Übungs- und Arbeitsbuch Statistik 9783486599664, 9783486258677

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(ft

Ubungs- und Arbeitsbuch Statistik Von

Professor Dr. Karl Bosch Institut für

angewandte Mathematik und Statistik der Universität

Stuttgart-Hohenheim

R.Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme -

Bosch, Karl:

Obungs- und Arbeitsbuch Statistik / von Karl Bosch. München ; Wien : Oldenbourg, 2002 ISBN 3-486-25867-2

-

© 2002 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0

www.oldenbourg-verlag.de

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Inhaltsverzeichnis Seite Vorwort

III

.

Teil I: Beschreibende Statistik 1.

2. 3.

Merkmale und Skalierung. Eindimensionale Stichproben.

Zweidimensionale

Stichproben.

Teil II: 4. 5. 6. 7.

1 4

26

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeiten. Kombinatorik.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Unabhängige Ereignisse.

8. Diskrete Zufallsvariable. 9. Stetige Zufallsvariable . 10. Gesetze der großen Zahlen.

42 49 56 69 99 104 132

Teil III: Beurteilende Statistik 11. Parameterschätzung. 12. Konfidenzintervalle 13. Parametertests im Einstichprobenfall. 14. Parametertests im Zweistichprobenfall. 15. Konfidenzintervalle und Tests für Median und Quantile 16. Anpassungstests.

.

.

.

.

17. Unabhängigkeits- und Homogenitätstests 18. Vorzeichen- und Rang(summen) Tests.

.

140 159 191 221 236 245 259 277

-

Lösungen

der

Aufgaben.

Literaturverzeichnis

.

289 384

Tabellenanhang.

385

Register

411

.

Vorwort Ziel dieses Lehr-, Arbeits- und

Übungsbuches

ist es, mit Hilfe von 228 mit B) und 180 (A), deren ausführliche Lösungswege am Ende des Buches angegeben sind, den Studierenden eine anschauliche und praxisnahe Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in die Hand zu geben. In insgesamt 18 Abschnitten werden die verschiedensten Bereiche der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik behandelt. Durch diese Feineinteilung ist es möglich, einzelne Abschnitte, die (zunächst) nicht interessieren, zu überlesen. Behandelt werden die drei klassischen Teile der Statistik:

vollständig durchgerechneten Beispielen (bezeichnet

Übungsaufgaben

In der beschreibenden Statistik (Kap. I) wird Zahlenmaterial aufbereitet. Ferner werden Kenngrößen bestimmt, die Informationen über das im Allgemeinen unübersichtliche Zahlenmaterial liefern sollen.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kap. II) ist für eine sinnvolle statistische Auswertung und Interpretation unumgänglich. Hier werden auch einige Glücksspiele behandelt, die von allgemeinem Interesse sind. In der beurteilenden Statistik (Kap. III) werden mit den Ergebnissen der beschreibenden Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus repräsentativen Stichproben statistisch abgesicherte Aussagen über größere Grund-

gesamtheiten gemacht.

Meistens wird der Theorie ein einfaches einführendes Beispiel vorangestellt. Wer bereits Kenntnisse in Statistik hat, sollte versuchen, das Beispiel zu lösen und anschließend die erhaltene Lösung mit der des Buches vergleichen. Der Laie soll durch das Beispiel näher an die Theorie herangebracht werden. Nach ein oder zwei einführenden Beispielen wird der Stoff in Kästen zusammengestellt. Wer mit dem Beispiel nicht zurechtkommt, kann sich zunächst auch mit der Theorie beschäftigen und anschließend das Beispiel durchrechnen. Manchmal wird auf ein einführendes

Beispiel verzichtet, insbesondere wenn der entsprechende Stoff etwas anspruchsvoller ist. Die benötigten Tabellen für die statistische Auswertung sind im Anhang zusammengestellt. Das Register soll es ermöglichen, Begriffe oder Formeln sowie interessante Aufgaben schnell zu finden. Das Buch eignet sich einerseits zum Selbststudium. Für Studierende mit mehr oder weniger guten Kenntnissen in Statistik kann es aber auch als Ubungs- und Arbeitsbuch für eine gründliche Vorbereitung auf eine bevorstehende Klausur dienen.

IV

Vorwort

Wegen möglicher Rundungen ist es möglich, dass die von Ihnen berechneten Lösungen von denen des Buches etwas abweichen. Die im Buch benutzten Quantile der Testfunktionen wurden in einem Taschenrechner auf vier bis sechs Stellen genau berechnet. Da die Quantile in den Tabellen oft nur auf drei Stellen angegeben wurden, müssen bei deren Übernahme in der Regel Abweichungen von den im Buch erhaltenen Ergebnissen auftreten. Eine weitere Ungenauigkeit kann dadurch entstehen, dass mit dem gerundeten Werten weitergerechnet wird. Bei Frau Dipl. Math. Regina Ritz und Herrn Dipl. Math. Alexander Meister möchte ich mich für das sehr sorgfältige Korrekturenlesen sowie für manche wertvolle Hinweise sehr herzlich bedanken.

Schließlich bin für Hinweise auf Fehler und Unkorrektheiten sowie für Verbesserungsvorschläge sehr dankbar.

Stuttgart-Hohenheim

Karl Bosch

Teil I: Beschreibende Statistik 1. Merkmale und

Skalierung

Bl.l Handelt es sich bei den nachfolgenden Merkmalen um diskrete oder stetige Merkmale? Geben Sie die Art des jeweiligen Merkmals an. In welcher Skala können die Merkmale skaliert werden?

a) Beruf, Konfession, Geschlecht, Steuerklasse; b) Tabellenplätze der 18 Fußballvereine in der 1. Bundesliga; c) Zensuren: mangelhaft, ausreichend, befriedigend, gut, sehr gut; d) Gewichte bestimmter Gegenstände. Lösung:

a)

Diese Merkmale sind alle diskret und qualitativ, die nur verbal beschrieben werden können. Sie können in einer Nominalskala ohne Rangordnung dargestellt werden.

b)

Beim Tabellenplatz handelt es sich Merkmal mit einer Rangordnung.

c) Das d) Das

Merkmal ist diskret und

um

qualitativ

ein

diskretes, qualitatives

mit einer

Rangordnung.

Merkmal ist stetig und quantitativ. Es ist in einer metrischen Skala (Kardinalskala) darstellbar. Daher ist es metrisch skaliert oder kardinal.

Ein Merkmal heißt diskret, falls die Anzahl der verschiedenen Merkmalsausprägungen endlich oder (wie die Menge der natürlichen Zahlen) abzählbar unendlich ist. Die Anzahl der Ausprägungen kann also höchstens abzählbar unendlich sein. Bei stetigen Merkmalen bilden die der reellen Zahlenachse.

Ausprägungen

ein ganzes Intervall

Quantitative oder zahlenmäßige Merkmale sind solche, deren Ausprägungen durch reelle Zahlen dargestellt und in bestimmten Einheiten gemessen werden. Qualitative oder artmäßige Merkmale sind Merkmale,

tativ sind.

die nicht

quanti-

1. Merkmale und

2

Skalierung

Skalierung:

In einer Nominalskala kann nur die Verschiedenheit der Ausprägungen eines Merkmals zum Ausdruck gebracht werden. Dabei gibt es keine natürliche Rangordnung. Es handelt sich um die niedrigste Stufe einer Skala. Merkmale, für die es nur eine Nominalskala gibt, nennt man nominal. Eine Ordinal- oder Rangskala liegt vor, wenn die verschiedenen Merkmalsausprägungen in einer natürlichen Rangordnung (Reihenfolge) angeordnet werden können. Dann heißt das Merkmal ordinal

Falls in einer Skala zwischen den verschiedenen Ausprägungen eines Merkmals eine Rangordnung besteht und die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen miteinander verglichen werden können, heißt die Skala metrische Skala oder Kardinalskala. Dann nennt man das Merkmal metrisch skaliert oder kardinal

B 1.2 Klassifizieren Sie die nachfolgenden Merkmale: a) Zensuren in der Schule: 1 (sehr gut), 2 (gut), 3 (befriedigend), 4 (ausreichend), 5 (mangelhaft), 6 (ungenügend); b) Güteklassen von Lebensmitteln, eingeteilt in A, B, C und D; c) Alter von Personen angegeben in vollendeten ganzen Jahren; d) Börsenkurse von Aktien, angegeben auf zwei Stellen nach dem

Komma;

e) Erträge auf bestimmten

Parzellen.

Lösung:

a)

Das Merkmal ist diskret, qualitativ und ordinal mit einer natürlichen Rangordnung. Obwohl den einzelnen Zensuren Zahlen zugeordnet werden, ist das Merkmal nicht quantitativ, da die Unterschiede zwischen den einzelnen Zensuren nicht direkt vergleichbar sind.

b) Das Merkmal ist diskret, qualitativ und ordinal mit der Rangordnung: A "besser als" B "besser als" C "besser als" D. c) Das Merkmal ist diskret, quantitativ und metrisch skaliert (kardinal). d) Das Merkmal ist quantitativ und metrisch skaliert. Da die Kurse auf zwei Dezimalstellen angegeben werden, ist das Merkmal nicht stetig, sondern diskret (diskretisiert).

e)

Das Merkmal ist

stetig, quantitativ

und kardinal.

1. Merkmale und

Skalierung

3

A 1.1 Welche der

Eigenschaften"stetig, diskret, qualitativ, quantitativ, nominal, ordinal, kardinal" besitzen die nachfolgenden Merkmale? (1) Geschlecht; (2) Beruf; (3) Konfession;

(4) Körpergröße auf ganze cm gerundet;

(5)

Fettanteil einer Wurstsorte

(6) (7) (8)

Anzahl der Kinder einer

(exakt gemessen);

Familie; Platzziffern der Tanzpaare in einem Tanzturnier;

Studiendauer

(in Semestern);

(9) Güteklassen I, II, III, IV von Lebensmitteln; (10) Lebensdauer von Glühlampen; (11) Farbe eines Teppichbodens, für die es 25 Muster gibt; (12) Gewicht eines Apfels; (13) Konzentration einer Salzlösung; (14) Weizenertrag pro Hektar; (15) Gehalt (in EURO) der Angestellten in einem Betrieb. A 1.2 Eine Klausur wird mit Punkten von 0 bis 40 bewertet. Ist das Merkmal "erzielte Punkte" ordinal oder kardinal? Geben Sie eine genaue Begründung dafür an. A 1.3 Bei einer Qualitätskontrolle werde festgestellt, ob ein Erzeugnis fehlerhaft oder brauchbar ist. Die Bestimmung der nicht fehlerhaften Stücke erfolge durch die Zuordnung

fehlerhaft

—>

0;

brauchbar

—>

1.

Dadurch erhält man ein Merkmal mit den beiden Ausprägungen 0 und 1. Ist dieses Merkmal ordinal bzw. kardinal (Begründung)?

2. Eindimensionale

Stichproben

B2.1 Die Schüler einer Klasse erhielten in einer Klassenarbeit in

alphabe-

Reihenfolge die Zensuren 2, 1, 5, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 4, 3, 4, 3, 6, 4, 2, 3, 5, 4. a) Fertigen Sie eine Strichliste und Häufigkeitstabelle für die absotischer

luten und relativen

Häufigkeiten an.

b) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm die absoluten Häufigkeiten. c)

Zeichnen Sie für die relativen

und ein

Häufigkeiten

Häufigkeitspolygon ein

für

Histogramm.

Lösung:

a) Zensur

absolute

Häufigkeit

Häufigkeit

5

2

6

1

25

1,00

1

2

4

4

Summe

+44+ Uli 4444 ill

25

9 8

c)

5

relative

0,04 0,16 0,36 0,32 0,08 0,04

1

3

b)

Strichliste

2. Eindimensionale

Stichproben

5

In einer Strichliste wird für jeden Wert der Stichprobe (Urliste) ein senkrechter Strich | eingetragen, wobei der Übersicht halber jeweils fünf Striche durch den Block \\\\ dargestellt werden. Die Anzahl derjenigen Werte einer Stichprobe vom Umfang n, welche gleich der Merkmalsausprägung aj sind, heißt die absolute Häufigkeit oder = von Der Quotient aj, bezeichnet mit rj = ist die relative Häufigkeit von aj und 100 rj die prozentuale Häufigkeit.

hn(aj)

rn(aj) hj/n

hj.

•

Bei quantitativen Merkmalen werden in einem Stabdiagramm über den Merkmalswerten senkrecht nach oben Stäbe eingetragen, deren Längen gleich den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten sind. In einem Häufigkeiispolygon werden die Endpunkte der einzelnen Stäbe geradlinig miteinander verbunden. In einem Histogramm stellt man die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten durch Flächen von Rechtecken senkrecht über den einzelnen Merkmalsausprägungen dar. Die Rechteckshöhen werden so gewählt, dass die Inhalte der einzelnen Rechtecke proportional zu den Häufigkeiten sind

(flächenproportional).

B2.2 Mit einem verfälschten Würfel wurde 100 mal hielt man folgende Häufigkeiten: 1 Augenzahl 11 14 absolute Häufigkeit Zeichnen Sie ein Stabdiagramm Häufigkeiten. Lösung:

18

und ein

16

geworfen.

17

Histogramm

Dabei

er-

24

der relativen

2. Eindimensionale

6

B2.3 Bei einer Partei

Stichproben

Landtagswahl gab es folgende Stimmenanteile (in %): B D E Sonstige

Stimmenanteil in %

40,1

8,5

33,9

6,2

5,8

5,5

Zeichnen Sie für die prozentualen Stimmenanteile a) ein Rechteckdiagramm; b) ein Kreisdiagramm.

Lösung:

a)

b)

Innenwinkel: A: 144,36°; B: D:

Sonstige

22,32°

; E:

122,04°; C: 30,6°; 20,88°; S: 19,8°.

Diagramme:

Bei ordinalen Merkmalen benutzt man die graphischen Darstellungen: In einem Rechteckdiagramm wird eine vorgegebene Rechtecksfläche durch Parallelen zur gleichen Seite des Rechtecks proportional zu den Häufigkeiten aufgeteilt. Damit verhalten sich die Häufigkeiten zweier Merkmalswerte wie die Inhalte der ihnen zugeordneten Flächen (flächen-

proportionale Darstellung). In

einem

Kreisdiagramm wird

zu

jeder Merkmalsausprägung ein

Kreis-

sektor gebildet. Dabei verhalten sich die Flächen der einzelnen Sektoren und damit auch ihre Innenwinkel wie die Häufigkeiten der jeweiligen Merkmalsausprägungen. Mit der absoluten Häufigkeit hj des Merkmalsfür wertes a; und der Anzahl n aller Werte (Stichprobenumfang) gilt den zugehörigen Innenwinkel ai in Grad die Proportion h: = a- : 360 = n; also -j^ 360 rj 360u

hj:

«j

•

•

Dabei ist r- die relative Häufigkeit. Bei prozentualen Prozentzahl mit 3,6 multipliziert werden.

Angaben

muss

die

2. Eindimensionale

B2.4 Skizzieren Sie die

Stichprobe:

(empirische) Verteilungsfunktion 0

Werte absolute

12

Häufigkeiten

25

7

Stichproben

35

der

10

20

18

10

folgenden

Lösung:

Stichprobenumfang n 100 ; relative Häufigkeiten: 0,12; 0,25; 0,35; 0,18; 0,1; Funktionswerte (relative Summenhäufigkeiten) Flu0 (0) =

Floo(2)

=

0,37; F100 (5)

=

0,72;

Floo(10)

=

0,12;

=

0,9; Floo(20)

=

1.

F100 W 1

0,5

0,1 20

10

Verteilungsfunktion: Für eine Stichprobe (xj, x2

,...,

x^)

vom

Umfang

n

eines metrisch

skalierten Merkmals heißt die durch

Fn(x)

Anzahl der Stichprobenwerte x; mit x;
l2-n-v2> L3 n v3 Gesamtzeit: t £ n v, ; VJtj i=l i=i .

—

•

>

•

•

•'

.

un-n-vn> —

_

n

s

.i

.

—

—

n

=

=

.

1

Durchschnittsgeschwindigkeit: j-

=

-=—§-=-= 1 f _[ s V l~i n n •

i=l

b) vh

=

4

V;1

i=l

v.

(harmonisches Mittel).

V;1

-fi-j-pr llÖÖ TTÜ T2Ö +T3üJ +

+

=

113,9064 [km/h].

2. Eindimensionale

Stichproben

B2.16 Während 5 Jahren betrugen die jährlichen gerungen in einem Land der Reihe nach

Pl

=

2,1%l; p2

=

Gesucht ist die Jahre.

17

prozentualen Preisstei-

2,9%; p3 3,l%; p4 3,8% ; p5 3,4% mittlere Preissteigerungsrate während dieser =

=

=

.

fünf

Lösung:

jährlichen Preissteigerungsfaktoren betragen: qi= 1 + töü 1,021; q2 1,029; q3 =!'031' ^ i-038; q5 M34. Der mittlere Preissteigerungsfaktor q ist das geometrische Mittel Die

=

q

Aus

=

=

5^ qj

=

1,03058433. q

=

•

q2

1 +

...

yj^j

q5

=

erhält

=

M 1,021 man

•

=

1,029 1,031 1,038 1,034

die

•

•

mittlere

prozentuale

Preis-

steigerungsrate p

=

100

(q- 1)

=

3,058433 %.

Geometrisches Mittel: Das

Mittel der n positiven kardinalen ist erklärt durch

geometrische

Xj, x2

,

...,

Beobachtungswerte

B2.17 Ein Student sollte von einer Stichprobe mit nur positiven metrisch skalierten Werten das arithmetische, das harmonische und das geometrische Mittel berechnen. Er schrieb sich leider nur seine berechneten drei Zahlenwerte auf und vernichtete die Berechnungsunterlagen. Ihm liegen also nur noch die berechneten Zahlenwerte 3,30975; 3,5 und 3,11688 vor. Weshalb kann daraus trotzdem der jeweilige Mittelwert angegeben werden, falls kein Rechenfehler vorliegt? Um welche Mittelwerte handelt es sich dabei?

Lösung: Falls nicht sämtliche Stichprobenwerte übereinstimmen, gilt für das harmonische, das geometrische und das arithmetische Mittel allgemein die Ungleichung

xg < x. gilt xh 3,11688;

xh < Damit

=

x

=

3,30975;

x

=

3,5.

2. Eindimensionale

18

Stichproben

Vergleich der Mittelwerte: Bei Stichproben mit nur positiven metrisch skalierten Stichprobenwerten gilt für das harmonische Mittel xh, das geometrische Mittel xg und das arithmetische Mittel x allgemein die Ungleichung xh < xg < x, falls nicht alle Stichprobenwerte übereinstimmen; Xjj xg x, falls alle n Stichprobenwerte identisch sind. Der Median ist mit den übrigen drei Mittelwerten nicht vergleichbar. =

=

B2.18 Auf je einer von n unterschiedlich modernen Maschinen werden Werkstücke gefertigt. Die Bearbeitungszeit (in vorgegebenen Zeiteinheiten) betrage bei der i-ten Maschine t;. Auf der i-ten Maschine werden s; Stücke hergestellt für i = 1, 2 ,..., n. a) Bestimmen Sie für diesen allgemeinen Fall die durchschnittliche Herstellungszeit pro Werkstück. b) Wie lautet die Formel für die mittlere Herstellungszeit, falls auf jeder Maschine die gleiche Anzahl m hergestellt wird? c) Geben Sie die Formel an für den Fall, dass die i-te Maschine Kj Zeiteinheiten im Einsatz ist für i = 1, 2..., n.

Lösung: n

a)

Gesamtanzahl der Werkstücke:

s

=

£s;; i=i

gesamte Herstellungszeit für sämtliche

s

Werkstücke:

n

tges .Esi 4i: =

•

durchschnittliche t__„

n

n

s-

T=Esi-ti i=l

Herstellungszeit:

=

tw mit

s=£s; i=l

(gewichtetes arithmetisches Mittel).

b) Mit Sj

=

m

für alle i erhält

Ertj=E fj—ytt *i i=l

=

"

i=l

c)

Mit Sj

tj

n

Esi 1=1

K; erhält

ff

man

E *i

=

*

i=l

die mittlere

(arithmetisches Mittel). Herstellungszeit

n

EKj

EKj -n—

=

man

=

^TTT

„

~n~~v^

e£ Etf

i=i S

(gewichtetes

-

1=1

~

lh

mit

i

harmonisches

Mittel).

wi

=

-n-

ek, j=i

fur

l

=

1,

...,

n

2. Eindimensionale

19

Stichproben

B2.19 Für ein bestimmtes Produkt betrug 5 Jahre lang die mittlere Preissteigerung 3,1 %, während der nachfolgenden 7 Jahre 3,6 % und in den anschließenden 8 Jahren 4,2 %. Gesucht ist die mittlere Preissteigerung in den gesamten 20 Jahren.

Lösung: Für den

gesuchten

mittleren

Preissteigerungsfaktor q gilt

q20 1,0315 1,0367 1,042s

mit der

=

Lösung

•

i-

q

=

2(\| 1,0315 1,0367 1,0428

Die mittlere

JL.

1,03120 1,0362° 1,0422° (gewichtetes geometrisches Mittel).

•

1,037141

=

JL

JL

=

=

•

Preissteigerung betrug

•

daher 3,7141 %.

Gewichtete Mittelwerte: Mit n Gewichten w1,w2,...,wn mit 0 < w; < 1 für alle i und heißt

E wi

=

1

i=1

£wrXi

xw=

i=l

gewichtetes (gewogenes) arithmetisches Mittel der Stichprobe x. Bei positiven Stichprobenwerten nennt man

ein

xg ein

IK

=

i=i

gewichtetes geometrisches und 57W h

1 ~

V™!

_

i=l

1

gewichtetes harmonisches Mittel. Mit den gleichen Gewichten w; ± Mittelwerte in die gewöhnlichen über.

ein

für alle i

gehen

die

gewichteten

—

Ein Autofahrer fahre n Strecken der Längen Sj , s2,..., s„ [ km ] jeweils mit den konstanten Geschwindigkeiten Vj, v2 ,..., vn [km/h]. Leiten Sie eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit ab.

B 2.20

Lösung: Erforderliche Zeiten für die einzelnen Teilstrecken: Si 5l

s, °2

; ...; 12 .

"

s„

yS- ;

Gesamtzeit t _

n

gesamte Strecke:

n

s

=

Esi!

i=l

=

Y, i=l

S;

!

2. Eindimensionale

20

Stichproben

Durchschnittsgeschwindigkeit: 1 n

n^S; E s i=l

s-

Ev7 i=i 1

Xh mit

=

1

S

Esi

=

—

1

(gewichtetes harmonisches Mittel). B2.21 Berechnen Sie die Varianz und

Standardabweichung

probe: Werte

der Stich-

1

absolute

10

Häufigkeiten

22

25

27

16

Lösung: x

=

j^q(i0

£ x2

=

10

i=l

Varianz:

•

•

5)

1 + 22 2 + 27 3 + 25 4 + 16 •

•

•

=

3,15;

l2 + 22 22 + 27 32 + 25 42 + 16 52 •

s2 = m0

141

Standardabweichung:

100

"

s -

•

'

3'1&2)

^ 1,502525

•

=

1141;

1,502525;

=

=

1,2258.

Varianz und Standardabweichung: ist die Stichprobe (x, , x2 ,..., x^) eines metrisch skalierten Merkmals mit dem Mittelwert x. Dann heißt

Gegeben s2

=

JLrE(x1-x)2=-JL n-1 ;±i 1 1

'

n

-

die s

=

(empirische) +

B2.22

s2 Eine

die

A

£ xf2

i=i

n

•

x

-

Varianz und

Standardabweichung oder Streuung der Stichprobe.

Stichprobe

vom

100 besitze den Mittelwert und die Varianz s2 = 25,8. 18,5 Abweichungsmaß bezüglich des Medians

Umfang

x=15,l, den Median Berechnen Sie daraus das

x

n

=

=

Lösung: Aus dem Steinerschen

Verschiebungssatz folgt

n^E^-x)2 =^ £(Xi-x)'+A.(x-x) =i

100 25,8 + a"" (15,1

18,5)' 37,476768. =

.

_

2. Eindimensionale

Steinerscher Für

Stichproben

21

Verschiebungssatz: c gilt

Konstante

jede

£(Xi-x)2 + n.(x-c)2 E(Xi-c)2= i=l

i=l

Für

c

erhält

x

=

hieraus

man

i E(xi-x)2 >-lT £(Xi-x)2 "

1

11

i=l

1

=

i=l

s2 fürxVx.

B2.23 Die

Stichprobe x besitze den Mittelwert x 25 und die Standardabweichung sx 3,89. Berechnen Sie die Varianz und Standardabweichung der transformierten Stichprobe y 5 x + 100. Lösung: =

=

=

y

5-x+ 100

=

=

225; sy

=

5

•

sy

•

19,45.

=

Lineare Transformation: Die Stichprobe x = (x-j, x2 ,... ,xn) besitze den Mittelwert x und die Varianz s2 Dann besitzt die linear transformierte Stichprobe .

y

mit

a

=

•

+b

x

reellen Zahlen

beliebigen

Mittelwert:

y

Varianz:

s2

Dabei ist

| |

=

(a-Xj + b,

=

=

•

a2 s2

der

a

a

x

+b

=

x2 + b

a •

a

,

•

und b die

a

a

•

x

x3 + b

Betrag

•

xn + b)

Kenngrößen:

+b;

Standardabweichung: sy

;

a

,...,

=

sax + b

von a.

B2.24 Ein Forscher berechnete aus einer Stichprobe x vom Umfang 30 den Mittelwert x = 125,8 und die Standardabweichung s = 20,4. Später stellt er fest, dass er die beiden Messwerte 131,5 und 135,9 bei der Berechnung versehentlich vergessen und die übrigen Messwerte vernichtet hat. Berechnen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der gesamten Stichprobe vom Umfang n = 32.

Lösung:

Aus

30

,

x

s2"

=

jjW ^2 Xj 30 -i

1 n-

E xf

1

i=l

30

E x2

=

30

i=l

Damit 32

Ey;

i=l

=

•

30

erhält -n

man

£>j i=i

=

x2 ergibt E

i=l

125,82 + 29 20,42 •

=

30 125,8 •

x,2

n

•

x2

3774. -f

(n 1) -

486 837,84.

für die gesamte Stichprobe y: 3774 + 131,5+ 135,9 = 4 041,4;

gilt

=

=

n

=

32;

2. Eindimensionale

22 32

£ y2 i=l

=

y

131,52 + 135,92

486 837,84 +

Hieraus erhält

man

Stichproben

für die

=

522 598,9.

gesamte Stichprobe y die Parameter

4 041 4

=l^il= 126,29375; 32

s2-i y 31 iEyf-32-y2 l

=

i(522 598,9

32

•

-

126.293752)

=

393,398 ;

=

sy

19,8343.

=

Zusammengesetzte Stichprobe: Die Stichprobe x (x1, x2 x^) vom Umfang n1 besitze den Mittelwert x und die Varianz s2 und die Stichprobe y (yj y2,..., y ) vom Umfang n2 den Mittelwert y und die Varianz s2. =

,...,

=

Dann besitzt die z

=

(xj, x2

zusammengesetzte Stichprobe

x^, y1, y2

,...,

,...,

den Mittelwert z

-|-r-y

=-r-x

,

y^)

vom

Umfang

n

=

n1 + n2

(gewichtetes Mittel)

und die Varianz =

ni + n2

1

•

-

+ "i x2 + n2 y2

0 sx + ("2 1) -

-

K + n2) z2

-

].

B2.25 In einem Betrieb sind 100 Personen beschäftigt mit einem Durchschnittsgehalt von 3150 ^ und der Standardabweichung der Gehälter von 450 ^ In einem zweiten Betrieb erhalten 300 Beschäftigte ein Durchschnittsgehalt von 3490 ^ bei einer Standardabweichung von 610 ^ Berechnen Sie für beide Betriebe zusammen das Durchschnittsgehalt sowie die Standardabweichung aller Gehälter. .

.

Lösung Mit n, erhält

=

100;

man

x

=

für die

3150; s2. Stichprobe

4502; n2

=

Durchschnittsgehalt

z

=

•

y

=

3490; s2

=

6102

3150 +

frgjj

3490

=

3 405 €

•

=

gig =

300;

aller 400 Gehälter das

und die Varianz

4

=

•

(99 4502 + 299 6102 + 100

350 815,5388 €

3

•

•

2

sowie die

•

1502 + 300-3 4902 -400-3 4052)

Standardabweichung sz

=

592,3 €

.

2. Eindimensionale

Stichproben

23

B 2.26 Eine Stichprobe x = (xj, x2 ,..., x^) besitze den Mittelwert x und die Standardabweichung s ^ 0. Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-

Schwarzschen

Ungleichung

im

i=l


sy

1329,3 766,8

•^jy^-^pi)

0,8904.

Kovarianz und Korrelationskoefiizient: eine zweidimensionale Es sei (x,y) (verbundene) Stichprobe von zwei kardinalen Merkmalen. Dann heißt

=((x1,y1),(x2,y2),...,(xn, yn))

»«y

=

5ZT

£ x;

g(xi-x)-(yi-y)=ir=i

die Kovarianz der

Stichprobe.

Für sx

>

y;

•

i=l

0 und

sy

n

•

x

•

y

-

>

0 heißt

£ (x; x) (y; y) •

r

=

r„„

xy

=

i=l

xy

-

-

Sx Sy •

_

£ xj-yj-n-x-y

i=i

_

der

B3.2

Korrelationskoeffizient der Stichprobe. Zeigen Sie mit Hilfe

der

EhHbj


12 an?

Lösung:

a) Anzahl der Stichprobenwerte mit Xj < 22 und y; < 10 F443(22; 10) =-^3-

^±3 (11 + 13 + 11 + 21 + 37 + 32 + 29 + 39 + 32)

=

b)

Für

Gemeinsame

x

> 24

und y > 12

gilt F443(x,y)

=

0,5079.

1.

=

Verteilungsfunktion:

sei eine zweidimensionale Stichprobe vom Umfang n mit kardinalen Merkmalen. Dann heißt die für jedes (x , y) e R2 durch

Gegeben

Anzahl der Stichprobenwerte mit

„

=

ff'

j

:

zZ aj


£üH-£ü)k=^ 1=1

b)G

=

L

1

k=0

1=1

=

1

.

2

{2,4,6,8,...};

P(G)

1-P(G)=§.

P(U)

c)

C: Menge der durch 3 teilbaren Zahlen; v ' p(c)

D:

=

X + 4+4+ 42 + 23

2

2

--

2

Menge der durch 5 teilbaren Zahlen;

P(D)=^5 +

£(32)

k=l

+

~

32'

£(32)'

j=0

...

_

1

=

1

1 _

.

4. Wahrscheinlichkeiten

C n D ist die

Menge

der durch 15 teilbaren Zahlen mit \15k

+ l P(CnD)=-i, + -iR 230 245

260

SI.Ö) J £(32768) =

k=i

=

k=i

1 32 768

45

1

£ ( 32768 J

j=o

1 32 767'

_

1_L_~ 32 768

P(CUD)= P(C) + P(D)-P(CnD) I + =

4 681 + 1057- 1 32 767

32768'

_

gL-3^767

5 737 32 767

=|

=§,

B4.5 Sowohl in B4.1 als auch in B4.4 gilt P(G) wound P(U) bei G der Bereich der geraden und U der der ungeraden Zahlen ist. a) Beweisen Sie diesen Sachverhalt allgemein mit Hilfe einer Proportion für die Wahrscheinlichkeiten P(G) und P(U). b) Welche Werte kann N annehmen, so dass für fi = { 1, 2,..., N } mit Pi = P({i}) = 4 für i = 1, 2 ,..., N ebenfalls P(G) = und

P(U)

|

2'

l gilt?

=

Lösung:

a) b)

Die Wahrscheinlichkeit für jede gerade Zahl ist genau die Hälfte der Wahrscheinlichkeit der vorangehenden ungeraden Zahl. Damit gilt P(G): P(U) = 1:2. Hieraus folgt P(G) = und P(U) = N muss gerade sein.

\

§.

B4.6 In einer Lostrommel befinden sich 2 500 Lose mit den Nummern 1 bis 2 500. Jedes Los, dessen Nummer mit einer 1 oder einer 2 beginnt, gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass ein zufällig gezogenes Los gewinnt?

Lösung: Anzahl der

möglichen

Fälle: 2 500

.

Günstige Fälle: 1; 2 ; 10 11,.... 19 ; 20 21,..., 29 ; 100 101, 199 ; 200,201,..., 299 ; 1000 1001, ,

,

,

...,

,

Gesamtanzahl: 2 + 2 10 + 2 100 + 1 501 •

•

e

=

Mi

=

0'6892-

=

...,

1 723 ;

2 500.

4. Wahrscheinlichkeiten

46

Klassische Wahrscheinlichkeit: Falls es nur endlich viele verschiedene Versuchsergebnisse gibt, und bei jeder Versuchsdurchführung kein Ergebnis bevorzugt auftreten kann, also alle Versuchsergebnisse gleichwahrscheinlich sind, darf die Formel für die klassische Wahrscheinlichkeit p/

^

IAI \Q \

\\ _

Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl der insgesamt möglichen Fälle

~

benutzt werden. Dabei ist | A | die Anzahl der in A enthaltenen Verund | Q | die Anzahl aller möglichen Versuchsergebnisse. Solche Zufallsexperimente nennt man Laplace.-Experimente.

suchsergebnisse

B4.7 Auf der

Pi

Ergebnismenge

P({i}) =S\

=

für i

fi

{1,2,3, ...,N}

=

1,2

=

m

,...,

N;

m

>

sei durch

0, N ganzzahlig

mit einer Konstanten c eine Wahrscheinlichkeit erklärt. a) Bestimmen Sie die Konstante c. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung von B4.1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse

G:

gerade Zahl, U : ungerade Zahl. Benutzen Sie dabei die Fallunterscheidungen: N gerade oder N ungerade. Versuchen Sie das Ergebnis ohne Verwendung von Summenformeln zu erreichen (Hinweis: B4.5). Spezialfall: N 3. =

Lösung:

-

a>

N

N

N

N

\i

-1,

i-fin-E5 —Ett)-*•£(*) /

i=l

c

-

_m'

c

m

=

=

i=l

l~W

m

i=l

k=o

mN_

_r

i__L m

~

m-l

c

-m-l

mN-l, mN

(m-l)-mN mN-l

2 und N

1-210 210 1

_

~

=

10

ergibt

1024 1 023

den

Spezialfall

aus

B4.1

-

-

b)

vk

.

1. Fall: N

G

=

Pi +1

gerade:

{2,4,...,N}; =

P({i + 1})

=

U

=

nrr m

{1,3,...,N-1}; =

m

•

^ m

=

m

P({0)

'

4. Wahrscheinlichkeiten

jeweils S

Da G und U

P(U)

=

m

•

1

P(G);

p(G)-mJn^p(u)

P(U) + P(G) 1-p(G)

=

=

=

P(G) (m + 1); •

mi+-r-

{2,4,...,N-1}; {1,3,...,N-2,N} {1,3,...,N-2}U{N}

2. Fall: N

U

besitzen, folgt hieraus

Elemente

=

G

ungerade:

=

=

=

Analog zu Fall 1 gilt P(UX)

=

m

•

1

=

P(G) + P(UX) + P({N})

=

=

UjU{N}.

P(G);

PÜN})^^"1-1^ mN-l mN~mN-l 1

47

-

m-1

.

P(G) + m P(G) + S^L 1 m •

—

P(G)-(l + m)

m

P(G)

mN-l

mN-l

N

m

m ~

(m+l)-(mN-l) —

P(U)= l-P(G) Spezialfall:

P(G)

_mN-l-m + l_mN-m

m-1

1

=

=

P({2})

m

N

=

+ !

=

1

3:

m-(m- 1)

i2_ i m3-l

(m-l)-m3 m

+1

1

m

i

_(m-l)

m

B4.8 Mit dem nebenstehenden Glücksrad können durch Drehen Zahlen 1 bis 6 zuwerden. fällig erzeugt Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen sowie für die Ereignisse G: gerade Zahl; U: ungerade Zahl; C = {4,5,6}. Wie

groß

mN~l-l.

mN-l m^1-! mN-l

m

m m

+!

mN-l

müssten die Innen-

winkel sein, damit alle Zahlen gleichwahrscheinlich sind?

m

P(G)

'

4. Wahrscheinlichkeiten

48

Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten sind proportional Daraus erhält man die Wahrscheinlichkeiten Zahl

zu

den Innenwinkeln.

1

Wahrscheinlichkeit

P(G) —

-

36

+ +

A 36

3^

M

4_ j6_ 10 36 + 36 + 36

A

P(C)

6

9'

i0_2

+ -r

36

-

3

P(U)

M =

M

M

10 36

1-P(G)=|;

•

Falls alle Winkel gleich groß, also jeweils 60° sind, besitzen alle 6 Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit p = g .

A 4.1

Gegeben

P(A)

sind

folgende

0,6; P(B)

=

=

Wahrscheinlichkeiten:

0,7 und P(AnB)

=

0,15.

Berechnen Sie hieraus die Wahrscheinlichkeiten für die ; AHB; ÄflB; AUB.

AHB; ÄUB A 4.2

Gegeben

P(A)

=

Ereignisse

sind die Wahrscheinlichkeiten

0,5; P(B)

Berechnen Sie

=

0,6; P(A U B)

=

0,8.

P(A n B) ; P(Ä D B); P(Ä D B); P(A n B).

A4.3 Beim Roulett ist die Ergebnismenge 0 = {0,1, 2, 3,..., 35, 36}. Dabei soll davon ausgegangen werden, dass auf Dauer keine Zahl bevorzugt ausgespielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für

folgende Ereignisse:

= {1,2,3,..., 11,12}; Impair: I {1,3,..., 33,35}; A={13,14,... 23,24} ; B={221_23,24,25,26,27}; Dnl; DUI; AHB; AUB; DnB; I\A lnA.

erstes Dutzend: D

zweites Dutzend:

=

,

=

A 4.4 Beim Skat wird mit 32 Karten gespielt. Aus dem gesamten Spiel werde eine Karte zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: a) Die gezogene Karte ist ein König oder eine Dame; b) die gezogene Karte ist ein Ass, ein Bube oder besitzt die Farbe Kreuz.

A4.5 Auf ß = {1,2,3,...,N} sei durch P({i}) = c i für i = 1,2,...,N eine Wahrscheinlichkeit erklärt. Berechnen Sie die Konstante c. •

5. Kombinatorik B5.1 Gesucht ist die Anzahl aller höchstens fünfstelligen denen a) beliebig viele Ziffern übereinstimmen dürfen; b) alle Ziffern verschieden sind.

Zahlen,

bei

Lösung:

a)

Führende Nullen werden weggelassen. 00012 ergibt z.B. die zweistellige Zahl 12. Für jede der fünf Stellen gibt es 10 Auswahlmöglichkeiten. Daher lautet die gesuchte Anzahl x = 10 10 10 10 10 = 105 = 100 000. Es handelt sich um die Zahlen 0 ,1, 2 ,..., 99 999. •

•

•

•

die erste Stelle gibt es 10 Auswahlmöglichkeiten. Da die zweite Ziffer von der ersten verschieden sein muss, gibt es hierfür nur noch 9 Auswahlmöglichkeiten. Für die dritte Stelle verbleiben noch 8, für die vierte 7 und für die fünfte Stelle 6 Auswahlmöglichkeiten. Produktbildung ergibt die gesuchte Anzahl x = 10-9-8-7-6 = 30 240.

b) Für

B5.2 Gesucht ist die Anzahl aller genau fünfstelligen a) beliebig viele Ziffern übereinstimmen dürfen; b) alle fünf Ziffern verschieden sind.

Zahlen, bei denen

Lösung: Zunächst werde die Zehntausenderstelle ausgewählt. Diese darf nicht gleich Null sein, da sonst keine fünfstellige Zahl entstehen würde. Damit gibt es nur 9 Auswahlmöglichkeiten.

a)

Für die restlichen 4 Stellen gibt es jeweils 10 Auswahlmöglichkeiten. Damit lautet die gesuchte Anzahl x = 9 104 = 90 000. Es handelt sich um die Zahlen 10 000, 10 001,..., 99 999. •

die Tausenderstelle auch mit 0 besetzt sein kann, gibt es für sie 9 Möglichkeiten, nämlich alle 9 von der ersten Auswahl verschiedenen Ziffern. Für die nächsten Stellen gibt es der Reihe nach noch 8, 7, 6 Auswahlmöglichkeiten. Daher lautet die gesuchte Anzahl x = 9- 9- 8- 7- 6 = 27216.

b) Da

Produktregel der Kombinatorik: m-stufigen Zufallsexperiment

Bei einem

Dann besitzt das n

=

nj n2 •

sei die Anzahl der

gleich n; für i 1 m-stufige Gesamtexperiment insgesamt verschiedene Ergebnisse. nm

Versuchsergebnisse ...

bei der i- ten Stufe

=

,

2

möglichen

,...,

m.

5. Kombinatorik

50

B5.3

a) b)

An einem Pferderennen beteiligen sich 6 Pferde. Bestimmen Sie die Anzahl der verschiedenen möglichen Zieleinläufe, falls die Einlaufzeiten aller 6 Pferde verschieden sind, Bei dem Pferderennen beteiligen sich 4 Pferde aus dem Rennstall A, 3 Pferde aus dem Rennstall B und 6 Pferde aus dem Rennstall C. Beim Einlauf interessiere für jeden Rennstall nur, ob eines seiner Pferde eine bestimmte Position inne hat. Um welches Pferd des Rennstalls es sich dabei handelt, spiele keine Rolle. Gesucht ist die Anzahl aller möglichen Zieleinläufe unter Berücksichtigung dieser Tatsache.

Lösung:

a)

Da alle 6 Pferde unterscheidbar x

b)

=

6- 5- 4- 3- 2- l

=

6!

=

sind, gibt

720 verschiedene

Da jeweils zwischen 4, 3 und 6 Pferden lautet die gesuchte Anzahl _

=

13! 4!-3!-6!

insgesamt Einlaufmöglichkeiten. nicht unterschieden wird, es

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13

(1-2-3-4)-(1-2-3)-(1-2-3-4-5-6)

60060.

Anordnungsmöglichkeiten: n

verschiedene Elemente lassen sich auf

n!

=

l-2-...n

verschiedene Arten anordnen Das

Symbol

Von

n

Dann

n!

spricht

man

Elementen seien

gibt

es

für diese

verschiedene

der

Permutationen).

dabei als n-Fakultät" "

jeweils

n

n1!-n2r'...-nr!

(Anzahl

aus.

gleich.

n,, n2,..., nr

Elemente

mit

n

=

ni+n2 +

•

•

•

+ »r

Anordnungsmöglichkeiten.

B5.4 Fünf Studentinnen und vier Studenten stellen sich in zufälliger Reihenfolge an einer Theaterkasse an. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass

a) die fünf Studentinnen nebeneinander stehen; b) jeder Student zwischen zwei Studentinnen steht. Lösung: ~ w„„„mt „:kt es

Insgesamt gibt

9!

=

_

1-2-34-5-6-7-8-9 2,3.4,5,2.3.4

_ -

6-7-8-9 2-3 -4

19fi 126 _ ~

5. Kombinatorik

mögliche Anordnungen bezüglich des Geschlechts. soll

a)

und für Student

w

gibt

Hierfür

es nur

m

51

Für Studentin

stehen.

die fünf

günstigen

Fälle

wwwwwmmmm; mwwwwwmmm; mmwwwwwmm; m m m w w w w w m ; mmmmwwwww.

gesuchte Wahrscheinlichkeit

Daher lautet die

b)

Hier

gibt

es nur

den einen

günstigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist p B 5.5

=

Fall

-hL12b

p

=

y|g.

wmwmwmwmw. .

Geburtstagsproblem:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von n beliebig ausgewählten Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, unter der Modellannahme, dass das Jahr 365 Tage hat, die als

für jede der n Personen gleichwahrscheinlich sind. Hinweis: Berechnen Sie zuerst die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses, dass alle n Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben.

Geburtstage

Lösung:

Ereignis, dass mindestens 2 der n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Ohne Brücksichtigung der Schaltjahre müssen bei mehr als 365 Personen mindestens zwei davon am gleichen Tag Geburtstag haben. Daher gilt P(An) 1 für n > 365.

An

sei das

=

Für

365 erhält


—

p(T;it2)-p(t2)_i-j_2 P(Tg)

1

—

~

3"

Durch einen Wechsel wird die Gewinnwahrscheinlichkeit

verdoppelt.

Ohne dass eine Tür geöffnet wird, hat sich der Spieler für eine Tür entschieden, hinter der sich das Auto mit Wahrscheinlichkeit befindet. Mit Wahrscheinlichkeit befindet sich also das Auto hinter einer der beiden anderen Türen. Da mindestens hinter einer der beiden vom Kandidaten nicht ausgewählten Türen kein Auto steht, kann sich die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse für diese beiden Türen durch das Offnen einer Tür nicht ändern. Das Öffnen der Tür hat zur Folge, dass die entsprechende Wahrscheinlichkeit aus der geöffneten der nichtgeöffneten Tür "zugewiesen" wird. Damit befindet sich mit Wahrscheinlichkeit das Auto hinter der nicht geöffneten anderen Tür. Hinter der vom Kandidaten ausgewählten Tür ist das Auto weiterhin nur mit Wahrscheinlichkeit

|

|

|

^

|

^.

B6.10: An einer bestimmten Krankheit leiden 3% der Menschen. Ein Diagnosetest habe die Eigenschaft, dass er bei Kranken mit Wahrscheinlichkeit 0,96 und bei Gesunden mit Wahrscheinlichkeit 0,999 die richtige Diagnose liefert. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, bei der auf Grund des Tests die Krankheit (nicht) diagnostiziert wird, auch tatsächlich (nicht) an der Krankheit leidet.

Lösung: K sei das Ereignis "eine zufällig ausgewählte Person leidet an der Krankheit" und D das Ereignis "die Krankheit wird diagnostiziert". Dann gilt P(K) = 0,03; P(K) = 0,97. Folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten sind gegeben:

P(D|K) P(D | K)

P(D|K) 0,04; => P(D|K) 0,001. Gesucht sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(K|D) und P(K|D). Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der Bayesschen =

=

0,96 0,999

=>

=

=

vollständigen Ereignisdisjunktion

P(D)

=

=

P(D)

=

K und K.

P(D | K) P(K) + P(D | K) P(K) •

•

0,96 0,03 + 0,001 0,97 1 P(D) 0,97023; •

•

=

-

=

0,02977 ;

Formel mit der

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

6.

P(D 1 K) P(K) •

Pf p(KK II Dl

a)

0,02977

-

-

0°'967417 %7417

0,999 0,97 "-P(D)-" 0,97023 _

-

•

-

~

P(D1K)-P(K)

P(K ( 1I Dl}

B6.ll

°'96 °'°3 •

°)-pp)-

65

_

°'998763-

"

Bestimmen Sie beim Lotto "6 aus 49" die Anzahl aller Tippreihen, die mit 1 beginnen.

möglichen

winnchance mit einer solchen Reihe auch nicht mit einer beliebig ausgewählten anderen Reihe.

ist als die

Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Einzelziehung die Gewinnreihe mit der Zahl 1 beginnt. c) Aufgrund des Ergebnisses aus b) gibt ein Lotto-Spieler nur noch Tippreihen mit der Anfangszahl 1 ab. Zeigen Sie, dass die Ge-

b) Bestimmen

Sie die

größer

Lösung:

a)

Um eine Tippreihe mit der Anfangszahl 1 zu erhalten, müssen neben der Zahl 1 von den restlichen 48 Zahlen 5 ausgewählt werden. Dafür gibt es

( 458 ) b)

Es sei

gilt

P(B1)

=

48

B1 =

1472 436 4455 44

das

Ereignis,

L379l^

=

=

Möglichkeiten.

1712 304

dass eine

Tippreihe

mit 1

beginnt.

Damit

0'122449-

Ungefähr 12,24 % aller Tippreihen beginnen mit der Zahl 1. c) Es sei G das Ereignis, dass eine Tippreihe, die mit 1 beginnt, bei einer Einzelausspielung die Gewinnreihe ist. Mit der vollständigen Ereignisdisjunktion Bx (s. b)) und Bl erhält man aus dem Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit

P(G)

=

P(G | B,) P(B1) + P(G | Bx) P(B,). •

Falls keine Gewinnreihe mit der Anfangszahl 1 gezogen wird, kann das Ereignis G nicht eintreten. Das Ereignis Bj besteht aus insgesamt 1 712 304 Reihen. Damit gilt

P(G|B1)=TTTi3M;

P(G|B1) 0;

P(G)

=

=

P(G|B1)-P(B1)

=

! 712 304

'

T^WEU

Dies ist aber die Wahrscheinlichkeit, mit einer einen Sechser zu erzielen.

=

13 983 816

"

beliebigen Reihe

66

6.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

A 6.1 Ein Kästchen hat drei Schubladen. Eine davon enthält zwei Goldmünzen, eine zwei Silbermünzen und die dritte eine Gold- und eine Silbermünze. Eine Schublade werde zufällig ausgewählt und daraus wiederum zufällig eine Münze entnommen, von der sich herausstellt, dass es eine Goldmünze ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die andere Münze in der geöffneten Schublade ebenfalls eine Goldmünze ist. A 6.2 Bei einer

Lieferung folgendem Inhalt

werden Werkstücke in drei Körben

fehlerhaft

fehlerfrei

Summe

5 10 15

95 140 185

100 150 200

Korb 1 Korb 2 Korb 3

geliefert

mit

Einer der drei Körbe wird zufällig ausgewählt und daraus ein Werkstück zufällig entnommen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es fehlerhaft? Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein ausgewähltes Werkstück aus den jeweiligen Körben, falls es

b) fehlerhaft, c) fehlerfrei ist?

A 6.3 In einem Produktionsprozess können zwei verschiedene Fehler auftreten. Mit Wahrscheinlichkeit 0,05 hat ein Werkstück den Fehler Fj. Werkstücke mit dem Fehler Fj haben mit Wahrscheinlichkeit 0,06 den Fehler F2, bei den anderen Stücken tritt der Fehler F2 mit Wahrscheinlichkeit 0,01 auf. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, dass ein zufällig der Produktion entnommenes Werkstück keinen, nur einen oder beide von diesen Fehlern hat.

A 6.4 Ein Falschspieler besitzt drei äußerlich nicht unterscheidbare Würfel. Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. 1

2

3

4

5

6

Würfel 2

0,10 0,05

0,12 0,08

0,20 0,15

Würfel 3

0,05

0,06

0,15 0,10 0,06

0,20 0,20 0,06

0,23 0,42 0,71

Augenzahl Würfel 1

0,06

6.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

67

Durch ein Versehen sind die Würfel für den Falschspieler nicht mehr identifizierbar. Daher wählt er einen zufällig aus und würfelt mit diesem einmal. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen bei diesem Zufallsexperiment. b) Mit dem zufällig ausgewählten Würfel werde eine 6 geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde mit dem Würfel 1, Würfel 2 bzw. Würfel 3 geworfen? A 6.5 Eine Urne enthalte 4 schwarze und 11 weiße Kugeln. Jemand zieht daraus eine Kugel und legt diese beiseite, ohne ihre Farbe festgestellt zu haben. Danach wird eine zweite Kugel gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Kugel beim 2. Zug schwarz bzw. weiß (absolute Wahrscheinlichkeit)? b) Beim zweiten Zug werde eine schwarze (weiße) Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Kugel aus dem ersten Zug dann schwarz bzw. weiß? c) Nach dem ersten Zug wird nochmals eine Kugel gezogen und deren Farbe auch nicht festgestellt. Bestimmen Sie die absoluten Wahrscheinlichkeiten (ohne Information über das Ergebnis der beiden ersten Züge) dafür, dass beim dritten Zug eine schwarze bzw. weiße Kugel gezogen wird. A6.6 Lösen Sie B6.ll, falls jemand nur Tippreihen abgibt, die alle mit der gleichen Zahl k beginnen für k = 1, 2 ,..., 43 44. ,

Lotto-Vollsystem bestehe aus n Systemzahlen mit n > 7. Daman mit dem System garantiert einen Sechser hat, falls sich unter den n Systemzahlen tatsächlich einmal alle 6 Gewinnzahlen befinden, müssen aus diesen n Zahlen alle Auswahlmöglichkeiten für 6 Zahlen getippt werden. a) Aus wie vielen Tippreihen muss dieses Vollsystem bestehen? b) Wie viele verschiedene Vollsysteme mit n Systemzahlen gibt es

A6.7 Ein

mit

c) d)

insgesamt?

Bestimmen Sie die Anzahl derjenigen Vollsysteme mit n Systemzahlen, die alle sechs Gewinnzahlen enthalten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man mit einem Vollsystem mit n Systemzahlen einen Sechser? Zeigen Sie durch Umformung der Binomialkoeffizienten unter Verwendung der Fakultäten, dass diese Wahrscheinlichkeit genau so groß ist, wie mit der entsprechenden Anzahl zufällig ausgewählter verschiedener

Tippreihen.

e)

Berechnen Sie diese Werte für

n

=

8.

68

6.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

A 6.8 In einem Produktionsprozess sind erfahrungsgemäß 6% der produzierten Stücke fehlerhaft. Bei der Endprüfung wird ein fehlerhaftes Stück mit Wahrscheinlichkeit 0,98 als fehlerhaft erkannt, ein einwandfreies mit Wahrscheinlichkeit 0,01 irrtümlicherweise als fehlerhaftes Stück ausgesondert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a) ein bei der Endprüfung beanstandetes Stück auch fehlerhaft ist; b) ein nicht beanstandetes Stück tatsächlich fehlerfrei ist. A 6.9 Von einer bestimmten Bevölkerungsgruppe ließen sich 25 % gegen Grippe impfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an Grippe erkrankt, betrage bei den geimpften 0,1 und bei den nicht geimpften Personen 0,2. a) Eine Person sei an dieser Grippe erkrankt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ließ sie sich impfen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ließ sich jemand, der nicht an der Grippe erkrankt ist, nicht impfen? A 6.10 Bei einer Serienherstellung von wertvollen Werkstücken wird von einer Kontrolle ein Werkstück mit Wahrscheinlichkeit 0,1 als Ausschuss ausgesondert. Bei der Überprüfung dieser Kontrollstelle wurde festgestellt, dass von ihr ein fehlerfreies Werkstück mit Wahrscheinlichkeit 0,04 und ein fehlerhaftes mit Wahrscheinlichkeit 0,9 als Ausschuss deklariert wird. Arbeitet die Kontrollstelle zufriedenstellend? Berechnen Sie dazu die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Werkstück fehlerhaft ist, wenn es von der Kontrollstelle ausgesondert bzw. nicht ausgesondert wird.

A 6.11 Ein Medikament in Tablettenform zeige unabhängig voneinander zwei Wirkungen, die nicht sofort erkennbare Heilwirkung mit Wahrscheinlichkeit 0,8 und die sofort erkennbare Nebenwirkung mit Wahrscheinlichkeit 0,25. Durch ein Versehen bei der Herstellung be-

sitzen 2 % der Tabletten eine falsche Dosierung, wobei die Heilwirkung mit Wahrscheinlichkeit 0,25 und die Nebenwirkung mit Wahrscheinlichkeit 0,8 eintritt. Dabei sei das Eintreten der Heilwirkung nur von der Dosierung und nicht vom Eintreten der Nebenwirkung abhängig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man mit der Heilwirkung rechnen, wenn nach Einnahme des Medikaments a) die Nebenwirkung eintritt; b) die Nebenwirkung ausbleibt?

7.

Unabhängige Ereignisse folgende Ereignisse: Augenzahl ist durch 3 Augenzahl ungerade"; ist teilbar"; C: "Die Augenzahl eine Primzahl". Welche der Ereignispaare (A, B) (A C), (B C) sind unabhängig?

B7.1 Beim Werfen eines idealen Würfels interessieren A: "Die

B: "Die

ist

,

,

,

Lösung: A

=

{1,3,5};

B

{3,6};

=

C

{2,3,5}.

=

P(A)=i; P(B)=i; P(C)=i; P(A n B) P(A n C) P(B n C)

=

=

=

P({3}) A P(A) P(B); A und B unabhängig; ^ P(A) P(C); A und C nicht unabhängig; P({3 ,5}) P({3}) i P(B) P(C); B und C unabhängig. =

=

=

=

•

|

•

=

•

Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse A und B mit 0 < P(A), P(B) < wenn gilt P(A n B) P(A)-P(B). Gleichwertig damit sind folgende Eigenschaften

1 sind

unabhängig,

=

P(A|B) P(A|B) P(B | A) P(B|Ä) =

=

=

=

P(A); P(B).

Bei unabhängigen Ereignissen hat die Information, dass eines von beiden Ereignissen eingetreten ist, keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses. Mit

(A B) sind auch (A B), (A B) ,

,

,

und

(A B) unabhängig. ,

B7.2 Drei Ärzte stellen in 85, 90 bzw. 97 % der Fälle beim Auftreten einer bestimmten Krankheit die richtige Diagnose. Unabhängig voneinander untersuchen die Ärzte eine an der Krankheit leidende Person. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stellen k der Ärzte die richtige Diagnose für k = 0, 1, 2, 3 ?

Lösung: A, B, C nose

P(A) P(C)

sei das Ereignis, dass der stellt. Dann gilt

jeweilige

0,85 ; P(Ä) 0,15 ; P(B) 0,97; P(C) =0,03.

0,9 ; P(B)

=

=

=

=

Arzt die =

0,1;

richtige Diag-

70

7.

Unabhängige Ereignisse

pk sei die gesuchte Wahrscheinlichkeit für k

Wegen p0

Pl

=

=

=

=

p2= =

=

p3

=

Unabhängigkeit

der

der

Ereignisse

=

0 ,1, 2 , 3.

A,B,C

gilt

P(ÄnBflC) p(ä) p(b) p(C) 0,15-0,1-0,03 0,00045; P(AnBnc) + P(ÄnBnü) + P(ÄnBnC) p(A) p(b) p(C) + p(ä) p(B) p(C) + p(ä) p(b) p(C) =

•

•

=

•

•

•

=

•

•

0,85 0,1 0,03 + 0,15 0,9 0,03 + 0,15 0,1 0,97 •

•

•

•

•

=

0,02115;

p(ÄnBnC) + p(AnBnC) + p(AnBnü) p(ä) p(B) p(C) + p(A) p(b) p(C) + p(A) p(b) p(C) •

•

•

•

•

0,15 0,9 0,97 + 0,85 0,1 0,97 + 0,85 0,9 0,03 = 0,23635; p(A n b n C) p(A) p(b) p(C) = 0,74205 (Summe = 1). •

•

=

•

•

•

•

B7.3 Mit zwei idealen Würfeln werde gleichzeitig geworfen, wobei zur Unterscheidung der eine weiß und der andere rot ist. Dabei sollen folgende Ereignisse untersucht werden: A: "Die Augenzahl des weißen Würfels ist gerade"; B: "Die Augenzahl des roten Würfels ist ungerade"; C: "Die Augensumme ist gerade". Zeigen Sie, dass von den drei Ereignissen A, B und C jeweils zwei, aber nicht alle drei unabhängig sind.

Lösung: Alle möglichen Augensummen und ihre Wahrscheinlichkeiten sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt:

Summe 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

günst. Wahrschein-

Augenpaare

Fälle

(1,1) (2,1),(1,2) (3,1),(2,2),(1,3)

1 2

3 4

(4,1),(3,2),(2,3),(1,4)

(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5) (6.1) ,(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6) (6.2) ,(5,3),(4,4),(3,5),(2,6) (6.3) ,(5,4),(4,5),(3,6) (6.4) ,(5,5),(4,6) (6.5) ,(5,6) (6,6) Summen

5 6 5 4 3 2 1

36

lichkeiten

1/36 2/36 3/36

4/36 5/36

6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

Unabhängige Ereignisse

7.

71

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten lauten

P(A) P(B) =

=

P(C)=i.

Aus der obigen Tabelle erhält Wahrscheinlichkeiten

durch Abzählen die

man

gemein-

samen

P(A n B) P(A n B)

=

=

P(A n C) P(B n c) P(A) P(B); P(A n C)

=

=

•

\ \\ =

=

.

P(A) P(C); •

P(BnC) P(A)-P(C). =

Von den drei

Ereignissen jeweils zwei unabhängig, sie sind also paarunabhängig. Wegen A D B D C 0 können nicht alle drei gleichzeitig eintreten. Es gilt 0 P(A n B n C) ^ P(A) P(B) P(C) Für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts aller drei Ereignisse gilt die Produktdarstellung nicht. Die drei Ereignisse sind also nicht vollständig, sondern nur paarwiese unabhängig. weise

=

=

•

•

.

Paarweise Unabhängigkeit: Die n Ereignisse Aj, A2 ,....,

An sind paarweise unabhängig,

falls für alle Paare

A;, Ak mit i ^ k gilt P(AinAk) P(Ai)-P(Ak). Die n Ereignisse Aj, A2,..., An sind vollständig unabhängig, wenn für jede Auswahl von r Ereignissen A; 12 A; A; r < n, mit lauter ver=

,

schiedenen Indizes

PIA; nA; n...nA; )

,

,....,

r

gilt

=

P(A: )-p(Ai )-...-p(a; ).

Vollständig unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig. Die Umkehrung braucht nicht zu gelten (s. B7.3). B7.4 Von n Elementen Ej, E2, , En arbeite jedes unabhängig von den anderen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p. a) Ein Reihensystem fällt aus, wenn von den n Elementen mindestens eines ausfällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet das ...

Reihensystem?

K2

b) Ein Parallelsystem

E„

ist in Betrieb, wenn mindestens eines der n Elemente arbeitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet das

Parallelsystem?

72_7. Unabhängige Ereignisse Ei Jedes einzelne Element arbeite mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,85. Aus wie vielen Elementen muss ein Parallelsystem mindestens bestehen, damit es mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9999 arbeitet?

Lösung: a)

Das Reihensystem arbeitet nur, wenn alle Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt

pn. Parallelsystem

P(A) b) Das

Elemente arbeiten.

=

fällt aus, wenn alle Wahrscheinlichkeit dafür beträgt

P(A) P(A)

n

=

(1 p)n

.

Damit arbeitet

es

n

Elemente ausfallen. Die

mit Wahrscheinlichkeit

—

=

l-P(Ä~) l-(l-p)n. =

c) P(A) 1 0,15" > 0,9999; 0,15n < 1 0,9999 0,0001. lg(0,15n) < lg (0,0001); n lg (0,15) < lg (0,0001); lg(0,0001) i n > 5 ,(aufgerundet). f n > v lg(0,15) Das Parallelsystem muss aus mindestens 5 Elementen bestehen. =

=

-

-

•

,

^

i

,r\

,

.*

. ~

-

B7.5 Beim Tennis gewinne Spieler I gegen Spieler II einen einzelnen Satz mit Wahrscheinlichkeit p. Bei einem Turnier siegt derjenige Spieler, der zuerst

a)

zwei

Sätze; b) drei Sätze

gewonnen hat. Berechnen Sie für beide Fälle die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler I siegt. Zahlenbeispiele: p = und p =

f.

^

Lösung: G: "Spieler I gewinnt einen Satz"; S:

"Spieler I siegt".

P(G)

=

p;

P(G)

=

1

p; -

In den nachfolgenden Darstellungen steht an der i-ten Stelle der Spieler den i-ten Satz gewinnt. Dann gilt

wenn

a)

(G,G)U(G,G,G)U(G,G,G); P(S)= P(G,G) + P(G,G,G) + P(G,G,G)

S

=

G,

7.

Unabhängige Ereignisse

P(G) P(G) + P(G) P(G) P(G) + P(G) P(G) P(G)

=

•

•

•

=

b) S

=

=

=

=

=

=

=

=

=

(G,G,G)U(G,G,G,G)U(G,G,G,G)U(G,G,G,G) U(G, G,G,G,G)U(G,G,G,G,G)U(G,G,G,G,G) U(G, G,G,G,G)U(G,G,G,G,G)U(G,G,G,G,G).

P(S)

P

-

p2 + P2-(l-p) + p2-(l-p) p2-(3-2p); I P(S) 1; p | P(S) |>|. =

p

73

i

p3 + 3.p3.(l-p)+6-p3-(l-p)2 p3-[l + 3-3P + 6-(l-2p + p2)] p3-(10- 15p + 6P2).

=>

P(S)=±;

Wahrscheinlichkeiten bei

P

=

|

=>

P(S)=|f|>||>|.

unabhängigen Zufallsexperimenten:

Es werden n Zufallsexperimente unabhängig durchgeführt. Das Ereignis A; sei nur durch das i-te Zufallsexperiment bestimmt und besitze die Wahrscheinlichkeit Pj (A;) für i = 1, 2 ,..., n. Das Ereignis (Aj, A2 ,... A ), dass beim i-ten Einzelexperiment jeweils A; eintritt, besitzt wegen der Unabhängigkeit die Wahrscheinlichkeit

P(A1, A2,... An) P^Aj) P2(A2) =

•...

•

Falls das

•

Pn(An).

Gesamtexperiment unabhängigen Experimenten mit der und den gleichen Ergebnismenge gleichen Wahrscheinlichkeiten P beist steht, Pn. Pj P2 aus n

=

=

...

=

B7.6 In B7.5 werde auf drei Gewinnsätze gespielt. Spieler I habe die beiden ersten Sätze gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er das Match? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus

B7.5, b). Zahlenbeispiel: Lösung:

p

=

i.

Gesucht ist die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass der Spieler die beiden ersten Sätze gewinnt (gewonnen hat). Um zu gewinnen, muss der Spieler entweder den nächsten Satz gewinnen oder den nächsten verlieren und den übernächsten gewinnen oder die beiden nachfolgenden Sätze verlieren und den fünften gewinnen. Damit lässt sich das Ereignis S (Sieg für Spieler I) darstellen durch S = (G) U (G , G) U (G G , G) mit der gesuchten Wahrscheinlichkeit ,

P(S)= P(G) + P(G ,G) + P(G

,

G

,

G)

74_7. Unabhängige Ereignisse =

p

=

p+

l

(l-p)-p + (l-p)2-p p-[3-3p + p2]. =

P(S)=J.

=>

In B 7.6, b) ist die absolute Wahrscheinlichkeit berechnet worden ohne Information über den Ausgang eines Satzes. Nach zwei Gewinnsätzen verliert der Spieler nur dann das Match, wenn er die nächsten drei Sätze verliert. Die Wahrscheinlicheit dafür ist aber -7T = g, Hieraus erhält man die obige Wahrscheinlichkeit P(S).

B7.7

Multiple-Choice: Bei einer Prüfung sind 8 Fragen vorgegeben. Bei jeder Frage sind in zufälliger Reihenfolge 5 Antworten angegeben, von denen genau eine richtig ist. Zum Bestehen der Prüfung sind mindestens fünf richtige Antworten verlangt. a) Ein Prüfling hat sich auf die Prüfung überhaupt nicht vorbereitet und kreuzt daher bei jeder der 8 Fragen eine Antwort zufallig an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung durch Raten? viele

Antworten müssen mindestens verlangt werden, jemand durch reines Raten die Prüfung höchstens mit Wahrscheinlichkeit 0,06 besteht?

b) Wie

damit

richtige

Lösung:

a)

^

Mit Wahrscheinlichkeit p = = 0,2 erhält man bei jeder Frage durch Raten die richtige Antwort. Die Wahrscheinlichkeit, durch Raten genau k richtige Antworten zu erzielen, beträgt

Pk

=

Ps

=

Pe

=

p7

=

(8.)-0,2k-0,88-k für 0,1,2,...,8. ( )- °'25 °'83 0,00917504; ( )" °'26" °'82 °'00114688 ( ) 0,27 0,8 0,00008192; p8 0,28 0,00000256. k

=

'

5

;

=

6

8

•

•

=

=

Die

Wahrscheinlichkeit, durch

P

P5 + P6+P7 + Ps

b) P4

=

=

=

( 4 ) °>24 •

•

=

Raten die

=

Prüfung zu bestehen,

ist

0,0104064.

O'8"* 0,04587520; =

P + p4 < 0,06; P + p3 + p4 > 0,06. Es müssen mindestens vier richtige Antworten

verlangt

werden.

Unabhängige Ereignisse

7.

75

Binomialverteilung (Verteilung der absoluten Häufigkeit): Ein Zufallsexperiment werde n-mal unabhängig durchgeführt, wobei das Ereignis A in jeder einzelnen Stufe die Wahrscheinlichkeit p P(A) =

besitzt mit 0 lichkeit

Pk Man

=

1. Dann tritt A genau k-mal ein mit Wahrschein-

< p


37 ; k >

-

^, also k

UxnE(XN)=w^E=-2ir^

>

18. Damit

gilt

fürk>18.

N—»oo

\N

/

Für k < 18

folgt

lim

aus

(74~2k)

=

N-.00

In diesem Fall können die Verluste bei den. Damit gilt

lim N-»oo

E(XN)

=

f {

1

2k

E(XN)

großem

oo

=

.

-

N sehr

groß

wer-

für k > 18 ;

37

oi, -

lim

oo

'

N-kxT

97

für k < 18.

-

oo —

B8.5

Verdoppelungsstrategie

beim Roulett bei unbegrenzten Spielserien. Ein Spieler setze immer gleichzeitig auf k Zahlen. Er beginnt mit einem Einsatz von einer Geldeinheit (IE) und verdoppelt nach jedem Verlustspiel seinen Einsatz so lange bis er gewinnt. Dabei soll er über beliebig viel Geld verfügen. Ferner soll es in der Spielbank keinen Höchsteinsatz geben. Berechnen Sie mit Hilfe von B8.4 den Erwartungswert der Zufallsvariablen X des Reingewinns pro Serie. Benutzen Sie die Fallunterscheidungen: k = 18; k > 18 und k < 18.

Lösung:

g

Wegen P„ der Spieler mit erhält

man

=

den

£ (1

'

-

$f ff ff ~

^ ErgeÄussen

=

=

Wahrscheinlichkeit 1. Mit den

Erwartungswert

1

gewinnt aus

B8.4

E(X)=l,[(f-2)'2"-' 1]'(1-s)°"''37 +

-*-«-»)£(«-»r-4£(»-*r-

1. Fall: k

Für k

=

=

18

18

(einfache Chance) gilt

wegen

y

2

=

0

-

E=AI/1-*)""' hrirrr137; =

K

Im Mittel wird man pro Serie als Einsatz dazugewinnen.

Reingewinn

eine

Einheit, also den

85

8. Diskrete Zufallsvariable 2. Fall: k ^ 18 Für k ^ 18 ist die erste unendliche Reihe

II Für

2

II

1;




nur

Erwartungswert J_

,

(2

_

36-2k _1_

36 ~

2k

-

'2k_i 37

+

1

2k + j 37 T

_ _

_|k}

=

37'_k_ 37

2k

Für k < 18 ist die Damit lautet der

E(X )=


1; f(x)

=

0 für

x
0

J" f(x)dx

und

=

1.

—

Für die

stetige Zufallsvariable

X mit der Dichte f

gilt

b

P(a < X < b)

J f(x) dx ; P(X b)

=

=

Daher können bei der Berechnung werden. Die durch

von

weggelassen

F(x)

=

=

0 für

a

P(X < x)

jede

Konstante b.

P(a < X < b)

die Grenzen auch

Jf(u)du

=

oo

-

jedes x e R definierte Funktion F heißt die Verteilungsfunktion der stetigen Zufallsvariablen X. F ist eine stetige, monoton wachsende Funk-

für

tion mit

lim X—»

oo

F(x)

=

0 und

lim x—»oo

F(x)

=

1.

—

An

jeder Stetigkeitsstelle

x von

f

gilt F'(x)

B9.3 Die Zufallsvariable X besitze die 0

für

F(x)=< ix2 1

x




f (x).

Verteilungsfunktion

0;

für 0 < x

=




100)2 > 0,16 z2 •

-

0,16 z2

•

•

n

n

-

(200 + 0,16 z2 ) n > [n -(100 + 0,08 z2) ]2 >

10 000

•

•

-

-

•

-

10 000 + (100 + 0,08

10 000 + 10 000 + 16 z2 +

= -

aJ

0,0064 z\

z2 )2 16 z2

=

+

0,0064 z*

;

z\

0,08 z2 + 16 z2 + 0,0064 ; n > 107 (aufgerundet); 0,95: z0 95 = 1,644854 ; n > 110 (aufgerundet); 0,99: z0 99 = 2,326348; = 0,999: z0 999 3,090232 ; n > 114 (aufgerundet).

n

> 100 +

7

=

7

=

7

•

•

=

Allgemeiner zentraler Grenzwertsatz: Die Zufallsvariablen Xj, X2 ,..., Xn seien für jedes n unabhängig. besitze den Erwartungswert /zk und die Varianz für k = 1, 2 ,... Die Summe

o\

Xk .

n

Sn

=

5^ Xk k=l

E(S„)=f>k; k=l

Dann

gilt

lim P n~*°°

besitzt die

Var(Sn)

unter sehr

Kenngrößen

=

£

-

d

n

n

i=i

d) >


100016 0,01 '

> 100

=

1000-d2

>

0,99;

1,6;

"

>^fL6~= 1,264911.

Das schwache Gesetz der großen Zahlen: Für jedes n seien die Zufallsvariablen Xj, X2 ,..., Xn paarweise unabhängig und besitzen alle den gleichen Erwartungswert y. und die gleiche Varianz er2. Dann gilt für jedes beliebige e > 0

pflffEXj-Ai >£)oo

;=i

-

I

ft
0,01) < 0,05 erfüllt ist, falls a) über p nichts bekannt ist; b) p < 0,1 bekannt ist; c) p > 0,8 bekannt ist?

Lösung:

Rn(A) = fy-X; X ist die mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable der absoluten Häufigkeit mit E(X)

n-p;

=

Var(X) =n-p-(l-p);

E(Rn(A)) p; p-(l-p) Var(R„(A)) f(p) p-(l -p) für 0

0,0l)< ^P-(I-P) 0,0L a)

Ohne Information über p erhält man

p

=

p.(l-p) 0,01 (|Rn(A)-P| >0,0l)< ,012

n

>

>

b) Im an

1

n

=

-0,01" -0,05

Bereich p < mit

'(IRJA) c)

muss

P

4

>

P

0,1 0,9

0,012-0,05

Im Bereich p > mit

an

auf die Zufalls-

man

A zugelassen

werden. Dann

0,01 /

p n

•

0,0L


0,0l)< V /- n-0,012 n-0,012 '

^v

-

_

-

n> _

°'8;0'2 0,012-0,05

=

32 000.

Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen: In einem Einzelexperiment besitze das Ereignis A die Wahrscheinlichkeit p. Das Experiment werde n-mal unabhängig durchgeführt. Dann gilt für die Zufallsvariable Rn(A) der relativen Häufigkeit von A:

E(Rn(A))

=

p ;

Var(Rn(A))


0^^; P(|RJA)-P|l-Pii^>l-Jj-,; limP(|Rn(A)-P|>eX) V

n—too

für

jedes

=

/

e >

lim

0;

n—>oo

pfl^AJ-pk e)= 1 /

\

0.

B 10.8 Es sei X eine Zufallsvariable, die nur nicht men kann. Dann gilt für jedes c > 0

negative

Werte anneh-

P(X>c)

=

Ungleichung für diskrete

£i V P(X x;) =

£

>

i: Xj >

X; c

•

Zufallsvariablen.

P(X x;) =

£> c.P(X xi)=c.£ P(X=Xi)=c-P(X i: =

i:

c

Xj Division durch

Xj

c

ergibt

die

c

gesuchte Ungleichung.

A10.1 Beim Roulett setzt ein Spieler immer eine Einheit (IE) auf das erste Dutzend D = { 1,2 ,..., 11,12} (s. B8.3). An einem Abend setzt er 200 mal auf das Dutzend. Die Zufallsvariable X sei der Gesamtgewinn aus den 200 Einsätzen von jeweils einer Geldeinheit. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Durch welche Verteilung kann die von X angenähert werden? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt der Spieler an diesem Abend einen Gewinn? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt der Gesamtgewinn mindestens 10 Geldeinheiten?

10. Gesetze der

großen

Zahlen

139

A 10.2 Für die Zufallsvariable X der mit einem verfälschten Würfel geworfenen Augenzahl gelte E(X) = 4; Var(X) 2,56. Mit dem Würfel werde 900 mal unabhängig geworfen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Augensumme Y. b) Gesucht ist eine Konstante c, so dass die Augensumme mit Wahrscheinlichkeit 0,95 größer als diese Konstante ist. —

A 10.3 Die Zufallsvariable X besitze den Erwartungswert 200 und die Varianz 900. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit P(| X 200 | > 50) nach oben ab, falls a) die Verteilung von X nicht bekannt ist, b) falls X normalverteilt ist. c) Bestimmen Sie bei unbekannter Verteilung von X die kleinste Konstante c mit P(| X 200 | > c) < 0,05. -

-

A 10.4 Die Heilungswahrscheinlichkeit p eines neuen Medikaments sei noch nicht bekannt. Zur Schätzung von p werde das Medikament n Patienten verabreicht. Bei jedem sei die Heilungswahrscheinlichkeit gleich p. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Zufallsvariable der relativen Häufigkeit der geheilten Patienten mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 Werte annimmt, die von dem unbekannten Wert p um höchstens 0,025 abweichen, a) falls über p nichts bekannt ist, b) falls auf Grund von Vorinformationen p > 0,8 als gesichert gelten kann? A 10.5 Vor einer Wahl möchte ein Meinungsforschungsinstitut eine Wahlprognose über das Abschneiden einer bestimmten Partei machen, p sei die (unbekannte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte wahlberechtigte Person die entsprechende Partei wählt. Für die Umfrage wurden 2 000 Wähler zufällig ausgewählt. Dabei erklärten 840, sie würden die Partei wählen. a) Das Institut macht die Wahlprognose: 0,40 < p

/i

=

1

=

=g(c1,c2,...,cn_1)

Cj

=

1

—

=

c2

£

i= l

=

...

C; =

=

cn

für k

cn. Aus

min.

ergibt

=

ck

unter der

und

c;

^g(c1,c2,...,cn_1) 2ck-2(l-"£1ci) n-l

£ c2 i=l

n

=

£ Cj

i=i

l,2,...,n 1; —

=

0;

also

,

=

1

folgt

C-

=

jy

für i

=

1,2,..., n.

B 11.2 Die Zufallsvariablen X, , X2 ,..., Xn seien unkorreliert. Sie sollen alle den gleichen unbekannten Erwartungswert fi, aber verschiedene bekannte Varianzen Var(X;) = er2 > 0 für i = 1, 2 ,..., n besitzen. Für welche Konstanten Cj,c2,...,c

n

ist

Tn

=

£c;X; i=i

eine

erwar-

11.

141

Parameterschätzung

tungstreue Schätzfunktion für

ti mit minimaler Varianz? BestimSie diese minimale Varianz. Wann ist die Folge Tn konsistent? = er2 1 = Wie lautet die Formel für

men

o~\ a\

Lösung:

...

—

e(tn) p-Ec; i=l =

Eci l;

=>

p

=

=

i=l

n

n

Var(Tn)

2vci°"i i=l

=

Nebenbedingung z2ci i=l

unter der

mm-

—•

1! —

Lagrange-Funktion: n

n

L(c1,c2,...,cn,A)

J2ciffi +A-(Eci~1); i=l

=

i=l

^-L(c1,c2,...,cn,A) i

A.

_

=

f> J_

.

2ck(r2+A

=

0

=>

ck

=

1

A__1_.

'«E^crf E^ A

!dx

=

(A-^2)3

=

| W2 A


|2 A; Var(X) ± Var(X) ; E(X) E(X)

§

=

=

E(Tn)=^.E(X) Var(T„)

=

Damit ist funktion.

=

•

•

=

^

A;

^" Var(X) §4 =

Tn

=

•

-

für

0

n -00'

eine für A erwartungstreue und konsistente Schätz-

e) L (xj x2,..., x„, A) ,

=

-j

•

-4

•...

•

-rx =

r^j; xi x2

• •

•

•"

^

X:

_

also A > -j= für alle i besitzt L das x__ ' Maximum an der Stelle A = wobei xmax der maximale ' Stichprobenwert ist.

Wegen

0 < x; < A \2 •

,

,

Die Schätzfunktion lautet T*

f)

Für 0
x)-P(X2>x)-...-P(Xn>x) =

=

Gmin(x) P(Xmin < x) =

für


x)

1

=

-

< b. Differenziation

ergibt

-(^f)n

1

die Dichte:

b^'(fe)n lfüra

das

(b a)

u

=

0

(b a) -

•

u

0 sonst.

Parameterschätzung

11.

155

E(Xmin)= -nJlb-^-aJ-ul-u—Mu

nj"[b-un-1-(b-a)-un]du

=

o

k. un n

b

n

.a "

+ 1

n

a -

Xmin asymptotisch

ist

a

=

^=•

erwartungstreu

die Dichte

[a;b]

besitzt in

r7TT-(b-a)

b

=

Jo

n^°°

Xmax

+1

_L.b. n + 1

+'

Wegen lim E(Xmin)

füra.

ii

U

n+1

_

e(xmax)=ä !x

my' n

•

(^)n

=

durch die Substitution r

=

~

a

x

u;

=

(b a)

—

dx

u

x

;

=

a

+

(b a)

•

u

—

—

(b a) du

=

—

x

=

a

geht

=> u

0;

=

Integral

das

x

b

=

=> u

=

1

über in

+ (b-a).u].un-1du E(Xmax)= nj[a o =

n}[a-un-1+(b-a)-un]du o

=

_

n

n

U a.un,b-a +n+l

U

"

+1

=

Für

jedes

P(a < lim

e >

0 mit

Xmax asymptotisch erwartungstreu

e
0 mit E Pk k=l ,...,

=

der

m

-

^

=

~

wird das Zufallsexperiment n-mal unabhängig durchgeführt. Dabei sei hk = hn(A) die absolute Häufigkeit des Ereignisses Ak für k 1, 2 ,..., m. Bestimmen Sie unter Berücksichtigung der aufgetretenen Reihenfolge der einzelnen Ereignisse die Maximum-Likelihood -Schätzungen für die Wahrscheinlichkeiten pj, p2 ,..., pm. —

12. Konfidenzintervalle Konfidenz- oder Vertrauensintervalle: Gegeben seien zwei Stichprobenfunktionen

Gu gu(X1,X2,...,Xn) =

mit

P(GU