Approximation et optimisation

Table of contents :
Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Cônes de déplacements admissibles et caractérisation d'un minimum......Page 12
1.1. Définition des cônes de déplacements admissibles......Page 13
1.2. Propriétés des cônes de déplacements admissibles......Page 15
1.3. Cônes de déplacements admissibles relatifs à un convexe......Page 19
1.4. Caractérisation d'un minimum à l'aide des cônes de déplacements......Page 23
1.5. Théorèmes de séparation de convexes......Page 26
1.6. Théorèmes de séparation de n convexes (n > 2)......Page 32
1.7. Théorème fondamental de caractérisation d'un minimum......Page 37
1.8. Expression d'un cône de déplacement particulier......Page 40
1.9. Minimisation d'une fonctionnelle linéaire continue sur un polyèdre......Page 47
II Approximation dans un espace de Hilbert......Page 52
2.1. Existence et unicité de la meilleure approximation dans un convexe......Page 52
2.2. Caractérisation et propriétés de la meilleure approximation dans un convexe......Page 54
2.3. Exemple d'approximation dans un convexe d'un espace de Hilbert......Page 60
2.4. Approximation dans le translaté d'un sous-espace vectoriel......Page 63
2.5. Systèmes orthogonaux......Page 69
2.6. Polynômes orthogonaux......Page 76
2.7. Approximation dans un sous-espace de dimension finie avec une infinité de contraintes......Page 82
III Approximation uniforme de fonctions continues sur un compact......Page 90
3.1. Théorèmes de Weierstrass et de Stone......Page 91
3.2. Théorème d'existence d'une meilleure approximation......Page 95
3.3. Théorèmes de caractérisation d'une meilleure approximation......Page 97
3.4. Théorème d'unicité de la meilleure approximation......Page 103
3.5. Approximation sur un intervalle......Page 109
3.6. Disposition des points critiques et bornes de l'erreur......Page 114
3.7. Algorithme de Rémès......Page 122
3.8. Approximation uniforme de fonctions continues avec contraintes par inégalité......Page 135
3.9. Algorithme de Rémès pour l'approximation uniforme avec contraintes......Page 151
IV Fonctions-spline d'interpolation et d'ajustement......Page 164
4.1. Propriétés fondamentales des fonctions-spline sur un exemple simple......Page 166
4.2. Théorème de l'inverse continu......Page 189
4.3. Transposée d'une application linéaire......Page 197
4.4. Existence et unicité de fonctions-spline......Page 204
4.5. Caractérisation de fonctions-spline d'interpolation......Page 221
4.6. Caractérisation de fonctions-spline d'ajustement......Page 262
4.7. Représentation optimale de fonctionnelles linéaires continues......Page 258
4.8. Construction numérique de fonctions-spline......Page 283
V Convergence d'opérateurs linéaires continus......Page 298
5.1. Théorème de Banach-Steinhaus......Page 298
5.2. Convergence des sommes de Fourier......Page 301
5.3. Convergence d'approximations du type somme de Fourier......Page 307
5.4. Convergence d'interpolations polynomiales......Page 312
5.5. Convergence d'approximations du type interpolation......Page 318
5.6. Convergence d'extrapolations......Page 322
5.7. Convergence de formules de quadrature approchée......Page 327
5.8. Convergence d'opérateurs linéaires positifs......Page 329
VI Fonctionnelles convexes......Page 336
6.1. Fonctionnelles convexes......Page 337
6.2. Semi-continuité et continuité des fonctionnelles convexes......Page 341
6.3. Gamma-régularisée et polaire d'une fonctionnelle......Page 347
6.4. Sous-différentiel et dérivée directionnelle d'une fonctionnelle......Page 360
6.5. Inf-convolution et polaire de la somme de deux fonctionnelles......Page 369
6.6. Sous-différentiel d'une somme de fonctionnelles......Page 376
6.7. Étude d'un problème de minimisation......Page 381
6.8. Fonctionnelle asymptote et enveloppe conique......Page 385
6.9. Sous-différentiel et cônes de déplacements admissibles......Page 394
VII Stabilité et dualité en optimisation convexe......Page 400
7.1. Perturbation d'un problème de minimisation et problème dual associé......Page 401
7.2. Un exemple simple......Page 404
7.3. Stabilité d'un problème de minimisation......Page 406
7.4. Stabilité et dualité......Page 410
7.5. Caractérisation des solutions......Page 411
7.6. Conditions de stabilité......Page 416
7.7. Conditions duales de stabilité......Page 418
7.8. Exemple de perturbations horizontales......Page 422
7.9. Exemple de perturbations verticales......Page 427
VIII Approximation dans un espace vectoriel normé......Page 436
8.1. Caractérisation d'une meilleure approximation dans un convexe......Page 437
8.2. Existence d'une meilleure approximation......Page 445
8.3. Minimisation dans un sous-espace vectoriel de dimension finie......Page 446
8.4. Exemples de caractérisation d'une meilleure approximation......Page 456
8.5. Généralisation de l'algorithme de Rémès......Page 465
8.6. Algorithme de Rémès avec contraintes......Page 477
IX Fonctions-spline dans un convexe......Page 486
9.1. Exemple introductif......Page 487
9.2. Problème dual et caractérisation d'une fonction-spline dans un convexe......Page 488
9.3. Existence d'une fonction-spline dans un convexe......Page 498
9.4. Unicité d'une fonction-spline dans un convexe......Page 502
9.5. Exemples de fonctions-spline dans un convexe......Page 504
Bibliographie......Page 512
Notations......Page 538
Index......Page 540