Über Ellipsen auf einem Ellipsoid, deren Axen gegebenen einfachen Bedingungen genügen, insbesondere über kongruente Ellipsen [Reprint 2020 ed.] 9783112326183, 9783112326176

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Über Ellipsen auf einem Ellipsoid, deren Axen gegebenen einfachen Bedingungen genügen,

insbesondere über kongruente Ellipsen.

I N A U G U R A L - D I S S E R T A T I O N ZUR

ERLANGUNG DER

DOCTORWÜRDE

DER

HOHEN PHILOSOPHISCHEN

FAKULTÄT

DER

KONIGL. BAYER. LUDWIGS-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN VORGELEGT VON

GEORG

DIEM

K. G Y M N A S I A L L E H R E R AM K. PROGYMNA8IUM

L O H R A. M.

WÜRZBURG. J. M. RICHTER's BUCH- UND KUNSTDRUCKEREI. 1898.

VORWORT. In dieser Abhandlung werden Kurven und Flächen betrachtet, welche Mittelpunkt und Pol von Ellipsen auf einem Ellipsoid, deren Axen einfachen Bedingungen genügen, beschreiben, sowie die Einhüllenden der Ebenen dieser Ellipsen. Als solche einfache Bedingungen sind folgende gegeben: 1. Die eine Axe der Ellipse ist konstant, 2. Das Produkt der Axen ist konstant (flächengleiche Ellipsen), 3. Der Quotient der Axen ist konstant (ähnliche Ellipsen), 4. Jede Axe ist konstant (kongruente Ellipsen*). Die vorkommenden Gleichungen sind durchweg auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen, manche Formeln so eingerichtet, dass sie sofort auf den affinen Raum bezogen werden können, den eine zum Ellipsoid affine Kugel mit dem Radius 1 bestimmt. Ebenso sind auch ein paar Figuren der Einfachheit wegen im affinen Raum gezeichnet. *) Der mutmassliche Urheber und erste Bearbeiter des Themas 4 ist wohl Herr Gymnasiallehrer Karl Freiherr v. Stengel gewesen, der jedoch seine Arbeit nicht veröffentlichte. Uber die auf einer Fläche 2. Ordnung liegenden gleichseitigen Hyperbeln hat Herr Otto Bupp in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie, 86. Band, p. 909—918, 1882, eine Abhandlung geschrieben.

I N H A LT. § 1. § 2.

Seite

Axenkomplex Axen, Inhalt und Asymptotenwinkel der Ellipse, welche eine gegebene Ebene aus einem gegebenen Ellipsoid ausschneidet § 3. Axen einer Ellipse auf dem Ellipsoid, deren Mittelpunkt gegeben ist § 4. Ort der Mittelpunkte von Ellipsen auf einem Ellipsoid, welche die eine Axe gleich einer gegebenen Länge haben § 5. Einhüllende der Ebenen von Ellipsen, wclche auf einem Ellipsoid liegen, die eine Axe gleich haben und deren Ebenen ein ihm ähnliches, ähnlich liegendes und konzentrisches Ellipsoid berühren § 6. Flächengleiche Ellipsen auf einein Ellipsoid § 7. Ort' der Mittelpunkte und Pole von ähnlichen Ellipsen auf einem Ellipsoid 8 8. Beziehungen, welche zwischen den Axen zweier benachbarter Ellipsen auf einem Ellipsoid bestehen § 9. Geometrische Deutung der im § 8 gefundenen Bedingungen § 10. Ort der Mittelpunkte und Pole kongruontcr Ellipsen auf einem Ellipsoid § I i . Einhüllende von Ellipsen, die auf einem Ellipsoid liegen und einer gegebenen Ellipse kongruent sind. (Kurven x = const.) . . . . . § 12. Die Kurven ¡1 = const § 13. Ort der Punkte, in welchen sich die Ebenen von drei benachbarten kongruenten Ellipsen auf einem Ellipsoid schneiden § 14. Über die Gestalt einer Kurve x = const. auf dem Ellipsoid. Anzahl der reellen kongruenten Ellipsen auf ihm, welche durch einen gegebenen Punkt desselben gehen . . . .

1

1 4 5

9 13 17 19 23 24

29 32 36

39

§ 1.

Axenkomplex. Jede Gerade im Räume ist Sehne eines Ellipsoides.

Ihre

beiden Schnittpunkte sind entweder reell, oder fallen zusammen oder

sind imaginär.

Es

gibt also b > c

nehmen, a x - | - ß y - | - Y Z = 0 die Gleichung

*) Reye, die Geometrie der Lage, 21. Vortrag. (Hannover 1880.) l

§ 1.

Axenkomplex. Jede Gerade im Räume ist Sehne eines Ellipsoides.

Ihre

beiden Schnittpunkte sind entweder reell, oder fallen zusammen oder

sind imaginär.

Es

gibt also b > c

nehmen, a x - | - ß y - | - Y Z = 0 die Gleichung

*) Reye, die Geometrie der Lage, 21. Vortrag. (Hannover 1880.) l

der Ebene der Ellipse in der Normalform, so erhalten wir die Axenlängen und Axenrichtungen durch folgende Überlegung. Sind X |i v und X, [i, vt die Richtungscosinus der beiden Axen, so bestehen die Relationen: 1) XX1 + [i|x1-}-vvl = 0 3) «X + ß|x + yv = 0 5) X 2 -f(i 2 -|-v 2 = 2 ) ^ + 1 ^ + ^

= 0 4) a X 1 + ß ^ 1 + r v 1 = 0

6)

1

X,'+,U»+YI«=1

Dieses Gleichungssystem lösen wir auf folgende Weise auf: Aus 1 und 2 erhält man: XXi : |t|tt = vvi = a 2 (b 2 — c 2 ) : b 2 (c 2 — a 2 ) : c 2 (a 2 — b 2 ) , , a 9 ( b 2 — c2) b2(c2 — a ) c 2 (a 2 — b 2 ) - , vi = p — oder Xi = p — r m = p—X {i v wo p Proportionalitätsfaktor ist. Aus 3 und 4 erhält man: a : ß : y = (|ivi — |xiv):(vXi—Xvi): (X[ii—¡JIXI), woraus sich nach Einsetzen der Werte von Xi ¡JLI VI und Entfernen der Nenner ergibt:

X2 u,2 v2 1 + o H — a ist aber gleich wo r der E" D e r Halbmesser des Ellipsoides mit den Richtungscosinus X ¡j. v ist. a2a b2 ß c2y E s ist also auch: X: u : v = 5: ¡ - 5 — ^ : - 5 — S e t z t man r a — r2 \ r — r J c 2 — r J diese Werte in die Gleichung 3 ein, so erhält man die Gleichung: a2a2 b2ß2 c 2 Y2 —5 ö+. o I * ) . Dieselbe ist vom 2~\—5——> = 0 Der Ausdruck

a —r£ bJ—t c£ — r 2 2. Gerade in r . Vertauscht man X p, v mit Xi ¡11 vi in der vorstehenden Entwicklung, so erhält man dieselbe Relation I. Die Halbaxen der Ellipse, welche die Ebene ax-|-ßy-f-Y z = 0 aus dem Ellipsoid ausschneidet, ergeben sich also aus der Relation I. Aus der Form der Gleichung ergibt sich, dass die eine reelle Axe > 2 b oder gleich 2 b , die andere < 2 b oder = 2 b sein muss. Die Richtung der Axe ergibt sich aus der a2flt b2ß Ü i - i °2r TT : W — Proportion: X: [i: v = r5:c^r2 ' ' *) cfr. Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes I, Leipzig 1874, Art. 101.

—

3

—

Wir wollen jetzt die Axen der Ellipse berechnen, welche von der Ebene a x ßy y z — p = 0 (Normalform) aus dem Ellipsoid ausgeschnitten wird. Der Mittelpunkt dieser Ellipse hat die Koordinaten =

= ^

wobei P 2 =

a2a2+b2ß2+c«r»,

also P die Länge des Lotes bedeutet, das vom Mittelpunkte des Ellipsoides auf die zur Ebene a x - | " ß y - j - y z — p = 0 parallele Tangentialebene au dasselbe gefällt ist. Der Pol dieser Ellipse hat die Koordinaten xi =

p

yi =

p

zi =

p

Die

Axenrichtungen ergeben sich aus den Relationen I und IT. Die Koordinaten irgend eines Punktes der einen Axe sind daher: x

—

a2pa

a2a

—

b2pß P2 '

P

b2

b2ß

r2' % —

c2py c2y P2 ' P c 2 _ r 2 '

wo p Parameter ist. Um den Wert von p für einen Scheitel der Ellipse zu finden, setzen wir diese Koordinaten in die Gleichung des Ellipsoides ein und erhalten: p2 p / a2 a 2 b2ß2 C2y2 \ / a2a2 2 p 2 2 2 2 2 2 2 P P ^ P \a — r ^ b - r ^ c — r / ^ V(a2-r2)2 b2ß

C

2

2 Y 2

\

+ ( b 2 — r2)2 + ( c 2 — r2)2/ Somit ergibt sich unter Anwendung der Relation I fiir p der W e r t : \/( V

p 2 W a2«2 b2ß2 ~cV~\_|//1 P^.y a2o^ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P / ' \(a — r ) (b — r ) ' (c — r ) / V PV ( a — r2)a Daher erhält man für das Quadrat der Länge der Halbaxe den Ausdruck:

(x

V

p 2

Vv

P2/ '

a 2 a a

(a2— r2)2

i

a 4 a 2

( a 2 — r2)2

- f i

V

p

V

a 2 a ä

P 7 ' " ( a 2 — r2)2

•(V^-^M1:*)'";-

Sind n und r2 die Lösungen der Relation I, so ist also die Länge der einen Halbaxe Ii und der anderen I2:

W i r können nun auch leicht den Inhalt J der Ellipse und ihren Asymptotenwinkel berechnen. Es ist J = h h n = n T2

—

n.

Für n r 2 können wir aber nach Relation I setzen a b c : P , und erhalten daher: ^

— j Q 7 1 —^o 7 1 • • •• I V .

=

Bezeichnet & den imaginären Winkel, welchen die eine Asymptote der Ellipse mit der einen A x e derselben bildet, so ist 2 & der * . , . , , , . oo Asymptotenwinkel und t g 2 » =

2tg& ^ — ^

wir den reellen Teil r r - r - r « =

T

setzen. Nehmen wir für Ii und I2

die Werte aus Relation I I I ,

2 1*1 so ist T = —5—;

„ , 2 a2b2c2/l , 1 , 1 + r22 = — — ( - ¿ 4 - - + -

ri-

—

1\

= ^

2hI2i ^2=

T2

x.i,wenn

Da

„ , .. T aus Relation I ,

aber wenn

1 a2 ß2 V2 wir tvt. = —s 4 - fr, + ^ setzen, also mit R den Halbmesser des R2 a 2 1 b2 c2 Ellipsoides mit den Richtungscosinus a ß y bezeichnen, so erhalten wir für x den End wert: 2 P

Anm.

Zwei Ellipsen auf dem Ellipsoid sind also flächen-

gleich, wenn beide dasselbe J haben, ähnlich, wenn sie in den Werten von x übereinstimmen.

§ 3.

A x e n einer Ellipse auf dem Ellipsoid, deren Mittelpunkt gegeben ist. Sind x 0 y 0 z 0 die Koordinaten des Mittelpunktes einer auf dem Ellipsoid gelegenen Ellipse, so ist die Gleichung ihrer Ebene: a-

1

b-

, ^ _ _ x o* _ caJ

b~

_zoJ c-

=

0.

Es ist daher,

wenn

wir die Länge der einen Halbaxe mit 1 bezeichnen, nach § 2

W i r können nun auch leicht den Inhalt J der Ellipse und ihren Asymptotenwinkel berechnen. Es ist J = h h n = n T2

—

n.

Für n r 2 können wir aber nach Relation I setzen a b c : P , und erhalten daher: ^

— j Q 7 1 —^o 7 1 • • •• I V .

=

Bezeichnet & den imaginären Winkel, welchen die eine Asymptote der Ellipse mit der einen A x e derselben bildet, so ist 2 & der * . , . , , , . oo Asymptotenwinkel und t g 2 » =

2tg& ^ — ^

wir den reellen Teil r r - r - r « =

T

setzen. Nehmen wir für Ii und I2

die Werte aus Relation I I I ,

2 1*1 so ist T = —5—;

„ , 2 a2b2c2/l , 1 , 1 + r22 = — — ( - ¿ 4 - - + -

ri-

—

1\

= ^

2hI2i ^2=

T2

x.i,wenn

Da

„ , .. T aus Relation I ,

aber wenn

1 a2 ß2 V2 wir tvt. = —s 4 - fr, + ^ setzen, also mit R den Halbmesser des R2 a 2 1 b2 c2 Ellipsoides mit den Richtungscosinus a ß y bezeichnen, so erhalten wir für x den End wert: 2 P

Anm.

Zwei Ellipsen auf dem Ellipsoid sind also flächen-

gleich, wenn beide dasselbe J haben, ähnlich, wenn sie in den Werten von x übereinstimmen.

§ 3.

A x e n einer Ellipse auf dem Ellipsoid, deren Mittelpunkt gegeben ist. Sind x 0 y 0 z 0 die Koordinaten des Mittelpunktes einer auf dem Ellipsoid gelegenen Ellipse, so ist die Gleichung ihrer Ebene: a-

1

b-

, ^ _ _ x o* _ caJ

b~

_zoJ c-

=

0.

Es ist daher,

wenn

wir die Länge der einen Halbaxe mit 1 bezeichnen, nach § 2

—

5

—

1*. (1 _ P2N) = p : (i _ V _ y« 2 _ V ) . V PV V a2 b2 oV 2 Setzen wir diesen Wert von r in die Relation I des § 2 ein, und ersetzen a ß y durch die Werte, welche sich aus der vorstehenden Gleichung der Ebene der Ellipse ergeben, so erhalten wir nach Entfernung der Nenner: r* = 1

Aus dieser Gleichung kann man die Axen der Ellipse berechnen, wenn ihr Mittelpunkt gegeben ist. Umgekehrt kann man aus derselben den Ort der Mittelpunkte von Ellipsen angeben, deren Axen einer gegebenen Relation genügen. Da die Koordinaten xi yi zi des Poles der Ellipse in Bezug auf das Ellipsoid mit den Koordinaten x 0 y 0 z 0 des Mittelpunktes der Ellipse durch die Relationen verbunden sind:

/yi 2 , y i 2 , z,2\

/XI2 , y i 2 , zi2\

/xi 2

yi2

zi2\

/V.y»2 , /x L 2 . y i 2 , Z1_2\ _ | \ a2 b2 c2/ V a2 b2 c2/ ) so ist, wenn man den Ort der Mittelpunkte kennt, auch der Ort der Pole und damit reciprok die Einhüllende der Ellipsenebenen gegeben. § 4.

Ort der Mittelpunkte von Ellipsen auf einem Ellipsoid, welche die eine A x e gleich einer gegebenen Länge haben. Nehmen wir in der Gleichung I § 3 die Koordinaten x 0 y 0 z 0 variabel und lassen die Indices weg, so erhalten wir den Ort der Mittelpunkte der Ellipsen mit der Halbaxe 1, nämlich;

—

5

—

1*. (1 _ P2N) = p : (i _ V _ y« 2 _ V ) . V PV V a2 b2 oV 2 Setzen wir diesen Wert von r in die Relation I des § 2 ein, und ersetzen a ß y durch die Werte, welche sich aus der vorstehenden Gleichung der Ebene der Ellipse ergeben, so erhalten wir nach Entfernung der Nenner: r* = 1

Aus dieser Gleichung kann man die Axen der Ellipse berechnen, wenn ihr Mittelpunkt gegeben ist. Umgekehrt kann man aus derselben den Ort der Mittelpunkte von Ellipsen angeben, deren Axen einer gegebenen Relation genügen. Da die Koordinaten xi yi zi des Poles der Ellipse in Bezug auf das Ellipsoid mit den Koordinaten x 0 y 0 z 0 des Mittelpunktes der Ellipse durch die Relationen verbunden sind:

/yi 2 , y i 2 , z,2\

/XI2 , y i 2 , zi2\

/xi 2

yi2

zi2\

/V.y»2 , /x L 2 . y i 2 , Z1_2\ _ | \ a2 b2 c2/ V a2 b2 c2/ ) so ist, wenn man den Ort der Mittelpunkte kennt, auch der Ort der Pole und damit reciprok die Einhüllende der Ellipsenebenen gegeben. § 4.

Ort der Mittelpunkte von Ellipsen auf einem Ellipsoid, welche die eine A x e gleich einer gegebenen Länge haben. Nehmen wir in der Gleichung I § 3 die Koordinaten x 0 y 0 z 0 variabel und lassen die Indices weg, so erhalten wir den Ort der Mittelpunkte der Ellipsen mit der Halbaxe 1, nämlich;

—

6

—

Diese Fläche ist also von der 6. Ordnung, der Anfangspunkt ist konischer Knotenpunkt, der Tangentenkegel des konischen Punktes hat die Gleichung 9 9 9 X V" z. a 2 (l 2 — a 2 ) + b 2 ( l 2 - b 2 ) + c 2 ( l 2 - c 2 ) = Für Werte von l < c und l > a ist der Knotenpunkt ein isolierter Punkt. Im Unendlichen ist die Fläche imaginär. Die Schnitte der Fläche mit den Koordinaten-Ebenen zerfallen in Kurven 4. Ordnung und in Ellipsen. Der Schnitt der Fläche mit der XY-Ebene z. B. gibt die Kurve:

"e+s+'-s+s-o^'+^v) Die linke Seite lässt sich auch so schreiben:

Der 1. Faktor ergibt Null gesetzt eine Ellipse, der 2. Faktor den Ort der Mittelpunkte der Sehnen von der Länge 21 der Ellipse ^ + £¡ = 1. Wir können auf der Fläche 6. Ordnung ein Kurvensystem finden, das uns die Form der Fläche leicht erkennen lässt. Aus § 3 erhalten wir unmittelbar, wenn wir die Indices hinweglassen, die Formel: „ „ A x2 y2 z2\ x" . y 2 . z2 , l2 1 = 1

• V - z - b - s ) °der

a2

b2

c2 =

r2'

ein zu dem gegebenen Ellipsoid ähnliches, ähnlich liegendes und konzentrisches Ellipsoid. Eliminiert man ferner aus den Koordinaten des Mittelpunktes x ==

a

y=

jj

z — ^ J 3 y und der Relation I

im

§

2

die

Richtungscosinus

2 2

a ß y,

2

so

Aus

1\ = ) a^a^—r -%TT J) T + b^fV—r^) U2/U2 T + 1 o7J(c 1d—r-Ö )

erhält man 3)

erhalten

wir

2

^ + ^¿-p +

= 1 — -2,

UDcl 2

)

die kon-

fokale Fläche zu 1). Die Flächen, die durch 1 und 3 dargestellt sind, schneiden sich nach einer Kurve 4. Ordnung, welche Krümmungskurve für jede Fläche ist. Jedem Wert des Parameters r entspricht eine solche Krümmungslinie. Der Ort aller dieser Krümmungslinien ist unsere Fläche 6. Ordnung. Wir betrachten das Kurvensystem für den Fall l < c . Das Ellipsoid 1 wächst ähnlich mit wachsendem r. Die Fläche 3 ist ein Ellipsoid, solange r < c . Beide Flächen haben keine reelle Kurve gemeinsam. F ü r r = c geht die Fläche 3 über in die Ebene z = 0, die Schnittkurve beider x2 v2 l2 Flächen ist dann die Ellipse 2 + föJ = 1 a. b c,1 Für r > c und r < b wird die Fläche 3 ein einschaliges Hyperboloid, für r = b geht sie in die X Z - E b e n e über, für r > b in zweischalige Hyperboloide, f ü r r = a i n die Y Z - E b e n e . Wir erhalten also die Form der Fläche 6. Ordnung, wie sie in Fig. 1 angegeben ist (für den 1. Oktanten gezeichnet). Die Fläche besteht aus 2 Mänteln, welche in den Punkten A zusammenhängen. Auf dem inneren Mantel sind Kurven 4. Ordnung, von der Art, wie sie von konfokalen Ellipsoiden und einschaligen Hyperboloiden ausgeschnitten werden, auf dem äusseren Mantel solche, wie sie von konfokalen Ellipsoiden und zweischaligen Hyperboloiden ausgeschnitten werden. Die Schnitte der Koordinaten-Ebenen mit der Fläche bestehen aus Ellipsen für die speziellen Werte r = a, r = b, r = c und den ebenen Kurven 4. Ordnung (c 4 ), welche die Durchschnitte der Krümmungslinien mit den Koordinaten-Ebenen enthalten. Die Punkte A ergeben sich als Schnittpunkte von X2 2

Z2 2 =

1 _

l2 2 und

X2 2

z2 2

2

l2 2 =

1 _

2

ä c b a — b + b —c b ' sie liegen also auf den Durchmessern mit den Gleichungen:

—

z c I /(j2 —= + —V— X

di

SL" —

c2 D

8

—

welche durch die Kreispunkte des Ellips-

oides gehen. Proiciert man das Kurvensystem auf der Fläche 6. Ordnung auf das ursprüngliche Ellipsoid, und zwar vom Anfangspunkt aus, so bilden die Projektionen das System von Krümmungslinien auf demselben. Für den Fall 1 == c erhalten wir die Form, wie sie in der Figur 2 dargestellt ist, die innere Mantelfläche ist zusammengeschnürt worden. Wird l = b, so ergibt sich Figur 3, der innere Mantel ist in den Anfangspunkt zurückgegangen. Wir können die Fläche 6. Ordnung auch in Parameterform f2 x2 y2 z2 darstellen, indem wir zu den Flächen 1) |—^ = 1 2 £L

X2

V-

z2

ü

C

I

l2

und 3) —J„ -.. - 4 - — 5J -I—;. =1 noch eine zur letza — r2 b-—r cd — rrx2 v2 z2 l2 teren konfokale Fläche nehmen: 2„ .,4-, 2.;—-„+ . , - - . , = 1— J a —s- b —s- c~ — s> r Lösen wir nach x 2 y 2 z 2 auf, so erhalten wir: (a2— b 2 )(a 2 — c 2 j V r 2 / b ¡V-a2)(b2-c2)A rV 2 2 z _ |/(c -r ) ( V - s ^ Z l-\ c~ (c 2 —a 2 ) (c2 —b2) V r2/ Das ist also die Gleichung unserer Fläche G. Ordnung in Parametern r und s. Die Kurven s = const. geben die Kurven 4. Ordnung auf der Fläche, welche zugleich Krümmungslinien der Flächen 1 und 3 sind. Die Kurven r = const. geben dasjenige System der Kurven, das die Kegel ayf dem einen Mantel der Fläche ausschneiden, deren Spitze der Anfangspunkt ist und deren Erzeugenden durch die Kurven s = const. auf dem andern Mantel gehen. Denn die Elimination von s ergibt unter anderm den Kegel

a

** + + =0 a 2 (a2 — r 2 ) ^ b 2 (b 2 - r 2 ) ^ c2 (c 2 —r 2 ) Die Kurven s = const. bilden im affinen System Orthogonaltrajektorien zu den Kurven r = const.

die

-

9

—

Denn es ist: C

—

a

— v/ai i

2

-

( r + ^ e t c .

(a -c ) ( a - r ) ( l - £ ) 2

X

3a 3s

_sl/(a«_r»)

2

2

2

. .

etc.

| / ( a 2 _ b 2 ) (a 2 — c 2 ) (a 2 — s 2 )

Somit: ^x x „y „y 3— 3— S 3 , a a b ^ 3r ' 3s 3 r ' ~3s~

&2 ^z , z / i r —I i„— 3 -- o— )(b2-c2) c c __ y \ r ' ~3r ' 3s — ~~ S "'(a 2 — b 2 )(b 2 — c 2 )(c 2 — a 2 ) -

q

Anm. Setzt man die Diskrimante der Gleichung 2. Grades in Bezug auf l 2 am Anfange dieses §, in welcher l 2 als die Unbekannte angesehen wird, gleich Null, so erhält man den Ort der Mittelpunkte von Kreisen auf dem Ellipsoid. Also: ->2 X2 C

Dieser Kegel zerfällt in die 4 Ebenen: — l ^ b 2 — c 2 4-r~ f ^ c 2 — a 2 + — | / a 2 — b 2 = 0, welche sich in den a —b — c reellen Geraden y = 0, *

b 2 — c 2 -f-—

a 2 — b 2 = 0 schneiden,

Gerade, welche durch die Kreispunkte gehen. § 5. Einhüllende d e r E b e n e n v o n Ellipsen, w e l c h e a u f e i n e m Ellipsoid liegen, die eine A x e gleich haben, u n d d e r e n E b e n e n ein i h m ähnliches, ähnlich liegendes u n d konzentrisches Ellipsoid berühren. Aus dem vorhergehenden § ergibt sich, dass fiir ein konstantes r die Mittelpunkte von Ellipsen, welche auf dem Ellipsoid

-

9

—

Denn es ist: C

—

a

— v/ai i

2

-

( r + ^ e t c .

(a -c ) ( a - r ) ( l - £ ) 2

X

3a 3s

_sl/(a«_r»)

2

2

2

. .

etc.

| / ( a 2 _ b 2 ) (a 2 — c 2 ) (a 2 — s 2 )

Somit: ^x x „y „y 3— 3— S 3 , a a b ^ 3r ' 3s 3 r ' ~3s~

&2 ^z , z / i r —I i„— 3 -- o— )(b2-c2) c c __ y \ r ' ~3r ' 3s — ~~ S "'(a 2 — b 2 )(b 2 — c 2 )(c 2 — a 2 ) -

q

Anm. Setzt man die Diskrimante der Gleichung 2. Grades in Bezug auf l 2 am Anfange dieses §, in welcher l 2 als die Unbekannte angesehen wird, gleich Null, so erhält man den Ort der Mittelpunkte von Kreisen auf dem Ellipsoid. Also: ->2 X2 C

Dieser Kegel zerfällt in die 4 Ebenen: — l ^ b 2 — c 2 4-r~ f ^ c 2 — a 2 + — | / a 2 — b 2 = 0, welche sich in den a —b — c reellen Geraden y = 0, *

b 2 — c 2 -f-—

a 2 — b 2 = 0 schneiden,

Gerade, welche durch die Kreispunkte gehen. § 5. Einhüllende d e r E b e n e n v o n Ellipsen, w e l c h e a u f e i n e m Ellipsoid liegen, die eine A x e gleich haben, u n d d e r e n E b e n e n ein i h m ähnliches, ähnlich liegendes u n d konzentrisches Ellipsoid berühren. Aus dem vorhergehenden § ergibt sich, dass fiir ein konstantes r die Mittelpunkte von Ellipsen, welche auf dem Ellipsoid

—

10

—

X2 V2 Z^ 1) —g -(- -(- -g = 1 liegen und die eine Axe gleich der gea D c gebenen Länge 21 habeD, der Kurve angehören, nach welcher X2 y 2 g2 J2 das Ellipsoid 2) —2 + r-5 H—^ = 1 2 von der ihr konfokalen ä o c r x2 y2 z2 l2 Fläche 3 = l ) ^ 7 2 + b2^2 + ¿mp ~ ? geschnitten wirdJede Ellipsenebene berührt das Ellipsoid 2, wie sich unmittelbar aus § 3 ergibt, die Axe von der Länge 21 hat die Richtung X: ¡1: v =

:

:

(§ 2 II), wenn x 0 y0 z0

die Koordinaten des Mittelpunktes der Ellipse sind. Diese Axe ist Normale zur Fläche 3, die zweite Axe der Ellipse ist daher Tangente an die Schnittkurve der Flächen 2 und 3 und hat die Länge 21s :r, wie man aus Formel I § 3 ersieht, wenn man für x0 y0 z0 die in § 4 gefundenen Werte, in welchen x, y, z durch die Parameter r und s dargestellt sind, einsetzt. Wir haben also folgenden Satz: Wenn man zu einem Ellipsoid ein konzentrisches, ähnliches und ähnlich gelegenes Ellipsoid konstruiert und zu diesem eine konfokale Fläche, so hat die Durchschnittslinie der beiden letzten Flächen die Eigenschaft, dass ihre Tangenten Axen von Ellipsen auf dem ersten Ellip&oid sind. Die zweiten Axen dieser Ellipsen sind normal zur konfokalen Fläche und gleich lang, die Ellipsenebene berührt das zweite Ellipsoid im Mittelpunkte der Ellipse*). Die ersten Axen bilden eine abwickelbare Fläche, ebenso die zweiten Axen, weil diese die konfokale Fläche nach einer Krümmungslinie schneiden. Letztere sind zugleich die Schnittgeraden von zwei benachbarten Ellipsen der oben genannten Eigenschaft. Denn rückt der Mittelpunkt auf der Krümmungslinie um ein unendlich *) Zieht man durch den Anfangspunkt parallele Gerade zu den zweiten Axen, so schneiden jene aus beiden Ellipsoiden Durchmesser von konstanter Länge aus. cfr. Salrnon - Fiedler, Analyt. Geometrie des Raumes I, Art. 164.

Kleines fort, so dreht sich die Ellipsen-Ebene um die zur Fortschreitungsrichtung konjugierte Gerade, in unserm Falle um die zweite Axe. Wir wollen die abwickelbare Fläche, welche von den zweiten Axen gebildet wird, und welche zugleich die Einhöllende der Ebenen der zugehörigen Ellipsen ist, genauer betrachten. Nach einer bekannten Methode können wir so verfahren. Die Richtung der Axe mit der Länge 21 ist: }.„ . v _ „. v . , _ A.[i,.v — x . y . z —

x

o

._Yo •

. r2

*o

• c 2— r 2

Die Koordinaten des Mittelpunktes x 0 y 0 z 0 befriedigen aber die Gleichung + + ¿ ¡ g — = 0 ( § 4, 2). Wir können demnach x 0 y 0 z 0 aus beiden Gleichungen eliminieren ound der abwickelbaren 2 r2erhaltenK2 denr2 Asymptotenkegel f>2 *»2 Fläche — 2 x 2 - f —pn— y 2 + — 2z 2 = 0. 2 a b c Die abwickelbare Fläche ist also die Einhüllende der z l—= 1l— _ ü2 -|—^ 1 a b c2 r 2 r 2 i! 2 2 2 2 oder in Ebenenkoordinaten a !j -|-b r; -f-c ^ = - 2 — ^ und die

Tangentialebenen, welche das Ellipsoid

2

-(1

2

a2 b2 c2 Kurve im Unendlichen -= 5?2+rä ö ^ + I b 2 — r- ' c —r2 a-i — r berühren. Die Fläche ist also 4. Klasse. Jede Fläche der Schar oder in Punktkoordinaten a2 — r2 x2 b 2 — r 2 y2 c 2 — r 2 z2 l2 2 2 2+ 2 2 2 = a — r —X ä i T ^ r ^ I b * + c —r —X c r2 W ° ein variabeler Parameter ist, wird von den Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche eingehüllt. Es ergeben sich demnach folgende Doppelkurven der abwickelbaren Fläche in den Koordinaten-Ebenen:

—

12

1) In der YZ-Ebene : b2 — r 2 y 2 , r 2 — c 2 2 1« •? - = l a 2 — b2 b2 ' a 2 — c 2 c 2 r2 2) In der Z X - E b e n e : l2 a2 — r2 x 2 r2—c2 2 2 2 2 2 2 r2 a —b a b —c c 3) In der X Y - E b e n e : l2 a 2 — r 2 x2 t b2—r2 2 für X = c 2 — r 2 und z = 0. 2 r2 a 2 — c2 a 2 b2—c2 b Für r > c und r < b sind demna h die Doppelkurven in der Y Z - E b e n e eine Hyperbel, in der Z X - E b e n e und in der X Y - E b e n e Ellipsen. Für r = b degeneriert die Hyperbel und die Ellipse in der X Y - E b e n e in Geradenpaare. Für r > b und r < a erhalten wir 2 Ellipsen und eine Hyperbel als Doppelkurven. Wir können auch die Rückkehrkante der abwickelbaren Fläche angeben. Die Koordinaten eines Punktes der Rückkehrkante genügen der Gleichung: q2 j.2 x2 |2 S —5 5 r—- = 1 — — und den Ableitungen nach X a. 1—rJ—X ä ^— -

rJ

z.* f ^

2

___

2

^ 2

2 7-s 5—ttö - 5 = 0 und S -r-ö 5 — - » = 0, wobei 2 das (aJ—rJ—X)2 aJ (a 2 —r 2 —A) 1 * a 2 Summenzeichen bedeutet. Lösen wir nach x y z auf, so erhalten wir a2

=

( a 2 — r 2 ) ( a 2 — b2) ( a 2 — c2)

b2 =

( r 2 — b2) ( V ^ H a 2 — b 2 )

ir = (c 2 —r 2 ) ( a 2 — c 2 ) ( b 2 — c 2 ) Dadurch ist also die Rückkehrkante gegeben. Die Projektion derselben auf die X Y - E b e n e nimmt, wenn r > c und r < b , die Form einer Astroi's an mit der Gleichung: (_ x _ [ / ( a W K a W j . f , / y Va(a 2 —b 2 ) l2 J "l"Vb(a2—b2)

l2

)

-

13

-

Man kann leicht beweisen — wie es der Fall sein muss*) — , dass die Spitzen der Rückkehrkurve auf den Doppelkurven liegen und die Tangenten in den Cuspidalpunkten der Rückkehrkurve zugleich Tangenten an die Doppelkurven sind. Nimmt man statt des Ellipsoides 1 (am Anfang dieses §) ein ihm ähnliches, ähnlich gelegenes und konzentrisches Ellipsoid, behält aber das Ellipsoid 2 und die ihr konfokale Fläche 3 bei, so schneidet nach dem obigen Satze jede Tangentialebene an die Fläche 2 in einem der Schnittpunkte der Flächen 2 und 3 aus dem vorhingenannten Ellipsoid eine Ellipse aus, deren eine A x e eine konstante Länge hat. Es gilt daher für die abwickelbare Fläche auch der Satz: Schneidet man auf den Erzeugenden der Fläche von der Krümmungslinie aus gleiche Strecken auf denselben ab, so liegen die Endpunkte derselben auf einem zum ursprünglichen ähnlichen, ähnlich liegenden und konzentrischen Ellipsoid. Figur 4 stellt den Doppelkurven r > c und r < b . In Doppelkurven sind

einen Teil der abwickelbaren Fläche mit und der Rückkehrkante dar für den Fall Figur 5 ist der Fall r = b dargestellt, zwei in Gerade degeneriert.

§ 6-

Flächengleiche Ellipsen auf einem Ellipsoid. Der Inhalt einer Ellipse ist nach § 2 I V gegeben durch die Formel: ^ ~

J0 =

— w e n n

p die Entfernung

der Ellipsenebene vom Anfangspunkt, P

die Eutfernung der

ihr parallelen Tangentialebene an das Ellipsoid ist. Sind xi yi zi die Koordinaten ergibt sich aus § 2: 1)5!+y_i!+Z_L2_P! ; a2 ^ b 2 ^ c 2 ~ p 2 *) Cremona, flächen

Grundzüge

etc., von Curtze

des Poles der Ellipse, so

9 ^ + y i ! , "> a4 b4

c4

2

einer allgemeinen Theorie der Ober-

übersetzt.

Berlin 1870.

p. 14 A n m e r k u n g ,

-

13

-

Man kann leicht beweisen — wie es der Fall sein muss*) — , dass die Spitzen der Rückkehrkurve auf den Doppelkurven liegen und die Tangenten in den Cuspidalpunkten der Rückkehrkurve zugleich Tangenten an die Doppelkurven sind. Nimmt man statt des Ellipsoides 1 (am Anfang dieses §) ein ihm ähnliches, ähnlich gelegenes und konzentrisches Ellipsoid, behält aber das Ellipsoid 2 und die ihr konfokale Fläche 3 bei, so schneidet nach dem obigen Satze jede Tangentialebene an die Fläche 2 in einem der Schnittpunkte der Flächen 2 und 3 aus dem vorhingenannten Ellipsoid eine Ellipse aus, deren eine A x e eine konstante Länge hat. Es gilt daher für die abwickelbare Fläche auch der Satz: Schneidet man auf den Erzeugenden der Fläche von der Krümmungslinie aus gleiche Strecken auf denselben ab, so liegen die Endpunkte derselben auf einem zum ursprünglichen ähnlichen, ähnlich liegenden und konzentrischen Ellipsoid. Figur 4 stellt den Doppelkurven r > c und r < b . In Doppelkurven sind

einen Teil der abwickelbaren Fläche mit und der Rückkehrkante dar für den Fall Figur 5 ist der Fall r = b dargestellt, zwei in Gerade degeneriert.

§ 6-

Flächengleiche Ellipsen auf einem Ellipsoid. Der Inhalt einer Ellipse ist nach § 2 I V gegeben durch die Formel: ^ ~

J0 =

— w e n n

p die Entfernung

der Ellipsenebene vom Anfangspunkt, P

die Eutfernung der

ihr parallelen Tangentialebene an das Ellipsoid ist. Sind xi yi zi die Koordinaten ergibt sich aus § 2: 1)5!+y_i!+Z_L2_P! ; a2 ^ b 2 ^ c 2 ~ p 2 *) Cremona, flächen

Grundzüge

etc., von Curtze

des Poles der Ellipse, so

9 ^ + y i ! , "> a4 b4

c4

2

einer allgemeinen Theorie der Ober-

übersetzt.

Berlin 1870.

p. 14 A n m e r k u n g ,

—

14

-

Setzt man diese Werte in die Formel für den Inhalt ein und lässt bei xi yi zi die Indices hinweg, so erhalten wir die Gleichung der Fläche der Pole von Ellipsen auf dem Ellipsoid z2 x2 v2 —5 —— I H—s- = 1 mit dem Inhalt J = J„ 7i. a^ b* c^ Sie hat die Form:

Die Fläche der Pole ist also 6. Ordnung. Sie hat im Anfangspunkt einen isolierten Doppelpunkt, die unendlich entfernte Ebene schneidet die Fläche nach einem doppelt zählenden Kegelschnitt und einem anderen. Denn der Asymptoteukegel hat die Form: (z* y 2 z 2 Y / J o 2 - b 2 c 2 I J°2-CIIAV | J ^ - ^ ^ - q 2 + 2 + 2 X + y + la b~ ?Ä a b5 c* ) • Daraus folgt reciprok: Die Ebenen flächengleicher Ellipsen hüllen eine Fläche 6. Klasse ein, die unendlich entfernte Ebene ist isolierte Doppelebene, der Anfangspunkt ist Spitze eines Tangentialkegels 6. Klasse, der aber in einen doppelt zählenden Kegel 2. Klasse und einem andern Kegel 2. Klasse zerfällt. Die Gleichung des letzteren ist in Ebenenkoordinaten:

oder in Punktkoordinaten, wenn wir nach der vorhin gegebenen a2b2c2 Formel — = P 2 setzen, weil p = 0 ist: Jo a

x 2

2 _ p 2 +T

b

2 gä 2 y_ p2 +-t" c 2 _ p2 — o.

Die Ebenen flächengleicher Ellipsen, welche durch den Mittelpunkt des Ellipsoides gehen, hüllen also konfokale Kegel 2. Klasse ein, und da P konstant ist, haben wir auch den Satz: Legt man zu allen Tangentialebenen an das Ellipsoid, welche vom Mittelpunkt gleiche Entfernung P haben, parallele Ebenen durch den Mittelpunkt, so schneiden dieselben Ellipsen aus, welche flächengleich sind.

—

15

—

Auf der Fläche der Pole können wir folgendes Kurvensystem finden: xs y2 z 2 p2 abc Das Ellipsoid 1 —5 -I- -I—^ = —5- = —; T .. schneidet pi —j0p r j^i c j 2 2 2 den Kegel ^3. ( a 2 — P 2 ) + ^D( b 2 - P 2 ) + ^ C( c 2 — P 2 ) = 0 , dessen Gleichung durch Verbindung der Gleichungen von 1 und 2 erhalten wird, nach einer Kurve, welche auf der Fläche der Pole liegt. Jedem Werte des Parameters P entspricht eine bestimmte Kurve. Alle Punkte derselben sind von den ihnen entsprechenden Polarebenen in Bezug auf das Ellipsoid gleich weit entfernt, die Entfernung ist gegeben durch den Ausdruck (P 2 — p 2 ) : p. Denn die Entfernung des Poles xi yi zi von seiner Polarebene -(— 1 ist gegeben durch d> u c XI2 y, 2 Zi2 Al/xi2 yi 2 Z12_P2—p2 2 2 2 < + 4 + a b c /' a b c4'p Da P konstant ist für alle Punkte der Kurve, so muss auch p einen konstanten Wert haben (s. 1). Der Kegel zerfällt für P = b in ein reelles Ebenenpaar, welche das zugehörige Ellipsoid nach Ellipsen schneidet, die also auf der Fläche der Pole liegen. Die Fläche besteht aus 2 getrennten Mänteln, von denen X2 V2 z2 der eine ganz innerhalb des Ellipsoides ^ -j- -|—^ = 1 gelegen ist, der andere ganz ausserhalb desselben. Denn die Gleichung der Fläche in der expliciten Form 3, welche Jo quadratisch enthält, entsteht nicht nur durch Elimination von P aus dem y2 Jl b C System r , + fc + -,- = | t b e _ j t p ^ ^ ( a 2 - P 2 ) + g ( b 2 - P 2 ) + £ ( c 2 - P 2 ) = 0, X^ v2 &bc sondern auch aus dem System —= 4 - 2 n-I— 3 == —; , , J 1 b c2 abc + JoP ( a 2 - P 2 ) + £ ( b 2 - P 2 ) + £ ( c 2 - P 2 ) = 0.

und

-

16

-

Im zweiten Falle ist also Jo negativ geworden. Da J

2i

0

d2\

bC(

= - p - ( l — n a c h

§ 2, I V , so ist Jo positiv,

solange, P immer positiv vorausgesetzt, p < P ist, solange es also reelle Ellipsen gibt. Ist p > P , so werden die Ellipsen imaginär, Jo demnach negativ. Machen wir die reciproken Betrachtungen zu den vorstehenden, so ergibt sich: Einer Kurve P = const. auf der Fläche der Pole entspricht eine abwickelbare Fläche, deren Tangentialebenen die Flächen la) a « P

+

b.y- + o « C =

i E

^ 5

J F

"nd

2a) ? (a 2 — P 2 ) + rf (b 2 — P 2 ) + £2 (c 2 — P 2 ) = 0 berühren, somit auch die Fläche E2-4i r 4 - uä = - . . V. r ' ' abc — J o P P2 Es schneiden also die Tangentialebenen an das Ellipsoid x2 a2

y2 b2

z2 _ a b c — J o P c2 abc

und an die Kugel x 2 - | - y 2 - | - z 2 =

—

—

a

u

s

-y2

Ellipsoid ^ -f-

=

1 flächengleiche Ellipsen mit dem In-

halt J 0 aus. W i r können somit den Satz aussprechen: Die gemeinsamen Tangentialebenen an eine Kugel und ein mit ihr konzentrisches Ellipsoid schneiden aus einem demselben ähnlichen, ähnlich gelegenen und konzentrischen Ellipsoid flächengleiche Ellipsen aus. F ü r die Einhüllende dieser Tangentialebenen ergeben sich die gleichen Betrachtungen wie für die abwickelbare Fläche des § 5.

—

17

—

§ 7.

Ort der Mittelpunkte und P o l e v o n ähnlichen Ellipsen auf einem Ellipsoid. Aus Relation V § 2 erhält man für die den Asymptotenwinkel charakterisierende Grösse x den Wert: 2P 2 lib

Aus Relation I § 3 ergibt sich, wenn l 2 als die Unbekannte angesehen wird und die Indices wegbleiben: y* z_l t V b ' + e » c2+a2 a2+b2 2 2 a 2 + 2 y_t \a b c VI a b " " c2 h3+läa=: l

+

a 2 ^ b2 ^ c2 \ a 4 ' b4 c 4 / Va2 b2 c2 ) 2 2 2 "x v z " _2 _L L2 4- i 2. a ^ b ^ c Setzen wir diese Werte in die Formel für t ein, erhalten wir nach Vereinfachung der Gleichung:

und Ii a Ja2 =

so

also einen Kegel 4. Ordnung, auf dem die Mittelpunkte und Pole von ähnlichen Ellipsen auf dem Ellipsoid liegen. Ist h = l2, so ist x = l , die Kegelgleichung geht in jene der Anmerkung des § 4 über. Wir wollen die Gestalt des Kegels genauer untersuchen. Die Schnittkurve des Kegels 4. Ordnung mit dem Ellipsoid 2 X V2 z2 -f- gg -j- -g = l hat die Eigenschaft, dass die unendlich kleinen Ellipsen, welche die Tangentialebenen an das Ellipsoid in Punkten dieser Kurve aus ihm ausschneiden, einander ähnlich sind. Daher sind also die Indikatricen der Punkte der Schnittkurve ähnlich, diese ist somit der Ort der Punkte, für welche das Verhältnis der Hauptkrümmungsradien ein konstantes ist.

—

18

-

Wir suchen die Projektion der Kurve auf die XY-Ebene. Indem wir

Z2

C

= 1

X2 2 3.

V8

— ^ setzen, geht die Kegelgleichung D

über in: 4a 2 b 2

r.2' \

a* 2 1 » 2 - 5 - 7 = o.

Das ist also die Gleichung der Projektionskurve. Schnittpunkte mit der X-Axe ergeben sich aus:

Ihre

c2 mit der Y-Axe aus : ,_j"b2

^l + Vl— T 2 y j a 2 b 2

41i 2 h 2 Da T 2 = .. 2„ , , „.2 „, so ist T2 immer positiv und < 1, ferner (li + lg )2 1 _L y/l — X2 stellt —-—das Verhältnis der Axen der Ellipse dar, also

12

Wir nehmen im folgenden stets h > la an, also h : 1« > 1 : Ii. Es existieren dann 4 reelle Schnittpunkte Ii a auf der X-Axe WeDn Íí b ' keine reellen Schnittpunkte auf der Y-Axe es liegen auf der X- und Y-Axe je 2 reelle Schnittpunkte, 1, a wenn > T h b Ein Grenzfall ist h = I2, also t = 1. Daun geht x über in + a V(a2— b 2 ): (a2 — c 2 ), die Abscissen der Projektionen der beiden Kreispunkte des Ellipsoids. y wird imaginär. Ii a Ein zweiter Grenzfall ist p = In diesem Falle ergeben sich die Werte: x i = 0

x s = + v ' ( a 4 — b 4 ) : ( a 2 — c ä ) ; hiebei ist

(a 4 —b 4 ): (a 2 —c 2 ) = a 2 , je nachdem b 2 = ac.

-

19

-

A u f der Y - A x e ist nur der Anfangspunkt reell. D i e K u r v e y b 2 |/a2 hat einen Doppelpunkt mit den Tangenten — = + V X

3.

D

c2 —

C

^

W i r sind nun im Stande, uns ein Bild von den Projektionskurven in der X Y - E b e n e

zu machen.

Die

Figuren 6, 7, 8

b2

= ac und b 2 < a c .

stellen dieselben dar für die 3 Fälle b > a c , 2

Die K u r v e ,

welche im Anfangspunkt einen Doppelpunkt

h a entspricht dem Fall j- = p

hat,

für K u r v e n innerhalb derselben ist

p < p, für Kurven ausserhalb!- > I2 b I2 b

D i e gestrichelten Teile der

x2 v2 Kurven fallen ausserhalb der Ellipse ^ - ( - ~ =

1.

Aus den Projektionen erhalten wir nun leicht die ungefähre Gestalt der Kurven

auf dem

Figur 9 nur auf dem

Ellipsoid.

Dieselben

oberen, vorderen T e i l

gezeichnet und zwar für den Fall 1 < ^

sind

in

Ellipsoides

r- < —•

12 — b

Die ähnlichen Ellipsen,

des

deren Ebenen

c durch den Mittel-

punkt des Ellipsoides gehen, hüllen einen K e g e l 4. Klasse ein, wie aus den reciproken Betrachtungen und 11

geben

den

Schnitt

eines

hervorgeht.

solchen

Kegels

Figur 10 mit

dem

Ellipsoid für obigen Fall. § 8-

Beziehungen, w e l c h e zwischen den A x e n z w e i e r benachbarter Ellipsen auf einem Ellipsoid bestehen. Bevor wir zu den kongruenten Ellipsen übergehen, wollen wir unsere Untersuchungen

ausdehnen

auf

die

Beziehungen,

welche zwischen den Axen zweier benachbarter Ellipsen bestehen, und davon Anwendung machen auf unsere speziellen Fälle. W i r wollen zuvor folgenden Hilfsatz beweisen: Die senkrechte Projektion einer Ellipse auf eine zu ihrer Ebene benachbarten Ebene ist in ihren Dimensionen nur um ein unendlich Kleines von schieden,

kann

der

2. Ordnung von

der Ellipse ver-

also als kongruent mit ihr angesehen werden. 2*

-

19

-

A u f der Y - A x e ist nur der Anfangspunkt reell. D i e K u r v e y b 2 |/a2 hat einen Doppelpunkt mit den Tangenten — = + V X

3.

D

c2 —

C

^

W i r sind nun im Stande, uns ein Bild von den Projektionskurven in der X Y - E b e n e

zu machen.

Die

Figuren 6, 7, 8

b2

= ac und b 2 < a c .

stellen dieselben dar für die 3 Fälle b > a c , 2

Die K u r v e ,

welche im Anfangspunkt einen Doppelpunkt

h a entspricht dem Fall j- = p

hat,

für K u r v e n innerhalb derselben ist

p < p, für Kurven ausserhalb!- > I2 b I2 b

D i e gestrichelten Teile der

x2 v2 Kurven fallen ausserhalb der Ellipse ^ - ( - ~ =

1.

Aus den Projektionen erhalten wir nun leicht die ungefähre Gestalt der Kurven

auf dem

Figur 9 nur auf dem

Ellipsoid.

Dieselben

oberen, vorderen T e i l

gezeichnet und zwar für den Fall 1 < ^

sind

in

Ellipsoides

r- < —•

12 — b

Die ähnlichen Ellipsen,

des

deren Ebenen

c durch den Mittel-

punkt des Ellipsoides gehen, hüllen einen K e g e l 4. Klasse ein, wie aus den reciproken Betrachtungen und 11

geben

den

Schnitt

eines

hervorgeht.

solchen

Kegels

Figur 10 mit

dem

Ellipsoid für obigen Fall. § 8-

Beziehungen, w e l c h e zwischen den A x e n z w e i e r benachbarter Ellipsen auf einem Ellipsoid bestehen. Bevor wir zu den kongruenten Ellipsen übergehen, wollen wir unsere Untersuchungen

ausdehnen

auf

die

Beziehungen,

welche zwischen den Axen zweier benachbarter Ellipsen bestehen, und davon Anwendung machen auf unsere speziellen Fälle. W i r wollen zuvor folgenden Hilfsatz beweisen: Die senkrechte Projektion einer Ellipse auf eine zu ihrer Ebene benachbarten Ebene ist in ihren Dimensionen nur um ein unendlich Kleines von schieden,

kann

der

2. Ordnung von

der Ellipse ver-

also als kongruent mit ihr angesehen werden. 2*

—

20

—

Denken wir uns die Axen proiciert, so sind ihre Projektionen jedenfalls konjugierte Durchmesser der proicierten Ellipse. W i r haben nur noch zu zeigen, dass diese Projektionen senkrecht zu einander stehen. E s seien ai ßi yi die Richtungswinkel der einen Axe der Ellipse mit den 3 Koordinatenaxen, a2 ßä 72 die Richtungswinkel der anderen Axe, der Mittelpunkt der Ellipse falle in den Koordinaten-Anfangspunkt, dann ist cos ai cos ot2 cos ßi cos ß2 cosyi cos ya = 0. F ü r den Winkel fr, den die Projektionen der Axen auf die X Y - E b e n e miteinander bilden, gilt der A u s d r u c k : cos fr = ctg yi ctg y2. Die Gleichung einer Ebene, welche durch den Anfangsp u n k t geht und der X Y - E b e n e benachbart ist, kann in der F o r m geschrieben werden: x ^ - j - y ^ £ - | - z = 0, wo m und n endlich, dp unendlich klein von der 1. Ordnung ist. Soll diese Ebene zugleich Ebene der Ellipse sein, müssen die Gleichungen cos ai ^

so

-(- cosßi ^ + cosyi = 0 und

cos aa ^ + cos ß2 ^ + cos ya = 0 erfüllt sein. Daraus folgt, dass cosyi und cos ya unendlich klein sind von der 1. Ordnung, es ist somit auch ctgyi und ctgyä unendlich klein von der 1. Ordnung, somit cosfr = ctgyi ctgya unendlich klein von der 2. Ordnung. Wir dürfen also, wenn wir uns auf unendlich Kleines 1. O r d nung beschränken, cos fr als Null, fr als 90° voraussetzen und der Fehler, den wir dabei machen, ist höchstens von der 2. Ordnung. E s proicieren sich also die Axen der Ellipse wieder als Axen ihrer Projektion. D a sich auch die Projektionen der Axenlängen n u r um unendlich Kleines 2. Ordnung von den ursprünglichen Längen unterscheiden, so bleiben also durch die Projektion Axen und Axenlängeo erhalten, wir können somit die Projektion der Ellipse als kongruent zu ihr ansehen. D e r dabei gemachte Fehler ist höchstens von der 2. Ordnung. Dieses vorausgesetzt, wollen wir nun die Axenlängen einer Ellipse auf dem Ellipsoid berechnen, die einer andern Ellipse

—

21

—

auf demselben benachbart ist, und dabei nur Grössen, die unendlich klein sind von der 1. Ordnung, berücksichtigen. E s 6ei die Gleichung des Ellipsoides — die Durchführung gilt für jede Mittelpunktsfläche 2. Ordnung —

» S + ß +

S + ^ + ^ + T - ^ « -

Die Fläche schneidet also die X Y - E b e n e nach der Ellipse

_,

x 2 , y2 li2"1"^2 Die Gleichung einer zur X Y - E b e n e benachbarten Ebene sei 2 ) — + — 4 - - ^ - = l , wo m und n die endlichen Abschnitte m n dp auf der X - und Y - A x e sind, dp der unendlich kleine Abschnitt auf der Z - A x e ist. Wir kennen nun nach dem Hilfsatz die Axen der Ellipse, welche diese Ebene aus der Fläche ausschneidet, sobald wir die Axen ihrer Projektion auf die X Y - E b e n e berechnet haben. Durch Elimination von z aus 1 und 2 erhalten wir die Gleichung der Projektion:

Da die Gleichung eines Kegelschnittes an x 2 -f- 2 ai2 xy -f- a«2 y 2

2 ai3 x -(- 2 a2s y +

a

3s = 0

in ihrer einfachsten Form auf die Gleichung Xx X 2 + X

2

Y2 + ^ = 0

zurückgeführt werden kann, wobei Xi und X2 Wurzeln der Gleichung A=

an ai2 ais ai2 ü22 a23 ai3 a23 ass

an—X ai2 = 0, ai2 a222 — X

und A' =

an ai2 ai2 a22

so erhalten wir, wenn wir die Koefficienten von 3 in diese Reduktionsformeln einsetzen und die Glieder mit dp 2 vernachlässigen :

A' ~ g " Gleichung 3 geht somit nach der Reduktion auf die HauptAxen über in:

Also ist, wenn 2 Li und 2 L2 die x v bedeuten, welche die Ebene 1- ^ 4 m n X2 v2 z2 - 52 + c~9 + ~9 = 1 ausschneidet, a b2 c2

Axenlängen der Ellipse z — = 1 aus der Fläche dp

1_ 2 —

Ll-xz4=,l2_2dp,l2^~"^)+ Ii 2 d2m höheren Grades oderin L dp, 1 = h

Glieder

[ l - d p Q - ^ l ) ]

ebenso U = h [ l — dp Q- — x

Wir werden nun von der Ellipse mit der Gleichung v2 + Y^ = 1 sagen können, dass sie die eine Axe Ii der Axe

L i der in der Ebene

x

y z 1- - - ( - — = 1 liegenden Ellipse gleich

habe, wenn Ii und Li bis auf unendlich Kleines 2. Ordnung zusammenstimmen, also Ii = L i , dass beide Ellipsen kongruent sind, wenn ebenso Ii = Li und la = La, flächengleich, wenn 1I]2 = LILI2, ähnlich, wenn ^ = j-L2 12

X2 V2 = Die benachbarte Ebene, welche eine der Ellipse ^ 4 " ^

kongruente Ellipse ausschneidet, muss demnach die X - und Y - A x e in Abständen m und n vom Anfangspunkt schneiden, welche den Bedingungen genügen: 1 Ii 2 1 J22

—

23

—

Schneidet sie eine flächengleiche Ellipse aus, so besteht die Bedingung 2 Ii 2 5) — = ^5 ' g d2m 6)

I22 fj,„—, endlich für eine ähnliche Ellipse: 1 f2n r

Ii 2 J22 # m - P n

°'

=

§ 9.

Geometrische Deutung der im § 8 gefundenen Bedingungen. Man ersieht, dass die Grösse c in der Gleichung 1 der Fläche 2. Ordnung § 8 in die Formeln nicht eingeht. Die Betrachtungen gelten also für das ganze Büschel von Flächen 2. Ordnung, welches durch die beiden benachbarten Ellipsen bestimmt ist. Um die Bedeutung der übrigen Koefficienten der Fläche 2. Ordnung x2 y2 z2 2xz 2yz 2z

Ii2"1" l22_t" c2"1" d2 ~r f 2 ^ g kennen zu lernen, suchen wir die Koordinaten xx yi z, des Poles der XY-Ebene in Bezug auf die Fläche. Ii 2 ff I22 ff Diese sind: Xi = y, = ^f z, = g. Damit gehen die Bedingungen 4, 5, 6 des § 8 über in: 1) m = — Xi

n = — Vi für kongruente Ellipsen,

2) ^ + ^ + 2 = 0

für flächengleiche Ellipsen,

3)

für ähnliche Ellipsen.

m

_ 71 =

n

0

Gleichung 2 definiert, wenn wir m und n variabel nehmen, Xi Vi einen Punkt mit den Koordinaten — — Gleichung 3 i u den unendlich entfernten Punkt einer Geraden mit dem Richtungskoefficient tg a = — —• Xi

—

23

—

Schneidet sie eine flächengleiche Ellipse aus, so besteht die Bedingung 2 Ii 2 5) — = ^5 ' g d2m 6)

I22 fj,„—, endlich für eine ähnliche Ellipse: 1 f2n r

Ii 2 J22 # m - P n

°'

=

§ 9.

Geometrische Deutung der im § 8 gefundenen Bedingungen. Man ersieht, dass die Grösse c in der Gleichung 1 der Fläche 2. Ordnung § 8 in die Formeln nicht eingeht. Die Betrachtungen gelten also für das ganze Büschel von Flächen 2. Ordnung, welches durch die beiden benachbarten Ellipsen bestimmt ist. Um die Bedeutung der übrigen Koefficienten der Fläche 2. Ordnung x2 y2 z2 2xz 2yz 2z

Ii2"1" l22_t" c2"1" d2 ~r f 2 ^ g kennen zu lernen, suchen wir die Koordinaten xx yi z, des Poles der XY-Ebene in Bezug auf die Fläche. Ii 2 ff I22 ff Diese sind: Xi = y, = ^f z, = g. Damit gehen die Bedingungen 4, 5, 6 des § 8 über in: 1) m = — Xi

n = — Vi für kongruente Ellipsen,

2) ^ + ^ + 2 = 0

für flächengleiche Ellipsen,

3)

für ähnliche Ellipsen.

m

_ 71 =

n

0

Gleichung 2 definiert, wenn wir m und n variabel nehmen, Xi Vi einen Punkt mit den Koordinaten — — Gleichung 3 i u den unendlich entfernten Punkt einer Geraden mit dem Richtungskoefficient tg a = — —• Xi

-

24

—

Ist also in der Figur 12 Pi die senkrechte Projektion des Xl2 yj2 Poles der Ellipse y-^ -)- J-J = 1 in Bezug auf das Ellipsoid, so ist A B die Gerade, nach welcher die Ebene der benachbarten kongruenten Ellipse schneidet, durch Punkt A gehen die Ebenen von benachbarten flächengleichen Ellipsen, die Ebenen von benachbarten ähnlichen Ellipsen schneiden nach Parallelen zu A B. Durch die Punkte C und D gehen die Ebenen benachbarter Ellipsen, welche die eine Axe von der Länge 2Ii resp. 2h haben. Man kann die gefundenen Sätze dazu benützen, die Einhüllende der Ebenen kongruenter oder flächengleicher Ellipsen, oder von solchen Ellipsen, welche die eine Axe gleich haben, in Punktkoordinaten darzustellen.

§ io.

Ort der Mittelpunkte und Pole kongruenter Ellipsen auf einem Ellipsoid. P o l k u r v e n und P o l k e g e l . Nach § 4, Gleichung 1 und 3 liegt der Mittelpunkt einer Ellipse mit der Halbaxe lj auf der Kuive mit den Gleichungen: x2 z2 I y2 I _ i a2 b2 c2 n2' a2—n2_t"b2 — r i 2 _ l " c 2 — n 2 wo ri variabler Parameter ist.

[i2 n2'

Ebenso liegt der Mittelpunkt einer Ellipse mit der HalbAxe I2 auf der Kurve mit den Gleichungen: x2,^2 . a2 b2 c2

h^ r22

x2 a2—

r22

b2

y2 — r22

z2 c2 —

I22 r22'

n2

Ii I2 Fallen beide Ellipsen zusammen, so muss — = — seiD. ri

r2

Setzen wir dieses Verhältnis gleich —, so gehen beide Gleichungssysteme über in:

-

24

—

Ist also in der Figur 12 Pi die senkrechte Projektion des Xl2 yj2 Poles der Ellipse y-^ -)- J-J = 1 in Bezug auf das Ellipsoid, so ist A B die Gerade, nach welcher die Ebene der benachbarten kongruenten Ellipse schneidet, durch Punkt A gehen die Ebenen von benachbarten flächengleichen Ellipsen, die Ebenen von benachbarten ähnlichen Ellipsen schneiden nach Parallelen zu A B. Durch die Punkte C und D gehen die Ebenen benachbarter Ellipsen, welche die eine Axe von der Länge 2Ii resp. 2h haben. Man kann die gefundenen Sätze dazu benützen, die Einhüllende der Ebenen kongruenter oder flächengleicher Ellipsen, oder von solchen Ellipsen, welche die eine Axe gleich haben, in Punktkoordinaten darzustellen.

§ io.

Ort der Mittelpunkte und Pole kongruenter Ellipsen auf einem Ellipsoid. P o l k u r v e n und P o l k e g e l . Nach § 4, Gleichung 1 und 3 liegt der Mittelpunkt einer Ellipse mit der Halbaxe lj auf der Kuive mit den Gleichungen: x2 z2 I y2 I _ i a2 b2 c2 n2' a2—n2_t"b2 — r i 2 _ l " c 2 — n 2 wo ri variabler Parameter ist.

[i2 n2'

Ebenso liegt der Mittelpunkt einer Ellipse mit der HalbAxe I2 auf der Kurve mit den Gleichungen: x2,^2 . a2 b2 c2

h^ r22

x2 a2—

r22

b2

y2 — r22

z2 c2 —

I22 r22'

n2

Ii I2 Fallen beide Ellipsen zusammen, so muss — = — seiD. ri

r2

Setzen wir dieses Verhältnis gleich —, so gehen beide Gleichungssysteme über in:

-

a 2 ^ b2 ^ c2 a2 — \x2 Ii2

25

-

|x2 |i 2 ll-12 '+ C 2 — ( l 2 h 2 2 ,2

l)2

x _ i _ y ,2|„2 2122 I1 b 2 — [X2l22 a 2 — ¡i.

H' 1

. . . . 1.

c 2 — |x2)22

Aus den Gleichungen 1 kann man also den Ort der Mittelpunkte der kongruenten Ellipsen mit den Halbaxen h und I2 berechnen. Lösen wir die Gleichungen nach x 2 y2 z 2 auf, so erhalten wir: v2 in.. Sä 1.2W„2 „2 M W a2 2

y b2

( a 2 - - b2) (b 2

(b 2 --

(a 2 •- c 2 ) —-,x 2 U 2 ) (b 2 - c 2 )

[i2li2)(b2 a2)

. . 2

Parameter ¡1.

z 2 _ ( c 2 - |I 2 li 2 ) ( c 2 - [x2I22) „2 /„2 „2\ /,.2 W2\ Diese Kurve ist 12. Ordnung, denn sie schneidet eine beliebige Ebene in 12 Punkten, weil die resultierende Gleichung vom 12. Grad in ¡x2 ist. Die K u r v e hat fachen Punkt.

im

Anfangspunkt (¡x2 = 1) einen

vier-

F ü r die Kurve der Pole von kongruenten Ellipsen erhält man unter Benützung der Formeln I I § 3 (a 2 — ji 2 Ii 2 ) (a 2 — [i2 k 2 ) a2

y2 _ b2

z2 _

( a

2_b

2

)(a

2

-c

2

)(l-i)

(b 2 — [i2 Ii 2 ) (b 2 — p,2122) (b

2

-a

2

)(b

2

-c

)(l-i) \ r '

2

(c 2 — |i. 2 Ii 2 )(c 2 —|I 2 ] 8 2 ) (c 2 i2) ( c 2 — b 2 ) ( l —

Diese Kurve ist 12. Ordnung. Damit ergibt sich reciprok, dass die Einhüllende der Ebenen kongruenter Ellipsen auf einem Ellipsoid von der 12. Klasse ist.

—

26

Es zeigt sich für das Folgende die Einführung eines neuen Parameters von Vorteil. Setzen wir statt u. r den Wert — x statt 1, und h die Werte xlj und xU, so geht das System 2 und 3 über in: Gleichungen der Kurve der Mittela 2 ~ (a2 - b2) (a 2 -- c 2 ) V F-2 2 2 2 2 2 2 2 x' 2 a punkte von kony _ ( b - [i li ) ( b - li l2 )/ b2 (b2-- a 2 ) (b 2 -- c 2 ) V V gruenten Ellipsen z2 ( c 2 - |i 2 ll 2 ) ( c 2 mit den Halbaxen xlj und xU. c 2 ~~ (c2-- a 2 ) (c 2 -- b 2 ) V1 X2 aa

(a 2 -- | i 2 l i 2 ) (a 2 -- (A2l22) 2 2 2 ( a 2 - .b ) (a — c )

KD

Gleichungen der Kurve der Pole von kony _ . . . 3a gruenten Ellipsen mit b2 (b 2 — a 2 ) (b2 c2) — ^ den Halbaxen xl, und z 2 _ (c 2 — |i 2 li 2 ) (c 8 —n'l» 8 ) xle. 2

(b 2 --H, 2 li 2 ) (b 2 -— [i2122)

(c 2 —a 2 ) (c2 Sind die Parameter ¡J. und x variabel, so stellt das System 2 a oder 3 a den in § 7 gefundenen Kegel dar. Die Kurven |i = const. geben die Erzeugenden desselben, die Kurven x = const. geben den Ort der Mittelpunkte oder Pole von kongruenten Ellipsen. Für x = 0 erhalten wir den Schnitt des Kegels mit dem Ellipsoid ^ + p +

nämlich:

x 2 _ (a 2 — n 2 h 2 ) (a2 — ^2l22) ä2 (a 2 — b2) (a2 — c2) : y 2 _ (b 2 —n 2 h 2 ) (b 2 —\L 2 U 2 ) = b 2 _ (b 2 —a 2 ) (b2 — c2) 2 2 2 2 z (c — 1X ll ) (c2 |X2l22) 2 c (c 2 —a 2 ) (c2 —b 2 ) —

X2 Ii2" Y2

Gleichungen des Ortes der Mittelpunkte oder Pole von Ellipsen mit unendlich kleinen Axen und Z2 dem Axenverhältnis c2 1,:U. Der Schnitt gibt also eine Kurve 8. Ordnung.

—

27

—

Einen zweiten Ort der Pole von Ellipsen mit unendlich kleinen Axen erhält man aber auch, wenn man in 3 a 1, = b = 0 setzt, nämlich x2 a4 1 _ y2 b4 1 a2

(a 2 —b 2 ) (a 2

c2)

Z °2

r"

(b2

1

rA

(c a —a 2 ) (° 2

a 2 )(b 2 — c2)

b2)

r"

1 -

r die Gleichungen von 4 imaginären Geraden. Die Kurve 8. Ordnung und diese 4 Geraden geben wieder zusammen eine Kurve 12. Ordnung. Wir wollen nun die gestaltlichen Verhältnisse der Kurve der Pole von kongruenten Ellipsen mit den Halbaxen x 1, und x I2 betrachten (3 a). Wir nennen sie kurz die Polkurve, den in § 7 gefundenen Kegel den Polkegel. Bei der grossen Mannigfaltigkeit der Formen wollen wir nur einen speziellen Fall betrachten. nämlich l < ^ - r - < r " < — • KÍ2 D C Das Axenverhältnis soll also kleiner sein als das Verhältnis der grössten zur mittleren Axe des Ellipsoides. Zur Untersuch ung benützen wir die Gleichungen 3a, für welche die Halbaxen L i = x l i und L2 = x I2 sind, wobei immer Li>L2. Wir denken uns die 1. Gleichung als die Gleichung einer Kurve in Koordinaten x und (i und zeichnen uns die Kurve schematisch in ein Koordinatensystem mit der (i-Axe und x-Axe, machen das gleiche für die 2. und 3. Gleichung, und legen die drei Kurven so aufeinander, dass Anfangspunkt und ¡j,-Axen zusammenfallen. Dann ersieht man, dass reelle Werte von x 2 , y 2 , z 2 für Werte von ¡i2 existieren, so lange b2 b2 I. p ¡ < [i2 < j-jj, wenn 1) jedeHalbaxe der Ellipse kleiner ist als c,

b2

2) die eine Halbaxe kleiner als b, die andere kleiner als c.

II. x 2 < ( i 2 < p 2 , wenn die eine Halbaxe kleiner ist als b, die andere grösser als b.

—

Berücksichtigen

28

—

X^

V2

a

D

wir noch, dass —2 -f- ^

Z2

1

—g- = c .

x

g,

so erhalten wir damit die Entfernung d des Poles vom Mittelpunkt der Kegel, im affinen System, nämlich d 2 = — ^ — 2 1

Mit wachsendem (i nimmt d ab, mit wachsendem x nimmt d zu. Wir erhalten also im affinen System ungefähr folgendes Bild der Polkurven, für die verschiedenen Werte von x, wie sie Figur 13 (nur für den ersten Oktanten gezeichnet) darstellt. F ü r -/t2 = 0 liegt die Polkurve auf der Kugel, b2 für x 2 = j—g verläuft die Polkurve asymptotisch, ebenso für alle b2 Werte x 2 > p - 2 , 2 b22 fällt die Polkurve ganz ins Unendliche, für für xx 2 >= pbj-jj 2 wird sie imaginär.

Für negative Werte von x 2 liegt die Polkurve im Innern der Kugel, die Pole gehören zu Ellipsen mit den imaginären Axen x i h und x i h , sind jedoch zugleich die Mittelpunkte von Ellipsen mit den reellen Axen x l , und xU. Weitere Eigenschaften der Polkurve ergeben sich aus § 12. Wir wollen an dieser Stelle die Frage beantworten: Welche Bedingungen müssen die Halbaxen Li und L2 einer Ellipse erfüllen, (L t >La), damit sie auf ein gegebenes X2

V2

Ellipsoid ^ -)- p

z2

= 1 aufgelegt werden kann ?

Die Bedingungen diese: 1) Das Verhältnissind der Axen

L t : L2

muss

liegen

zwischen — und 1. c 2) Ist das Verhältnis gelegen

zwischen ^ und

muss die grössere Halbaxe Li kleiner sein als a.

so

— 29 3) Ist

das Verhältnis

gelegen

3,

zwischen -j- und 1, so

muss die kleinere Halbaxe La kleiner sein (cfr. § 2 I).

als b.

§ 11Einhüllende von Ellipsen, die auf einem Ellipsoid liegen und einer gegebenen Ellipse kongruent sind. (Kurven x = const.) Einer Polkurve entspricht reciprok eine abwickelbare Fläche, nämlich die Einhüllende der den Polen zugeordneten Polarebenen, welche kongruente Ellipsen aus dem Ellipsoid ausschneiden. Der Schnitt der abwickelbaren Fläche mit dem Ellipsoid ist also zugleich Einhüllende der kongruenten Ellipsen auf demselben. Wir wollen die Gleichungen der Einhüllenden aufstellen: Unter Benützung des Systems § 10, 3 a und der abkürzenden Symbole X Y Z § 10, 4 hat die Gleichung der Ebene, welche eine Ellipse mit den Halbaxen xl t und v.h aus dem Ellipsoid X2 y 2 z 2 1) -T,4-rriH—5 = 1 ausschneidet, die Form: b*

c*

Die Ebene der benachbarten kongruenten Ellipse schneidet nach einer Geraden, die sowohl der Ebene 2 als der Ebene xX' y Y ' zZ' 3K x2 *) 3) = = a n g - ¡ ? - + + v- s¡jtT -¡y ° 1 ^ Diese 3 Gleichungen geben also implicite die Einhüllende. Wir lösen nach x y z auf. Aus 2 und 3 erhält man:

y_rZ/K b

Lc

Z X2

x /XZ /

c|i3K

a V ac

ZX'VI /YZ' ZY'\ ac / J ' V bc

bc /

- — _ r — k — - —3 — - ( X Y ' — Y — ) ~ ] • ( Y z ' — c Lb b fj, K a \ ab ab / J ' V bc

bc /

*) X' Y' Z' bedeuten die Ableitungen von X Y Z nach [j,.

— 29 3) Ist

das Verhältnis

gelegen

3,

zwischen -j- und 1, so

muss die kleinere Halbaxe La kleiner sein (cfr. § 2 I).

als b.

§ 11Einhüllende von Ellipsen, die auf einem Ellipsoid liegen und einer gegebenen Ellipse kongruent sind. (Kurven x = const.) Einer Polkurve entspricht reciprok eine abwickelbare Fläche, nämlich die Einhüllende der den Polen zugeordneten Polarebenen, welche kongruente Ellipsen aus dem Ellipsoid ausschneiden. Der Schnitt der abwickelbaren Fläche mit dem Ellipsoid ist also zugleich Einhüllende der kongruenten Ellipsen auf demselben. Wir wollen die Gleichungen der Einhüllenden aufstellen: Unter Benützung des Systems § 10, 3 a und der abkürzenden Symbole X Y Z § 10, 4 hat die Gleichung der Ebene, welche eine Ellipse mit den Halbaxen xl t und v.h aus dem Ellipsoid X2 y 2 z 2 1) -T,4-rriH—5 = 1 ausschneidet, die Form: b*

c*

Die Ebene der benachbarten kongruenten Ellipse schneidet nach einer Geraden, die sowohl der Ebene 2 als der Ebene xX' y Y ' zZ' 3K x2 *) 3) = = a n g - ¡ ? - + + v- s¡jtT -¡y ° 1 ^ Diese 3 Gleichungen geben also implicite die Einhüllende. Wir lösen nach x y z auf. Aus 2 und 3 erhält man:

y_rZ/K b

Lc

Z X2

x /XZ /

c|i3K

a V ac

ZX'VI /YZ' ZY'\ ac / J ' V bc

bc /

- — _ r — k — - —3 — - ( X Y ' — Y — ) ~ ] • ( Y z ' — c Lb b fj, K a \ ab ab / J ' V bc

bc /

*) X' Y' Z' bedeuten die Ableitungen von X Y Z nach [j,.

Setzt

man

auf — die £L x

l

ac2

a l\ a c 2

~

X Y Y

ac2 +

SYY'

S f

_

X Y /

V ab _ / X ~

ab /

2

V^

"

2

+

Da V

X

.

Y

2

b

2

bekannten

' _ Y X ' V

X Y

/YZ'

bc / /XX'

i

"b

A " ä

"

C« /

+

b c / '

Z Y ^ Y , / Z X ^ __ X Z V

Z'2\

1

c V

ZY'V

Determinantensatze:

Y/2

r

^

/

¡¡V V b2 +

Z2\/X'2

. Z2

ergibt

V ac

V^ "" " 2

ac /

Y Y ' b

1

ZZ'V

2

XZZ

ZY'V

X Y Y '

2

haben

wir

X2Z'

" b

X'Y

noch

" "

, Y Y '

7/2

, ZZ'

„

V/

c2

c

1

X ^ X '

" ^

X

-

2

zu

Z2Z'

2

Z'2

2

Y I -

,

a2

X

1 ?

;

a

X X '

a

a2

a

X 2

/ Y^2

2

Y'

" " ? "

Y^2

"a2

V

a X

2

a2 X'

2

a2

a

transformieren:

T 2

X ^ X '

a2 X '

Y Y ' ZZ'

2

2

/

X ' ^ X X '

3

a2

ab2

Y^2

Y'2

XX'

a

ab2

b c / ~~ ~ c ~

_

+

ab2

f

/

2

X'YYT'

2

ac2

Z'2

X X '

J V

X' —

ab2 X'Z

/

,

sich

XY'

ac2

Endlich

\bc

einem

f

x2^ /Y^2

VTc

Y X ' V

ac2

/YZ'

\

+

T

ab2

Z2\ _ / Y Z '

V bc

2

X'ZZ'

ab2 d

+

, Y

2

Ferner XZ'

K j

3

X

2

_

ab /

_/XY'

2

~ e i P n

_

/

\ ab

i

Bezug

nun X

2

so

X2 )

/Y2

nach

' Y _ f

Y X

in

ab2

+

ist nun

man

XY'

ac2

_ X'Y2\

/

ab2

\ b2

erhält

X'ZZ'

2

ZZ'Nx2

Es

so

Gleichung: xj/XZ'

2

-

1 ein,

ab /

/XZZ' _ X'Z

+

in

Y X V

\ ab

.

Werte

quadratische

/ X Y '

2 ;

a2

diese

30

""Ij

2

/YY' Z'2\ _

X

2

X/2

2

X^Y' a

F

T

8 2

ZZ'V

Z2 "~i

2

Y'2 "b

2

'

—

31

Setzen wir die transformierten Werte in die quadratische Gleichung und deren Lösung ein, so erhalten wir: i !2 s a

a2

_

I 2 2 '. K 4 - — —3 1 a la a a (j, K j

x Lösen wir nun nach — auf a Wurzel, so erhalten wir:

- 2 u —2 n a

und vereinfachen

unter

X'YX%X'2

V/2 J a H'KS-^ (iS

a

— 2) 4 - 2 — 2 a / ' a (i

V

^IFAU**

¡ S r V Ht e D

der

/ Y ' 2 . Z' 2

oder ZY be

YZ' x be a

a

a

»

•

analog

n

f

t

r

ZX' x ac

i - l K - l - I ' - —

¡1/;

x

"

(|i

._X«)2

V,

X'2

xz ac 2

y/2 d.

XY'_YX x2 C

C

C 3

x ab ab " X 1' 2 ^ . / — "

'

„vyX",

Das sind also die Gleichungen der Einhüllenden gruenter Ellipsen auf einem Ellipsoid.*)

kon-

Wir wollen diese Einhüllende als Kurve x = const. bezeichnen. Die Gleichungen bestehen aus je 3 Teilen. *) Eine andere Ableitung dieser Formeln ergibt sich durch Anwendung von § 9.

— Die ersten Teile — K a

32 -¡- K b

— —K c

geben

die

Koordinaten

der Mittelpunkte kongruenter Ellipsen (§ 10 2 a ) ; die zweiten Teile die Projektionen auf die KoordinatenAxen von der Verbindungslinie des Mittelpunktes der Ellipse mit dem Mittelpunkt der Sehne, nach welcher die benachbarte kongruente Ellipse die ursprüngliche schneidet; die dritten Teile geben die Projektionen auf die Koordinatenaxen von der halben Sehne, deren Richtungscosinus im Verhältnis C17^ _ b — — ) c ( X Y - - — ^ stehen \ bc bc / ' \ ac ac / ' \ ab ab / Die ersten und zweiten Teile zusammen geben Koordinaten des Mittelpunktes dieser Sehne.

a

die

Die Sehne ist parallel zur X Y-Ebene, wenn X Y ' — Y X = 0 u. s. w. A n m.: Die Gleichungen 4 sind so eingerichtet, dass sie sofort auf das affine System übertragen werden können.

§ 12.

Die K u r v e n jj. = const. Jedem Werte des Parameters x in den Gleichungen 4 § IL entspricht eine bestimmte Kurve x = const. Durch Variation von x erhalten wir eine Schar von Kurven x = const, auf dem Ellipsoid. Ebenso ergibt sich eine zweite Kurvenschar ¡x = const., wenn wir x als variablen Parameter ansehen. Diese Kurven [i = const, sind 4. Ordnung, sie sind die Schnitte hyperbolischer Cylinder mit dem Ellipsoid. Denn die Elimination des Parameters x aus den Gleichungen 2 und 3 § 11 ergibt

also fur jeden Wert von (i einen hyperbolischen Cylinder.

— Die ersten Teile — K a

32 -¡- K b

— —K c

geben

die

Koordinaten

der Mittelpunkte kongruenter Ellipsen (§ 10 2 a ) ; die zweiten Teile die Projektionen auf die KoordinatenAxen von der Verbindungslinie des Mittelpunktes der Ellipse mit dem Mittelpunkt der Sehne, nach welcher die benachbarte kongruente Ellipse die ursprüngliche schneidet; die dritten Teile geben die Projektionen auf die Koordinatenaxen von der halben Sehne, deren Richtungscosinus im Verhältnis C17^ _ b — — ) c ( X Y - - — ^ stehen \ bc bc / ' \ ac ac / ' \ ab ab / Die ersten und zweiten Teile zusammen geben Koordinaten des Mittelpunktes dieser Sehne.

a

die

Die Sehne ist parallel zur X Y-Ebene, wenn X Y ' — Y X = 0 u. s. w. A n m.: Die Gleichungen 4 sind so eingerichtet, dass sie sofort auf das affine System übertragen werden können.

§ 12.

Die K u r v e n jj. = const. Jedem Werte des Parameters x in den Gleichungen 4 § IL entspricht eine bestimmte Kurve x = const. Durch Variation von x erhalten wir eine Schar von Kurven x = const, auf dem Ellipsoid. Ebenso ergibt sich eine zweite Kurvenschar ¡x = const., wenn wir x als variablen Parameter ansehen. Diese Kurven [i = const, sind 4. Ordnung, sie sind die Schnitte hyperbolischer Cylinder mit dem Ellipsoid. Denn die Elimination des Parameters x aus den Gleichungen 2 und 3 § 11 ergibt

also fur jeden Wert von (i einen hyperbolischen Cylinder.

—

38

—

Jede Erzeugende dieses Cylinders ist der Schnitt der Ebene einer Ellipse mit der Ebene der ihr benachbarten kongruenten Ellipse. Alle diese Ebenen sind parallel zu einander. Wir können also folgenden Satz aussprechen: Werden Ellipsen auf einem Ellipsoid durch parallele Ebenen ausgeschnitten und bestimmt man in jeder Ellipsenebene diejenige Gerade, nach welcher die Ebene der benachbarten kongruenten Ellipse schneidet (§ 9), so sind diese Geraden Erzeugende eines hyperbolischen Cylinders. Die eine Asymptotenebene desselben ist die durch den Mittelpunkt des Ellipsoides hindurchgehende Ebene. Der

Cylinder

zerfällt in

das

Ebenenpaar

x= 0

und

-f- —1 = 0, ^ wenn X = 0, also X ' = oe. c Die Kurve |x = const. degeneriert in diesem Falle in zwei Ellipsen, von denen die eine durch die YZ-Ebene ausgeschnitten wird, die andere durch die Diameterebene, welche konjugiert ist zum Durchmesser mit den Richtungscosinus 0 : Y o : Zo. b^

Ebenso zerfallt der Cylinder für Werte des Parameters ¡j.2, welche Y oder Z zu Null machen. Jede Erzeugende des Cylinders ist Sehne des Ellipsoides, die jedenfalls einen reellen Mittelpunkt hat, der auf der Hyperbel mit den Gleichungen x = XK-f

X ' -

X'2

y = Y K + Y'

V / 2

•AT =

Z K + Z