Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1 [4 ed.] 9783662669013, 9783662669020, 3662669013

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Klaus Höllig Jörg Hörner

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1 4. Auflage

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1

Klaus Höllig · Jörg Hörner

Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1 4. Auflage

Klaus Höllig Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland

Jörg Hörner Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland

ISBN 978-3-662-66901-3 ISBN 978-3-662-66902-0  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2017, 2019, 2021, 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Andreas Rüdinger Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Vorwort zur ersten Auflage Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften haben bereits zu Beginn ihres Studiums ein sehr umfangreiches Mathematikprogramm zu absolvieren. Die Höhere Mathematik, die für die einzelnen Fachgebiete in den ersten drei Semestern gelesen wird, umfasst im Allgemeinen die Gebiete Vektorrechnung und Lineare Algebra, Analysis von Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher, Differentialgleichungen, Vektoranalysis, Komplexe Analysis. Dieser Unterrichtsstoff aus unterschiedlichen Bereichen der Mathematik stellt hohe Anforderungen an die Studierenden. Aufgrund der knapp bemessenen Zeit für die Mathematik-Vorlesungen haben wir deshalb begleitend zu unseren Lehrveranstaltungen umfangreiche zusätzliche Übungs- und Lehrmaterialien bereitgestellt, die inzwischen teilweise bundesweit genutzt werden. Als Bestandteil dieser Angebote enthält das Buch Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1 eine umfassende Sammlung von Aufgaben, die üblicherweise in Übungen oder Klausuren gestellt werden. Studierenden wird durch die exemplarischen Musterlösungen die Bearbeitung von Übungsaufgaben wesentlich erleichtert. Für alle typischen Fragestellungen werden in dem Buch die anzuwendenden Lösungstechniken illustriert. Des Weiteren sind die gelösten Aufgaben zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Wiederholung geeignet. Die Aufgabensammlung wird durch das Angebot von Mathematik-Online auf der Web-Seite https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de ergänzt. Im Lexikon von Mathematik-Online werden relevante Definitionen und Sätze detailliert erläutert. Dort finden sich auch Beispiele für die verwendeten Methoden. Darüber hinaus existieren für viele Aufgaben des Buches bereits Varianten mit interaktiver Lösungskontrolle, mit denen Studierende ihre Beherrschung der Lösungstechniken testen können. Auch im Nebenfach soll das Mathematik-Studium Freude bereiten! Ein besonderer Anreiz ist der „sportliche Aspekt“ mathematischer Probleme, die nicht durch unmittelbare Anwendung von Standardtechniken gelöst werden können. Das Buch enthält auch einige solcher Aufgaben, die wir teilweise in kleinen Wettbewerben

1

seit der zweiten Auflage gegliedert in drei Bände

vi parallel zu Vorlesungen („Die am schnellsten per E-Mail eingesendete korrekte Lösung gewinnt . . .“) verwendet haben. Einige dieser Aufgaben werden ebenfalls als Aufgaben der Woche auf der oben erwähnten Web-Seite veröffentlicht (Anklicken des Logos von Mathematik-Online ). Die Aufgabensammlung des Buches basiert teilweise auf Vorlesungen zur Höheren Mathematik für Elektrotechniker, Kybernetiker, Mechatroniker und Physiker des ersten Autors. Beim letzten Zyklus, der im Wintersemester 2012/2013 begann, haben Dr. Andreas Keller2 und Dr. Esfandiar Nava Yazdani bei Übungen und Vortragsübungen mitgewirkt. Beide Mitarbeiter haben eine Reihe von Aufgaben und Lösungen zu dem Buch beigetragen. Die Arbeit an Mathematik-Online und an Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik hat uns nicht nur viel Freude bereitet, sondern auch die Durchführung unserer Lehrveranstaltungen für Ingenieure und Naturwissenschaftler erheblich erleichtert. In den nachfolgenden Hinweisen für Dozenten geben wir einige Anregungen, wie das Buch in Verbindung mit den im Internet bereitgestellten Materialien optimal genutzt werden kann. Um die Verwendung der verschiedenen Angebote noch effektiver zu gestalten, werden wir weiterhin unsere Projekte in der Lehre unter Einbeziehung neuer Medien mit großem Engagement verfolgen. Wir bedanken uns dabei herzlich für die Unterstützung des Landes Baden-Württemberg und der Universität Stuttgart, die maßgeblich zum Erfolg unserer Internet-Angebote beigetragen hat. Herrn Dr. Andreas Rüdinger vom Springer-Verlag danken wir für seine Initiative, unsere Online-Angebote durch ein Lehrbuch zu ergänzen, und für die ausgezeichnete Betreuung in allen Phasen dieses Projektes gemeinsam mit seinem Team. Stuttgart, Dezember 2016 Klaus Höllig und Jörg Hörner

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seit 2017 Professor an der Hochschule für angewandte Wissenschaften in Würzburg

Vorwort zur zweiten Auflage Die zweite Auflage ist mit mehr als 100 zusätzlichen Aufgaben umfangreicher. Deshalb erschien eine Aufteilung in drei Bände, die sich an einem üblichen dreisemestrigen Vorlesungszyklus orientiert, sinnvoll. Dieser erste Band behandelt die Themen Mathematische Grundlagen, Vektorrechnung, Differentialrechnung, Integralrechnung, Anwendungen mathematischer Software. Lineare Algebra, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen und mehrdimensionale Integration sowie Differentialgleichungen, Vektoranalysis, Fourier-Analysis und komplexe Analyis sind Gegenstand der Bände zwei und drei. Mit den zusätzlichen Aufgaben möchten wir Dozenten eine größere Auswahlmöglichkeit geben, insbesondere auch mehr Flexibilität, um gegebenenfalls den Schwierigkeitsgrad zu variieren. Studierende sollen für die meisten typischen Klausur- und Übungsaufgaben ein ähnliches Beispiel finden. Schreiben Sie uns ([email protected]), wenn Sie einen Aufgabentyp vermissen! Weitere zusätzliche Aufgaben mit Lösungen werden wir dann zunächst im Internet, begleitend zu unseren Büchern, bereitstellen. Neu in der zweiten Auflage sind Aufgaben, die mit Hilfe von Matlab® 3 und MapleTM 4 gelöst werden sollen. Diese Aufgaben wurden bewusst sehr elementar konzipiert, um Studierende auch ohne Programmierkenntnisse mit numerischer und symbolischer Software vertraut zu machen und Dozenten die Einbeziehung mathematischer Software in ihre Vorlesungen ohne nennenswerten Mehraufwand zu ermöglichen. Die Programmieraufgaben sind auf die theoretischen Aufgaben abgestimmt, insbesondere um Lösungen zu verifizieren und um bestimmte Aspekte von Problemstellungen zu illustrieren. Zu einigen Themen stehen auf der Web-Seite https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/imng/TCM/

3 4

Matlab® is a registered trademark of The MathWorks, Inc. MapleTM is a trademark of Waterloo Maple, Inc.

viii Matlab® -Demos zur Verfügung, die Methoden und Lehrsätze veranschaulichen und mit den Aufgaben verlinkt sind. Wie bereits bei der Vorbereitung der ersten Auflage haben wir ausgezeichnet mit Herrn Dr. Andreas Rüdinger, dem für Springer Spektrum verantwortlichen Editorial Director, und der Projekt-Managerin, Frau Janina Krieger, die uns bei der Neuauflage bei allen technischen und gestalterischen Fragen betreut hat, zusammengearbeitet. Insbesondere wurden alle unsere Anregungen und Wünsche sehr wohlwollend und effektiv unterstützt. Dafür bedanken wir uns herzlich und freuen uns darauf, in Abstimmung mit dem Springer-Verlag auch die begleitenden Internetangebote zu Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik weiterzuentwickeln. Stuttgart, Dezember 2018 Klaus Höllig und Jörg Hörner

Vorwort zur dritten Auflage Es hat den Autoren viel Freude bereitet, Ergänzungen an dem kombinierten Buchund Internetprojekt vorzunehmen. Dabei waren die Anregungen und die Unterstützung von Herrn Dr. Andreas Rüdinger und Frau Iris Ruhmann sehr willkommen und hilfreich. Während der Produktionsphase der Neuauflage hat uns Frau Anja Groth ausgezeichnet betreut. Wir danken diesem Team des Springer-Verlags herzlich dafür. Darüber hinaus möchten wir Elisabeth Höllig für ihre Mitwirkung bei einem „nicht-mathematischen“ Korrekturlesen des neuen Materials danken. In der Neuauflage haben wir die Aufgabensammlung durch eine stichwortartige Formelsammlung ergänzt. Die Formulierungen enthalten gerade soviel Detail, wie Studierende benötigen sollten, um sich an die für die Aufgaben relevanten mathematischen Sachverhalte zu erinnern. Diese kompakte Form der Darstellung erleichtert ebenfalls eine Klausurvorbereitung, bei der man in der elektronischen Version des Bandes via Links auf ausführliche Beschreibungen im Internet zurückgreifen kann. Die Neuauflage enthält wiederum weitere zusätzliche Aufgaben, um möglichst jeden Standardaufgabentyp zu berücksichtigen. Insbesondere haben wir einen Abschnitt zu „Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit“ hinzugefügt. Wie bisher haben wir Wert darauf gelegt, dass die überwiegende Zahl der Aufgaben „varianten-geeignet“ ist, d.h. sich gut für die Abfolge „Vorlesungsbeispiel → Übung → Klausur“ eignet. Wir freuen uns, wenn „Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik“ gerade in der aktuell schwierigen Situation einen Beitrag zur Erleichterung der Lehre und einem erfolgreichen Studium leisten kann. Stuttgart, Januar 2021 Klaus Höllig und Jörg Hörner

xi Vorwort zur vierten Auflage Um uns zu wiederholen: Unser Buchprojekt wurde weiterhin durch Dr. Andreas Rüdinger, dem verantwortlichen Editorial Director von Springer Spektrum, ausgezeichnet betreut - herzlichen Dank dafür! Wir danken ebenfalls Elisabeth Höllig für ein „nicht-mathematisches“ Korrekturlesen des umfangreichen zusätzlichen Materials für die vierte Auflage. Neu sind Tests mit detaillierten Lösungshilfen am Ende der Kapitel. Insgesamt enthalten diese Tests über 100 zusätzliche Aufgaben. Diese Aufgaben stehen auch als elektronische Zusatzmaterialien (ESM) zur Verfügung. Damit haben Studierende die Möglichkeit, Ergebnisse zu den Aufgaben interaktiv zu überprüfen. Darüber hinaus wurden eine Reihe weiterer Aufgaben ergänzt, insbesondere zu Anwendungen von Matlab® und MapleTM . Stuttgart, Dezember 2022 Klaus Höllig und Jörg Hörner

xiii

Hinweise für Dozenten Die drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik umfassen die folgenden Komponenten: Aufgaben mit detaillierten Lösungsskizzen, Tests mit Lösungshinweisen und Lösungskontrolle, eine stichwortartige Formelsammlung, Vortragsfolien mit Beschreibungen von Definitionen und Lehrsätzen als ergänzendes, im E-Book verlinktes Internetmaterial. Aufgaben Die Aufgaben sind für Studierende eine Hilfe bei der Bearbeitung von Übungsaufgaben und zur Vorbereitung auf Prüfungen. Die Lösungen sind stichwortartig beschrieben, in einer Form, wie sie bei Klausuren gefordert oder bei Handouts verwendet wird. Damit sind sie ebenfalls als Beamer-Präsentationen geeignet und wurden entsprechend aufbereitet. Diese Präsentationsfolien stehen als Zusatzmaterialien für Dozenten (→ sn.pub/lecturer-material) zur Verfügung. Über einen Index können Dozenten eine Auswahl treffen und die Aufgaben als Beispiele in ihre Vorlesungen integrieren oder in Vortragsübungen verwenden. Vortragsfolien Die Aufgabenfolien enthalten Links auf die Vortragsfolien zu relevanten Definitionen und Lehrsätzen. Ein Dozent kann damit zunächst wichtige Begriffe und Methoden wiederholen, bevor er mit der Präsentation einer Musterlösung beginnt. Die vollständige Sammlung Vortragsfolien zur Höheren Mathematik ist über einen Index auf der Web-Seite http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de verfügbar. Sie kann nicht nur in Verbindung mit dem Buch genutzt werden, sondern auch um Beamer-Präsentationen für Vorlesungen zusammenzustellen und Handouts für Studierende zu generieren. Tests Mit den Tests am Ende der einzelnen Kapitel können Studierende ihre Beherrschung der erlernten Techniken überprüfen. Die Testaufgaben sind zumeist Varianten der Aufgaben des jeweiligen Kapitels. Sie stehen ebenfalls als elektronische Zusatzmaterialien (ESM) zur Verfügung. Studierende können mit Hilfe interaktiver PDF-Dateien ihre Ergebnisse der Testaufgaben überprüfen. Bei Fehlern kann eine Lösung noch einmal kontrolliert werden, gegebenenfalls mit Hilfe der Lösungshinweise. Formelsammlung Die Formelsammlung dient Studierenden zum bequemen Nachschlagen von Definitionen und Sätzen, die bei den Lösungen der Aufgaben verwendet werden. Die Beschreibungen haben den Stil von „Merkblättern“, wie man sie sich gegebenenfalls für Klausuren zusammenstellen würde. Die Formulie-

xiv rungen enthalten gerade soviel Detail, wie genügen sollte, um sich an die genauen mathematischen Sachverhalte zu erinnern. Nutzt man alle in Verbindung mit den drei Bänden des Buches Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik angebotenen Ressourcen, so reduziert sich der Aufwand für die Vorbereitung von Lehrveranstaltungen zur Höheren Mathematik erheblich: Beamer-Präsentationen für die Vorlesungen können aus den Vortragsfolien zur Höheren Mathematik ausgewählt werden. Mit den Folien lassen sich Handouts für Studierende zur Wiederholung und Nachbereitung des Unterrichtsstoffes generieren. Vortragsübungen können mit Hilfe der im Dozenten-Bereich zur Verfügung stehenden Aufgabenfolien gehalten werden. Mit der Verwendung von Varianten zu den Aufgaben des Buches in den Gruppenübungen wird durch die publizierten Musterlösungen die Bearbeitung von Übungsblättern erleichtert. Tests mit interaktiver Lösungskontrolle bieten Studierenden eine optimale Vorbereitung auf Klausuren in Übungen und Prüfungen. In der Vergangenheit haben wir bereits sehr von unseren Lehrmaterialien, die über einen Zeitraum von mehr als zwanzig Jahren entwickelt wurden, profitiert. Wir hoffen, dass andere Dozenten einen ähnlichen Nutzen aus den Angeboten für die Höhere Mathematik ziehen werden und dadurch viel redundanten Vorbereitungsaufwand vermeiden können.

xv

Hinweise für Studierende Wie lernt man am effektivsten? Wie bereitet man sich optimal auf Klausuren vor? Jeder wird eine etwas andere Strategie verfolgen. Ein Prinzip ist jedoch, etwas humorvoll formuliert, unstrittig: Prüfungsnote × Vorbereitungszeit

→

min 5 .

Die eigene Studienzeit, obwohl lange zurückliegend, noch in guter Erinnerung, möchten die Autoren folgende Empfehlungen geben, wie man „Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik“ am besten nutzen kann. Zu einem Thema sollte man sich zunächst den entsprechenen Abschnitt in der Formelsammlung ansehen. So kann man entscheiden, ob man eventuell einige Definitionen, Methoden und Lehrsätze wiederholen möchte. Beim anschließenden Lesen der Aufgaben haben natürlich solche Aufgaben Priorität, die man als schwierig empfindet und nicht selbst auf Anhieb lösen kann. Sind verwendete Techniken noch etwas unklar, bieten die in den Verweisen verlinkten Vortragsfolien eine Möglichkeit zur Nacharbeitung des relevanten Vorlesungsstoffs. Der komplette Foliensatz zu einem Thema lässt sich als Handout ausdrucken (Download von der Web-Seite http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de), wenn man nicht immer nur vor dem Bildschirm arbeiten möchte. Zum Abschluss der Vorbereitung ist es sinnvoll, mit Hilfe der Tests am Ende der Kapitel zu prüfen, ob man die typischen für das jeweilige Thema relevanten Fragestellungen gut beherrscht. Idealerweise sollte man dabei nicht die Lösungshinweise zu Hilfe nehmen. Die Tests stehen ebenfalls als Electronic Supplementary Material (ESM) zur Verfügung mit der Möglichkeit die berechneten Ergebnisse interaktiv zu überprüfen. Mit insgesamt über 1000 Aufgaben haben wir versucht, in den drei Bänden von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik alle relevanten Prüfungsthemen abzudecken. Sie vermissen dennoch einen Aufgabentyp → schreiben Sie uns ([email protected])! Auch beim intensiven Lernen muss die Freude an dem Studienfach und der sportliche Aspekt des Problemlösens nicht zu kurz kommen. Die (ziemlich schwierigen) Sternaufgaben sind dafür gedacht, etwas Faszination für die Mathematik zu wecken. Damit wünschen die Autoren viel Erfolg im Studium und dass ihr Buch dabei hilft, einen möglichst niedrigen Wert des oben erwähnten Produktes zu erzielen!

5 Natürlich unter der Nebenbedingung „Prüfung bestanden!“; der „Arthur Fischer Preis“ wurde am Fachbereich Physik der Universität Stuttgart auf der Basis einer ähnlichen Zielfunktion vergeben (M.Sc. Note × Gesamtstudienzeit).

Inhaltsverzeichnis Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I

Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1

Elementare Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4

Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5

Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

II

Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7

Längen, Winkel und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8

Vektor- und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9

Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 III

Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 14 Differentiationsregeln und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 15 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 17 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 IV

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

18 Integral und Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden . . . . 297 20 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 21 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 V

Anwendungen mathematischer Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

22 Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 23 MapleTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 VI

Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

xviii

Inhaltsverzeichnis

24 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 25 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 26 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 27 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Einleitung Grundlage für die Aufgaben der drei Bände von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik bildet der Stoff, der üblicherweise Bestandteil der MathematikGrundvorlesungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist. Die Reihenfolge der Themen entspricht einem typischen dreisemestrigen Vorlesungszyklus Höhere Mathematik für Fachrichtungen, die ein umfassendes Mathematikangebot benötigen: Band 1: Mathematische Grundlagen, Vektorrechnung, Differentialrechnung, Integralrechnung, Anwendungen mathematischer Software. Band 2: Lineare Algebra, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen, mehrdimensionale Integration, Anwendungen mathematischer Software. Band 3: Vektoranalysis, Differentialgleichungen, Fourier-Analysis, komplexe Analysis, Anwendungen mathematischer Software. Die Lineare Algebra beinhaltet die Vektorrechung in allgemeinerem Kontext und kann auch vor der Analysis einer Veränderlichen unterrichtet werden. Bei der oben gewählten Themenfolge wird eine kurze Einführung in das Rechnen mit Vektoren in der Ebene und im Raum vorgezogen, um möglichst früh wesentliche Hilfsmittel bereitzustellen. Die Themen des dritten Bandes sind weitgehend unabhängig voneinander; ihre Reihenfolge richtet sich nach den Prioritäten der involvierten Fachrichtungen. Aufgaben Der überwiegende Teil der Aufgabensammlung besteht aus Standardaufgaben, d.h. Aufgaben, die durch unmittelbare Anwendung der in Vorlesungen behandelten Lehrsätze und Techniken gelöst werden können. Solche Aufgaben werden teilweise in fast identischer Form in vielen Varianten sowohl in Übungen als auch in Prüfungsklausuren gestellt und sind daher für Studierende besonders wichtig. Die folgende Aufgabe zur Vektorrechnung ist ein typisches Beispiel.

9.6 Abstand zweier Geraden und nächstgelegene Punkte Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −7 −1 2 −3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ g: ⎜ h: ⎜ ⎝ −1 ⎠ + s ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ + t⎝ 4 ⎠ , 3 1 9 −4 sowie die nächstgelegenen Punkte. Verweise:

Abstand zweier Geraden, Spatprodukt, Vektorprodukt

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_1

2

Einleitung

Verweise Die Verweise beziehen sich auf die Vortragsfolien zur Höheren Mathematik , die in der elektronischen Version des Bandes direkt verlinkt sind. In dieser Sammlung von Beamer-Präsentationen werden relevante Begriffe bzw. Sätze beschrieben und mit Beispielen veranschaulicht. Studierende können damit zunächst die benötigten mathematischen Grundlagen anhand der entsprechenden Vortragsfolien nochmals wiederholen. Beispielsweise führt der erste Verweis, „Abstand zweier Geraden“, bei oben stehender Aufgabe auf eine pdf-Datei, die mit folgender Seite beginnt.

Abstand zweier Geraden Der Abstand zweier durch die Punkte P, Q und Richtungen u , v gegebener Geraden ist −→ |[PQ, u , v ]| , d= |u × v | falls u  v . −→     P Q, u, v 

u

v Q

−→ PQ

P

Abstand zweier Geraden

1-1

Die Seite beschreibt, wie man mit Hilfe des Vektor- und Spatprodukts den Abstand berechnen, also die Lösung der Aufgabe erhalten kann. Auf den darauf folgenden Seiten wird die Anwendung der Methode anhand eines Beispiels erläutert und damit auf die Aufgabenlösung hingeführt. Die über die Web-Seite http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de verfügbare Sammlung deckt das gesamte Themenspektrum der Höheren Mathematik ab und kann auch begleitend zu Vorlesungen verwendet werden.

3 Sternaufgaben Die Aufgabensammlung enthält auch einige Aufgaben, deren Lösung eine Reihe von nicht naheliegenden Ideen erfordert. Solche Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet. Sie können in Vorlesungen als Beispiele verwendet werden und dienen in Übungen als Anreiz, um Faszination für Mathematik zu wecken. Auch Studierenden, die Mathematik nur als „Nebenfach“ hören, soll das Erlernen mathematischer Techniken Freude bereiten und nicht nur als „lästiges Muss“ empfunden werden. Das folgende Beispiel einer etwas schwierigeren Aufgabe gehört zu unseren Favoriten.

7.13 Nahtlänge eines Fußballs  Nehmen Sie entgegen Sepp Herbergers Axiom „Der Ball ist rund!“ an, dass der abgebildete Fußball ein Polyeder ist, dessen Eckpunkte auf einer Sphäre mit einem Durchmesser von 30 cm liegen. Wie lang ist eine Kante, die (näherungsweise) einer Naht des Fußballs entspricht?

Verweise:

Skalarprodukt

Auch bei diesen Aufgaben sind gegebenenfalls Verweise zu Themen aus den Vortragsfolien zur Höheren Mathematik vorhanden, die für die Lösung hilfreich sein können. Lösungen Die Lösungen zu den Aufgaben sind stichwortartig formuliert, in einer Form, wie sie etwa in Klausuren verlangt wird oder zur Generierung von Folien geeignet ist. Der stichwortartige Stil beschränkt sich auf das mathematisch Wesentliche und macht die Argumentation übersichtlich und leicht verständlich. Typische Beispiele sind Formulierungen wie Vereinfachung  . . . , Kettenregel =⇒ ..., die anstelle der entsprechenden vollständigen Sätze „Durch Vereinfachung erhält man . . .“ , „Aus der Kettenregel folgt . . .“ treten. Die gewählte Darstellungsform der Lösungen ist ebenfalls für BeamerPräsentationen geeignet, wie nachfolgend näher erläutert wird.

4

Einleitung

Mathematische Software Ein Kapitel des Bandes enthält Aufgaben, die mit Matlab® oder MapleTM gelöst werden sollen. Ohne dass nennenswerte Programmierkenntnisse vorausgesetzt werden, können Studierende anhand sehr elementarer Problemstellungen mit numerischer und symbolischer Software vertraut werden. Es ist faszinierend, was heutige Computer-Programme leisten und wie komfortabel sie zu handhaben sind. Zu einigen Themen stehen auf der Web-Seite https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/imng/TCM/ Matlab® -Demos zur Verfügung. Beispielsweise zeigt die folgende Abbildung die Benutzeroberfläche eines Demos zur Interpolation mit Polynomen.

Durch Variieren der Parameter lassen sich typische Effekte illustrieren; im gezeigten Fall die mögliche Divergenz der Interpolationspolynome selbst für sehr glatte Funktionen. Tests Mit den Tests am Ende der einzelnen Kapitel können Studierende ihre Beherrschung der erlernten Techniken überprüfen. Die Testaufgaben sind zumeist Varianten der Aufgaben des jeweiligen Kapitels, so dass das Lösen eigentlich keine Probleme bereiten sollte. Man kann jedoch gegebenenfalls die anschließenden Lösungshinweise bei der Bearbeitung zu Hilfe nehmen.

5 Interaktive Versionen der Tests sind als elektronische Zusatzmaterialien (ESM) verlinkt. Bei diesen PDF-Dateien lassen sich die berechneten Ergebnisse eintragen, und man erhält unmittelbar eine Rückmeldung, ob die Lösungen korrekt sind. Präsentationsfolien Begleitend zum Buch sind die Aufgaben und Lösungen ebenfalls als BeamerPräsentationen formatiert. Diese Präsentationsfolien stehen Dozenten als Zusatzmaterialien zur Verfügung (→ sn.pub/lecturer-material). Über einen Index lässt sich eine Auswahl treffen, und die Aufgaben können als Beispiele in Vorlesungen integriert oder in Vortragsübungen verwendet werden. Das Layout dieser Präsentationsfolien ist anhand eines Beispiels aus der Integralrechnung illustriert.

14.2

Fl¨ache, begrenzt durch den Graph eines Polynoms y

Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fl¨ache, die durch den Graph des Polynoms

x

f (x) = x 3 − x 2 − 2x und die x-Achse begrenzt wird.

Links: Hauptsatz der Integralrechnung Stammfunktion

Aufgaben und L¨ osungen 1

Integral und Stammfunktion – Aufgabe 14.2

136-1

Die Links entsprechen den Verweisen in der Buch-Version der Aufgaben. Durch Anklicken kann unmittelbar auf die entsprechenden Inhalte der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik zugegriffen werden. Formelsammlung Die zur Lösung der Aufgaben benötigten Definitionen, Sätze und Formeln sind stichwortartig entsprechend den einzelnen Themen im letzten Teil des Buches zusammengestellt. Die Beschreibungen haben den Stil von „Merkblättern“, die man6

6

wenn der Dozent die Verwendung solcher Hilfsmittel erlaubt . . .

6

Einleitung

in eine Klausur mitnehmen könnte. Die Formulierungen enthalten gerade soviel Detail, wie genügen sollte, um sich an die genauen mathematischen Sachverhalte zu erinnern. Ist dies bei der Vorbereitung für eine Klausur nicht ausreichend, so kann man im E-Book über einen Link auf eine ausführliche Erläuterung mit Beispielen zugreifen. Ein „Durchblättern“ der als „Gedächtnisstützen“ gedachten, sehr kompakt gehaltenen Formulierungen ist somit ein guter Test, welche Sachverhalte man sich noch einmal genauer ansehen sollte. Aufgabenvarianten Es ist geplant, die Aufgabensammlung durch Varianten zu ergänzen, die teilweise mit Hilfe geeigneter Computer-Programme erzeugt werden. Die Aufgabe 9.6 ist ein typisches Beispiel. Mit Hilfe von Zufallszahlen lassen sich Geradenpaare generieren, für die der Abstand ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner unterhalb einer vorgebbaren Schranke liegen. Diese Aufgabenvarianten können in Übungen und Tests verwendet werden. Die Aufgaben in den Bänden des Buches sind dann als vorbereitende Beispiele geeignet. Die Erstellung von in dieser Weise auf die Aufgabensammlung abgestimmten Übungsblättern reduziert sich dann im Wesentlichen auf die Auswahl von Aufgaben- und Variantennummern. Aufgaben-Vorschläge Schreiben Sie uns, wenn Sie einen Aufgabentyp vermissen ([email protected]). Für zum Standard-Übungs- bzw. Prüfungsstoff passende Vorschläge, die insbesondere auch für Varianten geeignet sind, werden wir eine entsprechende Aufgabe mit Lösung konzipieren und zur Verfügung stellen. Notation In den Aufgaben und Lösungen wird die Notation von Mathematik-Online verwendet (siehe https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/notationen/). Dabei wurde ein Kompromiss zwischen formaler Präzision und einfacher Verständlichkeit gewählt. Exemplarisch illustriert dies das folgende Beispiel: g : p + td . Die gewählte Beschreibung einer Geraden ist leichter lesbar als die formalere Notation g = {(x1 , x2 ) : xk = pk + tdk , t ∈ R} . Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Bedeutung aus dem Kontext klar ersichtlich ist, etwa in einer Formulierung wie „Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g : p + td von . . .“. Die für die Vektorrechnung gewählte Notation bedarf einer detaillierteren Erläuterung. Mathematikern (die Autoren eingeschlossen) fällt es schwer, die „PfeilNotation“ zu akzeptieren. Sie ist aber in der Schulausbildung gebräuchlich und auch Standard in vielen Ingenieur-Anwendungen. Dennoch möchte man sehr ungern die Pfeil-Notation in den abstrakteren Bereichen der Linearen Algebra verwenden. Der

7 im ersten Band von Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik gewählte Kompromiss liegt auf der Hand: Für die Vektorrechnung in der Ebene und im Raum mit ihren Besonderheiten (Kreuzprodukt, Spatprodukt, . . .) wird die PfeilNotation benutzt; ebenso in der Vektoranalysis (Band 3). Für die Lineare Algebra im Rn (Band 2) orientiert sich die Notation an den üblichen Standards in der Mathematik. Literatur Zur Höheren Mathematik existieren bereits zahlreiche Lehrbücher; die bekanntesten deutschsprachigen Titel sind in der Literaturliste am Ende des Buches angegeben. Einige dieser Lehrbücher enthalten ebenfalls Aufgaben, teilweise auch mit Lösungen. Naturgemäß bestehen gerade bei Standardaufgaben große Überschneidungen, bis hin zu identischen Formulierungen wie beispielsweise „Bestimmen Sie das quadratische Taylor-Polynom der Funktion . . .“. Ein wesentlicher neuer Aspekt des Buches ist zum Einen die enge Abstimmung auf ein umfangreiches Internet-Angebot mit den damit verbundenen Vorteilen für Studierende und Dozenten. Zum Anderen haben wir die Mehrzahl der Aufgaben so konzipiert, dass sie sich für computergenerierte Varianten eignen und damit sehr effektiv im Übungsbetrieb eingesetzt werden können.

Teil I Mathematische Grundlagen

1 Elementare Logik

Übersicht 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18

Vereinfachung eines logischen Ausdrucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck . . Vereinfachung einer logischen Schaltung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logischer Ausdruck zu einer Wahrheitswerttabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . Umwandlung in Dual- und Hexadezimaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . Direkter Beweis: Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beweis von Identitäten für Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbarkeit durch 9 und 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . Indirekter Beweis: Irrationalität von Koordinaten gleichseitiger Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rekursion und vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summe ungerader Zahlen und Quadratzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identitäten für Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicos Töchter  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_2

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

12

1.1

1 Elementare Logik

Vereinfachung eines logischen Ausdrucks

Vereinfachen Sie den logischen Ausdruck (A =⇒ B) ∧ (B ∨ A) , und überprüfen Sie Ihr Resultat anhand einer Wahrheitswerttabelle. Verweise:

Logische Operationen

Lösungsskizze (i) Vereinfachung: alternative Darstellung der Implikation (A =⇒ B) ∧ (B ∨ A) = (¬A ∨ B) ∧ (B ∨ A) Distributivgesetz (für die hintere Klammer) ((¬A ∨ B) ∧ B) ∨ ((¬A ∨ B) ∧ A) Distributivgesetz (für beide vorderen Klammern) (¬A ∧ B) ∨ (B ∧ B) ∨ (¬A ∧ A) ∨ (B ∧ A) Vereinfachung mit B ∧ B = B, ¬A ∧ A = f, B ∨ f = B, Kommutativgesetz (¬A ∧ B) ∨ B ∨ (B ∧ A) = (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ B) ∨ B Distributivgesetz („Ausklammern“ von B) angewandt auf die ersten beiden Klammern auf der rechten Seite ((¬A ∨ A) ∧ B) ∨ B Vereinfachung mit ¬A ∨ A = w, w ∧ B = B (w ∧ B) ∨ B = B , d.h. (A =⇒ B) ∧ (B ∨ A) = B (ii) Wahrheitswerttabelle: A

B

A =⇒ B

B∨A

(A =⇒ B) ∧ (B ∨ A)

w

w

w

w

w

w

f

f

w

f

f

w

w

w

w

f

f

w

f

f

13

1.2

Umformung und Wahrheitswerttabelle für einen logischen Ausdruck

Entscheiden Sie mit Hilfe einer Wahrheitswerttabelle, welche logische Operation durch den Ausdruck (A ∨ B) =⇒ (A ∧ B) beschrieben wird. Überprüfen Sie Ihr Resultat durch Umformung des logischen Ausdrucks. Verweise:

Logische Operationen

Lösungsskizze (i) Wahrheitswerttabelle: A

B

C =A∨B

D =A∧B

C =⇒ D

w

w

w

w

w

w

f

w

f

f

f

w

w

f

f

f

f

f

f

w

letzte Spalte: Die Implikation C =⇒ D ist wahr genau dann, wenn C = f oder D = w. Vergleich der Wahrheitswerte der ersten zwei Spalten und der letzten Spalte L = ((A ∨ B) =⇒ (A ∧ B)) = w genau dann, wenn A und B den gleichen Wahrheitswert haben, d.h. L = A⇔B (ii) Umformung: äquivalente Darstellung der Implikation (A ∨ B) =⇒ (A ∧ B) = ¬(A ∨ B) ∨ (A ∧ B) de Morgansche Regel, angewandt auf ¬(A ∨ B) L = (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) alternative Darstellung der Äquivalenz, denn L = w genau dann, wenn (A = w∧B = w) ∨ (A = f ∧ B = f)

14

1.3

1 Elementare Logik

Vereinfachung einer logischen Schaltung 

Schaltungen lassen sich mit logischen Ausdrücken identifizieren. Schaltsymbole

∧ (AND) ∨ (OR) ¬ (NOT) Geben Sie den logischen Ausdruck für das abgebildete Beispiel (Input A, B, C → Output Z) an und bestimmen Sie eine vereinfachte äquivalente Schaltung. Verweise: Logische Operationen

Lösungsskizze (i) Logischer Ausdruck: Z = X ∧ Y mit X = ¬(A ∧ B) ∨ C,

Y = ¬(A ∧ ¬C) ∨ B

dem oberen bzw. unteren Teil der Schaltung (ii) Vereinfachung: de Morgansche Regel (M), ¬(U ∧ V ) = ¬U ∨ ¬V , sowie Assoziativität (A) und Kommutativität (K) der Verknüpfung ∨ =⇒ X = (¬A ∨ ¬B) ∨ C (M)

Y

= (M)

= (A/K)

(¬A ∨ C) ∨ ¬B

(¬A ∨ C) ∨ B

Distributivgesetz (D), (U ∨ V ) ∧ (U ∨ W ) = U ∨ (V ∧ W ) , mit U = ¬A ∨ C sowie V = ¬B und W = B

=⇒

Z = X ∧ Y = U ∨ (¬B  ∧ B) = U = ¬A ∨ C (D) =0

(iii) Äquivalente vereinfachte Schaltung: Z = (¬A ∨ C) ⇔ Implikation: Z = (A =⇒ C)

15

1.4

Wahrheitswerttabellen für logische Ausdrücke

Stellen Sie für die folgenden logischen Ausdrücke Wahrheitswerttabellen auf, und geben Sie jeweils eine vereinfachte Beschreibung an. a) (A ∧ ¬B) ∨ (A =⇒ B) b) (A ∨ ¬B) =⇒ (A ∧ B) c) (A =⇒ ¬B) ∧ (A ∨ B) Verweise: Logische Operationen

Lösungsskizze a) L = (A ∧ ¬B) ∨ (A =⇒ B): A

B

¬B

A ∧ ¬B

A =⇒ B

(A ∧ ¬B) ∨ (A =⇒ B)

w

w

f

f

w

w

w

f

w

w

f

w

f

w

f

f

w

w

f

f

w

f

w

w

L stets wahr (Tautologie) b)

L = (A ∨ ¬B) =⇒ (A ∧ B): A

B

¬B

A ∨ ¬B

A∧B

(A ∨ ¬B) =⇒ (A ∧ B)

w

w

f

w

w

w

w

f

w

w

f

f

f

w

f

f

f

w

f

f

w

w

f

f

L wahr genau dann, wenn B = w (Aussage L entspricht B) c) L = (A =⇒ ¬B) ∧ (A ∨ B): A

B

¬B

A =⇒ ¬B

A∨B

(A =⇒ ¬B) ∧ (A ∨ B)

w

w

f

f

w

f

w

f

w

w

w

w

f

w

f

w

w

w

f

f

w

w

f

f

L wahr für A = w ∧ B = f oder A = f ∧ B = w (Antivalenz A ≡ B)

16

1 Elementare Logik

1.5

Logischer Ausdruck zu einer Wahrheitswerttabelle

Geben Sie einen möglichst einfachen logischen Ausdruck L zu der folgenden Wahrheitswerttabelle an.

Verweise:

A

f

f

f

f

w

w

w

w

B

f

f

w

w

f

f

w

w

C

f

w

f

w

f

w

f

w

L

f

w

f

f

f

w

f

w

Logische Operationen

Lösungsskizze Eine Lösung L = (A ∨ ¬B) ∧ C ist nicht allzu schwer auf direktem Weg zu finden. Bei mehr logischen Variablen ist eine systematische Methode erforderlich, die im Folgenden erläutert wird. (i) Disjunktive Normalform: Darstellung der Spalten mit L = w: Spalte 2 :

A = f, B = f, C = w → L = w



L2 = ¬A ∧ ¬B ∧ C

Der sogenannte „Min-Term“ L2 (alle drei Variablen oder ihre Negationen durch ∧ verknüpft) entspricht einer Wahrheitswerttabelle mit L = w nur in Spalte 2. analog: Spalte 6  L6 = A ∧ ¬B ∧ C, Spalte 8  L8 = A ∧ B ∧ C Verknüpfung der drei Alternativen ( ∨) für L = w: L = L2 ∨ L6 ∨ L8 = (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) (ii) Vereinfachung durch Anwendung der Distributivgesetze: (X ∧ Y ) ∨ (X ∧ Z) = X ∧ (Y ∨ Z)  L6 ∨ L8

=

(A ∧ C) ∧ (¬B  ∨ B) = A ∧ C

=

((¬A ∧ ¬B) ∨ A) ∧ C =: S ∧ C

X=A∧C

w

L2 ∨ (A ∧ C)

X=C

(X ∧ Y ) ∨ Z = (X ∨ Z) ∧ (Y ∨ Z) S



= (¬A  ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) = ¬B ∨ A ,

Z=A

w

d.h. man erhält das oben erwähnte Resultat L = L2 ∨ L6 ∨ L8 = S ∧ C = (¬B ∨ A) ∧ C

17

1.6

Beschreibung mit Quantoren: Größter gemeinsamer Teiler

Beschreiben Sie die Aussage „t ist größter gemeinsamer Teiler von p und q“ (p, q ∈ N) sowie deren Negation mit Hilfe von Quantoren. Verweise:

Quantoren

Lösungsskizze ggT t von p, q: größte natürliche Zahl, die p und q teilt formale Definition (t teilt p) ∧ (t teilt q) ∧ (∀s : (s teilt p) ∧ (s teilt q) =⇒ s ≤ t) vereinfachte Darstellung mit Ax = (x teilt p), Bx = (x teilt q), Cx = (x ≤ t) At ∧ Bt ∧ (∀s : As ∧ Bs =⇒ Cs ) Negation ¬(t ggT von p, q) = ¬(At ∧ Bt ∧ (∀s : As ∧ Bs =⇒ Cs )) de Morgansche Regel, ¬(X ∧ Y ) = ¬X ∨ ¬Y ¬At ∨ ¬Bt ∨ ¬(∀s : As ∧ Bs =⇒ Cs ) ∀s ↔ ∃s bei Negation ¬At ∨ ¬Bt ∨ (∃s : ¬((As ∧ Bs ) =⇒ Cs )) alternative Darstellung der Implikation ¬At ∨ ¬Bt ∨ (∃s : ¬(¬(As ∧ Bs ) ∨ Cs )) de Morgansche Regel, ¬(X ∨ Y ) = ¬X ∧ ¬Y ¬At ∨ ¬Bt ∨ (∃s : (As ∧ Bs ) ∧ ¬Cs ) Einsetzen von As , Bs und Cs



explizite Form der negierten Aussage:

(t teilt nicht p) ∨ (t teilt nicht q) ∨ (∃s : (s teilt p) ∧ (s teilt q) ∧ s > t)

18

1 Elementare Logik

1.7

Umwandlung in Dual- und Hexadezimaldarstellung

Stellen Sie 123 als Dual- und als Hexadezimalzahl dar. Bestimmen Sie ebenfalls die Dezimaldarstellung von (10100101)2 und (ABC)16 . Verweise:

Dual- und Hexadezimaldarstellung

Lösungsskizze (i) Dualdarstellung von 123: Die Ziffern zk ∈ {0, 1} der Dualdarstellung (zn . . . z1 )2 erhält man als Reste einer Divisionskette: 123 : 2 = 61 Rest 1 = z1 61 : 2 = 30 Rest 1 = z2 30 : 2 = 15 Rest 0 = z3



15 : 2 =

7 Rest 1 = z4

7 : 2 =

3 Rest 1 = z5

3 : 2 =

1 Rest 1 = z6

1 : 2 =

0 Rest 1 = z7

(123)10 = (z7 . . . z1 )2 = (1111011)2

(ii) Hexadezimaldarstellung von 123: Die Ziffern zk ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15} der Hexadezimaldarstellung kann man bestimmen, indem man die Dualdarstellung in Viererblöcke unterteilt, gegebenenfalls nach Ergänzung führender Nullen: 123 = (1111011)2 → 0111   | 1011    =7



=11=B

123 = (7B)16

(iii) Dezimaldarstellung von (10100101)2 und (ABC)16 : Umwandlung einer Darstellung zur Basis p: (zn . . . z1 )p = z1 + z2 p + z3 p2 + · · · + zn pn−1  (10100101)2 = 1 + 0 · 2 + 1 · 4 + 0 · 8 + 0 · 16 + 1 · 32 + 0 · 64 + 1 · 128 = 165 (ABC)16 = 12 + 11 · 16 + 10 · 256 = 2748

19

1.8

Direkter Beweis: Kathetensatz

Beweisen Sie den Kathetensatz

C

b2 = qc a

2

b

= pc A

Verweise:

a

h q M

c

p

Direkter Beweis

Lösungsskizze direkter Beweis: Folgerung der behaupteten aus bekannten Aussagen Satz des Pythagoras für die Teildreiecke Δ(B, C, M ) und Δ(A, C, M ): a2 = h2 + p2 ,

b2 = h2 + q 2

Subtraktion der Gleichungen und binomische Formel



a2 − b2 = p2 − q 2 = (p + q)(p − q) Satz des Pythagoras mit c = p + q a2 + b2 = (p + q)(p + q) Addition/Subtraktion der letzten beiden Gleichungen



2a2 = (p + q) · 2p = 2pc , 2b2 = (p + q) · 2q = 2qc , d.h. die behaupteten Formeln für die Quadrate der Katheten a, b Alternative Lösung Ähnlichkeit des Dreiecks Δ(A, B, C) mit Δ(A, C, M ) und Δ(C, B, M ) (je ein gemeinsamer und ein rechter Winkel)  b : c = q : b,

a:c=p:a

und nach Multiplikation mit bc bzw. ac b2 = qc,

a2 = pc

B

20

1.9

1 Elementare Logik

Beweis von Identitäten für Binomialkoeffizienten

Zeigen Sie, dass a)

 n n = n 2n−1 k k

k=1

Verweise:

b)

n 2 n k=0

k

 2n n

=

Binomialkoeffizient, Direkter Beweis

Lösungsskizze

n n n−1 : a) k=0 k k = n 2 Anwendung der binomischen Formel n  n k=0

Ableiten nach b

k

an−k bk = (a + b)n

 n  n k=1

k

an−k kbk−1 = n (a + b)n−1

Setzen von a = b = 1 =⇒ behauptete Identität n n2 2n = n : b)

2n k=0 k  Anzahl der n-elementigen Teilmengen von {1, . . . , 2n} n = Aufspaltung der n-elementigen Teilmengen in Mengen, bei denen k Elemente aus

n 

 Mög{1, . . . , n} ( nk Möglichkeiten) und n − k Elemente aus {n + 1, . . . , 2n} ( n−k lichkeiten) ausgewählt werden

 n   Anzahlen nk n−k für k = 0, . . . , n

n  n  Summation unter Berücksichtigung von n−k = k =⇒ behauptete Identität Alternative Lösung Vergleich der Koeffizienten von xn in der Identität  n    n    2n   n n 2n xk xk = xk k k k k=0 k=0 k=0         (1+x)n

(1+x)n

(1+x)2n

nach Ausmultiplizieren des Produkts auf der linken Seite





  2 2

2

  

n n n n n n n n n = + ··· + + + + ··· + 0 0 n n−1 1 n 1 n 0

 auf der linken und 2n n auf der rechten Seite

21

1.10

Teilbarkeit durch 9 und 11

Zeigen Sie, dass eine Zahl z mit Ziffern . . . z3 z2 z1 z0 durch a) 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme z0 + z1 + z2 + z3 + · · · durch 9 teilbar ist; b) 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme z0 − z1 + z2 − z3 + · · · durch 11 teilbar ist. Verweise:

Direkter Beweis, Binomialkoeffizient

Lösungsskizze a) Teilbarkeit durch 9: Ersetzen von 10 in der Dezimaldarstellung z = z0 + 10z1 + 102 z2 + 103 z3 + · · · durch 9 + 1 und Anwendung der binomischen Formel



10 = 9 + 1 102 = 92 + 2 · 9 + 1 103 = 93 + 3 · 92 + 3 · 9 + 1 ... Bis auf die Eins am Ende sind alle Summanden durch 9 teilbar, d.h. 10k = 9nk + 1 und z = z0 + z1 (9n1 + 1) + z2 (9n2 + 1) + z3 (9n3 + 1) + · · · = (z0 + z1 + z2 + z3 + · · · ) +9N,   

N = z1 n1 + z2 n2 + z3 n3 + · · ·

Quersumme

=⇒

9 teilt z ⇐⇒ 9 teilt die Quersumme

b) Teilbarkeit durch 11: Binomische Formel, angewandt auf 10 = 11 − 1 10k = (11 − 1)k =



k  k 11k− (−1)  =0

Wiederum ist nur der letzte Summand (−1)k , dessen Vorzeichen alterniert, nicht durch 11 teilbar, d.h. 10k = 11nk + (−1)k und z = z0 + z1 (11n1 − 1) + z2 (11n2 + 1) + z3 (11n3 − 1) + · · · = (z0 − z1 + z2 − z3 + · · · ) +11N    alternierende Quersumme

=⇒

Äquivalenz der Teilbarkeit von z und der alternierenden Quersumme

22

1 Elementare Logik

1.11

Indirekter Beweis: Irrationalität einer dritten Wurzel

Zeigen Sie, dass die Gleichung x 3 = 1 + x2 keine rationale Lösung besitzt. Verweise:

Indirekter Beweis

Lösungsskizze Indirekter Beweis: Folgerung eines Widerspruchs aus der Negation der behaupteten Aussage Annahme (Negation der Aussage): x rational zwei unterschiedliche Fälle (i) x ≤ 1: 1 = x3 − x2 = x2 (x − 1) ≤ 0 

Widerspruch

(ii) x = p/q > 1, p, q teilerfremde und positive natürliche Zahlen: Einsetzen in die Gleichung und Multiplikation mit q 3  p3 = q 3 + p2 q = q(q 2 + p2 ) Primfaktorzerlegung =⇒ q ist Produkt von Primfaktoren von p =⇒ q = 1, da p und q teilerfremd x = p/q > 1 und q = 1 =⇒ p ≥ 2 und p3 = 1 + p2 < 2p2 ≤ p3 

Widerspruch

23

1.12

Indirekter Beweis: Irrationalität von Koordinaten gleichseitiger Dreiecke

Zeigen Sie, dass die Koordinaten der Eckpunkte eines ebenen gleichseitigen Dreiecks nicht ausschließlich ganzzahlig sein können. Bleibt diese Aussage auch für räumliche gleichseitige Dreiecke richtig? Verweise:

Indirekter Beweis

Lösungsskizze Indirekter Beweis: Negation der Behauptung (¬B) =⇒ falsche Aussage (Widerspruch) ¬B: ∃ Δ(A, B, C) mit |AB| = |BC| = |CA| und a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 ∈ Z Berechnung der Dreiecksfläche F auf zwei Arten: Grundseite · Höhe / 2: F = ch/2 Satz des Pythagoras =⇒ 2

h2 = |AC| − (c/2)2 = 3 c2 /4,   

d.h. h =

√ √ 3 c/2, F = 3 c2 /4

c

mit c2 = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 ∈ N Fläche des begrenzenden Rechtecks minus Flächen von rechtwinkligen Dreiecken: im abgebildeten Beispiel1 F = (b1 − a1 )(c2 − b2 ) − (b1 − a1 )(a2 − b2 )/2 − · · · =: n/2 mit n ∈ N Gleichsetzen

=⇒ √

⇐⇒ √ im Widerspruch zur Irrationalität von 3 3c2 /4 = n/2

√

3 = 2n/c2 ∈ Q ,

Räumliche gleichseitige Dreiecke mit ganzzahligen Koordinaten der Eckpunkte existieren, z.B. A = (1, 0, 0)t , B = (0, 1, 0)t , C = (0, 0, 1)t √ mit Kantenlänge 2

1

ein suggestives, aber laut Behauptung „falsches“ Bild

24

1 Elementare Logik

1.13

Induktionsbeweis: Summe rationaler Ausdrücke

Zeigen Sie:

n k=1

Verweise:

n 1 = . −1 2n + 1

4k 2

Vollständige Induktion

Lösungsskizze Induktionsbeweis Induktionsanfang (n = 1): 1 k=1

1 1 1 = = −1 4−1 2·1+1

4k 2



Induktionsschluss (n → n + 1): sn+1 =

n+1 k=1

n n+1 1 1 n = + . . . + ... = 2 4k − 1 2n + 1 4(n + 1)2 − 1 k=1

k=n+1

(erste Summe nach Induktionsvoraussetzung) Faktorisierung zur Bestimmung des Hauptnenners 4(n + 1)2 − 1 = (2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1) = (2n + 1)(2n + 3) Umformung der rechten Seite in der Darstellung von sn+1



n(2n + 1) + (2n + 1) n+1 n(2n + 3) + 1 = = , (2n + 1)(2n + 3) (2n + 1)(2n + 3) 2(n + 1) + 1 d.h. Übereinstimmung mit gegebener Formel Alternative Lösung Partialbruchzerlegung der Summanden



Teleskopsumme

1 1 1 − 2 2k − 1 2k + 1 k=1





 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ··· + − = 2 1 3 3 5 2n − 1 2n + 1 1/2 (1/2)(2n + 1) − 1/2 n 1 − = = = 2 2n + 1 2n + 1 2n + 1 n

sn =

25

1.14

Rekursion und vollständige Induktion

Zeigen Sie für die durch x0 = x1 = 1,

xn+1 = 3xn − xn−1 , n = 1, 2, . . . ,

definierte Folge, dass xn+1 xn−1 − x2n = 1 . Welche andere Identität ergibt sich für die Rekursion xn+1 = 2xn + xn−1 2 ? Verweise:

Vollständige Induktion

Lösungsskizze (i) R(n) : xn+1 = 3xn − xn−1 , x0 = 1, x1 = 1  Folge

A(n) : xn+1 xn−1 − x2n = 1:

1, 1, 3 · 1 − 1 = 2, 3 · 2 − 1 = 5, 13, 34, 89, . . . Beweis der Aussage A(n) mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang A(1): x2 x0 − x21 = 2 · 1 − 12 = 1  Induktionsschritt A(n) → A(n + 1): Rekursion R und Induktionsvoraussetzung A(n) =⇒ xn+2 xn − x2n+1

= (3xn+1 − xn )xn − x2n+1 = 3xn+1 xn − x2n − x2n+1

R(n+1)

= 3xn+1 xn − (xn+1 xn−1 − 1) − x2n+1

A(n)

= 1 + xn+1 (3xn − xn−1 − xn+1 ) = 1 , R(n)

d.h. A(n + 1) : xn+2 xn − x2n+1 = 1



(ii) R(n) : xn+1 = 2xn + xn−1 : x0 = 1, x1 = 1  Folge 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, . . . bilde den Ausdruck aus (i) für n = 1, 2, . . . x2 x0 − x21 = 3 · 1 − 12 = 2, x3 x1 − x22 = −2, 17 · 3 − 72 = 2, −2, 2, . . .  Vermutung A(n) : xn+1 xn−1 − x2n = −2(−1)n analoger Induktionsschritt A(n) → A(n + 1): xn+2 xn − x2n+1

= R(n+1)

= A(n)

= R(n)

2

(2xn+1 + xn )xn − x2n+1 2xn+1 xn − (xn+1 xn−1 + 2(−1)n ) − x2n+1 −2(−1)n



Experimentieren Sie mit anderen Startwerten und weiteren Rekursionen.

26

1 Elementare Logik

1.15

Induktionsbeweis: Winkelsumme im n-Eck 

Zeigen Sie, dass die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck (n − 2)π beträgt. Verweise:

Vollständige Induktion

Lösungsskizze Induktionsbeweis Induktionsanfang (n = 3): γ

α β α

γ



β

Stufenwinkel an Parallelen: α = α, γ  = γ, Scheitelwinkel: β = β   Winkelsumme im Dreieck α + β + γ = α + β  + γ  = π = (3 − 2)π



Induktionsschluss (n → n + 1): zu zeigen: Winkelsumme wächst um π

β

α

γ

2π − γ γ

α

β

links: zusätzliche konvexe Ecke Vergrößerung vorhandener Winkel um α bzw. β, zusätzlicher Innenwinkel γ Veränderung der Summe um α + β + γ = π



rechts: zusätzliche konkave Ecke Verringerung vorhandener Winkel um α bzw. β, zusätzlicher Innenwinkel 2π − γ  Veränderung der Summe um (2π − γ) − α − β = 2π − π = π

27

1.16

Summe ungerader Zahlen und Quadratzahlen

Zeigen Sie a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 b)

12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =

Verweise:

4n3 − n 3

Vollständige Induktion

Lösungsskizze n a) S(n) = k=1 (2k − 1) = n2 : alternativ zu vollständiger Induktion Anwendung der Formel n(n + 1) ˜ S(n) = 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2 Umformung



S(n) =

n k=1

2k −

n k=1

n(n + 1) ˜ − n = n2 1 = 2S(n) −n=2 2



n 4n3 − n : b) S(n) = k=1 (2k − 1)2 = 3 vollständige Induktion Induktionsanfang (prüfen der Formel für n = 1) 1

(2k − 1)2 = 12 = 1,

k=1

Induktionsschluss (n → n + 1) Gültigkeit der Formel für S(n) S(n + 1) =

n+1

4−1 4 · 13 − 1 = =1  3 3

=⇒

(2k − 1)2 = S(n) + (2(n + 1) − 1)2

k=1 3

=

4n − n + (2n + 1)2 3

Umformung mit den binomischen Formeln (a+b)2 = a2 +2ab+ b2 und (a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3  4n3 − n 4(n3 + 3n2 + 3n + 1) − n − 1 + (4n2 + 4n + 1) = 3 3 4(n + 1)3 − (n + 1) , = 3 d.h. Übereinstimmung mit der behaupteten Formel für S(n + 1)

28

1 Elementare Logik

1.17

Identitäten für Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Folge F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . wird durch die Rekursion R(n) : Fn+1 = Fn + Fn−1 generiert. Zeigen Sie, dass n

a)

Fk = Fn+2 − 1

b) Fn2 = Fn−1 Fn+1 − (−1)n

c)

k=1

Verweise:

n

Fk2 = Fn Fn+1

k=1

Vollständige Induktion

Lösungsskizze Beweis der von n abhängigen Aussagen A(n) mit vollständiger Induktion n a) A(n) : k=1 Fk = Fn+2 − 1: !

Induktionsanfang (n = 1): F1 = 1 = F3 − 1 = 2 − 1  Induktionsschluss (n → n + 1): A(n) und Rekursion =⇒ n+1

Fk = Fn+1 +

k=1

⇐⇒

n k=1

Fk = Fn+1 + (Fn+2 − 1) A(n)

= R(n+2)

Fn+3 − 1

A(n + 1)

b) A(n) : Fn2 = Fn−1 Fn+1 − (−1)n : !

Induktionsanfang (n = 1): F12 = 12 = F0 F2 − (−1)1 = 0 + 1 Induktionsschluss (n → n + 1): Rekursion und A(n) =⇒ 2 Fn+1

= R(n)

= A(n)



(Fn + Fn−1 )Fn+1 = Fn Fn+1 + (−1)n + (Fn−1 Fn+1 − (−1)n ) Fn Fn+1 − (−1)n+1 + Fn2

= R(n+1)

Fn Fn+2 − (−1)n+1

⇐⇒ c)

A(n + 1) n 2 A(n) : k=1 Fk = Fn Fn+1 : !

Induktionsanfang (n = 1): F12 = 12 = F1 F2 = 1 · 1 Induktionsschluss (n → n + 1): A(n) und Rekursion n+1

Fk2

=

k=1

= A(n + 1)

n k=1

R(n+1)

⇐⇒

2 Fn+1 +

Fn+2 Fn+1

 =⇒

2 Fk2 = Fn+1 + Fn Fn+1 A(n)

29

1.18

Nicos Töchter 

„Wie alt sind Deine drei Töchter?“ fragt Robin seinen Arbeitskollegen Nico anlässlich dessen fünfzigsten Geburtstags. „Das Produkt ihrer Alter ist 900 und die Summe ist kleiner als Dein Alter.“ antwortet Nico. Robin nach einigem Nachdenken: „Fast kann ich die Alter ermitteln.“ Nico: „Übrigens, meine Älteste hatte gestern Geburtstag, die beiden anderen erst wieder im Januar nächsten Jahres.“ Robin: „Jetzt ist mir alles klar!“ Ihnen auch? Verweise:

Elementare Logik

Lösungsskizze (i) Alter mit Produkt P = 900: Primfaktorzerlegung P = 2·2·3·3·5·5 aus den Primfaktoren, sowie 1):



mögliche Alter der Töchter (Produkte

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36 Bei höheren Altern (40, 45, . . .) ist die Differenz zum Alter 50 des Vaters zu klein. Produkt der drei Alter = 900  Liste von Alter-Kombinationen und den entsprechenden Summen der Alter 1, 25, 36 | 62 1, 30, 30 | 61 2, 15, 30 | 47 2, 18, 25 | 45 3, 10, 30 | 43 3, 12, 25 | 40 3, 15, 20 | 38

4, 9, 25 | 38 4, 15, 15 | 34

5, 10, 18 | 33 5, 12, 15 | 32

5, 5, 36 | 46

5, 6, 30 | 41

5, 9, 20 | 34

6, 6, 25 | 37 6, 10, 15 | 31 9, 10, 10 | 29

(ii) Summe der Alter < Alter R von Robin: Aus R = 30 oder R = 31 würde folgen, dass nur die letzte Alter-Kombination 9, 10, 10 mit = 29 in Frage kommt. Da noch keine Entscheidung möglich ist, muss Robin älter sein. (iii) Es gibt eine älteste Tochter: =⇒ Die Alter-Kombination 9, 10, 10 scheidet aus. Da jetzt die Information (ii) ausreichend ist, d.h. nur eine Alter-Kombination zulässt, folgt R = 32, und 6, 10, 15 mit = 31 ist die gesuchte Alter-Kombination. Wäre Robin älter (R > 32), würden wiederum mehr Alter-Kombinationen in Frage kommen. (iv) Pedantische Bemerkung: Die Geburtstage im Januar nächsten Jahres schließen aus, dass die Älteste und Zweitälteste das gleiche Alter (nur Jahre, nicht Tage, gezählt) haben, denn die Zweitälteste hatte ja in diesem Jahr bereits früher Geburtstag. Ziemlich pedantisch . . ..

2 Mengen und Abbildungen

Übersicht 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung von Regeln für Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengenoperationen für Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion von Mengen aus Grundobjekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichung mit Betragsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichung mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungsmengen von Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompatibilität von Mengenoperationen mit Abbildungen . . . . . . . . . . . Abbildungseigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung . Invertierung und Komposition von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_3

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

32

2.1

2 Mengen und Abbildungen

Mengenoperationen

Bilden Sie für die Mengen A = {a, ab, ac, abc},

B = {b, ab, bc, abc},

C = {c, ac, bc, abc}

die Mengen a) (A ∩ B) ∪ C (A \ B) \ C

c) Verweise:

b)

A ∩ (B ∪ C)

d)

A \ (B \ C)

Menge

Lösungsskizze a) ({a, ab, ac, abc} ∩ {b, ab, bc, abc}) ∪ {c, ac, bc, abc}: Durchschnitt von A und B {ab, abc} 

Vereinigung mit C

(A ∩ B) ∪ C = {c, ab, ac, bc, abc} b) {a, ab, ac, abc} ∩ ({b, ab, bc, abc} ∪ {c, ac, bc, abc}): Vereinigung von B und C {b, c, ab, ac, bc, abc} Durchschnitt mit A

 A ∩ (B ∪ C) = {ab, ac, abc}

c) ({a, ab, ac, abc} \ {b, ab, bc, abc}) \ {c, ac, bc, abc}: Differenz von A und B {a, ac} Differenz mit C

 (A \ B) \ C = {a}

d) {a, ab, ac, abc} \ ({b, ab, bc, abc} \ {c, ac, bc, abc}): Differenz von B und C {b, ab} Differenz mit A

 A \ (B \ C) = {a, ac, abc}

33

2.2

Teilmengenbestimmung mit Venn-Diagramm

Gemäß einer Umfrage treiben Studierende Sport, hören Musik oder lesen in ihrer Freizeit. (i) Von den 100 Befragten haben 43 nur ein Hobby und keiner mehr als zwei. (ii) Sowohl die Hälfte der Sport treibenden als auch der Musik hörenden Studierenden lesen ebenfalls in ihrer Freizeit. (iii) Von den Sport treibenden haben 41 ein zweites Hobby; von den Musik hörenden sind es 25. Bestimmen Sie für jedes Hobby die Anzahl der entsprechenden Studierenden. Verweise:

Menge, Lineares Gleichungssystem

Lösungsskizze geometrische Veranschaulichung mit Hilfe eines Venn-Diagramms 0: niemand mit drei Hobbys L: Anzahl der lesenden Studierenden ohne zweites Hobby SM : Anzahl der sowohl Sport treibenden als auch Musik hörenden Studierenden S + SM + LS: Anzahl der Sport treibenden Studierenden ... Aussagen  Gleichungen (i) S + M + L + SM + M L + LS = 100, S + M + L = 43 (ii) (S + SM + LS)/2 = LS, (M + M L + SM )/2 = M L, (iii) SM + LS = 41, M L + SM = 25 Lösung durch Umformen und Einsetzen (iii) =⇒ (iv) LS = 41 − SM , M L = 25 − SM (i) =⇒ SM + M L + LS = 100 − 43 = 57 und nach Einsetzen von (iv) SM + (25 − SM ) + (41 − SM ) = 57 , =⇒ LS = 32, M L = 16 d.h. SM = 25 + 41 − 57 = 9 und (iv) (ii) =⇒ S = 2LS − LS − SM = 32 − 9 = 23 und analog M = 7 Einsetzen in (i) =⇒ L = 13 resultierende Anzahl von Studierenden mit den jeweiligen Hobbys Sport : S + SM + LS

= 23 + 9 + 32 = 64

Musik : M + M L + SM =

7 + 16 + 9

= 32

Lesen : L + LS + M L = 13 + 32 + 16 = 61

34

2.3

2 Mengen und Abbildungen

Anwendung von Regeln für Mengenoperationen

Vereinfachen Sie den Ausdruck (C\(A ∩ B)) ∩ (B\A) und illustrieren Sie Ihre Umformungen mit Hilfe eines Venn-Diagramms. Verweise:

Menge

Lösungsskizze (i) Vereinfachung der Darstellung der Menge M = (C\(A ∩ B)) ∩ (B\A): Anwendung der De Morganschen Regel auf den ersten Term =⇒ C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B) Distributivgesetz (U ∪ V ) ∩ W = (U ∩ W ) ∪ (V ∩ W ) mit U = (C\A), V = (C\B), W = (B\A) =⇒ M = ((C\A) ∩ (B\A)) ∪ ((C\B) ∩ (B\A))    =:D

D = ∅, da B\A ⊆ B und (C\B) ∩ B = ∅ weitere Vereinfachung aufgrund von B = (B\A) ∪ (B ∩ A) und (C\A) ∩ (B ∩ A) = ∅  M = (C\A) ∩ (B\A) = (C\A) ∩ B (ii) Illustration der Umformungen mit Hilfe eines Venn-Diagramms: Aufspaltung jeder Menge in vier Teilmengen anhand einer konkreten Elementwahl A = {1, 4, 5, 7} B = {2, 4, 6, 7} C = {3, 5, 6, 7}  Beschreibung der im Vereinfachungsprozess auftretenden Mengen ursprüngliche Darstellung A ∩ B = {4, 7}, 

U = C\(A ∩ B) = {3, 5, 6},

V = B\A = {2, 6}

M = U ∩ V = {6}

vereinfachte Darstellung C\A = {3, 6},

B = {2, 4, 6, 7}



M = (C\A) ∩ B = {6}



35

2.4

Mengenoperationen für Intervalle

Bestimmen Sie a)

((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))\(B ∩ C)

b)

((A ∪ B) ∩ (A ∪ C))\c (B ∪ C)

für die Intervalle A = (−∞, 2], B = [0, 3], C = (1, 4) und c D dem Komplement von D bzgl. der Grundmenge R. Verweise:

Mengenoperationen

Lösungsskizze Unterschied zwischen offenen, halboffenen und abgeschlossenen Intervallen beachten: 2 ∈ A = (−∞, 2],

0 ∈ B = [0, 3], 3 ∈ [0, 3],

1∈ / C = (1, 4), 4 ∈ / (1, 4)

(i) ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))\(B ∩ C): Distributivgesetz =⇒ D = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A ∩ (B ∪ C) Einsetzen der Intervalle



D = (−∞, 2] ∩ ([0, 3] ∪ (1, 4)) = (−∞, 2] ∩ [0, 4) = [0, 2] Bilden der Differenz mit (B ∩ C) = [0, 3] ∩ (1, 4) = (1, 3]



D\(B ∩ C) = [0, 2]\(1, 3] = [0, 1] (ii) ((A ∪ B) ∩ (A ∪ C))\c (B ∪ C): Distributivgesetz (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C) ebenfalls anwendbar alternative direkte Berechnung



A ∪ B = (−∞, 2] ∪ [0, 3] = (−∞, 3], =⇒

A ∪ C = (−∞, 2] ∪ (1, 4) = (−∞, 4)

D = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = (−∞, 3]

X\Y = X ∩ c Y ,

cc

Z=Z

=⇒

D\c (B ∪ C) = D ∩ (B ∪ C) = (−∞, 3) ∩ ([0, 3] ∪ (1, 4)) = (−∞, 3) ∩ [0, 4) = [0, 3)

36

2 Mengen und Abbildungen

2.5

Konstruktion von Mengen aus Grundobjekten

Stellen Sie die abgebildete Menge mit Hilfe der Operationen ∩, ∪, \ aus (abgeschlossenen) Kreisscheiben und (offenen) Halbebenen, K(a, b, r) : (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 , H(a, b, c) : ax + by > c , dar (wobei der fett gezeichnete Rand zur Menge gehört). Verweise:

Mengenoperationen

Lösungsskizze benötigte Grundobjekte große Kreisscheibe K(5, 5, 4) mit Mittelpunkt (5, 5) und Radius 4 kleine Kreisscheibe K(5, 7, 1) Halbebene H(0, −1, −5) : y < 5 unterhalb der Geraden g1 : y = 5 Halbebene H(−1, 1, 0) : y > x oberhalb der Diagonalen g2 : y = x

Sektor (dunkelgrau) mit Spitze bei (5, 5), begrenzt durch die Geraden g1 und g2 S = H(0, −1, −5) ∩ H(−1, 1, 0) Aussschneiden der kleinen Kreisscheibe und des Sektors aus der großen Kreisscheibe  Darstellung der abgebildeten Menge M = (K(5, 5, 4) \ K(5, 7, 1)) \ (H(0, −1, −5) ∩ H(−1, 1, 0))    S

andere Darstellungsmöglichkeit: Schnitt der großen Kreisscheibe mit dem Komplement der kleinen Kreisscheibe {(x, y) : (x−5)2 +(y−7)2 > 1} und dem Komplement des Sektors c S = {(x, y) : y ≥ 5 ∨ y ≤ x} ebenfalls formal herleitbar durch Anwendung der Identität A\B = A ∩ c B: M = K(5, 5, 4) ∩ c K(5, 7, 1) ∩ c S

37

2.6

Gleichung mit Betragsfunktionen

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung |x| − 1 = |3x − x2 |. Verweise:

Menge, Quadratische Funktion

Lösungsskizze Entscheidung der Vorzeichen für die Betragsfunktionen (|a| = a oder |a| = −a) gemäß der Vorzeichen der Argumente  Fallunterscheidung Intervall (−∞, 0] [0, 3] [3, ∞) x

≤0

≥0

≥0

3x − x2

≤0

≥0

≤0

Lösen der Gleichung für jedes Teilintervall x ∈ (−∞, 0]:

x ≤ 0, |x| = −x,

3x − x2 ≤ 0, |3x − x2 | = −3x + x2

−x − 1 = −3x + x

2

bzw.



2x + 1 = 0 x −  2

(x−1)2

Lösung x1 = 1 nicht zulässig, da ∈ / (−∞, 0] x ∈ [0, 3]: x ≥ 0, |x| = x, 3x − x2 ≥ 0, |3x − x2 | = 3x − x2



x − 1 = 3x − x bzw. x − 2x − 1 = 0  √ Lösungen x2,3 = (2/2) ± (2/2)2 + 1 = 1 ± 2 √ x2 = 1 + 2 ≈ 2.4142 zulässig, da ∈ [0, 3] √ / [0, 3], nicht zulässig x3 = 1 − 2 ≈ −0.4142 ∈ x ∈ [3, ∞): x ≥ 0, |x| = x, 3x − x2 ≤ 0, |3x − x2 | = −3x + x2 2

2



x − 1 = −3x + x bzw. x − 4x + 1 = 0 √ nur Lösung x4 = 2 + 3 ≈ 3.7321 im betrachteten Intervall 2

2

Alternative Lösung Lösen für jede Vorzeichenkombination der Betragsargumente (→ 4 Gleichungen) Überprüfung der Zulässigkeit durch Einsetzen in die Betragsgleichung, z.B. =⇒ nicht zulässig x1 = 1: |1| − 1 = |3 · 1 − 12 | √ √ √ √ =⇒ zulässig x2 = 1 + 2: |1 + 2| − 1 = | (3 + 3 2) − (1 + 2)2 |     √ 0+ 2

hilfreich: Skizze der Betragsfunktionen f (x) = |x| − 1,

g(x) = |3x − x2 |

und Lokalisierung der Lösungen als Abszissen der Schnittpunkte der Funktionsgraphen

38

2 Mengen und Abbildungen

2.7

Gleichung mit Wurzeln

Lösen Sie die Gleichung √ Verweise:

x−

√

3x − 2 +

√

5 − x = 0.

Quadratische Gleichung

Lösungsskizze √ √ √ Umformung der Gleichung x − 3x − 2 + 5 − x = 0 und Quadrieren √

√ 5 − x = 3x − 2 =⇒  x + 2 5x − x2 + 5 − x = 3x − 2  2 5x − x2 = 3x − 7

x+

nochmaliges Quadrieren



√

⇐⇒

=⇒

20x − 4x2 = 9x2 − 42x + 49

⇐⇒

x2 −

49 62 x+ =0 13 13

Alternativ zur Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen,  x1,2 = 31/13 ± (31/13)2 − 49/13 , kann man mit der offensichtlichen Lösung x1 = 1, die zweite Lösung x2 = 49/13 aus der Faktorisierung 0 = x2 −

49 62 x+ = (x − 1)(x − x2 ) 13 13

ablesen. Da beim Quadrieren zusätzliche Lösungen entstehen können, müssen die Lösungen zur Verifikation in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. x1 = 1: √ √ √ 1 − 3 · 1 − 2 + 5 − 1 = 1 − 1 + 2 = 0 keine Lösung x2 = 49/13:    √ 49/13 − 147/13 − 2 + 5 − 49/13 = (7 − 11 + 4)/ 13 = 0 einzige Lösung

39

2.8

Lösungsmengen von Ungleichungen

Bestimmen Sie jeweils die Mengen D, die durch folgende Ungleichungen beschrieben werden. a) 3x2 − 1 ≥ (2x − 1)2 Verweise:

b)

2x − 1 x + 2 (Änderung der Ungleichung () bei Multiplikation mit dem negativen Wert (x + 2) !) =⇒ x>3 inkonsistent zum betrachteten Bereich, d.h. D enthält kein Teilintervall von (−∞, −2) x > −2: 2x − 1 < x + 2 =⇒ x < 3, d.h. D = {x : x > −2 ∧ x < 3} c) |3x − 1| ≥ 2 − |x|: Fallunterscheidung je nach Vorzeichen der Argumente der Betragsfunktionen x ≤ 0: 1 − 3x ≥ 2 + x ⇐⇒ −1 ≥ 4x =⇒ x ≤ −1/4  zulässiger Bereich D1 = (−∞, −1/4] 0 ≤ x ≤ 1/3: 1 − 3x ≥ 2 − x ⇐⇒ −1 ≥ 2x =⇒ x ≤ −1/2 inkonsistent zum betrachteten Intervall, kein Beitrag zu D x ≥ 1/3: 3x − 1 ≥ 2 + x ⇐⇒ 2x ≥ 3 =⇒ x ≥ 3/2  zulässiger Bereich D2 = [3/2, ∞) Gesamtmenge D = D1 ∪ D2 = R\(−1/4, 3/2)

40

2 Mengen und Abbildungen

2.9

Eigenschaften von Relationen

Welche der Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und total haben die folgenden Relationen auf der Menge der Studierenden? ARB ⇔ a) A hat einen besseren Notendurchschnitt als B. b) A ist im gleichen Semester wie B. c) A hört dieselbe Vorlesung wie B. d) A hat keine kleinere Matrikelnummer als B. Verweise:

Relation

Lösungsskizze reflexiv

symmetrisch

antisymmetrisch

transitiv

total

a)

-

-

×

×

-

b)

×

×

-

×

-

c)

×

×

-

-

-

d)

×

-

×

×

×

exemplarische Begründungen: reflexiv: ∀A : A R A erfüllt für b), da offensichtlich A im gleichen Semester wie A ist symmetrisch: A R B =⇒ B R A nicht erfüllt für a), da die Ungleichung für den Notendurchschnitt nur in einer Richtung möglich ist antisymmetrisch: (A R B) ∧ (B R A) =⇒ A = B erfüllt für d), da aus der Gleichheit der Matrikelnummern (MA ≥ MB ∧ MB ≥ MA =⇒ MA = MB ) die Gleichheit der Studierenden folgt auch erfüllt für a), da die Ungleichung nie in beiden Richtungen gelten kann transitiv: (A R B) ∧ (B R C) =⇒ A R C nicht erfüllt für c), da die gemeinsamen Vorlesungen von A, B und B, C verschieden sein können; A also nicht notwendig eine gleiche Vorlesung wie C hören muss total: ∀A, B : A R B ∨ B R A nicht erfüllt für b), da es Studierende in verschiedenen Semestern gibt, die dann nicht in Relation zueinander stehen

41

2.10

Äquivalenzrelationen

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen R auf der Menge der ganzen Zahlen Z um Äquivalenzrelationen handelt. a) j R k : j und k sind durch 3 teilbar c) Verweise:

j R k : j − k ist durch 3 teilbar

b)

j R k: j ≤ k+3

d) j R k : |j − k| ≤ 3

Relation

Lösungsskizze überprüfe definierende Eigenschaften einer Äquivalenzrelation reflexiv: j R j symmetrisch: j R k ⇔ k R j transitiv: j R k ∧ k R  =⇒ j R  a) j R k: j und k sind durch 3 teilbar keine Äquivalenzrelation, da nicht reflexiv z.B. 1¬ R 1 b) j R k: j ≤ k + 3 keine Äquivalenzrelation, da nicht symmetrisch z.B. 1 R 5 aber 5¬ R 1 c) j R k: j − k ist durch 3 teilbar Äquivalenzrelation, da alle drei definierenden Eigenschaften erfüllt sind Reflexivität: j R j, denn j − j = 0 ist durch 3 teilbar Symmetrie: j R k ⇔ k R j, denn m = j − k ist genau dann durch 3 teilbar, wenn dies für −m gilt Transitivität: j R k ∧ k R  =⇒ j R , denn j − k = 3m ∧ k −  = 3n impliziert j −  = (j − k) + (k − ) = 3(m + n) d) j R k: |j − k| ≤ 3 keine Äquivalenzrelation, da nicht transitiv z.B. 1 R 4 ∧ 4 R 7, aber 1¬ R 7

42

2 Mengen und Abbildungen

2.11

Kompatibilität von Mengenoperationen mit Abbildungen

Für eine Abbildung f und eine Menge X ist f (X) = {f (x) : x ∈ X}. Welche der Identitäten a) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)

b) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)

c) f (A\B) = f (A)\f (B)

sind richtig? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Verweise:

Mengenoperationen, Abbildung

Lösungsskizze a) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B): falsch abgebildetes Gegenbeispiel A = {a}, B = {b1 , b2 }, A ∩ B = ∅, f (A ∩ B) = ∅ f (A) = {c2 }, f (B) = {c1 , c2 }, f (A) ∩ f (B) = {c2 } =⇒

f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)

richtig nur für injektive Abbildungen b) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B): richtig y ∈ f (A ∪ B)

c)

⇐⇒

y = f (x) mit x ∈ A ∨ x ∈ B

⇐⇒

y = f (x) mit x ∈ A ∨ y = f (x) mit x ∈ B

⇐⇒

y ∈ f (A) ∪ f (B)



f (A\B) = f (A)\f (B): falsch

Gegenbeispiel f (x) = x2 , A = [−2, 0], B = [0, 2] A\B = [−2, 0), f (A\B) = (0, 4] f (A) = [0, 4] = f (B), f (A)\f (B) = ∅ =⇒

f (A\B) = f (A)\f (B)

richtig nur für injektive Abbildungen

43

2.12

Abbildungseigenschaften von Funktionen

Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen f : D → D, D = [0, ∞) surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.

Verweise:

a) f (x) = (x − 3)2

b)

f (x) = x(x + 2)

c)

d)

f (x) = x2 − 2x + 3

f (x) = (x + 1)(x + 3)

Abbildung

Lösungsskizze a) x → y = f (x) = (x − 3)2 : Auflösen nach x  x± = 3 ±

√

y

surjektiv, da ∀y ≥ 0 ∃ x+ ≥ 0 nicht injektiv, da f (2) = f (4), und damit auch nicht bijektiv b) x → y = f (x) = x(x + 2): quadratische Ergänzung und Auflösen nach x



y = x2 + 2x + 1 − 1 = (x + 1)2 − 1,

x± = −1 ±

 y+1

surjektiv, da ∀y ≥ 0 ∃ x+ ≥ 0 injektiv, da y ≥ 0 =⇒ x− < 0, d.h. ∃ genau eine Lösung x+ ∈ D surjektiv und injektiv =⇒ bijektiv c) x → y = f (x) = (x + 1)(x + 3): nicht surjektiv, da y ≥ 1 · 3 = 3 ∀x ≥ 0, und damit auch nicht bijektiv quadratische Ergänzung und Auflösen nach x  y = x2 + 4x + 3 = (x + 2)2 − 1,

x± = −2 ±

 y+1

injektiv, da genau eine Lösung x+ ≥ 0 für y ≥ 3 d) x → y = f (x) = x2 − 2x + 3: quadratische Ergänzung  y = (x − 1)2 + 2 nicht surjektiv, da y ≥ 2 ∀x ≥ 0, und damit auch nicht bijektiv nicht injektiv, da f (0) = f (2)

44

2.13

2 Mengen und Abbildungen

Surjektivität und Injektivität einer parameterabhängigen Abbildung

Für welche Werte des Parameters p > 0 definiert x → px − x2 /2 eine Abbildung f : [0, 1] → [0, 1]? Für welche p ist f surjektiv bzw. injektiv? Verweise:

Abbildung

Lösungsskizze (i) Analyse des Graphs: Nullstellen 0 = f (x) = px − x2 /2

x = 0 ∨ x = 2p

=⇒

positiv zwischen 0 und 2p Symmetrie der nach unten geöffneten Parabel =⇒ Maximum bei xe = p mit Wert ye = p2 /2 f strikt monoton wachsend (fallend) für x ≤ p (x ≥ p) =⇒ ⎧ ⎨ f (x ) = p2 /2, für 0 < p ≤ 1 e M = max f (x) = ⎩ f (1) = p − 1/2, für 1 ≤ p x∈[0,1] (ii) Abbildung von [0, 1] nach [0, 1]: bestimme die Parameter p mit f ([0, 1]) ⊆ [0, 1], d.h. 0 ≤ px − x2 /2 ≤ 1

∀x ∈ [0, 1]

⇔

linke Ungleichung

x/2 ≤ p ∀x ∈ [0, 1] rechte Ungleichung

⇔

1/2 ≤ p

⇔ M ≤1

⇔

p ≤ 3/2

beide Ungleichungen für 1/2 ≤ p ≤ 3/2 erfüllt (iii) Surjektivität: f stetig, f (0) = 0, daher notwendig und hinreichend, dass M = 1 p2 /2 < 1 für 0 < p ≤ 1  p = 3/2 als Bedingung für Surjektivität (M = p−1/2 für 1 ≤ p) (iv) Injektivität: f  (x) = p − x > 0

∀x ∈ (0, 1)

=⇒

p≥1

45

2.14

Invertierung und Komposition von Funktionen

Bilden Sie für die Funktionen f (x) =

x−2 , x

g(x) =

x 3+x

f ◦ g, g ◦ f , f −1 , g −1 , (g ◦ f )−1 und f −1 ◦ g −1 , jeweils für den maximalen Definitionsbereich in R. Verweise:

Verknüpfung von Abbildungen, Inverse Abbildung

Lösungsskizze (i) f ◦ g:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f

x 3+x

 =

x 3+x − x 3+x

2

=

−x − 6 x

=

x−2 4x − 2

(ii) g ◦ f :

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g

x−2 x

 =

3

x−2 x + x−2 x

(iii) f −1 : y = f (x) = x↔y



x−2 x

=⇒

xy − x = −2 ⇔ x =

2 1−y

=⇒

3y = x − xy ⇔ x =

3y 1−y

f −1 (x) = 2/(1 − x)

(iv) g −1 : y = g(x) = x↔y



x 3+x

g −1 (x) = 3x/(1 − x)

(v) (g ◦ f )−1 : nach Teil b) y = (g ◦ f )(x) =

x−2 4x − 2

Auflösen nach x 4xy − 2y = x − 2 x↔y



⇔

x=

2y − 2 4y − 1

(g ◦ f )−1 (x) = (2x − 2)/(4x − 1)

(vi) f −1 ◦ g −1 : f −1 ◦ g −1 = (g ◦ f )−1  gleiches Resultat wie bei Teil (v) zur Kontrolle: Teil (iii) und (iv)  

3x 2 2 − 2x −1 −1 −1 f (g (x)) = f = 3x = 1 − 4x 1−x 1 − 1−x



3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Übersicht 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppeneinteilungen von acht Personen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeigerpositionen einer Uhr  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeit eines Dreiers beim Würfeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lotto-Wunder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistik von Todesfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialverteilung bei einem Glücksrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewinnwahrscheinlichkeit beim Ziehen von Losen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeiten bei einem Urnenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fairness in Las Vegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_4

48 49 50 52 53 54 55 56 57 58 59

48

3.1

3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Ziffernkombinationen bei fünfstelligen Zahlen

Wie viele fünfstellige Zahlen enthalten a) höchstens 2 verschiedene Ziffern, b) genau 2 gleiche Ziffern ? Verweise:

Binomialkoeffizient, Kombinatorik von Mengen

Lösungsskizze a) Fünfstellige Zahlen mit höchstens 2 verschiedenen Ziffern: 9 fünfstellige Zahlen mit nur gleichen Ziffern

10 2 = 45 mögliche Ziffernpaare jeweils 25 = 32 verschiedene Anordnungen der zwei Ziffern, abzüglich der 2 Zahlen mit nur gleichen Ziffern Ziffernkombinationen beginnend mit Null (nicht möglich) und einer der 9 anderen Ziffern in Positionen 2 − 5 (24 − 1) · 9 = 135 (Korrektur um −1 entspricht vier Nullen in Positionen 2 − 5)  9 + 45 · (32 − 2) − 135 = 1224 fünfstellige Zahlen mit höchstens zwei verschiedenen Ziffern b) Fünfstellige Zahlen mit genau 2 gleichen Ziffern: ohne Berücksichtigung der Sonderrolle der Null:    5 · 10 · 9 · 8 · 7 = 50400 2 [. . .] entspricht den möglichen Positionen und Werten für die gleichen Ziffern davon mit erster Ziffer 0 (nicht möglich)    4 · 9 · 8 · 7 = 3024 (gleiche Ziffern = 0 in Positionen 2-5) 2 und [4] · 9 · 8 · 7 = 2016 (eine Null in Positionen 2-5)  50400 − 3024 − 2016 = 45360 fünfstellige Zahlen mit genau zwei gleichen Ziffern

49

3.2

Gruppeneinteilungen von acht Personen 

In einer Sportgruppe, bestehend aus 4 Mädchen und 4 Jungen, sollen Zweiergruppen gebildet werden.

Lara Marc

Olga Axel

Vera Timo

Elke Hans

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn a) in jeder Gruppe nur Mädchen oder nur Jungen sind, b) jede Gruppe jeweils aus einem Mädchen und einem Jungen besteht, c) keine Bedingung gestellt ist ? Verweise:

Binomialkoeffizient, Kombinatorik von Mengen

Lösungsskizze a) Reine Mädchen/Jungen-Gruppen: Partnerin von Lara legt die Mädchen-Gruppen fest 3



Möglichkeiten

entsprechend 3 Möglichkeiten für die Jungen-Gruppen insgesamt 32 = 9 Möglichkeiten b) Gemischte Gruppen: jeweils Auswahl eines Partners für Lara, Olga, Vera und Elke



4 · 3 · 2 · 1 = 24 Möglichkeiten c) Beliebige Gruppen: erste Gruppe: Auswahl von 2 aus 8 

 8 = 28 Möglichkeiten 2 analog für die zweite und dritte Gruppe

 6 = 15 Möglichkeiten, 2

 4 = 6 Möglichkeiten 2

 vierte Gruppe liegt fest Division der Gesamtanzahl durch 4! wegen irrelevanter Reihenfolge der Gruppen  (28 · 15 · 6) / 24 = 105 Möglichkeiten

50

3.3

3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zeigerpositionen einer Uhr 

Die Abbildungen zeigen verschiedene Stellungen einer Uhr mit Stundenzeiger (fett), Minutenzeiger und Sekundenzeiger (gestrichelt).

Wie oft in der Zeitspanne nach 0:00 Uhr und vor 12:00 Uhr a) fallen Zeigerpositionen zusammen und b) bilden Zeiger rechte Winkel? Verweise:

Primkörper

Lösungsskizze Umrechnung der Zeit auf Umdrehungen (mit Bruchteil): α = t, β = 12t, γ = 720t,

t ∈ (0, 1)

mit α für den Stunden-, β für den Minuten- und γ für den Sekundenzeiger a) Zusammenfallen von Zeigern: Zusammenfallen von Stunden- und Minutenzeiger ⇔ α=β−k =⇒

mit k ∈ N0

k = 12t − t, d.h. t = k/11 und t ∈ (0, 1) 10



Möglichkeiten

analog: Zusammenfallen von Stunden/Sekunden- und Minuten/Sekunden-Zeigern



α = γ−

⇔

β = γ−m

⇔

 719 m t = 708

t =

718 bzw. 707 Möglichkeiten

prüfe Zeitgleichheit von Möglichkeiten, d.h. die dafür notwendige und hinreichende Bedingung k  =t= ⇔ 719k = 11 11 719 719 mod 11 = 4 = 0 =⇒ 11 teilt k  Widerspruch zu k/11 = t ∈ (0, 1) rechter Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger α = β ± 1/4 − k

mit k ∈ N0

⇔

51 =⇒

k ∓ 1/4 = 11t, d.h. t = (k ∓ 1/4)/11 und t ∈ (0, 1)



11 + 11 = 22 Möglichkeiten für beide Alternativen analog: rechte Winkel zwischen Stunden/Sekunden- und Minuten/Sekunden-zeiger



α = γ ± 1/4 − 

⇔

t =

 ∓ 1/4 719

β = γ ± 1/4 − m

⇔

t =

m ∓ 1/4 708

1438 bzw. 1416 Möglichkeiten

prüfe Zeitgleichheit von Möglichkeiten Fall 1: Stundenzeiger senkrecht auf Minuten- und Sekundenzeiger  notwendige und hinreichende Bedingung   k ∓ 1/4  ∓ 1/4 719 11 =t= ⇔ 719k ± ± = 11 11 719 4 4 [. . .] ganzzahlig =⇒ 719k ± 177 = 11 Testen der Werte k = 0, . . . , 11  2 Fälle, k = 3,  = 180, t = 1/4 und

k = 8,  = 539, t = 3/4 ,

die den Zeiten 3 Uhr und 9 Uhr entsprechen Fall 2: Minutenzeiger senkrecht auf Stunden- und Sekundenzeiger 11  keine Lösung [ 708 4 ± 4 ] ganzzahlig =⇒ (708 ± 11) = 0 mod 4 Fall 3: Sekundenzeiger senkrecht auf Stunden- und Minutenzeiger 708 [ 719  keine Lösung 4 ± 4 ] ganzzahlig =⇒ (719 ± 708) = 0 mod 4 

rechte Winkel von Zeigern an 22 + 1438 + 1416 − 2 = 2874 Zeitpunkten

52

3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3.4

Wahrscheinlichkeit eines Dreiers beim Würfeln

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Würfeln mit drei Würfeln drei gleiche Zahlen zu erhalten, wenn bei einem Wurf mit zwei gleichen Zahlen nur mit dem Würfel mit der „falschen“ Zahl weiter gewürfelt wird. Verweise:

Kombinatorik von Mengen

Lösungsskizze (i) Wahrscheinlichkeiten der Alternativen bei einem Wurf: Gesamtzahl der Möglichkeiten (6 für jeden der drei Würfel): n = 63 = 216 Wahrscheinlichkeiten p, q, . . .: Dreier (aaa): 6 Möglichkeiten  p = 6/n = 1/36 Zweier (aab, aba, baa): 3 · (6 · 5) = 90 Möglichkeiten  q = 90/n = 5/12 Verschiedene Zahlen (abc): 6 · 5 · 4 = 120 Möglichkeiten  r = 120/n = 5/9 !

1 20 + 15  Kontrolle: 1 = p + q + r = 36 36 + 36 Wahrscheinlichkeit der Vervollständigung eines Zweiers (aab → aaa, . . .) durch weiteres Würfeln mit nur einem Würfel: s = 1/6 komplementäre Wahrscheinlichkeit: t = 5/6 (ii) Baumdiagramm für dreimaliges Würfeln:

Addition der Wahrscheinlichkeiten der jeweils durch einen Punkt markierten günstigen Ausgänge  Wahrscheinlichkeit w des Dreiers (z.B. verschiedene Zahlen im ersten Wurf, Zweier im zweiten Wurf, geglückte Vervollständigung im dritten Wurf  Wahrscheinlichkeit rqs) w = p + rp + qs + rrp + rqs + qts 1 5 1 5 51 2539 10156 = + + ··· + = ≈ 0.2177 = 3 36 9 36 12 6 6 Taschenrechner 36 11664

53

3.5

Lotto-Wunder

Man liest gelegentlich von Lotto-Wundern, bei denen fast dieselben Zahlen gezogen werden. Ein besonders erstaunlicher Fall ereignete sich in der AZiehung des Mittwochslottos vom 1. Juni 1995, als dieselben sechs rechts abgebildeten Gewinnzahlen gezogen wurden wie bereits in der Samstagsziehung vom 20. Dezember 1986. Seit 1955 gab es bereits über 5000 Lotto-Ziehungen in Deutschland. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5000 Ziehungen von 6 aus 49 Zahlen (mindestens) eine Zahlenkombination (mindestens) zweimal gezogen wird. Verweise:

Kombinatorik von Mengen, Binomialkoeffizient

Lösungsskizze Wahrscheinlichkeit: n/N mit (bei jeweils 5000 Ziehungen) • n der Anzahl der Möglichkeiten mit 2 identischen Ziehungen • N der Anzahl aller Möglichkeiten (i) Bestimmung von N :  Auswahl von 6 verschiedenen Zahlen aus {1, . . . , 49} Anzahl t der Lotto-Tipps − ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, d.h.

 49 · 48 · · · 44 49 = = 13983816 t= 6 6 · 5···1 gleiche Tipp-Anzahl für jede der 5000 Ziehungen =⇒ N = t5000 (ii) Bestimmung von n: Betrachtung des komplementären Falls: verschiedene Tipps in jeder Ziehung  t Möglichkeiten in Ziehung 1, t − 1 Möglichkeiten in Ziehung 2, . . ., t − 4999 Möglichkeiten in Ziehung 5000, und folglich N − n = t · (t − 1) · · · (t − 4999) (iii) Wahrscheinlichkeit:

p

= =

N =t5000

N − t · (t − 1) · · · (t − 4999) n = N N 1 − (1 − 0/t) · (1 − 1/t) · · · (1 − 4999/t)

≈

t=(49 6)

0.5909

p > 1/2 =⇒ Identische Zahlenkombinationen werden (entgegen der Intuition) bereits nach 60 Lotto-Jahren immer wahrscheinlicher.

54

3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3.6

Statistik von Todesfällen

In Deutschland war 2019 von 940000 Todesfällen1 jeweils die Hälfte männlich und weiblich. 400 Personen sind ertrunken; davon 160 im Alter von weniger als 50 Jahren. Die Wahrscheinlichkeit des Ertrinkens liegt in dieser Altersgruppe bei 2/375. Betrachtet man Männer und Frauen getrennt, erhält man Wahrscheinlichkeiten von 0.7% bzw. 0.2%. Schließlich ertranken fünfmal so viele Frauen über 50 wie unter 50. Bestimmen Sie jeweils für Männer und Frauen über 50 a) die Anzahl der Verstorbenen; b) die Wahrscheinlichkeit des Ertrinkens als Todesursache. Verweise:

Menge

Lösungsskizze a) E = 160 Ertrunkene unter 50 mit Wahrscheinlichkeit p = 2/375 T der Toten unter 50 p = E/T

⇐⇒



Anzahl

T = E/p = 160 · 375/2 = 30000

Aufteilung in männliche und weibliche Verstorbene, T = M + W , und Anwendung der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit  p = pM · M/T + pW · W/T,

pM = 0.007 =  0, 7%, pW = 0.002 =  0, 2%

bzw. nach Multiplikation mit 1000 T 2 · 1000 · 30000 = 160000 = 7M + 2W 375 Einsetzen von W = 30000 − M  Anzahlen der männlichen und weiblichen Verstorbenen unter 50 M = (160000 − 2 · 30000)/(7 − 2) = 20000,

W = 10000

Subtraktion von der Gesamtzahl 940000/2 = 470000 der männlichen bzw. weiblichen Toten  470000 − 20000 = 450000 männliche und 470000 − 10000 = 460000 weibliche Verstorbene über 50 b) Anzahl der Ertrunkenen unter 50 weiblich : 0.002    ·10000 = 20, pW

männlich : 0.007    ·20000 = 140 pM

 5·20 = 100 weibliche und 400−160−100 = 140 männliche Ertrunkene über 50 mit den folgenden entsprechenden Wahrscheinlichkeiten q des Ertrinkens in dieser Altersgruppe 1 7 100 140 qW = = ≈ 0.0002174, qM = = ≈ 0.0003111 460000 4600 450000 22500

1

gerundete Werte

55

3.7

Binomialverteilung bei einem Glücksrad

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei zehnmaligem Drehen des abgebildeten Glücksrads a) mindestens zweimal Rot b) viermal Rot oder Blau c) höchstens dreimal Blau erhalten.

Verweise:

d) jede Farbe

Kombinatorik von Mengen, Binomialkoeffizient

Lösungsskizze

 Anwendung der Binomialverteilung P (X = k) = nk pk (1 − p)n−k für die Wahrscheinlichkeit der Anzahl X des Auftretens eines Ereignisses A bei n-maliger Ausführung eines Experiments mit den zwei alternativen Ereignissen A und A mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. 1 − p 

a) Wahrscheinlichkeit r = 1/6 für Rot P (R ≥ 2) =

10 k=2

P (R = k) = 1 −

1

P (R = k)

k=0



 10 1 10 0 31169301 10 r (1 − r)9 = r (1 − r) − ≈ 0.5155 = 1− 1 0 60466176

b) Wahrscheinlichkeit 1/6 + 1/2 = 2/3 = 1 − g für Rot oder Blau, g = 1/3

 10 24 3360 (1 − g)4 g 10−4 = 210 · 10 = ≈ 0.05690 P (R ∨ B = 4) = 4 3 59049 c) Wahrscheinlichkeit b = 1/2 für Blau P (B ≤ 3) =

3

P (B = k) =

k=0





3  10 k 176 11 b (1 − b)10−k = 10 = = 0.171875 k 2 64

k=0

d) Wahrscheinlichkeiten für die zu A: „jede Farbe kommt vor“ komplementären Ausgänge „kein Rot“ oder „kein Grün“ oder „kein Blau“ pgb = (g + b)10 ,

prb = (r + b)10 ,

prg = (r + g)10 ,

wobei die Fälle „nur Rot“, „nur Grün“, „nur Blau“ mit Wahrscheinlichkeiten pr = r10 ,

pg = g 10 ,

pb = b10

doppelt berücksichtigt wurden, also die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten abgezogen werden müssen. Bilden der komplementären Wahrscheinlichkeit  P (A) = 1 − (pgb + prb + prg ) + (pr + pg + pb ) =

49653000 ≈ 0.8212 60466176

56

3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3.8

Gewinnwahrscheinlichkeit beim Ziehen von Losen

100 Lose enthalten 10 Gewinne. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei dreimaligem Ziehen a) mindestens einen Gewinn

b) genau zwei Gewinne

erhalten. Verweise:

Kombinatorik von Mengen, Binomialkoeffizient

Lösungsskizze Anzahl Z der möglichen Ziehungen =  Auswahl von „n = 3 aus N = 100“, d.h. 

100 100 · 99 · 98 = = 161700 Z= 3 1·2·3 a) Anzahl m der Möglichkeiten des komplementären Ereignisses A, „Ziehen von drei Nieten“ =  Auswahl von „n = 3 aus N − M = 90“ (M : Anzahl der gewinnenden

 Lose), d.h. m = 90 3 = 117480 P (A) =

117480 m = Z 161700

und

P (A) = 1 − P (A) =

44220 ≈ 0.2735 161700

b) Möglichkeiten des Ziehens von genau zwei Gewinnen (Ereignis B) =  „Auswahl von 2 aus M = 10 Gewinnen“ und „Auswahl von einer aus N − M = 90 Nieten“  Anzahl

 10 · 90 = 4050 m= 2 und Wahrscheinlichkeit p(B) =

m 4050 = ≈ 0.02505 Z 161700

Alternative Lösung Anwendung (ohne Herleitung) der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung

M  N −M  P (X = k) =

k

Nn−k  n

für die Anzahl X der Gewinne p(A) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1 − P (X = 0) p(B) = P (X = 2)

57

3.9

Wahrscheinlichkeiten bei einem Urnenmodell

Aus den abgebildeten Urnen wird zweimal mit zufälliger Urnenwahl eine Kugel entnommen. Wie wahrscheinlich ist das Ziehen von a) 2 roten Kugeln

b) 2 Kugeln gleicher Farbe?

Vergleichen Sie mit der Wahrscheinlichkeit, wenn nur aus einer Urne, die alle 12 Kugeln enthält, gezogen wird. Verweise:

Kombinatorik von Mengen

Lösungsskizze 4 Möglichkeiten der Urnenwahl (11, 12, 21, 22) jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/4 a) Andere Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen von gleichen als bei verschiedenen Urnen Gleiche Urnen (11, 22): Wahrscheinlichkeit p1 = 3/6 = 1/2 für „Rot“ beim ersten und p2 = 2/5 (nur 2 der 5 verbliebenen Kugeln sind rot) beim zweiten Ziehen  Gesamtwahrscheinlichkeit 2 · (1/4) · p1 p2 = 1/10 Verschiedene Urnen (12, 21): Auswahl aus 3 roten und 3 andersfarbigen Kugeln bei jedem Ziehen  Gesamtwahrscheinlichkeit 2 · (1/4) · p1 p1 = 1/8 für zweimal „Rot“ Addition der beiden Wahrscheinlichkeiten 1/8 = 9/40 = 0.225



Wahrscheinlichkeit pR = 1/10 +

b) Zusätzlich: Ziehen von zweimal „Grün“ oder zweimal „Blau“ „Grün“ nur bei Urnenfolge 11 (Wahrscheinlichkeit 1/4) mit Wahrscheinlichkeit p1 beim ersten und p2 beim zweiten Ziehen insgesamt: pG = (1/4) · p1 p2 = 1/20 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit pB für das Ziehen von zwei blauen Kugeln  Wahrscheinlichkeit q = pR + pG + pB = 9/40 + 1/20 + 1/20 = 13/40 = 0.325 für das Ziehen von zwei Kugeln gleicher Farbe Vergleich A) Wahrscheinlichkeit P1 = 6/12 = 1/2 für „Rot“ beim ersten Ziehen aus einer Urne mit allen 12 Kugeln und P2 = 5/11 (Auswahl aus den verbliebenen 5 roten und 6 andersfarbigen Kugeln) beim zweiten Ziehen  Wahrscheinlichkeit PR = P1 P2 = 5/22 ≈ 0.2273 B) Analoge Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für zweimal „Grün“ und zweimal „Blau“ (Auswahl zunächst aus 12 und dann aus 11 Kugeln, davon jeweils 9 andersfarbige)  PG = PB = (3/12) · (2/11) = 1/22 und somit Q = PR + PG + PB = 5/22 + 1/22 + 1/22 = 7/22 ≈ 0.3181

58

3 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3.10

Wahrscheinlichkeit von Drilling und Full House

Wie wahrscheinlich ist ein Drilling beim Poker mit einem Skatblatt? A

→

♠

♠

♥

A ♣

♥

A

♣

A

♠

♥

8

8

♦

♦

♠

♣

9

♦

A

9

♠

A

♠

8

♠

♦ ♠

♠

A

A ♣

A

♣

8

♦

♥

8

♣

♦

A ♥

♥

♥

8

♥

♥

A A

Bestimmen Sie ebenfalls die Wahrscheinlichkeit, das Blatt durch Tausch der 2 nicht zum Drilling gehörenden Karten zu einem Full House zu verbessern. Verweise:

Binomialkoeffizient, Kombinatorik von Mengen

Lösungsskizze (i) Drilling: Anzahl der möglichen Blätter:



32 5

= 201376

 Möglichkeiten für 3 gleiche Bilder: 8 · 43 = 32 Die restlichen 2 Karten dürfen das Bild des Drillings nicht enthalten (Auswahl aus 28) und müssen verschiedene Bilder haben  28 · 24/2 = 336 Möglichkeiten (Division durch 2 wegen Irrelevanz der Reihenfolge) insgesamt 32 · 336 = 10752 verschiedene Drillinge Wahrscheinlichkeit:

10752 201376

=

48 899

≈ 0.05339

(ii) Full House: 32 − 5 = 27 verbleibende Karten

27  2 = 27 · 26/2 = 351 Möglichkeiten für die Tauschkarten 7 Bilder für das Paar, Auswahl von 2 aus 4 Farben 

 4 = 42 Möglichkeiten 7· 2 die zwei weggegebenen Karten dürfen nicht enthalten sein  2 · 3 = 6 nicht mögliche Kombinationen insgesamt 42 − 6 = 36 Tauschmöglichkeiten zum Full House Wahrscheinlichkeit:

36 351

=

12 117

≈ 0.1026

59

3.11

Fairness in Las Vegas

Ein Spielautomat zeigt nach Einwurf von 1 USD drei zufällig (?) generierte Ziffern an. Bei zwei gleichen Ziffern werden zwei, bei drei gleichen Ziffern sogar sechs Dollar ausgeworfen. Sie verlieren kontinuierlich - wieviel im Schnitt? Was wäre ein fairer Einsatz? Verweise:

0 9 7

Kombinatorik von Mengen

Lösungsskizze (i) Wahrscheinlichkeiten pk : 103 = 1000 mögliche Ziffernkombinationen keine gleiche Ziffer: 10 · 9 · 8 = 720 Möglichkeiten  p1 = 720/1000 drei gleiche Ziffern: 10 Möglichkeiten  p3 = 10/1000 zwei gleiche Ziffern: Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu 1  p2 = 1 − p1 − p3 = 1 − 720/1000 − 10/1000 = 270/1000 (ii) Gewinn/Verlust xk [in USD]: x1 = −1 (keine gleichen Ziffern) x2 = 2 − 1 = 1 (Auszahlung von 2 USD abzüglich des Einsatzes) x3 = 6 − 1 = 5 (iii) Erwartungswert E (mittlerer Gewinn/Verlust): E =

3 k=1

= − =⇒

pk x k =

270 10 720 · (−1) + ·1+ ·5 1000 1000 1000

4 400 =− 1000 10

Durchschnittlich werden 40 Cent verloren.

Korrektur des Einsatzes um den Erwartungswert



fairer Einsatz

1 USD − 40 Cent = 60 Cent 

Erwartungswert null (faires Glücksspiel)

Probe (mit korrigiertem Einsatz von 60 Cent = 0.6 USD) 270 10 720 · (−0.6) + · (−0.6 + 2) + · (−0.6 + 6) 1000 1000 1000 378 54 432 + +  = − 1000 1000 1000 !

0 = Efair =

4 Komplexe Zahlen

Übersicht 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17

Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition und Umwandlung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Summen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengen in der Gaußschen Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quotienten komplexer Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kubische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biquadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreise in der Gaußschen Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_5

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

62

4.1

4 Komplexe Zahlen

Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen

Wandeln Sie folgende komplexe Zahlen in Polar- bzw. Koordinatenform um. a) 4 − 4i Verweise:

b)

−

√

c) 2 e−iπ/6

3+i

d)

√

2 ei3π/4

Formel von Euler-Moivre, Gaußsche Zahlenebene

Lösungsskizze Umrechnung in Polarform: z = x + yi → r eiϕ  r = x2 + y 2 , ϕ = arctan(y/x) + σπ mit σ = 0 für x ≥ 0 und σ = ±1 für x < 0 (Wahl des Vorzeichens  ϕ im Standardbereich (−π, π]) a) z = 4 − 4i: √ √ r = 42 + 42 = 4 2,

ϕ = arctan(−1) + σπ = −π/4 + 0



√ z = 4 2 e−iπ/4 √ b) z = − 3 + i: √ √ r = 3 + 1 = 2, ϕ = arctan(−1/ 3) + σπ = −π/6 + π = 5π/6



z = 2 ei5π/6 √ (Korrektur des Winkels um +π wegen x = − 3 < 0) Umrechnung in Koordinatenform: z = reiϕ → x + yi x = r cos ϕ, c) z = 2 e−iπ/6 : √ x = 2 cos(−π/6) = 3,

y = 2 sin(−π/6) = −1 z=

√ d) z = 2 ei3π/4 : √ x = 2 cos(3π/4) = −1,

y = r sin ϕ

y=



√ 3−i

√ 2 sin(3π/4) = 1



z = −1 + i Alternative Lösung Bestimmung von ϕ = arg z, cos ϕ und sin ϕ für ϕ = kπ/4, kπ/6 mit Hilfe von gleichseitigen und gleichschenklig/rechtwinkligen Dreiecken

63

4.2

Komplexe Konjugation

Berechnen Sie für z = 1 − 2i und z = 4eiπ/3 die Ausdrücke z z¯, Verweise:

z/¯ z,

1/z + 1/¯ z,

z 2 − z¯2 .

Komplexe Konjugation

Lösungsskizze relevante Formeln z = x + iy = reiϕ ,

z¯ = x − iy = re−iϕ

z z¯ = |z|2 = x2 + y 2 = r2 z + z¯ = 2 Re z = 2x = 2r cos ϕ, z1 ◦ z2 = z¯1 ◦ z¯2 (i)

z − z¯ = 2i Im z = 2iy = 2ir sin ϕ

für ◦ = +, −, ·, /

z = 1 − 2i: z z¯ = 12 + 25 = 5 bzw. ohne Anwendung der Formel für z z¯ z z¯ = (1 − 2i)(1 + 2i) = 12 − (2i)2 = 1 − 4i2 = 5  (1 − 2i)2 1 − 4i − 4 3 4 1 − 2i = = =− − i z/¯ z= 1 + 2i (1 + 2i)(1 − 2i) 1+4 5 5 alternative Berechnung mit Benutzung des ersten Teils z/¯ z = z 2 /(z z¯) = (1 − 2i)2 /5 = (−3 − 4i)/5  1 + 2i 1 2 1 = = + i 1/z = 1 − 2i (1 − 2i)(1 + 2i) 5 5 =⇒ 1/z + 1/¯ z = 1/z + 1/z = 2 Re(1/z) = 2/5 2 2 z − z¯ = (z + z¯)(z − z¯) = (2 Re z)(2i Im z) = 2 · (−4i) = −8i Kontrolle: z 2 − z¯2 = (1 − 2i)2 − (1 + 2i)2 = (1 − 4i − 4) − (1 + 4i − 4) = −8i

(ii)

z = 4eiπ/3 : −iπ/3 z z¯ = r2 = 42 = 16 bzw. z z¯ = 4eiπ/3 = 16  √ · 4e 3 4eiπ/3 1 2iπ/3 i z/¯ z = −iπ/3 = e =− + 2 2 4e 2 Re z z¯ + z 2r cos(π/3) 2 · (4 cos(π/3)) 1 = 1/z + 1/¯ z= = = = z z¯ |z|2 r2 42 √ 4 z 2 − z¯2 = (z + z¯)(z − z¯) = 8 cos(π/3)(8i sin(π/3)) = 16 3i bzw. direkte Berechnung √ z 2 − z¯2 = r2 e2iπ/3 − r2 e−2iπ/3 = 16 · 2i sin(π/3) = 32i 3/2 



64

4.3

4 Komplexe Zahlen

Addition und Umwandlung komplexer Zahlen

Berechnen Sie 2 exp(−i π/3) −

√

3 + i,

und geben Sie das Ergebnis sowohl in Standard- als auch in Polarform an. Verweise:

Formel von Euler-Moivre, Gaußsche Zahlenebene

Lösungsskizze Standard- und Polarform komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Im z

Im z z = reiϕ

z = x + iy

x

r

y

|z|

ϕ

Re z

Re z

(i) Umwandlung von z1 = 2 exp(−i π/3) in Standardform x + iy: Formel von Euler-Moivre r exp(i ϕ) = r cos ϕ + i sin ϕ mit r = 2, ϕ = −π/3



z1 = 2 cos(−π/3) + i 2 sin(−π/3) = 1 − (ii) Standard- und Polarform der Summe z = z1 − z = x + iy = (1 −

√

√ 3i

3 + i:

√ √ √ √ 3 i) + (− 3 + i) = (1 − 3) + (1 − 3) i

Umwandlung in Polarform z = r exp(iϕ)   √ √ √  √  √ √ x2 + y 2 = (1 − 3)2 + (1 − 3)2 = 2 1 − 3 = 6 − 2 r = ϕ = arctan(x/y) + σπ = arctan(1) − π = −3π/4

(σ = −1)

Standardbereich des Arkustangens = [−π/2, π/2]  Korrektur um σπ je nach Lage von x + iy in den vier Quadranten ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 0, x ≥ 0 σ= 1, x < 0 ∧ y ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎩ −1, x < 0 ∧ y < 0 √ x=y =1− 3 simplify(sum(sin(2*Pi*k/n),k=1..n-1)); > simplify(sum(cos(2*Pi*k/n)^2,k=1..n-1));

67

4.6

Mengen in der Gaußschen Zahlenebene

Skizzieren Sie die Mengen in der Gaußschen Zahlenebene, die durch a)

|z| − Im z = 1

b)

|z| ≤ 2 Re z

beschrieben werden. Verweise:

Gaußsche Zahlenebene

Lösungsskizze Umwandlung in Koordinatenform z → x + iy,

x = Re z, y = Im z

a) |z| − Im z = 1: Definition des Betrags und des Imaginärteils, Quadrieren   x2 + y 2 = 1 + y ⇔ x2 = 1 + 2y 

Parabel mit Scheitel bei (0, −1/2)

Im z

1 1 0

b) |z| ≤ 2 Re z: Definition des Betrags und des Realteils  x2 + y 2 ≤ 2x



bzw. nach Quadrieren y 2 ≤ 3x2

∧

x≥0

Sektor, begrenzt durch die Halbgeraden y = √ ± 3 x, x ≥ 0

Re z

68

4.7

4 Komplexe Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

Berechnen Sie a) (i − 2)(3 − i)

b)

e−iπ/3 eiπ/2

c) (1 − i) eiπ/3

und geben Sie die Ergebnisse sowohl in Standard- als auch in Polarform an. Verweise:

Multiplikation komplexer Zahlen, Formel von Euler-Moivre

Lösungsskizze a) z = (i − 2) (3 − i): i2 = −1  Standardform

y

z

z = x + iy = 3i + 1 − 6 + 2i = −5 + 5i

5 r

Polarform r = |z| = =⇒

 √ 52 + 52 = 5 2,

z = r eiϕ

ϕ = arg z = 3π/4

ϕ

−5

√ = 5 2 ei3π/4

0

b) z = e−iπ/3 eiπ/2 : Polarform z = e−iπ/3+iπ/2 = eiπ/6 Formel von Euler-Moivre



Standardform √

z = cos(π/6) + i sin(π/6) =

3 1 + i 2 2

c) (1 − i) eiπ/3 : Umrechnung der Faktoren p = 1 − i in Polar- bzw. q = eiπ/3 in Standardform √ √ 1 + 1 = 2, arg p = −π/4 =⇒ √ 3 1 i q = cos(π/3) + i sin(π/3) = + 2 2 |p| =

p=

√ −iπ/4 2e

Standardform des Produktes  √  3 1 + i pq = (1 − i) 2 2   √ √ √  √ 3 3 3 3 1 1 1 1 = + i− i+ = + + − i 2 2 2 2 2 2 2 2 Polarform des Produktes pq =

√

2 e−iπ/4 eiπ/3 =

√ −iπ/4+iπ/3 √ iπ/12 2e = 2e

x

69

4.8

Division komplexer Zahlen

Berechnen Sie a)

5−i 2 − 3i

b)

e−iπ/6 eiπ/2

c)

−2 − 2i eiπ/3

und geben Sie die Ergebnisse sowohl in Standard- als auch in Polarform an. Verweise:

Formel von Euler-Moivre, Division komplexer Zahlen

Lösungsskizze a) z = (5 − i) / (2 − 3i): Erweitern mit komplex konjugiertem Nenner, dritte binomische Formel  Standardform 10 + 3 + 15i − 2i (5 − i) (2 + 3i) = =1+i (2 − 3i) (2 + 3i) 4+9 √ √ Polarform: |z| = 2, arg z = π/4  z = 2 eiπ/4 z=

b) z = e−iπ/6 / eiπ/2 : Polarform z = e−iπ/6−iπ/2 = e−i2π/3 Formel von Euler-Moivre



Standardform

√ 1 3 z = cos(−2π/3) + i sin(−2π/3) = − − i 2 2 c) z = (−2 + 2i) / eiπ/3 : Umrechnung von Zähler p und Nenner q in Polar- bzw. Standardform |p| =

√ √ 22 + 22 = 2 2, arg p = 3π/4

q = cos(π/3) + i sin(π/3) =

1 2

√

+

3 2



√ p = 2 2 ei3π/4

i

Quotient in Polarform √ √ √ z = p/q = 2 2 ei3π/4 / eiπ/3 = 2 2 ei3π/4−iπ/3 = 2 2 ei5π/12 Quotient in Standardform √ (−2 + 2i)(1/2 − ( 3/2)i) −2 + 2i √ √ √ = 1/2 + ( 3/2)i (1/2 + ( 3/2)i)(1/2 − ( 3/2)i) √ √ √ √ −1 + 3 i + i + 3 = ( 3 − 1) + ( 3 + 1) i = 1/4 + 3/4

z = p/q =

70

4.9

4 Komplexe Zahlen

Quotienten komplexer Ausdrücke

Berechnen Sie a) Verweise:

(1 + i)6 3 − 4i

b)

eiπ/3 −

1 √

2 e−iπ/4

Formel von Euler-Moivre, Division komplexer Zahlen, Potenzen

Lösungsskizze a) z = (1 + i)6 /(3 − 4i): Berechnung der Potenz p im Zähler mit Hilfe der Polarform 1+i=

√

2 eiπ/4

=⇒

p = (1 + i)6 = 8 ei(3π/2) = −8i ,

denn eiπ/2 = i, i3 = −i Erweitern mit 3 + 4i, dritte binomische Formel z=



−8i 3 + 4i −24i + 32 32 24 p = = = − i 3 − 4i 3 − 4i 3 + 4i 9 + 16 25 25

√ b) z = 1/(eiπ/3 − 2 e−iπ/4 ): Umrechnung mit der Formel von Euler-Moivre, eit = cos t + i sin t  √ 3 1 iπ/3 i = cos(π/3) + i sin(π/3) = + e 2 2 √ −iπ/4 √ 2e = 2 (cos(−π/4) + i sin(−π/4)) = 1 − i Differenz d im Nenner √ √ d = (1/2 + ( 3/2)i) − (1 − i) = (−1 + (2 + 3)i)/2 Erweitern mit komplex konjugiertem Nenner



√ (−1 − (2 + 3)i) 2 1 √ √ = d (−1 + (2 + 3)i) (−1 − (2 + 3)i) √ √ −1 − (2 + 3)i −2 − (4 + 2 3)i √ √ = = 1 + (2 + 3)2 4+2 3 √ √ Erweitern mit 4 − 2 3 = 2(2 − 3)  √ √ (−4 + 2 3) − 2(4 − 3)i −2 + 3 1 z= = − i 16 − 12 2 2 z=

71

4.10

Rechnen mit komplexen Zahlen

Berechnen Sie

√ (1 − i)5 2 eiπ/4 √ , ( 3 + 3i) + 2 e−iπ/6

und geben Sie das Ergebnis sowohl in Koordinaten- als auch in Polarform an. Verweise:

Multiplikation komplexer Zahlen, Potenzen

Lösungsskizze √ (i) Berechnung des Zählers p = (1 − i)5 2 eiπ/4 in Polarform: √ 1 − i = 2 e−iπ/4  5 √ √ 2 e−iπ/4 2 eiπ/4 = 2(5+1)/2 e−i5π/4+iπ/4 p = = 8 e−iπ = 8 (cos π + i sin π) = 8 (−1 + 0i) = −8 alternativ: Verwendung der Koordinatenform √ eiπ/4 = (1 + i)/ 2 und binomische Formeln  p = (1 − i)5 (1 + i) = [(1 − i)(1 + i)] [(1 − i)2 ]2 = [1 − i2 ] [1 − 2i + i2 ]2 = 2 · (−2i)2 = −8



√ (ii) Berechnung des Nenners q = ( 3 + 3i) + 2 e−iπ/6 in Koordinatenform: √ 2 e−iπ/6 = 3 − i  √ √ √ q = ( 3 + 3i) + ( 3 − i) = 2 3 + 2i Umrechnung in Polarform √ √ |q| = 4 · 3 + 4 = 4 , arg q = arctan(1/ 3) = π/6



q = 4 eiπ/6 (iii) Resultierender Wert des Bruches: Koordinatenform

√ √ 8 8(2 3 − 2i) p =− 3+i =− z= =− √ q 4·3+4 2 3 + 2i

Umrechnung in Polarform z = reiϕ √ r = 3+1=2

√ ϕ = arctan(−1/ 3) + σπ = −π/6 + π = 5π/6 √ (σ = 1, da Re z = − 3 < 0 und ϕ im Standardbereich (−π, π])



Polarform des Quotienten: z = 2 ei5π/6

alternativ: direkte Berechnung in Polarform

z=

8 eiπ p = = 2 ei5π/6 q 4 eiπ/6

72

4 Komplexe Zahlen

4.11

Komplexe Widerstände im Wechselstromkreis

1 Die komplexen Widerstände ZC = iωC , ZL = iωL, ZR = R (reell) addieren sich bei Serienschaltung, Zk ; Zgesamt = k

bei Parallelschaltung addieren sich ihre Kehrwerte, 1 1 = . Zgesamt Zk k

Berechnen Sie den komplexen Gesamtwiderstand Z und den Effektivstrom Ueff /|Z| für das abgebildete Beispiel. Verweise:

Gaußsche Zahlenebene, Division komplexer Zahlen

Lösungsskizze (i) Parallelschaltung von Ohmschem Widerstand und Spule: komplexe Widerstände ZR = 100, ZL = 200i  komplexer Gesamtwiderstand ZRL des unteren Teils der Schaltung: 1 1 1 1 1 + = + = ZRL ZR ZL 100 200 i

= 1/i=−i

2−i 200

und nach Kehrwertbildung und Erweitern mit 2 + i ZRL =

400 + 200i 200 = = 80 + 40i 2−i 4+1

(ii) Serienschaltung mit dem Kondensator: komplexer Widerstand ZC = 100/i  komplexer Gesamtwiderstand Z = ZRL + ZC

= 1/i=−i

(80 + 40i) − 100i = 80 − 60i

(iii) Effektivstrom: Betrag des komplexen Gesamtwiderstands (Scheinwiderstand)  √ √ |Z| = 802 + 602 Ω = 6400 + 3600 Ω = 10000 Ω = 100 Ω 

Effektivstrom Ueff /|Z| = 220 V/100 Ω = 2.2 A

73

4.12

Komplexe Wurzel

Bestimmen Sie die Wurzeln von form. Verweise:

√

3 + i sowohl in Polar- als auch in Koordinaten-

Einheitswurzeln, Potenzen

Lösungsskizze (i) Polarform der Wurzeln: √ Betrag und Argument von z = 3 + i √ √ |z| = 3 + 1 = 2, arg z = arctan(1/ 3) = π/6 √ √  z = 2 eiπ/6 und w = z = ± 2 eiπ/12 bzw. √ √ w1 = 2 eiπ/12 , w2 = 2 e−i11π/12 (−1 = e±iπ ) (ii) Koordinatenform der Wurzeln: √ Ansatz w = z = x + iy  √ 3 + i = (x + iy)2 Vergleich von Real- und Imaginärteil  √ 3 = x2 − y 2 ,

1 = 2xy

Einsetzen von y = 1/(2x) in die erste Gleichung, Umformung √ x4 − 3 x2 − 1/4 = 0



Lösungsformel für quadratische Gleichungen, x ∈ R und somit x2 ≥ 0  √   √ √ √ 1+ 3 2 , x = 3/2 + 3/4 + 1/4 = 1 + 3/2, x = ± 1 + 3/2 = ± 2 √ √ 2 denn 1 + 3/2 = (1 + 3) /4 √ Erweitern mit 3 − 1, dritte binomische Formel  √ 3−1 1 1 √ =± =± y= 2x 2 1+ 3 Alternative Lösung Geometrisches Argument: √ √ z parallel zur Diagonale des von z = 3 + i und |z| · 1 = 2 aufgespannten Parallelogramms  Wurzeln   √  √ wk = ±c (2 + 3) + i  3+i +2 √ |wk | = 2  Normierungskonstante √ √  (2 + 3)2 + 1 c= 2 Vereinfachung



Übereinstimmung mit der berechneten Koordinatenform

74

4 Komplexe Zahlen

4.13

Potenzen komplexer Zahlen

Berechnen Sie a) (1 − i)2/3

(1 + i)3/2

b)

sowohl in Standard- als auch in Polarform. Verweise:

Formel von Euler-Moivre, Potenzen

Lösungsskizze a) z = (1 − i)2/3 : √ 1 − i = 2 e−iπ/4 = 21/2 e−iπ/4 und e2πik = 1 für k ∈ Z z = 21/3 e−iπ/6 e2πik·2/3 , 

=⇒

k = 0, 1, 2

3 mögliche Potenzen z0 = 21/3 e−iπ/6 ,

z1 = 21/3 e7iπ/6 ,

e2πi eiπ(−1/6+2/3) = 21/3 eiπ/2 z2 = 21/3 eiπ(−1/6+8/3) = 21/3  =1

Umwandlung in Standardform mit der Formel von Euler-Moivre eit = cos t + i sin t cos(±π/6) =

√

3/2, sin(±π/6) = ±1/2, eiπ = −1, eiπ/2 = i

=⇒ √ z0 = 21/3 (cos(−π/6) + i sin(−π/6)) = 2−2/3 ( 3 − i) √ z1 = 21/3 eiπ eiπ/6 = −2−2/3 ( 3 + i), z2 = 21/3 i

b) z = (1 + i)3/2 : √ 1 + i = 2 eiπ/4

=⇒ 3/2  z± = ± 21/2 eiπ/4 = ±23/4 e3iπ/8

Umwandlung in Standardform mit einem geometrischen Argument (Gaußsche Ebene) √ √ e3iπ/8  e3iπ/4 + 1  (−1 + i)/ 2 + 1  (−1 + i) + 2 Normierung (|eit | = 1)



√ 2−1+i 2−1+i = e =√ √ 4−2 2 ( 2 − 1)2 + 1 √ 2/4 =⇒ Multiplikation mit 23/4 = 1/2−3/4 = 1/(21/4 /2) = 1/ √  √ i 2−1+i  2 − 1 ± √ =± z=± √ 2−1 2−1 3iπ/8

√

75

4.14

Quadratische Gleichung

Lösen Sie die quadratische Gleichung 8z − 4z 2 = 7 . Verweise:

Einheitswurzeln, Potenzen

Lösungsskizze quadratische Gleichung az 2 + bz + c = 0 Lösungsformel für quadratische Gleichungen √ −b ± b2 − 4ac z1,2 = 2a im konkreten Beispiel 4z 2 − 8z + 7 = 0, d.h. für a = 4, b = −8, c = 7 √ √ √ −48 3 8 ± 64 − 112 =1± =1± i z1,2 = 8 8 2 (z2 = z 1 , da Koeffizienten a, b, c der Gleichung reell) Alternative Lösung direkte Berechnung ohne Verwendung der Lösungsformel Division der Gleichung 4z 2 − 8z + 7 = 0 durch 4 und quadratische Ergänzung



7 7 = (z − 1)2 − 1 + = 0 4 4 √  mit den Lösungen z1,2 = 1 ± −3/4 = 1 ± 23 i z 2 − 2z +

Kontrolle mit dem Satz von Vieta:  √ z1 z2 =

3 i 1+ 2

z1 + z2 = 2 = −b/a



√

⇔

(z − 1)2 = −

 

3 1− i 2

= 7/4 = c/a

3 4

76

4 Komplexe Zahlen

4.15

Kubische Gleichung

Die Gleichung z 3 − 3z 2 + (3 − 2i)z − 1 + 2i = 0 hat die Lösung z1 = 1. Bestimmen Sie alle weiteren Lösungen. Verweise:

Einheitswurzeln, Potenzen

Lösungsskizze kubische Gleichung



drei Lösungen (inklusive Vielfachheiten)

0 = z 3 − 3z 2 + (3 − 2i)z − 1 + 2i = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ) bekannte Lösung z1 = 1



Division durch den Linearfaktor (z − 1)

( z 3 −3z 2 +(3 − 2i)z −1 + 2i ) :(z − 1) = z 2 − 2z + 1 − 2i z3

−z 2 −2z 2 +(3 − 2i)z −2z 2

+2z (1 − 2i)z −1 + 2i (1 − 2i)z −1 + 2i 0



quadratische Gleichung mit den weiteren Lösungen z2 , z3 z 2 − 2z + 1 − 2i = 0

Lösungsformel für quadratische Gleichungen   √ z2,3 = 1 ± 1 − (1 − 2i) = 1 ± 2i Berechnung der Wurzel mit Hilfe der Polarform i = eiπ/2 √ √ 2i = 2 eiπ/4 = 1 + i und somit z2 = 2 + i,

z3 = −i

Probe  (z − zk ) = (z − 1)(z − 2 − i)(z + i) k

= z 3 + (−1 − 2 − i + i)z 2 + (2 + i − i − 2i + 1)z + (−1 + 2i)



77

4.16

Biquadratische Gleichung

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 4 − 2z 2 + 4 = 0 . Verweise:

Einheitswurzeln, Potenzen

Lösungsskizze biquadratische Gleichung w2 − 2w + 4 = 0,

w = z2

mit vier Lösungen (inklusive Vielfachheiten) reelle Koeffizienten =⇒ zwei Paare komplex konjugierter Lösungen quadratische Ergänzung  (w − 1)2 − 1 + 4 = 0 ⇔ (w − 1)2 = −3 , √ √ d.h. w1,2 = 1 ± −3 = 1 ± 3 i Polarform √ √ |w1,2 | = 1 + 3 = 2, arg w1,2 = arctan(± 3) = ±π/3  z1,2

w1 = 2 e−iπ/3 , w2 = 2 eiπ/3 √ √ = ± w1 , z3,4 = ± w2 , Formel von Euler-Moivre  √ √ z1 = 2 e−iπ/6 = 2 (cos(−π/6) + i sin(−π/6)) √ √ √ √ = 2 ( 3/2 − i/2) = 6/2 − ( 2/2)i √ √ √ z2 = −z1 = 2 ei5π/6 = − 6/2 + ( 2/2)i ,

da eiπ = −1 analog √ √ 2 eiπ/6 = 6/2 + ( 2/2)i √ √ √ = −z3 = 2 e−i5π/6 = − 6/2 − ( 2/2)i

z3 = z4

√

z3 = z 1 , z4 = z 2 Probe √ √ z.B. für z1 = ( 6 − 2i)/2 √ √ z12 = (6 − 2 12 i − 2)/4 = 1 − 3 i √ √ z14 = 1 − 2 3 i − 3 = −2 − 2 3 i und

√ √ z14 − 2z12 + 4 = (−2 − 2 3 i) − 2(1 − 3 i) + 4 = 0 

78

4 Komplexe Zahlen

4.17

Kreise in der Gaußschen Zahlenebene

Skizzieren Sie die Mengen der z ∈ C, die durch a) |z − 2 + i| > |z − 3i|

b) |z + 1 + i| = 2|z + 1 − 2i|

beschrieben werden. Verweise:

Gerade und Kreis in der komplexen Ebene, Gaußsche Zahlenebene

Lösungsskizze Kreis in der Gaußschen Zahlenebene |z − a| = s|z − b|,

z = x + iy =  (x, y)

s=1=  Gerade als entarteter Kreis a) |z − 2 + i| > |z − 3i|: größerer Abstand zu a = 2 − i =  (2, −1) als zu b = 3i =  (0, 3)  Halbebene begrenzt durch die Mittelsenkrechte g : c + tv mit

Im z b c Re z

c = (a + b)/2 = 1 + i,

a

v = 2 + i=  (2, 1) ⊥ ((0, 3) − (2, −1)) b) |z + 1 + i| = 2|z + 1 − 2i|: a = −1 − i, b = −1 + 2i, s = 2  Kreis explizite Form durch Setzen von z = x + iy Quadrieren der Betragsgleichung 

Im z



(x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 (x + 1)2 + (y − 2)2 Umformen und quadratische Ergänzung

b



x2 + 2x + y 2 − 6y = −6 ⇔ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4 Mittelpunkt: c = −1 + 3i =  (−1, 3) Radius: r = 2 Alternative Lösung Berechnung von Mittelpunkt und Radius mit den Formeln c = (a − s2 b)/(1 − s2 ),

c

r = s|b − a|/|1 − s2 |

Re z a

5 Tests

Übersicht 5.1 5.2 5.3 5.4

Elementare Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 82 85 87

Ergänzend zu den Tests in diesem Kapitel finden Sie unter dem Link unten auf der Seite eine interaktive Version dieser Tests als elektronisches Zusatzmaterial. Sie können dort Ihre Ergebnisse zu den Aufgaben in ein interaktives PDF-Dokument eintragen und erhalten unmittelbar eine Rückmeldung, ob die Resultate korrekt sind.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_6. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_6

80

5.1

5 Tests

Elementare Logik

Aufgabe 1: Vereinfachen Sie: (A ∨ ¬B) =⇒ (A ∧ B). Aufgabe 2: Stellen Sie für den logischen Ausdruck L = (A ∨ B) Wahrheitswerttabelle auf.

=⇒

(A

=⇒

Aufgabe 3:

 n n (−1)k = 0, n > 1. k Zeigen Sie: k k=1

Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass die Gleichung x4 = 3x + 2 keine rationale Lösung besitzt. Aufgabe 5: n Zeigen Sie: k=1 k2k = (n − 1)2n+1 + 2.

B) eine

81 Lösungshinweise Aufgabe 1: Verwenden Sie die alternative Darstellung der Implikation, X =⇒ Y = ¬X ∨ Y , die De Morgansche Regel, ¬(X ∨ Y ) = ¬X ∧ ¬Y , und das Distributivgesetz (Y ∧ X) ∨ (Z ∧ X) = (Y ∨ Z) ∧ X Aufgabe 2: Verwenden Sie die alternative Darstellung der Implikation, X =⇒ Y = ¬X ∨ Y , und die De Morgansche Regel, ¬(X ∨ Y ) = ¬X ∧ ¬Y , sowie zur Erstellung der Wahrheitswerttabelle die Wahrheitswerte bei den elementaren Verknüpfungen ∨, ∧ und ¬. Aufgabe 3: n  Differenzieren Sie die binomischen Formel (a + b)n = k=0 nk an−k bk nach b und setzen Sie a = 1, b = −1. Aufgabe 4: Führen Sie die Annahme x = p/q (gekürzt) zu einem Widerspruch, indem Sie nach Einsetzen in die Gleichung aus der Primfaktorzerlegung q = 1 schließen und zeigen, dass die resultierende Gleichung für p keine ganzzahligen Lösungen haben kann. Aufgabe 5: Verwenden Sie vollständige Induktion und zeigen Sie für den Induktionsschluss (n → n + 1), dass     (n + 1)2n+1 = n2n+2 + 2 − (n − 1)2n+1 + 2 .

82

5.2

5 Tests

Mengen und Abbildungen

Aufgabe 1: Jedes Element der drei Mengen A, B, C gehört zu genau zwei der Mengen, und es gilt |A ∪ B ∪ C| = 50, |A ∩ B| = 2|B ∩ C|, |A| = |B| + 2 . Wie viele Elemente haben die Mengen? Aufgabe 2:

 Vereinfachen Sie: (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) \C. Aufgabe 3: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung |1 − x2 | = |1 − x|. Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 2|x| > |2 + x|. Aufgabe 5: √ √ Lösen Sie die Gleichung 2x + 1 = 2 − x − 1. Aufgabe 6: Prüfen Sie, ob die auf den ganzen Zahlen definierten Relationen x Rg y ⇐⇒ x + y ist gerade,

x Ru y ⇐⇒ x + y ist ungerade

Äquivalenzrelationen sind. Aufgabe 7: Welche der Funktionen fk : [0, 1] → [0, 1] f1 (x) = 1 − x/2,

f2 (x) = x − x2 ,

f3 (x) = 1 − x2 ,

sind surjektiv, injektiv oder bijektiv? Aufgabe 8: Bilden Sie für die Funktionen f (x) =

√ 3

x + 1,

(f ◦ g)−1 , g −1 ◦ f −1 , f −1 ◦ g −1 , (g ◦ f )−1 .

g(x) = x3 + 1

f4 (x) = (2x − 1)2

83 Lösungshinweise Aufgabe 1: Stellen Sie Gleichungen für die Anzahlen der Elemente der disjunkten Mengen A∩B, B∩C, C∩A auf und berechnen Sie dann |A| = |A∩B|+|C∩A|, |B| = |B∩C|+|A∩B|, |C| = |C ∩ A| + |B ∩ C|. Aufgabe 2: Wenden Sie zunächst das Distributivgesetz (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C) an und berücksichtigen Sie dann, dass X ⊆ Y =⇒ X\Y = ∅. Aufgabe 3: Lösen Sie die Gleichung für jedes der durch die Nullstellen der Argumente der Betragsfunktionen bestimmten Intervalle, auf denen die Elimination der Beträge möglich ist. Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung für jedes der durch die Nullstellen der Betragsfunktionen bestimmten Intervalle, auf denen die Beträge eliminiert werden können. Aufgabe 5: Nach Umformungen und zweimaligem Quadrieren erhalten Sie eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen x± . Durch Einsetzen können Sie entscheiden, welche dieser Lösungen die Wurzel-Gleichung erfüllt. Aufgabe 6: Prüfen Sie, ob die Relationen die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation Reflexivität (x R x) Symmetrie (x R y ⇐⇒ y R x) Transitivität (x R y ∧ y R z =⇒ x R z) besitzen. Aufgabe 7: Benutzen Sie zum Nachweis der Eigenschaften einer Funktion f : [0, 1] → [0, 1], dass Surjektivität ⇐⇒ ∃ Urbilder von 0 und 1, denn aus der Existenz von a und b mit f (a) = 0 und f (b) = 1 folgt aufgrund des Zwischenwertsatzes, dass f jeden Wert zwischen 0 und 1 annimmt. Injektivität ⇐⇒ strikte Monotonie ⇐⇒ f  hat keinen Vorzeichenwechsel und höchstens isolierte Nullstellen Bijektivität ⇐⇒ Surjektivität und Injektivität

84

5 Tests

Aufgabe 8: Bilden Sie für die Funktionen x → u(x) und x → v(x) die Funktion x → y = w(x) = (v ◦ u)(x), indem Sie u(x) für x in v(x) einsetzen. Die Umkehrfunktion y → x = (v ◦ u)−1 (y) erhalten Sie durch Auflösen der Gleichung y = w(x) nach x. Beachten Sie, dass (v ◦ u)−1 = u−1 ◦ v −1 (Vertauschung der Reihenfolge).

85

5.3

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1: Wie viele 4-stellige Zahlen haben gleiche Ziffern (mindestens 2)? Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Anzahl der Teilmengen von {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, die mindestens zwei Zahlen kleiner als 4 enthalten. Aufgabe 3: Wie wahrscheinlich sind (genau) „Drei Richtige“ beim 49er-Lotto ohne Zusatzzahl? Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Würfeln mindestens zweimal eine Sechs zu erhalten. Aufgabe 5: Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie bei viermaligem Drehen des abgebildeten Glücksrads sowohl mindestens einmal grün als auch mindestens einmal blau erhalten?

Aufgabe 6: Hundert Lose enthalten 10 Gewinne von je 10 EUR. Bestimmen Sie den Erwartungswert des Gewinns bei Ziehen von zwei Losen. Aufgabe 7: Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie bei dreimaligem Ziehen (ohne Zurücklegen) aus der abgebildeten Urne eine Farbe nicht erhalten? Aufgabe 8: Ein Spielautomat zeigt eine zufällig generierte Viererkombination der Bilder Bube, Dame, König und Joker an. Bei k Jokern gewinnt man k EUR (2 EUR im abgebildeten Beispiel). Was wäre ein fairer Einsatz?

B J K J

Aufgabe 9: Wie viele 4-stellige PINs gibt es, die sowohl mindestens eine Ziffer (0-9) als auch mindestens ein Sonderzeichen (*,+,-,/) und keine Buchstaben enthalten ?

86

5 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Ziehen Sie von der Anzahl aller vierstelligen Zahlen die Anzahl der Zahlen mit verschiedenen Ziffern ab. Aufgabe 2: Multiplizieren Sie die Anzahl der Möglichkeiten 2 oder mehr Zahlen aus {0, 1, 2, 3} auszuwählen mit der Anzahl aller Teilmengen von {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Aufgabe 3: Die Anzahl der Lotto-Tipps mit (genau) 3 Richtigen ist das Produkt aus der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Zahlen aus den 6 Richtigen auszuwählen, und der Anzahl der Möglichkeiten, 3 weitere Zahlen aus den 43 Falschen auszuwählen. Dividieren Sie dieses Produkt durch die Anzahl aller möglichen Lotto-Tipps. Aufgabe 4: Die Wahrscheinlichkeiten für „eine Sechs“ (s) und „keine Sechs“ (k) sind 1/6 bzw. 5/6. Addieren Sie die durch Produktbildung gewonnenen Wahrscheinlichkeiten für die Würfelfolgen sss, ssk, sks, kss. Aufgabe 5: Betrachten Sie das komplementäre Ereignis „kein Grün oder kein Blau“. Nach Addieren der Wahrscheinlichkeiten für „kein Grün“ und für „kein Blau“ muss die doppelt berücksichtigte Wahrscheinlichkeit für „nur Rot“ abgezogen werden. Sie erhalten 1 minus die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Aufgabe 6: Bestimmen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten p für die möglichen Ereignisse GG, GN, NG, NN (G: Gewinn, N: Niete). Addieren Sie die Produkte dieser Wahrscheinlichkeiten mit dem jeweiligen Gewinn. Aufgabe 7: Betrachten Sie das komplementäre Ereignis, das Ziehen aller Farben, mit den Möglichkeiten RGB, RBG, GBR, GRB, BRG, BGR. Alle diese Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit p, und folglich ist 1 − 6p die gesuchte Lösung. Aufgabe 8: Der faire Einsatz ist der Erwartungswert des Gewinns. Um diesen zu bestimmen, berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten für Kombinationen mit einem, zwei, drei und vier Jokern. Dann addieren Sie die Produkte dieser Wahrscheinlichkeiten mit den entsprechenden Gewinnen. Aufgabe 9: Ziehen Sie von der Anzahl der nicht eingeschränkten Kombinationen die Anzahl der PINs ohne Sonderzeichen und die Anzahl der PINs ohne Ziffern ab.

87

5.4

Komplexe Zahlen

Aufgabe 1: Berechnen Sie (1 − i)3 (2 + i). Aufgabe 2: Berechnen Sie

4 − 3i . 2+i

Aufgabe 3: √ Bestimmen Sie die Polarform reiϕ von 3 − i. Aufgabe 4: Berechnen Sie

z 2 + 2z z¯ für z = 1 + i. z¯2 − 2z/¯ z

Aufgabe 5: a0 + ak cos(kt). 2 4

Schreiben Sie 2 sin2 (2t) als trigonometrisches Polynom

k=1

Aufgabe 6: Bestimmen Sie alle Werte reiϕk , k = 0, 1, 2, des mehrdeutigen Ausdrucks (1+i)4/3 . Aufgabe 7: Bestimmen Sie für ZR = 200, ZL /i = 300, iZC = 100 (Einheiten in Ω) den komplexen Widerstand Z des abgebildeten Wechselstromkreises. Aufgabe 8: Bestimmen Sie die Lösungen zk der quadratischen Gleichung z 2 − 6z + 25 = 0 . Aufgabe 9: Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises C : |z + i| = 2|z − 1| .

88

5 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Berechnen Sie zunächst die Potenz mit Hilfe der binomischen Formel und multiplizieren Sie dann die Klammern aus. Aufgabe 2: Erweitern Sie mit 2 − i. Aufgabe 3: Radius r und Winkel ϕ der Polarform reiϕ , ϕ ∈ (−π, π], einer komplexen Zahl x+iy berechnen sich gemäß ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 0 für x ≥ 0  2 2 r = x + y , ϕ = arctan(y/x) +σπ mit σ = 1 für x < 0, y ≥ 0 . ⎪    ⎪ ⎩ ∈[−π/2,π/2] −1 für x < 0, y < 0 Aufgabe 4: z = z 2 /|z|2 , z¯2 = z 2 . Vereinfachen Sie mit Hilfe von z z¯ = |z|2 = x2 + y 2 , z/¯ Aufgabe 5: Verwenden Sie die Formeln von Euler-Moivre sin ϕ =

eiϕ − e−iϕ , 2i

cos ϕ =

eiϕ + e−iϕ 2

mit ϕ = kt. Aufgabe 6: Verwenden Sie die Polarform z = reiϕ und multiplizieren Sie z mit 1 = e2πik , k = 0, 1, 2, um alle drei Werte von z 4/3 zu erhalten. Aufgabe 7: Für den Gesamtwiderstand Z zweier Widerstände X und Y gilt bei Serienschaltung Z = X + Y und bei Parallelschaltung 1/Z = 1/X + 1/Y . Aufgabe 8: Verwenden Sie die Formel

 p2 − 4q z± = 2 für die Lösungen einer quadratischen Gleichung −p ±

z 2 + pz + q = 0 .

89 Aufgabe 9: Setzen Sie z = x + iy und quadrieren Sie. Bringen Sie die so entstehende Identität durch Umformung, Skalierung und quadratische Ergänzungen auf die Standardform einer Kreisgleichung, (x − a)2 + (y − b)2 = r2 , aus der Sie den Mittelpunkt (a, b) =  a + ib und den Radius r ablesen können.

Teil II Vektorrechnung

6 Vektoren

Übersicht 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12

Koordinatendarstellungen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . 95 Kräfteparallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Überlagerung von Gravitationskräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Gewicht am Seil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Linearkombination von Vektoren im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Umkreis eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Inkreis eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Vektorielles Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ecken eines Würfels  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Eckpunkte eines Spats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_7

94

6.1

6 Vektoren

Koordinatendarstellungen im Raum

Bestimmen Sie die fehlenden Parameter der in der Tabelle angegebenen kartesischen Koordinaten, Kugel- und Zylinderkoordinaten. x 3

y √ √

3

z



r

ϑ

2

2

2π/3 2

Verweise:

ϕ

π/4 √

π/3

2 2

Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten

Lösungsskizze √ (i) x = 3, y = 3, z = 2:  Zylinderkoordinaten: = x2 + y 2 , ϕ = arctan(y/x) + σπ mit σ ∈ {−1, 0, 1} entsprechend den Vorzeichen von x und y zu wählen  =

√

Kugelkoordinaten: r = r=

√ 9 + 3 = 2 3,

√ ϕ = arctan( 3/3) = π/6

 x2 + y 2 + z 2 , ϑ = arccos(z/r) √ 3 + 9 + 4 = 4,



ϑ = arccos(2/4) = π/3

√ (ii) y = 2, ϕ = 2π/3, ϑ = π/4:  Zylinderkoordinaten: x = y/ tan ϕ, = x2 + y 2   √ √ √ √ x = 2/(− 3) = − 6/3, = 6/9 + 2 = 2 6/3 Kugelkoordinaten: r = y/(sin ϕ sin ϑ), z = r cos ϑ r=

√

√ √ √ 2/(( 3/2)( 2/2)) = 4 3/3,

√ (iii) = 2, ϕ = π/3, r = 2 2: Zylinderkoordinaten: x = cos ϕ, y = sin ϕ √ √ x = 2( 3/2) = 3,

√ √ √ z = (4 3/3)( 2/2) = 2 6/3

 y = 2(1/2) = 1

Kugelkoordinaten: z 2 = r2 − 2 , ϑ = arccos(z/r) √ z = ± 8 − 4 = ±2,





√ ϑ = arccos(±2/(2 2))) ∈ {π/4, 3π/4}

Der Punkt ist durch die gegebenen Werte nicht eindeutig bestimmt.

95

6.2

Addition von Vektoren, Resultierende Geschwindigkeit

Ein Flugzeug fliegt mit 600 km/h nach Süden bei 30 km/h Gegenwind aus Südwest. a) Berechnen Sie die Position nach 2 Stunden (bezogen auf den Startpunkt) sowie den Betrag der Gesamtgeschwindigkeit. b) In welcher Richtung und mit welcher Geschwindigkeit müsste das Flugzeug fliegen, um eine Gesamtgeschwindigkeit von 600 km/h nach Süden zu erreichen? Verweise:

Addition von Vektoren, Skalarmultiplikation, Betrag eines Vektors

Lösungsskizze Osten (Norden) in positiver Richtung der x-Achse (y-Achse), Startpunkt (0, 0) a) Geschwindigkeitsvektoren v des Flugzeuges und w  des Windes: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ √ ⎞ 0 1 15 2 1 ⎠, w v = ⎝  = 30 · √ ⎝ ⎠ = ⎝ √ ⎠ 2 1 −600 15 2 Gesamtgeschwindigkeit ⎛

⎞

⎛ √ ⎞ ⎛ ⎞ √ 15 2 15 2 ⎠+⎝ √ ⎠=⎝ √ ⎠ v + w  =⎝ −600 15 2 15 2 − 600 0

Position nach 2 Stunden ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ √ √ 30 2 42.43 15 2 ⎠=⎝ √ ⎠≈⎝ ⎠ 2⎝ √ 15 2 − 600 30 2 − 1200 −1158 Betrag der Gesamtgeschwindigkeit   √ √ 2 |v + w|  = 15 2 + ( 2 − 40) = 15 1604 − 80 2 ≈ 579.18 b) ⎛

⎞ 0

⎝ ⎠ = v + w  −600

⎞ ⎛ √ ⎞ ⎛ √ −15 2 15 2 ⎠−⎝ √ ⎠=⎝ v = ⎝ √ ⎠ 15 2 −600 − 15 2 −600 ⎛

=⇒

⎞

0

Betrag der Geschwindigkeit   √ √ 2 |v | = 15 2 + (40 + 2) = 15 1604 + 80 2 ≈ 621.58

96

6.3

6 Vektoren

Kräfteparallelogramm

Zerlegen Sie die Kraft v = (1, 4, −3)t in eine Komponente p parallel zu (1, −2, 3)t und eine Komponente q a) parallel zu (2, −1, 3)t , b) in der Ebene E : x + y − z = 0 . Verweise:

Addition von Vektoren, Hesse-Normalform einer Ebene

Lösungsskizze a) Zerlegung (1, 4, −3)t = s(1, −2, 3)t + t(2, −1, 3)t       p 



q 

lineares Gleichungssystem (überbestimmt) 4 = −2s − t,

1 = s + 2t,

−3 = 3s + 3t

Einsetzen von s = 1 − 2t (Gleichung 1) in Gleichung 2

=⇒

4 = −2(1 − 2t) − t = −2 + 3t d.h. t = 2 und s = 1 − 2t = −3 konsistent mit Gleichung 3: −3 = 3s + 3t = −9 + 6  (andernfalls keine solche Zerlegung möglich) resultierende Komponenten der Zerlegung: p = (−3, 6, −9)t , q = (4, −2, 6)t b) Ansatz v = s(1, −2, 3)t +q    p 

q ∈ E ⇔ 0 = q · n mit n = (1, 1, −1)  Normale der Ebene Einsetzen des Ansatzes 

 0 = (v − p) ·n = v − s(1, −2, 3)t · n    t

⎛

q 

1

⎞ ⎛

⎞

1

⎛

1

⎞ ⎛

1

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ 4 ⎠ · ⎝ 1 ⎠ − s ⎝ −2 ⎠ · ⎝ 1 ⎠ = 8 − s(−4) −3 −1 3 −1 d.h. s = −2 und

⎛

1

⎞

⎛

−2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ p = −2 ⎜ ⎝ −2 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ 3 −6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q = v − p = ⎜ ⎝ 4 ⎠−⎝ 4 ⎠=⎝ 0 ⎠ −3 −6 3

97

6.4

Überlagerung von Gravitationskräften

Bestimmen Sie die Kraft, die auf einen Kometen im Gravitationsfeld von einem Planeten und einem Mond wirkt für die in der Abbildung angegebenen Koordinaten und Massen. Die Einheiten sind so gewählt, dass die Anziehungskraft zwischen zwei Himmelskörpern gleich dem Quotient aus dem Produkt ihrer Massen und dem Quadrat ihres Abstandes ist. Verweise:

(4, 9) (−20, 2) mP = 900

mM = 100 (−8, −7) mK = 1

Addition von Vektoren, Skalarmultiplikation, Betrag eines Vektors

Lösungsskizze in Richtung des Planeten wirkende Kraft mK mP fP = 2 rKP

( p − k)◦   

=

mK mP ( p − k), 3 rKP

rKP = | p − k|

Einheitsvektor

Einsetzen der konkreten Daten  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −20 −8 −12 ⎠−⎝ ⎠=⎝ ⎠, p − k = ⎝ 2 −7 9 und somit

rP K =

 122 + 92 = 15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −12 −4 4 900 ⎠= ⎝ ⎠ fP = 3 ⎝ 15 5 9 3

analog m  − k = (12, 16)t , rKM = 20 und ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 12 100 1 ⎝ ⎠ fM = 3 ⎝ ⎠ = 20 20 4 16 resultierende, auf den Kometen wirkende Gesamtkraft ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −16 3 −61 −3.05 1 1 1 ⎠+ ⎝ ⎠= ⎝ ⎠=⎝ ⎠ fP + fM = ⎝ 5 20 4 20 12 52 2.6

98

6 Vektoren

6.5

Gewicht am Seil

In der Mitte eines Seils, das an zwei Pfosten im Abstand von 8m befestigt ist, wirkt durch ein Gewicht eine Kraft von G = 50N. a) Welche Kraft F = |Fl | = |Fr | wirkt in Seilrichtung für ein Seil der Länge L = 10m? b) Wie lang muss das Seil mindestens sein, damit die Kraft F nicht größer als 100N ist? Verweise:

Addition von Vektoren

Lösungsskizze  + Fl + Fr = (0, 0)t Kräftegleichgewicht im Aufhängepunkt P : G  = (0, −50)t G ⎛ −−→ Fr = sP B = s ⎝ 

⎞ 8/2

⎞

⎛ 4

⎠ (L/2)2 − 16 −−→ (Berechnung der zweiten⎞Komponente von P B mit dem Satz des Pythagoras) ⎛ −4 ⎠ aufgrund der Symmetrie Fl = s ⎝  (L/2)2 − 16 |P B|2

−

(8/2)2

⎠ = s⎝ 

Einsetzen in das Kräftegleichgewicht  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 −4 4 0 ⎝ ⎠ + s⎝  ⎠ + s⎝  ⎠=⎝ ⎠ −50 (L/2)2 − 16 (L/2)2 − 16 0 zweite Komponente der Gleichung

=⇒

s = 50/(2



(L/2)2 − 16) und

−−→ 25L L 50 |Fr | = s|P B| =  · =√ L2 − 64 2 (L/2)2 − 16 2 a) Einsetzen von L = 10 in (1) 41.6666N b) Invertierung von (1)



(1)

√ F = 25 · 10/ 100 − 64N = 125/3N ≈



|Fr |2 (L2 − 64) = 625L2 , Einsetzen von F = |Fr | = 100 √ 32/ 15m ≈ 8.2624m



L= 

8|Fr | |Fr |2 − 625

√ Mindestlänge L = 800/ 10000 − 625m =

99

6.6

Teilpunkte und Teilfläche in einem Dreieck (5, 7) : 1

1

Verweise:

2

Bestimmen Sie für das abgebildete Dreieck die Punkte A, B und P sowie den Inhalt der schraffierten Fläche.

B

:

1

A P (9, 3)

(2, 1) Addition von Vektoren, Skalarmultiplikation

Lösungsskizze (i) Teilpunkte: Teilverhältnis 1 : 1



A=

1 1 (5, 7) + (9, 3) = (7, 5) 2 2

1 2 (5, 7) + (2, 1) = (4, 5) 3 3 alternative Darstellungen von P als Schnittpunkt der Strecken von (2, 1) nach A und (9, 3) nach B Teilverhältnis 2 : 1



B=

(2, 1) + r(7 − 2, 5 − 1) = (9, 3) + s(4 − 9, 5 − 3) 

lineares Gleichungssystem 4r − 2s = 2

5r + 5s = 7,

mit der Lösung r = 4/5, s = 3/5, d.h. P = (6, 21/5) (ii) Fläche: 3 (5, 7) 4 1 : 1 1 4 : 4 6 P (9, 3) 2

(2, 1)

7

Fläche des Ausgangsdreiecks als Differenz einer Rechteckfläche und der Fläche von 3 rechtwinkligen Dreiecken F = 7 · 6 − (3 · 6 + 4 · 4 + 7 · 2)/2 = 18 Flächen der Teildreiecke gemäß der Teilverhältnisse 18 · (1/2) · (4/5) = 36/5 als Inhalt der schraffierten Fläche



100

6.7

6 Vektoren

Linearkombination von Vektoren im Raum

Untersuchen Sie, ob sich (1, −2, 3)t als Linearkombination der folgenden Vektoren darstellen lässt. a) (5, 2, 0)t , (3, 2, −1)t , (2, 0, 1)t b)

(0, 4, −3)t , (5, 1, 0)t , (5, −7, 6)t

c)

(0, 1, 2)t , (2, 0, −1)t , (5, −3, −1)t

Verweise:

Addition von Vektoren, Skalarmultiplikation

Lösungsskizze a ist Linearkombination von u, v , w 

⇔

∃ r, s, t ∈ R : Vergleich der Vektorkomponenten



a = ru + sv + tw  lineares Gleichungssystem für r, s, t

a) (1, −2, 3)t = r(5, 2, 0)t + s(3, 2, −1)t + t(2, 0, 1)t : Vergleich der drei Vektorkomponenten  5r + 3s + 2t = 1 2r + 2s

= −2

− s + t = 3 zweite und dritte Gleichung  r = −1 − s, t = 3 + s Einsetzen in die erste Gleichung  5(−1 − s) + 3s + 2(3 + s) = 1 (erfüllt ∀ s) =⇒ Es gibt unendlich viele Linearkombinationen, z.B. r = −1, s = 0, t = 3 Grund: Die Vektoren u, v , w  liegen in einer Ebene (lineare Abhängigkeit), die a enthält. b) (1, −2, 3)t = r(0, 4, −3)t + s(5, 1, 0)t + t(5, −7, 6)t : Komponentenvergleich  5s + 5t = 1,

4r + s − 7t = −2,

−3r + 6t = 3

erste und dritte Gleichung  s = 1/5 − t, r = 2t − 1 Einsetzen in die zweite Gleichung  4(2t − 1) + (1/5 − t) − 7t = −2 −4 + 1/5 = −2 Widerspruch, keine Darstellung als Linearkombination c) (1, −2, 3)t = r(0, 1, 2)t + s(2, 0, −1)t + t(5, −3, −1)t :  lineares Gleichungssystem 2s + 5t = 1,

r − 3t = −2,

2r − s − t = 3

Lösung r = 1, s = −2, t = 1, eindeutige Darstellung als Linearkombination Grund: Die Vektoren u, v , w  bilden eine Basis.

⇔

101

6.8

Umkreis eines Dreiecks

Bestimmen Sie den Umkreis des Dreiecks mit den Eckpunkten A = (1, −4), B = (5, 4), C = (−2, 5). Verweise:

Addition von Vektoren, Lineares Gleichungssystem

Lösungsskizze (i) Mittelpunkt M (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten): Mittelpunkt P der Strecke AB 

p = (a + b)/2 = (1, −4)t + (5, 4)t /2 = (3, 0)t −−→ AB = (5, 4)t − (1, −4)t = (4, 8)t −−→ zu AB orthogonaler Vektor u = (−2, 1)t  Mittelsenkrechte ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 −2 ⎠ g : p + su = ⎝ ⎠ + s ⎝ 0 1 −−→ analog: v = (−1, −7)t ⊥ BC = (−2 − 5, 5 − 4)t  Mittelsenkrechte der Strecke BC ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3/2 −1 ⎠ + t⎝ ⎠ h : (b + c)/2 +tv = ⎝    9/2 −7 q 

Gleichsetzen der Parametrisierungen  lineares Gleichungssystem für die Koordinaten des Mittelpunkts M = g ∩ h ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 −2 m1 3/2 −1 ⎝ ⎠ + s⎝ ⎠=⎝ ⎠=⎝ ⎠ + t⎝ ⎠ 0 1 9/2 −7 m2 ⇐⇒

3 − 2s = 3/2 − t,

s = 9/2 − 7t

Einsetzen der zweiten in die erste Gleichung  3 − 9 + 14t = 3/2 − t, t = 1/2, s = 1 und ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 −2 1 ⎠=⎝ ⎠ m  =⎝ ⎠+⎝ 0 1 1 (ii) Radius r: Abstand zu den Eckpunkten



r = |a − p| = |(1, −4)t − (1, 1)t | = |(0, −5)t | = 5 Kontrolle gleicher Abstand zu den anderen Eckpunkten, z.B. !

5 = r = |c − p| = |(−2, 5)t − (1, 1)t | = |(−3, 4)t | =

 (−3)3 + 42



102

6 Vektoren

Alternative Lösung Kreisgleichung (x − m1 )2 + (y − m2 )2 = r2

⇐⇒

x2 + y 2 = 2xm1 + 2ym2 + (r2 − m21 − m22 )    d

Einsetzen der Koordinaten (x, y) der Eckpunkte  drei lineare Gleichungen für die Unbekannten m1 , m2 , d im betrachteten Beispiel mit (x, y) = (1, −4), (5, 4), (−2, 5): 12 + (−4)2 = 2m1 − 8m2 + d 52 + 42 = 10m1 + 8m2 + d (−2)2 + 52 = −4m1 + 10m2 + d bequemste Lösungsmethode: zunächst Elimination von d durch Abziehen der ersten von der zweiten und dritten Gleichung 24 = 8m1 + 16m2 12 = −6m1 + 18m2

⇐⇒

3 = m1 + 2m2 2 = −m1 + 3m2

anschließende Addition der entstandenen (gekürzten) Gleichungen 5 = 5m2 ,

m2 = 1,



m1 = 3 − 2m2 = 1

Einsetzen in die ursprüngliche erste Gleichung



d = 17 − 2m1 + 8m2 = 23 und nach Definition von d r2 = d + m21 + m22 = 25,

r=5

Alternative Kontrolle Anwendung einer Formel, die den Radius aus den Seitenlängen und dem Flächeninhalt des Dreiecks berechnet |AB| |BC| |CA| |(4, 8)t | |(−7, 1)t | |(3, −9)t |   =   4 area Δ(A, B, C)  4 −7    /2 4  8 1  √ √ √ 80 50 90 =5  = 2 · 60

r =

103

6.9

Inkreis eines Dreiecks

Bestimmen Sie den Inkreis des Dreiecks mit den Eckpunkten A = (2, 1), B = (6, 4), C = (−4, 9). Verweise:

Addition von Vektoren, Lineares Gleichungssystem

Lösungsskizze Anwendung der (sehr eleganten) Formeln für den Radius r und den Mittelpunkt M des Inkreises: ()

r=

2F , U

M=

a b b A + B + C1 U U U

mit F dem Flächeninhalt, U dem Umfang und a, b, c den Seitenlängen des Dreiecks. Einsetzen der gegebenen Daten A = (2, 1), B = (6, 4), C = (−4, 9) Umfang: a = |BC| = |(−4, 9) − (6, 4)| = |(−10, 5)| = b = |(2, 1) − (−4, 9)| = 10,

√ √ 100 + 25 = 5 5

c = |(6, 4) − (2, 1)| = 5

√  U = a + b + c = 15 + 5 5 Flächeninhalt: halber Betrag der Determinante (=  Kreuzprodukt für ebene Vek−−→ toren) von das Dreieck aufspannenden Vektoren, z.B. von u = AB = (4, 3)t , −→ v = AC = (−6, 8)t F = |u1 v2 − u2 v1 |/2 = |4 · 8 − 3 · (−6)|/2 = 25 √ 2 · 25 5 5(2, 1) + 10(6, 4) + 5(−4, 9) √ , M= √ () =⇒ r= 15 + 5 5 15 + 5 5 √ Kürzen durch 5, rationalisieren des Nenners durch Erweitern mit 3 − 5 ((3 + √ √ 5)(3 − 5) = 9 − 5 = 4) und vereinfachen  √ √ 10 15 − 5 5 10(3 − 5) √ = r = = ≈ 1.9098 4 2 3+ 5 √ √ √ ( 5(2, 1) + (8, 17))(3 − 5) 5(2, 1) + (12, 8) + (−4, 9) √ = M = 4 3+ 5 √ (7, 23) − 5(1, 7) ≈ (2.3819, 3.6737) = 2

1 Um die üblichen Bezeichnungen zu verwenden, wird eine Linearkombination von Punkten anstelle von Vektoren gebildet; die Ortsvektoren a, b, c der Dreieckseckpunkte könnten leicht mit den Seitenlängen a, b, c verwechselt werden.

104

6 Vektoren

(i) Beweis der Formel für den Radius: area Δ(A, B, M ) = c · r/2 und entsprechend area Δ(B, C, M ) = a · r/2, area Δ(C, A, M ) = b · r/2 Addition  (a + b + c) · r/2 = area Δ(A, B, C) , d.h. U · r/2 = F (ii) Beweis der Formel für den Mittelpunkt: Darstellung von M in baryzentrischen Koordinaten (sA , sB , sC ), sA + sB + sC = 1 M = s A A + s B B + sC C

 sA sB = sC C + (1 − sC ) A+ B 1 − sC 1 − sC    C

M = C + sC (C − C )

=⇒

|C M | = sC |C C|, cr/2 = area Δ(A, B, M ) = sC area Δ(A, B, C) = sC F , d.h. sC = cr/(2F ) = c(2F/U )/(2F ) = c/U (i)

entsprechend: sA = a/U , sB = b/U Alternative Lösung Berechnung von M als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Halbierende der Winkel α = (CAB) und β = (ABC):  



C −A (−6, 8) B−A (4, 3) gA : A + tA + = (2, 1) + tA + |B − A| |C − A| |(4, 3)| |(−6, 8)| 

(4, 3) (−6, 8) (1, 7) + = (2, 1) + tA = (2, 1) + tA 5 10 5 √ √ (−4 − 2 5, −3 + 5) √ gB : (6, 4) + tB 5 Gleichsetzen der Parametrisierungen und Lösen des entstehenden linearen Gleichungssystems für tA und tB  Inkreismittelpunkt M Bestimmung des Radius als Abstand des Mittelpunkts von einer der Seiten, beispielsweise von AB: |(M − A) × (B − A)| r= |B − A|

105

6.10

Vektorielles Beweisen D M3 C

Zeigen Sie: Die Seitenmitten eines ebenen Vierecks bilden ein Parallelogramm mit M4 dem halben Flächeninhalt.

M2 B M1

Verweise:

A Addition von Vektoren

Lösungsskizze (i) Parallelogramm: Ortsvektoren der Seitenmitten m 1=

a + b , 2

m 2=

b + c , 2

m 3=

c + d , 2

m 4=

d + a 2

zu zeigen: m 2−m 1=m 3−m  4,

m 3−m 2=m 4−m 1

(Parallelität und gleiche Länge gegenüberliegender Seiten) beweise die erste Identität (analoge Argumentation für die zweite) b + c a + b ! c + d d + a − − = 2 2 2 2



Übereinstimmung nach Vereinfachung (= (c − a)/2) (ii) Flächeninhalt: Strahlensatz =⇒ F1 = area Δ(A, B, C) = 4 area Δ(M1 , B, M2 ) (doppelte Seitenlänge → vierfacher Flächeninhalt) analog F2 = area Δ(B, C, D) = 4 area Δ(M2 , C, M3 ) F3 = area Δ(C, D, A) = 4 area Δ(M3 , D, M4 ) F4 = area Δ(D, A, B) = 4 area Δ(M4 , A, M1 ) 

Parallelogrammfläche (Vierecksfläche minus kleine Dreiecksflächen): area (M1 , M2 , M3 , M3 ) = (F1 + F3 ) − (F1 /4 + F2 /4 + F3 /4 + F4 /4)    =F2 +F4

= (F1 + F3 )/2 = area (A, B, C, D) / 2

106

6.11

6 Vektoren

Ecken eines Würfels 

Bestimmen Sie aus den Eckpunkten A = (5, 1, −3),

B = (−6, 0, 2),

C = (3, 4, 3)

eines Würfels die Kantenlänge, den Mittelpunkt sowie die Koordinaten der restlichen 5 Würfelecken. Verweise:

Betrag eines Vektors, Addition von Vektoren

Lösungsskizze Abstände der gegebenen Punkte  √ |AB| = (−6 − 5)2 + (0 − 1)2 + (2 + 3)2 = 7 3  |AC| = (3 − 5)2 + (4 − 1)2 + (3 + 3)2 = 7  √ (3 + 6)2 + (4 − 0)2 + (3 − 2)2 = 7 2 |BC| = AB Raumdiagonale, AC Kante mit Länge = 7, BC Flächendiagonale Mittelpunkt des Würfels: m  = (a + b)/2 = (−1/2, 1/2, −1/2) Raumdiagonale durch C und M



weiterer Eckpunkt D mit Ortsvektor

d = c + 2(m  − c) = 2m  − c = (−4, −3, −4)t Das Rechteck (A, B, C, D) teilt gegenüberliegende quadratische Seitenflächen des Würfels mit Mittelpunkten P : (b + c)/2 = (−3/2, 2, 5/2)t ,

 Q : (a + d)/2 = (1/2, −1, −7/2)t

jeweils in zwei gleichschenklig/rechtwinklige Dreiecke. Normalenvektor des Rechtecks: −−→ −→ n = AB × AC = (−11, −1, 5)t × (−2, 3, 6)t = (−21, 56, −35)t √ √ Normieren: |n| = 49 2  n◦ = (−3, 8, −5)t /(7 2) restliche Würfelecken E, F , G, H auf Geraden durch P und Q in Richtung n, √ Abstand |BC|/2 = 7 2/2 zu den Flächenmittelpunkten: √ 1 7 2 ◦ n = (−3/2, 2, 5/2)t ± (−3, 8, −5)t p ± 2 2  E = (−3, 6, 0), F = (0, −2, 5) √ 1 7 2 ◦ n = (1/2, −1, −7/2)t ± (−3, 8, −5)t q ± 2 2  G = (−1, 3, −6), H = (2, −5, −1)

107

6.12

Eckpunkte eines Spats

Bestimmen Sie für den Spat mit den Eckpunkten A = (0, 1, 2), D = (2, 1, 5), F = (5, 1, 4), H = (5, 2, 7) die restlichen Eckpunkte. Verweise:

Addition von Vektoren

Lösungsskizze (i) Bestimmung der aufspannenden Richtungen: −−→ u = AB,

−→ v = AE,

−→ w  = AC

Darstellung mit Hilfe der Ortsvektoren der gegebenen Punkte −→ −−→ −−→ −−→ v = AE = DH = BF = CG =⇒ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ v = h − d = ⎝ 2 ⎠ − ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎟ ⎠ 7 5 2 −→ −−→ w  = AC = F H = · · ·

=⇒ ⎛

5

⎞

⎛

5

⎞

⎛

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ w  = h − f = ⎜ ⎝ 2 ⎠−⎝ 1 ⎠=⎝ 1 ⎠ 7 −−→ −−→ −−→ −−→ u = AB = AD + DB = AD − w  ⎛

2

=⇒ ⎞ ⎛

4

0

⎞

3

⎛

0

⎞

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u = d − a − w  =⎜ ⎝ 1 ⎠ − ⎝ 1 ⎠ − ⎝ 1 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ 5 2 3 0 (ii) Ortsvektoren der Eckpunkte: −→ −→ −−→ b = − OB = OA + AB = a + u = (0, 1, 2)t + (2, −1, 0)t = (2, 0, 2)t −→ −→ c = OA + AC = a + w  = (0, 1, 2)t + (0, 1, 3)t = (0, 2, 5)t e = a + v = (0, 1, 2)t + (3, 1, 2)t = (3, 2, 4)t g = c + v = (0, 2, 5)t + (3, 1, 2)t = (3, 3, 7)t

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Übersicht 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10

Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Größen im Dreieck (WSW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Größen im Dreieck (SSW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Berechnung von Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks . . . . . . . . . . . 114 Geometrie eines Sechsecks  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Orthogonale Kanten eines regulären Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Tangenten an einen Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Länge eines Keilriemens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.11 Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms . . . . . . 121 7.12 Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.13 Nahtlänge eines Fußballs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_8

110

7.1

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Skalarprodukt, Betrag und Winkel für Vektoren ⎛

Berechnen Sie für

a = ⎝

⎞ 2 1

⎠,

⎛ b = ⎝

⎞ 1

⎠

3

a · b, |a|, |b| und ∠(a, b) sowie (2a + 3b) · (5a − 4b) . Verweise:

Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Rechenregeln

Lösungsskizze (i) Skalarprodukt: a · b = a1 b1 + a2 b2 = 2 · 1 + 1 · 3 = 5 (ii) Betrag:   √ √ a · a = a21 + a22 = 22 + 12 = 5  √ 12 + 32 = 10 |b| =

|a| =

(iii) Winkel: a · b 1 5 cos ∠(a, b) = =√ √ =√  5 10 2 |a||b| =⇒

∠(a, b) = π/4

(iv) Skalarprodukt von Summen: Distributivgesetz =⇒ s = (2a + 3b) · (5a − 4b) = 10 a · a − 8 a · b + 15 b · a − 12 b · b a · b = b · a, x · x = |x|2

=⇒

s = 10 · 5 − 8 · 5 + 15 · 5 − 12 · 10 = −35 alternativ: direkte Berechnung ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ 2 1 2 1 s = ⎝2 ⎝ ⎠ + 3 ⎝ ⎠⎠ · ⎝5 ⎝ ⎠ − 4 ⎝ ⎠⎠ 1 3 1 3 ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 3 10 4 7 6 ⎠−⎝ ⎠⎠ = ⎝ ⎠·⎝ ⎠ = ⎝⎝ ⎠ + ⎝ ⎠⎠ · ⎝⎝ 2 9 5 12 11 −7 = 42 − 77 = −35



111

7.2

Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks

Bestimmen Sie die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten A = (1, 3, 5), B = (2, 5, 6), C = (1, 5, 7) . Verweise:

Winkel zwischen zwei Vektoren, Kosinussatz, Sinussatz

Lösungsskizze (i) Seitenlängen: Vektoren zu den Dreiecksseiten (entgegen dem Uhrzeigersinn orientiert) −−→ c = AB = (2 − 1, 5 − 3, 6 − 5)t = (1, 2, 1)t −−→ −→ a = BC = (−1, 0, 1)t , b = CA = (0, −2, −2)t 

Seitenlängen  √ c = |c| = 12 + 22 + 12 = 6 √ √ a = 2, b = 2 2

(ii) Winkel: a · c = −1 + 0 + 1 = 0 =⇒ a ⊥ c =⇒ β = (−c, a) = π/2 −−→ −−→ (−c = BA, gleicher Aufpunkt wie a = BC) Kosinussatz 2ab cos γ = a2 + b2 − c2 mit den berechneten Seitenlängen

=⇒

√ √ 2 2 (2 2) cos γ = 2 + 8 − 6 , d.h. cos γ = 1/2 und γ = π/3 Winkelsumme π =⇒ α = π − β − γ = π − π/2 − π/3 = π/6 Alternative Lösung Berechnung von γ mit dem Sinussatz c/b = sin γ/ sin β Einsetzen

d.h. sin γ =

 √

3/2 und γ = π/3

√ √ 6/(2 2) = sin γ/1, 

112

7.3

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Größen im Dreieck (WSW) C

Bestimmen Sie für das abgebildete Dreieck die Längen aller Seiten, die Höhe hc und die Koordinaten des Punktes C.

π/3

(9, 8)

π/4 (1, 2)

Verweise:

Sinussatz, Winkel

Lösungsskizze (i) Längen der Seiten: Abstand der Punkte A = (1, 2) und B = (9, 8)  c = (9 − 1)2 + (8 − 2)2 = 10 √ √ √ Sinussatz =⇒ b : a = sin(π/3) : sin(π/4) = ( 3/2) : ( 2/2) = 6/2 Addition der Projektionen der Seiten mit Eckpunkt C auf AB, Einsetzen von b = √ a 6/2  √ √ 10 = b cos(π/4) + a cos(π/3) = (a 6/2)( 2/2) + a(1/2) und nach Auflösen

Seitenverhältnis

√ √ a = 20/( 3 + 1) = 10( 3 − 1) ≈ 7.3205 √ √ √ √  b = 10( 3 − 1)( 6/2) = 5(3 2 − 6) ≈ 8.9658

(ii) Höhe: √ √ √ hc = a sin(π/3) = 10( 3 − 1) · ( 3/2) = 5(3 − 3) ≈ 6.3397 (iii) Koordinaten von C: −→ −−→ Länge der Projektion von AC auf u = (9, 8)t − (1, 2)t = AB = (8, 6)t √ √ √ √ p = b cos(π/4) = 5(3 2 − 6)( 2/2) = 5(3 − 3) normierter Richtungsvektor der Grundseite AB und dazu senkrechte Richtung 1 (8, 6)t = (4/5, 3/5)t , v ◦ = (−3/5, 4/5)t 10 Darstellung von C mit orthonormalen Basisvektoren  u◦ =

c = (1, 2)t + pu◦ + hcv ◦ √ √ = (1, 2)t + 5(3 − 3)(4/5, 3/5)t + 5(3 − 3)(−3/5, 4/5)t √ √ = (4 − 3, 23 − 7 3)t ≈ (2.2679, 10.8756)t

113

7.4

Größen im Dreieck (SSW) B = (5, 6) a=5 C 3π/4

Bestimmen Sie für das abgebildete Dreieck alle Seitenlängen sowie den Eckpunkt C.

A = (0, −4) Verweise:

Kosinussatz

Lösungsskizze (i) Seitenlängen:  √ −−→ c = |AB| = (5 − 0)2 + (6 + 4)2 = 5 5 Kosinussatz, c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

=⇒ √

125 = 25 + b2 − 10b(−1/ 2)

√ b2 + 5 2b − 100 = 0

⇔

Lösungsformel für quadratische Gleichungen √ √ √ √ 5 2 15 2 5 2 50 + 400 ± =− ± b1,2 = − 2 2 2 2 √ positive Lösung b = 5 2 (kein eindeutiges Dreieck bei 2 positiven Lösungen) (ii) Eckpunkt C = (x, y): √ −→ −−→ AC = b, BC = a mit A = (0, −4), B = (5, 6) und b = 5 2, a = 5

⇔

(x − 0)2 + (y + 4)2 = 50 (x − 5)2 + (y − 6)2 = 25 Subtraktion der Gleichungen



10x − 25 + 20y − 20 = 25 Einsetzen in die erste Gleichung

⇔

y=

7 1 − x 2 2



225 1 15 = 50 ⇔ x2 − 6x + 5 = 0 x 2 + x2 − x + 4 2 4 mit den Lösungen x = 1 und x = 5 und den entsprechenden y-Koordinaten y = 3 und y = 1 geometrisch sinnvoll (richtige Orientierung der Dreieckseckpunkte): C = (1, 3) andere Lösung  an AB gespiegeltes Dreieck

114

7.5

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Berechnung von Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks

Bestimmen Sie die fehlenden Seitenlängen und Winkel für die Daten der Dreiecke in der Tabelle.

a b c

α

β

γ

Dreieck 1 2 3 4 Dreieck 2 2 3

Verweise:

π/3

Dreieck 3 2 3

π/6

Dreieck 4 2

π/4 π/3

Kosinussatz, Sinussatz

Lösungsskizze Anwendung des Kosinus- und Sinussatzes c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ,

a/b = sin α/ sin β

bzw. der entsprechenden Identitäten nach zyklischer Vertauschung der Längen und Winkel (a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, b/c = sin β/ sin γ, etc.) (i) a = 2, b = 3, c = 4: Kosinussatz =⇒ 4 + 9 − 16 1 a2 + b 2 − c 2 = = − , γ = arccos(−1/4) ≈ 1.8235 2ab 2·2·3 4 b2 + c2 − a2 9 + 16 − 4 7 cos α = = = , α = arccos(7/8) ≈ 0.5054 2bc 2·3·4 8

cos γ =

Winkelsumme = π

=⇒ β = π − α − γ ≈ 0.8128

(ii) a = 2, b = 3, γ = π/3: Kosinussatz =⇒ √ 1 c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ = 4 + 9 − 2 · 2 · 3 · = 7, c = 7 ≈ 2.6458 2 √ 9+7−4 2 b2 + c2 − a2 √ = √ , α = arccos(2/ 7) ≈ 0.7131 = cos α = 2bc 2·3· 7 7 Winkelsumme = π

=⇒ β = π − α − γ ≈ 1.3807

115 (iii) a = 2, b = 3, α = π/6: Sinussatz =⇒ sin β = 

b 31 3 sin α = = a 22 4

zwei mögliche Winkel β1 = arcsin(3/4) ≈ 0.8481 ∈ [0, π/2],

β2 = π − β1 ≈ 2.2935 ,

denn sin β = sin(π − β) Winkelsumme =⇒ γ1 = π − α − β1 ≈ 1.7699, Kosinussatz

γ2 ≈ 0.3245

=⇒

c21 = a2 + b2 − 2ab cos γ1 = 4 + 9 − 2 · 2 · 3 · (−0.1978) ≈ 15.3739 c22 = a2 + b2 − 2ab cos γ2 = 4 + 9 − 2 · 2 · 3 · 0.9478 ≈ 1.6261 

c1 ≈ 3.9210, c2 ≈ 1.2752

alternativ: ck = a sin γk / sin α Bemerkung Die Existenz eines Dreiecks mit gegebenen Seiten a, b und Winkel α hängt von der Größe von a ab. Zwei Lösungen wie im obigen Fall existieren, wenn (b/a) sin α < 1. Ist (b/a) sin α = 1, so erhält man als eindeutige Lösung ein rechtwinkliges Dreieck (sin β = 1, β = π/2). Keine Lösung existiert für (b/a) sin α > 1. Diese Fallunterscheidung ist auch aus der geometrischen Konstruktion (mit Zirkel und Lineal) ersichtlich. (iv) a = 2, α = π/4, β = π/3: γ = π − α − β = 5π/12 Sinussatz =⇒ √ sin β 3/2 √ b = a =2√ = 6 ≈ 2.4495 sin α 2/2 0.9659 sin γ =2 √ ≈ 2.7321 c = a sin α 2/2 alternativ: Berechnung von c mit dem Kosinussatz

116

7.6

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Geometrie eines Sechsecks  1

Dargestellt ist ein regelmäßiges Sechseck mit Kantenlänge 1, bei dem alle Ecken miteinander verbunden sind. Bestimmen Sie die Längen der Strecken a, b, c und d, sowie die Flächeninhalte E, F , G der Drei- und Vierecke.

Verweise:

a

d c

b E F

Sinussatz, Winkel

Lösungsskizze Symmetrie 

a = b und a + b = 1, also a = 1/2 und b = 1/2

(d + c) ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge 1  √  d + c = 1 − (1/2)2 = 3/2 Gleiche Winkel ϕ zwischen den Geraden an den Ecken des Sechsecks  ϕ = π/6 Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse d und Gegenkathete c zu ϕ  c = d sin(π/6) = d/2 √ √ √ 3c = 3/2 ⇔ c = 3/6 ≈ 0.289, d = 2c = 3/3 ≈ 0.577

d

ϕ c

c

G F

E G

√ Symmetrie  F = E = 2G und F + E + 2G = 6G = 3/4 (Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Kantenlänge 1) √ √ =⇒ G = 3/24 ≈ 0.07217, E = F = 3/12 ≈ 0.1443

G

117

7.7

Orthogonale Kanten eines regulären Tetraeders

Zeigen Sie, dass für einen regulären Tetraeder die Vektoren zu zwei Kanten ohne eine gemeinsame Ecke orthogonal sind. Überprüfen Sie dieses Resultat für ein konkretes Beispiel. Verweise:

Skalarprodukt, Betrag eines Vektors

Lösungsskizze (i) Beweis der Orthogonalität: Symmetrie  nur ein Kantenpaar zu betrachten, z.B. AB und CD −−→ −−→ −−→ −−→ Um AB ⊥ CD ⇐⇒ AB · CD = 0 zu zeigen, wird benutzt, dass in einem regulären Tetraeder alle Seiten gleich lang sind und alle Dreieckswinkel übereinstimmen: −−→ −→ −−→ L = |AB| = |AC| = |AD| = · · · π/3 = (BAC) = (BAD) = · · · u · v = cos (u, v ) |u||v |

=⇒

−−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ AB · CD = AB · (CA + AD) = −AB · AC + AB · AD 

= −L2 cos( π/3 ) + L2 cos( π/3 ) = 0   (BAC)

(BAD)

(ii) Konkretes Beispiel: Tetraeder mit Ecken A = (1, −1, −1), B = (−1, 1, −1), C = (−1, −1, 1), D = (1, 1, 1) √ Kantenlägen 2 2, z.B. √ −−→ |AB| = |(−1 − 1, 1 − (−1), −1 − (−1))t | = |(−2, 2, 0)t | = 4 + 4 + 0 Überprüfung der Orthogonalität (gleichzeitig auch ein alternativer Beweis, da die Koordinaten eines regulären Tetraeders für die Aussage irrelevant sind): ⎛

−2

⎞

⎛

1

⎞

⎛

−1

⎞

⎛

2

⎞

⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −−→ ⎜ −−→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = ⎜ ⎝ 2 ⎠ , CD = ⎝ 1 ⎠ − ⎝ −1 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ 0 1 1 0 −−→ −−→ =⇒ AB · CD = (−2) · 2 + 2 · 2 + 0 · 0 = 0 

118

7.8

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Tangenten an einen Kreis

Bestimmen Sie die Berührpunkte der Tangenten durch den Punkt P = (−3, 9) an den Kreis um M = (7, 4) mit Radius 5. Verweise:

Skalarprodukt

Lösungsskizze Orthogonalität der Tangente zum Radiusvektor q − m  in einem Berührpunkt Q = (x, y): (q − p) · (q − m)  =0 mit q − p dem Richtungsvektor der Tangente Einsetzen  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x+3 x−7 ⎠·⎝ ⎠ = x2 − 4x − 21 + y 2 − 13y + 36 0=⎝ y−9 y−4 Subtraktion der Betragsgleichung für den Radiusvektor,  2 = (x − 7)2 + (y − 4)2 52 = |q − m| = x2 − 14x + 49 + y 2 − 8y + 16 

Elimination der quadratischen Terme, d.h. −25 = 10x − 70 − 5y + 20

Einsetzen in die Betragsgleichung

⇔

y = 2x − 5

=⇒

25 = x2 − 14x + 49 + (2x − 5)2 − 8(2x − 5) + 16 und nach Vereinfachung und Division durch 5 0 = x2 − 10x + 21 Lösungsformel für quadratische Gleichungen =⇒  x± = 5 ± 52 − 21 = 5 ± 2 und y± = 2x± − 5 = 10 ± 4 − 5 = 5 ± 4 

zwei Tangenten mit Berührpunkten Q+ = (7, 9),

Q− = (3, 1)

Alternative Lösung Thaleskreis: geometrische Konstruktion der Berührpunkte Q± als Schnittpunkte des Kreises mit dem Kreis um den Mittelpunkt der Strecke P M mit Radius |P M |/2

119

7.9

Länge eines Keilriemens

Bestimmen Sie Länge eines Keilriemens für zwei Antriebsscheiben mit Radien von einer bzw. zwei Längeneinheiten und einem Abstand der Scheibenmittelpunkte von vier Längeneinheiten. Verweise:

Satz des Pythagoras, Kosinussatz

Lösungsskizze Orthogonalität der Tangente zu den Ra−→ −−→ diusvektoren AQ und BP und gegebene Daten  P Q ⊥ AQ, P Q ⊥ BP P Q  BC |AB| = 4, |AC| = |CQ| = |BP | = 1 Satz des Pythagoras für das Dreieck Δ(A, B, C) mit rechtem Winkel bei C   √ |BC| = |AB|2 − |AC|2 = 42 − 12 = 15 ≈ 3.8730 

=⇒

Länge der geraden Segmente des Keilriemens Lt = |P Q| = |P  Q | = |BC| =

√ 15

Kosinussatz mit |BC| =

√

|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 − 2|AB||AC| cos α 15, |AB| = 4, |AC| = 1 cos α =

16 + 1 − 15 1 = , 2·4·1 4

=⇒ α = arccos(1/4) ≈ 1.3181

 Längen LQ und LP der Kreissegmente des Keilriemens von Q nach Q (Sektorwinkel = 2π − 2α) bzw. von P  nach P LQ = Sektorwinkel · Radius = (2π − 2α)|AQ| ≈ 3.6470 · 2 = 7.2939 LP = 2α|BP | ≈ 2.6362 Addition der Segmentlängen



Gesamtlänge

2 · Lt + LQ + LP ≈ 7.7460 + 7.2939 + 2.6362 = 17.6761

120

7.10

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Ergänzung zu einer Orthonormalbasis in der Ebene und Koeffizientenbestimmung

Normieren Sie den Vektor u = (3, 4)t und ergänzen Sie ihn durch einen normierten Vektor v ◦ zu einer orthonormalen Basis des R2 . Bestimmen Sie die Darstellung der Vektoren x = (1, 3)t , y = (−1, 2)t bezüglich dieser Basis. Wie lauten die Basiskoeffizienten des Vektors z = 2x − 3y ? Verweise:

Orthogonalbasis, Skalarprodukt, Betrag eines Vektors

Lösungsskizze (i) Orthonormale Basis: orthogonaler Vektor v = (v1 , v2 )t zu u = (3, 4)t : u · v = 3v1 + 4v2 = 0 Normierung: |u| =

(ii) Koeffizienten: u ⊥ v =⇒

√ 9 + 16 = 5, |v | = 5 ⎛ ⎞ 3 1 u◦ = ⎝ ⎠ , 5 4

=⇒

v  (−4, 3)t

 ⎛ ⎞ −4 1 v ◦ = ⎝ ⎠ 5 3

x = (x · u◦ )u◦ + (x · v ◦ )v ◦

Einsetzen von x = (1, 3)t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 3 x · u◦ = ⎝ ⎠ · ⎝ ⎠ = 3, 5 4 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 −4 x · v ◦ = ⎝ ⎠ · ⎝ ⎠ = 1 5 3 3

Darstellung von y = (−1, 2)t analog mit den Koeffizienten y · u◦ = 1,

y · v ◦ = 2

(iii) Linearkombination: z = 2x − 3y  entsprechende Linearkombination der Koeffizienten z = 2(3u◦ + v ◦ ) − 3(u◦ + 2v ◦ ) = 3u◦ − 4v ◦

121

7.11

Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt eines Parallelogramms

Bestimmen Sie für das Parallelogramm mit den Eckpunkten A = (1, 5, 3),

B = (0, 1, 2),

C = (2, 3, 1)

die Längen der Seiten AB und BC, den vierten Eckpunkt D, sowie die Winkel und den Flächeninhalt. Addition von Vektoren, Winkel

Lösungsskizze (i) Seitenlängen und vierter Eckpunkt: −−→ AB = (0 − 1, 1 − 5, 2 − 3)t = (−1, −4, −1)t =⇒ −−→ √ √   AB  = 1 + 16 + 1 = 3 2 −−→ BC = (2 − 0, 3 − 1, 1 − 2)t = (2, 2, −1)t =⇒ −−→ √   BC  = 4 + 4 + 1 = 3

A

3

D

2

z

Verweise:

1

6

B 4 y

2

C 0

1

x

Ortsvektor von D −−→ d = a +  AD = (1, 5, 3)t + (2, 2, −1)t = (3, 7, 2)t − − → BC

(ii) Winkel und Flächeninhalt: −−→ −−→ AD = BC  −−→ −−→ AD · AB (2, 2, −1)t · (−1, −4, −1)t 1 √ cos ∠(D, A, B) = −−→  −−→ = = −√    AD ·AB  3·3 2 2 α und α = 3π/4 Winkelsumme 2α + 2β im Parallelogramm gleich 2π

=⇒

β = ∠(A, B, C) = (2π − 2α)/2 = π/4 Flächeninhalt

−−→ −−→ √ 1    F = BA BC  sin β = 3 2 · 3 · √ = 9 2

2

3

122

7.12

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Rechnen mit Epsilon-Tensor und Kronecker-Symbol

Berechnen Sie für Indizes in {1, 2, 3} εj,k, k ε,k,m b) εj,k,  δ,m a) k,

Verweise:

c)

k,



δj,k k δ,m

k,

Epsilon-Tensor

Lösungsskizze ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ εj,k, =

⎪ ⎪ ⎩

1 für (j, k, ) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) −1 für (j, k, ) = (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) 0 sonst

δj,k = 1 für j = k und = 0 für j = k a) pj,m = k, εj,k, k ε,k,m : pj,m = 0 für j = m, da entweder {j, k, } oder {, k, m} zwei gleiche Indizes enthalten für j = m jeweils nur zwei Summanden mit den komplementären Indizes, {k, } = {1, 2, 3}\{j}, ungleich null, und εj,k, = −ε,k,j =⇒ p1,1 = −2 − 3 = −5, b)

p2,2 = −1 − 3 = −4,

pj,m = k, εj,k,  δ,m : =⇒ μ δν,μ fμ = fν pj,m =



p3,3 = −1 − 2 = −3

εj,k,m m

k

Summanden ungleich null nur für j = m und einen Index k (k = j, m) ⎛

0

2ε1,3,2 3ε1,2,3

⎞

⎛

0 −2 3

 ⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ P = (pj,m )3j,m=1 = ⎜ 0 3ε2,1,3 ⎟ ⎠ = ⎝ 1 0 −3 ⎠ ⎝ ε2,3,1 ε3,2,1 2ε3,1,2 0 −1 2 0 c) pj,m = k, δj,k k δ,m : analog zu b) pj,m =



δj,k km = jm

k

d.h.

⎛

1 2 3

⎞

⎜ ⎟ ⎟ P =⎜ ⎝2 4 6⎠ 3 6 9

123

7.13

Nahtlänge eines Fußballs 

Nehmen Sie entgegen Sepp Herbergers Axiom „Der Ball ist rund!“ an, dass der abgebildete Fußball ein Polyeder ist, dessen Eckpunkte auf einer Sphäre mit einem Durchmesser von 30 cm liegen. Wie lang ist eine Kante, die (näherungsweise) einer Naht des Fußballs entspricht? Verweise:

Skalarprodukt, Betrag eines Vektors

Lösungsskizze Kantenlänge L ∼ Radius R  wähle L = 1 zur Bestimmung des Proportionalitätsfaktors c = L/R günstige Lage des Fußballs mit M = (0, −1/2, −q) dem Mittelpunkt sowie M B parallel zur z- und OB parallel zur y-Achse des Koordinatensystems

d

O = (0, 0, 0) A

O B

A = (d/2, 1/2, −p) C

B = (0, −1/2, 0) C = (d/2, −1/2, −p)

Sechsecke gegenüber der xy-Ebene nach unten geneigt =⇒ Formel für die Länge der Diagonalen im Fünfeck, |OA| = L = 1 √ 1+ 5 , 1 = |a|2 = (d/2)2 + (1/2)2 + p2 d= 2 Einsetzen und Auflösen nach p > 0  √  √ 1+2 5+5 1 2 p =1− − ⇔ p = 6 − 2 5/4 , 16 4 √ bzw. nach Vereinfachung p = ( 5 − 1)/4 −−→ −−→ CO ⊥ CM =⇒ 0 = (d/2, −1/2, −p)t · (d/2, 0, q − p)t Auflösen nach q und Einsetzen    √ √  √ 5−1 1+2 5+5 6−2 5 & d2 /4 + p2 = + q = p 16 16 4 √ 3 3+3 5 = = √ 4 5−1

124

7 Längen, Winkel und Skalarprodukt

Radius des Fußballs mit Kantenlänge L = 1 '  √ √  1 9 + 18 5 + 45 58 + 18 5 2 2 + = R = |OM | = (1/2) + q = 4 16 4 Proportionalität: R = 15

60 L = cR = (1/R ) R =  √ ≈ 6.0532 58 + 18 5

=⇒

Alternative Lösung Darstellung des Fußballs als abgeschnittenes Ikosaeder mit den Fünfecken als Schnittflächen und den Sechsecken als Restflächen (Teilmengen der Dreiecke) Volumen eines Isokaeders mit Kantenlänge a = 3L (L: Kantenlänge des Fußballs; Schnitte dritteln die Seiten der Dreiecke des Isokaeders)  √ 5 14 + 6 5 a3 V = 12 alternative Berechnung als Vereinigung von 20 Dreieckspyramiden mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche und dem Radius r der berührenden Innkugel als Höhe   √ 1 1 3 5 V = 20 · ·a· · a ·r = √ a2 r 3 2 2 3    Grundfläche

Gleichsetzen der Ausdrücke für das Volumen L=

=⇒

1 4 a=  √ r 3 42 + 18 5

Satz des Pythagoras, angewandt auf das Dreieck Δ(O, C, M ) mit |OC| = L und |CM | = r =⇒ r 2 = R 2 − L2 Einsetzen in den quadrierten Ausdruck für L L2 =





16 √ R 2 − L2 42 + 18 5

bzw. nach Auflösen nach L L = cR,

4 c=  √ 58 + 18 5



8 Vektor- und Spatprodukt

Übersicht 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14

Rechnen mit Vektorprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung . . 127 Vektorprodukte und Grassmann-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Flächeninhalt eines polygonalen Bereichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Rechnen mit Spatprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten . . . . . . . . . . . . . . . 132 Fläche und umbauter Raum eines Walmdachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Volumen und Oberfläche eines Spats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Volumen und Grundfläche eines Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Oberfläche und Volumen eines Tetraeders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes . . . . . . . . . . . . . . 137 Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene . . . . . . . 138 Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_9

126

8.1

8 Vektor- und Spatprodukt

Rechnen mit Vektorprodukten

Berechnen Sie für

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎟ a = ⎜ ⎝ 1 ⎠,

⎛

4

⎞

⎜ ⎟ b = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠

3

5

c = a × b und |c × (a − b)| sowie (2a − b) × (2a + 4b) . Verweise:

Vektorprodukt

Lösungsskizze (i) c = a × b: ⎛

2

⎞

⎛

⎞

4

⎛

1·5−3·0

⎞

⎛

5

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c = ⎜ ⎝ 1 ⎠×⎝ 0 ⎠=⎝ 3·4−2·5 ⎠=⎝ 2 ⎠ 3 5 2·0−1·4 −4 (ii) s = |c × (a − b)|: c ⊥ a, b =⇒ c ⊥ (a − b) und s = |c||a − b| sin ∠(c, a − b) = |c||a − b|    =sin(π/2)=1

Einsetzen der Koordinaten    √ √ s = 52 + 22 + (−4)2 (2 − 4)2 + (1 − 0)2 + (3 − 5)2 = 45 · 3 = 9 5 (iii) v = (2a − b) × (2a + 4b): Distributivgesetz =⇒ v = 4a × a + 8a × b − 2b × a − 4b × b x × x = 0 und a × b = −b × a

=⇒

v = 0 + (8 + 2) a  × b −0 = (50, 20, −40)t  c

alternativ: direkte Berechnung ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 4 2 4 0 20 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 ⎜ 1 ⎟ − ⎜ 0 ⎟⎟ × ⎜2 ⎜ 1 ⎟ + 4 ⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜ 2 ⎟ × ⎜ 2 ⎟ = v ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 5 3 5 1 26



127

8.2

Konstruktion einer Orthonormalbasis und Koeffizientenbestimmung

Normieren Sie die Vektoren (1, 8, 4)t ,

(8, 1, −4)t

und ergänzen Sie sie zu einer Orthonormalbasis. Bestimmen Sie die Basiskoeffizienten des Vektors (−2, 5, −5)t sowie deren Quadratsumme. Verweise:

Orthogonalbasis, Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Vektorprodukt

Lösungsskizze (i) Orthonormalbasis: Normierung √ u◦ = (1, 8, 4)t / 1 + 64 + 16 = (1, 8, 4)t /9 v ◦ = (8, 1, −4)t /9 prüfe Orthogonalität u · v = 1 · 8 + 8 · 1 + 4 · (−4) = 0  Kreuzprodukt



orthogonaler Einheitsvektor ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 1 −32 − 4 −4 8 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 1 ⎜ ⎜ 8 ⎟ × ⎜ 1 ⎟ = 1 ⎜ 32 + 4 ⎟ = 1 ⎜ 4 ⎟ w ◦ = ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ 81 81 9 4 1 − 64 −7 −4

überprüfe die Norm |w  ◦| =

√ 16 + 16 + 49/9 = 1



(ii) Basiskoeffizienten von x = (−2, 5, −5)t : Skalarprodukte x · u◦ = (−2, 5, −5)t · (1, 8, 4)t /9 = 2 x · v ◦ = (−2, 5, −5)t · (8, 1, −4)t /9 = 1 x · w  ◦ = (−2, 5, −5)t · (−4, 4, −7)t /9 = 7 

Basis-Darstellung x = (x · u◦ )u◦ + (x · v ◦ )v ◦ + (x · w  ◦ )w ◦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 8 −4 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟=2· 1 ·⎜ 8 ⎟+1· 1 ·⎜ 1 ⎟+7· 1 ·⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 9 9 4 −4 −7 −5

Bessel-Identität für die Quadratsumme der Koeffizienten  ◦ |2 = |x|2 |x · u◦ |2 + |x · v ◦ |2 + |x · w Einsetzen



22 + 12 + 72 = 54 = 22 + 52 + 52



128

8.3

8 Vektor- und Spatprodukt

Vektorprodukte und Grassmann-Identität

Berechnen Sie für die Vektoren a = (1, −3, 2)t ,

b = (5, 3, 2)t ,

c = (7, 5, 4)t

die Produkte a) (a × b) × c Verweise:

b) a × (b × c)

Vektorprodukt

Lösungsskizze a) (a × b) × c : ⎛⎛

1

⎞

⎛

5

⎞⎞

⎛

7

⎞

⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ v = ⎜ ⎝⎝ −3 ⎠ × ⎝ 3 ⎠⎠ × ⎝ 5 ⎠ 2 Grassmann-Identität

2

4

=⇒ v = (a · c )b − (b · c)a

erster Term null wegen a ⊥ c zweiter Term

⎛

1

⎞

⎜ ⎟ ⎟ −(5 · 7 + 3 · 5 + 2 · 4) ⎜ ⎝ −3 ⎠ 2 

⎛

0

⎞

⎛

1

⎞

⎛

−58

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = ⎜ ⎝ 0 ⎠ − 58 ⎝ −3 ⎠ = ⎝ 174 ⎠ 0 2 −116 b) a × (b × c): a ⊥ b ∧ a ⊥ c =⇒

b × c  a und a × (b × c) = a × (sa) = 0

Alternative Lösung direkte Berechnung ⎛

5

⎞

⎛

7

⎞

⎛

3·4−2·5

⎞

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = b × c = ⎜ ⎝ 3 ⎠ × ⎝ 5 ⎠ = ⎝ 2 · 7 − 5 · 4 ⎠ = ⎝ −6 ⎠ 2

4

5·5−3·7

und a × v = (1, −3, 2)t × (2, −6, 4)t = (0, 0, 0)t

4

129

8.4

Skalar- und Vektorprodukte und Lagrange-Identität

Berechnen Sie für die Vektoren a = (1, 0, 2)t ,

b = (7, 8, 9)t ,

c = (5, 3, 6)t ,

d = (4, 0, −2)t

die Produkte  a) (a × b) · (c × d) Verweise:

 · (b × c) (a × d)

b)

Vektorprodukt, Skalarprodukt

Lösungsskizze  a) (a × b) · (c × d): ⎛⎛

1

⎞

⎛

7

⎞⎞ ⎛⎛

5

⎞

⎛

4

⎞⎞

⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ p=⎜ ⎝⎝ 0 ⎠ × ⎝ 8 ⎠⎠ · ⎝⎝ 3 ⎠ × ⎝ 0 ⎠⎠ 2 9 6 −2 Lagrange-Identität

=⇒  − (a · d)(  b · c) p = (a · c)(b · d)

a ⊥ d

=⇒

zweiter Term null und a · c = 1 · 5 + 2 · 6 = 17,



p = 17 · 10 = 170

b)

 · (b × c): (a × d) ⎛⎛

1

⎞

⎛

4

b · d = 7 · 4 − 9 · 2 = 10

⎞⎞ ⎛⎛

7

⎞

⎛

5

⎞⎞

⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ v · w  =⎜ ⎝⎝ 0 ⎠ × ⎝ 0 ⎠⎠ · ⎝⎝ 8 ⎠ × ⎝ 3 ⎠⎠ 2 −2 9 6 erstes Vektorprodukt v v ⊥ a ∧ v ⊥ d =⇒ v  (0, 1, 0)t √ √  sin ∠(a, d)  = 5 · 20 · 1 = 10 a ⊥ d =⇒ |v | = |a||d| Orientierung  v = (0, 10, 0)t zweites Vektorprodukt w  nur zweite Komponente zu berechnen w2 = 9 · 5 − 7 · 6 = 3 =⇒

v · w  = 10 · 3 = 30

130

8.5

8 Vektor- und Spatprodukt

Flächeninhalt eines polygonalen Bereichs

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt eines ebenen, durch ein Polygon begrenzten Bereichs D für einen beliebigen Punkt P mit der Formel   n 1  −−−−−→ −−→ Qk Qk+1 × Qk P  area D =   2 k=1

berechnet werden kann. Verweise:

Vektorprodukt

Lösungsskizze (i) Spezialfall n = 3 (Dreieck mit Eckpunkten A, B, C): −−→ −−→ −−→ U W = U V + V W , u × u = o =⇒ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ AB × AP + BC × BP + CA × CP = AB × (AB +BP ) + [. . .]    −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ = (AB + BC) × (BC + CP) + CA × CP  

− =→ o

− − → =BP

−−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ = AB × BC + (AB  + BC  + CA) × CP = AB × BC −→ =AA= o

 Übereinstimmung mit der bekannten Formel area D = Flächeninhalt eines Dreiecks

1 2

−−→ −−→   AB × BC  für den

(ii) Vereinigung von Dreiecken, Illustration für zwei Dreiecke: Kreuzprodukte  zur Normalen der die Punkte enthaltenen Ebene und mit gleicher Orientierung, falls die Reihenfolge der Punkte in den Dreiecken konsistent gewählt ist (Durchlaufen der Ränder entgegen dem Uhrzeigersinn) =⇒ () Addition der Beträge möglich (v = su mit s ≥ 0 =⇒ |u + v | = |u| + |v |) 1  −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→  [AB × AP + BC × BP + CA × CP ]1  2    1  −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→  1  + [BD × BP + DC × DP + CB × CP ]2  = [. . .]1 + [. . .]2  2 () 2 1 −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ = AB × AP + BD × BP + DC × DP + CA × CP  , 2 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ da sich die Terme der inneren Kante BC wegen BC × BP = BC × (BC + CP ) = −−→ −−→ −CB × CP aufheben =⇒ Die Ausdrücke für Dreiecke einer Triangulierung können addiert werden, und dies führt wegen des Wegfalls der „inneren“ Terme auf die zu beweisende Identität.

131

8.6

Rechnen mit Spatprodukten

Berechnen Sie für ⎛

1

⎞

⎜ ⎟ ⎟ a = ⎜ ⎝ 0 ⎠,

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ b = ⎜ −1 ⎟ , ⎝ ⎠

2

3

⎛

−4

⎞

⎜ ⎟ ⎟ c = ⎜ ⎝ 3 ⎠ −2

[a, b, c] und [b + 2c, a − b + c, 3a − 2b]. Verweise:

Spatprodukt

Lösungsskizze (i) Spatprodukt: ⎛

1

⎞ ⎛⎛

2

⎞

⎛

−4

⎞⎞

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟ · ⎜⎜ −1 ⎟ × ⎜ 3 ⎟⎟ s = [a, b, c] = a · (b × c) = ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ 2 3 −2 a2 = 0 nen

=⇒

nur erste und dritte Komponente des Vektorproduktes zu berech⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(−1) · (−2) − 3 · 3

⎞

⎛

−7

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ? ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 2 · 3 − (−1) · (−4) 2 ?

Skalarprodukt mit a = (1, 0, 2)t



s = 1 · (−7) + 0 + 2 · 2 = −3 (ii) Spatprodukt der Vektorsummen: s = [b + 2c, a − b + c, 3a − 2b] Multilinearität des Spatproduktes  Summe von 2 · 3 · 2 = 12 Spatprodukten Spatprodukte mit 2 (oder 3) parallelen Argumenten null  3 nichttriviale Summanden s = [b, c, 3a] + [2c, a, −2b] + [2c, −b, 3a] Invarianz unter zyklischer Vertauschung, Vorzeichenänderung bei Permutation s = 3[b, c, a] − 4[c, a, b] − 6[c, b, a] = (3 − 4 + 6)[a, b, c] = 5 · (−3) = −15



132

8.7

8 Vektor- und Spatprodukt

Gleichungen mit Skalar-, Vektor- und Spatprodukten

Bestimmen Sie für a = (0, 1, 2)t ,

b = (2, 1, 0)t

die Lösungen v der Gleichungen a) a × v = a × b, a · v = −4 , b) [a, b, v ] = 6, (a × b) × v = 0 . Interpretieren Sie beide Gleichungen geometrisch. Verweise:

Vektorprodukt, Spatprodukt, Skalarprodukt

Lösungsskizze a) a × v = a × b, a · v = −4 (Schnittpunkt Gerade/Ebene): a × (v − b) = 0 ⇔ a  (v − b), d.h. ⎛

2

⎞

⎛

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ v = b + ta = ⎜ ⎝ 1 ⎠ + t⎝ 1 ⎠ 0

(Gerade)

2 

Einsetzen in die zweite Gleichung (Ebene)

−4 = a · b + ta · a = 1 + 5t , d.h. t = −1 und v = (2, 1, 0)t + (−1)(0, 1, 2)t = (2, 0, −2)t b) [a, b, v ] = 6, (a × b) × v = 0 (Schnittpunkt Ebene/Gerade): zweite Gleichung ⇔ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 2 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟×⎜ 1 ⎟=⎜ 4 ⎟ v  a × b = ⎜ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 0 −2 =⇒ v = t(−2, 4, −2)t (Gerade) Einsetzen in die erste Gleichung (Ebene) ⎛

 0

⎞ ⎛⎛

2

⎞

⎛

−2

⎞⎞

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ 6 = [a, b, t(−2, 4, −2)t ] = t ⎜ ⎝ 1 ⎠ · ⎝⎝ 1 ⎠ × ⎝ 4 ⎠⎠ 2 0 −2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = t⎜ ⎝ 1 ⎠ · ⎝ 4 ⎠ = 24t , 2 10 d.h. t = 1/4 und v = (−1/2, 1, −1/2)t

133

8.8

Fläche und umbauter Raum eines Walmdachs

Die Abbildung zeigt ein Walmdach mit 45◦ Dachneigung - Ansicht von oben und von einer Seite (Längenangaben in Metern).

Bestimmen Sie die Dachfläche und den umbauten Raum (Volumen des Dachbodens). Verweise:

Satz des Pythagoras

Lösungsskizze (i) Querschnittsfläche in der Dachmitte: Dachhöhe: h = 3 (Ansicht von der Seite) gleichschenklig rechtwinkliger Querschnitt =⇒ Abstand Dachkante-Dachfirst:  √ d = (6/2)2 + 32 = 3 2 (Pythagoras) (ii) Dachfläche: Dreiecke: Höhe = d, berechnet analog zu (i)



√ √ a·d 6·3 2 Grundseite · Höhe F1 = = = =9 2 2 2 2

Trapeze: F2 = mittlere Seitenlänge · Höhe =

b + (b − 2 · 3) ·d 2

√ √ 8 + (8 − 6) · 3 2 = 15 2 2 √ √ √ Dachfläche 2F1 + 2F2 = 18 2 + 30 2 = 48 2 ≈ 67.8823 =



(iii) Umbauter Raum: Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche: (a · 3) · h 18 · 3 Grundfläche · Höhe = = = 18 V1 = 3 3 3 Prisma mit dreieckiger Grundfläche (Dachquerschnitt): V2 = Grundfläche · Länge = (a · h/2) · (b − 2 · 3) = (6 · 3/2) · 2 = 18 

Volumen V = 2V1 + V2 = 36 + 18 = 54

134

8.9

8 Vektor- und Spatprodukt

Volumen und Oberfläche eines Spats

Berechnen Sie für den durch die Vektoren (0, 1, 2)t , (1, 2, 0)t , (1, 1, 1)t aufgespannten Spat das Volumen, die Oberfläche und die Abstände gegenüber liegender Seitenflächen. Verweise:

Spatprodukt, Skalarprodukt, Vektorprodukt

Lösungsskizze (i) Volumen: Berechnung mit dem Spatprodukt V = |[u, v , w]|  = |(u × v ) · w|  Normale der von u und v aufgespannten Grundfläche n = u × v = (0, 1, 2)t × (1, 2, 0)t = (−4, 2, −1)t und V = |n · (1, 1, 1)t | = | − 4 + 2 − 1| = 3 (ii) Oberfläche: Parallelogrammfläche, area[u, v ] = |u × v |



Fuv = |n| = |(−4, 2, −1)t | =

√ 21 ≈ 4.5826

analoge Berechnung für das von u und w  aufgespannte Parallelogramm √ Fuw = |(0, 1, 2)t × (1, 1, 1)t | = |(−1, 2, −1)t | = 6 ≈ 2.4495 und Fvw = Fuw aufgrund der Symmetrie Summe der 6 Parallelogrammflächen √ √ O = 2(Fuv + Fuw + Fvw ) = 2 21 + 4 6 ≈ 18.9631 (iii) Abstände: Länge der Projektionen der aufspannenden Vektoren auf die entsprechenden Normalen (Höhen), z.B. √ huv = |(1, 1, 1)t · (−4, 2, −1)t |/|n| = | − 3|/ 21 ≈ 0.6547     n

alternativ: Quotient huv = V /Fuv von Volumen und Grundfläche andere Abstände √ huw = V /Fuw = 3/ 6 ≈ 1.2247 und hvw = huw aufgrund der Symmetrie

135

8.10

Volumen und Grundfläche eines Tetraeders

Berechnen Sie das Volumen, die Grundfläche und die Höhe des Tetraeders mit Spitze (2, 2, 5) und dem von den Punkten (1, 2, 3), (2, 6, 4), (3, 6, 3) aufgespannten Grunddreieck. Verweise:

Spatprodukt, Skalarprodukt, Vektorprodukt

Lösungsskizze (i) Aufspannende Vektoren: mögliche Wahl, bezogen auf den Eckpunkt (1, 2, 3) des Grunddreiecks a = (2, 6, 4)t − (1, 2, 3)t = (1, 4, 1)t b = (3, 6, 3)t − (1, 2, 3)t = (2, 4, 0)t c = (2, 2, 5)t − (1, 2, 3)t = (1, 0, 2)t (ii) Flächeninhalt des Grunddreiecks: aufgespannt von a, b  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞  1  −4  2     ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1    ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  F = |a × b|/2 = ⎝4⎠ × ⎝4⎠ = ⎝ 2 ⎠ = 3 2   2  1  −4  0  (iii) Volumen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞  −4 1   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ V = |[a, b, c]|/6 = |(a × b) · c|/6 = ⎜ 2⎟ ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = 2 6 ⎝   −4 2  (iv) Höhe: V = 13 F h

=⇒ h = 3V /F = 3 · 2/3 = 2

alternative Berechnung: Länge der Projektion von c = (1, 0, 2)t auf den Normalenvektor n = (−4, 2, −4)t des Grunddreiecks h=

|c · n| | − 4 + 0 − 8| =√ = 12/6 = 2  |n| 16 + 4 + 16

136

8 Vektor- und Spatprodukt

8.11

Oberfläche und Volumen eines Tetraeders

Berechnen Sie die Oberfläche und das Volumen des von den Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a = ⎜ ⎝ 2 ⎠ , b = ⎝ 3 ⎠ , c = ⎝ 2 ⎠ −1 1 2 aufgespannten Tetraeders. Verweise:

Vektorprodukt, Spatprodukt, Volumen eines Tetraeders

Lösungsskizze (i) Oberfläche: Flächeninhalt eines Dreiecks: Fuv = |u × v |/2 mit u, v den aufspannenden Vektoren Vektorprodukte der aufspannenden Vektoren des Tetraeders a × b = (2, 2, −1)t × (1, 3, 1)t b × c = (1, 3, 1)t × (−1, 2, 2)t

= (5, −3, 4)t = (4, −3, 5)t

c × a = (−1, 2, 2)t × (2, 2, −1)t = (−6, 3, −6)t 

Flächeninhalte der die Spitze des Tetraeders bildenden Dreiecke  √ Fab = Fbc = 52 + 32 + 42 /2 = 5 2/2 √ Fac = 36 + 9 + 36/2 = 9/2

Fac wegen a ⊥ c auch direkt berechenbar:

Fac = |a||c|/2 = 3 · 3/2



aufspannende Vektoren der Grundfläche F : u = b − a und v = c − b Linearität und Antisymmetrie des Vektorproduktes  u × v = b × c − 0 + c × a + a × b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 −6 5 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ −3 ⎠ + ⎝ 3 ⎠ + ⎝ −3 ⎠ = ⎝ −3 ⎠ 5 −6 4 3 √ und F = |(3, −3, 3)t |/2 = 3 3/2 √ √  Oberfläche: (Fab + Fbc ) + Fac + F = 5 2 + 9/2 + 3 3/2 ≈ 14.1691 (ii) Volumen: Berechnung mit Hilfe des Spatproduktes V = |[a, b, c|/6 = |a · (b × c)|/6 = |(2, 2, −1)t · (4, −3, 5)t |/6 = | − 3|/6 = 1/2

137

8.12

Koordinatenbestimmung mit Hilfe des Spatproduktes

Zeigen Sie, dass die Vektoren ⎛

0

⎞

⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ v = ⎝1⎟ ⎠, 2

⎜ ⎟ ⎟ u = ⎜ ⎝−1⎠ , 3

⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ w  = ⎝1⎟ ⎠ 1

eine Basis bilden, und bestimmen Sie Darstellung des Vektors x = (2, 1 − 4)t als Linearkombination von u, v und w.  Verweise:

Spatprodukt, Berechnung von Koordinaten

Lösungsskizze Kriterium für eine Basis: Spatprodukt s = [u, v , w]  = u · (v × w)  = 0 im konkreten Fall erfüllt: ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 2 1 0 −1 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s=⎜ ⎝ −1 ⎠ · ⎝⎝ 1 ⎠ × ⎝ 1 ⎠⎠ = ⎝ −1 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = 3 3 2 1 3 1 Formeln für die Koeffizienten der Linearkombination x = αu + βv + γ w  α=

 [x, v , w] , [u, v , w] 

β=

[u, x, w]  , [v , w,  u]

zyklische Invarianz des Spatproduktes α = = β = = γ = = Probe

⎛

γ=

[u, v , x] [w,  u, v ]

alle Nenner gleich s und

=⇒



1 (2, 1, −4)t · (2, 1, 2)t × (1, 1, 1)t 3 1 (2, 1, −4)t · (−1, 0, 1)t = −2 3 

1 (0, −1, 3)t · (2, 1, −4)t × (1, 1, 1)t 3 1 (0, −1, 3)t · (5, −6, 1)t = 3 3 

1 (0, −1, 3)t · (2, 1, 2)t × (2, 1, −4)t 3 1 (0, −1, 3)t · (−6, 12, 0)t = −4 3

0

⎞

⎛

2

⎞

⎛

1

⎞

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = −2 ⎜ ⎝ −1 ⎠ + 3 ⎝ 1 ⎠ − 4 ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ 3 2 1 −4



138

8.13

8 Vektor- und Spatprodukt

Volumina der Schnittkörper eines Tetraeders mit einer Ebene

Bestimmen Sie die Volumina der Teilkörper, die durch Schnitt der Ebene E : f (x, y, z) = 2x − 5y + 4z = 0 mit dem Tetraeder mit den Eckpunkten O = (0, 0, 0), A = (3, −2, 0), B = (0, 4, 3) und C = (−2, 0, 3) entstehen. Verweise:

Volumen eines Tetraeders

Lösungsskizze (i) Schnittpunkte (= O) der Ebene mit den Tetraederkanten: ∃ Schnittpunkt mit P Q ⇔ verschiedenes Vorzeichen von f (P ) und f (Q) f (3, −2, 0) = 2 · 3 − 5 · (−2) + 4 · 0 = 16,   

f (B) = −8,

f (C) = 8

A

=⇒ ∃ Schnittpunkte S ∈ AB und R ∈ BC Einsetzen der Parametrisierung s = a + t(b − a) = (3 + (0 − 3)t, −2 + (4 − (−2))t, 0 + (3 − 0)t)t der Kante AB in die Ebenengleichung



0 = 2(3 − 3t) − 5(−2 + 6t) + 4(3t) = 16 − 24t,

t = 2/3,

S = (1, 2, 2)

analog: anderer Schnittpunkt R = (−1, 2, 3) (ii) Teilkörper V1 , V2 des Tetraeders V : Vk : Polyeder mit Eckpunkten Pj auf einer Seite von E (gleiches Vorzeichen von f (Pj ), inklusive 0) =⇒ V1 : Tetraeder mit Eckpunkten O, B, S, R (f ≤ 0) Berechnung des Volumens mit dem Spatprodukt [b, s, r] = b · (s × r) der aufspan−−→ −→ −−→ nenden Vektoren OB, OS, OR ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞⎤   0   0 1 2 −1     ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎟⎥ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎢  ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥  vol V1 = ⎣⎝ 4 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ , ⎝ 2 ⎠⎦ = ⎝ 4 ⎠ · ⎝ −5 ⎠ = 6  3  6   3   3 2 4 3 Differenz zu vol V = |[a, b, c]|/6  ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤   3 0 −2   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 4 1 ⎢ 4 20 4 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ vol V2 = vol V − = ⎣⎝ −2 ⎠ , ⎝ 4 ⎠ , ⎝ 0 ⎠⎦ − = 8 − = 3 6 3 3  3   0 3 3

139

8.14

Volumen eines aus Spaten bestehenden Körpers  Berechnen Sie das Volumen des abgebildeten Körpers  K : αa + βb + γc + δ d,

a b

d

0 ≤ α, β, γ, δ ≤ 1 ,

dessen Kanten von den Vektoren a = (1, 3, 0)t , b = (0, 1, 3)t , c = (3, 0, 1)t und d = (2, 2, 2)t gebildet werden.

c

Verweise:

Spatprodukt

Lösungsskizze K: Vereinigung von vier Spaten, aufgespannt von jeweils drei der vier Vektoren Volumina: Beträge der entsprechenden Spatprodukte Spat, aufgespannt durch a, b, c:         Vd = [a, b, c] = a · (b × c) ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞  1   1  0 3 1     ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ 3 ⎠ · ⎝⎝ 1 ⎠ × ⎝ 0 ⎠⎠ = ⎝ 3 ⎠ · ⎝ 9 ⎠ = 28      0   0 3 1 −3   Spat, aufgespannt durch b, c, d:

Va

⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞  0   0 3 2 −2     ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ · ⎜⎜ 0 ⎟ × ⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜ 1 ⎟ · ⎜ −4 ⎟ = 14 = ⎜ 1   ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠      3   3  1 2 6

Symmetrie =⇒ Va = Vb = Vc = 14 z.B.: zyklisches Vertauschen der Koordinaten bei b und c (1 → 3, 2 → 1, 3 → 2) a und b d.h. Va = Vc insgesamt V = Va + Vb + Vc + Vd = 3 · 14 + 28 = 70



9 Geraden und Ebenen

Übersicht 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17

Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion . . . . . . . . . . . 142 Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in parametrischer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in impliziter Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Schnittpunkte von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Geschlossene Fünfbänder beim Billard  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte . . . . . . . . . . . . . . . 147 Abstand zweier Flugbahnen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . 149 Ebene durch einen Punkt und eine Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene . 151 Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform . . . . 152 Orthonormale Basis für eine Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion . . . . . . . . . . . . 154 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel . . . . . . 155 Perspektivische Projektion eines Würfels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Winkel zwischen Kanten und Flächen einer Pyramide . . . . . . . . . . . . . . 157 Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_10

142

9.1

9 Geraden und Ebenen

Abstand eines Punktes von einer Geraden und Projektion

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P = (6, 1, 7) von der Geraden g : (5, 6, −3)t + t(0, 1, 2)t sowie die Projektion X von P auf g. Verweise:

Abstand Punkt-Gerade, Punkt-Richtungs-Form

Lösungsskizze Gerade g : x = q + tu,

t∈R

mit q = (5, 6, −3)t und u = (0, 1, 2)t (i) Abstand von P = (6, 1, 7): d=

|(1, −5, 10)t × (0, 1, 2)t | |( p − q) × u| = |u| |(0, 1, 2)t |

Vektorprodukt im Zähler (−10 − 10, 0 − 2, 1 + 0)t = (−20, −2, 1)t −−→ √400 + 4 + 1   =9 d = XP  = √ 0+1+4



(ii) Projektion: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→   QX ⊥ XP , QX + XP = QP =⇒ QX  mit dem Satz des Pythagoras berechenbar −−→2 −−→2 −−→2  2       QX  = QP  − XP  = (1, −5, 10)t  − d2 = 126 − 81 = 45 √ √ −−→ d.h. |QX| = 45 = 3 5 und −−→ x = q + |QX|u◦

√ √ = (5, 6, −3)t + (3 5)(0, 1, 2)t / 5 = (5, 9, 3)t

Alternative Lösung Projektion ( p − q) · u u u · u ⎞ 5 ⎜ ⎟ (1, −5, 10)t · (0, 1, 2)t ⎟ = ⎜ ⎝ 6 ⎠ + (0, 1, 2)t · (0, 1, 2)t    −3

x = q + ⎛

=15/5

Abstand

⎛

0

⎞

⎛

5

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟=⎜9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3

    d = (5, 9, 3)t − (6, 1, 7)t  = (−1, 8, −4)t  = 9

143

9.2

Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in parametrischer Darstellung

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden g : (2, −1)t + t(3, 4)t mit den Geraden h2 : 2x − 3y = −5

h1 : (5, 4)t + s(2, 3)t , Verweise:

Punkt-Richtungs-Form, Cramersche Regel

Lösungsskizze (i) g ∩ h1 : Gleichsetzen der parametrischen Darstellungen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 3 5 2 ⎝ ⎠ + t⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ + s⎝ ⎠ −1 4 4 3 

lineares Gleichungssystem (je eine Gleichung für die x- und y-Koordinate) 3t − 2s = 5 − 2 = 3 4t − 3s = 4 + 1 = 5

Cramersche Regel

=⇒          3 −2  &  3 −2      = (−9 + 10)/(−9 + 8) = −1 t=    5 −3 4 −3    

Ortsvektor des Schnittpunktes ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 3 −1 ⎠ + (−1) ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ p = ⎝ −1 4 −5 Kontrolle: Berechnung von s = −3  (5, 4)t − 3(2, 3)t = (−1, −5)t (ii) g ∩ h2 : Einsetzen der parametrischen Darstellung x = 2 + 3t,

y = −1 + 4t 

von g in die implizite Darstellung von h2

2(2 + 3t) − 3(−1 + 4t) = −5 ⇔ −6t = −12 bzw. t = 2 Ortsvektor des Schnittpunkts p = (2, −1)t + 2(3, 4)t = (8, 7)t Kontrolle: P ∈ h2 , da 2 · 8 − 3 · 7 = −5





144

9 Geraden und Ebenen

9.3

Schnittpunkte von Geraden mit einer Geraden in impliziter Darstellung

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden g : 2x − 3y = 1 mit den Geraden h1 : 3x − 2y = 4, Verweise:

h2 : (2, 9)t + t(1, −2)t

Punkt-Richtungs-Form, Cramersche Regel

Lösungsskizze (i) g ∩ h1 : lineares Gleichungssystem für den Schnittpunkt P = (x, y) 2x − 3y = 1 3x − 2y = 4 Cramersche Regel

=⇒        1 −3  &  2   x =     4 −2   3        2 1 & 2   y =    3 4 3

  −3   = (−2 + 12)/(−4 + 9) = 2  −2    −3   = (8 − 3)/(−4 + 9) = 1  −2 

(ii) g ∩ h2 : Einsetzen der parametrischen Darstellung x = 2 + t, von h2 in die implizite Darstellung von g

y = 9 − 2t 

2(2 + t) − 3(9 − 2t) = 1 ⇔ 8t = 24 bzw. t = 3 Ortsvektor des Schnittpunkts P = (x, y) p = (2, 9)t + 3(1, −2)t = (5, 3)t Kontrolle: P ∈ g, da 2 · 5 − 3 · 3 = 1



145

9.4

Schnittpunkte von Geraden

Untersuchen Sie, ob sich die folgenden Geradenpaare schneiden, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. a) g : (1, 2, 3)t + s(1, 1, 0)t ,

h : (0, 1, 1)t + t(3, 2, 1)t

b) g : (9, −3, −2)t + s(3, −2, 0)t , h : (3, 5, 0)t + t(6, −2, 1)t Verweise:

Punkt-Richtungs-Form, Abstand zweier Geraden, Spatprodukt

Lösungsskizze Abstand zweier nicht paralleler Geraden g : p + su und h : q + tv dist(g, h) = | [q − p, u, v ] |/|u × v |    d

=⇒

es gibt einen Schnittpunkt genau dann, wenn d = 0

a) g : (1, 2, 3)t + s(1, 1, 0)t , Spatprodukt

h : (0, 1, 1)t + t(3, 2, 1)t :

 d = (0 − 1, 1 − 2, 1 − 3)t · (1, 1, 0)t × (3, 2, 1)t = (−1, −1, −2)t · (1, −1, −1)t = 2 =⇒

kein Schnittpunkt

b) g : (9, −3, −2)t + s(3, −2, 0)t , Spatprodukt

h : (3, 5, 0)t + t(6, −2, 1)t :

 d = (3 − 9, 5 + 3, 0 + 2)t · (3, −2, 0)t × (6, −2, 1)t = (−6, 8, 2)t · (−2, −3, 6)t = 0 =⇒ es gibt einen Schnittpunkt X Gleichsetzen der Geradendarstellungen



9 + 3s = 3 + 6t (1) −3 − 2s = 5 − 2t (2) −2 = t

(3)

Einsetzen von t = −2 in (2) =⇒ s = −6 konsistent zu (1): 9 − 18 = 3 − 12  Einsetzen in eine der Geradendarstellungen, z.B. t = −2 in h x = (3, 5, 0)t − 2(6, −2, 1)t = (−9, 9, −2)t



146

9.5

9 Geraden und Ebenen

Geschlossene Fünfbänder beim Billard 

Bestimmen Sie, wo die vom Tischmittelpunkt gestoßene Billard-Kugel bei dem abgebildeten „Fünfbänder“ auf die Banden trifft. Wie viele verschiedene solcher Fünfbänder sind möglich? Verweise:

Spiegelung, Lineare Funktion

Lösungsskizze Verblüffend einfach: Anstatt die Bahn der Billard-Kugel an den Banden zu spiegeln, wird der Billard-Tisch an den Banden gespiegelt, und die Bahn geradlinig fortgesetzt. Für den abgebildeten Fünfbänder führt das so gewonnene Geradensegment zur Mitte des 5-fach gespiegelten Billard-Tisches [16, 24] × [12, 16] (Einheiten in Fuß [ft]). Die Schnittpunkte mit dem Rechteckgitter entsprechen den Auftreffpunkten an den Banden. Punkt-Steigungsform des Geradensegments, beginnend am Tischmittelpunkt (4, 2): g : y =2+

14 − 2 (x − 4) = −1 + 3x/4 20 − 4

Schnittpunkt mit der horizontalen Gitterlinie h : y = 4: 4 = −1 + 3x/4,

d.h. x = 20/3

 Auftreffpunkt (20/3, 4) an der oberen Bande Schnittpunkt mit der vertikalen Gitterlinie v : x = 8: y = −1 + 3 · 8/4 = 5 Spiegelung an h  Auftreffpunkt (8, 3) an der rechten Bande Symmetrie  weitere Auftreffpunkte an der unteren, linken und oberen Bande: (4, 0), (0, 3), (4/3, 4) Alle möglichen, vom Tischmittelpunkt aus gestoßenen Fünfbänder: Bestimmung durch Verbindung mit den Mittelpunkten der in Frage kommenden mehrfach gespiegelten Tische ohne Berücksichtigung der Stoßrichtung und von Stößen in Ecken

147

9.6

Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte

Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −7 −1 2 −3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ g: ⎜ h: ⎜ ⎝ −1 ⎠ + s ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ + t⎝ 4 ⎠ , 3 1 9 −4 sowie die nächst gelegenen Punkte. Verweise:

Abstand zweier Geraden, Spatprodukt, Vektorprodukt

Lösungsskizze (i) Abstand: Differenzvektor der Punkte P ∈ g und Q ∈ h −−→ P Q = (2, 2, 9)t − (−7, −1, 3)t = (9, 3, 6)t zu den Richtungsvektoren u, v orthogonaler Vektor ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −1 −3 −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ w  = u × v = ⎝ 0 ⎠ × ⎝ 4 ⎠ = ⎝−7⎟ ⎠ 1 −4 −4 Einsetzen in die Abstandsformel  −−→ −−→ |P Q · w|  | − 36 − 21 − 24| 81 |[P Q, u, v ]| = = √ =9 = d= |u × v | |w|  9 16 + 49 + 16 (ii) Nächst gelegene Punkte X ∈ g und Y ∈ h: Der Differenzvektor ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, d.h. y − x = (q + tv ) − ( p + su) ⊥ u, v Einsetzen, q − p = (9, 3, 6)t  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 9 −3t +s −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 +4t ⎟ · ⎜ 0 ⎟ = 0, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 −4t −s 1 

⎛

9 −3t +s

⎞ ⎛

⎞

−3

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 +4t ⎟·⎜ 4 ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 −4t −s −4

lineares Gleichungssystem 2s + t = −3 ,

Lösung s = −2, t = 1



s + 41t = 39

Punkte kürzesten Abstandes mit Ortsvektoren

x = (−7, −1, 3)t − 2(−1, 0, 1)t = (−5, −1, 1)t y = (2, 2, 9)t + (−3, 4, −4)t = (−1, 6, 5)t Probe d = |y − x| = |(4, 7, 4)t | = 9 

148

9.7

9 Geraden und Ebenen

Abstand zweier Flugbahnen 

Ein Flugzeug startet in nordöstlicher Richtung, ein anderes von einem 50km nördlich auf gleicher Höhe gelegenen Flughafen in östlicher Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit und Steigrate von 10%. Geben Sie eine untere Schranke für die minimale Entfernung der beiden Flugzeuge für a) gleiche b) beliebige Startzeiten an. Verweise:

Punkt-Richtungs-Form, Abstand zweier Geraden, Spatprodukt

Lösungsskizze Koordinaten der Flugplätze und Flugrichtungen (y-Achse in Nordrichtung) √ √ P = (0, 0, 0), u = ( 2/2, 2/2, 1/10)t , Q = (0, 50, 0), v = (1, 0, 1/10)t 

Flugbahnen (Punkt-Richtungs-Form von Geraden) x(t) = p + tu,

y (s) = q + sv

a) Minimaler Abstand d bei gleichen Startzeiten: √ √ p − q + t(u − v )|2 = (t 2/2 − t)2 + (t 2/2 − 50)2 d(t)2 = | quadratische Funktion in t, minimal genau dann, wenn √ √ d 0 = d(t)2 = 2t( 2/2 − 1)2 + t − 50 2 dt

⇔

√ √ 50 2 √ = 25( 2 + 1) t= 4−2 2

Einsetzen in den Ausdruck für d(t)2   √ 2  √ 2 √ √ d2min = 25( 2 + 1)( 2/2 − 1) + 25( 2 + 1) 2/2 − 50  √ und nach Vereinfachung dmin = 25 2 − 2 ≈ 19.1342 b) Minimaler Abstand d bei beliebigen Startzeiten: Berechnung des Abstandes d der Geraden g und h mit Hilfe des Spatproduktes d=

|[ p − q, u, v ]| |( p − q) · n| = , |u × v | |n|

Einsetzen der konkreten Werte

n = u × v



p − q = (0, −50, 0)t √ √ √ 2 √ t t (1, 2 − 1, −10)t n = ( 2/2, 2/2, 1/10) × (1, 0, 1/10) = 20 √ 50( 2 − 1) d=  √ 1 + 2 − 2 2 + 1 + 100  √ √ bzw. nach Erweitern mit 2 + 1 ist d = 50/ 304 + 202 2 ≈ 2.0590

und

149

9.8

Umwandlung von Drei-Punkte- in Hesse-Normalform

Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene durch die Punkte P = (0, 0, 1),

Q = (0, 1, 2),

R = (2, 1, 1)

und überprüfen Sie, ob der Punkt X = (1, 2, 3) auf der Ebene liegt. Verweise:

Hesse-Normalform einer Ebene, Drei-Punkte-Form einer Ebene

Lösungsskizze aufspannende Vektoren der Ebene, bezogen auf den Punkt P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 2 0 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −−→ ⎜ −→ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u = P Q = ⎝1⎠ − ⎝0⎠ = ⎝1⎠ , v = P R = ⎝1⎠ − ⎝0⎠ = ⎝1⎟ ⎠ 2 1 1 1 1 0 Normalenvektor n = u × v = (−1, 2, −2)t ,

n◦ = (−1/3, 2/3, −2/3)t

Hesse-Normalform E : x · (σn◦ ) = p · (σn◦ ) ≥ 0 mit σ ∈ {−1, 1} Ungleichung bestimmt Vorzeichen σ (Orientierung des Normalenvektors σn◦ ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −1 0 ⎜ ⎟ σ⎜ ⎟ 2 ◦ ⎜ ⎜ ⎟ =⇒ σ = −1 p · (σn ) = ⎝0⎠ · ⎝ 2 ⎟ ⎠ = −σ 3 3 −2 1 

Ebenengleichung E : x · (−n◦ ) =

1 2 2 2 x1 − x2 + x3 = 3 3 3 3

X = (1, 2, 3) ∈ / E, da x · (−n◦ ) =

2 2 1 2 − · 2 + · 3 = 1 = 3 3 3 3

Alternative Lösung direkte Angabe der Ebenengleichung mit Hilfe einer Determinante     0 0 2 x 1         p q r x   0 1 1 x2   = =0    1 1 1 1   1 2 1 x3    1 1 1 1  anschließende Normierung mit 1/3



150

9.9

9 Geraden und Ebenen

Ebene durch einen Punkt und eine Gerade

Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, die den Punkt P = (1, 3, 1) und die Gerade g : (−4, 7, 4)t + t(−1, 4, 1)t enthält, sowie die Abstände von E und g zum Ursprung. Verweise:

Hesse-Normalform einer Ebene, Abstand Punkt-Gerade

Lösungsskizze (i) Hesse-Normalform: aufspannende Vektoren von E: Richtungsvektor u von g und Differenzvektor v vom Aufpunkt Q der Geraden zum Punkt P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −1 1 −4 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u = ⎝ 4 ⎠ , v = p − q = ⎝3⎠ − ⎝ 7 ⎠ = ⎝−4⎟ ⎠ 1 1 4 −3 Normale der Ebene: ⎛

−1

⎞

⎛

5

⎞

⎛

−8

⎛

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n = ⎜ ⎝ 4 ⎠ × ⎝−4⎠ = ⎝ 2 ⎠ , 1 −3 −16 p · n◦ = (σ/9)(1 · (−4) + 3 · 1 + 1 · (−8)) = −σ Hesse-Normalform ist nicht negativ) und E : (x, y, z)t · n◦ = p · n◦

⇔

⎞ −4 1⎜ ⎟ n◦ = σ ⎜ 1⎟ 9⎝ ⎠ −8 =⇒

σ = −1 (rechte Seite der

(4x − y + 8z)/9 = 1

(ii) Abstände vom Ursprung: von der Ebene E: rechte Seite der Hesse-Normalform dE = 1 von der Geraden g : x = q + tu dg =

√ 162 |(−4, 7, 4)t × (−1, 4, 1)t | |(−9, 0, −9)t | |q × u| √ √ = = = =3 |u| |(−1, 4, 1)t | 18 18

alternative Berechnung: x ⊥ u für den nächst gelegenen Punkt X =⇒ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ −1 −4 −1 ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 = ⎝⎝ 7 ⎠ + t ⎝ 4 ⎠⎠ · ⎝ 4 ⎟ ⎠ = 36 + 18t , 1 4 1     x

d.h. t = −2 und X = (−2, −1, 2)



dg = |x| =

√ 4+1+4=3 

151

9.10

Schnittpunkt und -winkel von zwei Geraden und aufgespannte Ebene

Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden Geraden ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 3 9 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ g : ⎝−1⎠ + t ⎝−1⎠ , h : ⎝ 6 ⎠ + s⎝ 2 ⎟ ⎠ −8 −4 −6 −5 sowie die Hesse-Normalform der Ebene E durch g und h. Verweise:

Hesse-Normalform einer Ebene, Winkel

Lösungsskizze (i) Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradendarstellungen, (4, −1, −8)t + t(3, −1, −4)t = (9, 6, −6)t + s(7, 2, −5)t 

lineares Gleichungssystem 4 + 3t = 9 + 7s,

−1 − t = 6 + 2s,

−8 − 4t = −6 − 5s

zweite Gleichung =⇒ t = −7 − 2s Einsetzen in die erste Gleichung =⇒ 4 − 21 − 6s = 9 + 7s ⇔ s = −2 somit t = −3 konsistent mit der dritten Gleichung: −8 − 4(−3) = −6 − 5(−2)  Einsetzen in eine der Geradendarstellungen  Schnittpunkt P :

und

p = (4, −1, −8)t + (−3)(3, −1, −4)t = (−5, 2, 4)t (ii) Schnittwinkel: Winkel ϕ zwischen den Richtungsvektoren von g und h

√ 3 (3, −1, −4)t · (7, 2, −5)t 39 cos ϕ = =√ √ = |(3, −1, −4)t | |(7, 2, −5)t | 2 26 78

=⇒ ϕ = π/6 (Schnittwinkel, da kleiner als π/2; andernfalls Ersetzung von ϕ durch π − ϕ) (iii) Ebene: Normalenvektor (orthogonal zu den Richtungsvektoren der Geraden) σ n = (3, −1, −4)t × (7, 2, −5)t = (13, −13, 13)t , n◦ = √ (1, −1, 1)t 3 √ √ √ p · n◦ = (−5, 2, 4)t · σ(1, −1, 1)t / 3 = −3σ/ 3 = −σ 3 =⇒ σ = −1 und √ √ E : (−x + y − z)/ 3 = 3 (rechte Seite p · n◦ der Hesse-Normalform ≥ 0)

152

9.11

9 Geraden und Ebenen

Projektion eines Punktes auf eine Gerade und Hesse-Normalform

Bestimmen Sie die Projektion des Punktes P = (3, 2, 1) auf die Gerade g : (0, 1, 2)t + t(1, 0, 1)t , den Abstand von P zu g und die Hesse-Normalform der Ebene, die P und g enthält. Verweise:

Abstand Punkt-Gerade, Hesse-Normalform einer Ebene

Lösungsskizze (i) Projektion: Ortsvektor der Projektion X erfüllt p − x ⊥ (1, 0, 1)t ⎛

1

⎞

⎛⎛

3

⎞

⎛

0



⎞

⎛

1

⎞⎞ ⎛

1

⎞

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 0 = ( p − x) · ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⇔ 0 = ⎝⎝ 2 ⎠ − ⎝ 1 ⎠ − t ⎝ 0 ⎠⎠ · ⎝ 0 ⎠ 1

1

2

1

1

⇔ 0 = 2 − 2t =⇒ t = 1, d.h. x = (0, 1, 2)t + (1, 0, 1)t = (1, 1, 3)t (ii) Abstand:

=⇒

v = x − p = (1, 1, 3)t − (3, 2, 1)t = (−2, −1, 2)t  dist(g, P ) = |v | = (−2)2 + (−1)2 + 22 = 3

(iii) Hesse-Normalform: aufspannende Richtungen (1, 0, 1)t und v = (−2, −1, 2)t ⎛

1

⎞

⎛

−2

⎞

⎛

1



Normale

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n = ⎜ ⎝ 0 ⎠ × ⎝ −1 ⎠ = ⎝ −4 ⎠ 1

2

−1

Ebenengleichung x · n = p · n

⇔

x1 − 4x2 − x3 = 3 · 1 − 2 · 4 − 1 · 1 = −6

√ √ Normierung, |n| = 1 + 16 + 1 = 3 2, und Korrektur des Vorzeichens Hesse-Normalform (rechte Seite nicht negativ) √ 1 √ (−x1 + 4x2 + x3 ) = 2 3 2



153

9.12

Orthonormale Basis für eine Ebene

Konstruieren Sie eine orthonormale Basis für die Ebene, die den Ursprung und die Gerade g : (1, 1, 1)t + t(1, 2, 3)t enthält. Verweise:

Orthogonale Basis, Vektorprodukt

Lösungsskizze aufspannende Vektoren der Ebene E u = (1, 1, 1)t ,

v = (1, 2, 3)t

alternativ: Ortsvektoren u und v von zwei beliebigen Punkten auf g Normale ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n = u × v = ⎜ ⎝ 1 ⎠ × ⎝ 2 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ 1 3 1 Ein zu u orthogonaler Vektor u⊥ ∈ E ist ebenfalls orthogonal zu n und folglich gilt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 −3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u⊥  n × u = ⎜ ⎝ −2 ⎠ × ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ . 1 1 3 Normierung



orthonormale Basis √ u◦ = (1, 1, 1)t / 3,

√ u◦⊥ = (−1, 0, 1)t / 2

Alternative Lösung Darstellung von v bzgl. der orthonormalen Basis {u◦ , u◦⊥ } (Koeffizienten: Skalarprodukte mit den Basisvektoren) v = (v · u◦ )u◦ + (v · u◦⊥ )u◦⊥ 

alternative Konstruktion von u◦⊥ (Gram-Schmidt-Orthogonalisierung) ⎛

1

⎞

⎛⎛

1

⎞

⎛

1

⎞⎞

⎛

1

⎞

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ u◦⊥  v − (v · u◦ )u◦ = ⎜ ⎝ 2 ⎠ − ⎝⎝ 2 ⎠ · √3 ⎝ 1 ⎠⎠ √3 ⎝ 1 ⎠ 3 3 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ 6⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠− ⎝ 1 ⎠=⎝ 0 ⎟ ⎠ 3 1 1 3

154

9.13

9 Geraden und Ebenen

Abstand eines Punktes von einer Ebene und Projektion

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P = (0, −1, 4) von der Ebene E : −2x1 − x2 + 2x3 = −9 sowie die Projektion X von P auf E. Verweise:

Abstand Punkt-Ebene, Hesse-Normalform einer Ebene

Lösungsskizze (i) Abstand: Normalenvektor der Ebene: n = (−2, −1, 2)t , |n| = 3 Normierung und Korrektur des Vorzeichens  Hesse-Normalform E : x · n◦ =

2 1 2 x1 + x2 − x3 = 3, 3 3 3

Einsetzen von P = (0, −1, 4)

n◦ = (2, 1, −2)t /3

 p · n◦ = 0 −

1 8 − = −3 3 3

Abstand entspricht dem Betrag der Differenz der rechten Seiten, d.h. dist(E, P ) = |3 − (−3)| = 6 (ii) Projektion: 3 = ( p + tn◦ ) · n◦ = p · n◦ + t = −3 + t ,    !

= x∈E

d.h. t = 6 und x = (0, −1, 4)t + 6(2, 1, −2)t /3 = (4, 1, 0)t Alternative Lösung Projektion X in Richtung der Normalen (−2, −1, 2)t



Einsetzen von

x = (0, −1, 4)t + t(−2, −1, 2)t = (−2t, −1 − t, 4 + 2t)t in die Ebenengleichung: −2(−2t) − (−1 − t) + 2(4 + 2t) = −9

⇔

9t = −18 ,

d.h. t = −2 und x = (−2(−2), −1 − (−2), 4 + 2(−2))t = (4, 1, 0)t  −−→   Abstand: P X  = |(4, 1, 0)t − (0, −1, 4)t | = |(4, 2, −4)t | = 6 

155

9.14

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene und Schnittwinkel

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene durch die Punkte (2, −1, −3),

(1, 2, 4),

(3, 0, 2)

mit der Geraden g : (4, 5, 5)t + t(3, 1, 2)t sowie den Schnittwinkel. Verweise:

Drei-Punkte-Form einer Ebene, Punkt-Richtungs-Form, Winkel

Lösungsskizze (i) Ebenengleichung: −−→ −−→ −→ Drei-Punkte-Form der Ebene, 0 = P X, P Q, P R



  0 = (x1 − 2, x2 + 1, x3 + 3)t , (1 − 2, 2 + 1, 4 + 3)t , (3 − 2, 0 + 1, 2 + 3)t Berechnung des Spatproduktes (x − p) · ((q − p) × (r − p)) n = (q − p) × (r − p) = (−1, 3, 7)t × (1, 1, 5)t = (8, 12, −4)t und 0 = (x − p) · n = 8(x1 − 2) + 12(x2 + 1) − 4(x3 + 3) , bzw. nach Division durch 4 E : 2x1 + 3x2 − x3 = 4 (ii) Schnittpunkt X: Einsetzen von x = (4, 5, 5)t + t(3, 1, 2)t (Punkt auf der Geraden) in die Ebenengleichung  2(4 + 3t) + 3(5 + t) − (5 + 2t) = 4

⇔

7t + 18 = 4 ,

d.h. t = −2 und x = (−2, 3, 1)t (iii) Winkel: Winkel α des Richtungsvektors d = (3, 1, 2)t der Geraden zum Normalenvektor n = (2, 3, −1)t  = cos ∠(n, d)

7 n · d 1 (2, 3, −1)t · (3, 1, 2)t =√ √ = , = t ||(3, 1, 2)t |  |(2, 3, −1) 2 14 14 |n||d|

d.h. α = π/3  Winkel zur Ebene: γ = π/2 − α = π/6 (falls α > π/2, γ = α − π/2)

156

9.15

9 Geraden und Ebenen

Perspektivische Projektion eines Würfels

Projezieren Sie die Eckpunkte des Würfels [0, 1]3 vom Blickpunkt V = (−1, 2, 3) auf die x1 x2 -Ebene. Geben Sie dazu zunächst eine Formel für die perspektivische Projektion auf eine beliebige Ebene E : x · n = d an. Verweise:

Hesse-Normalform einer Ebene

Lösungsskizze (i) Perspektivische Projektion P → Q ∈ E: Q ist der Schnittpunkt der Gerade g durch P und das Projektionszentrum V mit der Ebene E, d.h. für die Ortsvektoren gilt Q ∈ g ⇐⇒ q = v + t( p − v ),

Q ∈ E ⇐⇒ q · n = d

Einsetzen des Ausdrucks für q in die Ebenengleichung und Auflösen nach dem Geradenparameter t  t=

d − v · n , p · n − v · n

q = v +

d − v · n ( p − v ) p · n − v · n

(ii) Projektion der Würfelecken: Spezialisierung der Projektionsformel mit n = (0, 0, 1)t , d = 0, v = (−1, 2, 3)t ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ −1 p1 + 1 ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ q = ⎜ ⎝ 2 ⎠ − p3 − 3 ⎝ p 2 − 2 ⎠ 3 p3 − 3



Punkte in der x1 x2 -Ebene bleiben unverändert; also müssen nur die 4 Würfelecken P mit p3 = 1 projeziert werden. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 −1 0+1 1/2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ → ⎜ 2 ⎟ − 3 ⎜ 0 − 2 ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1−3⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 3 1−3 0 analog ⎛

1

⎞

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ → ⎜ −1 ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0

⎛

0

⎞

⎛

1/2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ → ⎜ 1/2 ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0

⎛

1

⎞

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ → ⎜ 1/2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0

157

9.16

Winkel zwischen Kanten und Flächen einer Pyramide

Bestimmen Sie die Winkel zwischen den Kanten und die Winkel zwischen den Flächen einer symmetrischen Pyramide mit Höhe 1 und quadratischer Grundfläche mit Seitenlänge 2. Verweise:

Schnitt zweier Ebenen, Winkel

Lösungsskizze (i) Wahl geeigneter Koordinaten:

A = (−1, −1, 0), B = (1, −1, 0) C = (1, 1, 0) S = (0, 0, 1),

M = (0, 0, 0), P = (0, −1, 0)

(ii) Winkel α = (BAS) zwischen AB und AS: −−→ −→ AB = (2, 0, 0)t , AS = (1, 1, 1)t  −−→ −→ √ AB · AS 2 cos α = −−→ −→ = √ = 3/3, 2 3 |AB| |AS| Winkelsumme im Dreieck =⇒ trivialerweise: (ABC) = π/2

√ α = arccos( 3/3) ≈ 0.9553

(ASB) = π − 2α ≈ 1.2310

(iii) Winkel β zwischen der Grund- und einer Seitenfläche: −−→ −−→ tan β = |M S|/|M P | = 1/1 = 1

=⇒

β = arctan(1) = π/4

(iv) Winkel γ zwischen den Dreiecken D1 = Δ(ABS) und D2 = Δ(BCS): Normalenvektoren der entsprechenden Flächen −−→ −→ n1 = AB × BS = (2, 0, 0)t × (−1, 1, 1)t = (0, −2, 2)t −−→ −→ n2 = BC × BS = (0, 2, 0)t × (−1, 1, 1)t = (2, 0, 2)t (D1 , D2 ) =  (n1 , n2 ) cos γ =



4 1 |n1 · n2 | √ = , = |n1 | |n2 | 2 (−2)2 + 22 8

γ = arccos(1/2) = π/3

158

9.17

9 Geraden und Ebenen

Schnittwinkel und Schnittgerade zweier Ebenen

Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Schnittgerade der Ebene E : x + y + 4z = 3 und der Ebene E  , die die Punkte P = (4, 1, 1), Q = (6, 5, −2) und den Ursprung enthält. Verweise:

Schnitt zweier Ebenen, Drei-Punkte-Form einer Ebene

Lösungsskizze (i) Gleichung der Ebene E  : Einsetzen von (0, 0, 0), P = (4, 1, 1), Q = (6, 5, −2) in die Drei-Punkte-Form 0 = [(x, y, z)t − 0, p − 0, q − 0]  ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ x x 4 −7 6 ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ E : 0 = ⎢ ⎣⎝ y ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 5 ⎠⎦ = ⎝ y ⎠ · ⎝ 14 ⎠ z z 1 14 −2    Spatprodukt

([u, v , w]  = u · (v × w))  Skalierung (Division durch 7)

 E  : −x + 2y + 2z = 0

(ii) Schnittwinkel: Normalenvektoren der Ebenen E : n = (1, 1, 4)t ,

E  : n = (−1, 2, 2)t

Schnittwinkel α: kleinerer der beiden Winkel zwischen n und n |(1, 1, 4)t · (−1, 2, 2)t | |n · n | 1 √ = cos α = =√   18 · 3 2 |n| |n |  α = π/4 (falls α > π/2, α ← π − α) (iii) Schnittgerade: Richtung u  n × n = (1, 1, 4)t × (−1, 2, 2)t = (−6, −6, 3)t wähle z.B. u = (−2, −2, 1)t Schnittpunkte erfüllen beide Ebenengleichungen x + y + 4z = 3, wähle z.B. (2, 1, 0)



−x + 2y + 2z = 0

Punkt-Richtungsform der Schnittgeraden g : (2, 1, 0)t + t(−2, −2, 1)t

10 Tests

Übersicht 10.1 10.2 10.3 10.4

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Vektor- und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Ergänzend zu den Tests in diesem Kapitel finden Sie unter dem Link unten auf der Seite eine interaktive Version dieser Tests als elektronisches Zusatzmaterial. Sie können dort Ihre Ergebnisse zu den Aufgaben in ein interaktives PDF-Dokument eintragen und erhalten unmittelbar eine Rückmeldung, ob die Resultate korrekt sind.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_11. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_11

160

10.1

10 Tests

Vektoren

Aufgabe 1: √ √ √ Stellen Sie (x, y, z) = (− 2, 2, 2 3) in Zylinder- und Kugelkoordinaten dar. Aufgabe 2: Zerlegen Sie den Vektor (0, 0, −1)t in Komponenten orthogonal und parallel zu der Ebene E : z = 1 − x. Aufgabe 3: Bestimmen Sie für die Punkte P1 = (−1, 0), den Punkt Q mit

3

q− k=1 (

P2 = (1, 0),

P3 = (0, 1)

pk )◦ = 0.

Aufgabe 4:

Stellen Sie den Vektor v als Linearkombi−→ −−→ nation der Vektoren CA und CB dar.

Aufgabe 5: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des grauen Quadrats, das entsteht, wenn man in einem Quadrat mit Seitenlänge 1 Eckpunkte mit Seitenmitten verbindet. Aufgabe 6: Stellen Sie den Vektor (0, 1, 2)t als Linearkombination der Vektoren (1, 1, 0)t , (1, 0, 1)t , (0, 1, 1)t dar. Aufgabe 7: Zeigen Sie (Strahlensatz) −→ −−→ AC  BD

=⇒

|OA| : |OB| = |AC| : |BD|

161 Lösungshinweise Aufgabe 1: Verwenden Sie die Umrechnungsformeln  = x2 + y 2 ϕ = arctan(y/x) + π  r = x2 + y 2 + z 2

für x < 0, y ≥ 0

ϑ = arccos(z/r) Aufgabe 2: Die zu E orthogonale Komponente v⊥ von v ist die Projektion von v auf einen Normalenvektor n von E, v · n n . v⊥ = n · n Die Differenz v − v⊥ ist orthogonal zu n und damit die Komponente von v parallel zu E. Aufgabe 3: Aufgrund der Symmetrie der Punktekonfiguration bzgl. der y-Achse ist Q = (0, y). 3 q − pk )◦ = (0, 0)t und Vergleich der zweiten Einsetzen in die Gleichung k=1 ( Komponente führt auf eine quadratische Gleichung für y. Aufgabe 4: −→ Stellen Sie v auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination der Vektoren CA −−→ und CB dar, entsprechend den Wegen CAS und CBS vom Pfeilende zur Pfeil−→ −−→ t − s −→ P Q + s+t P R, wenn X die spitze S von v . Benutzen Sie dabei, dass P X = s+t Strecke QR im Verhältnis s : t teilt. Vergleichen Sie dann die Koeffizienten der Linearkombination der Vektoren. Aufgabe 5: In der Abbildung sind drei ähnliche rechtwinklige Dreiecke (jeweils vierfach) erkennbar. Die Seitenlängen können, soweit sie nicht unmittelbar ersichtlich sind, mit Hilfe des Strahlensatzes durch die Seitenlänge s des grauen Qudrates ausgedrückt werden. Bestimmen Sie dann s mit dem Satz des Pythagoras. Aufgabe 6: Die Darstellung als Linearkombination, p = ru + sv + tw,  entspricht einem linearen Gleichungssystem für die Koeffizienten r, s, t (Vergleich der x-, y- und zKomponente), das für eine Basis {u, v , w}  eine eindeutige Lösung besitzt. Aufgabe 7: Machen Sie den Ansatz b = sa, d = tc und folgern Sie aus der Parallelität von c −a und d − b, dass s = t.

162

10.2

10 Tests

Skalarprodukt

Aufgabe 1: Welchen Winkel schließen die Vektoren (−4, −2, 6)t und (−5, 1, 4)t ein? Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten (0, 1), (3, 5), (4, −2). Aufgabe 3: Bestimmen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten A = (1, 0), B = (5, 3) und den Winkeln α = π/4, β = π/6 den dritten Eckpunkt C, wobei A, B, C entgegen dem −−→ Uhrzeigersinn angeordnet sind (C liegt bezogen auf die Pfeilrichtung AB links). Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Umkreis des gleichschenkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (1, 3), (3, 4), (2, 5). Aufgabe 5: Bestimmen Sie den Inkreis des rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (12, 0), (0, 5), (0, 0). Aufgabe 6: Bestimmen Sie die fehlenden Seitenlängen und Winkel für die Daten der gleichschenkligen Dreiecke in der Tabelle.

a=b c α=β Dreieck 1

3

Dreieck 2

3

Dreieck 3

γ

2 π/6 2

π/2

Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Berührpunkte der Tangente an die abgebildeten Kreise.

Aufgabe 8: Geben Sie einen zu u = (1, 2)t orthogonalen Vektor v mit v1 < 0 an, und stellen Sie (1, 1)t als Linearkombination der normierten Vektoren u◦ , v ◦ dar. Aufgabe 9: Bestimmen Sie den vierten Eckpunkt D des gleichschenkligen Trapezes mit den −−→ −−→ Eckpunkten A = (2, 1), B = (6, 5), C = (1, 4) und AB  CD und berechnen Sie den Flächeninhalt.

163 Lösungshinweise Aufgabe 1: Verwenden Sie die Formel cos (u, v ) = u · v /(|u||v |). Aufgabe 2: Verwenden Sie die Formeln für  die Länge einer Strecke AB: |AB| = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 den Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren u und v : ϕ = arccos(u · v )/(|u||v |) sowie dass die Winkelsumme eines Dreiecks gleich π ist. Aufgabe 3: −−→ Bestimmen Sie mit H dem Fußpunkt der zu AB orthogonalen Höhe zunächst mit Hilfe der Winkelangaben die Längen p = |HA|, q = |HB| (p + q = |AB|) und h = |HC|. Berechnen Sie dann −−→ −−→ −−→ c = a + AH + HC = a + pAB ◦ + hv ◦ −−→ mit v ◦ ⊥ AB ◦ . Aufgabe 4:  = a + Aufgrund von |AB| = |AC| ist der Ortsvektor des Umkreismittelpunkts m −−→ −→ s(AB + AC). Bestimmen Sie s und gleichzeitig den Radius r aus der Gleichung |m  − a|2 = r2 = |m  − b|2 . Aufgabe 5: Verwenden Sie für den Inkreisradius eines Dreiecks Δ die Formel r=

2 · Flächeninhalt Δ , Umfang Δ

und berücksichtigen Sie, dass der Mittelpunkt auf der ersten Winkelhalbierenden g : x = (s, s)t liegt. Aufgabe 6: Benutzen Sie für die verschiedenen Dreiecke die folgenden Sätze: Dreieck 1: Kosinus = Ankathete / Hypotenuse Dreieck 2: Sinussatz: c/a = sin γ/ sin α Dreieck 3: Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2 Aufgabe 7: Benutzen Sie die Ähnlichkeit der Dreiecke Δ(A, P, S) und Δ(B, Q, S) zur Bestimmung der Längen a and b, die sich zu 15 summieren. Berechnen Sie dann p1 mit dem Kathetensatz und anschließend p2 mit dem Satz des Pythagoras. Die Koordinaten von Q erhalten Sie mit Hilfe der Ähnlichkeit der Dreiecke.

164

10 Tests

Aufgabe 8: Der Koeffizient eines Vektors w  ◦ einer orthonormalen Basis in der Darstellung eines Vektors a ist a · w  ◦. Aufgabe 9: Bestimmen Sie zunächst die Projektion P des Punktes C auf AB: −→ −−→ −→ AC · AB −−→ −→ −−→ AP = −−→ −−→ AB, AP = QB . AB · AB −−→ −−→ −−→ −−→ Berechnen Sie dann d = b−QB+QD (QD = P C). −−→ −−→ Der Flächeninhalt des Trapezes ist |P C| (|AB| + −−→ |CD|)/2.

165

10.3

Vektor- und Spatprodukt

Aufgabe 1: Berechnen Sie für a = (2, −1, 2)t und b = (3, 0, 6)t u = a × b,

v = (a + b) × (a − b),

s = |(3a + 2b) × (2a + 3b)| .

Aufgabe 2: Ergänzen Sie die Vektoren u = (0, 1, 2)t , v = (3, −2, 1)t zu einer orthogonalen Basis B und bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors a = (1, −8, 9)t bzgl. B. Aufgabe 3: Berechnen Sie für die Vektoren a = (1, −1, 0)t , b = (0, −1, 1)t , c = (1, 1, 1)t (a × b) × (b × c),

(a × b) · ((c × b) × a) .

Aufgabe 4: Berechnen Sie für die Vektoren a = (1, −2, 3)t , b = (1, 0, 0)t , c = (3, −2, 1)t [a + 2b, 2b + 3c, 3b + 4c] . Aufgabe 5: Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des von den Vektoren (1, 0, 0)t , (1, 2, 0)t , (1, 3, 4)t aufgespannten Spats. Aufgabe 6: Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des Tetraeders mit den Eckpunkten (1, 1, 1), (3, 3, 2), (2, 3, 3), (3, 2, 3). Aufgabe 7: Bestimmen Sie eine orthogonale Basis für die von den Vektoren (2, 1, 0)t , (1, 3, 2)t aufgespannte Ebene durch den Ursprung. Aufgabe 8: Stellen Sie (5, 9, 7)t als Linearkombination der Vektoren (2, 3, 4)t , (1, 0, 1)t , (4, 3, 2)t dar.

166

10 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Das Vektorprodukt

⎛

a 2 b3 − a 3 b2

⎞

⎜ ⎟ ⎟ a × b = ⎜ ⎝ a 3 b1 − a 1 b3 ⎠ a 1 b2 − a 2 b1 ist linear in beiden Argumenten und antisymmetrisch, d.h. a ×b = b ×a, c ×c = 0. Aufgabe 2: Einen zu u und v orthogonalen Vektor w  erhalten Sie durch Bilden des Vektorpro duktes. Der Koeffizient eines Vektors b (b = u, v , w)  einer orthogonalen Basis in der Darstellung eines Vektors a ist a · b/b · b. Aufgabe 3: Verwenden Sie die Identitäten (a × b) × c = (a · c) b − (b · c) a (Grassmann)  = (a · c)(b · d)  − (a · d)(  b · c) (Lagrange) (a × b) · (c × d) Aufgabe 4: Das Spatprodukt [a, b, c] = a · (b × c) ist linear in jedem seiner drei Argumente, null bei zwei gleichen Argumenten und ändert bei Vertauschung von Argumenten sein Vorzeichen. Aufgabe 5: Das Volumen eines von den Vektoren u, v , w  aufgespannten Spats ist der Betrag ihres Spatprodukts, |[u, v , w]|.  Die Oberfläche eines Spats besteht aus 3 Paaren von Parallelogrammen, deren Flächeninhalt jeweils der Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren ist. Aufgabe 6: Das Volumen eines von den Vektoren u, v , w  (Differenzen der Eckpunkte) aufgespannten Tetraeders ist 1/6 des Betrags ihres Spatprodukts. Die Flächeninhalte der vier begrenzenden Dreiecke sind jeweils die halben Beträge der Vektorprodukte der aufspannenden Vektoren. Aufgabe 7: Orthogonalisieren Sie die aufspannenden Vektoren nach dem Gram-SchmidtVerfahren: v · u u . u, v → u, w  mit w  = v − · u  u  Projektion von  v auf  u

167 Aufgabe 8: Für eine Basis {u, v , w}  lassen sich die Koeffizienten einer Linearkombination x = ru + sv + tw  mit dem Spatprodukt berechnen: r=

[x, v , w]  , [u, v , w] 

s=

[x, u, w]  , [v , u, w] 

t=

[x, u, v ] . [w,  u, v ]

168

10.4

10 Tests

Geraden und Ebenen

Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Schnittpunkt P der Geraden ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −1 2 5 −4 ⎠ + s⎝ ⎠, h : ⎝ ⎠ + t⎝ ⎠. g: ⎝ 1 −1 −4 3

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes Q = (8, −9) von der Geraden g : (−2, −4)t + t(4, 3)t sowie den nächstgelegenen Punkt X. Aufgabe 3: Für welchen Wert des Parameters a haben die Geraden g : (0, 1, 0)t + s(2, −1, 3)t ,

h : (1, 0, 1)t + t(−3, 2, a)t

einen Schnittpunkt? Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Abstand d der Geraden g : (5, 8, 4)t + s(1, 2, 1)t ,

h : (6, 3, 7)t + t(2, 1, 2)t

sowie die nächstgelegenen Punkte X und Y . Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene, die die Punkte (3, 2, 1), (7, 3, 2), (7, 2, 0) enthält. Aufgabe 6: Bestimmen Sie eine orthogonale Basis für die Ebene E : x1 − x2 + x3 = 0. Aufgabe 7: Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes (4, 1, 9) von der Ebene E : 2x1 − x2 + 2x3 = −2 sowie den nächstgelegenen Punkt X. Aufgabe 8: Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Gerade g : (−6, 7, −2)t + t(2, −1, 1)t mit der Ebene E : x − 3y + 2z = 4.

169 Aufgabe 9: Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϕ der Ebenen E : x + y − 2z = 1, sowie die Schnittgerade g.

E  : −y + z = 3

170

10 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Lösen Sie das durch Gleichsetzen der Parametrisierungen entstehende lineare Gleichungssystem für die Geradenparameter s und t. Aufgabe 2: Für den Ortsvektor x = p + tu des Punktes X auf einer Geraden mit kürzestem Abstand d zu einem Punkt Q gilt (x − q) · u = 0. Aus dieser Gleichung lässt sich t und damit X bestimmen und dann d = |x − q| berechnen. Aufgabe 3: Durch Gleichsetzen der Parametrisierungen erhalten Sie 3 Gleichungen für s und t. Lösen Sie zwei der Gleichungen und prüfen Sie, ob die erhaltenen Werte konsistent mit der dritten Gleichung sind. Aufgabe 4: Der Abstand zweier windschiefer Geraden g : p + su, h : q + tv ist |( p − q) · n◦ |, n = p × q, und die Ortsvektoren der nächstgelegenen Punkte x, y erhalten Sie durch Lösen des linearen Gleichungssystems ( p + su −(q + tv )) · u = 0,        x

( p + su − (q + tv )) · v = 0 .

y 

Aufgabe 5: Die Normale einer Ebene E durch drei Punkte P, Q, R ist n = (q − p) × (r − p), und nach Normierung, n → n◦ = n/|n| erhält man die Hesse-Normalform E : x · σn◦ = p · σn◦ mit dem Vorzeichen σ ∈ {0, 1} so gewählt, dass die rechte Seite ≥ 0 ist. Aufgabe 6: Wählen Sie einen beliebigen Vektor u orthogonal zur Normalen n der Ebene und ergänzen ihn durch v = n × u zu einer orthogonalen Basis. Aufgabe 7: Machen Sie für den Ortsvektor des zu Q nächstgelegenen Punktes X den Ansatz x = q + tn mit n der Normale der Ebene, und bestimmen Sie t durch Einsetzen in die Ebenengleichung. Der Abstand ist |x − q|. Aufgabe 8: Durch Einsetzen der Parametrisierung x = p +tu der Gerade in die Ebenengleichung n · x = d erhalten Sie eine Gleichung für den Geradenparameter t und damit den Ortsvektor des Schnittpunktes s = p + tu.

171 Aufgabe 9: Der Schnittwinkel ϕ ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren n und n mit der Orientierung/dem Vorzeichen so gewählt, dass 0 ≤ ϕ ≤ π/2 (→ Betrag im Zähler der folgenden Formel): cos ϕ =

|n · n | . |n| |n |

Die Richtung u der Schnittgeraden ist parallel zu n × n . Einen Stützvektor p erhalten Sie durch simultanes Lösen beider Ebenengleichungen, wobei eine Koordinate von p beliebig gewählt werden kann.

Teil III Differentialrechnung

11 Polynome und rationale Funktionen

Übersicht 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11

Definitions- und Wertebereich einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Interpolation mit einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Parabelförmige Flugbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Kubische Interpolation äquidistanter Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Graphen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_12

176

11.1

11 Polynome und rationale Funktionen

Definitions- und Wertebereich einer Funktion

Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion  4 + 1/x . x → ln(2x3 − x) Verweise:

Funktion, Polynomdivision, Logarithmus

Lösungsskizze (i) Definitionsbereich D: Term 1/x  x = 0 Argument des Logarithmus positiv x(2x2 − 1) > 0

⇔



√ √ (x < 0 ∧ |x| < 1/ 2) ∨ (x > 0 ∧ |x| > 1/ 2)

√ √ d.h. x ∈ (−1/ 2, 0) ∪ (1/ 2, ∞) Nenner nicht Null  2x3 − x = 1 „= 1“ für x = 1 (2x3 − x − 1) : (x − 1) = 2x2 + 2x + 1 ohne reelle Nullstellen  keine weiteren Ausnahmepunkte insgesamt

√ √ D = (−1/ 2, −1/4] ∪ (1/ 2, 1) ∪ (1, ∞)

(ii) Wertebereich W : √ x ∈ (1/ 2, 1): 

4 + 1/x ∈

√

 5,

2x3 − x ∈ (0, 1),

4+

√

 2

ln(2x3 − x) ∈ (−∞, 0)

=⇒ y ∈ (−∞, 0) x ∈ (1, ∞): 

4 + 1/x ∈ (2,

√

2x3 − x ∈ (1, ∞),

5) ln(2x3 − x) ∈ (0, ∞)

=⇒ y ∈ (0, ∞) x = −1/4 ∈ D =⇒ y=0 √ (genauer Wertebereich für x ∈ (−1/ 2, −1/4] nicht mehr notwendig) insgesamt W = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) ∪ {0} = R

177

11.2

Reelle und komplexe Faktorisierung eines Polynoms

Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms p(x) = x3 − 5x2 + 7x + 13 sowie dessen reelle und komplexe Faktorisierung. Verweise:

Polynom, Polynomdivision, Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms

Lösungsskizze (i) Nullstellen: Raten der Nullstelle x1 = −1 p(−1) = (−1)3 − 5(−1)2 + 7(−1) + 13 = −1 − 5 − 7 + 13 = 0  Division durch den Linearfaktor x − x1 (x3 −5x2 +7x +13) : (x + 1) = x2 − 6x + 13 x3

+x2 −6x2 +7x +13 −6x2 −6x 13x +13 13x +13 0

Lösungsformel für quadratische Gleichungen, angewandt auf x2 − 6x + 13 = 0 x2,3 = 3 ±

√

9 − 13 = 3 ± 2i

(Nullstellen komplex konjugiert, da Koeffizienten von p reell) (ii) Faktorisierung: reell: p(x) = x3 − 5x2 + 7x + 13 = (x + 1)[x2 − 6x + 13] quadratische Ergänzung



[. . .] = (x − 3)2 + 4, d.h.

 p(x) = (x + 1) (x − 3)2 + 4 komplex: p(x) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = (x + 1)(x − 3 − 2i)(x − 3 + 2i)



178

11.3

11 Polynome und rationale Funktionen

Interpolation mit einer Parabel

Interpolieren Sie die Daten x

1 2 4

f −4 2 2 mit einem Polynom p vom Grad ≤ 2 und schätzen Sie den Funktionswert f (3). Um wieviel kann p(3) ≈ f (3) höchstens differieren, wenn die interpolierten Werte nur bis auf 1% genau sind? Verweise:

Polynom, Interpolation mit Polynomen

Lösungsskizze (i) Interpolation: Lagrange-Form der interpolierenden Parabel  x − xj fk qk (x), qk (x) = p(x) = xk − xj k

j =k

Einsetzen der konkreten Daten und Vereinfachung



x−1x−4 x−1x−2 x−2x−4 +2 +2 1−2 1−4 2−1 2−4 4−1 4−2 −4 2 2 2 2 = (x − 6x + 8) + (x − 5x + 4) + (x2 − 3x + 2) 3 −2 6 = −2x2 + 12x − 14

p(x) = (−4)

Auswerten bei x = 3

 f (3) ≈ p(3) = 4

(ii) Fehler: ungünstigste Vorzeichenverteilung

 |Δfk | |qk (3)| Δp(3) = k

Fehler der Funktionswerte |Δf1 | = |(−4)(1/100)| = 0.04,

|Δf2 | = |Δf3 | = |2(1/100)| = 0.02

Werte der Lagrange-Polynome  x − 2 x − 4  1 =− q1 (3) = 1 − 2 1 − 4 x=3 3 analog |q2 (3)| = 1, maximaler Fehler

|q3 (3)| =



|q1 (3)| =

1 3

Δp(3) = 0.04

1 1 + 0.02 + 0.02 = 0.04 3 3

1 3

179

11.4

Parabelförmige Flugbahn

Unter welchem Winkel muss ein Geschoss bei einer Startgeschwindigkeit von 900 km/h abgefeuert werden, um ein auf gleicher Höhe befindliches 1 km entferntes Ziel zu treffen? Bestimmen Sie für beide (!) Lösungen ebenfalls den höchsten Punkt der Flugbahn und die Flugzeit. Hinweis: Verwenden Sie als Erdbeschleunigung g = 10 m/s2 . Verweise:

Quadratische Funktion, Sinus und Kosinus, Additionstheoreme für Sinus und

Kosinus

Lösungsskizze Anpassung der Einheiten (km → m, h → s) 1 km = 1000 m,

900 km/h =

900 · 1000 m/s = 250 m/s 1 · 60 · 60

Zerlegung der Startgeschwindigkeit in eine horizontale (vx ) und vertikale (vy ) Komponente in Abhängigkeit von dem Abschusswinkel ϕ  Koordinaten der Bahnkurve als Funktion der Zeit t 

1 10 t2 m y(t) = 250 sin ϕ t −     2

x(t) = 250 cos ϕ t m,    vx

g

vy

(i) Abschusswinkel ϕ ∈ [0, π/2): ! x(t) = 1000 m =⇒ t = 1000/(250 cos ϕ) s = 4/ cos ϕ s und, da y(t) = 0 am zu treffenden Ziel, 4 −5 0 = 250 sin ϕ cos ϕ Additionstheorem sin ϕ cos ϕ = sin(2ϕ) =

4 25

1 2



4 cos ϕ

2

sin(2ϕ)

=⇒

ϕ1 =

⇔

0 = sin ϕ cos ϕ −

2 25

=⇒ 1 arcsin(4/25) ≈ 0.0803 2

und ϕ2 = π/2 − ϕ1 = 1.4905 aufgrund der Symmetrie des Sinus auf [0, π], d.h. da sin(2ϕ1 ) = sin(π − 2ϕ1 ) = sin(2ϕ2 ) (ii) Flugzeiten tk und höchste Punkte (xk , yk ) der Flugbahnen: Symmetrie der parabelförmigen Flugbahnen =⇒ x1 = x2 = 1000/2 = 500 m und 500 t1 = 250 cos(0.0803...) s ≈ 2.0065 s, x(t) t= s =⇒ 2 250 cos ϕ s ≈ 24.9194 s t2 = cos(1.4905...)

Flughöhen y(t) = (250 sin ϕk tk − 5t2k ) m

=⇒

y1 ≈ 20.1297 m, y2 ≈ 3104.8703 m

180

11 Polynome und rationale Funktionen

11.5

Kubische Interpolation äquidistanter Daten

Die Daten f (kh) können mit kubischen Polynomen interpoliert werden, um Funktionswerte an den Intervallmitten zu approximieren: f (kh + h/2) ≈ c0 f (kh − h) + c1 f (kh) + c2 f (kh + h) + c3 f (kh + 2h) . Bestimmen Sie die Koeffizienten cj und illustrieren Sie die wiederholte Anwendung des Interpolationsschemas für f (kh) = sin(kπ/3). Verweise:

Interpolation mit Polynomen

Lösungsskizze (i) Bestimmung der Koeffizienten: Symmetrie bezüglich des Intervalls [kh, kh + h] =⇒ exakte Interpolation der konstanten Funktion f (x) = 1 =⇒ nur c0 zu bestimmen, denn c1 = c2 = (1 − 2c0 )/2

c0 = c 3 , c 1 = c 2 3 =⇒ j=0 cj = 1

Darstellung des interpolierenden Polynoms p mit Lagrange-Polynomen qj multipliziert mit den Interpolationsdaten p(x) = f (kh − h)q0 (x) + f (kh)q1 (x) + f (kh + h)q2 (x) + f (kh + 2h)q3 (x) Einsetzen von x = kh + h/2 =⇒ c0 = q0 (kh + h/2) mit q0 dem kubischen Lagrange-Polynom, das bei x = x0 = kh − h den Wert 1 hat und bei kh, kh + h, kh + 2h null ist, d.h.  x − kh x − (kh + h) x − (kh + 2h)  c0 = q0 (kh + h/2) = x0 − kh x0 − (kh + h) x0 − (kh + 2h) x=kh+h/2 =

1 1/2 −1/2 −3/2 =− −1 −2 −3 16

und c3 = −1/16, c1 = c2 = (1 − (−2/16))/2 = 9/16 (ii) Wiederholte Interpolation für Daten der Sinus-Funktion: 3 sukzessive Interpolationen der Daten sin(kh), h = π/3  Approximationen für sin(kπ/24) mit sehr guter Übereinstimmung sehr einfache Methode zur Generierung zusätzlicher Daten für glatte Funktionen

181

11.6

Graphen rationaler Funktionen

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen a) r(x) = Verweise:

x+4 (x − 3)2 (x + 5)

b) r(x) =

(x − 3)2 (x + 4)(x − 5)

Rationale Funktion

Lösungsskizze a) (x + 4)(x − 3)−2 (x + 5)−1 : einfache Nullstelle x = −4 (Vorzeichenwechsel), Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = 4/45 doppelter Pol bei x = 3 (kein Vorzeichenwechsel), einfacher Pol bei x = −5 (Vorzeichenwechsel) negativ für −5 < x < −4, sonst positiv y → 0 für x → ±∞ 0.5

0

−0.5 −6 −4 −2

0

2

4

6

8

b) (x − 3)2 (x + 4)−1 (x − 5)−1 : doppelte Nullstelle x = 3 (kein Vorzeichenwechsel), Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = −9/20 einfache Pole bei x = −4 und x = 5 (jeweils ein Vorzeichenwechsel) negativ für −4 < x < 5, sonst positiv y → 1 für x → ±∞, y = 1 ⇔ x = 29/5 = 5.8 4 2 0 −2 −20

−10

0

10

20

182

11 Polynome und rationale Funktionen

11.7

Definitionslücken und irreduzible Darstellung einer rationalen Funktion

Untersuchen Sie, ob die Definitionslücken der rationalen Funktion r(x) =

x4 − 2x3 + 2x − 1 2x4 − 3x3 + x

hebbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die irreduzible Darstellung. Verweise:

Rationale Funktion, Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms

Lösungsskizze (i) Definitionslücken: Nullstellen des Nenners q(x) = 2x4 − 3x3 + x: x1 = 0 (offensichtlich), x2 = 1 (geraten) Bestimmung der restlichen Nullstellen: Division durch (x − x1 )(x − x2 ) = x2 − x ( 2x4 − 3x3 + 0x2 + x ) : ( x2 − x ) = 2x2 − x − 1 2x4 − 2x3 − x3 + 0x2 − x 3 + x2 − x2 + x Lösen der quadratischen Gleichung 0 = x2 − x/2 − 1/2 = (x − x3 )(x − x4 )   x3,4 = 1/4 ± 1/16 + 1/2 = 1/4 ± 3/4, x3 = 1 (doppelt), x4 = −1/2 (ii) Hebbarkeit: xk hebbar ⇔ xk Nullstelle des Zählers p(x) = x4 − 2x3 + 2x − 1 von mindestens der gleichen Ordnung p(0) = −1 = 0, p(−1/2) = 1/16 + 1/4 − 1 − 1 = 0 =⇒ x1 = 0, x4 = −1/2 nicht hebbar (einfache Polstellen) p(1) = 0, p (1) = (4x3 − 6x2 + 2)|x=1 = 0 (doppelte Nullstelle) =⇒ x2,3 = 1 hebbar (stetige Ergänzung möglich) (iii) Irreduzible Darstellung: Division von p(x) und q(x) durch das Produkt (x−1)2 der Linearfaktoren zu x2,3 = 1 ( x4 − 2x3 + 0x2 + 2x − 1 ) : ( x2 − 2x + 1 ) = x2 − 1 x4 − 2x3 + x2 − x2 + 2x − 1 q(x) = 2(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) =⇒ 

(Faktor 2 = höchster Koeffizient)

q(x) : (x2 − 2x + 1) = 2(x − x1 )(x − x4 ) = 2x(x + 1/2)

irreduzible Darstellung r(x) = (x2 − 1)/(2x2 + x) und r(1) = 0

183

11.8

Partialbruchzerlegung einfacher Ausdrücke

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegungen von a) Verweise:

x3

2 − 4x

b)

x3

1 + 4x2

c)

x3

4 + 2x

Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze a) 2/(x3 − 4x): einfache Polstellen x = 0, −2, 2



Ansatz

2 a b c = + + x(x + 2)(x − 2) x x+2 x−2 

Multiplikation mit x und Setzen von x = 0

2 1 = a + 0, d.h. a = − (0 + 2)(0 − 2) 2 analog für ∗(x + 2), x = −2 und ∗(x − 2), x = 2 b=

1 2 = , (−2)(−2 − 2) 4



c=

2 1 = 2(2 + 2) 4

b) 1/(x3 + 4x2 ): doppelte Polstelle x = 0 und einfache Polstelle x = −4:



Ansatz

1 a b c = + 2+ + 4) x x x+4

x2 (x

Multiplikation mit dem Hauptnenner



1 = ax(x + 4) + b(x + 4) + cx2 Vergleich der Koeffizienten von 1, x und x2 1 = 4b,



0 = 4a + b,

0=a+c

mit der Lösung b = 1/4, a = −1/16, c = 1/16 c) 4/(x3 + 2x): √ einfache Polstelle x = 0 und komplex konjugierte Polstellen x = ±i 2 satz (reelle Form) a b + cx 4 = + 2 2 x(x + 2) x x +2 Multiplikation mit x und Setzen von x = 0  a = 2 und 2 2x 4 − =− 2 + 2) x x +2

x(x2



b = 0, c = −2

komplexe Zerlegung (Berechnung analog zu a)) 4 1 2 1 √ √ = − √ − √ x x+i 2 x−i 2 x(x + i 2)(x − i 2)



An-

184

11.9

11 Polynome und rationale Funktionen

Partialbruchzerlegung, Grad (4, 2)

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von r(x) = Verweise:

x2

x4 . + 2x − 3

Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze (i) Ansatz: Lösungsformel für die quadratische Gleichung x2 + 2x − 3 = 0  Polstellen  x1,2 = −1 ± 12 + 3, x1 = −3, x2 = 1 Zählergrad = Nennergrad + 2  quadratische Aysmptote p Summe von Asymptote p und Termen q zu Polstellen  Ansatz r(x) =

e d x4 = ax2 +bx + c + + (x + 3)(x − 1)  x + 3 x − 1   p(x)

q(x)

(ii) Polynomdivision zur Bestimmung von p und q:

 x4 : (x2 + 2x − 3) = x2 − 2x + 7 +



−20x + 21 x2 + 2x − 3

 = p(x) + q(x)

x4 + 2x3 − 3x2 − 2x3 + 3x2 − 2x3 − 4x2 + 6x 7x2 − 6x 7x2 + 14x − 21 − 20x + 21 (Rest)  Koeffizienten von p: a = 1, b = −2, c = 7 (iii) Grenzwertmethode zur Bestimmung der Koeffizienten der Polstellen: Multiplikation von 21 − 20x d e = + (x + 3)(x − 1) x+3 x−1 mit (x + 3) und Setzen von x = −3

=⇒

21 − 20(−3) = d + 0, −3 − 1

d.h. d = −81/4

analog: ∗(x − 1), x = 1 =⇒ e = 21−20 1+3 = 1/4  Koeffizienten von q: d = −81/4, e = 1/4 Alternative Lösung direkte Anwendung der Grenzwertmethode auf den Ansatz z.B.: ∗(x + 3), x = −3 =⇒ 81/(−4) = p(−3) · 0 + d + e · 0/(−4)



185

11.10

Reelle Partialbruchzerlegung, Grad (4, 3)

Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = Verweise:

x4 − 2x3 + 5x2 − 9x − 5 . x3 − x2 + 4x − 4

Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze (i) Bestimmung des Ansatzes: Zählergrad = Nennergrad + 1



lineare Asymptote

r(x) = ax + b +

p(x) q(x)

mit Grad p < Grad q Nullstellen von q  Polstellen von r Raten der Nullstelle x = 1 Polynomdivision, q(x)/(x − 1)  (x3 −x2 +4x −4) : (x − 1) = x2 + 4 x3 −x2 0 +4x −4 4x −4 0 und q(x) = (x − 1)(x2 + 4) (x = 1 einzige reelle Nullstelle)  Ansatz r(x) =

x4 − 2x3 + 5x2 − 9x − 5 c dx + e = ax + b + + 2 2 (x − 1)(x + 4) x−1 x +4

(ii) Berechnung der Koeffizienten: Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner q



x4 − 2x3 + 5x2 − 9x − 5 = (ax + b)(x − 1)(x2 + 4) + c(x2 + 4) + (dx + e)(x − 1) Vergleich der Koeffizienten von xk x4 :

1 = a

x3 : −2 = −a + b x2 :

5 = 4a − b + c + d

x : −9 = −4a + 4b − d + e 1 : −5 = −4b + 4c − e

186

11 Polynome und rationale Funktionen

erste und zweite Gleichung =⇒ a = 1, b = −1 Auflösen der dritten und fünften Gleichung nach d bzw. e d = −c, Einsetzen in die vierte Gleichung



e = 9 + 4c



−9 = −4 − 4 + c + (9 + 4c)

⇔

c = −2

und somit d = 2, e = 1 insgesamt

x4 − 2x3 + 5x2 − 9x − 5 2 2x + 1 =x−1− + (x − 1)(x2 + 4) x − 1 x2 + 4

Alternative Lösung Anwendung der Grenzwertmethode Divsion des Ansatzes durch x und Bilden des Grenzwertes für x → ∞ 1=a+0+0+0 Multiplikation des Ansatzes mit (x − 1) und Setzen von x = 1 1−2+5−9−5 =0+0+c+0 1+4 Subtraktion der berechneten Terme r(x) − x +

−x2 + 2x − 3 dx + e 2 = =b+ 2 x−1 x2 + 4 x +4

 −

x = −1

=⇒

c = −2



erneute Anwendung der Grenzwertmethode Bilden des Grenzwertes für x → ∞ =⇒ geeignete Punktproben x=0 =⇒

⇔

=⇒

b = −1

restliche Koeffizienten e 3 = −1 + 4 4

⇔

−d + 1 −1 − 2 − 3 = −1 + 1+4 1+4

e=1 ⇔

d=2

Übereinstimmung mit den Werten bei Koeffizientenvergleich



=⇒

187

Komplexe Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)

11.11

Bestimmen Sie die komplexe Partialbruchzerlegung von r(z) = Verweise:

2z 3 + 3z 2 − 4z − 5 . (z − 2)2 (z 2 + 1)

Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze z 2 + 1 = (z − i)(z + i)



Ansatz

2z 3 + 3z 2 − 4z − 5 a b d c = + + + (z − 2)2 (z 2 + 1) z − 2 (z − 2)2 z−i z+i (d = c¯, da die Terme zu den Polen ±i komplex konjugiert sind) Anwendung der Grenzwertmethode Multiplikation mit (z − 2)2 und Setzen von z = 2 b=

16 + 12 − 8 − 5 =3 4+1

Multiplikation mit (z − i) und Setzen von z = i c=





−8 − 6i −2i − 3 − 4i − 5 = = −1 (i − 2)2 (i + i) (−1 − 4i + 4)(2i)    =3−4i

und d = c¯ = −1 Zerlegung bis auf einen Term bestimmt a 3 1 1 2z 3 + 3z 2 − 4z − 5 = + − − (z − 2)2 (z 2 + 1) z − 2 (z − 2)2 z−i z+i 

Punktprobe mit z = 0 −

a 3 1 1 5 =− + + − 4 2 4 i i

⇔

a=4

insgesamt r(z) =

3 1 1 4 + − − z − 2 (z − 2)2 z−i z+i

Alternative Lösung Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner (z − 2)2 (z 2 + 1) und Koeffizientenvergleich in der resultierenden Identität 2z 3 + 3z 2 − 4z − 5 = a(z − 2)(z 2 + 1) + b(z 2 + 1)   + c(z − 2)2 (z + i) + d(z − 2)2 (z − i) Berücksichtigung von c = u + iv = d¯

=⇒

[. . .] = (z − 2)2 (2uz − 2v)

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Übersicht 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12

Rentenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Vergleich von Darlehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Rechnen mit Potenzen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Vereinfachen von Exponentialausdrücken und Logarithmen . . . . . . . . . . 193 Parameterbestimmung in einem Wachstumsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Gleichungen mit Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Kosinus und Sinus spezieller Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Umwandlung trigonometrischer Polynome  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Funktionsterm einer harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Überlagerung harmonischer Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_13

190

12.1

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Rentenberechnung

Wie hoch ist das angesparte Kapital nach 40 Jahren bei Einzahlungen von 200 EUR an jedem Monatsersten, monatlicher Verzinsung und 4% effektivem Jahreszins? Welche Rente, wiederum zum Monatsersten, kann über einen Zeitraum von 20 Jahren gezahlt werden? Verweise:

Exponentialfunktion

Lösungsskizze Umrechnung: effektiver Jahreszins → monatlicher Zins 1 + pj = (1 + pm )12 pj = 4/100



monatlicher Zinsfaktor q = 1 + pm = 1.041/12 ≈ 1.0033

(i) Einzahlungen monatlicher Beträge z: Kapital nach einem Monat

:

zq

Kapital nach zwei Monaten

:

zq 2 + zq

... Kapital nach n Monaten

:

zq n + · · · + zq = zq [(q n − 1)/(q − 1)]

aufgrund der Formel für eine geometrische Summe ( Einsetzen von z = 200, n = 40 · 12 = 480 y = 200 · 1.041/12



n−1 k=0

q k = [. . .])

Endkapital

1.0440 − 1 ≈ 232973 1.041/12 − 1

(ii) Auszahlungen monatlicher Renten r: Kapital nach einem Monat

:

(y − r)q

Kapital nach zwei Monaten

:

((y − r)q − r)q

... Kapital nach n Monaten

:

yq n − rq(q n − 1)/(q − 1)

kein Restkapital nach n Monaten =⇒ 

& q n − q n−1 qn − 1 n =y q r = yq q−1 qn − 1 Einsetzen von y = 232973, n = 20 · 12 = 240 r = 232973 ·



1.0420 − 1.04239/12 ≈ 1398 1.0420 − 1

191

12.2

Vergleich von Darlehen

Bestimmen Sie jeweils die Gesamtsumme der monatlichen Raten für einen Auszahlungsbetrag von 100000 EUR bei Darlehen mit 30-jähriger Laufzeit zu folgenden Konditionen. a) 90 % Auszahlung (10 % Disagio), jährliche Verzinsung mit 4 % b) monatliche Verzinsung mit 5 % effektivem Jahreszins, kein Disagio Verweise:

Exponentialfunktion

Lösungsskizze a) Jährliche Rate bei Disagio: 10 % Disagio, Auszahlung von 100000 EUR x = 100000 ·



Darlehensbetrag

10 9

Darlehensrestbetrag xn nach n Jahren bei Zinsfaktor q = 1 + 4/100 und jährlicher Rate r (=  12 Monatsraten) x1 = xq − r x2 = (xq − r)q − r = xq 2 − r(1 + q) ··· xn = xq n − r(1 + q + · · · + q n−1 ) = xq n − r 0 = x30



qn − 1 q−1

jährliche Rate bei 30 Jahren Laufzeit r=x

q 30 (q − 1) 10 1.0430 · 0.04 = 100000 · · ≈ 7140 30 q −1 9 1.0430 − 1

Gesamtsumme der Rückzahlungen: 30r ≈ 214200 b) Monatliche Rate bei vollständiger Auszahlung: 5 % Effektivzins (=  Zinsfaktor 1.05)  monatlicher Zinsfaktor q = 1.051/12 ≈ 1.00407 Darlehensrestbetrag xm nach m Monaten (analog zu a)) xm = xq m − r 

qm − 1 , q−1

x = 100000

Rate bei 30 Jahren Laufzeit (m = 30 · 12 = 360) r =x·

q 360 (q − 1) ≈ 530 q 360 − 1

Gesamtsumme der Rückzahlungen: 360r ≈ 190800

192

12.3

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Rechnen mit Potenzen und Logarithmen

Bestimmen Sie die Lösungen x folgender Gleichungen.

3 x 2x √ a) e 2 = 4x/2 /e4 b) ln x + log2 x3 = 1 − log1/2 x2 Verweise:

Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen

Lösungsskizze

x a) e3 22x = 4x/2 /e4 : Anwendung des (natürlichen) Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung unter Benutzung der Regeln ln ab = b ln a,

ln(ab) = ln a + ln b,

ln(a/b) = ln a − ln b

 x  ln e3 +2x ln 2 = (x/2) ln 4 − 4 3 2

ln 4 = ln 2 = 2 ln 2



3x + 2x ln 2 = x ln 2 − 4, d.h. x = −

4 ≈ −1.0831 3 + ln 2

Alternative Lösung Zusammenfassen von Potenzen gemäß ax bx = (ab)x

3 2 −1/2 x 4  = e−4 e 2 



2e3

und nach Logarithmieren x ln(2e3 ) = −4

⇔

x(ln 2 + 3) = −4



√ b) ln x + log2 x3 = 1 − log1/2 x2 Umrechnung der Logarithmen mit loga b = ln b/ ln a  



√ ln x + ln x3 / ln 2 = 1 − ln x2 / ln(1/2) ln ab = b ln a, ln(1/a) = − ln a



(ln x)/2 + 3(ln x)/(ln 2) = 1 + 2(ln x)/(ln 2) Anwendung der Exponentialfunktion unter Benutzung von ea+b = ea eb , eab = (ea )b  x1/2 x3/ ln 2 = e x2/ ln 2 ⇔ x1/2+1/ ln 2 = e Auflösen nach x, 1/2 + 1/ ln 2 = (2 + ln 2)/(2 ln 2)



x = e(2 ln 2)/(2+ln 2) = 22/(2+ln 2) = 41/(2+ln 2) ≈ 1.6732

193

12.4

Vereinfachen von Exponentialausdrücken und Logarithmen

Vereinfachen Sie a) eln

√

x

Verweise:

√

e

√ b) ln( e e2 ) + ln(2/e3 )

ln x

c) log(e2 ) ln(10/x)

d) 8ld(x

2

) log4 2x

Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen

Lösungsskizze √ √ ln x a) eln x e : √ √ eln a = a =⇒ eln x = x =⇒ (ea )b = eab √

e

ln x

= (e1/2 )ln x = e(1/2) ln x = (eln x )1/2 = x1/2

√ 1/2 Bilden des Produkts  xx =x √ 2 b) ln( e e ) + ln(2/e3 ): ln a + ln b = ln(ab), ea eb = ea+b  √ ln( e e2 · 2/e3 ) = ln(2 e1/2 e2 e−3 ) = ln(2 e−1/2 ) = ln 2 + ln e−1/2 

ln ea = a

ln 2 − 1/2

c) log(e2 ) ln(10/x): =⇒ log(e2 ) = 2 log e log(ab ) = b log a Umrechnungsformel (log: Basis 10 ↔ ln: Basis e) log e ln a = log a



2 log e ln(10/x) = 2 log(10/x) log(a/b) = log a − log b, log 10 = 1



2 (log 10 − log x) = 2 (1 − log x) = 2 − log(x2 ) 2

x

d) 8ld(x ) log4 2 : Exponent b = ld(x2 ) log4 2x = 2 ld x log4 4x/2 = 2 ld x (x/2) = x ld x ld: Basis 2



8ld a = 23 ld a = a3 , d.h. 8b = 8x ld x = (8ld x )x = (x3 )x = x3x

194

12.5

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Parameterbestimmung in einem Wachstumsmodell

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl f der Fische in einem See, die durch f (t) = a − b e−rt (t in Jahren) modelliert wird. t 2000 2010 2020 f

100

300

400

Bestimmen Sie die Parameter a, b, r sowie die erwartete Anzahl von Fischen im Jahr 2030. Verweise:

Exponentialfunktion, Logarithmus

Lösungsskizze Einsetzen des zweiten Datenpaares (t, f ) = (2010, 300)



300 = a − b e−2010 r Vereinfachung durch Einführen der neuen Parameter c = b e−2000 r , x = e−10 r (2) 300 = a − c x und analogen Gleichungen basierend auf den anderen Datenpaaren (1) 100 = a − c (3) 400 = a − c e−20 r = a − c x2 Elimination von a durch Subtraktion  (2) − (1) :

200 = c − c x,

(3) − (2) :



100 = c x − c x2

und nach Division dieser Gleichungen 2=

1−x x − x2

⇐⇒

2x2 − 3x + 1

mit den Lösungen x1 = 1/2, x2 = 1 (nicht sinnvoll; Teilen durch 0 im vorigen Schritt) Einsetzen der zulässigen Lösung x = 1/2 in die Gleichungen (2)−(1) und (1)  200 = c − c/2, d.h. c = 400,

100 = a − 400, d.h. a = 500

Umrechnung in die ursprünglichen Parameter x = e−10r c = b e−2000 r 

=⇒ =⇒

r = −(ln x)/10 = (ln 2)/10 b = c e2000 r = 400 e200 ln 2 = 400 · 2200

f (t) = 500 − 400 · 2200 e−t(ln 2)/10 = 500 − 400 · 2200−t/10

Erwarteter Bestand für t = 2030 f (2030) = 500 − 400 · 2200−203 = 500 − 400/8 = 450

195

12.6

Gleichungen mit Exponentialfunktionen

Lösen Sie a) Verweise:

ex + 3e−x =1 2ex + e−x

b) 4 cosh x + sinh x = 8

c)

ex = 3 sinh x

Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen

Lösungsskizze ex + 3e−x = 1: a) 2ex + e−x Multiplikation mit dem Nenner sowie mit ex e2x + 3 = 2e2x + 1

 d.h. e2x = 2

mit der Lösung x = (ln 2)/2 ≈ 0.3466 b) 4 cosh x + sinh x = 8 Einsetzen der Definitionen der Hyperbelfunktionen cosh x = und Multiplikation mit 2

ex + e−x , 2

ex − e−x 2

sinh x =



16 = 4ex + 4e−x + ex − e−x = 5ex + 3e−x Substitution y = ex , e−x = 1/y



16 = 5y + 3/y

quadratische Gleichung ⇐⇒

5y 2 − 16y + 3 = 0

mit den Lösungen y1,2 =

16 ±

√

162 − 4 · 5 · 3 16 ± 14 = , 2·5 10

Rücksubstitution x = ln y

d.h. y1 = 3, y2 = 1/5



x1 = ln 3 ≈ 1.0986,

x2 = ln(1/5) = − ln 5 ≈ −1.6094

c) ex = 3 sinh x: Einsetzen der Definition sinh x = (ex − e−x )/2 ex = 3(ex − e−x )/2

⇐⇒

 3e−x = ex

bzw. nach Logarithmieren ln 3 − x = x

=⇒

x = (ln 3)/2 ≈ 0.5493

196

12.7

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Radioaktiver Zerfall

Bestimmen Sie aus den Messwerten m(40) = 120,

m(60) = 24

der Massen m(t) einer radioaktiven Substanz die Halbwertszeit sowie die Massen zu den Zeiten t = 0 und t = 100. Verweise:

Exponentialfunktion, Logarithmus

Lösungsskizze Zerfallsgesetz m(t) = M e−λt ,



gemessene Massen für t = 40 und t = 60 120 = M e−40λ , Elimination von M durch Division

M = m(0)

24 = M e−60λ



Berechnung von λ

120/24 = e(60−40)λ 5 = e20λ ln 5 = 20λ λ = ln 5 / 20 ≈ 0.08047 Einsetzen in eine der beiden Ausgangsgleichungen 120 = M e−40 ln 5 / 20 = M 5−40/20 ,



M = 120 · 52 = 3000

Halbwertszeit T e−λT = 1/2



−(ln 5 / 20) T = ln(1/2) = − ln 2    λ

d.h. T = 20 ln 2 / ln 5 ≈ 8.6135,

m(t) = 2−t/T

Masse für t = 100 m(100) = 3000 e−100(ln 5 / 20) = 3000 · 5−5 =

24 25

197

12.8

Kosinus und Sinus spezieller Winkel

Finden Sie, analog zu cos(π/4) = sin(π/4) = cos(π/8), sin(π/8) und tan(π/8) . Verweise:



1/2, explizite Ausdrücke für

Formel von Euler-Moivre, Gaußsche Zahlenebene

Lösungsskizze (i) Kosinus und Sinus: betrache zu Winkeln ϕ entsprechende Zahlen eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

(Formel von Euler-Moivre)

auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene π/8 = (0 + π/4)/2 =⇒ √ eiπ/8  ei·0 + eiπ/4 = 1 + (1 + i)/ 2 Normierung (|eiϕ | = 1)

 eiπ/8 = 

√ √ 1 + 1/ 2 + i/ 2 √ √ (1 + 1/ 2)2 + (1/ 2)2

Vereinfachung der Wurzel im Nenner   √ √  √ Nenner = 1 + 2/ 2 + 1/2 + 1/2 = 2 1 + 1/ 2 Formel von Euler-Moivre

=⇒  √  √ 1 + 1/ 2 2+ 2 1 + 1/ 2 √ = = = Nenner 2 2 √

cos(π/8) = Re eiπ/8 analog: sin(π/8) = Im eiπ/8 alternativ: sin(π/8) =



 1−

cos2 (π/8)

=

1 − (2 +

√

 2)/4 =

(ii) Tangens:

Erweitern mit



 √ sin(π/8) 2− 2 tan(π/8) = = √ cos(π/8) 2+ 2 2−

√

2 und dritte binomische Formel  √ √ 2− 2 √ 2− 2 √ = 2−1 = √ 4−2 2

2− 2

√

2

198

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

12.9

Umwandlung trigonometrischer Polynome 

Schreiben Sie sin(3t) cos2 (2t) sowohl als Polynom in sin t und cos t als auch als Linearkombination von sin(kt) und cos(kt). Verweise:

Formel von Euler-Moivre, Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Lösungsskizze (i) Polynom in sin t und cos t: Additionstheoreme sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α,

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Anwendung mit (α, β) = (2t, t), (t, t) sin(3t) = sin(2t) cos t + sin t cos(2t) = 2 sin t cos t cos t + sin t(cos2 t − sin2 t) = 3 sin t cos2 t − sin3 t cos2 (2t) = (cos2 t − sin2 t)2 = cos4 t − 2 cos2 t sin2 t + sin4 t Multiplikation der Ausdrücke



sin(3t) cos2 (2t) = 3 sin t cos6 t − 7 sin3 t cos4 t + 5 sin5 t cos2 t − sin7 t keine eindeutige Darstellung wegen cos2 t = 1 − sin2 t (ii) Linearkombination von sin(kt) und cos(kt): Formel von Euler-Moivre cos ϕ = 

 1 iϕ e + e−iϕ , 2

sin ϕ =

 1 iϕ e − e−iϕ 2i

komplexe Form des Ausdrucks sin(3t) cos2 (2t) 1 2i



2 e3it − e−3it · 14 e2it + e−2it

3it   1 e − e−3it · e4it + 2 + e−4it = 8i

7it  1 = 8i e + 2e3it + e−it − eit − 2e−3it − e−7it

Rückumwandlung der komplex konjugierten Terme



1 1 1 sin(3t) cos2 (2t) = − sin(t) + sin(3t) + sin(7t) 4 2 4

199

12.10

Trigonometrische Gleichungen

Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen auf den angegebenen Intervallen. a) 2 cos t − cos2 t = cos(2t), t ∈ [0, 2π) b) tan t + cot t = 4, t ∈ (−π/2, π/2) Verweise:

Sinus und Kosinus, Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Lösungsskizze a) 2 cos t − cos2 t = cos(2t), t ∈ [0, 2π): cos(2t) = cos2 t − sin2 t = cos2 t − (1 − cos2 t) = 2 cos2 t − 1 Einsetzen  quadratische Gleichung für c = cos t: 2c − c2 = 2c2 − 1 



⇐⇒

mögliche Werte für c = cos t  2 ± 22 − 4 · (−1) · 3 , c1,2 = 2·3

3c2 − 2c − 1 = 0

c1 = 1, c2 = −1/3

3 Lösungen tk cos t = 1 =⇒ t1 = 0 cos t = −1/3 =⇒ t2 = arccos(−1/3) ≈ 1.9106 ∈ [0, π] (Wertebereich des Arkuskosinus) und aufgrund der Symmetrie des Kosinus t3 = 2π − t2 ≈ 4.3726

b) tan t + cot t = 4 t ∈ (−π/2, π/2): tan = sin / cos, cot = cos / sin, Multiplikation mit cos t sin t 2 + cos2 t = 4 sin t cos t = 2 sin(2t) sin t 

⇐⇒



sin(2t) = 1/2

=1

sin ϕ = sin(π − ϕ)



2 Lösungen

2t1 = arcsin(1/2) = π/6,

2t2 = π − 2t1 = 5π/6 ,

d.h. t1 = π/12 ≈ 0.2618, t2 = 5π/12 ≈ 1.3090

200

12 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

12.11

Funktionsterm einer harmonischen Schwingung

Bestimmen Sie den Funktionsterm für den abgebildeten Graphen einer harmonischen Schwingung.

Verweise:

Harmonische Schwingung

Lösungsskizze Harmonische Schwingung f (t) = a + c cos(ω(t − δ)) Verschiebung a: mittlerer Funktionswert, d.h. a=

maxt f (t) + mint f (t) 2



a=

5+1 =3 2

Amplitude c: halbe Differenz von Maximum und Minimum, d.h. 2c = max f (t) − min f (t) t

t



c=

5−1 =2 2

Periode T : Differenz der Abszissen zweier benachbarter Maxima oder Minima  T =3−1=2 Frequenz ω: ω = 2π/T



ω = 2π/2 = π

Phase δ: Abszisse eines Maximums, z.B. δ = 1 =⇒

f (t) = 3 + 2 cos(π(t − 1))

keine eindeutige Darstellung, äquivalente Funktionsterme: f (t) = 3 − 2 cos(πt), f (t) = 3 + 2 sin(π(t − 1/2)), etc.

201

12.12

Überlagerung harmonischer Schwingungen

Bestimmen Sie Amplitude und Phase der harmonischen Schwingung √ 3 cos(4t) + 2 cos(4t − π/3) + sin(4t) . Verweise:

Harmonische Schwingung, Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Lösungsskizze Additionstheorem für den Kosinus

=⇒

cos(ωt − δ) = cos(δ) cos(ωt) + sin(δ) sin(ωt) √ und mit ω = 4, δ = π/3 sowie cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = 3/2 √ 2 cos(4t − π/3) = cos(4t) + 3 sin(4t) Addition zu den anderen Termen  √ √ x(t) = (1 + 3) cos(4t) + (1 + 3) sin(4t)       a=c cos δ

b=c sin δ

 √ √ √ √ √ Amplitude: c = a2 + b2 = (1 + 3)2 + (1 + 3)2 = (1 + 3) 2 Phase: δ = arctan(b/a) + σπ = arctan(1) = π/4 (σ = 0, da a ≥ 0)  harmonische Schwingung √ √  2 + 6 cos(4t − π/4) x(t) = Alternative Lösung Anwendung der komplexen Methode Formel von Euler-Moivre, eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ,

cos ϕ = Re eiϕ ,

sowie sin(4t) = cos(4t − π/2)  √  3 ei 4t + 2 ei (4t−π/3) + ei (4t−π/2) x(t) = Re Ausklammern von ei 4t  Faktor √ √ √ z = 3 + 2e−i π/3 + e−i π/2 = 3 + (1 − 3i) − i = c e−i δ mit √ √ √ √ √ c = | (1 + 3)(1 − i) | = (1 + 3) 2 = 2 + 6    z

δ = − arg z = − arg (1 − i) = π/4 

harmonische Schwingung   √ √  

2 + 6 cos(4t − π/4) x(t) = Re z e4it = Re c ei (4t−δ) =



13 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Übersicht 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8

Elementare Berechnung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Grenzwerte von Wurzelausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Konvergenz einer rekursiv definierten Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Grenzwerte von Quotienten, Fakultäten und Potenzen . . . . . . . . . . . . . . 207 Reihenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Konvergenz und Divergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Konvergenz von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Konvergenzradius einer parameterabhängigen Potenzreihe und Randbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.9 Pythagoräischer Baum  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.10 Stetigkeit im Nullpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 13.11 Stetigkeit von Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_14

204

13.1

13 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Elementare Berechnung von Grenzwerten

Zeigen Sie

√ 1+ n =1 lim √ n→∞ 1+n

sowohl direkt, mit der Definition eines Grenzwertes, als auch durch Anwendung von Grenzwertsätzen. Verweise:

Grenzwert einer Folge, Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen, Stetigkeit

Lösungsskizze (i) Direkter Beweis: zu zeigen: ∀ε > 0 ∃nε : n > nε =⇒ |an − a| < ε √ √ Vereinfachen der Differenz an − a durch Erweitern mit (1 + n) + 1 + n √     √ √  (1 + n) − 1 + n   (1 + n)2 − (1 + n)      √ |an − a| =   =  √1 + n(1 + √n + √1 + n)  1+n √ √ √ Zähler = 2 n, Nenner > n(2 n) = 2n  Abschätzung √ 1 2 n =√ |an − a| ≤ 2n n Bestimmung von nε √ 1/ n < ε ⇔ n > 1/ε2



. / nε = 1/ε2

(n > nε =⇒ |an − a| < ε) (ii) Anwendung von Grenzwertsätzen: Umformung der Folgenglieder √  1+n−1  1 + √ = 1/(1 + n) + 1 − 1/(1 + n) an = √ 1+n 1+n elementarer Grenzwert limn→∞ 1/n = 0 und Verträglichkeit mit Summenbildung =⇒ 1/(1 + n) → 0, 1 − 1/(1 + n) → 1 Stetigkeit der Wurzelfunktion =⇒   1/(n + 1) + lim 1 − 1/(n + 1) lim an = lim n→∞ n→∞ n→∞   √ √ lim 1/(n + 1) + lim (1 − 1/(n + 1)) = 0 + 1 = 1 = n→∞

n→∞

205

13.2

Grenzwerte von Wurzelausdrücken

Berechnen Sie a) Verweise:

lim

 n

n→∞

n 3 + 2n

b)

lim



n→∞

1 + 4 + · · · + (1 + 3n)/n

Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen, Vergleichskriterium, Stetigkeit

Lösungsskizze √ a) an = n n3 + 2n : Vergleichskriterium mit √ n

2n = bn ≤ an ≤ cn =

bn = 2 und lim cn = lim

n→∞

√

n→∞

n

√ n

2 n3 2n

 √ √ n 2 ( n n)3 2n

Produktregel für Grenzwerte und bekannte Grenzwerte lim  lim cn = 1 · 13 · 2 = 2

√ n

2 = 1, lim

√ n

n = 1

Einschließung zwischen den übereinstimmenden Grenzwerten der Folgen (bn ) und (cn ) =⇒ lim an = 2 n→∞

 b) an = 1 + 4 + · · · + (1 + 3n)/n: Summenformel für eine arithmetische Reihe n

(s + kh) =

k=0

n

s+h

k=0

n

k = (n + 1)s + h

k=0

n(n + 1) 2

  (n + 1) + 3n(n + 1)/2 an = n

Einsetzen von s = 1, h = 3

Vereinfachung

  (n + 1)(1 + (3/2)n)/n2   = 1 + 1/n 3/2 + 1/n

an =

Produktregel für Grenzwerte, 1/n → 0 für n → ∞ und Stetigkeit der Wurzelfunktion   lim an = 3/2 ≈ 1.2247 n→∞

206

13 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

13.3

Konvergenz einer rekursiv definierten Folge

Zeigen Sie die Konvergenz der durch an+1 =

1 , 3 + a2n

a0 = 1 ,

definierten Folge. Verweise:

Cauchy-Kriterium, Geometrische Reihe

Lösungsskizze zeige geometrische Konvergenz ( =⇒ Cauchy-Kriterium, s.u.): |an+1 − an | ≤ cq n ,

q 0 ∃nε : m > n > nε =⇒ |am − an | < ε ∞ geometrische Konvergenz und Formel k=0 q k = 1/(1 − q) für eine geometrische Reihe =⇒ |am − an | ≤ |am − am−1 | + · · · + |an+1 − an | cq n ≤ cq m−1 + · · · + cq n < 1−q 

Wahl von nε : cq n 0 und limn→∞ n n = 1 Vergleichskriterium √ √ √ √ √ n n n n ≤ n n + c ≤ 2n = 2 n n, n ≥ c  =⇒ alle Wurzeln in dem Ausdruck für n |an | konvergieren gegen 1 =⇒ r = 1/k und absolute Konvergenz für x ∈ (−r, r) (ii) Konvergenz an den Randpunkten: x = −1/k: bn , bn = k!/((n + k) · · · (n + 1)) Divergenz für k = 1, da 1 1 ≥ bn = n+1 2n divergente Minorante 1/n (harmonische Reihe) absolute Konvergenz für k ≥ 2, da an =

|bn | ≤

k! k! ≤ 2 (n + k)(n + k − 1) n

konvergente Majorante 1/n2 n x = 1/k: bn , bn = (−1) k!/((n + k) · · · (n + 1)) für k = 1, bn = (−1)n /(n + 1)  alternierende Reihe mit monoton fallenden Beträgen, konvergent nach dem Leibniz-Kriterium (nicht absolut konvergent, siehe Fall x = −1/k) für k ≥ 2 absolut konvergent, da |bn | ≤ k!/n2

212

13.9

13 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Pythagoräischer Baum 

Die Abbildung zeigt die Ausgangskonfiguration (fett), zwei Wachstumsstufen (dünner) und die fraktale Grenzmenge eines pythagoräischen Baumes.

Berechnen Sie die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke und Quadrate der n-ten Wachstumsstufe in Abhängigkeit von den Kathetenlängen der Ausgangskonfiguration. Begründen Sie, warum es zu Überschneidungen kommen muss. Verweise:

Geometrische Reihe

Lösungsskizze Flächeninhalt der Ausgangskonfiguration mit Katheten der Länge a und b F0 = ab/2 + a2 + b2 erster Wachstumsschritt  2 Konfigurationen, skaliert mit a/c bzw. b/c (c2 = a 2 + b2 ) resultierende Summe der Flächeninhalte F1 = (a/c)2 F0 + (b/c)2 F0 =

a 2 + b2 F0 = F0 , c2

da Flächeninhalte quadratisch skalieren analog (separate Betrachtung jedes neu entstehenden Konfigurationspaares) F1 = F2 = · · · Überschneidungen wegen endlicher Ausdehnung des pythagoräischen Baums Begründung: Abstände des Mittelpunktes der Hypotenuse zu den Mittelpunkten der Hypotenusen der 2 angrenzenden Konfigurationen a/2 + b,

a + b/2

Skalierung der Längen  Schranke s für den maximalen Abstand von Hypotenusenmittelpunkten zum Mittelpunkt der Hypotenuse der Ausgangskonfiguration s ≤ (a + b) + r(a + b) + r2 (a + b) + · · · ≤ mit r = max{a/c, b/c} dem maximalen Skalierungsfaktor

a+b 1−r

213

13.10

Stetigkeit im Nullpunkt

Untersuchen Sie, obdie folgenden Funktionen im Nullpunkt stetig fortsetzbar sind. 1/|x| − 1 x sin(3x)  c) (1 − x2 )3/x b) a)  1 − cos(2x) 1/|x| − 2 − 1/|x| − 3 Verweise:

Stetigkeit, Regeln für stetige Funktionen

Lösungsskizze    a) f (x) = 1/|x| − 1/( 1/|x| − 2 − 1/|x| − 3):   Erweitern mit 1/|x| − 2 + 1/|x| − 3, dritte binomische Formel    1/|x| − 1( 1/|x| − 2 + 1/|x| − 3) f (x) = (1/|x| − 2) − (1/|x| − 3)



Nenner = 1 1/|x| − 1 > 1/|x| − 2 > 1/|x| − 3

Zähler > 2(1/|x| − 3)

=⇒

|x| < 1/6 =⇒ 2(1/|x| − 3) > 1/|x| und Zähler > 1/|x| nicht stetig fortsetzbar bei 0: lim f (x) = ∞ x→0

b) f (x) = x sin(3x)/(1 − cos(2x)): Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

=⇒

cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x sin(3x) = sin x cos(2x) + sin(2x) cos(x) = sin x (cos(2x) + 2 cos2 x) 

Einsetzen

f (x) = lim

x→0

sin x x

=1

x cos(2x) + 2 cos2 x x sin x (cos(2x) + 2 cos2 x) = sin x 2 2 sin2 x

=⇒ lim cos(2x) + 2 lim cos2 x

lim f (x) =

x→0

x→0

2

x→0

stetig fortsetzbar bei x = 0 mit f (0) = 3/2 c) f (x) = (1 − x2 )3/x : dritte binomische Formel

lim (1 ± t)1/t = e±1

t→0



3  f (x) = (1 + x)1/x (1 − x)1/x

=⇒

lim f (x) =

|x|→0

stetig fortsetzbar bei x = 0 mit f (0) = 1

e·

1 e

3 =1

=

3 2

214

13 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

13.11

Stetigkeit von Potenzfunktionen

Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Ausdrücke für x → 0. a) (1 + x − 2x2 )3/x Verweise:

b) (x4 + 3/x2 )x

c)

(1 − x3 )4/x

Stetigkeit, Regeln fuer stetige Funktionen

Lösungsskizze a) f (x) = (1 + x − 2x2 )3/x : Umformung  1 + x − 2x2 = (1 − x)(1 + 2x),

f (x) = (1 − x)3/x (1 + 2x)3/x

bekannte Grenzwerte: lim (1 ± t)1/t = e±1 t→0

Stetigkeit der Potenzfunktion und lim ϕ(x) = lim ϕ(ax) x→0

 3 lim (1 − x)1/x x→0  6 lim (1 + 2x)1/(2x)

x→0



x→0

=⇒

 = =

3 lim (1 − x)1/x = e−3 x→0  6 lim (1 + x)1/x = e6

a=1/2 x→0

limx→0 f (x) = e−3 e6 = e3 ≈ 20.0855

b) g(x) = (x4 + 3/x2 )x : setze ϕ(x) = ln g(x) = x ln(x4 + 3/x2 ) x4 ≤ 1/x2 für |x| ≤ 1 =⇒ |ϕ(x)| ≤ |x| | ln(4/x2 )| ≤ |x| (ln 4 + 2| ln |x| |), lim |x| ln |x| = 0

x→0

lim ϕ(x) = 0 und folglich

=⇒

x→0

lim g(x) = lim eϕ(x) = e0 = 1

x→0

x→0

wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion 2

c) h(x) = (1 − x3 )4/x : Umformung 

3 4x h(x) = (1 − x3 )1/x    ϕ(x)

lim ϕ(x) = lim ϕ(x1/3 ) = lim (1 − x)1/x = 1/e

x→0

x→0

x→0

=⇒

lim h(x) = lim (1/e)4x = (1/e)0 = 1

x→0

x→0

|x| ≤ 1

2

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

Übersicht 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Produkt- und Leibniz-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . 221 Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten . . . . . . . . . . . . . . . 222 Ableitungen der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Ableitung von Exponentialausdrücken  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Auslöschung bei Gleitpunktsubtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

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216

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

14.1

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

Bestimmen Sie die Ableitungen der Ausdrücke a) (2 + x)3

b)

sin2 (3x)

c)

2 3+x

nach x als Grenzwert des Differenzenquotienten. Verweise:

Ableitung, Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Lösungsskizze a) f (x) = (2 + x)3 : binomische Formel =⇒ (2 + x + h))3 = (2 + x)3 + 3(2 + x)2 h + 3(2 + x)h2 + h3 Einsetzen in den Differenzenquotienten



3(2 + x)2 h + 3(2 + x)h2 + h3 f (x + h) − f (x) = h h Bilden des Grenzwerts für h → 0

=⇒

b) f (x) = sin2 (3x): Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

f  (x) = 3(2 + x)2 

1 1 − cos(6x) 2 2 cos(6(x + h)) = cos(6x) cos(6h) − sin(6x) sin(6h) sin2 (3x) =



Einsetzen in den Differenzenquotienten (f (x+h)−f (x))/h und Vereinfachung 2 cos(6x) sin2 (3h) + sin(6x) sin(6h) cos(6x)(1 − cos(6h)) + sin(6x) sin(6h) = 2h 2h Bilden des Grenzwertes für h → 0, lim sin(mh)/h = m, lim sin(mh) = 0 h→0



h→0

f (x) = 3 sin(6x) = 6 sin(3x) cos(3x) c)

f (x) = 2/(3 + x):

& 2 2 2(3 + x) − 2(3 + x + h) − h= 3+x+h 3+x h(3 + x + h)(3 + x) 2 = − (3 + x + h)(3 + x)

f (x + h) − f (x) = h

Bilden des Grenzwertes für h → 0

=⇒

f  (x) = −2/(3 + x)2

=⇒

217

14.2

Produkt- und Leibniz-Regel

Berechnen Sie die erste, zweite und zehnte Ableitung der folgenden Funktionen: a) f (x) = x2 cos x Verweise:

b)

g(x) = ex sin x

Ableitungen von Grundfunktionen, Produktregel, Formel von Euler-Moivre

Lösungsskizze Produkt- und Leibniz-Regel (pq) = p q + p q  ,

(pq)(n) =

n  n k=0

k

p(n−k) q (k)

a) f (x) = x2 cos x: Produktregel  f  (x) = 2x cos x − x2 sin x f  (x) = (2 cos x − 2x sin x) − (2x sin x + x2 cos x) = (2 − x2 ) cos x − 4x sin x Anwendung der Leibniz-Regel mit p(x) = x2 und q(x) = cos x, q  (x) = − sin x, q  (x) = − cos x, . . .  zehnte Ableitung von f





 10  10  10 (10) (8) (9) p (x)q (x) + p (x)q (x) + p(x)q (10) (x) f (x) = 8 9 9 = 45 · 2 cos x − 10 · 2x sin x − x2 cos x = (90 − x2 ) cos x − 20x sin x b) g(x) = ex sin x: Produktregel  g  (x) = ex sin x + ex cos x g  (x) = ex (sin x + cos x + cos x − sin x) = 2ex cos x alternativ zur Leibniz-Regel Berechung höherer Ableitungen mit Hilfe der komplexen Darstellung Formel von Euler-Moivre =⇒ g(x) = Im ex (cos x + i sin x) = Im ex+ix und  

 g (10) (x) = Im (1 + i)10 e(1+i)x = Im (1 + i)10 ex (cos x + i sin x) √ (1 + i)10 = ( 2 eiπ/4 )10 = 32 eiπ/2 = 32 i

=⇒

g (10) (x) = 32 ex cos x

218

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

14.3

Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten

Leiten Sie für die Krümmung κ = |x y  − y  x |



(x )2 + (y  )2

3/2

einer ebenen Kurve (Kehrwert des Radius’ des berührenden Kreises) Γ : t → (x(t), y(t)) eine Formel bei Verwendung von Polarkoordinaten (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ) her. Berechnen Sie damit die minimale Krümmung der abgebildeten Kardioide Γ : ϕ → r(ϕ) = 1 − cos ϕ, −π ≤ ϕ ≤ π . Verweise:

Produktregel, Zylinderkoordinaten

Lösungsskizze (i) Krümmung für eine Parametrisierung mit Polarkoordinaten: Abkürzungen C(ϕ) := cos ϕ, S(ϕ) := sin ϕ  x = rC, y = rS C  = −S, S  = C, Produktregel =⇒ x = r C − rS, x = r C − 2r S − rC y  = r S + rC, y  = r S + 2r C − rS Zähler der Krümmungsformel |x y  − y  x |

| (r r CS + 2(r )2 C 2 − 3r rCS − rr S 2 + r2 S 2 )

=

−(r r CS − 2(r )2 S 2 − 3r rCS + rr C 2 − r2 C 2 ) | =

C 2 +S 2 =1

| 2(r )2 − rr + r2 |

Nenner der Krümmungsformel ((x )2 + (y  )2 )3/2 = . . . = (r2 + (r )2 )3/2   κ = |2(r )2 − rr + r2 | (r2 + (r )2 )3/2 (ii) Kardioide Γ : ϕ → r(ϕ) = 1 − cos ϕ: r = 1 − C, r = S, r = C  κ=

|(2S 2 ) − (C − C 2 ) + (1 − 2C + C 2 )| ((1 − 2C + C 2 ) + (S 2 ))3/2

1 − cos ϕ = 2 sin2 (ϕ/2)



=

C 2 +S 2 =1

Vereinfachung

κ(ϕ) √ =

...≥0

6 sin2 (ϕ/2) 3 = |2 sin(ϕ/2)|3 4| sin(ϕ/2)|

minimal für ϕ = π mit Wert κmin = 3/4

3 − 3C (2 − 2C)3/2

219

14.4

Quotientenregel

Differenzieren Sie a)

1 + x2 x4 − x3

b)

ex cos x + sin x

c)

√ x+1 √ x−1

nach x. Verweise:

Ableitungen von Grundfunktionen, Quotientenregel

Lösungsskizze Quotientenregel

a)

 p p q − pq  = q q2

f (x) = (1 + x2 )/(x4 − x3 ): (2x)(x4 − x3 ) − (1 + x2 )(4x3 − 3x2 ) (x4 − x3 )2 −2x3 + x2 − 4x + 3 = x6 − 2x5 + x4

f  (x) =

alternativ: separates Ableiten der beiden Summanden

 1 d 4x3 − 3x2 1 2x − 1 = − + − 2 4 3 2 4 3 2 dx x − x x −x (x − x ) (x − x)2 b)

f (x) = ex /(cos x + sin x): ex (cos x + sin x) − ex (− sin x + cos x) (cos x + sin x)2 2ex sin x = cos2 x + 2 cos x sin x + sin2 x

f  (x) =

cos2 x + sin2 x = 1, 2 cos x sin x = sin(2x) f  (x) =



2ex sin x 1 + sin(2x)

√ √ f (x) = x + 1/ x − 1: √ √ d =⇒ dx x + a = 1/(2 x + a) √ √ √ √ x − 1/(2 x + 1) − x + 1/(2 x − 1) f  (x) = x−1 1 (x − 1) − (x + 1) √ √ √ =− = 2(x − 1) x + 1 x − 1 (x − 1) x2 − 1

c)

220

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

14.5

Kettenregel

Differenzieren Sie a)

b)

tan(tan x)



c)

x + 1/x

ln(2 + exp(1 + x3 ))

nach x. Verweise:

Ableitungen von Grundfunktionen, Kettenregel

Lösungsskizze Kettenregel: d g(f (x)) = g  (f (x))f  (x) dx

⇔

dz dy dz = dx dy dx

mit z = g(y), y = f (x) a) z(x) = tan(tan(x)): Ableitung des Tangens d sin t cos t cos t − sin t(− sin t) 1 d tan t = = = 2 dt dt cos t cos t cos2 t Kettenregel mit z = tan y, y = tan x



d d tan y d tan x 1 1 1 tan(y) = = = 2 2 2 dx dy dx cos y cos x cos (tan x) cos2 x  h(x) = x + 1/x:  d s s−1 , Kettenregel mit g(f (x)) = f (x), f (x) = x + 1/x dt t = st 

1 1    h (x) = g (f (x))f (x) =  1− 2 x 2 f (x)

b)

Einsetzen und Vereinfachen





1 x2 − 1 x2 − 1 √ h (x) =  = 2x x3 + x 2 x + 1/x x2 c) w(x) = ln(2 + exp(1 + x3 )): zweifache Anwendung der Kettenregel mit w = ln(z), z = 2 + exp(y), y = 1 + x3  dw dw dz dy 1 = = exp(y) (3x2 ) dx dz dy dx z Einsetzen und Vereinfachen



dw 3x2 exp(1 + x3 ) 3x2 = = 3 dx 2 + exp(1 + x ) 2 exp(−1 − x3 ) + 1

221

14.6

Zweimaliges Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel

Leiten Sie



2 − ex 1 + e−3x zweimal nach x ab, und werten Sie die Ableitungen an der Stelle x = 0 aus. a)

Verweise:

3 + e2x

b)

Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel

Lösungsskizze a) f (x) = (3 + e2x )1/2 : d y(x)r = ry(x)r−1 y  (x) mit y(x) = 3 + e2x und r = 1/2 Kettenregel: dx



−1/2 2x  1 2e = [. . .]−1/2 e2x 3 + e2x 2 Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel  f  (x) =

1 f  (x) = − [. . .]−3/2 (2e2x )e2x + [. . .]−1/2 (2e2x ) = [. . .]−3/2 (6e2x + e4x ) 2 x = 0  [. . .] = 3 + 1 = 4 und f (0) = 41/2 = 2 f  (0) = 4−1/2 · 1 = 1/2 f  (0) = 4−3/2 (6 + 1) = 7/8 b) g(x) = (2 − ex )/(1 + e−3x ) = p(x)/q(x): Quotientenregel: g  = (p/q) = (p q − pq  )/q 2 

g (x) =



(−ex )(1 + e−3x ) − (2 − ex )(−3e−3x ) [1 + e−3x ]

und g  (x) =

2

0 =

−ex − 4e−2x + 6e−3x [1 + e−3x ]

2

{. . .} [. . .]2 − {. . .} · 2[. . .](−3e−3x ) [. . .]4

einfachere Berechnung durch rekursives Ableiten von gq = p: Produktregel  g  q + gq  = p

=⇒

g  = (p − gq  )/q

mit p(x) = 2 − ex , p (x) = −ex und q(x) = 1 + e−3x , q  (x) = −3e−3x Leibnizregel (für mehrfaches Ableiten eines Produktes)  g  q + 2g  q  + gq  = p

=⇒

g  = (p − 2g  q  − gq  )/q

mit p (x) = −ex , q  (x) = 9e−3x x=0  g(0) = p(0)/q(0) = (2 − 1)/(1 + 1) = 1/2 g  (0) = (p (0) − g(0)q  (0))/q(0) = (−1 − (1/2)(−3))/2 = 1/4 g  (0) = (−1 − 2(1/4)(−3) − (1/2)9)/2 = −2

1

222

14.7

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

Berechnung von Ableitungen aus tabellierten Werten

Berechnen Sie mit Hilfe der Funktions- und Ableitungswerte f (1) = 1, f  (1) = 3, f  (1) = 5,

g(1) = 2, g  (1) = 4, g  (1) = 6

die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen f g, f /g und g ◦ f an der Stelle 1. Verweise:

Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel

Lösungsskizze (i) h = f g: Produktregel =⇒ h = f  g + f g  h = f  g + 2f  g  + f g  Einsetzen der tabellierten Werte an der Stelle 1



h (1) = 3 · 2 + 1 · 4 = 10 h (1) = 5 · 2 + 2 · 3 · 4 + 1 · 6 = 40 (ii) h = f /g: h(1) = f (1)/g(1) = 1/2 rekursive Ableitungsberechnung durch Differenzieren von hg = f h g + h g  = f 

=⇒ h = (f  − h g  )/g

h g + 2h g  + h g  = f  =⇒ h = (f  − 2h g  − h g  )/g Einsetzen der tabellierten Werte an der Stelle 1



h (1) = (3 − (1/2) · 4)/2 = 1/2 h (1) = (5 − 2 · (1/2) · 4 − (1/2) · 6)/2 = −1 (alternative Berechnung mit der Quotientenregel) (iii) h = g ◦ f : Kettelregel =⇒ (g ◦ f ) = g  (f )f  (g ◦ f ) = g  (f )(f  )2 + g  (f )f  Einsetzen der tabellierten Werte an der Stelle 1 bzw. 1 = f (1) h (1) = 4 · 3 = 12 h (1) = 6 · 32 + 4 · 5 = 74



223

14.8

Ableitungen der Umkehrfunktion

Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Umkehrfunktion x = g(y) der Funktion  y = f (x) = x + x2 − 3 im Punkt y0 = f (2). Verweise:

Ableitung der Umkehrfunktion

Lösungsskizze Bestimmung der Ableitungen von g durch Differenzieren von  1/2 y = f (g(y)) = g(y) + g(y)2 − 3  x

nach y und Einsetzen von  1/2 = 3, y = y0 = f ( x0 ) = 2 + 22 − 3 

g(y0 ) = x0 = 2

2

Kettenregel



2 3 1 = g  + (1/2)[g 2 − 3]−1/2 · 2gg  = g  1 + [. . .]−1/2 g   0 = g  {. . .} + g  (−1/2)[. . .]−3/2 (2gg  ) g + [. . .]−1/2 g  Einsetzen von g = 2 in die erste Gleichung



[. . .] = 1 und

1 = g  {1 + 1 · 2}, d.h. g  (3) = 1/3 zweite Gleichung mit g = 2, g  = 1/3 und [. . .] = 1, {. . .} = 3



0 = g  · 3 + (1/3) ((−1/2) · 2 · 2 · (1/3) · 2 + (1/3)) , d.h. g  (3) = 1/9 Alternative Lösung explizite Bestimmung der Umkehrfunktion (meistens nicht möglich) y =x+

 x2 − 3

⇔

(y − x)2 = x2 − 3 für (x, y) ≈ (2, 3)

bzw. nach Auflösen nach x x = g(y) = 

y 3 + 2 2y

Ableitungen g  (y) =

und Einsetzen von y = y0 = 3

3 1 − , 2 2y 2

g  (y) =

3 y3



g  (3) = 1/3,

g  (3) = 1/9



224

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

14.9

Ableitung von Exponentialausdrücken 

Leiten Sie a)

(2x )x

d) 2(x

x

b) (x2 )x

)

e) x(2

x

)

c)

(xx )2

f)

x(x

2

)

nach x ab. Verweise:

Logarithmische Ableitung, Produktregel, Kettenregel

Lösungsskizze Anwendung der logarithmischen Ableitung f  (x) d ln f (x) = dx f (x)

⇔

f  (x) = f (x)

d ln f (x) dx

für f (x) > 0  Vereinfachung der Differentiation von Exponentialausdrücken a)

f (x) = (2x )x : f  (x) = f (x)

d (x ln(2x )) = (2x )x (2x ln 2) dx    x2 ln 2

b)

f (x) = (x2 )x : f  (x) = f (x)

d (x ln(x2 )) = (x2 )x (2 ln x + 2) dx    2x ln x

c) f (x) = (xx )2 : gleiche Funktion wie in Teil b), da f (x) = xx xx = (x · x)x = (x2 )x d)

x

f (x) = 2(x ) :

d x (x ln 2) dx nochmalige Anwendung der logarithmischen Ableitung auf den Term xx f  (x) = f (x)

f  (x) = f (x) (ln 2 xx ) e)

x

f (x) = x(2 ) : f  (x) = f (x)

f)

x d (x ln x + ln ln 2) = 2(x ) (ln 2 xx ) (ln x + 1) dx

x d x (2 ln x) = x(2 ) (2x ln 2 ln x + 2x /x) dx

2

f (x) = x(x ) : f  (x) = f (x)

2 d 2 (x ln x) = x(x ) (2x ln x + x) dx



225

14.10

Auslöschung bei Gleitpunktsubtraktion

Die numerische Berechnung einer Differenz z = x − y kann durch (x, y) → z˜ = R(R(x) − R(y)) mit einer Rundungsfunktion R beschrieben werden. Es gilt R(t) = t(1 + δt ), |δt | ≤ eps, mit der Maschinengenauigkeit eps (eps = 2−53 bei doppelter Genauigkeit, dem numerischen Standard). Geben Sie unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung O(eps2 ) eine Abschätzung für den relativen Fehler |˜ z − z|/|z| an. Illustrieren Sie mit Matlab® für x = 1/10000, y = 1/9999, dass es bei fast gleichen Zahlen zu einer erheblichen Fehlerverstärkung kommen kann (Auslöschungsphänomen aufgrund der Übereinstimmung führender Ziffern). Verweise:

Fehlerfortpflanzung

Lösungsskizze (i) Fehlerabschätzung: z˜ = R(R(x) − R(y)) = (x(1 + δx ) − y(1 + δy ))(1 + δz ) = x − y +xδx − yδy + (x − y )δz + O(eps2 )       z

z

Abschätzung des relativen Fehlers er mit der Dreiecksungleichung



|˜ z − z| |x|eps + |y|eps + |z|eps + O(eps2 ) ≤ |z| |z|    er

 |x| + |y| + 1 eps + O(eps2 ) |x − y|   

=

c

großer Fehlerverstärkungsfaktor c für x ≈ y (ii) Matlab® -Illustration: x = 1/9999, y = 1/10000  1/9999+1/10000 z = x − y = 1/99990000 und c = 1/9999−1/10000 + 1 = 20000 Numerisches Ergebnis und tatsächlicher relativer Fehler: >> x = 0.0001000100010001, y = 0.0001 >> z_num = x-y, e_r = abs(z_num-z)/abs(z) x = 1.000100010001000e − 04, y = 1.000000000000000e − 04 znum = 1.000100009999492e − 08, er = 5.075072680606590e − 13 Der relative Fehler er von znum ist erheblich größer als die Schranke eps = 2−53 ≈ 2.22 · 10−16 für den relativen Fehler von x und y und nicht wesentlich kleiner als die Fehlerschranke c eps ≈ 4.44 · 10−12 für er .

226

14 Differentiationsregeln und Anwendungen

14.11

Fehlerfortpflanzung

Bestimmen Sie für y=

 9 + 4x2

näherungsweise die Verstärkungsfaktoren für den absoluten und relativen Fehler von y bei einer Messung von x = 2. Geben Sie ebenfalls Schranken für die Verstärkungsfaktoren für x ∈ [1, 3] an. Verweise:

Fehlerfortpflanzung

Lösungsskizze (i) Verstärkungsfaktoren: absoluter Fehler: ca = |f  (x)|

|Δy| ≈ ca |Δx|, relativer Fehler:

|Δx| |Δy| ≈ cr , |y| |x|

cr = |f  (x)|

|x| |y|

im betrachteten Beispiel y = f (x) =

 9 + 4x2 ,

f  (x) = √

4x 9 + 4x2

für x = 2 8 8 = 5 9 + 16 16 2 8 √ = = 5 9 + 16 25

ca = |f  (2)| = √ cr (ii) Schranken:  f  (x) = 4/ 9/x2 + 4

=⇒

f  auf [1, 3] positiv, monoton wachsend und

4 C = max f  (x) = f  (3) = √ x∈[1,3] 5 

Schranken für die Verstärkungsfaktoren des absoluten und relativen Fehlers 4 ca ≤ C = √ 5 |x| x 4 4 1 4 = √ max √ =√ √ = 2 5 x∈[1,3] |y| 5 x∈[1,3] 9 + 4x 5 5    √ 2

cr ≤ C max

1/

9/x +4

227

14.12

Grenzwerte mit Hilfe der Regel von L’Hôpital

Berechnen Sie a) Verweise:

x3 − 4x x→2 4 − x2 lim

b)

cos2 x − 1 x→0 (1 − exp x)2 lim

c)

ln(1 + x2 ) x→∞ 1 + (ln x)2 lim

Regel von L’Hôpital, Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen

Lösungsskizze Regel von L’Hôpital

f (x) f  (x) = lim  x→a g(x) x→a g (x) lim

a) Regel von L’Hôpital (0/0): x3 − 4x 3x2 − 4 12 − 4 = = −2 = lim x→2 4 − x2 x→2 −2x −4 lim

alternativ: Faktorisierung der Polynome x(x − 2)(x + 2) x3 − 4x = −x = 2 4−x −(x − 2)(x + 2) b) Regel von L’Hôpital (0/0): cos2 x − 1 (2 cos x)(− sin x) cos x sin x = lim = lim 2 x→0 (1 − exp x) x→0 2(1 − exp x)(− exp x) x→0 exp x 1 − exp x lim

Produkt von 2 Grenzwerten, Anwendung der Regel von L’Hôpital auf den zweiten Bruch (0/0) lim

x→0

cos x sin x cos x · lim = 1 · lim = −1 x→0 − exp x exp x x→0 1 − exp x

alternativ: Taylor-Entwicklung (1 − x2 /2 + O(x4 ))2 − 1 −x2 + O(x4 ) → −1 = (x + O(x2 ))2 x2 + O(x3 )

für x → 0

c) Regel von L’Hôpital (∞/∞): ln(1 + x2 ) 2x/(1 + x2 ) = lim x→∞ 1 + (ln x)2 x→∞ (2 ln x)/x x2 1 = lim = lim 2 2 x→∞ (1 + x ) ln x x→∞ (1/x + 1) ln x lim

Grenzwert von Summen und Produkten, ln x → ∞



Grenzwert 0

15 Taylor-Entwicklung

Übersicht 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 15.14

Taylor-Darstellung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Quadratische Taylor-Polynome und Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds . . . . . 232 Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion . 233 Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel . 234 Padé-Approximation der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Lineare Interpolation tabellierter Werte und Taylor-Approximation . . 236 Konstruktion von Taylor-Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Abschätzung mit Landau-Symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion . . . . . . . . . . . 241 Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Taylor-Reihe einer rationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_16

230

15 Taylor-Entwicklung

15.1

Taylor-Darstellung von Polynomen

Bestimmen Sie die Taylor-Darstellung in den angegebenen Punkten für a)

p(x) = (x − 1)(4x + 3), x0 = 2

Verweise:

b)

q(x) = (2x + 4)3 , x0 = −1

Taylor-Polynom

Lösungsskizze Taylor-Darstellung eines Polynoms f vom Grad n im Punkt x0 : f (x) =

n f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k

a) p(x) = (x − 1)(4x + 3), n = 2: Ableiten mit der Produktregel p (x) = 1 · (4x + 3) + (x − 1) · 4 = 8x − 1 p (x) = 8 Auswerten am Entwicklungspunkt x0 = 2 p(2) = 11, 

p (2) = 15,

p (2) = 8

Taylor-Darstellung p(x) = 11 + 15(x − 2) + 4(x − 2)2

b) q(x) = (2x + 4)3 , n = 3: Ableiten mit der Kettenregel q  (x) = 3(2x + 4)2 · 2 = 6(2x + 4)2 q (2) (x) = 6 · 2(2x + 4) · 2 = 24(2x + 4) = 48x + 96 q (3) (x) = 48 Auswerten am Entwicklungspunkt x0 = −1 q(−1) = 8, 

q  (−1) = 24,

q (2) (−1) −48 + 96 = = 24, 1·2 2

q (3) (−1) 48 = =8 1·2·3 6

Taylor-Darstellung q(x) = 8 + 24(x + 1) + 24(x + 1)2 + 8(x + 1)3

Alternative Lösung Substitution x = y − 1, y = x + 1 q(x) = (2y − 2 + 4)3 = (2y + 2)3 Ausmultiplizieren mit binomischer Formel y



Entwicklung nach Potenzen von

231

15.2

Quadratische Taylor-Polynome und Restglied

Bestimmen Sie die quadratischen Taylor-Polynome folgender Funktionen in den angegebenen Punkten und geben Sie das Restglied an. a) f (x) = exp(x2 /2 − x), x0 = 0 Verweise:

b)

g(x) = x sin2 (x/2), x0 = π

Taylor-Polynom, Ableitung von Grundfunktionen

Lösungsskizze quadratisches Taylor-Polynom und Restglied ϕ(x) = ϕ(x0 ) + ϕ (x0 )(x − x0 ) +  

ϕ (x0 ) ϕ (ξ) (x − x0 )2 +R, R = (x − x0 )3 2 6 

p(x)

mit ξ zwischen x und x0 a) f (x) = exp(x2 /2 − x), x0 = 0: Ableiten mit der Ketten- und Produktregel ((aeb ) = (a + ab )eb ) f  (x) = (x − 1) exp(x2 /2 − x) f  (x) = (1 + (x − 1)2 ) exp(x2 /2 − x) f  (x) = (2(x − 1) + (x − 1) + (x − 1)3 ) exp(x2 /2 − x) Auswerten an der Stelle x0 = 0 p(x) = 1 − x + x2 ,



f (0) = 1, f  (0) = −1, f  (0) = 2 und

R = (3(ξ − 1) + (ξ − 1)3 ) exp(ξ 2 /2 − ξ)x3

mit ξ zwischen 0 und x b) g(x) = x sin2 (x/2), x0 = π: Ableiten unter Benutzung des Additionstheorems 2 sin(x/2) cos(x/2) = sin x g  (x) = sin2 (x/2) + x · [2 sin(x/2) cos(x/2)/2] = sin2 (x/2) + (x sin x)/2 

  1 1 x x sin x + sin x + cos x = sin x + cos x g  (x) = 2 2 2 2 x 3 g  (x) = cos x − sin x 2 2 cos(π/2) = 0, cos(π) = −1, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0 g  (π) = −π/2 und p(x) = π + (x − π) − mit ξ zwischen π und x

π (x − π)2 , 4

R=



g(π) = π, g  (π) = 1,

3 cos ξ − ξ sin ξ (x − π)3 12

232

15 Taylor-Entwicklung

15.3

Quadratisches Taylor-Polynom und Abschätzung des Restglieds

Bestimmen Sie das quadratische Taylor-Polynom im Punkt x = 9 der Funktion f (x) =

√

7 + 2x

und geben Sie eine Abschätzung für den Betrag des Fehlers auf dem Intervall [9, 9.1] an. Verweise:

Taylor-Polynom, Ableitung von Grundfunktionen

Lösungsskizze (i) Taylor-Polynom: f (x) = (7 + 2x)1/2 , Kettenregel (innere Ableitung = 2)



1 (7 + 2x)−1/2 · 2 = (7 + 2x)−1/2 2 1 f  (x) = − (7 + 2x)−3/2 · 2 = −(7 + 2x)−3/2 2 3 f  (x) = (7 + 2x)−5/2 · 2 = 3(7 + 2x)−5/2 2 f  (x) =

Einsetzen von x = 9, (7 + 2 · 9)−1/2 = 1/5 f  (9) = 

1 , 5



f  (9) = −

1 125

quadratisches Taylor-Polynom p(x) = f (9) + f  (9)(x − 9) +

f  (9) (x − 9)2 2

1 1 (x − 9)2 = 5 + (x − 9) − 5 250 (ii) Fehler: Restglied bei quadratischer Approximation R(x) = f (x) − p(x) =

f  (t) (x − 9)3 3!

mit t in dem Intervall D zwischen x und dem Entwicklungspunkt 9 dritte Ableitung f  (t) = 3(7 + 2t)−5/2 auf D = [9, 9.1] monoton fallend max 3(7 + 2t)−5/2 = 3(7 + 2 · 9)−5/2

t∈[9,9.1]



Schranke für den Fehler für x ∈ [9, 9.1] |R(x)| ≤

1 3 0.13 = 16 · 10−8 6 3125

3 3125

=⇒

233

15.4

Quadratische Taylor-Entwicklung einer zusammengesetzten Funktion

Entwickeln Sie ln(cos2 (x) − sin(3x)) um x0 = π bis zu Termen der Ordnung zwei einschließlich. Verweise:

Taylor-Polynom

Lösungsskizze (i) Entwicklung von y(x) = cos2 (x) − sin(3x) um x0 = π: p(x) = cos(x), p (x) = − sin(x), p (x) = − cos(x) =⇒ p(π) = −1, p (π) = 0, p (π) = 1 und 1 cos(x) = p(π) + p (π)(x − π) + p (π)(x − π)2 + · · · 2 1 = −1 + (x − π)2 + · · · 2 Quadrieren und Vernachlässigung von Termen höherer als zweiter Ordnung 

1 2 2 2 (x − π) + · · · = 1 − (x − π)2 + · · · cos (x) = (−1) + 2(−1) 2



q(x) = sin(3x), q  (x) = 3 cos(3x), q  (x) = −9 sin(3x) =⇒ q(π) = 0, q  (π) = −3, q  (π) = 0 und sin(3x) = −3(x − π) + · · · Zusammenfassen  y(x) = 1 + 3(x − π) − (x − π)2 + · · · (ii) Entwickeln von ln(y) um y0 = y(x0 ) = cos2 (π) − sin(3π) = 1: f (y) = ln(y), f  (y) = 1/y, f  (y) = −1/y 2 =⇒ f (1) = 0, f  (1) = 1, f  (1) = −1 und 1 f (y) = (y − 1) − (y − 1)2 + · · · 2 Einsetzen der Entwicklung von y(x) und Vernachlässigung von Termen höherer als zweiter Ordnung  f (y(x)) =



 1 3(x − π) − (x − π)2 − [. . .]2 + · · ·    2 y(x)−1

1 · 9(x − π)2 + · · · 2 11 = 3(x − π) − (x − π)2 + · · · 2 = [. . .] −

234

15 Taylor-Entwicklung

15.5

Lineare und quadratische Taylor-Approximation einer dritten Wurzel

√ Approximieren Sie 3 1010 durch lineare und quadratische Taylor-Approximation √ ausgehend von 3 1000 = 10, und geben Sie jeweils eine Abschätzung für den Fehler an. Verweise:

Taylor-Polynom

Lösungsskizze (i) Taylor-Polynom und Restglied für f (x) = x1/3 : Entwicklungspunkt x0 = 1000, Δx = 1010 − x0 = 10



1 1 f (1010) = f (1000) + f  (1000) · 10 + f  (1000) · 102 + · · · + f (n) (ξ) · 10n 2 n!       p

R

mit ξ ∈ [1000, 1010] (ii) Ableitungen: d r r−1 =⇒ dx x = rx 1 1/3−1 1 −2/3 x = x 3

 3 2 1 2 − x−5/3 = − x−5/3 f  (x) = 3 3 9

 5 2 10 −8/3  − x−8/3 = x f (x) = − 9 3 27 f  (x) =

(iii) Lineare Approximation (n = 2): 1000k/3 = (10001/3 )k = 10k  f  (1000) = und p = 10 + Betrag des Restglieds 1 1 |R| = |f  (ξ)| · 102 = 2 2



1 −2 1 10 = 3 300

1 301 · 10 = ≈ 10.0333 300 30

2 −5/3 ξ 9

 · 100 =

100 −5/3 ξ , 9

ξ ∈ [1000, 1010]

1 maximal für ξ = 1000  |R| ≤ 19 · 102 · 10−5 = 9000 ≈ 1.1111 · 10−4 (iv) Quadratische Approximation (n = 3): 2 −8/3 f  (1000) = − 900000 , R = 16 · 10 · 103 , Addition des quadratischen Terms zur 27 ξ linearen Approximation 

1 90299 301 301 1 2 − 102 = − = ≈ 10.0332 30 2 900000 30 9000 9000 1 1 10 · · 1000−8/3 · 103 = ≈ 6.1728 · 10−7 |R| ≤ 6 27 1620000 p =

235

15.6

Padé-Approximation der Exponentialfunktion

Interpolieren Sie mit den rationalen Funktionen a) q(z) =

a + bz 1 + cz

b)

r(z) =

1 a + bz + cz 2

den Funktionswert und die ersten beiden Ableitungen von f (z) = e−z an der Stelle z = 0 und vergleichen Sie diese Approximationen auf dem Intervall [0, 3] mit dem quadratischen Taylor-Polynom p. Verweise:

Taylor-Polynom, Landau-Symbole

Lösungsskizze a) Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitungen =⇒ f (z) = q(z) + O(z 3 ) bzw. nach Multiplikation mit dem Nenner und Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion (1 − z + z 2 /2 + · · · )(1 + cz) = a + bz + O(z 3 ) Vergleich der Koeffizienten von z k z 0 : 1 = a,



z 1 : c − 1 = b,

z 2 : −c + 1/2 = 0 ,

d.h. c = 1/2, b = −1/2 b) Anwendung von (1 − ε)−1 = 1 + O(ε) für ε → 0 auf die Taylor-Approximation ez = 1 + z + z 2 /2 +O(z 3 )     =p(−z)

1 1 1 1 = z = z = e−z (1 + O(z 3 )) = e−z + O(z 3 ) 3 p(−z) e − O(z ) e 1 − O(z 3 ) =⇒ r(z) = 1/p(−z) = 1/(1 + z + z 2 /2) verwendet aus dem Kalkül mit Landau-Symbolen: e±z = O(1),

O(z 3 )O(1) = O(z 3 )

für z → 0

Vergleich der Approximationen: sehr gute Übereinstimmung mit dem fett gezeichneten Graph von e−z für z nahe bei 0 falsches qualitatives Verhalten von p und q bereits für relativ kleine Werte von z; p steigt stark an und q hat eine Nullstelle beste Approximation durch r

2 1 0 0

1

2

3

236

15 Taylor-Entwicklung

15.7

Lineare Interpolation tabellierter Werte und Taylor-Approximation

Früher wurden Tabellen zur Berechnung nicht elementarer Funktionen benutzt. x

...

ln x

1.9

2.0

...

0.641853 0.693147

Bestimmen Sie mit Hilfe der angegebenen Werte des natürlichen Logarithmus eine Näherung für ln 1.96 a) mit linearer Interpolation, b) durch quadratische Taylor-Approximation. Würde eine Taylor-Approximation n-ter Ordnung verwendet, wieviele Werte wären für eine Genauigkeit ≤ 10−6 auf dem Intervall [1, 2] ausreichend? Verweise:

Taylor-Polynom

Lösungsskizze a) Lineare Interpolation: Punkt-Steigungs-Form des linearen Interpolanten p einer Funktion f an den Punkten a und b: f (b) − f (a) (x − a) p(x) = f (a) + b−a f (x) = ln x, a = 2, b = 1.9, x = 1.96  0.641853 − 0.693147 (1.96 − 2) = 0.672629 1.9 − 2 b) Quadratische Taylor-Approximation: ln 1.96 ≈ p(1.96) = 0.693147 +

1 q(x) = f (a) + f  (a)(x − a) + f  (a)(x − a)2 2 f (x) = ln x, f  (x) = 1/x, f  (x) = −1/x2 mit x = 1.96, a = 2  ln 1.96 ≈ q(1.96) = 0.693147 + (1/2)(1.96 − 2) + (1/2)(−1/4)(1.96 − 2)2 = 0.672947

(exakt : 0.672944 . . .)

c) Taylor-Approximation n-ter Ordnung: Restglied: R = (f (n+1) (ξ)/(n + 1)!) (x − a)n+1 m Werte (Entwicklungspunkte) f (1 + kh), k = 0, . . . , m − 1, mit h = 1/(m − 1)  maximaler Abstand h/2 zum Entwicklungspunkt f (n+1) (x) = n! (−1)n x−n−1  Abschätzung |R| ≤

(h/2)n+1 1 max |n! (−1)n ξ −1−n | (h/2)n+1 = (n + 1)! ξ∈[1,2] n+1

|R| ≤ 10−6 erfüllt für

(h/2)n+1 n+1

≤ 10−6 , d.h.

 1/(m − 1) = h ≤ 2 n+1 (n + 1)/106

⇔

m≥1+



n+1

106 /(n + 1)/2

237

15.8

Konstruktion von Taylor-Entwicklungen

Bestimmen Sie für f (x) = 1 − 4x + 3x2 + O(x3 ) die Taylor-Entwicklungen von f 2 und 1/f im Punkt x = 0 sowie von der Umkehrfunktionf −1 im Punkt y = f (0) jeweils bis zur Ordnung 2 einschließlich. Verweise:

Division von Taylor-Reihen, Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion

Lösungsskizze (i) f 2 : Ausmultiplizieren, Sortieren nach Potenzen



f 2 (x) = (1 − 4x + 3x2 + O(x3 ))2 = 12 + (2 · 1 · (−4x)) + (2 · 1 · 3x2 + (−4x)2 ) + O(x3 ) = 1 − 8x + 22x2 + O(x3 ) (ii) 1/f : Ansatz (1 − 4x + 3x2 + O(x3 )) (a + bx + cx2 + O(x3 )) = 1 Koeffizientenvergleich der Potenzen von x



1 : 1=a x : 0 = b − 4a x2 : 0 = c − 4b + 3a sukzessives Lösen



a = 1, b = 4, c = 16 − 3 = 13, d.h. 1/f (x) = 1 + 4x + 13x2 + O(x3 )

(iii) Umkehrfunktion f −1 , Entwicklung um y = f (0) = 1: Ansatz f −1 (y) = 0 + a(y − 1) + b(y − 1)2 + O((y − 1)3 ), 

y = f (x)

x = f −1 (f (x)) = a(−4x + 3x2 ) + b(−4x + 3x2 )2 + O(x3 )

Koeffizientenvergleich der Potenzen von x  x : 1 = −4a x2 : 0 = 3a + 16b sukzessives Lösen



a = −1/4, b = 3/64, d.h.

f −1 (y) = −(y − 1)/4 + 3(y − 1)2 /64 + O((y − 1)3 )

238

15.9

15 Taylor-Entwicklung

Abschätzung mit Landau-Symbolen

Beschreiben Sie für die Funktionen f (x) = 2 cos x + sin(3x),

g(x) = ex

das Verhalten von f g und f /g für x → 0 mit Hilfe von Landau-Symbolen, indem Sie Terme dritter Ordnung vernachlässigen. Verweise:

Landau-Symbole, Spezielle Taylor-Reihen

Lösungsskizze (i) Entwicklung von f und g: cos t = 1 − t2 /2 + O(t4 ), sin t = t + O(t3 )



f (x) = 2 cos x + sin(3x) = 2 + 3x − x2 + O(x3 ) g(x) = ex = 1 + x + x2 /2 + O(x3 ) (ii) Entwicklung von f g: Multiplikation der Entwicklungen unter Vernachlässigung von Monomen xk für k > 2  f (x)g(x) = (2 + 3x − x2 + O(x3 ))(1 + x + x2 /2 + O(x3 )) = 2 · 1 + (2 · 1 + 3 · 1)x + (2 · 1/2 + 3 · 1 − 1 · 1)x2 + O(x3 ) = 2 + 5x + 3x2 + O(x3 ) (iii) Entwicklung von f /g: 2 + 3x − x2 + O(x3 ) f (x) = g(x) 1 + x + x2 /2 + O(x3 ) Elimination der x-Abhängigkeit im Nenner durch Erweitern Erweitern mit 1 − x, dritte binomische Formel, Vernachlässigung der Monome x3 , x4 , . . .  (2 + 3x − x2 )(1 − x) + O(x3 ) 2 + x − 4x2 + O(x3 ) = (1 + x + x2 /2)(1 − x) + O(x3 ) 1 − x2 /2 + O(x3 ) nochmaliges Erweitern mit 1 + x2 /2 q(x) =



2 + x − 3x2 + O(x3 ) f (x) = g(x) 1 + O(x3 )

1/(1 + ε) = 1 − ε + O(ε2 ) mit ε = O(x3 )



q(x) = 2 + x − 3x2 + O(x3 )

239

15.10

Rundungsfehler bei Addition von Gleitpunktzahlen

Für das gerundete Ergebnis y˜1 der Summe y1 = x0 + x1 zweier Gleitpunktzahlen gilt y˜1 = y1 (1 + δ1 ), |δ1 | ≤ eps , mit eps der Maschinengenauigkeit (eps = 2−53 für die üblichen Prozessoren). Zeigen Sie für die n-fache Summation mit Rundung, y˜k = (˜ yk−1 + xk )(1 + δk ) ≈ yk = yk−1 + xk ,

k = 1, . . . , n ,

mit |δk | ≤ eps die Abschätzung |˜ yn − yn | ≤ cn (max |xk |) eps + O(eps2 ) k

und bestimmen Sie die bestmögliche Konstante cn . Verweise:

Landau-Symbole, Vollständige Induktion

Lösungsskizze (i) Zwei und drei Summanden: y˜1

=

(x0 + x1 )(1 + δ1 ) = y1 + y1 δ1

y˜2

=

(˜ y1 + x2 )(1 + δ2 ) = (y1 + y1 δ1 + x2 )(1 + δ2 )

=

(y2 + y1 δ1 )(1 + δ2 ) = y2 + y2 δ2 + y1 δ1 + y1 δ1 δ2   

y1 +x2 =y2

O(eps2 )

 Vermutung (Vn ) y˜n = yn + yn δn + · · · + y1 δ1 + O(eps2 ) (ii) Induktionsbeweis, Schritt (Vn ) → (Vn+1 ): y˜n+1

=

(˜ yn + xn+1 )(1 + δn+1 )

=

(yn + yn δn + · · · + y1 δ1 + O(eps2 ) + xn+1 )(1 + δn+1 )

=

yn+1 + yn+1 δn+1 + · · · + y1 δ1 + O(eps2 )

Ind. Vor. yn +xn+1 =yn+1

(iii) Abschätzung: C := maxk |xk | 



|yk | = |x0 + · · · + xk | ≤ (k + 1)C und

|˜ y n − yn |

= (Vn )

≤

|δk |≤eps

arithmetische Summenformel

|yn δn + · · · + y1 δ1 + O(eps2 )| ((n + 1) + · · · + 2) C eps + O(eps2 )    cn

=⇒ n2 + 3n n ((n + 1) + 2) = cn = 2 2

240

15 Taylor-Entwicklung

15.11

Grenzwerte mit Taylor-Entwicklung

Berechnen Sie cos(2x) − cos(3x) lim x→0 sin2 (x/4)

a) Verweise:

b)

√ ln2 ( x) lim x→1 x3 − x2 − x + 1

Taylor-Polynom

Lösungsskizze a) Taylor-Polynome für Zähler und Nenner (i) cos t = 1 − t2 /2 + O(t4 ) mit t = 2x bzw. t = 3x cos(2x) = 1 − 2x2 + O(x4 ),



9 cos(3x) = 1 − x2 + O(x4 ) 2

und p(x) = cos(2x) − cos(3x) = (−2 + 9/2)x2 + O(x4 ) = (5/2)x2 + O(x4 ) (ii)



sin t = t + O(t3 ) mit t = x/4 2

q(x) = (sin(x/4)) = (x/4 + O(x3 ))2 = x2 /16 + O(x4 ) Grenzwert des Quotienten p(x) (5/2)x2 + O(x4 ) 5/2 + O(x2 ) = lim 2 = lim = 40 4 x→0 q(x) x→0 x /16 + O(x ) x→0 1/16 + O(x2 ) lim

b) √ Einsetzen von y = x = 1 + 12 (x − 1) + · · · in ln y = (y − 1) + · · ·

√ 2 p(x) = ln( x) =



1 (x − 1) + · · · 2

2 =



1 (x − 1)2 + · · · 4

Umformung mit x = 1 + t, t = x − 1 bei Vernachlässigung quadratischer Terme  q(x) = x3 − x2 − x + 1 = (1 + 3t + 3t2 + t3 ) − (1 + 2t + t2 ) − (1 + t) + 1 = 2t2 + t3 = 2(x − 1)2 + · · · Grenzwert

1 p(x) (1/4)(x − 1)2 + · · · = lim = 2 x→1 q(x) x→1 2(x − 1) + · · · 8 lim

Alternative Lösung Anwendung der Regel von L’Hôpital

241

15.12

Taylor-Approximation einer implizit definierten Funktion

Zeigen Sie, dass die Gleichung x2 ln y + ye2x = 1 für alle x ∈ R eine eindeutige positive Lösung y = f (x) besitzt und bestimmen Sie das quadratische Taylor-Polynom von f an der Stelle x = 0. Verweise:

Kettenregel, Taylor-Polynom

Lösungsskizze (i) Eindeutige Lösbarkeit: x = 0 =⇒ y = 1, d.h. f (0) = 1 betrachte für x ∈ R\0 die Funktion (linke Seite der Gleichung) ϕ(y) = x2 ln y + ye2x ,

y>0

=⇒ ϕ strikt monoton wachsend ϕ (y) = x2 /y + e2x > 0 lim ϕ(y) = −∞, lim ϕ(y) = ∞

y→0

=⇒ =⇒

y→∞

jeder Wert, insbesondere auch ϕ(y) = 1, wird genau einmal angenommen eindeutige Lösbarkeit

(ii) Taylor-Polynom: Berechnung der Ableitungen y  = ϕ (x), y  = ϕ (x) durch implizites Differenzieren der Gleichung mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel  x2 d  2 x ln y + ye2x = (2x ln y + y  ) + (e2x y  + 2e2x y) = 0 dx y

2   d 2x x2 x2 2x  y ) + ( y  − 2 (y  )2 + y  ) + . . . = (2 ln y + dx y y y y (2e2x y  + e2x y  ) + (4e2x y + 2e2x y  ) = 0 Einsetzen von x = 0, y = f (0) = 1 in die erste Gleichung (0) + (1 · y  + 2 · 1) = 0 Einsetzen in die zweite Gleichung

⇔



y  = f  (0) = −2



(0) + (0) + (2 · (−2) + 1 · y  ) + (4 · 1 + 2 · (−2)) = 0

⇔

y  = f  (0) = 4

quadratisches Taylor-Polynom p(x) = f (0) + f  (0)x +

f  (0) 2 x = 1 − 2x + 2x2 2

242

15 Taylor-Entwicklung

15.13

Taylor-Reihe einer Logarithmusfunktion

Entwickeln Sie f (x) = x ln(3x − 5) in eine Taylor-Reihe um x = 2 und bestimmen Sie den Konvergenzradius. Verweise:

Reelle Taylor-Reihe, Spezielle Taylor-Reihen, Vergleichskriterium

Lösungsskizze (i) Taylor-Reihe: f (x)=x ln(3x − 5) 5 3x = ln(3x − 5) + 1 + 3x − 5 3x − 5 5·3·1 3  f (x)= − 3x − 5 (3x − 5)2 3·3·1 5·3·3·1·2 f  (x)=− + 2 (3x − 5) (3x − 5)3 .. . (−1)n · 3n−1 · (n − 2)! (−1)n−1 · 5 · 3n−1 · (n − 1)! + ,n>1 f (n) (x)= (3x − 5)n−1 (3x − 5)n f  (x)=ln(3x − 5) +

Einsetzen von x = 2



Taylor-Koeffizienten cn = f (n) (2)/n!

c0 = 0, c1 = 6, c2 = −12/2 = −6, c3 = 81/6 = 27/2, . . . 5(−3)n−1 (−3)n (2 − 5n/3) (−3)n−1 cn = − + = , n>1 n(n − 1) n n(n − 1) ∞ und damit f (x) = 6(x − 2) + n=2 cn (x − 2)n (ii) Konvergenzradius:    5/3 − 2/n 1/n 1  = lim sup |cn |1/n = lim sup 3  =3 r n−1  n→∞ n→∞ aufgrund des Vergleichskriteriums, denn für n > 2 gilt | . . . |1/n ≤ |5/n|1/n ,

| . . . |1/n ≥ |1/n|1/n

und

lim n1/n = 1

n→∞

Alternative Lösung Darstellung von f mit Hilfe der elementaren Taylor-Reihe des Logarithmus ln(1 + t) = t − t2 /2 + t3 /3 − · · · =

∞ (−1)n−1 n t n n=1

Umformung unter Berücksichtigung des Entwicklungspunktes x = 2:



f (x) = (t/3 + 2) ln(1 + t), t = 3(x − 2)  ∞ f (x) = 2t + n=2 (−1)n /(3(n − 1)) + 2(−1)n−1 /n tn

243

15.14

Taylor-Reihe einer rationalen Funktion

Entwicklen Sie

4 − 3x in eine Taylor-Reihe um x = 5 und bestimmen Sie den Konvergenzradius. r(x) =

Verweise:

x2

Partialbruchzerlegung, Reelle Taylor-Reihe, Geometrische Reihe

Lösungsskizze (i) Partialbruchzerlegung: Polstellen bei x = 0 und x = 3



Ansatz 4 a b r(x) = 2 = + x − 3x x x−3

Grenzwertmethode oder Koeffizientenvergleich nach Multiplikation mit x(3 − x)  a = −4/3, b = 4/3, d.h.

 1 1 4 − r(x) = 3 x−3 x (Zerlegung in elementar entwickelbare Terme) (ii) Taylor-Entwicklung: ∞ benutze die Formel für eine geometrische Reihe: n=0 q n = Umformung entsprechend dem Entwicklungspunkt x = 5

1 1−q

1 1 1/2 = = x−3 (x − 5) + (5 − 3) 1 − (5 − x)/2 1 1 1/5 = = x (x − 5) + 5 1 − (5 − x)/5 Subtraktion der Terme und Interpretation als geometrische Reihe mit q = (x − 5)/(−2) bzw. q = (x − 5)/(−5) 

  ∞

1 2 4 1 4 r(x) = − = (−2)−n − (−5)−n (x − 5)n 3 x−3 x 3 15 n=0 (iii) Konvergenzradius: Verwendung der Formel 1/r = lim sup |an |1/n mit den Taylor-Koeffizienten an = n→∞

(2/3)(−2)−n − (4/15)(−5)−n Vergleichskriterium, basierend auf der Abschätzung |2/3 − 4/15| 2−n ≤ |an | ≤ |2/3 + 4/15| 2−n       c− 1/n

limn→∞ c± /2 = 1/2

=⇒

c+

1/r = limn→∞ |an |1/n = 1/2

Alternative Lösung geometrische Reihe konvergent für |q| < 1  Konvergenzradien 2 und 5 Summe von Reihen konvergent auf kleinerem Kreis  r = 2

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Übersicht 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12

Extrema und Graph einer Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Schachtel mit größtem Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Autobahnzufahrt  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Abstand zu einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Extremales Rechteck in einer Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Funktionsuntersuchung eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . 256 Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion . . . . . . . . . . . 257 Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_17

246

16.1

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Extrema und Graph einer Betragsfunktion

Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f (x) = x2 − 4|x| − 5|x − 3| sowie deren Typ und skizzieren Sie den Graph. Verweise:

Extrema, Extremwerttest

Lösungsskizze (i) Unstetigkeitsstellen: Sprünge der Ableitung von f bei x1 = 0 und x2 = 3 (Argument einer der Betragsfunktionen null)  mögliche Extrema mit Funktionswerten y1 = −15 und y2 = −3 (ii) Extrema in glatten Bereichen: lokales Minimum, falls f  (x) = 0, da f  (x) = 2 > 0 (Segment einer nach oben geöffneten Parabel) (ii-a) x ∈ (−∞, 0), f (x) = x2 − 4(−x) − 5(3 − x) = x2 + 9x − 15 0 = f  (x) = 2x + 9 =⇒ lokales Minimum bei x3 = −9/2 , y3 = −141/4 (ii-b) x ∈ (0, 3), f (x) = x2 − 4x − 5(3 − x) = x2 + x − 15: 0 = f  (x) = 2x + 1 =⇒ x = −1/2, außerhalb des betrachteten Bereichs (ii-c) x ∈ (3, ∞), f (x) = x2 − 4x − 5(x − 3) = x2 − 9x + 15: 0 = f  (x) = 2x − 9 =⇒ lokales Minimum bei x4 = 9/2 , y4 = −21/4 (iii) Vergleich der kritischen Punkte: (−9/2, −141/4), (0, −15), (3, −3), (9/2, −21/4)

(xk , yk ) : lim f (x) = +∞

x→±∞

=⇒

kein globales Maximum, globales Minimum bei (−9/2, −141/4) −15 < −3 > −21/4 =⇒ lokales Maximum bei (3, −3) −141/4 < −15 < −3 =⇒ kein Extremum bei (0, −15) (iv) Skizze des Funktionsgraphen:

20

y

0

−20

−40 −12

−9

−6

−3 x

0

3

6

247

16.2

Schachtel mit größtem Volumen

Aus einem rechteckigen Stück Pappe soll, wie in der Abbildung illustriert ist, eine Schachtel hergestellt werden.

8

5

b a h

Bestimmen Sie die Länge a, Breite b und Höhe h, für die das Volumen maximal ist. Verweise:

Extrema

Lösungsskizze Abbildung  8 = 2a + 2h,

5 = b + 2h

Volumen der Schachtel als Funktion von h V (h) = abh = (4 − h)(5 − 2h)h = 2h3 − 13h2 + 20h Positivität von a, b  geometrisch zulässiger Bereich: h ∈ D = (0, 5/2) notwendige Bedingung für Extrema 0 = V  (h) = 6h2 − 26h + 20 Lösungsformel für quadratische Gleichungen  √ 13 7 26 ± 262 − 480 = ± , h± = 12 6 6 d.h. h− = 1, h+ = 10/3 Nur h− = 1 fällt in das zulässige Intervall D. Wegen V (0) = 0 = V (5/2) (Randpunkte) und V (h) > 0, h ∈ D, ist V (h) für h = 1 maximal (einzige lokale Extremstelle in D). Typ der Extremstelle ist ebenfalls mit der zweiten Ableitung V  (h) = 12h − 26 bestimmbar: V  (1) = −14 < 0

=⇒

V (1) ist lokales Maximum

h=1=  Länge a = 4 − 1 = 3 und Breite b = 5 − 2 = 3, d.h. Vmax = 3 · 3 · 1 = 9

248

16.3

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Maximierung von Einnahmen aus Buchverkäufen

Ein Verlag druckt ein Buch mit einer Auflage von 10000 Exemplaren. Erfahrungsgemäss ist die verkaufte Anzahl n vom Preis p abhängig: n = 10000 − 50p , gemäß einer verlagsinternen Statistik. a) Mit welchem Preis werden die maximalen Einnahmen erzielt? b) Welcher Preis ist optimal, wenn der nicht verkaufte Restbestand für ein Drittel des Preises abgegeben wird und davon ausgegangen werden kann, dass dann alle Bücher abgenommen werden? Wie hoch sind in beiden Fällen die erzielten Einnahmen? Verweise:

Extrema

Lösungsskizze a) Einnahmen ohne Restverkauf: E(p) = np = (10000 − 50p)p = 10000p − 50p2 nach unten geöffnete Parabel, positiv zwischen den Nullstellen p = 0 und p = 10000/50 = 200 =⇒ maximal für p mit 0 = E  (p) = 10000 − 100p,

d.h. p = 100

Einnahmen: E(100) = (10000 − 50 · 100) · 100 = 5000 · 100 = 500000 b) Einnahmen mit Restverkauf:

E(p) = np + (10000   − n)(p/3) =

10000 2 np + p 3 3

Restbestand

2 10000 100 2 = (10000 − 50p) p + p = 10000 p − p 3 3 3 maximal für p mit 0 = E  (p) = 10000 −

200 p, 3

d.h. p = 150

Einnahmen: 100 · 1502 3 = 1500000 − 750000 = 750000

E(150) = 10000 · 150 −

249

16.4

Tangente an eine Parabel und minimales Dreieck y

Bestimmen Sie das Dreieck minimalen Flächeninhalts, das durch die positive xund y-Achse sowie durch eine Tangente an die Parabel

f (x0 )

P : y = 3 − x2 gebildet wird. Verweise:

0

x0

Extrema, Extremwerttest

Lösungsskizze (i) Tangente an die Parabel und Zielfunktion: Ableitung y = 3 − x2 , dy/dx = −2x Tangente im Punkt (x0 , y0 ) = (a, 3 − a2 ) t : y − (3 − a2 ) = (−2a)(x − a)

⇔

y = −2ax + a2 + 3

Schnittpunkte mit den Achsen x = 0 : y = a2 + 3,

y=0: x=

1 2 (a + 3) 2a

Flächeninhalt des Dreiecks F (a) =

1 9 3 (a2 + 3)2 = a3 + a + 4a 4 2 4a

(ii) Minimierung: Nullsetzen der Ableitung 0 = F  (a) = 

3 2 3 9 −2 a + − a 4 2 4

quadratische Gleichung für a2 0 = a4 + 2a2 − 3

√ d.h. a2 = −1 ± 1 + 3 = −1 ± 2 zulässige Lösung a2 = 1, und a > 0 =⇒ a = 1,

F (a) = (1 + 3)2 /4 = 4

Randbetrachtung: a → ∞ : F (a) → ∞ a → 0 : F (a) → ∞ =⇒

globales Minimum bei a = 1

x

250

16.5

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Autobahnzufahrt 

Die Städte A und B sind durch eine Autobahn verbunden.

A

70 km

20 km B y

x 40 km

D Wie sind die Werte x und y für Anschlussstraßen von dem Dorf D zu wählen, um beide Städte möglichst schnell zu erreichen, wenn man von einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h auf der Autobahn und 60 km/h auf den Anschlusstraßen ausgeht? Verweise:

Extrema

Lösungsskizze (i) Straße nach A: benötigte Fahrtzeit 70 − x tA (x) = + 100

√

x2 + 402 , 60

x ≤ 70

Ableitung x 1 + √ 2 100 60 x + 402 Nullsetzen =⇒ x > 0 und Vereinfachen  1 x = √ ⇔ 602 (x2 + 402 ) = 1002 x2 100 60 x2 + 402 tA (x) = −

=⇒ x = 30 ∈ [0, 70] keine weitere Nullstelle von tA und lim tA (x) = ∞ x→±∞

=⇒

tA (0) > tA (30) < tA (70) aufgrund der Monotonie von tA links und rechts von x = 30  minimale Fahrtzeit tA (30) = 25 + 56 = 74 60 (ii) Straße nach B: analoge Rechnung aufgrund von tB (y) = tA (y)  y = 30 ∈ / [0, 20] Monotonie =⇒ Am schnellsten ist die direkte Verbindung nach B ohne Verwendung der Autobahn: √ 202 + 402 2√ = 5 y = 20, tB (20) = 60 3

251

16.6

Abstand zu einer Parabel

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes (0, 3) von der Parabel P : y = x2 /2. Verweise:

Extrema, Parabel

Lösungsskizze (i) Analytische Lösung: Quadrierter Abstand zum Punkt (x, y) = (x, x2 /2) d(x) = (x − 0)2 + (y − 3)2 = x2 + (x2 /2 − 3)2 d extremal

=⇒ 0 = d (x) = 2x + 2(x2 /2 − 3) x = 2x (x2 /2 − 2)

 Lösungen x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2 Vergleich der quadrierten Abstände d(0) = 9

>

d(±2) = 4 + 1 = 5

 √ d(x) → ∞ für x → ±∞ =⇒ minimaler Abstand d(xk ) = 5 für k = 2, 3 y-Koordinaten der nächstgelegenen Punkte (xk , yk ) ∈ P y2 = x22 /2 = 2,

y3 = (−2)2 /2 = 2

(ii) Geometrische Lösung: Verbindungsstrecke von (0, 3) zum nächstgelegenen Punkt Q ⊥ Tangente an die Parabel in Q =⇒ (0, 3) ∈ Normale g in Q Steigung der Parabel im Punkt Q = (a, b) = (a, a2 /2): s = a  Geradengleichung der Normalen g (negativ reziproke Steigung) g : y = b + (−1/s)(x − a) = a2 /2 − (1/a)(x − a) (x, y) = (0, 3) ∈ g

⇐⇒ 3 = a2 /2 + 1 ,

d.h. a = ±2 in Übereinstimmung mit (i)

252

16.7

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Extremales Rechteck in einer Ellipse

Bestimmen Sie für die abgebildete Ellipse das einbeschriebene achsenparallele Rechteck mit maximalem a) Flächeninhalt Verweise:

b) Umfang

Extrema, Ellipse

Lösungsskizze √ Halbachsenlängen 1/ 2, 1 2

E:



Ellipsengleichung

2

y x √ + 2 = 2x2 + y 2 = 1 bzw. 2 1 (1/ 2)

a) Flächeninhalt:

y=±

 1 − 2x2

 1 − 2x2 ,

√ x ∈ D = [0, 1/ 2] √ =⇒ F extremal an inneren Punkten von D (x ∈ (0, 1/ 2)) F (x) = (2x) (2y) = 4x

0 = F  (x) = 4(1 − 2x2 )1/2 + 4x (1/2) (1 − 2x2 )−1/2 (−4x) Multiplikation mit (1 − 2x2 )1/2 /4



0 = (1 − 2x2 ) − 2x2 = 1 − 4x2 , d.h. x = 1/2 im relevanten Intervall D Maximum, da einziger kritischer Punkt in D und größerer Flächeninhalt als für die √ Randpunkte x = 0 und x = 1/ 2   √ √ F (1/2) = 4 (1/2) 1 − 2 (1/2)2 = 2 1/2 = 2 > 0 = F (0) = F (1/ 2) b) Umfang:

 U (x) = 4x + 4y = 4x + 4 1 − 2x2 , √ U extremal für x ∈ (0, 1/ 2) =⇒ 0 = U  (x) = 4 + 4 (1/2) (1 − 2x2 )−1/2 (−4x)

√ x ∈ D = [0, 1/ 2]

⇐⇒ 

8x = 4(1 − 2x2 )1/2

∗(1−2x2 )1/2

Division durch 4 und Quadrieren 4x2 = 1 − 2x2 Maximum, da



√ x = 1/ 6 ∈ D

=⇒

 √ √ √ √ U (1/ 6) = 4/ 6 + 4 1 − 2/6 = 12/ 6 = 2 6    √ 4/6

√ √ und U (0) = 4, U (1/ 2) = 2 2 (kleinere Randwerte)

253

16.8

Funktionsuntersuchung eines Polynoms

Bestimmen Sie Nullstellen, Extrema und den Wendepunkt des Polynoms p(x) = x3 − 2x2 − 15x und skizzieren Sie den Graph. Verweise:

Funktionsuntersuchung, Extrema, Wendepunkte

Lösungsskizze (i) Ableitungen: p (x) = 3x2 − 4x − 15,

p (x) = 6x − 4

(ii) Nullstellen: x1 = 0 und p(x)/x = x2 − 2x − 15 = 0  √ x2,3 = 1 ± 1 + 15 = 1 ± 4,

d.h. x2 = −3, x3 = 5

(iii) Lokale Extrema: p (x) = 3x2 − 4x − 15 = 0  √ 2±7 2 ± 4 + 3 · 15 = , x4,5 = 3 3 Funktionswerte

5 d.h. x4 = − , x5 = 3 3

y4 = p(−5/3) = 400/27 ≈ 14.8148 (lokales Maximum) y5 = p(3) = −36

(lokales Minimum)

(Typ bestimmt durch Vorzeichenverteilung zwischen den Nullstellen) (iv) Wendepunkt: p (x) = 6x − 4 = 0



x6 = 2/3,

y6 = −286/27 ≈ −10.5926

(v) Skizze:

20

y

0

−20

−40 −5

Nullstellen Extrema Wendepunkte

0

5 x

254

16.9

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Funktionsuntersuchung einer rationalen Funktion

Führen Sie für die Funktion f (x) =

4 1 − x−3 x−2

eine Funktionsuntersuchung durch. Verweise:

Funktionsuntersuchung, Extrema, Wendepunkte, Asymptoten

Lösungsskizze (i) Symmetrien: keine (ii) Periodizität: nicht periodisch (iii) Unstetigkeitsstellen: einfache Pole (Vorzeichenwechsel) bei x1 = 2 und x2 = 3 (iv) Asymptoten: f (x) → 0 =⇒

für x → ±∞

x-Achse ist Asymptote

(v) Ableitungen: 4 1 − x−3 x−2 4 1  f (x) = − + (x − 3)2 (x − 2)2 8 2 f  (x) = − (x − 3)3 (x − 2)3 f (x) =

(vi) Nullstellen: 0 = f (x) =

4 1 4x − 8 − (x − 3) 3x − 5 − = = x−3 x−2 (x − 3)(x − 2) (x − 3)(x − 2)

 Nullstelle bei x3 = 5/3 x3 einfach (Vorzeichenwechsel), da f  (5/3) = −4/(−4/3)2 + 1/(−1/3)2 = 0 alternierendes Vorzeichen an den Polstellen und der Nullstelle sowie f (x) > 0 für x → ∞  Vorzeichenverteilung positiv für x ∈ (5/3, 2) ∪ (3, ∞), (vii) Extrema: Nullsetzen der Ableitung f  (x) 0=−

4 1 + (x − 3)2 (x − 2)2

negativ für x ∈ (−∞, 5/3) ∪ (2, 3)

 ⇔

4=

(x − 3)2 (x − 2)2

⇔

±2 =

x−3 x−2

255 mit den Lösungen x4 = 1 und x5 = 7/3 f (5/3) = 0, f negativ auf (−∞, 5/3) , x-Achse Asymptote =⇒ lokales Minimum bei x4 = 1 ∈ (−∞, 5/3) mit Wert y4 = −1 (alternative Begründung mit der hinreichenden Bedingung f  (1) = 1 > 0) lim f (x) = −∞ = lim f (x)

x→2+

x→3−

=⇒ lokales Maximum bei x5 = 7/3 ∈ (2, 3) mit Wert y5 = −9 (alternative Begründung mit der hinreichenden Bedingung f  (7/3) = −81 < 0) Monotoniebereiche (teste Vorzeichen von f  an geeigneten Punkten), begrenzt durch die Polstellen und die Nullstellen von f   wachsend für x ∈ (1, 2) ∪ (2, 7/3), fallend für x ∈ (−∞, 1) ∪ (7/3, 3) ∪ (3, ∞) (viii) Wendepunkte: Nullsetzen der zweiten Ableitung f  (x): 0=

8 2 − (x − 3)3 (x − 2)3

mit der Lösung x6 =

√ 2√3 4−3 3 4−1

⇔

4=

(x − 3)3 (x − 2)3

⇔

√ 3

4=

x−3 x−2

≈ 0.2976

f  (0) = −8/27 + 1/8 < 0, f  (1) = −1 + 2 > 0 =⇒ Vorzeichenwechsel von f  =⇒ Wendepunkt bei x6 mit Wert y6 ≈ −0.8928 (ix) Skizze:

15 10 5 0 Nullstellen

−5

Extrema Wendepunkte

−10 −15 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

256

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

16.10

Definitionsbereich und Extrema einer Wurzelfunktion

Bestimmen Sie die Extrema der Funktion  √ f (x) = x/ 2 + 2 2 + x − x2 auf ihrem Definitionsbereich. Verweise:

Extrema

Lösungsskizze (i) Definitionsbereich D: Argument der Wurzel p(x) = −(x2 − x − 2) nicht negativ  Bestimmung der Nullstellen der nach unten geöffneten Parabel p 4 1 1 3 1 x± = ± + 2 = ± , x− = −1, x+ = 2 2 4 2 2 =⇒ D = [−1, 2] f stetig auf D und stetig differenzierbar auf (−1, 2) =⇒ ∃ Minimum und Maximum, entweder an den Randpunkten x = −1, x = 2 oder an Punkten x ∈ (−1, 2) mit f  (x) = 0 (ii) Extrema:   d p(x)/dx = dp(x)1/2 /dx = 12 p (x)/ p(x) =⇒ 1 1 − 2x f  (x) = √ + √ 2 2 + x − x2 und 0 = f  (x) √ ⇔ ⇔

⇔

2 + x − x2 =

√

2(2x − 1)

2 + x − x2 = 2(4x2 − 4x + 1) 0 = 9x2 − 9x

∧

∧

2x − 1 ≥ 0

(da

√ . . . ≥ 0)

x ≥ 1/2

=⇒ x=1 Vergleich der Funktionswerte an den möglichen Extremstellen 1 f (−1) = − √ , 2 =⇒

√ 1 f (1) = √ + 2 2, 2

√ 2 f (2) = √ = 2 2

Minimum bei x = −1 und Maximum bei x = 1

257

16.11

Funktionsuntersuchung einer trigonometrischen Funktion

Führen Sie für die Funktion f (x) = cos x + durch. Verweise:

1 2

sin(2x) eine Funktionsuntersuchung

Funktionsuntersuchung, Extrema, Wendepunkte

Lösungsskizze (i) Symmetrien: keine (ii) Periodizität: 2π-periodisch 

betrachte x ∈ [0, 2π)

(iii) Unstetigkeitsstellen: keine (iv) Asymptoten: keine (v) Ableitungen: 1 sin(2x) = cos x(1 + sin x) 2  f (x) = − sin x + cos(2x) = 1 − sin x − 2 sin2 x f (x) = cos x +

f  (x) = − cos x − 2 sin(2x) = − cos x(1 + 4 sin x) f  (x) = sin x − 4 cos(2x) Umformung mit Hilfe der Additionstheoreme sin(2x) = 2 sin x cos x,

cos(2x) = cos2 x − sin2 x

(vi) Nullstellen: 0 = f (x) = cos x(1 + sin x) mit den Lösungen x1 = π/2, x2 = 3π/2 f  (π/2) = −2 < 0 =⇒ Nullstelle x1 einfach mit Vorzeichenwechsel (+ → −) f  (3π/2) = f  (3π/2) = 0, f  (3π/2) = 3 > 0 =⇒ Nullstelle x2 dreifach mit Vorzeichenwechsel (− → +), ebenfalls Wendepunkt Vorzeichenverteilung in [0, 2π), festgelegt durch die Vorzeichenwechsel an den Nullstellen positiv für x ∈ (0, π/2) ∪ (3π/2, 2π),

negativ für x ∈ (π/2, 3π/2)

258

16 Extremwerte und Funktionsuntersuchung

(vii) Extrema: Nullsetzen der Ableitung 0 = f  (x) = 1 − sin x − 2 sin2 x Lösungsformel für quadratische Gleichungen



1 3 sin x = − ± ∈ {−1, 1/2} , 4 4 d.h. x3 = 3π/2 (= x2 , kein Extremum), x4 = π/6, x5 = 5π/6 Funktionswerte √ √ 3 3 3 3 y3 = 0, y4 = , y5 = − 4 4 Existenz von Minimum und Maximum =⇒ globales Maximum bei x4 globales Minimum bei x5 Monotoniebereiche in [0, 2π) wachsend für x ∈ [0, π/6] ∪ [5π/6, 2π),

fallend für x ∈ [π/6, 5π/6]

(viii) Wendepunkte: Nullsetzen der zweiten Ableitung 0 = f  (x) = − cos x(1 + 4 sin x)



x6 = π/2 (= x1 , ebenfalls Nullstelle), x7 = 3π/2 (= x2 = x3 , ebenfalls Nullstelle) x8,9 : Lösungen von sin x = −1/4, d.h. x7 ≈ 3.3943, x8 ≈ 6.0305  Funktionswerte: cos(x) = ± 1 − sin2 x   √ √ y7 = − 1 − 1/16(1 − 1/4) = −3 15/16, y8 = 3 15/16 Vorzeichenwechsel von f  in allen Fällen  4 Wendepunkte (ix) Skizze:

1

Nullstellen Extrema Wendepunkte

0

−1

0

π/2

π

3π/2

2π

259

16.12

Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion

Führen Sie für die Funktion f (x) = (x + 1) e−2x eine Funktionsuntersuchung durch. Verweise:

Funktionsuntersuchung, Extrema, Wendepunkte

Lösungsskizze (i) Qualitatives Verhalten: =⇒ Asymptote g : x = 0 für x → ∞ limx→∞ xk e−2x = 0 (k = 0, 1) −2x Dominanz von x e für x → −∞  keine lineare Asymptote für x → −∞ (ii) Ableitungen: Produktregel, (uv) = u v + uv 



f  (x) = e−2x + (x + 1)(−2e−2x ) = (−1 − 2x) e−2x f  (x) = −2e−2x + (−1 − 2x)(−2e−2x ) = 4x e−2x f  (x) = (4 − 8x) e−2x (iii) Nullstellen: f (x) = (x + 1)  e−2x = 0



xN = −1

>0

(iv) Extrema: f  (x) = 0 ⇐⇒ −1 − 2x = 0  xE = −1/2 f  (xE ) = 4(−1/2)e−2(−1/2) < 0 =⇒ lokales Maximum −2(−1/2) yE = f (xE ) = (−1/2 + 1) e = e/2 f (x) → −∞, x → −∞ und f (x) → 0, x → ∞ =⇒ globales Maximum (v) Wendepunkte: f  (x) = 4x e−2x = 0  xW = 0, yW = (0 + 1) e−2·0 = 1 Wendepunkt, da f  (xW ) = (4 − 8 · 0) e−2·0 = 0 (Vorzeichenwechsel von f  ) (vi) Skizze:

2 1 0 -1 -2 -1

0

1

2

17 Tests

Übersicht 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6

Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen . 266 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Differentiationsregeln und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Extremwerte und Funktionsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Ergänzend zu den Tests in diesem Kapitel finden Sie unter dem Link unten auf der Seite eine interaktive Version dieser Tests als elektronisches Zusatzmaterial. Sie können dort Ihre Ergebnisse zu den Aufgaben in ein interaktives PDF-Dokument eintragen und erhalten unmittelbar eine Rückmeldung, ob die Resultate korrekt sind.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_18. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_18

262

17.1

17 Tests

Polynome und rationale Funktionen

Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und den Wertebereich W der Funktion  x → 2 − 1/ ln x. Aufgabe 2: Bestimmen Sie die reelle und komplexe Faktorisierung des Polynoms p(x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 2 , das die Nullstelle x = i besitzt. Aufgabe 3: Approximieren Sie f  (0) durch quadratische Interpolation der Daten x 0 1 2

.

f 0 1 3

Aufgabe 4: Welche Mindestgeschwindigkeit v muss ein Baseball bei einem Abschlagwinkel von 45◦ mindestens haben, um die 90m entfernte Stadionbegrenzung zu erreichen? Gehen Sie von einer gleichen Höhe des Abschlagpunktes und der Stadionbegrenzung aus, und verwenden Sie 10m/s2 für die Erdbeschleunigung. Aufgabe 5: Bestimmen Sie die irreduzible Darstellung der rationalen Funktion r(x) =

x3 − x2 − x + 1 . x3 + x2 + x + 1

Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von r(x) =

3−x . x4 − x2

Aufgabe 7: Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von r(x) =

x2 + 7x + 2 . x3 + 3x2 + x − 5

263 Aufgabe 8: Bestimmen Sie die komplexe Partialbruchzerlegung von r(x) =

2x4 . x3 + 1

264

17 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Berücksichtigen Sie sukzessive die Definitionsbereiche von y = ln x, z = 1/y und √ 2 − z. Untersuchen Sie zur Bestimmung des Wertebereichs das Verhalten der Funktion bei Annäherung von x an Randpunkte des Definitionsbereichs. Aufgabe 2: Ist z = a + ib eine Nullstelle eines Polynoms p mit reellen Koeffizienten, so auch z¯ = a − ib. Durch Division von p(x) durch das Produkt der entsprechenden Linearfaktoren lassen sich die weiteren Nullstellen bestimmen. Die komplexe Faktorisierung ist das Produkt der Linearfaktoren. Bei der reellen Faktorisierung werden Linearfaktoren zu Paaren komplex konjugierter Nullstellen zusammengefasst: (x − z)(x − z¯) = (x − a)2 + b2 . Aufgabe 3: Verwenden Sie die Lagrange-Form des die Daten (xk , fk ) interpolierenden quadratischen Polynoms, p(x) =

2

fk qk (x),

qk (x) =

k=0

und die Approximation f  (0) =

 x − xk , xj − xk

j =k

k

fk qk (0).

Aufgabe 4: Die Flugbahn (x(t), y(t)) ist eine Überlagerung einer gleichförmigen Bewegung mit v dem Betrag der Geschwindigkeit und einer durch die Erdanziehung vertikal beschleunigten Bewegung. Aus den Gleichungen x(t) = 90, y(t) = 0 (Auftreffen an der Stadionmauer) können die Flugzeit t und die Mindestgeschwindigkeit v bestimmt werden. Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Nullstellen von Zähler und Nenner und kürzen Sie durch die Linearfaktoren zu gemeinsamen Nullstellen. Aufgabe 6: Machen Sie entsprechend der Polstellen von r den Ansatz r(x) =

b c d a + + 2+ . x−1 x+1 x x

Die Koeffizienten a, b, c lassen sich mit der Grenzwertmethode bestimmen. Beispielsweise erhalten Sie c durch Multiplikation des Ansatzes mit x2 und Setzen von x = 0. Den verbleibenden Koeffizienten d bestimmt man am einfachsten mit einer Punktprobe, d.h. man wählt im Ansatz für x einen von den Polstellen verschiedenen Wert.

265 Aufgabe 7: Dividieren Sie das Nennerpolynom x3 + 3x2 + x − 5 durch den Linearfaktor x − 1 zur Polstelle 1 und bemerken Sie, dass der Quotient q(x) keine reellen Nullstellen (weitere reelle Polstellen) hat. Demzufolge ist der Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung a bx + c + . r(x) = x−1 q(x) Den Koeffizienten a erhalten Sie mit der Grenzwertmethode, d.h. durch Multiplikation des Ansatzes mit x − 1 und Setzen von x = 1. Der zweite Term kann durch Abziehen von a/(x − 1) von r(x) bestimmt werden. Aufgabe 8: Da der Zählergrad von r größer als der Nennergrad ist, besitzt die Partialbruchzerlegung einen polynomialen Anteil p, d.h. der Ansatz ist r(x) = p(x) +

¯b b a + + . x − (−1) x − z x − z¯

Das lineare Polynom p lässt sich durch eine einfache Umformung bestimmen (i.a. wäre eine Polynomdivision nötig). Die Polstellen (−1), z = u+iv, z¯ = u−iv sind die Nullstellen des Nennerpolynoms x3 + 1. Da r reell ist, sind die letzten beiden Terme komplex konjugiert. Es braucht neben p also nur a und b bestimmt zu werden. Dazu verwendet man am einfachsten die Grenzwertmethode. Man multipliziert den Ansatz mit x + 1 bzw. x − z und setzt dann x = −1 bzw. x = z.

266

17.2

17 Tests

Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Aufgabe 1: Welches Kapital K ist ausreichend, um bei 4% effektivem Jahreszins und monatlicher Verzinsung jeweils zu Monatsbeginn 10 Jahre lang eine Rente von 1000EUR auszahlen zu können? Aufgabe 2: Wie hoch ist die jeweils am Jahresende zu zahlende Rate r, um ein jährlich mit 5 % verzinstes Darlehn von 100000 EUR in 20 Jahren zurück zu zahlen? Aufgabe 3: Bei welchem jeweils am Jahresende gezahlten Zinssatz p verdoppelt sich ein Kapital in 10 Jahren? Aufgabe 4: Lösen Sie die Gleichung ln(5ex − 1) − ln(ex + 1) = x + ln 2 . Aufgabe 5: Die Erdbevölkerung wuchs im Zeitraum von 2000 bis 2020 von 6.13 auf 7.79 Milliarden. Geht man von einem exponentiellen Wachstumsmodell aus, um wie viele Milliarden würde die Erdbevölkerung in den nächsten 20 Jahren zunehmen? Aufgabe 6: Für die (noch) strahlende Masse einer Mischung von zwei radioaktiven Materialien mit Halbwertszeiten T1 = 1/2 und T2 = 2 gilt m(t) = m1 2−t/T1 + m2 2−t/T2 . Bestimmen Sie das Verhältnis m2 /m1 der Massenanteile, wenn m(t) in einer Zeiteinheit um die Hälfte abnimmt (m(1) = m(0)/2). Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Lösungen t ∈ [0, 2π) der Gleichung sin(2t) = sin2 t . Aufgabe 8: Schreiben Sie u(t) = cos t sin(2t) cos(3t) als Linearkombination von sin(kt), k = 1, 2, . . ..

267 Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Amplitude c und Phase δ der harmonischen Schwingung x(t) = sin(2t − π/3) − cos(2t + π/6) .

268

17 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Der monatliche Zinsfaktor ist q = (1 + p/100)1/12 mit p dem effektiven Jahreszins in Prozent. Bezeichnet Kn das Restkapital nach n Rentenzahlungen, so ist Kn+1 = Kn q − 1000. Leiten Sie aus dieser Rekursion eine Formel für K120 her, und bestimmen Sie K aus der Gleichung K120 = 0. Aufgabe 2: Leiten Sie aus der Rekursion Kn+1 = Kn q − r mit dem Zinsfaktor q = 1.05 und Kn der Restdarlehnssumme nach n Ratenzahlungen eine Formel für K20 her, und bestimmen Sie r aus der Gleichung K20 = 0. Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Jahreszinssatz p (in Prozent) aus der Gleichung K(1 + p/100)10 = 2K, die die Verdopplung eines verzinsten Kapitals K in 10 Jahren beschreibt. Aufgabe 4: Vereinfachen Sie die Gleichung durch Anwendung der Regeln ln a + ln b = ln(ab), ln a − ln b = ln(a/b), substituieren Sie dann y = ex und lösen Sie die entstehende quadratische Gleichung. Aufgabe 5: Bestimmen Sie für das Wachstumsmodell p(t) = c eλt den Wachstumsfaktor qΔ = p(t + Δt)/p(t) für das Zeitintervall Δt = 20 und berechnen Sie dann den Zuwachs p(2040) − p(2020) = p(2020)(qΔ − 1). Aufgabe 6: Nach Division der Gleichung m(0) = 2m(1) durch m1 erhalten Sie eine lineare Gleichung für m2 /m1 . Aufgabe 7: Formen Sie die Gleichung mit den Identitäten sin(2t) = 2 sin t cos t, sin2 t+cos2 t = 1 um. Aufgabe 8: Vewenden Sie die Formeln von Euler-Moivre cos ϕ =

eiϕ + e−iϕ , 2

sin ϕ =

eiϕ − e−iϕ . 2i

Aufgabe 9: Ersetzen Sie sin ϕ durch cos(ϕ−π/2) und gehen Sie mit Hilfe von cos ϕ = Re eiϕ zur komplexen Darstellung über. Nach Umformung können Sie die Standarddarstellung der harmonischen Schwingung ablesen.

269

17.3

Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Aufgabe 1: ln(n2 ) = 2 ohne Anwendung von Grenzwertsätzen. n→∞ 1 + ln(3n)

Zeigen Sie lim

Aufgabe 2:  n 23n + 32n . Berechnen Sie lim n→∞

Aufgabe 3:

√

n2 + n + 1 √ . n→∞ n + n2 + 1

Berechnen Sie lim

Aufgabe 4: Berechnen Sie lim (1 + 1/n2 )3n (1 + 2/n)n/3 . n→∞

Aufgabe 5: Bestimmen Sie den unendlichen Kettenbruch 2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/ . . .)))). Aufgabe 6: Berechnen Sie

∞

n2−n .

n=1

Aufgabe 7: Entscheiden Sie, ob die Reihen a)

∞

(−2)n n−2

n=1

b)

∞ cos(nπ) 1 + ln n n=1

c)

 ∞

2n n=1

n

/n!

konvergent, absolut konvergent oder divergent sind. Aufgabe 8: Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen a)

∞ 2n (1 + x)n 3 n n=1

b)

Aufgabe 9: Untersuchen Sie, ob die Funktion f (x) = √

∞

n! (x/n)n

n=1

x √ für x = 0 stetig fort1−x− 1+x setzbar ist und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

270

17 Tests

Aufgabe 10: Bestimmen Sie die Grenzwerte a)

lim (1 + x2 )3/x

x→0

b)

lim (1 − 3x)2/

x→0+

√

x

271 Lösungshinweise Aufgabe 1: Formen Sie die Differenz zum Grenzwert, Δn = ln(n2 )/(1 + ln(3n)) − 2, durch Anwendung der Logarithmengesetze ln(ab ) = b ln a, ln(ab) = ln a + ln b um. Bestimmen Sie dann nε , so dass |Δn | < ε für n > nε , indem Sie zunächst Δn durch einen einfacheren Ausdruck nach oben abschätzen. Aufgabe 2:  Schreiben Sie das Folgenelement in der Form 9 n (8/9)n + 1 und wenden Sie das Vergleichskriterium an: an ≤ bn ≤ cn Benutzen Sie, dass limn→∞

=⇒ √ n

lim an ≤ lim bn ≤ lim cn .

n→∞

n→∞

n→∞

r = 1 für alle r > 0.

Aufgabe 3: Dividieren Sie Zähler und Nenner der Folgenelemente durch n und wenden Sie die Regeln für Grenzwerte von Summen und Quotienten an. Aufgabe 4: 2 Benutzen Sie nach geeigneter Umformung, dass (1 + 1/n2 )n → e, (1 + 2/n)n/2 → e, √ n e → 1. Aufgabe 5: Beschreiben Sie die Folge a0 = 2 + 1,

a1 = 2 +

1 , 2+1

a2 = 2 +

1 1 , 2 + 2+1

...

durch eine Rekursion an+1 = f (an ). Zeigen Sie, dass |an+1 − an | ≤ c|an − an−1 | mit c < 1. Damit ist der Kettenbruch eine konvergente Fixpunktiteration und der Grenzwert die Lösung der Fixpunktgleichung a = f (a). Aufgabe 6: Differenzieren Sie die Formel für eine geometrische Reihe,

∞ n=0

zieren Sie mit q und setzen Sie anschließend q = 1/2.

qn =

1 , multipli1−q

272

17 Tests

Aufgabe 7: a), c) Berechnen Sie für die Summanden an den Grenzwert q = limn→∞ |an+1 /an | und wenden Sie das Quotientenkriterium an: q < 1 =⇒ absolute Konvergenz,

q > 1 =⇒ Divergenz .

b) Zeigen Sie, dass die Summanden an eine alternierende Folge mit monoton fallenden Beträgen bildet, und wenden Sie das Leibniz-Kriterium an, um die Konvergenz zu zeigen. Beweisen Sie durch Angabe einer geeigneten Minorante (Abschätzung von 1/(1 + ln n) nach unten), dass die Reihe nicht absolut konvergent ist. Aufgabe 8: Berechnen Sie für die Koeffizienten an von (1 + x)n bzw. xb den Grenzwert q = limn→∞ |an+1 /an |, der nach dem Quotientenkriterium der Kehrwert des Konvergenzradius ist. Aufgabe 9: √ √ Vereinfachen Sie den Funktionsausdruck durch Erweitern mit 1 − x + 1 + x und Anwendung der dritten binomischen Formel. Aufgabe 10: Formen Sie die Funktionsausdrücke um, so dass Sie die bekannten Grenzwerte lim (1 + f (x))1/f (x) = e,

x→0

lim af (x) = 1 für a > 0 ,

x→0

für Funktionen f mit f (x) −→ 0 benutzen können. x→0

273

17.4

Differentiationsregeln und Anwendungen

Aufgabe 1: √ Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion x → 2x + 1 als Grenzwert des Differenzenquotienten. Aufgabe 2: Berechnen Sie für f (x) = x3 e−x den Wert f (100) (0). Aufgabe 3: Differenzieren Sie f (x) =

x ln x , x + ln x

g(x) =

x − ex . xex

Aufgabe 4: Bestimmen Sie die zweiten Ableitungen der Funktionen f (x) = ln(1 + 1/x),

g(x) = ex

2

/2

.

Aufgabe 5: Berechnen Sie für g(x) = f (f (x))/(x + f (x)) mit f (1) = 1, f  (1) = 2 die Ableitung g  (1). Aufgabe 6: Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der (lokalen) Umkehrfunktion g von f (x) = x3 − 2x + 1,

x ≈ 1,

an der Stelle f (1) = 0. Aufgabe 7: Differenzieren Sie f (x) = (ln x)x ,

g(x) = xln x

für x > 1. Aufgabe 8: Schätzen Sie die Beträge des absoluten und relativen Fehlers von a = b tan α für b = 900 und einem gemessenen Winkel α = π/6 mit einem Fehler von 1%.

274

17 Tests

Aufgabe 9: Berechnen Sie a)

√ 2− x lim √ x→4 2/ x − 1

b)

lim (2x − π) tan x

x→π/2

275 Lösungshinweise Aufgabe 1: Vereinfachen Sie den Differenzenquotienten (f (y + h) − f (x))/h durch Erweitern  √ mit 2(x + h) + 1 + 2x + 1 und Anwenden der dritten binomischen Formel. Aufgabe 2: Verwenden Sie die Leibniz-Formel, (uv)

(n)

=

n  n k=0

k

u(k) v (n−k) ,

und beachten Sie, dass für u(x) = x3 nur die dritte Ableitung an der Stelle x = 0 nicht verschwindet. Aufgabe 3: a) Verwenden Sie die Produkt- und Quotientenregel, (uv) = u v + uv  und (u/v) = (u v − uv  )/v 2 . b) Vereinfachen Sie zunächst und differenzieren Sie dann die elementaren Terme. Aufgabe 4: Verwenden Sie die Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen u(x) = z(y(x)): dz dz dy = dx dy dx

bzw.

u (x) = z  (y(x)) y  (x) .

Aufgabe 5: Verwenden Sie die Quotientenregel, (u/v) = (u v − uv  )/v 2 , sowie die Kettenregel, d   dx u(v(x)) = u (v(x))v (x) und setzen Sie die gegebenen Werte ein. Aufgabe 6: Differenzieren Sie g(f (x)) = x mit der Kettenregel. Sie erhalten Beziehungen zwischen den Ableitungen von f und g, aus denen sich g  (0) und g  (0) bestimmen lassen. Aufgabe 7: Benutzen Sie die logarithmische Ableitung: u (x) = u(x)

d ln u(x) dx

für positive Funktionen u. Aufgabe 8: Verwenden Sie die Näherung |Δa| ≈ |f  (α)||Δα| für den Betrag des absoluten Fehlers. Den relativen Fehler erhalten Sie mit Division durch |f (π/6)|.

276

17 Tests

Aufgabe 9: Verwenden Sie die Regel von L’Hôpital (0/0): u(x) u (x) = lim  . x→a v(x) x→a v (x) lim

Ersetzen Sie dazu bei Teil b) tan x durch 1/ cot x.

277

17.5

Taylor-Entwicklung

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Taylor-Darstellung des Polynoms p(x) = (x − 1)2 + (x − 4)2 im Punkt x = 3. Aufgabe 2: Benutzen Sie die auf vier Nachkommastellen gerundeten Werte cos 1 ≈ 0.5403 und sin 1 ≈ 0.8414, um cos 1.1 mit einem Fehler kleiner als 10−4 zu approximieren. Aufgabe 3: Entwickeln Sie f (x) =



3 + exp(2x)

um x = 0 bis zu Termen zweiter Ordnung einschließlich. Aufgabe 4: Entwickeln Sie f (x) =

1 1 + x + x2

um x = 0 bis zu Termen dritter Ordnung einschließlich. Aufgabe 5: Bestimmen Sie die quadratische Taylor-Approximation der Lösung x(ε) der Gleichung ex − 1 = ε cos x für ε ≈ 0. Aufgabe 6: Berechnen Sie mit Hilfe von Taylor-Approximation a)

exp(x2 ) − cos(2x) x→0 sin2 (2x) lim

b)

Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion √ f (x) = 1/ 2x + 3 im Punkt x = 3.

ln2 x √ x→1 1 − 2 x + x lim

278

17 Tests

Aufgabe 8: Entwickeln Sie f (x) = 1/(x − 3)2 im Punkt x = 4 in eine Taylor-Reihe.

279 Lösungshinweise Aufgabe 1: Eine Entwicklung nach Potenzen von ξ = x − 3 erhalten Sie durch die Substitution x = ξ + 3. Aufgabe 2: Setzen Sie die gegebenen Werte in die Taylor-Approximation f (1.1) ≈

3 f (k) (1) k=0

k!

0.1k

ein. Zeigen Sie dann, dass die Summe der einzelnen Rundungsfehler und der Schran(4) ke |f 4!(ξ)| 0.14 für das Taylor-Restglied kleiner als 10−4 ist. Aufgabe 3: Setzen Sie die Entwicklung von y = 3+exp(2x) im Punkt x0 = 0 in die Entwicklung √ von y im Punkt y0 = 3 + exp(2x0 ) = 4 ein. Aufgabe 4: Verwenden Sie die Identität a/(1 − ε) = a(1 + ε)/(1 + ε2 ), um den Bruch durch sukzessives Erweitern auf die Form g(x)/(1 + O(x4 )) = g(x) + O(x4 ) zu bringen. Aufgabe 5: Bilden Sie die erste und zweite Ableitung der Gleichung ex(ε) − 1 = ε cos x(ε) nach ε und setzen Sie dann ε = 0, x(0) = 0, um x (0) und x (0) zu berechnen. Aufgabe 6: Verwenden Sie die Entwicklungen a) et = 1 + t + · · · , cos t = 1 − t2 /2 + · · · , sin t = t + · · · √ b) ln x = ξ + · · · , x = 1 + ξ/2 − ξ 2 /8 + · · · mit ξ = x − 1 Aufgabe 7: Durch Bilden der ersten zwei oder drei Ableitungen lässt sich die Form von f (n) (x) erkennen. Benutzen Sie zur Vereinfachung der Taylor-Koeffizienten f (n) (3)/n!, dass 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (2n)!/(2n n!). Aufgabe 8: ∞ 1 = n=0 q n , indem Sie x = 4−q Entwickeln Sie 1/(x−3) als geometrische Reihe, 1−q substituieren. Die Funktion 1/(x − 3)2 erhalten Sie dann durch Differenzieren der Reihe.

280

17.6

17 Tests

Extremwerte und Funktionsuntersuchung

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f (x) = |x2 − 4| − |x + 1|. Aufgabe 2: √ Bestimmen Sie Minimum und Maximum der Funktion f (x) = x 6 − x auf dem Intervall [2, 5]. Aufgabe 3: Die Abbildung zeigt ein Zelt mit quadratischer Grundfläche (Pyramide) und vier Zeltstangen (schräge Kanten) der Länge a von oben. Für welche Höhe h ist das Volumen V maximal? Aufgabe 4: Eine Firma verkauft jährlich 10000 Stück eines Produktes zu einem Preis von p = 9 EUR. Erfahrungsgemäß nimmt die verkaufte Stückzahl N bei Erhöhung des Preises exponentiell ab: N (p) = 10000 e−(p−9)/10 . Welcher Preis p ≥ 9 wäre optimal? Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms p(x) = ax3 + bx + c , das bei x = −2 eine Nullstelle und im Punkt (1, 0) ein lokales Extremum hat. Ermitteln Sie ebenfalls die zweite lokale Extremstelle. Aufgabe 6: Führen Sie für die Funktion f (x) =

x2 − 5 x−3

eine Funktionsuntersuchung durch. Aufgabe 7: Führen Sie für die Funktion f (x) = 1/x + ln x, eine Funktionsuntersuchung durch.

x > 0,

281 Aufgabe 8: Bestimmen Sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion f (x) = ex sin x auf dem Intervall [0, 2π].

282

17 Tests Lösungshinweise

Aufgabe 1: Eliminieren Sie zunächst die Beträge durch separates Betrachten der durch die Nullstellen von x2 − 4 und x + 1 begrenzten Intervalle (−∞, −2], [−2, −1], [−1, 2], [2, ∞). Bilden Sie jeweils die Ableitung und bestimmen Sie damit die Bereiche, auf denen f monoton fällt bzw. steigt. Aus dem Monotonieverhalten ergeben sich die Extrema. Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Nullstelle x0 von f  und vergleichen Sie f (x0 ) mit den Randwerten f (2), f (5), die ebenfalls Extrema sein können. Aufgabe 3: Drücken Sie durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras die Seitenlänge der Grundfläche durch die Höhe h des Zeltes aus. Durch Nullsetzen der Ableitung des Zeltvolumens V (h) können Sie die optimale Höhe und damit das maximale Volumen (in Abhängigkeit von a) bestimmen. Aufgabe 4: Den optimalen Preis p erhalten Sie durch Nullsetzen der Ableitung des Gewinns G(p) = pN (p). Aufgabe 5: Die Bedingungen p(−2) = 0 (Nullstelle), p (1) = 0 (Extremstelle), p(1) = 0 (Extremwert) ergeben drei lineare Gleichungen für die Koeffizienten des Polynoms. Die zweite Extremstelle erhalten Sie durch Lösen der quadratischen Gleichung p (x) = 0. Aufgabe 6: Durch Polynomdivision erhalten Sie die einfachere Darstellung f (x) = ax + b +

c x−3

der Funktion f . Bestimmen Sie dann die Nullstellen von f , von f  (Extremstellen) und von f  (Wendepunkte). Aufgabe 7: Bestimmen Sie zunächst Extrem- und Wendepunkte und entscheiden Sie dann, ob f eine Nullstelle haben kann. Aufgabe 8: Die Funktion und ihre Ableitungen haben Produktform mit dem Faktor ex , der für die Bestimmung von Null-, Extrem- und Wendestellen irrelevant ist.

Teil IV Integralrechnung

18 Integral und Stammfunktion

Übersicht 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10 18.11

Grenzwerte als Riemann-Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Fehler von Riemann-Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Gewichte einer Quadraturformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Integration elementarer Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Stammfunktionen von Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . 292 Rationale Integranden mit einer Polstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Integration von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Differenzieren von Integralen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_19

286

18.1

18 Integral und Stammfunktion

Grenzwerte als Riemann-Summen

Berechnen Sie a)

n 1 (3k − 4n)2 lim n→∞ n3

b)

k=1

Verweise:

lim

n→∞

6n k=n

1 2k + 3n

Riemann-Integral

Lösungsskizze Riemann-Summe

5

b

f (x) dx ≈ h (f (ξ1 ) + · · · + f (ξm )) a

mit h = (b − a)/m und ξ ∈ [a + ( − 1)h, a + h] a) Umformung

 sn =

n n 1 1 2 (3k − 4n) = (3k/n − 4)2 n3 n k=1

k=1

Riemann-Summe mit f (x) = (3x − 4)2 , h = 1/n, a = 0, b = 1 und ξ = /n  Grenzwert 1  5 1 −64 1 −1 lim sn = (3x − 4)3 = − =7 (3x − 4)2 dx = n→∞ 9 9 9 0 0 Alternative Lösung Verwendung der Formeln n k=1

n(n + 1) , k= 2

n

k2 =

k=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

zur expliziten Berechnung von sn b) Umformung

 6n

1 1 1 = + 2k + 3n 2n  + 3n n k=n  an

6n

1 2k/n + 3 k=n+1   sn

sn : Riemann-Summe mit f (x) = (2x + 3)−1 , h = 1/n, a = 1, b = 6 und ξ = 1 + /n  Grenzwert  6 5 6 √ 1 dx lim (an + sn ) = 0 + = ln(2x + 3) = ln 3 ≈ 0.5493 n→∞ 2 1 2x + 3 1

287

18.2

Fehler von Riemann-Summen

Bestimmen Sie den Fehler der Riemann-Summen mit Auswertung an den Intervallmittelpunkten für die Integrale 5 1 5 2π a) x2 dx b) cos(nx) dx, n ∈ N 0

Verweise:

0

Riemann-Integral, Formel von Euler-Moivre

Lösungsskizze 6b m Riemann-Summe S = a f ≈ Sh = h k=1 f (a − h/2 + kh), 61 a) S = 0 x2 dx = 1/3: Sh = h

m

(−h/2 + kh)2 = h3

k=1

m

1/4 − k + k 2 ,

h = (b − a)/m

h = 1/m

k=1

Formeln für die Summe der Zahlen von 1 bis n und deren Quadrate  

m (m + 1)m (2m + 1)(m + 1)m 1 1 −3 Sh = m − + = − 4 2 6 3 12m2 und |S − Sh | = h2 /12 6 2π b) S = 0 cos(nx) dx = 0: m cos(n(−h/2 + kh)), h = 2π/m Sh = h k=1

Formel von Euler-Moivre, cos t = (eit + e−it )/2, mit t = n(−h/2 + kh) und Verwendung der Abkürzung qσ = eσinh = eσi(2πn/m)  m m h h eσin(−h/2+kh) = e−σinh/2 qσk Sh = 2 2 k=1 σ∈{1,−1}

k=1

σ∈{1,−1}

qσ = 1 ⇐⇒ n/m ∈ /N qσm = eσi(2πn) = 1

=⇒

m k=1

qσk = qσ

qσm − 1 =0 qσ − 1

=⇒ |S − Sh | = 0 qσ = 1 ⇐⇒ n/m =  ∈ N  h  −inh/2 e + einh/2 · m = 2π cos(nh/2) = 2π(−1) Sm =    2 nπ/m

=⇒

|S − Sh | = 2π

Fehler nicht null, nur wenn m = 1, m = n, oder wenn m ein Teiler von n ist =⇒ hohe Genauigkeit der (sehr einfachen) Mittelpunktsregel für periodische Funktionen1

1

Für f (x) = sin(nx) ist der Fehler für alle m, n aus Symmetriegründen null.

288

18.3

18 Integral und Stammfunktion

Gewichte einer Quadraturformel

Bestimmen Sie die Gewichte wk der Newton-Cotes-Approximation 5 h f (x) dx = h(w−1 f (−h) + w0 f (0) + w1 f (h)) + O(h5 ) , −h

bei der Polynome vom Grad ≤ 3 exakt integriert werden. Testen Sie die Genau61√ 61 igkeit exemplarisch für die Integrale 0 ex dx und 0 x dx bei Verwendung von 4 Teilintervallen der Länge 2h = 1/4. Verweise:

Riemann-Integral, Interpolation mit Polynomen

Lösungsskizze (i) Gewichte: Exaktheit für Polynome vom Grad ≤ 3 w1 hk ), k = 0, 1, 2, 3

⇐⇒

6h −h

xk dx = h(w−1 (−h)k + w0 0k +

k = 0 =⇒ 2h = h(w−1 + w0 + w1 ) k = 1 =⇒ 0 = h(w−1 (−h) + w1 h), d.h. w−1 = w1 k = 2 =⇒

2 3 3h

= h(w−1 (−h)2 + w1 h2 )

Einsetzen von w−1 = w1 in die letzte Gleichung =⇒ erste Gleichung =⇒ w0 = 2 − w−1 − w1 = 4/3

w±1 = 1/3

Symmetrie der Gewichte =⇒ Exaktheit für f (x) = x3 und alle anderen Monome mit ungeradem Exponenten Alternative Lösung Bestimmung der Gewichte als Integrale der Lagrange-Polynome für Interpolation mit quadratischen Polynomen an den Punkten x−1 = −h, x0 = 0, x1 = h, z.B. gilt für das Gewicht zu x0 5 h 5 h (x − x−1 )(x − x1 ) (x + h)(x − h) dx = dx hw0 = −h (x0 − x−1 )(x0 − x1 ) −h (0 + h)(0 − h) (ii) Approximation: doppelte Verwendung der Gewichte w±1 an gemeinsamen Intervallendpunkten bei Unterteilung  Gewichtsvektor W = h (1/3, 4/3, 2/3, 4/3, 2/3, 4/3, 2/3, 4/3, 1/3) bei einer Unterteilung in n = 4 Intervalle und 5 1 2n f (x) dx ≈ Sh = h W (k)f (kh), S= 0

h = 1/(2n)

k=0

Fehler für die Testbeispiele ex : |S − S1/8 | = |(e − 1) − 1.783 . . . | ≈ 2.3262 · 10−6 √ x : |S − S1/8 | = |(2/3) − 0.6631| ≈ 0.003587 √ schlechtere Genauigkeit für x wegen der Singularität der Ableitungen bei x = 0

289

18.4

Fläche, begrenzt durch den Graph eines Polynoms y

Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche, die durch den Graph des Polynoms

x

f (x) = x3 − x2 − 2x und die x-Achse begrenzt wird.

Verweise:

Hauptsatz der Integralrechnung, Stammfunktion

Lösungsskizze (i) Nullstellen: 0 = f (x) = x3 − x2 − 2x = x(x2 − x − 2)  x1 = 0 Lösungsformel für quadratische Gleichungen x2,3 = 

1 3 1  ± 1/4 + 2 = ± 2 2 2

x2 = −1, x3 = 2

Vorzeichenverteilung von f positiv auf (−1, 0) ∪ (2, ∞),

negativ auf (−∞, −1) ∪ (0, 2)

(ii) Stammfunktion: 5 F (x) =

x3 − x2 − 2x dx =

1 4 1 3 x − x − x2 + C 4 3

(iii) Fläche: Aufteilung oberhalb und unterhalb der x-Achse f > 0 für −1 < x < 0



A+ = [F (x)]0−1 = 0 − f < 0 für 0 < x < 2

1 1 + −1 4 3

 =

5 12



A− = −[F (x)]20 = −

 1 1 8 · 16 − · 8 − 4 + 0 = 4 3 3

Gesamtfläche A+ + A− = 37/12 ≈ 3.0833

290

18.5

18 Integral und Stammfunktion

Integration elementarer Wurzelfunktionen

Berechnen Sie

5

7

a)

√ 3

5 1 + x dx

5

b)

0

√

3x + 1 dx

1

und bilden Sie die Stammfunktion von f (x) = √ Verweise:

x . 2x + 1

Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze Stammfunktionen F von Potenzen: 5 1 (ax + b)r+1 + C F (x) = (ax + b)r dx =    a(r + 1) f (x)

für r = −1 und a, b ∈ R, a = 0 √ a) f (x) = 3 1 + x = (x + 1)1/3 : r = 1/3, a = 1, b = 1  Stammfunktion 1 3 (x + 1)1/3+1 + C = (x + 1)4/3 + C 1/3 + 1 4 6d Hauptsatz der Integralrechnung: c f (x) dx = F (d) − F (c)  5 7 √  45 3 3 3 4 3 2 − 14 = 1 + x dx = F (7) − F (0) = 84/3 − 14/3 = 4 4 4 4 0 √ 1/2 b) f (x) = 3x + 1 = (3x + 1) : 3

√ 1 3x + 1 : r = 1/2, a = 3, b = 1  F (x) = 3·3/2 (3x + 1)3/2 = 29 Hauptsatz der Integralrechnung  5 5 3 2 √ 3 2 112 2 √ f (x) dx = 15 + 1 − 3 + 1 = (64 − 8) = 9 9 9 9 1 √ c) Stammfunktion von f (x) = x/ 2x + 1: Umformung  F (x) =

f (x) =

1 1 1 2x + 1 1 1 √ − √ = (2x + 1)1/2 − (2x + 1)−1/2 2 2x + 1 2 2x + 1 2 2

Anwendung der Formel für Stammfunktionen von Potenzen mit a = 2, b = 1 und r = ±1/2  F (x) =

1 1 1 1 (2x + 1)3/2 − (2x + 1)1/2 + C 2 2 · (1/2 + 1) 2 2 · (−1/2 + 1)

= (2x + 1)3/2 /6 − (2x + 1)1/2 /2 + C 

2x + 1 1 x−1√ − (2x + 1)1/2 + C = = 2x + 1 + C 6 2 3

291

18.6

Stammfunktionen von Wurzelfunktionen

Bilden Sie die Stammfunktionen 5 5 √ a) (x + 1) 1 − x dx b) Verweise:

x √ dx 1+ 1−x

5 c)

√

1 √ dx 1+x− x

Sinus und Kosinus

Lösungsskizze Zurückführung durch Umformung auf die elementaren Stammfunktionen 5 1 xn dx = xn+1 + C, n = −1 n+1 5 2 (a ± x)n/2 dx = ± (a ± x)n/2+1 + C n+2 5 a)

√ (1 + x) 1 − x dx:

(1 + x) = −(1 − x) + 2  5 2 4 −(1 − x)3/2 + 2(1 − x)1/2 dx = (1 − x)5/2 − (1 − x)3/2 + C 5 3 2 = − (7 + 3x)(1 − x)3/2 + C 15 5

x √ dx: 1+ 1−x √ „rational machen“ des Nenners durch Erweitern mit 1 + 1 − x und dritte binomische Formel  √ 5 5 √ x(1 − 1 − x) 2 dx = 1 − 1 − x dx = x + (1 − x)3/2 + C 1 − (1 − x) 3 b)

5

1 √ dx: 1+x− x √ √ analoges Erweitern mit 1 + x + x  √ 5 √  x+ 1+x 2  3/2 dx = x + (1 + x)3/2 + C (1 + x) − x 3

c)

√

292

18.7

18 Integral und Stammfunktion

Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Berechnen Sie 5 a)

4x + 2−x

3

5 dx

6

ln(x2 + 2x − 3) dx

b) 2

Verweise:

Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze 6 a) F (x) = (4x + 2−x )3 dx: binomische Formel  Integrand 43x + 3 · 42x · 2−x + 3 · 4x · 2−2x + 2−3x = 26x + 3 · 23x + 3 + 2−3x Stammfunktion der Potenzfunktion 5 5 at t a dt = +C eln a t dt = ln a 5 apt apt dt = +C p ln a Einsetzen (a = 2, p = 6, 3, −3)



3 · 23x 2−3x 26x + + 3x + +C 6 ln 2 3 ln 2 −3 ln 2  1 6x = 2 + 6 · 23x − 2 · 2−3x + 3x + C 6 ln 2

F (x) =

66 b) I = 2 ln(x2 + 2x − 3) dx: x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3), ln(ab) = ln a + ln b 5



6

ln(x − 1) + ln(x + 3) dx

I= 2

Stammfunktion des Logarithmus 5 ln t dt = t(ln t − 1) + C mit t = x − 1 und t = x + 3

 6

I = [(x − 1)(ln(x − 1) − 1) + (x + 3)(ln(x + 3) − 1)]2 = 5(ln 5 − 1) + 9(ln 9 − 1) − 1(ln 1 − 1) − 5(ln 5 − 1) = 18 ln 3 − 8 ≈ 11.7750

293

18.8

Rationale Integranden mit einer Polstelle

Berechnen Sie 5

4

a) 0

Verweise:

5

(x − 3)2 dx x+1

4



b) 0

x−3 x+1

2 dx

Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze 64 a) I = 0 (x − 3)2 /(x + 1) dx: Vereinfachen des Integranden f (x) durch Polynomdivision ( x2 − 6x + 9 ) : ( x + 1 ) = x − 7 +

16 x+1

x2 + x − 7x + 9 − 7x − 7 16 

Stammfunktion F (x) =

Hauptsatz der Integralrechnung

x2 − 7x + 16 ln |x + 1| + C 2 =⇒

I = [F (x)]x=4 x=0 = (16/2 − 7 · 4 + 16 ln |4 + 1|) − (0 − 0 + 0) = −20 + 16 ln 5 64 b) I = 0 [(x − 3)/(x + 1)]2 dx: Vereinfachung des Integranden f (x) mit binomischer Formel  f (x) = 

x+1 4 − x+1 x+1

2 =1−

16 8 + x + 1 (x + 1)2

Stammfunktion F (x) = x − 8 ln |x + 1| −

Hauptsatz der Integralrechnung

16 +C x+1

=⇒

I = [F ]40 = (4 − 8 ln 5 − 16/5) − (0 − 0 − 16) = 84/5 − 8 ln 5

294

18 Integral und Stammfunktion

18.9

Integration von Potenzen

Bestimmen Sie die Stammfunktionen 5 dt a) (4t − 1)3

5

4t + 1 dt 2t − 3

b)

und berechnen Sie 5

5

1

(3t − 2)4 dt

c)

−4

0

Verweise:

6

d)

dt t/2 + 3

Variablensubstitution, Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze Stammfunktionen von Potenzen 5 xs+1 + C für s = −1, xs dx = s+1

5

1 dx = ln |x| + C x

lineare Variablensubstitution x = pt + q  5 1 f (pt + q) dt = F (pt + q) + C, p

F = f

a) s = −3, p = 4: 5

(4t − 1)−3 dt =

1 (4t − 1)−2 = −(4t − 1)−2 /8 4 −2

b) s = 0, −1, p = 2: Zerlegung des Integranden in elementare Terme  5 5 4t + 1 4t − 6 7 7 dt = dt = 2t + ln |2t − 3| + C + 2t − 3 − 3 2t − 3 2 2t 2

andere mögliche Darstellung c)

2t +

7 2

ln |t − 3/2| + C˜ ,

7 2

ln 2

s = 4, p = 3: 5

1



11 (3t − 2)5 (3t − 2) dt = 35

1

4

0

d)

C˜ = C +

= 0

 11 1 1 − (−2)5 = 15 5

s = −1, p = 1/2: 5

6 −4

dt 6 = [2 ln |t/2 + 3|]−4 = 2 (ln 6 − ln 1) = 2 ln 6 ≈ 3.5835 t/2 + 3

Nullstelle des Nenners (−6) nicht im Integrationsbereich

295

18.10

Integrale elementarer trigonometrischer Funktionen

Berechnen Sie

5

5

a)

cos(2x) sin(5x) dx

π

b) −π

Verweise:

(cos x − 3 sin x)4 dx

Variablensubstitution, Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze 6 a) F (x) = cos(2x) sin(5x) dx: Additionstheoreme sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) Umformung des Integranden (α = 5x, β = 2x)  5 1 1 1 F (x) = sin(7x) + sin(3x) dx = − cos(7x) − cos(3x) + C 2 14 6 6π

(cos x − 3 sin x)4 dx: 4

 (−1)k k4 a4−k bk binomische Formel, (a − b)4 = b) I =

−π



k=0

5

π

I= −π

C 4 − 12C 3 S + 54C 2 S 2 − 108CS 3 + 81S 4 dx

mit C = cos x, S = sin x zweiter und vierter Term ungerade Umformung der restlichen Terme C 4 = C 2 (1 − S 2 ), 

5

π

I= 6π −π

−π

cos2 (kx) dx =

C2 − 6π −π

=⇒

6π −π

... = 0

S 4 = S 2 (1 − C 2 ),

CS =

1 sin(2x) 2

1 54 81 sin2 (2x) + sin2 (2x) + 81S 2 − sin2 (2x) dx 4 4 4

sin2 (kx) dx = π



1 54 81 I =π 1− + + 81 − 4 4 4

 = 75π ≈ 235.6194

Alternative Lösung Umformung der Integranden in a) und b) mit den Formeln von Euler-Moivre cos x = (eix + e−ix )/2,

sin x = (eix + e−ix )/(2i)

296

18 Integral und Stammfunktion

Differenzieren von Integralen 

18.11

Leiten Sie die folgenden Integrale für x > 0 nach x ab. 5

√

x

5

t2

e dt

a)

2

b)

2

ln(x + t ) dt

0

Verweise:

5

1

1/x

c)

0

0

sin(t2 x) dt t

Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze a) Ableiten der Integrationsgrenze: Hauptsatz und Kettenregel 5 y d f (t) dt = f (y), dy a   

d F (y(x)) = F  (y(x))y  (x) dx

F (y)−F (a)

 d dx

5

√

x

√

2

et dt = e(

d√ ex x= √ dx 2 x

x)2

0

b) Ableiten des Integranden: Differenzieren unter dem Integral d dx

5

5

b

b

f (t, x) dt = a

a

∂f (t, x) dt ∂x

 d dx

5

5

1

1

ln(x2 + t2 ) dt = 0

0

2x dt = x 2 + t2

5

1 0

1 2 dt x 1 + (t/x)2

1

= [2 arctan(t/x)]t=0 = 2 arctan(1/x) c) Ableiten der Integrationsgrenze und des Integranden: Kettenregel für partielle Ableitungen d dx

5

y(x)



5

f (t, x) dt = f (y(x), x)y (x) + a

a

y(x)

∂f (t, x) dt ∂x

 d dx

5

1/x 0



 5 1/x 1 − 2 + t cos(t2 x) dt x 0  1/x sin(t2 x) sin(1/x) sin(1/x) = − + =− x 2x 2x t=0

sin(t2 x) sin(x/x2 ) dt = t 1/x

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Übersicht 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 19.10 19.11 19.12 19.13

Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen . . . . . . . . . . 298 Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen . . . . . . 299 Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus . . . . . . . . . . 300 Taylor-Entwicklung und partielle Integration  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel . . . . . . . . . . . . . 302 Substitution bei Integranden mit Exponential– und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Integration von Wurzelausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Elementare rationale Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Trigonometrische Substitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Integration rationaler trigonometrischer Funktionen  . . . . . . . . . . . . . . . 310

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_20

298

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

19.1

Stammfunktionen von Produkten mit linearen Funktionen

Berechnen Sie 5 a) ex/2 (3 − 4x) dx Verweise:

5 b)

5 sin(2x)(4 + 3x) dx

c)

x cosh(x) dx

Partielle Integration

Lösungsskizze partielle Integration 5

f  (x)g(x) dx = f (x)g(x) −

5

f (x)g  (x) dx

reduziert den Grad für Polynome g (linear → konstant) Anwendung bei einfacher wiederholter Stammfunktionenbildung von f  5 a) ex/2 (3 −  4x) dx: f  (x)

g(x)

d (2ex/2 ) = ex/2 , partielle Integration  dx 5 x/2 x/2 −4 ) dx 2e  (3 − 4x) − 2e  ( f (x)

f (x)

g  (x)

= (6 − 8x)ex/2 + 8(2ex/2 ) + C = (22 − 8x)ex/2 + C

5 b)

g(x)

sin(2x) (4 + 3x) dx:    f  (x)

g(x)

d d (− cos(2x))/2 = sin(2x), partielle Integration, dx sin(2x)/2 = − cos(2x) dx 5 − cos(2x)/2 (4 + ( 3 ) dx 3x) − − cos(2x)/2       f (x)

f (x)

g  (x)

= −(2 + 3x/2) cos(2x) + 3 sin(2x)/4 + C

5 c)

g(x)



x cosh x dx:

partielle Integration mit f  (x) = cosh x, f (x) = sinh x, g(x) = x, g  (x) = 1 5 x sinh x − 1 · sinh dx = x sinh x − cosh x + C Einsetzen der Definitionen von Kosinus- und Sinushyperbolikus tion x





Stammfunk-

ex − e−x ex + e−x − + C = (x/2 − 1/2)ex − (x/2 + 1/2)e−x + C 2 2

299

19.2

Partielle Integration von Produkten mit Exponentialfunktionen

Berechnen Sie

5 a)

2 −3x

x e

5 dx

π

ex sin(4x) dx

b) 0

Verweise:

Partielle Integration, Stammfunktion

Lösungsskizze 6 a) F (x) = x2 e−3x dx: 6 6 partielle Integration: u(x)v  (x) dx = u(x)v(x) − u (x)v(x) dx mit u(x) = x2 , v  (x) = e−3x 

 5  1 2 − x e−3x dx F (x) = x2 − e−3x − 3 3 nochmalige partielle Integration des verbleibenden Integrals  5 2 2 −3x 2 2 [. . .] = x e−3x − e dx = x e−3x + e−3x + C 9 9 9 27 

Stammfunktion F (x) = −

9x2 + 6x + 2 −3x e +C 27

6π b) I = 0 ex sin(4x) dx: 6b 6b  zweimalige partielle Integration a u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)]x=b x=a − a u(x)v (x) dx  x mit u (x) = e und v(x) = sin(4x) bzw. v(x) = cos(4x)  5 π π ex (4 cos(4x)) dx I = [ex sin(4x)]0 −    0 0 5 π π = −4 [ex cos(4x)]0 + 4 ex (−4 sin(4x)) dx    0 −16I

Auflösen nach I



17I = −4 (eπ − 1) , d.h. I =

4 (1 − eπ ) ≈ −5.2096 17

Alternative Lösung Formel von Euler-Moivre   (1+4i)x π 5 π 4ix e e(1−4i)x − e−4ix x e dx = + e = ··· I= 2i 2i − 8 2i + 8 0 0

300

19.3

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Partielle Integration von Potenzen, Logarithmus und Sinus

Berechnen Sie

5 ln2 x

a)

√

5 x dx

(x > 0)

π

x2 sin(3x) dx

b) 0

Verweise:

Partielle Integration, Stammfunktion

Lösungsskizze 6 √ a) F (x) = ln2 x x dx (x > 0): partielle Integration 5 5  u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − u (x)v(x) dx , mit u(x) = (ln x)2 , v  (x) = x1/2 und Differentiation von u mit der Kettenregel  5 2 3/2 2 ln x 2 3/2 2 (ln x) · x · x dx − 3 x 3 nochmalige partielle Integration des zweiten Terms mit u(x) = ln x, v  (x) = x1/2   5 5 2 3/2 4 4 1 2 3/2 1/2 ln x · x dx = ln x · x · x dx − 3 3 3 x 3 6 2 1/2 4 3/2 dx = 16 , Berücksichtigung der Vorzeichen  3 3x 27 x F (x) =

8 16 3/2 2 3/2 2 x x ln x − x3/2 ln x + +C 3 9 27

6π b) A = 0 x2 sin(3x) dx: partielle Integration 5 b 5  x=b u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)]x=a − a

b

u (x)v(x) dx

a

mit u(x) = x2 , v  (x) = sin(3x)  5 5 π  2 π 2 π π2 x (− cos(3x)/3) 0 − + 2x (− cos(3x)/3) dx = x cos(3x) dx 3 3 0 0 nochmalige partielle Integration mit u(x) = x und v(x) = cos(3x)  π  5 5 2 2 π 2 π x sin(3x)/3 − x cos(3x) dx = sin(3x)/3 dx 3 0 3 3 0 0  π 2 4 = 0+ cos(3x) = − 27 27 0 insgesamt: A = π 2 /3 − 4/27 ≈ 3.1417

301

19.4

Taylor-Entwicklung und partielle Integration 

Beweisen Sie die Identität1

5

1

xx dx = 0

∞

(−1)n n−n

n=1

und berechnen Sie das Integral mit einem Fehler kleiner als 0.001. Verweise:

Exponentialfunktion, Partielle Integration, Leibniz-Kriterium

Lösungsskizze Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion  ∞ 1 (x ln x)n xx = ex ln x = n! n=0

61 zur gliedweisen Integration der Reihe berechne zunächst In,k = 0 xn (ln x)k dx partielle Integration (ohne Randterme)  x=1 5 1 n+1  n+1 x x 1 k (ln x) k(ln x)k−1 dx − In,k = n+1 x 0 n+1 x=0 5 1 k k = 0− In,k−1 xn (ln x)k−1 dx = − n+1 0 n+1 61 1 rekursive Anwendung mit In,0 = 0 xn dx = n+1 =⇒  





n n−1 n In,n = − In,n−1 = − − In,n−2 n+1 n+1 n+1 







n−1 1 1 n n! − ··· − = − = (−1)n n+1 n+1 n+1 n+1 (n + 1)n+1    In,0

Einsetzen in die Taylor-Entwicklung  5 1 ∞ ∞ ∞ 1 (−1)n (−1)n−1 x In,n = x dx = = n! (n + 1)n+1 n=1 nn 0 n=0 n=0 alternierende monotone Nullfolge der Summanden =⇒ Abschätzung des Leibniz-Kriteriums für den Reihenrest anwendbar:   ∞  (−1)n−1     ≤ Betrag des ersten Summanden = N −N  nn  n=N

N =5



Approximation

1 1 1 + − = 0.7831 . . . 4 27 256 61 x und | 0 x dx − S4 | = |0.7834 . . . − S4 | ≤ 5−5 = 1/3125 < 0.001 S4 = 1 −

  −n entdeckt 1697 von Bernoulli und zusammen mit der Variante 01 x−x dx = ∞ als n=1 n „Sophomore’s Dream“ bezeichnet (vgl. J. Borwein, D. Bailey, R. Girgensohn: Experimentation in Mathematics: Computational Path to Discovery, CRC Press (2004)) 1

302

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

19.5

Substitution durch direkte Anwendung der Kettenregel

Bilden Sie die Stammfunktionen von  x 4x a) b) e 1 + e4x x2 + 3

c)

sin(2x) cos(x)

bzgl. der Variablen x . Verweise:

Variablensubstitution

Lösungsskizze d Kettenregel: F (y(x)) = f (y(x))y  (x) mit f = F  =⇒ dx  5 5   f (y) dy  = F (y(x)) + C f (y(x))y (x) dx = y=y(x)

5

x dx: x2 + 3 identifiziere y, y  und f a)

 1 1 Integrand = (2x) 2 2 x +3

=⇒ y(x) = x2 + 3, y  (x) = 2x, f (y) = 1/y (1/2: Vorfaktor) Substitutionsregel, F (y) = ln |y| + C  Stammfunktion   5  1 1 1 1  dy  = ln |y| + C = ln(x2 + 3) + C 2 y 2 2 y=x2 +3 y=x2 +3 5  b) e4x 1 + e4x dx: Integrand: (1/4)(1 + e4x )1/2 (4e4x ) =⇒ 1 Vorfaktor , 4 F (y) =

5 c)

y(x) = e4x ,

y  (x) = 4e4x ,

f (y) = (1 + y)1/2

2 (1 + y)3/2 + C  Stammfunktion 3     1 12 1 3/2   F (y) (1 + y)  = + C = (1 + e4x )3/2 + C 4 43 6 y=y(x) y=e4x

sin(2x) cos(x) dx:

sin(2x) = 2 sin x cos x



Integrand

(2 sin x cos x) cos x = (−2)(cos2 x)(− sin x) , d.h. y(x) = cos x, y  (x) = − sin x, f (y) = y 2 Substitutionsformel unter Berücksichtigung des Vorfaktors (−2)  funktion  1  2 + C = − cos3 x + C − 2F (y)|y=y(x) = −2 · y 3  3 y=cos x 3

Stamm-

303

19.6

Substitution bei Integranden mit Exponential– und Logarithmusfunktionen

Berechnen Sie

5

Verweise:

5

ex dx 4 + e2x

a)

4

b) 2

ln x + ln−3 x dx x

Variablensubstitution, Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung

Lösungsskizze 5 ex a) G(x) = dx: 4 + e2x Variablensubstitution 5 5 f (y(x)) (dy(x)/dx) dx = f (y) dy = F (y) + C f (y) = 1/(4 + y 2 ), dy(x)/dx = ex  5 5 1 dy x e dx = 2x 4 + y2 4 +e 

mit y(x) = ex ,

f (y)

6 Stammfunktion bei linearer Substitution, h(y/2) dy = 2H(y/2) + C mit H  = h  5 1 dy 1 = arctan(y/2) + C 4 1 + (y/2)2 2 Rücksubstitution

 G(x) =

5

1 arctan(ex /2) + C 2

ln x + ln−3 x dx: x 2 Variablensubstitution 5 b 5 f (y(x)) (dy(x)/dx) dx = b)

4

A=

a

dy(x)/dx = 1/x

x = 2 → y = ln 2, 5 A= 2

4

f (y) dy

y(a)

mit y(x) = ln x, f (y) = y + y −3 , Transformation der Grenzen



y(b)

1 −3 (ln  x +ln x) x dx = f (y)

5

x = 4 → y = ln 4 ln 4

ln 2

 ln 4 y + y −3 dy = y 2 /2 − y −2 /2 ln 2

Einsetzen der Grenzen, ln 4 = 2 ln 2 



2  ln 2 1 3 1 3 ln2 2 2 A = 2 ln 2 − − + − = ≈ 1.5012 2 2 2 2 8 ln 2 2 ln 2 8 ln2 2

304

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

19.7

Integration von Wurzelausdrücken

Berechnen Sie

5 √

2+x dx 3+x

a) Verweise:

5

64

√

b) 1

dx √ x+ 3x

Variablensubstitution, Elementare rationale Integranden mit einfachen Polen

Lösungsskizze √ a) Integration von rationalen Funktionen von x und px + q: Substitution √ p/2 p/2 y = px + q, dy = √ dx = dx px + q y 

rationaler Integrand

im konkreten Beispiel (p = 1, q = 2, 2 + x = y 2 , dx = 2y dy) 5 5 √ 5 2 2+x y dx = (2y) dy = 2− dy 3+x 1 + y2 1 + y2 Bilden der Stammfunktion und Rücksubstitution  √ √ 2y − 2 arctan(y) + C = 2 2 + x − 2 arctan( 2 + x) + C b) Integration von rationalen Funktionen von x, x1/p und x1/q : Substitution x = y r (r : kleinstes gemeinsames Vielfaches von p und q), 

dx = ry r−1 dy

rationaler Integrand

im konkreten Beispiel (p = 2, q = 3, x = y 6 , dx = 6y 5 dy) 5 64 5 2 dx 6y 5 √ √ dy = 3 2 x+ 3x 1 1 y +y 

Kürzen und Polynomdivision f (y) =

y3

y5 y3 1 = y2 − y + 1 − = 2 +y y+1 y+1

und 5

5

2

2

y2 − y + 1 −

f (y) dy = 6

6 1

=



1

1 dy y+1

2y 3 − 3y 2 + 6y − 6 ln |y + 1|

2 1

= (16 − 2) − (12 − 3) + (12 − 6) − 6(ln 3 − ln 2) = 11 − 6 ln(3/2) ≈ 8.5672

305

19.8

Elementare rationale Integranden

Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Ausdrücke a)

2 x−6

b)

x−3 x2 + 4

c)

4x (x − 3)2

bzgl. der Variablen x, und berechnen Sie die Integrale über das Intervall [0, 1]. Verweise:

Elementare rationale Integranden mit einfachen Polstellen

Lösungsskizze a) f (x) = 2/(x − 6): Stammfunktion

5 F (x) =

2 dx = 2 ln |x − 6| + C x−6

bestimmtes Integral (Polstelle 6 ∈ [0, 1]) 5

1 1

f (x) dx = [F (x)]0 = 2(ln 5 − ln 6) = 2 ln(5/6) ≈ −0.3646 0

b) f (x) = (x − 3)/(x2 + 4): Aufteilung in Grundtypen  5 F (x) =

Stammfunktion 5 x 1 dx − 3 dx x2 + 4 x2 + 4 1 3 = ln(x2 + 4) − arctan(x/2) + C , 2 2

1/2 2 d arctan(x/2) = = 2 dx (x/2)2 + 1 x +4 bestimmtes Integral 5 1 3 1 1 f (x) dx = [F (x)]0 = (ln 5 − ln 4) − (arctan(1/2) − 0) 2 2 0 = ln(5/4)/2 − 3 arctan(1/2)/2 ≈ −0.5839

denn

c) f (x) = 4x/(x − 3)2 : 4x = 4(x − 3) + 12  Stammfunktion 5 5 12 12 4 dx + +C dx = 4 ln |x − 3| − F (x) = x−3 (x − 3)2 x−3 bestimmtes Integral 5 1 1 f (x) dx = [F (x)]0 = 4(ln 2 − ln 3) − 12(−1/2 + 1/3) 0

= 4 ln(2/3) + 2 ≈ 0.3781

306

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 4)

19.9

Die rationale Funktion 5x3 + 3x2 + 7x − 6 x4 + 2x3 + 5x2 + 8x + 4 hat bei −1 eine doppelte und bei 2i eine einfache Polstelle. Bestimmen Sie eine 62 Stammfunktion und berechnen Sie 0 r(x) dx. r(x) =

Verweise:

Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze (i) Partialbruchzerlegung: 2i = −2i ebenfalls Polstelle 2i Polstelle =⇒  Faktorisierung des Nenners und Ansatz r(x) =

c d ax + b 5x3 + 3x2 + 7x − 6 + + = 2 2 2 (x + 4)(x + 1) x + 4 x + 1 (x + 1)2

((x − 2i)(x + 2i) = x2 + 4) Bestimmung von a, b, c und d durch Multiplikation mit dem Nenner, 5x3 + 3x2 + 7x − 6 = (ax + b)(x + 1)2 + c(x2 + 4)(x + 1) + d(x2 + 4) , und Koeffizientenvergleich

 x3 :

5 = a+c

x2 :

3 = 2a + b + c + d

x :

7 = a + 2b + 4c

1 : −6 = b + 4c + 4d Lösung a = 3, b = −2, c = 2, d = −3 r(x) =



3x 2 2 3 − 2 + − + 4 x + 4 x + 1 (x + 1)2

x2

(ii) Integration der Summe von elementaren Termen: 5 R(x) = =

2 3 2 3x − 2 − + dx 2 +4 x +2 x + 1 (x + 1)2

x2

3 3 ln(x2 + 4) − arctan(x/2) + 2 ln |x + 1| + +C 2 x+1

(iii) Bestimmtes Integral: 5 0

2

3 r(x) dx = [R(x)]20 = ln(8/4) − (π/4 − 0) + 2 ln(3/1) + (3/3 − 3/1) 2 √ = ln(18 2) − π/4 − 2 ≈ 0.4515

(p ln a = ln ap , ln a + ln b = ln(ab))

307

19.10

Integration mit Partialbruchzerlegung, Grad (3, 2)

Bestimmen Sie die Stammfunktion von r(x) = und berechnen Sie Verweise:

65 1

2x3 + 5x2 − 7x − 7 2x2 + 7x − 4

r(x) dx.

Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze Polstellen des Integranden: 2x2 + 7x − 4 = 0   −7 ± 72 − 4 · 2 · (−4) 7 9 =− ± , x1,2 = 2·2 4 4 d.h. x1 = −4, x2 = 1/2 Partialbruchzerlegung: Zählergrad = Nennergrad + 1 r(x) = ax + b +



Ansatz

d c + x + 4 x − 1/2

bzw. nach Multiplikation mit dem Nenner 2x2 + 7x − 4 = 2(x + 4)(x − 1/2) 2x3 + 5x2 − 7x − 7 = (ax + b)(2x2 + 7x − 4) + c(2x − 1) + d(2x + 8) Koeffizientenvergleich x3 : 2

x :

2 = 2a 5 = 7a + 2b

x : −7 = −4a + 7b + 2c + 2d 1 : −7 = −4b − c + 8d 

a = 1, b = −1, c = 3, d = −1

Stammfunktion

5 R(x) = =

bestimmtes Integral

65 1

x−1+

1 3 − dx x + 4 x − 1/2

1 2 x − x + 3 ln |x + 4| − ln |x − 1/2| + C 2

r(x) dx

[R(x)]51 = (25/2 − 1/2) − (5 − 1) + 3(ln 9 − ln 5) − (ln(9/2) − ln(1/2)) = 8 + 4 ln 3 − 3 ln 5 ≈ 7.5661

308

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

19.11

Trigonometrische Substitutionen

Berechnen Sie:

5 a)

Verweise:

5

x3 √ dx 4 − x2

b)

√

3

3 + x2 dx x4

Trigonometrische Substitution, Variablensubstitution

Lösungsskizze √ 6 a) F (x) = x3 / 4 − x2 dx: trigonometrische Substitution

 4 − x2 = 2 cos t,

x = 2 sin t mit t ∈ [−π/2, π/2], Einsetzen

√

3



5

(2 sin t)3 2 cos t dt = 8 2 cos t

F (x) =

dx = 2 cos t dt

5 sin3 t dt

Umkehrung der Kettenregel, 5 g(h(t)) h (t) dt = G(h(t)) + C , mit h(t) = cos t und sin3 t = sin t (1 − cos2 t)  

3 5 cos t 2 − cos t + C F (x) = 8 (cos t − 1) (− sin t) dt = 8       3 h (t)

g(h(t))

Rücksubstitution mit t = arcsin(x/2) F (x) =

⇔

cos t =

x=

3 tan t mit t ∈ [−π/2, π/2],

Transformation der Grenzen √ 3 = 3 tan(π/3) , Einsetzen



5

π/3

A= π/4

(4 − x2 )1/2



(4 − x2 )3/2 − 4(4 − x2 )1/2 + C 3

63 √ b) A = √3 3 + x2 /x4 dx: trigonometrische Substitution √

1 2



√

3+

x2

3 , = cos t

√ 3 dx = dt cos2 t

√ √ 3 = 3 tan(π/4)

√ 5 π/3 3/ cos t 3 cos t dt = 4 4 dt 2 4 9 sin t/ cos t cos t π/4 3 sin t √

Umkehrung der Kettenregel analog zu Teil a) mit h(t) = sin t, h (t) = cos t, g(h) = π/3 h−4 /3  G(h) = −h−3 /9 und A = [G(h(t))]π/4 , d.h. 

1 A= − 9 sin3 t

π/3 π/4

1 =− 9



8 8 √ − √ 3 3 2 2

 =

8√ 2√ 2− 3 ≈ 0.1432 9 81

309

19.12

Substitution von Hyperbelfunktionen bei Integration von Wurzelausdrücken

Berechnen Sie

5

2



4x2 + 8x − 5 dx .

1/2

Verweise:

Trigonometrische Substitutionen

Lösungsskizze Transformation des Integranden auf Standardform    √ . . . → c y 2 − 1, c y 2 + 1 oder c 1 − y 2

(c > 0)

quadratische Ergänzung 

2x + 2 3

4x + 8x − 5 = (2x + 2) − 9 = 9 2

2



2 −1

lineare Substitution y=

2x + 2 2 , dy = dx, 3 3



5

2

I=



x = 1/2 ↔ y = 1, x = 2 ↔ y = 2 5

4x2

+ 8x − 5 dx =

1/2

erste mögliche Standardform

3 1





2

3 y 2 − 1 dy 2

Substitution

y = cosh z, dy = sinh z dz,

z = arcosh y = ln(y +

y = 1 ↔ z = ln(1 + 0) = 0, y = 2 ↔ z = ln(2 +



y 2 − 1)

√ 3) und cosh2 z − 1 = sinh2 z

√  ln(2+√3) 5 9 ln(2+ 3) 1 9 1 2 I= sinh z cosh z − z sinh z dz = 2 0 2 2 2 0 √ √ z = ln(2 + 3) = arcosh 2 =⇒ cosh z = 2, sinh z = 22 − 1 und

  √ 1√ 1 9 3 · 2 − ln(2 + 3) − 0 I = 2 2 2 √ 9 9√ 3 − ln(2 + 3) ≈ 4.8311 = 2 4

Bemerkung Substitutionen bei zweiter und dritter der möglichen Standardformen   y 2 + 1 : y = tan z, 1 − y 2 : y = sin z



310

19.13

19 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Integration rationaler trigonometrischer Funktionen 

Berechnen Sie

5

π/2 0

Verweise:

2 dt . 4 cos t + 3 sin t

Integration rationaler Funktionen in Sinus und Kosinus, Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze (i) Substitution: rationaler Ausdruck in Sinus und Kosinus 1−x , 1 + x2 2

cos t =



2x , 1 + x2

sin t =

Substitution x = tan(t/2) dx =

1 + x2 dt 2

Transformation der Grenzen t = 0 → x = tan 0 = 0, Einsetzen

 5 0

π 2

2 dt = 4 cos t + 3 sin t

t = π/2 → x = tan π/4 = 1

5 5

1

2(1 + x2 ) 2 dx 4(1 − x2 ) + 3(2x) 1 + x2

1

−1 dx − 32 x − 1   

0

= 0

x2

r(x)

(ii) Partialbruchzerlegung: einfache Polstellen bei x = −1/2 und x = 2 r(x) = −



Ansatz

a b 1 = + (x + 1/2)(x − 2) x + 1/2 x − 2

Grenzwertmethode: Multiplikation mit (x + 1/2) und Setzen von x = −1/2 a=−

2 1 = −1/2 − 2 5

Multiplikation mit (x − 2) und Setzen von x = 2 b=−





2 1 =− 2 + 1/2 5

(iii) Integration: 6 dx/(x − p) = ln |x − p| + C, ln p − ln q = ln p/q  Stammfunktion   5 2 2  x + 1/2  2 R(x) = r(x) dx = ln |x + 1/2| − ln |x − 2| = ln  5 5 5 x−2  Einsetzen der Grenzen 5 1 2 2 r(x) dx = [R(x)]10 = (ln(3/2) − ln(1/4)) = ln 6 ≈ 0.7167 5 5 0

20 Uneigentliche Integrale

Übersicht 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 20.10 20.11

Konvergenz von uneigentlichen Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen . 313 Uneigentliche Integrale mit Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1, 3) über R+ . . . . . . . 315 Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2, 4) über R . . . . . . . . 316 Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Dichtefunktionen und Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Uneigentliches Integral eines Quotienten aus Logarithmus und Polynom  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Uneigentliches Integral und geometrische Reihe  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_21

312

20.1

20 Uneigentliche Integrale

Konvergenz von uneigentlichen Integralen

Untersuchen Sie, ob die uneigentlichen Integrale 5 ∞ 5 ∞ sin x cos x √ dx a) dx b) x x(1 + ln2 x) 0 1 konvergieren bzw. absolut konvergieren. Verweise:

Uneigentliche Integrale, Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale

Lösungsskizze 5 ∞ sin x √ dx: a) x 0 absolute Konvergenz: zeige Divergenz mit geeigneter Minorante √ | sin x| 1/ 2 √  , x ∈ Dk = πk + [π/4, 3π/4] ≥ x π(k + 1) Integral der Treppenfunktion mit Träger ∪k Dk √ ∞ ∞ π π 1  ≥ k −1/2 = ∞ = √ 2 2π(k + 1) 2 2 k=0 k=1 Konvergenz: √ =⇒ sin x ≤ x, x ≥ 0  Majorante x auf [0, 1] konvergent 6b x √ dx für b → ∞ zeige Konvergenz von F (b) = 1 sin x partielle Integration  b 5 b  1 cos x − cos x x−3/2 dx − √ 2 x 1 1

61 0

. . . absolut

erster Term → cos 1, Integrand des zweiten Terms majorisiert durch x−3/2 /2 =⇒ Konvergenz 5 ∞ cos x b) dx: x(1 + ln2 x) 1 absolute Konvergenz: Majorante f (x) = 1/(x(1 + ln2 x)) Substitution u = ln x, du = dx/x  Stammfunktion 5 5 5 dx 1 1 f (x) dx = = du = arctan( ln x ) + C 2 x 1 + u2 1 + ln x u

Beschränktheit des Integrals der Majorante 5 ∞ π π f (x) dx = lim [arctan(ln x)]b1 = − 0 = b→∞ 2 2 1 Konvergenz:

impliziert durch absolute Konvergenz

313

20.2

Uneigentliche Integrale mit Exponential- und Logarithmusfunktionen

Untersuchen Sie, ob die folgenden Integrale existieren. a)

61

√ x 0 ex −1

Verweise:

dx

b)

62 0

x3 e1/x dx

c)

6∞ 0

1 x ln2 x

dx

ex − 1 = ex − e0 = et (x − 0) ≥ x

ln(1+x2 ) −∞ 3x4 −x+5

Majorante

√ √ x/x = 1/ x auf [0, 1]



=⇒

für x ∈ [0, 1]

f absolut integrierbar

b) f (x) = x3 e1/x : wiederholte Anwendung der Regel von L’Hôpital (∞/∞)



e1/x e1/x (−1/x2 ) = lim 4 x→0 1/x x→0 −4/x5

lim xf (x) =

lim

x→0

e1/x e1/x 1111 lim =∞ = · · · = x→0 1/x3 4 3 2 1 x→0 1 62 f (x) = (xf (x))/x ≥ 1/x für x ∈ (0, δ)  Divergenz von 0 f =



6∞

Uneigentliche Integrale, Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale

Lösungsskizze √ a) f (x) = x/(ex − 1): Mittelwertsatz, ϕ(b) − ϕ(a) = ϕ (t)(b − a) mit t ∈ [a, b]



d)

1 4

lim

c) f (x) = 1/(x ln2 x): Polstelle bei x = 1 im Innern des Integrationsintervalls Stammfunktion F (x) = −1/ ln x, ln 1 = 0  5 b 1 1 lim − lim =∞ f (x) dx = lim [F (x)]ba = b1 a b1 ln a b1 ln b [a, 1] ⊂ [0, ∞] d)

=⇒

f ebenfalls nicht integrierbar auf [0, ∞]

f (x) = ln(1 + x2 )/(3x4 − x + 5): Nenner ≥

⎧ ⎨4

für |x| ≤ 1 ,

⎩ 2x4 sonst

=⇒ Stetigkeit von f und somit absolute Integrierbarkeit auf [−1, 1] ln t ≤ t mit t = 1 + x2  Majorante für |x| ≥ 1: |f (x)| ≤ =⇒ =⇒

2x2 1 + x2 ≤ 4 = |x|−2 4 2x 2x

f ebenfalls absolut integrierbar auf R\(−1, 1) 6∞ Existenz von −∞ f

dx

314

20.3

20 Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale mit Parameter

Für welche Werte der Parameter r ∈ R existieren die folgenden Integrale? 5 ∞ 5 1 sin(x2 ) xr dx dx b) a) xr exp(2/x) − 1 0 3 Verweise:

Uneigentliche Integrale, Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale

Lösungsskizze a) f (x) = sin(x2 )/xr , x ∈ [0, 1]: Mittelwertsatz =⇒ sin t = sin t − sin 0 = (cos s)(t − 0)

für ein s ∈ [0, t]

t = x2 ∈ [0, 1], Monotonie des Kosinus auf [0, π/2] ⊃ [0, 1] =⇒ cos s extremal für s = 0 und s = 1, d.h. 1 ≥ cos s ≥ cos 1 > cos(π/3) = 1/2 Multiplikation mit t = x2



Schranken für sin(x2 ) = (cos s)t 1 2 x ≤ sin(x2 ) ≤ x2 2

 Minorante x2−r /2 und Majorante x2−r für f auf [0, 1] 61 divergenter Grenzfall 0 x−1 dx =⇒ Integrierbarkeit von f

⇔

r −2

315

20.4

Integration einer rationalen Funktion mit Grad (1, 3) über R+ 5

Berechnen Sie

∞ 0

Verweise:

2−x dx . 1 + x3

Uneigentliche Integrale, Elementare rationale Integranden mit einfachen Polen

Lösungsskizze (i) Partialbruchzerlegung: Faktorisierung des Nenners r(x) =



Ansatz

2−x a bx + c = + (1 + x)(1 − x + x2 ) 1 + x 1 − x + x2

Multiplikation mit 1 + x und Setzen von x = −1 =⇒ a=1 Subtraktion des Terms 1/(1 + x) von r(x)  b = −1, c = 1 und r(x) =

3

rk (x) =

k=1

1 2x − 1 1/2 1 − + 2 2 1+x 2x −x+1 x −x+1

(ii) Integration: Stammfunktionen der elementaren rationalen Ausdrücke R1 (x) = ln |x + 1| + C R2 (x) = − ln |x2 − x + 1| / 2 + C Umformung von r3 auf Standardausdruck s/((x − a)2 + b2 ) mit Stammfunktion R3 (x) = sb arctan((x − a)/b) + C  1/2 √ (x − 1/2)2 + ( 3/2)2   √ 1 2 √ arctan (x − 1/2)/( 3/2) R3 (x) = 2 3  √  1 = √ arctan (2x − 1)/ 3 3 r3 (x) =

Addition der Stammfunktionen Rk und Grenzwertbildung   5 ∞    √  ∞  1 x+1   + √ arctan (2x − 1)/ 3 r(x) dx = ln  √ 0 3 x2 − x + 1  0    R1 (x)+R2 (x)

 3 arctan(a) = ln 1 + lim a→∞ 3  √

 3 1 − ln 1 + arctan − √ 3 3 √ √ √ 2 3 3 3 π+ π= π ≈ 1.2092 = 6 18 9 

√

316

20.5

20 Uneigentliche Integrale

Integration einer rationalen Funktion mit Grad (2, 4) über R 5

Berechnen Sie

∞

−∞

Verweise:

x2 + 2 dx . x4 + 4

Uneigentliche Integrale, Elementare rationale Integranden mit einfachen Polen

Lösungsskizze r(x) = (x2 + 2)/(x4 + 4) absolut integrierbar, da Zählergrad > Nennergrad +1 und Nenner > 0 (i) Partialbruchzerlegung: Polstellen x4 = −4

=⇒

x2 = ±2i

=⇒

x1,2 = 1 ± i, x3,4 = −1 ± i

(Produkte von 1 + i mit den komplexen Einheitswurzeln 1, i, −1, −i) Faktorisierung des Nenners    x4 + 4 = (x − 1 − i)(x − 1 + i) (x + 1 − i)(x + 1 + i) Multiplikation der komplex konjugierten Faktoren r(x) =



Ansatz

ax + b cx + d x2 + 2 = + x4 + 4 (x − 1)2 + 1 (x + 1)2 + 1

Koeffizientenvergleich nach Multiplikation mit dem Hauptnenner x4 + 4 x3 : 0 = a + c x2 : 1 = 2a + b − 2c + d x : 0 = 2a + 2b + 2c − 2d 1 : 2 = 2b + 2d mit der Lösung a = c = 0, b = d = 1/2 (ii) Integration der elementaren rationalen Terme: Stammfunktion für 1/((x − x0 )2 + 12 ) ist arctan(x − x0 ) + C  5 ∞ 5 ∞ 1/2 1/2 + dx r(x) dx = 2+1 (x − 1) (x + 1)2 + 1 −∞ −∞ 1 ∞ = [arctan(x − 1) + arctan(x + 1)]−∞ 2

1 lim (arctan(b − 1) + arctan(b + 1)) = 2 b→∞



− lim (arctan(a − 1) + arctan(a + 1)) a→−∞

1 = ((π/2 + π/2) − (−π/2 − π/2)) = π ≈ 3.1416 2



317

20.6

Integral des Produktes eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion über R 5

Berechnen Sie

∞

2

(x2 + 3x) e1+4x−2x dx .

−∞

Verweise:

Uneigentliche Integrale, Variablensubstitution

Lösungsskizze bekanntes Integral

5

∞

2

e−t dt =

√

π

−∞ 2

Transformation der Exponentialfunktion auf Standardform e−t durch quadratische Ergänzung √ √ 2 2x − 2 + 3 1 + 4x − 2x2 = − 

Substitution t=

√

2x −

√ √ 2, x = t/ 2 + 1,

dt =

√

2 dx

und Transformation des Integrals 5 ∞ 2 I = (x2 + 3x) e1+4x−2x dx −∞  5 ∞

2 1 2 1 2 3 = t + √ t + 1 + √ t + 3 e−t +3 √ dt 2 2 2 2 −∞  5 ∞ √ √ 2 2 2 5 t + t + 2 2 e−t dt = I1 + I2 + I3 = e3 4 2 −∞ √ √ I3 = e3 · 2 2 · π I2 = 0 aus Symmetriegründen (ungerader Integrand, symmetrischer Bereich) 2 I1 mit partieller Integration (u = t, v  = te−t )   √ ∞ 5 ∞ 1 −t2 2 3 1 −t2 e e −t · e + dt I1 = 4 2 −∞ 2 −∞ √ 2 3√ e π = 0+ 8 Summe der Integrale



√ √ 1 √ √ 17 3 √ e 2π ≈ 106.9873 I = I1 + I2 + I3 = 2 · e3 2 π + 0 + e3 2 π = 8 8

318

20 Uneigentliche Integrale

20.7

Uneigentliches Integral eines Produktes von Kosinus und einer Exponentialfunktion 5

Berechnen Sie

∞

cos(2x) e−3x dx .

0

Verweise:

Uneigentliches Integral, Partielle Integration, Formel von Euler-Moivre

Lösungsskizze (i) Existenz des Integrals: absolut konvergent, da | cos(2x) e−3x | ≤ e−3x und  x=∞ 

5 ∞ 1 1 −3x 1 −3x = e dx = − e =0− − 3 3 3 0 x=0 =⇒ formales Einsetzen der uneigentschnelles Abfallen von e−3x für x → ∞ lichen Grenze ∞ gerechtfertigt (ii) Berechnung: 6∞ 6∞   partielle Integration: 0 f  (x)g(x) dx = [f (x)g(x)]x=∞ x=0 − 0 f (x)g (x) dx 5

∞

I = 0

−3x cos(2x) e dx    g(x)

f  (x)

5 ∞ x=∞ (sin(2x)/2) (−3e−3x ) dx (sin(2x)/2) e−3x x=0 − 0 5 3 ∞ −3x = 0+ sin(2x) e dx 2 0    g(x) f  (x) 5  3 ∞ 3 −3x x=∞ −(cos(2x)/2) e − (− cos(2x)/2) (−3e−3x ) dx = x=0 2 2 0 3 9 − I = 4 4 =





Auflösen nach I

I = (3/4)/(1 + 9/4) = 3/13 ≈ 0.2307

Alternative Lösung Formel von Euler-Moivre cos(2x) e−3x = und mit

6

=⇒   1 2ix 1  (2i−3)x e + e−2ix e−3x = e + e(−2i−3)x 2 2

ecx dx = ecx /c folgt x=∞ 

1 e(2i−3)x e(−2i−3)x 1 + + =0− 4i − 6 −4i − 6 x=0 4i − 6 −4i − 6 (−4i − 6) + (4i − 6) 3 12 = − =  = −(4i)2 + 62 16 + 36 13 

I =

319

20.8

Uneigentliche Integrale von Wurzelausdrücken

Berechnen Sie 5

5

a) 3

Verweise:

5

dx

 (x − 3)(5 − x)

5

4

b) 3

5−x dx x−3

Uneigentliche Integrale, Trigonometrische Substitution, Variablensubstitution

Lösungsskizze  a) f (x) = 1/ (x − 3)(5 − x): absolut integrierbar auf [3, 5], da |f | durch (x−3)−1/2 auf [3, 4] und durch (5−x)−1/2 auf [4, 5] majorisiert wird (zweiter Faktor unter der Wurzel jeweils ≥ 1) quadratische Ergänzung (x − 3)(5 − x) = −x2 + 8x − 15 = −(x − 4)2 + 1  1 − (x − 4)2  Standardform Substitutionen y = x − 4, dx = dy

und

y = sin z, dy = cos z dz

 5

5

 3

5

1 1 − (x −

4)2

1

dx = −1

5



5

1 1−

y2

π/2

dy = −π/2

1  cos z dz 1 − sin2 z

π/2

= −π/2

1 dz = π ≈ 3.1416

 b) f (x) = (5 − x)/(x − 3): √ absolut integrierbar auf [3, 5], da |f (x)| ≤ 5 − 3 (x − 3)−1/2 Substitution y2 = 

5 I= 3

5

4

2 5−x ⇔ x= 2 + 3, x−3 y +1 5−x dx = x−3

5



0

−

y ∞



dx = −

4y 2 (y + 1)2 

2 2y dy (y 2 + 1)2



5 dy = 

∞ 0

4y 2 dy (y 2 + 1)2

dx 

partielle Integration mit u = 2y, v = 2y/(y + 1)2  ∞ 5 ∞ 

1 2 dy + I = (2y) − 2 2+1 y +1 0 y 0 2

∞

= 0 + [2 arctan y]0 = 2(π/2 − 0) = π ≈ 3.1416

320

20 Uneigentliche Integrale

20.9

Dichtefunktionen und Erwartungswerte

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen f (x) die Konstante c jeweils so, dass 6∞ f eine Dichtefunktion auf dem Intervall [0, ∞) ist ( 0 f = 1), und berechnen Sie 6∞ den Erwartungswert 0 xf (x) dx. c e−x

a) Benutzen Sie: Verweise:

6∞ 0

2

b) c e−3x

/4

2

e−y dy =

√

c)

c (x + 1)5

π/2

Uneigentliche Integrale, Partielle Integration

Lösungsskizze 2 a) f (x) = c e−x /4 : Substitution x = 2 y, dx = 2 dy  5 ∞ 5 ! f (x) dx = c 1= 0

∞

2

e−y 2 dy = c

√

π,

0

√ d.h. c = 1/ π 2 2 d −x2 /4 = −x e−x /4 , limx→∞ e−x /2 = 0  Erwartungswert dx 2 e x=∞  5 ∞ 2 −x2 /4 2 2 1 −x2 /4 √ xe dx = − √ e = − √ [0 − (−1)] = √ π 0 π π π x=0 b) f (x) = e−3x : 5 ! 1=c

∞ 0

x=∞  1 e−3x dx = c − e−3x = c (0 − (−1/3)) = c/3 3 x=0

=⇒ c=3 Partielle Integration  Erwartungswert 5 ∞ 5 ∞  1 x=∞  1   −3x −3x −3x − − dx e e 3x e dx = 3x − 3     0 0  3  x=0  3  u u v u v v x=∞  5 ∞ 1 1 = 0+ e−3x dx = − e−3x = 3 3 0 x=0 c)

f (x) = c(x + 1)−5 : 5

∞ 0

x=∞  c dx c 1 = − = 5 4 (x + 1) 4(x + 1) x=0 4

=⇒

c=4

Erwartungswert x=∞ 5 ∞ x=∞   5 ∞ 4x dx dx x 1 1 = − + = − = 5 4 4 3 (x + 1) (x + 1) x=0 (x + 1) 3(x + 1) x=0 3 0 0

321

20.10

Uneigentliches Integral eines Quotienten aus Logarithmus und Polynom 

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f (x) = ln(x2 + 1)/(x + 1)2 und berechnen 6∞ Sie 0 f (x) dx. Verweise:

Uneigentliche Integrale, Partielle Integration, Partialbruchzerlegung

Lösungsskizze (i) Stammfunktion: Partielle Integration  5 5 2x −(x + 1)−1 2 dx (x + 1)−2 ln(x2 + 1) dx = −(x + 1)−1 ln(x2 + 1) −               x +1    v u v u u v



Partialbruchzerlegung von −uv mit dem Ansatz a bx + c 2x = + 2 −u(x)v  (x) = 2 (x + 1)(x + 1) x+1 x +1 2(−1) = −1 = a und (−1)2 + 1 

2x −1 2 bx + c = (x + 1) − = x + 1, (x + 1)(x2 + 1) x + 1

·(x + 1) und x = −1

=⇒

d.h. b = c = 1

Bilden der Stammfunktionen der elementaren Terme  5 5 x 1 1 + 2 + 2 dx − − u(x)v  (x) dx = x+1 x +1 x +1 1 = − ln |x + 1| + ln(x2 + 1) + arctan x 2 √ Umformung mit (1/2) ln p = ln p, ln p − ln q = ln p/q und Addition von u(x)v(x)  ' ln(x2 + 1) x2 + 1 F (x) = − + ln + arctan x = F1 (x) + F2 (x) + F3 (x) x+1 (x + 1)2 (ii) Bestimmtes Integral: ln(x2 + 1) ≤ ln(x + 1)2 = 2 ln(x + 1), ln x/x → 0 für x → ∞ =⇒ limx→∞ F1 (x) = 0 √ x2 + 1 1 + 1/x2 = → 1 für x → ∞ =⇒ limx→∞ F2 (x) = ln 1 = 2 2 (x + 1) 1 + 2/x + 1/x 0 limx→∞ arctan   x = π/2 F3 (x)

Definition eines uneigentlichen Integrals, Einsetzen der Grenzwerte und Berücksichtigung von Fk (0) = 0  5 ∞ 5 r f (x) dx = lim f (x) dx = lim F (r) − F (0) = π/2 − 0 = π/2 0

r→∞

0

r→∞

322

20.11

20 Uneigentliche Integrale

Uneigentliches Integral und geometrische Reihe  y 1/2

Bestimmen Sie den Inhalt der von der Funktion f (x) = | sin(2x)| e−x und der positiven x-Achse eingeschlossenen Fläche.

π/2 Verweise:

π

x 2π

Uneigentliche Integrale, Geometrische Reihe

Lösungsskizze Substitutionen y = x − 4, dx = dy

und

y = sin z, dy = cos z dz

Betrag  Aufteilung an Nullstellen Teilintervalle Dk = k(π/2) + [0, π/2], k = 0, 1, . . . | sin(2x)| periodisch mit Periode π/2 =⇒ f (x + π/2) = | sin(2x + π)| e−(x+π/2) = e−π/2 f (x)  Integration über ein Periodizitätsintervall sin(2x) > 0 für x ∈ D0 = [0, π/2]  5 5 π/2 = f (x) dx = sin(2x) e−x dx S0 D0 0 5 π/2   π/2 −x − sin(2x) e + 2 cos(2x) e−x dx = 0 part. Int.    0 0 5 π/2  π/2 = sin(2x) e−x dx −2 cos(2x) e−x 0 −4 part. Int.    0    A S0

Auflösen nach S0



 2  1  −π/2 1 A= 2e e−π/2 + 1 − (−2) = 5 5 5 ∞ k Summenformel für die geometrische Reihe, k=0 q = 1/(1 − q) für |q| < 1, und S0 =

Sk+1 = qSk , 

5 R

f (x) dx = S0

∞ k=0

qk =

q = e−π/2

2 e−π/2 + 1 5 1 − e−π/2

2 eπ/4 + e−π/4 2 = = coth(π/4) ≈ 0.6099 π/4 −π/4 5 e 5 −e

21 Tests

Übersicht 21.1 Integral und Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 21.2 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden . . . . . . . . . 326 21.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Ergänzend zu den Tests in diesem Kapitel finden Sie unter dem Link unten auf der Seite eine interaktive Version dieser Tests als elektronisches Zusatzmaterial. Sie können dort Ihre Ergebnisse zu den Aufgaben in ein interaktives PDF-Dokument eintragen und erhalten unmittelbar eine Rückmeldung, ob die Resultate korrekt sind.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_22. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_22

324

21.1

21 Tests

Integral und Stammfunktion

Aufgabe 1: Berechnen Sie lim

n→∞

3n

√

k=1

k+n √ n n

durch Interpretation als Riemann-Summe. Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Konstante c in der Fehlerabschätzung 5

1

ex dx − 0

n−1 1 (k+1/2)/n e = cn−2 + O(n−3 ) n k=0

für die Mittelpunktsregel. Aufgabe 3: Berechnen Sie den Flächeninhalt des durch die Graphen der Funktionen f (x) = 4−x und g(x) = 3/x begrenzten Bereichs. Aufgabe 4: 5 Berechnen Sie

3

0

2−x √ dx . x+1

Aufgabe 5: Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f (x) = ln(x3 − x2 − x + 1), Aufgabe 6: 5 Berechnen Sie 0

4

x > 1.

x2 dx . (x + 1)3

Aufgabe 7: Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f (x) = (2x − 1)3 + 32x−1 , Aufgabe 8: Berechnen Sie

5

x > 1/2 .

2π

cos2 (3t) sin2 (3t) dt . 0

325 Lösungshinweise Aufgabe 1: Schreiben Sie die Folgenelemente in der Form n1 a 0 existiert das uneigentliche Integral 5 π cos(x2r ) − 1 dx ? x3 0 Aufgabe 4: 5 Berechnen Sie

∞

dx . +x

x2

3

Aufgabe 5: 5 Berechnen Sie

∞ −∞

Aufgabe 6: 5 Berechnen Sie

∞

dx . (x2 + a2 )(x2 + b2 )

(x + 1)e1−x dx .

1

Aufgabe 7: 5 Berechnen Sie

∞

sin2 x e−2x dx .

0

Aufgabe 8: 5 Berechnen Sie

1 0

√

x+1 √ dx . x

331 Lösungshinweise Aufgabe 1: 6e Betrachten Sie separat die Integrale I1 = sin(πx)/ ln x dx und I2 = 0 6∞ sin(πx)/ ln x dx. Zeigen Sie für I die Stetigkeit des Integranden an den kri1 e tischen Punkten 0 und 1. Finden Sie für I2 nach zweimaliger partieller Integration eine Majorante. Aufgabe 2: √ √ √ Erweitern Sie 1 − x/(1 − x) mit 1 + x und finden Sie eine einfach zu integrierende Majorante. Aufgabe 3: Zeigen Sie durch Taylor-Entwicklung, dass cos(x2r )−1 = x4r +O(x8r ), und benutzen 6a Sie, dass 0 xs dx für s > −1 existiert. Aufgabe 4: Führen Sie eine Partialbruchzerlegung des Integranden f durch mit dem Ansatz f (x) = a/x+b/(x+1). Berechnen Sie dann für die Stammfunktion F (x) = ln |xa (x+ 1)b | den Grenzwert limr→∞ [F (x)]x=r x=3 . Aufgabe 5: Führen Sie eine Partialbruchzerlegung des Integranden f durch mit dem Ansatz f (x) =

c0 + c1 x d0 + d1 x 1 = 2 + 2 . (x2 + a2 )(x2 + b2 ) x + a2 x + b2

Bestimmen Sie die Koeffizienten ck und dk durch Vergleich der Koeffizienten von xk nach Multiplikation mit dem Hauptnenner. Benutzen Sie zur Integration, dass 6 dx 1 x2 +r 2 = r arctan(x/r) + C und limx→±∞ arctan(x/r) = ±π/2. Aufgabe 6: 6b 6b Benutzen Sie partielle Integration, a uv  = [uv]ba − a u v, mit u(x) = x + 1 und v(x) = e1−x . Aufgabe 7: Durch zweimalige partielle Integration erhalten Sie eine Gleichung für das zu berechnende Integral. Aufgabe 8: Nach der Substitution y 2 = (x + 1)/x ⇐⇒ x = 1/(y 2 − 1),

2ydy = −1/x2 dx

erhalten Sie ein Integral, das Sie mit Partialbruchzerlegung berechnen können.

Teil V Anwendungen mathematischer Software

22 Matlab®

Übersicht 22.1 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 22.2 Polarform komplexer Zahlen und komplexe Exponenten mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 22.3 Vektoroperationen in Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 22.4 Parkettierungen mit Matlab®  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 22.5 Minensuche mit Matlab®  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 22.6 Julia-Mengen mit Matlab®  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 22.7 Zinsanalyse mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 22.8 Polynominterpolation mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 22.9 Kubische Interpolation mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 22.10 Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab® . . . . . . . . . . 350 22.11 Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 22.12 Fraktale Kurven mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 22.13 Verzweigungsdiagramm der Verhulst-Rekursion mit Matlab®  . . . . 354 22.14 Matlab® -Implementierung des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . 356 22.15 Mullers Verfahren mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 22.16 Minimierung mit quadratischer Interpolation mit Matlab® . . . . . . . . 358 22.17 Goldene Suche mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 22.18 Taylor-Approximation mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 22.19 Funktionsuntersuchung mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 22.20 Integration mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 22.21 Romberg-Extrapolation mit Matlab® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_23

22 Matlab®

336

22.1

Schätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Matlab®

Schätzen Sie mit 106 Tests die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dreieck mit zufällig gewählten Eckpunkten in [0, 1)2 einen stumpfen Winkel hat und vergleichen Sie mit dem exakten Wert 97/150 + π/40 = 0.7252 . . .1 . Verweise:

Elementare Matlab® -Operatoren und -Funktionen

Lösungsskizze stumpfer Winkel ϕ des Dreiecks Δ(A, B, C) bei B ⇔ 2 3  ϕ > π/2 ⇔ 0 > cos ϕ = (a − b) · (c − b) |a − b| |c − b|  nur Vorzeichen des Skalarproduktes {· · · } relevant (i) Elementares Skript: >> n = 1000000; >> p = 0; % Zähler >> for k=1:n % zufällig gewählte Punkte im Einheitsquadrat A = rand(2,1); B = rand(2,1); C = rand(2,1); % Erhöhen des Zählers p bei negativem Skalarprodukt if (A-B)’*(C-B) < 0 p = p+1; end end % stumpfe Winkel bei B, A und C gleich wahrscheinlich >> p = 3*p/n p = 0.7253 (ii) Schnellere (bessere) Skriptversion ohne Schleife: >> >> >> >> >> >> >>

n = 1000000; Punkte in den Spalten von Matrizen der Dimension 2xn A = rand(2,n); B = rand(2,n); C = rand(2,n); Vektoren der Dreiecksseiten BA = A-B; BC = C-B; Bilden der Skalarprodukte und Zählen der negativen s_prod = sum(BA.*BC); p = 3*sum(s_prod < 0)/n p = 0.7264

geringfügig abweichende Werte aufgrund verschiedener Zufallszahlen, √ langsame Konvergenz (Fehler ∼ 1/ n = 0.001)

1 Eric Langford: The probability that a random triangle is obtuse, Biometrica (1969) 56(3), 689-690.

337

22.2

Polarform komplexer Zahlen und komplexe Exponenten mit Matlab®

Berechnen Sie z = i2 exp(iπ/3) und geben Sie das Ergebnis sowohl in Koordinatenform, z = x + iy, als auch in Polarform, z = reiϕ , an. Verweise:

Elementare Operatoren und Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze (i) Direkte Berechnung: >> z = i^(2*exp(i*pi/3)) % Matlab-Konstante i=sqrt(-1) >> x = real(z), y = imag(z) >> [phi,r] = cart2pol(x,y) z = -0.0000 + 0.0658i x = -2.5203e-17, y = 0.0658 % Werte mit Rundungsfehlern phi = 1.5708, r = 0.0658 % phi = pi/2

(ii) Alternative Berechnung analog zur analytischen Vorgehensweise: √ b Anwendung der Regel z = (ea ) = eab auf ea = i = eiπ/2 und b = 2eiπ/3 = 1+ 3i = u + iv  √ √ √ z = e(iπ/2)(1+ 3i) = e−π 3/2+iπ/2 = e−π 3/2 i r

entsprechendes Matlab

®

>> >> >> >>

-Skript mit logi = iπ/2

u = real(2*exp(i*pi/3)), v = imag(2*exp(i*pi/3)) logi = i*pi/2, logz = logi*(u+i*v) r = exp(real(logz)), phi = imag(logz) [x,y] = pol2cart(phi,r)

u = 1.0000, v = 1.7321 logi = 0.0000 + 1.5708i, logz = -2.7207 + 1.5708i r = 0.0658, phi = 1.5708 x = -2.5203e-17, y = 0.0658

(iii) Mehrdeutiges Ergebnis: Ähnlich wie bei den n-ten Einheitswurzeln (Lösungen von z n = 1), führen verschiedene Polarkoordinatendarstellungen der Basis i zu verschiedenen Ergebnissen: i = eiπ/2 e2πik   mit k ∈ Z  =1

1+√3i  √ √

1+√3i iπ/2 2πik zk = e e = e−π3/2i e2πik = z0 e−2πk 3 . z0

22 Matlab®

338

22.3

Vektoroperationen in Matlab®

Berechnen Sie für das von den Vektoren a = (1, 2, 3)t und b = (2, 2, 2)t aufgespannte Parallelogramm die Länge der Diagonalen, die Winkel und den Flächeninhalt. Verweise:

Vektoren in Matlab® , Elementare Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze >> % alternative Vektor-Definitionen >> a = [1; 2; 3], a_t = [1:3], a = a_t’ >> b = 2*ones(3,1), b = 2+0*a, b = [2 2 2]’ ⎛ 

1

⎞

⎛

⎜ ⎟ ⎟ a=⎜ ⎝ 2 ⎠ , at =



 ,

1 2 3

2

⎞

⎜ ⎟ ⎟ b=⎜ ⎝2⎠

3

2

>> % Diagonalen und deren Laenge >> c = a+b, norm(c), d = a-b, norm(d) ⎛ 

3

⎞

⎛

⎜ ⎟ ⎟ c=⎜ ⎝ 4 ⎠ , 7.0711, 5

>> >> >> >> >>

−1

⎞

⎜ ⎟ ⎟ d=⎜ ⎝ 0 ⎠ , 1.4142 1

% Skalarprodukt und Winkel a_dot_b = a_t*b % liegender * stehender Vektor alpha = acos(a_dot_b/(norm(a)*norm(b))) % 2 alpha + 2 beta = 2 pi (Winkelsumme im Viereck) => beta = pi-alpha 

a_dot_b = 12,

α = 0.3876, β = 2.7540

>> % Flaecheninhalt (Betrag des Vektorprodukts) >> a_cross_b = cross(a,b), area = norm(a_cross_b) ⎛ 

−2

⎞

⎜ ⎟ ⎟ a_cross_b = ⎜ ⎝ 4 ⎠, −2

area = 4.8990

339

22.4

Parkettierungen mit Matlab® 

Für eine nicht-negative Funktion f (x, y) mit limt→∞ f (ta, tb) = ∞ für fast alle Richtungen (a, b) ist D = {(x, y) : f (x, y) = min f (x − j, y − k)} j,k∈Z

eine Menge, deren ganzzahlige Verschiebungen D + (j, k) eine Partition von R2 bilden2 . Schreiben Sie ein Matlab® -Skript, das die folgenden Abbildungen, die den Funktionen f (x, y) = |x2 +y 2 −1/2| und f (x, y) = |(4x+y)(x+3y)| entsprechen, reproduziert.

Experimentieren Sie mit weiteren Funktionen, z.B. f (x, y) = |x2 + y 2 − 1|, f (x, y) = |x3 + y 2 + x|. Verweise:

Bilder und Animationen in Matlab®

Lösungsskizze (i) Erläuterung der Implementierung: Um die Mengen D + (j, k) = {(x, y) : f (x − j, y − k) = min f (x − m, y − n)}    m,n∈Z    =:fj,k (x,y) =:F (x,y)

simultan zu berechnen, wird die Funktion F gebildet und für (x, y) im Bildausschnitt geprüft, welche Funktion fj,k das Minimum annimmt. Dem Bildpunkt wird ein Farbwert zugewiesen, bestimmt durch das Indexpaar (j, k) (Schwarz für (j, k) = (0, 0), Weiß für die nicht gezeichneten verschobenen Mengen, eine passend gewählte Farbe für die gezeichneten Mengen).

2 vgl. C. de Boor, K. Höllig: Box-Spline Tilings, Amer. Math. Monthly (1991), 703-802, für die zugrunde liegende Theorie

22 Matlab®

340

Wegen des Wachstums von f sind für einen Bildauschnitt nur endlich viele fj,k für die Minimumbildung und Farbzuweisung relevant ( |j|, |k| ≤ S); eine geeignete Schranke S kann man experimentell finden. (ii) Matlab® -Skript: >> f = @(x,y) abs(x.^2+y.^2-1/2); >> % f = @(x,y) abs((4*x+y).*(x+3*y));

% Alternative

>> % Parameter >> Bildausschnittgrenze, Punktabstand, Schranke fuer j,k >> xymax = 3; dxy = 0.005; S = 8; >> >> >> >> >> >> >>

% Ergaenzung von Weiss ([1 1 1], Hintergrund) % und Schwarz ([0 0 0], Menge D) % zu der vordefinierten Farbpalette "cool" colormap([1 1 1; 0 0 0; colormap(cool)]) % Farbindizes fuer die 9 um (-1,-1),(-1,0),...,(1,1) % verschobenen Mengen (2 fuer die Grundmenge D) colors = [8 15 36; 29 2 43; 50 57 64];

>> >> >> >>

% Auswertungsgitter und Initialisierung [x,y] = meshgrid([-xymax:dxy:xymax]); F = ones(size(x))*inf; % Start mit inf zur Minimierung color_index = ones(size(x)); % Hintergrundfarbindex

>> for j=-S:S; for k=-S:S >> % Irrelevanz grosser (j,k) -> Begrenzung der Schleife >> fjk = f(x-j,y-k); >> if norm([j k],inf) > % Farbe gemaess der Verschiebung bestimmen >> % fuer Punkte, bei denen fjk minimal ist >> color_index(fjk> else % andere Mengen nicht beruecksichtigen >> color_index(fjk> end >> F = min(F,fjk); >> end; end >> % Farbverteilung als Pixelbild zeichnen >> image([-xymax,xymax],[-xymax,xymax],color_index) >> axis equal, axis tight, axis off

341

22.5

Minensuche mit Matlab® 

Auf einer schachbrettartigen Anordnung von N 2 Feldern sind M Minen nicht sichtbar platziert. Bei sukzessivem Anklicken von Feldern wird jeweils auf dem Feld angezeigt, wie viele Minen sich auf den angrenzenden Feldern befinden. Die Abbildung zeigt zwei Spielverläufe3 , links mit einem unglücklichen Spielverlauf nach Anklicken der Felder in den Positionen (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (4, 4), (8, 3).

5 0 1 0 0

„hit a mine“

1 0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 1 4 5 3 2 2 1 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 2 2 1

0 0 0 0 1 1

„found all mines“

Schreiben Sie eine Matlab® -Funktion mines(M,N), die die Minensuche implementiert. Verweise:

Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze function mines(M,N) hold on % Ueberlagerung der nachfolgenden Plots axis([0 N 0 N]); axis equal; axis off; % Grafik-Fenster % Zeichnen der Gitterlinien [x,y] = meshgrid(0:N); plot(x,y,’-k’,x’,y’,’-k’); % Darstellung der Felder mit einer Matrix A % Zufallspermutation -> Position der Minen (A = inf) mine = randperm(N*N); mine = mine(1:M); A = zeros(N,N); A(mine) = inf; % Einfach- und Doppelindizierung von A: % A(mine_x(k),mine_y(k)) = A(mine(k)) [ind_x,ind_y] = ndgrid([1:N]);

3 Das Programmieren von Spielen ist ein gutes Training für die Matlab® -Syntax, wird aber nur nach abgeschlossener Prüfungsvorbereitung (zur Entspannung . . .) empfohlen.

342

22 Matlab®

mine_x = ind_x(mine); mine_y = ind_y(mine); % Berechnung der Feldnummern (Anzahl angrenzender Minen) % A(Ix,Iy)+1 fuer Nachbarschaftsbereiche der Minen % Ix = [mine_x(k)-1:mine_x(k)+1] fuer innere Felder % Bereichsverkleinerung am Rand via max/min for k=1:M square_kx = [max(1,mine_x(k)-1):min(N,mine_x(k)+1)]; square_ky = [max(1,mine_y(k)-1):min(N,mine_y(k)+1)]; A(square_kx,square_ky) = A(square_kx,square_ky)+1; end % sukzessives Anklicken von Feldern und Update der Matrix for k=1:N*N-M % N*N-M minenfreie Felder [x,y] = ginput(1); % Koordinaten des Klicks ixk = ceil(x); iyk = ceil(y); % Runden -> Feldindizes if A(ixk,iyk) == inf display(’hit a mine’); plot_mine(ixk,iyk,’r’); % rotes Feld mit Mine return else % Angabe der Anzahl benachbarter Minen text(ixk-1/2,iyk-1/2,num2str(A(ixk,iyk)), ... ’FontSize’,40,’HorizontalAlignment’,’center’) end end display(’all mines found’) % Zeichnen der Minen auf gruenem Feld for k=1:M plot_mine(mine_x(k),mine_y(k),’g’) end hold off % Funktion zum Zeichen der Minen function plot_mine(ix,iy,c) square_x = [0 1 1 0 0]; square_y = [0 0 1 1 0]; fill(ix-1+square_x,iy-1+square_y,c,’EdgeColor’,’k’); plot(ix-1/2,iy-1/2,’.k’,’MarkerSize’,100);

343

22.6

Julia-Mengen mit Matlab® 

Die Julia-Menge zu einem Parameter c ∈ C ist der Rand der Menge Ac der komplexen Zahlen z0 , für die die durch zn+1 = p(zn ) = zn2 + c definierte Folge beschränkt bleibt. Zeichnen Sie eine Approximation von Ac für verschiedene Werte von c4 und visualisieren Sie durch die Farbwahl den Randabstand. Verweise:

Bilder und Animationen mit Matlab®

Lösungsskizze |zn | ≥ R = |c| + C mit C ≥ 2

=⇒

|zn+1 | = |zn2 + c| ≥ |zn |2 − |c| ≥ |c|2 + 2C|c| + C 2 − |c| ≥ (2C − 1)|c| + C 2 ≥ |c| + C + 1 = R + 1 , C≥2

d.h. |zn+k | ≥ R + k und somit |zn+k | → ∞ numerisches Divergenzkriterium: |zN | ≥ R minimales N  Farbindex je größer N für einen Startwert z0 , um so kleiner der Abstand zur Julia-Menge Punkte z0 mit |zn | < R für hinreichend große n liegen mit hoher Wahrscheinlichkeit in der Menge Ac (maximaler Farbindex).

>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

% Parameter c = 0.4+0.2*i; % -> letztes der folgenden Bilder nmax = 100; % maximale Iterationsanzahl R = 10; % Radius fuer Divergenz d = 0.005; % Abstand der Bildpunkte % Bildausschnitt xmin=-2; xmax=2; ymin=-1.25; ymax=1.25; % Startwerte und Farbindizes [x,y] = meshgrid([xmin:d:xmax],[ymin:d:ymax]); z = x+i*y; N = zeros(size(z)); % simultane Iteration fuer alle Startwerte for n=1:nmax z = z.^2 + c; % Iterationsschritt % Erhoehung der Farbindizes bei noch keiner Divergenz N = N+(abs(z)> >> >> >> >> >>

p_eff = [0.1:0.1:10]; q = (1+p_eff/100).^(1/12); N = 10; n = 12*N; RdK = (q-1)./(1-q.^(-n)); plot(p_eff,RdK,’-k’); plot(0,1/n,’.b’);

0.02 0.015 0.01 0.005 0

>> % nur ein N betrachtet

0

2

4

6

8

10

Beispielsweise ist R/K ≈ 0.0101 für eine Laufzeit von N = 10 Jahren und einem effektiven Jahreszins peff = 4%, d.h. bei einem Darlehn von 100000 EUR ist die monatliche Rate R = (R/K) · K ≈ 0.0101 · 100000 EUR ≈ 1010 EUR . Die blauen Punkte in der Abbildung (peff = 0, keine Zinsen) entsprechen R/K = 1/(12N )

bzw.

R = K/(12N )

(Darlehn = Summe der n = 12N Raten). Die Differenz der Rate zu diesem Wert ist der Zinsanteil; im betrachteten Beispiel 1010 EUR − 100000/(12 · 10) EUR ≈ 175 EUR.

22 Matlab®

346

(ii) Ratensparen: Kapital Kn nach n monatlichen vorschüssigen Sparraten R (eingezahlt am Monatsanfang) K1 = Rq, K2 = (Rq + R)q, K3 = ((Rq + R)q + R)q, . . . qn − 1 Kn = Rq(1 + q + · · · + q n−1 ) = Rq q−1 Matlab® -Skript zum Zeichnen von K/R in Abhängigkeit von n bzw. N = n/12: 2500

>> >> >> >> >>

n = [0:360]; N = n/12; p_eff = 3; q = (1+p_eff/100)^(1/12); KdR = q*(q.^n-1)/(q-1); plot(N,KdR,’-k’);

2000 1500 1000 500

>> % nur ein p_eff betrachtet

0 0

10

20

30

Beispielsweise ist für einen Effektivzins peff = 10% nach n = 360 Monaten (N = 30 Jahren) das Verhältnis K/R ≈ 2079.29, d.h. für eine Monatsrate von R = 100 EUR ergibt sich ein Sparkapital von K = (K/R) · 100 EUR ≈ 207929 EUR . Zum Vergleich zeigt die blaue Linie, welches Sparkapital man ohne Zinsen erhält; im betrachteten Fall K = 30 · 12 · 100 EUR = 36000 EUR, ein Zinsgewinn von ≈ 207929 EUR − 36000 EUR = 171929 EUR. (iii) Kapitalentwicklung bei Inflation: Was passiert, wenn man bei 5% effektivem Jahreszins spart, die Inflationsrate aber sehr hoch bei 10% liegt, also in Summe der Effektivzins negativ ist, peff = −5% und q = (1 + peff /100)1/12 < 1? Die rote Kurve zeigt, dass das Sparkapital beschränkt bleibt: q qn − 1 = . K∞ /R = lim Kn /R = lim q n→∞ n→∞ q − 1 q> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

% Funktionsdefinition, Auswerten und Zeichnen f = @(x) exp(-4*x.^2); x = linspace(-1,1,1001); fx = f(x); plot(x,fx) hold on % Überlagern der Grafiken n = 8; % Stützstellen und Interpolationsdaten xn = [-1:2/n:1]; fn = f(xn); % Polynomkoeffizienten, Auswerten und Zeichnen c = polyfit(xn,fn,n); pnx = polyval(c,x); plot(x,pnx) hold off % maximaler Fehler error = norm(fx-pnx,inf) error = 1.1417 1

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1 -1

-0.5

0

im Allgemeinen keine gute Konvergenz bei nicht-glatten Funktionen

0.5

1

22 Matlab®

348

22.9

Kubische Interpolation mit Matlab®

Interpolieren Sie die Daten f (0), f  (0), f (1), f  (1) durch ein kubisches Polynom in Bernstein-Form, p(x) = c1 (1 − x)3 + 3c2 x(1 − x)2 + 3c3 x2 (1 − x) + c4 x3 . Durch entsprechend skalierte Anwendung dieser Methode auf die Teilintervalle einer Partition x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn erhalten Sie einen kubischen Spline q, der die Daten f (xk ), f  (xk ), k = 1, . . . , n, interpoliert 7 . Schreiben Sie eine Matlab® -Funktion [X,q] = spline(x,f,df,m), die die Werte q(:, k) des interpolierenden Splines an m + 1 äquidistanten Punkten X(:, k) im Intervall [xk , xk+1 ] berechnet. Testen Sie die Funktion für die Daten x

0 3 3 4

f

0 2 2 3.5 0

f



9

1.5 0 2 0.5 −2

eines Profils, das einem VW-Käfer ähnelt. Der Knick am unteren Ende der Windschutzscheibe wurde dabei durch ein „Nullintervall“ realisiert; x2 = 3 = x3 . Verweise:

4 2 0 -2 0

2

4

6

8

Skripte in Matlab®

Lösungsskizze (i) Bernstein-Interpolation auf [0, 1]: Auswertung und Differentiation der Bernstein-Form f (0) = p(0) = c1 ,



f  (0) = p (0) = −3c1 + 3c2 bzw. c2 = f (0) + f  (0)/3

analog (Symmetrie der Bernstein-Form): c4 = f (1), c3 = f (1) − f  (1)/3 Matlab® -Funktion für diese Berechnung und anschließende Auswertung an den Punkten 0, 1/m, 2/m, . . . , 1 function p = bernstein(f,df,m) c = [f(1); f(1)+df(1)/3; f(2)-df(2)/3; f(2)];

7

Ein sehr einfaches Beispiel für Modellierung mit Bernstein-Polynomen bzw. mit Hilfe der Bézier-Technik, die in dem Buch Approximation and Modeling with B-Splines ausführlich beschrieben ist.

349 x = [0:m]’/m; % Spaltenvektor der Auswertungspunkte p = c(1)*(1-x).^3+c(2)*3*((1-x).^2).*x + ... c(3)*3*(1-x).*x.^2+c(4)*x.^3; (ii) Spline-Interpolation für eine Partition x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn : Transformation einer Funktion von einem Teilintervall [xk , xk+1 ] auf [0, 1]: f (x)

−→

g(x) = f (xk + hx), h = xk+1 − xk

=⇒ Funktionswerte bleiben erhalten, Ableitungen werden mit einem Faktor h skaliert: g(0) = f (xk ), g  (0) = hf  (xk ), . . . Matlab® -Implementierung function [X,q] = spline(x,f,df,m) % X(j,k)=x(k)+(j-1)*(x(k+1)-x(k))/m % q(j,k): Spline-Werte for k=1:length(x)-1 h = x(k+1)-x(k); g = [f(k) f(k+1)]; dg = [df(k) df(k+1)]*h; p = bernstein(g,dg,m) q(:,k) = p; X(:,k) = x(k)+h*[0:m]’/m; end

(iii) Zeichnen des Splines für die Testdaten: >> >> >> >> >> >> >> 

% Partition, Funktions- und Ableitungswerte x = [0 3 3 4 9]; f = [0 2 2 3.5 0]; df = [1.5 0 2 0.5 -2]; % Auswertung des Splines an 20 Punkten je Teilintervall [X,q] = spline(x,f,df,20); plot(X(:),q(:)) Abbildung in der Aufgabe ohne die Tangenten

22 Matlab®

350

22.10

Überlagerung harmonischer Schwingungen mit Matlab®

Zeichnen Sie die Funktionen u1 (t) = sin(7t),

u2 (t) = sin(9t)

sowie deren Summe (Überlagerung von zwei Schwingungen) u = u1 + u2 auf dem Periodizitätsintervall [0, 2π] und beschriften Sie die Grafik. Verweise:

Darstellung von Funktionen und Kurven in Matlab®

Lösungsskizze >> >> >> >>

% Funktionswerte auf dem Periodizitätsintervall t = linspace(0,2*pi); u1 = sin(7*t); u2 = sin(9*t); u = u1+u2;

>> % Zeichnen der Graphen in verschiedenen Farben >> % rot: ’r’, grün: ’g’, blau: ’b’ >> plot(t,u1,’r’,t,u2,’g’,t,u,’b’) >> % Beschriftung >> xlabel(’t’), ylabel(’uk, u’) >> title(’Überlagerung harmonischer Schwingungen’) Überlagerung harmonischer Schwingungen

2 1.5 1

uk, u

0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

1

2

3

4

t

5

6

7

351

Zeichnen von Lissajous-Figuren mit Matlab®

22.11

Zeichnen Sie die durch x(t) = sin(ω1 t + ϕ1 ), y(t) = sin(ω2 t + ϕ2 ),

t ≥ 0,

parametrisierte Kurve für ω1 = 1, ω2 = 2, ϕ1 = 0, ϕ2 = 0 und experimentieren Sie mit anderen Parametern ωk , ϕk . Verweise:

Darstellung von Funktionen und Kurven in Matlab®

Lösungsskizze >> % Parameter >> w1 = 1; w2 = 2; phi1 = 0; phi2 = 0 >> % Punkte im Periodizitätsintervall >> T = 2*pi; t = linspace(0,T); >> >> >> >>

% Auswerten und Zeichnen x = sin(w1*t+phi1); y = sin(w2*t+phi2); plot(x,y)

>> % Grafik-Fenster und Achsenskalierung >> axis([-1 1 -1 1]), axis equal % gewählte Parameter -> linke obere Abbildung 1

1

0

0

-1

-1

0

1

-1

1

1

0

0

-1

-1

0

1

-1

-1

0

1

-1

0

1

22 Matlab®

352

22.12

Fraktale Kurven mit Matlab®

Schreiben Sie ein Programm, das die Kanten eines Polygons iterativ durch ein vorgegebenes polygonales Muster (Generator: ein Polygon, das die Punkte (0, 0)t und (1, 0)t verbindet) ersetzt. Die Abbildung illustriert dies für die Koch-Kurve  („Schneeflocke“) mit dem Generator

Verweise:

G=

0 1/3 1/2 1/3 1 √ 3/6 0 0 0 0

.

Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze (i) Affine Abbildung des Musters: durch eine Kante [u, v] des Polygons bestimmte affine Transformation p → Ap + b der Punkte p des Generators p = (0, 0)t → u

=⇒

b=u

p = (1, 0)t → v = u + (v − u) A ist Drehstreckung 

=⇒

⎛ =⇒

⎞

⎠ v2 − u2 a2,2 = u2 − v2 , a2,2 = a1,1 = v1 − u1

A=⎝

a1,2 = −a2,1

v1 − u1 a1,2

affine Abbildung ⎛ p → ⎝

v 1 − u1 u2 − v 2 v 2 − u2 v 1 − u1

⎞⎛ ⎠⎝

⎞ p1

⎛

⎠+⎝

p2

⎞ u1

⎠

u2

für die Punkte p des Generators und benachbarte Punkte u = (xj , yj )t , v = (xj+1 , yj+1 )t des zu transformierenden Polygons (ii) Matlab® -Funktion: function [x,y] = fractal(x,y,G) % Anfangspunkt des Polygons xG = x(1); yG = y(1); % Schleife ueber die Kanten des Polygons for j=1:length(x)-1 % Schleife ueber die Punkte des Generators

353 % Vermeidung doppelter Verbindungspunkte $ -> Start bei Punkt 2 for k=2:size(G,2) % Differenzen benachbarter Polygonpunkte a11 = x(j+1)-x(j); a21 = y(j+1)-y(j); % affine Transformation xG = [xG, x(j)+a11*G(1,k)-a21*G(2,k)]; yG = [yG, y(j)+a21*G(1,k)+a11*G(2,k)]; end end x = xG; y = yG; Bei dem gezeigten Beispiel wurde der Generator ⎛ ⎞ 0 1/4 3/4 1 ⎠ G=⎝ 0 1/4 −1/4 0 gleichzeitig als Startpolygon verwendet. Das rechts abgebildete Polygon entsteht nach 6 Iterationsschritten.

(iii) Alternative Lösung: In Matlab® -Programmen sollen Schleifen möglichst vermieden werden. Die nachfolgende Programmversion ist eleganter, aber nicht so einfach nachvollziehbar.

function [x,y] = fractal(x,y,G) G = [ones(size(G,2),1) G’]; xG = G*[x(1:end-1); diff(x); -diff(y)]; yG = G*[y(1:end-1); diff(y); diff(x)]; x = xG(:)’; y = yG(:)’;

22 Matlab®

354

22.13

Verzweigungsdiagramm der Verhulst-Rekursion mit Matlab® 

Die Abbildung zeigt die Folgenelemente x1000 , . . . , x1100 der Rekursion xn+1 = rxn (1 − xn ),

x1 = 1/2 ,

in Abhängigkeit von dem Parameter r.

Ein Grenzwert xr∞ existiert nur für r ≤ r1 = 3 (x1000 ≈ · · · ≈ x1100 ; man „sieht“ √ jeweils nur einen Punkt (r, xr∞ ) im Diagramm.). Für r1 < r ≤ r2 = 1 + 6 ≈ 3.4495 oszilliert die Folge zwischen 2 Häufungspunkten xr∞,j , j = 1, 2. Dieses Verzweigungsphänomen setzt sich fort: Für rk < r ≤ rk+1 wird die Folge für n → ∞ 2k -periodisch. Die Intervalllänge reduziert sich asymptotisch um einen konstanten Faktor rk − rk−1 δ = lim ≈ 4.669 , k→∞ rk+1 − rk die sogenannte Feigenbaum-Konstante8 ; ein bemerkenswertes Resultat! Für r > r∞ ≈ 3.5700 hat die Rekursion einen chaotisch wirkenden Charakter. a) Schreiben Sie ein Matlab® -Skript, das das abgebildete Diagramm reproduziert. b) Berechnen Sie xr∞ für 1 < r ≤ r1 und xr∞,1 , xr∞,2 für r1 < r ≤ r2 . Verweise:

Skripte in Matlab®

8 Mitchell J. Feigenbaum: The universal metric properties of nonlinear transformations, J. of Statistical Physics 21 (1979), 669-706

355 Lösungsskizze a) Matlab® -Skript: >> >> >> >>

dr = 0.001; r = [2.8:dr:4]; x = ones(size(r))/2; hold on for k=2:1100 x = r.*x.*(1-x); if k>=1000; plot(r,x,’.k’); end >> end >> hold off

b) Berechnung der Grenzwerte bzw. Häufungspunkte: 1 < r ≤ 3: Der Grenzwert xr∞ ist Fixpunkt der Iterationsabbildung f (x) = rx(1 − x), d.h. Lösung von x = rx(1 − x)

⇐⇒

0 = x − rx(1 − x) .

x > 0  xr∞ = 1 − 1/r √ 3 < r ≤ 1 + 6: Die beiden Häufungspunkte xr∞,j sind Fixpunkte von f ◦ f , d.h. 0 = x − f (f (x)) = x − r rx(1 − x)(1 − rx(1 − x)) =: p(x) .    f (x)

Da die Fixpunkte 0 und 1 − 1/r von f ebenfalls Fixpunkte von f ◦ f , d.h. Nullstellen von p, sind, kann man durch x und den Linearfaktor x − (1 − 1/r) dividieren. Prinzipiell einfach; aber man (die Autoren eingeschlossen) kann sich leicht verrechnen . . .  MapleTM > f := (x,r) -> r*x*(1-x): > p := x-f(f(x,r),r): > q := simplify(p/(x*(x-1+1/r))); q := r(1 + (x2 − x)r2 + (1 − x)r) Wenn man (nicht empfehlenswert) die Lösungsformel für quadratische Gleichungen nicht auswendig weiß . . . > solve(q=0,x); 

xr∞,± =

r+1±

√

r2 − 2r − 3 2r

22 Matlab®

356

22.14

Matlab® -Implementierung des Newton-Verfahrens

Schreiben Sie ein Matlab® -Programm, das eine Nullstelle einer Funktion f ausgehend von einem hinreichend guten Startwert x bestimmt. Testen Sie Ihr Programm für f (x) = x2 − 2 und x = 2 . Verweise:

Demo: Newton’s Method, Matlab® -Funktionen

Lösungsskizze function x = newton(x,f,df,par) for k = 1:par.itmax % beschränkte Iterationsanzahl dfx = df(x); if abs(dfx) < par.toldf % singuläre Ableitung display(’Ableitung fast null’); return end % Iterationsschritt: x f = @(x) 2.^x + 4.^(-x); >> xmin = minimize(f,-1,1,0.001)  xmin ≈ 0.33332485 . . . nach 5 Iterationen

359

22.17

Goldene Suche mit Matlab®

Schreiben Sie eine Matlab® -Funktion, die das Minimum einer unimodalen Funktion (einer Funktion, die links und rechts von ihrem Minimum monoton ist) auf einem Intervall [a, b] mit einem Fehler ≤ tol durch iterative Intervallverkleinerung bestimmt. Ausgehend von vier Punkten a < c < d < b wird [a, b] durch [a , b ] = [a, d] ersetzt, falls f (c) ≤ f (d) wie in dem abgebildeten Beispiel, andernfalls durch [a , b ] = [c, b]. Dann wird in dem größeren der verbleibenden zwei Teilintervalle ein neuer vierter Punkt gewählt und die Prozedur wiederholt. Positioniert man die Teilpunkte gemäß dem goldenen Schnitt, c − a = b − d, (b − a) : (d − a) = (d − a) : (c − a) = r,

r = (1 +

√ 5)/2 ,

so bleibt die relative Lage der Punkte bei jedem Iterationsschritt unverändert und es ist gewährleistet, dass sich die Intervalllänge bei jedem Schritt um den gleichen Faktor r verkleinert. Verweise:

Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze (i) A priori Bestimmung der Schrittzahl: Intervalllänge nach n Iterationen: L = (b − a)/rn  Fehler L/2 bei Wahl des Intervallmittelpunkts als Näherung für die Minimalstelle b−a ln(b − a) − ln 2 − ln tol L/2 ≤ tol ⇐⇒ ≤ rn ⇐⇒ n ≥ 2 tol ln r (ii) Matlab® -Funktion: function xmin = golden_search(f,a,b,tol) % Teilverhaeltnis des goldenen Schnitts r = (sqrt(5)+1)/2; % A priori Schranke fuer die Schrittzahl steps = ceil((log(b-a)-log(2)-log(tol))/log(r)); % Startpunkte, d-a = b-c = (b-a)/r h = (b-a)/r; d = a+h; c = b-h; % Funktionswerte

22 Matlab®

360 fa = f(a); fb = f(b); fc = f(c); fd = f(d); for k=1:steps h = h/r; if fc [a,d] % a,c,d,b [c,b] % a,c,d,b > f = @(x) 2.^x + 3.^(-x); >> xmin = golden_search(f,-1,2,0.001) xmin = 0.2570 >> >> >> >>

% Kontrolle mit der Matlab-Funktion fminbnd options.TolX = 1.0e-10 % hoehere Kontroll-Toleranz format long xmin = fminbnd(f,-1,2,options) xmin = 0.257043852651348

Vergleich



Fehler ≤ 0.001 

361

22.18

Taylor-Approximation mit Matlab®

Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = sin(exp(x) − 1) die ersten sieben TaylorKoeffizienten der Funktion im Entwicklungspunkt x0 = 0 und zeichnen Sie f und die Taylor-Polynome bis zum Grad 6 einschließlich im Intervall [0, 2] . Verweise:

Demo: Taylor-Approximation

Lösungsskizze >> % Grafikfenster, Bildüberlagerung und Auswertungspunkte >> axis([0 2 -2 2]), hold on, xplot = linspace(0,2); >> % symbolische Funktionsdefinition, Zeichnen >> syms f(x); f(x) = sin(exp(x)-1); >> plot(xplot,evalf(f(xplot))) >> % Taylor-Approximationen und Ausgabe der Koeffizienten >> c = f(0); >> for k=1:6 f = diff(f,x); c = [f(0)/factorial(k); c]; p = polyval(eval(c),xplot); plot(xplot,p) end >> c c = -37/360 -23/120 -5/24 0 1/2 1 0 2 1 0 -1 -2 0

0.5

1

1.5

2

22 Matlab®

362

Funktionsuntersuchung mit Matlab®

22.19

Bestimmen Sie die Nullstellen und die Extrema des abgebildeten Polynoms p(x) = x5 − x3 − 2x2 − 10x + 6 auf dem Intervall [−2, 2] . Verweise:

Demo: Function Analysis of a Rational Function, Elementare

Matlab® -

Operatoren und -Funktionen

Lösungsskizze >> % Koeffizienten des Polynoms und seiner Ableitung >> c = [1 0 -1 -2 -10 6]; dc = polyder(c); >> % Nullstellen >> z = roots(c) z = -1.8976 + -0.2961 + -0.2961 1.9575 + 0.5325 +

(nur reelle relevant) 0.0000i 1.7163i 1.7163i 0.0000i 0.0000i

>> % Kritische Punkte >> e = roots(dc) e = 1.4501 + 0.0000i -1.1720 + 0.0000i -0.1391 + 1.0759i -0.1391 - 1.0759i

% komplex, nicht relevant % komplex, nicht relevant

% komplex, nicht relevant % komplex, nicht relevant

>> % Vergleich der Funktionswerte mit den Randwerten >> pe = polyval(c,[-2; e; 2]) pe = -6.0000 -9.3439 14.3714 2.0000 >> % -> Minimum (1.4501,-9.3439), Maximum (-1.1720,14.3714) Beachten Sie, dass numerisch insbesondere reelle Nullstellen nicht exakt gefunden werden (0.0000i signalisiert kleinen imaginären (Fehler-) Anteil).

363

Integration mit Matlab®

22.20

Berechnen Sie 5

a) c)

5

3+x dx 4 − x2 5 1 2π cos6 t dt π 0

1

b) 5

√

x ln x dx

0 ∞

d)

exp(x − exp(x)) dx

0

mit Matlab® . Ohne Matlab® : Welche Methode hätten Sie gewählt? Verweise:

Elementare Matlab® -Operatoren und -Funktionen

Lösungsskizze 5 3+x dx (symbolische Berechnung): a) 4 − x2 >> % Deklaration der symbolischen Variablen, Stammfunktion >> syms x >> int((3+x)/(4-x^2)) log(x+2)/4-5*log(x-2)/4 1/4 5/4 + Partialbruchzerlegung  2−x 2+x 5 1 √ b) x ln x dx (symbolische Berechnung): 0

>> syms x >> int(sqrt(x)*log(x),0,1) -4/9 5 partielle Integration  − c)

1 π

1 0

5



2 3/2 x 3

  1 dx x

2π

cos6 t dt (numerische Berechnung): 0

>> f = @(t) cos(t).^6; >> integral(f,0,2*pi)/pi 0.6250 1 −6 2 π

5

2π

 −it 6

e +e Formel von Euler-Moivre  0 5 ∞ d) exp(x − exp(x)) dx (numerische Berechnung): it

dt = 2

−5

 6 3

0

>> f = @(x) exp(x-exp(x)); >> integral(f,0,Inf) 0.3679 Substitution (u = exp(x), du = exp(x) dx)

5

∞

 1

exp(−u) du = e−1

22 Matlab®

364

22.21

Romberg-Extrapolation mit Matlab®

Mit der Trapezregel lässt sich eine Folge S(1, 1), S(1, 2), . . . von Approximationen für ein Integral durch sukzessives Halbieren der Schrittweite und Summation der Funktionswerte an den Gitterpunkten generieren: 

5 b 1 1 f (a) + f (a + h) + · · · + f (b − h) + f (b) f ≈ S(j, 1) = hj 2 2 a mit hj = h21−j und h = h1 der Schrittweite der ersten Approximation. Für glatte Integranden f kann die Genauigkeit mit dem durch die Rekursion S(j, k) =

4k−1 S(j, k − 1) − S(j − 1, k − 1) , 4k−1 − 1

k = 2, . . . , j ,

definierten Dreieckschema verbessert werden; S(j, j) ist eine Approximation der Ordnung O(h2j ). Das Dreieckschema S(1, 1) ' S(2, 1) → S(2, 2) '

'

S(3, 1) → S(3, 2) → S(3, 3) ... wird zeilenweise generiert. Nach Halbierung der Schrittweite (hj−1 → hj ) und einer weiteren Approximation S(j, 1) der Trapezregel werden die extrapolierten Werte S(j, 2), . . . S(j, j) berechnet. Realisieren Sie diesen sogenannten Romberg-Algorithmus mit einer Matlab® -Funktion S = romberg(f,a,b,h,tol,steps) und testen Sie Ihr Programm für f (x) = sin(exp(x)), a = 0, b = 1, h = 1/8, einen geschätzer Fehler ≤ tol = 1.0e − 8 und eine Schranke steps = 10 für die Schrittzahl, bei der die Integration abgebrochen wird, wenn die Genauigkeit nicht erreicht wurde. Verweise:

Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze Matlab® -Funktion: function S = romberg(f,a,b,h,tol,steps) % Trapezregel mit Schrittweite h x = [a+h:h:b-h]; S(1,1) = h*(f(a)/2+sum(f(x))+f(b)/2);

365 % Extrapolationsschritte for j=2:steps h = h/2; % neu zu berechnende Funktionswerte; % f(a:2*h:b) wurde bereits fuer S(j-1,1) berechnet fx = f(a+h:2*h:b-h); % Trapezregel mit Verwendung der letzten Approximation S(j,1) = h*sum(fx)+S(j-1,1)/2; for k=2:j S(j,k) = (4^(k-1)*S(j,k-1)-S(j-1,k-1))/(4^(k-1)-1); end if abs(S(j,j)-S(j,j-1)) # Eingabe: Koordinatenform x+iy, Polarform r exp(i phi) > z:=sqrt(3)+I: w:=polar(2,-Pi/3): √ z := 3 + i, w := polar(2, −π/3) > # Realteil, Imaginaerteil, Betrag, Winkel, Polarform > Re(z); Im(z); abs(z); argument(z); polar(z); √ 3, 1, 2, π/6, polar(2, π/6) > # Koordinatenform von w > evalc(w);

√ 1−i 3

> # (z+w)/(zw), Koordinatenform > a_c:=simplify(evalc((z+w)/(z*w)));

 1 i i √ 1 1 + 3 ac := − + 4 4 4 4 > # schrittweise Berechnung mit der Polarform > simplify(polar(z+w)); simplify(polar(z*w)); polar(2*sqrt(2),-pi/12), polar(4,-pi/6) > a_p:=simplify(polar(2*sqrt(2)/4,-pi/12+pi/6)); √ ap := polar( 2/2, π/12) > # schrittweise Berechnung von b in Polarform > simplify(polar(z-w)); √ polar(2 2, 5π/12) > b_p:=simplify(polar((2*sqrt(2))^5,5*5*pi/12)); √ bp := polar(128 2, π/12) > # direkte Berechnung der Koordinatenform > b_c:=simplify(evalc((z-w)^5));

√ bc := 64 − 64i + (64 + 64i) 3

1

MapleTM -Ergebnisse aus „menschlicher Sicht“ teilweise nicht optimal vereinfacht

369

23.2

Lösen von Gleichungen mit MapleTM

Lösen Sie die folgenden Gleichungen unter Berücksichtigung der angegebenen Restriktionen. a)

z 3 − 2z + 1 = 0, z ∈ C

c) 4 cos(t) − 3 cos(2t) = 1, t ∈ (0, π] Verweise:

b)

1 = 4x2 − 3x5 , x ∈ R

d)

sin(x) = 1/x, x ≈ 2π

Lösen von Gleichungen mit MapleTM

Lösungsskizze a) z 3 − 2z + 1 = 0, z ∈ C: > # exakte Nullstellen für Polynome vom Grad lsg := solve(z^3-2*z+1=0,z); √ √ 5 1 5 1 − , + lsg := 1, 2 2 2 2 > # Kontrolle durch Multiplikation der Linearfaktoren > simplify((z-lsg[1])*(z-lsg[2])*(z-lsg[3])); z 3 − 2z + 1 b)

1 = 4x2 + 3x5 , x ∈ R:

> # numerische Bestimmung aller reellen Nullstellen > fsolve(1=4*x^2-3*x^5,x); −0.4804222161, 0.8306081682, 1. c)

4 cos(t) − 3 cos(2t) = 1, t ∈ (0, π]

> # numerisches Lösen unter Ausschluss trivialer Lösungen > fsolve(4*cos(t)-3*cos(2*t)=1,t=0..Pi,avoid={t=0}); 1.910633236 d)

sin(x) = 1/x, x ≈ 2π:

> # numerisches Lösen mit vorgegebenem Startwert > f := x -> sin(x)-1/x; fsolve(f(x)=0,x=2*Pi); 1 f := x → sin(x) − x 6.439117238 zu einfach für MapleTM . . . versuchen Sie > solve(cos(t)^3-4*sin(2*t)=0,t)

23 MapleTM

370

23.3

Elementare Vektor-Operationen mit MapleTM

Berechnen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten A = (2, 4, 8),

B = (4, 16, 64),

C = (8, 64, 512)

den Umfang, den Flächeninhalt und das Volumen des Tetraeders mit Spitze S = (s1 , s2 , s3 ). Verweise:

Vektoren in MapleTM

Lösungsskizze Ortsvektoren der Eckpunkte (verschiedene Eingabemöglichkeiten) > a:=: > b:=Vector(3,k->4^k): > f:=k->8^k: c:=Vector(3,f): Umfang mit Hilfe der Funktion norm(v,p), die die p-Norm (|v1 |p + |v2 |p + · · · )1/p berechnet U:=norm(a-b,2)+norm(b-c,2)+norm(c-a,2); evalf(U) 

√ √ √ U := 2 821 + 4 12689 + 6 7157,

1015.482367

Flächeninhalt: halber Betrag des Vektorprodukts n von den Vektoren zweier Dreiecksseiten n:=CrossProduct(a-b,b-c); F:=norm(n,2)/2; evalf(F) ⎡ 

2688

⎤

⎢ ⎥ ⎥ n := ⎢ ⎣ −672 ⎦ ,

√ F := 24 3333,

1385.571362

48 Volumen: 1/6 des Spatprodukts von den Vektoren dreier, den Tetraeder aufspannenden Kanten, d.h. V = 16 |[s −b, a −b, c −b]| = 16 |(s −b)·((a −b)×(c −b))| = 16 |(s −b)·n| > > > >

S:=Vector(3,symbol=s); # Definition eines Vektors mit symbolischen Eintraegen # Grossbuchstabe S, wegen unzulaessiger Rekursivitaet V:=abs(DotProduct(S-b,n))/6; ⎡ 

s1

⎤

⎢ ⎥ ⎥ S := ⎢ ⎣ s2 ⎦ , s3

V := 8 |56s1 − 64 − 14s2 + s3 |

371

23.4

Interpolation mit MapleTM

Interpolieren Sie fk = f (kh), k = 0, 1, 2, mit einem quadratischen Polynom und geben Sie eine Näherung für f  (0) an. Bestimmen Sie den Fehler des geschätzten Ableitungswerts für f (x) = exp(x) und h = 1/10. Vergleichen Sie mit den rationalen Interpolanten mit Zähler/Nennergrad (1, 1) und (0, 2). Verweise:

Vektoren in MapleTM

Lösungsskizze (i) Polynominterpolation: > with(CurveFitting): > # Vektoren der Interpolationsdaten > X:=Vector[row]([0,h,2*h]); F:=Vector[row](3,symbol=f); X = [0 h 2h], F = [f_1 f_2 f_3] > # interpolierende Parabel, Ableitung fuer x=0 > p:=PolynomialInterpolation(X,F,x); dp:=subs(x=0,diff(p,x)); p :=

f3 − 2f2 + f1 2 −3f1 + 4f2 − f3 x + f1 , x + 2h2 2h

dp :=

−3f1 + 4f2 − f3 2h

> # Einsetzen der Exponentialfunktion, Schrittweite 1/10 > dp0:=evalf(subs(f[1]=1,f[2]=exp(h),f[3]=exp(2*h),h=1/10,dp)); dp0:=0.99640457 > Fehler_p:=abs(dp0-1); Fehler_p:=0.00359543 (i) Rationale Interpolation: > # rationale Interpolation mit Grad (1,1) > X:=Vector(3,k->(k-1)/10): F:=Vector(3,k->exp((k-1)/10)): > q:=evalf(RationalInterpolation(X,F,x); q :=

−0.061121045x − 0.116231840 0.055304610 − 0.116231840

> # Ableitung fuer x=0 > dq0:=subs(x=0,diff(q,x)); Fehler_q:=abs(dq0-1); dq0:=1.001667486, Fehler_q:=0.001667486 > # rationale Interpolation mit Grad (0,2) > r:=RationalInterpolation(X,F,x,degrees=[0,2]),x): > dr0:=evalf(subs(x=0,diff(r,x))); Fehler_r:=abs(dr0-1); dr0:=0.9969053971, Fehler_r:=0.0030946029

23 MapleTM

372

23.5

Faktorisierung und Partialbruchzerlegung mit MapleTM

Bestimmen Sie die reelle und komplexe Faktorisierung des Polynoms q(x) = x5 − 2x3 + 4x2 sowie die reelle und komplexe Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion r(x) = (x6 − 1)/q(x) . Verweise:

Manipulation von Ausdrücken mit MapleTM

Lösungsskizze (i) Faktorisierung von q(x) = x5 − 2x3 + 4x2 : > # Def. von q als Ausdruck (alternativ zur Funktionsdef.) > q := x^5-2*x^3+4*x^2: > # reelle und komplexe Faktorisierung > qr := factor(q,real); qc := factor(q,complex); qr := (x + 2.) x2 (x2 − 2. x + 2.) qc := (x + 2.) x2 (x − 1. + I) (x − 1. − I) Bemerkung: factor(q) berücksichtigt (bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten) nur ganzzahlige Nullstellen, was bei diesem Beispiel keinen Unterschied bedeuten würde (Ausgabe mit 2 (integer) statt 2. (float), etc.). > # Kontrolle: Ausmultiplizieren der Produktform > expand(qc); x5 − 2. x3 + 4. x2 (ii) Partialbruchzerlegung von r(x) =

x6 − 1 : x5 − 2x3 + 4x2

> r := (x^6-1)/q(x); x6 − 1 − 2x3 + 4x2 > # reelle Partialbruchzerlegung > convert(r,parfrac); r :=

x+

x5

11 x − 34 1 1 63 + − − 2 40 (x + 2) 20 (x − 2 x + 2) 8 x 4 x2

> # komplexe Partialbruchzerlegung > convert(r,parfrac,complex); x+

63. 1. 1. 0.275 + 0.575 I 0.275 − 0.575 I − − + + 2 40. (x + 2.) 8. x 4. x x − 1. + I x − 1. − I

373

23.6

Polygonale Approximation quadratischer Splines mit MapleTM und Matlab® 

Beweisen Sie: a) Zu Punkten A = (0, a), B = (h, b), C = (h/2, c) existiert eine Parabel, die die Dreiecksseiten AC und BC in A und B berührt. b) Diese Parabel berührt im Punkt D ebenfalls die Dreiecke Δ(A, CA , D), Δ(B, CB , D) mit CA = (A + C)/2, CB = (B + C)/2, D = (CA + CB )/2.

Die bewiesenen Interpolationseigenschaften sind die Grundlage für Chaikins Algorithmus zur schnellen Darstellung quadratischer Splines. Wie in der rechten Abbildung illustriert ist, kann die Konstruktion weiterer Berührpunkte auf Polygone beliebiger Länge angewandt und iteriert werden. Schon nach wenigen Schritten ist die polygonale Approximation sehr genau. c) Implementieren Sie einen Iterationsschritt, der die n Polygonkanten im Verhältnis 1 : 2 : 1 unterteilt und die Teilpunkte zu einem neuen Polygon mit 2n − 1 kürzeren Kanten verbindet. Die Berührpunkte sind jeweils die Kantenmitten. Verweise:

Funktionen in MapleTM , Funktionen in Matlab®

Lösungsskizze a) Interpolierende Parabel p: Steigung der Tangente im Punkt A = (0, a): (c − a)/(h/2) 

p(x) = a +

2(c − a) x + dx2 h

p(h) = b =⇒ d = (b − a − 2(c − a))/h2 = (a + b − 2c)/h2 Überprüfung der vierten Interpolationsbedingung (p (h) = Steigung (b − c)/(h/2) der Dreiecksseite bei B) mit MapleTM > p := x->a+2*(c-a)*h*x+((a+b-2*c)/h^2)*x^2; > error := simplify(D(p)(h)-2*(b-c)/h; 

error := 0 

23 MapleTM

374 b) Berührung der Teildreiecke durch die Parabel in D: Konstruktion der Punkte durch Seitenhalbierung 

a + 2c + b b+c ), D = (h/2, ) 2 4 

a+c /(h/2) = (b − a)/h Steigung der Tangente im Punkt D: b+c 2 − 2 Überprüfung der Berührbedingungen bei D mit MapleTM CA = (h/4,

a+c ), 2

CB = (3h/4,

> error_value := simplify(p(h/2)-(a+2*c+b)/4); > error_slope := simplify(D(p)(h/2)-(b-a)/h); 

0 in beiden Fällen

c) Unterteilungsschritt für Polygone: Für die Punkte p1 , p2 , . . . des Polygons P werden die Punkte 3p1 + p2 p1 + 3p2 3p2 + p3 p2 + 3p3 , , , ,... 4 4 4 4 berechnet, die das neue Polygon bilden. Dies kann auch in der Form p +p2

p1 + 1 2 p 1 + p2 , p2 , . . . → 2 2 geschehen, wie in der nachfolgenden Implementierung2 P → p1 , p1 , p2 , p2 , . . . → p1 ,

,

p1 +p2 2

2

+ p2

,...

function p = spline_polygon(p,degree) p = p(:,ceil([1:2*size(p,2)]/2)); % Punkteverdopplung for k=1:degree % degree = 2 fuer Chaikins Algorithmus p = (p(:,1:end-1)+p(:,2:end))/2; end Die abgebildete Grafik erhalten Sie mit folgendem Matlab® -Skript > > > > > >

p = [0 2 2 0 0 3 3; 0 0 3 3 1 1 3]; for k=1:5; plot(p(1,:),p(2,:),’-k’); p = spline_polygon(p,2); end plot(p(1,:),p(2,:),’-b’);

Experimentieren Sie mit verschiedenen Eingabe-Polygonen und variieren Sie den Grad (Parameter degree), um etwas mit dieser sehr einfachen Modellierungstechnik vertraut zu werden.

2 Das Programm illustriert, dass sich Splines beliebigen Grades in fast identischer Weise generieren lassen. Man braucht etwas Lineare Algebra für die Analysis (→ Band 2!). Ohne Band 2 . . .. Schauen Sie in Kapitel 6 des Buches Approximation and Modeling with B-Splines.

375

Grenzwerte mit MapleTM

23.7

Berechnen Sie a) c) Verweise:

 n+2 /(n − 3)4 b) lim n→∞ 4 1 − 2x3 + x4 lim d) x→1 x − x5

lim cos(

n→∞

 1/n)n

ln(x + h) − 2 ln(x) + ln(x − h) h→0 h2 lim

Grenzwerte und Reihen mit MapleTM

Lösungsskizze 

n+2 /(n − 3)4 : a) lim n→∞ 4 > # Grenzwert einer Folge von Produkten > limit(binomial(n+2,4)/(n-3)^4,n=infinity); 1 24 b)

lim cos(

n→∞

 1/n)n :

> # Grenzwert einer Folge von Potenzen > limit(cos(sqrt(1/n))^n,n=infinity); e−1/2 1 − 2x3 + x4 : x→1 x − x5 > # Grenzwert für eine hebbare Definitionslücke > p := x -> 1-2*x^3+x^4: q := x -> x-x^5: > limit(p(x)/q(x),x=1);

c)

lim

1 2 > # Kontrolle mit der Regel von L’Hôpital > dp := D(p): dq := D(q): > dp(x)/dq(x); dp(1)/dq(1); 4x3 − 6x2 1 − 5x4 1 2 ln(x + h) − 2 ln(x) + ln(x − h) : h2 > # Grenzwert mit Parameter > limit((ln(x+h)-2*ln(x)+ln(x-h))/h^2,h=0); 1 − 2 x d)

lim

h→0

Versuchen Sie limh→0

f (x+h)−f (x) h

für f (x) = sin(1/x)1/ sin(x) !

23 MapleTM

376

Summen und Reihen mit MapleTM

23.8

Berechnen bzw. bestimmen Sie n a) Sn = (2k + 1)2 c)

∞

b)

∞

nk 2−n , k = 0, 3

n=1

k=0

n−n

d)

f (x) =

n=1

∞ x2n n! n=0

Grenzwerte und Reihen mit MapleTM

Verweise:

Lösungsskizze n a) Sn = k=0 (2k + 1)2 : > # endliche Summe, symbolische Berechnung > Sn := sum((2*k+1)^2,k=0..n); n 1 4(n + 1)3 − − 3 3 3 > subs(n=4,Sn)-subs(n=3,Sn); Sn :=

# Probe: S_4-S_(n-3) = 9^2

81 b)

∞ n=1

nk 2−n , k = 0, 3:

> # Reihe mit Parameter > S := k -> sum(n^k*2^(-n),n=1..infinity): > [S(0), S(3)]; [1, 26] c)

∞ n=1

n−n

> # numerische Reihenberechnung > evalf(sum(n^(-n),n=1..infinity)); 1.291285997 61 Vergleichen Sie mit 0 x−x dx ! d)

∞ n=0

x2n /n!:

> # Potenzreihe > f := x -> sum(x^(2*n)/n!,n=0..infinity); f := x →

∞ x2n n! n=0

> # Auswerten, Vergleich mit einer Exponentialfunktion > [f(1), f(2), f(3)]; f(x)-exp(x^2); [e, e4 , e9 ] 0

377

23.9

Differentiation mit MapleTM

Berechnen Sie für die Funktionen f (x) = exp(x2 ) + 2exp(x) ,

g(x) = x ln(x) + x/ ln(x)

die ersten beiden Ableitungen sowie f  (0) und g (10) (e) . Verweise:

Differentiation mit MapleTM

Lösungsskizze (i) Differentiation von f (x) = exp(x2 ) + 2exp(x) : > # Funktionsdef., Anwenden des Ableitungsoperators D > f := x -> exp(x^2) + 2^exp(x); D(f); D(D(f)); 2

x

f := x → ex + 2e 2 x 2xex + 2e ex ln(2) 2 2 x x 2 2ex + 4x2 ex + 2e (ex ) ln(2)2 + 2e ex ln(2) > # dritte Ableitung bei 0, exakt und numerisch > d:=D^(3)(f)(0); evalf(d); d := 2 ln(2)3 + 6 ln(2)2 + 2 ln(2) 4.935061749 (ii) Differentiation von g(x) = x ln(x) + x/ ln(x): > # Einschränkung des Definitionsbereichs (x -> x~) > # alternative Behandlung der Funktion als Ausdruck > assume(x>0); g := x*ln(x) + x/ln(x); g := x∼ ln(x∼ ) +

x∼ ln(x∼ )

> # erste und zweite Ableitung > diff(g,x); diff(g,x$2); 1 1 − ∼ ln(x ) ln(x∼ )2 1 1 2 − + ∼ ∼ 2 ∼ ∼ x ln(x ) x ln(x )3 x∼

ln(x∼ ) + 1 +

> # Wert der zehnten Ableitung durch Substitution (x d:=(diff(g,x$10)): simplify(subs(x=exp(1),d)); 76310352 e−9 Nicht HM-relevant aber faszinierend: Versuchen Sie > assume(n,’integer’); diff(g,x$n);

23 MapleTM

378

23.10

Kurbelgetriebe mit MapleTM

Eine kreisförmige Bewegung t → P = (r cos t, r sin t) wird in eine Auf- und Abbewegung t → Q = (h(t), 0) umgesetzt. Bestimmen Sie h(t) für r = 1 und L = 3 sowie die maximale Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t). Verweise:

Differentiation mit MapleTM , Lösen von Gleichungen mit MapleTM

Lösungsskizze (i) Horizontale Auslenkung: Mit P  der Projektion von P auf die horizontale Achse und dem Satz des Pythagoras, angewandt auf das Dreieck Δ(P  , P, Q), gilt  h(t) = |OQ| = |OP  | + |P  Q| = cos t + 32 − sin2 t (ii) Geschwindigkeit und Beschleunigung: Berechnung von v = h und a = v  > h := t->cos(t)+sqrt(9-sin(t)^2): > v := D(h); a:= D(v); 

(nach (menschlicher) Vereinfachung der MapleTM -Ausgabe) sin t cos t v := t → − sin t −  9 − sin2 t cos4 t + 16 cos2 t − 8 a := t → − cos t − (9 − sin2 t)3/2

Symmetrie und Periodizität Extremwerte



Einschränkung auf [0, π] zur Bestimmung der

Geschwindigkeit: > t_v := fsolve(a(t)=0,t=0..Pi); v_max := abs(v(t_v)); 

tv := 1.2771,

vmax := −1.0546

Beschleunigung: direkte Maximierung von a(t) anstelle der Bestimmung der Nullstellen von a (t) > a_max := maximize(a(t),t=0.0..Pi); > # 0.0 statt 0 als Intervallgrenze, > # um numerisch statt symbolisch zu rechnen 

amax = 0.6975

379

23.11

Taylor- und Padé-Approximation mit MapleTM

Bestimmen Sie das quadratische Taylor-Polynom der Funktion f (x) = e−2x cos(x) im Punkt x = π . Vergleichen Sie die Genauigkeit der Approximation für x = 4 mit der Padé-Approximation3 vom Grad [1, 1] . Verweise:

Taylor-Entwicklung mit MapleTM

Lösungsskizze (i) Taylor-Approximation: > # Funktionsdefinition und Taylor-Polynom > f := x -> exp(-2*x)*cos(x); f := x → e−2x cos(x) > x0 := Pi: order := 3: > taylor(f(x),x=x0,order);

 3 −e−2π + 2e−2π (x − π) − e−2π (x − π)2 + O (x − π)3 2 > p := convert(%,polynom); # "%": zuletzt def. Ausdruck 3 p := −e−2π + 2e−2π (x − π) − e−2π (x − π)2 2 > # Fehler bei x=4 > evalf(subs(x=4,p) - f(4)); −0.0005061912672 (ii) Padé-Approximation: > # Padé-Approximation vom Grad [1,1] > with(numapprox) # Einbinden eines Numerikpaketes > r := pade(f(x),x=Pi,[1,1]); r :=

5e−2π (x − π) − 4e−2π 3(x − π) + 4

> # Fehler bei x=4 > evalf(subs(x=4,r) - f(4)); 0.0003022149770 Bemerkung: Für exponentiell abklingende Funktionen sind rationale Approximationen im Allgemeinen etwas genauer.

3

eine rationale Funktion mit denselben Ableitungen im Entwicklungspunkt

23 MapleTM

380

23.12

Differenzenapproximation von Differentialoperatoren mit MapleTM

d Geben Sie basierend auf der Näherung dx f (x) ≈ Dh f (x) = (f (x + h) − f (x −

 d d a(x) dx h))/(2h) eine Approximation Lh u(x) für Lu(x) = dx u(x) an, zeigen Sie, dass Lh u(0) − Lu(0) = ch2 + O(h3 ) ,

und bestimmen Sie die Konstante c für a(x) = exp(x) = u(x). Verweise:

Funktionen in MapleTM , Taylor-Entwicklung mit MapleTM

Lösungsskizze d f (x) durch Dh f (x) 4 Ersetzen von dx d u(x + h) − u(x − h) v(x) = a(x) u(x) ≈ vh (x) = a(x) dx 2h vh (x + h) − vh (x − h) d v(x) ≈ Lh u(x) = Lu(x) = dx 2h a(x + h)(u(x + 2h) − u(x)) − a(x − h)(u(x) − u(x − 2h)) = 4h2 Bestimmung der Fehlerordnung durch Einsetzen der Taylor-Approximationen von a und u, wobei Terme der Ordnung O(h5 ) vernachlässigt werden können, da sie nach Division durch 4h2 die Ordnung O(h3 ) haben > # Taylor-Polynome von a und u, Ableitungen A[k] und U[k] > a := x -> add(A[k]*x^k/factorial(k),k=0..4): a(x); > u := x -> add(U[k]*x^k/factorial(k),k=0..4): u(x); 1 1  A0 + A1 x + · · · + A4 x4 , U0 + U1 x + · · · + U4 x4 , 24 24 > # Differentialoperator, ausgewertet bei x=0 > Lu := D(a)(0)*D(u)(0) + a(0)*D(D(u))(0); 

A1 U1 + A0 U2

> # Differenzenapproximation bei x=0 und Fehler > Lhu := (a(h)*(u(2h)-u(0)) - a(-h)*(u(0)-u(-2h)))/(4*h^2): > taylor(Lhu-Lu,h=0,4);

 U4 A0 2U3 A1 U2 A2 U1 A3  + + + h2 + O(h3 ) 3 3 2 6    c

Spezialfall a(x) = exp(x) = u(x):

4

ren.

A[k] = U [k] = exp(0) = 1 =⇒ c = 5/3

Eine Alternative ist, den Differentialoperator in der Form Lu = a u + au zu diskretisie-

381

23.13

Extrema mit MapleTM

Bestimmen Sie das Minimum der Funktion f (x) = cos(3x) + sin(x)3 . Verweise:

Funktionen in MapleTM , Grafik in MapleTM

Lösungsskizze Zeichnen der Funktion, um die ungefähre Lage des Minimums zu bestimmen > f := x->cos(3*x)+sin(x)^3: plot(f,0..2*Pi);

> # exakte Minimierung > fmin := minimize(f(x),x=0..2*Pi);

√ −58 − 14 13  √ √ (9 + 13) 18 + 2 13 Faszinierende Computer-Algebra! Etwas weniger faszinierend ist die numerische Alternative, die bei Angabe einer Intervallgrenze als Dezimalzahl verwendet wird. Das Intervall muss eingegrenzt werden, da sonst, wie beim ersten Aufruf von minimize, eventuell ein lokales Minimum bestimmt wird. Mit der Option location wird ebenfalls die Minimalstelle ausgegeben (x = π ≈ 3.141592654 beim ersten Aufruf). f min :=

> f1 := minimize(f(x),x=0.0..2*Pi,location); > f2 := minimize(f(x),x=5.0..6,location); f 1 := −1., {[{x = 3.141592654}, −1.]} f 2 := −1.713889338, {[{x = 5.122075491}, −1.713889338]}

> # Kontrolle: > # Bestimmung der Minimalstelle durch Nullsetzen der Ableitung > g := D(f); xmin := fsolve(g(x)=0,x=5..6); g := x → −3 sin(3x) + 3 sin(x)2 cos x,

xmin := 5.122075491

23 MapleTM

382

23.14

Funktionsuntersuchung mit MapleTM

Bestimmen Sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion r(x) = x2 +

4 − 2x2 , x−1

und skizzieren Sie den Graph. Verweise:

Differenzieren mit MapleTM , Lösen von Gleichungen mit MapleTM

Lösungsskizze (i) Funktionsdefinition und Ableitungen: > # Definition der rationalen Funktion r > r := x -> x^2+(4-2*x^2)/(x-1); 

r := x → x2 +

4 − 2 · x2 x−1

> # benoetigte Ableitungen r’=dr[1], r’’=dr[2], r’’’=dr[3] > dr[0] := r: > for k from 1 to 3 do; dr[k] := D(dr[k-1]); od; 4 − 2 · x2 4·x − x−1 (x − 1)2 8·x 4 2 · (4 − 2 · x2 ) + := x → 2 − + x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 12 24 · x 6 · (4 − 2 · x2 ) := x → − − (x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4

dr1 := x → 2x − 

dr2 dr3

(ii) Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte: > # Nullstellen > ns := solve(r(x)=0,x); 

ns := −1, 2, 2

> # Extremstellen > es := solve(dr[1](x)=0,x); 

es := 2,

√ √ 1 I 3 1 I 3 − , + 2 2 2  2 komplex

einzige mögliche Extremstelle x = es[1] = 2

383 > # Extremwert ew = r(2) und Wert der zweiten Ableitung > ew := r(es[1]); dr[2](es[1]); 

ew := 0,

6

zweite Ableitung = 6 > 0 =⇒ lokales Minimum (doppelte Nullstelle) bei (es[1], ew) = (2, 0), nicht global aufgrund des einfachen Pols > # Wendestellen > ws := solve(dr[2](x)=0,x); 

ws := −2

1/3

I 21/3 − + 1, 2

√

I 3 21/3 21/3 , + 2  2

√

3 21/3 2 

komplex

einzige mögliche Wendestelle x = ws[1] = −2

1/3

+1

> # Funktionswert ww = r(-2^(1/3)+1) der Wendestelle > # Testen der hinreichenden Bedingung: r’’’ nicht null > ww := simplify(r(ws[1])); simplify(dr[3](ws[1]));  dritte Ableitung = −3 · 22/3 = 0 1, 3)

ww := −3, =⇒

−3 · 22/3

Wendepunkt bei (ws[1], ww) = (−21/3 +

> evalf(-2^(1/3)+1) 

−0.2599

(iii) Skizze: > plot(r(x), discont, axesfont = [Times, Bold, 20]) > # Option "discont" -> Erkennung der Polstelle

23 MapleTM

384

Integration mit MapleTM

23.15

Berechnen Sie 5  x2 + 1 dx a) 5 1 c) cos(sin(x)) dx

5 b)

5

cos(mx) exp(−nx) dx, ∞

d)

0

0

m, n ∈ N

sin(x) exp(−x) √ dx x

Integration mit MapleTM

Verweise:

Lösungsskizze √ a) Stammfunktion von x2 + 1: > int(sqrt(x^2+1),x); √ x x2 + 1 arcsinh(x) + 2 2 b) Stammfunktion von cos(mx) exp(−nx), Parameter m, n ∈ N: > assume(m,’integer’,n,’integer’): > # -> eingeschränkte Variablen m~, n~ > int(cos(m*x)*exp(-n*x),x); ∼

∼

−n∼ e−n x cos(m∼ x) −m∼ e−n x sin(m∼ x) + m∼2 + n∼2 m∼2 + n∼2 > simplify(%); # vereinfachen des zuletzt def. Ausdrucks e−n

∼

x

(m∼ sin(m∼ x) − cos(m∼ x)n∼ ) m∼2 + n∼2

c) Nur numerisch berechenbares bestimmtes Integral

61 0

cos(sin x) dx:

> int(cos(sin(x)),x=0..1,numeric=true); 0.8687400306 5 d) Uneigentliches Integral 0

∞

sin(x) exp(−x) √ dx: x

> S:=int(sin(x)*exp(-x)/sqrt(x),x=0..infinity); evalf(S); √ ( 2 − 1)π S := 2 0.5703705560 > # ... beeindruckend !

385

23.16

Gauß-Quadratur mit MapleTM

Schreiben Sie eine Approximation

MapleTM -Prozedur, die die Gewichte und Stützstellen der 5

1 −1

f (x) dx ≈

n

wn,k f (ξn,k )

k=1

bestimmt. Dabei sind ξn,1 , . . . , ξn,n die Nullstellen des Legendre-Polynoms vom Grad n und wn,k sind die Integrale der Lagrange-Polynome zu der Stützstellenfolge. Illustrieren Sie die beeindruckende Genauigkeit der Gauß-Quadratur, indem Sie den Fehler für f (x) = ex und n = 4 berechnen. Verweise:

Prozeduren in MapleTM , Kontrollanweisungen in MapleTM

Lösungsskizze (i) MapleTM -Prozedur zur Bestimmung der Gauß-Parameter: GaussParameter := proc(n): local k, e, L: # lokale Variablen global xi, w: # globale Variablen (Stuetzstellen, Gewichte) with(orthopoly): with(CurveFitting): # benoetigte Pakete # Nullstellen des Legendre-Polynoms P als Vektor gespeichert xi := Vector([fsolve(P(n,x)=0,x)]): # Bestimmung der Gewichte w := Vector(n): # Initialisierung als Null-Vektor for k from 1 to n e := Vector(n,shape=unit[k]): # k-ter Einheitsvektor # Lagrange-Polynom; 1 bei xi[k], Null bei den anderen xi’s L := PolnomialInterpolation(xi,e,x): w[k] := int(L,x=-1..1): od: end proc (ii) Testbeispiel > par := GaussParameter(4); > print(w,xi); 0.3478548463, -0.8611363116 0.6521451539, -0.3399810436 0.6521451549, 0.3399810436 0.3478548451, 0.8611363116 > S_exakt := int(exp(x),x=-1..1); > S_Gauss := add(w[k]*exp(xi[k]),k=1..4): > Fehler := evalf(S_exakt-S_Gauss); 2.948 e-7

23 MapleTM

386

23.17

MapleTM -Illustration der Superkonvergenz der Mittelpunktsregel für periodische Integranden 

Approximieren Sie das Bessel-Integral 5 1 π Jn (x) = cos(nt − x sin t) dt π 0 für n = 1, x = 1 mit der Mittelpunktsregel für 2, 4, 8, . . . , 64 Stützstellen in 100-stelliger Gleitpunktarithmetik. Vergleichen Sie mit dem exakten Wert J1 (1) . Verweise:

Funktionen in MapleTM , Kontrollanweisungen in MapleTM

Lösungsskizze > # Parameter n,x und Stellenzahl für Gleitpunktrechnung > n := 1: x := 1: Digits := 100: > # Bessel-Integrand > f := t -> cos(n*t-x*sin(t))/Pi; f := t → cos(n ∗ t − x ∗ sin(t))/π > # Mittelpunktsregel mit 2,4,8,...,64 Auswertungspunkten > # numerische Rechnung durch Gleitpunktumwandlung (evalf) > for m from 1 to 6 do h := Pi/2^m; S := h*sum(evalf(f(k*h-h/2)), k = 1 .. 2^m); print(S); end do: 0.4593626849327842188921157625623308759050862399972858042991770262687068328251374530693296706994088502 0.4400520828215007499018578129032659892475057685789014483983050014421659463163010140393748144874186333 0.4400505857449335389138437701418267377018996647446125018211077065914649396877937643871822977684362097 0.4400505857449335159596822037189149131273723581689399721214421297459197341554642992152021394474568453 0.4400505857449335159596822037189149131273723019927652511367581717801382224780155479307965923811982541 0.4400505857449335159596822037189149131273723019927652511367581717801382224780155479307965923811982541

> # Vergleich mit dem exakten Wert der Bessel-Funktion > evalf(BesselJ(1,1)); 0.4400505857449335159596822037189149131273723019927652511367581717801382224780155479307965923811982541

Teil VI Formelsammlung

24 Mathematische Grundlagen

Übersicht 24.1 24.2 24.3 24.4

Elementare Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_25

390

24 Mathematische Grundlagen

24.1

Elementare Logik

Logische Operationen ¬ (nicht),

∧ (und),

∨ (oder)

≡ (entweder oder),

=⇒ (impliziert),

⇐⇒ (ist äquivalent zu)

De Morgansche Regeln ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B),

¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)

Distributivgesetze (A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C),

(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

Quantoren ∃ (es gibt), ∀ (für alle), Umkehrung bei Negation, d.h.

 ¬ ∃ p ∈ P : A(p) = ∀ p ∈ P : ¬A(p)

 ¬ ∀ p ∈ P : A(p) = ∃ p ∈ P : ¬A(p) Direkter Beweis , Indirekter Beweis Alternative Methoden zur Herleitung einer unter Voraussetzungen V gültigen Behauptung B V =⇒ B: Aus den Voraussetzungen wird die Behauptung, evtl. unter Benutzung bekannter Resultate, hergeleitet. ¬V ∨ B: Es wird gezeigt, dass entweder eine Voraussetzung falsch ist oder die Behauptung gilt. ¬B =⇒ ¬V : Es wird angenommen, dass die Behauptung falsch ist, und daraus gefolgert, dass eine der Voraussetzungen falsch ist. Vollständige Induktion Beweis einer Aussage A(n), die von einem Parameter n ∈ N abhängt, für n ≥ n0 (meist n0 = 1). Induktionsanfang: Man zeigt A(n0 ). Induktionsschluss: Man folgert, für n ≥ n0 , aus der angenommenen Gültigkeit von A(n) (Induktionsvoraussetzung) die Richtigkeit von A(n + 1).

391

24.2

Mengen und Abbildungen

Mengenoperationen Vereinigung: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} Durchschnitt: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Differenz: A\B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B} c Komplement: A = {x : x ∈ / A} Das Komplement wird bzgl. einer „Grundmenge“ M gebildet, die A enthält, d.h. Ac = M \A. Symmetrische Differenz: AΔB = {x : x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ / A ∩ B} Kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} De Morgansche Regeln C\(A ∩ B) = (C\A) ∪ (C\B),

C\(A ∪ B) = (C\A) ∩ (C\B)

bzw. im Spezialfall A ⊆ M , B ⊆ M mit einer „Grundmenge“ M (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,

(A ∪ B)c = Ac ∩ B c

Distributivgesetze (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Relation Beziehung zwischen Elementen a, b einer Menge A: a R b mögliche Beschreibung als Teilmenge R des kartesischen Produkts A × A aRb

⇐⇒

(a, b) ∈ R

reflexiv: a R a symmetrisch: a R b =⇒ b R a antisymmetrisch: a R b ∧ b R a =⇒ a = b transitiv: a R b ∧ b R c =⇒ a R c, total: ∀a, b ∈ A : a R b ∨ b R a Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch und transitiv unterteilt A in Äquivalenzklassen (maximale Teilmengen zueinander in Relation stehender Elemente von A) Halbordnung (Ordnung): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv (und total)

392

24 Mathematische Grundlagen

Abbildung f : A −→ B, a → b = f (a) injektiv: f (a) = f (a ) ∀a = a ,

surjektiv: ∀b ∃a : f (a) = b

bijektiv: injektiv und surjektiv Bild einer Menge M ⊆ A: f (M ) = {f (a) : a ∈ M } Urbild einer Menge M ⊆ B: f −1 (M ) = {a ∈ A : f (a) ∈ M } Inverse Abbildung f −1 , definiert für injektive Abbildungen f b = f (a)

⇐⇒

a = f −1 (b) = f −1 (f (a))

unterschiedliche Schreibweise zum Kehrwert beachten: f −1 (a) = 1/f (a) = f (a)−1

393

24.3

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Binomialkoeffizient Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen  

 

 n n n n n n! n · · · (n − k + 1) = = 1, = = = , k n−k n 0 k (n − k)!k! 1···k   

n n n+1  Pascalsches Dreieck + = Rekursion: k k−1 k 1 1

3 k

4 k

1

1 :

2

1 (

: 1

1

3 '

(

3 '

4

(

1 '

6

( 4

' 1

Binomische Formeln (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a + b)(a − b) = a2 − b2 (a + b)n =

n  n k=0

k

an−k bk

Auswahlmöglichkeiten k Elemente aus einer Menge mit n Elementen nicht sortiert

sortiert

(Reihenfolge relevant)

(Reihenfolge irrelevant)

 n k 

n+k−1 k

ohne Wiederholungen

n(n − 1) · · · (n − k + 1)

mit Wiederholungen

nk

394

24.4

24 Mathematische Grundlagen

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen z = x + iy, i2 = −1,

x = Re z (Realteil),

y = Im z (Imaginärteil)

Komplexe Konjugation und Betrag z¯ = x − iy,

|z| =

 x2 + y 2

Formel von Euler-Moivre eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ,

cos ϕ =

eiϕ + e−iϕ , 2

sin ϕ =

eiϕ − e−iϕ 2i

Polarform komplexer Zahlen z = x + iy = reiϕ x = Re z = r cos ϕ, y = Im z = r sin ϕ  r = |z| = x2 + y 2 , ϕ = arg z = arctan(y/x) +σπ    ∈[−π/2,π/2]

mit σ = 0 für x ≥ 0, σ = 1 für x < 0 ∧ y ≥ 0 (zweiter Quadrant) und σ = −1 für x < 0 ∧ y < 0 (dritter Quadrant)  ϕ ∈ (−π, π] (Standardbereich) Addition von 2π für ϕ ∈ (−π, 0), wenn der alternative Standardbereich [0, 2π) verwendet wird Polarform reiϕ spezieller komplexer Zahlen z z −1

±i

r

1

1

√ √ 3 ± i 1 ± i 1 ± 3i √ 2 2 2

ϕ π ±π/2 ±π/6 ±π/4

±π/3

Addition von π zu ϕ bei Vorzeichenänderung (z → −z) Multiplikation , Division , Potenzen z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i = r1 r2 exp(i(ϕ1 + ϕ2 )) z1 /z2 = zm =

x 1 x 2 + y1 y2 x 2 y1 − x 1 y 2 + i 2 2 x2 + y2 x22 + y22 rm exp(imϕ)

=

r1 exp(i(ϕ1 − ϕ2 )) r2

395 Einheitswurzeln Lösungen von z n = 1 zk = wnk , wn = exp(2πi/n),

k = 0, . . . , n − 1

√ √ n = 3: 1, −1/2 + 3i/2, −1/2 − 3i/2 n = 4: 1, i, −1, −i Kreis |z − a| = s|z − b|, s = 1 Mittelpunkt c = 

(s = 1  Gerade, Mittelsenkrechte der Strecke ab) s2 1 a − b, 1 − s2 1 − s2

Parametrisierung t → c + reit

Radius r =

s |b − a| |1 − s2 |

25 Vektorrechnung

Übersicht 25.1 25.2 25.3 25.4

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Längen, Winkel und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Vektor- und Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_26

398

25.1

25 Vektorrechnung

Vektoren

Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten (x, y, z) ∼ ( , ϕ, z), ≥ 0  x = cos ϕ, y = sin ϕ, = x2 + y 2 , ϕ = arctan(x/y) + σπ (ohne z-Komponente → Polarkoordinaten) Kugelkoordinaten (x, y, z) ∼ (r, ϑ, ϕ), r ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ π x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ  r = x2 + y 2 + z 2 , ϑ = arccos(z/r), ϕ = arctan(x/y) + σπ arctan : [−∞, ∞] → [−π/2, π/2]  Notwendigkeit der Winkelkorrektur σπ: σ = 0 für x ≥ 0, σ = 1 für x < 0 ∧ y ≥ 0 (zweiter Quadrant) und σ = −1 für x < 0 ∧ y < 0 (dritter Quadrant)  ϕ ∈ (−π, π] (Standardbereich) Addition von 2π für ϕ ∈ (−π, 0), wenn der alternative Standardbereich [0, 2π) verwendet wird Koordinatentransformation (x1 , x2 ) → (x1 , x2 ): Translation um (p1 , p2 ): x1 = x1 − p1 , x2 = x2 − p2 Rotation um ϕ: x1 = cos ϕ x1 + sin ϕ x2 , x2 = − sin ϕ x1 + cos ϕ x2 Vektor ⎛

a1

⎞

⎜ ⎟ t ⎟ a = ⎜ ⎝ a2 ⎠ = (a1 , a2 , a3 ) , a3

−−→ P Q = (q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 )t

Addition , Skalarmultiplikation a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )t ,

sa = (sa1 , sa2 , sa3 )t

Betrag |a| =

 √ a21 + a22 + a23 = a · a

Dreiecksungleichungen |a + b| ≤ |a| + |b|, Einheitsvektor a◦ = a/|a|

||a| − |b|| ≤ |a − b|

399

25.2

Längen, Winkel und Skalarprodukt

Skalarprodukt , Winkel a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = |a| |b| cos (a, b) linear bzgl. a und b,

symmetrisch: a · b = b · a,

a · b = 0 ⇐⇒ a ⊥ b

Spezielle Kosinuswerte 0 π/6 π/4 π/3 π/2 √ √ cos ϕ 1 3/2 2/2 1/2 0 ϕ

cos ϕ = cos(−ϕ) = − cos(π − ϕ) Dreieck Δ(A, B, C), c = |AB|, Winkel γ bei C, etc. Satz des Pythagoras γ = π/2 =⇒ c2 = a2 + b2 Sinussatz sin α : sin β = a : b Kosinussatz c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ Orthogonale Basis u ⊥ v ⊥ w  ⊥ u a · v a · w  a · u u + v + w  u · u v · v w  ·w  |a · u|2 |a · v |2 |a · w| 2 = + + |u|2 |v |2 |w| 2

a = |a|2

Nenner entfallen für eine normierte Basis (Orthonormalbasis: |u| = |v | = |w|  = 1)

400

25.3

25 Vektorrechnung

Vektor- und Spatprodukt

Vektorprodukt ⎛

a 2 b3 − a 3 b2

⎞

⎜ ⎟ ⎟ c = a × b = ⎜ ⎝ a 3 b1 − a 1 b3 ⎠ , a 1 b2 − a 2 b1 linear bzgl. a und b,

|c| = |a||b| sin (a, b)

antisymmetrisch: a × b = −b × a,

a × b = 0 ⇐⇒ a  b

Grassmann-Identität (a × b) × c = (a · c) b − (b · c) a  = (a · c)(b · d)  − (a · d)(  b · c) Lagrange-Identität (a × b) · (c × d) Epsilon-Tensor ε1,3,2 = ε2,1,3 = ε3,2,1 = −1, Darstellung des Vektorprodukts c = a × b: cj = k, εj,k, ak b ε1,2,3 = ε2,3,1 = ε3,1,2 = 1,

Spatprodukt (Betrag = Spatvolumen bzw. 6-faches  a  1  [a, b, c] = a · (b × c)] =  a2   a3

sonst = 0

Tetraedervolumen)  b1 c1   εj,k, aj bk c b2 c2  =  j,k, b3 c 3 

= a 1 b 2 c 3 + b1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 − a 1 c 2 b 3 − b 1 a 2 c 3 − c 1 b 2 a 3 linear bzgl. jedes Arguments, zyklisch: a → b → c → a, bei Vertauschung, [a, b, c] = 0 ⇐⇒ a, b, c linear abhängig Koordinaten Basis u, v , w,  x = ru + sv + tw  r=

[x, v , w]  , [u, v , w] 

Vorzeichenänderung

 s=

[u, x, w]  , [u, v , w] 

t=

[u, v , x] [u, v , w] 

401

25.4

Geraden und Ebenen

Gerade g ) X Punkt-Richtungsform x = p + tu Zwei-Punkte-Form x = p + t(q − p) Momentenform x × u = p × u Abstand Punkt-Gerade g : p + tu, X: Projektion eines Punktes Q auf g, d.h. (x − q) ⊥ u −−→ |(q − p) × u| dist(Q, g) = |QX| = , |u|

x = p +

(q − p) · u u |u|2

Abstand zweier Geraden g : x = p + su, h : y = q + tv dist(g, h) =

|[q − p, u, v ]| , |u × v |

= |(q − p) × u|/|u|

für parallele Geraden

Punkte X, Y kürzesten Abstands: Lösen des linearen Gleichungssystems (y − x) · u = 0,

(y − x) · v = 0

für s und t Ebene E ) X Parametrische Darstellung Drei-Punkte-Form

x = p + su + tv

[q − p, r − p, x − p] = 0

⇐⇒

   p1  p  2   p3    1

  q 1 r1 x 1   q2 r2 x2  =0 q3 r3 x3   1 1 1 

Implizite Darstellung x · n = d, d = p · n (Normalenvektor n) Hesse-Normalform |n| = 1, d ≥ 0 (Abstand zum Ursprung) Abstand Punkt-Ebene E : x · n = d, X: Projektion eines Punktes Q auf E, d.h. (q − x)  n −−→ |q · n − d| dist(Q, E) = |QX| = , |n|

x = q −

q · n − d n |n|2

402

25 Vektorrechnung

Schnitt zweier Ebenen Ek : x · nk = dk Schnittwinkel: ϕ = arccos(|n1 · n2 |/(|n1 ||n2 |)) ∈ (0, π/2] Betrag von n1 · n2  unabhängig von den Richtungen der Normalen gilt ϕ ∈ [0, π/2] Richtung der Schnittgerade g: u = n1 × n2 Punkt P auf g: Lösen der Ebenengleichungen p · nk = dk , k = 1, 2

26 Differentialrechnung

Übersicht 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6

Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen . . 406 Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Differentiationsregeln und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Extremwerte und Funktionsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_27

404

26.1

26 Differentialrechnung

Polynome und rationale Funktionen

Parabel x → ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 + y0 ,

a = 0

(−b/(2a), −b2 /(4a) + c) Scheitelpunkt: (x0 , y0 ) =√ −b ± b2 − 4ac Nullstellen: x1,2 = 2a Polynom p(x) = a0 + · · · + an xn = an (x − z1 ) · · · (x − zn ),

an = 0

n Nullstellen zk ∈ C inklusive Vielfachheiten ak ∈ R =⇒ reelle oder/und Paare komplex konjugierter Nullstellen u±iv Polynomdivision p/f = q + r/f,

Grad q = Grad p − Grad f, Grad r < Grad f

Interpolation mit Polynomen p(xk ) = fk  Lagrange-Darstellung p(x) =

n

fk Lk (x),

Lk (x) =

k=0

 x − xj xk − xj

j =k

Lk (xk ) = 1 und Lk (xj ) = 0 für j = k Rationale Funktion r(x) =

a0 + · · · + am xm , b 0 + · · · + bn x n

am , bn = 0

Partialbruchzerlegung Einfache Polstellen zk ck p(x) = f (x) + q(x) x − zk n

r(x) =

k=1

mit einem Polynom f vom Grad m − n (f = 0, falls Zählergrad m < Nennergrad n), bestimmbar durch Division von p durch q und   p(x)  ck = lim (x − zk ) r(x) = x→zk q(x)/(x − zk ) x=zk

405 Vielfachheit mk von zk r(x) = f (x) +

mk k

j=1

ck,j (x − zk )j

Bestimmung von f und ck,j durch Vergleich der Koeffizienten von x nach Multiplikation mit dem Hauptnenner Komplex konjugierte Polstellen uk ± ivk 

Terme

c , (x − zk )j

d(x − uk ) + e ((x − uk )2 + vk2 )j

406

26.2

26 Differentialrechnung

Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion ∞ xn = lim (1 + x/n)n , y=e = n→∞ n! n=0 x

e = 2.7182 . . .

6 d exp x = exp x, exp x dx = exp x + C dx Umkehrfunktion  Natürlicher Logarithmus 6 d ln y = 1/y, ln y dy = y(ln y − 1) + C dy

x = ln y

Formel von Euler-Moivre eit = cos t + i sin t

⇐⇒

cos t =

eit + e−it , 2

sin t =

eit − e−it 2i

ln y , ln a

a>0

Allgemeine Potenzfunktionen und Logarithmen y = ax = exp(x ln a) d x a = ln a ax , dx

⇐⇒

x = loga y =

d 1 loga y = dy y ln a

Rechenregeln as+t = as at , loga x + loga y = loga (xy), as−t = as /at , loga x − loga y = loga (x/y), ast = (as )t ,

t loga x = loga xt

Umrechnung: logb x = logb a loga x Sinus , Kosinus t4 t2 + − ··· 2 24 t5 t3 − ··· sin t = t − + 6 120 cos2 t + sin2 t = 1 d d cos t = − sin t, sin t = cos t dt dt cos t = 1 −

spezielle Werte 0 π/6 =  30◦ π/4 =  45◦ π/3 =  60◦ π/2 =  90◦ π =  180◦ √ √ sin 0 1/2 2/2 3/2 1 0 √ √ cos 1 3/2 2/2 1/2 0 −1

407 cos t = cos(−t) = − cos(π − t) = sin(t + π/2), sin t = − sin(−t) = sin(π − t) = cos(t − π/2) Additionstheoreme

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α,

sin(2α) = 2 sin α cos α

Tangens , Kotangens tan t =

sin t , cos t

cot t =

cos t = 1/ tan t sin t

d d tan t = 1/ cos2 t, cot t = −1/ sin2 t dt dt spezielle Werte π/6 =  30◦ π/4 =  45◦ π/3 =  60◦ π/2 =  90◦ √ √ tan 0 3/3 1 3 nicht def. √ √ cot nicht def. 3 1 3/3 0 0

y = tan x

⇐⇒

x = arctan y,

1 d arctan y = dy 1 + y2

Harmonische Schwingung x(t) = c cos(ωt − δ) = Re (c exp(i(ωt − δ))) = a cos(ωt) + b sin(ωt) √ mit c = a2 + b2 , tan δ = b/a, a = c cos δ, b = c sin δ Überlagerung x = x1 + x2   

c = c21 + 2 cos(δ1 − δ2 )c1 c2 + c22 , δ = arg c1 eiδ1 + c2 eiδ2

Hyperbelfunktionen ex + e−x ex − e−x sinh x 1 , sinh x = , tanh x = = 2 2 cosh x coth x d d cosh x = sinh x, sinh x = cosh x, cosh2 x − sinh2 x = 1 dx dx cosh x =

408

26.3

26 Differentialrechnung

Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Grenzwert ⇐⇒

a = lim an n→∞

∀ε > 0 ∃nε ∀n > nε : |an − a| < ε

lim: kompatibel mit den arithmetischen Operationen +, −, ·, / uneigentlich, falls an → ±∞ Cauchy-Kriterium (notwendig und hinreichend für Konvergenz) ∀ε > 0 ∃nε ∀j, k > nε : |aj − ak | < ε z.B. erfüllt, falls |an+1 − an | ≤ c q n mit q < 1 (geometrische Konvergenz) Limes Inferior , Limes Superior lim inf an = lim n→∞

inf ak   

n→∞

k≥n

,

lim sup an = lim

sup ak   

n→∞

n→∞

monoton wachsend

k≥n

monoton fallend

alternative Schreibweise: lim inf = lim, lim sup = lim Häufungspunkt Grenzwert a einer Teilfolge an1 , an2 , . . . gebung von a

⇐⇒

∃ unendlich viele ak in jeder Um-

Monotone Konvergenz an < an+1

∧

an ≤ c

Vergleichskriterium an ≤ bn ≤ cn für n > N

für n ≥ N

=⇒

lim an = sup an ≤ c

n→∞

n≥N

=⇒

a = lim an ≤ lim inf bn ≤ lim sup bn ≤ lim cn = c n→∞

a=c

=⇒

n→∞

n→∞

n→∞

Existenz von limn→∞ bn = a

Spezielle Grenzwerte √ n

n → 1,

q n /n! → 0,

ns q n → 0, |q| < 1,

n−s ln n → 0, s > 0

n!/nn → 0,

(1 ± 1/n) → e±1 n

409 Reihe s=

∞

ak = lim sn ,

k=0

absolute Konvergenz:

∞

sn =

n→∞

n

ak

k=0

|ak | < ∞, Invarianz des Grenzwerts s unter Umordnung

k=0

der Summanden Geometrische Reihe 1 + q + · · · + qn =

1 − q n+1 , 1−q

∞

qk =

k=0

1 1−q

für

|q| < 1

Majorante , Minorante Gilt |an | ≤ c|bn | für n ≥ N , so impliziert absolute Konvergenz von n bn absolute Konvergenz von n an keine absolute Konvergenz von n an keine absolute Konvergenz von n bn Quotientenkriterium    an+1     an  ≤ q < 1 für n > N

=⇒

absolute Konvergenz von



an

n

Divergenz, falls unendlich viele Quotienten ≥ 1 geeignet für Reihen aus Produkten Wurzelkriterium  n

|an | ≤ q < 1 für n > N

=⇒

absolute Konvergenz von



an

n

Divergenz, falls |an | ≥ 1 für n > N geeignet für Reihen aus Potenzen Leibniz-Kriterium ∞ Die alternierende Reihe k=0 (−1)k ak konvergiert, falls a0 , a1 , . . . eine monotone Nullfolge ist und in diesem Fall gilt   ∞     k (−1) ak  ≤ |an+1 | .    k=n+1

410

26 Differentialrechnung

Spezielle Reihen ∞ k=1 ∞ k=1 ∞

(−1)

k−1 1

k

(−1)k−1 (−1)k

k=0

= ln 2,

1 π2 , = 2 k 12

1 1 = , k! e

∞ 1 π2 = k2 6 k=1 ∞ 1 = e, k! k=0 ∞ 1 = ln 2 k · 2k k=1

Stetigkeit keine Sprung- oder Polstellen sowie Definitionslücken x → a =⇒ f (x) → f (a)

bzw.

|x − a| < δε =⇒ |f (x) − f (a)| < 

gleichmäßig stetig: δε unabhängig von a Zwischenwertsatz f stetig auf [a, b] =⇒ Fixpunktsatz f : [a, b] −→ [a, b] stetig

=⇒

Annahme jeden Wertes zwischen f (a) und f (b) ∃ Fixpunkt x = f (x )

Extrema stetiger Funktionen Existenz von Minimum und Maximum auf abgeschlossenen beschränkten Intervallen

411

26.4

Differentiationsregeln und Anwendungen

Ableitung f (a + h) − f (a) h→0 h

f  (a) = lim

Steigung der Tangente g : y = f (a) + f  (a)(x − a) im Punkt (a, f (a)) Ableitungen von Grundfunktionen f (x)

ex ln |x| cos x sin x tan x arctan x cosh x sinh x 1 1 1 ex − sin x cos x sinh x cosh x x cos2 x 1 + x2

c xr

f  (x) 0 rxr−1 Produktregel 





(f g) = f g + f g ,

(f g)

(n)

=

n  n k=0

k

f (n−k) g (k)

Quotientenregel

 1 g = − 2, g g

 f f  g − f g = g g2

Kettenregel y = f (x), z = g(y), h(x) = g(f (x)) h (x) = g  (f (x)) f  (x)

bzw.

dz dy dz = dx dy dx

Ableitung der Umkehrfunktion y = f (x), x = g(y), f  (x) = 0 g  (y) = 1/f  (x) = 1/f  (g(y)),

g  (y) = −f  (x)/f  (x)3

höhere Ableitungen: differenzieren nach x und multiplizieren mit dx/dy = 1/f  (x); gegebenenfalls anschließendes einsetzen von x = g(y) Logarithmische Ableitung d ln f (x) f  (x) = f (x)  dx >0

geeignet zum Ableiten von f (x) = g(x)h(x)

412

26 Differentialrechnung

Satz von Rolle f (a) = f (b) = 0 =⇒ ∃ c ∈ (a, b) mit f  (c) = 0 Die Anzahl der Nullstellen (inklusive Vielfachheiten) in [a, b] nimmt beim Ableiten um höchstens 1 ab. Mittelwertsatz ∃t ∈ (a, b) : f (b) − f (a) = f  (t)(b − a) Fehlerfortpflanzung f Δx = x ˜ − x −→ Δy = y˜ − y Absoluter Fehler: Relativer Fehler:

|Δy| =

|f  (x)| |Δx| +o(Δx) |Δy| |Δx| |Δx| = |f  (x)| + o(Δx/|x|), x, y = 0 |y| |Δy| |x|

Landau-Symbole

f (x) = O(g(x)), x → a ⇐⇒ |f (x)| ≤ c |g(x)|

in einer Umgebung von a

f (x) = o(g(x)), x → a ⇐⇒ lim |f (x)|/|g(x)| = 0 x→a

Regel von L’Hôpital An einer gemeinsamen Pol- oder Nullstelle a von f und g gilt f (x) f  (x) = lim  , x→a g(x) x→a g (x) lim

falls der rechte Grenzwert existiert.

413

26.5

Taylor-Entwicklung

Taylor-Polynom

f (x) = f (a) + f  (a)(x − a) + · · · +  

f (n) (a) f (n+1) (t) (x − a)n + (x − a)n+1 n! (n + 1)!    

approximierendes Polynom

Restglied

für ein t zwischen a und x Newton-Verfahren x+1 = x − f (x )/f  (x ) lokale quadratische Konvergenz gegen eine Nullstelle x von f mit f  (x ) = 0, d.h. |x+1 − x | ≤ c|x − x |2 für Startwerte x0 hinreichend nahe bei x Reelle Taylor-Reihe f (x) =

∞

cn (x − a)n ,

cn =

n=0

1 (n) f (a) . n!

Konvergenzintervall: (a − r, a + r), 1/r = lim sup |cn |1/n n→∞

alternative Berechnung des Konvergenzradius’ mit dem Quotientenkriterium: r = limn→∞ |an /an+1 |, falls dieser Grenzwert existiert Binomialreihe s

(1 + x) =

∞  s k=0

k

k

x ,

 s s(s − 1)(s − 2) · · · (s − k + 1) = |x| < 1, k k!

Operationen mit Taylor-Reihen f (x) = Differentiation 5 Integration

f  (x) =

∞ k=0

f (x) dx = C + f (x)g(x) =

k=0

fk (x − a)k

(k + 1)fk+1 (x − a)k ∞ fk−1 k=1

Multiplikation

∞

∞

k=0

k

(x − a)k

ck (x − a)k , ck =

k j=0

fk−j gj

414

26 Differentialrechnung

f (x)/g(x) =

Division

∞

ck (x − a)k

k=0

c 0 g 0 = f0 c 0 g 1 + c 1 g 0 = f1

=⇒ c0 = f0 /g0 =⇒ c1 = (f1 − c0 g1 )/g0 ···

c0 gn + · · · + cn g0 = fn =⇒ cn = (fn − c0 gn − · · · − cn−1 g1 )/g0 Spezielle Taylor-Reihen

ln(1 + x) = ex = sin x = cos x = tan x = arctan x = (1 + x)

s

=

∞ k=1 ∞ k=0 ∞ k=0 ∞ k=0 ∞ k=1 ∞

(−1)k+1

xk x2 =1+x+ + ··· , k! 2

−1 < x ≤ 1

x∈R

(−1)k

x2k+1 x3 x5 =x− + − ··· , (2k + 1)! 6 120

(−1)k

x2k x2 x4 =1− + − ··· , (2k)! 2 24

(−1)k−1 (−1)k

k=0 ∞

k=0

xk x2 x3 =x− + − ··· , k 2 3

x∈R

x∈R

42k − 4k 2x5 x3 B2k x2k−1 = x + + + ··· , (2k)! 3 15

x2k+1 x3 x5 =x− + − ··· , 2k + 1 3 5

 s s(s − 1) 2 xk = 1 + sx + x + ··· , k 2

|x|
0 (< 0) =⇒ f (a) lokal minimal (maximal)  Vorzeichenwechsel von f von − nach + (+ nach −) bei a =⇒ Minimum (Maximum) bei a Wendepunkt Punkt a mit Vorzeichenwechsel von f  notwendig: f  (a) = 0, hinreichend: zusätzlich f  (a) = 0 Asymptote Gerade g : y = p(x) = ax + b mit f (x) − p(x) → 0

für x → ∞ oder x → −∞

Funktionsuntersuchung Analyse des qualitativen Verhaltens einer Funktion Symmetrien: f (a + x) = f (a − x), f (a + x) = −f (a − x) Periodizität: f (x + T ) = f (x) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen Nullstellen: f (x) = 0 → Vorzeichenverteilung Extrema: f  (x) = 0 → Monotoniebereiche Wendepunkte: f  (x) = 0 → Konvexitätsbereiche Asymptoten

lokales

27 Integralrechnung

Übersicht 27.1 Integral und Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 27.2 Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden . . . . . . . . . 419 27.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 1, https://doi.org/10.1007/978-3-662-66902-0_28

418

27.1

27 Integralrechnung

Integral und Stammfunktion

Riemann-Integral 5

5

b

f (x) dx =

b

f  a 

a

= lim

|Δ|→0



f (ξk ) Δxk

k

Kurzschreibweise

mit Δxk = xk − xk−1 , |Δ| = maxk Δxk , ξk ∈ (xk−1 , xk ) kanonische Wahl der Partition 5

b

f ≈h a

n−1



Mittelpunktsregel h = (b − a)/n

f (a + kh + h/2),

k=0

Mittelwertsatz 5

5

b

f a

g = f (c)  ≥0

b

g

für ein c ∈ (a, b)

a

Stammfunktion 

f = F ⇐⇒

5

5

b

f = [F ]ba = F (b) − F (a)

f (x) dx = F (x) + c, a

419

27.2

Partielle Integration, Substitution und spezielle Integranden

Partielle Integration 5

5



f g = fg −



5

b

fg ,



5

fg=

b [f g]a

b

−

a

f g

a

[f g]ba = 0, falls f g an beiden Intervallgrenzen a und b null ist oder das Produkt (b − a)-periodisch ist Typische Anwendungen: g(x) = xk , f (x) = ex , cos x, sin x  sukzessive Reduzierung des Monomgrads g(x) = lnk x, f (x) = x  Elimination des Logarithmus bei mehrfacher Anwendung Variablensubstitution y = g(x), x = g −1 (y), dy = g  (x) dx 5 5  H(x) + C = f (g(x))g (x) dx = f (y) dy = F (y) + C˜    h(x)

bzw.

5 H(b) − H(a) = a

b

(f ◦ g) g  =   

5

g(b)

f = F (g(b)) − F (g(a)) g(a)

h

Anwendung in beiden Richtungen: Eine Stammfunktion H für Integranden der speziellen Form h = (f ◦ g)g  erhält man durch Einsetzen von y = g(x) in die Stammfunktion F : H(x) = F (y(x)). Eine Stammfunktion für f kann man konstruieren, indem man nach der Substitution f (y) → h(x), d.h. y = g(x) und dy = g  (x) dx, die Stammfunktion H bildet und rücksubstituiert: F (y) = H(g −1 (y)). Analoges gilt für Substitutionen bei bestimmten Integralen. Elementare rationale Integranden enstehen als Summanden nach einer Partialbruchzerlegung Einfache Polstellen 5

1 dx = ln |x + b/a| ax + b a

 5 x−a c(x − a) + d c d 2 2 ln((x − a) arctan dx = + b ) + (x − a)2 + b2 2 b b

420

27 Integralrechnung

Mehrfache Polstellen 5 1 p−n−1 = − p−n n 5 5 cp + d 1 c dp d(2n − 1) = − + + q n+1 2n q n 2b2 n q n 2b2 n qn mit p(x) = x − a, q(x) = (x − a)2 + b2 Trigonometrische Polynome 5 ck eikx dx = c + c0 x + |k|≤n

 5





0 =|k|≤n

p(x)

5

π

bestimmte Integrale: −π

eikx dx = 0 ∀k = 0

ck ikx e ik

π

=⇒ −π

p = 2πc0

Substitutionen für rationale Funktionen bestimmter Ausdrücke 6 6 r(. . .) dx = r˜(. . .) dy √ r(x, px + q) → r˜(y) √ y = px + q, dx = 2y/p dy →

r(x, x1/m , x1/n )

1

r˜(y)

x = y s , dx = sy s−1 dy, s : kleinstes gemeinsames Vielfaches von m und n √ r(x, x2 − a2 )) → r˜(cosh y, sinh y) bzw. r˜(exp(y))  x = a cosh y, dx = a sinh y dy, x2 − a2 = a sinh y √ r(x, x2 − a2 )) → r˜(cos y, sin y)  x = a/ cos y, dx = a sin y/ cos2 y dy, x2 − a2 = a tan y √ r(x, a2 − x2 )) → r˜(cos y, sin y)  x = a sin y, dx = a cos y dy, a2 − x2 = a cos y √ r(x, a2 + x2 )) → r˜(cos y, sin y)  x = a tan y, dx = a/ cos2 y dy, a2 + x2 = a/ cos y r(cos x, sin x)

→

r˜(y)

y = tan(x/2), dx = 2 dy/(1 + y 2 ), cos x =

1 − y2 2y , sin x = 1 + y2 1 + y2

1 Zu viele Formeln? Nein, nur die „Spitze des Eisbergs“! Die Bestimmung von Stammfunktionen kann sehr kunstvolle Manipulationen erfordern.

421

27.3

Uneigentliche Integrale

Uneigentliches Integral 6b Bestimmtes Integral a f , bei dem entweder das Integrationsintervall unbeschränkt ist (a = −∞ oder/und b = ∞) oder der Integrand singulär ist (|f (x)| → ∞ für x → a+ oder/und x → b− ) 5

5

b

f = lim a

c→a+

5

p

d

f + lim c

d→b−

f,

p ∈ (a, b)

p

hinreichend für die Existenz der Grenzwerte und damit für die Existenz des uneigentlichen Integals: 6d f absolut integrierbar, d.h. c |f | ≤ const ∀ [c, d] ⊂ (a, b) Vergleichskriterium |f (x)| ≤ |g(x)|, g absolut integrierbar

=⇒

f absolut integrierbar

Gamma-Funktion 5 Γ(x) =

∞

tx−1 e−t dt,

x ∈ (0, ∞)

0

Funktionalgleichung: Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(n + 1) = n!

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