée ∞ − ∞. Encore une fois, il ne faut pas sauter aux conclusions et dire que ces limites valent toutes 0. Pour lever l’indétermination et évaluer ces limites, la mise en évidence simple, la mise au même dénominateur ou la multiplication par le conjugué sont généralement des stratégies appropriées. EXEMPLE 1.39

On veut évaluer lim ( 4 x 3 + 2 x 2 − 5 x + 1). Or, cette expression est de la forme x →∞

∞ − ∞ puisque lim ( 4 x 3 + 2 x 2 ) = ∞ et que lim ( −5 x + 1) = −∞ . x →∞ x →∞        forme ∞+ ∞

forme − ∞ + k

Il s’agit d’une forme indéterminée. On peut utiliser la mise en évidence simple de la plus haute puissance de x pour lever cette indétermination. lim ( 4 x 3 + 2 x 2 − 5 x + 1) = lim  x 3 ( 4 + x →∞

x →∞

= ∞

2

x

−

5

x2

+

1

x3

)

mise en évidence

forme ∞ ( 4 + 0 − 0 + 0 ) par les propriétés 9, 10 et 12

 

QUESTION ÉCLAIR 1.16 Évaluez lim ( 2 x 3 − 3 x + 2 ). Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. x →−∞

EXEMPLE 1.40

2x   1 On veut évaluer lim−  − .  x→ 2 2 − x 4 − x2  On est en présence d’une forme indéterminée du type ∞ − ∞ puisque 1 2x lim = ∞ et lim− = ∞ x→ 2 4 − x2 2 − x     x → 2−

forme

1 0+

forme

4 0+

43

LIMITE ET CONTINUITÉ

Pour évaluer cette limite, mettons d’abord les deux fractions au même dénominateur.  lim 

x → 2− 

 1  1 2x  2x − −  = xlim  2 −   → 2 2− x 4− x  2 − x ( 2 − x )( 2 + x ) 

décomposition en facteurs

 1( 2 + x )  2x = lim−  − x → 2  ( 2 − x )( 2 + x ) ( 2 − x )( 2 + x ) 

mise au même dénominateur

 (2 + x) − 2 x  = lim−   x → 2  ( 2 − x )( 2 + x ) 

soustraction de fractions

  2− x = lim−   x→ 2  (2 − x) (2 + x) 

regroupement des termees semblables

1 2+ x

= lim− x→ 2

simplification du facteur commun

1 4

=  

QUESTION ÉCLAIR 1.17 6 2 − au même dénominateur. x+3 9 − x2

Mettez l’expression

EXEMPLE 1.41

On veut évaluer lim ( x + 4 −

2 x + 1 ).

x →∞

On a une forme indéterminée du type ∞ − ∞. Pour calculer cette limite, multiplions par le conjugué. lim ( x + 4 −

2 x + 1 ) = lim

x →∞

= lim

(

x + 4) + 2

x →∞

= lim

x →∞

= lim

x →∞

= lim

x →∞

= −∞  

2 x + 1 )( x + 4 +

2x + 1 x + 4 −

x+4 +

2x + 1

2x + 1)

2x + 1

x + 4 2x + 1 −

( x + 4 ) − ( 2 x + 1) x+4 +

x+4 −

x+4 +

x →∞

= lim

(

x →∞

(

2x + 1

2x + 1)

2

simpllification du numérateur

3− x x + 4 + 2x + 1 x

(

x ( 3 x − 1) 1+

4

x

+

x ( 3 x − 1) 1 + 4x + 2 + forme

2+ 1

1

x

mise en évidence

propriété des exposaants : x

∞ ( 0 − 1) 1 + 0 +

)

2 + 0

x1 x

1

2

= x1 −

1

2

= x

1

2

=

x

44

CHAPITRE 1

UN PEU D’HISTOIRE

L

a notion de limite est à la base du calcul différentiel et du calcul intégral. Tous les concepts du calcul (continuité, discontinuité, dérivée, intégration, convergence, divergence, etc.) lui sont associés ; en fait, l’idée de limite est ce qui distingue essentiellement le calcul (différentiel et intégral) des mathématiques que vous avez apprises à l’école secondaire. Par ailleurs, la notion de limite est très complexe et n’a été solidement établie qu’à compter du milieu du xixe siècle, même si de nombreuses générations de mathématiciens y ont recouru sans en donner une définition formelle. Cette approche intuitive n’est pas exclusive au concept de limite. En effet, l’histoire des mathématiques et des sciences abonde en exemples où une idée s’est développée longuement avant qu’on ne réussisse à la définir correctement et de façon plus permanente : les grandes idées mettent du temps à atteindre leur maturité. Déjà, les Grecs de l’Antiquité avaient une intuition de cette idée maîtresse qu’est la limite. Zénon d’Élée (490-430 av. J.-C.) formula plusieurs paradoxes, comme celui d’Achille et de la Tortue, dont la résolution exige les concepts de limite et d’infini, qu’il ne maîtrisait pas. En cherchant une approximation du nombre 2π , Archimède inscrivit dans un cercle de rayon 1 des polygones réguliers à nombre croissant de

côtés. Sa démarche reposait sur le raisonnement selon lequel à mesure que le nombre de côtés du polygone augmente, le périmètre de ce dernier se rapproche de celui du cercle et, « à la limite », en donne la valeur exacte, soit 2p. Beaucoup plus tard, à l’époque de la création de la géométrie analytique par René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665) traita de quantités infinitésimales, c’est-à-dire qui tendent vers 0. Encore une fois, l’idée de limite était présente dans le raisonnement. Puis vinrent Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), qui mirent véritablement au monde le calcul différentiel et intégral en le dotant d’une terminologie, de symboles particuliers, d’algorithmes et de procédures qui permettent de résoudre des problèmes complexes et variés. Mais encore là, l’idée de limite demeurait sous-jacente et indéfinie. Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) fut le premier à reconnaître que le concept de limite est essentiel au développement du calcul différentiel et intégral. Dans les articles scientifiques qu’il rédigea pour l’Encyclopédie, il essaya de donner une idée du concept de limite, qu’il qualifia de « vraie métaphysique du calcul différentiel ». Puis vint Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), qui montra clairement l’importance du concept

de limite en calcul et qui en donna une définition s’approchant de celle que l’on connaît aujourd’hui : « Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. » Et Cauchy d’ajouter : « On dit qu’une quantité variable devient infiniment petite lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment de manière à converger vers la limite 0. » Ce fut finalement le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815-1897) qui élabora une définition du concept de limite qu’on peut qualifier de moderne. Dans sa définition, Weierstrass quantifia l’expression « s’approche indéfiniment d’une valeur fixe ». Il en vint à une définition en termes de δ et de ε : « S’il est possible de déterminer une borne δ telle que, pour toute valeur de h plus petite en valeur absolue que δ , f ( x + h ) − f ( x ) soit plus petite qu’une quantité ε aussi petite que l’on veut, alors on dira qu’on a fait correspondre à une variation infiniment petite de la variable une variation infiniment petite de la fonction. » Cela nous amène directement à la définition moderne de limite. Ainsi, on dira que lim f ( x ) = L si et seulement si ∀ε > 0, ∃δ > 0 x →a

tel que f ( x ) − L < ε lorsque 0 < x − a < δ .

EXERCICE 1.7

Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. a)

x2 − x + 2 x →−∞ 1 − x3

d) lim

4 x3 − 8 x →∞ 2 x 3 + x − 1

 3 2  e) lim+  −  x → 1 ( x − 1)2 x − 1 

3 − x2 x →−∞ 2 x + 1

f) lim ( x + 1 −

lim

b) lim Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 24 à 31.

c)

lim

x →−∞

x →∞

4 x2 − 1 x+2

x)

1.7 CONTINUITÉ

Dans cette section : discontinuité non essentielle par trou – discontinuité non essentielle par déplacement – discontinuité essentielle par saut – discontinuité essentielle par manque – discontinuité essentielle infinie – fonction continue en un point – fonction discontinue en un point – fonction composée – fonction continue sur un intervalle.

Dans le langage courant, le mot « continu » désigne un phénomène qui ne présente pas d’interruptions ni de changements brusques ou instantanés d’état dans le temps.

LIMITE ET CONTINUITÉ

45

Ainsi, un objet en mouvement ne peut pas disparaître et réapparaître à un autre endroit pour continuer son déplacement. Le déplacement d’un objet en fonction du temps est donc un phénomène continu. Il en est de même pour la vitesse et l’accélération de cet objet. La croissance d’un individu, d’un animal ou d’une plante se fait elle aussi de façon continue. La désintégration d’une substance radioactive, la quantité de médicament présente dans le sang d’un individu après son ingestion et la température d’un objet dans un milieu ambiant stable sont des phénomènes très différents, mais tous continus.

1.7.1 typologiE dEs discontinuités possiblEs d’unE fonction Mais comment peut-on, à l’aide du graphique ou de l’équation d’une fonction, déterminer si celle-ci est continue ou non ? Intuitivement, on devrait pouvoir tracer le graphique d’une fonction continue sans avoir à lever la pointe du crayon. Le graphique d’une fonction qui n’est pas continue devrait comporter des trous ou des sauts, qui empêcheraient de le tracer sans lever la pointe du crayon. Avant de définir la continuité d’une fonction en un point, étudions quelques graphiques (figure 1.23). FIGURE 1.23

Graphiques de fonctions continues ou discontinues en x = a a)

y

y

b)

y

c)

f ( a) b

b

a a

x

a

x

x

f ( a)

d)

y

e)

y

f)

y

b c = f (a) x

a

x

x

a a

Lorsqu’on trace le graphique de la fonction décrite dans la figure 1.23 a, il n’est pas nécessaire de lever la pointe du crayon en x = a . Par conséquent, on peut penser que la fonction est continue en ce point. Par ailleurs, on remarque que f ( a ) existe et que lim f ( x ) = f ( a ) . x→ a

Par contre, les fonctions décrites dans les autres graphiques de la figure 1.23 ne présentent pas la caractéristique recherchée pour les fonctions continues en x = a . En effet, pour tracer le graphique de chacune de ces fonctions, il faut lever la pointe du crayon en x = a . Toutefois, les discontinuités observées dans ces graphiques ne sont pas toutes de même nature. Essayons de déterminer ce qui explique ces discontinuités.

46

CHAPITRE 1

La fonction de la figure 1.23 b n’est pas continue en x = a , car elle n’est pas définie en ce point, c’est-à-dire que f ( a ) n’existe pas. Il y a un trou dans le graphique de la fonction. Par contre, le fait que la fonction ne soit pas définie en x = a n’empêche pas la limite quand x tend vers a d’exister : lim f ( x ) = b. On dit alors x→ a

● Discontinuité non essentielle par trou La fonction f ( x ) admet une discontinuité non essentielle par trou en x = a si elle n’est pas définie en x = a , mais que lim f ( x ) = b, où b est un x→ a

qu’il y a une discontinuité non essentielle par trou en x = a puisqu’on peut très facilement définir cette fonction en x = a pour la rendre continue en ce point. En effet, il suffit de combler le trou en posant f ( a ) = b. La fonction de la figure 1.23 c n’est pas continue en x = a . Pourtant, f ( a ) existe, et la limite quand x tend vers a existe elle aussi : lim f ( x ) = b. On peut x→ a

nombre réel.

● Discontinuité non essentielle par déplacement La fonction f ( x ) admet une discontinuité non essentielle par déplacement en x = a si elle est définie en x = a , mais que lim f ( x ) = b ≠ f ( a ), où b x→ a

est un nombre réel.

cependant constater que lim f ( x ) ≠ f ( a ) . On dit alors qu’il y a une discontinuité x→ a

non essentielle par déplacement en x = a puisqu’on peut aisément redéfinir la fonction en x = a pour qu’elle soit continue en ce point. En effet, il suffit de déplacer le point pour combler le trou en posant f ( a ) = b. La fonction de la figure 1.23 d n’est pas continue en x = a même si elle est définie en ce point. Il y a un saut dans la fonction, c’est-à-dire un changement brusque et instantané d’état en ce point. La discontinuité s’explique du fait que la limite quand x tend vers a n’existe pas parce que lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ), même si x→ a

● Discontinuité essentielle par saut La fonction f ( x ) admet une discontinuité essentielle par saut en x = a si les limites à gauche et à droite de x = a sont des nombres réels, mais que lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) . x→ a

x→ a

● Discontinuité essentielle par manque La fonction f ( x ) admet une discontinuité essentielle par manque en x = a si elle n’est pas définie pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle centré en x = a . ● Discontinuité essentielle infinie La fonction f ( x ) admet une discontinuité essentielle infinie en x = a si au moins une des deux limites, lim− f ( x ) x→ a

ou lim+ f ( x ), donne ∞ ou −∞. x→ a

x→ a

ces deux dernières limites sont des nombres réels. On dit alors qu’il y a une discontinuité essentielle par saut en x = a . Finalement, pour les fonctions de la figure 1.23 e et 1.23 f, f ( a ) et la limite quand x tend vers a n’existent pas. Elles sont toutes les deux discontinues en x = a . La figure 1.23 e illustre une discontinuité essentielle par manque en x = a , tandis que la figure 1.23 f illustre une discontinuité essentielle infinie en x = a .

QUESTIONS ÉCLAIR 1.18 1. Si f ( 2 ) = 5 et si lim f ( x ) = 3, quel type de discontinuité la fonction f ( x ) x→ 2

admet-elle en x = 2 ? 2. Si lim − f ( x ) =

1

x →−3

2

et si lim + f ( x ) = −2, quel type de discontinuité la x →−3

fonction f ( x ) admet-elle en x = −3 ? 1 3. Soit la fonction f ( x ) = . Évaluez lim − f ( x ) et déterminez la nature x →−1 x+1 de la discontinuité de la fonction f ( x ) en x = −1. 2x − 6 4. Soit la fonction f ( x ) = 2 . Évaluez lim f ( x ) et déterminez la nature x→ 3 x −9 de la discontinuité de la fonction f ( x ) en x = 3.

1.7.2 définition dE la continuité En un point

● Fonction continue en un point Une fonction f ( x ) est continue en un point x = a si et seulement si f ( a ) existe, lim f ( x ) existe et lim f ( x ) = f ( a ) . x→ a

x→ a

Les graphiques présentés dans la figure 1.23 ont permis de déterminer les caractéristiques que doit présenter une fonction pour être continue en un point. On peut donc définir de façon plus formelle la continuité en un point d’une fonction : une fonction f ( x ) est continue en un point x = a si et seulement si : ■ ■ ■

f ( a ) existe ; lim f ( x ) existe ;

x→ a

lim f ( x ) = f ( a ) .

x→ a

LIMITE ET CONTINUITÉ

● Fonction discontinue en un point Une fonction f ( x ) est discontinue en x = a si elle n’est pas continue en ce point.

47

Une fonction qui n’est pas continue en un point est dite discontinue en ce point. Ainsi, on doit comprendre de cette définition de la continuité d’une fonction en x = a que la valeur de la fonction, pour des valeurs de x proches de a, ne doit pas trop s’écarter de la valeur de la fonction en x = a , soit de f ( a ). En fait, autour de x = a , la valeur de la fonction doit être très proche de ce qu’elle vaut en a ; en somme, elle doit être aussi proche que l’on veut de f ( a ). Par conséquent, la fonction ne doit pas subir de brusques variations instantanées autour de x = a , de façon qu’on puisse en tracer le graphique sans lever la pointe du crayon. EXEMPLE 1.42

Le coût C ( x ) de la consommation quotidienne de x kWh d’un abonné d’HydroQuébec est donné par la fonction 5, 32 x + 40, 64 si x ≤ 30 C ( x) =   7, 51 x − 25, 06 si x > 30 On veut déterminer si la fonction coût est continue en x = 30 kWh. Il faut  donc vérifier si la fonction est définie en x = 30, si lim C ( x ) existe et si x → 30 lim C ( x ) = C ( 30 ). x → 30

On a C ( 30 ) = 5, 32 ( 30 ) + 40, 64 = 200, 24 ¢. De plus, comme la fonction est définie par des expressions différentes selon qu’on est à gauche ou à droite de x = 30, il faut évaluer lim − C ( x ) et lim + C ( x ) pour déterminer si la limite existe

FIGURE 1.24

Coût (¢)

Coût en fonction de la consommation

x → 30

x → 30

lorsque x tend vers 30. On obtient 400

lim C ( x ) = lim − ( 5, 32 x + 40, 64 ) = 5, 32 ( 30 ) + 40, 64 = 200, 24 ¢

C(x)

350

x → 30 −

300 250

lim C ( x ) = lim + ( 7, 51 x − 25, 06 ) = 7, 51( 30 ) − 25, 06 = 200, 24 ¢

200

x → 30 +

150

x → 30

Par conséquent, lim C ( x ) = 200, 24 = C ( 30 ). La fonction coût est donc x → 30

100

continue en x = 30 kWh. Le graphique de la fonction coût (figure 1.24) confirme d’ailleurs ce résultat : on peut tracer le graphique de la fonction sans lever la pointe du crayon en x = 30.

50 0

x → 30

et

0

10

20

30

40

50 x (kWh)

  EXEMPLE 1.43

Pour stationner votre voiture sur un terrain de stationnement, vous devez payer 3 $ pour la première heure (ou fraction d’heure) et 2 $ pour chaque heure (ou fraction d’heure) additionnelle jusqu’à un maximum de 10 $ par jour. La fonction donnant le coût de stationnement en fonction du temps t (en heures) est donnée par 03 05  C ( t ) = 07 09  10

si si si si si

0 1 2 3 4

< < < <
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Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 32 à 38.

Q(t)

175

75 50 25 0

0

2

4

6

8

10

12

14 t (h)

a) Estimez les valeurs de t pour lesquelles la fonction est discontinue. b) À quoi ces discontinuités correspondent-elles dans le contexte ?  16 − x 2 si x ≠ − 4  3. Soit la fonction f ( x ) =  x + 4 . Déterminez la valeur de k k si x = − 4 pour laquelle la fonction f ( x ) est continue en x = −4.

1.7.3 propriétés dEs fonctions continuEs Les polynômes sont des fonctions continues en tout point, comme l’indique le théorème 1.4.

v THÉORÈME 1.4 Si P ( x ) est un polynôme en x de degré n ≥ 0 et si a est un nombre réel, alors P ( x ) est une fonction continue en x = a .

prEuvE En vertu du théorème 1.2, on a lim P ( x ) = P ( a ) pour tout nombre x→ a

réel  a.  Par conséquent, la fonction P ( x ) est définie en x = a , lim P ( x ) x→ a

existe et lim P ( x ) = P ( a ) , de sorte que la fonction P ( x ) est continue en x = a.

x→ a

50

CHAPITRE 1

EXEMPLE 1.45

La fonction f ( x ) = x est continue pour tout nombre réel a. − x si x < 0 . Si a < 0, alors f ( x ) est continue En effet, on a f ( x ) =  − x si x ≥ 0 en x = a , car, pour x < 0, f ( x ) = − x est un polynôme et est donc une fonction continue en vertu du théorème 1.4. De même, si a > 0, alors f ( x ) est continue en x = a , car, pour x > 0, f ( x ) = x est aussi un polynôme. Il reste donc à analyser le comportement de la fonction en x = 0. On a f ( 0 ) = 0 . De plus, comme la fonction est définie par des expressions différentes à gauche et à droite de x = 0, il faut évaluer la limite à gauche et à droite afin de déterminer si lim f ( x ) existe. Or, x→ 0

lim f ( x ) = lim− ( − x ) = 0 et lim+ f ( x ) = lim+ x = 0

x → 0−

x→ 0

x→ 0

x→ 0

On a donc lim f ( x ) = 0 = f ( 0 ), de sorte que la fonction f ( x ) est continue x→ 0

en x = 0. Par conséquent, f ( x ) = x est continue pour tout nombre réel a.   Le théorème 1.5 indique des propriétés importantes des fonctions continues.

v THÉORÈME 1.5 Si f ( x ) et g ( x ) sont deux fonctions continues en x = a , alors 1. f + g est continue en x = a ; 2. f − g est continue en x = a ; 3. fg est continue en x = a ; 4.

f est continue en x = a si g ( a ) ≠ 0 et est discontinue en x = a g si g ( a ) = 0.

prEuvE Puisque f ( x ) et g ( x ) sont continues en x = a , alors lim f ( x ) = f ( a ) et x→ a lim g ( x ) = g ( a ). x→ a

1. lim ( f + g )( x ) = lim [ f ( x ) + g ( x )] x→ a x→ a = lim f ( x ) + lim g ( x ) x→ a

x→ a

= f (a) + g (a) = ( f + g )( a ) de sorte que f + g est continue en x = a . 2. lim ( f − g )( x ) = lim [ f ( x ) − g ( x )] x→ a x→ a = lim f ( x ) − lim g ( x ) x→ a

x→ a

= f (a) − g (a) = ( f − g )( a ) de sorte que f − g est continue en x = a .

P

LIMITE ET CONTINUITÉ

51

3. lim ( fg )( x ) = lim [ f ( x ) g ( x )] x→ a x→ a =  lim f ( x )  lim g ( x )  x→ a   x→ a  = f (a) g (a) = ( fg )( a ) de sorte que fg est continue en x = a . f n’est pas définie en x = a et est donc discontinue g en x = a . Supposons donc que g ( a ) ≠ 0. On a alors

4. Si g ( a ) = 0, alors

 f    f ( x)  lim   ( x ) = lim   x→ a  g    x→ a  g ( x )  =

lim f ( x )

x→ a

lim g ( x )

x→ a

=

f (a) g (a)

f =   (a)  g de sorte que

f est continue en x = a si g ( a ) ≠ 0. g

Le théorème 1.6 traite de la continuité des fonctions rationnelles, soit des foncP ( x) tions de la forme f ( x ) = , où P ( x ) et Q ( x ) sont des polynômes. Q( x )

v THÉORÈME 1.6 P ( x) une fonction rationnelle, alors f ( x ) est continue en Q( x ) x = a si Q ( a ) ≠ 0 et est discontinue en x = a si Q ( a ) = 0. Autrement dit, une fonction rationnelle est continue pour toutes les valeurs réelles de x qui n’annulent pas le dénominateur. Soit f ( x ) =

prEuvE P ( x) une fonction rationnelle et soit a un nombre réel. Q( x ) Comme P ( x ) et Q ( x ) sont des polynômes, elles sont des fonctions continues en x = a (théorème 1.4). Par conséquent, f ( x ) est un quotient de P ( x) deux fonctions continues. Par le théorème 1.5, f ( x ) = est continue Q( x ) si Q ( a ) ≠ 0 et est discontinue si Q ( a ) = 0. Soit f ( x ) =

52

CHAPITRE 1

EXEMPLE 1.46

x2 − 1 . Déterminons les valeurs de x pour lesquelles 2x + 4 cette fonction est continue. Soit la fonction f ( x ) =

La fonction f ( x ) est une fonction rationnelle. Le dénominateur s’annule quand x = −2. En vertu du théorème 1.6, la fonction f ( x ) est continue si x ≠ −2 (et discontinue si x = −2). Par conséquent, la fonction f ( x ) est continue sur \ {−2}.   EXEMPLE 1.47

 x−3 si x < 0  Soit la fonction f ( x ) =  x 2 − 16 . Déterminons les valeurs de x pour  x + 1 si x ≥ 0 lesquelles cette fonction est continue. Si x < 0, la fonction f ( x ) est une fonction rationnelle. Elle est donc continue pour toutes les valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur. Sur l’intervalle ]−∞, 0[ , le dénominateur s’annule seulement lorsque x = −4. En vertu du théorème 1.6, la fonction f ( x ) n’est pas continue si x = −4. Si x > 0, la fonction f ( x ) est la somme de deux fonctions continues, de sorte que, en vertu du théorème 1.5, elle est continue. Il reste à vérifier ce qui se passe en x = 0 puisque la fonction change de nature en ce point. On a x−3 3 lim f ( x ) = lim− 2 = et lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1 x → 0− x → 0 x − 16 x→ 0 x→ 0 16 Par conséquent, lim f ( x ) n’existe pas, de sorte que la fonction n’est pas contix→ 0 nue en x = 0.  

On peut donc conclure que la fonction f ( x ) est continue sur \ {− 4,  0} .

✦ RAPPEL ● Fonction composée Si f et g sont deux fonctions, alors la fonction composée de f et de g est la fonction h ( x ) = f ( g ( x ) ). On note aussi cette fonction f  g et on dit « f rond g ».

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 392.

La composition de fonctions

La composition de fonctions est l’application successive de deux fonctions. Si f et g sont deux fonctions, la fonction composée de f et de g est la fonction h( x ) = f ( g ( x )). On note aussi cette fonction f  g et on dit « f rond g». Par exemple, si f ( x ) = x + 1 et si g ( x ) = x 3, alors f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = x 3 + 1 et g ( f ( x )) = g ( x + 1) = ( x + 1)3

Cet exemple permet de constater qu’en général f ( g ( x )) ≠ g ( f ( x )).

Le théorème 1.7 nous renseigne sur la continuité d’une composition de fonctions.

v THÉORÈME 1.7 Si la fonction g est continue en a et si la fonction f est continue en g ( a ) , alors la fonction f ( g ( x )) est continue en a, c’est-à-dire que lim f ( g ( x )) = f ( g ( a ))

x→ a

Autrement dit, la composition de deux fonctions continues est continue.

LIMITE ET CONTINUITÉ

53

Voici un raisonnement intuitif qui devrait vous convaincre de la validité de ce théorème. On a g ( x ) → g ( a ) quand x → a, car la fonction g est continue en a. Alors, puisque la fonction f est continue en g ( a ) , f ( g ( x )) → f ( g ( a )) quand g ( x ) → g ( a ). Par conséquent, f ( g ( x )) → f ( g ( a )) quand x → a et la fonction f ( g ( x )) est continue en a. EXEMPLE 1.48

On veut évaluer lim

x→ 2

Posons g ( x ) =

x2 − 6 x . 2x + 1

x2 − 6 x et f ( x ) = x . Alors, on a 2x + 1 x2 − 6 x  x2 − 6 x  f ( g ( x )) = f  =   2x + 1  2x + 1

De plus, en vertu du théorème 1.6, la fonction g ( x ) est continue en x = 2, car c’est une fonction rationnelle et que le dénominateur ne s’annule pas en x = 2. La fonction f ( x ) est continue en g ( 2 ) puisqu’elle est continue sur . Par conséquent, en vertu du théorème 1.7, la fonction f ( g ( x )) = nue en x = 2, de sorte que lim

x→ 2

 

x2 − 6 x est conti2x + 1

8 x2 − 6 x 22 − 6 ( 2 ) −8 = . = = 2(2) + 1 5 5 2x + 1

EXEMPLE 1.49

Déterminons les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction 12  3 − 2x  h( x ) =    2x + 1

est continue. Posons g ( x ) =

3 − 2x et f ( x ) = x12 . Alors, on a 2x + 1

12  3 − 2x   3 − 2x  f ( g ( x )) = f  =  = h( x )    2x + 1  2x + 1

En vertu du théorème 1.6, la fonction g ( x ) est continue sur \ {− 1 2}, car c’est une fonction rationnelle dont le dénominateur s’annule seulement en x = − 1 2 . La fonction f ( x ) est continue en g ( a ) pour a ∈   \ {− 1 2} , car c’est un polynôme. Par conséquent, en vertu du théorème 1.7, la fonction 12  3 − 2x  f ( g ( x )) =  = h( x )   2x + 1

 

est continue sur \ {− 1 2}.

54

CHAPITRE 1

EXERCICES 1.9

1. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction est continue. a) f ( x ) =

x+2 ( x − 1)( 2 x + 3) si x < 1

 x2   b) f ( x ) =  x 2x + 1  6 − x

si 1 ≤ x ≤ 4 si x > 4

2. Évaluez la limite. a) lim 4 x 2 + 2 x + 1 x →−2

b) lim

x→ 0

x+4 +3 5x − 1

 1 − x2  c) lim  x→ 3  2 x − 2  

5

1.7.4 continuité sur un intErvallE ● Fonction continue sur un  intervalle Une fonction f ( x ) est continue sur un intervalle ]a ,  b[ si elle est continue pour tout x ∈ ]a ,  b[ . De plus, f ( x ) est continue sur l’intervalle [ a ,  b ] si elle est continue sur l’intervalle ouvert ]a ,  b[ et si lim+ f ( x ) = f ( a ) et lim− f ( x ) = f ( b ). x→ a

On a défini la continuité en un point. Voyons maintenant comment on peut étendre cette définition à un intervalle. On dit qu’une fonction f ( x ) est continue sur un intervalle ]a,  b[ si elle est continue pour tout x ∈ ]a,  b[. De plus, une fonction f ( x ) est continue sur un intervalle [ a,  b] si elle est continue sur l’intervalle ouvert ]a,  b[ et si lim+ f ( x ) = f ( a ) et lim− f ( x ) = f ( b). x→ a

x→b

EXEMPLE 1.50

x→ b

Considérons la fonction f ( x ) = continue sur [ −2,  2 ].

4 − x 2 . On veut montrer que cette fonction est

Prenons a ∈ ]−2,  2[. On a 4 − x 2 > 0 , de sorte qu’en vertu de la propriété 8, lim f ( x ) = lim 4 − x 2 =

x→ a

x→ a

lim ( 4 − x 2 ) =

x→ a

4 − a2 = f ( a )

La fonction f ( x ) est donc continue sur ]−2,  2[ . Regardons maintenant ce qui se passe légèrement à droite de x = −2. Si x → −2 + , alors 4 − x 2 > 0 et 4 − x 2 → 0 +, de sorte que l’expression 4 − x 2 → 0 + . Par conséquent, lim + 4 − x 2 = 0 = f ( −2 ). De plus, si x → 2 − , x →−2

alors 4 − x 2 > 0 et 4 − x 2 → 0 +, de sorte que l’expression

Par  conséquent, lim− 4 − x 2 = 0 = f ( 2 ). La fonction f ( x ) est donc continue

MaBiblio > Multimédia > 7. Continuité d’une fonction définie par parties Accédez directement à l’animation. goo.gl/RtpNgc

4 − x2 → 0+ .

 

sur [ −2,  2 ].

x→ 2

EXEMPLE 1.51

On veut déterminer la valeur de la constante k pour laquelle la fonction 4 x + 2 si x ≤ 1 f ( x) =  est continue sur . k − x si x > 1

LIMITE ET CONTINUITÉ

55

Si x < 1, f ( x ) est continue, car 4 x + 2 est un polynôme. De plus, si x > 1, f ( x ) est aussi continue, car k − x est également un polynôme. Il reste à analyser le comportement de la fonction en x = 1. On a f (1) = 4 (1) + 2 = 6 . Pour que f ( x ) soit continue en x = 1, il faut que lim f ( x ) = f (1) = 6. Or, on a x→1

lim− f ( x ) = lim− ( 4 x + 2 ) = 6 et lim+ f ( x ) = lim+ ( k − x ) = k − 1, de sorte que

x→1

x→1

x→1

x→1

la fonction est continue en x = 1 si et seulement si k − 1 = 6, c’est-à-dire si et seulement si k = 7. Pour que f ( x ) soit continue sur , il faut donc que k = 7.   EXERCICES 1.10

1. Déterminez si la fonction est continue sur l’intervalle donné.

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Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 39 à 43.

a) f ( x ) =

x + 3 sur l’intervalle [ −3,  ∞[

b) f ( x ) =

5x − 4 sur l’intervalle [ −5,  3] x 2 − 16

 x2 + 1  c) f ( x ) =  1 + x   3x + 1  x + 2

si x ≤ 0 si 0 < x < 3 si x ≥ 3

sur l’intervalle [ −1,  5 ] 2. Déterminez la valeur de la constante k pour laquelle la fonction est continue sur l’ensemble des réels. si x ≤ −1 − 4 − 2 x a) f ( x ) =  2  x + kx − 2 si x > −1 4 − kx 2 b) f ( x ) =  1 kx − 2

si x < 2 si x ≥ 2

Résumé Le concept de limite est l’idée maîtresse du calcul différentiel et intégral. À titre d’exemple, il est sous-jacent au calcul d’une vitesse instantanée, à l’évaluation du taux de croissance d’une population, à la détermination de la pente de la tangente à une courbe en un point et à l’évaluation de l’aire sous une courbe. On y a également recours pour vérifier la continuité d’une fonction en un point ou sur un intervalle.

Comme nous l’avons énoncé dans le théorème 1.1, pour qu’une limite existe, il faut obtenir le même résultat, qu’on approche le nombre a par des valeurs inférieures à a, soit x → a − , ou qu’on l’approche par des valeurs supérieures à a, soit x → a + . En vertu de ce théorème, on a donc

On peut estimer une limite à partir d’un tableau de valeurs ou encore à partir d’un graphique. Toutefois, ces façons de faire ne sont pas totalement satisfaisantes puisqu’il s’agit essentiellement d’une estimation et non d’une évaluation exacte. Pour évaluer une limite de façon plus formelle, il faut généralement recourir aux propriétés des limites énoncées dans les tableaux 1.14 (p. 22) et 1.15 (p. 28).

On peut étendre le concept de limite aux limites à l’infini, c’est-à-dire en traitant du cas où x augmente sans fin ( x → ∞ ) ou diminue sans fin ( x → −∞). Dans les cas particuliers où lim f ( x ) = b ou lim f ( x ) = b, on dira que

Pour noter qu’une fonction f ( x ) tend vers le nombre réel L lorsque x se rapproche de a, on écrit lim f ( x ) = L . x→ a

lim f ( x ) = L ⇔

x→ a

x →∞

lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = L

x → a−

x→ a

x →−∞

la courbe décrite par la fonction f ( x ) admet une asymp­ tote horizontale d’équation y = b , c’est-à-dire que plus la valeur de x augmente (voire diminue), plus la courbe décrite par la fonction f ( x ) se rapproche de la droite y = b, de sorte que l’écart entre la courbe décrite par la fonction f ( x ) et

56

CHAPITRE 1

la droite y = b s’amenuise au point de tendre vers 0, soit de devenir négligeable. On peut également parler de limites infinies quand la valeur d’une fonction devient de plus en plus grande (ou de plus en plus petite) lorsqu’on laisse x se rapprocher de a. On écrit alors que lim f ( x ) = ∞ [ou respectivement x→ a

lim f ( x ) = −∞]. Comme précédemment, on peut laisser x

x→ a

s’approcher de a par la gauche ou par la droite. Une fonction f ( x ) admet une asymptote verticale en x = a lorsqu’une des limites, lim− f ( x ) ou lim+ f ( x ) , donne ∞ ou −∞. x→ a

x→ a

Ce cas peut se produire notamment lorsque la fonction f ( x ) comporte un dénominateur qui s’annule en x = a ou encore lorsqu’elle comporte un logarithme dont l’argument s’annule en x = a . L’évaluation de certaines limites, particulièrement dans le cas de formes indéterminées, se fait au moyen de certaines stratégies. Lorsqu’on évalue la limite d’une fonction en x = a , il peut être nécessaire d’évaluer les limites à gauche et à droite pour déterminer si la limite existe en ce point. Parmi les stratégies utiles pour lever une indétermina0 ∞ tion du type , ou ∞ − ∞, les plus importantes sont : 0 ∞ effectuer une mise en évidence, factoriser une expression, mettre au même dénominateur, multiplier par un conju­ gué et simplifier une expression. Dans le langage courant, le mot continu désigne un phénomène qui ne présente pas d’interruptions ni de changements brusques ou instantanés d’état dans le temps. Tel est généralement le cas du déplacement d’un objet, de la croissance d’un individu ou d’une population, de la désintégration d’une substance radioactive et de bien d’autres phénomènes encore. Si l’on représente graphiquement des phénomènes continus, on doit pouvoir les décrire par une courbe qu’on peut tracer sans lever la pointe du crayon. De manière plus formelle, on dira qu’une fonction f ( x ) est continue en un point x = a si trois conditions sont satisfaites : ■

a ∈ Dom f , c’est-à-dire que la fonction est définie en x = a ou encore que f ( a ) existe ;

■ ■

lim f ( x ) existe ;

x→ a

lim f ( x ) = f ( a ) .

x→ a

Une fonction f ( x ) continue en x = a est donc telle que sa valeur, pour des valeurs de x voisines de a, est très proche de la valeur de f ( a ). Par ailleurs, si une fonction est continue en tous les points d’un intervalle, on dira qu’elle est continue sur cet intervalle. Soulignons au passage que les fonctions polynomiales sont continues sur l’ensemble des réels et que les fonctions rationnelles, soit les fonctions formées d’un quotient de deux polynômes, le sont là où elles sont définies. Notons aussi que les théorèmes 1.4 (p. 49), 1.5 (p. 50), 1.6 (p. 51) et 1.7 (p. 52) énoncent des propriétés importantes des fonctions continues, notamment en ce qui a trait aux opérations arithmétiques sur des fonctions continues et sur la composition de fonctions continues. Par contre, on qualifie une fonction qui n’est pas continue en x = a de fonction discontinue en ce point. Il existe une typologie des différentes discontinuités possibles d’une fonction en x = a . Ainsi, ■

la fonction f ( x ) admet une discontinuité non essen­ tielle par trou en x = a si elle n’est pas définie en x = a , mais que lim f ( x ) existe (figure 1.23 b, p. 45) ; x→ a

■

la fonction f ( x ) admet une discontinuité non essen­ tielle par déplacement en x = a si elle est définie en x = a , mais que lim f ( x ) = b ≠ f ( a ), où b est x→ a

un nombre réel (figure 1.23 c, p. 45) ; ■

la fonction f ( x ) admet une discontinuité essen­ tielle par saut en x = a si les limites à gauche et à  droite de a sont des nombres réels, mais que lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) (figure 1.23 d, p. 45) ; x→ a

■

■

x→ a

la fonction f ( x ) admet une discontinuité essen­ tielle par manque en x = a si elle n’est pas définie pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle centré en a (figure 1.23 e, p. 45) ; la fonction f ( x ) admet une discontinuité essen­ tielle infinie en x = a si une des deux limites lim− f ( x ) ou lim+ f ( x ) donne ∞ ou −∞ (figure 1.23 f, x→ a

x→ a

p. 45).

Mots clés Asymptote, p. 18 Asymptote horizontale, p. 21 Asymptote verticale, p. 18 Conjugué, p. 38 Discontinuité essentielle infinie, p. 46 Discontinuité essentielle par manque, p. 46

Discontinuité essentielle par saut, p. 46 Discontinuité non essentielle par déplacement, p. 46 Discontinuité non essentielle par trou, p. 46 Domaine d’une fonction, p. 12 Fonction composée, p. 52

Fonction continue en un point, p. 46 Fonction continue sur un intervalle, p. 54 Fonction discontinue en un point, p. 47 Fonction racine carrée, p. 30 Fonction rationnelle, p. 32 Fonction valeur absolue, p. 31

LIMITE ET CONTINUITÉ

Forme indéterminée, p. 32 Limite, p. 12 Limite à droite, p. 14 Limite à gauche, p. 14

Limite à l’infini, p. 20 Limite à moins l’infini, p. 20 Limite infinie, p. 16

57

Racine d’un polynôme, p. 33 Vitesse instantanée, p. 7 Vitesse moyenne, p. 6

Réseau de concepts Limite

Notations

Estimation

lim f ( x)

x→ a

lim f ( x)

x → a+

x →−∞

x →∞

lim f ( x)

• à l’aide d’un graphique • à l’aide d’un tableau de valeurs

lim f ( x)

x → a−

Stratégies d’évaluation • • • • • • •

lim f ( x)

Formes indéterminées 0 ∞ , ,∞ − ∞ 0 ∞

Substitution d’une valeur Utilisation des propriétés Mise en évidence Factorisation Simplification d’une fraction Mise au même dénominateur Multiplication par un conjugué

Continuité

• En un point : lim f ( x) = f (a) x→ a

• Sur un intervalle

  non essentielle  Typologie des discontinuités   essentielle  

 par trou   par déplacement  par saut   par manque  infinie 

Exercices récapitulatifs Sections 1.1 à 1.2.2

g)

1. À partir du graphique suivant, estimez l’expression.

lim f ( x )

l)

x →−2 +

h) lim f ( x )

x→1

m) f ( 3)

x →−2

y

lim f ( x )

5

i)

f (1)

n) lim− f ( x )

4

j)

lim− f ( x )

o) lim+ f ( x )

f (x)

x→ 3

x→1

x→ 3

k) lim+ f ( x )

3

p) lim f ( x )

x→1

x→ 3

2 1 –4

–3

–2

–1

0

x3 + 3 x2 + x − 1 . Estimez la limite 3x + 3 en complétant le tableau de valeurs.

2. Soit la fonction f ( x ) = 1

2

3

4

5

x

a) lim f ( x )

–1

x→1

–2

a) f ( 2 )

d) lim f ( x )

b) lim− f ( x )

e) f ( −2 )

x→ 2

c)

lim f ( x )

x → 2+

x→ 2

f)

lim f ( x )

x →−2 −

x f (x)

0,9

0,99

0,999

0,999 9 1 1,0 00 1 1,001

1,01

1,1

58

CHAPITRE 1

b) lim f ( x )

3x − 5 . Estimez la limite graphiquex−2 ment et à l’aide d’un tableau de valeurs. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu.

7. Soit la fonction f ( x ) =

x →−1

x

–1,1 –1,01 –1,001 –1,000 1 –1 –0,999 9 –0,999 –0,99 –0,9

a) lim f ( x )

y

x→ 2

f (x)

b)

8

lim f ( x )

c) lim f ( x ) x →∞

si x ≤ 0  x + 1 3. Soit la fonction f ( x ) =  . Estimez la 2 1 si x > 0 x +  limite à l’aide d’un tableau de valeurs. a) lim f ( x )

y=3

 3x + 2 si x ≤ 4  4 4. Soit la fonction f ( x ) =  . Estimez la x + 1 si x > 4  x limite à l’aide d’un tableau de valeurs. c) lim f ( x )

x→1

x→ 4

b) lim f ( x )

2 1

2

•

lim f ( x ) = −4

•

x →−∞

Sections 1.2.3 à 1.2.6

• lim f ( x ) = 4

•

• f (0) = 6

•

x→ 0

lim f ( x ) = 6

lim f ( x ) = 0

lim f ( x ) = ∞

x → 5−

lim f ( x ) = −∞

x → 5+

• lim f ( x ) = 0

x → 2−

x →∞

Section 1.3

5. À partir du graphique suivant, estimez la limite, si elle existe. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. y

x→ 3

–2

a) lim f ( x ) x→ 0

c)

0 –2

2

4

e)

x

e) lim ( x − 1)3 − 2  x→1 f)

(

lim t 2 − t 2 + 1

t→ 3

5

)

lim ( x 2 + 2 ) x + 5 

g)

–8

h) lim ( 4 t − 5 )2 ( 2 t − 5 )3  t→2

f)

lim f ( x )

x → 3+

h)

x →−3

8

–6

lim + f ( x )

x →−3

6

y = –2

g) lim f ( x )

d) lim f ( x )

2x + 3

t →1

lim f ( x )

x →−3−

3

lim

x →−2

d) lim 7t + 2 t

–4

b)

c)

f (x)

2 –4

a) lim ( −2 ) b) lim ( x 2 + 2 x − 3)

6

–6

9. Évaluez la limite. x→ 0

8

–8

x→ 3

i)

4

x → 2+

• f (2) = 3

y=1

3

5

x

8. Tracez le graphique d’une fonction f ( x ) qui présente les caractéristiques suivantes :

•

x→ 5

4

3x − 5 x−2

–4

x→ 0

a) lim f ( x )

4

–1 0 –2

b) lim f ( x )

x→ 4

f ( x) =

6

x →−∞

i)

x →−1 

lim

x →−2

x 2 − 16 x→ 4 x2

lim f ( x )

j)

lim f ( x )

k) lim

x →−∞ x →∞

6. Donnez les équations des deux asymptotes horizontales et des deux asymptotes verticales à la courbe décrite par la fonction de l’exercice 5.

lim

x→ 3

lim f ( x )

x → 3−

l)

3− x 3x + 1

lim

t→0

4

5x + 1

( 5 − x )3 ( t + 5 )( t − 1 ) 2 + (t 2 + 2 )

3

8 − x 2 m) lim f ( x ) si f ( x ) =  x →−3  x + 2

si x ≤ −3 si x > −3

LIMITE ET CONTINUITÉ

 x+1  x 2 + 1 n) lim f ( x ) si f ( x ) =  x→ 0  x  x + 1

si x < 0

− 2x + 2  x+1 o) lim f ( x ) si f ( x ) =  x→ 4 x +5   x − 3 8− x  2 x + 1 p) lim f ( x ) si f ( x ) =  x →−2  5x  x 2 − 1 q) lim x + 1

t→2

si x ≥ 0

 x2

si x ≤ 4 si x > 4

si x < −2 si x ≥ −2

x →−1

r)

lim

5

x →−1

x+1

t→2

t →1

10. Un entrepreneur paysagiste vend de l’engrais en vrac au prix de 2,20 $/kg pour toute commande de moins de 100 kg et au prix de 2 $/kg pour toute commande supérieure ou égale à 100 kg. Soit P ( x ) le prix d’achat de x kg d’engrais chez cet entrepreneur.

x → 100

f) Que vaut lim − P ( x ) ? x → 100

g) Que vaut lim P ( x ) ? x → 100

11. Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu.

x→1

e) f)

x2 + 4 x − 3 1 − x2

lim ( 3t 4 − t 3 − 2 t + 1)

t →−∞

lim

x →−∞

g) lim

3

2x + 3

t →−5 2 t 2

3t + 9t − 5

− 3x + 1

2 t) lim− x→ 0 x − x

12. Le prix fixé pour un bien exerce une influence directe sur la quantité de ce bien que les consommateurs achèteront. Sup1 475 posons que la fonction de demande P = repréQ + 100 sente le prix P (en dollars) d’un certain bien en fonction de la quantité Q de ce bien que les consommateurs sont prêts à acheter.

c) Évaluez lim+ f ( P ). P→0

d) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en c. e) Donnez une raison économique à l’utilisation de la limite à droite à la question c. f) Évaluez lim f ( P ) .

a) Déterminez un intervalle raisonnable sur lequel la fonction est définie.

Sections 1.4 et 1.5

d) lim

x →−∞

1 2 x2

13. Une municipalité désire entreprendre la dépollution d’un lac situé sur son territoire. Des firmes spécialisées dans le domaine établissent que la fonction donnant le coût (en dollars) pour réduire la pollution dans le lac de x % est 100 000 x C ( x) = . 100 − x

e) Que vaut lim + P ( x ) ?

1− x x−2 t2 + 1 c) lim− t→0 t

lim

h) Déterminez le prix au-delà duquel les consommateurs ne sont plus intéressés à acheter ce produit [Q = f ( P ) = 0].

d) Que vaut P (100 ) ?

x→ 2

s)

2 t −3

g) Dans le contexte, est-il plausible d’obtenir une telle réponse ?

c) Que vaut P (120 ) ?

b) lim

t→3

P →∞

…… si x…… a) Complétez : P ( x ) =  …… si x…… b) Que vaut P ( 80 ) ?

lim ( x 5 + 3 x + 1)

r) lim

b) Déterminez la quantité de ce bien que les consommateurs achèteront si le prix est fixé à 2,50 $.

t) lim 4 t 2 − t

x →−∞

3t 2

a) Exprimez la quantité de ce bien que les consommateurs sont prêts à acheter en fonction du prix du bien : Q = f ( P ).

s) lim 3 t 2 − 2 t

a)

9 − 5t − 7t + 2 1 p) lim x →∞ 4 − x − x 2 27t 3 + 2 q) lim 3 1 t → 3 9t − 6t 2 + t o) lim

59

h) lim

1

+ 3x + 1 1 i) lim 3 t →∞ 7 t + 3t + 5 t x →∞

2 x2

− 2x + 4 2 3− x k) lim 2 x →−3 x + 6 x + 9 j)

l)

lim

x2

x →−∞

lim 1 − t 2

t →∞

m) lim 4 3 x − 1 x →∞

n) lim

x→ 4

x2 x −2

b) Déterminez combien devra débourser la municipalité si elle veut réduire la pollution du lac de 75 %. c) Évaluez lim+ C ( x ). x→ 0

d) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en c. e) Pourquoi a-t-on évalué la limite à droite en c ? f) Évaluez lim − C ( x ). x → 100

g) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en f. h) Pourquoi a-t-on évalué la limite à gauche en f ? i) Si la municipalité peut investir seulement 90 000 $ pour dépolluer le lac, quel pourcentage de pollution pourra-t-on éliminer ?

60

CHAPITRE 1

14. Selon la loi de Coulomb, la force d’attraction F (en newtons) entre deux charges de signes contraires (de 1 coulomb chacune) est inversement proportionnelle au carré de la k distance x (en mètres) qui les sépare. On a F ( x ) = 2 , x où k > 0. a) Évaluez lim+ F ( x ). x→ 0

b) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en a. c) Pourquoi a-t-on évalué la limite à droite en a ? d) Évaluez lim F ( x ). x →∞

e) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en d. 15. Une grande compagnie estime que, si elle dépense x millions de dollars dans la publicité de ses produits, ses revenus (en 600 millions de dollars) seront donnés par R ( x ) = 400 − . x+8 a) Quels seront les revenus associés à un investissement de 8 millions de dollars en publicité ? b) Évaluez lim+ R ( x ). x→ 0

c) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en b. d) Évaluez lim R ( x ). x →∞

e) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en d. f) Supposons que cette compagnie investit présentement 8 millions de dollars dans la publicité de ses produits. Lui conseilleriez-vous d’augmenter ses dépenses publicitaires à 12 millions de dollars ? Justifiez votre réponse.

c) Que vaut lim− t B ? v→ c

d) Dans le tracé de la courbe décrite par t B, comment qualifie-t-on la droite v = c ? 17. Un camionneur effectue l’aller-retour entre deux villes. Comme il emprunte la même route à l’aller et au retour, il parcourt la même distance s lors de chaque trajet. Sa vitesse moyenne est de x km/h à l’aller, de y km/h au retour et de 80 km/h pour l’ensemble du trajet. 40 x a) Vérifiez que y = et déterminez le domaine de la x − 40 fonction. b) Évaluez lim + x → 40

Section 1.6.1 18. Évaluez la limite. x→ 4

x2 − 4 x + 4 x→ 2 x2 + x − 6 1 1 − t + 2 4 c) lim 2 t→2 t −4 b) lim

x→ 0

16. Un individu A est à bord d’une fusée qui vient d’être lancée dans l’espace. Un individu B, demeuré sur la Terre, observe la fusée. Les deux individus ont synchronisé leurs montres au moment du décollage de la fusée. En vertu des équations de Lorenz en relativité, la durée du voyage spatial mesurée par les deux individus sera différente. Ainsi, le temps t B mesuré par l’individu B sera donné par l’équation

g) lim

1−

où c représente la vitesse de la lumière, v, la vitesse de la fusée, et t A , le temps mesuré par l’individu A. La durée du voyage mesurée par l’individu à bord de la fusée a été de 10 jours, c’est-à-dire t A = 10. a) Que vaut t B lorsque v = 0, 01c ? b) Que vaut t B lorsque v = 0, 9 c ?

2

( t + 2 )2 − 9 t 4−t

t→4

x 3 + 6 x 2 + 4 x + 24 f) lim 3 x →−6 x + 5 x 2 − 8 x − 12 t→0

h) lim

x →0

i)

j)

4 − 16 − t 5t x x

2t − 4 8t − t 2 1 1 − t + 1 2 t lim t →1 t2 − 1 lim

t→8

k) lim

x→1

l) v2 c2

2− x − x

d) lim e) lim

tA

x−4 x2 − 3 x − 4

a) lim

g) Serait-il souhaitable que cette compagnie double les sommes consacrées à la publicité de ses produits si elle y investit présentement 12 millions de dollars ? Justifiez votre réponse.

tB =

40 x et interprétez le résultat. x − 40

x−1 x+3 − 5− x

−2 x 2 + 12 x − 18 x→ 3 x3 − 6 x2 + 9 x lim

m) lim

t→2

t2 − 4 2t + 5 − 3

2 x2 − 3 x − 5 x →−1 x 2 + 2 x + 1

n) lim

t 3 − 2t 2 + 2t + 5 t →−1 t2 − 1

o) lim

3 − x2 + 5 x →−2 3x + 6

p) lim

LIMITE ET CONTINUITÉ

t2 − t − 2 t →−1 t4 + t

21. Évaluez lim

q) lim

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) . h

a) f ( x ) = 1 − 2 x

t3 − 1 1 t →1 1− t

b) f ( x ) = 5 + 3 x

t 2 − 5t + 6 s) lim t→3 t −3

d) f ( x ) = x 2 − x

r) lim

c) f ( x ) = x 2 − 2

t 3 −1 (Indice : Posez t = x12 .) 1 t →1 t 4 − 1 1

u) lim

( t − 5 )6 + 4 t − 20

w) lim

h) f ( x ) =

5−t

t→5

( t − a )6 + 4 t − 4 a a−t

t→a

1 1 − x a x) lim x→ a x − a y) lim

t→a

z)

lim

x+a − x2

a

lim

, si a > 0

ax + b − x

5

=

5

20. Déterminez si la droite x = a est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

x+4

( x − 1)2

;  a = 1

b) f ( x ) =

x 2 + x − 12 ;  a = −3 x2 − 9

c) f ( x ) =

x 2 + x − 12 ;  a = 3 x2 − 9

d) f ( x ) =

2 ;  a = 4 x−4

e) f ( x ) =

3 x2 + 2 x − 1 ;  a = 1 3 1− x

f ( x) =

x2 + 3 − x ;  a = 1 x−1

f)

g) f ( x ) =

5 x 2 + 16 x + 3 ;  a = − 1 5 5x + 1

h) f ( x ) =

5 x 2 + 16 x + 3 ;  a = 3 x2 − 6 x + 9

i)

x2 − 4 f ( x) = 3 ;  a = 2 x−2

j)

f ( x) =

f ( x) =

j)

f ( x) =

x (où x > 0) 2 x − 1 (où x > 1 (où x > 0) 3x

1

2)

a) Combien de temps faut-il à l’automobile pour parcourir les 100 premiers mètres ?

19. Déterminez les valeurs de a et de b telles que

x→ 0

i)

22. Une automobile démarre avec une accélération constante de 2,5 m s 2 . La position de l’automobile t s après son départ est donnée par s ( t ) = 1, 25t 2 m.

t −a , si a ≠ 0 a2 − t 2

x → 0−

1 (où x ≠ 5 2 ) 5 − 2x 1 f) f ( x ) = 2 (où x ≠ 0) x 2x g) f ( x ) = (où x ≠ −1) x+1 e) f ( x ) =

2 −1 t t) lim t→4 t − 4

v) lim

61

2 x2 + 4 − 6 ;  a = 4 x−4

b) Déterminez la vitesse moyenne de l’automobile sur les intervalles de temps (en secondes) [10 ;  11], [10 ;  10, 5 ], [10 ;  10, 1], [10 ;  10, 01] et [10 ;  10, 001]. La vitesse moyenne sur un intervalle [ a ;  b ] se calcule à l’aide de la formule s ( b) − s ( a ) b−a c) À l’aide des résultats obtenus en b, émettez une hypothèse sur la vitesse instantanée de l’automobile lorsque t = 10 s. (La vitesse instantanée est la limite des vitesses moyennes quand l’intervalle de temps devient de plus en plus court.) vitesse moyenne =

d) Donnez l’expression servant à calculer la vitesse moyenne de l’automobile sur un court intervalle de temps de longueur ∆t autour de t = 10. e) Trouvez la vitesse instantanée de l’automobile lorsque t = 10 s en évaluant la limite lorsque ∆t → 0 de l’expression obtenue en d. 23. Un objet se déplace en ligne droite. Sa position par rapport à son point de départ s ( t ) est donnée par s ( t ) = t 2 m. Le temps t , en secondes, est mesuré à compter du début du déplacement de l’objet. Recourez au concept de limite pour déterminer la vitesse instantanée de l’objet 3 s après le début de son déplacement. Section 1.6.2 24. Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. a) lim

x →∞

2x + 4 3x − 1

1   2 b) lim+  2 −  x→1  x − 1 x − 1

62

CHAPITRE 1

c) d) e) f)

(

lim 2 t +

t →−∞

4t 2 + 6

)

c) f ( x ) =

lim

x2 + 6 x − 1 x →−∞ x3 + 2

d) f ( x ) =

1  1 lim  3 −  x x

e) f ( x ) =

x → 0− 

2x − 1

lim

g) lim

f)

x2 + 3

x →−∞

t − 3t 4 + 3t + 1 ) ( 2 t − 5 )

(

t →∞ t 2

lim

t →−∞

t 2 − 3t + 2 t

 t3  − t2  j) lim  t →∞  t − 1  k) lim

x→ ∞

l)

(

2x −

2x + 3

)

x4 − 2 x →∞ x 2 + 1 lim

 1  1 − m) lim−  x→ 2  2 − x ( 2 − x )( x − 1)  3t   t n) lim  −  t →−∞  t − 5 t + 8 x →∞

p)

r) lim

(

− 3t + 4 ) ( 5 t − 2 ) 3t 3 − t

t →∞

t →∞

t 2 + 8t − t

)

s)

2t 2 + t   lim  t − t →−∞  2 t − 3 

t)

lim

t →∞

(

9 t 2 + 5 − 3t

3 x3 + 2 x + 1 x4 − 3

i)

f ( x) =

j)

f ( x) =

x2 + 4

x2 + 2 2x + 5 x2 + 3 − x x−1

26. Une citerne contient 2 500 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un rythme tel que la concentration C ( t ) en sel (en grammes par litre) dans la citerne après t min est 15t . donnée par C ( t ) = 250 + t a) Déterminez la concentration en sel dans la citerne au bout de 10 min. b) Au bout de combien de temps la concentration en sel dans la citerne atteindra-t-elle 5 g/L ?

27. Le coût de production (en dollars) d’un bien comporte deux composantes, soit un coût fixe de 30 000 $, indépendant du niveau de production, et un coût variable de 10 $/kg du bien produit. a) Quelle est l’expression mathématique de C ( x ) , le coût de production de x kg du bien, où x > 0 ? b) Que vaut C (10 ) ?

)

4 5− x u) lim 3 x→ 0 2+ x  1 1  v) lim+  − 2 t→0  t + t t  25. Déterminez, s’il y en a, les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ). 1 a) f ( x ) = 5 − x b) f ( x ) =

1 2 x

t →∞

− x2 + x + 1 x →−∞ 2 x 2 − 3 x − 2

(t 2

x2 x−1

d) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en c.

lim

q) lim

x2 − 3

c) Évaluez lim C ( t ).

4 x2 + 1 5x + 3

o) lim

g) f ( x ) =

4x

h) f ( x ) = x −

3   1 h) lim  − 2   t→2 t − 2 t − 4 i)

f ( x) =

2 x3 + x − 1 x2 + 4

−4 x 2 + 5 x + 1 2 x2 + 3

c) Que représente C (10 ) ? d) Évaluez lim C ( x ) et comparez le résultat avec la réx → 10

ponse obtenue en b. e) Évaluez lim C ( x ) et commentez le résultat. x →∞

f) Quelle est l’expression mathématique du coût moyen C ( x) CM ( x ), soit (en dollars par kilogramme) lorsque x le niveau de production est de x kg ? g) Que vaut CM ( 20 ) ? h) Que représente CM ( 20 ) ? i)

Évaluez lim CM ( x ) et comparez le résultat avec la réx → 20

ponse obtenue en g. j)

Évaluez lim CM ( x ) et commentez le résultat. x→ ∞

LIMITE ET CONTINUITÉ

28. On connecte en parallèle une résistance de 5 Ω et une résis5R Ω. tance de R Ω. La résistance équivalente est de Re = 5+R a) Que vaut lim Re ?

o)

x →∞

q) lim

R →5

c) Que vaut lim Re ? R →10

r)

d) Que vaut lim Re ? R →∞

29. La concentration d’un médicament t h après son injection 0, 2 t est donnée par C ( t ) = 2 . Évaluez lim C ( t ) et comt →∞ t +2 mentez le résultat. 30. Un individu a été exposé à un contaminant. La concentration (en parties par million) de ce contaminant dans le corps de l’individu t jours après l’exposition est donnée par 25t + 1000 C (t ) = . 50 t + 2 a) Quelle est la concentration initiale du contaminant dans le corps de l’individu ? b) Donnez la valeur et le sens de lim C ( t ). t →∞

31. Évaluez la limite. Utilisez le symbole ∞ ou −∞, s’il y a lieu. a) lim 3 x 2 − 9

c)

x2 x2 − 2 x + 4

2

2 x 3 − x 2 − 32 x + 16 x→ 4 x 2 − 7 x + 12 lim

x→ 3

x2 + x + 4 6 − 2x

x2 − 5 x + 4 g) lim x→ 4 4 − 3 x + 4 1 x − 3 6 h) lim x→ 2 2 x − 4 i) j) k) l)

 −4 2  lim  − x →−1+  ( x + 1 )( x − 2 ) x + 1  lim 3 3 x − 2 x →−2

lim

x →−∞

lim

x→ 3

m) lim

x →−3

2 x2 − 4 x + 1 3x − 4

s) lim ( 3 x − 4 ) x + 3  x→ 6 t)

lim

x →∞

u) lim

x →−1

x+4 2x − 1 x+1 2−

x2 + 3

4   1 v) lim  − 2  x→ 2  x − 2 x − 4 −2 x 3 − 5 x 2 − x − 12 x →−3 3 x 2 + 4 x − 15 3 1− x) lim 2 x x→ 3 x − 9 w) lim

Sections 1.7.1 et 1.7.2

33. Esquissez le graphique d’une fonction qui satisfait aux conditions indiquées. a) f ( a ) existe, lim f ( x ) existe et lim f ( x ) = f ( a ). x→ a

x→ a

b) f ( a ) existe, lim f ( x ) existe et lim f ( x ) ≠ f ( a ). x→ a

x→ a

c) f ( a ) existe et lim f ( x ) n’existe pas. x→ a

d) f ( a ) n’existe pas et lim f ( x ) existe. x→ a

e) f ( a ) n’existe pas et lim f ( x ) n’existe pas. x→ a

34. Le graphique suivant représente le revenu mensuel de travail d’un employé d’usine en fonction du temps. Donnez des explications plausibles (il peut y en avoir plusieurs) aux discontinuités observées dans le graphique. R(t)

12 − x − 3 x2 − 9 x2 − 6 x − 1 x+1

n) lim 3 x − 6 x→ 2

x2 − x − 6 + x2 − x + 2

b) La fonction f ( x ) décrite au numéro 5.

e) lim f)

x →−2 x 3

a) La fonction f ( x ) décrite au numéro 1.

x3 + 2 x x →−∞ −2 x 2 + 1 lim

d) lim ( 2 x + 1)4 − x 2  x→ 4

lim

32. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction est discontinue, en spécifiant chaque fois la nature de la discontinuité (par trou, par déplacement, par saut, etc.).

x→ 3

x→ 2

x−1 x2 + 2 x + 1

x3 − 1 x→1 2 − 3 x

b) Que vaut lim Re ?

b) lim

x3 + 2 x2 − 4 x →−∞ 3 x 3 − 2 x + 3 lim

p) lim

R →0

63

t1

t2

t

35. Ginette est en train de conduire sa voiture sur l’autoroute. La pression dans un des pneus en fonction du temps est

64

CHAPITRE 1

représentée graphiquement par la fonction P ( t ). Donnez une explication plausible de la discontinuité observée en t1. P(t)

t1

t

36. Julie souhaite investir 15 000 $ dans un certificat de placement venant à échéance dans 1 an et portant un taux d’intérêt simple de 8 % par année. Elle peut toutefois retirer son investissement avant le terme, capital et intérêt couru t (soit 0, 08 × × 15 000, où t représente le nombre de mois 12 écoulés), sous réserve d’une pénalité correspondant à 6 mois d’intérêt si le retrait est effectué dans les 3 premiers mois, et correspondant à 3 mois d’intérêt par la suite. Soit V ( t ), la valeur du placement de Julie après t mois. a) Que vaut V ( 0 ) ? b) Que vaut V (12 ) ? c) Donnez l’expression mathématique de V ( t ) lorsque 0 ≤ t ≤ 12. d) Évaluez lim− V ( t ). t→3

e) Évaluez lim+ V ( t ).

38. Une sphère non conductrice de rayon r contient une charge uniformément distribuée de Q coulombs. La force F, qui s’exerce sur un proton situé à une distance x du centre de la sphère, est donnée par la fonction  Qx  4π ε r 3 0  F ( x) =   Q 2  4π ε 0 x

g) Évaluez lim− V ( t ). t → 12

h) Qualifiez la nature de la fonction V ( t ) lorsque t = 12. 37. Un transporteur aérien demande 10 $ pour transporter un colis de moins de 1 kg et exige une surprime de 3 $ pour chaque kilogramme ou fraction de kilogramme additionnel à condition que la masse du colis soit inférieure à 6 kg. Soit C ( x ) le coût de transport d’un colis de x kg. a) Quelle est l’expression mathématique de C ( x ) pour 0 < x < 6? b) Tracez le graphique de C ( x ) . c) Pour quelles valeurs de a l’expression lim C ( x ) existex→ a t-elle ? d) Commentez la continuité de la fonction C ( x ) .

si x ≥ r

où Q, π, ε 0 et r sont des constantes. La fonction F ( x ) est-elle continue en x = r ? Sections 1.7.3 et 1.7.4 39. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction est continue. x3 − 1 a) f ( x ) = ( 2 x + 1)( 5 − 3 x )( x + 1) 3 x 3 − 5 x + 12 x3 − x2 − 2 x 1 c) f ( x ) = 2 x b) f ( x ) =

d) f ( x ) =

4 x2 − 9 2 x + 15

4 − x2 e) f ( x ) =   x − 2

t→3

f) Qualifiez la nature de la fonction V ( t ) lorsque t = 3.

si 0 < x < r

f)

 x+1  x 2 + 1 f ( x) =   x  x + 1

si x < 2 si x ≥ 2 si x ≤ 0 si x > 0

 x2 + 3 x  2 x + 5x + 6  g) f ( x ) =  x+2  x +2   x 2 + 1 x  x  h) f ( x ) =  x 2 − 9 8− x   2x + 1

si x ≤ −2 si −2 < x ≤ 4 si x > 4

si x ≤ 0 si 0 < x < 4 si x ≥ 4

40. Déterminez les valeurs de x pour lesquelles la fonction est continue sur l’intervalle donné. a) f ( x ) =

4 − 3 x sur l’intervalle ]−∞,  4 3 ]

si x < 1 4 − x  2 x + 1 b) f ( x ) =  si 1 ≤ x ≤ 3  2x − 1  x + 1 si x > 3 sur l’intervalle [ 0,  5 ] 41. Déterminez les valeurs de la constante k pour lesquelles la fonction f ( x ) est continue sur l’ensemble des réels.  6 − x 2 si x ≤ 1 a) f ( x ) =   kx + 7 si x > 1

LIMITE ET CONTINUITÉ

 kx 2 − 1 si x ≤ 2 b) f ( x ) =   3 x − k si x > 2  x 2 − 25  c) f ( x ) =  10 − 2 x k 

si x ≠ 5 si x = 5

si x ≤ −1  x3   3 d) f ( x ) =  2 si −1 < x ≤ 1 x  2 x + k si x > 1  k 2 x + 4 si x < 3  e) f ( x ) =  3  x + 15 si x ≥ 3  f)

si x ≤ 2 k 2 x 2 f ( x) =  (1 − k ) x si x > 2

42. Le salaire hebdomadaire dépend notamment du nombre d’heures travaillées durant la semaine. Un travailleur d’une certaine usine reçoit un salaire de 12 $/h s’il travaille 40 h ou moins. Par contre, s’il travaille plus de 40 h durant une semaine, les heures supplémentaires (celles qui s’ajoutent aux 40 premières heures) seront rémunérées à 18 $/h. Pour des raisons de sécurité, les ouvriers de cette usine ne peuvent pas travailler plus de 60 h par semaine. Soit S ( x ) la fonction donnant le salaire brut hebdomadaire en fonction du nombre x d’heures travaillées durant la semaine. a) Dans ce contexte, sur quel intervalle la fonction S ( x ) est-elle définie ?

65

b) Définissez la fonction S ( x ) sur l’intervalle de temps indiqué en a. c) Représentez graphiquement la fonction S ( x ) sur l’intervalle de temps indiqué en a. d) Quel sera le salaire brut du travailleur pour une semaine de 30 heures travaillées ? e) Quel sera le salaire brut du travailleur pour une semaine de 45 heures travaillées ? f) Est-ce que la fonction S ( x ) obtenue en b est continue partout sur l’intervalle [ 0,  60 ] ? Justifiez votre réponse en invoquant un argument graphique et la définition de la continuité. 43. Une usine fabrique un certain produit. Elle est en activité jour et nuit (à raison de 3 quarts de travail de 8 h). Chaque quart de travail occasionne des frais fixes de 6 000 $. De plus, il en coûte 5 $ pour chaque kilogramme produit. Sur une période de 8 h de travail, on peut produire jusqu’à 10 000 kg. Un client passe une commande de x kg. a) Définissez la fonction coût de fabrication C ( x ) en fonction du nombre x de kilogrammes produits (0 < x ≤ 30 000). b) Quel sera le coût de fabrication de 8 000 kg ? De 15 000 kg ? De 23 000 kg ? c) Est-ce que la fonction C ( x ) obtenue en a est continue sur l’intervalle ]0,  30  000 ] ? Justifiez votre réponse. d) Représentez graphiquement la fonction C ( x ) sur l’intervalle ]0,  30  000 ].

Exercices de révision Si vous êtes étudiant en sciences humaines, répondez aux questions 1 à 9. Si vous êtes étudiant en sciences de la nature, répondez aux questions 1 à 7 ainsi qu’à la question 10. 1. Traduisez la phrase sous la forme d’un énoncé écrit avec le symbolisme mathématique approprié. a) La valeur de la fonction f ( x ) devient aussi proche que l’on veut de L lorsque x est suffisamment proche de a mais demeure inférieur à a . b) La valeur de la fonction f ( x ) devient aussi grande que l’on veut pourvu que x soit suffisamment proche de a . c) La fonction f ( x ) se rapproche de L lorsque x devient de plus en plus grand. 2. Dites si l’énoncé est vrai ou faux. a) Si f ( x ) est une fonction discontinue en x = a, alors lim f ( x ) n’existe pas. x→ a

b) Si f ( x ) est une fonction continue sur l’intervalle [ a,  b ], alors f ( x ) est aussi une fonction continue sur cet intervalle. c) Si f ( x ) est une fonction continue en x = c , alors lim f ( x ) = f ( c ). x→c

d) Si lim f ( x ) existe, alors f ( x ) est continue en x = a. x→ a

3. Tracez le graphique d’une fonction f ( x ) qui satisfait à la condition. a) f ( x ) présente une discontinuité non essentielle par trou en x = 2. b) f ( x ) présente une discontinuité infinie en x = −3. c) f ( x ) présente une discontinuité essentielle par saut en x = 1. 4. Encerclez la lettre qui correspond à la bonne réponse. a) Que vaut lim

x→ 3

x2 − 4 x + 3 ? x2 − 6 x + 9

A. 3 B. ∞ C.

1

3

D. Cette limite n’existe pas. E. 1 F.

4

3

G. −∞ H. Aucune de ces réponses.

66

CHAPITRE 1

50 000 x 3 − x 2 + 100 000 ? x → ∞ x 6 − 5 000 x 5 − 40 000

A. B. C. D. E. F. G. H.

50 000 ∞ 0 Cette limite n’existe pas. −40 000 5

f ( x ) = x2 −

F.

b) Que vaut lim

1 x

 x 2 + 2 si x < 0 G. f ( x ) =   x + 2 si x ≥ 0 H. f ( x ) =

x2 − 9

5. Soit le graphique de la fonction f ( x ).

2

y

−∞ Aucune de ces réponses.

3 2 1

c) Pour quelle valeur de k la fonction  kx + 1 si x < 3 f ( x) =  2  kx − 1 si x ≥ 3

–3

–2

–1

est-elle continue sur l’ensemble des réels ? A. B. C. D. E. F. G. H.

1 3 k ∈  Aucune valeur de k. 1 2

3

a) Estimez f ( 0 ).

3

b) Estimez lim f ( x ).

0 Aucune de ces réponses.

x→ 2

f) Estimez lim f ( x ). x →−∞

g) Estimez lim f ( x ) . x →∞

h) Quelle est l’équation de l’asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) ?

 x − 2 si x < −2 D. f ( x ) =   x + 2 si x ≥ −2

G. f ( x ) = ( x + 2 )3 x2 + 4 x + 4 H. f ( x ) = 3 x + 6 x 2 + 12 x + 8 e) Laquelle des fonctions suivantes est continue en x = 0 ?  x + 2 si x < 0 A. f ( x ) =  2 si x ≥ 0 x B. f ( x ) =

x x

 x 2 + 1 si x ≤ 0 C. f ( x ) =  si x > 0  2 1 D. f ( x ) = x E. f ( x ) =

x2 + 2 x x2 − 5 x

x

e) Estimez lim+ f ( x ).

x2 − 4 B. f ( x ) = 2 x +4 C. f ( x ) = x + 2

F.

4

d) Quel est le type de discontinuité de la fonction f ( x ) en x = 1?

−4 x+2

x+2 f ( x) = x−2

3

x→ 0

x2

x+2 E. f ( x ) = x+2

2

c) Quel est le type de discontinuité de la fonction f ( x ) en x = 0?

d) Laquelle des fonctions suivantes présente une discontinuité essentielle infinie en x = −2 ? A. f ( x ) =

1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

i)

Quelle est l’équation de l’asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) ?

6. Remplissez le tableau suivant et utilisez vos réponses pour x2 − x . estimer lim f ( x ), où f ( x ) = x→ 0 x x

–0,1

–0,01

–0,001

0

0,001

0,01

0,1

f (x)

7. Évaluez la limite si elle existe, sinon dites pourquoi elle n’existe pas. Utilisez les symboles ∞ ou −∞ s’il y a lieu. x3 − 8 x→ 2 x − 2 1 x− x b) lim x→1 x − x 2 a) lim

c) lim x 2 − 9 x→ 3

d) lim

1− x x − x2

e) lim

f ( x + h) − f ( x ) si f ( x ) = 3 x 2 h

x→1

h→ 0

LIMITE ET CONTINUITÉ

f)

x + x2 x→ 0 x3 − x4

g)

lim−

La légende veut qu’il ait laissé tomber simultanément, du haut de la tour de Pise*, deux boules de métal, l’une pesant 5 kg et l’autre 500 g. Comme les deux boules arrivèrent au sol en même temps, il estima avoir ainsi démontré que la vitesse d’un corps en chute libre est indépendante de sa masse.

lim

x→ 0

3 x2 + 1 − 2 x x − x2

1   2 − h) lim+  2  x→ 3  x − 9 x − 3 i)

lim

x →−∞

67

On sait que la distance parcourue par un objet en chute libre est donnée par la formule

−2 x + 1

s ( t ) = − 4, 9 t 2 + v0 t + s0

2 x2 + 3 x

8. Votre boucher vend son bœuf haché 8,50 $/kg pour une quantité inférieure à 10 kg, et 8 $/kg pour une quantité supérieure ou égale à 10 kg. Soit P ( x ), le prix payé pour acheter x kg de bœuf haché, où 0 ≤ x ≤ 20 . ....... si 0 ≤ x < 10 a) Complétez : P ( x ) =  . ....... si 10 ≤ x ≤ 20

où v0 représente la vitesse initiale de l’objet, et s0 , sa position initiale par rapport au sol. Dans le cas de l’expérience de Galilée, les boules de métal étaient situées à environ 49 m au-dessus du sol et leur vitesse initiale était nulle puisque Galilée les laissa simplement tomber. Par conséquent, l’expression de leur position en fonction du temps est donnée par s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 49 .

b) Tracez le graphique de P ( x ). c) Que conseilleriez-vous à quelqu’un qui voudrait acheter 9,5 kg de bœuf haché ? Justifiez votre réponse. d) Quelle quantité de bœuf haché avez-vous achetée s’il vous en a coûté 80 $ ? Attention, il y a deux réponses possibles. e) Évaluez lim P ( x ) ou dites pourquoi cette limite n’existe x → 10 pas. f) Qualifiez la nature de la fonction P ( x ) lorsque x = 10. 9. Les psychologues de l’apprentissage ont établi qu’il faut un certain temps pour maîtriser parfaitement une tâche. Au début, le taux de réussite de la tâche augmente graduellement, puis soudainement l’apprenti réussit parfaitement, comme s’il avait soudain « compris le truc ». En vertu du résultat établi par les psychologues, lequel des graphiques suivants décrit le mieux l’apprentissage d’une tâche ? Justifiez votre réponse. a)

b)

Taux de réussite

Taux de réussite

100 %

100 %

Temps

c)

d) Taux de réussite

100 %

100 %

Temps

a) Dans ce contexte, sur quel intervalle de temps la fonction s ( t ) est-elle définie ? (Indice : Combien de temps faut-il à une boule avant qu’elle ne touche le sol, c’està-dire avant que sa hauteur ne devienne 0 m ?) Temps

Taux de réussite

49 metres

b) Tracez le graphique de la fonction s ( t ).

c) Pourquoi la fonction s ( t ) est-elle continue sur l’intervalle obtenu en a ? d) Si vous aviez à qualifier par le mot croissante ou décroissante la courbe décrite par la fonction s ( t ), lequel choisiriez-vous ? Justifiez votre réponse.

Temps

10. Galileo Galilei (1564-1642), mieux connu sous le nom francisé de Galilée, fut un brillant physicien. Professeur de mathématiques à l’Université de Pise, il mena de nombreuses expériences dans cette ville.

e) Quelle est l’expression mathématique de la pente du segment de droite joignant les points ( t a , s ( t a )) et ( tb, s ( tb )), qui sont situés sur la courbe décrite par la fonction s ( t ) ? * On retrouve des informations intéressantes sur cette célèbre structure architecturale dans le site internet officiel de la tour de Pise : http://torre.duomo.pisa.it. En particulier, on y apprend que la tour s’élève à 55 m au-dessus du sol.

68

CHAPITRE 1

La vitesse moyenne d’une boule sur l’intervalle [ t a , tb ] est donnée par l’expression

s ( tb ) − s ( t a ) . tb − t a

f) Pouvez-vous donner une interprétation géométrique de la vitesse moyenne d’une boule sur l’intervalle [ t a , tb ] ? g) Calculez la vitesse moyenne sur chacun des intervalles demandés. Notez que les réponses que vous obtiendrez seront toutes négatives puisque la hauteur de chacune des deux boules diminue avec le temps qui s’écoule. En général, un objet qui se déplace vers le bas a une vitesse négative, et il a une vitesse positive s’il se déplace vers le haut. L’intensité (ou la grandeur) de la vitesse d’un objet est définie comme la valeur absolue de la vitesse. Intervalle

Vitesse moyenne

[1,9 ; 2] [1,99 ; 2]

[2 ; 2,001] [2 ; 2,01] [2 ; 2,1]

i)

La réponse obtenue en h vous paraît-elle cohérente par rapport aux résultats que vous avez obtenus lorsque vous avez complété le tableau en g ?

j) Si vous vouliez calculer la vitesse instantanée d’une boule au moment où elle touche le sol, quelle légère modification devriez-vous apporter à la définition de la vitesse instantanée pour pouvoir la calculer ? (Indice : Pour quelles valeurs de temps la fonction s ( t ) utilisée dans la formule de la vitesse instantanée est-elle définie ?) k) À partir de la définition de vitesse instantanée modifiée en j, calculez la vitesse instantanée d’une boule au moment où elle touche le sol.

[1,999 ; 2] 2

h) La vitesse instantanée d’un objet au temps t = a est s(t ) − s( a ) , ou de manière définie comme v ( a ) = lim t→a t −a s( a + ∆t ) − s( a ) équivalente comme v ( a ) = lim . Cal∆t →0 ∆t culez v ( 2 ).

← Vitesse instantanée

2 Dérivée des fonctions algébriques

C H A P I T R E

Que sont ces fluxions ? Les vitesses d’incréments évanouissants, et que sont ces mêmes incréments évanouissants ? Ce ne sont ni des quantités finies, ni des quantités infiniment petites, ni pourtant rien. Ne pouvons-nous les appeler les fantômes des quantités défuntes ? George Berkeley

D

ans le premier chapitre, nous avons abordé les notions de limite et de continuité. Parmi toutes les limites que nous avons étudiées, il y en a une qui est fondamentale : lim

∆ x →0

f ( x + ∆ x) − f ( x ) ∆x

Cette limite, qui donne le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) , est si importante qu’on lui attribue un nom particulier : la dérivée. Comme tout concept clé, la dérivée se traduit par une notation qui en facilite l’utilisation, et que nous verrons dans ce chapitre. La dérivée peut, selon le contexte, représenter une pente de tangente, une vitesse instantanée, une accélération, un taux de croissance de population, un taux de propagation d’une rumeur ou d’une maladie, un taux de diffusion d’une technologie, un coût marginal, etc. Le fait qu’une même expression puisse être appliquée à des situations aussi variées que celles que nous venons d’énumérer est une illustration éloquente de sa richesse et de son intérêt. Le calcul différentiel consiste essentiellement dans l’étude du concept de dérivée, qui permet de mesurer le rythme auquel change une quantité variable définie par une fonction. Par contre, l’utilité du calcul différentiel serait grandement réduite s’il fallait évaluer, à l’aide des astuces développées dans le premier chapitre, la limite de la forme indéterminée servant à définir la dérivée. Heureusement, comme nous le verrons sous peu, il existe des algorithmes simples qui permettent de trouver l’expression de la dérivée d’une fonction sans avoir à procéder à l’évaluation d’une limite. Nous allons également porter un intérêt particulier au signe de la dérivée, qui s’avère particulièrement révélateur.

O b j e c t i f s ◗◗ Évaluer la pente de la sécante passant par deux points

d’une courbe (2.1).

◗◗ Reconnaître et utiliser différentes notations de la dérivée

et de la dérivée en un point d’une fonction (2.3).

◗◗ Calculer un taux moyen (2.1) et un taux instantané de

variation (2.2).

◗◗ Déterminer l’ensemble sur lequel une fonction est

dérivable (2.4).

◗◗ Évaluer la pente de la tangente à une courbe en un

point (2.2). ◗◗ Trouver l’équation de la droite tangente ou l’équation

de la droite normale à une courbe en un point (2.2, 2.5 et 2.9). ◗◗ Évaluer la dérivée d’une fonction en un point à l’aide de

la définition (2.3). ◗◗ Trouver la fonction dérivée d’une fonction à l’aide de la

définition (2.3). ◗◗ Interpréter une dérivée (2.3).

◗◗ Démontrer des formules de dérivation (2.5). ◗◗ Dériver des fonctions à l’aide des formules de dérivation

(2.5 et 2.8). ◗◗ Interpréter le signe d’une dérivée (2.6). ◗◗ Esquisser le graphique de la dérivée d’une fonction simple

(2.6). ◗◗ Évaluer des dérivées d’ordre supérieur à 1 (2.7). ◗◗ Dériver de manière implicite (2.9).

S o m m a i r e Un portrait de Jean le Rond d’Alembert

2.7 Dérivée d’ordre supérieur (p. 118)

2.1 Taux de variation moyen (p. 74)

2.8 Dérivation des fonctions composées (p. 122)

2.2 Taux de variation instantané (p. 80)

2.9 Dérivation implicite (p. 129)

2.3 Dérivée en un point et fonction dérivée (p. 86)

Résumé (p. 135)

2.4 Dérivée et continuité (p. 92)

Mots clés (p. 136)

2.5 Premières formules de dérivation (p. 94) 2.6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée (p. 108)

A n i m a t i o n s 8

Réseau de concepts (p. 137) Exercices récapitulatifs (p. 137) Exercices de révision (p. 148)

G e o G e b r a

De la droite sécante à la droite tangente (p. 80)

9 Droites tangente et normale (p. 83) 10 Fonction de Weierstrass (p. 92)

11 Cas de non-dérivabilité (p. 93) 12 Interprétation géométrique du signe de la dérivée (p. 108) 13 Dérivation en chaîne (p. 126)

UN PORTRAIT DE Jean le Rond d’Alembert

J

Jean le Rond d’Alembert

ean le Rond d’Alembert naquit à Paris le 16 novembre 1717. Fils naturel de la marquise de Tencin et du chevalier LouisCamus Destouches, il fut abandonné par sa mère sur le parvis de l’église de Saint-Jean-Le Rond. Selon la coutume de l’époque, il reçut le nom de cette église. Parce que Destouches était à l’extérieur du pays au moment de la naissance de son fils, celui-ci fut placé dans un orphelinat. À son retour à Paris, Destouches, bien qu’il ne reconnût pas officiellement son fils, le fit placer chez un vitrier et veilla à ce qu’il reçoive une bonne éducation. D’Alembert vécut 48 ans avec sa famille adoptive, dont il considéra toujours la mère comme sienne. À l’âge de 12 ans, d’Alembert entra au collège des Quatre-Nations, tenu par des religieux jansénistes. Il s’y révéla doué pour les mathématiques. Après avoir obtenu son diplôme du collège, d’Alembert étudia le droit et devint avocat. Il commença ensuite à étudier la médecine, mais, sa véritable passion pour les mathématiques refaisant toujours surface, il décida de s’y consacrer entièrement.

En juillet 1739, il proposa un premier article en calcul intégral à l’Académie des sciences de Paris, puis, en 1740, un second, plus substantiel, traitant de mécanique des fluides. Ces deux productions furent remarquées, et d’Alembert devint membre de l’Académie des sciences en mai 1741 alors qu’il n’avait que de 23 ans. Cette ascension rapide était d’autant plus notable que d’Alembert était en fait autodidacte en mathématiques. Les travaux scientifiques de d’Alembert traitaient surtout de dynamique et de mécanique céleste. Dans son Traité de dynamique paru en 1743, il développa les théories de Newton et en dégagea un principe qu’on désigne aujourd’hui sous le nom de principe de d’Alembert. En 1744, il publia son Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides, dans lequel on trouve les premières équations aux dérivées partielles. En 1746, il gagna un concours de l’Académie de Berlin pour un ouvrage sur la théorie générale des vents. En 1747, il appliqua son principe à l’étude des cordes vibrantes. Il devint alors le premier à formuler une équation aux dérivées partielles pour décrire un phénomène ondulatoire. En plus d’apporter de nombreuses contributions à la physique mathématique, d’Alembert laissa aussi sa marque en mathématiques pures. Comme nous l’avons dit

précédemment, son premier article scientifique traitait de calcul intégral. Dans un essai intitulé Théorie générale des vents, il présenta une preuve du théorème fondamental de l’algèbre en vertu duquel tout polynôme à coefficients réels peut être écrit comme un produit de facteurs linéaires et quadratiques irréductibles. Même si cette preuve se révèle incomplète au regard des critères modernes, il n’en demeure pas moins que le célèbre Carl Friedrich Gauss (1777-1855), qui donna quatre démonstrations distinctes de ce fameux théorème au cours de sa vie, considérait que la preuve de d’Alembert présentait des arguments solides. Encore aujourd’hui, surtout en France, le théorème fondamental de l’algèbre porte le nom de théorème de d’Alembert ou de d’Alembert-Gauss. Soulignons aussi que le nom de d’Alembert est associé à un critère de convergence de séries. D’Alembert doit aussi sa place dans l’histoire à sa participation importante à la fameuse Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers. Il fut l’auteur d’un grand nombre d’articles scientifiques et mathématiques de cet ouvrage, et surtout du célèbre Discours préliminaire, qui constitue un des manifestes les plus éloquents de la philosophie des Lumières. Dans ce Discours préliminaire, publié en 1751 dans le premier volume de l’Encyclopédie, il écrivait qu’« il n’a que la liberté d’agir et de penser qui soit capable de produire de grandes choses » et il affirmait qu’il y avait un lien direct entre le progrès social et le progrès des connaissances. C’est d’ailleurs dans son article de l’Encyclopédie intitulé Différentiel que d’Alembert insista sur l’importance du concept de limite. Il fut ainsi l’un des premiers à accorder une grande importance à la notion de fonction, et il définit la dérivée d’une fonction comme la limite d’un rapport de deux quantités non nulles. Malgré une phraséologie boiteuse, vague et mal comprise de ses contemporains, l’analyse de d’Alembert demeure celle qui s’approcha le plus, à l’époque, de la conception moderne de la limite et de la dérivée. Sans doute à cause de son rôle prépondérant dans l’écriture de l’Encyclopédie, d’Alembert accéda à l’Académie française en 1754 et en devint le secrétaire perpétuel en 1772. Il mourut à Paris le 29 octobre 1783. Pour rendre hommage à ce scientifique et philosophe de grande stature, la France émit un timbre portant son effigie. ■

74

CHAPITRE 2

2.1 TAUX DE VARIATION MOYEN

Dans cette section : variation d’une fonction – variation de la variable indépendante – droite – pente d’une droite – ordonnée à l’origine – droites parallèles – droites perpendiculaires – droite sécante – taux de variation moyen – vitesse moyenne.

Dans la vie de tous les jours, bon nombre de quantités sont variables. Le prix de l’essence qui ne cesse de fluctuer, la population du Québec qui varie à chaque année ou la température extérieure qui change à tout instant du jour sont des exemples parmi tant d’autres de quantités qui varient sans cesse.

2.1.1 Variation d’une fonction Il semble donc naturel de vouloir quantifier la variation d’une fonction, c’est-à-dire de déterminer le changement de la valeur de la variable dépendante par suite de la modification de la valeur de la variable indépendante. EXEMPLE 2.1

On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1 . Déterminons la variation de la hauteur de la balle lorsque le temps passe de 0,5 s à 1 s. La hauteur de la balle lorsque t = 0, 5 est s ( 0, 5 ) = − 4, 9 ( 0, 5 )2 + 9, 8 ( 0, 5 ) + 1 = 4, 675 m tandis que la hauteur de la balle lorsque t = 1 est s (1) = − 4, 9 (1)2 + 9, 8 (1) + 1 = 5, 9 m On obtient la variation de la hauteur de la balle sur cet intervalle de temps en faisant la différence des hauteurs de la balle aux extrémités de l’intervalle, soit s (1) − s ( 0, 5 ) = 5, 9 − 4, 675 = 1, 225 m On peut donc dire que lorsque le temps passe de 0,5 s à 1 s, la hauteur de la balle augmente de 1,225 m. Autrement dit, à t = 1 s, la balle se situe 1,225 m plus haut qu’elle ne l’était à t = 0, 5 s. Déterminons la variation de la hauteur de la balle lorsque le temps passe de 1 s à 1,5 s. La hauteur de la balle lorsque t = 1 est s (1) = 5, 9 m , tandis que la hauteur de la balle lorsque t = 1, 5 est s (1, 5 ) = − 4, 9 (1, 5 )2 + 9, 8 (1, 5 ) + 1 = 4, 675 m

FIGURE 2.1

On obtient la variation de la hauteur de la balle sur cet intervalle de temps en faisant la différence des hauteurs de la balle aux extrémités de l’intervalle, soit s (1, 5 ) − s (1) = 4, 675 − 5, 9 = −1, 225 m Comment interpréter le signe négatif sinon en disant que la hauteur de la balle a diminué au cours de cet intervalle de temps ? Autrement dit, à t = 1, 5 s, la balle se situe 1,225 m plus bas qu’elle ne l’était à t = 1 s. La balle revient donc vers le sol.

|

|

|

|

|

s ( t ) = −4,9t 2 + 9,8t + 1

|

7 6 5 4 3 2 1 0

Ces résultats sont confirmés sur la figure 2.1 illustrant la position de la balle en fonction du temps.

|

Position (m)

Position de la balle en fonction du temps

0

|

|

|

|

|

0,5

1

1,5

2

2,5 t (s)

 

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

● Variation d’une fonction La variation d’une fonction continue f ( x ) sur l’intervalle [ a ,  b ], notée ∆f , est la différence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction au début de l’intervalle, soit ∆f = f ( b ) − f ( a ). ● Variation de la variable indépendante La variation de la variable indépendante x sur l’intervalle [ a ,  b ], notée ∆ x, est la longueur de l’intervalle, c’està-dire ∆ x = b − a .

75

La variation d’une fonction continue f ( x ) sur un intervalle [ a,  b], notée ∆f , est la différence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction au début de l’intervalle, c’est-à-dire ∆f = f ( b) − f ( a ). Lorsque la variation ∆f d’une fonction est positive (respectivement négative), la valeur de la fonction f ( x ) est supérieure (respectivement inférieure) à la fin de l’intervalle [ a,  b] qu’au début de celui-ci. On peut également définir la variation de la variable indépendante x, notée ∆ x, sur l’intervalle [ a,  b] comme étant la longueur de l’intervalle, c’est-à-dire ∆ x = b − a. Dans les définitions ci-dessus, la variable indépendante est notée x, et la fonction est notée f ( x ). Il n’en est pas toujours ainsi. Par exemple, si la fonction Q ( t ) représente la quantité de substance radioactive qui reste après t années, alors la variable indépendante est t, sa variation est ∆t et la variation de la fonction quantité est notée ∆Q. Si la fonction R (Q ) représente le revenu tiré de la vente de Q unités d’un certain produit, alors la variable indépendante est Q, sa variation est ∆Q et la variation de la fonction revenu est notée ∆R. Il faut donc adapter la notation aux différents contextes. EXEMPLE 2.2

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Déterminons la variation du temps et la variation de la taille 1+t de la population durant la deuxième année (c’est-à-dire sur l’intervalle de temps [1,  2 ]). La variation du temps sur l’intervalle [1,  2 ] est ∆t = 2 − 1 = 1 an. On constate que ∆t s’exprime en années, étant donné qu’on effectue la différence entre deux temps mesurés en années. La variation de la taille de la population sur ce même intervalle est donnée par  200 ( 2 )   200 (1)  ∆N = N ( 2 ) − N (1) =  + 60  −  + 600  = 33, 3  individus 1 + 2 1 + 1     Durant la deuxième année, la population augmente d’environ 33 individus. On remarque que ∆N s’exprime en individus puisqu’on effectue ici la différence entre les deux tailles d’une même population (c’est-à-dire le nombre d’individus) à deux instants différents.  

QUESTION ÉCLAIR 2.1 On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre N ( t ) de  bactéries présentes t h après la mise en culture est donné par 1 800 N ( t ) = 3 000 − . t +1 a) Déterminez la variation de la variable indépendante (∆ t ) sur l’intervalle de temps [ 3,  5 ]. Indiquez bien les unités. b) Déterminez la variation du nombre de bactéries dans la boîte de Petri sur l’intervalle de temps [ 3,  5 ]. Indiquez bien les unités.

76

CHAPITRE 2

✦ RAPPEL ● Droite Une droite est la représentation graphique d’une fonction linéaire (ou affine) f ( x ) = mx + b , où m et b sont des nombres réels appelés respectivement pente et ordonnée à l’origine. On écrit aussi y = mx + b .

La droite

Une droite est la représentation graphique d’une fonction linéaire* f ( x ) = mx + b, où b et m sont des nombres réels. On écrit aussi y = mx + b . On appelle m la pente de la droite et b l’ordonnée à l’origine de la droite. Voici les différentes représentations graphiques (figure 2.2) de f ( x ) pour b > 0. FIGURE 2.2

Représentations graphiques de f ( x ) = mx + b y

y

y

f ( x ) = mx + b

f ( x) = b

f ( x ) = mx + b

m > 0

x

m < 0

x

m = 0

x

Pour déterminer l’équation d’une droite, on a besoin de deux points de cette droite, ou de la pente et d’un point de la droite. On calcule la pente d’une droite à l’aide de deux points distincts de celle-ci (figure 2.3). Soit ( x1 ,  y1 ) et ( x2 ,  y2 ) deux points d’une droite tels que x1 ≠ x2 . On définit la pente de cette droite par le rapport

FIGURE 2.3

Pente d’une droite y

( x1 , y1 )

m =

( x2 , y2 )

∆y variation de y y − y1 = = 2 ∆x variation de x x2 − x1

Pour déterminer la valeur de l’ordonnée à l’origine b lorsque l’on connaît la pente de la droite, il suffit de remplacer les coordonnées d’un point de la droite dans l’équation y = mx + b et d’isoler b. Comme la droite passe par le point ( x1 ,  y1 ) , on a y1 = mx1 + b, d’où b = y1 − mx1, de sorte que

∆ y = y2 − y1 ∆ x = x2 − x1

y = mx + ( y1 − mx1 )

x

● Pente d’une droite La pente de la droite y = mx + b est la valeur de m. Elle est donnée par ∆y variation de y y − y1 = m = = 2 ∆x variation de x x2 − x1 où ( x1,  y1 ) et ( x2 ,  y2 ) sont deux points de la droite tels que x1 ≠ x2 .

● Ordonnée à l’origine L’ordonnée à l’origine de la droite y = mx + b est la valeur de y lorsque x = 0 , c’est-à-dire y = m ( 0 ) + b = b . C’est l’ordonnée du point de rencontre de la droite avec l’axe des y, soit l’axe des ordonnées.

= m ( x − x1 ) + y1 L’équation y = m ( x − x1 ) + y1 représente la droite de pente m passant par le point ( x1 ,  y1 ) . Par exemple, pour déterminer l’équation de la droite passant par les points ( 2,  1) et ( 5,  7 ), il faut d’abord en déterminer la pente. m =

y2 − y1 7−1 6 = = = 2 x2 − x1 5−2 3

* Dans plusieurs ouvrages rédigés en langue française, on définit une fonction de la forme f ( x ) = mx + b, où m et b sont des nombres réels, comme une fonction affine (peu importe la valeur de b) et comme une fonction linéaire (lorsque b = 0). Dans les volumes de langue anglaise, on ne fait pas cette distinction : les fonctions de la forme f ( x ) = mx + b sont appelées linear functions, et ce, peu importe la valeur de b. Comme toutes les fonctions de la forme f ( x ) = mx + b, où m et b sont des nombres réels, sont représentées par des droites, les auteurs ont choisi de les appeler fonctions linéaires (linéaire étant employé au sens mathématique défini dans Le Petit Robert : « qui peut être représenté dans l’espace euclidien par une droite »).

P

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

● Droites parallèles Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente ou si elles sont toutes deux verticales.

77

Ensuite, on détermine la valeur de b en remplaçant les coordonnées du point ( 2,  1) dans l’équation f ( x ) = 2 x + b. Ce qui donne 1 = 2 ( 2 ) + b, et donc b = 1 − 4 = −3. L’équation de la droite est y = 2 x − 3. Comme la droite est de pente 2 et passe par le point ( 2,  1), l’équation y = 2 ( x − 2 ) + 1 représente également cette droite.

● Droites perpendiculaires Deux droites non verticales sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut –1. Toute droite verticale est perpendiculaire à une droite horizontale.

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions

Rappelons que deux droites sont parallèles si elles ont la même pente ou qu’elles sont toutes deux verticales. Par ailleurs, deux droites non verticales sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à –1. De plus, toute droite verticale est perpendiculaire à une droite horizontale.

mathématiques, p. 393.

QUESTION ÉCLAIR 2.2 Soit les points ( −3,  1) et ( 5, −11). a) Déterminez l’équation de la droite passant par ces deux points. b) Donnez l’équation de la droite parallèle à la droite obtenue en a et passant par le point ( −1,  4 ). c) Donnez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite obtenue en a et passant par le point ( −1,  4 ). ● Droite sécante Une droite sécante est une droite coupant la courbe décrite par une fonction f ( x ) en un ou plusieurs points. ● Taux de variation moyen Le taux de variation moyen de la fonction f ( x ) sur l’intervalle [ a ,  b ] est ∆f f ( b) − f ( a ) = ∆x b−a Il correspond à la pente de la droite sécante joignant les points ( a ,  f ( a ) ) et ( b,  f ( b ) ) .

Droite sécante passant par (a , f (a )) et (b , f (b ))

Puisque ∆ x = b − a, et par conséquent b = a + ∆ x, le taux de variation moyen est également donné par

f (x)

f ( b) ∆ f = f ( b) − f ( a )

Une droite sécante est une droite coupant la courbe décrite par une fonction f ( x ) en un ou plusieurs points. La figure 2.4 représente la droite sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) situés sur la courbe décrite par une fonction continue f ( x ). Le taux de variation moyen de la fonction f ( x ) sur l’intervalle [ a,  b] est défini ∆f f ( b) − f ( a ) par = . Ce taux représente la variation moyenne de la fonction f ∆x b−a par unité de la variable x sur l’intervalle [ a,  b]. Le taux de variation moyen correspond à la pente de la droite sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) .

FIGURE 2.4

y

2.1.2 droite sécante et taux de Variation moyen

∆f f ( b) − f ( a ) = ∆x b−a

droite sécante

=

f (a)

EXEMPLE 2.3

∆x = b − a a

f ( a + ∆ x) − f ( a ) ∆x

b

x

Déterminons l’équation de la droite sécante passant par les points (1,  f (1))

et ( 2,  f ( 2 )) situés sur la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x 3. La droite sécante passe par les points (1,  1) et ( 2,  8 ).

78

CHAPITRE 2

La pente de la droite sécante est ∆f f ( 2 ) − f (1) = ∆x 2−1 2 3 − 13 1 = 7 =

L’équation de la droite sécante de pente m = 7 et passant par le point (1,  1) est donc y = 7 ( x − 1) + 1 ou y = 7 x − 6.   EXEMPLE 2.4

On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1 . Déterminons le taux de variation moyen de la position de la balle sur l’intervalle de temps [1 ;  1, 5 ]. On a ∆s s (1, 5 ) − s (1) = ∆t 1, 5 − 1 =

4, 675 − 5, 9 0, 5

= −2, 45  m s On constate que le taux de variation moyen s’exprime ici en mètres par seconde puisque ce taux est le quotient de ∆s (la variation de la position) exprimée en mètres et de ∆t (la variation du temps) exprimée en secondes. La position de la balle diminue donc, en moyenne, de 2,45 m/s sur l’intervalle [1 ;  1, 5 ]. Le taux de variation moyen de la position d’un mobile est appelé vitesse moyenne. On pourrait donc dire que la vitesse moyenne de la balle sur l’intervalle [1 ;  1, 5 ] est –2,45 m/s. Le négatif indique que la position (la hauteur) de la balle a diminué sur l’intervalle considéré.

● Vitesse moyenne La vitesse moyenne d’un mobile est le taux de variation moyen de la position du mobile.

 

QUESTION ÉCLAIR 2.3 On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre N ( t ) de 1 800 bactéries t h après la mise en culture est donné par N ( t ) = 3 000 − . t +1 Déterminez le taux de variation moyen du nombre de bactéries dans la boîte de Petri au cours des 3 premières heures. Indiquez bien les unités.

EXEMPLE 2.5

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Déterminons le taux de variation moyen de la taille de la 1+t population sur l’intervalle de temps [1,  3].

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

79

On a ∆N N ( 3) − N (1) = ∆t 3−1 210 − 160 = 2 = 25 individus annéee On constate que le taux de variation moyen s’exprime ici en individus par année puisque ce taux est le quotient de ∆N (la variation de la taille de la population) exprimée en individus et de ∆t (la variation du temps) exprimée en années. La population augmente donc, en moyenne, de 25 individus par année sur l’intervalle [1,  3]. Le taux de variation moyen de la taille de la population est appelé taux de croissance moyen.   EXERCICES 2.1

1. Supposons que le nombre hebdomadaire d’exemplaires vendus V ( t ) d’un DVD* est donné par la fonction V ( t ) = 8 100 − 100 t 2 , où t est le temps (en semaines) écoulé depuis la fin d’une campagne publicitaire. a) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel la fonction V ( t ) a du sens dans le contexte. b) Déterminez ∆t sur l’intervalle de temps [1,  4 ]. Indiquez bien les unités. c) Déterminez la variation des ventes de la première à la quatrième semaine après la fin de la campagne publicitaire. Indiquez bien les unités. d) Déterminez le taux de variation moyen des ventes hebdomadaires de la première à la quatrième semaine après la fin de la campagne publicitaire. Indiquez bien les unités. e) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en d. f) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en d. 2. Une citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un rythme tel que la concentration C ( t ) en sel (en grammes par litre) dans la 25t citerne après t min est donnée par C ( t ) = . 10 + t a) Déterminez ∆t pour l’intervalle de temps [ 0,  5 ]. Indiquez bien les unités. b) Déterminez la variation de la concentration en sel durant les 5 premières minutes. Indiquez bien les unités. c) Déterminez le taux de variation moyen de la concentration en sel durant les 5 premières minutes. Indiquez bien les unités. d) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en c.

* Digital Versatile Disk que l’on peut traduire par disque numérique polyvalent (Reverso).

80

CHAPITRE 2

2.2 TAUX DE VARIATION INSTANTANÉ

Dans cette section : droite tangente – taux de variation instantané – droite normale – vitesse instantanée.

Le taux de variation moyen d’une fonction f ( x ) sur un intervalle [ a,  b] mesure le changement de la valeur de la fonction par unité de la variable x et représente la pente de la droite sécante joignant les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) . Mais qu’arrive-t-il à ce taux si la longueur de l’intervalle tend vers 0 ?

2.2.1 droite tangente et taux de Variation instantané ● Droite tangente Soit la droite sécante passant par les points ( a ,  f ( a ) ) et ( b,  f ( b ) ) situés sur la courbe décrite par une fonction f ( x ) . Si on fait tendre b vers a, la droite sécante pivote sur le point ( a ,  f ( a ) ) pour s’approcher de plus en plus d’une droite appelée la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a .

L’idée qu’on se fait généralement d’une droite tangente à la courbe décrite par une fonction f ( x ) en un point ( a,  f ( a )) est celle d’une droite qui ne fait qu’effleurer cette courbe au point ( a,  f ( a )) sans la couper. Toutefois, cette conception d’une droite tangente n’est pas tout à fait juste, et il faut donc la raffiner en recourant au concept de limite. La figure 2.4 (p. 77) présente la droite sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) . Si on fait tendre b vers a, la droite sécante pivote sur le point ( a,  f ( a )) pour s’approcher de plus en plus d’une droite appelée la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a (figure 2.5). FIGURE 2.5

Droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = a

MaBiblio > Multimédia > 8. De la droite sécante à la droite tangente

y

f (x)

droite sécante

f ( b) ∆ f = f ( b) − f ( a )

Accédez directement à l’animation.

droite sécante

droite tangente

goo.gl/JxY9Jb

f (a)

∆x = b − a a

● Taux de variation instantané Le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) en x = a est la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . Il est donné par f ( a + ∆ x) − f ( a ) lim ∆ x→ 0 ∆x ou lim

b→ a

f (b) − f ( a ) b−a

b

x

Pour déterminer la pente de la droite tangente, il faut deux points. Or, on n’en a qu’un, soit ( a,  f ( a )) . Cependant, sur la figure 2.5, on constate que lorsque b tend vers a, la droite sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) pivote sur le point ( a,  f ( a )) pour se rapprocher de plus en plus de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = a . Par conséquent, lorsque b tend vers a, la pente de la droite sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) se rapproche de plus en plus de la pente de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = a . Le taux de variation instantané (ou taux de variation) de la fonction f ( x ) en x = a est la pente de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = a . On  l’obtient en évaluant la limite des pentes des droites sécantes passant par les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)) quand b se rapproche de plus en plus de a, c’estf ( b) − f ( a ) . On comprend maintenant pourquoi il a fallu étudier le à-dire lim b→ a b−a concept de limite dans le premier chapitre.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

81

Puisque ∆x = b − a , et par conséquent b = a + ∆ x , le taux de variation instantané en x = a est également donné par lim

∆x → 0

f ( a + ∆ x) − f ( a ) ∆x

EXEMPLE 2.6

Déterminons le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) =

1 en x = 3. x

On a 1 1 − f ( 3 + ∆ x) − f ( 3) lim = lim 3 + ∆ x 3 ∆ x→ 0 ∆ x→ 0 ∆x ∆x 3 (1) 1 ( 3 + ∆ x) − 3 ( 3 + ∆ x) 3 ( 3 + ∆ x) = lim ∆ x→ 0 ∆x  3 − ( 3 + ∆ x) 1  = lim  ⋅ ∆ x→ 0 ∆ x   3 ( 3 + ∆ x) = lim

3 − 3 − ∆x ( 3 + ∆ x) ∆ x

= lim

− ∆x ( 3 + ∆ x) ∆ x

∆ x→ 0 3

∆ x→ 0 3

= lim

∆ x→ 0 3

= −

−1

( 3 + ∆ x)

1 9

1 1 en x = 3 est − . 9 x Alors, la pente de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = 3 est 1 égale à − . 9 Le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) =

 

EXERCICE 2.2

Déterminez le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) en x = a . a) f ( x ) = 3 x + 5, en x = 2 b) f ( x ) = x 2 , en x = 1

2.2.2 équation de la droite tangente L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ), au point f ( a + ∆ x) − f ( a ) , si ( a,  f ( a )), est donnée par y = m( x − a ) + f ( a ), où m = ∆lim x→ 0 ∆x cette limite existe.

82

CHAPITRE 2

EXEMPLE 2.7

On veut déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la

fonction f ( x ) = x 2 − 1 en x = 2. La droite tangente passe par le point ( 2,  f ( 2 )) , soit ( 2,  3). La pente m de la droite tangente est m = lim

∆ x→ 0

f ( 2 + ∆ x) − f ( 2 ) ∆x

( 2 + ∆ x)2 − 1  − ( 2 2 − 1)  = lim  ∆ x→ 0 ∆x  4 + 4∆ x + (∆ x)2 − 1  − 3  = lim  ∆ x→ 0 ∆x FIGURE 2.6

4∆ x + (∆ x)2 ∆ x→ 0 ∆x

= lim

y

∆ x→ 0

∆ x ( 4 + ∆ x) ∆x

= lim ( 4 + ∆ x) ∆ x→ 0

|

|

|

f ( x ) = x2 − 1

|

|

= 4

|

L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ), au point ( 2,  3), est y = 4 ( x − 2 ) + 3 ou y = 4 x − 5. La figure 2.6 illustre la fonction f ( x ) ainsi que la droite tangente en x = 2.

|

|

droite tangente y = 4x − 5

0

|

|

–1 –2

f (2 + ∆ x) = f (2) + f (∆ x)

= lim m

Droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) au point ( 2 ,  3 ) 16 14 12 10 8 6 4 2

f (2 + ∆ x) = f (2) + ∆ x

|

|

|

|

1

2

3

4

x

 

2.2.3 équation de la droite normale ● Droite normale La droite normale à la courbe décrite par une fonction f ( x ) en un point ( a ,  f ( a ) ) est la droite perpendiculaire à la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en ce point.

FIGURE 2.7

Droite tangente et droite normale à une courbe en un point y

La droite normale à la courbe décrite par une fonction f ( x ) en un point ( a,  f ( a )) est la droite perpendiculaire à la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en ce point, comme l’illustre la figure 2.7. Comme les droites normale et tangente sont perpendiculaires, la pente de la 1 droite normale est de − , où m représente la pente de la droite tangente (si m ≠ 0). m L’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ), au point 1 f ( a + ∆ x) − f ( a ) , si cette ( a,  f ( a )), est y = − m ( x − a ) + f ( a ), où m = ∆lim x→ 0 ∆x limite existe et est différente de 0.

f ( x)

droite normale

a

x

droite tangente

EXEMPLE 2.8

On veut déterminer l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x 2 − 1 en x = 2. À l’exemple 2.7, on a déterminé que l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ), au point ( 2,  3), est y = 4 x − 5. Puisque la droite normale est perpendiculaire à la droite tangente, le produit de leurs pentes vaut –1. Ainsi, la pente de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x 2 − 1, au point ( 2,  3), est donc − 1 4 . L’équation de cette droite normale

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

83

est y = − 1 4 ( x − 2 ) + 3 ou y = − 1 4 x + 7 2. La figure 2.8 illustre la fonction f ( x ), la droite tangente et la droite normale en x = 2. FIGURE 2.8

MaBiblio

Droites tangente et normale à la courbe décrite par f ( x ) au point ( 2 ,  3 )

> Multimédia > 9. Droites tangente et normale

5

|

4

|

6

|

|

|

–3

–2

–1

2

|

1

|

3

0 –1

droite normale y = − 14 x + 72

|

goo.gl/kkPUWr

droite tangente y = 4x − 5

|

7

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

x

|

Accédez directement à l’animation.

|

8 f ( x)

|

y

  EXERCICES 2.3

1. Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 2 x − x 2 en x = −2. 2. Déterminez l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 2 x − x 2 en x = −2.

DES MOTS ET DES SYMBOLES

L

e mot sécante tire son origine du verbe latin secare qui veut dire « couper » : une sécante coupe donc une courbe et la sépare. Par ailleurs, le mot tangente tire son origine du verbe latin tangere qui veut dire « toucher ». Dans les textes plus anciens, les mathématiciens utilisaient aussi le mot touchante, ce dernier étant depuis disparu. Toutefois, ce terme vieilli rend bien compte de l’idée qu’on se fait généralement d’une tangente, c’est-à-dire une droite qui ne fait que toucher, qu’effleurer une courbe sans la traverser ni la couper au point de contact avec la courbe. Enfin, le qualificatif normal tire son origine du latin norma qui veut dire « équerre », figure que forment les droites tangente et normale au point de tangence.

2.2.4 autres applications du taux de Variation instantané Le taux de variation instantané permet de déterminer l’équation de la droite tangente et celle de la droite normale à la courbe décrite par une fonction en un point. C’est une application géométrique du concept de taux de variation instantané. La vitesse instantanée d’un mobile est une application physique très importante du

84

CHAPITRE 2

taux de variation instantané, tout comme le taux de croissance d’une population l’est en démographie. EXEMPLE 2.9

On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1 . Déterminons le taux de variation instantané de la position lorsque t = 1, 5 s. On a s (1, 5 + ∆ t ) − s (1, 5 ) ∆t→0 ∆t lim

 − 4, 9 (1, 5 + ∆ t )2 + 9, 8 (1, 5 + ∆ t ) + 1  − 4, 675  = lim  ∆t→0 ∆t = lim

− 4, 9  2, 25 + 3 ∆t + ( ∆ t )2  + 14, 7 + 9, 8∆ t + 1 − 4, 675 ∆t

∆t→0

−11, 025 − 14, 7∆ t − 4, 9 (∆ t )2 + 11, 025 + 9, 8∆ t ∆t→0 ∆t

= lim

− 4, 9∆ t − 4, 9 ( ∆ t )2 ∆t→0 ∆t

= lim = lim

∆ t ( − 4, 9 − 4, 9 ∆ t )

∆t→0

∆t

= lim ( − 4, 9 − 4, 9∆ t ) ∆t→0

= − 4, 9 m s ou de façon équivalente

( − 4, 9b2 + 9, 8bb + 1) − 4, 675 s ( b) − s (1, 5 ) = lim b→ 1, 5 b→ 1, 5 b − 1, 5 b − 1, 5 lim

− 4, 9 b2 + 9, 8 b − 3, 675 b→ 1, 5 b − 1, 5

= lim = lim

( b − 1, 5 ) ( − 4, 9 b + 2, 45 )

b→ 1, 5

b − 1, 5

= lim ( − 4, 9 b + 2, 45 ) b→ 1, 5

= − 4, 9 m s On en conclut qu’à l’instant précis t = 1, 5 s, la position de la balle diminue à raison de 4,9 m/s. Le taux de variation instantané de la position d’un mobile est appelé vitesse instantanée (ou simplement vitesse). On pourrait donc dire que la vitesse de la balle lorsque t = 1, 5 s est de – 4,9 m/s. Le négatif indique que la balle se dirige vers le bas. La vitesse de la balle s’exprime en mètres par seconde puisque ce taux est la limite d’un quotient où le numérateur est une variation de position exprimée en mètres et le dénominateur est une variation de temps exprimée en secondes.

● Vitesse instantanée La vitesse instantanée d’un mobile est le taux de variation instantané de la position du mobile.

 

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

85

EXEMPLE 2.10

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Déterminons le taux de variation instantané de la taille de 1+t la population lorsque t = 1 an. On a  200 (1 + ∆ t )   1 + (1 + ∆ t ) + 60  − 160 N (1 + ∆ t ) − N (1)  lim = lim  ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t 200 + 200 ∆ t − 100 2 + ∆t = lim ∆t→0 ∆t 200 + 200 ∆ t 100 ( 2 + ∆ t ) − 2 + ∆t (2 + ∆t) = lim ∆t→0 ∆t  ( 200 + 200 ∆ t ) − 100 ( 2 + ∆ t ) 1  ⋅ = lim  ∆t→0  2 + ∆t ∆ t  = lim

100 ∆ t ∆ t (2 + ∆ t)

= lim

100 2 + ∆t

∆t→0

∆t→0

= 50 ind dividus année ou de façon équivalente  200 b  + 60  − 1660  1 + b  N ( b ) − N (1) lim = lim b→ 1 b → 1 b−1 b−1 200 b − 100 = lim 1 + b b→ 1 b−1 200 b 100 (1 + b) − 1+b (1 + b ) = lim b→ 1 b−1 1   200 b − 100 (1 + b) = lim  ⋅ b→ 1  1+b b − 1  100 b − 100 b → 1 ( 1 + b )( b − 1 )

= lim = lim

b→ 1

100 ( b − 1) (1 + b ) ( b − 1)

100 +b = 50 individus ann née = lim

b→ 1 1

Puisque le taux de variation instantané est positif, on en conclut qu’à l’instant précis t = 1 an, la taille de la population augmente à raison de 50 individus par année. Le taux de variation instantané de la taille de la population est appelé taux de croissance instantané (ou simplement taux de croissance). On pourrait

86

CHAPITRE 2

donc dire que le taux de croissance de la population lorsque t = 1 an est de 50 individus par année. Nous avions déjà anticipé ce résultat à l’exemple 1.3 (p. 8). Remarquons que le taux de croissance de la population s’exprime en individus par année puisque ce taux est la limite d’un quotient où le numérateur est une variation de la taille de la population exprimée en individus, et où le dénominateur est une variation de temps exprimée en années.   EXERCICES 2.4

1. Supposons que le nombre hebdomadaire d’exemplaires vendus V ( t ) d’un DVD est donné par la fonction V ( t ) = 8 100 − 100 t 2 , où t est le temps (en semaines) écoulé depuis la fin d’une campagne publicitaire. a) Déterminez le taux de variation instantané des ventes hebdomadaires 2 semaines après la fin de la campagne publicitaire. Indiquez bien les unités. b) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en a. c) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en a. 2. Une citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un rythme tel que la concentration C ( t ) en sel (en grammes par litre) dans la 25t citerne après t min est donnée par C ( t ) = . 10 + t a) Déterminez le taux de variation instantané de la concentration en sel au bout de 10 min. Indiquez bien les unités. b) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en a.

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 1 à 5.

2.3 DÉRIVÉE EN UN POINT ET FONCTION DÉRIVÉE

Dans cette section : dérivée d’une fonction en un point – fonction dérivable en un point – coût marginal – dérivée d’une fonction – profit marginal.

● Dérivée d’une fonction en un point La dérivée d’une fonction f ( x ) en un point x = a est le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) en x = a . On utilise principalement deux notations pour la dérivée d’une fonction en un df point, soit f ′ ( a ) et . La dérivée dx x = a d’une fonction f ( x ) en x = a est donc définie par f ′ ( a ) = lim

∆ x→ 0

f ( a + ∆ x) − f ( a ) ∆x

ou, de manière équivalente, par f ′ ( a ) = lim

b→ a

f ( b) − f ( a ) b−a

● Fonction dérivable en un point Une fonction f ( x ) est dérivable en un point x = a si f ′ ( a ) existe.

La dérivée est l’outil mathématique qui permet de déterminer à quel rythme une quantité varie instantanément. C’est là l’objet principal du calcul différentiel. Tant en sciences physiques qu’en sciences humaines, on s’intéresse au taux de variation d’une fonction. La vitesse d’un objet en physique, le taux de réaction en chimie, le taux de croissance d’une population en biologie et le profit marginal en économie sont autant d’exemples d’application d’un même concept mathématique : le taux de variation instantané. Puisque ce concept est si répandu, on lui a attribué une notation et un nom (dérivée) particuliers.

2.3.1 dériVée d’une fonction en un point La dérivée d’une fonction f ( x ) en un point x = a est le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) en x = a . On utilise principalement deux notations pour df la dérivée d’une fonction en un point, soit f ′ ( a ) et . La dérivée d’une fonction dx x = a f ( a + ∆ x) − f ( a ) ou, de manière ∆ x→ 0 ∆x

f ( x ) en x = a est donc définie par f ′ ( a ) = lim

f ( b) − f ( a ) . Géométriquement, elle représente la pente b→ a b−a de la tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . On dit que la fonction f ( x ) est dérivable en un point x = a si f ′ ( a ) existe.

équivalente, f ′ ( a ) = lim

87

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

EXEMPLE 2.11

Supposons que le coût total de production (en dollars) de Q unités d’un certain bien est donné par la fonction C (Q ) = Q3 − 10Q2 + 40Q + 100. On veut déterminer C ′ (10 ). Dans de nombreux problèmes en sciences humaines, notamment en sciences économiques, la variable indépendante, par exemple une quantité, s’exprime en unités discrètes. Ainsi, on ne peut pas produire 1,32 batterie ou p automobiles. Toutefois, afin de pouvoir utiliser le calcul différentiel, il est généralement permis de modéliser la variable dépendante comme une fonction continue et dérivable de la variable indépendante. Bien sûr, le modèle mathématique ainsi formulé ne constitue qu’une approximation de la réalité : il n’existe pas de modèles parfaits, seulement des modèles utiles. Dans l’exemple que nous étudions, la réalité correspond au graphique de gauche, et le modèle mathématique, au graphique de droite sur la figure 2.9. C’est ce dernier qui est utilisé pour déterminer C ′ (10 ). FIGURE 2.9

Modélisation continue d’un phénomène discret Modèle mathématique

|

|

5

10

|

15 Q

Q réel positif

| |

|

|

|

|

|

|

C (Q ) = Q3 − 10Q2 + 40Q + 100

|

2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 0

|

| | | | | |

0

Coût ($)

Q entier positif

|

|

C (Q ) = Q3 − 10Q2 + 40Q + 100

|

2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 0

|

Coût ($)

Réalité

0

|

|

5

10

|

15 Q

On a C ′ (10 ) = lim

∆Q → 0

C (10 + ∆Q ) − C (10 ) ∆Q

(10 + ∆Q )3 − 10 (10 + ∆Q )2 + 40 (10 + ∆Q ) + 100  − 500  = lim  ∆Q → 0 ∆Q =

{1 000 + 300 ∆Q + 30 ( ∆Q) lim

2

∆Q → 0

140 ∆Q + 20 ( ∆Q ) + ( ∆Q ) ∆Q → 0 ∆Q 2

3

= lim = lim

∆Q → 0

2 ∆Q 140 + 20 ∆Q + ( ∆Q )  ∆Q

2 = lim 140 + 20 ∆Q + ( ∆Q )  ∆Q → 0

= 140 $ unité

}

3 2 + ( ∆Q ) − 10 100 + 20 ∆Q + ( ∆Q )  + 500 + 40 ∆Q − 500 ∆Q

88

CHAPITRE 2

On en conclut que lorsque le nombre d’unités produites est égal à 10, le coût total de production augmente à raison de 140 $ par unité. La dérivée du coût total de production est appelée coût marginal. Le coût marginal C ′ (Q ) permet d’ape proximer le coût de production de la (Q + 1) unité. Il en coûterait donc environ e 140 $ pour produire la 11 unité. On peut déterminer de façon exacte le coût de production de la 11e unité en calculant ∆C = C (11) − C (10 ) = 661 − 500 = 161 $.

● Coût marginal Le coût marginal C ′ (Q ) est le taux de variation de la fonction coût total de production C (Q ). Il permet d’approxi mer le coût de production de la (Q + 1 )e unité lorsque la production est de Q unités.

De manière similaire, on peut établir que le coût marginal de la 12e unité, noté

dC ou C ′ (12 ), vaut 232 $/unité. dQ Q=12

On en conclut que lorsque le nombre d’unités produites est égal à 12, le coût  total de production augmente à raison de 232 $ par unité. Il en coûterait donc environ 232 $ pour produire la 13e unité. Le coût exact de production de la 13e unité est donné par ∆C = C (13) − C (12 ) = 1 127 − 868 = 259 $.   L’exemple 2.11 nous permet de constater que la dérivée de la fonction f ( x ) en un point x = a peut différer de la dérivée de cette même fonction en un point x = b . De plus, la démarche pour obtenir la dérivée d’une fonction en un point est très similaire à celle utilisée pour obtenir la dérivée de la même fonction en un autre point. Il est donc souhaitable de définir une fonction qui donne la dérivée en tout point x d’une fonction f ( x ). La fonction dérivée permet d’effectuer les calculs une seule fois pour ensuite pouvoir obtenir facilement la dérivée en plusieurs points.

2.3.2 fonction dériVée ● Dérivée d’une fonction La dérivée de la fonction y = f ( x ) , df dy notée , , f ′ ( x ) ou y ′ , est (lorsqu’elle dx dx existe) la fonction définie par df dy = dx dx = f ′( x) = y′ f ( x + ∆ x) − f ( x ) = lim ∆ x→ 0 ∆x

df dy , , f ′ ( x ) ou y′, est la fonction défidx dx df dy f ( x + ∆ x) − f ( x ) df nie par = = f ′ ( x ) = y′ = lim . La notation rappelle ∆ x→ 0 dx dx ∆x dx ∆f que la dérivée est en fait la limite du quotient quand ∆ x → 0 ; elle permet donc ∆x de retrouver facilement les unités de la dérivée dans un problème appliqué. La dérivée d’une fonction y = f ( x ), notée

dy comme un quotient de deux quantités. Il faut plutôt dx d  d d  considérer ou  ou  comme un opérateur qui indique qu’il faut dériver la  dx dt du  Il ne faut pas voir

fonction y par rapport à x (ou à t ou à u). Ainsi, la dérivée par rapport à x de la dy d 3 = ( x + 4 x ) ; de même la dérivée par rapport dx dx df d 2 t 2 + 1 s’écrira = 2 t 2 + 1 ; etc. Par contre, il est dt dt dy df df , , , etc. du dx dt

fonction y = x 3 + 4 x s’écrira à t de la fonction f ( t ) = habituel d’écrire

dy dy , , dx dt

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

89

DES MOTS ET DES SYMBOLES

S

elon F. Cajori, Simon L’Huilier (1750-1840) aurait été le premier à employer la notation « lim » pour désigner une limite. À la page 31 de son Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs, pour introduire la notation de la dérivée, il écrivit : « Pour abréger & pour faciliter le calcul ∆P la limite par une notation plus commode, on est convenu de désigner autrement que par lim. ∆x dP ∆P dP du rapport des changements simultanés de P & de x, à savoir par , en sorte que lim. et dx ∆x dx désignent la même chose. » D’autres suivirent, dont Karl Weierstrass (1815-1897), qui enleva le point après l’abréviation et figea ainsi la notation « lim ». Il fallut cependant attendre le célèbre A Course of Pure Mathematics de G. H. Hardy (1877-1947) pour voir apparaître la notation x → x 0 indiquant que x tend vers x0 dans l’expression lim . x →x0

EXEMPLE 2.12

Supposons que le coût total de production (en dollars) de Q unités d’un certain produit est donné par la fonction C (Q ) = Q3 − 10Q2 + 40Q + 100. On veut dC déterminer . On a dQ C (Q + ∆Q ) − C (Q ) dC = lim ∆ Q → 0 dQ ∆Q (Q + ∆Q )3 − 100 (Q + ∆Q )2 + 40 (Q + ∆Q ) + 100  − (Q3 − 10Q2 + 40Q + 100 )  = lim  ∆Q → 0 ∆Q 3Q2 ( ∆Q ) + 3Q ( ∆Q ) + ( ∆Q ) − 20Q ( ∆Q ) − 100 ( ∆Q ) + 40 ∆Q ∆Q → 0 ∆Q 2

3

2

= lim

2 ∆Q  3Q2 + 3Q ( ∆Q ) + ( ∆Q ) − 20Q − 10 ∆Q + 40  = lim ∆Q → 0 ∆Q 2 = lim  3Q2 + 3Q ( ∆Q ) + ( ∆Q ) − 20Q − 10 ∆Q + 40  ∆Q → 0

= ( 3Q2 − 20Q + 40 )  $ unité Pour trouver C ′ (10 ) et C ′ (12 ), il suffit de remplacer respectivement Q par 10 et dC par 12 dans la fonction dérivée . On obtient, bien sûr, les mêmes résultats que dQ précédemment, soit C ′ (10 ) = 3(10 )2 − 20 (10 ) + 40 = 140 $ unité et C ′ (12 ) = 3(12 )2 − 20 (12 ) + 40 = 232 $ unité   EXEMPLE 2.13

La période T d’un pendule simple (en secondes) de longueur L mesurée en mètres L est donnée par la fonction T ( L ) = 2π , où g est la constante de gravitation g

90

CHAPITRE 2

terrestre, soit g = 9, 8  m s 2 . On veut déterminer T ′ ( 0, 5 ) et T ′ (1). Déterminons dT d’abord la fonction dérivée = T ′ ( L ). dL On a dT T ( L + ∆L ) − T ( L ) = lim ∆L → 0 dL ∆L 2π = lim

∆L → 0

= lim

∆L → 0

L + ∆L L − 2π 9, 8 9, 8 ∆L

2π ( L + ∆L − 9, 8 ∆L

L)

=

( L + ∆L − L ) ( L + ∆L + 2π lim L → 0 ∆L 9, 8 ∆L ( L + ∆L + L )

=

2π ( L + ∆L ) − L lim 9, 8 ∆L → 0 ∆L ( L + ∆L + L )

=

2π ∆L lim ∆ L → 0 9, 8 ∆L ( L + ∆L +

=

2π 1 lim ∆ L → 0 9, 8 L + ∆L +

=

2π 9, 8

=

π  s m 9, 8 L

L)

L)

L

 1    2 L

Pour trouver T ′ ( 0, 5 ) et T ′ (1), il suffit de remplacer respectivement L par dT 0,5 et par 1 dans la fonction dérivée . On obtient dL π T ′ ( 0, 5 ) = ≈ 1, 419   s m 9, 8 ( 0, 5 ) ce qui signifie que lorsque la longueur du pendule est de 0,5 m, la période du pendule augmente à raison d’environ 1,419 s par mètre d’augmentation de la

π ≈ 1, 004  s m, ce qui signifie 9, 8 (1) que, lorsque la longueur du pendule est de 1 m, la période du pendule augmente à raison d’environ 1,004 s par mètre d’augmentation de la longueur du pendule. longueur du pendule. De plus, on a T ′ (1) =

  EXERCICES 2.5

1 . x 2. Le profit total π (Q ) (en dollars) qu’une entreprise tire de la vente de Q pièces électroniques est donné par la fonction π (Q ) = − 0, 2Q2 + 80Q − 780 . 1. Déterminez la dérivée de la fonction f ( x ) =

a) Combien de pièces l’entreprise doit-elle vendre si elle ne veut pas essuyer de perte (c’est-à-dire si elle veut que le profit total soit supérieur ou égal à 0) ?

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

● Profit marginal Le profit marginal π ′ (Q ) est le taux de variation de la fonction profit total π (Q ) . Il permet d’approximer le profit résultant de la vente de la (Q + 1 )e unité lorsque le niveau de vente est de Q unités.

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 6 à 10.

91

b) Déterminez la dérivée de la fonction π (Q ). Indiquez bien les unités. On appelle cette dérivée le profit marginal. c) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez π ′ (150 ). d) Donnez une interprétation économique de π ′ (150 ). e) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez π ′ ( 300 ). f) Donnez une interprétation économique de π ′ ( 300 ). 3. On veut clôturer un potager de forme carrée ayant une superficie de A m 2 . a) Déterminez la fonction donnant la longueur L de la clôture du potager selon sa superficie. (Indice : Déterminez d’abord la longueur c du côté d’un carré de A m 2 .) b) Déterminez la dérivée de la fonction L ( A). Indiquez bien les unités. c) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez L′ (100 ). d) Donnez une interprétation géométrique et contextuelle de L′ (100 ). e) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez L′ (156, 25 ). f) Donnez une interprétation géométrique et contextuelle de L′ (156, 25 ).

UN PEU D’HISTOIRE

L

e concept de dérivée tire son origine du problème géométrique de la recherche d’une tangente à une courbe et du problème physique du calcul d’une vitesse instantanée. Les Grecs de l’Antiquité résolurent quelques problèmes de tangente. Ainsi, Euclide (330-275 av. J.-C.) montra que la tangente à tout point d’un cercle est perpendiculaire au rayon du cercle passant par ce point. Archimède (287-212 av. J.-C.) établit une procédure pour produire la tangente à une spirale. Apollonius (262-190 av. J.-C.) décrivit des méthodes pour trouver les tangentes aux coniques. Toutefois, ces illustres mathématiciens traitèrent les problèmes de tangentes comme des questions propres à chacune des courbes, comme des problèmes isolés de nature purement géométrique et ne purent donc pas inventer le concept de dérivée. Beaucoup plus tard, Galileo Galilei (1564-1642) s’intéressa à la physique du mouvement et établit des liens entre la distance, la vitesse et l’accélération sans toutefois formuler ces liens à l’aide de la dérivée. La création de la géométrie analytique par René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665) contribua également à faire progresser les idées vers la création du concept de dérivée. Ainsi, Fermat décrivit la tangente comme étant la position limite de sécantes, ce qui est essentiellement la démarche encore utilisée aujourd’hui pour définir la tangente à une courbe en un point. Dans sa célèbre Géométrie (1637), Descartes produisit une méthode pour trouver la normale à une courbe, c’est-à-dire une droite perpendiculaire à la courbe, résul-

tat à partir duquel il est facile de produire la tangente à la courbe. En Angleterre, Isaac Barrow (1630-1677) raffina les méthodes de Fermat et de Descartes en introduisant un triangle, dit triangle différentiel, et en définissant la tangente à une courbe en un point P comme la limite d’une corde PQ lorsque le point Q se rapproche de P . Suivant les traces de Barrow, Isaac Newton (1642-1727) s’intéressa à la notion de vitesse et de taux de variation instantané. Il élabora le calcul des fluxions, qui est essentiellement une forme de calcul différentiel. Fasciné par les mathématiques, le diplomate et philosophe allemand G. W. Leibniz (1646-1716) adopta une approche plus analytique. Leibniz inventa la notation de la différentielle et fut le premier à interpréter l’expression dy comme une pente de tangente lorsque y dx est une fonction de x , même s’il ne se servit pas de ce résultat pour définir la dérivée. De plus, Leibniz formula de nombreuses règles de dérivation, soit celle d’une somme, d’un produit, d’un quotient et d’une puissance. Il cherchait à créer une véritable arithmétique de l’infiniment petit. La notation de Leibniz était tellement supérieure à celle de Newton qu’elle est encore en usage de nos jours. Peu de temps après, en 1696, s’inspirant des leçons particulières qu’il avait reçues de Jean Bernoulli (1667-1748), Guillaume François Antoine de l’Hospital (1661-1704) publia Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes, qui fut le premier manuel de calcul différentiel. D’autres parurent par la suite,

dont les plus célèbres furent ceux de Maria Gaetana Agnesi* (1718-1799) et de Leonhard Euler† (1707-1783). Leibniz et Newton avaient trouvé les formules de dérivation des fonctions rationnelles, mais pas celles des fonctions transcendantes (les fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques). Pour sa part, Thomas Simpson (1710-1761) formula la règle de dérivation de la  fonction sinus, alors que Colin Maclaurin (1698-1746) formula celles de la dérivation des fonctions logarithmiques et exponentielles. Le calcul élaboré par Newton et Leibniz produisait des résultats corrects, mais ses fondements n’étaient pas rigoureux. Bien sûr, Newton avait déjà pressenti qu’il faudrait utiliser le concept de limite, mais il ne l’avait pas fait. Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) proposa une approche moderne du concept de dérivée en affirmant qu’il fallait le fonder sur la notion de limite, mais c’est le mathématicien Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) qui en formula la définition classique dans son Cours d’analyse : « […] si, lorsque h devient infiniment petit, le rapport aux différences f (x + h) − f (x ) ∆y = ∆x h admet une limite finie, on le note f ′ ( x ), c’est une fonction de x , appelée fonction dérivée. »

* Instituzioni analitiche ad uso delle gioventu italiana (1748). † Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1768-1770).

92

CHAPITRE 2

2.4 DÉRIVÉE ET CONTINUITÉ Dans cette section : point anguleux.

On dit qu’une fonction f ( x ) est dérivable en x = a si f ′ ( a ) existe. Jusqu’à présent, nous avons travaillé avec des fonctions f ( x ) continues et dérivables en x = a . Il est donc naturel de se demander s’il existe un lien entre la continuité et la dérivabilité d’une fonction f ( x ) en x = a .

v THÉORÈME 2.1 Si f ( x ) est une fonction dérivable en x = a , alors elle est continue en x = a.

preuVe Soit f ( x ) une fonction dérivable en x = a . f ( a + ∆ x) − f ( a ) existe. Pour démontrer que ∆x f ( x ) est continue en x = a , il faut établir que lim f ( x ) = f ( a ) , ce qui, On a que f ′ ( a ) = lim

∆ x→ 0

x→ a

lorsqu’on pose x = a + ∆ x , est équivalent au fait de montrer que lim f ( a + ∆ x) = f ( a ). ∆ x→ 0

On a f ( a + ∆ x) = f ( a + ∆ x) − f ( a ) + f ( a ) , et donc, pour ∆ x ≠ 0,  f ( a + ∆ x) − f ( a )  f ( a + ∆ x) =   ∆ x + f ( a ) ∆x  Par conséquent,   f ( a + ∆ x) − f ( a )   lim f ( a + ∆ x) = lim   ∆ x + f ( a ) ∆ x→ 0  ∆x  

∆ x→ 0

f ( a + ∆ x) − f ( a )     =  lim ∆ x + lim f ( a )  ∆lixm   ∆ x→ 0 ∆ x → 0 → 0 x ∆   = [ f ′ ( a )]( 0 ) + f ( a ) = 0 + f (a) = f (a) de sorte que la fonction f ( x ) est continue en x = a .

MaBiblio > Multimédia > 10. Fonction de Weierstrass Accédez directement à l’animation. goo.gl/scHo5z

On peut déduire du théorème 2.1 que si une fonction f ( x ) n’est pas continue en x = a , alors elle n’est pas dérivable en x = a . Il faut faire très attention de ne pas conclure que, si une fonction f ( x ) est continue en x = a , alors elle est automatiquement dérivable en ce point. Les exemples 2.14 et 2.15 présentent des fonctions continues en un point qui ne sont pas dérivables en ce point. EXEMPLE 2.14

On a établi à l’exemple 1.45 (p. 50) que la fonction f ( x ) = x est continue pour toute valeur réelle x. Montrons maintenant qu’elle n’est pas dérivable en x = 0.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

93

− x si x < 0 Puisque f ( x ) =  , nous devrons utiliser la limite à gauche et la − x si x ≥ 0 limite à droite pour déterminer si l’expression f ′ ( 0 ) est définie. Or, si elle existe,

MaBiblio > Multimédia > 11. Cas de non-dérivabilité

f ′ ( 0 ) = lim

∆ x→ 0

Accédez directement à l’animation.

f ( 0 + ∆ x) − f ( 0 ) ∆x − 0 ∆x = lim = lim ∆ x→ 0 ∆ x →0 ∆ x ∆x ∆x

On a

goo.gl/SDUphV

lim −

∆ x→ 0

∆x −∆ x = lim − = lim − ( −1) = −1 ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 ∆x

et lim

∆ x → 0+

∆x ∆x = lim + = lim + (1) = 1 ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 ∆x

● Point anguleux Puisque la limite à gauche diffère de la limite à droite, f ′ ( 0 ) n’existe pas et Le point ( a ,  f ( a ) ) est un point anguleux donc la fonction f ( x ) = x n’est pas dérivable en x = 0. de la courbe décrite par la fonction f ( x )   si la fonction f ( x ) est continue en x = a et si f ( a + ∆ x) − f ( a ) f ( a + ∆ x) − f ( a ) f ( a + ∆ x) − f ( a ) lim ≠ lim + Si une fonction f ( x ) est continue en x = a et si lim − est ∆ x→ 0− ∆ x→ 0 ∆x ∆x ∆ x→ 0 ∆x f ( a + ∆ x) − f ( a ) f ( a + ∆ x) − f ( a ) f ( a + ∆ x) − f ( a ) lim ≠ lim + différente de lim + , alors le point a,  f ( a ) est appelé un point ∆ x→ 0− ∆ x→ 0 ∆x ∆x ∆ x→ 0

(

∆x

anguleux de la courbe décrite par la fonction f ( x ). Le point ( 0,  0 ) est donc un point anguleux de la courbe décrite par f ( x ) = x . On voit bien sur la figure 2.10 que la courbe décrite par f ( x ) = x fait un angle en x = 0, c’est-à-dire qu’il se produit un changement brusque de direction en x = 0.

FIGURE 2.10

Point anguleux de f ( x ) = x en x = 0

|

|

|

–3

–2

–1

2

|

1

|

|

y

3

)

0

f ( x) = x

EXEMPLE 2.15

La fonction f ( x ) =

|

|

|

1

2

3

x

x − 1 est continue sur son domaine de définition, soit sur x = 1. Trouvons d’abord f ′ ( x ).

[1, ∞[. Montrons qu’elle n’est pas dérivable en On a

f ′ ( x ) = lim

∆ x→ 0

f ( x + ∆ x) − f ( x ) ∆x

( x + ∆ x) − 1 − x − 1

= lim

∆x

∆ x→ 0

= lim

(

x + ∆x − 1 −

∆ x( x + ∆ x − 1 +

∆ x→ 0

= lim

( x + ∆ x − 1) − ( x − 1)

(

x + ∆x − 1 +

x − 1)

∆x(

∆x x + ∆x − 1 +

x − 1)

∆ x→ 0 ∆ x

= lim

∆ x→ 0

= lim

∆ x→ 0

=

x − 1 )( x + ∆ x − 1 +

1 x + ∆x − 1 +

1 2 x−1

x−1

x − 1)

x − 1)

94

CHAPITRE 2

1 n’est pas définie en x = 1, on conclut que f ′ (1) 2 x−1 n’existe pas. Sur la figure 2.11, on constate que la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x − 1 en x = 1 est verticale et donc que sa pente n’est pas définie, c’est-à-dire que f ′ (1) n’existe pas. Comme l’expression

FIGURE 2.11

Tangente verticale en x = 1

1 0

f ( x) =

x−1

 

|

droite tangente

|

2

|

y

3

0

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

x

Une fonction f ( x ) n’est donc pas dérivable en x = a si f ( x ) n’est pas continue en x = a , ou si f ( x ) est continue en x = a et change brusquement de direction en ce point (il y a un point anguleux en x = a ), ou encore si f ( x ) est continue en x = a et admet une tangente verticale en ce point. EXERCICES 2.6

1. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction f ( x ) n’est pas dérivable (figure 2.12). Justifiez votre réponse. FIGURE 2.12

f (x )

|

|

–2

–1

|

1 |

|

–3

1

0 –1

|

|

–4

2

–2

|

|

–5

f ( x)

|

3

|

y

|

|

|

|

|

2

3

4

5

x

2. Soit la fonction continue f ( x ) = x − 1 . Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 11 à 14.

a) Montrez que f ( x ) est dérivable en x = 3. b) Montrez que f ( x ) n’est pas dérivable en x = 1.

2.5 PREMIÈRES FORMULES DE DÉRIVATION Dans cette section : propriété de linéarité.

Trouver la dérivée d’une fonction à l’aide de la définition peut parfois être un exercice algébrique assez difficile, pour ne pas dire long et fastidieux. Comme c’est souvent le cas en mathématiques, l’utilisation de formules générales permet de réduire considérablement le fardeau imposé par de longs algorithmes ou par de lourds calculs. Établissons donc des formules de dérivation qui permettront de trouver la dérivée d’une fonction plus rapidement. Nous allons démontrer la plupart de ces formules. À cette fin, nous recourrons à la définition de la dérivée. Comme cette définition repose sur la notion de limite, il faudra utiliser les stratégies que nous avons exposées au chapitre 1 pour prouver ces formules.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

95

2.5.1 dériVée d’une fonction constante Commençons par établir la formule qui donne l’expression de la dérivée d’une fonction élémentaire, soit celle de la fonction constante.

v THÉORÈME 2.2 Si f ( x ) = k est une fonction constante, alors df d = (formule 1) (k ) = 0 dx dx Autrement dit, la dérivée d’une fonction constante est nulle.

preuVe Si f ( x ) = k , alors df f ( x + ∆ x) − f ( x ) = lim ∆ x→ 0 dx ∆x = lim

∆ x→ 0

k−k ∆x

0 ∆ x→ 0 ∆ x

= lim

= lim 0 ∆ x→ 0

= 0

EXEMPLE 2.16

Si f ( x ) = 4, alors

df d = ( 4 ) = 0. dx dx

  EXEMPLE 2.17

Si g ( t ) = − 1 2 , alors

dg d 1 = ( − 2 ) = 0. dt dt

  EXEMPLE 2.18

Si y = π , alors

dy d = (π ) = 0 puisque π est une constante. dx dx

 

2.5.2 dériVée de la fonction identité La formule donnant la dérivée de la fonction identité f ( x ) = x est également simple à obtenir, comme l’indique le théorème 2.3.

96

CHAPITRE 2

v THÉORÈME 2.3 Si f ( x ) = x est la fonction identité, alors df d = (formule 2) ( x) = 1 dx dx Autrement dit, la dérivée de la fonction identité est égale à 1.

preuVe Si f ( x ) = x , alors df f ( x + ∆ x) − f ( x ) = lim ∆ x→ 0 dx ∆x = lim

( x + ∆ x) − x ∆x

∆ x→ 0

= lim

∆x

∆ x→ 0 ∆ x

= lim 1 ∆ x→ 0

= 1

EXEMPLE 2.19

Si f ( t ) = t , alors

df d = ( t ) = 1. dt dt

  EXEMPLE 2.20

Si g ( u ) = u, alors

dg d = ( u ) = 1. du du

 

2.5.3 dériVée du produit d’une constante par une fonction Le théorème 2.4 donne la formule de la dérivée du produit d’une constante par une fonction dérivable.

v THÉORÈME 2.4 Si f ( x ) = ( ku )( x ) = ku ( x ) où u ( x ) est une fonction dérivable, et si k est une constante, alors df d du = (formule 3) ( ku ) = k dx dx dx Autrement dit, la dérivée du produit d’une constante par une fonction dérivable est le produit de cette constante par la dérivée de la fonction.

P

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

97

preuVe Si f ( x ) = ku ( x ), alors df d = ( ku ) dx dx = lim

∆ x→ 0

ku ( x + ∆ x) − ku ( x ) ∆x

k [ u ( x + ∆ x) − u ( x )] ∆ x→ 0 ∆x

= lim

u ( x + ∆ x) − u ( x )    =  lim k   lim  ∆ x→ 0   ∆ x→ 0 ∆x  = k

du dx

EXEMPLE 2.21

Si f ( x ) = −2 x , alors

df d d = ( −2 x ) = −2 ( x ) = −2 (1) = −2. dx dx dx

  EXEMPLE 2.22

Si g ( t ) =

2

3 t,

alors

dg d 2 = ( 3t ) = dt dt

2

3

d (t ) = dt

2

3

(1) =

2

3.

  EXEMPLE 2.23

Si y = 2π t, alors

dy d d = ( 2π t ) = 2π ( t ) = 2π (1) = 2π . dt dt dt

 

QUESTION ÉCLAIR 2.4 Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) = − 3

b) g ( t ) = −4 t

c) h( u ) =

3u 4

2.5.4 dériVée de la somme ou de la différence de deux fonctions Dériver une somme ou une différence de deux fonctions dérivables s’avère également une opération simple, comme en fait foi le théorème 2.5.

98

CHAPITRE 2

v THÉORÈME 2.5 Si u ( x ) et v ( x ) sont deux fonctions dérivables, alors d du dv + (formule 4) (u + v) = dx dx dx d du dv − (formule 5) (u − v) = dx dx dx Autrement dit, la dérivée d’une somme (ou d’une différence) de fonctions dérivables est la somme (ou la différence) des dérivées de ces fonctions.

preuVe On a ( u + v )( x ) = u ( x ) + v ( x ). Par conséquent, d [u ( x + ∆ x) + v( x + ∆ x)] − [u ( x ) + v( x )] ( u + v ) = lim ∆ x→ 0 dx ∆x = lim

[u( x + ∆ x) − u( x )] + [v( x + ∆ x) − v( x )] ∆x

∆ x→ 0

= lim

∆ x→ 0

=

u ( x + ∆ x) − u ( x ) v ( x + ∆ x) − v ( x ) + lim ∆ x → 0 ∆x ∆x

du dv + dx dx

On démontre la formule 5 de façon similaire.

EXEMPLE 2.24

Si f ( x ) = 5 x + 2, alors df d d d d = ( 5 x + 2 ) = ( 5 x ) + ( 2 ) = 5 ( x ) + 0 = 5 (1) = 5 dx dx dx dx dx   EXEMPLE 2.25

Si g ( t ) = − t − 6, alors dg d d d d = ( − t − 6 ) = ( − t ) − ( 6 ) = − ( t ) − 0 = −1 dt dt dt dt dt   On aurait pu regrouper les formules 3, 4 et 5 en une seule formule : si u ( x ) et v ( x ) sont des fonctions dérivables et si a et b sont des constantes, alors

● Propriété de linéarité On dit que la dérivée possède la propriété de linéarité, car elle satisfait à la caractéristique suivante : d du dv ( au ± bv ) = a ±b dx dx dx où a et b sont des constantes et u et v sont des fonctions dérivables de x.

d du dv ( au ± bv ) = a ± b dx dx dx En raison de cette caractéristique, on dit que la dérivée possède la propriété de linéarité.

QUESTION ÉCLAIR 2.5 Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. 2t − 1 a) f ( x ) = 4 − 3 x b) g ( t ) = 5

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

99

2.5.5 dériVée du produit de deux fonctions À première vue, la formule de la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, telle qu’elle est énoncée dans le théorème 2.6, est surprenante. Elle va à l’encontre de l’intuition. De plus, elle est plus complexe à prouver puisqu’on doit effectuer des manipulations algébriques et recourir au fait que les fonctions dérivables sont continues.

v THÉORÈME 2.6 Si u ( x ) et v ( x ) sont deux fonctions dérivables, alors d dv du ( uv ) = u + v dx dx dx

(formule 6)

Autrement dit, la dérivée du produit de deux fonctions est égale au produit de la première fonction et de la dérivée de la seconde auquel on ajoute le produit de la deuxième fonction et de la dérivée de la première.

preuVe On a ( uv )( x ) = u ( x ) v ( x ) et, par conséquent, d u ( x + ∆ x) v ( x + ∆ x) − u ( x ) v ( x ) ( uv ) = lim ∆ x→ 0 dx ∆x = lim

u ( x + ∆ x) v ( x + ∆ x) − u ( x + ∆ x) v ( x ) + u ( x + ∆ x) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) ∆x

= lim

u ( x + ∆ x)[ v ( x + ∆ x) − v ( x )] + v ( x )[ u ( x + ∆ x) − u ( x )] ∆x

∆ x→ 0

∆ x→ 0

v ( x + ∆ x) − v ( x )  u ( x + ∆ x) − u ( x )    = lim u ( x + ∆ x)  + ∆lim v( x )  ∆ x→ 0  x→ 0  ∆x ∆x v ( x + ∆ x) − v ( x )  u ( x + ∆ x) − u ( x )   =  lim u ( x + ∆ x)  lim  + v ( x ) ∆lim x→ 0 ∆x ∆x  ∆ x→ 0   ∆ x→ 0 dv du + v( x ) dx dx dv du = u +v dx dx = u( x )

Dans cette démonstration, on a utilisé le fait que lim u ( x + ∆ x) = u ( x ) puisque la fonction u ( x ) est déri∆ x→ 0

vable et donc continue en vertu du théorème 2.1 (p. 92).

Faites attention de ne pas commettre l’erreur courante de penser que la dérivée du produit de deux fonctions est égale au produit des dérivées des deux fonctions. Ainsi, en d du dv général, ( uv ) ≠     . dx dx dx

d du dv ( uv ) =     dx dx dx

d d ( uv ) = ( vu ), dx dx d du dv de sorte que la formule 6 peut également s’écrire ( uv ) = v + u . dx dx dx De plus, puisque la multiplication est commutative, on a

100

CHAPITRE 2

EXEMPLE 2.26

Si f ( x ) = x 2 , alors df d = ( x ⋅ x) dx dx d d = x ( x) + x ( x) dx dx = x (1) + x (1) = 2x   EXEMPLE 2.27

Si g ( x ) = x 3, alors dg d = ( x ⋅ x2 ) dx dx d d = x ( x2 ) + x2 ( x) dx dx = x ( 2 x ) + x 2 (1) = 3x2  

QUESTION ÉCLAIR 2.6 Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) = ( 2 x − 1)( 5 − 3 x )

b) g ( t ) = − 4 t ( 5t +

1

2

)

2.5.6 dériVée du quotient de deux fonctions Tout comme dans le cas de la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, la formule de la dérivée d’un quotient de deux fonctions dérivables, présentée dans le théorème 2.7, paraît surprenante à première vue.

v THÉORÈME 2.7 Si u ( x ) et v ( x ) sont deux fonctions dérivables, et si v ( x ) ≠ 0, alors d  u   = dx  v 

v

du dv −u dx dx v2

(formule 7)

Autrement dit, la dérivée d’un quotient de fonctions est égale au produit du dénominateur et de la dérivée du numérateur duquel on retranche le produit du numérateur et de la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.

P

101

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

preuVe u( x )  u On a   ( x ) = et, par conséquent,  v v( x ) u ( x + ∆ x) u ( x ) − d  u v ( x + ∆ x) v ( x )   = ∆lim x→ 0 dx  v  ∆x = lim

u ( x + ∆ x) v ( x ) − u ( x ) v ( x + ∆ x) ∆ x[ v ( x ) v ( x + ∆ x)]

= lim

u ( x + ∆ x) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x + ∆ x) ∆ x[ v ( x ) v ( x + ∆ x)]

∆ x→ 0

∆x → 0

v ( x )[ u ( x + ∆ x) − u ( x )] − u ( x )[ v ( x + ∆ x) − v ( x )] ∆ x→ 0 ∆ x[ v ( x ) v ( x + ∆ x)]

= lim

v ( x )[ u ( x + ∆ x) − u ( x )] − u ( x )[ v ( x + ∆ x) − v ( x )] ∆x = lim ∆ x→ 0 v ( x ) v ( x + ∆ x) u ( x + ∆ x) − u ( x )  v ( x + ∆ x) − v ( x )    lim v ( x )  − ∆lim u ( x ) x→ 0  ∆x ∆x  = lim [ v ( x ) v ( x + ∆ x)]  ∆ x→ 0 

∆ x→ 0

 u ( x + ∆ x) − u ( x )   v ( x + ∆ x) − v ( x )  v ( x ) lim   − u ( x ) ∆lim x→ 0  ∆ x→ 0  ∆x ∆x   = v ( x ) lim v ( x + ∆ x) ∆ x→ 0

=

=

v( x )

v

du dv − u( x ) dx dx 2 v x ( ) [ ]

du dv −u dx dx v2

Dans cette démonstration, on a utilisé le fait que lim v ( x + ∆x ) = v ( x ) ∆ x→ 0

puisque la fonction v ( x ) est dérivable et est donc continue en vertu du théorème 2.1 (p. 92).

Faites attention de ne pas commettre l’erreur courante de penser que la dérivée du quotient de deux fonctions est égale au quotient des dérivées des deux fonctions. Ainsi, d  u  du   dv    ≠     . De plus, comme la dx dx dx v d  u d  v division n’est pas commutative, on a   ≠  . dx v dx  u  en général,

d  u   du     =  dx  v   dx  d  u d  v   =   dx  v  dx  u 

 dv   dx 

102

CHAPITRE 2

EXEMPLE 2.28

Si f ( x ) =

2x + 3 , alors 4−x df d  2x + 3 =   dx dx  4 − x  =

 

(4 − x)

d d ( 2 x + 3) − ( 2 x + 3) ( 4 − x ) dx dx ( 4 − x )2

=

( 4 − x )[ 2 (1) + 0 ] − ( 2 x + 3)( 0 − 1) ( 4 − x )2

=

8 − 2x + 2x + 3 ( 4 − x )2

=

11 4 x )2 − (

EXEMPLE 2.29

Si g ( t ) =

2 , alors 3t + 5 dg d 2  =   dt dt  3t + 5  = = =

 

d dt

( 3t + 5) ( 2 ) − 2

d ( 3t + 5 ) dt

( 3t + 5 )2

( 3t + 5 )( 0 ) − 2 [ 3(1) + 0 ] ( 3t + 5 )2 −6

( 3t + 5 )2

EXEMPLE 2.30

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Déterminons le taux de croissance de la taille de la popula1+t tion lorsque t = 1 an. On veut déterminer N ′ (1). dN d  200 t  = + 60    dt dt  1 + t =

=

d  200 t  d   + ( 60 )   dt 1 + t dt d dt

(1 + t ) ( 200 t ) − 200 t (1 + t )2

d (1 + t ) dt +0

=

(1 + t )[ 200 (1)] − 200 t ( 0 + 1) (1 + t )2

=

200  in ndividus année (1 + t )2

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

103

dN 200 = = 50  individus année. Ce rédt t = 1 (1 + 1)2 sultat est le même que celui de l’exemple 2.10 (p. 85), mais on l’obtient plus simplement. Par conséquent, N ′ (1) =

 

QUESTION ÉCLAIR 2.7 Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) =

−5 4x − 3

b) g ( t ) =

5−t 3t − 2

2.5.7 dériVée de la fonction puissance En regardant attentivement les exemples 2.26 et 2.27 (p. 100), on remarque quelque d 2 d 3 x ) = 2 x et ( ( x ) = 3 x2. On est tenté de croire que dx dx = nx n −1 , ce qui est bien le cas.

chose de particulier : d n (x ) dx

v THÉORÈME 2.8 Si n est un nombre réel et si f ( x ) = x n , alors df d n = ( x ) = nx n −1 dx dx

(formule 8)

là où cette dérivée existe.

preuVe À ce stade, nous démontrerons ce résultat pour tout entier n. La preuve pour n ∈  sera traitée plus tard lorsque nous aborderons la dérivée d’une fonction logarithmique. Si n = 0 et si x ≠ 0, alors f ( x ) = x 0 = 1 et formule 8 est donc valide pour n = 0.

df d = (1) = 0 = 0 x 0 − 1 en vertu du théorème 2.2 (p. 95). La dx dx

Pour démontrer la formule 8 pour un entier n > 0, nous utiliserons le résultat suivant qu’on peut vérifier facilement en multipliant simplement les deux parenthèses du membre de droite de l’équation :   − 1 + a n − 2 b + a n − 3b2 +  + a 2 b n − 3 + ab n − 2 + b n − 1 a n − bn = ( a − b)  an     n termes On obtient cette dernière expression en divisant a n − bn par a − b , ce terme étant un facteur de a n − bn puisque a = b en est une racine.

P

104

CHAPITRE 2

On a donc d n ( x + ∆ x)n − x n x ) = lim ( ∆ x→ 0 dx ∆x = lim

[( x + ∆ x) − x ] ( x + ∆ x)n − 1 + ( x + ∆ x)n − 2 x +  + ( x + ∆ x) x n − 2

= lim

∆ x ( x + ∆ x)n − 1 + ( x + ∆ x)n − 2 x +  + ( x + ∆ x) x n − 2 + x n − 1 

∆x

∆ x→ 0

+ x n − 1 

∆x

∆ x→ 0

= lim ( x + ∆ x)n − 1 + ( x + ∆ x)n − 2 x +  + ( x + ∆ x) x n − 2 + x n − 1  ∆ x→ 0 −1 + xn−1 +  + xn−1 + xn−1 x n =    n termes

=

nx n − 1

Pour démontrer la formule 8 pour un entier n < 0, nous utiliserons le fait que n = − m, où m > 0, la pro1 priété des exposants x n = x − m = m et le théorème 2.7 (p. 100). On aura alors, x d n d  1  ( x ) = dx  x m  dx = = =

xm

d d (1) − 1 ( x m ) dx dx ( x m )2

x m ( 0 ) − 1 ( mx m − 1 ) x2 m − mx m − 1 x2 m

= ( − m) x m −1− 2 m = ( − m ) x( − m ) − 1 = nx n − 1 Évidemment, ce dernier résultat n’est valable que si x ≠ 0 puisqu’à cette valeur de x, la fonction et la dérivée ne sont pas définies.

EXEMPLE 2.31

Si f ( x ) = x 5 + 2 x 4 − x 3 − 3 x 2 + 5 x − 7, alors df d 5 d 4 d 3 d 2 d d = ( x ) − ( 7) ( x ) + 2 dx ( x ) − dx ( x ) − 3 dx ( x ) + 5 dx dx dx dx = 5 x 5 − 1 + 2 ( 4 x 4 − 1 ) − 3 x 3 − 1 − 3 ( 2 x 2 − 1 ) + 5 (1) − 0 = 5 x4 + 8 x3 − 3x2 − 6 x + 5   EXEMPLE 2.32

Si f ( t ) = 2 t π , alors f ′ ( t ) = 2π t π − 1 .  

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

105

EXERCICE 2.7

Soit la fonction f ( x ) = 3 x 2 + 5 x − 3. Évaluez l’expression. a)

df dx

df dx

b)

c)

x=2

d ( x 2 + 1) f ( x ) dx 

EXEMPLE 2.33

2 x3 − x . On veut déterminer l’équation de la droite tangente à la x2 + 2 courbe décrite par la fonction f ( x ), en x = 1. Commençons par évaluer f ′ (1) qui est la pente de la droite tangente cherchée. Soit f ( x ) =

f ′( x) =

= = = =

d  2 x3 − x  dx  x 2 + 2  d d 2 ( 2 x3 − x ) − ( 2 x3 − x ) dx ( x + 2) dx ( x 2 + 2 )2

( x2

+ 2)

( x2

+ 2 ) ( 6 x 2 − 1) − ( 2 x 3 − x ) ( 2 x )

( x2

+ 2)

2

6 x 4 − x 2 + 12 x 2 − 2 − 4 x 4 + 2 x 2

( x2

+ 2)

2

2 x 4 + 13 x 2 − 2

( x2

+ 2)

2

La pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en 2 (1)4 + 13(1)2 − 2

13 . L’équation de la droite tangente 9 ( + 2) 2 x3 − x à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 2 , au point (1,  f (1)) = (1,  1 3 ) , x +2 x = 1 est donc f ′ (1) =

est y =

13

 

9

( x − 1) +

1

2

12

3

ou y =

13

9x

−

10

=

9.

EXEMPLE 2.34

Si g ( t ) =

t +t

4

3

g ′ (t ) =

= t

1

2

+ t 3 , alors 4

1 12 −1 4 4 3−1 1 1 4 1 1 4 t + t = t− 2 + t 3 = + 3t 2 3 2 3 2 t 3

 

EXEMPLE 2.35

On veut déterminer le taux de variation instantané de f ( x ) = x x lorsque x = 16. Pour ce faire, on peut procéder de différentes façons. On peut, par

106

CHAPITRE 2

exemple, considérer la fonction f comme le produit de deux fonctions. Ce qui donne la solution suivante, qui n’est pas très efficace. df d = ( x   ⋅  x 1 2 ) dx dx d 1 d 1 = x (x 2 ) + x 2 ( x) dx dx = x ( 1 2 x− =

1

2x

=

1

2x

=

3

1

2

)+x

1+(− 1 2) 1

2

+ x

+ x 1

1

1

2

(1)

2

2

x

2

On peut également réécrire la fonction en utilisant les propriétés des expo3 1 1 sants, c’est-à-dire f ( x ) = x x = x ( x 2 ) = x1 + 2 = x 2 . On a alors df d 32 = x = dx dx

( )

3

2x

3

2 −1

=

3

2x

1

2

=

3

2

x

La deuxième solution est beaucoup plus courte. Le taux de variation instantané lorsque x = 16 est donc f ′ (16 ) =

3

2

16 =

3

2

(4) = 6

Cet exemple permet de constater qu’il peut être préférable d’essayer de simplifier une expression avant de la dériver.  

EXEMPLE 2.36

4 2 1 dy − 2 + . On veut déterminer . Pour ce faire, on peut procéder x3 x x dx de plusieurs façons. On peut, par exemple, considérer chaque terme de y comme un quotient de polynômes, ce qui donne la solution suivante, qui est très laborieuse. Soit y =

dy d  4 d  2  d  1 =   −   +   dx dx  x 3  dx  x 2  dx  x  = =

x3

d d d d d d ( 4 ) − 4 ( x 3 ) x 2 ( 2 ) − 2 ( x 2 ) x (1) − 1 ( x ) dx dx dx dx dx − + dx x2 ( x 3 )2 ( x 2 )2

x3 ( 0 ) − 4 ( 3x2 ) x6

−

x 2 ( 0 ) − 2 ( 2 x ) x ( 0 ) − 1(1) + x4 x2

−12 x 2 − 4 x −1 − 4 + 2 x6 x x 12 4 1 = − 4 + 3 − 2 x x x =

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

107

On peut également réécrire la fonction en utilisant les propriétés des expo4 2 1 = 4 x −3 − 2 x −2 + x −1. On a alors sants : y = 3 − 2 + x x x dy d = ( 4 x −3 − 2 x −2 + x −1 ) dx dx = 4 ( −3 x −3 − 1 ) − 2 ( −2 x −2 − 1 ) + ( −1 x −1 − 1 ) = −12 x −4 + 4 x −3 − x −2 = −

4 1 12 + 3 − 2 4 x x x

On voit très bien que la deuxième solution est beaucoup plus efficace.  

EXERCICES 2.8

1. Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) = −3π b) g ( t ) =

3t 1 + 4 2

c) y = ( x 3 + 5 x ) ( 3 x − x 2 + 1)

3t 2 − 4 t + 2 1 − 2t 4 e) y = 3 x 2 − 2 + 5 x − 6 x 4 1 f) f ( x ) = x 2 x − 3 + − 2 x x d) h( t ) =

2. Déterminez l’équation de la droite tangente et l’équation de la droite normale à la courbe décrite par f ( x ) = 3 x en x = −8. 3. Supposons que le coût total de production (en dollars) de Q unités d’un certain produit est donné par la fonction C (Q ) = Q3 − 10Q2 + 40Q + 100. Déterminez C ′ (10 ) et C ′ (12 ) en utilisant les formules de dérivation. Comparez votre solution avec celle présentée à l’exemple 2.12 (p. 89). 4. La période T (en secondes) d’un pendule simple de longueur L mesurée en mètres est donnée par la fonction T ( L ) = 2π

L , où g est la constante de g

gravitation terrestre, soit g = 9, 8  m s 2 . Déterminez T ′ ( 0, 5 ) et T ′ (1) en utilisant les formules de dérivation. Comparez votre solution avec celle présentée à l’exemple 2.13 (p. 89).

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 15 à 32.

5. Une citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un rythme tel que la concentration C ( t ) en sel (en grammes par litre) dans la 25t citerne après t min est donnée par C ( t ) = . Déterminez le taux de 10 + t variation de la concentration en sel au bout de 10 min en utilisant les formules de dérivation. Comparez votre solution à celle effectuée au numéro 2 a des exercices 2.4 (p. 86).

108

CHAPITRE 2

2.6 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DU SIGNE DE LA DÉRIVÉE

Dans cette section : grandeur d’une vitesse – discriminant.

Nous avons vu que la dérivée d’une fonction f ( x ) en x = a admet une interprétation géométrique : c’est la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( a,  f ( a )) . Or, la pente d’une droite peut être positive, négative ou nulle.

2.6.1 relations entre le graphique d’une fonction et celui de sa dériVée

La figure 2.13 présente la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 16 ainsi que quelques droites tangentes. FIGURE 2.13

MaBiblio

f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 16 et droites tangentes

> Multimédia > 12. Interprétation géométrique du signe de la dérivée

y

20

|

|

–2

–1

| |

10

|

5

|

15

0 –5

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

x

|

goo.gl/DeouCx

|

25

Accédez directement à l’animation.

f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 16

|

30

La figure 2.13 permet de constater qu’en x = −0, 5 et en x = 4, les pentes des droites tangentes sont toutes deux positives. On remarque également qu’en x = 2, la pente de la droite tangente est négative. Finalement, en x = 1 et en x = 3, les droites tangentes sont horizontales et leurs pentes sont donc nulles. On a f ′( x) =

= 3 x 2 − 12 x + 9

FIGURE 2.14

= 3 ( x 2 − 4 x + 3)

Courbe décrite par f ′ ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9

= 3( x − 1)( x − 3)

y

0 –5

|

La dérivée de la fonction f ( x ) étant elle-même une fonction, on peut tracer la courbe décrite par f ′ ( x ) (figure 2.14).

f ′ ( x ) = 3x 2 − 12 x + 9

| |

5

|

|

–1

10

|

|

20

15

|

1

d 3 ( x − 6 x 2 + 9 x + 16 ) dx

2 |

|

|

|

3

4

5

x

La figure 2.14 permet de confirmer ce que nous avions remarqué à la figure 2.13. On voit bien que f ′ (− 0, 5 ) > 0 et que f ′ ( 4 ) > 0, ce qui indique que la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = −0, 5 et en x = 4 est positive. De plus, f ′ ( 2 ) < 0 et donc la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = 2 est négative. Finalement, f ′ (1) = f ′ ( 3) = 0, ce

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

109

qui indique que la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) est nulle (la droite tangente est horizontale) en x = 1 et en x = 3. Toutes ces remarques sont bien intéressantes. Mais à quoi serviront-elles ? Poussons un peu plus loin l’analyse des figures 2.13 et 2.14 et voyons comment l’étude de la fonction dérivée f ′ ( x ) peut nous renseigner sur la fonction f ( x ) (tableau 2.1). TABLE AU 2 .1

Relations entre le graphique de f ′ ( x ) et le graphique de f ( x ) Remarques sur la fonction dérivée f ′ ( x ) (figure 2.14)

Remarques sur la fonction f ( x ) (figure 2.13)

On a f ′ ( x ) > 0 si x ∈ ]−∞, 1[ ou si x ∈ ]3,  ∞[ , car la courbe décrivant f ′ ( x ) est située au-dessus de l’axe des abscisses.

La valeur de la fonction f ( x ) augmente sur l’intervalle ]−∞, 1[ et sur l’intervalle ]3,  ∞[. On dit que la fonction f ( x ) est croissante sur ces intervalles.

On a f ′ ( x ) < 0 si x ∈ ]1,  3[ , car la courbe décrivant f ′ ( x ) est située sous l’axe des abscisses.

La valeur de la fonction f ( x ) diminue sur l’intervalle ]1,  3[ . On dit que la fonction f ( x ) est décroissante sur cet intervalle.

On a f ′ ( 1 ) = 0, car la courbe décrivant f ′ ( x ) coupe l’axe des abscisses en x = 1.

La valeur de la fonction f ( x ) cesse d’augmenter en x = 1 pour commencer à diminuer. On dit que la fonction f ( x ) admet un maximum relatif en x = 1.

On a f ′ ( 3 ) = 0, car la courbe décrivant f ′ ( x ) coupe l’axe des abscisses en x = 3.

La valeur de la fonction f ( x ) cesse de diminuer en x = 3 pour commencer à augmenter. On dit que la fonction f ( x ) admet un minimum relatif en x = 3.

Le tableau 2.1 permet d’entrevoir des applications très importantes de la dérivée, comme la détermination des intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction ainsi que la recherche du maximum ou du minimum d’une fonction, soit l’optimisation. Il faudra, bien sûr, formaliser tout cela. EXEMPLE 2.37

On veut déterminer lequel des graphiques suivants (a, b, c ou d) est celui de la dérivée de la fonction f ( x ) (figure 2.15). En regardant le graphique de la fonction f ( x ), on remarque qu’en x = 0, en x ≈ −2, 2 et en x ≈ 2, 2, la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) est horizontale. Par conséquent, la dérivée vaut 0 en ces points, car la pente de la droite tangente est nulle. Le graphique de la dérivée f ′ ( x ) ne peut donc pas être le graphique présenté en a ou en b, car ces fonctions ne valent pas 0 en x = 0. De plus, pour tout x situé entre x = 0 et x ≈ 2, 2 , la pente de la droite tangente (donc la dérivée) est négative. Le graphique de la dérivée f ′ ( x ) ne peut donc pas être celui qui apparaît en d puisqu’il présente une fonction positive entre x = 0 et x ≈ 2, 2 . Le graphique de f ′ ( x ) est donc celui qui figure en c. En effet, la fonction f ( x ) est décroissante sur ]−∞ ;  −2, 2[ et sur ]0 ;  2, 2[ , de sorte que la dérivée est négative sur ces intervalles, c’est-à-dire que la courbe décrite par la fonction f ′ ( x ) est située sous l’axe des abscisses. De plus, la fonction f ( x ) est croissante sur ]−2, 2 ;  0[ et sur ]2, 2 ; ∞[, de sorte que la dérivée est positive sur ces intervalles, c’est-à-dire que la courbe décrite par la fonction f ′ ( x ) est située au-dessus de l’axe des abscisses.

CHAPITRE 2 FIGURE 2.15

Détermination de la courbe décrite par la fonction f ′ ( x ) y

|

|

–4

–3

–2

|

f ( x)

|

10 |

–1 0 –10

|

|

|

|

1

2

3

4

x

b)

y

|

–4

–3

–2

50 |

–1 0 –50

50 |

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

|

–4

–3

–2

|

–1 0 –50 –100

|

–150

|

–150

|

|

–100

| |

|

100

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

100

|

|

x

y

150

|

150

d)

|

c)

–4 –6 –8 –10

x

|

4

|

|

4

|

3

|

|

3

|

2

|

|

2

|

1

|

–4 –6

|

1

|

–1–20

|

|

–1–20

|

| | |

| |

|

–2

|

|

–2

|

–3

|

|

–3

|

–4

|

|

–4

y

6 4 2

|

y

10 8 6 4 2

|

a)

|

–20

|

|

|

20

|

30

|

40

|

110

 

2.6.2 interprétation du signe de la dériVée En physique, comme en mathématiques, le signe d’une expression peut être très révélateur, de sorte que l’étude du signe d’un résultat s’avère essentielle. Ainsi, il faut être en mesure d’expliquer le signe de la vitesse obtenue lorsqu’un objet est lancé vers le haut et que sa position (sa hauteur) est donnée par la fonction s ( t ). L’objet se dirige vers le haut pendant un certain temps pour ensuite se diriger vers le bas (revenir vers le sol). Voyons comment tout cela se traduit en ce qui concerne la vitesse de l’objet. Si l’objet se dirige vers le haut sur l’intervalle [ a,  a + ∆t ], où ∆t > 0, alors la  vitesse de celui-ci lorsque t = a est positive, car on l’obtient en calculant s ( a + ∆t ) − s ( a ) v ( a ) = s′ ( a ) = lim , qui est la limite d’un quotient dont le numé∆t → 0 ∆t rateur est positif [l’objet monte, de sorte que sa position est plus élevée à la fin de l’intervalle qu’au début : s ( a + ∆t ) − s ( a ) > 0] et dont le dénominateur est également positif. Si l’objet se dirige plutôt vers le bas sur l’intervalle [ a,  a + ∆t ], où ∆t > 0, alors la vitesse de celui-ci lorsque t = a est négative, car on l’obtient en calculant s ( a + ∆t ) − s ( a ) v ( a ) = s′ ( a ) = lim , qui est la limite d’un quotient dont le numéra∆t → 0 ∆t teur est négatif [l’objet descend, de sorte que sa position est moins élevée à la fin de l’intervalle qu’au début : s ( a + ∆t ) − s ( a ) < 0] et dont le dénominateur est positif.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

111

Le signe de la vitesse indique donc la direction du déplacement. Si le mobile se déplace vers le haut (c’est-à-dire dans la direction positive de l’axe des ordonnées), alors la vitesse est positive. Par contre, si le mobile se déplace vers le bas (c’est-à-dire dans la direction négative de l’axe des ordonnées), alors la vitesse est négative. Intuitivement, au moment précis où le mobile cessera de monter pour commencer à redescendre (c’est-à-dire au sommet de sa trajectoire), la vitesse sera nulle (elle cessera d’être positive pour devenir négative). On peut faire un raisonnement similaire pour un mobile se déplaçant selon une trajectoire horizontale. Par convention, une vitesse positive indiquera que le mobile se déplace vers la droite (c’est-à-dire dans la direction positive de l’axe des abscisses). Une vitesse négative indiquera, quant à elle, que le mobile se déplace vers la gauche (c’est-à-dire dans la direction négative de l’axe des abscisses). Intuitivement, une vitesse nulle correspondra à un changement de direction du mobile ou à un moment où le mobile est immobile (au repos).

● Grandeur d’une vitesse La grandeur d’une vitesse v ( t ) est v ( t ) . C’est la lecture que l’on ferait sur un odomètre.

La vitesse v ( t ) au temps t d’un mobile qui suit une trajectoire rectiligne, verticale ou horizontale, est donc un vecteur, car elle possède une grandeur et une direction. La direction est indiquée par le signe de v ( t ), tandis que v ( t ) indique la grandeur (ou le module) de la vitesse. Certains utilisent aussi l’expression vitesse scalaire pour désigner v ( t ) . La grandeur de la vitesse est en fait la lecture que l’on ferait sur un odomètre. EXEMPLE 2.38

On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1 . Déterminons la hauteur maximale atteinte par la balle. Déterminons d’abord la dérivée de la fonction s ( t ). On a v ( t ) = s′ ( t ) =

d ( − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1) dt

= ( −9, 8 t + 9, 8 ) m s On remarque que v ( t ) = 0 si et seulement si t = 1 s. De plus, si t < 1 s, on a v ( t ) > 0, c’est-à-dire que la vitesse est positive, de sorte que la hauteur de la balle augmente (la balle monte). Si t > 1 s, on a v ( t ) < 0, c’est-à-dire que la vitesse est négative, de sorte que la hauteur de la balle diminue (la balle redescend). Par conséquent, t = 1 s est l’instant où la hauteur de la balle cesse d’augmenter pour ensuite diminuer ; c’est donc l’instant où la hauteur de la balle est maximale. La hauteur maximale atteinte par la balle est donc s (1) = − 4, 9 (1)2 + 9, 8 (1) + 1 = 5, 9  m Dans ce cas particulier, on aurait pu obtenir la hauteur maximale de la balle en utilisant le fait que la courbe décrite par la fonction s ( t ) est une parabole. Rappelons qu’une parabole est la courbe décrite par une fonction de la forme f ( x ) = ax 2 + bx + c . Lorsque a < 0 (ce qui est le cas ici), elle atteint son maxi−b mum en x = , qui est l’abscisse de son sommet. Lorsque a > 0, c’est plutôt 2a −b un minimum qui est atteint en x = . 2a

CHAPITRE 2

Puisque a = − 4, 9 < 0, on aurait pu tout simplement dire que la fonction s ( t ) −b −9, 8 atteint son maximum quand t = = = 1 s. Alors pourquoi utiliser la 2a 2 (− 4, 9 ) dérivée quand on peut obtenir le résultat plus rapidement avec une autre méthode ? N’oublions pas que nous travaillerons avec toutes sortes de fonctions, et pas seulement avec des fonctions simples comme des droites ou des paraboles. Il est donc utile de développer un outil qui nous permettra de trouver l’optimum (la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction) dans un plus grand nombre de situations.   L’exemple 2.38 permet de constater que le signe de la dérivée d’une fonction donne beaucoup d’information sur la fonction. Il permet de trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que le maximum et le minimum de la fonction. Ce qui est très utile lorsqu’on veut résoudre des problèmes d’optimisation ou tracer la courbe décrite par une fonction. Nous reviendrons plus loin sur les problèmes d’optimisation et les tracés de courbes. EXERCICES 2.9

1. Déterminez lequel des graphiques suivants (a, b, c ou d) est celui de la dérivée de la fonction f ( x ) (figure 2.16). FIGURE 2.16

Détermination de la courbe décrite par la fonction f ′ ( x )

|

–2

|

20

f ( x)

|

–1 0 –20

|

|

|

|

1

2

3

4

x

b)

|

–3

–2

–1 0 –20

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

–3

–2

|

10

|

|

|

y

20 |

–1 0 –10 –20

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

20

|

y

40

|

a)

|

–40

|

|

|

–3

40

|

y

d)

–40 –60

|

|

|

|

1

2

3

4

x |

|

–3

–2

|

| | |

–1 0 –20

20

|

–2

|

30

10

|

–3

20

|

|

40

|

|

y

40

|

y

60

|

–40

|

–1 0 –10

|

c)

–30

|

–40

|

112

|

|

|

|

1

2

3

4

x

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

113

2. Le profit total π (Q ) (en dollars) qu’une entreprise tire de la vente de Q pièces électroniques est donné par la fonction π (Q ) = − 0, 2Q2 + 80Q − 780 . a) Déterminez π ′ (Q ) . Indiquez bien les unités. b) Déterminez combien de pièces électroniques l’entreprise doit vendre pour réaliser un profit maximal. c) Quel est le profit maximal que cette entreprise peut tirer de la vente de ces pièces électroniques ? d) En utilisant le fait que la courbe décrite par la fonction π (Q ) est une parabole, confirmez la réponse obtenue en b. 3. On a installé un tapis roulant entre deux points A et B. Le tapis défile vers la droite du point A au point B à raison de 1,5 m/s. Une jeune fille se trouve en un point C situé entre les points A et B, et se déplace sur le tapis. a) À quelle vitesse la jeune fille se déplace-t-elle si elle se dirige vers le point B en marchant à un rythme de 1 m/s ? b) À quelle vitesse la jeune fille se déplace-t-elle si elle se dirige vers le point A en marchant à un rythme de 1 m/s ? c) À quelle vitesse la jeune fille se déplace-t-elle si elle se dirige vers le point A en marchant à un rythme de 2 m/s ? Expliquez le signe de votre réponse. d) Sachant que le concept de vitesse est associé au concept de dérivée, énoncez la règle de dérivation illustrée dans les questions précédentes.

2.6.3 tableau des signes d’une fonction Deux outils très utiles pour déterminer le signe d’une fonction sont la factorisation de polynôme et la construction du tableau des signes de la fonction.

✦ RAPPEL

La factorisation d’un polynôme de degré 2

Soit P ( x ) = ax 2 + bx + c un polynôme en x de degré 2. ■

■

Si b2 − 4 ac < 0 , alors P ( x ) est irréductible, c’est-à-dire qu’on ne peut pas le décomposer en un produit de deux binômes à coefficients réels de degré 1. Si b2 − 4 ac ≥ 0 , alors P ( x ) = a ( x − r1 ) ( x − r2 ), où r1 et r2 sont obtenus par la formule quadratique :

− b − b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac et r2 = 2a 2a 2 − L’expression b 4 ac porte le nom de discriminant. r1 =

● Discriminant Soit P ( x ) = ax 2 + bx + c un polynôme en x de degré 2. L’expression b2 − 4 ac est appelée discriminant.

Par exemple, la factorisation de P ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 est possible, car b2 − 4 ac = ( −5 )2 − 4 ( 2 )( −3) = 25 + 24 = 49 ≥ 0. Les racines de P ( x ) sont r1 =

− b − b2 − 4 ac − ( −5 ) − 49 5−7 1 = = = − 2a 2(2) 4 2

r2 =

− b + b2 − 4 ac − ( −5 ) + 49 5+7 = = = 3 2a 2(2) 4

P

114

CHAPITRE 2

Par conséquent, P ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 = 2  x − ( − 1 2 )  ( x − 3) = 2 ( x +

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 377.

1

2

)( x − 3)

QUESTION ÉCLAIR 2.8 Décomposez en facteurs, si possible. a) − 6 x 2 + 13 x − 6

b) 5 x 2 − x + 2

c) 2 x 2 + 7 x − 4

Lorsqu’une fonction est décomposée en facteurs, on peut déterminer les signes de la fonction en construisant son tableau des signes. Voyons comment on le construit à l’aide du polynôme P ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3. On a vu, dans le rappel ci-dessus, que P ( x ) = 2 ( x + 1 2 )( x − 3) . Les facteurs sont nuls si x = − 1 2 ou si x = 3. Plaçons ces deux valeurs en ordre croissant sur la première ligne du tableau. Puisque x = − 1 2 et x = 3 séparent l’axe des réels en trois intervalles ( ]−∞,  − 1 2[ ,  ]− 1 2 ,  3[  et  ]3,  ∞[ ), prévoyons une colonne pour chacun de ces intervalles. Ajoutons ensuite une ligne pour la fonction P ( x ) . On obtient le tableau 2.2. TABLE AU 2 . 2

Tableau des signes

]−,  − 1 2 [ x P ( x ) = 2( x +

]− 1 2 ,  3[ −12

1

2

]3, [ 3

)( x − 3 )

Complétons ensuite la dernière ligne du tableau en inscrivant : ■

un signe négatif (–) si la fonction est négative sur l’intervalle (ou en la valeur de x) considéré ;

■

un signe positif (+) si la fonction est positive sur l’intervalle (ou en la valeur de x) considéré ;

■

un zéro (0) si la fonction est nulle sur l’intervalle (ou en la valeur de x) considéré.

■

un symbole ∃ (n’existe pas) si la fonction n’est pas définie sur l’intervalle (ou en la valeur de x) considéré.

Pour remplir cette ligne, il suffit de se rappeler que : ■

le produit ou le quotient de deux nombres réels de même signe donne un nombre réel positif ;

■

le produit ou le quotient de deux nombres réels de signes contraires donne un nombre réel négatif ;

■

le produit d’un nombre réel et de 0 donne 0.

■

le quotient obtenu à la suite de la division d’un nombre réel non nul par 0 n’existe pas.

115

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

On constate que P ( x ) = 2 ( x + ou x = 3.

1

2

)( x − 3) =

0 si et seulement si x = − 1 2

Si x ∈ ]− 1 2 ,  3[ , alors P ( x ) est négatif, car le facteur ( x + 1 2 ) est positif et le facteur ( x − 3) est négatif sur cet intervalle et, par conséquent, leur produit est négatif. De plus, si x ∈ ]−∞,  − 1 2[ , alors P ( x ) est positif, car les deux facteurs ( x + 1 2 ) et ( x − 3) sont négatifs sur cet intervalle et, par conséquent, leur produit est positif. Finalement, si x ∈ ]3,  ∞[ , alors P ( x ) est positif, car les deux facteurs ( x + 1 2 ) et ( x − 3) sont positifs sur cet intervalle et, par conséquent, leur produit est positif. On obtient donc le tableau 2.3. TABLE AU 2 . 3

Tableau des signes

]−,  − 1 2 [

]− 1 2 ,  3[

x P ( x ) = 2( x +

3

−12 1

2

)( x − 3 )

+

]3, [

0

–

0

+

P ( x ) = 2 ( x + 1 2 )( x − 3 ) ,        +

−

−

d’où P ( x ) > 0

La fonction P ( x ) est donc positive sur ]−∞,  − 1 2[ ∪ ]3,  ∞[, négative sur ]− 1 2 ,  3[ et nulle en x = − 1 2 ou en x = 3. EXEMPLE 2.39

2 x2 + 3x − 2 est positive, les 3x2 − 4 x − 4 intervalles où elle est négative, les valeurs de x où elle s’annule ainsi que celles où elle n’est pas définie. Factorisons le numérateur et le dénominateur : Déterminons les intervalles où la fonction f ( x ) =

2 ( x + 2 )( x − 1 2 ) 3 ( x + 2 3)( x − 2 ) Les valeurs de x qui annulent le numérateur ou le dénominateur de la fonction f ( x ) sont x = −2, x = 1 2 , x = − 2 3 et x = 2. Plaçons ces valeurs en ordre croissant et prévoyons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 2.4). f ( x) =

Sur l’intervalle ]−∞,  −2[, on a − +    −    2 ( x + 2 )( x − 1 2 ) f ( x) = > 0 3 ( x + 2 3)( x − 2 )        +

−

−

Si x = −2, on a − +    0   2 ( x + 2 )( x − 1 2 ) f ( x) = = 0 3 ( x + 2 3)( x − 2 )        +

−

−

116

CHAPITRE 2

Sur l’intervalle ]−2,  − 2 3[ , on a − +    +    2 ( x + 2 )( x − 1 2 ) f ( x) = < 0 3 ( x + 2 3)( x − 2 )        +

−

−

Si x = − 2 3 , on a − +    +    2 ( x + 2 )( x − 1 2 ) f ( x) = 3 ( x + 2 3)( x − 2 )        +

0

−

de sorte que la fonction f ( x ) n’existe pas ou encore n’est pas définie en x = − 2 3 . Des raisonnements similaires s’appliquent aux autres colonnes. On obtient alors le tableau 2.4. TABLE AU 2 .4

Tableau des signes

]−2 ,  − 2 3[

]−,  −2 [

f (x)

−23

−2

x

+

]− 2 3 ,  1 2 [

0

–

∃

]1 2 ,  2 [ 1

+

2

2

0

]2 , [

–

∃

+

On peut donc conclure que la fonction f ( x ) est : ■

positive si x ∈ ]−∞,  −2[ ∪ ]− 2 3 ,  1 2[ ∪ ]2,  ∞[ ;

■

négative si x ∈ ]−2,  − 2 3[ ∪

]1 2 ,  2[ ;

■

nulle en x = −2 et en x =

2;

■

non définie en x =

 

−2

3

1

et en x = 2.

L’étude des signes de la dérivée d’une fonction donnant la position d’un objet par rapport au temps permet notamment de décrire efficacement le déplacement de l’objet comme cela est illustré dans l’exemple qui suit. EXEMPLE 2.40

Un objet se déplace selon une trajectoire rectiligne horizontale de telle façon que sa position (en mètres) après t s est donnée par la fonction s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 2 Analysons le trajet de l’objet. Puisque l’objet se déplace horizontalement, en vertu de la convention que nous avons adoptée, une vitesse positive indique que l’objet se déplace vers la droite, tandis qu’une vitesse négative indique plutôt que l’objet se déplace vers la gauche. Déterminons d’abord la fonction v ( t ) donnant la vitesse de l’objet au temps t en dérivant la fonction s ( t ) par rapport au temps : v(t ) =

ds d 3 = (t − 9t 2 + 24t + 2 ) = 3t 2 − 9 ( 2t ) + 24 (1) + 0 = ( 3t 2 − 18t + 24 ) m/s dt dt

117

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

La vitesse v ( t ) est donc un polynôme de la forme at 2 + bt + c, où a = 3, b = −18 et c = 24. Factorisons la fonction v ( t ) pour pouvoir déterminer facilement les moments où l’objet est au repos ou effectue un changement de direction, ainsi que les moments où il se déplace vers la gauche ou vers la droite. Puisque b2 − 4 ac = ( −18 )2 − 4 ( 3)( 24 ) = 324 − 288 = 36 ≥ 0 , les racines de v ( t ) sont r1 =

− b − b2 − 4 ac − ( −18 ) − 36 18 − 6 = = = 2 2a 2 ( 3) 6

r2 =

− b + b2 − 4 ac − ( −18 ) + 36 18 + 6 = = = 4 2a 2 ( 3) 6

et, par conséquent, v ( t ) = 3( t − 2 )( t − 4 ) m/s. La vitesse est donc nulle lorsque t = 2 s ou t = 4 s ; l’objet est donc immobile ou change de direction à ces instants. Dans un tableau de signes, plaçons ces valeurs en ordre croissant et prévoyons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent. Notons que t ≥ 0 puisque t représente le temps écoulé. On obtient le tableau 2.5. TABLE AU 2 .5

Tableau des signes

[ 0 ,  2 [ 2

t v ( t ) = 3 ( t − 2 )( t − 4 )

]2 ,  4 [

+

0

]4 , [ 4

–

0

+

Si t ∈ [ 0,  2[, la vitesse est positive puisque les facteurs ( t − 2 ) et ( t − 4 ) sont tous les deux négatifs sur cet intervalle et que conséquemment leur produit est positif : l’objet se déplace vers la droite entre t = 0 s et t = 2 s. Si t ∈ ]2,  4[, la vitesse est négative puisque le facteur ( t − 2 ) est positif et le facteur ( t − 4 ) est négatif sur cet intervalle et que conséquemment leur produit est négatif : l’objet se déplace vers la gauche entre t = 2 s et t = 4 s. Si t > 4 s, la vitesse est positive puisque les facteurs ( t − 2 ) et ( t − 4 ) sont tous les deux positifs sur cet intervalle et que conséquemment leur produit est positif : l’objet se déplace vers la droite lorsque t > 4 s. Résumons le trajet de l’objet à l’aide d’une représentation graphique (figure 2.17).

FIGURE 2.17

Déplacement d’un mobile

À l’aide de la figure 2.17, on peut déterminer la distance totale parcourue par l’objet au cours des 7 premières secondes.

À t = 4 s, s ( t ) = 18 m. À t = 0 s, s ( t ) = 2 m.

Distance totale = [ s ( 2 ) − s ( 0 )] + [ s ( 2 ) − s ( 4 )] + [ s ( 7 ) − s ( 4 )]         

À t = 2 s, s ( t ) = 22 m.

distance parcourue sur [ 0 ,  2 ]

distance parcourue sur [ 2 ,  4 ]

= ( 22 − 2 ) + ( 22 − 18 ) + ( 72 − 18 ) = 78 m  

distance parcourue sur [ 4 ,  7 ]

118

CHAPITRE 2

EXERCICES 2.10

3x3 + 2 x2 − x est positive, 9 − x2 les intervalles où elle est négative, les valeurs de x où elle s’annule ainsi que celles où elle n’est pas définie.

1. Déterminez les intervalles où la fonction f ( x ) =

2. Un objet se déplace selon une trajectoire rectiligne horizontale de sorte que sa position (en mètres) après t s est donnée par la fonction s ( t ) = t 3 − 15t 2 + 63t + 3. a) Déterminez la fonction v ( t ) donnant la vitesse de l’objet au temps t. b) Quelle est la vitesse de l’objet après 4 s ? c) Déterminez les instants où l’objet est au repos. d) Déterminez l’intervalle ou les intervalles de temps sur lesquels l’objet se déplace vers la droite. e) Déterminez l’intervalle ou les intervalles de temps sur lesquels l’objet se déplace vers la gauche. Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 33 à 39.

f) Déterminez la distance totale parcourue par l’objet durant les 10 premières secondes.

2.7 DÉRIVÉE D’ORDRE SUPÉRIEUR

Dans cette section : dérivée seconde – dérivée troisième – dérivée d’ordre n – accélération.

df ou f ′ ( x ) d’une fonction dérivable f ( x ) est aussi une fonction de x. dx  On peut donc la dériver à son tour. La dérivée de la fonction dérivée f ′ ( x ) est appelée la dérivée seconde (ou la dérivée d’ordre 2) de la fonction f ( x ), et on la d2 f note f ′′ ( x ) ou 2 . dx La dérivée

● Dérivée seconde La dérivée seconde d’une fonction f ( x ) est la dérivée de la fonction dérivée f ′ ( x ) . On utilise principalement deux notations pour la dérivée seconde de f ( x ) : d2 f f ′′ ( x ) ou dx 2 ● Dérivée troisième La dérivée troisième d’une fonction f ( x ) est la dérivée de la dérivée seconde f ′′ ( x ). On utilise principalement deux notations pour la dérivée troisième de f ( x ) : d3 f f ′′′ ( x ) ou dx 3 ● Dérivée d’ordre n La dérivée d’ordre n de la fonction f ( x ) est la fonction qu’on obtient en dérivant la dérivée d’ordre ( n − 1 ) , f ( n− 1) ( x ). On note dn f f ( n ) ( x ) ou dx n la dérivée d’ordre n.

La dérivée de la dérivée seconde f ′′ ( x ) est appelée la dérivée troisième (ou la d3 f dérivée d’ordre 3) de la fonction f ( x ) et on la note f ′′′ ( x ) ou 3 . dx d4 f On peut continuer ainsi pour définir la dérivée quatrième, soit f ( 4 ) ( x ) = , dx 4 5 d f de la fonction f ( x ), la dérivée cinquième, soit f ( 5) ( x ) = , de la fonction f ( x ) dx 5 dn f ou, de façon générale, la dérivée d’ordre n (où n ∈ ), soit f ( n) ( x ) = , de la dx n fonction f ( x ). Remarquons que la dérivée quatrième est notée f ( 4 ) ( x ) plutôt que f ′′′′ ( x ) . Il en est de même pour toutes les dérivées d’ordre supérieur à 4. EXEMPLE 2.41

Si f ( x ) = x 4 + 3 x 3 − x 2 − 4 x + 1, alors f ′( x) =

d 4 ( x + 3 x 3 − x 2 − 4 x + 1) = 4 x 3 + 9 x 2 − 2 x − 4 dx

f ′′ ( x ) =

d ( 4 x3 + 9 x 2 − 2 x − 4 ) = 12 x2 + 18 x − 2 dx

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

f ′′′ ( x ) =

d (12 x2 + 18 x − 2 ) = 24 x + 18 dx

f (4) ( x ) =

d ( 24 x + 18 ) = 24 dx

f ( 5) ( x ) =

d ( 24 ) = 0 dx

119

De plus, f ( n) ( x ) = 0 si n ≥ 5, car la dérivée d’une constante est nulle.   EXEMPLE 2.42

On veut déterminer la dérivée quatrième de la fonction y =

2 = 2 x −1 . On a x

dy d = ( 2 x−1 ) = 2 ( −1 x −2 ) = −2 x−2 dx dx d2 y d = ( −2 x−2 ) = −2 ( −2 x −3 ) = 4 x−3 2 dx dx d3 y d = ( 4 x−3 ) = 4 ( −3 x − 4 ) = −12 x− 4 dx 3 dx d4 y d = ( −12 x− 4 ) = −12 (− 4 x−5 ) = 48 x−5 4 dx dx Par conséquent,

d4 y 48 = 5. dx 4 x

 

QUESTION ÉCLAIR 2.9 Déterminez la dérivée seconde de la fonction. a) g ( t ) = 2π t + ● Accélération L’accélération a ( t ) d’un mobile est le taux de variation de la vitesse v ( t ) de ce mobile.

b) f ( x ) =

3

1

2x

3

+ x2 −

5

4x

+1

Une application physique très importante de la dérivée seconde est l’accélération d’un mobile. Nous avons vu précédemment que la vitesse v ( t ) d’un mobile est le taux de variation de la position s ( t ) de ce mobile, c’est-à-dire v(t ) =

ds dt

L’accélération a ( t ) du mobile est le taux de variation de la vitesse v ( t ) de ce mobile. C’est donc la dérivée seconde de la position s ( t ) du mobile. En effet, a (t ) =

dv d  ds  d2 s =   = 2 dt dt dt dt

dv , une accélération positive indique que la vitesse du mobile dt augmente, tandis qu’une accélération négative indique que la vitesse du mobile diminue. Puisque a ( t ) =

120

CHAPITRE 2

DES MOTS ET DES SYMBOLES dy pour désigner une dérivée ont pour dx auteur G. W. Leibniz (1646-1716), à qui on attribue, avec Newton*, l’invention du calcul différentiel et intégral. C’est dans une lettre manuscrite du 11 novembre 1675 que ces notations furent proposées. Il fallut cependant attendre une publication de 1684 pour que la notation dx apparaisse dy pour la première fois dans un imprimé† sans qu’on y trouve toutefois l’expression , probablement dx à cause des problèmes typographiques occasionnés par cette dernière notation. Par ailleurs, l’emploi de f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) , … pour désigner les dérivées première, seconde, etc., est attribuable à J. L. Lagrange (1736-1813), à qui l’on doit également non seulement le mot dérivée, mais également le mot primitive. Quant à Newton, il utilisa la notation x pour désigner une fluxion, soit l’équivalent newtonien d’une dérivée. Évidemment, cette notation peut se généraliser pour des dérivées d’ordre supérieur : x pour une dérivée seconde,  x pour une dérivée troisième, etc. Bien que cette notation soit maintenant presque disparue, certains physiciens et mathématiciens, surtout dans des pays à tradition britannique, l’utilisaient encore au xxe siècle. De plus, on en trouve encore des vestiges en sciences économiques. Ainsi, certains économistes, respectant la notation préconisée par les grands économistes britanniques, utilisent P pour désigner un taux d’inflation, soit le taux de variation des prix par rapport au temps.

L

es notations dx pour désigner une différentielle et

* Dans A History of Mathematics, V. Katz dit qu’il faut attribuer la paternité du calcul à Newton et à Leibniz plutôt qu’à leurs prédécesseurs, et cela pour quatre raisons : 1) ils ont tous deux créé deux concepts généraux (les fluxions et les fluentes pour Newton ; les dérivées et les intégrales pour Leibniz) liés aux problèmes de base du calcul, soit l’optimisation et l’évaluation de l’aire d’une surface ; 2) ils ont inventé des notations et des algorithmes permettant d’utiliser efficacement ces concepts ; 3) ils ont établi la relation de réciprocité entre ces deux concepts clés ; 4) ils ont résolu des problèmes difficiles à l’aide de ces concepts.

† « Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus » (« Une nouvelle méthode pour les maxima et minima, aussi bien que pour les tangentes, laquelle peut aussi être appliquée aux quantités fractionnaires et irrationnelles, et un calcul ingénieux s’y rapportant »), article paru dans la revue savante Acta eruditorum créée en 1682 et publiée jusqu’en 1776.

EXEMPLE 2.43

On lance une balle vers le haut à partir d’une hauteur de 1 m avec une vitesse initiale de 9,8 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par la fonction s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 9, 8 t + 1 . Déterminons l’accélération de la balle au temps t. On a v(t ) =

ds d = ( − 4, 9t 2 + 9, 8t + 1) = ( −9, 8t + 9, 8 ) m s dt dt

a (t ) =

dv d = ( − 9, 8t + 9, 8 ) = −9, 8  m s2 dt dt

Puisque l’accélération est toujours négative, la fonction vitesse est toujours décroissante. En effet, le graphique de la fonction vitesse est une droite de pente négative : la vitesse est donc décroissante.   Avec la dérivée seconde, on peut pousser un peu plus loin l’analyse d’une fonction f ( x ). En effet, le signe de la dérivée nous renseigne sur la croissance ou

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

121

la décroissance de la fonction f ( x ). Le signe de la dérivée seconde nous renseigne alors sur la croissance ou la décroissance de la fonction f ′ ( x ), c’est-à-dire sur la croissance ou la décroissance du taux de variation de la fonction f ( x ). Voyons ce que la dérivée seconde peut apporter comme information additionnelle à l’étude de l’évolution d’une population. EXEMPLE 2.44

Soit une population dont la taille N ( t ) au temps t (en années) est donnée par 200 t N (t ) = + 60. Nous avons déterminé, à l’exemple 2.30 (p. 102), que 1+t 200 N ′ (t ) = (1 + t )2 On a N ′ ( t ) > 0 pour tout t ≥ 0. Par conséquent, la taille de cette population est toujours croissante. Déterminons la dérivée seconde de la fonction N ( t ). N ′′ ( t ) =

= =

d 200    dt  1 + 2 t + t 2 

(1 + 2t + t 2 ) dtd ( 200 ) − 200 dtd (1 + 2t + t 2 ) ( 1 + 2 t + t 2 )2 (1 + 2t + t 2 )( 0 ) − 200 [ 0 + 2 (1) + 2t ] (1 + t )2   

=

0 − 400 − 400 t (1 + t )4

=

− 400 (1 + t ) (1 + t )4

=

− 400

(1 + t )3

2

individus année2

On a N ′′ ( t ) < 0, car t ≥ 0. Par conséquent, N ′ ( t ) est décroissante, c’est-à-dire que le taux de croissance de la population diminue. On peut donc conclure que la taille de la population croît à un rythme de plus en plus faible, c’est-à-dire qu’elle croît de moins en moins vite, ce qu’on peut constater sur la figure 2.18. FIGURE 2.18

|

120

|

180

N (t ) = |

240

60

|

Nombre d’individus

Évolution de la taille d’une population

0

0

200t + 60 1+t

|

|

|

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t (années)

 

122

CHAPITRE 2

Nous verrons plus loin que la dérivée seconde est très utile pour étudier l’allure du graphique d’une fonction. Les dérivées d’ordre supérieur sont également utilisées pour approximer des fonctions à l’aide de polynômes dits de Taylor. Ces polynômes sont à l’étude en calcul intégral. EXERCICES 2.11

1. Déterminez la dérivée, la dérivée seconde et la dérivée troisième de la fonction. a) f ( x ) = x 6 − 2 x 5 + 3 x 4 + x 3 − 2 x + 5 b) g ( t ) = t −2 c) y = 3 x 2. Un objet se déplace selon une trajectoire rectiligne horizontale de sorte que sa position (en mètres) après t s est donnée par la fonction s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t . a) Déterminez la fonction a ( t ) donnant l’accélération de l’objet au temps t. b) Quelle est l’accélération de l’objet après 4 s ? c) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel la fonction vitesse est décroissante. d) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel la fonction vitesse est croissante. 3. Le coût total de production (en dollars) de Q unités d’un certain bien est donné par la fonction C (Q ) = 0, 5Q2 + 2Q + 8 . a) Déterminez C ′ (Q ) .

b) La fonction coût total de production est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi ? c) Déterminez C ′′ (Q ) . Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 40 à 54.

d) Quelle information supplémentaire la réponse obtenue en c nous donnet-elle au sujet de la fonction coût total de production ?

2.8 DÉRIVATION DES FONCTIONS COMPOSÉES Essayons maintenant de généraliser le théorème 2.8 (p. 103) à des fonctions de n la forme y = [ u ( x )] . À titre d’exemple, si y = ( 3 x + 1)2 , on pourrait penser que la dy dérivée vaut 2 ( 3 x + 1)2 − 1 = 2 ( 3 x + 1), ce qui n’est pourtant pas le cas. En effet, dx en développant l’expression, on obtient y = ( 3 x + 1)2 = 9 x 2 + 6 x + 1 et, par conséquent, dy = 9 ( 2 x ) + 6 (1) + 0 = 18 x + 6 = 6 ( 3 x + 1) dx qui n’est pas le résultat qu’on anticipait. Que ferions-nous pour obtenir la dérivée de f ( x ) = ( 3 x + 1)50 ? Il doit bien y avoir une façon de procéder plus efficace que de développer ( 3 x + 1)50. Recommençons le calcul de la dérivée de y en évitant d’élever l’expression au carré.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

123

On a y = ( 3 x + 1)2 = ( 3 x + 1)( 3 x + 1). En vertu du théorème 2.6 (p. 99), on a dy d d = ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) + ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) dx dx dx d = 2 ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) dx Par conséquent, la dérivée de y = ( 3 x + 1)2 = u2 (où u = 3 x + 1) est dy d 2 du = u ) = 2u ( dx dx dx La dérivée de y = ( 3 x + 1)3 = u3 par rapport à x s’obtient par un raisonnement similaire : dy d 3 = (u ) dx dx d 2 = (u u) dx du d = u2 + u ( u2 ) dx dx = u2

du  du  + u  2u   dx  dx

du du + 2 u2 dx dx du = 3u2 dx

= u2

2.8.1 dériVée de la puissance d’une fonction On peut donc penser que

d n du u ) = nu n −1 , ce qui est bien le cas, comme l’énonce ( dx dx

le théorème 2.9.

v THÉORÈME 2.9 Si n est un nombre réel, si u ( x ) est une fonction dérivable et si y = [ u ( x )] , alors dy d n = (formule 9) (u ) = nun −1 du dx dx dx n

là où cette dérivée existe.

On voit bien que la formule 8 du théorème 2.8 (p. 103) est un cas particulier de la d n d formule 9 lorsque u ( x ) = x . En effet, x ) = nx n − 1 ( x ) = nx n − 1 (1) = nx n − 1. ( dx dx Nous ferons la preuve du théorème 2.9 après avoir étudié la dérivée d’une fonction composée (théorème 2.10). Contentons-nous pour l’instant d’en illustrer l’application à l’aide de quelques exemples.

124

CHAPITRE 2

EXEMPLE 2.45 50

  x + 1 , alors Si f ( x ) =  3  u    df = 50  3 x + 1 dx  u 

50 − 1

 d  x + 1  3 dx  u 

= 50 ( 3 x + 1)49 ( 3 + 0 ) = 150 ( 3 x + 1)49   EXEMPLE 2.46

  −2 2 + t = − t 2 3       3t 2 + t  u 

Si y =

−12

, alors

  dy = −2 ( − 1 2 )  3 t2 + t    dt  u  = ( 3t 2 + t )

−32

−12 −1

 d 2 t + t  3    dt  u 

[ 3( 2 t ) + 1]

6t + 1

=

( 3t 2

+ t)

3

2

  EXEMPLE 2.47

Si y =

3

2x − 1 2x − 1 1 = u 3 , où u = , alors 3−x 3− x

y′ =

1  2x − 1   3 3 − x 

1

3−1

d  2x − 1   dx  3 − x 

 ( 3 − x ) d ( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) d ( 3 − x )  2  1  2x − 1 − 3  dx dx =     2   3 3− x (3 − x)     =

1 ( 2 x − 1)− 3  ( 3 − x )( 2 ) − ( 2 x − 1)( −1)    2 3 ( 3 − x )− 3  ( 3 − x )2 

=

( 2 x − 1)− 3 ( 6 − 2 x + 2 x − 1) 2 3 ( 3 − x )2 − 3

2

2

= =  

5 3 ( 2 x − 1)

2

3

(3 − x) 3 4

5 33

( 2 x − 1)2 ( 3 − x )4

125

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

EXEMPLE 2.48

Si g ( x ) = ( 3 x 2 − x ) ( x 3 + 4 x + 1) , alors 4

g ′ ( x ) = ( 3x2 − x )

5

4

d 3 5 5 d x + 4 x + 1) + ( x 3 + 4 x + 1) ( ( 3 x 2 − x )4 dx dx

4 5−1 d = ( 3 x 2 − x )  5 ( x 3 + 4 x + 1) ( x3 + 4 x + 1) dx  5 4 −1 d +   ( x 3 + 4 x + 1)  4 ( 3 x 2 − x ) ( 3 x2 − x ) dx 

= 5 ( 3 x 2 − x ) ( x 3 + 4 x + 1) ( 3 x 2 + 4 ) 4

4

+   4 ( x 3 + 4 x + 1) ( 3 x 2 − x ) ( 6 x − 1) 5

3

= ( 3 x 2 − x ) ( x 3 + 4 x + 1)  5 ( 3 x 2 − x ) ( 3 x 2 + 4 ) 3

4

+   4 ( x 3 + 4 x + 1)( 6 x − 1) = [ x ( 3 x − 1)] ( x 3 + 4 x + 1)  5 ( 9 x 4 + 12 x 2 − 3 x 3 − 4 x ) 4

3

+   4 ( 6 x 4 − x 3 + 24 x 2 + 2 x − 1)  = x 3 ( 3 x − 1)3 ( x 3 + 4 x + 1) ( 69 x 4 − 19 x 3 + 156 x 2 − 12 x − 4 ) 4

  EXERCICES 2.12

1. Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) = ( 3 x 2 − 5 x + 1)

12

b) g ( t ) = c) y =

3

t2

1 +2

 t3 − 1  d) h( t ) =   4 − 3t 

4

e) y = ( 6 x 2 + 3) ( x 3 − 2 ) 2

( x 3 − 2 x + 1 )5

f) f ( x ) =

3

( 2 x − 1)2

( x2

+ 4)

3

2. On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre N ( t ) de bactéries t h après la mise en culture est donné par la fonction 5   N ( t ) = 300 10 − 2 2  ( t + 1)   a) Déterminez le nombre initial de bactéries. b) Déterminez le nombre de bactéries au bout de 2 h. c) À long terme, combien de bactéries retrouvera-t-on dans la boîte de Petri ? d) Quelle est l’expression de N ′ ( t ) ? Indiquez bien les unités. e) À partir du signe de la dérivée première, que pouvez-vous dire de l’évolution de la population bactérienne en fonction du temps ? f) Déterminez N ′ (1). Indiquez bien les unités. g) Interprétez la réponse obtenue en f en tenant compte du contexte. h) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en f. i) Quelle est l’expression de N ′′ ( t ) ? Indiquez bien les unités.

126

CHAPITRE 2

j) À partir du signe de la dérivée seconde, que pouvez-vous dire du taux de 5 h? croissance du nombre de bactéries lorsque t > 5 k) À long terme, quel est le taux de croissance de la population bactérienne ? l) Commentez l’évolution de la population bactérienne à partir des réponses aux questions a, c, e, j et k.

2.8.2 dériVée d’une fonction composée (dériVation en chaîne) MaBiblio > Multimédia > 13. Dérivation en chaîne

Accédez directement à l’animation. goo.gl/EQjSTr

Si on lit attentivement le théorème 2.9 (p. 123), on remarque qu’il présente la dérivée d’une fonction composée. En effet, si u ( x ) est une fonction dérivable et f ( t ) = t n , n alors y = ( f  u )( x ) = f ( u ( x )) = [ u ( x )] . Essayons donc d’établir une façon générale de dériver une composition de fonctions. Supposons qu’on verse dans une citerne à raison de 5 L/min une solution dont la concentration en sel est 10 g/L. On veut déterminer le taux de variation de la quantité de sel par rapport au temps. Commençons par représenter les variables dans cette situation. Notons Q la quantité de sel (en grammes), V le volume de liquide dans la citerne (en litres) et t le temps (en minutes). Intuitivement, pour obtenir le taux de variation de la quantité de sel par rapport au temps, on effectue le produit

(10   g/L )( 5 L/min ) =

50   g min

La quantité de sel dans la citerne augmente donc de 50 g/min. Réécrivons l’équation précédente en utilisant les taux de variation. Une concentration de 10 g/L représente le taux de variation de la quantité de sel par rapport au volume de liquide dQ dans la citerne, c’est-à-dire . On verse la solution saline à un rythme de 5 L/min, dV dV qui est le taux de variation du volume en fonction du temps, c’est-à-dire . dt Par conséquent, 50 g min = (10 g/L )( 5 L/min )       dQ dt

dQ dV

dV dt

ce qui nous amène au théorème 2.10, qui présente la règle de dérivation des fonctions composées ou règle de dérivation en chaîne.

v THÉORÈME 2.10

Dérivation en chaîne

Si y = f ( u ) est dérivable par rapport à u et si u ( x ) est dérivable par rapport à x, alors y est une fonction dérivable de x, et dy  dy   du  =     du   dx  dx

(formule 10)

preuVe Soit y = f ( u ) une fonction dérivable par rapport à u (figure 2.19). La pente de la droite sécante est f ( u + ∆u ) − f ( u ) ∆y = ∆u ( u + ∆u ) − u

P

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

127

FIGURE 2.19

Représentation d’une droite sécante et d’une droite tangente y

y = f (u) droite sécante

f ( u + ∆u )

∆y

droite tangente

f (u) ∆u u + ∆u

u

u

On obtient la pente de la droite tangente au point ( u,  f ( u )) en évaluant la limite quand ∆u tend vers 0 de la pente de la droite sécante passant par les points ( u,  f ( u )) et ( u + ∆u, f ( u + ∆u)), c’est-à-dire dy ∆y = lim ∆u → 0 ∆u du ∆y dy − ∆u du et lim ε = 0 . En effet, lorsque ∆u → 0, la pente de la droite sécante tend Notons ε la différence entre ces deux pentes. On a alors ε =

∆u→ 0

vers la pente de la droite tangente. Isolons ∆y dans cette dernière équation. On obtient alors ∆y =

dy ∆u + ε ∆u du

∆y dy ∆u ∆u = +ε . De plus, puisque ∆x du ∆ x ∆x ∆u = u ( x + ∆ x) − u ( x ) et que u ( x ) est dérivable, et donc continue, alors ∆u → 0 quand ∆ x → 0. On obtient Soit

∆ x ≠ 0,

alors

∆y  dy ∆u   ∆u  = lim  + lim  ε   ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x → 0  du ∆ x  ∆ x→ 0  ∆ x  lim lim

∆y

∆ x→ 0 ∆ x

=

(

)

∆u  dy  ∆u  ε  lim  ∆lim  + ∆lim     x → 0 x → 0 ∆ x → 0 ∆x du ∆x

dy  dy   du  =    +  du   dx  dx

( lim ε ) dudx  ∆u → 0

dy  dy   du   du  =     + 0   du   dx   dx  dx dy  dy   du  =     du   dx  dx

128

CHAPITRE 2

Le théorème 2.9 (p. 123) se conçoit alors comme un corollaire du théorème 2.10, n c’est-à-dire qu’il en est une conséquence directe. En effet, si y = [ u ( x )] alors dy  dy   du  n −1 du =     = n[ u ( x )] , qui est bien le résultat énoncé au théorème 2.9.     dx du dx dx EXEMPLE 2.49

Déterminons

dy si y = u2 + u et u = x 4 − 1. dx

On a dy d 2 = (u + u1 2 ) = 2u + du du

1

− 2u

1

2

= 2u +

1 2 u

4u u + 1 4u u2 +1 = 2 u 2 u 3

=

De plus, du d 4 = ( x − 1) = 4 x 3 dx dx Par conséquent,  4u3 2 + 1  dy  dy   du  =    =  ( 4 x3 )  du   dx  dx  2 u  4 x 3  4 ( x 4 − 1) 2 + 1    = 4 2 x −1 3

2 x 3  4 ( x 4 − 1)  = x4 − 1

3

2

+ 1  

  EXEMPLE 2.50

Lorsqu’on lance un caillou dans l’eau, une vague circulaire se déploie à partir du point d’impact. On suppose que le rayon extérieur de cette vague circulaire croît à raison de 12 cm/s. On veut déterminer le taux de variation de la circonférence du cercle extérieur. Commençons par bien déterminer les variables dans cette situation. Soit t le temps (en secondes) depuis l’impact du caillou dans l’eau, r ( t ) le rayon extérieur du cercle (en centimètres) au temps t et C ( t ) la circonférence du cercle (en centimètres) au temps t. La formule donnant la circonférence d’un cercle est C = 2π r . Le taux de dr variation du rayon extérieur est = 12 cm/s. Par conséquent, dt dC  dC   dr  d   dr  =     =  ( 2π r )   = [ 2π (1)](12 ) = 24π  cm s  dt dr dt  dr  dt La circonférence du cercle extérieur augmente donc à raison de 24p cm/s.   L’exemple 2.50 permet de constater que lorsque des variables sont liées (comme la circonférence et le rayon d’un cercle), les taux de variation sont également liés. Lorsqu’on connaît le taux de variation de l’une des variables, on peut trouver le taux de variation de l’autre variable en utilisant la règle de dérivation des fonctions

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

129

composées. Nous reviendrons plus tard sur des problèmes de cette nature, qu’on désigne par l’expression de problèmes de taux de variation liés. EXERCICES 2.13

1. Déterminez

dy 3 si y = 2 , u = dx u

v + 2 et v = x 2 + 2.

2. Le volume d’un ballon sphérique diminue à raison de 32 cm 3/s. Déterminez le taux de variation du rayon du ballon par rapport au temps à l’instant où le rayon est égal à 2 cm.

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 55 à 66.

2.9 DÉRIVATION IMPLICITE

Dans cette section : équation explicite – équation implicite – dérivation implicite.

● Équation explicite Une équation explicite est une équation dans laquelle la variable dépendante est exprimée directement par rapport à la variable indépendante.

Jusqu’à présent, nous avons dérivé des fonctions définies par une équation explicite, c’est-à-dire une équation dans laquelle la variable dépendante est exprimée directement par rapport à la variable indépendante. EXEMPLE 2.51

L’équation y = x 2 + 2 x + 1 définit la variable dépendante y en fonction de la variable indépendante x. On écrit y = f ( x ) = x 2 + 2 x + 1. C’est une équation explicite.   EXEMPLE 2.52

L’équation u = t + t définit la variable dépendante u en fonction de la variable  indépendante t. On écrit u = g ( t ) = t + t . C’est également une équation explicite.  

● Équation implicite Une équation implicite est une équation dans laquelle aucune des variables n’est exprimée explicitement en fonction de l’autre.

Ce ne sont cependant pas toutes les équations qui sont explicites. En effet, dans l’équation x 2 + y2 = 4 , aucune des deux variables n’est exprimée explicitement en fonction de l’autre. Une telle équation est donc une équation implicite. Dans certains cas, il est possible de transformer une équation implicite en une ou plusieurs équations explicites, et donc de trouver la dérivée de la manière habituelle. EXEMPLE 2.53

L’équation x 2 + y2 = 4 est celle d’un cercle centré à l’origine de rayon 2. On dy veut déterminer . Il est assez simple d’exprimer y en fonction de x dans cette dx équation. En effet, x 2 + y2 = 4 y2 = 4 − x 2 y = ± 4 − x2 L’équation implicite x 2 + y2 = 4 définit donc deux fonctions explicites, soit y = f ( x ) = 4 − x 2 et y = g ( x ) = − 4 − x 2 , qui représentent chacune un demi-cercle.

130

CHAPITRE 2

Si y = f ( x ) =

4 − x 2 , alors 1 dy d 4 − x2 ) 2 = ( dx dx 1 −1 d = ( 4 − x2 ) 2 ( 4 − x2 ) 2 dx 1 −1 = ( 4 − x 2 ) 2 ( −2 x ) 2 −x = 4 − x2

De manière similaire, si y = g ( x ) = − 4 − x 2 , alors

dy = dx

x . 4 − x2

Dans ces deux cas, la dérivée n’est définie que si x ≠ −2 et si x ≠ 2. Remarquons que les représentations graphiques (figure 2.20) de ces trois équations sont différentes. FIGURE 2.20

Cercle et demi-cercles y

( 0, 2 )

y

x + y = 4 2

2

( 0, 2 )

y

f ( x) =

x

4−x

2

x

x

( 0,  −2 )

g ( x ) = − 4 − x2

Notons également que, dans les trois cas, la dérivée (la pente de la droite tangente) n’est pas définie en x = −2 et en x = 2 puisque la droite tangente est alors verticale.   Il ne sera pas toujours aussi simple de transformer une équation implicite en une ou plusieurs équations explicites pour ensuite être en mesure d’effectuer le calcul de la dérivée. Reprenons donc l’exemple précédent et essayons de trouver dy sans chercher à isoler y dans l’équation x 2 + y2 = 4 . On dérive d’abord les deux dx membres de l’équation par rapport à x en considérant y comme une fonction déridy vable de x, puis on isole . dx x 2 + y2 = 4 d 2 d 2 ( x ) + dx (y ) dx dy 2x + 2y dx dy 2y dx dy dx

=

d (4) dx

= 0 = −2 x =

−x y

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

● Dérivation implicite Soit une équation implicite contenant les variables x et y. La dérivation implicite est une technique de dérivation qui consiste à dériver par rapport à x chaque membre de l’équation implicite en considérant y comme une fonction dy dérivable de x, puis à isoler . dx

131

Nous venons d’illustrer la dérivation implicite. Le résultat obtenu semble différent de ceux obtenus précédemment, ce qui n’est pourtant pas le cas. En effet, puisque x 2 + y2 = 4 , alors y = 4 − x 2 ou y = − 4 − x 2 . Si y =

dy −x −x = . De même, si y = − 4 − x 2 , on a = dx y 4 − x2 x = , ce qui concorde avec les résultats obtenus 4 − x2

4 − x 2 , on a

dy −x −x = = dx y − 4 − x2 précédemment. EXEMPLE 2.54

dy . Il serait dx assez difficile (mais pas impossible) d’exprimer y en fonction de x. Utilisons donc la dérivation implicite : dérivons chaque membre de l’égalité par rapport dy à x, en considérant y comme une fonction dérivable de x, puis isolons . dx Soit l’équation implicite x 3 y2 − 3 x 2 y = 1 − 2 x. On veut déterminer

d 3 2 d d d (1) − ( 2 x ) ( x y ) − dx ( 3 x2 y) = dx dx dx  x 3 d y2 + y2 d x 3  −  3 x 2 d y + y d 3 x 2  = 0 − 2 ( )  dx ( ) dx ( )  dx ( ) dx x3 ( 2 y)

dy dy + y2 ( 3 x 2 ) −  3 x 2 + y ( 6 x ) = −2 dx dx   2 x3 y

dy dy − 6 xy = −2 + 3 x 2 y2 − 3 x 2 dx dx dy dy = 6 xy − 3 x 2 y2 − 2 2 x3 y − 3x2 dx dx dy = 6 xy − 3 x 2 y2 − 2 ( 2 x3 y − 3 x 2 ) dx dy 6 xy − 3 x 2 y2 − 2 = dx 2 x3 y − 3 x2

On constate la présence des variables x et y dans l’expression de la dérivée. Si on exprimait y en fonction de x dans l’équation implicite x 3 y2 − 3 x 2 y = 1 − 2 x, on pourrait donner la dérivée en fonction de x uniquement. On aurait cependant une expression beaucoup plus complexe. Puisqu’il est souvent difficile (parfois même impossible) d’exprimer y en fonction de x dans une équation implicite, on accepte que la dérivée soit exprimée en fonction des deux variables.   EXEMPLE 2.55

On veut déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe* décrite par dy 2 2 ( x 2 + y2 ) = 25 ( x 2 − y2 ) au point ( 3,  1). Déterminons d’abord en dérivant dx * La courbe décrite par une expression de type ( x 2 + y2 ) = a 2 ( x 2 − y2 ) a la forme d’une boucle. Elle porte le nom de lemniscate de Bernoulli en l’honneur du célèbre mathématicien bâlois Jacques Bernoulli (1654-1705), qui fut le premier à l’étudier. Pour nommer cette courbe, Bernoulli utilisa le mot latin lemniscatus, qui désignait le ruban qu’on attachait à la couronne du vainqueur d’une compétition. 2

CHAPITRE 2

chaque membre de l’égalité par rapport à x, en considérant y comme une fonction dérivable de x. d  d 2  25 x 2 − y2 )  2 ( x 2 + y2 )  =  dx  ( dx  d d 2 ( 2 )( x 2 + y2 ) ( x 2 + y2 ) = 25 ( x 2 − y2 ) dx dx dy  dy    4 ( x 2 + y2 )  2 x + 2 y  = 25  2 x − 2 y     dx  dx dy dy = 50 x − 50 y dx dx dy dy 8 y ( x 2 + y2 ) + 50 y = 50 x − 8 x ( x 2 + y2 ) dx dx dy  8 y ( x 2 + y2 ) + 50 y  = 50 x − 8 x ( x 2 + y2 ) dx

8 x ( x 2 + y2 ) + 8 y ( x 2 + y2 )

50 x − 8 x ( x 2 + y2 ) dy = dx 50 y + 8 y ( x 2 + y2 ) La pente de la droite tangente à la courbe au point ( 3,  1) est donc 50 ( 3) − 8 ( 3)( 32 + 12 ) dy −90 9 = = = − 2 2 50 (1) + 8 (1)( 3 + 1 ) dx ( 3,  1) 130 13 L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par 2 ( x 2 + y2 ) = 25 ( x 2 − y2 ) 2

au point ( 3,  1), est y = − 9 13 ( x − 3) + 1 ou y = − 9 13 x +

40

13 .

La représentation graphique de cette courbe et de sa tangente au point ( 3,  1) est donnée à la figure 2.21. FIGURE 2.21

Lemniscate de Bernoulli y

|

–4

–3

–2

|

0,5 |

–1 0 –0,5

|

|

–1,5

|

–1

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

1

|

2

|

2 ( x 2 + y2 ) = 25 ( x 2 − y2 ) 1,5

droite tangente y = − 9 13 x + 40 13

|

2

–2

|

132

  Les deux exemples précédents permettent de dégager les étapes à suivre pour dy déterminer à l’aide de la dérivation implicite : dx 1. Dériver chaque membre de l’égalité par rapport à x, en considérant y comme une fonction dérivable de x. 2. Regrouper tous les termes contenant

dy du même côté de l’égalité. dx

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

133

dy dy en évidence et effectuer une division afin d’isoler . dx dx dy La dérivation implicite permet de trouver seulement lorsque y est une foncdx tion dérivable de x. Si on applique cette technique aveuglément à n’importe quelle équation, on peut obtenir des résultats qui n’ont aucun sens. 3. Mettre

En effet, soit l’équation x 2 + y2 = −9 . Si on dérive par rapport à x chaque membre de l’égalité, on obtient dy = 0 dx dy 2y = −2 x dx dy −x = dx y

2x + 2y

Mais cette « dérivée » n’a aucun sens puisque l’équation x 2 + y2 = −9 ne définit pas une courbe. Il est en effet impossible de trouver deux valeurs réelles x et y satisfaisant à cette équation, x 2 + y2 étant toujours supérieur ou égal à 0. Il est dy donc inapproprié de déterminer , qui représente la pente de la droite tangente dx à la courbe en un point, puisqu’on n’a tout simplement pas de courbe ! Dans les exercices du présent volume, vous pourrez toujours supposer qu’il existe une fonction y dérivable par rapport à x satisfaisant à l’équation implicite donnée. On peut utiliser la dérivation implicite pour démontrer le théorème 2.11, qui dy dx établit une relation entre et lorsque ces dérivées existent. dx dy

v THÉORÈME 2.11 Si x = f ( y ) est dérivable par rapport à y et si y est dérivable par rapport à x, alors dy 1 dx = là où ≠ 0 dx dx dy dy

preuVe dx df Puisque x = f ( y ) est dérivable par rapport à y, on a = . Pour dy dy dy déterminer , dérivons implicitement l’équation x = f ( y ) par rapport dx à x. On obtient d d  f ( y )  ( x) = dx dx  d dy 1=  f ( y )  dy  dx 1=

df dy dy dx

1=

dx dy dy dx

1 dy = dx dx dy

134

CHAPITRE 2

EXEMPLE 2.56

Déterminons

dy si x = y3 + 2 y. dx

dx dx = 3 y2 + 2 . Notons que la dérivée existe toujours et qu’elle n’est dy dy jamais égale à 0. Par conséquent, en vertu du théorème 2.11, On a

dy 1 1 = = 2 dx dx 3y + 2 dy   EXEMPLE 2.57

Déterminons

dy 3 y2 − 5 si x = . On a dx 2− y dx d  3 y2 − 5  = dy dy  2 − y  d

= = = =

( 2 − y) dy ( 3 y2

− 5 ) − ( 3 y2 − 5 )

( 2 − y )2

( 2 − y)( 6 y) − ( 3 y2 ( 2 − y )2

d ( 2 − y) dy

− 5 )( −1)

12 y − 6 y2 + 3 y2 − 5

( 2 − y )2

−3 y2 + 12 y − 5

( 2 − y )2

dx dx existe si y ≠ 2 et que ≠ 0 si −3 y2 + 12 y − 5 ≠ 0 . dy dy 2 2 − y) 1 dy ( Par conséquent, en vertu du théorème 2.11, = = dx dx −3 y2 + 12 y − 5 dy 2 si −3 y + 12 y − 5 ≠ 0 et si y ≠ 2. Notons que

  EXERCICES 2.14

1. Soit l’équation implicite x 2 + xy − 3 x = 2 . dy en exprimant d’abord y en fonction de x et en dérivant de dx manière habituelle l’équation explicite obtenue.

a) Déterminez

dy en utilisant la dérivation implicite. dx c) Vérifiez que les résultats obtenus en a et en b sont équivalents. b) Déterminez

2. Déterminez

dy . dx

a) xy2 + 3 y = 4 x b) xy + x 2 + 2 y3 = 4 − 2 y

c) x = y y −

1 y

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

135

3. Trouvez l’équation de la droite tangente à l’astroïde* (figure 2.22) décrite par 2 2 l’équation implicite x 3 + y 3 = 4 , au point (1, −3 3 ). FIGURE 2.22

Astroïde

|

|

|

–6

–4

8

|

6

| |

2

|

x

4

|

–2 0 –2

2

3

+ y

2

3

= 4

|

|

|

|

2

4

6

8

|

10 x

–8

|

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 67 à 77.

–10

|

–6

|

–4

|

|

–10 –8

|

|

y

10

* Le mot « astroïde » tire son origine du latin astrum qui veut dire « astre ». La forme de cette courbe nous fait penser à une étoile.

Résumé Fluctuations des prix de l’essence, changements dans la taille d’une population humaine ou animale, mouvement d’un mobile et variation de température sont autant d’exemples qui illustrent la variabilité de phénomènes observés dans la vie courante et pour lesquels la dérivée constitue un outil descriptif extrêmement puissant. La dérivée d’une fonction y = f ( x ) en un point d’abscisse x = a est donnée par f ( x) − f (a) f ( a + ∆ x) − f ( a ) ou lim ∆ x→ 0 x−a ∆x (lorsque cette expression existe), et elle est notée par lim

x→ a

f ′ ( a ),

df dx

x=a

ou

dy dx

x=a

Soulignons au passage que toute fonction dont la dérivée existe en x = a est continue en ce point, alors que l’inverse n’est pas nécessairement vrai, comme en fait foi la fonction f ( x ) = x qui est continue en x = 0, mais dont la dérivée n’existe pas en ce point. f ( a + ∆ x) − f ( a ) représente la ∆x pente de la sécante passant par les points ( a,  f ( a )) et ( a + ∆ x,  f ( a + ∆ x)) , on peut donner une interprétation géométrique de la dérivée : la dérivée représente la pente Comme l’expression

de la tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . On peut évidemment utiliser ce résultat pour calculer l’équation de la tangente ou de la normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . Ainsi, l’équation de la tangente à la courbe décrite par une fonction dérivable f ( x ), en x = a , est y = f ′ ( a )( x − a ) + f ( a ) et 1 celle de la normale est y = − ( x − a ) + f ( a ), pour f ′(a) autant que f ′ ( a ) ≠ 0 dans ce dernier cas. La richesse du concept de dérivée tient au fait qu’elle offre d’autres interprétations que son interprétation géométrique. Ainsi, lorsque s ( t ) représente la position d’un mobile se déplaçant selon une trajectoire rectiligne, alors s′ ( b) = v ( b) donne la vitesse du mobile au temps t = b . De même, si P ( t ) représente la taille d’une population en fonction du temps, alors P ′ ( b) représente le taux de croissance ou de décroissance de cette population au temps t = b . Si C (Q ) représente le coût de production de Q unités d’un bien, alors C ′ (Q ) constitue une excellente approximation du coût marginal lorsque le niveau de production est de Q unités, c’est-à-dire le coût pour produire la (Q + 1)e unité. Cette approximation est si fiable qu’on l’utilise habituellement comme définition du coût marginal. On définit de manière analogue le revenu marginal R′ (Q ) et le profit marginal π ′ (Q ) .

136

CHAPITRE 2

On peut également traiter la dérivée comme une foncdy , tion. On utilisera alors indifféremment les notations dx df ou f ′ ( x ) pour désigner l’expression dx f ( x + ∆ x) − f ( x ) lim ∆ x→ 0 ∆x qui, lorsqu’elle existe, représente la fonction dérivée de y = f ( x ). Le signe de la dérivée est également révélateur : il nous renseigne sur la croissance (dérivée positive) ou la décroissance de la fonction (dérivée négative). Le seul fait qu’il existe des algorithmes simples pour calculer des dérivées sans recourir explicitement à l’évaluation d’une limite redouble l’intérêt pour le calcul différentiel. Ainsi, lorsqu’on tient compte des restrictions habituelles au domaine, si u et v sont des fonctions dérivables de x, si k et n sont des constantes, alors ■

d (k ) = 0 dx

■

d dv du ( uv ) = u + v dx dx dx

■

d du ( ku ) = k dx dx

■

d  u   = dx  v 

■

d du dv ± (u ± v) = dx dx dx

■

d n (u ) = nun −1 du dx dx

v

du dv −u dx dx v2

Il existe également une formule pour dériver une fonction composée. Ainsi, lorsque y est une fonction déri-

vable de u, qui elle-même est une fonction dérivable de x, alors y est aussi une fonction dérivable de x, et dy  dy   du  =     . La règle de dérivation des fonctions  du   dx  dx composées porte également le nom de règle de dérivation en chaîne. La fonction dérivée de y = f ( x ) étant une fonction, on peut la dériver, et obtenir ainsi une dérivée seconde ou d2 f d2 y d’ordre 2, notée f ′′ ( x ), 2 ou 2 , qu’on peut également dx dx dériver pour obtenir une dérivée troisième ou d’ordre 3, d3 f d3 y notée f ′′′ ( x ), ou 3 , et ainsi de suite. On notera la 3 dx dx dérivée d’ordre n d’une fonction y = f ( x ) par f ( n) ( x ), dn f dn y ou . En particulier, il est utile de mentionner que, dx n dx n dans le cas du déplacement d’un mobile selon une trajectoire rectiligne, la dérivée seconde de la position s ( t ) est fonction du temps et correspond à l’accélération du dv d2 s mobile : a = = 2. dt dt Soulignons enfin qu’on peut également évaluer la dérivée d’une fonction y définie implicitement par rapport à x sous la forme d’une équation. On parle alors de dérivation implicite. Il suffit d’appliquer l’opérateur de dérivation aux deux membres de l’équation en considérant y comme dy une fonction de x, puis d’isoler . dx

Mots clés Accélération, p. 119 Coût marginal, p. 88 Dérivation implicite, p. 131 Dérivée d’ordre n, p. 118 Dérivée d’une fonction, p. 88 Dérivée d’une fonction en un point, p. 86 Dérivée seconde, p. 118 Dérivée troisième, p. 118 Discriminant, p. 113 Droite, p. 76

Droite normale, p. 82 Droite sécante, p. 77 Droite tangente, p. 80 Droites parallèles, p. 77 Droites perpendiculaires, p. 77 Équation explicite, p. 129 Équation implicite, p. 129 Fonction dérivable en un point, p. 86 Grandeur d’une vitesse, p. 111 Ordonnée à l’origine, p. 76

Pente d’une droite, p. 76 Point anguleux, p. 93 Profit marginal, p. 91 Propriété de linéarité, p. 98 Taux de variation instantané, p. 80 Taux de variation moyen, p. 77 Variation de la variable indépendante, p. 75 Variation d’une fonction, p. 75 Vitesse instantanée, p. 84 Vitesse moyenne, p. 78

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Réseau de concepts Définition lim

x→ a

lim

f ( x) − f (a) x−a

∆x → 0

Dérivée en x = a

f ( x + ∆x ) − f ( x ) Fonction dérivée ∆x

Dérivable ⇒ Continue Continue ⇒ ⁄ Dérivable

Formules de dérivation

Dérivée d’ordre n dn f d f (n) ( x) = =  f ( n − 1 ) ( x )  dx  dx n Dérivée Dérivation implicite

•

d (k ) = 0 dx

•

d du ( ku ) = k dx dx

•

d du dv ± (u ± v) = dx dx dx

•

dv du d ( uv ) = u + v dx dx dx

d  u •   = dx  v 

Dérivée d’une fonction composée (Dérivation en chaîne)

•

dy  dy   du  =   du   dx  dx

v

du dv −u dx dx v2

d n ( u ) = nun − 1 du dx dx

Interprétation • • • • • •

générale : taux de variation instantané géométrique : pente de la droite tangente physique : vitesse, accélération économique : coût marginal, revenu marginal, profit marginal démographique : taux de croissance ou de décroissance d’une population etc.

Exercices récapitulatifs Sections 2.1 et 2.2 y

8

■ f (1)

■ f ( 1 + ∆ x)

■ ∆f = f ( 1 + ∆ x) − f ( 1 )

|

–1

|

4

|

■ ∆x

2

|

6

f ( x)

|

10

|

1. Situez les quantités suivantes sur le graphique de la fonction f ( x ) pour ∆ x > 0 , et tracez une droite dont la pente est f ( 1 + ∆ x) − f ( 1 ) . ∆x ■ 1 + ∆x

0

|

|

1

2

|

3 x

137

138

CHAPITRE 2

2. La fonction donnant l’aire d’un cercle (en centimètres carrés) par rapport à son rayon (en centimètres) est A( r ) = π r 2 .

b) Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = 1 2 .

a) Quelle est la variation de l’aire du cercle si le rayon passe de 2 cm à 4 cm ? Indiquez bien les unités.

c) Déterminez l’équation de la droite normale à la courbe décrite par f ( x ) en x = 1 2 .

Section 2.3 6. Estimez la valeur de la dérivée de la fonction f ( x ) aux points A, B et C. y

b) Combien de personnes ont contracté le virus après 3 jours ? Arrondissez la réponse à l’entier. c) Si rien n’est fait pour enrayer la propagation du virus, combien de personnes contracteront le virus à long terme ?

f) Quel est le taux de variation moyen du nombre de personnes ayant contracté le virus durant la période comprise entre le premier et le troisième jour suivant son introduction ? Indiquez bien les unités. g) Interprétez selon le contexte la réponse obtenue en f. h) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en f. i)

Pensez-vous que la fonction N ( t ) est croissante ? Justifiez votre réponse.

j)

Quel est le taux de variation instantané du nombre de personnes ayant contracté le virus 2 jours après son introduction ? Indiquez bien les unités.

k) Interprétez selon le contexte la réponse obtenue en j. l)

Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en j.

m) Quel est le taux de variation instantané du nombre de personnes ayant contracté le virus t jours après son introduction ? Indiquez bien les unités. n) Si rien n’est fait pour enrayer la propagation du virus, quel sera le taux de propagation du virus à long terme ? 1 . x a) Déterminez l’équation de la droite sécante passant par les points ( 1 2 ,  f ( 1 2 )) et (1,  f (1)).

4. Soit la fonction f ( x ) =

|

–1 A

0 –2 –4 –6 –8 –10

|

|

|

|

|

1 B

2

3

4

5

x

C

|

|

–2

|

e) Quelle est la variation du nombre de personnes ayant contracté le virus durant la période comprise entre le premier et le troisième jour suivant son introduction ? Indiquez bien les unités.

|

–3

|

d) Quelle est la variation du temps pour la période comprise entre le premier et le troisième jour suivant l’introduction du virus ? Indiquez bien les unités.

f ( x)

|

10 8 6 4 2

|

a) Combien de personnes ont contracté le virus après 1 jour ? Arrondissez la réponse à l’entier.

c) Déterminez l’équation de la droite normale à la courbe décrite par f ( x ) en x = 1.

|

3. Un virus se répand dans une population de 50 000 personnes 25 000 t , où N ( t ) représente le selon le modèle N ( t ) = t + 10 nombre de personnes ayant contracté le virus t jours après son introduction.

|

e) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en d.

b) Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par f ( x ) en x = 1.

|

d) Quel est le taux de variation instantané de l’aire du cercle lorsque le rayon est de 4 cm ? Indiquez bien les unités.

a) Déterminez l’équation de la droite sécante passant par les points (1,  f (1)) et ( 2,  f ( 2 )) .

|

c) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en b.

5. Soit la fonction f ( x ) = x 3.

|

b) Quel est le taux de variation moyen de l’aire du cercle si le rayon passe de 2 cm à 4 cm ? Indiquez bien les unités.

7. Déterminez la dérivée de la fonction f ( x ) à l’aide de la définition. x−1 h) f ( x ) = a) f ( x ) = 4 x+1 b) f ( x ) = 1 − 3 x i) f ( x ) = 2 x + 1 c) f ( x ) = 5 x + 2 j) f ( x ) = 3 x 2 + 2 d) f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 k) f ( x ) = 5 x − 3 x e) f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 l) f ( x ) = 2 x 2 + x 1 f) f ( x ) = x+1 2 g) f ( x ) = 1 − 2x 8. Si f (1) = 3 et f ′ (1) = 6, donnez l’équation de la droite tangente et l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = 1. 9. Un récipient contient 20 L d’eau. À cause d’une fuite, le volume d’eau (en litres) diminue à un rythme tel que, t s après le début de la fuite, le volume d’eau dans le récipient est t   donné par V ( t ) = 20  1 −   200 

2

= 20 − 0, 2 t + 0, 000 5t 2 .

a) Combien de temps le récipient met-il à se vider ? V (100 ) − V ( 75 ) et donnez-en une interpréta25 tion géométrique et physique.

b) Évaluez

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

y

8

d) Quelle est l’expression du taux de variation instantané du volume d’eau dans le récipient lorsque 0 ≤ t ≤ T , où T représente le temps requis pour que le récipient se vide ? |

|

–3

–2

f ( x)

|

|

–4

–3

–2

e) À quel moment la masse du bébé augmente-t-elle le plus rapidement ?

|

|

|

|

2

3

4

x

| |

2 |

|

–1 0 –2

1

–4

|

|

m( 8 ) − m( 5) et donnez-en une 3 interprétation géométrique et biologique.

|

4

|

6

b) Évaluez l’expression

d) Quel est le taux de croissance de la masse du bébé 9 mois après sa naissance ? Donnez-en une interprétation géométrique et biologique.

|

1

y

c)

a) Quelle est la masse du bébé à la naissance ?

c) Quelle est l’expression du taux de croissance instantané de la masse du bébé ?

|

–1 0 –2

–6

|

10. La masse m ( t ) (en kilogrammes) d’un bébé est fonction du temps t (en mois) écoulé depuis sa naissance. Supposons qu’au cours de ses 2 premières années de vie, la fonction m ( t ) = 12 + 7t permet de modéliser adéquatement la masse d’un bébé.

|

–4

2

|

e) À quelle vitesse le récipient se vide-t-il 50 s après le début de la fuite ?

4

|

6

f ( x)

|

10

|

b)

∆t → 0

|

V (100 + ∆t ) − V (100 ) et donnez-en une ∆t interprétation géométrique, physique et mathématique.

c) Évaluez lim

139

|

|

|

2

3

4

x

12. Esquissez le graphique d’une fonction continue en x = 2, mais qui n’admet pas de dérivée en ce point. 13. Vérifiez que la fonction continue f ( x ) n’est pas dérivable en x = −2. a) f ( x ) =

b) f ( x ) = 2 x + 4

x+2

 x 3 − x si x < 1 est 14. Vérifiez que la fonction f ( x ) =   2 − 2 x si x ≥ 1 continue en x = 1, mais que f ′ (1) n’existe pas. (Indice : Utilisez la définition de la dérivée en un point pour montrer que la dérivée n’existe pas.) Section 2.5 15. Déterminez la dérivée en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) = −1 b) g ( t ) = 3 − 2 t c) y = π 3

Section 2.4

d) h( x ) = x 4 − 2 x 3 + 6 x 2 − 4 x − 1

11. Déterminez, en donnant un argument de nature géométrique, les valeurs réelles de x en lesquelles la fonction f ( x ) n’est pas dérivable. a)

y

1 |

–2

|

|

–1 0 –1 –2

|

|

–3

|

|

–4

f) g ( x ) = 7 x 4 + 2 x 3 − g) f ( t ) =

f ( x)

|

2

e) s ( t ) = 3t 8 + 5t 3 + 2 t + π

|

|

|

|

1

2

3

4

1 x

4 2 1 − 2 + 4 t t t

h) y = 5t 5 + 2 t 2 − 4 t 3 + x

i)

s( x ) = ( x3 + 4 )

j)

y = t2 3 t

2

k) h( t ) = ( t 2 − 3t + π ) t l)

25 3 t

y = ( x 2 − 3 x ) ( x 2 + 3 x − 18 )

140

CHAPITRE 2

m) g ( x ) = x ( 2 x + 1)( 3 x − 1)

n) g ( x ) = ( x 4 − 3 x ) ( x 3 + 4 x 2 − 2 ) 2   1 o) s ( x ) = ( 2 x 3 − 4 x 2 + 1)  3 + 2  x x  p) f ( t ) =

2t 3 + t 2 t

q) g ( t ) =

3t + 1 t2 + 2

r) s ( t ) =

− 3t t 2 + 3t − 18

s) y =

u) h( t ) =

8t 5 t 2t − 7

19. Soit u, v et w des fonctions dérivables de x. Montrez que d du dv − (u − v) = dx dx dx d dw dv du b) + uw + vw ( uvw ) = uv dx dx dx dx a)

20. Déterminez le taux de variation du volume d’une sphère par rapport à son rayon.

3−t t +2 2 x2 + 1 ( x − 1 )( x + 1 )

( t − 3 )( t + 2 ) ( t + 1 )( t − 2 ) ( 2 x + 4 )( x − 5 )

x) g ( t ) =

z) h( x ) =

(

b) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 en x = 1

 3− x  − x + 2)  2 x + 1 

16. Évaluez la dérivée de la fonction au point donné. a) f ( x ) = 3 x + 1 au point ( 2,  7 ) b) s ( t ) = − t 3 + 2 t 2 + 3t − 2 au point ( −1,  −2 ) c) h( t ) = t 2 + d) y =

3 au point ( 1 2 ,  193 4 ) t4

2 4 − au point (1, − 2 15 ) 3 x 5 x2

x4 e) s ( x ) = − 3 f)

2 3

1 − 3 au point ( −1,  − 2 3 ) x

x2

f (t ) = 4t 3 − t 4 t 3 −

21. Déterminez l’équation de la droite tangente et l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction en la valeur donnée de x. a) f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 1 en x = 0

3x + 2 x2

x2 − 4 x + 2 k3x

b) f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x 1 c) f ( x ) = x + x

t2

x4 − 2 x 2 x3 + 1

y) y =

3 − ( k − 1)3 t

18. Pour quelles valeurs réelles de x la courbe décrite par la fonction f ( x ) admet-elle une droite tangente horizontale ?

2 x2 + 4 x + 3 1 − x3

w) f ( x ) =

e) h( x ) =

kt + 1

a) f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1

t) g ( x ) =

v) y =

d) g ( t ) =

5 au point (1, −2 ) t

6

−t 2 + 6t + 2 g) g ( t ) = au point ( 0,  1) 2 − 3t

h) h( x ) = ( − x 2 + x ) au point ( −2,  36 ) 2

g ( x ) = ( 2 x 5 + 4 x 2 + 2 x ) ( 5 x 3 + 2 x 2 + 1) au point ( −1,  0 ) j) y = ( t 2 − 3t − 2 ) ( t + 2 t ) au point (1, −12 ) i)

c) f ( x ) = 2 x − d) f ( x ) =

1 en x = −1 x

1 en x = 4 x

x+3 en x = −2 x+1 2x + 1 f) f ( x ) = en x = 0 x−1 1− x g) f ( x ) = en x = 1 2x + 3 e) f ( x ) =

22. Déterminez les équations des droites dont la pente est − 1 4 et qui sont tangentes à la courbe décrite par la fonction 1 f ( x) = . x 23. Déterminez la valeur réelle de x pour laquelle la fonction 1 f ( x ) = 2 admet une droite tangente parallèle à la droite x y = 1 4 x − 1. 24. Déterminez les deux valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction f ( x ) = x 3 − 3 x admet une droite tangente perpendiculaire à la droite y = 3 5 x + 8 5 .

a) f ( x ) = kx 2 − 2 x − 1

25. Vérifiez qu’aucune droite de pente 1 n’est tangente à la x2 . courbe décrite par la fonction f ( x ) = x−1

2k c) y = 5 x3

26. Il y a deux droites passant par le point ( 4,  20 ) qui sont tangentes à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 8 x − x 2 . Quelles sont les équations de ces deux droites tangentes ?

17. Évaluez la dérivée de la fonction si k est une constante. b) s ( t ) = ( k 2 + 1) t

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

27. Un ingénieur doit faire le plan pour une bretelle d’autoroute. Le schéma qui suit présente le tracé de l’autoroute (en trait continu) et celui de la bretelle (en trait pointillé). La pente du tracé de l’autoroute au point ( −1,  0 ) est de −1. L’équation du tracé de la bretelle est un polynôme de degré 2 qui passe également par le point (1,  0 ). Quelle est l’équation de la bretelle ?

|

|

–2

–1

0

|

|

1

2

141

Iris Pupille

28. Une mouche se déplace, de la gauche vers la droite, à partir du point ( −1,  2 ) sur une parabole opaque d’équation f ( x ) = 3 − x 2 . Par ailleurs, une araignée immobile se trouve au point ( 2,  0 ). Quelle distance séparera les deux insectes lorsqu’ils se verront pour la première fois ?

La sensibilité de la pupille à une source lumineuse est défidA . nie par S ( x ) = dx a) Quelle est l’aire d’une pupille lorsque l’intensité lumineuse est nulle ?

29. On projette un objet verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 15 m/s. La hauteur (en mètres) de l’objet  t s après son lancement est donnée par la fonction h( t ) = 50 + 15t − 4, 9 t 2 .

b) Quelle est l’aire d’une pupille soumise à une source lumineuse très intense ?

a) À quelle hauteur au-dessus du sol l’objet est-il situé lorsqu’on le projette verticalement vers le haut ? dh b) Sachant que la vitesse de l’objet est donnée par , dt déterminez la vitesse de l’objet lorsqu’il atteint la hauteur de 60 m lors de sa montée. c) Sachant que l’objet atteint sa hauteur maximale lorsque sa vitesse est nulle, déterminez la hauteur maximale atteinte par l’objet ainsi que le temps requis pour atteindre cette hauteur. d) À quelle vitesse l’objet touchera-t-il le sol ? 30. Un individu a été exposé à un contaminant. La concentration (en parties par million) de ce contaminant dans le corps de  l’individu t jours après l’exposition est donnée par 25t + 1 000 C (t ) = . 50 t + 2 a) Déterminez le taux de variation C ′ ( t ) de la concentration de contaminant par rapport au temps t . Indiquez bien les unités. b) Que vaut C ′ ( 2 ) ? c) Interprétez dans le contexte la valeur obtenue en b. 31. Le corps humain réagit à un stimulus selon l’intensité de celui-ci. Ainsi, la pupille réagit lorsqu’elle est soumise à une source lumineuse. La relation entre l’aire A( x ) (en millimètres carrés) d’une pupille et l’intensité x d’une source 40 + 24 x 4 . On peut vélumineuse est donnée par A( x ) = 1 + 4 x4 rifier que plus la source lumineuse est intense, plus la pupille se contracte, c’est-à-dire que plus l’aire de la pupille diminue.

c) Quelle est la sensibilité de la pupille à l’intensité d’une source lumineuse ? d) Que vaut S ( 4 ) ? 32. Les économistes définissent l’élasticité ( ε ) de la demande par rapport au prix (aussi appelée l’élasticité-prix de la demande) au moyen de la formule suivante :

ε = −

dQ Q

dP dQ Q = − P dP P

 dP  La pente  de la courbe de demande étant générale dQ  ment plus petite que 0 (la courbe de demande est décroissante), le signe négatif que l’on trouve dans l’expression de l’élasticité nous assure que celle-ci est positive. L’élasticité mesure la sensibilité de la demande par rapport au prix, puisqu’elle indique essentiellement quelle est la variation relative de la quantité demandée ( dQ /Q ) provoquée par une variation relative de prix ( dP / P ). Ainsi, une élasticité de 2 indique qu’une augmentation relative de prix de 5 % provoquera une chute de 10 % de la quantité demandée. Plus l’élasticité est grande, plus une variation de prix provoque une variation importante de la quantité demandée. 10 la fonction de demande d’un bien, où le prix P Q est exprimé en dollars et la quantité Q est exprimé en millions d’unités du bien. Soit P =

a) Calculez l’élasticité de la demande de ce bien. b) Quelle est l’élasticité de la demande de ce bien lorsque la quantité demandée est de 100 unités ? c) Quel sera l’effet sur la quantité demandée de ce bien à la suite d’une augmentation de 2 % des prix, lorsque le prix de ce bien est de 5 $ ?

142

CHAPITRE 2

Section 2.6 33. Esquissez le graphique d’une fonction satisfaisant aux conditions suivantes : f ′ ( −2 ) > 0, f ′ ( −1) = 0, f ( 0 ) = 0, f ′ ( 0 ) < 0, f ′ ( 2 ) = 0 et f ( 4 ) = 2.

36. On lance une balle vers le haut à partir du toit d’un édifice avec une vitesse initiale de 14,7 m/s. La position de la balle (sa hauteur mesurée en mètres) t s après son lancement est donnée par s ( t ) = − 4, 9 t 2 + 14, 7t + 49.

34. Esquissez le graphique d’une fonction satisfaisant aux conditions suivantes : f ′ ( x ) < 0 si x < 0 ou si x > 0, f ′ ( 0 ) = 0 et f ( 0 ) = 0.

a) Quelle est la hauteur de l’édifice ? ds de la balle au temps t ? b) Quelle est la vitesse v ( t ) = dt c) À quel moment la vitesse de la balle est-elle nulle ?

35. Déterminez lequel des graphiques suivants (a, b, c ou d) est celui de la dérivée de la fonction f ( x ).

d) Sur quel intervalle de temps la balle se dirige-t-elle vers le haut ?

y

|

|

–4

–3

–2

f ( x)

|

|

20 10 |

–1 0 –10

f) Combien de temps s’écoule-t-il avant que la balle ne touche le sol ?

|

|

|

|

1

2

3

4

|

|

e) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?

|

30

a)

|

–2

|

20

|

10

|

|

–1 0 –10

|

|

–3

30

–20

b)

|

|

|

|

1

2

3

4

a) Quel est le taux de consommation de nourriture (en grammes par minute) 5 min après le début du repas ? x

|

–4

–3

–2

|

10 |

–1 0 –10

|

|

–30

|

– 40

|

–20

c)

|

|

|

|

1

2

3

4

x

a) f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 − 2 x −8 x 2 − 14 x + 4 b) f ( x ) = x 2 − 16

|

–4

–3

–2

|

| |

10 |

–1 0 –10

|

|

20

–20

d)

|

|

|

|

1

2

3

4

39. Un objet se déplace selon une trajectoire rectiligne horizontale de façon que sa position (en mètres) après t s est donnée par la fonction s ( t ) = 1 4 t 4 − 11 3 t 3 + 12 t 2 + 4. x

b) Déterminez les instants où l’objet est momentanément au repos. |

|

|

–1 0 –10 –20

|

|

–2

–30

|

|

–3

10

– 40

|

|

20

|

y

–4

a) Déterminez la fonction v ( t ) donnant la vitesse de l’objet au temps t .

|

|

30

|

y

40

d) À partir de la réponse obtenue en c, expliquez pourquoi le modèle proposé par les chercheurs ne serait pas approprié pour décrire l’alimentation chez l’être humain au-delà de la valeur obtenue en b. 38. Déterminez les intervalles où la fonction f ( x ) est positive, les intervalles où elle est négative, les valeurs de x où elle s’annule ainsi que celles où elle n’est pas définie.

|

|

|

y

20

b) À quel moment le taux de consommation est-il nul ? c) Quel est le signe du taux de consommation au-delà de la valeur obtenue en b ?

|

|

–4

|

y

40

h) Quelle est la distance totale parcourue par la balle ? 37. Des chercheurs intéressés aux habitudes alimentaires ont étudié le lien entre le temps consacré à prendre un repas et la quantité de nourriture absorbée. Ils ont établi que t min après le début du repas, la quantité Q ( t ) (en grammes) ingérée par un être humain est donnée par Q ( t ) = 30 t − 0, 75t 2.

|

–20

x

g) Sur quel intervalle de temps la balle se dirige-t-elle vers le bas ?

c) Déterminez l’intervalle ou les intervalles de temps sur lesquels l’objet se déplace vers la droite. |

|

|

|

1

2

3

4

x

d) Déterminez l’intervalle ou les intervalles de temps sur lesquels l’objet se déplace vers la gauche. e) Déterminez la distance totale parcourue par l’objet durant les 5 premières secondes.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

e) Quelle est l’unité de mesure du taux calculé en d ?

Section 2.7

f) Quelle notation mathématique emploie-t-on pour désigner la variation instantanée de la vitesse de l’objet t s après le début de son déplacement ?

40. Déterminez la dérivée troisième de la fonction. a) f ( x ) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 1 t

b) g ( t ) = c) y =

g) Donnez l’expression du taux de variation instantanée de la vitesse de l’objet t s après le début de son déplacement.

1 x2

1 41. Déterminez f ′ ( x ), f ′′ ( x ) et f ′′′ ( x ) si f ( x ) = , où a a − bx et b sont des constantes non nulles. 42. Si y =

a + bt , où a et b sont des constantes positives, que

d3 y ? dt 3 t = a

vaut

143

b

43. Si u et v sont des fonctions de x qui admettent des dérivées d’ordre 1 et d’ordre 2, montrez que

h) À quelle mesure physique correspond la variation obtenue en g ? i)

Calculez v′ ( 4 ) .

46. Lors d’un test de collision, une voiture se déplace en ligne droite vers un mur situé à 90 m du point de départ de la voiture. La position s de la voiture (en mètres) à partir de son point de départ t s après sa mise en mouvement est donnée par l’expression s ( t ) = 4 t + 1 2 t 2 .

( uv )′′ = uv′′ + 2 u′v′ + u′′v 44. Les graphiques ci-dessous présentent les courbes décrites par les fonctions f ( x ), f ′ ( x ) et f ′′ ( x ). Déterminez chacune d’elles en justifiant vos réponses. B

|

|

–2

–1,5

–1

|

– 0,5

|

1

0 –1

|

|

|

|

0,5

1

1,5

2

x

a) À quelle distance du mur la voiture se trouve-t-elle 2 s après la mise en mouvement ?

–4

b) Quelle est la vitesse de la voiture (en kilomètres par heure) après 2 s ? c) À quelle distance du mur la voiture se trouve-t-elle lorsqu’elle atteint une vitesse de 30 km/h ?

|

0

|

–1 –2 –3

d) Combien de temps faut-il à la voiture avant d’entrer en collision avec le mur ?

C

|

|

|

1

2

3

e) Quelle est la vitesse de la voiture (en kilomètres par heure) au moment de l’impact ? x

|

1

|

2

B

|

3

|

y

|

b)

|

C

–3

|

–2

|

|

|

2

|

3

|

A

4

|

y

a)

A

45. Un objet se déplace à une vitesse (en mètres par seconde) de v ( t ) = 0, 1 t , où t représente le temps (en secondes) écoulé depuis le début du déplacement. a) Quelle est la vitesse initiale de l’objet ? b) Quelle est la vitesse de l’objet après 1 s ? c) Quelle est la vitesse de l’objet après 4 s ? d) Quel est le taux de variation moyen de la vitesse sur l’intervalle [1,  4 ] ?

f) Quelle est l’accélération de la voiture (en mètres par seconde carrée) au moment de l’impact ? 47. Un objet se déplace selon un axe horizontal de façon telle que sa position s ( t ) en fonction du temps t est donnée par la fonction s ( t ) = 1 2 at 2 + b, où a et b sont des constantes. Vérifiez que la vitesse moyenne v de l’objet sur l’intervalle [ t0 − h,  t0 + h] correspond à la vitesse instantanée en t = t0 . 48. La réaction R ( q ) à une dose q de médicament est donnée par R ( q ) = q 2 ( a − bq ) , où a et b sont des paramètres (des constantes) positifs. La sensibilité S est définie comme le taux de variation instantané de la réaction par rapport à la dose q. a) Quel concept mathématique important peut être interprété comme un taux de variation instantané ?

144

CHAPITRE 2

b) Utilisez une notation mathématique appropriée pour exprimer le fait que la sensibilité S représente le taux de variation instantané de la réaction par rapport à la dose q. c) Quelle est l’expression de S en fonction de q ? Votre réponse doit contenir les paramètres a et b. d) Quel ordre de la dérivée de la réaction par rapport à la dose doit-on utiliser pour trouver l’expression du taux de variation instantané de la sensibilité par rapport à la dose ? e) Quelle est l’expression du taux de variation instantané de la sensibilité par rapport à la dose ? Votre réponse doit contenir les paramètres a et b. 49. Sous l’action du levain, le volume occupé par une boule de pâte à pain varie en fonction (dérivable) du temps. Soit V ( t ) le volume (en centimètres cubes) occupé par une boule de pâte à pain en fonction du temps t (en minutes) mesuré à compter du moment où la boule a été déposée sur le comptoir ( t = 0 ). Traduisez l’information contenue dans la phrase sous la forme d’un ou de plusieurs énoncés (équations ou inéquations) écrits avec les unités de mesure et le symbolisme mathématique appropriés. a) Après 10 min, le volume occupé par la boule de pâte à pain est de 40 cm 3. b) Après 10 min, le volume de la boule de pâte à pain augmente à raison de 1 cm 3 /min. c) Après 30 min, le rythme de croissance du volume occupé  par la boule de pâte à pain diminue à raison de 0,1 cm 3 /min 2 .

deux équations ou inéquations pour traduire l’énoncé en langage mathématique. a) Le mobile se déplace vers la droite de plus en plus vite. b) Le mobile se déplace vers la droite, mais ralentit. c) Le mobile se déplace vers la droite, à vitesse constante. d) Le mobile se déplace vers la droite, s’immobilise pour une fraction de seconde en t = t 0 , pour ensuite repartir vers la gauche. 52. Soit P ( t ) la taille d’une population animale sur un territoire donné en fonction du temps t . Cette population augmente avec le temps sur l’intervalle [ a,  b ], mais son taux de croissance est décroissant. a) Quelle expression mathématique correspond au taux de croissance instantané de la taille de cette population ? Utilisez une notation appropriée pour désigner cette expression. b) Encerclez la lettre qui correspond à un énoncé vrai. A. Si t ∈ ]a,  b[, alors P ′ ( t ) < 0 . B. Si t ∈ ]a,  b[, alors P ′ ( t ) > 0 . C. Si t ∈ ]a,  b[, alors P ′ ( t ) = 0. D. Aucune de ces réponses. c) Comment traduit-on en langage mathématique le fait que le taux de croissance de la population est décroissant ? d) Encerclez la lettre associée au graphique susceptible de représenter la courbe décrite par la fonction P ( t ). D. P

A. P

d) Après 1 h, le volume de la boule de pâte à pain a atteint sa valeur maximale, c’est-à-dire qu’il a augmenté jusqu’à cet instant, puis s’est mis à diminuer par la suite. 50. Soit PA ( t ) et PB ( t ) la taille de deux colonies de bactéries en fonction du temps t . Consignez l’information que contient l’énoncé dans une ou deux équations ou inéquations où apparaissent des fonctions ou leurs dérivées.

a

c

b

t

B. P

a

b

t

a

b

t

b

t

E. P

a) Au temps t = t 0 , la colonie A est deux fois plus grande que la colonie B, mais, à cet instant, la colonie A croît à un rythme trois fois moins grand que celui de la colonie B. b) Au temps t = t 0 , les deux colonies sont de même taille, mais, à cet instant, la colonie A croît à un rythme plus rapide que celui de la colonie B.

a

b

t

C. P

F. P

c) En tout temps, la colonie A croît à un rythme proportionnel à sa taille. d) Le rythme de croissance de la colonie A diminue. 51. Soit s ( t ) la position d’un mobile qui se déplace sur un axe ds d2 s et 2 dans horizontal en fonction du temps t . Utilisez dt dt

a

b

t

a

53. Vérifiez que la fonction y = 2 x 3 − 6 x 2 + 4 x − 2 satisfait à l’équation y′′′ + y′′ + y′ = 6 x 2 + 4 .

145

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

54. Déterminez les valeurs des constantes A, B et C pour que  la  fonction y = Ax 2 + Bx + C satisfasse à l’équation y′′ − y′ + y = −2 x 2 + x + 3.

y) s ( t ) =

( 2 t 3 + 1 )3

z) f ( x ) =

t +3

( 3 x4 − 8 x )

Section 2.8 55. Déterminez la dérivée en utilisant les formules de dérivation. a) f ( x ) = ( x 4 − 3 x 3 + 2 x − 5 ) b) g ( t ) =

3

c) h( t ) =

4 2 t

3 − 2t − 6t 4

d) y =

(t 2 + 4t + 2 )

e) s ( x ) = − f)

2 3

 f ( t ) =  3t − 

1  3 2  t 

 3t 3  h) s ( t ) =   9 t − 1 

5

x2

+ 2x −

π4

3

56. Si y est une fonction dérivable de v, si v est une fonction dérivable de u et si u est une fonction dérivable de x, mondy dy dv du = . (Indice : Utilisez le théorème 2.10.) trez que dx dv du dx dy 57. Utilisez le théorème 2.10 pour trouver l’expression de dx comme une fonction de x. 1 1− x et u = u 1+ x 1 1−v c) y = , v = u + et u = u 1+v b) y = u −

58. Évaluez

5

dy dx

3

x

. x=1

1 2 + et u = 2 x + 2 3u u 2 1 1 − 2x b) y = u + et u = u 1+ x a) y =

3

i)

 x2 − 6 x + 2  g ( x) =   x 2 − 3 

j)

 2 x2 + 3  y =  2  x − 3 

7

59. Chez une certaine espèce de poisson, on a observé une relation entre la longueur L (en mètres) de l’animal et sa masse m (en kilogrammes) : m = 4 L2. Supposons que le taux de croissance par rapport au temps t (en années) de la longueur d’un tel poisson est de ( 0, 3 − 0, 2 L ) m/année.

5

 t3 − 1 k) h( t ) =  3  t + 1 

9 x4 − 4 x

a) y = u 2 − 2 u et u = x 2 − 3 x

3

+

x5 + 1

 3 − 2x  g) h( x ) =   3 x + 4 

l)

5

3

4

4t + 3 t2 + 1

f (t ) =

3

 ax + b  m) f ( x ) =  , où a , b, c et d sont des constantes  cx + d  n)

s(t ) =

t2 + 1 + t3

o) g ( t ) =

3t + 1 + 2 t 3

p) h( x ) =

3

x2 +

5 + 2x

q) y = ( 2 x 3 − 5 ) ( 3 − 2 x )2 3

r) f ( t ) = ( 2 t 2 + 3) ( 4 t − 5 )3 4

s) g ( x ) = ( x 4 − 3 x ) ( x 2 − 2 ) 3

2

t) s ( x ) =

x 2 + 4 ( 2 x 3 − 4 x 2 + 1)

u) h( t ) =

( 2 t + π )3 ( 2 − 5t )

v) y = w) y =

( x 2 + x + 3 )4 ( 1 − x 3 )3 2t 3t 2 + 5

x) g ( x ) =

x 2 ( x 2 − 3) 2x + 3

dm en fonction de la longueur L. dt Indiquez bien les unités.

a) Trouvez l’expression de 3

dm et donnez une interprétation biolodt m= 4 gique de ce résultat.

b) Évaluez

60. Pour quelles valeurs réelles de x la courbe décrite par la fonction f ( x ) admet-elle une droite tangente horizontale ? a) f ( x ) = ( x 2 − 4 )

8

b) f ( x ) = x 200 − x 2

 2x − 1 c) f ( x ) =  2  x + 2 

4

146

CHAPITRE 2

61. Soit g ( x ) = x 4 − x 2 . a) Quel est le domaine de g ( x ) ? b) Que vaut g ′ ( x ) ? c) Pour quelles valeurs réelles de x la fonction g ( x ) est-elle dérivable ? d) Que vaut g ′ (1) ? e) Pour quelles valeurs réelles de x la courbe décrite par la fonction g ( x ) admet-elle une tangente horizontale ? f) Que vaut lim− g ′ ( x ) ? x→ 2

62. Déterminez l’équation de la droite tangente et l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction en la valeur de x donnée. a) f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 3) en x = 2 3

b) f ( x ) =

5

2 x en x = 16

c) f ( x ) =

3

x 2 − 1 en x = 3

d) f ( x ) = e) f ( x ) = f)

1 en x = −3 3 − 2x 8 en x = 4 3x + 4

f ( x ) = x x 2 + 5 en x = 2

g) f ( x ) = x 6 − x en x = 5 63. Soit f ( x ) une fonction dérivable telle que f (1) = 4 et f ′ (1) = 1 16 . Quelle est l’équation de la droite tangente à 2 la  courbe décrite par la fonction g ( x ) = x + [ f ( x )] en x = 1? 64. Vous placez 5 000 $ à un taux d’intérêt de r % capitalisé mensuellement. Le montant accumulé (en dollars) au bout 48 r   de 4 ans est donné par C ( r ) = 5 000  1 + .   1 200  a) Calculez le montant accumulé au bout de 4 ans si le taux d’intérêt est de 6 % capitalisé mensuellement, c’està-dire calculez C ( 6 ). b) Calculez le montant accumulé au bout de 4 ans si le taux d’intérêt est de 12 % capitalisé mensuellement, c’està-dire calculez C (12 ). c) Déterminez C ′ ( r ). Indiquez bien les unités. d) Est-ce que la fonction C ( r ) est croissante ou décroissante ? Justifiez votre réponse. e) Que vaut C ′ ( 6 ) ? f) Interprétez dans le contexte la valeur obtenue en e. 65. On verse de l’eau dans un récipient cylindrique de 6 cm de rayon et de 25 cm de hauteur. La hauteur du niveau d’eau dans le récipient augmente à raison de 1 cm/s. Déterminez le taux de variation du volume d’eau dans le récipient par rapport au temps. Indiquez bien les unités. 66. Dites si l’énoncé est vrai ou faux. a) La fonction f ( x ) = x n’admet pas de dérivée en x = 0.

b) Si s ( t ) = t 3 − 12 t 2 + 36 t + 500 représente la position d’un objet qui se déplace sur l’axe des abscisses, alors l’objet se déplace toujours dans la même direction, c’està-dire vers la droite. d c) Si u est une fonction dérivable de t , alors ( u n ) = nu n −1 . dt d) La dérivée d’une fonction polynomiale est une fonction polynomiale. e) Si f ( x ) et g ( x ) sont des fonctions dérivables telles que f ′ ( a ) = 0 et g ′ ( a ) = 0, et si h( x ) = f ( x ) g ( x ) , alors h′ ( a ) = 0. f) Si p( x ) est un polynôme de degré 5, alors p( n) ( x ) = 0 pour tout entier n supérieur à 5. g) La dérivée d’une fonction en un point P peut être interprétée géométriquement comme la pente de la sécante joignant P à tout autre point de la courbe décrite par la fonction. h) Si u et v sont des fonctions dérivables de x, alors d u du dv = . dx dx dx v

( )

i)

Si f ( x ) admet une dérivée en x = a et si f ′ ( a ) est un nombre positif, alors une petite augmentation de x provoque une augmentation de f ( x ).

j) Si f ( x ) admet une dérivée en x = a et si f ′ ( a ) est un nombre négatif, alors une petite augmentation de x provoque une augmentation de f ( x ). Section 2.9 dy . dx a) y3 + 2 xy = 5 x 2

67. Déterminez

b) xy = x 2 + y2 − x − y c) x 2 + y2 = 100 − x 2 y2 d) x 3 + 2 y3 = −3 xy e) x 3 + y4 = 1 + 2 x 2 y2 f) x 2 y2 + x 3 y = 6 x y g) 2 − 3 xy2 = 8 x y2 h) − 3 xy = 6 x i) j)

( x2

+ y2 ) = 4 x 2 y 2

x + y + xy = 6 x − y

k) x = y2 y − 3 y + 1 l)

x =

3 y − y2 2y + 3

68. Pour quelles valeurs réelles positives de x la courbe décrite par l’équation implicite y ( y − x 2 ) − x = 0 admet-elle une droite tangente horizontale ? 69. Déterminez l’équation de la droite tangente et l’équation de la droite normale à la courbe décrite par l’équation implicite x 3 + y3 = 2 xy au point (1,  1).

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

70. Quelle est l’équation de la droite tangente à la courbe dé2 2 crite par l’équation implicite x 3 + y 3 = 1 2 au point ( 1 8 ,  1 8 ) ? 71. Quelles sont les équations des deux droites tangentes au cercle d’équation x 2 + y2 = 1 qui passent par le point ( 5 4 ,  0 ) ? 72. Montrez que l’équation de la droite tangente à l’ellipse y2 x2 d’équation 2 + 2 = 1 au point ( x0 ,  y0 ) peut s’écrire sous a b y0 x0 la forme 2 x + 2 y = 1. a b

dy . dx 4 3 x3 a) y = + 3 − 4 4 x x 3π 3 b) y = 1 − 2x

76. Déterminez

c) y = x 2 3 3 x + 1

1  e) y =  x 2 +   x

+ = (un cercle de rayon r 73. Soit le cercle d’équation centré à l’origine). Soit P un point sur la circonférence du cercle. Montrez que la droite passant par l’origine et le point P est perpendiculaire à la droite tangente au cercle en ce point.

f)

74. Une masse attachée à une corde se déplace dans le sens contraire des aiguilles d’une montre selon une trajectoire circulaire décrite par l’équation x 2 + y2 = 16 . La corde casse lorsque la masse est située au point 2,  2 3 .

h) y =

x2

y2

r2

(

)

dy a) Que vaut à ce moment ? dx dy b) Donnez une interprétation géométrique de à ce dx moment. c) Au moment où la corde casse, la masse emprunte une direction tangentielle à sa trajectoire initiale. Quelle est la nouvelle trajectoire de la masse au moment où la corde casse ? 75. Les économistes qualifient une demande selon son élasti-

3 x − 4 x2 1 + 2 x3

d) y =

4

y = ( 3 x2 + 4 ) ( 3 x − 2 x3 ) 3

4

3 − x4 2x + 4

g) y =

( x 2 + 2 x − 1 )5 ( 4 − 3 x − x 3 )4

i)

x 3 y + y3 = 1 − x

j)

6x −

2 xy + xy3 = y2

77. Évaluez l’expression demandée. a) f ′ ( 2 ) si f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 5 b) c)

dy dx dy dx

x= 4

x=1

si y =

x+ x 2x − 7

1   si y =  2 x −   x

3

dQ Q   cité  ε = −  de la façon suivante : la demande est  dP P  élastique si ε > 1, inélastique si ε < 1 et d’élasticité unitaire si ε = 1.

d) f ′ ( −1) si f ( x ) = ( 3 x + 4 )3 ( x + 2 )4

a) Sachant que le revenu R tiré de la vente de Q unités d’un bien au prix unitaire P est donné par R = PQ , dR = Q (1 − ε ). vérifiez que dP dR b) Déterminez le signe de selon les trois types d’élasdP ticité.

f)

c) Quel est l’effet sur le revenu d’une petite augmentation de prix lorsque la demande est inélastique ? d) Quel est l’effet sur le revenu d’une petite augmentation de prix lorsque la demande est élastique ? e) Si la demande d’un bien est donnée par la fonction P (Q ) = 4 800 − 1 2 Q , où 0 < Q < 9 600 , déterminez les prix pour lesquels la demande est élastique et les prix pour lesquels la demande est inélastique. f) Calculez

dR pour la fonction de demande formulée en e. dP

e)

d2 y dx 2

x =1

d3 y dx 3

x=4

si y = si y =

3x − 4 2− x 2x + 1

g) f ′′′ ( 0 ) si f ( x ) = ( 3 x + 2 )4 h) f ( 4 ) (1) si f ( x ) = x 6 i)

dy si xy3 + 11 = 5 y + x 2 dx ( −2 ,  1)

j)

dy si x 2 − 2 x 2 y = −2 xy3 dx ( 2 ,  1)

k)

dy si 3 x 3 − 2 xy = − 1 9 y3 dx (1,  3)

l)

dy si xy2 − x 2 + y − 1 = 0 dx (1,  −2 )

m)

dy si x y − x 3 y2 = x − y dx (1,  1)

147

148

CHAPITRE 2

Exercices de révision

x

x2

−4

F. Aucune de ces réponses.

−4

 x3  b) Soit f ( x ) =  x  x2 

1 2x

E.

si x < 0 si 0 ≤ x ≤ 1. si x > 1

Lequel des énoncés suivants est vrai ? A. La dérivée de f ( x ) est définie pour toutes les valeurs de x. B. La fonction f ( x ) est continue pour toutes les valeurs de x, et sa dérivée est définie pour toutes les valeurs de x, sauf pour x = 0. C. La fonction f ( x ) est continue pour toutes les valeurs de x, et sa dérivée est définie pour toutes les valeurs de x, sauf pour x = 1. D. La fonction f ( x ) est continue pour toutes les valeurs de x, et sa dérivée est définie pour toutes les valeurs de x, sauf pour x = 0 et pour x = 1. E. La fonction f ( x ) est continue pour toute les valeurs de x sauf pour x = 0 et pour x = 1. F. Aucune de ces réponses. c) Si f ( x ) = A. B. C.

3x + 1 , que vaut f ′′ ( x ) ? 5− x

−18 x 2 + 48 x − 290

( 5 − x )4

32

( 5 − x )3 16 x 2 − 192 x + 560

D.

4 − 32 x

( 5 − x )3

3( a + h )2 − 3a 2 est la dérivée de la h→ 0 h fonction f ( x ) =________ en x = a. Ainsi, l’expression lim

En général, la fonction dérivée de f ( x ) est donnée par l’expression f ′ ( x ) = lim , lorsque cette limite ∆ x→ 0

∆y , ∆x ce qui permet d’introduire une autre notation pour la dérivée de la fonction y = f ( x ), soit f ′ ( x ) = . existe. En particulier, si y = f ( x ), on a f ′ ( x ) = lim

∆ x→ 0

On peut généralement dériver la dérivée d’une fonction pour obtenir une dérivée d’ordre 2 (ou dérivée seconde), et  ainsi de suite. Si elle existe, la dérivée d’ordre n d’une fonction y = f ( x ) est notée ___________ ou __________. Il existe des formules de dérivation qui simplifient grandement le calcul des dérivées. Ainsi, si u et v sont des fonctions dérivables de x, alors ■

d (u + v) = dx

■

d ( uv ) = dx

■

d  u   = dx  v 

3. Esquissez le graphique de la fonction f ′ ( x ) à partir du graphique de la fonction f ( x ).

E. 0

y

1,5

F. Aucune de ces réponses.

( 5 − x )4 d) Si F ( x ) = f ( f ( x )) , où f ( x ) est une fonction qui admet une dérivée pour tout x ∈ , que vaut F ′ ( x ) ? D. f ′ ( f ( x )) × f ′ ( x ) A. f ′ ( f ( x )) × f ( x ) B. f ( f ′ ( x )) × f ′ ( x ) E. 2 f ( x ) × f ′ ( x ) C. f ′ ( f ′ ( x )) F. Aucune de ces réponses.

|

–4

|

|

64 8 32 Cette valeur n’existe pas.

E. F. G. H.

20 3 16 Aucune de ces réponses.

2. Complétez les phrases. La droite qui approxime le mieux une courbe décrite par une fonction f ( x ) près d’un point P ( a,  f ( a )) est la droite

0,5 |

0

–2

–0,5

e) Que vaut f ′ ( 4 ) si f ( x ) = x 2 x ? A. B. C. D.

1

|

2

x2

|

C.

D. 1 1

–1

|

2x

A. B.

x 2 − 4 , que vaut f ′ ( x ) ?

–1,5

|

a) Si f ( x ) =

|

1. Encerclez la lettre qui correspond à la bonne réponse.

________________ à cette courbe au point P . La pente de cette droite correspond à la limite des pentes des droites ______________ passant par les points P et Q de la courbe, lorsque le point Q se rapproche du point P . La pente de la droite tangente correspond à la dérivée de f ( x ) en x = a, dérivée qu’on note _________.

f ( x)

|

|

2

|

|

4

x

|

Répondez aux questions 1 à 9, puis à la question 10 ou à la question 11.

4. Soit f ( x ) = 1 − x 5 . 2

a) Que vaut lim+ f ′ ( x ) ? x→ 0

b) Que vaut lim f ′ ( x ) ? x →∞

5. Soit la parabole d’équation f ( x ) = x 2 + 4 x − 5. a) Quelle est l’équation de la droite D1 tangente à cette parabole au point ( 0, −5 ) ?

DÉRIVÉE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES

b) Si la droite D2 est perpendiculaire à la droite D1 et si elle est tangente à la parabole à un point P , quelles sont les coordonnées du point de tangence ?

e) Donnez le sens économique et la valeur de C ′ ( 5 ). f) Quelle est l’expression du revenu marginal R ′ (Q ) ?

g) Quelle est l’expression du profit π (Q ) tiré de la vente de Q unités de ce bien ?

1 6. La courbe décrite par la fonction f ( x ) = est appelée 1 + x2 une « sorcière d’Agnesi » ou un « verseau ». Trouvez l’équation de la droite tangente à cette courbe au point ( −1,  1 2 ) .

h) Quelle est l’expression du profit marginal π ′ (Q ) ?

7. Quelle est l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par l’équation x 2 + 4 xy + y3 = 4 au point ( −2,  0 ) ?

j)

8. En utilisant la définition de la dérivée, trouvez l’expression 2 . de f ′ ( x ) si f ( x ) = x−3 dy 9. Évaluez . dx 2 a) y = 3 x − x 3 + + π2 x b) y = c) y = d) y =

(

3

Quel est le signe du profit marginal au-delà du nombre d’unités vendues et produites obtenu en i ?

k) Expliquez pourquoi il ne faut pas produire et vendre plus d’unités que le nombre obtenu en i. 11. La position (en mètres) d’un objet qui se déplace sur l’axe des abscisses est donnée par s ( t ) = 1 3 t 3 − 5t 2 + 24 t , où t est le temps mesuré en secondes. (Note : Utilisez les unités de mesure appropriées dans votre réponse.)

− 3 x + 1) ( 2 x − 1)

b) Quelle est la vitesse moyenne de l’objet sur l’intervalle [1,  2 ] ?

1

c) Évaluez lim

2

3

s ( 2 + h) − s ( 2 ) et donnez-en une interpréh tation physique. h→ 0

x3 − 1

 2− x e) y =  2  x + 3  f)

i) Combien d’unités faut-il vendre et produire pour que le profit marginal soit nul ?

a) Quelle est la position initiale de l’objet ?

x2 − 1 x2 + 1 x2

149

3

y = 3u2 + 2 u et u = 4 x 2 − 3 x + 1

10. La fonction de la demande d’un certain bien est donnée par 50 P = , où Q représente la quantité demandée de ce bien Q lorsqu’il est vendu à un prix unitaire P . Le coût moyen de production de ce bien, C, est fonction de la quantité produite et demandée. L’expression du coût moyen, lorsque Q unités 100 . On obtient le du bien ont été produites, est C = 0, 5 + Q coût moyen en divisant C, le coût total de production de la quantité Q demandée (et produite) du bien, par le nombre d’unités demandées (et produites). a) À quel terme économique correspond le produit PQ ? b) Exprimez le coût total de production en fonction de la quantité demandée. c) Donnez le sens économique et la valeur de C ( 0 ). d) Quelle est l’expression du coût marginal de production C ′ (Q ) de ce bien ?

d) Exprimez la vitesse instantanée de l’objet en fonction du temps. e) Quelle est la vitesse initiale de l’objet ? f) À quels moments la vitesse de l’objet est-elle de 15 m/s ? g) Dans quelle direction l’objet se déplace-t-il initialement ? h) Quelle est la vitesse de l’objet lorsqu’il change de direction ? i)

L’objet ne se déplace pas toujours dans la même direction. Dites à quels moments l’objet change de direction.

j)

Quelle est l’accélération de l’objet à 2 s ? da . k) Calculez la secousse*, c’est-à-dire dt * La secousse est le taux de variation de l’accélération. Lorsqu’un objet subit une forte variation de son accélération, il est « secoué », c’està-dire qu’il subit un mouvement brusque. C’est ce qui se produit lorsqu’une voiture freine brusquement. Tous les objets qui se trouvent à l’intérieur du véhicule (y compris les personnes) sont projetés vers l’avant. Ce n’est pas l’accélération qui cause ce phénomène, car si la voiture freine doucement, aucune secousse ne se produit. On peut en conclure que c’est plutôt la variation brusque de l’accélération qui secoue tout ce qui se trouve dans la voiture à ce moment.

3 Dérivée des fonctions transcendantes

C H A P I T R E

Qui n’a été étonné en apprenant que la fonction : y = e x , tel un phénix renaissant de ses cendres, est à elle-même sa propre dérivée ? François Le Lionnais

D

ans les deux premiers chapitres, nous avons abordé les concepts de limite, de continuité et de dérivée, tout en restreignant notre étude aux fonctions algébriques, telles les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) et les fonctions comportant des puissances et des radicaux. Or, cela n’est pas suffisant ! En effet, la description de plusieurs phénomènes, tels la croissance d’un capital, la propagation d’une onde et bien d’autres encore, exige le recours aux fonctions transcendantes que sont les fonctions trigonométriques, trigonométriques réciproques (inverses), exponentielles et logarithmiques. Nous allons donc poursuivre l’étude des concepts clés (limite, continuité et dérivée) du calcul différentiel en les rattachant aux fonctions transcendantes. Tout comme nous l’avons fait avec les fonctions algébriques, nous établirons notamment des formules de dérivation des fonctions transcendantes qui faciliteront l’évaluation d’une dérivée.

MaBiblio > Multimédia > 14. Approche intuitive des formules de dérivation Accédez directement à l’animation. goo.gl/8S2z3P

O b j e c t i f s ◗◗ Évaluer la limite d’une expression contenant

des fonctions exponentielles (3.1). ◗◗ Dériver une expression contenant des fonctions

exponentielles (3.1).

◗◗ Utiliser correctement la dérivation logarithmique (3.1). ◗◗ Évaluer la limite d’une expression contenant des

fonctions trigonométriques (3.2). ◗◗ Dériver une expression contenant des fonctions

◗◗ Évaluer la limite d’une expression contenant

des fonctions logarithmiques (3.1). ◗◗ Dériver une expression contenant des fonctions

trigonométriques (3.2). ◗◗ Dériver une expression contenant des fonctions

trigonométriques inverses (3.3).

logarithmiques (3.1).

S o m m a i r e Un portrait de Charles Hermite

Résumé (p. 206)

3.1 Dérivation des fonctions exponentielles et des fonctions logarithmiques (p. 154)

Mots clés (p. 207)

3.2 Dérivation des fonctions trigonométriques (p. 176) 3.3 Dérivation des fonctions trigonométriques inverses (p. 200)

A n i m a t i o n s

Réseau de concepts (p. 208) Exercices récapitulatifs (p. 208) Exercices de révision (p. 218)

G e o G e b r a

14 Approche intuitive des formules de dérivation (p. 150)

16 Théorème du sandwich (p. 187)

15 Estimation de la limite de – 1)/h lorsque h → 0 et représentation graphique (p. 165)

17 Illustration de la démonstration du théorème 3.8 (p. 188)

(eh

UN PORTRAIT DE Charles Hermite

C

harles Hermite naquit à Dieuze le 24 décembre 1822. Fils de commerçant, il entreprit des études au collège de Nancy, puis il fréquenta le collège Henri IV à Paris et, en 1840-1841, le collège Louis-le-Grand afin de se préparer aux examens d’entrée de l’École polytechnique. Or, Hermite n’aimait pas se préparer à des examens. Il préférait de beaucoup lire les ouvrages de grands mathématiciens comme Euler, Gauss ou Lagrange. C’est sans doute ce qui explique qu’il obtint des résultats moyens à l’examen d’entrée de l’École polytechnique (il prit la 68e place), même si, au cours de son année passée à Louis-le-Grand, il avait déjà publié deux articles scientifiques.

Charles Hermite

Reçu en 1842 à l’École polytechnique, il n’y resta qu’un an*. Hermite avait toutefois eu le temps de se faire de nombreux amis dans la communauté mathématique, et son influence se faisait déjà sentir. Ainsi, sur les conseils de Joseph Liouville (1809-1882), il entreprit une correspondance très fructueuse avec Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). De même, il se lia d’amitié avec Joseph Louis François Bertrand (1822-1900), dont il épousa la sœur. Enfin, des idées qu’il avait avancées autour de 1843 aidèrent Liouville à prouver un des plus célèbres théorèmes d’analyse complexe : le théorème de Liouville. Hermite poursuivit ses études et ses recherches. Il obtint ses diplômes de baccalauréat et de licence, qui lui permirent, en juillet 1848, d’obtenir un poste d’examinateur d’admission, puis de répétiteur d’analyse, à l’École polytechnique, qui l’avait exclu quatre ans auparavant. Il occupa par la suite des postes d’enseignement au Collège de France, à l’École normale supérieure et enfin à la Sorbonne de 1869 à 1897. Il avait la réputation d’être un excellent professeur dont les arguments étaient d’une grande précision et d’une grande limpidité. Il était très apprécié parce qu’il était très affable et qu’il avait le souci de voir ses élèves réussir. Le célèbre mathématicien Paul Prudent Painlevé (1863-1933) décrivit ainsi l’enseignement d’Hermite : Ceux qui ont eu l’heureuse fortune d’être les élèves du grand géomètre ne sauraient oublier l’accent presque religieux de son enseignement, le frisson de beauté ou de mystère qu’il faisait passer à travers son auditoire devant quelque admirable découverte ou devant l’inconnu†.

* On lui avait interdit de poursuivre ses études pour cause de claudication congénitale. † Cité dans François Le Lionnais, Les grands courants de la pensée mathématique, Paris, Rivages, 1986, p. 438.

Mais Hermite n’était pas qu’un pédagogue hors pair, il était également un mathématicien de calibre international. Ses travaux portèrent sur la théorie des invariants inaugurée par Arthur Cayley (1821-1895) et James Joseph Sylvester (1814-1897), ainsi que sur la théorie des fonctions abéliennes et des fonctions elliptiques. Il proposa aussi une méthode de résolution de l’équation du cinquième degré (qui ne peut pas être résolue par radicaux) à l’aide des fonctions elliptiques. Hermite, qui utilisait des variables continues en théorie des nombres, découvrit les formes, dites hermitiennes en son honneur, qui allaient se révéler indispensables au développement de la mécanique quantique. En 1844, Liouville montra l’existence des premiers nombres transcendants*, c’est-à-dire des nombres qui ne sont pas la racine d’aucun polynôme non constant à coefficients rationnels. En 1873, dans un mémoire d’une trentaine de pages intitulé Sur la fonction exponentielle, Hermite donna deux preuves distinctes de la transcendance du nombre e (la base des logarithmes népériens) en s’appuyant de manière brillante sur les fractions continues et le calcul intégral. Il déclara que sa méthode permettrait probablement de prouver la transcendance du nombre π , mais mit en garde ses contemporains contre la difficulté du problème. Ce n’est que près de dix ans plus tard que Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) prouva la transcendance de π en employant la stratégie élaborée par Hermite qui demeure encore aujourd’hui une des principales techniques mises en œuvre pour traiter les problèmes de transcendance. Hermite mourut à Paris le 14 janvier 1901 après une très fructueuse carrière scientifique. Bien qu’il n’ait pas été particulièrement prolifique, ses travaux furent très innovateurs. Tête d’affiche des mathématiques françaises de son époque, il eut une grande influence sur la génération suivante de mathématiciens français tels Henri Jules Poincaré (1854-1912), Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) et Charles Émile Picard (1856-1941). Membre honoraire de plusieurs sociétés savantes, membre de l’Académie des sciences (1856) et lauréat de nombreux prix et honneurs, Hermite vit son nom attaché à plusieurs concepts mathématiques importants : théorèmes de Hermite (sur la transcendance de e ) et de HermiteLindemann, fonction de Hermite, forme hermitienne, espace hermitien, matrice hermitienne, polynôme de Hermite, norme hermitienne, etc. ■

* Les nombres transcendants que Liouville a exhibés portent maintenant le nom de nombres de Liouville en l’honneur de celui qui les a fait connaître.

154

CHAPITRE 3

3.1 DÉRIVATION DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET DES FONCTIONS LOGARITHMIQUES

Dans cette section : fonctions algébriques – fonctions transcendantes – fonction exponentielle – fonction logarithmique – logarithme naturel – logarithme de Briggs – dérivation logarithmique.

● Fonctions algébriques Les fonctions algébriques sont des fonctions qu’on obtient en effectuant des opérations algébriques sur des polynômes (addition, soustraction, multiplication, division, puissance et extraction d’une racine). ● Fonctions transcendantes Les fonctions qui ne sont pas algébriques sont des fonctions transcendantes. Les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses sont des exemples de fonctions transcendantes.

Dans les chapitres précédents, nous avons évalué des limites, étudié la continuité et dérivé des fonctions algébriques, c’est-à-dire des fonctions obtenues par des opérations algébriques sur des polynômes (addition, soustraction, multiplication, division, puissance et extraction d’une racine). Les fonctions qui ne sont pas algébriques sont dites transcendantes. Parmi elles, signalons les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques.

3.1.1 Fonctions exponentielles Dans la vie courante, plusieurs situations peuvent être modélisées par des fonctions exponentielles. L’évolution de la taille d’une population par rapport au temps, la valeur d’un placement à intérêt composé, la désintégration d’une substance radioactive en sont quelques exemples. Les fonctions logarithmiques, quant à elles, sont utilisées pour modéliser, entre autres, le pH d’une solution, le gain de puissance en décibels fourni par un amplificateur ou l’intensité d’un tremblement de terre. Le rythme (la vitesse) auquel chacun de ces phénomènes varie est obtenu par la dérivation de la fonction exponentielle ou de la fonction logarithmique qui le décrit. Nous établirons donc des formules de dérivation pour ces types de fonctions.

DES MOTS ET DES SYMBOLES

L

e mot transcendant fut utilisé pour la première fois en mathématiques par Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) par opposition au terme algébrique. Il fut repris par Leonhard Euler (1707-1783), qui qualifia certaines quantités de transcendantes dans la mesure où elles dépassent (transcendent) les méthodes algébriques. De nos jours, on parle de nombres transcendants et de fonctions transcendantes. On dit d’un nombre qu’il est transcendant (par opposition à un nombre algébrique) s’il n’est la racine d’aucun polynôme non constant à coefficients rationnels. L’existence de nombres transcendants fut établie en 1844 par Joseph Liouville (1809-1882), qui en exhiba plusieurs. Parmi les nombres transcendants les plus connus, on trouve le nombre e (la base des logarithmes népériens) et le nombre π. Le nombre transcendant le plus facile à se rappeler est le nombre de Mahler, dont le développement décimal est 0,123 456 789 101 112 131 415 16… Même si vous ne connaissez probablement pas d’autres nombres transcendants, ils sont extrêmement nombreux, comme Georg Cantor (1845-1918) l’a démontré de manière très astucieuse en 1873. On dit d’une fonction y = f ( x ) qu’elle est algébrique si elle peut être définie par la relation p0 ( x ) + p1 ( x )y +  + pn −1 ( x )y n −1 + pn ( x )y n = 0 , où pi ( x ) est un polynôme en x . De manière moins technique, une fonction algébrique est une fonction qu’on obtient en effectuant des opérations algébriques sur des polynômes (addition, soustraction, multiplication, division, puissance, extraction de racine). Une fonction qui n’est pas algébrique est dite transcendante. Les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses sont des exemples de fonctions transcendantes. De plus, les courbes décrites par les fonctions transcendantes passent généralement par des points dont au moins une des coordonnées est un nombre transcendant. À titre d’exemple, à l’exception du point ( 0 , 1), le graphique de la fonction f ( x ) = e x ne passe que par des points dont au moins une des coordonnées est un nombre transcendant.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

✦ RAPPEL ● Fonction exponentielle La fonction exponentielle est une fonction de la forme f ( x ) = b x , où b > 0 et b ≠ 1. On appelle b la base de la fonction exponentielle.

155

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction de la forme f ( x ) = b x , où b > 0 et b ≠ 1. On appelle b la base de la fonction exponentielle. La représentation graphique de la fonction f ( x ) dépend de la valeur de la base b (figure 3.1). FIGURE 3.1

Fonctions exponentielles y

f ( x ) = bx

f ( x ) = bx

y

( 0, 1 )

( 0, 1 ) x

x

Si b > 1

Si 0 < b < 1

La fonction exponentielle f ( x ) = e x , dont la base est la constante de Neper (e ≈ 2, 718 28…), apparaît dans de nombreuses applications. Sur la plupart des calculatrices scientifiques, la touche e x permet d’évaluer la fonction exponentielle de base e en une valeur donnée de x, tandis que la touche y x permet d’évaluer la fonction exponentielle de base y (au lieu de b) en une valeur donnée de x. Voici quelques propriétés des exposants qui sont très utiles lorsqu’on travaille avec des fonctions exponentielles. Si x et y sont des nombres réels et si a et b sont des nombres réels positifs, alors ■

( ab)x = a x bx

■

 a  b 

■

(bx )y

x

=

■

ax bx

■

= b xy

■

bxb y = bx + y bx = bx − y by 1 b− x = x b x

 1 Par exemple, la fonction f ( x ) =   peut s’écrire  2

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions

 1 f ( x) =    2

mathématiques, p. 401.

x

=

1x 1 = x = 2− x 2x 2

EXEMPLE 3.1

Une substance radioactive se désintègre de telle sorte qu’après t années, il en reste une quantité Q ( t ) exprimée en grammes et donnée par la fonction Q ( t ) = 150 e − 0 , 02 t . Déterminons la quantité initiale de cette substance radioactive ainsi que la quantité restante au bout de 10 ans. La quantité initiale est donnée par Q ( 0 ) = 150 e − 0 , 02( 0 ) = 150 e 0 = 150 (1) = 150 g

156

CHAPITRE 3

Au bout de 10 ans, il en restera Q (10 ) = 150 e − 0 , 02(10 ) = 150 e − 0 , 2 ≈ 122, 8 g

EXEMPLE 3.2

On place un capital de 1 000 $ à un taux d’intérêt nominal de 9 % capitalisé mensuellement (c’est-à-dire que le taux d’intérêt périodique est de 0,75 % par mois). Le capital accumulé (en dollars) au bout de n années est donné par 12 n C ( n) = 1 000 (1, 007 5 ) . On veut déterminer le capital accumulé au bout de 6 ans. Au bout de 6 ans, le capital accumulé sera de 12( 6 )

C ( 6 ) = 1 000 (1, 007 5 )

= 1 000 (1, 007 5 )

72

≈ 1 712, 55 $

QUESTION ÉCLAIR 3.1 Le nombre N ( t ) de lapins dans une population croît de manière telle qu’après t années, il est donné par

( )

N ( t ) = 1 240 2

t

5

a) Combien y a-t-il de lapins initialement dans cette population ? b) Combien y a-t-il de lapins dans cette population au bout de 3 ans ?

DES MOTS ET DES SYMBOLES

L

e nombre e ≈ 2 , 718 28... est appelé « constante de Neper » en l’honneur du mathématicien britannique John Napier (1550-1617), généralement connu sous le nom francisé de Neper, qui inventa les logarithmes. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) utilisa la lettre b pour désigner cette constante, mais le symbole ne fut pas repris par ses contemporains. C’est Leonhard Euler (1707-1783) qui fut le premier à utiliser la lettre e pour désigner cette constante, et cette notation s’imposa. Dans un manuscrit de 1727, il écrivit : « Pour le nombre dont le logarithme est l’unité, nous écrirons e, dont la valeur est 2,718 281 8… ». On ne sait pas trop pourquoi Euler choisit la lettre e. Certains supposèrent qu’il s’agissait de la première lettre du mot « exponentiel », d’autres que c’était la première lettre jusqu’alors inutilisée de l’alphabet, les lettres a, b , c et d apparaissant régulièrement ailleurs en mathématiques, d’autres encore que c’était l’initiale de einheit qui signifie « unité » en allemand, terme employé dans la phrase d’Euler pour désigner la célèbre constante. Il est toutefois invraisemblable qu’il ait utilisé ce symbole parce qu’elle était la première lettre de son propre nom, Euler ayant été une personne très humble qui ne cherchait pas les honneurs et la reconnaissance. Le nombre e apparaît dans de nombreuses formules mathématiques. Les mathématiciens ont n

∞ 1 1  établi que e = lim 1 + et que e = ∑ . On le retrouve également dans une des plus célèbres   n →∞ n n n =0 ! formules mathématiques, dite formule d’Euler : e iπ + 1 = 0. En 1737, Euler montra que ce nombre est irrationnel, et, en 1873, Charles Hermite (1822-1901) prouva qu’il est transcendant. Soulignons enfin, et nous y reviendrons plus tard, que le nombre e est la seule base d’une fonction exponentielle f ( x ) = b x telle que la dérivée de la fonction soit égale à elle-même.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

157

3.1.2 continuité des Fonctions exponentielles Les fonctions exponentielles sont continues sur l’ensemble des nombres réels, comme l’énonce le théorème 3.1. Nous accepterons ce théorème sans démonstration, mais vous devriez être convaincu de sa justesse par une simple observation des courbes décrites par ces fonctions (figure 3.1) : on les trace sans lever la pointe du crayon.

v THÉORÈME 3.1 Si b > 0 et b ≠ 1, la fonction exponentielle f ( x ) = b x est continue sur , c’est-à-dire que pour tout a ∈ , on a lim b x = ba. x→ a

EXEMPLE 3.3

x 3x . x→ 2 4 x − x

Évaluons lim

En vertu du théorème 1.5 (p. 50), le numérateur est continu en x = 2 puisqu’il est le produit de deux fonctions continues sur l’ensemble des réels (un polynôme et une fonction exponentielle). Le dénominateur est également continu en x = 2 puisqu’il est la différence de deux fonctions continues sur l’ensemble des réels. x 3x La fonction f ( x ) = x est donc continue en x = 2 puisqu’elle est le quotient 4 − x de deux fonctions continues et que 4 2 − 2 = 14 ≠ 0 . On a alors 2 ( 32 ) x 3x 18 9 = = = 2 x→ 2 4 x − x 4 −2 14 7 lim

EXEMPLE 3.4

On veut évaluer lim 2 − x . 2

x→ 2

Posons g ( x ) = − x 2 et f ( x ) = 2 x . Alors, on a f ( g ( x )) = f ( − x 2 ) = 2 − x . De  plus, la fonction g ( x ) est continue en x = 2, car c’est un polynôme, et, en vertu du théorème 3.1, la fonction f ( x ) est continue en g ( 2 ). Par conséquent, en vertu du théorème 1.7 (p. 52) portant sur la continuité des fonctions composées, 2 la fonction f ( g ( x )) = 2 − x est continue en x = 2, de sorte que 2

lim 2 − x = 2 −2 = 2 − 4 = 2

x→ 2

2

1

16

QUESTION ÉCLAIR 3.2 Vérifiez que la fonction est continue et évaluez la limite. a) lim x 2 e − x x →−1

2 x − 2− x x→1 2 x + 2 − x

b) lim

158

CHAPITRE 3

3.1.3 Fonctions exponentielles et calcul de limites TABLE AU 3.1

Propriétés des

limites*

Si b > 0 et b ≠ 1, alors 15. lim b x = ba

Le tableau 3.1 énumère les propriétés des limites des fonctions exponentielles. La propriété 15 découle directement de la continuité des fonctions exponentielles. Pour vous convaincre de la validité des propriétés 16 et 17, vous pouvez consulter la figure 3.1 ou construire un tableau de valeurs.

x→ a

 0 si 0 < b < 1 16. lim b x =  x →∞  ∞ si b > 1 17.

lim

x →− ∞

bx

 ∞ si 0 < b < 1 =   0 si b > 1

EXEMPLE 3.5

4 x + 4− x . x →−∞ 4 x − 4 − x

Évaluons lim

Par la propriété 17, on a lim 4 x = 0, car b = 4 > 1. De plus, x →−∞

lim 4 − x = lim ( 4 −1 )

x →−∞

x

x →−∞

= ∞

propriété des exposaants: b xy = ( b x )

y

propriété 17 avec 0 < b = 4 −1 < 1

4 x + 4− x ∞ est de la forme indéterminée . Utilisons x x − x →−∞ 4 − 4 −∞

Par conséquent, lim le fait que 4 − x = termination :

1 et la mise au même dénominateur pour lever cette indé4x

(4x ) + 1 1  ( 4 x )2 + 1 x x 4x 4 4  lim = lim = lim = ⋅ 1 x →−∞ 4 x 2 − 1 x →−∞  x →−∞ x 4x ( ) ( 4 x )2 − 4 − x  4 4x 2

4− x

+ x →−∞ 4 x − 4 − x lim

4x

4x +

( 4 x )2 x →−∞ 4 x 2 ( )

= lim

+1 −1

=

  1 

02 + 1 = −1 02 − 1

EXEMPLE 3.6

1 000 , la fonction donnant la taille de la population de cerfs 1 + 9 e −2 t dans une région protégée en fonction du temps t exprimé en années. Évaluons lim P ( t ). Soit P ( t ) =

t →∞

On a lim e −2 t = lim ( e −2 )

t

t →∞

t →∞

= 0

propriété des exposan nts: b xy = ( b x )

y

propriété 16 avec 0 < b = e −2 < 1

1 000 1 000 = = 1 000 cerfs. Cette − 2 t t →∞ t →∞ 1 + 9 e 1 + 9(0) limite représente la population de cerfs à long terme dans cette région si, bien sûr, la tendance se maintient. Par conséquent, lim P ( t ) = lim

On peut confirmer les résultats obtenus en regardant la courbe (figure 3.2) décrite par la fonction P ( t ). * Les 14 premières propriétés des limites sont données dans les tableaux 1.14 (p. 22) et 1.15 (p. 28).

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

159

FIGURE 3.2

| | | |

|

P (t ) =

1 000 1 + 9e −2 t

|

1 200 1 000 800 600 400 200 0

|

Nombre de cerfs

Population de cerfs en fonction du temps

|

|

|

|

|

0

1

2

3

4 t (années)

Une courbe de ce type est qualifiée de logistique. On la retrouve lorsque la foncA tion donnant la population en fonction du temps est de la forme P ( t ) = , 1 + Ce − rt où A, C et r sont des constantes positives. On remarque, sur la figure 3.2, que la droite y = 1 000 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction 1 000 P (t ) = . En général, la droite y = A est une asymptote horizontale à 1 + 9 e −2 t A la courbe décrite par la fonction P ( t ) = . Cette asymptote représente 1 + Ce − rt la tendance à long terme, c’est-à-dire lorsque t → ∞, de la fonction population. EXEMPLE 3.7

On place un capital de 1 000 $ à un taux d’intérêt nominal de 9 % capitalisé mensuellement (c’est-à-dire que le taux d’intérêt périodique est de 0,75 % par mois). Le capital accumulé (en dollars) au bout de n années est donné par 12 n C ( n) = 1 000 (1, 007 5 ) . Évaluons lim C ( n). On a n→∞

12 n lim C ( n) = lim 1 000 (1, 007 5 )   n→∞ 

n→∞

= 1 000 lim (1, 007 512 )

n

n→∞

= ∞

forme k × ∞ par la propriétéé 16 ( b = 1, 007 512 > 1 )

Avec le passage du temps, le capital accumulé augmente sans borne. EXERCICES 3.1

1. Évaluez la limite. a) lim

2

x→ 9 e x − 9

b) lim+ 2 x→ 0

1

x

+2

c)

lim 4 2 x − 1

x →−∞

d) lim ( 1 2 )

x

e)

lim e − x

2

x →−∞

x

x →∞

2. Une substance radioactive se désintègre de telle sorte qu’après t années, il en reste une quantité Q ( t ) exprimée en grammes et donnée par la fonction Q ( t ) = 150 e − 0 , 02 t . a) Déterminez la quantité restante de cette substance radioactive au bout de 50 ans. b) Évaluez lim Q ( t ). t →∞

c) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en b.

160

CHAPITRE 3

3.1.4 Fonctions logarithmiques Les fonctions logarithmiques sont aussi des fonctions transcendantes fort utiles. Rappelons-en d’abord les principales caractéristiques avant d’en aborder les applications.

✦ RAPPEL

La fonction logarithmique

La fonction logarithmique est une fonction de la forme y = f ( x ) = logb x , où b > 0 et b ≠ 1. On appelle b la base de la fonction logarithmique. On peut lire cette équation de la façon suivante : « y est l’exposant qu’on attribue à b pour obtenir x ».

● Fonction logarithmique La fonction logarithmique est une fonction de la forme f ( x ) = logb x , où b > 0 et b ≠ 1. On appelle b la base de la fonction logarithmique. Si y = logb x , alors y est l’exposant que l’on attribue à b pour obtenir x : by = x.

La courbe (figure 3.3) décrite par la fonction f ( x ) dépend de la valeur de la base b. FIGURE 3.3

Fonctions logarithmiques y

y

f ( x ) = logb x

( 1, 0 ) x

( 1, 0 ) FIGURE 3.4

Réciprocité de la fonction exponentielle et de la fonction logarithmique y |

g ( x) = b

x

|

|

y = x

|

f ( x ) = logb x

|

(0, 1) |

|

|

|

|

x

|

|

|

(1, 0)

● Logarithme naturel Le logarithme naturel ou logarithme népérien d’un nombre réel positif x est le logarithme de base e de x. On le note ln x. ● Logarithme de Briggs Le logarithme de Briggs ou logarithme décimal d’un nombre réel positif x est le logarithme de base 10 de x. On le note log x.

Si b > 1

f ( x ) = logb x

x

Si 0 < b < 1

On remarque que les fonctions logarithmiques sont définies si et seulement si x > 0, c’est-à-dire que le domaine de la fonction f ( x ) = logb x est + , soit l’ensemble des réels positifs (les nombres réels supérieurs à 0). De plus, il existe une relation très étroite entre les fonctions logarithmiques et les fonctions exponentielles. En effet, y = logb x ⇔ y est l’exposant qu’on attribue à b pour obtenir x ⇔ by = x Les fonctions f ( x ) = logb x et g ( x ) = b x sont des fonctions réciproques. On obtient la courbe décrite par la fonction f ( x ) en intervertissant les coordonnées des points de la courbe décrivant la fonction g ( x ). Les courbes décrites par ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite y = x , comme l’illustre la figure 3.4. Les bases e et 10 sont celles qui sont les plus couramment utilisées dans les fonctions logarithmiques et, par conséquent, on utilise une notation particulière pour ces fonctions. Ainsi, la fonction logarithmique de base e s’écrit f ( x ) = ln x [plutôt que f ( x ) = loge x ], et on parle alors de logarithme naturel ou logarithme népérien. La fonction logarithmique de base 10 s’écrit f ( x ) = log x [plutôt que f ( x ) = log10 x ], et on parle alors de logarithme de Briggs ou logarithme décimal. On trouve sur la plupart des calculatrices scientifiques les touches ln et log qui permettent d’évaluer ces fonctions en un point.

P

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

161

Voici quelques propriétés des logarithmes. Si M > 0, N > 0, b > 0, b ≠ 1 et q ∈ , on a ■

logb 1 = 0

■

logb b = 1

■

logb ( MN ) = logb M + logb N

■

 M logb   = logb M − logb N N

■

logb M q = q logb M

■

logb N =

■

logb ( bq ) = q

■

blogb N = N

ln N log N ou logb N = ln b log b

Les logarithmes sont très utiles lorsqu’on veut résoudre des équations où l’inconnue apparaît dans un exposant. On veut déterminer la valeur de x telle que la fonction f ( x ) = 2 4 x prenne la valeur 5, c’est-à-dire qu’on veut résoudre l’équation 2 4 = 5 . Pour y arriver, appliquons le logarithme de base e de chaque côté. x

2

x

4

= 5

( ) = ln 5

ln 2

x

4

x ln 2 = ln 5 ln M q = 4 4 ln 5 x = ≈ 9, 29 ln 2

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions

q ln M

mathématiques, p. 401.

EXEMPLE 3.8

 P  La fonction S = 10 log  = 10 log ( 20 P ) donne le gain ou la perte de puis 0, 05  sance S (en décibels) d’un amplificateur pour une puissance d’entrée de 50 mW et une puissance de sortie de P W. Déterminons le gain ou la perte de puissance d’un amplificateur ayant une puissance de sortie de 25 W. Si P vaut 25 W, alors S = 10 log [ 20 ( 25 )] = 10 log 500 ≈ 27, 0 dB. Un amplificateur ayant une puissance d’entrée de 50 mW et une puissance de sortie de 25 W donne un gain de puissance de 27 dB.

EXEMPLE 3.9

On place un capital de 1 000 $ à un taux d’intérêt nominal de 9 % capitalisé mensuellement (c’est-à-dire que le taux d’intérêt périodique est de 0,75 % par mois). Le capital accumulé (en dollars) au bout de n années est donné par 12 n C ( n) = 1 000 (1, 007 5 ) . Déterminons le temps requis pour que le capital accumulé soit de 2 500 $.

162

CHAPITRE 3

Résolvons l’équation C ( n) = 2 500. On a 1 000 (1, 007 5 )

12 n

= 2 500

1, 007 512 n = 2, 5 ln (1, 007 5 )

12 n

= ln 2, 5

12 n ( ln 1, 007 5 ) = ln 2, 5 n =

ln 2, 5 12 ( ln 1, 007 5 )

n ≈ 10, 219 ans Par conséquent, il faudra 10 ans et 3 mois (car 0, 219 an × 12 mois/année ≈ 2, 6 mois 0, 219 an × 12 mois/année ≈ 2, 6 mois) pour que le capital accumulé soit de 2 500 $.

QUESTIONS ÉCLAIR 3.3 1. Évaluez la quantité demandée. a) log132

c) log 5 45

e) ln e 6

b) ln 272

d) log 2 3 75

f) log 2 8 4

2. Le nombre N ( t ) de lapins dans une population croît de manière telle t qu’après t années, il est donné par N ( t ) = 1 240 2 5 . Dans combien de temps, le nombre de lapins dans la population aura-t-il triplé ?

( )

3.1.5 continuité des Fonctions logarithmiques Les fonctions logarithmiques sont continues sur l’ensemble des nombres réels positifs, comme l’énonce le théorème 3.2. Nous accepterons ce théorème sans démonstration, mais vous devriez être convaincu de sa justesse par une simple observation des courbes décrites par ces fonctions (figure 3.3) : on les trace sans lever la pointe du crayon lorsque x > 0.

v THÉORÈME 3.2 Si b > 0 et b ≠ 1, la fonction f ( x ) = logb x est continue sur + , c’està-dire que pour tout a > 0, on a lim logb x = logb a. x→ a

EXEMPLE 3.10

Évaluons lim2 x→e

ln x . 1+ x

En vertu du théorème 3.2, le numérateur est continu en x = e 2 puisque > 0. Le dénominateur est également continu en x = e 2 puisque c’est un polyln x nôme. En vertu du théorème 1.5 (p. 50), la fonction f ( x ) = est donc continue 1+ x

e2

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

163

en x = e 2 puisqu’elle est le quotient de deux fonctions continues et que 1 + e 2 ≠ 0 . On a alors lim2

x→e

ln ( e 2 ) ln x 2 = = 2 1+ x 1+e 1 + e2

EXEMPLE 3.11

On veut évaluer lim log 4 ( x 2 + 1) . x→ 0

Posons g ( x ) = x 2 + 1 et f ( x ) = log 4 x. Alors, f ( g ( x )) = f ( x 2 + 1) = log 4 ( x 2 + 1) De plus, la fonction g ( x ) est continue en x = 0, car c’est un polynôme, et, en vertu du théorème 3.2, la fonction f ( x ) est continue en g ( 0 ), car g ( 0 ) = 0 2 + 1 = 1 > 0. Par conséquent, en vertu du théorème 1.7 (p. 52) portant sur la continuité des fonctions composées, la fonction f ( g ( x )) = log 4 ( x 2 + 1) est continue en x = 0, de sorte que lim log 4 ( x 2 + 1) = log 4 ( 0 2 + 1) = log 4 1 = 0

x→ 0

QUESTION ÉCLAIR 3.4 Vérifiez que la fonction est continue et évaluez la limite. x ln x a) lim log 9 ( 7 x − 1) b) lim x→ 4 x → 3 1 + 3x

3.1.6 Fonctions logarithmiques et calcul de limites TABLE AU 3. 2

Propriétés des

limites*

Si b > 0 et b ≠ 1, alors 18. lim logb x = logb a si a > 0

Le tableau 3.2 énumère les propriétés des limites des fonctions logarithmiques. La propriété 18 découle directement du théorème 3.2. Pour vous convaincre de la validité des propriétés 19 et 20, vous pouvez consulter la figure 3.3 (p. 160) ou construire un tableau de valeurs.

x→ a

 −∞ si 0 < b < 1 19. lim logb x =  x →∞  ∞ si b > 1  ∞ si 0 < b < 1 20. lim+ logb x =  x→ 0  −∞ si b > 1

EXEMPLE 3.12

Évaluons lim log 2 x →0

1 . x2

1 1 1 On a lim+ 2 = ∞ et lim− 2 = ∞. Par conséquent, lim 2 = ∞ . On a alors x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x       forme

1 0+

forme

1 0+

1 lim log 2 2 = ∞ x x→ 0

propriété 19 (avec b = 2 > 1)

forme log 2 ∞

* Les 17 premières propriétés sont données dans les tableaux 1.14 (p. 22), 1.15 (p. 28) et 3.1 (p. 158).

164

CHAPITRE 3

EXEMPLE 3.13

Évaluons lim log 1 2 ( x 2 − 1). On a lim ( x 2 − 1) = ∞ . Par conséquent, x →∞ x →∞     forme ∞− k

lim log 1 2 ( x 2 − 1) = −∞ x →∞    

propriété 19 (avec 0 < b =

1

2

< 1)

forme log 1 ∞ 2

EXEMPLE 3.14

Évaluons lim log ( 2 x − 6 ). x→ 3

La fonction f ( x ) = log ( 2 x − 6 ) est définie si et seulement si 2 x − 6 > 0 , c’est-à-dire si et seulement si x > 3. Par conséquent, f ( 3) n’existe pas et la fonction f ( x ) n’est pas continue en x = 3. Pour déterminer si la limite existe, nous devrons donc utiliser la limite à gauche et la limite à droite. Or, si x → 3+ , on a 2 x − 6 → 0 + , ce qui implique que lim+ log ( 2 x − 6 ) = −∞ 3  x →  

propriété 20 (avec b = 10 > 1)

forme log 0 +

De plus, si x → 3− , on a 2 x − 6 → 0 − , ce qui implique que log ( 2 x − 6 ) n’existe pas : on ne peut pas appliquer un logarithme à un nombre négatif. Par conséquent, lim− log ( 2 x − 6 ) n’existe pas. x→ 3

Puisque la limite à gauche n’existe pas, on peut conclure que lim log ( 2 x − 6 ) x→ 3 n’existe pas.

EXERCICES 3.2

1. Évaluez la limite. a) lim  x ln ( x 3 )  x→e

c) lim log ( x 3 + 2 )

b) lim+ log 1 2 ( 3 x − 6 )

 x − 4 d) lim log 7   x + 4  x→ 4

x→ 2

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 1 à 8.

x →∞

e) lim ln ( x 2 ) x→ 0

2. Une substance radioactive se désintègre de telle sorte qu’après t années, il en reste une quantité Q ( t ) exprimée en grammes et donnée par la fonction Q ( t ) = 150 e − 0 , 02 t . Au bout de combien de temps restera-t-il 75 g de cette substance radioactive ?

3.1.7 dérivée d’une Fonction exponentielle Pour démontrer la formule de dérivation d’une fonction exponentielle de base e, eh − 1 nous utiliserons la limite suivante : lim = 1. h→ 0 h

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

165

Nous ne pouvons pas évaluer algébriquement cette limite avec les stratégies élaborées dans le chapitre 1. Toutefois, le tableau 3.3 devrait vous convaincre qu’elle vaut effectivement 1.

MaBiblio > Multimédia > 15. Estimation de la limite de (eh – 1)/h lorsque h → 0 et représentation graphique Accédez directement à l’animation.

TABLE AU 3. 3

lim

h→0

eh − 1 h Quand h s’approche de 0 par la gauche, h

eh

−1 h

−0,1

−0,000 1

0

0,000 1

0,951 63 0,995 02 0,999 50 0,999 95

∃

1,000 05 1,000 50 1,005 02 1,051 71

goo.gl/qEk7sR

−0,01

−0,001

Quand h s’approche de 0 par la droite,

eh − 1 s’approche de 1. h

0,001

0,01

0,1

eh − 1 s’approche de 1. h

v THÉORÈME 3.3 Si u ( x ) est une fonction dérivable, alors d u (e ) = eu du dx dx

(formule 11)

preuve Commençons par démontrer que

d x (e ) = e x . On a dx

d x e x +∆ x − e x e ) = lim ( ∆ x→ 0 dx ∆x e x e∆ x − e x ∆ x→ 0 ∆x

= lim = lim

e x ( e∆ x − 1)

∆ x→ 0

∆x

e∆ x − 1   = e x  lim  ∆ x→ 0 ∆ x  = e x (1) = ex Par conséquent, en vertu du théorème 2.10 (p. 126), on a d u d u du du e )= e ) = eu ( ( dx du dx dx

EXEMPLE 3.15

Une substance radioactive se désintègre de telle sorte qu’après t années, il en reste une quantité Q ( t ) exprimée en grammes et donnée par la fonction Q ( t ) = 150 e − 0 , 02 t . On veut déterminer le taux de variation par rapport au temps

166

CHAPITRE 3

de la quantité de substance radioactive présente au bout de 10 ans. Dérivons d’abord la fonction Q ( t ) par rapport à t : d (150e− 0,02 t ) dt d = 150 ( e − 0 , 02 t ) dt d = 150 e − 0 , 02 t ( − 0, 02 t ) dt

Q′ ( t ) =

= 150 e − 0 , 02 t ( − 0, 02 ) = −3e − 0 , 02 t g année Par conséquent, Q′ (10 ) = −3e − 0 , 02(10 ) ≈ −2, 456  g année. Au bout de 10 ans, la quantité de substance radioactive diminue à raison d’environ 2,456 g par année.

QUESTION ÉCLAIR 3.5 Déterminez la dérivée de la fonction à l’aide des formules de dérivation. a) f ( x ) = 4 e x

b) g ( t ) =

3 − 2 x +1

t e4 t

EXEMPLE 3.16

1 000 , la fonction donnant la taille de la population de cerfs dans 1 + 9 e −2 t une région protégée au temps t exprimé en années. On veut déterminer le taux de croissance de cette population lorsque t = 4 ans. Dérivons d’abord la fonction P ( t ) par rapport à t : Soit P ( t ) =

P ′ (t ) =

d  1 000    dt  1 + 9 e −2 t 

= 1 000

d (1 + 9e−2 t )−1 dt

= 1 000 ( −1) (1 + 9 e −2 t ) = = =

−1 000

(1 +

−1 000

(1 +

)

2 9 e −2 t

)

2 9 e −2 t

18 000 e −2 t

(1 + 9e−2 t )2

Par conséquent, P ′ ( 4 ) =

−2

d (1 + 9e−2 t ) dt

 0 + 9 e −2 t d ( −2 t ) dt    9 e −2 t ( −2 ) cerfs an nnée

18 000 e −2( 4 )

2 ≈ 6 cerfs année. Au bout de 4 ans, le 1 + 9 e −2( 4 )  nombre de cerfs dans cet environnement protégé augmente à raison de 6 par année.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

167

Pour obtenir la formule de dérivation d’une fonction exponentielle de base b, nous utiliserons la propriété x = e ln x , qui est valide pour tout x > 0.

v THÉORÈME 3.4 Si u ( x ) est une fonction dérivable, si b > 0 et si b ≠ 1, alors d u (b ) = bu ln b du dx dx

(formule 12)

preuve u

Puisque bu > 0, on a bu = e ln b = eu ln b et, par conséquent, d u d u ln b b )= ( (e ) dx dx d = eu ln b ( u ln b) dx du  u  = e ln b  ln b   dx  = bu ln b

du dx

Remarquons que la formule 11 est un cas particulier de la formule 12 lorsque d u du du du . b = e . En effet, en vertu du théorème 3.4, e ) = eu ln e = e u (1) = eu ( dx dx dx dx Il faut faire très attention de ne pas confondre la dérivée d’une fonction exponentielle et la dérivée d’une fonction puissance. La fonction f ( x ) = x 3 est une fonction puissance : on remarque que la variable x est affectée de l’exposant 3, qui est une constante. Pour dériver cette fonction, on utilise alors la formule 8 du théorème 2.8 (p. 103) pour obtenir f ′ ( x ) = 3 x 3 − 1 = 3 x 2 . La fonction g ( x ) = 3x est une fonction exponentielle : la constante 3 est affectée de l’exposant x, qui est variable. Pour dériver cette fonction, on ne doit donc pas utiliser la formule 8 [c’est-à-dire que g ′ ( x ) ≠ x 3x − 1], d mais plutôt la formule 12, qui donne g ′ ( x ) = 3x ln 3 ( x ) = 3x ln 3 (1) = 3x ln 3. dx EXEMPLE 3.17

On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre N ( t ) de bactéries présentes dans la boîte est donné par la fonction N ( t ) = 100 ( 2, 5 )0 , 7 t , où t est le temps mesuré en heures. On veut déterminer le taux de variation par rapport au temps de la taille de la population de bactéries au bout de 6 h. On a dN d 100 ( 2, 5 )0 , 7 t  =  dt dt  d = 100 ( 2, 5 )0 , 7 t  dt = 100 ( 2, 5 )0 , 7 t ( ln 2, 5 )

d ( 0, 7t ) dt

= 100 ( ln 2, 5 )( 2, 5 )0 , 7 t ( 0, 7 ) = 70 ( ln 2, 5 )( 2, 5 )0 , 7 t   bactéries h

168

CHAPITRE 3

Par conséquent, N ′ ( 6 ) = 70 ( ln 2, 5 )( 2, 5 )0 , 7( 6 ) ≈ 3 009   bactéries h. Au bout de 6 h, le nombre de bactéries dans la culture augmente à raison d’environ 3 009 bactéries par heure.

QUESTION ÉCLAIR 3.6 Déterminez la dérivée de la fonction à l’aide des formules de dérivation. a) f ( t ) = 8 ( 3 4 )

t2

b) g ( x ) = x 2 ( 31 − 2 x )

+ 53

EXEMPLE 3.18

Si y = 4 − x 2 x + 1 , alors 1 dy d = 4− x ( 2 x + 1) 2 + dx dx

= 4 − x ( 1 2 )( 2 x + 1)− =

1

2

2x + 1

d −x (4 ) dx

d ( 2 x + 1) + dx

2 x + 1 ( 4 − x ln 4 )

d (− x) dx

4− x ( 2 ) + 4 − x ( ln 4 ) 2 x + 1 ( −1) 2 2x + 1

=

4− x − 4 − x ( ln 4 ) 2 x + 1 2x + 1

=

4− x 4 − x ( ln 4 ) 2 x + 1 2 x + 1 − 2x + 1 2x + 1

=

4 − x − 4 − x ( ln 4 )( 2 x + 1) 2x + 1

=

4 − x [1 − ( 2 x + 1) ln 4 ] 2x + 1

EXERCICES 3.3

1. Déterminez la dérivée de la fonction à l’aide des formules de dérivation. a) f ( x ) = x 4 + 4 x + 4 − x − 4 x

c) h ( x ) = ( 2 x 3 + 1) e − x

b) g ( t ) = e 2 t + 2 e −3t − eπ

d) f ( t ) =

2

2t − 2 − t 2t + 2 − t

dy 3 si 2 xy = ( x + y ) . dx 3. Une tasse contenant du café dont la température est de 95 °C est placée dans une pièce maintenue à une température constante de 22 °C. Au bout de t min, la température (en degrés Celsius) du café est donnée par

2. Déterminez

T ( t ) = 22 + 73e − 0 , 046 67 t dT . Indiquez bien les unités. dt b) Déterminez le taux de variation, par rapport au temps, de la température du café au bout de 5 min. a) Déterminez

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 9 à 29.

c) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en b.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

169

3.1.8 dérivée d’une Fonction logarithmique On sait que, lorsque x > 0, l’expression y = logb x est équivalente à b y = x pour b > 0 et b ≠ 1. Cette équivalence et la dérivation implicite permettent d’obtenir la formule de dérivation d’une fonction logarithmique.

v THÉORÈME 3.5 Si u ( x ) est une fonction dérivable telle que u ( x ) > 0, si b > 0 et si b ≠ 1, alors d 1 du (formule 13) ( logb u ) = dx u ln b dx d 1 du ( ln u ) = dx u dx

(formule 14)

preuve Si y = logb u, alors b y = u . En dérivant chaque membre de l’égalité par rapport à x, on obtient d y d b )= (u) ( dx dx dy du b y ln b = dx dx dy 1 du = y dx b ln b dx d 1 du ( logb u ) = dx u ln b dx La formule 14 est un cas particulier de la formule 13 lorsque b = e . En effet, d d 1 du 1 du 1 du = = ( ln u ) = ( loge u ) = u dx u (1) dx dx dx u ln e dx

EXEMPLE 3.19

 P  La fonction S = 10 log  = 10 log ( 20 P ) donne le gain ou la perte de puis 0, 05  sance S (en décibels) d’un amplificateur pour une puissance d’entrée de 50 mW et une puissance de sortie de P W. On veut déterminer le taux de variation de S par rapport à P lorsque P = 50 W. On a dS d = [10 log ( 20 P )] dP dP d = 10 [ log ( 20 P )] dP   d 1 = 10   dP ( 20 P ) 20 P l n 10 ( )   =

1 ( 20 ) 2 P ( ln 10 )

=

10  dB W P ( ln 10 )

170

CHAPITRE 3

10 ≈ 0, 087  dB W, ce qui signifie que, 50 ( ln 10 ) lorsque la puissance de sortie est de 50 W, l’amplificateur fournit un gain de puissance d’environ 0,087 dB par watt d’augmentation de la puissance de sortie. Par conséquent, S ′ ( 50 ) =

QUESTION ÉCLAIR 3.7 Déterminez la dérivée de la fonction à l’aide des formules de dérivation. a) f ( x ) = log 2 ( x )

b) g ( t ) = 2 t 3 ln ( 4 t )

EXEMPLE 3.20

Si f ( x ) =

ln ( x 2 ) x2

, alors df = dx

x2

d d  ln ( x 2 )  − ln ( x 2 ) ( x 2 ) dx  dx ( x 2 )2

 1  d 2 x2  2  ( x ) −  ln ( x2 ) ( 2 x )  x  dx = x4 =

2 x − 2 x ln ( x 2 ) x4

=

2 x 1 − ln ( x 2 ) 

=

2 1 − ln ( x 2 ) 

x4

x3

EXEMPLE 3.21

 ( e x + 1 )2  df . lorsque f ( x ) = ln  dx  3x2 + 4  On pourrait bien sûr procéder à l’évaluation de cette dérivée en appliquant simplement les règles habituelles de dérivation, mais on a tout avantage à tirer profit des propriétés de la fonction logarithmique : On veut évaluer

2 df d   ( e x + 1)   ln   = dx dx   3 x 2 + 4  

( )

d  M 2 ln ( e x + 1) − ln ( 3 x 2 + 4 )  log b = log b M − log b N si M et N  dx  N d  2 ln ( e x + 1) − ln ( 3 x 2 + 4 )  log b M q = q log b M si M est positif = dx  2 d x d 1 = x e + 1) − ( ( 3 x2 + 4 ) 2 e + 1 dx 3 x + 4 dx =

=

2e x 6x − + 1 3 x2 + 4

ex

sont positifs

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

171

En utilisant la mise au même dénominateur, on obtient df 2e x 6x = x − dx e + 1 3x2 + 4 = = = = =

2e x ( 3 x2 + 4 )

(e x

+ 1) ( 3 x 2 + 4 )

−

6 x ( e x + 1)

( 3x2

+ 4 ) ( e x + 1)

2 e x ( 3 x 2 + 4 ) − 6 x ( e x + 1)

(e x

+ 1) ( 3 x 2 + 4 )

6 x 2 e x + 8 e x − 6 xe x − 6 x ( e x + 1) ( 3 x 2 + 4 ) 2 ( 3 x 2 e x + 4 e x − 3 xe x − 3 x )

(e x

+ 1) ( 3 x 2 + 4 )

2 ( 3 x 2 − 3 x + 4 ) e x − 3 x  ( e x + 1) ( 3 x 2 + 4 )

EXEMPLE 3.22

Si u est une fonction dérivable de x et si u ≠ 0, alors

d 1 du ln u = . dx u dx

preuve Si u > 0, alors

d d 1 du . ( ln u ) = ( ln u ) = dx dx u dx

Si u < 0, alors

d d 1 d 1 du 1 du . ( −u) = ( −1) = ( ln u ) = [ ln ( − u )] = dx dx − u dx −u dx u dx

Par conséquent,

d 1 du ln u = . dx u dx

EXERCICES 3.4

1. Déterminez la dérivée à l’aide des formules de dérivation. a) s ( t ) = log 5 ( 3t 2 − 4 t + 5 ) b) y =

ln ( 2 x ) 2 e3 x − x

2. Déterminez

dy si x 3 ln ( 2 y ) + xy2 = e − x. dx

3.1.9 dérivation logarithmique Soit la fonction y = ( x − 1)x , où x > 1. Cette fonction n’est pas une fonction puisn sance, car elle n’est pas de la forme [ u ( x )] avec n une constante réelle. Elle n’est pas non plus une fonction exponentielle, car elle n’est pas de la forme bu( x ) avec b > 0 et b ≠ 1.

172

CHAPITRE 3

● Dérivation logarithmique La dérivation logarithmique est une technique de dérivation qui consiste à appliquer le logarithme naturel à chaque membre d’une équation, puis à utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier chaque membre de l’équation ainsi obtenue et, finalement, à dériver dy implicitement pour obtenir . dx

Pour dériver des fonctions de la forme y = f ( x )g ( x ), où f ( x ) > 0, nous utiliserons la dérivation logarithmique. On applique d’abord le logarithme naturel à chaque membre de l’équation. On obtient ln y = ln  f ( x )g ( x )  On utilise ensuite la propriété des logarithmes ln M q = q ln M pour M > 0 et q ∈ . On obtient alors ln y = g ( x ) ln [ f ( x )] Finalement, on dérive implicitement pour obtenir

dy . dx

EXEMPLE 3.23

dy si y = ( x − 1)x et si x > 1. On a y > 0 puisque x − 1 > 0 . Applidx quons le logarithme naturel à chaque membre de l’équation :

Trouvons

ln y = ln ( x − 1)x ln y = x ln ( x − 1) Dérivons implicitement par rapport à x : d d ( ln y) = dx [ x ln ( x − 1)] dx d 1 dy d = x [ ln ( x − 1)] + [ ln ( x − 1)] ( x ) dx y dx dx 1 dy  1  d = x ( x − 1) + ln ( x − 1)  x − 1  dx y dx dy x = y  + ln ( x − 1) dx x − 1  x dy + ln ( x − 1) = ( x − 1)x  dx x − 1  Si on utilise la mise au même dénominateur, on obtient : dy x = ( x − 1)x  + ln ( x − 1) dx x − 1 

( x − 1) ln ( x − 1)   x = ( x − 1 )x  + x−1 x − 1   x + ( x − 1) ln ( x − 1)  = ( x − 1 )x  x−1   = ( x − 1)x − 1 [ x + ( x − 1) ln ( x − 1)]

EXEMPLE 3.24 2x dy si y = ( 2 x − 5 )e et si x > 5 2 . On a y > 0 puisque 2 x − 5 > 0 dx lorsque x > 5 2 . Appliquons le logarithme naturel à chaque membre de l’équation :

Trouvons

ln y = ln ( 2 x − 5 )e

2x

ln y = e 2 x ln ( 2 x − 5 )

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

173

Dérivons implicitement par rapport à x : d d 2x ln y ) = e ln ( 2 x − 5 ) ( dx dx  d d 1 dy = e2 x [ ln ( 2xx − 5)] + [ ln ( 2 x − 5)] dx (e2 x ) y dx dx 1 dy d  1  d = e2 x  ( 2 x − 5 ) + [ ln ( 2 x − 5 )] e 2 x ( 2 x )  2 x − 5  dx dx y dx dy  2e2 x  = y + 2 e 2 x ln ( 2 x − 5 ) dx 2 x − 5   2x dy = ( 2 x − 5 )e dx

 2e2 x  2x  2 x − 5 + 2 e ln ( 2 x − 5 )  

2x 1 dy + ln ( 2 x − 5 ) = 2 e 2 x ( 2 x − 5 )e  dx 2 x − 5  

En utilisant la mise au même dénominateur, on obtient : 2x dy 1 + ln ( 2 x − 5 ) = 2 e 2 x ( 2 x − 5 )e  dx  2x − 5  2x  1 ( 2 x − 5 ) ln ( 2 x − 5 )  = 2 e 2 x ( 2 x − 5 )e  + 2x − 5   2x − 5 2 x  1 + ( 2 x − 5 ) ln ( 2 x − 5 )  = 2 e 2 x ( 2 x − 5 )e   2x − 5 

= 2 e 2 x ( 2 x − 5 )e

2x

−1

[1 + ( 2 x − 5) ln ( 2 x − 5)]

La dérivation logarithmique permet de démontrer la formule pour tout nombre réel n.

preuve Si x > 0 et si y = x n, alors y > 0 et ln y = ln x n ln y = n ln x d d ln y ) = ( n ln x ) ( dx dx 1 dy 1 = n y dx x dy n = y dx x d n ( x ) = nx x n dx d n ( x ) = nx n −1 dx

d n ( x ) = nx n −1 dx

174

CHAPITRE 3

De plus, si x < 0, alors x = − u avec u > 0. Par conséquent, d n d ( − u )n  ( x ) = dx   dx d ( −1)n u n  =  dx  d n = ( −1)n (u ) dx d = ( −1)n nu n − 1 (u) dx d = ( −1)n n ( − x )n − 1 (− x) dx = ( −1) n ( −1)n − 1 ( − x )n − 1  ( −1) = n [( −1)( − x )]

n− −1

= nx n − 1 La dérivation logarithmique peut aussi être très utile lorsqu’on doit dériver des f ( x ) f2 ( x ) fn ( x ) fonctions de la forme y = 1 , où gi ( x ) ≠ 0 pour i = 1,  2, …,  m. g1 ( x ) g 2 ( x ) g m ( x ) Puisqu’on veut appliquer le logarithme naturel à chaque membre de l’équation et que la fonction y est peut-être négative à certains endroits, considérons cette équation en valeur absolue. y =

f1 f2  fn f1 ( x ) f2 ( x ) fn ( x ) = g1 g 2  g m g1 ( x ) g 2 ( x ) g m ( x )

Appliquons maintenant le logarithme naturel et utilisons les propriétés des logarithmes pour décomposer le membre de droite de l’équation.  f1 f2  fn  ln y = ln    g1 g 2  g m  ln y = ln ( f1 f2  fn ) − ln ( g1 g 2  g m

)

ln y = ln f1 + ln f2 +  + ln fn − ( ln g1 + ln g 2 +  + ln g m

)

ln y = ln f1 + ln f2 +  + ln fn − ln g1 − ln g 2 −  − ln g m Par conséquent, en utilisant le résultat de l’exemple 3.22 (p. 171), on obtient d d ( ln y ) = dx ( ln f1 + ln f2 +  + ln fn − ln g1 − ln g2 −  − ln g m ) dx 1 dy 1 df1 1 df2 1 dfn 1 dg1 1 dg 2 1 dg m = + ++ − − −− fn dx g1 dx y dx f1 dx f2 dx g 2 dx g m dx  1 df1 dy 1 df2 1 dfn 1 dg1 1 dg 2 1 dg m  = y + ++ − − −− g1 dx g 2 dx g m dx  dx f2 dx fn dx  f1 dx On pourrait remplacer y par sa définition dans la dernière équation. En général, si on utilise la dérivation logarithmique et qu’on oublie, par mégarde, de prendre dy en considération le signe de y, on obtient la même expression pour : les valeurs dx négatives de y n’ont pas d’effet sur le résultat. Ainsi, bien que, de manière formelle,

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

175

il faille utiliser des valeurs absolues en dérivation logarithmique, on peut, en pratique, négliger cette contrainte théorique, à tout le moins pour les valeurs de x pour lesquelles la fonction y est différente de 0. Par conséquent, on pourra utiliser la dérivation logarithmique sans se préoccuper du signe de la fonction à dériver et sans utiliser de valeurs absolues. EXEMPLE 3.25

dy ( x + 2 )3 ln ( 3 x ) si y = . Appliquons le logarithme naturel à chaque dx x2e4 x membre de l’équation et utilisons les propriétés des logarithmes :

Trouvons

ln y = ln ( x + 2 )3 ln ( 3 x ) − ln ( x 2 e 4 x ) ln y = ln ( x + 2 )3 + ln [ ln ( 3 x )] −  ln ( x 2 ) + ln ( e 4 x )  ln y = 3 ln ( x + 2 ) + ln [ ln ( 3 x )] − ln ( x 2 ) − ln ( e 4 x ) ln y = 3 ln ( x + 2 ) + ln [ ln ( 3 x )] − 2 ln x − 4 x Dérivons implicitement par rapport à x : d d ( ln y) = dx {3 ln ( x + 2 ) + ln [ ln ( 3 x )] − 2 ln x − 4 x} dx 1 dy d d 1 1 1 = 3 ln ( 3 x )] − 2 − 4 ( x + 2) + [ y dx x + 2 dx x ln ( 3 x ) dx  3  dy 1 1 d 2 = y + (3x) − − 4  x dx  x + 2 ln ( 3 x ) 3 x dx   dy 1 2 ( x + 2 )3 ln ( 3 x )  3 = + − − 4  x 2 4 x ln ( 3 x ) x dx x e x + 2  Nous aurions également pu obtenir cette dérivée de manière habituelle, c’est-à-dire en utilisant la formule de dérivation d’un quotient. La solution aurait alors été beaucoup plus laborieuse. De plus, nous n’utiliserons pas la mise au même dénominateur pour réécrire la dernière expression puisqu’elle serait assez fastidieuse et n’ajouterait rien à la clarté de la réponse. EXEMPLE 3.26

dy ( 2 x + 1)5 3 x 2 − 3 x + 2 si y = . Appliquons le logarithme naturel 4 dx x3 à chaque membre de l’équation et utilisons les propriétés des logarithmes : Trouvons

4 ln y = ln ( 2 x + 1)5 ( x 2 − 3 x + 2 ) 3  − ln x 3   1

ln y = ln ( 2 x + 1)5 + ln ( x 2 − 3 x + 2 )

1

3

− ln x

4

3

1 4 ln ( x 2 − 3 x + 2 ) − ln x 3 3 Dérivons implicitement par rapport à x : ln y = 5 ln ( 2 x + 1) +

d d  1 4 ln y ) = 5 ln ( 2 x + 1) + ln ( x 2 − 3 x + 2 ) − ln x  (  dx dx  3 3  1 1 dy 1 d 1 d 2 = 5 ( 2 x + 1) + ( x − 3 x + 2 ) − 43  1x  y dx 2 x + 1 dx 3 x 2 − 3 x + 2 dx  10 dy 4  2x − 3 = y + −  2 dx 3x 2 x + 1 3 x − 3x + 2

176

d d  1 4 ln y ) = 5 ln ( 2 x + 1) + ln ( x 2 − 3 x + 2 ) − ln x  (  dx dx  3 3 

CHAPITRE 3

d 1 1 d 2 1 dy 1 = 5 ( 2 x + 1) + ( x − 3 x + 2 ) − 43  1x  2 x + 1 dx 3 x 2 − 3 x + 2 dx y dx  10 dy 2x − 3 4  = y + −  2 dx  2 x + 1 3( x − 3x + 2) 3x  dy 4  2x − 3 ( 2 x + 1)5 3 x 2 − 3 x + 2  10 = + −   4 2 dx x3  2 x + 1 3( x − 3x + 2) 3x  Nous omettrons la mise au même dénominateur de la dernière expression.

Les exemples précédents permettent d’établir les étapes à suivre pour déterdy miner à l’aide de la dérivation logarithmique : dx 1. Appliquer le logarithme naturel à chaque membre de l’équation. 2. Utiliser les propriétés des logarithmes pour décomposer les membres de l’équation. 3. Dériver implicitement par rapport à x. dy 4. Isoler . dx EXERCICE 3.5

Utilisez la dérivation logarithmique pour déterminer a) y = (1 − 4 x )2 x où x < Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 30 à 41.

b) y =

e

x2

(

2x + 4

x2

+ 1)

7

1

dy . dx

4

où x > −2

3.2 DÉRIVATION DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Dans cette section : degré – radian – cercle trigonométrique.

Les phénomènes oscillatoires, tels le courant alternatif, les ondes sonores, une corde vibrante, le mouvement d’une masse reliée à un ressort, le mouvement des marées et le mouvement d’un pendule simple, sont décrits par des fonctions périodiques comme les fonctions trigonométriques. On obtient le rythme (vitesse) auquel chacun de ces phénomènes varie en dérivant la fonction trigonométrique qui le décrit. On doit donc élaborer des formules de dérivation pour les fonctions trigonométriques.

✦ RAPPEL

Un angle θ est la figure formée par deux segments de droite OA et OB issus d’un point fixe O appelé sommet (figure 3.5).

FIGURE 3.5

Angle

Mesurer un angle, c’est quantifier la rotation que le segment OA doit effectuer pour rejoindre le segment OB. La mesure de l’angle θ est positive si la rotation s’effectue dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et négative si elle s’effectue plutôt dans le sens des aiguilles d’une montre (figure 3.6).

B

θ O

La trigonométrie

A

P

177

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

FIGURE 3.6

Mesure d’angle B

O

A

θ

θ A

O Mesure d’angle positive

B Mesure d’angle négative

Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre entre deux rayons consécutifs mesure un degré (1°). La figure 3.7 présente deux angles particuliers mesurés en degrés.

FIGURE 3.7

Angles particuliers

La mesure de l’angle au centre compris entre deux rayons (figure 3.8) qui interceptent, sur la circonférence du cercle, un arc de longueur L égale au rayon r est un radian* (1 rad).

60°

FIGURE 3.8

–90°

Lien entre un angle en radians et la longueur d’un arc de cercle L

● Degré Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre entre deux rayons consécutifs mesure un degré (1°). ● Radian La mesure de l’angle au centre compris entre deux rayons qui interceptent, sur la circonférence du cercle, un arc de longueur L égale au rayon r est un radian (1 rad). ● Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine.

L = r

r

θ

1 rad

θ = r

L rad r

–2,5 rad L = 2,5 r

L’angle au centre correspondant à un tour complet du cercle est de L 2π r 360° ou de θ = = = 2π rad . On peut donc facilement passer r r d’une  unité de mesure à l’autre. En effet, puisque 360° = 2π rad, alors ° π  180  1° = rad et 1 rad =  .   π  180 Le cercle trigonométrique (figure 3.9) est un cercle de rayon r = 1 centré à l’origine. Tout angle au centre θ détermine un point P (θ ) sur la circonférence du cercle.

FIGURE 3.9

Cercle trigonométrique y

P (θ ) = ( cos θ, sin θ )

θ

( 1, 0 )

x

Le cosinus de l’angle θ , noté cos θ , est l’abscisse du point P (θ ) et le sinus de l’angle θ , noté sin θ , est l’ordonnée du point P (θ ). Comme le cercle trigonométrique est de rayon 1, l’abscisse et l’ordonnée de tout point situé sur le cercle ont des valeurs comprises entre −1 et 1, c’est-à-dire que pour tout angle θ , on a −1 ≤ cos θ ≤ 1 et −1 ≤ sin θ ≤ 1 * La première occurrence du mot radian se trouve dans un questionnaire d’examen écrit par James Thomson (1822-1892). Le terme constitue une abréviation de l’expression radial angle (angle radial).

P

178

CHAPITRE 3

Les différents rapports entre l’abscisse et l’ordonnée du point P (θ ) définissent quatre autres fonctions trigonométriques appelées tangente, cotangente, sécante et cosécante. On a sin θ 1 cos θ 1 1 , cotg θ = = , sec θ = et cosec θ = tg θ cos θ sin θ cos θ sin θ

tg θ =

Remarquons qu’elles sont définies seulement si le dénominateur est différent de 0. Sur la plupart des calculatrices scientifiques, on trouve les touches sin, cos et tan (au lieu de tg) pour évaluer respectivement le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle. Il faut cependant s’assurer que la calculatrice est dans le mode qui correspond à l’unité de mesure de l’angle [degrés (DEG) ou radians (RAD)].

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions

Vous trouverez dans l’aide-mémoire qui accompagne ce manuel les valeurs des six fonctions trigonométriques pour certains angles remarquables, ainsi que les graphiques de ces six fonctions.

mathématiques, p. 404.

QUESTIONS ÉCLAIR 3.8 1. Convertissez les angles suivants en radians. a) θ = −75°

b) θ = 194°

2. Convertissez les angles suivants en degrés. a) θ =

17 π

9

b) θ = −1, 5 rad

rad

3. Utilisez la calculatrice pour évaluer les six fonctions trigonométriques de l’angle donné. a) θ = 138°

b) θ =

11π

8

rad

EXEMPLE 3.27

Si on néglige la résistance de l’air, la portée p (θ ), mesurée en mètres, d’une balle de golf frappée à une vitesse initiale de 35 m/s est donnée par la fonction π  p (θ ) = 125 sin ( 2θ ), où θ est l’angle  0 ≤ θ ≤  entre la trajectoire initiale de  2 la balle et le sol, comme l’illustre la figure 3.10. FIGURE 3.10

Trajectoire d’un projectile

θ p(θ )

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

Calculons la portée de la balle si θ =

179

π π et si θ = . On a 6 4

 3 π  π  π p   = 125 sin  2    = 125 sin = 125  ≈ 108, 25 m  6    2  3  6  et

π  π  π p   = 125 sin  2    = 125 sin = 125 (1) = 125 m  4 2   4

✦ RAPPEL

La trigonométrie du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on peut définir les fonctions trigonométriques comme des rapports entre les mesures de certains côtés de ce triangle. Pour y arriver, on doit utiliser le fait que les triangles OPQ et ORS sont semblables et que, par conséquent, les rapports des côtés correspondants sont égaux (figure 3.11). FIGURE 3.11

Trigonométrie du triangle rectangle y

R

( 0, 1 ) P

θ O

Q

S

x

Comme les coordonnées du point P sont ( cosθ , sin θ ), on obtient* m PQ m RS = m OP m OR sin θ m RS = 1 m OR mesure du côtéé opposé à l’angle θ sin θ = mesure de l’hypoténuse De plus, on a m OQ m OS = m OP m OR cos θ m OS = 1 m OR mesure du côtéé adjacent à l’angle θ cos θ = mesure de l’hypoténuse * L’expression m PQ signifie la mesure du segment joignant les points P et Q.

P

180

CHAPITRE 3

On peut en déduire les définitions des autres fonctions trigonométriques. En effet, tg θ =

sin θ mesure du côté opposé à l’anglee θ = cos θ mesure du côté adjacent à l’angle θ

cotg θ =

cos θ mesure du côté adjacent à l’aangle θ = sin θ mesure du côté opposé à l’angle θ

sec θ =

1 mesure de l’hypoténuse = cos θ mesure du côté adjacent à l’angle θ

cosec θ =

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 413.

1 mesure de l’hypoténuse = sin θ mesure du u côté opposé à l’angle θ

QUESTION ÉCLAIR 3.9 Utilisez le triangle rectangle pour évaluer les quantités demandées. 4 1

θ

a) sin θ

c) tg θ

e) sec θ

b) cos θ

d) cosec θ

f) cotg θ

EXEMPLE 3.28

On veut exprimer l’aire A(θ ) d’un triangle isocèle (figure 3.12), dont la base mesure 10 cm et la hauteur h cm , en fonction de θ , qui est la mesure des deux π  angles congrus du triangle  0 < θ <  .  2

FIGURE 3.12

Triangle isocèle

On a tg θ =

h

h et, par conséquent, h = 5 tg θ . On obtient alors 5 bh A(θ ) = 2 =

θ 5 cm

10 ( 5 tg θ ) 2

= 25 tg θ  cm 2

θ

Calculons l’aire du triangle si θ =

5 cm

π π et si θ = . On a 4 3

π  π A   = 25  tg  = 25 (1) = 25 cm 2  4  4 et π  π A   = 25  tg  = 25 ( 3 ) ≈ 43, 3 cm 2  3  3

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

181

DES MOTS ET DES SYMBOLES

E

n 1595, le mathématicien allemand Bartholomäus Pitiscus (1561-1613) publia un ouvrage dont le titre comportait la première utilisation du mot latin trigonometria, qui fut francisé par trigonométrie en 1613. On trouve dans le mot trigonométrie trois racines grecques : tri pour « trois », gonia pour « angle » et metron pour « mesurer ». Ainsi, la trigonométrie a notamment pour objet la mesure des triangles et de leurs éléments (côtés et angles). Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576) fut toutefois le premier à définir les fonctions trigonométriques en termes de rapport des côtés d’un triangle rectangle, et il produisit une table des six fonctions trigonométriques pour chaque intervalle de 10 secondes. L’origine du terme sinus est assez intéressante. Le concept de sinus fut d’abord établi par le mathématicien indien Aryabhata (476-550) ; il le désigna sous le nom jya. Les Arabes en ont dérivé leur équivalent phonétique jiba, qui s’écrivait, comme c’était la coutume, sans voyelle, c’està-dire jb. Or, à part son sens technique, ce mot n’en a pas d’autre en arabe, de sorte que les traducteurs, dont Gérard de Crémone (1114-1187), ont pensé qu’il s’agissait du mot jaib qui désigne une petite baie ou une anse, ce qui se dit sinus en latin. C’est cette confusion dans la traduc-

tion qui nous a donc donné le terme sinus. Quant au terme cosinus, il faut tout simplement le comprendre comme étant le sinus de l’angle π  − α = cosα . complémentaire : sin 2  On doit les noms des autres fonctions trigonométriques, sous leur forme latine, à Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576) (cosécante), à Edmund Gunter (1581-1626) (cosinus et cotangente) et à Thomas Fincke (1561-1656) (sécante et tangente). C’est d’ailleurs ce dernier qui proposa des abréviations pour plusieurs des fonctions trigonométriques. Les abréviations de certaines fonctions trigonométriques ne sont pas les mêmes en français et en anglais. Ainsi, les abréviations pour les fonctions cosécante, tangente et cotangente sont respectivement cosec, tg et cotg en français et csc, tan et cot en anglais. Dans le présent manuel, nous avons privilégié la notation française, même si la notation anglaise est souvent utilisée dans les publications en français et qu’elle est d’usage sur les calculatrices scientifiques.

3.2.1 c ontinuité des Fonctions trigonométriques Le théorème 3.6 présente deux fonctions continues en tout point : la fonction sinus et la fonction cosinus.

v THÉORÈME 3.6 Si a est un nombre réel, alors les fonctions trigonométriques f ( x ) = sin x et g ( x ) = cos x sont continues en x = a .

Nous ne démontrerons pas formellement ce théorème. Nous ferons simplement appel à votre intuition pour vous convaincre de sa validité. Considérons la figure 3.13 qui présente, sur le cercle trigonométrique, le point P ( cos a, sin a ) pour un angle mesurant a rad et un point quelconque du cercle Q ( cos x, sin x ). FIGURE 3.13

Cercle trigonométrique y P ( cos a, sin a ) a

Q ( cos x, sin x )

x x

182

CHAPITRE 3

On a que f ( a ) = sin a et g ( a ) = cos a existent, car ce sont les coordonnées du point du cercle trigonométrique correspondant à l’angle a (en radians). De plus, quand l’angle x s’approche de l’angle a (x → a), le point Q se déplace sur la circonférence du cercle vers le point P. Par conséquent, les coordonnées du point Q s’approchent des coordonnées du point P (c’est-à-dire cos x → cos a et sin x → sin a). On a ainsi lim f ( x ) = lim sin x = sin a = f ( a ) et lim g ( x ) = lim cos x = cos a = g ( a )

x→ a

x→ a

x→ a

x→ a

Les fonctions f ( x ) = sin x et g ( x ) = cos x sont donc continues en x = a . EXEMPLE 3.29

sin x . Déterminons les valeurs réelles de x pour cos x lesquelles cette fonction est continue. Soit la fonction f ( x ) = tg x =

En vertu du théorème 3.6, la fonction f ( x ) est le quotient de deux fonctions continues. Elle est donc continue pour toutes les valeurs de x qui n’annulent pas le π dénominateur. Le dénominateur s’annule quand x est un multiple impair de , 2 π π 3π c’est-à-dire lorsque x = ( 2 k + 1) , où k ∈  (par exemple, x = ,  x = , …). 2 2 2 En vertu du théorème 1.5 (p. 50), la fonction f ( x ) = tg x est donc continue si π x ≠ ( 2 k + 1) , où k ∈ . 2

EXEMPLE 3.30

1 . Déterminons les valeurs réelles de x sin x pour lesquelles cette fonction est continue. Soit la fonction f ( x ) = cosec x =

Le numérateur de la fonction f ( x ) est un polynôme qui est une fonction continue en vertu du théorème 1.4 (p. 49). De plus, son dénominateur est également continu en vertu du théorème 3.6. Par conséquent, la fonction f ( x ) est le  quotient de deux fonctions continues. Elle est donc continue pour toutes les valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur. Le dénominateur s’annule quand x est un multiple de π , c’est-à-dire lorsque x = kπ , où k ∈  (par exemple, x = 0,  x = π ,  x = 2π ,…). En vertu du théorème 1.5 (p. 50), la fonction f ( x ) = cosec x est donc continue si x ≠ kπ , où k ∈ .

QUESTION ÉCLAIR 3.10 Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction f ( x) = est continue.

( 3x2

cos x − 12 ) 2 x

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

183

3.2.2 Fonctions trigonométriques et calcul de limites TA BL E AU 3 . 4

Propriétés des

limites*

Si a est un nombre réel, alors 21. lim sin x = sin a x→ a

22. lim cos x = cos a x→ a

Le tableau 3.4 énumère les propriétés des limites des fonctions sinus et cosinus. Elles découlent directement du théorème 3.6. EXEMPLE 3.31

 x sin x  On veut évaluer lim  : π π  x→ 4

   x  x sin x    x lim  = lim lim sin  π π   x→ π π   x→ π  x→  4  4  4 =

π 4  sin (π 4 )  π 

=

1 2 4  2 

=

2 8

EXEMPLE 3.32

On veut évaluer lim

x→ 0

cos x : x2 + 2 lim cos x cos x = x→ 0 2 2 x→ 0 x + 2 lim ( x + 2 ) lim

x→ 0

cos ( 0 ) 02 + 2 1 = 2 =

EXEMPLE 3.33

On veut évaluer lim cotg θ : θ→

π 3

En vertu du théorème 1.5 (p. 50), la fonction cotg θ =

cos θ est continue en sin θ

π puisqu’elle est le quotient de deux fonctions continues (théorème 3.6), et 3 π  3  π que le dénominateur ne s’annule pas lorsque θ = on a sin   = ≠ 0.  3 3  2  Par conséquent,

θ =

cos (π 3) 12 1 2 1 1 π lim cotg θ = cotg   = = = ⋅ = = ⋅ π   3 sin π 3 3 2 2 3 3 3 ( ) θ→ 3

3 3 = 3 3

* Les 20 premières propriétés sont données dans les tableaux 1.14 (p. 22), 1.15 (p. 28), 3.1 (p. 158) et 3.2 (p. 163).

184

CHAPITRE 3

EXEMPLE 3.34

On veut évaluer lim ln ( x 2 cos x + 1). x→ 0

Posons g ( x ) = x 2 cos x + 1 et f ( x ) = ln x . Alors, on a f ( g ( x )) = ln ( x 2 cos x + 1) De plus, x 2 cos x est continue, car c’est le produit de deux fonctions continues (un polynôme et la fonction cosinus) et 1 est une fonction continue, car c’est un polynôme. La fonction g ( x ) est donc continue en x = 0, car elle est la somme de deux fonctions continues. En vertu du théorème 3.2 (p. 162), la fonction f ( x ) est continue en g ( 0 ), car g ( 0 ) = 0 2 ( cos 0 ) + 1 = 1 > 0. Par conséquent, en vertu du théorème 1.7 (p. 52), la fonction f ( g ( x )) = ln ( x 2 cos x + 1) est continue en x = 0, de sorte que lim ln ( x 2 cos x + 1) = ln ( 0 2 cos 0 + 1) = ln (1) = 0

x→ 0

EXEMPLE 3.35

π  On veut évaluer lim sec  x  . 2  x→ 3 π  Posons f ( x ) = sec  x  = 2 

1 . Alors, la fonction f ( x ) n’est pas π  cos  x  2  π continue en x = 3, car cette valeur annule le dénominateur : cos  ( 3) = 0 . 2  1 La limite qu’on veut évaluer est donc de la forme . Évaluons la limite à gauche 0 et la limite à droite. On a π  lim sec  x  = lim− 2  x→ 3

x → 3−

1 = −∞ π  cos  x  2    form me

1 0−

et π  lim sec  x  = lim+ 2  x→ 3

x → 3+

1 = ∞ π  cos  x  2    form me

1 0+

Puisque la limite à gauche diffère de la limite à droite, on peut conclure que π  lim sec  x  n’existe pas. 2  x→ 3 EXERCICES 3.6

1. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction est continue. a) f ( x ) = sec x ex b) f ( x ) = sin x

c) f ( x ) = ln ( 2 x − 4 ) cos 6 x

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

185

2. Évaluez la limite. x 2 sin x + 3 x → 0 2 cos ( 3 x )

a) lim b)

lim − tg ( 2 x )

e)

lim

x →2 π

cotg x x

d) lim x 2 cosec x

π x→   4

✦ RAPPEL

 x c) lim sec    3 x→π x→

π 6

Les identités trigonométriques

Les identités trigonométriques sont des égalités qui permettent de simplifier ou de transformer une expression trigonométrique en une expression équivalente. Trois identités très importantes proviennent de la définition même des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique et du théorème de Pythagore. Soit θ un angle au centre en radians et P (θ ) le point qu’il détermine sur la circonférence du cercle trigonométrique (figure 3.14).

FIGURE 3.14

Cercle trigonométrique y

P (θ ) = ( cos θ, sin θ )

Par le théorème de Pythagore, on a x 2 + y2 = 12 . En remplaçant par leurs valeurs les coordonnées du point P (θ ) dans cette équation, on obtient la première identité trigonométrique, soit cos 2 θ + sin 2 θ = 1

θ x

y

( 1, 0 )

x

(1)

En divisant tous les termes de l’identité (1) par cos 2 θ (pour les valeurs de θ telles que cos θ ≠ 0), on obtient une deuxième identité trigonométrique, soit sin 2 θ cos 2 θ 1 + = 2 2 cos2 θ cos θ cos θ 1 + tg 2 θ = sec 2 θ

(2)

En divisant tous les termes de l’identité (1) par sin 2 θ (pour les valeurs de θ telles que sin θ ≠ 0), on obtient une troisième identité trigonométrique, soit cos 2 θ sin 2 θ 1 + = sin 2 θ sin 2 θ sin 2 θ cotg 2 θ + 1 = cosec 2 θ

(3)

Voici une liste d’identités trigonométriques importantes que vous retrouverez dans l’aide-mémoire : 4. cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β 5. sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

(α − β ) + cos (α + β ) sin α sin β = 1 2  cos (α − β ) − cos (α + β )  sin α cos β = 1 2  sin (α − β ) + sin (α + β ) 

6. cos α cos β = 7. 8.

1

2  cos

9. cos ( 2θ ) = 1 − 2 sin 2 θ 10. cos ( 2θ ) = 2 cos2 θ − 1

P

186

CHAPITRE 3

11. cos ( 2θ ) = cos 2 θ − sin 2 θ 12. sin ( 2θ ) = 2 sin θ cos θ 13. sin 2 θ = 14. cos 2 θ =

[1 − cos ( 2θ )] 1 1 + cos ( 2θ ) ] 2[

1

2

Comme on peut le constater sur la figure 3.15, il y a une relation étroite entre les coordonnées du point P (θ ) et celles du point P ( −θ ) . FIGURE 3.15

P (θ ) et P ( −θ ) y

P (θ ) = ( cos θ, sin θ )

θ –θ

( 1, 0 )

x

P ( −θ ) = ( cos( −θ ), sin ( −θ ) )

Ainsi, cos ( −θ ) = cos (θ ) et sin ( −θ ) = − sin θ . Vous trouverez d’autres relations trigonométriques dans l’aide-mémoire.

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 408.

QUESTION ÉCLAIR 3.11 Démontrez l’identité trigonométrique. a)

1 cos x − = sin x tg x sin x

b) 1 +

c) 4 sin t cos t − 8 sin 3 t cos t = sin ( 4 t )

tg 2 θ = sec θ 1 + sec θ

3.2.3 théorème du sandwich Pour démontrer les formules de dérivation des fonctions trigonométriques, nous aurons besoin des résultats énoncés dans les théorèmes 3.7 et 3.8.

v THÉORÈME 3.7 Si g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) pour tout x dans un intervalle ouvert contenant a (sauf peut-être en a), si lim g ( x ) = L et lim h ( x ) = L , alors lim f ( x ) = L. x→ a

x→ a

x→ a

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

187

Nous accepterons ce théorème sans démonstration. La figure 3.16 devrait vous convaincre de sa validité. FIGURE 3.16

MaBiblio

Théorème du sandwich y

> Multimédia > 16. Théorème du sandwich

h

L

Accédez directement à l’animation.

f

goo.gl/pNvqJS

g x

a

Intuitivement, si les valeurs de la fonction f sont toujours coincées (prises en sandwich) entre les valeurs de la fonction g et celles de la fonction h, et si les limites quand x tend vers a des fonctions g et h valent toutes deux L, alors il est raisonnable de penser que g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) lim g ( x ) ≤ lim f ( x ) ≤ lim h ( x )

x→ a

x→ a

x→ a

L ≤ lim f ( x ) ≤ L x→ a

et que, par conséquent, lim f ( x ) = L. x→ a

EXEMPLE 3.36

  1 On veut évaluer lim  x 2 cos    .  x x→ 0  On serait tenté d’utiliser la propriété 5 du tableau 1.14 (p. 22) pour obtenir

(

)

   1  1 lim x 2 cos    = lim x 2  lim cos     x  x x→ 0  x→ 0

x→ 0  

mais on peut utiliser cette propriété seulement si les deux limites existent, ce qui 1 → ∞ et cos ( ∞ ) n’est pas défini. x  1 On sait cependant que si x ≠ 0, alors −1 ≤ cos   ≤ 1. En multipliant cette  x n’est pas le cas ici. En effet, si x → 0 + , alors

inégalité par x 2 > 0 , on obtient  1 − x 2 ≤ x 2 cos   ≤ x 2  x ce qui se constate graphiquement (figure 3.17).

188

CHAPITRE 3

FIGURE 3.17

Illustration du théorème du sandwich

|

|

–0,1 –0,2

|

|

0,5 x

0,25

 1 f ( x ) = x 2 cos    x

|

0

–0,25

h( x ) = x2

g ( x ) = − x2

|

|

–0,5

0,1

|

y

0,2

En vertu du théorème 3.7, puisque lim ( − x 2 ) = 0 et que lim ( x 2 ) = 0, on a x→ 0 x→ 0  2  1 lim x cos    = 0.  x x→ 0  

QUESTION ÉCLAIR 3.12 sin x = 0. x →∞ x

En utilisant le théorème du sandwich, montrez que lim

3.2.4 évaluation de lim t →0

sin t cos t − 1 et de lim t→ 0 t t

Le théorème 3.8 présente deux limites particulières que nous utiliserons pour démontrer la formule de dérivation de la fonction sinus et celle de la fonction cosinus.

MaBiblio > Multimédia > 17. Illustration de la démonstration du théorème 3.8

v THÉORÈME 3.8 Si t est un angle mesuré en radians, alors lim

Accédez directement à l’animation.

t→0

goo.gl/nP4sdo

preuve

FIGURE 3.18

Commençons par démontrer que lim+ t→0

Comparaison de triangles semblables

( 0, 1 )

sin t π = 1 en prenant 0 < t < . t 2

Les coordonnées du point P sont ( cos t , sin t ). Par conséquent, dans le triangle rectangle OPQ, on a m OQ = cos t et m PQ = sin t . De plus, puisque le triangle rectangle OPQ et le triangle rectangle ORS sont semblables (figure 3.18), on a

y R P

m RS m PQ = m OS m OQ

1 t O

sin t cos t − 1 = 1 et lim = 0 t→0 t t

Q

S

x

m RS sin t = 1 cos t

P

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

189

On a également l’inégalité suivante : Aire du triangle OPQ

Aire du secteur circulaire OPS

≤

Aire du triangle ORS

≤

Or, Aire du triangle OPQ =

Aire du triangle ORS =

( m OQ)( m PQ) 2

( m OS )( m RS ) 2

=

cos t sin t 2

 sin t  1  cos t  sin t = = 2 2 cos t

De plus, rappelons que l’aire d’un secteur circulaire de rayon r est angle t du secteur en radians t π r2 = r2 2 π 2   aire du cercle fraction du cercle correspondant au secteur

Par conséquent, Aire du secteur OPS =

t 2 (1 ) = 2t 2

On obtient alors Aire du triangle OPQ ≤ Aire du secteur OPS ≤ Aire du triangle ORS sin t cos t sin t t ≤ ≤ 2 2 2 cos t En multipliant cette inégalité par on obtient cos t ≤

2 π > 0 (puisque 0 < t < ), sin t 2

t 1 ≤ cos t sin t

Puisque lim+ cos t = cos ( 0 ) = 1 et que lim+ t→0

t→0

alors, en vertu du théorème 3.7, on a lim+ t→0

lim+

t→0

1 1 1 = = = 1, cos ( 0 ) cos t 1

t = 1, de sorte que sin t

lim (1) sin t 1 1 t → 0+ = lim+ = = = 1 t → 0 1 t t sin t lim+ ( t sin t ) t→0

Pour démontrer que lim− t→0

si t → 0 − , alors 0 < u
0 (puisque 0° < t < 90°), on obtient π sin t

180 t 180  1  cos t ≤ ≤   π sin t π  cos t  180 cos t 180 cos ( 0 ) 180 180 180 180 = = et que lim+ = = , t → 0 π cos t π π π π cos ( 0 ) π t 180 alors, en vertu du théorème 3.7, on a lim+ = , de sorte que t → 0 sin t π Puisque lim+ t→0

lim+

t→0

lim (1) sin t 1 1 π t → 0+ = lim+ = = = t → 0 t sin t t lim+ ( t sin t ) 180 π 180 t→0

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

191

Ce résultat est beaucoup moins « élégant ». C’est pourquoi, à partir de maintenant, nous considérerons toujours que les angles sont mesurés en radians. EXEMPLE 3.37

Évaluons lim

x →0

lim

x→ 0

x sin x , on a . Puisque tg x = cos x tg x

(

)

x x cos x x   = lim = lim cos x  lim = [ cos ( 0 )] (1) = 1  x → 0 sin x  x → 0 sin x x→ 0 tg x

EXEMPLE 3.38

 4 sin ( 4 t )  sin ( 4 t ) sin ( 4 t ) . On a lim = lim   . Posons u = 4 t . Alors t→0 t→0 t→0 3t 3t  3( 4t )  u → 0 lorsque t → 0. Par conséquent, Évaluons lim

 4 sin ( 4 t )  sin u sin ( 4 t ) 4 4 4 = lim  = lim = (1) =  t→0 t→0 3t 3 u→ 0 u 3 3  3( 4t )  lim

EXERCICES 3.7

1. En utilisant le théorème du sandwich, montrez que lim ( e − x sin x + 2 ) = 2. x →∞

2. Évaluez la limite. 2x x → 0 cos ( 2 x )

a) lim Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 42 à 46.

b) lim

x→ 0

cotg ( 2 x ) 4x

5x x → 0 sin ( 2 x )

c) lim d) lim

x→ 0

sin ( 3 x ) tg ( 4 x )

3.2.5 Formules de dérivation des Fonctions trigonométriques Nous avons maintenant tous les outils nécessaires pour démontrer les formules de dérivation des fonctions trigonométriques.

v THÉORÈME 3.9 Si u ( x ) est une fonction dérivable, alors d du ( sin u ) = cos u dx dx

(formule 15)

preuve d ( sin x ) = cos x . Nous utiliserons l’identité dx trigonométrique sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β . P

Démontrons d’abord que

192

CHAPITRE 3

On a d sin ( x + ∆ x ) − sin x ( sin x ) = lim ∆ x→ 0 dx ∆x = lim

∆ x→ 0

sin x cos (∆ x ) + cos x sin (∆ x ) − sin x ∆x

sin x [ cos ( ∆ x ) − 1] + cos x sin ( ∆ x ) ∆ x →0 ∆x

= lim

= lim

∆ x→ 0

sin x [ cos ( ∆ x ) − 1] cos x sin ( ∆ x ) + lim ∆ x → 0 ∆x ∆x

cos ( ∆ x ) − 1  sin ( ∆ x )    + cos x  lim = sin x  lim  ∆ x → 0 ∆ x → 0 ∆ x ∆ x     = ( sin x )( 0 ) + ( cos x )(1)

théorème 3.8

= cos x Alors, en vertu du théorème 2.10 (p. 126), on a d d du du ( sin u ) = ( sin u ) = cos u dx du dx dx

EXEMPLE 3.39

Si f ( x ) = sin ( x 2 + 2 x − 1), alors  df d   2 −1  = x  + 2 x  sin    dx dx     u     d  =  cos   x2 + 2 x − 1 x2 + 2 x −1     dx         u u  =  cos ( x 2 + 2 x − 1)  ( 2 x + 2 ) = ( 2 x + 2 ) cos ( x 2 + 2 x − 1)

QUESTION ÉCLAIR 3.13 Déterminez la dérivée de la fonction à l’aide des formules de dérivation. a) f ( t ) = sin ( ln t )

b) g ( x ) = −3 x 2 sin ( 2 x )

EXEMPLE 3.40

Si g ( t ) =

sin ( t 2 ) t

, alors d d  sin ( t 2 )  −  sin ( t 2 )  ( t ) dt dt t2 d t  cos ( t 2 )  ( t 2 ) − sin ( t 2 ) dt = 2

dg = dt

(t )

DES FONCTIONS d DÉRIVÉE d TRANSCENDANTES  sin ( t 2 )  −  sin ( t 2 )  ( t ) dt dt t2 d t  cos ( t 2 )  ( t 2 ) − sin ( t 2 ) dt = t2

dg = dt

= =

(t )

193

t  cos ( t 2 )  ( 2 t ) − sin ( t 2 ) t2

2 t 2 cos ( t 2 ) − sin ( t 2 ) t2

EXEMPLE 3.41

Si y = sin 2 ( 2 x + 1) = [ sin ( 2 x + 1)] , alors 2

d [ sin ( 2 x + 1)] dx d = 2 sin ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) dx

y′ = 2 [ sin ( 2 x + 1)]

2 −1

= 4 sin ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) = 2 sin [ 2 ( 2 x + 1)]

identité trigonométrique: sin ( 2θ ) = 2 sin θ cos θ

= 2 sin ( 4 x + 2 ) EXEMPLE 3.42 2 dy si y = ( sin x )x avec 0 < x < π . On a y > 0 puisque sin x > 0 dx lorsque 0 < x < π . Appliquons le logarithme naturel de chaque côté de l’égalité :

Trouvons

ln y = ln ( sin x )x

2

ln y = x 2 ln ( sin x ) Dérivons implicitement par rapport à x : d d ( ln y) = dx  x 2 ln ( sin x ) dx 1 dy d d ln ( sin x )] + [ ln ( sin x )] ( x 2 ) = x2 [ dx y dx dx 1 dy  1  d = x2  ( sin x ) + [ ln ( sin x )]( 2 x )  sin x  dx y dx dy  x2  = y ( cos x ) + 2 x ln ( sin x ) dx  sin x  2 dy n ( sin x ) = ( sin x )x  x 2 cotg x + 2 x ln dx

EXERCICES 3.8

1. Déterminez la dérivée à l’aide des formules de dérivation. a) g ( t ) = sin 2 ( t 2 )

b) y =

1 + sin ( x 2 ) 2 − x3

194

CHAPITRE 3

2. Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = e 2 x sin ( 5 x ) en x = 0. dy 2x si y = [ sin ( 3 x )] , 3. Utilisez la dérivation logarithmique pour déterminer dx où 0 < x < π 3 . Pour démontrer la formule de dérivation de la fonction cosinus, nous pourrions utiliser l’identité trigonométrique cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β et un raisonnement similaire à celui présenté dans la preuve de la formule de dérivation de la fonction sinus. Nous avons plutôt choisi d’utiliser deux relations trigonométriques liant les fonctions cosinus et sinus : le théorème 3.10 découle alors directement du théorème 3.9.

v THÉORÈME 3.10 Si u ( x ) est une fonction dérivable, alors d du ( cos u ) = − sin u dx dx

(formule 16)

preuve  π  π Nous utiliserons les relations cos u = sin  + u et − sin u = cos  + u .  2  2 Nous obtenons alors d d  π  sin  + u  ( cos u ) =  dx dx   2 π  d π  = cos  + u + u 2  dx  2   π   du =  cos  + u     dx 2  = − sin u

du dx

EXEMPLE 3.43

Si f ( x ) = sin ( 2 x ) cos ( 3 x ), alors df d d cos ( 3 x )] + [ cos ( 3 x )] = [ sin ( 2 x )] [ [ sin ( 2xx )] dx dx dx d d = [ sin ( 2 x )] [ − sin ( 3 x )] ( 3 x ) + [ cos ( 3 x )] [ cos ( 2 x )] ( 2 x ) dx dx = −3 sin ( 2 x ) sin ( 3 x ) + 2 cos ( 2 x ) cos ( 3x )

QUESTION ÉCLAIR 3.14 Déterminez la dérivée de la fonction à l’aide des formules de dérivation. a) f ( x ) = cos ( e − x )

b) g ( t ) =

cos ( 4 t ) t2

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

195

EXEMPLE 3.44

 2t − 1  Si g ( t ) = cos  2 , alors  t + 2  dg   2t − 1   d  2t − 1  =  − sin  2  t + 2   dt  t 2 + 2  dt 

(   2t − 1   =  − sin  2   t + 2   

t 2 + 2)

d d ( 2 t − 1) − ( 2 t − 1) ( t 2 + 2 ) dt dt ( t 2 + 2 )2

2   2 t − 1   2 ( t + 2 ) − 2 t ( 2 t − 1) =  − sin  2   t + 2    ( t 2 + 2 )2

  2t − 1   2t 2 + 4 − 4t 2 + 2t =  − sin  2  t + 2    ( t 2 + 2 )2 =

2t 2 − 2t − 4

(

t2

+ 2)

2

 2t − 1  sin  2  t + 2 

EXEMPLE 3.45

Si y = 4 − x cos 2 x , alors dy d d = 4− x ( cos 2 x ) + cos 2 x ( 4 − x ) dx dx dx d d = 4 − x ( − sin 2 x ) ( 2 x ) + cos 2 x ( 4 − x ln 4 ) ( − x ) dx dx = −2 ( 4 − x )( sin 2 x ) − 4 − x ( ln 4 )( cos 2 x ) = −4 − x [ 2 sin 2 x + ( ln 4 ) cos 2 x ]

EXEMPLE 3.46

FIGURE 3.19

Mouvement d’une masse suspendue à un ressort

Une masse est suspendue au bout d’un ressort. Si on tire sur la masse et qu’on la relâche, on produit un mouvement oscillatoire. La position verticale s ( t ) (en centimètres) de la masse par rapport à sa position au repos (avant qu’on ne 3π   tire sur le ressort) est donnée par s ( t ) = 4 sin  π t +  , où t est le temps mesuré  2  en secondes (figure 3.19). On veut déterminer la position, la vitesse et l’accélération de la masse lorsque t = 0 s (moment où on relâche la masse), t = 0, 5 s, et t = 1, 25 s. On a 3π    3π  s ( 0 ) = 4 sin  0 +  = 4 sin   = 4 ( −1) = − 4 cm  2 2 

Position au repos

4 cm Position à t=0

3π  π s ( 0, 5 ) = 4 sin  +  = 4 sin ( 2π ) = 4 ( 0 ) = 0 cm 2 2   2 3π   5π  11π  = 2 2 ≈ 2, 8 cm s (1, 25 ) = 4 sin  +  = 4 sin   = 4   4  2  2 4

196

CHAPITRE 3

À t = 0 s, la masse se trouve donc 4 cm plus bas que sa position au repos, c’est-à-dire qu’on a étiré le ressort de 4 cm avant de lâcher la masse. À t = 0, 5 s, la masse se retrouve donc à sa position au repos, c’est-à-dire à la position antérieure à l’étirement du ressort et au relâchement de la masse. À t = 1, 25 s, la masse se trouve donc 2,8 cm au-dessus de sa position au repos. Pour déterminer la vitesse v ( t ) à ces mêmes instants, dérivons la fonction position par rapport au temps : v(t ) =

ds dt

=

d dt

3π      4 sin  π t + 2  

3π   d  3π    =  4 cos  π t +    π t +    2  dt 2   3π     =  4 cos  π t +  (π )  2    3π   = 4π cos  π t +    cm/s  2  Par conséquent, 3π    3π  v ( 0 ) = 4π cos  0 +  = 4π cos   = 4π ( 0 ) = 0 cm/s  2  2  3π  π v ( 0, 5 ) = 4π cos  +  = 4π cos ( 2π ) = 4π (1) = 4π ≈ 12, 57 cm/s 2 2   3π  2  5π  11π  v (1, 25 ) = 4π cos  + = 4π cos  = 4π  − = −2π 2    4  4   2  2  ≈ − 8, 89 cm/s À t = 0 s, la vitesse est nulle, ce qui indique que la masse a été lâchée sans qu’on lui donne de vitesse. À t = 0, 5 s, la vitesse de la masse est positive : la masse se déplace donc vers le haut. À t = 1, 25 s, la vitesse de la masse est négative : la masse se déplace donc vers le bas. Pour déterminer l’accélération a ( t ) à ces mêmes instants, dérivons la fonction vitesse par rapport au temps : a (t ) =

dv dt

=

d dt

3π      4π cos  π t + 2  

3π   d  3π    =  − 4π sin  π t +    π t +    2  dt 2   3π     =  − 4π sin  π t +  (π )  2    3π   2 = − 4π 2 sin  π t +    cm//s  2 

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

197

Par conséquent, 3π    3π  a ( 0 ) = − 4π 2 sin  0 + = − 4π 2 sin  = − 4π 2 ( −1) = 4π 2 ≈ 39, 5 cm/s2    2  2  3π  π 2 2 2 a ( 0, 5 ) = − 4π 2 sin  +  = − 4π sin ( 2π ) = − 4π ( 0 ) = 0 cm/s 2 2  3π   5π  11π  2 2  2  = −2π 2 2 + a (1, 25 ) = − 4π 2 sin   = − 4π sin   = − 4π   4  2  2  4  ≈ −27, 9 cm/s 2 À t = 0 s, l’accélération de la masse est positive et, par conséquent, la fonction vitesse est croissante. À t = 0, 5 s, l’accélération de la masse est nulle, ce qui implique que la fonction vitesse n’est ni croissante ni décroissante. À t = 1, 25 s, l’accélération de la masse est négative et, par conséquent, la fonction vitesse est décroissante.

EXERCICES 3.9

1. Déterminez l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction π f ( x ) = sin x cos x en x = . 3 dy 2. Déterminez si cos ( 2 x + 3 y ) = y sin x . dx FIGURE 3.20

Mouvement d’un pendule

θ = −

π 6

θ =

π 6

3. L’angle formé par les positions extrêmes d’un pendule simple de 39,2 cm de longueur est 60°. Si le pendule commence son mouvement à l’endroit indiqué sur la figure 3.20, l’angle θ ( t ), en radians, qu’il forme par rapport à sa position π d’équilibre est donné par θ ( t ) = − cos ( 5t ), où t est le temps en secondes. 6 a) Déterminez la position angulaire initiale du pendule. b) Déterminez la position angulaire du pendule au bout de 0,5 s. c) Déterminez θ ′ ( t ), la fonction donnant la vitesse angulaire du pendule au temps t. Indiquez bien les unités. d) Déterminez la vitesse angulaire du pendule lorsque t = 1 s. e) Déterminez la vitesse angulaire du pendule lorsque t = 1, 5 s.

Position d’équilibre

f) Déterminez θ ′′ ( t ), la fonction donnant l’accélération angulaire du pendule au temps t. Indiquez bien les unités. g) Déterminez l’accélération angulaire du pendule lorsque t = 1 s.

Les formules de dérivation des autres fonctions trigonométriques s’obtiennent facilement puisque ces fonctions sont des quotients des fonctions sinus et cosinus.

198

CHAPITRE 3

v THÉORÈME 3.11 Si u ( x ) est une fonction dérivable, alors d du ( tg u ) = sec 2 u dx dx

(formule 17)

d du ( cotg u ) = − cosec 2 u dx dx

(formule 18)

d du ( sec u ) = sec u tg u dx dx

(formule 19)

d du ( cosec u ) = − cosec u cotg u dx dx

(formule 20)

preuve Démontrons les formules 17 et 19. Les deux autres formules, qui se démontrent de façon similaire, sont laissées en exercices. On a tg u =

sin u 1 , sec u = et cos 2 u + sin 2 u = 1. Par conséquent, cos u cos u d d sin u  ( tg u ) =   dx dx cos u  =

=

cos u

d d ( sin u ) − sin u ( cos u ) dx dx ( cos u )2

cos u cos u

du du − sin u ( − sin u ) dx dx ( cos u )2

 cos2 u + sin 2 u  du =   ( cos u )2  dx  2  1  du =    cos u  dx

= sec 2 u

du dx

Par ailleurs, d d  1  sec u =   dx dx  cos u  =

d ( cos u )−1 dx

d ( cos u ) dx 1 du = − ( − sin u ) dx cos2 u sin u du = cos2 u dx = −1 ( cos u )−2

 1   sin u  du =   cos u   cos u  dx = sec u tg u

du dx

P

d ( cos u ) dx 1 du − sin u ) TRANSCENDANTES = − (FONCTIONS DÉRIVÉE DES 2 cos u dx sin u du = cos2 u dx = −1 ( cos u )−2

199

 1   sin u  du =   cos u   cos u  dx = sec u tg u

du dx

EXEMPLE 3.47

Si y = tg ( x 3 ) + tg 3 x , alors d 2 d y′ =  sec 2 ( x 3 )  ( x 3 ) + 3 ( tg x ) ( tg x ) dx dx =  sec 2 ( x 3 )  ( 3 x 2 ) + ( 3 tg 2 x )( sec 2 x ) = 3 x 2 sec 2 ( x 3 ) + 3 tg 2 x sec 2 x

EXEMPLE 3.48

Si g ( t ) = sec 4 ( 4 t − 1), alors dg d = [ sec ( 4t − 1)] 4 dt dt 3 d = 4 [ sec ( 4 t − 1)] [ sec ( 4t − 1)] dt d =  4 sec 3 ( 4 t − 1) [ sec ( 4 t − 1) tg ( 4 t − 1)] ( 4 t − 1) dtt = 16 sec 4 ( 4 t − 1) tg ( 4 t − 1)

EXEMPLE 3.49

On veut déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = cotg (π x 2 ) en x = 1 2 . On a f ′( x) =

d  cotg (π x 2 )  dx 

d =  − cosec 2 (π x 2 )  (π x 2 ) dx =

−2π x sin 2 (π x 2 )

La pente de la droite tangente est f ′ (1 2) =

−2π ( 1 2 ) −π = 2 = 2 2 1 sin π ( 2 )   sin (π 4 ) 

(

−π

2 2)

2

=

−π 1

= −2π

2

L’équation de la droite tangente est donc y = −2π ( x − 1 2 ) + f ( 1 2 ) . Puisque π f ( 1 2 ) = cotg   = 1 , on a y = −2π ( x − 1 2 ) + 1. L’équation de la droite tangente  4 à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = 1 2 est donc y = −2π x + π + 1.

200

CHAPITRE 3

EXERCICE 3.10

Déterminez la dérivée à l’aide des formules de dérivation. Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 47 à 71.

a) f ( x ) = cotg ( 3 x 2 − x )

c) h ( t ) = tg 3 (1 − 2 t )

b) g ( t ) = t 2 sec ( 3t )

d) y =

3

cosec 2 ( 2θ )

3.3 DÉRIVATION DES FONCTIONS

TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES Dans certains problèmes de trigonométrie, on veut déterminer la valeur d’un angle lorsqu’on connaît la valeur d’une fonction trigonométrique en cet angle. Par 2 exemple, pour trouver une valeur de x satisfaisant à l’équation sin x = , on uti2 lise la fonction trigonométrique inverse arc sinus.

✦ RAPPEL

Les fonctions trigonométriques inverses

Si −1 ≤ x ≤ 1 , alors l’expression y = arcsin x signifie « y est l’angle tel que −π π ≤ y ≤ et dont le sinus vaut x ». On a donc 2 2 y = arcsin x est équivalent à sin y = x −π π ≤ y ≤ si −1 ≤ x ≤ 1 et 2 2  2 , on cherche Par exemple, pour trouver la valeur de y = arcsin   2  −π π 2  un angle y  où ≤ y ≤  tel que sin y = . Le seul angle dans cet  2 2 2 π intervalle qui satisfait à cette équation est . Par conséquent, 4  2 π y = arcsin  = .   2  4 Si −1 ≤ x ≤ 1, alors l’expression y = arccos x signifie « y est l’angle tel que 0 ≤ y ≤ π et dont le cosinus vaut x ». On a donc y = arccos x est équivalent à cos y = x si −1 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ π Par exemple, pour trouver la valeur de y = arccos ( − 1 2 ) , on cherche un angle y ( où 0 ≤ y ≤ π ) tel que cos y = − 1 2 . Le seul angle dans cet intervalle 2π 2π qui satisfait à cette équation est . Par conséquent, y = arccos ( − 1 2 ) = . 3 3 Les autres fonctions trigonométriques inverses se définissent de façon similaire : y = arctg x est équivalent à tg y = x −π π si x ∈  et < y < 2 2 y = arccotg x est équivalent à cotg y = x si x ∈  et 0 < y < π

P

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

201

y = arcsec x est équivalent à sec y = x π π si x ≥ 1 et 0 ≤ y < ou bien si x ≤ −1 et < y ≤π 2 2 y = arccosec x est équivalent à cosec y = x π −π si x ≥ 1 et 0 < y ≤ ou bien si x ≤ −1 et ≤ y < 0 2 2 Les graphiques des fonctions trigonométriques inverses se trouvent dans l’aide-mémoire.

✦◗ Voir l’annexe Rappels de notions mathématiques, p. 412.

QUESTION ÉCLAIR 3.15 Utilisez la calculatrice pour évaluer l’expression. a) arcsin ( − 0, 8 )

b) arccos ( − 0, 8 )

c) arctg ( − 0, 8 )

e) arcsec ( −2 )

d) arccotg ( −2 )

f) arccosec ( −2 )

DES MOTS ET DES SYMBOLES

L

es fonctions trigonométriques inverses sont arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante. L’expression arcsinx donne la longueur de l’arc, dans le cercle trigonométrique, définissant un angle dont le sinus est x ; il en est de même pour les autres fonctions trigonométriques. Les notations des fonctions trigonométriques inverses ne sont pas les mêmes en français et en anglais. Ainsi, les notations pour les fonctions arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante sont respectivement arcsin, arccos, arctg, arccotg, arcsec et arccosec en français et sin−1, cos−1, tan−1, cot −1, sec−1 et csc−1 en anglais. Ce sont généralement les notations anglaises qui figurent sur les claviers des calculatrices scientifiques. Notons que la  notation anglaise prête à confusion, car, contrairement à ce que cette notation suggère, 1 cos−1 x ≠ et cos−1 x ≠ sec x , mais cos−1 x = arccos x . cos x L’expression fonctions trigonométriques inverses n’est pas tout à fait juste ; il faudrait plutôt 1 , parler de fonctions trigonométriques réciproques. En effet, la fonction inverse de f ( x ) est f (x ) ce qui ne correspond pas au sens qu’on donne aux fonctions trigonométriques réciproques. Ainsi, 1 1 à titre d’exemple, la fonction inverse de f ( x ) = e x est = = e − x , alors que sa fonction f (x ) ex réciproque est g ( x ) = ln x . Toutefois, l’usage veut qu’on qualifie les fonctions trigonométriques réciproques de fonctions trigonométriques inverses.

Les théorèmes 3.12 à 3.14 présentent les formules de dérivations des fonctions trigonométriques inverses.

202

CHAPITRE 3

v THÉORÈME 3.12 Si u ( x ) est une fonction dérivable et si u ( x ) < 1, alors d ( arcsin u ) = dx

1 du 2 1 − u dx

(formule 21)

d ( arccos u ) = dx

−1 du 2 1 − u dx

(formule 22)

preuve Nous démontrerons uniquement la formule 21. La démonstration de la formule 22, qui est similaire, est laissée en exercice. −π π Si y = arcsin u avec u < 1, alors sin y = u et < y < . Dérivons 2 2 par rapport à x de chaque côté de l’égalité. On obtient d d ( sin y) = dx (u ) dx dy du cos y = dx dx dy 1 du = cos y dx dx En utilisant l’identité trigonométrique sin 2 y + cos2 y = 1 et le fait que −π π cos y > 0 lorsque < y < , on obtient cos y = 1 − sin 2 y = 1 − u2 . 2 2 Par conséquent, dy d = ( arcsin u ) = dx dx

1 du 2 1 − u dx

EXEMPLE 3.50

  Si f ( x ) = arcsin   x  , alors  u  df = dx

1 1−

( x)

2

d ( x) = dx

1 1− x

1  1 −1 2  x  =  2  2 1− x x

EXEMPLE 3.51

Si g ( t ) = t 2 arccos ( 2 t ), alors d dg d = t 2 [ arccos ( 2 t )] + [ arccos ( 2 t )] ( t 2 ) dt dt dt  −1 = t2   1 − ( 2 t )2 = −

d  ( 2 t ) + [ arccos ( 2 t )] ( 2 t ) dt 

2t 2 + 2 t arccos ( 2 t ) 1 − 4t 2

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

203

En utilisant la mise au même dénominateur, on obtient : −2 t 2 2 t 1 − 4 t 2 arccos ( 2 t ) + 1 − 4t 2 1 − 4t 2

dg = dt = =

−2 t 2 + 2 t 1 − 4 t 2 arccos ( 2 t ) 1 − 4t 2 −2 t t − 1 − 4 t 2 arccos ( 2 t ) 1 − 4t 2

v THÉORÈME 3.13 Si u ( x ) est une fonction dérivable, alors d 1 du (arctg u ) = dx 1 + u2 dx

(formule 23)

d −1 du (arccotg u ) = dx 1 + u2 dx

(formule 24)

preuve Nous démontrerons uniquement la formule 23. La démonstration de la formule 24, qui est similaire, est laissée en exercice. Si y = arctg u, alors tg y = u. Dérivons par rapport à x de chaque côté de l’égalité. On obtient d d tg y ) = (u) ( dx dx dy du sec 2 y = dx dx dy 1 du = sec 2 y dx dx Or sec 2 y = 1 + tg 2 y = 1 + u2 et, par conséquent, dy d 1 du = (arctg u ) = dx dx 1 + u2 dx

EXEMPLE 3.52

Si f ( t ) =

arctg ( 4 t ) , alors t2 df = dt

t2

d d [arctg ( 4t )] − [arctg ( 4t )] dt (t 2 ) dt ( t 2 )2

 d 1 t2  ( 4 t ) − 2 t arctg ( 4 t ) 2   1 + ( 4 t )  dt = t4 4t 2 − 2 t arctg ( 4 t ) 2 = 1 + 16 t 4

dt 204

=

dt

dt

( t 2 )2

 d 1 t2  ( 4 t ) − 2 t arctg ( 4 t ) 2  1 + ( 4 t )  dt  = t4

CHAPITRE 3

4t 2 − 2 t arctg ( 4 t ) 2 = 1 + 16 t t4 2 t (1 + 16 t 2 ) arctg ( 4 t ) 4t 2 − 2 1 + 16 t 2 = 1 + 16 t t4 = =

4 t 2 − 2 t (1 + 16 t 2 ) arctg ( 4 t ) 1 + 16 t 2

⋅

1 t4

4 t 2 − 2 t (1 + 16 t 2 ) arctg ( 4 t ) t 4 (1 + 16 t 2 )

=

2 t  2 t − (1 + 16 t 2 ) arctg ( 4 t )

=

2  2 t − (1 + 16 t 2 ) arctg ( 4 t )

t 4 (1 + 16 t 2 )

t 3 (1 + 16 t 2 )

EXEMPLE 3.53

FIGURE 3.21

Angle d’éclairage d’une toile 0,8 m

1,2 m

Dans une galerie d’art, une toile de 1,2 m de largeur est accrochée au mur comme l’illustre la figure 3.21. On installe un projecteur sur le mur adjacent de telle sorte que le faisceau de lumière est dirigé uniquement sur la toile. Exprimons l’angle d’éclairage θ en fonction de la distance x (en mètres) entre le projecteur et le mur où se trouve la toile (figure 3.20) et le taux de variation de l’angle d’éclairage par rapport à la distance entre le projecteur et le mur lorsque x = 1 m. x x = 1, 25 x et cotg (α + θ ) = = 0, 5 x . Par consé0, 8 + 1, 2 0, 8 quent, α = arccotg (1, 25 x ) et α + θ = arccotg ( 0, 5 x ). On obtient alors On a cotg α =

x

α

θ

θ = (α + θ ) − α = arccotg ( 0, 5 x ) − arccotg (1, 25 x ) dθ lorsque x = 1 m, soit le taux de variation de l’angle d’éclaidx rage par rapport à la distance entre le projecteur et le mur lorsque x = 1 m : Déterminons

dθ d = [arccotg ( 0, 5 x ) − arccotg (1, 25 x )] dx dx −1 −1 d d = ( 0, 5 x ) − (1, 25 x ) 2 2 1 + ( 0, 5 x ) dx 1 + (1, 25 x ) dx   −0, 5 1, 25 =  +  rad/m 2 2 1 + 1, 562 5 x   1 + 0, 25 x − 0, 5 1, 25 + ≈ 0, 09  rad d/m . Lorsque le projec1 + 0, 25 (1) 1 + 1, 562 5 (1) teur est situé à 1 m du mur où se trouve la toile, l’angle d’éclairage augmente d’environ 0,09 radian par mètre d’augmentation de la distance entre le projecteur et le mur. D’où, θ ′ (1) =

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

205

v THÉORÈME 3.14 Si u ( x ) est une fonction dérivable et si u ( x ) > 1, alors 1 d du ( arcsec u ) = 2 dx u u − 1 dx

(formule 25)

d −1 du ( arccosec u ) = 2 dx u u − 1 dx

(formule 26)

preuve Nous démontrerons uniquement la formule 25. La démonstration de la formule 26, qui est similaire, est laissée en exercice. Si y = arcsec u avec u > 1, alors sec y = u et 0 < y < par rapport à x de chaque côté de l’égalité. On obtient

π . Dérivons 2

d d sec y ) = (u) ( dx dx dy du sec y tg y = dx dx du dy 1 = sec y tg y dx dx En utilisant l’identité trigonométrique tg 2 y + 1 = sec 2 y et le fait que π tg y > 0 lorsque 0 < y < , on obtient tg y = sec 2 y − 1 = u2 − 1 . Par 2 conséquent, dy d 1 du 1 du = = ( arcsec u ) = 2 2 dx dx u u − 1 dx u u − 1 dx

π < y < π. 2 On a alors tg y < 0 et donc tg y = − sec 2 y − 1 = − u2 − 1. Par conséquent, Par ailleurs, si y = arcsec u avec u < −1, alors sec y = u et

dy d 1 du 1 du = = ( arcsec u ) = 2 2 dx dx − u u − 1 dx u u − 1 dx d 1 du On peut donc conclure que lorsque ( arcsec u ) = 2 dx dx u u − 1 u > 1.

EXEMPLE 3.54

Si f ( x ) = arcsec ( x 2 + cos x ) , alors df = dx x 2 + cos x =

1

( x2

+ cos x )

2

d 2 ( x + cos x ) dx −1

2 x − sin nx x 2 + cos x

( x2

+ cos x ) − 1 2

206

CHAPITRE 3

EXEMPLE 3.55

Déterminons l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par π  g ( t ) = arccosec ( t ) au point  2 ,   . On a  4 dg −1 d −1 = (t ) = 2 dt t t − 1 dt t t2 − 1

π  La pente de la droite tangente à la courbe décrite par g ( t ) au point  2 ,    4 −1

est donnée par g ′ ( 2 ) =

2

( 2)

2

−1

=

−1 −1 = ⋅ 2 2

2 − 2 = . L’équation 2 2

π  de la droite tangente à la courbe décrite par g ( t ) au point  2 ,   est donc  4 y = −

2 (t − 2

2 ) + g ( 2 ), c’est-à-dire y = −

2 (t − 2

2) +

π 2 π +1 t + = − 4 2 4

EXERCICES 3.11

1. Déterminez

dy à l’aide des formules de dérivation. dx

a) y = arcsin ( 4 x ) − arccos ( 4 x ) b) y = ( sin x )( arccotg x ) c) y = arcsec

(

x2 + 1

)

d) x arctg y = x 2 + y Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 72 à 76.

2. Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par l’équation 1 f ( x ) = arctg ( 2 x ) en x = . 2

Résumé Les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses font partie de la famille des fonctions transcendantes (par opposition aux fonctions algébriques) parce que, comme le faisait remarquer le célèbre mathématicien Leonhard Euler, elles transcendent les méthodes algébriques. Ainsi, les fonctions transcendantes, contrairement aux fonctions algébriques, ne s’obtiennent pas au moyen des opérations algébriques usuelles (addition, soustraction, multiplication, division, puissance, extraction de racine) sur des polynômes. Plusieurs phénomènes peuvent être modélisés par les fonctions transcendantes. Signalons entre autres l’évolution d’une population en fonction du temps, la désintégration

radioactive, l’intensité d’un tremblement de terre et les mouvements oscillatoires (pendule, corde vibrante, ressort, etc.). La fonction exponentielle de base b (où b ≠ 1 et b > 0) est du type f ( x ) = b x . En particulier, si la base correspond à la constante de Neper ( e ≈ 2,718 28...), on parle alors de base naturelle ou népérienne, et la fonction exponentielle devient f ( x ) = e x . La fonction exponentielle de base b est continue sur son domaine, soit sur , de sorte que lim b x = ba. De plus, si b > 1, on a lim b x = ∞ et x→ a

lim

x →−∞

bx

x →∞

= 0 ; par ailleurs, si 0 < b < 1, on a plutôt

lim b x = 0 et lim b x = ∞.

x →∞

x →−∞

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

La fonction logarithmique de base b est la réciproque de la fonction exponentielle de même base puisque, par définition, y = logb x ⇔ x = b y . La réciprocité de la fonction logarithmique et de la fonction exponentielle se vérifie lorsqu’on trace, dans un même plan cartésien, les courbes décrites par ces deux fonctions : on constate une symétrie par rapport à la droite y = x entre la courbe décrite par la fonction logarithmique et celle décrite par la fonction exponentielle de même base. La fonction logarithmique de base b est continue sur son domaine, soit sur + ( ]0, ∞[ ). Dans le cas particulier où la base de la fonction logarithmique utilisée est la constante de Neper, on parle de logarithme népérien ou naturel, et on écrit ln x plutôt que loge x. Lorsque la base de la fonction logarithmique utilisée est 10, on parle de logarithme de Briggs ou logarithme décimal, et on écrit log x plutôt que log10 x. De plus, si  b > 1, on a lim logb x = ∞ et lim+ logb x = −∞ ; par x →∞

x→ 0

ailleurs, si 0 < b < 1, on a plutôt lim logb x = −∞ et

d du ( cos u ) = − sin u dx dx

■

d du ( tg u ) = sec 2 u dx dx

■

d du ( cotg u ) = −cosec 2 u dx dx

■

d du ( sec u ) = sec u tg u dx dx

■

d du ( cosecu ) = − cosec u cotg u dx dx

■

d ( arcsin u ) = dx

1 du 1 − u2 dx

■

d ( arccos u ) = dx

−1 du 2 1 − u dx

■

d 1 du (arctg u ) = dx 1 + u2 dx

■

d −1 du (arccotg u ) = dx 1 + u2 dx

■

d 1 du ( arcsec u ) = 2 dx u u − 1 dx

■

d −1 du ( arccosec u ) = dx u u2 − 1 dx

x →∞

lim+ logb x = ∞ .

x→ 0

Les formules de dérivation des fonctions exponentielles et logarithmiques sont : ■

d u du b ) = bu ln b ( dx dx

■

d 1 du ( logb u ) = dx u ln b dx

■

d u (e ) = eu du dx dx

■

d 1 du ( ln u ) = dx u dx

On peut recourir aux propriétés des logarithmes et à  la dérivation implicite pour effectuer ce qu’il est convenu d’appeler de la dérivation logarithmique, lorsque la fonction à dériver est du type y = f ( x )g ( x ), ou encore f ( x ) f2 ( x ) fn ( x ) y = 1 . g1 ( x ) g 2 ( x ) g m ( x ) Les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses sont également des fonctions transcendantes dont les formules de dérivation sont : ■

■

d du ( sin u ) = cos u dx dx

d du ( sin u ) = cos u dx dx en recourant à une identité trigonométrique, au théorème du sandwich et aux deux limites importantes que sont sin t cos t − 1 lim = 1 et lim = 0, lorsque t est mesuré en t→0 t t→0 t radians. Les formules de dérivation des autres fonctions trigonométriques se déduisent de celle de la fonction sinus au moyen des identités trigonométriques, des définitions des fonctions trigonométriques et de l’application de la règle de dérivation d’un quotient de fonctions. On établit la formule de dérivation

Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques inverses s’obtiennent grâce à la définition de ces fonctions et à la dérivation implicite.

Mots clés Cercle trigonométrique, p. 177 Degré, p. 177 Dérivation logarithmique, p. 172 Fonction exponentielle, p. 155

207

Fonction logarithmique, p. 160 Fonctions algébriques, p. 154 Fonctions transcendantes, p. 154 Logarithme de Briggs, p. 160

Logarithme naturel, p. 160 Radian, p. 177

208

CHAPITRE 3

Réseau de concepts Si b > 1

Si 0 < b < 1

lim b x = 0

•

•

x → −∞

x→ − ∞

bx = 0 • xlim →∞

b = ∞ • xlim →∞ x

lim logb x = −∞

•

Théorème du sandwich

lim b x = ∞

x→ 0+

•

Limites

sin x =1 x

• xlim →0

cos x − 1 = 0 x

x→ 0

lim logb x = ∞

x→ 0+

logb x = −∞ • xlim →∞

logb x = ∞ • xlim →∞

• lim

Continuité sur leur domaine

Fonctions transcendantes

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

Formules de dérivation du 1 1 − u2 dx −1 du 1 − u 2 dx

•

d u ( b ) = bu lnb du dx dx

•

du d ( sinu ) = cosu dx dx

•

d ( arcsin u ) = dx

•

d u ( e ) = eu du dx dx

•

d du ( cosu ) = − sin u dx dx

•

d ( arccosu ) = dx

•

d 1 du ( logb u ) = dx ulnb dx

•

d du ( tgu ) = sec 2 u dx dx

•

1 du d ( arctgu ) = dx 1 + u2 dx

•

1 du d ( lnu ) = u dx dx

•

du d ( cotgu ) = − cosec 2 u dx dx

•

•

d du ( sec u ) = sec u tgu dx dx

d −1 du ( arccotgu ) = dx 1 + u2 dx

•

•

d du ( cosec u ) = − cosec u cotgu dx dx

d du 1 ( arcsec u ) = dx u u 2 − 1 dx

•

−1 d du ( arccosec u ) = 2 dx u u − 1 dx

Dérivation logarithmique lorsque y = f ( x )

g( x )

ou y =

f1 ( x ) f2 ( x ) fn ( x ) g1 ( x ) g 2 ( x )g m ( x )

Exercices récapitulatifs Sections 3.1.1 à 3.1.6

i)

1. Évaluez la limite. 3− x a) lim − x x → −2 3 +1

e)

lim+

x→ 2

1 − ln ( 2 x − 1) x−2 2

j)

log 2 x x→ 8 8 − x lim

n)

lim 4 −2 x − 1

o) lim 5

x →− ∞

k) lim+

4 log 4 ( x − 1)

b) lim  e x ( x 2 − 1)  x→ 0

f)

x 2 − 16 c) lim x→ 4 2x

g) lim

l)

h) lim 3 x − 1

m) lim log 1 3 x

d) lim ( ln x )3 − 2  x→1

lim

x→ 4

ex x −2

1−ex 1 x→ ∞ 1 + e x 1

5

x→ 0

x→1

4 x → ∞ 5 + ln ( x − 1 ) lim

x→ ∞

1 − 82 x

lim

x →− ∞ 1 1

−

( 1 2 )− x

x

x→ 0

p)

lim ln (16 − x 2 )

x → 4−

q) lim log 1 2 ( x 4 ) x→ 0

 8 − x3  r) lim log  x→ 2  2 − x 

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

s) lim ln ( ln x ) x→1

1−ex 1 x→ 0 1 + e x 1

t)

lim

u) lim

x→ ∞

1− 1 − ex

e2 x

e x − e2 x x → ∞ e2 x + e x

v) lim

e− x − 1 x→ 0 1 − ex

w) lim

1 − e2 x x→ 0 1 − ex 1 − ln x y) lim x → e ( ln x )2 + 2 ln x − 3 x) lim

1 − ex x → 0 1 − e3 x

z) lim

2. Une somme de 2 000 $ est investie à un taux d’intérêt nominal de 12 % capitalisé mensuellement. La fonction C ( t ) = 2 000 (1, 01t ) donne le capital accumulé (en dollars) après t mois. a) Quel est le capital accumulé au bout de 6 ans ? b) Combien de temps faut-il pour que le capital soit le triple de ce qu’il était initialement ? c) Évaluez lim C ( t ) . t→∞

d) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en c. 3. Une tasse contenant du café dont la température est de 95 °C est placée dans une pièce maintenue à une température constante de 22 °C. Au bout de t min, la température (en degrés Celsius) du café est donnée par T ( t ) = 22 + 73e − 0 ,046 67 t . a) Déterminez la température du café au bout de 30 min. b) Combien faut-il de temps avant que la température du café ne tombe à 75 °C ? c) Évaluez lim T ( t ). t→∞

d) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en c, notamment en fonction de la température ambiante.

209

5. Un condensateur est branché à un circuit électrique. Après t s, la charge Q ( t ) (en coulombs) emmagasinée par le condensateur est donnée par Q ( t ) = 2 (1 − e − t / 2 ) . a) Quelle était la charge initiale du condensateur ? b) Quelle est la charge du condensateur 4 s après le branchement ? c) Quelle est la charge emmagasinée par le condensateur à long terme, c’est-à-dire lorsque t → ∞ ? 6. On a donné 4 mg d’un médicament à un patient par voie intraveineuse. Le patient l’élimine naturellement de façon telle que la quantité de ce médicament présente dans le corps t h après l’injection est de Q ( t ) = 4 e − 0 ,2 t . a) Quels sont la valeur et le sens de Q ( 0 ) ? b) Évaluez Q (10 ). c) À long terme, quelle quantité du médicament restera-t-il dans le corps du patient ? d) Si le médecin traitant souhaite que, durant les 5 prochains jours, la quantité de médicament présente dans le corps du patient soit comprise entre 1 mg et 4 mg, au plus combien de temps pourra-t-il attendre avant de faire une nouvelle injection et quelle quantité de médicament devra-t-il alors injecter ? 7. On a établi que l’épaisseur (en centimètres) de la couche des sédiments contaminés dans un lac est donnée par la fonction E ( t ) = 10 (1, 2 − e − 0 ,01 t ), où t représente le temps (en années) écoulé depuis le 1er juillet 2000. À long terme, de combien de centimètres la couche sédimentaire aura-t-elle augmenté depuis le 1er juillet 2000 ?

b) Si la tendance se maintient, combien d’habitants y aurat-il dans ce pays dans 5 ans ?

8. Les employés d’une entreprise viennent de signer une nouvelle convention collective de 5 ans qui entre en vigueur le 1er janvier 2013. En vertu de cette convention collective, le salaire annuel d’un employé au 1er janvier 2013 est fixé à 40 000 $ et sera augmenté de 2 % le 1er janvier de chaque année ultérieure, le 1er janvier 2017 étant la date de la dernière majoration du salaire. Soit S ( t ) la fonction donnant la valeur du salaire annuel d’un employé t années après l’entrée en vigueur de la convention collective.

c) Si la tendance se maintient, quelle sera la population de ce pays à long terme ?

a) Quelle est l’expression mathématique de S ( t ), lorsque 0 ≤ t ≤ 4?

4. Selon les prévisions des démographes, la population d’un pays 20 millions d’habitants. dans t années sera P ( t ) = 2 + 3e − 0 ,04 t a) Quelle est la population actuelle de ce pays ?

b) Tracez le graphique de S ( t ). c) Commentez la continuité de la fonction S ( t ). Section 3.1.7 9. Déterminez la dérivée à l’aide des formules de dérivation. a) f ( x ) = 3 x − e x 2

2

b) g ( t ) = ( 2 t 3 + 3t − 1) e −2 t c) y = e 2 x ( e 3 x + 4 e x )

d) s ( t ) = 5t + 32 t + 4 t ( 2 t 3 + t ) e) h( x ) =

( )

x 4

f) g ( x ) = e −

x

x

( 3 x2

+ 5)

210

CHAPITRE 3

17. Soit f ( x ) = 3e 4 x .

g) h( t ) = t 2 1 + e 3 t

a) Quelle est l’expression de f ′ ( x ) ?

2 x3 + 3 x 2x 4 i) f ( t ) = 1 + e −0 ,5 t x3 + 1 j) h( x ) = e2 x e2 x k) g ( x ) = 2 1 − ex h) y =

b) Quelle est l’expression de f ′′ ( x ) ? c) Quelle est l’expression de f ′′′ ( x ) ? d) Émettez une hypothèse sur l’expression de f ( n) ( x ) , où n est un entier positif ? 18. La taille d’une colonie de bactéries augmente à un rythme tel qu’après t h, elle est donnée par P ( t ) = 1 000 (1, 04 )t . a) Quelle est la taille initiale de la colonie ?

53 t + 1 t −1 e x − e− x m) s ( x ) = x e + e− x 3t + e −3 t n) y = t 3 − e3t 2 3 t + 5t o) s ( t ) = t e + t2 x2 p) f ( x ) = 1 + e3 x dy 10. Déterminez en utilisant la dérivation implicite. dx l)

f (t ) =

2

+ y2

c) Quel est le taux de croissance de la colonie lorsque t = 10 h ? 19. La fonction L ( t ) = 150 1 − e − 0 ,3( t + 0 ,02 )  donne la longueur (en centimètres) d’un poisson d’une certaine espèce selon l’âge t , mesuré en années. a) Quelle est la longueur d’un poisson naissant de cette espèce ? b) À long terme, quelle est la taille d’un poisson de cette espèce ?

d) y2 + y ( 2 x ) + 2 2 x = 3

a) e x + 2 y = x b) 3 x

b) Quelle est la taille de la colonie après 10 h ?

= 2y

e) e xy + x 2 = 10 + y2

c) x ( 4 2 y ) = 3 y + x

f) xe x

2

− y2

= x 2 + y2

11. Pour quelles valeurs réelles de x la courbe décrite par la fonction f ( x ) admet-elle une tangente horizontale ? a) f ( x ) = xe − x

2

b) f ( x ) =

x2 e− x

b) f ( x ) = xe − x en x = 1

13. Soit f ( x ) une fonction dérivable telle que, pour toutes les valeurs réelles de x et de a , f ( x + a ) − f ( x ) = 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 + 2 a et f ( 0 ) = 1 a) Que vaut f ( 2 ) ? Indice:  f ( 2 ) = f ( 0 + 2 ) = [ f ( 0 + 2 ) − f ( 0 )] + f ( 0 ).

{

}

b) Que vaut f ′ ( 2 ) ?

c) Si g ( x ) = e − x f ( x ), que vaut g ′ ( 2 ) ? 14. Vérifiez que la fonction donnée satisfait à l’équation. a) Fonction : y = xe − x ; équation :

dy 1  = − y 1 −   x dx

b) Fonction : y = xe x + x 2 ; équation :

20. Un nouveau virus se propage dans la population de sorte que, t semaines après son apparition, on compte N (t ) =

5 milliers de personnes 2 + 8 e − 0 ,75 t

l’ayant contracté.

12. Déterminez l’équation de la droite tangente et celle de la droite normale à la courbe décrite par la fonction en la valeur de x donnée. a) f ( x ) = x + e 5 x en x = 0

c) Quel est le taux de croissance d’un poisson de cette espèce lorsqu’il est âgé de 2 ans ?

d3 y d2 y − = ex − 2 dx 3 dx 2

a) Initialement, combien de personnes étaient porteuses du virus ? b) Combien de personnes auront contracté le virus 4 semaines après son apparition ? c) Dans combien de temps comptera-t-on 1,3 millier de personnes ayant contracté le virus ? d) Si aucune mesure n’est prise, combien de personnes contracteront ce virus ? e) Quel est le taux de propagation du virus au bout de 2 semaines ? f) À long terme, quel est le taux de propagation du virus ? 21. La hauteur h( t ) (en mètres) d’une variété de plante d’intérieur t mois après avoir été mise en vente chez un fleuriste 1 . est donnée par la fonction h( t ) = 0 , 5 + 4 e − 0 ,5 t a) En vertu de ce modèle mathématique, quelle est la hauteur de la plante au moment de sa mise en vente ? b) À quel moment la plante atteint-elle une hauteur de 1 m ?

15. Déterminez les valeurs réelles de k pour lesquelles la fonction y = 2 e kx satisfait à l’équation y′′ + 3 y′ − 4 y = 0 .

c) À long terme, quelle sera la hauteur de cette plante d’intérieur ?

16. Soit f ( t ) = t A − At , où A est une constante positive. Déterminez la valeur de A pour laquelle f ′ (1) = 0.

d) Quel concept mathématique permet de déterminer le taux de croissance de la hauteur de cette plante ?

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

211

e) Dans le contexte, quelle notation mathématique utiliset-on pour désigner le taux de croissance de la hauteur de la plante ?

a) Quelle est l’expression de l’apport calorique marginal (taux de variation de l’apport calorique) provenant de la consommation d’une proie pesant x g ?

f) En vertu de ce modèle, quel est le taux de croissance de la hauteur d’une plante 2 mois après sa mise en vente ?

b) Quelle est l’expression de la dépense énergétique marginale (taux de variation de la dépense énergétique) de la chasse d’une proie de x g ?

g) À long terme, quelle sera le taux de croissance de la hauteur de cette plante d’intérieur ? 22. Le psychologue Clark L. Hull a élaboré une théorie mathématico-déductive de l’apprentissage. En vertu de cette théorie, la persistance d’une habitude dépend de la durée de son existence. Ainsi, une habitude acquise depuis longtemps est difficile à perdre, alors qu’une nouvelle habitude peut se perdre plus rapidement. On peut modéliser mathématiquement la persistance d’une habitude à l’aide d’un indice H qui mesure le degré de difficulté à s’en débarrasser. Supposons que l’indice H d’une habitude est donné par H ( t ) = 1 − e −0 ,01 t , où le temps t est mesuré en mois depuis le moment où l’habitude a été prise. a) À partir des informations données dans l’énoncé, donnez la valeur et le sens de l’indice H lorsque t = 0. b) De quelle valeur se rapproche l’indice H pour une habitude ancrée depuis longtemps ? c) L’indice H est-il croissant ou décroissant ? Justifiez votre réponse. d) Quel est le taux de croissance de cet indice pour une habitude établie depuis 100 mois ? e) Vers quelle valeur le taux de croissance de l’indice H tend-il pour une habitude ancrée depuis longtemps ? 23. L’analyse marginale élaborée par les économistes s’applique également dans d’autres contextes. Ainsi, un prédateur reçoit un apport calorique de la nourriture qu’il consomme. Supposons que cet apport calorique est de C ( x ) = 0, 1 xe 0 ,002 x , où x représente la masse d’une proie en grammes. Par ailleurs, il perd de l’énergie lorsqu’il chasse. Supposons que 0, 5 x 2 . Le 10 + 0, 2 x gain énergétique net de la chasse d’une proie est donc de G ( x ) = C ( x ) − D( x ). cette dépense énergétique est de D( x ) =

c) Quel est le gain marginal (taux de variation du gain énergétique) provenant de la chasse et de la consommation d’une proie de x g ? d) Si le gain marginal est positif, le prédateur a tout avantage à s’attaquer à une proie plus lourde, et ce sera le contraire si le gain marginal est négatif. Déterminez si le gain marginal de la chasse et de la consommation d’une proie de 200 g est positif et dites si le prédateur a intérêt à pourchasser une proie plus lourde. 24. Lors d’une étude sur la prédation animale, des biologistes ont proposé le modèle y = A (1 − e − kx ) (où A et k sont des paramètres constants positifs) pour décrire le nombre y de proies attaquées en fonction de la densité x des proies sur un territoire déterminé. a) Que vaut y ( 0 ) ? b) Que vaut lim y ( x ) ? x→ ∞

c) Vérifiez que

dy = k ( A − y ). dx

25. Une cigarette typique est formée d’un filtre et d’une partie de 8 cm de longueur contenant du tabac. La quantité (en milligrammes) de goudron absorbée par un fumeur est donnée par G ( x ) = 12 000 ( e 0 ,025 x − e 0 ,02 x ), où x représente la longueur grillée de la cigarette. Déterminez le taux de variation de la quantité de goudron absorbée lorsque le fumeur a déjà grillé 2 cm de cigarette. 26. On injecte un traceur radioactif à un patient qui subit un examen médical. La concentration C ( t ) du traceur dans le sang en fonction du temps t écoulé depuis l’injection est donnée par C ( t ) = Ae − kt , où k est un paramètre positif. a) Que représente A ? dC b) Vérifiez que = − kC . dt 27. En vertu de la loi de Beer-Lambert, l’intensité L d’un rayon lumineux à une profondeur de x m dans l’océan est donnée par L ( x ) = Ae −1,4 x . a) Donnez une interprétation physique au paramètre A. b) À quelle profondeur l’intensité lumineuse ne correspondelle qu’à 5 % de l’intensité lumineuse à la surface de l’eau ? c) Quel est le taux de variation, par rapport à la profondeur, de l’intensité lumineuse à une profondeur de 1 m ? d) Vérifiez que le taux de variation relatif de l’intensité L′ ( x ) , est constant. lumineuse, L( x ) 28. L’apprentissage d’une tâche manuelle répétitive est progressif. Ainsi, le nombre de répétitions par minute d’une tâche

212

CHAPITRE 3

augmente avec le temps écoulé depuis le moment où une personne y a été initiée. Toutefois, cette augmentation n’est pas sans borne et elle tend à s’amenuiser à long terme. Le nombre r ( t ) de répétitions par minute effectuées par un personne t semaines après avoir été initiée à une tâche répétitive est donné par r ( t ) = 100 − 60 ( 3− 0 ,5 t ) . a) Donnez le sens et la valeur de r ( 0 ) .

c) Expliquez le fait que r ′ ( t ) est positif. d) Que vaut r ′′ ( t ) ? e) Expliquez le fait que r ′′ ( t ) est négatif. aK , où K , a et b sont bK + ( a − bK ) e − at des paramètres (des constantes) positifs, porte le nom de fonction logistique. Elle est souvent utilisée pour décrire l’évolution de la taille N ( t ) d’une population animale en fonction du temps t .

29. La fonction N ( t ) =

a) Exprimez N ( 0 ) en fonction des différents paramètres et interprétez le résultat. b) Exprimez lim N ( t ) en fonction des différents paramètres t→∞

d) Déterminez si la taille de la population est croissante ou a décroissante lorsque K < . Expliquez votre réponse à b la lumière de l’interprétation donnée plus haut aux paramètres K , a et b. e) Évaluez lim N ′ ( t ) et interprétez ce résultat. t→∞

 a f) Vérifiez que N ′ ( t ) = bN  − N  et concluez que le  b taux de croissance de la population est proportionnel au produit de la taille de cette dernière et de la différence entre cette taille et celle de la population à long terme. Sections 3.1.8 et 3.1.9 30. Déterminez la dérivée à l’aide des formules de dérivation. a) g ( t ) = log 8 ( 3t + 1) + 2 ln ( 3t + 1) b) h( x ) = ln ( ln x ) c) s ( t ) = t 3e −2 t + ( ln t )4 + 1)

(

f)

y =

x2 − 1

h( x ) = 2 x ln ( x 2 + 2 x + 1) ln ( x 2 + 1)

m) s ( x ) =

x2

  t2 y = ln    ( t − 1 )( t + 1 ) 

 x a) ln   = 1  y

b) 2 xy + ln ( x 2 y ) = 6

c) log ( xy ) = e x + y

d) 3 y + log 4 ( x 2 + 2 y ) = x 2 + 1 e) 52 x + log 5 ( x + 2 y ) = 10 f) 3 x + ln ( xy3 ) = 5 y

32. Utilisez la dérivation logarithmique pour déterminer a) y = ( 8 − 2 x )x , où x < 4 2

dy . dx

b) y = ( ln x )x , où x > 1 d) y = ( x 2 + e 3 x ) , où x ∈  4x

e) x x − e y = e x + y , où x > 0 f)

( x 2 + 3)3 e x + 2 x , où x > 0 4 3 x3 ( x2 + x ) , où x > 1

y = x

g) y =

h) y = i)

y =

j)

y =

4

π

3

2

( 2 x − 1)6

( 3 x2

+ 1) ( 2 x − 1)2 3

4 x2 + 5 x

, où x >

( x3 − 5 )4 7 x 2 + 6 , où x > ( x 4 + 2 )5 x6 3 x4 + 2

( 2 x 3 + 1 )4 5 2 + x 2

3

1

2

5

, où x > 0

33. Calculez et qualifiez l’élasticité de la demande pour la fonction donnée à la quantité indiquée, sachant que l’élasticité dQ Q de la demande est ε = − . On dit que la demande est dP P élastique si ε > 1, inélastique si ε < 1 et d’élasticité unitaire si ε = 1. b) P = 30 ( 30 − Q )

log x

 3x − 4  h) g ( x ) = ln  2  2 x + 1 

dy en utilisant la dérivation implicite. dx

a) P = 10 e − 0 ,2 Q ; Q = 5

)

g) f ( t ) = 3t − t 3 + ln ( t 2 + 1) −

i)

l)

x

c) Déterminez le taux de variation de la taille de la population, c’est-à-dire déterminez l’expression de N ′ ( t ).

e) g ( x ) = log 3 x −

k) f ( t ) = 3t 4 log 5 ( 3t 2 + 1)

c) y = x 2 e , où x > 0

et interprétez le résultat.

2

h( t ) = 4 2 t + 1 log 4 (16 − t 2 )

31. Déterminez

b) Que vaut r ′ ( t ) ?

d) f ( x ) = 3ln( x

j)

− 0 ,1 Q + 21

;Q = 4

34. Pour quelle valeur réelle positive de x la fonction et

2

3

t

+ ln (π )

f ( x ) = x ln x − x admet-elle une tangente parallèle à la droite d’équation y − 2x = 4 ? 35. Déterminez l’équation de la droite tangente et celle de la  droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = log 4 ( 5 x + 1), au point P ( 3,  2 ).

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

213

36. Vérifiez que la fonction y = 2 + x + ln x satisfait à l’équation x 3 y′′ + xy′ = 1.

c) La fonction f ( x ) = ln x est définie pour toutes les valeurs réelles de x.

37. Soit f ( x ) = ln ( x + 1).

d x ( x ) = x x ln x . dx d x e) Si b > 0 et si ( b ) = bx, alors b = e. dx f) m = 3 f ( x ) est la pente de la tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = e 3 x pour tout x ∈ .

a) Trouvez un polynôme P1 ( x ) de degré 1 tel que P1( n) ( 0 ) = f ( n) ( 0 ) pour n ∈ {0,  1}. [Remarque : La dérivée d’ordre 0 d’une fonction est la fonction elle-même, de sorte que f ( 0 ) ( 0 ) = f ( 0 ) et P1( 0 ) ( 0 ) = P1 ( 0 ) .] b) Trouvez un polynôme P3 ( x ) de degré 3 tel que P3( n) ( 0 ) = f ( n) ( 0 ) pour n ∈ {0,  1,  2,  3} .

c) Trouvez un polynôme P5 ( x ) de degré 5 tel que P5( n) ( 0 ) = f ( n) ( 0 ) pour n ∈ {0,  1,  2,  3,  4,  5} .

d) Trouvez un polynôme P7 ( x ) de degré 7 tel que P7( n) ( 0 ) = f ( n) ( 0 ) pour n ∈ {0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7} . e) Utilisez un logiciel de calcul symbolique, comme Maple, pour tracer dans un même plan cartésien la fonction f ( x ) et les polynômes Pk ( x ) lorsque x ∈ [− 0, 9 ;  0, 9 ] et k ∈ {1,  3,  5,  7}. f) Que remarquez-vous au sujet de Pk ( x ) par rapport à f ( x ) au fur et à mesure que k augmente ?

38. Dans un test de mémoire, on a demandé à des sujets de mémoriser un nombre de 10 chiffres. Le pourcentage des sujets qui se souvenaient encore de ce nombre après t s est donné par p( t ) = 100 − 15 ln ( t + 1). À quel rythme ce pourcentage varie-t-il après 4 s ? N’oubliez pas d’expliquer le sens du signe obtenu dans votre réponse. 39. Le pourcentage des étudiantes et des étudiants qui sont capables, t h après la fin d’un cours, d’écrire fidèlement une formule de dérivation présentée au début de ce cours, est donné par p( t ) = 60 − 20 ln ( t + 2 3 ) , où 0 ≤ t ≤ 4 .

a) Que vaut p( 0 ) ? Expliquez ce résultat dans le contexte. b) Quel est le taux de décroissance de p( t ) ?

40. La loi de Weber-Fechner est une modélisation du phénomène de stimulus-réponse. En vertu de cette loi, la réaction R à  S  un stimulus S est donnée par R = k ln   , où k et S0 sont  S0  des constantes positives. a) Que vaut R lorsque S = S0 ? b) Quel est le signe de R lorsque S > S0 ? c) Que pouvez-vous dire de S0 ? d) La sensibilité (σ ) est définie comme la capacité à percevoir de faibles variations dans l’intensité d’un stimulus, dR et sa mesure mathématique est σ = = R ′ ( S ) . Quelle dS est la sensibilité lorsque S = S0 ? Lorsque S = 2 S0 ? e) Vérifiez que la sensibilité est inversement proportionnelle à l’intensité du stimulus. 41. Dites si l’énoncé est vrai ou faux. a) b)

d) Si x > 0, alors

Sections 3.2.1 à 3.2.4 42. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction est continue. e− x a) f ( x ) = cotg x c) f ( x ) = cos ( 2 x ) sin x b) f ( x ) = ln ( 2 − 7 x ) 43. Évaluez la limite. a) b)

lim

x→π 2

cos x + 1 3 sin x

lim cosec ( 3 x )

x → 0+

  x  x c) lim  tg   sec     3 x→π   4  2 d) lim ( x 2 + 2 ) cos ( 2 x )  x→ 0 

 πx 4 2 x + 1 + cotg   2  e) lim 3 x x→1 2 + ln x f) g)

sin x − cos x − sec 2 x 2 4 2 tg x − 1 + 3 cos x

limπ

x→

lim

x→π 4

cos x − sin x 1 − tg x

sin x − 1 2 2 − cosec x 6

h) limπ x→

i) j)

sin 2 x + 3 sin x − 4 1 − sin x 2

limπ

x→

lim

x→π 2

sin ( 2 x ) cos x

sin ( 8 x ) 3x lim [ 2 x cotg ( 5 x )]

k) lim

x→ 0

l)

x→ 0

m) lim

sin ( 5 x ) tg ( 2 x )

n) lim

sin ( 5 x ) x2 + 7 x

x→ 0

x→ 0

2 x2 x → 0 sin ( 4 x ) tg ( 3 x )

o) lim

d π ( x ) = π xπ −1 dx

p) lim

tg x − sin x x

d 1 ( ln π ) = π dx

q) lim

sec x − 1 tg x

x→ 0

x→ 0

214

CHAPITRE 3

r) lim

x→ 0

rayon r ? (Indice : Trouvez d’abord l’expression de l’aire d’une des surfaces triangulaires formant la surface S.)

x 1 − sin x − 1 + sin x

c) Évaluez lim A( n ). [Indice : Posez x =

cos x − 1 x→ 0 x2 tg x − sin x lim x→ 0 x2 tg x − sin x lim x→ 0 x5 sin ( x − 2 ) lim x→ 2 x2 − 4 x−1 lim x → 1 sin ( π x )

s) lim t) u) v) w)

x→ 0

x→ 0

Section 3.2.5 47. Déterminez la dérivée à l’aide des formules de dérivation. a) f ( x ) = sin ( e x )

b) g ( t ) = e sin t

c) h( x ) = sin 3 x + 3sin x

d) s ( t ) = cos ( t 2 ) + cos 2 t e) y = e − x cos ( 2 x ) f)

f ( t ) = ln ( sec t + tg t )

g) g ( x ) = sec 2 (10 x )

cos x − 1 x2

h) h( t ) = cotg ( 3t ) cosec ( 3t )

45. Confirmez le résultat en utilisant le théorème du sandwich.   2 lim  x sin    = 0  x x → 0+ 

i)

s ( x ) = tg 2 ( x 3 )

j)

y = cos 3 3 t 2 + 1

(

)

k) f ( x ) = cotg 2 ( 3 x 2 + 2 ) − cosec ( 8 x + 5 ) l)

g (t ) = 4t 3 −

5 3 2 t

+1

− sec 3 ( 3t 2 + 1)

m) h( x ) = ( x 3 + 1) sin ( 5 x )

cos ( 2 x ) = 0 x→ ∞ x2 2 + sin x c) lim = 0 x→ ∞ 3x + 2 sin x + cos x   d) lim  4 +  = 4 2 x→ ∞  ex b) lim

e)

de sorte que

d) Quelle célèbre formule de géométrie obtenez-vous ?

44. Évaluez la limite si a et b sont des constantes non nulles. sin ( ax ) 1 − cos ( ax ) b) lim a) lim x → 0 sin ( bx ) x→ 0 x2

a)

n,

si n → ∞ , alors x → 0, et évaluez ensuite lim A( x ).]

sin x − sin 1 x) lim x→1 x−1 1 − cos ( 5 x ) y) lim x→ 0 sin ( 2 x ) z) lim

1

n→ ∞

n) s ( t ) = t ( 2 cos t )

o) y = e tg x + cos ( e x )

p) f ( t ) = e 3 t cos

(

t2 + t

)

 x−1  q) g ( x ) = tg 2   2 x + 3 

lim  x e sin( )  = 0   π x

x → 0+

r) h( t ) =

cos 2 x − sin x f) lim = 0 x→ ∞ x2 46. Soit un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon r . y

e− t sin t

s) s ( x ) = cos 2 ( 2 x 2 + e 2 x ) t)

y =

 t − 1 sec   t + 1 

u) f ( x ) = 2 sin x +

4 + cos 2 x

v) g ( t ) = cos ( ln t ) − ln ( sin t ) w) h( x ) =

θ r

x

x) y =

1 + cosec ( t 2 ) 1 − cotg ( t 2 )

48. Déterminez a) Quelle est l’expression (en radians) de l’angle au centre θ en fonction du nombre n de côtés du polygone inscrit ? b) Quelle est l’aire A( n ) de la surface S délimitée par le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle de

4 x3 + e2 x sin 3 ( x 2 )

dy en utilisant la dérivation implicite. dx

a) x cos y − y cos x = 3 b) sin ( x − y ) =

xe x

c) e x tg ( xy2 ) = x + 3 y d) tg 2 x − sec 2 y = −1

e) xy = cotg ( xy )  x f) tg   = y  y

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

49. Utilisez la dérivation logarithmique pour déterminer a) y = x sin x , où x > 0 b) y = ( cos x )sin x , où − π 2 < x < c) y =

(

3

+1

x2

)

cos x

π

dy . dx

, où x ∈ 

dy 50. Si cos ( 2 x ) + sin y = 0 , que vaut ? dx ( 3 π 8,  π 4 ) 3

cos ( ax ) , où a est une constante

non nulle. 52. Déterminez

dy d 2 y d3 y , 2 et 3 . dx dx dx x ex y = ln ( sec x + tg x )

e) y =

b) y = ln ( x 2 + 1)

f)

c) y = sin 2 ( 3 x ) d) y = xe x

53. Déterminez f ′ ( x ), f ′′ ( x ), f ′′′ ( x ) , f ( 4 ) ( x ) et ainsi de suite pour pouvoir déduire une formule pour f ( n) ( x ) . S’il y a lieu, distinguez le cas où n est impair du cas où n est pair. a) y = e 2 x

d) f ( x ) = sin ( 2 x )

b) f ( x ) = ln x

e) f ( x ) = cos 2 x

c) f ( x ) = cos x 54. Si u ( x ) est une fonction dérivable de x, démontrez la formule de dérivation. a)

d du ( cotg u ) = − cosec 2 u dx dx

b)

d du ( cosec u ) = − cosec u cotg u dx dx

55. Si y = ln sec x , montrez que

dy = tg x. dx

56. Si y = ln sec x + tg x , montrez que

dy = sec x . dx

57. Pour quelles valeurs de x ∈ [ 0,  2π ] la courbe décrite par la fonction f ( x ) admet-elle une droite tangente horizontale ? sin x a) f ( x ) = sin ( 4 x ) c) f ( x ) = 2 + cos x b) f ( x ) = sec x 58. Déterminez l’équation de la droite tangente et celle de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point P. a) f ( x ) = tg x , P ( − π 4 ,  −1) sin x , P

(π

6 , 

d 2θ + ω 2θ = 0. dt 2

2

2

d2 y − 4 y = 6 sin ( 2 x ). dx 2 d2 y 62. L’équation m 2 + ky = 0 décrit le mouvement d’une dt masse m suspendue à un ressort dont la constante de rappel est k. Vérifiez que la fonction tion

y = A sin 

a) y = sin ( 3 x ) + cos ( 5 x )

b) f ( x ) =

satisfait à l’équation

61. Déterminez la valeur de k si y = k sin ( 2 x ) satisfait à l’équa-

2

dy si y = dx

59. Vérifiez que θ = cos (ω t + ϕ ), où ω et ϕ sont des constantes,

60. Déterminez la valeur de k si y = 3 cos ( 4 x ) satisfait à l’équation y′′ + ky = 0.

2

d) y = x 2 sin x , où x > 0

51. Déterminez

215

)

c) f ( x ) = sin x + cos ( 2 x ), P ( π 6 ,  1) d) f ( x ) = sin 2 x + cos 4 x , P ( π 4 ,  3 4 )

(

k

m

) t  + B cos (

k

m

) t 

satisfait à l’équation quelles que soient les valeurs de A et de B. 63. Une masse est suspendue à un ressort. Lorsqu’elle est mise en mouvement, la masse se déplace de sa position d’équilibre selon l’équation s ( t ) = sin t − cos t , où s ( t ) représente la position (en mètres) de la masse par rapport à sa position d’équilibre, t s après sa mise en mouvement. a) Quelle est la position initiale de la masse ? b) Quelle est l’expression de la vitesse de la masse t s après sa mise en mouvement ? c) Quelle est la vitesse initiale de la masse ? d) Quelle est la vitesse de la masse mouvement ?

π

3

s après sa mise en

e) Quelle est l’expression de l’accélération de la masse t s après sa mise en mouvement ? f) Quelle est l’accélération de la masse π 3 s après sa mise en mouvement ? 64. Si on néglige la résistance de l’air, la portée p(θ ), mesurée en mètres, d’une balle de golf frappée à une vitesse initiale de 35 m/s est donnée par p(θ ) = 125 sin ( 2θ ), où θ est l’angle entre la trajectoire initiale de la balle et le sol, comme l’illustre la figure ci-dessous, et où 0 ≤ θ ≤ π 2 .

θ p(θ )

a) Quelle est la portée de la balle si θ =

π

3

?

b) Quelle est l’expression du taux de variation de la portée de la balle par rapport à l’angle θ ? Indiquez bien les unités. c) Que vaut p′ ( π 6 ) ? d) Interprétez dans le contexte le résultat obtenu en c.

216

CHAPITRE 3

65. L’aire A(θ ) du triangle isocèle apparaissant ci-dessous est donnée par la fonction A(θ ) = 25 tg θ cm2, où θ est la mesure des deux angles congrus du triangle ( 0 < θ < π 2 ).

représente le temps (en heures) écoulé depuis 6 h 00, la  π  température est donnée par T ( t ) = 20 + 8 sin  t  .  12  a) Quelle est la température à 8 h 00 ? À 12 h 00 ? À 20 h 00 ? À 3 h 00 ? b) Que vaut T ′ ( 2 ) ? T ′ ( 6 ) ? T ′ (14 ) ? T ′ ( 21) ? c) Interprétez chacune des dérivées calculées en b, notamment en donnant un sens au signe de la dérivée.

θ

θ

68. Le nombre N ( t ) de prédateurs d’une espèce animale dans un milieu naturel évolue de manière cyclique. Les fonctions périodiques semblent donc être appropriées pour décrire la taille d’une population de prédateurs. Soit

10 cm

a) Quelle est l’aire du triangle si θ =

π

6

?

b) Quelle est l’expression du taux de variation de l’aire du triangle par rapport à l’angle θ ? Indiquez bien les unités. c) Que vaut A′ ( π 4 ) ? d) Interprétez dans le contexte le résultat obtenu en c. 66. Une échelle de 3 m est appuyée contre un mur et fait un angle θ avec l’horizontale (où 0 < θ < π 2 ), comme l’illustre la figure ci-dessous. Le pied de l’échelle est situé à une distance de x (en mètres) du mur.

 πt  N ( t ) = 8 000 − 1 000 cos    12  où t représente le nombre de mois écoulés depuis le début de l’observation. À quel rythme cette population de prédateurs varie-t-elle (augmentation ou diminution) 3 mois après le début de l’observation ? 69. La position s ( t ) (en mètres) par rapport au sol d’une masse suspendue à un ressort est donnée par s ( t ) = 1, 5 − e − t / 10 cos t , où le temps t est mesuré en secondes. a) Quelle est la position initiale de la masse ? b) Dans quelle direction la masse se déplace-t-elle initialement ? c) Quelle est la vitesse de la masse après 2 s ?

3

m

d) À quel moment la masse change-t-elle de direction pour la première fois ? e) À long terme, quelle sera la position de la masse ?

θ x

a) Définissez la fonction x (θ ) qui donne la distance entre le pied de l’échelle et le mur en fonction de l’angle θ que fait l’échelle avec l’horizontale.

70. Un objet de masse m (en kilogrammes) est tiré sur une surface horizontale à l’aide d’une corde faisant un angle θ (0 < θ < π 2 ) avec l’horizontale. L’intensité F de la force (en newtons) appliquée sur l’objet est donnée par la fonction µm F (θ ) = , où µ est le coefficient de friction µ sin θ + cosθ entre l’objet et la surface horizontale. Supposons que µ = 0, 5 et que m = 60 kg.

b) À quelle distance du mur se trouve le pied de l’échelle si θ = π 6 ? c) À quelle distance du mur se trouve le pied de l’échelle si θ = π 3 ? dx . d) Déterminez dθ e) Que vaut x ′ ( π 6 ) ? f) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en e. 67. La température extérieure T (en degrés Celsius) durant une chaude journée d’été est fonction de l’heure du jour. Si t

θ

217

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

a) Déterminez l’intensité de la force si θ = b) Déterminez

π

4.

dF . dθ

c)

d −1 du lorsque u ( x ) > 1 ( arccosec u ) = 2 dx u u − 1 dx

75. Dans un musée, une toile de 1,5 m de hauteur est accrochée à un mur de sorte que le bas de la toile est situé à 2 m du sol.

c) Que vaut F ′ ( π 4 ) ? d) Interprétez dans le contexte la réponse obtenue en c. 71. Dites si l’énoncé est vrai ou faux. sin x n’existe pas. a) lim 2 x→ 0 x + 3 x

Une observatrice dont les yeux sont à 1,6 m du sol est située directement en face de la toile à une distance x (en mètres) du mur. Soit θ l’angle d’observation de la toile illustré sur la figure.

cos x − 1 2 . x − π3 3

b) Si f ( x ) = cos x, alors f ′ ( π 3 ) = lim π x→

c) Si f (θ ) =

sin 2 θ ,

alors f ′ (θ ) = cos 2 θ .

1,5 m

d) Si f ( t ) = ln ( cos t ), alors f ′ ( t ) = tg t . e) Si f ( x ) = sec 3 x , alors f ′ ( x ) = 3 sec 3 x tg x . θ

Section 3.3 72. Déterminez

dy à l’aide des formules de dérivation. dx

ϕ

2m 1,6 m

a) y = arcsin 4 x b) y = arctg ( e 3 x )

c) y = arcsec ( x 2 + 1) x

 1 d) y = arccotg    x

a) Exprimez l’angle d’observation θ en fonction de x. b) Quel est l’angle d’observation si x = 3 m ? dθ . c) Déterminez dx d) Que vaut θ ′ ( 2 ) ?

 3 e) y = arccos    x f)

 x + 4 y = arccotg   x − 1 

g) y = arcsec

(

4 x2 + 1

h) y =  arccosec ( x 2 )  i)

y = x 2 arccos ( 2 x )

j)

y = ( x 2 + 1) arcsin

k) y = l)

y =

e) Interprétez dans le contexte la valeur obtenue en d.

)

76. La figure suivante représente la vue à vol d’oiseau d’un immeuble de bureaux. On veut installer une caméra fixe sur un des murs de cet édifice. L’angle d’observation θ de la caméra dépend de la distance x (en mètres) qui la sépare du mur de gauche.

2

( x)

arctg ( 3 x 2 ) x3 + 1

arcsin ( 2 x ) sin 2 ( x 2 )

15 m 10 m

m) y = y arcsin x + x arctg y

θ

n) arccos ( xy ) = arcsin ( x + y )

ϕ

73. Déterminez l’équation de la droite tangente et celle de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point P . a) f ( x ) = arccotg ( 3 x 2 − 5 ) , P

(

)

(

2 3

b) f ( x ) = arcsec 2 x , P (1,  π 3 )

3 , 

3π

4

)

74. Si u ( x ) est une fonction dérivable de x, montrez que −1 du lorsque u ( x ) < 1 1 − u 2 dx d −1 du b) ( arccotg u ) = dx 1 + u 2 dx a)

d ( arccos u ) = dx

β

x 20 m

a) Exprimez l’angle d’observation θ en fonction de x (où 0 ≤ x ≤ 20 ). b) Quel est l’angle d’observation si x = 12 m ? dθ . c) Déterminez dx d) Que vaut θ ′ (15 ) ? e) Interprétez dans le contexte la valeur obtenue en d.

218

CHAPITRE 3

Exercices de révision 1. Encerclez la lettre qui correspond à la bonne réponse. ex , que vaut f ′ ( x ) ? x2

a) Si f ( x ) = A.

ex 2x

B.

e x −1 2

ex ( x − 2) x3 D. −2 xe x E. e x x −2 F. Aucune de ces réponses. C.

b) Si f ( x ) = sin 2 ( 3 x ) , que vaut f ′′ ( x ) ? A. B. C. D. E. F.

6 cos ( 3 x ) 18 sin ( 6 x ) 18 cos ( 6 x ) 2 cos ( 3 x ) cos ( 6 x ) Aucune de ces réponses.

c) Que vaut lim

x→ 0

A. B. C. D. E. F. G. H.

sin ( x 3 )

3 x ( sin x )2

3

−1 Aucune de ces réponses.

d) Pour quelle ou quelles valeurs de x la pente de la droite tangente à la courbe décrite par y = ( 2 x 2 − 3 x ) e − x estelle nulle ? A. B. C. D. E. F. G. H.

0 et 3 2 3

4

− 34 Aucune valeur. 1 et 3 2 3

8

et 2 Aucune de ces réponses. 1

3

5e x − 7e 3 x ? x → ∞ 2 e 2 x + 3e 3 x

e) Que vaut lim A. B. C. D. E F. G. H.

5

2 −7 5

3

3

Cette limite n’existe pas. 1

2. Quelle est l’équation de la droite tangente à la courbe dé 3 crite par y = x arctg  en x = 1 ?  x   sin (π x ) si x < 1 3. Soit la fonction f ( x ) =  . La fonction si x ≥ 1  ln x f ( x ) est-elle continue en x = 1 ? Justifiez votre réponse. 4. Vérifiez que y = xe 2 x satisfait à l’équation d2 y dy −4 + 4y = 0 2 dx dx

?

0 3 9 Cette limite n’existe pas. 1 1

 3 f) Que vaut lim− x 2 sin   ?  x x→ 0 A. 0 B. ∞ C. −∞ D. Cette limite n’existe pas. E. 1 F. −1 G. 3 H. Aucune de ces réponses.

2

−7 −72 Aucune de ces réponses.

5. Évaluez

dy . dx

a) y = arctg ( 2 x 3 )

(

b) y = ln 2 + c) y =

x

)

( 2 x + 1) ( 3 x + 2 )5 4

8x + 1

lorsque x > − 1 8

d) y = 3u2 + 2 sin u et u = arccos ( 4 x 2 ) 6. Le volume d’air (en litres) présent dans les poumons d’un adulte qui respire normalement est donné par la fonction  πt  V ( t ) = 4, 9 + 0, 4 cos   , où le temps t est mesuré en se 2 condes à compter de la fin d’une inspiration. À quelle vitesse le volume d’air varie-t-il dans les poumons en t = 1 ? 7. Le psychologue de l’apprentissage Hermann Ebbinghauss (1850-1909) a proposé un modèle mathématique de la mémoire. En vertu de ce modèle, la fraction M ( t ) de ce qu’on a mémorisé et dont on se souvient t jours après l’avoir appris est donnée par M ( t ) = a + (1 − a ) e − kt , où a et k sont des paramètres positifs et a < 1. a) Que vaut M ( 0 ) ? Expliquez ce résultat dans le contexte. b) Que vaut lim M ( t ) ? Expliquez ce résultat dans le cont→∞ texte. c) Que vaut M ′ ( t ) ? d) Vérifiez que M ′ ( t ) < 0, et donnez une explication de ce résultat. e) Que vaut lim M ′ ( t ) ? Expliquez ce résultat dans le cont→∞ texte.

DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

8. La courbe de croissance de Gompertz* décrite par la fonc− kt tion V ( t ) = Ae − Be (où les paramètres A, B et k sont positifs) est parfois utilisée pour décrire l’évolution du volume V ( t ) d’une tumeur en fonction du temps. a) Que vaut V ( 0 ) ? b) À long terme, quel sera le volume de la tumeur ? c) Quel est le taux de croissance de la tumeur ? d) La croissance de la tumeur est la plus rapide lorsque d 2V = 0. À quel moment la tumeur croît-elle le plus dt 2 rapidement ? La courbe de Gompertz est également utilisée pour décrire l’évolution de la taille d’une population (comme − kt celle d’une colonie de bactéries). Soit P ( t ) = Ae − Be la taille d’une colonie de bactéries en fonction du temps mesuré depuis le moment où on commence l’observation. e) Vérifiez que

dP  A = kP ln   .  P dt

f) Est-ce que la taille colonie de bactéries est croissante si dP P > A ? (Indice : Quel est alors le signe de dans la dt réponse obtenue en e ?)

* En l’honneur de l’actuaire et astronome britannique Benjamin Gompertz (1779-1865).

219

4 Taux liés et différentielles

C H A P I T R E

Que peu de temps suffit pour changer toutes choses ! Bertrand Russell

N

ous avons déjà établi dans les chapitres précédents que la dérivée f ′ ( x ) est le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) par rapport à la variable x. Mais qu’arrive-t-il si la variable x est également une fonction d’une autre variable t ? La fonction f est donc aussi une fonction de t , par l’intermédiaire de la fonction x . Par conséquent, on peut évaluer la dérivée de f par rapport à t ; on parle alors de taux liés. L’étude des taux liés, en contexte, constitue une des plus importantes applications du calcul différentiel. Elle fera l’objet de la première section du présent chapitre. Par la suite, nous verrons que, comme elle correspond à l’évaluation d’une limite, la dérivée peut être utilisée en approximation. Nous recourrons à l’emploi des différentielles (une variante de la dérivée) dans l’évaluation des variations (absolues et relatives) et dans le calcul des incertitudes (absolues et relatives).

O b j e c t i f s ◗◗ Résoudre des problèmes de taux liés en respectant

la marche à suivre proposée (4.1). ◗◗ Calculer la différentielle d’une fonction (4.2). ◗◗ Déterminer la variation absolue et la variation relative

d’une fonction à l’aide des différentielles (4.3).

◗◗ Effectuer l’approximation linéaire de la valeur d’une

fonction (4.4). ◗◗ Calculer l’incertitude absolue et l’incertitude relative

sur le résultat d’une opération effectuée sur des mesures comportant une imprécision (4.5).

S o m m a i r e Un portrait de Galileo Galilei

Résumé (p. 241)

4.1 Taux liés (p. 224)

Mots clés (p. 241)

4.2 Différentielles (p. 230)

Réseau de concepts (p. 242)

4.3 Variation absolue et variation relative (p. 235)

Exercices récapitulatifs (p. 242)

4.4 Approximation linéaire (p. 237)

Exercices de révision (p. 251)

4.5 Calcul d’incertitude (p. 238)

A n i m a t i o n s

G e o G e b r a

18 Taux liés : échelle appuyée contre un mur (p. 225)

20 Différentielle et droite tangente (p. 232)

19 Taux liés : remplissage d’un récipient conique (p. 227)

21 Calcul d’incertitude : l’aire d’un carré (p. 239)

UN PORTRAIT DE Galileo Galilei

G

alileo Galilei, mieux connu sous le nom francisé de Galilée, naquit à Pise le 15 février 1564. Son père Vincenzo était professeur de musique et luthier. Galilée reçut d’abord sa formation d’un tuteur, puis, pour se préparer à entrer dans les ordres, il se retira comme novice dans un monastère. Comme son père souhaitait plutôt qu’il devienne médecin, Galilée quitta le monde ecclésiastique et entreprit en 1581 des études médicales à l’Université de Pise. Toutefois, il se désintéressa rapidement de la médecine, lui préférant l’étude des mathématiques et de la « philosophie naturelle ». Il abandonna donc ses études en 1585 sans avoir obtenu son diplôme et commença à donner en privé des leçons de mathématiques.

Galileo Galilei

Pendant l’été de 1586, il publia son premier texte scientifique, La Balancitta (La petite balance), dans lequel il décrivit une méthode servant à déterminer le centre de gravité de certains solides, ainsi que des densités relatives en recourant à une balance hydrostatique mise au point par Archimède. Ayant acquis une certaine notoriété, il obtint la chaire de mathématiques de l’Université de Pise, chaire qu’il occupa durant trois ans. Au cours de cette période, il écrivit une série d’études (De Motu) sur le mouvement des corps dans lesquelles il proposa, à l’encontre des pratiques courantes de son temps, de vérifier les théories par des expériences, d’observer les résultats et de décrire ceux-ci à l’aide de schémas ou autrement. C’est pourquoi on considère souvent Galilée comme l’un des initiateurs de la démarche expérimentale en sciences et comme le père de la physique moderne. En 1592, Galilée quitta l’Université de Pise et devint professeur à l’Université de Padoue où il enseigna pendant 18 ans. Pendant son séjour à Padoue, il continua de s’intéresser à la cinématique. Ses travaux sur les plans inclinés et sur le pendule lui permirent d’établir la loi des corps en chute libre (le temps de chute est le même pour tous les corps, quels que soient leur poids, leur taille et leur nature), le principe d’inertie et la description du déplacement des projectiles selon un arc parabolique. C’est également à Padoue qu’il fit des découvertes importantes en astronomie, grâce à une lunette qui lui permettait d’atteindre un grossissement linéaire de 20. Il consigna ses observations dans un ouvrage majeur intitulé Sidereus Nuncius (Le messager céleste), qui révolutionna le monde de l’astronomie de son époque. Publié le 12 mars 1610, ce livre conclut sur la découverte de satellites de Jupiter et confirma l’idée selon laquelle les planètes peuvent être des centres de rotation pour d’autres astres.

Fort de cette publication importante, Galilée sollicita et obtint le poste de premier mathématicien du grand duc de Toscane. C’est alors que ses rivaux, partisans d’Aristote et du géocentrisme, entreprirent d’ourdir contre lui une cabale et se ménagèrent des appuis au sein des autorités ecclésiastiques. L’Église catholique se trouva bientôt mêlée à une querelle scientifique à laquelle elle ne pouvait se soustraire, notamment en raison d’un passage de la Bible (Josué, X, 12-13) que certains invoquaient pour établir la mobilité du Soleil. Maladroit en matière de tribunaux et de controverses, Galilée compliqua sa défense par d’inexplicables tergiversations au cours de son procès. Lui conservant néanmoins sa faveur, le tribunal inquisitorial opta finalement pour une solution « politique » destinée à contenter les ennemis de Galilée tout en le protégeant contre eux : on obligea Galilée à se rétracter, on déclara son œuvre hérétique et on le condamna à une peine de prison qu’on s’abstint de faire appliquer. Loin d’être idéale, cette issue permit néanmoins à Galilée de poursuivre ses travaux, et ce, avec la collaboration et l’appui d’hommes d’Église dont l’archevêque de Sienne, qui l’accueillit chez lui. L’œuvre de Galilée, spécialement son célèbre Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, Ptolemaico e Copernico (Dialogue sur les deux principaux systèmes du monde, ptoléméen et copernicien), marqua la naissance de la physique moderne et servit par la suite de base à la mécanique newtonienne et même au concept de la relativité. Les recherches de Galilée, même si elles ont surtout porté sur la physique et l’astronomie, ont également mis en évidence l’importance des mathématiques dans les sciences. Ainsi, dans son ouvrage Il Saggiatore (L’essayeur), Galilée affirme que « le livre de la nature est écrit dans un langage mathématique et quiconque prétend le lire doit d’abord apprendre ce langage » et que, pour reprendre ses mots, « la certitude mathématique est égale à la divine ». Galilée fut également un précurseur du calcul. Ainsi, il proposa une définition de la vitesse instantanée à l’aide d’un passage à la limite ; de plus, il posa les jalons du calcul intégral en estimant une aire par une subdivision de l’axe des abscisses en parties infiniment petites. Galilée mourut le 8 janvier 1642. Il avait apporté une importante contribution à la science en proposant que celle-ci s’appuie sur l’observation et sur des expériences menées avec des instruments techniques plutôt que sur des spéculations de nature philosophique ou théologique. Le 31 octobre 1992, le pape Jean-Paul II a reconnu que des erreurs avaient été commises par l’Église catholique à l’endroit de Galilée, mais il n’a pas admis que la condamnation de Galilée pour hérésie était erronée. ■

224

CHAPITRE 4

4.1 TAUX LIÉS

Nous avons auparavant signalé deux interprétations notables de la dérivée, soit celle de taux de variation instantané et celle de pente de la droite tangente à la courbe décrite par une fonction. Une étude plus approfondie de ces deux interprétations permet d’en déduire deux autres concepts importants du calcul différentiel, soit celui des taux liés et celui des différentielles. Résoudre un problème de taux liés consiste généralement à évaluer le taux de dy variation instantané d’une variable y par rapport au temps t, soit la dérivée ,à dt partir du lien existant entre la variable y et d’autres variables dont on connaît les taux de variation instantanés par rapport au temps. Ainsi, on pourrait vouloir déterminer à quel rythme croît le diamètre d’un ballon si on sait à quel rythme on le gonfle, c’est-à-dire à quel rythme son volume augmente. Lorsqu’on veut évaluer le taux de variation par rapport au temps d’une variable qui dépend d’autres variables, elles-mêmes fonction du temps, et dont on connaît les différents taux de variation, il suffit d’utiliser la dérivation implicite et les taux connus pour en déduire le taux cherché. Ainsi, par exemple, si y = f ( x ) et si x est fonction du temps t, alors dy dy dx = × dt dx dt dx = f ′( x) dt

Puisque les variables x et y sont liées, leurs taux de variation par rapport au dx   dy temps  et  le sont également. Si on connaît un des deux taux, on peut cal dt dt  culer l’autre taux. EXEMPLE 4.1

On remplit une piscine cylindrique (figure 4.1) de 7,32 m de diamètre à l’aide d’un tuyau d’arrosage dont le débit est de 1,2 m 3/h. Déterminons le rythme auquel augmente la hauteur h de l’eau dans la piscine et le temps nécessaire pour remplir celle-ci si on considère qu’elle est remplie lorsque h = 1, 4 m .

FIGURE 4.1

Remplissage d’une piscine 7,32 m

h

Soit V le volume d’eau dans la piscine (en mètres cubes), h la hauteur de l’eau dans la piscine (en mètres) et t le temps écoulé depuis le début du remplisdV sage (en heures). On sait que = 1, 2 m 3 /h puisque c’est le débit du tuyau dt dh d’arrosage, et on cherche . dt La formule donnant le volume d’eau dans la piscine est 2

 7, 32  V = π r2h = π  h = 3, 66 2 π h  2  Dérivons implicitement cette équation par rapport au temps t : dV d dh = 3, 66 2 π h) = 3, 66 2 π ( dt dt dt

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

225

Alors, 1 dh 1 dV = = (1, 2 ) ≈ 0, 028 5 m/h 3, 66 2 π dt 3, 66 2 π dt La hauteur de l’eau dans la piscine augmente donc à un rythme constant d’environ 0,028 5 m/h. La piscine sera donc remplie ( h = 1, 4 m ) au bout d’environ 1, 4 m ≈ 49, 12 h 0, 028 5 m/h

Pour résoudre un problème de taux liés, nous vous recommandons d’utiliser la stratégie suivante. Selon le contexte, certaines étapes peuvent être omises. 1. Lire attentivement le problème. 2. Nommer les différentes variables en jeu. 3. S’il y a lieu, esquisser un schéma décrivant le contexte et y consigner les variables en jeu. 4. Écrire les informations connues (les taux de variation, les valeurs des variables, etc.) et déterminer le taux cherché. Notez que les unités de mesure permettent d’établir certains taux. Ainsi, une expression dont les unités sont m 2 /s indique qu’il s’agit d’une variation d’aire par rapport au temps. De même, une expression dont les unités sont L/h signale une variation de capacité par rapport au temps. 5. Écrire une équation liant les variables en jeu en faisant appel à la géométrie (formules de volume et d’aire, théorème de Pythagore, comparaison des côtés dans des triangles semblables, définitions des fonctions trigonométriques, relations entre les fonctions trigonométriques, etc.) ou encore aux conditions physiques décrites dans le problème.

MaBiblio > Multimédia > 18. Taux liés : échelle appuyée contre un mur Accédez directement à l’animation. goo.gl/6v66Mw

6. Dériver implicitement l’équation obtenue par rapport au temps. On obtient alors une équation qui est vraie quelle que soit la valeur du temps t. 7. Isoler le taux de variation cherché, puis l’évaluer au temps demandé. Dans les problèmes de taux liés, il est important de ne pas substituer des valeurs numériques à quelque quantité variable que ce soit avant d’avoir effectué la dérivation, à défaut de quoi on obtiendrait la dérivée d’une constante, soit une dérivée nulle. EXEMPLE 4.2

FIGURE 4.2

Échelle appuyée contre un mur

Une échelle de 10 m est appuyée contre le mur d’un édifice, comme l’illustre la figure 4.2. Supposons que l’on pousse le pied de l’échelle vers le mur à une vitesse de 1,5 m/s. Déterminons la vitesse à laquelle se déplace le haut de l’échelle le long du mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur.

10 m y

x

Soit x la distance horizontale (en mètres) entre le pied de l’échelle et le mur, et y la distance verticale (en mètres) entre le haut de l’échelle et le sol. On a dx = −1, 5 m/s puisqu’on pousse le pied de l’échelle vers le mur et que, par dt conséquent, x diminue avec le temps, c’est-à-dire que sa dérivée est négative. On dy cherche lorsque x = 3 m. dt En vertu du théorème de Pythagore, on a x 2 + y2 = 10 2 .

226

CHAPITRE 4

Dérivons implicitement cette équation par rapport à t et isolons d 2 ( x + y2 ) = dt dx dy 2x + 2y = dt dt dy = 2y dt dy = dt Or, lorsque x = 3 m, on a y = dy  − x dx  = dt x = 3  y dt 

x=3

d (100 ) dt 0 dx dt − x dx y dt

−2 x

10 2 − 32 = =

dy : dt

91 m et alors

−3 ( −1, 5 ) ≈ 0, 47 m/ss 91

La distance entre le haut de l’échelle et le sol augmente donc à raison d’environ 0,47 m/s à l’instant précis où le pied de l’échelle est à 3 m du mur et se rapproche de celui-ci à raison de 1,5 m/s.

QUESTION ÉCLAIR 4.1 Une échelle de 10 m est appuyée contre le mur d’un édifice, comme l’illustre la figure 4.2. Supposons que le haut de l’échelle se déplace le long du mur, vers le sol, à raison de 0,8 m/s. On veut déterminer la vitesse à laquelle se déplace le pied de l’échelle par rapport au mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur. a) Quel est le taux connu ? Utilisez la notation appropriée. b) Quel est le taux cherché ? Utilisez la notation appropriée. c) Le taux cherché est-il positif ou négatif ? Pourquoi ? d) À quelle vitesse se déplace le pied de l’échelle par rapport au mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur ?

FIGURE 4.3

EXEMPLE 4.3

Échelle appuyée contre un mur

Une échelle de 10 m est appuyée contre le mur d’un édifice et forme un angle θ avec l’horizontale, comme l’illustre la figure 4.3. Supposons que l’on pousse le pied de l’échelle vers le mur à une vitesse de 1,5 m/s. Déterminons la vitesse à laquelle croît l’angle θ lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur.

10 m

θ x

Soit x la distance horizontale (en mètres) entre le pied de l’échelle et le mur, dx et θ l’angle que fait l’échelle avec l’horizontale (en radians). On a = −1, 5 m/s dt puisqu’on pousse le pied de l’échelle vers le mur et que, par conséquent, x dimidθ nue avec le temps, c’est-à-dire que sa dérivée est négative. On cherche lorsque dt x = 3 m.

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

227

x On a cos θ = . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t et 10 dθ isolons : dt d d x ( cos θ ) =   dt dt 10 − sin θ

dθ 1 dx = dt 10 dt dθ −1 dx = dt 10 sin θ dt

Lorsque x = 3 m, on a le triangle rectangle de la figure 4.4.

FIGURE 4.4

Triangle rectangle

Alors, dθ dt

10 m 91 m

x=3

 −1 dx  =   10 sin θ dt 

= x=3

−1 1, 5 ≈ 0, 157 2 rad/s ( −1, 5 ) = 91  91  10   10 

L’angle θ augmente donc à raison d’environ 0,157 2 rad/s (ou 9,01°/s) à l’instant précis où le pied de l’échelle est à 3 m du mur et se rapproche de celui-ci à raison de 1,5 m/s.

θ 3m

MaBiblio > Multimédia > 19. Taux liés : remplissage d’un récipient conique Accédez directement à l’animation. goo.gl/Sovfbs

QUESTION ÉCLAIR 4.2 Un étudiant verse de l’eau dans un récipient conique dont la hauteur est de 100 cm et le rayon de 20 cm. Lorsqu’il a atteint une hauteur de 5 cm, le niveau d’eau augmente à raison de 2 cm/s. On veut déterminer le rythme auquel le volume d’eau augmente dans le récipient à cet instant. On utilise la notation suivante : V : volume d’eau (en centimètres cubes) dans le récipient au temps t h : hauteur du niveau d’eau (en centimètres) dans le récipient au temps t r : rayon (en centimètres) de la surface circulaire formée par l’eau au temps t t : temps (en secondes) a) Complétez le schéma suivant (figure 4.5) en y consignant les variables et les éléments connus. FIGURE 4.5

Remplissage d’un récipient conique

P

228

CHAPITRE 4

b) Quel est le taux connu ? Utilisez la notation appropriée. c) Quel est le taux cherché ? Utilisez la notation appropriée. d) Quelle est la formule du volume d’un cône ? e) À quelle notion de géométrie doit-on recourir pour exprimer r en fonction de h ? Formule de volume. Formule d’aire. Théorème de Pythagore. Comparaison de côtés dans des triangles semblables. Définitions des fonctions trigonométriques. Relations entre les fonctions trigonométriques. Autre (Préciser). f) Exprimez r en fonction de h. g) À quel rythme le volume d’eau augmente-t-il dans le récipient lorsque le niveau d’eau est de 5 cm ?

EXEMPLE 4.4

Un homme mesurant 1,75 m se dirige vers un lampadaire de 6 m de hauteur à une vitesse de 2 m/s. Déterminons la vitesse à laquelle varie la longueur de l’ombre de cet homme (figure 4.6). Rappelons qu’une vitesse est une variation de position par rapport au temps. Or, une variation de position mesure une distance entre deux points dont au moins un des deux est variable. Pour évaluer une vitesse, il faut donc déterminer la distance en question, la nommer et la représenter dans un schéma. FIGURE 4.6

Homme s’approchant d’un lampadaire

6m 1,75 m

y

x

Soit x la distance horizontale (en mètres) entre l’homme et le lampadaire, et y la longueur de l’ombre (en mètres). La vitesse de l’homme correspond au taux dx de variation instantané de la distance séparant l’homme du lampadaire, soit . dt dx On a = −2 m/s puisque l’homme se rapproche du lampadaire et que, par dt conséquent, x diminue avec le temps.

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

229

La vitesse à laquelle varie la longueur de l’ombre correspond au taux de variation instantané de la longueur de l’ombre, soit la distance séparant l’extrédy . mité de l’ombre de son origine (les pieds de l’homme). On cherche donc dt En comparant des triangles semblables, on obtient y x+ y = 1, 75 6 y 7

=

4

x+ y 6

6y =

7

4x

=

7

4x

y =

7

17 x

17

4y

+

7

4y

Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : dy d 7 = ( 17 x ) = dt dt

7

17

dx = dt

7

17

( −2 ) =

−14

17

≈ − 0, 82 m/s

Lorsque l’homme se rapproche du lampadaire à une vitesse de 2 m/s, la longueur de son ombre diminue à raison d’environ 0,82 m/s.

EXERCICES 4.1

1. Lorsqu’elle est de 20 cm2, l’aire d’un cercle augmente à raison de 4 cm2/s. À quel rythme le rayon du cercle augmente-t-il à cet instant ? 2. À cause d’une fuite, un ballon sphérique perd de l’air à raison de 40 cm 3/s lorsque son diamètre est de 60 cm. À ce moment, à quel rythme le rayon du ballon change-t-il ? (Le volume V d’une sphère de rayon r est V = 4 3 π r 3 .) 3. Un petit avion dont l’altitude est constante se déplace plein est à 50 m/s, et il passe à 200 m au-dessus d’un édifice (figure 4.7). FIGURE 4.7

Avion passant au-dessus du sommet d’un édifice Avion

200 m

θ

Sommet de l’édifice

a) À quelle vitesse cet avion s’éloigne-t-il du sommet de l’édifice 30 s après son passage au-dessus de celui-ci ? b) À quelle vitesse l’angle θ illustré sur la figure varie-t-il 30 s après le passage de l’avion au-dessus de l’édifice ?

230

CHAPITRE 4

4. Les deux côtés égaux d’un triangle isocèle mesurent 20 cm. À quel rythme le périmètre de ce triangle varie-t-il lorsque l’angle formé par les deux côtés égaux diminue à raison de 1°/min au moment où il mesure 60° ? (Faites attention aux unités de mesure des angles.) 5. Un étudiant verse de l’eau à raison de 4 cm 3/s dans un récipient conique dont la hauteur est de 40 cm et dont le rayon est de 10 cm. À quel rythme le niveau de l’eau augmente-t-il dans le récipient lorsqu’il est de 16 cm ? (Le volume V d’un cône circulaire de hauteur h et de rayon r est V = 1 3 π r 2 h .)

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 1 à 53.

6. Deux voitures de police convergent vers les lieux d’un accident. La première voiture se déplace vers l’ouest à 54 km/h et la seconde vers le sud à 81 km/h. À quelle vitesse les deux voitures s’approchent-elles l’une de l’autre lorsque la première est située à 300 m de l’accident et que la seconde est à 400 m de l’accident ?

4.2 DIFFÉRENTIELLES

Dans cette section : différentielle de x – différentielle de y.

Le fait que la dérivée f ′ ( x0 ) d’une fonction détermine la pente de la tangente à la courbe décrite par la fonction en x = x0 permet d’établir une procédure pour approximer la valeur de la fonction en ce point au moyen des différentielles. Grâce à ce concept, il est non seulement possible d’effectuer des approximations linéaires, mais également de calculer des incertitudes absolues ou relatives à partir de mesures physiques qui présentent un certain degré d’imprécision. On recourt aux différentielles pour trouver rapidement une approximation du changement de la valeur d’une variable dépendante par suite d’un changement de faible amplitude dans la valeur de la variable indépendante. f ( x + ∆ x) − f ( x ) , c’est-à-dire que la ∆x pente de la droite tangente à la courbe y = f ( x ) en un point ( x,  f ( x )) est la limite des pentes des droites sécantes passant par les points ( x,  f ( x )) et ( x + ∆ x,  f ( x + ∆ x)) lorsque ∆ x s’approche de 0 (figure 4.8). Soit y = f ( x ). On a vu que f ′ ( x ) = lim

∆ x→ 0

FIGURE 4.8

Droite tangente à la courbe décrite par y = f ( x ) au point ( x , f ( x )) y

y = f ( x)

droite sécante droite sécante

f ( x + ∆ x)

droite tangente ∆y

f (x)

∆x x

x + ∆x

x

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

231

Lorsque ∆ x tend vers 0, la pente de la droite tangente à la courbe y = f ( x ) en un point ( x,  f ( x )) est presque égale à la pente de la droite sécante passant par les points ( x,  f ( x )) et ( x + ∆ x,  f ( x + ∆ x)) , c’est-à-dire f ′( x) ≈

f ( x + ∆ x) − f ( x ) ∆x

et, par conséquent, f ′ ( x ) ∆ x ≈ f ( x + ∆ x) − f ( x )   ∆y

La variation réelle ∆y = f ( x + ∆ x) − f ( x ) de la variable dépendante y peut donc être approchée par f ′ ( x ) ∆ x, l’approximation étant d’autant meilleure que ∆ x est de faible amplitude. EXEMPLE 4.5

Soit y = x 2 . Calculons les variations réelles ∆y de la variable dépendante y lorsque x passe de 2 à 2 + ∆ x, ainsi que les approximations correspondantes données par f ′ ( 2 ) ∆ x. Puisque f ′ ( x ) = 2 x, on a f ′ ( 2 ) ∆ x = 4 ∆ x . Consignons dans le tableau 4.1 les valeurs de ∆y et leurs approximations lorsque ∆ x tend vers 0. TABLE AU 4.1

Approximation d’une variation

∆x

Variation réelle de y 2 ∆y = ( 2 + ∆ x ) − 2 2

Approximation de la variation de y f ′(2 )∆ x = 4 ∆ x

Différence entre ∆y et son approximation

0,5

2,25

2

0,25

0,25

1,062 5

1

0,062 5

0,1

0,41

0,4

0,01

0,01

0,040 1

0,04

0,000 1

0,001

0,004 001

0,004

0,000 001

Cet exemple permet de constater que plus ∆ x s’approche de 0, meilleure est l’approximation.

● Différentielle de x La différentielle de x, notée dx, est égale à ∆ x, la variation de la variable indépendante x. ● Différentielle de y Si y = f ( x ) , alors la différentielle de y, notée dy, est définie par dy = f ′ ( x ) dx . Elle représente une bonne approximation de la variation de la variable dépendante, soit ∆y = f ( x + ∆ x ) − f ( x ) , par suite d’une faible variation ∆ x de la variable indépendante.

Ce qui précède nous amène à définir le concept de différentielle. Soit y = f ( x ) une fonction dérivable de x, et soit ∆ x une variation de la variable indépendante x. On définit la différentielle de x, notée dx, comme étant égale à ∆ x, c’est-à-dire que dx = ∆ x . De plus, on définit la différentielle de y, notée dy, par dy = f ′ ( x ) dx . La différentielle de y représente une bonne approximation de la variation de la variable dépendante, soit ∆y = f ( x + ∆ x) − f ( x ), par suite d’une faible variation ∆ x de la variable indépendante. La figure 4.9 illustre ces définitions. dy = f ′( x) ∆x correspond à la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( x,  f ( x )) . En vertu de cette interprétation géométrique de la dérivée, dy représente la variation de l’ordonnée de la droite tangente par suite d’une variation de l’abscisse d’une quantité ∆ x, comme l’illustre la figure 4.9. En effet, on a dy = f ′ ( x ) dx = f ′ ( x ) ∆ x , de sorte que le rapport

232

CHAPITRE 4

FIGURE 4.9

MaBiblio

Représentation de dx et de dy

> Multimédia > 20. Différentielle et droite tangente

y

y = f ( x)

f ( x + ∆ x)

Accédez directement à l’animation.

droite tangente en ( x, f ( x ) )

∆y = f ( x + ∆ x ) − f ( x )

goo.gl/W1wLBp

dy = f ′ ( x ) dx dx = ∆ x

f (x) x

x + ∆x

x

Il existe des formules analogues à celles de la dérivée pour trouver la différentielle d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une puissance. Ces formules sont présentées dans le tableau 4.2. TABLE AU 4. 2

Analogie entre les formules de la dérivée et celles de la différentielle Si u et v sont des fonctions dérivables de x et si n et k sont des constantes, alors Dérivée

Différentielle

1.

d (k) = 0 dx

1. d ( k ) = 0

2.

d du ( ku ) = k dx dx

2. d ( ku ) = kdu

3.

d du dv (u + v) = + dx dx dx

3. d ( u + v ) = du + dv

4.

d dv du ( uv ) = u +v dx dx dx

4. d ( uv ) = udv + vdu

5.

d  u   = dx  v 

6.

d n du ( u ) = nu n−1 dx dx

v

du dv −u dx dx si v ≠ 0 v2

vdu − udv u 5. d   = si v ≠ 0  v v2 6. d ( u n ) = nu n −1 du

EXEMPLE 4.6

Déterminons dy si y = x 3 + 3 x 2 . On a dy d 3 = ( x + 3x2 ) = 3x2 + 6 x = 3 x ( x + 2 ) dx dx de sorte que dy = 3 x ( x + 2 ) dx .

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

233

EXEMPLE 4.7 3

Déterminons dy si y =

4 x 3 − 6 x + 2 . On a

1 dy d  = 4 x3 − 6 x + 2 ) 3  (   dx dx −2 d = 1 3 ( 4 x3 − 6 x + 2 ) 3 ( 4 x3 − 6 x + 2 ) dx

= =

de sorte que dy =

12 x 2 − 6

3( 4 x3 − 6 x + 2 )

3

4 x2 − 2 3

( 4 x 3 − 6 x + 2 )2 4 x2 − 2

3

2

( 4 x 3 − 6 x + 2 )2

dx .

QUESTION ÉCLAIR 4.3 Déterminez dy en fonction de x et de dx. a) y = x cos x

b) y =

x x2 + 1

EXEMPLE 4.8

Déterminons ∆y et dy si y = x 3 + 3 x 2 , x = 2 et ∆ x = dx = − 0, 02. On a établi à l’exemple 4.6 que dy = 3 x ( x + 2 ) dx . En effet, dy d 3 = ( x + 3x2 ) = 3x2 + 6 x = 3 x ( x + 2 ) dx dx Lorsque x = 2 et que dx = −0, 02 , alors dy = 3 ( 2 )( 2 + 2 ) (− 0, 02) = − 0, 48 De plus, puisque ∆y = f ( x + ∆ x) − f ( x ), on a ∆y = f (1, 98 ) − f ( 2 ) = 1, 98 3 + 3 (1, 98 2 )  −  2 3 + 3 ( 2 2 )  = −0, 476 408

QUESTION ÉCLAIR 4.4 Calculez dy si y =

x2

x , x = 0 et dx = −0, 01. +1

234

CHAPITRE 4

EXEMPLE 4.9

Déterminons ∆y et dy si y = f ( x ) =

2 x − 2− x , x = 3 et ∆ x = dx = 0, 05 . On a 2 x + 2− x

dy d  2 x − 2− x  = dx dx  2 x + 2 − x  =

= = = =

d x d 2 − 2− x ) − ( 2 x − 2− x ) ( 2 x + 2− x ) ( dx dx ( 2 x + 2 − x )2

(2x

+ 2− x )

(2x

d d + 2 − x )  2 x ln 2 − 2 − x ln 2 ( − x ) − ( 2 x − 2 − x )  2 x ln 2 + 2 − x ln 2 ( − x ) dx dx     2 x − x (2 + 2 )

(2x

+ 2 − x ) ( 2 x ln 2 + 2 − x ln 2 ) − ( 2 x − 2 − x ) ( 2 x ln 2 − 2 − x ln 2 )

(2x

+ 2− x )

2

2 2 x ln 2 + 2 ln 2 + 2 −2 x ln 2 − ( 2 2 x ln 2 − 2 ln 2 + 2 −2 x ln 2 )

(2x

(

+ 2− x )

2

4 ln 2 2x

+ 2− x )

2

de sorte que dy =

(

4 ln 2 2x

+ 2− x )

2

dx .

Lorsque x = 3 et que dx = 0, 05, alors 4 ln 2

dy =

( 23 + 2−3 )2

( 0, 05 ) ≈ 0, 002 10

De plus, puisque ∆y = f ( x + ∆ x) − f ( x ), on a ∆y = f ( 3, 05 ) − f ( 3) =

2 3, 05 − 2 −3, 05 2 3 − 2 −3 − ≈ 0, 002 03 2 3, 05 + 2 −3, 05 2 3 + 2 −3

EXERCICES 4.2

1. Exprimez la différentielle dy en fonction de x et de dx. a) y = x 5 + 2 ( 5 x 2 + 3) + e sin( x 2

b) y =

3 −5x

)

x3 tg ( 3 x 2 )

2. Calculez dy en x = x0 pour la valeur indiquée de dx. a) y =

3 x + 1 ; x = 5 ; dx = 0, 02

b) y = sec ( 2 x ) ; x =

π

6;

c) y = ln [ tg ( 3 x )] ; x =

dx = 0, 01

3π

4;

dx = −0, 1

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

235

4.3 VARIATION ABSOLUE ET VARIATION RELATIVE ∆x dx   Par suite d’une faible variation (absolue) ∆ x = dx  ou relative =  de la  x x variable indépendante x, on peut utiliser les différentielles pour estimer la variation (absolue) ∆y de la variable dépendante y par dy, c’est-à-dire ∆y ≈ dy, ou sa varia∆y dy tion relative (qu’on exprime généralement en pourcentage), par , c’est-à-dire y y ∆y dy ≈ . y y EXEMPLE 4.10

On veut recouvrir un fil de métal de 20 cm de long et de 1,5 cm de diamètre d’une gaine isolante de 0,05 cm d’épaisseur sans recouvrir les extrémités du fil. À l’aide des différentielles, estimons les augmentations absolue et relative du volume occupé par le fil après l’ajout de la gaine isolante. Le volume d’un cylindre est V = π r 2 h. Pour estimer l’augmentation du volume du fil, il suffit donc d’estimer la variation du volume ∆V lorsque le rayon passe de 0,75 cm (rayon du fil de métal) à 0,8 cm (rayon du fil de métal auquel on ajoute l’épaisseur de la gaine isolante). La valeur de h demeure toujours de 20 cm puisqu’on ne met pas de gaine isolante sur les extrémités du fil. dV d = ( 20π r 2 ) = 40π r et, par conséquent, dV = 40π rdr . Lorsque dr dr r = 0, 75 cm et que ∆ r = dr = 0, 8 − 0, 75 = 0, 05 cm, on obtient On a

∆V ≈ dV = 40π rdr = 40π ( 0, 75 )( 0, 05 ) = 1, 5π cm 3 L’ajout de la gaine isolante provoque une augmentation de volume de 1, 5π cm 3, soit d’environ 4,71 cm3. Quant au gain de volume relatif dû à l’ajout de la gaine isolante, il est donné par 40π rdr ∆V dV 2 2 = dr = ≈ = ( 0, 05 ) = 0, 13 = 13, 3 % 2 r V V 20π r 0, 75 Ainsi, le volume occupé par la gaine isolante est d’environ 4,71 cm3, ce qui représente environ 13,3 % du volume occupé par le fil métallique.

QUESTION ÉCLAIR 4.5 Une surface métallique carrée de 4 cm de côté se contracte sous l’effet du froid. Utilisez les différentielles pour estimer la variation et le pourcentage de variation de l’aire de la surface métallique si, sous l’effet du froid, la mesure du côté a subi une diminution de 0,1 cm.

EXEMPLE 4.11

La circonférence d’un tronc d’arbre est de 96,2 cm. Au cours de l’année, elle s’est accrue de 5,4 cm. À l’aide des différentielles, estimons l’accroissement du diamètre du tronc d’arbre ainsi que l’accroissement de l’aire de la coupe transversale du tronc d’arbre.

236

CHAPITRE 4

La circonférence C d’un cercle est donnée par C = 2π r . Le diamètre D de l’arbre est le double du rayon r, de sorte que D = 2 r . Par conséquent, l’accroissement du diamètre est le double de l’accroissement du rayon, c’est-à-dire dD = 2 dr . On a C = 96, 2 cm et ∆C = 5, 4 cm. Dérivons C par rapport à r : dC d = ( 2π r ) = 2π dr dr de sorte que, puisque dC ≈ ∆C , on a dC = 2π dr 5, 4 = 2π dr 5, 4 = dr 2π 5, 4 L’accroissement du rayon est donc d’environ ≈ 0, 86 cm et l’accroisse2π  5, 4  ment du diamètre est d’environ 2  ≈ 1, 72 cm .  2π  L’aire A de la coupe transversale du tronc d’arbre de rayon r correspond à l’aire d’un cercle et est donnée par A = π r 2 . Dérivons A par rapport à r : dA d = (π r 2 ) = 2π r dr dr de sorte que dA = 2π r dr . Or, lorsque la circonférence du tronc est de 96,2 cm, C 96, 2 ≈ 15, 31 cm. Par conséquent, son rayon est de r = = 2π 2π 519, 48  96, 2   5, 4  ∆ A ≈ dA = 2π r dr = 2π  ≈ 82, 68 cm 2 =  2π   2π  2π L’accroissement de l’aire de la coupe transversale est donc d’environ 82,68 cm2.

EXEMPLE 4.12

Soit C (Q ) = 4 Q + 450 la fonction donnant le coût de production C (en dollars) de Q unités d’un certain bien. À l’aide des différentielles, estimons la variation du coût de production lorsque le niveau de production passe de 49 à 50 unités. Lorsque ∆Q = dQ est faible, alors ∆C ≈ dC. On a donc dC d = ( 4 Q + 450 ) = 4 ( 1 2 Q−1 2 ) = dQ dQ Par conséquent, dC =

2 Q

2 dQ . Lorsque Q = 49 et que dQ = 50 − 49 = 1, Q

on obtient dC =

2 2 (1) = ≈ 0, 29 $ 49 7

Il en coûte donc environ 0,29 $ pour produire la 50e unité lorsqu’on a déjà produit 49 unités. Cette estimation porte également le nom de coût marginal de production de la 50e unité lorsque le niveau de production est de 49 unités. Comparons cette valeur avec le coût réel de production ∆C de la 50e unité. ∆C = C ( 50 ) − C ( 49 ) = ( 4 50 + 450 ) − ( 4 49 + 450 ) ≈ 0, 28 $

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

237

EXERCICES 4.3

1. Le diamètre d’une tumeur de forme sphérique est passé de 10 mm à 10,4 mm. Utilisez les différentielles pour déterminer les variations absolue et relative des caractéristiques demandées. a) Le rayon de la tumeur. b) L’aire de la surface de la tumeur. c) Le volume de la tumeur. 2. Un objet se déplace sur un plan incliné. Sa vitesse est v = 6, 2 + 4, 9 h m/s, où h représente la distance parcourue par l’objet sur le plan incliné. Quelles sont les variations absolue et relative de la vitesse (en m/s) engendrées par le déplacement de l’objet d’une distance de 0,1 m lorsque celui-ci a déjà franchi 2 m ?

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 54 à 69.

4.4 APPROXIMATION LINÉAIRE Dans cette section : approximation linéaire.

● Approximation linéaire Soit une fonction dérivable f ( x ) . L’expression f ( x ) + f ′ ( x ) dx permet de donner une approximation linéaire de la valeur de f ( x + dx ). Plus ∆ x = dx est de faible amplitude, meilleure est l’approximation.

La droite tangente à la courbe décrite par la fonction y = f ( x ) en un point ( x,  f ( x )) représente l’approximation linéaire de la fonction en ce point et peut être utilisée pour approximer la valeur de la fonction près de ce point. En effet, comme cela est illustré dans la figure 4.9 (p. 232), la droite tangente en ( x,  f ( x )) épouse bien le contour de la courbe décrite par la fonction y = f ( x ) près de ce point. Lorsque ∆ x = dx tend vers 0, on a ∆y ≈ dy f ( x + ∆ x) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) dx f ( x + dx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) dx L’expression f ( x ) + f ′ ( x ) dx permet donc d’approximer la valeur d’une fonction f ( x ) près de x. EXEMPLE 4.13

À l’aide des différentielles, estimons la valeur de ln 1, 03. 1 et, lorsque x ∆ x = dx est de faible amplitude, on a f ( x + dx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) dx . Soit f ( x ) = ln x . On sait que f (1) = ln 1 = 0. De plus, f ′ ( x ) =

On peut écrire ln 1, 03 = f (1, 03) = f (1 + 0, 03), de sorte que, si x = 1 et si dx = 0, 03, alors ln 1, 03 = f (1, 03) = f (1 + 0, 03) ≈ f (1) + f ′ (1)( 0, 03) 1 ( 0, 03) 1 ≈ 0, 03 ≈ 0+

D’où, ln 1, 03 ≈ 0, 03 , résultat qu’on peut confirmer à l’aide d’une calculatrice.

238

CHAPITRE 4

QUESTION ÉCLAIR 4.6 À l’aide des différentielles, estimez e 0 , 05

EXEMPLE 4.14

À l’aide des différentielles, estimons la valeur de 3 26 . Soit f ( x ) =

3

x . On sait que f ( 27 ) =

f ′( x) =

d 13 (x ) = dx

1

3x

3

−2 3

27 = 3. De plus, =

1 1 = 2 2 3 3 3x 3( x )

et, lorsque ∆ x = dx est de faible amplitude, on a f ( x + dx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) dx . On peut écrire dx = −1, alors

3

26 = f ( 26 ) = f ( 27 − 1), de sorte que, si x = 27 et si 3

26 = f ( 26 ) = f ( 27 − 1) ≈ f ( 27 ) + f ′ ( 27 )( −1) ≈

80

27 ,

27 +

1 3( 3)2

≈ 3−

1

80

1

3 ( 27 )

≈ 3−

≈ D’où, 3 26 ≈

3

3

2

( −1)

27

27

résultat qu’on peut confirmer à l’aide d’une calculatrice.

EXERCICES 4.4

1. Utilisez les différentielles pour trouver une approximation de l’expression. a)

26

b) sin ( 0, 05 ) c) tg ( 43° ) d)

31

+ α , où α est un nombre voisin de 0

2. La fonction de demande d’un bien est P = 100 − 2Q , où P représente le prix (en dollars) du bien et Q la quantité du bien (en millions d’unités). Utilisez les différentielles pour trouver une approximation du prix de ce bien lorsque la quantité demandée et offerte du bien est de 49 millions d’unités.

4.5 CALCUL D’INCERTITUDE

Dans cette section : incertitude absolue – incertitude relative.

La lecture d’une mesure sur un instrument (règle, cylindre gradué, rapporteur d’angles, etc.) entraîne une incertitude sur cette mesure puisque la précision des

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

239

instruments utilisés est limitée et qu’il en est de même de la dextérité de ceux qui les manipulent. Lorsqu’on effectue des opérations sur des mesures (calcul d’aire, de volume, de masse volumique, etc.), les incertitudes se propagent. ● Incertitude absolue On appelle incertitude absolue l’évaluation quantifiée des difficultés éprouvées lors de la prise de mesure. On la note ∆ x, et elle dépend de la précision de l’instrument de mesure et d’autres facteurs difficilement quantifiables (par exemple, la dextérité de la personne qui prend la mesure).

Soit x une mesure prise avec un instrument. On appelle incertitude absolue l’évaluation quantifiée des difficultés éprouvées lors de la prise de mesure. On la note ∆ x, et elle dépend de la précision de l’instrument et d’autres facteurs difficilement quantifiables (par exemple, la dextérité de la personne qui prend la mesure). Une mesure complète s’écrit donc x ± ∆x

incertitude absolue

mesure prise sur l’instrument où ∆ x représente la précision avec laquelle la mesure a été effectuée. ● Incertitude relative ∆x , donne x l’importance de l’incertitude absolue par rapport à la mesure prise sur l’instrument. On l’exprime généralement en pourcentage, et plus elle est faible, plus la mesure est précise. L’incertitude relative, notée

∆x , donne l’importance de l’incertitude absolue x par rapport à la mesure prise sur l’instrument. On l’exprime généralement en pourcentage, et plus elle est faible, plus la mesure est précise. L’incertitude relative, notée

Lorsqu’il y a une incertitude sur x, il en résulte une incertitude sur toute fonction y = f ( x ). Les différentielles peuvent être utilisées pour estimer cette incertitude. En effet, si ∆ x = dx est de faible amplitude, on a ∆y ≈ dy = f ′ ( x ) dx et

∆y dy f ′( x) ≈ = dx y y f ( x)

EXEMPLE 4.15

MaBiblio > Multimédia > 21. Calcul d’incertitude : l’aire d’un carré Accédez directement à l’animation. goo.gl/zN3U23

La mesure x du côté d’un carré est de 8, 3 ± 0, 1 cm. Estimons l’incertitude absolue et l’incertitude relative sur l’aire A du carré. On a x = 8, 3 et ∆ x = dx = 0, 1. L’aire d’un carré est donnée par A = x 2 . On ∆ A dA veut déterminer ∆ A ≈ dA et ≈ . A A dA On a = 2 x , de sorte que ∆ A ≈ dA = 2 xdx = 2 ( 8, 3)( 0, 1) = 1, 66 cm 2 . dx L’incertitude absolue sur l’aire du carré est d’environ 1,66 cm2. L’aire réelle du carré est alors de A ± ∆ A ≈ A ± dA = ( 8, 3)2 ± 1, 66 = 68, 89 ± 1, 66 cm 2 de sorte qu’elle est comprise entre 67,23 cm 2 et 70,55 cm 2 . De plus, l’incertitude relative sur l’aire du carré est d’environ ∆ A dA 1, 66 ≈ = ≈ 0, 024 = 2, 4 % A A 68, 89

QUESTION ÉCLAIR 4.7 La mesure x du côté d’un carré est de 8, 3 ± 0, 1 cm. Estimez l’incertitude absolue et l’incertitude relative sur le périmètre P du carré.

240

CHAPITRE 4

EXEMPLE 4.16

Déterminons l’incertitude relative sur le volume V d’un cube si l’incertitude relative sur l’arête x du cube est de 1,2 %. ∆x dx ∆V dV = = 1, 2 % et on cherche ≈ . Or, la formule du volume x x V V d’un cube est V = x 3. Par conséquent, On a

dV = 3x2 dx dV = 3 x 2 dx dV V dV V dV V dV V

3 x 2 dx x3 dx = 3 x =

= 3 (1, 2 %) = 3, 6 %

L’incertitude relative sur le volume du cube est donc d’environ 3,6 % lorsque l’incertitude relative sur l’arête de ce cube est de 1,2 %.

EXEMPLE 4.17

Déterminons l’incertitude relative maximale sur le rayon r d’une sphère si on souhaite que l’incertitude relative sur l’aire latérale A de cette sphère n’excède pas 7 %. ∆r dr ∆ A dA = pour que ≈ ≤ 7 %. Or, la formule de l’aire r r A A d’une sphère est A = 4π r 2 . Par conséquent, On cherche

dA = 8π r dr dA = 8π rdr 8π rdr dA = 4π r 2 A dA dr = 2 A r Puisque

dr dA dr ≤ 7 %, alors 2 ≤ 7 %, d’où ≤ 3, 5 %. r A r

Pour que l’incertitude relative sur l’aire de la sphère n’excède pas 7 %, il faut que l’incertitude relative sur le rayon de la sphère n’excède pas 3,5 %.

EXERCICES 4.5

1. On veut fabriquer un cube métallique de 4 cm d’arête. Lors du processus de fabrication, la mesure de l’arête du cube est précise à 0,05 cm. Le cube est fait d’un alliage métallique dont la densité est de 12 g/cm 3. a) Quelle est l’incertitude absolue sur la mesure de l’aire totale du cube ?

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

241

b) Quelle est l’incertitude relative sur la mesure de l’aire totale du cube ? c) Quelle est l’incertitude absolue sur la mesure du volume du cube ? d) Quelle est l’incertitude relative sur la mesure du volume du cube ? e) Quelle est l’incertitude absolue sur la mesure de la masse du cube ? f) Quelle est l’incertitude relative sur la mesure de la masse du cube ? Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 70 à 80.

2. Quelle doit être l’incertitude relative maximale sur le rayon d’un cercle pour que l’incertitude relative sur l’aire du cercle n’excède pas 10 % ?

Résumé Nous avons signalé deux interprétations notables de la dérivée, soit celle de taux de variation instantané et celle de pente de la droite tangente à la courbe décrite par une fonction. Une étude plus approfondie de ces deux interprétations permet de déduire deux autres concepts importants du calcul différentiel, soit celui des taux liés et celui des différentielles. Résoudre un problème de taux liés consiste généralement à évaluer le taux de variation instantané d’une dy variable y par rapport au temps t, soit la dérivée , à dt partir du lien existant entre la variable y et d’autres variables dont on connaît les taux de variation instantanés par rapport au temps. Pour résoudre un problème de taux liés, il est recommandé d’utiliser la stratégie suivante : 1. Lire attentivement le problème. 2. Nommer les différentes variables en jeu. 3. S’il y a lieu, esquisser un schéma décrivant le contexte et y consigner les variables en jeu. 4. Écrire les informations connues et déterminer le taux cherché. 5. Écrire une équation liant les variables en jeu en faisant appel à la géométrie ou encore aux conditions physiques décrites dans le problème.

6. Dériver implicitement l’équation obtenue par rapport au temps. 7. Isoler le taux de variation cherché, puis l’évaluer au temps demandé. Dans les problèmes de taux liés, il est important de ne pas substituer des valeurs numériques à quelque quantité variable que ce soit avant d’avoir effectué la dérivation, à défaut de quoi on obtiendrait la dérivée d’une constante, soit une dérivée nulle. Les différentielles permettent de trouver une approximation (la différentielle dy) de la variation d’une variable dépendante y à partir d’une faible variation (la différentielle dx) de la variable indépendante x. Si y = f ( x ) est une fonction dérivable, alors dy = f ′ ( x ) dx constitue une excellente approximation de la variation de la fonction lorsque son argument passe de x à x + dx. On en déduit que l’approximation linéaire de la fonction en x + dx est donnée par f ( x + dx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) ∆ x . Le tableau 4.2 (p. 232) présente les principales règles régissant l’évaluation d’une différentielle. Dans un contexte expérimental, une différentielle, dx ou dy, peut représenter une incertitude absolue sur une dx dy mesure, alors que le rapport ou représente une x y incertitude relative, généralement exprimée en pourcentage.

Mots clés Approximation linéaire, p. 237 Différentielle de x, p. 231

Différentielle de y, p. 231 Incertitude absolue, p. 239

Incertitude relative, p. 239

242

CHAPITRE 4

Réseau de concepts Applications de la dérivée

Problèmes de taux liés

Différentielle dy = f ′ ( x ) dx

Si u et v sont des fonctions dérivables de x, et si k et n sont des constantes, alors • d(k ) = 0 • d ( ku ) = k du

Approximation linéaire f ( x + dx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) dx

Variation absolue : ∆y ≈ dy Variation relative :

∆y dy ≈ y y

• d ( u + v ) = du + dv

Incertitude absolue : dy

• d ( uv ) = udv + vdu

Incertitude relative :

vdu − udv  u • d  =  v v2

dy y

• d ( u n ) = nu n − 1 du

Exercices récapitulatifs Section 4.1 1. Au moment où il atteint 1 cm, le rayon d’une tumeur de forme sphérique augmente à raison de 0,04 mm/semaine. À quel rythme le volume de la tumeur augmente-t-il ? 2. Un caillou lancé dans l’eau provoque une onde circulaire à la surface de l’eau. Au moment où il atteint 1 m, le rayon d’un front d’onde augmente à raison de 2 cm/s. À quel rythme la circonférence du cercle que décrit le front d’onde changet-elle à cet instant ?

4. Le profit π (en dollars) tiré de la vente de x unités d’un bien est de π ( x ) = 2 000 x − 1 2 x 2. Si le volume de vente augmente à raison de 20 unités/jour, à quel rythme le profit augmentet-il lorsque le nombre d’unités vendues est de 400 ? 5. Une planche de 5 m de longueur est appuyée contre un mur. L’extrémité inférieure de la planche glisse sur le sol glacé et s’éloigne du mur à raison de 0,5 m/s. a) À quel rythme l’extrémité supérieure de la planche descend-elle le long du mur lorsque l’extrémité inférieure de la planche est située à 1 m du mur ? b) À quel rythme l’angle déterminé par la planche et le sol change-t-il lorsque l’extrémité inférieure de la planche est située à 1 m du mur ? 6. Sous l’effet de la chaleur, une tige métallique de forme cylindrique se dilate de façon telle que sa longueur augmente à raison de 0,02 cm/min et que son rayon augmente à raison de 0,01 cm/min. À quel rythme le volume d’une tige de 50 cm de longueur et de 5 cm de diamètre varie-t-il ?

3. La masse c du cerveau d’un fœtus peut être estimée à partir de la masse totale m du fœtus à l’aide de la relation c = 0, 2 m0 ,9 . Si, à un stade de développement, la masse totale d’un fœtus de 30 g augmente à raison de 0,3 g/jour, à quel rythme la masse de son cerveau varie-t-elle ?

7. Les côtés d’un parallélogramme mesurent respectivement 10 cm 10 cm et 15 cm, et déterminent un angle aigu θ , comme cela est indiqué dans le schéma.

θ 15 cm

À quel rythme l’aire du parallélogramme progresse-t-elle si, lorsqu’il mesure 60°, l’angle θ varie à raison de 1°/min ?

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

8. Si l’aire d’un triangle équilatéral augmente à raison de 5 cm 2 /min, et si le triangle demeure équilatéral malgré le changement de l’aire, à quel rythme la hauteur de ce triangle augmente-t-elle lorsque son aire est de 100 cm 2 ? 9. Une montgolfière se déplace à 20 m/s à une altitude constante de 100 m. Elle se dirige vers un observateur situé au sol. a) À quel rythme la distance séparant l’observateur de la montgolfière change-t-elle lorsque la montgolfière est située à 400 m de l’observateur ? b) À quel rythme l’angle d’observation, mesuré par rapport à la verticale, change-t-il lorsque la montgolfière est située à 400 m de l’observateur ? 10. Un verre en papier de forme conique de 10 cm de hauteur et de 4 cm de rayon est rempli d’eau. Si l’eau fuit par le bas du verre à raison de 1 cm 3 /s, à quel rythme le niveau de l’eau diminue-t-il dans le verre lorsqu’il est de 5 cm ? (Indice : On calcule le volume V d’un cône circulaire de hauteur h et de rayon r à l’aide de la formule V = 1 3 π r 2 h .) 11. On obtient la valeur de la résistance Re équivalente à deux résistances R1 et R2 branchées en parallèle à l’aide de la 1 1 1 = + . Si les résistances R1 et R2 sont vaformule Re R1 R2 riables, et que la résistance R1 augmente à raison de 2 Ω/min alors que la résistance R2 diminue à raison de 1 Ω/min , à quel rythme la résistance Re varie-t-elle lorsque R1 = 30 Ω et que R2 = 90 Ω ?

243

15. En vertu de la loi de Poiseuille, la vitesse de circulation du sang dans un vaisseau sanguin varie selon sa position dans le vaisseau. Ainsi, le sang circule plus vite au centre du vaisseau que près des parois. La vitesse v du sang dans un vaisseau est donnée par v = k ( R 2 − r 2 ) , où ■ k est une constante positive qui dépend de la pression

sanguine, de la longueur du vaisseau et de la viscosité du sang ; ■ R représente le rayon intérieur du vaisseau sanguin ; ■ r représente la distance du sang au centre du vaisseau

sanguin. Les personnes qui souffrent d’angine prennent des comprimés de nitroglycérine pour dilater les vaisseaux sanguins, ce qui provoque une augmentation de la vitesse de circulation du sang. Si l’absorption d’un comprimé de nitroglycérine provoque une augmentation du rayon intérieur d’un vaisseau à raison de 0,02 mm/min lorsque ce dernier mesure 1  mm, à quel rythme la vitesse du sang augmente-t-elle à une distance r (donnée et fixe) du centre du vaisseau ?

12. Un gaz est emprisonné dans la chambre d’un piston dont le volume V augmente à raison de 5 cm 3 /s. Si la température du gaz demeure constante, alors, en vertu de la loi de BoyleMariotte, la pression du gaz sur la paroi de la chambre est inversement proportionnelle au volume de la chambre. Si la  pression du gaz sur la paroi de la chambre du piston est de 40 N/cm 2 lorsque le volume de la chambre est de 100 cm 3, à quel rythme la pression du gaz sur la paroi de la chambre du piston varie-t-elle ?

16. On laisse tomber du sel qui s’accumule sur le sol en un tas de forme conique dont la hauteur correspond au rayon de la base. Si, lorsqu’elle est de 15 cm, la hauteur du tas augmente à raison de 10 cm/min, à quel rythme le volume du tas de sel augmente-t-il ? 17. On calcule l’indice de masse corporelle (IMC) d’un individu en divisant la masse (M) de celui-ci mesurée en kilogrammes par le carré de sa taille (T ) mesurée en mètres.

V

13. Soit un triangle dont les côtés mesurent respectivement 1 m, 2 m et c m . À quel rythme la longueur du côté mesurant c m augmentet-elle si, lorsqu’il mesure 60°, l’angle θ qui lui est opposé augmente à raison de 1°/min ?

1

c

θ 2

14. Un ballon sphérique dont la surface est parfaitement élastique perd de l’air à un rythme constant exprimé en centimètres cubes par minute. a) Si le volume d’air dans le ballon est passé de 1 000 cm 3 à 900 cm 3 en 10 min, à quel rythme le volume d’air dans le ballon diminue-t-il ? b) À quel rythme l’aire de la surface de ce ballon variet-elle lorsque le ballon occupe un volume de 800 cm 3 ?

a) Donnez l’expression mathématique de l’IMC en fonction de la masse et de la taille. b) Quel est l’IMC d’une personne dont la masse est de 70 kg et la taille de 170 cm ? c) Si une personne adulte mesurant 1,7 m et pesant 85 kg perd 500 g/semaine grâce à un régime alimentaire, à quel rythme l’IMC de cette personne change-t-il ? 18. Une personne est située à 30 m du point de départ d’une montgolfière et elle regarde cette dernière s’élever verticalement dans le ciel à une vitesse constante de 4 m/s. À quel rythme la distance séparant la personne et la nacelle de la montgolfière augmente-t-elle 10 s après que la montgolfière a quitté le sol ?

244

CHAPITRE 4

19. Il ne reste que quelques matchs à disputer dans le calendrier d’une équipe de hockey junior qui semble pouvoir obtenir une place dans les séries. L’intérêt pour les matchs est maintenant tel que la demande de billets augmente à raison de 50 billets par jour. Si les billets se vendent 10 $, à quel rythme le revenu tiré de la vente des billets augmente-t-il ? 20. Le rayon r du tronc de la souche d’un certain type d’arbre est fonction de la hauteur h de celui-ci, et la relation entre 3 le rayon et la hauteur de l’arbre est donnée par r = 0, 002 h 2 , où r et h sont mesurés en mètres. De plus, la taille d’un de 10 t 2 . ces arbres âgé de t années est donnée par h( t ) = 100 + t 2 a) À quel rythme le diamètre du tronc de la souche d’un de ces arbres âgé de 5 ans croît-il ?

a) À quelle distance du fil d’arrivée le Lièvre est-il au moment où il reprend la course ? b) Quelle est la vitesse du Lièvre lorsque la Tortue est à 1 m du fil d’arrivée ? c) Le modèle mathématique proposé pour décrire la course donne-t-il gagnant le même animal que Jean de La Fontaine ? d) Quelle distance sépare le perdant du gagnant lorsque ce dernier franchit le fil d’arrivée ? e) À quelle vitesse le perdant se déplace-t-il au moment où le gagnant franchit le fil d’arrivée ? 24. Le faisceau lumineux d’un phare situé à 1 km d’une rive effectue 4 rotations/min.

b) À quel rythme la circonférence du tronc de la souche d’un de ces arbres âgé de 10 ans croît-elle ? 21. Une lumière installée au sol éclaire le mur vertical d’un édifice situé à 30 m de la source lumineuse. Une femme mesurant 1,6 m se déplace de la source lumineuse vers le mur à une vitesse constante de 3 m/s, de sorte que son ombre est projetée sur le mur. À quel rythme la longueur de l’ombre projetée sur le mur change-t-elle après 5 s ? 22. Une jeune fille fait voler un cerf-volant vers l’est. Elle a déjà laissé défiler 50 m de fil, et le cerf-volant flotte à une hauteur de 30 m au-dessus du niveau de sa main. Le vent déplace le cerf-volant vers l’est à une vitesse de 5 m/s. À quel rythme la jeune fille doit-elle laisser défiler le fil du cerf-volant si elle souhaite que celui-ci demeure à la même altitude ?

30 m

θ

1 km

a) Exprimez la vitesse de rotation du faisceau lumineux, dθ , en radians par minute. dt b) À quelle vitesse le faisceau lumineux se déplace-t-il sur la rive lorsqu’il est à 100 m du point de la rive le plus proche du phare ? 25. Une personne pousse une caisse sur une rampe de 5 m de longueur et de 1 m de hauteur, comme cela est indiqué dans le schéma.

23. « Rien ne sert de courir ; il faut partir à point : Le Lièvre et la Tortue en sont un témoignage », écrivait le célèbre Jean de La Fontaine dans une de ses fables les plus connues. Rassemblons les principaux éléments des derniers moments de la mémorable course. À 2 m du fil d’arrivée, la Tortue « se hâte avec lenteur » à une vitesse constante de 0,5 m/s. À cet instant, le Lièvre se rend compte de son retard et part « comme un trait » de façon telle que sa distance par rapport au fil d’arrivée est donnée par  50, 1 − 25 2 ( 2 − x )2  m,   où x représente la distance (en mètres) entre la Tortue et le fil d’arrivée.

1m 5m

Si la vitesse de la personne est de 1 m/s, à quelle vitesse la caisse s’élève-t-elle au-dessus du sol lorsqu’elle a parcouru la moitié de la distance de la rampe ? 26. Le champ intérieur d’un terrain de base-ball est un carré dont les côtés mesurent 90 pi, et dont les sommets correspondent au premier but, au deuxième but, au troisième but et au marbre. Pedro se déplace du deuxième au troisième but. Après avoir franchi les 30 premiers pieds, il court à une vitesse constante de 25 pi/s. L’arbitre situé au marbre regarde attentivement son déplacement.

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

245

a) Si l’homme tire sur la corde à raison de 0,5 m/s, à quel rythme le bateau s’approche-t-il du quai lorsqu’il est à une distance de 5 m de celui-ci ?

Deuxième but

b) Si, lorsqu’il est à 3 m du quai, le bateau s’en approche à une vitesse de 1 m/s, à quel rythme l’homme tire-t-il sur la corde ? Premier but

Troisième but

90 pi

28. Tard le soir, un homme dont la taille est de 180 cm s’éloigne d’un lampadaire de 5 m de hauteur à une vitesse de 4 m/s.

θ Marbre

a) À quel rythme la distance séparant le joueur du marbre varie-t-elle lorsque ce dernier est à 30 pi du deuxième but ? b) À quel rythme l’angle θ indiqué dans la figure varie-t-il lorsque le joueur est à 30 pi du deuxième but ? c) Supposons maintenant que Pedro tente de voler le troisième but et que le receveur lance la balle en direction du troisième but. À quel rythme la distance entre la balle et le joueur varie-t-elle, si au moment où le joueur est à 30 pi du troisième but et se déplace à une vitesse de 25 pi/s, la balle est à 20 pi du marbre et se déplace à une vitesse de 100 pi/s ? d) Supposons que Pedro a réussi à voler le troisième but à cause d’un mauvais lancer du receveur. Denis se présente alors au marbre et Pedro s’éloigne de 10 pi du troisième coussin. Denis frappe la balle et se dirige vers le premier but. Après avoir franchi 10 pi, il a atteint une vitesse de 20 pi/s. Pendant ce temps, Pedro n’a franchi qu’une distance additionnelle de 8 pi et se déplace vers le marbre à une vitesse de 15 pi/s. À cet instant, à quel rythme la distance séparant Denis et Pedro change-t-elle ? 27. Un homme arrime un bateau à un quai en tirant sur une corde qui glisse sur une poulie située 1,5 m au-dessus de la proue du bateau, comme cela est indiqué dans le schéma.

a) À quelle vitesse l’extrémité de l’ombre de l’homme se déplace-t-elle lorsqu’il est à 5 m du pied du lampadaire ? b) À quelle vitesse l’ombre de l’homme s’allonge-t-elle lorsqu’il est à 5 m du pied du lampadaire ? 29. Un réservoir d’eau a la forme d’un cône dont la coupe transversale passant par son sommet est présentée dans le schéma. Le cône a une hauteur de 4 m et un rayon de 2 m. On introduit de l’eau dans le réservoir à partir d’un orifice situé au sommet du cône à raison de 0, 3 m 3 /min. À quel rythme le niveau de l’eau augmente-t-il dans le réservoir lorsqu’il est de 3 m ? (Indice : Vous devez utilisez la formule du volume d’un tronc de cône qui est V =

π h ( R 2 + Rr + r 2 ) .) 3

4m r h

2m

1,5 m

30. On laisse tomber une balle d’une hauteur de 6 m à une distance de 10 m d’une source lumineuse, elle-même située à 6 m du sol. À quelle vitesse l’extrémité de l’ombre de la balle se déplace-t-elle sur le sol 1 s après que la balle a commencé sa chute, sachant que la hauteur de la balle t s après qu’on l’a laissée tomber est h( t ) = 6 − 4, 9 t 2 ?

246

CHAPITRE 4

31. Une voiture se déplace sur une route à une vitesse constante de 20 m/s, lorsque le passager de la voiture voit un cerf immobile situé à 30 m de la route et à 50 m de la voiture, comme le montre le schéma ci-dessous.

36. On laisse tomber une bille de plomb d’une hauteur de 40 m au centre d’un cercle qui est situé au sol et dont le rayon mesure 5 m. La hauteur de l’objet (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est h( t ) = − 4, 9 t 2 + 40. La figure décrit la situation.

30 m 40 m

θ

a) À quel rythme l’angle θ varie-t-il au moment où le passager voit le cerf ? b) À quel rythme la distance séparant la voiture et le cerf varie-t-elle ? 32. Paul se déplace vers l’est sur une rue orientée selon un axe est-ouest, et Jasmine se trouve à l’intersection de cette rue et d’une autre rue qui lui est perpendiculaire. À l’instant où Paul est situé à 200 m à l’ouest de Jasmine et marche à une vitesse de 3 m/s, Jasmine se déplace vers le nord à une vitesse de 2 m/s. a) Quelle distance sépare Paul de Jasmine après 10 s ? b) À quelle rythme Paul et Jasmine s’éloignent-ils ou s’approchent-ils l’un de l’autre après 10 s ? c) À quel moment la distance séparant Paul et Jasmine est-elle la plus courte ? 33. Si le volume d’une balle de neige sphérique diminue à un rythme proportionnel à l’aire de sa surface latérale, montrez que le rayon de la balle diminue à un rythme constant. 34. Une particule se déplace sur un cercle unitaire centré à l’oridθ gine à une vitesse angulaire constante. Déterminez à dt quels points les coordonnées de la particule changent au même rythme. y

θ

h(t )

5m

a) Quelle est la hauteur de la bille 2 s après le début de sa chute ? b) Quelle est la vitesse de la bille 2 s après le début de sa chute ? c) Exprimez l’angle θ en fonction de la hauteur h. Recourez à une fonction trigonométrique inverse. d) À quel rythme l’angle θ varie-t-il 2 s après le début de la chute de la bille ? 37. On verse, à raison de 4 m 3 /s, du liquide dans un contenant hémisphérique dont le rayon (R) est de 5 m. 5m

h

a) À quel rythme le niveau h du liquide augmente-t-il lorsqu’il est de 2 m ? [Indice : Le volume V d’une calotte sphérique de rayon R et de hauteur h est donné par V = 1 3 π h2 ( 3 R − h ).] b) À quel rythme l’aire A de la surface du liquide augmente-t-elle lorsque le niveau du liquide h est de 2 m ?

1

θ x

35. L’équation PV = kT , où k est une constante de proportionnalité, exprime la relation entre la pression P (en pascals) et la température T (en kelvins) d’un gaz emprisonné dans un contenant de volume V (en mètres cubes). Si la température d’un gaz emprisonné dans un contenant de 1 m 3 augmente à raison de 3 K/min , à quelle vitesse la pression exercée sur les parois du contenant augmente-t-elle ?

38. Un sous-marin se déplace à une profondeur de 0,5 km. Il se dirige vers le nord à une vitesse constante de 20 km/h. Il passe directement sous un bateau qui se déplace vers l’est à une vitesse de 10 km/h. À quel rythme les deux embarcations s’éloignent-elles l’une de l’autre 30 min après qu’elles se sont croisées ? 39. Une roue centrée à l’origine et dont le rayon est de 10 cm tourne autour de son axe central dans le sens contraire des aiguilles d’une montre à une vitesse constante telle qu’elle effectue 20 révolutions complètes par minute. À quelle vitesse les coordonnées x et y changent-elles lorsque x = 6 cm et que y = 8 cm ?

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

40. Un piston comprime un gaz dans une chambre cylindrique dont le rayon de la base est de 30 cm. Si le piston pénètre dans la chambre à raison de 0,5 cm/s, à quel rythme le volume de la chambre varie-t-il lorsqu’il est de 200π cm 3 ?

247

point P sur l’axe des ordonnées se déplace à raison de 2 m/s. À quelle vitesse la projection du point P sur l’axe des abscisses se déplace-t-elle au point (1,  9 ) ? 46. Manon est au sommet d’une falaise escarpée s’élevant à 100 m au-dessus d’un cours d’eau. Elle observe un bateau qui se dirige vers le pied de la falaise à une vitesse de 5 m/s. À quel rythme l’angle θ illustré dans la figure diminue-t-il lorsque le bateau est situé à 250 m du pied de la falaise ? Manon

41. Le nombre d’accidents de la circulation augmente avec le nombre d’automobiles. Des statisticiens ont établi que le nombre annuel d’accidents de circulation A dans une ville où passent, en moyenne, n voitures quotidiennement est 3 donné par A( n ) = 0, 002 n 2 . Si le nombre quotidien moyen de voitures passant dans cette ville augmente à raison de 200 par année, à quel rythme le nombre d’accidents changet-il lorsque le nombre quotidien moyen de voitures qui circulent dans la ville est de 22 500 ? 42. Un hélicoptère maintient sa position à 400 m directement au-dessus d’une autoroute comme cela est indiqué dans le schéma ci-dessous.

400 m

Une voiture se déplace sur cette autoroute à une vitesse constante telle que la distance qui la sépare de l’hélicoptère augmente à raison de 95 km/h lorsqu’elle est située à 1,5 km de l’hélicoptère. Déterminez si la voiture excède la vitesse permise de 100 km/h. 43. L’énergie cinétique K d’un objet de masse m qui se déplace à une vitesse v est donnée par K = 1 2 mv2 . Si un objet de 50 kg subit une accélération de 4 m/s 2 lorsqu’il se déplace à une vitesse de 20 m/s, déterminez le rythme auquel l’énergie cinétique (en joules) change à cet instant. 44. Deux cercles concentriques sont en expansion. Le rayon du cercle extérieur augmente à raison de 30 cm/s, alors que celui du cercle intérieur augmente à raison de 20 cm/s. À quel rythme l’aire de l’anneau compris entre les deux cercles augmente-t-elle lorsque le rayon du cercle intérieur est de 2 m et que celui du cercle extérieur est de 5 m ? 45. Un point P se déplace le long de la parabole d’équation y = 9 x 2, les axes étant mesurés en mètres. La projection du

θ

100 m

47. L’aiguille des minutes d’une horloge circulaire mesure 8 cm et celle des heures mesure 6 cm. a) À l’instant où l’horloge affiche 3 h, à quel rythme (en radians par minute) l’angle θ déterminé par l’aiguille des heures et celle des minutes change-t-il ? (Indice : L’aiguille des minutes effectue une rotation toutes les heures.) b) À l’instant où l’horloge affiche 3 h, à quel rythme la distance séparant les extrémités des aiguilles change-t-elle ? (Indice : Utilisez la loi des cosinus.) 48. Du haut d’une falaise escarpée, on laisse tomber un caillou en direction de la rivière située au pied de la falaise. On laisse tomber un autre caillou 1 s plus tard. Sachant que l’équation s = 4, 9 t 2 décrit la distance parcourue (en mètres) par un objet tombant en chute libre t s après avoir été lâché, déterminez à quel rythme varie la distance séparant les deux cailloux 2 s après qu’on a laissé tomber le premier caillou, qui n’a pas encore touché le sol. 49. Un treuil installé au sommet d’un édifice de 25 m de hauteur soulève l’extrémité d’une poutre dont la longueur est également de 25 m et dont la base est appuyée contre le mur de l’édifice, comme cela est indiqué dans le schéma. Le câble liant le treuil à l’extrémité de la poutre est enroulé à raison de 0, 2 m/s. Notez x la distance séparant l’extrémité de la poutre du mur, y la distance entre l’extrémité de la poutre et le sol, et c la longueur du câble.

248

CHAPITRE 4

c) Quelle est la mesure de l’angle θ en fonction du temps t , t s après la mise en mouvement du point P ?

c

d) À quelle vitesse le point P se déplace-t-il verticalement 3 s après avoir été mis en mouvement ?

x

25 m 25 m

y

θ

e) Dans quelle direction (vers le haut ou vers le bas) le point P se déplace-t-il 3 s après avoir été mis en mouvement ? Justifiez votre réponse. f) À quelle vitesse le point P se déplace-t-il horizontalement 3 s après avoir été mis en mouvement ? g) Dans quelle direction (vers la gauche ou vers la droite) le point P se déplace-t-il 3 s après avoir été mis en mouvement ? Justifiez votre réponse.

dy lorsque l’extrémité de dt la poutre est située à 20 m au-dessus du sol. dx lorsque l’extrémité de b) Donnez le sens et la valeur de dt la poutre est située à 20 m au-dessus du sol. a) Donnez le sens et la valeur de

c) À quel rythme l’angle θ varie-t-il lorsque l’extrémité de la poutre est située à 20 m au-dessus du sol ? 50. Soit le système bielle-manivelle présenté dans le schéma qui suit. La bielle mesure 100 cm, et elle relie le point P d’une roue dont le rayon r est de 20 cm au point Q (sur l’axe des ordonnées) du piston. Les coordonnées initiales du point P sont ( 20,  0 ). Le point P se déplace dans le sens contraire des aiguilles d’une montre avec une vitesse angulaire dθ constante de ω = = 2 rad /s. dt

Q

100 cm

h) En recourant à la loi des cosinus et à une relation trigonométrique, vérifiez que l’ordonnée h du point Q satisfait à l’équation h2 − 40 h sin θ − 9 600 = 0 . i)

Trois secondes après sa mise en mouvement, quelle est la position du point Q ?

j)

À quelle vitesse le point Q se déplace-t-il verticalement dans le piston 3 s après avoir été mis en mouvement ?

k) Dans quelle direction (vers le haut ou vers le bas) le point Q se déplace-t-il 3 s après avoir été mis en mouvement ? Justifiez votre réponse. l) Quelle est l’expression de l’accélération du point Q en dh et de θ ? fonction de h, de dt 51. Un réservoir contient 15 L d’alcool. On y verse de l’eau à raison de 2,5 L/min. À quel rythme la concentration d’alcool change-t-elle lorsqu’elle est de 0,6, c’est-à-dire lorsque le mélange contient 60 % d’alcool ? 52. Un réservoir de forme conique, dont le rayon mesure 6 m et la hauteur mesure 3 m, est rempli d’eau à capacité lorsqu’une petite fuite se déclare. Si le volume d’eau dans le réservoir diminue à un rythme (en mètres cubes par minute) proportionnel à la surface du cône en contact avec l’eau, où la constante de proportionnalité vaut 2, à quel rythme le niveau d’eau dans le réservoir baisse-t-il ? 53. Un réservoir cylindrique, qui repose horizontalement, contient du liquide à un niveau de h m . La longueur du réservoir est de 10 m et son rayon de 2 m.

y

P 20 cm

θ (20, 0) x

2m

a) Quelles sont les coordonnées du point P en fonction de l’angle θ ? b) Trois secondes après la mise en mouvement du point P, quelle est la mesure de l’angle θ ?

b

10 m h

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

La figure ci-dessous donne une coupe transversale de ce réservoir.

2m

2m

θ b

2–h h

a) Soit b la longueur du segment correspondant à la base du triangle formé par les deux rayons de 2 m de longueur. Vérifiez que b = 2 h ( 4 − h ) . (Indice : Recourez au théorème de Pythagore.) b) Exprimez, en fonction de h, l’aire At du triangle dont deux côtés correspondent au rayon et dont la base mesure b. c) Vérifiez que θ = arccos (1 −

h

2

).

d) Exprimez l’aire As du secteur circulaire délimité par les deux rayons en fonction de h. e) Exprimez l’aire Ao de la zone ombrée dans la coupe transversale en fonction de h. f) Le volume V de liquide dans le réservoir, lorsque celui-ci est rempli à un niveau de h m , est donnée par 10 Ao. Si on ajoute du liquide dans le réservoir à raison de 2 m 3 /min , à quel rythme le niveau de liquide augmentet-il lorsque ce dernier est de 1 m ? Sections 4.2 et 4.3 54. Exprimez la différentielle dy en fonction de x et de dx. a) y = 5 x 4 + 3 x 2 − x + 1 b) y = ( 2 x + 3)5 ( 3 − x )3 c) y =

x x2 + 1

d) y = 3 x 5 + xe 2 x − ln ( sin x ) + 1 + e) y = sin (1 −

f)

x2

)

tg 2

x

x

y = (1 + x ) , où k est un entier positif k

55. Calculez dy en x = x0 , pour la valeur indiquée de dx. a) y =

x ; x = 9 ; dx = 0, 02

b) y =

1 + x 3 ; x = 2 ; dx = −0, 1

c) y = x 3 ( x 2 + 1) ; x = 1 ; dx = 0, 2 x2 − 4 ; x = 3 ; dx = −0, 01 x2 + 1 e) y = sec x ; x = π 3 ; dx = 0, 5

d) y =

f)

y = x ln x ; x = e a , où a est une constante ; dx = − 1 8

g) y = 2 ax 2 + bx + sin ( ax ), où a et b sont des constantes ; x = 0 ; dx = 1 3

249

56. On a établi que la fonction de demande d’un certain produit 250 , où P représente le prix (en alimentaire est P = 2 Q +1 dollars par kilogramme) et Q la quantité du bien (en millions de kilogrammes). a) Si la quantité Q passe de 7 à 7,1 millions de kilogrammes, utilisez les différentielles pour estimer l’effet (absolu et relatif) de ce changement sur le prix du produit alimentaire. b) Quel aurait été l’effet si la quantité Q était passée de 7 à 6,98 millions de kilogrammes ? 57. Soit π (Q ) = 400Q − 3Q2 − 300 la fonction exprimant le profit π (en dollars) tiré de la vente de Q unités d’un bien. a) Utilisez les différentielles pour estimer la variation du profit lorsque le niveau de production passe de 40 à 41 unités. b) Quel nom donne-t-on généralement à l’expression obtenue en a ? 58. Soit R (Q ) = 400Q + 45Q2 − Q3 la fonction exprimant le revenu R (en dollars) tiré de la vente de Q unités d’un bien. a) Utilisez les différentielles pour estimer la variation du revenu lorsque le niveau de vente passe de 30 à 31 unités. b) Quel nom donne-t-on généralement à l’expression obtenue en a ? 59. Une surface circulaire métallique se contracte sous l’effet du froid. Utilisez les différentielles pour estimer la variation et le pourcentage de variation de l’aire de la surface si, sous l’effet du froid, le rayon de la surface a subi une diminution de 0,1 cm lorsque le rayon était de 10 cm. 60. Yvon, un mordu du golf, vient de réaliser un trou d’un coup. Pour souligner l’événement, ses partenaires de jeu ont décidé de faire recouvrir de bronze la balle de l’exploit et d’en faire un trophée. Si le rayon d’une balle de golf est de 21,4 mm et que l’épaisseur de la couche de bronze est de 0,1  mm, utilisez les différentielles pour estimer l’augmentation absolue et l’augmentation relative du volume occupé par la balle de golf. 61. Si la résistance R (en ohms) dans un circuit électrique varie en fonction du temps t (en secondes) selon la fonction R = 50 + t , utilisez les différentielles pour évaluer le changement de R entre t = 9 s et t = 9, 01 s. 62. Soit l’équation ( P + a )( v + b ) = c, où P représente la charge imposée à un muscle, v représente la vitesse de contraction du muscle, et a , b et c sont des constantes positives. Utilisez les différentielles pour mesurer l’effet d’une faible augmentation de charge dP sur la vitesse de contraction.

250

CHAPITRE 4

63. Utilisez les différentielles pour approximer le volume demandé. a) Le volume d’une coquille cylindrique, soit celui de l’enveloppe mince d’épaisseur dr d’un cylindre de rayon r et de hauteur h. b) Le volume d’une coquille sphérique, soit celui de l’enveloppe mince d’épaisseur dr d’une sphère de rayon r . 64. Considérons la Terre comme une sphère dont le rayon à l’équateur mesure environ 6 400 km et la Lune comme une sphère dont le volume occupe un espace 50 fois moindre que celui de la Terre. Supposons qu’on encercle chacun de ces corps célestes avec une corde passant par leur équateur et qu’on allonge ensuite cette corde de π m. Répondez aux questions suivantes à l’aide des différentielles. a) À quelle distance constante de la Terre sera la corde si on l’élève uniformément au-dessus de la surface terrestre ? b) À quelle distance constante de la Lune sera la corde si on l’élève uniformément au-dessus de la surface lunaire ? c) Si on avait fait la même expérience qu’en a et qu’en b avec un globe terrestre de 1 m de diamètre, quelle distance aurait-on obtenue ? 65. Le temps (en minutes) requis pour apprendre une liste de n mots d’une langue étrangère est de t = 5 n n − 3, où n > 3. En vertu de ce modèle, faut-il plus de temps pour apprendre 2 mots additionnels lorsqu’on en a déjà appris 19 ou lorsqu’on en a déjà appris 84 ? 66. Du sable déversé s’accumule et forme un tas de forme conique dont le rayon de la base correspond toujours au double de sa hauteur. Si le rayon de la base est de 4 m, quelle variation du rayon provoquerait une augmentation de 0, 1 m 3 du volume occupé par le tas de sable ?

par seconde) à partir du niveau du sol et avec un angle θ v2 sin ( 2θ ), par rapport à l’horizontale est donnée par P = 9, 8 π où 0 ≤ θ ≤ . 2 a) Quelle est la portée d’un projectile dont la vitesse initiale est de 20 m/s et qui est lancé avec un angle d’inclinaison de 30° ? b) Utilisez les différentielles pour déterminer la variation de la portée du projectile si la vitesse initiale passe de 20 m/s à 20,2 m/s, l’angle d’inclinaison demeurant de 30°. c) Utilisez les différentielles pour déterminer la variation de la portée du projectile si l’angle d’inclinaison passe de 30° à 30, 36°, la vitesse initiale demeurant de 20 m/s. Sections 4.4 et 4.5 70. Utilisez la différentielle pour trouver une approximation de l’expression. a)

(1, 000 2 )100

b) cos ( 58, 2° ) c)

4

d)

(2 +

255 9, 1

)4

e) 1, 01 + (1, 01)2 + (1, 01)4 + (1, 01)8 f) arctg (1, 1) g) e − 0 ,02 71. La fonction de demande d’un bien est P = 40 − Q , où P représente le prix du bien (en dollars) et Q la quantité du bien (en millions d’unités). Utilisez les différentielles pour trouver une bonne approximation du prix de ce bien lorsque la quantité demandée et offerte du bien est de 99 millions d’unités. 72. La mesure de l’arête d’un cube est de 20 cm. Cette mesure comporte une incertitude de 0,5 cm. Estimez les incertitudes absolues et les incertitudes relatives sur l’aire de la surface totale et sur le volume du cube ?

67. Le diamètre intérieur d’un baril cylindrique est de 1 m et sa hauteur est de 1,5 m. Ce baril sert à l’entreposage de contaminants chimiques. Pour en empêcher l’oxydation, on recouvre l’intérieur du baril d’une fine couche de zinc de 0,01 mm. Si le zinc coûte 70 $/kg et que 1 kg de zinc occupe un volume de 140 cm 3, estimez le coût de l’enduit à l’aide des différentielles.

73. À 10 m d’un édifice, on a mesuré un angle d’élévation de 60°. La mesure de l’angle est précise à 0, 36°. Utilisez les différentielles pour évaluer l’incertitude sur la mesure de la hauteur h de l’édifice.

68. Lors de la dernière négociation collective, un syndicat a obtenu que l’employeur contribue à une assurance dentaire pour ses employés. Ainsi, la contribution (en dollars) de l’employeur est donnée par C ( x ) = 10 000 + 120 x , où x représente le nombre d’employés. Utilisez les différentielles pour trouver l’augmentation de la contribution de l’employeur si le nombre d’employés passe de 400 à 403.

75. Quelle doit être la précision relative sur la mesure du diamètre d’un cercle si on souhaite que l’erreur commise sur l’aire du cercle soit inférieure à 0,5 % ?

69. Si on néglige la résistance de l’air, la portée P (en mètres) d’un projectile lancé avec une vitesse initiale v (en mètres

74. Quelle doit être la précision relative sur la mesure du côté d’un carré si on souhaite que l’erreur commise sur l’aire du carré soit inférieure à 1 % ?

76. Des vétérinaires ont établi que l’aire A (en mètres carrés) de la surface de la peau d’un cheval peut s’exprimer en fonction 2 de la masse m (en kilogrammes) de l’animal : A = 0, 1 m 3 . Lors d’une pesée, on a constaté que la masse d’un cheval est

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

de 343 kg. Si la pesée est précise à 0,5 %, quelle erreur maximale peut-on commettre sur l’évaluation de l’aire de la surface de la peau du cheval ?

251

79. La base d’un triangle isocèle mesure 1 m. Recourez à la figure qui suit pour vérifier que l’incertitude relative sur la mesure de la hauteur h du triangle est − cosec θ dθ , où dθ représente l’incertitude sur la mesure de l’angle θ .

θ h

1m

77. La dose Q (en milligrammes) d’un médicament qu’on doit donner à un chien est fonction de sa masse m (en kilo3 grammes) : Q = km 4 , où k est une constante. Le vétérinaire doit donner une dose qui ne diffère pas de plus de 3 % de celle qui est recommandée. S’il veut respecter les consignes de dosage, quelle doit être l’incertitude relative maximale de la balance qu’il utilise ? 78. Un réservoir hémisphérique est rempli d’eau à pleine capacité. Le rayon du réservoir est de 4 m, et cette mesure présente une incertitude de 0, 5 cm. a) Utilisez les différentielles pour évaluer l’incertitude absolue et l’incertitude relative sur l’évaluation du volume du réservoir. b) Sachant que la densité de l’eau à 4 °C est de 1 000 kg/m3, utilisez les différentielles pour évaluer l’incertitude absolue sur la masse d’eau contenue dans le réservoir lorsque la température de l’eau est de 4 °C.

80. Le volume V d’un cylindre circulaire est V = π r 2 h, où r représente le rayon du cylindre, et h, sa hauteur. a) Si la hauteur du cylindre est mesurée de manière précise, mais que la mesure du rayon comporte une incertitude, utilisez les différentielles pour vérifier que la mesure du volume du cylindre comporte une incertitude relative 2 fois plus élevée que celle de la mesure du rayon. b) Si le rayon du cylindre est mesuré de manière précise, mais que la mesure de la hauteur comporte une incertitude, utilisez les différentielles pour vérifier que la mesure du volume du cylindre comporte une incertitude relative identique à celle de la mesure de la hauteur. c) Si les mesures de la hauteur et du rayon du cylindre comportent des incertitudes, exprimez l’incertitude relative de la mesure du volume du cylindre en fonction des incertitudes relatives des mesures de la hauteur et du rayon du cylindre.

Exercices de révision 1. Encerclez la lettre qui correspond à la bonne réponse. a) À quel rythme la diagonale d’un cube augmente-t-elle lorsque les arêtes de celui-ci augmentent à raison de 2 cm/s ? A. 2 3 cm/s B. 3 cm/s C. 8 cm/s D. 3 cm/s

E. F. G. H.

2 cm/s 3 3 cm/s 6 cm/s Aucune de ces réponses.

b) Une boule de neige sphérique fond à un rythme tel que son rayon diminue à raison de 1 cm/min. À quel rythme le volume de cette boule diminue-t-il lorsque le rayon est de 5 cm ? A. 4 3 π cm 3 /min B. 4π cm 3 /min C. 8π cm 3 /min

une hauteur de 100 m. À quelle vitesse l’angle d’élévation θ mesuré à 50 m du point de lancement change-t-il à cet instant ?

D. 100 3 π cm 3 /min E. 100π cm 3 /min F. Aucune de ces réponses.

c) Une pièce pyrotechnique (un feu d’artifice) se déplace verticalement à une vitesse de 20 m/s lorsqu’elle atteint

θ 50 m

A. 0,02 rad/s B. 0,04 rad/s C. 0,06 rad/s

D. 0,08 rad/s E. 0,1 rad/s F. Aucune de ces réponses.

d) La fonction de demande d’un bien est donnée par  Q  P = −100 ln  , où 0 < Q ≤ 4 000. Le prix de  4 000  ce bien est présentement de 100 $/unité. Si la quantité

252

CHAPITRE 4

offerte diminue à raison de 50 unités/semaine, à quel rythme le prix unitaire fluctuera-t-il ? A. 0,80 $/semaine B. 1,25 $/semaine C. 2,00 $/semaine

D. 3,00 $/semaine E. 3,40 $/semaine F. Aucune de ces réponses.

e) Une plaque métallique circulaire prend de l’expansion lorsqu’elle est chauffée. Si son rayon augmente à raison de 0,2 mm/min lorsqu’il est de 10 cm, à quelle vitesse la circonférence du cercle augmente-t-elle à cet instant ? A. 0, 1 π mm/min B. 0, 2 π mm/min C. 0, 3 π mm/min

D. 0, 4 π mm/min E. 0, 5 π mm/min F. Aucune de ces réponses.

f) On remplit avec de l’eau, à raison de 20 m 3 /s , un réservoir cylindrique dont le rayon de la base mesure 10 m. À quelle vitesse la hauteur du niveau de l’eau augmentet-elle ? A. ( π 2 ) m/s B. π m/s C. 2π m/s

D. ( 2 π ) m/s E. ( 3 π ) m/s F. Aucune de ces réponses.

g) Le nombre y de poissons dans un lac est fonction du niveau x de concentration (en parties par million) d’un 100 000 . Si la concentracertain type de polluant : y = 1+ x tion du polluant augmente à raison de 2 ppm/année, à quel rythme le nombre de poissons dans le lac diminue-t-il lorsqu’on en dénombre 2 000 ? A. 10 poissons/année B. 20 poissons/année C. 40 poissons/année

D. 60 poissons/année E. 80 poissons/année F. Aucune de ces réponses.

3 − x2 , quelle est l’expression de la différenx tielle dy ?

h) Si y =

A. − B. − C.

3 (1 + x 2 )

D.

x x 3 (1 + x 2 ) 2x x

3 (1 + x 2 ) 2x x

dx

dx

E.

3 (1 + x 2 ) x x 4x dx x

F. Aucune de ces réponses.

i) Si y = xe − x , quelle est l’expression de la différentielle dy ? 2

A. e − x ( −2 x 2 + 1) dx 2 B. e − x ( 2 x 2 + 1) dx 2 C. −2 xe − x dx 2

D. e − x ( −2 x + 1) dx 2 E. e − x (1 − x 2 ) dx F. Aucune de ces réponses. 2

j) Si y = sec θ tg 2 θ , quelle est l’expression de la différentielle dy ? A. B. C. D. E. F.

2 sec θ tg 2 θ dθ 2 sec 3 θ tg 2 θ dθ sec θ tg θ ( 2 sec 2 θ + tg 2 θ ) dθ 2 sec θ tg θ dθ ( sec θ tgθ + sec 3 θ ) dθ sec θ tg θ ( sec 2 θ + tg 2 θ ) dθ

k) Un étudiant a mesuré le rayon r d’un sphère et a obtenu r = 1 m. Si on admet que l’incertitude sur la mesure du rayon est de 1 cm, quelle est l’incertitude relative sur l’évaluation du volume de la sphère ? A. 1 % B. 1,5 % C. 2 %

D. 2,5 % E. 3 % F. Aucune de ces réponses.

2. En relativité restreinte, la masse mv d’une particule se m0 c , déplaçant à une vitesse v est donnée par mv = 2 c − v2 où m0 représente la masse de la particule au repos, et c la vitesse de la lumière. a) À quel rythme la masse mv change-t-elle lorsque la vitesse de la particule est de 1 2 c et qu’elle augmente à un rythme de 0, 02 c/s ? b) Utilisez les différentielles pour déterminer la variation relative de la masse mv de la particule lorsque la vitesse de celle-ci passe de 0, 8 c à 0, 79 c. 3. Utilisez les différentielles pour trouver une approximation de 101 . 4. L’intensité L d’une source lumineuse en un point P est inversement proportionnelle au carré de la distance entre le point et la source. Si le point P se rapproche de la source à vitesse constante, montrez que l’intensité L au point P varie de manière inversement proportionnelle au cube de la distance entre la source et le point. 5. Un filtre conique, dont le diamètre et la hauteur valent 10 cm, contient de l’eau qui s’écoule dans une tasse cylindrique, dont le diamètre est également de 10 cm, de façon telle que le niveau d’eau dans le filtre diminue à raison de 0, 5 cm/s lorsque le volume d’eau dans le filtre est de 16 3 π cm 3. À cet instant, à quel rythme le niveau d’eau augmente-t-il dans la tasse ? 6. Une échelle de 4 m de longueur est appuyée contre un mur. Si l’extrémité inférieure de l’échelle glisse sur le sol glacé et s’éloigne du mur à raison de 0,2 m/s, à quel rythme les pieds d’un homme posés au milieu de l’échelle descendent-ils lorsque l’extrémité inférieure de l’échelle est située à 1 m du mur ? 7. André et Brigitte se déplacent en vélo sur deux rues perpendiculaires. André, qui est situé à 8 km à l’ouest de l’intersection des deux rues, se déplace vers l’est en direction de cette intersection à une vitesse constante de 10 km/h. Brigitte, située à 1 km au sud de l’intersection, se déplace vers le sud à une vitesse constante de 6 km/h. a) Après 30 min, à quelle vitesse André et Brigitte s’éloignentils ou se rapprochent-ils l’un de l’autre ? b) À quel moment André et Brigitte cessent-ils de se rapprocher l’un de l’autre et commencent-ils à s’éloigner l’un de l’autre ? c) À quelle distance André et Brigitte se trouvent-ils l’un de l’autre lorsqu’ils cessent de se rapprocher ? d) Comment peut-on qualifier la distance obtenue en c ?

TAUX LIÉS ET DIFFÉRENTIELLES

8. Une personne soulève une charge ponctuelle à l’aide d’un câble de 10 m de longueur qui passe sur une poulie fixée à une hauteur de 4 m au-dessus du sol, comme cela est indiqué dans le schéma. Pour faire monter la charge, la personne s’en éloigne en maintenant la corde à une hauteur de 1 m au-dessus du sol et en se déplaçant à une vitesse de 2 m/s. À quelle vitesse la charge se déplace-t-elle lorsqu’elle atteint une hauteur de 3 m ?

4m

1m

9. La concentration C d’un certain médicament dans le sang t h 6t . après son absorption est donnée par C ( t ) = 9 + t2 a) Quelle est la concentration du médicament dans le sang à long terme ? b) Quel est le taux de variation de la concentration du médicament dans le sang 2 h après l’absorption du médicament ? c) Combien de temps après son absorption la concentration du médicament dans le sang est-elle maximale ? d) Utilisez les différentielles pour déterminer, 2 h après l’absorption du médicament, le changement dans la concentration du médicament au cours d’un intervalle de 15 min. 10. Jean Léonard Marie Poiseuille (1799-1869) fut un médecin et un physicien français qui apporta une contribution importante à la compréhension de la circulation sanguine. Il a notamment établi que le volume de fluide (comme le sang) circulant dans un tube cylindrique (comme une veine ou une artère) au cours d’un intervalle de temps, lorsque la pression est constante, est proportionnel à la quatrième puissance du rayon du tube. a) En vertu du principe établi par Poiseuille, quelle est l’expression du volume V de fluide s’écoulant dans un tube cylindrique au cours d’un intervalle de temps en fonction du rayon r du tube ? b) À la suite d’une intervention chirurgicale (insertion d’un ballon gonflable pour dilater un vaisseau sanguin), le rayon d’une artère a augmenté de 10 %. Quel est l’effet relatif de cette dilatation de vaisseau sur l’écoulement sanguin, soit sur le volume V de sang qui circule dans le vaisseau au cours d’un intervalle fixe de temps ?

253

5 Optimisation

C H A P I T R E

À partir du xviie siècle, la théorie générale des valeurs extrêmes – maximums et minimums – est devenue l’un des grands facteurs d’intégration de la science. Richard Courant et Herbert Robbins

C

omme nous l’avons déjà vu dans les chapitres précédents, le signe d’une dérivée est particulièrement révélateur du comportement d’une fonction. Il permet notamment de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction. Mais il y a bien plus encore !

Le chapitre 5 constitue en fait un point culminant du cours de calcul différentiel puisqu’on y étudie une application majeure : l’optimisation. Que ce soit en matière de temps, de profit, de coût ou de consommation, l’être humain cherche l’efficacité et, par le fait même, les valeurs extrêmes (maximum et minimum) prises par une fonction décrivant un phénomène. Après avoir formulé un modèle mathématique (une fonction) décrivant un contexte particulier, on peut recourir au calcul différentiel pour repérer ces valeurs extrêmes, qui se trouvent notamment (mais pas uniquement) aux valeurs où la dérivée change de signe et devient alors nulle. Encore une fois, vous serez à même de constater la puissance et la généralité du calcul différentiel, qui trouve son application dans des domaines aussi variés que la géométrie, l’économie, la démographie, la sociologie, la psychologie, l’ingénierie, la physique, la biologie, la chimie, et dans bien d’autres domaines encore.

O b j e c t i f s ◗◗ Trouver les extremums relatifs d’une fonction à l’aide du

test de la dérivée première (5.1). ◗◗ Trouver les extremums absolus d’une fonction (5.2). ◗◗ Déterminer les variables présentes dans un problème

◗◗ Écrire les relations liant les différentes variables dans un

problème d’optimisation (5.3). ◗◗ Écrire la fonction à optimiser en fonction d’une seule

variable (5.3). ◗◗ Résoudre un problème d’optimisation (5.3).

d’optimisation (5.3).

S o m m a i r e Un portrait de Pierre de Fermat

Résumé (p. 305)

5.1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d’une fonction (p. 258)

Mots clés (p. 306)

5.2 Extremums absolus d’une fonction (p. 277)

Exercices récapitulatifs (p. 307)

5.3 Problèmes d’optimisation (p. 292)

Exercices de révision (p. 315)

A n i m a t i o n s

Réseau de concepts (p. 307)

G e o G e b r a

22 Test de la dérivée première (p. 267, 268 et 269)

25 Optimisation : volume d’une boîte (p. 292)

23 Signe de la dérivée seconde et concavité (p. 274 et 336)

26 Optimisation : alimentation en électricité d’une île (p. 295)

24 Extremums absolus d’une fonction selon son domaine (p. 278)

UN PORTRAIT DE Pierre de Fermat

P

ierre de Fermat naquit le 17 août 1601 à Beaumontde-Lomagne en France. Il fit des études universitaires d’abord à Toulouse, puis à Bordeaux, mais c’est de l’Université d’Orléans qu’il reçut son diplôme en droit. À compter de 1631, il fut magistrat et conseiller au Parlement de Toulouse, ce qui lui permit d’ajouter la particule de à son nom. Fermat n’était ni un scientifique ni un mathématicien professionnel, dans la mesure où il gagnait sa vie en pratiquant le droit ; mais il était bien plus qu’un simple amateur. Tout au long de sa vie, il entretint des échanges épistolaires avec plusieurs membres de la communauté scientifique et mathématique de son époque, dont Gilles Personne de Roberval (1602-1675), Marin Mersenne (1588-1648), René Descartes (1596-1650), Blaise Pascal (1623-1662) et Christiaan Huygens (1629-1695). Pierre de Fermat

Fermat avait l’habitude de lancer des défis mathématiques à ses contemporains en leur soumettant des problèmes difficiles qu’il avait déjà résolus. Ainsi, une lettre qu’il avait adressée à Marin Mersenne contenait deux problèmes d’optimisation. Mersenne et Roberval, qui avait aussi pris connaissance des problèmes, les trouvèrent extrêmement difficiles et ne purent les résoudre. Ils demandèrent donc à Fermat de leur montrer sa solution. Fermat leur fit part d’une méthode (pour déterminer les maximums, les minimums et les tangentes d’une ligne courbe) qui s’apparente à celle encore utilisée en calcul différentiel. Fermat put résoudre ces problèmes, car il avait déjà mis au point une forme de géométrie analytique en 1636, soit un an avant la publication du Discours de la méthode de Descartes. Fermat élabora également une forme de calcul intégral qui lui permit de trouver l’aire de surfaces paraboliques et hyperboliques, et de calculer le centre de gravité de certaines figures planes et d’un paraboloïde de révolution. La contribution de Fermat au calcul est essentielle. Isaac Newton (1642-1727), que les historiens considèrent comme un des deux fondateurs du calcul différentiel et intégral, affirma qu’il conçut son calcul des fluxions (une forme de calcul différentiel) en se basant sur « Monsieur Fermat’s method of drawing tangents », c’est-à-dire en considérant la tangente en un point d’une courbe comme la limite des sécantes passant par ce point. Joseph Louis Lagrange (1736-1813), le célèbre mathématicien français, alla plus loin en affirmant même que Fermat fut le véritable inventeur du calcul différentiel et intégral.

Les intérêts mathématiques de Fermat étaient très variés. Il s’intéressa aussi à la théorie des nombres, domaine où son nom demeurera toujours associé à un des plus célèbres théorèmes de l’histoire des mathématiques. En effet, en 1637, dans la marge d’une traduction des œuvres de Diophante, il écrivit : « Diviser un cube en deux cubes, une puissance de 4 en deux puissances de 4 ou une puissance quelconque en deux puissances de même dénomination, est impossible. J’ai découvert une démonstration merveilleuse, mais je n’ai pas la place de la mettre dans la marge. » L’énoncé de ce théorème (grand théorème de Fermat) en langage moderne est le suivant : si n est un entier supérieur à 2, alors l’équation x n + y n = z n , où x , y et z sont des entiers non nuls, n’admet pas de solution. Il fallut attendre plus de 350 ans avant qu’un mathématicien, le Britannique Andrew Wiles (né en 1953), enseignant à l’Université Princeton, n’en donne en 1994 une démonstration satisfaisante. Dans une correspondance avec Blaise Pascal, Fermat jeta les bases du calcul des probabilités en répondant à un problème soumis par Antoine Gombaud, chevalier de Méré. Même si Fermat fut (et est encore) considéré comme un des plus brillants mathématiciens de son époque, il ne publia pas d’ouvrage complet et la plupart de ses textes restèrent manuscrits de son vivant. Ses écrits circulaient seulement parmi ses correspondants et amis. Comme les mathématiques n’occupaient que ses loisirs, il ne poussa jamais ses démonstrations à fond, se contentant d’en donner les idées maîtresses. Son fils Samuel se chargea de rendre publique une partie de la production scientifique de son père en faisant paraître Varia opera mathematica en 1679. Fermat, le « prince des mathématiciens amateurs », mourut à Castres le 12 janvier 1665. On donna son nom à plusieurs concepts mathématiques (équation de Pell-Fermat, nombre de Fermat, petit théorème de Fermat, spirale de Fermat). Enfin, en physique, Fermat énonça un principe qu’il qualifia d’« économie naturelle » et qui, en optique, porte maintenant le nom de principe de Fermat*. ■

* En vertu de ce principe, le chemin optique d’un rayon lumineux entre deux points correspond au trajet qui minimise le temps de parcours. Fermat fut donc le premier à donner un exemple de calcul des variations, qu’Euler, Lagrange et plusieurs autres allaient développer de manière très fructueuse en physique.

258

CHAPITRE 5

5.1 CROISSANCE, DÉCROISSANCE ET EXTREMUMS RELATIFS D’UNE FONCTION

Dans cette section : fonction croissante – fonction décroissante – valeurs critiques – maximum relatif – minimum relatif – extremums relatifs.

La recherche d’optimums constitue un objectif majeur dans de nombreux champs de l’activité humaine. Ainsi, une entreprise souhaite minimiser ses coûts de production ou encore maximiser ses profits ; une agence publicitaire cherche à obtenir la plus grande visibilité pour un produit dans une population cible ; des militaires veulent maximiser la portée d’un projectile ; etc. Ces problèmes ont tous en commun la recherche de la valeur maximale (ou minimale) d’une fonction. Pour résoudre de tels problèmes, il faut déterminer si le maximum (ou le minimum) existe et, le cas échéant, déterminer une façon de l’obtenir.

FIGURE 5.1

Notion intuitive de maximum et de minimum* y

maximum

a

f ( x)

minimum

b

x

Intuitivement, une fonction atteint un maximum quand elle arrête de monter pour commencer à descendre et elle atteint un minimum quand elle arrête de descendre pour commencer à monter. Visuellement, un maximum correspond à un sommet et un minimum à un creux (figure 5.1).

5.1.1 Intervalles de croIssance et Intervalles de décroIssance d’une fonctIon

Il semble donc naturel d’étudier la croissance et la décroissance d’une fonction afin de pouvoir déterminer d’éventuels maximums et minimums de cette fonction. ● Fonction croissante Une fonction f ( x ) est croissante sur un intervalle I si f ( x1 ) < f ( x2 ) lorsque x1 < x2 pour x1 ∈ I et x2 ∈ I . ● Fonction décroissante Une fonction f ( x ) est décroissante sur un intervalle I si f ( x1 ) > f ( x2 ) lorsque x1 < x2 pour x1 ∈ I et x2 ∈ I .

Une fonction f ( x ) est croissante sur un intervalle I si f ( x1 ) < f ( x2 ) lorsque x1 < x2 pour x1 ∈ I et x2 ∈ I . La figure 5.2 a illustre une fonction croissante. Une fonction f ( x ) est décroissante sur un intervalle I si f ( x1 ) > f ( x2 ) lorsque x1 < x2 pour x1 ∈ I et x2 ∈ I . La figure 5.2 b illustre une fonction décroissante. FIGURE 5.2

Fonction croissante et fonction décroissante a)

b)

y

y

f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )

f ( x2 ) x1

x2

Fonction croissante

x

x1

x2

x

Fonction décroissante

Il existe une relation importante entre la croissance et la décroissance d’une fonction dérivable et le signe de la dérivée de cette fonction, soit le signe de la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction, comme l’illustre la figure 5.3. On remarque que la fonction f ( x ) est croissante sur ]−∞, a ] et que f ′ ( x ) > 0 sur ]−∞, a[ puisque les droites tangentes ont des pentes positives. On note également que la fonction f ( x ) est décroissante sur [ a, ∞[ et que f ′ ( x ) < 0 sur ]a, ∞[. * Le maximum et le minimum sont en fait les ordonnées des points illustrés sur la figure. On fait souvent cet abus de langage pour ne pas compliquer inutilement les représentations visuelles.

OPTIMISATION

259

FIGURE 5.3

Croissance et décroissance d’une fonction et signe de la dérivée y

f ( x ) est croissante f ′( x) > 0

f ( x ) est décroissante f ′( x) < 0

x

x = a

Le théorème 5.1, que nous admettrons sans démonstration, permet de formaliser ce que nous avons constaté à l’aide de la figure 5.3.*

v THÉORÈME 5.1 Soit une fonction f ( x ) continue sur un intervalle I et dérivable en tout point intérieur* de l’intervalle I . 1. Si f ′ ( x ) > 0 pour tout point intérieur x ∈ I , alors f ( x ) est croissante sur l’intervalle I . 2. Si f ′ ( x ) < 0 pour tout point intérieur x ∈ I , alors f ( x ) est décroissante sur l’intervalle I . EXEMPLE 5.1

Déterminons les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction continue f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 10 sur . On a f ′( x) =

d ( 2 x3 + 9 x2 − 10 ) dx

= 6 x 2 + 18 x = 6 x ( x + 3) Par conséquent, f ′ ( x ) = 0 si x = 0 ou si x = −3. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) en plaçant par ordre croissant les valeurs qui annulent la dérivée et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 5.1). Ce tableau nous permettra d’indiquer le signe de la dérivée sur chaque sous-intervalle et de déterminer ainsi les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ). TABLE AU 5.1

Tableau des signes

]− ,  −3[

]−3 ,  0[

]0, [

x

−3

0

f ′( x )

0

0

f (x) * Un point intérieur d’un intervalle I est une valeur x ∈ I tel que x n’est pas une extrémité de I.

CHAPITRE 5

Si x ∈ ]−∞,  −3[ , alors f ′ ( x ) = 6x ( x + 3) > 0. Puisque la dérivée est posi    négatif négatif

tive (+) sur ]−∞,  −3[ , alors, en vertu du théorème 5.1, la fonction f ( x ) est croissante () sur ]−∞,  −3] (tableau 5.2).

De plus, si x ∈ ]−3,  0[, alors f ′ ( x ) = 6x ( x + 3) < 0. Puisque la dérivée est     négatif positif

négative (–) sur ]−3,  0[, alors, en vertu du théorème 5.1, la fonction f ( x ) est décroissante () sur [ −3,  0 ]. Finalement, si x ∈ ]0,  ∞[, alors f ′ ( x ) = 6x ( x + 3) > 0. Puisque la dérivée     positif positif

est positive (+) sur ]0, ∞[, alors, en vertu du théorème 5.1, la fonction f ( x ) est croissante () sur [ 0, ∞[. TABLE AU 5. 2

Tableau des signes

]− ,  −3[

]−3 ,  0[

]0, [

−3

x

0

f ′( x )

+

0

–

0

+

f (x)



17



−10



On peut confirmer ces résultats sur la figure 5.4. FIGURE 5.4

f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 10

|

|

|

|

–4

–3

–2

–1

|

15 0 –15

|

|

1

2

x

|

|

–5

30

–30

|

f ( x ) = 2 x + 9 x − 10 2

|

45 3

|

y

– 45

|

260

On voit bien que f ( x ) est croissante sur ]−∞,  −3] et sur [ 0, ∞[, et qu’elle est décroissante sur [ −3,  0 ].

L’exemple 5.1 illustre l’importance de factoriser, lorsque cela est possible, l’expression de la fonction dérivée f ′ ( x ) afin de pouvoir en déterminer le signe, et donc de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ). En effet, il est relativement aisé de déterminer le signe d’un produit de facteurs. Par conséquent, il est fortement recommandé de factoriser l’expression de la fonction dérivée pour en déterminer les zéros et ainsi faciliter l’étude des signes de la fonction dérivée.

OPTIMISATION

261

QUESTION ÉCLAIR 5.1 Soit la fonction continue f ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 2 sur . a) Déterminez la dérivée de la fonction f ( x ) et décomposez-la en facteurs. b) Vérifiez que x = 0 et x = 6 sont les seules valeurs qui annulent la dérivée. c) Complétez le tableau 5.3. TABLE AU 5. 3

Tableau des signes

] −,  0[

]0 ,  6[ 0

x

]6, [ 6

f ′( x ) f (x)

d) Déterminez les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ).

EXEMPLE 5.2

Déterminons les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction continue f ( x ) = 2 + ( 3 − 2 x ) 3 sur . On a 2

2 d  2 + ( 3 − 2 x ) 3   dx 1 2 d = ( 3 − 2 x )− 3 (3 − 2 x) 3 dx −4 = 3 3 3 − 2x

f ′( x) =

Par conséquent, f ′ ( x ) ≠ 0 pour tout x ∈  et f ′ ( x ) n’existe pas si 3 − 2 x = 0, c’est-à-dire si x = 3 2 . Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) en y plaçant x = 3 2 et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle que cette valeur délimite (tableau 5.4). Ce tableau nous permettra d’indiquer le signe de la dérivée sur chaque sous-intervalle, et de déterminer ainsi les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ). 3

TABLE AU 5.4

Tableau des signes

]−,  3 2 [ x

]3 2 , [ 3

f ′( x )

2

∃

f (x)

Si x ∈ ]−∞,  3 2[, alors f ′ ( x ) = (–) sur ]

−∞,  3

−4 < 0. Puisque la dérivée est négative 3 3 − 2x 3   positif

2

[, alors, en vertu du théorème 5.1, la fonction f ( x ) est décroissante

() sur ]−∞,  3 2 ] (tableau 5.5).

262

CHAPITRE 5

De plus, si x ∈ ]3 2 ,  ∞[ , alors f ′ ( x ) = positive (+) sur

]

−4 > 0. Puisque la dérivée est x 3 − 2 

33

négatif

3

2 , ∞[ , alors, en vertu du théorème 5.1, la fonction f ( x ) est

croissante () sur [ 3 2 , ∞[ . TABLE AU 5.5

Tableau des signes

]−,  3 2 [

]3 2 , [

x

3

2

f ′( x )

–

∃

+

f (x)



2



La figure 5.5 permet de visualiser ces résultats. FIGURE 5.5

f ( x ) = 2 + (3 − 2x )

2

3

|

5

2

|

1

|

3

f ( x) = 2 + (3 − 2 x)

2

3

|

4

|

6

|

7

|

y

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

On voit bien que f ( x ) est décroissante sur ]−∞,  3 2 ] et qu’elle est croissante sur [ 3 2 , ∞[ .

Les exemples 5.1 et 5.2 donnent une procédure pour déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance d’une fonction continue f ( x ). 1. Déterminer la dérivée f ′ ( x ). ● Valeurs critiques Les valeurs critiques d’une fonction f ( x ) sont les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′ ( x ) = 0 ou f ′ ( x ) n’existe pas.

2. Déterminer les valeurs critiques de la fonction f ( x ), c’est-à-dire les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′ ( x ) = 0 ou f ′ ( x ) n’existe pas. 3. Construire le tableau des signes de f ′ ( x ) en plaçant par ordre croissant les valeurs critiques de f ( x ) et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent. 4. Déterminer le signe de f ′ ( x ) sur chacun de ces sous-intervalles. 5. Utiliser le théorème 5.1 pour déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ).

OPTIMISATION

263

EXERCICE 5.1

Déterminez les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ). a) f ( x ) = −3 x 5 + 20 x 3 + 4 b) f ( x ) =

3

x2 − 9

c) f ( x ) = 2 xe −3 x

5.1.2 e xtremums relatIfs d’une fonctIon La courbe décrite par une fonction continue tantôt croissante, tantôt décroissante admet des sommets ou des creux comme l’illustre la figure 5.6.

FIGURE 5.6

La fonction f ( x ) définie sur [ a,  e ] et illustrée à la figure 5.6 présente cinq points intéressants. Le point ( b,  f ( b)) correspond à un sommet de la courbe décrite par la fonction f ( x ). Ce point est le plus élevé si on considère la fonction f ( x ) sur un certain sous-intervalle de son domaine, par exemple sur l’intervalle ]a,  c[. On dira alors que la fonction f ( x ) atteint un maximum relatif (ou maximum local) en x = b . La fonction atteint également un maximum relatif en x = d puisqu’on y trouve un autre sommet.

Fonction continue sur un intervalle I y

f ( x)

a

b

c

d

e

x

● Maximum relatif Une fonction f ( x ) définie sur un intervalle I admet un maximum relatif (ou un maximum local) de f ( c ) en x = c s’il existe un intervalle ouvert ]a ,  b[ tel que c ∈ ]a ,  b[ et que f ( c ) ≥ f ( x ) pour tout x ∈ ]a ,  b[ ∩ I . ● Minimum relatif Une fonction f ( x ) définie sur un intervalle I admet un minimum relatif (ou un minimum local) de f ( d ) en x = d s’il existe un intervalle ouvert ]e,  g [ tel que d ∈ ]e,  g [ et que f ( d ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ ]e ,  g [ ∩ I . ● Extremums relatifs Les minimums relatifs et les maximums relatifs d’une fonction f ( x ) sont appelés extremums relatifs de la fonction f ( x ) .

Par ailleurs, le point ( c,  f ( c )) correspond à un creux de la courbe décrite par la fonction f ( x ). Ce point est le plus bas si on considère la fonction f ( x ) sur un certain sous-intervalle de son domaine, par exemple sur l’intervalle ]b,  d[ . On dira alors que la fonction f ( x ) atteint un minimum relatif (ou minimum local) en x = c . Finalement, les points ( a,  f ( a )) et ( e,  f ( e )) ne correspondent ni à un sommet, ni à un creux. Cependant, f ( a ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est la plus petite valeur prise par la fonction sur [ a,  b[. De même, f ( e ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est la plus petite valeur prise par la fonction sur ]d,  e ].

De façon générale, une fonction f ( x ) définie sur un intervalle I admet un maximum relatif en x = c , s’il existe un intervalle ouvert ]a,  b[ tel que c ∈ ]a,  b[ et que f ( c ) ≥ f ( x ) pour tout x ∈ ]a,  b[ ∩ I . De même, la fonction f ( x ) admet un minimum relatif en x = d , s’il existe un intervalle ouvert ]e,  g [ tel que d ∈ ]e,  g [ et que f ( d ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ ]e,  g [ ∩ I . On appelle alors f ( c ) et f ( d ) des extremums relatifs de la fonction f ( x ). On aimerait établir une façon de déterminer tous les extremums relatifs d’une fonction continue f ( x ) sur un intervalle I . Le théorème 5.2 indique les seuls endroits où on peut trouver ces extremums relatifs. Ce théorème confirme ce qu’on avait constaté sur la figure 5.6.

v THÉORÈME 5.2 Si la fonction f ( x ) est continue sur un intervalle I et si c ∈ I est tel que f ( c ) est un extremum relatif de la fonction f ( x ), alors c satisfait à l’une des deux conditions suivantes : 1. c est l’une des extrémités de I . 2. c est une valeur critique de la fonction f ( x ), c’est-à-dire que c ∈ Dom f et que f ′ ( c ) = 0 ou f ′ ( c ) n’existe pas.

P

264

CHAPITRE 5

Preuve Supposons que f ( c ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ) sur I . Si c est l’une des extrémités de l’intervalle I , le théorème est démontré. Si c est plutôt un point intérieur de l’intervalle I , alors f ′ ( c ) existe ou n’existe pas. Si f ′ ( c ) n’existe pas, le théorème est démontré. Supposons donc que f ′ ( c ) existe et essayons de démontrer qu’on aura alors f ′ ( c ) = 0. Puisque f ( c ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ) sur I , il existe un intervalle ouvert ]a,  b[ tel que c ∈ ]a,  b[ et que f ( c ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ ]a,  b[ ∩ I . Par conséquent, sur cet ensemble, f ( x ) − f ( c ) ≥ 0. Si x > c , alors x − c > 0 et f ( x ) − f (c ) ≥ 0 ⇒ x−c

lim+

x→c

f ( x ) − f (c ) ≥ 0 x−c

De plus, si x < c , alors x − c < 0 et f ( x ) − f (c ) ≤ 0 ⇒ x−c

lim

x → c−

f ( x ) − f (c ) ≤ 0 x−c

Puisque f ′ ( c ) existe et que f ′ ( c ) = lim

x→c

f ( x ) − f (c ) , il faut que x−c

f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) lim = lim− x → c x  − c   x  −c     x → c+

≥0

≤0

de sorte que f ′ ( c ) = 0. La démonstration est similaire si on suppose que f ( c ) est un maximum relatif de la fonction f ( x ) sur l’intervalle I .

Le théorème 5.2 permet de repérer les endroits où la fonction est susceptible d’admettre des extremums relatifs. Il reste donc à déterminer si la fonction y atteint bel et bien un extremum relatif. EXEMPLE 5.3

À l’exemple 5.1 (p. 259), nous avons déterminé les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 10 sur . Nous avons ainsi obtenu le tableau 5.6. TABLE AU 5.6

Tableau des signes

]−,  −3[

]−3 ,  0[ −3

x

]0, [ 0

f ′( x )

+

0

–

0

+

f (x)



17



−10



Puisque la fonction f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 10 cesse de croître en x = −3 pour commencer à décroître, elle atteint un maximum relatif de f ( −3) = 17 en x = −3.

OPTIMISATION

265

En effet, f ( x ) ≤ f ( −3) = 17 pour tout x ∈ ]−∞, 0[ . On constate également que f ′ ( x ) > 0 sur ]−∞,  −3[ et que f ′ ( x ) < 0 sur ]−3,  0[, de sorte que le signe de la dérivée passe de positif à négatif en x = −3. De plus, la fonction f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 10 cesse de décroître en x = 0 pour commencer à croître. Elle atteint donc un minimum relatif de f ( 0 ) = −10 en x = 0. En effet, f ( x ) ≥ f ( 0 ) = −10 pour tout x ∈ ]−3,  ∞[. On constate également que f ′ ( x ) < 0 sur ]−3,  0[ et que f ′ ( x ) > 0 sur ]0, ∞[, de sorte que le signe de la dérivée passe de négatif à positif en x = 0. La figure 5.7 permet d’observer la présence d’un maximum relatif en x = −3 et d’un minimum relatif en x = 0. FIGURE 5.7

f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 10

|

|

|

–3

–2

–1

|

0 –15

|

|

1

2

x

|

|

–4

15

–30

|

|

–5

30

– 45

|

f ( x ) = 2 x + 9 x − 10 2

|

45 3

|

y

5.1.3 test de la dérIvée PremIère Le théorème 5.3 formalise les réflexions faites dans l’exemple 5.3 et donne une méthode pour déterminer les extremums relatifs d’une fonction.

v THÉORÈME 5.3 Soit une fonction f ( x ) continue sur un intervalle ]a,  b[ et soit c ∈ ]a,  b[ une valeur critique de la fonction f ( x ), c’est-à-dire que c ∈ Dom f et que f ′ ( c ) = 0 ou f ′ ( c ) n’existe pas. 1. Si le signe de f ′ ( x ) passe de positif à négatif en x = c , c’est-à-dire si la fonction f ( x ) passe de croissante à décroissante en x = c , alors f ( c ) est un maximum relatif de la fonction f ( x ). 2. Si le signe de f ′ ( x ) passe de négatif à positif en x = c , c’est-à-dire si la fonction f ( x ) passe de décroissante à croissante en x = c , alors f ( c ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ). 3. Si f ′ ( x ) ne change pas de signe en x = c , c’est-à-dire si f ′ ( x ) < 0 ou si f ′ ( x ) > 0 sur des intervalles à gauche et à droite de c, alors f ( c ) n’est pas un extremum relatif de la fonction f ( x ).

P

266

CHAPITRE 5

Preuve 1. Si le signe de f ′ ( x ) passe de positif à négatif en x = c , alors il existe d et e dans l’intervalle ]a,  b[ tels que f ′ ( x ) > 0 pour tout x ∈ ]d,  c[ et f ′ ( x ) < 0 pour tout x ∈ ]c,  e[ . En vertu du théorème 5.1 (p. 259), f ( x ) est croissante sur ]d,  c[ , de sorte que f ( x ) ≤ f ( c ) pour tout x ∈ ]d,  c ]. De plus, en vertu du théorème 5.1, f ( x ) est décroissante sur ]c,  e[ . Par conséquent, f ( c ) ≥ f ( x ) pour tout x ∈ [c,  e[ . On obtient que f ( x ) ≤ f ( c ) pour tout x ∈ ]d,  e[ ⊆ ]a,  b[ et donc que f ( c ) est un maximum relatif de la fonction f ( x ) sur ]a,  b[. 2. Si le signe de f ′ ( x ) passe de négatif à positif en x = c , alors il existe d et e dans l’intervalle ]a,  b[ tels que f ′ ( x ) < 0 pour tout x ∈ ]d,  c[ et f ′ ( x ) > 0 pour tout x ∈ ]c,  e[ . En vertu du théorème 5.1, f ( x ) est décroissante sur ]d,  c[ , de sorte que f ( x ) ≥ f ( c ) pour tout x ∈ ]d,  c ]. De plus, en vertu du théorème 5.1, f ( x ) est croissante sur ]c,  e[ . Par conséquent, f ( c ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ [c,  e[ . On obtient que f ( c ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ ]d,  e[ ⊆ ]a,  b[ et donc que f ( c ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ) sur ]a,  b[. 3. Si f ′ ( x ) ne change pas de signe en x = c , alors ou bien le signe de f ′ ( x ) est positif autour de x = c , ou bien il est négatif. Supposons que le signe de f ′ ( x ) est positif autour de x = c . Alors, il existe d ∈ ]a,  c[ et e ∈ ]c,  b[ tels que f ′ ( x ) > 0 pour tout x ∈ ]d,  e[ \ {c}. La fonction f ( x ) est donc croissante sur ]d,  c[ et f ( x ) ≤ f ( c ) pour tout x ∈ ]d,  c ]. Par conséquent, f ( c ) n’est pas un minimum relatif de f ( x ). De plus, la fonction f ( x ) est croissante sur ]c,  e[ et f ( c ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ [c,  e[ . Par conséquent, f ( c ) n’est pas un maximum relatif de f ( x ). D’où f ( c ) n’est pas un extremum relatif de f ( x ). On démontre de la même façon que si le signe de f ′ ( x ) est négatif autour de x = c , alors f ( c ) n’est pas un extremum relatif de la fonction  f ( x ).

Les théorèmes 5.2 (p. 263) et 5.3 donnent une procédure pour déterminer les extremums relatifs d’une fonction continue f ( x ) sur un intervalle ouvert. 1. Déterminer la dérivée f ′ ( x ). 2. Déterminer les valeurs critiques de la fonction f ( x ), c’est-à-dire les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′ ( x ) = 0 ou f ′ ( x ) n’existe pas. 3. Construire le tableau des signes de f ′ ( x ) en plaçant par ordre croissant les valeurs critiques de f ( x ) et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent. 4. Déterminer le signe de f ′ ( x ) sur chacun de ces sous-intervalles. 5. Utiliser le test de la dérivée première (théorème 5.3) pour déterminer les extremums relatifs de la fonction f ( x ).

267

OPTIMISATION

goo.gl/GGtRQW

f ′( x) =

d ( 2 x3 − 3 x2 − 36 x + 5) dx

= 6 x 2 − 6 x − 36 = 6 ( x − 3 )( x + 2 ) Par conséquent, f ′ ( x ) existe toujours et f ′ ( x ) = 0 si x = 3 ou si x = −2. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) en plaçant par ordre croissant les valeurs critiques de la fonction f ( x ) et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 5.7). TABLE AU 5.7

Tableau des signes

]−,  −2 [

]−2 ,  3[

]3, [

−2

x

3

f ′( x )

+

0

−

0

+

f (x)



49 max. rel.



−76 min. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x + 5 atteint donc un maximum relatif de 49 en x = −2 puisque le signe de la dérivée passe de positif à négatif en x = −2. De plus, f ( x ) atteint un minimum relatif de –76 en x = 3 puisque le signe de la dérivée passe de négatif à positif en x = 3. La figure 5.8 permet de visualiser ces résultats. FIGURE 5.8

f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x + 5 y

|

|

|

–4

–3

–2

f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 36 x + 5

|

100

|

150

50

|

Accédez directement à l’animation.

Déterminons les extremums relatifs de la fonction f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x + 5 continue sur . En vertu du théorème 5.2 (p. 263), si la fonction f ( x ) admet des extremums relatifs, alors ils seront atteints à une valeur critique de la fonction f ( x ), c’est-à-dire à un élément du domaine de la fonction où la dérivée est nulle, ou encore là où elle n’existe pas. On a

|

–1 0 –50

|

> Multimédia > 22. Test de la dérivée première

EXEMPLE 5.4

–100

|

MaBiblio

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

x

268

CHAPITRE 5

QUESTION ÉCLAIR 5.2 Soit f ( x ) une fonction continue sur  qui admet comme seules valeurs critiques x = −3, x = −1 et x = 1. Complétez le tableau 5.8 et déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) ainsi que les valeurs de x où ils se produisent. TABLE AU 5.8

Tableau des signes

]−,  −3[

]−3 ,  −1 [ −3

x f ′( x ) f (x)

]1 , [

–1

∃

−

]−1 ,  1 [

+

2

1

0

∃

–

6

+

2

EXEMPLE 5.5

MaBiblio > Multimédia > 22. Test de la dérivée première Accédez directement à l’animation.

4 x3 x4 − continue 2 3 sur . En vertu du théorème 5.2 (p. 263), si la fonction g ( x ) admet des extremums relatifs, alors ils seront atteints à une valeur critique de la fonction g ( x ), c’est-à-dire à un élément du domaine de la fonction où la dérivée est nulle, ou encore là où elle n’existe pas. On a Déterminons les extremums relatifs de la fonction g ( x ) =

goo.gl/GGtRQW

4 x3  d  x4 −  3  dx  2

g′( x) =

= 2 x3 − 4 x2 = 2 x2 ( x − 2 ) Par conséquent, g ′ ( x ) existe toujours et g ′ ( x ) = 0 si x = 0 ou si x = 2. Construisons le tableau des signes de g ′ ( x ) (tableau 5.9). TABLE AU 5.9

Tableau des signes

]−,  0[ g′( x ) g( x )

]0 ,  2 [ 0

x – 

0 0

]2 , [ 2

– 

0 −8

+ 3

min. rel.



x4 4 x3 − atteint donc 2 3 en x = 2. Elle n’admet cependant aucun maximum

En vertu du théorème 5.3 (p. 265), la fonction g ( x ) = un minimum relatif de − 8 3 relatif.

Remarquons que la fonction g ( x ) n’admet pas de maximum relatif ni de minimum relatif en x = 0 puisque cette valeur critique satisfait à la troisième partie du théorème 5.3, c’est-à-dire que la dérivée ne change pas de signe en x = 0. La figure 5.9 permet d’observer ces résultats.

OPTIMISATION

269

FIGURE 5.9

g(x ) =

x 4 4x 3 − 2 3

10

|

–1

|

0 –5

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

–2

|

5

x4 4 x3 − 2 3

|

15

g ( x) =

|

20

|

25

|

y

EXEMPLE 5.6

MaBiblio > Multimédia > 22. Test de la dérivée première Accédez directement à l’animation.

Déterminons les extremums relatifs de la fonction h ( x ) = 3 − 3 ( 4 x + 2 )2 continue sur . En vertu du théorème 5.2 (p. 263), si la fonction h ( x ) admet des extremums relatifs, alors ils seront atteints à une valeur critique de la fonction h ( x ), c’est-à-dire à un élément du domaine de la fonction où la dérivée est nulle, ou encore là où elle n’existe pas. On a 2 d  3 − ( 4 x + 2 ) 3   dx 1 2 d = − ( 4 x + 2 )− 3 (4 x + 2) 3 dx −8 = 3 3 4x + 2

h′ ( x ) =

goo.gl/GGtRQW

Par conséquent, h′ ( x ) ≠ 0 pour tout x ∈  et h′ ( x ) n’existe pas si 4 x + 2 = 0 , c’est-à-dire si x = − 1 2 . Construisons le tableau des signes de h′ ( x ) (tableau 5.10). TABLE AU 5.10

Tableau des signes

]−,  − 1 2 [ −12

x h′( x ) h( x )

]− 1 2 , [

+

∃

–



3 max. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction h ( x ) = 3 − 3 ( 4 x + 2 )2 atteint donc un maximum relatif de 3 en x = − 1 2 . Elle n’admet cependant aucun minimum relatif. La figure 5.10 permet de constater ces résultats.

CHAPITRE 5

FIGURE 5.10

h(x ) = 3 −

3

(4x

+ 2)

2

|

|

|

–3

–2

–1

3 2

|

( 4 x + 2 )2

1

|

3

0 –1 –2

|

|

1

2

x

|

h( x ) = 3 −

|

4

|

y

|

270

EXERCICE 5.2

Déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur . (Utilisez les tableaux des signes obtenus à l’exercice 5.1 de la p. 263.) a) f ( x ) = −3 x 5 + 20 x 3 + 4 b) f ( x ) =

3

x2 − 9

c) f ( x ) = 2 xe −3 x

5.1.4 e xtremums relatIfs d’une fonctIon sur un Intervalle fermé Soit une fonction continue f ( x ) définie sur un intervalle fermé [ a,  b]. Le théorème 5.3 (p. 265) permet de déterminer les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur l’intervalle ouvert ]a,  b[. Le théorème 5.4 présente une procédure permettant de déterminer si f ( a ) et f ( b) sont des extremums relatifs.

v THÉORÈME 5.4 Soit une fonction f ( x ) continue définie sur un intervalle [ a,  b]. 1. S’il existe c ∈ ]a,  b[ tel que f ′ ( x ) > 0 [respectivement f ′ ( x ) < 0] pour tout x ∈ ]a,  c[, alors f ( a ) est un minimum relatif (respectivement un maximum relatif) de la fonction f ( x ). 2. S’il existe d ∈ ]a,  b[ tel que f ′ ( x ) < 0 [respectivement f ′ ( x ) > 0] pour tout x ∈ ]d,  b[ , alors f ( b) est un minimum relatif (respectivement un maximum relatif) de la fonction f ( x ).

Preuve 1. Supposons qu’il existe c ∈ ]a,  b[ tel que f ′ ( x ) > 0 pour tout x ∈ ]a,  c[. En vertu du théorème 5.1 (p. 259), la fonction f ( x ) est croissante sur [ a,  c ]. On a alors f ( a ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ [ a,  c ], de sorte que f ( a ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ).

P

271

OPTIMISATION

Supposons qu’il existe plutôt c ∈ ]a,  b[ tel que f ′ ( x ) < 0 pour tout x ∈ ]a,  c[. En vertu du théorème 5.1, la fonction f ( x ) est décroissante sur [ a,  c ]. On a alors f ( a ) ≥ f ( x ) pour tout x ∈ [ a,  c ], de sorte que f ( a ) est un maximum relatif de la fonction f ( x ). 2. Le deuxième énoncé se démontre de façon similaire.

EXEMPLE 5.7

Déterminons les extremums relatifs de la fonction continue f ( x ) = x 4 − 2 x 2 sur [ − 3 2 ,  2 ]. En vertu du théorème 5.2 (p. 263), si la fonction f ( x ) admet des extremums relatifs, alors ils seront atteints aux extrémités de l’intervalle ou à une valeur critique de la fonction f ( x ), c’est-à-dire à un élément du domaine de la fonction où la dérivée est nulle, ou encore là où elle n’existe pas. On a f ′( x) =

d 4 ( x − 2 x2 ) dx

= 4 x3 − 4 x = 4 x ( x − 1 )( x + 1 ) Par conséquent, sur ]− 3 2 ,  2[ , f ′ ( x ) existe toujours et f ′ ( x ) = 0 si x = 0, si x = 1 ou si x = −1. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) sur [ − 3 2 ,  2 ] (tableau 5.11). TABLE AU 5.11

Tableau des signes

]−1 ,  0[

]− 3 2 ,  −1 [

2

0

−

0

+



−1 min. rel.



0 max. rel.



−1 min. rel.



8 max. rel.

En vertu du théorème 5.3 (p. 265), sur [ − 3 2 ,  2 ] , la fonction f ( x ) = x 4 − 2 x 2 atteint donc un maximum relatif de 0 en x = 0 et un minimum relatif de –1 en x = −1 et en x = 1. De plus, en vertu du théorème 5.4, la fonction f ( x ) atteint un maximum relatif de 9 16 en x = − 3 2 et un maximum relatif de 8 en x = 2. La figure 5.11 illustre ces résultats. FIGURE 5.11

f (x ) = x 4 − 2x 2

|

|

–2

–1

| |

|

f ( x ) = x4 − 2 x2

|

8 7 6 5 4 3 2 1

|

y

|

16

1

+

|

9

max. rel.

0

0

|

f (x)

−1

]1 ,  2 [

−

0 –1 –2

|

f ′( x )

]0 ,  1 [

|

x

−32

|

|

|

1

2

3

x

272

CHAPITRE 5

QUESTION ÉCLAIR 5.3 Soit f ( x ) une fonction continue sur [ − 4,  5 ] qui admet comme seules valeurs critiques x = −2 et x = 3. Complétez le tableau 5.12 et déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur l’intervalle [ − 4,  5 ] ainsi que les valeurs de x où f ( x ) admet des extremums relatifs. TABLE AU 5.12

Tableau des signes

]− 4 ,  −2 [

]−2 ,  3[

−4

x

−2

f ′( x ) f (x)

+ −3

3

∃

-

5 +

0

5

4

]3 ,  5[

–3

5

2

EXEMPLE 5.8

Déterminons les extremums relatifs de la fonction continue g ( x ) = xe − x sur [ 0,  2 ]. On a d ( xe− x ) dx d d = x (e− x ) + e− x ( x) dx dx d = xe − x ( − x ) + e− x dx

g′( x) =

= − xe − x + e − x = e − x (1 − x ) Par conséquent, sur ]0,  2[, g ′ ( x ) existe toujours et g ′ ( x ) = 0 si e − x (1 − x ) = 0, c’est-à-dire si x = 1 puisque e − x > 0 pour tout x ∈ . Construisons le tableau des signes de g ′ ( x ) sur [ 0,  2 ] (tableau 5.13). TABLE AU 5.13

Tableau des signes

]0 ,  1 [ x

0

g′( x ) g( x )

0 min. rel.

]1 ,  2 [ 1

2

+

0

–



e −1 ≈ 0 , 37 max. rel.



2 e −2 ≈ 0 , 27 min. rel.

En vertu du théorème 5.3 (p. 265), sur [ 0,  2 ], la fonction g ( x ) = xe − x atteint donc un maximum relatif de e −1 ≈ 0, 37 en x = 1. De plus, en vertu du théorème 5.4 (p. 270), g ( x ) atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 et un minimum relatif de 2 e −2 ≈ 0, 27 en x = 2. On constate ces résultats sur la figure 5.12.

273

OPTIMISATION

FIGURE 5.12

g ( x ) = xe − x

g ( x ) = xe − x

|

0,1

0 –0,1

|

|

|

1

2

3

x

|

|

–1

0,2

|

0,3

|

0,4

|

y

EXEMPLE 5.9

Déterminons les extremums relatifs de la fonction continue f (θ ) = cos 2 ( 2θ ) sur [ 0, π ]. On a d f ′ (θ ) = [ cos ( 2θ )]2 dθ d = 2 cos ( 2θ ) [ cos ( 2θ )] dθ d = 2 cos ( 2θ )[ − sin ( 2θ )] ( 2θ ) dθ = − 4 sin ( 2θ ) cos ( 2θ ) = −2 sin ( 4θ )

car 2 sin A cos A = sin ( 2 A )

Par conséquent, sur ]0,  π [, f ′ (θ ) existe toujours et f ′ (θ ) = 0 si −2 sin ( 4θ ) = 0 , kπ soit si 4θ = kπ où k ∈ , c’est-à-dire si θ = où k ∈ . 4 Puisqu’on cherche les valeurs critiques appartenant à ]0,  π [, on ne retient π π 3π que les valeurs θ = , θ = et θ = . Construisons le tableau des signes de 4 2 4 f ′ (θ ) sur [ 0,  π ] (tableau 5.14). TABLE AU 5.14

Tableau des signes  0 ,  π   4 



f (θ )

π 4

0

f ′ (θ ) 1 max. rel.

 π ,  π   4 2 

 π ,  3 π   2 4 

π 2

 3 π ,  π    4 3π 4

π

−

0

+

0

−

0

+



0 min. rel.



1 max. rel.



0 min. rel.



1 max. rel.

Sur [ 0,  π ], la fonction f (θ ) = cos2 ( 2θ ) atteint donc un maximum relatif de 1 π et en θ = π . De plus, la fonction f (θ ) atteint un minimum en θ = 0, en θ = 2 π 3π relatif de 0 en θ = et en θ = . On observe ces résultats sur la figure 5.13. 4 4

274

CHAPITRE 5

FIGURE 5.13

0,8

|

0,4

|

0,2

|

0,6

|

0 –0,2

f (θ ) = cos2 ( 2θ )

|

1

|

1,2

|

f (θ ) = cos2 ( 2θ )

|

|

|

|

|

π 4

π 2

3π 4

π

5π 4

θ

EXERCICE 5.3

Déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné. a) f ( x ) = 4 x 3 − x 4 sur [1,  4 ]

b) f ( x ) = − 4 x x + 2 sur [ −2,  2 ]

c) f ( x ) = 2 cos x + sin 2 x sur [ 0,  2π ]

5.1.5 test de la dérIvée seconde Il existe un lien entre les extremums relatifs d’une fonction et le signe de la dérivée seconde de cette fonction. Examinons la figure 5.14.

MaBiblio > Multimédia > 23. Signe de la dérivée seconde et concavité Accédez directement à l’animation. goo.gl/52cMvJ

FIGURE 5.14

Extremum relatif et signe de la dérivée seconde y

a)

b)

y

g ( x)

f ′(c) = 0 f ′( x) < 0 f ′( x) > 0

g ′( x) > 0

g ′( x) < 0 g ′(d ) = 0

f ( x)

c

x

d

x

Sur la figure 5.14 a, on observe un maximum relatif en x = c . On a f ′ ( x ) > 0 si x < c puisque la fonction f ( x ) est croissante. De plus, f ′ ( x ) = 0 si x = c puisque la droite tangente est horizontale, et f ′ ( x ) < 0 si x > c , car la fonction f ( x ) est décroissante. La dérivée f ′ ( x ) est donc positive, puis nulle et enfin négative : bref, elle est décroissante. La dérivée de f ′ ( x ) est donc négative, c’est-à-dire que f ′′ ( x ) < 0. Sur la figure 5.14 b, on observe un minimum relatif en x = d . On a g ′ ( x ) < 0 si x < d puisque la fonction g ( x ) est décroissante. De plus, g ′ ( x ) = 0 si x = d puisque la droite tangente est horizontale, et g ′ ( x ) > 0 si x > d , car la fonction g ( x ) est croissante. La dérivée g ′ ( x ) est donc négative, puis nulle et enfin positive : bref, elle est croissante. La dérivée de g ′ ( x ) est donc positive, c’est-à-dire que g ′′ ( x ) > 0.

OPTIMISATION

275

Le théorème 5.5 formalise ce que nous avons observé sur la figure 5.14.

v THÉORÈME 5.5 Soit f ( x ) une fonction telle que f ′ ( x ) et f ′′ ( x ) existent pour tout x ∈ ]a,  b[ et soit c ∈ ]a,  b[ tel que f ′ ( c ) = 0. 1. Si f ′′ ( c ) < 0, alors f ( c ) est un maximum relatif de la fonction f ( x ). 2. Si f ′′ ( c ) > 0, alors f ( c ) est un minimum relatif de la fonction f ( x ).

Preuve 1. Puisque f ′′ ( c ) < 0, on a f ′′ ( c ) = lim

x→c

f ′ ( x ) − f ′ (c ) f ′( x) = lim < 0 , car f ′ ( c ) = 0 x → c x−c x−c

Si x s’approche de c par la gauche, alors x − c < 0 et lim

x → c−

f ′( x) < 0 ⇒ x−c

f ′( x) > 0

Si x s’approche de c par la droite, alors x − c > 0 et lim

x → c+

f ′( x) < 0 ⇒ x−c

f ′( x) < 0

Par le test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), f ( c ) est un maximum relatif de la fonction f ( x ). 2. Le deuxième énoncé se démontre de façon similaire.

EXEMPLE 5.10

À l’aide du test de la dérivée seconde, déterminons les extremums relatifs de la fonction f ( x ) = x 4 − 2 x 2 sur . On a f ′( x) =

d 4 ( x − 2 x2 ) dx

= 4 x3 − 4 x = 4 x ( x − 1 )( x + 1 ) et f ′′ ( x ) =

d ( 4 x3 − 4 x ) dx

= 12 x 2 − 4 On a que f ′ ( x ) et f ′′ ( x ) existent toujours dans  et que f ′ ( x ) = 0 si x = 0, si x = 1 ou si x = −1. Évaluons la dérivée seconde en chacune de ces valeurs critiques : f ′′ ( −1) = 8 > 0 f ′′ ( 0 ) = − 4 < 0 f ′′ (1) = 8 > 0

276

CHAPITRE 5

En vertu du test de la dérivée seconde (théorème 5.5), la fonction f ( x ) = x 4 − 2 x 2 admet un minimum relatif de f ( −1) = −1 en x = −1, un maximum relatif de f ( 0 ) = 0 en x = 0 et un minimum relatif de f (1) = −1 en x = 1. La figure 5.15 corrobore ces résultats.

FIGURE 5.15

f (x ) = x 4 − 2x 2

–2

–1

| | |

Soit la fonction continue f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 5 sur .

|

|

|

|

a) Déterminez la dérivée de la fonction f ( x ) et ses valeurs critiques.

|

|

QUESTION ÉCLAIR 5.4

|

|

|

1

2

0 –1 –2

x

b) À l’aide du test de la dérivée seconde, déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur .

|

|

f ( x ) = x4 − 2 x2

|

8 7 6 5 4 3 2 1

|

y

EXEMPLE 5.11

À l’aide du test de la dérivée seconde, déterminons, si cela est possible, les extremums relatifs de la fonction h ( x ) = 3 −

3

( 4 x + 2 )2 sur . On a

2 d  3 − ( 4 x + 2 ) 3  dx  1 2 d = − ( 4 x + 2 )− 3 (4 x + 2) 3 dx −8 = 3 3 4x + 2

h′ ( x ) =

Par conséquent, h′ ( x ) ≠ 0 pour tout x ∈ , et le test de la dérivée seconde ne s’applique pas. On ne peut donc pas déterminer les extremums relatifs de cette fonction à l’aide du théorème 5.5. Par ailleurs, à l’aide du théorème 5.3 (p. 265), on a déterminé, à l’exemple 5.6 (p. 269), que cette fonction admet un maximum relatif de 3 en x = − 1 2 .

L’exemple 5.11 permet de constater que le théorème 5.5 ne donne pas tous les extremums relatifs d’une fonction : il ne s’applique pas lorsque f ′ ( x ) n’existe pas, ni aux extrémités d’un intervalle fermé, alors qu’il peut effectivement y avoir des extremums relatifs à ces endroits. Le théorème 5.3 (test de la dérivée première, p.  265) s’avère donc plus utile que le théorème 5.5 (test de la dérivée seconde), même si ce dernier permet, à l’occasion, de produire un résultat plus rapidement. Notons également que le théorème 5.5 ne nous permet pas de conclure sur la nature de f ( c ) si f ′′ ( c ) = 0. EXEMPLE 5.12

Considérons les fonctions f ( x ) = x 3 et g ( x ) = x 4 . On a f ′ ( x ) = 3 x 2 et f ′′ ( x ) = 6 x et g ′ ( x ) = 4 x 3 et g ′′ ( x ) = 12 x 2

OPTIMISATION

277

Les dérivées premières et secondes existent toujours pour les deux fonctions. De plus, f ′ ( x ) = 0 et g ′ ( x ) = 0 si et seulement si x = 0. En remplaçant x par cette valeur dans les deux dérivées secondes, on obtient f ′′ ( 0 ) = 0 et g ′′ ( 0 ) = 0 Le théorème 5.5 ne permet pas de déterminer si f ( 0 ) = 0 et g ( 0 ) = 0 sont (ou ne sont pas) des extremums relatifs. Cependant, en observant les graphiques des deux fonctions (figure 5.16), on constate que f ( 0 ) = 0 n’est pas un extremum relatif de la fonction f ( x ). Par contre, g ( 0 ) = 0 est un minimum relatif de la fonction g ( x ). FIGURE 5.16

f ( x ) = x 3 et g ( x ) = x 4

|

2

x

8

|

1

|

| | |

|

4

|

0 –2 –4 –6 –8

|

|

|

–2

–1

0 –4

|

|

1

2

x

|

–1

|

–2

g ( x ) = x4

|

|

12

|

|

16

f ( x ) = x3

|

8 6 4 2

|

y

y

EXERCICE 5.4

Déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur  à l’aide du test de la dérivée seconde. Si le test de la dérivée seconde ne s’applique pas, utilisez le test de la dérivée première. a) f ( x ) = x 3 − 12 x + 1

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 1 à 3.

b) f ( x ) =

3

x2 − 4

5.2 EXTREMUMS ABSOLUS D’UNE FONCTION

Dans cette section : maximum absolu – minimum absolu – extremums absolus.

La recherche d’une solution optimale consiste à déterminer la valeur maximale (ou minimale) d’une fonction. ● Maximum absolu Le maximum absolu d’une fonction sur un intervalle I est la valeur maximale atteinte par la fonction sur cet intervalle. ● Minimum absolu Le minimum absolu d’une fonction sur un intervalle I est la valeur minimale atteinte par la fonction sur cet intervalle. ● Extremums absolus Le minimum absolu et le maximum absolu d’une fonction f ( x ) sont appelés extremums absolus (ou extremums globaux) de la fonction f ( x ) .

Le maximum absolu d’une fonction sur un intervalle I est la valeur maximale atteinte par la fonction sur cet intervalle, et le minimum absolu d’une fonction sur un intervalle I est la valeur minimale atteinte par la fonction sur cet intervalle. Une fonction f ( x ) atteint donc un maximum absolu en x = c si f ( c ) ≥ f ( x ) pour toutes les valeurs x de l’intervalle I et un minimum absolu en x = d si f ( d ) ≤ f ( x ) pour toutes les valeurs x de l’intervalle I . On appelle alors f ( c ) et f ( d ) les extremums absolus (ou extremums globaux) de la fonction f. On déduit des définitions précédentes que les extremums absolus, s’ils existent, sont des extremums relatifs. La figure 5.17 présente trois fonctions continues définies sur  et très différentes l’une de l’autre.

278

CHAPITRE 5

La fonction f ( x ) illustrée à la figure 5.17 a admet un maximum absolu et un minimum absolu. Par contre, la fonction g ( x ) illustrée à la figure 5.17 b n’admet pas de maximum absolu, car g ( x ) → ∞ quand x → ∞. De plus, la fonction g ( x ) n’admet pas de minimum absolu, car g ( x ) → −∞ quand x → −∞. La fonction h ( x ) illustrée à la figure 5.17 c n’admet pas d’extremums absolus puisqu’elle n’a pas d’extremums relatifs. FIGURE 5.17

Fonctions continues sur  et extremums absolus a)

b)

y

c)

y

maximum absolu et relatif

maximum relatif

maximum relatif

y

g ( x)

h( x )

x

minimum relatif

f ( x)

minimum relatif x

x

minimum absolu et relatif

La figure 5.17 permet de constater que les extremums absolus d’une fonction n’existent pas toujours. Ce qui nous amène à vouloir déterminer les conditions qui garantissent la présence d’un maximum absolu et d’un minimum absolu. La figure 5.18 présente une même fonction définie sur des intervalles différents.

x

|

–4

|

–4

–2

| |

|

|

4

6

x

|

|

4 2

6

0 –2

|

|

|

2

4

x

–2

4

|

|

6

y

2

|

|

8

|

10

| |

|

2

|

d)

y

0 –2

|

|

c)

|

0 –2 –2 –4 –6

|

|

6

|

|

4

|

|

2

|

| | |

|

0 –2 –2 –4 –6

|

|

–4

|

goo.gl/h6Ann2

10 8 6 4 2

|

10 8 6 4 2

Accédez directement à l’animation.

y

b)

|

y

a)

x2 x3 sur différents intervalles − 2 3

|

Extremums absolus de la fonction f ( x ) = 2 x +

|

> Multimédia > 24. Extremums absolus d’une fonction selon son domaine

FIGURE 5.18

|

MaBiblio

|

|

2

4

x

279

OPTIMISATION

x2 x3 − définie sur  (figure 5.18 a) ne possède pas 2 3 de maximum absolu puisque f ( x ) → ∞ lorsque x → −∞. La fonction f ( x ) n’admet pas de minimum absolu puisque f ( x ) → −∞ lorsque x → ∞. La fonction f ( x ) = 2 x +

x2 x3 − définie sur [ −3,  4 ] 2 3 (figure 5.18 b), alors elle admet un minimum absolu de f ( 4 ) = − 16 3 en x = 4 et un maximum absolu de f ( −3) = 15 2 en x = −3. Si on considère plutôt la fonction f ( x ) = 2 x +

x2 x3 − définie sur [ −3,  2 ] (figure 5.18 c) 2 3 admet un maximum absolu de f ( −3) = 15 2 en x = −3 et admet un minimum absolu de f ( −1) = − 7 6 en x = −1, résultat qu’on peut confirmer à l’aide du test de la dérivée première ou du test de la dérivée seconde. Par ailleurs, la fonction f ( x ) = 2 x +

x2 x3 − définie sur ]−1,  3] (figure 5.18 d) 2 3 n’admet pas de minimum absolu, car il n’y a pas de valeur minimale atteinte par la fonction (point ouvert), et admet un maximum absolu de f ( 2 ) = 10 3 en x = 2, résultat qu’on peut confirmer à l’aide du test de la dérivée première ou du test de la dérivée seconde. Finalement, la fonction f ( x ) = 2 x +

Il semble donc que l’une des conditions qui assure l’existence des extremums absolus d’une fonction f ( x ) sur un intervalle I est que l’intervalle soit fermé. Mais cette condition n’est pas suffisante, comme l’illustre la figure 5.19. FIGURE 5.19

Extremums absolus d’une fonction sur un intervalle fermé

|

|

|

|

5

|

g ( x) =

|

3 |

|

1

2

3

x

2 1 |

|

|

|

|

|

–4 –3 –2 –1 0 –1

|

1

|

2

|

3

x

|

|

|

|

|

|

|

0 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

|

1 x2

|

|

|

4

|

|

f ( x) = 4 − x

y

2

|

5 4 3 2 1 |

b)

y

|

a)

Sur l’intervalle fermé [ −3,  2 ], la fonction f ( x ) = 4 − x 2 (figure 5.19 a) admet un maximum absolu de f ( 0 ) = 4 en x = 0 (sommet de la parabole) et un minimum absolu de f ( −3) = −5 en x = −3. 1 Par contre, sur l’intervalle fermé [ −3,  2 ], la fonction g ( x ) = 2 (figure 5.19 b) x admet un minimum absolu de g ( −3) = 1 9 en x = −3, mais ne possède pas de maximum absolu, car g ( x ) → ∞ quand x → 0.

5.2.1 e xtremums absolus d’une fonctIon sur un Intervalle fermé Les figures 5.18 et 5.19 nous amènent à penser que, si elle est continue sur un intervalle fermé, la fonction admet un maximum absolu et un minimum absolu sur cet intervalle, ce que confirme le théorème 5.6. Nous admettrons ce théorème sans démonstration.

280

CHAPITRE 5

v THÉORÈME 5.6

Théorème des valeurs extrêmes

Si la fonction f ( x ) est continue sur un intervalle fermé [ a,  b], alors la fonction f admet un maximum absolu et un minimum absolu sur cet intervalle.

FIGURE 5.20

Intuitivement, si on trace une courbe en partant d’un point ( a,  f ( a )) pour se rendre à un point ( b,  f ( b)) et qu’on effectue ce tracé sans lever la pointe du crayon [la fonction f ( x ) est continue], alors il n’existe aucune façon de tracer cette courbe sans qu’elle ait de maximum absolu et de minimum absolu (figure 5.20).

Tracé d’une fonction continue sur un intervalle fermé

EXEMPLE 5.13

maximum absolu

Déterminons si la fonction f ( x ) =

FIGURE 5.21

f (x ) =

2x + 3 x −2

y

6 5

|

x

f ( x) =

4

|

b

2x + 3 x−2

3

|

minimum absolu

|

a

2x + 3 admet des extremums absolus sur [ 4,  7 ]. x−2

La fonction f ( x ) est continue sur \ {2} ; elle est donc continue sur l’inter2x + 3 valle fermé [ 4,  7 ]. En vertu du théorème 5.6, la fonction f ( x ) = admet un x−2 maximum absolu et un minimum absolu sur l’intervalle fermé [ 4,  7 ]. La figure 5.21 permet de faire ce constat. En effet, on voit que f ( x ) atteint un maximum absolu de f ( 4 ) = 11 2 en x = 4 et un minimum absolu de f ( 7 ) = 17 5 en x = 7.

2

|

f ( x)

1

|

y

0

|

|

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

7

8

x

QUESTION ÉCLAIR 5.5 Déterminez si la fonction f ( x ) = [ − 4, 11].

x + 5 admet des extremums absolus sur

EXEMPLE 5.14

4 − x 2 Déterminons si la fonction g ( x ) =  x−2 absolus sur [ −1,  4 ].

si si

x ≤1 admet des extremums x >1

OPTIMISATION

281

La fonction g ( x ) n’est pas continue en x = 1 puisque lim g ( x ) = lim+ ( x − 2 ) = −1

x → 1+

x→1

et que g (1) = 3 . Par conséquent, la fonction g ( x ) n’est pas continue sur [ −1,  4 ]. Le théorème 5.6 ne s’applique donc pas. On ne sait donc pas si la fonction g ( x ) admet ou non des extremums absolus sur l’intervalle fermé [ −1,  4 ]. Cependant, à l’examen du graphique de g ( x ) sur [ −1,  4 ] (figure 5.22), on constate qu’elle admet un maximum absolu de g ( 0 ) = 4 en x = 0 (sommet de la parabole), mais elle n’admet pas de minimum absolu (point ouvert en x = 1). FIGURE 5.22

g(x )

|

–1

|

|

2 1

|

3

0 –1

g ( x)

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

x

–2

|

|

|

–2

4

|

5

|

y

Les exemples 5.13 et 5.14 permettent de voir les limites du théorème 5.6 : il ne s’applique pas toujours et, lorsqu’il s’applique, il indique seulement l’existence des extremums absolus, mais il ne donne pas ces extremums et n’indique pas où ils se produisent. Puisque les extremums absolus sont aussi des extremums relatifs, on sait qu’ils se produiront soit aux extrémités de l’intervalle, soit en une valeur critique de la fonction (théorème 5.2, p. 263). Le théorème 5.7 est une adaptation du théorème 5.2 aux extremums absolus.

v THÉORÈME 5.7 Si la fonction f ( x ) est continue sur un intervalle fermé [ a,  b] et si c ∈ [ a,  b] est tel que f ( c ) est un extremum absolu de la fonction f ( x ), alors c satisfait à l’une ou l’autre des deux conditions suivantes : 1. c est l’une des extrémités de [ a,  b], c’est-à-dire c = a ou c = b . 2. c est une valeur critique de la fonction f ( x ), c’est-à-dire que c ∈ Dom f et que f ′ ( c ) = 0 ou f ′ ( c ) n’existe pas.

Preuve Supposons que f ( c ) est un extremum absolu de la fonction f ( x ) sur [ a,  b]. Alors, cet extremum est également un extremum relatif de la fonction f ( x ) sur [ a,  b]. En vertu du théorème 5.2 (p. 263), c = a , c = b ou c est une valeur critique de la fonction f ( x ).

CHAPITRE 5

Le théorème 5.7 permet d’établir une procédure pour repérer les extremums absolus d’une fonction continue f ( x ) sur un intervalle fermé [ a,  b]. 1. Déterminer les candidats, soit x = a , x = b et toutes les valeurs critiques de f ( x ), c’est-à-dire les valeurs de c ∈ ]a,  b[ pour lesquelles f ′ ( c ) = 0 ou f ′ ( c ) n’existe pas. 2. Évaluer la fonction f ( x ) à chacune des valeurs déterminées à la première étape. 3. Le maximum absolu de la fonction f ( x ) correspond à la plus grande valeur obtenue à la deuxième étape, et le minimum absolu de la fonction f ( x ) correspond à la plus petite valeur obtenue à la deuxième étape. EXEMPLE 5.15

Déterminons les extremums absolus de la fonction f ( x ) = x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + 1 sur [ −1,  4 ]. La fonction f ( x ) est continue sur  et elle est donc continue sur l’intervalle fermé [ −1,  4 ]. En vertu du théorème 5.6 (p. 280), la fonction f ( x ) admet un maximum absolu et un minimum absolu sur l’intervalle fermé [ −1,  4 ]. De plus, en vertu du théorème 5.7, ces extremums sont atteints aux extrémités de l’intervalle ou, pour des valeurs de x ∈ ]−1,  4[, en une valeur critique de f ( x ), c’est-à-dire là où f ′ ( x ) = 0, ou encore là où f ′ ( x ) n’existe pas. Or, f ′( x) =

d 4 ( x − 2 x 3 − 2 x 2 + 1) dx

= 4 x3 − 6 x2 − 4 x = 2 x ( 2 x + 1 )( x − 2 ) Par conséquent, f ′ ( x ) existe toujours pour x ∈ ]−1,  4[ et, sur cet intervalle, f ′ ( x ) = 0 lorsque x = 0, x = − 1 2 ou x = 2. Évaluons la fonction f ( x ) aux extrémités de l’intervalle ainsi qu’aux valeurs critiques : f ( −1) = 2, f ( − 1 2 ) =

13

16 ,

f ( 0 ) = 1, f ( 2 ) = −7 et f ( 4 ) = 97

On peut donc conclure que, sur l’intervalle [ −1,  4 ], la fonction f ( x ) = x4 − 2 x3 − 2 x2 + 1 atteint un maximum absolu de 97 en x = 4 et un minimum absolu de –7 en x = 2, ce que la figure 5.23 permet d’observer. FIGURE 5.23

f (x ) = x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 1

|

100

|

|

–2

–1

40

|

20

|

60

f ( x ) = x4 − 2 x3 − 2 x2 + 1

|

80

|

120

|

y

0 –20

|

282

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

x

283

OPTIMISATION

QUESTION ÉCLAIR 5.6 Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ) =

16 − x 2 sur [ −2,  3].

EXEMPLE 5.16

Déterminons les extremums absolus de la fonction g ( x ) = 4 + ( x − 2 ) [ − 6,  3].

2

3

sur

La fonction g ( x ) est continue sur  et elle est donc continue sur l’intervalle fermé [ − 6,  3]. Ses extremums absolus sont donc atteints aux extrémités de l’intervalle ou en une valeur critique de g ( x ) appartenant à ]− 6,  3[. Or, 2 d  4 + ( x − 2 ) 3  dx  1 2 d = ( x − 2 )− 3 ( x − 2) 3 dx 2 = 3 3 x−2

g′( x) =

Par conséquent, g ′ ( x ) n’existe pas si x = 2 et g ′ ( x ) ≠ 0 pour tout x ∈ ]− 6,  3[. Évaluons la fonction g ( x ) aux extrémités de l’intervalle ainsi qu’à la valeur critique : g (− 6) = 8, g ( 2 ) = 4 et g ( 3) = 5 On peut donc conclure que, sur l’intervalle [ − 6,  3], la fonction g ( x) = 4 + ( x − 2)

2

3

atteint un maximum absolu de 8 en x = −6 et un minimum absolu de 4 en x = 2. La figure 5.24 permet de visualiser ces résultats. FIGURE 5.24

g ( x ) = 4 + ( x − 2)

2

3

|

|

|

|

|

–6

–5

–4

–3

–2

| | |

3

|

|

|

2

|

|

–1–10

|

|

–7

g ( x) = 4 + ( x − 2)

|

9 8 7 6 5 4 3 2 1

|

y

|

|

|

|

1

2

3

4

x

EXEMPLE 5.17

π π Déterminons les extremums absolus de la fonction f ( t ) = t − tg t sur  − ,   .  4 4

CHAPITRE 5

π   La fonction f ( t ) est continue sur  \ ( 2 k + 1) k ∈    et elle est donc conti2   π π nue sur l’intervalle fermé  − ,   . Ses extremums absolus sont donc atteints  4 4 aux extrémités de l’intervalle ou en une valeur critique de f ( t ) appartenant à  − π ,  π  .  4 4  Or, f ′ (t ) =

d (t − tg t ) dt

= 1 − sec 2 t = 1− = =

1 cos 2 t

cos 2 t − 1 cos2 t

( cos t − 1)( cos t + 1) cos2 t

π π Par conséquent, f ′ ( t ) existe toujours pour t ∈  − ,   puisque cost > 0 sur  4 4 π π cet intervalle. De plus, sur  − ,   , f ′ ( t ) = 0 lorsque cost = 1, c’est-à-dire  4 4 lorsque t = 0. Évaluons la fonction f ( t ) aux extrémités de l’intervalle ainsi qu’à la valeur critique :

π π  π π f  −  = − + 1 ≈ 0, 21, f ( 0 ) = 0 et f   = − 1 ≈ − 0, 21  4   4 4 4 π π On peut donc conclure que, sur l’intervalle  − ,   , la fonction f ( t ) = t − tg t  4 4 π atteint un maximum absolu d’environ 0,21 en t = − et un minimum absolu 4 π d’environ – 0,21 en t = , ce que la figure 5.25 permet d’observer. 4 FIGURE 5.25

f (t ) = t − tg t

| | |

|

|

0 π − –0,05 8 –0,1 –0,15 –0,2 –0,25

|

π − 4

|

|

|

|

3π − 8

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

|

f ( t ) = t − tg t

|

y

|

284

|

|

|

π 8

π 4

3π 8

t

285

OPTIMISATION

EXERCICE 5.5

Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné. a) f ( x ) =

x2

x sur [ −1,  3] +2

b) f ( x ) = x 5 3 − x sur [ 0,  4 ] c) f ( x ) = x 2 e 3 x sur [ −2,  1]

5.2.2 extremums absolus d’une fonctIon sur un Intervalle non fermé Il reste à déterminer une méthode pour obtenir les extremums absolus d’une fonction continue sur  ou sur ]a,  b[. Nous savons que, s’ils existent, les extremums absolus sont des extremums relatifs. Nous savons également comment déterminer tous les extremums relatifs d’une fonction. Le maximum absolu, s’il existe, est le plus grand maximum relatif. De même, le minimum absolu, s’il existe, est le plus petit minimum relatif. La figure 5.26 présente des situations où une fonction continue sur  ou sur

]a,  b[ n’admet pas d’extremums absolus. Analysons ces situations.

La fonction f ( x ) définie sur  et illustrée à la figure 5.26 a n’admet pas de maximum absolu puisque f ( x ) → ∞ quand x → ∞. De plus, elle n’admet pas de minimum absolu puisque f ( x ) → −∞ quand x → −∞. FIGURE 5.26

Fonctions continues n’admettant pas d’extremums absolus a)

y

b)

c) y

y

f ( x)

d) f ( x)

y = c

y

c

f ( x)

x2 x1

f ( x)

x

d y = d

x

x

x = a

a x1

x2

b

x

x = b

La fonction f ( x ) définie sur  et illustrée à la figure 5.26 b n’admet pas de maximum absolu puisque f ( x ) → c quand x → ∞ et que c > f ( x1 ) , qui est le seul maximum relatif de la fonction f ( x ). De plus, elle n’admet pas de minimum absolu puisque f ( x ) → d quand x → −∞ et que d < f ( x2 ) , qui est le seul minimum relatif de la fonction f ( x ). La fonction f ( x ) définie sur ]a,  b[ et illustrée à la figure 5.26 c n’admet pas de maximum absolu puisque f ( x ) → ∞ quand x → a + . De plus, elle n’admet pas de minimum absolu puisque f ( x ) → −∞ quand x → b− . La fonction f ( x ) définie sur ]a,  b[ et illustrée à la figure 5.26 d n’admet pas de maximum absolu puisque lim− f ( x ) = c et que c > f ( x1 ) , qui est le seul maximum x→b

relatif de la fonction f ( x ). De plus, elle n’admet pas de minimum absolu puisque lim+ f ( x ) = d et que d < f ( x2 ) , qui est le seul minimum relatif de la fonction f ( x ). x→ a

286

CHAPITRE 5

Les observations faites à partir de la figure 5.26 permettent de décrire une procédure pour déterminer les extremums absolus d’une fonction continue f ( x ) sur  ou sur ]a,  b[. 1. Si la fonction est définie sur , évaluer lim f ( x ) et lim f ( x ). Si la fonction x →−∞

x →∞

est définie sur ]a,  b[, évaluer plutôt lim+ f ( x ) et lim− f ( x ). x→ a

x→b

2. Si l’une des limites évaluées à la première étape donne ∞, alors la fonction f ( x ) n’admet pas de maximum absolu. 3. Si l’une des limites évaluées à la première étape donne −∞, alors la fonction f ( x ) n’admet pas de minimum absolu. 4. Si aucune des limites évaluées à la première étape donne ∞, déterminer les maximums relatifs de la fonction f ( x ) à l’aide du test de la dérivée première. S’il n’y a pas de maximum relatif, il n’y a pas de maximum absolu. S’il y a des maximums relatifs, vérifier si le plus grand maximum relatif est supérieur aux limites évaluées à la première étape. Si oui, le plus grand maximum relatif est le maximum absolu, sinon il n’y a pas de maximum absolu. 5. Si aucune des limites évaluées à la première étape donne −∞, déterminer les minimums relatifs de la fonction f ( x ) à l’aide du test de la dérivée première. S’il n’y a pas de minimum relatif, il n’y a pas de minimum absolu. S’il y a des minimums relatifs, vérifier si le plus petit minimum relatif est inférieur aux limites évaluées à la première étape. Si oui, le plus petit minimum relatif est le minimum absolu, sinon il n’y a pas de minimum absolu. EXEMPLE 5.18

Déterminons les extremums absolus de la fonction continue f ( x ) = sur . On a lim

x →−∞

6x 6x = lim 2 x →−∞ +9 x (1 +

x2

9

x2

)

6x x2 + 9

6 = 0 x (1 + 9 x 2 ) 

= lim

x →−∞

forme

6 −∞

et lim

x →∞

6x 6x = lim 2 x →∞ x (1 + x2 + 9

9

x2

)

6 = 0 x (1 + 9 x 2 ) 

= lim

x →∞

forme

6 ∞

Puisque ces deux limites ne donnent pas ∞ ou −∞, déterminons les extremums relatifs de f ( x ) à l’aide du test de la dérivée première. On a f ′( x) = = = =

d d ( 6 x ) − 6 x ( x2 + 9 ) dx dx ( x 2 + 9 )2

( x2

+ 9)

( x2

+ 9 )( 6 ) − 6 x ( 2 x )

( x2

+ 9)

2

54 − 6 x 2

( x2

+ 9)

2

6 ( 3 − x )( 3 + x )

( x2

+ 9)

2

287

OPTIMISATION

On a que f ′ ( x ) existe toujours sur  et que f ′ ( x ) = 0 si x = 3 ou si x = −3. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) (tableau 5.15). TABLE AU 5.15

Tableau des signes

]−,  −3[

]−3 ,  3[

]3, [

−3

x f ′( x ) f (x)

3

–

0



–1 min. rel.

+

0

–



1 max. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction 6x f ( x) = 2 admet un minimum relatif de f ( −3) = −1 en x = −3. Vérifions x +9 que ce minimum est également le minimum absolu de la fonction f ( x ). On a que f ( −3) = −1 est le plus petit minimum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est le seul minimum relatif. De plus, f ( −3) = −1 < lim f ( x ) = 0 et f ( −3) = −1 < lim f ( x ) = 0 x →−∞

x →∞

Par conséquent, f ( −3) = −1 est le minimum absolu de la fonction f ( x ) sur . En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3), la fonction 6x f ( x) = 2 admet un maximum relatif de f ( 3) = 1 en x = 3. Vérifions que x +9 ce maximum est également le maximum absolu de la fonction f ( x ). On a que f ( 3) = 1 est le plus grand maximum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est le seul maximum relatif. De plus, f ( 3) = 1 > lim f ( x ) = 0 et f ( 3) = 1 > lim f ( x ) = 0 x →−∞

x →∞

Par conséquent, f ( 3) = 1 est le maximum absolu de la fonction f ( x ) sur . La figure 5.27 permet d’observer ces résultats. FIGURE 5.27

6x +9

x2

|

|

–6

|

|

–3 0 –0,5 –1

|

|

0,5

–1,5

|

|

–15 –12 –9

1

|

1,5

|

y

|

f (x ) =

f ( x) =

6x x2 + 9

|

|

|

|

|

3

6

9

12

15

x

288

CHAPITRE 5

QUESTION ÉCLAIR 5.7 Soit la fonction continue f ( x ) =

3

( 9 − x 2 )2

sur ]− 4,  2[ .

a) Évaluez lim + 3 ( 9 − x 2 ) . 2

x →− 4

b) Évaluez lim− 3 ( 9 − x 2 ) . 2

x→ 2

c) Sachant que f ′ ( x ) =

−4 x

3(9 −

x2

)

1

3

=

−4 x

3 [( 3 − x )( 3 + x )]

1

3

, déterminez les

valeurs critiques de la fonction f ( x ) appartenant à ]− 4,  2[ . d) Déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) à l’aide du test de la dérivée première. e) Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ).

EXEMPLE 5.19

Déterminons les extremums absolus de la fonction continue f ( x ) = ( 4 − x 2 ) sur . On a

2

lim ( 4 − x 2 ) = ∞ et lim ( 4 − x 2 ) = ∞ x →−∞ x →∞      2

2

forme ( 4 − ∞ )2

forme ( 4 − ∞ )2

Puisque ces deux limites donnent ∞ , il n’y a pas de maximum absolu. Déterminons les extremums relatifs de f ( x ) à l’aide du test de la dérivée première. On a f ′ ( x ) = 2 ( 4 − x2 )

d ( 4 − x2 ) dx

= 2 ( 4 − x 2 ) ( −2 x ) = − 4 x ( 2 − x )( 2 + x ) On a que f ′ ( x ) existe toujours sur  et que f ′ ( x ) = 0 si x = 0, si x = 2 ou si x = −2. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) (tableau 5.16). TABLE AU 5.16

Tableau des signes

]−,  −2 [ −2

x f ′( x ) f (x)

]−2 ,  0[

−

0



0 min. rel.

]0 ,  2 [ 0

+

0



16 max. rel.

]2 , [ 2

−

0

+



0 min. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction f ( x ) = ( 4 − x 2 ) admet un minimum relatif de 0 en x = −2 et en x = 2. Vérifions que ce minimum est également le minimum absolu de la fonction f ( x ). On a que 0 est le plus petit minimum relatif de la fonction f ( x ). De plus, 2

0 < lim f ( x ) = ∞ et 0 < lim f ( x ) = ∞ x →−∞

x →∞

OPTIMISATION

289

Par conséquent, 0 est le minimum absolu de la fonction f ( x ) sur . En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3), la fonction 2 f ( x ) = ( 4 − x 2 ) admet un maximum relatif de f ( 0 ) = 16 en x = 0. Ce maximum n’est pas un maximum absolu puisque lim f ( x ) = ∞ et, par conséquent, la x →∞

fonction f ( x ) atteint des valeurs supérieures à 16. La figure 5.28 permet de visualiser ces résultats. FIGURE 5.28

f (x ) = (4 − x 2 )

2

y

|

|

–2

–1

| |

5 0 –5

|

|

|

|

1

2

3

x

|

|

–3

10

|

15

2

|

20

f ( x ) = ( 4 − x2 )

|

25

EXEMPLE 5.20

Déterminons les extremums absolus de la fonction continue f ( x ) = ( 2 x + 1) e − x sur ]−2,  1[ . On a

2

lim ( 2 x + 1) e − x  = −3e − 4 ≈ − 0, 055 2

x →−2 +

et lim ( 2 x + 1) e − x  = 3e −1 ≈ 1, 104 2

x → 1−

Puisque ces deux limites ne donnent pas ∞ ou −∞, déterminons les extremums relatifs de f ( x ) à l’aide du test de la dérivée première. On a d − x2 2 d e + e− x ( 2 x + 1) dx dx 2 d = ( 2 x + 1) e − x ( − x 2 ) + 2 e − x2 dx

f ′ ( x ) = ( 2 x + 1)

(

)

= −2 x ( 2 x + 1) e − x + 2 e − x 2

2

= −2 e − x ( 2 x 2 + x − 1) 2

= −2 e − x ( 2 x − 1)( x + 1) 2

On a que f ′ ( x ) existe toujours sur  et que f ′ ( x ) = 0 si −2 e − x ( 2 x − 1)( x + 1) = 0 2

c’est-à-dire si x = 1 2 ou si x = −1 puisque e − x > 0 pour tout x ∈ . Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) sur ]−2,  1[ (tableau 5.17). 2

290

CHAPITRE 5

TABLE AU 5.17

Tableau des signes

]−2 ,  −1 [

]−1 ,  1 2 [

]1 2 ,  1 [ 1

−1

x f ′( x )

–

f (x)

0

+

− e −1



1 2 e− 4



min. rel.

2

0 max. rel.

– 

En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction 2 f ( x ) = ( 2 x + 1) e − x admet un minimum relatif de f ( −1) = − e −1 ≈ − 0, 37 en x = −1. Vérifions que ce minimum est également le minimum absolu de la fonction f ( x ). On a que f ( −1) = − e −1 est le plus petit minimum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est le seul minimum relatif. De plus, f ( −1) = − e −1 < lim + f ( x ) = −3e − 4 et f ( −1) = − e −1 < lim− f ( x ) = 3e −1 x →−2

x→1

Par conséquent, f ( −1) =

− e −1

]−2, 1[ .

est le minimum absolu de la fonction f ( x ) sur

En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3), la fonction 2 1 f ( x ) = ( 2 x + 1) e − x admet un maximum relatif de f ( 1 2 ) = 2 e − 4 ≈ 1, 56 en x = 1 2 . Vérifions que ce maximum est également le maximum absolu de la fonc1 tion f ( x ). On a que f ( 1 2 ) = 2 e − 4 est le plus grand maximum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est le seul maximum relatif. De plus, f ( 1 2 ) = 2e−

1

4

> lim + f ( x ) = −3e − 4 et f ( 1 2 ) = 2 e − x →−2

Par conséquent, f (

1

2

)=

1 2e− 4

1

> lim− f ( x ) = 3e −1

4

x→1

est le maximum absolu de la fonction f ( x ) sur

]−2, 1[ . La figure 5.29 permet de confirmer ces résultats. FIGURE 5.29

f ( x ) = ( 2 x + 1)e − x

2

|

–2

|

–1,5

|

–1

|

–0,5

|

1

0 –1

f ( x ) = ( 2 x + 1) e− x

|

|

|

0,5

1

1,5

2

x

|

|

–2,5

2

|

y

EXERCICE 5.6

Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné. a) f ( x ) = 4 x 3 − 9 x 2 − 12 x + 3 sur ]−1,  4[

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 4 à 7.

b) f ( x ) =

3 − 2 x2 sur ]0, ∞[ x

c) f ( x ) =

1 − x2 sur  x2 + 2

OPTIMISATION

291

UN PEU D’HISTOIRE

D

ans l’Énéide, Virgile (70-19 av. J.-C.) raconte l’histoire de la princesse Didon (fin du ixe siècle av. J.-C.), qui, après le meurtre de son mari, se réfugia sur les côtes de l’Afrique. Elle aurait alors demandé à un seigneur local de lui donner des terres. Selon la légende, ce dernier aurait accepté de lui octroyer tout le territoire qu’elle pourrait délimiter avec la peau d’un bœuf. Didon prit donc la peau de l’animal, la découpa en fines lanières qu’elle joignit pour former une longue corde. Elle s’installa ensuite le long de la Méditerranée, forma un demi-cercle avec la corde (le rivage servant de diamètre) et délimita ainsi un territoire qui allait devenir la ville de Carthage. Didon avait intuitivement trouvé la solution de ce qui allait devenir un problème classique d’optimisation : déterminer parmi toutes les courbes isopérimètres, c’està-dire les courbes de même longueur, celle (un cercle) qui délimite une surface d’aire maximale. Cette anecdote illustre bien le fait que les problèmes d’optimisation préoccupent l’être humain depuis fort longtemps. Ainsi, dans le livre V de son traité sur les coniques, Apollonius de Perge (262-190 av. J.-C.) traite de la maximisation et de la minimisation de la longueur de segments joignant des points à une conique. Héron d’Alexandrie (fin du ier  siècle après J.-C.) énonça le principe d’optique en vertu duquel l’angle de réflexion d’un rayon lumineux sur un miroir est celui qui minimise une certaine distance. Galilée (1564-1642) observa que, dans le vide, l’angle de tir qui maximise la portée d’un projectile est de 45°. Ce n’est toutefois qu’au début du xviie siècle qu’on formula les principes mathématiques permettant de repérer les extremums d’une fonction. Ainsi, en 1615, dans Nova stereometria doliorum vinariorum, Johannes Kepler (1571-1630) écrivit : « Decrementa habet insitio insensibilia », ce qui, dans le contexte, voulait dire qu’autour d’un maximum, les décréments de chaque côté sont initialement imperceptibles ; autrement dit, en termes modernes, la variation d’une fonction près d’un maximum est pratiquement nulle. Kepler avait ainsi obtenu un résultat étonnamment proche de celui qu’on utilise encore aujourd’hui pour trouver les extremums d’une fonction. Dans son traité, il vérifia notamment que, de tous les parallélépipèdes rectangles à base carrée inscrits dans une sphère, le cube est celui qui occupe le plus grand volume. Dans une lettre adressée au père Marin Mersenne (1588-1648), Pierre de Fermat (1601-1665) soumit le problème suivant : partager une droite de telle sorte que le produit de ses segments soit maximal. Voici, transposée en terminologie moderne, la solution que Fermat proposa : Soit un segment de longueur a qu’on partage en deux segments dont les longueurs sont respectivement x et (a − x ) . Le produit A des longueurs est alors A = x (a − x ). Si on partage plutôt le segment dans des longueurs x + E et [a − ( x + E )], le produit des longueurs est alors de B = ( x + E )[a − ( x + E )]. Étant donné que près d’un maximum* les deux produits doivent être sensiblement égaux, on a

( x + E )[a − ( x + E )] − x (a − x ) = 0 de sorte que, si E ≠ 0, alors ax + aE − x 2 − 2 Ex − E 2 − (ax − x 2 ) = 0 aE − 2 Ex − E 2 = 0 2x − a + E = 0 E ≠ 0 x =

a E ≈0 2

Par conséquent, il faut diviser le segment en son milieu. * C’est le constat qu’avait fait Kepler dans son texte de 1615.

Même si l’argument de Fermat présente des lacunes, on peut y retrouver les fondements de la manière contemporaine de trouver un extremum : il mesura l’écart entre B et A , soit

( x + E )[a − ( x + E )] − x (a − x ) [ce qui équivaut à f ( x + ∆x ) − f ( x )], qu’il divisa ensuite par une faible valeur E , soit

( x + E )[a − ( x + E )] − x (a − x ) E

ce qui équivaut à f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x et il négligea ensuite le terme E . Fermat posa essentiellement l’équation lim

E →0

( x + E )[a − ( x + E )] − x (a − x ) E

=0

résultat qui revient à dire que la dérivée de la fonction A ( x ) est nulle. Malgré ses déficiences, la méthode de Fermat fut rapidement acceptée par la communauté mathématique et elle permit de résoudre de nombreux problèmes d’optimisation. C’est à cause de cette méthode que le très célèbre mathématicien Joseph Louis Lagrange (1736-1813) affirma clairement qu’il considérait Fermat comme l’inventeur du calcul différentiel. Dans la foulée des travaux de Fermat apparurent des problèmes d’optimisation qui ne pouvaient pas être résolus par les méthodes élémentaires du calcul différentiel. Signalons entre autre le fameux problème du brachistochrone proposé par Jean Bernoulli (1667-1748) : parmi toutes les courbes qui joignent deux points A et B non situés sur une même verticale et où A est situé plus haut que B, trouver celle qui minimise le temps mis par un point M abandonné en A , sans vitesse initiale, à se déplacer sur la courbe sous la seule influence de la gravité. En plus de l’auteur de ce problème, plusieurs des grands mathématiciens de l’époque le résolurent, notamment Isaac Newton (1642-1727), Jacques Bernoulli (1654-1705), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) et Guillaume François Antoine de l’Hospital (1661-1704). Le calcul des variations, élaboré par Lagrange et Leonhard Euler (1707-1783), tire son origine de ce célèbre problème et constitue une branche des mathématiques qui traite de la détermination des extremums d’une fonction définie sur des espaces dits fonctionnels. L’avènement d’ordinateurs puissants a permis l’émergence de la programmation linéaire, soit la branche des mathématiques qui a pour objet l’optimisation d’une fonction linéaire de plusieurs variables indépendantes soumises à des contraintes présentées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires. La programmation linéaire utilise l’algèbre plutôt que le calcul différentiel dans la recherche d’une solution optimale. Mise au point initialement pour répondre à des besoins militaires d’affectation efficace de ressources, la programmation linéaire est aujourd’hui présente dans de nombreux domaines (transport, production manufacturière, etc.) où l’utilisation de ressources limitées doit être optimisée. Parmi les méthodes utilisées en programmation linéaire, il faut souligner l’algorithme du simplexe établi par George Bernard Dantzig (1914-2005), et qui est généralement étudié dans les programmes universitaires de premier cycle en gestion et en ingénierie.

292

CHAPITRE 5

5.3 PROBLÈMES D’OPTIMISATION Nous allons maintenant appliquer à la résolution de problèmes concrets les notions exposées dans les sections précédentes. EXEMPLE 5.21

MaBiblio > Multimédia > 25. Optimisation : volume d’une boîte

On veut construire une boîte sans couvercle à l’aide d’une feuille de carton de 32 cm sur 14 cm en découpant dans chaque coin des carrés de même aire et en repliant les bords comme cela est indiqué dans la figure 5.30. FIGURE 5.30

Accédez directement à l’animation.

Boîte sans couvercle

goo.gl/7PoQGb

14 cm

32 cm

Déterminons la mesure x des côtés des carrés à découper qui maximise le volume V que peut occuper une telle boîte et les dimensions de celle-ci. Le volume V d’une boîte rectangulaire est donné par V = longueur × largeur × hauteur V = Lh Exprimons ces dimensions en fonction de la mesure x des côtés des carrés découpés (figure 5.31). FIGURE 5.31

Dimensions d’une boîte sans couvercle x

x

x 14 − 2 x x 32 − 2 x

Par conséquent, V = Lh = ( 32 − 2 x )(14 − 2 x ) x = 4 x 3 − 92 x 2 + 448 x Les dimensions de la boîte ne peuvent être négatives. Il faut donc que 32 − 2 x ≥ 0 , 14 − 2 x ≥ 0 et x ≥ 0

OPTIMISATION

293

c’est-à-dire x ≤ 16, x ≤ 7 et x ≥ 0 On cherche donc à maximiser la fonction V ( x ) = 4 x 3 − 92 x 2 + 448 x sur l’intervalle [ 0,  7 ]. On a V ′( x) =

d ( 4 x3 − 92 x 2 + 448 x ) dx

= 12 x 2 − 184 x + 448 La dérivée existe toujours sur ]0,  7[ et les zéros de V ′ ( x ) s’obtiennent à l’aide de la formule quadratique : V ′ ( x ) = 0 lorsque x =

184 ± 12 352 24

Il n’y a donc qu’une seule valeur critique appartenant à l’intervalle ]0,  7[, soit x =

184 − 12 352 24

≈ 3, 04 cm

La fonction V ( x ) = 4 x 3 − 92 x 2 + 448 x est continue sur [ 0,  7 ], car c’est un polynôme. En vertu du théorème 5.7 (p. 281), le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. Or, V ( 0 ) = 0 cm 3 , V ( 7 ) = 0 cm 3 et V ( 3, 04 ) ≈ 624, 07 cm 3 Par conséquent, pour obtenir une boîte de volume maximal avec cette feuille de carton, il faut découper dans chaque coin un carré d’environ 3,04 cm de côté. Le volume de la boîte qu’on obtient en repliant les bords est d’environ 624, 07 cm 3 . La longueur de la boîte est alors de 32 − 2 x ≈ 32 − 2 ( 3, 04 ) = 25, 92 cm, sa hauteur est d’environ 3,04 cm et sa largeur est de 14 − 2 x ≈ 14 − 2 ( 3, 04 ) = 7, 92 cm .

L’exemple 5.21 permet d’établir une procédure pour résoudre un problème d’optimisation d’une fonction continue sur un intervalle fermé. 1. Lire attentivement le problème. 2. Nommer les différentes variables en jeu. 3. S’il y a lieu, esquisser un schéma décrivant le contexte et y consigner les variables en jeu. 4. Déterminer la variable à optimiser. 5. Exprimer la variable à optimiser (la variable dépendante) en fonction d’une seule autre variable (la variable indépendante). 6. Déterminer le domaine de la fonction à optimiser, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui sont plausibles dans le contexte. 7. Dériver la fonction à optimiser et déterminer les valeurs critiques qui font partie du domaine. 8. Déterminer le maximum (ou le minimum) de la fonction en l’évaluant aux extrémités de l’intervalle ainsi qu’aux valeurs critiques. 9. Répondre à la question posée dans l’énoncé du problème.

294

CHAPITRE 5

QUESTION ÉCLAIR 5.8 On veut déterminer les dimensions du rectangle d’aire maximale qu’on peut inscrire dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 5 cm et 20 cm. a) Si x est la mesure de la base du rectangle et y est la mesure de sa hauteur, complétez le schéma suivant (qui n’est pas à l’échelle) en y consignant les variables et les quantités connues (figure 5.32). FIGURE 5.32

Rectangle inscrit dans un triangle rectangle A

B D

C

E

F

b) En utilisant les triangles semblables, exprimez y en fonction de x. c) Déterminez la variable à optimiser et exprimez-la en fonction d’une seule autre variable. d) Déterminez le domaine de la fonction à optimiser, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui sont plausibles dans le contexte. e) Dérivez la fonction à optimiser et trouvez les valeurs critiques appartenant au domaine. f) Déterminez les dimensions du rectangle d’aire maximale qu’on peut inscrire dans le triangle rectangle.

EXEMPLE 5.22

L’administrateur d’une salle de spectacle pouvant accueillir 2 000 personnes sait qu’en fixant le prix du billet à 25 $ pour un spectacle, il y aura salle comble. Par contre, pour toute augmentation de 1 $ du prix du billet, il y aura une diminution des ventes de 50 billets. Déterminons à quel prix l’administrateur devrait vendre les billets pour que le revenu de leur vente soit maximal, et déterminons également le revenu maximal résultant de leur vente. Soit x le prix du billet. La fonction donnant le revenu R ( x ) tiré de la vente des billets est définie par us R ( x ) = prix du billet × nombre de billets vendu Le nombre de billets vendus dépend de leur prix, comme l’illustre le tableau 5.18. Puisque le nombre de billets vendus ne peut pas être négatif et ne peut pas dépasser la capacité de la salle, on obtient les inégalités suivantes : 3 250 − 50 x ≥ 0 et 3 250 − 50 x ≤ 2 000 c’est-à-dire x ≤ 65 $ et x ≥ 25 $

OPTIMISATION

295

TABLE AU 5.18

Nombre de billets vendus en fonction du prix Prix du billet ($)

Augmentation ($)

Nombre de billets vendus

25

25 − 25 = 0

2 000

26

26 − 25 = 1

2 000 − 1 ( 50 )

27

27 − 25 = 2

2 000 − 2 ( 50 )

28

28 − 25 = 3

2 000 − 3 ( 50 )

x

x − 25

2 000 − ( x − 25 ) 50 = 3 250 − 50 x

On veut donc maximiser le revenu R ( x ) sur l’intervalle [ 25,  65 ]. Or, R ( x ) = prix du billet × nombre de billets venduss = x ( 3 250 − 50 x ) = 3 250 x − 50 x 2 On a R′ ( x ) = 3 250 − 100 x . Par conséquent, sur ]25,  65[ , la dérivée existe toujours et R′ ( x ) = 0 lorsque x = 32, 50 $. La fonction R ( x ) = 3 250 x − 50 x 2 est continue sur [ 25,  65 ], car c’est un polynôme. En vertu du théorème 5.7 (p. 281), le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. Or, R ( 25 ) = 50 000 $, R ( 65 ) = 0 $ et R ( 32, 50 ) = 52 812, 50 $ Par conséquent, pour maximiser le revenu tiré de la vente des billets, l’administrateur devrait donc fixer le prix du billet à 32,50 $. Il obtiendrait alors un revenu de 52 812,50 $.

EXEMPLE 5.23

MaBiblio > Multimédia > 26. Optimisation : alimentation en électricité d’une île Accédez directement à l’animation.

On veut alimenter en électricité une île en reliant un point A situé sur l’île au réseau électrique déjà existant situé en un point B sur la rive, ainsi que l’illustre la figure 5.33. FIGURE 5.33

Alimentation en électricité d’une île

goo.gl/ouHBts

Île A

3 km

E

D

B 10 km

Pour y arriver, il y a plusieurs façons de procéder : on peut relier directement A et B en passant la ligne électrique sous l’eau ; on peut relier A et E sous l’eau,

296

CHAPITRE 5

et ensuite E et B sur la terre ferme ; ou bien on peut relier A et D sous l’eau, et ensuite D et B sur la terre ferme. Déterminons la solution qui minimisera les coûts d’installation de la ligne électrique, sachant qu’il en coûte 2 fois plus cher du kilomètre pour passer la ligne électrique sous l’eau que sur la terre ferme. Soit x la distance (en kilomètres) entre le point E et le point D. Alors x ∈ [ 0,  10 ], la distance entre D et B est 10 − x, et celle entre A et D est x 2 + 9 (figure 5.34). FIGURE 5.34

Distances entre différents points sur la rive et sur l’île

Île A

3 km

x2 + 9

E

D

B 10 − x

x

En supposant qu’il en coûte k $ pour 1 km de ligne électrique sur la terre ferme (et donc 2k $ pour 1 km sous l’eau), la fonction C ( x ) donnant le coût d’installation de la ligne électrique reliant le point A au point B est C ( x ) = 2 k x 2 + 9 + k (10 − x ) où x ∈ [ 0,  10 ] Dérivons la fonction C ( x ) afin d’en trouver les valeurs critiques : C ′( x) =

d  2 k x 2 + 9 + k (10 − x )  dx 

−1 d = 2 k  1 2 ( x 2 + 9 ) 2 ( x2 + 9 ) − k dx 

1  = 2k  ( 2 x ) − k 2 2 x + 9  =

2 kx −k x2 + 9

Puisque x 2 + 9 > 0, alors C ′ ( x ) existe toujours sur ]0,  10[ et, sur cet intervalle, on a 2 kx C ′( x) = 0 ⇔ = k x2 + 9 ⇔ 2x =

x2 + 9

⇔ 4 x2 = x2 + 9 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x =

3

car x est positif

OPTIMISATION

297

3 est la seule valeur critique de la fonction C ( x ) sur

Par conséquent, x =

]0,  10[ .

La fonction C ( x ) = 2 k x 2 + 9 + k (10 − x ) est continue sur [ 0,  10 ], car c’est la somme de deux fonctions continues sur cet intervalle. En vertu du théorème 5.7 (p. 281), le minimum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. Or, C ( 0 ) = 2 k 9 + 10 k = 16 k $ C (10 ) = 2 k 109 ≈ 20, 88 k $ C ( 3 ) = 2 k 12 + k (10 −

3 ) = (10 + 3 3 ) k ≈ 15, 2 k $

Par conséquent, pour alimenter en électricité l’île en reliant le point A au point B au coût minimal, il faut relier le point A au point D situé à 3 km à droite du point E en faisant passer la ligne électrique sous l’eau, et ensuite relier le point D au point B en la faisant passer sur la terre ferme (figure 5.35). FIGURE 5.35

Alimentation en électricité d’une île au coût minimal

Île A

12 km

3 km

E

D

B

(10 −

3 km

3 ) km

EXEMPLE 5.24

Un triangle isocèle a des côtés congrus mesurant 8 cm. Déterminons la valeur de l’angle θ formé par les deux côtés congrus qui maximise l’aire du triangle. Plaçons le triangle isocèle de façon que l’un des côtés congrus soit la base du triangle (figure 5.36).

FIGURE 5.36

Triangle isocèle

L’aire A d’un triangle est donnée par A=

8 cm h

θ

On a b = 8 cm et sin θ = maximiser

8 cm

bh base × hauteur = 2 2 h , c’est-à-dire h = 8 sin θ . Par conséquent, on veut 8

A(θ ) =

8 ( 8 sin θ ) = 32 sin θ 2

298

CHAPITRE 5

où θ ∈ [ 0,  π ]* puisque cet angle du triangle est un angle interne. Dérivons la fonction A(θ ) afin d’en trouver les valeurs critiques : A′ (θ ) =

d ( 32 sin θ ) = 32 cosθ dθ

( 2 k + 1) π

Or, A′ (θ ) existe toujours et A′ (θ ) = 0 lorsque θ = π Sur ]0,  π [, on ne retient que θ = comme valeur critique. 2

2

, où k ∈ .

La fonction A(θ ) = 32 sin θ est continue sur [ 0,  π ], car elle l’est sur l’ensemble des nombres réels. En vertu du théorème 5.7 (p. 281), le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. Or, A( 0 ) = 32 sin 0 = 0 cm 2 A(π ) = 32 sin π = 0 cm 2

π π A   = 32 sin = 32 cm 2  2 2 π , c’est-à-dire si le 2 triangle est isocèle et rectangle. L’aire maximale d’un tel triangle est de 32 cm2. Par conséquent, l’aire du triangle est maximale si θ =

EXEMPLE 5.25

La figure 5.37 représente la vue à vol d’oiseau d’un immeuble de bureaux. On veut installer une caméra fixe sur un des murs de cet édifice. L’angle d’observation θ de la caméra dépend de sa distance x (en mètres) du mur de gauche. FIGURE 5.37

Angle d’observation d’une caméra

15 m 10 m

θ x

α

β

20 m

Déterminons la distance x du mur de gauche à laquelle on doit installer la caméra pour que l’angle d’observation θ soit maximal.

* En pratique, si θ = 0 ou si θ = π , on n’a plus de triangle. En théorie, on peut cependant considérer qu’il s’agit alors d’un triangle dégénéré. Comme il est plus facile de trouver un extremum sur un intervalle fermé que sur un intervalle ouvert, nous avons fait le choix de traiter les cas dégénérés comme des cas valables, lorsque cela s’y prête.

OPTIMISATION

On a θ = π − α − β . Or, cotg α = quent, on veut maximiser

299

20 − x x et cotg β = . Par consé15 10

x 20 − x  θ ( x ) = π − arccotg   − arccotg  où x ∈ [ 0,  20 ]  15   10  Dérivons la fonction θ ( x ) afin de trouver les valeurs critiques.

θ ′( x) = =

d  x 20 − x   π − arc cotg   − arc cotg       10 dx  15   1 d  20 − x  d  x   + 2   15  10 dx dx  x  20 − x  1+  1+  10   15  1

2

1

= 1+ =

x2

 1   + 10

100

1  −1   2  ( 20 − x )  15  1+ 225

1 1  1  −1  +     2 2 100 + x  10  225 + ( 20 − x )  15  100 225

=

100  1  225  −1      + 100 + x 2  10  225 + ( 20 − x )2  15 

=

10 15 − 100 + x 2 225 + ( 20 − x )2

Or, θ ′ ( x ) existe toujours puisque les dénominateurs sont toujours positifs. De plus,

θ ′( x) = 0 ⇔

10 15 = 100 + x 2 225 + ( 20 − x )2

⇔ 2 250 + 10 ( 20 − x )2 = 1 500 + 15 x 2 ⇔ 10 x 2 − 400 x + 6 250 = 1 500 + 15 x 2 ⇔ 5 x 2 + 400 x − 4 750 = 0 ⇔ x =

−400 ±

400 2 − 4 ( 5 ) ( − 4 750 )

10 ⇔ x ≈ 10, 5 ou x ≈ −90, 5 Sur ]0,  20[, on ne retient que x ≈ 10, 5 comme valeur critique.  20 − x   x La fonction θ ( x ) = π − arccotg   − arccotg  est continue sur  10   15  [ 0,  20 ], car elle l’est sur l’ensemble des nombres réels. En vertu du théorème 5.7 (p. 281), le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. Or,

θ ( 0 ) = π − arccotg 0 − arccotg ( 20 15 ) = π −

π

2

− arctg ( 15 20 ) ≈ 0, 927 rad

θ ( 20 ) = π − arccotg 2 − arccotg 0 = π − arctg ( 1 2 ) −

π

θ (10, 5 ) = π − arccotg ( 10 , 5 10 ) − arccotg ( 9 ,5 15 ) = π − arctg

(10 10,5 ) − arctg (15 9,5 ) ≈ 1, 374 rad

2

≈ 1,1107 rad

300

CHAPITRE 5

Par conséquent, l’angle d’observation maximal de la caméra est de θ ≈ 1, 374 rad, et on l’obtient en installant la caméra à environ 10,5 m du mur de gauche.

EXERCICES 5.7

1. Vous disposez de 1 000 m de clôture pour construire un enclos rectangulaire divisé en deux comme l’illustre la figure 5.38. Déterminez les dimensions de l’enclos d’aire maximale. FIGURE 5.38

Enclos

y

x

2. Déterminez les dimensions du rectangle d’aire maximale qu’on peut inscrire dans un demi-cercle de 5 cm de rayon (figure 5.39).

FIGURE 5.39

Rectangle inscrit dans un demi-cercle

3. Un fil de fer de 60 m est coupé en deux morceaux afin de former un carré et un cercle. Déterminez la longueur du côté du carré et le rayon du cercle qui produisent la plus petite somme des aires de ces figures. 4. Un triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle de 5 cm de rayon, de sorte que son hypoténuse coïncide avec le diamètre du demi-cercle (figure 5.40). Déterminez l’angle θ qui maximise l’aire du triangle inscrit. FIGURE 5.40

5 cm

Triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle

θ

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 8 à 34. FIGURE 5.41

Boîte rectangulaire à base carrée

y

x

5 cm

Lorsque le domaine de la fonction à optimiser n’est pas un intervalle fermé ou que la fonction à optimiser n’est pas continue, il faut utiliser le test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265) ou le test de la dérivée seconde (théorème 5.5, p. 275) pour déterminer la solution optimale. EXEMPLE 5.26

Déterminons la quantité minimale de carton nécessaire pour fabriquer une boîte rectangulaire à base carrée ouverte sur le dessus et dont le volume est de 500 cm 3 (figure 5.41).

OPTIMISATION

301

Soit x la mesure du côté du carré formant la base de la boîte et y la hauteur de la boîte. La surface latérale S est alors S = aire du fond + aire des côtés = x 2 + 4 xy Puisque le volume V de la boîte est de 500 cm 3 , on a V = aire de la base × hauteur 500 = x 2 y Par conséquent, y =

500 . On veut donc minimiser la fonction x2

2 000  500  S ( x ) = x2 + 4 x  2  = x2 +  x  x 500 implique x2 que x ≠ 0. Dérivons la fonction S ( x ) afin d’en déterminer les valeurs critiques : où x > 0 puisque le côté d’un carré ne peut être négatif et que y =

S′( x) =

2 ( x 3 − 1 000 ) 2 000 d 2 2 x 3 − 2000 x + 2 000 x −1 ) = 2 x − = = ( 2 2 x2 dx x x

On a que S ′ ( x ) existe toujours si x > 0 et que S ′ ( x ) = 0 lorsque x 3 = 1 000 , c’est-à-dire lorsque x = 10. Construisons le tableau des signes de S ′ ( x ) sur ]0, ∞[ (tableau 5.19). TABLE AU 5.19

Tableau des signes

]0 ,  10[

]10, [ 10

x S ′( x )

–

0

+

S(x)



300 min. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction S ( x ) admet un minimum relatif de 300 cm 2 en x = 10 cm. Ce minimum est également le minimum absolu de la fonction S ( x ) sur ]0, ∞[ puisque S ( x ) est décroissante sur ]0,  10 ] et croissante sur [10, ∞[ . Il faut donc une quantité minimale de 300 cm 2 de carton pour fabriquer une boîte rectangulaire à base carrée ouverte sur le dessus et dont le volume est de 500 cm 3 . Les dimensions de la boîte sont alors de 10 cm × 10 cm × 5 cm.

L’exemple 5.26 permet d’établir une procédure pour résoudre un problème d’optimisation sur un intervalle qui n’est pas fermé ou pour une fonction qui n’est pas continue. 1. Lire attentivement le problème. 2. Nommer les différentes variables en jeu. 3. S’il y a lieu, esquisser un schéma décrivant le contexte et y consigner les variables en jeu.

302

CHAPITRE 5

4. Déterminer la variable à optimiser. 5. Exprimer la variable à optimiser (la variable dépendante) en fonction d’une seule autre variable (la variable indépendante). 6. Déterminer le domaine de la fonction à optimiser, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui sont plausibles dans le contexte. 7. Dériver la fonction à optimiser et déterminer les valeurs critiques qui font partie du domaine. 8. Déterminer le maximum (ou le minimum) de la fonction en utilisant le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde. 9. Répondre à la question posée dans l’énoncé du problème.

QUESTION ÉCLAIR 5.9 Un potager rectangulaire de 40 m 2 est entouré d’une bordure de pelouse comme l’illustre la figure 5.42. On veut déterminer les dimensions du potager qui minimisent l’aire du terrain rectangulaire comprenant le potager et la bordure de pelouse.

2m

Potager de 40 m2

1m

2m

a) Soit x la mesure de la longueur du potager, y la mesure de sa largeur et A l’aire du terrain rectangulaire comprenant le potager et la bordure de pelouse. Définissez la variable à optimiser ( A) en fonction de x et de y. b) Exprimez la variable à optimiser en fonction d’une seule autre variable. (Indice : Exprimez y en fonction de x.) c) Déterminez le domaine de la fonction à optimiser, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui sont plausibles dans le contexte. d) Dérivez la fonction à optimiser et trouvez les valeurs critiques qui font partie du domaine. e) Déterminez les dimensions du potager qui minimisent l’aire du terrain rectangulaire comprenant le potager et la bordure de pelouse. Quelle est alors l’aire minimale du terrain ?

EXEMPLE 5.27

Déterminons le ou les points de la parabole y = 2 x 2 les plus proches du point ( 0,  10 ) (figure 5.43). FIGURE 5.43

Parabole y = 2 x 2 y

15 10

y = 2 x2 |

1m

|

Potager rectangulaire

x−0 10 − y

D 5 |

|

|

–3

–2

–1

( x, y )

|

FIGURE 5.42

0

|

|

|

1

2

3

x

303

OPTIMISATION

La distance D entre un point ( x,  y ) de la parabole et le point ( 0,  10 ) est

( 0 − x )2 + (10 − y )2

D=

x 2 + (10 − 2 x 2 )

=

2

car y = 2 x 2

Or, la distance est minimale lorsque le carré de la distance (C) est minimal. On veut donc minimiser C ( x ) = x 2 + (10 − 2 x 2 ) où x ∈  2

Dérivons la fonction C ( x ) afin d’en trouver les valeurs critiques : d  2 2 x + (10 − 2 x 2 )   dx  d = 2 x + 2 (10 − 2 x 2 ) (10 − 2 x 2 ) dx

C ′( x) =

= 2 x − 8 x (10 − 2 x 2 ) = 16 x 3 − 78 x = 2 x ( 8 x 2 − 39 ) La dérivée existe toujours. De plus, C ′ ( x ) = 0 lorsque x = 0 ou lorsque 8 x 2 − 39 = 0 , c’est-à-dire lorsque x = 0, x = − 39 8 ou x = 39 8 . Construisons le tableau des signes de C ′ ( x ) (tableau 5.20). TABLE AU 5. 20

Tableau des signes  −,  −

39

8



 −

x

−

C ′( x )

–

C(x)

39



8

,  0 

 0 , 

39

8





0

8

0 79

39

16

min. rel.

39

+

0



100 max. rel.

– 

8

, 

8

0 79

39

+

16

min. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction C ( x ) admet un minimum relatif de 79 16 en x = −

39

8

et en x =

39

8 . De

plus, puisque

la fonction C ( x ) est décroissante sur  −∞,  − 8  et ensuite croissante sur  − 39 8 ,  0  , alors 78 16 est la plus petite valeur de la fonction C ( x ) sur ]−∞, 0 ]. De 39

même, 78 16 est la plus petite valeur de la fonction C ( x ) sur [ 0, ∞[. Par conséquent, la fonction C ( x ) admet un minimum absolu de 79 16 en x = −

(

Les points − y =

2 x2

39

8 , 

39

4

) et (

39

8 , 

39

4

39

8

et en x =

39

8.

) sont donc les points de la parabole

qui sont le plus proches du point ( 0,  10 ).

EXEMPLE 5.28

Dans une galerie d’art, une toile de 1,2 m de largeur est accrochée au mur comme l’indique la figure 5.44. On installe un projecteur sur le mur adjacent de telle sorte que le faisceau de lumière soit dirigé uniquement sur la toile. Déterminons la distance x (en mètres) entre le projecteur et le mur sur lequel est accrochée la toile, distance qui maximise l’angle d’éclairage θ de la toile.

304

CHAPITRE 5

Faisceau de lumière dirigé sur une toile 0,8 m

x x = 1, 25 x et cotg (α + θ ) = = 0, 5 x . Par consé0, 8 0, 8 + 1, 2 quent, α = arccotg (1, 25 x ) et α + θ = arccotg ( 0, 5 x ). On obtient alors On a cotg α =

FIGURE 5.44

1,2 m

θ = (α + θ ) − α = arccotg ( 0, 5 x ) − arccotg (1, 25 x ) On veut donc maximiser la fonction θ ( x ) = arccotg ( 0, 5 x ) − arccotg (1, 25 x ), où x ≥ 0 puisqu’une distance ne peut être négative.

x

α

θ

On aurait dû utiliser un intervalle fermé puisque la pièce dans laquelle se trouve la toile a une certaine profondeur. Mais, comme cette profondeur n’est pas spécifiée dans l’énoncé du problème, on cherchera le maximum de la fonction θ ( x ) sur l’intervalle [ 0, ∞[. Dérivons la fonction θ ( x ) afin d’en déterminer les valeurs critiques : d [arccotg ( 0, 5 x ) − arccotg (1, 25 x )] dx −1 −1 d d = ( 0, 5 x ) − (1, 25 x ) 2 2 1 + ( 0, 5 x ) dx 1 + (1, 25 x ) dx

θ ′( x) =

=

− 0, 5 1, 25 + 2 1 + 0, 25 x 1 + 1, 562 5 x 2

On a que θ ′ ( x ) existe toujours puisque les dénominateurs sont toujours positifs. De plus,

θ ′( x) = 0 ⇔

0, 5 1, 25 = 1 + 0, 25 x 2 1 + 1, 562 5 x 2

⇔ 0, 5 + 0, 781 25 x 2 = 1, 25 + 0, 312 5 x 2 ⇔ 0, 468 75 x 2 = 0, 75 ⇔ x 2 = 1, 6 ⇔ x =

1, 6 =

8

Sur ]0, ∞[, on ne retient que x =

8

ou x = − 1, 6 = −

5 5

8

5

comme valeur critique.

Construisons le tableau des signes de θ ′ ( x ) sur [ 0, ∞[ (tableau 5.21). TABLE AU 5. 21

Tableau des signes  0 , 

8

0

x

θ ′( x ) θ(x)

0 min. rel.

5



 8

8

5

, 

5

+

0

–



0,442 9 max. rel.



En vertu du test de la dérivée première (théorème 5.3, p. 265), la fonction θ ( x ) admet un maximum relatif de

θ

( 8 5 ) = arccotg ( 0, 5 8 5 ) − arccotg (1, 25 8 5 )  1 = arctg   0, 5 ≈ 0, 442 9 rad

  1 arctg −   1, 25 8  5

 8  5

OPTIMISATION

en x =

8

5

305

≈ 1, 26 m. Ce maximum est également le maximum absolu de la

fonction θ ( x ) sur [ 0, ∞[ puisque θ ( x ) est croissante sur  0,  sur  8 5 , ∞  .

8

5 

et décroissante

Pour obtenir un angle d’éclairage maximal, il faut donc placer le projecteur sur le mur adjacent à environ 1,26 m du mur sur lequel est accrochée la toile. L’angle d’éclairage est alors d’environ 0,442 9 rad ou 25,4°.

EXERCICES 5.8

1. Déterminez la quantité minimale de métal nécessaire à la fabrication d’une boîte de conserve cylindrique dont le volume est de 540 cm 3 . Déterminez également les dimensions de la boîte de conserve optimale. 2. Dans un musée, une toile de 1,5 m de hauteur est accrochée à un mur de telle sorte que le bas de la toile est situé à 2 m du sol. Déterminez la distance x (en mètres) à laquelle une observatrice doit se situer de ce mur pour que l’angle d’observation θ soit maximal (figure 5.45). (Indice : Exprimez l’angle d’observation θ en fonction de la distance x ≥ 0.) FIGURE 5.45

Observation d’une toile

1,5 m

θ

ϕ

2m 1,6 m

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 35 à 68.

x

Résumé La recherche d’optimums constitue un objectif majeur dans de nombreux champs de l’activité humaine. Ainsi, une entreprise souhaite minimiser ses coûts de production ou encore maximiser ses profits ; une agence publicitaire cherche à obtenir la plus grande visibilité pour un produit dans une population cible ; des militaires veulent maximiser la portée d’un projectile ; etc. Lorsque l’expression à optimiser s’écrit sous la forme d’une fonction, on peut recourir au calcul différentiel pour en trouver, si elles existent, les valeurs extrêmes (maximum ou minimum),

ainsi que les valeurs de la ou des variables indépendantes qui produisent ces extremums. Intuitivement, un maximum représente un sommet, et un minimum un creux, de sorte qu’on peut concevoir qu’on atteint un maximum en x = x0 si la fonction passe de croissante à décroissante en ce point. De manière similaire, une fonction atteint un minimum en x = x0 si la fonction passe de décroissante à croissante en ce point. La dérivée permet notamment de déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle. En

306

CHAPITRE 5

effet, soit f ( x ) une fonction continue sur un intervalle I et dérivable en tout point x intérieur de I . Si f ′ ( x ) > 0 pour tout point x intérieur de I , alors f ( x ) est croissante sur I ; si f ′ ( x ) < 0 pour tout point x intérieur de I , alors f ( x ) est décroissante sur I . Pour déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance d’une fonction, il est conseillé de dresser un tableau des signes dans lequel on consigne notamment les valeurs critiques de la fonction f ( x ), c’est-à-dire les valeurs du domaine de la fonction pour lesquelles la dérivée f ′ ( x ) est nulle ou n’existe pas. On dira qu’une fonction f ( x ) atteint un maximum relatif en x = x0 si f ( x0 ) est la plus grande valeur de la fonction pour des valeurs de x dans un voisinage de x0 . De manière similaire, la fonction atteint un minimum relatif en x = x0 si f ( x0 ) est la plus petite valeur de la fonction pour des valeurs de x dans un voisinage de x0 . Dans le cas d’une fonction continue définie sur un intervalle, on peut aisément repérer les valeurs susceptibles de produire un extremum. En effet, les extremums relatifs d’une fonction continue se retrouvent parmi les extrémités de l’intervalle considéré ou encore en l’une des valeurs critiques de la fonction, c’est-à-dire en une valeur c appartenant au domaine de la fonction et pour laquelle la dérivée est nulle ou n’existe pas. En particulier, le théorème 5.3 (test de la dérivée première, p. 265) propose une stratégie pour déterminer la nature d’un extremum relatif d’une fonction continue sur un intervalle ouvert. On peut également appliquer le théorème 5.5 (test de la dérivée seconde, p. 275) pour déterminer la nature d’un extremum relatif, même si une étude du tableau des signes s’avère généralement suffisante pour déterminer la nature des valeurs critiques de la fonction. La recherche des extremums absolus d’une fonction, soit sa plus grande ou sa plus petite valeur, s’avère encore plus importante. Dans le cas particulier d’une fonction continue f ( x ) définie sur un intervalle fermé [ a,  b], le maxi-

mum et le minimum absolus sont nécessairement atteints sur l’intervalle, et ces extremums correspondent respectivement à la plus grande et à la plus petite valeur de l’ensemble des valeurs f ( a ), f ( b) et f ( c ), où c est une valeur critique de la fonction. La résolution d’un problème d’optimisation réside dans la recherche des extremums dans un contexte appliqué. On peut donc utiliser le calcul différentiel pour résoudre de tels problèmes, en procédant comme suit : 1. Lire attentivement le problème. 2. Nommer les différentes variables en jeu. 3. S’il y a lieu, esquisser un schéma décrivant le contexte et y consigner les variables en jeu. 4. Déterminer la variable à optimiser. 5. Exprimer la variable à optimiser (la variable dépendante) en fonction d’une seule autre variable (la variable indépendante). 6. Déterminer le domaine de la fonction à optimiser, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui sont plausibles dans le contexte. 7. Dériver la fonction liant les variables dépendante et indépendante. 8. Trouver les valeurs critiques de la fonction à optimiser, soit la fonction liant les variables dépendante et indépendante. 9. Si la variable dépendante est définie sur un intervalle fermé, l’extremum recherché est atteint à l’une des valeurs critiques ou à l’une des extrémités de l’intervalle. Si la variable est définie sur un intervalle qui n’est pas fermé, une étude de la croissance et de la décroissance de la fonction autour d’une valeur critique permet généralement de déterminer si celle-ci produit un maximum ou un minimum. 10. Répondre à la question posée dans l’énoncé du problème.

Mots clés Extremums absolus, p. 277 Extremums relatifs, p. 263 Fonction croissante, p. 258

Fonction décroissante, p. 258 Maximum absolu, p. 277 Maximum relatif, p. 263

Minimum absolu, p. 277 Minimum relatif, p. 263 Valeurs critiques, p. 262

OPTIMISATION

307

Réseau de concepts Problème d’optimisation

Recherche des extremums

Détermination des valeurs critiques

Test de la dérivée première

Test de la dérivée seconde

Intervalles de croissance et de décroissance

Tableau des signes

Nature de l’extremum

 Minimum relatif  Minimum absolu   Maximum relatif  Maximum absolu

Exercices récapitulatifs Section 5.1 1. Déterminez les intervalles de croissance, les intervalles de décroissance ainsi que les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur . a) f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 − 18 x − 10 b) f ( x ) = −3 x 5 + 5 x 3 + 4 4x c) f ( x ) = 2 x +2 d) f ( x ) = x

2

3

(2 − x)

e) f ( x ) = ln (1 + x 2 ) f)

f ( x) =

2 x2 e− x

g) f ( x ) = x − 2 arctg x h) f ( x ) = x ( 3− x )

2. Déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné. a) f ( x ) = 6 x 2 − x 4   sur [ −2,  4 ] b) f ( x ) = x 2 − x   sur [ 0,  2 ] c) f ( x ) =

ln x sur ]0,  ∞[ x

d) f ( x ) = sin 2 x + sin x sur [ 0,  2π ]

e) f ( x ) = 2 x − tg x sur ]− π 2 ,  π 2[ f)

f ( x ) = 2 x + arccos x sur [ −1,  1]

3. En utilisant le test de la dérivée seconde, déterminez les extremums relatifs de la fonction f ( x ) sur . Si le test de la dérivée seconde ne s’applique pas, utilisez le test de la dérivée première. a) f ( x ) = −2 x 4 + 4 x 2 + 3 b) f ( x ) = x 6 c) f ( x ) =

x2 − 1 x2 + 1

d) f ( x ) = x

4

5

(3 − 2 x)

Section 5.2 4. Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné. a) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 4 x + 1 sur [ −3,  0 ] b) f ( x ) =

x2 sur [ −1,  2 ] +3

x2

c) f ( x ) = 2 + x

2

3

sur [ −1,  8 ]

d) f ( x ) = x ( x − 12 ) 3 sur [ 2,  9 ] 2

e) f ( x ) = sin x + cos x sur [ 0,  5 π 3 ] f)

f ( x ) = tg x − sec x sur [ − π 3 ,  π 3 ]

g) f ( x ) = e 3 x − x sur [ 0,  2 ] 3

h) f ( x ) = xe − x sur [ −3,  4 ] 2

i)

f ( x ) = 100 e sin x sur [ 0,  12 ]

CHAPITRE 5

5. Déterminez les extremums relatifs et les extremums absolus de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné.

x x

b) f ( x ) = x 3 − x 2 − x − 1 sur [ −3,  3]

c) f ( x ) = x 4 + 6 x 3 − 18 x 2 sur [ −8,  4 ] d) f ( x ) = x e) f ( x ) = f)

1

−

3

+

3 x5

1

3x

sur [ −2,  2 ] −

15 x 4

25 x 3

x

b) f ( x ) = e − x sur 

d) f ( x ) =

1 sur ]0, ∞[ x

2− x sur  5 + x2

e) f ( x ) = 2 cos x − x sur ]0,  2π [

f ( x ) = sin x − cos x sur ]0,  2π [

7. Soit la courbe décrite par la fonction f ( x ) sur l’intervalle [ −8,  8 ].

|

|

|

–6

|

|

–4

|

|

–2

|

|

0 –5

Étable 20 m Enclos

|

|

2

|

|

4

|

|

6

|

|

8

x

–20

|

–25

|

–30

|

–15

|

–10

|

|

–8

5

|

y

10

Trouvez les dimensions de la boîte de volume maximal qu’on peut ainsi construire. 9. Un éleveur de chevaux veut construire un enclos devant une étable de 20 m de façade (le schéma n’est pas à l’échelle). L’éleveur dispose de 600 m de clôture pour délimiter l’enclos. Quelles sont les dimensions de l’enclos qui en maximiseront l’aire s’il n’est pas nécessaire de clôturer la partie de l’enclos donnant sur l’étable ?

2

x +

Devant Dessus

3

a) f ( x ) = 3 x 5 − 20 x 3 sur  c) f ( x ) =

Fond

sur [− 6,  2 ]

f ( x ) = 1 − ( x − 1) sur [ −1,  3] 2

6. Déterminez les extremums absolus de la fonction f ( x ) sur l’intervalle donné.

f)

Arrière Côté

a) f ( x ) = x 3 − 27 x sur [ −10,  5 ]

Côté

308

a) La fonction f ( x ) est-elle continue sur l’intervalle [− 8,  8 ] ? Justifiez votre réponse en recourant à un argument de nature géométrique. b) Quels sont les intervalles de croissance de la fonction f ( x)? c) Quels sont les intervalles de décroissance de la fonction f ( x)? d) Combien de valeurs critiques la fonction f ( x ) comportet-elle ? Justifiez votre réponse. e) Déterminez tous les extremums (relatifs et absolus) de la fonction et indiquez la nature de l’extremum, de même que la valeur de x où ces extremums se produisent. Section 5.3 (du début jusqu’aux exercices 5.7) 8. On peut construire une boîte rectangulaire fermée en repliant comme sur le schéma suivant une feuille de carton carrée de 20 cm de côté dont on a découpé les parties qui sont ici en pointillé :

10. Quelles sont les longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle d’aire maximale, longueurs dont la somme est de 4 m ? 11. Quelles sont les longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle d’aire maximale, triangle dont l’hypoténuse mesure 10 cm ? 12. La somme des volumes de deux cubes est de 2 000 cm 3. a) Quelles sont les longueurs des arêtes de chacun de ces cubes si la somme de leurs aires totales est maximale ? b) Quelles sont les longueurs des arêtes de chacun de ces cubes si la somme de leurs aires totales est minimale ? 13. Quelles sont les dimensions du triangle isocèle d’aire maximale, triangle dont le périmètre est de 20 cm ? 14. Une piste d’athlétisme de 400 m est formée d’un rectangle enserré entre deux demi-cercles. Quelles sont les dimensions du rectangle dont l’aire est maximale ?

x y

OPTIMISATION

15. Soit une feuille de papier dont l’aire est de 2 m 2 . Quelles devront être ses dimensions pour que la surface d’impression soit maximale, sachant que la feuille comporte des marges non imprimées de 8 cm de chaque côté et de 10 cm en haut et en bas ? 16. La demande pour un certain bien est donnée par P = 1 3 Q2 − 35Q + 1 200, où 0 ≤ Q ≤ 35. Déterminez la quantité Q et le prix P qui maximisent le revenu R = PQ , de même que la valeur de ce revenu maximal. 17. Une feuille de métal rectangulaire de 1 m de largeur et de 2 m de longueur est repliée selon l’axe central de sa 1m longueur et prend la forme θ d’un prisme triangulaire. Le volume du prisme est maxi1m mal lorsqu’une coupe transversale laissant une trace triangulaire est d’aire maximale. Déterminez l’angle θ qui maximise le volume du prisme et la valeur de ce volume maximal.

309

22. Quel point du cercle décrit par l’équation x 2 + y2 = 1 est le plus proche du point P ( 3,  4 ) ? (Indice : La distance entre deux points est minimale si et seulement si le carré de la distance est aussi minimal. Vous avez avantage à trouver le point qui minimise le carré de la distance plutôt que celui qui minimise la distance.) 23. Un linguiste a émis l’hypothèse que la capacité d’apprendre une langue étrangère est fonction de l’âge. Il a estimé qu’entre 5 et 80 ans, une personne dont l’âge est de t années peut apprendre 2 te − 0 ,1 t nouveaux mots par jour, en moyenne. D’après les observations de ce linguiste, à quel âge une personne peut-elle apprendre le plus grand nombre de mots par jour ?

18. Soit les fonctions f ( x ) = − x 2 + 4 x et g ( x ) = −2 x + 5. a) Déterminez les abscisses des points d’intersection des courbes décrites par ces fonctions. b) Représentez graphiquement les courbes décrites par ces fonctions. c) Déterminez la distance verticale maximale entre ces deux courbes pour les valeurs des abscisses comprises entre les points d’intersection déterminés en a. 19. Quelles sont les dimensions du cylindre circulaire droit de volume maximal, cylindre qu’on peut inscrire dans une sphère dont le rayon mesure 6 cm ?

20. Quelles sont les dimensions du cylindre circulaire droit de volume maximal, cylindre qu’on peut inscrire dans un cône circulaire droit dont le rayon mesure 4 cm et la hauteur mesure 16 cm ?

6 cm

4 cm

16 cm

21. Quelles sont les dimensions du cône circulaire droit de volume maximal, cône qu’on peut inscrire dans une sphère dont le rayon mesure 6 cm ? 6 cm

24. Le propriétaire d’un verger veut choisir le moment le plus approprié pour effectuer sa récolte. S’il commence maintenant, la production moyenne sera de 50 kg de fruits par arbre, qu’il pourra vendre au prix de 2 $/kg. Par ailleurs, s’il attend, la production augmentera de 2 kg par arbre par semaine, mais le prix diminuera de 0,05 $ le kilogramme par semaine. À quel moment, au cours des quatre prochaines semaines, le producteur doit-il effectuer sa récolte pour maximiser le revenu tiré de la vente des fruits ? 25. Le propriétaire d’un verger estime que ses pommiers produisent en moyenne 400 pommes lorsque la densité des pommiers est de 50 arbres par hectare. Chaque augmentation d’un arbre par hectare provoque une diminution moyenne de 4 pommes par pommier. Combien d’arbres par hectare doit-il y avoir dans le verger pour que la production de pommes par hectare soit maximale ?

310

CHAPITRE 5

26. La coupe transversale d’une poutre en bois est un rectangle dont la hauteur mesure h cm et dont la base mesure b cm. La résistance R d’une poutre est proportionnelle au produit de sa base et du carré de sa hauteur. Quelles sont les dimensions de la poutre la plus résistante qu’on peut tirer d’une bille de bois de 30 cm de diamètre ?

30 cm

À quelle distance x (en mètres) du plafond les deux câbles doivent-ils se rejoindre pour minimiser la quantité totale de câble utilisée pour suspendre le lustre ? (Vous pouvez supposer que le triangle formé par les câbles est isocèle.) 31. Lors d’une fête dans une cour d’école, on joue au jeu suivant : chaque enfant part d’un point P pour se rendre au point Q après avoir d’abord touché au mur de l’école, comme l’illustre le schéma qui suit. À quel endroit (la distance x par rapport au point A) l’enfant doit-il toucher le mur s’il veut minimiser la distance à parcourir ?

h Q

b

27. Déterminez la valeur de l’angle au centre θ qui maximise l’aire d’un triangle dont l’un des sommets est situé au centre d’un cercle ayant un rayon de 8 cm et dont les deux autres sommets sont situés sur la circonférence du cercle.

P

θ

30 m

8 cm 20 m

28. L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 20 cm. On fait tourner ce triangle autour d’un des côtés de l’angle droit et on forme ainsi un cône. Quelles sont les longueurs des deux côtés de l’angle droit qui engendrent le cône de volume maximal ? 29. Une entreprise peut fabriquer quotidiennement x milliers de kilogrammes d’un produit chimique A (où 1 ≤ x ≤ 4) et 32 − 8 x y = milliers de kilogrammes d’un produit B. Si elle 6− x peut tirer un profit de 4 $/kg du produit A et de 2 $/kg du produit B, quelle quantité du produit A l’entreprise doit-elle fabriquer pour maximiser son profit ? 30. Un lustre doit être suspendu à 6 m du plafond à l’aide de câbles attachés à deux ancrages situés à 2 m de distance l’un de l’autre, tel que l’illustre le schéma ci-dessous. 2m

x

6m

x A

Mur de l’école 25 m

32. Si on néglige la résistance de l’air, la portée P d’un projectile lancé avec une vitesse initiale de v0 et un angle de θ v2 par rapport à l’horizontale est donnée par P = 0 sin ( 2θ ), 9, 8 π où 0 ≤ θ ≤ . Déterminez l’angle qui maximise la portée 2 du projectile*. 33. C’est un fait bien connu que, lorsqu’on tousse, le diamètre de la trachée diminue, ce qui provoque un changement de pression et une expulsion de l’air. En vertu d’un modèle mathématique * Niccolò Fontana (1499-1557) formula un théorème, dit théorème de Tartaglia, qui donne l’angle d’élévation requis pour maximiser la portée d’un projectile. Fontana fut surnommé Tartaglia (« bègue » en italien) à cause d’un sérieux problème d’élocution dû à un coup de sabre reçu à la mâchoire alors qu’il n’avait que 12 ans. Tartaglia est surtout connu pour avoir conçu un algorithme permettant de résoudre certaines équations cubiques, algorithme à partir duquel Gerolamo Cardano (Jérôme Cardan) (1501-1576) produisit une méthode de résolution de toutes les équations de degré 3. L’histoire de la résolution d’équations (notamment celles de degré 3 et de degré 4) est remplie de rebondissements. On en apprendra tous les détails en consultant tout bon livre d’histoire des mathématiques. En plus de Tartaglia et de Cardan, les personnages marquants de cette histoire sont Scipione del Ferro, Antonio Maria Fiore, Ludovico Ferrari, Évariste Galois et Niels Henrik Abel.

OPTIMISATION

décrivant le phénomène, lorsqu’une personne tousse, l’air est expulsé à une vitesse de v ( r ) = a ( r0 − r ) r 2 où : ■ a est une constante positive ; ■ r0 représente le rayon normal de la trachée ; ■ r représente le rayon de la trachée au moment de la

toux ; ■ v représente la vitesse d’expulsion de l’air au moment de

la toux ; et où 1 2 r0 ≤ r ≤ r0 . Par ailleurs, l’écoulement de l’air E (volume d’air/unité de temps) est donné par l’expression E ( r ) = b ( r0 − r ) r 4 , où b est une constante positive.

311

vente atteint une valeur maximale pour un niveau de vente fini, vérifiez que le profit maximal se réalise lorsque le revenu marginal est égal au coût marginal. 40. Si x > 0, déterminez le point de la courbe décrite par la 8 x3 − 1 tel que la pente de la tangente à fonction f ( x ) = x la courbe en ce point est minimale. 41. L’arbelos (le « couteau du savetier ») est la surface délimitée par trois demi-cercles mutuellement tangents et correspond à la portion ombrée de la figure ci-dessous.

a) Exprimez, en fonction du rayon normal de la trachée, le rayon r de la trachée qui maximise la vitesse d’expulsion de l’air. b) Exprimez, en fonction du rayon normal de la trachée, le rayon r de la trachée qui maximise l’écoulement de l’air.

2R

34. Dans le schéma qui suit, pour quelle valeur de x ∈ [ 0, 15 ] l’angle θ prend-il sa valeur maximale ?

18 10

α 0

θ

β

x

15

Section 5.3 (de l’exemple 5.26 jusqu’à la fin) 35. Quel point de la courbe décrite par la fonction f ( x ) est le plus proche du point P ? a) f ( x ) =

x ;  P ( 4,  0 )

b) f ( x ) = c) f ( x ) =

2 x + 15 ;  P ( 6,  0 ) 1

2

4 − x 2 ;  P (1,  0 )

8 ;  P ( 0,  0 ), lorsque x > 0 x 36. Quels sont les deux nombres positifs dont la somme est 120 et dont le produit du carré du premier par le second est le plus grand possible ? d) f ( x ) =

37. Quels sont les deux nombres réels dont la somme est 40 et dont la somme des carrés est la plus petite possible ? 38. Quelles sont les dimensions du rectangle dont la diagonale mesure 36 cm et qui admet la plus grande aire ? 39. Soit R (Q ) la fonction exprimant le revenu tiré de la vente de Q unités dont le coût total de production est C (Q ) . Si ces deux fonctions sont dérivables et si le profit π (Q ) tiré de la

2r

Quelle est l’aire maximale de l’arbelos délimité par un demicercle extérieur dont le rayon mesure 1 m et deux demi-cercles intérieurs dont les rayons (en mètres) mesurent respectivement R (pour le plus grand des deux demi-cercles) et r ? 42. Lorsqu’une droite passant par le point P ( 5,  2 ) coupe les deux axes de coordonnées d’un plan cartésien dans leurs parties positives, elle délimite avec ces derniers un triangle. Quelle est l’équation de la droite qui délimite le triangle d’aire minimale ? 43. Deux sources de chaleur, A et B, sont situées à 6 m de distance. La source A émet une chaleur d’intensité a , et la source B, une chaleur d’intensité b, où a et b sont des constantes positives. L’intensité de la chaleur en un point P situé entre les deux sources et à une distance x de la source A est a b . Déterminez la position donnée par C ( x ) = 2 + x ( 6 − x )2 du point P, situé entre les deux sources, où l’intensité de la chaleur est la plus faible. 44. La réaction r à une dose q d’un médicament est donnée par r = aq 2 ( b − q ), où a et b sont des constantes positives. À titre d’exemple, la réaction peut être mesurée par la température ou encore par la pression sanguine. La sensibilité s à dr . cette dose q est définie par s = dq a) Pour quelle valeur de q, la réaction est-elle maximale ? b) Pour quelle valeur de q, la sensibilité est-elle maximale ? 45. La concentration Q ( t ) d’un médicament dans le sang, t h après qu’il a été injecté par voie intraveineuse, est donc née par l’expression Q ( t ) = ( e− at − e− bt ), où a , b et c b−a sont des paramètres positifs, et où a < b . a) Que vaut Q ( 0 ) ? Expliquez ce résultat dans le contexte. b) Évaluez lim Q ( t ) et interprétez le résultat. t→∞

CHAPITRE 5

c) Calculez Q′ ( t ) et donnez-en une interprétation. d) Calculez Q′′ ( t ).

c) f ( x ) =

1

2

1 − x2 y

f) Si a = 0, 5 , b = 0, 55 et c = 0, 1, utilisez le test de la dérivée seconde pour montrer que la concentration du médicament dans le sang est maximale en la valeur critique obtenue en e. 46. Si on exclut le salaire du camionneur, les frais d’exploitation v   d’un camion sont de  0, 6 +  $/km, où v est la vitesse du  500 

f ( x) =

1

1 − x2

2

|

e) Déterminez la valeur critique de la fonction Q ( t ) sur [ 0, ∞[.

1

2

|

|

–1

0

d) f ( x ) = e − x

1

x

2

y

1

|

312

f ( x ) = e −x

camion (en kilomètres par heure). Le salaire du camionneur est de 16 $/h. À quelle vitesse le camionneur doit-il conduire pour qu’un trajet de 250 km soit le plus économique possible ?

|

|

–2

–1

0

2

|

|

1

2

x

48. Un rectangle est situé dans le premier quadrant d’un plan cartésien. Ses sommets sont situés à l’origine, sur les axes de coordonnées et sur la courbe décrite par la fonction y = − ln x. Quelles sont les coordonnées des sommets du rectangle d’aire maximale ? Quelle est l’aire de ce rectangle ?

47. Quelles sont les dimensions du rectangle d’aire maximale qu’on peut inscrire dans la surface délimitée supérieurement par la courbe décrite par la fonction f ( x ) et inférieurement par l’axe des abscisses, si un des côtés du rectangle est situé sur cet axe ? a) f ( x ) =

49. Une clôture de 3 m de haut est située à 1 m d’un immeuble. Quelle est la longueur L de la plus courte échelle qui peut prendre appui sur le sommet de la clôture et sur l’immeuble ? (Indice : Comparez des triangles semblables.)

4 − x2

|

y

2

f ( x) =

4 − x2

L 3m

|

|

–2

0

x

2

b) f ( x ) = 16 − x 2

8

|

4

|

12

|

–4

f ( x ) = 16 − x 2

|

16

|

y

|

0

4

x

1m

50. Trouvez le rayon d’une assiette à pizza circulaire qui vous permettrait d’obtenir une pointe de pizza d’aire maximale si le périmètre de cette pointe est de 60 cm.

OPTIMISATION

313

51. On découpe un secteur circulaire formant un angle au centre θ dans un cercle de rayon r . Si l’aire du secteur circulaire est de 10 cm 2 , déterminez les valeurs de l’angle et du rayon telles que le périmètre du secteur prend sa plus petite valeur.

57. La distance s ( t ) (en mètres) par rapport à l’origine d’une masse attachée à un ressort, laquelle se déplace horizontalement sans frottement est donnée par

52. En chimie, un catalyseur est une substance qui accélère une réaction chimique. On parle d’autocatalyse lorsque le produit d’une réaction sert de catalyseur. Dans un tel cas, on peut supposer que le rythme de transformation r d’une substance A en une substance X est donné par r ( x ) = kx ( a − x ), où k est une constante de proportionnalité positive, où a représente la quantité initiale de la substance A et où x désigne la quantité de la substance X. Pour quelle quantité x de la substance X le rythme de transformation est-il le plus rapide ?

où le temps t est mesuré en secondes. À quel moment la masse est-elle le plus proche de l’origine pour la première fois ?

53. Le nombre de Reynolds est un paramètre utilisé en mécanique des fluides. On le retrouve notamment dans l’étude de la circulation sanguine. Ainsi, chez de nombreuses espèces animales, le nombre de Reynolds (R) est donné par la fonction R ( r ) = A ln r − Br , où A et B sont des constantes positives et où r représente le rayon de l’aorte. Quelle est la valeur maximale du nombre de Reynolds dans le cas de la circulation sanguine ? 54. Un producteur forestier se demande combien de temps il doit attendre avant de couper le bois sur un territoire. Plus il attendra, plus le volume de bois sera considérable, et plus il en tirera d’argent. Toutefois, plus il attendra, plus il recevra son argent tardivement, ce qui est moins intéressant sur le plan financier. Sachant que la valeur (en centaines de millions de dollars) du bois que le producteur peut tirer du territoire exploité est de A( t ) = (1, 5 ) t e − 0 ,04 t , où le temps t est mesuré en années, déterminez le moment le plus opportun pour couper le bois. 55. Une entreprise fabrique un réservoir dont la capacité est de 30 m 3 pour entreposer du gaz propane. Le réservoir a la forme d’un tube cylindrique fermé à ses deux extrémités par des calottes hémisphériques. Le coût de fabrication (par mètres carrés) d’une calotte hémisphérique est deux fois plus élevé que celui d’un cylindre. Quel sera le rayon de la calotte hémisphérique du réservoir le plus économique à fabriquer ? 56. Un couloir de 3 m de large en rejoint un autre de 2 m de large et ils forment un angle droit. Quelle est la longueur de la plus longue tige métallique non flexible qu’on peut transporter horizontalement d’un couloir à l’autre si on ne tient pas compte de l’épaisseur de la tige ? (Remarque : La plus longue tige métallique qu’on peut transporter d’un couloir à l’autre est la plus courte tige métallique touchant les murs extérieurs des deux couloirs et le coin intérieur formé par les deux couloirs tel que l’illustre le schéma.)

s ( t ) = 4 + sin ( 2 t ) +

3 cos ( 2 t )

58. Deux rues se coupent à angle droit, la première étant dans l’axe nord-sud. Une voiture se dirigeant vers l’est passe à l’intersection des deux rues à une vitesse constante de 30 km/h. Au même moment, une autre voiture située à 1 km au nord de l’intersection se déplace vers le sud à une vitesse constante de 50 km/h. Déterminez le moment où la distance séparant les deux voitures est minimale. Déterminez également la distance séparant les deux voitures à cet instant. 59. Il existe plusieurs modèles mathématiques pour décrire la dynamique de population de certaines espèces de poissons. Voici deux de ces modèles dans lesquels y représente le nombre de poissons sur un site de reproduction en fonction du nombre x de poissons observés l’année précédente : ■ y = axe − bx , où a > 0 et b > 0(modèle de Ricker) ; ■ y =

ax 1 + ( bx )2

, où a > 0 et b > 0 (modèle de Shepherd).

Déterminez la valeur de x qui maximise y dans chacun des deux modèles.

60. Un sociologue a proposé un modèle de diffusion d’une innovation technologique dans une population de taille N. Il a postulé que le nombre [ n( t )] de personnes ayant adopté la nouvelle technologie est donné par n( t ) =

N 1 + ( N − 1) e − kt

où t est le temps écoulé depuis le moment où une première personne a adopté l’innovation technologique et où k est un paramètre positif. a) Que vaut n( 0 ) ? Expliquez ce résultat dans le contexte. b) Que vaut lim n( t ) ? t→∞

3m

θ θ 2m

c) Calculez la vitesse de propagation de la nouvelle techdn . nologie, soit dt d) À quel moment la vitesse de propagation de la nouvelle technologie est-elle maximale ? Vous pouvez supposer que cette vitesse maximale existe et se produit en un temps fini supérieur à 0.

314

CHAPITRE 5

61. Un source lumineuse ponctuelle est située en un point P, à une hauteur h au-dessus d’un point O au sol. Le point O est le centre d’un cercle dont le rayon mesure 20 cm. Soit R un point du cercle. La luminosité observée en ce point situé à une distance r de la source lumineuse est donnée par l’excosθ pression L = k 2 , où k est une constante positive et θ r représente l’angle d’incidence, soit l’angle formé par les segments PO et PR. La figure ci-dessous illustre la situation.

c) Évaluez lim− v ( x ) . x→1

d) Déterminez la valeur de x pour laquelle la vitesse d’une impulsion électrique est maximale. Comparez ce résultat avec la valeur 0,6 qui est la mesure généralement observée dans les fibres nerveuses. 63. Un poisson remonte le courant. La vitesse du poisson est de  v alors que celle du courant est de vc , de sorte que la vitesse nette du poisson est de v − vc . Le poisson dépense va , v − vc où a et k sont des constantes telles que a > 1 et que k > 0. À quelle vitesse le poisson doit-il se déplacer pour minimiser sa dépense énergétique ?

de l’énergie E(v) en fonction de la vitesse v : E ( v ) = k

P

θ r

h

R

O

20 cm

À quelle hauteur h doit-on placer la source lumineuse pour assurer la plus grande luminosité au point R ? 62. Les fibres nerveuses transmettent des impulsions électriques. Elles comportent un axone qui transporte les impulsions et qui est recouvert d’une gaine isolante, la myéline. Une fibre nerveuse ressemble donc à un câble cylindrique isolé dont le rayon du cylindre interne (l’axone) est r et le rayon du cylindre externe (l’axone et la myéline) est R.

r R

64. Les économistes qualifient une demande selon son élasticité dQ Q    ε = −  de la façon suivante : la demande est élasdP P  tique si ε > 1, inélastique si ε < 1 et d’élasticité unitaire si ε = 1. Le revenu R tiré de la vente de Q unités d’un bien au prix unitaire P est donné par R = PQ , où Q est une fonction dérivable de P. En supposant qu’il existe, vérifiez que le revenu maximum s’obtient lorsque l’élasticité est unitaire. 65. Le coût de production C (Q ) d’une entreprise pour produire une quantité Q d’un bien est donné par

En vertu de principes physiques, la vitesse d’une impulsion électrique est donnée par v ( x ) = − ax 2 ln x , où a est une constante positive et où 0 < x = r R < 1. a) Vérifiez que v ( x ) > 0. b) Complétez le tableau de valeurs suivant pour estimer v( x ) lim et en déduire la valeur de lim+ v ( x ). x → 0+ a x→ 0 Quand x s’approche de 0 par la droite ( x → 0 + ) , x

0,0 0 1

0,0 1

v( x ) a v( x ) s’approche de … a

0,1

C (Q ) = 0, 02Q3 + 15Q + 5 000 a) Quelle est l’expression du coût marginal C ′ (Q ) ? b) Quelle est l’expression du coût moyen de production, C (Q ) , lorsque l’entreprise produit une Q quantité supérieure ou égale à 1 ?

soit C (Q ) =

c) Déterminez la quantité du bien que l’entreprise doit produire pour que le coût moyen soit le plus faible possible. d) Comparez la valeur du coût marginal et du coût moyen lorsque le niveau de production est celui qui minimise le coût moyen. Que constatez-vous ? e) Montrez que, si l’expression du coût moyen est une fonction dérivable qui atteint une valeur minimale en Q = q, alors le plus faible coût moyen de production correspond au coût marginal à ce niveau de production.

OPTIMISATION

66. En vertu du principe de Fermat en optique, la lumière se déplace selon le trajet qui minimise le temps t de parcours. Si un faisceau lumineux est réfléchi sur un miroir plat, vérifiez que l’angle d’incidence α et l’angle de réflexion β sont égaux (voir le schéma). Vous pouvez supposer que le temps dt minimal est atteint lorsque = 0. (Indice : La vitesse v du dc faisceau dans l’air est constante : v =

longueur du déplacement s = ) t temps de déplacemen nt

A

B

β

b

α

Soit va la vitesse de la lumière dans l’air et ve celle de la lumière dans l’eau. a) Quelle est l’expression du temps t requis par la lumière pour passer du point A au point B en fonction de la distance c ? b) Vérifiez que le temps requis est minimal lorsque l’angle d’incidence α et l’angle de réfraction β satisfont à la loi sin α v = a . Vous pouvez de Snell, c’est-à-dire lorsque ve sin β supposer que le temps minimal est atteint lorsque dt = 0. dc 68. Dans une ruche, les alvéoles ont la forme d’un prisme hexagonal régulier fermé par un trièdre déterminant un angle apical de θ . On a établi que l’aire de la surface latérale d’une alvéole est donnée par A(θ ) = b + c 3 cosec θ − cotg θ , π où 0 < θ < , et où b et c sont des constantes positives. 2 Déterminez la valeur de l’angle apical qui minimise l’aire latérale de l’alvéole et qui exigerait donc la plus petite quantité de cire pour sa fabrication.

(

a

C

315

)

c k

67. En vertu du principe de Fermat en optique, la lumière se déplace entre un point A au-dessus de l’eau et un point B sous l’eau selon le trajet qui minimise le temps de parcours, comme cela est indiqué sur le schéma ci-dessous. A

θ

k

a

α

Air C Eau

c

β

b

B

Exercices de révision 1. Encerclez la lettre qui correspond à la bonne réponse. a) Pour quelle valeur de x la fonction f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 45 x + 30 prend-elle sa valeur maximale sur l’intervalle [ − 6,  6 ] ? A. −6

C. 3

E. 6

B. −5

D. 5

F. Aucune de ces réponses.

b) Quelle est la plus petite valeur (approchée à 2 décimales) de la fonction f ( x ) = x 3 ln x sur l’intervalle ]0,  3] ? A. −0, 04

C. −0, 12

E. −0, 20

G. −0, 28

B. −0, 08

D. −0, 16

F. −0, 24

H. −0, 32

c) Un courtier d’assurances peut vendre hebdomadairement 80 contrats d’assurance-vie au coût de 60 $. Chaque augmentation de 1 $ du prix du contrat fait chuter de 1 unité le nombre de contrats vendus. Quel revenu maximal hebdomadaire le courtier peut-il tirer de la vente des contrats d’assurance-vie ? A. 4 500 $

C. 4 900 $

E. 5 200 $

B. 4 800 $

D. 5 100 $

F. Aucune de ces réponses.

d) Soit la fonction f ( x ) = e − 4 x . Soit P ( x ) le périmètre du rectangle dont les sommets sont situés aux points ( 0,  0 ),

316

CHAPITRE 5

( x, 0 ), ( x,  f ( x )) et ( 0,  f ( x )) lorsque x > 0. Lequel des

5. Trouvez un nombre positif tel que la somme de ce nombre et de son inverse multiplicatif soit la plus petite possible.

A. La fonction P ( x ) admet un maximum absolu, mais pas de minimum absolu sur + . B. La fonction P ( x ) admet un minimum absolu, mais pas de maximum absolu sur + . C. La fonction P ( x ) admet un maximum absolu et un minimum absolu sur + . D. La fonction P ( x ) n’admet ni maximum absolu ni minimum absolu sur + .

6. Une fenêtre dont le périmètre est de 6 m a la forme d’un rectangle surmonté d’un triangle équilatéral. Quelles sont les dimensions du rectangle qui maximisent l’aire de cette fenêtre ?

énoncés suivants est vrai ?

e) La courbe décrite par la fonction f ′ ( t ) d’une fonction f ( t ) dérivable partout est la suivante :

|

8. Le propriétaire d’une animalerie vous demande de trouver les dimensions de l’aquarium le plus économique qui satisfaient aux conditions suivantes : ■ le volume de l’aquarium doit être de 1 m 3 ;

|

y

7. Lorsqu’on fait tourner autour d’un de ses côtés une surface rectangulaire dont le périmètre est de 64 cm, on produit un cylindre circulaire droit. Déterminez les dimensions du rectangle qui maximisent le volume du cylindre ainsi engendré.

■ la longueur x de l’aquarium doit être deux fois plus

|

grande que sa largeur y ; |

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

7

8

|

|

|

|

|

|

|

9 10 11 12 13 14 15 x

12 $/m 2 , alors que celui des côtés est de 8 $/m 2. z

|

|

|

|

■ le coût de fabrication de la base de l’aquarium est de |

y

À quelle valeur de t la fonction atteint-elle son minimum absolu sur l’intervalle [ 0,  15 ] ? A. 0

C. 5

E. 12

B. 3

D. 8

F. Aucune de ces réponses.

2. Quels sont les extremums absolus et relatifs de la fonction continue f ( x ) = x 4 + 4 3 x 3 − 12 x 2 + 10 sur [ − 4,  3], et en quelles valeurs de x la fonction les atteint-elle ? 3. On exerce une force d’intensité F N faisant un angle θ ( où 0 ≤ θ ≤ π 2 ) avec l’horizontale pour déplacer une masse 12 , sur une surface horizontale. Sachant que F = sin θ + cosθ déterminez l’angle qui minimise la force requise pour déplacer la masse. 4. En vertu de la loi d’Ohm, le lien entre la tension E (en volts), le courant I (en ampères), la résistance interne r d’une batterie et la résistance externe R (en ohms) est donné par E I = , où la tension et la résistance interne sont des R+r constantes, alors que la résistance externe est variable. La puissance P (en watts) fournie par la batterie est donnée par P = RI 2 . Vérifiez que la puissance est maximale lorsque la résistance externe prend la même valeur que la résistance interne.

x

9. Une route relie une ville A à une ville B qui est située à 15 km à l’est de la première. Une ville C est située à 5 km au sud de la ville B. On veut construire une route joignant la ville A à la ville C en refaisant une partie de celle qui relie A et B, puis en créant une nouvelle route à partir d’un point D jusqu’à la ville C, comme l’indique le schéma qui suit. 15 km A

D

B

5 km

C

Si la réfection du tronçon reliant A et D coûte 600 000 $/km et la construction de la nouvelle route entre D et C coûte 1 000 000 $/km, à quelle distance du point B doit-on entreprendre la construction de la nouvelle route pour relier les villes A et C de la manière la plus économique ?

6 Tracé de courbes

C H A P I T R E

Les courbes sont des figures géométriques engendrées par le mouvement d’un point, c’est‑à‑dire un mouvement continu. Hans Hahn

O

n dit souvent qu’une image vaut mille mots. Cela est particulièrement vrai en mathématiques. En effet, la représentation graphique d’une fonction per­ met de saisir d’un seul coup d’œil les principaux attri­ buts de cette dernière. Grâce au calcul différentiel, on peut dégager les principales caractéristiques du com­ portement de la courbe décrite par une fonction et faire une esquisse assez précise de cette courbe. Ainsi, l’évaluation de limites à l’infini et la localisa­ tion de limites infinies permettent de trouver les asymp­ totes à la courbe décrite par une fonction. De plus, le signe de la dérivée première d’une fonction permet de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction, ainsi que ses valeurs extrêmes. Enfin, le signe de la dérivée seconde permet de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la courbe décrite par la fonction, ainsi que les points d’inflexion de celle­ci.

O b j e c t i f s ◗◗ Déterminer le domaine d’une fonction (6.1).

◗◗ Trouver les points d’inflexion d’une fonction (6.3).

◗◗ Trouver les asymptotes à la courbe décrite par une

◗◗ Faire l’esquisse de la courbe décrite par une fonction (6.4).

fonction (6.2). ◗◗ Déterminer les intervalles de concavité vers le bas et les

intervalles de concavité vers le haut d’une fonction (6.3).

S o m m a i r e Un portrait de Maria Gaetana Agnesi

Résumé (p. 358)

6.1 Domaine d’une fonction (p. 322)

Mots clés (p. 359)

6.2 Asymptotes à la courbe décrite par une fonction (p. 324)

Réseau de concepts (p. 359)

6.3 Concavité et points d’inflexion (p. 335)

Exercices récapitulatifs (p. 360)

6.4 Esquisse de la courbe décrite par une fonction (p. 342)

Exercices de révision (p. 363)

A n i m a t i o n s

G e o G e b r a

23 Signe de la dérivée seconde et concavité (p. 274 et 336) 27 Concavité et points d’inflexion (p. 339)

UN PORTRAIT DE Maria Gaetana Agnesi

M

aria Gaetana Agnesi naquit à Milan le 16 mai 1718. Son père, Pietro Agnesi, était issu d’une famille qui avait fait fortune dans le commerce de la soie. Il eut 21 enfants de trois mariages. Maria était l’aînée de la famille. Après la mort de sa mère, elle dut veiller à l’éducation de ses nombreux frères et sœurs. Comme il était relativement à l’aise financièrement, Pietro Agnesi put engager des tuteurs compétents pour faire instruire tous ses enfants, de sorte que ceux­ci reçurent tous une éduca­ tion de qualité. Maria était particulièrement douée pour l’apprentissage des langues et des mathématiques, ce dont Pietro était très fier. Il organisait régulièrement des réceptions au cours desquelles Maria donnait des causeries de nature philosophique et scien­ tifique devant un auditoire composé de gens instruits de la haute société locale et d’intellectuels venus de l’étranger. Ainsi, Maria Gaetana Agnesi lors d’une de ces réceptions, alors qu’elle n’avait que neuf ans, Maria fit une allocution en latin pour réclamer l’accession des femmes à l’enseignement supérieur. Charles de Brosses, témoin oculaire d’une de ces rencontres chez Pietro Agnesi, raconta comment Maria était impressionnante, comment elle s’exprimait avec élégance et éloquence, non seulement sur des sujets philosophiques mais également sur des questions scientifiques comme la propagation de la lumière et l’analyse des courbes de l’espace. En 1738, Maria publia d’ailleurs un recueil de 191 essais (Propositiones philosophicae) traitant des sujets qu’elle avait abordés lors des causeries organisées par son père. Comme nous l’avons dit précédemment, Maria était très douée pour les mathéma­ tiques. Le moine Ramiro Rampinelli, qui enseignait les mathématiques, joua un rôle de premier plan dans la formation mathématique de Maria. Ainsi, non seulement lui pré­ senta­t­il les dernières découvertes de l’époque, mais aussi lui fit­il connaître des œuvres importantes comme celles de Reyneau et du marquis de L’Hospital. Maria, qui était responsable de l’éducation de ses frères et de ses sœurs, se mit à écrire des leçons pour leur faire comprendre les rudiments du calcul. Ce qui commença comme un simple ouvrage à usage privé prit rapidement de l’ampleur. Rampinelli encouragea Maria à écrire un manuel complet en calcul différentiel, ce qu’elle fit avec empressement. Le premier tome de Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana parut en 1748 et traitait principalement d’algèbre ; le deuxième tome parut l’année suivante et portait sur le calcul différentiel et intégral, les séries ainsi que les équations différentielles. Maria supervisa étroitement la production de l’ouvrage, faisant même installer l’imprimerie

locale dans la résidence paternelle. Instituzioni était un modèle sur le plan de la typographie et de la pédagogie : les marges étaient larges, la police de caractère choisie facilitait la lecture de l’ouvrage, 49 pages d’illustrations soignées accom­ pagnaient les explications, les sujets étaient traités par ordre croissant de diffi­ culté, etc. Le pape Benoît XIV, qui avait une certaine formation en mathématiques, fut si impressionné par la qualité du livre qu’il nomma Maria professeur honoraire de l’Université de Bologne. Elle refusa cependant ce poste puisqu’elle choisit, après la mort de son père survenue en 1752, de consacrer le reste de sa vie à des œuvres caritatives. Maria n’apporta plus aucune contribution aux mathématiques et mourut dans une pauvreté absolue le 9 janvier 1799. Le manuel de calcul de Maria était tellement remarquable que l’Académie des sciences de Paris le signala comme le traité de calcul le meilleur et le plus complet pour sa synthèse claire, précise et brillante des découvertes effectuées jusqu’alors et pour sa présentation systématique de celles­ci. C’est sans doute pour cette raison que la prestigieuse institution en recommanda la traduction, laquelle fut assurée par d’Antelmy et accompagnée de notes de l’abbé Bossuet. Publiée en 1775 sous le titre de Traités élémentaires de calcul différentiel et de calcul intégral, l’édition française, qui ne comprenait que le second tome, comportait 500 pages, alors que l’œuvre originale complète d’Agnesi en comptait 1 020. Le nom d’Agnesi est associé à la courbe d’équation y =

a2

a3 , nommée + x2

« Sorcière d’Agnesi », qui figure dans le premier tome de son célèbre ouvrage. John Colson, qui traduisit l’ouvrage d’Agnesi en anglais sous le titre Analytical Institutions, crut que le mot versiera (pour « verseau »), choisi par Agnesi pour nommer la courbe, était l’abréviation de avversiera (« femme du diable »), d’où la désignation erronée de « Sorcière d’Agnesi ».

Même si Maria Gaetana Agnesi n’a pas apporté d’idées originales aux mathé­ matiques, son nom demeure attaché au domaine non seulement par l’erreur de traduction de Colson, mais également pour sa contribution à la diffusion des connaissances mathématiques. Soulignons enfin que la compositrice canadienne Elma Miller a écrit une pièce musicale intitulée The Witch of Agnesi et comman­ ditée par l’Alliance for Canadian New Music Projects. Par un heureux hasard, cette pièce fut interprétée pour la première fois à Toronto en octobre 1989, la veille de l’Halloween ; elle avait été inspirée par la célèbre courbe d’Agnesi. ■

322

CHAPITRE 6

6.1 DOMAINE D’UNE FONCTION Dans cette section : domaine d’une fonction.

Lorsqu’on représente graphiquement une fonction, on s’intéresse particulièrement aux principales caractéristiques de la courbe décrite par cette fonction : discontinuités, asymptotes, intervalles de croissance, intervalles de décroissance, maximum, minimum, etc. Le calcul différentiel permet de préciser ces caractéristiques importantes et de s’en servir pour esquisser la courbe décrite par la fonction. ● Domaine d’une fonction Le domaine d’une fonction f ( x ) est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction f ( x ) est définie. On note cet ensemble par Dom f .

La première étape de l’étude d’une fonction f ( x ) est la détermination de son domaine. Le domaine d’une fonction f ( x ) correspond à l’ensemble des valeurs de la variable indépendante x pour lesquelles la fonction est définie, c’est-à-dire pour lesquelles il est possible de l’évaluer. On note Dom f le domaine d’une fonction f ( x ). EXEMPLE 6.1

Déterminons le domaine de la fonction f ( x ) =

3x − 1 . 2 x2 + 3

Pour que la fonction f ( x ) soit définie, il faut que le dénominateur ne soit pas nul (puisqu’on ne doit pas effectuer une division par zéro). Or, 2 x 2 + 3 ≥ 3 pour tout x ∈  puisque x 2 ≥ 0 . Le dénominateur n’étant jamais nul, on peut conclure que Dom f = .

QUESTION ÉCLAIR 6.1 Déterminez le domaine de la fonction f ( x ) =

−3 . x−5

EXEMPLE 6.2

Déterminons le domaine de la fonction g ( t ) = et

et

t3 − 1 . (3 − t 2 )

La fonction g ( t ) est définie lorsque son dénominateur est non nul. Or, puisque > 0 pour tout t ∈ , on a et ( 3 − t 2 ) = 0 ⇔ 3 − t 2 = 0 ⇔ t 2 = 3 ⇔ t = − 3 ou t =

3

Les seules valeurs réelles qui annulent le dénominateur de la fonction g ( t ) sont t = − 3 et t = 3 . Elles doivent donc être exclues du domaine de la fonction g ( t ), de sorte que Dom g =    \ {− 3 ,  3 } . EXEMPLE 6.3

Déterminons le domaine de la fonction h ( x ) = cotg x . cos x , la fonction est définie lorsque le dénominateur est sin x différent de 0, c’est-à-dire lorsque sin x ≠ 0. Or, Puisque h ( x ) =

sin x = 0 ⇔ x = kπ où k ∈   Par conséquent, Dom h =    \ {kπ k ∈  }.

TRACÉ DE COURBES

323

EXEMPLE 6.4

Déterminons le domaine de la fonction s ( t ) =

4

3t 2 − 12 .

Une racine paire est définie seulement si la quantité sous le radical n’est pas négative. La fonction s ( t ) est donc définie si et seulement si 3t 2 − 12 ≥ 0 . Or, 3t 2 − 12 ≥ 0 ⇔ 3 ( t 2 − 4 ) ≥ 0 ⇔ 3 ( t − 2 )( t + 2 ) ≥ 0 Un tableau des signes permet de conclure que la fonction s ( t ) est définie  si t ≥ 2 ou si t ≤ −2. Le domaine de la fonction s ( t ) est donc Dom s = ]−∞,  −2 ] ∪ [ 2,  ∞[.

QUESTION ÉCLAIR 6.2 Complétez le tableau 6.1 afin de déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’expression x 3 − 16 x est non négative. TABLE AU 6.1

Tableau des signes

]−, − 4 [ - 4

x x3

]− 4 ,  0[

]0 ,  4 [

]4 , [

0

4

− 16 x

EXEMPLE 6.5

Déterminons le domaine de la fonction f ( x ) = log ( x 3 − 1). On ne peut évaluer le logarithme d’une quantité que si elle est positive. La fonction f ( x ) est donc définie si et seulement si x 3 − 1 > 0. Or, x3 − 1 > 0 ⇔ x3 > 1 ⇔ x > 1 Par conséquent, Dom f = ]1,  ∞[.

Les exemples 6.1 à 6.3 permettent de constater que les valeurs de la variable indépendante qui annulent le dénominateur d’une fraction ne font pas partie du domaine d’une fonction. Il en est de même des valeurs pour lesquelles l’argument d’une fonction logarithmique n’est pas positif (exemple 6.5) et des valeurs pour lesquelles l’expression sous un radical nième, où n est pair, est négative (exemple 6.4). EXERCICE 6.1

Déterminez le domaine de la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

5 2 x ( x2 + x − 6 )

b) f ( x ) = sec x tg x c) f ( x ) =

3

9 − x2

d) f ( x ) =

9 − x2

e) f ( x ) = 3 + ln ( 3 − 2 x )

324

CHAPITRE 6

6.2 ASYMPTOTES À LA COURBE DÉCRITE PAR UNE FONCTION

Dans cette section : asymptote – asymptote verticale – asymptote horizontale – asymptote oblique. ● Asymptote Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini.

Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point sur la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini. Il existe trois types d’asymptotes : verticale, horizontale et oblique.

6.2.1 A symptotes verticAles La figure 6.1 présente deux fonctions admettant une asymptote verticale. FIGURE 6.1

Notion intuitive d’asymptote verticale a)

x = c

y

b)

f ( x)

y

g ( x) x

x

x = d

Sur la figure 6.1 a, on constate que si x → c + , alors f ( x ) → −∞ et la distance entre le point ( x,  f ( x )) et la droite x = c tend vers 0, c’est-à-dire que la courbe décrite par la fonction f ( x ) s’approche de plus en plus de la droite x = c . On dit que la droite x = c est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) et on la représente par un trait pointillé puisqu’elle ne fait pas partie de la courbe décrite par la fonction f ( x ). Sur la figure 6.1 b, on constate que si x → d − , alors g ( x ) → ∞ et la distance entre le point ( x,  g ( x )) et la droite x = d tend vers 0, c’est-à-dire que la courbe décrite par la fonction g ( x ) s’approche de plus en plus de la droite x = d . De plus, lim+ g ( x ) = −∞ et, lorsque x → d + , la courbe décrite par la fonction g ( x ) est de x→d

plus en plus proche de la droite x = d . La droite x = d est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction g ( x ). ● Asymptote verticale La droite x = a (où a ∈ ) est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si au moins une des deux limites lim− f ( x ) ou lim+ f ( x ) donne ∞ ou −∞.

x→ a

x→ a

De façon générale, la droite x = a (où a ∈ ) est une asymptote verticale à la courbe décrite par une fonction f ( x ) si lim− f ( x ) ou lim+ f ( x ) donne −∞ ou ∞. Les x→ a

x→ a

valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont notamment celles qui annulent le dénominateur d’une fraction ou celles qui annulent l’argument d’un logarithme.

QUESTION ÉCLAIR 6.3 Déterminez les valeurs de x susceptibles de produire des asymptotes verticales. a) f ( x ) =

x−1 − 6 x3

x4

b) g ( x ) = ln ( x 2 − 4 x − 5 )

TRACÉ DE COURBES

325

EXEMPLE 6.6

Déterminons, s’il y en a, les asymptotes verticales à la courbe décrite par la x2 + x − 2 . fonction f ( x ) = 2 x + 5x + 6 Les valeurs susceptibles de produire une asymptote verticale sont les valeurs de x qui annulent le dénominateur de la fonction f ( x ). Or, x 2 + 5 x + 6 = 0 ⇔ ( x + 2 )( x + 3) = 0 ⇔ x = −2  ou x = −3 Par conséquent, Dom f =    \ {−3,  −2}. Étudions le comportement de la fonction f ( x ) autour de x = −3 : lim f ( x ) = lim −

x →−3−

x →−3

( x + 2 ) ( x − 1) x−1 = lim − = ∞ x →− 3 ( x + 2 ) ( x + 3) x+3 forme

−4 0−

et x−1 lim f ( x ) = lim + = −∞ x →−3 x + 3 

x →−3+

forme

−4 0+

Par conséquent, la droite x = −3 est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). Étudions le comportement de la fonction f ( x ) autour de x = −2 : lim f ( x ) = lim

x →−2

x →−2

( x + 2 ) ( x − 1) x−1 = −3 = lim x →− 2 x+3 ( x + 2 ) ( x + 3)

Puisque cette limite ne donne pas ∞ ni −∞, alors la droite x = −2 n’est pas une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). En fait, la fonction f ( x ) admet une discontinuité non essentielle par trou en x = −2. Le point ( −2,  −3) sera donc représenté par un cercle vide. La figure 6.2 confirme ces résultats. Nous verrons plus loin que la droite y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par f ( x ). FIGURE 6.2

x2 + x − 2 x 2 + 5x + 6

|

|

|

|

|

–10

–8

–6

–4

–2

|

5

|

0 –5

x = −3

|

10

|

y =1

x2 + x − 2 x2 + 5 x + 6

–10

|

f ( x) =

y

15

–15

|

f (x ) =

|

|

|

2

4

6

x

CHAPITRE 6

QUESTION ÉCLAIR 6.4 Déterminez, s’il y en a, les asymptotes verticales à la courbe décrite par la −3 . fonction f ( x ) = x−5

EXEMPLE 6.7

Déterminons, s’il y en a, les asymptotes verticales à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = log ( x 3 − 1). À l’exemple 6.5, on a déterminé que Dom f = ]1,  ∞[. La seule valeur de x susceptible de produire une asymptote verticale est celle qui annule l’argument du logarithme, soit x = 1. Étudions le comportement de la fonction f ( x ) à droite de x = 1 puisque le domaine de la fonction est Dom f = ]1,  ∞[. On a lim f ( x ) = lim+ log ( x 3 − 1) = −∞ 1  x →   

x → 1+

forme log( 0 +)

Par conséquent, la droite x = 1 est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ), ce qu’on peut constater sur la figure 6.3. FIGURE 6.3

f ( x ) = log( x 3 − 1) y |

1

|

0,5

|

1,5

0 –0,5

f ( x ) = log ( x 3 − 1 )

|

2

|

326

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

x

x =1

EXERCICE 6.2

Déterminez, s’il y en a, les asymptotes verticales à la courbe décrite par la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

x2 − 4 2− x

c) f ( x ) = sec x sur [ 0,  2π ]

b) f ( x ) =

2x + 1 x2 − 3 x

d) f ( x ) = ln ( 3 x + 1)

327

TRACÉ DE COURBES

6.2.2 A symptotes horizontAles La figure 6.4 présente deux fonctions admettant une ou plusieurs asymptotes horizontales. FIGURE 6.4

Notion intuitive d’asymptote horizontale a)

b)

y

y

y = c

f ( x)

x

y = b

g ( x) x

y = d

Sur la figure 6.4 a, on constate que si x → ∞, alors f ( x ) → b et la distance entre le point ( x,  f ( x )) et la droite y = b tend vers 0, c’est-à-dire que la courbe décrite par la fonction f ( x ) s’approche de plus en plus de la droite y = b . On dit que la droite y = b est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) et on la représente par un trait pointillé puisqu’elle ne fait pas partie de la courbe décrite par la fonction f ( x ). Sur la figure 6.4 b, on constate que si x → −∞, alors g ( x ) → d et la distance entre le point ( x,  g ( x )) et la droite y = d tend vers 0, c’est-à-dire que la courbe décrite par la fonction g ( x ) s’approche de plus en plus de la droite y = d . De plus, lim g ( x ) = c et, lorsque x → ∞, la courbe décrite par la fonction g ( x ) s’approche x →∞

de plus en plus de la droite y = c . Les droites y = c et y = d sont donc des asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction g ( x ). ● Asymptote horizontale La droite y = b (où b ∈ ) est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim f ( x ) = b ou si lim f ( x ) = b . x →∞

x →− ∞

De façon générale, la droite y = b (où b ∈ ) est une asymptote horizontale à la courbe décrite par une fonction f ( x ) si lim f ( x ) = b ou si lim f ( x ) = b . x →− ∞

x →∞

QUESTION ÉCLAIR 6.5 Évaluez l’expression. a) lim

x →∞

2x + 5 3x − 2

b) lim

x →−∞

2x + 5 x2 − 1

EXEMPLE 6.8

Déterminons, s’il y en a, les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la x2 + x − 2 fonction f ( x ) = 2 . On a x + 5x + 6 x 2 (1 + x2 + x − 2 lim = x →−∞ x 2 + 5 x + 6 x →−∞ x 2 (1 + lim

) 5 + 6 x x ) 1

x

−

2

x2 2

1+ x →−∞ 1 +

= lim

1 5

x x

− +

2 6

x2 x2

=

1+0−0 = 1 1+0+0

CHAPITRE 6

et, similairement, 1+ x2 + x − 2 = lim x →∞ x 2 + 5 x + 6 x →∞ 1 + lim

1 5

x x

− +

2 6

x2

= 1

x2

Par conséquent, la droite y = 1 est la seule asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). La figure 6.5 confirme ce résultat. FIGURE 6.5

x2 + x − 2 x 2 + 5x + 6

y =1

|

|

|

|

|

–10

–8

–6

–4

–2

5

0

–10

|

–5

x = −3

|

10

|

15

x2 + x − 2 x2 + 5 x + 6

|

f ( x) =

y

|

|

|

2

4

6

x

|

f (x ) =

–15

|

328

QUESTION ÉCLAIR 6.6 Déterminez, s’il y en a, les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la 1 fonction f ( x ) = 4 + . x+2

EXEMPLE 6.9

Déterminons, s’il y en a, les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 10 − 3e 0 , 2 x . On a lim e 0 , 2 x = lim ( e 0 , 2 ) = 0 par la propriété 17 du tableau 3.1 (p. 158) x

avec b =

x →−∞ e0,2 >

x →−∞

1.

Par conséquent, lim f ( x ) = lim (10 − 3e 0 , 2 x ) = 10 − 3 ( 0 ) = 10

x →−∞

x →−∞

La droite y = 10 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par f ( x ). De plus, lim e 0 , 2 x = lim ( e 0 , 2 ) = ∞ par la propriété 16 du tableau 3.1 avec x

b = e0 ,2 > 1.

x →∞

x →∞

Par conséquent, lim f ( x ) = lim (10 − 3e 0 , 2 x ) = −∞ x →∞    

x →∞

forme 10 − 3( ∞ )

TRACÉ DE COURBES

329

La droite y = 10 est la seule asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ), ce qu’on peut constater sur la figure 6.6. FIGURE 6.6

f ( x ) = 10 − 3e 0 ,2 x

10 |

–2

0

–20

|

–30

|

–40

|

–10

|

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

12

|

14 x

|

|

–4

y = 10

|

20

|

y

f ( x ) = 10 − 3e 0 ,2 x

EXERCICE 6.3

Déterminez, s’il y en a, les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

2x + 1 x2 − 3 x

b) f ( x ) = 2 e − x + 1 2

c) f ( x ) = 3 −

x +4

x2

6.2.3 A symptotes obliques La figure 6.7 présente une fonction admettant une asymptote oblique.

FIGURE 6.7

Notion intuitive d’asymptote oblique y

y = x f ( x)

x

Sur la figure 6.7, on constate que, lorsque x → ∞, la courbe décrite par la fonction f ( x ) s’approche de plus en plus de la droite y = x . Il en est de même lorsque x → −∞. La droite y = x est alors une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ), et on la représente par un trait pointillé puisqu’elle ne fait pas partie de la courbe décrite par f ( x ). De façon générale, la droite y = mx + b (où m ∈   \ {0} et b ∈ ) est une asymp­ tote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim [ f ( x ) − ( mx + b)] = 0 x →∞

ou si lim [ f ( x ) − ( mx + b)] = 0. En effet, lorsque x → ∞ (ou x → −∞), la courbe x →− ∞

décrite par la fonction f ( x ) s’approche alors de plus en plus de la droite y = mx + b. EXEMPLE 6.10

● Asymptote oblique La droite y = mx + b (où m ∈   \ { 0 } et b ∈ ) est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) si lim [ f ( x ) − ( mx + b ) ] = 0 ou si x →∞

lim [ f ( x ) − ( mx + b ) ] = 0.

x →− ∞

Déterminons si la courbe décrite par la fonction f ( x ) = une asymptote oblique. En effectuant la division de polynômes, on obtient 13 f ( x ) = 2 x +  8 + x − 2 équation d’une droite

2 x2 + 4 x − 3 admet x−2

CHAPITRE 6

Vérifions si la droite y = 2 x + 8 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ). On a 13 = 0 lim [ f ( x ) − ( 2 x + 8 )] = lim x →∞ x − 2 

x →∞

forme

et

13 ∞

13 = 0 lim [ f ( x ) − ( 2 x + 8 )] = lim x →− ∞ x − 2 

x →− ∞

forme

13 −∞

Par conséquent, la droite y = 2 x + 8 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ), ce qu’on peut constater sur la figure 6.8. FIGURE 6.8

2x 2 + 4x − 3 x −2

|

|

|

|

|

–10

–8

–6

–4

–2

20

|

10

|

30

0

–20

|

–10

f ( x) =

|

40

2 x2 + 4 x − 3 x−2

y = 2x + 8

|

50

|

y

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

|

12 x

|

f (x ) =

–30

|

330

x = 2

L’exemple 6.10 permet de constater que, lorsqu’une fonction f ( x ) est le quotient de deux polynômes et que le degré du polynôme au numérateur est supérieur d’une unité au degré du polynôme au dénominateur, il suffit d’utiliser la division de polynômes pour trouver l’équation de l’asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) : f ( x ) = mx + b + g ( x ) avec m ∈   \ {0}, b ∈  et lim g ( x ) = 0 ou lim g ( x ) = 0. x →∞

x →− ∞

QUESTION ÉCLAIR 6.7 Déterminez l’asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction 15 x 2 + 14 x − 10 f ( x) = en utilisant la division de polynômes. 5x − 2 Il existe une méthode plus générale pour déterminer l’équation d’une asymptote oblique, méthode qui s’applique aussi dans le cas où la fonction f ( x ) n’est pas le quotient de deux polynômes. Le théorème 6.1 décrit cette méthode.

TRACÉ DE COURBES

331

v THÉORÈME 6.1 La droite y = mx + b (où m ∈   \ {0} et b ∈ ) est une asymptote oblique f ( x) à la courbe décrite par une fonction f ( x ) si et seulement si lim = m x →∞ x f ( x) et b = lim [ f ( x ) − mx ], ou si lim = m et b = lim [ f ( x ) − mx ]. x →∞ x →− ∞ x x →− ∞

preuve Si la droite y = mx + b (où m ∈   \ {0} et b ∈ ) est une asymptote oblique à la courbe décrite par une fonction f ( x ), alors on peut écrire f ( x ) = mx + b + g ( x ) avec lim g ( x ) = 0 ou lim g ( x ) = 0. Supposons x →∞

x →− ∞

que lim g ( x ) = 0. On a alors x →∞

lim

x →∞

f ( x) mx + b + g ( x ) = lim x →∞ x x b g ( x)   = lim  m + + x →∞  x  x = m+0+0

car lim g ( x ) = 0 x→ ∞

= m et lim [ f ( x ) − mx ] = lim [ mx + b + g ( x ) − mx ]

x →∞

x →∞

= lim [ b + g ( x )] x →∞

= b+0

car lim g ( x ) = 0 x→ ∞

= b Si lim g ( x ) = 0, on obtient de façon similaire que lim x →− ∞

x →− ∞

et que lim [ f ( x ) − mx ] = b.

f ( x) = m x

x →− ∞

f ( x) = m (où m ∈   \ {0}) et que x →∞ x lim [ f ( x ) − mx ] = b (où b ∈ ). Montrons que la droite y = mx + b est Supposons maintenant qu’on a lim

x →∞

une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ). En effet, lim [ f ( x ) − ( mx + b)] = lim [ f ( x ) − mx − b]

x →∞

x →∞

= lim [ f ( x ) − mx ] − lim b x→ ∞

x →∞

= b−b = 0 Par conséquent, la droite y = mx + b est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ). On démontre de façon similaire que f ( x) si lim = m (où m ∈   \ {0}) et si lim [ f ( x ) − mx ] = b (où b ∈ ), x →− ∞ x x →−∞ alors la droite y = mx + b est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ).

332

CHAPITRE 6

QUESTION ÉCLAIR 6.8 Soit la fonction f ( x ) = a) Évaluez lim

x →∞

f ( x) . x

2 x2 − x + 1 . x−3

b) Évaluez lim [ f ( x ) − 2 x ]. x →∞

c) Que vous permettent de conclure les réponses obtenues en a et en b ?

EXEMPLE 6.11

2 x2 + 4 x − 3 admet x−2 une asymptote oblique en utilisant la méthode décrite dans le théorème 6.1. On a Déterminons si la courbe décrite par la fonction f ( x ) =

lim

x →∞

f ( x) 2 x2 + 4 x − 3 = lim x →∞ x x( x − 2) = lim

x2 ( 2 + x2

x →∞

4

x

−

3

(1 − 2 x )

x2

)

2 + 4 x − 3 x2 x →∞ 1 − 2x

= lim = 2 Alors m = 2 ∈   \ {0}. De plus,

 2 x2 + 4 x − 3  lim [ f ( x ) − 2 x ] = lim  − 2 x x →∞ x →∞   x−2 2 x2 + 4 x − 3 − 2 x ( x − 2 ) x →∞ x−2 8x − 3 = lim x →∞ x − 2 = lim

= lim

x →∞

x (8 − x (1 −

8− x →∞ 1 −

= lim

3 2

3 2

) ) x x

x x

= 8 Par conséquent, b = 8 ∈ , de sorte que la droite y = mx + b = 2 x + 8 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ). On obtient de façon similaire que lim

x →−∞

f ( x) = 2 et lim [ f ( x ) − 2 x ] = 8. x →−∞ x

La droite y = 2 x + 8 est donc la seule asymptote oblique à la courbe décrite par 2 x2 + 4 x − 3 la fonction f ( x ) = comme on l’avait déjà constaté sur la figure 6.8 x−2 (p. 330).

TRACÉ DE COURBES

333

QUESTION ÉCLAIR 6.9 Déterminez, s’il y en a, les asymptotes obliques à la courbe décrite par la −3 x . fonction f ( x ) = x−5 EXEMPLE 6.12

Déterminons si la courbe décrite par la fonction f ( x ) = une ou plusieurs asymptotes obliques. On a lim

x →∞

9 x2 + 1 − 4 f ( x) = lim x →∞ x x x2 ( 9 +

= lim

x 9+

= lim

)−4

1

−4

x2

x

x →∞

x 9+

= lim

1

−4

x2

x

x →∞

x →∞

x2

∞ forme ∞

x

x →∞

= lim

1

9 x 2 + 1 − 4 admet

(

9+

1

−

x2

4

x

car x > 0

)

= 3 Alors, m1 = 3 ∈   \ {0} . De plus, lim [ f ( x ) − 3 x ] = lim

x →∞

x →∞

(

9 x2 + 1 − 4 − 3x

)

(

)

= lim (− 4) + lim 9 x 2 + 1 − 3 x x →∞ x →∞     = − 4 + lim

(

forme ∞− ∞

9 x2 + 1 − 3x

(

x →∞

= − 4 + lim

(

9 x2

1

)(

9 x2 + 1 + 3x

+ 1 + 3x

)

)

)

+ 1 + 3x    x →∞

9 x2

1 ∞+ ∞

forme

= −4 + 0 = −4 Par conséquent, b1 = − 4 ∈ , de sorte que la droite y = m1 x + b1 = 3 x − 4 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = Par ailleurs, lim

x →− ∞

f ( x) 9 x2 + 1 − 4 = lim x →− ∞ x x = lim

x 9+ −x 9 +

x →− ∞

(

= lim − 9 + x →− ∞

x2

−4

x

x →− ∞

= lim

1

forme ∞ ∞

1

x2

−4

x 1

x2

−

4

x

car x < 0

)

9 x2 + 1 − 4 .

x 9+

= lim CHAPITRE 6

−x 9 +

= lim

−4

1

x2

−4

x

x →− ∞

(

= lim − 9 + x →− ∞

x2

x

x→− ∞

1

x2

−

4

x

car x < 0

)

= −3 Alors, m2 = −3 ∈   \ {0} . De plus, lim [ f ( x ) − ( −3 x )] = lim

x →− ∞

x →− ∞

(

9 x2 + 1 − 4 + 3x

)

(

)

= lim (− 4) + lim 9 x2 + 1 + 3x x →− ∞ x →− ∞  

(

= − 4 + lim

forme ∞− ∞

9 x2 + 1 + 3 x

(

x →− ∞

= − 4 + lim

(

)(

9 x2 + 1 − 3x

9 x2 + 1 − 3x

1

)

)

)

x →− ∞ + 1 − 3x   

9 x2

1 forme ∞− (− ∞)

= −4 + 0 = −4 Par conséquent, b2 = − 4 ∈ , de sorte que la droite y = m2 x + b2 = −3 x − 4 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 9 x 2 + 1 − 4 . La courbe décrite par f ( x ) admet donc deux asymptotes obliques comme on peut le constater sur la figure 6.9. FIGURE 6.9

f ( x ) = 9x 2 + 1 − 4

|

|

|

–3

–2

–1

y = 3x − 4

|

4

0 –4

|

|

–4

8

–8

|

|

–5

f ( x) =

|

12

|

y

–12

9 x2 + 1 − 4

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

x

y = −3x − 4 |

334

1

EXERCICE 6.4

Déterminez, s’il y en a, les asymptotes obliques à la courbe décrite par la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

x2 − 3 x 2x + 1

b) f ( x ) =

2x + 1 x2 − 3 x

c) f ( x ) = 3 −

x2 + 4

335

TRACÉ DE COURBES

6.3 CONCAVITÉ ET POINTS D’INFLEXION

Dans cette section : fonction concave vers le haut – fonction concave vers le bas – point d’inflexion.

Au chapitre précédent, nous avons déterminé qu’une fonction f ( x ) est croissante si f ′ ( x ) > 0 et décroissante si f ′ ( x ) < 0. Nous avons également déterminé que les extremums relatifs de la fonction f ( x ), s’ils existent, se produisent aux extrémités de l’intervalle sur lequel la fonction f ( x ) est définie ou en une valeur critique de f ( x ). Ces résultats ne sont cependant pas suffisants pour réaliser une esquisse de la courbe décrite par la fonction f ( x ). En effet, la figure 6.10 présente quatre fonctions croissantes sur l’ensemble des réels qui sont très différentes l’une de l’autre. FIGURE 6.10

Différentes fonctions croissantes a)

y

b)

f ( x)

y

g ( x)

x

c)

x

d)

y

y

v ( x)

u( x )

v(c)

x

c

x

Pour esquisser la courbe décrite par une fonction, il n’est donc pas suffisant de savoir qu’elle est croissante ou décroissante. Il faut également pouvoir déterminer comment elle est incurvée. Analysons les fonctions apparaissant à la figure 6.10. La fonction f ( x ) est croissante et elle n’est pas incurvée (figure 6.10 a). C’est une droite. On remarque aussi que la fonction f ( x ) croît à un rythme constant. La fonction g ( x ) est également croissante et elle est incurvée vers le haut (figure 6.10 b). On constate que la fonction g ( x ) croît de plus en plus vite. La fonction u ( x ) est croissante et elle est incurvée vers le bas (figure 6.10 c). La fonction u ( x ) croît de plus en plus lentement. La fonction v ( x ) est également croissante (figure 6.10 d). De plus, elle est incurvée vers le haut lorsque x < c et incurvée vers le bas lorsque x > c . La fonction v ( x ) croît de plus en plus vite sur ]−∞,c[ et de plus en plus lentement sur ]c, ∞[.

336

CHAPITRE 6

6.3.1 Fonction concAve vers le hAut et Fonction concAve vers le bAs ● Fonction concave vers le haut Une fonction f ( x ) est concave vers le haut sur un intervalle ouvert I si la courbe décrite par la fonction f ( x ) est située au-dessus des droites tangentes sur l’intervalle I . ● Fonction concave vers le bas Une fonction f ( x ) est concave vers le bas sur un intervalle ouvert I si la courbe décrite par la fonction f ( x ) est située au-dessous des droites tangentes sur l’intervalle I .

Une fonction f ( x ) est concave vers le haut sur un intervalle ouvert I si la courbe décrite par la fonction f ( x ) est située au-dessus des droites tangentes sur l’intervalle I . La figure 6.11 a illustre une fonction concave vers le haut. Une fonction f ( x ) est concave vers le bas sur un intervalle ouvert I si la courbe décrite par la fonction f ( x ) est située au-dessous des droites tangentes sur l’intervalle I . La figure 6.11 b illustre une fonction concave vers le bas. FIGURE 6.11

Fonction concave vers le haut et fonction concave vers le bas a)

b)

y

y

f ( x)

MaBiblio > Multimédia > 23. Signe de la dérivée seconde et concavité

f ( x)

Accédez directement à l’animation. goo.gl/52cMvJ

c Fonction concave vers le haut

x

c

x

Fonction concave vers le bas

La fonction f ( x ) décrite à la figure 6.11 a est décroissante si x < c et croissante si x > c . Elle atteint donc un minimum absolu en x = c . On a alors f ′ ( x ) < 0 si x < c , f ′ ( c ) = 0 et f ′ ( x ) > 0 si x > c . La dérivée f ′ ( x ) est donc négative, puis nulle et enfin positive : bref, elle est croissante. La dérivée de f ′ ( x ), soit f ′′ ( x ), est donc positive, c’est-à-dire que f ′′ ( x ) > 0. La fonction f ( x ) décrite à la figure 6.11 b est croissante si x < c et décroissante si x > c . Elle atteint donc un maximum absolu en x = c . On a alors f ′ ( x ) > 0 si x < c , f ′ ( c ) = 0 et f ′ ( x ) < 0 si x > c . La dérivée f ′ ( x ) est donc positive, puis nulle et enfin négative : bref, elle est décroissante. La dérivée de f ′ ( x ), soit f ′′ ( x ), est donc négative, c’est-à-dire que f ′′ ( x ) < 0. Le théorème 6.2, que nous admettrons sans démonstration, formalise les observations faites à partir de la figure 6.11.

v THÉORÈME 6.2 Soit une fonction f ( x ) continue sur un intervalle I telle que f ′′ ( x ) existe en tout point intérieur de l’intervalle I . 1. Si f ′′ ( x ) > 0 pour tout point intérieur x ∈ I , alors f ( x ) est concave vers le haut sur l’intervalle I . 2. Si f ′′ ( x ) < 0 pour tout point intérieur x ∈ I , alors f ( x ) est concave vers le bas sur l’intervalle I .

337

TRACÉ DE COURBES

EXEMPLE 6.13

Déterminons les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction continue f ( x ) = − x 4 − x 3 + 3 x 2 sur . On a f ′( x) =

d ( − x4 − x3 + 3x2 ) = − 4 x3 − 3 x2 + 6 x dx

et f ′′ ( x ) =

d ( − 4 x3 − 3 x2 + 6 x ) = −12 x2 − 6 x + 6 = −12 ( x − dx

1

2

) ( x + 1)

Par conséquent, f ′′ ( x ) = 0 si x = 1 2 ou si x = −1. Construisons le tableau des signes de f ′′ ( x ) en plaçant par ordre croissant les valeurs qui annulent la dérivée seconde et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 6.2). Ce tableau nous permettra d’indiquer le signe de la dérivée seconde sur chaque sous-intervalle et ainsi de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction f ( x ). TABLE AU 6. 2

Tableau des signes

]−,  −1 [

]−1 ,  1 2 [

x

-1

f ′′ ( x )

0

]1 2 , [ 1

2

0

f (x)

Si x ∈ ]−∞,  −1[ , alors f ′′ ( x ) = −12 ( x − 1 2 )( x + 1) < 0. Puisque la dérivée        négatif

négatif

seconde est négative (-) sur ]−∞,  −1[ , alors, en vertu du théorème 6.2, la fonction f ( x ) est concave vers le bas (∩) sur ]−∞,  −1] (tableau 6.3). De plus, si x ∈ ]−1,  1 2[ , alors f ′′ ( x ) = −12 ( x − 1 2 )( x + 1) > 0. Puisque la        négatif

positif

dérivée seconde est positive (+) sur ] 2[ , alors, en vertu du théorème 6.2, la fonction f ( x ) est concave vers le haut (∪) sur [ −1,  1 2 ]. −1,  1

Finalement, si x ∈ ]1 2 ,  ∞[ , alors f ′′ ( x ) = −12 ( x − 1 2 )( x + 1) < 0. Puisque la        positif

positif

dérivée seconde est négative (-) sur ]1 2 , ∞[ , alors, en vertu du théorème 6.2, la fonction f ( x ) est concave vers le bas (∩) sur [ 1 2 , ∞[ . Le tableau des signes de f ′′ ( x ) est donc le suivant (tableau 6.3). TABLE AU 6. 3

Tableau des signes

]−,  −1 [

]−1 ,  1 2 [ -1

x f ′′ ( x )

–

f (x)

∩

0

]1 2 , [ 1

+ ∪

2

0

– ∩

CHAPITRE 6

La figure 6.12 permet de confirmer ces résultats. FIGURE 6.12

f ( x ) = − x 4 − x 3 + 3x 2

|

|

–2

–1

4

|

2

|

0 –2

|

|

|

1

2

3

x

–10

|

–8

f ( x ) = − x4 − x3 + 3 x2

|

–6

|

–4

|

|

|

–3

|

y

6

–12

|

338

On voit bien que f ( x ) est concave vers le bas sur ]−∞,  −1] et sur [ 1 2 , ∞[ , et qu’elle est concave vers le haut sur [ −1,  1 2 ].

L’exemple 6.13 illustre l’importance de factoriser, lorsque cela est possible, l’expression de la dérivée seconde f ′′ ( x ) afin de pouvoir en déterminer le signe et donc de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction f ( x ). En effet, il est relativement aisé de déterminer le signe d’un produit de facteurs. Par conséquent, il est fortement recommandé de factoriser l’expression de la dérivée seconde pour en déterminer les zéros et ainsi faciliter l’étude des signes de la dérivée seconde.

QUESTION ÉCLAIR 6.10 Soit la fonction continue f ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 4 sur . a) Déterminez la dérivée seconde de la fonction f ( x ) et décomposez-la en facteurs. b) Vérifiez que x = 0 et x = 2 sont les seules valeurs qui annulent la dérivée seconde. c) Complétez le tableau 6.4. TABLE AU 6.4

Tableau des signes

]−,  0[ x

]0 ,  2 [ 0

]2 , [ 2

f ′′ ( x ) f (x)

d) Donnez les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction f ( x ).

TRACÉ DE COURBES

339

6.3.2 points d’inFlexion L’exemple 6.13 permet également de remarquer que la fonction f ( x ) = − x 4 − x 3 + 3 x 2 change de concavité en x = −1 et en x = 1 2 . Les points ( −1,  3) et ( 1 2 ,  9 16 ) sont appelés des points d’inflexion de la fonction f ( x ). ● Point d’inflexion Un point ( c ,  f ( c ) ) de la courbe décrite par la fonction f ( x ) est un point d’inflexion de f ( x ) s’il se produit un changement de concavité en x = c .

De façon générale, un point ( c,  f ( c )) de la courbe décrite par la fonction f ( x ) est un point d’inflexion de f ( x ) s’il se produit un changement de concavité en x = c . La figure 6.13 présente deux fonctions admettant un point d’inflexion. FIGURE 6.13

Points d’inflexion

MaBiblio

a)

b)

y

g( x )

f ( x)

> Multimédia > 27. Concavité et points d’inflexion Accédez directement à l’animation.

y

g( d )

f (c)

goo.gl/fZz4NC

c

x

d

x

Le point ( c,  f ( c )) est un point d’inflexion de la fonction f ( x ) apparaissant à la figure 6.13 a. En effet, la fonction f ( x ) est concave vers le haut sur l’intervalle ]−∞, c ] et concave vers le bas sur l’intervalle [c, ∞[. Il se produit donc un changement de concavité en x = c . Par ailleurs, le point ( d,  g ( d )) est un point d’inflexion de la fonction g ( x ) présentée à la figure 6.13 b. En effet, la fonction g ( x ) est concave vers le bas sur l’intervalle ]−∞, d ] et concave vers le haut sur l’intervalle [d, ∞[ . Il se produit donc un changement de concavité en x = d . Le théorème 6.3 présente une condition que vérifient tous les points d’inflexion d’une fonction.

v THÉORÈME 6.3 Si le point ( c,  f ( c )) est un point d’inflexion de la fonction f ( x ), alors f ′′ ( c ) = 0 ou f ′′ ( c ) n’existe pas.

preuve Soit ( c,  f ( c )) un point d’inflexion de la fonction f ( x ). Alors, la fonction f ( x ) change de concavité en x = c . Supposons que la fonction f ( x ) passe de concave vers le haut à concave vers le bas en x = c . Alors, il existe a < c tel que f ′′ ( x ) > 0 sur l’intervalle ]a,  c[ et il existe b > c tel que f ′′ ( x ) < 0 sur l’intervalle ]c,  b[. Par conséquent, la fonction f ′ ( x ) est croissante sur ]a,  c[ et décroissante sur ]c,  b[. La fonction f ′ ( x ) atteint donc un maximum relatif en x = c , ce qui implique que f ′′ ( c ) = 0 ou f ′′ ( c ) n’existe pas. La démonstration est similaire si la fonction f ( x ) passe de concave vers le bas à concave vers le haut en x = c .

340

CHAPITRE 6

Les théorèmes 6.2 (p. 336) et 6.3 donnent une procédure pour déterminer les intervalles de concavité vers le haut, les intervalles de concavité vers le bas ainsi que les points d’inflexion d’une fonction continue f ( x ). 1. Déterminer la dérivée seconde f ′′ ( x ). 2. Déterminer les valeurs de x susceptibles de produire un point d’inflexion, c’est-à-dire les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′′ ( x ) = 0 ou f ′′ ( x ) n’existe pas. 3. Construire le tableau des signes de f ′′ ( x ) en plaçant par ordre croissant les valeurs de x susceptibles de produire un point d’inflexion et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent. 4. Déterminer le signe de f ′′ ( x ) sur chacun de ces sous-intervalles. 5. Utiliser le théorème 6.2 pour déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction f ( x ). 6. Déterminer les points d’inflexion de la fonction f ( x ) en regardant s’il y a un changement de concavité en chaque valeur de x définie à l’étape 2.

QUESTION ÉCLAIR 6.11 Sachant que Dom f =    et que f ′′ ( x ) =

x2 − 3

( x − 2) 5 4

, déterminez les valeurs de

x susceptibles de produire des points d’inflexion de la fonction f ( x ).

EXEMPLE 6.14

Déterminons les intervalles de concavité vers le haut, les intervalles de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f ( x ) = 2 x 5 − 5 x 4 + 5. On a f ′( x) =

d ( 2 x5 − 5 x4 + 5) = 10 x4 − 20 x 3 dx

et f ′′ ( x ) =

d (10 x4 − 20 x 3 ) = 40 x 3 − 60 x 2 = 20 x 2 ( 2 x − 3) dx

La dérivée seconde f ′′ ( x ) existe toujours et f ′′ ( x ) = 0 si x = 0 ou si x = Construisons le tableau des signes de f ′′ ( x ) (tableau 6.5). TABLE AU 6.5

Tableau des signes

]−,  0[ 0

x f ′′ ( x )

]0 ,  3 2 [

−

0

]3 2 , [ 3

−

2

0 − 41

f (x)

∩

5

∩

+ 8

point d’inflexion

∪

3

2.

TRACÉ DE COURBES

341

La fonction f ( x ) = 2 x 5 − 5 x 4 + 5 est concave vers le bas sur l’intervalle ]−∞,  3 2 ] et concave vers le haut sur l’intervalle [ 3 2 , ∞[ . Le point ( 3 2 , − 41 8 ) est un point d’inflexion de la fonction f ( x ) puisqu’il y a un changement de concavité en x = 3 2 . Par contre, le point ( 0,  5 ) n’est pas un point d’inflexion de la fonction f ( x ) même si f ′′ ( 0 ) = 0 puisque f ( x ) est concave vers le bas sur l’intervalle ]−∞,  3 2 ]. On observe plutôt un maximum relatif de 5 en x = 0 comme on peut le constater sur la figure 6.14. FIGURE 6.14

f ( x ) = 2 x 5 − 5x 4 + 5 y

|

–1

|

|

f ( x ) = 2 x5 − 5 x4 + 5

5

0

–10

|

–15

|

–5

|

|

|

1

2

3

x

|

|

–2

10

|

15

QUESTION ÉCLAIR 6.12 Soit f ( x ) une fonction continue sur  qui admet comme seules valeurs susceptibles d’engendrer des points d’inflexion x = −4, x = −1 et x = 2. Complétez le tableau 6.6 et déterminez les points d’inflexion de la fonction f ( x ). TABLE AU 6.6

Tableau des signes

]−,  −4 [ x f ′′ ( x )

]− 4 ,  −1 [ −4

+

0

f (x)

1

]−1 ,  2 [

+

]2 , [ 2

–1 0

–

0

7

+

3

EXEMPLE 6.15

Déterminons les intervalles de concavité vers le haut, les intervalles de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction g ( x ) = 3 x + x + 4. On a g′( x) =

d 13 ( x + x + 4) = dx

1

3x

−2 3

+1

et g ′′ ( x ) =

d 1 −2 3 2 5 + 1) = − 2 9 x − 3 = − 5 ( 3x dx 9x 3

342

CHAPITRE 6

Par conséquent, g ′′ ( x ) ≠ 0 pour tout x ∈  et g ′′ ( x ) n’existe pas si x = 0. Construisons le tableau des signes de g ′′ ( x ) (tableau 6.7). TABLE AU 6.7

Tableau des signes

]−,  0[

]0, [ 0

x g ′′ ( x ) g( x )

+

∃

−

∪

4 point d’inflexion

∩

La fonction g ( x ) = 3 x + x + 4 est concave vers le haut sur l’intervalle ]−∞, 0 ] et concave vers le bas sur l’intervalle [ 0, ∞[. Le point ( 0,  4 ) est un point d’inflexion de la fonction g ( x ) puisqu’il y a un changement de concavité en x = 0, ce qu’on peut constater sur la figure 6.15. FIGURE 6.15

g(x ) =

3

x +x+4

|

|

|

–3

–2

–1

8

|

6

| |

2

|

g ( x) =

4

0 –2

3

x + x+4

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

–4

|

y

10

EXERCICE 6.5

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 1 à 7.

Déterminez les intervalles de concavité vers le haut, les intervalles de concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f ( x ). a) f ( x ) = ( 4 − x 2 )

2

b) f ( x ) =

x x 2 + 16

c) f ( x ) = x 2 e 3 x

6.4 ESQUISSE DE LA COURBE DÉCRITE PAR UNE FONCTION

La représentation graphique d’une fonction permet de visualiser les caractéristiques de la fonction. Pour réaliser une bonne esquisse de la courbe décrite par la fonction f ( x ), il faut déterminer les points où la fonction change de nature : les points de discontinuité, les minimums relatifs, les maximums relatifs ainsi que les points d’inflexion.

TRACÉ DE COURBES

343

Ensuite, il faut étudier l’allure de la courbe représentant la fonction f ( x ) de part et d’autre de chacun de ces points particuliers : croissance, décroissance, concavité vers le bas et concavité vers le haut. La détermination des asymptotes à la courbe décrite par la fonction f ( x ) est également importante puisqu’elle permet l’étude du comportement de la fonction autour de valeurs de x n’appartenant pas au domaine ainsi que l’étude du comportement de la fonction lorsque x → ∞ ou lorsque x → −∞. L’analyse complète d’une fonction f ( x ) comporte six étapes. 1. Déterminer le domaine de la fonction f ( x ). 2. Rechercher les asymptotes à la courbe décrite par la fonction f ( x ). 3. Déterminer les valeurs critiques de la fonction f ( x ), c’est-à-dire les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′ ( x ) = 0 ou f ′ ( x ) n’existe pas. 4. Déterminer les valeurs de x ∈ Dom f susceptibles de produire des points d’inflexion, c’est-à-dire les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′′ ( x ) = 0 ou f ′′ ( x ) n’existe pas. 5. Construire le tableau des signes en plaçant par ordre croissant les valeurs de x correspondant aux asymptotes verticales (définies à l’étape 2), les valeurs critiques de f ( x ) (définies à l’étape 3) ainsi que les valeurs de x susceptibles de produire un point d’inflexion (définies à l’étape 4), et en gardant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent. Grâce aux signes des dérivées première et seconde sur chacun de ces sous-intervalles, on peut déterminer les intervalles de croissance [ f ′ ( x ) > 0 ], les intervalles de décroissance [ f ′ ( x ) < 0 ], les intervalles de concavité vers le haut [ f ′′ ( x ) > 0 ] ainsi que les intervalles de concavité vers le bas [ f ′′ ( x ) < 0 ] de la fonction f ( x ). Ce tableau permet également de déterminer les extremums (maximums ou minimums, relatifs ou absolus) de même que les points d’inflexion de la fonction f ( x ). 6. Faire l’esquisse de la courbe décrite par la fonction f ( x ) en utilisant les informations consignées dans le tableau des signes construit à l’étape 5. EXEMPLE 6.16

Effectuons l’analyse complète de la fonction f ( x ) =

x4 4 x3 − . 2 3

déterminAtion du domAine de lA Fonction x4 4 x3 − est définie pour toutes les valeurs réelles de x, et, 2 3 par conséquent, Dom f =   . La fonction f ( x ) =

recherche des Asymptotes ■

■

Les valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont celles qui annulent le dénominateur d’une fraction ou celles qui annulent l’argument d’un logarithme. La courbe décrite par la fonction f ( x ) n’admet donc aucune asymptote verticale. La courbe décrite par la fonction f ( x ) n’admet aucune asymptote horizontale puisque 4 x3  4   x4  1 lim  − = lim  x 4  − = ∞  2 3 x   x →∞  2 x →∞  3   forme ∞( 1 2 − 0 )

344

CHAPITRE 6

et 4 x3  4   x4  1 lim  − = lim  x 4  −  = ∞   x →−∞  2 x →−∞ 3  3 x    2   forme ∞( 1 2 − 0 )

■

La courbe décrite par la fonction f ( x ) n’admet aucune asymptote oblique puisque lim

x →∞

f ( x) 4 x2  4   x3  1 = lim  x 3  − = lim  −  = ∞   x →∞  2 x →∞  x 3  2 3x     forme ∞( 1 2 − 0 )

et f ( x) 4 x2  4   x3  1 = lim  x 3  − = lim  −  = −∞   x →−∞ x x →−∞  2 x →−∞ 3  3 x    2   lim

forme −∞( 1 2 − 0 )

déterminAtion des vAleurs critiques de lA Fonction d  x4 4 x3  = 2 x 3 − 4 x 2 = 2 x 2 ( x − 2 ). Par conséquent, f ′ ( x ) −  dx  2 3  existe toujours et f ′ ( x ) = 0 si x = 0 ou si x = 2. La fonction f ( x ) admet donc deux valeurs critiques : x = 0 et x = 2. On a f ′ ( x ) =

déterminAtion des vAleurs susceptibles de produire des points d’inFlexion d ( 2 x3 − 4 x2 ) = 6 x2 − 8 x = 2 x ( 3 x − 4 ). Par conséquent, f ′′ ( x ) dx existe toujours et f ′′ ( x ) = 0 si x = 0 ou si x = 4 3 . La fonction f ( x ) admet donc deux valeurs de x susceptibles de produire des points d’inflexion : x = 0 et x = 4 3. On a f ′′ ( x ) =

construction du tAbleAu des signes Plaçons par ordre croissant la valeur critique de la fonction f ( x ) ainsi que les valeurs de x susceptibles de produire un point d’inflexion, et gardons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 6.8). Étudions ensuite les signes de f ′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ), et les signes de f ′′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction f ( x ). TABLE AU 6.8

Tableau des signes

]−,  0[

]0 ,  4 3[ 0

x

]2 , [

]4 3 ,  2 [ 4

2

3

f ′( x )

–

0

–

–

–

0

+

f ′′ ( x )

+

0

–

0

+

+

+

f (x)

  

0 point d’inflexion

  

− 128 81 point d’inflexion

−8   

3

minimum relatif et absolu

  

TRACÉ DE COURBES

345

La fonction f ( x ) est décroissante () et concave vers le haut (  ) sur l’intervalle ]−∞, 0 ] et sur l’intervalle [ 4 3 ,  2 ] . De plus, sur l’intervalle [ 0,  4 3 ], la fonction f ( x ) est décroissante () et concave vers le bas (  ). Enfin, sur l’intervalle [ 2, ∞[, la fonction f ( x ) est croissante () et concave vers le haut (  ). Les points ( 0,  0 ) et ( 4 3 , − 128 81 ) sont les points d’inflexion de la fonction f ( x ) puisque la fonction change de concavité en x = 0 et en x = 4 3 . De plus, la fonction f ( x ) atteint un minimum relatif de − 8 3 en x = 2. Ce minimum est également le minimum absolu puisque la fonction est décroissante sur ]−∞, 2 ] et croissante sur [ 2, ∞[.

esquisse de lA courbe décrite pAr lA Fonction En utilisant l’information contenue dans le tableau des signes, on obtient la figure 6.16. FIGURE 6.16

f (x ) =

x 4 4x 3 − 2 3

|

–1

| |

1 0

–2

|

–3

|

–1

|

|

|

1

2

3

x

|

|

–2

2

|

3

x4 4 x3 − 2 3

f ( x) =

|

4

|

y

5

EXEMPLE 6.17

Effectuons l’analyse complète de la fonction g ( x ) = x

2

3

( 2 − x ).

déterminAtion du domAine de lA Fonction La fonction g ( x ) = x 3 ( 2 − x ) est définie pour toutes les valeurs réelles de x, et, par conséquent, Dom g =   . 2

recherche des Asymptotes ■

■

Les valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont celles qui annulent le dénominateur d’une fraction ou celles qui annulent l’argument d’un logarithme. La courbe décrite par la fonction g ( x ) n’admet donc aucune asymptote verticale. La courbe décrite par la fonction g ( x ) n’admet aucune asymptote horizontale puisque lim  x

2

( 2 − x ) = −∞ et lim  x 2 3 ( 2 − x ) = ∞ x →−∞

  x →∞     3

forme ∞× (−∞)

  forme ∞× ∞

346

CHAPITRE 6

■

La courbe décrite par la fonction g ( x ) n’admet aucune asymptote oblique puisque g ( x) x = lim x →∞ x x →∞

2

lim

3

(2 − x) x

2   2 = lim  1 − x 3  = −∞  x →∞  x 3  

forme 0 − ∞

et g ( x) x = lim x →−∞ x x →−∞ lim

2

3

(2 − x) x

2   2 = lim  1 − x 3  = −∞  x →−∞  x 3   

forme 0 − ∞

déterminAtion des vAleurs critiques de lA Fonction On a d 2  x 3 ( 2 − x ) dx  d 5 2 2x 3 − x 3 = dx

g′( x) =

(

)

2

4 5xx 3 − 1 3 3x 3 4 − 5x = 1 3x 3 =

Par conséquent, g ′ ( x ) n’est pas définie si 3 x 3 = 0 , c’est-à-dire si x = 0. De plus, g ′ ( x ) = 0 si 4 − 5 x = 0 , c’est-à-dire si x = 4 5 . La fonction g ( x ) admet donc deux valeurs critiques : x = 0 et x = 4 5 . 1

déterminAtion des vAleurs susceptibles de produire des points d’inFlexion On a g ′′ ( x ) =

d  4 − 5x    1 dx  3 x 3 

d 4 −13 5 23 ( 3x − 3x ) dx 4 10 = − 4 − 1 3 9x 9x 3 4 + 10 x = − 4 9x 3 =

Par conséquent, g ′′ ( x ) n’est pas définie si 9 x 3 = 0 , c’est-à-dire si x = 0. De plus, g ′′ ( x ) = 0 si 4 + 10 x = 0 , c’est-à-dire si x = − 2 5 . La fonction g ( x ) admet donc deux valeurs de x susceptibles de produire des points d’inflexion : x = 0 et x = − 2 5. 4

construction du tAbleAu des signes Plaçons par ordre croissant les valeurs critiques de la fonction g ( x ) ainsi que les valeurs de x susceptibles de produire un point d’inflexion, et gardons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 6.9). Étudions ensuite les signes de g ′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction g ( x ), et les signes de g ′′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction g ( x ).

347

TRACÉ DE COURBES

TABLE AU 6.9

Tableau des signes

]−,  − 2 5[ −25

x g′( x )

–

g ′′ ( x )

]0 ,  4 5[

]4 5 , [

0

4

−

−

∃

+

+

0

−

∃

  

1,303 point d’inflexion

 

0 minimum relatif

5

0

−

−

−

−

  

1,034 maximum relatif

 

La fonction g ( x ) est décroissante et concave vers le haut sur l’intervalle −∞ ,  ] − 2 5 ]. De plus, sur l’intervalle [ − 2 5 ,  0 ] et sur l’intervalle [ 4 5 , ∞[ , la fonction g ( x ) est décroissante et concave vers le bas. Enfin, sur l’intervalle [ 0,  4 5 ], la fonction g ( x ) est croissante et concave vers le bas. Le point ( − 2 5 ;  1, 303) est un point d’inflexion de la fonction g ( x ) puisque la fonction passe de concave vers le haut à concave vers le bas en x = − 2 5 . De plus, la fonction g ( x ) atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 puisque la fonction passe de décroissante à croissante en x = 0. Finalement, la fonction g ( x ) atteint un maximum relatif d’environ 1,034 en x = 4 5 puisque la fonction passe de croissante à décroissante en x = 4 5 .

esquisse de lA courbe décrite pAr lA Fonction En utilisant l’information contenue dans le tableau des signes, on obtient la figure 6.17. FIGURE 6.17

g(x ) = x

2

3

(2 − x )

|

2

|

g ( x) = x

|

0,5

0 –0,5

2

3

(2 − x)

|

|

|

1

2

3

x

–1,5

|

–1

|

|

–1

1

|

1,5

|

2,5

|

3

|

y

–2

|

g( x )

]− 2 5 ,  0[

EXERCICE 6.6

Faites l’étude complète de la fonction en respectant les étapes proposées. x3 − 1 x−1

a) f ( x ) = x 3 − 3 x

c) f ( x ) =

b) f ( x ) = x 4 − 18 x 2 + 20

d) f ( x ) = x

2

3

( x + 1)

348

CHAPITRE 6

UN PEU D’HISTOIRE n désigne certaines courbes par un nom de mathématicien ou de O mathématicienne. Ainsi, comme nous l’avons vu au début du chapitre en brossant le portrait de Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), la courbe décrite par l’équation

y =

a3 a2 + x 2

est nommée « Sorcière d’Agnesi ». De même, dans le chapitre 2, nous avons étudié une courbe d’équation

(x 2

+

)

2 y2

= a2 ( x 2 − y 2 )

nommée « Lemniscate de Bernoulli » en l’honneur de Jean Bernoulli (1667-1748). Jacques Bernoulli (1654-1705), le frère aîné de Jean, n’est pas en reste dans la nomenclature des mathématiques puisque la spirale logarithmique porte également le nom de « Spirale de Bernoulli ». Cette courbe, dont l’équation polaire est r = eaθ , a tellement fasciné Bernoulli qu’il a demandé qu’elle soit gravée sur son tombeau (dans le cloître attenant à la cathédrale de Bâle) avec l’inscription Eadem mutata resurgo (« Elle renaît changée en elle-même »). Mais le graveur, qui n’était pas mathématicien, cisela plutôt une « Spirale d’Archimède » (environ 287-212 av. J.-C.), dont l’équation polaire est r = aθ . L’écrivain français Alfred Jarry, un des ancêtres du surréalisme, orna le costume du père Ubu de la spirale de Bernoulli. Cette spirale figure également

sur la cravate du Collège de Pataphysique, la Pataphysique étant, selon Jarry, la science du particulier qui apporte des solutions imaginaires aux problèmes généraux. Signalons enfin que la spirale parabolique d’équation polaire r 2 = aθ porte également le nom de « Spirale de Fermat » (1601-1665). Le « Folium de Descartes » (1596-1650) a pour équation x 3 + y 3 = 3axy

Comme son nom latin l’indique, il a la forme d’une feuille. Giovanni Dominico Cassini (1625-1712) rejeta l’idée de Johannes Kepler (1571-1630) selon laquelle les orbites des planètes décrivent une ellipse et proposa qu’elles se déplacent selon des trajectoires qui portent maintenant le nom d’ovales de Cassini. Une ovale de Cassini est l’ensemble des points du plan dont le produit des distances à deux points fixes, A et B , est constante. La lemniscate de Bernoulli est un cas particulier des ovales de Cassini. La démarche proposée dans le chapitre 6 pour tracer des courbes ne s’applique pas à toutes celles que nous venons de mentionner, mais elle peut être utilisée pour tracer la « Sorcière d’Agnesi » et l’anguinea, ou « Serpentine de Newton » (1642-1727), dont l’équation est y =

ahx x 2 + h2

Comme son nom l’indique (anguis veut dire « serpent » en latin), l’anguinea prend la forme d’un serpent en mouvement.

Notre étude de l’esquisse d’une courbe ne pourrait être complète sans l’examen de quelques exemples de courbes admettant des asymptotes. EXEMPLE 6.18

2 x2 − 1 . x2 + 4

Effectuons l’analyse complète de la fonction f ( x ) =

déterminAtion du domAine de lA Fonction Le dénominateur étant différent de 0 quelle que soit la valeur de x, la fonction 2 x2 − 1 f ( x) = 2 est définie pour toutes les valeurs réelles de x, et, par conséx +4 quent, Dom f =   .

recherche des Asymptotes ■

Les valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont celles qui annulent le dénominateur d’une fraction ou celles qui annulent l’argument d’un logarithme. La courbe décrite par la fonction f ( x ) n’admet donc aucune asymptote verticale.

■

La droite y = 2 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) puisque x2 ( 2 − 2 x2 − 1 = lim x →∞ x 2 + 4 x →∞ x 2 (1 + lim

) 4 x ) 1

x2 2

2− x →∞ 1 +

= lim

1 4

x2 x2

=

2−0 = 2 1+0

et x2 ( 2 − 2 x2 − 1 lim = x →−∞ x 2 + 4 x →−∞ x 2 (1 + lim

1 4

) x ) x2 2

2− x →−∞ 1 +

= lim

1 4

x2 x2

=

2−0 = 2 1+0

349

TRACÉ DE COURBES

■

La courbe décrite par la fonction f ( x ) n’admet aucune asymptote oblique puisque lim

x →∞

x2 ( 2 − f ( x) 2 x2 − 1 lim = lim = x →∞ x ( x 2 + 4 ) x →∞ x 3 (1 + x

) 4 x ) 1

x2

= lim

2

2−

x2 ( 2 − 2 x2 − 1 f ( x) lim = lim = x →−∞ x x →−∞ x ( x 2 + 4 ) x →−∞ x 3 (1 + lim

) 4 x ) 1

x2 2

x2 4 x2

x (1 + )  x →∞

forme

et

1

= 0

2−0 ∞( 1 + 0 )

= lim

2−

1

x2

x (1 + 4 2 ) x x →−∞

forme

= 0

2−0 −∞(1 + 0 )

déterminAtion des vAleurs critiques de lA Fonction On a f ′( x) =

= = =

d  2 x2 − 1  dx  x 2 + 4  d d 2 x 2 − 1) − ( 2 x 2 − 1) ( x 2 + 4 ) ( dx dx ( x 2 + 4 )2

( x2

+ 4)

( x2

+ 4 ) ( 4 x ) − ( 2 x 2 − 1) ( 2 x )

(

( x2

+ 4)

2

18 x x2

+ 4)

2

Par conséquent, f ′ ( x ) existe toujours et f ′ ( x ) = 0 si 18 x = 0 , c’est-à-dire si x = 0. La fonction f ( x ) admet donc une seule valeur critique : x = 0.

déterminAtion des vAleurs susceptibles de produire des points d’inFlexion On a f ′′ ( x ) =

=

d  18 x    dx  ( x 2 + 4 )2   

( x2

+ 4)

2

d d 2 (18 x ) − 18 x ( x 2 + 4 )  dx dx 2  ( x 2 + 4 )2   

d 2 18 ( x 2 + 4 ) − 18 x  2 ( x 2 + 4 )  ( x 2 + 4 ) dx = ( x 2 + 4 )4 18 ( x 2 + 4 ) − 36 x ( x 2 + 4 ) ( 2 x ) 2

=

= = =

( x 2 + 4 )4 18 ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 4 ) − 4 x 2  ( x 2 + 4 )4 18 ( 4 − 3 x 2 ) ( x 2 + 4 )3 18 ( 2 −

(

3x)(2 + x2

+ 4)

3

3x)

350

CHAPITRE 6

Par conséquent, f ′′ ( x ) existe toujours et f ′′ ( x ) = 0 si 2 − 3 x = 0 ou si −2 2 3 2 2 3 2 + 3 x = 0, c’est-à-dire si x = = − ou si x = = . La fonction 3 3 3 3 f ( x ) admet donc deux valeurs de x susceptibles de produire des points d’in2 3 2 3 flexion : x = − et x = . 3 3

construction du tAbleAu des signes Plaçons par ordre croissant la valeur critique de la fonction f ( x ) ainsi que les valeurs de x susceptibles de produire un point d’inflexion, et gardons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 6.10). Étudions ensuite les signes de f ′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ), et les signes de f ′′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction f ( x ). TABLE AU 6.10

Tableau des signes 2 3   −,  − 3    x

 2 3   − 3 ,  0    −

2 3 3

 2 3  0 ,  3   

2 3   3 ,    2 3 3

0

f ′( x )

−

−

−

0

+

+

+

f ′′ ( x )

−

0

+

+

+

0

−

 

− 14 minimum relatif et absolu



5

f (x)



16

point d’inflexion

5

16

point d’inflexion



La fonction f ( x ) est décroissante et concave vers le bas sur l’intervalle 2 3   2 3   −∞,  − 3 , décroissante et concave vers le haut sur l’intervalle  − 3 ,  0  ,      2 3 croissante et concave vers le haut sur l’intervalle  0,  , et croissante et 3   2 3  concave vers le bas sur l’intervalle  , ∞  . 3    2 3 5  2 3 5  et Les points  − ,  ,  sont les points d’inflexion de la fonc 3 16   3 16  2 3 2 3 tion f ( x ) puisque la fonction change de concavité en x = − et en x = . 3 3 De plus, la fonction f ( x ) atteint un minimum relatif de − 1 4 en x = 0. Ce minimum est également le minimum absolu puisque la fonction est décroissante sur l’intervalle ]−∞, 0 ] et croissante sur l’intervalle [ 0, ∞[.

esquisse de lA courbe décrite pAr lA Fonction En utilisant l’information contenue dans le tableau des signes, on obtient la figure 6.18.

TRACÉ DE COURBES

351

FIGURE 6.18

2x 2 − 1 x2 + 4

|

|

|

|

–8

–6

–4

–2

|

1

|

1,5

0,5

|

2

|

|

y

2,5

0 –0,5

y = 2

f ( x) =

2 x2 − 1 x2 + 4

|

|

|

|

2

4

6

8

x

|

f (x ) =

EXEMPLE 6.19

Effectuons l’analyse complète de la fonction g ( x ) =

4 x3

x2 − 2 x . − 12 x 2 + 9 x

déterminAtion du domAine de lA Fonction On a g ( x ) =

4 x3

x( x − 2) x( x − 2) x2 − 2 x . La fonction = = − 12 x 2 + 9 x x ( 4 x 2 − 12 x + 9 ) x ( 2 x − 3)2

g ( x ) est définie lorsque x ( 2 x − 3)2 ≠ 0 , c’est-à-dire si x ≠ 0 et si x ≠ que Dom g =    \ {0,  3 2}.

3

2 , de sorte

recherche des Asymptotes ■

Les valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont celles qui annulent le dénominateur d’une fraction ou celles qui annulent l’argument d’un logarithme. Par conséquent, les valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction g ( x ) sont x = 0 et x = 3 2 . Étudions le comportement de la fonction g ( x ) autour de x = 0 : lim g ( x ) = lim

x→ 0

x→ 0

x ( x − 2) x−2 2 = lim 2 = − 2 0 x → 9 x ( 2 x − 3) ( 2 x − 3)

Puisque cette limite ne donne pas ∞ ni −∞, la droite x = 0 n’est pas une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction g ( x ). La fonction admet plutôt une discontinuité non essentielle par trou en x = 0. Le point ( 0, − 2 9 ) sera donc représenté par un cercle vide. Étudions le comportement de la fonction g ( x ) autour de x = lim− g ( x ) = lim−

x→ 3

2

x→ 3

2

x ( x − 2) x−2 lim− 2 = 2 = −∞ 3 x → 2 ( 2 x − 3) x ( 2 x − 3)   forme

et lim g ( x ) = lim+

x → 3 2+

x→ 3 2

3

−12 0+

x ( x − 2) x−2 2 = lim 2 = −∞ 3 + x → x ( 2 x − 3) 2 ( 2 x − 3)  forme

−12 0+

2:

352

CHAPITRE 6

Par conséquent, la droite x = décrite par la fonction g ( x ). ■

3

2

est une asymptote verticale à la courbe

La droite y = 0 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction g ( x ) puisque lim

x →∞ 4 x 3

x 2 (1 − 2 x ) x2 − 2 x 1 − 2x = lim = 0 = lim 3 2 9 12 x →∞ x ( 4 − x →∞ x ( 4 − 12 + 9 2 ) − 12 x + 9 x x x + x2 ) x    forme

et lim

x →−∞ 4 x 3

1− 0 ∞( 4 − 0 + 0 )

x 2 (1 − 2 x ) x2 − 2 x 1 − 2x = lim = 0 = lim 3 2 x →−∞ x ( 4 − 12 + 9 2 ) x →−∞ x ( 4 − 12 + 9 2 ) − 12 x + 9 x x x x x    forme

■

1− 0 −∞( 4 − 0 + 0 )

La courbe décrite par la fonction g ( x ) n’admet aucune asymptote oblique puisque x 2 (1 − 2 x ) g ( x) 1 − 2x = 0 = lim 4 = lim 2 x →∞ x x →∞ x ( 4 − 12 + 9 2 ) x →∞ x ( 4 − 12 + 9 2 ) x x x x    lim

forme

et

1− 0 ∞( 4 − 0 + 0 )

x 2 (1 − 2 x ) g ( x) 1 − 2x = 0 = lim 4 = lim 2 9 12 x →−∞ x x →−∞ x ( 4 − x →−∞ x ( 4 − 12 + 9 2 ) x x + x2 ) x   lim

forme

1− 0 ∞( 4 − 0 + 0 )

déterminAtion des vAleurs critiques de lA Fonction Puisque g ( 0 ) n’est pas définie, il en est de même pour g ′ ( 0 ) . Supposons donc que x ≠ 0. On a g′( x) = =

=

=

d  x( x − 2)    dx  x ( 2 x − 3)2  d  x−2    dx  ( 2 x − 3)2 

( 2 x − 3)2

si x ≠ 0

d d ( x − 2 ) − ( x − 2 ) ( 2 x − 3)2 dx dx 2 ( 2 x − 3)2   

( 2 x − 3)2 − 2 ( x − 2 )( 2 x − 3) ( 2 x − 3)4

d ( 2 x − 3) dx

=

( 2 x − 3)2 − 4 ( x − 2 )( 2 x − 3) ( 2 x − 3)4

=

( 2 x − 3)[( 2 x − 3) − 4 ( x − 2 )] ( 2 x − 3)4

=

5 − 2x ( 2 x − 3)3

353

TRACÉ DE COURBES

Par conséquent, g ′ ( x ) n’est pas définie si ( 2 x − 3)3 = 0 , c’est-à-dire si x = 3 2 . De plus, g ′ ( x ) = 0 si 5 − 2 x = 0 , c’est-à-dire si x = 5 2 . La fonction g ( x ) admet donc une seule valeur critique : x = 5 2 . Remarquons que x = 3 2 n’est pas une valeur critique de la fonction g ( x ) puisque 3 2 ∉ Dom g .

déterminAtion des vAleurs susceptibles de produire des points d’inFlexion Puisque g ( 0 ) n’est pas définie, il en est de même pour g ′′ ( 0 ). Supposons donc que x ≠ 0. On a g ′′ ( x ) =

=

= = = =

d  5 − 2x    dx  ( 2 x − 3)3 

( 2 x − 3)3

d d ( 5 − 2 x ) − ( 5 − 2 x ) ( 2 x − 3)3 dx dx 2 ( 2 x − 3)3   

−2 ( 2 x − 3)3 − 3 ( 5 − 2 x )( 2 x − 3)2

( 2 x − 3)6

d ( 2 x − 3) dx

−2 ( 2 x − 3)3 − 6 ( 5 − 2 x )( 2 x − 3)2 ( 2 x − 3)6 −2 ( 2 x − 3)2 [( 2 x − 3) + 3( 5 − 2 x )]

( 2 x − 3)6

−2 (12 − 4 x ) ( 2 x − 3)4

Par conséquent, g ′′ ( x ) n’est pas définie si ( 2 x − 3)4 = 0, c’est-à-dire si x = 3 2 . De plus, g ′′ ( x ) = 0 si 12 − 4 x = 0 , c’est-à-dire si x = 3. La fonction g ( x ) admet donc une valeur de x susceptible de produire un point d’inflexion : x = 3. Remarquons qu’il n’y a pas de point d’inflexion en x = 3 2 puisque 3 2 ∉ Dom g .

construction du tAbleAu des signes Plaçons par ordre croissant la valeur critique de la fonction g ( x ), la valeur de x susceptible de produire un point d’inflexion ainsi que les valeurs de x correspondant à l’asymptote verticale ou à la discontinuité non essentielle par trou de la fonction g ( x ), et gardons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent (tableau 6.11). Étudions ensuite les signes de g ′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction g ( x ), et les signes de g ′′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction g ( x ). TABLE AU 6.11

Tableau des signes

]−,  0[ x

]0 ,  3 2 [ 0

]3 2 ,  5 2 [ 3

5

2

]3, [

]5 2 ,  3[ 3

2

g′( x )

−

∃

−

∃

+

0

−

−

−

g ′′ ( x )

−

∃

−

∃

−

−

−

0

+

g( x )



∃ trou



∃ asymtote verticale

1



8

maximum relatif et absolu

1



9

point d’inflexion



CHAPITRE 6

La fonction g ( x ) est décroissante et concave vers le bas sur l’intervalle et sur l’intervalle ]0,  3 2[ . Elle est croissante et concave vers le bas sur l’intervalle ]3 2 ,  5 2 ], et décroissante et concave vers le bas sur [ 5 2 ,  3]. Enfin, la fonction g ( x ) est décroissante et concave vers le haut sur l’intervalle [ 3, ∞[ .

]−∞, 0[

Le point ( 3,  1 9 ) est un point d’inflexion de la fonction g ( x ) puisque la fonction passe de concave vers le bas à concave vers le haut en x = 3. De plus, la fonction g ( x ) atteint un maximum relatif de 1 8 en x = 5 2 . Ce maximum est également un maximum absolu puisque c’est le seul maximum relatif et que lim g ( x ) = 0 < 1 8 , lim g ( x ) = 0 < 1 8, lim− g ( x ) = −∞ et lim+ g ( x ) = −∞ : x →∞

x →− ∞

x→ 3 2

x→ 3 2

la fonction ne prend donc pas de valeurs supérieures à

1

8.

esquisse de lA courbe décrite pAr lA Fonction En utilisant l’information contenue dans le tableau des signes, on obtient la figure 6.19. FIGURE 6.19

g(x ) =

4x 3

x 2 − 2x − 12 x 2 + 9 x 0,5

0 –0,5

–1,5

|

–1

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

|

–1

g ( x) =

|

|

–2

|

y

–2

|

354

x =

3

x2 − 2 x 4 x − 12 x 2 + 9 x 3

2

EXEMPLE 6.20

Effectuons l’analyse complète de la fonction h ( x ) = 3 −

4 x2 + 1 .

déterminAtion du domAine de lA Fonction Puisque 4 x 2 + 1 > 0 pour toutes les valeurs réelles de x, la fonction h( x ) = 3 −

4 x2 + 1

est définie pour tout x ∈ , et, par conséquent, Dom h =   .

recherche des Asymptotes ■

Les valeurs de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont celles qui annulent le dénominateur d’une fraction ou celles qui annulent l’argument d’un logarithme. La courbe décrite par la fonction h ( x ) n’admet donc aucune asymptote verticale.

TRACÉ DE COURBES

■

La courbe décrite par la fonction h ( x ) n’admet aucune asymptote horizontale puisque

(

)

lim 3 − 4 x 2 + 1 = −∞ x →∞  

(

)

lim 3 − 4 x 2 + 1 = −∞ x →−∞  

et

forme 3 − ∞

■

355

forme 3 − ∞

La courbe décrite par la fonction h ( x ) admet deux asymptotes obliques. En effet, on a 3− h( x ) = lim x →∞ x x →∞

4 x2 + 1 x

lim

= lim

x2 ( 4 +

3−

3− x 4+

x2

)

1

x2

x

x →∞

= lim

1

x

x →∞

= lim

forme −∞ ∞

3− x 4+

1

x2

car x > 0

x

x →∞

3 = lim  − x →∞  x

4+

1

x2

 

4+0

= 0− = −2

Alors m = −2 ∈   \ {0} . De plus,

(

lim [ h ( x ) − ( −2 x )] = lim 3 −

x →∞

x →∞

4 x2 + 1 + 2 x

)

(

)

= lim ( 3) + lim 2 x − 4 x 2 + 1 x→ ∞ x →∞    

(2 x − = 3 + lim x →∞

= 3 + lim

forme ∞− ∞

(2 x +

−1

(

)(

4 x2 + 1 2 x + 4 x2

+1

4 x2 + 1

)

)

)

2 x + 4 x2 + 1    x →∞

forme

−1 ∞+ ∞

= 3+0 = 3 Par conséquent, b = 3 ∈ , de sorte que la droite y = mx + b = −2 x + 3 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction h ( x ) = 3 − 4 x 2 + 1 . On établit de façon similaire (limites lorsque x → −∞) que la droite y = 2 x + 3 est aussi une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction h ( x ).

déterminAtion des vAleurs critiques de lA Fonction On a 1 d  3 − ( 4 x 2 + 1) 2   dx  1 d − = − 1 2 ( 4 x 2 + 1) 2 ( 4 x 2 + 1) dx 1 = − (8 x) 2 4 x2 + 1

h′ ( x ) =

356

1 d  3 − ( 4 x 2 + 1) 2    dx −1 d = − 1 2 ( 4 x 2 + 1) 2 ( 4 x 2 + 1) dx 1 = − (8 x) 2 4 x2 + 1

h′ ( x ) =

CHAPITRE 6

4x 4 x2 + 1

= −

Par conséquent, h′ ( x ) existe toujours (car 4 x 2 + 1 > 0 pour tout x ∈ ) et h′ ( x ) = 0 si 4 x = 0, c’est-à-dire si x = 0. La fonction h ( x ) admet donc une seule valeur critique : x = 0.

déterminAtion des vAleurs susceptibles de produire des points d’inFlexion On a h′′ ( x ) =

d  −4 x  dx  4 x 2 + 1  4 x2 + 1

=

1 d d − 4 x ) − ( − 4 x ) ( 4 x 2 + 1 ) 2  (   dx dx

(

4 x2 + 1

)

2

− 4 4 x 2 + 1 + 4 x  1 2 ( 4 x 2 + 1)  = 4 x2 + 1 2x − 4 4 x2 + 1 + (8 x) 4 x2 + 1 = 4 x2 + 1 =

− 4 ( 4 x 2 + 1) + 16 x 2

= −

4 x2 + 1

⋅

d ( 4 x 2 + 1)  dx

−12 

1 4 x2 + 1

4

(

4 x2

+ 1)

3

2

Par conséquent, h′′ ( x ) existe toujours (car 4 x 2 + 1 > 0 pour tout x ∈ ) et h′′ ( x ) ≠ 0 pour toutes les valeurs réelles de x. La fonction h ( x ) n’admet donc aucune valeur de x susceptible de produire un point d’inflexion.

construction du tAbleAu des signes Plaçons la valeur critique de la fonction h ( x ) et gardons une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elle délimite (tableau 6.12). Étudions ensuite les signes de h′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction h ( x ), et les signes de h′′ ( x ) afin de déterminer les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction h ( x ). TABLE AU 6.12

Tableau des signes

]−,  0[

]0, [ 0

x h′( x )

+

0

−

h ′′ ( x )

−

−

−

h( x )

 

2 maximum relatif et absolu



TRACÉ DE COURBES

357

La fonction h ( x ) est croissante et concave vers le bas sur l’intervalle ]−∞, 0 ], et elle est décroissante et concave vers le bas sur l’intervalle [ 0, ∞[. La fonction h ( x ) atteint un maximum relatif de 2 en x = 0. Ce maximum est également le maximum absolu puisque la fonction est croissante sur l’intervalle ]−∞, 0 ] et décroissante sur l’intervalle [ 0, ∞[.

esquisse de lA courbe décrite pAr lA Fonction En utilisant l’information contenue dans le tableau des signes, on obtient la figure 6.20. FIGURE 6.20

h(x ) = 3 − 4x 2 + 1 y

|

–1

|

0

–2

|

|

–1

|

|

|

1

2

3

h( x ) = 3 −

–3

|

|

–2

1

–4

|

|

–3

2

|

3

y = 2x + 3 |

4

|

y = −2 x + 3

x

4 x2 + 1

EXERCICE 6.7

Faites l’étude complète de la fonction en respectant les étapes proposées. x 2 x +1

e) f ( x ) =

x2 x−1

b) f ( x ) =

x(2 − x) ( x − 1)2

f) f ( x ) =

x2 − x x+1

c) f ( x ) =

x2 + x − 6 x2 + x − 2

g) f ( x ) =

d) f ( x ) =

4x ( 2 x + 1)2

a) f ( x ) = −

Vous pouvez maintenant faire les exercices récapitulatifs 8 à 17.

2 ( x3 + x ) x2 − 1

358

CHAPITRE 6

Résumé Lorsqu’on représente graphiquement une fonction, on s’intéresse particulièrement aux principales caractéristiques de la courbe décrite par la fonction : discontinuités, asymptotes, intervalles de croissance, intervalles de décroissance, intervalles de concavité vers le haut, intervalles de concavité vers le bas, extremums, points d’inflexion, etc. Le calcul différentiel permet de déterminer ces caractéristiques importantes et de s’en servir pour esquisser la courbe décrite par la fonction. L’analyse complète d’une fonction comporte six étapes : 1. La détermination du domaine de la fonction. 2. La recherche des asymptotes. 3. La détermination des valeurs critiques de la fonction. 4. La détermination des valeurs susceptibles de produire des points d’inflexion. 5. La construction du tableau des signes. 6. L’esquisse de la courbe décrite par la fonction. Le domaine d’une fonction f ( x ), noté Dom f , correspond à l’ensemble des valeurs de la variable indépendante x pour lesquelles la fonction est définie. On doit exclure du domaine d’une fonction les valeurs de x qui annulent un dénominateur, qui rendent l’argument d’une fonction logarithmique inférieur ou égal à 0 ainsi que les valeurs qui rendent l’expression sous un radical nième (n pair) inférieure à 0. Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers 0 lorsqu’on laisse un point de la courbe s’éloigner de l’origine à l’infini. Il existe trois types d’asymptotes : verticale, horizontale et oblique. La courbe décrite par une fonction f ( x ) admet une asymptote verticale x = a (où a ∈ ) lorsque lim− f ( x ) = ∞ x→ a

(ou −∞) ou lorsque lim+ f ( x ) = ∞ (ou −∞). Les valeurs x→ a

de x susceptibles de produire une asymptote verticale sont notamment celles qui annulent un dénominateur ou qui annulent l’argument d’un logarithme. La courbe décrite par une fonction f ( x ) admet une  asymptote horizontale y = b (où b ∈ ) lorsque lim f ( x ) = b ou lorsque lim f ( x ) = b . x →−∞

x →∞

La fonction f ( x ) admet une asymptote oblique y = mx + b lorsque f ( x) lim = m ∈  \ {0} x →∞ x et lim [ f ( x ) − mx ] = b ∈  , ou lorsque x →∞

f ( x) = m ∈  \ {0} x et lim [ f ( x ) − mx ] = b ∈  . Dans le cas particulier d’une lim

x →−∞

x →−∞

P ( x) correspondant à un quoQ( x) tient de deux polynômes P ( x ) et Q ( x ) dont les degrés resfonction rationnelle f ( x ) =

pectifs p et q sont tels que p = q + 1, on peut, après une R( x) division de polynômes, écrire f ( x ) = mx + b + , où Q( x) le degré r de R ( x ) est inférieur à q, de sorte que la droite y = mx + b correspond alors à l’asymptote oblique R( x) R( x) puisque lim = 0 et lim = 0. x →∞ Q ( x ) x →−∞ Q ( x ) Les valeurs critiques d’une fonction f ( x ) sont les valeurs de la variable indépendante x appartenant au domaine de la fonction pour lesquelles la dérivée est nulle ou n’existe pas. Ces valeurs sont utiles dans l’établissement des intervalles de croissance et des intervalles de décroissance de la fonction, ainsi que dans la détermination des extremums de la fonction. Afin d’esquisser correctement la courbe décrite par une fonction, il faut déterminer correctement sa concavité. On recourt au théorème 6.2 (p. 336) pour déterminer la concavité d’une fonction sur un intervalle. En vertu de ce théorème, une fonction est concave vers le bas lorsque sa dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque sa dérivée seconde est positive. Le point ( c,  f ( c )) est un point d’inflexion de la courbe décrite par la fonction f ( x ) si la courbe change de concavité en x = c ∈ Dom f . En vertu du théorème 6.3 (p. 339), les seules valeurs de x ∈ Dom f susceptibles de produire un point d’inflexion sont celles où la dérivée seconde n’existe pas ou est nulle. Dans un tableau des signes, on consigne généralement les valeurs où on observe une discontinuité de la fonction, les valeurs critiques, ainsi que les valeurs susceptibles de produire des points d’inflexion. À partir de ces valeurs, des intervalles qu’elles délimitent ainsi que des signes des dérivées première et seconde sur ces intervalles, on peut aisément déterminer les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance de la fonction, et, par le fait même, les extremums de la fonction. On peut également déterminer les inter valles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas de la fonction, et, par le fait même, les points d’inflexion. Les informations contenues dans le tableau des signes de même que les informations obtenues lors de la recherche des asymptotes permettent alors de tracer une esquisse sommaire, mais assez fidèle, de la courbe décrite par une fonction f ( x ). On peut ainsi avoir une image assez précise du comportement de la fonction.

TRACÉ DE COURBES

359

Mots clés Asymptote, p. 324 Asymptote horizontale, p. 327 Asymptote oblique, p. 329

Asymptote verticale, p. 324 Domaine d’une fonction, p. 322 Fonction concave vers le bas, p. 336

Fonction concave vers le haut, p. 336 Point d’inflexion, p. 339

Réseau de concepts Tracé de la courbe décrite par une fonction f(x)

Domaine de la fonction Asymptotes

Valeurs critiques de f ( x ) : x ∈ Dom f et f ′ ( x ) = 0 ou f ′ ( x ) n’existe pas

Tableau des signes

Points d’inflexion potentiels : x ∈ Dom f et f ′′ ( x ) = 0 ou f ′′ ( x ) n’existe pas

  croissance [ f ′ ( x ) > 0 ]  intervalles de   décroissance [ f ′ ( x ) < 0 ]   e mums (changement dans la croissance) extr  Détermination des    concavité vers le haut [ f ′′ ( x ) > 0 ]  interrvalles de   concavité vers le bas [ f ′′ ( x ) < 0 ]    points d’inflexion (changement dans la conccavité )

 lim− f ( x ) = −∞ ou lim− f ( x ) = ∞ x→ a  x→ a Verticale : x = a ∈  , où  ou  lim f ( x ) = −∞ ou lim f ( x ) = ∞  x→ a+ x→ a+  b = lim f ( x ) x →∞  Horizontale : y = b ∈  , où  ou  b = lim f ( x )  x →− ∞ f ( x)  = m ∈   \ { 0 } et lim [ f ( x ) − mx ] = b ∈    xlim →− ∞ x x →− ∞  Oblique : y = mx + b, où ou  f ( x) = m ∈   \ { 0 } et lim [ f ( x ) − mx ] = b ∈    xlim x →∞  →∞ x

Esquisse de la courbe

360

CHAPITRE 6

Exercices récapitulatifs f) Quelle est l’équation de l’asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) ?

Sections 6.1 à 6.3 1. Déterminez le domaine de la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

1 − 2x x2 − 3 x

e) f ( x ) = 2 e − x + 1

b) f ( x ) =

3x + 4 e− x − 2

f)

c) f ( x ) =

2 x 4 − 162

d) f ( x ) =

3 3

2 x 4 − 162

2

f ( x ) = ln (18 − 2 x 2 )

g) f ( x ) = log ( x 4 − 12 ) h) f ( x ) = x − sec x

2. Déterminez, s’il y en a, les asymptotes à la courbe décrite par la fonction f ( x ). a) f ( x ) =

4 x2 + 2 x − 2 x2 − 2 x − 3 3x + 4 d) f ( x ) = 2 2x − x − 6 − 6 x2 + x + 5 e) f ( x ) = 2x + 1

3

x2 − 9 6x d) f ( x ) = 2 x +9 e) f ( x ) = − 4 x x + 2 f)

f ( x ) = ln (1 + x 2 )

i)

f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) sur [ 0,  π ]

j)

f ( x ) = x − 2 arctg x

9 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 28 3 x2 + 4 x + 1

h) f ( x ) = 2 −

a

9 x 2 − 16

3. Déterminez, s’il y en a, les asymptotes verticales et les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ).

b) f ( x ) =

c) f ( x ) =

6. La courbe décrite par la fonction f ( x ) définie sur l’intervalle [ a,  b ] est donnée ci-dessous.

g) f ( x ) = 1 + 16 x 2 + 3

a) f ( x ) =

b) f ( x ) = 4 x 3 − x 4

h) f ( x ) = x − tg x sur [ − π 4 ,  π 4 ]

c) f ( x ) =

f ( x) =

a) f ( x ) = −3 x 5 + 20 x 3 + 4

g) f ( x ) = 2 xe −3 x

6x x2 + 9

1 − x3 b) f ( x ) = x

f)

5. Déterminez les intervalles de concavité vers le bas, les intervalles de concavité vers le haut ainsi que les points d’inflexion de la fonction f ( x ).

16 x 2 + 1 3x + 1

c) f ( x ) =

e x + e− x e x − e− x

ex −e

d) f ( x ) =

cos x x

ex

 3 x2 + 1   2x − 1  x2 − x − 6 4. Soit la fonction f ( x ) =  2  2x − 7x + 3  x2 + 1  5x − 5 

si x < si

1

2

1

2

< x < 3.

si x > 3

a) Quel est le domaine de la fonction f ( x ) ?

b) Quel est le type de discontinuité de la fonction f ( x ) en x = 1 2 ? Justifiez votre réponse. c) Quelle valeur doit-on donner à la fonction f ( x ) pour qu’elle soit continue en x = 3 ? Justifiez votre réponse.

d) Quelle est l’équation de l’asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) ? e) Quelle est l’équation de l’asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) ?

x1

x2

x3

x4

x5

b

a) Déterminez la ou les valeurs de l’intervalle [ a,  b ] où f ′ ( x ) change de signe. b) Déterminez les intervalles de croissance de la fonction f ( x ). c) Déterminez les intervalles de décroissance de la fonction f ( x ). d) Déterminez la ou les valeurs de l’intervalle [ a,  b ] où la fonction atteint un maximum et indiquez la nature du maximum (relatif ou absolu) atteint en cette valeur. e) Déterminez la ou les valeurs de l’intervalle [ a,  b ] où la fonction atteint un minimum et indiquez la nature du minimum (relatif ou absolu) atteint en cette valeur. f) Déterminez la ou les valeurs de l’intervalle [ a,  b ] où la courbe décrite par la fonction admet un point d’inflexion. g) Déterminez la ou les valeurs de l’intervalle [ a,  b ] où f ′′ ( x ) change de signe. h) Déterminez les intervalles où la fonction est concave vers le bas. i) Déterminez les intervalles où la fonction est concave vers le haut. 7. Quelle est l’abscisse du point d’inflexion de la courbe décrite par la fonction f ( x ) = ( x − a )( x − b )( x − c ), où a, b et c sont des constantes ?

TRACÉ DE COURBES

Section 6.4 8. Faites l’étude complète de la fonction en respectant les six étapes proposées. x+5 2 a) f ( x ) = ( x 2 − 1) − 2 l) f ( x ) = 2− x b) f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 2 x2 + x − 1 m) f ( x ) = x x2 c) f ( x ) = 2 x +4 2 x3 + 1 x n) f ( x ) = d) f ( x ) = 2 x2 x −4 x2 + 2 x + 1 x3 o) f ( x ) = e) f ( x ) = x x−3 x2 x2 − 1 x−4 g) f ( x ) = 2 x − 16 6 6 h) f ( x ) = 2 − x x 3x i) f ( x ) = ( x − 4 )2 f)

j)

f ( x) =

f ( x) =

k) f ( x ) =

x2

p) f ( x ) =

x2 − 4 x−3

q) f ( x ) = ( x 2 − 1)

2

s) f ( x ) = x t)

8 +4

x2 − 1 x2 + 1

3

+ x

4

11. Lors d’une étude clinique sur l’effet analgésique de l’acétaminophène, des chercheurs on demandé à des sujets d’indiquer le pourcentage de soulagement de la douleur ressenti après l’absorption de différentes doses du médicament. Ils ont pu établir que la fonc4 800 x 2 tion f ( x ) = décri48 x 2 + 1 vait bien le pourcentage de soulagement procuré par l’absorption de x g de médicament. Faites l’étude complète de la fonction en respectant les six étapes proposées. 12. Esquissez la courbe décrite par la fonction

3

r) f ( x ) = x 1 − x 2 1

361

 6 30  f ( t ) = 500 1 − +  t + 5 5 )2  t + ( 

3

f ( x ) = ( x3 − 3 x ) 3 (Note : Tenez pour acquis que la courbe décrite par cette fonction admet l’asymptote oblique y = x .) 1

qui représente le niveau d’oxygène dans un plan d’eau t mois après un déversement de pétrole. Appliquez les six étapes proposées.

9. Faites l’étude complète de la fonction en respectant les six étapes proposées. (Tenez pour acquis que chacune de ces fonctions n’admet pas d’asymptote oblique.) a) f ( x ) = e x − e − x b) f ( x ) = e − x c) f ( x ) =

2

8 1 + e2 − x

d) f ( x ) = ln (1 + x 2 )

e) f ( x ) = sin x + cos x sur [ 0,  π ] f)

f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) sur [ 0,  π 2 ]

g) f ( x ) = 2 x + arccos x sur [ −1,  1] 10. Un avion se prépare à décoller et le pilote souhaite atteindre une altitude de 8 km après avoir parcouru une distance horizontale de 100 km depuis son point de décollage. L’altitude A( x ) de cet avion en fonction de la distance horizontale x parcourue depuis le décollage est donnée par A( x ) = − 0, 000 01 x 3 + 0, 001 8 x 2 . Esquissez la courbe décrite par cette fonction pour x ∈ [ 0,  100 ] en appliquant les étapes utiles dans le contexte pour tracer le graphique d’une fonction.

13. La taille y (en centimètres) d’un petit rongeur en fonction de son âge t (en années) est donnée par l’expression y = e 2 − 2 e

−

7t 5

.

a) Quelle est la taille du rongeur à sa naissance ? b) Quelle est la taille du rongeur à maturité ? c) Quel est le taux de croissance du rongeur ? d) Faites l’étude complète de la fonction en suivant les six étapes proposées. (Tenez pour acquis que la courbe décrite par la fonction n’admet pas d’asymptote oblique.) 14. L’équation empirique de Morse met en relation l’énergie potentielle E de deux atomes formant une molécule en  fonction de la distance r séparant les deux atomes : 2

E ( r ) = D 1 − e a( re − r )  , où r > 0, re représente la distance

362

CHAPITRE 6

d’équilibre entre les noyaux (aussi appelée la longueur de liaison), a est une constante positive et D est une constante positive appelée énergie de dissociation, soit l’énergie requise pour briser la liaison moléculaire. a) Quelle est la valeur de l’énergie potentielle E lorsque les deux atomes sont très éloignés l’un de l’autre ? b) Quelle est la distance séparant les deux atomes lorsque l’énergie potentielle atteint sa plus faible valeur ? Exprimez la valeur de r en fonction de re. c) En vertu de l’équation de Morse, quelle est la valeur minimale de l’énergie potentielle ?

(

)2

d) Considérez le cas particulier E ( r ) = 6 1 − e 5 − r . Faites l’étude complète de la fonction en appliquant les six étapes proposées. (Tenez pour acquis que la courbe décrite par la fonction n’admet pas d’asymptote oblique.) 3

4

mv2

 m  2 2 − 2 kT 15. La fonction y = 4π  v e porte le nom de dis 2 kπT  tribution des vitesses moléculaires de Maxwell-Boltzmann. Cette fonction est une densité de probabilité dont le sommet correspond à la vitesse moléculaire la plus probable. Afin d’en simplifier l’expression, on peut l’écrire sous la forme 2  m  y = k1v2 e − k2 v , où k1 = 4π   2 kπT 

3

2

> 0, k2 =

m > 0 2 kT

et v > 0. a) En quelle vitesse v la fonction y atteint-elle sa valeur maximale ? Exprimez la valeur de v en fonction du paramètre k2 . 2 v − v2 e 16 .

Faites l’étude b) Considérez le cas particulier y = complète de la fonction en appliquant les six étapes proposées. (Tenez pour acquis que la courbe décrite par la fonction n’admet pas d’asymptote oblique et qu’elle admet une asymptote horizontale d’équation y = 0.) A , où A, C et r sont des 1 + Ce − rt constantes positives, est appelée fonction logistique. Elle représente généralement bien l’évolution de la taille d’une population animale P ( t ) en fonction du temps t exprimé en années.

16. La fonction P ( t ) =

c) À long terme, quelle est la taille de cette population animale ? d) À long terme, que devient le taux de croissance de cette population animale ? 3 000 e) Faites l’étude complète de la fonction P ( t ) = 1 + 5 e − 0 ,4 t en appliquant les six étapes proposées. (Tenez pour acquis que la courbe décrite par la fonction n’admet pas d’asymptote oblique.) 17. L’équation de Lennard-Jones exprime l’énergie potentielle E de deux molécules en fonction de la distance r les sépa4 εσ 6  σ 6  − 1 , où r > 0, σ est une constante rant : E ( r ) =   r6  r6 positive appelée diamètre de collision et ε est une constante non nulle. a) Dans le contexte, quelle est la variable indépendante et quelle est la variable dépendante ? b) Dans le contexte, à quelles valeurs de r doit-on limiter le domaine de la fonction E ( r ) ? c) Quelle est la valeur de l’énergie potentielle E lorsque les deux molécules sont très éloignées l’une de l’autre ? Formulez votre réponse en utilisant la notation mathématique appropriée. d) En ayant recours au vocabulaire relatif à la représentation graphique de la courbe décrite par la fonction E ( r ), donnez une interprétation géométrique de l’énergie potentielle obtenue en c. e) Si ε > 0 , quelle est la valeur théorique de l’énergie potentielle lorsque les deux molécules sont extrêmement proches l’une de l’autre ? Formulez votre réponse en utilisant la notation mathématique appropriée. f) Vérifiez que E ′ ( r ) =

. r 13 g) Si ε > 0 , quelle est la distance séparant les deux molécules lorsque l’énergie potentielle atteint sa plus faible valeur ? (La valeur de r est exprimée en fonction de σ .) h) Si ε > 0 , vérifiez que − ε représente la valeur minimale de l’énergie potentielle. i) Considérez le cas particulier où ε = σ = 1. On ob-

a) Quel est le taux de croissance d’une population évoluant selon une fonction logistique ?

tient  alors E ( r ) =

b) Le taux de croissance d’une population animale évoluant selon une fonction logistique atteint sa valeur maximale lorsque sa dérivée (celle du taux de croissance) est nulle. À quel moment (pour quelle valeur de t ) le taux de croissance de la population animale est-il maximal, c’est-à-dire à quel moment la population croît-elle le plus rapidement ?

E ′′ ( r ) =

Soit une population animale dans un environnement donné  dont la taille évolue selon une fonction logistique avec A = 3 000, C = 5 et r = 0, 4 , c’est-à-dire que 3 000 P (t ) = . 1 + 5 e − 0 ,4 t

24 εσ 6 ( r 6 − 2σ 6 )

24 ( r 6 − 2 ) 4 4 − 6 , E′(r ) = et 12 r r r 13

24 ( 26 − 7 r 6 )

. Construisez le tableau des signes. r 14 Dans ce tableau, vous devez consigner les asymptotes verticales, les intervalles de croissance, les intervalles de décroissance, les intervalles de concavité vers le haut, les intervalles de concavité vers le bas, les extremums (maximum ou minimum) et leur nature (relatif ou absolu), ainsi que les points d’inflexion. j)

À partir des informations consignées dans le tableau construit en i et des réponses produites en c et en e, esquissez le graphique de la courbe décrite par la fonc4 4 tion E ( r ) = 12 − 6 . r r

TRACÉ DE COURBES

363

Exercices de révision 1. Encerclez la lettre qui correspond à la bonne réponse. a) Si a et b sont des constantes, et si b ≠ 2, que vaut lim

x→ ∞

ax 2 − 2 x + 4 ? (b − 2 ) x2 − x + 3 a b−2

A. a

C. b − 2

E.

B. b

a D. b

F. Aucune de ces réponses.

E. La fonction f ( x ) admet une discontinuité essentielle par saut en x = 1. F. La fonction f ( x ) admet une discontinuité essentielle infinie en x = 1. G. Aucune de ces réponses. e) Soit le triangle rectangle ABC . (Le schéma n’est pas à l’échelle.) B

b) Soit f ( x ) et g ( x ) deux fonctions dérivables qui décrivent des courbes passant par l’origine. Quelle est la pente, à l’origine, de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction u ( x ) = f ( x ) g ( x ), qui correspond au produit des deux fonctions f ( x ) et g ( x ) ? f ′(0)g ′(0) f ′(0) g ′(0) 0 1 −1 Il n’y a pas suffisamment d’information pour répondre à cette question. H. Aucune de ces réponses. A. B. C. D. E. F. G.

c) La courbe décrite par la fonction dérivée f ′ ( x ) d’une fonction f ( x ) dérivable partout est la suivante : y f ′( x)

a = 15 cm b

θ A

La mesure de l’angle θ est de π 3 rad et comporte une incertitude de 0,2 rad. Quelle est l’incertitude absolue sur la mesure b du côté BC si la valeur exacte de la mesure a du côté AB est de 15 cm ? A. B. C. D. E. F. G.

0,5 cm 1 cm 1,5 cm 2 cm 2,5 cm 1, 5 3 cm , soit environ 2,60 cm Aucune de ces réponses.

( )

f) Que vaut 0

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x

En quelle valeur de x la fonction f ( x ) atteint-elle son maximum absolu sur l’intervalle [ 0,  14 ] ? A. x = 0

D. x = 8

G. x = 14

B. x = 2

E. x = 10

H. Aucune de ces réponses.

C. x = 5

F. x = 12

C

d 5x 2  e sin ( 3 x ) ? dx 

A. 30 e 5 x sin ( 3 x ) B. 6 e 5 x sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) + 5e 5 x sin 2 ( 3 x ) C. e 5 x sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) + e 5 x sin 2 ( 3 x ) D. 30 e 5 x cos ( 3 x ) E. 3e 5 x sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) + 5e 5 x sin 2 ( 3 x ) F. 3e 5 x sin ( 3 x ) + 5e 5 x sin 2 ( 3 x ) G. Aucune de ces réponses.

d) Comment peut-on qualifier la fonction  x2 + 2 x − 3  x−1 f ( x) =  4   x 2 + 3 x + 1

si x < 1 si x = 1 si x > 1

en x = 1 ? A. La fonction f ( x ) est continue en x = 1. B. La fonction f ( x ) admet une discontinuité non essentielle par trou en x = 1. C. La fonction f ( x ) admet une discontinuité non essentielle par déplacement en x = 1. D. La fonction f ( x ) admet une discontinuité essentielle par manque en x = 1.

g) Si x 3 y − y3 x = 30 , que vaut A. − 5 8 B.

5

8

C. − 8 5 h) Si y =

π

C.

1

D.

π

8

E.

9

G.

46

H. − 9 46 I.

dy arctg x , que vaut x dx E.

1

2

+

π

F. − 1 2 −

4 2

−

π

4

−

1

4 2

46

5

F. − 46 9

A. − π 4 B.

D.

dy ? dx ( 2 ,  −3) 9

Aucune de ces réponses.

x =1

?

4

π

4

G. Aucune de ces réponses.

364

i)

CHAPITRE 6

Quelle est l’équation de l’asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = A. B. C. D. E. F. G. H. I.

j)

+ ? 3 x2 − 1

2 x3

4 x2

x = 1 x = −1 y = 0 y = 2x + 4 y = 23x y = 23x + 4 y = 23x + 43 La courbe n’admet aucune asymptote oblique. Aucune de ces réponses.

occupé par le pamplemousse lorsqu’on enlève sa pelure. (Note : Le volume V d’une sphère de rayon r est de V = 4 3 π r 3 .) 7. La rigidité R d’une poutre rectangulaire correspond au produit de sa base b par le cube de sa hauteur h. Déterminez les dimensions de la poutre rectangulaire la plus rigide que l’on peut tirer d’une bille de bois cylindrique dont le diamètre mesure 1 m.

d x (x ) ? dx E. x x (1 + ln x ) F. 2 x x G. Aucune de ces réponses.

1m

Si x > 0, que vaut A. B. C. D.

x ( x − 1) x2 x x x ln x x ( xx −1 )

2. Utilisez la définition de la dérivée pour montrer que d ( 3 x 2 + 1) = 6 x . dx 3. Si y = ln (1 + x 2 ), que vaut

b

8. Soit f ( x ) =

( x + 4 )( 4 x + 1 ) . ( x + 1)2

a) Quel est le domaine de la fonction f ( x ) ?

d2 y ? dx 2

4. Les longueurs des côtés a et b de l’angle droit d’un triangle rectangle varient. Ainsi, le plus petit des côtés (a ) augmente à raison de 5 cm/s, alors que l’autre (b) diminue à raison de 2 cm/s.

b) Quelles sont les équations des asymptotes verticales et horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ) ? (Note : La courbe décrite par cette fonction n’admet pas d’asymptote oblique.) c) Les dérivées première et seconde de f ( x) =

c

h

b

( x + 4 )( 4 x + 1 ) ( x + 1)2

sont respectivement f ′( x) =

a

a) À quel rythme l’hypoténuse (c) du triangle varie-t-elle lorsque les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 30 cm et 40 cm ? b) À quel rythme l’aire du triangle varie-t-elle lorsque les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 30 cm et 40 cm ? 5. Quelle est l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 3 + 2 x cos 2 x en x = 0 ? 6. Le rayon r d’un pamplemousse de forme sphérique est de 6 cm, et sa pelure a une épaisseur de 0,4 cm. Utilisez les différentielles pour estimer la perte relative du volume V

et f ′′ ( x ) =

9 (1 − x )

( x + 1)3

18 ( x − 2 )

( x + 1)4

Construisez un tableau des signes en y consignant les asymptotes verticales, les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance, les intervalles de concavité vers le haut et les intervalles de concavité vers le bas, les extremums (maximum ou minimum) et leur nature (relatif ou absolu), ainsi que les points d’inflexion. d) À partir des informations recueillies en b et celles consignées dans le tableau construit en c, esquissez la courbe ( x + 4 )( 4 x + 1 ) décrite par la fonction f ( x ) = . ( x + 1)2

A N N E X E

Rappels de notions mathématiques A.1 LES OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES Un ensemble est un regroupement d’éléments. Lorsqu’on énumère les éléments faisant partie d’un ensemble en les séparant par des virgules et en les plaçant entre accolades, on définit l’ensemble en extension. On peut également décrire les éléments d’un ensemble en indiquant les caractéristiques qu’ils doivent respecter. On parle alors de définition en compréhension. EXEMPLE A.1

Soit A l’ensemble des nombres pairs supérieurs à 0 et inférieurs à 10. Alors, la représentation de A en extension est A = {2,  4,  6,  8} De plus, la représentation de A en compréhension est

{

A = x x est pair et 0 < x < 10

}

La relation d’appartenance à un ensemble établit si un élément fait partie ou non d’un ensemble. Pour indiquer qu’un élément appartient à un ensemble, on utilise le symbole ∈. Par contre, pour indiquer qu’un élément n’appartient pas à un ensemble, on utilise le symbole ∉. Par exemple, 3 ∈ {1,  3,  5,  7,  9} et 8 ∉ {1,  3,  5,  7,  9}. Lorsque tous les éléments d’un ensemble A appartiennent aussi à un ensemble B, on dit que l’ensemble A est inclus dans l’ensemble B ou que l’ensemble A est un sousensemble de l’ensemble B, ce qu’on note A ⊆ B . Par ailleurs, si un ensemble C possède un ou plusieurs éléments qui ne font pas partie de l’ensemble D, alors C n’est pas inclus dans D, c’est-à-dire que C   ⊆   D . De plus, on dit que deux ensembles A et B sont égaux, et on note A = B , s’ils sont composés des mêmes éléments. L’ensemble vide, c’est-à-dire l’ensemble qui ne contient aucun élément, est inclus dans tous les ensembles. On le note { } ou ∅. EXEMPLE A.2

{

}

Soit A = x x est pair et 0 < x < 10 , B = {2,  4,  6,  8} et C = {0,  2,  4,  6,  8,  10} . Alors, B ⊆ C puisque tous les éléments de l’ensemble B sont dans l’ensemble C. Par contre, C   ⊆   B , car 10 ∈ C, mais 10 ∉ B. Par ailleurs, A = B puisque ces ensembles sont composés des mêmes éléments. L’union de deux ensembles A et B est l’ensemble contenant tous les éléments de A et tous les éléments de B. On le note A ∪ B et

{

A ∪ B = x x ∈ A ou x ∈ B

}

L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble contenant tous les éléments communs à A et à B. On le note A ∩ B et

{

A ∩ B = x x ∈ A et x ∈ B

}

366

ANNEXE

La différence de deux ensembles est l’ensemble des éléments qui appartiennent à l’ensemble A, mais n’appartiennent pas à l’ensemble B. On le note A\ B et

{

A\ B = x ∈ A x ∉ B

}

EXEMPLE A.3

Soit A = {1,  2,  3,  4,  6,  8,  12,  16,  24,  48} et B = {1,  3,  5,  7,  9} . Déterminons A ∪ B , A ∩ B , A\ B et B \ A . On a A ∪ B = {1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  12,  16,  24, 448} A ∩ B = {1,  3} A\ B = {2,  4,  6,  8,  12,  16,  24,  48} B \ A = {5,  7,  9} EXERCICES A.1

1. Soit A = {1,  2,  3,  4,  5,  6} et B = {2,  3,  5,  7} . Dites si l’énoncé est vrai ou faux, et justifiez votre réponse. a) ∅ ∈  A

c) 5 ∈ A ∩ B

b) B ⊆ A

d)

{2,  3} ∈ B

e)

{1,  3,  5} ⊆ A

f) 4 ∈ A\ B

2. Soit les ensembles A = {3,  6,  9,  12,  15,  18,  21,  24,  27} et B = {1,  2,  3,  4,  6,  8,  12,  24} Déterminez A ∪ B , A ∩ B , A\ B et B \ A .

A.2 LES ENSEMBLES DE NOMBRES Les nombres sont regroupés en grandes catégories, chacune étant désignée par un nom et par un symbole qui lui sont propres (tableau A.1). TABLE AU A .1

Ensembles de nombres Nom de l’ensemble

Notation

Description

Représentation

Entiers naturels



Il contient les entiers positifs ou nuls.

  = { 0 ,  1,  2 ,  3,  4 , …}

Entiers naturels positifs

∗

Il contient les entiers positifs.

∗   = {1,  2 ,  3,  4 , …} =    \ { 0 }

Nombres entiers



Il contient les entiers positifs, négatifs ou nuls.

  = {…, − 4 ,  −3,  −2 ,  −1,  0 ,  1,  2 ,  3,  4 , …}

Nombres entiers non nuls

∗

Il contient les entiers positifs ou négatifs.

∗   = {…,  − 4,  −3,  −2 ,  −1,  1,  2 ,  3,  4 , …}

Nombres entiers positifs

+

Il contient les entiers positifs.

 +   = {1,  2 ,  3,  4 , …} =   ∗

Nombres entiers négatifs

−

Il contient les entiers négatifs.

 −   = {…,  − 4,  −3,  −2 ,  −1}

Nombres rationnels



Il contient les nombres dont la représentation décimale est finie ou périodique.

 =

Nombres irrationnels

′

Il contient les nombres dont la représentation décimale est infinie non périodique.

′   =  \ 

Nombres réels



Il contient les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

  =      ∪   ′

Nombres réels non nuls

∗

Il contient les nombres réels non nuls.

∗ =    \ { 0 }

Nombres réels positifs

+

Il contient les nombres réels positifs.

+ = { x ∈   x > 0 }

Nombres réels négatifs

−

Il contient les nombres réels négatifs.

− = { x ∈   x < 0 }

{

a a ∈   et b ∈  ∗ b

}

367

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

EXERCICES A.2

1. Soit les nombres −4 ; 1, 3 ; 105 3 ; π 4 ; 2, 48 ; 3 −512 ; et 15 a) b) c) d) e)

Lesquels sont des nombres naturels ? Lesquels sont des nombres entiers ? Lesquels sont des nombres rationnels ? Lesquels sont des nombres irrationnels ? Lesquels sont des nombres réels ?

2. Dites si l’énoncé est vrai ou faux, et justifiez votre réponse. a) 0 ∈ + b) c)

d)

196   ∈  ∗ − 119

17

  ∈  −

3

e) f)

36 ∈  1

4

4

∈ 

625 ∈  ′

g) + ∪   − =   

j)    ∩    ′   = {0}

h)    ∩      =    i)  \    =    −

A.3 LES INTERVALLES Les intervalles sont des sous-ensembles particuliers de nombres réels. Parfois, ils représentent l’ensemble des nombres compris entre deux valeurs réelles a et b, les extrémités a et b pouvant être incluses ou non.

MaBiblio > Multimédia > 28. Représentations d’un intervalle Accédez directement à l’animation. goo.gl/aqDKby

Un intervalle peut également représenter l’ensemble des nombres supérieurs (ou inférieurs, ou supérieurs ou égaux, ou inférieurs ou égaux) à une valeur réelle a. Dans ces cas, il faut introduire les symboles ∞ ou −∞. Ces symboles signifient respectivement que les nombres deviennent de plus en plus grands (par exemple, 10, 100, 1 000, 10 000, etc.) ou de plus en plus petits (par exemple, −10, −100, −1 000, −10 000, etc.). Comme ∞ ou −∞ ne sont pas des nombres, ils ne peuvent pas appartenir à l’intervalle. Par conséquent, le crochet juxtaposé à l’un ou à l’autre de ces symboles est toujours tourné vers l’extérieur. Le tableau A.2 regroupe les différents types d’intervalles.

TABLE AU A . 2

Différents types d’intervalles Notation

En compréhension

Interprétation

Représentation visuelle 

[ a ,  b ]

{ x ∈  a ≤

x ≤ b}

Ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à a, mais inférieurs ou égaux à b. Il s’agit d’un intervalle fermé.

a

b

]a ,  b[

{ x ∈  a
0, alors π =π Par conséquent, la distance entre le nombre π et le nombre 0 est de π unités.

EXEMPLE A.6

Déterminons, si elles existent, toutes les valeurs réelles de x telles que x = 2. Nous cherchons les valeurs réelles qui sont à 2 unités de distance du nombre 0 (figure A.2). FIGURE A.2

Droite des nombres réels 2 unités –6

–5

–4

–3

–2

–1

2 unités 0

1

 2

3

4

5

6

On voit bien que seuls les nombres −2 et 2 se trouvent à 2 unités de distance du nombre 0, c’est-à-dire x = 2 si x = 2 ou si x = − 2

EXERCICES A.5

1. Évaluez l’expression. a) −8 b)

3

4

c) 2 − 3 ( 4 )

d) 3 − 5 ( 9 15 )

e) 2 5 − 32 f)

1

12

−

4

5

2. Déterminez, si elles existent, toutes les valeurs réelles de x qui satisfont à l’égalité. a) x = 0

c) x =

b) x = 9

d) x =

1

2

e) x = −3

2

f) x = 4, 8

A.6 LES PROPRIÉTÉS DES RADICAUX Si a ∈  et si a ≥ 0, alors la racine carrée de a, notée a , est un nombre réel b tel que b ≥ 0 et b2 = a. On a alors a = b si b2 = a et b ≥ 0

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

371

Si a < 0, alors a n’existe pas dans l’ensemble des nombres réels. En effet, supposons, par exemple, que − 4 = b. Alors, il faut que b2 = − 4 ce qui est impossible, car dans les nombres réels, b2 ≥ 0 . La racine carrée d’un nombre est toujours positive. Même si 32 = 9 et (− 3)2 = 9 , on a 9 = 3. Il ne faut jamais écrire 9 = − 3 . EXEMPLE A.7

Déterminons, si possible, 0 , 121 et −36. Comme 0 2 = 0, alors 0 = 0 De plus, comme 112 = 121 , alors 121 = 11 Finalement, −36 n’existe pas dans les nombres réels (il est impossible de trouver un nombre réel qui, élevé au carré, donnerait −36). La racine cubique d’un nombre se définit de façon similaire. Si a ∈ , alors la racine cubique de a, notée 3 a , est un nombre réel b tel que b3 = a . On a alors 3

a = b si b3 = a

Contrairement à la racine carrée, la racine cubique d’un nombre est toujours définie. EXEMPLE A.8

Déterminons 3 0 , 3 216 et 3 −27 . Comme 0 3 = 0 , 6 3 = 216 et (− 3)3 = − 27, alors 3

0 = 0 , 3 216 = 6 et 3 − 27 = − 3

Pour n ∈ ∗ , on définit la racine nième d’un nombre a, notée n a , de la façon suivante : ■

Lorsque n est impair, n a = b si bn = a .

■

Lorsque n est pair et lorsque a ≥ 0, n a = b si bn = a et si b ≥ 0. Par contre, si a < 0, alors n a n’existe pas dans les nombres réels.

EXEMPLE A.9

Déterminons, si possible, 4 625 , 4 −16 , 5 243 et 5 − 1 32 . Comme 54 = 625 , alors 4

625 = 5

Par contre, 4 −16 n’existe pas dans les nombres réels (il est impossible de trouver un nombre réel qui, élevé à la puissance 4, donnerait −16).  −1  De plus, comme 35 = 243 et    2 5

5

=

( −1)5 25

= −

243 = 3 et 5 − 1 32 = − 1 2

1 , alors 32

372

ANNEXE

TABLE AU A .4

Propriétés des radicaux Si a ∈ , b ∈ , m ∈ ∗ , n ∈ ∗, et si tous les radicaux sont définis, alors 1.

n

b = b

2.

n

bm

= b

b si n est impair =   b si n est pair

1

n m

n

=

( b) n

3.

n

bn

4.

n

ab =

n

a   ⋅  n b

5.

a = b

n

n

a si b ≠ 0 b

6.

mn

n

b =

mn

m

Certaines propriétés permettent de simplifier des expressions contenant des radicaux. Le tableau A.4 présente ces propriétés. EXEMPLE A.10

Évaluons 6 8 ,

( 2 )12 , 32 −

4 1

4

et (− 8 ) 3. En utilisant la propriété 2, 2

5

68 = 6 4

 1  2 

32 −

b

4

12

5

 1 =    2

=

8

= 6 4 = 1 296

2

12

 1 =    2

4

( 5 32 )− 4

3

=

= 2− 4 =

13 1 = 23 8

1 1 = 24 16

(− 8) 3 = 3 (− 8)2 = 3 64 = 4 2

En utilisant la calculatrice, vous pourriez obtenir les trois premiers résultats, mais pas le quatrième. En effet, la plupart des calculatrices ne sont pas programmées pour gérer les exposants fractionnaires appliqués sur des nombres négatifs.

EXEMPLE A.11

Utilisons les propriétés des radicaux pour simplifier les expressions 3

a3 et 3 a a . On a 125 36 a 2 =

36 ×

= 6a

a2

propriété 4

propriété 3

Par ailleurs, 3

a3 = 125 =

3

a3 3 125 a 5

propriété 5

propriété 3

Enfin, 3

a a =

3

a ×

3

=

3

a ×

6

= a

1

= a

1

= a

1

=

a

3

3

2

×a +1

a

propriété 4

a

propriété 6

1

propriété 1

6

car

6

propriété des exposants 1

3

+

1

propriété 1

6

=

2

6

+

1

6

=

3

6

=

1

2

36 a 2 ,

373

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

EXEMPLE A.12

4 27 − 3 12 . 3

Utilisons les propriétés des radicaux pour simplifier l’expression On a 4 27 − 3 12 4 9×3 −3 4×3 = 3 3

décomposition en facteurss

=

4 9 3 −3 4 3 3

propriété 4

=

12 3 − 6 3 3

9 = 3 et

=

6 3 3

car

4 = 2

= 6

EXERCICES A.6

1. Évaluez l’expression en utilisant les propriétés des radicaux. a)

(− 4)15

810

d)

521

e) 125

( 3 )16

f) 4 −

b)

3

c)

4 2

5

3

2

2

3

g) ( −27 )

4

h) (− 32 )

3

i)

4 625

3

j)

5

k)

81

l)

5

− 1 024 243

(9 4) ( − 27 8 ) 3

2

2

3

2. Simplifiez l’expression en utilisant les propriétés des radicaux. 32

f)

6

54

g)

6 4

c) 9 300 − 4 75

h)

4

256 a 4

d) 5 3 128 − 8 3 54 + 2 3 250

i)

5

32 a 5 3 125

j)

3

−27 x 6 y21

a) b)

e)

4

6 45 + 3 80 20

a2 a3

A.7 LA RATIONALISATION D’UN DÉNOMINATEUR Lorsqu’une fraction contient une racine carrée au dénominateur, il arrive souvent qu’on la réécrive en une expression équivalente dans laquelle il n’y a plus de radical au dénominateur. On appelle cette opération la rationalisation du dénominateur. Lorsque le dénominateur contient seulement une racine carrée, multipliée ou non par une constante, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par cette racine carrée pour rationaliser le dénominateur.

374

ANNEXE

EXEMPLE A.13

3 − 12 en rationalisant le dénominateur : 3

Réécrivons l’expression

( 3 − 12 ) × 3 3 − 12 = 3 × 3 3 =

3 3 − 12 × 3

=

3 3 − 3

=

3 3 −6 3

=

3 −2

36

multiplication du numérateu ur et du dénominateur par 3

3

distributivité : ( a − b ) c = ac − bc

propriété 4

Lorsque le dénominateur d’une fraction est la somme ou la différence de deux termes dont au moins un contient une racine carrée, alors pour rationaliser le dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué de l’expression a + b est l’expression a − b. Inversement, le conjugué de l’expression a − b est l’expression a + b. EXEMPLE A.14

6 (où a ≥ 0) en rationalisant le dénominaa + a+2 teur. Le conjugué de a + a + 2 est a − a + 2 . On a alors Réécrivons l’expression

6 a +

a+2

= = = =

(

6( a −

a + 2)

a + 2 )( a −

a +

a + 2)

6( a − a a −

a + 2)

6( a −

a + 2)

a − (a + 2) −2

= − 3( a −

car

a + 2)

a+2 a −

a a+2 +

6( a −

multiplication par le conjugué

a

a = a et

a+2 a+2 a + 2

distributivité

a + 2 = a + 2

car a − ( a + 2 ) = a − a − 2 = − 2

a + 2)

EXERCICE A.7

Réécrivez l’expression en rationalisant le dénominateur. a)

4 2

d)

12 2 6

g)

3 5 + 3

i)

a−4 a −2

b)

−6 14

e)

10 a 3 5a

h)

1 a −3

j)

20 a+4 −

f)

6 3+ 7

c)

3−

8 2

a

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

375

A.8 LES OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES Un polynôme en x de degré n ≥ 1 est une expression de la forme P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0 où ai ∈  (pour i = 0,  1, …,  n) et où an ≠ 0. Le degré d’un polynôme P ( x ) correspond donc à la plus grande puissance de x. Pour additionner (ou soustraire) deux polynômes, il suffit d’additionner (ou de soustraire) les coefficients des termes semblables de ces polynômes. EXEMPLE A.15

Effectuons la différence des polynômes P ( x) = P ( x) − Q( x) =

1

( 1 2 x2

2x

2

+ 2 x − 1 et Q ( x ) =

+ 2 x − 1) −

( 1 3 x2

1

3x

2

5

)

− 2x +

5

2

distributivité ( multiplication par –1 )

=

1

2x

2

+ 2x − 1 −

1

=

1

6x

2

+ 4x −

regroupement des termes semblables

7

2

3x

2

+ 2x −

2

− 2x +

5

2

Pour multiplier deux polynômes, on multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du deuxième polynôme. On regroupe ensuite, si possible, les termes semblables. EXEMPLE A.16

Effectuons le produit des polynômes P ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 1 et Q ( x ) = − x 2 − 2 x + 3

( 2 x 2 − 3 x − 1) ( − x 2 − 2 x + 3) = ( 2 x 2 ) ( − x 2 − 2 x + 3 ) + (− 3 x ) ( − x 2

− 2 x + 3) + ( −1) ( − x 2 − 2 x + 3)

= −2 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x 2 − 9 x + x 2 + 2 x − 3 = −2 x 4 − x 3 + 13 x 2 − 7 x − 3

distributivité

distributivité

regroupement des termes semblables

Pour diviser un polynôme par un monôme, il suffit de diviser chaque terme du polynôme par le monôme, tel que l’illustre l’exemple suivant. EXEMPLE A.17

Effectuons

6 x5 − 4 x4 + 3x − 9 si x ≠ 0. 3x2

6 x5 − 4 x4 + 3x − 9 6 x5 4 x4 3x 9 = − + − 3x2 3x2 3x2 3 x2 3 x2 3 x2 1 3 = 2 x3 − 4 3 x2 + − 2 x x = 2 x3 −

4

3x

2

+ x −1 −

puissque

propriété :

a ± b a b = ± si c ≠ 0 c c c xm = x m − n si x ≠ 0 xn

propriété : x − n =

1 si x ≠ 0 xn

376

ANNEXE

Lorsqu’on divise un polynôme P ( x ) (appelé dividende) par un polynôme D( x ) (appelé diviseur), on cherche un polynôme Q ( x ) (appelé quotient) et un polynôme R ( x ) (appelé reste) tels que P ( x) R( x) = Q( x) + D( x ) D( x )

où soit R = 0, soit le degré du polynôme R ( x ) est inférieur au degré du polynôme D( x ) . L’exemple suivant permettra de dégager les étapes de la division de polynômes. EXEMPLE A.18

Divisons le polynôme D ( x ) = 3 x 2 + 4 x − 1.

P ( x ) = 9 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 28

9 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 28

− ( 9 x 3 + 12 x 2 − 3 x )

par

le

polynôme

3 x2 + 4 x − 1 3x − 2

− 6 x 2 + 6 x + 28

− ( − 6 x2 − 8 x + 2 ) 14 x + 26

Le reste de la division est R ( x ) = 14 x + 26 dont le degré est inférieur au degré du diviseur D( x ) = 3 x 2 + 4 x − 1. On obtient 9 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 28 14 x + 26 = 3x − 2 + 3x2 + 4 x − 1 3x2 + 4 x − 1

EXERCICE A.8

Effectuez l’opération. a) b) c)

( 2 x + 6 − 4 x2 ) + (11 x3 + 2 x − 7) ( 4t 2 + 3t + 1) − ( 6t 2 + 3t − 2 ) ( 3 x 2 − 6 x − 1) + ( 5 x − 4 ) − ( 4 x 2 + 3 x − 2 )

d) 3 x ( x + 2 ) − x 2 ( 4 − 2 x ) − ( 2 x − 3) e)

( 4 x − 3 )( 5 − 2 x )

f)

( 2 x2

− 3 x + 4 ) ( − x 2 + 2 x − 3)

g) ( 5 − 2 x )2 h) ( 32 x 2 − 22 x + 36 ) ÷ ( 4 x )

( 45 x2 + 52 x 3 − 65 x4 ) ÷ ( − 5 x 2 ) j) ( 9 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 16 ) ÷ ( 3 x + 4 ) k) ( 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 1) ÷ ( 2 x − 1) l) ( 64 x 6 − 1) ÷ ( 2 x 2 − 1) m) ( x 4 − x 2 + 1) ÷ (1 − x ) n) ( x 5 + 2 x 3 − 3 x − 2 ) ÷ ( x 2 − 3 x + 1) i)

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

377

A.9 LA FACTORISATION DE POLYNÔMES Lorsque plusieurs expressions algébriques sont multipliées ensemble, chacune des expressions est appelée un facteur et le résultat de la multiplication est appelé le produit. Par exemple, 2 × 5 = 10   

facteur

facteur

produit

2 + 3x − 2 x + 2 )( 2 x − 1) = 2x (        facteur

facteur

produit

La factorisation d’un polynôme P ( x ) est la décomposition de ce polynôme en un produit de facteurs irréductibles, c’est-à-dire des polynômes indécomposables dont les degrés sont inférieurs ou égaux au degré de P ( x ). Il existe plusieurs méthodes pour factoriser un polynôme. Nous présenterons les plus importantes. La mise en évidence simple est une technique de factorisation qui repose sur la distributivité de la multiplication sur l’addition dans l’ensemble des nombres réels : ab + ac = a ( b + c ) EXEMPLE A.19

Factorisons P ( x ) = 3 x 5 + 12 x 3. Puisque 3 x 3 est un facteur commun à tous les termes du polynôme P ( x ) [en effet, 3 x 5 = 3 x 3 ( x 2 ) et 12 x 3 = 3 x 3 ( 4 )], on peut utiliser la mise en évidence simple pour factoriser le polynôme P ( x ) : P ( x ) = 3 x 5 + 12 x 3 = 3x3 ( x2 ) + 3x3 ( 4 ) = 3x3 ( x2 + 4 )

mise en évidence de 3 x 3

Remarquons qu’en effectuant le produit des deux facteurs, on obtient bien le polynôme P ( x ) : 3 x 3 ( x 2 + 4 ) = 3 x 3 ( x 2 ) + 3 x 3 ( 4 ) = 3 x 5 + 12 x 3 = P ( x )

La mise en évidence double est une autre technique de factorisation qui repose sur la distributivité de la multiplication sur l’addition dans l’ensemble des nombres réels. Elle consiste à appliquer deux mises en évidence simples successives. ac bc  +  

c est un facteur commun

+

ad + bd   

= c ( a + b) + d ( a + b)

mise en évidence de c et de d

d  est un facteur commun

= ( a + b )( c + d )

mise en évidence de ( a + b )

EXEMPLE A.20

Factorisons P ( x ) = 5 x 3 + 10 x 2 + 2 x + 4. Il n’y a pas de facteur commun à tous les termes de P ( x ) : on ne peut donc pas utiliser la mise en évidence simple pour

378

ANNEXE

factoriser le polynôme P ( x ). Cependant, on peut utiliser la mise en évidence double. 3 + 10 x 2 2 x + P ( x ) = 5x  4  + facteur commun : 5 x 2

facteur commun : 2

= 5 x2 ( x + 2 ) + 2 ( x + 2 ) = ( x + 2 )( 5 x 2 + 2 )

mise en évidence des facteurs communs

mise en évidence de ( x + 2 )

Le produit des deux facteurs obtenus donne bien le polynôme P ( x ). On appelle différence de carrés une expression de la forme a 2 − b2 . La factorisation d’une telle expression est donnée par a 2 − b2 = ( a − b )( a + b ) En effet, en multipliant les deux facteurs, on obtient

( a − b )( a + b ) = a ( a + b ) − b ( a + b ) = a 2 + ab − ab − b2 = a 2 − b2

distributivité distributivité

regroupement dess termes semblables

EXEMPLE A.21

Factorisons P ( x ) = 9 x 2 − 16. P ( x ) est une différence de carrés puisque 9 x 2 = ( 3 x )2 et que 16 = 4 2 . On obtient alors P ( x ) = 9 x 2 − 16 = ( 3 x )2 − 4 2 = ( 3 x − 4 )( 3 x + 4 )

différence de carrés

Le produit des deux facteurs obtenus donne bien le polynôme P ( x ).

v THÉORÈME A.1

Théorème de factorisation d’un polynôme de degré 2 à une variable

Soit P ( x ) = ax 2 + bx + c , un polynôme en x de degré 2. ■

■

Si b2 − 4 ac < 0 , alors P ( x ) est irréductible, c’est-à-dire qu’on ne peut pas le décomposer en un produit de deux polynômes à coefficients réels de degré 1. Si b2 − 4 ac ≥ 0 , alors P ( x ) = a ( x − r1 ) ( x − r2 ), où r1 et r2 sont les racines de P ( x ) et sont obtenues par la formule quadratique : r1 =

−b −

b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac et r2 = 2a 2a

L’avantage de cette méthode générale est qu’elle permet de déterminer les polynômes de degré 2 qui sont irréductibles et de factoriser les polynômes réductibles peu importe la nature de leurs racines (rationnelles ou irrationnelles)*. * Les auteurs ont choisi de présenter cette méthode générale plutôt que de présenter un éventail de méthodes qui ne fonctionnent que dans certains cas très particuliers (méthode somme-produit, méthode pour factoriser un trinôme carré parfait, etc.).

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

379

EXEMPLE A.22

Factorisons, si possible, le polynôme P ( x ) = 8 x 2 + 2 x − 1 . Comme b2 − 4 ac = 2 2 − 4 ( 8 )( −1) = 4 + 32 = 36 > 0, alors P ( x ) = a ( x − r1 ) ( x − r2 ) où r1 =

b2 − 4 ac −2 − 36 −2 − 6 −8 1 = = = = − 2a 2(8) 16 16 2

−b −

et r2 =

−2 + 6 − b + b2 − 4 ac −2 + 36 4 1 = = = = 2a 2(8) 16 16 4

Par conséquent, P ( x ) = a ( x − r1 ) ( x − r2 ) = 8  x − ( − 1 2 )  ( x −

1

4

) = 8 ( x + 1 2 )( x − 1 4 )

Le produit des facteurs obtenus donne bien le polynôme P ( x ). On peut également écrire P ( x) = 8 ( x +

1

2

) ( x − 1 4 ) = 2 ( x + 1 2 ) 4 ( x − 1 4 ) = ( 2 x + 1 )( 4 x − 1 )

EXEMPLE A.23

Factorisons, si possible, le polynôme P ( x ) = x 2 − 4 x + 8. Comme b2 − 4 ac = (− 4 )2 − 4 (1)( 8 ) = 16 − 32 = −16 < 0 , le polynôme P ( x ) = x 2 − 4 x + 8 est irréductible, c’est-à-dire qu’il ne se décompose pas en un produit de polynômes à coefficients réels de degré 1.

EXEMPLE A.24

Factorisons, si possible, le polynôme P ( x ) = x 2 + 3 x + 1. Comme b2 − 4 ac = ( 3)2 − 4 (1)(1) = 9 − 4 = 5 > 0 , alors P ( x ) = a ( x − r1 ) ( x − r2 ) où r1 =

−b −

b2 − 4 ac −3 − 5 −3 − 5 3+ 5 = = = − 2a 2 (1) 2 2

−b +

b2 − 4 ac −3 + 5 −3 + 5 3− 5 = = = − 2a 2 (1) 2 2

et r2 =

Par conséquent,   3 + 5   3 − 5 P ( x ) = a ( x − r1 ) ( x − r2 ) = 1  x −  −  x −  −     2  2     3 + 5 3 − 5 = x + x+    2  2  Le produit des facteurs obtenus donne bien le polynôme P ( x ).

380

ANNEXE

EXERCICE A.9

Factorisez le polynôme. a) 3 x 3 − 15 x 2

i) x 2 − 22 x + 121

b) x 3 + 2 x 2 + 2 x + 4

j) x 2 + 5 x − 1

c) −12 x 5 + 18 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2

k) 8 − 2 x − x 2

d) x 2 − 9

l) 8 x 2 + 10 x − 7

e) 4 − 25 x 2

m) 4 x 2 + 4 x + 1

f) x 2 − 12 x + 35

n) 2 x 2 − 12 x + 35

g) x 2 − 7 x − 18

o) 25 x 2 − 50 x + 16

h) x 2 − 4 x + 5

p) 4 x 2 + 3 x − 2

A.10 LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES Une fraction algébrique est une expression de la forme des polynômes et où Q ( x ) ≠ 0.

P ( x) , où P ( x ) et Q ( x ) sont Q( x)

P ( x) est l’ensemble des valeurs de Q( x) x ∈  pour lesquelles Q ( x ) ≠ 0. C’est donc l’ensemble des valeurs de x ∈  pour lesquelles la fraction algébrique existe. Le domaine d’une fraction algébrique

EXEMPLE A.25

Déterminons le domaine de la fraction algébrique Factorisons le dénominateur.

4 x 2 − 11 x − 3 . 3 x 3 − 11 x 2 + 6 x

3 x 3 − 11 x 2 + 6 x = x ( 3 x 2 − 11 x + 6 ) = 3x ( x −

2

3

) ( x − 3)

mise en évidence de x théorème A.1

Puisqu’un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul, alors 3 x 3 − 11 x 2 + 6 x = 0 ⇔ 3 x ( x −

2

3

) ( x − 3) =

⇔ 3 x = 0 ou x − ⇔ x = 0 ou x = Par conséquent, le domaine de

2 2

3

3

0

= 0 ou x − 3 = 0 ou x = 3

4 x 2 − 11 x − 3 est \ {0,  2 3 ,  3}. 3 x 3 − 11 x 2 + 6 x

On peut simplifier (ou réduire) une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un facteur commun. Par exemple 8 2 ×4 4 = = 10 2 ×5 5

simplification du facteur commu un

La simplification d’une fraction algébrique s’effectue de façon similaire. On factorise d’abord le numérateur et le dénominateur. On simplifie ensuite les facteurs communs.

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

381

EXEMPLE A.26

Simplifions, si possible, la fraction algébrique dénominateur.

2 x 2 + x − 21 = 2 ( x +

7

2

5 x 2 − 14 x − 3 . Factorisons le 2 x 2 + x − 21

) ( x − 3)

théorème A.1

Puisqu’un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul, alors 2 x 2 + x − 21 = 0 ⇔ 2 ( x + ⇔ x+

7

2

7

2

) ( x − 3) =

0

= 0 ou x − 3 = 0

⇔ x = − 7 2 ou x = 3 Par conséquent, le domaine de ensemble,

( 5 x + 1) ( x − 3) 5 x 2 − 14 x − 3 = 2 2 x + x − 21 2 ( x + 7 2 ) ( x − 3) =

On obtient que

5 x 2 − 14 x − 3 est \ {−7 2 ,  3} et, sur cet 2 x 2 + x − 21

5x + 1 2x + 7

facctorisation des polynômes

simplification du facteur commun

5x + 1 5 x 2 − 14 x − 3 = si x ≠ − 7 2 et si x ≠ 3. 2 2x + 7 2 x + x − 21

Lorsqu’on fait le produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. On simplifie ensuite la fraction obtenue si possible. Par exemple, 4 2 6 2×6 2×2× 3 × = = = 3 ×7 7 3 7 3×7 Le produit de deux fractions algébriques est également une fraction algébrique. Il s’obtient de façon similaire (il est toutefois recommandé de factoriser avant de multiplier pour simplifier les calculs), soit : P ( x) R( x) P ( x) R( x) × = Q( x) S ( x) Q( x) S ( x) pour toutes les valeurs de x ∈  pour lesquelles Q ( x ) ≠ 0 et S ( x ) ≠ 0. La factorisation de polynômes est souvent très utile pour simplifier la fraction algébrique ainsi obtenue. EXEMPLE A.27

Effectuons le produit

2x + 1 3 x + 15 × et simplifions le résultat obtenu. 2 2 25 − x 2 x − 3x − 2

2x + 1 est \ {−5,  5}. En effet, la factorisation du dénomi25 − x 2 nateur donne 25 − x 2 = ( 5 − x )( 5 + x ). Le dénominateur est nul lorsqu’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire lorsque x = 5 ou x = −5. Le domaine de

3 x + 15 est \ {− 1 2 ,  2}. En effet, la factorisation du − 3x − 2 dénominateur donne 2 x 2 − 3 x − 2 = ( 2 x + 1)( x − 2 ). Le dénominateur est nul lorsqu’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire lorsque x = − 1 2 ou x = 2. Le domaine de

2 x2

382

ANNEXE

Par conséquent, si x ∉ {−5,  − 1 2 ,  2,  5} , 2x + 1 3 x + 15 2x + 1 3( x + 5) × × = 25 − x 2 2 x2 − 3x − 2 ( 5 − x )( 5 + x ) ( 2 x + 1 )( x − 2 ) = =

3 ( 2 x + 1) ( x + 5 ) ( 5 − x ) ( 5 + x ) ( 2 x + 1) ( x − 2 ) 3

( 5 − x )( x − 2 )

factorisation des polynômes

multiplicattion des fractions

simplification des facteurs communs

Lorsqu’on fait le quotient de deux fractions, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde. On simplifie ensuite la fraction obtenue si possible. Par exemple, 2 6 2 7 2×7 2 ×7 7 = ÷ = × = = 3 7 3 6 3×6 3× 2 ×3 9 Le quotient de deux fractions algébriques est également une fraction algébrique. Il s’obtient de façon similaire, soit : P ( x) R( x) P ( x) S ( x) P ( x)S ( x) ÷ = × = Q( x) S ( x) Q( x) R( x) Q( x) R( x) pour toutes les valeurs de x ∈  telles que Q ( x ) ≠ 0, S ( x ) ≠ 0 et R ( x ) ≠ 0. La factorisation de polynômes est souvent très utile pour simplifier la fraction algébrique ainsi obtenue. EXEMPLE A.28

Effectuons le quotient

2x − 6 4 x 2 − 36 ÷ et simplifions le résultat obtenu. 10 x + 30 15 x

4 x 2 − 36 est \ {− 3} puisque 10 x + 30 = 0 lorsque 10 x + 30 10 ( x + 3) = 0 , c’est-à-dire lorsque x = −3. Le domaine de

2x − 6 est \ {0} puisque 15 x = 0 lorsque x = 0. 15 x 2x − 6 Il faut également que ≠ 0 , puisqu’on ne doit pas diviser par 0. Or 15 x 2x − 6 = 0 lorsque 2 x − 6 = 0 , c’est-à-dire lorsque x = 3. Pour que la division 15 x soit possible, il faut donc que x ≠ 3. Le domaine de

Par conséquent, si x ∉ {−3,  0,  3}, 4 x 2 − 36 2x − 6 4 x 2 − 36 15 x ÷ = × 10 x + 30 15 x 10 x + 30 2x − 6

mulltiplication par la fraction inverse

=

4 ( x − 3 )( x + 3 ) 15 x × 10 ( x + 3) 2 ( x − 3)

=

60 x ( x − 3) ( x + 3) 20 ( x + 3) ( x − 3)

= 3x

factorisation des po olynômes

multiplication des fractions

simplification des facteurs communs

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

383

Lorsqu’on fait la somme (ou la différence) de deux fractions, on doit d’abord mettre les deux fractions au même dénominateur. On additionne (ou on soustrait) ensuite les numérateurs. Le dénominateur du résultat est le dénominateur commun. On simplifie ensuite la fraction obtenue si possible. Par exemple, 2 4 2×3 4×5 6 20 26 + = + = + = 15 9 15 × 3 9 × 5 45 45 45 17 3 17 × 2 3×3 34 9 25 25 1 − = − = − = = = 150 100 150 × 2 100 × 3 300 300 300 12 × 25 12 La somme (ou la différence) de deux fractions algébriques est également une fraction algébrique. Elle s’obtient de façon similaire, soit : P ( x) R( x) P ( x) S ( x) Q( x) R( x) P ( x) S ( x) ± Q( x) R( x) ± = ± = Q( x) S ( x) Q( x) S ( x) Q( x) S ( x) Q( x) S ( x) pour toutes les valeurs de x ∈  pour lesquelles Q ( x ) ≠ 0 et S ( x ) ≠ 0. La factorisation de polynômes est souvent très utile pour simplifier la fraction algébrique ainsi obtenue. EXEMPLE A.29

Effectuons la différence obtenu.

2x 3x − 2 et simplifions le résultat x 2 − 7 x + 10 x − 8 x + 15

3x est \ {2,  5}. En effet, la factorisation du − 7 x + 10 dénominateur donne x 2 − 7 x + 10 = ( x − 2 )( x − 5 ). Le dénominateur est nul lorsqu’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire lorsque x = 2 ou x = 5. Le domaine de

x2

2x est \ {3,  5} . En effet, la factorisation du x 2 − 8 x + 15 dénominateur donne x 2 − 8 x + 15 = ( x − 3)( x − 5 ). Le dénominateur est nul lorsqu’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire lorsque x = 3 ou x = 5. Le domaine de

Par conséquent, si x ∉ {2,  3,  5}, 3x 2x − 2 − 7 x + 10 x − 8 x + 15 3x 2x = − ( x − 2 )( x − 5 ) ( x − 3 )( x − 5 )

x2

factorisation des dénominateurs

2 x( x − 2) 3 x ( x − 3) − ( x − 2 )( x − 3 )( x − 5 ) ( x − 2 )( x − 3 )( x − 5 ) 3 x ( x − 3) − 2 x ( x − 2 ) = soustraction des fractions ( x − 2 )( x − 3 )( x − 5 ) =

misee au même dénominateur

=

3 x2 − 9 x − 2 x2 + 4 x ( x − 2 )( x − 3 )( x − 5 )

distributivité au numérateur

=

x2 − 5 x ( x − 2 )( x − 3 )( x − 5 )

regroupement des termes semblables

=

x ( x − 5) ( x − 2 )( x − 3 ) ( x − 5 )

factorisation au numérateur

=

x

( x − 2 )( x − 3 )

simplification du facteur commun

384

ANNEXE

EXERCICES A.10

1. Déterminez le domaine de la fraction algébrique. x−5 x 2 − 9 x + 18 a) c) 2 3 x 2 − 5 x − 12 25 − x b)

x−3 x 2 + 3 x − 18

d)

4 x 2 + 24 x + 36 4 x 2 − 36

e)

2 x3 − x2 2 x2 + 9 x − 5

f)

6 x2 + 3x − 3 8 x 3 − 16 x 2 + 6 x

2. Simplifiez les fractions algébriques du numéro 1. 3. Effectuez l’opération. x2 − 2 x + 1 4 x2 + 4 a) × 2 3 x + x x + x−2 b) c) d) e)

f)

x2

49 − x 2 2 x 2 − 13 x + 15 ÷ − 4 x − 21 2 x 2 − 15 x + 18

3 x 2 + 15 x2 + 2 x + 1 × + 16 x + 15 x2 − 1

g)

5x 5 − x2 − 9 2 x − 6

1 − x2 5 x 2 + 14 x − 3 × 5 x 2 − 26 x + 5 x2 + 2 x − 3

h)

1 2 12 + 2 + 3 x − 3 x + 3x x − 9x

x2

x2

x 2 − 25 x+5 ÷ 2 − 5 x − 14 2 x − 13 x − 7

i)

2 x2 − x x2 ÷ 4 x2 − 4 x + 1 8 x − 4

x2

x+3 2x − 1 + 2 − x−2 x + 2x − 8

6x 5 − 2 x2 + 5 x + 2 2 x2 − 3 x − 2

j)

A.11 LA RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS Une équation est une égalité entre deux expressions. Par exemple, 4 x 2 + 2 xy − 5 = 8 + x est une équation, tout comme 2 x − 6 = 1 2 ( 3 − x ). Résoudre une équation consiste à déterminer l’ensemble solution de l’équation, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de la variable (ou des variables) qui transforment l’équation en une égalité vraie. On note cet ensemble S. Une équation linéaire à une variable est une équation dans laquelle la variable est affectée de l’exposant 1. Par exemple, 2 x − 6 = 1 2 ( 3 − x ) est une équation linéaire à une variable. Pour résoudre une équation linéaire à une variable, il suffit d’effectuer les mêmes opérations de chaque côté de l’égalité en vue d’isoler la variable. On préserve donc l’égalité si on additionne la même quantité aux deux membres de l’équation ou si on soustrait la même quantité des deux membres de l’équation. L’égalité est également préservée si on multiplie les deux membres de l’équation par une même quantité, ou si on les divise par une même quantité non nulle. EXEMPLE A.30

Résolvons l’équation 5 + 2 ( 3 x − 4 ) = 12 − ( 2 x + 3). 5 + 2 ( 3 x − 4 ) = 12 − ( 2 x + 3) 5 + 6 x − 8 = 12 − 2 x − 3 6x − 3 = 9 − 2x 8x − 3 = 9

La seule solution est donc x =

3 3

2

2.

regroupement des termes semblables

addition de 2 x aux deux membres

8 x = 12 x =

distributivvité

addition de 3 aux deux membres diviision des deux membres par 8 et simplification

On a alors S =

{3 2}.

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

385

Une équation quadratique à une variable est une équation pouvant s’écrire sous la forme ax 2 + bx + c = 0, où a,  b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Pour résoudre une équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a,  b et c sont des nombres réels et a ≠ 0, on peut utiliser la formule quadratique. ■

L’équation admet deux solutions si le discriminant ( b2 − 4 ac ) est positif, c’est-à-dire si b2 − 4 ac > 0 . Ces solutions sont données par x1 =

■

MaBiblio > Multimédia > 29. Équation quadratique

goo.gl/nASDBj

b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac et x2 = 2a 2a

L’équation n’admet qu’une seule solution si le discriminant est nul, c’està-dire si b2 − 4 ac = 0 . Cette solution est donnée par x = −

■

Accédez directement à l’animation.

−b −

b 2a

L’équation n’admet aucune solution si le discriminant est négatif, c’est-à-dire si b2 − 4 ac < 0 .

La formule quadratique a l’avantage de nous indiquer le nombre de solutions et nous permet de les trouver assez facilement. EXEMPLE A.31

Résolvons l’équation 2 x 2 − 3 x − 20 = 0 . On a a = 2, b = −3 et c = −20. Comme b2 − 4 ac = ( −3)2 − 4 ( 2 )( −20 ) = 9 + 160 = 169 > 0 , admet deux solutions : x1 =

−b −

l’équation

− ( −3) − 169 b2 − 4 ac 3 − 13 −10 5 = = = = − 2a 2(2) 4 4 2

et x2 =

−b +

− ( −3) + 169 b2 − 4 ac 3 + 13 16 = = = = 4 2a 2(2) 4 4

L’ensemble solution de l’équation 2 x 2 − 3 x − 20 = 0 est donc S = {− 5 2 ,  4}. EXEMPLE A.32

Résolvons l’équation 16 x 2 − 20 x + 3 = 4 x − 6 . Commençons par déplacer tous les termes du côté gauche de l’égalité. 16 x 2 − 20 x + 3 = 4 x − 6 16 x 2 − 24 x + 3 = − 6 16 x 2 − 24 x + 9 = 0

soustraction de 4 x des deux membres addition de 6 aux deux membres

Résolvons donc l’équation 16 x 2 − 24 x + 9 = 0 . On a a = 16, b = −24 et c = 9. Comme b2 − 4 ac = ( −24 )2 − 4 (16 )( 9 ) = 576 − 576 = 0 , l’équation admet une seule solution : x = −

b ( −24 ) 24 3 = − = = 2a 2 (16 ) 32 4

L’ensemble solution de l’équation 16 x 2 − 20 x + 3 = 4 x − 6 est donc S = {3 4}.

386

ANNEXE

EXEMPLE A.33

Résolvons l’équation 4 x 2 − 7 x − 2 = 3 x 2 − 2 x − 10 . Commençons par déplacer tous les termes du côté gauche de l’égalité. 4 x 2 − 7 x − 2 = 3 x 2 − 2 x − 10 x 2 − 7 x − 2 = −2 x − 10 x 2 − 5 x − 2 = −10 x2 − 5 x + 8 = 0

soustraction n de 3 x 2 des deux membres

addition de 2 x aux deux membres

addition de 10 aux deux membres

Résolvons donc l’équation x 2 − 5 x + 8 = 0 . On a a = 1, b = −5 et c = 8. Comme b2 − 4 ac = ( −5 )2 − 4 (1)( 8 ) = 25 − 32 = −7 < 0, l’équation n’admet pas de solution. L’ensemble solution de l’équation 4 x 2 − 7 x − 2 = 3 x 2 − 2 x − 10 est donc S = ∅. Une équation à une variable contenant des fractions algébriques est une équation dans laquelle on retrouve au moins un quotient de polynômes. Par exemple, 5 x +6 = est une équation à une variable contenant des fractions algéx−5 x−5 briques. Certaines de ces équations peuvent être ramenées sous la forme d’une équation linéaire ou d’une équation quadratique à une variable. Nous pouvons alors utiliser les techniques vues précédemment pour résoudre ces équations. Il faut cependant être très prudent en manipulant des équations contenant des fractions algébriques. On doit d’abord déterminer le domaine de l’équation contenant des fractions algébriques, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles chacune des fractions algébriques est définie. On cherche ensuite une solution appartenant au domaine de l’équation. EXEMPLE A.34

Résolvons l’équation

2 3 4 = + 2 . On a x−3 x + 1 x − 2x − 3 x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1 )( x − 3 )

2 3 est définie pour x ≠ 3, est définie pour x−3 x+1 4 4 x ≠ −1 et 2 = est définie pour x ≠ −1 et x ≠ 3. Le x − 2x − 3 ( x + 1 )( x − 3 )

La fraction algébrique

domaine de l’équation est donc \{−1,  3}. 2 3 4 = + x−3 x + 1 ( x + 1 )( x − 3 ) 2 ( x + 1) 3 ( x − 3) 4 = + ( x − 3 )( x + 1 ) ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 ) 2 ( x + 1) 3 ( x − 3) + 4 = ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 )

( x + 1 )( x − 3 )   ⋅  

addition de fractions

2 ( x + 1) 3 ( x − 3) + 4 =   ⋅   ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 ) 2 x + 2 = 3x − 9 + 4 2 x + 2 = 3x − 5

mise au même dénomin nateur

multtiplication par ( x + 1 )( x − 3 )

distributivité

regroupement des termes semblables

( x − 3 )( x + 1 ) ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 ) 2 ( x + 1) 3 ( x − 3) + 4 = addition de fractions ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 ) RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES 387 2 ( x + 1) 3 ( x − 3) + 4   ⋅  ( x + 1)( x − 3) multtiplication par ( x + 1 )( x − 3 ) = ( x + 1 )( x − 3 )   ⋅   ( x + 1 )( x − 3 ) ( x + 1 )( x − 3 ) 2 x + 2 = 3x − 9 + 4 2 x + 2 = 3x − 5 − x + 2 = −5

distributivité

regroupement des termes semblables

soustraction de 3 x des deux membres

− x = −7

soustraction de 2 des deux membres

x = 7

multiplication des deux membres par –1

Comme x = 7 appartient au domaine de l’équation 2 3 4 = + 2 x−3 x + 1 x − 2x − 3

on a S = {7}.

EXEMPLE A.35

Résolvons l’équation x ≠ 0 et \{0,  1} .

12 12 12 = 7+ . La fraction algébrique est définie pour x 1− x x

12 est définie pour x ≠ 1. Le domaine de l’équation est donc 1− x 12 12 = 7+ x 1− x 7 x (1 − x ) 12 x 12 (1 − x ) = + x (1 − x ) x (1 − x ) x (1 − x ) 7 x (1 − x ) + 12 x 12 (1 − x ) = x (1 − x ) x (1 − x )

x (1 − x )   ⋅ 

mise au même dénominateur

addition de fractions

12 (1 − x ) 7 x (1 − x ) + 12 x   ⋅  x (1 − x ) = x (1 − x ) x (1 − x ) 12 − 12 x = 7 x − 7 x 2 + 12 x 12 − 12 x = 19 x − 7 x 2

7 x 2 − 12 x + 12 = 19 x 7 x 2 − 31 x + 12 = 0

multiplication par x ( 1 − x )

distributivité

regroupemeent des termes semblables

addition de 7 x 2 aux deux membres

soustraction de 19 x des deux membres

Résolvons donc l’équation 7 x 2 − 31 x + 12 = 0 . On a a = 7, b = −31 et c = 12. Comme b2 − 4 ac = ( −31)2 − 4 ( 7 )(12 ) = 625 > 0, l’équation admet deux solutions : x1 =

−b −

b2 − 4 ac − ( −31) − 625 31 − 25 6 3 = = = = 2a 2 ( 7) 14 14 7

et x2 =

− b + b2 − 4 ac − ( −31) + 625 31 + 25 56 = = = = 4 2a 2 ( 7) 14 14

Comme x1 = 3 7 et x2 = 4 appartiennent au domaine de l’équation 12 12 = 7+ , on a S = { 3 7 ,  4}. x 1− x

388

ANNEXE

EXERCICES A.11

1. Résolvez l’équation linéaire. a) 7 x + 11 = 9 x + 25

d) 6 ( 6 x + 1) = 9 ( 4 x − 3) + 11

b) 7 ( 2 t + 5 ) − 6 ( t + 8 ) = 7

e) 4 ( 3 y + 2 ) − 4 y = 5 ( 2 − 3 y ) − 7

c) 2 n + 5 ( n − 4 ) = 6 + 3 ( 2 n + 3)

f) 6 t − 2 ( t + 2 ) = 4 ( t − 1)

2. Résolvez l’équation quadratique. a) 3 x 2 − 17 x − 6 = 0

d) 4 y = 3 y2 + 5

b) −2 x 2 + 8 x + 18 = −3 x 2 + 2

e) 10 t 2 + 3 = 2 t 2 + 14 t

c) 4 x 2 = 6 x + 3

f) 4 y2 − 5 y + 32 = 7 − 25 y

3. Résolvez l’équation contenant des fractions algébriques. a)

3x + 5 3x − 3 = 2x − 3 2x − 1

d)

2x 4 3 = 2 − −4 x −4 x+2 x x+3 −3 c) 2 − = 2 x − 1 x2 − x x + x b)

x2

4 (t − 2 ) 3 −3 + = t −3 t t ( t − 3)

1 x 18 + = 2 x−3 x+3 x −9 y − 4 15 y+1 f) − = y+1 4 y−4 e)

A.12 LES FONCTIONS MaBiblio > Multimédia > 30. Définition d’une fonction Accédez directement à l’animation. goo.gl/hGxyhS

Une fonction est une règle de correspondance qui associe à une valeur x de la variable indépendante au plus une valeur y de la variable dépendante. On écrit alors y = f ( x ). Pour évaluer une fonction y = f ( x ) en une valeur de x, il suffit de remplacer x dans l’équation par une valeur (numérique ou non) afin d’obtenir la valeur de f ( x ) ou de y. EXEMPLE A.36

Soit la fonction f ( x ) = x 2 − 3. Évaluons cette fonction en x = −2, en x = x = 1 et en x + h .

1

2,

en

f ( −2 ) = ( −2 )2 − 3 = 1 f (1 2) =

( 1 2 )2

− 3 = − 11 4

f (1) = (1)2 − 3 = −2 f ( x + h) = ( x + h)2 − 3 = x 2 + 2 xh + h2 − 3

La représentation graphique permet de visualiser le comportement d’une fonction y = f ( x ), mais ne permet pas toujours de déterminer exactement la valeur de y correspondant à une valeur donnée de x. Par convention, on place la variable indépendante sur l’axe horizontal (axe des abscisses) et la variable dépendante sur l’axe vertical (axe des ordonnées). Chaque point ( x,  y ) de la courbe satisfait à l’équation y = f ( x ).

389

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

Pour déterminer si une courbe représente une fonction, il suffit de tracer des droites verticales. Si chaque droite verticale possède un seul point d’intersection avec la courbe ou ne coupe pas du tout la courbe, alors cette dernière représente une fonction (figure A.3 a). Il suffit qu’une seule droite verticale possède plus d’un point d’intersection avec la courbe (figure A.3 b) pour que cette dernière ne représente pas une fonction (puisqu’on a alors, pour une même valeur de x, plus d’une valeur de y). FIGURE A.3

Représentations graphiques b)

|

|

1

2

3

4

5

6

x

|

|

–10 –8

|

|

–6

–4

| |

2 |

–2 0 –2

|

|

|

|

2

4

6

8

|

10 x

|

|

|

|

0

|

–2

–4 –6

C’est une fonction.

|

–1

|

–1

|

–8

|

–2

|

4

|

|

|

|

6

|

1

8 |

2

y

10

|

3

|

y

–10

|

a)

Ce n’est pas une fonction.

Le domaine d’une fonction f ( x ) est l’ensemble des valeurs réelles de x pour lesquelles f ( x ) est définie. On note cet ensemble Dom f . Les valeurs de x pour lesquelles la fonction n’existe pas sont exclues du domaine de la fonction. Par exemple, si une valeur de x entraîne une division par 0 ou une valeur négative sous un radical nième où n est pair, alors on exclura cette valeur de x du domaine de la fonction. EXEMPLE A.37

Déterminons le domaine de la fonction f ( x ) =

x+1 . x−2

Pour que la fonction f ( x ) soit définie, il faut que le dénominateur soit différent de 0, c’est-à-dire qu’il faut que x − 2 ≠ 0 et donc que x ≠ 2. Par conséquent, Dom f =    \ {2}.

EXEMPLE A.38

Déterminons le domaine de la fonction g ( x ) =

x + 4 − 3.

Pour que la fonction g ( x ) soit définie, il faut que la quantité sous le radical soit supérieure ou égale à 0, c’est-à-dire qu’il faut que x + 4 ≥ 0 et donc que x ≥ −4. Par conséquent, Dom g = [− 4,  ∞[ .

390

ANNEXE

L’image d’une fonction f ( x ), notée Ima f , est l’ensemble de toutes les valeurs réelles de y pour lesquelles il existe une valeur x ∈ Dom f telle que y = f ( x ). Il est souvent difficile de déterminer l’image d’une fonction de manière algébrique. Nous nous contenterons donc de la déterminer graphiquement. Lorsque la représentation graphique d’une fonction f ( x ) est donnée, le domaine de la fonction est l’ensemble des abscisses (premières coordonnées) des points de la courbe, et l’image de la fonction est l’ensemble des ordonnées (deuxièmes coordonnées) des points de la courbe. EXEMPLE A.39 FIGURE A.4

Déterminons le domaine et l’image de la fonction f ( x ) représentée à la figure A.4.

Représentation graphique de la fonction f ( x )

Notons que la fonction f ( x ) n’est pas définie en x = −1 (cercle vide), mais qu’elle est définie pour tout x ∈ ]−1,  3]. Par conséquent, Dom f = ]−1,  3]. De plus, on constate que la courbe ne descend pas plus bas que y = −1 et qu’elle ne monte pas plus haut que f ( 2 ) = 7 2 . Cependant, comme il y a un cercle vide en y = −1, cette valeur ne fait pas partie de l’image de la fonction. Par conséquent, Ima f = ]−1,  7 2 ].

Un zéro (ou abscisse à l’origine) d’une fonction f ( x ) est une valeur x ∈ Dom f pour laquelle f ( x ) = 0. Graphiquement, un zéro d’une fonction est l’abscisse d’un point d’intersection de la courbe décrite par la fonction f ( x ) avec l’axe horizontal. Une fonction peut admettre plus d’un zéro. EXEMPLE A.40

Trouvons l’ordonnée à l’origine et les zéros (s’il y a lieu) de la fonction f ( x ) représentée à la figure A.5. FIGURE A.5

Représentation graphique de la fonction f ( x ) 20 15

|

|

–2

–1

|

y

f ( x)

|

4

L’ordonnée à l’origine d’une fonction f ( x ) est la valeur de la fonction lorsque x = 0, c’est-à-dire f ( 0 ). Graphiquement, l’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe décrite par la fonction f ( x ) avec l’axe vertical. Une fonction ne peut admettre qu’une seule ordonnée à l’origine.

10

|

2

x

5

|

|

0 –5

|

|

|

|

1

2

3

4

x

|

–2

|

–10

|

|

0

f ( x)

–15

|

|

2

( 2,  7 2 )

–20

|

–2

( −1,  −1 )

4

|

|

|

y

6

Le point d’intersection de la courbe décrite par la fonction f ( x ) avec l’axe des ordonnées semble être ( 0,  3). L’ordonnée à l’origine de la fonction f ( x ) vaut alors 3. Cependant, pour obtenir l’ordonnée à l’origine avec plus d’exactitude, il faudrait connaître la règle de correspondance de la fonction f ( x ).

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

391

Les points d’intersection de la courbe décrite par la fonction f ( x ) avec l’axe des abscisses sont ( −1,  0 ), (1,  0 ) et ( 3,  0 ). Les zéros de la fonction f ( x ) sont donc x = −1, x = 1 et x = 3.

EXERCICES A.12

1. Déterminez si la courbe représente une fonction. Justifiez votre réponse. a)

c)

y

y

x

x

y

b)

d)

y

x x

2. Évaluez la fonction en x = −2, en x = a) f ( x ) = 6 x + 2 b) f ( x ) = 2 x 2 − 8

1

2,

en x = 3 et en x + h . 3 c) f ( x ) = 2x + 1 d) f ( x ) =

3x + 7 − 5

d) g ( t ) =

3t + 7 − 5

3. Déterminez le domaine de la fonction. a) f ( x ) = 2 x 2 − 8 b) h ( x ) =

3 2x + 1

e) h ( t ) =

c) f ( t ) =

t −1 2t 2 − 4t

f) g ( x ) =

3

4t 2 − 1 x−1 x−4

4. Déterminez le domaine, l’image, les zéros et l’ordonnée à l’origine de la fonction. y a) 2

( 1 2 ,  3 2 ) 1

( 1,  1 )

f (x )

( −2 ,  − 1 10 ) –2,5

–2

–1,5

–1

–0,5

0

( −1,  − 1 3 ) –1

0,5

1

1,5 x

392

ANNEXE

y

b)

12

g (x)

10 8 6 4 2 –2

–1

( 8 3 ,  0 )

0 –2

1

2

3

4

x

( 2 ,  − 8 3 )

–4

A.13 LA COMPOSITION DE FONCTIONS La composition de fonctions est l’application successive de deux fonctions. Si f et g sont deux fonctions, la fonction composée de f et de g est la fonction h ( x ) = f ( g ( x )). On note aussi cette fonction f  g , qui se dit « f rond g ». On a alors h ( x ) = ( f  g )( x ) = f ( g ( x )) . L’exemple suivant permet de constater qu’en général, ( f  g )( x ) ≠ ( g  f )( x ). EXEMPLE A.41

Soit les fonctions f ( x ) = x et g ( x ) = 6 − 4 x . Définissons ( g  f )( x ) sur leur domaine respectif. On a

(f

 g )( x ) = f ( g ( x ))

 g )( x ) et

par définition

= f (6 − 4 x) =

(f

car g ( x ) = 6 − 4 x car f ( 6 − 4 x ) =

6 − 4x

6 − 4x

Pour que cette fonction soit définie, il faut que la quantité sous le radical ne soit pas négative. Or, 6 − 4 x ≥ 0    ⇔    4 x ≤ 6    ⇔    x ≤ Par conséquent, Dom f  g =

]

−∞,  3

3

].

2

2

Déterminons la règle de correspondance de la fonction ( g  f ) ( x ). On a

( g  f )( x ) = g ( f ( x )) = g( x)

par définition car f ( x ) =

= 6−4 x

car g

( x)

x = 6 − 4

( x)

Pour que cette fonction soit définie, il faut que la quantité sous le radical ne soit pas négative, c’est-à-dire qu’il faut que x ≥ 0. Par conséquent, Dom g  f = [ 0,  ∞[ . EXERCICE A.13

Déterminez f  g et g  f ainsi que leur domaine respectif. a) f ( x ) = − x et g ( x ) = 2 x − 4

d) f ( x ) =

x et g ( x ) = 2 x + 3

b) f ( x ) = 3 x + 1 et g ( x ) = x 2 + 3

e) f ( x ) =

x + 3 et g ( x ) = 3 x − 2

c) f ( x ) = x 2 − 1 et g ( x ) = 2 x 2 + 3

f) f ( x ) =

x − 2 et g ( x ) = 1 − 2 x

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

393

A.14 LA FONCTION LINÉAIRE* Une fonction linéaire est une fonction de la forme f ( x ) = mx + b , où m et b sont des nombres réels. On écrit aussi y = mx + b. La droite est le lieu géométrique décrit par une fonction linéaire. On appelle m la pente (ou taux de variation) de la droite et b son ordonnée à l’origine [en effet, f ( 0 ) = m ( 0 ) + b = b ]. Voici les différentes représentations graphiques (figure A.6) de f ( x ) pour b > 0. FIGURE A.6

MaBiblio > Multimédia > 31. Effets des paramètres dans une fonction

Représentations graphiques de la fonction f ( x ) = mx + b pour b > 0 y

y

y

f ( x ) = mx + b f ( x) = b

f ( x ) = mx + b

Accédez directement à l’animation. goo.gl/nRGMeZ

x

m > 0

x

x

m = 0

m 0, la fonction f ( x ) = mx + b est croissante ; que si m < 0, la fonction f ( x ) = mx + b est décroissante ; et que si m = 0, la fonction f ( x ) = mx + b = b est constante. De plus, si m ≠ 0, la fonction f ( x ) = mx + b n’admet qu’un seul zéro qu’on obtient en résolvant l’équation linéaire mx + b = 0. Par ailleurs, si m = 0 et b ≠ 0, la fonction f ( x ) = mx + b = b n’admet aucun zéro. Enfin, si m = 0 et b = 0, la fonction f ( x ) = mx + b = 0 de sorte que toutes les valeurs réelles de x sont des zéros de f ( x ). EXEMPLE A.42

Trouvons l’ordonnée à l’origine et le zéro de la fonction f ( x ) = −2 x + 5. Traçons la droite décrite par f ( x ) et déterminons Dom f et Ima f . Comme f ( 0 ) = −2 ( 0 ) + 5 = 5, l’ordonnée à l’origine de la fonction f ( x ) = −2 x + 5 est donc 5. La droite décrite par la fonction f ( x ) passe par le point ( 0,  5 ). Pour obtenir le zéro de la fonction f ( x ) = −2 x + 5, on détermine la valeur de x pour laquelle f ( x ) = 0 : f ( x ) = 0    ⇔    −2 x + 5 = 0    ⇔    −2 x = −5    ⇔    x =

5

2

* Dans plusieurs ouvrages rédigés en langue française, on définit une fonction de la forme f ( x ) = mx + b, où m et b sont des nombres réels, comme une fonction affine (peu importe la valeur de b) et comme une fonction linéaire (lorsque b = 0). Dans les volumes de langue anglaise, on ne fait pas cette distinction : les fonctions de la forme f ( x ) = mx + b sont appelées linear functions, et ce, peu importe la valeur de b. Comme toutes les fonctions de la forme f ( x ) = mx + b, où m et b sont des nombres réels, sont représentées par des droites, les auteurs ont choisi de les appeler fonctions linéaires (linéaire étant employé au sens mathématique défini dans Le Petit Robert : « Qui peut être représenté dans l'espace euclidien par une droite »).

ANNEXE

Le zéro de la fonction f ( x ) = −2 x + 5 est x = 5 2 . La droite décrite par la fonction f ( x ) passe par le point ( 5 2 ,  0 ), comme l’illustre la figure A.7. FIGURE A.7

Droite décrite par la fonction f ( x ) = −2 x + 5

|

| | | |

|

|

( 0, 5 )

(5 2 , 0 )

|

8 7 6 5 4 3 2 1

f ( x ) = −2 x + 5

|

y

0 –1 –2

|

–1

|

|

|

1

2

3

x

|

394

On a Dom f =    et Ima f =   . Pour déterminer l’équation d’une droite ( y = mx + b), on a besoin soit de deux points de cette droite, soit de la pente et d’un point de la droite. La pente (ou taux de variation) d’une droite se détermine à l’aide de deux de ses points (figure A.8). Soit ( x1 ,  y1 ) et ( x2 ,  y2 ) , deux points d’une droite tels que x1 ≠ x2 . On définit la pente de la droite par le rapport suivant : m =

variation de y ∆y y − y1 = = 2 variation de x ∆x x2 − x1

FIGURE A.8

Pente (ou taux de variation) d’une droite y

( x2 , y2 )

∆y = y2 − y1

( x1 , y1 )

∆ x = x2 − x1 x

Pour déterminer la valeur de l’ordonnée à l’origine b lorsqu’on connaît la pente (ou taux de variation) de la droite, on remplace les coordonnées d’un point de la droite dans l’équation y = mx + b et on isole b. On remplace ensuite b par la valeur ainsi obtenue dans l’équation de la droite. EXEMPLE A.43

Trouvons l’équation de la droite passant par les points (1,  8 ) et ( 3,  2 ). Déterminons d’abord la pente (ou taux de variation) de la droite : m =

y2 − y1 2−8 −6 = = = −3 x2 − x1 3−1 2

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

395

Puisque la pente de la droite est -3, alors y = −3 x + b . En remplaçant x et y par les coordonnées du point (1,  8 ) dans cette équation, on obtient : 8 = −3 (1) + b    ⇒    b = 11 Par conséquent, l’équation de la droite est y = −3 x + 11.

EXERCICES A.14

1. Représentez graphiquement la fonction et déterminez-en le domaine, l’image, l’ordonnée à l’origine et les zéros (s’il y a lieu). a) f ( x ) = 5 x − 1

d) f ( x ) = 4

b) f ( x ) = −3 − 2 x

e) f ( x ) = − 1 2

c) f ( x ) =

f) f ( x ) = 0

3

4x

+2

2. Déterminez l’équation de la droite passant par les points donnés. a) (1, −2 ) et ( 3,  4 )

d) ( −12,  −2 ) et ( 8,  6 )

b) ( −2,  1) et (1, −11)

e)

c)

( −3,  −1) et ( 7, −1) f) ( 4,  0 ) et ( 7,  0 )

(10,  9 ) et (14,  12 )

A.15 LA FONCTION QUADRATIQUE Une fonction quadratique est une fonction de la forme f ( x ) = ax 2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et où a ≠ 0. On écrit aussi y = ax 2 + bx + c .

MaBiblio > Multimédia > 31. Effets des paramètres dans une fonction

La parabole est le lieu géométrique décrit par une fonction quadratique. La figure A.9 présente l’allure générale de la parabole décrite par la fonction quadratique f ( x ) = ax 2 + bx + c en fonction du signe de a. FIGURE A.9

Accédez directement à l’animation. goo.gl/nRGMeZ

Allure de la parabole décrite par la fonction f ( x ) = ax 2 + bx + c Si a > 0 Axe de symétrie

Sommet  ( h,  k ) Parabole ouverte vers le haut

Si a < 0 Sommet  ( h,  k )

Axe de symétrie Parabole ouverte vers le bas

Si a > 0, la parabole décrite par la fonction f ( x ) = ax 2 + bx + c est ouverte vers le haut et possède un axe de symétrie qui est une droite verticale passant par son point le plus bas ; on dit qu’elle est concave vers le haut. On a alors Dom f =    et Ima f = [ k ,  ∞[. Si a < 0, la parabole décrite par la fonction f ( x ) = ax 2 + bx + c est ouverte vers le bas et possède un axe de symétrie qui est une droite verticale passant par son point le plus haut ; on dit qu’elle est concave vers le bas. On a alors Dom f =    et Ima f = ]−∞,  k ].

396

ANNEXE

Le sommet de la parabole décrite par la fonction f ( x ) = ax 2 + bx + c est le point d’intersection ( h,  k ) de la parabole avec son axe de symétrie. L’abscisse du sommet est donnée par b h = − 2a Pour déterminer l’ordonnée du sommet d’une parabole, il suffit d’évaluer k = f ( h). L’ordonnée à l’origine d’une fonction quadratique f ( x ) = ax 2 + bx + c (où a, b et c sont des nombres réels et où a ≠ 0) est f ( 0 ) = c et les zéros de la fonction sont obtenus à l’aide de la formule quadratique : ■

La fonction f ( x ) admet deux zéros si le discriminant est positif, c’est-à-dire si b2 − 4 ac > 0 . Ces zéros sont donnés par −b −

x1 = ■

b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac et x2 = 2a 2a

La fonction f ( x ) n’admet qu’un seul zéro si le discriminant est nul, c’està-dire si b2 − 4 ac = 0 . Ce zéro est donné par x = −

■

b 2a

La fonction f ( x ) n’admet aucun zéro si le discriminant est négatif, c’està-dire si b2 − 4 ac < 0 .

Le tableau A.5 regroupe les différents cas qui peuvent se présenter. TABLE AU A .5

Allure de la parabole décrite par la fonction f ( x ) = ax 2 + bx + c Si a > 0 et b2 – 4ac > 0 (2 zéros)

Si a > 0 et b2 – 4ac = 0 (1 zéro)

Si a > 0 et b2 – 4ac < 0 (aucun zéro)

x x Si a < 0 et b2 – 4ac > 0 (2 zéros)

Si a < 0 et b2 – 4ac = 0 (1 zéro)

x Si a < 0 et b2 – 4ac < 0 (aucun zéro)

x

x

x

EXEMPLE A.44

Traçons la parabole décrite par la fonction quadratique f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 10 , et déterminons Dom f et Ima f . ■

Comme a = 2 > 0, la parabole est ouverte vers le haut.

397

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

■

L’abscisse du sommet de la parabole est h = −

b 12 = − = −3. On obtient 2a 2(2)

l’ordonnée du sommet en évaluant f ( −3) = 2 ( −3)2 + 12 ( −3) + 10 = − 8. Par conséquent, le sommet de la parabole est ( −3,  −8 ). ■

Comme b2 − 4 ac = 12 2 − 4 ( 2 )(10 ) = 144 − 80 = 64 > 0 , la fonction admet deux zéros : x1 =

−b −

−12 − 64 b2 − 4 ac −20 = = = −5 2a 2(2) 4

−b +

b2 − 4 ac −12 + 64 −4 = = = −1 2a 2(2) 4

et x2 =

La parabole coupe donc l’axe des abscisses aux points ( −5,  0 ) et ( −1,  0 ). ■

Comme f ( 0 ) = 2 ( 0 )2 + 12 ( 0 ) + 10 = 10 , l’ordonnée à l’origine est 10. La parabole coupe donc l’axe vertical au point ( 0,  10 ).

La représentation graphique de la fonction f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 10 est donnée à la figure A.10. On constate que Dom f =    et Ima f = [ −8,  ∞[ . FIGURE A.10

Parabole décrite par la fonction f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 10 y

f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 10

12

(− 6 ,  10 )

10

( 0 ,  10 )

8 6 4

( −1,  0 )

( −5,  0 ) –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

2 0 –2

1

x

–4

( −2 , − 6 ) –6

(− 4 , − 6 ) ( −3, − 8 )

–8 –10

EXERCICE A.15

Déterminez l’ouverture de la parabole, le sommet, les zéros (s’il y a lieu) et l’ordonnée à l’origine, puis tracez la parabole décrite par la fonction quadratique. Déterminez également Dom f et Ima f . a) f ( x ) = −3 x 2 + 6 x + 9

e) f ( x ) = 9 x 2 + 24 x + 16

b) f ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 3

f) f ( x ) = −5 x 2 + 10 x − 6

c) f ( x ) = −2 x 2 + 8 x − 8

g) f ( x ) = 2 x 2 + 6 x + 3

d) f ( x ) = 4 x 2 − 15 x + 9

h) f ( x ) = − 3 4 x 2 +

21

8x

−

15

8

398

ANNEXE

A.16 LA FONCTION VALEUR ABSOLUE La fonction valeur absolue est la fonction qui donne la distance entre un nombre réel x et l’origine. Elle est donnée par

MaBiblio > Multimédia > 31. Effets des paramètres dans une fonction Accédez directement à l’animation.

− x si x < 0 f ( x) = x =   x si x ≥ 0 Pour représenter graphiquement la fonction f ( x ) = x , on trace la droite y = x pour x ≥ 0 et on trace la droite y = − x pour x < 0. En joignant ces deux parties, on obtient la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x représentée à la figure A.11.

goo.gl/nRGMeZ

FIGURE A.11

Représentation graphique de la fonction f ( x ) = x y y = −x

y = x

3 2

f ( x) = x

1

–3

–2

–1

0

1

2

3

x

–1

En observant la figure A.11, on constate que Dom f =    et Ima f = [ 0,  ∞[. De plus, l’ordonnée à l’origine est f ( 0 ) = 0 = 0 et le zéro de la fonction f ( x ) = x est x = 0. Pour résoudre une équation contenant une valeur absolue, on utilise le résultat suivant : ■

Si c ≥ 0, alors g ( x ) = c si g ( x ) = c ou si g ( x ) = − c .

■

Si c < 0, alors l’équation g ( x ) = c n’admet aucune solution.

EXEMPLE A.45

Résolvons l’équation 3 2 x + 4 − 5 = 1. Commençons par isoler 2 x + 4 . 3 2 x + 4 − 5 = 1    ⇔    3 2 x + 4 = 6    ⇔    2 x + 4 = 2 On a 2 x + 4 = 2 si 2 x + 4 = 2 ou si 2 x + 4 = −2 . Résolvons donc ces deux équations linéaires : 2x + 4 = 2 2 x = −2  ou  x = −1

2 x + 4 = −2 2 x = −6 x = −3

Par conséquent, l’ensemble solution de l’équation 3 2 x + 4 − 5 = 1 est S = {−3,  −1}.

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

399

EXEMPLE A.46

Résolvons l’équation 1 2 4 x − 5 + 3 = 0 . Commençons par isoler 4 x − 5 . 1

2

4 x − 5 + 3 = 0    ⇔    1 2 4 x − 5 = −3    ⇔    4 x − 5 = − 6

La dernière égalité est fausse, car 4 x − 5 ≥ 0 pour tout x ∈ . Par conséquent, l’équation 1 2 4 x − 5 + 3 = 0 n’admet aucune solution, de sorte que S = ∅.

EXERCICE A.16

Résolvez l’équation. a) 4 − x = 6

c) −2 x + 4 = 5

e) 2 3 − x + 1 = 1

b) 2 x − 1 = 3

d) − 1 2 5 − 2 x = − 4

f) 3 3 x + 4 − 5 = 10

A.17 LA FONCTION RACINE CARRÉE MaBiblio > Multimédia > 31. Effets des paramètres dans une fonction

La fonction racine carrée est la fonction qui associe à chaque nombre réel x ≥ 0 sa racine carrée. Elle est notée f ( x ) = x . La figure A.12 représente la courbe décrite par f ( x ). FIGURE A.12

Représentation graphique de la fonction f ( x ) =

x

y

Accédez directement à l’animation.

4

goo.gl/nRGMeZ

f ( x) =

3

x

2 1

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

–1

Le domaine de la fonction f ( x ) = x est Dom f = [ 0,  ∞[ puisque la racine carrée d’un nombre n’est définie que pour x ≥ 0. De plus, on voit bien que Ima f = [ 0,  ∞[. L’ordonnée à l’origine de la fonction est f ( 0 ) = 0 = 0 et le zéro de la fonction est x = 0. La méthode pour résoudre une équation contenant une ou des racine(s) carrée(s) consiste à isoler une racine carrée d’un côté de l’équation et à élever ensuite les deux membres de l’équation au carré. S’il reste des racines carrées, on recommence le processus. Il faut être très prudent lorsqu’on résout des équations contenant une ou des racine(s) carrée(s). On peut parfois trouver des valeurs qui ne sont pas réellement des solutions de l’équation, d’où l’importance de vérifier chacune des solutions potentielles obtenues.

400

ANNEXE

EXEMPLE A.47

Résolvons x + 5 + 5 = 2 x. Pour que la racine carrée soit définie, il faut que x + 5 ≥ 0, c’est-à-dire x ≥ −5. On cherche donc une solution de l’équation appartenant à l’intervalle [ −5,  ∞[ . On a x + 5 = 2x − 5

(

x + 5 ) = ( 2 x − 5 )2 2

x + 5 = 4 x 2 − 20 x + 25 0 = 4 x 2 − 21 x + 20 Puisque b2 − 4 ac = ( −21)2 − 4 ( 4 )( 20 ) = 121 > 0 , l’équation 4 x 2 − 21 x + 20 = 0 admet deux solutions : x1 =

−b −

b2 − 4 ac − ( −21) − 121 10 5 = = = 2a 2(4) 8 4

−b +

− ( −21) + 121 b2 − 4 ac 32 = = = 4 2a 2(4) 8

et x2 = Si x =

5

4,

on a

x+5 +5 =

5

4

+

20

et

4

+5 =

25

4

+5 =

2 x = 2 (5 4) =

5

5

2

+5 =

5

2

+

10

2

=

15

2

2

On a alors x + 5 + 5 ≠ 2 x pour x = 5 4 , ce qui nous permet de conclure que x = 5 4 n’est pas une solution de l’équation. Par ailleurs, si x = 4, on a x+5 +5 =

4 + 5 + 5 = 3 + 5 = 8 = 2(4) = 2 x

Par conséquent, l’équation x + 5 + 5 = 2 x n’admet qu’une seule solution, soit x = 4, et alors S = {4}.

Une équation contenant une ou des racine(s) carrée(s) n’admet pas toujours de solution, comme l’illustre l’exemple suivant. EXEMPLE A.48

Résolvons 4 + 2 x − 3 = 2 . Pour que la racine carrée soit définie, il faut que 2 x − 3 ≥ 0 , c’est-à-dire 2 x ≥ 3 ou x ≥ 3 2 . On cherche donc une solution de l’équation appartenant à l’intervalle [ 3 2 , ∞[ . On a 4+

2 x − 3 = 2    ⇔    2 x − 3 = −2

La dernière égalité est toujours fausse, car pour tout x ∈ [ 3 2 ,  ∞[ , on a 2 x − 3 ≥ 0 (la racine carrée d’un nombre ne peut pas être négative). L’équation 4 + 2 x − 3 = 2 n’admet donc aucune solution dans l’ensemble des nombres réels, et alors S = ∅.

401

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

EXERCICE A.17

Résolvez l’équation. a) 2 x + 2 − 4 = 6

c) 2 x + x = 3

e) 3 x −

b) 5 −

d) x = 2 − x − 1

f)

6x = 2

2 − 3x = 0

3 x + 31 − 2 = 2 x − 3

A.18 LA FONCTION EXPONENTIELLE

ET LA FONCTION LOGARITHMIQUE

MaBiblio > Multimédia > 31. Effets des paramètres dans une fonction

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme f ( x ) = b x , où b > 0 et b ≠ 1. On appelle b la base de la fonction exponentielle. La représentation graphique de la fonction f ( x ) dépend de la valeur de la base b (figure A.13). FIGURE A.13

Représentation graphique de la fonction f ( x ) = b x y

y

Accédez directement à l’animation.

f ( x ) = bx

goo.gl/nRGMeZ

( 0 ,  1 )

f ( x ) = bx

y = 0

( 0 ,  1 )

y = 0

x

x Si b > 1

Si 0 < b < 1

La fonction f ( x ) = b x (où b > 0 et b ≠ 1) a pour domaine Dom f =   , pour image Ima f = ]0,  ∞[, pour ordonnée à l’origine f ( 0 ) = b0 = 1 , et elle ne possède aucun zéro. La fonction exponentielle f ( x ) = e x , dont la base est la constante de Neper (e ≈ 2,718 28…), apparaît dans de nombreuses applications. Sur la plupart des calculatrices scientifiques, la touche e x permet d’évaluer la fonction exponentielle de base e en une valeur donnée de x, tandis que la touche y x permet d’évaluer la fonction exponentielle de base y (au lieu de b) en une valeur donnée de x. Une fonction logarithmique est une fonction de la forme y = f ( x ) = logb x , où b > 0 et b ≠ 1. On appelle b la base de la fonction logarithmique et x l’argument du logarithme. On peut lire cette équation de la façon suivante : « y est l’exposant qu’on attribue à b pour obtenir x ». La représentation graphique de f ( x ) = logb x dépend de la valeur de la base b, comme l’illustre la figure A.14. FIGURE A.14

Représentation graphique de la fonction f ( x ) = logb x y x = 0

y f ( x ) = logb x

( 1,  0 ) x

( 1,  0 )

x x = 0

Si b > 1

f ( x ) = logb x Si 0 < b < 1

402

ANNEXE

FIGURE A.15

La fonction y = f ( x ) = logb x (où b > 0 et b ≠ 1) a pour domaine Dom f = ]0,  ∞[ et pour image Ima f =   . Elle admet un zéro en x = 1 et ne possède pas d’ordonnée à l’origine.

Réciprocité des fonctions exponentielles et logarithmiques

Il existe une relation très étroite entre les fonctions logarithmiques et les fonctions exponentielles. En effet,

y

y = logb x    ⇔    y est l’exposant qu’on attribue à b pour obtenir x

g ( x ) = bx

⇔    b y = x

y = x

( 0 ,  1 )

f ( x ) = log b x

( 1,  0 )

x

MaBiblio > Multimédia > 32. Réciproque d’une fonction Accédez directement à l’animation. goo.gl/hwGXcu

TABLE AU A .6

Les fonctions f ( x ) = logb x et g ( x ) = b x sont donc des fonctions réciproques. On obtient la courbe décrite par la fonction f ( x ) en intervertissant les coordonnées des points de la courbe décrivant la fonction g ( x ). Les courbes décrites par ces deux fonctions sont donc symétriques par rapport à la droite y = x , comme l’illustre la figure A.15. Les bases e et 10 sont celles qui sont les plus couramment utilisées dans les fonctions logarithmiques. Par conséquent, on utilise une notation particulière pour ces fonctions. Ainsi, la fonction logarithmique de base e s’écrit f ( x ) = ln x [plutôt que f ( x ) = loge x ], et on parle alors de logarithme naturel ou de logarithme népérien. La fonction logarithmique de base 10 s’écrit f ( x ) = log x [plutôt que f ( x ) = log10 x ], et on parle alors de logarithme de Briggs ou de logarithme décimal. Le tableau A.6 présente les propriétés des logarithmes qui sont très utiles pour résoudre les équations exponentielles ou les équations logarithmiques. Pour résoudre une équation exponentielle, il suffit d’appliquer un logarithme de chaque côté de l’égalité et d’utiliser la propriété 5. EXEMPLE A.49

Résolvons l’équation exponentielle 2 x = 21 : 2 x = 21

Propriétés des logarithmes

ln 2 x = ln 21

Si M > 0, N > 0, q ∈ , b > 0 et b ≠ 1, alors

x ( ln 2 ) = ln 21

1. logb 1 = 0

5. logb M q = q logb M

propriété 5 : log b M q = q log b M

ln 21 ln 2 x ≈ 4, 392

x =

2. logb b = 1 3. logb ( MN ) = logb M + logb N M = logb M − logb N 4. logb N

application d’un logarithme à chaque membre

division des deux membress par ln 2

La solution de l’équation est donc x =

ln 21 ≈ 4, 392. ln 2

6. logb bq = q et ln eq = q 7. blogb N = N et e ln N = N log a N 8. logb N = , où a > 0 et a ≠ 1 log a b

EXEMPLE A.50

Résolvons l’équation exponentielle 72 x + 1 = 3x − 2 : 72 x + 1 = 3 x − 2 ln 72 x + 1 = ln 3x − 2

application d’un loggarithme à chaque membre

( 2 x + 1) ln 7 = ( x − 2 ) ln 3 2 x ln 7 + ln 7 = x ln 3 − 2 ln 3 2 x ln 7 + ln 7 − x ln 3 = −2 ln 3

propriété 5 : log b M q = q log b M distributivité

soustraction de (x ln 3) des deux membres

2 x ln 7 − x ln 3 = −2 ln 3 − ln 7

soustraction de ln 7 des deux membres

x ( 2 ln 7 − ln 3) = −2 ln 3 − ln 7

mise en évidence de x

ln 72 x + 1 = ln 3x − 2

application d’un loggarithme à chaque membre

( 2 x + 1) ln 7 = ( x − 2 ) ln 3 2 x ln 7 + ln 7 = x ln 3 −

propriété 5 : log b M q = q log b M RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES 2 ln 3 distributivité

2 x ln 7 + ln 7 − x ln 3 = −2 ln 3

403

soustraction de (x ln 3) des deux membres

2 x ln 7 − x ln 3 = −2 ln 3 − ln 7

soustraction de ln 7 des deux membres

x ( 2 ln 7 − ln 3) = −2 ln 3 − ln 7

mise en évidence de x

−2 ln 3 − ln 7 2 ln 7 − ln 3 x ≈ −1, 483

x =

division des deux membres par (2 ln 7 − ln 3)

La solution de l’équation est donc x =

−2 ln 3 − ln 7 ≈ −1, 483 . 2 ln 7 − ln 3

Pour résoudre une équation logarithmique, il faut utiliser les propriétés et la définition d’un logarithme : y = logb x    ⇔    b y = x EXEMPLE A.51

Résolvons l’équation logarithmique log 6 ( 2 x − 5 ) = 2 . Pour que l’expression log 6 ( 2 x − 5 ) soit définie, il faut que 2 x − 5 > 0 , c’est-à-dire que x > 5 2 . On cherche donc les solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]5 2 , ∞[ : log 6 ( 2 x − 5 ) = 2 2 x − 5 = 62

définition d’un logarithm me : y = log b x ⇔ b y = x

2 x = 41 x =

41

2

La solution de l’équation est donc x =

41

2

qui appartient à l’intervalle ]5 2 , ∞[ .

EXEMPLE A.52

Résolvons l’équation logarithmique log 3 ( 2 x + 1) − 2 log 3 ( x − 3) = 2 . Pour que l’expression log 3 ( 2 x + 1) soit définie, il faut que 2 x + 1 > 0 , c’està-dire que x > − 1 2 . De plus, pour que l’expression log 3 ( x − 3) soit définie, il faut que x − 3 > 0, c’est-à-dire que x > 3. On cherche donc les solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]3, ∞[ . log 3 ( 2 x + 1) − 2 log 3 ( x − 3) = 2 log 3 ( 2 x + 1) − log 3 ( x − 3)2 = 2  2x + 1  log 3  2  = 2  ( x − 3)  2x + 1 = 32 ( x − 3)2

propriété 5 : log b M q = q log b M propriété 4 : log b

( )= M N

log b M − log b N

définition d’un logarithme : log b x = y ⇔ b y = x

2 x + 1 = 9 ( x − 3)2 2 x + 1 = 9 ( x2 − 6 x + 9 ) 2 x + 1 = 9 x 2 − 54 x + 81 0 = 9 x 2 − 56 x + 80

404

ANNEXE

Puisque b2 − 4 ac = ( −56 )2 − 4 ( 9 )( 80 ) = 256 > 0, l’équation 9 x 2 − 56 x + 80 = 0 admet deux solutions : x =

−b −

b2 − 4 ac − ( −56 ) − 256 56 − 16 40 200 = = = = 2a 2(9) 18 18 9

et x =

−b +

b2 − 4 ac − ( −56 ) + 256 56 + 16 72 = = = = 4 2a 2(9) 18 18

Puisque 20 9 ∉ ]3,  ∞[ , l’équation log 3 ( 2 x + 1) − 2 log 3 ( x − 3) = 2 n’admet qu’une seule solution, soit x = 4.

EXERCICES A.18

1. Résolvez l’équation exponentielle.

(

2

−2x

) + 1 = 25

a) 32 x = 15

d) 3 4 2 x

b) 4 (10 2 − 3 x ) = 0, 01

e) 5 x − 3 = 32 x + 3

c) 40 − 40 e −0 , 2 t = 30

f) 4 2 x + 1 = 6 x

2. Résolvez l’équation logarithmique. a) log 4 ( 3 x − 2 ) = 3 b) log 1 2 ( 4 − 5 x ) = − 4 c) log ( 2 x + 3) − log ( 4 − x ) = 1 d) log 2 ( 3 x − 1) + log 2 ( 2 − x ) = 1 e) log 3 ( 9 − x 2 ) − log 3 ( x + 1) = 2 f) log 25 ( 2 x + 5 ) + log 25 ( 3 − x ) =

1

2

A.19 LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES L’angle θ est la figure formée par deux segments de droite OA et OB issus d’un point fixe O appelé sommet (figure A.16).

FIGURE A.16

Angle

Mesurer un angle, c’est quantifier la rotation que le segment OA doit effectuer pour rejoindre le segment OB. La mesure de l’angle θ est positive si la rotation s’effectue dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et négative si elle s’effectue plutôt dans le sens des aiguilles d’une montre (figure A.17).

B

O

θ

A

FIGURE A.17

Mesure d’angle B

O

θ

O

A

Mesure d’angle positive

A

θ

B Mesure d’angle négative

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

405

Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre entre deux rayons consécutifs mesure un degré (1º). La figure A.18 présente deux angles particuliers mesurés en degrés.

FIGURE A.18

Angles particuliers

La mesure de l’angle au centre compris entre deux rayons (figure A.19 a) qui interceptent sur le cercle un arc de longueur L égale au rayon r du cercle est un radian (1 rad). Un angle au centre interceptant un arc de longueur L = 2 r mesure donc 2 rad (figure A.19 a). De façon générale, un angle au centre interceptant un L  L arc de longueur L =   r mesure θ = rad (figure A.19 b). r r

60° –90°

FIGURE A.19

Lien entre un angle en radians et la longueur d’un arc de cercle a)

b)

L

L=r

r

θ

1 rad r

θ =

L rad r

–2 rad

L = 2r

Lorsqu’on exprime un angle en radians, on omet souvent les unités (rad), alors que le symbole des degrés (°), lui, n’est jamais omis. L’angle au centre correspondant à un tour complet du cercle est de 360° ou de L 2π r = 2π rad . On peut donc facilement passer d’une unité de mesure à θ = = r r ° l’autre. En effet, puisque 360° = 2π rad, alors 1° = π 180 rad et 1 rad = ( 180 π ) . EXEMPLE A.53

Convertissons en degrés les angles − 3π 4 rad et 7 rad. Puisque 2π rad = 360°, alors 1 rad =

(180 π )° . Par conséquent,

− 3π 4 rad = − 3π 4 (1 rad ) = − 3π 4 ( 180 π ) = −135° °

7 rad = 7 (1 rad ) = 7 ( 180 π ) ≈ 401, 07° °

FIGURE A.20

Cercle trigonométrique P ( θ ) = ( x ,  y ) 1

θ x

EXEMPLE A.54

Convertissons en radians les angles 480° et −140°. y

Puisque 2π rad = 360°, alors 1° =

π

180 rad.

Par conséquent,

480° = 480 (1° ) = 480 ( π 180 ) rad =

8π

3 rad

−140° = −140 (1° ) = −140 ( π 180 ) rad = − 7π 9 rad Le cercle trigonométrique (figure A.20) est un cercle de rayon 1 centré à l’origine. Tout angle au centre θ détermine un point P (θ ) sur le cercle.

406

ANNEXE

Certains points du cercle trigonométrique sont appelés des points trigonométriques remarquables (figure A.21). FIGURE A.21

Points trigonométriques remarquables

P(

2π

3

)=

P ( 3π 4 ) = ( − P(

5π

6

) = (−

3

(

−1

2

2 , 

2

,   1

2 , 

2 2

)

3

2)

2

P ( π 2 ) = ( 0 ,  1 )

)

P (π 3) =

( 1 2 , 

P (π 4 ) = P(

P(

5π

4

3

) = (−

1 2 ,  − 2

)

2 ,  −

2

2

6

(

)=

)

2

2

2 , 

(

3

2 2

2

)

,  1

2

)

P ( 0 ) = ( 1,  0 )

P ( π ) = ( −1,  0 )

P ( 7π 6 ) = ( −

π

3

2

P ( 11 π 6 ) =

)

P ( 4 π 3 ) = ( − 1 2 ,  −

3

2

P(

)

7π

P ( 5π 3 ) =

)=( ( 1 2 ,   −

4

2

(

3

1 2 ,  − 2

2 ,  − 3

2

)

2

2

)

)

P ( 3 π 2 ) = ( 0 ,  −1 )

Soit P (θ ) un point du cercle trigonométrique. Si on parcourt, à partir du point P (θ ), un certain nombre de tours complets (dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens contraire), alors on revient au même point, c’est-à-dire     P (θ ) = P  θ + 2 π  = P  θ + 4 π  =  sens contraire des aiguilles d’une montre   1 tour  2 tours  ou     π  =  sens des aiguilles d’une montre π  = P  θ − 4 P (θ ) = P  θ − 2    1 tour 2 tours  De façon générale, P (θ ) = P (θ + 2 kπ ), où k ∈ . Si on travaille plutôt en degrés, on obtient P (θ ) = P (θ + k 360° ), où k ∈ . EXEMPLE A.55

Déterminons les coordonnées des points trigonométriques P ( − 2 π 3 ), P ( 7π 2 ) et P ( 405° ). Puisque − 2 π 3 + 2π = − 2 π 3 +

6π

3

=

4π

3,

alors

(

P ( − 2 π 3 ) = P ( 4 π 3 ) = − 1 2 ,  − Par ailleurs, puisque

7π

2

− 2π =

7π

2

−

4π

2

=

3

3π

2,

2

)

alors

P ( 7π 2 ) = P ( 3π 2 ) = ( 0,  −1) De plus, 405° − 360° = 45° et 45° = 45 (1° ) = 45 ( π 180 ) rad = Par conséquent, P ( 405° ) = P ( π 4 ) =

(

2

2 , 

2

2

π

).

4 rad

407

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

MaBiblio > Multimédia > 31. Effets des paramètres dans une fonction

Le cosinus de l’angle θ , noté cos θ , est l’abscisse du point trigonométrique P (θ ), et le sinus de l’angle θ , noté sin θ , est l’ordonnée du point trigonométrique P (θ ), comme l’illustre la figure A.22. Comme le cercle trigonométrique est de rayon 1, l’abscisse et l’ordonnée de tout point situé sur le cercle ont des valeurs comprises entre −1 et 1, c’est-à-dire que, pour tout angle θ , on a −1 ≤ cos θ ≤ 1 et −1 ≤ sin θ ≤ 1

Accédez directement à l’animation. goo.gl/nRGMeZ

FIGURE A.22

Cosinus et sinus d’un angle P (θ ) = ( cosθ , sin θ ) 1

θ

Les différents rapports entre l’abscisse et l’ordonnée du point P (θ ) définissent quatre autres fonctions trigonométriques appelées tangente, cotangente, sécante et cosécante. cos θ 1 1 sin θ 1 , cotg θ = = , sec θ = et cosec θ = . tg θ sin θ cos θ sin θ cos θ Remarquons que les fonctions sont définies si et seulement si le dénominateur est différent de 0. On a tg θ =

EXEMPLE A.56

Évaluons, si possible, les six fonctions trigonométriques pour θ = cos ( 5π 6 ) = − sin ( 5π 6 ) = tg ( 5π 6 ) =

1

2

première coordonnée du point P ( 5 π 6 ) =

2

deuxième coordonnée du point P ( 5 π 6 ) =

(−

(− 3

2

3

,

2

1

2

,

1

2

6.

On a

)

)

1 sin ( 5π 6 ) 1 2  1 1  3 3 2 = =  = − = −  = − cos ( 5π 6 ) 2− 3 3 3  3  3 − 32

cos ( 5π 6 ) − 3 3  2 = 1 2 = −   = − 3 π 5 sin ( 6 ) 2  1 2

cotg ( 5π 6 ) = sec ( 5π 6 ) =

3

5π

1

cos (

cosec ( 5π 6 ) =

5π

6

=

)

1

sin (

5π

6

)

1 − =

3

1 1

2

2

2 2  3 2 3  2  = 1 = − = − = −    − 3  3 3  3 3  2 = 1  = 2  1

408

ANNEXE

Vous trouverez dans l’aide-mémoire qui accompagne ce manuel les valeurs des six fonctions trigonométriques pour certains angles remarquables, ainsi que les graphiques de ces six fonctions. EXERCICES A.19

1. Convertissez l’angle en degrés. a)

7π

3 rad

b)

11π

8 rad

c) − 17π 9 rad

d) −3 rad

c) 510°

d) −315°

2. Convertissez l’angle en radians. a) 240°

b) −75°

3. Déterminez les coordonnées du point trigonométrique. a) P ( 11π 4 ) b) P ( 450° )

c) P ( − 13π 6 )

e) P ( −210° )

d) P ( − 4 π 3 )

f) P ( 540° )

4. Évaluez, si possible, les six fonctions trigonométriques pour la valeur de θ donnée en utilisant le cercle trigonométrique. a) θ = − 5π 4

b) θ = 540°

c) θ =

10 π

3

5. Évaluez les six fonctions trigonométriques pour la valeur de θ donnée en utilisant la calculatrice. a) θ = 48°

b) θ =

5π

9

A.20 LES IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Les identités trigonométriques sont des égalités qui permettent de simplifier ou de transformer une expression trigonométrique en une expression équivalente. Trois identités très importantes proviennent de la définition même des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique et du théorème de Pythagore. Soit q un angle au centre en radians et P (θ ) le point qu’il détermine sur la circonférence du cercle trigonométrique (figure A.23). FIGURE A.23

Cercle trigonométrique P (θ ) = ( cosθ , sin θ ) 1

y

θ x

Par le théorème de Pythagore, x 2 + y2 = 12 . En remplaçant les coordonnées du point P (θ ) dans cette équation, on obtient la première identité trigonométrique, soit cos 2 θ + sin 2 θ = 1

(1)

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

409

En divisant tous les termes de l’identité (1) par cos 2 θ (pour les valeurs de q telles que cos θ ≠ 0), on obtient une deuxième identité trigonométrique, soit cos 2 θ sin 2 θ 1 + = 2 cos θ cos2 θ cos2 θ 1 + tg 2 θ = sec 2 θ

(2)

En divisant tous les termes de l’identité (1) par sin 2 θ (pour les valeurs de q telles que sin θ ≠ 0), on obtient une troisième identité trigonométrique, soit cos 2 θ sin 2 θ 1 + = 2 2 sin θ sin θ sin 2 θ cotg 2 θ + 1 = cosec 2 θ

(3)

Le tableau A.7 présente les trois identités obtenues ci-dessus ainsi que quelques autres identités importantes. TABLE AU A .7

Identités trigonométriques Si α , β et θ sont des nombres réels, alors

[ sin (α

− β ) + sin (α + β )]

1. cos2 θ + sin 2 θ = 1

8. sin α cos β =

2. 1 + tg 2 θ = sec 2 θ (si cosθ ≠ 0)

9.

cos ( 2θ ) = 1 − 2 sin 2 θ

3. cotg 2 θ + 1 = cosec 2 θ (si sin θ ≠ 0)

10.

cos ( 2θ ) = 2 cos2 θ − 1

4. cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

11.

cos ( 2θ ) = cos2 θ − sin 2 θ

5. sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

12. sin ( 2θ ) = 2 sin θ cosθ

6. cos α cos β = 7. sin α sin β =

1 1

2 [ cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ]

13. sin 2 θ =

1

[ cos(α

14.

cos2 θ =

1

2

− β ) − cos (α + β )]

2

1

2

[1 − cos ( 2θ ) ]

2

[1 + cos ( 2θ ) ]

EXEMPLE A.57

Utilisons les identités trigonométriques pour démontrer l’égalité suivante : 1+

tg 2 θ = sec θ , lorsque 1 + sec θ ≠ 0 et cos θ ≠ 0 1 + sec θ

On a 1+

tg 2 θ 1 + sec θ + tg 2 θ = 1 + sec θ 1 + sec θ =

sec θ + sec 2 θ 1 + sec θ

mise au même dénominateur

identité 2 : 1 + tg 2 θ = sec 2 θ

sec θ (1 + sec θ ) mise en évideence de sec θ 1 + sec θ = sec θ simplification du facteur commun =

410

ANNEXE

EXEMPLE A.58

Utilisons les identités trigonométriques pour démontrer l’égalité suivante : 4 sin θ cos θ − 8 sin 3 θ cos θ = sin ( 4θ ) On a 4 sin θ cos θ − 8 sin 3 θ cos θ = 4 sin θ cos θ (1 − 2 sin 2 θ )

misee en évidence de 4 sin θ cos θ

= 2 ( 2 sin θ cos θ ) (1 − 2 sin 2 θ ) = 2 sin ( 2θ )(1 − 2 sin 2 θ ) = 2 sin ( 2θ ) cos ( 2θ ) = sin ( 4θ )

mise en évidence de 2

identité 12 : 2 sin θ cos θ = sin ( 2θ )

identité 9 : 1 − 2 sin 2 θ = cos ( 2θ )

identité 12 : 2 sin ( 2θ ) cos ( 2θ ) = sin [ 2 ( 2θ )]

Comme on peut le constater sur la figure A.24, il y a une relation étroite entre les coordonnées du point P (θ ) et celles du point P ( −θ ) . FIGURE A.24

P (θ ) et P ( −θ ) y P (θ ) = ( cosθ , sin θ )

θ –θ

( 1,  0 ) x

P ( −θ ) = ( cos ( −θ ) , sin ( −θ ) )

On remarque qu’on obtient le point P ( −θ ) en faisant une réflexion du point P (θ ) par rapport à l’axe des abscisses. Par conséquent, leurs premières coordonnées sont identiques et leurs deuxièmes coordonnées sont opposées. Ainsi, cos ( −θ ) = cos (θ ) et sin ( −θ ) = − sin θ . Par conséquent, tg ( −θ ) =

Relations trigonométriques importantes π

2

±θ

π ±θ

sin

− sin θ

cosθ

∓ sin θ

cos

cosθ

∓ sin θ

− cosθ

− tg θ

∓ cotg θ

± tg θ

− cosec θ

sec θ

∓ cosec θ

sec

sec θ

∓ cosec θ

− sec θ

cotg

− cotg θ

∓ tg θ

± cotg θ

tg cosec

cos θ cos ( −θ ) = = − cotg θ sin ( −θ ) − sin θ

cotg ( −θ ) =

TABLE AU A .8

−θ

sin ( −θ ) − sin θ = = − tg θ cos ( −θ ) cos θ

sec ( −θ ) =

1 1 = = sec θ cos θ cos ( −θ )

cosec ( −θ ) =

1 1 = = − cosec θ sin ( −θ ) − sin θ

Le tableau A.8 présente les relations que nous venons d’établir ainsi que d’autres relations trigonométriques importantes qui sont valables là où les fonctions sont définies. Ainsi, cos ( π 2 ± θ ) = ∓ sin θ .

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

411

EXEMPLE A.59

Utilisons les identités trigonométriques pour démontrer la relation sin ( π 2 ± θ ) = cos θ qui figure dans le tableau A.8. On a sin ( π 2 + θ ) = sin π 2 cos θ + cos π 2 sin θ

identité 5 : sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

= (1) cos θ + ( 0 ) sin θ = cos θ De même, sin ( π 2 − θ ) = sin π 2 cos θ − cos π 2 sin θ

identité 5 : sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β

= (1) cos θ − ( 0 ) sin θ = cos θ Par conséquent, sin ( π 2 ± θ ) = cos θ .

EXERCICES A.20

1. Démontrez l’identité trigonométrique.  1  sin θ cos θ = 1 a)  cotg θ + cotg θ   b) tg t + cotg t = sec t cosec t c)

1 cos x − = sin x tg x sin x

d) sin ( π 6 + θ ) + cos ( π 3 + θ ) = cos θ e)

1 − cos ( 2 x ) = tg x sin ( 2 x )

f)

cos θ − sin θ cos θ + sin θ − = 2 tg ( 2θ ) cos θ − sin θ cos θ + sin θ

g) ( cosec t + cotg t ) ( cosec t − cotg t ) = 1 h) 1 −

sin 2 θ = − cos θ 1 − cos θ

i)

1 − tg 2 θ + 1 = 2 cos2 θ 1 + tg 2 θ

j)

cotg x − tg x = cos ( 2 x ) cotg x + tg x

sec 2 θ = sec ( 2θ ) 2 − sec 2 θ 2 l) sec 2 ( t 2 ) = 1 + cos t k)

2. Démontrez les relations de la dernière colonne du tableau A.8.

412

ANNEXE

A.21 LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES (RÉCIPROQUES)

Si −1 ≤ x ≤ 1 , alors l’expression y = arcsin x signifie « y est l’angle tel que − π 2 ≤ y ≤ π 2 et dont le sinus vaut x ». On a donc y = arcsin x est équivalent à sin y = x si −1 ≤ x ≤ 1 et − π 2 ≤ y ≤ π 2 EXEMPLE A.60

Trouvons la valeur de y = arcsin

( 2 2 ).

On cherche un angle y ( où − π 2 ≤ y ≤ π 2 ) tel que sin y = 2 2 . Le seul angle dans cet intervalle qui satisfait à cette équation est π 4 . Par conséquent, y = arcsin 2 2 = π 4 .

( )

Sur la plupart des calculatrices scientifiques, la touche sin −1 (notation anglaise de arcsin) permet d’obtenir la valeur de y = arcsin x pour x ∈ [ −1,  1]. La notation anglaise prête cependant à confusion. Ainsi, contrairement à ce que cette notation 1 suggère, sin −1 x ≠ , sin −1 x ≠ cosec x, mais sin −1 x = arcsin x. sin x Si −1 ≤ x ≤ 1 , alors l’expression y = arccos x signifie « y est l’angle tel que 0 ≤ y ≤ π et dont le cosinus vaut x ». On a donc y = arccos x est équivalent à cos y = x si −1 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ π EXEMPLE A.61

Trouvons la valeur de y = arccos ( − 1 2 ) . On cherche un angle y ( où 0 ≤ y ≤ π ) tel que cos y = − 1 2 . Le seul angle dans cet intervalle qui satisfait à cette équation est 2 π 3. Par conséquent, y = arccos ( − 1 2 ) = 2 π 3. Sur la plupart des calculatrices scientifiques, la touche cos −1 (notation anglaise de arccos) permet d’obtenir la valeur de y = arccos x pour x ∈ [ −1,  1]. Si x ∈ , alors l’expression y = arctg x signifie « y est l’angle tel que − π 2 < y < et dont la tangente vaut x ». On a donc

π

2

y = arctg x est équivalent à tg y = x si x ∈  et − π 2 < y < π 2 EXEMPLE A.62

Trouvons la valeur de y = arctg

( 3 3 ).

On cherche un angle y ( où − π 2 < y < π 2 ) tel que tg y = 3 3 . Le seul angle  dans cet intervalle qui satisfait à cette équation est π 6 . Par conséquent, y = arctg

( 3 3 ) = π 6.

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

413

Sur la plupart des calculatrices scientifiques, la touche tan −1 (notation anglaise de arctg) permet d’obtenir la valeur de y = arctg x pour x ∈ . Les autres fonctions trigonométriques inverses se définissent de façon similaire : y = arccotg x est équivalent à cotg y = x si x ∈  et 0 < y < π y = arcsec x est équivalent à sec y = x soit si x ≥ 1 et 0 ≤ y < π 2 , soit si x ≤ −1 et π 2 < y ≤ π y = arccosec x est équivalent à cosec y = x soit si x ≥ 1 et 0 < y ≤ π 2 , soit si x ≤ −1 et − π 2 ≤ y < 0 La plupart des calculatrices scientifiques ne possèdent pas de touches donnant directement la valeur de ces fonctions trigonométriques inverses en un point. Il faut donc utiliser les identités suivantes : arctg ( 1 x ) + π si x < 0 arccotg x =  1 si x > 0 arctg ( x ) arcsec x = arccos ( 1 x ) , si x ≥ 1 arccosec x = arcsin ( 1 x ), si x ≥ 1 Les graphiques des fonctions trigonométriques inverses se trouvent dans l’aide-mémoire. EXERCICE A.21

Évaluez, si possible, la fonction en x = −3, en x = − 1 2 , en x = x = 2.

2

3,

en x = 1 et en

a) f ( x ) = arcsin x

c) f ( x ) = arctg x

e) f ( x ) = arcsec x

b) f ( x ) = arccos x

d) f ( x ) = arccotg x

f) f ( x ) = arccosec x

A.22 LES RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES DANS LES TRIANGLES

Dans un triangle rectangle (figure A.25), on peut définir les fonctions trigonométriques comme des rapports entre les mesures de certains côtés de ce triangle.

FIGURE A.25

Triangle rectangle

On a

B

a

c

θ C

b

A

sin θ = sin A =

mesure du côté opposé à l’angle θ a = mesure de l’hypoténuse c

cos θ = cos A =

mesure du côté adjacent à l’angle θ b = mesure de l’hypoténuse c

tg θ = tg A =

mesure du côté opposé à l’angle θ a = messure du côté adjacent à l’angle θ b

cosec θ = cosec A = sec θ = sec A =

mesure de l’hypoténuse c = mesure du côté opposé à l’angle θ a

mesure de l’hypoténuse c = mesure du cô b ôté adjacent à l’angle θ

cotg θ = cotg A =

mesure du côté adjacent à l’anglle θ b = mesure du côté opposé à l’angle θ a

414

ANNEXE

EXEMPLE A.63

Une jeune fille fait voler un cerf-volant. Elle a laissé dérouler 35 m de corde et l’angle que fait la corde avec l’horizontale est de 24° (figure A.26). Déterminons la hauteur du cerf-volant par rapport au sol si la main tenant la corde se situe à 1,5 m du sol. FIGURE A.26

Hauteur d’un cerf-volant

x

35 m

24° 1,5 m

La hauteur du cerf-volant est donnée par x + 1, 5. Déterminons x en utilisant un rapport trigonométrique. On a x 35 35 sin 24° = x sin 24° =

14, 24 ≈ x Par conséquent, la hauteur du cerf-volant par rapport au sol est d’environ 15,74 m (14, 24   m + 1, 5   m = 15, 74   m).

EXEMPLE A.64

La figure A.27 représente la vue à vol d’oiseau d’un immeuble de bureaux. On installe une caméra fixe sur un des murs de cet édifice. Déterminons l’angle d’observation θ de la caméra. FIGURE A.27

Angle d’observation d’une caméra

15 m 10 m

θ α

β

12 m 20 m

RAPPELS DE NOTIONS MATHÉMATIQUES

415

L’angle d’observation de la caméra est θ = 180° − α − β . Trouvons les angles α et β en utilisant les deux triangles rectangles. On a tg α =

10 12

15 20 − 12

tg β =

α = arctg ( 5 6 )

β = arctg ( 15 8 )

α ≈ 39, 81°

β ≈ 61, 93°

Alors, θ ≈ 180° − 39, 81° − 61, 93° = 78, 26° . Par conséquent, l’angle d’observation de la caméra est d’environ 78,26°.

La loi des sinus est une relation entre les angles et les côtés d’un triangle quelconque (figure A.28). Elle permet de déterminer les mesures manquantes dans un triangle si on connaît deux angles et un côté ou si on connaît un angle et deux côtés (dont le côté opposé à l’angle connu).

FIGURE A.28

Triangle quelconque β

c

La loi des cosinus permet de déterminer les angles dans un triangle quelconque (figure A.28) si on connaît tous les côtés ou de déterminer la mesure du troisième côté lorsqu’on connaît deux des côtés et l’angle entre ces deux côtés.

a

α

γ b

La loi des sinus est : sin γ sin β sin α = = a b c La loi des cosinus est : c 2 = a 2 + b2 − 2 ab ( cos γ ) EXEMPLE A.65

FIGURE A.29

Bateau en détresse en haute mer

Les garde-côtes ont deux stations situées en bord de mer à 240 km de distance, l’une directement au nord de l’autre. Un signal de détresse d’un bateau en haute mer parvient aux deux stations. Le schéma présenté à la figure A.29 résume la situation. Déterminons la distance entre le bateau et chacune des stations. La mesure de l’angle du sommet correspondant à la position du bateau est égale à 180° − 58° − 63° = 59°. Appliquons la loi des sinus. On a

Station 2 x

sin 59° sin 63° = 240 y

63° Bateau

240 km 58°

240 ( sin 63° ) sin 59° y ≈ 249, 47

y =

y

Station 1

sin 58° sin 59° = 240 x 240 ( sin 58° ) sin 59° x ≈ 237, 45

x =

Par conséquent, la distance entre le bateau et la station 1 est d’environ 249,47 km, et la distance entre le bateau et la station 2 est d’environ 237,45 km.

EXEMPLE A.66

Deux résidences sont situées sur le bord d’un lac (figure A.30). Pour se rendre de la résidence A à la résidence B par voie terrestre, on doit parcourir 2,48 km sur une route jusqu’au point C et ensuite parcourir 4,12 km sur une autre route faisant un angle de 128° avec la première pour arriver à la résidence B. Déterminons la distance entre les deux résidences par bateau.

416

ANNEXE

FIGURE A.30

Résidences sur le bord d’un lac

c

A 2,48 km

128°

B 4,12 km

C

Appliquons la loi des cosinus. c 2 = 4, 12 2 + 2, 48 2 − 2 ( 4, 12 )( 2, 48 )( cos 128° ) c2 =

4, 12 2 + 2, 48 2 − 2 ( 4, 12 )( 2, 48 )( cos 128° )

c ≈ 5, 98 Par conséquent, il faudrait parcourir environ 5,98 km en bateau pour aller de la résidence A à la résidence B.

EXERCICES A.22

1. Évaluez les six rapports trigonométriques de l’angle θ du triangle rectangle. a)

c)

4

1

θ 5,85

b) 1,9

θ

θ 3,2

2

2. Déterminez la valeur de θ pour chacun des triangles rectangles du numéro 1. 3. Déterminez les mesures manquantes (angles et/ou côtés) dans les triangles suivants. a)

c)

B 5

120°

20°

A

b)

D

30°

H

4

C

d)

E 3

G

3

I

J 5

4

95° 5

F

K

7

L

Réponses aux exercices récapitulatifs C hap i t re 1 1. a) f ( 2 ) = 4 b) c)

g)

lim f ( x ) = 4

h)

lim f ( x ) = 4

i)

x → 2− x → 2+

d) lim f ( x ) = 4

j)

e) f ( −2 ) n’existe pas.

k)

x→ 2

f)

lim f ( x ) = 4

l)

lim f ( x ) n’existe pas.

m) f ( 3) = 0

f (1) n’existe pas.

n)

lim f ( x ) = 1

o)

lim f ( x ) = 1

p) lim f ( x ) n’existe pas.

x → −2 + x → −2

x → 1− x → 1+

lim f ( x ) = 1

x→1

lim f ( x ) = 2

x → 3−

lim f ( x ) = 0

x → 3+ x→ 3

lim f ( x ) = 1

x → −2 −

2. a)

Quand x s’approche de 1 par la gauche ( x → 1− ) , x f (x)

0,9 0,536 7

0,99

0,999

0,653 4

0,665 3

Quand x s’approche de 1 par la droite ( x → 1+ ) ,

0,999 9

1

1,000 1

1,001

1,01

1,1

0,666 5

2

0,666 8

0,668 0

0,680 0

0,803 3

3

f (x) s’approche de 2 3 .

Par conséquent, lim

x→1

b)

f (x) s’approche de 2 3 .

x3 + 3 x2 + x − 1 2 = . 3x + 3 3

Quand x s’approche de −1 par la gauche ( x → −1− ) , −1,000 1

−1

−0,999 9

f (x) −0,663 3 −0,666 6 −0,666 7 −0,666 7

∃

−0,666 7 −0,666 7 −0,666 6 −0,663 3

x

−1,1

−1,01

−1,001

Quand x s’approche de −1 par la droite ( x → −1+ ) ,

f (x) s’approche de − 2 3 .

−0,999

−0,99

−0,9

f (x) s’approche de − 2 3 .

x3 + 3 x2 + x − 1 2 = − . x → −1 3x + 3 3

Par conséquent, lim 3. a)

Quand x s’approche de 4 par la gauche ( x → 4 − ) ,

Quand x s’approche de 4 par la droite ( x → 4 + ) ,

x

3,9

3,99

3,999

3,999 9

4

4,000 1

4,001

4,01

4,1

f(x)

2,966 5

2,996 7

2,999 7

3,000 0

3

3,000 0

3,000 3

3,003 3

3,033 2

f (x) s’approche de 3.

f (x) s’approche de 3.

Par conséquent, lim f ( x ) = 3. x→ 4

b)

Quand x s’approche de 0 par la droite ( x → 0 + ) ,

Quand x s’approche de 0 par la gauche ( x → 0 − ) , x

−0,1

−0,01

−0,001

−0,000 1

0

0,000 1

0,001

0,01

0,1

f (x)

0,9

0,99

0,999

0,999 9

1

1,000 1

1,001 0

1,010 0

1,095 4

f (x) s’approche de 1.

Par conséquent, lim f ( x ) = 1. x→ 0

f (x) s’approche de 1.

418

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

Chapitre 1

4. a)

Quand x s’approche de 1 par la gauche ( x → 1− ) , x f (x)

0,9

0,99

1,175

1,242 5

0,999 1,249 3

Quand x s’approche de 1 par la droite ( x → 1+ ) ,

0,999 9

1

1,000 1

1,001

1,01

1,1

1,249 9

5

1,250 1

1,250 8

1,257 5

1,325

4

f (x) s’approche de 5 4 .

Par conséquent, lim f ( x ) =

5

x→1

b)

f (x) s’approche de 5 4 .

4.

Quand x s’approche de 5 par la gauche ( x → 5− ), x

4,9

4,99

4,999

4,999 9

f (x)

2,665 3

2,681 5

2,683 1

2,683 3

f (x) s’approche de

Par conséquent, lim f ( x ) =

6

6

x→ 5

c)

5

Quand x s’approche de 5 par la droite ( x → 5+ ), 5 6

5

5,000 1

5,001

5,01

5,1

2,683 3

2,683 5

2,685 1

2,701 1

.

f (x) s’approche de

6

5

.

5.

Quand x s’approche de 4 par la gauche ( x → 4 − ) ,

Quand x s’approche de 4 par la droite ( x → 4 + ) ,

x

3,9

3,99

3,999

3,999 9

4

4,000 1

4,001

4,01

4,1

f (x)

3,425

3,492 5

3,499 3

3,499 9

7

2,500 0

2,500 2

2,501 9

2,518 7

2

f (x) s’approche de 7 2 .

f (x) s’approche de 5 2 .

Par conséquent, lim f ( x ) n’existe pas. x→ 4

5. a) lim f ( x ) = 0

d) lim f ( x ) n’existe pas.

x→ 0

b) c)

g) lim f ( x ) = ∞

x → −3

lim f ( x ) = ∞

e)

lim f ( x ) = −∞

f)

x → −3− x → −3+

x→ 3

lim f ( x ) = ∞

h)

lim f ( x ) = ∞

i)

x → 3− x → 3+

lim f ( x ) = −2

x→ − ∞

lim f ( x ) = 1

x→ ∞

6. Asymptotes horizontales : y = −2 et y = 1. Asymptotes verticales : x = −3 et x = 3. 7. a)

lim f ( x ) = −∞ et lim+ f ( x ) = ∞ de sorte que lim f ( x ) n’existe pas.

x → 2−

x→ 2

x→ 2

Quand x s’approche de 2 par la gauche ( x → 2 − ) ,

Quand x s’approche de 2 par la droite ( x → 2 + ) ,

x

1,9

1,99

1,999

1,999 9

2

2,000 1

2,001

2,01

2,1

f (x)

−7

−97

−997

−9 997

∃

10 003

1 003

103

13

f (x) devient très petit [ f ( x ) → −∞ ].

b)

f (x) devient très grand [ f ( x ) → ∞ ] .

lim f ( x ) = 3

x→ − ∞

Quand x devient de plus en plus petit ( x → −∞ ) ,

x

−10 000

−1 000

−100

−10

−1

f(x)

2,999 9

2,999 0

2,990 2

2,916 7

2,666 7

f ( x ) se rapproche de 3 [ f ( x ) → 3 ] .

c)

lim f ( x ) = 3

x→ ∞

Quand x devient de plus en plus grand ( x → ∞ ),

x

1

10

100

1 000

10 000

f (x)

2

3,125

3,010 2

3,001 0

3,000 1

f ( x ) se rapproche de 3 [ f ( x ) → 3 ] .

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

8.

419

|

2

|

|

4

|

|

6

|

|

|

|

Chapitre 1

y

|

|

|

|

|

|

0

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

x

|

|

|

|

|

–4

|

|

–2

|

5

|

|

9. a) b) c) d) e) f) g)

−2 12 −1 3 −32 1

lim ( x 2 + 2 ) x + 5  = ( −1)2 + 2  −1 + 5 = 6

x → −1 

h) −9 i) −1 j) 0 k) lim

x→ 3

l)

4

5x + 1

(5 − x)

3

=

4

5 ( 3) + 1

( 5 − 3)

3

=

2 1 = 8 4

− 12

m) lim − f ( x ) = lim − ( 8 − x 2 ) = 8 − ( −3)2 = −1 x → −3

x → −3

lim + f ( x ) = lim + ( x + 2 ) = −3 + 2 = −1

x → −3

x → −3

Par conséquent, lim f ( x ) = −1. x → −3

n)

lim f ( x ) = lim−

x → 0−

x→ 0

x+1 x2 + 1

=

0+1 02 + 1

= 1

0 x = = 0 0+1 x+1 Comme la limite à gauche diffère de la limite à droite, lim f ( x ) n’existe pas. lim f ( x ) = lim+

x → 0+

x→ 0

x→ 0

o) lim f ( x ) n’existe pas. x→ 4

p) − 10 3 q)

lim

x → −1−

x + 1 n’existe pas. Par conséquent, lim

r) 0 s) 0 t)

lim 4 t 2 − t n’existe pas. t →1

x → −1

x + 1 n’existe pas.

Chapitre 1

420

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

 2, 20 x si 0 ≤ x < 100 10. a) P ( x ) =  si x ≥ 100 2 x b) 176 $ c) 240 $ d) 200 $ e) 200 $ f) 220 $ g) Comme lim + P ( x ) = 200 $ ≠ 220  $ =

lim P ( x ), lim P ( x ) n’existe pas.

x → 100 −

x → 100

x → 100

11. a) −∞ b) ∃ c) Lorsque t < 0, t = − t . Par conséquent, lim− t→0

t2 + 1 t2 + 1 = lim− = ∞. t→0 t − t  forme

1 0+

x2 + 4 x − 3 x2 + 4 x − 3 x2 + 4 x − 3 = −∞, de sorte que lim = ∞ et lim+ d) lim− 2 2 x→1 x→1 x→1 1− x  1− x  1 − x2       forme

2 0+

forme

2 0−

n’existe pas. e) ∞ f)

3

lim

x→ − ∞

2 x + 3 = lim

3

x→ − ∞

x(2 +

3

x

)

(

)

= lim 3 x 3 2 + 3 x = −∞ x → −∞    3

forme − ∞ 2 + 0

g) ∃ h) 0 i)

lim

t→∞

1 1 = lim = 0 t→∞ 3 7 t 3 + 3t + 5 t 3 t 7 + t2 + 5 52 t   

(

)

1 forme ∞( 7 + 0 + 0 )

j) k)

∞ lim

x → −3−

3− x 3− x 3− x 3− x = lim − = lim + = ∞ et lim + 2 = ∞, x → −3 ( x + 3 )2 x → −3 x + 6 x + 9 x → −3 ( x + 3 )2 x2 + 6 x + 9   forme

de sorte que lim

x → −3

l)

∃

x2

6 0+

forme

3− x = ∞. + 6x + 9

m) ∞ n) ∃ o) ∃ p) 0 q) On a lim

t → 1 3−

27t 3 + 2 27t 3 + 2 27t 3 + 2 = lim− = lim− = ∞ 2 9t 3 − 6t 2 + t t → 1 3 t ( 9 t 2 − 6 t + 1) t → 1 3 t ( 3t − 1 )  forme

lim+

t→1

3

3 0+

27t 3 + 2 27t 3 + 2 27t 3 + 2 = lim+ = lim+ = ∞ 2 2 2 1 1 − 6t + t t → 3 t ( 9 t − 6 t + 1) t → 3 t ( 3t − 1 ) 

9t 3

forme

Par conséquent, lim

t → 13

27t 3 + 2 = ∞. 9t 3 − 6t 2 + t

3 0+

6 0+

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

421

s)

lim

x→ − ∞

1 2 x2

− 3x + 1

= lim

x→ − ∞

= lim

x→ − ∞

x2

(2 −

1 3

x

+

1

x2

1 x 2−

3

x

+

1

)

1

= lim

x→ − ∞

2−

x2

x

+

1

= lim x2

3

− x 2 − 3 x + 1 x2   x→ − ∞

forme

1

x2

= 0

1 ∞ 2−0+0

t) Comme x = − x lorsque x est négatif, on a lim

x → 0−

2 2 2 −1 = ∞ = lim− = lim− = lim− x→ 0 − x − x x → 0 −2 x x→ 0 x x − x    forme

12. a) Q =

−1 0−

1 475 − 100 P

b) 490 c) ∞ d) Le prix du bien étant pratiquement nul, il n’y a donc pas de frein économique à la consommation, de sorte qu’il n’y a pas de limite à la quantité de ce bien que les consommateurs veulent acheter. e) Il a fallu utiliser une limite à droite parce que le prix d’un bien est nécessairement positif. f) −100 g) Une telle réponse n’a pas de sens puisqu’il n’est pas possible d’acheter une quantité négative du bien considéré. Le domaine de la fonction de quantité devrait donc être limité aux valeurs pour lesquelles celle-ci est non négative, 1 475 c’est-à-dire pour Q = − 100 ≥ 0. P h) P = 14, 75 $ 13. a) b) c) d) e) f) g)

x ∈ [ 0,  100[ 300 000 $ 0$ Une réduction nulle de la pollution n’entraîne aucun coût. On n’engage pas une firme pour effectuer une réduction négative de la pollution. ∞$ Pour ramener la pollution à zéro, c’est-à-dire pour effectuer une réduction de 100 % de la pollution, il faudrait effectuer une dépense infinie, de sorte qu’il est économiquement impraticable de tenter de dépolluer complètement le lac.

h) On ne peut pas réduire la pollution de plus de 100 %. i) La ville pourra réduire la pollution du lac d’environ 47,4 %. 14. a) ∞ b) La force d’attraction de deux charges de signes contraires très près l’une de l’autre est extrêmement grande, voire infinie. c) Il faut évaluer la limite à droite puisque la distance séparant deux charges ne peut pas être négative. d) 0 e) La force d’attraction de deux charges de signes contraires très éloignées l’une de l’autre est extrêmement faible, voire nulle. 15. a) 362, 5 millions $ b) 325 millions $ c) Sans campagne publicitaire, la compagnie tire un revenu de 325 millions $ de la vente de ses produits.

Chapitre 1

r) ∞

422

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

Chapitre 1

d) 400 millions de $ e) Avec un très grand investissement, voire un investissement infini, en publicité, la compagnie tire un revenu de 400 millions $ de la vente de ses produits. f) La compagnie ne choisira pas d’investir davantage d’argent en publicité si l’augmentation de ses revenus est inférieure à l’augmentation de ses dépenses publicitaires. Or, R ( 8 ) = 362, 5 millions $ et R (12 ) = 370 millions $, de sorte qu’une augmentation de 4 millions $ des dépenses publicitaires apporte une augmentation de 7,5 millions $ en revenus. Il pourrait donc être rentable pour la compagnie de hausser le budget consacré à la publicité à 12 millions $. g) On a R (12 ) = 370 millions $ et R ( 24 ) = 381, 25 millions $, de sorte qu’une augmentation de 12 millions $ des dépenses publicitaires ne génère qu’une augmentation de 11,25 millions $ en revenus. Il n’est donc pas rentable de doubler le budget consacré à la publicité lorsque le montant investi est déjà de 12 millions $. 16. a) t B =

tA 1−

b) t B =

c)

v2

1−

c2

tA v2 1− 2 c

1−

( 0, 01c )

1−

c2

( 0, 9 c )2

tA v2 1− 2 c

v→ c

10

=

2

10

=

lim t B = lim−

v → c−

10

=

0, 81 c 2 1− c2

c2

10

v2 1− 2 c 

v→ c

forrme

≈ 10, 000 5 jours

c2

10

=

= lim−

0, 000 1 c 2

≈ 22, 9 jours

= ∞ jours

10 0+

d) Il s’agit d’une asymptote verticale. 17. a) Soit t 0 la durée du trajet à l’aller, et t1 celle du trajet au retour. Alors, xt 0 = s, yt1 = s et 80 ( t 0 + t1 ) = 2 s . On a donc 2 s = 80 ( t 0 + t1 ) ⇒ s = 40 ( t 0 + t1 ) ⇒ xt 0 = 40 t 0 + 40 t1 ⇒ ( x − 40 ) t 0 = 40 t1 ⇒ ( x − 40 ) t 0 = 40 ⇒ y =

40 x t 0

s 40ss ⇒ y ( x − 40 ) t 0 = 40 s ⇒ y = y ( x − 40 ) t 0 ⇒ y =

( x − 40 ) t 0

40 x x − 40

Par conséquent, Dom y = ]40,  ∞[ puisque, dans le contexte, les vitesses x et y ne peuvent pas être négatives. 40 x b) On a lim + = ∞. Si la vitesse moyenne du camionneur à l’aller n’est que x → 40 x − 40    forme

1 600 0+

d’un peu plus de 40 km/h, sa vitesse au retour doit être très grande, voire infinie. 18. a) lim

x→ 4

x−4 x−4 1 1 = lim = lim = x → 4 ( x − 4 ) ( x + 1) x→ 4 x + 1 x2 − 3 x − 4 5

b) 0 4 (1) 1( t + 2 ) 4 − (t + 2 ) 1 1 − − 4(t + 2 ) 4(t + 2 ) 4 (t + 2 ) 2 4 t + c) lim = lim = lim t→2 t→2 t→2 t2 − 4 t2 − 4 t2 − 4  4 − (t + 2 ) 4 − t − 2  1  1 = lim  ⋅ 2 ⋅ = lim t → 2  4(t + 2 ) t − 4  t → 2  4 ( t + 2 ) ( t − 2 )( t + 2 )  = lim

t→2

2−t

4 ( t − 2 )( t + 2 )

2

= lim

t→2

− (t − 2 ) 4 ( t − 2 ) ( t + 2 )2

= lim

t→2

−1

4 ( t + 2 )2

= −

1 64

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

x→ 0

2− x − x

2

= lim

(

2− x − x

x→ 0

=

( lim

2− x

(

2

x→ 0

)2 +

x→ 0

(

(2 − x) − 2 2− x +

−1 2− x +

2

2

)

2− x 2 − x

x

= lim

2− x +

2− x +

x→ 0

= lim

)(

2

2

)

=

(

2 2− x −

2− x + = lim

x→ 0

x

)

2

)

−x 2− x +

(

2

Chapitre 1

d) lim

( 2 )2 )

−1 2 = − 2 2 4

e) −3 f)

( x + 6 ) ( x2 + 4 ) 40 x2 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 24 lim = = = = 1 lim x → − 6 x 3 + 5 x 2 − 8 x − 12 x→ − 6 ( x + 6 ) ( x2 − x − 2 ) x→ − 6 x2 − x − 2 40

g)

1

h)

lim 40

lim

x → 0+

i)

− 1 32

j)

1

x x x x −x = lim+ = 1 et lim− = lim− = −1, de sorte que lim n’existe pas. x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 x x

8

k) 2 l)

−23

m) 12 n)

( x + 1) ( 2 x − 5 ) 2 x2 − 3 x − 5 2x − 5 2x − 5 = lim . Or, lim − = ∞ et = lim 2 x → −1 x + 2 x + 1 x → −1 ( x + 1 ) ( x + 1 ) x → −1 x + 1 x → −1 x + 1   lim

forme

−7 0−

2x − 5 2 x2 − 3 x − 5 = −∞, de sorte que lim 2 lim + n’existe pas. x → −1 x + 1 x → −1 x + 2 x + 1    forme

−7 0+

o) − 9 2 p)

(

)(

3 − x2 + 5 3 + x2 + 5 3 − x2 + 5 = lim x → −2 x → −2 3x + 6 ( 3 x + 6 ) 3 + x2 + 5 lim

= lim

(

x → −2

= lim

x → −2

=

)

9 + 3 x2 + 5 − 3 x2 + 5 −

(

( 3 x + 6 )( 3 + x 2 + 5 )

x → −2

= lim

)

9 − ( x2 + 5)

( 3 x + 6 )( 3 + x 2 + 5 )

= lim

x2 + 5

)

2

4 − x2

x → −2

( 3 x + 6 )( 3 + x 2 + 5 )

(2 − x) (2 + x) 2− x = lim 2 x → − 2 3( x + 2) (3 + x + 5 ) 3( 3 + x2 + 5 )

2 4 = 18 9

q) 1 t3 − 1 t3 − 1 t3 − 1 t  = lim ( t 3 − 1) ⋅ = lim = lim 1 1 t →1 t →1 t t →1 t − 1 t →1  t − 1  1− − t t t t

r) lim

= lim

t →1

s)

∃

t ( t 3 − 1) t −1

= lim

t →1

t ( t − 1) ( t 2 + t + 1)

( t − 1)

423

= lim  t ( t 2 + t + 1)  = 3 t →1

Chapitre 1

424

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

t)

− 18

u)

4

3

v) −4 w) −4 x) − 1 a2 y)

lim

t −a − (t − a ) a−t 1 1 = lim− = lim− = lim− = t →a (a − t ) (a + t ) t → a ( a − t )( a + t ) t→a a + t a2 − t 2 2a

lim

− (a − t ) t −a t −a −1 1 = lim+ = − = lim+ = lim+ t→a a + t t → a ( a − t )( a + t ) t →a (a − t ) (a + t ) a2 − t 2 2a

t → a−

t → a+

t −a n’existe pas. a2 − t 2

Par conséquent, si a ≠ 0, lim

t→a

z) −∞ 19. Pour que la limite existe (et soit égale à 5 ), il faut que le numérateur tende vers 0 c lorsque x → 0, sinon la limite est du type . Par conséquent, 0

(

ax + b −

5 = 0 ⇒

lim

ax + 5 − x

5

lim

x→ 0

)

0+b −

5 = 0 ⇒

b =

5 ⇒ b= 5

On a donc x→ 0

⇒ lim

(

=

5

ax + 5 −

5

)(

ax + 5 +

( ax + 5 + 5 ) 2 ax + 5 ) + ax + 5 5 − ( ⇒ lim x→ 0 x ( ax + 5 + ⇒ lim

x→ 0

⇒ lim

x→ 0

⇒

5

)

x

x→ 0

x

(

x

( ax + 5 ) − 5

(

)

=

5

)

=

5

ax + 5 +

5

ax ax + 5 +

5

a 0+5 +

5

=

5 ⇒

a = 2 5

=

5

5 ax + 5 − 5

)

( 5 )2

=

5

5 ⇒ a = 10

20. a) La droite x = 1 est une asymptote verticale à la courbe décrite par f ( x ). b)

x 2 + x − 12 x 2 + x − 12 = −∞ et lim − lim = ∞ , de sorte que la droite x = −3 x → −3 x → −3+ x 2 − 9 x 2 − 9     forme

−6 0+

forme

−6 0−

est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) =

x 2 + x − 12 . x2 − 9

( x − 3) ( x + 4 ) x 2 + x − 12 x+4 7 = lim = lim = , de sorte que la droite x→ 3 x → 3 ( x − 3) ( x + 3) x→ 3 x + 3 x2 − 9 6 x = 3 n’est pas une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction

c) lim

x 2 + x − 12 . x2 − 9 d) La droite x = 4 est une asymptote verticale à la courbe décrite par f ( x ). f ( x) =

e) La droite x = 1 est une asymptote verticale à la courbe décrite par f ( x ). f) La droite x = 1 est une asymptote verticale à la courbe décrite par f ( x ).

g) La droite x = − 1 5 n’est pas une asymptote verticale à la courbe décrite par f ( x ).

h) La droite x = 3 est une asymptote verticale à la courbe décrite par f ( x ).

i)

j)

2 x2 − 4 ( x − 2 )( x + 2 ) = lim = lim ( x − 2 ) 3 ( x + 2 ) = 0 , de sorte 3 x→ 2 x→ 2 x→ 2 x−2 x−2 que la droite x = 2 n’est pas une asymptote verticale à la courbe décrite par la x2 − 4 . fonction f ( x ) = 3 x−2

lim f ( x ) = lim

x→ 2 3

2 x2 + 4 − 6 = lim x→ 4 x−4

lim f ( x ) = lim

x→ 4

x→ 4

= lim

(

2 x2 + 4

)

2

x→ 4

= lim

x→ 4

= lim

x→ 4

(

2 x2 + 4 + 6

2 x2

( x − 4 )( 2 x 2 + 4 + 6 ) +4 +6

2 x2

)

= lim

)

= lim

2 ( x − 4) ( x + 4)

( x − 4) (

( x − 4 )(

)(

+4 +6

)

)

+ 6 2 x 2 + 4 − 6 2 x 2 + 4 − 36

2 x 2 + 4 − 36

( x − 4 )(

2 x2 + 4 − 6

2 x2

+4 +6

x→ 4

2 ( x 2 − 16 )

( x − 4 )( 2 x 2 + 4 + 6 ) 2( x + 4) 2 x2

x→ 4

+4 +6

=

16 4 = 12 3

Par conséquent, la droite x = 4 n’est pas une asymptote verticale à la courbe 2 x2 + 4 − 6 . x−4

décrite par la fonction f ( x ) = 21. a) −2 b) lim

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) 5 + 3( x + h ) − ( 5 + 3 x ) 5 + 3 x + 3h − 5 − 3 x = lim = lim h→ 0 h→ 0 h h h 3h = lim = 3 h→ 0 h

c) 2 x d) lim

h→ 0

( x + h )2 − ( x + h ) − ( x 2 − x ) f ( x + h) − f ( x )  = lim  h→ 0 h h x 2 + 2 xh + h2 − x − h − x 2 + x h→ 0 h

= lim

h ( 2 x + h − 1) 2 xh + h2 − h = lim h→ 0 h→ 0 h h

= lim

= lim ( 2 x + h − 1) = 2 x − 1 h→ 0

e)

2

( 5 − 2 x )2 1 f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) = lim h→ 0 h h

2

f)

lim

h→ 0

−

1 x2

1 x2 = lim

( x + h)

2

x2

h→ 0

−

1( x + h )2

x 2 ( x + h )2

h

 x 2 − ( x + h )2 1  x 2 − ( x 2 + 2 xh + h2 ) = lim  ⋅  = lim 2 2 h→ 0 h  h→ 0 h( x + h )2 x 2  ( x + h) x = lim

h→ 0

= lim

h→ 0

g)

425

2

( x + 1)2

−2 xh − h2

h( x + h )2 x 2

= lim

h→ 0

− h ( 2 x + h)

h ( x + h )2 x 2

− ( 2 x + h) 2x 2 = − 2 2 = − 3 x ( x )x ( x + h)2 x 2

Chapitre 1

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

Chapitre 1

426

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

h) lim

h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) x+h − = lim h→ 0 h h = lim

(

x

x+h −

x

)(

x+h +

( x + h + x) ( x + h )2 + x + h x − = lim h→ 0 h( x + h + h→ 0

x+h− x h x+h + x

= lim

h→ 0

i) j)

)

h

h→ 0

= lim

x

(

1 x+h +

=

x

)

= lim

h→ 0

h

(

x x+h − x

)

h x+h +

x

( x )2 )

1 2 x

1 2x − 1 1 − 3 2 3x 2

22. a) t =

80 ≈ 8, 9 s

b) Intervalle de temps 10 ;  11  : vitesse moyenne de 26,25 m/s. Intervalle de temps 10 ;  10, 5  : vitesse moyenne de 25,625 m/s. Intervalle de temps 10 ;  10, 1  : vitesse moyenne de 25,125 m/s. Intervalle de temps 10 ;  10, 01  : vitesse moyenne de 25,012 5 m/s. Intervalle de temps 10 ;  10, 001  : vitesse moyenne de 25,001 25 m/s. c) 25 m/s d) Si ∆t ≠ 0, la vitesse moyenne de l’automobile sur un intervalle de temps de longueur ∆t autour de t = 10 est donnée par s (10 + ∆ t ) − s (10 )

(10 + ∆ t ) − 10

1, 25 (10 + ∆ t ) − 1, 25 (10 )2 2

=

∆t

2 1, 25 100 + 20 ∆ t + ( ∆ t )  − 1, 25 (100 )   = ∆t

= =

25 ∆ t + 1, 25 ( ∆ t )

2

∆t ∆ t ( 25 + 1, 25 ∆ t ) ∆t

= ( 25 + 1, 25 ∆ t ) m/s e)

lim

s (10 + ∆ t ) − s (10 )

∆t→0

(10 + ∆ t ) − 10

= lim ( 25 + 1,, 25 ∆ t ) = 25 m/s ∆t→0

23. La vitesse instantanée de l’objet 3 s après le début de son déplacement est donnée par lim

∆t→0

s ( 3 + ∆ t ) − s ( 3)

(3 + ∆ t ) − 3

= lim

( 3 + ∆ t )2 − ( 3)2 ∆t

∆t→0

= lim

6∆t + (∆t )

∆t→0

= 6 m/s 24. a)

2

3

∆t

 9 + 6 ∆ t + ( ∆ t )2  − 9  = lim  ∆t→0 ∆t

2

= lim

∆t→0

∆ t (6 + ∆ t ) ∆t

= lim ( 6 + ∆ t ) ∆t→0

427

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

 lim 

x → 1+ 

 2 1  2 1  − −  = lim+  x → 1  ( x − 1 )( x + 1 ) x2 − 1 x − 1  x − 1 

Chapitre 1

b)

 1( x + 1 )  2 = lim+  − x → 1  ( x − 1 )( x + 1 ) ( x − 1)( x + 1)  = lim+ x→1

2 − ( x + 1) 1− x = lim ( x − 1)( x + 1) x → 1+ ( x − 1)( x + 1)

= lim+ x→1

− ( x − 1)

−1 1 = − 2 x+1

= lim+

( x − 1) ( x + 1)

x→1

c) 0 d)

x 2 (1 + 6 x − 1 x2 ) 1 + 6 x − 1 x2 x2 + 6 x − 1 lim = lim = 0 = 3 3 2 x→ − ∞ x→ − ∞ x → − ∞ x (1 + 2 3 ) x +2 x (1 + x3 ) x   lim

forme

1+ 0 − 0 − ∞(1 + 0 )

e) −∞ f)

lim

2x − 1 x2

x→ − ∞

+3

x(2 −

= lim

x→ − ∞

= lim

x→ − ∞

x2

1

(1 +

x (2 −

1

−x 1+

g) −∞ h) ∃ i) −1 j) ∞ k) 0 l) ∞ m) −1 n) −2 o) 2 5 p) − 1 2 q) lim

(t 2

− 3t + 4 ) ( 5 t − 2 ) 3t 3

t→∞

− t

= lim

x

3

x 3

)

x2

)

)

r)

lim

t→∞

(

)

t 2 + 8 t − t = lim

( (

x2

t 2 (1 −

3

t→∞

= lim

t→∞

= lim

t→∞

t

(

+

4

t2

t3 3 − t 3 (1 −

3

x(2 −

= lim

x2

x→ − ∞

)

1

x 1+

x 3 x2

+

t

(

4

)t (5 − 2 t )

1 t t2

t3 3 −

1 t

3−0 t 2 + 8t − t

t 2 + 8t

)(

5

2

)

)( 5 − 2 t )

(1 − 0 + 0 )( 5 − 0 )

5

2

=

)

= lim

(1 − 3 t

t→∞

t 2 + 8t + t

4

3−

t2 1

)( 5 − 2 t ) t

5

2

)

+ 8t + t

)

+ t t 2 + 8t − t t 2 + 8t − t 2

2

+

5 3

t2

t 2 + 8t + t

t→∞

= lim

)

3

2 − 1x 2−0 = −2 = x→ − ∞ − 1 + 3 2 − 1+0 x

t→∞

= lim

x

= lim

t→∞

=

1

1+

x2

x→ − ∞

t→∞

= lim

x(2 −

= lim

(t 2

+ 8t ) − t 2

t 2 + 8t + t 8t t2 1 +

8

t

+t

t→∞

= lim

8t t 

(1 + 8 t )

8t

= lim

+ 1 

t→∞

t 2 + 8t + t

= lim

t→∞

8t

t

= lim

t→∞

(1 + 8 t )

+t

8

(1 + 8 t )

+1

8t

t2

= lim

t→∞

=

(1 + 8 t )

+t

8t

t

(1 + 8 t )

+t

8 = 4 1+0 +1

428

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

Chapitre 1

s) −2 t) 0 u) − 4 3 v) 0 25. a) La droite y = 5 est l’asymptote horizontale à la courbe décrite par f ( x ).

b) La droite y = −2 est l’asymptote horizontale à la courbe décrite par f ( x ).

c)

d)

2 x3 + x − 1 2 x3 + x − 1 = −∞ et lim = ∞, de sorte que la courbe décrite 2 x → ∞ x +4 x2 + 4 par la fonction f ( x ) n’admet aucune asymptote horizontale. lim

x→ − ∞

lim

x→ − ∞

4x x2 − 3

4x

= lim

x 2 (1 −

x→ − ∞

3

4x −x 1−

= lim

x→ − ∞

3

x2

4x

= lim

)

x2 1 −

x→ − ∞

4 − 1−

= lim

x→ − ∞

x2

3

3

= lim

x→ − ∞

x2

4x x 1−

3

x2

4 = −4 − 1−0

= x2

et lim

x→ ∞

4x x2

= lim

−3

x→ ∞

= lim

x→ ∞

4x

x2

(1 −

4x x 1−

3

3

x2

4x

= lim

)

4 1−

= lim

x→ ∞

x2

1−

x2

x→ ∞

3

3

= x2

4x x 1−

= lim

x→ ∞

x2

3

x2

4 = 4 1−0

de sorte que les droites y = −4 et y = 4 sont les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ).

e) La courbe décrite par la fonction f ( x ) n’admet aucune asymptote horizontale.

f) La droite y = 0 est l’asymptote horizontale à la courbe décrite par f ( x ).

g) La droite y = 0 est l’asymptote horizontale à la courbe décrite par f ( x ).

(

h) lim f ( x ) = lim x − x→ ∞

x→ ∞

= lim

)

x 2 + 4 = lim

x→ ∞

x+

x2 + x x2 + 4 − x x2 + 4 − x+ x2 − ( x2 + 4 ) x+

(

lim f ( x ) = lim x − x→ − ∞

(

)( x +

x2 + 4

)

x2 + 4 x2 + 4

)

2

x2 + 4

−4 = lim = 0 x→ ∞ x + x2 +  4 

x2 + 4

forme

x→ − ∞

x2 + 4

x→ ∞

x→ ∞

= lim

(x −

)

−4 ∞+∞

x 2 + 4 = −∞

Par conséquent, la droite y = 0 est l’asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). i)

Les droites y = − 1 2 et y = par la fonction f ( x ).

j)

Les droites y = −2 et y = 0 sont les asymptotes horizontales à la courbe décrite par la fonction f ( x ).

26. a)

15

26

1

2

sont les asymptotes horizontales à la courbe décrite

g/L, soit environ 0,58 g/L.

b) 125 min c) 15 g/L d) À long terme, la concentration en sel dans la citerne sera de 15 g/L . 27. a) C ( x ) = 30 000 + 10 x b) 30 100 $ c) Le coût total de production de 10 kg du bien.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

429

x → 10

e) lim C ( x ) = lim ( 30 000 + 10 x ) = ∞ . Le coût total de production d’une très grande x→ ∞

x→ ∞

quantité du bien devient extrêmement grand, voire infini. f) CM ( x ) = g) 1 510 $/kg

30 000 + 10 x 30 000 C ( x) = = 10 + x x x

h) CM ( 20 ) représente le coût par kilogramme lorsque le niveau de production du bien est de 20 kg. i) j)

lim CM ( x ) = 1 510 $/ kg = CM ( 20 )

x → 20

30 000   lim CM ( x ) = lim  10 +  = 10 + 0 = 10 $/ kg. Si la production devient très  x→ ∞ x→ ∞ x  grande, les coûts fixes (qui sont importants, mais finis) se répartissent sur l’ensemble de la production, et ils deviennent alors négligeables par rapport aux coûts variables. Par conséquent, le coût moyen correspond alors au coût variable de production de 1 kg du bien.

28. a) 0 Ω

b) 2, 5 Ω

29. lim C ( t ) = lim

c) 3, 3 Ω

d) 5 Ω

0, 2 t 0, 2 t 0, 2 = lim 2 = lim = 0. À long terme, il ne reste t → ∞ t (1 + 2 2 ) t → ∞ t (1 + 2 2 ) +2 t t  

t→∞ t 2

t→∞

forme

0 ,2 ∞(1 + 0 )

plus de traces du médicament dans le corps du patient. 30. a) 500 ppm 1 ppm. À long terme, la concentration résiduelle du contaminant dans 2 le corps de la personne exposée tombe à 1 2 ppm.

b) lim C ( t ) = t→∞

31. a) 0 b) 1 c) ∞ d) 42 837 025

( x − 4 ) ( 2 x2 + 7 x − 4 ) 2 x 3 − x 2 − 32 x + 16 = lim x→ 4 x→ 4 x 2 − 7 x + 12 ( x − 4 ) ( x − 3)

e) lim

2 ( 4 )2 + 7 ( 4 ) − 4 2 x2 + 7 x − 4 = = 56 x→ 4 x−3 4−3

= lim f)

x2 + x + 4 x2 + x + 4 x2 + x + 4 = −∞ , de sorte que lim lim− = ∞ et lim+ x→ 3 x→ 3 x→ 3 6 − 2x 6− 2x  6− 2x        forme

4 0+

forme

4 0−

n’existe pas. g) −8 h) − 1 12 i)

−4 −4   2( x − 2)  2  lim  − − lim +   = x→ − 1 x + x − x x + 1 x − 2 x 1 2 1 + + 1)( x − 2 )  ( ) ( ) ( ) ( ) (   

x → −1+

= lim + x → −1

− 4 − 2( x − 2) −2 x = lim + = −∞ x → −1 ( x + 1 )( x − 2 ) ( x + 1 )( x − 2 )   forme

j)

−2

2 0−

Chapitre 1

d) lim C ( x ) = 30 100 $ = C (10 )

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

k)

lim

x→ − ∞

x 2 ( 2 − 4 x + 1 x2 ) x2 2 − 4 x + 2 x2 − 4 x + 1 = lim = lim 4 x→ − ∞ x→ − ∞ x(3 − 4 x) 3x − 4 x(3 − x) x 2−

= lim

− 2−

= lim lim

x→ 3

12 − x − 3 = lim x→ 3 x2 − 9 = lim

( (

12 − x − 3

(

x2

− 9)

12 − x

x→ 3

= lim

x→ 3

(

4

(

4

)(

(

4

x

+

1

) 1

x2

x2

− 9)

(

x

12 − x + 3

)

4

+ x

1

)

x2

x2

)

12 − x − 3 12 − x − 9

− 9)

(

12 − x + 3

12 − x + 3

)

= lim

x→ 3

(

)

x2

3− x − 9 ) 12 − x + 3

(

)

− ( x − 3)

( x − 3) ( x + 3)( 12 − x + 3)

= lim

( x + 3)( 12 − x + 3)

x→ 3

x

1

2 − 2−0+0 = − 3−0 3

=

= lim

x→ 3

4

x (3 −

x→ − ∞

(12 − x ) − 9

x2

−x 2 −

= lim

12 − x + 3

)2 + 3 x2

+

x

x

3−

x→ − ∞

l)

4

x(3 −

x→ − ∞

−1

= −

1 36

m) 13 n)

lim

x → 2−

3 x − 6 n’existe pas puisque l’expression sous le radical serait négative. Par

conséquent, lim 3 x − 6 n’existe pas. x→ 2

o)

1

3

p) 0 q) 0 r) − 5 7 s) 42 t)

lim

x→ ∞

x (1 + 4 x ) 1 + 4x x 1 + 4x x+4 = lim = lim = 0 = lim 1 1 x→ ∞ x ( 2 − x ) x→ ∞ x ( 2 − x ) x→ ∞ x ( 2 − 1 x ) 2x − 1  forme

1+ 0 ∞( 2 − 0 )

u) 2 v)

1

w)

25

x)

1

4 14

18

32. a) La fonction f ( x ) décrite au numéro 1 admet une discontinuité essentielle par saut en x = −2, une discontinuité non essentielle par trou en x = 1 et une discontinuité essentielle par saut en x = 3. b) La fonction f ( x ) décrite au numéro 5 admet des discontinuités essentielles infinies en x = −3 et en x = 3. b)

|

|

|

|

|

| | | | | |

|

|

| |

|

|

f (a)

|

|

|

f (a)

|

|

|

|

y

|

y

|

|

a

|

|

x

|

|

|

|

|

|

33. a)

|

Chapitre 1

430

|

|

a

|

|

x

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 1

e)

|

d)

|

| | | | |

a

|

|

|

|

|

|

x

|

|

|

|

|

|

a

|

|

|

x

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

y

|

|

|

|

|

|

|

a

x

34. On observe des discontinuités aux temps t1 et t 2 . La discontinuité en t1 peut s’expliquer par une augmentation salariale, l’obtention d’un emploi plus rémunérateur, des heures supplémentaires, un double emploi, etc. La discontinuité en t 2 peut s’expliquer par une perte d’emploi, un accident de travail ou une maladie (l’employé perçoit alors un revenu d’assurance plutôt qu’un revenu de travail), une prise de retraite, etc. 35. Le pneu a subi une crevaison importante, de sorte que l’air qu’il contient normalement s’est échappé très rapidement, quasi instantanément. 36. a) V ( 0 ) = 15 000 $, soit la valeur du placement de Julie. b) V (12 ) = 16 200 $, soit la valeur du placement de Julie à son échéance. 15 000  14 400 + 100 t c) V ( t ) =  14 700 + 100 t 16 200

si si si si

t = 0 0 < t < 3 3 ≤ t < 12 t = 12

d) 14 700 $ e) 15 000 $ f) La fonction V ( t ) est discontinue à t = 3 puisque lim− V ( t ) ≠ lim+ V ( t ) : la fonction t→3

V ( t ) admet une discontinuité essentielle par saut à t = 3.

t→3

g) 15 900 $ h) La fonction V ( t ) est discontinue à t = 12 puisque lim− V ( t ) ≠ V (12 ) : la fonction t → 12

V ( t ) admet une discontinuité non essentielle par déplacement à t = 12. 10 13  16 37. a) C ( x ) =  19  22   25

si si si si si si

0 1 2 3 4 5

< ≤ ≤ ≤

x 1, 5 . Par conséquent, la balle se dirige vers le haut sur l’intervalle [ 0 ;  1, 5[ .

e) s (1, 5 ) = 60, 025 m

f) s ( t ) = 0 lorsque − 4, 9 t 2 + 14, 7t + 49 = 0, c’est-à-dire lorsque t = 5 s (puisque t ≥ 0). g) La balle se dirige vers le bas lorsque sa vitesse est négative et jusqu’à ce qu’elle touche le sol, soit sur l’intervalle ]1, 5 ;  5 ] . h) La balle a parcouru une distance de 11,025 m (soit l’écart entre sa position initiale et sa hauteur maximale, c’est-à-dire 60, 025 − 49 = 11, 025 m ) lors de sa montée, et une distance de 60,025 m lors de sa descente. Par conséquent, elle a franchi une distance totale de 71,05 m.

37. a) Q′ ( 5 ) = 22, 5 g/min b) 20 min c) Si t > 20 , alors Q′ ( t ) = 30 − 1, 5t < 0 . d) On suppose évidemment que l’individu absorbe des aliments plutôt que de les régurgiter, de sorte qu’il faut que la quantité augmente avec le temps. 38. a) f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 − 2 x = 2 x ( 3 x 2 − 2 x − 1) . En utilisant la formule quadratique, on obtient que les zéros du polynôme 3 x 2 − 2 x − 1 sont x = − 1 3 et x = 1. Par conséquent, on a 3 x 2 − 2 x − 1 = 3  x − ( − 1 3 )  ( x − 1) = 3 ( x +

1

3

)( x − 1). Alors,

f ( x) = 2 x( − 2 x − 1) = 2 x ⋅ 3 ( x + 1 3 )( x − 1) = 6 x ( x + 1 3 )( x − 1). Les valeurs de x qui annulent les facteurs de f ( x ) sont x = 0,  x = − 1 3   et   x = 1 . Construisons le tableau des signes en plaçant ces valeurs en ordre croissant et en prévoyant une colonne pour chaque sous-intervalle qu’elles délimitent. 3 x2

]−∞,  − 1 3[ x f ( x)

−

]0 ,  1[

]− 1 3 ,  0[ −1 0

0

3

+

0

]1,  ∞[ 1

−

0

+

Chapitre 2

|

0 |

|

–1

1

|

|

–2

2

|

y

448

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

La fonction f ( x ) est donc positive si x ∈  ]− 1 3 ,  0[ ou si x ∈  ]1,  ∞[ . Elle est négative si x ∈  ]−∞,  − 1 3[ ou si x ∈  ]0,  1[ . Elle est nulle en x = − 1 3, en x = 0 et en x = 1.

− 8 ( x − 1 4 )( x + 2 ) − 8 x 2 − 14 x + 4 = . Les valeurs de x qui annulent les 2 x − 16 ( x − 4 )( x + 4 ) facteurs du numérateur et du dénominateur de f ( x ) sont x = 1 4 ,  x = −2,  x = 4   et   x = − 4

b) f ( x ) = x =

1

4 ,  x

= −2,  x = 4   et   x = − 4 . La fonction f ( x ) est positive si x ∈  ]− 4,  −2[ ou si x ∈  ]1 4 ,  4[. Elle est

négative si x ∈  ]−∞,  − 4[ , si x ∈  ]−2,  1 4[ ou si x ∈  ]4,  ∞[. Elle est nulle en x = −2

Chapitre 2

et en x =

1

Elle n’est pas définie en x = −4 et en x = 4.

4.

39. a) v ( t ) = t 3 − 11t 2 + 24 t = t ( t − 3)( t − 8 ) m/s b) L’objet est au repos lorsque t = 0 s, t = 3 s et t = 8 s. c) L’objet se déplace vers la droite lorsque t ∈ ]0,  3[ et lorsque t ∈ ]8,  ∞[. d) L’objet se déplace vers la gauche lorsque t ∈ ]3,  8[. e) Il faut additionner la distance parcourue lors du déplacement vers la droite, soit dans les 3 premières secondes, à la distance parcourue lors du déplacement vers la gauche, soit dans les 2 secondes qui suivent. Calculons la position de l’objet en t = 0, t = 3 et t = 5 : s( 0 ) =

1

s ( 3) =

1

s( 5) =

1

4

( 0 )4 − 11 3 ( 0 )3 + 12 ( 0 )2 + 4 = 4 m

4

( 3)4 − 11 3 ( 3)3 + 12 ( 3)2 + 4 =

133

4

( 5 )4 − 11 3 ( 5 )3 + 12 ( 5 )2 + 4 =

23

4

m

12

m

La distance parcourue dans les 3 premières secondes est de 29,25 m (soit 133 4 − 4). La distance parcourue dans les 2 secondes qui suivent est de 31, 3 m ( soit de 133 4 − 23 12 ). Par conséquent, la distance totale parcourue est de 60, 583 m (soit de 29, 25 + 31, 3). 40. a) b)

d3 f = 24 x − 6 dx 3 dg 1 1 3 = − 12t− 2 = − 3 = − dt 2t 2 2 t3 d2 g = dt 2

3

4t

−5 2

=

3 3 = 5 2 4t 4 t5

d3g 15 15 7 = − 15 8 t − 2 = − 7 = − dt 3 8t 2 8 t7 c)

d3 y 24 = −24 x −5 = − 5 x dx 3

41. f ′ ( x ) =

42.

dy = dt

1

d3 y = dt 3

b

( a − bx )

2

2b

3

, f ′′ ( x ) =

( a + bt )− 2 =

8b

1

3

( a − bx )

3

et f ′′′ ( x ) =

6 b3

( a − bx )4

.

3 d2 y b b2 , 2 = − 1 4 b2 ( a + bt )− 2 = − et 3 2 a + bt dt 4 ( a + bt ) 2

( a + bt )− 2 = 5

2 b2

3b 3 8 ( a + bt )

5

2

, de sorte que

d3 y 3b3 3b 3 = = . 5 3 dt t = a 32 2 a 5 8(2a) 2 b

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

449

43. Soit u et v des fonctions de x qui admettent des dérivées d’ordre 1 et d’ordre 2. On veut montrer que ( uv )′′ = uv′′ + 2 u ′v′ + u ′′v. Preuve

( uv )′ = uv′ + vu′ ( uv )′′ = ( uv )′   

′

= ( uv′ + vu ′ )′

= uv′′ + v′u ′ + vu ′′ + u ′v′ = uv′′ + 2 u ′v′ + u ′′v 44. a) La courbe B n’admet qu’une seule tangente horizontale, de pente nulle, de sorte qu’elle ne peut pas décrire graphiquement la fonction f ( x ) puisque sa dérivée f ′ ( x ) ne traverserait l’axe des abscisses qu’à un seul endroit, alors que les courbes A et C le traversent à plus d’un endroit. De même, la courbe C ne peut pas décrire graphiquement la fonction f ( x ). Si elle le faisait, la courbe représentant la dérivée de la fonction devrait traverser l’axe des abscisses en deux endroits puisque la courbe C admet deux tangentes horizontales, de pente nulle, ce qui nous conduirait au résultat selon lequel la courbe B décrirait graphiquement f ′ ( x ), et la courbe A, la fonction f ′′ ( x ). Or, ce résultat est impossible puisque la courbe A coupe l’axe des abscisses en plus d’un endroit, alors que la courbe B ne présente qu’une seule tangente horizontale. Par conséquent, la courbe A décrit graphiquement f ( x ), la courbe C décrit graphiquement f ′ ( x ), et la courbe B décrit graphiquement f ′′ ( x ). b) La courbe C décrit graphiquement la fonction f ( x ), la courbe B décrit graphiquement la fonction f ′ ( x ) et la courbe A décrit graphiquement la fonction f ′′ ( x ).

45. a) v ( 0 ) = 0 m/s

b) v (1) = 0, 1 m/s

c) v ( 4 ) = 0, 2 m/s ∆v d) = 0, 03 m/s 2 ∆t e) m/s 2 dv f)   ou   v′ ( t ) . dt dv 0, 05 g) = m/s 2 dt t h) Il s’agit de l’accélération de l’objet. i)

v′ ( 4 ) = 0, 025 m/s 2

46. a) Comme le temps t est une variable positive, on a ds d = ( 4t + 1 2 t 2 ) = 4 + t > 0 dt dt La vitesse étant positive, l’objet se déplace toujours vers la droite. De plus, v(t ) =

s ( 0 ) = 4 ( 0 ) + 1 2 ( 0 )2 = 0 , de sorte que sa position correspond à la distance parcourue depuis son point de départ. Par conséquent, sa position après 2 s est de s ( 2 ) = 4 ( 2 ) + 1 2 ( 2 )2 = 10 : le véhicule a franchi 10 m et il se situe donc à 80 m du mur (soit 90 − 10 ). b) v ( 2 ) = 6 m/s = 21, 6 km/h

c) v ( t ) = 30 km/h = 8, 3 m/s lorsque t = 4, 3 s. À ce moment, la voiture est située à

s ( 4, 3) = 26, 72 m de son point de départ, de sorte qu’elle se trouve à 63, 27 m du mur.

d) t = 10 s

Chapitre 2

= ( uv′ )′ + ( vu ′ )′

450

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

e) v (10 ) = 14 m/s = 50, 4 km/h dv = 1 m/s 2 ⇒ a (10 ) = 1 m/s 2 dt 47. La vitesse moyenne v est donnée par l’expression : f) a ( t ) =

v =

s ( t0 + h) − s ( t0 − h) ( t0 + h) − ( t0 − h) 1

2a

(t0

2 2 + h ) + b −  1 2 a ( t 0 − h ) + b  2h

1

2a

( t02

+ 2 t 0 h + h2 ) + b −

1

2 2 at 0

=

Chapitre 2

= = =

1

2a

( t02

− 2 t 0 h + h2 ) − b

2h + at 0 h +

1

2

ah2

− 2 at 02 + at 0 h − 2h 1

1

2 ah

2

2 at 0 h 2h

= at 0 La vitesse instantanée correspond à la dérivée : v(t ) =

ds d 1 2 = ( 2 at + b) = at dt dt

de sorte que v ( t 0 ) = at 0 . Par conséquent, la vitesse moyenne de l’objet sur l’intervalle − h,  t 0 + h ] correspond à la vitesse instantanée en t = t 0 .

[ t0

48. a) Le concept de dérivée. b) S =

dR ou S = R ′ ( q ). dq

c) S =

dR d d =  q 2 ( a − bq )  = ( aq2 − bq3 ) = 2 aq − 3bq2 = q ( 2 a − 3bq ) dq dq  dq

d) Ordre 2 : e)

dS d2 R = dq dq 2

dS d  dR  d = = ( 2 aq − 3bq2 ) = 2 a − 6 bq = 2 ( a − 3bq ) dq dq  dq  dq

49. a) V (10 ) = 40 cm 3 b) c) d)

dV dt

t = 10

d 2V dt 2

= V ′ (10 ) = 1 cm 3 /min = V ′′ ( 30 ) = −0,1 cm 3 /min 2

t = 30

dV dV = V ′ ( t ) > 0 cm 3 /min si 0 min ≤ t < 60 min , dt dt

t = 60

= V ′ ( 60 ) = 0 cm 3 /min et

dV = V ′ ( t ) < 0 cm 3 /min si t > 60 min. dt 50. a) Le taux (ou rythme) de croissance d’une fonction correspond à sa dérivée, de sorte que PA ( t 0 ) = 2 PB ( t 0 ) et PA′ ( t 0 ) =

1

3 PB′

( t 0 ).

b) PA ( t 0 ) = PB ( t 0 ) et PA′ ( t 0 ) > PB′ ( t 0 ). c) PA′ ( t ) = kPA ( t ) , où k est une constante de proportionnalité positive. d) Quand une fonction est décroissante, sa dérivée est négative, de sorte que la dérivée d  PA′ ( t ) < 0 ⇒ PA′′ ( t ) < 0 . du rythme de croissance doit être négative, d’où  dt 

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

451

ds > 0. dt Comme le mobile se déplace de plus en plus vite, sa vitesse augmente, de sorte dv d2 s = 2 > 0. que la dérivée de la vitesse doit être positive : dt dt 2 ds dv d s b) > 0 et = 2 < 0. dt dt dt ds dv d2 s c) v = = k > 0, où k est une constante, et = 2 = 0. dt dt dt d) Rappelons que, lorsque le mobile ne se déplace pas, sa vitesse est nulle. La situation est la suivante : le mobile se déplace vers la droite, s’immobilise en t = t 0 , puis repart vers la gauche ; par conséquent, sa vitesse est positive, puis nulle et enfin négative. La vitesse est donc décroissante en t = t 0 , et la dérivée de la vitesse est donc négative en t = t 0 . Par conséquent, v =

ds dv d2 s = 0 et = 2 < 0. dt t = t0 dt t = t0 dt t = t0

dP . dt b) Comme la fonction est croissante (la population augmente), la dérivée de la fonction est positive. Par conséquent, la réponse est B.

52. a) Il s’agit de la dérivée, soit P ′ ( t ) ou

d2 P < 0. dt 2 d) Comme la population augmente avec le temps, la fonction P ( t ) est croissante. Les graphiques B, C, D et F ne peuvent donc pas représenter la fonction P ( t ). Comme le taux de croissance est décroissant, P ( t ) croît à un rythme de plus en plus lent. Il faut donc rejeter le graphique A puisqu’il décrit une fonction qui croît à un rythme de plus en plus rapide à partir de t = c. Le graphique E décrit donc le mieux la fonction P ( t ). c) P ′′ ( t ) < 0 ou

53. y′ = 6 x 2 − 12 x + 4, y′′ = 12 x − 12 et y′′′ = 12, de sorte que y′′′ + y′′ + y′ = 12 + (12 x − 12 ) + ( 6 x 2 − 12 x + 4 ) = 6 x2 + 4

54. A = −2, B = −3 et C = 4.

df 4 = 5 ( x4 − 3 x3 + 2 x − 5) ( 4 x3 − 9 x2 + 2 ) dx dg 2 2 = − b) = − 2 3 3 dt 3( 3 − 2 t ) 3 ( 3 − 2 t )2

55. a)

c)

dh t −3 t −3 = = 3 3 4 2 dt 4 2 (t − 6t ) 2 [ t ( t − 6 )]

d)

dy 12 ( t + 2 ) = − = − 5 2 dt (t + 4t + 2 ) 2

12 ( t + 2 )

e)

2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 10 x 4 10 x 4 ds + = + = 4 4 4 4 3 5 5 2 dx 5 5 3 3 ( x + 1) 5( x + 2 x) 5 [ x ( x + 2 )] 3 ( x + 1)

f)

2 33 t5 − 1 9 3 t5 + 2 df 1   2   =  3t − 2   9 + 5  =  t 3  t 3 t3 dt

g)

85 ( 3 − 2 x )4 dh = − dx ( 3 x + 4 )6

h)

243t 8 ( 6 t − 1) ds = dt ( 9 t − 1)4

i)

14 ( x 2 − 6 x + 2 ) ( 3 x 2 − 5 x + 9 ) dg = dx ( x 2 − 3 )8

(

t2

+ 4t + 2 )

(

6

5

)( 2

)

Chapitre 2

51. a) Comme le mobile se déplace vers la droite, sa vitesse est positive : v =

Chapitre 2

452

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

j)

90 x ( 2 x 2 + 3) dy = − dx ( x 2 − 3 )6

k)

24 t 2 ( t 3 − 1) dh = dt ( t 3 + 1 )5

l)

df = dt

m)

df 3( ad − bc )( ax + b )2 = dx ( cx + d )4

n)

ds 4 t 1 + t 3 + 3t 2 = dt 4 1 + t3 t2 + 1 + t3

o)

3 1 + 2t 3 + t 2 dg = dt 2 1 + 2 t 3 3t + 1 + 2 t 3

p)

dh 2x 5 + 2x + 1 = dx 3 5 + 2 x 3 x2 + 5 + 2 x

q) r) s)

4

3

−2 t 2 − 3t + 2

( 4 t + 3 )( t 2 + 1 )

3

(

)

(

)2

dy 2 = −2 ( 3 − 2 x )( 2 x 3 − 5 ) ( 22 x 3 − 27 x 2 − 10 ) dx df 3 = 4 ( 2 t 2 + 3) ( 4 t − 5 )2 ( 22 t 2 − 20 t + 9 ) dt dg 2 = ( x 2 − 2 ) ( x 4 − 3 x ) (16 x 5 − 24 x 3 − 21 x 2 + 18 ) dx = ( x 2 − 2 ) x 2 ( x 3 − 3) (16 x 5 − 24 x 3 − 21 x 2 + 18 ) 2

t)

x ( 2 x 3 − 4 x 2 + 1) ( 20 x 3 − 28 x 2 + 72 x − 95 ) ds = dx x2 + 4

u)

( − 40 t − 5π + 12 ) 2 t + π dh = 2 2 − 5t dt

v)

( x2 + x + 3) ( x 4 + 5 x 3 + 27 x 2 + 8 x + 4 ) dy = dx ( 1 − x 3 )4

w)

dy = dt

x)

dg = dx

2

3

10

( 3 t 2 + 5 )3 x ( 7 x 3 + 12 x 2

− 9 x − 18 )

( 2 x + 3)3

( 2 t 3 + 1) ( 34 t 3 + 108 t 2 − 1) ds y) = dt 2 ( t + 3)3 2

10 x 3 ( 3 x 3 − 8 ) ( 27 x 6 − 21 x 3 + 8 ) 2 ( 3 x 4 − 8 x ) (135 x 7 − 105 x 4 + 40 x ) df = = 3 dx ( 9 x4 − 4 x ) 2 ( 9 x 3 − 4 )3 2

z)

2

56. Si y est une fonction dérivable de v, si v est une fonction dérivable de u et si u est une dy dy dv du = . fonction dérivable de x, alors dx dv du dx Preuve En vertu du théorème 2.10,

dy dy dv dy dy dv du dv dv du = et = , de sorte que = . dx dv dx dx dv du dx dx du dx

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

57. a)

 2 u3 2 − 1  dy dy du  1  = ⋅ =  2u − ( 2 x − 3) =  ( 2 x − 3)   dx du dx u u   2  2 ( x 2 − 3 x )3 2 − 1  ( 2 x − 3 )    = =  2 x − 3x

b)

− 1  ( 2 x − 3)  x ( x − 3)

[ x ( x − 3)]3

 dy dy du  1  2 = ⋅ =  1 + 2  −   dx du dx u   (1 + x )2 

2

dy dy dv du 2x 3 = ⋅ ⋅ = − 1 2 dx dv du dx x3 + x3 +1 = −

58. a)

(

2 x 3x

2

3

(x

1

3

2

3

+ x

2

3

)

+1

)2

 x2 3 − 1   1   x 2 3   3 x 2 3 

)2

dy dy du  1 4  1  = ⋅ = − 2 − 3      dx du dx u 3u 2x + 2  Si x = 1, alors u =

b)

−1

(

Chapitre 2

4 (1 + x 2 ) 1 2    = − = 1 + −   2  2 (1 − x )2 (1 + x )2  1 − x    (1 + x )      1 + x    c)

453

9

2 (1) + 2 = 2, de sorte que

dy dx

= − x =1

7 . 24

4

dm dm dL = ⋅ = 8 L ( 0, 3 − 0, 2 L ) kg/année dt dL dt b) Lorsqu’un poisson de cette espèce pèse 4 kg, sa masse augmente à raison de 0,8 kg/année.

59. a)

60. La courbe décrite par une fonction f ( x ) admet une droite tangente horizontale là df = 0. où dx a)

df df 7 = 16 x ( x 2 − 4 ) , de sorte que = 0 ⇔ x = −2,  x = 0   ou   x = 2 . dx dx

b)

2 (100 − x 2 ) df df = , de sorte que = 0 ⇔ x = −10   ou   x = 10 . dx dx 200 − x 2

c)

−8 ( 2 x − 1)3 ( x 2 − x − 2 ) df = , de sorte que dx ( x 2 + 2 )5 df = 0 ⇔ dx

x = −1,  x =

1

2   ou   x

{

= 2

}

61. a) Dom g = [ −2,  2 ]  ou  Dom g = x ∈   − 2 ≤ x ≤ 2 . b) g ′ ( x ) =

2 ( 2 − x2 ) 4 − x2

c) La dérivée existe là où elle est définie : 4 − x2 > 0 ⇔ 4 > x2 La dérivée existe lorsque x ∈ ]−2,  2[. d) g ′ (1) =

2 2 3 = ≈ 1, 15 3 3

⇔ 2 > x

⇔ −2 < x < 2

454

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

e) La courbe décrite par g ( x ) admet une tangente horizontale lorsque g ′ ( x ) = 0 : 2 ( 2 − x2 ) 4 − x2 f)

= 0 ⇔ 2 − x 2 = 0 ⇔ x = − 2   ou   x =

2 ( 2 − x2 ) lim− g ′ ( x ) = lim− = −∞ 2 x→ 2 x→ 2 4  − x  forme

Chapitre 2

62. a)

2.

−4 0+

df d 2 d 2 = ( x − 2 x + 3)3 = 3( x 2 − 2 x + 3)2 dx ( x − 2 x + 3) dx dx = 3 ( x 2 − 2 x + 3) ( 2 x − 2 ) = 6 ( x 2 − 2 x + 3) ( x − 1) 2

2

La pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = 2 2

est f ′ ( 2 ) = 6  2 2 − 2 ( 2 ) + 3  ( 2 − 1) = 54 . Comme elle passe par le point ( 2,  f ( 2 )) = ( 2,  27 ), l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( 2,  27 ) est y = 54 ( x − 2 ) + 27, soit y = 54 x − 81.

La pente de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = 2 est − 1 54 puisque la droite tangente et la droite normale sont perpendiculaires. L’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( 2,  27 ) est y = − 1 54 ( x − 2 ) + 27, soit y = − 1 54 x + 730 27 . b) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point (16,  2 ) est y = 1 40 x + 8 5 et celle de la droite normale est y = − 40 x + 642. c) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( 3,  2 ) est y = 1 2 x + 1 2 et celle de la droite normale est y = −2 x + 8. d) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( −3,  1 3 ) est y = 1 27 x + 4 9 et celle de la droite normale est y = −27 x − e) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( 4,  2 ) est y = − 3 16 x + 11 4 et celle de la droite normale est y = 16 3 x −

242

58

3.

3.

f) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( 2,  6 ) est y = 13 3 x − 8 3 et celle de la droite normale est y = − 3 13 x + 84 13 . g) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point ( 5,  5 ) est y = − 3 2 x + 25 2 et celle de la droite normale est y = 2 3 x + 5 3 . 1 + 2 f ( x ) f ′ ( x ) , de sorte que g ′ (1) = 1 2 + 2 ( 4 )( 1 16 ) = 1. De plus, 2 x g (1) = 1 + 4 2 = 17. Par conséquent, l’équation de la droite tangente à la courbe

63. On a g ′ ( x ) =

décrite par la fonction g ( x ) =

x + [ f ( x )] en x = 1 est y = x + 16 . 2

64. a) C ( 6 ) = 6 352, 45 $ b) C (12 ) = 8 061, 13 $  r  c) C ′ ( r ) = 200  1 + 1 200  

47

$/unité de pourcentaage

 r  d) Comme r > 0 ⇒ C ′ ( r ) = 200  1 + 1 200  

47

> 0 . La dérivée est toujours positive ; la

fonction est donc croissante. On peut constater ce résultat autrement : la fonction

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

 r  C ( r ) = 5 000  1 + 1 200  

455

48

augmente lorsque la variable indépendante r augmente,

c’est-à-dire que ⇒

 r   r  ⇒ 1 + b  > 1 + a  1 200   1 200  

rb ra > 1 200 1 200

 r  ⇒ 1 + b  1 200  

48

 r  > 1 + a  1 200  

 r  ⇒ 5 000  1 + b  1 200  

48

48

 r  > 5 000  1 + a  1 200  

48

e) C ′ ( 6 ) = 252, 83 $/unité de pourcentage f) Au bout de 4 ans, lorsque le taux d’intérêt est de 6 % capitalisé mensuellement, l’investissement subit une hausse de 252,83 $ par unité d’augmentation du taux d’intérêt. 65. Soit V le volume d’eau dans le cylindre, h la hauteur du niveau d’eau dans le cylindre et dh r le rayon du cylindre. On a V = π r 2 h = π ( 6 )2 h = 36π h et = 1 cm/s, de sorte que dt dV  dV   dh   d  dh = 36π =  =  ( 36π h ) (1) = 36π  cm 3 /s ≈ 113, 1 cm 3 /s  dh   dt  dt  dh  dt 66. a) Vrai. Le graphique de la fonction f ( x ) = x admet un point anguleux en x = 0, de sorte que la fonction n’est pas dérivable en ce point. ds = 3t 2 − 24 t + 36 = 3( t − 2 )( t − 6 ). La vitesse est nulle lorsque t = 2 dt ou t = 6. Lorsque t ∈ ]2,  6[, v = 3( t − 2 )( t − 6 ) < 0 , de sorte que l’objet se  

b) Faux. v =

positif

négatif

déplace vers la gauche sur cet intervalle de temps. d n . Ainsi, si u n = ( 3t + 2 )2 , alors ( u ) = nu n −1 du dt dt d n ( u ) = dtd ( 3t + 2 )2 = 2 ( 3t + 2 ) dtd ( 3t + 2 ) = 6 ( 3t + 2 ) et nun− 1 = 2 ( 3t + 2 ), dt d de sorte que ( u n ) ≠ nu n −1. dt

c) Faux. En général,

d) Vrai. Si p( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a0 est un polynôme, alors la dérivée de p( x ) est aussi un polynôme : p′ ( x ) = nan x n − 1 + ( n − 1) an − 1 x n − 2 +  + a1 .

e) Vrai : h′ ( a ) = f ( a ) g ′ ( a ) + g ( a ) f ′ ( a ) = f ( a )( 0 ) + g ( a )( 0 ) = 0 . f) Vrai.

g) Faux. La dérivée s’interprète plutôt comme la pente de la droite tangente au point P de la courbe décrite par une fonction. du dv v −u d u du dv dx dx h) Faux. En effet, = ≠ . 2 v dx v dx dx i) Vrai. La dérivée représente le taux de variation instantané, et indique notamment la direction de la variation de la variable dépendante après une faible variation de la variable indépendante. Comme la dérivée est positive, une faible augmentation de la variable indépendante provoquera une augmentation de la variable dépendante, alors qu’une faible diminution de la variable indépendante aurait provoqué une diminution de la variable dépendante.

( )

j)

Faux. Voir l’argument exposé en i.

Chapitre 2

rb > ra

456

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

67. a) Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à x en considérant y comme dy . une fonction dérivable de x, puis isolons dx y3 + 2 xy = 5 x 2

Chapitre 2

d 3 d ( 2 x ⋅ y) ( y ) + dx dx dy dy d + 2x + y (2 x) 3 y2 dx dx dx dy dy + 2x + 2y 3 y2 dx dx dy dy + 2x 3 y2 dx dx dy ( 3 y2 + 2 x ) dx dy dx

=

d ( 5 x2 ) dx

= 10 x = 10 x = 10 x − 2 y = 10 x − 2 y =

10 x − 2 y 3 y2 + 2 x

2 ( 5 x − y) dy = 3 y2 + 2 x dx b)

dy 2x − y − 1 = dx x − 2y + 1

c) Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à x en considérant y comme dy . une fonction dérivable de x, puis isolons dx x 2 + y2 = 100 − x 2 y2 d 2 d 2 d d (100 ) − ( x 2 y2 ) ( x ) + dx ( y ) = dx dx dx 2x + 2y

dy d 2  d 2 = 0 −  x 2 ( y ) + y2 dx ( x )  dx  dx

2x + 2y

dy dy     = −  x 2  2 y  + y2 ( 2 x ) dx   dx  

dy dy = −2 x 2 y − 2 xy2 dx dx dy dy 2y + 2 x2 y = −2 xy2 − 2 x dx dx dy = −2 x ( y2 + 1) ( 2 y + 2 x 2 y ) dx 2x + 2y

−2 x ( y2 + 1) dy = dx 2 y + 2 x2 y − 2 x ( y2 + 1) dy = dx 2 y (1 + x 2 ) x ( y2 + 1) dy = − dx y (1 + x 2 ) d)

dy −3 y − 3 x 2 y + x2 = = − 2 2 dx 6 y + 3x 2y + x

e)

x ( 4 y2 − 3 x ) dy 4 xy2 − 3 x 2 = = dx 4 y3 − 4 x 2 y 4 y ( y2 − x 2 )

f)

dy 6 − 2 xy2 − 3 x 2 y 6 − 2 xy2 − 3 x 2 y = = 2 3 dx 2x y + x x2 ( 2 y + x )

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

g)

x (16 + 9 xy2 ) 16 x + 9 x 2 y2 dy = = 3 1 − 6x y 1 − 6 x3 y dx

h)

6 (1 + xy ) dy 6 + 6 xy = = 2 y − 3 x2 dx 2 y − 3 x2

i)

8 xy − 4 x ( x 2 + y2 ) x ( 2 y − x 2 − y2 ) dy = = 2 2 2 x 2 y + y3 − x 2 dx 4 y( x + y ) − 4 x

j)

457

Chapitre 2

Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à x en considérant y comme dy . une fonction dérivable de x, puis isolons dx x + y + xy = 6 x − y

1

( x + y )−

2

1

2

1

2

( x + y )− 1

1

2

1 d  d d d ( x + y ) 2  + dx ( x ⋅ y ) = dx ( 6 x ) − dx ( y ) dx  dy d d d x + y) + x ( y) + y ( x ) = 6 − ( dx dx dx dx

2

( x + y )−

1

dy dy d d   dx ( x ) + dx ( y )  + x dx + y = 6 − dx

2

( x + y )−

1

2

1

2

dy  dy dy  + y = 6−  1 +  + x dx  dx dx

dy dy + x + y = 6− dx dx 1 dy dy dy 1 ( x + y )− 2 + x + = 6− 2 dx dx dx  1 ( x + y )− 1 2 + x + 1  dy = 6 −  2  dx

+

1

2

( x + y )−

1

2

dy dx y−

1

y−

1

( x + y )−

1

2

( x + y )−

1

2

2

2

  dy 1 1  2 x + y + x + 1 dx = 6 − y − 2 x + y    2 x + y ( 6 − y) 2 x + y ( x + 1)  dy 1 1 − = 2 x+ y +  2 x+ y 2 x+ y 2 x+ y   dx  1 + 2 ( x + 1) x + y  dy 2 ( 6 − y) x + y − 1 =   2 x+ y 2 x+ y   dx 2 x+ y 2 ( 6 − y) x + y − 1 dy = ⋅ 1 + 2 ( x + 1) x + y dx 2 x+ y 2 ( 6 − y) x + y − 1 dy = 1 + 2 ( x + 1) x + y dx k)

dx d 2 d 52 y y − 3y + 1 = y − 3y + 1 = = dy dy dy

(

)

(

qu’en vertu du théorème 2.11, on a

)

5

2y

3

2

−3=

5y

3

2

−6

2

dy 2 = . 3 dx 5y 2 − 6

( 2 y + 3) dy = −2 y2 − 6 y + 9 dx 2

l)

68.

dy 1 + 2 xy = dx 2 y − x2 dy = 0 , de sorte que dx 1 + 2 xy 1 = 0 ⇔ 1 + 2 xy = 0 ⇔ y = − si x ≠ 0 2 y − x2 2x

On a une droite tangente horizontale lorsque

, de sorte

458

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

De plus, la droite tangente passe par le point de tangence, de sorte que l’équation implicite y ( y − x 2 ) − x = 0 doit aussi être satisfaite au point de tangence :  1  1  − x2  − x = 0 ⇔  − −  2x   2x ⇔

1 x + − x = 0 ⇔ 4 x2 2 x 1 = 4 x2 2

⇔ 1 = 2 x3

Chapitre 2

⇔ x =

1 x − = 0 4 x2 2

4 x3 2 1 ⇔ x3 = 2 ⇔ 1=

1 2

3

La courbe décrite par l’équation implicite y ( y − x 2 ) − x = 0 admet donc une droite tangente horizontale en x = 69.

1 . 2

3

dy 2 y − 3 x2 dy 2−3 = , de sorte que = = −1 . L’équation de la droite tangente dx (1,  1) 3−2 dx 3 y2 − 2 x à la courbe décrite par l’équation implicite x 3 + y3 = 2 xy au point (1,  1) est y = − x + 2 et celle de la droite normale est y = x . 1

1

70.

1 1  3 1 dy dy x− 3  y 3 = −  1 8  = − (1) 3 = −1 . L’équation de = − − 1 = −   , de sorte que 3   y x dx dx ( 1 8,  1 8 )  8 2 2 la droite tangente à la courbe décrite par l’équation implicite x 3 + y 3 = 1 2 au point ( 1 8 ,  1 8 ) est y = − x + 1 4 et celle de la droite normale est y = x .

71. Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à x en considérant y comme une dy . fonction dérivable de x, puis isolons dx x 2 + y2 = 1 d 2 d 2 ( x ) + dx (y ) dx dy 2x + 2y dx dy 2y dx dy dx

=

d (1) dx

= 0 = −2 x = −

x y

Si ( x0 ,  y0 ) est un point de tangence, alors la pente de la droite tangente est donnée par

dy x = − 0 , où x02 + y02 = 1. Comme la droite tangente passe par les points dx ( x0 ,  y0 ) y0

( x0 ,  y0 ) et ( 5 4 ,  0 ) , sa pente est aussi donnée par y0 − 0 x = − 0 x0 − 5 4 y0

⇒ y02 = − x0 ( x0 − ⇒ 1=

5

4 x0

5

4

)

⇒ x0 =

y0 − 0 , de sorte que x0 − 5 4

⇒ y02 = − x02 + 4

5

4 x0

⇒ y02 + x02 =

⇒ y0 = ± 1 − x02 = ± 1 −

5

16

25

5

4 x0

= ± 35

Les points de tangence sont donc ( 4 5 ,  3 5 ) et ( 4 5 , − 3 5 ) . La droite tangente qui passe 0 − 35 = − 4 3, de sorte que son équation 4 4 − 5 est y = − 4 3 ( x − 5 4 ) + 0 , soit y = − 4 3 x + 5 3 . De manière similaire, on obtient que l’équation de la droite tangente qui passe par les points ( 4 5 , − 3 5 ) et ( 5 4 ,  0 ) est y = 4 3 x − 5 3.

par les points ( 4 5 ,  3 5 ) et ( 5 4 ,  0 ) a pour pente

5

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

72. L’équation de la droite tangente à l’ellipse d’équation peut s’écrire sous la forme

y x0 x + 02 y = 1. 2 b a

459

y2 x2 + 2 = 1 au point ( x0 ,  y0 ) 2 a b

Preuve On a

2x 2y + 2 a2 b 2y b2

dy = 0 dx dy 2x = − 2 dx a dy 2 x b2 = − 2 ⋅ 2y dx a dy b2 x = − 2 dx a y

dy b2 x = − 2 0 a y0 dx ( x0 ,  y0 ) L’équation de la droite tangente au point ( x0 ,  y0 ) est  dy  y =   ( x − x0 ) + y0  dx ( x0 ,  y0 )  = −

b2 x0 ( x − x0 ) + y0 a 2 y0

= −

b2 x 2 y a2 y b2 x0 x + 2 0 + 02 0 2 a y0 a y0 a y0

= −

b2 x02 + a 2 y02 b2 x0 x+ 2 a y0 a 2 y0

Or, comme ( x0 ,  y0 ) est un point de l’ellipse x02 y2 + 02 = 1 2 a b x02 b2 a 2 y2 + 2 02 = 1 2 2 a b a b b2 x02 + a 2 y02 = 1 a 2 b2 b2 x02 + a 2 y02 = a 2 b2 Si on utilise cette expression dans l’équation de la droite tangente, on a y = −

b2 x02 + a 2 y02 b2 x0 x+ 2 a y0 a 2 y0

y = −

b2 x0 a 2 b2 + x a 2 y0 a 2 y0

a 2 y0 y = − b2 x0 x + a 2 b2 a 2 y0 y a 2 b2 b2 x x + 2 02 = 2 2 2 2 a b a b a b y0 x y + 02 x = 1 b2 a

Chapitre 2

y2  d  x2 d + = (1)  dx  a 2 b2  dx

460

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

73. Toute droite passant par l’origine, soit le centre du cercle d’équation x 2 + y2 = r 2 , est perpendiculaire à la droite tangente au point d’intersection P ( x0 ,  y0 ) de la droite et du cercle. Preuve

Chapitre 2

dy d 2 d 2 ( x + y2 ) = dx ( r ) ⇒ 2 x + 2 y dx = 0 ⇒ dx

dy x = − dx y

⇒

dy x = − 0 dx ( x0 ,  y0 ) y0

de sorte que la pente de la tangente au point P ( x0 ,  y0 ) du cercle d’équation x 2 + y2 = r 2 x est − 0 . Par ailleurs, la pente de la droite passant par le point P et le centre du cercle y0 y −0 y O ( 0,  0 ) est 0 = 0 . Comme le produit de ces deux pentes vaut −1, la droite x0 − 0 x0 tangente au cercle au point P et la droite passant par l’origine (le centre du cercle) et le point P sont perpendiculaires. 74. a)

dy dy x 2 3 = − , de sorte que = − = − . dx y dx ( 2 ,  2 3 ) 2 3 3

(

)

b) C’est la pente de la droite tangente au point 2,  2 3 du cercle. c) y = − 75. a)

3 8 3 x+ 3 3

dR d d d dQ dQ + Q . Or, ε = − = ( PQ ) = P (Q ) + Q ( P ) = P dP dP dP dP dP dP que

Q , de sorte P

dQ εQ dR  εQ  = P− = − et + Q = − εQ + Q = Q (1 − ε ).  P  dP dP P

b) Si la demande est élastique, on a ε > 1, de sorte que

dR = Q (1 − ε ) < 0. Si la dP

dR = Q (1 − ε ) > 0. Si la dP dR demande est d’élasticité unitaire, on a ε = 1, de sorte que = Q (1 − ε ) = 0 . dP c) Si la demande est inélastique, une petite augmentation des prix provoque une augmentation du revenu puisque le revenu en fonction du prix est croissant : dR = Q ( 1 − ε ) > 0. dP d) Si la demande est élastique, une petite augmentation des prix provoque une diminution du revenu puisque le revenu en fonction du prix est décroissant : dR = Q ( 1 − ε ) < 0. dP demande est inélastique, on a ε < 1, de sorte que

e) P =

4 800 −

1

2Q

⇒ P 2 = 4 800 −

dQ dQ = −4 P et ε = − dP dP

1

2Q

⇒ Q = 9 600 − 2 P 2, de sorte que

Q P 4P2 4P2 2P2 . = − (−4P ) ⋅ = = = 2 P Q Q 9 600 − 2 P 4 800 − P 2

De plus, comme Q ≥ 0 et comme P =

4 800 −

1

Par conséquent, la demande est élastique lorsque 2P2

2Q ,

on a P ≤ 2P2

4 800 − P 2

> 1. Or, si

> 1, alors le dénominateur 4 800 − P 2 ≠ 0 , d’où P ≠ 4 800 − P 2 de sorte que P < 4 800 = 40 3 . De plus, on a également 2P2 > 1 ⇒ 2 P 2 > 4 800 − P 2 4 800 − P 2

4 800 = 40 3 .

4 800 = 40 3 ,

⇒ 3 P 2 > 4 800

⇒ P 2 > 1 600 ⇒ P > 40

car P est non négatif

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 2

461

de sorte que la demande est élastique lorsque 40 < P < 40 3 . De manière similaire, on obtient que la demande est inélastique lorsque 0 < P < 40. f)

  2P2 dR = Q (1 − ε ) = ( 9 600 − 2 P 2 )  1 − 2 − 4 800 dP P   = 9 600 − 2 P 2 − = 9 600 − 2 P 2 −

2 P 2 ( 9 600 − 2 P 2 ) 4 800 − P 2 2 P 2 ⋅ 2 ( 4 800 − P 2 ) 4 800 − P 2

Chapitre 2

= 9 600 − 2 P 2 − 4 P 2 = 9 600 − 6 P 2 dy 3 x2 12 12 = − 4 + 5 dx x x 4 dy 6π 3 = b) dx (1 − 2 x )2

76. a)

c)

dy x( 7 x + 2) 7 x2 + 2 x = = 2 2 3 dx ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) 3

d)

dy 8 x 4 − 12 x 3 − 8 x + 3 = dx ( 1 + 2 x 3 )2

e)

3 dy 1  1   = 4  x2 +   2 x − 2    x  x  dx

dy 2 3 = 6 x 3 ( 3 x 2 + 4 ) ( 3 − 2 x 2 ) ( −18 x 4 − x 2 + 8 ) dx dy 3 x4 + 8 x3 + 3 g) = − dx ( 3 − x4 )( 2 x + 4 )3 f)

h)

2 ( x 2 + 2 x − 1) ( x 4 + 7 x 3 − 15 x 2 + 17 x + 14 ) dy = dx ( 4 − 3 x − x 3 )5

i)

dy 1 + 3 x2 y = − 3 dx x + 3 y2

j)

− 6 2 xy + y − y3 2 xy dy = − x + 3 xy2 2 xy − 2 y 2 xy dx

4

dy b) dx

x=4

dy dx

x =1

c)

j)

dy 1 = dx ( 2 ,  1) 2

43 = − 4

g) f ′′′ ( 0 ) = 1 296

k)

dy = −3 dx (1,  3)

15 2

h) f ( 4 ) (1) = 360

l)

dy 2 = dx (1,  −2 ) 3

m)

dy = −6 dx (1,  1)

=

d) f ′ ( −1) = 13 e)

d2 y dx 2

= 4 x =1

d3 y dx 3

1 81

77. a) f ′ ( 2 ) = 10

f)

i)

= x=4

dy 5 = dx ( −2 ,  1) 11

462

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

Cha p i t re 3 1. a)

1

2

b) −1 c) 0 d) −32 e) −∞ 2

f)

2

2

ex ex ex = −∞ et lim+ lim = ∞ , de sorte que lim n’existe pas. x → 4− x − 2 x→ 4 x→ 4 x − 2 − 2 x       e16 0−

forme

forme

e16 0+

g) 0 h) Quand x → 0 − , on a 3 x − 1 < 0 . Comme l’expression 3 x − 1 n’est pas définie lorsque 3 x − 1 < 0 , lim− 3 x − 1 n’existe pas, de sorte que lim 3 x − 1 n’existe x→ 0

x→ 0

pas. Par contre, lim+ 3 x − 1 = 0.

Chapitre 3

x→ 0

i)

log 2 x log 2 x log 2 x = −∞ , de sorte que lim lim = ∞ et lim+ n’existe pas. x → 8− 8 − x x→ 8 8 − x x→ 8 8 − x   forme

j)

3 0+

forme

3 0−

∞

k) 0 l)

0

m) −∞ n) 1 o)

lim 5 x = 0 et lim+ 5 x = ∞ , de sorte que lim 5 x n’existe pas. x → 0− x→ 0 x→ 0       1

1

forme b−∞ avec b = 5 > 1

1

forme b∞ avec b = 5 > 1

p) −∞ q) ∞  8 − x3  n’existe pas puisqu’un logarithme n’est pas défini pour une lim+ log  x→ 2  2 − x   8 − x3  valeur négative. Par conséquent, lim log   n’existe pas.  x→ 2 2− x s) ∃

r)

1−ex 1−0 = = 1 et 1 1+ex 1+0 1

t) On a lim− x→ 0

( (

) )

1 1 e x e− x − 1 e− x − 1 0−1 1−ex lim+ = lim+ − 1 = = −1 = lim+ 1 1 1 x→ 0 1 + e x x → 0 e x e− x + 1 x→ 0 e x + 1 0+1    1

forme

−∞ ∞

1

1−ex n’existe pas. 1 x→ 0 1 + e x 1

de sorte que lim

e 2 x ( e −2 x − 1) e x ( e −2 x − 1) 1 − e2 x = lim = ∞ u) lim = lim x − x −x − 1 x x→ ∞ 1 − e x→ ∞   e     x → ∞ e ( e − 1)  forme

v) −1

−∞ −∞

forme e

∞ ( 0 − 1) 0 −1

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

463

1 1 − ex −1 x x  1 − ex e− x − 1 1  w) lim = lim e = lim e x = lim  ⋅ x x→ 0 1 − ex x→ 0  x→ 0 1 − ex x→ 0 1 − e e 1 − e x     forme

0 0

1 1 = 0 = 1 x x→ 0 e e

= lim

1 − (e x ) 1 − e2 x lim = x) lim x x→ 0 1 − ex     x→ 0 1 − e forme

2

= lim

x→ 0

(1 − e x ) (1 + e x ) 1 − ex

= lim (1 + e x ) = 1 + e 0 = 2 x→ 0

0 0

y) − 1 4 z)

1

3

2. a) 4 094,20 $ b) On cherche la valeur de t telle que C ( t ) = 6 000. Or, C ( t ) = 2 000 (1, 01t ) = 6 000 ⇒ 1, 01t = 3 ⇒ ln (1, 01t ) = ln 3

⇒ t =

ln 3 ≈ 110, 4 mois ln 1, 01

Par conséquent, il faut 111 mois pour que la valeur du capital soit le triple de sa valeur initiale. En effet, après 110 mois, on a accumulé 5 975,59 $, et après 111 mois, on a accumulé 6 035,35 $. c) lim C ( t ) = lim  2 000 (1, 01t )  = 2 000 lim (1, 01t ) = ∞ t→∞ t→∞ t→∞  forme b∞ avec b = 1 ,01 > 1

d) Le capital augmente sans fin, de sorte que l’investissement prend une valeur aussi grande que l’on veut, pourvu que le capital soit investi suffisamment longtemps. 3. a) Environ 40 °C. b) T ( t ) = 75 °C ⇒ 22 + 73 e − 0 ,046 67 t = 75 ⇒ e − 0 ,046 67 t =

75 − 22 53 = 73 73

⇒ ln e − 0 ,046 67 t = ln 53 73 ⇒ − 0, 046 67t = ln 53 73 ⇒ t =

ln 53 73 ≈ 6, 9 min − 0, 046 67

c) 22 °C d) À long terme, le café se refroidira jusqu’à atteindre la température ambiante, soit 22 °C. 4. a) 4 millions d’habitants b) Environ 4,5 millions d’habitants. c) 10 millions d’habitants 5. a) 0 coulomb b) Environ 1,7 coulomb. c) 2 coulombs 6. a) Q ( 0 ) = 4 mg : il s’agit de la quantité initiale de médicament injectée dans le corps du patient. b) Environ 0,54 mg. c) 0 mg d) Q ( t ) = 1 ⇒ 4 e − 0 ,2 t = 1 ⇒ e − 0 ,2 t = 1 4 ⇒ ln e − 0 ,2 t = ln 1 4 ln 4 ⇒ − 0, 2 t = ln 1 4 = ln 1 − ln 4 = − ln 4 ⇒ t = = 5 ln 4 ≈ 6, 9 h 0, 2 Par conséquent, il faudra faire une injection de 3 mg à peu près toutes les 6,9 h.

Chapitre 3

⇒ t ln 1, 01 = ln 3

464

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

7. L’épaisseur de la couche sédimentaire au 1er juillet 2000 était de E ( 0 ) = 10 1, 2 − e − 0 ,01( 0 )  = 2 cm

Comme lim e − 0 ,01 t = 0 , à long terme, elle sera de t→∞  forme b−∞ avec b = e > 1

lim E ( t ) = lim 10 (1, 2 − e − 0 ,01 t )  = 10 (1, 2 − 0 ) = 12 cm t→∞

t→∞

de sorte qu’elle aura augmenté de 10 cm.  40 000  40 800  8. a) S ( t ) =  41 616  42 448, 32   43 297, 29 b)

0 ≤ t 1≤ t 2 ≤ t 3≤ t t = 4

< < <
0, dt f ′ (1) = 0 ⇔

A(1)A − 1 − A1 ln A = 0 ⇔

⇔ ln A = 1 ⇔ 17. a) f ′ ( x ) = 12 e 4 x = 3( 4 ) e 4 x b) f ′′ ( x ) = 48 e 4 x = 3 ( 4 2 ) e 4 x c) f ′′′ ( x ) = 192 e 4 x = 3 ( 4 3 ) e 4 x d) f ( n) ( x ) = 3 ( 4 n ) e 4 x 18. a) 1 000 bactéries b) Environ 1 480 bactéries. c)

dP dt

t = 10

≈ 58 bactéries/h

A= e

A(1 − ln A) = 0

Chapitre 3

de sorte que g ′ ( 2 ) = e −2 [ f ′ ( 2 ) − f ( 2 )] = e −2 (14 − 13) = e −2 .

468

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

19. a) Environ 0,90 cm. b) 150 cm c)

dL dt

≈ 24, 5 cm/année

t =2

20. a) 0,5 millier de personnes ou 500 personnes. b) Environ 2,1 milliers de personnes ou 2 100 personnes.  2, 4  ln   10, 4  ≈ 2 semaines c) t = − 0, 75 d) lim N ( t ) = 2, 5 milliers de personnes = 2 500 perssonnes t→∞

e)

dN dt

≈ 0, 467 millier de personnes/semaine, soit environ 467 personnes par

t =2

semaine.

Chapitre 3

f)

lim N ′ ( t ) = lim

t→∞

21. a) h( 0 ) =

t→∞

30 e − 0 ,75 t

( 2 + 8e

)

− 0 , 75 t 2

=

0

( 2 + 0 )2

= 0 personne/semaine

1 = 0, 2 m ou environ 22 cm. 0, 5 + 4 e − 0 ,5( 0 )

b) t = 2 ln 8 = 2 ln ( 2 3 ) = 6 ln 2 ≈ 4, 2 mois 1 1 = = 2m 0 , 5 + 4 e − 0 ,5 t 0, 5 + 4 ( 0 )

c) lim h( t ) = lim t→∞

t→∞

d) Le concept de dérivée. e) h′ ( t ) ou f) h′ ( t ) =

dh . dt 2 e − 0 ,5 t

( 0, 5 +

)

2 4 e − 0 ,5 t

m/mois ⇒ h′ ( 2 ) =

2 e − 0 ,5( 2 )  0, 5 + 4 e − 0 ,5( 2 ) 

2

≈ 0, 19 m/mois,

soit environ 19 cm/mois. g) lim h′ ( t ) = lim t→∞

t→∞

2 e − 0 ,5 t

( 0, 5 +

)

2 4 e − 0 ,5 t

=

2(0)

( 0, 5 + 0 )2

= 0 m/mois

22. a) H ( 0 ) = 0, de sorte que la persistance d’une habitude qui n’est pas encore acquise ( t = 0 ) est nulle. b) lim H ( t ) = 1 t→∞

c) H ′ ( t ) = 0, 01e − 0 ,01 t > 0 , de sorte que la fonction H ( t ) est croissante. d) H ′ (100 ) ≈ 0, 003 7 point d’indice/mois

e) lim H ′ ( t ) = lim ( 0, 01e − 0 ,01 t ) = 0, 01 lim e − 0 ,01 t = 0, 01( 0 ) = 0 point d’indice/mois t→∞ t→∞ t→∞  forme b− ∞ avec b = e > 1

23. a) C ′ ( x ) = 0, 1e 0 ,002 x ( 0, 002 x + 1) b) D′ ( x ) =

x (10 + 0, 1 x )

(10 + 0, 2 x )2

c) G ′ ( x ) = C ′ ( x ) − D′ ( x ) = 0, 1e 0 ,002 x ( 0, 002 x + 1) −

x (10 + 0, 1 x )

(10 + 0, 2 x )2

d) G ′ ( 200 ) ≈ −2, 2. Comme le gain marginal est négatif, le prédateur a intérêt à chasser une proie moins lourde. 24. a) 0 b) A

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

c)

dy d d d  A (1 − e − kx )  = = A − Ae − kx ) = 0 − Ae − kx ( − kx ) = kAe − kx . (  dx dx dx dx De plus, k ( A − y ) = k  A − A (1 − e − kx )  = k ( A − A + Ae − kx ) = kAe − kx . Par conséquent,

25.

469

dy = k ( A − y ). dx

dG = ( 300 e 0 ,025 x − 240 e 0 ,02 x ) mg/cm. Par conséquent, G ′ ( 2 ) ≈ 65, 6 mg/cm. dx

26. a) C ( 0 ) = Ae − k( 0 ) = A : le paramètre A représente donc la concentration du traceur au moment de l’injection. b)

dC d = ( Ae− kt ) = Ae− kt dtd ( − kt ) = − k ( Ae− kt ) = − kC dt dt

27. a) L ( 0 ) = Ae −1,4( 0 ) = A, de sorte que A représente l’intensité lumineuse à la surface de l’eau. ln 0, 05 b) x = − ≈ 2, 1 m 1, 4 dL = −1, 4 Ae −1,4 x . Par conséquent, L ′ (1) ≈ − 0, 35 A. dx L′ ( x ) −1, 4 Ae −1,4 x d) = = −1, 4 , soit un taux de variation relatif constant. L( x ) Ae −1,4 x 28. a) r ( 0 ) = 40 répétitions/min : au début de l’apprentissage de la tâche, la personne peut la répéter 40 fois par minute. b) r ′ ( t ) = 30 ( ln 3)( 3− 0 ,5 t ) répétitions/min/semainee c) Le nombre de répétitions de la tâche par minute augmente avec le temps. d) r ′′ ( t ) = −15 ( ln 3)2 ( 3− 0 ,5 t ) répétitions/min/semaaine2 e) Le rythme d’augmentation du nombre de répétitions de la tâche diminue avec le temps : il tend à s’amenuiser. 29. a) On a N ( 0 ) = K . Le paramètre K représente la taille initiale de la population. aK aK a = = . À long terme, la taille de bK + ( a − bK ) e − at bK + 0 b a la population est indépendante de sa taille initiale et elle se stabilise à . b a 2 K ( a − bK ) e − at c) N ′ ( t ) = 2  bK + ( a − bK ) e − at  a 2 K ( a − bK ) e − at d) La fonction N ( t ) est croissante lorsque N ′ ( t ) = > 0 2  bK + ( a − bK ) e − at  a 2 K ( a − bK ) e − at < 0. Or, comme les et décroissante lorsque N ′ ( t ) = 2  bK + ( a − bK ) e − at  b) On a lim N ( t ) = lim t→∞

t→∞

2

paramètres K , a et b sont positifs et que e − at > 0 et  bK + ( a − bK ) e − at  > 0 pour toutes les valeurs de t , on a a 2 K ( a − bK ) e − at − at  bK + ( a − bK ) e 

2

> 0 ⇔ a 2 K ( a − bK ) e − at > 0 ⇔ a − bK > 0 ⇔ K
0 et y > 0, de sorte que ln ( 8 − 2 x ) et ln y sont définis. Appliquons le logarithme naturel à chaque membre de l’équation : y = ( 8 − 2 x )x

2

2 ln y = ln ( 8 − 2 x )x   

ln y = x 2 ln ( 8 − 2 x ) Dérivons implicitement par rapport à x : d d ( ln y ) = dx  x 2 ln ( 8 − 2 x ) dx 1 dy d d = x2 ln ( 8 − 2 x ) + ln ( 8 − 2 x ) ( x 2 ) dx y dx dx d 1 dy 1 = x2 ⋅ ⋅ ( 8 − 2 x ) + 2 x ln ( 8 − 2 x ) y dx 8 − 2 x dx x2 1 dy = ( −2 ) + 2 x ln ( 8 − 2 x ) y dx 8 − 2x dy  −2 x 2  = y + 2 x ln ( 8 − 2 x ) dx  8 − 2x  2 dy = ( 8 − 2 x )x dx

 −2 x 2   8 − 2 x + 2 x ln ( 8 − 2 x )  

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

473

En utilisant la mise au même dénominateur, on obtient : 2  −2 x 2 dy 2 x ( 8 − 2 x ) ln ( 8 − 2 x )  = ( 8 − 2 x )x  +  dx 8 − 2x  8 − 2x 

2 + 2 x ( 8 − 2 x ) ln ( 8 − 2 x ) 2  −2 x  = ( 8 − 2 x )x   − x 8 2  

= ( 8 − 2 x )x

−1

2

= 2 x ( 8 − 2 x )x

2  −2 x + 2 x ( 8 − 2 x ) ln ( 8 − 2 x ) 2

−1

[ − x + ( 8 − 2 x ) ln ( 8 − 2 x )]

b)

dy dy 1 = ( ln x )x  + ln ( ln x ) ou = ( ln x )x − 1 [1 + ( ln x ) ln ( ln x )]. dx dx  ln x 

c)

x dy dy  x  2e x = x2 e  + 2 e x ( ln x ) ou = 2 e x x 2 e − 1 (1 + x ln x ). x dx dx  

d)

3x  dy 4 x  4 x ( 2 x + 3e ) = ( x2 + e3 x )  + 4 ln ( x 2 + e 3 x )  ou 2 + e3 x x dx  

e)

dy dy ex 1 + e x ln x + ln x = 1 + ln x − x ou = . e +1 dx dx ex + 1

f) Comme x > 0, x 2 + 3 > 0 et e x + 2 x > 0, on a y > 0, de sorte que ln x , ln ( x 2 + 3), π ln e x + 2 x et ln y sont définis. Appliquons le logarithme naturel à chaque membre de l’équation : π

(

)

y = x

4

3

( x2

ln y = ln  x 

4

3

+ 3) e x 3

( x2

π

+2x

+ 3) e x 3

π

+2x 

( ) + ln ( x2 + 3)

ln y = ln x ln y =

4

4

3

3 ln x



3

(

 + ln e xπ + 2 x 

)

+ 3 ln ( x 2 + 3) + xπ + 2 x

Dérivons implicitement par rapport à x : d d 4  3 ln x + 3 ln ( x 2 + 3) + xπ + 2 x  ln y ) = ( dx dx  d 2 4 1 d 1 1 dy = ⋅ ⋅ ⋅ ( x) + 3 ⋅ 2 ( x + 3 ) + π xπ − 1 + 2 x + 3 dx y dx 3 x dx 1 dy 4 3 = + 2 ( 2 x ) + π xπ − 1 + 2 3x y dx x +3 dy 6x  4  = y + 2 + π xπ − 1 + 2   3x  dx x +3 dy 6x 3 π  4  4 = x 3 ( x 2 + 3) e x + 2 x  + 2 + π xπ − 1 + 2   3x  dx x +3 Nous omettrons la mise au même dénominateur. g)

dy 3 x 7 ( x + 1)4  7 4 12 + − = 6   + x x x 1 2 − dx ( 2 x − 1)

h)

( 3 x2 + 1) ( 2 x − 1)2 dy = x( 4 x + 5) dx

i)

( x3 − 5 ) 7 x 2 + 6  12 x2 + 2 x − 20 x3  dy =   dx ( x4 + 2 )5  x3 − 5 7 ( x 2 + 6 ) x4 + 2 

j)

dy 2x x6 3 x4 + 2 6 x3 24 x 2 6  − + − =   4 5 4 3 2 3 2 dx ( 2 x + 1) 2 + x  x 3 x + 2 2 x + 1 10 + 5 x 

3

  1

4 1 4  18 x + − −  2 3x + 1 2 x − 1 x 4 x +

  5

4

Chapitre 3

dy 4 x −1  x ( 2 x + 3e 3 x ) + ( x 2 + e 3 x ) ln ( x 2 + e 3 x )  . = 4 ( x2 + e3 x ) dx

474

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

33. a) Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à P en considérant Q comme dQ . une fonction dérivable de P , puis isolons dP P = 10 e − 0 ,2 Q d d (P) = (10 e− 0 ,2Q ) dP dP d 1 = 10 e − 0 ,2 Q ( − 0 , 2Q ) dP dQ   1 = 10 e − 0 ,2 Q  − 0, 2   dP  dQ dP dQ dP

1 = −2 e − 0 ,2 Q −

1 = e − 0 ,2 Q 2

e 0 ,2 Q 1 dQ = − − 0 ,2 Q = − dP 2e 2

Chapitre 3

Par conséquent, si Q = 5, alors  e 0 ,2( 5 )  10 e − 0 ,2( 5 ) 10 e 0 Q dQ P ⋅ = − = = 1 ⋅ = − −  2  5 10 P dP Q 

dQ dP

ε = −

La demande présente donc une élasticité unitaire. b) On a

dQ = − dP

ε = −

=

10 . Alors,  − Q + 21 ln ( 30 − Q )  + P  2 Q + 21   30 − Q

dQ Q P dQ P = − ⋅ = − ⋅ dP P Q dP Q

−10  − Q + 21 ln ( 30 − Q )  + P  30 − Q 2 Q + 21  

10

 − Q + 21 ln ( 30 − Q )  Q +  30 Q 2 Q + 21  − 

Par conséquent, si Q = 4, on a

ε =

10  − 4 + 21 ln ( 30 − 4 )  + 4 2 4 + 21   30 − 4

=

325 ≈ 18, 7 > 1 13 ln 26 − 25

Alors, si Q = 4, la demande est élastique. 34. Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont la même pente. Or, la droite y − 2 x = 4 ⇔ y = 2 x + 4 a une pente de 2. On cherche donc une valeur df positive de x pour laquelle = 2 . Or, dx df = 2 ⇔ dx

d d d ( x ln x − x ) = 2 ⇔ x ( ln x ) + ln x ( x ) − 1 = 2 dx dx dx 1 d ⇔ x⋅ ⋅ ( x ) + ln x − 1 = 2 ⇔ 1 + ln x − 1 = 2 x dx

⇔ ln x = 2 ⇔ 35. f ′ ( x ) =

5

( 5 x + 1) ln 4

x = e2

, de sorte que la pente de la droite tangente à la courbe décrite

5 . L’équation de la droite tangente est 16 ln 4 16 ln 4 48 ln 4 5 15 y = x+2− et celle de la droite normale est y = − x+ + 2. 5 5 16 ln 4 16 ln 4

par f ( x ) en x = 3 est f ′ ( 3) =

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

36. y′ = 1 +

475

1 1 et y′′ = − 2 , de sorte que x x x 3 y′′ + xy′ = x 3 ( − x −2 ) + x (1 + x −1 ) = − x + x + 1 = 1

37. a) P1 ( x ) = x b) P3 ( x ) =

c) P5 ( x ) =

d) P7 ( x ) =

1

3x

−

1

2x

1

5 5x −

1

4 4x +

1

−

1

x6

+

1

1

7

3

x7

6

2

+ x 3

−

1

x5

−

1

3x 5

2x 4

2

x4

+ x +

1

3x

3

−

1

2x

+ x

2

e) P1 est en bleu, P3 est en vert, P5 est en jaune et P7 est en rouge.

|

0 –1

|

|

|

|

0,5

1

1,5

2

x

f) Plus le degré du polynôme est élevé, mieux celui-ci épouse la fonction lorsqu’on est près de x = 0. 38.

dp 15 ⇒ p′ ( 4 ) = −3 : après 4 s, le pourcentage des personnes qui se sou= − dt t +1 viennent encore du nombre diminue à raison de 3 points de pourcentage par seconde. (Remarque : Lorsqu’un pourcentage passe de 30 % à 30,1 %, on dit qu’il augmente de 0,1 point de pourcentage.)

39. a) p( 0 ) ≈ 68, 1 % : environ 68,1 % des étudiantes et des étudiants sont en mesure d’écrire une formule de dérivation immédiatement après la fin du cours. b)

20 dp = − points de pourcentage/h dt t + 23

S  40. a) R ( S0 ) = k ln  0  = k ln 1 = 0  S0  b) Si S > S0 > 0, alors ln S > ln S0 puisque la fonction ln x est croissante sur ]0, ∞[ .  S  Comme k > 0, on a R ( S ) = k ln   = k  ln ( S ) − ln ( S0 )  > 0.      S0  positif

positif

c) On a vu en a que R ( S0 ) = 0 , et en b que R ( S ) > 0 lorsque S > S0 . Par conséquent, S0 est un seuil de réponse (de réaction) : il faut un stimulus dont l’intensité soit supérieure à S0 pour obtenir une réponse (une réaction). d)

k k dR k = , de sorte que R ′ ( S0 ) = et R ′ ( 2 S0 ) = . S0 2 S0 dS S dR k = , la sensibilité est inversement proportionnelle à l’intensité du dS S stimulus (S).

e) Comme

41. a) Vrai. d ( ln π ) = 0. dx c) Faux, car la fonction n’est pas définie en x = 0. b) Faux, car

d) Faux, car

d x ( x ) = x x [1 + ln x ] ≠ x x ln x . dx

Chapitre 3

|

–0,5

1

|

|

2

|

3

|

y

476

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

d x d x b ) = b x ln b , de sorte que si ( ( b ) = bx, alors ln b = 1, d’où b = e. dx dx f) Vrai. La pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) est df = 3 e 3 x = 3 f ( x ). donnée par sa dérivée : dx

e) Vrai.

42. a) La fonction f ( x ) est continue sur  \ {kπ k ∈  }, c’est-à-dire pour l’ensemble des réels à l’exception des valeurs qui sont des multiples entiers de π . b) En vertu du théorème 1.4, u ( x ) = 2 − 7 x est continue sur , car c’est un polynôme. De plus, par le théorème 3.2, v ( x ) = ln x est continue si x > 0. En vertu du théorème 1.7, la fonction g ( x ) = ln ( 2 − 7 x ) est continue si 2 − 7 x > 0 , c’est-à-dire

ou si x ∈  −∞, 2 7  . De plus, g ( x ) = ln ( 2 − 7 x ) = 0 lorsque 2 − 7 x = 1, soit lorsque x = 1 7. Enfin, h( x ) = sin x est une fonction continue sur  (théorème 3.6). sin x est continue sur Par conséquent, en vertu du théorème 1.5, f ( x ) = ln ( 2 − 7 x )  −∞,  2 7  \ { 1 7} .

Chapitre 3

si x
0. Comme lim+ − x = 0 et lim+ x→ 0

x→ 0

 2 x sin   ≤  x

479

x , car x > 0

( x ) = 0, alors, en vertu du

 2 théorème du sandwich, lim+ x sin   = 0.  x x→ 0 cos ( 2 x ) 1 1 ≤ ≤ 2 , car x 2 > 0 x2 x2 x  1   1  lorsque x ≠ 0. Comme lim  − 2  = 0 et lim  2  = 0 , alors, en vertu du x→ ∞  x  x→ ∞  x   

b) Si x ∈ , on a −1 ≤ cos ( 2 x ) ≤ 1 , de sorte que −

forme −

1 ∞

forme

cos ( 2 x ) = 0. x→ ∞ x2

1 ∞

théorème du sandwich, lim

c) Si x ∈ , on a −1 ≤ sin x ≤ 1, de sorte que 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3. Alors,

forme

lim

x→ ∞

1 ∞

forme

3 ∞

2 + sin x = 0. 3x + 2

d) Si x ∈ , on a −1 ≤ sin x ≤ 1 et −1 ≤ cos x ≤ 1, de sorte que −2 ≤ sin x + cos x ≤ 2 . −2 sin x + cos x 2 2 ≤ x 2 , car e x > 0 pour toutes les valeurs de x. 2 ≤ 2 ex ex e 2 2 sin x + cos x Par conséquent, 4 − x2 ≤ 4 + ≤ 4 + x 2 lorsque x ∈ . Comme 2 x e e e 2  2    2   lim  4 − x2  = 4 − lim  x 2  = 4 − 0 = 4 et lim  4 + x2  = 4 , alors, en vertu   x→ ∞  e x→ ∞  x→ ∞  e  e  Alors,

forme

2 ∞

sin x + cos x   du théorème du sandwich, lim  4 +  = 4 . 2 x→ ∞  ex π

sin  π e) Si x ≠ 0, on a −1 ≤ sin   ≤ 1, de sorte que e −1 ≤ e  x  ≤ e puisque la fonction  x

f ( x ) = e x est croissante. Alors, e −1 x ≤ x > 0. Comme lim+ x→ 0

(

e −1

)

(

xe

π sin   x

)

≤ e x , car x > 0 lorsque

x = 0 et lim+ e x = 0, alors, en vertu du théorème du x→ 0

π  sin   sandwich, lim+  x e  x   = 0 . x→ 0   

f) Si x ∈ , on a −1 ≤ sin x ≤ 1 et −1 ≤ cos x ≤ 1, de sorte que 0 ≤ cos 2 x ≤ 1 et cos 2 x − sin x 1 2 ≤ ≤ 2 , car x 2 > 0 lorsque 2 x x2 x  1   2  x ≠ 0. Comme lim  − 2  = 0 et lim  2  = 0 , alors, en vertu du théorème x→ ∞  x  x→ ∞  x   

−1 ≤ cos 2 x − sin x ≤ 2 . Alors, −

forme −

du sandwich, lim

x→ ∞

46. a) θ =

2π n

1 ∞

forme

cos 2 x − sin x = 0. x2

2 ∞

Chapitre 3

1 2 + sin x 3 ≤ ≤ , car 3 x + 2 > 0 lorsque x → ∞ . Comme 3x + 2 3x + 2 3x + 2  1   3  lim   = 0 et lim   = 0 , alors, en vertu du théorème du sandwich,  x→ ∞ 3 x + 2 x→ ∞ 3x + 2     

480

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

r2 n  2π  sin   n  2 c) Lorsque n → ∞ , alors x = b) A( n ) =

1

n

→ 0 et u = 2π x → 0 . Par conséquent,

 r2  r2 n  2π    2π   lim A( n ) = lim  sin  sin  = lim  n   n→ ∞  2 n  n   n→ ∞  2

n→ ∞

sin ( 2π x )   r2   sin ( 2π x ) = lim π r 2 ⋅ = lim  x→ 0  2 x x → 0 2π x    sin ( 2π x )  sin u    2 2 = π r 2  lim = π r 2  lim  = π r (1) = π r   x → 0 u → 0 2π x  u   d) Il s’agit de la formule de l’aire d’un disque (cercle). À mesure que le nombre de côtés du polygone augmente, l’aire de la surface que celui-ci délimite s’approche de plus en plus de celle du cercle dans lequel il est inscrit. À la limite, le cercle et le polygone se confondent, de sorte que les aires sont alors identiques. 47. a)

Chapitre 3

b) c) d) e) f) g) h) i)

df dx dg dt dh dx ds dt dy dx df dt dg dx dh dt ds dx

= e x cos ( e x ) = e sin t cos t =  3 sin 2 x + 3sin x ( ln 3) cos x = −2 t sin ( t 2 ) − 2 sin t cos t = −2 t sin ( t 2 ) − sin ( 2 t ) = − e − x [ 2 sin ( 2 x ) + cos ( 2 x )] = sec t = 20 sec 2 (10 x ) tg (10 x ) = −3 cosec ( 3t )  cotg 2 ( 3t ) + cosec 2 ( 3t ) =

2 d d d  tg 2 ( x 3 )  =  tg ( x 3 )  = 2 tg ( x 3 )  tg ( x 3 )  dx dx dx

= 2 tg ( x 3 ) sec 2 ( x 3 ) j) k) l)

(

)

(

−2 t sin 3 3 t 2 + 1 −2 t sin 3 3 t 2 + 1 dy = = 2 dt 3 t2 + 1 2 ( t 2 + 1) 3 ( )

)

df = −12 x cotg ( 3 x 2 + 2 ) cosec 2 ( 3 x 2 + 2 ) + 8 cosec ( 8 x + 5 ) cotg ( 8 x + 5 ) dx dg 10 t − 18 t sec 3 ( 3t 2 + 1) tg ( 3t 2 + 1) = 12 t 2 + 4 2 dt 3 ( t + 1) 3

dh dx ds n) dt dy o) dx df p) dt m)

d 3 ( x ) = 6 x 2 tg ( x 3 ) sec 2 ( x 3 ) dx

= 5 ( x 3 + 1) cos ( 5 x ) + 3 x 2 sin ( 5 x ) = 2 cos t [1 − t ( ln 2 ) sin t ] = e tg x sec 2 x − e x sin ( e x ) =

d  3t e cos dt 

(  − sin ( 

(

)

(

d t 2 + t  = e 3 t  cos  dt  1 d t 2 + t  ( t 2 + t ) 2  +  dt  

) = e t + t ) ( )(t + t )  − ( 2 t + 1) e sin ( t + t ) + 3e = = e 3 t  − sin  3t

2

3t

1

2

2

−1 2

cos

 cos 

(

(

(

) ( 2 t + 1) +  cos ( t

2

3t

2 t2 + t

)

t 2 + t  + cos 

t2 + t

) dtd ( e

d t 2 + t  e 3 t ( 3t )  dt

t2 + t

)

2

)

+ t  e 3 t ( 3) 

3t

)

(  − sin ( 

) = e t + t ) ( )(t + t )  − ( 2 t + 1) e sin ( t + t ) + 3e = 3t

(

2

1

2

2

−1 2

2

3t

3t

2 t2 + t

=

) ( 2 t + 1) +  cos ( t

1 d  2 d 2   cos t 2 Récapitulatifs + t  e 3 t ( 3t )— chapitRe 3 t 2 + t  Réponses t + t )aux  +exeRcices  dt (   dt

= e 3 t  − sin 

− ( 2 t + 1) e 3 t sin

(

cos

(

t2 + t

)

t 2 + t + 6 e 3 t t 2 + t cos

)

+ t  e 3 t ( 3) 

2

)

(

t2 + t

)

+t

t2

2

481

2

q)

dg d  2 x − 1  d   x − 1   x − 1  d   x − 1  = tg  tg  tg = 2 tg   =   2 x + 3  dx   2 x + 3   dx   2 x + 3   dx   2 x + 3   dx  x−1   x−1  d  x−1  = 2 tg  sec 2   2 x + 3   2 x + 3  dx  2 x + 3   x−1   x − 1   ( 2 x + 3)(1) − ( x − 1)( 2 )  sec 2  = 2 tg     2x + 3  2 x + 3   ( 2 x + 3)2   x−1   x − 1   2x + 3 − 2x + 2  = 2 tg  sec 2    2 x + 3   2 x + 3   ( 2 x + 3)2 

r)

(

=

=

( sin t )( e −

t

) dtd ( − t ) − e 1

sin 2

−

= − s)

)

d ( sin t ) e − t − e − d  e− t  dh dt = = dt dt  sin t  ( sin t )2

e−

t

sin t − e− 2 t sin 2 t

t

2

− t

cos t

t − e−

coss t

sin t + 2 t cos t ⋅ 2 t e

t

=

t

t

=

 x−1   x−1  10 tg  sec 2   2 x + 3   2 x + 3 

( 2 x + 3)2

Chapitre 3

 5  x−1   x − 1  = = 2 tg  sec 2   2 x + 3   2 x + 3   ( 2 x + 3)2 

d ( sin t ) dt

( sin t )( e −

t

)( −

1

2t

−1 2

sin 2

) − e−

t

cos t

t

 sin t + 2 t cos t   sin t  + cos t     2 t  2 t = − sin 2 t e t sin 2 t

sin t + 2 t cos t 1 = − 2 sin t 2 t e t sin 2 t

ds = −2 ( 4 x + 2 e 2 x ) sin ( 2 x 2 + e 2 x ) cos ( 2 x 2 + e 2 x ) dx = −2 ( 2 x + e 2 x ) sin  2 ( 2 x 2 + e 2 x )   t − 1  t − 1 sec  tg  t + 1   t + 1  ( t + 1)2

t)

dy = dt

u)

cos x 2 4 + cos 2 x − sin x df sin x cos x = 2 cos x − = dx 4 + cos 2 x 4 + cos 2 x

v)

dg sin ( ln t ) + t cotg t sin ( ln t ) = − − cotg t = − dt t t

w)

2 ( 6 x 2 + e 2 x ) sin ( x 2 ) − 3 x ( 4 x 3 + e 2 x ) cos ( x 2 )  dh =  dx sin 4 ( x 2 )

x)

−2 t cosec ( t 2 ) 1 − cotg ( t 2 )   cotg ( t 2 )  + 1 + cosec ( t 2 )   cosec ( t 2 )  dy = 2 dt 1 − cotg ( t 2 ) 

(

{

=

−2 t cosec ( t 2 )  cotg ( t 2 ) + cosec ( t 2 ) + 1  1 − cotg ( t 2 ) 

2

)

}

482

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

48. a) b)

dy cos y + y sin x = dx x sin y + cos x cos ( x − y ) − e x ( x + 1) dy = cos ( x − y ) dx

c) Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à x en considérant y comme dy . une fonction dérivable de x, puis isolons dx e x tg ( xy2 ) = x + 3 y d x d  e tg ( xy2 )  = ( x + 3 y) dx dx dy d d  tg ( xy2 )  + tg ( xy2 ) ( e x ) = 1 + 3 ex dx  dx dx dy d e x sec 2 ( xy2 ) ( xy2 ) + e x tg ( xy2 ) = 1 + 3 dx dx dy d d ( x )  + e x tg ( xy2 ) = 1 + 3 e x sec 2 ( xy2 )  x ( y2 ) + y2 dx dx  dx 

Chapitre 3

dy dy   + y2  + e x tg ( xy2 ) = 1 + 3 e x sec 2 ( xy2 )  2 xy dx dx   2 xye x sec 2 ( xy2 )

dy dy + y2 e x sec 2 ( xy2 ) + e x tg ( xy2 ) = 1 + 3 dx dx dy dy −3 = 1 − e x tg ( xy2 ) − y2 e x sec 2 ( xy2 ) 2 xye x sec 2 ( xy2 ) dx dx dy  2 xye x sec 2 ( xy2 ) − 3  = 1 − e x tg ( xy2 ) − y2 e x sec 2 ( xy2 ) dx 1 − e x tg ( xy2 ) − y2 e x sec 2 ( xy2 ) dy = dx 2 xye x sec 2 ( xy2 ) − 3

d)

dy tg x sec 2 x = dx tg y sec 2 y

e)

dy y = − dx x

f)

dy = dx

 x y sec 2    y   x x sec 2   + y2  y

49. a) Comme x > 0, on a y > 0, de sorte que ln x et ln y sont définis. Appliquons le logarithme naturel à chaque membre de l’équation : y = x sin x ln y = ln ( x sin x ) ln y = sin x ln x Dérivons implicitement par rapport à x : d d ln y ) = ( sin x ln x ) ( dx dx 1 dy d d = sin x ( ln x ) + ln x ( sin x ) dx y dx dx dy 1   = y  sin x ⋅ + cos x ln x    dx x dy   sin x = x sin x  + cos x ln x   x  dx

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

483

En utilisant la mise au même dénominateur, on obtient : dy  sin x  = x sin x  + cos x ln x   x  dx  sin x + x coss x ln x  = x sin x    x = x sin x −1 ( sin x + x cos x ln x ) b)

dy = ( cos x )sin x [ cos x ln ( cos x ) − sin x tg x ] dx

c)

dy = dx

(

3

x2 + 1

)

cos x

 2 x cos x sin x ln ( x 2 + 1)  −   ou 2 3  3 ( x + 1) 

2 + 1 sin x ln x 2 + 1  1 cos x − 1  2 x cos x − ( x ) ( ) . dy = ( x 2 + 1) 3   3 dx  

d)

dy  2 sin 2 x   2 sin 2 x  2 2 = x 2 sin x  + 4 ln x sin x cos x  = x 2 sin x  + 2 ln x sin ( 2 x ) ou   x x dx  

50.

51.

2 sin  2 ( 3π 8 )  dy dy 2 sin ( 2 x ) = = = , de sorte que cos ( π 4 ) dx cos y dx ( 3 π 8,  π 4 ) 1 dy d d 3  cos ax  = = ( cos ax ) 3 = dx dx dx 

=

52. a)

1 3( cos ax )

2

3

( − sin ax )

1

dy = 3 cos ( 3 x ) − 5 sin ( 5 x ) dx

d3 y = −27 cos ( 3 x ) + 125 sin ( 5 x ) dx 3 dy 2x = 1 + x2 dx d2 y 2 − 2 x2 = 2 dx ( 1 + x 2 )2

4 x ( x 2 − 3) d3 y = 3 dx ( 1 + x 2 )3 c)

d)

dy = 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) = 3 sin ( 6 x ) dx d2 y = 18 cos ( 6 x ) dx 2 d3 y = −108 sin ( 6 x ) dx 3 dy = e x ( x + 1) dx d2 y = ex ( x + 2) dx 2 d3 y = e x ( x + 3) dx 3

( cos ax )−

d a sin ax ( ax ) = − 3 2 dx 3 cos ax

d2 y = −9 sin ( 3 x ) − 25 cos ( 5 x ) dx 2

b)

3

2

3

d ( cos ax ) dx

2 2

2

= 2.

Chapitre 3

dy 2 = 2 x 2 sin x − 1 sin x ( sin x + 2 x ln x cos x ). dx

484

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

e)

dy 1− x = e − x (1 − x ) = dx ex d2 y x−2 = e− x ( x − 2 ) = dx 2 ex d3 y 3− x = e− x ( 3 − x ) = ex dx 3

f)

dy = sec x dx d2 y = sec x tg x dx 2 d3 y = sec x ( sec 2 x + tg 2 x ) dx 3

53. a) f ′ ( x ) = 2 e 2 x f ′′ ( x ) = 4 e 2 x = 2 2 e 2 x f ′′′ ( x ) = 8 e 2 x = 2 3 e 2 x f ( 4 ) ( x ) = 16 e 2 x = 2 4 e 2 x

Chapitre 3

Nous pouvons donc en déduire que f ( n) ( x ) = 2 n e 2 x , pour n ∈ ∗. 1 = x −1 x d −1 f ′′ ( x ) = ( x ) = − x −2 = − (1) x −2 dx d f ′′′ ( x ) = ( − x−2 ) = 2 x −3 = 2 (1) x−3 dx

b) f ′ ( x ) =

f ( 4 ) ( x ) = − 6 x − 4 = − ( 3)( 2 )(1) x − 4 f ( 5 ) ( x ) = 24 x −5 = ( 4 )( 3)( 2 )(1) x −5 d ( 24 x−5 ) = −120 x− 6 = − ( 5 )( 4 )( 3)( 2 )(1) x − 6 dx Nous pouvons donc en déduire que f ′ ( x ) = 1 x et que f (6) ( x ) =

f ( n) ( x ) = ( −1)n + 1 ( n − 1)( n − 2 )( 2 )(1) x − n pour n ∈  et n > 1. c) f ′ ( x ) = − sin x f ′′ ( x ) = − cos x f ′′′ ( x ) = sin x f ( 4 ) ( x ) = cos x f ( 5 ) ( x ) = − sin x f ( 6 ) ( x ) = − cos x Nous pouvons donc en déduire que, pour n ∈ ∗,

d) f ′ ( x ) = 2 cos ( 2 x )

( −1)( n + 1) 2 sin x si n est impair f ( n) ( x ) =  n 2 si n est pair ( −1) cos x

f ′′ ( x ) = − 4 sin ( 2 x ) = −2 2 sin ( 2 x ) f ′′′ ( x ) = − 8 cos ( 2 x ) = −2 3 cos ( 2 x ) f ( 4 ) ( x ) = 16 sin ( 2 x ) = 2 4 sin ( 2 x ) f ( 5 ) ( x ) = 32 cos ( 2 x ) = 2 5 cos ( 2 x ) f ( 6 ) ( x ) = − 64 sin ( 2 x ) = −2 6 sin ( 2 x )

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

485

Nous pouvons donc en déduire que, pour n ∈ ∗, 

( n + 3)

( −1) f ( n) ( x ) =  n

2 n cos ( 2 x ) si n est impair

2

( −1) 2 2 n sin ( 2 x )

si n est pair

e) f ′ ( x ) = −2 cos x sin x = − sin ( 2 x ) f ′′ ( x ) = −2 cos ( 2 x ) f ′′′ ( x ) = 4 sin ( 2 x ) = 2 2 sin ( 2 x ) f ( 4 ) ( x ) = 8 cos ( 2 x ) = 2 3 cos ( 2 x ) f ( 5 ) ( x ) = −16 sin ( 2 x ) = −2 4 sin ( 2 x ) f ( 6 ) ( x ) = −32 cos ( 2 x ) = −2 5 cos ( 2 x ) Nous pouvons donc en déduire que, pour n ∈ ∗, ( −1)( n + 1) 2 2 n − 1 sin ( 2 x ) si n est impair f ( n) ( x ) =  n 2 n − 1 cos ( 2 x ) si n est pair ( −1) 2 54. a) Si u ( x ) est une fonction dérivable de x, alors

d du ( cotg u ) = − cosec 2 u . dx dx

Soit u ( x ) une fonction dérivable de x. On a d d cos u  ( cotg u ) =   dx dx sin u  d d ( cos u ) − cos u ( sin u ) dx dx = sin 2 u du du − sin 2 u − cos 2 u dx dx = sin 2 u sin u

sin 2 u + cos2 u du dx sin 2 u 1 du = − identitté 1 : sin 2 u dx du = − cosec 2 u dx = −

sin 2 u + cos 2 u = 1

b) Si u ( x ) est une fonction dérivable de x, alors d du ( cosec u ) = − cosec u cotg u dx dx Preuve Soit u ( x ) une fonction dérivable de x. On a d d 1  ( cosec u ) =   dx dx sin u  = = = = =

d ( sin u )−1   dx  d − ( sin u )−2 ( sin u ) dx du 1 − ( cos u ) sin 2 u dx cos u du 1 − ⋅ sin u sin u dx du − cosec u cotg u dx

Chapitre 3

Preuve

486

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

55. Si y = ln sec x , alors

dy = tg x. dx

Preuve Si sec x > 0, alors sec x = sec x et d 1 d ( ln sec x ) = sec x dx sec x dx =

1 d ( sec x ) sec x dx

=

sec x tg x sec x

= tg x De plus, si sec x < 0, alors sec x = − sec x et

Chapitre 3

d 1 d ( ln sec x ) = sec x dx sec x dx =

1 d ( − sec x ) − sec x dx

=

− sec x tg x − sec x

= tg x d ( ln sec x ) = tg x . dx dy 56. Si y = ln sec x + tg x , alors = sec x . dx Par conséquent,

Preuve Si sec x + tg x > 0, alors sec x + tg x = sec x + tg x et d d sec x + tg x ( ln sec x + tg x ) = sec x 1+ tg x dx dx =

1 d ( sec x + tg x ) sec x + tg x dx

=

1 ( sec x tg x + sec 2 x ) sec x + tg x

=

sec x ( tg x + sec x ) sec x + tg x

= sec x De plus, si sec x + tg x < 0, alors sec x + tg x = − ( sec x + tg x ) et d d sec x + tg x ( ln sec x + tg x ) = sec x 1+ tg x dx dx =

d 1  − ( sec x + tg x )  − ( sec x + tg x ) dx 

=

1  − ( sec x tg x + sec 2 x )  − ( sec x + tg x ) 

=

sec x ( tg x + sec x ) sec x + tg x

= sec x d Par conséquent, ( ln sec x + tg x ) = sec x . dx

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

57. a)

487

d [ sin ( 4 x )] = 0 ⇔ 4 cos ( 4 x ) = 0 ⇔ 4 x = ( 2 k + 1)π 2 ⇔ x = ( 2 k + 1)π 8 , dx où k ∈ . Les valeurs de x ∈ [ 0,  2π ] pour lesquelles la droite tangente est horizontale (soit de pente nulle) sont donc π 8, 3π 8 , 5 π 8 , 7 π 8 , 9 π 8 , 11π 8 , 13π 8 et 15 π 8 .

b) 0,  π   et   2π . c)

d  sin x  2 cos x + 1   = dx 2 + cos x ( 2 + cos x )2 de sorte que d  sin x    = 0 ⇔ 2 cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = − 1 2 dx  2 + cos x  ⇔

x =

2π

3

+ 2 kπ ou x =

4π

3

+ 2 kπ ( où k ∈  )

Les valeurs de x ∈ [ 0,  2π ] pour lesquelles la droite tangente est horizontale (soit de pente nulle) sont donc 2 π 3 et 4 π 3 . 58. a) L’équation de la droite tangente est donnée par y = 2 x + droite normale est donnée par y = − x 2 − π 8 − 1 .

π

2

− 1 et celle de la

6 π 6 2 x− + et celle de 4 24 2 2 6 2 π 6 la droite normale est donnée par y = − x+ + . 3 9 2

c) L’équation de la droite tangente est donnée par y = −

3 π 3 x+ + 1 et celle de 2 12

2 3 π 3 x− + 1. 3 9 d) L’équation de la droite tangente est donnée par y = 3 4 et celle de la droite normale est donnée par x = π 4 . la droite normale est donnée par y =

59.

dθ d 2θ = −ω sin (ω t + ϕ ) et 2 = −ω 2 cos (ω t + ϕ ). Par conséquent, dt dt d 2θ + ω 2θ = −ω 2 cos (ω t + ϕ ) + ω 2  cos (ω t + ϕ )  = 0 dt 2

60. y′ = −12 sin ( 4 x ) et y′′ = − 48 cos ( 4 x ), de sorte que y′′ + ky = 0 ⇒ − 48 cos ( 4 x ) + 3k cos ( 4 x ) = 0 ⇒

(− 48 + 3k ) cos ( 4 x ) = 0

⇒ 3k = 48

car cos ( 4 x ) n’est pas la fonction nulle

⇒ k = 16 61.

dy d2 y = 2 k cos ( 2 x ) et 2 = − 4 k sin ( 2 x ), de sorte que dx dx d2 y n(2 x) − 4 y = 6 sin ( 2 x ) ⇒ − 4 k sin ( 2 x ) − 4 k sin ( 2 x ) = 6 sin dx 2 ⇒ − 8 k sin ( 2 x ) = 6 sin ( 2 x ) ⇒ −8k = 6 ⇒ k = − 3 4

62.

{

dy d = A sin  dt dt = A cos  = A

(

k

(

m

(

k

m

) t  + B cos (

k

m

) t }

) t  dtd ( ) t  − B sin ( ) cos ( ) t  − B ( ) sin ( k

k

m

k

m

m

k

m

k

m

k

) t  dtd ( ) t 

m

k

m

) t 

Chapitre 3

b) L’équation de la droite tangente est donnée par y =

488

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

{ ( ) cos ( )t  − B ( ) sin ( )t }

d2 y d A = dt 2 dt = −A

(

k

k

= − A( k m

k

m

k

m

) sin ( ) t  dtd ( ) sin ( ) t  − B ( k

m

k

k

m

m

m

) t  − B ( ) coos ( ) cos ( ) t 

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

) t  dtd (

k

m

) t 

m

de sorte que m

{

d2 y + ky = m − A ( k m ) sin  dt 2

{

(

(

k

m

m

) t  − B (

k

m

) cos (

k

m

) t }

) t  + B cos ( ) t } ) t  − Bk cos ( ) t  + Ak sin (

+ k A sin  = − Ak sin 

k

(

k

k

m

k

m

m

k

m

) t  + Bk cos (

k

m

) t 

= 0 63. a) −1 m ds = ( cos t + sin t ) m/s dt

b) v ( t ) =

Chapitre 3

c) 1 m/s d)

(

1

2

+

3

64. a)

(−

3

125 3

) m/s ≈ 1, 37 m/s

dv = ( − sin t + cos t ) m/s 2 dt

e) a ( t ) = f)

2

) m/s

2

+

2

m ≈ 108, 3 m

1

2

2

≈ − 0, 37 m/s 2

dp = 250 cos ( 2θ ) m/rad dθ c) 125 m/rad b)

d) Lorsque l’angle initial de la trajectoire de la balle est de π 6 rad, la portée de la balle augmente à raison de 125 m par radian d’augmentation de l’angle. 65. a)

25 3

3   cm

2

≈ 14, 4 cm 2

dA = 25 sec 2 θ cm 2 /rad dθ c) 50 cm 2 /rad b)

d) Lorsque l’angle θ à la base du triangle est de π 4 rad, l’aire de la surface triangulaire augmente à raison de 50 cm 2 par radian d’augmentation de l’angle. 66. a) x (θ ) = 3cosθ b)

3 3

2

m ≈ 2, 6 m

c) 1, 5 m dx d) = −3sin θ m/rad dθ e) −1, 5 m/rad f) Lorsque l’angle θ que fait l’échelle avec le sol est de π 6 rad, la distance du pied de l’échelle au mur diminue à raison de 1,5 m par radian d’augmentation de l’angle. 67. a) À 8 h 00, t = 2, de sorte que T ( 2 ) = 24 °C. De même, à 12 h 00, on observe une température de T ( 6 ) = 28 °C, à 20 h 00, une température de T (14 ) = 16 °C, et à 3 h 00, une température de T ( 21) ≈ 14, 3 °C. b) T ′ ( t ) =

2π  π  cos  t  °C/h, de sorte que  12  3 T ′(2) =

3π °C/h ≈ 1, 81 °C/h 3

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

489

T ′ ( 6 ) = 0 °C/h 3π °C/h ≈ −1, 81 °C/h 3 2π T ′ ( 21) = °C/h ≈ 1, 48 °C/h 3 c) À 8 h 00, la température augmente à raison d’environ 1, 81 °C/h ; à 12 h 00, la température n’augmente pas et ne diminue pas : elle est à son maximum ; à 20 h 00, la température diminue à raison d’environ 1, 81 °C/h ; à 3 h 00, la température augmente à raison d’environ 1, 48 °C/h. T ′ (14 ) = −

68.

dN dt

t =3

=

125π 2 ≈ 185 prédateurs/mois 3

69. a) 0,5 m ds d = (1, 5 − e− t / 10 cos t ) = − e− t / 10 dtd ( cos t ) + cos t dtd ( − e− t / 10 ) dt dt d = e − t / 10 sin t − e − t / 10 cos t ( − t 10 ) = e − t / 10 sin t + 1 10 e − t / 10 cos t dt = e − t / 10 ( sin t +

1

10 cos t

) m/s

de sorte que s ′ ( 0 ) = 10 m/s . Comme la vitesse initiale est positive 1 10 > 0 ], la masse se déplace initialement vers le haut. 1

[ v( 0 ) = s′ ( 0 ) =

ds = e − t / 10 ( sin t + 1 10 cos t ) ⇒ v ( 2 ) ≈ 0, 71 m/s dt d) Comme e − t /10 ≠ 0 pour toutes les valeurs de t , on a

c) v ( t ) =

v ( t ) = 0 ⇔ e − t / 10 ( sin t +

1

10 cos t

⇔ sin t = − 1 10 cos t

)=

0 ⇔ sin t +

1

10 cos t

= 0

⇔ tg t = − 1 10

⇔ t = arctg ( − 1 10 ) + kπ , où k ∈   ⇔ t ≈ − 0, 0997 + kπ , où k ∈   Comme le temps est une variable non négative, la masse change de direction pour la première fois lorsque k = 1, c’est-à-dire lorsque t = arctg ( − 1 10 ) + π ≈ 3, 04 s e) Comme −1 ≤ cost ≤ 1 et que − e − t /10 < 0, on a − e − t / 10 ≤ − e − t / 10 cos t ≤ e − t / 10 , de sorte que 1, 5 − e − t / 10 ≤ 1, 5 − e − t / 10 cos t ≤ 1, 5 + e − t / 10 . De plus, comme lim (1, 5 − e − t / 10 ) = 1, 5 − lim ( e − t / 10 ) = 1, 5 − 0 = 1, 5 et t→∞ 

t→∞

forme b−∞ avec b = e > 1

lim (1, 5 + e − t / 10 ) = 1, 5 + 0 = 1, 5

t→∞

alors, en vertu du théorème du sandwich, lim (1, 5 − e − t / 10 cos t ) = 1, 5 m . À long t→∞

terme, l’oscillation de la masse est amortie, et la position de la masse se stabilise à 1,5 m au-dessus du sol. 70. a) F ( π 4 ) = 20 2 N ≈ 28, 3 N b)

dF 15 cosθ − 30 sin θ = − N/rad dθ ( 0, 5 sin θ + cosθ )2

20 2 N/rad ≈ 9, 4 N/rad 3 d) Lorsque l’angle que fait la corde avec l’horizontale est de π 4 rad, l’intensité de la force augmente à raison d’environ 9,4 N par radian d’augmentation de l’angle.

c) F ′ ( π 4 ) =

71. a) Faux. lim

x→ 0

sin x sin x sin x   1  1  1   = lim =  lim lim = 1 =  x → 0 x   x → 0 x + 3   0 + 3  x → 0 x ( x + 3) x2 + 3 x 3

Chapitre 3

b)

490

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

b) Vrai. Il s’agit de la définition de la dérivée en un point. d ( sin 2 θ ) = ddθ ( sin θ )2  = 2 sin θ ddθ ( sin θ ) dθ = 2 sin θ cosθ = sin ( 2θ )

c) Faux. f ′ (θ ) =

d) Faux. f ′ ( t ) =

d sin t 1 d [ ln ( cos t )] = cos t dt ( cos t ) = − cos t = − tg t dt

d d d ( sec x )3  = 3 sec 2 x ( sec x ) ( sec 3 x ) = dx   dx dx = 3 sec 2 x ( sec x tg x ) = 3 sec 3 x tg x

e) Vrai. f ′ ( x ) =

Chapitre 3

72. a)

dy 1 = 4 3 dx 4 x 1−

x

3e 3 x

b)

dy = 1 + e6 x dx

c)

dy 2x 2x = = dx ( x 2 + 1) x 4 + 2 x 2 ( x 2 + 1) x x 2 + 2

d)

dy 1 = 2 dx x +1

e)

dy d   3 = arccos    = −  x dx dx 

= −

f)

1

 3  −  = − 9  x2  x2

1

= − 1+

= − =

 3 1−   x 1

x2

dy d  x+ = arccotg  x− dx dx 

= −

1

( x + 4) ( x − 1)2

2

⋅

x2

2

d ( 3 x −1 ) = − dx

 3    = − 9  x2 

1 9 1− 2 x

( −3 x −2 )

x2 x2

3x  3    = 2 2 − 9  x2  x x −9

x2

4  = − 1  

1 d x+  2  x + 4  dx  x − 1+  x − 1 

4  1

( x − 1)(1) − ( x + 4 )(1) ( x − 1)2

1

( x − 1)2 + ( x + 4 )2 ( x − 1)2

⋅

x−1− x−4

( x − 1)2

( x − 1 )2 −5 5 ⋅ = 2 2 2 2 ( x − 1) + ( x + 4 ) ( x − 1) ( x − 1) + ( x + 4 )2

5 5 = x 2 − 2 x + 1 + x 2 + 8 x + 16 2 x 2 + 6 x + 17

g)

dy 4x 2x = = 2 + 1 x 2 + 1 2 dx 4 x ( ) 4 x x 4 ( )

h)

4 arccosec ( x 2 ) dy = − dx x x4 − 1

i)

dy = 2 x arccos ( 2 x ) − dx

j)

dy x2 + 1 + 2 x arcsin = dx 2 x 1− x

2 x2 1 − 4 x2

=

2 x  1 − 4 x 2 arccos ( 2 x ) − x  1 − 4 x2

( x) =

n x 2 + 1 + 4 x x 1 − x arcsin 2 x 1− x

( x)

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

491

d d x 3 + 1)  arctg ( 3 x 2 )  −  arctg ( 3 x 2 )  ( x 3 + 1) dy d  arctg ( 3 x 2 )  ( dx dx = k)   = dx dx  x 3 + 1  ( x 3 + 1 )2

( x 3 + 1) =

1 d ( 3 x 2 ) − arctg ( 3 x 2 )  ( 3 x 2 ) 2 1 + ( 3 x 2 ) dx

( x 3 + 1 )2

6 x ( x 3 + 1) = =

=

( x 3 + 1)

2

6 x ( x 3 + 1) − 3 x 2 (1 + 9 x 4 ) arctg ( 3 x 2 ) 1 + 9 x4 ( x 3 + 1 )2

=

6 x ( x 3 + 1) − 3 x 2 (1 + 9 x 4 ) arctg ( 3 x 2 ) 1 + 9 x4

⋅

(

1 x3

+ 1)

2

3 x  2 ( x 3 + 1) − x (1 + 9 x 4 ) arctg ( 3 x 2 ) 

( x 3 + 1 )2 ( 1 + 9 x 4 )

2  sin ( x 2 ) − 2 x 1 − 4 x 2 cos ( x 2 ) arcsin ( 2 x ) dy =  dx 1 − 4 x 2 sin 3 ( x 2 )

m) Dérivons chaque membre de l’égalité par rapport à x en considérant y comme dy . une fonction dérivable de x, puis isolons dx dy d = ( y arcsin x + x arctg y ) dx dx dy d d d d = y ( arcsin x ) + arcsin x ( y ) + x ( arctg y ) + arctg y ( x ) dx dx dx dx dx dyy dy 1 1 dy = y⋅ + arcsin x + x⋅ + arctg y 2 dx dx 1 + y2 dx 1− x dy dy x dy − arcsin x − = dx dx 1 + y2 dx

y 1 − x2

x  dy   1 − arcsin x − 1 + y2  dx =

1 − x2

y

+ arctg y + arctg y

y + arctg y dy 1 − x2 = x dx 1 − arcsin x − 1 + y2 En utilisant la mise au même dénominateur, on obtient y

= =

x2

(1 + y2 ) ( y +

⋅

=

1+

1 − x2 − (1 + y2 ) arcsin x − x 1 + y2

1+

y2

y2

1 + y2 − (1 + y2 ) arcsin x − x

1 − x 2 arctg y

)

1 − x 2 1 + y2 − (1 + y2 ) arcsin x − x 

1 − ( xy ) + y 1 − ( x + y ) dy = − 2 2 dx x 1 − ( x + y ) + 1 − ( xy ) 2

n)

x 1 + y2

y + 1 − x 2 arctg y 1−

y + 1 − x 2 arctgg y

+ arctg y

dy 1− = dx 1 − arcsin x − x2

2

73. a) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point P est y = −2 3 x + 4 + 3π 4 et celle de la droite normale est y = 3 6 x − 1 3 + 3π 4 .

Chapitre 3

l)

1 + 9 x4

− 3 x 2 arctg ( 3 x 2 )

492

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

b) L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) au point P est y =

3

6

x−

3

6

+

π

3

et l’équation de la droite normale est y = −2 3 x + 2 3 +

74. a) Si u ( x ) est une fonction dérivable de x, alors u ( x ) < 1.

d ( arccos u ) = dx

π

3.

−1 du lorsque 1 − u 2 dx

Preuve Si y = arccos u avec u < 1, alors cos y = u et 0 < y < π . Dérivons par rapport à x de chaque côté de l’égalité. On obtient d d ( cos y ) = ( u ) dx dx dy du − sin y = dx dx dy −1 du = dx sin y dx En utilisant l’identité trigonométrique sin 2 y + cos 2 y = 1 et le fait que sin y > 0

Chapitre 3

lorsque 0 < y < π , on obtient sin y =

1 − cos 2 y =

1 − u 2 . Par conséquent,

dy −1 du = dx sin y dx d ( arccos u ) = dx b) Si u ( x ) est une fonction dérivable de x,

du −1 1 − u 2 dx

d −1 du . ( arccotg u ) = dx 1 + u 2 dx

Preuve Si y = arccotg u, alors cotg y = u . Dérivons par rapport à x de chaque côté de l’égalité. On obtient d d cotg y ) = (u) ( dx dx dy du − cosec 2 y = dx dx dy du −1 = 2 dx cosec y dx Or, cosec 2 y = 1 + cotg 2 y = 1 + u2 et, par conséquent, dy −1 du = dx cosec 2 y dx d −1 du ( arccotg u ) = dx 1 + u 2 dx c) Si u ( x ) est une fonction dérivable de x, alors lorsque u ( x ) > 1.

d −1 du ( arccosec u ) = 2 dx u u − 1 dx

Preuve Si y = arccosec u avec u > 1, alors cosec y = u et 0 < y < à x de chaque côté de l’égalité. On obtient d d ( cosec y ) = dx ( u ) dx dy du − cosec y cotg y = dx dx dy −1 du = cosec y cotg y dx dx

π . Dérivons par rapport 2

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 3

493

En utilisant l’identité trigonométrique cotg 2 y + 1 = cosec 2 y et le fait que cotg y > 0 π lorsque 0 < y < , on obtient cotg y = cosec 2 y − 1 = u 2 − 1. Par conséquent, 2 dy du −1 = dx cosec y cotg y dx d −1 du ( arccosec u ) = dx u u 2 − 1 dx −1 d du ( arccosec u ) = 2 dx u u − 1 dx

π < y < 0. On a 2 alors que cotg y < 0 et donc que cotg y = − cosec 2 y − 1 = − u 2 − 1 . Par conséquent,

Par ailleurs, si y = arccosec u avec u < −1, alors cosec y = u et −

dy du −1 = dx cosec y cotg y dx d −1 du ( arccosec u ) = dx − u u 2 − 1 dx

On peut donc conclure que 75. a) tg (θ + ϕ ) = tg (ϕ ) =

d −1 du lorsque u > 1. ( arccosec u ) = 2 dx u u − 1 dx

1, 5 + ( 2 − 1, 6 ) 1, 9 côté opposé = = x x côté adjacent

côté opposé 2 − 1, 6 0, 4 = = côté adjacent x x

 1, 9  ⇒ θ + ϕ = arctg   x 

 0, 4  ⇒ ϕ = arctg   x 

 1, 9   0, 4  Par conséquent, θ = (θ + ϕ ) − ϕ = arctg  . − arctg   x   x   1, 9   0, 4  d b) θ ( 3) = arctg  − arctg  ≈ 0, 43 rad  3   3  c)

dθ d   1, 9   0, 4   = arctg  − arctg   x   x   dx dx  =

1

d  1, 9  1 d  0, 4    −   2  1, 9  dx x  0, 4  dx  x  1+ 1 +    x  x  2

d d 1 1 0, 4 x −1 ) 1, 9 x −1 ) − 3, 61 dx ( 0, 16 dx ( 1+ 2 1+ 2 x x 1 1 = − 0, 4 x −2 ) −1, 9 x −2 ) − 3, 61 ( 0, 16 ( 1+ 2 1+ 2 x x − 0, 4 1, 9 0, 4 −1, 9 − = − 2 + 2 = 6 3 61 0 1 , , 3 61 , + + 0, 16 x x     x2  1 + 2  x2  1 + 2    x  x  =

0, 4 1, 9   =  2 − 2 rad/m  x + 0 , 16 x + 3, 61  0, 4 1, 9   − d) θ ′ ( 2 ) =  2 rad/m ≈ − 0, 154 rad/m  2 + 0, 16 2 2 + 3, 61  e) Lorsque la distance qui sépare l’observatrice du mur où la toile est accrochée est de 2 m, l’angle d’observation diminue à raison d’environ 0,154 rad par mètre d’augmentation de la distance au mur.

Chapitre 3

−1 d du ( arccosec u ) = dx u u 2 − 1 dx

494

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

76. a) tg β = tg ϕ =

côté opposé 15 = côté adjacent 20 − x côté opposé 10 = côté adjacent x

 15  ⇒ β = arctg   20 − x 

 10  ⇒ ϕ = arctg    x

 15   10  − arctg   . Par conséquent, θ = π − β − ϕ = π − arctg   20 − x   x b) θ (12 ) = π − arctg ( 15 8 ) − arctg ( 10 12 ) ≈ 1, 37 rad c)

  15 10 dθ = − + 2  rad/m 2 dx x + 100   ( 20 − x ) + 225

15 10 19   d) θ ′ (15 ) =  − 2 + rad/m = − rad/m ≈ − 0, 029 rad/m  5 + 225 152 + 100  650 e) Lorsque la distance entre la caméra et le mur de gauche est de 15 m, l’angle d’observation de la caméra diminue à raison d’environ 0,029 rad par mètre d’augmentation de la distance séparant la caméra du mur de gauche.

Cha p i t re 4

Chapitre 4

1. Soit V le volume de la tumeur (en millimètres cubes), r son rayon (en millimètres) et t dr = 0, 04 mm/semaine lorsque r = 1 cm = 10 mm , et on le temps (en semaines). On a dt dV . On sait que V = 4 3 π r 3 . Dérivons implicitement cette équation cherche dt r =10 mm par rapport à t : dV d 4  2 dr = ( 3 π r 3 ) = 4 3 π  3r 2 dr  = 4π r dt dt dt  dt Lorsque r = 1 cm = 10 mm , on a dV dt

r = 10

dr   =  4π r 2   dt 

r = 10

dr dt

r = 10

= 0, 04 mm/semaine et

= 4π (10 )2 ( 0, 04 ) = 16π ≈ 50, 3 mm 3 /semaine

À l’instant où le rayon atteint 1 cm, le volume de la tumeur augmente à raison de 16π mm 3 /semaine , soit d’environ 50, 3 mm 3 /semaine . 2. À l’instant où le rayon atteint 1 m, la circonférence augmente à raison de 4π cm/s, soit d’environ 12,6 cm/s. 3. À l’instant où la masse du fœtus atteint 30 g, la masse de son cerveau augmente à raison d’environ 0,038 g/jour. 4. À l’instant où le volume de vente atteint 400 unités, le profit augmente à raison de 32 000 $/jour. 5. a) Soit h la distance verticale (en mètres) entre l’extrémité supérieure de la planche appuyée contre le mur et le sol, x la distance horizontale (en mètres) entre le pied de la planche et le mur, comme l’illustre le schéma, et t le temps (en secondes).

5m

dx dh = 0, 5 m/s et on cherche . En vertu du théorème dt x =1 dt de Pythagore, on a x 2 + h2 = 25 . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : On a

d 2 dh + 2h = 0 ( x + h2 ) = dtd ( 25 ) ⇒ 2 x dx dt dt dt dh dx ⇒ ⇒ 2h = −22 x dt dt

dh x dx = − dt h dt

h

x

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

495

Lorsque x = 1 m, on a h = 25 − x 2 = 25 − 12 = 24 = 4 ( 6 ) = 2 6 m. Par dx = 0, 5 m/s, on a conséquent, comme dt dh 1 1 1 6 6  x dx  ⋅ = − ≈ − 0, 1 m/s = − = − = − ( 0, 5 ) = −  dt x = 1  h dt  x = 1 2 6 4 6 4 6 6 24 À l’instant où la distance horizontale entre le pied de la planche et le mur atteint 1 m, 6 m/s, l’extrémité supérieure de la planche descend le long du mur à raison de 24 soit d’environ 0,1 m/s. b) Soit x la distance horizontale (en mètres) entre le pied de la planche et le mur, θ l’angle (en radians) déterminé par la planche et le sol, comme l’illustre le schéma, et t le temps (en secondes).

5m

θ

dx dθ x x On a = 0, 5 m/s et on cherche . Comme cosθ = , dt dt x =1 5  x on a θ = arccos   . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t :  5    arccos   1

= − 5

25 − 25

Lorsque x = 1 m et dθ dt

x =1

x  = − 5  

x2

dx = − dt

2

 x 1−   5

d  dt 

1 5

25 − 25

x2

⋅

x  = − 5

1

 1 dx    x 2  5 dt  1− 25

dx dx 1 = − 2 dt 25 − x dt

dx = 0, 5 m/s, on a dt

 1 dx  = −   25 − x 2 dt  = −

1

1 1 = − ⋅ 4 6 4 6

= − x =1

1 25 − (1)

2

( 0, 5 ) = −

1 1 = − 2 24 2 4(6)

6 6 = − ≈ − 0, 1 rad/s 6 24

À l’instant où la distance horizontale entre le pied de la planche et le mur atteint 1 m, l’angle déterminé par la planche et le sol diminue à raison de 6 24 rad/s , soit d’environ 0,1 rad/s. 6. À l’instant où la longueur de la tige atteint 50 cm et son diamètre 5 cm, le volume de la tige cylindrique augmente à raison de 2, 625π cm 3 /min , soit d’environ 8, 25 cm 3 /min . 7. Soit A l’aire du parallélogramme (en centimètres carrés), h sa hauteur (en centimètres), θ l’angle (en radians) illustré dans le schéma, et t le temps (en minutes).

10 cm

θ

h

15 cm dθ = 1° /min = π 180 rad/min lorsque θ = 60° = π 3 rad, dt dA . Il ne faut pas oublier de transformer les mesures d’angles en et on cherche dt θ = π 3 radians puisque les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables que pour cette unité de mesure.

On a

h ⇒ h = 10 sin θ . En substituant cette 10 valeur à h dans l’équation de l’aire, on obtient A = 15 h = 15 (10 sin θ ) = 150 sin θ . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t :

On sait que A = bh = 15 h. Or, sin θ =

dA dθ = 150 cosθ dt dt

Chapitre 4

dθ d = dt dt

496

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

Lorsque θ = 60° = dA dt

π

3

rad, on a

dθ   =  150 cosθ   dt 

θ =π 3

dθ dt

θ =π

θ =π 3

= 1° /min =

π

= 150 ( 1 2 ) ( π 180 ) =

180

5π

rad/min et

12

cm 2 /min ≈ 1, 31 cm 2 /min

3

À l’instant où l’angle θ atteint 60°, l’aire du parallélogramme augmente à raison de 2 2 5π 12 cm /min , soit d’environ 1, 31 cm /min . 8. Soit A l’aire du triangle équilatéral (en centimètres carrés), h sa hauteur (en centimètres), b sa base (en centimètres) et t le temps (en minutes). Le schéma ci-contre présente les différentes variables du problème. On a

dA dh = 5 cm 2 /min et on cherche dt dt

b h

π 3

. On A=100

bh b sait que A = . Dans un triangle équilatéral, on 2 h 3 h 2 2 3 π a sin   = ⇒ = ⇒b= h= h. En substituant cette valeur à b dans  3 b 2 b 3 3 1 12 3  3 2 l’équation de l’aire, on obtient A = bh =  h h = h . Dérivons implicite2 2 3  3 ment cette équation par rapport à t : dA d  3 2 3  dh  2 3 h dh = h  =   2 h  =  dt dt  3 3  dt 3 dt  ⇒ ⇒

dh 3 dA 3 dA = = dt 2 3 h dt 2 h dt

Chapitre 4

Lorsque A = 100 cm 2 , on a 100 =

3 2 h 3

 3  = 100 3 ⇒ h2 = 100   3 

Par conséquent, comme dh dt

A = 100

( ) cm

⇒ h=

100 3 = 10 3

1

4

dA = 5 cm 2 /min , on a dt

 3 dA  =   2 h dt 

= A = 100

3

( ) 

2 10 3

1

4

( 5) =

1

34 ≈ 0, 33 cm/min 4

À l’instant où l’aire du triangle équilatéral atteint 100 cm 2 , sa hauteur augmente à 4 raison de 3 4 cm/min, soit d’environ 0, 33 cm/min. 9. a) À l’instant où la montgolfière se situe à 400 m de l’observateur, la distance entre l’observateur et la montgolfière diminue à raison de 5 15 m/s, soit d’environ 19,36 m/s. b) À l’instant où la montgolfière se situe à 400 m de l’observateur, l’angle d’observation, mesuré par rapport à la verticale, diminue à raison de 0,012 5 rad/s (ou à raison d’environ 0,72°/s). 4 cm

10. Représentons les données du problème dans un schéma. Soit h le niveau de l’eau dans le verre (en centimètres), r  le rayon à la surface de l’eau (en centimètres), V le volume d’eau dans le verre (en centimètres cubes) et t le temps dV = −1 cm 3 /s , puisque le volume dt dh . d’eau diminue, et on cherche dt h= 5

(en secondes). On a

r 10 cm h

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

497

On sait que V = 1 3 π r 2 h . Une comparaison des triangles semblables permet d’établir r 4 , de sorte que r = 2 5 h. En substituant cette valeur à r dans l’équation du que = h 10 2 volume, on obtient V = 1 3 π ( 2 5 h ) h = 4 75 π h3 . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : dV d 4 = ( 75 π h3 ) = dt dt ⇒ Lorsque h = 5 cm et dh dt

h= 5

4



3h 75 π  

2

dh   = dt 

4

25 π h

2

dh dt

25 dV dh = dt 4π h2 dt

dV = −1 cm 3 /s , on a dt

 25 dV  =   4π h2 dt 

= h= 5

25 4π ( 5 )2

( −1) = −

1 ≈ − 0, 08 cm/s 4π

À l’instant où il atteint 5 cm, le niveau de l’eau diminue à raison de d’environ 0,08 cm/s.

1

4π

cm/s, soit

11. Soit R1 et R2 deux résistances (en ohms) branchées en parallèle, Re la résistance dR1 = 2 Ω/min et équivalente (en ohms) et t le temps (en minutes). On a dt dR2 dRe 1 1 1 . On a = + . Dérivons = −1 Ω/min , et on cherche dt R1 = 30 ;  R2 = 90 Re R1 R2 dt implicitement cette équation par rapport à t :

Chapitre 4

d d d ( Re )−1 = ( R1 )−1 + ( R2 )−1 dt dt dt −2 dR1 −2 dR2 −2 dRe −1 ( Re ) = −1 ( R1 ) − 1 ( R2 ) dt dt dt −1 dRe −1 dR1 1 dR2 = − Re 2 dt R12 dt R2 2 dt R 2 dR1 R 2 dR2 dRe = e2 + e2 dt R1 dt R2 dt dR1 dR2 = 2 Ω/min et = −1 Ω/min , on a dt dt 1 1 1 2 45 = + = Ω et ⇒ Re = Re 30 90 45 2

Lorsque R1 = 30 Ω, R2 = 90 Ω,

dRe dt

R1 = 30 ;  R2 = 90

R 2 dR2   R 2 dR1 =  e2 + e2  R1 dt R2 dt  =

= R1 = 30 ;  R2 = 90

( 45 2 )2 ( 2 ) + ( 45 2 )2 ( −1) 30 2

90 2

9 1 17 − = = 1, 062 5 Ω /min 8 16 16

À l’instant où R1 = 30 Ω et R2 = 90 Ω, la résistance équivalente Re augmente à raison de 17 16 Ω/min, soit de 1, 062 5 Ω/min. 12. À l’instant où le volume atteint 100 cm 3, la pression sur la paroi de la chambre du piston diminue à raison de 2 N/cm 2 /s . 13. Soit c la mesure du côté variable du triangle (en mètres) et θ l’angle (en radians) illustrés dans le schéma, et t le temps (en minutes). On a

dθ = 1° /min = dt

π

180

rad/min lorsque θ = 60° =

π

3

1m

c

θ 2m

rad, et on cherche

dc . dt θ = π 3

Il ne faut pas oublier de transformer les mesures d’angles en radians puisque les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables que pour cette unité de mesure.

498

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

En vertu de la loi des cosinus, on a c 2 = 12 + 2 2 − 2 (1)( 2 ) cosθ , c’est-à-dire c = 5 − 4 cosθ . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : 1 1 dc d d = ( 5 − 4 cosθ ) 2 = 1 2 ( 5 − 4 cosθ )− 2 ( 5 − 4 cosθ ) dt dt dt 2 sin θ 1 dθ =  − 4 ( − sin θ ) = 2 5 − 4 cosθ  5 − 4 cosθ dtt

Lorsque θ = 60° =

π

3

rad, on a

dθ dt

θ =π 3

= 1° /min =

dc 2 sin θ dθ   =  =   dt θ = π 3 5 − 4 cosθ dt  θ = π 3

2(

=

3

2

π

180

rad/min et

2 sin ( π 3 )

5 − 4 cos ( π 3 )

( π 180 )

) ( π ) = π ≈ 0, 017 m/min 180 180

5 − 4(12)

À l’instant où l’angle θ mesure 60°, la longueur du côté augmente à raison de π 180 m/min, soit d’environ 0,017 m/min. 14. a) Comme le volume du ballon sphérique diminue à un rythme constant, on a 900 − 1 000 dV = = −10 cm 3 /min, où V représente le volume du ballon sphérique. 10 dt b) À l’instant où le volume atteint 800 cm 3 , l’aire de la surface sphérique du ballon diminue à raison de 20 3 π 600 cm 2 /min , soit d’environ 3, 47 cm 2 /min . 15. À l’instant où le rayon intérieur du vaisseau atteint 1 mm, la vitesse du sang à une distance r (donnée et fixe) du centre du vaisseau augmente à raison de 0,04k mm/min/min.

Chapitre 4

16. À l’instant où la hauteur du tas de sel atteint 15 cm, le volume du tas de sel augmente à raison de 2 250π cm 3 /min, soit d’environ 7 068, 6 cm 3 /min . M T2 b) Environ 24, 2 kg/m 2 .

17. a) IMC =

c) Puisque la masse de cet individu diminue à raison de 0,5 kg/semaine, son indice 0, 5 kg/m 2 /semaine, soit d’environ de masse corporelle diminue à raison de (1, 7 )2 0, 17 kg/m 2 /semaine. 18. Dix secondes après le décollage de la montgolfière, la distance séparant la personne de la montgolfière augmente à raison de 3,2 m/s. 19. Le revenu tiré de la vente des billets augmente à raison de 500 $/jour. 20. a) Soit r le rayon (en mètres) du tronc de la souche d’un arbre, x le diamètre (en mètres) du tronc de la souche de l’arbre, h la hauteur (en mètres) de l’arbre et t le dx . temps (en années). On cherche dt t = 5 On a x = 2 r = 0, 004 h 2 . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : 3

dx d 3  1 dh  1 dh 0, 004 h 2 = 0, 004  3 2 h 2 =  = 0, 006 h 2  dt dt dt  dt

(

Or, dh d  10 t 2  = = dt dt  100 + t 2  = =

)

(100 + t 2 ) dtd (10 t 2 ) − 10 t 2 dtd (100 + t 2 ) (100 + t 2 )2

20 t (100 + t 2 ) − 20 t 3

(100 + t 2 )2

2 000 t

(100 + t 2 )2

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

dx 10 t 2  2 000 t 1 dh  = 0, 006 h 2 = 0, 006 dt dt 100 + t 2  (100 + t 2 )2  t = 5 ans, on a de sorte que

dx dt

t =5

= 0, 006

10 ( 52 )  2 000 ( 5 )  100 + 52  (100 + 52 )2 

499

 . Alors, lorsque 

 12 2  = ≈ 0, 005 m/année 3 125 

Le diamètre d’un arbre de 5 ans augmente donc à raison d’environ 0,005 m/année, soit 5 mm/année. b) La circonférence d’un arbre de 10 ans augmente à raison d’environ 0,021 m/année, soit d’environ 2,1 cm/année. 21. Soit y la longueur (en mètres) de l’ombre projetée sur le mur, x la distance (en mètres) parcourue par la femme de la source lumineuse vers le mur et t le temps (en secondes). Le schéma suivant illustre la situation décrite dans l’énoncé.

y 1,6 m 30 – x

x 30 m

dy dx = 3 m/s et on cherche . Par comparaison des triangles semblables, on a dt dt t = 5 y 1, 6 48 = ⇒ y = . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : x 30 x dy 48 dx d  48  d = = − 2 ( 48 x −1 ) = − 48 ( x −2 ) dx   = dt x dt dt dt  x  dt

Comme

dx = 3 m/s, alors, lorsque t = 5 s, on a x = ( 3  m/s )( 5  s ) = 15 m et dt dy dt

t =5

 48 dx  = − 2  x dt 

= − t =5

48 16 ( 3) = − = − 0, 64 m/s 152 25

Après 5 s, la longueur de l’ombre projetée sur le mur diminue à raison de 0,64 m/s. 22. La jeune fille doit laisser défiler le fil à la vitesse de 4 m/s. 23. a) Il reprend sa course au moment où la Tortue est à 2 m du fil, de sorte que la distance entre le Lièvre et le fil d’arrivée est de 50, 1 −

25

2

[ 2 − 2 ]2

= 50, 1 m .

b) Soit x la distance (en mètres) entre la Tortue et le fil d’arrivée, y la distance (en mètres) entre le Lièvre et le fil d’arrivée, et t le temps (en secondes). On a dx = −0, 5 m/s (le signe négatif indique que la distance diminue) et on cherche dt dy . On a y = 50, 1 − 25 2 ( 2 − x )2. Dérivons implicitement cette équation par dt x =1 rapport à t : dy d  50, 1 − = dt dt 

25

2

d

( 2 − x )2  = − 25 2  2 ( 2 − x ) ( 2 − x ) dt  

= −25 ( 2 − x )( −1)

dx dx = ( 50 − 25 x ) dt dt

Chapitre 4

On a

500

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

Lorsque x = 1 m et dy dt

x =1

dx = −0, 5 m/s, alors dt

dx = ( 50 − 25 x )  = [ 50 − 25 (1)]( − 0, 5 ) = −12, 5 m/s dt  x = 1 

Au moment où la Tortue est à 1 m du fil d’arrivée, le Lièvre se déplace à une vitesse de 12,5 m/s (en se rapprochant, bien sûr, du fil d’arrivée). c) Si x = 0 m, alors y = 50, 1 − 25 2 [ 2 − 0 ] = 0, 1 m, de sorte que lorsque la Tortue franchit le fil d’arrivée, le Lièvre est encore à 0,1 m du fil d’arrivée. Par conséquent, c’est la Tortue qui gagne la course, comme dans la fable. 2

d) Le Lièvre est à 0,1 m derrière la Tortue lorsque celle-ci franchit le fil d’arrivée. e) Lorsque x = 0 m et dy dt

dx = −0, 5 m/s, alors dt

dx = ( 50 − 25 x )  = [ 50 − 25 ( 0 )]( − 0, 5 ) = −25 m/s dt  x = 0 

x=0

Au moment où la Tortue franchit le fil d’arrivée, le Lièvre se déplace à une vitesse de 25 m/s. C’est à croire que le Lièvre a emprunté les bottes de sept lieues du Chat botté. 24. a) 8π rad/min b) À l’instant où il est à 100 m du point de la rive le plus proche du phare, le faisceau lumineux se déplace sur la rive à une vitesse de 8, 08π km/min, soit environ 25,4 km/min. 25. À l’instant où la caisse a parcouru 2,5 m, sa hauteur augmente à raison de 0,2 m/s.

Chapitre 4

26. a) Soit x la distance (en pieds) qui sépare Pedro du troisième but, y la distance (en pieds) qui sépare Pedro du marbre et t le temps (en secondes).

x

Lorsque Pedro est à 30 pi du deuxième but, il est donc à 60 pi du troisième but et, par conséquent, dx x = 60 pi. On a = −25 pi/s (puisque la dt x = 60 distance du joueur au troisième but diminue) et on cherche

dy dt

y

90 pi

. x = 60

En vertu du théorème de Pythagore, on a y2 = x 2 + 90 2 . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : d 2 d 2 y )= ( ( x + 90 2 ) dt dt dy dx = 2x  ⇒ 2 y dt dt

⇒

dy x dx = dt y dt

Lorsque x = 60 pi, on a y =

x 2 + 90 2 =

Par conséquent, comme dy dt

x = 60

60 2 + 90 2 = dx dt

x = 60

11 700 =

900 (13) = 30 13 pi

= −25 pi/s, on a

 x dx  =   y dt  50 = − ⋅ 13

= x = 60

60 50 ( −25 ) = − 13 30 13

13 50 13 = − ≈ −13, 9 pi/s 13 13

À l’instant où il est à 60 pi du troisième but, la distance qui sépare Pedro du 50 13 pi/s, soit d’environ 13,9 pi/s. marbre diminue à raison de 13

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

b) Soit x la distance (en pieds) qui sépare Pedro du troisième but, θ l’angle d’observation (en radians) de l’arbitre et t le temps (en secondes). On a

dx dt

dθ dt

= −25 pi/s et on cherche

x = 60

x

. x = 60

x  x , d’où θ = arctg   . Dérivons  90  90

On a tg θ =

501

θ

90 pi

implicitement cette équation par rapport à t : dθ d = dt dt

  x   arctg  90   =

Lorsque x = 60 pi et

x = 60

d x 1  1 dx    = 2   90 dt  x  x  dt 90 1+ 1+   90  90 2 2

1 90 1 dx dx dx = = 90 2 + x 2 dt 90 2 + x 2 dt  90 2 + x 2  dt 90   90 2  90

=

dθ dt

1

dx dt

= −25 pi/s, on a

x = 60

90 dx   =  2  90 + x 2 dt 

90 5 ( −255 ) = − ≈ − 0, 19 rad/s 90 2 + 60 2 26

= x = 60

À l’instant où Pedro est à 60 pi du troisième but, l’angle d’observation θ diminue à raison de 5 26 rad/s, soit d’environ 0,19 rad/s. c) Soit x la distance (en pieds) qui sépare Pedro du troisième but, y la distance (en pieds) qui sépare la balle du troisième but, b la distance (en pieds) qui sépare la balle de Pedro et t le temps (en secondes).

90 pi x

dy dt

= −100 pi/s et on cherche x = 30 ;  y = 70

db dt

y

. En vertu du théorème x = 30 ;  y = 70

de Pythagore, on a b2 = x 2 + y2 . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : dy d 2 dx = 2x + 2y ( b ) = dtd ( x 2 + y2 ) ⇒ 2 b db dt dt dt dt ⇒

db = dt

dy  dy dx  dx + y  2x x + y  dt dt  dt dt = 2b b

Lorsque x = 30 pi et y = 70 pi, on a b=

x 2 + y2 =

Par conséquent, comme db dt

x = 30 ;  y = 70

30 2 + 70 2 = dx dt =

x = 30 ;  y = 70

5 800 =

= −25 pi/s et

100 ( 58 ) = 10 58 pi dy dt

= −100 pi/s, on a x = 30 ;  y = 70

7 750 30 ( −25 ) + 70 ( −100 ) 775 = − = − 10 58 10 58 58

= −

775 ⋅ 58

58 775 58 = − ≈ −101, 8 pi/s 58 58

Chapitre 4

b

Lorsque la balle est à 20 pi du marbre, elle est donc à 70 pi du troisième but et, par conséquent, dx y = 70 pi. On a = −25 pi/s, dt x = 30 ;  y = 70

502

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

À l’instant où Pedro est à 30 pi du troisième but et que la balle en est distante 775 58 pi/s, de 70 pi, la distance séparant la balle de Pedro diminue à raison de 58 soit d’environ 101, 8 pi/s. d) À l’instant où Pedro est à 72 pi du marbre (et s’en approche) et où Denis est à 10 pi du marbre (et s’en éloigne), la distance séparant Pedro et Denis diminue 440 1 321 à raison de pi/s, soit d’environ 12, 1 pi/s. 1 321 109 27. a) À l’instant où il est à 5 m du quai, le bateau s’en approche à raison de m/s, 20 soit à raison d’environ 0, 52 m/s. b) À l’instant où le bateau est à 3 m du quai, l’homme ramène la corde à raison de 2 5 m/s, soit à raison d’environ 0,89 m/s. 5 28. a) À l’instant où l’homme est à 5 m du lampadaire, l’extrémité de l’ombre se déplace à raison de 6,25 m/s. b) À l’instant où l’homme est à 5 m du lampadaire, son ombre s’allonge à raison de 2,25 m/s. 29. Soit h le niveau de l’eau (en mètres) dans le réservoir, r le rayon (en mètres) à la surface de l’eau, V le volume (en mètres cubes par minute) d’eau dans le réservoir et t le temps (en minutes). dV dh = 0, 3 m 3 /min et on cherche . On a dt dt h= 3

Chapitre 4

r

) = π h( 4 + 2 r + ) . 3 3 Par comparaison des triangles semblables, on a 4−h 4 = ⇒ 4 − h = 2 r, de sorte que r = 2 − 1 2 h . r 2 En substituant à r cette valeur dans l’équation du volume, on obtient 2 π h  4 + 2 ( 2 − 1 2 h ) + ( 2 − 1 2 h )  V = 3 On sait que V =

π h(

4m

22

+ 2r +

r2

r2

=

π h( 4 + 4 − h + 4 − 2 h + 3

=

π (12 h − 3 h2 + 3

1

4h

3

1

4h

2

h

2m

)

)

Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : dV d  π (12 h − 3 h2 + =  dt dt  3 =

π

Par conséquent,

h= 3

4h

(12 − 6 h + 3 4 h2 ) dh dt

3

) = π  

d (12 h − 3 h2 + dt

1

4h

2

)

1

4h

2

1

4h

3

)

) ddth

dV dt

dV = 0, 3 m 3 /min , on a dt

 1 =   π ( 4 − 2 h + =

3

= π (4 − 2 h +

dh 1 = dt π (4 − 2 h +

Lorsque h = 3 m et dh dt

3

1

1

4

h2

dV  ) dt 

= h= 3

1

π  4 − 2 ( 3) +

1  3 12 6 = ≈ 0, 38 m/min   = 10 10 π 5 π 4

π

1

4

( 3)2 

( 0, 3)

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

503

À l’instant où il atteint 3 m, le niveau de l’eau dans le réservoir augmente à raison de 6 m/min, soit d’environ 0, 38 m/min. 5π 30. La situation exposée dans le problème est représentée par le schéma ci-contre :

Source lumineuse

Soit h la hauteur de la balle (en mètres), x la distance (en mètres) illustrée dans le schéma, et t le temps (en secondes). dx . Une comparaison On veut évaluer dt t =1 10 + x x des triangles semblables donne = . 6 h Si on isole la variable x, on obtient 10 + x x = 6 h

Balle

6m h

10 m

x

⇒ 10 h + xh = 6 x ⇒ 10 h = ( 6 − h ) x ⇒ x =

10 h 6−h

Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : dx d  10 h  =   = dt dt  6 − h 

d dt

( 6 − h) (10 h) − 10 h ( 6 − h)2

dh

=

dh

( 6 − h)  10  − 10 h  −  dt dt ( 6 − h)2

=

d ( 6 − h) dt

10 ( 6 − h ) + 10 h dh 60 dh = dt ( 6 − h)2 ( 6 − h)2 dt

dh d = ( 6 − 4, 9 t 2 ) = −9, 8 t . Lorsque t = 1 s, on a h(1) = 6 − 4, 9 (1)2 = 1, 1 m dt dt dh et = ( −9, 8 t ) t = 1 = −9, 8 m/s, de sorte que dt t = 1 dx dt

dh   60 =   2  ( 6 − h ) dt 

t =1

= t =1

60

( 6 − 1, 1)

2

( −9, 8 ) =

60

( 4, 9 )

2

( −9, 8 ) = −

120 ≈ −24, 5 m/s 4, 9

Une seconde après qu’on a laissé tomber la balle, l’extrémité de l’ombre se déplace vers le point d’impact de la balle avec le sol à raison d’environ 24,5 m/s. 31. a) Soit z la distance (en mètres) entre le cerf et la voiture, x la distance horizontale (en mètres) et θ l’angle (en radians) illustrés dans le schéma, et t le temps (en secondes).

z 30 m

dx = −20 m/s (car la distance x dimidt dθ 30 nue) et on cherche . On a tg θ = , x dt z = 50 On a

θ x

 30  d’où θ = arctg   . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t :  x dθ d = dt dt

=

  30    arctg  x   =  

1

1 dx  d  30 x −1 ) = (  −30 x −2  2 30 dt   30  dt 1+ 2 1+   x x 2

dx 1 −30 dx 30  30  dx = = − 2 −  2 dt 2  dt 30 2  x 2  dt x + 30 30  1+ 2 x2  1 + 2   x x 

En vertu du théorème de Pythagore, lorsque z = 50 m, on a x =

z2 − 30 2 =

50 2 − 30 2 = 40 m

Chapitre 4

Or,

504

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

Par conséquent, comme dθ dt

z = 50

dx = −20 m/s, on a dt

30 dx   = − 2  x + 30 2 dt 

= − z = 50

30 6 = 0, 24 rad/s. ( −20 ) = 40 2 + 30 2 25

À l’instant où le cerf est à 50 m de la voiture, l’angle θ augmente à raison de 0,24 rad/s. b) À l’instant où elle est de 50 m, la distance entre la voiture et le cerf diminue à raison de 16 m/s. 32. Soit x la distance (en mètres) entre Paul et l’intersection des deux rues, y la distance (en mètres) entre Jasmine et l’intersection des deux rues et z la distance (en mètres) séparant Paul de Jasmine, comme l’illustre le schéma, et soit t le temps (en secondes).

Jasmine z y

Paul

x a) Comme les deux personnes marchent à vitesse constante, après 10 s, x = 200 − 10 ( 3) = 170 m et y = 10 ( 2 ) = 20 m , de sorte qu’en vertu du théorème de Pythagore,

z=

170 2 + 20 2 =

100 ( 293) = 10 293 ≈ 171, 2 m

29 300 =

Après 10 s, la distance séparant Paul et Jasmine est donc de 10 293 m, soit d’environ 171,2 m. dx = −3 m/s (car la distance de Paul à l’intersection des deux rues diminue) dt dy dz et = 2 m/s (puisque Jasmine s’éloigne de l’intersection). On cherche . dt t =10 dt

b) On a

Chapitre 4

En vertu du théorème de Pythagore, on a z2 = x 2 + y2 . Dérivons implicitement cette équation par rapport à t : dy d 2 dx = 2x + 2y ( z ) = dtd ( x 2 + y2 ) ⇒ 2 z dz dt dt dt dt ⇒

dz = dt

dy  dy dx  dx + y  2x x + y  dt dt  dt dt = 2z z

Lorsque t = 10 s, on a x = 170 m , y = 20 m et z = 10 293 m (voir a). Par dy dx = −3 m/s et = 2 m/s, on a conséquent, comme dt dt dz dt

t = 10

dy   dx + y x  dt dt  =   z     = −

47 ⋅ 293

=

170 ( −3) + 20 ( 2 ) 470 = − 10 293 10 293

t = 10

293 47 293 = − ≈ −2, 75 m/s 293 293

Après 10 s, Paul et Jasmine se rapprochent à raison de 2,75 m/s.

47 293 m/s, soit d’environ 293

c) Comme les vitesses de Paul et de Jasmine sont constantes, on a x ( t ) = 200 − 3t et y ( t ) = 2 t , où t ∈ [ 0,  200 3 ]. Remarquons qu’à t = 200 3 s, Paul est rendu à l’intersection des deux rues (directement au sud de Jasmine). À ce moment, la distance les séparant est de y = 2 ( 200 3 ) = 400 3 ≈ 133, 3 m. De plus, pour tout t > 200 3 s, on a y > 400 3 m et z > y > 400 3 m (car z est l’hypoténuse du triangle rectangle).

505

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

On peut donc chercher la distance minimale lorsque t ∈ [ 0,  200 3 ]. En remplaçant x dz , on obtient et y par leurs expressions en t dans la dérivée dt dy dy dx dx + y x + y x dz dt dt dt dt = ( 200 − 3t )( −3) + 2 t ( 2 ) = = z dt x 2 + y2 ( 200 − 3t )2 + ( 2 t )2 =

− 600 + 9 t + 4 t

( 200 − 3t ) + ( 2 t ) 2

de sorte que si t ∈ [ 0,  200 3 ], alors

2

13t − 600

( 200 − 3t )2 + ( 2 t )2

dz existe, et dt

13t − 600

dz = 0 ⇔ dt

=

( 200 − 3t )2 + ( 2 t )2

= 0 ⇔ 13t − 600 = 0 ⇔ t =

600

13

s

dz < 0, de sorte que la distance séparant Paul et Jasmine dt dz > 0, de sorte que la distance diminue. De même, si 600 13 < t ≤ 200 3, alors dt séparant Paul et Jasmine augmente. Par conséquent, c’est après 600 13 s, soit après environ 46,2 s, que la distance séparant Paul et Jasmine est la plus courte.

Si 0 ≤ t
0. 63. a) Le volume de la coquille cylindrique correspond à la différence entre le volume du cylindre de rayon r et celui du cylindre de rayon r + dr , ce qu’on peut approximer par dV , où V représente le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h. Or, dV V = π r2 h ⇒ = 2π rh ⇒ dV = 2π rhdr . dr Par conséquent, le volume de la coquille cylindrique de rayon r , d’épaisseur dr et de hauteur h est d’environ ∆V ≈ dV = 2π rhdr . b) Par un raisonnement semblable à celui effectué en a, on veut évaluer ∆V ≈ dV, dV d 4 = lorsque V = 4 3 π r 3 . Or, ( 3 π r 3 ) = 4π r 2 ⇒ dV = 4π r 2 dr . dr dr Par conséquent, le volume de la coquille sphérique de rayon r et d’épaisseur dr est d’environ ∆V ≈ dV = 4π r 2 dr .

Chapitre 4

59. Lorsque le rayon passe de 10 cm à 9,9 cm, l’aire du cercle diminue d’environ 2π cm 2 , soit d’environ 6, 28 cm 2, ce qui correspond à une diminution d’environ 2 %.

516

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

64. a) Soit C la circonférence de la Terre à l’équateur et soit R le rayon de la Terre à dC = 2π , d’où dC = 2π dR. l’équateur, alors C = 2π R et dR Si on allonge la corde d’une longueur de π , alors la circonférence du cercle formé par la corde augmente de cette quantité, de sorte que dC = π ⇒ 2π dR = π ⇒ dR = 1 2 La corde sera maintenant à une hauteur de 1 2 m au-dessus de la surface terrestre. b) Soit c la circonférence de la Lune à l’équateur et soit r le rayon de la Lune à dc = 2π , d’où dc = 2π dr . l’équateur, alors c = 2π r et dr Si on allonge la corde d’une longueur de π , alors la circonférence du cercle formé par la corde augmente de cette quantité, de sorte que dc = π ⇒ 2π dr = π ⇒ dr = 1 2 La corde sera maintenant à une hauteur de 1 2 m au-dessus de la surface lunaire. c) Par un raisonnement similaire, la corde se trouverait à teur du globe terrestre. 65.

dt d d = 5n n − 3 = 5n dn dn dn

(

= 5n ⋅ =

)

(

)

n−3 +

n−3

1

2

m au-dessus de l’équa-

d ( 5 n) dn

1 1 d 5n +5 n−3 ( n − 3)− 2 ( n − 3) + 5 n − 3 = 2 dn 2 n−3

5 n + 10 ( n − 3) 15 n − 30 = 2 n−3 2 n−3

15 n − 30 dn. 2 n−3 Si n = 19 mots et dn = 2 mots, alors 15 (19 ) − 30 ∆ t ≈ dt = ( 2 ) = 63, 75 min 2 19 − 3

Chapitre 4

de sorte que dt =

Par ailleurs, si n = 84 mots et dn = 2 mots, alors 15 ( 84 ) − 30 ( 2 ) = 136, 6 min 2 84 − 3 Par conséquent, il faut plus de temps pour apprendre deux mots additionnels lorsqu’on en a déjà appris 84 que lorsqu’on en a appris 19. ∆ t ≈ dt =

66. Le rayon doit augmenter d’environ 0,004 m pour que le volume du tas de sable augmente d’environ 0,1 m 3. 67. Le volume V occupé par le baril est V = π r 2 h, où r représente le rayon du baril, et h sa hauteur. On a donc dV = d (π r 2 h ) = π r 2 dh + π hd ( r 2 ) = π r 2 dh + 2π rhdr .

Or, r = 0, 5 m = 50 cm, h = 1, 5 m = 150 cm , dh = − 0, 02 mm = − 0, 002 cm et dr = − 0, 01 mm = − 0, 001 cm, de sorte que ∆V ≈ dV = π ( 50 )2 (− 0, 002 ) + 2 π ( 50 )(150 )(− 0, 001) = −20π cm 3

π 20π   kg de zinc  soit  . Il  7 140  π   en coûte donc 10π $  soit 70 × $ , soit environ 31,42 $ pour enduire l’intérieur du  7  baril d’une mince couche de zinc. Il faut donc utiliser 20π cm 3 de zinc, ce qui correspond à

68. La contribution de l’employeur subira une augmentation d’environ 9 $ si le nombre d’employés passe de 400 à 403. 69. a) Environ 35,35 m. b) La portée augmentera d’environ 0,71 m si la vitesse initiale passe de 20 m/s à 20,2 m/s et si l’angle d’inclinaison demeure de 30°. c) La portée augmentera d’environ 0,26 m si l’angle d’inclinaison passe de 30° à 30, 36° et si la vitesse initiale demeure de 20 m/s.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

517

70. En général, lorsque dx est de faible amplitude, on a f ( x + dx ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) dx . a)

(1, 000 2 )100

≈ 1, 02

b) On a 58, 2° = 60° − 1, 8° = ( π 3 − π 100 ) rad . De plus, f ( x ) = cos x et f ′ ( x ) = − sin x , de sorte que cos ( 58, 2° ) = f ( 58, 2° ) = f (π 3 − ≈ f( ≈ ≈

π

100

)

) + f ′ ( π 3 ) ( − π 100 ) cos ( π 3 ) − ( − π 100 ) sin ( π 3 ) 1

2

π

3

( π 100 )(

+

3

2

)

≈ 0, 5 + 0, 03 = 0, 53 c)

4

255 ≈ 3, 996

(

d) f ( x ) = 2 +

x

)

4

⇒

(2 +

f ′( x) =

(

2 2+

x x

)3 , de sorte que

9, 1 ) = f ( 9, 1) 4

= f ( 9 + 0, 1) ≈ f ( 9 ) + f ′ ( 9 )( 0, 1) ≈ (2 +

9) +

≈ 625 +

25 3

≈

4

2(2 +

9 ) ( 0, 1) 9 3

1900 3

e) 1, 01 + (1, 01)2 + (1, 01)4 + (1, 01)8 ≈ 4, 15

f) arctg (1, 1) ≈ 0, 835 g) e − 0 ,02 ≈ 0, 98

71. Le prix du bien est d’environ 30,05 $. 72. On aura une incertitude d’environ 120 cm 2 , soit d’environ 5 %, sur la mesure de l’aire de la surface totale du cube si la mesure de l’arête du cube est de 20 cm et comporte une incertitude de 0,5 cm. De plus, on aura une incertitude d’environ 600 cm 3 , soit d’environ 7,5 %, sur la mesure du volume du cube. 73. L’incertitude sur la mesure de la hauteur de l’édifice est d’environ 0, 25 m si la mesure de l’angle d’élévation est de 60° et qu’elle est précise à 0, 36°. 74. L’erreur relative sur la mesure du côté du carré doit être inférieure à 0,5 % si on souhaite que l’erreur commise sur l’aire du carré soit inférieure à 1 %.  x 75. L’aire A d’un cercle dont le diamètre est x est A = π    2 dA d  π x2  πx = , de sorte que   = 2 dx dx  4  πx dA = dx 2 πx dA = dx A  π x2  2   4 

πx  4  dA =  dx  2  π x2  A dA 2 = dx A x

2

=

π x2 , d’où 4

Chapitre 4

≈ 633, 3

518

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 4

Or,

dA < 0, 5 % ⇔ A

2 dx < 0, 5 % ⇔ x

dx < 0, 25 % x

Par conséquent, l’erreur relative sur la mesure du diamètre doit être inférieure à 0,25 % si on souhaite que l’erreur commise sur l’aire du cercle soit inférieure à 0,5 % 76. L’erreur commise dans l’évaluation de l’aire de la surface de la peau du cheval est d’au plus 0, 016 3 m 2 , soit d’au plus 0, 3 % si la masse du cheval est de 343 kg et que la pesée est précise à 0,5 %. 77. L’incertitude relative de la balance doit être d’au plus 4 % si le vétérinaire souhaite donner une dose qui ne diffère pas de plus de 3 % de celle qui est recommandée. 78. a) Lorsque le rayon du réservoir est de 4 m, et que cette mesure présente une incertitude de 0, 5 cm, l’incertitude absolue sur la mesure du volume du réservoir est d’environ 0, 5 m 3 et l’incertitude relative est d’environ 0, 375 %. b) Soit ρ la densité de l’eau. Alors m = ρV , d’où dm = ρ dV . On a établi en a que dV ≈ 0, 5 m 3, de sorte que ∆ m ≈ dm = ρ dV ≈ 1 000 ( 0, 5 ) = 500 kg Lorsque la température de l’eau est de 4 °C, l’incertitude sur la masse d’eau dans le réservoir sera d’environ 500 kg lorsque le rayon du réservoir est de 4 m, et que cette mesure présente une incertitude de 0, 5 cm. 79. Considérons la figure ci-contre. En vertu des propriétés des triangles isocèles (la hauteur est à la fois médiatrice et bissectrice) et de la définition des fonctions trigonométriques, h = cotg (θ 2 ) 0, 5

θ h

Chapitre 4

h = 0, 5 cotg (θ 2 ) dh = 0, 5  − cosec 2 (θ 2 )  ( 1 2 ) dθ

1m

dh = − 0, 25 cosec 2 (θ 2 ) dθ

de sorte que

− 0, 25 cosec 2 (θ 2 ) dh dθ = 0, 5 cotg (θ 2 ) h = −

sin (θ 2 ) 1 1 ⋅ ⋅ dθ 2 θ 2 sin ( 2 ) cos (θ 2 )

= −

1 dθ 2 sin (θ 2 ) cos (θ 2 )

1 dθ sin θ = − cosec θ dθ = −

car 2 sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) = sin ( 2 ⋅

θ

2

)

= sin θ

80. a) V = π r 2 h ⇒ dV = π r 2 dh + π hd ( r 2 ) = π r 2 dh + 2π rhdr . Or, dh = 0, de sorte que dV 2π rh dr = dr = 2 V π r2h r L’incertitude relative de la mesure du volume du cylindre correspond au double de celle du rayon. dV = π r 2 ( 0 ) + 2π rhdr ⇒

b) V = π r 2 h ⇒ dV = π r 2 dh + π hd ( r 2 ) = π r 2 dh + 2π rhdr . Or, dr = 0, de sorte que dV π r2 dh = dh = 2 V πr h h L’incertitude relative de la mesure du volume du cylindre est identique à celle de la hauteur. dV = π r 2 dh + 2π rh( 0 ) ⇒

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

519

c) V = π r 2 h ⇒ dV = π r 2 dh + π hd ( r 2 ) = π r 2 dh + 2π rhdr , de sorte que dV π r2 2π rh dh dr = dh + dr = +2 V π r2 h π r2h h r L’incertitude relative de la mesure du volume du cylindre est de

dh dr +2 . h r

C hap i t re 5 1. a) f ′ ( x ) = 6 x 2 − 12 x − 18 = 6 ( x + 1)( x − 3). Déterminons les valeurs critiques : • f ′ ( x ) existe toujours.

• f ′ ( x ) = 0 si x + 1 = 0 ou x − 3 = 0, c’est-à-dire si x = −1 ou x = 3.

Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) :

]− ,  −1 [

]−1 ,  3[ −1

x

]3, [ 3

f ′( x )

+

0

−

0

+

f (x)



0 max. rel.



− 64 min. rel.



La fonction f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 − 18 x − 10 est croissante sur ]−∞,  −1] et sur [ 3, ∞[ , et elle est décroissante sur [ −1,  3]. Elle atteint un minimum relatif de −64 en x = 3 et un maximum relatif de 0 en x = −1. b) La fonction f ( x ) = −3 x 5 + 5 x 3 + 4 est décroissante sur ]−∞,  −1] et sur [1, ∞[ , et elle est croissante sur [ −1,  1]. Elle atteint un minimum relatif de 2 en x = −1 et un maximum relatif de 6 en x = 1.

c)

d  4x  f ′( x) =   = dx  x 2 + 2  =

( x2

4 ( x2 + 2 ) − 4 x ( 2 x )

(

+ 2)

x2

2

+ 2)

=

d d ( 4 x ) − 4 x ( x2 + 2 ) dx dx ( x 2 + 2 )2

8 − 4 x2

( x2

+ 2)

2

Déterminons les valeurs critiques :

• f ′ ( x ) existe toujours, car ( x 2 + 2 ) ≠ 0 pour tout x ∈ . 2

• f ′ ( x ) = 0 ⇔ 8 − 4 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = − 2 ou x =

2.

]−, − 2 [

]−

x

2 , 2[

− 2

f ′( x )

−

f (x)



]

2 , [

2

0

+

− 2 min. rel.



0

−

2 max. rel.



4x est décroissante sur  − ∞,  − 2  et sur  2 , ∞  , et elle x2 + 2 est croissante sur  − 2 ,  2 . Elle atteint un minimum relatif de − 2 en x = − 2

La fonction f ( x ) =

et un maximum relatif de 2 en x =

2.

d) La fonction f ( x ) = x 3 ( 2 − x ) est décroissante sur ]−∞, 0 ] et sur [ 4 5 , ∞[ , et elle est croissante sur [ 0,  4 5 ]. Elle atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 et un maximum 2

relatif de

( )

3 2 5

5

7

3

3

≈ 1, 03 en x =

4

5.

Chapitre 5

Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) :

520

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

e) La fonction f ( x ) = ln (1 + x 2 ) est décroissante sur ]−∞, 0 ] et elle est croissante sur [ 0, ∞[. Elle atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 et ne possède aucun maximum relatif. f)

f ′( x) =

(

)

(

)

d 2 − x2 d − x2 2 d 2 d x e = x2 e + e− x x2 ) = x2 e− x ( ( − x2 ) + 2 xe− x2 dx dx dx dx

= −2 x 3e − x + 2 xe − x = −2 xe − x 2

2

2

( x2

− 1) = −2 xe − x ( x − 1)( x + 1) 2

Déterminons les valeurs critiques : •  f ′ ( x ) existe toujours. 2 •  Comme e − x > 0 pour tout x ∈ , on a f ′ ( x ) = 0 si −2 x = 0, x − 1 = 0 ou x + 1 = 0, c’est-à-dire si x = 0, x = 1 ou x = −1. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) :

]−, − 1 [

]−1 , 0[

]0 , 1 [

−1

x f ′( x ) f (x)

]1 , [

0

+

0



e −1 max. rel.

−

0



0 min. rel.

1 +

0

−



e −1 max. rel.



La fonction f ( x ) = x 2 e − x est décroissante sur [ −1,  0 ] et sur [1, ∞[ , et elle est croissante sur ]−∞,  −1] et sur [ 0,  1]. Elle atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 et un maximum relatif de e −1 ≈ 0, 37 en x = −1 et en x = 1. x2 − 1 d 2 ( x − 1 )( x + 1 ) = = g) f ′ ( x ) = ( x − 2 arctg x ) = 1 − 2 1 + x2 dx 1+ x 1 + x2 Déterminons les valeurs critiques : 2

• f ′ ( x ) existe toujours, car 1 + x 2 ≠ 0 pour tout x ∈ . • f ′ ( x ) = 0 si ( x − 1)( x + 1) = 0, c’est-à-dire si x = 1 ou x = −1. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) :

]−, − 1 [

]−1 , 1 [ −1

x f ′( x ) f (x)

Chapitre 5

]1 , [

+

0



−1 + π 2 max. rel.

1 −

0

+



1 − π2 min. rel.



La fonction f ( x ) = x − 2 arctg x est décroissante sur [ −1,  1], et elle est croissante sur ]− ∞,  −1] et sur [1, ∞[ . Elle atteint un minimum relatif de 1 − π 2 ≈ − 0, 57 en x = 1 et un maximum relatif de −1 + π 2 ≈ 0, 57 en x = −1. 1   et elle est décroissante h) La fonction f ( x ) = x ( 3− x ) est croissante sur  −∞,  ln 3   −

1

1 3 ln 3 1 sur   , ∞  . Elle atteint un maximum relatif de ≈ 0, 33 en x = et ne ln 3 ln 3  ln 3  possède aucun minimum relatif. 2. a) Sur l’intervalle [ −2,  4 ], la fonction f ( x ) = 6 x 2 − x 4 atteint un minimum relatif de 8 en x = −2, un maximum relatif de 9 en x = − 3, un minimum relatif de 0 en x = 0, un maximum relatif de 9 en x = 3 et un minimum relatif de −160 en x = 4. d d d x 2− x = x 2− x + 2− x b) f ′ ( x ) = ( x) dx dx dx

(

)

( 2 − x )− 2 1

(

d (2 − x) + dx

=

1

=

x ( −1) + 2 2− x

=

− x + 2(2 − x) 4 − 3x = 2 2− x 2 2− x

2x

2− x =

)

2− x −x + 2 2− x

2− x

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

521

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  2[ :

• f ′ ( x ) existe toujours, car 2 − x > 0 lorsque x ∈ ]0,  2[ . • f ′ ( x ) = 0 si 4 − 3 x = 0 , c’est-à-dire si x =

4

3.

Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) sur [ 0,  2 ] :

]0 , 4 3 [

] 4 3 , 2[

0

x

4

f ′( x ) f (x)

0

2

3

+

0

−



4 6 9 max. rel.



min. rel.

0 min. rel.

Par conséquent, sur l’intervalle [ 0,  2 ], la fonction f ( x ) = x 2 − x atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 et en x = 2, et un maximum relatif de en x =

4

3.

4 6 ≈ 1, 09 9

ln x atteint un maximum relatif de x ≈ 0, 74 en x = e 2 et ne possède aucun minimum relatif.

c) Sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction f ( x ) = 2

e

d) Sur l’intervalle [ 0,  2π ], la fonction f ( x ) = sin 2 x + sin x atteint un minimum relatif de 0 en x = 0, un maximum relatif de 2 en x = π 2 , un minimum relatif de − 1 4 en x = 7 π 6 et en x = 11π 6 , et un maximum relatif de 0 en x = 3π 2 et en x = 2π .

e) Sur l’intervalle ]− π 2 ,  π 2[ , la fonction f ( x ) = 2 x − tg x atteint un minimum relatif de 1 − π 2 ≈ − 0, 57 en x = − π 4 et un maximum relatif de π 2 − 1 ≈ 0, 57 en x = π 4 .

f) Sur l’intervalle [ −1,  1], la fonction f ( x ) = 2 x + arccos x atteint un maximum relatif de −2 + π ≈ 1, 14 en x = −1, un minimum relatif de 5 π 6 − 3 ≈ 0, 89 en x = − 3 2 , un maximum relatif de 3 + π 6 ≈ 2, 26 en x = 3 2 et un minimum relatif de 2 en x = 1.

b) Le test de la dérivée seconde ne s’applique pas. À l’aide du test de la dérivée première, on obtient que la fonction f ( x ) = x 6 est décroissante sur ]−∞, 0 ] et croissante sur [ 0, ∞[. Par conséquent, elle atteint un minimum relatif de 0 en x = 0 et ne possède aucun maximum relatif. d 2 d 2 ( x 2 + 1) dx ( x − 1) − ( x2 − 1) dx ( x + 1) d  x2 − 1  = c) f ′ ( x ) = dx  x 2 + 1  ( x 2 + 1 )2 =

2 x ( x 2 + 1) − 2 x ( x 2 − 1)

(

x2

+ 1)

2

=

(

4x x2

+ 1)

2

Déterminons les valeurs critiques :

• f ′ ( x ) existe toujours, car ( x 2 + 1) ≠ 0 pour tout x ∈ . 2

• f ′ ( x ) = 0 si 4 x = 0, c’est-à-dire si x = 0. De plus, d  4x  f ′′ ( x ) = dx  ( x 2 + 1)2 

d 2 d 2 2 ( 4 x ) − 4 x ( x 2 + 1)   ( x + 1) dx dx  = 2   ( x 2 + 1 )2   

4 ( x 2 + 1) − 8 x ( x 2 + 1) 2

= =

( x2

+ 1)

4

4 ( x 2 + 1) ( x 2 + 1 − 4 x 2 )

( x2

+ 1)

4

d 2 ( x + 1) 4 ( x2 + 1)2 − 16 x2 ( x2 + 1) dx = ( x 2 + 1 )4 =

4 (1 − 3 x 2 )

( x2

+ 1)

3

Chapitre 5

3. a) La fonction f ( x ) = −2 x 4 + 4 x 2 + 3 atteint un maximum relatif de f ( −1) = 5 en x = −1, un minimum relatif de f ( 0 ) = 3 en x = 0 et un maximum relatif de f (1) = 5 en x = 1.

522

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

x2 − 1 atteint un x2 + 1 minimum relatif de f ( 0 ) = −1 en x = 0 et ne possède aucun maximum relatif. Par conséquent, f ′′ ( 0 ) = 4 > 0, de sorte que la fonction f ( x ) =

d) f ′ ( x ) =

d d 9 4  x 4 5 ( 3 − 2 x ) = 3x 5 − 2 x 5 = dx  dx

(

)

12

5x

−15

−

18

5x

4

5

4 − 6(3x − 2) 12 18 x 5 12 − 18 x − = = 1 1 1 5 5 5x 5 5x 5x 5 Déterminons les valeurs critiques :

=

• f ′ ( x ) n’existe pas si 5 x

1

5

= 0 , c’est-à-dire si x = 0.

• f ′ ( x ) = 0 si 3 x − 2 = 0 , c’est-à-dire si x =

2

3.

Le test de la dérivée seconde ne s’applique pas en x = 0, mais il s’appliquerait en x = 2 3. Toutefois, il est plus simple d’obtenir le résultat souhaité à partir du tableau des signes de f ′ ( x ), d’autant plus que le calcul de la dérivée seconde de la fonction est relativement long.

]−, 0[

]0 , 2 3 [

] 2 3 , [ 2

0

x f ′( x )

−

f (x)

∃

+

0





x = 0 et un maximum relatif de

4

5

3

9

4

5

)

9

35 max. rel.



( 3 − 2 x ) atteint un minimum relatif de 0 en

( ) ≈ 1, 20 en x =

5 2

4

−

0 5( 2

min. rel.

Par conséquent, la fonction f ( x ) = x

3

5

2

5

3.

4. a) Sur l’intervalle [ −3,  0 ], la fonction f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 4 x + 1 admet un minimum absolu de 1 en x = 0 et un maximum absolu de 9 en x = −2. x2 est continue sur  (car c’est un quotient de polynômes +3 et que le dénominateur est différent de 0) ; elle est donc continue sur l’intervalle fermé [ −1,  2 ]. Ses extremums absolus sont donc atteints aux extrémités de l’intervalle ou en une valeur critique de f ( x ) appartenant à ]−1,  2[ . On a

b) La fonction f ( x ) =

x2

Chapitre 5

d  x2  f ′( x) = = dx  x 2 + 3  =

( x2

+ 3)

2 x ( x 2 + 3) − x 2 ( 2 x )

(

x2

+ 3)

2

=

d 2 d 2 ( x ) − x2 dx ( x + 3) dx ( x 2 + 3 )2

(

6x x2

+ 3)

2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]−1,  2[ :

• f ′ ( x ) existe toujours, car ( x 2 + 3) ≠ 0 lorsque x ∈ ]−1,  2[ . 2

• f ′ ( x ) = 0 si 6 x = 0, c’est-à-dire si x = 0. Évaluons la fonction f ( x ) = valeur critique :

x2 aux extrémités de l’intervalle ainsi qu’à la +3

x2

f ( −1) =

1 4 , f ( 0 ) = 0 et f ( 2 ) = 4 7

x2 admet un +3 minimum absolu de 0 en x = 0 et un maximum absolu de 4 7 en x = 2.

Par conséquent, sur l’intervalle [ −1,  2 ], la fonction f ( x ) =

c) Sur l’intervalle [ −1,  8 ], la fonction f ( x ) = 2 + x en x = 0 et un maximum absolu de 6 en x = 8.

2

3

x2

admet un minimum absolu de 2

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

523

d) Sur l’intervalle [ 2,  9 ], la fonction f ( x ) = x ( x − 12 ) 3 admet un minimum absolu de 2 3 100 ≈ 9, 28 en x = 2 et un maximum absolu de 36 5 3 576 25 ≈ 20, 49 en x = 36 5. 2

e) Sur l’intervalle [ 0,  5 π 3 ], la fonction f ( x ) = sin x + cos x admet un minimum absolu de − 2 ≈ −1, 41 en x = 5 π 4 et un maximum absolu de 2 ≈ 1, 41 en x = π 4 . sin x sin x − 1 1 est continue sur − = cos x cos x cos x l’intervalle fermé [ − π 3 ,  π 3 ], car c’est le quotient de deux fonctions continues sur [ − π 3 ,  π 3 ] et que cos x ≠ 0 pour tout x ∈ [ − π 3 ,  π 3 ]. Ses extremums absolus sont donc atteints aux extrémités de l’intervalle ou en une valeur critique de f ( x ) appartenant à ]− π 3 ,  π 3[ . On a

f) La fonction f ( x ) = tg x − sec x =

d ( tg x − sec x ) = sec 2 x − sec x tg x = sec x ( sec x − tg x ) dx Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]− π 3 ,  π 3[ : 1 sin x et tg x = . Alors f ′ ( x ) existe toujours si x ∈ ]− π 3 ,  π 3[ , • On a sec x = cos x cos x car cos x ≠ 0 pour tout x ∈ ]− π 3 ,  π 3[ . f ′( x) =

• f ′ ( x ) = 0 ⇔ sec x = 0 ou sec x = tg x ⇔

1 1 sin x = 0 ou = cos cos x x cos x  impossible

⇔ sin x = 1 ⇔

x =

π

2

+ 2 kπ ( où k ∈   )

Sur l’intervalle ]− π 3 ,  π 3[ , il n’y a donc aucune valeur critique.

Évaluons la fonction f ( x ) = tg x − sec x aux extrémités de l’intervalle : f ( − π 3 ) = − 3 − 2 ≈ −3, 73 et f ( π 3 ) =

3 − 2 ≈ − 0, 27

Par conséquent, sur l’intervalle [ 3 3 ], la fonction f ( x ) = tg x − sec x admet un minimum absolu de − 3 − 2 ≈ −3, 73 en x = − π 3 et un maximum absolu de 3 − 2 ≈ − 0, 27 en x = π 3 . −π

,  π

g) Sur l’intervalle [ 0,  2 ], la fonction f ( x ) = e 3 x − x admet un minimum absolu de e −2 ≈ 0, 14 en x = 2 et un maximum absolu de e 2 ≈ 7, 39 en x = 1. 3

h) La fonction f ( x ) = xe − x est continue sur  (car c’est le produit de deux fonctions continues) ; elle est donc continue sur l’intervalle fermé [ −3,  4 ]. Ses extremums absolus sont donc atteints aux extrémités de l’intervalle ou en une valeur critique de f ( x ) appartenant à ]−3,  4[ . On a f ′( x) =

(

)

(

)

d d − x2 d 2 2 d + e− x xe − x = x e ( x ) = xe − x2 ( − x 2 ) + e − x2 dx dx dx dx

= −2 x 2 e − x + e − x = e − x (1 − 2 x 2 ) 2

2

2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]−3,  4[ :

• f ′ ( x ) existe toujours.

• Comme e − x > 0 pour tout x ∈ , on a f ′ ( x ) = 0 si 1 − 2 x 2 = 0 , c’est-à-dire si x 2 = 1 2 , et donc si x = − 1 2 = − 2 2 ou x = 1 2 = 2 2 . 2

Évaluons la fonction f ( x ) = xe − x aux extrémités de l’intervalle ainsi qu’aux valeurs critiques : 2

(

f ( −3) = −3e −9 ≈ − 0, 000 4 , f − f

( )= 2

2

2

2e

−1 2

2

2

)=−

2

2e

−1 2

≈ − 0, 428 9

≈ 0, 428 9 et f ( 4 ) = 4 e −16 ≈ 4, 5 × 10 −7

Par conséquent, sur l’intervalle [ −3,  4 ], la fonction f ( x ) = xe − x admet un 1 minimum absolu de − 2 2 e − 2 ≈ − 0, 428 9 en x = − 2 2 et un maximum absolu de 1 2 e − 2 ≈ 0 , 428 9 en x = 2 . 2 2 2

Chapitre 5

2

524

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

i)

Sur l’intervalle [ 0,  12 ], la fonction f ( x ) = 100 e sin x admet un minimum absolu de 100 e −1 ≈ 36, 79 en x = 3π 2 et en x = 7 π 2 , et un maximum absolu de 100 e ≈ 271, 83 en x = π 2 et en x = 5 π 2 .

5. a) La fonction f ( x ) = x 3 − 27 x est continue sur  (car c’est un polynôme) ; elle est donc continue sur l’intervalle fermé [ −10,  5 ]. Ses extremums absolus et relatifs sont donc atteints aux extrémités de l’intervalle ou en une valeur critique de f ( x ) appartenant à ]−10,  5[ . On a d 3 ( x − 27 x ) = 3 x2 − 27 = 3( x2 − 9 ) = 3( x + 3)( x − 3) dx Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]−10,  5[ : f ′( x) =

• f ′ ( x ) existe toujours.

• f ′ ( x ) = 0 si x + 3 = 0 ou x − 3 = 0, c’est-à-dire si x = −3 ou x = 3.

Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) sur [ −10,  5 ] :

]−10 , − 3[ x

−10

f ′( x ) f (x)

]−3 , 3[

]3 , 5[

−3

–730 min. rel. et abs.

3

5

+

0

−

0

+



54 max. rel. et abs.



–54 min. rel.



–10 max. rel.

Sur l’intervalle [ −10,  5 ], la fonction f ( x ) = x 3 − 27 x atteint un minimum absolu (et relatif) de −730 en x = −10, un maximum absolu (et relatif) de 54 en x = −3, un minimum relatif de −54 en x = 3 et un maximum relatif de −10 en x = 5. b) Sur l’intervalle [ −3,  3], la fonction f ( x ) = x 3 − x 2 − x − 1 atteint un minimum absolu (et relatif) de −34 en x = −3, un maximum relatif de − 22 27 en x = − 1 3, un minimum relatif de −2 en x = 1 et un maximum absolu (et relatif) de 14 en x = 3. c) Sur l’intervalle [− 8,  4 ], la fonction f ( x ) = x 4 + 6 x 3 − 18 x 2 atteint un maximum relatif de −128 en x = −8, un minimum absolu (et relatif) de −648 en x = −6, un maximum relatif de 0 en x = 0, un minimum relatif de − 243 16 en x = 3 2 et un maximum absolu (et relatif) de 352 en x = 4. d) Sur l’intervalle [ −2,  2 ], la fonction f ( x ) = x 3 − 1 3 x atteint un maximum relatif de 3 −2 + 2 3 ≈ − 0, 59 en x = −2, un minimum absolu (et relatif) de − 2 3 en x = −1, un maximum absolu (et relatif) de 2 3 en x = 1 et un minimum relatif de 3 2 − 2 3 ≈ 0, 59 en x = 2.

Chapitre 5

1

e) Sur l’intervalle [− 6,  2 ], la fonction f ( x ) = 3 x 5 + 15 x 4 − 25 x 3 atteint un minimum relatif de 1 512 en x = −6, un maximum absolu (et relatif) de 3 125 en x = −5, un minimum absolu (et relatif) de −7 en x = 1 et un maximum relatif de 136 en x = 2. f) Sur l’intervalle [ −1,  3], la fonction f ( x ) = 1 − ( x − 1) 3 atteint un maximum absolu (et relatif) de 1 en x = 1, et un minimum absolu (et relatif) de 1 − 3 4 ≈ − 0, 59 en x = −1 et en x = 3. 2

6. a) Comme lim ( 3 x 5 − 20 x 3 ) = lim x 5 ( 3 − 20 x2 ) = −∞ et que x→ − ∞ x→ − ∞     forme − ∞( 3 − 0 )

lim ( 3 x 5 − 20 x 3 ) = lim x 5 ( 3 − 20 x2 ) = ∞ x→ ∞    

x→ ∞

forme ∞( 3 − 0 )

la fonction f ( x ) = 3 x 5 − 20 x 3 n’admet pas d’extremum absolu sur . b) La fonction f ( x ) = e − x admet un maximum absolu de 1 en x = 0 puisqu’elle est croissante sur ]−∞, 0 ] et décroissante sur [ 0, ∞[. De plus, la fonction n’admet aucun minimum absolu puisqu’elle n’admet aucun minimum relatif. 2

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

525

1 admet un minimum absolu de 2 x en x = 1 puisqu’elle est décroissante sur ]0,  1] et croissante sur [1, ∞[ . Elle n’admet cependant pas de maximum absolu puisqu’elle n’admet aucun maximum relatif.

c) Sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction f ( x ) =

x +

2 − 1 x ( 2 − 1) 2− x x = lim 2 x = lim = 0 et 2 5 x → − ∞ x ( 5 2 + 1) x→ − ∞ 5 + x x → − ∞ x ( 2 + 1) x x   

d) On a lim

forme

lim

x→ ∞

−1 −∞

2 − 1 x ( 2 x − 1) 2− x x = lim = 0 = lim 2 2 5 x x → ∞ → ∞ 5+ x x ( 5 x2 + 1) x ( x2 + 1)  forme

−1 ∞

De plus, d d ( 2 − x ) − ( 2 − x ) ( 5 + x2 ) ( 5 + x 2 ) dx dx ( 5 + x 2 )2

d  2− x  f ′( x) =   = dx  5 + x 2  =

− ( 5 + x2 ) − 2 x ( 2 − x )

(5 + )

2 x2

=

x2 − 4 x − 5

(5 + )

2 x2

=

( x − 5 )( x + 1 )

( 5 + x 2 )2

Déterminons les valeurs critiques :

• f ′ ( x ) existe toujours, car ( 5 + x 2 ) ≠ 0 pour tout x ∈ . 2

• f ′ ( x ) = 0 si x − 5 = 0 ou x + 1 = 0, c’est-à-dire si x = 5 ou x = −1.

Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) :

]−, − 1 [

]−1 , 5[

]5, [

−1

x f ′( x )

+

f (x)



0 1

2

5 −

0

+



− 1 10



max. rel.

min. rel.

2− x atteint un maximum relatif de 1 2 en x = −1. 5 + x2 Vérifions si ce maximum est également le maximum absolu de la fonction f ( x ).

Alors, la fonction f ( x ) =

1

2

> lim f ( x ) = 0 et 1 2 > lim f ( x ) = 0 x→ − ∞

x→ ∞

2− x Par conséquent, la fonction f ( x ) = atteint un maximum absolu de 1 2 en 5 + x2 x = −1. Par ailleurs, la fonction f ( x ) atteint un minimum relatif de − 1 10 en x = 5. Vérifions si ce minimum est également le minimum absolu de la fonction f ( x ). Or, − 1 10 est le plus petit minimum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est le seul minimum relatif. De plus, − 1 10 < lim f ( x ) = 0 et − 1 10 < lim f ( x ) = 0 x→ − ∞

x→ ∞

2− x Par conséquent, la fonction f ( x ) = atteint un minimum absolu de − 1 10 en 5 + x2 x = 5. e) On a lim+ ( 2 cos x − x ) = 2 et lim − ( 2 cos x − x ) = 2 − 2π ≈ − 4, 28 . De plus, x→ 2π

x→ 0

f ′( x) =

d ( 2 cos x − x ) = −2 sin x − 1 dx

Chapitre 5

Or, 1 2 est le plus grand maximum relatif de la fonction f ( x ) puisque c’est le seul maximum relatif. De plus,

526

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  2π [ : • f ′ ( x ) existe toujours.

• f ′ ( x ) = 0 si sin x = − 1 2, c’est-à-dire si x = 7 π 6 + 2 kπ ou x = 11π 6 + 2 kπ (où k ∈ ). Sur l’intervalle ]0,  2π [, on ne retient que x = 7 π 6 et x = 11π 6 comme valeurs critiques. Construisons le tableau des signes de f ′ ( x ) sur ]0,  2π [ :

]0 ,  7 π 6[

]7 π 6 ,  11 π 6[ 7π

x f ′( x ) f (x)

]11 π 6 ,  2 π [ 11 π

6

−

0



− 3 − 6 min. rel. 7π

6

+

0

−



3 − 6 max. rel. 11 π



Alors, sur l’intervalle ]0,  2π [, la fonction f ( x ) = 2 cos x − x atteint un minimum relatif de − 3 − 7 π 6 ≈ −5, 4 en x = 7 π 6 . Vérifions si ce minimum est également le minimum absolu de la fonction f ( x ). Or, − 3 − 7 π 6 est le plus petit minimum relatif de la fonction f ( x ) sur ]0,  2π [ puisque c’est le seul minimum relatif sur cet intervalle. De plus, − 3 −

7π

6

< lim+ ( 2 cos x − x ) = 2 et − 3 − x→ 0

7π

6

< lim − ( 2 cos x − x ) ≈ − 4, 28 x→ 2π

Par conséquent, sur l’intervalle ]0,  2π [, la fonction f ( x ) = 2 cos x − x atteint un minimum absolu de − 3 − 7 π 6 ≈ −5, 4 en x = 7 π 6 . Par ailleurs, sur l’intervalle ]0,  2π [, la fonction f ( x ) = 2 cos x − x atteint un maximum relatif de 3 − 11π 6 ≈ − 4, 0 en x = 11π 6 . Vérifions si ce maximum est également le maximum absolu de la fonction f ( x ). Or, 3 − 11π 6 est le plus grand maximum relatif de la fonction f ( x ) sur ]0,  2π [ puisque c’est le seul maximum relatif sur cet intervalle. De plus, lim+ ( 2 cos x − x ) = 2 > 3 − 11π 6 , de sorte que la fonction f ( x ) prend des valeurs x→ 0

plus grandes que 3 −

11 π

6

sur ]0,  2π [.

Par conséquent, sur l’intervalle ]0,  2π [, la fonction f ( x ) = 2 cos x − x n’atteint pas de maximum absolu.

Chapitre 5

f) Sur l’intervalle ]0,  2π [, la fonction f ( x ) = sin x − cos x atteint un maximum absolu de 2 ≈ 1, 41 en x = 3π 4 et un minimum absolu de − 2 ≈ −1, 41 en x = 7 π 4 . 7. a) Sur l’intervalle [ − 8,  8 ], on peut tracer la courbe décrite par la fonction f ( x ) sans lever la pointe du crayon. Par conséquent, la fonction f ( x ) est continue sur l’intervalle [ − 8,  8 ]. b) La fonction f ( x ) est croissante sur les intervalles [ −5,  −3], [ −2,  2 ] et [ 3,  4 ].

c) La fonction f ( x ) est décroissante sur les intervalles [ − 8,  −5 ], [ −3,  −2 ], [ 2,  3] et [ 4,  8 ]. d) La fonction f ( x ) comporte 7 valeurs critiques puisque la pente de la droite tangente est nulle en 3 endroits (x = −3, x = 0 et x = 3) et n’est pas définie en 4 endroits (x = −5, x = −2, x = 2 et x = 4).

e) La fonction f ( x ) admet un maximum relatif de −14 en x = −8, un minimum absolu (et relatif) de −26 en x = −5, un maximum relatif de −2 en x = −3, un minimum relatif de −8 en x = −2, un maximum absolu (et relatif) de 8 en x = 2, un minimum relatif de −6 en x = 3, un maximum absolu (et relatif) de 8 en x = 4 et un minimum relatif de −12 en x = 8.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

x

z

x

Arrière

Côté

On veut maximiser le volume V = xyz de la boîte. Exprimons V  en fonction d’une seule variable.

y

Côté

8. Nommons les arêtes de la boîte comme l’indique le schéma :

527

Fond

On a

20 cm

2 x + 2 y = 20 ⇒ y = 10 − x

x

et

Devant

2 x + z = 20 ⇒ z = 20 − 2 x de sorte que le volume de la boîte est V = xyz

Dessus

= x (10 − x )( 20 − 2 x )

20 cm

= 2 x 3 − 40 x 2 + 200 x Comme x, y et z sont les mesures des arêtes de la boîte, ces valeurs ne peuvent être négatives. Il faut donc que x ≥ 0, que y = 10 − x ≥ 0 et que z = 20 − 2 x ≥ 0. Les deux dernières inéquations sont équivalentes à x ≤ 10. On veut donc maximiser V ( x ) = 2 x 3 − 40 x 2 + 200 x , où x ∈ [ 0,  10 ]. d ( 2 x 3 − 40 x 2 + 200 x ) = 6 x 2 − 80 x + 200 . Déterminons les valeurs dx critiques appartenant à ]0,  10[ :

Or, V ′ ( x ) =

• V ′ ( x ) existe toujours. • V ′ ( x ) = 0 si 6 x 2 − 80 x + 200 = 0 ⇔

x =

⇔

x =

− ( −80 ) ± 10

3

( −80 )2 − 4 ( 6 )( 200 ) 2(6)

x=  10 ou  

à rejeter, car 10 ∉ ]0 ,  10[

La fonction V ( x ) = 2 x 3 − 40 x 2 + 200 x est continue sur [ 0,  10 ], car c’est un polynôme. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. V ( 0 ) = 0 cm 3, V ( 10 3 ) =

8 000

27

≈ 296, 3 cm 3 et V (10 ) = 0 cm 3

Par conséquent, les dimensions de la boîte de volume maximal sont 10

3

≈ 3,3 cm, y = 10 − x =

20

Le volume maximal de la boîte est de

3

≈ 6, 7 cm et z = 20 − 2 x =

8 000

27

40

3

≈ 13, 3 cm

≈ 296, 3 cm 3.

9. L’aire maximale de l’enclos est de 24 025 m 2 et les deux côtés de l’enclos mesurent alors 155 m. 10. L’aire maximale du triangle rectangle est de 2 m 2 lorsque les côtés de l’angle droit mesurent 2 m. Le triangle est donc un triangle rectangle isocèle. 11. L’aire maximale du triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 10 cm est de 25 cm 2 lorsque les côtés de l’angle droit mesurent chacun 50 = 5 2 cm. Le triangle rectangle est donc également isocèle. 12. a) Soit x la longueur de l’arête du premier cube et y celle du second cube. On veut maximiser la somme des aires totales des cubes, soit A = 6 x 2 + 6 y2 . Exprimons A en fonction d’une seule variable. Comme la somme des volumes des cubes est de 2 000 cm 3, on a x 3 + y3 = 2 000 ,

d’où y = ( 2 000 − x 3 ) 3 . Par conséquent, 1

A = 6 x 2 + 6 y2 = 6 x 2 + 6 ( 2 000 − x 3 )

2

3

Comme x et y sont les mesures des arêtes des cubes, ces valeurs ne peuvent être

négatives. Il faut donc que x ≥ 0 et que y = ( 2 000 − x 3 ) y ≥ 0 ⇔ 2 000 −

x3

≥ 0 ⇔

x3

1

3

≤ 2 000 ⇔ x ≤

≥ 0 . Or, 3

2 000

⇔ x ≤ 10 3 2

Chapitre 5

x =

528

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

On veut donc maximiser A( x ) = 6 x 2 + 6 ( 2 000 − x 3 ) 3, où x ∈  0,  10 3 2 . On a 2 d  2 6 x + 6 ( 2 000 − x 3 ) 3  A′ ( x ) =    dx 1 d − = 12 x + 6 ( 2 3 ) ( 2 000 − x 3 ) 3 ( 2 000 − x 3 ) dx 2

= 12 x +

4

( 2 000 − x3 )

1

3

12 x ( 2 000 − x 3 )

( −3 x 2 ) =

1

− 12 x 2

3

( 2 000 − x3 )

1

3

1 12 x ( 2 000 − x 3 ) 3 − x    = 1 3 3 ( 2 000 − x )

Déterminons les valeurs critiques appartenant à  0,  10 3 2  :

• A′ ( x ) existe toujours puisque ( 2 000 − x 3 ) • A′ ( x ) = 0 si 12 x = 0 ou ( 2 000 − x 3 )

( 2 000 − x3 )

1

3

1

3

1

3

≠ 0 lorsque x ∈  0,  10 3 2 .

− x = 0, c’est-à-dire si

= x . Or,

( 2 000 − x3 )

1

3

x =0 

ou

à rejeter, car

0 ∉ ]0 ,  10 3 2 [

= x ⇔ 2 000 − x 3 = x 3 ⇔ 1 000 = x 3

⇔ 2 000 = 2 x 3

⇔ 10 = x

La fonction A( x ) = 6 x 2 + 6 ( 2 000 − x 3 ) est continue sur  0,  10 3 2  , car c’est la somme de deux fonctions continues sur cet intervalle. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. 2

3

A( 0 ) = 600 3 4 ≈ 952, 44 cm 2 A(10 ) = 1 200 cm 2

(

)

A 10 3 2 = 600 3 4 ≈ 952, 44 cm 2 Par conséquent, la valeur maximale de la somme des aires totales des cubes est 1 200 cm 2 et elle est atteinte lorsque les longueurs des arêtes des cubes sont

Chapitre 5

x = 10 cm et y = ( 2 000 − x 3 )

1

3

= 10 cm .

b) En vertu du résultat obtenu en a, la valeur minimale de la somme des aires totales des cubes est de 600 3 4 ≈ 952, 44 cm 2 et elle est atteinte lorsque l’arête d’un des cubes mesure 0 cm, c’est-à-dire lorsqu’il n’y a qu’un seul cube dont l’arête mesure 10 3 2 cm, soit environ 12,6 cm. 100 3 cm 2 , soit d’environ 13. L’aire du triangle isocèle atteint sa valeur maximale de 9 19, 25 cm 2, lorsque les côtés du triangle mesurent tous 20 3  cm. 20 000 2 m , 14. La partie rectangulaire de la piste occupe une surface d’aire maximale de π soit d’environ 6 366, 2 m 2 , lorsque les côtés du rectangle mesurent respectivement 200 100 m et ≈ 63, 7 m . π x 15. Soit x et y les dimensions (en mètres) de la feuille de papier. Le schéma ci-contre décrit la situation. On veut maximiser l’aire de la surface imprimée donnée par S = ( x − 0, 16 )( y − 0, 2 ) puisqu’on a des marges de 8 cm = 0, 08 m et de 10 cm = 0, 1 m . Exprimons S en fonction d’une seule variable.

10 cm

8 cm

y

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

L’aire de la feuille de papier est 2 m 2 , alors xy = 2 ⇒ y =

529

2 . Par conséquent, x

2  S = ( x − 0, 16 )( y − 0, 2 ) = ( x − 0, 16 )  − 0, 2  x  = 2 − 0, 2 x −

0, 32 0, 32 + 0, 032 = 2, 032 − 0, 2 x − x x

Les dimensions de la surface imprimée ne peuvent être négatives. Il faut donc que 2 x − 0, 16 ≥ 0 et que y − 0, 2 = − 0, 2 ≥ 0. La première inéquation est équivalente à x 2 2 x ≥ 0, 16 et la deuxième à ≥ 0, 2 ⇔ x ≤ = 10 . Par conséquent, on veut x 0, 2 maximiser S ( x ) = 2, 032 − 0, 2 x − S′( x) =

0, 32 , où x ∈  0, 16 ;  10 . Or, x

d  0, 32 0, 32 0, 32 − 0, 2 x 2  − 0, 2 x  = − 0, 2 =  2, 032 − 2  x dx x x2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à  0, 16 ;  10  : • S ′ ( x ) existe toujours puisque x 2 ≠ 0 lorsque x ∈  0, 16 ;  10 . • S ′ ( x ) = 0 ⇔ 0, 32 − 0, 2 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 1, 6 ⇔ x = − 1, 6 ou x = 

1, 6 .

à rejeter,, car

− 1 ,6 ∉ ]0 ,16 ;  10[

0, 32 est continue sur  0, 16 ;  10 , car c’est une x différence de fonctions continues sur cet intervalle. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. La fonction S ( x ) = 2, 032 − 0, 2 x −

S ( 0, 16 ) = 0 m 2 , S

(

)

1, 6 ≈ 1, 53 m 2 et S (10 ) = 0 m 2

Par conséquent, les dimensions de la feuille de papier qui maximisent l’aire de 2 2 = ≈ 1,58 m. L’aire la surface imprimée sont x = 1, 6 ≈ 1,26 m et y = 1, 6 x maximale de la surface imprimée est alors d’environ 1, 53 m 2 . 16. Sur l’intervalle 0 ≤ Q ≤ 35, la fonction R (Q ) prend sa valeur maximale de 13 500 lorsque Q = 30 et que P = 450.

18. a) On a f ( x ) = g ( x ) ⇔ − x 2 + 4 x = −2 x + 5 ⇔ ⇔ ( x − 1) ( x − 5 ) = 0 ⇔

x2 − 6 x + 5 = 0

x = 1 ou x = 5

Les abscisses des points d’intersection sont donc x = 1 et x = 5.

6

|

3

|

y

–6

|

–3

|

0

–9

|

b)

f ( x ) = − x2 + 4 x

|

|

3

6

g ( x ) = −2 x + 5

x

Chapitre 5

17. L’aire de la coupe transversale la plus grande est de 0, 5 m 2 et est obtenue lorsque l’angle θ mesure π 2 rad, de sorte que le volume maximal du prisme est de 0, 5 m 3.

530

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

c) On veut maximiser la distance verticale entre les deux courbes D( x ) = ( − x 2 + 4 x ) − ( −2 x + 5 ) = − x 2 + 6 x − 5 pour x ∈ [1,  5 ]. Or, d ( − x2 + 6 x − 5 ) = −2 x + 6 dx Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]1,  5[ : D′ ( x ) =

• D′ ( x ) existe toujours.

• D′ ( x ) = 0 si −2 x + 6 = 0 , c’est-à-dire si x = 3.

La fonction D( x ) = − x 2 + 6 x − 5 est continue sur [1,  5 ], car c’est un polynôme. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. D(1) = 0 , D( 3) = 4 et D( 5 ) = 0 Par conséquent, pour x ∈ [1,  5 ], la distance verticale maximale entre les deux courbes est atteinte en x = 3 et est de 4 unités. 19. Soit r le rayon du cylindre circulaire droit et h sa hauteur.

r

On veut maximiser le volume V = π r 2 h du cylindre. Exprimons V en fonction d’une seule variable.

h

6 cm

Comme le rayon de la sphère mesure 6 cm, on a 2 2 r 2 + ( h 2 ) = 36 , de sorte que r 2 = 36 − h 4 . Par conséquent, V ( h ) = π r 2 h = π ( 36 −

h2

4

6 cm

2

) h = π ( 36 h − h 4 ) 3

Comme h et r sont respectivement la hauteur et le rayon du cylindre, ces valeurs ne peuvent être négatives. Il faut donc que h ≥ 0 et que r = r =

36 −

h2

≥ 0 ⇔ 36 −

4

⇔

4

h2

4

≥ 0 . Or,

≥ 0 ⇔ h2 ≤ 144

h ≤ 12 ⇔ − 12 ≤ h ≤ 12

On veut donc maximiser V ( h ) = π ( 36 h − V ′ ( h) =

h2

36 −

h3

d π ( 36 h − dh 

4

h3

), où h ∈ [ 0,  12 ]. On a 4

)  = π ( 36 − 3 4 h2 )

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  12[ :

• V ′ ( h ) existe toujours. • V ′ ( h ) = 0 si 36 −

3

4h

2

= 0 ⇔ h2 = 48 ⇔  h = − 48  ou h =

48 = 4 3 .

à rejeter, car

− 48 ∉ ]0 ,  12[

La fonction V ( h ) = π ( 36 h − h 4 ) est continue sur [ 0,  12 ], car c’est un polynôme. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique.

Chapitre 5

3

(

)

V ( 0 ) = 0 cm 3, V 4 3 = 96π 3 ≈ 522, 37 cm 3 et V (12 ) = 0 cm 3 Par conséquent, les dimensions du cylindre circulaire droit de volume maximal, cylindre qu’on peut inscrire dans une sphère de 6 cm de rayon, sont h = 4 3 ≈ 6,93 cm et r =

36 −

h2

4

= 2 6 ≈ 4,90 cm

Le volume maximal du cylindre est alors de 96π 3 ≈ 522, 37 cm 3. 20. Les dimensions du cylindre circulaire droit de volume maximal, cylindre qu’on peut inscrire dans un cône de 4 cm de rayon et de 16 cm de hauteur, sont r = 8 3 ≈ 2,67 cm et h=

16

3

≈ 5, 33 cm. Le volume maximal du cylindre est alors de 1 024 27 π ≈ 119, 15 cm 3.

21. Les dimensions du cône circulaire droit de volume maximal, cône qu’on peut inscrire dans une sphère de 6 cm de rayon, sont h = 8 cm et r = 4 2 ≈ 5,66 cm. Le volume maximal du cône est alors de 256 π 3 ≈ 268, 08 cm 3 . 22. Soit Q ( x,  y ) un point du cercle d’équation x 2 + y2 = 1. La distance entre les points P ( 3,  4 ) et Q ( x,  y ) est donnée par D =

( x − 3)2 + ( y − 4 )2 . On veut trouver les

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

531

coordonnées du point Q ( x,  y ) qui minimise le carré de la distance du point P ( 3,  4 ) au cercle, soit l’expression c = ( x − 3)2 + ( y − 4 ) = x 2 − 6 x + 9 + y2 − 8 y + 16 = x 2 − 6 x + y2 − 8 y + 25 2

Exprimons c en fonction d’une seule variable. On a x 2 + y2 = 1, de sorte que y = 1 − x 2 (y ≥ 0 puisque le point du cercle le plus proche de P ( 3,  4 ) doit clairement se situer dans le premier quadrant). Par conséquent, c ( x ) = x 2 − 6 x + y2 − 8 y + 25 = x 2 − 6 x +

(

1 − x2

)

2

− 8 1 − x 2 + 25

= x 2 − 6 x + 1 − x 2 − 8 1 − x 2 + 25 = 26 − 6 x − 8 1 − x 2 Comme le point Q ( x,  y ) cherché est un point du cercle de rayon 1 centré à l’origine et qu’il est situé dans le premier quadrant, on a x ∈ [ 0,  1]. On veut donc minimiser c ( x ) = 26 − 6 x − 8 1 − x 2 , où x ∈ [ 0,  1]. Or, c′ ( x ) =

(

d 26 − 6 x − 8 1 − x 2 dx

= −6 +

8x

(1 − x 2 )

1

2

=

) = −6 − 8 ⋅

1

(1 − x 2 )− ( −2 x ) 1

2

2

−6 1 − x 2 + 8 x 1 − x2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  1[ :

• c ′ ( x ) existe toujours puisque 1 − x 2 > 0 lorsque x ∈ ]0,  1[ . • c ′ ( x ) = 0 si − 6 1 − x 2 + 8 x = 0 . Or, − 6 1 − x2 + 8 x = 0 ⇒ 8 x = 6 1 − x2

⇒ 64 x 2 = 36 (1 − x 2 )

⇒ 64 x 2 = 36 − 36 x 2 ⇒ x2 =

9

25

⇒

⇒ 100 x 2 = 36

x = − 3 5 ou x =   

3

5

à rejeter, car − 3 5 ∉ ]0 ,  1[

La fonction c ( x ) = 26 − 6 x − 8 1 − x 2 est continue sur [ 0,  1], car c’est la différence de fonctions continues sur cet intervalle. Le minimum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. c ( 0 ) = 18 , c ( 3 5 ) = 16 et c (1) = 20

( 3 5 )2 = 16 25 = 4 5 . Par conséquent, le point du cercle le plus proche de P ( 3,  4 ) est Q ( 3 5 ,  4 5 ). La distance entre ces deux 3

5,

on a y =

points est de D =

c =

1 − x2 =

1−

16 = 4 unités.

23. C’est à 10 ans qu’on peut apprendre le plus grand nombre de nouveaux mots d’une langue étrangère par jour (environ 7,4 mots/jour). 24. Le propriétaire devrait attendre 4 semaines avant d’effectuer sa récolte afin d’obtenir un revenu maximal de 104,40 $ de la vente des fruits produits par un arbre. 25. La production maximale est de 22 500 pommes/hectare lorsqu’on dénombre 75 pommiers/hectare. 26. On veut maximiser la résistance de la poutre, soit R = kh2 b , où k ∈ . Exprimons R en fonction d’une seule variable. On a b2 + h2 = 30 2, de sorte que h =

900 − b2 (car h ≥ 0). Par conséquent,

R = kh2 b = k ( 900 − b2 ) b = k ( 900 b − b3 ) Comme b et h sont la base et la hauteur de la coupe transversale d’une poutre, ces valeurs ne peuvent être négatives. Il faut donc que b ≥ 0 et que h = h=

900 − b2 ≥ 0 . Or,

900 − b2 ≥ 0 ⇔ 900 − b2 ≥ 0 ⇔ b2 ≤ 900 ⇔

b ≤ 30 ⇔ − 30 ≤ b ≤ 30

Chapitre 5

Lorsque x =

532

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

On veut donc maximiser R ( b ) = k ( 900 b − b3 ) , où b ∈ [ 0,  30 ]. On a d  k ( 900 b − b3 )  = k ( 900 − 3b2 ) R′ ( b) = db  Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  30[ :

• R ′ ( b ) existe toujours.

− 300 • R ′ ( b ) = 0 si 900 − 3b2 = 0 ⇔ b2 = 300 ⇔ b =   ou b =

300 = 10 3 .

à rejeter, car − 300 ∉ ]0 ,  30[

La fonction R ( b ) = k ( 900 b − b3 ) est continue sur [ 0,  30 ], car c’est un polynôme. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique.

(

)

R ( 0 ) = 0 , R 10 3 = 6 000 k 3 et R ( 30 ) = 0 Par conséquent, la poutre la plus résistante qu’on peut tirer d’une bille de bois de 30 cm de diamètre est celle dont la base est de b = 10 3 ≈ 17, 32 cm et dont la hauteur est de h =

900 − b2 =

600 = 10 6 ≈ 24, 49 cm.

27. L’aire maximale du triangle isocèle ainsi formé est de 32 cm 2 lorsque l’angle au centre mesure π 2 rad. Le triangle est donc rectangle isocèle. 28. Le volume maximal du cône est de 16 000 3π 27 ≈ 3 224, 53 cm 3 lorsque la hauteur du cône (soit un des côtés de l’angle droit du triangle rectangle) est de 20 3 3 ≈ 11, 55 cm et que le rayon de la base (soit l’autre côté de l’angle droit) est de 20 6 3 ≈ 16,33 cm. 29. Si le niveau de production du produit A est compris entre 1 et 4 milliers de kilogrammes, l’entreprise doit fabriquer 6 − 2 2 ≈ 3, 172  milliers de kilogrammes du produit A, soit environ 3 172 kg du produit A, pour maximiser son profit (qui sera alors d’environ 17 373 $). 30. Les deux câbles doivent se rejoindre à une distance de x = 3 3 ≈ 0, 58 m du plafond pour que la quantité totale de câble utilisée pour suspendre le lustre soit minimale et égale à 6 + 3 ≈ 7, 73 m. 31. Le trajet le plus court est d’environ 55,9 m et il est obtenu lorsque l’enfant va toucher au mur de l’école à une distance de 10 m du point A. v02 est atteinte lorsque l’angle de lancement est de π 4 rad. 9, 8 33. a) Si 1 2 r0 ≤ r ≤ r0 , la vitesse maximale d’expulsion de l’air est obtenue lorsqu’au moment de la toux, le rayon de la trachée correspond aux deux tiers de son rayon normal : r = 2 3 r0 .

Chapitre 5

32. La portée maximale de

b) Si 1 2 r0 ≤ r ≤ r0 , l’écoulement de l’air maximal est obtenu lorsqu’au moment de la toux, le rayon de la trachée correspond aux quatre cinquièmes de son rayon normal : r = 4 5 r0 . 34. Le schéma ci-contre décrit la situation. On veut maximiser θ = π − α − β . Exprimons θ en fonction d’une seule variable. x 15 − x On a cotg α = et cotg β = 10 18  x de sorte que α = arccotg   et que  10   15 − x  β = arccotg  . Par conséquent,  18 

18 10

α 0

θ

β

x

 x  15 − x  θ ( x ) = π − α − β = π − arccotg   − arccotg   10   18 

15

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

533

où x ∈ [ 0,  15 ]. Or,

θ ′( x) =

d   x  15 − x   π − arccotg   − arccotg   10   18   dx 

= −

d  x d  15 − x  −1     − 2 2 18  dx dx 10 15 − x x     1+  1+   18   10  −1

1  1  −1    +  2   x 2  10  (15 − x ) 18  1+ 1+ 100 324 1 1 1 1 = − = − 100 + x 2  100 + x 2   324 + (15 − x )2  324 + (15 − x )2 10  18   10  100  18 324   =

=

=

1

10  324 + (15 − x )2  − 18 (100 + x 2 ) 10 18 − = 100 + x 2 324 + (15 − x )2 (100 + x 2 )  324 + (15 − x )2  10 ( 324 + 225 − 30 x + x 2 ) − 1 800 − 18 x 2

(100 + )  324 + (15 − x )

2

x2

=

 

−8 x 2 − 300 x + 3 690

(100 + x 2 )  324 + (15 − x )2 

Déterminons les valeurs critiques sur ]0,  15[ : • θ ′ ( x ) existe toujours puisque 100 + x 2 ≠ 0 et 324 + (15 − x )2 ≠ 0 pour tout x ∈ ]0,  15[. • θ ′ ( x ) = 0 si − 8 x 2 − 300 x + 3 690 = 0 ⇔ x = ⇔ x = ⇔

300 ± 300 ±

( −300 )2 − 4 ( −8 )( 3 690 ) 2 ( −8 ) 208 080 −16

300 ± 204 5 −75 ∓ 51 5 = −16 4

=

−75 − 51 5 −75 + 51 5 x = ou x = ≈ 9, 8 4 4   

 x  15 − x  La fonction θ ( x ) = π − arccotg   − arccotg  est continue sur [ 0,  15 ], car  10   18  c’est la différence de fonctions continues sur . Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. Puisque arccotg ( 0 ) = π 2 et que arccotg x = arctg ( 1 x ) lorsque x > 0, on a

θ ( 0 ) = π − arccotg ( 0 ) − arccotg ( 5 6 ) = π −

π

2

− arctg ( 6 5 ) ≈ 0, 69 rad

 −75 + 51 5   −75 + 51 5   45 − 17 5  θ  = π − arccotg   − arcccotg   4 40 24  24 40     − arctg  = π − arctg  ≈ 1, 06 rad  −75 + 51 5   45 − 17 5 

θ (15 ) = π − arccotg ( 3 2 ) − arccotg ( 0 ) = π − arctg ( 2 3 ) −

π

2

≈ 0, 98 rad

Par conséquent, lorsque x ∈ [ 0,  15 ], la valeur maximale de θ est d’environ 1,06 rad −75 + 51 5 ≈ 9, 8. lorsque x = 4 35. La distance d’un point P ( x0 ,  y0 ) à un point ( x,  y ) de la courbe décrite par la fonction f ( x ) est donnée par l’expression

(x −

x0 ) + ( y − y0 ) . Or, la distance est minimale 2

2

si et seulement si le carré de la distance est minimal. Comme l’expression du carré de la distance est plus simple que celle de la distance, on cherchera à minimiser le carré 2 2 de la distance c ( x ) = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) .

Chapitre 5

à rejetter, car n’est pas dans ]0 ,  15[

534

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

a) Soit P ( 4,  0 ) et soit Q ( x,  y ) un point de la courbe décrite par la fonction f ( x ) = x . Alors, x ∈ [ 0,  ∞[, car le domaine de la fonction f ( x ) est l’intervalle [ 0, ∞[. On veut minimiser le carré de la distance entre les points P et Q, soit c ( x ) = ( x − 4 )2 + ( y − 0 ) = ( x − 4 )2 +

(

2

x −0

)2

car y =

x

= x 2 − 7 x + 16 où x ∈ [ 0,  ∞[. Or, d 2 ( x − 7 x + 16 ) = 2 x − 7 dx Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0, ∞[ : c′ ( x ) =

• c ′ ( x ) existe toujours.

• c ′ ( x ) = 0 si 2 x − 7 = 0 , c’est-à-dire si x =

7

2.

Construisons le tableau des signes de c ′ ( x )  sur [ 0, ∞[ :

]0 ,  7 2 [

]7 2 , [

0

x

7

c ′( x ) c( x)

16 max. rel.

2

−

0

+



15



4

min. rel.

Par conséquent, sur l’intervalle [ 0, ∞[, la fonction c ( x ) = x 2 − 7 x + 16 atteint un maximum relatif de 16 en x = 0 et un minimum relatif de 15 4 en x = 7 2. Vérifions si ce minimum est également le minimum absolu de la fonction c ( x ). Comme la fonction c ( x ) est décroissante sur [ 0,  7 2 ] et croissante sur [ 7 2 , ∞[, elle atteint sa plus petite valeur en x = 7 2 sur l’intervalle [ 0, ∞[. Or, f ( 7 2 ) =

7

2,

de sorte que le point Q

décrite par la fonction f ( x ) =

(

7

2 , 

7

2

) est donc le point de la courbe

x qui est le plus proche du point P ( 4,  0 ).

b) Le point Q ( 5,  5 ) est le point de la courbe décrite par la fonction f ( x ) = qui est le plus proche du point P ( 6,  0 ). c) Le point Q f ( x) =

1

2

(

4

3 , 

5

3

2 x + 15

) est le point de la courbe décrite par la fonction

4 − x 2 qui est le plus proche du point P (1,  0 ).

(

)

Chapitre 5

d) Le point Q 2 2 ,  2 2 est le point de la courbe décrite par la fonction f ( x ) = qui est le plus proche du point P ( 0,  0 ) lorsque x > 0.

8 x

36. Les deux nombres cherchés sont 80 et 40. 37. Les deux nombres cherchés sont 20 et 20. 38. L’aire maximale d’un rectangle dont l’hypoténuse mesure 36 cm est de 648 cm 2 et est obtenue lorsque les côtés du rectangle mesurent chacun 18 2 cm. Le rectangle est donc un carré dont les côtés mesurent 18 2 cm, soit environ 25,46 cm. 39. On a π (Q ) = R (Q ) − C (Q ) . Comme on sait que le profit maximal est atteint et que les fonctions sont dérivables, le profit maximal doit être atteint lorsque la fonction dérivée π ′ (Q ) est nulle. Or, π ′ (Q ) = R ′ (Q ) − C ′ (Q ) , d’où π ′ (Q ) = 0 lorsque R ′ (Q ) = C ′ (Q ), de sorte que le profit est maximal lorsque le revenu marginal est égal au coût marginal. 40. La valeur minimale de la pente de la droite tangente à la courbe décrite par 8 x3 − 1 f ( x) = est 12 et elle est atteinte au point ( 1 2 ,  0 ) . x 41. L’aire maximale de l’arbelos délimité par un demi-cercle extérieur dont le rayon mesure 1 m est de π 4 ≈ 0, 79 m 2 lorsque les rayons des demi-cercles intérieurs sont tous les deux de 0,5 m.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

535

42. La représentation graphique de la situation exposée dans le problème est la suivante : y

( 0, b )

P ( 5, 2 )

( a, 0 ) On veut minimiser l’aire du triangle, soit A = seule variable.

x

ab . Exprimons A en fonction d’une 2

En comparant le calcul de la pente de la droite de deux façons différentes, on obtient −

5b ab b 2−b −5b2 = , de sorte que a = − . Par conséquent, A = = . 2−b a 5 2 4 − 2b

Notons que b > 2 puisque, si ce n’était pas le cas, la droite ne couperait pas les deux −5b2 , où axes dans leurs parties positives. On veut donc minimiser A( b ) = 4 − 2b b ∈ ]2,  ∞[ . Or, d  −5b2  A′ ( b ) = = db  4 − 2 b  =

( 4 − 2 b)

d d ( 4 − 2 b) ( −5b2 ) − ( −5b2 ) db db 2 ( 4 − 2 b)

( 4 − 2 b)( −10 b) + 5b2 ( −2 ) 10 b2 − 40 b 10 b( b − 4 ) = = ( 4 − 2 b)2 ( 4 − 2 b)2 ( 4 − 2 b)2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]2, ∞[ :

• A′ ( b ) existe toujours puisque ( 4 − 2 b )2 ≠ 0 lorsque b ∈ ]2,  ∞[ .

• A′ ( b ) = 0 si 10 b( b − 4 ) = 0 ⇔ 10 b = 0 ou b − 4 = 0 ⇔

= 0 b 

à rejeter, car 0 ∉ ]2 ,  ∞[

ou b = 4 .

Construisons le tableau des signes de A′ ( b )  sur ]2, ∞[ :

]2 ,  4 [

]4 , [

A′ ( b )

−

0

+

A( b )



20 min. rel.



−5b2 atteint un minimum 4 − 2b relatif de 20 en b = 4. Vérifions si ce minimum est également le minimum absolu de la fonction A( b ). Par conséquent, sur l’intervalle ]2, ∞[, la fonction A( b ) =

Comme la fonction A( b ) est décroissante sur ]2,  4 ] et croissante sur [ 4, ∞[, elle atteint sa plus petite valeur de 20 en b = 4 sur l’intervalle ]2, ∞[. On a alors a = −

5( 4 ) 5b = − = 10 2−b 2−4

La pente de la droite est donnée par − b a = − 4 10 = − 2 5 . Par conséquent, l’équation de la droite délimitant le triangle d’aire minimale est donc y = − 2 5 x + 4.

Chapitre 5

4

b

536

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

43. On veut minimiser la fonction C ( x ) = C ′( x) =

a b + , où x ∈ ]0,  6[ . Or, 2 x ( 6 − x )2

 d  a b d  ax −2 + b( 6 − x )−2  +   =  dx  x 2 ( 6 − x )2  dx 

= −2 ax −3 − 2 b( 6 − x )−3 = −2 ax −3 + 2 b( 6 − x )−3 =

d (6 − x) dx 2b −2 a = 3 + x ( 6 − x )3

−2 a ( 6 − x )3 + 2 bx 3 x 3 ( 6 − x )3

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  6[ : • C ′ ( x ) existe toujours puisque x 3 ≠ 0 et ( 6 − x )3 ≠ 0 lorsque x ∈ ]0,  6[ . • C ′ ( x ) = 0 si −2 a ( 6 − x )3 + 2 bx 3 = 0 ⇔ 2 bx 3 = 2 a ( 6 − x )3 ⇔

b ( 6 − x )3 = a x3

 b ⇔    a

1

3

6− x x

=

b  6 − x =   x  a

⇔

3

1

⇔

b3 1 x = 6 − x a3

1  a 1 3 + b1 3   b3 ⇔ 1 + 1  x = 6 ⇔  1  x = 6 a 3 a3   1

⇔

x =

6a 3 1 a3 +b3 1

De plus, comme a et b sont positifs, C ′′ ( x ) = 6 ax −4 + 6 b( 6 − x )− 4 > 0 pour tout x ∈  ]0,  6[ , 1 6a 3 a b + et en particulier pour x = 1 1 , de sorte que la fonction C ( x ) = x2 a3 +b3 6 − x )2 ( 1 6a 3 admet un minimum relatif en x = 1 1 . Comme il n’y a qu’une seule valeur a3 +b3 critique, ce minimum relatif est un minimum absolu. 1

Par conséquent, la chaleur est la plus faible à une distance x =

Chapitre 5

44. a) La réaction maximale au médicament est de 4 ab est de q = 2 3 b .

3

b) La sensibilité maximale au médicament est de ab est de q = 1 3 b .

27 2

6a 3 m de la source A. 1 3 a +b3 1

lorsque la dose de médicament

3

lorsque la dose de médicament

c  e − a( 0 ) − e − b( 0 )  = 0. Initialement, soit en t = 0 h, on ne trouve b− a aucune trace du médicament dans le sang puisqu’il n’a pas encore été injecté.

45. a) On a Q ( 0 ) =

b) Comme a > 0 et b > 0, on a lim e − at = 0 et lim e − bt = 0. Par conséquent, t→∞ t→∞       forme e −∞

forme e −∞

c lim Q ( t ) = lim  ( e− at − e− bt )  = b −c a ( 0 − 0 ) = 0 . À long terme, la concent→∞  b − a tration du médicament dans le sang devient nulle puisque le médicament s’élimine naturellement du corps humain. t→∞

d  c ( e− at − e− bt )  = b −c a ( − ae− at + be− bt ). Il s’agit du rythme dt  b − a auquel la concentration du médicament varie dans le sang.

c) On a Q′ ( t ) =

d) Q′′ ( t ) =

d  c ( − ae− at + be− bt )  = b −c a ( a 2 e− at − b2 e− bt ) dt  b − a

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

537

e) La dérivée Q′ ( t ) est définie sur [ 0, ∞[. De plus, Q′ ( t ) = 0 ⇔

c ( − ae− at + be− bt ) = 0 ⇔ − ae− at + be− bt = 0 b−a

⇔ ae − at = be − bt

⇔

 b ⇔ ( b − a ) t = ln    a

e − at b = e − bt a

⇔ e( b − a )t =

b a

 b ln    a ln b − ln a ⇔ t = = b−a b−a

Par conséquent, la fonction Q ( t ) n’admet qu’une seule valeur critique sur [ 0, ∞[, ln b − ln a . soit t = b−a ln 0, 55 − ln 0, 5 ln 0, 55 − ln 0, 5 f) La valeur critique est t = = ≈ 1, 911 h. De plus, 0, 55 − 0, 5 0, 05  ln 0 ,55 − ln 0 ,5   ln 0 ,55 − ln 0 ,5    − 0 ,5  − 0 ,55    0, 1  ln 0, 55 − ln 0, 5  2 2   0 ,05 0 ,05   Q′′  e − 0 , 55 e , 0 5 = ( ) ( )   0, 05 0, 55 − 0, 5    

≈ − 0, 019 ln 0, 55 − ln 0, 5 , la fonction Q ( t ) 0, 05 admet un maximum relatif en cette valeur de t . Comme il n’y a qu’une seule valeur critique, le maximum relatif est également un maximum absolu. La concentration du médicament dans le sang est donc maximale environ 1,91 h après l’injection du médicament.

Comme la dérivée seconde est négative en t =

46. On veut minimiser le coût total du trajet, soit la somme des frais d’exploitation du camion et du salaire du camionneur. Si le déplacement s’effectue à une vitesse v > 0, 250 , de sorte que le salaire versé au le temps requis pour effectuer le trajet est de v 4 000  250  camionneur sera de 16  = $. Le coût total du trajet sera donc de  v  v 4 000 v  v 4 000  c ( v ) =  0, 6 + = 150 + + . On a  ( 250 ) +  500  v 2 v c′ (v) =

v2 − 8 000 d  v 4 000  1 4 000 − =  150 + +  = 2 2 dv v v 2 v2 2

• c ′ ( v ) = 0 si v2 − 8 000 = 0 ⇔ v2 = 8 000

⇔ v = − 8 000 ou v =  

8 000 = 40 5

à rejeter, car − 8 000 ∉ ]0 ,  ∞[

Construisons le tableau des signes de c ′ ( v ) sur ]0, ∞[ :  40 5 , 

 0 ,  40 5  v c ′ (v ) c (v )

40 5 −

0

+



150 + 40 5 min. rel.



v 4 000 + atteint un 2 v minimum relatif de 150 + 40 5 ≈ 239, 44 en v = 40 5 . Vérifions si ce minimum est également le minimum absolu de la fonction c ( v ).

Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction c ( v ) = 150 +

Chapitre 5

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0, ∞[ :

• c ′ ( v ) existe toujours puisque 2 v2 ≠ 0 lorsque v ∈ ]0,  ∞[ .

538

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

Comme la fonction c ( v ) est décroissante sur  0,  40 5  et croissante sur  40 5 , ∞ , elle atteint sa plus petite valeur en v = 40 5 sur l’intervalle ]0, ∞[. Par conséquent, le trajet est le plus économique (environ 239,44 $) lorsque le camionneur conduit à une vitesse de 40 5 ≈ 89, 4 km/h. 47. L’aire A de chacun des rectangles est donnée par l’expression A( x ) = bh = 2x f ( x ) .  a) On veut maximiser A( x ) = 2 xf ( x ) = 2 x 4 − x 2 , où x ∈ [ 0,  2 ]. Or, A′ ( x ) =

(

d 2 x 4 − x2 dx

= 2 x ⋅ 1 2 ( 4 − x2 ) =

) = 2 x dxd ( −1 2

−2 x 2 + 2 ( 4 − x 2 ) 4−

x2

)

4 − x2 +

d (2 x) dx x

4 − x2

d ( 4 − x2 ) + 2 4 − x2 = dx =

base hauteur

4 − x2

( −2 x ) + 2 4 − x 2

8 − 4 x2 4 − x2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  2[ :

• A′ ( x ) existe toujours puisque 4 − x 2 > 0 lorsque x ∈ ]0,  2[ . • A′ ( x ) = 0 si 8 − 4 x 2 = 0 ⇔

x2 = 2 ⇔  x =− 2 ou x = 

2.

à rejeter, car − 2 ∉ ]0 ,  2[

La fonction A( x ) = 2 x 4 − x 2 est continue sur [ 0,  2 ], car c’est le produit de deux fonctions continues sur cet intervalle. Le maximum absolu est donc atteint à une extrémité de l’intervalle ou en la valeur critique. A( 0 ) = 2 ( 0 ) 4 − ( 0 )2 = 0 unité 2 A

( 2 ) = 2( 2 )

4−

( 2 )2

= 4 unités 2

A( 2 ) = 2 ( 2 ) 4 − ( 2 )2 = 0 unité 2 Par conséquent, la valeur maximale de l’aire du rectangle est de 4 unités 2 et elle est atteinte lorsque les dimensions du rectangle sont : b = 2x = 2

( 2) = 2

h = f ( x) = f

( 2) =

2 ≈ 2, 83 unités 4−

( 2 )2

=

2 ≈ 1, 41 unité

≈ 49, 27 unités 2 sont 32 b = 2 x = 2 ( 4 3 3 ) = 8 3 3 ≈ 4, 62 unités et h = f ( x ) = f ( 4 3 3 ) = ≈ 10, 67 unités. 3 2 c) Les dimensions du rectangle d’aire maximale de 1 2 unité sont

Chapitre 5

b) Les dimensions du rectangle d’aire maximale de 256

b = 2x = 2

( )= 2

2

2 ≈ 1, 41 unité et h = f ( x ) = f

d) Les dimensions du rectangle d’aire maximale de b = 2x = 2

( )= 2

2

3

9

( )= 2

2

1 2 e− 2

2 ≈ 1, 41 unité et h = f ( x ) = f

4

≈ 0, 35 unité.

≈ 0, 86 unité 2 sont

( )=e 2

2

2

−1 2

≈ 0, 61 unité.

48. Les coordonnées des sommets du rectangle d’aire maximale de e −1 ≈ 0, 37 unité 2 sont ( 0,  0 ),  ( e −1 ,  0 ) , ( 0,  1)  et   ( e −1 ,  1). 49. Le schéma ci-contre décrit la situation. On veut minimiser la longueur L de l’échelle illustrée sur le schéma. En vertu du théorème de Pythagore, l’hypoténuse du petit triangle est donnée par x 2 + 9 . Par comparaison des triangles semblables, on a L x2 + 9

=

L 3m

x+1 ( x + 1) x 2 + 9 , de sorte que L = , où x > 0. x x x

1m

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

539

Or, d d 2 2   x ( x + 1) x + 9  − ( x + 1) x + 9 dx ( x ) d  ( x + 1) x 2 + 9  dx L′ ( x ) =   = x2 dx  x  d x ( x + 1) ( x 2 + 9 ) + dx = 

x2 + 9 x2

d ( x + 1) − ( x + 1) x 2 + 9 dx 

−1 d  x ( x + 1) 1 2 ( x 2 + 9 ) 2 ( x2 + 9 ) + dx  = x2

 x2 + 9  − x x2 + 9 − 

 x+1  x ( 2 x ) + x x2 + 9 − x x2 + 9 − 2 + 9 2 x  =  x2  x ( x + 1)  x − x2 + 9  =  x2 =

x2

x2 + 9 x2

=

+9

⋅

x2 + 9

x 2 ( x + 1) − ( x 2 + 9 )

x2 + 9

x3 + x2 − x2 − 9

x2 + 9

1 x3 − 9 = 2 2 x x x2 + 9

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0, ∞[ :

• L ′ ( x ) existe toujours puisque x 2 ≠ 0 et x 2 + 9 > 0 lorsque x ∈ ]0,  ∞[. • L ′ ( x ) = 0 si x 3 − 9 = 0 ⇔

x3 = 9 ⇔

x =

3

9.

Construisons le tableau des signes de L ′ ( x ) sur ]0, ∞[ :  0 ,  3 9 

 3 9 ,  3

9

L′( x )

−

0

L( x )



≈ 5, 41 min. rel.

Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction L ( x ) = minimum relatif d’environ 5,41 en x = minimum absolu de la fonction L ( x ) .

3

+ 

( x + 1) x 2 + 9

atteint un x 9 . Vérifions si ce minimum est également le

Comme la fonction L ( x ) est décroissante sur  0,  3 9  et croissante sur  3 9 , ∞  , elle atteint sa plus petite valeur en x = 3 9 ≈ 2, 1 sur l’intervalle ]0, ∞[. Par conséquent, la longueur de la plus courte échelle est d’environ 5,41 m. Son pied est en contact avec le sol à environ 2,1 m de la clôture, soit à environ 3,1 m du mur de l’immeuble. 50. Soit θ l’angle au centre (en radians) du secteur circulaire représentant la pointe de pizza. On veut maximiser l’aire de la pointe de pizza, soit A = Exprimons A en fonction d’une seule variable.

1

2θ r

2.

Le périmètre de la pointe de pizza est donné par P = 2 r + rθ = 60 , 60 − 2r . Par conséquent, de sorte que θ = r A=

1

2θ r

2

=

1  60 − 2 r  2 2   r = 30 r − r r 2

θ

r

Chapitre 5

x

540

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

60 − 2 r 60 − 2 r > 0 et θ = ≤ 2π . La deuxième inéquation est r r 30 équivalente à r < 30, et la troisième à r ≥ . On veut donc maximiser π +1  30 A( r ) = 30 r − r 2 , où r ∈  ,  30  . On a π + 1 

Or, on a r > 0, θ =

A′ ( r ) =

d ( 30 r − r 2 ) = 30 − 2 r dr

 30  Déterminons les valeurs critiques appartenant à  ,  30  : π + 1  • A′ ( r ) existe toujours. • A′ ( r ) = 0 si 30 − 2 r = 0 , c’est-à-dire si r = 15.

 30  Construisons le tableau des signes de A′ ( r ) sur  ,  30  : π + 1   30 ,  15   π + 1  r

30 π +1

15

A′ ( r ) A( r )

]15 ,  30[

900 π ( π + 1 )2 min. rel.

+

0

–



225



max. rel.

 30 Par conséquent, sur l’intervalle  ,  30  , la fonction A( r ) = 30 r − r 2 atteint un π + 1  900π 30 minimum relatif de ≈ 164, 84 en r = ≈ 7, 24 et un maximum relatif π +1 (π + 1)2 de 225 en r = 15. Vérifions si ce maximum est également le maximum absolu de la fonction A( r ).  30  Comme la fonction A( r ) est croissante sur  ,  15  et décroissante sur [15,  30[ , π + 1   30 30  ,   . elle atteint sa plus grande valeur en r = 15 sur l’intervalle  π + 1 

Chapitre 5

Par conséquent, la pointe de pizza dont le périmètre est de 60 cm admet une aire maximale de 225 cm 2 lorsque le rayon de l’assiette est de 15 cm. 51. Le périmètre du secteur circulaire prend sa plus petite valeur de 4 10 ≈ 12, 65 cm lorsque 20 20 = 2 rad. le rayon est de r = 10 ≈ 3, 16  cm et l’angle au centre est de θ = 2 = 2 r 10

(

)

52. Le rythme de transformation d’une substance A en une substance X le plus rapide 2 est de ka 4 lorsque x = a 2, soit lorsque la quantité du catalyseur correspond à la moitié de la quantité initiale du produit A. 53. Dans le cas de la circulation sanguine, le nombre de Reynolds atteint sa valeur maximale de A ln ( A B ) − A lorsque r = A B . 54. Afin de maximiser la valeur de la coupe du bois, le producteur forestier devrait attendre encore environ 25,7 ans. 55. Le réservoir le plus économique à fabriquer est celui dont le rayon de la calotte hémisphérique mesure r =

3 45

8π

≈ 1, 2 m .

56. La longueur de la plus longue tige métallique non flexible qu’on peut transporter horizontalement d’un couloir à l’autre est d’environ 7,02 m.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

541

57. La distance minimale de 2 m par rapport à l’origine est atteinte pour la première fois lorsque t = 7 π 12 ≈ 1, 83  s. 58. La plus courte distance séparant les deux voitures est de 9 34 ≈ 0, 514 km (ou 514 m), lorsque t = 1 68 h, soit environ 52,9 s après que la voiture se dirigeant dans l’axe ouest-est a franchi l’intersection. 59. Dans le modèle de Ricker, on veut maximiser y = axe − bx , où x ∈ ]0,  ∞[. Or, dy d d − bx d = ( x ) ( axe− bx ) = a  x dx ( e ) + e− bx dx dx dx  d  = a  xe − bx ( − bx ) + e − bx  = a ( − bxe − bx + e − bx ) dx   = ae − bx (1 − bx ) Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0, ∞[ : dy existe toujours. • dx • Comme a > 0 et b > 0, on a ae − bx > 0 pour tout x ∈ ]0,  ∞[. Par conséquent, dy = 0 si 1 − bx = 0 , c’est-à-dire si x = 1 b. dx dy  sur ]0, ∞[ : Construisons le tableau des signes de dx

]0 ,  1 b[

]1 b ,  ∞[ 1

x

b

dy dx

+

0

−

y



a e −1 b max. rel.



Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction y = axe − bx atteint un maximum relatif de a b e −1 en x = 1 b. Vérifions si ce maximum est également le maximum absolu de la fonction y = axe − bx . Comme la fonction y = axe − bx est croissante sur ]0,  1 b ] et décroissante sur [ 1 b , ∞[ , elle atteint sa plus grande valeur en x = 1 b sur l’intervalle ]0, ∞[.

Selon le modèle de Shepherd, le nombre de poissons dans le site de reproduction sera maximal dans 1 an si on y dénombre présentement x = 1 b individus. 60. a) n( 0 ) = 1 : au départ, il doit y avoir une première personne qui adopte la nouvelle technologie. b) Comme k > 0, on a lim e − kt = 0. Par conséquent, t→∞    forme e − ∞

lim n( t ) = lim

t→∞

t→∞ 1

N N = = N kt − + ( N − 1) e 1 + ( N − 1)( 0 )

À long terme, le changement technologique atteindra l’ensemble de la population. c)

N ( N − 1) ke − kt dn =  personnes/u unité de temps 2 dt 1 + ( N − 1) e − kt 

d) La vitesse maximale de propagation se produit au temps t =

ln ( N − 1) . k

61. La luminosité au point R est maximale lorsque la source lumineuse est située à une hauteur de 10 2 ≈ 14, 14 cm au-dessus du sol.

Chapitre 5

Par conséquent, selon le modèle de Ricker, le nombre de poissons dans le site de reproduction sera maximal dans 1 an si on y dénombre présentement x = 1 b individus.

542

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

62. a) Puisque a > 0 et 0 < x < 1, alors ln x < 0 et v ( x ) = − ax 2 ln x > 0 . Quand x s’approche de 0 par la droite ( x → 0 + ) ,

b) x

0,001

0,01

0,1

v( x ) a

0,000 007

0,000 461

0,023 026

v( x ) s’approche de 0. a

Alors, lim+ x→ 0

v( x ) av ( x ) v( x ) = 0, d’où lim+ v ( x ) = lim+ = a lim+ = 0. x→ 0 x→ 0 x→ 0 a a a

c) 0 d) La fonction v ( x ) atteint sa valeur maximale en x = e − voisine de celle observée dans les fibres nerveuses.

1

2

≈ 0, 61, qui est une valeur

63. Puisque le poisson remonte le courant, on a v > vc , d’où v − vc > 0. On veut minimiser va , où v ∈ ]vc ,  ∞[ . Or, la fonction E ( v ) = k v − vc d d ( v − vc ) ( va ) − va ( v − vc ) d  va  dv dv E ′ (v) = = k k dv  v − vc  ( v − vc )2 = k

a ( v − vc ) va − 1 − va

( v − vc )

2

=

kva − 1  a ( v − vc ) − v 

( v − vc )

2

=

kva − 1 [ v ( a − 1) − avc ]

( v − vc )2

Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]vc , ∞[ :

• E ′ ( v ) existe toujours puisque ( v − vc ) ≠ 0 lorsque v ∈ ]vc ,  ∞[ . 2

• Comme k > 0, a > 1 et v > 0, alors E ′ ( v ) = 0 si v ( a − 1) − avc = 0, c’est-à-dire avc . si v = a−1 Construisons le tableau des signes de E ′ ( v ) sur ]vc , ∞[ : v ,  avc   c a − 1  avc a−1

v E ′ (v )

Chapitre 5

E (v )

 avc ,  ∞   a − 1 

− 

+

0 v ka a  c   a − 1 min. rel.

a −1

Par conséquent, sur l’intervalle ]vc , ∞[ , la fonction E ( v ) = k a −1



va atteint un v − vc

avc  v  minimum relatif de ka a  c  en v = . Vérifions si ce minimum est  a − 1 a−1 également le minimum absolu de la fonction E ( v ).

avc  avc  et croissante sur  ,  ∞ , Comme la fonction E ( v ) est décroissante sur  vc ,   a − 1 a − 1   avc elle atteint sa plus petite valeur en v = sur l’intervalle ]vc , ∞[ . a−1 avc . Par conséquent, la dépense énergétique est minimale lorsque v = a−1 dR d dQ d dQ = +Q + Q, de sorte que R est une (P) = P ( PQ ) = P dP dP dP dP dP fonction dérivable de P , car Q est une fonction dérivable de P . Comme le revenu

64. On a

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

543

maximal existe, il est donc atteint là où la dérivée est nulle. Or, si on suppose que P et Q sont non nuls, alors dR dQ dQ = 0 ⇔ P +Q = 0 ⇔ P = −Q dP dP dP dQ Q P dQ ⇔ − = 1 ⇔ − = 1 ⇔ ε = 1 Q dP dP P 65. a) C ′ (Q ) = 0, 06Q2 + 15 5 000 Q c) La fonction C (Q ) atteint sa valeur minimale de 165 lorsque Q = 50.

b) C (Q ) = 0, 02Q2 + 15 +

d) C ′ ( 50 ) = 165 et C ( 50 ) = 165, de sorte que C ′ ( 50 ) = C ( 50 ). Par conséquent, le coût marginal est égal au coût moyen minimal (lorsque Q = 50). e) Si l’expression du coût moyen est une fonction dérivable qui atteint une valeur minimale en Q = q, alors le plus faible coût moyen de production correspond au coût marginal à ce niveau de production. Preuve

Puisque Q > 0 et que C ′ (Q ) existe C ′ (Q )  est dérivable  , alors, au coût moyen minimal, on doit avoir que la dérivée du coût moyen est nulle. Or, d C C ′ (Q ) = = dQ  Q 

Q

d d dC −C (C ) − C (Q ) Q dQ dQ dQ = Q2 Q2

de sorte que si Q = q représente le niveau de production donnant le coût moyen minimal, on doit avoir C ′ ( q ) = 0, d’où qC ′ ( q ) − C ( q ) C (q) = 0 ⇒ C ′ (q) = q2 q

⇒ C ′ (q) = C (q)

Le plus faible coût moyen de production correspond au coût marginal à ce niveau de production. 66. Si v représente la vitesse du faisceau lumineux et si t1 représente le temps requis pour que le faisceau lumineux passe du point A au point C, alors v =

a2 + c2 t1

⇒ t1 =

a2 + c2 . v

De même, si t 2 représente le temps requis pour que le faisceau lumineux passe du b2 + ( k − c )2 b2 + ( k − c )2 ⇒ t2 = . Par t2 v conséquent, le temps t requis pour que la lumière passe de A à B est t = t1 + t 2 = On a alors

a2 + c2 + v

b 2 + ( k − c )2 1 =  a 2 + c 2 + b2 + ( k − c )2   v v

{

dt d 1 2 = a + c 2 + b2 + ( k − c )2   dc dc v 

}

=

 1  1 d 2 1 d 2  b + ( k − c )2   a + c2 ) + (    2 v  2 a 2 + c 2 dc 2 b2 + ( k − c ) dc  

=

1 c  + v  a2 + c2 

=

1 c  − v  a2 + c2 

k−c b2 + ( k − c )2 k−c b2 + ( k − c )

2

 d ( k − c ) dc    

Chapitre 5

point C au point B, alors v =

544

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 5

c

De plus, en vertu de la trigonométrie du triangle rectangle, sin α = k−c

sin β =

b2 + ( k − c )2

a2

+ c2

et

dt 1 dt = 0 lorsque = ( sin α − sin β ) , d’où dc dc v

, de sorte que

sin α − sin β = 0, soit lorsque α = β . Par conséquent, le temps de parcours est minimal lorsque l’angle d’incidence α et l’angle de réflexion β sont égaux. 67. a) Si t1 représente le temps requis pour que le faisceau lumineux passe du point A au point C, et si t 2 représente le temps requis pour que le faisceau lumineux passe du point C au point B, alors le temps t requis pour que la lumière passe de A à B est b2 + ( k − c )2 ve

a2 + c2 + va

t = t1 + t 2 =

dt c k−c = − . De plus, en vertu de la trigonométrie dc va a 2 + c 2 ve b2 + ( k − c )2 k−c c et sin β = , de sorte que du triangle rectangle, sin α = 2 a2 + c2 b + ( k − c )2

b) On a

sin α sin β dt dt sin α v = − , d’où = 0 lorsque = a. dc dc sin β ve va ve Par conséquent, le temps est minimal lorsque l’angle d’incidence α et l’angle de réfraction β satisfont à la loi de Snell. 68. On veut minimiser A(θ ) = b + c A′ (θ ) =

d b + c dθ 

(

(

)

3 cosec θ − cotg θ , où θ ∈ ]0,  π 2[. Or,

)

(

3 cosec θ − cotg θ  = c − 3 cosec θ cottg θ + cosec 2 θ

)

 − 3 cosθ cosθ 1 1  1   + = c − 3 ⋅ ⋅ +  = c  sin θ sin θ sin 2 θ  sin 2 θ   sin 2 θ  1 − 3 cosθ  = c  sin 2 θ  Déterminons les valeurs critiques appartenant à ]0,  π 2[ :

• A′ (θ ) existe toujours puisque sin 2 θ ≠ 0 lorsque θ ∈ ]0,  π 2[.

Chapitre 5

• A′ (θ ) = 0 si 1 − car θ ∈ ]0,  π 2[.

3 cosθ = 0 ⇔ cosθ =

1

=

3

3

⇔ θ = arccos

3

( ), 3

3

Construisons le tableau des signes de A′ (θ )  sur ]0,  π 2[ :  0 , arccos

(

3

3

)  arccos



(

3

3

 arccos (

)

3

A ′ (θ )

−

0

+

A (θ )



b+c 2 min. rel.



Par conséquent, sur l’intervalle ]0,  π 2[ , la fonction A(θ ) = b + c atteint un minimum relatif de b + c 2 en θ = arccos

(

3

) ,  π 2 

3 cosec θ − cotg θ

( ) ≈ 0, 955. Vérifions si ce 3

3

minimum est également le minimum absolu de la fonction A(θ ).

( )

Comme la fonction A(θ ) est décroissante sur  0, arccos 3 3  et croissante sur  arccos 3 3 ,  π 2 , elle atteint sa plus petite valeur en θ = arccos 3 3 ≈ 0, 955 rad.  

( )

( )

Ainsi, la valeur de l’angle apical qui minimise l’aire latérale de l’alvéole est de θ = arccos 3 3 ≈ 0, 955 rad.

( )

)

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

545

C hap i t re 6 1. a) Dom f =   \ {0,   3} b) On a e − x − 2 = 0 ⇔ e − x = 2 ⇔ − x = ln 2 ⇔ x = − ln 2 = ln ( 2 −1 ) = ln ( 1 2 )

de sorte que Dom f =   \ {ln ( 1 2 )} .

c) 2 x 4 − 162 = 2 ( x − 3)( x + 3)( x 2 + 9 ), de sorte que 2 x 4 − 162 ≥ 0, lorsque 2 ( x − 3)( x + 3)( x 2 + 9 ) ≥ 0 , c’est-à-dire lorsque x ≤ −3 ou x ≥ 3. Par conséquent, Dom f =   ]−∞,  −3] ∪ [ 3,  ∞[ ou Dom f =   \ ]−3,  3[ .

d) Dom f =   \ {−3,  3} e) Dom f =   

f) Dom f =   ]−3,  3[ g) Dom f =  −∞,  − 4 12  ∪  4 12 ,  ∞  ou Dom f =   \  − 4 12 ,  4 12 . 1 et cos x = 0 ⇔ x = ( 2 k + 1) π 2 ,  où k ∈   , de sorte que h) sec x = cos x Dom f =    \ {( 2 k + 1) π 2 k ∈  }.

2. a) Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. b) Asymptote verticale : x = 0. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune.

( 4 x − 2 )( x + 1 ) . Les deux seules valeurs de x qui annulent le ( x − 3 )( x + 1 ) dénominateur de f ( x ) sont x = −1 et x = 3.

c) On a f ( x ) =

On a lim f ( x ) = lim x → −1

x → −1

( 4 x − 2 ) ( x + 1) −6 4x − 2 3 = . Comme cette = lim = x → −1 x − 3 −4 2 ( x − 3) ( x + 1)

limite ne donne pas ∞ ou −∞, la droite x = −1 n’est pas une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). On observe plutôt une discontinuité non essentielle par trou en x = −1. Par ailleurs, lim f ( x ) = lim−

x → 3−

x→ 3

( 4 x − 2 ) ( x + 1) 4x − 2 = −∞ = lim− x→ 3 x − 3 ( x − 3) ( x + 1)    forme

10 0−

et x→ 3

x→ 3

( 4 x − 2 ) ( x + 1) 4x − 2 = lim+ = ∞ x→ 3 x − 3 ( x − 3) ( x + 1)    forme

10 0+

de sorte que x = 3 est l’asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction 4 x2 + 2 x − 2 f ( x) = 2 . x − 2x − 3 De plus,

x2 ( 4 + 4 x2 + 2 x − 2 = lim x→ − ∞ x2 − 2 x − 3 x → − ∞ x 2 (1 −

lim f ( x ) = lim

x→ − ∞

= lim

x→ − ∞

4+ 1−

2 2

x x

− −

2 3

x2 x2

=

4+0−0 = 4 1−0−0

2 2

x

−

2

x

−

3

) x ) x2 2

Chapitre 6

lim+ f ( x ) = lim+

546

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

et, de manière similaire, lim f ( x ) = 4, de sorte que la droite y = 4 est l’asymptote x→ ∞ 4 x2 + 2 x − 2 . horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ) = 2 x − 2x − 3 Enfin, lim

x→ − ∞

x2 ( 4 + f ( x) 4 x2 + 2 x − 2 = lim = lim x → − ∞ x ( x 2 − 2 x − 3) x → − ∞ x 3 (1 − x = lim

4+

2

x

−

2

x2

x (1 − 2 x − 3 x2 )     x→ − ∞

forme

2 2

x

−

2

x

−

3

) x ) x2 2

= 0

4+0−0 − ∞(1 − 0 − 0 )

f ( x) = 0, de sorte que la courbe décrite par la x 4 x2 + 2 x − 2 fonction f ( x ) = 2 n’admet aucune asymptote oblique. x − 2x − 3

et, de manière similaire, lim

x→ ∞

d) Asymptotes verticales : x = − 3 2 et x = 2. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. e) La seule valeur qui annule le dénominateur de la fonction f ( x ) = est x = − 1 2. On a lim − f ( x ) =

x → −1

2

− 6 x2 + x + 5 2x + 1

− 6 x2 + x + 5 − 6 x2 + x + 5 lim − = −∞ et lim + f ( x ) = lim + = ∞ 1 1 1 2x + 1 2x + 1 x→ − 2 x→ − 2 x→ − 2     forme

3 0−

forme

3 0+

de sorte que la droite x = − 1 2 est l’asymptote verticale à la courbe décrite par la − 6 x2 + x + 5 . fonction f ( x ) = 2x + 1 De plus, x 2 ( − 6 + 1 x + 5 x2 ) − 6 x2 + x + 5 lim f ( x ) = lim = lim x→ − ∞ x→ − ∞ x→ − ∞ x(2 + 1 x) 2x + 1 x ( − 6 + 1 x + 5 x2 ) = lim = ∞ x→ − ∞ 2 + 1x   forrme

− ∞( − 6 + 0 + 0 ) 2+0

et, de manière similaire, lim f ( x ) = −∞, de sorte que la courbe décrite par la x→ ∞

− 6 x2 + x + 5 fonction f ( x ) = n’admet aucune asymptote horizontale. 2x + 1 Enfin, lim

x→ − ∞

x 2 ( − 6 + 1 x + 5 x2 ) − 6 x2 + x + 5 f ( x) = lim = lim x→ − ∞ x→ − ∞ x x ( 2 x + 1) x2 ( 2 + 1 x ) −6 + 1x + x→ − ∞ 2 + 1x

Chapitre 6

= lim

5

x2

=

−6 + 0 + 0 = −3 = m ∈ \ {0} 2+0

De plus,  − 6 x2 + x + 5  + 3 x lim [ f ( x ) − ( −3 x )] = lim  x→ − ∞ x→ − ∞  2x + 1  − 6 x 2 + x + 5 + 3 x ( 2 x + 1) 4x + 5 = lim x→ − ∞ x→ − ∞ 2 x + 1 2x + 1

= lim = lim

x → −∞

x (4 + x (2 +

5 1

) x) x

4+ x→ − ∞ 2 +

= lim

5 1

x x

=

4+0 = 2 = b ∈  2+0

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

547

Par conséquent, la droite y = mx + b = −3 x + 2 est une asymptote oblique à la courbe décrite par la fonction f ( x ). f ( x) = −3 et lim [ f ( x ) − ( −3 x )] = 2, de sorte que x→ ∞ x la droite y = −3 x + 2 est la seule asymptote oblique à la courbe décrite par − 6 x2 + x + 5 . la fonction f ( x ) = 2x + 1 f) Asymptotes verticales : x = − 1 3 et x = −1. De manière similaire, lim

x→ ∞

Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : y = 3 x − 2. g) Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptotes obliques : y = − 4 x + 1 et y = 4 x + 1. h) Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptotes obliques : y = 3 x + 2 et y = −3 x + 2. 3. a) Asymptote verticale : x = − 1 3. Asymptotes horizontales : y = − 4 3 et y =

4

3.

b) Asymptote verticale : x = 1. Asymptotes horizontales : y = 0 et y = 1. c) Le dénominateur de la fonction f ( x ) = si x = − x ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0. On a e x + e− x = −∞ lim f ( x ) = lim− x x → 0 e − e− x 

x → 0−

forme

e x + e− x est nul si e x = e − x, c’est-à-dire e x − e− x et

2 0−

e x + e− x lim f ( x ) = lim+ x = ∞ x → 0 e − e− x 

x → 0+

forme

2 0+

de sorte que x = 0 est l’asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction e x + e− x f ( x) = x . e − e− x De plus, comme lim e 2 x = 0 et lim e −2 x = 0 , on a x → −∞ x→ ∞       forme e − ∞

forme e − ∞

e x + e− x e − x ( e 2 x + 1) = lim x → − ∞ e x − e− x x → − ∞ e − x ( e 2 x − 1)

lim f ( x ) = lim

x→ − ∞

= lim

x→ − ∞

et

0+1 e2 x + 1 = = −1 e2 x − 1 0−1

e x (1 + e −2 x ) e x + e− x = lim x x − x x→ ∞ e − e x → ∞ e ( 1 − e −2 x )

lim f ( x ) = lim

x→ ∞

= lim

1+0 1 + e −2 x = = 1 − x 2 −e 1−0

de sorte que les droites y = −1 et y = 1 sont les asymptotes horizontales à la e x + e− x . courbe décrite par la fonction f ( x ) = x e − e− x cos x est x = 0. d) La seule valeur qui annule le dénominateur de la fonction f ( x ) = x On a cos x cos x lim f ( x ) = lim− = −∞ et lim+ f ( x ) = lim+ = ∞ x → 0− x→ 0 x→ 0 x→ 0 x x   forme

1 0−

forme

1 0+

Chapitre 6

x→ ∞ 1

548

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

de sorte que x = 0 est l’asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction cos x f ( x) = . x De plus, si x < 0, on a −1 ≤ cos x 1 ≤ −1 cos x 1 ≥ ≥ x x x 1 cos x −1 ≥ lim lim ≥ lim x → −∞ x x → −∞ x x → −∞ x cos x 0 ≥ lim ≥ 0 x → −∞ x cos x Par conséquent, en vertu du théorème du sandwich, lim f ( x ) = lim = 0, x→ − ∞ x→ − ∞ x de sorte que la droite y = 0 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). Par ailleurs, si x > 0, on a −1 −1 x −1 lim x→ ∞ x

≤

cos x cos x ≤ x cos x ≤ lim x→ ∞ x cos x ≤ lim x→ ∞ x

0

≤

1 1 x

≤ ≤

lim

x→ ∞

≤

1 x

0

cos x = 0, de x sorte que la droite y = 0 est la seule asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction f ( x ). Par conséquent, en vertu du théorème du sandwich, lim f ( x ) = lim x→ ∞

x→ ∞

4. a) Dom f =   \ {1 2 ,  3} b) La fonction admet une discontinuité essentielle infinie en x =

1

2.

− x−6 +1 = 1 et lim+ f ( x ) = lim+ = 1. Par x→ 3 x→ 3 5 x − 5 2 x2 − 7 x + 3 conséquent, lim f ( x ) = 1. Il faut donc que f ( 3) = 1 = lim f ( x ) pour que f ( x ) soit

c) On a lim− f ( x ) = lim− x→ 3

x2

x2

x→ 3

x→ 3

x→ 3

continue en x = 3. d) x =

1

2

e) y = − 3 2 f) y =

1

5x

+

1

5

5. a) f ′ ( x ) = −15 x 4 + 60 x 2

(

f ′′ ( x ) = − 60 x 3 + 120 x = − 60 x x −

)(

2 x+

2

)

Déterminons les valeurs susceptibles de produire des points d’inflexion : • f ′′ ( x ) existe toujours.

(

)(

• f ′′ ( x ) = 0 si − 60 x x −

2 x+

)

2 = 0 ⇔

x = 0, x =

2 ou x = − 2 .

Construisons un tableau des signes :

Chapitre 6

 −,  − 2  x

 − 2 ,  0 

 0 ,  2  0

− 2

 2 ,  2

f ′′ ( x )

+

0

−

0

+

0

−

f (x)

∪

4 − 28 2 p.i.

∩

4 p.i.

∪

4 + 28 2 p.i.

∩

La fonction f ( x ) = −3 x 5 + 20 x 3 + 4 est concave vers le haut sur  −∞,  − 2  et sur   0,  2  . Elle est concave vers le bas sur  − 2 ,  0  et sur  2 , ∞  .

549

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

(

)

Les points − 2 ,  4 − 28 2 , ( 0,  4 ) et la fonction f ( x ).

(

)

2 ,  4 + 28 2 sont les points d’inflexion de

b) La fonction f ( x ) = 4 x 3 − x 4 est concave vers le haut sur [ 0,  2 ]. Elle est concave vers le bas sur ]−∞, 0 ] et sur [ 2, ∞[. Les points ( 0,  0 ) et ( 2,  16 ) sont les points d’inflexion de la fonction f ( x ). c) f ′ ( x ) =

2x 3( x 2 − 9 )

2

3

et f ′′ ( x ) =

−2 ( x 2 + 27 ) 9 ( x2 − 9 )

5

3

.

Déterminons les valeurs susceptibles de produire des points d’inflexion : • f ′′ ( x ) ∃ si 9 ( x 2 − 9 )

5

3

= 0 ⇔ x 2 − 9 = 0 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = −3 ou x = 3.

• f ′′ ( x ) ≠ 0 pour tout x ∈ , car x 2 + 27 ≠ 0 quelle que soit la valeur de x. Construisons un tableau des signes :

]−,  −3[

]−3 ,  3[

x

]3, [ 3

−3

f ′′ ( x )

−

∃

+

∃

−

f (x)

∩

0 p.i.

∪

0 p.i.

∩

La fonction f ( x ) = 3 x 2 − 9 est concave vers le haut sur [ −3,  3]. Elle est concave vers le bas sur ]−∞,  −3] et sur [ 3, ∞[ . Les points ( −3,  0 ) et ( 3,  0 ) sont les points d’inflexion de la fonction f ( x ). d) La fonction f ( x ) =

6x est concave vers le haut sur  −3 3 ,  0  et sur  3 3, ∞  . +9

x2

(

Elle est concave vers le bas sur  −∞,  −3 3  et sur  0,  3 3 . Les points −3 3 ,  −

( 0,  0 ) et ( 3 3 ,  e) f ′ ( x ) = −

3

2

) sont les points d’inflexion de la fonction f ( x ).

6x + 8

( x + 2)

1

2

et f ′′ ( x ) = −

3x + 8

( x + 2) 2 3

3

),

2

.

Le domaine de la fonction f ( x ) = − 4 x x + 2 est Dom f = [ −2,  ∞[ . Sur ]−2,  ∞[, la dérivée seconde est toujours négative, de sorte que la fonction est concave vers le bas sur son domaine et que la courbe décrite par la fonction n’admet aucun point d’inflexion. f) La fonction f ( x ) = ln (1 + x 2 ) est concave vers le haut sur [ −1,  1]. Elle est concave vers le bas sur ]−∞,  −1] et sur [1, ∞[ . Les points ( −1, ln 2 ) et (1, ln 2 ) sont les points d’inflexion de la fonction f ( x ). g) f ′ ( x ) = 2 e −3 x ( −3 x + 1) et f ′′ ( x ) = 6 e −3 x ( 3 x − 2 ). Déterminons les valeurs susceptibles de produire des points d’inflexion : • f ′′ ( x ) existe toujours.

• Comme e −3 x > 0 pour tout x ∈ , f ′′ ( x ) = 0 si 3 x − 2 = 0 , c’est-à-dire si x =

2

3.

Construisons un tableau des signes :

]−,  2 3[ f ′′ ( x ) f (x)

− ∩

3

0 4 3e 2 p.i.

+ ∪

La fonction f ( x ) = 2 xe −3 x est concave vers le haut sur [ 2 3 , ∞[ et concave vers le bas 2 4  sur ]−∞,  2 3 ]. Le point  ,  2  est le seul point d’inflexion de la fonction f ( x ).  3 3e 

Chapitre 6

x

]2 3 , [ 2

550

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

h) La fonction f ( x ) = x − tg x est concave vers le haut sur [ − π 4 ,  0 ] et concave vers le bas sur [ 0,  π 4 ] . Le point ( 0,  0 ) est le seul point d’inflexion de la fonction f ( x ) sur l’intervalle [ − π 4 ,  π 4 ].

La fonction f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) est concave vers le haut sur [ π 8 ,  3π 8 ] et sur [ 5 π 8 ,  7 π 8 ]. Elle est concave vers le bas sur [ 0,  π 8 ], sur [ 3π 8 ,  5 π 8 ] et sur [ 7 π 8 ,  π ]. Les points ( π 8 ,  1 2 ), ( 3π 8 ,  1 2 ), ( 5π 8 ,  1 2 ) et ( 7π 8 ,  1 2 ) sont les points d’inflexion de la fonction f ( x ) sur l’intervalle [ 0,  π ].

i)

La fonction f ( x ) = x − 2 arctg x est concave vers le haut sur [ 0, ∞[ et concave vers le bas sur ]− ∞, 0 ]. Le point ( 0,  0 ) est le seul point d’inflexion de la fonction f ( x ).

j)

6. a) x = x1, x = x3 et x = x5 . b) c)

[ x1 ,  x3 ] et [ x5 ,  b]. [ a,  x1 ] et [ x3 ,  x5 ].

d) La fonction f ( x ) atteint un maximum absolu (et relatif) en x = a et des maximums relatifs en x = x3 et en x = b.

e) La fonction f ( x ) atteint un minimum absolu (et relatif) en x = x5 et un minimum relatif en x = x1. f) x = x2 et x = x4 . g) x = x2 et x = x4 . h) i)

[ x2 ,  x4 ] [ a,  x2 ] et [ x4 ,  b].

7. x =

1

3

(a + b + c)

8. a) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′ ( x ) = 4 x ( x − 1 )( x + 1 )

Les valeurs critiques de f ( x ) sont x = 0, x = 1 et x = −1. f ′′ ( x ) = 12 x 2 − 4 = 12 ( x 2 −

1

3

)

Les valeurs susceptibles de produire des points d’inflexion sont x =

]−,  −1 [ x

−1

f ′( x )

−

f ′′ ( x ) f (x)

 −1 ,  −

3

3 

 − −

0

+

+

+



−2 min. rel. et abs.

3

3

3

,  0 

 0 ,  0

3

+

+

+

0



− 14

9

p.i.

3 

3

 3

0

−

−

−



−1 max. rel.

3

3

−

−

0



− 14

|

–1

+

+

+

+



−2 min. rel. et abs.



|

| |

2

0 –2

|

Chapitre 6

|

–2

4

|

|

1

2

x

3

]1 , [

0

y

6

et x = −

1

−

9

3

,  1 

3

p.i.

3

3.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

551

b) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′ ( x ) = 3 x 2 + 12 x = 3 x ( x + 4 )

Les valeurs critiques de f ( x ) sont x = 0 et x = −4. f ′′ ( x ) = 6 x + 12 = 6 ( x + 2 ) La valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = −2.

]−,  − 4 [

]− 4 ,  −2 [

]−2 ,  0[

−4

x f ′( x )

+

f ′′ ( x ) f (x)

]0, [

−2

0

−

−

−



34 max. rel.

0

−

−

0

+

−

0

+

+

+



18 p.i.



2 min. rel.



|

–6

–4

–2

| |

10

|

0 –10

2

|

|

–20

x

|

|

20

|

30

|

40

|

y

50

c) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

=

( 2 − x )( 2 + x )

+ 4) ( x2 + 4 ) Les valeurs critiques de f ( x ) sont x = 2 et x = −2. f ′′ ( x ) =

(

4 − x2

2

x2

2

−2 x (12 − x 2 )

+ 4) Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x = 0, x = 2 3 et x = −2 3 .

]−2 ,  0[

 −2 3 ,  −2 

]0 ,  2 [

 2 ,  2 3 

0

−2

−2 3

x

3

 2 3 , 

2

2 3

f ′( x )

−

−

−

0

+

+

+

0

−

−

−

f ′′ ( x )

−

0

+

+

+

0

−

−

−

0

+

f (x)



− 38 p.i.



− 14 min. rel. et abs.



0 p.i.





3



1

4

max. rel. et abs.

|

–10

|

0 –0,1

|

|

–20

–0,2

|

|

–30

0,1

|

y

0,2

|

|

10

20

8

p.i.

|

30 x

Chapitre 6

 −,  −2 3 

( x2

552

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

d) Dom f =   \ {−2,  2} Asymptotes verticales : x = −2 et x = 2. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) = −

4 + x2

( x2

4 + x2

= −

( x − 2 )2 ( x + 2 )2 − 4) La fonction f ( x ) n’admet aucune valeur critique puisque −2 ∉ Dom f et 2 ∉ Dom f . 2

2 x ( x 2 + 12 )

f ′′ ( x ) =

( x2

2 x ( x 2 + 12 )

=

( x − 2 )3 ( x + 2 )3 − 4) La seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 0 puisque −2 ∉ Dom f et 2 ∉ Dom f . 3

]−,  −2 [

]−2 ,  0[

x

]0 ,  2 [

−2

]2 , [

0

2

f ′( x )

−

∃

−

−

−

∃

−

f ′′ ( x )

−

∃

+

0

−

∃

+

f (x)



∃ a.v.



0 p.i.



∃ a.v.



|

0 –2

|

|

–2

2

–4

|

|

–4

4

|

y

|

|

2

4

x

e) Dom f =   \ {3} Asymptote verticale : x = 3. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

x2 ( 2 x − 9 )

( x − 3)2

Les seules valeurs critiques de f ( x ) sont x = 0 et x = f ′′ ( x ) =

9

2

puisque 3 ∉ Dom f .

2 x ( x 2 − 9 x + 27 )

( x − 3)3

Chapitre 6

La seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 0 puisque 3 ∉ Dom f .

]−,  0[

]0 ,  3[ 0

x

]3 ,  9 2 [ 3

]9 2 , [ 9

2

f ′( x )

−

0

−

∃

−

0

+

f ′′ ( x )

+

0

−

∃

+

+

+

f (x)



0 p.i.



∃ a.v.



243

4

min. rel.



Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

553

|

|

–4

–2

|

50

0 –50

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

x

|

|

–6

100

|

y

f) Dom f =   \ {−1,  1} Asymptotes verticales : x = −1 et x = 1. Asymptote horizontale : y = 1. Asymptote oblique : aucune. 2x 2x = − 2 2 − 1 2 x 1 − ( ) ( x + 1)2 x ( ) La seule valeur critique de f ( x ) est x = 0 puisque −1  ∉ Dom f et 1 ∉ Dom f . f ′( x) = −

f ′′ ( x ) =

2 ( 3 x 2 + 1)

( x2

2 ( 3 x 2 + 1)

=

( x − 1)3 ( x + 1)3 − 1) Aucune valeur n’est susceptible de produire un point d’inflexion puisque −1  ∉ Dom f et 1 ∉ Dom f . 3

]−,  −1 [

]−1 ,  0[

]0 ,  1 [

−1

x

]1 , [

0

1

f ′( x )

+

∃

+

0

−

∃

−

f ′′ ( x )

+

∃

−

−

−

∃

+

f (x)



∃ a.v.



0 max. rel.



∃ a.v.



|

|

–2

–1

|

0 –2

|

|

|

1

2

3

x

|

|

–3

2

|

y

4

 1 si x ≠ 4 x−4 x−4  = , de sorte que f x = . ( ) x + 4 2 x − 16 ( x − 4 )( x + 4 )  pas définie si x = 4 1 , sauf qu’on y Le graphique de f ( x ) est donc le même que celui de g ( x ) = x+4 observe une discontinuité non essentielle par trou en x = 4. Le point ( 4,  1 8 ) sera donc représenté graphiquement par un cercle vide dans le tracé de la courbe décrite par  1 si x ≠ 4  la fonction. Effectuons donc l’étude de la fonction f ( x ) =  x + 4  pas définie si x = 4 en respectant les étapes proposées.

Chapitre 6

g) On a f ( x ) =

554

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

Dom f =   \ {− 4,  4} Asymptote verticale : x = −4. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. d  1  1   = − dx  x + 4  ( x + 4 )2 La fonction f ( x ) n’admet aucune valeur critique puisque − 4 ∉ Dom f . f ′( x) =

f ′′ ( x ) =

2

( x + 4 )3

Aucune valeur n’est susceptible de produire un point d’inflexion puisque − 4 ∉ Dom f .

]−,  − 4 [ x

]− 4 ,  4 [

]4 ,  ∞[

−4

4

f ′( x )

−

∃

−

∃

−

f ′′ ( x )

−

∃

+

∃

+

f (x)



∃ a.v.



∃ trou



2

|

|

|

–6

–4

–2

0 –2

|

|

|

2

4

6

x

|

|

–8

|

y

h) Dom f =   \ {0} Asymptote verticale : x = 0. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. 6 x − 12 x3 La seule valeur critique de f ( x ) est x = 2 puisque 0 ∉ Dom f . f ′( x) =

36 − 12 x x4 La seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 3 puisque 0 ∉ Dom f . f ′′ ( x ) =

]−,  0[

Chapitre 6

]0 ,  2 [ 0

x

]2 ,  3[ 2

]3, [ 3

f ′( x )

+

∃

−

0

+

+

+

f ′′ ( x )

+

∃

+

+

+

0

−

f (x)



∃ a.v.



− 32 min. rel. et abs.



−43 p.i.



555

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

|

|

|

|

4

|

2

|

6

|

8

|

10

|

y

|

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

x

|

–10 – 8 –6 –4 –2 0 –2

i)

Dom f =   \ {4} Asymptote verticale : x = 4. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

−3( x + 4 )

( x − 4 )3

La seule valeur critique de f ( x ) est x = −4 puisque 4 ∉ Dom f . f ′′ ( x ) =

6( x + 8) ( x − 4 )4

La seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = −8 puisque 4 ∉ Dom f .

]−, − 8[

]− 8, − 4 [ −8

x

]− 4 ,  4 [

]4 , [

−4

4

f ′( x )

−

−

−

0

+

∃

−

f ′′ ( x )

−

0

+

+

+

∃

+



−1



∃ a.v.



f (x)



6

p.i.

−3

16

min. rel. et abs.

|

–5

| |

1

0

|

|

|

|

5

10

15

20

x

Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

Chapitre 6

j)

|

–10

2

|

3

|

4

|

y

5

−16 x

( x2 + 4 ) La seule valeur critique de f ( x ) est x = 0. f ′′ ( x ) =

2

16 ( 3 x 2 − 4 )

( x2

+ 4) Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x = 3

2 3

3

et x = − 2

3

3.

556

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

 −,  − 2

3

3 

 − 2

x

−2 3

f ′( x )

+

f ′′ ( x )

+

f (x)

,  0 

3

 0 ,  2

3

3 

 2

0

3

2 3

+

+

0

−

0

−

−

−



2 max. rel. et abs.

3



3

2

p.i.

3

, 

3

−

−

0

+

3



3



2

p.i.

|

|

–10 – 8

|

|

–6

–4

|

|

1 0,5

|

1,5

|

y

2

|

–2 0

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

x

k) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 1. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

(

4x

+ 1) La seule valeur critique de f ( x ) est x = 0. 2

x2

f ′′ ( x ) = −

4 ( 3 x 2 − 1)

( x2

+ 1)

3

Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x =  −,  −

3

3 

x

 − −

3

3

3

,  0 

 0 , 

3

3  3

et x = − 3

3

3

−

−

−

0

+

+

+

f ′′ ( x )

−

0

+

+

+

0

−

f (x)



− 12 p.i.



−1 min. rel. et abs.



− 12 p.i.



l)

|

–2

Dom f =   \ {2} Asymptote verticale : x = 2. Asymptote horizontale : y = −1. Asymptote oblique : aucune.

| |

0 – 0,5

|

|

–4

0,5

–1

|

|

–6

1

|

|

|

2

4

6

x

3

, 

f ′( x )

y

Chapitre 6

3



0

3

3

3.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

f ′( x) =

557

7

( 2 − x )2 La fonction f ( x ) n’admet aucune valeur critique puisque 2 ∉ Dom f . f ′′ ( x ) =

14

( 2 − x )3

Aucune valeur n’est susceptible de produire un point d’inflexion puisque 2 ∉ Dom f .

]−,  2 [ x

]2 , [ 2

f ′( x )

+

∃

+

f ′′ ( x )

+

∃

−

f (x)



∃ a.v.



|

|

2

|

0 –2

x

10

–6

|

–8

|

–4

|

|

–10

4

|

6

|

8

|

y

m) Dom f =   \ {0} Asymptote verticale : x = 0. Asymptote horizontale : y = 1. Asymptote oblique : aucune. 2− x x3 La seule valeur critique de f ( x ) est x = 2 puisque 0 ∉ Dom f . f ′( x) =

2x − 6 x4 La seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 3 puisque 0 ∉ Dom f . f ′′ ( x ) =

]0 ,  2 [ 0

f ′( x )

−

∃

+

f ′′ ( x )

−

∃

−



∃ a.v.

f (x)

]2 ,  3[ 2



0

−

−

−

5

4

max. rel. et abs.

]3, [ 3



−

−

0

+

11

9

p.i.



Chapitre 6

]−,  0[ x

558

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

|

–2

|

0 –1 –2

–4

|

–5

|

–3

|

|

|

|

2

4

6

8

x

|

|

–4

|

|

–6

1

|

|

–8

2

|

y

n) Dom f =   \ {0} Asymptote verticale : x = 0. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : y = 2 x . f ′( x) =

2 ( x 3 − 1)

x3 La seule valeur critique de f ( x ) est x = 1 puisque 0 ∉ Dom f . 6 x4 Aucune valeur n’est susceptible de produire un point d’inflexion puisque 0 ∉ Dom f . f ′′ ( x ) =

]−,  0[

]0 ,  1 [

]1 , [

0

x

1

f ′( x )

+

∃

−

0

+

f ′′ ( x )

+

∃

+

+

+

f (x)



∃ a.v.



3 min. rel.



–3

–2

–1

| |

2

0 –2

|

|

–4

|

|

–6

|

|

4

|

6

|

8

|

y

10

|

|

|

1

2

3

x

o) Dom f =   \ {0} Asymptote verticale : x = 0.

Chapitre 6

Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : y = x + 2. x2 − 1 ( x − 1 )( x + 1 ) = x2 x2 Les seules valeurs critiques de f ( x ) sont x = −1 et x = 1 puisque 0 ∉ Dom f . f ′( x) =

2 x3 Aucune valeur n’est susceptible de produire un point d’inflexion puisque 0 ∉ Dom f . f ′′ ( x ) =

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

]−,  −1 [

]−1 ,  0[

x

]0 ,  1 [

]1 , [

0

−1

559

1

f ′( x )

+

0

−

∃

−

0

+

f ′′ ( x )

−

−

−

∃

+

+

+

f (x)



0 max. rel.



∃ a.v.



4 min. rel.



|

|

|

|

–10

–8

–6

–4

–2

|

2

0 –2

|

|

|

|

2

4

6

8

|

10 x

–8

|

–10

|

–6

|

–4

|

|

|

4

|

6

|

8

|

10

|

y

p) Dom f =   \ {3} Asymptote verticale : x = 3. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : y = x + 3. f ′( x) =

x2 − 6 x + 4

( x − 3)2

Les seules valeurs critiques de f ( x ) sont x = 3 − 5 et x = 3 + 5 puisque 3 ∉ Dom f . Notez qu’on a obtenu ces valeurs critiques en trouvant les zéros du polynôme de degré 2 à l’aide de la formule quadratique. f ′′ ( x ) =

10

( x − 3)3

Aucune valeur n’est susceptible de produire un point d’inflexion puisque 3 ∉ Dom f .  3 −

5 

x

3−

 3 ,  3 +

5 ,  3 

 3 +

5 

3

5

3+

5 , 

5

f ′( x )

+

0

−

∃

−

0

+

f ′′ ( x )

−

−

−

∃

+

+

+

f (x)



6−2 5 max. rel.



∃ a.v.



6+2 5 min. rel.



|

0 –5

|

|

–5

5

–10

|

|

–10

10

|

15

|

20

|

y

|

|

|

5

10

15

x

Chapitre 6

 −,  3 −

560

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

q) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

4x 3(

− 1)

x2

1

4x

=

3

3[( x − 1)( x + 1)]

1

3

Les valeurs critiques de f ( x ) sont x = 0, x = 1 et x = −1. f ′′ ( x ) =

4 ( x 2 − 3)

9(

− 1)

x2

4

(

)(

4 x−

=

3

3 x+

3

9 [( x − 1)( x + 1)]

4

)

3

Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x = x = 1 et x = −1.  −,  − 3 

]−1 ,  0[

 − 3 ,  −1 

x

]0 ,  1 [

−1

− 3

3 , x = − 3,

 1 ,  3 

0

 3 , 

1

3

f ′( x )

−

−

−

∃

+

0

−

∃

+

+

+

f ′′ ( x )

+

0

−

∃

−

−

−

∃

−

0

+



0 min. rel. et abs.



1 max. rel.



0 min. rel. et abs.



3 4 p.i.



f (x)

3



4 p.i.

|

|

|

–3

–2

–1

1

|

0,5

|

1,5

|

2

|

y

0

|

|

|

1

2

3

x

r) Dom f =  [ −1,  1] Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

1 − 2 x2

(1 − x 2 )

1

2

Sur ]−1,  1[, les valeurs critiques de f ( x ) sont x = f ′′ ( x ) =

2

2

et x = −

2

2.

x ( 2 x 2 − 3)

(1 − x 2 )

3

2

Chapitre 6

Sur ]−1,  1[, la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 0.  −1 ,  − x

−1

2

2 

 − −

2

2

2

,  0 

 0 , 

2

0

2



2  2

2

2 ,  1  

1

2

f ′( x )

−

0

+

+

+

0

−

f ′′ ( x )

+

+

+

0

−

−

−



− 12 min. rel. et abs.



0 p.i.



f (x)

0 max. rel.

1

2

max. rel. et abs.



0 min. rel.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

561

|

|

|

|

0,4

|

0,2

|

y

|

–0,2

|

–0,4

|

–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0

|

|

|

|

|

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

s) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. 1 + 4x 2 3x 3 Les valeurs critiques de f ( x ) sont x = 0 et x = − 1 4. f ′( x) =

4x − 2 5 9x 3 Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x = 0 et x = f ′′ ( x ) =

]−,  − 1 4 [

]− 1 4 ,  0[

]0 ,  1 2 [

−14

x

1

2.

]1 2 , [ 1

0

2

f ′( x )

−

0

+

∃

+

+

+

f ′′ ( x )

+

+

+

∃

−

0

+



−0 , 47 min. rel. et abs.



0 p.i.



1, 19 p.i.



f (x)

|

|

–2

–1

|

1

0

|

|

1

2

x

Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : y = x . f ′( x) =

x2 − 1

( x3 − 3 x )

2

3

=

x

2

3

(

( x − 1 )( x + 1 ) x−

3

) (x + 2

3

3

)

2

3

Les valeurs critiques de f ( x ) sont x = 1, x = −1, x = 0, x =

3 et x = − 3.

Chapitre 6

t)

|

–3

2

|

y

562

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

f ′′ ( x ) = −

2 ( x 2 + 1)

( x3 − 3 x )

5

= −

3

x

5

3

(x −

2 ( x 2 + 1)

) (x + 5

3

3

3

)

5

3

Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x = 0, x = x = − 3.  −,  − 3  − 3

x +

∃

+

f ′′ ( x )

+

∃

−



0 p.i.

]0 ,  1 [

−1

f ′( x ) f (x)

]−1 ,  0[

 − 3 ,  −1 



 1 ,  3 

0 −

∃

−

−

−

∃



0 p.i.

3

2 max. rel.

 3 , 

1

0

3 et

3

0

+

∃

+

+

+

+

∃

−



3



0



− 2 min. rel.

p.i.

|

|

–2

–1

2

|

1

|

0

–2

|

–3

|

–1

|

|

|

1

2

3

x

|

|

–3

|

y

3

9. a) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′ ( x ) = e x + e− x

La fonction f ( x ) n’admet aucune valeur critique puisque la fonction f ′ ( x ) est définie partout sur les réels, et que f ′ ( x ) > 0 pour tout x ∈  (car e x > 0 et e − x > 0 pour toutes les valeurs de x). f ′′ ( x ) = e x − e − x

Or, la fonction f ′′ ( x ) = e x − e − x est définie partout sur les réels et e x − e− x = 0 ⇔ e x = e− x ⇔ x = − x ⇔ 2 x = 0 ⇔ La valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 0.

]−,  0[

x = 0

]0, [ 0

x f ′( x )

+

f ′′ ( x ) f (x)

+

+

−

0

+



0 p.i.



|

|

|

–3

–2

–1

| |

0 –20

|

|

–4

20

–40

|

Chapitre 6

y

40

|

|

|

|

1

2

3

4

x

563

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

b) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. f ′ ( x ) = −2 xe − x

2

La valeur critique de f ( x ) est x = 0. f ′′ ( x ) = 2 e − x ( 2 x 2 − 1) 2

Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont x =  −,  −

2

2 

 − −

x f ′( x )

+

f ′′ ( x ) f (x)

2

2

2 ,  0  

 0 , 

2

2

2 

+

+

0

−

+

0

−

−



1 e− 2



1 max. rel. et abs.

p.i.

et x = − 

2

0

2

2

2

2

2.

2 ,  

2

−

−

−

0

+



1 e− 2



p.i.

|

|

–2

–1

|

0,4

|

0,2

|

0,6

|

0,8

|

y

1

0

|

|

1

2

x

c) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptotes horizontales : y = 0 et y = 8. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

8e2 − x

( 1 + e 2 − x )2

La fonction f ( x ) n’admet aucune valeur critique puisque la fonction f ′ ( x ) > 0 pour tout x ∈ . 8 e 2 − x ( e 2 − x − 1)

( 1 + e 2 − x )3

Or, la fonction f ′′ ( x ) =

8 e 2 − x ( e 2 − x − 1)

est définie partout sur les réels et

( 1 + e 2 − x )3 8 e 2 − x ( e2 − x − 1) = 0 ⇔ e2 − x ( 1 + e 2 − x )3

− 1 = 0 ⇔ e2 − x = 1

⇔ 2 − x = ln (1) = 0 ⇔

x = 2

La valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 2.

Chapitre 6

f ′′ ( x ) =

564

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

]−,  2 [

]2 , [ 2

x f ′( x )

+

+

+

f ′′ ( x )

+

0

−

f (x)



4 p.i.



|

|

|

4 2

|

6

|

y

8

0

–2

|

|

|

2

4

6

x

d) Dom f =    Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. 2x 1 + x2 La valeur critique de f ( x ) est x = 0. f ′( x) =

2 ( x − 1 )( x + 1 ) = − 2 2 1 + x ( ) ( 1 + x 2 )2 Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont donc x = −1 et x = 1. f ′′ ( x ) =

−2 x 2 + 2

]−,  −1 [

]−1 ,  0[

x

]0 ,  1 [

]1 , [

0

−1

1

f ′( x )

−

−

−

0

+

+

+

f ′′ ( x )

−

0

+

+

+

0

−

f (x)



ln 2 p.i.



0 min. rel. et abs.



ln 2 p.i.



Chapitre 6

1 0,5 |

|

|

–6

–4

–2

e) Dom f =  [ 0,  π ] Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune.

| | | |

1,5

|

2

|

2,5

|

3

|

y

3,5

0

|

|

|

2

4

6

x

565

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

f ′ ( x ) = cos x − sin x

Or, sur l’intervalle ]0,  π [, f ′ ( x ) existe toujours et, sur cet intervalle, f ′ ( x ) = 0 lorsque sin x = cos x , soit lorsque tg x = 1, c’est-à-dire lorsque x = π 4 , de sorte que la seule valeur critique de f ( x ) est x = π 4 . f ′′ ( x ) = − sin x − cos x

Or, sur l’intervalle ]0,  π [, f ′′ ( x ) existe toujours et, sur cet intervalle, f ′′ ( x ) = 0 lorsque sin x = − cos x , soit lorsque tg x = −1, c’est-à-dire lorsque x = 3π 4 , de sorte que la seule valeur de x susceptible de produire un point d’inflexion est x = 3π 4 .

]0 ,   4 [

] 4 ,  3  4 [

0

x



f ′( x ) f ′′ ( x ) f (x)

1 min. rel.

]3 π 4 ,   [ 3

4



4

+

0

−

−

−

−

−

−

0

+



0 p.i.





2 max. rel. et abs.

−1 min. rel. et abs.

1

|

0,5

|

y

–0,5

|

–1

|

0

|

|

|

|

|

|

0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

f) Dom f =  [ 0,  π 2 ] Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. f ′ ( x ) = − 4 cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) = −2 sin ( 4 x )

Or, sur l’intervalle ]0,  π 2[ , f ′ ( x ) existe toujours et, sur cet intervalle, f ′ ( x ) = 0 lorsque x = π 4 , de sorte que la seule valeur critique de f ( x ) est x = π 4 . f ′′ ( x ) = − 8 cos ( 4 x )

Les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sur l’intervalle ]0,  π 2[ sont celles qui annulent la dérivée seconde, soit x = π 8 et x = 3π 8 .

x

] 8 ,   4 [ 

0

] 4 ,  3  8[ 

8

]3  8 ,   2 [ 3

4



8

f ′( x )

−

−

−

0

+

+

+

f ′′ ( x )

−

0

+

+

+

0

−



0 min. rel. et abs.



f (x)

1 max. rel. et abs.



1

2

p.i.

1

2

p.i.



2

1 max. rel. et abs.

Chapitre 6

]0 ,   8[

566

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

|

0,4

|

0,2

|

0,6

|

0,8

|

y

1

0

|

|

|

|

|

|

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

|

1,4 x

g) Dom f = [ −1,  1] Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. 1

f ′( x) = 2 −

1 − x2 Or, sur l’intervalle ]−1,  1[, f ′ ( x ) existe toujours. De plus, sur cet intervalle, 1

f ′( x) = 0 ⇔

1 − x2

⇔

x =

3

= 2 ⇔

1 − x2 =

ou x = −

2

3

1

2

⇔ 1 − x2 =

1

4

⇔

x2 =

et x =

3

2

2.

f ′′ ( x ) = −

x

(1 − x 2 )

3

2

Or, sur l’intervalle ]−1,  1[, f ′′ ( x ) existe toujours et, sur cet intervalle, f ′′ ( x ) = 0 lorsque x = 0, de sorte que la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion sur l’intervalle ]−1,  1[ est x = 0.  −1 ,  − x

−1

3

2 

 − −

3

3

2

 0 , 

,  0 

3

2 



0

2

3

3

,  1  1

2

f ′( x )

−

0

+

+

+

0

−

+

+

+

0

−

−

−



3 + π6 max. rel. et abs.



f (x)

−2 + π max. rel.



− 3 + 5π 6 min. rel. et abs.



2

p.i.

|

–1

|

–0,5

1,0

|

0,5

|

1,5

|

2,0

|

2,5

|

y

Chapitre 6

2

f ′′ ( x )

π

4

2

Par conséquent, les valeurs critiques de f ( x ) sur l’intervalle ]−1,  1[ sont x = − 3

3

0

|

|

0,5

1

x

2 min. rel.

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

567

10. Dom A = [ 0,  100 ] Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : aucune. Asymptote oblique : aucune. A′ ( x ) = − 0, 000 03 x ( x − 120 )

Par conséquent, sur l’intervalle ]0,  100[ , la fonction A( x ) n’admet aucune valeur critique. A′′ ( x ) = − 0, 000 06 ( x − 60 )

Sur l’intervalle ]0,  100[ , la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 60.

]0 ,  60[

]60 ,  100[

0

x

60

A′ ( x )

+

A ′′ ( x ) A( x )

0 min. rel. et abs.

100

+

+

+

0

−



4,32 p.i.



8 max. rel. et abs.

4

|

2

|

6

|

8

|

A

0

|

|

|

|

20

40

60

80

|

100 x

11. Dom f = [ 0,  ∞[ parce qu’on ne peut pas prendre une quantité négative de médicament. Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 100. Asymptote oblique : aucune. f ′( x) =

9 600 x

+ 1) Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction f ( x ) n’admet aucune valeur critique. f ′′ ( x ) =

( 48 x2

2

9 600 (1 − 144 x 2 )

=

9 600 (1 − 12 x )(1 + 12 x )

+ 1) ( 48 x 2 + 1) Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est x = 1 12 . 3

3

]0 ,  1 12 [ x

]1 12 , [ 1

0

12

f ′( x )

+

+

+

f ′′ ( x )

+

0

−



25 p.i.



f (x)

0 min. rel. et abs.

Chapitre 6

(

48 x 2

568

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

60

|

20

|

0

|

40

|

80

|

100

|

y

|

|

|

|

|

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

Ce graphique montre bien qu’un seul comprimé de 0,5 g, soit 500 mg, d’acétaminophène suffit à soulager plus de 90 % de la douleur, de sorte qu’il n’est pas vraiment utile d’en prendre un deuxième. 12. Dom f = [ 0,  ∞[ parce que le temps est une variable non négative. Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 500. Asymptote oblique : aucune. f ′ (t ) =

3 000 ( t − 5 )

( t + 5 )3

Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la seule valeur critique de f ( t ) est t = 5. f ′′ ( t ) = −

6 000 ( t − 10 )

( t + 5 )4

Par conséquent, sur l’intervalle ]0, ∞[, la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est t = 10.

]0 ,  5[

]5 ,  10[

0

t

]10, [

5

10

f ′(t )

−

0

+

+

+

f ′′ ( t )

+

+

+

0

−



350 min. rel. et abs.



f (t )

500 max. rel. et abs.

1 100

3

p.i.

Chapitre 6

400

|

350

|

450

|

500

|

550

|

y

300

|

0

20

13. a) 1 cm b) e 2 cm ≈ 7, 39 cm dy c) = dt

14

5e

2−

− 7t − 2e 5

7t 5

cm/année

|

|

60

|

|

100

|

|

140

|

|

180

|

t



Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

569

d) Dom y = [ 0,  ∞[ parce que le temps est une variable non négative. Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = e 2 . Asymptote oblique : aucune. y′ ( t ) =

14

5e

2−

7t 5

− 7t − 2e 5

Sur l’intervalle ]0, ∞[, la fonction n’admet aucune valeur critique parce que la dérivée est toujours positive. y′′ ( t ) =

98

25 e

2−

− 7t − 2e 5

7t 5

 − 7t   2 e 5 − 1  

Comme 2e

−

7t 5

−1= 0 ⇔ e

−

⇔ −

7t 5

=

7

5t

⇔ t =

5

1

2

= ln ( 1 2 ) = ln ( 2 −1 ) = − ln 2 7 ln 2

la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est t =

]0 ,  5 7 ln 2 [ 0

t

5

7 ln 2

y′(t )

+

+

+

+

0

−



e p.i.



1 min. rel. et abs.

7 ln 2.

]5 7 ln 2 , [

y ′′ ( t ) y(t )

5

4

| |

2

|

1

|

3

|

5

|

6

|

7

|

y

8

0

|

|

|

|

1

2

3

4

t

2

14. a) lim D 1 − e a( re − r )  = D(1 − 0 )2 = D r→∞

b) E ′ ( r ) = 2 aDe a( re − r ) 1 − e a( re − r )  Or, E ′ ( r ) existe toujours et

2 aDe a( re − r ) 1 − e a( re − r )  = 0 ⇔ e a( re − r ) = 1 ⇔ r = re Sur l’intervalle ]0, ∞[, la seule valeur critique de la fonction E ( r ) est r = re .

Chapitre 6

⇔ a ( re − r ) = ln1 = 0

570

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

Construisons un tableau des signes :

]0,  re [

]re , [

r

re

E ′(r )

−

0

+

E (r )



0 min. rel. et abs.



Sur l’intervalle ]0, ∞[, le minimum relatif de 0 en r = re est également le minimum absolu de E ( r ), car la fonction E ( r ) est décroissante sur ]0, re ] et croissante sur [ re , ∞[. Elle atteint donc sa plus petite valeur sur l’intervalle ]0, ∞[ en r = re . Par conséquent, la distance donnant la plus faible énergie potentielle est r = re . c) E ( re ) = D 1 − e a( re − re )  = D (1 − e 0 ) = 0 2

2

(

d) Effectuons l’étude de la fonction E ( r ) = 6 1 − e

4

5−r

)2 en respectant les étapes

proposées. Dom E = ]0,  ∞[ parce que la distance est une variable positive. Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : E = 6. Asymptote oblique : aucune. E ′ ( r ) = 12 e

4

5−r

(1 − e

4

5−r

)

Par conséquent, E ′ ( r ) existe toujours et E ′ ( r ) = 0 ⇔ 12 e ⇔ e ⇔

4

4

4

5−r

5−r

5

(1 − e

4

5−r

)=0

= 1

−r = 0

⇔ r =

4

5

Sur l’intervalle ]0, ∞[, la seule valeur critique de la fonction est r = E ′′ ( r ) = 12 e

4

5−r

( 2e

4

5−r

−1

4

5.

)

Par conséquent, E ′′ ( r ) existe toujours et E ′′ ( r ) = 0 ⇔ 12 e ⇔ e ⇔

4

4

4

5−r

5−r

5

=

( 2e 1

4

5−r

)

−1 = 0

2

− r = ln ( 1 2 ) = − ln 2

⇔ r =

4

5

+ ln 2

Sur l’intervalle ]0, ∞[, la seule valeur susceptible de produire un point d’inflexion est r = 4 5 + ln 2 .

]0 ,  4 5[ 4

r

Chapitre 6

]4 5 ,  4 5 + ln 2 [ 4

5

E ′(r )

−

0

+

E ′′ ( r )

+

+

+



0 min. rel. et abs.

E (r )

]4 5 + ln 2 , [



5

+ ln 2 +

+

0

−

3

2

p.i.



Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

571

4

|

2

|

6

|

8

|

10

|

E

–2

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

r

|

0

15. a) y′ ( v ) = −2 k1ve − k2 v ( k2 v2 − 1) = −2 k1ve − k2 v 2

(

2

Or, puisque v > 0, alors y′ ( v ) = 0 ⇔ v =

k2 v − 1 k2

k2 .

)(

k2 v + 1

Par conséquent, la fonction k2

n’admet qu’une seule valeur critique. De plus, si 0 < v < fonction y est croissante), et si v >

k2

)

k2 ,

alors y′ ( v ) > 0 (la

k2 , alors y ′ ( v ) < 0 (la fonction est décrois-

sante). Par conséquent, la fonction atteint sa valeur maximale en v = sorte que la valeur de v maximisant la valeur de y est v = b) Effectuons l’étude de la fonction y = v2 e

−

v2 16

k2

k2

k2 ,

de

k2 .

en respectant les étapes proposées.

Dom y = ]0,  ∞[ parce que la vitesse est une variable positive. Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : y = 0. Asymptote oblique : aucune. y′ ( v ) = −

ve

−

v2 16

( v − 4 )( v + 4 )

8 Comme v > 0, la fonction n’admet qu’une seule valeur critique, soit v = 4 . y′′ ( v ) =

e

−

v2 16

( v4

− 40 v2 + 128 )

64 Comme v > 0, les valeurs susceptibles de produire un point d’inflexion sont v = 2 5 − 17 ≈ 1, 87 et v = 2 5 + 17 ≈ 6, 04 .

]0 ;  1 , 87 [

]1 , 87 ;  4 [

]4 ;  6 , 04 [

1,87

v

]6 , 04 ; [

4

6,04

y ′ (v )

+

+

+

0

−

−

−

y ′′ ( v )

+

0

−

−

−

0

+

y (v )



2,82 p.i.



5,89 max. rel. et abs.



3,73 p.i.



| |

2

|

1

|

3

0

Chapitre 6

4

|

5

|

6

|

7

|

y

8

|

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

12

v

572

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

16. a) P ′ ( t ) = b)

ACre − rt

individus/année

(1 + Ce− rt )2 ACr 2 e − rt (Ce − rt − 1) P ′′ ( t ) = (1 + Ce− rt )3

Comme A > 0, C > 0 , r > 0 et e − rt > 0 pour tout t ∈ [ 0,  ∞[, ACr 2 e − rt (Ce − rt − 1)

P ′′ ( t ) = 0 ⇔

= 0

(1 + Ce− rt )3

⇔ Ce − rt − 1 = 0 ⇔ Ce − rt = 1 ⇔ e − rt = ⇔ t =

1

⇔ − rt = ln ( 1 C ) = − ln C

C

lnC C r

Le taux de croissance est maximal lorsque t = c) 3 000 individus

ln C années. r

d) 0 individu/année e) Effectuons l’étude de la fonction P ( t ) = proposées.

3 000 en respectant les étapes 1 + 5 e − 0 ,4 t

Dom P = [ 0,  ∞[ parce que le temps est une variable non négative. Asymptote verticale : aucune. Asymptote horizontale : P = 3 000. Asymptote oblique : aucune. P ′ (t ) =

6 000 e − 0 ,4 t

( 1 + 5 e − 0 , 4 t )2

Comme cette expression est toujours positive, la fonction P ( t ) n’admet aucune valeur critique. P ′′ ( t ) =

2 400 e − 0 ,4 t ( 5e − 0 ,4 t − 1)

( 1 + 5 e − 0 , 4 t )3

En vertu du calcul effectué en b, la valeur susceptible de produire un point ln C ln 5 = = 5 2 ln 5 ≈ 4, 02. d’inflexion est t = r 0, 4

]0 ,  5 2 ln 5[

]5 2 ln 5 , [

0

t

5

P ′(t )

+

P ′′ ( t ) P (t )

500 min.rel. et abs.

2 ln 5

+

+

+

0

−



1 500 p.i.



| |

1 000

|

2 000

0

|

Chapitre 6

3 000

|

P

4 000

|

|

|

|

|

|

2

4

6

8

10

12

t

Réponses aux exeRcices Récapitulatifs — chapitRe 6

573

17. a) La distance r séparant les deux molécules est la variable indépendante et l’énergie potentielle E est la variable dépendante. b) r > 0 ou r ∈ ]0,  ∞[. c) lim E ( r ) = 0 r→∞

d) La droite E = 0 est une asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction 4 εσ 6  σ 6  − 1 .  r 6  r 6 lim+ E ( r ) = ∞

E (r ) = e)

r→0

f) E ′ ( r ) =

6 d  4 εσ 6  σ 6 1  6 d σ − 6  6  6 − 1  = 4 εσ  12 dr  r r dr  r r  

= 4 εσ 6

d (σ 6 r −12 − r −6 ) = 4 εσ 6 ( −12σ 6 r −13 + 6 r −7 ) dr

6  −12σ 6 + 6 r 6   12σ 6 = 4 εσ 6  − 13 + 7  = 4 εσ 6     r r  r 13 = g) r = h) E

r 13

2σ

(6 2 σ ) =

(

4 εσ 6  6 6 2 σ 

σ6

) ( 6 2 σ )6

  4ε σ 6  σ 6 − 1 = − 1 = 2 ε ( − 1 2 ) = − ε  6 6  2σ  2σ  

Le tableau des signes est le suivant :  0 ,  6 2 

 6 2 ,  6 26 7 

r

6

E ′(r )

−

E ′′ ( r ) E (r )

6 26

2 0

+

+

+



−1 min. rel. et abs.

7

+

+

+

0

−



− 0,79 p.i.



| |

0 –1

|

1

|

2

|

3

|

4

|

E

5

–2

|

j)

 6 26 7 , 

|

|

|

|

|

0,5

1

1,5

2

2,5

r

Chapitre 6

i)

6

24 εσ 6 ( r 6 − 2σ 6 )

Réponses aux exercices de l’annexe Exercices A.1 1. a) Faux

b) Faux

c) Vrai

d) Faux

e) Vrai

f) Vrai

2. A ∪ B = {1,  2,  3,  4,  6,  8,  9,  12,  15,  18,  21,  24, 27} A ∩ B = {3,  6,  12,  24}

A \ B = {9,  15,  18,  21,  27}

B \ A = {1,  2,  4,  8} Exercices A.2 1. a)

105

3

b) −4,

= 35 105

3

= 35 et 3 −512 = −8 .

c) −4, 1, 3, 105 3 = 35, 3 −512 = −8 et 2,48. d)

π

4

et 15 .

e) Tous les nombres donnés sont des nombres réels. 2. a) Faux

c) Vrai

e) Vrai

g) Faux

i)

Vrai

b) Vrai

d) Faux

f) Faux

h) Vrai

j)

Faux

Exercices A.3 1. a)

[ − 1 4 ,  2 ] = { x ∈   − 1 4 [1, 62 ;  ∞[

c)

]− ∞,  1[

d)

]3,  16 3 ] = { x ∈   3
0 et b ≠ 1 . On appelle b la base de la fonction logarithmique. Si y = logb x , alors y est l’ex­ posant que l’on attribue à b pour obtenir x : b y = x .

Fonction composée (p. 52) Si f et g sont deux fonctions, alors la fonction composée de f et de g est la fonction h ( x ) = f ( g ( x )). On note aussi cette fonction f  g et on dit « f rond g ».

Fonction racine carrée (p. 30) La fonction racine carrée est la fonction qui associe à chaque nombre réel x ≥ 0 sa racine carrée non négative, c’est­à­dire un nombre k ≥ 0 tel que k 2 = x .

Fonction concave vers le bas (p. 336) Une fonction f ( x ) est concave vers le bas sur un intervalle ouvert I si la courbe décrite par la fonction f ( x ) est située au­dessous des droites tangentes sur l’intervalle I . Fonction concave vers le haut (p. 336) Une fonction f ( x ) est concave vers le  haut sur un inter­ valle ouvert I si la courbe décrite par la fonction f ( x ) est située au­dessus des droites tangentes sur l’intervalle I . Fonction continue en un point (p. 46) Une fonction f ( x ) est continue en un point x = a si et seu­ lement si f ( a ) existe, lim f ( x ) existe et lim f ( x ) = f ( a ). x→ a

x→ a

Fonction continue sur un intervalle (p. 54) Une fonction f ( x ) est continue sur un  intervalle ]a,  b[ si  elle est continue pour  tout x ∈ ]a,  b[. De plus, f ( x ) est  continue sur l’intervalle [ a,  b] si elle est continue sur  l’intervalle ouvert ]a,  b[ et si lim+ f ( x ) = f ( a ) et x→ a lim− f ( x ) = f ( b). x→b

Fonction croissante (p. 258) Une fonction f ( x ) est croissante sur un intervalle I si f ( x1 ) < f ( x2 ) lorsque x1 < x2 pour x1 ∈ I et x2 ∈ I . Fonction décroissante (p. 258) Une fonction f ( x ) est décroissante sur un intervalle I si f ( x1 ) > f ( x2 ) lorsque x1 < x2 pour x1 ∈ I et x2 ∈ I .

Fonction rationnelle (p. 32) Une fonction rationnelle est une fonction de la forme P ( x) f ( x) = , où P ( x ) et Q ( x ) sont des polynômes, c’est­ Q( x) à­dire une fonction qui se présente sous la forme d’un quotient où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Fonction valeur absolue (p. 31) La fonction valeur absolue est la distance séparant un nombre réel notée f ( x ) = x et est définie par − x f ( x) = x =  x

fonction qui donne la x de l’origine. Elle est si x < 0 si x ≥ 0

Fonctions algébriques (p. 154) Les fonctions algébriques sont des fonctions qu’on obtient en effectuant des opérations algébriques sur des polynômes (addition, soustraction, multiplication, division, puissance et extraction d’une racine). Fonctions transcendantes (p. 154) Les fonctions qui ne sont pas algébriques sont des fonc­ tions transcendantes. Les  fonctions exponentielles, loga­ rithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses sont des exemples de fonctions transcendantes.

592

GLOSSAIRE

Forme indéterminée (p. 32) On dit d’une expression qu’elle présente une forme indé­ terminée en x0 si cette expression évaluée en x0 prend 0 ∞ l’une des formes , , ∞ − ∞, 0 × ∞, 1∞, 0 0 ou ∞ 0 . 0 ∞

Limite à moins l’infini (p. 20) La limite à moins l’infini d’une fonction f ( x ), notée lim f ( x ), représente le comportement de la fonction

Grandeur d’une vitesse (p. 111) La grandeur d’une vitesse v ( t ) est v ( t ) . C’est la lecture que l’on ferait sur un odomètre.

Limite infinie (p. 16) Lorsqu’on écrit

Incertitude absolue (p. 239) On appelle incertitude absolue l’évaluation quantifiée des difficultés éprouvées lors de la prise de mesure. On la note ∆ x, et elle dépend de la précision de l’instrument de mesure et d’autres facteurs difficilement quantifiables (par exemple, la dextérité de la personne qui prend la mesure).

x →−∞

quand x → −∞. Elle peut être finie, infinie ou  ne pas exister. lim f ( x ) = ∞

x → a−

[respectivement

lim f ( x ) = ∞], cela signifie que f ( x ) prend des valeurs

x → a+

de plus en plus grandes [c’est­à­dire f ( x ) → ∞] quand x → a − (respectivement x → a + ). Lorsqu’on

écrit

lim f ( x ) = −∞

x → a−

[respectivement

lim f ( x ) = −∞], cela signifie que f ( x ) prend des valeurs

x → a+

de plus en plus petites [c’est­à­dire f ( x ) → −∞] quand x → a − (respectivement x → a + ).

Incertitude relative (p. 239) ∆x , donne l’importance de x l’incertitude absolue par rapport à la mesure prise sur l’instrument. On l’exprime généralement en pourcentage, et plus elle est faible, plus la mesure est précise.

L’incertitude relative, notée

Limite (p. 12) On dit que la limite de la fonction f ( x ) quand x tend vers a vaut L, si la fonction f ( x ) prend des valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais différentes de a. On écrit alors lim f ( x ) = L. x→ a

Limite à droite (p. 14) On dit que la limite de la fonction f ( x ), quand x tend vers a par la droite, vaut L [ce qui se traduit en langage symbo­ lique par lim+ f ( x ) = L], si la fonction f ( x ) prend des x→ a

valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais supérieures à a. Limite à gauche (p. 14) On dit que la limite de la fonction f ( x ), quand x tend vers a par la gauche, vaut L [ce qui se traduit en langage symbo­ lique par lim− f ( x ) = L], si la fonction f ( x ) prend des x→ a

valeurs de plus en plus proches de L lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a, mais inférieures à a. Limite à l’infini (p. 20) La limite à l’infini d’une fonction f ( x ), notée lim f ( x ), x →∞

représente le comportement de la fonction quand x → ∞. Elle peut être finie, infinie ou ne pas exister.

Dans les deux cas, on parle de limite infinie. Logarithme de Briggs (p. 160) Le logarithme de Briggs ou logarithme décimal d’un nombre réel positif x est le logarithme de base 10 de x. On le note log x. Logarithme naturel (p. 160) Le logarithme naturel ou logarithme népérien d’un nombre réel positif x est le logarithme de base e de x. On le note ln x. Maximum absolu (p. 277) Le maximum absolu d’une fonction sur un intervalle I est la valeur maximale atteinte par la fonction sur cet intervalle. Maximum relatif (p. 263) Une fonction f ( x ) définie sur un intervalle I admet un maximum relatif (ou un maximum local) de f ( c ) en x = c s’il existe un intervalle ouvert ]a,  b[ tel que c ∈ ]a,  b[ et que f ( c ) ≥ f ( x ) pour tout x ∈ ]a,  b[ ∩ I . Minimum absolu (p. 277) Le minimum absolu d’une fonction sur un intervalle I est la valeur minimale atteinte par la fonction sur cet intervalle. Minimum relatif (p. 263) Une fonction f ( x ) définie sur un intervalle I admet un minimum relatif (ou un minimum local) de f ( d ) en x = d s’il existe un intervalle ouvert ]e,  g [ tel que d ∈ ]e,  g [ et que f ( d ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ ]e,  g [ ∩ I . Ordonnée à l’origine (p. 76) L’ordonnée à l’origine de la droite y = mx + b est la valeur de y lorsque x = 0, c’est­à­dire y = m ( 0 ) + b = b.

GLOSSAIRE

C’est l’ordonnée du point de rencontre de la droite avec l’axe des y, soit l’axe des ordonnées. Pente d’une droite (p. 76) La pente de la droite y = mx + b est la valeur de m. Elle est donnée par variation de y ∆y y − y1 m = = = 2 variation de x ∆x x2 − x1 où ( x1,  y1 ) et ( x2,  y2 ) sont deux points de la droite tels que x1 ≠ x2 .

593

Taux de variation instantané (p. 80) Le taux de variation instantané de la fonction f ( x ) en x = a est la pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f ( x ) en x = a . Il est donné par f ( a + ∆ x) − f ( a ) ∆x→ 0 ∆x lim

ou lim

b→ a

f ( b) − f ( a ) b−a

Point anguleux (p. 93) Le point ( a,  f ( a )) est un point anguleux de la courbe décrite par la fonction f ( x ) si la fonction f ( x ) est conti­ nue en x = a et si f ( a + ∆ x) − f ( a ) f ( a + ∆ x) − f ( a ) lim − ≠ lim + ∆ x→ 0 ∆ x→ 0 ∆x ∆x

Taux de variation moyen (p. 77) Le taux de variation moyen de la fonction f ( x ) sur l’inter­ valle [ a,  b] est ∆f f ( b) − f ( a ) = b−a ∆x Il correspond à la pente de la droite sécante joignant les points ( a,  f ( a )) et ( b,  f ( b)).

Point d’inflexion (p. 339) Un point ( c,  f ( c )) de la courbe décrite par la fonction f ( x ) est un point d’inflexion de f ( x ) s’il se produit un changement de concavité en x = c .

Valeurs critiques (p. 262) Les valeurs critiques d’une fonction f ( x ) sont les valeurs de x ∈ Dom f pour lesquelles f ′ ( x ) = 0 ou f ′ ( x ) n’existe pas.

Profit marginal (p. 91) Le profit marginal π ′ (Q ) est le taux de variation de la fonction profit total π (Q ). Il permet d’approximer le pro­ e fit résultant de la vente de la (Q + 1) unité lorsque le niveau de vente est de Q unités. Propriété de linéarité (p. 98) On dit que la dérivée possède la propriété de linéarité, car elle satisfait à la caractéristique suivante : d du dv ( au ± bv ) = a ± b dx dx dx où a et b sont des constantes et u et v sont des fonctions dérivables de x. Racine d’un polynôme (p. 33) Soit P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 +  + a1 x + a0, où ai   ∈   (pour i = 0, 1, …, n ) et où an ≠ 0, un polynôme en x de degré n ≥ 1. Le nombre réel r est une racine (ou un zéro) d’un polynôme P ( x ) si P ( r ) = 0. Radian (p. 177) La mesure de l’angle au centre compris entre deux rayons qui interceptent, sur la circonférence du cercle, un arc de longueur L égale au rayon r est un radian (1 rad).

Variation de la variable indépendante (p. 75) La variation de la variable indépendante x sur l’intervalle [ a,  b], notée ∆ x, est la longueur de l’intervalle, c’est­à­dire ∆ x = b − a. Variation d’une fonction (p. 75) La variation d’une fonction continue f ( x ) sur l’intervalle [ a,  b], notée ∆f , est la différence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction au début de l’intervalle, soit ∆f = f ( b) − f ( a ). Vitesse instantanée (p. 7 et 84) La vitesse instantanée d’un mobile est la limite des vitesses moyennes lorsque la longueur des intervalles de temps sur lesquels les vitesses moyennes sont calculées tend vers 0. La vitesse instantanée d’un mobile est le taux de va­ riation instantané de la position du mobile. Vitesse moyenne (p. 6 et 78) La vitesse moyenne d’un mobile est le quotient de la distance parcourue par le mobile par rapport au temps de parcours. La vitesse moyenne d’un mobile est le taux de varia­ tion moyen de la position du mobile.

Bibliographie ADAMS, Robert A., et Christopher ESSEX. Calculus. A Com­ plete Course, 6e éd., Toronto, Pearson Canada, 2010, 973 p.

CAJORI, Florian. A History of Mathematical Notations, New York, Dover Publications, 1993, 820 p.

ANTON, Howard. Calculus : A New Horizon, 6e éd., New York, John Wiley & Sons, 1999, 1130 p.

CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. Calcul différentiel, 8e éd., Montréal, Chenelière éducation, 2014, 528 p.

ARMSTRONG, Bill, et Don DAVIS. College Mathematics : Solving Problems in Finite Mathematics and Calculus, Upper Saddle River, Prentice Hall, 2003, 1335 p.

COLLETTE, Jean-Paul. Histoire de mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique, 1979, 2 vol., 587 p.

AYRES, Frank Jr. Théorie et applications du calcul différentiel et intégral, Paris, McGraw-Hill, 1977, 346 p. BALL, W. W. R. A Short Account of the History of Mathematics, New York, Dover Publications, 1960, 522 p. BARDI, Jason Socrates. The Calculus Wars. Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time, New York, Thunder Mouth Press, 2006, 277 p. BARUK, Stella. Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Paris, Seuil, 1995, 1345 p. BEAUDET, Jean. Nouvel abrégé d’histoire des mathématiques, Paris, Vuibert, 2002, 332 p. BELL, Eric Temple. Men of Mathematics, New York, Simon and Schuster, 1965, 590 p. BERKEY, Dennis D. Calculus, 2e éd., New York, Saunders College Publishing, 1988, 1025 p. BERRESFORD, Geoffrey C., et Andrew M. ROCKETT. Applied Calculus, 3e éd., Boston, Houghton Mifflin Company, 2004, 863 p. BITTINGER, Marvin L. Calculus, 6e éd., Reading, AddisonWesley, 1996, 582 p. BOROWSKI, E. J., et J. M. BORWEIN. Collins Dictionary of Mathematics, 2e éd., Glasgow, Harper Collins publishers, 2002, 641 p. BOUVERESSE, Jacques, et coll. Histoire des mathématiques, Paris, Larousse, 1977, 255 p. BOUVIER, Alain, Michel GEORGE et François LE LIONNAIS. Dictionnaire des mathématiques, Paris, Quadrige/PUF, 2001, 960 p. BOYER, Carl B. The History of the Calculus and its Conceptual Development, New York, Dover Publications, 1959, 346 p. BOYER, Carl B., et Uta C. MERZBACH. A History of Mathe­ matics, 2e éd., New York, John Wiley & Sons, 1991, 715 p. BRADLEY, Gerald L., et Karl J. SMITH. Calcul intégral, Saint-Laurent, Éditions du Renouveau Pédagogique, 1999, 301 p. BRIGGS, William, et Lyle COCHRAN. Calculus, Boston, Addison-Wesley, 2011, 1049 p. BRUNELLE, Éric, et Marc-André Désautels. Calcul différentiel, Anjou, CEC, 2011, 344 p.

COURANT, Richard, et Fritz JOHN. Introduction to Calculus and Analysis, vol. 1, New York, Interscience Publishers, 1965, 661 p. CULLEN, Michael R. Mathematics for the Biosciences, Fairfax, TechBooks, 1983, 712 p. DAHAN-DALMEDICO, Amy, et Jeanne PEIFFER. Une his­ toire des mathématiques : Routes et dédales, Paris, Seuil, 1986, 309 p. DEMIDOVITCH, B. (dir.). Recueil d’exercices et de problèmes d’analyse mathématiques, 8e éd., Moscou, Mir, 1982, 558 p. DHOMBRES, Jean, et coll. Mathématiques au fil des âges, Paris, Gauthier-Villars, 1987, 327 p. DIEUDONNÉ, Jean. Abrégé d’histoire des mathématiques  – 1700­1900, Paris, Hermann, 1978, 517 p. DUVILLIÉ, Bernard. Sur les traces de l’Homo mathematicus, Paris, Ellipses, 1999, 461 p. EDWARDS, Charles Henry. The Historical Development of the Calculus, New York, Springer-Verlag, 1979, 351 p. EDWARDS, Charles Henry, et David E. PENNEY. Calculus with Analytic Geometry : Early Transcendentals, 5e éd., Upper Saddle River, Prentice Hall, 1998, 1022 p. ELLIS, Robert, et Denny GULLICK. Calculus with Analytic Geometry, 5e éd., Forth Worth, Saunders College Publishing, 1994, 1024 p. ENCYCLOPEDIA UNIVERSALIS. Dictionnaire des mathé­ matiques, algèbre, analyse, géométrie, Paris, Albin Michel, 1997, 924 p. FREIBERGER, W. F. (dir.). The International Dictionary of Applied Mathematics, Princeton, D. Van Nostrand Company, 1960, 1173 p. GAITHER, Carl C., et Alma E. CAVAZOS-GAITER. Mathe­ matically Speaking. A Dictionary of Quotations, Bristol, Institute of Physics Publishing, 1998, 484 p. GOLDSTEIN, Larry J., David C. LAY, David I. SCHNEIDER et Nakhlé H. ASMAR. Calculus and its Applications, 12e éd., Upper Saddle River, Prentice Hall, 2010, 595 p. GREENWELL, Raymond N., Nathan P. RITCHEY et Margaret L. LIAL. Calculus with Applications for the Life Sciences, Boston, Addison-Wesley, 2003, 767 p.

596

BIBLIOGRAPHIE

HARSHBARGER, Ronald J., et James J. REYNOLDS. Mathe­ matical Applications for the Management, Life and Social Sciences, 7e éd., Boston, Houghton Mifflin Company, 2004, 1061 p. HAUCHECORNE, Bertrand. Les mots & les maths, Paris, Ellipses, 2003, 223 p. HAUCHECORNE, Bertrand, et Adrian SHAW. Lexique bilingue du vocabulaire mathématique, Paris, Ellipses, 2000, 176 p. HAUCHECORNE, Bertrand, et Daniel SURATTEAU. Des mathématiciens de A à Z, 2e éd., Paris, Ellipses, 1996, 381 p. HELLEMANS, Alexander, et Brian BUNCH. The Timetables of Science. A Chronology of the Most Important People and Events in the History of Science, éd. revue et corrigée, New York, Touchstone Books, 1988, 660 p. IREM. Histoire de problèmes, histoire des mathématiques, Paris, Ellipses, 1993, 432 p. JAMES, Glenn, et Robert C. JAMES. Mathematics Dictionnary, 4e éd., New York, Van Nostrand Reinhold Company, 1976, 509 p. KASS-SIMON, G., et Patricia FARNES. Women of Science : Righting the Record, Bloomington, Indiana University Press, 1993, 398 p. KATZ, Victor J. A History of Mathematics : An Introduction, 2e éd., Reading, Addison-Wesley, 1998, 862 p. KLINE, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press, 1972, 1238 p. LARSON, Ron, Robert HOSTETLER et Bruce H. EDWARDS. Calculus. Early Transcendental Functions, 4e éd., Boston, Houghton Mifflin Company, 2007, 1138 p. LEFEBVRE, Jacques. « Moments et aspects de l’histoire du calcul différentiel et intégral. Première partie : Problématique générale et Antiquité grecque », Bulletin de l’AMQ, vol. XXXV, no 4, décembre 1995, p. 43-51. LEFEBVRE, Jacques. « Moments et aspects de l’histoire du calcul différentiel et intégral. Deuxième partie : Moyen Âge et dix-septième siècle avant Newton et Leibniz », Bulletin de l’AMQ, vol. XXXVI, no 1, mars 1996, p. 29-40. LEFEBVRE, Jacques. « Moments et aspects de l’histoire du calcul différentiel et intégral. Troisième partie : Newton et Leibniz », Bulletin de l’AMQ, vol. XXXVI, no 2, mai 1996, p. 43-54. LE LIONNAIS, François (dir.). Les grands courants de la pensée mathématique, Paris, Rivages, 1986, 533 p. LIAL, Margaret L., et Charles D. MILLER. Finite Mathematics and Calculus with Applications, 3e éd., Glenview, Scott, Foresman and Company, 1989, 1020 p.

MORITZ, Robert Edouard. On Mathematics : A Collection of Witty, Profound, Amusing Passages about Mathematics and Mathematicians, New York, Dover Publications, 1942, 410 p. MORROW, Charlene, et Teri PERL. Notable Women in Mathe­ matics. A Biographical Dictionary, Westport, Greenwood Press, 1998, 302 p. MUIR, Hazel (dir.). Dictionary of Scientists, Édimbourg, Larousse, 1994, 595 p. MUIR, Jane. Of Men and Numbers. The Story of the Great Mathematicians, New York, Dover Publications, 1996, 249 p. MUNEM, Mustafa A., et David J. FOULIS. Calculus with Ana­ lytic Geometry, New York, Worth Publishers, 1978, 1004 p. NELSON, David (dir.). The Penguin Dictionary of Mathema­ tics, 2e éd., London, Penguin Books, 1998, 461 p. NEUHAUSER, Claudia. Calculus for Biology and Medicine, 2e éd., Upper Saddle River, Prentice Hall, 2004, 919 p. NOWLAN, Robert A. A Dictionary of Quotations in Mathema­ tics, Jefferson, McFarland & Company, Publishers, 2002, 314 p. OSEN, Lynn M. Women in Mathematics, Cambridge, MIT Press, 1974, 185 p. OUELLET, Gilles. Calcul 1 : Introduction au calcul différentiel, 4e éd., Sainte-Foy, Le Griffon d’argile, 1999, 488 p. PAGOULATOS, K. (dir.). Petite encyclopédie des mathéma­ tiques, Paris, Éditions K. Pagoulatos, 1980, 828 p. PAPAS, Theoni. The Music of Reason : Experience the Beauty of Mathematics Through Quotations, San Carlos, Wide World Publishing/Tetra, 1995, 138 p. PASS, Christopher, et coll. Dictionary of Economics, New York, Harper Perennial, 1991, 562 p. PEARCE, David W. (dir.). The MIT Dictionary of Modern Eco­ nomics, Cambridge, MIT Press, 1992, 474 p. PERL, Teri. Women and Numbers, San Carlos, Wide World Publishing/Tetra, 1997, 211 p. PERL, Teri. Math Equals. Biographies of Women Mathemati­ cians + Related Activities, Menlo Park, Addison-Wesley, 1978, 249 p. PISKOUNOV, N. Calcul différentiel et intégral, 7e éd., Moscou, Mir, 1978, 2 vol., 511 p. et 614 p. PORTER, Roy (dir.). The Hutchinson Dictionary of Scientific Biography, Oxford, Helicon, 1994, 891 p. REBIÈRE, A. Mathématiques et mathématiciens : Pensées et curiosités, Paris, Librairie Nony & Cie, 1898, 566 p. ROGAWSKI, Jon. Calculus : Early Transcendentals, New York, W. H. Freeman and Company, 2008, 1050 p. SCHMALZ, Rosemary. Out of the Mouths of Mathematicians : A Quotation Book for the Philomaths, Washington, Mathematical Association of America, 1993, 294 p.

LIAL, Margaret L., Raymond N. GREENWELL et Nathan P. RITCHEY. Calculus with Applications, brief version, 8e éd., Boston, Addison-Wesley, 2005, 567 p.

SMITH, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, 1958, 2 vol., 1299 p.

MANKIEWICZ, Richard. L’histoire des mathématiques, Paris, Seuil, 2001, 192 p.

SPENCER, Donald D. Dictionary of Mathematical Quotations, Ormond Beach, Camelot Publishing Company, 1999, 145 p.

MILLAR, David, et coll. The Cambridge Dictionary of Scien­ tists, Cambridge, Cambrige University Press, 1996, 387 p.

SPIEGEL, Murray R. Formules et tables de mathématiques, Paris, McGraw-Hill, 1974, 272 p.

BIBLIOGRAPHIE

SPIEGEL, Murray R., et J. LIU. Mathematical Handbook of For­ mulas and Tables, 2e éd., New York, McGraw-Hill, Schaum’s Outline, 1998, 278 p. STEWART, James. Analyse, concepts et contextes, 2e éd., Bruxelles, DeBoeck, 2006, 767 p. STRUIK, Dirk J. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, 1967, 195 p. SWETZ, F. J. (dir.). From Five Fingers to Infinity : A Journey through the History of Mathematics, Chicago, Open Court, 1994, 770 p. SWOKOWSKY, Earl. Analyse, Paris, DeBoeck, 1993, 1053 p. THOMAS, George B., et coll. Calculus, 12e éd., Boston, AddisonWesley, 2010, 1006 p. TRIM, Donald. Calculus for Engineers, 3e éd., Toronto, Prentice Hall, 2004, 1091 p. VARBERG Dale, Edwin J. PURCELL et Steven E. RIGDON. Calculus, 9e éd., Upper Saddle River, Prentice Hall, 2007, 774 p.

597

VODNEV, V., A. NAOUMOVITCH et N. NAOUMOVITCH. Dictionnaire des mathématiques, Moscou, Mir, 1993, 544 p. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook – Higher Mathema­ tics, Moscou, Mir, 1975, 872 p. WASHINGTON, Allyn J. Basic Technical Mathematics with Calculus, 6e éd., Reading, Addison-Wesley, 1995, 934 p. WELLS, David. The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londres, Penguin books, 1997, 319 p. WELLS, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interes­ ting numbers, Londres, Penguin books, 1986, 229 p. WILSON, Robin J. Stamping through Mathematics, New York, Springer, 2001, 126 p. YOUNT, Lisa. A Biographical Dictionary, A to Z of Women in Science and Math, New York, Facts on File, 1999, 254 p. ZILL, Denis G., et Warren S. WRIGHT. Calculus. Early Trans­ cendentals, 4e éd., Sudbury, Jones and Bartlett Publishers, 2011, 898 p.

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Index A Abscisse à l’origine d’une fonction, 390 Absolu(e)(s), extremums, 277-291, 305 sur un intervalle fermé, 279-285 sur un intervalle non fermé, 285-291 fonction valeur, 31, 398-399 incertitude, 239, 241 maximum, 277, 305 minimum, 277, 305 valeur, 369 variation, 235-237 Accélération, 119, 135 Addition de polynômes, 375 AGNESI, Maria Gaetana, 91, 320-321, 348 Agnesi, Sorcière d’, 321, 348 ALEMBERT, Jean le Rond d’, 44, 72-73, 91 ALEXANDRIE, Héron d’, 291 Algébriques, fonctions, 154, 206 dérivée des, 70-149 fractions, 380-384 différence de deux, 36, 382 domaine, 380, 386 équation à une variable contenant des, 386 produit de deux, 381 quotient de deux, 382 simplification, 380 somme de deux, 382 Angle, 93, 176-182, 185, 188-191, 197, 200, 204, 226-227, 229, 294, 297-300, 303, 305, 404 Anguleux, point, 93 APOLLONIUS, 91 Appartenance à un ensemble, 365 Approximation linéaire, 237-238, 241 Arccosécante (arccosec), 201, 413 Arccosinus (arccos), 200, 412 Arccotangente (arccotg), 200, 413 ARCHIMÈDE, 91, 222 spirale d’, 348 Arcsécante (arcsec), 201, 413 Arcsinus (arcsin), 200, 412 Arctangente (arctg), 200, 412 ARISTOTE, 223 Arithmétique de l’infini, 28-29 ARYABHATA, 181 Astroïde, 135

Asymptote, 18, 358 à la courbe décrite par une fonction, 324-364 horizontale, 21-22, 55, 327-329, 358 oblique, 329-334, 358 verticale, 18, 56, 324-326, 358

B BARROW, Isaac, 91 BERNOULLI, Jean, 91, 291, 348 lemniscate de, 131, 132, 348 spirale de, 348 BERTRAND, Louis François, 152 Briggs, logarithme de, 160-161, 207, 402

C CAJORI, Florian, 18, 32, 89 Calcul de limites, 158-159, 163-164, 183-186 différentiel, 1, 6, 44, 55, 70, 86-87, 91, 120, 136, 151, 220, 224, 241, 254, 256, 291, 305-306, 318, 320-322, 358 d’incertitude, 238-241 intégral, 9, 32, 44, 72-73, 121, 153, 223, 256, 321 CANTOR, Georg, 154 Carré(e)(s), différence de, 378 racine, 370 fonction, 30-31, 399-401 CASSINI, Dominico, 348 CAUCHY, Augustin-Louis, 44, 91 CAYLEY, Arthur, 153 Cercle trigonométrique, 177, 406 Chaîne, dérivation en, 126-129 Composée, fonction, 52, 392 dérivation de, 122-129 dérivée de, 126-129 Composition de fonctions, 52, 56, 392 Compréhension, définition en, 365 Concave, fonction vers le bas, 336, 358 vers le haut, 336, 358 Concavité, 335-342 Conjugué d’un dénominateur, 374 d’une expression, 38, 56 Constante de Neper, 156, 401 dérivée d’une fonction, 95

dérivée du produit d’une, par une fonction, 96-97 Continue(s), fonction(s), en un point, 46-49, 56 propriétés des, 49-54 sur une intervalle, 54-56 Continuité, 44-55 définition de la, en un point, 46-49 des fonctions exponentielles, 157 logarithmiques, 162-163 trigonométriques, 181-182 et dérivée, 93-95 sur un intervalle, 54-55 Cosécante, 407 Cosinus, 407 loi des, 415 Cotangente, 407 Courbe(s), asymptote à la, décrite par une fonction, 324-364 de croissance de Gompertz, 219 esquisse de la, décrite par une fonction, 342-357 logistique, 159 tracé de, 318-364 Coût marginal, 88, 135 CRÉMONE, Gérard de, 181 Critiques, valeurs, 262, 305 Croissance, d’une fonction, 258-277 intervalle de, 258-263

D DANTZIG, George Bernard, 291 Décimal, logarithme, 160-161, 207, 402 Décomposition en facteurs, 43, 377 Décroissance d’une fonction, 258-277 intervalle de, 258-263 Définition de la continuité en un point, 46-49 Degré, 177, 405 d’un polynôme, 375 Demande, d’élasticité unitaire, 147, 212, 314 élastique, 141, 147, 212, 314 inélastique, 147, 212, 314 Dénominateur, conjugué d’un, 374 rationalisation d’un, 373-374

602

INDEX

Dérivabilité et continuité, 92 Dérivable, fonction, en un point, 86, 135 Dérivation, des fonctions composées, 122-129 exponentielles, 154-176 logarithmiques, 154-176 trigonométriques, 176-200 trigonométriques inverses, 200-206 en chaîne, 126-129 formules de, 94-107, 191-200 implicite, 129-135 logarithmique, 171-176, 207 Dérivée, de la fonction puissance, 103-107 de la puissance d’une fonction, 123-126 de la somme ou de la différence de deux fonctions, 97-98 des fonctions algébriques, 70-149 logarithmiques, 169-171 transcendantes, 150-219 d’ordre n, 118, 135 supérieur, 118-122 d’une fonction composée, 126-129 constante, 95 en un point, 86-88, 135 exponentielle, 164-168 identité, 95-96 du produit de deux fonctions, 99-100 d’une constante par une fonction, 96-97 du quotient de deux fonctions, 100-103 en un point, 86-91 et continuité, 92-94 fonction, 86-91, 135 graphique d’une, 108-110 première, test de la, 265-270 seconde, 118, 135 test de la, 275-277, 279, 300, 302, 306, 307, 312 signe de la, 108-118 troisième, 118, 135 DESCARTES, René, 32, 44, 91, 256 folium de, 348 Différence, de carrés, 378 de deux ensembles, 366 dérivée de la somme ou de la, de deux fonctions, 97-98 Différentielle(s), 220-253 de x, 231 de y, 231 Discontinue en un point, fonction, 47-49, 56 Discontinuité d’une fonction, 45-46

essentielle, 56 infinie, 46 par manque, 46 par saut, 46 non essentielle, 56 par déplacement, 46 par trou, 46 Discriminant, 113 Division de polynômes, 376 Domaine d’une fonction, 12, 322-323, 358, 389 d’une fraction algébrique, 380 Double, mise en évidence, 377 Droite(s), 76-77, 393 limite à, 13, 14-16, 56 normale, équation de la, 82-83, 135 parallèles, 77 pente d’une, 76, 393-394 perpendiculaires, 77 sécante, 77-79, 135 tangente, 80-81, 135 équation de la, 81-82

E EBBINGHAUSS, Hermann, 218 Élasticité, de la demande, 141, 147, 212, 314 prix de la demande, 147, 212, 314 unitaire, 147, 212, 314 ÉLÉE, Zénon d’, 44 Ensemble(s), 365-367 appartenance à un, 365 de nombres, 366-367 différence de deux, 366 égaux, 365 intersection de deux, 365 solution de l’équation, 384 théorie des, 24 union de deux, 365 vide, 365 Équation(s), 384 à une variable contenant des fractions algébriques, 386 de la droite normale, 82-83 tangente, 81-82 ensemble solution de l’, 384 explicite, 129 implicite, 129 linéaire à une variable, 384 quadratique, 385 résolution d’, 384-388 Esquisse, 342-357 Essentielle, discontinuité, 56 infinie, 46 par manque, 46 par saut, 46 Estimation d’une limite, 11-22 EUCLIDE, 91

EULER, Leonhard, 32, 91, 154, 156 Évaluation, 188-191 d’une limite, 22-26 à l’infini, 28-32 forme indéterminée, 32-44 stratégies, 29-32 Évidence, mise en, double, 377 simple, 30, 377 Explicite, équation, 129 Exponentielle(s), fonction(s), 154-156, 206, 401-404 continuité des, 157 dérivation des, 154-176 dérivée d’une, 164-168 Exposants, propriétés des, 368-369 Expression, conjugué d’une, 38 Extension, 365 Extrêmes, valeurs, théorème des, 280 Extremums absolus d’une fonction, 277-291, 305 sur un intervalle fermé, 279-285 sur un intervalle non fermé, 285-291 relatifs d’une fonction, 258-277, 305 sur un intervalle fermé, 270-274 sur un intervalle non fermé, 285-291

F Facteurs irréductibles, 377 Factorisation de polynômes, 33, 113-114, 377-380 théorème de, 33 FERMAT, Pierre de, 44, 91, 256-257, 291 principe de, 257, 315 spirale de, 257, 348 Fermé, intervalle, extremums absolus sur un, 279-285 extremums relatifs sur un, 270-274 FINCKE, Thomas, 181 Fluxion, 70, 91, 120, 256 Folium de Descartes, 348 Fonction(s), 388-393 abscisse à l’origine d’une, 390 algébriques, 154, 206 dérivée des, 70-149 composée(s), 52, 392 dérivation des, 122-129 composition de, 52, 56, 392 concave vers le bas, 336, 358 vers le haut, 336, 358 constante, dérivée d’une, 95 continue en un point, 46-49, 56 propriétés, 49-54 sur un intervalle, 54-56 croissance d’une, 258-277, 305 décroissance d’une, 258-277, 305

INDEX

dérivable en un point, 86, 135 dérivée, 86-91, 135 de la puissance d’une, 123-126 de la somme ou de la différence de deux, 97-98 du produit de deux, 99-100 du produit d’une constante par une, 96-97 du quotient de deux, 100-103 en un point, 86-88, 135 discontinue en un point, 47-49, 56 discontinuité d’une, 45-46 domaine d’une, 12, 322-323, 358, 389 esquisse de la courbe décrite par une, 342-357 exponentielle(s), 154-156, 206, 401-404 continuité des, 157 dérivation des, 154-176 dérivée d’une, 164-168 extremums absolus d’une, 277-291, 305 sur un intervalle fermé, 279-285 sur un intervalle non fermé, 285-291 extremums relatifs d’une, 258-277, 305 sur un intervalle fermé, 270-274 sur un intervalle non fermé, 285-291 graphique d’une, 108-110, 388 identité, dérivée de, 95-96 image d’une, 390 limite d’une, 14 linéaire, 393-395 logarithmiques, 160-162, 207, 401-404 continuité des, 162-163 dérivation des, 154-176 dérivée des, 169-171 logistique, 212, 362 maximum absolu d’une, 277, 305 maximum relatif d’une, 263, 305 minimum absolu d’une, 277, 305 minimum relatif d’une, 263, 305 ordonnée à l’origine d’une, 390 point d’inflexion d’une, 318, 319, 335-347, 349-354, 356, 358-360, 362, 364 puissance, dérivée de la, 103-107 quadratique, 395-397 racine carrée, 30-31, 399-401 rationnelle, 32-39, 56 représentation graphique d’une, voir Graphique d’une fonction tableau des signes d’une, 113-118 transcendantes, 154, 206 dérivée des, 150-219 trigonométriques, 404-408 continuité des, 181-182 dérivation des, 176-200 inverses, 200-206, 412-413 réciproques, voir Fonctions trigonométriques inverses valeur absolue, 31, 398-399 valeur critique d’une, 262, 305 variation d’une, 74-77 zéro d’une, 390

Forme indéterminée, 32-44, 56 Formule(s) de dérivation, 94-107, 191-200 quadratique, 385 Fractions algébriques, 380-384 différence de deux, 36 domaine des, 380 équations à une variable contenant des, 386 domaine des, 386 produit de deux, 381 quotient de deux, 382 simplification, 380 somme de deux, 382

G GALILEI, Galileo, 91, 222-223, 291 Gauche, limite à, 13, 14-16, 56 GAUSS, Carl Friedrich, 73 GIRARD, Albert, 32 Globaux, extremums, voir Extremums absolus GOMPERTZ, Benjamin, 219 Grandeur de la vitesse, 108-110 Graphique d’une fonction, 388 et de sa dérivée, 108-110 GUDERMANN, C., 4 GUNTER, Edmund, 181

H HADAMARD, Jacques Salomon, 153 HARDY, G. H., 89 HERMITE, Charles, 152-153, 156 HILBERT, David, 24 HOSPITAL, Antoine de L’, 91, 291 HUILIER, Simon L’, 89 HUYGENS, Christiaan, 256

I Identité(s), dérivée de la fonction, 95-96 trigonométriques, 185-186, 408-411 Image d’une fonction, 390 Implicite, dérivation, 129-135 équation, 129 Incertitude, absolue, 239, 241 calcul d’, 238-241 relative, 239, 241 Indépendante, variation de la variable, 75 Indéterminée, forme, 32-44, 56 forme, évaluation de limites de, 32-44 Infini(e), arithmétique de l’, 28-29 évaluation d’une limite à l’, 28-32 limite, 16-17, 56

603

limite à l’, 18-21, 55 limite à moins l’, 20-21 Inflexion, point d’, 335-342, 358 Instantané(e), taux de variation, 80-81 vitesse, 6, 7-11, 55, 84 Intersection de deux ensembles, 365 Intervalle(s), 367-368 continuité sur un, 54-55 de croissance, 258-263 de décroissance, 258-263 fermé, extremums absolus sur un, 279-285 fermé, extremums relatifs sur un, 270-274 fonction continue sur un, 54-56 non fermé, extremums absolus sur un, 285-291 non fermé, extremums relatifs sur un, 285-291 Inverses, fonctions trigonométriques, 200-206, 412-413 Irréductibles, facteurs, 377

J JACOBI, Carl Gustav Jacob, 4, 152

K KEPLER, Johannes, 291, 348 KOVALEVSKY, Sonya, 5

L LAGRANGE, Joseph Louis, 256, 291 LAPLACE, P. S., 4 Le Lièvre et la Tortue, 244 LEIBNIZ, Gottfried Wilhelm, 44, 91, 120, 154, 156, 291 Lemniscate de Bernoulli, 132, 348 L’HOSPITAL, Guillaume de, 91, 291, 320 L’HUILIER, Simon, 89 Liés, taux, 220-253 Limite(s), 12, 55 à droite, 13, 14-16, 56 à gauche, 13, 14-16, 56 à l’infini, 18-21, 55 à moins l’infini, 20-21 calcul de, 158-159, 163-164, 183-186 d’une fonction, 14 estimation d’une, 11-22 et fonction, 154-207 exponentielle, 153-160, 164-168, 206 logarithmique, 103, 154, 160, 169-176, 207 trigonométrique, 176-207 évaluation d’une, 22-26 à l’infini, 28-32 forme indéterminée, 32-44 stratégies, 29-32 finie, 11-13

604

INDEX

infinie, 16-17, 56 propriétés des, 3, 22, 28, 55, 158, 163, 183 LINDEMANN, Carl Louis Ferdinand von, 153 Linéaire, approximation, 237-238, 241 équation, à une variable, 384 fonction, 393-395 Linéarité, propriété de, 98 LIOUVILLE, Joseph, 152, 154 Local, maximum, voir Maximum relatif minimum, voir Minimum relatif Logarithme(s) de Briggs, 160-161, 207, 402 décimal, 160-161, 207, 402 naturel, 160-161, 207, 402 népérien, 160-161, 207, 402 propriétés des, 161, 172, 174-176, 207, 402 Logarithmique(s), dérivation, 171-176, 207 fonction(s), 160-162, 207, 401-404 continuité des, 162-163 dérivée d’une, 169-171 Loi de Beer-Lambert, 211 de Coulomb, 60 de Poiseuille, 243, 253 des cosinus, 415 des sinus, 415 de Weber-Fechner, 213 d’Ohm, 316

M MACLAURIN, Colin, 91 Marginal, coût, 88, 135 profit, 91, 135 Maximum absolu, 277, 305 relatif, 263, 305 MERSENNE, Marin, 256, 291 Minimum absolu, 277, 305 relatif, 263, 305 Mise en évidence double, 377 simple, 30, 377 Modèle de Ricker, 313 de Shepherd, 313 Moyen(ne), taux de variation, 74-79 vitesse, 6-11 Multiplication de polynômes, 375 par un conjugué, 29, 32, 37-39, 42, 43, 56, 57, 374

N NAPIER, John, 156 Naturel, logarithme, 160-161, 207, 402 Neper, constante de, 156, 401 Népérien, logarithme, 160-161, 207, 402 NEWTON, Isaac, 44, 91, 120, 256, 291 Nombre(s), complexe, 32 de Mahler, 154 de Reynolds, 313 ensembles de, 365 entier, 366 naturel, 366 racine d’un, 371 rationnel, 366 réel, 366 symboles des ensembles de, 24, 366 transcendant, 154 valeur absolue d’un, 5, 32 Non essentielle, discontinuité, 46, 56 infinie, 46 par déplacement, 46 par trou, 46 Normale, droite, 82-83, 135 équation de la droite, 82-83

O Opérations sur les ensembles, 365-366 sur les polynômes, 375-376 Optimisation, 255-316 problèmes d’, 292-305 Ordonnée à l’origine, 76-77, 390, 393 Ordre n, dérivée d’, 118, 135 supérieur, dérivée d’, 118-122 Origine, abscisse à l’, 390 ordonnée à l’, 76-77, 390, 393 Ovale de Cassini, 348

P PAINLEVÉ, Paul Prudent, 152 Parabole, 395 sommet de la, 396 Parallèles, droites, 77 PASCAL, Blaise, 256-257 PEANO, Giuseppe, 24 Pente d’une droite, 76-77, 393-394 normale, 76 tangente, 9, 80-82, 105, 108-109, 127, 130, 132-133, 137, 199, 206, 224, 230-231, 241, 258 PERGE, Apollonius de, 291

Perpendiculaires, droites, 77 PICARD, Charles Émile, 153 PITISCUS, Bartholomäus, 181 POINCARÉ, Henri Jules, 153 Point, anguleux, 93 définition de la continuité en un, 46-49, 56 dérivable en un, fonction, 86 dérivée en un, 86-91, 135 d’une fonction, 86-88 d’inflexion, 335-342, 358 Polynôme(s), addition de, 375 degré d’un, 375 de Taylor, 122 division de, 376 factorisation de, 33, 113-114, 377-380 multiplication de, 375 racine d’un, 33 soustraction de, 375 zéro d’un, 33 Portée d’un projectile, 258, 291, 305 Première, test de la dérivée, 265-270 Principe de Fermat, 257, 315 Problèmes de taux de variation, 129, 224-225, 241-242 d’optimisation, 292-305 Produit, de deux fractions algébriques, 381 dérivée du, de deux fonctions, 99-100 d’une constante par une fonction, 96-97 Profit marginal, 91, 135 Propriété(s) de linéarité, 98 des exposants, 368-369 des fonctions continues, 49-54 des limites, 3, 22, 28, 55, 158, 163, 183 des logarithmes, 161, 172, 174-176, 207, 402 des radicaux, 370-373 Puissance, 368 dérivée de la, 103-107 d’une fonction, 123-126

Q Quadratique, équation, 385 fonction, 395-397 formule, 385 Quotient de deux fonctions, dérivée du, 100-103 de deux fractions algébriques, 382

R Racine carrée, 370 fonction, 30-31, 399-401

INDEX

d’un nombre, 371 d’un polynôme, 33 Radian, 177, 405 Radicaux, propriétés des, 370-373 Rapports trigonométriques dans les triangles, 413-416 Rationalisation d’un dénominateur, 373-374 Rationnelle, forme, 32-39, 56 Réaction à une dose, 143, 311 Rectangle, trigonométrie du triangle, 179-180, 413 Relatif(ve), extremum, d’une fonction, 258-277, 305 sur un intervalle fermé, 270-274 sur un intervalle ouvert, 285-291 incertitude, 239, 241 maximum, 263, 305 minimum, 263, 305 variation, 235-237 Résolution d’équations, 384-388 RHAETICUS, Georg Joachim, 181 Rigidité d’une poutre, 364 ROBERVAL, Gilles Personne de, 256 RUDOLFF, Christoff, 32

S Sandwich, théorème du, 186-188 Sécante, 407 droite, 77-79, 135 Seconde, dérivée, 118, 135 Secousse, 149 Signe(s) de la dérivée, 108-118 de la vitesse, 110-111 d’une fonction, tableau des, 113-118 Simple, mise en évidence, 30, 377 Simplification, 380 SIMPSON, Thomas, 91 Sinus, 407 loi des, 415 Solution de l’équation, ensemble, 384 Somme, de deux fractions algébriques, 383 dérivée de la, ou de la différence de deux fonctions, 97-98 Sommet de la parabole, 396 Sorcière d’Agnesi, 321, 348 Sous-ensemble, 365 Soustraction de polynômes, 375

Spirale d’Archimède, 348 de Bernoulli, 348 de Fermat, 257, 348 Stratégies, évaluation de limites, 29-32 Supérieur, dérivée d’ordre, 118-122 SYLVESTER, James Joseph, 153

T Tableau des signes d’une fonction, 113-118 Tangente, 407 droite, 80-81, 135 équation de la, 81-82 Taux de croissance instantané, 8-9, 85 moyen, 8-9, 79 de variation instantané, 80-81 moyen, 74-79 liés, 220-253 Test de la dérivée première, 265-270 seconde, 275-277, 279, 300, 302, 306, 307, 312 Théorème d’approximation de Weierstrass, 5 de Bolzano-Weierstrass, 5 de d’Alembert, 73 de factorisation de polynômes, 33 de factorisation d’un polynôme de degré 2 à une variable, 378 de Lindemann-Weierstrass, 5 de Pythagore, 185, 225, 228 des valeurs extrêmes, 280 de Tartaglia, 310 du sandwich, 186-188 Théorie de l’apprentissage, 67, 211 des ensembles, 24 Tracé de courbes, 318-364 Transcendantes, 154, 206 dérivée des fonctions, 150-219 Triangle(s), différentiel, 91 isocèle, 180 rectangle, trigonométrie du, 179-180, 413 semblables, comparaison de, 188, 225, 228-229 Trigonométrie, 176-178 du triangle rectangle, 179-180, 413

605

Trigonométrique(s), cercle, 177, 406 continuité des fonctions, 181-182 dérivation des fonctions, 176-200 fonctions, 404-408 réciproques, voir Fonctions trigonométriques inverses identités, 185-186, 408-411 inverses, fonctions, 200-206, 412-413 rapports, dans les triangles, 413-416

U Union de deux ensembles, 365

V Valeur(s) absolue, 369 fonction, 31, 398-399 critique, 262, 305 extrêmes, théorème des, 280 Variable équation à une, contenant des fractions algébriques, 386 équation linéaire à une, 384 indépendante, variation de la, 75 Variation absolue, 235-237 de la variable indépendante, 75 d’une fonction, 74-77 instantané, taux de, 80-81 moyen, taux de, 74-79 relative, 235-237 VIRGILE, 291 Vitesse, grandeur de la, 111, 135 instantanée, 6, 7-11, 55, 84 moyenne, 6-11 scalaire, 111 signe de la vitesse, 110-111

W WALLIS, John, 18 WEIERSTRASS, Karl Theodor Wilhelm, 4-5, 32, 44, 89 WILES, Andrew, 257

Z ZÉNON, d’Élée, 44 Zéro d’une fonction, 390 d’un polynôme, 33

θ

b

b

θ

r

A=

π r2

C = 2π r

P = 2 ( a + b) A = bh = ab sin θ

P = 2 ( a + b) A = ab

P = a+b+c ab sin θ bh A= = 2 2

θ

d

θ

h

Trapèze

r

b

a

L

c

A=

A=

h( a + b ) 2 d ( a + b ) sin θ = 2

P = a+b+c+d

θr2 2

L = rθ

Secteur circulaire (θ est en radians)

b

h

Cercle

a

Parallélogramme

a

Rectangle

h

c

a

r

h

r

h

h b

a 

A = 2 ( ab + bc + ac ) V = abc

V =

π r2 h V = 3

A = π r r 2 + h2 = π r

V = π r2 h

A = 2 π rh

3

4π r 3

A = 4π r 2

Aire de la base × hauteur 3

V =

π h ( a 2 + ab + b2 ) 3

= π ( a + b) 

A = π ( a + b ) h 2 + ( b − a )2

Tronc de cône circulaire



Cône circulaire

r

h

b

V =

Cylindre circulaire

Sphère

Base

Pyramide

a

c

Parallélépipède rectangle

Aire ( A ), volume ( V )

Périmètre ( P ), circonférence (C ) , aire ( A ), longueur ( L )

Triangle

Géométrie de l’espace

Géométrie du plan

et cos ( −θ )

b

n

a b

M = logb M − logb N N

e ln N = N

blogb N = N

ln e N = N

logb bN = N

loge N = ln N

log10 N = log N

log a N logb N = log a b

logb M q = q logb M

logb

logb MN = logb M + logb N

Propriétés des logarithmes

b

anb

mn

n n

b =

a = b

ab =

mn

n

n

1

[ cos(α [ sin (α

[ cos(α 2

2

2

− β ) + cos (α + β )]

− β ) + sin (α + β )]

− β ) − cos (α + β )]

[1 + cos ( 2θ ) ]

[1 − cos ( 2θ ) ] 2

2 1

1

arctg ( 1 θ ) + π si θ < 0 arccotg θ =  1 si θ > 0 arctg ( θ )

arccosec θ = arcsin ( 1 θ )

arcsec θ = arccos ( 1 θ )

cos2 θ =

sin 2 θ =

sin ( 2θ ) = 2 sin θ cosθ

cos ( 2θ ) = cos2 θ − sin 2 θ

cos ( 2θ ) = 2 cos2 θ − 1

cos ( 2θ ) = 1 − 2 sin 2 θ

sin α cos β =

1

1

sin (α ± β ) = sin α cos β ± sin β cos α

sin α sin β =

n

n

1 = b− p bp

=

=

cos α cos β =

n

n

m

1

bm

b

b

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

= cosθ

( ab ) p = a p b p

1 + tg 2 θ = sec 2 θ

sin 2 θ + cos2 θ = 1

sin ( −θ ) = − sin θ

Identités trigonométriques

1 + cotg 2 θ = cosec 2 θ

= b pq

b2 − 4 ac 2a

Remarque : si b2 − 4 ac < 0 , l’équation n’admet aucune solution réelle.

−b ±

p p  a = a   p b b

( b p )q

bp = b p− q bq

b p bq = b p + q

b0 = 1   pour   b ≠ 0

Propriétés des exposants

ax 2 + bx + c = 0 ⇔ x =

 − a si a < 0 a =   a si a ≥ 0 a2 = a

Formule quadratique

Valeur absolue

b

α

β

c

sin γ sin α sin β = = a b c c 2 = a 2 + b2 − 2 ab cos γ

b

c

θ

90°

π 2

( 0, 1 )

0°

°

30

3

y

π

4

π

6

0

( 1, 0 )

 2  2 , 2   2 1  3 , 2   2

x

a b cosθ = c c a sin θ tg θ = = b cosθ sin θ =

Quart de cercle trigonométrique

a

Trigonométrie dans le triangle rectangle

γ

a

Loi des sinus et loi des cosinus

π

60° 45 °

3 2 

1  , 2

∞

∞×∞

du dv −u dx dx v2

logb ∞

 −∞ si 0 < b < 1   ∞ si b > 1

−1 du 1 − u 2 dx

1 du 1 − u 2 dx

d −1 du ( arccotg u ) = dx 1 + u2 dx d 1 du ( arcsec u ) = dx u u 2 − 1 dx d −1 du ( arccosec u ) = dx u u2 − 1 dx

d 1 du ( ln u ) = dx u dx d 1 du ( logb u ) = dx u ln b dx

d 1 du ( arctg u ) = dx 1 + u 2 dx

d ( arccos u ) = dx

d ( arcsin u ) = dx

d du ( cosecu ) = − cosec u cotg u dx dx

d du ( sec u ) = sec u tg u dx dx

d u du ( b ) = bu ln b dx dx

d u du ( e ) = eu dx dx

v

 ∞ si 0 < b < 1   −∞ si b > 1

d  u   = dx  v 

logb 0 +

 0 si 0 < b < 1   ∞ si b > 1

b∞

d n ( x ) = nx n −1 dx

d n du ( u ) = nu n−1 dx dx

 ∞ si k < 0   −∞ si k > 0

k 0−

d dv du ( uv ) = u +v dx dx dx

d du ( cotg u ) = −cosec 2 u dx dx

d du dv (u ± v) = ± dx dx dx

 ∞ si 0 < b < 1   0 si b > 1

 −∞ si k < 0   ∞ si k > 0

k 0+

d du ( tg u ) = sec 2 u dx dx

d du ( cos u ) = − sin u dx dx

d du ( sin u ) = cos u dx dx

d du ( ku) = k dx dx

d ( x) = 1 dx

d (k) = 0 dx

Formules de dérivation (k ∈ , n ∈ *, b > 0 et b ≠ 1 ; u et v sont des fonctions de x)

b− ∞

0

k ∞

 −∞ si k < 0   ∞ si k > 0

∞

∞+∞

k×∞

∞

Résultat

∞±k

Forme

Arithmétique de l’infini (k ∈ , b > 0 et b ≠ 1)