AR1 (Análise real - Volume 1: funções de uma variável) 9788524403620

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Análise Real volume 1 Funções de Uma Variável

Lima, Elon Lages Análise real volume 1. Funções de uma variável / Elon Lages Lima. 1 ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014. 198 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) Inclui bibliografia. e-ISBN 978-85-244-0362-0 1. Análise matemática. I. Título. II. Série. CDD-517

COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA

Análise Real volume 1 Funções de Uma Variável

Elon Lages Lima

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Copyright  2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz.

Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad

Títulos Publicados: • Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima • EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório • Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez • Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim • Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima • Álgebra Exterior – Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima • Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira • Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br

Pref´ acio A finalidade deste livro ´e servir de texto para um primeiro curso de An´ alise Matem´ atica. Os assuntos nele tratados s˜ ao expostos de maneira simples e direta, evitando-se maiores digress˜ oes. Assim, espero facilitar o trabalho do professor que, ao adot´ a-lo, n˜ao precisar´a perder muito tempo selecionando os t´opicos que ensinar´ a e os que vai omitir. Turmas especiais, estudantes com mais experiˆencia, leitores que desejem uma apresenta¸c˜ao mais completa ou alunos em busca de leituras complementares poder˜ ao consultar o “Curso de An´ alise”, vol. 1, que trata de mat´eria semelhante sob forma mais abrangente e ´e aproximadamente duas vezes mais longo. Os leitores que tenho em mente s˜ ao alunos com conhecimento equivalente a dois per´ıodos letivos de C´alculo, de modo a terem familiaridade com as id´eias de derivada e integral em seus aspectos mais elementares, principalmente o c´alculo das fun¸c˜oes mais conhecidas e a resolu¸c˜ao de exerc´ıcios simples. Espero, al´em disso, que eles tenham uma no¸c˜ao razoavelmente clara do que seja uma demonstra¸c˜ao matem´ atica. A lista de pr´e-requisitos termina dizendo que o leitor deve estar habituado `as nota¸c˜oes costumeiras sobre conjuntos, tais como x ∈ A, A ⊂ B, A ∪ B e A ∩ B, etc. Uma parte importante do livro s˜ ao seus 268 exerc´ıcios. Eles servem para fixa¸c˜ao da aprendizagem, desenvolvimento de alguns temas esboc¸ados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmente entendeu o que acabou de ler. Solu¸c˜oes de 194 desses exerc´ıcios, de forma completa ou resumida, s˜ ao apresentadas no cap´ıtulo final. Naturalmente, gostaria que o recurso `as solu¸c˜oes que ofere¸co fosse feito ´ somente depois de um s´erio esfor¸co para resolver cada problema. E precisamente esse esfor¸co que, bem ou mal sucedido, conduz ao ˆexito no processo de treinamento. O processamento do manuscrito, pelo sistema TEX foi feito por Maria Celano Maia e Solange Villar Visgueiro, sob a supervis˜ao de Jonas de Miranda Gomes, ao qual devo v´arios conselhos e opini˜ oes sensatas

durante a prepara¸c˜ao do livro. A revis˜ao do texto foi feita por Levi Lopes de Lima, Ricardo Galdo Camelier e Rui Tojeiro. A todas estas pessoas, meus agradecimentos cordiais. A publica¸c˜ao deste livro foi financiada pela CAPES, a cujo Diretor Geral, professor Jos´e Ubyrajara Alves, muito devo pelo apoio e compreens˜ao demonstrados. Rio de Janeiro, agosto de 1989 Elon Lages Lima

Pref´ acio das edi¸c˜ oes posteriores As sucessivas edi¸c˜oes deste livro se beneficiaram de sugest˜oes e corre¸c˜oes feitas por diversos colegas e estudantes que o utilizaram. A todos esses colaboradores, dentre os quais destaco Lorenzo Diaz, Florˆencio Guimar˜ aes, Aryana Cavalcante e Carlos Eduardo Belchior, meus agradecimentos, extensivos a Rogerio Dias Trindade, que redigitou todo o texto para a d´ecima edi¸c˜ao e a Maria Celano Maia e Priscilla Pomateli, que fizeram a revis˜ao final. A d´ecima primeira edi¸c˜ao recebeu mais alguns acr´escimos e esclarecimentos. Rio de Janeiro, mar¸co de 2011 Elon Lages Lima

Conte´ udo 1 Conjuntos Finitos e Infinitos 1 N´ umeros naturais . . . . . . 2 Conjuntos finitos . . . . . . 3 Conjuntos infinitos . . . . . 4 Conjuntos enumer´aveis . . . 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . .

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1 1 4 6 7 9

2 N´ umeros Reais 1 R ´e um corpo . . . . . . . . . . . 2 R ´e um corpo ordenado . . . . . 3 R ´e um corpo ordenado completo 4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . .

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12 12 13 16 20

3 Seq¨ uˆ encias de N´ umeros Reais 1 Limite de uma seq¨ uˆencia . . . 2 Limites e desigualdades . . . 3 Opera¸c˜oes com limites . . . . 4 Limites infinitos . . . . . . . . 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . .

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23 23 27 28 31 34

4 S´ eries Num´ ericas 1 S´eries convergentes . . . . . . . . . 2 S´eries absolutamente convergentes 3 Testes de convergˆencia . . . . . . . 4 Comutatividade . . . . . . . . . . . 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . .

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38 38 40 42 44 46

5 Algumas No¸ c˜ oes Topol´ ogicas 1 Conjuntos abertos . . . . . 2 Conjuntos fechados . . . . . 3 Pontos de acumula¸c˜ao . . . 4 Conjuntos compactos . . . .

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49 49 50 53 54

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3

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´ CONTEUDO

5 6

Cap. 0

O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 59

6 Limites de Fun¸ c˜ oes 1 Defini¸c˜ao e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Limites no infinito, limites infinitos, express˜oes indeterminadas 4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 68 70 73

7 Fun¸ c˜ oes Cont´ınuas 1 Defini¸c˜ao e primeiras propriedades . . . . . 2 Fun¸c˜oes cont´ınuas num intervalo . . . . . . 3 Fun¸c˜oes cont´ınuas em conjuntos compactos 4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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75 75 78 81 83 87

8 Derivadas 1 A no¸c˜ao de derivada . . . . . . . 2 Regras operacionais . . . . . . . 3 Derivada e crescimento local . . . 4 Fun¸c˜oes deriv´ aveis num intervalo 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . .

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90 91 93 95 97 100

9 F´ ormula de Taylor e Aplica¸ c˜ oes da Derivada 1 F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fun¸c˜oes convexas e cˆoncavas . . . . . . . . . . 3 Aproxima¸c˜oes sucessivas e m´etodo de Newton 4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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104 104 108 113 118

10 A Integral de Riemann 1 Revis˜ ao sobre sup e inf . . . . 2 Integral de Riemann . . . . . 3 Propriedades da integral . . . 4 Condi¸c˜oes de integrabilidade 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . .

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121 121 123 127 131 134

11 C´ alculo com Integrais 1 Os teoremas cl´assicos do C´alculo Integral . . 2 A integral como limite de somas de Riemann 3 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . 4 Integrais impr´ oprias . . . . . . . . . . . . . . 5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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137 137 141 143 147 151

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´ CONTEUDO

Se¸c˜ ao 1

12 Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸ c˜ oes 1 Convergˆencia simples e convergˆencia uniforme 2 Propriedades da convergˆencia uniforme . . . . 3 S´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fun¸c˜oes trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . 5 S´eries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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156 156 159 164 167 169 172

13 Sugest˜ oes e Respostas 1 Conjuntos Finitos e Infinitos . . 2 N´ umeros Reais . . . . . . . . . 3 Seq¨ uˆencias de N´ umeros Reais . 4 S´eries Num´ericas . . . . . . . . 5 Algumas No¸c˜oes Topol´ ogicas . 6 Limites de Fun¸c˜oes . . . . . . . 7 Fun¸c˜oes Cont´ınuas . . . . . . . 8 Derivadas . . . . . . . . . . . . 9 F´ormula de Taylor e Aplica¸c˜oes 10 A Integral de Riemann . . . . . 11 C´ alculo com Integrais . . . . . 12 Seq¨ uˆencias e S´eries de Fun¸c˜oes

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175 175 176 177 179 180 182 182 184 186 187 189 191

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Sugest˜ oes de Leitura

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´ Indice Remissivo

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1 Conjuntos Finitos e Infinitos Neste cap´ıtulo, ser´a estabelecida com precis˜ao a diferen¸ca entre conjunto finito e conjunto infinito. Ser´ a feita tamb´em a distin¸c˜ao entre conjunto enumer´avel e conjunto n˜ao-enumer´avel. O ponto de partida ´e o conjunto dos n´ umeros naturais.

1

N´ umeros naturais

O conjunto N dos n´ umeros naturais ´e caracterizado pelos seguintes fatos: 1. Existe uma fun¸c˜ao injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada n´ umero natural n ∈ N chama-se o sucessor de n. 2. Existe um u ´nico n´ umero natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N. 3. Se um conjunto X ⊂ N ´e tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto ´e, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X) ent˜ao X = N. Estas afirma¸c˜oes podem ser reformuladas assim: 1’. Todo n´ umero natural tem um sucessor, que ainda ´e um n´ umero natural; n´ umeros diferentes tˆem sucessores diferentes. 2’. Existe um u ´nico n´ umero natural 1 que n˜ao ´e sucessor de nenhum outro. 3’. Se um conjunto de n´ umeros naturais cont´em o n´ umero 1 e cont´em tamb´em o sucessor de cada um dos seus elementos, ent˜ao esse conjunto cont´em todos os n´ umeros naturais.

2

Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano. O axioma 3 ´e conhecido como o princ´ıpio da indu¸ca ˜o. Intuitivamente, ele significa que todo n´ umero natural n pode ser obtido a partir de 1, tomando-se seu successor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diante, com um n´ umero finito de etapas. (Evidentemente “n´ umero finito” ´e uma express˜ao que, neste momento, n˜ao tem ainda significado. A formula¸c˜ao do axioma 3 ´e uma maneira extremamente h´abil de evitar a peti¸c˜ao de princ´ıpio at´e que a no¸c˜ao de conjunto finito seja esclarecida.) O princ´ıpio da indu¸c˜ao serve de base para um m´etodo de demonstra¸c˜ao de teoremas sobre n´ umero naturais, conhecido como o m´etodo de indu¸ca ˜o (ou recorrˆencia), o qual funciona assim: “se uma propriedade P ´e v´alida para o n´ umero 1 e se, supondo P v´alida para o n´ umero n da´ı resultar que P ´e v´alida tamb´em para seu sucessor s(n), ent˜ao P ´e v´alida para todos os n´ umeros naturais”. Como exemplo de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao, provemos que, para todo n ∈ N, tem-se s(n) 6= n. Esta afirma¸c˜ao ´e verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 6= s(n) para todo n logo, em particular, 1 6= s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n ∈ N, vale n 6= s(n). Como a fun¸c˜ao s ´e injetiva, da´ı resulta s(n) 6= s(s(n)), isto ´e, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para s(n). No conjunto N dos n´ umeros naturais s˜ ao definidas duas opera¸c˜oes fundamentais: a adi¸ca ˜o, que associa a cada par de n´ umeros (m, n) sua soma m + n, e a multiplica¸ca ˜o, que faz corresponder ao par (m, n) seu produto m · n. Essas opera¸c˜oes s˜ ao caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de defini¸c˜ao: m + 1 = s(m); m + s(n) = s(m + n), isto ´e, m + (n + 1) = (m + n) + 1; m · 1 = m;

m · (n + 1) = m · n + m. Noutros termos: somar 1 a m significa tomar o sucessor de m. E se j´a conhecemos a soma m + n tamb´em conheceremos m + (n + 1), que ´e o sucessor de m + n. Quanto `a multiplica¸c˜ao: multiplicar por 1 n˜ao altera o n´ umero. E se conhecemos o produto m · n, conheceremos m · (n + 1) = m · n + m. A demonstra¸c˜ao da existˆencia das opera¸c˜oes + e · com as propriedades acima, bem como sua unicidade, se faz por indu¸c˜ao. Os detalhes ser˜ao omitidos aqui. O leitor interessado pode

Se¸c˜ ao 1

N´ umeros naturais

3

consultar o “Curso de An´ alise”, vol. 1, ou as referˆencias bibliogr´aficas ali contidas, onde s˜ ao demonstradas (por indu¸c˜ao) as seguintes propriedades da adi¸c˜ao e da multiplica¸c˜ao: associatividade:

(m + n) + p = m + (n + p), m · (n · p) = (m · n) · p;

distributividade: m · (n + p) = m · n + m · p;

comutatividade: lei do corte:

m + n = n + m, m · n = n · m;

n + m = p + m ⇒ n = p, n · m = p · m ⇒ n = p.

Como exemplo, provemos a lei do corte para a adi¸c˜ao. Usaremos indu¸c˜ao em m. Ela vale para m = 1 pois n + 1 = p + 1 significa s(n) = s(p), logo n = p pela injetividade de s. Admitindo-a v´alida para m, suponhamos que n + m + 1 = p + m + 1. Ent˜ao, novamente pela injetividade de s, tem-se n+m = p+m donde, pela hip´ otese de indu¸c˜ao, n = p. Dados os n´ umeros naturais m, n, escreve-se m < n quando existe p ∈ N tal que n = m + p. Diz-se ent˜ao que m ´e menor do que n. A nota¸c˜ao m ≤ n significa que m < n ou m = n. Prova-se que m < n, n < p =⇒ m < p (transitividade) e que, dados m, n ∈ N quaisquer, vale uma, e somente uma, das trˆes alternativas: m = n, m < n ou n < m. A lei do corte pode ser utilizada para provar um fato sempre admitido e raramente demonstrado, que ´e o seguinte: para qualquer n ∈ N, n˜ao existe p ∈ N tal que n < p < n + 1. Para mostrar isto, suponhamos por absurdo que um tal p ∈ N exista. Ent˜ao teremos p = n+q e n+1 = p+r, com q, r ∈ N. Da´ı resulta que p + 1 = n + 1 + q = p + r + q e (cortando p) 1 = r + q. Isto ´e um absurdo pois, pela defini¸c˜ao de adi¸c˜ao, a soma de dois n´ umeros naturais ´e sempre o sucessor de algum n´ umero, logo n˜ao pode ser 1. Este resultado ´e usado na demonstra¸c˜ao de uma das principais propriedades da rela¸c˜ao de ordem m < n entre os n´ umeros naturais, que ´e o princ´ıpio da boa-ordena¸ca ˜o, abaixo enunciado e provado. Todo subconjunto n˜ ao vazio A ⊂ N possui um menor elemento, isto ´e, um elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A. A fim de provar esta afirma¸c˜ao, para cada n´ umero n ∈ N, chamemos de In o conjunto dos n´ umeros naturais ≤ n. Se 1 ∈ A ent˜ao 1 ser´a o menor elemento de A. Se, por´em, 1 ∈ / A, ent˜ao consideremos o conjunto X dos n´ umeros naturais n tais que In ⊂ N−A. Como I1 = {1} ⊂ N−A, vemos que 1 ∈ X. Por outro lado, como A n˜ao ´e vazio, concluimos que

4

Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

X 6= N. Logo a conclus˜ao do axioma 3 n˜ao ´e v´alida. Segue-se que deve existir n ∈ X tal que n + 1 ∈ / X. Ent˜ao In = {1, 2, . . . , n} ⊂ N − A mas n0 = n + 1 ∈ A. Portanto n0 ´e o menor elemento do conjunto A, pois n˜ao existe n´ umero natural entre n e n + 1.

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Conjuntos finitos

Continuaremos usando a nota¸c˜ao In = {p ∈ N ; p ≤ n}. Um conjunto X diz-se finito quando ´e vazio ou ent˜ao existem n ∈ N e uma bije¸c˜ao f : In → X. Escrevendo x1 = f (1), x2 = f (2), . . . , xn = f (n) temos ent˜ao X = {x1 , x2 , . . . , xn }. A bije¸c˜ao f chama-se uma contagem dos elementos de X e o n´ umero n chama-se o n´ umero de elementos, ou n´ umero cardinal do conjunto finito X. O Corol´ario 1 abaixo prova que o n´ umero cardinal est´a bem definido, isto ´e, n˜ao depende da particular contagem f . Lema. Se existe uma bije¸ca ˜o f : X → Y ent˜ ao, dados a ∈ X e b ∈ Y , existe tamb´em uma bije¸ca ˜o g : X → Y tal que g(a) = b. Demonstra¸ c˜ ao: Seja b′ = f (a). Como f ´e sobrejetiva, existe a′ ∈ X ′ tal que f (a ) = b. Definamos g : X → Y pondo g(a) = b, g(a′ ) = b′ e ´ f´acil ver que g ´e uma g(x) = f (x) se x ∈ X n˜ao ´e igual a a nem a a′ . E bije¸c˜ao.

Teorema 1. Se A ´e um subconjunto pr´ oprio de In , n˜ ao pode existir uma bije¸ca ˜o f : A → In . Demonstra¸ c˜ ao: Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 ∈ N, o menor n´ umero natural para o qual existem um subconjunto pr´oprio A ⊂ In0 e uma bije¸c˜ao f : A → In0 . Se n0 ∈ A ent˜ao, pelo Lema, existe uma bije¸c˜ao g : A → In0 com g(n0 ) = n0 . Neste caso, a restri¸c˜ao de g a A − {n0 } ´e uma bije¸c˜ao do subconjunto pr´oprio A − {n0 } sobre In0 −1 , o que contraria a minimalidade de n0 . Se, ao contr´ario, tivermos n0 ∈ / A ent˜ao tomamos a ∈ A com f (a) = n0 e a restri¸c˜ao de f ao subconjunto pr´oprio A − {a} ⊂ In0 −1 ser´a uma bije¸c˜ao sobre In0 −1 , o que novamente vai contrariar a minimalidade de n0 . Corol´ ario 1. Se f : Im → X e g : In → X s˜ ao bije¸co ˜es ent˜ ao m = n. Com efeito, se fosse m < n ent˜ao Im seria um subconjunto pr´oprio de In , o que violaria o Teorema 1, pois g −1 ◦ f : Im → In ´e uma bije¸c˜ao. Analogamente se mostra que n˜ao ´e poss´ıvel n < m. Logo m = n.

Se¸c˜ ao 2

Conjuntos finitos

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Corol´ ario 2. Seja X um conjunto finito. Uma aplica¸ca ˜o f : X → X ´e injetiva se, e somente se, ´e sobrejetiva. Com efeito, existe uma bije¸c˜ao ϕ : In → X. A aplica¸c˜ao f : X → X ´e injetiva ou sobrejetiva se, e somente se, ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : In → In o ´e. Logo podemos considerar f : In → In . Se f for injetiva ent˜ao pondo A = f (In ), teremos uma bije¸c˜ao f −1 : A → In . Pelo Teorema 1, A = In e f ´e sobrejetiva. Reciprocamente, se f for sobrejetiva, formemos um conjunto A ⊂ In escolhendo, para cada y ∈ In , um elemento x ∈ In tal que f (x) = y. Ent˜ao a restri¸c˜ao f : A → In ´e uma bije¸c˜ao. Pelo Teorema 1, temos A = In . Isto significa que, para cada y ∈ In , ´e u ´nico o x tal que f (x) = y, ou seja, f ´e injetiva. Corol´ ario 3. N˜ ao pode existir uma bije¸ca ˜o entre um conjunto finito e uma sua parte pr´ opria. Com efeito, sejam X finito e Y ⊂ X uma parte pr´opria. Existem n ∈ N e uma bije¸c˜ao ϕ : In → X. Ent˜ao o conjunto A = ϕ−1 (Y ) ´e uma parte pr´opria de In . Chamemos de ϕA : A → Y a bije¸c˜ao obtida por restri¸c˜ao de ϕ a A. Se existisse uma bije¸c˜ao f : Y → X, a composta g = ϕ−1 ◦ f ◦ ϕA : A → In seria tamb´em uma bije¸c˜ao, contrariando o Teorema 1. O Corol´ario 3 ´e uma mera reformula¸c˜ao do Teorema 1. Teorema 2. Todo subconjunto de um conjunto finito ´e finito. Demonstra¸ c˜ ao: Provaremos inicialmente o seguinte caso particular: se X ´e finito e a ∈ X ent˜ao X −{a} ´e finito. Com efeito, existe uma bije¸c˜ao f : In → X a qual, pelo Lema, podemos supor que cumpre f (n) = a. Se n = 1 ent˜ao X − {a} = ∅ ´e finito. Se n > 1, a restri¸c˜ao de f a In−1 ´e uma bije¸c˜ao sobre X − {a}, logo X − {a} ´e finito e tem n − 1 elementos. O caso geral se prova por indu¸c˜ao no n´ umero n de elementos de X. Ele ´e evidente quando X = ∅ ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos com n elementos, sejam X um conjunto com n + 1 elementos e Y um subconjunto de X. Se Y = X, nada h´a o que provar. Caso contr´ario, existe a ∈ X com a ∈ / Y . Ent˜ao, na realidade, Y ⊂ X − {a}. Como X − {a} tem n elementos, segue-se que Y ´e finito. Corol´ ario 1. Dada f : X → Y , se Y ´e finito e f ´e injetiva ent˜ ao X ´e finito; se X ´e finito e f ´e sobrejetiva ent˜ ao Y ´e finito.

6

Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

Com efeito, se f ´e injetiva ent˜ao ela ´e uma bije¸c˜ao de X sobre um subconjunto f (X) do conjunto finito Y . Por outro lado, se f ´e sobrejetiva e X ´e finito ent˜ao, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f (x) = y. Isto define uma aplica¸c˜ao g : Y → X tal que f (g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se que g ´e injetiva logo, pelo que acabamos de provar, Y ´e finito. Um subconjunto X ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que x ≤ p para todo x ∈ X. Corol´ ario 2. Um subconjunto X ⊂ N ´e finito se, e somente se, ´e limitado. Com efeito, se X = {x1 , . . . , xn } ⊂ N ´e finito, pondo p = x1 +· · ·+xn vemos que x ∈ X ⇒ x ≤ p logo X ´e limitado. Reciprocamente, se X ⊂ N ´e limitado ent˜ao X ⊂ Ip para algum p ∈ N, segue-se pois do Teorema 2 que X ´e finito.

3

Conjuntos infinitos

Diz-se que um conjunto ´e infinito quando n˜ao ´e finito. Assim, X ´e infinito quando n˜ao ´e vazio nem existe, seja qual for n ∈ N, uma bije¸c˜ao f : In → X. Por exemplo, o conjunto N dos n´ umeros naturais ´e infinito, em virtude do Corol´ario 2 do Teorema 2. Pelo mesmo motivo, se k ∈ N ent˜ao o conjunto k · N dos m´ ultiplos de k ´e infinito. Teorema 3. Se X ´e um conjunto infinito, ent˜ ao existe uma aplica¸ca ˜o injetiva f : N → X.

Demonstra¸ c˜ ao: Para cada subconjunto n˜ao-vazio A ⊂ X, escolhemos um elemento xA ∈ A. Em seguida, definimos f : N → X indutivamente. Pomos f (1) = xX e, supondo j´a definidos f (1), . . . , f (n), escrevemos An = X − {f (1), . . . , f (n)}. Como X ´e infinito, An n˜ao ´e vazio. Definimos ent˜ao f (n + 1) = xAn . Isto completa a defini¸c˜ao de f . Para provar que f ´e injetiva, sejam m, n ∈ N, digamos com m < n. Ent˜ao f (m) ∈ {f (1), . . . , f (n − 1)} enquanto f (n) ∈ X − {f (1), . . . , f (n − 1)}. Logo f (m) 6= f (n).

Corol´ ario. Um conjunto X ´e infinito se, e somente se, existe uma bije¸ca ˜o ϕ : X → Y sobre um subconjunto pr´ oprio Y ⊂ X.

Se¸c˜ ao 4

Conjuntos enumer´ aveis

7

Com efeito, sejam X infinito e f : N → X uma aplica¸c˜ao injetiva. Escrevamos, para cada n ∈ N, f (n) = xn . Consideremos o subconjunto pr´oprio Y = X − {x1 }. Definamos a bije¸c˜ao ϕ : X → Y pondo ϕ(x) = x se x n˜ao ´e um dos xn e ϕ(xn ) = xn+1 (n ∈ N). Reciprocamente, se existe uma bije¸c˜ao de X sobre um seu subconjunto pr´oprio ent˜ao X ´e infinito, em virtude do Corol´ario 3 do Teorema 1. Se N1 = N − {1} ent˜ao ϕ : N → N1 , ϕ(n) = n + 1, ´e uma bije¸c˜ao de N sobre seu subconjunto N1 = {2, 3, . . . }. Mais geralmente, fixando p ∈ N podemos considerar Np = {p+1, p+2, . . . } e definir a bije¸c˜ao ϕ : N → Np , ϕ(n) = n + p. Fenˆ omenos desse tipo j´a tinham sido observados por Galileu, que foi o primeiro a notar que “h´ a tantos n´ umeros pares quantos n´ umeros naturais”, mostrando que se P = {2, 4, 6, . . . } ´e o conjunto dos n´ umeros pares ent˜ao ϕ : N → P , dada por ϕ(n) = 2n, ´e uma bije¸c˜ao. Evidentemente, se I = {1, 3, 5, . . . } ´e o conjunto dos n´ umeros ´ımpares, ent˜ao ψ : N → I, com ψ(n) = 2n − 1, tamb´em ´e uma bije¸c˜ao. Nestes dois u ´ltimos exemplos, N − P = I e N − I = P s˜ ao infinitos, enquanto N − Np = {1, 2, . . . , p} ´e finito.

4

Conjuntos enumer´ aveis

Um conjunto X diz-se enumer´ avel quando ´e finito ou quando existe uma bije¸c˜ao f : N → X. Neste caso, f chama-se uma enumera¸ca ˜o dos elementos de X. Escrevendo f (1) = x1 , f (2) = x2 , . . . , f (n) = xn , . . . tem-se ent˜ao X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Teorema 4. Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer´ avel.

Demonstra¸ c˜ ao: Se X ´e finito, nada h´a para demonstrar. Caso contr´ario, enumeramos os elementos de X pondo x1 = menor elemento de X, e supondo definidos x1 < x2 < · · · < xn , escrevemos An = X − {x1 , . . . , xn }. Observando que An 6= ∅, pois X ´e infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An . Ent˜ao X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Com efeito, se existisse algum elemento x ∈ X diferente de todos os xn , ter´ıamos x ∈ An para todo n ∈ N, logo x seria um n´ umero natural maior do que todos os elementos do conjunto infinito {x1 , . . . , xn , . . . }, contrariando o Corol´ario 2 do Teorema 2. Corol´ ario 1. Seja f : X → Y injetiva. Se Y ´e enumer´ avel ent˜ ao X tamb´em ´e. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumer´ avel ´e enumer´ avel.

8

Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

Com efeito, basta considerar o caso em que existe uma bije¸c˜ao ϕ : Y → N. Ent˜ao ϕ ◦ f : X → N ´e uma bije¸c˜ao de X sobre um subconjunto de N, o qual ´e enumer´avel, pelo Teorema 4. No caso particular de X ⊂ Y , tomamos f : X → Y igual `a aplica¸c˜ao de inclus˜ ao. Corol´ ario 2. Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X ´e enumer´ avel ent˜ ao Y tamb´em ´e. Com efeito, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f (x) = y. Isto define uma aplica¸c˜ao g : Y → X tal que f (g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se da´ı que g ´e injetiva. Pelo Corol´ario 1, Y ´e enumer´avel. Corol´ ario 3. O produto cartesiano de dois conjuntos enumer´ aveis ´e um conjunto enumer´ avel. Com efeito, se X e Y s˜ ao enumer´aveis ent˜ao existem sobreje¸c˜oes f : N → X e g : N → Y , logo ϕ : N × N → X × Y , dada por ϕ(m, n) = (f (m), g(n)) ´e sobrejetiva. Portanto, basta provar que N × N ´e enumer´avel. Para isto, consideremos a aplica¸c˜ao ψ : N × N → N, dada por ψ(m, n) = 2m · 3n . Pela unicidade da decomposi¸c˜ao de um n´ umero em fatores primos, ψ ´e injetiva. Segue-se que N × N ´e enumer´avel. Corol´ ario 4. A reuni˜ ao de uma fam´ılia enumer´ avel de conjuntos enumer´ aveis ´e enumer´ avel. Com efeito, dados X1 , X2 , . . . , Xn , . . . enumer´aveis, existem sobrejec¸S˜oes f1 : N → X1 , f2 : N → X2 , . . . , fn : N → Xn , . . . . Tomando X = ∞ c˜ao f : N×N → X pondo f (m, n) = fn (m). n=1 Xn , definimos a sobreje¸ O caso de uma reuni˜ao finita X = X1 ∪ · · · ∪ Xn reduz-se ao anterior porque ent˜ao X = X1 ∪ · · · ∪ Xn ∪ Xn ∪ · · · . O Teorema 3 acima significa que o enumer´avel ´e o “menor” dos infinitos. Com efeito, ele pode ser reformulado assim: Todo conjunto infinito cont´em um subconjunto infinito enumer´ avel. Exemplo 1. O conjunto Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } dos n´ umeros inteiros ´e enumer´avel. Uma bije¸c˜ao f : N → Z pode ser definida pondo f (n) = (n − 1)/2 para n ´ımpar e f (n) = −n/2 para n par. Exemplo 2. O conjunto Q = {m/n; m, n ∈ Z, n 6= 0} dos n´ umeros ∗ racionais ´e enumer´avel. Com efeito, escrevendo Z = Z − {0}, podemos definir uma fun¸c˜ao sobrejetiva f : Z × Z∗ → Q pondo f (m, n) = m/n.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

9

Exemplo 3. (Um conjunto n˜ao-enumer´avel.) Seja S o conjunto de todas as seq¨ uˆencias infinitas, como s = (0 1 1 0 0 0 1 0 . . . ), formadas com os s´ımbolos 0 e 1. Noutras palavras, S ´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes s : N → {0, 1}. Para cada n ∈ N, o valor s(n), igual a 0 ou 1, ´e o n-´esimo termo da seq¨ uˆencia s. Afirmamos que nenhum subconjunto enumer´avel X = {s1 , s2 , . . . , sn , . . . } ⊂ S ´e igual a S. Com efeito, dado X, indiquemos com snm o n-´esimo termo da seq¨ uˆencia sm ∈ X. Formamos uma nova seq¨ uˆencia s∗ ∈ S tomando o n-´esimo termo de s∗ igual a 0 se for snn = 1, ou igual a 1 se for snn = 0. A seq¨ uˆencia s∗ n˜ao pertence ao conjunto X porque seu n-´esimo termo ´e diferente do n-´esimo termo de sn . (Este racioc´ınio, devido a G. Cantor, ´e conhecido como “m´etodo da diagonal”.) No cap´ıtulo seguinte mostraremos que o conjunto R dos n´ umeros reais n˜ao ´e enumer´avel.

5

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

N´ umeros naturais

1. Usando indu¸c˜ao, prove: (a) (b)

1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2;

1 + 3 + 5 + · · · + 2n − 1 = n2 .

2. Dados m, n ∈ N com n > m, prove que ou n ´e m´ ultiplo de m ou existem q, r ∈ N tais que n = mq + r e r < m. Prove que q e r s˜ ao u ´nicos com esta propriedade. 3. Seja X ⊂ N um subconjunto n˜ao-vazio tal que m, n ∈ X ⇔ m, m + n ∈ X. Prove que existe k ∈ N tal que X ´e o conjunto dos m´ ultiplos de k. 4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “´ unico” ´e redundante (admitindo-se, naturalmente, os demais axiomas). 5. Prove o princ´ıpio de indu¸c˜ao como uma conseq¨ uˆencia do princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao. 6. Prove a lei de corte para a multiplica¸c˜ao: mp = np ⇒ m = n.

10

Conjuntos Finitos e Infinitos

Se¸ c˜ ao 2:

Cap. 1

Conjuntos finitos

1. Indicando com card X o n´ umero de elementos do conjunto finito X, prove: (a) Se X ´e finito e Y ⊂ X ent˜ao card Y ≤ card X. (b) Se X e Y s˜ ao finitos ent˜ao X ∪ Y ´e finito e card(X ∪ Y ) = card X + card Y − card(X ∩ Y ). (c) Se X e Y s˜ ao finitos ent˜ao X × Y ´e finito e card(X × Y ) = card X · card Y. 2. Seja P(X) o conjunto cujos elementos s˜ ao os subconjuntos de X. Prove por indu¸c˜ao que se X ´e finito ent˜ao card P(X) = 2card X .

3. Seja F(X; Y ) o conjunto das fun¸c˜oes f : X → Y . Se card X = m e card Y = n, prove que card F(X; Y ) = nm .

4. Prove que todo conjunto finito n˜ao-vazio X de n´ umeros naturais cont´em um elemento m´ aximo (isto ´e, existe x0 ∈ S tal que x ≤ x0 ∀ x ∈ X).

5. Prove o Princ´ıpio das Casas de Pombo: se m > n n˜ao existe fun¸c˜ao injetiva f : Im → In . (quando m > n, para alojar m pombos em n casas ´e preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo). Se¸ c˜ ao 3:

Conjuntos infinitos

1. Dada f : X → Y , prove: (a)

Se X ´e infinito e f ´e injetiva ent˜ao Y ´e infinito.

(b)

Se Y ´e infinito e f ´e sobrejetiva, ent˜ao X ´e infinito.

2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma fun¸c˜ao injetiva f : X → Y e uma fun¸c˜ao sobrejetiva g : Y → X.

3. Prove que o conjunto P dos n´ umeros primos ´e infinito.

4. Dˆe exemplo de uma seq¨ uˆencia decrescente XT1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos infinitos cuja interse¸c˜ao ∞ n=1 Xn seja vazia.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

11

5. Prove que o conjunto X ´e infinito se, e somente se, n˜ao ´e vazio nem existe, seja qual for n ∈ N, uma aplica¸c˜ao sobrejetiva f : In → X. Se¸ c˜ ao 4:

Conjuntos enumer´ aveis

1. Defina f : N × N → N pondo f (1, n) = 2n − 1 e f (m + 1, n) = 2m (2n − 1). Prove que f ´e uma bije¸c˜ao.

2. Prove que existe g : N → N sobrejetiva tal que g −1 (n) ´e infinito, para cada n ∈ N.

3. Exprima N = N1 ∪ N2 ∪ · · · ∪ Nn ∪ · · · como uni˜ ao infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos. 4. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; card X = n}. Prove que Pn ´e enumer´avel. Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N ´e enumer´avel. 5. Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N n˜ao ´e enumer´avel. 6. Sejam Y enumer´avel e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f −1 (y) ´e enumer´avel. Prove que X ´e enumer´avel.

2 N´ umeros Reais

O conjunto dos n´ umeros reais ser´a indicado por R. Faremos neste cap´ıtulo uma descri¸c˜ao de suas propriedades que, juntamente com suas conseq¨ uˆencias, ser˜ao utilizadas nos cap´ıtulos seguintes.

1

R´ e um corpo

Isto significa que est˜ao definidas em R duas opera¸c˜oes, chamadas adi¸ca ˜o e multiplica¸ca ˜o, que cumprem certas condi¸c˜oes, abaixo especificadas. A adi¸c˜ao faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R, sua soma x + y ∈ R, enquanto a multiplica¸c˜ao associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R. Os axiomas a que essas opera¸c˜oes obedecem s˜ ao: Associatividade: para quaisquer x, y, z ∈ R tem-se (x+y)+z = x+(y+z) e (x · y) · z = x · (y · z).

Comutatividade: para quaisquer x, y ∈ R tem-se x+y = y+x e x·y = y·x.

Elementos neutros: existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x + 0 = x e x · 1 = x para qualquer x ∈ R.

Inversos: todo x ∈ R possui um inverso aditivo −x ∈ R tal que x + (−x) = 0 e, se x 6= 0, existe tamb´em um inverso multiplicativo x−1 ∈ R tal que x · x−1 = 1. Distributividade: para x, y, z ∈ R quaisquer, tem-se x·(y+z) = x·y+x·z.

Se¸c˜ ao 2

R´ e um corpo ordenado

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Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipula¸c˜ao com os n´ umeros reais. A t´ıtulo de exemplo, estabeleceremos algumas delas. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ R. Analogamete 1·x = x e x−1 ·x = 1 quando x 6= 0. A soma x+(−y) ser´a indicada por x − y e chamada a diferen¸ca entre x e y. Se y 6= 0, o produto x·y −1 ser´a representado tamb´em por x/y e chamado o quociente de x por y. As opera¸c˜oes (x, y) 7→ x − y e (x, y) 7→ x/y chamam-se, respectivamente, subtra¸ca ˜o e divis˜ ao. Evidentemente, a divis˜ao de x por y s´ o faz sentido quando y 6= 0, pois o n´ umero 0 n˜ao possui inverso multiplicativo. Da distributividade segue-se que, para todo x ∈ R, vale x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x · 1 = x. Somando −x a ambos os membros da igualdade x · 0 + x = x obtemos x · 0 = 0. Por outro lado, de x · y = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 0. Com efeito se for y 6= 0 ent˜ao podemos multiplicar ambos os membros desta igualdade por y −1 e obtemos x · y · y −1 = 0 · y −1 , donde x = 0. Da distributividade resultam tamb´em as “regras dos sinais”: x · (−y) = (−x) · y = −(x · y) e (−x) · (−y) = xy. Com efeito, x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0 = 0. Somando −(x · y) a ambos os membros da igualdade x · (−y) + x · y = 0 vem x · (−y) = −(x · y). Analogamente, (−x) · y = −(x · y). Logo (−x) · (−y) = −[x · (−y)] = −[−(x · y)] = x · y. Em particular, (−1) · (−1) = 1. (Observa¸c˜ao: a igualdade −(−z) = z, acima empregada, resulta de somar-se z a ambos os membros da igualdade −(−z) + (−z) = 0.) Se dois n´ umeros reais x, y tˆem quadrados iguais, ent˜ao x = ±y. Com efeito, de x2 = y 2 decorre que 0 = x2 − y 2 = (x + y)(x − y) e, como sabemos, o produto de dois n´ umeros reais s´ o ´e zero quando pelo menos um dos fatores ´e zero.

2

R´ e um corpo ordenado

Isto significa que existe um subconjunto R+ ⊂ R, chamado o conjunto dos n´ umeros reais positivos, que cumpre as seguintes condi¸c˜oes: P1. A soma e o produto de n´ umeros reais positivos s˜ ao positivos. Ou + + + seja, x, y ∈ R ⇒ x + y ∈ R e x · y ∈ R .

P2. Dado x ∈ R, exatamente uma das trˆes alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ .

14

N´ umeros Reais

Cap. 2

Se indicarmos com R− o conjunto dos n´ umeros −x onde x ∈ R+ , a condi¸c˜ao P2. diz que R = R+ ∪ R− ∪ {0} e os conjuntos R+ , R− e {0} s˜ ao dois a dois disjuntos. Os n´ umeros y ∈ R− chamam-se negativos. Todo n´ umero real x 6= 0 tem quadrado positivo. Com efeito, se + x ∈ R ent˜ao x2 = x · x ∈ R+ por P1. Se x ∈ / R+ ent˜ao (como x 6= 0) + −x ∈ R logo, ainda por causa de P1., temos x2 = (−x) · (−x) ∈ R+ . Em particular 1 ´e um n´ umero positivo porque 1 = 12 . Escreve-se x < y e diz-se que x ´e menor do que y quando y −x ∈ R+ , isto ´e, y = x + z onde z ´e positivo. Neste caso, escreve-se tamb´em y > x e diz-se que y ´e maior do que x. Em particular, x > 0 significa que x ∈ R+ , isto ´e, que x ´e positivo, enquanto x < 0 quer dizer que x ´e negativo, ou seja, que −x ∈ R+ . Valem as seguintes propriedades da rela¸c˜ao de ordem x < y em R: O1. Transitividade: se x < y e y < z ent˜ao x < z. O2. Tricotomia: dados x, y ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas x = y, x < y ou y < x. O3. Monotonicidade da adi¸ca ˜o: se x < y ent˜ao, para todo z ∈ R, tem-se x + z < y + z. O4. Monotonicidade da multiplica¸ca ˜o: se x < y ent˜ao, para todo z > 0 tem-se xz < yz. Se, por´em, z < 0 ent˜ao x < y implica yz < xz. Demonstra¸ c˜ ao: O1. x < y e y < z significam y −x ∈ R+ e z −y ∈ R+ . Por P1. segue-se que (y − x) + (z − y) ∈ R+ , isto ´e, z − x ∈ R+ , ou seja, x < z. O2. Dados x, y ∈ R, ou y − x ∈ R+ , ou y − x = 0 ou y − x ∈ R− (isto ´e, x − y ∈ R+ ). No primeiro caso tem-se x < y, no segundo x = y e no terceiro y < x. Estas alternativas se excluem mutuamente, por P2. O3. Se x < y ent˜ao y − x ∈ R+ , donde (y + z) − (x + z) = y − x ∈ R+ , isto ´e, x + z < y + z. O4. Se x < y e z > 0 ent˜ao y − x ∈ R+ e z ∈ R+ , logo (y − x) · z ∈ R+ , ou seja, yz − xz ∈ R+ , o que significa xz < yz. Se x < y e z < 0 ent˜ao y − x ∈ R+ e −z ∈ R+ , donde xz − yz = (y − x)(−z) ∈ R+ , o que significa yz < xz. Mais geralmente, x < y e x′ < y ′ implicam x + x′ < y + y ′ . Com efeito (y + y ′ ) − (x + x′ ) = (y − x) + (y ′ − x′ ) ∈ R+ . Analogamente, 0 < x < y e 0 < x′ < y ′ implicam xx′ < yy ′ pois ′ yy − xx′ = yy ′ − yx′ + yx′ − xx′ = y(y ′ − x′ ) + (y − x)x′ > 0.

Se¸c˜ ao 2

R´ e um corpo ordenado

15

Se 0 < x < y ent˜ao y −1 < x−1 . Para provar, nota-se primeiro que x > 0 ⇒ x−1 = x · (x−1 )2 > 0. Em seguida, multiplicando ambos os membros da desigualdade x < y por x−1 y −1 vem y −1 < x−1 . Como 1 ∈ R ´e positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . . . Podemos ent˜ao considerar N ⊂ R. Segue-se que Z ⊂ R pois 0 ∈ R e n ∈ R ⇒ −n ∈ R. Al´em disso, se m, n ∈ Z com n 6= 0 ent˜ao m/n = m · n−1 ∈ R, o que nos permite concluir que Q ⊂ R. Assim, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Na se¸c˜ao seguinte, veremos que a inclus˜ ao Q ⊂ R ´e pr´opria.

Exemplo 1. (Desigualdade de Bernoulli.) Para todo n´ umero real n x ≥ −1 e todo n ∈ N, tem-se (1 + x) ≥ 1 + nx. Isto se prova por indu¸c˜ao em n, sendo ´ obvio para n = 1. Supondo a desigualdade v´alida para n, multiplicamos ambos os membros pelo n´ umero 1 + x ≥ 0 e obtemos (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x. Pelo mesmo argumento, vˆe-se que (1 + x)n > 1 + nx quando n > 1, x > −1 e x 6= 0. A rela¸c˜ao de ordem em R permite definir o valor absoluto (ou m´ odulo) de um n´ umero real x ∈ R assim: |x| = x se x > 0, |0| = 0 e |x| = −x se x < 0. Noutras palavras, |x| = max{x, −x} ´e o maior dos n´ umeros reais x e −x. Tem-se −|x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R. Com efeito, a desigualdade x ≤ |x| ´e ´ obvia, enquanto −|x| ≤ x resulta de multiplicar por −1 ambos os membros da desigualdade −x ≤ |x|. Podemos caracterizar |x| como ou ´nico n´ umero ≥ 0 cujo quadrado ´e x2 . Teorema 1. Se x, y ∈ R ent˜ ao |x + y| ≤ |x| + |y| e |x · y| = |x| · |y|.

Demonstra¸ c˜ ao: Somando membro a membro as desigualdades |x| ≥ x e |y| ≥ y vem |x| + |y| ≥ x + y. Analogamente, de |x| ≥ −x e |y| ≥ −y resulta |x|+|y| ≥ −(x+y). Logo |x|+|y| ≥ |x+y| = max{x+y, −(x+y)}. Para provar que |x · y| = |x| · |y|, basta mostrar que estes dois n´ umeros tˆem o mesmo quadrado, j´a que ambos s˜ ao ≥ 0. Ora o quadrado de |x · y| ´e (x · y)2 = x2 · y 2 , enquanto (|x| · |y|)2 = |x|2 |y|2 = x2 · y 2 .

16

N´ umeros Reais

Cap. 2

Teorema 2. Sejam a, x, δ ∈ R. Tem-se |x − a| < δ se, e somente se, a − δ < x < a + δ. Demonstra¸ c˜ ao: Como |x − a| ´e o maior dos dois n´ umeros x − a e −(x − a), afirmar que |x − a| < δ equivale a dizer que se tem x − a < δ e −(x − a) < δ, ou seja, x − a < δ e x − a > −δ. Somando a, vem: |x − a| < δ ⇔ x < a + δ e x > a − δ ⇔ a − δ < x < a + δ. De modo an´ alogo se vˆe que |x − a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤ a + δ. Usaremos as seguintes nota¸c˜oes para representar tipos especiais de conjuntos de n´ umeros reais, chamados intervalos: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}

(−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}

[a, +∞) = {x ∈ R; a ≤ x}

(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}

(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}

(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}

(a, +∞) = {x ∈ R; a < x}

(−∞, +∞) = R

Os quatro intervalos da esquerda s˜ ao limitados, com extremos a, b: [a, b] ´e um intervalo fechado, (a, b) ´e aberto, [a, b) ´e fechado a ` esquerda e (a, b] ´e fechado a ` direita. Os cinco intervalos `a direita s˜ ao ilimitados: (−∞, b] ´e a semi-reta esquerda fechada de origem b. Os demais tˆem denomina¸c˜oes an´ alogas. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduzse a um u ´nico elemento e chama-se um intervalo degenerado. Em termos de intervalos, o Teorema 2 diz que |x − a| < ε se, e somente se, x pertence ao intervalo aberto (a − ε, a + ε). Analogamente, |x − a| ≤ ε ⇔ x ∈ [a − ε, a + ε]. ´ muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a “reta E real”) e os n´ umeros reais como pontos dessa reta. Ent˜ao a rela¸c˜ao x < y significa que o ponto x est´a `a esquerda de y (e y `a direita de x), os intervalos s˜ ao segmentos de reta e |x − y| ´e a distˆ ancia do ponto x ao ponto y. O significado do Teorema 2 ´e de que o intervalo (a − δ, a + δ) ´e formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a. Tais interpreta¸c˜oes geom´etricas constituem um valioso aux´ılio para a compreens˜ ao dos conceitos e teoremas da An´ alise.

3

R´ e um corpo ordenado completo

Nada do que foi dito at´e agora permite distinguir R de Q pois os n´ umeros racionais tamb´em constituem um corpo ordenado. Acabaremos agora

Se¸c˜ ao 3

R´ e um corpo ordenado completo

17

nossa caracteriza¸c˜ao de R, descrevendo-o como um corpo ordenado completo, propriedade que Q n˜ao tem. Um conjunto X ⊂ R diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈ R tal que x ≤ b para todo x ∈ X. Neste caso, diz-se que b ´e uma cota superior de X. Analogamente, diz-se que o conjunto X ⊂ R ´e limitado inferiormente quando existe a ∈ R tal que a ≤ x para todo x ∈ X. O n´ umero a chama-se ent˜ao uma cota inferior de X. Se X ´e limitado superior e inferiormente, diz-se que X ´e um conjunto limitado. Isto significa que X est´a contido em algum intervalo limitado [a, b] ou, equivalentemente, que existe k > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k. Seja X ⊂ R limitado superiormente e n˜ao-vazio. Um n´ umero b ∈ R chama-se o supremo do conjunto X quando ´e a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b ´e o supremo de X quando cumpre as duas condi¸c˜oes: S1. S2.

Para todo x ∈ X, tem-se x ≤ b; Se c ∈ R ´e tal que x ≤ c para todo x ∈ X ent˜ao b ≤ c.

A condi¸c˜ao S2 admite a seguinte reformula¸c˜ao: S2´.

Se c < b ent˜ao existe x ∈ X com c < x.

Com efeito, S2´ diz que nenhum n´ umero real menor do que b pode ` ser cota superior de X. As vezes se exprime S2´ assim: para todo ε > 0 existe x ∈ X tal que b − ε < x. Escrevemos b = sup X para indicar que b ´e o supremo do conjunto X. Analogamente, se X ⊂ R ´e um conjunto n˜ao-vazio, limitado inferiormente, um n´ umero real a chama-se o ´ınfimo do conjunto X, e escreve-se a = inf X, quando ´e a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale `as duas afirma¸c˜oes: I1. Para todo x ∈ X tem-se a ≤ x; I2. Se c ≤ x para todo x ∈ X ent˜ao c ≤ a.

A condi¸c˜ao I2 pode tamb´em ser formulada assim:

I2´. Se a < c ent˜ao existe x ∈ X tal que x < c.

De fato, I2´ diz que nenhum n´ umero maior do que a ´e cota inferior de X. Equivalentemente: para todo ε > 0 existe x ∈ X tal que x < a+ε. Diz-se que um n´ umero b ∈ X ´e o maior elemento (ou elemento m´ aximo) do conjunto X quando b ≥ x para todo x ∈ X. Isto quer dizer que b ´e uma cota superior de X, pertencente a X. Por exemplo, b ´e o elemento m´ aximo do intervalo fechado [a, b] mas o intervalo [a, b) n˜ao possui maior elemento. Evidentemente, se um conjunto X possui

18

N´ umeros Reais

Cap. 2

elemento m´ aximo este ser´a seu supremo. A no¸c˜ao de supremo serve precisamente para substituir a id´eia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento n˜ao existe. O supremo do conjunto [a, b) ´e b. Considera¸c˜oes inteiramente an´ alogas podem ser feitas em rela¸c˜ao ao ´ınfimo. A afirma¸c˜ao de que o corpo ordenado R ´e completo significa que todo conjunto n˜ao-vazio, limitado superiormente, X ⊂ R possui supremo b = sup X ∈ R. N˜ ao ´e necess´ario estipular tamb´em que todo conjunto n˜ao-vazio, limitado inferiormente, X ⊂ R possua ´ınfimo. Com efeito, neste caso o conjunto Y = {−x; x ∈ X} ´e n˜ao-vazio, limitado superiormente, logo possui um supremo b ∈ R. Ent˜ao, como se vˆe sem dificuldade, o n´ umero a = −b ´e o ´ınfimo de Y . Em seguida veremos algumas conseq¨ uˆencias da completeza de R. Teorema 3. i) O conjunto N ⊂ R dos n´ umeros naturais n˜ ao ´e limitado superiormente; ii) O ´ınfimo do conjunto X = {1/n; n ∈ N} ´e igual a 0; iii) Dados a, b ∈ R+ , existe n ∈ N tal que n · a > b.

Demonstra¸ c˜ ao: Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existiria c = sup N. Ent˜ao c − 1 n˜ao seria cota superior de N, isto ´e, existiria n ∈ N com c − 1 < n. Da´ı resultaria c < n + 1, logo c n˜ao seria cota superior de N. Esta contradi¸c˜ao prova i). Quanto a ii), 0 ´e evidentemente uma cota inferior de X. Basta ent˜ao provar que nenhum c > 0 ´e cota inferior de X. Ora, dado c > 0, existe, por i), um n´ umero natural n > 1/c, donde 1/n < c, o que prova ii). Finalmente, dados a, b ∈ R+ usamos i) para obter n ∈ N tal que n > b/a. Ent˜ao na > b, o que demonstra iii).

As propriedades i), ii) e iii) do teorema acima s˜ ao equivalentes e significam que R ´e um corpo arquimediano. Na realidade, iii) ´e devida ao matem´ atico grego Eudoxo, que viveu alguns s´eculos antes de Arquimedes. Teorema 4. (Intervalos encaixados.) Dada uma seq¨ uˆencia decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervalos limitados e fechados In = [an , bn ], existe pelo menos um n´ umero real c tal que c ∈ In para todo n ∈ N. Demonstra¸ c˜ ao: As inclus˜ oes In ⊃ In+1 significam que a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 .

Se¸c˜ ao 3

R´ e um corpo ordenado completo

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O conjunto A = {a1 , a2 , . . . , an , . . . } ´e, portanto, limitado superiormente. Seja c = sup A. Evidentemente, an ≤ c para todo n ∈ N. Al´em disso, como cada bn ´e cota superior de A, temos c ≤ bn para todo n ∈ N. Portanto c ∈ In qualquer que seja n ∈ N. Teorema 5. O conjunto dos n´ umeros reais n˜ ao ´e enumer´ avel. Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos que nenhuma fun¸c˜ao f : N → R pode ser sobrejetiva. Para isto, supondo f dada, construiremos uma seq¨ uˆencia decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervalos limitados e fechados tais que f (n) ∈ / In . Ent˜ao, se c ´e um n´ umero real pertencente a todos os In , nenhum dos valores f (n) pode ser igual a c, logo f n˜ao ´e sobrejetiva. Para obter os intervalos, come¸camos tomando I1 = [a1 , b1 ] tal que f (1) < a1 e, supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In tais que f (j) ∈ / Ij , olhamos para In = [an , bn ]. Se f (n + 1) ∈ / In , podemos simplesmente tomar In+1 = In . Se, por´em, f (n + 1) ∈ In , pelo menos um dos extremos, digamos an , ´e diferente de f (n + 1), isto ´e, an < f (n + 1). Neste caso, tomamos In+1 = [an+1 , bn+1 ], com an+1 = an e bn+1 = (an + f (n + 1))/2. Um n´ umero real chama-se irracional quando n˜ao ´e racional. Como o conjunto Q dos n´ umeros racionais ´e enumer´avel, resulta do teorema acima que existem n´ umeros irracionais e, mais ainda, sendo R = Q ∪ (R − Q), os irracionais constituem um conjunto n˜ao-enumer´avel (portanto formam a maioria dos reais) porque a reuni˜ao de dois conjuntos enumer´aveis seria enumer´avel. Evidentemente, n´ umeros irracionais podem ser exibidos explicitamente. No Cap´ıtulo 3, Exemplo 15, veremos que a fun¸c˜ao f : R → R+ , dada por f (x) =√x2 , ´e sobrejetiva. Logo existe um n´ umero real positivo, indicado por 2, cujo quadrado ´e igual a 2. Pit´ agoras e seus disc´ıpulos mostraram que o quadrado de nenhum n´ umero racional pode ser 2. (Com efeito, de (p/q)2 = 2 resulta 2q 2 = p2 , com p, q inteiros, um absurdo porque o fator primo 2 aparece um n´ umero par de vezes na decomposi¸c˜ao de p2 em fatores primos e um n´ umero ´ımpar de vezes em 2q 2 .) Corol´ ario. Todo intervalo n˜ ao-degenerado ´e n˜ ao-enumer´ avel. Com efeito, todo intervalo n˜ao-degenerado cont´em um intervalo aberto (a, b). Como a fun¸c˜ao f : (−1, 1) → (a, b), definida por f (x) = 1 e uma bije¸c˜ao, basta mostrar que o intervalo aberto 2 [(b − a)x + a + b], ´ (−1, 1) ´e n˜ao-enumer´avel. Ora, a fun¸c˜ao ϕ : R → (−1, 1), dada por

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N´ umeros Reais

Cap. 2

ϕ(x) = x/(1 + |x|), ´e uma bije¸c˜ao cuja inversa ´e ψ : (−1, 1) → R, definida por ψ(y) = y/(1 − |y|), pois ϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x para quaisquer y ∈ (−1, 1) e x ∈ R, como se pode verificar facilmente. Teorema 6. Todo intervalo n˜ ao-degenerado I cont´em n´ umeros racionais e irracionais. Demonstra¸ c˜ ao: Certamente I cont´em n´ umeros irracionais pois do contr´ario seria enumer´avel. Para provar que I cont´em n´ umeros racionais, tomamos [a, b] ⊂ I, onde a < b podem ser supostos irracionais. Fixemos n ∈ N tal que 1/n < b − a. Os S intervalos Im = [m/n, (m + 1)/n], m ∈ Z, cobrem a reta, isto ´e, R = m∈Z Im . Portanto existe m ∈ Z tal que a ∈ Im . Como a ´e irracional, temos m/n < a < (m + 1)/n. Sendo o comprimento 1/n do intervalo Im menor do que b − a, segue-se que (m + 1)/n < b. Logo o n´ umero racional (m + 1)/n pertence ao intervalo [a, b] e portanto ao intervalo I.

4

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

R´ e um corpo

1. Prove as seguintes unicidades: (a) (b) (c) (d)

Se Se Se Se

x + θ = x para algum x ∈ R, ent˜ao θ = 0; x · u = x para todo x ∈ R ent˜ao u = 1; x + y = 0 ent˜ao y = −x; x · y = 1, ent˜ao y = x−1 .

2. Dados a, b, c, d ∈ R, se b 6= 0 e d 6= 0 prove que a/b + c/d = (ad + bc)/bd e (a/b)(c/d) = ac/bd. 3. Se a 6= 0 e b 6= 0 em R, prove que (ab)−1 = a−1 b−1 e conclua que (a/b)−1 = b/a. 4. Prove que (1 − xn+1 )/(1 − x) = 1 + x + · · · + xn para todo x 6= 1. Se¸ c˜ ao 2:

R´ e um corpo ordenado

1. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|. 2. Prove que | |x| − |y| | ≤ |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. 3. Dados x, y ∈ R, se x2 + y 2 = 0 prove que x = y = 0.

4. Prove por indu¸c˜ao que (1 + x)n ≥ 1 + nx + [n(n − 1)/2]x2 se x ≥ 0.

Se¸c˜ ao 4

Exerc´ıcios

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5. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx. 6. Prove que |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε.

P 7. Use o fato de que o trinˆ omio do segundo grau f (λ) = ni=1 (xi + λyi )2 ´e ≥ 0 para todo λ ∈ R para provar a desigualdade de CauchySchwarz n n n X X
2
X
2 xi yi ≤ xi yi2 . i=1

i=1

i=1

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ tal que xi = λyi para todo i = 1, . . . , n, ou ent˜ao y1 = · · · = yn = 0.

8. Se a1 /b1 , . . . , an /bn pertencem ao intervalo (α, β) e b1 , . . . , bn s˜ ao positivos, prove que (a1 +· · ·+an )/(b1 +· · ·+bn ) pertence a (α, β). Nas mesmas condi¸c˜oes, se t1 , . . . , tn ∈ R+ , prove que (t1 a1 + · · · + tn an )/(t1 b1 + · · · + tn bn ) tamb´em pertence ao intervalo (α, β). Se¸ c˜ ao 3:

R´ e um corpo ordenado completo

1. Diz-se que uma fun¸c˜ao f : X → R ´e limitada superiormente quando sua imagem f (X) = {f (x); x ∈ X} ´e um conjunto limitado superiormente. Ent˜ao p˜oe-se sup f = sup{f (x); x ∈ X}. Prove que se f, g : X → R s˜ ao limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Dˆe um exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g. Enuncie e prove um resultado an´ alogo para inf. 2. Dadas as fun¸c˜oes f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g : X → R+ ´e uma fun¸c˜ao limitada (superior e inferiormente) com sup(f ·g) ≤ sup f ·sup g e inf(f ·g) ≥ inf f ·inf g. Dˆe exemplos onde se tenha < e n˜ao =. 3. Nas condi¸c˜oes do exerc´ıcio anterior mostre que sup(f 2 ) = (sup f )2 e inf(f 2 ) = (inf f )2 . 4. Dados a, b ∈ R+ com a2 < 2 < b2 , tome x, y ∈ R+ tais que x < 1, x < (2 − a2 )/(2a + 1) e y < (b2 − 2)/2b. Prove que (a + x)2 < 2 < (b − y)2 e b − y > 0. Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a ∈ R+ ; a2 < 2} e conclua que o n´ umero real c = sup X cumpre c2 = 2. 5. Prove que o conjunto dos polinˆ omios com coeficientes inteiros ´e enumer´avel. Um n´ umero real chama-se alg´ebrico quando ´e raiz

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N´ umeros Reais

Cap. 2

de um polinˆ omio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos n´ umeros alg´ebricos ´e enumer´avel. Um n´ umero real chama-se transcendente quando n˜ao ´e alg´ebrico. Prove que existem n´ umeros transcendentes. 6. Prove que um conjunto I ⊂ R ´e um intervalo se, e somente se, a < x < b, a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.

3 Seq¨ uˆ encias de N´ umeros Reais

Neste cap´ıtulo ser´a apresentada a no¸c˜ao de limite sob sua forma mais simples, o limite de uma seq¨ uˆencia. A partir daqui, todos os conceitos importantes da An´ alise, de uma forma ou de outra, reduzir-se-˜ ao a algum tipo de limite.

1

Limite de uma seq¨ uˆ encia

Uma seq¨ uˆencia de n´ umeros reais ´e uma fun¸c˜ao x : N → R, que associa a cada n´ umero natural n um n´ umero real xn , chamado o n-´esimo termo da seq¨ uˆencia. Escreve-se (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ou (xn )n∈N , ou simplesmente (xn ), para indicar a seq¨ uˆencia cujo n-´esimo termo ´e xn . N˜ ao se confunda a seq¨ uˆencia (xn ) com o conjunto {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } dos seus termos. Por exemplo, a seq¨ uˆencia (1, 1, . . . , 1, . . . ) n˜ao ´e o mesmo que o conjunto {1}. Ou ent˜ao: as seq¨ uˆencias (0, 1, 0, 1, . . . ) e (0, 0, 1, 0, 0, 1, . . . ) s˜ ao diferentes mas o conjunto dos seus termos ´e o mesmo, igual a {0, 1}. Uma seq¨ uˆencia (xn ) diz-se limitada superiormente (respectivamente inferiormente) quando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (respectivamente xn ≥ c) para todo n ∈ N. Diz-se que a seq¨ uˆencia (xn ) ´e limitada quando ela ´e limitada superior e inferiormente. Isto equivale a dizer que existe k > 0 tal que |xn | ≤ k para todo n ∈ N.

24

Seq¨ uˆ encias de N´ umeros Reais

Cap. 3

Exemplo 1. Se a > 1 ent˜ao a seq¨ uˆencia (a, a2 , . . . , an , . . . ) ´e limitada inferiormente por´em n˜ao superiormente. Com efeito, multiplicando ambos os membos da desigualdade 1 < a por an obtemos an < an+1 . Segue-se que a < an para todo n ∈ N, logo (an ) ´e limitada inferiormente por a. Por outro lado, temos a = 1 + d, com d > 0. Pela desigualdade de Bernoulli, para todo n > 1 em N vale an ≥ 1 + nd. Portanto, dado qualquer c ∈ R podemos obter an > c desde que tomemos 1 + nd > c, isto ´e, n > (c − 1)/d.

Dada uma seq¨ uˆencia x = (xn )n∈N , uma subseq¨ uˆencia de x ´e a res′ tri¸c˜ao da fun¸c˜ao x a um subconjunto infinito N = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de N. Escreve-se x′ = (xn )n∈N′ ou (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . ), ou (xnk )k∈N para indicar a subseq¨ uˆencia x′ = x|N′ . A nota¸c˜ao (xnk )k∈N mostra como uma subseq¨ uˆencia pode ser considerada como uma seq¨ uˆencia, isto ´e, uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio ´e N. Lembremos que N′ ⊂ N ´e infinito se, e somente se, ´e ilimitado, isto ´e, para todo n0 ∈ N existe nk ∈ N′ com nk > n0 .

Exemplo 2. Dado o n´ umero real a < −1, formemos a seq¨ uˆencia (an )n∈N . Se N′ ⊂ N ´e o conjunto dos n´ umeros pares e N′′ ⊂ N ´e o conjunto dos n´ umero ´ımpares ent˜ao a subseq¨ uˆencia (an )n∈N′ ´e limitada apenas inferiormente enquanto a subseq¨ uˆencia (an )n∈N′′ ´e limitada apenas superiormente. Diz-se que o n´ umero real a ´e limite da seq¨ uˆencia (xn ) quando, para todo n´ umero real ε > 0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 ∈ N tal que todos os termos xn com ´ındice n > n0 cumprem a condi¸c˜ao |xn − a| < ε. Escreve-se ent˜ao a = lim xn . Esta importante defini¸c˜ao significa que, para valores muito grandes de n, os termos xn tornam-se e se mantˆem t˜ao pr´oximos de a quanto se deseje. Mais precisamente, estipulando-se uma margem de erro ε > 0, existe um ´ındice n0 ∈ N tal que todos os termos xn da seq¨ uˆencia com ´ındice n > n0 s˜ ao valores aproximados de a com erro menor do que ε. Simbolicamente, escreve-se: a = lim xn

. ≡ . ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ; n > n0 ⇒ |xn − a| < ε.

Acima, o s´ımbolo . ≡ . significa que o que vem depois ´e a defini¸c˜ao do que vem antes. ∀ significa “para todo” ou “qualquer que seja”. ∃ significa “existe”. O ponto-e-v´ırgula quer dizer “tal que” e a seta ⇒ significa “implica”.

Se¸c˜ ao 1

Limite de uma seq¨ uˆ encia

25

Conv´em lembrar que |xn − a| < ε ´e o mesmo que a − ε < xn < a + ε, isto ´e, xn pertence ao intervalo aberto (a − ε, a + ε). Assim, dizer que a = lim xn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a cont´em todos os termos xn da seq¨ uˆencia, salvo para um n´ umero finito de ´ındices n (a saber, os ´ındices n ≤ n0 , onde n0 ´e escolhido em fun¸c˜ao do raio ε do intervalo dado). Em vez de a = lim xn , escreve-se tamb´em a = limn∈N xn , a = limn→∞ xn ou xn → a. Esta u ´ltima express˜ao lˆe-se “xn tende para a” ou “converge para a”. Uma seq¨ uˆencia que possui limite diz-se convergente. Caso contr´ario, ela se chama divergente. Teorema 1. (Unicidade do limite.) Uma seq¨ uˆencia n˜ ao pode convergir para dois limites distintos. Demonstra¸ c˜ ao: Seja lim xn = a. Dado b 6= a podemos tomar ε > 0 tal que os intervalos abertos I = (a − ε, a + ε) e J = (b − ε, b + ε) sejam disjuntos. Existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ I. Ent˜ao, para todo n > n0 , temos xn ∈ / J. Logo n˜ao ´e lim xn = b. Teorema 2. Se lim xn = a ent˜ ao toda subseq¨ uˆencia de (xn ) converge para o limite a. Demonstra¸ c˜ ao: Seja (xn1 , . . . , xnk , . . . ) a subseq¨ uˆencia. Dado qualquer intervalo aberto I de centro a, existe n0 ∈ N tal que todos os termos xn , com n > n0 , pertencem a I. Em particular, todos os termos xnk , com nk > n0 tamb´em pertencem a I. Logo lim xnk = a. Teorema 3. Toda seq¨ uˆencia convergente ´e limitada. Demonstra¸ c˜ ao: Seja a = lim xn . Tomando ε = 1, vemos que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ (a − 1, a + 1). Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto finito {x1 , . . . , xn0 , a − 1, a + 1}. Todos os termos xn da seq¨ uˆencia est˜ao contidos no intervalo [b, c], logo ela ´e limitada. Exemplo 3. A seq¨ uˆencia (2, 0, 2, 0, . . . ), cujo n-´esimo termo ´e xn = 1 + (−1)n+1 , ´e limitada mas n˜ao ´e convergente porque possui duas subseq¨ uˆencias constantes, x2n−1 = 2 e x2n = 0, com limites distintos. Exemplo 4. A seq¨ uˆencia (1, 2, 3, . . . ), com xn = n, n˜ao converge porque n˜ao ´e limitada. Uma seq¨ uˆencia (xn ) chama-se mon´ otona quando se tem xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N ou ent˜ao xn+1 ≤ xn para todo n. No primeiro caso,

26

Seq¨ uˆ encias de N´ umeros Reais

Cap. 3

diz-se que (xn ) ´e mon´ otona n˜ ao-decrescente e, no segundo, que (xn ) ´e mon´ otona n˜ ao-crescente. Se, mais precisamente, tivermos xn < xn+1 (respect. xn > xn+1 ) para todo n ∈ N, diremos que a seq¨ uˆencia ´e crescente (respectivamente, decrescente). Toda seq¨ uˆencia mon´otona n˜ao-decrescente (respect. n˜ao-crescente) ´e limitada inferiormente (respect. superiormente) pelo seu primeiro termo. A fim de que ela seja limitada ´e suficiente que possua uma subseq¨ uˆencia limitada. Com efeito, seja (xn )n∈N′ uma subseq¨ uˆencia limitada da seq¨ uˆencia mon´otona (digamos, n˜ao-decrescente) (xn ). Temos xn′ ≤ c para todo n′ ∈ N′ . Dado qualquer n ∈ N, existe n′ ∈ N′ tal que n < n′ . Ent˜ao xn ≤ xn′ ≤ c. O teorema seguinte d´a uma condi¸c˜ao suficiente para que uma seq¨ uˆencia convirja. Foi tentando demonstr´a-lo ao preparar suas aulas, na metade do s´eculo 19, que R. Dedekind percebeu a necessidade de uma conceitua¸c˜ao precisa de n´ umero real. Teorema 4. Toda seq¨ uˆencia mon´ otona limitada ´e convergente. Demonstra¸ c˜ ao: Seja (xn ) mon´otona, digamos n˜ao-decrescente, limitada. Escrevamos X = {x1 , . . . , xn , . . . } e a = sup X. Afirmamos que a = lim xn . Com efeito, dado ε > 0, o n´ umero a − ε n˜ao ´e cota superior de X. Logo existe n0 ∈ N tal que a − ε < xn0 ≤ a. Assim, n > n0 ⇒ a − ε < xn0 ≤ xn < a + ε e da´ı lim xn = a. Semelhantemente, se (xn ) ´e n˜ao-crescente, limitada ent˜ao lim xn ´e o ´ınfimo do conjunto dos valores xn . Corol´ ario. (Teorema de Bolzano-Weierstrass.) Toda seq¨ uˆencia limitada de n´ umeros reais possui uma subseq¨ uˆencia convergente. Com efeito, basta mostrar que toda seq¨ uˆencia (xn ) possui uma subseq¨ uˆencia mon´otona. Diremos que um termo xn da seq¨ uˆencia dada ´e destacado quando xn ≥ xp para todo p > n. Seja D ⊂ N o conjunto dos ´ındices n tais que xn ´e um termo destacado. Se D for um conjunto infinito, D = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · }, ent˜ao a subseq¨ uˆencia (xn )n∈D ser´a mon´otona n˜ao-crescente. Se, entretanto, D for finito seja n1 ∈ N maior do que todos os n ∈ D. Ent˜ao xn1 n˜ao ´e destacado, logo existe n2 > n1 com xn1 < xn2 . Por sua vez, xn2 n˜ao ´e destacado, logo existe n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3 . Prosseguindo, obtemos uma subseq¨ uˆencia crescente xn1 < xn2 < · · · < xnk < · · · .

Se¸c˜ ao 2

Limites e desigualdades

27

Exemplo 5. A seq¨ uˆencia cujo n-´esimo termo ´e xn = 1/n ´e mon´otona, decrescente, limitada. Temos ent˜ao lim 1/n = inf{1/n; n ∈ N} = 0, pelo Teorema 3, Cap´ıtulo 2. Exemplo 6. Seja 0 < a < 1. A seq¨ uˆencia (a, a2 , . . . , an , . . . ), formada pelas potˆencias sucessivas de a, ´e decrescente, limitada pois multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an . Afirmamos que limn→∞ an = 0. Com efeito, dado ε > 0, como 1/a > 1 seguese do Exemplo 1 que, dado arbitrariamente ε > 0 existe n0 ∈ N tal que (1/a)n0 > 1/ε, ou seja, an0 < ε. Segue-se que lim an = inf{an ; n ∈ N} = 0.

2

Limites e desigualdades

Seja P uma propriedade referente aos termos de uma seq¨ uˆencia (xn ). Diremos que “para todo n suficientemente grande xn goza da propriedade P ” para significar que “existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn goza da propriedade P ”. Teorema 5. Seja a = lim xn . Se b < a ent˜ ao, para todo n suficientemente grande, tem-se b < xn . Analogamente, se a < b ent˜ ao xn < b para todo n suficientemente grande. Demonstra¸ c˜ ao: Tomando ε = a − b, temos ε > 0 e b = a − ε. Pela defini¸c˜ao de limite, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a−ε < xn < a+ε ⇒ b < xn . A outra afirma¸c˜ao se prova analogamente. Corol´ ario 1. Seja a = lim xn . Se a > 0 ent˜ ao, para todo n suficientemente grande, tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0 ent˜ ao xn < 0 para todo n suficientemente grande. Corol´ ario 2. Sejam a = lim xn e b = lim yn . Se xn ≤ yn para todo n suficientemente grande ent˜ ao a ≤ b. Em particular se xn ≤ b para todo n suficientemente grande ent˜ ao lim xn ≤ b. Com efeito, se fosse b < a ent˜ao tomar´ıamos c ∈ R tal que b < c < a e ter´ıamos, pelo Teorema 5, yn < c < xn para todo n suficientemente grande, contradizendo a hip´ otese. Observa¸ c˜ ao. Se fosse xn < yn n˜ao se poderia concluir a < b. Basta tomar xn = 0, yn = 1/n. Teorema 6. (Teorema do sandu´ıche.) Se lim xn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn para todo n suficientemente grande ent˜ ao lim zn = a.

28

Seq¨ uˆ encias de n´ umeros reais

Cap. 3

Demonstra¸ c˜ ao: Dado arbitrariamente ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ a − ε < xn < a + ε e n > n2 ⇒ a − ε < yn < a + ε. Seja n0 = max{n1 , n2 }. Ent˜ao n > n0 ⇒ a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε ⇒ zn ∈ (a − ε, a + ε), logo lim zn = a.

3

Opera¸c˜ oes com limites

Teorema 7. Se lim xn = 0 e (yn ) ´e uma seq¨ uˆencia limitada (convergente ou n˜ ao) ent˜ ao lim(xn · yn ) = 0.

Demonstra¸ c˜ ao: Existe c > 0 tal que |yn | ≤ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn | < ε/c. Ent˜ao n > n0 ⇒ |xn · yn | = |xn | · |yn | < (ε/c) · c = ε, logo lim(xn · yn ) = 0.

Exemplo 7. Se xn = 1/n e yn = sen(n) ent˜ao (yn ) n˜ao converge mas, como −1 ≤ yn ≤ 1, tem-se lim(xn yn ) = lim(sen(n)/n) = 0. Por outro lado, se lim xn = 0 mas yn n˜ao ´e limitada, o produto xn ·yn pode divergir (tome xn = 1/n, yn = n2 ) ou convergir para um valor qualquer (tome xn = 1/n e yn = c · n). Para uso posterior, observemos que, segundo resulta diretamente da defini¸c˜ao de limite, tem-se lim xn = a ⇔ lim(xn − a) = 0 ⇔ lim |xn − a| = 0. Teorema 8. Se lim xn = a e lim yn = b ent˜ ao: 1. 2. 3.

lim(xn ± yn ) = a ± b.

lim(xn · yn ) = a · b. a xn = se b 6= 0. lim yn b

Demonstra¸ c˜ ao: 1. Dado arbitrariamente ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ |xn − a| < ε/2 e n > n2 ⇒ |yn − b| < ε/2. Seja n0 = max{n1 , n2 }. Ent˜ao n > n0 ⇒ n > n1 e n > n2 , logo |(xn + yn ) − (a + b)| = |(xn − a) + (yn − b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε. Portanto lim(xn + yn ) = a + b. Mesmo argumento para xn − yn . 2. Temos xn yn −ab = xn yn −xn b+xn b−ab = xn (yn −b)+(xn −a)b. Pelo Teorema 3, (xn ) ´e limitada. Al´em disso, lim(yn − b) = lim(xn − a) = 0. Segue-se do Teorema 7 e da parte 1. que lim(xn yn − ab) = lim[xn (yn − b)] + lim[(xn − a) · b] = 0, donde lim(xn yn ) = ab.

Se¸c˜ ao 3

Opera¸c˜ oes com limites

29

3. Vale xn /yn −a/b = (xn b−yn a)/yn b. Como lim(xn b−yn a) = ab−ba = 0, basta provar que (1/yn b) ´e uma seq¨ uˆencia limitada para concluir que lim(xn /yn − a/b) = 0 e portanto que lim(xn /yn ) = a/b. Ora, pondo c = b2 /2, temos 0 < c < b2 . Como lim yn b = b2 , segue-se do Teorema 5 que, para todo n suficientemente grande, tem-se c < yn b e portanto 1/yn b < 1/c, completando a demonstra¸c˜ao. Exemplo 8. Se xn > 0 para todo n ∈ N e lim(xn+1 /xn ) = a < 1 ent˜ao lim xn = 0. Com efeito, tomemos c ∈ R com a < c < 1. Ent˜ao 0 < xn+1 /xn < c para todo n suficientemente grande. Segue-se que 0 < xn+1 = (xn+1 /xn )xn < c · xn < xn logo, para n suficientemente grande, a seq¨ uˆencia (xn ) ´e mon´otona limitada. Seja b = lim xn . De xn+1 < c·xn para todo n suficientemente grande resulta, fazendo n → ∞, que b ≤ c · b, isto ´e, (1 − c) · b ≤ 0. Como b ≥ 0 e 0 < c < 1, conclu´ımos que b = 0. Exemplo 9. Como aplica¸c˜ao do exemplo anterior, vˆe-se que, se a > 1 e k ∈ N s˜ ao constantes ent˜ao nk an n! = lim = lim n = 0. n→∞ an n→∞ n! n→∞ n lim

Com efeito, pondo xn = nk /an , yn = an /n! e zn = n!/nn vem yn+1 /yn = a/(n + 1), logo lim(yn+1 /yn ) = 0 e, pelo Exemplo 8, lim yn = 0. Temos
k tamb´em xn+1 /xn = 1 + n1 · a−1 , portanto (pelo Teorema 8) lim(xn+1 / xn ) = 1/a < 1. Segue-se do Exemplo 8 que lim xn = 0. Finalmente, zn+1 /zn = [n/(n + 1)]n , donde lim(zn+1 /zn ) = 1/e. (Veja Exemplo 13, abaixo.) Como 1/e < 1, segue-se que lim zn = 0. Exemplo 10. Dado a > 0, mostremos que a seq¨ uˆencia dada por xn = √ n a = a1/n tem limite igual a 1. Com efeito, trata-se de uma seq¨ uˆencia mon´otona (decrescente se a > 1, crescente se a < 1), limitada, portanto existe L = limn→∞ a1/n . Tem-se L > 0. Com efeito, se 0 < a < 1 ent˜ao a1/n > a para todo n ∈ N, donde L ≥ a. Se, por´em, a > 1 ent˜ao a1/n > 1 para todo n ∈ N, donde L ≥ 1. Consideremos a subseq¨ uˆencia (a1/n(n+1) ) = (a1/2 , a1/6 , a1/12 , . . . ). Como 1/n(n + 1) = 1/n − 1/(n + 1), o Teorema 2 e o item 3 do Teorema 8 nos d˜ao L = lim a1/n(n+1) = lim

a1/n a1/(n+1)

=

L = 1. L

Exemplo 11. Seja 0 < a < 1. A seq¨ uˆencia cujo termo geral ´e xn = 1 + a + a2 + · · · + an = (1 − an+1 )/(1 − a) ´e crescente, limitada, pois

30

Seq¨ uˆ encias de n´ umeros reais

Cap. 3

xn < 1/(1 − a) para todo n ∈ N. Al´em disso, limn→∞ (1/(1 − a) − xn ) = limn→∞ an+1 /(1 − a) = 0, portanto limn→∞ xn = limn→∞ (1 + a + · · · + an ) = 1/(1 − a).

A igualdade acima vale ainda quando se tem −1 < a < 1, isto ´e, |a| < 1. Com efeito, o argumento se baseou no fato de que limn→∞ an = 0, que persiste quando se tem apenas |a| < 1, pois lim |a|n = 0 ⇔ lim an = 0.

Exemplo 12. A seq¨ uˆencia cujo termo geral ´e an = 1 + 1 +

1 1 + ··· + 2! n!

´e evidentemente crescente. Ela tamb´em ´e limitada pois 2 ≤ an ≤ 1 + 1 +

1 1 1 + + · · · + n−1 < 3. 2 22 2

Escreveremos e = lim an . O n´ umero e ´e uma das constantes mais importantes da An´ alise Matem´ atica. Como vimos, tem-se 2 < e ≤ 3. Na realidade, vale e = 2, 7182, com quatro decimais exatas. Exemplo 13. Consideremos a seq¨ uˆencia cujo termo geral ´e bn = (1 + 1/n)n = [(n + 1)/n]n . Pela f´ormula do binˆ omio: n · 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) . . . 1 1 bn = 1 + + + ··· + 2 n 2! n n! nn



1 1 1 1 2 1 1 n − 1
= 1+1+ 1− + 1− 1− +· · ·+ 1− . . . 1− . 2! n 3! n n n! n n

Logo bn ´e uma soma de parcelas positivas. O n´ umero dessas parcelas, bem como cada uma delas, cresce com n. Portanto a seq¨ uˆencia (bn ) ´e ´ claro que bn < an . (Ver Exemplo 12.) Segue-se que bn < 3 crescente. E para todo n ∈ N. Afirmamos que lim bn = lim an = e. Com efeito, quando n > p vale bn ≥ 1 + 1 +

1
1 1
2
p − 1
1 1− + ··· + 1− 1− ... 1 − . 2! n p! n n n

Fixando arbitrariamente p ∈ N e fazendo n → ∞ na desigualdade acima obtemos limn→∞ bn ≥ 1 + 1 + 1/2! + · · · + 1/p! = ap . Como esta desigualdade vale para todo p ∈ N, segue-se que limn→∞ bn ≥ limp→∞ ap = e. Mas j´a vimos que bn < an para todo n ∈ N. Logo lim bn ≤ lim an . Isto completa a prova de que lim bn = e.

Se¸c˜ ao 4

Limites infinitos

31

Exemplo 14. Consideremos a seq¨ uˆencia cujo n-´esimo termo ´e xn = √ 1/n n n = n . Temos xn ≥ 1 para todo n ∈ N. Esta seq¨ uˆencia ´e decrescente√a partir do seu terceiro termo. Com efeito, a desigualdade √ n n > n+1 n + 1 ´e equivalente a nn+1 > (n+1)n , isto ´e, a n > (1+1/n)n , o que ´e verdade para n ≥ 3 pois, como vimos acima, (1 + 1/n)n < 3 para todo n. Portanto existe L = lim n1/n e tem-se L ≥ 1. Considerando a subseq¨ uˆencia (2n)1/2n temos: L2 = lim[(2n)1/2n ]2 = lim[21/n · n1/n ] = lim 21/n · lim n1/n = L (Cfr. Exemplo 10.) Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Conclu´ımos √ portanto que lim n n = 1. Exemplo 15 (Aproxima¸co ˜es sucessivas da raiz quadrada.) O seguinte m´etodo iterativo para obter, com erro t˜ao pequeno quanto se deseje, valores aproximados para a raiz quadrada de um dado n´ umero real a > 0, j´a era conhecido pelos babilˆ onios 17 s´eculos antes da era crist˜a. Toma√ se arbitrariamente um valor inicial x1 > a e define-se indutivamente xn+1 = [xn + a/xn ]/2. Para mostrar que a seq¨ uˆencia (xn ) assim obtida √ converge para a, come¸camos observando que, para qualquer x ∈ R, √ √ a < x ⇒ (a/x) < a < x. (Multiplique ambos os membros da √ √ desigualdade a < x por a.) Em seguida notemos que, pondo y = [x + a/x]/2, y ´e a m´edia aritm´etica dos n´ umeros a/x e x, logo ´e menor √ do que x e maior do que a m´edia geom´etrica desses n´ umeros, que ´e a. √ Logo a < y < x. Portanto temos uma seq¨ uˆencia decrescente x1 > x2 > · · · > xn > xn+1 > · · · , √ cujos termos s˜ ao todos maiores do que a. Esta seq¨ uˆencia converge para um n´ umero real c. Fazendo n → ∞ na igualdade xn+1 = [xn + a/xn ]/2 √ obtemos c = [c + a/c]/2, donde c2 = a, isto ´e, lim xn = a. Vemos ent˜ao que todo n´ umero real a > 0 possui uma raiz quadrada real. Mais ainda, o processo iterativo xn+1 = [xn + a/xn ]/2 fornece rapidamente √ boas aproxima¸c˜oes para a, como se pode verificar tomando exemplos concretos.

4

Limites infinitos

Dada uma seq¨ uˆencia (xn ), diz-se que “o limite de xn ´e mais infinito” e escreve-se lim xn = +∞, para significar que, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn > A.

32

Seq¨ uˆ encias de n´ umeros reais

Cap. 3

Analogamente, lim xn = −∞ significa que, para todo A > 0 dado, pode-se achar n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < −A. Deve-se enfatizar que +∞ e −∞ n˜ao s˜ ao n´ umeros e que, se lim xn = +∞ e lim yn = −∞, as seq¨ uˆencias (xn ) e (yn ) n˜ao s˜ ao convergentes. Como lim xn = +∞ ⇔ lim(−xn ) = −∞, limitaremos nossos coment´arios ao primeiro caso. Se lim xn = +∞ ent˜ao a seq¨ uˆencia (xn ) n˜ao ´e limitada superiormente. A rec´ıproca ´e falsa. A seq¨ uˆencia dada por xn = n + (−1)n n ´e ilimitada superiormente por´em n˜ao se tem lim xn = +∞, pois x2n−1 = 0 para todo n ∈ N. Mas se (xn ) ´e n˜ao-decrescente ent˜ao (xn ) ilimitada ⇒ lim xn = +∞. No Exemplo 1, ao mostrar que as potˆencias a, a2 , a3 , . . . de um n´ umero a > 1 formam uma seq¨ uˆencia ilimitada superiormente, provouse, na realidade, que lim an = +∞. Teorema 9. (1) Se lim xn = +∞ e (yn ) ´e limitada inferiormente ent˜ ao lim(xn + yn ) = +∞. (2) Se lim xn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N ent˜ ao lim(xn yn ) = +∞. (3) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim yn = 0 ent˜ ao xn lim = +∞. yn xn = 0. (4) Se (xn ) ´e limitada e lim yn = +∞ ent˜ ao lim yn Demonstra¸ c˜ ao: (1) Existe c ∈ R tal que yn ≥ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A − c. Segue-se que n > n0 ⇒ xn +yn > A−c+c = A, logo lim(xn +yn ) = +∞. (2) Dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A/c. Logo n > n0 ⇒ xn yn > (A/c) · c = A, donde lim(xn yn ) = +∞.

(3) Dado A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn < c/A. Ent˜ao n > n0 ⇒ xn /yn > c · A/c = A e da´ı lim(xn /yn ) = +∞.

(4) Existe c > 0 tal que |xn | ≤ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn > c/ε. Ent˜ao n > n0 ⇒ |xn /yn | < c · ε/c = ε, logo lim(xn /yn ) = 0. As hip´ oteses feitas nas diversas partes do teorema anterior tˆem por objetivo evitar algumas das chamadas “express˜ oes indeterminadas”. No

Se¸c˜ ao 4

Limites infinitos

33

item (1) procura-se evitar a express˜ao +∞−∞. De fato, se lim xn = +∞ e lim yn = −∞ nenhuma afirma¸c˜ao geral pode ser feita sobre lim(xn + yn ). Este limite pode n˜ao existir (como no caso em que xn = n + (−1)n e yn = −n), pode ser igual a +∞ (se xn = 2n e yn = −n), pode ser −∞ (tome xn = n e yn = −2n) ou pode assumir um valor arbitr´ ario c ∈ R (por exemplo, se xn = n + c e yn = −n). Por causa desse comportamento err´atico, diz-se que +∞ − ∞ ´e uma express˜ao indeterminada. Nos itens (2), (3) e (4), as hip´ oteses feitas excluem os limites do tipo 0×∞ (tamb´em evitado no Teorema 7), 0/0 e ∞/∞, respectivamente, os quais constituem express˜oes indeterminadas no sentido que acabamos de explicar. Outras express˜oes indeterminadas freq¨ uentemente encontradas 0 ∞ 0 s˜ ao ∞ , 1 e 0 . Os limites mais importantes da An´ alise quase sempre se apresentam sob forma de uma express˜ao indeterminada. Por exemplo, o n´ umero e = limn→∞ (1 + 1/n)n ´e da forma 1∞ . E, como veremos mais adiante, a derivada ´e um limite do tipo 0/0. Agora, uma observa¸c˜ao sobre ordem de grandeza. Se k ∈ N e a ´e um n´ umero real > 1 ent˜ao limn→∞ nk = limn→∞ an = limn→∞ n! = limn→∞ nn . Todas estas seq¨ uˆencias tˆem limite infinito. Mas o Exemplo 9 nos diz que, para valores muito grandes de n temos nk ≪ an ≪ n! ≪ nn , onde o s´ımbolo ≪ quer dizer “´e uma fra¸c˜ao muito pequena de” ou “´e insignificante diante de”. Por isso diz-se que o crescimento exponencial supera o polinomial, o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante mas ´e superado pelo crescimento exponencial com base ilimitadamente crescente. Por outro lado, o crescimento de nk (mesmo quando k = 1) supera o crescimento logar´ıtmico, como mostraremos agora. No Cap´ıtulo 11 provaremos a existˆencia de uma fun¸c˜ao crescente log : R+ → R, tal que log(xy) = log x + log y e log x < x para quaisquer √ √ √ x, y ∈ R+ . Da´ı resulta que log x = log( x · x) = 2 log x, donde √ log x = (log x)/2. Al´em disso, log x = log(1 · x) = log 1 + log x, donde log 1 = 0. Como log ´e crescente, tem-se log x > 0 para todo x > 1. Vale tamb´em log(2n ) = n · log 2, portanto limn→∞ log(2n ) = +∞. Como log ´e crescente, segue-se limn→∞ log n = +∞. Provaremos agora que lim

n→∞

log n = 0. n

34

Seq¨ uˆ encias de n´ umeros reais

Cap. 3

√ √ √ Para todo n ∈ N, temos log n < n. Como log n = 21 log n, √ segue-se que log n < 2 n. Dividindo por n resulta que 0 < log n/n < √ log n 2/ n. Fazendo n → ∞ vem lim = 0. n→∞ n

5

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

Limite de uma seq¨ uˆ encia

1. Uma seq¨ uˆencia (xn ) diz-se peri´ odica quando existe p ∈ N tal que xn+p = xn para todo n ∈ N. Prove que toda seq¨ uˆencia peri´odica convergente ´e constante. 2. Dadas as seq¨ uˆencias (xn ) e (yn ), defina (zn ) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn . Se lim xn = lim yn = a, prove que lim zn = a. 3. Se lim xn = a, prove que lim |xn | = |a|.

4. Se uma seq¨ uˆencia mon´otona tem uma subseq¨ uˆencia convergente, prove que a seq¨ uˆencia ´e, ela pr´opria, convergente. 5. Um n´ umero a chama-se valor de aderˆencia da seq¨ uˆencia (xn ) quando ´e limite de uma subseq¨ uˆencia de (xn ). Para cada um dos conjuntos A, B e C abaixo ache uma seq¨ uˆencia que o tenha como conjunto dos seus valores de aderˆencia. A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1]. 6. A fim de que o n´ umero real a seja valor de aderˆencia de (xn ) ´e necess´ario e suficiente que, para todo ε > 0 e todo k ∈ N dados, exista n > k tal que |xn − a| < ε.

7. A fim de que o n´ umero real b n˜ao seja valor de aderˆencia da seq¨ uˆencia (xn ) ´e necess´ario e suficiente que existam n0 ∈ N e ε > 0 tais que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ ε. Se¸ c˜ ao 2:

Limites e desigualdades

1. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn | ≥ ε para todo n ∈ N, prove que |a − b| ≥ ε.

2. Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < yn .

3. Se o n´ umero real a n˜ao ´e o limite da seq¨ uˆencia limitada (xn ), prove que alguma subseq¨ uˆencia de (xn ) converge para um limite b 6= a.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

35

4. Prove que uma seq¨ uˆencia limitada converge se, e somente se, possui um u ´nico valor de aderˆencia. 5. Quais s˜ ao os valores de aderˆencia da seq¨ uˆencia (xn ) tal que x2n−1 = n e x2n = 1/n? Esta seq¨ uˆencia converge? 6. Dados a, b ∈√R+ , defina indutivamente as seq¨ uˆencias (xn ) e (yn ) √ pondo x1 = ab, y1 = (a + b)/2 e xn+1 = xn yn , yn+1 = (xn + yn )/2. Prove que (xn ) e (yn ) convergem para o mesmo limite. 7. Diz-se que (xn ) ´e uma seq¨ uˆencia de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |xm − xn | < ε. (a) Prove que toda seq¨ uˆencia de Cauchy ´e limitada.

(b) Prove que uma seq¨ uˆencia de Cauchy n˜ao pode ter dois valores de aderˆencia distintos. (c) Prove que uma seq¨ uˆencia (xn ) ´e convergente se, e somente se, ´e de Cauchy. Se¸ c˜ ao 3:

Opera¸ co ˜es com limites

1. Prove que, para todo p ∈ N, tem-se limn→∞

√

n+p

n = 1.

2. Se existem ε > 0 e k ∈ N tais que ε ≤ xn ≤ nk para todo n sufici√ entemente grande, prove que lim n xn = 1. Use este fato para calp √ √ √ √ cular limn→∞ n n + k, lim n n + n, lim n log n e lim n n log n. √ 3. Dado a > 0, defina indutivamente a seq¨ uˆencia (xn ) pondo x1 = a √ e xn+1 = a + xn . Prove que (xn ) ´e convergente e calcule seu limite r q √ L = a + a + a + ··· √ √ 4. Seja en = (xn − a)/ a o erro relativo na n-´esima etapa do c´alculo √ de a. Prove que en+1 = e2n /2(1 + en ). Conclua que en ≤ 0, 01 ⇒ en+1 ≤ 0, 00005 ⇒ en+2 ≤ 0, 00000000125 e observe a rapidez de convergˆencia do m´etodo.

5. Dado a > 0, defina indutivamente a seq¨ uˆencia (xn ) pondo x1 = 1/a e xn+1 = 1/(a + xn ). Considere o n´ umero c, raiz positiva da 2 equa¸c˜ao x +ax−1 = 0, u ´nico n´ umero positivo tal que c = 1/(a+c). Prove que x2 < x4 < · · · < x2n < · · · < c < · · · < x2n−1 < · · · < x3 < x1 ,

36

Seq¨ uˆ encias de n´ umeros reais

Cap. 3

e que lim xn = c. O n´ umero c pode ser considerado como a soma da fra¸ca ˜o cont´ınua 1 1

a+

1

a+ a+

1 a + ···

6. Dado a > 0, defina indutivamente a seq¨ uˆencia (yn ), pondo y1 = a e yn+1 = a + 1/yn . Mostre que lim yn = a + c, onde c ´e como no exerc´ıcio anterior. 7. Defina a seq¨ uˆencia (an ) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 e an+2 = an+1 + an para todo n ∈ N. Escreva xn = an /an+1 e prove que lim xn = c, onde c ´e o u ´nico n´ umero positivo tal que 1/(c + 1) = c. O termo a chama-se o n-´ esimo n´ umero de Fi√ n bonacci e c = (−1 + 5)/2 ´e o n´ umero de ouro da Geometria Cl´ assica. Se¸ c˜ ao 4:

Limites infinitos √ 1. Prove que lim n n! = +∞.

2. Se lim xn = +∞ e a ∈ R, prove que i hp p log(xn + a) − log xn = 0. lim n→∞

3. Dados k ∈ N e a > 0, determine o limite lim

n→∞

n! · nk · an

Supondo a > 0 e a 6= e calcule an · n! n→∞ nn lim

e

nk · an · n! · n→∞ nn lim

(Para o caso a = e, ver exerc´ıcio 9, se¸c˜ao 1, cap´ıtulo 11.) 4. Mostre que limn→∞ log(n + 1)/ log n = 1.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

37

5. Sejam (xn ) uma seq¨ uˆencia arbitr´ aria e (yn ) uma seq¨ uˆencia crescente, com lim yn = +∞. Supondo que lim(xn+1 −xn )/(yn+1 − yn ) = a, prove que lim xn /yn = a. Conclua que se lim(xn+1 −xn ) = a ent˜ao lim xn /n = a. Em particular, de lim log(1 + 1/n) = 0, conclua que lim(log n)/n = 0. 6. Se lim xn = a e (tn ) ´e uma seq¨ uˆencia de n´ umeros positivos com lim(t1 + · · · + tn ) = +∞, prove que

t1 x1 + · · · + tn xn = a. t1 + · · · + tn x1 + · · · + xn , tem-se ainda lim yn = a. Em particular, se yn = n lim

4 S´ eries Num´ ericas

Uma s´erie ´e uma soma s = a1 + a2 + · · · + an + · · · com um n´ umero infinito de parcelas. Para que isto fa¸ca sentido, poremos s = limn→∞ (a1+ · · ·+an). Como todo limite, este pode existir ou n˜ao. Por isso h´a s´eries convergentes e s´eries divergentes. Aprender a distinguir umas das outras ´e a principal finalidade deste cap´ıtulo.

1

S´ eries convergentes

Dada uma seq¨ uˆencia (an ) de n´ umeros reais, a partir dela formamos uma nova seq¨ uˆencia (sn ) onde s1 = a1 ,

s2 = a1 + a2 ,

...,

sn = a1 + a2 + · · · + an , etc.

umeros sn chamam-se as reduzidas ou somas parciais da s´erie P Os n´ an . A parcela an ´e o n-´esimo termo ou termo geral da s´erie.P Se existir o limite erie an ´e n→∞ sn , diremos que a s´ P s = lim P∞ convergente e s = an = a = a + a + · · · + a + · · · 1 2 n n=1 n P ser´a chamado a soma da s´erie. Se lim sn n˜ao existir, diremos que an ´e uma s´erie divergente. ` vezes ´e conveniente considerar s´eries do tipo P∞ an , que comeAs n=0 c¸am com a0 em vez de a1 . Exemplo 1. Como j´a vimos (Exemplos 11 e 12, Cap´ıtulo 3), quando |a| < 1 a s´erie geom´etrica 1 + a + a2 + · · · + an + · · · ´e convergente, com

Se¸c˜ ao 1

S´ eries convergentes

39

soma igual a 1/(1 − a), e a s´erie 1 + 1 + 1/2! + · · · + 1/n! + · · · tamb´em converge, com soma igual a e. Exemplo 2. A s´erie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , de termo geral (−1)n+1 , ´e divergente pois a soma parcial sn ´e igual a zero quando n ´e par, e igual a 1 quando n ´e ´ımpar. Portanto n˜ao existe lim sn . P Exemplo 3. A s´erie 1/n(n+1), cujo termo geral ´e an = 1/n(n+1) = 1/n − 1/(n + 1), tem n-´esima soma parcial       1 1 1 1 1 1 + − + ··· + − =1− · sn = 1 − 2 2 3 n n+1 n+1 P Portanto lim sn = 1, isto ´e, 1/n(n + 1) = 1. P Se an ≥ 0 para todo n ∈ N, as reduzidas da s´erie an formam P uma seq¨ uˆencia n˜ao-decrescente. Portanto uma s´erie an , de termos n˜ao-negativos, converge se, e somente se, existe uma constante k tal que N. Por isso usaremos a nota¸c˜ao P a1 + · · · + an ≤ k para todo n ∈ P an < +∞ para significar que a s´erie an , com an ≥ 0, ´e convergente. ′ uˆencia de (an ) ent˜ao P Se an ≥ 0 para todo P n′ ∈ N e (an ) ´e uma subseq¨ an < +∞ implica an < +∞. P Exemplo 4. (A s´erie harmˆ onica.) A s´eP rie 1/n ´e divergente. De fato, P P se 1/n = s fosse convergente ent˜ao 1/2n = t e 1/(2n − 1) = u tamb´em seriam convergentes. Al´em disso, + un , fazendo Pcomo s2n = tn P n → ∞ ter´ıamos s = t + u. Mas t = 1/2n = (1/2) 1/n = s/2, portanto u = t = s/2. Por outro lado   1
1 1
1 1
u − t = lim (un − tn ) = lim 1 − + − + · · · + − n→∞ n→∞ 2 3 4 2n − 1 2n   1 1 1 1 = lim + + + ··· + > 0, n→∞ 1.2 3.4 5.6 (2n − 1)2n logo u > t. Contradi¸c˜ao. P P Teorema 1. (Crit´ erio de compara¸ c˜ ao.) Sejam an e bn s´eries de termos n˜ ao-negativos. Se existem c > 0 e n ∈ N tais que a n ≤ P0 Pcbn para todo n > n0 ent˜ ao aPconvergˆencia de P bn implica a de an enquanto a divergˆencia de an implica a de bn . Demonstra¸ c˜ ao: Sem perda de generalidade, podemos P supor P an ≤ cbn para todo n ∈ N. Ent˜ao as reduzidas sn e tn , de an e bn respectivamente, formam seq¨ uˆencias n˜ao-decrescentes tais que sn ≤ ctn para

40

S´ eries num´ ericas

Cap. 4

todo n ∈ N. Como c > 0, (tn ) limitada implica (sn ) limitada e (sn ) ilimitada implica (tn ) ilimitada, pois tn ≥ sn /c. P Exemplo 5. Se r > 1, a P s´erie 1/nr converge. Com efeito, seja c a ∞ 2 n soma da s´erie etrica n=0 ( 2r ) . Mostraremos que toda reduzida P geom´ sm da s´erie 1/nr ´e < c. Seja n tal que m ≤ 2n − 1. Ent˜ao     1 1 1 1 1 1 sm ≤ 1 + + r + + r+ r+ r + 2r 3 4r 5 6 7   1 1 + ··· + , + ··· + n (2n−1 )r (2 − 1)r n−1 X  2 i 4 2n−1 2 < c. sm < 1 + r + r + · · · + (n−1)r = 2 4 2r 2 i=0

que

Como a s´erie harmˆonica diverge, resulta do crit´erio de compara¸c˜ao P 1/nr diverge quando r < 1 pois, neste caso, 1/nr > 1/n.

Teorema 2. O termo geral de uma s´erie convergente tem limite zero. P Demonstra¸ c˜ ao: Se a s´erie an ´e convergente ent˜ao, pondo sn = a1 + · · · + an , existe s = limn→∞ sn . Consideremos a seq¨ uˆencia (tn ), com t1 = 0 e tn = sn−1 quando n > 1. Evidentemente, lim tn = s e sn − tn =an . Portanto lim an = lim(sn − tn )= lim sn − lim tn =s − s=0. O crit´erio contido no Teorema 2 constitui a primeira coisa a verificar quando se quer saber se uma s´erie ´e ou n˜ao convergente. Se o termo geral n˜ao tende a zero, a s´erie diverge. A s´erie harmˆonica mostra que a P condi¸c˜ao lim an = 0 n˜ao ´e suficiente para a convergˆencia de an .

2

S´ eries absolutamente convergentes

Uma s´erie verge.

P

an diz-se absolutamente convergente quando

P

|an | con-

Exemplo 6. Uma s´erie convergente cujos termos n˜ao mudam de sinal ´ePabsolutamente convergente. Quando −1 < a < 1, a s´erie geom´etrica ∞ n e absolutamente convergente, pois |an | = |a|n , com 0 ≤ |a| < 1. n=0 a ´ P P O exemplo cl´ aP ssico de uma s´erie convergente an tal que |an | = +∞ ´e dado por (−1)n+1 /n = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + · · · . Quando tomamos a soma dos valores absolutos, obtemos a s´erie harmˆonica, que diverge. A convergˆencia da s´erie dada segue-se do

Se¸c˜ ao 2

S´ eries absolutamente convergentes

41

Teorema 3. (Leibniz.) Se uma seq¨ uˆencia mon´ otona decrescente P(an ) ´en+1 que tende para zero ent˜ ao (−1) an ´e uma s´erie convergente.

Demonstra¸ c˜ ao: Seja sn = a1 − a2 + · · · + (−1)n+1 an . Ent˜ao s2n = s2n−2 + a2n−1 − a2n e s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1 . Logo as reduzidas de ordem par formam uma seq¨ uˆencia n˜ao-decrescente (pois a2n−1 −a2n ≥ 0) e as de ordem ´ımpar uma seq¨ uˆencia n˜ao-crescente (pois −a2n + a2n+1 ≤ 0). Al´em disso, como s2n = s2n−1 − a2n , temos s2n−1 − s2n = a2n ≥ 0. Isto mostra que s2 ≤ s4 ≤ · · · ≤ s2n ≤ · · · ≤ s2n−1 ≤ · · · ≤ s3 ≤ s1

e lim s2n = lim s2n−1 pois lim an = 0. Logo (sn ) converge e o teorema est´a provado. P Exemplo 7. Pelo Teorema 3, a s´erie (−1)n+1 log(1 + 1/n) ´e convergente. Mas elaP n˜ao ´e absolutamente P convergente pois a reduzida de ordem n da s´erie log(1 + 1/n) = log[(n + 1)/n] ´e 4
n + 1
3
+ log + · · · + log 2 3 n = log 2 + log 3 − log 2 + log 4 − log 3 + · · · + log(n + 1) − log n

sn = log 2 + log

= log(n + 1).

Portanto lim sn = +∞. Uma s´erie convergente cionalmente convergente.

P

an tal que

P

|an | = +∞ chama-se condi-

O teorema seguinte pode ser interpretado assim: se tomarmos uma s´erie convergente cujos termos s˜ ao todos ≥ 0 e, de uma maneira completamente arbitr´ aria, trocarmos os sinais de alguns dos seus termos (mesmo um n´ umero infinito deles), obteremos ainda uma s´erie convergente. Teorema 4. Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente. P Demonstra¸ c˜ ao: Seja |an | convergente. Para cada n ∈ N, definamos os n´ umeros pn e qn , pondo pn = an se an ≥ 0 e pn = 0 se an < 0; analogamente, qn = −an se an ≤ 0 e qn = 0 se an > 0. Os n´ umeros pn e qn chamam-se, respectivamente, a parte positiva e a parte negativa de an . Ent˜ao pn ≥ 0, qn ≥ 0, pn + qn = |an | (em particular, pn ≤ |an | e qn ≤ |an |) e pn − qn = an . (Note que, para cada n ∈ N,Ppelo menos P um dos n´ umeros pn , qn ´e zero.) Pelo Teorema 1, as s´eries pn e qn

42

S´ eries num´ ericas

Cap. 4

P P s˜ a o convergentes. Logo ´ e convergente a s´ e rie a = (pn − qn ) = n P P pn − qn . P Dada a s´erie an , definimos acima os n´ umeros, pn = max{anP , 0} e qn = max{−an , 0}, a parte positiva e a parte negativa de a . Se an n P P ´e condicionalmente convergente, deve-se ter pn = +∞ e qn = +∞. Com efeito, se apenas uma destas duas s´ e ries (digamos, a primeira) P P P convergisse, ter´ ıamos a = p − q = s − ∞ = −∞. E se ambas, n n P P Pn P P qn , convergissem, ter´ıamos |an | = pn + qn < +∞ e P pn e an seria absolutamente convergente.

3

Testes de convergˆ encia

P Teorema 5. Seja bn uma s´erie absolutamente convergente, com bn 6= 0 para todo n ∈ N. Se a seq¨ uˆencia P(an /bn ) for limitada (em particular, se for convergente) ent˜ ao a s´erie an ser´ a absolutamente convergente. Demonstra¸ c˜ ao: Se, para algum c > 0, tivermos |an /bn | ≤ c seja qual for n ∈P N ent˜ao |an | ≤ c|bn |. Pelo crit´erio de compara¸c˜ao (Teorema 1), a s´erie an ´e absolutamente convergente.

Corol´ ario. (Teste de d’Alembert.) Seja an 6= 0 para todo n ∈ N. Se existir uma constante c tal que |an+1 /an | ≤ c < 1 para todo n suficientemente grande (em particular, se lim |an+1 /an | < 1) ent˜ ao a P s´erie an ser´ a abolutamente convergente.

Com efeito, se, para todo n suficientemente grande vale |an+1 |/|an | ≤ c = cn+1 /cn , ent˜ao |an+1 |/cn+1 ≤ |an |/cn . Assim a seq¨ uˆencia de n´ umeros n˜ao-negativos |an |/cn ´e n˜ao-crescente a partir de uma certa ordem, logo P n ´e limitada. Como aPs´erie c ´e absolutamente convergente, segue-se do Teorema 5 que an converge absolutamente. No caso particular de existir lim |an+1 /an | = L < 1, escolhemos um n´ umero c tal que L < c < 1 e teremos |an+1 /an | < c para todo n suficientemente grande (Teorema 5 do Cap´ıtulo 3). Ent˜ao reca´ımos no caso j´a demonstrado. Observa¸ c˜ ao. Quando se aplica o teste de d’Alembert, usualmente se procura calcular lim |an+1 /an | = L. Se L > 1 ent˜ao a s´erie diverge pois se tem |an+1 /an | > 1, donde |an+1 | > |an | para todo n suficientemente grande e da´ı resulta que o termo geral an n˜ao tende para zero. Se PL = 21, o teste ´e inconclusivo. A s´ erie pode convergir (como no caso 1/n ) P ou divergir (como no caso 1/n).

Se¸c˜ ao 3

Testes de convergˆ encia

43

2 − 3n + 1). Considerando a s´ Exemplo erie converP 8.2 Seja an = 1/(n 2 2 2 gente (1/n ), como P lim[n /(n −3n+1)] = lim[1/(1−3/n+1/n )] = 1, conclu´ımos que an ´e convergente.

Exemplo 9. Segue-se P do Exemplo ıtulo 3 e do teste de P 9 do Cap´ P d’Alembert que as s´eries (an /n!), (n!/nn ) e (nk /an ), esta u ´ltima com a > 1, s˜ ao convergentes.

Teorema 6. (Teste de Cauchy.) Quando existe um n´ umero real c tal p n que |an | ≤ c 1, a s´erie an diverge. Com efeito, neste caso, tem-se p n |an | > P1 para todo n suficientemente grande, donde |an | > 1, logo a s´erie an diverge pois seu termo geral n˜ ao tende a zero. Quando P L = 1, a s´erie pode divergir (como no caso 1/n) ou convergir (como P 1/n2 ). √ n n Exemplo 10. P Seja an = (log n/n) . Como an = log n/n tende a zero, a s´erie an ´e convergente. O teorema seguinte relaciona os testes de d’Alembert e Cauchy.

Teorema 7. Seja (an ) uma seq¨ uˆenciapcujos termos s˜ ao diferentes de zero. Se lim |an+1 |/|an | = L ent˜ ao lim n |an | = L.

Demonstra¸ c˜ ao: Para simplificar a nota¸c˜ao, suporemos que an > 0 para todo n ∈ N. Dado ε > 0, fixemos n´ umeros positivos K, M tais que L − ε < K < L < M < L + ε. Existe p ∈ N tal que n ≥ p ⇒ K < an+1 /an < M . Multiplicando membro a membro as n − p desigualdades K < ap+i /ap+i−1 < M , i = 1, . . . , n − p, obtemos K n−p < an /ap < M n−p para todo n > p. Ponhamos α = ap /K p e β = ap /M p√ . Ent˜ao √ √ K n α < an < M n β. Extraindo ra´ızes, vem K n α < n an < M n β para √ todo n√> p. Levando em conta que L − ε < K, M < L + ε, lim n α = 1 e lim n β =√1, conclu´ımos que existe n0 > p tal que n > n0 ⇒ L − ε < √ √ K n α e M n β < L + ε. Ent˜ao n > n0 ⇒ L − ε < n an < L + ε, o que

44

S´ eries num´ ericas

Cap. 4

prova o teorema quando L > 0. Se L = 0, basta considerar M em vez de K e M . √ Exemplo 11. Resulta do√Teorema 7 que lim n/ n n! = e. Com efeito, √ pondo an = nn /n! vem n/ n n! = n an . Ora   an+1 n+1 n (n + 1)n+1 n! (n + 1)(n + 1)n n! = · n = · n = , an (n + 1)! n (n + 1) · n! n n √ logo lim(an+1 /an ) = e, e da´ı lim n an = e.

4

Comutatividade

P Uma s´erie an diz-se comutativamente convergenteP quando, para qualquer bije¸c˜ao ϕ : N → N, pondo bn = aϕ(n) , a s´erieP bn ´e convergente. (Em particular, tomando ϕ(n) = n, vemos que an ´e convergente.) P Resulta do que mostraremos a seguir que se a ´ e comutativamente n P P convergente ent˜ao bn = an qualquer que seja a bije¸ c˜ao ϕ. Esta ´e a P maneira precisa de afirmar que a soma an n˜ao depende da ordem das parcelas. Mas isto nem sempre ocorre. Exemplo 12. A s´erie 1−

1 1 1 + − + ··· 2 3 4

converge para a soma s > 0, mas n˜ao comutativamente. Com efeito, temos s 1 1 1 1 = − + − + ··· . 2 2 4 6 8 Podemos ent˜ao escrever 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + ··· 2 3 4 5 6 7 8 s 1 1 1 1 = 0 + + 0 − + 0 + + 0 − + ··· · 2 2 4 6 8 s=1−

Somando termo a termo vem 1 1 1 1 1 1 1 1 3s =1+ − + + − + + − + ··· . 2 3 2 5 7 4 9 11 6 A s´erie acima, cuja soma ´e 3s/2, tem os mesmos termos da s´erie inicial, cuja soma ´e s, apenas com uma mudan¸ca na sua ordem.

Se¸c˜ ao 4

Comutatividade

45

P Teorema 8. Se an ´e absolutamente convergente ao para toda P Pent˜ bije¸ca ˜o ϕ : N → N, pondo bn = aϕ(n) , tem-se bn = an . Demonstra¸ c˜ ao: Supomos inicialmente an ≥ 0 para todo n. Escrevamos sn = a1 + · · · + an e tn = b1 + · · · + bn . Para cada n ∈ N, os n´ umeros ϕ(1), . . . , ϕ(n) pertencem todos ao conjunto {1, 2, . . . , m}, onde m ´e o maior dos ϕ(i). Ent˜ao tn =

n X i=1

aϕ(i) ≤

m X

aj = sm .

j=1

Assim, para cada n ∈ N existe m ∈ N tal que tn ≤ sm . Reciprocamente, (considerando-se ϕ−1 em vez de ϕ) para cada m ∈ P N existe P n ∈ N tal que sm ≤ tn . Segue-se lim tn =P lim sn , isto ´e, bn = an . No P que P caso geral, temos an = pn − qn , onde pn ´e a parte positiva e qn a parte negativa de an . Toda reordena¸c˜ao (bn ) dos termos an determina uma reordena¸c˜ao (un ) para os pn e uma reordena¸c˜ao (vn ) dos qn , de modo que un ´e a parte a parte P negativa de P positiva P e vnP bn . PeloPque acabamos de ver, un = pn e vn = qn . Logo P P P an = un − vn = bn . O teorema seguinte implica que somente as s´eries absolutamente convergentes s˜ ao comutativamente convergentes. Teorema 9. (Riemann.) Alterando-se convenientemente a ordem dos termos de uma s´erie condicionalmente convergente, pode-se fazer com que sua soma fique igual a qualquer n´ umero real pr´e-fixado. P Demonstra¸ c˜ ao: Seja an a s´eP rie dada. Fixado o n´ umero c, come¸camos a somar os termos positivos de an , na sua ordem natural, um a um, parando quando, ao somar an1 , a soma pela primeira vezP ultrapasse c. (Isto ´e poss´ıvel porque a soma dos termos positivos de an ´e +∞.) A esta soma acrescentamos os termos negativos, tamb´em na sua ordem natural, um a um, parando logo que, ao somar an2 (< 0), o total resulte inferior a c (o que ´e poss´ıvel porque a soma dos termos negativos ´e −∞). Prosseguindo analogamente, obtemos uma nova s´erie, cujos termos s˜ ao P os mesmos de an , numa ordem diferente. As reduzidas desta nova s´erie oscilam em torno do valor c de tal modo que (a partir da ordem n1 ) a diferen¸ca entre cada uma delas e c ´e inferior, em valor absoluto, ao termo ank ondeP houve a u ´ltima mudan¸ca de sinal. Ora, limk→∞ ank = 0 porque a s´erie an converge. Logo as reduzidas da nova s´erie convergem para c.

46

5

S´ eries num´ ericas

Cap. 4

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

S´ eries convergentes √ P P √ 1. Dadas as s´eries an e bn , com an = n + 1 − n e bn = log(1 + n1 ), mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-´esimas reduzidas sn e tn destas s´eries e mostre que lim sn = lim tn = +∞, logo as s´eries dadas s˜ ao divergentes. P 2. Use o crit´erio de compara¸c˜ao paraPprovar que 1/n2 ´e convergente, a partir da convergˆencia de 2/n(n + 1).

3. Seja sn a n-´esima reduzida da s´erie harmˆonica. Prove que para n = 2m tem-se sn > 1 + m ı que a s´erie harmˆonica ´e 2 e conclua da´ divergente. P 1 4. Mostre que a s´erie ∞ n=2 n log n diverge. P 1 5. Mostre que se r > 1 a s´erie ∞ n=2 n(log n)r converge. P log n converge. 6. Prove que a s´erie n2 P 7. Prove: se a1 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · e an converge ent˜ao lim nan = 0. n→∞

Se¸ c˜ ao 2: S´ eries absolutamente convergentes P 1. P Se an ´e convergente e an ≥ 0 para todo n ∈ N ent˜ao a s´erie an xn ´e absolutamente convergente para todo x ∈ [−1, 1] e X X an sen(nx), an cos(nx) s˜ ao absolutamente convergentes para todo x ∈ R.

2. A s´erie 1 − 21 + 23 − 31 + 24 − 14 + 52 − 15 + 26 − 61 + · · · tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto ´e divergente. Por que isto n˜ao contradiz o Teorema de Leibniz? P 3. Dˆe exemplo de uma s´erie convergente an e de uma seq¨ uˆencia P limitada (xn ) tais que a s´erie an xn seja divergente. Examine o que ocorre se uma P das hip´ oteses seguintes for verificada: (a) (xn ) ´e convergente; (b) an ´e absolutamente convergente. 4. Prove que ´e convergente a s´erie obtida alterando-se os sinais dos termos da s´erie harmˆonica, de modo que fiquem p termos positivos (p ∈ N fixado) seguidos de p termos negativos, alternadamente.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

47

P 5. Se ∞ e absolutamente convergente e lim bn = 0, ponha cn = n=0 an ´ a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 e prove que lim cn = 0. P P 2 6. Se an ´e absolutamente convergente, prove que an converge. P P 2 P 2 an bn converge absolutabn convergem, prove que 7. Se an e mente. P 8. Prove: uma s´erie an ´e absolutamente convergente se, e somente se, ´e limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos an . Se¸ c˜ ao 3:

Testes de convergˆ encia

p 1. Prove que se existir uma infinidade de ´ındices n tais que n |an | ≥ 1 P ent˜ao a s´erie an diverge.PSe an 6= 0 para todo n e |an+1 /an | ≥ 1 para todo n > n0 ent˜ao an diverge. Por outro lado, a s´erie 1/2 + 1/2 + 1/22 + 1/22 + 1/23 + 1/23 + · · · converge mas se tem an+1 /an = 1 para todo n ´ımpar. 2. Se 0 < a < b < 1, a s´erie a+b+a2 +b2 +a3 +b3 +· · · ´e convergente. Mostre que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de d’Alembert ´e inconclusivo. P 3. Determine se a s´erie (log n/n)n ´e convergente usando ambos os testes, de d’Alembert e Cauchy.

4. Dada uma seq¨ uˆencia de n´ umeros positivos xn com lim xn = a, √ prove que limn→∞ n x1 x2 . . . xn = a. 5. Determine para quais valores de x cada uma das s´eries abaixo ´e convergente: X X X X X nk xn , nn xn , xn /nn , n!xn , xn /n2 . Se¸ c˜ ao 4:

Comutatividade

1. Se uma s´erie ´e condicionalmente convergente, prove que existem altera¸c˜oes da ordem dos seus termos de modo a tornar sua soma igual a +∞ e a −∞.

2. Efetue explicitamente uma reordena¸c˜ao dos termos da s´erie 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − · · · de modo que sua soma se torne igual a zero.

48

S´ eries num´ ericas

Cap. 4

3. Diz-se que a seq¨ uˆencia (an ) ´e som´ avel, com soma s, quando, para todo ε > 0 dado, existe um subconjunto finito J0P⊂ N tal que, para todo J finito com J0 ⊂ J ⊂ N, tem-se |s − n∈J an | < ε. Prove: (a) Se a seq¨ uˆencia (an ) ´e som´avel ent˜ao, para toda bije¸c˜ao ϕ : N → N, a seq¨ uˆencia (bn ), definida por bn = aϕ(n) , ´e som´avel, com a mesma soma. (b) P Se a seq¨ uˆencia (an ) ´e som´avel, com soma s, ent˜ao a s´erie an = s ´e absolutamente convergente. P (c) Reciprocamente, se an ´e uma s´erie absolutamente convergente, ent˜ao a seq¨ uˆencia (an ) ´e som´avel.

5 Algumas No¸c˜ oes Topol´ ogicas

A Topologia ´e um ramo da Matem´ atica no qual s˜ ao estudadas, com grande generalidade, as no¸c˜oes de limite, de continuidade e as id´eias com elas relacionadas. Neste cap´ıtulo, abordaremos alguns conceitos topol´ogicos elementares referentes a subconjuntos de R, visando estabelecer a base adequada para desenvolver os cap´ıtulos seguintes. Adotaremos uma linguagem geom´etrica, dizendo “ponto” em vez de “n´ umero real”, “a reta” em vez de “o conjunto R ”.

1

Conjuntos abertos

Diz-se que o ponto a ´e interior ao conjunto X ⊂ R quando existe um n´ umero ε > 0 tal que o intervalo aberto (a − ε, a + ε) est´a contido em X. O conjunto dos pontos interiores a X chama-se o interior do conjunto X e representa-se pela nota¸c˜ao int X. Quando a ∈ int X diz-se que o conjunto X ´e uma vizinhan¸ca do ponto a. Um conjunto A ⊂ R chamase aberto quando A = int A, isto ´e, quando todos os pontos de A s˜ ao interiores a A. Exemplo 1. Todo ponto c do intervalo aberto (a, b) ´e um ponto interior a (a, b). Os pontos a e b, extremos do intervalo fechado [a, b] n˜ao s˜ ao interiores a [a, b]. O interior do conjunto Q dos n´ umeros racionais ´e vazio. Por outro lado, int[a, b] = (a, b). O intervalo fechado [a, b] n˜ao ´e uma vizinhan¸ca de a nem de b. Um intervalo aberto ´e um conjunto

50

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

aberto. O conjunto vazio ´e aberto. Todo intervalo aberto (limitado ou n˜ao) ´e um conjunto aberto. O limite de uma seq¨ uˆencia pode ser reformulado em termos de conjuntos abertos: tem-se a = lim xn se, e somente se, para todo aberto A contendo a existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A. Teorema 1. a) Se A1 e A2 s˜ ao conjuntos abertos ent˜ ao a interse¸ca ˜o A1 ∩ A2 ´e um conjunto aberto. b) Se (ASλ )λ∈L ´e uma fam´ılia qualquer de conjuntos abertos, a reuni˜ ao A = λ∈L Aλ ´e um conjunto aberto.

Demonstra¸ c˜ ao: a) Se x ∈ A1 ∩ A2 ent˜ao x ∈ A1 e x ∈ A2 . Como A1 e A2 s˜ ao abertos, existem ε1 > 0 e ε2 > 0 tais que (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂ A1 e (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ A2 . Seja ε o menor dos dois n´ umeros ε1 , ε2 . Ent˜ao (x − ε, x + ε) ⊂ A1 e (x − ε, x + ε) ⊂ A2 logo (x − ε, x + ε) ⊂ A1 ∩ A2 . Assim todo ponto x ∈ A1 ∩ A2 ´e um ponto interior, ou seja, o conjunto A1 ∩ A2 ´e aberto. b) Se x ∈ A ent˜ao existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . Como Aλ ´e aberto, existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ Aλ ⊂ A, logo todo ponto x ∈ A ´e interior, isto ´e, A ´e aberto. Exemplo 2. Resulta imediatamente de a) no Teorema 1 que a interse¸c˜ao A1 ∩ · · · ∩ An de um n´ umero finito de conjuntos abertos ´e um conjunto aberto. Mas, embora por b) a reuni˜ao de uma infinidade de conjuntos abertos seja ainda aberta, a interse¸c˜ao de um n´ umero infinito de abertos pode n˜ao ser aberta. Por exemplo, se A1 = (−1, 1), A2 = (−1/2, 1/2), . . . , An = (−1/n, 1/n), . . . ent˜ao A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ∩ · · · = {0}. Com efeito, se x 6= 0 ent˜ao existe n ∈ N tal que |x| > 1/n logo x ∈ / An , donde x ∈ / A.

2

Conjuntos fechados

Diz-se que um ponto a ´e aderente ao conjunto X ⊂ R quando a ´e limite de alguma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X. Evidentemente, todo ponto a ∈ X ´e aderente a X: basta tomar xn = a para todo n ∈ N. Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X formado por todos os pontos aderentes a X. Tem-se X ⊂ X. Se X ⊂ Y ent˜ao X ⊂ Y . Um conjunto X diz-se fechado quando X = X, isto ´e, quando todo ponto

Se¸c˜ ao 2

Conjuntos fechados

51

aderente a X pertence a X. Seja X ⊂ Y . Diz-se que X ´e denso em Y quando Y ⊂ X, isto ´e, quando todo b ∈ Y ´e aderente a X. Por exemplo, Q ´e denso em R. Teorema 2. Um ponto a ´e aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhan¸ca de a cont´em algum ponto de X. Demonstra¸ c˜ ao: Seja a aderente a X. Ent˜ao a = lim xn , onde xn ∈ X para todo n ∈ N. Dada uma vizinhan¸ca qualquer V ∋ a temos xn ∈ V para todo n suficientemente grande (pela defini¸c˜ao de limite), logo V ∩ X 6= ∅. Reciprocamente, se toda vizinhan¸ca de a cont´em pontos de X podemos escolher, em cada intervalo (a − 1/n, a + 1/n), n ∈ N, um ponto xn ∈ X. Ent˜ao |xn − a| < 1/n, logo lim xn = a e a ´e aderente a X. Pelo teorema acima, a fim de que um ponto a n˜ao perten¸ca a X ´e necess´ario e suficiente que exista uma vizinhan¸ca V ∋ a tal que V ∩ X = ∅. Corol´ ario. O fecho de qualquer conjunto ´e um conjunto fechado. (Ou seja, X = X para todo X ⊂ R.)

Com efeito, se a ´e aderente a X ent˜ao todo conjunto aberto A contendo a cont´em algum ponto b ∈ X. A ´e uma vizinhan¸ca de b. Como b ´e aderente a X, segue-se que A cont´em algum ponto de X. Logo qualquer ponto a, aderente a X, ´e tamb´em aderente a X, isto ´e, a ∈ X. Teorema 3. Um conjunto F ⊂ R ´e fechado se, e somente se, seu complementar A = R − F ´e aberto.

Demonstra¸ c˜ ao: Sejam F fechado e a ∈ A, isto ´e, a ∈ / F . Pelo Teorema 2, existe alguma vizinhan¸ca V ∋ a que n˜ao cont´em pontos de F , isto ´e, V ⊂ A. Assim, todo ponto a ∈ A ´e interior a A, ou seja, A ´e aberto. Reciprocamente, se o conjunto A ´e aberto e o ponto a ´e aderente a F = R − A ent˜ao toda vizinhan¸ca de a cont´em pontos de F , logo a n˜ao ´e interior a A. Sendo A aberto, temos a ∈ / A, ou seja, a ∈ F . Assim, todo ponto a aderente a F pertence a F , logo F ´e fechado. Teorema 4. a) Se F1 e F2 s˜ ao fechados ent˜ ao F1 ∪ F2 ´e fechado.

b) Se (Fλ )λ∈L ´e uma ao a T fam´ılia qualquer de conjuntos fechados ent˜ interse¸ca ˜o F = λ∈L Fλ ´e um conjunto fechado.

52

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

Demonstra¸ c˜ ao: a) Os conjuntos A1 = R − F1 e A2 = R − F2 s˜ ao abertos, pelo Teorema 3. Logo, pelo Teorema 1, A1 ∩ A2 = R − (F1 ∪ F2 ) ´e aberto. Novamente pelo Teorema 3, F1 ∪ F2 ´e fechado. S b) Para cada λ ∈ L, Aλ = R − Fλ ´e aberto. Segue-se que A = λ∈L Aλ ´e aberto. Mas A = R − F . Logo F ´e fechado. Exemplo 3. Seja X ⊂ R limitado, n˜ao-vazio. Ent˜ao a = inf X e b = sup X s˜ ao aderentes a X. Com efeito, para todo n ∈ N, podemos escolher xn ∈ X com a ≤ xn < a + 1/n, logo a = lim xn . Analogamente, vˆe-se que b = lim yn , yn ∈ X. Em particular, a e b s˜ ao aderentes a (a, b).

Exemplo 4. O fecho dos intervalos (a, b), [a, b) e (a, b] ´e o intervalo [a, b]. Q ´e denso em R e, para todo intervalo I, Q ∩ I ´e denso em I. Uma reuni˜ao infinita de conjuntos fechados pode n˜ao ser um conjunto fechado; com efeito, todo conjunto (fechado ou n˜ao) ´e reuni˜ao dos seus pontos, que s˜ ao conjuntos fechados. Uma cis˜ ao de um conjunto X ⊂ R ´e uma decomposi¸c˜ao X = A ∪ B tal que A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅, isto ´e, nenhum ponto de A ´e aderente a B e nenhum ponto de B ´e aderente a A. (Em particular, A e B s˜ ao disjuntos.) A decomposi¸c˜ao X = X ∪ ∅ chama-se a cis˜ ao trivial. Exemplo 5. Se X = R−{0}, ent˜ao X = R+ ∪R− ´e uma cis˜ ao. Dado um n´ umero irracional α, sejam A = {x ∈ Q; x < α} e B = {x ∈ Q; x > α}. A decomposi¸c˜ao Q = A ∪ B ´e uma cis˜ ao do conjunto Q dos racionais. Por outro lado, se a < c < b, ent˜ao [a, b] = [a, c] ∪ (c, b] n˜ao ´e uma cis˜ ao.

Teorema 5. Um intervalo da reta s´ o admite a cis˜ ao trivial. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos, por absurdo, que o intervalo I admita a cis˜ ao n˜ao trivial I = A ∪ B. Tomemos a ∈ A, b ∈ B, digamos com a < b, logo [a, b] ⊂ I. Seja c o ponto m´edio do intervalo [a, b]. Ent˜ao c ∈ A ou c ∈ B. Se c ∈ A, poremos a1 = c, b1 = b. Se c ∈ B, escreveremos a1 = a, b1 = c. Em qualquer caso, obteremos um intervalo [a1 , b1 ] ⊂ [a, b], com b1 − a1 = (b − a)/2 e a1 ∈ A, b1 ∈ B. Por sua vez, o ponto m´edio de [a1 , b1 ] o decomp˜oe em dois intervalos fechados justapostos de comprimento (b − a)/4. Um desses intervalos, que chamaremos [a2 , b2 ], tem a2 ∈ A e b2 ∈ B. Prosseguindo analogamente, obteremos uma seq¨ uˆencia de intervalos encaixados [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · com bn − an = (b − a)/2n , an ∈ A e bn ∈ B para todo n ∈ N. Pelo Teorema 4, Cap´ıtulo 2, existe d ∈ R tal que an ≤ d ≤ bn para todo n ∈ N. O ponto d ∈ I = A∪B n˜ao pode estar em A pois d = lim bn ∈ B, nem em B pois d = lim an ∈ A. Contradi¸c˜ao.

Se¸c˜ ao 3

Pontos de acumula¸c˜ ao

53

Corol´ ario. Os u ´nicos subconjuntos de R que s˜ ao simultaneamente abertos e fechados s˜ ao ∅ e R. Com efeito, se A ⊂ R ´e aberto e fechado, ent˜ao R = A ∪ (R − A) ´e uma cis˜ ao, logo A = ∅ e R − A = R ou ent˜ao A = R e R − A = ∅.

3

Pontos de acumula¸c˜ ao

Diz-se que a ∈ R ´e ponto de acumula¸ca ˜o do conjunto X ⊂ R quando toda vizinhan¸ca V de a cont´em algum ponto de X diferente do pr´oprio a. (Isto ´e, V ∩ (X − {a}) 6= ∅.) Equivalentemente: para todo ε > 0 tem-se (a − ε, a + ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅. Indica-se com X ′ o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de X. Portanto, a ∈ X ′ ⇔ a ∈ X − {a}. Se a ∈ X n˜ao ´e ponto de acumula¸c˜ao de X, diz-se que a ´e um ponto isolado de X. Isto significa que existe ε > 0 tal que a ´e o u ´nico ponto de X no intervalo (a − ε, a + ε). Quando todos os pontos do conjunto X s˜ ao isolados, X chama-se um conjunto discreto. Teorema 6. Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: (1) a ´e um ponto de acumula¸ca ˜o de X; (2) a ´e limite de uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X − {a};

(3) Todo intervalo aberto de centro a cont´em uma infinidade de pontos de X.

Demonstra¸ c˜ ao: Supondo (1), para todo n ∈ N podemos achar um ponto xn ∈ X, xn 6= a, na vizinhan¸ca (a−1/n, a+1/n). Logo lim xn = a, o que prova (2). Por outro lado, supondo (2), ent˜ao, para qualquer n0 ∈ N, o conjunto {xn ; n > n0 } ´e infinito porque do contr´ario existiria um termo xn1 que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma seq¨ uˆencia constante com limite xn1 6= a. Pela defini¸c˜ao de limite, vˆe-se portanto que (2) ⇒ (3). Finalmente, a implica¸c˜ao (3) ⇒ (1) ´e ´obvia. Exemplo 6. Se X ´e finito ent˜ao X ′ = ∅ (conjunto finito n˜ao tem ponto de acumula¸c˜ao). Z ´e infinito mas todos os pontos de Z s˜ ao isolados. Q′ = R. Se X = (a, b) ent˜ao X ′ = [a, b]. Se X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } ent˜ao X ′ = {0}, isto ´e, 0 ´e o u ´nico ponto de acumula¸c˜ao de X. Note que todos os pontos deste conjunto X s˜ ao isolados (X ´e discreto). Segue-se uma vers˜ao do Teorema de Bolzano-Weierstrass em termos de ponto de acumula¸c˜ao.

54

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

Teorema 7. Todo conjunto infinito limitado de n´ umeros reais admite pelo menos um ponto de acumula¸ca ˜o. Demonstra¸ c˜ ao: Seja X ⊂ R infinito limitado. X possui um subconjunto enumer´avel {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Fixando esta enumera¸c˜ao, temos uma seq¨ uˆencia (xn ) de termos dois a dois distintos, pertencentes a X, portanto uma seq¨ uˆencia limitada, a qual, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, possui uma subseq¨ uˆencia convergente. Desprezando os termos que est˜ao fora dessa subseq¨ uˆencia e mudando a nota¸c˜ao, podemos admitir que (xn ) converge. Seja a = lim xn . Como os termos xn s˜ ao todos distintos, no m´ aximo um deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite de uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X − {a}, logo a ∈ X ′ .

4

Conjuntos compactos

Um conjunto X ⊂ R chama-se compacto quando ´e limitado e fechado. Todo conjunto finito ´e compacto. Um intervalo do tipo [a, b] ´e um conjunto compacto. Por outro lado, (a, b) ´e limitado mas n˜ao ´e fechado, logo n˜ao ´e compacto. Tamb´em Z n˜ao ´e compacto pois ´e ilimitado, embora seja fechado (seu complementar R − Z ´e a reuni˜ao dos intervalos abertos (n, n + 1), n ∈ Z, logo ´e um conjunto aberto). Teorema 8. Um conjunto X ⊂ R ´e compacto se, e somente se, toda seq¨ uˆencia de pontos em X possui uma subseq¨ uˆencia que converge para um ponto de X. Demonstra¸ c˜ ao: Se X ⊂ R ´e compacto, toda seq¨ uˆencia de pontos de X ´e limitada, logo (por Bolzano-Weierstrass) possui uma subseq¨ uˆencia convergente, cujo limite ´e um ponto de X (pois X ´e fechado). Reciprocamente, seja X ⊂ R um conjunto tal que toda seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X possui uma subseq¨ uˆencia que converge para um ponto de X. Ent˜ao X ´e limitado porque, do contr´ario, para cada n ∈ N poder´ıamos encontrar xn ∈ X com |xn | > n. A seq¨ uˆencia (xn ), assim obtida, n˜ao possuiria subseq¨ uˆencia limitada, logo n˜ao teria subseq¨ uˆencia convergente. Al´em disso, X ´e fechado pois do contr´ario existiria um ponto a ∈ / X com a = lim xn , onde cada xn ∈ X. A seq¨ uˆencia (xn ) n˜ao possuiria ent˜ao subseq¨ uˆencia alguma convergindo para um ponto de X pois todas suas subseq¨ uˆencias teriam limite a. Logo X ´e compacto.

Se¸c˜ ao 4

Conjuntos compactos

55

Observa¸ c˜ ao. Se X ⊂ R ´e compacto ent˜ao, pelo Exemplo 3, a = inf X e b = sup X pertencem a X. Assim, todo conjunto compacto cont´em um elemento m´ınimo e um elemento m´ aximo. Ou seja, X compacto ⇒ ∃ x0 , x1 ∈ X tais que x0 ≤ x ≤ x1 para todo x ∈ X. O teorema a seguir generaliza o princ´ıpio dos intervalos encaixados.

Teorema 9. Dada uma seq¨ uˆencia decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos compactos n˜ ao-vazios, existe (pelo menos) um n´ umero real que pertence a todo os Xn . Demonstra¸ c˜ ao: Definamos uma seq¨ uˆencia (xn ) escolhendo, para cada n ∈ N, um ponto xn ∈ Xn . Esta seq¨ uˆencia est´a no compacto X1 , logo possui uma subseq¨ uˆencia (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . ) convergindo para um ponto a ∈ X1 . Dado qualquer n ∈ N, temos xnk ∈ Xn sempre que nk > n. Como Xn ´e compacto, segue-se que a ∈ Xn . Isto prova o teorema. Encerraremos nosso estudo dos conjuntos compactos da reta com a demonstra¸c˜ao do teorema de Borel-Lebesgue. Chama-se cobertura de um conjunto X a umaSfam´ılia C de conjuntos Cλ cuja reuni˜ao cont´em X. A condi¸c˜ao X ⊂ λ∈L Cλ significa que, para cada x ∈ X, deve existir (pelo menos) um λ ∈ L tal que x ∈ Cλ . Quando todos os conjuntos Cλ s˜ ao abertos, diz-se que C ´e uma cobertura aberta. Quando L = {λ1 , . . . , λn } ´e um conjunto finito, diz-se que X ⊂ Cλ1 ∪S· · · ∪ Cλn ´e uma cobertura finita. Se L′ ⊂ L ´e tal que ainda se tem X ⊂ λ′ ∈L′ Cλ′ , diz-se que C ′ = (Cλ′ )λ′ ∈L′ ´e uma subcobertura de C. Teorema 10. (Borel-Lebesgue.) Toda cobertura aberta de um conjunto compacto possui uma subcobertura finita.

Demonstra¸ c˜ ao: Tomemos inicialmente uma cobertura aberta [a, b] ⊂ S λ∈L Aλ do intervalo compacto [a, b]. Suponhamos, por absurdo, que C = (Aλ )λ∈L n˜ao admita subcobertura finita. O ponto m´edio do intervalo [a, b] o decomp˜oe em dois intervalos de comprimento (b − a)/2. Pelo menos um destes intervalos, o qual chamaremos [a1 , b1 ], n˜ao pode ser coberto por um n´ umero finito de conjuntos Aλ . Por bisse¸c˜oes sucessivas obteremos uma seq¨ uˆencia decrescente [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · de intervalos tais que bn − an = (b − a)/2n e nenhum [an , bn ] pode estar contido numa reuni˜ao finita dos abertos Aλ . Pelo Teorema 4, Cap´ıtulo 2, existe um n´ umero real c que pertence a todos os intervalos [an , bn ]. Em particular, c ∈ [a, b]. Pela defini¸c˜ao de cobertura,

56

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

existe λ ∈ L tal que c ∈ Aλ . Como Aλ ´e aberto, temos [c − ε, c + ε] ⊂ Aλ para um certo ε > 0. Tomando n ∈ N tal que (b − a)/2n < ε temos ent˜ao c ∈ [an , bn ] ⊂ [c − ε, c + ε], donde [an , bn ] ⊂ Aλ , logo [an , bn ] pode ser coberto por apenas um dos conjuntos S Aλ . Contradi¸c˜ao. No caso geral, temos uma cobertura aberta X ⊂ λ∈L Aλ do compacto X. Tomamos um intervalo compacto [a, b] que contenha X e, acrescentando aos Aλ o novo aberto Aλ0 = R − X, obtemos uma cobertura aberta de [a, b], da qual extra´ımos, pela parte j´a provada, uma subcobertura finita [a, b] ⊂ Aλ0 ∪ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Como nenhum ponto de X pode pertencer a Aλ0 , temos X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn e isto completa a demonstra¸c˜ao. Exemplo 7. Os intervalos An = (1/n, 2), n ∈ N, S constituem uma cobertura aberta do conjunto X = (0, 1] pois (0, 1] ⊂ n∈N An . Entretanto, esta cobertura n˜ao possui subcobertura finita pois, como A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · , toda reuni˜ao finita de conjuntos An ´e igual `aquele de maior ´ındice, logo n˜ao cont´em (0, 1]. O Teorema de Borel-Lebesgue, cuja importˆ ancia ´e inestim´avel, ser´a utilizado neste livro uma s´ o vez, no Cap´ıtulo 10, se¸c˜ao 4. (V. Teorema 7 daquele cap´ıtulo.) Pode-se provar, reciprocamente, que se toda cobertura aberta de um conjunto X ⊂ R possui uma subcobertura finita ent˜ao X ´e limitado e fechado. (Cfr. “Curso de An´ alise”, vol. 1, pag. 182.)

5

O conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor, que descreveremos agora, tem as seguintes propriedades: ´ compacto. 1) E 2) Tem interior vazio (n˜ao cont´em intervalos). 3) N˜ ao cont´em pontos isolados (todos seus pontos s˜ ao pontos de acumula¸c˜ao). ´ n˜ao-enumer´avel. 4) E O conjunto de Cantor K ´e um subconjunto fechado do intervalo [0, 1], obtido como complementar de uma reuni˜ao de intervalos abertos, do seguinte modo. Retira-se do intervalo [0, 1] seu ter¸co m´edio aberto (1/3, 2/3). Depois retira-se o ter¸co m´edio aberto de cada um dos intervalos restantes [0, 1/3] e [2/3, 1]. Sobra ent˜ao [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪

Se¸c˜ ao 5

57

O conjunto de Cantor

[2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. Em seguida, retira-se o ter¸co m´edio aberto de cada um desses quatro intervalos. Repete-se o processo indefinidamente. O conjunto K dos pontos n˜ao retirados ´e o conjunto de Cantor. 0

0

1/9

2/9

1/3

2/3

1/3

2/3

1

7/9

8/9

1

Figura 1: Construindo o conjunto de Cantor.

Se indicarmos comSI1 , I2 , . . . , In , . . . os intervalos abertos omitidos, veremos que F = R− ∞ e um conjunto fechado logo K = [0, 1]∩F n=1 In ´ ´e limitado e fechado, ou seja, o conjunto de Cantor ´e compacto. Para mostrar que K tem interior vazio, observamos que depois da n´esima etapa de sua constru¸c˜ao restam apenas intervalos de comprimento 1/3n . Portanto, dado qualquer intervalo J ⊂ [0, 1] de comprimento c > 0, se tomarmos n tal que 1/3n < c, o intervalo J estar´a mutilado depois da n-´esima etapa da forma¸c˜ao de K. Assim, K n˜ao cont´em intervalos. Os pontos extremos dos intervalos omitidos nas diversas etapas da constru¸c˜ao do conjunto de Cantor, tais como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, etc, pertencem a K, pois em cada etapa s˜ ao retirados apenas pontos interiores aos intervalos que restaram na etapa anterior. Eles constituem um conjunto enumer´avel E, sem pontos isolados. Com efeito, seja c ∈ K extremidade de algum intervalo, digamos (c, b), omitido de [0, 1] para formar K. Quando (c, b) foi retirado, restou um certo intervalo [a, c]. Nas etapas seguintes da constru¸c˜ao de K, restar˜ao sempre ter¸cos finais de intervalo, do tipo [an , c], com an ∈ E. O comprimento c − an tende a zero, logo an → c e assim c n˜ao ´e ponto isolado de E. Suponhamos agora que c ∈ K n˜ao seja extremo de intervalo retirado de [0, 1] durante a constru¸c˜ao de K. (At´e agora, n˜ao sabemos se de fato tais pontos existem, mas veremos logo mais que eles constituem a maioria dos pontos de K.) Provemos que c n˜ao ´e isolado em K. Com efeito, para cada n ∈ N, c pertence ao interior de um intervalo

58

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

[xn , yn ] que restou depois da n-´esima etapa da constru¸c˜ao de K. Temos xn < c < yn com xn , yn ∈ K e yn − xn = 1/3n . Logo c = lim xn = lim yn ´e ponto de acumula¸c˜ao de K. Fica ent˜ao constatado que K n˜ao possui pontos isolados. Provaremos agora que o conjunto de Cantor K n˜ao ´e enumer´avel. Dado qualquer subconjunto enumer´avel {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } ⊂ K, obteremos um ponto c ∈ K tal que c 6= xn para todo n ∈ N. Para isso, com centro num ponto de K, tomamos um intervalo compacto n˜aodegenerado I1 tal que x1 ∈ / I1 . Como nenhum ponto de K ´e isolado, I1 ∩ K ´e um conjunto infinito, compacto sem pontos isolados. Em seguida, com centro em algum ponto de K interior a I1 , tomamos um intervalo compacto n˜ao-degenerado I2 ⊂ I1 tal que x2 ∈ / I2 . Prosseguindo analogamente, obtemos uma seq¨ uˆencia decrescente de intervalos compactos I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · tais que xn ∈ / In e In ∩ K 6= ∅. Sem perda de generalidade, podemos supor que In tem comprimento < 1/n. Ent˜ao o ponto c, pertencente a todos os In (cuja T∞existˆencia ´e garantida pelo Teorema 4 do Cap´ıtulo 2) ´e u ´nico, isto ´e, n=1 In = {c}. Escolhendo, para cada n ∈ N um ponto yn ∈ In ∩ K, teremos ent˜ao |yn − c| ≤ 1/n, donde lim yn = c. Como K ´e fechado, segue-se que c ∈ K. Por outro lado, para todo n ∈ N temos c ∈ In , logo c 6= xn , concluindo a demonstra¸c˜ao. Os pontos do conjunto de Cantor tˆem uma caracteriza¸c˜ao interessante e u ´til em termos de sua representa¸c˜ao em base 3. Dado x ∈ [0, 1], representar x na base 3 significa escrever x = 0, x1 x2 x3 . . . , onde cada um dos d´ıgitos xn ´e igual a 0, 1 ou 2, de tal modo que x=

x1 x2 xn + 2 + ··· + n + ··· · 3 3 3

A fim de que se tenha x = 0, x1 x2 . . . xn 000 . . . ´e necess´ario e suficiente que x seja um n´ umero da forma m/3n , com m, n inteiros e m ≤ 3n . Por exemplo 17/27 = 0, 122000 . . . na base 3. Quando o denominador da fra¸c˜ao irredut´ıvel p/q n˜ao ´e uma potˆencia de 3 ent˜ao a representa¸c˜ao de p/q na base 3 ´e peri´ odica. Por exemplo, 1/4 = 0, 020202 . . . e 1/7 = 0, 010212010212 . . . na base 3. Os n´ umeros irracionais tˆem representa¸c˜ao n˜ao-peri´ odica. Na primeira etapa da forma¸c˜ao do conjunto de Cantor, ao retirar-se o intervalo aberto (1/3, 2/3) ficam exclu´ıdos os n´ umeros x ∈ [0, 1] cuja representa¸c˜ao na base 3 tem x1 = 1, com a u ´nica exce¸c˜ao de 1/3 = 0,1, que permanece. Na segunda etapa, foram exclu´ıdos os n´ umeros dos in-

Se¸c˜ ao 6

Exerc´ıcios

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tervalos (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) ou seja, aqueles da forma 0, 01x3 x4 . . . ou da forma 0, 21x3 x4 . . . (com exce¸c˜ao de 1/9 = 0, 01 e de 7/9 = 0, 21, que permanecem). De um modo geral, podemos afirmar que os elementos do conjunto de Cantor s˜ ao os n´ umeros do intervalo [0, 1] cuja representa¸c˜ao x = 0, x1 x2 . . . xn . . . na base 3 s´ o cont´em os algarismos 0 e 2, com exce¸c˜ao daqueles que contˆem um u ´nico algarismo 1 como algarismo significativo final, como x = 0, 20221, por exemplo. Se observarmos que 0, 0222 · · · = 0, 1 poderemos sempre substituir o algarismo final 1 pela seq¨ uˆencia 0222 . . . . Por exemplo: 0, 20201 = 0, 20200222 . . . . Com esta conven¸c˜ao, pode-se afirmar, sem exce¸c˜oes, que os elementos do conjunto de Cantor s˜ ao os n´ umeros do intervalo [0, 1] cuja representa¸c˜ao na base 3 s´ o cont´em os algarismos 0 e 2. Da´ı resulta facilmente que o conjunto de Cantor ´e n˜ao-enumer´avel (vide Exemplo 3, Cap´ıtulo 1) e que 1/4 = 0, 0202 . . . pertence ao conjunto de Cantor.

6

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

Conjuntos abertos

1. Prove que, para todo X ⊂ R tem-se int(int X) = int X e conclua que int X ´e um conjunto aberto. 2. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: “toda seq¨ uˆencia (xn ) que converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n suficientemente grande”. Prove que A ´e aberto. 3. Prove que int(A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B e int(A ∩ B) = int A ∩ int B quaisquer que sejam A, B ⊂ R. Se A = (0, 1] e B = [1, 2), mostre que int(A ∪ B) 6= int A ∪ int B. 4. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reuni˜ao disjunta R = int X ∪ int(R − X) ∪ F , onde F ´e formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhan¸ca de x cont´em pontos de X e pontos de R − X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove que A ⊂ R ´e aberto se, e somente se, A ∩ fr A = ∅. 5. Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X = [0, 1], Y = (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q, W = Z.

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Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

6. Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ T · · · intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interse¸c˜ao I = ∞ ao ´e vazia. Prove que I ´e n=1 In n˜ um intervalo, o qual nunca ´e aberto. Se¸ c˜ ao 2:

Conjuntos fechados

1. Sejam I um intervalo n˜ao-degenerado e k > 1 um n´ umero natural. n Prove que o conjunto dos n´ umeros racionais m/k pertencentes a I, cujos denominadores s˜ ao potˆencias de k com expoente n ∈ N, ´e denso em I. 2. Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ fr X. Conclua que X ´e fechado se, e somente se, X ⊃ fr X.

3. Para todo X ⊂ R, prove que R − int X = R − X e R − X = int(R − X). 4. Se X ⊂ R ´e aberto (respectivamente, fechado) e X = A ∪ B ´e uma cis˜ ao, prove que A e B s˜ ao abertos (respectivamente, fechados).

5. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia ent˜ao X = ∅ ou X = R.

6. Sejam X, Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩Y . Dˆe exemplo em que X ∩ Y 6= X ∩ Y .

7. Dada uma seq¨ uˆencia (xn ), prove que o fecho do conjunto X = {xn ; n ∈ N} ´e X = X ∪ A, onde A ´e o conjunto dos valores de aderˆencia de (xn ).

Se¸ c˜ ao 3:

Pontos de acumula¸ c˜ ao

1. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪ X ′ . Conclua que X ´e fechado se, e somente se, cont´em todos os seus pontos de acumula¸c˜ao. 2. Prove que toda cole¸c˜ao de intervalos n˜ao-degenerados dois a dois disjuntos ´e enumer´avel. 3. Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊂ R s˜ ao isolados ent˜ao pode-se escolher, para cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix , de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.

4. Prove que todo conjunto n˜ao-enumer´avel X ⊂ R possui algum ponto de acumula¸c˜ao a ∈ X.

5. Prove que, para todo X ⊂ R, X ′ ´e um conjunto fechado.

Se¸c˜ ao 6

Exerc´ıcios

61

6. Seja a um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto X. Prove que existe uma seq¨ uˆencia crescente ou uma seq¨ uˆencia decrescente de pontos xn ∈ X com lim xn = a. Se¸ c˜ ao 4:

Conjuntos compactos

1. Prove que o conjunto A dos valores de aderˆencia de uma seq¨ uˆencia (xn ) ´e fechado. Se a seq¨ uˆencia for limitada, A ´e compacto, logo existem l e L, respectivamente o menor e o maior valor de aderˆencia da seq¨ uˆencia limitada (xn ). Costuma-se escrever l = lim inf xn e L = lim sup xn . 2. Prove que uma reuni˜ao finita e uma interse¸c˜ao arbitr´ aria de conjuntos compactos ´e um conjunto compacto. 3. Dˆe exemplo de uma seq¨ uˆencia decrescente de conjuntos fechados n˜ao-vazios F1 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · e uma seq¨ uˆencia decrescente de conjuntos limitados n˜ao-vazios L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tais que ∩Fn = ∅ e ∩Ln = ∅.

4. Sejam X, Y conjuntos n˜ao-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove que existem x0 ∈ X, y0 ∈ Y tais que |x0 − y0 | ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ X, y ∈ Y . 5. Um conjunto compacto cujos pontos s˜ ao todos isolados ´e finito. Dˆe exemplo de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado n˜ao-fechado Y , cujos pontos s˜ ao todos isolados. 6. Prove que se X ´e compacto ent˜ao os seguintes conjuntos tamb´em s˜ ao compactos: a) S = {x + y; x, y ∈ X};

b) D = {x − y; x, y ∈ X};

c) P = {x · y; x, y ∈ X};

d) Q = {x/y; x, y ∈ X} se 0 ∈ / X.

Se¸ c˜ ao 5:

O conjunto de Cantor

1. Determine quais dentre os n´ umeros 1/m, 2 ≤ m ≤ 10, pertencem ao conjunto de Cantor. 2. Dado arbitrariamente a ∈ (0, 1], prove que existem x < y pertencentes ao conjunto de Cantor, tais que y − x = a.

62

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

Cap. 5

3. Prove que a soma da s´erie cujos termos s˜ ao os comprimentos dos intervalos omitidos para formar o conjunto de Cantor ´e igual a 1. 4. Prove que os extremos dos intervalos removidos formam um subconjunto enumer´avel denso no conjunto de Cantor.

6 Limites de Fun¸c˜ oes

A no¸c˜ao de limite, que estudamos no Cap´ıtulo 3 no caso particular de seq¨ uˆencias, ser´a agora estendida `a situa¸c˜ao mais geral onde se tem uma fun¸c˜ao f : X → R, definida num subconjunto qualquer X ⊂ R.

1

Defini¸c˜ ao e primeiras propriedades

Sejam X ⊂ R um conjunto de n´ umeros reais, f : X → R uma fun¸c˜ao real cujo dom´ınio ´e X e a ∈ X ′ um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto X. Dizse que o n´ umero real L ´e limite de f (x) quando x tende para a, e escrevese limx→a f (x) = L, quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que se tem |f (x) − L| < ε sempre que x ∈ X e 0 < |x − a| < δ. Simbolicamente: lim f (x) = L . ≡ .∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, 0 < |x−a| < δ ⇒ |f (x)−L| < ε.

x→a

Informalmente: limx→a f (x) = L quer dizer que se pode tornar f (x) t˜ao pr´oximo de L quanto se queira desde que se tome x ∈ X suficientemente pr´oximo, por´em diferente, de a. A restri¸c˜ao 0 < |x − a| significa x 6= a. Assim, no limite L = limx→a f (x) n˜ao ´e permitido `a vari´avel x assumir o valor a. Portanto, o valor f (a) n˜ao tem importˆ ancia alguma quando se quer determinar

64

Limites de Fun¸c˜ oes

Cap. 6

L: o que conta ´e o comportamento de f (x) quando x se aproxima de a, sempre com x 6= a. Na defini¸c˜ao de limite ´e essencial que a seja um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto X mas ´e irrelevante que a perten¸ca ou n˜ao a X, isto ´e, que f esteja ou n˜ao definida no ponto a. Num dos exemplos mais importantes de limite, a saber, a derivada, estuda-se limx→a q(x), onde a fun¸c˜ao q(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) n˜ao est´a definida para x = a. Nas condi¸c˜oes f : X → R, a ∈ X ′ , negar que se tem limx→a f (x) = L equivale a dizer que existe um n´ umero ε > 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar xδ ∈ X tal que 0 < |xδ −a| < δ e |f (xδ ) − L| ≥ ε.

Teorema 1. Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′ , limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Se L < M ent˜ ao existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X com 0 < |x − a| < δ. Demonstra¸ c˜ ao: Seja K = (L + M )/2. Pondo ε = K − L = M − K temos ε > 0 e K = L + ε = M − ε. Pela defini¸c˜ao de limite, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < K e x ∈ X, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ K < g(x) < M + ε. Portanto, pondo δ = min{δ1 , δ2 } vem: x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < K < g(x), o que prova o teorema.

Observa¸ c˜ ao. A hip´ otese L < M n˜ao pode ser substituida por L ≤ M no Teorema 1. Observa¸ c˜ ao. Para o Teorema 1 e seus corol´arios, bem como para o Teorema 2 abaixo, valem vers˜oes an´ alogas com > em lugar de < e vice-versa. Tais vers˜oes ser˜ao usadas sem maiores coment´arios. Corol´ ario 1. Se limx→a f (x) = L < M ent˜ ao existe δ > 0 tal que f (x) < M para todo x ∈ X com 0 < |x − a| < δ. Corol´ ario 2. Sejam limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a} ent˜ ao L ≤ M . Com efeito, se fosse M < L existiria δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ g(x) < f (x), uma contradi¸c˜ao.

Teorema 2. (Teorema do sandu´ıche.) Sejam f, g, h : X → R, a ∈ X ′ e limx→a f (x) = limx→a g(x) = L. Se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a} ent˜ ao limx→a h(x) = L. Demonstra¸ c˜ ao: Dado arbitrariamente ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε e x ∈ X,

Se¸c˜ ao 1

Defini¸c˜ ao e primeiras propriedades

65

0 < |x − a| < δ2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε. Seja δ = min{δ1 , δ2 }. Ent˜ao x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L + ε ⇒ L − ε < h(x) < L + ε. Logo limx→a h(x) = L. Observa¸ c˜ ao. A no¸c˜ao de limite ´e local, isto ´e, dadas as fun¸c˜oes f, g : X → R e dado a ∈ X ′ , se existir uma vizinhan¸ca V do ponto a tal que f (x) = g(x) para todo x 6= a em V ∩ X ent˜ao existe limx→a f (x) se, e somente se, existe limx→a g(x). Al´em disso, se existirem, esses limites ser˜ao iguais. Assim, por exemplo, no Teorema 2, n˜ao ´e necess´ario supor que vale f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a}. Basta que exista uma vizinhan¸ca V do ponto a tal que estas desigualdades valham para todo x 6= a pertencente a V ∩ X. Observa¸c˜ao an´ aloga para o Teorema 1 e seu Corol´ario 2. Teorema 3. Sejam f : X→R e a∈X ′ . A fim de que seja limx→a f (x)=L ´e necess´ ario e suficiente que, para toda seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X −{a} com lim xn = a, tenha-se lim f (xn ) = L. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos, primeiro, que limx→a f (x) = L e que se tem uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a. Dado arbitrariamente ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)−L| < ε. Existe tamb´em n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ 0 < |xn −a| < δ (pois xn 6= a para todo n). Por conseguinte, n > n0 ⇒ |f (xn ) − L| < ε, logo lim f (xn ) = L. Reciprocamente, suponhamos que xn ∈ X − {a} e lim xn = a impliquem lim f (xn ) = L e provemos que se tem lim f (x) = L.

x→a

Com efeito, negar esta igualdade implicaria em afirmar a existˆencia de um n´ umero ε > 0 com a seguinte propriedade: qualquer que seja n ∈ N podemos achar xn ∈ X tal que 0 < |xn − a| < 1/n mas |f (xn ) − L| ≥ ε. Ent˜ao ter´ıamos xn ∈ X − {a}, lim xn = a sem que fosse lim f (xn ) = L. Esta contradi¸c˜ao completa a demonstra¸c˜ao. Corol´ ario 1. (Unicidade do limite.) Sejam f : X → R e a ∈ X ′ . Se limx→a f (x) = L e limx→a f (x) = M ent˜ ao L = M . Com efeito, basta tomar uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a, o que ´e assegurado pelo Teorema 6 do Cap´ıtulo 5. Ent˜ao teremos L = lim f (xn ) e M = lim f (xn ). Pela unicidade do limite da seq¨ uˆencia (f (xn )), vem L = M .

66

Limites de Fun¸c˜ oes

Cap. 6

Corol´ ario 2. (Opera¸ co ˜es com limites.) Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′ , com limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Ent˜ ao lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;

x→a

lim [f (x) · g(x)] = L · M ;

x→a

lim

x→a

f (x) L = , se M 6= 0. g(x) M

Al´em disso, se limx→a f (x) = 0 e g ´e limitada numa vizinhan¸ca de a, tem-se limx→a [f (x) · g(x)] = 0. Com efeito, dada qualquer seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a, pelo Teorema 8 do Cap´ıtulo 3 valem lim[f (xn ) ± g(xn )] = lim f (xn )±lim g(xn ) = L±M , lim f (xn )·g(xn ) = lim f (xn )·lim g(xn ) = L · M e tamb´em lim[f (xn )/g(xn )] = lim f (xn )/ lim g(xn ) = L/M . Finalmente, se existem uma vizinhan¸ca V de a e uma constante c tal que |g(x)| ≤ c para todo x ∈ V ent˜ao, como xn ∈ V para todo n suficientemente grande, a seq¨ uˆencia g(xn ) ´e limitada; logo, pelo Teorema 7 do Cap´ıtulo 3, tem-se lim f (xn )·g(xn ) = 0, pois lim f (xn ) = 0. O Corol´ario 2 segue-se portanto do teorema. Teorema 4. Sejam f : X → R, a ∈ X ′ . Se existe limx→a f (x) ent˜ ao f ´e limitada numa vizinhan¸ca de a, isto ´e, existem δ > 0 e c > 0 tais que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| ≤ c. Demonstra¸ c˜ ao: Seja L = limx→a f (x). Tomando ε = 1 na defini¸c˜ao de limite, resulta que existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1 ⇒ |f (x)| = |f (x) − L + L| ≤ |f (x) − L| + |L| < |L| + 1. Basta ent˜ao tomar c = |L| + 1. O Teorema 4 generaliza o fato de que toda seq¨ uˆencia convergente ´e limitada. Exemplo 1. Se f, g : R → R s˜ ao dadas por f (x) = c e g(x) = x (fun¸c˜ao constante e fun¸c˜ao identidade) ent˜ao, para todo a ∈ R, tem-se evidentemente limx→a f (x) = c e limx→a g(x) = a. Segue-se do Corol´ario 2 do Teorema 3 que, para todo polinˆ omio p : R → R, p(x) = n a0 + a1 x + · · · + an x , tem-se limx→a p(x) = p(a), seja qual for a ∈ R. Analogamente, para toda fun¸c˜ao racional f (x) = p(x)/q(x), quociente de dois polinˆ omios, tem-se limx→a f (x) = f (a) desde que seja q(a) 6= 0. Quando q(a) = 0, o polinˆ omio q(x) ´e divis´ıvel por x − a. Escrevemos ent˜ao q(x) = (x − a)m q1 (x) e p(x) = (x − a)k p1 (x) onde

Se¸c˜ ao 1

Defini¸c˜ ao e primeiras propriedades

67

m ∈ N, k ∈ N ∪ {0}, q1 (a) 6= 0 e p1 (a) 6= 0. Se for m = k ent˜ao vale limx→a f (x) = p1 (a)/q1 (a) porque f (x) = p1 (x)/q1 (x) para todo x 6= a. Se for k > m ent˜ao tem-se limx→a f (x) = 0 pois f (x) = (x − a)k−m [p1 (x)/q1 (x)] para todo x 6= a. Se, entretanto, tivermos k < m, ent˜ao f (x) = p1 (x)/[(x − a)m−k · q1 (x)] para todo x 6= a. Neste caso, o denominador de f (x) tem limite zero e o numerador n˜ao. Isto implica que n˜ao pode existir limx→a f (x). Com efeito, se f (x) = ϕ(x)/ψ(x), com limx→a ψ(x) = 0, e existe L = limx→a f (x) ent˜ao existe limx→a ϕ(x) = limx→a (f (x) · ψ(x)) = L · 0 = 0. Trata-se, portanto, de um fato geral: quando limx→a ψ(x) = 0, s´ o pode existir limx→a [ϕ(x)/ψ(x)] no caso em que se tenha tamb´em limx→a ϕ(x) = 0 (embora esta condi¸c˜ao, por si s´ o, n˜ao seja suficiente para a existˆencia de lim[ϕ/ψ]). Exemplo 2. Seja X = R − {0}. Ent˜ao 0 ∈ X ′ . A fun¸c˜ao f : X → R, definida por f (x) = sen(1/x) n˜ao possui limite quando x → 0. Com efeito, a seq¨ uˆencia de pontos xn = 2/(2n − 1)π ´e tal que lim xn = 0 mas f (xn ) = ±1 conforme n seja ´ımpar ou par, logo n˜ao existe lim f (xn ). Por outro lado, se g : X → R ´e definida por g(x) = x · sen(1/x), tem-se limx→0 g(x) = 0, pois | sen(1/x)| ≤ 1 para todo x ∈ X e limx→0 x = 0. Os gr´ aficos dessas duas fun¸c˜oes s˜ ao mostrados na Figura 2 abaixo.

Figura 2

Exemplo 3. Seja f : R → R definida por f (x) = 0 quando x ´e racional e f (x) = 1 quando x ´e irracional. Dado qualquer a ∈ R, podemos obter uma seq¨ uˆencia de n´ umeros racionais xn 6= a e uma seq¨ uˆencia de n´ umeros irracionais yn 6= a com lim xn = lim yn = a. Ent˜ao lim f (xn ) = 0 e lim f (yn ) = 1, logo n˜ao existe limx→a f (x).

68

Limites de Fun¸c˜ oes

Cap. 6

Observa¸ c˜ ao. Dois dos limites mais importantes que aparecem na An´ ax lise s˜ ao limx→0 (sen x/x) = 1 e limx→0 (e −1)/x = 1. Para estabelecˆe-los ´e necess´ario, entretanto, que se tenha feito um desenvolvimento rigoroso das fun¸c˜oes trigonom´etricas e da fun¸c˜ao exponencial. Isto ser´a feito nos Cap´ıtulos 11 e 12. Sem embargo, continuaremos utilizando essas fun¸c˜oes e suas inversas (como o logaritmo) em exemplos, antes mesmo daqueles ´ que esses exemplos ajudam a fixar a aprendizagem mas n˜ao cap´ıtulos. E interferem no encadeamento l´ ogico da mat´eria aqui apresentada. Ao leitor interessado, esclarecemos que uma apresenta¸c˜ao rigorosa por´em elementar dos logaritmos e da fun¸c˜ao exponencial pode ser encontrada no livrinho “Logaritmos” mencionado nas Sugest˜oes de Leitura ao final deste livro.

2

Limites laterais

Seja X ⊂ R. Diz-se que o n´ umero real a ´e um ponto de acumula¸ca ˜o ′ , quando toda vizinhan¸ ca de a a ` direita para X, e escreve-se a ∈ X+ cont´em algum ponto x ∈ X com x > a. Equivalentemente: para todo ′ ´ e necess´ario e ε > 0 tem-se X ∩ (a, a + ε) 6= ∅. A fim de que a ∈ X+ suficiente que a seja limite de uma seq¨ uˆencia de pontos xn > a, pertencentes a X. Finalmente, a ´e um ponto de acumula¸c˜ao `a direita para o conjunto X se, e somente se, ´e um ponto de acumula¸c˜ao ordin´ario do conjunto Y = X ∩ (a, +∞). Analogamente se define ponto de acumula¸ca ˜o a ` esquerda. Por defini′ significa que, para todo ε > 0, tem-se X ∩ (a − ε, a) 6= ∅, ou c¸˜ao, a ∈ X− seja, a ∈ Z ′ onde Z = (−∞, a) ∩ X. Para que isto aconte¸ca, ´e necess´ario e suficiente que a = lim xn , onde (xn ) ´e uma seq¨ uˆencia cujos termos ′ ∩ X ′ diz-se que a ´ xn < a pertencem a X. Quando a ∈ X+ e um ponto − de acumula¸ca ˜o bilateral de X. ′ por´ Exemplo 4. Se X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } ent˜ao 0 ∈ X+ em 0 ∈ / ′ ′ ′ X− . Seja I um intervalo. Se c ∈ int I ent˜ao c ∈ I+ ∩ I− mas se c ´e um ′ se ´ dos extremos de I ent˜ao tem-se apenas c ∈ I+ e o extremo inferior e ′ c ∈ I− se ´e o extremo superior de I.

Exemplo 5. Seja K o conjunto de Cantor. Sabemos que todo ponto a ∈ K ´e ponto de acumula¸c˜ao. Se a ´e extremo de algum dos intervalos omitidos numa das etapas da constru¸c˜ao de K ent˜ao vale apenas uma ′ ou a ∈ K ′ . Se entretanto a ∈ K n˜ das alternativas a ∈ K+ ao ´e extremo −

Se¸c˜ ao 2

Limites laterais

69

′ ∩ K ′ como se conclui do argumento de intervalo omitido ent˜ao a ∈ K+ − usado no Cap´ıtulo 5, se¸c˜ao 5. ′ . Diz-se que o n´ Sejam f : X → R, a ∈ X+ umero real L ´e limite a ` direita de f (x) quando x tende para a, e escreve-se L = limx→a+ f (x) quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que |f (x) − L| < ε sempre que x ∈ X e 0 < x − a < δ. Simbolicamente:

lim f (x) = L . ≡ . ∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X ∩ (a, a + δ) ⇒ |f (x) − L| < ε.

x→a+

Analogamente se define o limite a ` esquerda L = limx→a− f (x), no ′ : isto significa que, para todo ε > 0 dado caso de f : X → R com a ∈ X− arbitrariamente, pode-se escolher δ > 0 tal que x ∈ X ∩ (a − δ, a) ⇒ |f (x) − L| < ε. As propriedades gerais dos limites, demonstradas na se¸c˜ao 1, se adaptam facilmente para os limites laterais. Basta observar que o limite `a direita limx→a+ f (x) se reduz ao limite ordin´ario limx→a g(x), onde g ´e a restri¸c˜ao da fun¸c˜ao f : X → R ao conjunto X ∩(a, +∞). E analogamente para o limite ` a esquerda. Por exemplo, o Teorema 3 no caso de limite `a direita se exprime assim: “A fim de que seja limx→a+ f (x) = L ´e necess´ ario e suficiente que, para toda seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X com xn > a e lim xn = a, se tenha lim f (xn ) = L.” ′ ∩ X ′ , existe lim Como se vˆe facilmente, dado a ∈ X+ x→a f (x) = L − se, e somente se, existem e s˜ ao iguais os limites laterais

lim f (x) = lim f (x) = L.

x→a+

x→a−

Exemplo 6. As fun¸c˜oes f, g, h : R − {0} → R, definidas por f (x) = sen(1/x), g(x) = x/|x| e h(x) = 1/x n˜ao possuem limite quando x → 0. Quanto aos limites laterais, temos limx→0+ g(x) = 1 e limx→0− g(x) = −1 porque g(x) = 1 para x > 0 e g(x) = −1 se x < 0. As fun¸c˜oes f e h n˜ao possuem limites laterais quando x → 0, nem `a esquerda nem `a direita. Por outro lado, ϕ : R − {0} → R, definida por ϕ(x) = e−1/x , possui limite ` a direita, limx→0+ ϕ(x) = 0, mas n˜ao existe limx→0− ϕ(x) pois ϕ n˜ao ´e limitada para valores negativos de x pr´oximos de zero. Exemplo 7. Seja I : R → R a fun¸c˜ao “parte inteira de x ”. Para cada x ∈ R, existe um u ´nico n´ umero inteiro n tal que n ≤ x < n + 1; p˜oe-se

70

Limites de Fun¸c˜ oes

Cap. 6

ent˜ao I(x) = n. Se n ∈ Z ent˜ao limx→n+ I(x) = n e limx→n− I(x) = n − 1. Com efeito, n < x < n + 1 ⇒ I(x) = n enquanto n − 1 < x < n ⇒ I(x) = n − 1. Por outro lado, se a n˜ao ´e inteiro ent˜ao limx→a+ I(x) = limx→a− I(x) = I(a) pois neste caso I(x) ´e constante numa vizinhan¸ca de a. Uma fun¸c˜ao f : X → R chama-se mon´ otona n˜ ao-decrescente quando para x, y ∈ X, x < y ⇒ f (x) ≤ f (y). Se x < y ⇒ f (x) ≥ f (y), f diz-se mon´ otona n˜ ao-crescente. Se vale a implica¸c˜ao mais estrita x < y ⇒ f (x) < f (y) dizemos que a fun¸c˜ao f ´e crescente. Finalmente, se x < y ⇒ f (x) > f (y), dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao decrescente.

Teorema 5. Seja f : X → R uma fun¸ca ˜o mon´ otona limitada. Para todo ′ e todo b ∈ X ′ existem L = lim a ∈ X+ f x→a+ (x) e M = limx→b− f (x). − Ou seja: existem sempre os limites laterais de uma fun¸ca ˜o mon´ otona limitada. Demonstra¸ c˜ ao: Para fixar as id´eias, suponhamos f n˜ao-decrescente. Seja L = inf{f (x); x ∈ X, x > a}. Afirmamos que limx→a+ f (x) = L. Com efeito, dado arbitrariamente ε > 0, L + ε n˜ao ´e cota inferior do conjunto limitado {f (x); x ∈ X, x > a}. Logo existe δ > 0 tal que a + δ ∈ X e L ≤ f (a + δ) < L + ε. Como f ´e n˜ao-decrescente, x ∈ X ∩ (a, a + δ) ⇒ L ≤ f (x) < L + ε, o que prova a afirma¸c˜ao feita. De modo an´ alogo vˆe-se que M = sup{f (x); x ∈ X, x < b} ´e o limite `a esquerda M = limx→b− f (x). Observa¸ c˜ ao. Se a ∈ X n˜ao ´e necess´ario supor que f seja limitada no Teorema 5. Com efeito, suponhamos, para fixar id´eias, que f seja ′ . Ent˜ mon´otona n˜ao-decrescente e a ∈ X+ ao f (a) ´e uma cota inferior do conjunto {f (x); x ∈ X, x > a} e o ´ınfimo deste conjunto ´e limx→a+ f (x). ′ ent˜ Analogamente, se a ∈ X− ao f (a) ´e uma cota superior do conjunto {f (x); x ∈ X, x < a}, cujo supremo ´e o limite `a esquerda limx→a− f (x).

3

Limites no infinito, limites infinitos, express˜ oes indeterminadas

Seja X ⊂ R ilimitado superiormente. Dada f : X → R, escreve-se lim f (x) = L,

x→+∞

quando o n´ umero real L satisfaz `a seguinte condi¸c˜ao: ∀ ε > 0 ∃ A > 0; x ∈ X, x > A ⇒ |f (x) − L| < ε.

Se¸c˜ ao 3Limites no infinito, limites infinitos, express˜ oes indeterminadas

71

Ou seja, dado arbitrariamente ε > 0, existe A > 0 tal que |f (x) − L| < ε sempre que x > A. De maneira an´ aloga define-se limx→−∞ f (x) = L, quando o dom´ınio de f ´e ilimitado inferiormente: para todo ε > 0 dado, deve existir A > 0 tal que x < −A ⇒ |f (x) − L| < ε. Valem os resultados j´a demonstrados para o limite quando x → a, a ∈ R, com as adapta¸c˜oes evidentes. Os limites para x → +∞ e x → −∞ s˜ ao, de certo modo, limites laterais (o primeiro ´e um limite `a esquerda e o segundo `a direita). Logo vale o resultado do Teorema 5: se f : X → R ´e mon´otona limitada ent˜ao existe limx→+∞ f (x) se o dom´ınio X for ilimitado superiormente e existe limx→−∞ f (x) se o dom´ınio de f for ilimitado inferiormente. O limite de uma seq¨ uˆencia ´e um caso particular de limite no infinito: trata-se de limx→+∞ f (x), onde f : N → R ´e uma fun¸c˜ao definida no conjunto N dos n´ umeros naturais. Exemplo 8. limx→+∞ 1/x = limx→−∞ 1/x = 0. Por outro lado, n˜ao existe limx→+∞ sen x nem limx→−∞ sen x. Vale limx→−∞ ex = 0 mas n˜ao existe limx→+∞ ex , no sentido da defini¸c˜ao acima. Como fizemos no caso de seq¨ uˆencias, introduziremos “limites infinitos” para englobar situa¸c˜oes como esta. Em primeiro lugar, sejam X ⊂ R, a ∈ X ′ , f : X → R. Diremos que limx→a f (x) = +∞ quando, para todo A > 0 dado, existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ f (x) > A. 2 Por √ exemplo, limx→a 1/(x − a) = +∞, 2pois dado A > 0, tomamos δ=1/ A. Ent˜ao 0 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −A. Por exemplo, limx→a −1/(x − a)2 = −∞. Evidentemente, as defini¸c˜oes de limx→a+ f (x)=+∞, limx→a− f (x)= +∞, etc. n˜ao apresentam maiores dificuldades e s˜ ao deixadas a cargo do leitor. Tamb´em omitiremos as defini¸c˜oes evidentes de limx→+∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = +∞, etc. Por exemplo, 1
1
= +∞, lim = −∞, x→a− x − a x→a+ x − a lim ex = +∞, lim xk = +∞ (k ∈ N). lim

x→+∞

x→+∞

Deve-se observar enfaticamente que +∞ e −∞ n˜ ao s˜ ao n´ umeros

72

Limites de Fun¸c˜ oes

Cap. 6

reais, de modo que as afirma¸c˜oes limx→a f (x) = +∞ e limx→a f (x) = −∞ n˜ao exprimem limites no sentido estrito do termo.

Observa¸ c˜ ao. Valem para lim(f + g), lim(f · g) e lim(f /g) resultados an´ alogos aos do Cap´ıtulo 3 (v. Teorema 9) sobre limites de seq¨ uˆencias.

Observa¸ c˜ ao. Admitindo limites infinitos, existem sempre os limites laterais de uma fun¸c˜ao mon´otona f : X → R em todos os pontos a ∈ X ′ , ou mesmo quando x → ±∞. Tem-se limx→a+ f (x) = L, L ∈ R se, e somente se, para algum δ > 0, f ´e limitada no conjunto X ∩ (a, a + δ). Se, ao contr´ario, f ´e ilimitada (digamos superiormente) em X ∩(a, a+δ) para todo δ > 0 ent˜ao limx→a+ f (x) = +∞. Em aditamento aos coment´arios feitos na se¸c˜ao 4 do Cap´ıtulo 3, diremos algumas palavras sobre as express˜oes indeterminadas 0/0, ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 00 , ∞0 e 1∞ . Vejamos, por exemplo, 0/0. Como a divis˜ao por zero n˜ao est´a definida, esta express˜ao n˜ao tem sentido aritm´etico. Afirmar que 0/0 ´e indeterminada tem o seguinte significado preciso: Sejam X ⊂ R, f, g : X → R, a ∈ X ′ . Suponhamos que limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 e que, pondo Y = {x ∈ X; g(x) 6= 0}, ainda se tenha a ∈ Y ′ . Ent˜ao f (x)/g(x) est´a definida quando x ∈ Y e faz sentido indagar se existe limx→a f (x)/g(x). Mas nada se pode dizer em geral sobre este limite. Dependendo das fun¸c˜oes f , g, ele pode assumir qualquer valor real ou n˜ao existir. Por exemplo, dado qualquer c ∈ R, tomando f (x) = cx e g(x) = x, temos limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = 0, enquanto limx→0 f (x)/g(x) = c. Por outro lado, se tomarmos f (x) = x · sen(1/x), (x 6= 0) e g(x) = x, teremos limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = 0, mas n˜ao existe limx→0 f (x)/g(x). Pelo mesmo motivo, ∞ − ∞ ´e indeterminado. Isto quer dizer: podemos achar fun¸c˜oes f, g : X → R, tais que limx→a f (x) = limx→a g(x) = +∞, enquanto limx→a [f (x)−g(x)], dependendo das nossas escolhas para f e g, pode ter um valor arbitr´ ario c ∈ R ou pode n˜ao existir. Por exemplo, se f, g : R − {a} → R s˜ ao dadas por f (x) = c +

1 (x − a)2

e

g(x) =

1 , (x − a)2

ent˜ao limx→a f (x) = limx→a g(x) = +∞ e limx→a [f (x) − g(x)] = c. Analogamente, se f (x) = sen

1 1 + x − a (x − a)2

e

g(x) =

1 , (x − a)2

Se¸c˜ ao 4

Exerc´ıcios

73

n˜ao existe limx→a [f (x) − g(x)]. Mais um exemplo: dado qualquer n´ umero real c > 0 podemos achar fun¸c˜oes f, g : X → R, com a ∈ X ′ e limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0, f (x) > 0 para todo x ∈ X, enquanto limx→a f (x)g(x) = c. Basta, por exemplo, definir f, g : (0, +∞) → R pondo f (x) = x, g(x) = log c/ log x. Neste caso, vale f (x)g(x) = c para todo x 6= 0. (Tome logaritmos de ambos os membros.) Portanto limx→0 f (x)g(x) = c. Ainda neste caso, podemos escolher f e g de modo que o limite de f (x)g(x) n˜ao exista. Basta tomar, digamos, f (x) = x e g(x) = log(1 + | sen x1 |) · (log x)−1 . Ent˜ao f (x)g(x) = 1 + | sen x1 |, portanto n˜ao existe limx→0 f (x)g(x) . Estes exemplos devem bastar para que se entenda o significado de “express˜ ao indeterminada”. O instrumento mais eficaz para o c´alculo do limite de express˜oes indeterminadas ´e a chamada “Regra de L’Hˆ opital”, que ´e objeto de infind´ aveis exerc´ıcios nos cursos de C´alculo.

4

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

Defini¸ c˜ ao e primeiras propriedades

1. Sejam f : X → R, a ∈ X ′ e Y = f (X − {a}). Se limx→a f (x) = L ent˜ao L ∈ Y .

2. Sejam f : X → R e a ∈ X ′ . A fim de que exista limx→a f (x) ´e suficiente que, para toda seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a, a seq¨ uˆencia (f (xn )) seja convergente. 3. Sejam f : X → R, g : Y → R com f (X) ⊂ Y , a ∈ X ′ e b ∈ Y ′ ∩ Y . Se lim f (x) = b e lim g(y) = c, x→a

y→b

prove que limx→a g(f (x)) = c, contanto que c = g(b) ou ent˜ao que x 6= a implique f (x) 6= b.

4. Sejam f, g : R → R definidas por f (x) = 0 se x ´e irracional e f (x) = x se x ∈ Q; g(0) = 1 e g(x) = 0 se x 6= 0. Mostre que limx→0 f (x)=0 e limy→0 g(y)=0, por´em n˜ao existe limx→0 g(f (x)). 5. Seja f : R → R definida por f (0) = 0 e f (x) = sen(1/x) se x 6= 0. Mostre que para todo c ∈ [−1, 1] existe uma seq¨ uˆencia de pontos xn 6= 0 tais que lim xn = 0 e lim f (xn ) = c.

74

Limites de Fun¸c˜ oes

Se¸ c˜ ao 2:

Cap. 6

Limites laterais

′ (respectivamente, a ∈ X ′ ) se, e somente se, 1. Prove que a ∈ X+ − a = lim xn ´e limite de uma seq¨ uˆencia decrescente (respectivamente, crescente) de pontos pertencentes ao conjunto X.

2. Prove que limx→a+ f (x) = L (respectivamente, limx→a− f (x) = L) se, e somente se, para toda seq¨ uˆencia decrescente (respectivamente, crescente) de pontos xn ∈ X com lim xn = a tem-se lim f (xn ) = L. 3. Seja f : R − {0} → R definida por f (x) = 1/(1 + a1/x ), onde a > 1. Prove que limx→0+ f (x) = 0 e limx→0− f (x) = 1. ′ . Se existir uma seq¨ uˆencia 4. Sejam f : X → R mon´otona e a ∈ X+ de pontos xn ∈ X com xn > a, lim xn = a e lim f (xn ) = L ent˜ao limx→a+ f (x) = L.

5. Dada f : R − {0} → R, definida por f (x) = sen(1/x)/(1 + 21/x ), determine o conjunto dos n´ umeros L tais que L = lim f (xn ), com lim xn = 0, xn 6= 0. Se¸ c˜ ao 3:

Limites no infinito, limites infinitos, etc.

1. Seja p : R → R um polinˆ omio n˜ao constante, isto ´e, para todo x ∈ R, p(x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn , com an 6= 0 e n ≥ 1. Prove que, se n ´e par ent˜ao limx→+∞ p(x) = limx→−∞ p(x) = +∞ se an > 0 e = −∞ se an < 0. Se n ´e ´ımpar ent˜ao limx→+∞ p(x) = +∞ e limx→−∞ p(x) = −∞ quando an > 0 e os sinais dos limites s˜ ao trocados quando an < 0. 2. Seja f : R → R, definida por f (x) = x sen x. Prove que, para todo c ∈ R, existe uma seq¨ uˆencia xn ∈ R com limn→∞ xn = +∞ e limn→∞ f (xn ) = c. 3. Seja f : [a, +∞) → R limitada. Para cada t ≥ a indiquemos com Mt o sup e mt o inf de f no intervalo I = [t, +∞). Com ωt = Mt − mt indicaremos a oscila¸ca ˜o de f em I. Prove que existem limt→+∞ Mt e limt→+∞ mt . Prove que existe limx→+∞ f (x) se, e somente se, limt→+∞ ωt = 0.

7 Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

A no¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua ´e um dos pontos centrais da Topologia. Ela ser´a estudada neste cap´ıtulo em seus aspectos mais b´asicos, como introdu¸c˜ao a uma abordagem mais ampla e como instrumento para aplica¸c˜ao nos cap´ıtulos seguintes.

1

Defini¸c˜ ao e primeiras propriedades

Uma fun¸c˜ao f : no ponto a ∈ X obter δ > 0 tal Em s´ımbolos, f

X → R, definida no conjunto X ⊂ R, diz-se cont´ınua quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se que x ∈ X e |x − a| < δ impliquem |f (x) − f (a)| < ε. cont´ınua no ponto a significa:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. Chama-se descont´ınua no ponto a ∈ X uma fun¸c˜ao f : X → R que n˜ao ´e cont´ınua nesse ponto. Isto quer dizer que existe ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo δ > 0 pode-se achar xδ ∈ X tal que |xδ − a| < δ e |f (xδ ) − f (a)| ≥ ε. Em particular, tomando δ sucessivamente igual a 1, 1/2, 1/3, . . . e escrevendo xn em vez de x1/n , vemos que f : X → R ´e descont´ınua no ponto a ∈ X se, e somente se, existe ε > 0 com a seguinte propriedade: para cada n ∈ N pode-se obter xn ∈ X com |xn − a| < 1/n e |f (xn ) − f (a)| ≥ ε. Evidentemente, |xn − a| < 1/n para todo n ∈ N implica lim xn = a.

76

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Cap. 7

Diz-se que f : X → R ´e uma fun¸ca ˜o cont´ınua quando f ´e cont´ınua em todos os pontos a ∈ X. A continuidade ´e um fenˆ omeno local, isto ´e, a fun¸c˜ao f : X → R ´e cont´ınua no ponto a ∈ X se, e somente se, existe uma vizinhan¸ca V de a tal que a restri¸c˜ao de f a V ∩ X ´e cont´ınua no ponto a. Se a ´e um ponto isolado do conjunto X, isto ´e, se existe δ > 0 tal que X ∩ (a − δ, a + δ) = {a}, ent˜ao toda fun¸c˜ao f : X → R ´e cont´ınua no ponto a. Em particular, se X ´e um conjunto discreto, como Z por exemplo, ent˜ao toda fun¸c˜ao f : X → R ´e cont´ınua. Se a ∈ X∩X ′ , isto ´e, se a ∈ X ´e um ponto de acumula¸c˜ao de X, ent˜ao f : X → R ´e cont´ınua no ponto a se, e somente se, limx→a f (x) = f (a). Ao contr´ario do caso de um limite, na defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua o ponto a deve pertencer ao conjunto X e pode-se tomar x = a pois, quando isto se d´a, a condi¸c˜ao |f (x) − f (a)| < ε torna-se 0 < ε, o que ´e ´obvio. Teorema 1. Sejam f, g : X → R cont´ınuas no ponto a ∈ X, com f (a) < g(a). Existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ).

Demonstra¸ c˜ ao: Tomemos c = [g(a)+f (a)]/2 e ε = g(a)−c = c−f (a). Ent˜ao ε > 0 e f (a) + ε = g(a) − ε = c. Pela defini¸c˜ao de continuidade, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ X, |x − a| < δ1 ⇒ f (a) − ε < f (x) < c e x ∈ X, |x − a| < δ2 ⇒ c < g(x) < g(a) + ε. Seja δ o menor dos n´ umeros δ1 e δ2 . Ent˜ao x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) < c < g(x), o que prova o teorema.

Corol´ ario 1. Seja f : X → R cont´ınua no ponto a ∈ X. Se f (a) 6= 0, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ), f (x) tem o mesmo sinal de f (a). Com efeito, para fixar id´eias suponhamos f (a) < 0. Ent˜ao basta tomar g identicamente nula no Teorema 1. Corol´ ario 2. Dadas f, g : X → R cont´ınuas, sejam Y = {x ∈ X; f (x) < g(x)} e Z = {x ∈ X, f (x) ≤ g(x)}. Existem A ⊂ R aberto e F ⊂ R fechado tais que Y = X ∩ A e Z = X ∩ F . Em particular, se X ´e aberto ent˜ ao Y ´e aberto e se X ´e fechado ent˜ ao Z ´e fechado. Com efeito, pelo Teorema 1, para cada y ∈ Y existe um S intervalo aberto Iy , de centro y, tal que {y} ⊂ X ∩Iy ⊂ Y . Da´ı resulta y∈Y {y} ⊂
S S ⊂ Y . Pondo A = I (X ∩ I ) ⊂ Y , ou seja: Y ⊂ X ∩ y y y∈Y y∈Y S I , o Teorema 1, Cap´ ıtulo 5 assegura que A ´ e um conjunto aberto. y y∈Y

Se¸c˜ ao 1

Defini¸c˜ ao e primeiras propriedades

77

Al´em disso, de Y ⊂ X ∩ A ⊂ Y conclu´ımos que Y = X ∩ A. Quanto ao conjunto Z, temos Z = X − {x ∈ X; g(x) < f (x)}. Pelo que acabamos de ver, existe B ⊂ R aberto tal que Z = X − (X ∩ B) = X ∩ (R − B). Pelo Teorema 3 do Cap´ıtulo 5, F = R−B ´e fechado, portanto Z = X ∩F como se pretendia mostrar. Teorema 2. A fim de que a fun¸ca ˜o f : X → R seja cont´ınua no ponto a ´e necess´ ario e suficiente que, para toda seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X com lim xn = a, se tenha lim f (xn ) = f (a). A demonstra¸c˜ao segue exatamente as mesmas linhas do Teorema 3, Cap´ıtulo 6, por isso ´e omitida. Corol´ ario 1. Se f, g : X → R s˜ ao cont´ınuas no ponto a ∈ X ent˜ ao s˜ ao cont´ınuas nesse mesmo ponto as fun¸co ˜es f + g, f · g : X → R, bem como a fun¸ca ˜o f /g, caso seja g(a) 6= 0. O dom´ınio da fun¸c˜ao f /g, bem entendido, ´e o subconjunto de X formado pelos pontos x tais que g(x) 6= 0. Existe δ > 0 tal que X ∩ (a − δ, a + δ) est´a contido nesse dom´ınio.

Exemplo 1. Todo polinˆ omio p : R → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. Toda fun¸c˜ao racional p(x)/q(x) (quociente de dois polinˆ omios) ´e cont´ınua no seu dom´ınio, o qual ´e o conjunto dos pontos x tais que q(x) 6= 0. A fun¸c˜ao f : R → R, definida por f (x) = sen(1/x) se x 6= 0 e f (0) = 0, ´e descont´ınua no ponto 0 e ´e cont´ınua nos demais pontos da reta. A fun¸c˜ao g : R → R, dada por g(x) = x · sen(1/x) se x 6= 0 e g(0) = 0, ´e cont´ınua em toda a reta. A fun¸c˜ao ϕ : R → R, definida por ϕ(x) = 0 para x racional e ϕ(x) = 1 para x irracional, ´e descont´ınua em todos os pontos da reta por´em suas restri¸c˜oes a Q e a R − Q s˜ ao cont´ınuas porque s˜ ao constantes. Se definirmos ψ : R → R pondo ψ(x) = x · ϕ(x) veremos que ψ ´e cont´ınua apenas no ponto x = 0. Teorema 3. Sejam f : X → R cont´ınua no ponto a ∈ X, g : Y → R cont´ınua no ponto b = f (a) ∈ Y e f (X) ⊂ Y , de modo que a composta g ◦ f : X → R est´ a bem definida. Ent˜ ao g ◦ f ´e cont´ınua no ponto a. (A composta de duas fun¸co ˜es cont´ınuas ´e cont´ınua.) Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0 existe, pela continuidade de g no ponto b, um n´ umero η > 0 tal que y ∈ Y , |y − b| < η implicam |g(y) − g(b)| < ε. Por sua vez, a continuidade de f no ponto a assegura que existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam |f (x) − b| < η. Conseq¨ uentemente, x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ) ⇒ |g(f (x)) − g(b)| = |(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a)| < ε, o que prova o teorema.

78

2

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Cap. 7

Fun¸c˜ oes cont´ınuas num intervalo

Teorema 4. (Teorema do valor intermedi´ ario.) Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Se f (a) < d < f (b) ent˜ ao existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.

Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos os conjuntos A = {x ∈ [a, b]; f (x) ≤ d} e B = {x ∈ [a, b]; f (x) ≥ d}. Pelo Corol´ario 2 do Teorema 1, A e B s˜ ao fechados, logo A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B. Al´em disso, ´e claro que [a, b] = A ∪ B. Se for A ∩ B 6= ∅ ent˜ao o teorema est´a demonstrado porque se tem f (c) = d para qualquer c ∈ A ∩ B. Se, entretanto, fosse A ∩ B = ∅ ent˜ao [a, b] = A ∪ B seria uma cis˜ ao n˜ao trivial (porque a ∈ A e b ∈ B), o que ´e vedado pelo Teorema 5 do Cap´ıtulo 5. Logo, deve ser A ∩ B 6= ∅ e o teorema est´a provado. Corol´ ario. Se I ⊂ R ´e um intervalo e f : I → R ´e cont´ınua ent˜ ao f (I) ´e um intervalo. Isto ´e ´ obvio se f ´e constante. Caso contr´ario, sejam α = inf f (I) = inf{f (x); x ∈ I} e β = sup f (I) = sup{f (x); x ∈ I}. Se f (I) for ilimitado, tomaremos α = −∞ e/ou β = +∞. Para provar que f (I) ´e um intervalo (aberto, fechado ou semi-aberto) cujos extremos s˜ ao α e β, tomemos d tal que α < d < β. Pelas defini¸c˜oes de inf e sup, existem a, b ∈ I tais que α ≤ f (a) < d < f (b) ≤ β. Pelo Teorema 4 existe c ∈ [a, b], logo c ∈ I, tal que f (c) = d. Assim d ∈ f (I). Isto prova que (α, β) ⊂ f (I). Como α ´e o inf e β ´e o sup de f (I), nenhum n´ umero real menor do que α ou maior do que β pode estar em f (I). Portanto f (I) ´e um intervalo cujos extremos s˜ ao α e β. Observa¸ c˜ ao. Se I = [a, b] ´e um intervalo compacto ent˜ao f (I) ´e tamb´em um intervalo compacto, pelo Teorema 7, a seguir. Mas se I n˜ao ´e fechado ou ´e ilimitado, f (I) pode n˜ao ser do mesmo tipo que I. Por exemplo, seja f : R → R dada por f (x) = sen x. Tomando sucessivamente os intervalos abertos I1 = (0, 7), I2 = (0, π/2) e I3 = (0, π) temos f (I1 ) = [−1, 1], f (I2 ) = (0, 1) e f (I3 ) = (0, 1]. Exemplo 2. Como aplica¸c˜ao, mostraremos que todo polinˆ omio p : R → R, de grau ´ımpar, possui alguma raiz real. Seja p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn com n ´ımpar e an 6= 0. Para fixar as id´eias, suporemos an > 0. Pondo an xn em evidˆencia podemos escrever p(x) = an xn · r(x), onde r(x) =

a0 1 a1 1 an−1 1 · n+ · n−1 + · · · + · + 1. an x an x an x

Se¸c˜ ao 2

Fun¸c˜ oes cont´ınuas num intervalo

79

´ claro que limx→+∞ r(x) = limx→−∞ r(x) = 1. Logo limx→+∞ p(x) = E limx→+∞ an xn = +∞ e limx→−∞ p(x) = limx→−∞ an xn = −∞ (porque n ´e ´ımpar). Portanto o intervalo p(R) ´e ilimitado inferior e superiormente, isto ´e p(R) = R. Isto significa que p : R → R ´e sobrejetiva. Em particular, deve existir c ∈ R tal que p(c) = 0. Evidentemente, um polinˆ omio de grau par, como p(x) = x2 + 1, por exemplo, pode n˜ao ter raiz real. √ Exemplo 3. (Existˆencia de n a.) Fixado n ∈ N, a fun¸c˜ao f : [0, +∞) → [0, +∞), definida por f (x) = xn , ´e crescente (portanto injetiva), com f (0) = 0 e limx→+∞ f (x) = +∞. Sua imagem ´e, portanto, um subintervalo ilimitado de [0, +∞), contendo seu extremo inferior, igual a zero. Logo f ([0, +∞)) = [0, +∞), isto ´e, f ´e uma bije¸c˜ao de [0, +∞) sobre si mesmo. Isto significa que, para todo n´ umero real a ≥ 0, existe um u ´nico √ n´ umero real b ≥ 0 tal que a = bn , ou seja, b = n a. No caso particular de n ´ımpar, a fun¸c˜ao x 7→ xn ´e uma bije¸c˜ao de R sobre R, de modo que, neste caso, todo n´ umero real a possui uma raiz n-´esima, que ´e positiva quando a > 0 e negativa se a < 0. Exemplo 4. O Teorema 4 ´e do tipo dos chamados “teoremas de existˆencia”. Sob certas condi¸c˜oes, ele assergura a existˆencia de uma raiz para a equa¸c˜ao f (x) = d. Uma de suas mais simples aplica¸c˜oes ´e a seguinte. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que f (a) ≤ a e b ≤ f (b). Nestas condi¸c˜oes, existe pelo menos um n´ umero c ∈ [a, b] tal que f (c) = c. Com efeito, a fun¸c˜ao ϕ : [a, b] → R, definida por ϕ(x) = x − f (x), ´e cont´ınua, com ϕ(a) ≥ 0 e ϕ(b) ≤ 0. Pelo Teorema 4, deve existir c ∈ [a, b] tal que ϕ(c) = 0, isto ´e, f (c) = c. Um ponto x ∈ X tal que f (x) = x chama-se um ponto fixo da fun¸c˜ao f : X → R. O resultado que acabamos de provar ´e a vers˜ao unidimensional do conhecido “Teorema do ponto fixo de Brouwer”. Outra aplica¸c˜ao do Teorema 4 se refere `a continuidade da fun¸c˜ao inversa. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bije¸c˜ao. Supondo f cont´ınua, pode-se concluir que sua inversa f −1 : Y → X tamb´em seja cont´ınua? A resposta ´e, em geral, negativa, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 5. Sejam X = [−1, 0] ∪ (1, 2] e Y = [0, 4]. A fun¸c˜ao f : X → Y , definida por f (x) = x2 , ´e uma bije¸c˜ao de X sobre Y , a qual ´e obviamente cont´ınua (ver Fig. 3). Sua inversa g : Y → X ´e dada por √ √ g(y) = − y se 0 ≤ y ≤ 1 e g(y) = y se 1 < y ≤ 4. Logo g ´e descont´ınua no ponto y = 1. (Pois limy→1− g(y) = −1 e limy→1+ g(y) = 1.)

80

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Cap. 7

Figura 3

Mostraremos agora que se uma bije¸c˜ao f : I → J, entre intervalos, ´e cont´ınua, ent˜ao sua inversa f −1 : J → I tamb´em ´e cont´ınua. Na se¸c˜ao 3, abaixo, veremos que a inversa de uma bije¸c˜ao cont´ınua tamb´em ´e cont´ınua se o dom´ınio ´e compacto. (No Exemplo 5, o dom´ınio de f n˜ao ´e um intervalo nem ´e um conjunto compacto.) Teorema 5. Seja I ⊂ R um intervalo. Toda fun¸ca ˜o cont´ınua injetiva f : I → R ´e mon´ otona e sua inversa g : J → I, definida no intervalo J = f (I), ´e cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos, inicialmente, que I = [a, b] seja um intervalo limitado e fechado. Para fixar as id´eias, seja f (a) < f (b). Mostraremos ent˜ao que f ´e crescente. Do contr´ario existiriam pontos x < y em [a, b] com f (x) > f (y). H´ a duas possibilidades: f (a) < f (y) ou f (a) > f (y). No primeiro caso, temos f (a) < f (y) < f (x) logo, pelo Teorema 4, existe c ∈ (a, x) com f (c) = f (y) assim contradizendo a injetividade de f . No segundo caso, vem f (y) < f (a) < f (b) portanto existir´ a c ∈ (y, b) com f (c) = f (a), outra contradi¸c˜ao. Logo f ´e mesmo crescente. Agora seja f : I → R cont´ınua e injetiva no intervalo arbitr´ ario I. Se f n˜ao fosse mon´otona, existiriam pontos u < v e x < y em I tais que f (u) < f (v) e f (x) > f (y). Sejam a o menor e b o maior dos n´ umeros u, v, x, y. Ent˜ao f , restrita ao intervalo [a, b], seria cont´ınua, injetiva por´em n˜ao mon´otona, contradizendo o que acabamos de provar. Finalmente, consideremos a inversa g : J → I da bije¸c˜ao cont´ınua crescente f : I → J. Evidentemente, g ´e crescente. Sejam a ∈ I um ponto arbitr´ ario e b = f (a). Para provar que g ´e cont´ınua no ponto b,

Se¸c˜ ao 3

Fun¸c˜ oes cont´ınuas em conjuntos compactos

81

come¸camos supondo a interior a I. Ent˜ao, dado ε > 0, podemos admitir que (a − ε, a + ε) ⊂ I. Assim, f (a − ε) = b − α e f (a + ε) = b + β, onde α > 0 e β > 0. Seja δ = min{α, β}. Como g ´e crescente, y ∈ J, b − δ < y < b + δ ⇒ b − α < y < b + β ⇒ g(b − α) < g(y) < g(b + β) ⇒ a − ε < g(y) < a + ε. Logo g ´e cont´ınua no ponto b. Se, entretanto, a ´e uma extremidade de I, digamos a inferior, ent˜ao b = f (a) ´e a extremidade inferior de J. Dado arbitrariamente ε > 0 podemos supor a + ε ∈ I e teremos f (a + ε) = b + δ, δ > 0. Ent˜ao y ∈ J, b − δ < y < b + δ ⇒ b ≤ y < b + δ

⇒ a ≤ g(y) < g(b + δ)

⇒ a ≤ g(y) < a + ε

⇒ a − ε < g(y) < a + ε logo g ´e, ainda neste caso, cont´ınua no ponto b. Corol´ ario. Para todo n ∈ N, a fun¸ca ˜o g : [0, +∞) → [0, +∞), definida √ por g(x) = n x, ´e cont´ınua. Com efeito, g ´e a inversa da bije¸c˜ao cont´ınua f : [0, +∞) → [0, +∞), definida por f (x) = xn . No caso particular de n ´ımpar, f : R → R dada por f (x) = xn ´e uma bije¸c˜ao cont´ınua e sua inversa g : R → R, ainda indicada com a nota¸c˜ao √ g(x) = n x, ´e cont´ınua em toda a reta. Sejam X ⊂ R e Y ⊂ R. Um homeomorfismo entre X e Y ´e uma biej¸c˜ao cont´ınua f : X → Y cuja inversa f −1 : Y → X ´e tamb´em cont´ınua. O Teorema 5 diz, portanto, que se I ´e um intervalo ent˜ao toda fun¸c˜ao cont´ınua e injetiva f : I → R ´e um homeomorfismo entre I e o intervalo J = f (I).

3

Fun¸c˜ oes cont´ınuas em conjuntos compactos

Muitos problemas em Matem´ atica e nas suas aplica¸c˜oes consistem em procurar pontos de um conjunto X nos quais uma certa fun¸c˜ao real f : X → R assume seu valor m´ aximo ou seu valor m´ınimo. Antes de tentar resolver um desses problemas, ´e necess´ario saber se realmente tais pontos existem. Para come¸car, a fun¸c˜ao f pode ser ilimitada superiormente (e ent˜ao n˜ao possui valor m´ aximo) ou inferiormente (e n˜ao ter´ a valor m´ınimo). Entretanto, mesmo limitada, f pode n˜ao assumir valor m´ aximo em X, ou m´ınimo, ou nenhum dos dois.

82

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Cap. 7

Exemplo 6. Sejam X = (0, 1) e f : X → R dada por f (x) = x. Ent˜ao f (X) = (0, 1) logo, para todo x ∈ X existem x′ , x′′ ∈ X com f (x′ ) < f (x) < f (x′′ ). Isto significa que, para nenhum x ∈ X, o valor f (x) ´e o maior nem o menor que f assume em X. Noutro exemplo, podemos tomar g : R → R, g(x) = 1/(1 + x2 ). Temos 0 < g(x) ≤ 1 para todo x ∈ R. Como g(0) = 1, vemos que g(0) ´e o valor m´ aximo de g(x) para todo x ∈ R. Mas n˜ao existe x ∈ R tal que g(x) seja o menor valor de g. Com efeito, se x > 0 basta tomar x′ > x para ter g(x′ ) < g(x). E se x < 0, toma-se x′ < x e se tem novamente g(x′ ) < g(x).

Figura 4: Gr´ afico da fun¸c˜ ao g(x) =

1 . 1 + x2

O teorema seguinte assegura a existˆencia de valores m´ aximos e m´ınimos de uma fun¸c˜ao cont´ınua quando seu dom´ınio ´e compacto. Teorema 6. (Weierstrass.) Seja f : X → R cont´ınua no conjunto compacto X ⊂ R. Existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X. Estabeleceremos o Teorema de Weierstrass como conseq¨ uˆencia do

Teorema 7. A imagem f (X) de um conjunto compacto X ⊂ R por uma fun¸ca ˜o cont´ınua f : X → R ´e um conjunto compacto.

Demonstra¸ c˜ ao: De acordo com o Teorema 8 do Cap´ıtulo 5, devemos provar que toda seq¨ uˆencia de pontos yn ∈ f (X) possui uma subseq¨ uˆencia que converge para algum ponto em f (X). Ora, para cada n ∈ N temos yn = f (xn ), com xn ∈ X. Como X ´e compacto, a seq¨ uˆencia (xn ) possui uma subseq¨ uˆencia (xn )n∈N′ que converge para um ponto a ∈ X. Sendo f cont´ınua no ponto a, de limn∈N′ xn = a conclu´ımos que, pondo b = f (a), temos b ∈ f (X) e, al´em disso, limn∈N′ yn = limn∈N′ f (xn ) = f (a) = b, como quer´ıamos demonstrar.

Se¸c˜ ao 4

Continuidade uniforme

83

Demonstra¸ c˜ ao: (do Teorema 6.) Como foi visto na se¸c˜ao 4 do Cap´ıtulo 5, o conjunto compacto f (X) possui um menor elemento f (x0 ) e um maior elemento f (x1 ). Isto quer dizer que existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X. Corol´ ario. Se X ⊂ R ´e compacto ent˜ ao toda fun¸ca ˜o cont´ınua f : X → R ´e limitada, isto ´e, existe c > 0 tal que |f (x)| ≤ c para todo x ∈ X. Exemplo 7. A fun¸c˜ao f : (0, 1] → R, definida por f (x) = 1/x, ´e cont´ınua por´em n˜ao ´e limitada. Isto se d´a porque seu dom´ınio (0, 1] n˜ao ´e compacto. Teorema 8. Se X ⊂ R ´e compacto ent˜ ao toda bije¸ca ˜o cont´ınua f : X → Y ⊂ R tem inversa cont´ınua g : Y → X.

Demonstra¸ c˜ ao: Tomemos um ponto arbitr´ ario b = f (a) em Y e mostremos que g ´e cont´ınua no ponto b. Se n˜ao fosse assim, existiriam um n´ umero ε > 0 e uma seq¨ uˆencia de pontos yn = f (xn ) ∈ Y com lim yn = b e |g(yn ) − g(b)| ≥ ε, isto ´e, |xn − a| ≥ ε para todo n ∈ N. Passando a uma subseq¨ uˆencia, se necess´ario, podemos supor que lim xn = a′ ∈ X, pois X ´e compacto. Tem-se |a′ − a| ≥ ε. Em particular, a′ 6= a. Mas, pela continuidade de f , lim yn = lim f (xn ) = f (a′ ). Como j´a temos lim yn = b = f (a), da´ı resultaria f (a) = f (a′ ), contradizendo a injetividade de f . Exemplo 8. O conjunto Y = {0, 1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } ´e compacto e a bije¸c˜ao f : N → Y , definida por f (1) = 0, f (n) = 1/(n − 1) se n > 1, ´e cont´ınua mas sua inversa f −1 : Y → N ´e descont´ınua no ponto 0. Logo, no Teorema 8, a compacidade de X n˜ao pode ser substitu´ıda pela de Y .

4

Continuidade uniforme

Seja f : X → R cont´ınua. Dado ε > 0, para cada x ∈ X pode-se achar δ > 0 tal que y ∈ X, |y − x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε. O n´ umero positivo δ depende n˜ao apenas do ε > 0 dado mas tamb´em do ponto x no qual a continuidade de f ´e examinada. Nem sempre, dado ε > 0, pode-se encontrar um δ > 0 que sirva em todos os pontos x ∈ X (mesmo sendo f cont´ınua em todos esses pontos). Exemplo 9. Seja f : R−{0} → R definida por f (x) = x/|x|, logo f (x) = 1 se x > 0 e f (x) = −1 para x < 0. Esta fun¸c˜ao ´e cont´ınua em R − {0} pois ´e constante numa vizinhan¸ca de cada ponto x 6= 0. Entretanto,

84

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Cap. 7

se tomarmos ε < 2, para todo δ > 0 que escolhermos, existir˜ ao sempre pontos x, y ∈ R − {0} tais que |y − x| < δ e |f (y) − f (x)| ≥ ε. Basta tomar x = δ/3 e y = −δ/3. Exemplo 10. A fun¸c˜ao f : R+ → R, definida por f (x) = 1/x, ´e cont´ınua. Mas, dado ε, com 0 < ε < 1, seja qual for δ > 0 escolhido, tomamos um n´ umero natural n > 1/δ e pomos x = 1/n, y = 1/2n. Ent˜ao 0 < y < x < δ, donde |y − x| < δ por´em |f (y) − f (x)| = 2n − n = n ≥ 1 > ε. Uma fun¸c˜ao f : X → R diz-se uniformemente cont´ınua no conjunto X quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε. Uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua f : X → R ´e cont´ınua em todos os pontos do conjunto X. A rec´ıproca ´e falsa, como se vˆe nos Exemplos 9 e 10 acima. A continuidade de uma fun¸c˜ao f : X → R no ponto a ∈ X significa que se pode tornar f (x) t˜ao pr´oximo de f (a) quanto se deseje, contanto que se tome x suficientemente pr´oximo de a. Note-se a assimetria: o ponto a est´a fixo e x se aproxima dele, a fim de que f (x) se aproxime de f (a). Na continuidade uniforme, pode-se fazer com que f (x) e f (y) se tornem t˜ao pr´oximos um do outro quanto se queira, bastando que x, y ∈ X estejam tamb´em pr´oximos. Aqui, x e y s˜ ao vari´aveis e desempenham pap´eis sim´etricos na defini¸c˜ao. Outra distin¸c˜ao entre a mera continuidade e a continuidade uniforme ´e a seguinte: se cada ponto x ∈ X possui uma vizinhan¸ca V tal que a restri¸c˜ao de f a X ∩ V ´e cont´ınua, ent˜ao a fun¸c˜ao f : X → R ´e cont´ınua. Mas, como mostram o Exemplo 9 e o Exemplo 10 acima, se cada ponto x ∈ X possui uma vizinhan¸ca V tal que f ´e uniformemente cont´ınua em X ∩ V , da´ı n˜ao se conclui necessariamente que f : X → R seja uniformemente cont´ınua no conjunto X. Isto se exprime dizendo que a continuidade ´e uma no¸c˜ao local enquanto a continuidade uniforme ´e um conceito global. Exemplo 11. Uma fun¸c˜ao f : X → R chama-se lipschitziana quando existe uma constante k > 0 (chamada constante de Lipschitz da fun¸c˜ao f ) tal que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| sejam quais forem x, y ∈ X. A fim de que f : X → R seja lipschitziana ´e necess´ario e suficiente que o quociente [f (y) − f (x)]/(y − x) seja limitado, isto ´e, que exista uma constante k > 0 tal que x, y ∈ X, x 6= y ⇒ |f (y) − f (x)|/|y − x| ≤ k. Toda

Se¸c˜ ao 4

Continuidade uniforme

85

fun¸c˜ao lipschitziana f : X → R ´e uniformente cont´ınua: dado ε > 0, tome-se δ = ε/k. Ent˜ao x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ k|x − y| < k · ε/k = ε. Se f : R → R ´e um polinˆ omio de grau 1, isto ´e, f (x) = ax + b, com a 6= 0, ent˜ao f ´e lipschitziana com constante k = |a| pois |f (y) − f (x)| = |ay + b − (ax + b)| = |a| · |y − x|. A fun¸c˜ao f do Exemplo 10 evidentemente n˜ao ´e lipschitziana pois n˜ao ´e uniformemente cont´ınua. Entretanto, para todo a > 0, a restri¸c˜ao de f ao intervalo [a, +∞) ´e lipschitziana (e, portanto, uniformemente cont´ınua), com constante k = 1/a2 . Com efeito, se x ≥ a e y ≥ a ent˜ao |f (y) − f (x)| = |y − x|/|yx| ≤ |y − x|/a2 = k|y − x|. Teorema 9. A fim de que f : X → R seja uniformemente cont´ınua ´e necess´ ario e suficiente que, para todo par de seq¨ uˆencias (xn ), (yn ) em X com lim(yn − xn ) = 0, tenha-se lim[f (yn ) − f (xn )] = 0.

Demonstra¸ c˜ ao: Se f ´e uniformemente cont´ınua e lim(yn − xn ) = 0 ent˜ao, dado arbitrariamente ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, |y−x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε. Existe tamb´em n0 ∈ N tal que n > n0 implica |yn − xn | < δ. Logo n > n0 implica |f (yn ) − f (xn )| < ε e da´ı lim[f (yn ) − f (xn )] = 0. Reciprocamente, suponhamos v´alida a condi¸c˜ao estipulada no enunciado do teorema. Se f n˜ao fosse uniformemente cont´ınua, existiria um ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo n ∈ N poder´ıamos achar pontos xn , yn em X tais que |yn − xn | < 1/n e |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε. Ent˜ao ter´ıamos lim(yn − xn ) = 0 sem que fosse lim[f (yn )−f (xn )] = 0. Esta contradi¸c˜ao conclui a prova do teorema. Exemplo 12. A fun¸c˜ao f : R → R, dada por f (x) = x2 , n˜ao ´e uniformemente cont´ınua. Com efeito, tomando xn = n e yn = n + 1/n temos lim(yn − xn ) = lim(1/n) = 0 mas f (yn ) − f (xn ) = n2 + 2 + 1/n2 − n2 = 2 + 1/n2 > 2, logo n˜ao se tem lim[f (yn ) − f (xn )] = 0. Teorema 10. Seja X ⊂ R compacto. Toda fun¸ca ˜o cont´ınua f : X → R ´e uniformemente cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao: Se f n˜ao fosse uniformemente cont´ınua, existiriam ε > 0 e duas seq¨ uˆencias (xn ), (yn ) em X satisfazendo lim(yn − xn ) = 0 e |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε para todo n ∈ N. Passando a uma subseq¨ uˆencia, se necess´ario, podemos supor, em virtude da compacidade de X, que lim xn = a ∈ X. Ent˜ao, como yn = (yn − xn ) + xn , vale tamb´em lim yn = a. Sendo f cont´ınua no ponto a, temos lim[f (yn ) − f (xn )] = lim f (yn ) − lim f (xn ) = f (a) − f (a) = 0, contradizendo que seja |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε para todo n ∈ N.

86

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Cap. 7

√ Exemplo 13. A fun¸c˜ao f : [0, +∞) → R dada por f (x) = x, n˜ao ´e lipschitziana. Com efeito, multiplicando o numerador e o denominador √ √ √ √ √ √ por y + x, vemos que ( y − x)/(y − x) = 1/( y + x). To√ √ mando x 6= y suficientemente pequenos, podemos tornar y + x t˜ao √ √ pequeno quanto se deseje, logo o quociente ( y− x)/(y−x) ´e ilimitado. Entretanto, f ´e lipschitziana (portanto uniformemente cont´ınua) no in√ √ √ √ tervalo [1, +∞), pois x, y ∈ [1, +∞) ⇒ x + y ≥ 2 ⇒ | y − x| = √ √ |y − x|/( y + x) ≤ 21 |y − x|. Tamb´em no intervalo [0, 1], embora n˜ao seja lipschitziana, f ´e uniformemente cont´ınua porque [0, 1] ´e compacto. Da´ı resulta que f : [0, +∞) → R ´e uniformemente cont´ınua. Com efeito, dado ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ1 ⇒ |f (y) − f (x)| < ε/2 e x, y ∈ [1, +∞), |y − x| < δ2 ⇒ |f (y) − f (x)| < ε/2. Seja δ = min{δ1 , δ2 }. Dados x, y ∈ [0, +∞) com |y − x| < δ, se x, y ∈ [0, 1] ou x, y ∈ [1, +∞) temos obviamente |f (y) − f (x)| < ε. Se, digamos, x ∈ [0, 1] e y ∈ [1, +∞) ent˜ao |y − 1| < δ e |1 − x| < δ logo |f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − f (1)| + |f (1) − f (x)| < ε/2 + ε/2 = ε. Teorema 11. Toda fun¸ca ˜o f : X → R, uniformemente cont´ınua num conjunto limitado X, ´e uma fun¸ca ˜o limitada. Demonstra¸ c˜ ao: Se f n˜ao fosse limitada (digamos superiormente) ent˜ao existiria uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X tais que f (xn+1 ) > f (xn ) + 1 para todo n ∈ N. Como X ´e limitado, podemos (passando a uma subseq¨ uˆencia, se necess´ario) supor que a seq¨ uˆencia (xn ) ´e convergente. Ent˜ao, pondo yn = xn+1 , ter´ıamos lim(yn − xn ) = 0 mas, como f (yn ) − f (xn ) > 1, n˜ao vale lim[f (yn ) − f (xn )] = 0, logo f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua. O Teorema 11 d´a outra maneira de ver que f (x) = 1/x n˜ao ´e uniformemente cont´ınua no intervalo (0, 1], pois f ((0, 1]) = [1, +∞). Teorema 12. Se f : X → R ´e uniformemente cont´ınua ent˜ ao, para cada a ∈ X ′ (mesmo que a n˜ ao perten¸ca a X), existe limx→a f (x).

Demonstra¸ c˜ ao: Fixemos uma seq¨ uˆencia de pontos an ∈ X − {a} com lim an = a. Segue-se do Teorema 11 que a seq¨ uˆencia (f (an )) ´e limitada. Passando a uma subseq¨ uˆencia, se necess´ario, podemos supor que lim f (an ) = b. Afirmamos agora que se tem lim f (xn ) = b seja qual for a seq¨ıˆencia de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a. Com efeito, temos lim(xn − an ) = 0. Como f ´e uniformemente cont´ınua, seguese que lim[f (xn ) − f (an )]=0, logo lim f (xn )= lim f (an ) + lim[f (xn ) − f (an )]=b.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

87

Exemplo 14. O Teorema 12 implica que 1/x em R+ , bem como x/|x| e sen(1/x) em R − {0}, n˜ao s˜ ao uniformemente cont´ınuas.

5

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

Defini¸ c˜ ao e primeiras propriedades

1. Sejam f, g : X → R cont´ınuas no ponto a ∈ X. Prove que s˜ ao cont´ınuas no ponto a as fun¸c˜oes ϕ, ψ : X → R, definidas por ϕ(x) = max{f (x), g(x)} e ψ(x) = min{f (x), g(x)} para todo x ∈ X. 2. Sejam f, g : X → R cont´ınuas. Prove que se X ´e aberto ent˜ao o conjunto A = {x ∈ X; f (x) 6= g(x)} ´e aberto e se X ´e fechado ent˜ao o conjunto F = {x ∈ X; f (x) = g(x)} ´e fechado. 3. Uma fun¸c˜ao f : X → R diz-se semi-cont´ınua superiormente (scs) no ponto a ∈ X quando, para cada c > f (a) dado, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam f (x) < c. Defina fun¸ca ˜o semicont´ınua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f ´e cont´ınua no ponto a se, e somente se, ´e scs e sci nesse ponto. Prove que se f ´e scs, g ´e sci no ponto a e f (a) < g(a) ent˜ao existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) < g(x). 4. Seja f : R → R cont´ınua. Prove que se f (x) = 0 para todo x ∈ X ent˜ao f (x) = 0 para todo x ∈ X. 5. Prove que f : R → R ´e cont´ınua se, e somente se, para todo X ⊂ R, tem-se f (X) ⊂ f (X). 6. Sejam f, g : X → R cont´ınuas no ponto a. Suponha que, em cada vizinhan¸ca V de a, existam pontos x, y tais que f (x) < g(x) e f (y) > g(y). Prove que f (a) = g(a). 7. Seja f : X → R descont´ınua no ponto a ∈ X. Prove que existe ε > 0 com a seguinte propriedade: ou se pode achar uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ X com lim xn = a e f (xn ) > f (a) + ε para todo n ∈ N ou acha-se (yn ) com yn ∈ X, lim yn = a e f (yn ) < f (a) − ε para todo n ∈ N.

88

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas

Se¸ c˜ ao 2:

Cap. 7

Fun¸ co ˜es cont´ınuas num intervalo

1. Uma fun¸c˜ao f : X → R diz-se localmente constante quando todo ponto de X possui uma vizinhan¸ca V tal que f ´e constante em V ∩ X. Prove que toda fun¸c˜ao f : I → R, localmente constante num intervalo I, ´e constante. 2. Seja f : I → R uma fun¸c˜ao mon´otona, definida no intervalo I. Se a imagem f (I) ´e um intervalo, prove que f ´e cont´ınua. 3. Diz-se que uma fun¸c˜ao f : I → R, definida no intervalo I, tem a propriedade do valor intermedi´ ario quando a imagem f (J) de todo intervalo J ⊂ I ´e um intervalo. Mostre que a fun¸c˜ao f : R → R, dada por f (x) = sen(1/x) se x 6= 0 e f (0) = 0, tem a propriedade do valor intermedi´ario, embora seja descont´ınua. 4. Seja f : I → R uma fun¸c˜ao com a propriedade do valor intermedi´ ario. Se, para cada c ∈ R, existe apenas um n´ umero finito de pontos x ∈ I tais que f (x) = c, prove que f ´e cont´ınua. 5. Seja f : [0, 1] → R cont´ınua, tal que f (0) = f (1). Prove que existe x ∈ [0, 1/2] tal que f (x) = f (x + 1/2). Prove o mesmo resultado com 1/3 em vez de 1/2. Generalize.

Se¸ c˜ ao 3:

Fun¸ co ˜es cont´ınuas em conjuntos compactos

1. Seja f : R → R cont´ınua, tal que limx→+∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = +∞. Prove que existe x0 ∈ R tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R.

2. Seja f : R→R cont´ınua, com lim f (x)= + ∞ e lim f (x)= − ∞. x→+∞

x→−∞

Prove que, para todo c ∈ R dado, existe entre as ra´ızes x da equa¸c˜ao f (x) = c uma cujo m´ odulo |x| ´e m´ınimo.

3. Prove que n˜ao existe uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] → R que assuma cada um dos seus valores f (x), x ∈ [a, b], exatamente duas vezes.

4. Uma fun¸c˜ao f : R → R diz-se peri´ odica quando existe p ∈ R+ tal que f (x + p) = f (x) para todo x ∈ R. Prove que toda fun¸c˜ao cont´ınua peri´ odica f : R → R ´e limitada e atinge seus valores m´ aximo e m´ınimo, isto ´e, existem x0 , x1 ∈ R tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ R.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

89

5. Seja f : X → R cont´ınua no conjunto compacto X. Prove que, para todo ε > 0 dado, existe kε > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| ≥ ε ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ kε |y − x|. (Isto significa que f cumpre a condi¸c˜ao de Lipschitz contanto que os pontos x, y n˜ao estejam muito pr´oximos.) Se¸ c˜ ao 4:

Continuidade uniforme

1. Se toda fun¸c˜ao cont´ınua f : X → R ´e uniformemente cont´ınua, prove que o conjunto X ´e fechado por´em n˜ao necessariamente compacto. 2. Mostre que a fun¸c˜ao cont´ınua f : R → R, dada por f (x) = sen(x2 ), n˜ao ´e uniformemente cont´ınua. 3. Dada f : X → R uniformemente cont´ınua, defina ϕ : X → R pondo ϕ(x) = f (x) se x ∈ X ´e um ponto isolado e ϕ(x) = limy→x f (y) se x ∈ X ′ . Prove que ϕ ´e uniformemente cont´ınua e ϕ(x) = f (x) para todo x ∈ X.

4. Seja f : R → R cont´ınua. Se existem

lim f (x) e

x→+∞

lim f (x),

x→−∞

prove que f ´e uniformemente cont´ınua. Mesma conclus˜ao vale se existem os limites de f (x) − x quando x → ±∞.

5. Sejam f, g : X → R uniformemente cont´ınuas. Prove que f + g ´e uniformemente cont´ınua. O mesmo ocorre com o produto f · g, desde que f e g sejam limitadas. Prove que ϕ, ψ : X → R, dadas por ϕ(x) = max{f (x), g(x)} e ψ(x) = min{f (x), g(x)} x ∈ X s˜ ao uniformemente cont´ınuas.

8 Derivadas

Sejam f : X → R e a ∈ X. O quociente q(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) tem sentido para x 6= a, logo define uma fun¸c˜ao q : X − {a} → R, cujo valor q(x) ´e a inclina¸ca ˜o da secante (reta que liga os pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) no gr´ afico de f ) em rela¸c˜ao ao eixo x. Se imaginarmos x como o tempo e f (x) como a abcissa, no instante x, de um ponto m´ ovel que se desloca sobre o eixo x, ent˜ao q(x) ´e a velocidade m´edia desse ponto no intervalo de tempo decorrido entre os intantes a e x. De um modo geral, o quociente q(x) ´e a rela¸c˜ao entre a varia¸c˜ao de f (x) e a varia¸c˜ao de x a partir do ponto x = a. No caso em que a ∈ X ′ ∩ X ent˜ao ´e natural considerar limx→a q(x). As interpreta¸c˜oes deste limite, nos contextos acima, s˜ ao respectivamente a inclina¸c˜ao da tangente ao gr´ afico de f no ponto (a, f (a)), a velocidade instantˆanea do m´ ovel no instante x = a ou, em geral, a “taxa de varia¸c˜ao” da fun¸c˜ao f no ponto a. Esse limite ´e uma das no¸c˜oes mais importantes da Matem´ atica e suas aplica¸c˜oes. Ele ser´a o objeto de estudo neste cap´ıtulo.

Se¸c˜ ao 1

1

A no¸c˜ ao de derivada

91

A no¸c˜ ao de derivada

Sejam f : X → R e a ∈ X ∩ X ′ . A derivada da fun¸c˜ao f no ponto a ´e o limite f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) f ′ (a) = lim = lim · x→a h→0 x−a h Bem entendido, o limite acima pode existir ou n˜ao. Se existir, diz-se que f ´e deriv´ avel no ponto a. Quando existe a derivada f ′ (x) em todos os pontos x ∈ X ∩ X ′ diz-se que a fun¸c˜ao f : X → R ´e deriv´ avel no conjunto X e obt´em-se uma nova fun¸c˜ao f ′ : X ∩ X ′ → R, x 7→ f ′ (x), chamada a fun¸ca ˜o derivada de f . Se f ′ ´e cont´ınua, diz-se que f ´e de classe C 1 . Outras nota¸c˜oes para a derivada de f no ponto a s˜ ao df df Df (a), · (a) e dx dx x=a

Teorema 1. A fim de que f : X → R seja deriv´ avel no ponto a ∈ X ∩X ′ ´e necess´ ario e suficiente que exista c ∈ R tal que a+h ∈ X ⇒ f (a+h) = f (a) + c · h + r(h), onde limh→0 r(h)/h = 0. No caso afirmativo, tem-se c = f ′ (a). Demonstra¸ c˜ ao: Seja Y = {h ∈ R; a + h ∈ X}. Ent˜ao 0 ∈ Y ∩ Y ′ . Supondo que f ′ (a) exista, definimos r : Y → R pondo r(h) = f (a + h) − f (a) − f ′ (a) · h. Ent˜ao f (a + h) − f (a) r(h) = − f ′ (a), h h logo limh→0 r(h)/h = 0. A condi¸c˜ao ´e, portanto, necess´aria. Reciprocamente, se vale a condi¸c˜ao, ent˜ao r(h)/h = [f (a + h) − f (a)]/h − c, logo limh→0 (f (a + h) − f (a))/h − c = limh→0 r(h)/h = 0, portanto f ′ (a) existe e ´e igual a c. Corol´ ario. Uma fun¸ca ˜o ´e cont´ınua nos pontos em que ´e deriv´ avel. Com efeito, se f ´e deriv´avel no ponto a ent˜ao f (a+h) = f (a)+f ′ (a)· h + [r(h)/h]h com limh→0 [r(h)/h] = 0, logo limh→0 f (a + h) = f (a), ou seja, f ´e cont´ınua no ponto a. Observa¸ c˜ ao. Para toda fun¸c˜ao f , definida nos pontos a e a + h, e todo n´ umero real c, pode-se sempre escrever a igualdade f (a + h) = f (a) + c · h + r(h), a qual meramente define o n´ umero r(h). O que o Teorema 1

92

Derivadas

Cap. 8

afirma ´e que existe no m´ aximo um c ∈ R tal que limh→0 r(h)/h = 0. Este n´ umero c, quando existe, ´e igual a f ′ (a). O Teorema 1 diz tamb´em que, quando f ′ (a) existe, o acr´escimo f (a + h) − f (a) ´e a soma de uma “parte linear” c · h, proporcional ao acr´escimo h da vari´avel independente, mais um “resto” r(h), o qual ´e infinitamente pequeno em rela¸c˜ao a h, no sentido de que o quociente r(h)/h tende a zero com h. Quando a ∈ X ´e um ponto de acumula¸c˜ao `a direita, isto ´e, a ∈ ′ , pode-se tomar o limite f ′ (a) = lim X ∩ X+ x→a+ q(x). Quando existe, + este limite chama-se a derivada a ` direita de f no ponto a. Analogamente, ′ , tem sentido considerar o limite ` a esquerda f−′ (a) = se a ∈ X ∩ X− limx→a− q(x). Se existe, ele se chama a derivada a ` esquerda de f no ponto a. ′ ∩ X ′ , isto ´ Caso seja a ∈ X ∩ X+ e, caso a ∈ X seja ponto de − acumula¸c˜ao bilateral, a fun¸c˜ao f ´e deriv´avel no ponto a se, e somente se, existem e s˜ ao iguais as derivadas `a direita e `a esquerda, com f ′ (a) = ′ ′ f+ (a) = f− (a). O Teorema 1 (com limh→0+ r(h)/h e limh→0− r(h)/h) vale para derivadas laterais. E seu corol´ario tamb´em. Por exemplo, se existe a derivada ` a direita f+′ (a) ent˜ao f ´e cont´ınua a ` direita no ponto a, isto ´e, f (a) = limh→0+ f (a + h). ′ ∩ X ′ e existem ambas as derivadas Em particular, se a ∈ X ∩ X+ − ′ ′ laterais f+ (a) e f− (a) ent˜ao f ´e cont´ınua no ponto a. (Mesmo que essas derivadas laterais sejam diferentes.) Exemplo 1. Uma fun¸c˜ao constante ´e deriv´avel e sua derivada ´e identicamente nula. Se f : R → R ´e dada por f (x) = ax + b ent˜ao, para c ∈ R e h 6= 0 quaisquer, [f (c + h) − f (c)]/h = a, logo f ′ (c) = a. Para n ∈ N qualquer, a fun¸c˜ao f : R → R, com f (x) = xn , tem derivada f ′ (x) = n · xn−1 . Com efeito, pelo binˆ omio de Newton, f (x + h) = (x + h)n = xn + h · n · xn−1 + h2 · p(x, h), onde p(x, h) ´e um polinˆ omio em x e h. Portanto [f (x + h) − f (x)]/h = n · xn−1 + h · p(x, h). Segue-se que f ′ (x) = limh→0 [f (x + h) − f (x)]/h = n · xn−1 .

Exemplo 2. A fun¸c˜ao f : R → R, definida por f (x) = x · sen(1/x) quando x 6= 0, f (0) = 0, ´e cont´ınua e possui derivada em todo ponto x 6= 0. No ponto 0, temos [f (0 + h) − f (0)]/h = [h · sen(1/h)]/h = sen(1/h). Como n˜ao existe limh→0 sen(1/h), segue-se que f n˜ao ´e deriv´avel no ponto x = 0, onde nenhuma derivada lateral tampouco existe. Por outro lado, a fun¸c˜ao g : R → R, definida por g(x) = x · f (x), isto ´e, g(x) = x2 sen(1/x), x 6= 0, g(0) = 0, ´e deriv´avel no ponto x = 0 porque limh→0 [g(0 + h) − g(0)]/h = limh→0 h · sen(1/h) = 0. Logo g ′ (0) = 0.

Se¸c˜ ao 2

Regras operacionais

93

Quando x 6= 0, as regras de deriva¸c˜ao conhecidas d˜ao g ′ (x) = 2x · sen(1/x)−cos(1/x). Note-se que n˜ao existe limx→0 g ′ (x). Em particular, a fun¸c˜ao derivada, g ′ : R → R, n˜ao ´e cont´ınua no ponto 0, logo g n˜ao ´e de classe C 1 . Exemplo 3. A fun¸c˜ao ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = |x|, ´e deriv´avel em todo ponto x 6= 0. Com efeito, ϕ(x) = x se x > 0 e ϕ(x) = −x se x < 0. Logo ϕ′ (x) = 1 para x > 0 e ϕ′ (x) = −1 se x < 0. No ponto 0 n˜ao existe a derivada ϕ′ (0). De fato, existem ϕ′+ (0) = 1 e ϕ′− (0) = −1. A fun¸c˜ao I : R → R, definida por I(x) = n quando n ≤ x < n + 1, n ∈ Z, ´e deriv´avel, com I ′ (x) = 0, nos pontos x ∈ / Z. ′ ′ Se n ´e inteiro, existe I+ (n) = 0 mas n˜ao existe I− (n). Com efeito, se 1 > h > 0, tem-se I(n + h) = I(n) = n mas para −1 < h < 0 vale I(n + h) = n − 1, I(n) = n. Portanto limh→0+ [I(n + h) − I(n)]/h = 0 e limh→0− [I(n + h) − I(n)]/h = limh→0− (−1/h) n˜ao existe. Exemplo 4. (A Regra de L’Hˆ opital.) Esta regra constitui uma das mais populares aplica¸c˜oes da derivada. Em sua forma mais simples, ela se refere ao c´alculo de um limite da forma limx→a f (x)/g(x) no caso em que f e g s˜ ao deriv´aveis no ponto a e limx→a f (x) = f (a) = 0 = g(a) = limx→a g(x). Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de derivada, f ′ (a) = limx→a f (x)/(x − a) e g ′ (a) = limx→a g(x)/(x − a). Supondo g ′ (a) 6= 0, a Regra de L’Hˆ opital diz que limx→a f (x)/g(x) = f ′ (a)/g ′ (a). A prova ´e direta: f (x) lim f (x) f (x) f ′ (a) (x−a) x→a (x−a) lim = lim g(x) = · = g(x) x→a g(x) x→a g ′ (a) lim (x−a) (x−a) x→a

Como ilustra¸c˜ao, consideremos os limites limx→0 (sen x/x) e limx→0 (ex − 1)/x. Aplicando a Regra de L’Hˆ opital, o primeiro limite se reduz a 0 cos 0 = 1 e o segundo a e = 1. Conv´em observar, entretanto, que estas aplica¸c˜oes (e outras an´ alogas) da Regra de L’Hˆ opital s˜ ao indevidas pois, ′ para utiliz´a-la, ´e necess´ario conhecer as derivadas f (a) e g ′ (a). Nestes dois exemplos, os limites a calcular s˜ ao, por defini¸c˜ao, as derivadas de sen x e ex no ponto x = 0.

2

Regras operacionais

Teorema 2. Sejam f, g : X → R deriv´ aveis no ponto a ∈ X ∩ X ′ . As fun¸co ˜es f ± g, f · g e f /g (caso g(a) 6= 0) s˜ ao tamb´em deriv´ aveis no

94

Derivadas

Cap. 8

ponto a, com (f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g ′ (a),

(f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a) e  ′ f ′ (a) · g(a) − f (a) · g ′ (a) f (a) = · g g(a)2

Demonstra¸ c˜ ao: Veja qualquer livro de C´alculo. Teorema 3. (Regra da Cadeia.) Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X ∩ X ′ , b ∈ Y ∩ Y ′ , f (X) ⊂ Y e f (a) = b. Se f ´e deriv´ avel no ponto a e g ´e deriv´ avel no ponto b ent˜ ao g ◦ f : X → R ´e deriv´ avel no ponto a, com (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a). Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema 1, se a + h ∈ X tem-se f (a + h) − f (a) = f ′ (a) · h + r(h),

r(h) = 0. h→0 h

onde

lim

Pondo k = f (a + h) − f (a), tem-se ainda g(f (a+h))−g(f (a))=g ′ (f (a))·(f (a+h)−f (a))+s(k), com lim

k→0

s(k) =0. k

A continuidade de f no ponto a assegura que h → 0 implica k → 0. (Note-se que k ´e fun¸c˜ao de h.) Assim, g(f (a + h)) − g(f (a)) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) · h + g ′ (f (a)) · r(h) + s(k) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) · h + σ,

onde σ = g ′ (f (a)) · r(h) + s(k). Vemos que σ = σ(h) ´e fun¸c˜ao de h. Pelo Teorema 1, concluiremos que g ◦ f ´e deriv´avel no ponto a, com (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a), se mostrarmos que lim σ(h) h = 0. Ora, h→0

r(h) s(k) σ(h) = g ′ (f (a)) · + . h h h Mas

s(k) s(k) k s(k) f (a + h) − f (a) = , = · . h k h k h

Portanto lim

h→0

s(k) h

= 0 e conseq¨ uentemente, lim

h→0

σ(h) h

= 0.

Se¸c˜ ao 3

Derivada e crescimento local

95

Corol´ ario. Seja f : X → Y uma bije¸ca ˜o entre os conjuntos X, Y ⊂ R, −1 com inversa g = f : Y → X. Se f ´e deriv´ avel no ponto a ∈ X ∩ X ′ e g ´e cont´ınua no ponto b = f (a) ent˜ ao g ´e deriv´ avel no ponto b se, e somente se, f ′ (a) 6= 0. No caso afirmativo, tem-se g ′ (b) = 1/f ′ (a). Com efeito, se xn ∈ X − {a} para todo n ∈ N e lim xn = a ent˜ao, como f ´e injetiva e cont´ınua no ponto a, tem-se yn = f (xn ) ∈ Y − {b} e lim yn = b. Portanto, b ∈ Y ∩ Y ′ . Se g for deriv´avel no ponto b, a igualdade g(f (x)) = x, v´alida para todo x ∈ X, juntamente com a Regra da Cadeia, fornece g ′ (b) · f ′ (a) = 1. Em particular, f ′ (a) 6= 0. Reciprocamente, se f ′ (a) 6= 0 ent˜ao, para qualquer seq¨ uˆencia de pontos yn = f (xn ) ∈ Y − {b} com lim yn = b, a continuidade de g no ponto b nos d´a lim xn = a, portanto g ′ (b) ´e igual a  −1 g(yn ) − g(b) yn − b lim = lim yn − b g(yn ) − g(b)   f (xn ) − f (a) −1 1 = ′ · = lim xn − a f (a) Exemplo 5. Dada f : R → R deriv´avel, consideremos as fun¸c˜oes g : R → R e h : R → R, definidas por g(x) = f (x2 ) e h(x) = f (x)2 . Para todo x ∈ R tem-se g ′ (x) = 2x · f ′ (x2 ) e h′ (x) = 2f (x) · f ′ (x). Exemplo 6. Para n ∈ N fixo, a fun¸c˜ao g : [0, +∞) → [0, +∞), dada por √ √ n ′ n n−1 g(x) = x, ´e deriv´avel no intervalo (0, +∞) com g (x) = 1/(n x ). Com efeito, g ´e a inversa da bije¸c˜ao f : [0, +∞) → [0, +∞), dada por f (x) = xn . Pelo corol´ario acima, pondo y = xn , temos g ′ (y) = 1/f ′ (x) n−1 6= 0, isto ´ ′ (y) = 1/nxn−1 = se f ′ (x) = nx e, se x 6= 0. Assim, g√ p

n n ′ n−1 1/ n y e, mudando de nota¸c˜ao, g (x) = 1/ n xn−1 . No ponto √ x = 0, a fun¸c˜ao g(x) = n x n˜ao ´e deriv´avel (salvo quando n = 1). Por exemplo, a fun¸c˜ao ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = x3 , ´e um homeomorfismo, √ cujo inverso y 7→ 3 y n˜ao possui derivada no ponto 0.

3

Derivada e crescimento local

As proposi¸c˜oes seguintes, que se referem a derivadas laterais e a desigualdades, tˆem an´ alogas com f+′ trocada por f−′ , com > substitu´ıdo por 0 tal que x ∈ X, a < x < a+δ implicam com f+′ (a) > 0, ent˜ f (a) < f (x).

Demonstra¸ c˜ ao: Temos limx→a+ [f (x) − f (a)]/(x − a) = f+′ (a) > 0. Pela defini¸c˜ao de limite ` a direita, tomando ε = f+′ (a), obtemos δ > 0 tal que x ∈ X, a < x < a + δ ⇒ [f (x) − f (a)]/(x − a) > 0 ⇒ f (a) < f (x). Corol´ ario 1. Se f : X → R ´e mon´ otona n˜ ao-decrescente ent˜ ao suas derivadas laterais, onde existem, s˜ ao ≥ 0.

Com efeito, se alguma derivada lateral, digamos f+′ (a), fosse negativa ent˜ao o (an´ alogo do) Teorema 4 nos daria x ∈ X com a < x e f (x) < f (a), uma contradi¸c˜ao.

Corol´ ario 2. Seja a ∈ X um ponto de acumula¸ca ˜o bilateral. Se f : X → R ´e deriv´ avel no ponto a, com f ′ (a) > 0 ent˜ ao existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, a − δ < x < a < y < a + δ implicam f (x) < f (a) < f (y).

Diz-se que a fun¸c˜ao f : X → R tem um m´ aximo local no ponto a ∈ X quando existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam f (x) ≤ f (a). Quando x ∈ X, 0 < |x − a| < δ implicam f (x) < f (a), diz-se que f tem um m´ aximo local estrito no ponto a. Defini¸c˜oes an´ alogas para m´ınimo local e m´ınimo local estrito.

Quando a ∈ X ´e tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, diz-se que a ´e um ponto de m´ınimo absoluto para a fun¸c˜ao f : X → R. Se vale f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ X, diz-se que a ´e um ponto de m´ aximo absoluto. ′ Corol´ ario 3. Se f : X → R ´e deriv´ avel a ` direita no ponto a ∈ X ∩ X+ ′ e tem a´ı um m´ aximo local ent˜ ao f+ (a) ≤ 0.

Com efeito, se fosse f+′ (a) > 0 ent˜ao, pelo Teorema 4, ter´ıamos f (a) < f (x) para todo x ∈ X `a direita e suficientemente pr´oximo de a, logo f n˜ao teria m´ aximo local no ponto a.

Corol´ ario 4. Seja a ∈ X um ponto de acumula¸ca ˜o bilateral. Se f : X → R ´e deriv´ avel no ponto a e possui a´ı um m´ aximo ou m´ınimo local ent˜ ao ′ f (a) = 0. Com efeito, pelo Corol´ario 3 temos f+′ (a) ≤ 0 e f−′ (a) ≥ 0. Como = f+′ (a) = f−′ (a), segue-se que f ′ (a) = 0.

f ′ (a)

Se¸c˜ ao 4

Fun¸c˜ oes deriv´ aveis num intervalo

97

Exemplo 7. Do Teorema 4 e seu Corol´ario 2 n˜ao se pode concluir que uma fun¸c˜ao com derivada positiva num ponto a seja crescente numa vizinhan¸ca de a. (A menos que f ′ seja cont´ınua no ponto a.) Tudo o que se pode garantir ´e que f (x) < f (a) para x < a, x pr´oximo de a, e que f (x) > f (a) se x est´a pr´oximo de a, com x > a. Por exemplo, seja f : R → R dada por f (x) = x2 sen(1/x) + x/2 se x 6= 0 e f (0) = 0. A fun¸c˜ao f ´e deriv´avel, com f ′ (0) = 1/2 e f ′ (x) = 2x sen(1/x)−cos(1/x)+ 1/2 para x 6= 0. Se tomarmos x 6= 0 muito pequeno com sen(1/x) = 0 e cos(1/x) = 1 teremos f ′ (x) < 0. Se escolhermos x 6= 0 pequeno com sen(1/x) = 1 e cos(1/x) = 0, teremos f ′ (x) > 0. Logo existem pontos x arbitrariamente pr´oximos de 0 com f ′ (x) < 0 e com f ′ (x) > 0. Segue-se do Corol´ario 1 que f n˜ao ´e mon´otona em vizinhan¸ca alguma de 0. Exemplo 8. No Corol´ario 1, mesmo que f seja mon´otona crescente e deriv´avel, n˜ao se pode garantir que sua derivada seja positiva em todos os pontos. Por exemplo, f : R → R, dada por f (x) = x3 , ´e crescente mas sua derivada f ′ (x) = 3x2 se anula para x = 0. Exemplo 9. Se f : X → R tem, digamos, um m´ınimo local no ponto a ∈ X, n˜ao se pode concluir da´ı que seja f ′ (a) = 0. Em primeiro lugar, f ′ (a) pode n˜ao existir. Este ´e o caso de f : R → R, f (x) = |x|, que possui um m´ınimo local no ponto x = 0, onde se tem f+′ (0) = 1 e f−′ (0) = −1, em conformidade com o Corol´ario 3. Em segundo lugar, mesmo que f seja deriv´avel no ponto a, este pode n˜ao ser um ponto de acumula¸c˜ao ´ o caso da fun¸c˜ao f : [0, 1] → R, bilateral e a´ı pode ocorrer f ′ (a) 6= 0. E ′ ′ f (x) = x. Temos f (0) = f (1) = 1 embora f tenha um m´ınimo no ponto x = 0 e um m´ aximo no ponto x = 1. Um ponto c ∈ X chama-se ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao deriv´avel f : X → ′ ∩ X′ ´ R quando f ′ (c) = 0. Se c ∈ X ∩ X+ ınimo ou − e um ponto de m´ de m´ aximo local ent˜ao c ´e cr´ıtico, mas a rec´ıproca ´e falsa: a bije¸c˜ao crescente f : R → R, dada por f (x) = x3 , n˜ao pode ter m´ aximo nem m´ınimo local mas admite o ponto cr´ıtico x = 0.

4

Fun¸c˜ oes deriv´ aveis num intervalo

Mesmo quando ´e descont´ınua, a derivada goza da propriedade do valor intermedi´ario, como se ver´a a seguir. Teorema 5. (Darboux.) Seja f : [a, b] → R deriv´ avel. Se f ′ (a) < d < ′ ′ f (b) ent˜ ao existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.

98

Derivadas

Cap. 8

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos inicialmente d = 0. A fun¸c˜ao cont´ınua f , pelo Teorema de Weierstrass, atinge seu valor m´ınimo em algum ponto c do conjunto compacto [a, b]. Como f ′ (a) < 0, o Teorema 4 assegura a existˆencia de pontos x ∈ (a, b) tais que f (x) < f (a), logo esse m´ınimo n˜ao ´e atingido no ponto a, isto ´e, a < c. Por motivo an´ alogo tem-se c < b. O Corol´ario 4 ent˜ao nos d´a f ′ (c) = 0. O caso geral reduz-se a este considerando a fun¸c˜ao auxiliar g(x) = f (x) − dx. Ent˜ao g ′ (x) = f ′ (x) − d, donde g ′ (c) = 0 ⇔ f ′ (c) = d e g ′ (a) < 0 < g ′ (b) ⇔ f ′ (a) < d < f ′ (b). Exemplo 10. Seja g : [−1, 1] → R definida por g(x) = −1 se −1 ≤ x < 0 e g(x) = 1 se 0 ≤ x ≤ 1. A fun¸c˜ao g n˜ao goza da propriedade do valor intermedi´ario pois assume apenas os valores −1 e 1 no intervalo [−1, 1]. Logo n˜ao existe f : [−1, 1] → R deriv´avel tal que f ′ = g. Por outro lado, a fun¸c˜ao h : [−1, 1] → R, dada por h(x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) se x 6= 0, h(0) = 0, que possui uma descontinuidade bastante complicada no ponto x = 0, ´e a derivada da fun¸c˜ao f : [−1, 1] → R, f (x) = x2 sen(1/x) se x 6= 0, f (0) = 0. No Cap´ıtulo 11, veremos que toda fun¸c˜ao cont´ınua g : [a, b] → R ´e derivada de alguma fun¸c˜ao f : [a, b] → R e, no Exerc´ıcio 4.1 deste cap´ıtulo, o leitor ´e convidado a mostrar que se g : [a, b] → R ´e descont´ınua somente num ponto c ∈ (a, b) onde existem os limites laterais limx→c− g(x) e limx→c+ g(x) ent˜ao g n˜ao pode ser a derivada de uma fun¸c˜ao f : [a, b] → R. Teorema 6. (Rolle.) Seja f : [a, b] → R cont´ınua, com f (a) = f (b). Se f ´e deriv´ avel em (a, b) ent˜ ao existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0.

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge seu valor m´ınimo m e seu valor m´ aximo M em pontos de [a, b]. Se esses pontos forem a e b ent˜ao m = M e f ser´a constante, da´ı f ′ (x) = 0 qualquer que seja x ∈ (a, b). Se um desses pontos, digamos c, estiver em (a, b) ent˜ao f ′ (c) = 0.

Teorema 7. (Teorema do Valor M´ edio de Lagrange.) Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Se f ´e deriv´ avel em (a, b), existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = [f (b) − f (a)]/(b − a).

Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos a fun¸c˜ao auxiliar g : [a, b] → R, dada por g(x) = f (x) − dx, onde d ´e escolhido de modo que g(a) = g(b), ou seja, d = [f (b) − f (a)]/(b − a). Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g ′ (c) = 0, isto ´e, f ′ (c) = d = [f (b) − f (a)]/(b − a).

Se¸c˜ ao 4

Fun¸c˜ oes deriv´ aveis num intervalo

99

Um enunciado equivalente: Seja f : [a, a+h] → R cont´ınua, deriv´avel em (a, a + h). Existe um n´ umero θ, 0 < θ < 1 tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a + θh) · h. Corol´ ario 1. Uma fun¸ca ˜o f : I → R, cont´ınua no intervalo I, com derivada f ′ (x) = 0 para todo x ∈ int I, ´e constante. Com efeito, dados x, y ∈ I quaisquer, existe c entre x e y tal que f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) = 0 · (y − x) = 0, logo f (x) = f (y). Corol´ ario 2. Se f, g : I → R s˜ ao fun¸co ˜es cont´ınuas, deriv´ aveis em ′ ′ int I, com f (x) = g (x) para todo x ∈ int I ent˜ ao existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c para todo c ∈ I. Com efeito, basta aplicar o Corol´ario 1 `a diferen¸ca g − f . Corol´ ario 3. Seja f : I → R deriv´ avel no intervalo I. Se existe k ∈ R tal que |f ′ (x)| ≤ k para todo x ∈ I ent˜ ao x, y ∈ I ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|. Com efeito, dados x, y ∈ I, f ´e cont´ınua no intervalo fechado cujos extremos s˜ ao x, y e deriv´avel no seu interior. Logo existe z entre x e y tal que f (y) − f (x) = f ′ (z)(y − x), donde |f (y) − f (x)| = |f ′ (z)| |y − x| ≤ k|y − x|. Corol´ ario 4. A fim de que a fun¸ca ˜o deriv´ avel f : I → R seja mon´ otona n˜ ao-decrescente no intervalo I ´e necess´ ario e suficiente que f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Se f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I ent˜ ao f ´e uma bije¸ca ˜o −1 crescente de I sobre um intervalo J e sua inversa g = f : J → I ´e deriv´ avel, com g ′ (y) = 1/f ′ (x) para todo y = f (x) ∈ J. Com efeito, j´a sabemos, pelo Corol´ario 1 do Teorema 4, que se f ´e mon´otona n˜ao-decrescente ent˜ao f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Reciprocamente, se vale esta condi¸c˜ao ent˜ao, para quaisquer x, y em I, temos f (y) − f (x) = f ′ (z)(y − x), onde z ∈ I est´a entre x e y. Como f ′ (z) ≥ 0, vemos que f (y) − f (x) ≥ 0, isto ´e, x < y em I ⇒ f (x) ≤ f (y). Do mesmo modo se vˆe que, supondo f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I, tem-se f crescente. As demais afirma¸c˜oes seguem-se do Teorema 5, Cap´ıtulo 7 e do Corol´ario da Regra da Cadeia (Teorema 3). Exemplo 11. O Corol´ario 3 ´e a fonte mais natural de fun¸c˜oes lipschitzianas. Por exemplo, se p : R → R ´e um polinˆ omio ent˜ao, para cada subconjunto limitado X ⊂ R, a restri¸c˜ao p|X ´e lipschitziana porque a derivada p′ , sendo cont´ınua, ´e limitada no compacto X. Como toda fun¸c˜ao lipschitziana ´e uniformemente cont´ınua, segue-se do Teorema 12,

100

Derivadas

Cap. 8

Cap´ıtulo 7 que se f : (a, b) → R tem derivada limitada ent˜ao existem os limites laterais limx→a+ f (x) e limx→b− f (x). A fun¸c˜ao f : R+ → R, dada por f (x) = sen(1/x), n˜ao pode ter derivada limitada em nenhum intervalo do tipo (0, δ) pois n˜ao existe limx→0+ f (x).

5

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

A no¸ c˜ ao de derivada

1. A fim de que f : X → R seja deriv´avel no ponto a ∈ X ∩ X ′ ´e necess´ario e suficiente que exista uma fun¸c˜ao η : X → R, cont´ınua no ponto a, tal que f (x) = f (a) + η(x)(x − a) para todo x ∈ X.

2. Sejam f, g, h : X → R tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X. Se f e h s˜ ao deriv´aveis no ponto a ∈ X ∩ X ′ , com f (a) = ′ ′ h(a) e f (a) = h (a) prove que g ´e deriv´avel nesse ponto, com g ′ (a) = f ′ (a). ′ ∩ X ′ . Se x < a < 3. Seja f : X → R deriv´avel no ponto a ∈ X ∩ X+ n − yn para todo n e lim xn = lim yn = a, prove que limn→∞ [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (a). Interprete este fato geometricamente.

4. Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao deriv´avel f : R → R e seq¨ uˆencias de pontos 0 < xn < yn , com lim xn = lim yn = 0 sem que entretanto exista o limite limn→∞ [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ).

5. Seja f : X → R deriv´avel num ponto a ∈ int X. Prove que limh→0 [f (a + h) − f (a − h)]/2h = f ′ (a). Dˆe um exemplo em que este limite existe por´em f n˜ao ´e deriv´avel no ponto a. Se¸ c˜ ao 2:

Regras operacionais

1. Admitindo que (ex )′ = ex e que limy→+∞ ey /y = +∞, prove que 2 a fun¸c˜ao f : R → R, definida por f (x) = e−1/x quando x 6= 0 e f (0) = 0, possui derivada igual a zero no ponto x = 0, o mesmo ocorrendo com f ′ : R → R, com f ′′ e assim por diante.

2. Seja I um intervalo aberto. Uma fun¸c˜ao f : I → R diz-se de classe C 2 quando ´e deriv´avel e sua derivada f ′ : I → R ´e de classe C 1 . Prove que se f (I) ⊂ J e g : J → R tamb´em ´e de classe C 2 ent˜ao a composta g ◦ f : I → R ´e de classe C 2 .

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

101

3. Seja f : I → R de classe C 2 com f (I) = J e f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Calcule a derivada segunda de f −1 : J → R e mostre que f −1 ´e de classe C 2 . 4. Seja I um intervalo com centro 0. Uma fun¸c˜ao f : I → R chama-se par quando f (−x) = f (x) e ´ımpar quando f (−x) = −f (x), para todo x ∈ I. Se f ´e par, suas derivadas de ordem par (quando existem) s˜ ao fun¸c˜oes pares e suas derivadas de ordem ´ımpar s˜ ao fun¸c˜oes ´ımpares. Em particular, estas u ´ltimas se anulam no ponto 0. Enuncie resultado an´ alogo para f ´ımpar. 5. Seja f : R → R deriv´avel, tal que f (tx) = tf (x) para quaisquer t, x ∈ R. Prove que f (x) = f ′ (0)·x, qualquer que seja x ∈ R. Mais geralmente, se f : R → R ´e k vezes deriv´avel e f (tx) = tk · f (x) para quaisquer t, x ∈ R, prove que f (x) = [f (k) (0)/k!] · xk , para todo x ∈ R. Se¸ c˜ ao 3:

Derivada e crescimento local

1. Se f : R → R ´e de classe C 1 , o conjunto dos seus pontos cr´ıticos ´e fechado. Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao deriv´avel f : R → R tal que 0 seja limite de uma seq¨ uˆencia de pontos cr´ıticos de f , mas ′ f (0) > 0. 2. Seja f : I → R deriv´avel no intervalo aberto I. Um ponto cr´ıtico c ∈ I chama-se n˜ ao-degenerado quando f ′′ (c) ´e diferente de 0. Prove que todo ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado ´e um ponto de m´ aximo local ou de m´ınimo local. 3. Se c ∈ I ´e um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado da fun¸c˜ao f : I → R, deriv´avel no intervalo aberto I, prove que existe δ > 0 tal que c ´e ou ´nico ponto cr´ıtico de f no intervalo (c − δ, c + δ). Conclua que, se f ´e de classe C 1 , ent˜ao num conjunto compacto K ⊂ I, onde os pontos cr´ıticos de f s˜ ao todos n˜ao-degenerados, s´ o existe um n´ umero finito deles. 4. Prove diretamente (sem usar o exerc´ıcio anterior) que se o ponto cr´ıtico c da fun¸c˜ao f : I → R ´e limite de uma seq¨ uˆencia de pontos cr´ıticos cn 6= c e f ′′ (c) existe, ent˜ao f ′′ (c) = 0.

5. Prove que o conjunto dos pontos de m´ aximo ou de m´ınimo local estrito de qualquer fun¸c˜ao f : R → R ´e enumer´avel.

102

Derivadas

Se¸ c˜ ao 4:

Cap. 8

Fun¸ co ˜es deriv´ aveis num intervalo

1. Seja g : I → R cont´ınua no intervalo aberto I, exceto no ponto c ∈ I. Se existem os limites laterais limx→c− g(x) = A e limx→c+ g(x) = B, com A 6= B ent˜ao nenhuma fun¸c˜ao deriv´avel f : I → R tem derivada f ′ = g. 2. Seja f : R+ → R definida por f (x) = log x/x. Admitindo que (log)′ (x) = 1/x, indique os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos cr´ıticos e seus limites quando x → 0 e quando x → +∞. 3. Fa¸ca um trabalho an´ alogo ao do exerc´ıcio anterior para a fun¸c˜ao g : R+ → R, definida por g(x) = ex /x, admitindo que (ex )′ = ex . 4. Supondo conhecidas as regras de deriva¸c˜ao para as fun¸c˜oes seno e cosseno, prove que sen : (−π/2, π/2) → (−1, 1), cos : (0, π) → (−1, 1) e tg = sen/cos : (−π/2, π/2) → R s˜ ao bije¸c˜oes com derivadas 6= 0 em todos os pontos e calcule as derivadas das fun¸c˜oes inversas arcsen : (−1, 1) → (−π/2, π/2), arccos : (−1, 1) → (0, π) e arctg : R → (−π/2, π/2). 5. Dada f deriv´avel no intervalo I, sejam X = {f ′ (x); x ∈ I} e Y = {[f (y) − f (x)]/(y − x); x 6= y ∈ I}. O Teorema do Valor M´edio assegura que Y ⊂ X. Dˆe um exemplo em que Y 6= X. Prove que Y = X e conclua que sup X = sup Y , inf X = inf Y .

6. Seja f : (a, b) → R limitada e deriv´avel. Se n˜ao existir limx→a+ f (x) ou limx→b− f (x), prove que, para todo c ∈ R, existe x ∈ (a, b) tal que f ′ (x) = c. 7. Seja f : [a, b] → R cont´ınua, deriv´avel no intervalo aberto (a, b), com f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Se f ′ (x) = 0 apenas num conjunto finito, prove que f ´e crescente. 8. Use o princ´ıpio dos intervalos encaixados para provar diretamente (sem usar o Teorema do Valor M´edio) que se f : I → R ´e deriv´avel, com f ′ (x) = 0 em todos os pontos x do intervalo I, ent˜ao f ´e constante. 9. Com a mesma t´ecnica do exerc´ıcio anterior, prove que uma fun¸c˜ao f : I → R, deriv´avel, com |f ′ (x)| ≤ k para todo x no intervalo I cumpre a condi¸c˜ao de Lipschitz |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| se x, y ∈ I.

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

103

10. Seja f : [a, b] → R cont´ınua, deriv´avel em (a, b), exceto possivelmente no ponto c ∈ (a, b). Se existir limx→c f ′ (x) = L, prove que f ′ (c) existe e ´e igual a L. 11. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao com derivada limitada em (a, b) e com a propriedade do valor intermedi´ario (cfr. Exerc´ıcio 2.3, Cap´ıtulo 7). Prove que f ´e cont´ınua. 12. Se f : I → R cumpre |f (y) − f (x)| ≤ c · |y − x|α com α > 1, c ∈ R e x, y ∈ I arbitr´ arios, prove que f ´e constante.

13. Prove que se f ´e deriv´avel num intervalo e f ′ ´e cont´ınua no ponto a ent˜ao, para quaisquer seq¨ uˆencias de pontos xn 6= yn nesse intervalo, com lim xn = lim yn = a, tem-se lim[f (yn )−f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (a).

9 F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada As aplica¸c˜oes mais elementares da derivada, ligadas a problemas de m´ aximos e m´ınimos, e ` a regra de L’Hˆ opital, se encontram amplamente divulgadas nos livros de C´ alculo. Aqui exporemos duas aplica¸c˜oes, a saber: o estudo das fun¸c˜oes convexas e o m´etodo de Newton.

1

F´ ormula de Taylor

A n-´esima derivada (ou derivada de ordem n) de uma fun¸c˜ao f no ponto a ser´a indicada com a nota¸c˜ao f (n) (a). Para n = 1, 2 e 3 escreve-se f ′ (a), f ′′ (a) e f ′′′ (a) respectivamente. Por defini¸c˜ao, f ′′ (a) = (f ′ )′ (a) e assim sucessivamente: f (n) (a) = [f (n−1) ]′ (a). Para que f (n) (a) tenha sentido, ´e necess´ario que f (n−1) (x) esteja definida num conjunto do qual a seja ponto de acumula¸c˜ao e seja deriv´avel no ponto x = a. Em todos os casos que consideraremos, tal conjunto ser´a um intervalo. Quando existe f (n) (x) para todo x ∈ I, diz-se que a fun¸c˜ao f : I → R ´e n vezes deriv´ avel no intervalo I. Quando f ´e n − 1 vezes deriv´avel numa vizinhan¸ca de a e existe f (n) (a), dizemos que f : I → R ´e n vezes deriv´ avel no ponto a ∈ I. Dizemos que f : I → R ´e uma fun¸c˜ao de classe C n , e escrevemos f ∈ C n , quando f ´e n vezes deriv´avel e, al´em disso, a fun¸c˜ao f (n) : I → R ´e cont´ınua. Quando f ∈ C n para todo n ∈ N, dizemos que f ´e de classe ´ conveniente considerar f como sua pr´opria C ∞ e escrevemos f ∈ C ∞ . E

Se¸c˜ ao 1

F´ ormula de Taylor

105

“derivada de ordem zero” e escrever f (0) = f . Assim, f ∈ C 0 significa que f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. Exemplo 1. Para n = 0, 1, 2, . . . seja fn : R → R definida por fn (x) = xn |x|. Ent˜ao fn (x) = xn+1 se x ≥ 0 e fn (x) = −xn+1 se x ≤ 0. Cada uma das fun¸c˜oes fn ´e de classe C n pois sua n-´esima derivada ´e igual a (n + 1)!|x|. Mas fn n˜ao ´e n + 1 vezes deriv´avel no ponto 0, logo n˜ao ´e de classe C n+1 . As fun¸c˜oes mais comumente encontradas, como polinˆ omios, fun¸c˜oes racionais, fun¸c˜oes trigonom´etricas, exponencial e logaritmo, s˜ ao ∞ de classe C . Seja f : I → R definida no intervalo I e n vezes deriv´avel no ponto a ∈ I. O polinˆ omio de Taylor de ordem n da fun¸c˜ao f no ponto a ´e o polinˆ omio p(h) = a0 + a1 h + · · · + an hn (de grau ≤ n) cujas derivadas de ordem ≤ n no ponto h = 0 coincidem com as derivadas de mesma ordem de f no ponto a, isto ´e, p(i) (0) = f (i) (a), i = 0, 1, . . . , n. Ora, as derivadas p(0) (0), p′ (0), . . . , p(n) (0) determinam de modo u ´nico o polinˆ omio p(h) pois p(i) (0) = i!ai . Portanto, o polinˆ omio de Taylor de ordem n da fun¸c˜ao f no ponto a ´e p(h) = f (a) + f ′ (a) · h +

f ′′ (a) 2 f (n) (a) n h + ··· + h . 2! n!

Se p(h) ´e o polinˆ omio de Taylor de ordem n da fun¸c˜ao f : I → R no ponto a ∈ I ent˜ao a fun¸c˜ao r(h) = f (a + h) − p(h), definida no intervalo J = {h ∈ R; a + h ∈ I}, ´e n vezes deriv´avel no ponto 0 ∈ J, com r(0) = r′ (0) = · · · = r(n) (0) = 0. Lema. Seja r : J → R n vezes deriv´ avel no ponto 0 ∈ J. A fim de (i) que seja r (0) = 0 para i = 0, 1, . . . , n, ´e necess´ ario e suficiente que limh→0 r(h)/hn = 0. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos inicialmente que as derivadas de r no ponto 0 sejam nulas at´e a ordem n. Para n = 1, isto significa que r(0) = r′ (0) = 0. Ent˜ao limh→0 r(h)/h = limh→0 [r(h) − r(0)]/h = r′ (0) = 0. Para n = 2, temos r(0) = r′ (0) = r′′ (0) = 0. Pelo que acabamos de ver, isto implica limx→0 r′ (x)/x = 0. O Teorema do Valor M´edio assegura que para todo h 6= 0, existe x no intervalo de extremos 0 e h tal que r(h)/h2 = [r(h) − r(0)]/h2 = r′ (x) · h/h2 = r′ (x)/h. Por conseguinte, limh→0 r(h)/h2 = limh→0 r′ (x)/h = limh→0 [r′ (x)/x](x/h) = 0 pois h → 0 implica x → 0 e, al´em disso, |x/h| ≤ 1. O mesmo argumento permite passar de n = 2 para n = 3 e assim por diante. Reciprocamente, suponhamos que limh→0 r(h)/hn = 0. Da´ı resulta, para

106

F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada

Cap. 9

i = 0, 1, . . . , n, que limh→0 r(h)/hi = limh→0 (r(h)/hn )hn−i = 0. Portanto r(0) = limh→0 r(h) = limh→0 r(h)/h0 = 0. Al´em disso, r′ (0) = limh→0 r(h)/h = 0. Quanto a r′′ (0), consideremos a fun¸c˜ao auxiliar ϕ : J → R, definida por ϕ(h) = r(h) − r′′ (0)h2 /2. Evidentemente, vale ϕ(0) = ϕ′ (0) = ϕ′′ (0) = 0. Pela parte do lema j´a demonstrada segue-se que limh→0 ϕ(h)/h2 = 0. Como ϕ(h)/h2 = r(h)/h2 − r′′ (0)/2 e sabemos que limh→0 r(h)/h2 = 0, resulta que r′′ (0) = 0. O mesmo argumento permite passar de n = 2 para n = 3 e assim por diante. Teorema 1. (F´ ormula de Taylor infinitesimal.) Seja f : I → R n vezes deriv´ avel no ponto a ∈ I. A fun¸ca ˜o r : J → R, definida no intervalo J = {h ∈ R; a + h ∈ I} pela igualdade f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h +

f (n) (a) n f ′′ (a) 2 · h + ··· + · h + r(h), 2 n!

cumpre limh→0 r(h)/hn = 0. Reciprocamente, se p(h) ´e um polinˆ omio n de grau ≤ n tal que r(h) = f (a + h) − p(h) cumpre limh→0 r(h)/h = 0 ent˜ ao p(h) ´e o polinˆ omio de Taylor de ordem n de f no ponto a, isto ´e, p(h) =

n X f (i) (a) i=0

i!

· hi .

Demonstra¸ c˜ ao: A fun¸c˜ao r, definida pela f´ormula de Taylor, ´e n vezes deriv´avel no ponto 0 e tem derivadas nulas nesse ponto, at´e a ordem n. Logo, pelo Lema, vale limh→0 r(h)/hn = 0. Reciprocamente, se r(h) = f (a + h) − p(h) ´e tal que lim r(h)/hn = 0 ent˜ao, novamente pelo Lema, as derivadas de r no ponto 0 s˜ ao nulas at´e a ordem n, logo p(i) (0) = f (i) (a) para i = 0, 1, . . . , n, ou seja, p(h) ´e o polinˆ omio de Taylor de ordem n da fun¸c˜ao f no ponto a. Exemplo 2. Seja f : I → R n vezes deriv´avel no ponto a ∈ int I, com f (i) (a) = 0 para 1 ≤ i < n e f (n) (a) 6= 0. Se n ´e par ent˜ao: f possui um m´ınimo local estrito no ponto a caso f (n) (a) > 0 e um m´ aximo (n) local estrito quando f (a) < 0. Se n ´e ´ımpar ent˜ao a n˜ao ´e ponto de m´ınimo nem de m´ aximo local. Com efeito, neste caso podemos escrever a f´ormula de Taylor como # " (n) (a) r(h) f + n . f (a + h) − f (a) = hn n! h

Se¸c˜ ao 1

F´ ormula de Taylor

107

Pela defini¸c˜ao de limite, existe δ > 0 tal que, para a+h ∈ I e 0 < |h| < δ a soma dentro dos colchetes tem o mesmo sinal de f (n) (a). Como a ∈ int I, podemos tomar este δ de modo que |h| < δ ⇒ a + h ∈ I. Ent˜ao, quando n ´e par e f (n) (a) > 0, a diferen¸ca f (a + h) − f (a) ´e positiva sempre que 0 < |h| < δ, logo f possui um m´ınimo local estrito no ponto a. Analogamente, se n ´e par e f (n) (a) < 0, a diferen¸ca f (a + h) − f (a) ´e negativa quando 0 < |h| < δ, logo f tem um m´ aximo local no ponto a. Finalmente, se n ´e ´ımpar, o fator hn tem o mesmo sinal de h, logo a diferen¸ca f (a + h) − f (a) muda de sinal juntamente com h, portanto f n˜ao tem m´ aximo nem m´ınimo local no ponto a. Exemplo 3. (Novamente a Regra de L’Hˆ opital.) Sejam f, g : I → R n vezes deriv´aveis no ponto a ∈ I, com derivadas nulas neste ponto at´e a ordem n − 1. Se g (n) (a) 6= 0 ent˜ao f (x) f (n) (a) = (n) · x→a g(x) g (a) lim

Com efeito, pela f´ormula de Taylor, temos # " # " (n) (a) (n) (a) r(h) s(h) n g n f + n + n , e g(a + h) = h f (a + h) = h n! h n! h s(h) r(h) = lim n = 0. Portanto n h→0 h h→0 h

onde lim

f (n) (a) r(h) + n (n) f (x) f (a + h) n! h = f (a) · lim = lim = lim (n) x→a g(x) h→0 g(a + h) h→0 g g (n) (a) (a) s(h) + n n! h A f´ormula de Taylor infinitesimal ´e assim chamada porque s´ o afirma algo quando h → 0. A seguir daremos outra vers˜ao dessa f´ormula, onde ´e feita uma estimativa do valor f (a+h) para h fixo. Ela ´e uma extens˜ao do Teorema do Valor M´edio, de Lagrange. Como naquele teorema, trata-se de um resultado global, onde se sup˜oe que f seja n vezes deriv´avel em todos os pontos do intervalo (a, a + h). Teorema 2. (F´ ormula de Taylor, com resto de Lagrange.) Seja f : [a, b] → R n vezes deriv´ avel no intervalo aberto (a, b), com f (n−1) cont´ınua em [a, b]. Existe c ∈ (a, b) tal que f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) + · · · +

f (n−1) (a) f (n) (c) (b − a)n−1 + (b − a)n . (n − 1)! n!

108

F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada

Cap. 9

Pondo b = a + h, isto quer dizer que existe θ, com 0 < θ < 1, tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · +

f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n h + h . (n − 1)! n!

Demonstra¸ c˜ ao: Seja ϕ : [a, b] → R definida por ϕ(x) = f (b)−f (x)−f ′ (x)(b−x)−· · ·−

f (n−1) (x) K (b−x)n−1 − (b−x)n , (n − 1)! n!

onde a constante K ´e escolhida de modo que ϕ(a) = 0. Ent˜ao ϕ ´e cont´ınua em [a, b], diferenci´ avel em (a, b), com ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Vˆe-se facilmente que K − f (n) (x) ϕ′ (x) = (b − x)n−1 . (n − 1)! Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′ (c) = 0. Isto significa que K = f (n) (c). O Teorema 2 se obt´em fazendo x = a na defini¸c˜ao de ϕ e lembrando que ϕ(a) = 0.

2

Fun¸c˜ oes convexas e cˆ oncavas

Se a 6= b, a reta que liga os pontos (a, A) e (b, B) no plano R2 ´e o conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 tais que y =A+

B−A (x − a) b−a

y=B+

B−A (x − b). b−a

ou, equivalentemente,

Quando se tem uma fun¸c˜ao f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, e s˜ ao dados a, b ∈ X, o segmento de reta que liga os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)), pertencentes ao gr´ afico de f , ser´a chamado a secante ab. Seja I ⊂ R um intervalo. Uma fun¸c˜ao f : I → R chama-se convexa quando seu gr´ afico se situa abaixo de qualquer de suas secantes. Em termos precisos, a convexidade de f se exprime assim: a 0, conclu´ımos que a = b, logo o ponto fixo a ∈ X ´e u ´nico. √ Exemplo 5. A fun¸c˜ao f : R → R, dada por f (x) = 1 + x2 , n˜ao ′ possui √ ponto fixo pois′ f (x) > x para todo x ∈ R. Sua derivada f (x) = 2 x/ x + 1 cumpre |f (x)| < 1, logo tem-se |f (y) − f (x)| < |y − x| para quaisquer x, y ∈ R. Este exemplo mostra que a condi¸c˜ao |f (y) − f (x)| < |y − x| sozinha n˜ao basta para se obter um ponto fixo. Exemplo 6. A fun¸c˜ao f : [1, +∞) → R dada por f (x) = x/2, ´e uma contra¸c˜ao mas n˜ao possui ponto fixo a ∈ [1, +∞). Isto mostra que, no m´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas, ´e essencial verificar que a condi¸c˜ao f (X) ⊂ X ´e satisfeita. Neste exemplo, n˜ao se tem f ([1, +∞)) ⊂ [1, +∞). Exemplo 7. f : (0, 1) → (0, 1), dada por f (x) = x/2, tem derivada f ′ (x) = 1/2 mas n˜ao possui ponto fixo pois (0, 1) n˜ao ´e fechado. Um exemplo importante de aproxima¸c˜oes sucessivas ´e o chamado m´etodo de Newton para a obten¸c˜ao de valores aproximados de uma raiz da equa¸c˜ao f (x) = 0. Neste m´etodo, tem-se uma fun¸c˜ao f : I → R, de classe C 1 no intervalo I, com f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I, toma-se um

Se¸c˜ ao 3

Aproxima¸c˜ oes sucessivas e m´ etodo de Newton

115

valor inicial x0 e p˜oe-se f (x0 ) , f ′ (x0 ) f (x1 ) x2 = x1 − ′ , f (x1 ) .. . f (xn ) xn+1 = xn − ′ , etc. f (xn ) x1 = x0 −

Se a seq¨ uˆencia (xn ) convergir, seu limite a ser´a uma raiz da equa¸c˜ao f (x) = 0 pois, fazendo n → ∞ na igualdade xn+1 = xn −

f (xn ) , f ′ (xn )

resulta a = a − f (a)/f ′ (a), donde f (a) = 0.

O m´etodo de Newton resulta da observa¸c˜ao de que as ra´ızes da equa¸c˜ao f (x) = 0 s˜ ao os pontos fixos da fun¸c˜ao N = Nf : I → R, definida por N (x) = x −

f (x) · f ′ (x)

O n´ umero N (x) = x − f (x)/f ′ (x) ´e a abscissa do ponto em que a tangente ao gr´ afico de f no ponto x encontra o eixo horizontal. A id´eia que motiva o m´etodo de Newton ´e que, se a tangente aproxima a curva ent˜ao sua interse¸c˜ao com o eixo x aproxima o ponto de interse¸c˜ao da curva com esse eixo, isto ´e, o ponto x em que f (x) = 0. (Veja Fig. 7.) ´ f´acil dar exemplos em que a seq¨ E uˆencia (xn ) de aproxima¸c˜oes de Newton n˜ao converge: basta tomar uma fun¸c˜ao, como f (x) = ex , que n˜ao assuma o valor zero. E, mesmo que a equa¸c˜ao f (x) = 0 tenha uma raiz real, a seq¨ uˆencia (xn ) pode divergir, caso x0 seja tomado longe da raiz. (Veja Fig. 8.)

116

F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada

Cap. 9

Figura 7: Como a inclina¸c˜ ao da tangente ´e f ′ (x0 ) = f (x0 )/(x0 − x1 ), segue-se que

x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ).

Existem, evidentemente, infinitas fun¸c˜oes cujos pontos fixos s˜ ao as ra´ızes da equa¸c˜ao f (x) = 0. A importˆ ancia de N (x) reside na rapidez com que as aproxima¸c˜oes sucessivas convergem para a raiz a da equa¸c˜ao f (x) = 0 (quando convergem): cada xn+1 = N (xn ) ´e um valor aproximado de a com cerca do dobro dos algarismos decimais exatos de xn . (Veja Exemplo 9.)

Figura 8: A fun¸c˜ ao f : [−1/2, 1/2] → R,dada por f (x) = x− x3 , anula-se para x = 0. √ Valores aproximados desta raiz pelo m´etodo de Newton, come¸cando com x0 = 5/5, s˜ ao sucessivamente x0 , −x0 , x0 , −x0 , etc. O m´etodo n˜ ao converge.

Mostraremos agora que se f : I → R possui derivada segunda cont´ınua f ′′ : I → R, com f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I, ent˜ao cada ponto

Se¸c˜ ao 3

Aproxima¸c˜ oes sucessivas e m´ etodo de Newton

117

a ∈ int I onde f (a) = 0 tem uma vizinhan¸ca J = [a − δ, a + δ] tal que, come¸cando com qualquer valor inicial x0 ∈ J, a seq¨ uˆencia de pontos xn+1 = N (xn ) converge para a. Com efeito, a derivada N ′ (x) = f (x)f ′′ (x)/f ′ (x)2 se anula no ponto x = a. Como N ′ (x) ´e cont´ınua, se fixarmos arbitrariamente k ∈ (0, 1) obteremos δ > 0 tal que J = [a − δ, a + δ] ⊂ I e |N ′ (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ J. Afirmamos que x ∈ J ⇒ N (x) ∈ J. De fato, x ∈ J ⇒ |N (x)−N (a)| ≤ k|x−a| ≤ |x−a| ≤ δ ⇒ N (x) ∈ J. Portanto, N : J → J ´e uma contra¸c˜ao. Logo a seq¨ uˆencia x1 = N (x0 ), xn+1 = N (xn ) converge para o u ´nico ponto fixo a ∈ J da contra¸c˜ao N . √ Exemplo 8. (C´ alculo aproximado de n c.) Dados c > 0 e n ∈ N, √ consideremos o intervalo I = [ n c, +∞) e a fun¸c˜ao f : I → R, dada por f (x) = xn − c. Como f ′ (x) = nxn−1 , a fun¸c˜ao de Newton N : I → R assume a forma N (x) = n1 [(n − 1)x + c/xn−1 ]. Assim, para todo x > 0, N (x) ´e a m´edia aritm´etica dos n n´ umeros x, x, . . . , x, c/xn−1 . Como a √ √ m´edia geom´etrica desses n´ umeros ´e n c, conclu´ımos que N (x) ≥ n c para todo x > 0. Em particular, x ∈ I ⇒ N (x) ∈ I. Al´em disso, n ′ N ′ (x) = n−1 n (1 − c/x ), logo 0 ≤ N (x) ≤ (n − 1)/n para todo x ∈ I. Tudo isto mostra que N : I → I ´e uma contra¸c˜ao. Portanto, tomando-se qualquer x0 > 0, temos N (x0 ) = x1 ∈ I e as aproxima¸c˜oes sucessivas √ xn+1 = N (xn ) convergem (rapidamente) para n c. Exemplo 9. (O m´etodo de Newton converge quadraticamente.) Considere f : I → R de classe C 2 no intervalo I, com |f ′′ (x)| ≤ A e |f ′ (x)| ≥ B para todo x ∈ I, onde A e B s˜ ao constantes positivas. Vimos acima que, tomando a aproxima¸c˜ao inicial x0 suficientemente pr´oxima de um ponto a onde f (a) = 0, a seq¨ uˆencia de aproxima¸c˜oes de Newton xn+1 = ′ xn − f (xn )/f (xn ) converge para a. Agora usaremos o Teorema 2 para estabelecer uma compara¸c˜ao entre os erros |xn+1 − a| e |xn − a|. Existe um n´ umero d entre a e xn , tal que 0 = f (a) = f (xn ) + f ′ (xn )(a − xn ) + Ent˜ao f ′ (xn )xn − f (xn ) − f ′ (xn )a =

f ′′ (d) (a − xn )2 . 2

f ′′ (d) (xn − a)2 . 2

Dividindo por f ′ (xn ) obtemos: xn −

f (xn ) f ′′ (d) − a = (xn − a)2 f ′ (xn ) 2f ′ (xn )

118

F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada

isto ´e, xn+1 − a =

Cap. 9

f ′′ (d) (xn − a)2 . 2f ′ (xn )

A Da´ı vem imediatamente |xn+1 −a| ≤ 2B |xn −a|2 . Quando |xn −a| < 1, o 2 quadrado |xn − a| ´e muito menor, o que exibe a rapidez de convergˆencia no m´etodo de Newton. Por exemplo, se f (x) = xn − c temos

n−1 dn−2 f ′′ (d) ≤ = (n − 1) · n−1 ′ 2f (xk ) 2xk 2xk √ Portanto, para calcular n c, onde c > 1, podemos come¸car com x0 > 1 √ √ n e teremos sempre |xk+1 − n c| ≤ n−1 c|2 . Para n ≤ 3 vem 2 |xk − √ √ 2 n n |xk+1 − c| ≤ |xk − c| . Logo, se xk tem p algarismos decimais exatos, xk+1 tem 2p.

4

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

F´ ormula de Taylor

1. Use a igualdade 1/(1−x) = 1+x+· · ·+xn +xn+1 /(1−x) e a f´ormula de Taylor infinitesimal para calcular as derivadas sucessivas, no ponto x = 0, da fun¸c˜ao f : (−1, 1) → R, dada por f (x) = 1/(1−x). 2. Seja f : R → R definida por f (x) = x5 /(1 + x6 ). Calcule as derivadas de ordem 2001 e 2003 de f no ponto x = 0. 3. Seja f : I → R de classe C ∞ no intervalo I. Suponha que exista K > 0 tal que |f (n) (x)| ≤ K para todo x ∈ I e todo n ∈ N. Prove P f (n) (x0 ) (x − x0 )n . que, para x0 , x ∈ I quaisquer vale f (x) = ∞ n=0 n! 4. Dˆe uma demonstra¸c˜ao de que f ′′ ≥ 0 ⇒ f convexa usando a f´ormula de Taylor com resto de Lagrange. 5. Seja f : I → R de classe C 2 no intervalo I. Dado a ∈ I, defina a fun¸c˜ao ϕ : I → R pondo ϕ(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) se x 6= a e ϕ(a) = f ′ (a). Prove que ϕ ´e de classe C 1 . Mostre que f ∈ C 3 ⇒ ϕ ∈ C 2. 6. Seja p : R → R um polinˆ omio de grau n. Prove que para a, x ∈ R quaisquer tem-se p(x) = p(a) + p′ (a)(x − a) + · · · +

p(n) (a) (x − a)n . n!

Se¸c˜ ao 4

Exerc´ıcios

119

7. Sejam f, g : I → R duas vezes deriv´aveis no ponto a ∈ int I. Se f (a) = g(a), f ′ (a) = g ′ (a) e f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ I, prove que f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). Se¸ c˜ ao 2:

Fun¸ co ˜es cˆ oncavas e convexas

1. Sejam f : I → R e g : J → R fun¸c˜oes convexas, com f (I) ⊂ J, e g mon´otona n˜ao-decrescente. Prove que g ◦ f : I → R ´e convexa. Dˆe outra demonstra¸c˜ao supondo f e g duas vezes deriv´aveis. Por meio de um exemplo, mostre que se g n˜ao ´e mon´otona n˜ao-decrescente o resultado pode n˜ao ser v´alido. 2. Se f : I → R possui um ponto cr´ıtico n˜ao degenerado c ∈ int I no qual f ′′ ´e cont´ınua, prove que existe δ > 0 tal que f ´e convexa ou cˆoncava no intervalo (c − δ, c + δ). 3. Examine a convexidade da soma e do produto de duas fun¸c˜oes convexas.

4. Uma fun¸c˜ao f : I → R, definida no intervalo I, chama-se quaseconvexa (respectivamente, quase-cˆ oncava) quando, para todo c ∈ R, o conjunto {x ∈ I; f (x) ≤ c} (respectivametne, {x ∈ I; f (x) ≥ c}) ´e vazio ou ´e um intervalo. Prove que toda fun¸c˜ao convexa (respectivamente, cˆoncava) ´e quase-convexa (respectivamente, quasecˆoncava) e que toda fun¸c˜ao mon´otona ´e ao mesmo tempo quaseconvexa e quase-cˆ oncava. 5. Prove que f : I → R ´e quase-convexa se, e somente se, para x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] quaisquer, vale f ((1 − t)x + ty) ≤ max{f (x), f (y)}. Enuncie o resultado an´ alogo para f quase-cˆ oncava. 6. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua quase-convexa, cujo valor m´ınimo ´e atingido no ponto c ∈ [a, b]. Prove que se c = a ent˜ao f ´e mon´otona n˜ao-decrescente, se c = b, f ´e mon´otona n˜aocrescente e, finalmente, se a < c < b ent˜ao f ´e mon´otona n˜aocrescente em [a, c] e n˜ao-decrescente em [c, b]. Enuncie resultado an´ alogo para f quase-cˆ oncava. Conclua da´ı que a fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] → R ´e quase-convexa se, e somente se, existe c ∈ [a, b] tal que f ´e mon´otona n˜ao-crescente no intervalo [a, c] e mon´otona n˜ao-decrescente em [c, b]. 7. Para cada n ∈ N, seja fn : I → R uma fun¸c˜ao convexa. Suponha que, para todo x ∈ I, a seq¨ uˆencia de n´ umeros (fn (x))n∈N convirja.

120

F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada

Cap. 9

Prove que a fun¸c˜ao f : I → R, definida por f (x) = limn→∞ fn (x) ´e convexa. Prove resultado an´ alogo para fun¸c˜oes quase-convexas, cˆoncavas e quase-cˆ oncavas. 8. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Prove que existe um u ´nico ponto c ∈ (a, b) com f (c) = 0. Se¸ c˜ ao 3:

Aproxima¸ co ˜es sucessivas e m´ etodo de Newton

1. Sejam I = [a − δ, a + δ] e f : I → R tal que |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|, onde 0 ≤ k < 1. Se |f (a) − a| ≤ (1 − k)δ, prove que existe um u ´nico x ∈ I com f (x) = x. 2. Defina f : [0, +∞) → [0, +∞) pondo f (x) = 2−x/2 . Mostre que f ´e uma contra¸c˜ao e que, se a ´e seu ponto fixo, −a ´e a raiz negativa da equa¸c˜ao x2 = 2x . Use o m´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas e uma calculadora para obter o valor de a com 8 algarismos decimais exatos. 3. Seja I = [a − δ, a + δ]. Se a fun¸c˜ao f : I → R ´e de classe C 2 , com f ′ (x) 6= 0, |f (x)f ′′ (x)/f ′ (x)2 | ≤ k < 1 para todo x ∈ I e |f (a)/f ′ (a)| < (1 − k)δ, prove que, seja qual for o valor inicial x0 ∈ I, o m´etodo de Newton converge para a u ´nica raiz x ∈ I da equa¸c˜ao f (x) = 0. 4. Dado a > 1, considere a fun¸c˜ao f : [0, +∞) → R, dada por f (x) = 1/(a + x). Fixado qualquer x0 > 0, prove que a seq¨ uˆencia definida indutivamente por x1 = f (x0 ), . . . , xn+1 = f (xn ), converge para a raiz positiva c da equa¸c˜ao x2 + ax − 1 = 0. (Cfr. Exerc´ıcio 3.5, Cap´ıtulo 3.) 5. Prove que 1,0754 ´e um valor aproximado, com 4 algarismos decimais exatos, da raiz positiva da equa¸c˜ao x6 + 6x − 8 = 0. 6. Seja f : [a, b] → R convexa, duas vezes deriv´avel. Se f (a) < 0 < f (b) prove que, come¸cando com um ponto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) > 0, o m´etodo de Newton converge sempre para a u ´nica raiz x ∈ [a, b] da equa¸c˜ao f (x) = 0. √ 7. Prove que as aproxima¸c˜oes de n c dadas pelo m´etodo de Newton formam, a partir do segundo termo, uma seq¨ uˆencia decrescente.

10 A Integral de Riemann

As no¸c˜oes de derivada e integral constituem o par de conceitos mais importantes da An´ alise. Enquanto a derivada corresponde a` no¸c˜ao geom´etrica de tangente e ` a id´eia f´ısica de velocidade, a integral est´a ´ um associada ` a no¸c˜ao geom´etrica de ´area e `a id´eia f´ısica de trabalho. E fato not´ avel e de suma importˆ ancia que essas duas no¸c˜oes, aparentemente t˜ao diversas, estejam intimamente ligadas.

1

Revis˜ ao sobre sup e inf

Demonstraremos aqui alguns resultados elementares sobre supremos e ´ınfimos de conjuntos de n´ umeros reais, para uso imediato. Dada uma fun¸c˜ao limitada f : X → R, lembremos que sup f = sup f (X) = sup{f (x); x ∈ X} e inf f = inf f (X) = inf{f (x); x ∈ X}. Todos os conjuntos a seguir mencionados s˜ ao n˜ao-vazios. Lema 1. Sejam A, B ⊂ R tais que, para todo x ∈ A e todo y ∈ B se tenha x ≤ y. Ent˜ ao sup A ≤ inf B. A fim de ser sup A = inf B ´e necess´ ario e suficiente que, para todo ε > 0 dado, existam x ∈ A e y ∈ B com y − x < ε. Demonstra¸ c˜ ao: Todo y ∈ B ´e cota superior de A, logo sup A ≤ y. Isto mostra que sup A ´e cota inferior de B, portanto sup A ≤ inf B. Se valer a desigualdade estrita sup A < inf B ent˜ao ε = inf B − sup A > 0 e y − x ≥ ε para quaisquer x ∈ A, y ∈ B. Reciprocamente, se sup A =

122

A Integral de Riemann

Cap. 10

inf B ent˜ao, para todo ε > 0 dado, sup A − ε/2 n˜ao ´e cota superior de A e inf B + ε/2 n˜ao ´e cota inferior de B, logo existem x ∈ A e y ∈ B tais que sup A − ε/2 < x ≤ sup A = inf B ≤ y < inf B + ε/2. Segue-se que y − x < ε. Lema 2. Sejam A, B ⊂ R conjuntos limitados e c ∈ R. S˜ ao tamb´em limitados os conjuntos A + B = {x + y; x ∈ A, y ∈ B} e c · A = {cx; x ∈ A}. Al´em disso, tem-se sup(A + B) = sup A + sup B, inf(A + B) = inf A + inf B e sup(c · A) = c · sup A, inf(c · A) = c · inf A, caso seja c ≥ 0. Se c < 0 ent˜ ao sup(c · A) = c · inf A e inf(c · A) = c · sup A.

Demonstra¸ c˜ ao: Pondo a = sup A e b = sup B, para todo x ∈ A e todo y ∈ B tem-se x ≤ a, y ≤ b, logo x + y ≤ a + b. Portanto, a + b ´e cota superior de A + B. Al´em disso, dado ε > 0, existem x ∈ A e y ∈ B tais que a − ε/2 < x e b − ε/2 < y, donde a + b − ε < x + y. Isto mostra que a + b ´e a menor cota superior de A + B, ou seja, que sup(A + B) = sup A + sup B. A igualdade sup(c · A) = c · sup A ´e ´obvia se c = 0. Se c > 0, dado qualquer x ∈ A tem-se x ≤ a, logo cx ≤ ca. Portanto ca ´e cota superior do conjunto c · A. Al´em disso, dado qualquer n´ umero d menor do que ca, temos d/c < a, logo existe x ∈ A tal que d/c < x. Segue-se que d < cx. Isto mostra que c · a ´e a menor cota superior de c · A, ou seja, que sup(c · A) = c · sup A. Os casos restantes enunciados no lema s˜ ao provados de modo an´ alogo. Corol´ ario. Sejam f, g : X → R fun¸co ˜es limitadas. Para todo c ∈ R s˜ ao limitadas as fun¸co ˜es f + g, cf: X → R. Tem-se al´em disso, sup(f + g) ≤ sup f + sup g, inf(f + g) ≥ inf f + inf g, sup(cf ) = c · sup f , e inf(cf ) = c · inf f quando c ≥ 0. Caso c < 0, tem-se sup(cf ) = c · inf f e inf(cf ) = c · sup f . Com efeito, sejam A = f (X), B = g(X), C = (f + g)(X) = {f (x) + g(x); x ∈ X}. Evidentemente C ⊂ A + B, logo sup(f + g) = sup C ≤ sup(A + B) = sup A + sup B = sup f + sup g. Al´em disso, sup(cf ) = sup{c · f (x); x ∈ X} = sup(cA) = c · sup A, quando c ≥ 0. Os demais casos enunciados no corol´ario se provam de modo an´ alogo.

Observa¸ c˜ ao. Pode-se ter efetivamente sup(f + g) < sup f + sup g e inf(f + g) > inf f + inf g. Basta tomar f, g : [0, 1] → R, f (x) = x e g(x) = −x. Lema 3. Dada f : X → R limitada, sejam m = inf f , M = sup f e ω = M − m. Ent˜ ao ω = sup{|f (x) − f (y)|; x, y ∈ X}.

Se¸c˜ ao 2

Integral de Riemann

123

Demonstra¸ c˜ ao: Dados x, y ∈ X arbitr´ arios, para fixar id´eias seja f (x) ≥ f (y). Ent˜ao m ≤ f (y) ≤ f (x) ≤ M , donde |f (x) − f (y)| ≤ M − m = ω. Por outro lado, para todo ε > 0 dado podemos achar x, y ∈ X tais que f (x) > M − ε/2 e f (y) < m + ε/2. Ent˜ao |f (x) − f (y)| ≥ f (x) − f (y) > M − m − ε = ω − ε. Assim, ω ´e a menor das cotas superiores do conjunto {|f (x)−f (y)|; x, y ∈ X}, o que prova o lema. Lema 4. Sejam A′ ⊂ A e B ′ ⊂ B conjuntos limitados de n´ umeros reais. Se, para cada a ∈ A e cada b ∈ B, existem a′ ∈ A′ e b′ ∈ B ′ tais que a ≤ a′ e b′ ≤ b, ent˜ ao sup A′ = sup A e inf B ′ = inf B.

Demonstra¸ c˜ ao: Evidentemente, sup A ´e uma cota superior de A′ . Al´em disso, se c < sup A existe a ∈ A com c < a, logo existe a′ ∈ A′ com c < a ≤ a′ , portanto c n˜ao ´e cota superior de A′ . Assim, sup A ´e a menor cota superior de A′ , isto ´e, sup A = sup A′ . Um racioc´ınio an´ alogo demonstra o resultado para inf B e inf B ′ .

2

Integral de Riemann

Uma parti¸ca ˜o do intervalo [a, b] ´e um subconjunto finito de pontos P = {t0 , t1 , . . . , tn } ⊂ [a, b] tal que a ∈ P e b ∈ P . A nota¸c˜ao ser´a sempre usada de modo que a = t0 < t1 < · · · < tn = b. O intervalo [ti−1 , ti ], de comprimento ti − Pti−1 , ser´a chamado o i-´esimo intervalo da parti¸c˜ao P . Evidentemente, ni=1 (ti − ti−1 ) = b − a. Sejam P e Q parti¸c˜oes do intervalo [a, b]. Diz-se que Q refina P quando P ⊂ Q. A maneira mais simples de refinar uma parti¸c˜ao ´e acrescentar-lhe um u ´nico ponto. Dada uma fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R, usaremos as nota¸c˜oes m = inf{f (x); x ∈ [a, b]} e

M = sup{f (x); x ∈ [a, b]}.

Em particular, temos m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Se P = {t0 , t1 , . . . , tn } ´e uma parti¸c˜ao de [a, b], as nota¸c˜oes mi = inf{f (x); ti−1 ≤ x ≤ ti }, Mi = sup{f (x); ti−1 ≤ x ≤ ti } e ωi = Mi − mi indicar˜ao o ´ınfimo, o supremo e a oscila¸ca ˜o de f no i-´esimo intervalo de P . Quando f ´e cont´ınua, mi e Mi s˜ ao valores efetivamente assumidos por f em [ti−1 , ti ]. Em particular, neste caso existem xi , yi ∈ [ti−1 , ti ] tais que ωi = |f (yi ) − f (xi )|.

124

A Integral de Riemann

Cap. 10

A soma inferior de f relativamente `a parti¸c˜ao P ´e o n´ umero s(f ; P ) = m1 (t1 − t0 ) + · · · + mn (tn − tn−1 ) =

n X i=1

mi (ti − ti−1 ).

A soma superior de f relativamente `a parti¸c˜ao P ´e, por defini¸c˜ao, S(f ; P ) = M1 (t1 − t0 ) + · · · + Mn (tn − tn−1 ) =

n X i=1

Mi (ti − ti−1 ).

Evidentemente, m(b − a) ≤ s(f ; P ) ≤ S(f ; P ) ≤ PM (b − a) seja qual for a parti¸c˜ao P . Al´em disso, S(f ; P ) − s(f ; P ) = ni=1 ωi (ti − ti−1 ). Quando f estiver clara no contexto, pode-se escrever simplesmente s(P ) e S(P ) em vez de s(f ; P ) e S(f ; P ) respectivamente.

Figura 9: A soma inferior e a soma superior.

No caso em que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], os n´ umeros s(f ; P ) e S(f ; P ) s˜ ao valores aproximados, respectivamente por falta e por excesso, da ´ area da regi˜ ao limitada pelo gr´ afico de f , pelo intervalo [a, b] do eixo das abscissas e pelas verticais levantadas nos pontos a e b desse eixo. Quando f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], essas somas s˜ ao valores aproximados de tal ´ area, com o sinal trocado. A integral inferior e a integral superior da fun¸c˜ao limitada f: [a, b]→R s˜ ao definidas, respectivamente, por Z

¯

a

b

f (x) dx = sup s(f ; P ), P

Z¯ b a

f (x) dx = inf S(f ; P ), P

Se¸c˜ ao 2

Integral de Riemann

125

o sup e o inf sendo tomados relativamente a todas as parti¸c˜oes P do intervalo [a, b]. Teorema 1. Quando se refina uma parti¸ca ˜o, a soma inferior n˜ ao diminui e a soma superior n˜ ao aumenta. Ou seja: P ⊂ Q ⇒ s(f ; P ) ≤ s(f ; Q) e S(f ; Q) ≤ S(f ; P ).

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos inicialmente que a parti¸c˜ao Q = P ∪ {r} resulte de P pelo acr´escimo de um u ´nico ponto r, digamos com tj−1 < ′ ′′ r < tj . Sejam m e m respectivamente os ´ınfimos de f nos intervalos [tj−1 , r] e [r, tj ]. Evidentemente, mj ≤ m′ , mj ≤ m′′ e tj − tj−1 = (tj − r) + (r − tj−1 ). Portanto s(f ; Q) − s(f ; P ) = m′′ (tj − r) + m′ (r − tj−1 ) − mj (tj − tj−1 )

= (m′′ − mj )(tj − r) + (m′ − mj )(r − tj−1 ) ≥ 0.

Para obter o resultado geral, onde Q resulta de P pelo acr´escimo de k pontos, usa-se k vezes o que acabamos de provar. Analogamente, P ⊂ Q ⇒ S(f ; Q) ≤ S(f ; P ). Corol´ ario 1. Para quaisquer parti¸co ˜es P , Q do intervalo [a, b] e qualquer fun¸ca ˜o limitada f : [a, b] → R tem-se s(f ; P ) ≤ S(f ; Q).

Com efeito, a parti¸c˜ao P ∪ Q refina simultaneamente P e Q, logo s(f ; P ) ≤ s(f ; P ∪ Q) ≤ S(f ; P ∪ Q) ≤ S(f ; Q).

Corol´ ario 2. Dada f : [a, b] → R, se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] ent˜ ao Z¯ b Z b f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ M (b − a). m(b − a) ≤ ¯

a

a

Com efeito, as desigualdades externas s˜ ao ´obvias e a do meio resulta do Corol´ario 1 e do Lema 1. Corol´ ario 3. Seja P0 uma parti¸ca ˜o de [a, b]. Se considerarmos as somas s(f ; P ) e S(f ; P ) apenas relativas a `s parti¸co ˜es P que refinam Rb Rb P0 , obteremos os mesmos valores para a f (x) dx e ¯a f (x) dx. ¯

Com efeito, basta combinar o Teorema 1 e o Lema 4.

Uma fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R diz-se integr´ avel quando sua integral inferior e sua integral superior s˜ ao iguais. EsseR valor comum b chama-se a integral (de Riemann) de f e ´e indicado por a f (x) dx.

126

A Integral de Riemann

Cap. 10

Rb No s´ımbolo a f (x) dx, x ´e o que se chama uma “vari´avel muda”, Rb Rb Rb isto ´e, a f (x) dx = a f (y) dy = a f (t) dt, etc. R ` vezes prefere-se a nota¸c˜ao mais simples b f . A justificativa para As a a nota¸c˜ao mais complicada ser´a vista noR Teorema 2, Cap´ıtulo 11. b Quando f ´e integr´avel, sua integral a f (x) dx ´e o n´ umero real cujas aproxima¸c˜oes por falta s˜ ao as somas inferiores s(f ; P ) e cujas aproxima¸c˜oes por excesso s˜ ao as somas superiores S(f ; P ). O Teorema 1 diz que essas aproxima¸c˜oes melhoram quando se refina a parti¸c˜ao P . Geometricamente, quando f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], a existˆencia de Rb ao limitada pelo gr´ afico de f , pelo segmento a f (x) dx significa que a regi˜ [a, b] do eixo das abscissas e pelas verticais levantadas pelos pontos a e b ´e mensur´avel (isto ´e, possui ´area) e o valor da integral ´e, por defini¸c˜ao, Rb a´ area dessa regi˜ ao. No caso geral, tem-se a ´area externa ¯a f (x) dx e a Rb ´area interna a f (x) dx, que podem ser diferentes, como veremos agora. ¯

Exemplo 1. Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = 0 se x ´e racional e f (x) = 1 quando x ´e irracional. Dada uma parti¸c˜ao arbitr´ aria P , como cada intervalo [ti−1 , ti ] cont´em n´ umeros racionais e irracionais, temos mi = 0 e Mi = 1, logo s(f ; P ) = 0 e S(f ; P ) = b − a. Assim, f n˜ao ´e Rb Rb f (x) dx = 0 e ¯ f (x) dx = b − a. integr´avel, pois ¯

a

a

Exemplo 2. Seja f : [a, b] → R constante, f (x) = c para todo x ∈ [a, b]. Ent˜ao, seja qual for a parti¸c˜ao P , temos mi = Mi = c em todos os intervalos, logo s(f ; P ) = S(f ; P ) = c(b − a). Assim f ´e integr´avel, com Rb Rb Rb f (x) dx = f (x) dx = ¯ f (x) dx = c(b − a). a

¯

a

a

Teorema 2. (Condi¸ c˜ ao imediata de integrabilidade.) Seja f : [a, b] → R limitada. As seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: (1) f ´e integr´ avel.

(2) Para todo ε > 0, existem parti¸co ˜es P , Q de [a, b] tais que S(f ; Q)− s(f ; P ) < ε. (3) Para todo ε > 0, existe uma ˜o P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] tal P parti¸ca que S(f ; P ) − s(f ; P ) = ni=1 ωi (ti − ti−1 ) < ε.

Demonstra¸ c˜ ao: Sejam A o conjunto das somas inferiores e B o conjunto das somas superiores de f . Pelo Corol´ario 1 do Teorema 1, tem-se s ≤ S para toda s ∈ A e toda S ∈ B. Supondo (1), vale sup A = inf B.

Se¸c˜ ao 3

Propriedades da integral

127

Logo, pelo Lema 1, podemos concluir que (1) ⇒ (2). Para provar que (2) ⇒ (3) basta observar que se S(f ; Q) − s(f ; P ) < ε ent˜ao, como a parti¸c˜ao P0 = P ∪ Q refina ambas P e Q, segue-se do Teorema 1 que s(f ; P ) ≤ s(f ; P0 ) ≤ S(f ; P0 ) ≤ S(f ; Q), donde se conclui que S(f ; P0 ) − s(f ; P0 ) < ε. Finalmente, (3) ⇒ (1) pelo Lema 1.

Exemplo 3. Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = c quando a < x ≤ b Rb e f (a) = A. Afirmamos que f ´e integr´avel, com a f (x) dx = c(b − a). Para fixar id´eias, suponhamos c < A. Ent˜ao, dada uma parti¸c˜ao qualquer P = {t0 , t1 , . . . , tn } temos m1 = c, M1 = A e mi = Mi = c para 1 < i ≤ n. Portanto S(f ; P ) − s(f ; P ) = (A − c)(t1 − t0 ). Dado arbitrariamente ε > 0, tomamos uma parti¸c˜ao P com t1 − t0 < ε/(A − c) e obtemos S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. Logo f ´e integr´avel. Al´em disso, como s(f ; P ) = c(b − a) para toda parti¸c˜ao P , temos Z b f (x) dx = c(b − a). ¯

a

Mas, sendo f integr´avel, resulta que Z b Z b f (x) dx = c(b − a). f (x) dx = a

¯

a

Evidentemente, um resultado an´ alogo vale quando f (x) = c para x ∈ [a, b), ou quando f (x) = c para todo x ∈ (a, b).

3

Propriedades da integral

Teorema 3. Seja a < c < b. A fun¸ca ˜o limitada f : [a, b] → R ´e integr´ avel se, e somente se, suas restri¸co ˜es f |[a, c] e f |[c, b] s˜ ao integr´ aveis. Rb Rc Rb No caso afirmativo, tem-se a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx. Demonstra¸ c˜ ao: Sejam A e B respectivamente os conjuntos das somas inferiores de f |[a, c] e f |[c, b]. Vˆe-se facilmente que A+B ´e o conjunto das somas inferiores de f relativamente `as parti¸c˜oes de [a, b] que contˆem o ponto c. Pelo Corol´ario 3 do Teorema 1, ao calcular a integral inferior de f , basta considerar as parti¸c˜oes desse tipo, pois elas s˜ ao as que refinam P0 = {a, c, b}. Pelo Lema 2, Z b Z c Z b f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx = sup(A + B) = sup A + sup B = ¯

a

¯

a

¯

c

128

A Integral de Riemann

Cap. 10

Analogamente se mostra que Z¯ b

f (x)dx =

Z¯ c

f (x)dx +

a

a

b

Z

¯

f (x)dx.

c

Logo Z¯ b a

f−

Z

¯

a

b



f =

Z¯ c a

f−

Z

¯

a

c





f + 

Z¯ b c

f−

Z

¯

c

b



f .

Como as duas parcelas dentro dos parˆenteses s˜ ao ≥ 0, sua soma ´e zero se, e somente se, elas s˜ ao ambas nulas. Assim, f ´e integr´avel se, e somente se, suas restri¸c˜oes f |[a, c] e f |[c, b] o s˜ ao. No caso afirmativo, vale a Rb Rc Rb igualdade a f = a f + c f .

Exemplo 4. Diz-se que f : [a, b] → R ´e uma fun¸ca ˜o-escada quando existem uma parti¸c˜ao P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] e n´ umeros reais c1 , . . . , cn tais que f (x) = ci quando ti−1 < x < ti . (Note-se que nada se diz sobre os valores f (ti ).) Segue-se do Teorema 3 e do Exemplo 3 que toda fun¸c˜ao Rb P escada ´e integr´avel e a f (x) dx = ni=1 ci (ti − ti−1 ). Rb Rc Rb Conven¸ c˜ ao. A igualdade a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx faz sentido apenas quando a < c < b. A fim de torn´a-la verdadeira sejam quais forem a, b, c ∈ R, Rfaremos duas conven¸c˜oes, Rque ser˜ao adotadas R a doraa b vante. Primeira: a f (x) dx = 0. Segunda: a f (x) dx = − b f (x) dx. Aceitas estas conven¸c˜oes, vale para toda fun¸c˜ao integr´avel f a igualdade acima. Para verific´a-la, h´a seis possibilidades a considerar: a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b e c ≤ b ≤ a. Em cada caso, basta admitir a integrabilidade de f no intervalo maior. Teorema 4. Sejam f, g : [a, b] → R integr´ aveis. Ent˜ ao: (1) A soma f + g ´e integr´ avel e Z b Z b Z b g(x) dx. f (x) dx + [f (x) + g(x)]dx = a

a

a

(2) O produto f ·g ´e integr´ avel. Se c ∈ R,

Rb a

c·f (x) dx = c·

Rb a

f (x) dx.

(3) Se 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b] ent˜ ao o quociente f /g ´e integr´ avel. Rb Rb (4) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], ent˜ ao a f (x) dx ≤ a g(x) dx.

Se¸c˜ ao 3

Propriedades da integral

129

Rb Rb (5) |f | ´e integr´ avel e a f (x) dx ≤ a |f (x)| dx.

Demonstra¸ c˜ ao: Dada uma parti¸c˜ao arbitr´ aria P de [a, b], se indicarmos com m′i , m′′i e mi respectivamente os ´ınfimos de f , g e f + g no i-´esimo intervalo de P , teremos m′i + m′′i ≤ mi , pelo Corol´ario do Lema Rb 2, logo s(f ; P ) + s(g; P ) ≤ s(f + g; P ) ≤ a (f + g) para toda parti¸c˜ao ¯

P . Se tomarmos duas parti¸c˜oes P e Q teremos ainda

s(f ; P ) + s(g; Q) ≤ s(f ; P ∪ Q) + s(g; P ∪ Q) ≤

Z

¯

b

(f + g).

a

Por conseguinte, Z

¯

b

f+

a

Z

¯

b

g = sup s(f ; P ) + sup s(g; Q) P

a

Q

= sup[s(f ; P ) + s(g; Q)] ≤ P,Q

Z

¯

b

(f + g). a

Isto prova a primeira das desigualdades abaixo. A terceira se demonstra de modo an´ alogo e a segundo ´e ´obvia: Z

¯

b

f+ a

Z

¯

a

b

g≤

Z

¯

b

a

Z¯ b Z¯ b Z¯ b (f + g) ≤ (f + g) ≤ f + g. a

a

a

Quando f e g s˜ ao integr´aveis, as trˆes desigualdades se reduzem a igualdades, o que prova (1). (2) Seja K tal que |f (x)| ≤ K e |g(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Dada uma parti¸c˜ao P , sejam ωi′ , ωi′′ e ωi respectivamente as oscila¸c˜oes de f , g e f · g no i-´esimo intervalo [ti−1 , ti ]. Para quaisquer x, y ∈ [ti−1 , ti ] temos: |f (y) · g(y) − f (x) · g(x)| = |(f (y) − f (x))g(y) + f (x)(g(y) − g(x))|

≤ |f (y) − f (x)| |g(y)| + |f (x)| |g(y) − g(x)|

≤ K(ωi′ + ωi′′ ).

P P P Da´ı ωi (ti −ti−1 ) ≤ K ·[ ωi′ (ti −ti−1 )+ ωi′′ (ti −ti−1 )]. A integrabilidade de f · g segue-se ent˜ao da integrabilidade de f e g, pelo Teorema 2.

130

A Integral de Riemann

Cap. 10

Quanto a cf , sua integrabilidade resulta do que acabamos de provar. Al´em disso, se c ≥ 0, temos s(cf ; P ) = c · s(f ; P ) para toda parti¸c˜ao P , donde, pelo Lema 2, Z b Z b Z b Z b f. f =c· cf = c · cf = a

¯

a

¯

a

a

Rb Rb Rb Caso c < 0, temos s(cf ; P ) = c · S(f ; P ), logo a cf = a cf = c ·a¯ f = ¯ Rb c · a f. (3) Como f /g = f · (1/g), basta provar que 1/g ´e integr´avel se g ´e integr´avel e 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b]. Indiquemos com ωi e ωi′ respectivamente as oscila¸c˜oes de g e 1/g no i-´esimo intervalo de ε > 0, podemos tomar P de modo que P uma parti¸c˜ao P . Dado ωi (ti − ti−1 ) < ε · k 2 . Para quaisquer x, y no i-´esimo intervalo de P tem-se 1 1 |g(x) − g(y)| ωi g(y) − g(x) = |g(y)g(x)| ≤ k 2 , P ′ ωi (ti − ti−1 ) < ε, logo 1/g ´e portanto ωi′ ≤ ωi /k 2 . Segue-se que integr´avel. (4) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] ent˜ao s(f ; P ) ≤ s(g; P ) e Rb Rb S(f ; P ) ≤ S(g; P ) para toda parti¸c˜ao P , donde a f (x) dx ≤ a g(x) dx. (5) A desigualdade evidente | |f (y)| − |f (x)| | ≤ |f (y) − f (x)| mostra que a oscila¸c˜ao de |f | em qualquer conjunto n˜ao supera a de f . Logo, f integr´avel ⇒ |f | integr´avel. Al´em disso, como −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| para todo x ∈ [a, b], resulta de (4) que Z b Z b Z b |f (x)| dx, f (x) dx ≤ |f (x)| dx ≤ − a

a

a

Rb Rb ou seja, a f (x) dx ≤ a |f (x)| dx.

Corol´ ario. Se f : [a, b] → R ´e integr´ avel e |f (x)| ≤ K para todo x ∈ Rb [a, b] ent˜ ao a f (x) dx ≤ K(b − a).

Observa¸ c˜ ao. Se uma fun¸c˜ao integr´avel f : [a, b] → R ´e tal que f (x) ≥ 0 Rb para todo x ∈ [a, b] ent˜ao a f (x) dx ≥ 0. Isto resulta de (4) acima. Mas Rb ´e poss´ıvel ter f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], com a f (x) dx = 0 sem que f seja identicamente nula. Basta tomar f (x) = 1 num conjunto finito de

Se¸c˜ ao 4

Condi¸c˜ oes de integrabilidade

131

pontos em [a, b] e f (x) = 0 nos pontos de [a, b] fora desse conjunto finito. Pelo Exemplo 4, f ´e integr´avel e sua integral ´e zero. Entretanto, se f Rb ´e cont´ınua e f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] ent˜ao a f (x) dx = 0 implica f identicamente nula. Com efeito, se existisse algum ponto x0 ∈ [a, b] onde f (x0 ) = c > 0, existiria um intervalo n˜ao-degenerado [α, β], com x0 ∈ [α, β] ⊂ [a, b] tal que f (x) > c/2 para todo x ∈ [α, β]. Ent˜ao, Rb Rβ como f (x) ≥ 0, ter´ıamos a f (x) dx ≥ α f (x) dx > 2c (β − α) > 0, uma contradi¸c˜ao.

4

Condi¸c˜ oes de integrabilidade

Teorema 5. Toda fun¸ca ˜o cont´ınua f : [a, b] → R ´e integr´ avel.

Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0, pela continuidade uniforme de f no compacto [a, b], existe δ > 0 tal que x, y ∈ [a, b], |y − x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε/(b − a). Seja P uma parti¸c˜ao de [a, b] cujos intervalos tˆem todos comprimento < δ. Em todo intervalo [ti−1 , ti ] de P existem xi , yi tais que mi = f (xi ) e M Pi = f (yi ), donde ωi = f (yi ) − f (xi ) < ε/(b − a). Conseq¨ uentemente ωi (ti − ti−1 ) < ε. Pelo Teorema 2, f ´e integr´avel.

Teorema 6. Toda fun¸ca ˜o mon´ otona f : [a, b] → R ´e integr´ avel.

Demonstra¸ c˜ ao: Para fixar id´eias, seja f n˜ao-decrescente e n˜ao-constante. Dado ε > 0, seja P = {t0 , . . . , tn } uma parti¸c˜ao de [a, b] cujos intervalos tˆem todos comprimento < ε/[fP (b) − f (a)]. Para cada i = 1, . . . , n temos ωi = f (ti ) − f (ti−1 ) portanto ωi = f (b) − f (a) e X X ε · ωi = ε. ωi (ti − ti−1 ) < f (b) − f (a) Logo f ´e integr´avel.

As considera¸c˜oes a seguir s˜ ao um preparativo para o Teorema 7, que engloba os Teoremas 5 e 6 como casos particulares. Se a < b, indicaremos com |I| = b − a o comprimento do intervalo (fechado, aberto ou semi-aberto) I cujos extremos s˜ ao a e b. Diz-se que o conjunto X ⊂ R tem medida nula quando, para todo S ε > 0 dado, existe uma cobertura finita ou infinita enumer´avel XP⊂ Ik de X por intervalos abertos Ik cuja soma dos comprimentos ´e |Ik | < ε. Na defini¸ S c˜ao de conjunto de medida nula, os intervalos Ik da cobertura X ⊂ Ik s˜ ao tomados abertos a fim de permitir o uso do Teorema

132

A Integral de Riemann

Cap. 10

de Borel-Lebesgue, quando necess´ario. Deve-se observar S por´em que se, para todo ε > 0, existir uma cobertura enumer´avel X ⊂ Ik por meio de intervalos limitados Ik (abertos ou n˜ao), com Σ|Ik | < ε, ent˜ao X tem medida nula. Com efeito, sendo assim, para todo k ∈ N tomamos um intervalo aberto JS a uma coberk ⊃ Ik com |Jk | =!Ik | + ε/2k, o que nos d´ tura aberta X ⊂ Jk , com Σ|Jk | = Σ|Ik | + Σ(ε/2k) = Σ|Ik | + ε < 2ε, logo X tem medida nula. Exemplo 5. Todo conjunto enumer´avel X = {x1 , . . . , xk , . . . } tem medida nula. Com efeito, dado arbitrariamente ε > 0, seja S Ik o intervalo P aberto de centro xk e comprimento ε/2k+1 . Ent˜ao X ⊂ Ik e |Ik | = ε/2 < ε. Em particular, o conjunto Q dos n´ umeros racionais tem medida nula. Teorema 7. Se o conjunto D dos pontos de descontinuidade de uma fun¸ca ˜o limitada f : [a, b] → R tem medida nula ent˜ ao f ´e integr´ avel.

Demonstra¸ c˜ aS o: Dado Pε > 0, existem intervalos abertos I1 , . . . , Ik , . . . tais que D ⊂ Ik e |Ik | < ε/2K, onde K = M − m ´e a oscila¸c˜ao de f em [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] − D, seja Jx um intervalo aberto de centro x tal que a oscila¸c˜ao de f |(Jx ∩ [a, b]) ´e menor do que ε/2(b S −
a). Pelo Teorema de Borel-Lebesgue, a cobertura aberta [a, b] ⊂ k Ik ∪
S possui uma subcobertura finita [a, b] ⊂ I ∪ · · · ∪ I ∪ Jx1 ∪ J 1 m x x · · · ∪ Jxn . Seja P a parti¸c˜ao de [a, b] formada pelos pontos a e b e os extremos desses m + n intervalos que perten¸cam a [a, b]. Indiquemos com [tα−1 , tα ] os intervalos de P que est˜ao contidos em algum I k e com [tβ−1 , tβ ] os demais P intervalos de P , cada um dos quais est´a contido em algum Jxi . Ent˜ao (tα − tα−1 ) < ε/2K e a oscila¸c˜ao de f em cada intervalo [tβ−1 , tβ ] ´e ωβ < ε/2(b − a). Logo X X S(f ; P ) − s(f ; P ) = ωα (tα − tα−1 ) + ωβ (tβ − tβ−1 ) X X ε(tβ − tβ−1 ) < K(tα − tα−1 ) + 2(b − a) Kε ε · (b − a) < + = ε. 2K 2(b − a) Logo f ´e integr´avel. A rec´ıproca do Teorema 7 ´e verdadeira. A fim de demonstr´a-la, faremos uso da oscila¸c˜ao ω(f ; x) da fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R no ponto x ∈ [a, b], assim definida: para cada δ > 0, seja ω(δ) = Mδ − mδ ,

Se¸c˜ ao 4

Condi¸c˜ oes de integrabilidade

133

onde Mδ e mδ s˜ ao respectivamente o sup e o inf de f em [a, b]∩[x−δ, x+δ]. A fun¸c˜ao ω(δ) ´e ≥ 0, limitada e n˜ao-decrescente, logo existe o limite ω(f ; x) = lim ω(δ), que chamaremos a oscila¸ca ˜o de f no ponto x. Segueδ→0

se imediatamente da defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua que ω(f ; x) > 0 se, e somente se, a fun¸c˜ao f ´e descont´ınua no ponto x. Se x ´e um ponto interior do intervalo I ⊂ [a, b] ent˜ao ω(f ; x) ≤ ω(f ; I), onde ω(f ; I) = sup ·f (x) − inf f (x). Mas se x ´e um dos extremos de I, pode ocorrer que x∈I

x∈I

seja ω(f ; x) > ω(f ; I). Este ´e, por exemplo, o caso quando f : [−1, 1] → R ´e dada por f (x) = 1 para −1 ≤ x < 0 e f (x) = 0 quando x ≥ 0. Tomando I = [0, 1] e x = 0, temos ω(f ; I) = 0 e ω(f ; x) = 1. Com esses preliminares esclarecidos, passemos `a Rec´ıproca do Teorema 7. O conjunto D dos pontos de descontinuidade da fun¸ca ˜o integr´ avel f : [a, b] → R tem medida nula. Demonstra¸ c˜ ao: Para cada k ∈ N, seja Dk ={x∈[a, b]; ω(f ; x)≥1/k}. Ent˜ao D = ∪Dk , logo basta mostrar que cada Dk tem medida nula. Fixemos k e tomemos ε > 0. Sendo f integr´avel, existe uma parti¸c˜ao P = {t0 < t1 , < · · · < tk } de [a, b] tal que Σωi ·(ti −ti−j ) < ε/k, onde ωi ´e a oscila¸c˜ao de f em [ti−j , ti ]. Indicando com [tα−i , tα ] os intervalos de P que contˆem pontos de Dk em seu interior, temos ωα ≥ 1/k para cada α e Dk = [∪(tα−1 , tα )] ∪ F , onde F ´e o conjunto (finito) das extremidades dos (tα−1 , tα ) que perten¸cam a Dk . Ent˜ao 1 Σ(tα − tα−1 ) ≤ Σωα · (tα − tα−1 ) ≤ Σωi (ti − ti−1 ) < ε/k, k logo Σ(tα − tα−1 ) < ε. Assim, para todo ε > 0 dado, ´e poss´ıvel cobrir Dk com um conjunto finito F mas uma reuni˜ao finita de intervalos cuja soma dos comprimentos ´e < ε. Segue-se que Dk tem medida nula. Exemplo 6. O conjunto de Cantor K (se¸c˜ao 5 do Cap´ıtulo 5), embora n˜ao-enumer´avel, tem medida nula. Com efeito, se pararmos na n-´esima etapa de sua constru¸c˜ao, veremos que o conjunto de Cantor est´a contido na reuni˜ao de 2n intervalos, cada um tendo comprimento 1/3n . Dado ε > 0, podemos tomar n ∈ N tal que (2/3)n < ε, e concluiremos que a medida de K ´e zero. Podemos considerar a fun¸c˜ao f : [0, 1] → R, definida pondo-se f (x) = 0 se x ∈ K e f (x) = 1 se x ∈ / K. Como [0, 1] − K ´e aberto, a fun¸c˜ao f ´e localmente constante, e portanto cont´ınua, nos pontos x ∈ / K. Como K n˜ao possui pontos interiores, f ´e descont´ınua em

134

A Integral de Riemann

Cap. 10

todos os pontos de K. Pelo Teorema 7, f ´e integr´avel. Dada qualquer parti¸c˜ao P de [0, 1] todos os intervalos de P contˆem pontos que n˜ao pertencem a K, pois int K = ∅. Assim, Mi = 1 e S(f ; P ) = 1 para toda R1 R 1 parti¸c˜ao P . Segue-se que 0 f (x) dx = ¯0 f (x) dx = 1.

Exemplo 7. Se S a < b, o intervalo [a, b] n˜ao tem medida nula. Com efeito, se [a, b] ⊂ Ik ´e uma cobertura (que podemos supor finita) por intervalos Ik , tem-se sempre Σ|Ik | ≥ b − a. De fato, os pontos a, b e mais as extremidades dos Ik que estejam contidas em [a, b] formam uma parti¸c˜ao P = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} tal que cada intervalo (ti−1 , ti ) est´a contido em algum P Ik . Se escrevermos i ⊂ k para significar (ti − ti−1 ) ≤ |Ik |. Portanto que (ti−1 , ti ) ⊂ Ik , teremos i⊂k

b − a = Σ(ti − ti−1 ) =

5

" X X k

i⊂k

#

(ti − ti−1 ) ≤ Σ|Ik |.

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 2:

Integral de Riemann

1. Defina f : [0, 1] → R pondo f (0) = 0 e f (x) = 1/2n se 1/2n+1 < n Rx 1 ≤ 1/2 , n ∈ N ∪ {0}. Prove que f ´e integr´avel e calcule 0 f (x) dx.

2. Seja Rf : [−a, a] → R integr´avel. Se f ´e uma fun¸c˜aoR´ımpar, prove a a que −a f (x) dx = 0. Se, por´em, f ´e par, prove que −a f (x) dx = Ra 2 0 f (x) dx. 3. Seja f : [a, b] → R definida pondo f (x) = 0 se x ´e irracional e f (x) = 1/q se x = p/q ´e uma fra¸c˜ao irredut´ıvel e q > 0. (Ponha f (0) = 1 caso 0 ∈ [a, b].) Prove que f ´e cont´ınua apenas nos pontos Rb irracionais de [a, b], que ´e integr´avel e que a f (x) dx = 0. 4. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel, com f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Se f ´e cont´ınua no ponto c ∈ [a, b] e f (c) > 0, prove que Rb a f (x) dx > 0.

5. Seja f : [a, b] → R definida pondo f (x) = x quando x ´e racional e f (x) = x + 1 quando x ´e irracional. Calcule as integrais (inferior e superior) de f . Usando uma fun¸c˜ao integr´avel g : [a, b] → R em vez de x, defina agora ϕ(x) = g(x) se x ´e racional e ϕ(x) = g(x)+1

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

135

para x irracional. Calcule as integrais (inferior e superior) de ϕ em termos da integral de g. Se¸ c˜ ao 3:

Propriedades da integral

1. Seja f : [a, b] → R integr´ R x avel. Prove que a fun¸c˜ao F : [a, b] → R, definida por F (x) = a f (t) dt, ´e lipschitziana.

2. Prove que se f, g : [a, b] → R s˜ ao integr´aveis ent˜ao s˜ ao tamb´em integr´aveis as fun¸c˜oes ϕ, ψ : [a, b] → R, definidas por ϕ(x) = max{f (x), g(x)} e ψ(x) = min{f (x), g(x)}. Conclua da´ı que s˜ ao integr´aveis as fun¸c˜oes f+ , f− : [a, b] → R dadas por f+ (x) = 0 se f (x) ≤ 0, f+ (x) = f (x) se f (x) > 0; f− (x) = 0 se f (x) ≥ 0 e f− (x) = −f (x) se f (x) < 0 (supondo ainda f integr´avel).

3. Prove que se f, g : [a, b] → R s˜ ao cont´ınuas ent˜ao Z

a

b

f (x)g(x) dx

2

≤

Z

a

b

2

f (x) dx ·

Z

b

g(x)2 dx.

a

(Desigualdade de Schwarz.) Se¸ c˜ ao 4:

Condi¸ co ˜es suficientes de integrabilidade

1. Prove que a fun¸c˜ao f do Exerc´ıcio 2.3 ´e integr´avel. 2. Prove que o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma fun¸c˜ao mon´otona ´e enumer´avel e conclua da´ı que o Teorema 6 decorre do Teorema 7. 3. Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R. Se D′ (conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de D) ´e enumer´avel, prove que f ´e integr´avel. 4. Uma fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R, que se anula fora de um conjunto de medida nula, pode n˜ao ser integr´avel. Nestas condi¸c˜oes, supondo f integr´avel, prove que sua integral ´e igual a zero. 5. Diz-se que um conjunto X ⊂ R tem conte´ udo nulo quando, para todo ε > 0 dado, existe uma cobertura X ⊂ I1 ∪ · · ·P ∪ Ik , por meio k de um n´ umero finito de intervalos abertos, com j=1 |Ij | < ε. Prove: (a) Se X tem conte´ udo nulo, o mesmo ocorre com seu fecho X.

136

A Integral de Riemann

Cap. 10

(b) Existem conjuntos de medida nula que n˜ao tˆem conte´ udo nulo. (c) Um conjunto compacto tem medida nula se, e somente se, tem conte´ udo nulo. (d) Se uma fun¸c˜ao limitada g : [a, b] → R coincide com uma fun¸c˜ao integr´avel f : [a, b] → R exceto num conjunto de conte´ udo nulo, prove que g ´e integr´avel e sua integral ´e igual `a de f . 6. Se um conjunto X ⊂ [a, b] n˜ao tem medida nula ent˜ao existe ε > 0 tal que, para toda parti¸c˜ao P de [a, b], a soma dos comprimentos dos intervalos de P que contˆem pontos de X em seu interior ´e maior do que ε. 7. Seja ϕ : [a, b] → R uma fun¸c˜ao positiva (isto ´e, ϕ(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]). Existe α > 0 tal que o conjunto X = {x ∈ [a, b]; ϕ(x) ≥ α} n˜ao tem medida nula. Rb 8. Se a fun¸c˜ao ϕ : [a, b] → R ´e positiva e integr´avel, ent˜ao a ϕ(x) dx > 0. Conclua que se f, g : [a, b] → R s˜ ao integr´aveis e f (x) < g(x) Rb Rb para todo x ∈ [a, b] ent˜ao a f (x) dx < a g(x) dx. (Use os exerc´ıcios 6. e 7.) 9. Seja p : [a, b] → R integr´avel, com p(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Rb Prove que se a p(x) dx = 0 ent˜ao o conjunto dos pontos x ∈ [a, b] tais que p(x) = 0 ´e denso em [a, b]. Se f : [a, b] → R ´e qualquer fun¸c˜ao integr´avelR que se anula num conjunto denso de pontos em b [a, b], prove que a f (x) dx = 0.

11 C´ alculo com Integrais

Este cap´ıtulo ´e a continua¸c˜ao do anterior. Naquele, foi definida a integral e foram estabelecidas condi¸c˜oes gerais que asseguram a integrabilidade de uma fun¸c˜ao. Neste, ser˜ao provadas as regras para o manuseio eficiente das integrais, entre elas o chamado Teorema Fundamental do C´alculo, uma movimentada via de m˜ ao dupla que liga derivadas a integrais. Em seguida, usaremos a integral para dar uma defini¸c˜ao adequada do logaritmo e da exponencial. O cap´ıtulo termina com uma breve discuss˜ ao das integrais impr´oprias.

1

Os teoremas cl´ assicos do C´ alculo Integral

Para come¸car, estabeleceremos a conex˜ao entre derivada e integral. Teorema 1. (Teorema Fundamental do C´ alculo.) Seja f : I → R cont´ınua no intervalo I. As seguintes afirma¸co ˜es a respeito de uma fun¸ca ˜o F : I → R s˜ ao equivalentes: (1) F ´e uma integral R x indefinida de f , isto ´e, existe a ∈ I tal que F (x) = F (a) + a f (t) dt, para todo x ∈ I.

(2) F ´e uma primitiva de f , isto ´e, F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I.

138

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇒ (2). Se x0 , x0 +h ∈ I ent˜ao F (x0 +h)−F (x0 ) = R x0 +h R x +h f (t) dt e h · f (x0 ) = x00 f (x0 ) dt, portanto x0 1 F (x0 + h) − F (x0 ) − f (x0 ) = h h

Z

x0 +h

x0

[f (t) − f (x0 )] dt.

Dado ε > 0, pela continuidade de f no ponto x0 , existe δ > 0 tal que t ∈ I, |t − x0 | < δ implicam |f (t) − f (x0 )| < ε. Ent˜ao 0 < |h| < δ, x0 + h ∈ I implicam Z x0 +h F (x0 + h) − F (x0 ) 1 − f (x0 ) ≤ |f (t) − f (x0 )| dt h |h| x0 1 < · |h| · ε = ε. |h| Isto mostra que F ′ (x0 ) = f (x0 ). (2) ⇒ (1). Seja F ′ = Rf . Como acabamos de ver, se fixarmos x a ∈ I e definirmos ϕ(x) = a f (t) dt, teremos ϕ′ = f . As duas fun¸c˜oes F, ϕ : I → R, tendo a mesma derivada, diferem por uma constante. Como ϕ(a) = 0, essa constante ´e F (a). Portanto F (x) = F (a) + ϕ(x), Rx isto ´e, F (x) = F (a) + a f (t) dt para todo x ∈ I.

Coment´ arios. (1). Foi provado acima que toda fun¸c˜ao cont´ınua possui uma primitiva. Mais precisamente:R se f : [a, b] → R ´e integr´avel ent˜ao x F : [a, b] → R, definida por F (x) = a f (t) dt, ´e deriv´avel em todo ponto x0 ∈ [a, b] no qual f seja cont´ınua, e tem-se F ′ (x0 ) = f (x0 ). Nesse ponto Rb tamb´em ´e deriv´avel a fun¸c˜ao G : [a, b] → R, dada por G(x) = x f (t) dt. Rb Tem-se G′ (x0 ) = −f (x0 ). Com efeito, F (x) + G(x) = a f (t) dt = constante, logo F ′ (x0 ) + G′ (x0 ) = 0. 1 (2). Ficou tamb´em provado que se F : [a, b] → R xR ´e′ de classe C (isto ´e, tem derivada cont´ınua) ent˜ao F (x) = F (a) + a F (t) dt. Em particular, Rb Rb F (b) = F (a) + a F ′ (t) dt. Isto reduz o c´alculo da integral a f (x) dx `a Rb procura de uma primitiva de f . Se F ′ = f ent˜ao a f (x) dx = F (b) − F (a).

(3). O mesmo argumento da demonstra¸c˜ao de que (2) ⇒ (1) no Teorema 1 serve para provar que se a fun¸c˜ao integr´avel f : [a, b] → R ´e cont´ınua no R x ponto c ∈ [a, b] ent˜ao a fun¸c˜ao F : [a,′ b] → R, definida por F (x) = e deriv´avel no ponto c, com F (c) = f (c). a f (t) dt ´

Se¸c˜ ao 1

Os teoremas cl´ assicos do C´ alculo Integral

139

Teorema 2. (Mudan¸ ca de vari´ avel.) Sejam f : [a, b] → R cont´ınua, g : [c, d] → R com derivada cont´ınua e g([c, d]) ⊂ [a, b]. Ent˜ ao Z

g(d)

f (x) dx =

Z

d

c

g(c)

f (g(t)) · g ′ (t) dt.

Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema 1, f possui uma primitiva F : [a, b] → R R g(d) e vale g(c) f (x) dx = F (g(d)) − F (g(c)). Por outro lado, a Regra da Cadeia nos d´a (F ◦ g)′ (t) = F ′ (g(t)) · g ′ (t) = f (g(t)) · g ′ (t) para todo t ∈ [c, d]. Logo F ◦ g : [c, d] → R ´e uma primitiva da fun¸c˜ao cont´ınua Rd t 7→ f (g(t)) · g ′ (t). Portanto c f (g(t)) · g ′ (t) dt = F (g(d)) − F (g(c)). Isto prova o teorema. Observa¸ c˜ ao. O Teorema 2 ´e uma boa justificativa para a nota¸c˜ao R g(d) Rb Rb avel em g(c) f (x) dx, faza f (x) dx, em vez de a f . Para mudar a vari´ se x = g(t). A diferencial de x ser´a dx = g ′ (t) dt. Estas substitui¸c˜oes d˜ao Z Z g(d)

d

f (x) dx =

g(c)

c

f (g(t)) · g ′ (t) dt.

A troca nos limites de integra¸c˜ao ´e natural: quando t varia de c a d, x = g(t) varia de g(c) a g(d). b ´ tradicional no C´ E alculo a nota¸c˜ao F a = F (b) − F (a).

Teorema 3. (Integra¸ c˜ ao por partes.) Se f, g : [a, b] → R tˆem derivadas cont´ınuas ent˜ ao Z b Z b b f (x) · g ′ (x) dx = f · g a − f ′ (x) · g(x) dx. a

a

Demonstra¸ c˜ ao: Basta notar que f · g ´e primitiva de f · g ′ + f ′ · g e integrar esta soma usando o Teorema Fundamental do C´alculo.

Teorema 4. (F´ ormula do Valor M´ edio para integrais.) Sejam f, p : [a, b] → R, f cont´ınua, p integr´ avel, com p(x) ≥ 0 para todo Rb x ∈ [a, b]. Existe um n´ umero c ∈ [a, b] tal que a f (x)p(x) dx = f (c) · Rb a p(x) dx.

Demonstra¸ c˜ ao: Para todo x ∈ [a, b], temos m ≤ f (x) ≤ M , onde m ´e o ´ınfimo e M o supremo de f em [a, b]. Como p(x) ≥ 0, segue-se que Rb m·p(x) ≤ f (x)·p(x) ≤ M ·p(x) para todo x ∈ [a, b]. Seja A = a p(x) dx.

140

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

Rb Das u ´ltimas desigualdades resulta m·A ≤ a f (x)p(x) dx ≤ M ·A. Como Rb a fun¸c˜ao A · f ´e cont´ınua, temos a f (x)p(x) dx = A · f (c) para algum c ∈ [a, b], o que prova o teorema. Corol´ ario. Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Existe c ∈ [a, b] tal que Z b f (x) dx = f (c) · (b − a). a

Lema. Se ϕ : [0, 1] → R possui derivada de ordem n cont´ınua ent˜ ao n−1 X ϕ(i) (0) Z 1 (1 − t)n−1 ϕ(1) = + ϕ(n) (t) dt. i! (n − 1)! 0 i=0

c˜ ao: Para n = 1, esta f´ormula reduz-se a ϕ(1) = ϕ(0) + RDemonstra¸ 1 ′ ϕ (t) dt, v´ a lida pelo Teorema Fundamental do C´alculo. Para n = 2, 0 a integra¸c˜ao por partes fornece Z 1 Z 1 1 ′′ ′ ϕ′ (t) dt = −ϕ′ (0) + ϕ(1) − ϕ(0), (1 − t)ϕ (t) dt = (1 − t)ϕ (t) 0 + 0

0

logo

′

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) +

Z

0

1

(1 − t)ϕ′′ (t) dt.

Para n = 3, novamente a integra¸c˜ao por partes nos d´a 1 Z 1 Z 1 (1 − t)2 ′′′ (1 − t)2 ′′ (1 − t)ϕ′′ (t) dt ϕ (t) dt = ϕ (t) + 2 2 0 0 0 ϕ′′ (0) =− + ϕ(1) − ϕ(0) − ϕ′ (0), 2 logo Z 1 (1 − t)2 ′′′ ϕ′′ (0) + ϕ (t) dt. ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′ (0) + 2 2 0 O padr˜ ao indutivo est´a claro. O lema vale para todo n. Teorema 5. (F´ ormula de Taylor com resto integral.) Se f : I → R possui derivada n-´esima cont´ınua no intervalo cujos extremos s˜ ao a, a + h ∈ I ent˜ ao f (n−1) (a) n−1 f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · + h (n − 1)!  Z 1 (1 − t)n−1 (n) f (a + th)dt hn . + (n − 1)! 0

Se¸c˜ ao 2

A integral como limite de somas de Riemann

141

Demonstra¸ c˜ ao: Definindo ϕ : [0, 1] → R por ϕ(t) = f (a + th), tem-se (i) (i) ϕ (0) = f (a)hi . O Teorema 5 resulta do lema acima. Corol´ ario. (F´ ormula de Taylor com resto de Lagrange.) Se f : I → R ´e de classe C n no intervalo cujos extremos s˜ ao a, a + h ∈ I ent˜ ao existe θ ∈ [0, 1] tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · +

f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n h + ·h . (n − 1)! n!

Com efeito, chamando de A a integral do enunciado do Teorema 5, resulta do Teorema 4 que existe θ ∈ [0, 1] tal que A = f (n) (a+θh)

Z

1 0

(1 − t)n−1 f (n) (a + θh) dt = · (n − 1)! n!

Observa¸ c˜ ao. Esta demonstra¸c˜ao ´e mais natural do que a dada no Teorema 2, Cap´ıtulo 9, por´em exige mais de f .

2

A integral como limite de somas de Riemann

A norma de uma parti¸c˜ao P = {t0 , . . . , tn } ⊂ [a, b] ´e o n´ umero |P | = maior comprimento ti − ti−1 dos intervalos de P . Teorema 6. Seja f : [a, b] → R limitada. Para todo ε > 0 dado, existe Rb δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ S(f ; P ) < ¯ f (x) dx + ε. a

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos inicialmente f (x) ≥ 0 em [a, b]. Dado ε > 0, existe uma parti¸c˜ao P0 = {t0 , . . . , tn } de [a, b] tal que S(f ; P0 )
0 dado,

Se¸c˜ ao 3

Logaritmos e exponenciais

pode-se obter δ > 0 tal que | pontilhada P ∗ com |P | < δ.

143

P (f ; P ∗ ) − I| < ε seja qual for a parti¸c˜ao

Teorema 7. Se f : [a, b] → R ´e integr´ avel ent˜ ao Z

b

f (x) dx = lim

|P |→0

a

X

(f ; P ∗ ).

Demonstra¸ c˜ ao: Segue-se do Teorema 6 que se f ´e integr´avel ent˜ao lim s(f ; P ) = lim S(f ; P ) =

|P |→0

|P |→0

Z

b

f (x) dx.

a

P Como se tem s(f ; P ) ≤ (f ; P ∗ ) ≤ S(f ; P ), resulta imediatamente que Rb P lim|P |→0 (f ; P ∗ ) = a f (x) dx.

Observa¸ c˜ ao. Vale a rec´ıproca do Teorema 7, mas ´e menos interessante. (Veja “Curso de An´ alise”, vol. 1, pag. 333.)

3

Logaritmos e exponenciais

Seja a um n´ umero real maior que 1. Costuma-se definir o logaritmo de um n´ umero real x na base a como o expoente y = loga x tal que ay = x. Ou seja, a fun¸c˜ao loga : R+ → R costuma ser definida como a inversa da fun¸c˜ao exponencial y 7→ ay . Isto requer o trabalho preliminar de estabelecer o significado e as propriedades das potˆencias ay , onde y ´e um n´ umero real qualquer, o que ´e poss´ıvel fazer rigorosamente. Mas achamos mais simples definir primeiro o logaritmo e, a partir deste, a exponencial, como faremos agora. Definiremos a fun¸c˜ao log : R+ → R pondo, para cada x > 0, Z x Z x 1 dt log x = dt = · 1 t 1 t Rb O Rn´ umero log x ´e chamado o logaritmo de x. Lembrando que a f (x) dx = a − b f (x) dx, vemos que log x < 0 se 0 < x < 1, log 1 = 0 e log x > 0 quando x > 1. A fun¸c˜ao log ´e mon´otona crescente, deriv´avel, com (log)′ (x) = 1/x, (log)′′ (x) = −1/x2 , etc. Segue-se que log ´e infinitamente deriv´avel, isto ´e, log ∈ C ∞ . Vˆe-se tamb´em que log ´e uma fun¸c˜ao cˆoncava.

144

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

Teorema 8. Para quaisquer x, y ∈ R+ tem-se log(xy) = log x + log y. R xy Rx R xy c˜ ao: log(xy) = 1 dt/t = 1 dt/t + x dt/t = log x + RDemonstra¸ xy x dt/t. Quando s varia de 1 a y, o produto xs Rvaria de x a R yxy. Logo a xy mudan¸ ca de vari´avel t = xs nos d´a dt = xds e x dt/t = 1 xds/xs = Ry ds/s = log y, o que prova o teorema. 1

Corol´ ario 1. Para todo n´ umero racional r tem-se log(xr ) = r · log x. Com efeito, segue-se do Teorema 8 que log(xn ) = n · log x quando n ∈ N. De xn · x−n = 1 resulta 0 = log(xn · x−n ) = log(xn ) + log(x−n ) = n · log x + log(x−n ), donde log(x−n ) = −n log x. Isto prova o corol´ario para r ∈ Z. No caso geral, r = p/q onde p, q ∈ Z. Por defini¸c˜ao, (xp/q )q = xp . Da´ı, pelo que j´a provamos, q · log(xp/q ) = p · log x, donde log(xp/q ) = (p/q) log x. Corol´ ario 2. log : R+ → R ´e sobrejetiva. Como log ´e cont´ınua, sua imagem ´e um intervalo, portanto basta mostrar que log ´e ilimitada superior e inferiormente, o que decorre das igualdades log(2n ) = n · log 2 e log(2−n ) = −n · log 2.

Sendo uma fun¸c˜ao crescente, log ´e uma bije¸c˜ao de R+ sobre R. Sua inversa, exp : R → R+ ´e chamada a fun¸ca ˜o exponencial. Por defini¸c˜ao, exp(x) = y ⇔ log y = x, ou seja, log(exp(x)) = x e exp(log y) = y. Existe um u ´nico n´ umero real cujo logaritmo ´e igual a 1. Ele ´e indicado pelo s´ımbolo e. Mostraremos logo mais que e coincide com o n´ umero introduzido nos Exemplos 12 e 13 do Cap´ıtulo 3. Por enquanto, sua defini¸c˜ao ´e e = exp(1). Teorema 9. A fun¸ca ˜o exponencial exp : R → R+ ´e uma bije¸ca ˜o cres∞ cente, de classe C , com (exp)′ (x) = exp(x) e exp(x + y) = exp(x) · exp(y) para x, y ∈ R quaisquer. Al´em disso, para todo r ∈ Q tem-se exp(r) = er . Demonstra¸ c˜ ao: Pela regra de deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao inversa, para cada x ∈ R, com exp(x) = y, tem-se (exp)′ (x) = 1/(log)′ (y) = y = exp(x). Assim exp′ = exp, donde exp ∈ C ∞ . Dados x, y ∈ R, sejam x′ = exp(x) e y ′ = exp(y), logo x = log x′ e y = log y ′ . Ent˜ao exp(x + y) = exp(log x′ + log y ′ ) = exp[log(x′ y ′ )] = exp(x) · exp(y). Se r ´e racional, o Corol´ario 1 do Teorema 8 nos d´a log(exp(r)) = r = r · 1 = r · log e = log(er ), donde exp(r) = er , pela injetividade de log. A igualdade exp(r) = er para r ∈ Q, juntamente com a rela¸c˜ao exp(x + y) = exp(x) · exp(y) nos indicam que exp(x) se comporta como

Se¸c˜ ao 3

Logaritmos e exponenciais

145

uma potˆencia de base e e expoente x. Poremos ent˜ao, por defini¸c˜ao, ex = exp(x), para todo x ∈ R. Com isto, passa a ter significado a potˆencia ex para x real qualquer. Com esta nota¸c˜ao, temos ex+y = ex · ey , e0 = 1, e−x = 1/ex , x < y ⇔ ex < ey ,

log(ex ) = x, elog y = y, para quaisquer x ∈ R, y > 0.

Temos ainda lim ex = +∞ e lim ex = 0, como se vˆe facilmente. x→+∞

x→−∞

Pelo Teorema do Valor M´edio, para todo x > 1 existe c tal que 1 < c < x e log x = log x − log 1 = (log)′ (c)(x − 1) = (x − 1)/c. Segue√ se que log x < x para todo x ≥ 1. Como log x = 2 log x, temos √ √ 0 < log x < 2 x, donde 0 < log x/x < 2/ x para todo x > 1. Como √ limx→+∞ (2/ x) = 0, segue-se que limx→+∞ log x/x = 0, fato que tinha sido provado no final do Cap´ıtulo 3 supondo x = n ∈ N. Por outro lado, dado qualquer polinˆ omio p(x), tem-se lim p(x)/ex = 0.

x→+∞

Para provar isto, basta considerar o caso em que p(x) = xk . Ent˜ao escrevemos ex/k = y, donde x = k · log y. Evidentemente, x → +∞ se, e somente se, y → +∞. Portanto    x  log y lim = lim k =0 x→+∞ ex/k y→+∞ y e da´ı

 x k xk = lim = 0. x→+∞ ex/k x→+∞ ex lim

Se c e k s˜ ao constantes reais, a fun¸c˜ao f (x) = c · ekx tem derivada = k · c · ekx = k · f (x). Esta propriedade de possuir derivada proporcional a si mesma ´e respons´ avel por grande parte das aplica¸c˜oes da fun¸c˜ao exponencial. Mostraremos que essa propriedade ´e exclusiva das fun¸c˜oes desse tipo.

f ′ (x)

Teorema 10. Seja f : I → R deriv´ avel no intervalo I, com f ′ (x) = k · f (x). Se, para um certo x0 ∈ I, tem-se f (x0 ) = c ent˜ ao f (x) = c · ek(x−x0 ) para todo x ∈ I.

146

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

Demonstra¸ c˜ ao: Seja ϕ : I → R definida por ϕ(x) = f (x) · e−k(x−x0 ) . Ent˜ao ϕ′ (x) = f ′ (x)e−k(x−x0 ) −kf (x)·e−k(x−x0 ) = 0. Logo ϕ ´e constante. Como ϕ(x0 ) = c, tem-se ϕ(x) = c para todo x ∈ I, ou seja, f (x) = c · ek(x−x0 ) .

Como a derivada da fun¸c˜ao f (x) = ex ´e ainda f ′ (x) = ex , temos = 1. Segue-se da defini¸c˜ao de derivada que limx→0 (ex − 1)/x = 1. Dados a > 0 e x ∈ R, definiremos a potˆencia ax de modo que seja v´alida a f´ormula log(ax ) = x · log a. Para isto, tomaremos esta igualdade como defini¸c˜ao, ou seja, diremos que ax ´e o (´ unico) n´ umero real cujo logaritmo ´e igual a x · log a. Noutras palavras, ax = ex log a . A fun¸c˜ao f : R → R, definida por f (x) = ax , tem as propriedades esperadas. √ A primeira ´e que, para x = p/q ∈ Q (onde q >√0), f (x) = q ap . Com √ efeito, f (x) = exp((p/q) log a) = exp(log q ap ) = q ap . Tem-se ax+y = ax · ay , a0 = 1, a−x = 1/ax e (ax )y = axy . A fun¸c˜ao f (x) = ax tem derivada f ′ (x) = ax · log a, portanto ´e de classe C ∞ . A derivada f ′ ´e positiva se a > 1 e negativa se 0 < a < 1. Logo f ´e crescente no primeiro caso e decrescente no segundo. Quando a > 1, tem-se limx→+∞ ax = +∞ e limx→−∞ ax = 0. Se 0 < a < 1, os valores destes limites s˜ ao trocados. Se 0 < a 6= 1, f (x) = ax ´e uma bije¸c˜ao de R sobre R+ , cuja inversa indica-se com loga : R+ → R. Para cada x > 0, loga x chama-se o logaritmo de x na base a. Assim y = loga x ⇔ ay = x. Voltamos `a defini¸c˜ao cl´ assica. Quando a = e, vale loge x = log x. O logaritmo que definimos no come¸co desta ´ o chamado logaritmo natural. Para todo se¸c˜ao tem, portanto, base e. E x > 0, temos elog x = x = aloga x = eloga x·log a , f ′ (0)

portanto log x = loga x · log a, ou seja, loga x = log x/ log a. Desta u ´ltima f´ormula resultam propriedades de loga x an´ alogas `as de log x, 1 como loga (xy) = loga x + loga y ou (loga )′ (x) = x·log a· Para finalizar esta se¸c˜ao, mostraremos que e coincide com o n´ umero definido nos Exemplos 12 e 13 do Cap´ıtulo 3. A derivada da fun¸c˜ao log x ´e igual a 1/x. No ponto x = 1 esta derivada vale 1. Isto significa que lim

x→0

log(1 + x) = 1, x

Se¸c˜ ao 4

Integrais impr´ oprias

147

ou seja, lim log[(1 + x)1/x ] = 1.

x→0

Como (1 + x)1/x = exp{log[(1 + x)1/x ]}, vem lim (1 + x)1/x = exp(1) = e.

x→0

Pondo y = 1/x, conclu´ımos que limy→∞ (1 + 1/y)y = e. Em particular, limn∈N (1 + 1/n)n = e.

4

Integrais impr´ oprias

S˜ao de dois tipos: integrais de fun¸c˜oes ilimitadas (definidas num intervalo limitado por´em n˜ao fechado) e integrais de fun¸c˜oes definidas num intervalo ilimitado. O teorema seguinte descarta um caso trivial. Teorema 11. Seja f : (a, b] → R limitada, tal que a restri¸ca ˜o f |[c, b] ´e integr´ avel para cada c ∈ (a, b]. Ent˜ ao, seja qual for o valor que se atribua Rb a f (a), obt´em-se uma fun¸ca ˜o integr´ avel f : [a, b] → R, com a f (x) dx = Rb limc→a+ c f (x) dx. Demonstra¸ c˜ ao: Seja K tal que a ≤ x ≤ b ⇒ |f (x)| ≤ K. Dado ε > 0, tomemos c ∈ (a, b] com K · (c − a) < ε/4. Como f |[c, b] ´e integr´avel, existe uma parti¸c˜ao P de [c, b] tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε/2. Ent˜ao Q = P ∪ {a} ´e uma parti¸c˜ao de [a, b] tal que S(f ; Q) − s(f ; Q) ≤ 2K(c − a) + S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. Logo f : [a, b] → R ´e integr´avel. A integral indefinida F : [a, b] → R, Rb F (x) = x f (t) dt cumpre a condi¸c˜ao de Lipschitz |F (y) − F (x)| ≤ K|y − x| logo ´e (uniformemente) cont´ınua, donde F (a) = lim F (c) = c→a+ Rb lim c f (x) dx. c→a+

Resultado an´ alogo vale para f : [a, b) → R. Basta, portanto, considerar f : (a, b] → R ilimitada. Suporemos Rb tamb´em f cont´ınua. A integral impr´ opria a f (x) dx ´e definida como Z b Z b f (x) dx = lim f (x) dx. a

ε→0+ a+ε

148

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

Em cada intervalo fechado [a + ε, b], f ´e cont´ınua, logo integr´avel. O problema ´e saber se existe ou n˜ao o limite acima. Se ele existir a integral ser´a convergente; se n˜ao existir o limite a integral ser´a divergente. Evidentemente, o caso de uma fun¸c˜ao cont´ınua ilimitada f: [a, b) → R Rb R b−ε se trata de modo semelhante, pondo-se a f (x) dx = lim a f (x) dx. ε→0+

Finalmente, o caso de f : (a, b) → R cont´ınua reduz-se aos anteriores Rb Rc Rb tomando c ∈ (a, b) e pondo a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx.

Exemplo 1. Seja f : (0, 1] → R dada por f (x) = 1/xα . Supondo α 6= 1, temos  Z 1 Z 1 1 − ε1−α dx x1−α 1 dx = lim = lim = lim α ε→0+ 1 − α ε→0+ ε xα ε→0+ 1 − α ε 0 x ( +∞ se α > 1 = 1 se α < 1. 1−α

Quando α = 1, temos Z

1 0

dx = lim ε→0+ x

Z

1 ε

1 dx = lim log x = lim (− log ε) = +∞. ε→0+ ε→0+ x ε

R1 Portanto 0 dx/xα diverge se α ≥ 1 e converge para (1 − α)−1 se α < 1. R1 √ Em particular, α = 1/2 d´a 0 dx/ x = 2. √ Exemplo 2. Seja f : [0, 1) → R, f (x) = 1/ 1 − x2 . Ent˜ao Z 1 Z 1−ε p p 2 dx/ 1 − x = lim dx/ 1 − x2 ε→0+ 0 0 1−ε = lim arcsen x 0 ε→0+

= lim arcsen(1 − ε) ε→0+

= arcsen 1 =

π · 2

Quando f : (a, b] → R cumpre f (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b] ent˜ao Rb a integral a f (x) dx converge se, e somente se, existe k > 0 tal que Rb Rb c˜ao ϕ(ε) = a+ε f (x) dx a+ε f (x) dx ≤ k para todo ε ∈ (0, b−a) pois a fun¸ Rb ´e n˜ao-crescente. Se existir uma fun¸c˜ao g : (a, b] → R tal que a g(x) dx seja convergente e 0 ≤ f (x) ≤ k · g(x) para todo x ∈ (a, b] ent˜ao

Se¸c˜ ao 4

Integrais impr´ oprias

149

Rb f (x) dx converge pois, neste caso, ϕ(ε) ≤ k · a g(x) dx para todo ε ∈ (0, b − a). p R1 Exemplo 3. A integral I = 0 dx/ (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) converge se k ∈ R cumpre k 2 < 1. √ Com efeito, como 0 ≤ xp≤ 1, temos 1 − k 2 ≤ 2 2 1 − k x . Pondo K = 1/ 1 − k 2 segue-se que 1/ (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) ≤ √ √ R1 K/ 1 − x2 portanto I ≤ 0 K/ 1 − x2 = K π/2. Rb Diz-se que a integral impr´opria a f (x) dx ´e absolutamente converRb gente quando a |f (x)|dx converge. Como no caso de s´eries, a converRb Rb gˆencia de a |f (x)|dx implica a de a f (x) dx. Com efeito, dada f : (a, b] → R cont´ınua, definamos sua parte positiva e sua parte negativa f+ , f− : (a, b] → R pondo, para a < x ≤ b: Rb a

f+ (x) = max{f (x), 0} e f− (x) = max{−f (x), 0}. Ent˜ao f+ (x) = 12 [|f (x)| + f (x)] e f− (x) = 12 [|f (x)| − f (x)] de modo que f+ e f− s˜ ao cont´ınuas. Al´em disso, temos f+ (x) ≥ 0, f− (x) ≥ 0, f = f+ − f− e |f | = f+ + f− , donde f+ ≤ |f | e f− ≤ |f |. Segue-se desRb tas desigualdades que se a f (x) dx ´e absolutamente convergente ent˜ao Rb Rb Rb Rb f+ (x)dx e a f− (x)dx convergem. Logo a f (x)dx = a f+ (x)dx − a Rb e convergente. a f− (x) dx ´ O crit´erio de compara¸cR˜ao assume ent˜ao a seguinte forma: se f, g : b [a, b) → R s˜ ao cont´ınuas e a g(x) dx converge ent˜ao a condi¸c˜ao |f (x)| ≤ Rb k · g(x) para todo x ∈ [a, b) implica que a f (x) dx ´e (absolutamente) convergente. Por exemplo, se f : [a, b) → R ´e cont´ınua e existem constantes k > 0 e α < 1 tais que |f (x)| ≤ k/(b − x)α para todo x ∈ [a, b) Rb ent˜ao a integral a f (x) dx ´e (absolutamente) convergente. Tratemos agora de integrais sobre intervalos ilimitados. Dada f : [a, +∞) → R cont´ınua, define-se a integral impr´opria de f pondo: Z A Z +∞ f (x) dx. f (x) dx = lim a

A→+∞ a

Se o limite acima existir, a integral diz-se convergente. Do contr´ario, ela diz-se divergente. Uma defini¸ c ˜ a o an´ a loga ´ e dada quando Rb Rb f : (−∞, b] → R. Ent˜ao −∞ f (x)dx = lim B f (x)dx. Finalmente, B→−∞

para f : (−∞, +∞) → R, toma-se um ponto arbitr´ ario a ∈ R (geral-

150

C´ alculo com Integrais

mente a = 0) e p˜oe-se Z Z +∞ f (x) dx = −∞

Cap. 11

a

f (x) dx + −∞

Z

+∞

f (x) dx. a

Exemplo 4. Seja f : [1, +∞) → R, f (x) = 1/xα . Se α 6= 1 tem-se Z A Z ∞ dx dx A1−α − 1 1 = , logo = α α 1−α x α−1 1 x 1 R +∞ converge se α > 1. Por outro lado, se α ≤ 1, 1 dx/xα diverge. Isto contrasta com a integral da mesma fun¸c˜ao no intervalo (0, 1]. R +∞ Exemplo 5. 0 dx/(1 + x2 ) = π/2. Com efeito, arctg x ´e uma primitiva de 1/(1 + x2 ). Por conseguinte Z +∞ π dx = lim (arctg A − arctg 0) = · 2 A→+∞ 1+x 2 0 R +∞ Diz-se que uma integral a f (x) dx ´e absolutamente convergente R +∞ quando a |f (x)|dx converge. Como no caso de intervalos limitados, R +∞ prova-se que, neste caso, a f (x) dx converge. Vale portanto ˜o: se f, g : [a, +∞) → R s˜ ao R ∞ o crit´erio de compara¸ca cont´ınuas, se a g(x) dx converge e se existe k > 0 tal que |f (x)| ≤ R +∞ k · g(x) para x ≥ a ent˜ao a f (x) dx converge (absolutamente). Em R +∞ particular, se |f (x)| ≤ k/xα com α > 1 ent˜ao a f (x) dx ´e (absolutamente) convergente. R +∞ Exemplo 6. Seja a > 0. A integral a dx/x2 converge e, como se vˆe facilmente, seu valor ´e 1/a. Mesmo se n˜ao soub´essemos que a derivada de arctg x ´e 1/(1 + x2 ), concluir´ıamos, por compara¸c˜ao, que R +∞ dx/(1 + x2 ) ´e convergente pois 1/(1 + x2 ) ≤ 1/x2 . a

Exemplo 7. (A fun¸ca ˜o gama.) Trata-se da fun¸c˜ao Γ : (0, +∞) → R, R +∞ definida para todo t > 0 pela integral Γ(t) = 0 e−x xt−1 dx. Para mosR 1 R +∞ trar que a integral acima converge, a decompomos na soma 0 + 1 . R1 A integral 0 e−x xt−1 dx converge porque e−x xt−1 ≤ 1/x1−t . A seR +∞ gunda parcela, 1 e−x xt−1 dx converge porque e−x xt−1 ≤ 1/x2 para todo xsuficientemente grande. Com efeito, esta desigualdade equivale  x t+1 x t+1 ax e ≤ 1. Ora, como sabemos, limx→+∞ x e = 0, logo existe a > 0 tal que x > a ⇒ xt+1 ex ≤ 1. A fun¸c˜ao gama estende a no¸c˜ao de

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

151

fatorial, pois Γ(n) = (n − 1)! para todo n ∈ N, como se vˆe integrando por partes. R +∞ Exemplo 8. A integral de Dirichlet I = 0 (sen x/x)dx converge, mas n˜ao absolutamente. Com efeito, para todo n ∈ N seja an = R (n+1)π ´ claro que | sen x/x|dx. Ent˜ao I = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · . E nπ a0 ≥ a1P ≥ a2 ≥ · · · e que lim an = 0. Logo, pelo Teorema de Leibniz, ∞ a s´erie (−1)n an (e conseq¨ uentemente a integral) converge. Por n=0 R +∞ P∞ outro lado, 0 | sen x|/x dx ´e a soma da s´erie n=0 an , cujo termo an ´e a ´ area de uma regi˜ ao que cont´em um triˆ angulo de base π/2 e altura 2/(2n + 1)π. A ´ area desse triˆ angulo P ´e igual a 1/2(2n + 1). Como s´erie harmˆonica diverge, segue-se que an = +∞. (Prova-se que Ra +∞ (sen x/x)dx = π/2.) 0 Uma aplica¸c˜ao bastante conhecida das integrais impr´oprias ´e o crit´erio de convergˆencia de s´eries num´ericas contido no seguinte teorema, cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em qualquer livro de C´alculo.

Teorema 12. Seja f : [a, +∞) → R cont´ınua, mon´ otona, n˜ ao-decresP cente. Para todo n´ umero natural n ≥R a, seja an = f (n). A s´erie an +∞ converge se, e somente se, a integral a f (x) dx converge.

5

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

Os teoremas cl´ assicos do C´ alculo Integral

1. Seja f : [a, b] → R integr´avel, cont´ınua `a direita no Rponto x0 ∈ x [a, b). Prove que F : [a, b] → R, dada por F (x) = a f (t) dt, ´e deriv´avel ` a direita no ponto x0 , com F+′ (x0 ) = f (x0 ). Enuncie fato an´ alogo com “esquerda” em lugar de “direita”. Dˆe exemplos com f integr´avel, descont´ınua no ponto x0 , nos quais: (a) Existe F ′ (x0 ); (b) N˜ ao existe F ′ (x0 ). 2. Seja f : [a, b] → R deriv´avel, com f ′ integr´avel. que, para R x Prove ′ quaisquer x, c ∈ [a, b], tem-se f (x) = f (c) + c f (t) dt. Conclua que o Teorema 5 vale com “integr´avel” em vez de “cont´ınua”.

3. Seja f : [a, b] → R deriv´avel, com f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Se {x ∈ [a, b]; f ′ (x) = 0} tem conte´ udo nulo, prove que f ´e crescente.

152

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

4. Dada f : [a, b] → R com derivada cont´ınua, prove o Teorema do Valor M´edio (Teorema 7 do Cap´ıtulo 8) como conseq¨ uˆencia da f´ormula de mesmo nome para integrais (Corol´ario do Teorema 4, deste cap´ıtulo). 5. Sejam f : [a, b] → R cont´ınua e α, β : I → [a, b] deriv´aveis. Defina R β(x) ϕ : I → R pondo ϕ(x) = α(x) f (t) dt, para todo x ∈ I. Prove que ϕ ´e deriv´avel e ϕ′ (x) = f (β(x)) · β ′ (x) − f (α(x)) · α′ (x). 6. Sejam f : [0, 1] → R a fun¸c˜ao do Exerc´ıcio 2.3 do Cap´ıtulo 10 e g : [0, 1] → R definida por g(0) = 0 e g(x) = 1 se x > 0. Mostre que f e g s˜ ao integr´aveis por´em g ◦ f : [0, 1] → R n˜ao ´e integr´avel. 7. Dada f : [a, b] → R com derivada integr´avel, seja m = (a + b)/2. Rb Prove que f (a) + f (b) = [2/(b − a)] a [f (x) + (x − m)f ′ (x)] dx. 8. Sejam f, p : [a, b] → R tais que f ´e cont´ınua, p ´e integr´avel e p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Prove que se Z b Z b p(x) dx, f (x)p(x) dx = f (a) a

a

ent˜ao existe c ∈ (a, b) tal que f (a) = f (c). Vale um resultado an´ alogo com f (b) em lugar de f (a). Conclua que no Teorema 4 pode-se tomar c ∈ (a, b) e que no Corol´ario do Teorema 5 pode-se exigir que θ ∈ (0, 1). [Veja Exerc´ıcio 9, Se¸c˜ao 4, Cap´ıtulo 10.] 9. O Exerc´ıcio 3, Se¸c˜ao 4 do Cap´ıtulo 3 deixa em aberto o c´ alculo de

n!en · n→∞ nn Na realidade, a f´ormula de Stirling diz que, pondo xn = n!en /nn e √ wn = 2πn, tem-se lim xn /wn = 1, portanto lim xn = +∞. Uma demonstra¸c˜ao mais simples para o fato de que lim xn = +∞ pode ser feita segundo as etapas abaixo indicadas: A. Integrando por partes, mostre que Z n log x dx = n log n − n + 1 = An (digamos). lim

1

B. Se Bn ´e a soma superior da fun¸c˜ao log x relativamente `a parti¸c˜ao {1, 2, . . . , n} do intervalo [1, n], mostre que An ≤ Bn =

n X k=2

log k = log n!

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

153

C. Uma melhor aproxima¸c˜ao superior para a ´area An pode ser dada considerando-se, para cada k = 2, . . . , n a tangente ao gr´ afico de y = log x pelo ponto x = k −1/2. O trap´ezio com base no intervalo [k −1, k] do eixo x, com dois lados verticais e lado igual a Pinclinado n essa tangente tem ´ area log(k − 1/2). Seja Cn = k=2 log(k − 1/2) a soma das ´ areas desses trap´ezios. Mostre que An < Cn < Bn para todo n > 1. D. Mostre que se tem Bn − Cn =

n X k=2

[log k − log(k − 1/2)] =

n X

1/2θk ,

k=2

onde k − 1/2 ≤ θk ≤ k.

E. Conclua que

lim(Bn − An ) ≥ lim(Bn − Cn ) =

∞

1X 1 = +∞. 2 θk k=2

F. Observe que Bn − An = log n! − n log n + n − 1 = log(n!en−1 n−n ), portanto lim xn = +∞. Se¸ c˜ ao 2:

A integral como limite de somas de Riemann

1. Com aux´ılio de somas de Riemann prove a validez dos seguintes limites: n 1 1 P (a) lim p+1 ip = , n→∞ n p + 1 i=1 n 1 P iπ
2 (b) lim sen = · n→∞ n i=1 n π 2. Dada f : [a, b]P → R, limitada ou n˜ao, faz sentido considerar a soma de Riemann (f ; P ∗ ),P para toda parti¸c˜ao pontilhada P ∗ . Prove que, se existe lim|P |→0 (f ; P ∗ ), ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao limitada. P 3. Prove a rec´ıproca do Teorema 7: se existir lim|P |→0 (f ; P ∗ ) = L Rb ent˜ao a fun¸c˜ao limitada f : [a, b] → R ´e integr´avel e a f (x) dx = L.

154

C´ alculo com Integrais

Cap. 11

4. Sejam f, g : [a, b] → R integr´aveis. Para toda parti¸c˜ao P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] sejam P ∗ = (P, ξ) e P # = (P, η) pontilhamentos de P . Prove que Z b X lim f (x)g(x) dx. f (ξi )g(ηi )(ti − ti−1 ) = |P |→0

a

5. Dadas f, g : [a, b] → R, para cada parti¸c˜ao pontilhada P ∗ de [a, b] define-se a soma de Riemann-Stieltjes X X (f, g; P ∗ ) = f (ξi )[g(ti ) − g(ti−1 )]. Prove: se f ´e integr´avel e g possui derivada integr´avel ent˜ao Z b X ∗ lim f (x)g ′ (x) dx. (f, g; P ) = |P |→0

a

6. Dada f : [a, b] → R, seja, para cada n ∈ N, n

M (f ; n) =

(b − a) 1X f (a + ih), h = , n n i=1

a m´edia aritm´etica dos valores f (a + h), f (a + 2h), . . . , f (a + nh) = f (b). Prove que se a fun¸c˜ao f ´e integr´avel ent˜ao 1 lim M (f ; n) = n→∞ b−a

Z

b

f (x) dx.

a

Por este motivo, o segundo membro desta igualdade se chama o valor m´edio da fun¸ca ˜o f no intervalo [a, b]. Z b a + b
1 7. Se f : [a, b] → R ´e convexa, prove que f f (x) dx. ≤ 2 b−a a Se¸ c˜ ao 3:

Logaritmos e exponenciais

1. Sejam f : R → R e g : R+ → R fun¸c˜oes cont´ınuas, n˜ao identicamente nulas, tais que f (x + y) = f (x) · f (y) e g(uv) = g(u) + g(v) para quaisquer x, y ∈ R e u, v ∈ R+ . Prove que existem a ∈ R e b ∈ R tais que f (x) = eax para todo x ∈ R e g(x) = b · log x para todo x ∈ R+ .

Se¸c˜ ao 5

Exerc´ıcios

155

2. Prove que a seq¨ uˆencia cujo n-´esimo termo ´e xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n − log n ´e decrescente e limitada, logo converge. (Seu limite ´e conhecido como a constante γ de Euler-Mascheroni, cujo valor aproximado ´e 0, 5772.) 3. Prove que limx→0 x · log x = 0. 4. Prove que, para todo x ∈ R, tem-se lim 1 + n→∞

Se¸ c˜ ao 4:

Integrais impr´ oprias

x
n = ex . n

1. Verifique a convergˆencia ou divergˆencia das integrais Z 3 Z 1 Z 1 dx dx dx √ · , , 3 2 1 − cos x x x −3 −1 0 2. Verifique a convergˆencia ou divergˆencia das integrais Z +∞ Z +∞ Z +∞ dx xdx dx √ , , · 6 1 + x 1 − ex (1 + x) x 0 1 −∞ 3. Mostre que

R +∞ 0

R +∞

4. Mostre que 0 seja ilimitada.

sen(x2 ) dx converge mas n˜ao absolutamente. x·sen(x4 ) dx converge, embora a fun¸c˜ao x·sen(x4 )

5. Seja f : [a, +∞) → R cont´ınua, positiva, mon´otona n˜ao-crescente. R +∞ Prove que se a f (x) dx converge ent˜ao limx→+∞ x · f (x) = 0.

6. Seja f : [a, +∞) → R integr´avel em cada intervalo limitado [a, x]. Prove que a integral impr´opria Z x Z +∞ f (t) dt f (x) dx = lim a

x→+∞ a

existe se, e somente se, ε > 0 dado, existe A > 0 tal que R y para todo A < x < y implica x f (t) dt < ε. (“Crit´erio de Cauchy”.)

7. Prove o Teorema 12.

12 Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes Em v´arios problemas da Matem´ atica e das suas aplica¸c˜oes busca-se ´ freq¨ uma fun¸c˜ao que cumpra certas condi¸c˜oes dadas. E uente, nesses casos, obter-se uma seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes f1 , f2 , . . . , fn , . . . , cada uma das quais cumpre as condi¸c˜oes exigidas apenas aproximadamente, por´em com aproxima¸c˜oes cada vez melhores. Ent˜ao a fun¸c˜ao-limite dessa seq¨ uˆencia dever´a cumprir as tais condi¸c˜oes, caso aconte¸ca o melhor. Isto leva ao estudo de limites de seq¨ uˆencias de fun¸c˜oes. Muitas vezes cada fun¸c˜ao da seq¨ uˆencia obt´em-se da anteriorPsomando-se uma fun¸c˜ao gn . Neste caso, tem-se uma s´erie de fun¸c˜oes gn . Seq¨ uˆencias e s´eries de fun¸c˜oes ser˜ao estudadas neste cap´ıtulo. Para seq¨ uˆencias e s´eries de n´ umeros h´a apenas uma no¸c˜ao de limite. Mas para fun¸c˜oes h´a v´arias. Aqui examinaremos as duas no¸c˜oes mais comuns de convergˆencia, que definiremos a seguir.

1

Convergˆ encia simples e convergˆ encia uniforme

Diz-se que uma seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R (n = 1, 2, . . . ) converge simplesmente para a fun¸c˜ao f : X → R quando, para todo x ∈ X, a seq¨ uˆencia de n´ umeros f1 (x), . . . , fn (x), . . . converge para f (x). Assim, fn → f simplesmente em X quando, dados ε > 0 e x ∈ X, existe n0 ∈ N (dependendo de ε e de x) tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε.

Se¸c˜ ao 1

Convergˆ encia simples e convergˆ encia uniforme

157

Graficamente, em cada reta vertical que passa por um ponto x ∈ X fica determinada uma seq¨ uˆencia de pontos (x, f1 (x)), . . . , (x, fn (x)), . . . interse¸c˜oes dessa reta com os gr´ aficos de f1 , . . . , fn , . . . . Estes pontos convergem para (x, f (x)), interse¸c˜ao da reta vertical com o gr´ afico de f . Exemplo 1. A seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : R → R, onde fn (x) = x/n, converge simplesmente para a fun¸c˜ao f : R → R que ´e identicamente nula. Com efeito, para todo x ∈ R fixado, tem-se lim (x/n) = 0. n→+∞

Um tipo de convergˆencia de fun¸c˜oes mais restrito do que a convergˆencia simples, ´e a convergˆencia uniforme, que definiremos agora. Uma seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R converge uniformemente para a fun¸c˜ao f : X → R quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N (dependento apenas de ε) tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε seja qual for x ∈ X. No plano R2 , dado ε > 0, a faixa de raio ε em torno do gr´ afico de f ´e o conjunto F (f ; ε) = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ X, f (x) − ε < y < f (x) + ε}. Dizer que fn → f uniformemente em X significa que, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que o gr´ afico de fn , para todo n > n0 , est´a contido na faixa de raio ε em torno do gr´ afico de f .

Figura 10: O gr´ afico de fn est´ a contido na faixa F (f ; ε).

Exemplo 2. Nenhuma faixa de raio ε em torno do eixo das abcissas (gr´ afico da fun¸c˜ao identicamente nula) pode conter o gr´ afico de uma

158

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

fun¸c˜ao fn : R → R, fn (x) = x/n. Logo a seq¨ uˆencia (fn ) do Exemplo 1 n˜ao converge uniformemente para zero em R. Por outro lado, se X ⊂ R ´e um conjunto limitado, digamos com |x| ≤ c para todo x ∈ X, ent˜ao fn → 0 uniformemente em X. Com efeito, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Ent˜ao n > n0 ⇒ |fn (x)| = |x|/n < c/n0 < ε. Exemplo 3. A seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn , converge simplesmente para a fun¸c˜ao descont´ınua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. A convergˆencia ´e uniforme em todo intervalo da forma [0, 1 − δ], 0 < δ < 1 mas n˜ao ´e uniforme em [0, 1]. Estas duas afirma¸c˜oes decorrem de fatos gerais (a saber, os Teoremas 1 e 2 abaixo) mas podem ser facilmente provadas a partir da defini¸c˜ao. Com efeito, escrevendo a = 1−δ, temos 0 < a < 1 logo limn→+∞ an = 0. Dado ε > 0, seja n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ an < ε. Ent˜ao n > n0 ⇒ 0 < fn (x) ≤ an < ε para todo x ∈ [0, a]. Portanto fn → 0 uniformemente no intervalo [0, 1−δ]. Por outro lado, tomando ε = 1/2, afirmamos que, seja qual for n0 ∈ N, existem pontos x ∈ [0, 1) tais que |fn0 (x) − f (x)| ≥ 1/2, ou seja, xn0 ≥ 1/2. Basta observar que limx→1− xn0 = 1. Logo existe δ > 0 tal que 1 − δ < x < 1 ⇒ xn0 > 1/2. Isto mostra que fn n˜ao converge uniformemente para f no intervalo [0, 1].

x x2

x3 x4

Figura 11: As fun¸c˜ oes fn (x) = xn convergem simplesmente no intervalo [0, 1] para uma fun¸c˜ ao descont´ınua.

Exemplo 4. A seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn (1 − xn ) converge simplesmente para a fun¸c˜ao identicamente nula.

Se¸c˜ ao 2

Propriedades da convergˆ encia uniforme

159

Estapconvergˆencia n˜ao ´e uniforme. Com efeito, para todo n ∈ N temos fn ( n 1/2) = 1/4. Logo, para ε < 1/4, nenhuma fun¸c˜ao fn tem seu gr´ afico contido na faixa de raio ε em torno da fun¸c˜ao 0. Por outro lado, se 0 < δ < 1, temos fn → 0 uniformemente no intervalo [0, 1 − δ] pois xn → 0 uniformemente nesse intervalo e 0 ≤ xn (1 − xn ) ≤ xn .

1 4

f1

f2 f3 0

1 Figura 12

P As considera¸c˜oes feitas nesta se¸c˜ao incluem a soma f = fn de uma s´erie de fun¸c˜oes fn : X → R. Neste importante caso particular, tem-se f = lim sn , onde sn (x) =Pf1 (x) + · · · + fn (x) para todo n ∈ N e todo x ∈ X. Dizer que a s´erie fn converge uniformemente significa, portanto, que a seq¨ uˆencia (sn ) converge uniformemente e equivale a afirmar que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes rn : X → R (“restos” da s´erie), definidas por rn (x) = fn+1 (x) + fn+2 (x) + · · · , converge uniformemente para zero. Com efeito, basta observar que rn = f − sn .

2

Propriedades da convergˆ encia uniforme

Teorema 1. Se uma seq¨ uˆencia de fun¸co ˜es fn : X → R converge uniformemente para f : X → R e cada fn ´e cont´ınua no ponto a ∈ X ent˜ ao f ´e cont´ınua no ponto a. Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε/3 para todo x ∈ X. Fixemos um n´ umero natural n > n0 . Como fn ´e cont´ınua no ponto a, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a|
0, ponhamos Xn = {x ∈ X; |fn (x)−f (x)| ≥ ε} para cada n ∈ N. Como fn e f s˜ ao cont´ınuas, cada Xn ´e compacto. A monotonicidade da convergˆencia, por sua vez, implica X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · · . Finalmente, como limn→∞ fn (x) = f (x) para todo x ∈ X, T vemos que ∞ X = ∅. Segue-se do Teorema 9, Cap´ıtulo 5, que n=1 n algum Xn0 (e portanto todo Xn com n > n0 ) ´e vazio. Isto significa que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε seja qual for x ∈ X. Exemplo 6. A seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn , converge monotonicamente para a fun¸c˜ao (cont´ınua) identicamente nula no conjunto n˜ao-compacto [0, 1) mas a convergˆencia n˜ao ´e uniforme. Com efeito, dado 0 < ε < 1, para todo n ∈ N existem pontos x ∈ [0, 1) tais que xn > ε, pois lim xn = 1 > ε. x→1−

Se¸c˜ ao 2

Propriedades da convergˆ encia uniforme

161

Teorema 3. (Passagem ao limite sob o sinal de integral.) Se a seq¨ uˆencia de fun¸co ˜es integr´ aveis fn : [a, b] → R converge uniformemente para f : [a, b] → R ent˜ ao f ´e integr´ avel e Z b Z b fn (x) dx. f (x) dx = lim n→∞ a

a

Noutras palavras:

Rb a

limn fn = limn

Rb a

fn se a convergˆencia ´e uniforme.

Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |f (x) − fn (x)| < ε/4(b − a) para todo x ∈ [a, b]. Fixemos m > n0 . Como fm ´e integr´avel, existe uma parti¸c˜ao P de [a, b] tal que, indicando com ωi as oscila¸c˜oes de f e fm no intervalo [ti−1 , ti ] de P , e ωi′ respectivamente P ′ tem-se ωi (ti − ti−1 ) < ε/2. Mas, para x, y ∈ [ti−1 , ti ] quaisquer, vale: |f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − fm (y)| + |fm (y) − fm (x)| ε + |fm (x) − f (x)| < ωi′ + · 2(b − a)

Portanto ωi ≤ ωi′ + ε/2(b − a). Segue-se que X X X ωi (ti − ti−1 ) ≤ ωi′ (ti − ti−1 ) + [ε/2(b − a)] (ti − ti−1 ) ε ε < + = ε. 2 2 Isto mostra que f ´e integr´avel. Al´em disso, Z b Z b Z b fn (x) dx = [f (x) − fn (x)]dx f (x) dx − a

a

≤

Z

a b

a

|f (x) − fn (x)|dx

(b − a)ε n0 . Conseq¨ uentemente, limn→∞ a fn (x)dx = a f (x)dx. ≤

Observa¸ c˜ ao. Se cada fn ´e cont´ınua, a demonstra¸c˜ao se simplifica consideravelmente pois f ent˜ao ´e cont´ınua, donde integr´avel. Exemplo 7. Se uma seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis fn : [a, b] → R converge simplesmente para f : [a, b] → R, pode ocorrer que f n˜ao seja integr´avel. Por exemplo, se {r1 , r2 , . . . , rn , . . . } for uma enumera¸c˜ao

162

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

dos n´ umeros racionais de [a, b] e definirmos fn como a fun¸c˜ao que assume o valor 1 nos pontos r1 , . . . , rn e ´e zero nos demais pontos de [a, b] ent˜ao (fn ) converge simplesmente para uma fun¸c˜ao f : [a, b] → R tal que f (x) = 1 se x ∈ Q ∩ [a, b] e f (x) = 0 se x ´e irracional. Evidentemente, cada fn ´e integr´avel mas f n˜ao ´e. Exemplo 8. Mesmo quando a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis fn : [a, b]→R converge simplesmente para a fun¸c˜ao integr´avel f : [a, b]→R, Rb Rb pode ocorrer que limn→∞ a fn (x) dx 6= a f (x) dx. Por exemplo, para cada n ∈ N, seja fn : [0, 1] → R definida por fn (x) = nxn (1 − xn ). Ent˜ao fn (1) = 0 e 0 ≤ fn (x) < nxn se 0 ≤ x < 1. Ora, limn→∞ nxn = 0 se 0 ≤ x < 1. (Pelo Exemplo 8, Cap´ıtulo 3, pois limn→∞ (n+1)xn+1 /nxn = x < 1.) Portanto (fn ) convergeR simplesmente em [0, 1] para a fun¸c˜ao 1 identicamente nula. Entretanto 0 fn (x) dx = n2 /(n + 1)(2n + 1), por
R1 R1 tanto limn→∞ 0 fn (x) dx = 1/2, enquanto 0 lim fn = 0. n→∞ Para que se tenha a derivada do limite igual ao limite das derivadas, em vez de supor que fn → f uniformemente, deve-se postular que a seq¨ uˆencia das derivadas convirja uniformemente. Teorema 4. (Deriva¸ c˜ ao termo a termo.) Seja (fn ) uma seq¨ uˆencia 1 de fun¸co ˜es de classe C no intervalo [a, b]. Se, para um certo c ∈ [a, b], a seq¨ uˆencia num´erica (fn (c)) converge e se as derivadas fn′ convergem uniformemente em [a, b] para uma fun¸ca ˜o g ent˜ ao (fn ) converge em [a, b] uniformemente para uma fun¸ca ˜o f , de classe C 1 , tal que f ′ = g. Em ′ ′ resumo: (lim fn ) = lim fn desde que as derivadas fn′ convirjam uniformemente. Demonstra¸ c˜ ao: Pelo Teorema Fundamental doR C´alculo, para cada x n ∈ N e todo x ∈ [a, b] temos fn (x) = fn (c) + c fn′ (t) dt. Fazendo n → ∞ vemos, pelo R x Teorema 3, que existe f (x) = limn→∞ fn (x) e vale f (x) = f (c) + c g(t) dt. Al´em disso, pelo Teorema 1, g ´e cont´ınua logo (novamente em virtude do Teorema Fundamental do C´alculo) f ´e deriv´avel e f ′ (x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. Em particular, f ′ ´e cont´ınua, isto ´e, f ´e de classe C 1 . Resta apenas provar que a convergˆencia fn → f ´e uniforme. Ora, Z x |fn′ (t) − g(t)| dt. |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (c) − f (c)| + c

Como fn′ → g uniformemente, resulta da´ı que fn → f uniformemente.

Se¸c˜ ao 2

Propriedades da convergˆ encia uniforme

163

Exemplo 9. A seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn (x) = sen(nx)/n converge uniformemente para zero em toda a reta. Mas a seq¨ uˆencia de suas derivadas fn′ (x) = cos(nx) n˜ao converge, sequer simplesmente, em intervalo algum. (Todo intervalo cont´em um n´ umero da forma x = mπ/p, com m, p inteiros. Ent˜ao cos(nx) assume infinitas vezesP os valores 1 e −1.) Os teoremas acima, no caso de uma s´erie fn , assumem as seguintes formas: P 1. Se fn converge uniformemente para f e cada fn ´e cont´ınua no ponto a ent˜ao f ´e cont´ınua no ponto a.

2. Se cada termo fn : X → RP´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, com fn (x) ≥ 0 para todo x ∈ X e a s´erie fn converge para uma fun¸c˜ao cont´ınua f : X → R no compacto X ent˜ao a convergˆencia ´e uniforme. P 3. Se cada fn : [a, b] → R ´e integr´avel e fn converge uniformeRbP fn (x) dx = mente para f : [a, b] → R ent˜ao f ´e integr´avel e a PRb a fn (x) dx. P ′ 4. Se cada fn : [a, b] → R ´e de classe C 1 , se fn converge uniformeP menteP em [a, b] e se, para algum c ∈ [a, b], a s´erie fn (c) converge 1 ent˜aP o
fn converge P ′ uniformemente para uma fun¸c˜ao de classe C ′ fn = fn . e P∞ 2 2 n ao fun¸c˜oes Exemplo 10. A s´erie n=0 x /(1 + x ) , cujos termos s˜ cont´ınuas, definidas em toda a reta, converge para a soma 1 + x2 , para todo x 6= 0. No ponto x = 0, todos os termos da s´erie se anulam, logo sua soma ´e zero. Segue-se que a s´erie dada converge simplesmente em toda a reta mas a convergˆencia n˜ao ´e uniforme, pois a soma ´e uma fun¸c˜ao descont´ınua. O teorema b´asico sobre convergˆencia uniforme de s´eries de fun¸c˜oes, demonstrado a seguir, n˜ao tem an´ alogo para seq¨ uˆencias.

Teorema 5. (Teste uˆencia de fun¸co ˜es P de Weierstrass.) Dada a seq¨ fn : X → R, seja an uma s´erie convergente de n´ umeros reais an ≥ 0 tais que |fP an para todo n ∈ N e todo x ∈ X. Nestas condi¸co ˜es, n (x)| ≤ P as s´eries |fn | e fn s˜ ao uniformemente convergentes. Demonstra¸ c˜ ao: Pelo crit´erio P P de compara¸c˜ao, para todo x ∈ X a s´erie |fn (x)| (e portanto a s´ e rie fn (x)) ´e convergente. Dado ε > 0, existe P n0 ∈ N tal que n>n0 an < ε. Pondo X X fk (x), |fk (x)| e rn (x) = Rn (x) = k>n

k>n

164

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

P tem-se imediatamente |r (x)| ≤ R (x) ≤ n n k>n ak < ε para todo P P n > n0 . Logo |fn | e fn s˜ ao uniformemente convergentes.

3

S´ eries de potˆ encias

As fun¸c˜oes mais importantes da An´ alise podem ser expressas como somas de s´eries da forma f (x) =

∞ X

n=0

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + · · · .

Estas s´eries, que constituem uma generaliza¸c˜ao natural dos polinˆ omios, s˜ ao chamadas de s´eries de potˆencias. Para simplificar a nota¸c˜ao, trataremos de preferˆencia o caso em que x0 = 0, isto ´e, as s´eries de potˆencias do tipo ∞ X

n=0

an xn = a0 + a1 x + · · · + an xn + · · · .

O caso geral reduz-se a este pela mudan¸ca P de vari´avel y = x − n x0 . Os resultados que obtivermosP para as s´eries ∞ n=0 an x podem ser ∞ facilmente adaptados para o caso n=0 an (x − x0 )n . P O primeiro fato a destacar sobre uma s´erie de potˆencias ∞ n=0 an (x− x0 )n ´e que o conjunto dos valores de x para os quais ela converge ´e um intervalo de centro x0 . Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R ou at´e mesmo reduzir-se a um u ´nico ponto. Isto ser´a demonstrado logo a seguir. Antes vejamos um exemplo que ilustra todas essas possibilidades. P n Exemplo 11. Pelo testePde d’Alembert, a s´erie x /n! converge para todo valor de x. A s´erieP [(−1)n /(2n + 1)]x2n+1 converge se, e somente se, x ∈ [−1, 1]. A s´erie [(−1)n+1 /n]xn converge se x ∈ (−1, 1] e diverge fora desse intervalo. O conjunto dos pontos x ∈ R para os quais a s´erie P n geom´eP trica x converge ´e o intervalo aberto (−1, 1). Finalmente, a s´erie nn xn converge apenas no ponto x = 0. P Dada uma s´erie de potˆencias an xn , a localiza¸c˜ao dos pontos x para os quais ela converge se faz por meio do teste de Cauchy (Teorema 6, Cap´ ıtulo uˆencia p
4), o qual p˜oe em evidˆencia o comportamento da seq¨ n |an | .

Se¸c˜ ao 3

S´ eries de potˆ encias

165

p
P Se a seq¨ uˆencia n |an | ´e ilimitada ent˜ao a s´erie an xn converge apenas quando x = 0. pCom efeito, para todo x 6= 0 a seq¨ uˆencia de p e ilimitada e o mesmo ocorre com |an xn |, n´ umeros n |an xn | = |x| n |aP n| ´ logo o termo geral da s´erie anp xn n˜ao
tende a zero. Se, entretanto, a seq¨ uˆencia n |an | ´e limitada ent˜ao o conjunto p R = {ρ > 0; n |an | < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemene grande}

´e n˜ao-vazio. Na realidade, ´e f´acil ver que se ρ ∈ R e 0 < x < ρ ent˜ao x ∈ R. Logo R ´e um intervalo, do tipo (0, r), (0, r] ou (0, +∞), onde rP= sup R. O n´ umero r ´e chamado o raio de convergˆencia da s´erie an xn . (Convencionaremos escrever r = +∞ quandoPR for ilimitado.) O raio de convergˆencia r da s´erie de potˆencias an xn goza das seguintes propriedades: P 1) Para todo x ∈ (−r, r) a s´erie an xn converge absolutamente. p Com efeito, tomandopρ tal que |x| p < ρ < r temos n |an | < 1/ρ, e conseq¨ uentemente n |an xn | = |x| n |a Pn | < n|x|/ρ < 1, para todo n ∈ N suficientemente grande. Logo an x converge absolutamente, pelo teste de Cauchy. P 2) Se |x| > r ent˜ao a s´eriep an xn diverge. Com efeito, neste caso | < 1/|x| para todo n suficientemente |x| ∈ / R, logo n˜ao se tem n |anp grande. Isto significa que n |an | ≥ 1/|x|, e conseq¨ uentemente n |an x | ≥ 1, para infinidade de valores de n. Logo o termo P uma geral da s´erie an xn n˜ao tende a zero, e ela diverge. P 3) Se x = ±r, nada se pode dizer em geral: a s´erie an xn pode convergir ou divergir, conforme o caso. p 4) Se existir L = limn→∞ n |an | ent˜ao r = 1/L. (Entendendo-se que r = +∞ se L =p 0.) Com efeito, para todo ρ ∈ R existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ n |an | < 1/ρ. Fazendo n → ∞ obtemos L ≤ 1/ρ, donde ρ ≤ 1/L. Segue-se que r = sup R ≤ 1/L. Supondo, por absurdo, que fosse r < 1/L, tomar´ıamos c tal que rp< c < 1/L, donde L < 1/c. Pela defini¸c˜ao de limite, ter´ıamos n |an | < 1/c para todo n suficientemente grande, donde c ∈ R e da´ı c ≤ r, uma contradi¸c˜ao. Logo r = 1/L. Podemos resumir a an´ alise feita acima no P Teorema 6. Uma s´erie de potˆencias an xn , ou converge apenas para x = 0 ou existe r, com 0 < r ≤ +∞, tal que a s´erie converge absolutamente no intervalo aberto (−r, r) e diverge fora do intervalo fechado

166

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

[−r, r]. Nos extremos −r e r, a s´erie pode convergir ou divergir. Se p n existir L = lim |an | ent˜ ao r = 1/L. O n´ umero r chama-se p o raio de convergˆencia da s´erie. Al´em disso, tem-se 0 < ρ < r ⇔ n |an | < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande. Observa¸ c˜ ao. Segue-se do Teorema 7, Cap´ıtulo 4, que se os coeficientes an forem diferentes deP zero e existir lim |an+1 |/|an | = L, ent˜ao o raio de convergˆencia da s´erie an xn ´e r = 1/L. P Teorema 7. Uma s´erie de potˆencias an xn converge uniformemente em todo intervalo compacto [−ρ, ρ], onde 0 < ρ < raio de convergˆencia. P Demonstra¸ c˜ ao: A s´erie an ρn ´e absolutamente convergente e, para todo x ∈ [−ρ, ρ], tem-se |an xn | ≤P|an |ρn . Pelo teste de Weierstrass (Teorema 5), segue-se que a s´erie an xn converge uniformemente no intervalo [−ρ, ρ]. P Corol´ ario. Se r > 0 ´e o raio de convergˆ da s´erie an xn , a fun¸ca ˜o P encia n f : (−r, r) → R, definida por f (x) = an x , ´e cont´ınua. P Exemplo 12. A s´erie an xn pode n˜ao convergir uniformemente em todo o intervalo (−r, P nr), onde r ´e o raio de convergˆencia. Isto ´e claro no caso da s´erie x /n!, cujo raio de convergˆencia ´e infinito, para a P qual rn (x) = k>n xk /k! > xn+1 /(n + 1)! quando x ´e positivo. Dado ε > 0, n˜ao importa qual n se tome, ´e imposs´ıvel ter rn (x) < ε para todo x positivo. Teorema 8. (Integra¸ c˜ ao termo a termo.) Seja r o raio de converP gˆencia da s´erie de potˆencias an xn . Se [α, β] ⊂ (−r, r) ent˜ ao β

X an
an xn dx = (β n+1 − αn+1 ). n+1 α P Demonstra¸ c˜ ao: A convergˆencia de an xn ´e uniforme no intervalo [α, β] pois se escrevermos ρ = max{|α|, |β|} < r teremos [α, β] ⊂ [−ρ, ρ]. Logo ´e permitido integrar termo a termo, pelo Teorema 3. Z

X

Teorema 9. (Deriva¸ c˜ ao termo Seja r o raio de conP a termo.) n . A fun¸ a x ca ˜o f : (−r,P r) → R, vergˆencia da s´erie de P potˆencias ∞ n=0 n ∞ ∞ n ′ definida por f (x) = e deriv´ avel, com f (x) = n=0 an x , ´ n=1 n · n−1 ′ an x e a s´erie de potˆencias de f (x) ainda tem raio de convergˆencia r. P Demonstra¸ c˜ ao: Seja r′ o raio de convergˆencia da s´erie n≥1 nan xn−1 , P P a qual converge se, e somente se, x · n≥1 nan xn−1 = n≥1 nan xn con-

Se¸c˜ ao 4

Fun¸c˜ oes trigonom´ etricas

167

verge. Logo r′ ´e tamb´em o raio de convergˆencia desta u ´ltima s´erie. Abreviemos a express˜ao “para todo n suficientemente grande” por “n ≫ p 1”. Se 0 < ρ < r ent˜ao, tomando c com 0 < ρ < c < r, √ temos n |an | < 1/c, n ≫ 1. Por outro lado, como lim n n = 1, vale √ n n < c/ρ, n ≫ 1. Multiplicando as duas u ´ltimas desigualdades, vem p n |nan | < 1/ρ, n ≫ 1. Portanto, 0 < ρ < r ⇒ 0 < ρ < r′ . Como ´e ´ obvio que 0 < ρ < r′ ⇒P0 < ρ < r, P conclu´ımos que r = r′ . Asn sim, as s´eries de potˆencias n≥0 an x e n≥1 nan xn−1 tˆem o mesmo raio de convergˆencia. Fixado qualquer x ∈ (−r, r), tomamos ρ tal que |x| < ρ < r. Ambas as s´eries convergem uniformemente em [−ρ, ρ] logo, P pelo Teorema 4, temos f ′ (x) = n≥1 nan xn−1 .

Corol´ ario 1. Seja r o raio de convergˆencia da s´erie dePpotˆencias P an xn . A fun¸ca ˜o f : (−r, r) → R, definida por f (x) = an xn , ´e ∞ de classe C . Para quaisquer x ∈ (−r, r) e k ∈ N tem-se X n(n − 1) . . . (n − k + 1)an xn−k . f (k) (x) = n≥k

Em particular, ak = f (k) (0)/k!. Portanto, a0 +P a1 x + · · · + an xn ´e o polinˆ omio de Taylor de ordem n da fun¸c˜ao f (x) = an xn em torno do ponto x = 0.

Corol´ ario 2. (Unicidade c˜ ao em S´ erie de Potˆ enP Pda representa¸ n n cias.) Sejam an x e bn x s´eries de potˆencias convergentes no intervalo (−r, r) P e X ⊂ (−r, P r) num conjunto tendo 0 como ponto de n acumula¸ca ˜o. Se an x = bn x para todo x ∈ X ent˜ ao an = bn para todo n ≥ 0. Com efeito, a hip´ c˜oes f, g : (−r, r) → R, dePotesenassegura que P as fun¸ finidas por f (x) = an x e g(x) = bn xn , tˆem as mesmas derivadas, f (n) (0) = g (n) (0), n = 0, 1, 2, . . . . Logo an = f (n) (0)/n! = g (n) (0)/n! = bn para todo n ≥ 0.

4

Fun¸c˜ oes trigonom´ etricas

Mostraremos agora, de modo sucinto, como se podem definir precisamente as fun¸c˜oes trigonom´etricas sem apelo `a intui¸c˜ao geom´etrica. As s´erie de potˆencias c(x) =

∞ X (−1)n

n=0

(2n)!

x2n

e

s(x) =

∞ X (−1)n x2n+1 (2n + 1)!

n=0

168

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

tˆem raio de convergˆencia infinito logo definem fun¸c˜oes c : R → R e s : R → R, ambas de classe C ∞ . ´ imediato que c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x) e s(−x) = −s(x). E Derivando termo a termo, vem s′ (x) = c(x) e c′ (x) = −s(x). A fun¸c˜ao f (x) = c(x)2 + s(x)2 tem derivada igual a 2cc′ + 2ss′ = −2cs + 2cs = 0, logo ´e constante. Como f (0) = 1, concluimos que c(x)2 + s(x)2 = 1 para todo x ∈ R. De maneira an´ aloga se provam as f´ormulas de adi¸c˜ao s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y), c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y). Basta fixar y ∈ R e definir as fun¸c˜oes f (x) = s(x + y) − s(x)c(y) − c(x)s(y) e g(x) = c(x + y) − c(x)c(y) + s(x)s(y). Tem-se f ′ = g e g ′ = −f . Da´ı resulta que f 2 + g 2 tem derivada identicamente nula, logo ´e constante. Como f (0) = g(0) = 0, segue-se que f (x)2 + g(x)2 = 0 para todo x ∈ R. Portanto f (x) = g(x) = 0 para todo x ∈ R e as f´ormulas est˜ao provadas. Afirmamos agora que deve existir algum x > 0 tal que c(x) = 0. Do contr´ario, como c(0) = 1, ter´ıamos c(x) > 0 para todo x > 0 e, + como c ´e a derivada de s, a fun¸c˜ao s seria crescente R x na semi-reta R . Ent˜ao, para R x qualquer x > 1 valeria c(x) = c(1) − 1 s(t)dt > 0, donde ´ltima desigualdade resultando de s c(1) > 1 s(t)dt > s(1)(x − 1), a u ser crescente. Mas a desigualdade c(1) > s(1)(x − 1) para todo x > 1 ´e absurda. (Note que s(1) > 0 pois s ´e crescente.) Logo deve existir algum x > 0 para o qual c(x) = 0. O conjunto dos n´ umeros x ≥ 0 tais que c(x) = 0 ´e fechado porque c ´e cont´ınua. Logo possui um menor elemento, o qual n˜ao ´e zero porque c(0) = 1. Chamaremos π/2 este menor n´ umero positivo para o qual se tem c(π/2) = 0. Veremos agora que as fun¸c˜oes c(x) e s(x) s˜ ao peri´ odicas, com per´ıodo 2π. Com efeito, a segunda f´ormula de adi¸c˜ao d´a: c(2x) = c(x)2 − s(x)2 = 2c(x)2 − 1, logo c(π) = −1 e c(2π) = 1 e da´ı s(π) = s(2π) = 0. Novamente as f´ormulas de adi¸c˜ao mostram que s(x + 2π) = s(x) e c(x + 2π) = c(x), o que prova a alega¸c˜ao feita. As nota¸c˜oes usuais para estas fun¸c˜oes s˜ ao c(x) = cos x e s(x) = sen x.

Se¸c˜ ao 5

S´ eries de Taylor

169

Este pequeno resumo justifica o uso das fun¸c˜oes sen x e cos x em An´ alise. A partir da´ı se definem as demais fun¸c˜oes trigonom´etricas da maneira habitual: tg x = sen x/ cos x, sec x = 1/ cos x, etc. Em particular, limx→0 sen x/x = 1 porque, sendo sen 0 = 0, este limite ´e a derivada de sen x no ponto x = 0, a qual ´e igual a cos 0, ou seja, 1.

5

S´ eries de Taylor

P Quando a s´erie de potˆencias an (x − x0 )n tem raio de convergˆencia r > 0, diz-se que ela ´e a s´erie de Taylor, em torno P do ponto nx0 , da fun¸c˜ao f : (x0 − r, x0 + r) → R, definida por f (x) = an (x − x0 ) . Esta denomina¸c˜ao se deve ao fato de que a soma dos primeiros n + 1 termos desta s´erie constitui o polinˆ omio de Taylor de ordem n de f no ponto x0 . Veremos agora as s´eries de Taylor de algumas fun¸c˜oes conhecidas. ` vezes a s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao em torno do ponto x0 = 0 As chama-se “S´erie de Maclaurin” mas n˜ao adotaremos esta terminologia. 1. Fun¸ co ˜es seno e cosseno Suas s´eries de Taylor em torno do ponto x = 0 s˜ ao sen x = x −

x3 x5 + − ··· 3! 5!

e

cos x = 1 −

x2 x4 + − ··· 2! 4!

em virtude da pr´opria defini¸c˜ao dessas fun¸c˜oes. 2. Fun¸ c˜ ao 1/(1 − x)

A s´erie de potˆencias 1 + x + x2 + · · · ´e uma s´erie geom´etrica. Ela converge para a soma 1/(1−x) quando |x| < 1, e diverge quando |x| ≥ 1. Logo ´e a s´erie de Taylor da fun¸c˜ao f : (−1, 1) → R, definida por f (x) = 1/(1 − x). P Segue-se que 1 − x + x2 − · · · = n≥0 (−1)n xn ´e a s´erie de Taylor da fun¸c˜ao 1/(1 + x), convergente para |x| < 1 e divergente se |x| ≥ 1. P Tamb´em resulta da´ı que 1 − x2 + x4 − · · · = n≥0 (−1)n x2n ´e a s´erie de Taylor da fun¸c˜ao g(x) = 1/(1 + x2 ) em torno do ponto x = 0. Neste caso, a fun¸c˜ao g : R → R est´a definida para todo x ∈ R por´em sua s´erie de Taylor converge apenas no intervalo (−1, 1). (Este fenˆ omeno est´a ligado ao fato de que a fun¸c˜ao de vari´ a vel complexa g(z) = 1/(1 + z 2 ) √ n˜ao est´a definida nos pontos z = ± −1, ambos de valor absoluto igual a 1.)

170

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

Se desejarmos desenvolvimentos finitos poderemos escrever respectivamente 1 xn+1 = 1 + x + · · · + xn + , x 6= 1. 1−x 1−x 1 (−1)n+1 xn+1 = 1 − x + · · · + (−1)n xn + , x 6= −1. 1+x 1+x (−1)n+1 x2n+2 1 2 n 2n = 1 − x + · · · + (−1) x + , x ∈ R. 1 + x2 1 + x2 Em cada uma das express˜oes acima, a u ´ltima parcela ´e o resto da f´ormula de Taylor. Com efeito, se chamarmos r, s e t essas u ´ltimas parcelas, vemos facilmente que r(x) s(x) t(x) = lim n = lim 2n = 0. n x→0 x x→0 x x→0 x lim

3. Fun¸ c˜ ao exponencial P∞ n para todo x ∈ R, logo a fun¸c˜ao A s´erie n=0 x /n! converge P ∞ n f : R → R, definida por f (x) = e de classe C ∞ . Derin=0 x /n!, ´ vando termo a termo, vemos que f ′ (x) = f (x). Como f (0) = 1, segue-se do Teorema 10, Cap´ıtulo 11, que f (x) = ex para todo x ∈ R. Portanto ex = 1 + x +

x2 x3 + + ··· 2! 3!

´e a s´erie de Taylor da fun¸c˜ao exponencial em torno do ponto x = 0. 4. Fun¸ c˜ ao logaritmo Como log x n˜ao tem sentido para x = 0, consideraremos a fun¸c˜ao log(1 R x + x), definida para todo x > −1. Por defini¸c˜ao, log(1 + x) = erie de Taylor de 1/(1 + x), 0 dt/(1 + t). Integrando termo a termo a s´ vista cima, obtemos log(1 + x) = x −

∞

X x2 x3 x4 xn (−1)n+1 + − + ··· = , 2 3 4 n n=1

s´erie de Taylor de log(1 + x), convergente no intervalo aberto (−1, 1), pois 1 ´e seu raio de convergˆencia. Acontece que, pelo Teorema de Leibniz (Teorema 3, Cap´ıtulo 4) esta s´erie converge tamb´em para x = 1 (mas diverge para x= − 1). Seria interessante saber se a fun¸c˜ao f : (−1, 1]→R,

Se¸c˜ ao 5

S´ eries de Taylor

171

P definida por f (x) = n≥1 (−1)n+1 xn /n, a qual coincide com log(1 + x) quando |x| < 1, tamb´em coincide com log(1 + x) no ponto x = 1. Isto ´e verdade, conforme mostraremos agora. Com efeito, integrando termo a termo o desenvolvimento finito de 1/(1 + x) visto acima, obtemos (indo at´e a ordem n em vez de n + 1): log(1 + x) = x −

x2 x3 xn + − · · · + (−1)n−1 + rn (x), 2 3 n

onde rn (x) = (−1)n

Z

0

R1

x

tn dt. 1+t

1 · Para x = 1, temos |rn (1)| ≤ 0 = n+1 Portanto limn→∞ rn (1) = 0. Segue-se que

tn dt

(−1)n−1 1 1 + − ··· + + ··· 2 3 n Esta ´e uma express˜ao interessante de log P 2 como soma de uma s´erie aln+1 xn /n representa ternada. Ela mostra que a s´erie de Taylor ∞ n=1 (−1) log(1 + x) no intervalo (−1, 1]. log 2 = 1 −

5. Fun¸ c˜ ao arctg x Sabe-se do C´ alculo que a fun¸c˜ao tg : (−π/2, π/2) → R ´e uma bije¸c˜ao C ∞ , com derivada positiva, e que sua inversa arctg : R → (−π/2, π/2) tem derivada igual a 1/(1 + x2 ), para todo x ∈ R. O desenvolvimento de tg x em s´erie de Taylor ´e complicado, enquanto o de arctgR x ´e bem mais x simples, por isso o exporemos agora. Temos arctg x = 0 dt/(1 + t2 ), para todo x ∈ R. Quando |x| < 1, podemos integrar termo a termo o desenvolvimento de Taylor de 1/(1 + x2 ) visto acima, obtendo arctg x = x −

∞

X x3 x5 x2n+1 x2n+1 (−1)n + − · · · + (−1)n + ··· = · 3 5 2n + 1 2n + 1 n=0

Este argumento (integra¸c˜ao termo a termo) garante a validez da igualdade acima quando −1 < x < 1. Acontece que a s´erie em quest˜ao con´ natural, portanto, esperar verge tamb´em nos pontos x = 1 e x = −1. E que o desenvolvimento de arctg x em s´erie de Taylor seja v´alido em todo o intervalo fechado [−1, 1]. Para ver isto, integramos o desenvolvimento finito de 1/(1 + x2 ) obtendo arctg x = x −

x3 x5 x2n−1 + − · · · + (−1)n−1 + rn (x), 3 5 2n − 1

172

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

onde rn (x) = (−1)n

Rx

t2n 0 1+t2

Cap. 12

dt.

Para todo x ∈ [−1, 1] temos Z |x| |x|2n+1 1 t2n dt = |rn (x)| ≤ ≤ , 2n + 1 2n + 1 0 logo limn→∞ rn (x) = 0, portanto vale a igualdade arctg x =

∞ X

n=0

(−1)n

x2n+1 2n + 1

para todo x ∈ [−1, 1]. Em particular, para x = 1, obtemos a f´ ormula de Leibniz π 1 1 1 = 1 − + − + ··· 4 3 5 7

6

Exerc´ıcios

Se¸ c˜ ao 1:

Convergˆ encia simples e convergˆ encia uniforme

1. Mostre que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : [0, +∞) → R, dadas por fn (x) = xn /(1 + xn ), converge simplesmente. Determine a fun¸c˜ao limite, mostre que a convergˆencia n˜ao ´e uniforme. 2. Prove que a seq¨ uˆencia do exerc´ıcio anterior converge uniformemente em todos os intervalos do tipo [0, 1 − δ] e [1 + δ, +∞), 0 < δ < 1. P n n 3. Prove que a s´erie ∞ n=1 x (1 − x ) converge quando x pertence ao intervalo (−1, 1]. A convergˆencia ´e uniforme em todos os intervalos do tipo [−1 + δ, 1 − δ], onde 0 < δ < 1/2.

4. A fim de que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R convirja uniformemente, ´e necess´ario e suficiente que, para todo ε > 0 dado, exista n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε qualquer que seja x ∈ X. (Crit´erio de Cauchy.) 5. Se a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R converge uniformemente para f : X → R, prove que f ´e limitada se, e somente se, existem K > 0 e n0 ∈ N tais que n > n0 ⇒ |fn (x)| ≤ K para todo x ∈ X.

6. Se a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R ´e tal que f1 ≥ f2 ≥ · · · ≥ fn ≥ · · · e fn → 0 uniformemente em X, prove que a s´erie P (−1)n fn converge uniformemente em X.

Se¸c˜ ao 6

Exerc´ıcios

173

P P 7. Se |fn (x)| converge uniformemente em X, prove que fn (x) tamb´em converge uniformemente em X. Se¸ c˜ ao 2:

Propriedades da convergˆ encia uniforme

1. Se fn → f e gn → g uniformemente no conjunto X, prove que fn + gn → f + g uniformemente em X. Prove ainda que se f e g forem limitadas ent˜ao fn · gn → f · g uniformemente em X. Finalmente, se existir c > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todo x ∈ X, prove que 1/gn → 1/g uniformemente em X.

2. Seja p : R → R um polinˆ omio de grau ≥ 1. Mostre que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : R → R, dadas por fn (x) = p(x)+1/n, converge uniformemente para p em R por´em (fn2 ) n˜ao converge uniformemente para p2 . √ 3. Seja a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : [0, 1] → R, onde fn (x) = sen(nx)/ n. Prove que (fn ) converge uniformemente para 0 mas a seq¨ uˆencia das derivadas fn′ n˜ao converge em ponto algum do intervalo [0, 1]. 4. Mostre que a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes gn (x) = x + xn /n converge uniformemente no intervalo [0, 1] para uma fun¸c˜ao deriv´avel g e a seq¨ uˆencia das derivadas gn′ converge simplesmente em [0, 1] mas g ′ n˜ao ´e igual a lim gn′ . 5. Seja g : Y → R uniformemente cont´ınua. Se a seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R converge uniformemente para f , com f (X) ⊂ Y e fn (X) ⊂ Y para todo n ∈ N, prove que g ◦ fn → g ◦ f uniformemente em X. Analise tamb´em a quest˜ ao mais simples fn ◦g → f ◦g.

6. Sejam X compacto, U aberto e f : X → R cont´ınua tal que f (X) ⊂ U . Se uma seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R converge uniformemente para f , prove que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ fn (X) ⊂ U. 7. Se uma seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas fn : X → R converge uniformemente num conjunto denso D ⊂ X, prove que (fn ) converge uniformemente em X. 8. A seq¨ uˆencia de fun¸c˜oes fn : [0, 1] → R, fn (x) = nx(1 − x)n , converge, por´em n˜ao uniformemente. Mostre que, apesar disso, vale Z 1 Z 1

fn . lim fn = lim 0

n→∞

n→∞

0

174

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

Cap. 12

9. Dada uma seq¨ up ˆencia de fun¸c˜oes fn : X → R, suponha que exista n c ∈ R tal que |fn (x)| ≤ c < 1 para ∈ X e todo n ∈ N P todo x P suficientemente grande. Prove que |fn (x)| e fn (x) convergem uniformemente em X. 10. No exerc´ıcio anterior, suponha que f1 ´e limitada, p que fn (x) 6= 0 para todo x ∈ X e todo n ∈ N e, em vez de n |fn (x)| ≤ c < 1, suponha que |fn+1 (x)/fn (x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X e todo n ∈ N suficientemente grande. Obtenha a mesma conclus˜ao. Se¸ c˜ ao 3:

S´ eries de potˆ encias

P 1. Seja r o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias an (x−x0)n . + Prove que se r ∈ R ent˜ao r = 1/L, onde p
L ´e o maior valor n |an | . Assim temos, r = de aderˆencia da seq¨ uˆencia limitada p
1/ lim sup n |an | . p 2. Se lim n |an | = L, prove que as s´eries de potˆencias ∞ X

2n

an x

4.

5.

6.

an x2n+1

n=0

n=0

3.

e

∞ X

√ tˆem ambas raio de convergˆencia igual a 1/ L. Determine o raio de convergˆencia de cada uma das s´eries seguintes: X 2 X √ X log n n n xn . an xn , a n xn e P n Prove que a fun¸c˜ao f : (−r, r) → R, dada por f (x) = ∞ n=0 an x , onde r ´e o raio de convergˆencia desta s´erie, ´e uma fun¸c˜ao par (respectivamente, ´ımpar) se, e somente se, an = 0 para todo n ´ımpar (respectivamente, par). (Ver Exerc´ıcio 2.4, Cap. 8.) P n Seja ∞ erie de potˆencias cujos coeficientes s˜ ao detern=0 an x uma s´ minados pelas igualdades a0 = a1 = 1 e an+1 = an + an−1 √ . Mostre que o raio de convergˆencia desta s´erie ´e igual a (−1 + 5)/2. Prove que a fun¸c˜ao f (x) =

∞ X

n=0

(−1)n

1 x
2n (n!)2 2

f′ est´a bem definida para todo x ∈ R e que f ′′ + + f = 0 para x todo x 6= 0.

13 Sugest˜ oes e Respostas Cada uma das doze se¸c˜oes deste cap´ıtulo tem o mesmo t´ıtulo de um dos doze cap´ıtulos anteriores e cont´em solu¸c˜oes para exerc´ıcios propostos naquele cap´ıtulo. Em cada uma delas, a nota¸c˜ao p.q significa o q-´esimo exerc´ıcio da se¸c˜ao p do cap´ıtulo correspondente.

1

Conjuntos Finitos e Infinitos 1.2. O conjunto A dos m´ ultiplos de m maiores do que n n˜ ao ´e vazio pois (n + 1)m ∈ A. Seja (q + 1)m o menor elemento de A. Se n n˜ ao ´e m´ ultiplo de m, qm < n < (q + 1)m, logo n = qm + r, com r < m. Reciprocamente, se n = qm + r com r < m ent˜ ao (q + 1)m ´e o menor elemento de A, logo q est´ a determinado univocamente, juntamente com r = n − mq. 1.3. Seja k o menor elemento de X. Se n ∈ X ent˜ ao n ≥ k. Assim, ou n ´e m´ ultiplo de k ou n = qk + r com r < k. Ora, n e qk pertencem a X, logo r ∈ X, o que ´e absurdo pois k ´e o menor elemento de X. Assim todo n ∈ X ´e m´ ultiplo de k. 1.4. Provar que 1 ´e o u ´nico n´ umero natural que n˜ ao ´e sucessor de qualquer outro equivale a mostrar que, pondo X = {1} ∪ s(N), tem-se X = N. Isto, por´em, resulta diretamente do axioma da indu¸c˜ ao pois 1 ∈ X e se n ∈ X ent˜ ao s(n) ∈ s(N), logo s(n) ∈ X. 1.5. Seja X ⊂ N tal que 1 ∈ X e n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X. Se X 6= N, tome k = menor elemento de N − X. Como 1 ∈ X, tem-se k = p + 1, com p < k logo p ∈ X. Sendo p + 1 = k ∈ / X, chega-se a uma contradi¸c˜ ao. 1.6 Primeiramente, provemos a monotonicidade da multiplica¸c˜ ao: m < n ⇒ mp < np. De fato, m < n significa n = m + r, r ∈ N, logo np = (m + r)p = mp + rp e da´ı mp < np. Em seguida notemos que, se mp = np n˜ ao se pode ter m < n

176

Sugest˜ oes e Respostas

2.1. 2.2.

2.3.

2.5.

3.3.

3.4. 3.5.

4.1.

4.2. 4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

2

Cap. 13

(pois isto implicaria mp < np) nem n < m pelo mesmo motivo. Deve ser ent˜ ao m = n, o que prova a lei de corte para a multiplica¸c˜ ao. Podemos supor Y ⊂ X = In . Se fosse card Y = m > n, existiria uma bije¸c˜ ao entre Im e sua parte pr´ opria Y . Se Y = X ∪ {a} onde a ∈ / X ent˜ ao P(Y ) ´e formado pelas partes de Y que n˜ ao contˆem a mais as que contˆem a. As primeiras constituem P(X) e as outras s˜ ao em mesmo n´ umero que as primeiras, logo P(Y ) = 2.P(X). Esta ´e a base da indu¸c˜ ao sobre o n´ umero de elementos. Se X = X ′ ∪ {a}, a ∈ / X ′ ent˜ ao para cada fun¸c˜ ao f ′ : X ′ → Y h´ a n maneiras de estendˆe-la a uma fun¸c˜ ao f : X → Y , correspondentes ` as n imagens poss´ıveis f (a) ∈ Y . Logo card F (X; Y ) = card F (X ′ ; Y ) × n. Isto fornece a base para a indu¸c˜ ao em m. Se existisse um tal f , ela seria uma bije¸c˜ ao entre seu dom´ınio Im e sua imagem A = f (Im ), a qual est´ a contida em In , logo ´e um subconjunto pr´ oprio de Im (pois n < m). Mas isto ´e vedado pelo Teorema 1. Use a id´eia de Euclides: supondo P finito, considere o produto de todos os n´ umeros primos, some 1 a esse produto e obtenha uma n´ umero n, o qual n˜ ao pode ser primo, mas deve possuir um divisor primo. Chegue a uma contradi¸c˜ ao. Tome umeros naturais maiores do que n. Ent˜ ao T Xn = N − In = conjunto dos n´ X significa que a ´ e maior do que todos os n´ u meros naturais. a∈ ∞ n n=1 Se existir, para algum n ∈ N, uma f : In → X sobrejetiva ent˜ ao X ´e finito, pelo Corol´ ario 1 do Teorema 2. Portanto, se X ´e infinito n˜ ao existe f : In → X sobrejetiva. A rec´ıproca ´e inteiramente ´ obvia. Para a injetividade de f use a unicidade da decomposi¸c˜ ao em fatores primos. Para a sobrejetividade, dado um n´ umero par k ∈ N, seja m o maior n´ umero natural tal que k ´e divis´ıvel por 2m . Ent˜ ao k = 2m · ℓ, onde ℓ ´e ´ımpar, logo ℓ = 2n − 1. Tome g = π ◦ ϕ, onde ϕ : N → N × N ´e sobrejetiva e π(m, n) = n. Use o exerc´ıcio anterior. A fun¸c˜ ao f : Pn → Nn = N × · · · × N, definida por f (X) = (m1 , . . . , mn ) se X = S {m1 < m2 < · · · < mn }, ´e injetiva, portanto Pn ´e enumer´ avel, logo Pf = ∞ em ´e. n=1 Pn tamb´ Interprete cada subconjunto X ⊂ N como uma seq¨ uˆencia de zeros e uns, na qual o n-´esimo termo ´e 1 se n ∈ X e 0 se n ∈ / X. S X = y∈Y f −1 (y).

N´ umeros Reais 2.2. x = x − y + y ⇒ |x| ≤ |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x − y|. Analogamente, |y| − |x| ≤ |x − y|, logo | |x| − |y| | = max{|x| − |y|, |y| − |x|} ≤ |x − y|. 2.5. N˜ ao use indu¸c˜ ao. Escreva (1 + x)2n = (1 + 2x + x2 )n e use a desigualdade de Bernoulli. 2.6. Segue-se de 2.2. P P 2 P 2 xi . 2.7. Note que f (λ) = aλ2 + bλ + c, onde a = yi , b = 2 xi yi , c =

Se¸c˜ ao 3

Seq¨ uˆ encias de n´ umeros reais

177

3.3. Seja A = sup f . Tem-se f (x) ≤ A, donde f (x)2 ≤ A2 , para todo x ∈ X, logo √ sup(f 2 ) ≤ A2 . Por outro lado, se c < A2 ent˜ ao c < A, logo existe x ∈ X √ com c < f (x) ≤ A e da´ı c < f (x)2 ≤ A2 . Portanto sup(f 2 ) = A2 . 3.4. De x < (2 − a2 )/(2a + 1) resulta a2 + 2ax + x < 2. Como x < 1, tem-se x2 < x, logo (a + x)2 = a2 + 2ax + x2 < a2 + 2ax + x < 2. Por outro lado, de y < (b2 − 2)/2b vem b2 − 2by > 2 e da´ı resultam (b − y)2 = b2 − 2by + y 2 > 2 e b(b − 2y) > 2, donde b − y > b − 2y > 0. Estes fatos dizem que se X = {a > 0; a2 < 2} ent˜ ao c = sup X n˜ ao pertence a X nem ao conjunto Y = {b > 0; b2 > 2}. Logo c2 = 2. 3.5. A correspondˆencia que associa ao polinˆ omio p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn a lista (a0 , a1 , . . . , an ) ´e uma bije¸c˜ ao entre o conjunto Pn dos polinˆ omios de n+1 coeficientes inteiros e grau ≤ n e o produto cartesiano Z = Z × · · · × Z, S logo Pn ´e enumer´ avel. Da´ı o conjunto P = ∞ omios com n=0 Pn dos polinˆ coeficientes inteiros ´e enumer´ avel. Para cada n´ umero alg´ebrico α, escolha, de uma vez por todas, um polinˆ omio pα de coeficientes inteiros que tenha α como raiz. A correspondˆencia α 7→ pα define uma fun¸c˜ ao do conjunto A dos n´ umeros alg´ebricos reais no conjunto enumer´ avel P , tal que a imagem inversa de cada elemento de P ´e finita. Logo A ´e enumer´ avel. 3.6. Sejam α = inf I e β = sup I, convencionando que α = −∞ (respect. β = +∞) se I for ilimitado inferiormente (respect. superiormente). Basta provar que (α, β) ⊂ I. Ora x ∈ (α, β) ⇒ α < x < β ⇒ (pela defini¸c˜ ao de inf. e sup.) existem a, b ∈ I com a < x < b, logo, pela hip´ otese, x ∈ I.

3

Seq¨ uˆ encias de N´ umeros Reais 1.2. Dado ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ |xn − a| < ε e n > n2 ⇒ |yn − a| < ε. Tome n0 = max{2n1 − 1, 2n2 }. Se n = 2k − 1, ent˜ ao n > n0 ⇒ 2k − 1 > 2n1 − 1 ⇒ k > n1 ⇒ |zn − a| < |xk − a| < ε. Se n = 2k, ent˜ ao n > n0 ⇒ 2k > 2n2 ⇒ k > n2 ⇒ |zn − a| = |yk − a| < ε. Portanto lim zn = a. 1.3. Basta notar que | |xn | − |a| | ≤ |xn − a|. 1.5. Para o conjunto B, tome uma decomposi¸c˜ ao N = N1 ∪ N2 ∪ · · · onde os Nk s˜ ao infinitos 2 a 2 disjuntos e ponha xn = k se n ∈ Nk . Para o conjunto C, tome uma enumera¸c˜ ao x1 , x2 , . . . , xn , . . . dos n´ umeros racionais do intervalo [0, 1]. 1.6. Para a suficiˆencia, tome sucessivamente ε igual a 1, 1/2, 1/3, . . . e obtenha n1 < n2 < n3 < · · · com |xnk − a| < 1/k. 2.3. Existe ε > 0 tal que |xn − a| ≥ ε para um conjunto infinito N′ de valores de n. Por Bolzano-Weierstrass, a subseq¨ uˆencia (xn )n∈N′ possui uma subseq¨ uˆencia convergente: N′′ ⊂ N′ e limn∈N′′ xn = b. Tem-se |b − a| ≥ ε logo b 6= a. 2.4. Seja a o u ´nico valor de aderˆencia de (xn ). Tem-se lim xn = a em virtude do exerc´ıcio anterior. 2.5. A seq¨ uˆencia dada tem o u ´nico valor de aderˆencia 0 mas n˜ ao converge pois ´e ilimitada. 2.6. Seja a < b. Como a m´edia aritm´etica ´e maior do que a m´edia geom´etrica, temse a < x1 < x2 < · · · < y2 < y1 < b. Logo existem x = lim xn e y = lim yn . Fazendo n → ∞ em yn+1 = (xn + yn )/2 vem y = (x + y)/2, donde x = y.

178

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

2.7. (a) Tomando ε = 1, vˆe-se que existe n0 ∈ N tal que |xm − a| < 1 para todo m > n0 , onde a = xn0 +1 . Ent˜ ao os termos da seq¨ uˆencia pertencem ao conjunto {x1 , . . . , xn0 } ∪ [a − 1, a + 1], que ´e limitado. ao existem (b) Se limn∈N′ xn = a e limn∈N′′ xn = b com |a − b| = 3ε > 0 ent˜ ´ındices m e n arbitrariamente grandes tais que |xm − a| < ε e |xn − b| < ε. Como 3ε = |a − b| ≤ |a − xm | + |xm − xn | + |xn − b| < 2ε + |xm − xn |, donde |xm − xn | > ε, conclui-se que (xn ) n˜ ao ´e uma seq¨ uˆencia de Cauchy. (c) Segue-se dos itens anteriores e do exerc´ıcio 2.4. √ √ 3.1. Observe que 1 < n+p n < n n. 3.3. A seq¨ uˆencia ´e crescente pois x1 < x2 e, supondo xn−1 < xn vem x2n = a + xn−1 < a + xn = x2n+1 donde xn < xn+1 . Al´em disso, se c ´e a raiz positiva da equa¸c˜ ao x2 − x − a = 0, ou seja, c2 = a + c, tem-se xn < c para todo n. Isto ´e verdade para n = 1 e, de xn < c resulta x2n+1 = a + xn < a + c = c2 logo xn+1 < c. Portanto existe lim xn . Fazendo n → ∞ na igualdade x2n+1 = a+xn vˆe-se que lim xn = c. 3.5. Note que x2 = 1/(a + x1 ) e x3 = 1/(a + x2 ) = (a + x1 )/(a2 + ax1 + 1). Tem-se x1 > c = 1/(a + c) > 1/(a + x1 ) = x2 . Al´em disso, x1 > x2 = 1/(a + x1 ) ⇒ x1 (a + x1 ) > 1 ⇒ (multiplicando por a e somando x1 ) ⇒ x1 (a2 + ax1 + 1) > a + x1 ⇒ x1 > (a + x1 )/(a2 + ax1 + 1), logo x1 > x3 > c > x2 . Analogamente se vˆe que x1 > x3 > c > x4 > x2 , e assim por diante. Portanto existem lim x2n−1 = ξ e lim x2n = η. A rela¸c˜ ao xn+2 = (a + xn )/(a2 + axn + 1), por passagem ao limite, fornece ξ = (a+ξ)/(a2 +aξ +1) e η = (a+η)/(a2 +aη +1), logo ξ 2 + aξ − 1 = 0 e η 2 + aη − 1 = 0. Como ξ e η s˜ ao positivos, vem ξ = η = c.

3.6. Observe que yn+1 = a + xn .

3.7. Basta observar que xn+1 = 1/(1 + xn ). 4.1. Pelo Exemplo A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ √ 9, dado arbitrariamente √ n! > An ⇒ n n! > A logo lim n n! = +∞. √ √ √ √ 4.2. Lembre que A − B = (A − B)/( A + B). 4.3. Pondo tn =

n! nk ·an

, obtemos tn+1 /tn =

n+1 1 )k a·(1+ n

, portanto lim tn+1 /tn =

+∞. Segue-se do Exemplo 8 que lim tn = +∞. Pondo xn = (an · n!)/nn , obtemos xn+1 /xn = a · (n/(n + 1))n , portanto lim(xn+1 /xn ) = a/e. Segue-se do Exemplo 8 que lim xn = +∞ se a > e e lim xn = 0 se a < e. Quanto a yn = nk · xn = (nk · an · n!)/nn , evidentemente lim yn = +∞ se a > e. Quando a < e, o quociente yn+1 /yn = [(n + 1)/n]k · (xn+1 /xn ) tem limite a/e < 1, logo lim yn = 0. 4.4. Observe que [log(n + 1)/ log n] − 1 = log(1 + 1/n)/ log n tende a zero.

4.5. Sejam Xn = xn+1 − xn e Yn = yn+1 − yn . Dado ε > 0, existe p ∈ N tal que, para todo k ∈ N, os n´ umeros Xp /Yp , . . . , Xp+k /Yp+k pertencem ao intervalo (a−ε, a+ε). Segue-se do Exerc´ıcio 2.8, Cap´ıtulo 2, que (Xp +· · ·+Xp+k )/(Yp + · · · + Yp+k ) ∈ (a − ε, a + ε), ou seja, (xp+k+1 − xp )/(yp+k+1 − yp ) ∈ (a − ε, a + ε) para este valor fixo de p e todo k ∈ N. Divida numerador e denominador por yp+k+1 , fa¸ca k → ∞ e conclua que lim(xn /yn ) = a.

4.6. Conseq¨ uˆencia imediata do exerc´ıcio anterior.

Se¸c˜ ao 4

4

S´ eries num´ ericas

179

S´ eries Num´ ericas 1.1. Observe que bn = log n+1 = log(n + 1) − log n. n 1.4. Agrupe os termos um a um, dois a dois, quatro a quatro, oito a oito, etc. e compare com a s´erie harmˆ onica. 1.5. Use o m´etodo do Exemplo 5. √ 1.6. Para n suficientemente grande, log n < n. 1.7. Observe que n·a2n ≤ an+1 +· · ·+a2n ≤ an+1 +· · · = s−sn → 0, logo n·a2n → 0 e da´ı (2n)a2n → 0. Tamb´em n·a2n−1 ≤ an +· · ·+a2n−1 ≤ an +· · · = s−sn−1 → 0, logo n · a2n−1 → 0 donde 2n · a2n−1 → 0 e (2n − 1)a2n−1 → 0. Assim, quer n seja par quer seja ´ımpar, vale limn→∞ n · an = 0. 2.4. Observe que s2p < s4p < s6p < · · · < s5p < s3p < sp , que 2np ≤ i ≤ 1 = (2n + 1)p ⇒ s2np ≤ si ≤ s(2n+1)p e, finalmente, que s(2n+1)p − s2np < p · 2np 1 → 0. 2n P 2.5 Sejam |bn | ≤ B para todo n ≥ 0 e |an | = A. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ |bn | < ε/2A e |an | + |an+1 | + · · · < ε/2B. Ent˜ ao n > 2n0 ⇒ |cn | = |a0 bn + · · · + an0 bn−n0 + an0 +1 bn−n0 −1 + · · · + an b0 | ε ≤ (|a0 | + · · · + |an0 |) + (|an0 +1 | + · · · + |an |) · B 2A ε A·ε + B = ε, portanto lim cn = 0. < 2A 2B 2.7. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, !2 n ∞ ∞ X X X ≤ |ai | |bi | a2i · b2i i=1

2.8.

3.3.

3.4. 3.5. 4.1.

i=1

i=1

para todo n ∈ N. P Se an ´e absolutamente convergente ent˜ ao qualquer soma finita S de termos an est´ a compreendida entre p e −q, onde, na nota¸c˜ ao da demonstra¸c˜ ao do P P Teorema 4, p = pn e q = qn . Reciprocamente, se as somas finitas de termos an P formamPum conjunto limitado ent˜ ao, em particular, as reduzidas das s´ e ries p q a o limitadas, logo estas duas s´eries s˜ ao convergentes n e n s˜ P e an converge absolutamente. N˜ ao h´ a dificuldade em usar teste de
Cauchy. O teste de d’Alembert leva
n o log(n+1) n a log(n+1) n = · · . O primeiro fator tem limite zero, a n+1 an n+1 n+1 log n o segundo tem limite 1/e, logo basta provar que o terceiro fator ´e limitado. Para n ≥ 3, temos [(n + 1)/n]n < n portanto (n + 1)n < nn+1 e, tomando logaritmos, n · log(n + 1) < (n + 1) log n, donde log(n + 1)/ log n < (n + 1)/n. Ent˜ ao (log(n + 1)/ log n)n < [(n + 1)/n]n < e, portanto lim(an+1 /an ) = 0. Ponha zn = x1 x2 . . . xn e use o Teorema 7. −1 < x < 1, x = 0, −∞ < x < +∞, x = 0, −1 ≤ x ≤ 1. Some os primeiros termos positivos at´e que, pela primeira vez, a soma seja ≥ |primeiro termo negativo| +1 e depois some um s´ o termo negativo. Em seguida some os termos positivos, em sua ordem, at´e que a soma pela primeira vez seja ≥ |segundo termo negativo| +2 e a´ı some um s´ o termo negativo. Prossiga. Essa ordena¸c˜ ao dos termos faz a soma da s´erie ficar +∞. Analogamente para −∞.

180

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

4.2. Ap´ os cada termo positivo ponha os 4 primeiros negativos ainda n˜ ao usados. 4.3. (a) Dado ε > 0, seja J ⊂ N finito tal que J ⊂ J ⊂ N, J finito, impliquem 1 1 P |s − n∈J an | < ε. Tome J0 ⊂ N finito tal que ϕ(J0 ) = J1 . Ent˜ ao J ⊃ J0 ⇒ ϕ(J) ⊃ ϕ(J0 ) = J1 . Portanto J0 ⊂ J ⊂ N, J finito implicam X X X bn = s − aϕ(n) = s − am < ε. s − n∈J

n∈J

m∈ϕ(J)

P (b) Por simplicidade, para cada J ⊂ N finito, seja sJ = n∈J an . Tendo em vista o Exerc´ıcio 2.8, basta provar que o conjunto das somas sJ , J ⊂ N finito, ´e limitado. Ora, P dado ε = 1, existe J0 ∈ N finito tal que J ⊃ J0 ⇒ |s − sJ | < 1. Escrevendo α = n∈J0 |an |, vˆe-se que, para todo J ⊂ N finito, vale |s − sJ | = |s − sJ∪J0 + sJ0 −J | < 1 + α, logo sJ pertence ao intervalo de centro s e raio 1 + α. P P P (c) Sejam s = an = u − v, u = pn , v = P qn , como na demonstra¸ c˜ ao P do Teorema 4. Para J ⊂ N finito, sejam s a p J = n , uJ = n e n∈J n∈J P vJ = n∈J qn , donde sJ = uJ − vJ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, pondo J0 = {1, . . . , n0 }, J ⊃ J0 ⇒ |u − uJ | < ε/2, |v − vJ | < ε/2, logo J ⊃ J0 ⇒ |s − sJ | ≤ |u − uJ | + |v − vJ | < ε.

5

Algumas No¸c˜ oes Topol´ ogicas 1.1. Para todo a ∈ int X existe, por defini¸c˜ ao, ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ X. Basta provar que (a − ε, a + ε) ⊂ int X. Se y ∈ (a − ε, a + ε), seja δ o menor dos n´ umeros positivos y−(a−ε), (a+ε)−y. Ent˜ ao (y−δ, y+δ) ⊂ (a−ε, a+ε) ⊂ X, logo y ∈ int X. 1.2. Se A n˜ ao fosse aberto, existiria um ponto a ∈ A que n˜ ao seria interior. Ent˜ ao, para cada n ∈ N, poder-se-ia encontrar xn ∈ (a − 1/n, a + 1/n), xn ∈ / A. Da´ı lim xn = a. Contradi¸c˜ ao. 1.5. fr X = {0, 1}, fr Y = {0, 1, 2}, fr Z = R, fr W = W . 1.6. Sejam an < bn as extremidades de In . Ent˜ ao a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 . Se α = sup an e β = inf bn , ent˜ ao α = β ⇒ ∩In = {α} pois a interse¸c˜ ao n˜ ao ´e vazia. Se α < β ent˜ ao α < x < β ⇒ an < x < bn para todo n logo (α, β) ⊂ I. Por outro lado c < α ⇒ c < an para algum n ⇒ c ∈ / In ⇒ c ∈ / I. Analogamente β < c ⇒ c ∈ / I. Portanto (α, β) ⊂ I ⊂ [α, β]. Isto garante que I ´e um intervalo cujos extremos s˜ ao α e β. Como os In s˜ ao dois a dois distintos, pelo menos uma das seq¨ uˆencias (an ) e (bn ), digamos a primeira, tem uma infinidade de termos distintos. Ent˜ ao, para todo n ∈ N existe p ∈ N tal que an < an+p ≤ α < β ≤ bn logo α ∈ (an , bn ) ⊂ In . Portanto α ∈ I e I n˜ ao ´e um intervalo aberto. 2.1. Segue-se do Teorema 2 que D ⊂ X ´e denso em X se, e somente se, h´ a pontos de D em todo intervalo (x − ε, x + ε) com x ∈ X. Se n ´e t˜ ao grande que kn > 1/ε, os intervalos [m/kn , (m + 1)/kn ] tˆem comprimento 1/kn < ε logo, se m ´e o menor inteiro tal que x + ε ≤ (m + 1)/kn certamente m/kn ∈ (x − ε, x + ε). 2.2. Se a ∈ X ent˜ ao ou a ∈ X ou toda vizinhan¸ca de a cont´em pontos de X e de R − X (a saber, o pr´ oprio a) logo a ∈ fr X.

Se¸c˜ ao 5

Algumas no¸c˜ oes topol´ ogicas

181

2.3. Dizer que a ∈ / int X significa afirmar que toda vizinhan¸ca de a cont´em pontos que n˜ ao est˜ ao em X, isto ´e, que a ∈ R − X. 2.4. Sejam X aberto e a ∈ A arbitr´ ario. Para todo ε > 0 suficientemente pequeno, (a − ε, a + ε) ⊂ X. Se nenhum desses intervalos estivesse contido em A, cada um deles conteria pontos de B e da´ı a ∈ A ∩ B, contradi¸c˜ ao. Logo existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A e A ´e aberto. Analogamente para B. Se X ´e fechado e a ∈ A ent˜ ao a ∈ X. Mas n˜ ao pode ser a ∈ B pois isto faria A ∩ B 6= ∅. Logo a ∈ A e A ´e fechado. Analogamente para B. 2.5. Se fr X ´e vazia ent˜ ao X ⊃ fr X e X ∩ fr X = ∅, logo X ´e fechado e aberto. 2.6. De X ⊂ X ∪Y e Y ⊂ X ∪Y vem X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y logo X ∪Y ⊂ X ∪ Y . ao a = lim zn com zn ∈ X ∪Y . Para infinitos Reciprocamente, se a ∈ X ∪ Y ent˜ ao a ∈ Y ). Logo valores de n, zn est´ a em X (donde a ∈ X) ou em Y (e ent˜ a ∈ X ∪ Y . Portanto X ∪ Y ⊂ X ∪ Y . Al´em disso, de X ∩ Y ⊂ X e X ∩ Y ⊂ Y seguem-se X ∩ Y ⊂ X e X ∩ Y ⊂ Y donde X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Se X = [0, 1) e Y = (1, 2] ent˜ ao X ∩ Y = ∅ logo ∅ = X ∩ Y ⊂ X ∩ Y = [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}. ao ou a ∈ X 2.7. Evidentemente, X ∪ A ⊂ X. Reciprocamente, se a ∈ X, ent˜ ou, caso contr´ ario, toda vizinhan¸ca de a cont´em algum xn 6= a. Ponha n1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1, e uma vez definidos n1 < · · · < nk com |xni − a| < 1/i, ponha nk+1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1/(k + 1) e < |xnk − a|. Ent˜ ao lim xnk = a ∈ A. 3.2. Escolha em cada intervalo I da cole¸c˜ ao um n´ umero racional rI . A correspondˆencia I 7→ rI ´e injetiva. Como Q ´e enumer´ avel, a cole¸c˜ ao ´e enumer´ avel. 3.3. Para cada x ∈ X existe εx > 0 tal que (x − εx , x + εx ) ∩ X = {x}. Seja Ix = (x − εx /2, x + εx /2). Dados x 6= y ∈ X, seja, digamos, εx ≤ εy . Se z ∈ Ix ∩ Iy ent˜ ao |x − z| < εx /2 e |z − y| < εy /2, logo |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| < εx /2 + εy /2 ≤ εy , donde x ∈ Iy , contradi¸c˜ ao. 3.4. Pelos dois exerc´ıcios anteriores, todo conjunto cujos pontos s˜ ao todos isolados ´e enumer´ avel. 3.5. Se a n˜ ao ´e ponto de acumula¸c˜ ao de X ent˜ ao existe um intervalo aberto I contendo a, tal que I ∩ X ⊂ {a}. Nenhum ponto de I pode ser ponto de acumula¸c˜ ao de X. Logo R − X ′ ´e aberto. Da´ı, X ′ ´e fechado. 4.1. Se a ∈ / A ent˜ ao, pelo Exerc´ıcio 1.7 do Cap´ıtulo 3, existe ε > 0 tal que nenhum ponto do intervalo (a − ε, a + ε) pertence a A. Logo A ´e fechado. 4.3. Fn = [n, +∞) e Ln = (0, 1/n). 4.4. Seja α = inf{|x − y|; x ∈ X, y ∈ Y }. Existem seq¨ uˆencias de pontos xn ∈ X e yn ∈ Y tais que lim |xn −yn | = α. Passando a uma subseq¨ uˆencia, se necess´ ario, pode-se admitir que lim xn = x0 ∈ X. Como |yn | ≤ |yn − xn | + |xn |, segue-se que (yn ) ´e uma seq¨ uˆencia limitada. Passando novamente a uma subseq¨ uˆencia, vem lim yn = y0 ∈ Y . Logo |x0 − y0 | = α. 4.5. Todo conjunto infinito limitado X admite um ponto de acumula¸c˜ ao a. Se X ´e compacto, a ∈ X. Os exemplos s˜ ao X = N e Y = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . }. ´ f´ 4.6. E acil provar que os conjuntos dados s˜ ao limitados. Para mostrar que S ´e fechado, suponha que lim(xn + yn ) = z, xn , yn ∈ X. Existe N′ ⊂ N infinito ao, como yn = (xn + yn ) − xn , existe tal que limn∈N′ xn = x0 ∈ X. Ent˜ ao limn∈N′ yn = y0 ∈ X e da´ı z = limn∈N′ (xn +yn ) = x0 +y0 ∈ S. A demonstra¸c˜ para D, P e Q se faz de modo an´ alogo.

182

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

5.1. Pertencem ao conjunto de Cantor os n´ umeros 1/3 = 0, 1 = 0, 0222 . . . ; 1/4 = 0, 0202 . . . ; 1/9 = 0, 01 = 0, 00222 . . . e 1/10 = 0, 00220022 . . . (desenvolvimentos na base 3). 5.2. Mostre primeiro que, dado um n´ umero da forma a = m/3n (que na base 3 tem desenvolvimento finito), existem x, y ∈ K tais que x − y = a. Depois note que, sendo K compacto, o conjunto D dos n´ umeros |x − y|, com x, y ∈ K, ´e compacto. Como as fra¸c˜ oes m/3n s˜ ao densas em [0, 1], segue-se que D = [0, 1]. 5.4. Os extremos dos intervalos omitidos s˜ ao os pontos de K que tˆem desenvolvimento finito em base 3. Os demais pontos de K s˜ ao limites destes. (Exemplo: 0, 20202 · · · = lim xn , onde x1 = 0, 2; x2 = 0, 20; x3 = 0, 202 etc.)

6

Limites de Fun¸c˜ oes 1.2. Basta provar que se xn , yn ∈ X − {a} e lim xn = lim yn = a ent˜ ao lim f (xn ) = lim f (yn ). Para tal, defina (zn ) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn . Tem-se lim zn = a, logo (f (zn )) converge e da´ı lim f (xn ) = lim f (yn ) pois (f (xn )) e (f (yn )) s˜ ao subseq¨ uˆencias de (f (zn )). 1.5. Tome a ∈ R com sen a = c e ponha xn = 1/(a + 2πn). 2.1. Basta notar que se lim xn = a e xn > a para todo n ∈ N ent˜ ao (xn ) possui uma subseq¨ uˆencia decrescente (convergindo para a, naturalmente). 2.2. O mesmo que para o exerc´ıcio anterior. 2.5. O intervalo [−1, 1]. Com efeito, se −1 ≤ c ≤ 1, tome uma seq¨ uˆencia de n´ umeros xn < 0 com lim xn = 0 e sen(1/xn ) = c para todo n. (Como no Exerc´ıcio 1.5.) Ent˜ ao f (xn ) = c/(1 + 21/xn ) tem limite c. 3.1. Escreva p(x) = xn [(a0 /xn ) + (a1 /xn−1 ) + · · · + (an−1 /x) + an ]. 3.2. Quando 2πn − π2 ≤ x ≤ 2πn + π2 , a fun¸c˜ ao x sen x assume todos os valores de π − 2πn a π2 + 2πn. Dado c ∈ R, existe n0 ∈ N tal que π2 −2πn ≤ c ≤ 2πn + π2 2 para todo n ≥ n0 . Logo, para todo n ≥ n0 , existe xn ∈ 2πn − π2 , 2πn + π2 tal que xn sen xn = c. Ent˜ ao lim xn = +∞ e lim f (xn ) = c. 3.3. Mt e mt s˜ ao fun¸c˜ oes mon´ otonas de t (n˜ ao-crescente e n˜ ao-decrescente, respectivamente), ambas limitadas. Logo existem limt→+∞ Mt = L, limt→+∞ mt = l e limt→+∞ ωt = L − l. Como mt ≤ f (t) ≤ Mt para todo t ≥ a, se lim ωt = 0 ent˜ ao existe limx→+∞ f (x) = L = l. Reciprocamente, se limx→+∞ f (x) = A ent˜ ao, para todo ε > 0 exise t ≥ a tal que A − ε < f (x) < A + ε para todo x > t, logo Mt − mt ≤ 2ε. Segue-se que lim Mt = lim mt e lim ωt = 0.

7

Fun¸c˜ oes Cont´ınuas 1.1. Observe que ϕ(x) = 21 [f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)|] e ψ(x) = 12 [f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)|]. 1.2. A = A1 ∪ A2 onde A1 = {x ∈ X; f (x) < g(x)} e A2 = {x ∈ X; f (x) > g(x)} e F = F1 ∩ F2 onde F1 = {x ∈ X; f (x) ≤ g(x)} e F2 = {x ∈ X; f (x) ≥ g(x)}. 1.5. Se f ´e descont´ınua no ponto a ∈ R existem ε > 0 e uma seq¨ uˆencia (xn ) com lim xn = a e |f (xn ) − f (a)| ≥ ε para todo n ∈ N. Ent˜ ao, pondo X =

Se¸c˜ ao 7

1.7.

2.1.

2.2.

2.4.

2.5.

3.1

3.2. 3.3

3.4 3.5

Fun¸c˜ oes cont´ınuas

183

/ f (X), logo f (X) 6⊂ f (X). A rec´ıproca {x1 , . . . , xn , . . . }, tem-se a ∈ X e f (a) ∈ ´e evidente. Certamente existem ε > 0 e uma seq¨ uˆencia de pontos zn ∈ X tais que lim zn = a e |f (zn ) − f (a)| > ε para todo n ∈ N. Existe um conjunto infinito {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de ´ındices n para os quais a diferen¸ca f (zn ) − f (a) tem o mesmo sinal (digamos, positivo). Ent˜ ao, escrevendo xk = znk , temos f (xk ) > f (a) + ε para todo k ∈ N. Fixe a ∈ I. Pondo A = {x ∈ I; f (x) = f (a)} e B = {x ∈ I; f (x) 6= f (a)} tem-se I = A ∪ B. Como f ´e localmente constante, todo x ∈ A tem uma vizinhan¸ca disjunta de B, logo x ∈ / B. Assim A ∩ B = ∅. Analogamente, A ∩ B = ∅, portanto I = A ∪ B ´e uma cis˜ ao. Como a ∈ A, segue-se que A 6= ∅ donde A = I e f ´e constante. Suponha f n˜ ao-decrescente. Dado a ∈ int I, sejam ℓ = limx→a− f (x) e L = limx→a+ f (x). Se f ´e descont´ınua no ponto a ent˜ ao ℓ < L. Tomando x, y ∈ I com x < a < y e z 6= f (a) tal que ℓ < z < L, tem-se f (x) < z < f (y) mas z ∈ / f (I), logo f (I) n˜ ao ´e um intervalo. (Racioc´ınio an´ alogo se a ´e uma das extremidades de I.) Se f ´e descont´ınua no ponto a ∈ I, existem ε > 0 e uma seq¨ uˆencia de pontos xn ∈ I tal que lim xn = a e (digamos) f (xn ) > f (a) + ε. Fixando c ∈ (f (a), f (a) + ε), a propriedade do valor intermedi´ ario assegura, para cada n ∈ N, a existˆencia de zn entre a e xn tal que f (zn ) = c. Evidentemente o conjunto dos zn assim obtidos ´e infinito. Contradi¸c˜ ao. Defina ϕ : [0, 1/2] → R pondo ϕ(x) = f (x+1/2)−f (x). Ent˜ ao ϕ(0)+ϕ(1/2) = 0 logo existe x ∈ [0, 1/2] tal que f (x) = f (x + 1/2). No outro caso tome ψ : [0, 2/3] → R, ψ(x) = f (x+1/3)−f (x) e note que ψ(0)+ψ(1/3)+ψ(2/3) = 0 logo ψ muda de sinal e portanto se anula em algum ponto x ∈ [0, 2/3]. Fixe arbitrariamente a ∈ R. Existe A > 0 tal que a ∈ [−A, A] e |x| > A ⇒ f (x) > f (a). A restri¸c˜ ao de f ao conjunto compacto [−A, A] assume seu valor m´ınimo num ponto x0 ∈ [−A, A]. Como f (x0 ) ≤ f (a), segue-se que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R. Basta observar que o conjunto das ra´ızes x da equa¸c˜ ao f (x) = c ´e fechado e (como limx→+∞ f (x) = +∞ e limx→−∞ f (x) = −∞) limitado. Como o intervalo [a, b] s´ o tem dois pontos extremos, ou o valor m´ınimo ou o valor m´ aximo de f (digamos, este) ser´ a assumido num ponto c interior a [a, b] e noutro ponto d ∈ [a, b]. Ent˜ ao existe δ > 0 tal que nos intervalos [c − δ, c), (c, c + δ] e (caso d n˜ ao seja o extremo inferior do intervalo [a, b]) [d − δ, d) a fun¸c˜ ao assume valores menores do que f (c) = f (d). Seja A o maior dos n´ umeros f (c − δ), f (c + δ) e f (d − δ). Pelo Teorema do Valor Intermedi´ ario, existem x ∈ [c − δ, c), y ∈ (c, c + δ] e z ∈ [d − δ, d) tais que f (x) = f (y) = f (z) = A. Contradi¸c˜ ao. Tome x0 , x1 ∈ [0, p], pontos em que f |[0, p] assume seus valores m´ınimo e m´ aximo. Caso contr´ ario, existiria ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo n ∈ N, haveria pontos xn , yn ∈ X com |xn − yn | ≥ ε e |f (xn ) − f (yn )| > n|xn − yn |. Passando a subseq¨ uˆencias, ter-se-ia lim xn = a ∈ X e lim yn = b ∈ X com |a − b| ≥ ε e +∞ = lim[|f (xn ) − f (yn )|/|xn − yn |] = |f (b) − f (a)|/|b − a|. Contradi¸c˜ ao.

184

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

ao cont´ınua f : X → 4.1. Se X n˜ ao ´e fechado, tome a ∈ X − X e considere a fun¸c˜ R, definida por f (x) = 1/(x − a). Como n˜ ao existe limx→a f (x), f n˜ ao ´e uniformemente cont´ınua. Por outro lado, N n˜ ao ´e compacto mas toda fun¸c˜ ao f : N → R ´e p uniformemente cont´ınua. √ 4.2. Tome xn = (n + 1/2)π e yn = nπ. Ent˜ ao lim(xn − yn ) = 0 mas |f (xn ) − f (yn )| = 1 para todo n ∈ N. 4.3. Para todo x ∈ X, tem-se ϕ(x) = f (x) pela continuidade de f . Al´em disso, se x ¯∈X ex ¯ = lim xn , xn ∈ X ent˜ ao ϕ(¯ x) = lim f (xn ). Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2. Se x ¯, y¯ ∈ X e |¯ x − y¯| < δ, tem-se x ¯ = lim xn , y¯ = lim yn com xn , yn ∈ X. Para todo n ∈ N suficientemente grande tem-se |xn − yn | < δ logo |f (xn ) − f (yn )| < ε/2 e da´ı |ϕ(¯ x) − ϕ(¯ y )| = lim |f (xn ) − f (yn )| ≤ ε/2 < ε. Portanto ϕ : X → R ´e uniformemente cont´ınua. 4.4. Seja L = limx→+∞ f (x). Dado ε > 0 existe B > 0 tal que x ≥ B ⇒ |f (x)−L| < ε/4. Ent˜ ao x ≥ B, y ≥ B ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − L| + |L − f (y)| < ε/4 + ε/4 = ε/2. Analogamente, existe A > 0 tal que x ≤ −A, y ≤ −A ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/2. Por outro lado, como [−A, B] ´e compacto, existe δ > 0 tal que x, y ∈ [−A, B], |x−y| < δ ⇒ |f (x)−f (y)| < ε/2. Se x < −A e y ∈ [−A, B], com |x − y| < δ, tem-se |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (−A)| + |f (−A) − f (y)| < ε/2 + ε/2 = ε, porque | − A − y| < |x − y| < δ. Analogamente, x > B, y ∈ [−A, B] e |x − y| < δ implicam |f (x) − f (y)| < ε. Logo f ´e uniformemente cont´ınua.

8

Derivadas 1.1. Escreva f (x) = f (a)+f ′ (a)(x−a)+r(x) como no Teorema 1 e defina η : X → R (a) pondo η(x) = f ′ (a) + r(x)/(x − a) = f (x)−f se x 6= a e η(a) = f ′ (a). A x−a continuidade de η no ponto a segue-se do Teorema 1. 1.3. Note que f (yn ) − f (a) f (xn ) − f (a) f (yn ) − f (xn ) = tn · + (1 − tn ) , yn − xn yn − a xn − a onde 0 < tn < 1 para todo n. Basta tomar tn = (yn −a)/(yn −xn ). Na defini¸c˜ ao de derivada, as secantes que tendem para a tangente no ponto (a, f (a)) passam todas por este ponto. Aqui, ambas extremidades variam. 1.4. Tome f (x) = x2 sen(1/x), se x 6= 0 e f (0) = 0. Ponha xn = 1/πn e yn = 1/(n + 1/2)π. 1.5. Recaia no Exerc´ıcio 1.3. O exemplo pedido pode ser a fun¸c˜ ao f (x) = x sen(1/x) ou qualquer fun¸c˜ ao par (f (−x) = f (x)) que n˜ ao possua derivada no ponto x = 0. 2.1. Pela Regra da Cadeia, as derivadas sucessivas de f para x 6= 0 s˜ ao o pro2 duto de e−1/x por um polinˆ omio em 1/x. No ponto x = 0 tem-se f ′ (0) = 2

limh→0

e−1/h h

= 0, como se vˆe escrevendo 1/h = y. Supondo f ′ (0) = · · · =

f (n) (0) = 0 tem-se f (n+1) (0) = limh→0 2

limh→0 Q(1/h) · e−1/h = 0.

1 h

f (n) (h) = limh→0

P (1/h) h

2

· e−1/h =

Se¸c˜ ao 8

Derivadas

185

2.5. Derive k vezes em rela¸c˜ ao a t a igualdade f (tx) = tk·f (x) e obtenha f (k) (tx) · xk (k)

= k!f (x). Fa¸ca t = 0 e conclua que f (x) = f k!(0) xk . 3.1. Tome f (x) como no Exemplo 7. 3.2. Para fixar id´eias, suponha f ′′ (c) > 0. Pelo Corol´ ario 2 do Teorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f ′ (x) < 0 < f ′ (y). Ent˜ ao c − δ < x < c ⇒ f (x) > f (c) pois se fosse f (x) ≤ f (c), como a derivada f ′ (x) ´e negativa, o valor m´ınimo de f no intervalo [x, c] n˜ ao seria atingido nem no ponto x nem no ponto c mas num ponto z ∈ (x, c) portanto f ′ (z) = 0, contrariando o fato de z pertencer a (c − δ, c). Analogamente se mostra que c < y < c + δ ⇒ f (y) > f (c). Logo c ´e um ponto de m´ınimo local. Se fosse f ′′ (c) < 0, c seria ponto de m´ aximo local. 3.3. Pelo Corol´ ario 2 do Teorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f ′ (x) < 0 < f ′ (y), logo c ´e o u ´nico ponto cr´ıtico de f no intervalo (c − δ, c + δ). ′

′

(c) 3.4. f ′′ (c) = limn→∞ f (ccnn)−f = 0 pois f ′ (cn ) = f ′ (c) = 0 para todo n. −c 3.5. Seja M o conjunto dos pontos de m´ aximo local estrito de f . Para cada c ∈ M fixemos rc < sc racionais tais que rc < c < sc e x ∈ (rc , sc ), x 6= c ⇒ f (x) < f (c). Se d ∈ M ´e diferente de c ent˜ ao os intervalos (rc , sc ) e (rd , sd ) s˜ ao diferentes porque d ∈ / (rc , sc ) ou c ∈ / (rd , sd ). Com efeito, d ∈ (rc , sc ) ⇒ f (d) < f (c) e c ∈ (rd , sd ) ⇒ f (c) < f (d). Como Q ´e enumer´ avel, a correspondˆencia c 7→ (rc , sc ) ´e uma fun¸c˜ ao injetiva de M num conjunto enumer´ avel. Logo M ´e enumer´ avel. 4.1. Suponha A < B. Tome ε > 0 com A + ε < B − ε. Existe δ > 0 tal que c − δ ≤ x < c < y ≤ c + δ ⇒ g(x) < A + ε < B − ε < g(y). Em particular, g(c − δ) < A + ε e g(c + δ) > B − ε mas, tomando d 6= g(c) no intervalo (A + ε, B − ε), n˜ ao existe x ∈ (c − δ, c + δ) tal que g(x) = d. Pelo Teorema de Darboux, g n˜ ao ´e derivada de fun¸c˜ ao alguma f : I → R. 4.5. Um exemplo ´e f (x) = x3 . Como cada ponto de X ´e limite de pontos de Y tem-se X ⊂ Y e da´ı X ⊂ Y . Por outro lado, Y ⊂ X pelo Teorema do Valor M´edio, logo Y ⊂ X. 4.6. As hip´ oteses implicam que f ′ (x) ´e ilimitada superior e inferiormente. Com efeito, se fosse f ′ (x) ≥ A para todo x ∈ (a, b), a fun¸c˜ ao g(x) = f (x) − A · x teria derivada ≥ 0, logo seria mon´ otona, limitada, logo existiriam os limites de g(x) (e conseq¨ uentemente os de f (x)) quando x → a e x → b. Analogamente, n˜ ao se pode ter f ′ (x) ≤ B para todo x ∈ (a, b). Assim, dado qualquer c ∈ R, existem pontos x1 e x2 em (a, b) tais que f ′ (x1 ) < c < f ′ (x2 ). Pelo Teorema de Darboux, existe x ∈ (a, b) com f ′ (x) = c. 4.7. Sabe-se que f ´e n˜ ao-decrescente. Se n˜ ao fosse crescente, existiram x < y em [a, b] com f (x) = f (y) e ent˜ ao f seria constante e f ′ seria igual a zero no intervalo [x, y]. 4.8. Supondo, por absurdo, que existissem a < b em I com |f (b) − f (a)| = α > 0, em pelo menos uma das metades do intervalo [a, b], digamos [a1 , b1 ], ter´ıamos |f (b1 )−f (a1 )| ≥ α/2. Prosseguindo analogamente chegar-se-ia a uma seq¨ uˆencia de intervalos [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · com bn − an = (b − a)/2n e |f (bn ) − f (an )| ≥ α/2n . Se an ≤ c ≤ bn para todo n, vale |f ′ (c)| = lim |f (bn ) − f (an )|/(bn − an ) ≥ α/(b − a) > 0.

186

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

4.10. Para todo x 6= c em (a, b) existe z entre x e c tal que [f (x)−f (c)]/(x−c) = f ′ (z). Portanto f ′ (c) = limx→c [f (x) − f (c)]/(x − c) = limx→c f ′ (z) = L. 4.11. Como f ′ ´e limitada, existem limx→a+ f (x) e limx→b− f (x). Para que valha a propriedade do valor intermedi´ ario para f , tais limites devem ser iguais a f (a) e f (b) respectivamente. (Cfr. solu¸c˜ ao de 4.1.) 4.12. |f (x) − f (a)|/|x − a| ≤ c · |x − a|α−1 . Como α − 1 > 0, segue-se que f ′ (a) = 0 para todo a ∈ I. Logo f ´e constante. 4.13. Observe que [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (zn ) com zn entre xn e yn , logo zn → a. Pela continuidade de f ′ no ponto a, o quociente tende para f ′ (a).

9

F´ ormula de Taylor e Aplica¸c˜ oes da Derivada 1.1. Seja f (x) = 1/(1 − x), −1 < x < 1. Pondo p(h) = 1 + h + · · · + hn e r(h) = hn+1 /(1 − h) tem-se r(h) = f (h) − p(h). Como p(h) ´e um polinˆ omio de grau n e limh→0 r(h)/hn = 0, segue-se que p(h) ´e o polinˆ omio de Taylor de f no ponto 0, logo f (i) (0) = i! para i = 0, 1, . . . , n. 1.2. Como f (x) = x5 − x11 + · · · + (−1)n x6n+5 + (−1)n+1 x6n+11 /(1 + x6 ), segue-se que f (i) (0) = 0 se i n˜ ao ´e da forma 6n + 5 enquanto que f (i) (0) = (−1)n i! se i = 6n + 5. Logo f (2001) (0) = 0 e f (2003) (0) = (−1)333 · (2003)! = −2003! 1.3. Tem-se f (x) = pn (x) + rn (x) onde pn (x) ´e o polinˆ omio de Taylor de ordem n de f em torno do ponto x0 e, pela f´ ormula do resto de Lagrange, existe z entre x e x0 tal que rn (x) = f (n+1) (z)(x − x0 )n+1 /(n + 1)!, logo |rn (x)| ≤ K|x − x0 |n+1 /(n + 1)!. Segue-se que limn→∞ rn (x) = 0 para todo x ∈ I e o resultado fica estabelecido. 1.4. Veja “Curso de An´ alise”, vol. 1, p´ agina 287. 1.5. Se f ∈ C 2 , escreva f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +

1.7.

2.2. 2.3.

− a)2 + r(x), onde ′′

limx→a r(x)/(x − a) = lim r (x)/(x − a) = 0. Ent˜ ao ϕ(x) = f ′ (a) + f 2(a) (x − ′ ′′ ′ a) + r(x)/(x − a) e ϕ (x) = f (a)/2 + r (x)/(x − a) − r(x)/(x − a)2 , logo limx→a ϕ′ (x) = f ′′ (a)/2. Segue-se do Exerc´ıcio 4.10 do Cap´ıtulo 8 que ϕ ∈ C 1 . Para f ∈ C 3 , proceda de modo an´ alogo. Pela F´ ormula de Taylor Infinitesimal, pondo x = a + h, ou seja x − a = h, Pn (i) i pode-se escrever p(a + h) = i=0 (p (a)/i!)h + r(h), onde r(h) tem suas primeiras n derivadas nulas no ponto 0. Como r(h) ´e um polinˆ omio de grau ≤ n (diferen¸ca entre dois polinˆ omios), segue-se que r(h) ´e identicamente nulo. Seja ϕ(x) = f (x) − g(x). Ent˜ ao ϕ : I → R ´e duas vezes deriv´ avel no ponto a, com ϕ(x) ≥ 0 para todo x ∈ I e ϕ(a) = ϕ′ (a) = 0. Ent˜ ao ϕ(x) = r(x) ϕ′ (a)(x − a) + 21 ϕ′′ (a)(x − a)2 + r(x) com limx→a (x−a) ı ϕ(x) = 2 = 0. Da´  ′′ r(x)  ′′ (x − a)2 ϕ 2(a) + (x−a) . Se fosse ϕ (a) < 0 existiria δ > 0 tal que, para 2 0 < |x − a| < δ, a express˜ ao dentro dos colchetes, e conseq¨ uentemente ϕ(x), seria < 0. Contradi¸c˜ ao. Logo deve ser ϕ′′ (a) ≥ 0, isto ´e, f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). Para fixar id´eias, seja f ′′ (c) > 0. Existe δ > 0 tal que c − δ < x < c + δ ⇒ f ′′ (x) > 0. Ent˜ ao f ´e convexa no intervalo (c − δ, c + δ). A soma de duas fun¸c˜ oes convexas ´e convexa mas o produto, nem sempre. Exemplo: (x2 − 1) · x2 . 2

1.6.

f ′′ (a) (x 2

′

Se¸c˜ ao 10

A integral de Riemann

187

2.4. Se f ´e convexa, seja X = {x ∈ I; f (x) ≤ c}. Dados x, y ∈ X e x < z < y, tem-se z = (1 − t)x + ty, com 0 ≤ t ≤ 1. Ent˜ ao f (z) = f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + t(f (y)) ≤ (1 − t)c + tc = c, logo z ∈ X. Assim, X ´e um intervalo e f ´e quase-convexa. 2.5. Sejam c = max{f (x), f (y)} e z = (1 − t)x + ty com 0 ≤ t ≤ 1. Ent˜ ao f (x) ≤ c, f (y) ≤ c e z pertence ao intervalo cujos extremos s˜ ao x, y. Logo f (z) ≤ c. 2.6. Se o m´ınimo de f ´e atingido no ponto a ent˜ ao, dados x < y em [a, b], tem-se x ∈ [a, y] logo f (x) ≤ max{f (a), f (y)} = f (y) portanto f ´e n˜ ao-decrescente. Analogamente, se o m´ınimo de f ´e atingido no ponto b ent˜ ao f ´e n˜ ao-crescente. Da´ı se segue que se f atinge seu m´ınimo no ponto c ∈ (a, b) ent˜ ao f ´e n˜ aocrescente em [a, c] e n˜ ao-decrescente em [c, b]. 2.8. A existˆencia de c decorre do Teorema do Valor Intermedi´ ario. Resta provar a unicidade. Se existissem c1 , c2 tais que a < c1 < c2 < b e f (c1 ) = f (c2 ) = 0, seria c1 = ta + (1 − t)c2 com 0 < t < 1. Pela convexidade de f , viria ent˜ ao 0 = f (c1 ) ≤ tf (a) + (1 − t)f (c2 ), donde tf (a) ≥ 0, contradi¸c˜ ao. 3.1. Basta provar que x ∈ I ⇒ f (x) ∈ I. Ora x ∈ I ⇒ |x − a| ≤ δ ⇒ |f (x) − a| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − a| ≤ k|x − a| + (1 − k)δ ≤ kδ + (1 − k)δ = δ ⇒ f (x) ∈ I. 3.2. a = 0, 76666469. 3.3. Use o Exerc´ıcio 3.1. 3.4. Note que |f ′ (x)| ≤ 1/a < 1.

10

A Integral de Riemann

2.1. Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que 1/2n < ε/2. A restri¸c˜ ao f1 , de f ao intervalo [1/2n , 1], ´e uma fun¸c˜ ao-escada, portanto integr´ avel. Existe ent˜ ao uma parti¸c˜ ao P1 deste intervalo tal que S(f1 ; P1 ) − s(f1 ; P1 ) < ε/2. A parti¸c˜ ao P = P1 ∪ {0} do intervalo [0, 1] cumpre S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. Ra R0 ao 2.2. Se f ´e ´ımpar, basta provar que −a f (x)dx = − 0 f (x)dx. Ora, a cada parti¸c˜ P de [0, a] corresponde uma parti¸c˜ ao P de [−a, 0], obtida trocando-se os sinais dos pontos de divis˜ ao. Como f (−x) = −f (x), se no intervalo [ti−1 , ti ] de P o inf e o sup de f s˜ ao mi e Mi , ent˜ ao, no intervalo [−ti , −ti−1 ], o inf e o sup de f s˜ ao, respectivamente, −Mi e −mi . Portanto S(f ; P ) = −s(f ; P ) e ao. Analogamente s(f ; P ) = −S(f ; P ). Da´ı resulta imediatamente a proposi¸c˜ para o caso de f par. 2.3. Evidentemente, f ´e descont´ınua nos racionais. Seja c ∈ [a, b] irracional. Dado ε > 0, o conjunto dos n´ umeros naturais q ≤ 1/ε, e portanto o conjunto dos pontos x = p/q ∈ [a, b] tais que f (x) = 1/q ≥ ε, ´e finito. Seja δ > 0 a menor distˆ ancia de c a um desses pontos. Ent˜ ao x ∈ (c − δ, c + δ) ⇒ 0 ≤ f (x) < ε e f ´e cont´ınua no ponto c. Toda soma inferior s(f ; P ) ´e zero pois todo intervalo Rb n˜ ao-degenerado cont´em n´ umeros irracionais. Logo a f (x)dx = 0. Quanto ` a ¯

integral superior, dado ε > 0, seja F = {x1 , . . . , xn } o conjunto dos pontos de [a, b] para os quais se tem f (xi ) ≥ ε/2(b − a). Com centro em cada xi tome um intervalo de comprimento < ε/2n, escolhido de modo que esses n intervalos sejam 2 a 2 disjuntos. Os pontos a, b, juntamente com os extremos desses

188

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

intervalos que estejam contidos em [a, b], constituem uma parti¸c˜ ao P tal que R¯b S(f ; P ) < ε. Logo a f (x)dx = 0. 2.4. Seja m = f (c)/2. Existe δ > 0 tal que f (x) > m para todo x ∈ [c − δ, c + δ]. Ent˜ ao, para toda parti¸c˜ ao PR que contenha os pontos c − δ e c + δ, tem-se b s(f ; P ) > 2mδ. Segue-se que a f (x)dx ≥ s(f ; P ) > 0. 2.5. Para toda parti¸c˜ ao P de [a, b] vale s(ϕ; P ) = s(g; P ) e S(ϕ; P ) = S(g; P ) + Rb Rb Rb Rb (b − a). Logo a ϕ(x)dx = a g(x)dx e ¯a ϕ(x)dx = a g(x)dx + (b − a). Em ¯

particular, para g(x) = x,

Rb

¯

(b − a). 3.1. Para x, y ∈ [a, b],

a

Rb ϕ(x)dx = (b2 − a2 )/2 e ¯a ϕ(x)dx = (b2 − a2 )/2 +

Z |F (x) − F (y)| =

y x

f (t) dt ≤ M · |x − y|,

onde M = sup{|f (t)|; t ∈ [a, b]}. 3.2. ϕ = 12 [f +g+|f −g|], ψ = 21 [f +g−|f −g|], f+ = max{f, 0} e f− = − min{f, 0}. 3.3. A desigualdade de Schwarz para integrais resulta R b do fato de que, no espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes cont´ınuas em [a, b], hf, gi = a f (x)g(x)dx define um produto ´ interno. Para os leitores n˜ ao familiarizados ainda com Algebra Linear, esta desigualdade pode ser provada com o argumento usado no ıcio R b Cap´ıtulo 2, Exerc´ 2.7, considerando o trinˆ omio do segundo grau p(λ) = a (f (x) + λg(x))2 dx. 4.1. O conjunto dos pontos da descontinuidade de f ´e Q∩[a, b], portanto enumer´ avel e conseq¨ uentemente de medida nula. 4.2. Dada a fun¸c˜ ao mon´ otona f : [a, b] → R, basta provar que o conjunto D dos pontos de descontinuidades de f em (a, b) ´e enumer´ avel. Para cada x ∈ D, sejam ax o menor e bx o maior dos trˆes n´ umeros limy→x− f (y), limy→x+ f (y) e f (x). Como f ´e descont´ınua no ponto x, tem-se ax < bx . Al´em disso, como f ´e mon´ otona, se x 6= y em D ent˜ ao os intervalos abertos (ax , bx ) e (ay , by ) s˜ ao disjuntos. Para cada x ∈ D escolha um n´ umero racional r(x) ∈ (ax , bx ). A fun¸c˜ ao x 7→ r(x), de D em Q, ´e injetiva logo D ´e enumer´ avel. 4.3. Todos os pontos do conjunto D − D′ s˜ ao isolados, logo este conjunto ´e enumer´ avel, em virtude do Exerc´ıcio 3.4, Cap´ıtulo 5. Segue-se que D ´e enumer´ avel, pois D ⊂ (D − D′ ) ∪ D′ . 4.4. A fun¸c˜ ao f : [0, 1] → R, igual a 1 nos racionais e 0 nos irracionais, anula-se fora de um conjunto de medida nula mas n˜ ao ´e integr´ avel. Por outro lado, se f : [a, b] → R ´e integr´ avel e igual a zero fora de um conjunto de medida nula, ent˜ ao em qualquer subintervalo de [a, b] o ´ınfimo de |f | ´e zero, logo Rb Rb |f (x)|dx = 0 donde a f (x)dx = 0. a ¯

4.5. (a) Se X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik ent˜ ao X ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk , onde aberto P Jj ´e o intervalo P de mesmo centro e comprimento dobro de Ij . Logo |Ij | < ε ⇒ |Jj | < 2ε. udo nulo. Segue-se que X tem conte´ (b) Todo conjunto de conte´ udo nulo ´e limitado, logo o conjunto Q, que tem medida nula, n˜ ao tem conte´ udo nulo. Al´em disso, Q ∩ [a, b], embora seja limitado, tem medida nula mas n˜ ao tem conte´ udo nulo, em virtude do

Se¸c˜ ao 11

C´ alculo com integrais

189

item (a), pois seu fecho ´e [a, b], cujo conte´ udo n˜ ao ´e nulo. (c) Use Borel-Lebesgue. (d) A diferen¸ca g − f : [a, b] → R ´e igual a zero exceto num conjunto X, de conte´ udo nulo. Seja M = supX |g − f |. Todas as somas inferiores de |g − f | s˜ ao zero. Quanto ` as somas superiores, dado ε > 0, existem intervalos abertos I1 , . . . , Ik tais que X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik e |I1 | + · · · + |Ik | < ε/M . Sem perda de generalidade, podemos supor que os intervalos Ij est˜ ao contidos em [a, b]. As extremidades desses intervalos, juntamente com a e b, formam uma parti¸c˜ ao P de [a, b]. Os intervalos dessa parti¸c˜ ao que contˆem pontos de X s˜ ao os Ij . Como Rb P |Ij | < ε/M , segue-se que S(|g−f |; P ) < ε. Conseq¨ uentemente ¯a |g−f | = 0. Da´ı g − f ´e integr´ avel e sua integral ´e zero. Finalmente, g = f + (g − f ) ´e Rb Rb integr´ avel e a g = a f .

11

C´ alculo com Integrais

1.2. Dada qualquer parti¸c˜ ao PP= {t0 , . . . , tn } do intervalo cujos extremos s˜ ao c e x, tem-se f (x) − f (c) = [f (ti ) − f (ti−1 )]. Use o Teorema do Valor M´edio em cada f (ti ) − f (ti−1 ) e conclua que s(f ′ ; P ) ≤ f (x) − f (c) ≤ S(f ′ ; P ) para qualquer parti¸c˜ ao P . 1.3. Sabe-se que f ´e n˜ ao-decrescente. Se f n˜ ao fosse crescente existiriam x < y em [a, b] com f (x) = f (y). Ent˜ ao f seria constante e f ′ seria nula no intervalo [x, y], que n˜ ao tem conte´ udo nulo. Rb 1.4. f (b) − f (a) = a f ′ (x)dx = f ′ (c) · (b − a), a < c < b. R β(x) R α(x) 1.5. Fixando c ∈ (a, b) tem-se ϕ(x) = c f (t)dt − c f (t)dt. Basta ent˜ ao R α(x) considerar ϕ(x) = f (t)dt. Ora, ϕ = F ◦ α, onde F : [a, b] → R ´ e dada por c Rx F (x) = c f (t)dt. Usar a Regra da Cadeia. 1.7. Use integra¸c˜ ao por partes. 2.2. Basta provar que se f ´e ilimitada ent˜ ao, para toda parti¸c˜ ao PPe todo n´ umero A > 0 existe uma parti¸c˜ ao pontilhada P ∗ = (P, ξ) tal que | (f ; P ∗ )| > A. Com efeito, dada P , em pelo menos um dos seus intervalos, digamos [ti−1 , ti ], f ´e ilimitada. Fixando primeiro os P pontos ξj nos demais intervalos, pode-se escolher ξi ∈ [ti−1 , ti ] de modo que | (f ; P ∗ )| > A. P 2.3. Dado ε > 0, existe P = {t0 , . . . , tn } tal que | (f ; P ∗ ) − L| < ε/4 seja qual for o modo de pontilhar P . Fixe P e a pontilhe de 2 modos. Primeiro escolha em cada [ti−1 , ti ] um ponto ξi tal que f (ξi ) < mi +ε/4n(ti −ti−1 ), obtendo P ∗ com P ∗ # P(f ; P #) < s(f ; P ) + ε/4. Analogamente, P obtenha PP tal∗ que S(f ; P ) − ε/4 < # s(f ; P ) < (f ; P ) − (fP ; P ) + ε/2. P Mas, como P(f ; P ). Da´ı S(f ; P ) −P | (f ; P ∗ ) − L| < ε/4 e | (f ; P # ) − L| < ε/4, vale (f ; P # ) − (f ; P ∗ ) < Rb ε/2. Logo S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε e f ´e integr´ avel. Evidentemente a f (x)dx = L, pelo Teorema 7. P P P 2.4. f (ξi )g(ηi )(ti − ti−1 ) = f (ξi )g(ξi )(ti − ti−1 ) + f (ξi ) · [g(ηi ) − g(ξi )](ti − ti−1 ). A segunda parcela do segundo membro tende a zero quando |P | → 0 pois |f (ξi )| ≤ M . Rb 2.7. Pelo Exerc´ıcio  12.6,  − a) = limn→∞ M (f ; n). Como Pn a f (x)dx/(b P f ´e convexa, M (f ; n) ≥ f n i=1 (a + ih) onde h = (b − a)/n. Ora, n1 n i=1 (a + ih) =

190

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

n−1 n

· a+b + nb → (a + b)/2 quando n → ∞. 2 3.1. Para todo x ∈ R, f (x) = f (x/2 + x/2) = f (x/2)2 ≥ 0. Se existisse c ∈ R com f (c) = 0 ent˜ ao f (x) = f (x − c)f (c) = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) > 0 qualquer que seja x. Al´em disso, f (0) = f (0 + 0) = f (0) · f (0), logo f (0) = 1. Tamb´em f (−x)f (x) = f (−x + x) = f (0) = 1, portanto f (−x) = f (x)−1 . Da´ı f (p · x) = f (x)p para todo p ∈ Z. E, para todo q ∈ N, f (x) = f (x/q+· · ·+x/q) = f (x/q)q , donde f (x/q) = f (x)1/q . Ent˜ ao, para todo r = p/q ∈ Q, com q ∈ N, tem-se f (r) = f (p/q) = f (1/q)p = f (1)p/q = f (1)r . Seja f (1) = ea . Segue-se que f (r) = ear para todo r ∈ Q. Como f ´e cont´ınua, tem-se f (x) = eax para todo x ∈ R. A segunda parte se prova de modo an´ alogo (v. Corol´ ario 1 do Teorema 8) ou usando o fato de que exp e log s˜ ao inversas uma da outra. 3.2. Como xn − xn+1 = log(1 + 1/n) − 1/(n + 1), basta observar que, no intervalo [1, 1 + 1/n] o m´ınimo da fun¸c˜ ao 1/x ´e n/(n + 1) logo log(1 + 1/n) = R 1+1/n 1 n 1 dx/x > n n+1 = n+1 · 1 3.3. Pondo x = 1/y, tem-se limx→0 x · log x = limy→∞

− log y = 0. y 1/y x

3.4. Pondo x/n = y, vem (1 + x/n)n = (1 + y)x/y = [(1 + y) ] logo limn→∞ (1 + x/n)n = limy→0 [(1 + y)1/y ]x = ex . 4.1. Divergente, divergente e convergente. 4.2. As trˆes convergem. P n e o valor absoluto de 4.3. A integral em quest˜ ao vale ∞ n=0 (−1) an onde an ´ √ Z (n+1)π

√ nπ

sen(x2 ) dx.

p √ Como | sen(x2 )| ≤ 1, tem-se 0 < an ≤ (n + 1)π − nπ logo lim an√= 0. Na integral cujo ca a mudan¸cp a de vari´ avel x = u2 + π, n+1 , fa¸ √ valor absoluto ´e ap √ 2 + π, note que u (n + 1)π ≤ x ≤ (n + 2)π ⇔ nπ ≤ u ≤ dx = udu/ p √ (n + 1)π e que 0 < u/ u2 + π < 1 e conclua que an+1 < an . Pelo Teorema de Leibniz, a integral ao | sen(x2 )| na metade p converge. A concavidade da fun¸c˜ √ do intervalo [ nπ, (n + 1)π] mostra que an ´e maior do que a metade daP ´ area do triˆ angulo is´ osceles de base neste intervalo e altura 1. Logo a s´ e rie an R +∞ diverge e a integral 0 | sen(x2 )|dx tamb´em. √ 4.4. O m´etodo ´e o mesmo do exerc´ıcio anterior. Escrevendo a = 4 nπ e b = p R b 4 (n + 1)π tem-se a |x sen(x4 )|dx < ´ area do retˆ angulo cuja base ´e o intervalo [a, b] e cuja altura mede b. Como b4 − a4 = π = (b − a)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ), essa ´ area vale b(b − a) = bπ/(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) logo tende√a zero quando n → ∞. Pondo c4 = (n + 2)π, a mudan¸ca de vari´ avel x = 4 u4 + π mostra Rc Rb 2 4 4 u du logo an+1 < an = que an+1 = b |x sen(x )|dx = a |u sen(u )| √ 4 (u4 +π)2 Rb P ∞ n |x sen(x4 )|dx. Pelo Teorema de Leibniz, a s´erie n=0 (−1) an converge a para o valor da integral em quest˜ ao. Rx 4.5. Seja ϕ(x) = a f (t)dt, x ≥ a. Por hip´ otese, existe L = limx→+∞ ϕ(x). Logo, dado ε > 0, existe A > 0 tal que x > A ⇒ L−ε < ϕ(x)R < L. Da´ı x > 2A ⇒ L− x ε < ϕ(x/2) < ϕ(x) < L, donde ε > ϕ(x) − ϕ(x/2) = x/2 f (t)dt ≥ (x/2) · f (x) pois f ´e n˜ ao-crescente. Logo limx→+∞ (x/2)f (x) = 0 e o resultado segue-se.

Se¸c˜ ao 12

Seq¨ uˆ encias e s´ eries de fun¸c˜ oes

191

Rt 4.6. Defina ϕ : [a, +∞) → R pondo ϕ(t) = a f (x)dx. Para t ≥ a, sejam Mt = sup{ϕ(x); x ≥ t}, mt = inf{ϕ(x); x ≥ t} e ωt = Mt − mt . Ent˜ ao ωt = sup{|ϕ(y) − ϕ(x)|; x, y ≥ t}. (Cfr. Lema 3, Se¸c˜ ao 1, Cap´ıtulo 10.) A condi¸c˜ ao enunciada equivale a afirmar limt→+∞ ωt = 0. O resultado segue-se ent˜ ao do Exerc´ıcio 3.3, Cap´ıtulo 6.

12

Seq¨ uˆ encias e S´ eries de Fun¸c˜ oes

1.1. Tem-se lim fn = f , onde f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1, f (1) = 1/2 e f (x) = 1 se x > 1. 1.2. A convergˆencia fn → f ´e mon´ otona tanto em [0, 1 − δ] como em [1 + δ, +∞). Pelo Teorema de Dini, a convergˆencia ´e uniforme em [0, 1−δ] porque este intervalo ´e compacto. No outro intervalo, basta observar que cada fn ´e crescente, logo fn (1 + δ) > 1 − ε ⇒ fn (x) > 1 − ε para todo x ≥ 1 + δ. 1.3. Seja ao x |x| ≤ a < 1. E |x| ≤ a < 1 ⇒ P∈ [−1 +i δ, 1 −Pδ] significa P a =i 1 − δ. iEnt˜ i n a = 2a /(1 − a). Logo, para todo |x| ≤ 2 |x (1 − x )| ≤ 2 i≥n i≥n i≥n P i ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ i≥n |x (1 − xi )| < ε, o que assegura a convergˆencia uniforme. A afirma¸c˜ ao inicial ´e clara. 1.4. A necessidade da condi¸c˜ ao ´e evidente. Quanto ` a suficiˆencia, observar que, para todo x ∈ X, a seq¨ uˆencia de n´ umeros reais fn (x), n ∈ N, ´e de Cauchy logo, pelo Exerc´ıcio 2.7 do Cap´ıtulo 3, existe limn→∞ fn (x) = f (x). Isto define numa fun¸c˜ ao f : X → R e fn → f simplesmente. Para provar que a convergˆencia ´e uniforme, tome ε > 0 e obtenha n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε/2 para todo x ∈ X. Fixe n > n0 e fa¸ca m → ∞ nesta desigualdade. Conclua que n > n0 ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ X. 1.5. Se fn → f uniformemente em X ent˜ ao, dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ | |fn (x)| − |f (x)| | ≤ |fn (x) − f (x)| < 1 para todo x ∈ X. Logo n > n0 ⇒ |fn (x)| < |f (x)| + 1 e |f (x)| < |fn (x)| + 1. Da´ı segue-se o resultado. 1.6. Adapte a demonstra¸c˜ ao do Teorema de Leibniz (Teorema 3, Cap´ıtulo 4). P∞ 1.7. Para todo x ∈ X, a s´erie n=1 fn (x) converge, logo faz sentido considerar rn (x) = fn (x) + fn+1 (x) + · · · . Como |rn (x)| ≤ Rn (x) = |fn (x)|P + |fn+1 (x)| + · · · , segue-se que limn→∞ rn (x) = 0 uniformemente em X, logo fn converge uniformemente. 2.1. Note que |fn (x) + gn (x) − (f (x) + g(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)|, que |fn (x)gn (x) − f (x)g(x)| ≤ |fn (x)| |gn (x) − g(x)| + |g(x)| · |fn (x) − f (x)|, e que |1/gn (x) − 1/g(x)| = (1/|g(x)gn (x)|) · |gn (x) − g(x)|. √ 2.3. Como fn′ (x) = n·cos(nx), s´ o existe limn→∞ fn′ (x) quando limn→∞ cos(nx) = 0. Levando em conta que cos(2nx) = cos2 (nx) − sen2 (nx), fazendo n → ∞ obter-se-ia 0 = −1. Logo limn→∞ fn′ (x) n˜ ao existe, seja qual for x ∈ [0, 1]. 2.6. O conjunto f (X) ´e compacto, disjunto do conjunto fechado R − U . Pelo Exerc´ıcio 4.4 do Cap´ıtulo 5, existe ε > 0 tal que x ∈ X, y ∈ R − U ⇒ |f (x) − y| ≥ ε, logo x ∈ X, |f (x) − z| < ε ⇒ z ∈ U . Tome n0 ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < ε para todo n > n0 e todo x ∈ X. Ent˜ ao fn (X) ⊂ U se n > n0 . 2.7. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (d) − fn (d)| < ε/2 para todo d ∈ D, logo |fm (x) − fn (x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ X porque x ´e limite

192

2.8. 2.9. 2.10. 3.1.

3.2.

3.3. 3.4. 3.5.

Sugest˜ oes e Respostas

Cap. 13

de uma seq¨ uˆencia de pontos de D. Pelo crit´erio de Cauchy (Exerc´ıcio 1.4), (fn ) converge uniformemente em X. Integre fn por partes e fa¸ca n → ∞. Adapte a demonstra¸c˜ ao do teste de Cauchy, usando, se desejar, o Teorema 5. Adapte a demonstra¸c˜ ao do teste de d’Alembert, usando, se desejar, o Teorema 5. Sejam a, b tais que a < 1/r < b. Ent˜ / R portanto pao r < 1/a, logo 1/a ∈ existem infinitos ´ındices n tais que a ≤ n |an |. Al´em disso, 1/b < r, logo existe ρ ∈ R tal que 1b < ρ < r. Assim, para todo n suficientemente grande, tem-se p n |an | < 1/ρ < umero finito de ´ındices n p b. Noutras palavras, apenas um n´ ´eptal que b ≤ n |an |. Da´ı resulta que 1/r ´e valor de aderˆencia da seq¨ uˆencia n |an | e nenhum n´ umero maior do que 1/r tem a mesma propriedade. P P Tem-se an x2n = bn xnponde b2n = an e b2n−1 = 0. Assim os termos de ordem ´ımpar da seq¨ uˆencia n |bn | s˜ ao iguais a zero e os de ordem par formam a qp p √
n |an |, cujo limite ´e L. Portanto, a seq¨ uˆencia n |bn | tem dois seq¨ uˆencia √ valores 0 e L. Pelo exerc´ıcio anterior, o raio de convergˆencia √ P de2naderˆencia: de an x ´e 1/ L. Racioc´ınio an´ alogo para a outra s´erie. P n2 n O raio de convergˆencia de a x ´e +∞ se |a| < 1, ´e 0 se |a| > 1, e ´e igual a 1 se |a| = 1. Use o Corol´ ario 2 do Teorema 9 (unicidade da representa¸c˜ ao em s´erie de potˆencias). Veja o Exerc´ıcio 3.7, Cap´ıtulo 3.

Sugest˜ oes de Leitura Para aprofundar e complementar alguns dos t´ opicos abordados neste livro, a referˆencia natural ´e: 1. E. L. Lima, Curso de An´ alise, vol. 1, (11a¯ edi¸c˜ ao), Projeto Euclides, IMPA, 2004. Para uma apresenta¸c˜ ao de logaritmos, na mesma ordem de id´eias do texto, por´em em n´ıvel bem mais elementar, com numerosos exemplos e aplica¸c˜ oes, veja-se: 2. E. L. Lima, Logaritmos, Sociedade Brasileira de Matem´ atica, Rio de Janeiro, 1994. Outros livros que muito podem ajudar a compreender os assuntos aqui estudados, tratando-os de outras maneiras e tocando em pontos que n˜ ao foram aqui considerados s˜ ao: 3. R. G. Bartle, Elementos de An´ alise Real, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1983. 4. D. G. Figueiredo, An´ alise I, L.T.C., Rio de Janeiro, 1995 (2a¯ edi¸c˜ ao). 5. P. R. Halmos, Teoria Ingˆenua dos Conjuntos, Ed. USP, S˜ ao Paulo, 1970. ´ 6. A. Hefez, Algebra, vol. 1, Cole¸c˜ ao Matem´ atica Universit´ aria, IMPA, Rio de Janeiro, 1997 (2a¯ edi¸c˜ ao). ´ 7. L.H. Jacy Monteiro, Elementos de Algebra, Ao Livro T´ecnico S.A., Rio de Janeiro, 1969. 8. W. Rudin, Princ´ıpios de An´ alise Matem´ atica, Ed. UnB. e Ao Livro T´ecnico, Rio de Janeiro, 1971. 9. M. Spivak, C´ alculo Infinitesimal, 2 volumes, Editorial Revert´e, Barcelona, 1970. S˜ ao recomend´ aveis ainda: 10. R. Courant, Differential and Integral Calculus, vol. 1, Interscience, N. York, 1947. (Em inglˆes.) 11. O. Forster, Analysis 1, Vieweg, Braunschweig, 1987. (Em alem˜ ao.) 12. S. Lang, Analysis I, Addison-Wesley, Reading Massachussets, 1969. (Em inglˆes.)

´Indice Remissivo

194

´Indice Remissivo Adi¸c˜ao de n´ umeros naturais, 2 de n´ umeros reais, 12 Associatividade, 12 Axiomas de Peano, 2

Contra¸c˜ao, 113 Convergˆencia de s´eries, 38 de seq¨ uˆencias, 25 mon´otona, 160 simples, 156 uniforme, 157 Corpo arquimediano, 18 ordenado completo, 18 Crit´erio de Cauchy, 35 Crit´erio de Cauchy para convergˆencia uniforme, 172 para integrais impr´oprias, 155 Crit´erio de compara¸c˜ao para integrais, 150 para s´eries, 39

Boa ordena¸c˜ao, 9 Cis˜ao, 52 Cobertura, 55 aberta, 55 Comutatividade, 12 Condi¸c˜ao de integrabilidade, 126, 135 Conjunto aberto, 49 compacto, 54 de Cantor, 56 de conte´ udo nulo, 135 de medida nula, 131 denso, 51 discreto, 53 enumer´avel, 7 fechado, 50 finito, 4 infinito, 6 limitado, 6, 17 Constante de Euler-Mascheroni, 155 Constante de Lipschitz, 84 Contagem, 4

Deriva¸c˜ao termo a termo, 162, 166 Derivada, 91 de ordem n, 104 lateral, 92 Desigualdade de Bernoulli, 15 de Schwarz, 135 Diferen¸ca, 13 Distributividade, 12 195

196 Divis˜ao, 13 Elemento m´ aximo, 17 neutro, 12 Enumera¸c˜ao, 7 Express˜ ao indeterminada, 73 F´ormula de Leibniz para π, 172 de Taylor com resto integral, 140 de Taylor infinitesimal, 106 de Taylor, com resto de Lagrange, 107 do valor m´edio para integrais, 139 Fecho, 50 Fra¸c˜ao cont´ınua, 36 Fronteira, 59 Fun¸c˜ao n vezes diferenci´ avel, 104 cˆoncava, 111 cont´ınua, 76 cont´ınua ` a direita, 92 convexa, 108 de classe C 1 , 91 de classe C 2 , 100 de classe C n , 104 deriv´avel, 91 derivada, 91 descont´ınua, 75 escada, 128 exponencial, 144 gama, 150 integr´avel, 125 lipschitziana, 84 localmente constante, 88 mon´otona, 70

´Indice Remissivo

par e ´ımpar, 101 peri´ odica, 88 semi-cont´ınua, 87 trigonom´etrica, 167 uniformemente cont´ınua, 84 Homeomorfismo, 81 Inclina¸c˜ao, 90 Indu¸c˜ao, 2 ´Infimo, 17 Integra¸c˜ao por partes, 139 termo a termo, 166, 171 Integral, 125 absolutamente convergente, 149, 150 de Dirichlet, 151 impr´opria, 147 indefinida, 137 inferior e superior, 124 Interior, 49 Intervalo, 16 Intervalos encaixados, 18 Inverso aditivo e multiplicativo, 12 lim inf e lim sup, 61 Limite de uma fun¸c˜ao, 63 de uma seq¨ uˆencia, 24 lateral, 69 Logaritmo, 143, 146 M´ aximos e m´ınimos, 96 M´etodo da diagonal, 9 de indu¸c˜ao, 2 de Newton, 114 M´ odulo, 15

´Indice Remissivo

Maior do que, 14 Maior elemento, 17 Menor do que, 3, 14 Monotonicidade da adi¸c˜ao, 14 da multiplica¸c˜ao, 14 Mudan¸ca de vari´avel, 138 Multiplica¸c˜ao de n´ umeros naturais, 2 de n´ umeros reais, 12 N´ umero alg´ebrico, 21 cardinal, 4 de Fibonacci, 36 de ouro, 36 inteiro, 8 irracional, 19 negativo, 14 positivo, 13 primo, 10 racional, 8 transcendente, 22 Norma de uma parti¸c˜ao, 141 Opera¸c˜oes com limites, 65 Oscila¸c˜ao, 74, 123 Parte positiva e parte negativa, 41, 149 Parti¸c˜ao, 123 Parti¸c˜ao pontilhada, 142 Passagem ao limite sob o sinal da integral, 160 Polinˆ omio de Taylor, 105 Ponto aderente, 50 cr´ıtico, 97, 101 de acumula¸c˜ao, 53, 68

197 fixo, 79 interior, 49 isolado, 53 Primitiva, 137 Produto de n´ umeros, 2, 12 Propriedade do Valor Intermedi´ario, 88 Raio de convergˆencia, 165 Recorrˆencia, 2 Reduzida de uma s´erie, 38 Refinamento, 123 Regra da Cadeia, 94 de L’Hˆ opital, 93 Reta, 108 S´erie, 38 absolutamente convergente, 40, 165 comutativamente convergente, 44 condicionalmente convergente, 41 convergente e divergente, 38 de fun¸c˜oes, 156 de potˆencias, 164 de Taylor das fun¸c˜oes cl´assicas, 169 geom´etrica, 38 harmˆonica, 39 Seq¨ uˆencia, 23 convergente e divergente, 25 crescente e decrescente, 26 de Cauchy, 35 limitada, 23 mon´otona, 25

198 peri´ odica, 34 som´avel, 48 Soma de n´ umeros naturais, 2 de n´ umeros reais, 12 de Riemann, 142 de Riemann-Stieltjes, 154 de uma s´erie, 38 inferior, 124 parcial, 38 superior, 124 Subseq¨ uˆencia, 24 Subtra¸c˜ao, 13 Sucessor, 1 Supremo, 17 Teorema de Bolzano-Weierstrass, 26 de Borel-Lebesgue, 55 de Darboux, 97 de Dini, 160 de Leibniz, 41 de Riemann, 45 de Rolle, 98 de Weierstrass, 82 do ponto fixo de Brouwer, 79 para contra¸c˜oes, 114 do sandu´ıche, 27, 64 do Valor Intermedi´ario, 78 do Valor M´edio de Lagrange, 98 Fundamental do C´ alculo, 137 Termo destacado, 26 geral de uma s´erie, 38 Teste de Cauchy, 43 de d’Alembert, 42

´Indice Remissivo

de Weierstrass, 163 Transitividade, 14 Tricotomia, 14 Unicidade da s´erie de potˆencias, 167 do limite, 25, 65 Valor absoluto, 15 de aderˆencia, 34 m´edio de uma fun¸c˜ao, 154 Velocidade, 90 Vizinhan¸ca, 49