Apostila Poliedro - Matemática [Volume 4]

Citation preview

brazzo/iStockphoto.com

FRENTE 1

12 CAPÍTULO

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 5

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton Um binômio elevado à segunda potência (a 1 b)2 ou elevado à terceira potência (a 1 b)3 pode ser facilmente representado geometricamente e desenvolvido algebricamente pela aplicação da propriedade distributiva. À medida que a potência aumenta, fica mais trabalhoso desenvolver algebricamente a expressão e se torna inviável representá-la geometricamente. O estudo proposto neste capítulo facilita o trabalho com esse tipo de expressão e mostra uma importante ferramenta para a resolução de exercícios que envolvem probabilidades e suas aplicações em cálculos relacionados a resultados de jogos.

09/02/24 09:32

Números binomiais No capítulo anterior, entre outras coisas, vimos como representar e calcular uma combinação. Os números binomiais correspondem a uma maneira diferente de apresentar ou representar as combinações. Sejam n e k números naturais, com n . k. Um número binomial ou um coeficiente binomial n sobre k, represenn!  n tado por   , é dado por , e dizemos que n é o ( n k )! ? k! 2  k numerador e k é a classe do número binomial.

Atenção  n Alguns livros trazem o valor   5 0 para n < k, por exem k  3  7 plo:   5 0,   5 0. Neste material, consideraremos  5  8 que, para n < k, não se definem números binomiais.

Note que o número binomial representa uma combina n ção   5 Cn, k , ou seja, é a quantidade de conjuntos com  k k elementos que podemos formar a partir de n elementos disponíveis. Essa relação pode ser um grande ponto de partida para tornar este estudo menos abstrato.

Casos particulares Retomando a simplificação de números fatoriais aplicada no capítulo anterior, vamos conciliá-la com os chamados números binomiais e calcular seus valores. Veja alguns exemplos:  10 10! 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6! 5 5 210 • C10, 4 5   5 (10 2 4)! ? 4!  4 6! ? 4 ? 3 ? 2 ? 1

•

 12 12! 12 ? 11 ? 10 ? 9! C12, 3 5   5 5 5 220 (12 2 3)! ? 3!  3 9! ? 3 ? 2 ? 1

•

 15 15! 15 ? 14 ? 13! C15, 13 5   5 5 5 105 (15 2 13)! ? 13!  13  2 ? 1 ? 13!

Confira agora alguns casos particulares aos quais devemos estar atentos.  n n! n! I. Cn, 0 5   5 5 51 (n 2 0)! ? 0!  0 n! ? 1!  conjunto vazio é o único conjunto sem elementos. O Exemplos:  3  11  25  n  0 5  0 5  0  5  0 5 1 n ? (n 2 1)!  n n! II. Cn, 1 5   5 5 5n (n 2 1)! ? 1! 1  (n 2 1)! ? 1

 partir de n elementos podemos formar n conjuntos A com apenas 1 elemento. Exemplos:  4  1  5 4 ;

6

MATEMÁTICA

 12  1  5 12;

Capítulo 12

 27   1  5 27 ;

 n  1  5 n

 n n! n! III. Cn, n 5   5 5 51 (n 2 n)! ? n! 0! ? n!  n A partir de n elementos, podemos formar um único conjunto com n elementos. Exemplos:  4  12  21  n  4  5  12 5  21 5  n 5 1 Confira as afirmações de cada caso particular utilizando seus conhecimentos sobre conjuntos.

Binomiais complementares  n   p Para quaisquer números binomiais   e   , com n . k  k   q  n  p e p . q, a igualdade   5   é válida apenas quando  k  q n 5 p e k 5 q ou quando n 5 p e k 1 q 5 n. Vamos retomar com exemplos a propriedade enunciada. Note a igualdade dos números apresentados:  6  6 6! 6! 6! 6!  4  5  2 ~ (6 2 4)! ? 4! 5 (6 2 2)! ? 2! ~ 2!4! 5 4!2! Note acima que, com 6 elementos disponíveis, a quantidade de possibilidades de escolha de 4 elementos para formar um conjunto é igual à quantidade de possibilidades de escolha para um conjunto de 2 elementos. Também são válidas as igualdades:  10  10  3  5  7 

 15  15  5  5  10

 22  22  18  5  4 

      Assim, observamos que, com 10 elementos disponíveis, a quantidade de possibilidades de escolha de 3 elementos para formar um conjunto é igual à quantidade de possibilidades de escolha para um conjunto de 7 elementos. O mesmo ocorre com 15 elementos disponíveis para a formação de conjuntos com 5 ou 10 elementos, ou ainda com 22 elementos disponíveis para a formação de conjuntos com 4 ou 18 elementos.  n  n A igualdade   5   , com n . k e n . p, é válida  k  p quando k 5 p ou quando k 1 p 5 n, e, neste caso, dizemos  n  n que   e   são binomiais complementares.  k  p Exemplos:  12  12 a)   5   ~ x 5 9 ou x 1 9 5 12 ~ x 5 3  x  9  18  18 b)   5   ~ x 5 16 ou x 1 16 5 18 ~ x 5 2  16  x

Exercício

resolvido

1. Aline faz parte de um grupo de 10 pessoas. Quais são as possibilidades de formar um grupo de 4 pessoas: a) sem restrições? b) escolhendo Aline para o grupo? c) sem escolher Aline para o grupo?

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 6

09/02/24 09:32

a) Podemos resolver este problema com a combinação C10, 4, que pode ser representada por  10 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6!  4  5 6! ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 210 . Assim, existem 210 possibilidades para formarmos um grupo com 4 pessoas a partir de um grupo de 10 pessoas. b) Escolhendo Aline, sobram 3 vagas para 9 pessoas. Podemos resolver o problema com a combinação  9 9 ? 8 ? 7 ? 6! C9, 3, definida por   5 5 84 .  3 6! ? 3 ? 2 ? 1 Assim, existem 84 possibilidades para formarmos um grupo com 4 pessoas a partir de um grupo de 10 pessoas, com Aline incluída no grupo. c) Eliminando Aline das opções, serão 4 vagas para 9 pessoas disponíveis. Podemos resolver o problema com a combinação C9, 4, que pode ser  9 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5! resolvida por   5 5 126.  4 5! ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 Assim, existem 126 possibilidades para formarmos grupos com 4 pessoas a partir de 10 pessoas disponíveis, sabendo que Aline não estará em nenhum grupo. Note que, somando os grupos com a presença de Aline com os que ela não participa, temos a quantidade total de grupos que podemos formar sem restrições:  9  9  10  3 1  4  5  4  ~ 84 1 126 5 210

Triângulo de Pascal Uma maneira de apresentar os números binomiais é utilizando o triângulo de Pascal. Nele, dispomos números binomiais em linhas, em uma configuração que lembra o formato de um triângulo. Em cada linha, mantemos o numerador constante e, em cada coluna, a classe. Assim, temos a disposição: 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 æ

1 2 3 4 5 6 7

1 1

2 0

2 1

2 2

3 0

3 1

3 2

3 3

4 0

4 1

4 2

4 3

n 1

n 2

n 3

Linha 3 4 4

n 4

Linha 4

ˆ

»

n n

Coluna n

Coluna 4

Coluna 3

Coluna 2

Coluna 1

Coluna 0 Triângulo de Pascal

Linha n

1 7

1

ˆ

Podemos perceber algumas regularidades no triângulo de Pascal.

Elementos das extremidades Os primeiros e últimos elementos de cada linha são iguais a 1. Isso se deve a dois fatores:  n • o primeiro elemento de cada linha é da forma   ,  0  n e, como vimos anteriormente,   5 1 para qualquer  0 n natural;  n • o último elemento de cada linha é da forma   , e,  n  n como também vimos anteriormente,   5 1 para  n qualquer n natural.

Elementos equidistantes dos extremos de uma linha Os termos equidistantes dos extremos de cada linha são iguais, pois trata-se de binomiais complementares. Considere a linha n. Os elementos equidistantes dos  n  extremos dessa linha podem ser escritos como   0 1 k   n  e  .  n 2 k   n   n  Como k 1 (n 2 k) 5 n,  e  são bino 0 1 k  n 2 k  miais complementares. Assim:  n   n   0 1 k  5  n 2 k 

Linha 1 Linha 2

1 3 1 6 4 1 10 10 5 1 15 20 15 6 21 35 35 21

Propriedades do triângulo de Pascal

Linha 0

1 0

n 0

Observe o triângulo quando calculados os números binomiais.

Na linha 6, por exemplo, o número que está a uma distância de 2 posições do primeiro número é 15. O número que está distante 2 posições do último número também é 15. 1 1 1 1 1 1 1 1 æ

1 2 3 4 5 6 7

1 3 1 6 4 1 10 10 5 1 15 20 15 6 21 35 35 21

1 7

1

ˆ

Verifique essa propriedade nas outras linhas do triângulo.

FRENTE 1

Resolução:

7 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P5.indd 7

07/03/24 16:42

Relação de Stifel

Saiba mais

A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento abaixo do elemento da direita, isto é:  n  n   n 1 1  k  1  k 1 1 5  k 1 1

Essa relação é conhecida como relação de Stifel. 1 1 1 1 1 1 1 1 æ

1 2 1 3 3 1 416 4 1 5 5 10 10 5 1 6 15 120 15 6 5 7 21 35 35 21

Existem propriedades menos conhecidas que podem ser facilmente verificadas no triângulo de Pascal. • Teorema das colunas A soma dos termos de uma coluna (do 1º elemento até um elemento qualquer) do triângulo de Pascal é igual ao número da linha seguinte ao último número da coluna, na coluna imediatamente à direita.  k  k 1 1  k 1 2  k  1  k  1  k  1 … 1

 n  n 1 1  k  5  k 1 1

• Teorema das diagonais A soma dos termos de uma das diagonais do triângulo de Pascal, da coluna 0 até a coluna k, é igual ao número imediatamente abaixo do último número da diagonal considerada.

1 7

 n  n 1 1  n 1 2  n 1 k   n 1 k 1 1  0 1  1  1  2  1 … 1  k  5   k

1

ˆ

Utilizando a expressão do número binomial, podemos provar qualquer das igualdades apresentadas anteriormente. Exemplos:

Exercícios

resolvidos

 11  11  12 2. Resolva a equação   1   5   .  8  8  9 8! 8! 9!  6  7  x a)   1   5   ~ 1 5 ~ (8 2 5)! ? 5! (8 2 6)! ? 6! (9 2 6)! ? 6!Resolução:  5  6  6

8  8  9 8! 8! 9! ~ 1  5  ~ 1 5  (8 2 5)! ? 5! (8 2 6)! ? 6! (9 2 6)! ? 6!  6  6 5

Pela relação de Stifel, temos:

 11  11  12  12  12  6 1  7  5  x  ~  7  5  x  ~ x 5 7 ou x 5 12 2 7 5 5 

8 ? 7 ? 6 ? 5! 8 ? 7 ? 6! 9 ? 8 ? 7 ? 6! ~ ~ 56 1 28 5 84 1 5 3 ? 2 ? 1 ? 5! 2 ? 1 ? 6! 3 ? 2 ? 1 ? 6!

(127)

~ 56 1 28 5 84

~ x 5 7 ou x 5 12 2 7 5 5  11  11  12 11! 11! 12! Portanto, S 5 {5, 7}. b)   1   5   ~ 1 5 ~ (11 2 7)! ? 7! (11 2 8)! ? 8! (12 2 8)! ? 8!  7  8  8 7 8 1  11  12 11! 11! 12! 3. Calcule ∑   . ~ ~ 1 5 1 5   5  8  p 5 2  p (11 2 7)! ? 7! (11 2 8)! ? 8! (12 2 8)! ? 8! Resolução: 11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7! 11 ? 10 ? 9 ? 8! 12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8! ~ 330 1 165 5 495 1 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 7! 3 ? 2 ? 1 ? 8! 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 8! Considere S 5 ~ 330 1 165 5 495

~

Teorema das linhas

7

8

 8

 8

 8

∑  p 5  2 1  3 1 … 1  7  .

p52

Pelo teorema das linhas, temos:

Somando todos os elementos de uma linha, temos:  n  n  n  n n  0 1  1  1  2 1 … 1  n 5 2

 8  8  8  8  8 8  0 1  1  1  2 1 … 1  7  1  8 5 2 5 256 Assim:  8  8  8  0 1  1  1 S 1  8 5 256 ~ ~ 1 1 8 1 S 1 1 5 256 ~ S 5 246

Exemplos:

4. Em uma sala, há 5 lâmpadas que acendem de forma  4  4  4  4  4 a)   1   1   1   1   5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 24 independente. De quantas maneiras podemos ilumi 0  1  2  3  4 nar essa sala? 5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 24 Resolução:  5  5  5  5  5  5 b)   1   1   1   1   1   5 1 1 5 1 10 1 10 1 5 1 1 5 32 5acender 25 Podemos um conjunto de 1, 2, 3, 4 ou 5 lâmpa 0  1  2  3  4  5 das. Para cada conjunto, há um número de possibilidades que pode ser obtido do triângulo de Pascal. 5 1 1 5 1 10 1 10 1 5 1 1 5 32 5 25

8

MATEMÁTICA

Capítulo 12

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P5.indd 8

07/03/24 16:42

Exemplo: vamos desenvolver (2x 1 y)4.

Pelo teorema das linhas, sabemos que:

 4  4 (2x 1 y )4 5   ? (2x )4 ? y 0 1   ? (2x ) 3 ? y 1 1  0  1

 5  5  5  5  5  5 5  0 1  1  1  2 1  3 1  4  1  5 5 2 5 32

 4  4  4 1   ? (2x )2 ? y 2 1   ? (2x ) 1 ? y 3 1   ? (2x )0 ? y 4 5  2  3  4

 5 Como   representa o caso em que nenhuma lâm 0 pada está acesa, temos:  5  5  5  5  5  5  1  1  2 1  3 1  4  1  5 5 32 2  0 5 32 2 1 5 31 Assim, há 31 possibilidades de iluminar a sala.

Binômio de Newton

O termo “binômio” vem de bi (dois) 1 nômio (nome) e refere-se à quantidade de parcelas de uma expressão. No Binômio de Newton, temos um binômio (a 1 b), sendo a e b números reais, como base de uma potência n, com n natural. Observe a relação entre os coeficientes do desenvolvimento das potências e os termos do triângulo de Pascal:

5 1 ? 16x 4 ? 1 1 4 ? 8x 3 ? y 1 6 ? 4x 2 ? y 2 1 4 ? 2x ? y 3 1 1 1 ? 1 ? y 4 5 16x 4 1 32x 3 y 1 24x 2 y 2 1 8xy 3 1 y 4

Note que: temos apenas uma possibilidade para formar x4y0: x?x?x?x • temos 4 possibilidades para formar x3y1: x ? x ? x ? y, x ? x ? y ? x, x ? y ? x ? x e y ? x ? x ? x • temos 6 possibilidades para formar x2y2: x ? x ? y ? y, x ? y ? x ? y, y ? x ? x ? y,  y ? y ? x ? x, y?x?y?x e x?y?y?x • temos 4 possibilidades para formar x1y3: x ? y ? y ? y, y ? x ? y ? y, y ? y ? x ? y e y ? y ? y ? x • temos apenas 1 possibilidade para formar x0y4: y?y?y?y Observe outro exemplo em que há uma subtração no binômio. Vamos desenvolver (2x 2 y)4. Note que (2x 2 y)4 5 (2x 1 (2y))4. Temos, então:

•

1

(a 1 b)0 51

11

(a 1 b)1 51 ? a 1 1 ? b

121

(a 1 b)2 51 ? a2 1 2 ? ab 1 1 ? b2

 4  4 1   ? (2x )2 ? (2y )2 1   ? (2x )1 ? (2y )3 1  2  3

1331

(a 1 b)3 51 ? a3 1 3 ? a2b 1 3 ? ab2 1 1 ? b3

 4 1   ? (2x )0 ? (2y )4 5 1 ? 16x 4 ? 1 1 4 ? 8x 3 ? (2y ) 1  4

 4  4 (2x 2 y )4 5   ? (2x )4 ? (2y )0 1   ? (2x )3 ? (2y )1 1  0  1

1 4 6 4 1 (a 1 b)4 51 ? a4 1 4 ? a3b 1 6 ? a2b2 1 4 ? ab3 1 1 ? b4 æ

æ

Observe os expoentes de a. A primeira parcela tem expoente igual ao do binômio, e ele vai diminuindo nas parcelas seguintes até a última, onde ele é nulo. Os expoentes de b, por outro lado, começam com expoente zero e aumentam até o expoente do binômio. Por que isso ocorre? Vamos calcular, por exemplo, o coeficiente do termo a4b2 do desenvolvimento de (a 1 b)6.  n

1 6 ? 4x 2 ? y 2 1 4 ⋅ 2x ? (2y 3 ) 1 1 ? 1 ? y 4 5 5 16x 4 2 32x 3 y 1 24x 2 y 2 2 8xy 3 1 y 4

Como o expoente de (2y) alterna entre um número par e outro ímpar, temos a alternância de sinal nas parcelas. De modo geral, para uma potência na forma (a 1 b)n em que a e b são números inteiros e n é natural, podemos escrever o desenvolvimento do binômio do seguinte modo:

 n

5b) ? (aa1 b b)1   a (a 1 b)6 5 (a 1 b) ? (a 1 b) ? (a 1 b) ? (a 1(ab)1? b(a) 1  0 1  n

n

0

Para obter a4b2, multiplicamos no processo dessa distributiva 4 vezes a e 2 vezes b, considerando os 6 fatores. Observe algumas possibilidades de obtermos esse resultado:

 n  n  n  n  a (a 1 b)n 5   a n b0 1   a n 2 1b1 1   a n 2 2b2 1 ... 1   0 1   2  n 2 1

n2 1

 n  1 n 2 1  n 0 n  n ab 1  a b b1 1   a n 2 2b2 1 ... 1   2  n 2 1  n

Termo geral do binômio de Newton

FRENTE 1

A partir dos exemplos vistos, podemos escrever o termo geral T do binômio de Newton, que representa uma das parcelas do desenvolvimento desse binômio. No caso de a ? a ? a ? a ? b ? b, a ? a ? b ? a ? a ? b, b ? a ? b ? a ? a ? a, (2x 1 y)4, sendo p um número natural, temos: b ? a ? a ? a ? a ? b, ...  4  4  4  4 (2x 1 y )4 5   (2x )4 y 0 1   (2x )3 y 1 1   (2x )2 y 2 1   (2 O número de possibilidades para obtermos a4b2 é a        3 2 0 1 soma da quantidade de parcelas a4b2 que podem ser forma 4  dois4 b0  4   4  4  4 das, e pode ser calculada do número (2xde 1grupos y )4 5  de (2 x ) y 1   (2x )3 y 1 1   (2x )2 y 2 1   (2x ) 1 y 3 1   (2x )0 y 4      4     0 1 2 3 que escolhemos a partir das 6 parcelas disponíveis, ou  6  4 seja, a partir de   . Tp 1 1 5   (2x )4 2 p y p  2  p

9 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P5.indd 9

07/03/24 16:42

Para p 5 0, temos:

6. Determine o termo independente de x no desenvolvi12 1  mento de  x 3 1  .  x Resolução:

 4  4 T0 1 1 5   (2x )4 2 0 y 0 ~ T1 5   (2x )4 y 0 ~  0  0

~ T1 5 1 ? 16x 4 ? 1 5 16x 4

O termo geral do desenvolvimento é: p  12  12  1 Tp 1 1 5   ? (x 3 ) 12 2 p ?   ~ Tp 1 1 5   ? x 36 2 3p ? x2p ~  x  p  p

Para p 5 1, temos:

 4  4 T1 1 1 5   (2x )4 2 1 y 1 ~ T2 5   (2x ) 3 y 1 ~ p  1  1  12  12  12  1 3 12 2 p T 5 ? ( ) ? ~ Tp 1 1 5   ? x 36 2 3p ? x2p ~ Tp 1 1 5   x 36 2 4p x   p 1 1  p  3 3   x  p  p ~ T2 5 4 ? 8x ? y 5 32x y No termo independente, temos x0. Assim: 36 2 4p 5 0 ~ 4p 5 36 ~ p 5 9 Portanto, o termo pedido é:  12  12 T9 1 1 5   x 36 2 4 ? 9 ~ T10 5   x 36 2 36 ~  9  9

Para p 5 2, temos:

 4  4 T2 1 1 5   (2x )4 2 2 y 2 ~ T3 5   (2x )2 y 2 ~  2  2

~ T3 5 6 ? 4x 2 ? y 2 5 24x 2 y 2

Para p 5 3, temos:

~ T10 5

 4  4 T3 1 1 5   (2x )4 2 3 y 3 ~ T4 5   (2x ) 1 y 3 ~  3  3

Portanto, o termo independente de x é o 10o termo e vale 220.

~ T4 5 4 ? 2x ? y 3 5 8xy 3

Para p 5 4, temos: T4 1 1

Soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio

 4  4 5   (2x )4 2 4 y 4 ~ T5 5   (2x )0 y 4 ~  4  4

~ T5 5 1 ? 1 ? y 4 5 y 4

Generalizando, para (a 1 b)n com n, p é N, temos a seguinte fórmula do termo geral para o binômio de Newton:  n Tp 1 1 5   ? a n 2 p ? b p  p

Exercícios

resolvidos

5. Calcule o termo em x8 do desenvolvimento de 10 1  2  x 1  . x Resolução: O termo geral do desenvolvimento do binômio é: p  10  1 Tp 1 1 5   ? (x 2 )10 2 p ?   ~ Tp 1 1 5  x  p  1 ? (x 2 )10 2 p ?    x

p

 10  p 

 10  10 ~ Tp 1 1 5   ? x 20 2 2p ? x2p ~ Tp 1 1 5   x 20 2 3p  p  p Como o termo desejado é o termo em x8, igualando os expoentes do termo geral e de x8, temos: 20 2 3p 5 8 ~ 3p 5 12 ~ p 5 4

Portanto, o termo pedido é:

 10 10! T4 1 1 5   x 20 2 3 ? 4 ~ T5 5 x 20 2 12 ~ (10 2 4)! ? 4!  4 ~ T5 5

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6! 8 x ~ T5 5 210x 8 6! ? 4 ? 3 ? 2 ? 1

Portanto, o termo procurado é o quinto termo e é igual a 210x8.

10

MATEMÁTICA

Capítulo 12

12! 12 ? 11 ? 10 ? 9! x 0 ~ T10 5 5 220 (12 2 9)! ? 9! 3 ? 2 ? 1 ? 9!

Vamos calcular a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio. Perceba que não são necessariamente iguais aos termos do triângulo de Pascal, uma vez que os números binomiais aparecem multiplicados pelos coeficientes de cada termo. Observe a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x 1 y)4. Temos: (2x 1 y)4 5 16x4 1 32x3y 1 24x2y2 1 8xy3 1 y4 Logo, a soma S dos coeficientes é: S 5 16 1 32 1 24 1 8 1 1 5 81 Uma das maneiras de se efetuar essa soma sem a necessidade de conhecer o desenvolvimento do binômio é substituindo os termos literais do binômio por 1. Assim, no caso sugerido, considerando x 5 y 5 1, obtemos o mesmo resultado: S 5 (2 ? 1 1 1)4 5 (2 1 1)4 5 34 5 81  10 20 2 2p 2p ?x ? x ~ Tp 1 1 5   x 20 2 3p  p

Exercício

resolvido

7. Determine, em cada caso, a soma dos coeficientes do desenvolvimento de: a)  (1 2 x)20   b)  (2a 1 3b)4   c)  (5x 2 3y)6 Resolução:

a) Fazendo x 5 1 em (1 2 x)20, temos: (1 2 1)20 5 020 5 0

b) Fazendo a 5 b 5 1 em (2a 1 3b)4, temos: (2 ? 1 1 3 ? 1)4 5 (2 1 3)4 5 54 5 625

c) Fazendo x 5 y 5 1 em (5x 2 3y)6, temos: (5 ? 1 2 3 ? 1)6 5 (5 2 3)6 5 26 5 64

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 10

09/02/24 09:32

Revisando 1. Calcule:  11 a)     2

 15 b)     3

 30 c)     29

 2 022  2 022 5 ? 2. Qual valor de x satisfaz a equação   x 1 1   x 1 3  15  15  16  3. Resolva a equação   1   5  .  5  6  2x 1 4  7

4. Calcule

7

∑  p .

p50

5. Uma empresa de emergências médicas possui uma equipe de 14 paramédicos. A cada chamada, 3 paramédicos vão juntos para fazer o atendimento. Qual é a quantidade de equipes diferentes que podem ser formadas com 3 paramédicos?

6. Desenvolva (2x 1 1)5.

7. Desenvolva (x 2 2y)6.

8. Determine o coeficiente do termo em x³ do desenvol6

1  2 vimento de  x 1  . x 9. Calcule o termo independente do desenvolvimento 8

1  de  x 1  .  x 10. FGV-SP As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a)  26.   b)  24.   c)  22.   d)  30.   e)  28.

1. Calcule:  10 a)     3  12 b)     2

 25 c)     0

 15 e)     15

 18 d)     1

 8  7  6  6 2. Urca-CE 2023 A soma   2   1   1   é  4  3  4  5 igual a: a) 21. b) 7. c) 8. d) 756. e) 56. 3. Walter faz parte de uma empresa em que há 10 colaboradores. A partir desse grupo, será formada uma comissão de 4 pessoas para a brigada de incêndio. Determine: a) o número de comissões possíveis sendo Walter um dos escolhidos. b) quantas são as possibilidades de formar diferentes comissões em que Walter não participa. c) o total de comissões possíveis. 4. Calcule: a)

8

8

∑  p

p50

b)

10

 10

∑  p 

p50

c)

9

 10

∑  p 

p52

5. Unesp 2021 Os motores a combustão utilizados em veículos são identificados pelas numerações 1.0, 1.6 ou 2.0, entre outras, que representam a capacidade volumétrica total da câmara dos pistões, calculada de acordo com o diâmetro e o curso de cada pistão e a quantidade de pistões. Para o cálculo dessa capacidade, considera-se que cada câmara tem o formato de um cilindro reto cuja altura é o curso do pistão. Desse modo, um motor que possui 4 cilindros que deslocam 350 cm³ de mistura gasosa cada totaliza uma capacidade volumétrica de 1 400 cm³, sendo chamado de um motor 1 400 cilindradas ou, simplesmente, 1.4. Uma montadora registrou a patente de um motor em que cada cilindro tem capacidade cúbica diferente, contrariando o modelo usual. Para um motor com 1 500  cilindradas, ao invés de termos um motor com  três cilindros iguais de 500 cilindradas, poderemos ter um motor com três cilindros, mas de 300, 400 e 800 cilindradas, por exemplo. Em teoria, isso daria maior versatilidade e eficiência ao motor, quando combinado com a tecnologia de desativação de cilindros. Nesse novo motor, no lugar de termos apenas a opção de desativação de cilindros de 500 cilindradas, o gerenciamento eletrônico poderá desativar um cilindro de 300 cilindradas, por exemplo, ou fazer a desativação de vários cilindros, conforme a necessidade. Com esta solução, o leque de opções de motorização, baseado nos diferentes ajustes de uso de um ou mais cilindros, passa de 3 configurações possíveis para 7 configurações de cilindradas resultantes. Já para um motor 4 cilindros, as possibilidades sobem de 4 para até 15 configurações diferentes de motorização.

FRENTE 1

Exercícios propostos

11 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 11

09/02/24 09:32

12. EsPCEx-SP 2021 Qual o valor de n, no binômio (x 1 3)n, para que o coeficiente do 5o termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5 670? a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8

Considere o Triângulo de Pascal. 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

13. Efomm-RJ 2020 Assinale a alternativa que apresenta o termo independente de x na expansão binomial

1 6

8

1

Um motor com 3 800 cilindradas, com cilindros de 200, 250, 300, 400, 800 e 1 850 cilindradas, terá, com a tecnologia de desativação de cilindros, uma quantidade de opções de motorização igual a a) 30. c) 64. e) 72. b) 63. d) 36.  15   15  6. Para que os números binomiais   e  2  sejam  2x  x  iguais, a soma dos valores que x pode assumir é igual a: a) 1. c) 3. e) 5. b) 2. d) 4. n

7. Mackenzie-SP 2017 Sabendo que tão o valor de n vale a) 8 c) 6 b) 7 d) 5

 n

∑  p 5 256 , en-

p50

e) 4

8. Ufam 2024 Considere o binômio: 8 1  x 2   2 O sexto termo do desenvolvimento do binômio é: 9 a)  2 x 5 . 4 b) 

7 3 x . 4

7 c)  2 x 3 . 5

9 5 x . 4

e) 

7 d)  2 x 3 . 4

9. EsPCEx-SP 2022 A soma dos 2 023 coeficientes binomiais com numerador 2 022,  2 022  2 022  2 022  2 022  5  0  1  1  1  2  n n50

2 022

∑ 

2  2 022  2 022  2 022  2 022  2 022  5  0  1  1  1  2  1 ... 1  2 021  1  2 022 equivale a a) 41 011.

c) 21 011.

b) 24 044.

d)

( 2 )2 023.

e)

( 2 )1 011.

10. Desenvolva os binômios apresentados a seguir. a) (x 1 2y)5 b) (3a2 2 b)6

11. Determine o valor numérico do polinômio p(x) 5 x4 1 1 4x3 1 6x2 1 4x 1 2 017 para x 5 49. d) 6 252 016 a) 5 321 009 e) 6 252 100 b) 518 236 c) 6 134 008

12

MATEMÁTICA

Capítulo 12

1   2  x 1 6  . x a) 1 b) 8

c) 28 d) 56

e) 70

14. FGV-SP 2018 Uma aplicação financeira de C reais à taxa mensal de juros compostos de x% é resgatada depois de 8 meses no montante igual a C8 reais. SenC do assim, 8 é um polinômio P(x) de grau 8 cujo coeC ficiente do termo em x5 será: d) 35 ? 10210 a) 70 ? 1028 28 b) 35 ? 10 e) 21 ? 10210 210 c) 56 ? 10 15. ESPM-SP 2018 No desenvolvimento do binômio (x 1 p ? y)n, com p e n naturais, o termo 112x6y2 é o terceiro quando feito com potências crescentes de y e o sétimo quando feito com potências crescentes de x. O valor de p 1 n é igual a: a) 10 c) 9 e) 13 b) 12 d) 11 16. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de: a) (3x 2 2y)10 b) (2a 1 b)6 17. FGV-RJ 2016 Um grupo de oito alunos está sendo liderado em um passeio por dois professores e, em determinado momento, deve se dividir em dois subgrupos. Cada professor irá liderar um dos subgrupos e cada aluno deverá escolher um professor. A única restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um aluno. número maneiras distintas de essa subdivisão 2 022 2 022 O  de  1 ... 1 ser feita 1  2 021  é  2 022 a) 128. d) 254. b) 64. e) 256. c) 248. 18. UEPG-PR 2023 Com base na análise combinatória, assinale o que for correto. 01 A palavra BOLO tem 24 anagramas. 02 O número de diagonais de um pentágono é dez. 04 Duas pessoas podem sentar-se em um sofá de cinco lugares de 20 formas diferentes. 08 O coeficiente do termo x5 no desenvolvimento do binômio (x 1 3)7 é 189. (n 1 5)! 16 A solução da equação 5 30 é V 5 {28, 3}. (n 1 1)! Soma:

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 12

09/02/24 09:32

Texto complementar

O tabuleiro de Galton Rodrigo Tetsuo Argenton (CC BY-SA 4.0)/IME/USP

Você já ouviu falar no tabuleiro de Galton? Apesar de o nome não ser tão conhecido, talvez já o tenha visto em programas de televisão ou em brincadeiras de festa junina, nos quais geralmente é utilizado como um jogo com premiações.

Modelo de tabuleiro de Galton.

Esse tabuleiro é composto de pinos igualmente espaçados em formato de zigue-zague, em que na parte superior é disposta certa quantidade de esferas idênticas. As esferas, após passarem por um canal estreito, esbarram nos pinos direcionando-se, aleatoriamente, para a esquerda ou para a direita, e acabam por entrar em canaletas situadas na parte inferior do tabuleiro, nas quais encontram-se as indicações dos prêmios. Geralmente, os prêmios de maiores valores são obtidos se alguma esfera entrar nas canaletas mais próximas às extremidades, nunca nas canaletas centrais. Você saberia dizer o porquê? É interessante notar que, nesse jogo, após caírem aleatoriamente nas canaletas, as esferas acabam por desenhar um exemplo da distribuição binomial. Por exemplo, se a quantidade de canaletas for igual a 7, as esferas tendem a se distribuir proporcionalmente aos elementos da linha 6 do triângulo de Pascal, que contém sete elementos: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Alguns sites e museus de universidades ao redor do mundo mostram na prática ou fazem análises sobre o tabuleiro de Galton, como o Museu da Matemática da Universidade de São Paulo e o Museu da Ciência de Boston, que apresentam, em suas exposições permanentes, exemplares desse tabuleiro. Que tal montar o seu próprio experimento para se divertir com colegas e familiares? Mas atente-se a alguns fatores que podem influenciar no resultado (às vezes inesperados) dessa montagem, como o raio dos pinos e bolinhas, a distância entre os pinos, a elasticidade dos choques etc. Texto elaborado para fins didáticos.

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

Quer saber mais?

SILVEIRA, J. F. Porto da. O triângulo de Pascal é de Pascal? UFRGS, 2001. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGO. Acesso em: 23 fev. 2024. O texto traz uma discussão muito interessante sobre a autoria do triângulo de Pascal.

FRENTE 1

Textos BLAISE Pascal. Instituto Blaise Pascal, 2009. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGI. Acesso em: 23 fev. 2024. O texto conta a história de Blaise Pascal, matemático a quem costuma-se atribuir a autoria do triângulo de Pascal.

13 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P4.indd 13

26/02/2024 08:42:20

Exercícios complementares 1. UEPG-PR 2022 Considerando o binômio de Newton n 1   1 mx   em que “m” é a solução par da equação x  10   9  9  m  5  7  2  6  e “n” é a solução da equação       A8, 3 12n 5 C10, 3 2 , assinale o que for correto. 7 01 O termo médio no desenvolvimento do binômio tem coeficiente 160. 02 O quinto termo do binômio é independente de x. 04 A soma dos coeficientes do binômio é 64. 08 O último termo do binômio é independente de x. 16 O desenvolvimento do binômio tem seis termos. Soma: 2. UPF-RS 2016 Desenvolvendo o binômio (2x 2 3y)3n, obtém-se um polinômio de 16 termos. O valor de n é: a) 15 c) 5 e) 2 b) 10 d) 4 3. EsPCEx-SP 2017 O valor da expressão

E 5 (999)5 1 5 ? (999)4 1 10 ? (999)3 1 10 ? (999)2 1 1 5 ? (999) 1 1 é igual a a) 9 ? 103 d) 999 999 e) 999 ? 1015 b) 9 ? 1015 c) 1015

4. ITA-SP A expressão (2 3 1 5 ) 2 (2 3 2 5 ) é igual a 5

5

a)  2 630 5. b)  2 690 5. c)  2 712 5. d)  1 584 15. e)  1 604 15. 5. Uece 2023 O coeficiente de x2n no desenvolvimento de (1 1 x)2 ? (x2 1 2)n, sendo n um número inteiro positivo, é igual a a) 1 1 n. c) 3 1 3n. b) 2 1 2n. d) 1 1 2n. 6. UEPG-PR 2021 Duas avenidas, não perpendiculares, partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas medem 20 m e 50 m, respectivamente, e na segunda avenida esses quarteirões determinados medem 16 m e b m, respectivamente. A partir do que foi exposto, assinale o que for correto. 01 A soma dos coeficientes de (1 1 x)b é um número par. 02 Sendo i a unidade imaginária, i b 5 1.

14

MATEMÁTICA

Capítulo 12

04 O volume do paralelepípedo de dimensões b m, 30 m e 20 m é 2,4 ? 104 m3. 08 O terceiro termo de (x 1 b)4 é 5 400x2. b 16 A área total do cilindro de altura   m e raio da 4 b base igual a m é 96p m2. 10 Soma: 7. Ifal 2017 O termo independente no desenvolvimento 5

3  do binômio  2x 2 2 3  é  x  a) 2720. c) 0. b) 2360. d) 360.

e) 720. 16

1  8. Uece 2023 No desenvolvimento de  1 3 x  , a x  4 soma do coeficiente de x com o termo independente de x é a) 1 836. b) 1 823. c) 1 830. d) 1 828. 9. Uece 2020 O termo independente de x no desenvol vimento binomial de  x ?  a) 725. b) 745.

3

13

1   é x3  c) 715. d) 735.

x1

10. Uece 2016 No desenvolvimento de x(2x 1 1)10, o coeficiente de x3 é a) 480. b) 320. c) 260. d) 180. 11. UEPG-PR 2016 Dois casais, Marcos e Maria e Leonardo e Lucia, vão ao teatro, sentando-se em quatro lugares consecutivos que sobraram numa mesma fila. Considerando n o número de maneiras diferentes que os quatro podem sentar, de tal forma que Marcos sempre fique ao lado de Maria e Leonardo fique ao lado de Lucia, assinale o que for correto. 01 O coeficiente do termo central do desenvolvimento do binômio (x 1 y)n é maior que 80. 02 Um dos termos do desenvolvimento do binômio (x 2 2)n é igual a 112x6. 04 Acendendo pelo menos uma lâmpada, pode-se iluminar de 256 modos diferentes uma sala que tem n lâmpadas, com interruptores independentes.  n   n  . 08 Se x 5 1, então  5   3x 1 2  2x 1 1

16 Existem menos que 50 maneiras de sentar-se n meninos num banco que tem apenas dois lugares. Soma:

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 14

09/02/24 09:32

n

k   2  x 1 3  , onde n e k são números reais, o 4º terx mo vale 280x7. Nesse contexto, assinale o que for correto. 01 n é um número primo. 02 n 1 k > 10. 04 O desenvolvimento não tem um termo independente de x. 08 A soma de seus coeficientes é 81. 16 O coeficiente do 3º termo vale 84. Soma: 13. UFSC 2023 Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 01 Por medida de segurança, a administradora de um aplicativo envia por SMS aos seus usuários um código de seis algarismos distintos. Se os códigos devem ser iniciados com o algarismo 8, então o número máximo de códigos distintos que podem ser criados é maior do que 15 000. 02 No desenvolvimento do binômio (2x 1 3y)4, o coeficiente do termo cuja parte literal é x2y2 é 108. 04 Para o cargo de direção da escola estão concorrendo duas candidatas, A e B. Com base em uma pesquisa realizada recentemente com um grupo de 700 alunos, foi construído o gráfico abaixo, o qual apresenta a preferência dos eleitores por grupos (masculino e feminino). 350 300 250 200

186

102 Feminino Masculino

150 100 50 0

136

192

20 64

A

B

Brancos/Nulos

Ao escolher aleatoriamente um dos participantes da pesquisa, sabe-se que ele é eleitor da candidata A. Então, a probabilidade de ele ser do sexo 93 feminino é de . 161 08 A receita de uma empresa no primeiro semestre do ano foi apresentada por meio da tabela abaixo. Mês

Receita (R$)

Janeiro

34 260,12

Fevereiro

15 979,26

Março

28 935,18

Abril

22 521,18

Maio

34 347,24

Junho

25 500,30

Com base na tabela, é correto afirmar que a receita mensal média da empresa no primeiro trimestre foi maior do que a receita mensal média da empresa no segundo trimestre. 16 Marcos faz parte de um grupo de nove pessoas em seu local de trabalho. Foi determinada a constituição de uma comissão com cinco integrantes. Se Marcos obrigatoriamente deve estar nessa comissão, então existem 35 modos distintos de se fazer essa escolha. Soma: 14. UFSC 2020 Some os números associados às afirmativas corretas. 01 O número de anagramas da palavra VITÓRIA que começam e terminam com consoante é 360. 02 Com os algarismos 1, 2, 3, 7 e 8 são formados números de cinco algarismos distintos. Se listássemos, em ordem decrescente, todos os números obtidos, então a posição do número 27 813 seria a 80a. 04 O termo independente no desenvolvimento de 6

1   x 1  é um divisor de 5. x 08 Um grupo de 75 pessoas foi entrevistado sobre doenças. Foi constatado entre os entrevistados que 16 pessoas já tiveram as doenças A, B e C; 30 já tiveram as doenças A e C; 24 já tiveram as doenças A e B; 22 já tiveram as doenças B e C; 6 tiveram apenas a doença A; 9 tiveram apenas a doença B; e 5 tiveram apenas a doença C. Se escolhermos ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de essa pessoa não ter sido acometida por nenhuma das três doenças é maior do que 20%. 16 Um grupo de 12 torcedores, sendo 8 do time A e os demais do time B, participou de um sorteio para assistir a um importante jogo do campeonato. Ficou estabelecido que fossem escolhidos 9 torcedores para essa ocasião. Se, entre os 9 escolhidos, 6 devem ser torcedores de A e 3 devem ser torcedores de B, então existem 112 formas distintas de escolher esses torcedores. Soma: 15. UEPG/PSS-PR 2021 Sendo: • p a probabilidade de se retirar, sem reposição, uma bola branca e uma bola preta de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 bolas pretas;

• •

n o coeficiente do termo em x3 do desenvolvimento do binômio (x 1 3)5;

m a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (2y 2 4)6,

assinale o que for correto. 01 11p 1 n 2 m é um número primo. 02 121p 1 n 2 m é um número divisível por 8. 04  p 1 m 1 n é um número inteiro. 08  n 2 m > 33p. Soma:

FRENTE 1

12. UEPG-PR 2016 No desenvolvimento do binômio

15 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P3.indd 15

09/02/24 09:32

16. UFC-CE Poupêncio investiu R$ 1 000,00 numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de R$ 2 490,00 à vista? Explique sua resposta. 17. Mackenzie-SP 2019 Se S 5 {1, 2, 3, ..., 10}, o número de pares ordenados distintos, (A, B), em que A e B são subconjuntos, disjuntos, de S é a) . b)  2 . c) . d)  2 . e) .

18. FGV-SP 2017 O coeficiente de x12 na expansão de (1 1 x4 1 x5)10 é igual a a) . b) . c) . d) .

e) .

BNCC em foco EM13MAT310

1. No colégio em que Flávia estuda, cada sala deve ter uma comissão de 4 estudantes que formarão o grupo dos representantes de classe. Veja abaixo a função desses representantes, segundo o Curso de Tecnologia em Secretariado da Unifap. Representantes de turma são alunos da própria classe que têm uma função parecida com a de mediação e gerência. É o principal elo entre a turma e a instituição (docentes, coordenação e Unifap) por isso precisam ter disponibilidade para participar, efetivamente, das reuniões para as quais forem demandados. É o interlocutor do grupo. Está responsável por administrar eventuais conflitos e deve estar em permanente diálogo em prol do consenso. Esse estudante que vai levar questões comuns (e não particulares) dos demais colegas de sala para professores e coordenadores. Eles também podem tomar decisões importantes pela turma, já que têm o poder para isso – mas, claro, após uma consulta aos demais colegas de turma, não podendo tomar nenhuma decisão sozinho. CCTS. Manual de representantes de turma. [s.n.t.]. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGP. Acesso em: 23 fev. 2024.

Para formar as comissões de representantes de turma, deve ser feita uma votação. Na turma de Flávia, 13 estudantes se candidataram, inclusive ela. Quantas são as possibilidades de comissões de 4 representantes que podemos formar: a) de modo que Flávia esteja na comissão? b) de modo que Flávia não esteja na comissão? EM13MAT203

2. Fazer aplicações financeiras é, de modo simplista, um meio de fazer com que seu dinheiro renda ao “emprestá-lo” e receber os juros por esse “empréstimo”. As aplicações são uma possibilidade de fazer com que o dinheiro não desvalorize em relação à inflação do país, por exemplo. Apesar disso, é imprescindível entender como essas aplicações funcionam para evitar a perda de dinheiro. Para saber se uma aplicação é boa, podemos fazer uma previsão do rendimento que ela gera no período estabelecido. Qual será o valor aproximado do montante gerado por uma aplicação de R$ 1 000,00 a juros de 1% ao ano após 15 anos? a) R$ , b) R$ , c) R$ , d) R$ , e) R$  ,

EM13MAT312

3. No Brasil, jogos de azar são proibidos. Esse tipo de jogo, além de ser definido pela sorte, pode ser adulterado de diversas maneiras, sempre visando tirar dinheiro do apostador. No caso de um jogo de dados, os dados ditos “viciados” são aqueles que têm uma concentração de massa em pontos estratégicos de sua estrutura, de modo que eles tendem a “sortear” certo número mais vezes do que os outros. Em um experimento com esse tipo de jogo, foram feitos 10 lançamentos de um dado para verificar se ele é ou não “viciado”, observando-se a ocorrência da face 6. A probabilidade de o número 6 ser sorteado p vezes pode 10 2 p p  10  5   1 ser obtida a partir do termo geral, dado por P 5     ?  .  6  p   6 Responda: a) Qual é a probabilidade do número  ocorrer exatamente quatro vezes? b) Qual é a probabilidade do número  ocorrer apenas uma vez?

16

MATEMÁTICA

Capítulo 12

Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_005_016_mat_f1_c12_P4.indd 16

26/02/2024 08:43:24

YES BRASIL/iStockphoto.com

No inverno em Urubici, na Serra Catarinense, o frio é intenso ao amanhecer. As araucárias e outras plantas congelam, formando uma paisagem incomum em um país tropical.

FRENTE 1

13 CAPÍTULO

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p4.indd 17

Probabilidades Um dos grandes anseios do ser humano é estar no controle das mais variadas situações, prevendo e prevenindo condições desfavoráveis. Apesar de o desenvolvimento da teoria das probabilidades ter sido baseado em jogos de azar, atualmente é uma importante ferramenta para racionalizar previsões dos mais variados tipos, como acompanhar a ocorrência de fenômenos naturais, em estudos biológicos, financeiros, de marketing ou econômicos, embasando decisões governamentais, empresariais e até mesmo pessoais. Neste capítulo, vamos conhecer e compreender os conceitos básicos e os cálculos que envolvem as probabilidades.

27/02/24 19:31

Experimento aleatório e espaço amostral Um experimento (ou fenômeno) é aleatório quando, mesmo que repetido exatamente nas mesmas condições, não conseguimos prever seu resultado. Apesar de conhecermos as possibilidades, não há como assegurar com certeza qual será o resultado. O valor da face voltada para cima no lançamento de um dado, o resultado do lançamento de uma moeda cuja massa é distribuída igualmente, o sorteio de uma carta de baralho comum são alguns exemplos de experimentos aleatórios. Existem outras situações, como uma partida de futebol, a ocorrência de chuva e a aprovação em um concurso, que não podem ser classificadas como eventos ou fenômenos aleatórios, pois sofrem influência de decisões, de características de clima ou de conhecimentos prévios, entre outros. Já os experimentos em que podemos prever com exatidão o que ocorrerá são chamados de experimentos determinísticos. A análise da probabilidade dos experimentos ou fenômenos aleatórios será o nosso objeto de estudo. Como não podemos de antemão definir o resultado desse tipo de fenômeno, buscamos elementos que ajudem a nos aproximarmos de um resultado mais preciso (limitando ao mínimo possível o total de possibilidades), por exemplo, com o espaço amostral. Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento ou fenômeno aleatório. Vamos utilizar o símbolo V para diferenciá-lo de outros conjuntos. Exemplos: • No lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6, o espaço amostral é V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

•

No lançamento de duas moedas, considerando C para o resultado cara e K para coroa, temos como espaço amostral V 5 {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}.

Evento, evento certo e evento impossível

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Em geral, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto para representar esses subconjuntos. Exemplos: • No experimento aleatório de lançar um dado com faces numeradas de 1 a 6, cujo espaço amostral é V, A é o evento “o número da face voltada para cima ser par” e é um subconjunto de V:

•

V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}    A 5 {2, 4, 6} No experimento aleatório de lançar duas moedas simultaneamente, cujo espaço amostral é V, B é o evento “ocorrer duas coroas nesse lançamento” e é um subconjunto de V:

V 5 {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}    B 5 {(K, K)} Dizemos que um evento S é certo se coincidir com o espaço amostral do experimento aleatório considerado (S 5 V). Exemplo: • No experimento aleatório de lançar um dado e verificar a face voltada para cima, cujo espaço amostral é V, S é o evento “o valor sorteado é representado por um número natural” e é um subconjunto de V: V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}   S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

18

MATEMÁTICA

Capítulo 13

Dizemos que um evento E é impossível se ele for vazio (E 5 0). Exemplo: • No experimento aleatório de lançar um dado e verificar a face voltada para cima, cujo espaço amostral é V, E é o evento “o valor sorteado é representado por um número maior que 6”: V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}    E 5 0

Nesse caso, como não existe nenhum elemento de V maior do que 6, E é vazio e, de fato, é impossível sortear um número maior do que 6 em um dado comum.

Cálculo de probabilidades Probabilidade é o número associado a cada evento do espaço amostral que nos dá uma ideia quantitativa de ocorrência desse evento. Para prosseguir com este estudo, vamos trabalhar com experimentos e fenômenos cujos espaços amostrais sejam equiprováveis. Um espaço amostral é considerado equiprovável quando cada evento formado por um único elemento do espaço amostral tem a mesma possibilidade de ocorrer. Exemplos: • No lançamento de um dado comum e honesto com V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, todos os números têm a mesma possibilidade de serem sorteados. Nesse caso, o experimento de lançar um dado honesto tem espaço amostral equiprovável. • Se no experimento “sortear uma bola de uma urna” em que houver mais bolas azuis do que vermelhas, a possibilidade de sortear uma bola azul é maior do que a de sortear uma bola vermelha, o que implica um espaço amostral não equiprovável, pois a possibilidade de retirarmos uma bola vermelha ou uma bola azul não são iguais. V 5 {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, V} Já se considerarmos que as bolinhas (azuis e vermelha) foram numeradas de 1 a 8, por exemplo, a probabilidade de tirar cada uma das bolinhas passa a ser igual e o espaço amostral V 5 {B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8} será equiprovável. Agora, considere o espaço amostral V equiprovável de um experimento aleatório, tal que V é finito e V = 0. A probabilidade P(A) de ocorrer um evento A é dada pela razão entre n(A), que é o número de elementos do evento A, e n(V), que é o número de elementos do espaço amostral V (n(V) não nulo), ou seja: P(A) 5

n(A) n(V )

ou, ainda: P(A) 5

número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 18

07/03/24 17:01

Uma vez que o evento A é um subconjunto de V, vale a relação: 0 , n(A) , n(V) Analisando P(A), temos:

n(A) , 1 ~ 0 , P(A) , 1 n(V )

Assim, nenhum evento pode ter uma probabilidade negativa ou maior do que 1. Isso decorre da definição que a probabilidade de ocorrência de um evento certo é dada por: P(A) 5

n(A) n(V ) ~ P(A) 5 51 n(V ) n(V )

Também com base na definição, podemos concluir que a probabilidade de ocorrência de um evento impossível (A 5 0) é dada por: n(A) 0 P(A) 5 ~ P(A) 5 50 n(V ) n(V )

Exercícios

resolvidos

Resolução: Sendo o espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos: a) Sendo A o evento “ocorrer número par no lançamento de um dado honesto”, temos A 5 {2, 4, 6}. Assim, podemos escrever: 3 1 P(A) 5 5 6 2 b) Sendo B o evento “ocorrer número maior do que 4 no lançamento de um dado honesto”, temos B 5 {5, 6}. Assim, podemos escrever: 2 1 5 6 3

Resolução: Podemos escrever o espaço amostral na forma de pares ordenados ou usando um quadro de dupla entrada para representar V, em que n(V) 5 6 ? 6 5 36. 1 2 3 4 5 6

2

3 X

X

X

X

X O

b) No quadro, estão marcados com O todos os pares cuja soma é 9. Sendo B o evento “ocorrer soma 9 na adição do resultado de dois dados honestos”, temos B 5 {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}. Assim, verificamos que n(B) 5 4, e: P(B) 5

4 1 5 36 9

3. De um grupo de seis homens e quatro mulheres, escolheremos três pessoas para formar uma comissão. Qual é a probabilidade de serem escolhidos duas mulheres e um homem?

4

O

O número possível de comissões: 10 ? 9 ? 8 n(V ) 5 C10, 3 5 5 120 3?2?1 Sendo A o evento favorável “ocorrência de comissões com 2 mulheres e 1 homem”, temos: 4?3 n(A) 5 C4, 2 ? C6, 1 5 ? 6 5 36 2?1 36 3 5 . Assim, a probabilidade é dada por P(A) 5 120 10 4. Em uma urna há cinco bolas pretas e quatro bolas brancas de mesmo tamanho. Retirando-se uma bola três vezes consecutivas, sem reposição, qual é a probabilidade de a 3ª bola retirada ser preta? Resolução: O número de possibilidades de retiradas é dado por: 1ª bola

2. Lançando dois dados honestos, qual é a probabilidade: a) de o produto das faces ser ímpar? b) de a soma dos dados ser 9?

1 X

9 1 5 36 4

Resolução:

1. Lançando um dado honesto, qual é a probabilidade de: a) ocorrer número par? b) ocorrer número maior do que 4?

P(B) 5

P(A) 5

5 X

6

X O X

O

a) Estão marcadas com X todas as multiplicações cujos fatores são dois números ímpares. Sendo A o evento “ocorrer número ímpar como produto da

ô

9

2ª bola ?

ô

8

3ª bola ô

?

7

5

504

Logo, o número de casos possíveis é 504. Para determinar o número de possibilidades de retirada com a bola preta na terceira posição, vamos analisar os casos em que isso ocorre: 1º caso

2º caso

3º caso

4º caso

1ª bola branca 4 1ª bola preta 5 1ª bola branca 4 1ª bola preta 5

? ? ? ?

2ª bola preta 5 2ª bola branca 4 2ª bola branca 3 2ª bola preta 4

? ? ? ?

3ª bola preta 4 3ª bola preta 4 3ª bola preta 5 3ª bola preta 3

5 80 5 80 5 60 5 60

FRENTE 1

0,

multiplicação dos valores das faces de dois dados honestos”, temos que isso só ocorre quando os dois fatores são ímpares, ou seja, A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}. Assim, verificamos que n(A) 5 9; consequentemente:

19 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 19

07/03/24 17:01

Esses são os casos em que a bola preta estará na 3ª posição. Assim, o número de casos favoráveis será 280, pois 80 1 80 1 60 1 60 5 280. Portanto, a probabilidade de se ter bola preta na 280 5 3ª posição é P(A) 5 5 . 504 9

Atenção Para um sorteio sem reposição em uma urna, temos duas ideias importantes: • o número de bolas na urna vai diminuindo; • a bola que já saiu não pode ser sorteada novamente. Retirar as bolas de uma só vez seria o mesmo que fazer um sorteio sem reposição. Em um sorteio com reposição, a situação inicial não se altera.

Interseção de dois eventos A interseção de dois eventos é outra operação simples vinda da teoria de conjuntos que nos ajudará a resolver exercícios que envolvem probabilidades. Lembrando que a ideia de interseção está ligada a simultaneidade, “ao mesmo tempo” e muitas vezes ao conectivo “e”. Lembrando que a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B, e para indicá-la usamos o símbolo “ì”. Considerando, por exemplo, o espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} de um experimento aleatório e os eventos A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {4, 5, 6, 7}, a interseção entre eles será A ì B 5 {4}.

Exercícios

resolvidos

5. Lançando dois dados honestos, calcule a probabilidade de ocorrer, simultaneamente, o sorteio de dois números ímpares e a soma dos números sorteados ser igual a 8. Resolução:

Temos n(V) 5 6 ? 6 5 36.

1 2 3 4 5 6 1 X X X 2 O Y 3 X X 4 O Y X 5 X 6 O Assim, temos: • o evento A – sorteio de dois números ímpares (indicados por X no quadro) ñ A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}; logo, n(A) 5 9;

•

o evento B – a soma dos números sorteados ser igual a 8 (indicados por O no quadro) ñ B 5 {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}; logo, n(B) 5 5.

Assim, A ì B 5 {(3, 5), (5, 3)} e n(A ì B) 5 2; logo, a probabilidade de os eventos ocorrerem simultanea2 1 5 . mente é P(A ì B) 5 36 18

20

MATEMÁTICA

Capítulo 13

6. Sorteando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de obter uma carta de copas e com um número par? Resolução: Como o baralho tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe, temos n(V) 5 52. Para o evento A – ser sorteada uma carta de copas –, temos n(A) 5 13: A 5 {A , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , J , Q ,K }

Para o evento B – ser sorteada uma carta com um número par –, temos n(B) 5 20: B 5 {2♦, 4♦, 6♦, 8♦, 10♦, 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }

O evento “sortear uma carta de copas e com um número par” é dado, então, por A ì B 5 {2 , 4 , 6 , 8 , 10 }; logo, n(A ì B) 5 5. Assim, P(A ì B) 5

5 . 52

Atenção Um baralho tem 52 cartas divididas em 4 naipes: copas ( ), ouros ( ), espadas ( ) e paus ( ). Cada naipe tem 13 cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q e K.

União de dois eventos A união de conjuntos também nos ajudará com o cálculo de probabilidades e será preciso identificá-la nos exercícios. Lembraremos dessa operação sempre que existirem ideias como unir ou juntar, escolhas do tipo “esse ou aquele”, “tanto faz um ou outro” e, principalmente, quando estiver envolvido o conectivo “ou”. A união, ou reunião, de dois conjuntos, A e B, resulta em um único conjunto, que contém tanto os elementos do conjunto A quanto os do conjunto B e mais nenhum outro elemento, e para indicá-la usamos o símbolo “í”. Considerando, por exemplo, o espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} de um experimento e os eventos A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {4, 5, 6, 7}, a união entre eles é o conjunto A í B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. No estudo dos conjuntos, vimos que n(A í B) 5 n(A) 1 1 n(B) 2 n(A ì B); assim, dividindo todas as parcelas por n(V), teremos: n(A í B) n(A) n(B) n(A ì B) 5 1 2 n(V ) n(V ) n(V ) n(V ) P(A í B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ì B)

Durante a resolução de um exercício que envolva a união de dois eventos, é preciso lembrar da soma de probabilidades e de verificar se há interseção entre os conjuntos ou se eles são disjuntos.

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 20

07/03/24 17:01

Exercício

resolvido

7. Lançando um dado comum e honesto, qual é a probabilidade de a face voltada para cima ser a de um número par ou de um número múltiplo de 3? Resolução:

Considera-se o espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os seguintes eventos: A: ser sorteado um número par ñ A 5 {2, 4, 6} B: ser sorteado um número múltiplo de 3 ñ B 5 {3, 6} Temos que A ì B 5 {6}; assim, a probabilidade de ocorrer um número par ou múltiplo de 3 é: P(AíB) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(AìB) 3 2 1 4 2 P(AíB) 5 1 2 5 5 6 6 6 6 3

Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de o outro ocorrer, ou seja, não podem ocorrer simultaneamente. Matematicamente, podemos escrever A ì B 5 0. A probabilidade da união nesses casos é: P(A í B) 5 P(A) 1 P(B)

Exercício

resolvido

8. Lançando um dado comum e honesto, qual é a probabilidade de ocorrerem números maiores do que 4 ou ocorrer o número 3?

Considerando, por exemplo, o lançamento de um dado honesto, temos o espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sendo A o evento “ocorrer um número maior do que 4”, então A 5 {5, 6}. Consequentemente, o evento A é o de “não ocorrer um número maior do que 4”; logo, A 5 {1, 2, 3, 4}. Ainda podemos escrever: n(A) 1 (A) 5 n(V ) ~

n(A) n(A) n(V ) 1 5 n(V ) n(V ) n(V )

P(A) 1 P(A) 5 1

Se conhecemos a probabilidade de ocorrência de um evento, conhecemos a probabilidade de seu complemento.

Exercício

resolvido

9. Lançando um dado honesto três vezes, qual é a probabilidade de não ocorrerem três números iguais? Resolução: O lançamento de um dado por três vezes implica que n(V) 5 6 ? 6 ? 6 5 216. Sendo A o evento de “não ocorrerem três números iguais nos lançamentos” o evento A, complementar de A, é o de “ocorrerem três números iguais nesses lançamentos do dado”. Assim, A 5 {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)} e sua probabilidade de ocorrer é dada por 6 1 5 P(A) 5 . 216 36 Levando em conta que P(A) 1 P(A) 5 1, temos: 1 1 35 P(A) 1 P(A) 5 1 ~ P(A) 1 5 1 ~ P(A) 5 1 2 5 36 36 36 Essa é a probabilidade de não ocorrerem três números iguais nos lançamentos do dado.

Resolução:

P(A í B) 5

2 1 3 1 1 5 5 6 6 6 2

Eventos complementares Sendo V o espaço amostral de determinado experimento, considerando um evento A, podemos escrever o evento A, complementar de A em relação a V. Para esses conjuntos, é valido afirmar que A í A 5 V e que A ì A 5 0. Assim, se os elementos de um evento A respeitam determinada propriedade, os elementos que não pertencem a A necessariamente pertencem ao seu complemento, A. Portanto, o complemento de um conjunto A é formado por elementos que não respeitam a propriedade que define os elementos de A.

Saiba mais Dado o conjunto universo V de consequências de determinado experimento aleatório, podemos considerar todos os subconjuntos de V como eventos desse universo e definimos a probabilidade como uma função cujo domínio é o conjunto das partes de V, ou seja: P: Subconjuntos de V  ñ  [0, 1] Sendo assim, para todo evento E de determinado universo V, a função probabilidade obedece às seguintes propriedades: 0 , P(E) , 1 P(V) 5 1 P(0) 5 0 P(E) 1 P(E) 5 1

Probabilidade condicional Dependendo do tipo de informação que possuímos em relação a determinado experimento, o cálculo das probabilidades relacionadas a ele pode sofrer alterações. Sorteando ao acaso um estudante qualquer de uma sala de aula, todos os estudantes da sala têm a mesma probabilidade de serem sorteados. Já se soubermos que o sorteado é um menino, por exemplo, as meninas veem a probabilidade de terem sido sorteadas ser zero, enquanto os meninos têm a probabilidade de terem sido sorteados aumentada.

FRENTE 1

Considera-se o espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os seguintes eventos: A: ser sorteado um número maior do que 4 ñ A 5 {5, 6} B: ser sorteado o número 3 ñ B 5 {3} Temos que A ì B 5 0; assim, a probabilidade de ocorrer um número maior do que 4 ou o número 3 é: P(A í B) 5 P(A) 1 P(B)

21 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 21

07/03/24 17:01

Vamos analisar outro exemplo. A partir de um grupo de pessoas, montamos o quadro a seguir, segundo a cor dos cabelos:

resolvidos

10. Lançando dois dados, qual é a probabilidade de a soma das faces voltadas para cima ser igual a 7, sabendo que em um dos dados ocorreu o número 3?

Loiros (L)

Castanhos (C)

Total

Rapazes (R)

9

13

22

Moças (M)

7

21

28

Resolução:

Total

16

34

50

O número de elementos do espaço amostral é n(V) 5 6 ? 6 5 36.

Sorteando uma pessoa dessas ao acaso, considerando os dados do quadro, vamos calcular a probabilidade de a pessoa sorteada: 28 • ser uma moça: P(M) 5 50 34 • ter cabelos castanhos: P(C) 5 50 21 • ser uma moça e ter cabelos castanhos: P(M ì C) 5 50 • ser uma moça ou ter cabelos castanhos: P(M í C) 5 P(M) 1 P(C) 2 P(M ì C) 28 34 21 41 P(M í C) 5 1 2 5 50 50 50 50 Quando se quer que seja “uma moça e tenha cabelos castanhos”, não temos nenhuma informação sobre a pessoa sorteada. Porém, se fosse pedida a probabilidade de a pessoa sorteada ser uma moça, sabendo que ela possui cabelos castanhos, devemos notar que temos a informação sobre a cor dos cabelos e isso já restringe as possibilidades. Assim, a probabilidade de a pessoa sorteada ser uma moça sabendo que ela possui cabelos castanhos pode ser 21 escrita na forma P(M | C) 5 . 34 Qual é a probabilidade de a pessoa sorteada ser loira sabendo que é um rapaz? Novamente a informação sobre a pessoa sorteada ser um rapaz diminui as opções e, nesse caso, a probabilidade 9 pode ser escrita como P(L | R) 5 . 22 Observando os exemplos anteriores, temos: n(M ì C) P(M | C) 5 n(C)

n(L ì R) P(L | R) 5 n(R)

    Assim, é possível definir uma expressão para o cálculo da probabilidade condicional. Conforme vimos, a informação “sabendo que ocorreu B” restringe as opções do evento e do espaço amostral: P(A) 5

n(A) n(A ì B) o evento B ocorreu  → P(A | B) 5 ~ n(V ) n(V ì B) n(A ì B) ~ P(A | B) 5 n(B)

Dividindo numerador e denominador por n(V), obtemos a expressão para o cálculo da probabilidade condicional: P(A | B) 5

22

Exercícios

MATEMÁTICA

n(A ì B) : n(V) P(A ì B) ~ P(A | B) 5 n(B) : n(V) P(B) Capítulo 13

1

2

3

1

X

2

X

3

X

X

Y

4 5 6

X

O O

4

5

6 O

O Y

X

X

X X

O evento A, marcado no quadro com X – ser sorteado o número 3 no lançamento de um dado honesto: A 5 {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} ñ n(A) 5 11. O evento B, marcado no quadro com O – ocorrer soma 7 no lançamento de dois dados honestos: B 5 {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} ñ n(B) 5 6. Como A ì B 5 {(3, 4), (4, 3)}, temos que n(A ì B) 5 2; assim: P(B | A) 5

n(A ì B) 2 ~ P(B | A) 5 n(A) 11

11. Em uma sala de estudo, sorteando um estudante ao acaso, a probabilidade de ele ter estudado Matemática é de 70%, de ter estudado Física é de 50% e a probabilidade de ter estudado Física sabendo que estudou Matemática é de 60%. Qual é a probabilidade de ter estudado Física ou Matemática? Resolução: Do enunciado, podemos escrever que a probabilidade de ter estudado: • Matemática: P(M) 5 70%

• •

Física: P(F) 5 50%

Física sabendo que estudou Matemática: P(F | M) 5 5 60%

Usando P(F | M) 5

P(F ì M) , temos: P(M)

P(F ì M) P(F ì M) 5 60% ~ 5 60% ~ P(F ì M) 5 42% P(M) 70% Portanto, a probabilidade de o aluno sorteado ter estudado Física ou Matemática é: P(F í M) 5 P(F) 1 P(M) 2 P(F ì M)

P(F í M) 5 50% 1 70% 2 42% 5 78%

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 22

07/03/24 17:01

Eventos independentes Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de o outro ocorrer. P(A | B) 5 P(A)

P(B | A) 5 P(B)

Exemplo: Sorteando uma carta de um baralho de 52 cartas, calcule a probabilidade de: a) ser sorteada uma dama. C omo existem 4 damas no baralho, temos que 4 1 P(Dama) 5 5 . 52 13 b) ser sorteada uma carta de copas. C omo existem 13 cartas de copas, temos que 13 1 5 . P(Copas) 5 52 4 c) ser sorteada uma dama, sabendo que a carta é de copas. C omo só há uma dama de copas, temos que 1 P(Dama | Copas) 5 . 13 d) ser sorteada uma carta de copas, sabendo que a carta é uma dama. Como só há uma dama de copas entre as damas, temos 1 P(Copas | Dama) 5 . 4 Assim, notamos que os eventos “ser sorteada uma dama” e “ser sorteada uma carta de copas” são independentes.

Atenção Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, P(A | B) 5 0 e P(B | A) 5 0, pois a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de o outro ocorrer.

Produto de probabilidades A simultaneidade aparece em muitas aplicações, mas nem sempre é uma tarefa fácil perceber os conjuntos envolvidos ou a interseção entre eles. Para resolver esse tipo de problema, podemos usar a expressão da probabilidade condicional modificada:

Resolução:

Total de bolas: 5 1 4 1 3 5 12 a) Note a simultaneidade dos fatos que devem ocorrer: 1ª bola sorteada ser verde e 2ª bola ser roxa. A probabilidade P1 será: 5 3 5 P1 5 P(1a verde) ? P(2a roxa | 1a verde) ~ P1 5 ? 5 12 11 44 b) Há duas opções para a retirada pedida: a 1ª bola ser verde, e a 2ª bola, amarela, ou a 1ª bola ser amarela, e a 2ª, verde: 5 4 5 P(V ì A) 5 ? 5 12 11 33 5 4 5 P(A ì V) 5 ? 5 12 11 33 Como as probabilidades são iguais, basta calcular uma delas e multiplicar esse valor por 2. Assim, a probabilidade P2 de uma bola sorteada ser verde 5 10 e a outra amarela é P2 5 2 ? 5 . 33 33 c) Nesse caso, temos 3 opções: sortear 2 bolas verdes ou 2 bolas amarelas ou 2 bolas roxas. Esses eventos são mutuamente exclusivos; assim: 5 4 10 • 2 verdes ñ P(V) 5 ? 5 12 11 66 4 3 6 • 2 amarelas ñ P(A) 5 ? 5 12 11 66 3 2 3 • 2 roxas ñ P(R) 5 ? 5 12 11 66 A probabilidade P3 pedida é: 10 6 3 19 P3 5 1 1 5 66 66 66 66 13. Considere as duas urnas da figura. Uma delas será escolhida ao acaso e dela será sorteada uma bola.

P(A ì B) ⇒ P(A ì B) 5 P(B) ? P(A | B) P(B) A

Assim, para determinar a probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem ao mesmo tempo, dado por P(A ì B), devemos multiplicar a probabilidade de ocorrência de um deles, P(B), pela probabilidade de ocorrência do outro, sabendo que o primeiro já ocorreu, P(A | B). Para eventos independentes, utilizamos: P(A ì B) 5 P(A) ? P(B)

Exercícios

resolvidos

12. Retirando, sem reposição, duas bolas de mesmo tamanho e massa de uma urna com 5 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 3 bolas roxas, qual é a probabilidade de:

B

Qual é a probabilidade de ser sorteada uma: a) bola verde da urna A? b) bola verde? c) bola azul? Resolução: a) Novamente dois eventos devem ocorrer: urna A e bola verde. 1 A probabilidade de ocorrer a urna A é e a de 2 ser sorteada uma bola verde, sabendo que ela é da urna A é

3 ; assim: 5

P(V ì A) 5 P(A) ? P(V | A) 5

1 3 3 ? 5 2 5 10

FRENTE 1

P(A | B) 5

a) a 1ª bola sorteada ser verde e a 2ª ser roxa? b) uma bola sorteada ser verde e outra amarela? c) serem sorteadas bolas da mesma cor?

23 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 23

07/03/24 17:01

b) Podemos ter bola verde da urna A ou bola verde da urna B. Como não é possível uma bola estar nas duas urnas ao mesmo tempo, basta adicionar as probabilidades obtidas: 1 3 3 P(V ì A) 5 P(A) ? P(V | A) 5 ? 5 2 5 10 P(V ì B) 5 P(B) ? P(V | B) 5

1 2 1 ? 5 2 3 3

A probabilidade pedida é:

3 1 9 1 10 19 1 5 5 10 3 30 30 c) O evento “bola azul” é o complemento do evento “bola verde”; assim: 19 11 5 P(A) 1 P(V) 5 1 ~ P(A) 5 1 2 P(V) ~ P(A) 5 1 2 30 30 P(V) 5

Sendo X 5 (X ì A) í (X ì B) í (X ì C) í (X ì D) í (X ì E), temos: P(X) 5 P(A ì X) 1 P(B ì X) 1 P(C ì X) 1 P(D ì X) 1 P(E ì X)

Exercício

resolvido

14. Um piloto profissional de corrida tem 55% de probabilidade de vencer determinada prova quando chove. No caso de não chover durante a prova, sua probabilidade de vitória passa a ser de 30%. Monitorando o serviço de meteorologia, sua equipe estima em 40% a probabilidade de chuva durante o evento. Qual é a probabilidade de o piloto vencer a corrida? Resolução:

“Invertendo” a probabilidade condicional De modo geral, é fácil calcular P(A | B), mas não é tão fácil assim calcular e compreender P(B | A). Lembrando que a interseção é comutativa e utilizando o produto de probabilidades, temos: P(A ì B) 5 P(B ì A) ~ P(B) ? P(A | B) 5 P(A) ? P(B | A) Considerando as probabilidades do exercício resolvido 13, temos: 1 • de ser escolhida a urna A: P(A) 5 ; 2 19 • de a bola sorteada ser verde: P(V) 5 ; 30 • de a bola sorteada ser verde, sabendo que é da urna A: 3 P(V | A) 5 . 5 Vamos calcular a probabilidade de a bola sorteada ter sido retirada da urna A, sabendo que ela é verde. P(V) ? P(A | V) 5 P(A) ? P(V | A) 19 ? P(A | V) 5 30 19 ? P(A | V) 5 30

1 3 ? 2 5 3 10 9 P(A | V) 5 19 O complemento dessa probabilidade é P(B | V) 5 9 19 2 9 10 5 5 P(B | V) 5 1 2 , ou seja, a probabilidade maior 19 19 19 é de a bola ter saído da urna B.

Probabilidade total Dividindo o espaço amostral em vários eventos mutuamente exclusivos, podemos calcular a probabilidade de um evento somando todas as suas possibilidades. A

B

24

MATEMÁTICA

E

C

X

Capítulo 13

V

D

O piloto pode vencer (V) a prova com chuva (C) ou sem chuva (C):

• •

P(V) 5 P(V ì C) 1 P(V ì C)

Probabilidade de chover: P(C) 5 40%.

Probabilidade de não chover: P(C) 5 100% – 40% 5 5 60%.

Assim:

P(V ì C) 5 P(C) ? P(V | C) ~ P(V ì C ) 5 40% ? 55% 5 22%  P(V ì C) 5 P(C) ? P(V | C) ~ P(V ì C) 5 60% ? 30% 5 18%

Portanto, a probabilidade de o piloto vencer a prova é: P(V) 5 P(V ì C) 1 P(V ì C) 5 22% 1 18% 5 40%

Espaço amostral não equiprovável Um espaço amostral é dito não equiprovável quando, dos eventos que o compõem, ao menos um elemento não tem a mesma probabilidade de ocorrência dos outros. n(A) Nessa circunstância, não podemos utilizar no n(V ) cálculo da probabilidade. Considerando, por exemplo, o lançamento de uma moeda e a observação da face voltada para cima, notou-se que o número de caras ocorre 3 vezes mais que o número de coroas. Lançando essa mesma moeda duas vezes, qual é a probabilidade de as duas faces voltadas para cima serem caras? Chamando de C o evento “cara voltada para cima” e de K o “coroa voltada para cima” e sendo x a probabilidade P(C) 5 3x de ocorrência de coroa, temos:  P(K) 5 x Como esses eventos são complementares, podemos afirmar que: 1 P(C) 1 P(K) 5 1 ~ 3x 1 x 5 1 ~ 4x 5 1 ~ x 5 4 3 Assim, a probabilidade de ocorrer uma cara é P(C) 5 ; 4 logo, a probabilidade de ocorrência de duas caras é igual 3 3 9 ? 5 . a 4 4 16

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 24

07/03/24 17:01

zizou7/Shutterstock.com

Sabemos que os estudos sobre probabilidades têm aplicações em diversas áreas, como em jogos de azar, previsão do tempo, Economia e Biologia. Na Física, por exemplo, a probabilidade é utilizada na descrição do movimento de elétrons.  Nas primeiras décadas do século XX, o modelo de Rutherford-Bohr era o padrão vigente na compreensão do movimento dos elétrons ao redor do núcleo de um átomo. Nesse modelo, entende-se que um átomo é formado por um núcleo, composto de nêutrons e prótons, e ao redor desse núcleo há “camadas” nas quais estão contidas as órbitas dos elétrons. Os elétrons podem se mover entre as camadas, mas não podem assumir órbitas que não sejam as limitadas por elas.

A distribuição binomial é utilizada para o cálculo da probabilidade de um evento ocorrer certo número de vezes. Utiliza-se também a expressão “ocorrer certo número de sucessos ou fracassos”. Assim, se a probabilidade de um semáforo estar com a 2 luz verde acesa é de , qual é a probabilidade de 4 semá5 foros estarem verdes em um total de 6 observados? Temos: 2 • Estar com a luz verde acesa: P(V) 5 ; 5 3 2 • Não estar com a luz verde acesa: P ( V ) 5 1 2 5 . 5 5 Alguns resultados possíveis são: V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V; ... Existem 6 “posições” a serem verificadas: 4 delas devem ser “sucesso” (luz verde) e 2 delas devem ser “fra 6 casso” (não luz verde), ou seja, são C6, 4 5   resultados  4 possíveis. Considerando as probabilidades de sucesso ou fracasso, a probabilidade P pedida será: 4

magnetix/Shutterstock.com

Já no modelo atual, influenciado pelas descobertas sobre Física Quântica, em especial a dualidade onda-partícula do elétron e o princípio da incerteza, entende-se que os elétrons não podem ter uma posição determinada em uma órbita. Em vez disso, eles existem em uma região probabilística, como ilustrado na figura a seguir, na qual é possível calcular a probabilidade de interagir com um elétron em determinado ponto. 

 3  6 2 2 2 2 3 3  6  2  P5   ? ? ? ? ? ? 5   ?   ?    4 5 5 5 5 5 5  4  5   5 9 432 16 ? 5 5 0,13824 5 13,824% P 5 15 ? 625 25 3 125

É possível escrever uma expressão que pode ser utilizada na resolução de muitos exercícios. Considerando que o experimento ocorra n vezes, com k sucessos, com uma probabilidade de sucesso igual a p e de fracasso igual a 1 2 p, temos:  n P 5   ? pk ? (1 2 p)n 2 k  k

Essa fórmula é similar à do termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.

Exercício

Distribuição binomial Esse método é a fronteira entre a probabilidade estudada no Ensino Médio e as distribuições de probabilidades estudadas no Ensino Superior. Em determinadas situações, é possível a utilização de outras ferramentas apresentadas anteriormente, porém a técnica da distribuição binomial é muito útil quando aplicada em experimentos aleatórios que podem ocorrer sucessivas vezes com apenas dois resultados possíveis: ocorrer ou não ocorrer determinada propriedade. Exemplos: a) Lançar um dado 10 vezes e verificar a face voltada para cima: A: ocorrer a face com o número 2; A: não ocorrer a face com o número 2. b) Observar o comportamento de 6 semáforos de uma avenida, verificando: B: a ocorrência de luz verde; B: a não ocorrência de luz verde.

2

resolvido

15. Um dado é lançado 10 vezes. Considerando a face voltada para cima, qual é a probabilidade de a face 2 ocorrer exatamente 3 vezes? Resolução:

Sendo n(V) 5 6, temos: • Sucesso: ocorrer a face 2. A probabilidade é 1 p5 ; 6 • Fracasso: não ocorrer a face 2: A probabilidade é 1 5 12p512 5 . 6 6 Para que ocorram 3 sucessos em 10 lançamentos, a probabilidade P é: 3 7  10  1   5  78 125 1 ? à 0,155 P 5   ?   ?   5 120 ?     6 216 279 936  3 6 Portanto, a probabilidade de a face 2 ocorrer em 3 dos 10 lançamentos é de, aproximadamente, 15,5%.

FRENTE 1

Estabelecendo relações

25 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 25

07/03/24 17:01

Revisando 1. UFJF-MG 2022 Muitos jogos utilizam dados com 6 faces para determinar a movimentação da peça de cada participante no tabuleiro. Em certo jogo, os participantes utilizam dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, para determinar as suas respectivas movimentações. Qual é a probabilidade de se obter 7 como soma dos resultados do lançamento simultâneo desses dois dados?

6. Uma turma de laboratório de informática de uma disciplina foi dividida em dois grupos. Em um dos grupos, surgiu uma vaga e, para preenchê-la, será escolhido um dos alunos: Jairo, Alex e Rodrigo. Se a probabilidade de Jairo ser 7 1 o escolhido for de e a de Alex ser escolhido for de , 12 6 qual é a probabilidade de Rodrigo ser o escolhido?

2. Rodrigo faz parte de uma turma de 20 estudantes. Três deles serão sorteados para uma apresentação. Qual é a probabilidade de Rodrigo ser sorteado?

7. Em uma urna há 7 bolas vermelhas e 3 brancas, todas de mesmo tamanho e massa. Sorteando cinco bolas sem reposição, qual é a probabilidade de serem sorteadas 3 bolas vermelhas e duas brancas?

3. Sorteando uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? 4. Mário e Nelson estão em uma competição de tiro ao alvo. Cada um tem direito a apenas um tiro. A probabilidade de Mário acertar é de 80% e de Nelson acertar é de 75%. Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido? 5. Em uma urna há 6 bolas pretas e 4 brancas. Sorteando duas bolas sem reposição, qual é a probabilidade de sair uma bola de cada cor?

8. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de o bilhete sorteado ser um número maior que 60 e número primo? 9. Maria vai prestar vestibular em três faculdades diferentes. A probabilidade de passar no 1º vestibular é de 50%, no 2º é de 40% e no 3º é de 60%. Qual é a probabilidade de ser aprovada em alguma prova? 10. Lançando um dado honesto 6 vezes, qual é a probabilidade de o número 1 ser sorteado apenas uma vez?

Exercícios propostos 1. Enem 2015 Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 1 19 20 21 80 a)    b)    c)    d)    e)  100 100 100 100 100 2. UEG-GO 2019 Em um programa de televisão, será sorteado um dos participantes para executar determinada tarefa. Sabe-se que, entre os participantes, 4 são homens, 6 são mulheres e uma mulher recebeu imunidade e não poderá participar do sorteio. Colocando-se os nomes dos participantes que serão sorteados em uma urna e retirando-se um deles ao acaso, a probabilidade de que seja uma mulher é de 3 1 1 1 5 a)    b)    c)    d)    e)  5 2 5 9 9 3. UFRR 2024 Um dado honesto, com 6 faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima, números que somados resultam um número ímpar menor do que 7? 1 2 1 a)  . . . c)  e)  6 3 4 b) 

1 . 9

d) 

1 . 12

4. Lançando 3 dados, qual é a probabilidade de não ocorrerem três números iguais?

26

MATEMÁTICA

Capítulo 13

5. Famerp-SP 2019 Os dados honestos P e Q possuem seis e oito faces, respectivamente. As faces de P estão numeradas com 22, 21, 0, 1, 2 e 3. As faces de Q estão numeradas com 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2 e 3. Lançando-se P e Q simultânea e aleatoriamente, a probabilidade de que a soma dos números obtidos seja maior que 21 é de a) 68,75%. d) 58,50%. b) 62,50%. e) 60,25%. c) 56,25%. 6. Unesp 2022 Analise a tabela, que indica os resultados de um estudo para avaliação da relação entre o peso e a pressão arterial de um grupo de indivíduos. Pressão arterial

Peso deficiente

Peso normal

Peso em excesso

Normal

20%

45%

15%

Elevada

1%

9%

10%

Renato fez parte desse estudo e sabe que está com excesso de peso. Ao ver a tabela com o resultado do estudo, calculou corretamente que a probabilidade da aferição da sua pressão arterial ter indicado valores elevados é de a) 12%. b) 4%. c) 50%. d) 40%. e) 10%.

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 26

07/03/24 17:01

Nome

Idade (em ano)

Orlando

89

Gustavo

86

Luana

86

Teresa

85

Márcia

84

Roberto

82

Heloísa

75

Marisa

75

Pedro

75

João

75

Antônio

72

Fernanda

70

Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a 1 5 a)  d)  12 6 7 1 b)  e)  12 4 1 c)  8

Temperaturas mínimas e máximas 29

35 35 32 32 32 32 31 30 30 33 33

20 20 19 17 19 18 17 16 18 18 15 15 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Dias do mês Temperatura Mínima

Temperatura Máxima

a) Considerando registros históricos, a temperatura máxima média para o mês de dezembro nesta cidade é de 27 graus. A temperatura máxima média prevista no período apresentado no gráfico é maior ou menor do que a média histórica? Justifique. b) Uma pessoa vai se mudar para esta cidade no período indicado no gráfico. Ela poderá escolher qualquer dia para fazer a sua mudança. Qual a probabilidade de que ela escolha se mudar em um dia em que a temperatura mínima prevista seja maior do que 17 graus? Justifique. 10. FMJ-SP 2022 O uniforme de um time é formado por 6 camisas, cada camisa com uma cor diferente, escolhidas entre vermelha, azul, verde, amarela, preta e branca. Nessas camisas serão impressos os números de 1 a 6, com a condição de que uma camisa de número par não seja nem azul, nem verde. Nessas condições, o número de diferentes jogos de camisas que poderão ser confeccionados é a) 196. b) 96. c) 120. d) 204. e) 144. 11. UFU-MG 2018 As irmãs Ana e Beatriz e seus respectivos namorados vão sentar-se em um banco de jardim (figura) de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada.

A probabilidade de as irmãs sentarem-se uma ao lado da outra é igual a a) 0,25. c) 0,45. b) 0,33. d) 0,50.

FRENTE 1

8. Enem 2020 O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.

9. Unicamp-SP 2024 O gráfico a seguir exibe as temperaturas mínimas e máximas previstas para o período entre os dias 16 e 28 do mês de dezembro de 2023 numa determinada cidade.

Temperaturas

7. Enem 2023 No alojamento de uma universidade, há alguns quartos com o padrão superior ao dos demais. Um desses quartos ficou disponível, e muitos estudantes se candidataram para morar no local. Para escolher quem ficará com o quarto, um sorteio será realizado. Para esse sorteio, cartões individuais com os nomes de todos os estudantes inscritos serão depositados em uma urna, sendo que, para cada estudante de primeiro ano, será depositado um único cartão com seu nome; para cada estudante de segundo ano, dois cartões com seu nome; e, para cada estudante de terceiro ano, três cartões com seu nome. Foram inscritos 200 estudantes de primeiro ano, 150 de segundo ano e 100 de terceiro ano. Todos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sorteados. Qual a probabilidade de o vencedor do sorteio ser um estudante de terceiro ano? 1 2 a) . . d) 2 9 1 3 b) . . e) 3 8 1 c) . 8

27 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 27

07/03/24 17:01

12. Uerj 2024 Quatro pessoas decidem sortear entre elas dois presentes iguais, a partir da seguinte sequência de critérios: I. cada uma escolhe um número do conjunto {1, 2, 3, 4, 5} sem o revelar; II. escrevem, secretamente, esse número em um cartão; III. apresentam o cartão para que todas vejam seus números. Se apenas duas pessoas escolherem o mesmo número, cada uma fica com um presente; caso contrário, repete-se o sorteio. Calcule a probabilidade de duas pessoas ganharem os presentes no primeiro sorteio. 13. ESPM-SP 2019 Uma urna contém 5 bolas idênticas numeradas de 1 a 5. Quatro bolas serão retiradas uma a uma, aleatoriamente, dessa urna e enfileiradas em uma canaleta da esquerda para a direita, na ordem de retirada, formando um número de 4 algarismos. A probabilidade de o algarismo das unidades ser o maior de todos os algarismos desse número é igual a: 1 1 a)  d)  6 4 b) 

2 3

c) 

1 2

e) 

1 3

14. UFJF/Pism-MG 2019 Em um hospital trabalham 12 médicos, dos quais 5 são cardiologistas. Um paciente apareceu com uma doença cardíaca rara. A direção do hospital resolveu montar um grupo de estudos composto por médicos para analisar o caso. a) Quantos grupos de estudos distintos com 3 médicos é possível montar para realizar o estudo? b) Quantos grupos de estudos distintos com 3 médicos têm pelo menos um cardiologista? c) Um grupo de estudos com 3 médicos será formado aleatoriamente para o estudo. Qual é a probabilidade de que tenha pelo menos um cardiologista em sua composição? 15. Unioeste-PR 2019 Uma empresa possui 10 diretores, dos quais, 3 são suspeitos de corrupção. Foi resolvido se fazer uma investigação composta por uma comissão de 5 diretores da empresa. A única condição imposta é que a comissão de investigação selecionada tenha a maioria de diretores não suspeitos. Selecionada, ao acaso, uma comissão para apuração das suspeitas formada por diretores desta empresa, é CORRETO afirmar que a probabilidade de que esta comissão atenda à condição imposta está no intervalo: a) (0,01; 0,50) b) (0,50; 0,70) c) (0,70; 0,80) d) (0,80; 0,90) e) (0,90; 0,99)

28

MATEMÁTICA

Capítulo 13

16. FICSAE-SP 2016 Em uma urna vazia foram colocadas fichas iguais, em cada uma das quais foi escrito apenas um dos anagramas da palavra HOSPITAL. A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes é a) 

5 14

c) 

4 7

b) 

3 7

d) 

9 14

17. PUC-Rio 2022 Em uma urna há 8 bolas, sendo 4 brancas e 4 pretas. Esmeralda retira dessa urna 4 bolas, simultaneamente, sem olhar a cor das bolas. Qual é a probabilidade de que as quatro bolas sejam pretas? a) 

1 1 1 1    b)     c)     d)  2 4 8 70

18. Unifesp 2018 Em uma classe de 16 alunos, todos são fluentes em português. Com relação à fluência em línguas estrangeiras, 2 são fluentes em francês e inglês, 6 são fluentes apenas em inglês e 3 são fluentes apenas em francês. a) Dessa classe, quantos grupos compostos por 2 alunos podem ser formados sem alunos fluentes em francês? b) Sorteando ao acaso 2 alunos dessa classe, qual é a probabilidade de que ao menos um deles seja fluente em inglês? 19. Unicamp-SP 2021 Um número natural é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 100, e depois dividido por 3. A probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é de 31 17 . c)  . a)  100 50 b) 

33 . 100

d) 

19 . 50

20. Mackenzie-SP 2016 Antônio, José, Pedro, Maria e Renata foram comemorar o aniversário de Antônio em uma churrascaria da cidade. O garçom que os recebeu acomodou-os prontamente em uma mesa redonda para 5 pessoas e assim que todos se sentaram Antônio percebeu que, sem querer, haviam sentado em volta da mesa por ordem de idade, isto é, a partir do segundo mais novo até o mais velho, cada um tinha como vizinho do mesmo lado, o colega imediatamente mais novo. A probabilidade de isso ocorrer se os cinco amigos sentassem aleatoriamente é 1 1 d)  a)  2 12 1 1 b)  e)  4 24 1 c)  6

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 28

07/03/24 17:01

21. Unesp 2019 Dois números reais de 0 a 4, e que podem ser iguais, serão sorteados ao acaso. Denotando-se esses números por x e y, a probabilidade de que eles sejam tais que x 2 1 y 2 , 1 é igual a p p 1 c)  e)  a)  20 8 20 p p b)  d)  64 16

23. UFJF-MG 2024 Alexandre está tentando sacar dinheiro no caixa eletrônico e, após digitar a senha de quatro dígitos errada por duas vezes, apareceu um alerta de que ele só tinha direito a mais uma tentativa antes do bloqueio de seu cartão de saque. Depois desse alerta, Alexandre se lembrou dos dois primeiros dígitos e que os dois últimos eram ímpares, fatos que não usou nas tentativas anteriores. a) Quantas são as possíveis senhas com as características lembradas por Alexandre após o alerta? b) Qual é a probabilidade de Alexandre digitar a senha CORRETA e não ter seu cartão bloqueado? 24. UFVJM-MG 2022 Pedro e Paula participam de um grupo de dez voluntários, dentre os quais três serão sorteados para participarem de um teste com uma nova vacina. A probabilidade de pelo menos um dos dois ser sorteado é de: 4 a) 15 b)

7 15

c)

8 15

d)

11 15

25. Unicamp-SP 2019 A figura a seguir representa um dado na forma de um tetraedro regular com os vértices numerados de 1 a 4. Em um lançamento desse dado, deve ser observado o número estampado no vértice superior.

a) Considere a soma dos números obtidos em dois lançamentos de um dado tetraédrico. Determine de quantas maneiras essa soma pode resultar em um número primo. b) Seja pn a probabilidade de se observar o número n no lançamento de um dado tetraédrico tendencioso para o qual p1 5 2p2 5 3p3 5 4p4. Calcule essas quatro probabilidades. 26. FGV-SP 2022 Em um trecho retilíneo de uma rua há 14 vagas, lado a lado, demarcadas para o estacionamento de carros. Os carros entram e saem aleatoriamente dessas vagas e em um dado momento havia 9 carros estacionados. A probabilidade, nesse momento, de não haver vagas vazias lado a lado é de 1 9 a) d) 24 125 b)

5 24

c)

3 40

e)

18 143

27. Dois dados de 6 faces são lançados. Qual é a probabilidade de: a) a soma ser 6 ou 8? b) ocorrerem números iguais ou da soma ser 10? c) ocorrerem números diferentes e da soma ser 6? 28. Unitins-TO 2023 Numa Unidade de Pronto Atendimento (UPA), foram realizadas pesquisas com um grupo de 400 pessoas ao longo de uma semana. Das pessoas entrevistadas: 160 já tiveram dengue; 50, chikungunya; 10 já tiveram dengue e chikungunya; e 200 não tiveram dengue nem chikungunya. A probabilidade de escolher uma pessoa aleatória desse grupo que já teve dengue, dado que foi escolhida uma pessoa que já teve chikungunya, é 1 3 . . d) a) 4 8 2 16 b) . e) . 5 35 1 c) . 5 29. A e B são eventos mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrer o evento A é 20% e a de ocorrer A ou B é 50%. Qual é a probabilidade de ocorrer B?

FRENTE 1

22. Fuvest-SP 2018 Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela. II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa 1 a ser . 2 III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca 1 passa a ser . 2 A quantidade de bolas brancas na urna é a) 8. c) 12. e) 16. b) 10. d) 14.

29 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 29

07/03/24 17:01

30. UPE/SSA 2016 Se dois dados idênticos e não viciados são lançados, a probabilidade de a soma dos pontos obtidos ser um múltiplo de 2 ou um múltiplo de 3 é de aproximadamente d) 35,3% a) 66,6% e) 33,0% b) 60,0% c) 55,2% 31. Uerj 2018 Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é: 3 1 a)  c)  5 5 2 1 b)  d)  3 2 32. Efomm-RJ 2016 Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b OU que a, b, e c sejam primos? 4 216 27 b)  216 a) 

108 216 31 d)  216 c) 

e) 

10 216

33. Unesp 2022 Em uma sala de aula com meninos e meninas, ninguém ambidestro, um quarto dos meninos são canhotos e as meninas canhotas são um quarto do total de estudantes canhotos da sala. O número de meninos destros na sala é igual a três décimos do total de estudantes da sala. Sorteando-se ao acaso um estudante dessa sala, a probabilidade de que seja uma aluna canhota é igual a: a) 

3 1 1 1 2   b)    c)    d)    e)  5 30 15 10 15

34. UEPG-PR 2019 Foram entrevistadas 726 pessoas, perguntando em quais bancos: A, B ou C realizariam investimentos financeiros. Das pessoas entrevistadas, 25 disseram que realizariam investimentos nos três bancos; 240 realizariam investimentos no banco B; 70 realizariam investimentos nos bancos B e C; 60 realizariam investimentos nos bancos A e C; 215 realizariam investimentos no banco A; 55 realizariam investimentos nos bancos A e B e 355 realizariam investimentos no banco C. A partir do exposto, assinale o que for correto. 01 A probabilidade de investimento no banco A ou C é menor do que 75%. 02 A probabilidade de não investirem em nenhum dos bancos é maior do que 10%. 04 A probabilidade de investimento apenas no banco C é maior do que 40%.

30

MATEMÁTICA

Capítulo 13

08 A probabilidade de investimento no banco B e C é menor do que 7%. 16 A probabilidade de investimento no banco A ou B é menor do que 50%. Soma: 35. Fuvest-SP Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? 4 27 11 b)  54

a) 

7 27 10 d)  27

c) 

e) 

23 54

36. Um dado honesto é lançado. Se o número observado for menor do que 4, qual é a probabilidade de ele ser ímpar? 37. EsPCEx-SP 2021 Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par? 1 1 1 a)  c)  e)  18 12 6 1 1 b)  d)  3 2 38. Sorteia-se um elemento do conjunto S 5 {1, 2, 3, 4, ..., 100}. Se o elemento é um número par, qual é a probabilidade de ser um número divisível por 7? 39. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos olhos e dos cabelos, segundo o quadro a seguir. Loira

Morena

Ruiva

Azuis

17

4

3

Castanhos

9

14

3

Escolhendo uma moça aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela: a) ser morena? b) ter olhos azuis? c) ser morena de olhos azuis? d) ter olhos castanhos, sabendo que é loira? e) ser morena, se tem olhos azuis? 40. FICSAE-SP 2021 Em um kit com 10 testes rápidos de gravidez, dois estão com defeito de fabricação. Se os dez testes forem alinhados aleatoriamente, a probabilidade de que os dois com defeito fiquem lado a lado no alinhamento é de: a) 18% d) 15% b) 20% e) 12% c) 16%

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 30

07/03/24 17:01

42. Unesp 2021 Um estudo para determinar a probabilidade da efetividade de um novo exame para obtenção do diagnóstico de uma doença baseou-se nos resultados obtidos em um grupo constituído de 1 620 pessoas. A tabela mostra os resultados desse estudo. Possui a doença?

Resultado do Exame

SIM

NÃO

Positivo

204

612

Negativo

36

768

A análise dos resultados mostra que, apesar de a probabilidade de o teste detectar a doença em quem a possui ser de __________, a probabilidade de uma pessoa desse grupo que obtém um resultado positivo não ter a doença, ou seja, um falso positivo, é de __________, indicando que esse novo exame precisa ser aprimorado. Os percentuais que completam, respectivamente, a frase são: d) 85%; 44%. a) 85%; 38%. e) 85%; 75%. b) 50%; 38%. c) 50%; 75%. 43. Unesp 2018 Dois dados convencionais e honestos foram lançados ao acaso. Sabendo-se que saiu o número 6 em pelo menos um deles, a probabilidade de que tenha saído o número 1 no outro é igual a 2 1 1 2 8 a)    b)    c)    d)    e)  11 18 6 9 11 44. Famerp-SP 2022 Um grupo de 50 pessoas foi questionado sobre a prática regular de exercícios aeróbicos e anaeróbicos. Os resultados da pesquisa estão indicados na tabela. Exercício praticado regularmente

Total de pessoas

Aeróbico

37

Anaeróbico

29

Nenhum

6

Sorteando-se ao acaso uma dessas pessoas, a probabilidade de que ela pratique regularmente ambas as formas de exercícios avaliadas no estudo é de a) 44%. c) 60%. e) 10%. b) 2%. d) 22%. 45. PUC-Campinas 2022 Em uma escola, 60% dos estudantes são moças e 15% são rapazes esportistas. Se um estudante escolhido ao acaso dessa escola é um rapaz, a probabilidade de ele não ser um esportista é: a) 0,375 c) 0,250 e) 0,550 b) 0,625 d) 0,400

46. Enem 2019 Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas. Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta? a)  0,0500 c)  0,1125 e)  0,5000 b)  0,1000 d)  0,3125 47. Unesp 2023 Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 100. Considere os seguintes eventos associados à retirada aleatória de uma bola dessa urna: E1: sair um número de 2 algarismos; E2: sair um número cuja soma de seus algarismos seja igual a 3; E3: sair um número estritamente maior que k (sendo k um inteiro de 1 até 100). Sendo P(E2) < P(E3) , P(E1) a ordenação das probabilidades associadas a cada um dos três eventos, a quantidade de possibilidades distintas para k é igual a a) 87. b) 86. c) 88. d) 90. e) 89. 48. Famema-SP 2020 Uma confecção de roupas produziu um lote com um total de 150 camisetas, distribuídas entre os tamanhos P e M, sendo 59 lisas e as demais estampadas. Nesse lote, havia 100 camisetas tamanho P, das quais 67 eram estampadas. Retirando-se, ao acaso, uma camiseta desse lote e sabendo que seu tamanho é M, a probabilidade de que seja uma peça estampada é igual a d)  60% a)  36% e)  72% b)  24% c)  48% 49. UFMS 2020 Em uma pequena propriedade rural da cidade de Aquidauana, há três raças de gado de corte: Nelore, Girolando e Pantaneira. O rebanho é composto por 40 cabeças, sendo 25 cabeças da raça Nelore, 10 da raça Girolando e 5 da raça Pantaneira. Para uma exposição agropecuária, serão enviadas 3 cabeças. Escolhendo ao acaso, qual a probabilidade de as três cabeças escolhidas para a exposição serem da raça Girolando? 203 1 3 . a)  . c)  e)  . 494 4 247 3 1 . . b)  d)  40 998

FRENTE 1

41. Uma comissão de 3 pessoas é formada ao acaso entre um grupo de 10 pessoas, entre elas André e Beatriz. Se André não pertence à comissão, qual é a probabilidade de Beatriz pertencer?

31 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 31

07/03/24 17:01

50. Enem 2023 Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o a) tipo I, pois p1 < p2 < p3. b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.  c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras. d) tipo III, pois p3 < p2 < p1. e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres. 51. Em uma urna, há 7 bolas vermelhas, 5 brancas e 3 pretas. Retirando duas bolas ao acaso, sem reposição, qual é a probabilidade de: a) a 1ª ser vermelha? b) a 1ª ser vermelha e a 2ª branca? c) sair uma vermelha e outra branca? d) não sair nenhuma preta? e) a 2ª ser vermelha? 52. A probabilidade de André convidar Maria para um jan1 2 tar é . A probabilidade de que Bruno a convide é 4 5 1 e a de Carlos é . Qual é a probabilidade de o convite 2 para um jantar ser feito: a) pelos três? b) por nenhum deles? c) por pelo menos um deles? 53. Unesp 2021 Para a identificação do câncer de próstata utiliza-se, além do exame digital, o exame de sangue PSA (antígeno prostático específico), que é um procedimento básico para início do rastreamento. No entanto, o PSA é um biomarcador imperfeito, pois pode levar a falsos diagnósticos e excesso de tratamento cirúrgico. Um grupo de pesquisadores obteve, para uma determinada população, que a probabilidade de um resultado do exame PSA ser verdadeiro, ou seja, indicar

32

MATEMÁTICA

Capítulo 13

positivo para quem tem a doença ou negativo para quem não tem a doença, é de 60%. Ao analisar o resultado de dois testes desse grupo, a probabilidade de que pelo menos um seja falso é de a)  64%. b)  16%. c)  40%. d)  48%. e)  24%. 54. Um dado é lançado 4 vezes. Qual é a probabilidade de observarmos o número 3: a) quatro vezes? b) apenas nos dois primeiros lançamentos? c) em dois lançamentos? 55. As probabilidades de Marcelo e de Antônio visitarem Artur no próximo domingo são, respectivamente, 70% e 60%. Sabendo que esses são eventos independentes, qual é a probabilidade de Artur receber visita no domingo? 56. Unioeste-PR 2023 José inventou um jogo cujas cartelas possuem 9 casas. Cada casa possui um número de 1 a 12 e uma figura geométrica associada à casa. As figuras geométricas são: quadrado, triângulo, círculo e hexágono. Abaixo dois modelos de cartelas. O sorteio é realizado em duas etapas. Na primeira etapa são sorteados 9 números e as cartelas que marcarem os 9 números estarão classificadas para a segunda etapa. Na segunda etapa são sorteadas as figuras geométricas associadas a cada casa (independentemente do número que consta na casa). A cartela vencedora é a que passou para a segunda etapa e possui as figuras geométricas sorteadas para cada uma das 9 casas da cartela. Assim, é CORRETO afirmar que a probabilidade de uma cartela ser premiada é de 1

2

3

1

2

4

4

6

7

6

7

8

9

11

12

9

10

12

a)

49 . 1 320

b)

9 1 ? . 12 49

c)

1 1 ? 9. 1 320 4

d)

49 . 220

e)

1 1 ? . 220 49

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 32

07/03/24 17:01

a) 

3 3 17 7    b)     c)     d)  20 10 20 10

58. UFT-TO 2023 Suponha que você sabe resolver cinco das oito questões que compõem a prova de Matemática e suas Tecnologias deste vestibular, e que as respostas destas cinco questões serão marcadas corretamente na folha de respostas. Sabendo-se que são quatro alternativas para cada questão, qual é a probabilidade de você acertar todas as questões de Matemática e suas Tecnologias se as respostas das três questões restantes serão escolhidas aleatoriamente? 1 1 3 3 a)  .   b)  .   c)  .   d)  . 4 64 16 64 59. Fuvest-SP 2020 Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.

E F

0,1

0,2 A

0,6

B

0,3 D

62. PUC-Rio 2017 Ao lançar um dado 3 vezes sucessivas, qual é a probabilidade de obter ao menos um número ímpar? 3 1 7 a)  c)  e)  8 8 8 1 5 b)  d)  4 8 63. Unicamp-SP 2020 Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de

G 0,7

0,9

0,8

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A aFé d) 0,336. a) 0,120. e) 0,384. b) 0,216. c) 0,264. 60. Famema-SP 2017 Um professor colocou em uma pasta 36 trabalhos de alunos, sendo 21 deles de alunos do 1º ano e os demais de alunos do 2º ano. Retirando-se aleatoriamente 2 trabalhos dessa pasta, um após o outro, a probabilidade de os dois serem de alunos de um mesmo ano é 1 1 1 a)  . c)  . e)  . 6 2 4 1 1 b)  . d)  . 3 5

2 independentemente do 3

resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a 2 4 16 20 a)  .    b)  .    c)  .    d)  . 3 9 81 27 64. Fuvest-SP 2019 Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

25 24 23 22 21

0,4 C

61. Unicamp-SP 2018 Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a 1 3 5 2 a)  .    b)  .    c)  .    d)  . 2 5 9 3

0 11 12 13 14 15

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial? 125 1 1 a)  c)  e)  243 9 3 17 51 b)  d)  81 125 65. Enem 2019 O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um 1 motorista perceber uma placa de anúncio é . Com 2 isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das 99 placas instaladas fosse superior a . 100 A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é a) 99. c) 50. e) 1. b) 51. d) 6.

FRENTE 1

57. Unicamp-SP 2019 O sistema de segurança de um aeroporto consiste de duas inspeções. Na primeira delas, a probabilidade de um passageiro ser inspecio3 nado é de . Na segunda, a probabilidade se reduz 5 1 para . A probabilidade de um passageiro ser inspe4 cionado pelo menos uma vez é igual a:

33 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 33

07/03/24 17:01

66. Enem 2017 Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região. Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? a) 0,075 c) 0,325 e) 0,800 b) 0,150 d) 0,600 67. Enem 2021 O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada 1 lançamento, de probabilidade de acertar um dardo 2 no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador 9 pontuar em uma rodada seja igual ou superior a . 10 Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada. Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é d) 9. a) 2. e) 10. b) 4. c) 6. 68. Mackenzie-SP 2017 João guardou as duas chaves de sua casa em uma caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no dia seguinte, foi pegar as chaves de casa na caixa em que as havia guardado e percebeu que a caixa continha 5 chaves e não apenas as duas que eram suas. Como não conseguia distinguir as suas chaves e já estava atrasado para um compromisso, João resolveu sortear 3 das 5 chaves e levá-las consigo. Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é a) 0,5 c) 0,9 e) 0,4 b) 0,7 d) 0,6 69. Unesp 2017 Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um par de dados convencionais e não viciados. Se o jogador obtém números diferentes nos dados, ele avança um total de casas igual à soma dos pontos obtidos nos dados, encerrando-se a jogada. Por outro lado, se o jogador obtém números iguais nos dados, ele lança novamente o par de dados e avança seu peão pela soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos, encerrando-se a jogada. A figura a seguir indica a posição do peão no tabuleiro desse jogo antes do início de uma jogada.

34

MATEMÁTICA

Capítulo 13

Iniciada a jogada, a probabilidade de que o peão encerre a jogada na casa indicada na figura com a bomba é igual a 37 23 23 a)  . c)  . e)  . 324 216 144 49 23 b)  . d)  . 432 135 70. Unaerp-SP 2021 Carlos pratica a modalidade esportiva tiro com arco, mais conhecida como arco e flecha, que consiste em atirar flechas com um arco, a uma distância pré-estabelecida, em um alvo, de formato circular, com pontuação máxima no seu centro. Para controlar seu treinamento, ele anota os resultados de todos os seus tiros, o que lhe permitiu construir a seguinte tabela de probabilidades, referente à pontuação obtida em um tiro. Pontuação

Probabilidade

6 pontos

7 100

7 pontos

3 25

8 pontos

1 4

9 pontos

2 5

10 pontos

4 25

Qual é a probabilidade de Carlos obter 18 pontos com apenas dois tiros? 1 1 2 4 6 a)    b)    c)    d)    e)  5 25 25 25 25 71. EsPCEx-SP 2020 Numa sala existem duas caixas com bolas amarelas e verdes. Na caixa 1, há 3 bolas amarelas e 7 bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é extraída da caixa 1, sem que se saiba a sua cor, e é colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a 61 49 51 57 53 a)  .  b)  .  c)  .  d)  .  e)  . 110 110 110 110 110 72. Famema-SP 2019 Uma pessoa colocou em um frasco não transparente 21 comprimidos de um medicamento A e 15 comprimidos de um medicamento B. Todos os comprimidos possuem o mesmo formato e as mesmas dimensões, porém são de cores diferentes. Se essa pessoa retirar aleatoriamente 2 comprimidos desse frasco, um após o outro, sem reposição, a probabilidade de saírem 2 comprimidos do mesmo medicamento é 1 2 3 1 1 a)  .  b)  .  c)  .  d)  .  e)  . 2 5 4 4 5

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 34

07/03/24 17:01

Textos complementares

História de um ganhador da loteria

Rafael Meirelles 1/Shutterstock.com

Quando falamos em probabilidade, o exemplo mais óbvio é sempre o jogo de loteria. Conscientemente (ou melhor, matematicamente) a chance de ganhar na loteria (considerando um jogo com seis dezenas entre 0 e 60), como a Mega-Sena, no Brasil é muito pequena: aproximadamente 1 em 50 milhões. Isso significa uma única possibilidade em 50 milhões de jogadas. Assim, considerando que um ano tenha 52 semanas, fazendo um jogo semanal com a mesma sequência numérica, seriam necessários cerca de 960 mil anos para “garantir” que seus números sejam sorteados. Mas, garantir é uma palavra muito forte, pois essa chance indica que podemos contar com o azar (ou a probabilidade), que pode atrapalhar nossos planos a qualquer momento. No entanto, sempre vemos nos noticiários alguém ganhando esses grandes prêmios em dinheiro, não é? A esperança de ser sorteado faz muitas pessoas continuarem jogando na loteria por anos e anos. Não há decisão certa ou errada, apesar de a Matemática mostrar que escolher a sequência que será sorteada é quase impossível.

Volante de uma das várias loterias que existem no Brasil. Texto elaborado para fins didáticos.

História das Loterias no Brasil A História conta que formas primitivas de sorteio existiam entre povos como hebreus, egípcios, hindus, chineses e romanos. Mas, somente em 1538, na França, o Estado tomou a iniciativa de promover concursos em benefício dos cofres públicos. No Brasil, a primeira loteria de que se tem notícia foi realizada em 1784, em Vila Rica (atual Ouro Preto), capital de Minas Gerais. Com o dinheiro arrecadado foram construídos os prédios da Câmara dos Vereadores e da Cadeia Pública. A prática foi adotada em todo país, sendo que o governo dava concessões para sua exploração preferencialmente às Santas Casas, aos orfanatos e aos hospitais para evitar abusos, mas também a particulares. Foi o imperador D. Pedro II quem regulamentou o funcionamento das loterias, por meio do Decreto nº 357, de 27 de abril de 1844. Em 1899, nos primeiros anos da República, parte da arrecadação foi incluída como receita no Orçamento Federal. No século XX, foram introduzidas várias novidades importantes, tanto nos métodos quanto na emissão de normas rígidas visando dar mais credibilidade e transparência ao processo. APARECIDA, Regiane. História das loterias no Brasil. Infoescola, [s.d.]. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGU. Acesso em: 27 fev. 2024.

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

Quer saber mais?

ALISSON, Elton. Pesquisadores criam métodos estatísticos para prever fraudes em operações financeiras. Agência Fapesp, 27 out. 2015. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHQGT. Acesso em: 27 fev. 2024. Aplicação de Estatística e Probabilidade para prever fraudes e auxiliar empresas a diminuir o risco de sofrer golpes.

FRENTE 1

Textos MORICONI, Marco. Trocar ou não de porta? Ciência Hoje, ago. 2005. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHQGY. Acesso em: 27 fev. 2024. Imagine-se participando do jogo de auditório em que você escolhe um prêmio escondido atrás de uma de três portas, pois, em uma delas, há um prêmio especial.

35 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 35

07/03/24 17:01

Exercícios complementares 1. UFRGS 2018 Considere os números naturais de 1 até 100. Escolhido ao acaso um desses números, a probabilidade de ele ser um quadrado perfeito é a) 

1 . 10

d) 

1 . 2

b) 

4 . 25

e) 

9 . 10

c) 

3 . 10

2. FMJ-SP 2024 Uma campanha publicitária irá distribuir 400 ingressos para um espetáculo, sendo 120 ingressos especiais e os demais ingressos comuns. A distribuição dos ingressos será feita no estande da campanha, com os ingressos sendo depositados em uma urna e cada interessado pegando aleatoriamente um ingresso. A probabilidade de o primeiro ingresso especial ser retirado pela segunda pessoa a pegar um ingresso é 3 1 a) d) . . 10 12 3 b) . 5 c)

2 e) . 15

4 . 19

3. Unesp 2022 Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis. 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80

57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35

Girar

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13

79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58

(https://spinthewheel.app. Adaptado.)

As regras do jogo são: 1. se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio; 2. se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;

36

MATEMÁTICA

Capítulo 13

3. se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio; 4. se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio. Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de a) 50%. c) 56%. e) 66%. b) 42%. d) 58%. 4. Fuvest-SP Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: 2 4 2 a)  c)  e)  3 9 9 b) 

1 3

d) 

5 9

5. Enem 2018 Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir: • Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde; • Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde; • Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; • Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas: • Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; • Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; • Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D. Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3.

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 36

07/03/24 17:01

6. EPCAr-MG 2020

Você conhece o jogo chamado Dominó? Existem várias versões que tentam decifrar de onde veio o jogo, mas nenhuma delas até hoje pôde ser confirmada. Acredita-se, porém, que ele tenha surgido na China, inventado por um soldado chamado Hung Ming, que teria vivido de 243 a 181 a.C. [...] O nome dominó provavelmente deriva da expressão latina domino gratias, que significa “graças a Deus”, dita pelos padres europeus enquanto jogavam. Atualmente, o dominó é jogado em quase todos os países do mundo, mas é mais popular na América Latina. (Disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/qual-e-aorigem-do-domino/. Acesso em 26 de fevereiro de 2019.)

8. FGV-SP 2020 Uma urna contém 4 bolinhas numeradas com os números 1, 3, 5 e 7. Uma bolinha é sorteada ao acaso, tem seu número observado e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada ao acaso. Considere as seguintes probabilidades: p1: probabilidade de que o número da 1ª bolinha esteja entre 4 e 6, excluindo 4 e 6. pM: probabilidade de que a média aritmética dos dois números sorteados esteja entre 4 e 6, excluindo 4 e 6. O valor de p1 1 pM é: 8 7 9 c)  e)  a)  16 16 16 6 5 b)  d)  16 16 9. UPE/SSA 2018 Algumas diagonais do decágono regular passam pelo seu centro e outras não. Sendo assim, escolhendo-se ao acaso uma diagonal desse polígono, qual é a probabilidade de ela não passar pelo centro do decágono? 3 6 1 a)  c)  e)  4 7 7 1 3 b)  d)  2 5

As 28 peças de um dominó tradicional são divididas em duas metades. Nelas aparecem representados os números 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, geralmente pintados em quantidades de pontos tal como a figura anterior. Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Dentre todas as peças do jogo, a probabilidade de se escolher uma peça em que os dois números representados são diferentes entre si é igual a 75%. A probabilidade de se escolher a peça dentre todas as peças do jogo, é maior que 3,5%. Dentre as peças que só têm representados números pares em ambas as metades, 40% são aquelas em que há um par de números iguais. Sobre as proposições, tem-se que a) apenas uma afirmação é verdadeira. b) apenas duas afirmações são verdadeiras. c) todas as afirmações são verdadeiras. d) nenhuma afirmação é verdadeira. 7. IFPE 2019 Numa urna, foram colocados cinco cartões numerados de 1 a 5. Serão sorteados, sem reposição, dois cartões. Qual a probabilidade de os números presentes nos cartões sorteados serem consecutivos? a) 30% d) 10% b) 20% e) 50% c) 40%

b) 

1 6

d) 

1 3

11. ESPM-SP 2018 A senha bancária da dona Maria era 753213 seguida pelas letras D, D e B, nessa ordem. Acontece que ela só se lembrava da parte numérica, esquecendo-se completamente da sequência de letras. A caixa eletrônica apresentou os 4 botões mostrados na figura abaixo, que ela deveria pressionar exatamente 3 vezes, podendo repeti-los, um para cada letra da senha.

ABC

BCD

CDE

DEF

Se ela fizer as escolhas aleatoriamente, a probabilidade de acertar a senha será: 9 3 a) d) 32 8 5 3 b) e) 16 16 1 c) 4

FRENTE 1

Disponível em: https://br.depositphotos.com/64902345/stockillustration-domino-set.html. Acesso em 26 de fevereiro de 2019.

10. UFPR 2021 Ana, Beatriz e Carlos pediram uma pizza de oito fatias, metade sabor mozarela e outra metade sabor calabresa. Sabendo que Ana e Carlos preferem calabresa e Beatriz prefere mozarela, após cada um dos três ter escolhido uma fatia de pizza de acordo com sua preferência, qual é a probabilidade de Ana, Beatriz e Carlos terem escolhido pedaços que estejam lado a lado na pizza? 1 1 1 a)  c)  e)  12 4 2

37 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 37

07/03/24 17:01

12. IME-RJ 2024 Sejam dois dados cúbicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de ocorrência. Com um único lançamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuação com o dodecaedro do que com os dois dados cúbicos somados é: 2 1 7 5 3 a)  .  b)  .  c)  .  d)  .  e)  . 3 6 36 12 16 13. EsPCEx-SP 2019 Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que: I. O cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00. II. A probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 III. Se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de 9 R$ 0,50 passa a ser . 40 IV. Se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda 1 de R$ 1,00 passa a ser . 4 Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era a) 27. c) 33. e) 108. b) 32. d) 81. 14. Unioeste-PR 2020 O alarme da casa de José é acionado por um teclado numérico composto pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Após digitar várias vezes a mesma senha de três algarismos, a qual é 064, a tinta das teclas que correspondem aos algarismos 4 e 6 apagou-se. Suponha que uma pessoa que não conheça a senha veja que os algarismos dessas teclas estão apagados e deduza que os números 4 e 6 devem compor a senha. Levando esta informação em consideração e que esta pessoa sabe que a senha tem três algarismos, mas não sabe que são, necessariamente, distintos, a chance dessa pessoa acertar a senha CORRETA em uma única tentativa é: 1

2

3

5 7

8

9

0

a) b) c) d) e)

38

1 em 1000. 1 em 60. 1 em 56. 1 em 54. 1 em 37.

MATEMÁTICA

Capítulo 13

15. FGV-SP 2021 Considere a função polinomial f (x) 5 5 (1 2 2k)x 1 3k 1 1, em que k é um número real. Sorteando-se aleatoriamente o valor de k do conjun1 1 1 1 5 1 7 2 3 5 11   1 to 2 , 0, , , , , , , , , , , , 1, a 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12   12 probabilidade de que a função f (x) seja estritamente crescente e seu gráfico intersecte o eixo y em um valor maior ou igual a 2 é de 5 1 d) a) 14 7 2 1 b) e) 7 14 3 c) 14 16. Enem 2018 O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna. Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%. Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a a) 10. b) 15. c) 35. d) 40. e) 45. 17. Enem 2018 Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6h15min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6h21min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6h22min. A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6h21min da manhã é, no máximo, 4 7 a) d) 21 21 5 8 b) e) 21 21 6 c) 21

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 38

07/03/24 17:01

19. FMJ-SP 2021 No ensino médio de uma escola, estão matriculados 53 alunos no primeiro ano, 37 alunos no segundo ano e 30 alunos no terceiro ano. Todos esses alunos formarão duplas entre si, de maneira que em cada dupla não haja alunos do mesmo ano. Uma dessas duplas será escolhida ao acaso e a probabilidade de a dupla escolhida ter um aluno do primeiro ano e um aluno do segundo ano é 1 2 4 1 3 a)    b)    c)    d)    e)  3 3 5 2 4

22. FGV-SP 2020 a) Aldo, Beatriz e Carlos encontraram 8 bolinhas de tênis idênticas. De quantas maneiras podem reparti-las se cada amigo leva ao menos uma bolinha? b) Em um grupo de homens e mulheres em que o número de mulheres é o dobro do número de homens, 55% dos homens já viajaram ao exterior e 48% das mulheres nunca viajaram ao exterior. Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de que uma pessoa do grupo, escolhida ao acaso, nunca tenha viajado ao exterior? 23. Famerp-SP 2017 O banco de sangue de um hospital possui 100 bolsas de sangue, cada uma obtida de um doador diferente. As bolsas estão distribuídas por grupo sanguíneo, conforme mostra a tabela.

20. EPCAr-MG 2021 Testes realizados em um jogo de arco e flecha provaram que a probabilidade de acerto em uma das quatro áreas A1, A2, A3 ou A4 de um alvo como o da figura a seguir é a razão entre a área da região e o quadrado da distância entre o jogador e o alvo, nessa ordem. Sabe-se que A1 é a área de um círculo de raio 1 m e A2, A3 e A4 são áreas de coroas circulares concêntricas com A1, com as medidas indicadas na figura a seguir, em metros.

A4 A3 A2 A1 1

1

1

1

A probabilidade de um jogador que está a 16 m de distância do alvo acertar a área a) A3 é a metade da probabilidade de acertar a área A4. b) A2 é o dobro da probabilidade de acertar a área A1. c) A4 é sete vezes a probabilidade de acertar a área A1. d) A3 é o triplo da probabilidade de acertar a área A2. 21. UFRGS 2022 Antônia e Francisca fazem parte de um grupo de dez médicas que atuam no cuidado de pacientes com covid-19, em um hospital de Porto Alegre. Um outro hospital no Rio Grande do Sul está convidando um quarteto de médicas do grupo, do qual Antônia e Francisca fazem parte, para organizar um evento científico sobre a covid-19. A probabilidade de Antônia e Francisca fazerem parte desse quarteto convidado é 1 2 3 2 1 a)  .   b)  .   c)  .   d)  .   e)  . 5 5 14 15 35

Grupo Sanguíneo

Número de bolsas

O

45

A

29

B

22

AB

4

Total

100

Dois dos 100 doadores das bolsas indicadas na tabela pretendem voltar ao hospital para fazer nova doação de uma bolsa de sangue cada um. Considerando que os dados da tabela não tenham se alterado até que essas duas pessoas voltem a fazer sua doação, a probabilidade de que a proporção de bolsas do grupo sanguíneo AB, desse hospital, passe a ser 1 igual a do total de bolsas após essas duas novas 17 doações é de 1 1 a)  d)  425 825 b) 

1 625

c) 

1 289

e) 

1 51

24. Fuvest-SP Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote? b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França? c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

FRENTE 1

18. ITA-SP 2021 Um dodecaedro regular tem 12 faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a: 2 5 3 15 15 . .   e)  .   c)  .   d)  a)  .   b)  5 12 19 190 100

39 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 39

07/03/24 17:01

25. Fuvest-SP 2019 Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por pA, a probabilidade de saírem duas bolas brancas é denotada por pB, e a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes é denotada por pM. a) Se A 5 2 e B 5 5, determine pB. b) Se o total de bolas da urna é 21 e pM é o triplo de pA, quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna? c) Se A 5 3, para quais valores de B o valor de pM é 1 estritamente maior do que ? 2 26. ITA-SP 2019 Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto {1, 2, 3, ..., 29, 30}. Determine a probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3. 27. Fuvest-SP 2021 Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto O detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F, no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.

C

D

B

A

E

O

F

a) Quantas são as formas possíveis de exatamente quatro indústrias irregulares estarem distribuídas entre as 24 indústrias do parque? b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22? c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos? 28. Fuvest-SP 2018 Em um torneio de xadrez, há 2n participantes. a) Na primeira rodada, há n jogos. Calcule, em função de n, o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.

40

MATEMÁTICA

Capítulo 13

b) Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo? 29. UFRGS 2024 Considere uma moeda não viciada tendo uma face cara e uma face coroa. Ao lançar essa moeda cinco vezes, a probabilidade de se obter pelo menos três faces coroa é 1 1 a) . . d) 8 4 1 1 b) e) . . 6 2 1 c) . 5 30. Em uma cidade, 30% das pessoas têm cabelos pretos, 40% são loiras, 20% têm cabelos castanhos e 10% são ruivas. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ela: a) ser loira? b) não ter cabelos castanhos? c) ter cabelos pretos ou ser ruiva? 31. Ifal 2017 Em um certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês? a) 7,5% c) 50% e) 67,5% b) 40% d) 57,5% 32. Unicamp-SP 2022 Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica x0, x1, x2, … de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é x0 5 1. A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior: • por 2, se a bolinha sorteada for azul; • por 3, se a bolinha sorteada for verde; • por 5, se a bolinha sorteada for rosa. A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é • x0 5 1, • x1 5 5 ? x0 5 5, • x2 5 3 ? x1 5 15, • x3 5 2 ? x2 5 30.

a) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo 189? Justifique. b) Qual a probabilidade de Heloísa obter o número 360 como termo de uma sequência?

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 40

07/03/24 17:01

34. UPE/SSA 2018 Quatrocentas pessoas foram entrevistadas, em uma pesquisa de opinião, sobre o consumo dos produtos A, B e C, cujos resultados estão apresentados na tabela a seguir: A

B

C

Consumo(s) 175 120 185

A e B A e C B e C A, B e C 75

105

65

45

Se escolhermos ao acaso uma dentre as pessoas entrevistadas, qual é a probabilidade de ela não consumir nenhum dos três produtos? a) 10% d) 30% b) 20% e) 35% c) 25% 35. USF-SP 2018 Em um hospital com 160 funcionários, 60% são graduados e 70% são do sexo masculino. Sabe-se ainda que

38. UEG-GO 2022 Três fichas enumeradas com os números 5, 7 e 8 são colocadas em uma urna para um sorteio. Elas serão retiradas sem reposição uma a uma ao acaso para formar um número de três algarismos, de tal forma que a primeira ficha retirada seja o algarismo das centenas, a segunda o algarismo das dezenas e a terceira o algarismo das unidades. A probabilidade de esse número ser múltiplo de cinco é de aproximadamente a) 16,7%. b) 33%. c) 50%. d) 66,7%. e) 83,3%. 39. Cefet-RJ 2020 Marcos iniciou estágio em uma fábrica de lâmpadas e lhe atribuíram a tarefa de testar lâmpadas sob condições com alta umidade e com alta temperatura, usando intensidade e vida útil como resposta de interesse. Finalizados os testes, Marcos construiu a seguinte tabela:

2 das pessoas de sexo feminino 3

são graduados. A partir dessas informações, é correto afirmar que, escolhido ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de ele ser do sexo masculino e graduado é 5 1 1 . a)  . c)  e)  . 32 3 2 2 1 . b)  d)  . 5 5 36. UFMS 2022 Na fazenda Boa Esperança, a probabilidade de, pela inseminação, nascer um macho é de 0,6 e de nascer uma fêmea é de 0,4. Foram feitas 4 inseminações. Se todas vingarem, qual a probabilidade de nascer pelo menos um macho? a) 97,44%. b) 87,04%. c) 76%. d) 60%. e) 40%.

INTENSIDADE SATISFATÓRIA INSATISFATÓRIA VIDA ÚTIL

Produtos

37. Fuvest-SP 2013 Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas: 1. o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa; 2. algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa. a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

SATISFATÓRIA

117

8

INSATISFATÓRIA

3

2

Com base nos dados da tabela, é FALSO afirmar que: a) A tabela apresenta o desempenho de 130 lâmpadas. b) Caso uma dessas lâmpadas seja selecionada aleatoriamente, a probabilidade de apresentar resultados insatisfatórios sob qualquer critério é de 10%. c) Caso uma dessas lâmpadas seja selecionada aleatoriamente, a probabilidade de apresentar resultado satisfatório para Vida Útil e também satisfatório para Intensidade é de 96%. d) Existe a possibilidade de se ter lâmpada com vida útil satisfatória, porém insatisfatória para intensidade.

FRENTE 1

33. FPP-PR 2020 Um estagiário está fazendo um experimento em laboratório. Seu chefe pediu para ele adicionar no experimento substâncias específicas de 2 frascos do laboratório, porém o estagiário não prestou atenção no chefe e pegou ao acaso 2 frascos sem nem ver quais substâncias eles continham. Sabe-se que cada frasco contém uma mistura de duas substâncias diferentes dentre um arsenal de 10 substâncias diferentes rotuladas com as letras de A até J e que o laboratório possui exatamente 1 frasco para cada combinação possível das substâncias disponíveis. Sabendo que o experimento só dará certo se as substâncias A ou E forem adicionadas, é CORRETO afirmar que a probabilidade de o estagiário estragar a experiência é 31 11 1 a)  c)  e)  50 45 50 4 21 b)  d)  35 55

41 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 41

07/03/24 17:01

40. Unaerp-SP 2022 Analisando os dados divulgados sobre o registro de efeitos colaterais em 9 000 voluntários que participaram da 3a fase de teste de uma das vacinas para a covid-19, aproximadamente 2 296 apresentaram cefaleia; 814, náusea; 620, fadiga; 220, cefaleia e náusea; 166, cefaleia e fadiga; 144, náusea e fadiga; e 90, os três sintomas. Qual é a probabilidade de um desses voluntários, escolhido ao acaso, ter apresentado somente cefaleia ou somente fadiga? 4 29 a) d) 15 60 b)

3 20

c)

3 40

e)

1 100

a) 

41. Enem PPL 2020 Para um docente estrangeiro trabalhar no Brasil, ele necessita validar o seu diploma junto ao Ministério da Educação. Num determinado ano, somente para estrangeiros que trabalharão em universidades dos estados de São Paulo e Rio de Janeiro, foram validados os diplomas de 402 docentes estrangeiros. Na tabela, está representada a distribuição desses docentes estrangeiros, por países de origem, para cada um dos dois estados. São Paulo

Rio de Janeiro

Total

Argentina

112

29

141

Espanha

60

40

100

Cuba

28

46

74

Portugal

9

36

45

Venezuela

30

12

42

Total de docentes

239

163

402

A probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um docente espanhol, sabendo-se que ele trabalha em uma universidade do estado de São Paulo é 60 279 60 a)  c)  e)  402 402 100 100 60 b)  d)  239 239 42. ITA-SP 2022 Seja A o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo C. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de A, a probabilidade dessas retas se interceptarem em um vértice de C é: 4 1 a) . . d) 9 14 1 3 b) . e) . 7 2 2 c) . 3 43. FICSAE-SP 2019 Considere um bando de pássaros de determinada espécie, no qual cabe ao macho conquistar a fêmea para formar um casal. Enquanto

42

MATEMÁTICA

Capítulo 13

a maioria dos pássaros machos dessa espécie canta e dá pequenos saltos, alguns conseguem dar saltos maiores, atraindo mais a atenção das fêmeas. Com isso, estima-se que a chance dos pássaros que realizam maiores saltos conseguirem uma parceira é igual a 30%, enquanto a chance dos demais pássaros machos dessa espécie é igual a 10%. Sabendo-se que nesse bando há 150 pássaros machos, dos quais 30 conseguem dar saltos maiores, ao observar um casal recém-formado, a probabilidade de o pássaro macho ser capaz de dar saltos maiores é 1 3 3 3 3   b)    c)    d)    e)  3 20 7 50 5

44. Cefet-RJ 2019 O Cefet/RJ oferece a seus alunos atividades extracurriculares para complementação de sua formação. No ano de 2018, 25% dos seus 1 440 alunos inscreveram-se nos cursos de Dança Contemporânea 1 ou de Teatro. Dos alunos inscritos, desistiu e não 9 compareceu nem participou de nenhuma das aulas. Após inscrições e desistências, cada curso contou com a participação de 200 alunos. a) Quantos alunos não participaram de nenhuma das atividades extracurriculares apresentadas? b) Escolhendo-se ao acaso um aluno que participa das atividades extracurriculares apresentadas, qual a probabilidade de que ele participe tanto de Dança quanto de Teatro? 45. Enem PPL 2018 O gerente de uma empresa sabe que 70% de seus funcionários são do sexo masculino e foi informado de que a porcentagem de empregados fumantes nessa empresa é de 5% dos homens e de 5% das mulheres. Selecionando, ao acaso, a ficha de cadastro de um dos funcionários, verificou tratar-se de um fumante. Qual a probabilidade de esse funcionário ser do sexo feminino? a) 50,0% c) 16,7% e) 1,5% b) 30,0% d) 5,0% 46. EPCAr-MG 2017 Num auditório da Academia da Força Aérea estão presentes 20 alunos do Curso de Formação de Oficiais Aviadores dos quais apenas 10 usam agasalho. Estão presentes, também, 25 alunos do Curso de Formação de Oficiais Intendentes dos quais apenas 15 usam agasalho. Um dos alunos presentes é escolhido ao acaso. 2 É correto afirmar que é igual a a probabilidade de 9 que o aluno escolhido a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intendentes ou use agasalho. b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Intendentes. c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores que não use agasalho. d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Aviadores.

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 42

07/03/24 17:01

47. ITA-SP 2020 Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar. 48. Uerj 2022 A imagem a seguir apresenta cinco linhas horizontais de pregos em uma disposição triangular sobre uma superfície plana, inclinada em relação ao plano horizontal. Ao soltar uma bolinha, ela rola e choca-se com o prego da primeira linha, na posição I. Em seguida, ela continua a rolar, chocando-se com apenas um prego de cada linha subsequente e, dependendo de sua trajetória, poderá cair no recipiente, na posição II.

08 Se um livro for retirado da estante, a probabilidade 2 desse livro ser de história ou de português é . 3 Soma: 50. UEM-PR 2018 Considere um campeonato com 16 times de futebol, nomeados de T1 até T16. Sobre a formação dos jogos e resultados das partidas, assinale o que for correto. 01 A probabilidade de, no primeiro sorteio, sair o time T3 é de 30%. 02 Existem 16! possibilidades de escolher o primeiro jogo (dois times). 04 Se, no campeonato, em cada jogo tivermos um vencedor e se o perdedor for eliminado, então teremos 15 jogos até conhecermos o vencedor. 08 Existem exatamente 1 820 possibilidades de se formar 4 grupos de 4 times. 16 A chance de um time ganhar seus 3 primeiros jogos, considerando-se que não existe a possibilidade de empate, é de 12,5%. Soma:

recipiente

A probabilidade de a bolinha cair no recipiente é igual a: 1 3 5 7     b)      c)      d)  a)  4 8 16 12 49. UEPG/PSS-PR 2019 Considerando que uma estante contém 6 livros de história, 4 livros de português e 5 livros de matemática, assinale o que for correto. 01 Se um livro é retirado da estante, a probabilidade 1 desse livro ser de matemática é . 3 02 Se dois livros forem retirados da estante, sem reposição, a probabilidade de o primeiro livro ser de 4 história e o segundo de português é . 35 04 Se três livros forem retirados da estante, sem reposição, a probabilidade do primeiro livro ser de história, o segundo de português e o tercei4 ro de matemática é . 91

51. Acafe-SC 2021 Uma fábrica de peças automotivas produz três tipos de peças P1, P2 e P3. Sabe-se que 30% das peças produzidas nessa fábrica são do tipo P1 e 95% das peças do tipo P1 não apresentam defeitos. Escolhendo, ao acaso, uma das peças produzidas por essa fábrica, qual a probabilidade de se selecionar uma peça defeituosa do tipo P1? a) 35% c) 5% b) 3% d) 1,5% 52. UFJF/Pism-MG 2021 Hoje, o preço do quilo do tomate é R$ 4,00. Durante três semanas consecutivas, e a cada semana, esse preço pode aumentar R$ 1,00 com 1 probabilidade igual a ou cair R$ 0,50 com a mesma 2 chance. Qual a probabilidade do quilo do tomate ser encontrado acima de R$ 4,01 na terceira semana? 53. UFJF/Pism-MG 2020 Uma pesquisa realizada pela coordenação de um curso de graduação apontou que dos 20 alunos matriculados na turma da disciplina Português, 4 são estrangeiros. A coordenação irá promover a visita a um museu no Rio de Janeiro para 5 dos alunos matriculados na disciplina Português, que serão escolhidos aleatoriamente. a) Quantos grupos distintos, com pelo menos 3 dos alunos estrangeiros, podem ser compostos para a viagem? b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos alunos estrangeiros participe da viagem? 54. FGV-SP 2024 Um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, é tal que, ao ser lançado, a probabilidade 1 de qualquer um dos números ser sorteado é . Esse 6 dado é lançado 4 vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de o produto dos 4 números sorteados ser divisível por 3.

FRENTE 1

Sabe-se que a probabilidade de a bolinha se chocar ou com o prego localizado imediatamente à direita ou 1 com o imediatamente à esquerda é igual a . 2 Uma possível trajetória da bolinha até o recipiente está representada no esquema a seguir.

43 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 43

07/03/24 17:01

55. UEM/PAS-PR 2021 Em uma padaria há um cesto com 3 pães de 45 g cada, 4 pães de 50 g cada e 2 pães de 55 g cada. São os únicos pães disponíveis para a venda em um determinado dia. Considere que, uma vez retirado um pão desse cesto, ele não pode ser devolvido a esse cesto. Assinale o que for correto. 01 Comprando 3 pães aleatoriamente, a probabilidade de que o conjunto pese exatamente 150 g 1 é . 3 02 Comprando 8 pães aleatoriamente, a probabilidade de que o conjunto pese exatamente 400 g 1 é . 9 04 Retirando 2 pães do cesto, a probabilidade de 16 que o segundo pese 55 g é . 81 08 Comprando 2 pães aleatoriamente, a probabilidade de que pelo menos um deles pese exa13 tamente 50 g é . 18 16 Se no final do dia restou um único desses pães sem ser vendido, a probabilidade de que ele pese 2 55 g é . 9 Soma: 56. Enem 2023 Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B? a) 20. b) 60. c) 64. d) 68. e) 80.

44

MATEMÁTICA

Capítulo 13

57. Fuvest-SP 2016 Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis 1 seja . 3 a) 2 c) 6 e) 10 b) 4 d) 8 58. UFPR 2023 Para verificar a segurança de vacinas em fase de desenvolvimento, pesquisadores realizam testes com voluntários que, de forma aleatória, recebem uma dose da vacina ou uma dose de uma substância neutra denominada placebo. Na etapa seguinte do teste, esses voluntários são separados em dois grupos: Grupo A: voluntários que receberam o placebo; Grupo B: voluntários que receberam a vacina. O quociente entre o número de voluntários do Grupo B que tiveram algum efeito colateral e o número total de voluntários do Grupo B determina a probabilidade de ocorrência de efeitos colaterais dessa vacina. Quanto menor for essa probabilidade, mais segura será a vacina. Na tabela a seguir, temos o resultado de um teste realizado com duas vacinas (Vacina 1 e Vacina 2). Voluntários Grupo A

Voluntários Grupo B Total de Voluntários

Placebo

Sem efeitos colaterais

Com efeitos colaterais

Vacina 1

58

28

14

100

Vacina 2

50

35

15

100

Com base nos dados fornecidos, responda o que se pede. a) Escolhendo-se aleatoriamente um voluntário que participou do teste da Vacina 1, qual é a probabilidade de que esse voluntário tenha apresentado efeitos colaterais no teste? Justifique sua resposta. b) Qual das duas vacinas é a mais segura? Justifique sua resposta. 59. FGV-SP 2018 Uma caixa contém 100 bolas de mesmo formato, peso e textura, sendo algumas brancas e outras pretas. Sorteando-se ao acaso, e com reposição, uma bola duas vezes, a probabilidade de que em 256 ambos os sorteios saia uma bola preta é igual a . 625 Sendo assim, o total de bolas pretas na caixa supera o total de bolas brancas em a) 24. b) 28. c) 30. d) 32. e) 36.

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 44

07/03/24 17:01

m é redutível quando m n e n possuem um divisor natural em comum, além do 1.

Note e adote: uma fração

61. Fuvest-SP 2017 Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é 1 a) 4 7 b) 24 1 c) 3 3 d) 8 5 e) 12 62. Enem 2020 Um apostador deve escolher uma entre cinco moedas ao acaso e lançá-la sobre uma mesa, tentando acertar qual resultado (cara ou coroa) sairá na face superior da moeda. Suponha que as cinco moedas que ele pode escolher sejam diferentes: • duas delas têm “cara” nas duas faces;

• •

uma delas tem “coroa” nas duas faces; duas delas são normais (cara em uma face e coroa na outra).

Nesse jogo, qual é a probabilidade de o apostador obter uma face “cara” no lado superior da moeda lançada por ele? 1 a) 8 2 b) 5 3 c) 5 3 d) 4 4 e) 5

63. Efomm-RJ 2019 Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? a) 7,44% b) 8,33% c) 9,17% d) 15,95% e) 27,51% 64. FMP-RJ 2019 Um médico está acompanhando um casal que deseja ter filhos. Segundo o médico, a esposa não tem chances de ter gêmeos, mas, se engravidar, a probabilidade de o neném ser do sexo masculino é de 40%. O casal deseja ter três nenéns e deseja que eles não sejam, todos, do mesmo sexo. Confirmando-se o parecer do médico, a probabilidade de o casal conseguir o que deseja, ao final de três gravidezes bem-sucedidas, é a) 50% b) 66% c) 40% d) 72% e) 24% 65. UEG-GO 2019 Dois candidatos, A e B, disputam a presidência de uma empresa. A probabilidade de o candidato A vencer é de 0,70; ao passo que a de B vencer é de 0,30. Se o candidato A vencer essa disputa, a probabilidade de Heloísa ser promovida a diretora dessa empresa é de 0,80; já se o candidato B vencer, essa probabilidade será de 0,30. A probabilidade de Heloísa, após a disputa da presidência dessa empresa, ser promovida a diretora, é de a) 0,50 b) 0,45 c) 0,65 d) 0,56 e) 0,55 66. UFPR 2019 Em uma reunião de condomínio, os moradores resolveram fazer um sorteio para decidir a ordem em que suas casas serão pintadas. As 8 casas desse condomínio estão dispostas conforme o esquema abaixo.

1

3

5

7

2

4

6

8

FRENTE 1

60. Fuvest-SP 2022 Considere o conjunto C de pontos do plano cartesiano da forma (m, n), com m e n pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. a) Apresente todos os pontos (m, n) de C para os quais o produto m ? n é maior do que 60. b) Sorteando-se um ponto (m, n) de C, com iguais probabilidades para todos os pontos, qual é a m probabilidade de que a fração seja redutível? n c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de C, qual é a probabilidade de que a distância entre eles seja igual a 13?

45 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 45

07/03/24 17:01

Dizemos que duas casas são vizinhas quando estão dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa 3 é vizinha das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 é vizinha apenas das casas 6 e 7. Qual é a probabilidade das duas primeiras casas sorteadas serem vizinhas? a)

5 28

d)

5 16

b)

5 32

e)

9 56

c)

5 14

67. UEMG 2018 Um professor preparou dois tipos de provas, A e B. Na prova A, inseriu 3 questões de Análise Combinatória e 4 questões de Probabilidade; na prova B, inseriu 6 questões de Análise Combinatória e 2 questões de Probabilidade. Na véspera da prova, para verificar o preparo dos alunos para a prova, escolheu, ao acaso, um tipo de prova e dele escolheu, também ao acaso, uma questão. Sabendo que a questão escolhida foi de Análise Combinatória, qual é a probabilidade de essa questão fazer parte da prova do tipo A?

a) 

3 4 2 1 7   b)    c)    d)    e)  5 15 5 3 15

70. UnB-DF 2023 (Adapt.)

Sirius. Internet: .

O Sirius é uma fonte de luz síncrotron, localizada em Campinas-SP, que contém várias estações de pesquisa denominadas linhas de luz. Uma dessas estações foi reservada para a realização de experimentos por 15 equipes de cientistas, das quais, quatro são compostas somente por mulheres. Cada equipe poderá utilizar a estação de maneira exclusiva por uma semana e a escolha de qual equipe utilizará o Sirius em determinada semana será feita de maneira aleatória.

a)

3 . 11

b)

4 . 11

c)

5 . 11

Semana 1 Semana 2 Semana 3

d)

6 . 11

Tendo como referência essas informações, julgue cada afirmativa a seguir como correta ou incorreta. I. Na escolha da primeira equipe de cientistas, a chance de a equipe escolhida ser composta somente por mulheres é superior 30%. II. A probabilidade de que as primeiras quatro equipes escolhidas sejam compostas somente por homens 20 ou por homens e mulheres é superior a . 7 ? 13 III. Com a condição de que as duas primeiras semanas sejam reservadas a duas equipes compostas somente por mulheres, o número de maneiras de distribuir as 15 equipes nas quinze semanas é superior a 123 ? 11!.

Calendário para alocação das 15 equipes

68. ITA-SP 2018 São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P1 é a probabilidade de que pelo menos uma bola seja preta e P2 a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então P1 1 P2 vale 8 a) . 15 b)

7 . 15

c)

6 . 15

d) 1. e)

17 . 15

69. Famema-SP 2018 Em um curso para profissionais da saúde, há 25 alunos, dos quais 16 são mulheres. Entre as mulheres, 12 têm curso de especialização e, entre os homens, 8 têm curso de especialização.

46

Sorteando-se aleatoriamente dois alunos desse curso, a probabilidade de eles serem de sexos diferentes e pelo menos um deles ter curso de especialização é

MATEMÁTICA

Capítulo 13

Semana 14 Semana 15

71. Unifesp 2021 Uma caixa possui n cartas, numeradas de 1 até n. Desta caixa são sorteadas, ao acaso, m cartas. a) Para n 5 10 e m 5 6, qual é a probabilidade de que entre as cartas sorteadas tenha saído uma com o número 1? b) Estabeleça uma fórmula que calcule a probabilidade de que, entre as m cartas sorteadas do total de n cartas, tenham saído k cartas pré-estabelecidas, com k variando de 1 até m. Apresente sua fórmula com notação de fatorial, simplificada ao máximo, e com o domínio de validade de n, m e k.

Probabilidades

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 46

07/03/24 17:01

72. Fuvest-SP 2020 Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção. a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber? b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas? c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo 5 1 ponto, triângulo 5 2 pontos, quadrado 5 3 pontos e estrela 5 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?

BNCC em foco EM13MAT311

1. Em uma urna A, há 4 bolas brancas e 2 pretas e, em uma urna B, há 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Escolhemos uma urna e retiramos uma bola. Se a bola é preta, qual é a probabilidade de ela ter vindo da urna A? a)

2 5

c)

2 3

b)

1 3

d)

4 5

EM13MAT312

2. Um casal planeja ter quatro filhos. A probabilidade de nascer uma menina é de 60% e de nascer um menino é de 40%. Qual é a probabilidade de o casal ter duas meninas e dois meninos? a) 25,32% c) 45,85% b) 34,56% d) 52,80%

EM13MAT312

3. Uma pesquisa indicou o estado civil de um grupo de pessoas.

Estado civil de um grupo de pessoas* Estado civil

Solteiros

Casados

Divorciados

Total

Homens

6

10

2

18

Mulheres

8

12

4

24

Total

14

22

6

42

Gênero

* Dados fornecidos pelos pesquisadores.

a)

2 1 ; . 7 4

c)

3 3 ; . 7 4

b)

5 1 ; . 7 3

d)

8 4 ; . 9 5

FRENTE 1

Escolha a alternativa que mostra, respectivamente, a probabilidade de, ao escolher uma pessoa ao acaso, ela ser homem ou casada, e sabendo que a pessoa escolhida é mulher, a probabilidade de ser solteira.

47 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_017_047_mat_f1_c13_p5.indd 47

07/03/24 17:01

Andrey_Popov/Shutterstock.com

FRENTE 2

9 CAPÍTULO

Polinômios São muitos os modelos matemáticos utilizados para descrever comportamentos de fenômenos naturais ou provocados. Alguns desses modelos têm como base os polinômios, objeto de estudo deste capítulo. Polinômios são eficientes para modelar problemas de evolução temporal de indicadores financeiros, como taxas de juros, e também para descrever problemas de Geometria que envolvem medidas de comprimentos, áreas e volumes. Esses modelos permitem que sejam feitas previsões futuras sobre o comportamento de variáveis físicas e químicas, bem como demográficas e econômicas. Sendo assim, o estudo dos polinômios é importante no desenvolvimento de diferentes áreas do conhecimento.

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 48

01/03/24 12:50

Monômios de uma variável • • •

Denomina-se monômio toda expressão matemática aberta da forma axn em que: a é uma constante complexa, não nula, denominada coeficiente; x é também um número complexo denominado variável do monômio; n é um número natural denominado grau do monômio. Então: ax

n

a é C *  ~ x é C n é N 

Embora a variável de um monômio possa ser representada por qualquer letra, são comumente utilizadas as últimas letras do alfabeto, como x, y ou z, ou, ainda, t quando nos referimos ao tempo. Veja, no quadro a seguir, alguns exemplos de monômios na variável x. Monômio

Coeficiente

Grau

5x4

5

4

28ix2

28i

2

x 6

1 6

1

x7

1

7

2x

21

1

3

3

0

Atenção Na última linha do quadro, há um exemplo de monômio de grau zero. Ele pode ser escrito como 3x0 5 3.

Valor numérico de um monômio Todo monômio pode ser interpretado como uma função do tipo y 5 axn. Assim, o valor numérico de um monômio é obtido como sendo a imagem da função y(x) quando a variável x é substituída por valores especificamente atribuídos. Veja os exemplos a seguir:

• •

o valor numérico do monômio 5x4 para x 5 22 é 5 ? (22)4 5 5 ? 16 5 80;

o valor numérico de 28ix2 para x 5 1 1 i é 28i ? (1 1 i )2 5 28i ? (1 1 2i 1 i 2) 5 28i ? 2i 5 216i 2 5 16; 12 1 18i 12 18 x quando x 5 12 1 18i é 5 1 i 5 2 1 3i ; 6 6 6 6

•

o valor numérico de

•

o valor numérico de x7 quando x 5 i é i7 5 i3 5 2i;

• •

o valor numérico de 2x quando x 5 2 2 é 2(2 2 ) 5 2;

o valor numérico de 3 quando x 5 2 020 é 3 ? 2 0200 5 3 ? 1 5 3.

Atenção

Funções monomiais definidas em ℝ

FRENTE 2

Observe que o valor numérico de qualquer monômio de grau zero é sempre igual ao valor de seu coeficiente.

Quando o universo numérico em que são recolhidos o valor do coeficiente e os valores da variável de um monômio fica restrito ao conjunto dos números reais, as funções monomiais admitem representações cartesianas que obedecem a determinados padrões.

49 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 49

01/03/24 12:50

Os formatos dos gráficos das funções monomiais definidas em R dependem, principalmente, do sinal de seu coeficiente e da paridade de seu grau. Como o coeficiente de um monômio não pode ser nulo, devemos analisar quatro casos. Observe: grau par

grau par

Coeficiente positivo

Coeficiente negativo grau ímpar

grau ímpar

Veja no quadro a seguir o comportamento gráfico dos monômios de grau par: y 5 axn

Coeficiente (a = 0)

Grau

a>0

a0

a 0 ~ x 1 é R, x2 é R e x 1 = x2  D 5 0 ~ x 1 é R, x2 é R e x 1 5 x2  D < 0 ~ x 1 ê R, x2 ê R e x2 5 x 1

FRENTE 2

Exemplos:

Trinômios quadrados perfeitos Quando um binômio do 1º grau é multiplicado por si mesmo, ou seja, é elevado à segunda potência, obtém-se um trinômio cujo discriminante é nulo (D 5 0).

53 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 53

01/03/24 12:50

Considere o binômio mx 1 n:

(mx 1 n)(mx 1 n) 5 (mx 1 n) 5 m x 1 2mnx 1 n 2

2 2

2

Comparando essa expressão com a forma ax2 1 bx 1 c de um trinômio do 2º grau, tem-se: 1

m2x2 õ

1

2mnx õ

n2 õ

Características dos polinômios de apenas uma variável Escrevendo de forma explícita a somatória dos monômios de graus diferentes, que definem um polinômio com uma única variável, tem-se a expressão geral: P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an

Os coeficientes e a variável de um polinômio podem ser quaisquer números complexos, mas o expoente da variável deve ser necessariamente um número natural. a 5 m2 Cada termo2 ou monômio de um polinômio apresenta  2 2 2 2 2 4m2 n2 5pela 4mcoeficiente n 5 4m2 nmultiplicado 0 variável elevada a algum b 5 2mn ~ D 5 b 2 4ac 5 (2mn) 2 um c 5 n2 expoente. No termo a1xn 2 1, por exemplo, a1 é o coeficiente,  x é a variável e n 2 1 é o expoente. D 5 b2 2 4ac 5 (2mn)2 2 4m2n2 5 4m2n2 2 4m2n2 5 0 Os termos de um polinômio costumam ser apresentaComo nesse caso as raízes x1 e x2 têm o mesmo valor, dos de acordo com alguma relação de ordem (crescente esse valor é denominado raiz dupla do trinômio. Todo triou decrescente) entre os expoentes da variável. Neste nômio quadrado perfeito possui raiz dupla. capítulo, foi feita a opção pela ordem decrescente dos expoentes. Polinômios No termo a n 2 1x, tem-se, particularmente, que a Polinômios são funções complexas f : C ñ C resultantes variável x está elevada à primeira potência, ou seja, da soma de uma série de monômios que podem ter meso expoente da variável é o número 1: mo grau ou graus diferentes, mesma variável ou variáveis an 2 1x 5 an 2 1x1 diferentes. As variáveis de um polinômio são comumente apreOutro termo que merece atenção especial é o termo sentadas entre parênteses como mostram os exemplos an, em que o expoente da variável x é o número zero: a seguir: an 5 anx0 • A(x, y) 5 x2 1 xy 1 y2 2 2x 2 4y 1 3 Esse monômio de grau zero é denominado termo • B(x, y, z) 5 4x3 1 9x 2 y 1 z2 independente do polinômio. • P(x) 5 x3 1 x2 1 8x 1 20 1

2

ax

1

bx

c

Entre os exemplos acima, o polinômio A tem duas variáveis (x e y), o polinômio B tem três variáveis (x, y e z) e o polinômio P tem apenas a variável x. Podemos afirmar que toda somatória de monômios de diferentes graus e mesma variável é um polinômio que pode ser expresso por: P(x ) 5

n

∑a x

p50

p

n2p

,néN

Os monômios apxn 2 p são denominados termos do polinômio, assim a palavra binômio designa um polinômio com dois termos, a palavra trinômio um polinômio com três termos e assim por diante. Observação: embora o prefixo “poli” indique pluralidade, no estudo da Álgebra também se consideram os monômios um tipo especial de polinômio.

Todo número complexo também pode ser considerado um polinômio pela sua definição algébrica. n 5 0 ~ P(x ) 5

n

∑a x

p50

p

n2p

5

0

∑a x

p50

p

n2p

5 a0 x 0 5 a0

Polinômios como esses são denominados polinômios constantes e, particularmente, quando essa constante é o número zero, o polinômio também é chamado de polinômio nulo.

54

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio P é indicado por GP ou gr(P). Em polinômios de apenas uma variável, o grau coincide com o valor do expoente do seu monômio não nulo de maior grau. O monômio não nulo que fornece o grau de um polinômio é denominado termo principal do polinômio. Veja, a seguir, alguns exemplos. Polinômio

Termo principal

Grau

P(x) 5 3x7 1 2x6 1 x4 2 8x3 2 2x2 1 5

3x7

gr(P) 5 7

Q(x) 5 2x3 1 6x2 1 3x 2 5

2x3

gr(P) 5 3

T(x) 5 x2 1 5x 1 18

x2

gr(P) 5 2

B(x) 5 7x 2 5

7x1

gr(P) 5 1

M(x) 5 12

12x0

gr(P) 5 0

Considere a expressão geral para o polinômio P(x) de acordo com a ordem decrescente dos expoentes de seus termos: P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 54

01/03/24 12:50

Os elementos ordenados nessa sucessão de números complexos são denominados: a0 ñ Coeficiente principal ou coeficiente dominante a1 ñ Coeficiente secundário æ

a0 = 0 ~ gr(P) 5 n Quando o primeiro termo da expressão for um monômio nulo, ou seja, a0 5 0, deve-se observar o seu segundo termo a1xn 2 1, a fim de verificar se ele é ou não nulo. Caso o primeiro termo seja nulo e o segundo não, o grau do polinômio é o expoente da variável do segundo termo. a0 5 0 e a1 = 0 ~ gr(P) 5 n 2 1 Quando o primeiro e o segundo termo da expressão geral são nulos, deve-se observar o seu terceiro termo e assim por diante, até que se encontre um termo que não seja nulo.

Exercício

resolvido

1. Sendo k um número real, determine os valores de k para que P(x) 5 (k 2 1)x3 1 3x2 1 kx 1 1 seja um polinômio do: a) 2º grau. b) 3º grau. Resolução: a) Para que P(x) seja do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero. Assim, k 2 1 5 0 ~ k 5 1.

b) Para que P(x) seja do 3º grau, o coeficiente de x3 deve ser diferente de zero. Assim, k 2 1 = 0 ~ ~ k = 1.

Atenção Se todos os termos de um polinômio forem nulos, então o polinômio também é chamado de polinômio nulo. N(x ) 5

n

Σ

p50

ap x n 2 p , p, n é N e ap 5 0, \p

O polinômio nulo resulta da adição de qualquer quantidade de monômios nulos: N(x) 5 0xn 1 0xn 2 1 1 0xn 2 2 1 ... 1 0x2 1 0x 1 0 O polinômio nulo também resulta da subtração de um polinômio por si mesmo: P(x) 2 P(x) 5 N(x)

an ñ Termo independente

A série de coeficientes de um polinômio sempre inicia com seu coeficiente principal a0 = 0 e termina pelo seu termo independente an. Os polinômios de grau zero têm apenas um coeficiente, por isso só se observam as séries de coeficientes de polinômios com grau n . 1. Por exemplo, a série de coeficientes do binômio B(x) 5 7x 2 5 é o par ordenado (7, 25); a série de coeficientes do trinômio T(x) 5 x2 1 5x 1 18 é a trinca ordenada (1, 5, 18); a série de coeficientes do quadrinômio Q(x) 5 2x3 1 6x2 1 3x 2 5 é a quadra ordenada (21, 6, 3, 25). O número de elementos da série de coeficientes de um polinômio é sempre um número maior que o grau do polinômio. Então, se gr(P) 5 n, a série possui (n 1 1) elementos ordenados. Assim, os coeficientes dos termos nulos de um polinômio de grau n . 1 devem ser apresentados em suas respectivas séries. Observe, por exemplo, que, embora o polinômio P(x) 5 3x7 1 2x6 1 x4 2 8x3 2 2x2 1 5 seja do 7º grau, há apenas 6 termos explícitos em sua forma geral. Isso ocorre quando há monômios nulos entre seus termos. No caso específico desse P(x), trata-se dos termos dos 5º e 1º graus. Escrevendo cada um deles com o coeficiente nulo, tem-se uma expressão de 8 termos visíveis: P(x) 5 3x7 1 2x6 1 0x5 1 x4 2 8x3 2 2x2 1 0x 1 5

Nessa representação do polinômio, pode-se observar mais facilmente a série de seus coeficientes com 7 1 1 5 8 elementos ordenados: (3, 2, 0, 1, 28, 22, 0, 5)

As séries de coeficientes de um polinômio são usadas nos algoritmos de algumas operações com polinômios como a divisão.

Valor numérico de um polinômio Para determinar o valor numérico de um polinômio, basta que sejam atribuídos valores numéricos para suas variáveis. Observe os exemplos a seguir. • Quando x 5 3 e y 5 4, o valor numérico do polinômio A(x, y) 5 x2 1 xy 1 y2 2 2x 2 4y 1 3 é:

O polinômio nulo não tem grau definido.

• Série dos coeficientes de um polinômio Além da expressão geral P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 1 an 2 1x 1 an, todo polinômio não nulo pode ser representado pela sucessão dos números complexos que são os coeficientes de cada termo: (a0, a1, ... ,an 2 1, an), a0 = 0

•

A(3, 4) 5 32 1 3 ? 4 1 42 2 2 ? 3 2 4 ? 4 1 3 5 9 1 12 1 1 16 2 6 2 16 1 3 5 18 O valor numérico do mesmo polinômio quando x 5 0 e y 5 21 é:

A(0, 21) 5 02 1 0 ? (21) 1 (21)2 2 2 ? 0 2 4 ? (21) 1 3 5 50101120141358

FRENTE 2

Nessa expressão, em que n é um número natural, nem sempre o primeiro termo a0xn representa o termo principal de P, pois o termo pode ou não ser um monômio nulo. Se o primeiro termo da expressão for não nulo, então ele é o termo principal e seu expoente n indica qual é o grau do polinômio.

O valor numérico de B(x, y, z) 5 4x3 1 9x 2 y 1 z2 quando x 5 0 e y 5 1 e z 5 2 é: B(0, 1, 2) 5 4 ? 03 1 9 ? 0 2 1 1 22 5 0 1 0 2 1 1 4 5 3

55 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 55

01/03/24 12:50

•

O valor numérico de P(x) 5 x3 1 x2 1 8x 1 20 quando x 5 21 é:

P(21) 5 (21)3 1 (21)2 1 8 ? (21) 1 20 5 21 1 1 2 8 1 20 5 12

•

O valor numérico desse mesmo P(x) quando x 5 22 é:

P(22) 5 (22)3 1 (22)2 1 8 ? (22) 1 20 5 5 28 1 4 2 16 1 20 5 0 Entre os valores numéricos de um polinômio com uma ou mais variáveis, há dois casos que merecem atenção especial: o caso em que todas as variáveis são iguais a 0 (zero) e o caso em que todas elas são iguais a 1 (um). Quando todas as variáveis de um polinômio são nulas, ou seja, iguais a zero, o valor numérico do polinômio coincide com o valor de seu termo independente. Por exemplo, o termo independente do polinômio a seguir é: A(x, y) 5 x2 1 xy 1 y2 2 2x 2 4y 1 3 A(0, 0) 5 02 1 0 ? 0 1 02 2 2 ? 0 2 4 ? 0 1 3 5 3 Quando todas as variáveis de um polinômio são unitárias, ou seja, iguais a um, o valor numérico do polinômio coincide com o valor da soma de seus coeficientes. Por exemplo, a soma dos coeficientes do polinômio A(x, y) 5 x2 1 xy 1 y2 2 2x 2 4y 1 3 é: A(1, 1) 5 12 1 1 ? 1 1 12 2 2 ? 1 2 4 ? 1 1 3 5 51111122241350

Zeros ou raízes de um polinômio Quando o valor numérico de um polinômio com apenas uma variável é igual a zero, o valor atribuído à variável do polinômio é chamado de zero do polinômio ou raiz do polinômio. Veja os exemplos a seguir.

• • •

22 é raiz do polinômio P(x) 5 x3 1 x2 1 8x 1 20, pois: P(22) 5 28 1 4 2 16 1 20 5 0 5 é raiz do polinômio Q(x) 5 x2 2 4x 2 5, pois: Q(5) 5 52 2 4 ? 5 2 5 5 25 2 20 2 5 5 0 3i é raiz do polinômio M(x) 5 x2 1 9, pois: M(3i ) 5 (3i )2 1 9 5 29 1 9 5 0

Desses valores, tem-se a relação n . m 2 1, que aponta o grau mínimo de um polinômio de acordo com sua quantidade de termos. De acordo com tal relação, o grau mínimo de um monômio (m 5 1) é n 5 0, o grau mínimo de um binômio (m 5 2) é n 5 1, o grau mínimo de um trinômio (m 5 3) é n 5 2 e assim por diante. Observe, por exemplo, que o binômio 4x 1 2 é de 1º grau, o binômio 3x2 1 1 é de 2º grau, o binômio 2x3 1 8 é de 3º grau, o trinômio x2 2 3x 1 2 é de 2º grau, o trinômio 2x3 1 8x2 1 7 é de 3º grau, o trinômio x4 2 6x2 1 5 é de 4º grau e o monômio 2x5 é de 5º grau. Quando n 5 m 2 1, o polinômio é denominado completo. A série de coeficientes de um polinômio completo não apresenta nenhum elemento nulo. Note que o binômio 4x 1 2 é um polinômio do 1º grau completo e seus coeficientes formam a série (4, 2) e que o trinômio x2 2 3x 1 2 é um polinômio do 2º grau completo e seus coeficientes formam a série (1, 23, 2). Quando n > m 2 1, o polinômio é denominado incompleto. A série de coeficientes de um polinômio incompleto apresenta ao menos um elemento nulo. Dos exemplos citados anteriormente, temos que o binômio 3x2 1 1 é um polinômio do 2º grau incompleto cuja série de coeficientes é (3, 0, 1), o binômio 2x3 1 8 é um polinômio do 3º grau incompleto cuja série de coeficientes é (2, 0, 0, 8), o trinômio 2x3 1 8x2 1 7 é um polinômio do 3º grau incompleto cuja série de coeficientes é (21, 8, 0, 7), o trinômio x4 2 6x2 1 5 é um polinômio do 4º grau incompleto cuja série de coeficientes é (1, 0, 26, 0, 5) e o monômio 2x5 é um polinômio do 5º grau incompleto cuja série de coeficientes é (2, 0, 0, 0, 0, 0).

Polinômios unitários Um polinômio é denominado unitário sempre que seu coeficiente principal é igual a 1, ou seja, quando a0 5 1. Por exemplo, o polinômio A(x) 5 x 2 3 é um polinômio unitário do 1º grau. Já o polinômio B(x) 5 x2 2 6x 1 5 é um polinômio unitário do 2º grau. A expressão geral dos polinômios unitários de grau n é: P(x) 5 xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 an

Saiba mais Se a soma dos coeficientes de um polinômio P(x) for igual a zero, então uma das raízes desse polinômio é x 5 1.

Atenção Se P(x) é um polinômio de apenas uma variável, tem-se que:

• o termo independente de P(x) é P(0) 5 an; • a soma dos coeficientes de P(x) é:

P(1) 5 a0 1 a1 1 a2 1 ... 1 an 2 2 1 an 2 1 1 an;

• se P(a) 5 0, então x 5 a é uma raiz de P.

Classificação de polinômios É possível classificar os polinômios tanto pelo grau, quanto pela quantidade de termos não nulos. Para isso, considere que n seja o grau do polinômio e que m seja o número de termos não nulos desse mesmo polinômio.

56

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Polinômios recíprocos Considere um polinômio de coeficientes reais P(x) na sua forma geral: P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an

Chama-se polinômio recíproco de P(x) o polinômio P*(x) expresso na forma geral por: P*(x) 5 anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 an 2 2xn 2 2 1 ... 1 a2x2 1 a1x 1 a0 Dois polinômios são recíprocos quando a série dos coeficientes de um deles coincide com a série de coeficientes do outro na ordem contrária. Exemplos:

• • •

B(x) 5 2x 1 3 é recíproco de B*(x) 5 3x 1 2.

T(x) 5 x2 1 4x 2 3 é recíproco de T*(x) 5 23x2 1 4x 1 1.

Q(x) 5 2x3 2 5x 1 4 é recíproco de Q*(x) 5 4x3 2 5x2 1 2.

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 56

01/03/24 12:50

Essa segunda propriedade garante que, se o termo independente de um polinômio não for nulo, então os inversos das raízes desse polinômio serão as raízes de seu polinômio recíproco. Note, como exemplo, que as raízes do polinômio T(x) 5 x2 2 5x 1 6 são 2 e 3; assim, podemos concluir que

1 1 e x5 são as raízes de seu polinômio recíproco 2 3 T*(x) 5 6x2 2 5x 1 1. x5

Saiba mais Se os coeficientes de um polinômio P(x) forem números complexos, então os coeficientes de seu polinômio recíproco serão os conjugados dos coeficientes de P na ordem contrária.

P(x ) 5 a0 x n 1 a1 x n21 1 a2 x n22 1 ... 1 an22 x 2 1 an21 x 1 an

P*(x ) 5 an x x 1 an21 x n21 1 an22 x n22 1 ... 1 a2 x 2 1 a1 x 1 a0

Polinômios autorrecíprocos Um polinômio P(x) é denominado autorrecíproco ou palíndromo quando coincidir com o seu recíproco, ou seja, quando P*(x) 5 P(x). Os coeficientes de um polinômio autorrecíproco de grau n obedecem à relação: ap 5 an 2 p, \p , n A série dos coeficientes de um polinômio autorrecíproco é a mesma lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Por exemplo, o polinômio P(x) 5 2x5 1 3x4 2 10x3 2 10x2 1 3x 1 2 é um polinômio autorrecíproco. Vale ressaltar que, se x 5 a é raiz de um polinômio 1 autorrecíproco, então x 5 também é raiz do polinôa mio. Observe, por exemplo, que x 5 2 é uma das raízes do polinômio P(x), ou seja, P(2) 5 0: P(2) 5 2 ? 25 1 3 ? 24 2 10 ? 23 2 10 ? 22 1 3 ? 2 1 2 P(2) 5 2 ? 32 1 3 ? 16 2 10 ? 8 2 10 ? 4 1 3 ? 2 1 2 P(2) 5 64 1 48 2 80 2 40 1 6 1 2 5 0

Como P(x) é autorrecíproco, então x 5

raiz de P(x):

5

4

3

1 também é 2 2

 1  1  1  1  1 P   5 2 ?   1 3 ?   2 10 ?   2 10 ?   1  2  2  2  2  2 2 3 10 10 3  1  1 1 3 ?   12 ~ P  5 1 2 2 1 12  2  2  32 16 8 4 2 2 1 6 2 40 2 80 1 48 1 64 0  1 P  5 5 50  2 32 32

Uma propriedade importante dos polinômios recíprocos de grau ímpar é que eles admitem x 5 21 como uma de suas raízes. Considerando o polinômio P(x), podemos verificar que isso é válido: P(21) 5 2 ? (21)5 1 3 ? (21)4 2 10 ? (21)3 2 10 ? (21)2 1 1 3 ? (21) 1 2 P(21) 5 2 ? (21) 1 3 ? 1 2 10 ? (21) 2 10 ? 1 1 3 ? (21) 1 2 P(21) 5 22 1 3 1 10 2 10 2 3 1 2 5 0 Portanto, 21 é raíz do polinômio P(x).

Saiba mais Um polinômio P(x) é denominado antipalíndromo quando P*(x) 5 2P(x). Os coeficientes de um polinômio antipalíndromo de grau n obedecem à relação: ap 1 an 2 p 5 0, \p , n Trocando os sinais de todos os elementos da série de coeficientes de um polinômio autorrecíproco, obtém-se a mesma série na ordem contrária. Exemplos: P(x) 5 2x5 1 3x4 2 10x3 1 10x2 2 3x 2 2 2P(x) 5 22x5 2 3x4 1 10x3 2 10x2 1 3x 1 2 5 P*(x) Q(x) 5 x4 1 5x3 2 5x 2 1 ~ ~ 2Q(x) 5 2x4 2 5x3 1 5x 1 1 5 Q*(x) Todo polinômio antipalíndromo admite x 5 1 como uma de suas raízes.

Apresentações de um polinômio

Além da expressão geral P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 1 an 2 1x 1 an, há diversas possibilidades para a apresentação de um mesmo polinômio. Entre elas merecem destaque as formas fatoradas, que apresentam o polinômio como produto de binômios unitários e do 1º grau.

Forma fatorada No universo dos números complexos, todo polinômio P(x) de grau n pode ser decomposto em exatamente n fatores unitários e do 1º grau, como mostra a seguinte expressão: P(x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a2) ? (x 2 a3) ? ... ? (x 2 an), com a0 = 0

Para obter a expressão fatorada de um polinômio com apenas uma variável, é necessário determinar o conjunto {a1, a2, a3, ..., an} de todas as raízes ou zeros do polinômio. O número de raízes complexas de um polinômio sempre coincide com o valor de seu grau. Os polinômios do 1º grau possuem apenas uma raiz complexa, por isso têm sua forma fatorada expressa por P(x) 5 a0 ? (x 2 a1). Os polinômios do 2º grau possuem exatamente duas raízes complexas e sua forma fatorada é expressa por P(x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a2) e assim por diante, sempre lembrando que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais.

Forma fatorada abreviada Se um polinômio P(x) tem grau n . 2, então existe a possibilidade de que duas ou mais de suas raízes sejam iguais. Nesses casos, pode-se indicar a quantidade de fatores iguais presentes na forma fatorada de P por meio de expoentes naturais:

FRENTE 2

Entre as propriedades que relacionam dois polinômios recíprocos P(x) e P*(x), há duas que merecem destaque.  1 São elas: se gr(P) 5 n, então P*(x ) 5 x n ? P   ; e se a = 0  x  1 e P(a) 5 0, então P*   5 0.  a

P(x) 5 a0 ? (x 2 a1)m1 ? (x 2 a2)m2 ? ... ? (x 2 ak)mk, com a0 = 0

57 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 57

01/03/24 12:50

Na expressão abreviada do polinômio P, os expoentes de cada binômio unitário e de 1º grau, que é o que representa um fator do polinômio, são chamados de multiplicidades das raízes de P. Assim:

• • •

m1 é a multiplicidade da raiz a1; m2 é a multiplicidade da raiz a2; æ mk é a multiplicidade da raiz ak.

Equações 3 identidades

Dois polinômios idênticos assumem os mesmos valores numéricos qualquer que seja o número complexo atribuído à sua variável. A(x) ä B(x)

Nessa representação do polinômio, não deve haver valores iguais entre as raízes a1, a2, ..., ak do polinômio, pois, assim, a expressão poderia ser mais abreviada ainda. Os valores de m1 a mk não podem ser todos iguais a 1, pois, nesse caso, todas as raízes do polinômio são distintas e, assim, o polinômio não pode ser escrito na forma fatorada abreviada. Portanto, k < n. Além disso, a soma de todas as multiplicidades das raízes de um polinômio deve coincidir com o grau do polinômio:

Identidades também podem ser expressas usando o símbolo de igualdade (5), mas, como se trata de sentenças matemáticas verdadeiras para todo x, recomenda-se acrescentar (\x), que significa literalmente “para todo valor de x” ou “qualquer que seja x”. Assim:

m1 1 m2 1 m3 1 ... 1 mk 5 gr(P)

x3 2 19x 2 30 5 (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5), \x

As raízes de um polinômio podem ser classificadas de acordo com os valores de suas multiplicidades. Assim, sendo m a multiplicidade da raiz a de um polinômio P(x), tem-se que:

• • •

se m 5 1, então a é uma raiz simples; se m 5 2, então a é uma raiz dupla;

se m 5 3, então a é uma raiz tripla etc. Veja a seguir alguns exemplos.

•

•

O polinômio P(x) do 2º grau que possui raiz dupla é da forma: P(x) 5 a0 ? (x 2 a)2 O polinômio P(x) de 3º grau que possui uma raiz dupla e uma raiz simples é da forma: P(x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a2) 2

•

O polinômio P(x) de 3º grau que possui raiz tripla é da forma: P(x) 5 a0 ? (x 2 a)3

Identidade de polinômios Sejam a0 = 0 e b0 = 0 os respectivos coeficientes principais de dois polinômios A(x) e B(x) com mesmo grau n é N. Na forma geral, têm-se: A(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an

B(x) 5 b0xn 1 b1xn 2 1 1 b2xn 2 2 1 ... 1 bn 2 2x2 1 bn 2 1x 1 bn

Os dois polinômios A(x) e B(x) serão considerados idênticos se, e somente se, tiverem o mesmo grau e exatamente a mesma série de coeficientes: a0 5 b0  a1 5 b1  A(x ) ä B(x ) ~ gr(A) 5 gr(B) e a2 5 b2  æ  an 5 bn

58

Observação: Recomenda-se que as identidades polinomiais sejam indicadas com o símbolo (ä), para não serem confundidas com equações polinomiais.

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Exemplo: x3 2 19x 2 30 ä (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5)

Equações polinomiais também podem ser expressas por uma igualdade de dois polinômios, mas nesse caso os polinômios assumem os mesmos valores numéricos apenas quando alguns poucos números complexos são atribuídos a sua variável. A(x) 5 B(x) Exemplo: x3 2 19x 2 30 5 x(x2 1 11) Essa é uma sentença matemática que pode ser verdadeira ou falsa, de acordo com o valor de x. Note que para x 5 21, por exemplo, a sentença é verdadeira, mas para x 5 2 ela é falsa: A(21) 5 (21)3 2 19 ? (21) 2 30 5  5 21 1 19 2 30 5 212 x 5 21 ~  2 B(21) 5 (21) ? ((21) 1 1 1) 5 (21) ? (1 1 1 1) 5 5 (21) ? 12 5 212  A(2) 5 23 2 19 ? 2 2 30 5 8 2 38 2 30 5260 x 52 ~  2 B(2) 5 2 ? (2 1 1 1) 5 2 ? (4 1 1 1) 5 2 ? 15 5 30 Os números que tornam verdadeira a sentença de uma equação polinomial são denominados soluções da equação. Assim, no exemplo, tem-se que x 5 21 é solução da equação, pois implica uma igualdade (212 5 212). Já x 5 2 não é solução da equação, pois não implica uma igualdade (260 = 30). O grau de uma equação polinomial determina o número máximo de soluções complexas que ela pode possuir.

Verificando identidades Para garantir a identidade de dois polinômios de grau n, por meio da atribuição de valores numéricos, é necessário que sejam feitas pelo menos n 1 1 atribuições para a variável dos polinômios. Assim, como não há equação polinomial que admita mais soluções do que o número de seu grau, a igualdade explorada deve ser de fato uma identidade polinomial.

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 58

01/03/24 12:50

A(x) 5 x3 2 19x 2 30

B(x) 5 (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5) Na expressão do polinômio A(x), observa-se a série de seus coeficientes (1, 0, 219, 230) e, na expressão do polinômio B(x), observa-se o conjunto de suas raízes {22, 23, 5}. Como gr(A) 5 gr(B) 5 3, para mostrar que os polinômios são idênticos, por meio de verificações numéricas, é necessário atribuir às suas variáveis pelo menos 4 valores numéricos quaisquer: A(1) 5 13 2 19 ? 1 2 30 5 1 2 19 2 30 5 248 x 5 1 ~ A(1) 5 13 2 19 ? 1 2 30 5 1 2 19 2 30 5 248 5) 152319 (24)5522 25 ? 42? 30 x 5 1 ~ B(1) 5 (113122)(1 ? 1 3)(1 2 30 A(1) 5 19 1 4848 x 5 1 ~ A(1) 19 ?1 1 23)(1 30255)1 5 19?2 23 2)(1 23 ? (25 548 248 B(1) 5 1(13 1 4 30 4)2 x 5 1 ~ B(1) 55(101 2 5 30 248 2)(1191? 03)(1 3 ?042? 30 (24) 22 52 A(0) 305)55 02 (1 1 5)5 4)52 48 55 1?3)(1 5032? 4 ? (2 5 230 x 5 0 ~B(1) A(0) 0332)(1 0 2230 02 30 2 19 3)(0 3 ?30 (252 5) 52 x 5 0 ~ B(0) 5(0 22)(0 220?2 A(0)5 03 1 19 ?1 02 30255)05 3030 x 5 0 ~ A(0) 193 ? 0123)(0 30 5 30 30 2 2)(0 52 B(0)5 5)2 5) 52 50(0 1 20 5022 ? 330 ? (2 x 5 0 ~ B(0) ? 3 ?1(1 25) 5) 5 305212 51 ? (22 2 30 A(251) (0 (22)(0 1) 3 21193)(0 1) 2 30252 1952 (0 2)(0 3)(0 5) 2 3 ( 5) 5 1 1 2 5 ? ? 2 52 x 521 ~B(0) A(21) 5 (21) 3 2 19 ? (21) 2 30 521 1 19 2 30 30 5212 2 5 2 1 2 1 2 2 5 ? ? 2 B( 1) ( 1 2)( 1 3)( 1 5) 1 2 ( 6) x 521 ~ A(21) 5 (21)3 2 19 ? (21) 2 30 521 1 19 3052 521212 x 521 ~ A( 19 ( 1) 30 1 19 30 12 ? 2 2 52 1 2 52 B(21)1)5 1 3)( 1 5) 1 2 ( 6) 12 5((2 21)1 122)( 2 1 2 2 5 ? ? 2 52 3 x 521 ~ B(A(221)2) 55 (2(2 11 219 1 1? 3)( 230 5) 5 1?2 6)2 52 2 52 2)2)( (22 2)12 8 ?1(238 30125 0 1) 2) (2(12 1 3)( 1 5) 1 2 ( 6) 12 22 55 12)2)(3 2 1 2 2 5 ? ? 2 52 x 522 ~B(A( 19 ? (22) 2 30 528 1 38 2 30 5 0 32 22? (1 22 252 55 2)(19 3)(2 5) 5801? 38 1 ? (2 00 x 522 ~ B( 22) 5((2 222)31 2 22) 27)30 A(2 2)5 30 x 522 ~ A( 192?2(212)3)( 2230 52 B(22) 2)5 2 122)( 22 5) 851038 7) 5 0 5((2 22) ? 1 ?2(230 x 522 ~ B(22) 5 (22 1 2)(22 1 3)(22 2 5) 5 0 ? 1 ? (27) 5 0 B(22) 5 (22 1 2)(22 1 3)(22 2 5) 5 0 ? 1 ? (27) 5 0

Assim, tem-se que A(1) 5 B(1), A(0) 5 B(0), A(21) 5 B(21) e A(22) 5 B(22). Por se tratar de polinômios do 3º grau que coincidiram em 4 valores numéricos, pode-se afirmar que A(x) e B(x) são polinômios idênticos: A(x) ä B(x)

Exercício

resolvido

2. Sendo a e b os números tais que a igualdade a(2 2 x)2 1 10 5 x(1 2 2x) 1 bx2 é verdadeira para todo x real, então a 1 b é igual a: a) b) c) d) e)

–6,5 –1,5 3,6 1,5 6,5

Resolução: Fazendo x 5 0, obtemos o valor de a:

a(2 2 0)2 1 10 5 0 ? (1 2 2 ? 0) 1 b ? 02 ~ ~ 4a 1 10 5 0 1 0 _ a 5 22,5

Fazendo x 5 2, obtemos o valor de b:

a(2 2 2)2 1 10 5 2 ? (1 2 2 ? 2) 1 b ? 22 ~ ~ 0 1 10 5 2 ? (23) 1 4b _ b 5 4

Portanto, a 1 b 5 22,5 1 4 5 1,5. Resposta: alternativa D.

Outra maneira de verificar a identidade desses polinômios consiste em partir da expressão fatorada B(x) e aplicar a propriedade distributiva do produto até que a expressão geral A(x) seja determinada. B(x) 5 (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5) 5 [x2 1 3x 1 2x 1 6](x 2 5) 5

5 [x2 1 5x 1 6](x 2 5) 5 x3 2 5x2 1 5x2 2 25x 1 6x 2 30 5 5 x3 2 19x 2 30 5 A(x) Observe que todas as expressões intermediárias entre a forma fatorada de B(x) e a forma geral A(x) caracterizam polinômios idênticos.

Exercício

resolvido

3. Determine os parâmetros reais a, b e c que tornam idênticos os polinômios P(x) e Q(x) definidos a seguir. P(x) 5 (a 2 2)x3 1 bx2 1 (c 1 1)x 1 2 Q(x) 5 5x3 2 8x2 1 7x 1 2

Resolução: Comparando as séries de coeficientes desses polinôa 2 2 5 5 ~ a 5 7  mios, tem-se: b 5 28 c 1 1 5 7 ~ c 5 6 

Fatorando polinômios Fatorar é um termo matemático para designar a transformação de algum ente matemático no produto de outros. No estudo da Aritmética, todos os números que não são primos podem ser fatorados. O número 10, por exemplo, é resultado da multiplicação dos números 2 e 5. Por isso, a forma fatorada do número 10 é 2 ? 5. Alguns números possuem diversas formas fatoradas, como o número 40, por exemplo, possui seis fatorações distintas, note: 40 5 2 ? 20 5 4 ? 10 5 5 ? 8 5 2 ? 2 ? 10 5 2 ? 4 ? 5 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 Pelo fato de a multiplicação ser uma operação comutativa, a ordem dos fatores não altera a forma fatorada de um número. Assim, os produtos 5 ? 8 e 8 ? 5 indicam a mesma fatoração do número 40. O teorema fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural não primo admite apenas uma forma de decomposição em fatores primos. No caso do número 40, essa forma é: 40 5 2 ? 2 ? 2 ? 5. Quando dois ou mais fatores primos de um número natural são iguais, a forma fatorada desse número pode ser abreviada pelo uso da potenciação: 40 5 23 ? 51. Dessa expressão, deve-se entender que, no número 40, o fator primo 2 possui multiplicidade 3 e o fator primo 5 possui multiplicidade 1. Quando o universo dos números considerados é estendido além dos números naturais, novas formas fatoradas podem surgir. Por exemplo, no conjunto:

•

FRENTE 2

Como exemplo desse processo, considere os polinômios A(x) e B(x) apresentados na forma geral e na forma fatorada, respectivamente:

Z dos números inteiros: 40 5 (24) ? (210);

59 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 59

01/03/24 12:50

• • •

Q dos números racionais: 40 5 0,5 ? 80;

•

R dos números reais: 40 5 2 5 ? 4 5 ;

C dos números complexos: 40 5 (6 1 2i ) ? (6 2 2i ).

No estudo da Álgebra, os polinômios de grau n > 1 podem ser fatorados em polinômios de graus menores do que n. O binômio do 2º grau x2 2 9, por exemplo, é resultado da multiplicação dos binômios do 1º grau x 1 3 e x 2 3. Por isso, a forma fatorada de x2 2 9 é (x 1 3)(x 2 3). Alguns polinômios possuem diversas formas fatoradas, como P(x) 5 x3 1 6x2 1 11x 1 6, por exemplo, possui quatro fatorações distintas, sendo três com um fator de 1º grau e outro de 2º grau:

•

Forma geral

Forma fatorada

A(x) 5 x2 1 3x 1 2

A(x) 5 (x 1 1)(x 1 2)

B(x) 5 x 2 6x 1 9

P(x) 5 x3 1 6x2 1 11x 1 6 5 (x 1 3)(x2 1 3x 1 2)

C(x) 5 6x2 1 x 2 1

2

2

D(x) 5 x2 1 px

P(x) 5 x 1 6x 1 11x 1 6 5 (x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 3

2

Dessa expressão deve-se entender que: A série de coeficientes de P(x ) é (1, 6, 1 1, 6).  O conjunto das raízes de P(x ) é {21, 22, 23}. Polinômios podem ter quaisquer tipos de números complexos como coeficientes ou raízes. A única restrição é feita aos expoentes da variável que devem ser, necessariamente, números naturais. Assim, expressões como x 245

(

1 não é um ex2 poente natural. Polinômios do 1º grau podem ser fatorados apenas no caso de não serem polinômios unitários como 4  3x 2 4 5 3  x 2  .  3 Os polinômios unitários do 1º grau fazem o papel análogo ao dos números primos na fatoração de polinômios. Dessa analogia, pode-se enunciar que todo polinômio de grau n > 1 admite apenas uma fatoração em polinômios unitários e do 1º grau. A identidade entre a forma geral de um polinômio e essa forma fatorada única é uma importante ferramenta da modelagem matemática. a0x n 1 a1x n 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 an ä a0(x 2 a1)(x 2 a2) ... (x 2 an)

com a0 = 0 e a1, a2, …, an sendo as raízes do polinômio. Dessa expressão deve-se entender que todo polinômio de grau n possui exatamente n raízes complexas e, assim, expressões particulares dessa identidade podem ser observadas de acordo com o grau do polinômio. Polinômios do 1º grau possuem apenas uma raiz complexa: ax 1 b ä a(x 2 a1), a = 0

Polinômios do 2º grau possuem exatamente duas raízes complexas: ax2 1 bx 1 c ä a(x 2 a1)(x 2 a2), a = 0

MATEMÁTICA

Capítulo 9

)(

1 1 x2 2 3

)

D(x) 5 x(x 1 p)

E(x ) 5 ( x 2 7 )( x 1 7 )

F(x) 5 x2 1 4

F(x) 5 (x 1 2i ) (x 2 2i )

Há diversas técnicas que podem ser usadas na fatoração de polinômios do 2º grau. As identidades a seguir figuram entre os casos clássicos da fatoração algébrica. • Fator comum: a2 1 ab ä a(a 1 b)

•

Trinômios quadrados perfeitos: 2 2 2 a 1 2ab 1 b ä (a 1 b)  2 2 2 a 2 2ab 1 b ä (a 2 b)

1

x 5 x 2, e

(

C(x ) 5 6 x 1

E(x) 5 x2 2 7

x 2 2)( x 1 2), por exemplo, não representam

fatorações polinomiais, pois

B(x) 5 (x 2 3)(x 2 3)

2

E apenas uma com todos os fatores de 1º grau:

60

Polinômios do 4º grau possuem exatamente quatro raízes complexas:

ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e ä a(x 2 a1)(x 2 a2)(x 2 a3)(x 2 a4), a=0 O quadro a seguir apresenta as fatorações de alguns polinômios do 2º grau.

P(x) 5 x3 1 6x2 1 11x 1 6 5 (x 1 2)(x2 1 4x 1 3)

•

ax3 1 bx2 1 cx 1 d ä a(x 2 a1)(x 2 a2)(x 2 a3), a = 0

P(x) 5 x 1 6x 1 11x 1 6 5 (x 1 1)(x 1 5x 1 6) 3

•

Polinômios do 3º grau possuem exatamente três raízes complexas:

•

Diferença de quadrados: a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)

Atenção Lembrando que o universo dos coeficientes e raízes de um polinômio é o conjunto dos números complexos, deve-se considerar também o caso da soma de quadrados: • soma de quadrados: a2 1 b2 ä (a 1 bi )(a 2 bi )

Observando a tabela anterior, o polinômio D(x) pode ser enquadrado no caso do fator comum e pode ser fatorado colocando-se a variável x em evidência: x2 1 px ä x(x 1 p). O polinômio B(x) no caso do trinômio quadrado perfeito: x2 2 6x 1 9 5 x2 2 2 ? 3 ? x 1 32 ä (x 2 3)2 ä ä (x 2 3)(x 2 3). O polinômio E(x) no caso da diferença de quadrados: x 2 2 7 ä x 2 2

( 7 )2

ä ( x 1 7 )( x 2 7 ) .

O polinômio F(x) no caso da soma de quadrados: x2 1 4 ä x2 2 (2i )2 ä (x 1 2i )(x 2 2i ).

Os polinômios A(x) e C(x) não caem nos casos clássicos de fatoração, mas podem ser fatorados com a utilização da técnica de agrupamento:  3x  A(x ) ä x 2 1 3x 1 2 ä x 2 1 x 1 2x 1 2 ä ä x (x 1 1) 1 2(x 1 1) ä (x 1 1)(x 1 2) x     B(x ) ä 6x 2 1 x 2 1 ä 6x 2 1 3x 2 2x 2 1 ä ä 3x (2x 1 1) 2 1(2x 1 1) ä (2x 1 1)(3x 2 1)

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 60

01/03/24 12:50

Observe que a fatoração por agrupamento efetuada no polinômio C(x) não obteve fatores unitários, sendo possível ainda colocar em evidência os coeficientes principais 2 e 3 dos fatores do 1º grau obtidos: 1 1 1 1    (2x 1 1)(3x 2 1) ä 2  x 1  ? 3  x 2  ä 6  x 1   x 2     2 3 2  3 A técnica do agrupamento também pode ser usada na fatoração de polinômios de grau superior. Observe: 3 P(x ) 5  x 1 x22 9x2 18 5 x 2 (x 1 2) 2 9(x 1 2) 5 (x 1 2)(x 2 2 9) 5 (x 1 2)(x 1 3)(x 2 3) 2   

Gráficos de polinômios com coeficientes reais Considere um polinômio P(x) em que todos os coeficientes são números reais. Se a variável x desse polinômio também estiver restrita ao conjunto dos números reais, então a função y 5 P(x) pode ser representada graficamente no plano cartesiano. P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an a0 = 0, ap é R, \p, 0 , p , n, x é R

Revendo algumas funções reais Algumas das funções polinomiais foram abordadas detalhadamente em capítulos anteriores, como as funções constantes, as funções do 1º grau (afins) e as do 2º grau (quadráticas). Segue uma breve revisão do comportamento gráfico dessas funções.

Função nula e funções constantes A representação gráfica do polinômio nulo é uma reta que coincide com o eixo das abscissas do plano cartesiano. y

P(x) 5 0

0

x

As representações gráficas dos polinômios constantes, mas não nulos, são retas paralelas ao eixo das abscissas do plano cartesiano. a>0

a0

a 0), a parábola que representa o gráfico da função tem sua concavidade voltada para cima e, quando esse coeficiente é negativo (a < 0), a parábola tem sua concavidade voltada para baixo. a>0 e D>0

a0 y

y

P(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a=0

x

x

Lendo o gráfico da esquerda para a direita: quando a > 0, a função do 2º grau tem seu primeiro trecho decrescente até atingir um valor mínimo e continua com um trecho crescente;

quando a < 0, a função do 2º grau tem seu primeiro trecho crescente até atingir um valor máximo e continua com um trecho decrescente. Valor máximo

Trecho crescente

Trecho decrescente

Trecho crescente Valor mínimo

62

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Trecho decrescente

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 62

01/03/24 12:50

Embora possam admitir raízes complexas não reais, os polinômios de coeficientes reais e grau n . 2 sempre podem ser tratados como funções de domínio real e representados graficamente no plano cartesiano. Quando as raízes de um polinômio do 2º grau não são números reais, as parábolas que representam seus gráficos não interceptam o eixo das abscissas. a>0 e D 0, então y 5 P(x) é uma função crescente em toda sua extensão e, se a < 0, então y 5 P(x) é uma função decrescente em toda sua extensão. Nos casos em que b2 > 3ac:

•

se a > 0, então y 5 P(x) é uma função que alterna trechos: crescente, decrescente e crescente, nessa ordem;

•

se a < 0, então y 5 P(x) é uma função que alterna trechos: decrescente, crescente e decrescente, nessa ordem.

Máximo local Trecho crescente

Máximo local

Trecho decrescente

Trecho crescente

Trecho crescente

Trecho decrescente

Mínimo local

Mínimo local

Trecho decrescente

As formas fatoradas das funções polinomiais do 3º grau com coeficientes reais também podem mudar de acordo com as características de suas raízes. • Se possuir três raízes reais distintas, sua forma fatorada será: P(x) 5 a(x 2 a1)(x 2 a2)(x 2 a3)

•

Se possuir apenas raízes reais, sendo uma simples e outra dupla, sua forma fatorada será:

•

Se possuir raiz tripla, sua forma fatorada será:

•

P(x) 5 a(x 2 a1)(x 2 a2)2 P(x) 5 a(x 2 a)3

Se possuir três raízes, sendo apenas uma delas real, sua forma fatorada será: P(x) 5 a(x 2 a)(x 2 z)(x 2 z)

Nessa última expressão, z e z representam duas raízes complexas conjugadas.

64

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 64

01/03/24 12:50

Funções de grau n > 3

Os formatos dos gráficos das funções polinomiais de 4º grau em diante são mais diversos, podendo até ser confundidos com gráficos de polinômios de grau inferior. Isso se deve ao padrão das concavidades das curvas que os representam no plano cartesiano, que muda a partir do 4º grau como mostra o quadro: Grau do polinômio

Concavidades do gráfico

1º

Zero

2º

Uma

3º

Duas

4º

Três ou uma

5º

Quatro ou duas

6º

Cinco, três ou uma

æ

æ

1

Há uma série de outras generalidades a respeito dos gráficos de funções polinomiais de coeficientes reais, como o fato de todos serem representados por uma curva contínua que cruza o plano cartesiano da esquerda para a direita. y an

a4

a5

x

Ainda relacionando o grau do polinômio ao comportamento de seu gráfico, tem-se que: • se o grau do polinômio for par, então o primeiro e o último trecho de seu gráfico situam-se em um mesmo semiplano determinado pelo eixo das abscissas;

2

1

1

2

2

•

se a0 é negativo (a0 < 0), então o trecho final do gráfico situa-se no 4º quadrante do plano cartesiano.

Estabelecendo relações Os polinômios são de grande utilidade para descrever os mais variados tipos de curvas e, por isso, são utilizados em diferentes áreas. Em Ciências da Computação, por exemplo, as funções polinomiais são amplamente exploradas para modelar aspectos geométricos de objetos do mundo real. A Spline é um exemplo de função definida por partes por polinômios, utilizada em design computacional para modelar curvas complexas e superfícies por polinômios mais simples. Na curva que se deseja representar, escolhem-se pontos distintos (nós) no intervalo de observação e é definido um polinômio para cada intervalo. Isso permite que a curva seja criada e controlada manipulando-se alguns pontos ao seu redor. Quando esses pontos de influência são movidos, a curva principal os segue e se adapta a sua nova forma, o que garante maior flexibilidade para o ajuste dos modelos trabalhados.

se o grau do polinômio for ímpar, então o primeiro e o último trecho de seu gráfico situam-se em semiplanos opostos pelo eixo das abscissas.

O gráfico de um polinômio intercepta o eixo das ordenadas sempre no termo independente da função, ou seja, no ponto de coordenadas (0, an). Quando o gráfico de um polinômio intercepta o eixo das abscissas, isso ocorre sempre em alguma das raízes reais da função, ou seja, nos pontos de coordenadas (a1, 0), (a2, 0), ..., (an, 0).

FRENTE 2

•

2

Considerando que o gráfico de uma função polinomial deve ser lido da esquerda para a direita, em relação ao sinal do coeficiente principal da função a0 = 0, pode-se afirmar que: • se a0 é positivo (a0 > 0), então o trecho final do gráfico situa-se no 1º quadrante do plano cartesiano;

Se P(x) tem grau par, então seu gráfico possui um número ímpar de concavidades. Se P(x) tem grau ímpar, então seu gráfico possui um número par de concavidades.

a2 5 a3

1

Nas raízes do polinômio que são duplas, quádruplas ou têm qualquer outra multiplicidade par, as linhas que representam os gráficos das funções polinomiais tangenciam o eixo das abscissas. Quando isso ocorre, a função se anula, mas mantém o sinal na vizinhança da raiz.

De forma genérica, tem-se que:

a1

Nas raízes do polinômio que são simples, triplas ou têm qualquer outra multiplicidade ímpar, as linhas que representam os gráficos das funções polinomiais atravessam o eixo das abscissas de um quadrante para outro no plano cartesiano. Quando isso ocorre, a função muda de sinal.

Método de Spline feito em computador.

65 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 65

01/03/24 12:50

Teorema do valor intermediário Enunciado pelos matemáticos Bernard Bolzano e Luis Cauchy, o teorema do valor intermediário é bastante intuitivo e trata de todas as funções contínuas, como as funções polinomiais. Sendo P(x) um polinômio de coeficientes reais, considere os números reais r e s, tais que r < s. De acordo com esse teorema, para todo y real, tal que P(r) , y , P(s) ou P(s) , y , P(r), existe pelo menos um x real, tal que r , x , s satisfazendo y 5 P(x). Embora as demonstrações algébricas do teorema sejam relativamente sofisticadas, ele pode ser compreendido observando-se o trecho correspondente ao intervalo [r, s] do gráfico cartesiano da função y 5 P(x). y

O teorema do valor intermediário é suficiente para garantir a existência de raiz real do polinômio no intervalo ] r, s [, mas não informa o número de raízes que pode haver. Veja algumas possibilidades gráficas de y 5 P(x). Raízes de P(x) no intervalo ] r, s [

Gráfico

y P(a)

Uma raiz simples

P(r)

a

b

x

a

b

x

a

b

x

P(b)

y

P(s) y 0

r

x

s

x P(a)

Desse teorema decorre que: Se P(r) ? P(s) < 0, então P(x) possui pelo menos uma raiz real no intervalo ] r, s [.

Uma raiz dupla e uma raiz simples

Dois casos distintos devem ser observados nessa proposição, pois, se um produto de dois números reais é negativo, então os números multiplicados devem ter sinais contrários. Veja as duas situações:

P(b)

P(r) > 0 e P(s) < 0

y

y P(a) P(r) Três raízes simples

r

s

x

P(b)

P(s)

P(r) < 0 e P(s) > 0

y

Quando P(r) ? P(s) > 0, não há garantias de que P(x) possua raízes reais no intervalo ] r, s [.

Operações com polinômios

P(s)

Considere os polinômios A(x) e B(x), ambos na forma geral: r

s

P(r)

66

MATEMÁTICA

Capítulo 9

x

A(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an, a0 = 0

B(x) 5 b0xm 1 b1xm 2 1 1 b2xm 2 2 1 ... 1 bm 2 2x2 1 bm 2 1x 1 bm, b0 = 0

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 66

01/03/24 12:50

Note que os números naturais m e n indicam, respectivamente, os graus dos polinômios A(x) e B(x). Conhecendo as séries de coeficientes de cada polinômio e seus respectivos graus, é possível efetuar as operações básicas de adição, subtração e multiplicações entre polinômios. É possível, também, efetuar a divisão considerando que, assim como na operação de divisão entre números inteiros, a divisão polinomial possui mais de uma definição. Uma delas gera dois polinômios como resultados: o quociente Q(x) e o resto R(x). B(x)

R(x)

Q(x)

P(x) 5

1 4x 1 7 1

R(x) 5 2x3

P(x) 1 R(x) 5 3x3 2 5x2 1 8x 1 5 Como gr(P) 5 gr(R) e os coeficientes principais desses polinômios não se anulam na adição, a soma P(x) 1 R(x) tem o mesmo grau dos polinômios P(x) e R(x). c) P(x) 1 S(x) P(x) 5

x3 2 5x2 1 4x 2 2

P(x) 1 S(x) 5

2 7x2 1 4x 2 1

S(x) 5 2x3 2 2x2

A outra não considera o resto e gera apenas um resultado, que pode não ser um polinômio, e sim uma função quociente. A(x ) : B(x ) 5

x3 2 5x2 1 4x 2 2

A(x ) B(x )

11 1

Como gr(P) 5 gr(S) e os coeficientes principais desses polinômios anulam-se na adição, a soma P(x) 1 S(x) tem grau menor que o dos polinômios P(x) e S(x).

Adição de polinômios Efetua-se a adição de dois polinômios A e B adicionando-se seus monômios de mesmo grau. Assim, A 1 B é um polinômio cujos coeficientes resultam da adição dos coeficientes dos termos de mesmo grau dos polinômios adicionados. Por isso, se os polinômios A e B tiverem graus diferentes (n = m), o grau do polinômio A 1 B será igual ao maior dos valores entre m e n. gr(A) > gr(B) ~ gr(A 1 B) 5 gr(A) gr(A) < gr(B) ~ gr(A 1 B) 5 gr(B) Se os polinômios A e B tiverem o mesmo grau (n 5 m), então sua soma fica expressa por: A(x) 1 B(x) 5 (a0 1 b0)xn 1 (a1 1 b1)xn 2 1 1 ... 1 1 (an 2 1 1 bn 2 1)x 1 (an 1 bn)

Nesse caso, é possível que os coeficientes principais a0 e b0 se anulem, bem como os demais coeficientes somados, de modo que a soma produza como resultado um polinômio de grau menor que o dos polinômios somados:

Propriedades da adição de polinômios • • • •

Associativa: [A(x) 1 B(x)] 1 C(x) ä A(x) 1 [B(x) 1 C(x)] Comutativa: A(x) 1 B(x) ä B(x) 1 A(x) Elemento neutro: A(x) 1 0 ä A(x)

Elemento simétrico: A(x) 1 [2A(x)] ä 0

Saiba mais Quando se efetua a adição de dois ou mais polinômios idênticos, a soma desses polinômios também pode ser indicada pelo produto do polinômio por um número inteiro k > 1. P(x ) 1 P(x ) ä 2 ? P(x )

P(x ) 1 P(x ) 1 P(x ) ä 3 ? P(x ) æ

P(x ) 1 P(x ) 1 P(x ) 1 ... 1 P(x ) ä k ? P(x )

   k polinômios

gr(A) 5 gr(B) ~ gr(A 1 B) , gr(A)

Assim, sendo P(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1

Como exemplos, considere os seguintes polinômios: P(x) 5 x3 2 5x2 1 4x 2 2, Q(x) 5 3x2 2 5x 1 6, R(x) 5 2x3 1 4x 1 7 e S(x) 5 2x3 2 2x2 1 1. Vamos determinar algumas somas:

k ? P(x) 5 (k ? a0)xn 1 (k ? a1)xn 2 1 1 (k ? a2)xn 2 2 1 ... 1

a) P(x) 1 Q(x)

P(x) 5 x3 2 5x2 1 4x 2 2

Q(x) 5

3x2 2 5x 1 6 1

P(x) 1 Q(x) 5 x3 2 2x2 2

x14

Como gr(P) > gr(Q), a soma P(x) 1 Q(x) tem o grau do polinômio P(x).

1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an com a0 = 0, tem-se que: 1 (k ? an 2 2)x2 1 (k ? an 2 1)x 1 (k ? an)

Multiplicação de polinômio por um número complexo O conceito de multiplicação de um polinômio por um número inteiro pode ser estendido para qualquer número complexo l, de modo que, se os coeficientes do polinômio P(x) formam a série (a1, a2, a3, ..., an), então a série dos coeficientes do polinômio l ? P(x) será (la1, la2, la3, ..., lan), qualquer que seja l é C.

FRENTE 2

A(x)

b) P(x) 1 R(x)

67 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 67

01/03/24 12:50

Subtração de polinômios Aproveitando o conceito da multiplicação de um polinômio por um número l qualquer, particularmente quando l 5 21, tem-se que l ? P(x) representa o polinômio 2P(x), chamado polinômio oposto de P(x). Dessa forma, uma subtração de polinômios como A(x) 2 B(x) pode ser definida pela soma do polinômio A(x) com o oposto do polinômio B(x). A(x) 2 B(x) ä A(x) 1 [2B(x)]

Por exemplo, considere os polinômios Q(x) 5 3x2 2 5x 1 6 e P(x) 5 x3 2 5x2 1 4x 2 2. Vamos obter a soma P(x) 1 [2Q(x)]: P(x) 5

x3 2 5x2 1 4x 2 2

P(x) 2 Q(x) 5

x3 2 8x2 1 9x 2 8

2Q(x) 5

2 3x2 1 5x 2 6

1

Multiplicação de polinômios O produto entre dois polinômios obedece à propriedade distributiva da multiplicação. Seja M(x) o produto do polinômio P(x) 5 x3 2 5x2 1 4x 2 2 pelo polinômio Q(x) 5 3x2 2 5x 1 6: M(x) 5 P(x) ? Q(x)

Aplicando a propriedade distributiva termo a termo, temos: M(x ) 5 (x 3 2 5x 2 1 4x 2 2) ? Q(x )

M(x ) 5 x 3 ? Q(x ) 2 5x 2 ? Q(x ) 1 4x ? Q(x ) 2 2 ? Q(x )

M(x ) 5 x 3 (3x 2 2 5x 1 6) 2 5x 2 (3x 2 2 5x 1 6) 1 4x (3x 2 2 5x 1 6) 2 2(3x 2 2 5x 1 6) Agora, distribuindo as multiplicações indicadas por cada termo do polinômio Q e alinhando pelo grau os termos resultantes: 3x5 2 5x4 1 6x3 2 15x4 1 25x3 2 30x2

1 12x3 2 20x2 1 24x 2

6x2 1 10x 2 12

M(x) 5 3x5 2 20x4 1 43x3 2 56x2 1 34x 2 12

M(x) 5 P(x) ? Q(x) 5 3x5 2 20x4 1 43x3 2 56x2 1 34x 2 12

Também podemos distribuir a multiplicação do polinômio P(x) por cada um dos termos de Q(x): M(x) 5 P(x) ? (3x2 2 5x 1 6)

M(x) 5 P(x) ? 3x2 1 P(x) ? (25x) 1 P(x) ? 6

M(x) 5 (x3 2 5x2 1 4x 2 2) ? 3x2 1 (x3 2 5x2 1 4x 2 2) ? (25x) 1 (x3 2 5x2 1 4x 2 2) ? 6

Novamente, distribuindo as multiplicações indicadas por cada termo do polinômio P(x) e alinhando pelo grau os termos resultantes: 3x5 2 15x4 1 12x3 2 6x2 2

5x4 1 25x3 2 20x2 1 10x 1

6x3 2 30x2 1 24x 2 12

M(x) 5 3x5 2 20x4 1 43x3 2 56x2 1 34x 2 12 Observação: O grau do produto de polinômios é igual à soma dos graus de cada polinômio multiplicado: gr(A ? B) 5 gr(A) 1 gr(B)

Propriedades da multiplicação de polinômios • • • • 68

Associativa: [A(x) ? B(x)] ? C(x) ä A(x) ? [B(x) ? C(x)] Comutativa: A(x) ? B(x) ä B(x) ? A(x) Elemento neutro: A(x) ? 1 ä A(x)

Distributiva: A(x) ? [B(x) 1 C(x)] ä A(x) ? B(x) 1 A(x) ? C(x)

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 68

01/03/24 12:50

Divisão de polinômios A divisão polinomial é uma operação não comutativa, que só pode ser aplicada a dois polinômios A(x) dividendo e B(x) divisor de cada vez. A(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an, a0 = 0

B(x) 5 b0xm 1 b1xm 2 1 1 b2xm 2 2 1 ... 1 bm 2 2x2 1 bm 2 1x 1 bm, b0 = 0

Essa operação produz dois outros polinômios como resultados: o polinômio quociente Q(x) e o polinômio resto R(x). A divisão entre os polinômios A(x) e B(x) pode ser representada no algoritmo a seguir:

I.

A(x)

B(x)

R(x)

Q(x)

Considerando os graus dos polinômios A(x) e B(x), temos as seguintes situações: Se gr(A) < gr(B), então o quociente Q(x) da divisão de A(x) por B(x) é o polinômio nulo e o resto R(x) é idêntico ao dividendo A(x): Q(x ) ä 0 n < m ~  R(x ) ä A(x )

II. Se gr(A) 5 gr(B), então o quociente da divisão de A(x) por B(x) é uma constante q = 0: n 5 m ~ Q(x) Ë q = 0

III. Se gr(A) > gr(B), então se aplica o algoritmo da divisão de A(x) por B(x) para gerar os polinômios quociente e resto, mas em relação ao grau de cada polinômio gerado: gr(Q) 5 n 2 m n > m ~ gr(R) < m ou R(x ) ä 0 Nesse último caso, a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x) deve ser efetuada de acordo com o algoritmo descrito a seguir. 1º) Divide-se o termo de maior grau de A pelo termo de maior grau de B, obtendo-se o termo de maior grau do quociente. a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 an

b0xm 1 b1xm 2 1 1 ... 1 bm 2 1x 1 bm a0 n2m x b0

2º) Multiplica-se o termo do quociente obtido por cada termo do divisor e indicam-se os monômios resultantes com seus sinais trocados abaixo dos termos semelhantes do dividendo. a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 an 2a0 x n 2

a0 b1 n21 x 2 ... b0

b0xm 1 b1xm 2 1 1 ... 1 bm 2 1x 1 bm a0 n2m x b0

a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 an 2a0 x n 2

a0 b1 n21 x 2 ... b0

b0xm 1 b1xm 2 1 1 ... 1 bm 2 1x 1 bm a0 n2m x b0

FRENTE 2

3º) Adicionam-se os polinômios indicados do lado esquerdo do esquema, obtendo-se um polinômio que pode ser tanto um resto parcial quanto o resto final da divisão.

 a0 b1  n21  a1 2 b  x 1 ... 0

69 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 69

01/03/24 12:50

4º) Se o polinômio gerado pela adição no passo anterior tiver grau menor que o do divisor, então o polinômio obtido é o resto, e a divisão é finalizada; caso contrário, trata-se apenas de um resto parcial e o algoritmo retorna ao 1º passo, para que se continue o processo da divisão. Considerando os polinômios A(x) 5 x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1 2 e B(x) 5 x3 1 x2 1 2x 2 3, vamos efetuar A(x) : B(x): • os termos de maior grau do dividendo e do divisor são, respectivamente, x5 e x3. Dividindo um pelo outro, tem-se x5 : x3 5 x5 2 3 5 x2; assim: x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1 2

x3 1 x2 1 2x 2 3 x2

•

o produto de x2 pelo polinômio divisor é x2(x3 1 x2 1 2x 2 3) 5 x5 1 x4 1 2x3 2 3x2 e, sendo o polinômio oposto a esse produto 2x5 2 x4 2 2x3 1 3x2, escreve-se: x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1

2x5 2

•

x4 2 2x3 1 3x2

x3 1 x2 1 2x 2 3 x2

adicionando-se os polinômios escritos do lado esquerdo do esquema: x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1

2x5 2

2

x4 2 2x3 1 3x2

x4 1 6x3 1 7x2 1 5x 1

x3 1 x2 1 2x 2 3 x2

2

•

como o último passo gerou um polinômio de 4º grau e o divisor é do 3º grau, o resto é apenas parcial e a divisão continua;

•

o termo de maior grau desse resto parcial é x4, que, dividindo pelo termo x3 do divisor, resulta no monômio x4 2 3 5 x, e assim se obtém mais um termo do quociente: x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1

2

x4 1 6x3 1 7x2 1 5x 1

2

x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1

2

x4 1 6x3 1 7x2 1 5x 1

2

5x3 1 5x2 1 8x 1

2

2x5 2

•

x4 2 2x3 1 3x2

x3 1 x2 1 2x 2 3 x2 1 x

o produto do termo x pelo divisor x3 1 x2 1 2x 2 3 é x4 1 x3 1 2x2 2 3x, cujo polinômio oposto é 2x4 2 x3 2 2x2 1 3x e deve ser escrito logo abaixo do último resto parcial para que a soma desses polinômios gere um novo resto na divisão. Assim:

2x5 2

x4 2 2x3 1 3x2

2x4 2

x3 1 x2 1 2x 2 3 x2 1 x

x3 2 2x2 1 3x

•

como esse novo resto ainda é do 3º grau, igual ao grau do divisor, a divisão prossegue com a última aplicação dos passos desse algoritmo;

•

o termo de maior grau desse novo resto 5x3 dividido pelo termo x3 do divisor resulta no monômio constante 5x3 2 3 5 5x0 5 5, que é o termo independente do quociente: x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1

2

x4 1 6x3 1 7x2 1 5x 1

2

5x3 1 5x2 1 8x 1

2

2x5 2

x4 2 2x3 1 3x2

2x4 2

70

2

MATEMÁTICA

Capítulo 9

x3 1 x2 1 2x 2 3 x2 1 x 1 5

x3 2 2x2 1 3x

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 70

01/03/24 12:50

• •

neste ponto, a execução do algoritmo já fornece o polinômio quociente da divisão: Q(x) 5 x2 1 x 1 5

continuando os passos do algoritmo, obtém-se o resto final da divisão: x5 1 2x4 1 8x3 1 4x2 1 5x 1

2

x4 1 6x3 1 7x2 1 5x 1

2

5x3 1 5x2 1 8x 1

2

2x5 2

x3 1 x2 1 2x 2 3

x4 2 2x3 1 3x2

2x4 2

x2 1 x 1 5

x3 2 2x2 1 3x

25x3

2 5x2 2 10x 1 15 22x

1 17

Logo, na divisão de A(x) por B(x) obtemos Q(x) 5 x2 1 x 1 5 e R(x) 5 22x 1 17.

Se o polinômio dividendo possuir coeficientes nulos, recomenda-se que eles sejam escritos de forma explícita, pois isso facilita a obtenção dos restos parciais no processo da divisão. Note que, na divisão do trinômio M(x) 5 2x4 1 3x 2 10 pelo binômio N(x) 5 x2 1 3, por exemplo, deve-se representar o dividendo escrevendo-se M(x) 5 2x4 1 0x3 1 0x2 1 3x 2 10. O mesmo pode ser feito com o divisor N(x) 5 x2 1 0x 1 3. 2x4 1 0x3 1

22x4 2 0x3 2

0x2 1 3x 2 10

x2 1 0x 1 3

6x2 26x2 1 3x 2 10

2x2 2 6

6x2 1 0x 1 18 3x 1

8

Assim, na divisão de M(x) por N(x) obtemos Q(x) 5 2x2 2 6 e o resto R(x) 5 3x 1 8.

Atenção Quando a divisão de um polinômio A(x) por um polinômio B(x) tem como resto o polinômio nulo, tem-se que:

• o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio B(x); • o polinômio B(x) é um dos fatores do polinômio A(x). O método de Descartes Sem contar os restos parciais de uma divisão polinomial, os principais polinômios envolvidos são: o dividendo A(x), o divisor B(x), o quociente Q(x) e o resto final R(x). A(x)

B(x)

R(x)

Q(x)

A(x) ä B(x) ? Q(x) 1 R(x) Dessa expressão é possível extrair relações lineares entre os coeficientes dos polinômios envolvidos, efetuando as operações apresentadas no 2º membro e comparando as séries de coeficientes obtidas com a do 1º membro, ou mesmo fazendo-se atribuições numéricas adequadas para a variável x. Considere a divisão do trinômio M(x) 5 2x4 1 3x 2 10 pelo binômio N(x) 5 x2 1 3, por exemplo. O polinômio quociente dessa divisão é do 2º grau, pois: gr(Q) 5 gr(M) 2 gr(N) 5 4 2 2 5 2.

FRENTE 2

Esses quatro polinômios podem ser relacionados pela identidade a seguir:

71 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 71

01/03/24 12:50

Assim, devem existir coeficientes a, b e c tais que Q(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a = 0. O resto dessa divisão é um polinômio do 1º grau, no máximo: gr(R) < gr(N) ~ gr(R) < 2. Assim, também devem existir coeficientes p e q tais que: R(x) 5 px 1 q. Então, da identidade M(x) ä N(x) ? Q(x) 1 R(x), tem-se: 2x4 1 3x 2 10 ä (x2 1 3)(ax2 1 bx 1 c) 1 px 1 q

Multiplicando o quociente pelo divisor:

2x4 1 3x 2 10 5 ax4 1 3ax2 1 bx3 1 3bx 1 cx2 1 3c 1 px 1 q Agrupando os termos semelhantes no 2º membro: 2x4 1 0x3 1 0x2 1 3x 2 10 ä ax4 1 bx3 1 (3a 1 c)x2 1 (3b 1 p)x 1 (3c 1 q)

a 5 2 b 5 0  Comparando as séries de coeficientes, obtém-se o sistema: 3a 1 c 5 0 3b 1 p 5 3  3c 1 q 5 210 a 5 2 b 5 0  Resolvendo esse sistema, obtemos: c 5 26 p 5 3  q 5 8

Portanto, obtém-se o quociente Q(x) 5 2x2 1 0x 2 6 5 2x2 2 6 e o resto R(x) 5 3x 1 8.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini O dispositivo é um algoritmo criado para facilitar o processo da divisão de um polinômio A(x) por binômios B(x) que sejam unitários e do 1º grau. Assim, esse dispositivo prático só deve ser aplicado quando o divisor for um polinômio da forma (x 2 a). Veja o esquema: Raiz do polinômio divisor

3

+ a

Sequência dos coeficientes do polinômio dividendo A(x) Sequência dos coeficientes do polinômio quociente Q(x)

Resto

O algoritmo obedece aos seguintes passos: 1º) Na primeira posição da primeira linha, escreve-se a raiz a do polinômio divisor (x 2 a). 2º) Ainda na primeira linha, escreve-se a série dos coeficientes do dividendo, usando zeros para indicar os coeficientes dos termos ocultos. 3º) Copia-se o coeficiente principal do polinômio A(x) logo abaixo na segunda linha, multiplica-se o seu valor pelo número a e adiciona-se o resultado ao próximo coeficiente de A(x), escrevendo a soma na segunda linha, logo abaixo do coeficiente secundário de A(x). 4º) Cada número escrito na segunda linha é multiplicado por a e depois somado ao próximo coeficiente de A(x), até que seja escrito um número logo abaixo do termo independente de A(x). 5º) Separa-se com um traço vertical o último número escrito na segunda linha. 6º) Terminado o processo, tem-se, na segunda linha do esquema, que os números escritos antes do traço vertical formam a série de coeficientes do quociente da divisão e o número no final, que foi separado pelo traço, é o valor do resto dessa divisão. Como este algoritmo só pode ser aplicado em divisões por polinômios do 1º grau, o resto é, necessariamente, uma função constante. Assim, a identidade do método de Descartes fica particularmente expressa por: A(x) ä (x 2 a) ? Q(x) 1 r

Considere a divisão do polinômio A(x) 5 2x3 1 4x2 2 23x 1 38 pelo binômio (x 1 5), por exemplo. Como a raiz do binômio (x 1 5) é a 5 25, escreve-se: 25

72

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 72

01/03/24 12:50

25

2

4

223

38

Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 6x 1 12 e resto r 5 21.

b) A raiz do divisor x 1 1 é a 5 21. 21

Copia-se o coeficiente principal do polinômio A(x) na segunda linha, logo abaixo de sua posição original: 25

2

4

223

38

2 O produto desse coeficiente pela raiz do divisor adicionado ao próximo coeficiente de A(x) é: 2 ? (25) 1 4 5 210 1 4 5 6

Escreve-se então esse número na segunda linha, dando continuidade à série de coeficientes do quociente: 25

2

4

2

26

223

25

2

4

2

26

223

38

7

25

2

4

2

26

223

38

7

3

Assim, obtemos o quociente Q(x) 5 2x 2 6x 1 7 e o resto r 5 3. 2

Exercício

resolvido

4. Efetue a divisão do polinômio P(x) 5 x3 1 4x2 2 3 pelos seguintes polinômios: a) x 2 2 c) x b) x 1 1 d) x 2 i Resolução:

Considerando que a série dos coeficientes do polinômio P(x) é (1, 4, 0, 23), podemos aplicar o dispositivo prático em cada item. a) A raiz do divisor x 2 2 é a 5 2. 2

1

4

0

23

1

6

12

21

0

23

1

3

23

0

Observação: P(x) é um polinômio divisível por (x 1 1).

c) A raiz do divisor x é a 5 0. 0

1

4

0

23

1

4

0

23

Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 4x e resto r 5 –3. Observação: Note que a divisão não está sendo efetuada por 0, a divisão está sendo efetuada pelo polinômio x 2 0 5 x.

d) A raiz do divisor x – i é a unidade imaginária a 5 i. i

Com mais uma aplicação do procedimento obtém-se: 7 ? (25) 1 38 5 235 1 38 5 3. Então, escreve-se esse número no final da segunda linha, separado por um traço vertical:

4

Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 3x 2 3 e resto r 5 0.

38

Repetindo o procedimento de multiplicar o número escrito na segunda linha pela raiz do divisor e adicionar o resultado ao próximo coeficiente de A(x), obtém-se 26 ? (25) 1 (223) 5 30 2 23 5 7, que também deve ser escrito na segunda linha:

1

1

4

0

23

1

41i

21 1 4i

27 2 i

Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 (4 1 i )x 1 1 (21 1 4i ) e resto r 5 27 2 i.

Atenção Quando se obtém resto nulo na divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x 2 a), pode-se afirmar que: • o dividendo (x 2 a) está presente na forma fatorada do polinômio P(x);

• o número a é também uma raiz do polinômio P(x). Teorema do resto Esse teorema é consequência direta da identidade polinomial expressa pelo método de Descartes. P(x) ä d(x) ? Q(x) 1 R(x) em que P(x), d(x), Q(x) e R(x) são, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e resto de uma divisão polinomial. Enunciando, temos:

FRENTE 2

Como a sequência dos coeficientes de A(x) é (2, 4, 223, 38), escreve-se na primeira linha:

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x 2 a) é P(a).

73 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 73

01/03/24 12:50

Se d(x) for um polinômio do 1º grau, então R(x) será uma função constante. Assim: P(x) ä d(x) ô

? Q(x) 1 R(x)

1o grau

ô constante

P(x) ä(x 2 a) ? Q(x) 1 r

Então, fazendo x 5 a, tem-se que:

P(a) ä (a 2 a) ? Q(a) 1 r

Portanto:

P(a) ä r

Divisibilidade de polinômios Quando o resto da divisão de um polinômio A(x) por um polinômio B(x) for nulo, então, sendo Q(x) o quociente, tem-se a identidade: A(x) ä B(x) ? Q(x)

•

É correto afirmar que: A(x) é um polinômio divisível tanto por B(x) quanto por Q(x);

•

B(x) é o quociente da divisão de A(x) por Q(x);

•

as raízes do polinômio B(x) também são raízes do polinômio A(x);

•

as raízes do polinômio Q(x) também são raízes do polinômio A(x);

•

o conjunto das raízes de A(x) é a união dos conjuntos das raízes de B(x) e Q(x).

Saiba mais Pelo teorema de D'Alambert, temos que um polinômio P(x) é divisível por um binômio ax 1 b se e somente se

 b a

P  2  5 0.  

Revisando 1. Considere o polinômio a seguir e faça o que se pede em cada um dos itens.

4. Escreva, na forma geral, o polinômio do 3º grau que modela o gráfico a seguir.

P(x) 5 2x3 1 3x5 2 5x(1 2 x) 1 4x0 1 7(x 1 2)

y

a) Determine o grau do polinômio P. b) Determine o termo independente do polinômio P. c) Escreva a sequência dos coeficientes numéricos do polinômio P.

–2

0

2

3

x

d) Calcule P(1). e) Calcule P(i ). 2. Discuta, em função do parâmetro m, o grau do polinômio: –4

P(x) 5 (m2 2 2m)x4 1 mx3 1 (m 2 2)x2 1 5x 1 1 3. Considere os polinômios A(x) e B(x), do 3º grau, definidos a seguir, e faça o que se pede. A(x) 5 (x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)

5. Qual polinômio pode estar representado no gráfico a seguir? y

B(x) 5 x3 2 9x2 1 26x 2 24

a) Determine o termo independente do polinômio A(x). b) Determine o termo independente do polinômio B(x). c) Determine a soma dos coeficientes do polinômio A(x).

x

d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio B(x). e) Determine o conjunto das raízes do polinômio A(x). f) Calcule A(21), B(21), A(10) e B(10). g) Mostre que A(x) ä B(x).

a) x2(x 1 3)

i) Determine o conjunto das raízes do polinômio B(x).

c) 2x3(x 1 2)

h) Calcule A(i ) e B(i ).

j) Esboce os gráficos dos polinômios A(x) e B(x). k) Resolva a inequação x3 2 9x2 1 26x 2 24 > 0.

74

MATEMÁTICA

Capítulo 9

b) 2x(x 1 5)2

d) x2(4 2 x2)

e) x2(x 2 7)

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 74

01/03/24 12:50

6. Considere os polinômios P(x), Q(x) e R(x): P(x) 5 x 2 5x 1 4x 2 2 3

2

Q(x) 5 2x3 2 2x2 1 7 R(x) 5 3x2 2 5x 1 6

Agora, determine os polinômios definidos em cada item. a) A(x) 5 P(x) 1 Q(x) 1 R(x) b) B(x) 5 xP(x) 2 2Q(x) c) C(x) 5 P(x) ? R(x)

d) D(x) 5 P(2x) 1 R(x 2 1)

7. Unicamp-SP 2024 Seja p(x) 5 x 1 2 024. A equação p(x) 1 p(2x) 1 p(3x) 1 ... 1 p(2 023x) 1 p(2 024x) 5 0 tem uma solução x que satisfaz: a) x < 22. c) 0 < x < 2. b) 22 < x < 0. d) x > 2.

8. Sendo o polinômio P(x) 5 x3 1 4x2 2 2x 2 5, determine o quociente e resto das divisões de P(x) pelos seguintes polinômios: a) x 2 2 c) x b) x 1 1 d) x 2 i 9. Considere os polinômios a seguir: L(x) 5 x3 1 4x2 2 5x 2 8 M(x) 5 x2 2 2x 2 6 Determine o polinômio E(x) que dividido por L(x) tenha (x2 1 1) como quociente e M(x) como resto. 10. EEAR-SP 2022 Sejam A e B os restos das divisões de P(x) 5 x3 2 3x2 2 4x 1 6 por, respectivamente, x 1 2 e x 2 3. Desta forma, pode-se afirmar que a) A 5 B c) B 5 2A b) A 5 2B d) A 5 2B

Exercícios propostos

2. FEI-SP 2022 Analise as proposições e classifique-as em verdadeiras (V) ou falsas (F): I. A soma de um polinômio de grau 2 com um polinômio de grau 3 é um polinômio de grau 5. II. A soma de um polinômio com o seu oposto é o polinômio nulo. III. O produto de um polinômio de grau 4 por um polinômio de grau 3 é um polinômio de grau 12. IV. A soma de dois polinômios de grau 3 é necessariamente um polinômio de grau 3. Considerando a ordem dada (I – II – III – IV), a alternativa que apresenta a classificação correta é: d) F - V - F - F a) F - V - V - V e) V - V - F - F b) V - V - V - V c) F - V - F - V 3. Dados os polinômios P1(x) 5 x3 1 mx2 1 nx 1 8 e P2(x) 5 x2 1 mx 1 n e sabendo que P1(21) 5 P2(3) e P2(0) 5 27, os valores de m e n, são, respectivamente: a) 26 e 27. d) 6 e 7. b) 26 e 1. e) 26 e 21. c) 6 e 27. 4. Uece 2019 Considerando o polinômio P(x) 5 4x3 1 1 8x2 1 x 1 1 é correto afirmar que o valor da soma  1 P(21) 1 P  2  é um número localizado entre  3 a) 5,0 e 5,5. b) 4,0 e 4,5. c) 4,5 e 5,0. d) 5,5 e 6,0.

5. EsPCEx-SP 2018 Determine o valor numérico do polinômio p(x) 5 x4 1 4x3 1 6x2 1 4x 1 2017 para x 5 89. a) b) c) d) e)

53 213 009 57 138 236 61 342 008 65 612 016 67 302 100

6. Sobre dois polinômios do 3º grau A(x) e B(x), são feitas as seguintes afirmações: I.

A(x) 1 B(x) resulta num polinômio do 3º grau.

II. A(x) ? B(x) resulta num polinômio do 6º grau.

Então, podemos concluir que: a) A afirmação I não é necessariamente correta; a afirmação II é necessariamente correta. b) A afirmação I é necessariamente correta; a afirmação II não é necessariamente correta. c) As duas afirmações são, necessariamente, corretas. d) A afirmação I está correta se e somente se a afirmação II também estiver correta. e) Nenhuma das duas afirmações é necessariamente correta. 7. Considere uma caixa cúbica de madeira sem tampa, cuja aresta mede x cm.

x cm

FRENTE 2

1. Se P e Q são polinômios na variável x de graus m e n, respectivamente, tal que 0 < n < m, então o grau do polinômio (P 2 Q)(P 1 Q) deve ser: a) m. d) 2n. b) n. e) m 1 n. c) 2m.

x cm x cm

75 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 75

01/03/24 12:50

Se as placas de madeira usadas na confecção das faces laterais e da base da caixa têm 1 cm de espessura, então o volume de ar, em centímetros cúbicos, compreendido pela caixa pode ser expresso por: a) x3 1 5x2 2 8x 1 4 d) x3 2 5x2 1 8x 1 4 b) x3 2 5x2 1 8x 2 4 e) x3 2 5x2 2 8x 2 4 3 2 c) x 1 5x 1 8x 2 4 8. Em dias de greve de funcionários do transporte público, o departamento de trânsito de certa cidade utiliza o polinômio P(x) 5 20,25x4 1 x3 1 9x2 1 50 para estimar o número de quilômetros de engarrafamentos em função do número x de horas antes ou depois do meio-dia, de modo que x 5 0 representa meio-dia (12 horas), x 5 1 representa 13 horas e x 5 21 representa 11 horas, por exemplo. A figura a seguir mostra o gráfico da função y 5 P(x). y 300

P(x) ä (x 1 a) ? Q(x 1 1)

Então: a) a 5 3 b) a 5 23 c) a 5 2 d) a 5 22 e) a 5 0

12. UFJF/Pism-MG 2020 A divisão de um polinômio p(x) pelo polinômio x2 2 x resulta como quociente 2x2 1 x 1 1 e, por resto, o polinômio 3x. O resto da divisão do polinômio p(x) por 2x 1 1 é igual a a)  −

1 2

d) 

b)  −

3 4

e)  1

c) 

200

1

2

3

4

5

6

7

x

De acordo com o gráfico e com a forma algébrica da função y 5 P(x), o número máximo de quilômetros de engarrafamento que pode ser estimado por esse polinômio é igual a: d) 232 km. a) 280 km. e) 220 km. b) 266 km. c) 250 km. 9. CPCAr-SP 2024 Uma piscina no formato de um paralelepípedo reto-retângulo tem altura interna H(x) 5 5 x 2 4, em m, e seu volume é dado pelo polinômio V(x) 5 x3 2 9x2 1 26x 2 24, em m3, para todo x real, x > 4. Considere S(x) como o polinômio que representa a área da base dessa piscina. Se S(x) 5 12 m2, então o volume dessa piscina, em m3, é a) 18. c) 30. b) 24. d) 36. 10. Uece 2022 Se a igualdade

1 2

a)

y y 5 f (x)

21

0

b)

y

21

1 c) X 2 Y 1 Z 5 2 . 2

1 b) X 1 Y 1 Z 5 2 . 2

1 d) X 1 Y 2 Z 5 2 . 2

MATEMÁTICA

Capítulo 9

x

y 5 f (x)

1

x

y y 5 f (x)

d)

1

0

x

y y 5 f (x)

reais X, Y e Z e para x é R 2 {1}, é correto afirmar que 1 a) X ? Y ? Z 5 2 . 8

1

0

c)

x 22 X Yx 1 Z 21 5 1 2 2 (x 2 1) ? (x 2 4x 1 5) x 21 x 2 4x 1 5

x 22 X Yx 1 Z se verifica para os números 5 1 2 2 1) ? (x 2 2 4x 1 5) x 21 x 2 4x 1 5

76

3 4

13. Unicamp-SP 2021 Sejam p(x) e q(x) polinômios de grau 2 tais que p(0) < q(0). Sabendo que p(1) 5 q(1) e p(21) 5 q(21), o gráfico de f (x) 5 p(x) 2 q(x) pode ser representado por

100

–4 –3 –2 –1 0

11. Sendo a um número inteiro tal que P(x) 5 2x3 1 1 ax2 2 7x 1 2a e Q(x) 5 2x2 2 x 1 4 1 a sejam dois polinômios que satisfaçam a seguinte identidade:

21

0

1

x

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 76

01/03/24 12:50

a) ]0, 1[ b) ]1, 2[

c) ]2, 3[ d) ]3, 4[

e) ]4, 5[

15. UEPG-PR 2021 Sabendo que a e b são raízes naturais do polinômio P(x)  5  x3  2  2x2  2  5x  1  6, com a < b, assinale o que for correto.  n 1 a  n 2 a 01 Se  , então n é menor que 3. 5   4   2   5  b  5  7 02   1   1   1   é um número primo.  2  b  0  a 04 O 4o termo no desenvolvimento do polinômio (2x 1 by)6 é 4 320x3y3.

08 Se z1 5 a 1 2i e z2 5 a 1 i, então a parte real de z1 é um número racional. z2

16 O módulo do número complexo (a 1 bi) é 10. 2

Soma:

16. Famerp-SP 2018 As figuras indicam uma sequência de empilhamento de cubos de 1 cm3. Da primeira pilha em diante, os volumes das pilhas, em cm3, são iguais a 1, 5, 14, 30, 55, e assim sucessivamente.

1

114

11419

11419116

Sabe-se que a soma 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 ... 1 x2 é um polinômio do terceiro grau, dado por P(x) 5 mx3 1 1 nx2 1 px, com m, n e p racionais. Portanto, P(1) 5 1, P(2) 5 5, P(3) 5 14, P(4) 5 30 e assim por diante. Nas condições dadas, m é igual a 2 1 1 a)  c)  e)  3 3 2 b) 

5 6

d) 

1 6

17. EEAR-SP 2021 Dados os polinômios P(x) 5 x2 1 1 ax 2 3b e Q(x) 5 2x3 1 2ax 2 b, ambos divisíveis por (x 2 1), então a soma a 1 b é: 7 1 2 3 a)     b)     c)     d)  5 3 3 4 18. Dividindo-se o polinômio P(x) por x2 1 1 por outro polinômio, obtém-se quociente x 2 7 e resto x 1 2. Nessas condições, podemos afirmar que o resto da divisão do polinômio P(x) por x 2 10 é igual a: d) 320 a) 305 e) 325 b) 310 c) 315

19. Dividindo P(x) 5 x5 2 3x3 1 8 por D(x) 5 x 2 2, obtém-se Q(x) 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e e resto R(x) 5 f, com a, b, c, d, e e f números reais. Podemos afirmar que o valor de a 1 b 1 c 1 d 1 e 2 f é igual a: a) 26 d) 28 b) 10 e) 216 c) 26 20. PUC-PR 2021 O polinômio p(x) 5 x4 2 15x3 1 1 70x2 2 120x 1 64 admite quatro raízes inteiras, positivas e diferentes. Sabendo que x1, x2 e x3 são raízes distintas desse polinômio, determine o valor numérico da expressão 1 log x1 (2)

1

2 3 1 log x2 (4) log x3 (8)

x 1 1 x2 1 x 3

a) 3 7

d) 6 5

b) 2 5

e) 1

c) 6 7 21. Unesp 2020 Considere os polinômios p(x ) 5

x 1 0 2 x 21 m x x

e q(x ) 5

1 3 . 1 x

Para que p(x) seja divisível por q(x), é necessário que m seja igual a a) 30. b) 12. c) 212. d) 23. e) 230.

22. IF Sudeste-MG 2023 Considere os polinômios P(x) 5 5 x5 2 3x4 1 x2 1 x 2 2 e D(x) 5 2x 2 2. Pelo algoritmo da divisão, P(x) pode ser escrito como P(x) 5 5 D(x) ? Q(x) 1 R(x), de modo que os polinômios Q(x) e R(x) são o quociente e o resto da divisão de P(x) por D(x), respectivamente. Dessa forma, é CORRETO afirmar que: a) o grau do polinômio R(x) é igual a 1. b) Q(x) 5 x4 2 2x3 2 2x2 2 x. x4 x 2 x 3 2 x2 2 . c) Q(x ) 5 2 2 d) o grau do polinômio Q(x) é igual a 5. e) Q(x) 5 x3 2 2x2 2 x. 23. PUC-Rio 2020 Considere o polinômio p(x) 5 x5 1 1 bx3 1 cx2 1 d. Sabemos que p(0) 5 1, p(1) 5 0 e p(21) 5 0. Quanto vale p(2)? a) 23 b) 21 c) 0 d) 1 e) 21

FRENTE 2

14. Sabe-se que P(x) 5 2x3 1 7x2 2 16x 1 15 é um polinômio que admite uma única raiz real. Então, essa raiz pertence ao intervalo:

77 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 77

01/03/24 12:50

24. Famema-SP 2022 Os restos das divisões de um polinômio D(x) por x 1 2 e por x 2 4 são, respectivamente, 4 e 22. O resto da divisão de D(x) por x2 2 2x 2 8 é a) 2. d) 2x 1 2. b) x 1 2. e) 2x 2 2. c) x 2 2. 25. Unicamp-SP 2021 Sabendo que a é um número real, considere os polinômios p(x) 5 x3 2 x2 1 a e q(x) 5 5 x2 1 x 1 2. Se p(x) é divisível por q(x), então a) a 5 3. c) a 5 21. b) a 5 2. d) a 5 24.

26. EsPCEx-SP 2020 Dividindo-se o polinômio P(x) 5 5 2x4 2 5x3 1 kx 2 1 por (x 2 3) e (x 1 2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a a) 10. d) 7. b) 9. e) 6. c) 8. 27. EAM-SC 2023 O polinômio P(x) 5 2x3 1 2x2 1 mx 1 n é divisível simultaneamente pelos polinômios Q(x) 5 5 x 2 1 e R(x) 5 x 2 2. Determine o valor de m 2 n e assinale a opção correta. a) 21. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3. 28. Uece 2020 Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) 5 (x2 1 x 1 1)2 pelo polinômio Q(x) 5 x2 2 x 1 1, então o valor numérico de R(2) é igual a a) 4. c) 12. b) 0. d) 8. 29. UEA-AM 2021 Considere o polinômio p(x) 5 x3 1 1 x2 2 4x 1 k, em que k é um número real não nulo. Se o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) é 2, o resto da divisão de p(x) por (x 1 3) é igual a d) 2. a) –1. e) –2. b) 1. c) 0. 30. PUC-Rio 2020 Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 x. Quantas soluções reais positivas tem a equação 1 p(x ) 5 ? 10 a) 0. c) 2. b) 1. d) 3. 31. UFF-RJ O polinômio p(x) 5 x4 2 2x3 1 5x2 2 8x 1 1 4 também pode ser escrito sob a forma: p(x) 5 5 (x 2 1)n(x2 1 s), n é N e s é R. O valor de n 1 s é: a) 1 c) 0 e) 2 b) 4 d) 6 32. Uerj Numa autoestrada verificou-se que a velocidade média do tráfego, V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte função: V(t ) 5 at3 1 bt2 1 ct 1 40

78

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são constantes a serem determinadas. Verificou-se, ainda, que à 1 hora, às 5 horas e às 6 horas da tarde, as velocidades médias eram, respectivamente, 81 km/h, 65 km/h e 76 km/h. O número de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade média do tráfego atinge 92 km/h, entre o meio-dia e seis horas da tarde, é exatamente igual a: a) 1 c) 3 b) 2 d) 4 33. Ufam 2020 Um polinômio P(x) de coeficientes inteiros, quando dividido por x 2 2, tem resto 10, e quando dividido por 2x 2 3 tem resto 8. O resto da divisão de P(x) por 2x2 2 7x 1 6 é dado por: d) R(x) 5 5x 1 3 a) R(x) 5 2x 1 4 e) R(x) 5 6x 1 5 b) R(x) 5 3x 1 4 c) R(x) 5 4x 1 2 34. Udesc 2024 Sejam a e b números reais. Sabendo que m(x) 5 x4 1 ax2 1 b é divisível por q(x) 5 x2 2 4 e que a divisão de n(x) 5 x3 1 x2 1 4x 1 a por p(x) 5 x 1 1 tem resto igual a 212, então o valor do produto ab é: a) 212. b) 0. c) 2128. d) 248. e) 48. 35. Unicamp-SP Indígena 2021 Dados os polinômios p(21) p(x) 5 x2 2 5x 1 6 e q(x) 5 x3 1 2, o valor de é q(22) a) 22. b) 21. c) 1. d) 2. 36. IF Sudeste-MG 2023 Sejam P(x) e Q(x) polinômios, com coeficientes reais, de graus 4 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa INCORRETA: a) O grau do polinômio resultante do produto de P por Q é 9. b) O grau do polinômio resultante da soma de P por Q é 5. c) O grau do polinômio que é o quociente da divisão de Q por P é 1. d) O grau do polinômio resultante da soma de P por 2Q é 5. e) O grau do polinômio que é o resto da divisão de Q por P é igual a zero. 37. Unicamp-SP 2022 O polinômio p(x) 5 2x3 1 ax2 1 1 bx 1 c é divisível por 2x2 2 x 1 4. O valor de c 1 2b 2 a é: a) 9. b) 5. c) 21. d) 25.

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 78

01/03/24 12:50

39. Se 29(x2 2 x 1 1) 5 (x 2 m)3 2 (x 2 n)3 para todo x é R, o valor de (m 1 n) é: a) 1. c) 5. e) 9. b) 3. d) 6. 40. Qual deve ser o valor de k para que o resto da divisão do polinômio P(x ) 5 seja igual a –12?

x 2 k 1 x x x 21 x

por Q(x ) 5

x 2 21 1

41. Unioeste-PR 2019 Se o número real a é raiz do polinômio P(x) e o número real b é raiz do polinômio Q(x) então é CORRETO afirmar que a) (a 1 b) é raiz de P(x) 1 Q(x). b) a e b são raízes de P(x) 1 Q(x). c) (a ? b) é raiz de P(x) ? Q(x). d) a e b são raízes de P(x) ? Q(x). e) (a 1 b) é raiz de P(x) ? Q(x). 42. Udesc 2019 Seja p(x) um polinômio de grau três tal que p(0) 5 6, p(1) 5 1, p(2) 5 4 e p(3) 5 9. É correto afirmar que p(4) é igual a: a) 0 c) 10 e) 8 b) 16 d) 14 43. UFRGS 2019 A soma dos coeficientes do polinômio P(x) 5 (1 2 x 1 x2 2 x3 1 x4)1 000 é a) 1 d) 500 b) 5 e) 1 000 c) 100 44. Uece 2019 Se P(z) é um polinômio do quarto grau na variável complexa z, com coeficientes reais, que satisfaz as seguintes condições: P(i ) 5 P(2i ) 5 P(i 1 1) 5 5 P(1 2 i ) 5 0 e P(1) 5 1, então P(21) é igual a Observação: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.

a) 3 b) –3

c) 5 d) –5

45. FGV-SP Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de 5x3 1 (m 2 12)x2 1 (m2 2 2m)x 2 2m2 1 p 1 9 por x 2 2, respectivamente. Permutando-se os coeficientes de Q(x) obtém-se o polinômio Q’(x) tal que Q’(x) 5 R(x) para qualquer x é R. Se m e p são constantes reais positivas, então, m 1 p é igual a a) 8 d) 5 b) 7 e) 4 c) 6

46. UPF-RS 2019 O resto da divisão do polinômio p(x) 5 xn 1 x 1 2 pelo polinômio q(x) 5 x 2 1 é a) 2 c) 4 e) 22 b) 0 d) 21

47. UEA-AM 2020 Considere o polinômio P(x) 5 25x4 1 1 x3 1 mx2 1 nx 1 1, em que m e n são constantes reais. Dado que o resto da divisão de P(x) por (x 2 1) é 40 e que o resto da divisão de P(x) por (x 2 2) é 21, o valor de m 2 n é a) 2. d) 237. b) 19. e) 242. c) 223. 48. UEG-GO 2018 Os restos da divisão do polinômio 1 3 1 p(x ) 5 2x 4 2 x 1 2x 2 2 x 1 1 pelos polinô2 2 mios q(x ) 5 x 2 2 e h(x ) 5 x 2 8 são r e s, respectivamente. Dessa forma, r 1 s é a) 0. d) 137. b) 10. e) 161. c) 127. 49. UFJF-MG 2018 O resto da divisão do polinômio p(x) 5 5 x10 2 1 pelo polinômio q(x) 5 x 2 20,2 é: a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 50. Uece 2018 Se o polinômio p(x) 5 x5 1 ax3 1 x é divisível pelo polinômio d(x) 5 x3 1 bx, onde a e b são números reais, então, a relação entre a e b é a) a2 2 ab 1 b2 5 0 b) b2 2 ab 1 1 5 0 c) a2 2 ab 1 1 5 0 d) b2 2 ab 1 b 5 0 51. UPF-RS 2018 Considere o polinômio P(x) 5 4x3 2 x2 2 (5 1 m)x 1 3. Sabendo que o resto da divisão de P pelo monômio x 1 2 é 7, determine o valor de m. a) 0 d) 7 b) 15 e) 21 c) 2 52. Mackenzie-SP 2017 Os valores de R, P e A para que 2x 2 1 5x 2 1 R P A a igualdade 5 1 1 seja 3 x 2x x x 11 x 21 uma identidade são, respectivamente, a) 3, 1 e 22 b) 1, 22 e 3 c) 3, 22 e 1 d) 1, 3 e 22 e) 22, 1 e 3 53. FICSAE-SP 2017 O resto da divisão de um polinômio do segundo grau P pelo binômio (x 1 1) é igual a 3. Dado que P(0) 5 6 e P(1) 5 5, o valor de P(3) é a) 27 c) 7 b) 29 d) 9

FRENTE 2

38. Efomm-RJ 2021 Para que polinômio p(x) 5 x5 2 4x4 1 1 2x3 1 kx2 2 3x 2 2 seja divisível pelo polinômio q(x) 5 1 2 x2, o valor de k deve ser um número a) múltiplo de 12. b) múltiplo de 6. c) áureo. d) primo. e) quadrado perfeito.

79 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 79

01/03/24 12:50

54. UEA-AM 2021 O número 1 é raiz dupla da equação polinomial x4 2 3x3 1 x2 1 3x 2 2 5 0. A soma das três menores raízes dessa equação é igual a a) 0. c) 1. e) 3. b) 2. d) 4. 55. FMJ-SP 2021 Uma equação polinomial de quinto grau tem uma raiz inteira m > 0 de multiplicidade 3 e uma raiz inteira n < 0 de multiplicidade 2. Sabendo que o coeficiente do termo dominante é 1 e que o produto das cinco raízes dessa equação é igual a 1 372, então m 1 n é igual a a) 7. d) 27. b) 5. e) 3. c) 25. 56. Unicamp-SP 2017 Considere o polinômio p(x) 5 xn 1 1 xm 1 1, em que n > m . 1. Se o resto da divisão de p(x) por x 1 1 é igual a 3, então a) n é par e m é par. b) n é ímpar e m é ímpar. c) n é par e m é ímpar. d) n é ímpar e m é par.

57. Uefs-BA 2017 Considerando-se que o polinômio P(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz simples, é correto afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x 1 1) é d) 214 a) 220 e) 22 b) 218 c) 216 58. Uece 2017 O resto da divisão do polinômio D(x) 5 5 x5 2 5x3 1 4x pelo polinômio d(x) 5 x3 2 x2 2 4x 1 1 é o polinômio do segundo grau r(x). A solução real, não nula, da equação r(x) 5 0 pertence ao intervalo a) [0, 1] c) [3, 4] b) [2, 3] d) [21, 0] 59. UEM/PAS-PR 2023 Em relação aos polinômios p(x) 5 x4 2 5x2 2 36 q(x) 5 (x 1 3)(x 2 i )(x 1 i ) assinale o que for correto. 01 p(x) é divisível por q(x). 02 q(x) é um polinômio com coeficientes imaginários puros. 04 O quociente da divisão de p(x) por x2 2 9 é um polinômio de raízes complexas. 08 p(x) e q(x) têm as mesmas raízes complexas. 16 p(x) e q(x) são polinômios de coeficientes reais e têm o mesmo grau. Soma: 60. UEG-GO 2016 Na divisão do polinômio 6x4 2 2x3 2 8x2 1 10x 2 2 pelo divisor x2 1 3x 2 2, o resto multiplicado por 2 é a) 2222x2 1 252 b) 444x2 1 252 c) 2444x 1 252

80

MATEMÁTICA

Capítulo 9

d) 222x 1 252 e) 2444x2 2 252

61. ESPM-SP 2016 O quociente e o resto da divisão do polinô­mio x2 1 x 2 1 pelo binômio x 1 3 são, respectivamente: a) x 2 2 e 5. d) x 1 1 e 0. b) x 1 2 e 6. e) x 2 1 e 22. c) x 2 3 e 2. 62. IFMG 2016 Se uma das raízes do polinômio P(x) 5 x4 2 8x2 1 ax 1 b é 2 e P(1) 5 9, então o valor de a5 2 4b é a) 264 c) 16 b) 228 d) 24 63. Uece 2016 O resto da divisão de (x2 1 x 1 1)2 por x2 2 x 1 1 é a) 4x c) 4(x 2 2) b) 4(x 2 1) d) 4(x 2 3)

64. EsPCEx-SP 2024 Em relação ao polinômio p: C ñ C dado por p(x) 5 2x4 2 3x3 1 3x2 2 3x 1 1, pode-se afirmar que: a) possui 1 raiz inteira, 1 irracional e 2 complexas não reais. b) possui 1 raiz inteira, 1 racional não inteira e 2 complexas não reais. c) possui 2 raízes racionais e 2 irracionais. d) possui somente raízes inteiras. e) possui 1 raiz inteira e 3 racionais não inteiras. 65. UFRR 2024 Dividindo o polinômio p(x) 5 x4 1 ax3 1 1 bx2 1 cx por x 1 1 obtém-se resto igual a 24. Se p(x) é divisível por x 2 1 e por x 2 2, então o valor (ab) é? de c a) 10 d) 48 b) 12 e) 11 c) 24 66. UFJF-MG 2015 Dado o polinômio p(x) 5 ax3 1 bx2 1 1 cx 1 d com a, b, c e d números reais. Qual deve ser a relação entre os números a, b, c e d para que o polinômio p(x) seja divisível pelo polinômio x2 1 1? a) a 5 2d; c 5 d b) a 5 c; b 5 d c) a 5 2c; b 5 2d d) a 5 d; c 5 2b e) a 5 b 5 c 5 d

67. Cefet-MG 2015 Os polinômios A(x) 5 x2 2 3x 1 2 e B(x) 5 x4 2 2x3 1 kx2 2 3x 2 2 têm uma única raiz em comum. Os valores possíveis para k são números a) pares. d) ímpares. b) primos. e) simétricos. c) inversos. 68. AFA-SP 2021 O polinômio de raízes reais distintas e coeficientes reais, P(x) 5 6x3 1 mx2 2 18x 1 n, é divisível por (x 2 a) e possui duas raízes simétricas. Se P(P(a)) 5 9, então P(1) é igual a a) 29 c) 23 b) 26 d) 0

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 80

01/03/24 12:50

69. ESPM-SP 2019 O polinômio P(x) 5 a ? xb 1 b ? xc 1 c ? xa é tal que os números a, b e c são naturais consecutivos, nessa ordem. Sabendo-se que o resto da divisão de P(x) por (x 2 1) é igual a 9, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x 1 1) é igual a: a) 3 d) 5 e) 4 b) 1 c) 2 70. CPCAr-SP 2024 Considere o polinômio P(x) 5 x8 1 1 x7 2 64x2 2 64x e os polinômios abaixo relacionados: A(x) 5 x2 2 4 C(x) 5 x3 1 8 F(x) 5 x3 1 2x2 1 4x W(x) 5 x3 2 2x 1 4

Dos polinômios relacionados, pode-se afirmar que a) todos dividem P(x). b) nenhum divide P(x). c) apenas A(x) e F(x) dividem P(x). d) apenas C(x) e W(x) dividem P(x). 71. UFSJ-MG Dado o polinômio p(x) 5 x4 2 3x3 2 3x2 1 1 11x 2 6 é CORRETO afirmar que a) p(10) é um número de cinco algarismos. b) tem quatro raízes distintas. c) na divisão por x 1 2 apresenta resto igual a 4. d) é divisível por x 2 1. 72. ITA-SP 2018 Seja p(x) um polinômio não nulo. Se x3 2 3x2 1 5x 2 2 e x3 2 5x2 1 8x 2 4 são divisores de p(x), determine o menor grau possível de p(x).

Texto complementar

Regressão linear e polinomial O procedimento denominado regressão polinomial permite que valores de duas grandezas distintas sejam relacionados algebricamente por meio de uma função polinomial cujo grau pode ser escolhido com base em parâmetros definidos. Suponha que os dados de um experimento sejam representados por pontos em um sistema cartesiano de coordenadas. Pela distribuição dos momentos é possível observar as melhores opções de modelagem polinomial. y 8

4

1

2 3 4 5 6

7 x

Traçando uma curva entre os pontos, como indicado, obtemos um polinômio de grau elevado que nem sempre é indicado, pois ele pode apresentar oscilações que escapam do intervalo dos dados. Além disso, é bastante comum haver erros significativos no processo de coleta dos dados de polinômios de graus altos. y 8

4

1

2 3 4 5 6

7 x

Até mesmo um polinômio de 1º grau, representado graficamente por uma reta, pode ser suficientemente adequado para a modelagem desses dados. Nesse caso, denominamos o processo de regressão linear. y 8 6 4 2 0

6 4 2 1

2 3 4 5 6

7 x

Pode-se, então, traçar a curva de forma a obter um polinômio de grau menor, nesse caso um polinômio do 3º grau.

1

2 3 4 5 6

7 x

Os valores dos coeficientes do polinômio obtido pela regressão linear ou polinomial são calculados utilizando modelos estatísticos estudados em cursos de ensino superior. Veja, por exemplo, uma fórmula que permite determinar os coeficientes a e b de uma função linear do primeiro grau pelo método dos mínimos quadrados:

6 4 2 1

2 3 4 5 6

7 x

FRENTE 2

 n ( ∑ xy )( ∑ x )( ∑ y ) a 5 2 n(∑ x 2 ) 2 (∑ x )   2 b 5 ( ∑ y )( ∑ x ) 2 ( ∑ x )( ∑ xy ) 2  n( ∑ x 2 ) 2 ( ∑ x ) 

y 8

0

8 6

0

2

0

y

2

6

0

Ainda, se for conveniente para a situação apresentada, é possível traçar uma curva de modo que os dados sejam modelados por um polinômio de grau 2.

Texto elaborado para fins didáticos.

81 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 81

04/03/24 13:50

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

Quer saber mais? Livro IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática elementar: complexos/polinômios/equações. 8. ed. São Paulo: Atual, 2019. p. 53-99. Nas páginas indicadas do livro Fundamentos da Matemática Elementar é possível retomar os estudos de polinômios e ainda exercitar com questões que envolvem esse assunto. Site MARINHO, Adília. Curiosidades sobre o matemático francês Évariste Galois (1811-1832). Clube da Matemática. SPM, 25 out. 2021. Disponível em: http://p.p4ed.com/WKRJO. Acesso em: 28 fev. 2024. Conheça um pouco a história do matemático Évariste Galois e sua importante contribuição – a teoria dos grupos. Vídeo Arte e Matemática – Números e funções. Série: Matemática na Escola. IME – Unicamp. Disponível em: http://p.p4ed.com/WKRJA. Acesso em: 28 fev. 2024. Esse vídeo mostra como os métodos numéricos para encontrar as raízes de determinados polinômios permitem a produção artística de fractais.

Exercícios complementares 1. PUC-SP A produção diária de certo produto por um determinado operário é avaliada pela expressão 8x 1 9x2 2 x3 unidades, x horas após as 8 horas da manhã, quando começa o seu turno. Qual a produção durante a quarta hora de trabalho? 2. Fuvest-SP 2022 Suponha que o polinômio p(x) 5 x3 1 1 mx 2 2, em que m é um número real, tenha uma raiz real dupla a e uma raiz real simples b. O valor da soma de m com a é: a) 0 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 3. UFMS 2021 De um polinômio P(x), sabe-se que: I.

P(1) 5 0

II. P(22) 5 45

III. O resto de sua divisão por x2 1 x 2 2 é o polinômio R(x) 5 ax 1 b. Sendo assim, é correto afirmar que: a) R(23) 5 230. b) R(2) 5 15. c) R(1) 5 30.

d) R(21) 5 0. e) R(0) 5 15.

4. UEG-GO 2021 No polinômio p(x) 5 x2 1 mx 2 3, sabe-se que x 5 24 é uma raiz desse polinômio. Nessas condições, o valor de m é 15 a) zero c) 21 e) 7 13 12 b) d) 4 5

82

MATEMÁTICA

Capítulo 9

5. EEAR-SP 2022 Sabe-se que os polinômios A(x) e B(x) têm grau 4 e que P(x) 5 A(x) ? B(x) e T(x) 5 A(x) 1 B(x) são polinômios não nulos. Assim, pode-se afirmar que os graus de P(x) e T(x) são, respectivamente, ____ e menor ou igual a ____. a) 4; 8 b) 8; 8 c) 4; 4 d) 8; 4 6. Mackenzie-SP O resto da divisão de P(x) 5 x4 1 x3 1 1 x2 1 ax 1 b por x2 1 1 é 3. Calcule o valor de (a 1 b). 7. Sendo P(x) um polinômio, sabe-se que gr[P(x)] . 2 e que P(22) 5 25 e P(3) 5 15. Se Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por D(x) 5 (x 1 2) ? (x 2 3), determine o resto da divisão de P(x) por D(x).

8. UFRJ O polinômio P(x) 5 x3 2 2x2 2 5x 1 d, d é R, é divisível por (x 2 2). a) Determine d. b) Calcule as raízes da equação P(x) 5 0. 9. UFF-RJ Considere os polinômios p(x) 5 2x3 1 2x2 1 1 7x 2 1 e q(x) 5 2x2 2 x 2 1. Calcule: a) os valores do número complexo z, tais que p(z) 5 5 q(z); b) o número real k e o polinômio do primeiro grau r(x) tais que p(x) 5 (x 2 k) ? q(x) 1 r(x).

10. UEG-GO 2021 Considere o polinômio:

P(x) 5 x4 2 3x3 2 3x2 1 7x 1 6

Sabendo-se que 21 é raiz dupla da equação P(x) 5 0, as outras raízes dessa equação são d) 1 e 3 a) 2 e 3 e) 3 e 4 b) 1 e 2 c) 2 e 4

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 82

01/03/24 12:50

11. UFSC 2020 Considerando os gráficos dos polinômios p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d e h(x) 5 mx 1 n representados a seguir, é correto afirmar que: y

14. UFT-TO 2020 A função y 5 Ax3 1 Bx2 1 Cx 1 D é representada pelo gráfico a seguir. Assinale a alternativa CORRETA que fornece os valores dos números reais A, B, C e D, respectivamente.

5 B

y

4

2

3 1

2 1

22

1

2

3

4

5

6

7

21

x

Soma: 12. EAM-SC 2023 O sexto e o sétimo pelotões da turma de 2005 da EAMES participaram de uma gincana de matemática e a questão que definiu o pelotão foi: “O polinômio p(x) 5 x3 2 2x2 2 mx 1 n é divisível por q(x) 5 x2 2 7x 1 1. Determine m 1 n”. O aluno Ricardo do sexto pelotão acertou e seu pelotão ganhou a gincana. Com base nessas informações, qual foi a resposta do Ricardo? a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43 13. Unicid-SP 2020 Parte do percurso de uma montanha-russa segue exatamente o gráfico de um polinômio P(x), de grau 3, com raízes inteiras e que compõem uma progressão aritmética de razão 1. Sabendo que a divisão de P(x) pelo binômio (x 2 2) deixa resto zero, que o gráfico de P(x) passa pela origem do plano cartesiano e que, para x 5 0,5, o carrinho da montanha-russa atinge a altura de 21 metros em relação ao eixo das abscissas, pode-se afirmar que a altura, em relação ao eixo das abscissas, que o carrinho da montanha-russa estará quando x 5 1 vale a) 4 m. c) 6 m. e) 8 m. b) 2 m. d) 0 m.

1

2

3

x

21 22

A

01 o polinômio p pode ser expresso por: p(x) 5 (x 1 2)(x 2 1)(x 2 3) 2 x 3 02 o resto da divisão do polinômio p por 2x 1 4 4 é zero. 04 o polinômio h pode ser expresso por h(x) 5 2x 1 2. 08 se o resultado da soma p(x) 1 h(x) é q(x), então o polinômio q tem grau 3 e seu termo independente é 5. 16 p(23) 5 212. 32 o polinômio p é crescente para x é (2ÿ, 21) í (1, 1ÿ). 64 a área do triângulo que possui como vértices os pontos A, B e a origem do sistema de coordenadas cartesianas é igual a 3 unidades de área.

0

1 1 a) − , 1, e –1 2 2 b) –1, 2, 1 e –1 1 1 , –1, − e –1 2 2 d) 1, –2, –1 e 1

c)

15. UFF-RJ Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 3x 1 2 e a fun1 . ção real de variável real f definida por f (x ) 5 p(x ) Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o domínio de f sob a forma de intervalo. 16. UFJF-MG 2019 Observe as divisões entre polinômios apresentadas a seguir: p(x ) 2

4x 2 3 q1 (x )

(x 3 2 2) ? p(x ) r

   Calcule o resto r da segunda divisão.

4x 2 3 q2 (x )

17. UFJF-MG 2018 Determine o polinômio P(x) de grau 4 que satisfaz todas as propriedades abaixo: I.

P(2x) 5 P(x), para todo x real.

II. P(21) 5 3.

III. O produto de suas raízes é igual a 2. IV. O resto da divisão de P(x) por x3 1 1 é um polinômio de grau 1. 18. Unicamp-SP 2017 Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico p(x) 5 x3 1 ax2 1 1 bx 1 1. 1 a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x) então é uma r raiz do polinômio q(x) 5 x3 1 bx2 1 ax 1 1. b) Determine os valores de a e b para os quais a sequência (p(21), p(0), p(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a p(2). 19. UFU-MG 2017 Considere os polinômios p(x) 5 x3 1 1 2a 1 b e h(x) 5 x4 1 a 2 2b, em que a e b são constantes reais e x é uma variável real. Determine os valores de a e b para os quais esses polinômios sejam divisíveis por x 2 4.

FRENTE 2

25 24 23 22 21 0 21

22

83 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 83

01/03/24 12:50

20. IME-RJ 2021 Seja o polinômio

Nessas condições, os sinais dos números P(25), P(4) e P(6) são, respectivamente, a) positivo, negativo e negativo. b) positivo, negativo e positivo. c) negativo, negativo e negativo. d) negativo, positivo e negativo. e) negativo, positivo e positivo.

12y1y 2y 1…2y 1y 2

3

19

20

que pode ser escrito da seguinte forma

a0 1 a 1 x 1 a2 x 2 1 a 3 x 3 1 a4 x 4 1 ... 1 a 19 x 19 1 a20 x 20

onde x 5 y 1 1 e ai são constantes reais. Calcule o valor numérico de a3.

21. Unicamp-SP 2015 Seja (a, b, c, d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q = 0 e a = 0. 1 a) Mostre que x 5 2 é uma raiz do polinômio q cúbico p(x) 5 a 1 bx 1 cx2 1 dx3. b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,  e  a c  x  d b  y  5  f  . Determine para que valores da razão q esse sistema tem resolução única. 22. ITA-SP 2020 Seja p(x) 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que: I. p(x) é divisível por x2 2 4; II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1; III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3; 15 IV. p(21) 5 2 ; 4 então, p(1) é igual a 3 9 17 c)  2 . e)  . a)  2 . 2 2 2 9 19 d)  . b)  2 . 4 4 23. UFPE Sabendo que

24. AFA-SP 2024 Sobre a função real f : [a, b] ñ R, representada pelo gráfico abaixo, é correto afirmar que y b 5 a

m 0

d

e

b

x

a

a) b) c) d)

f (x) > 0 \x é ]a, 0[. f é decrescente \x é [0, m[. se x é [d, e] então f (x) , 0. f tem apenas duas raízes reais.

25. Insper-SP 2016 Considere um polinômio P(x) do 4º grau, de coeficientes reais, tal que: • P(23) 5 P(1) 5 P(5) 5 0

•

84

P(0) e P(2) são, ambos, números positivos.

MATEMÁTICA

Capítulo 9

27. ITA-SP 2023 Considere o polinômio p(x) 5 x4 2 x3 1 1 x2 2 x 1 1. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) 5 x10 2 1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas de p(x). 28. IFMG Perdeu-se parte da informação que constava em uma resolução de um problema, pois o papel foi rasgado e faz-se necessário encontrar três dos números perdidos que chamaremos de A, B e C na equação abaixo. Ax 2 2 B Cx 2 2 9x 2 C 1 5 x2 1 x 1 3 2x 2 1 2x 3 1 x 2 1 5x 2 3

O valor de A 1 B 1 C é a) –3 c) 4 b) –2 d) 5

e) 7

29. Ufam 2024 Sejam 4 e 23 os respectivos restos da divisão do polinômio P(x) por (x 1 1) e (x 2 2). Logo, o resto da divisão de P(x) pelo produto (x 1 1)(x 2 2) é:

x 2 2 2x 1 4 C A B 1 5 1 x 3 1 x 2 2 2x x x 12 x 21

4 A B C , assinale A 1 B 1 2C. 5 1 1 2x x x 12 x 21

c

26. FGV-SP 2016 Sabendo-se que o resto da divisão do polinômio P(x) 5 x3 2 x2 1 2k 1 2 por x 2 3 é igual a 4k 2 220, o valor de k é a) 24 c) 2 e) 4 b) 22 d) 3

8 a) r (x ) 5 2 x 1 3 7 b) r (x ) 5 2 x 1 3 8 c) r (x ) 5 2 x 2 3

4 3 5 3 4 3

5 7 d) r (x ) 5 2 x 2 3 3 4 7 e) r (x ) 5 2 x 1 3 3

30. Udesc Seja r(x) o resto da divisão do polinômio p(x) 5 4x2 1 3x 1 5 por q(x) 5 2x2 2 x 2 1. Se f (x) 5 2x 1 k e f (g(x)) 5 r(x), então o valor da constante k para que o conjunto solução da inequação g(x) . 10 seja {x é R | x . 3} é: 32 a) –12 c) 12 e) − 5 b) –2 d) 2 31. UFPR Determine m e n de modo que o resto da divisão do polinômio y5 2 my3 1 n por y3 1 3y2 seja 5. a) m 5 19; n 5 25 b) m 5 19; n 5 15 c) m 5 –4; n 5 25

d) m 5 14; n 5 15 e) m 5 29; n 5 25

32. Uece 2023 Ao dividirmos o polinômio P(x) 5 x6 2 1 por x 1 2, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de Q(x) por x 2 1 é igual a a) 231. c) 241. b) 261. d) 221.

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 84

01/03/24 12:50

g(x ) 5

Soma:

3

40. UFSC 2019 Considere o polinômio p(x) de raízes  3 5 reais distintas pertencentes ao intervalo  2 ,  ,  2 2 cujo coeficiente do termo de maior grau é igual a 1, representado graficamente na figura a seguir.

3 2 1 A

25 22 23 21 2 2

x 2 1.

34. FMABC-SP 2021 Considere as constantes reais a, b e c e os polinômios p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 14 e q(x) 5 x3 1 3x2 1 ax – c. Sabendo que p(1) 5 20, p(2) 5 22 e q(–1) 5 –3, o produto abc vale a) 12. d) –12. b) 6. e) –6. c) –4. 35. Ifal Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio (x 2 2)(x 2 4)(x 2 5) obtém-se resto x 1 3. Se os restos das divisões de p(x) por x 2 2, x 2 4 e x 2 5 são, respectivamente, os números A, B e C, então ABC vale a) 100 d) 280 b) 180 e) 360 c) 200 36. Quais devem ser os valores de a e b, com a, b é R, para que o polinômio P(x) 5 x3 2 4x2 2 5ax 1 6b seja divisível pelo polinômio Q(x) 5 x2 1 2x 2 3?

37. IME-RJ 2023 As raízes da equação 4x3 2 40x2 1 1 129x 2 135 5 0 são os comprimentos dos lados de um triângulo em metros. Determine a área deste triângulo. 38. UPE Para que o polinômio 6x3 2 4x2 1 2mx 2 (m 1 1) seja divisível por x 2 3, o valor da raiz quadrada do módulo de m deve ser igual a a) 0 d) 3 b) 1 e) 5 c) 2 39. UEPG-PR 2020 Considerando que um polinômio P(x) possui três raízes reais dadas por x1 5 23, x2 5 1 e x3 5 2, assinale o que for correto. 75 . 01 O resto da divisão de P(x) por 2x 1 1 é 8 02 P(x) ? (x4 1 3x 1 2) é um polinômio de grau 7. 04 P(x) é um polinômio de terceiro grau. 08 O quociente de P(x) por x 2 6 é x2 1 6x 1 29. 16 P(x) não é divisível por x2 1 3x 1 2. Soma:

y 2

p

C

1 2

21 0 221 2

B 1 2

3 2

1

2

5 2

3 x

21

23 2

01 O polinômio p(x) é do 5o grau. 02 O resto da divisão de p(x) por d(x) 5 x 2 3 é 42. 04 A forma fatorada do polinômio p(x) é 1 3  (x 1 1)(x 2 1)  x 2   x 1  .  2  2 08 O termo independente do polinômio p(x) é negativo. 1  16 Se x é 21, 2 , então p(x) < 0. 2 

15 unidades de 32 A área do triângulo ABC é igual a 16 área. Soma:

41. O resto da divisão do polinômio P(x) 5 2x3 1 2kx 1 8t pelo polinômio D(x) 5 x2 2 x 1 3 é igual a 10. Então podemos afirmar que k t vale: a) 2 c) 4 e) 16 b) –2 d) –4 42. Unemat-MT Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) 5 x4 2 1 pelo polinômio D(x) 5 x 2 1, é correto afirmar. d) Q(21) 5 0 a) Q(0) 5 0 e) Q(1) 5 2 b) Q(0) < 0 c) Q(1) 5 0 43. Uece Se Q1(x) é o quociente da divisão de x2 1 2 por x 1 1 e Q2(x) é o quociente da divisão de x2 1 2 por x 2 1, então Q1(3) 1 Q2(4) é igual: a) 7 c) 9 b) 8 d) 10

44. Uerj Considere o polinômio P(n) 5 (n 1 1)(n2 1 3n 1 2), n é N. Calcule: a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de bases quadradas e volumes numericamente iguais a P(11), cujas medidas das arestas são expressas por números naturais. b) o valor da expressão:

( 79 1 4 ? 76 1 5 ? 7 3 1 2) 3442

FRENTE 2

33. UFSC 2024 Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 01 Se A e C são funções de uma variável r tais que A(r) é a área de um círculo com raio r e C(r) é o comprimento de uma circunferência com raio r, então A 2 C é um polinômio na variável r com duas raízes positivas distintas. 02 O polinômio p(x) 5 x4 2 16 é divisível pelo polinômio q(x) 5 x2 1 4. 04 Se p(x) e q(x) são polinômios de grau 6, então p(x) 1 q(x) é um polinômio de grau pelo menos 6. 08 A soma de todas as raízes reais da equação 42x 2 10 ? 4x 5 216 é igual a 2. 16 A função f (x) 5 x3 1 1 é inversa da função

.

85 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 85

01/03/24 12:50

45. Unicamp-SP Seja p(x) 5 x3 2 12x 1 16. a) Verifique que x 5 2 é raiz de p(x). b) Use fatoração para mostrar que se x > 0 e x = 2, então p(x) > 0. c) Mostre que, entre todos os prismas retos de bases quadradas que têm volume igual a 8 m³, o cubo é o que tem menor área total. 46. UFMS 2021 (Adapt.) Considere um bloco reto-retangular. Ele tem seu volume igual x3 1 9x2 1 23x 1 15. O valor da soma das medidas de todas as arestas desse sólido é igual a: a) (x 1 3). b) 2(x 1 3). c) 3(x 1 3). d) 6(x 1 3). e) 12(x 1 3). 47. UFSC Um polinômio p(x) de grau n > 2, dividido por x – 3, dá resto 5, e dividido por x 1 1, dá resto 2. Então, qual é o resto da divisão de p(x) por (x – 3)(x 1 1)? 48. Unicamp-SP 2022 Seja a um número real e considere o polinômio f (x) 5 x3 1 (a 1 1)x2 1 (a 1 2)x 1 2, que tem x 5 21 como uma de suas raízes.

a) Determine todos os valores de a tais que x 5 21 é única raiz real. b) Determine todos os valores de a tais que as soluções de f (x) 5 0 sejam números inteiros.

49. IF Sudeste-MG 2024 Considere as seguintes afirmativas a respeito de polinômios com variáveis complexas. I. Se z é C é raiz de um polinômio P(x) então z também é. II. Se a 1 bi e a 2 bi são raízes de um polinômio de grau 2, então um dos coeficientes do polinômio é um número complexo. III. O polinômio P(x) 5 4x2 1 16 possui duas raízes complexas. Assinale a alternativa CORRETA. a) Nenhuma afirmativa é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 50. FGV-SP Determine os valores de A, B e C de modo que: 3x 2 1 6x 1 2 A B C 5 1 1 3 2 x 1 3x 1 2x x x 11 x 12 51. AFA-SP 2016 Considere os polinômios Q(x) 5 5 x2 2 2x 1 1 e P(x) 5 x3 2 3x2 2 ax 1 b, sendo a e b números reais tais que a2 2 b2 5 28. Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que a) podem formar uma progressão aritmética. b) são todas números naturais. c) duas são os números a e b. d) duas são números simétricos.

86

MATEMÁTICA

Capítulo 9

52. AFA-SP 2024 Na equação x3 2 4x2 1 x 1 6 5 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. Sobre as raízes dessa equação, é correto afirmar que a) todas são números naturais. b) duas delas são números pares. c) o produto das duas maiores é maior que 5. d) formam, na ordem crescente, uma progressão aritmética. 53. Unicamp-SP 2016 Considere o polinômio cúbico p(x) 5 x3 1 x2 – ax – 3, onde a é um número real. Sabendo que r e –r são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é igual a a) 3 c) –2 b) 1 d) –4 54. AFA-SP Sobre o polinômio A(x) expresso pelo deterx 1 1    minante da matriz  1 x 22  é incorreto afirmar que  1 x x  a) não possui raízes comuns com B(x) 5 x2 2 1. b) não possui raízes imaginárias. c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. d) é divisível por P(x) 5 x 1 2. 55. Unicamp-SP 2018 Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x), obtém-se quociente e resto iguais a x2 1 1. Nessas condições, é correto afirmar que a) o grau de p(x) é menor que 5. b) o grau de q(x) é menor que 3. c) p(x) tem raízes complexas. d) q(x) tem raízes reais. 56. ITA-SP 2017 Considere o polinômio p(x) 5

p(x ) 5 x 4 2 ( 1 1 2 3 ) x 3 1 ( 3 1 2 3 ) x 2 2 ( 1 1 4 3 ) x 1 2. a) Determine os números reais a e b tais que p(x) 5 (x2 1 ax 1 1)(x2 1 bx 1 2). b) Determine as raízes de p(x).

57. ITA-SP 2015 Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1. a) Determine o número de elementos de S. b) Determine o subconjunto de S formado pelos polinômios que têm 21 como uma de suas raízes. 58. ITA-SP Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem grau igual a a) 30 d) 36 b) 32 e) 38 c) 34 59. ITA-SP 2021 Seja p(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que p(51) 5 391 e 0 , p(3) < 12. Então, p(3) é igual a: a) 5. c) 7. e) 9. b) 6. d) 8.

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 86

01/03/24 12:50

x3 14 a bx 1 c 511 1 3 x3 1 1 x11 x 2 x 11 é válida para todo número real x = 21. Determine a 1 b 1 c.

61. ITA-SP A identidade

62. IME-RJ 2020 Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x 2 2, x 2 3 e x 2 5 deixa restos 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x 2 2)(x 2 3)(x 2 5) é: a) 1 b) x c) 30 d) x 2 1 e) x 2 30 63. IME-RJ 2018 Seja P(x) o polinômio de menor grau que passa pelos pontos A (2, 24 1 3 3 ) , B ( 1, 3 2 2 2) , C ( 2, 3 ) e D ( 3, 2 ) . O resto da divisão de P(x) por (x 2 3) é: a) 8 3 2 5 2 2 6 b) 6 3 2 4 2 2 1

c) 9 3 2 8 2 2 2

d) 4 3 2 10 2 2 3 e) 4 3 2 2 2 6

64. IME-RJ 2016 Seja P(x) 5 x2 1 ax 1 b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b a) b) c) d) e)

P(21)P(1) < 0 P(21)P(1) 5 0 P(21) 1 P(1) 5 2 P(0)P(1) 5 0 P(0) 1 P(1) 5 0

65. IME-RJ 2015 Qual o resto da divisão do polinômio x26 2 x25 2 6x24 1 5x4 2 16x3 1 3x2 pelo polinômio x3 2 3x2 2 x 1 3? a) x2 1 x 2 2 b) 6x2 2 4x 1 3 c) 3x 2 9 d) 6x2 2 17x 2 3 e) 6x 1 1

66. IME-RJ 2017 O polinômio P(x) 5 x3 2 bx2 1 80x 2 c possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c2. Qual é o valor de b? a) 11 b) 13 c) 17

d) 23 e) 29

67. ITA-SP 2018 Se x é um número real que satisfaz x3 5 x 1 2, então x10 é igual a a) 5x2 1 7x 1 9 b) 3x2 1 6x 1 8 c) 13x2 1 16x 1 12 d) 7x2 1 5x 1 9 e) 9x2 1 3x 1 10

68. AFA-SP 2022 Considere o polinômio P(x) 5 5 5x2n 2 4x2n 1 1 2 2, em que n é um número natural. Dividindo P(x) por (x 1 1), o resto r encontrado é tal que a) r < 2 b) 2 , r < 5 c) 5 , r < 8 d) r . 8 69. ITA-SP 2016 Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por: p(z) 5 z4 1 (2 1 i )z3 1 (2 1 i )z2 1 (2 1 i )z 1 (1 1 i )

Podemos afirmar que a) nenhuma das raízes de p é real. b) não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas. c) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 1 2. d) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2. e) o módulo de uma das raízes de p é igual a 2. 70. ITA-SP 2016 Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio (1 1 x 1 x2)40 por (1 1 x)3. 71. ITA-SP 2015 Considere o polinômio p dado por p(x) 5 2x3 1 ax2 1 bx 2 16, com a, b é ℝ. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b 2 a é igual a a) 236 b) 212 c) 6 d) 12 e) 24 72. AFA-SP 2024 Seja: p(x ) 5

4

∑ (a x )

n50

n

n

um polinômio

de coeficientes reais. O coeficiente do termo de maior grau de p(x) é 21. Sabe-se que p(x) possui três raízes distintas a, b e g que satisfazem o sistema linear abaixo e que a menor das raízes possui multiplicidade 2. a 2 b 2 2g 5 1  2a 1 b 1 g 5 2 a 2 2b 1 g 5 22 

O resto da divisão de p(x) por q(x) 5 x 1 10 é a) 230. b) 229. c) 228. d) 227.

FRENTE 2

60. ITA-SP 2020 Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio pk(x) 5 5 x3 2 x2 2 k possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de k, determine a raiz inteira correspondente.

87 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 87

01/03/24 12:50

BNCC em foco EM13MAT402

1. Um zero de um polinômio real [...] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c) 5 0. O zero de um polinômio também é denominado raiz da equação p(x) 5 0. Fonte: disponível em: http://p.p4ed.com/WKRJP. Acesso em: 28 fev. 2024.

O gráfico que representa um polinômio que tem 2 raízes reais distintas e negativas é: a)

c)

y

e)

y

y 5 p(x)

b)

d)

y

y

x

x

0

x

0

y 5 p(x)

y 5 p(x)

0

y 5 p(x)

x

0

x

0

y

y 5 p(x)

EM13MAT502

2. A imagem a seguir mostra o gráfico da função polinomial p. y 4 2 23

22

21

0

1

2

3

4 x

22 24

Sobre p podemos afirmar que: a) há duas raízes reais no intervalo [1, 3]. b) é divisível por x 1 3. c) tem apenas uma raiz real.

d) não tem raiz real. e) seu grau é maior que dois.

EM13MAT506

3. Foi colocado à venda um terreno retangular com área total de 1 920 m2. Entretanto, há uma faixa contornando dois lados do terreno que está em área de preservação ambiental, conforme indicado pela planta a seguir.

32 m y x 60 m

Sabendo que na área de preservação não poderá ter construção alguma, os polinômios que representam a área de preservação e a área útil do terreno, respectivamente, são: a) 60y 1 32x 2 xy; 1 920 2 60y 2 32x 1 xy. d) 1 920 2 60y 2 32x; 32x 1 60y 1 xy. b) 60y 1 32x; 1 920 2 7x 2 3y. e) 60y 1 32x 1 xy; 1 920 2 60y 2 32x 1 xy. c) 32x 1 60y 1 xy; 1 920 2 60x 2 32y 2 xy.

88

MATEMÁTICA

Capítulo 9

Polinômios

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_048_088_mat_f2_c9_p4.indd 88

01/03/24 12:50

gorodenkoff/iStockphoto.com

FRENTE 2

10 CAPÍTULO

Equações polinomiais Desde a Antiguidade, muitas civilizações utilizam equações algébricas para resolver problemas de situações cotidianas e práticas, mas não da forma como hoje. Muitos problemas do período babilônico, por exemplo, mostram que não se utilizavam letras para valores desconhecidos, mas palavras como comprimento, altura, área. O desenvolvimento da linguagem algébrica permite codificar problemas que têm números como soluções, impulsionando a criatividade nas técnicas empregadas. A Álgebra é uma manifestação valiosa do pensamento matemático para atividades cotidianas, como o uso do computador, do celular e de outros aparelhos eletrônicos, para que nos forneçam dados que resolvam problemas nos mais diversos contextos.

89 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 89

01/03/24 18:32

Equações de uma variável

Equações com uma variável

Equações são sentenças matemáticas abertas que traduzem um problema. Pode-se escrever uma equação partindo de uma sentença matemática fechada expressa por relação de igualdade e omitindo um dos seus valores numéricos. O valor omitido é chamado de incógnita da equação. O valor da incógnita costuma ser representado por uma letra, sendo bastante comum o uso das letras x e y. Veja o exemplo de uma sentença fechada:

Há diferentes tipos de equações matemáticas que podem ser classificadas de acordo com o número de variáveis e as operações ou funções que a exprimem. O quadro a seguir mostra alguns tipos de equações com apenas uma variável, que são estudadas no Ensino Médio:

(12 2 15)2 1 11 5 20

Verifica-se que a sentença é verdadeira, pois efetuando as operações indicadas no 1º membro, chega-se de fato ao valor apresentado no 2º membro da igualdade. Observe:

• • •

Essa equação pode ser construída a partir da seguinte questão:

Embora se tenha omitido o número 12 na sentença fechada original, ele não é a única resposta da pergunta. O número 18 também é uma resposta possível. Veja: 18 2 15 5 3 32 5 9 9 1 11 5 20

Solução de uma equação Os números que são respostas de uma equação também são chamados de soluções da equação. As soluções de uma equação costumam ser apresentadas como elementos de um conjunto numérico denominado conjunto solução da equação. Como no item anterior, vimos que os números 12 e 18 são as únicas respostas que satisfazem a equação (x 2 15)2 1 11 5 20. Por isso, o conjunto solução S dessa equação é S 5 {12, 18}. O conjunto solução de uma equação deve conter todas as soluções dessa equação e nenhum elemento a mais. Escrever o conjunto solução de uma equação na incógnita x indica que x é S, ou seja, “x” é um elemento que pode, nesse caso, assumir mais de um valor numérico. Por esse motivo, a incógnita de uma equação também costuma ser chamada de variável.

90

MATEMÁTICA

Capítulo 10

|2x 1 3| 5 x 1 3 10x 5 20 cos (x) 5 21

Equação polinomial do 3º grau

x3 1 x 5 x2 1 1

Equação polinomial do 4º grau

x4 5 16

Equação polinomial do 5º grau

x5 5 29x3

O conjunto solução de uma equação, dependendo do conjunto universo em que sua variável está definida, pode ser:

De qual número se deve subtrair 15 unidades para se obter um resultado que, depois de elevado ao quadrado e adicionado ao número 11, totalize 20 unidades?

Se dele forem subtraídas 15 unidades, obtém-se um resultado que, depois de elevado ao quadrado e adicionado ao número 11, totaliza 20 unidades.

2x2 1 3 5 7x

Equação trigonométrica

efetuando-se a adição, obtemos 9 1 11 5 20.

(x 2 15) 1 11 5 20

Equação polinomial do 2º grau

Equação exponencial

o quadrado dessa diferença é (23)2 5 9;

2

2x 1 15 5 13

Equação modular

a diferença apresentada entre os parênteses é 12 2 15 5 23;

De fato, 20 5 20. Agora, considere que um dos valores numéricos do 1º membro da sentença seja desconhecido. Podemos usar a letra x para representar esse número.

Equação polinomial do 1º grau

Naturais

xéN

Inteiros

xéZ

Reais positivos

x é R1

Reais

xéR

Complexos

xéC

O conjunto numérico em que a variável de uma equação está definida é chamado de domínio. A solução de uma equação numérica deve pertencer ao domínio da equação. Considere, por exemplo, a equação 2x 1 15 5 13. Se o domínio dessa equação é D 5 N, essa equação não possui solução, ou seja, S 5 0, pois x 5 21. Caso o domínio seja o conjunto dos números inteiros (Z), o conjunto solução dessa equação é S 5 {21}. Resumindo: 2x 1 15 5 13, com x é N, temos que S 5 0;

2x 1 15 5 13, com x é Z, temos que S 5 {21}. Considerando o quadro das equações, veja algumas possibilidades para o conjunto solução das equações dadas.

•

Equação modular: |2x 1 3| 5 x 1 3

•

Equação exponencial: 10x 5 20

Considerando x é N, o conjunto solução dessa equação é S 5 {0}; caso tenhamos x é Z, o conjunto solução é S 5 {0, 22}. Considerando x é Q, o conjunto solução dessa equação é S 5 0; caso tenhamos x é R, o conjunto solução é S 5 {1 1 log 2}.

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 90

01/03/24 18:32

Equação trigonométrica: cos x 5 21

•

Equação do 3º grau: x3 1 x 5 x2 1 1

•

Equação do 4º grau: x4 5 16

Considerando x é [0, 2p], o conjunto solução dessa equação é S 5 {p}; caso tenhamos x é R, o conjunto solução é S 5 {p 1 k ? 2p, k é Z}. Considerando x é R, o conjunto solução dessa equação é S 5 {1}; caso tenhamos x é C, o conjunto solução é S 5 {1, i, 2i}. Considerando x é N, o conjunto solução dessa equação é S 5 {2}; caso tenhamos x é R, o conjunto solução é S 5 {2, 22}. E, ainda, se x é C, temos S 5 {2, 22, 2i, 22i }.

•

Equação do 5º grau: x 1 9x 5 0 5

3

Considerando x é R, o conjunto solução dessa equação é S 5 {0}; caso tenhamos x é C, o conjunto solução é S 5 {0, 3i, 23i }.

Equações polinomiais de uma variável Quando dois polinômios não idênticos A(x) e B(x) são comparados por uma relação de igualdade, a sentença matemática aberta obtida é chamada de equação algébrica ou equação polinomial. A(x) 5 B(x) Equações algébricas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. O símbolo ^ pode ser usado para indicar que duas equações são equivalentes. A(x) 5 B(x) ^ A(x) 2 B(x) 5 0 Assim, considerando um polinômio P(x) idêntico à diferença entre os polinômios A(x) e B(x), pode-se dizer que obter os elementos do conjunto solução da equação A(x) 5 B(x) significa determinar as raízes do polinômio P(x), tal que P(x) 5 A(x) 2 B(x). Ou seja: A(x) 2 B(x) 5 0 ^ P(x) 5 0

Sendo assim, toda equação polinomial pode ser expressa por: n

∑a x

p50

p

n2 p

50

Ou por: a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an 5 0

Atenção É importante lembrar que funções modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas não caracterizam funções polinomiais, bem como as funções potenciais em que o expoente da variável não é um número natural, como y 5 x21 ou y 5 x0,5, não caracterizam polinômios. Por isso, os teoremas e demais conclusões tiradas neste capítulo não se aplicam quando a equação apresenta alguma dessas funções em sua composição.

Nos casos em que P(x) é uma função constante, P(x) 5 0 é uma sentença matemática fechada e, portanto, verdadeira ou falsa independentemente do valor de x. • P(x) ä k

Se P(x) for o polinômio nulo (k 5 0), todo número complexo será solução da equação P(x) 5 0, e, se P(x) não for o polinômio nulo (k = 0), então nenhum número complexo será solução da equação. Para um melhor entendimento destes casos particulares, pode-se representar o polinômio P(x) como uma função do tipo ax 1 k em que a 5 0. P(x) 5 0 ? x 1 k

Dessa forma, considerando a equação P(x) 5 0 no universo dos números complexos, seu conjunto solução terá apenas duas possibilidades. • Se k 5 0, então 0 ? x 1 0 5 0 ~ S 5 C.

•

Se k = 0, então 0 ? x 1 k 5 0 ~ S 5 0.

Grau de uma equação polinomial O grau de uma equação algébrica representada na forma P(x) 5 0 coincide com o grau do polinômio P(x). Entre os principais conhecimentos associados às equações polinomiais estão as relações existentes entre o grau da equação e a quantidade de soluções que ela possui de acordo com o domínio de sua variável. Essas relações serão enunciadas ao longo do capítulo. Podemos dizer que nenhuma equação polinomial possui mais soluções do que o número que representa o seu grau, ou seja: • Equações de grau zero não possuem soluções.

•

Equações do 1º grau possuem no máximo uma solução cada.

•

Equações do 2º grau possuem no máximo duas soluções cada.

•

Equações do 3º grau possuem no máximo três soluções cada.

•

æ Equações de grau n possuem no máximo n soluções cada.

Soluções de uma equação polinomial A existência de soluções de uma equação do tipo P(x) 5 0 depende de algumas características do polinômio P(x) como o grau do polinômio, o domínio e a série dos coeficientes. Como visto acima, o número de soluções de uma equação polinomial está limitado pelo seu grau. Assim, sendo n o grau da equação e s o número de elementos do conjunto solução, tem-se, primeiro que s , n. O domínio da variável de uma equação depende, principalmente, do contexto de aplicação da função polinomial. O contexto pode ser combinatório, geométrico, temporal ou físico, entre outros. Veja o exemplo do polinômio A(x) 5 x3 2 3x2 1 2x, que fornece o número de arranjos com 3 elementos extraídos de um mesmo conjunto J com x elementos. Nesse caso, o domínio da função é o conjunto dos números naturais: x é N.

FRENTE 2

•

91 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 91

01/03/24 18:32

Primeiro, observe que, se o conjunto J for vazio (x 5 0), unitário (x 5 1) ou binário (x 5 2), não será possível extrair dele algum arranjo com 3 elementos. Isso é mostrado pelos seguintes valores numéricos do polinômio A(x):

Se não houver restrição para os domínios das equações polinomiais usadas nos dois exemplos anteriores, cada equação teria três soluções complexas. Veja:

•

x3 2 3x2 1 2x 2 720 5 0 ~

 27 2 i 239 27 1 i 239  A(0) 5 03 2 3 ? 02 1 2 ? 0 5 0 2 0x 1 3 0 5 20 ~ S 5 10,  2 3x 1 2x 2 720 5 0 ^ , 3 2 2 2   A(1) 5 1 2 3 ? 1 1 2 ? 1 5 1 2 3 1 2 5 0 A(2) 5 23 2 3 ? 22 1 2 ? 2 5 8 2 12 1 4 5 0 • 2x 3 1 8x 2 2 24 5 0 ~ S 5 {2, 3 2 21, 3 1 21 } Se J possuir exatamente 3 elementos, então será possível extrair dele 6 arranjos com 3 elementos: Nessas condições, tem-se, para ambos os exemplos, que: A(3) 5 33 2 3 ? 32 1 2 ? 3 5 27 2 27 1 6 5 6

•

Se J possuir exatamente 4 elementos, então será possível extrair dele 24 arranjos com 3 elementos:

•

A(4) 5 43 2 3 ? 42 1 2 ? 4 5 64 2 48 1 8 5 24 E assim por diante. Depois, considere que esse polinômio seja usado para se descobrir quantos elementos deve possuir o conjunto J, para que possam ser feitos exatamente 720 arranjos distintos, com 3 de seus elementos. Desse problema, vem a equação:

Atenção

2

Equações polinomiais com coeficientes complexos não reais também podem possuir soluções reais. Veja que x2 1 (1 2 i )x 2 i 5 0 ~ S 5 {21, i }.

Sendo P(x) 5 A(x) 2 720, a equação fica expressa na forma P(x) 5 0, por: x3 2 3x2 1 2x 2 720 5 0

A equação cúbica (do 3º grau) obtida nesse exemplo possui apenas uma solução natural, x 5 10: x3 2 3x2 1 2x 2 720 5 0, com x é N

Mesmo sem restrições de coeficientes ou domínio, isto é, com x é C, o número de soluções de uma equação do tipo P(x) 5 0 pode variar de acordo com os coeficientes do polinômio P(x). Exemplos:

Então, o conjunto solução é S 5 {10}.

•

o grau da equação é n 5 3;

•

Nesse exemplo, tem-se que:

• •

o número de soluções é s 5 1.

Outro exemplo é o do polinômio V(x) 5 8x2 2 x, que fornece o volume, em m3, de um prisma quadrangular regular cujas arestas da base medem x m. Neste caso, o domínio da função não possui números negativos: x é R1. Considere que esse polinômio seja usado para obter o comprimento do lado da base que o prisma deve ter para que seu volume seja de 24 m3. Desse problema, vem a equação: 8x2 2 x3 5 24

Sendo P(x) 5 V(x) 2 24, a equação fica expressa na forma P(x) 5 0, por: 2x3 1 8x2 2 24 5 0

A equação cúbica anterior possui apenas duas soluções reais positivas: x 5 2 e x 5 3 1 21 . 2x3 1 8x2 2 24 5 0, com x é R1

Então, o conjunto solução é S 5 {2, 3 1 21 }. Nesse exemplo, tem-se que:

• • 92

o grau da equação é n 5 3;

o número de soluções é s 5 2.

MATEMÁTICA

Capítulo 10

o número de soluções é s 5 3.

No primeiro exemplo, a equação possui uma solução inteira e positiva e mais duas soluções complexas, que são conjugadas uma da outra; no outro exemplo, a equação possui uma solução inteira e positiva e mais duas soluções irracionais, sendo uma positiva e outra negativa.

x 2 3x 1 2x 5 720 3

o grau da equação é n 5 3;

•

A equação x3 1 x2 1 4x 1 4 5 0, com x é C, possui três soluções: S 5 {21, 2i, 22i }.

A equação x3 1 5x2 1 7x 1 3 5 0, com x é C, possui apenas duas soluções: S 5 {21, 23}. A equação x3 1 3x2 1 3x 1 1 5 0, com x é C, possui apenas uma solução: S 5 {21}.

Fórmulas resolutivas de equações polinomiais A busca de expressões algébricas capazes de fornecer as soluções de uma equação do tipo P(x) 5 0 em função dos valores dos coeficientes do polinômio P(x) foi objeto de estudo dos grandes matemáticos desde a Antiguidade. Ainda no século III d.C., os trabalhos de Diofante de Alexandria já tratavam de equações do 1 º e 2º graus. No mundo árabe, o matemático persa Abu Alcuarismi (século IX) apresentou os primeiros métodos sistemáticos para resolver esses tipos de equações. Os primeiros trabalhos a respeito das equações do 3 º grau são de outro matemático persa, chamado Omar Caiam (século XI), mas o método resolutivo desse tipo de equação só foi sistematizado com contribuições de matemáticos italianos dos séculos XV e XVI. O método resolutivo das equações do 4 º grau, desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari (século XVI), consiste em utilizar uma variável auxiliar

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 92

01/03/24 18:32

Fórmula resolutiva de uma equação do 1º grau As equações polinomiais do 1º grau podem ser expressas por: ax 1 b 5 0, a = 0

Como essa equação só admite uma solução complexa, sua fórmula resolutiva é dada por: x 52

b a

Veja os exemplos a seguir: I. 2x 1 8 5 0

Temos a 5 2 e b 5 8, então a única solução da equab 8 ção é x 5 2 5 2 5 24 . a 2 Portanto, o conjunto solução dessa equação é S 5 {24}. 7 II. 3x 2 5 0 2 7 Temos a 5 3 e b 5 2 , então a única solução da 2  7  2  b 7 2 equação é x 5 2 5 2 5 . a 3 6 Portanto, o conjunto solução dessa equação é 7  S 5  . 6 

III. 2x 1 (2 2 i ) 5 0

Temos a 5 21 e b 5 2 2 i, então a única solução é b 22i 5 22 i. x 52 52 21 a Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {2 2 i }.

Como essa equação pode admitir até duas soluções complexas, suas fórmulas resolutivas são: 2b 2 D 2b 1 D x1 5 e x2 5 2a 2a Nessas fórmulas, o parâmetro dentro das raízes quadradas denomina-se discriminante e é dado por: D 5 b2 2 4ac O número de soluções da equação e o conjunto numérico ao qual elas pertencem podem ser previstos pelo valor desse parâmetro da seguinte maneira: • se D > 0, então a equação possui duas soluções reais;

•

se D 5 0, então a equação possui apenas uma solução real;

•

se D < 0, então a equação possui duas soluções não reais conjugadas. Veja os exemplos a seguir:

I.

4x2 1 3x 2 1 5 0 Temos a 5 4, b 5 3 e c 5 21. Então, o discriminante da equação é: D 5 b2 2 4ac 5 32 2 4 ? 4 ? (21) 5 9 1 16 5 25

E as soluções são:  2b 2 D 23 2 25 23 2 5 28 5 5 5 5 21  x1 5  2a 2?4 8 8   x 5 2b 1 D 5 23 1 25 5 23 1 5 5 2 5 1  2 2a 2?4 8 8 4

1  Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 21,  . 4  II. x2 1 6x 1 9 5 0 Temos a 5 1, b 5 6 e c 5 9. Então, o discriminante da equação é: D 5 b2 2 4ac 5 62 2 4 ? 1 ? 9 5 36 2 36 5 0

E as soluções são:

 2b 2 D 26 2 0 26 2 0 26 5 5 5 5 23  x1 5  2a 2?1 2 2   x 5 2b 1 D 5 26 1 0 5 26 1 0 5 26 5 23  2 2a 2?1 2 2

Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {23}.

III. x2 1 9 5 0 Temos a 5 1, b 5 0 e c 5 9. Então, o discriminante da equação é: D 5 b2 2 4ac 5 02 2 4 ? 1 ? 9 5 0 2 36 5 236

E as soluções são:

 20 2 6i 26i 2b 2 D 20 2 236 5 5 5 5 23i  x1 5  2a 2?1 2 2   x 5 2b 1 D 5 20 1 236 5 20 1 6i 5 6i 5 3i  2 2a 2?1 2 2 Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {23i, 3i }.

Fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau

Fórmula resolutiva de uma equação do 3º grau

As equações polinomiais do 2º grau podem ser expressas por:

As equações polinomiais do 3º grau podem ser expressas por:

ax2 1 bx 1 c 5 0, a = 0

ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, a = 0

FRENTE 2

que pode ser obtida ao se resolver uma equação do 3º grau. A partir daí, a comunidade matemática da época passou a acreditar que seria possível resolver todas as equações polinomiais de grau n introduzindo variáveis auxiliares que poderiam ser encontradas resolvendo-se equações de grau (n 2 1), mas, infelizmente, provou-se que essa ideia estava errada. A teoria desenvolvida nos séculos XVIII e XIX pelos matemáticos Paolo Ruffini, Evariste Galois e Niels Abel mostrou que nem todas as equações de grau maior que 5 poderiam ser resolvidas por processos similares àqueles obtidos para as equações de grau inferior. O estudo para se obter um método de resolução dessas equações continua até os dias de hoje. Entre esses estudos, vale ressaltar um trabalho publicado em 2019, do matemático brasileiro Rodrigo Martinelli, que apresenta uma técnica para resolver diversos tipos de equações do 5º grau e que também pode ser usado para se resolver qualquer equação do 4º grau.

93 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 93

01/03/24 18:32

Como essa equação pode admitir até três soluções complexas, suas fórmulas resolutivas são: x1 5

2b q q  q  p  q  p 1 32 1   2   1 32 2   2    2  3  2  3 3a 2 2

x2 5

2 3 2 3  21 1 i 3   21 2 i 3  2b q q  q  p  q  p 1 ? 32 1   2   1  ? 32 2   2          2  3  2  3 3a 2 2 2 2

x3 5

2 3 2 3  21 2 i 3   21 1 i 3  2b q q  q  p  q  p 32 32 1 ? 1 2 1 ? 2 2             3a 2 2 2 3 2 2 2 3

2

3

2

3

Nessas fórmulas, os parâmetros dentro das raízes cúbicas e quadradas são: p5

b2 2 3ac 2b3 bc d e q5 2 1 2 3a 27a 3 3a2 a 2

3

 q  p Em equações do 3º grau, o parâmetro D é definido por D 5   2   .  2  3 O número de soluções da equação e o conjunto numérico ao qual elas pertencem também podem ser previstos pelo valor desses parâmetros da seguinte maneira: • se D > 0, então a equação possui uma solução real e duas soluções não reais conjugadas;

• • •

se D 5 0 e q 5 0, então a equação possui apenas uma solução real; se D 5 0 e q = 0, então a equação possui duas soluções reais; se D < 0, então a equação possui três soluções reais. Veja os exemplos a seguir:

I. x3 2 6x2 1 6x 2 5 5 0 Temos a 5 1, b 5 26, c 5 6 e d 5 25. Então, os primeiros parâmetros auxiliares são:

 (26)2 2 3 ? 1 ? 6 36 2 18 18 b2 2 3ac 5 5 5 56  p 5 2 3a 3 ? 12 3 3  3 3 q 5 2b 2 bc 1 d 5 2 ? (26) 2 (26) ? 6 1 (25) 5 216 1 12 2 5 5 29  27a 3 3a2 27 ? 13 3 ? 12 1 a

O discriminante da equação vale:

81 81 2 32 49  29   6  q  p D5   2   5  2  5 285 5  2  3  2   3 4 4 4 2

3

2

3

Então, a primeira solução da equação é: x1 5 x1 5

2b q q 22 ( 6) (29) 49 (29) 1 32 1 D 1 32 2 D 5 1 32 1 1 32 2 3a 2 2 3?1 2 4 2 6 9 7 9 7 1 3 1 1 3 2 521 3 2 2 2 2

3

49 4

16 2 13 2 2

x1 5 2 1 3 8 1 3 1 5 2 1 2 1 1 5 5

Aproveitando as raízes cúbicas determinadas no cálculo de x1, as demais soluções da equação são:  21 1 i 3   21 2 i 3  4 2 2 1 2i 3 2 1 2 i 3 11i 3 x2 5 2 1  5  ? 2 1   ? 1 5  2 2 2 2  21 2 i 3  x3 5 2 1   ? 2 1  2

 21 1 i 3  4 2 2 2 2i 3 2 1 1 i 3 12i 3 5   ? 1 5 2 2 2

 11i 3 12i 3 . Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 5, , 2  2  3 2 II. x 1 3x 1 3x 1 1 5 0 Temos a 5 1, b 5 3, c 5 3 e d 5 1. Então, os primeiros parâmetros auxiliares são:

 b2 2 3ac 32 2 3 ? 1 ? 3 929 0 5 5 5 50  p 5 2 3a 3 ? 12 3 3  3 3 ? b bc d ? 2 2 3 3 3 1 2 ? 27 9 q 5 2 1 5 2 1152231150 2 1 5 3 2 3 2  a 27a 3a 27 ? 1 3?1 1 27 3

94

MATEMÁTICA

Capítulo 10

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 94

01/03/24 18:32

O discriminante da equação vale: 2

3

2

3

 q  p  0  0 D5   2   5   2   502050  2  3  2  3 Então, a primeira solução da equação é: x1 5

23 23 0 0 1 32 1 0 1 32 2 0 5 1 3 0 1 0 1 3 0 2 0 5 21 1 0 1 0 5 21 3?1 2 2 3

Aproveitando as raízes cúbicas determinadas no cálculo de x1, as demais soluções da equação são:  21 1 i 3   21 2 i 3  x2 5 21 1   ? 0 1   ? 0 5 21 1 0 1 0 5 21  2 2  21 2 i 3  x 3 5 21 1   ? 0 1  2

 21 1 i 3    ? 0 5 21 1 0 1 0 5 21 2

Portanto, como x1 5 x2 5 x3, o conjunto solução da equação é unitário: S 5 {21}.

III. 2x3 1 6x2 2 18x 2 54 5 0 Temos a 5 2, b 5 6, c 5 218 e d 5 254. Então, os primeiros parâmetros auxiliares são:

 62 2 3 ? 2 ? (218) 36 1 108 144 b2 2 3ac 5 5 5 5 12  p 5 2 3a 3 ? 22 12 12  3 3 q 5 2b 2 bc 1 d 5 2 ? 6 2 6 ? (218) 1 254 5 432 2 2108 2 27 5 2 1 9 2 27 5 216  27a 3 3a2 27 ? 23 3 ? 22 2 216 12 a

O discriminante da equação vale:  216   12   q  p D5   2   5  2   5 (28)2 2 4 3 5 64 2 64 5 0   2  3  2   3 2

3

2

3

Então, a primeira solução da equação é: x1 5

26 (216) (216) 26 1 32 1 0 1 32 2 05 1 3 8 1 0 1 3 8 2 0 5 21 1 2 1 2 5 3 3?2 2 2 6

Aproveitando as raízes cúbicas determinadas no cálculo de x1, as demais soluções da equação são:  21 1 i 3   21 2 i 3  22 2 2 1 2i 3 2 2 2 2i 3 26 x2 5 21 1  5 5 23  ? 2 1   ? 2 5  2 2 2 2  21 2 i 3  x 3 5 21 1   ? 2 1  2

 21 1 i 3  22 2 2 2 2i 3 2 2 1 2i 3 26 5 5 23   ? 2 5 2 2 2

Portanto, como x2 5 x3, o conjunto solução da equação é S 5 {23, 3}.

Atenção Note que nenhum dos exemplos de equações cúbicas anteriores apresenta discriminante negativo (D < 0). Isso só acontece quando a equação possui três soluções reais distintas.

 b2 2 3ac 02 2 3 ? 1 ? (26) 0 1 18 18 5 5 5 56  p 5 2 3a 3 ? 12 3 3  3 3 q 5 2b 2 bc 1 d 5 2 ? 0 2 0 ? (26) 1 4 5 0 2 0 1 4 5 0 1 0 1 4 5 4  a 27a 3 3a2 27 ? 13 3 ? 12 1 27 3 2

3

2

3

 q  p  4  6 O discriminante da equação vale: D 5   2   5   2   5 22 2 23 5 4 2 8 5 24  2  3  2  3 Então, a primeira solução da equação é: x1 5

FRENTE 2

IV. x3 2 6x 1 4 5 0 Tem-se que a 5 1, b 5 0, c 5 26 e d 5 4. Assim, os primeiros parâmetros auxiliares são:

2b 20 q q 4 4 1 3 2 1 24 1 3 2 2 24 1 32 1 D 1 32 2 D 5 3a 2 2 3?1 2 2

x 1 5 0 1 3 22 1 2i 1 3 22 2 2i 5 3 22 1 2i 1 3 22 2 2i

95 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 95

01/03/24 18:32

Neste ponto da resolução, para que sejam extraídas as raízes cúbicas de 22 1 2i e 22 2 2i, recomenda-se o uso das formas polares dos complexos. Assim, sendo z 5 22 1 2i, tem-se: |z| 5 (22)2 1 22 5 8 5 2 2  Arg(z ) 5 135°

Então, uma das raízes cúbicas de z é o número com|w| 5 3 |z| 5 3 8 5 6 23 5 2  plexo w tal que:  135° 5 45° Arg(w ) 5 3  Usando a forma trigonométrica dos números complexos:  2 2 w 5 2(cos 45° 1 i ? sen 45° ) 5 2  1i ?  511i  2 2  Por serem complexos conjugados, os números 22 1 1 2i e 22 2 2i possuem raízes cúbicas que também são conjugadas uma da outra. Então, retornando à expressão resolutiva: x 1 5 3 22 1 2i 1 3 22 2 2i 5 3 (1 1 i )3 1 3 (1 2 i ) 3 5 511i 112i 52

Aproveitando os resultados das raízes cúbicas no cálculo de x1, as outras soluções são:  21 1 i 3   21 2 i 3  x2 5 0 1   ? (1 1 i ) 1   ? (1 2 i ) 5  2 2 21 2 i 1 i 3 2 3 21 1 i 2 i 3 2 3 1 5 21 2 3 5 2 2  21 2 i 3   21 1 i 3  x3 5 0 1   ? (1 1 i ) 1   ? (1 2 i ) 5  2 2 5

D 5 c2 2 4ae 5 (213)2 2 4 ? 1 ? 36 5 169 2 144 5 25 E suas soluções são:

2c 2 D 22 ( 13) 2 25 13 2 5 51 51 51 4 512 2a 2?1 2

x 1 51

2c 2 D 22 ( 13) 2 25 13 2 5 52 52 52 4 522 2a 2?1 2

x2 52

2c 1 D 22 ( 13) 1 25 13 1 5 51 51 51 9 513 2a 2?1 2

x 3 51

2c 1 D 22 ( 13) 1 25 13 1 5 52 52 52 9 523 2a 2?1 2

x4 52

Portanto, o conjunto solução da equação é: S 5 {12, 22, 13, 23}

II. x4 1 2x2 2 8 5 0 Temos a 5 1, b 5 0, c 5 2, d 5 0 e e 5 28. Então, o discriminante da equação é: D 5 c2 2 4ae 5 22 2 4 ? 1 ? (28) 5 4 1 32 5 36

E suas soluções são:

2c 2 D 22 2 36 22 2 6 51 51 51 24 512i 2a 2?1 2

x 1 51

2c 2 D 22 2 36 22 2 6 52 52 52 24 522i 2a 2?1 2

x2 52

21 2 i 2 i 3 1 3 21 1 i 1 i 3 1 3 1 5 21 1 3 2 2

x3 5 1

Portanto, o conjunto solução da equação é:

x4 5 2

S 5 {2, 21 2

3, 21 1

3}

Fórmula resolutiva de uma equação de 4º grau As equações polinomiais do 4º grau podem ser expressas por: ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, a = 0

x 3 51

2c 2 c 2 2 4ae x2 5 2 2a MATEMÁTICA

Capítulo 10

x3 5 1

2c 1 c 2 2 4ae 2a

2c 1 c 2 2 4ae x4 5 2 2a

2

D 5 c2 2 4ae 5 (26)2 2 4 ? 9 ? 1 5 36 2 36 5 0

Equações como essa são denominadas biquadradas e as fórmulas para determinar suas 4 possíveis soluções são: 2c 2 c 2 2 4ae 2a

2c 1 D 22 1 36 22 1 6 52 52 52 2 2a 2?1 2

S 5 {12i, 22i, 1 2, 2 2 } III. 9x 2 6x 1 1 5 0 Temos a 5 9, b 5 0, c 5 26, d 5 0 e e 5 1. Então, o discriminante da equação é: 4

x 1 51

x1 5 1

2c 2 D 22 1 36 22 1 6 51 51 51 2 2a 2?1 2

Portanto, o conjunto solução da equação é:

Essa equação pode admitir até quatro soluções complexas, mas suas fórmulas resolutivas são tão extensas que não caberiam em uma única página. Particularmente quando os coeficientes b e d são nulos, a equação não apresenta os termos de grau ímpar e, nesse caso, admitem fórmulas resolutivas relativamente simples. Assim, considerando b 5 d 5 0, tem-se: ax4 1 cx2 1 e 5 0, a = 0

96

I.

No caso, o discriminante é D 5 c2 2 4ae. Veja os exemplos a seguir: x4 2 13x2 1 36 5 0 Temos a 5 1, b 5 0, c 5 213, d 5 0 e e 5 36. Então, o discriminante da equação é:

E suas soluções são:

x2 52

x4 52

2c 2 D 22 ( 6) 2 0 620 1 3 51 51 51 51 2a 2?9 18 3 3

2c 2 D 22 ( 6) 2 0 620 1 3 52 52 52 52 2a 2?9 18 3 3

2c 1 D 22 ( 6) 1 0 610 1 3 51 51 51 51 2a 2?9 18 3 3

2c 1 D 22 ( 6) 1 0 610 1 3 52 52 52 52 2a 2?9 18 3 3

Portanto, o conjunto solução da equação é:  3 3  S 5 1 ,2 3   3

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 96

01/03/24 18:32

Com exceção das equações do 1º grau, todas as fórmulas resolutivas das demais equações polinomiais apresentam operações de radiciação, como raízes quadradas e cúbicas, por exemplo. Por esse motivo, é comum que as soluções dessas equações também sejam chamadas de raízes da equação ou raízes do polinômio. Por isso, em relação a uma equação do tipo P(x) 5 0, com P(x) 5 x3 1 x2 2 12, por exemplo, estão corretas as seguintes afirmações: • x 5 2 é uma solução da equação x3 1 x2 2 12 5 0.

• x 5 2 é uma raiz da equação x3 1 x2 2 12 5 0. • x 5 2 é um zero do polinômio P(x). • x 5 2 é uma raiz do polinômio P(x).

Em uma época em que não havia calculadoras para efetuar os cálculos que definiam a solução de uma equação algébrica de grau elevado, perdia-se muito mais tempo calculando raízes quadradas e cúbicas do que efetuando os outros processos aritméticos envolvidos. Atualmente, o termo raiz também é usado para designar soluções de outros tipos de equação, como equações exponenciais, equações modulares, entre outras.

Raízes de polinômios 3 soluções de equações Embora ambos os termos (raízes e soluções) sejam usados para designar os mesmos números, há uma sutil distinção entre seus significados. Solução de uma equação é o valor que a variável assume, para tornar verdadeira a sentença que expressa a equação. Considere a equação x 3 1 30 5 6x 2 1 x. Sabe-se que x 5 22 é uma solução dessa equação pois, substituindo x por 22, obtém-se uma igualdade verdadeira. Observe: (22)3 1 30 5 6 ? (22)2 1 (22) 28 1 30 5 24 2 2 22 5 22  (Verdadeira)

Pode-se afirmar, também, que x 5 3 é outra solução da equação. Observe: 33 1 30 5 6 ? 32 1 3 27 1 30 5 54 1 3 57 5 57  (Verdadeira)

Analogamente, x 5 5 também é solução da equação. 53 1 30 5 6 ? 52 1 5 125 1 30 5 150 1 5 155 5 155  (Verdadeira)

As raízes de um polinômio qualquer P(x), P(x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a2) ? (x 2 a3) ? ... ? (x 2 an), com a0 = 0, são os números a1, a2, a3, ..., an que anulam, respectivamente, seus fatores do 1º grau.

Considere, por exemplo, o polinômio P(x), de modo que, P(x) 5 1 ? (x 1 2) ? (x 2 3) ? (x 2 5), temos que 22, 3 e 5 são raízes do polinômio P(x) pois anulam, repectivamente, os fatores (x 1 2), (x 2 3) e (x 2 5). Não é por acaso que, no exemplo, as soluções da equação coincidem com as raízes do polinômio apresentado em sua forma fatorada. Observe P(x) em sua forma geral: P(x) 5 1 ? (x 1 2) ? (x 2 3) ? (x 2 5) P(x) 5 (x2 2 3x 1 2x 2 6) ? (x 2 5) P(x) 5 x3 2 5x2 2 3x2 1 15x 1 2x2 2 10x 2 6x 1 30 P(x) 5 x3 2 6x2 2 x 1 30 Note que P(x) 5 0 equivale à equação dada no exemplo:

x3 2 6x2 2 x 1 30 5 0 ~ x3 1 30 5 6x2 1 x A diferença dos conceitos de solução de equação polinomial e de raiz de polinômio pode ser mais bem observada em equações cujo número de soluções é menor do que o número que representa o seu grau. Entre os exemplos dados anteriormente, a equação x2 1 6x 1 9 5 0 é do 2º grau, mas possui apenas uma solução: x 5 23. Isso ocorre porque, em sua forma fatorada, o polinômio A(x) 5 x2 1 6x 1 9 possui dois fatores do 1º grau idênticos: A(x) 5 (x 1 3) ? (x 1 3). Nesse caso, diz-se que o polinômio possui duas raízes iguais ou que x 5 23 é uma raiz dupla. Também presente entre os exemplos anteriores, a equação 2x3 1 6x2 2 18x 2 54 5 0 é do 3º grau, mas possui apenas duas soluções: x 5 13 ou x 5 23. Isso ocorre porque, em sua forma fatorada, o polinômio B(x) 5 2x3 1 6x2 2 18x 2 54 também possui dois fatores do 1º grau idênticos, entre seus três fatores: B(x) 5 2 ? (x 2 3) ? (x 1 3) ? (x 1 3). Neste caso, diz-se que duas das três raízes do polinômio são iguais ou ainda que x 5 13 é raiz simples de B(x) e x 5 23 é raiz dupla de B(x). Para efeito comparativo, considere como exemplo a equação x3 2 3x2 2 9x 1 27 5 0 que também é do 3º grau e possui as mesmas duas soluções da equação anterior: x 5 13 ou x 5 23. Isso também ocorre porque o polinômio C(x) 5 5 x 3 2 3x 2 2 9x 1 27, em sua forma fatorada, também possui fatores do 1 º grau idênticos. A diferença em relação ao exemplo anterior é exatamente o fator que se repete: C(x) 5 (x 2 3) ? (x 2 3) ? (x 1 3). Nesse caso, tem-se que x 5 13 é raiz dupla de C(x) e x 5 23 é raiz simples de C(x). Assim, embora as equações B(x) 5 0 e C(x) 5 0 tenham o mesmo conjunto solução, elas não possuem exatamente as mesmas raízes. Observe: Equação

Conjunto solução

2x3 1 6x2 2 18x 2 54 5 0

S 5 {13, 23}

x3 2 3x2 2 9x 1 27 5 0

S 5 {13, 23}

Raízes da equação x1 5 13 x2 5 23 x3 5 23

FRENTE 2

Atenção

x1 5 13 x2 5 13 x3 5 23

Também podemos afirmar que as raízes dessas equações não possuem a mesma multiplicidade.

97 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 97

01/03/24 18:32

Teorema da decomposição

Saiba mais Diante da dificuldade de memorização das fórmulas resolutivas das equações polinomiais do 3º e 4º graus, em relação à fórmula quadrática, e da extensão dos processos aritméticos encadeados por elas, muitas outras técnicas foram desenvolvidas para se chegar ao conjunto solução desses tipos de equações. Durante os séculos que se seguiram às descobertas das fórmulas cúbicas e quárticas, matemáticos franceses, como René Descartes, Jean d'Alembert e Albert Girard, buscaram por métodos alternativos que pudessem levar à solução de equações de grau maior. Nesse período, muitas conquistas foram alcançadas em casos particulares, mas nenhuma nova fórmula geral foi encontrada. Nesse período, os estudos levavam em consideração permutações das sequências numéricas determinadas pelas raízes xp, com 1 , p , n, de uma equação polinomial de grau n, pois esses valores eram encontrados em ordens diferentes, por métodos diferentes. Então, não era importante saber exatamente qual solução da equação corresponde à raiz x1 e qual corresponde à raiz x2. Assim, parâmetros como a soma e o produto das raízes de uma equação polinomial passaram a ser o foco da atenção dos estudos que buscavam pela solução geral das equações do 5º grau e de grau maior. Somente no século XIX ficou demonstrado, pelo matemático italiano Paolo Ruffini e pelo norueguês Niels Abel, que não era possível resolver todo tipo de equação quíntica, ou de grau maior que 5, por meio de radicais. A partir daí, novas abordagens surgiram incorporando conceitos de limites e continuidade de funções por matemáticos como Gauss e Cauchy.

Teorema fundamental da Álgebra (TFA) No século XVII, na obra La Géométrie, René Descartes já havia afirmado que as equações de grau n deveriam possuir n raízes, mas que estas podiam não corresponder a números reais. Somente no início do século XIX a primeira demonstração rigorosa foi dada pelo francês Jean-Robert Argand, para o teorema que diz: Toda equação polinomial de grau n . 1 possui ao menos uma solução no conjunto dos números complexos. Em linguagem matemática, podemos escrever: \P(x) | gr(P) . 1 ~ Éa é C | P(a) 5 0 Em termos de raízes de polinômios, o mesmo teorema pode ser enunciado como: Todo polinômio de grau n . 1 possui exatamente n raízes complexas. Essa versão mais precisa do teorema fundamental da Álgebra também é conhecida como teorema da decomposição de polinômios.

98

MATEMÁTICA

Capítulo 10

Considere que o número complexo x1 seja solução da equação P(x) 5 0, de grau n > 1. Neste caso, tem-se que o polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x 2 x1) e, portanto, deve existir outro polinômio Q1(x) de grau (n 2 1) que satisfaz a identidade. P(x) ä (x 2 x1) ? Q1(x)

Voltando à equação (x 2 x1) ? Q1(x) 5 0, temos x 5 x1 ou Q1(x) 5 0. De acordo com o teorema fundamental da Álgebra, a equação Q1(x) 5 0 deve possuir uma solução no conjunto dos números complexos. Considere, então, que o número complexo a2 seja solução dessa equação. Se a equação Q1(x) 5 0 for do 1º grau, então as raízes da equação P(x) 5 0 serão x1 e x2, podendo ou não ter o mesmo valor. Mas, se o grau da equação Q1(x) 5 0 for maior que 1, o polinômio Q1(x) é divisível pelo binômio (x 2 x2), devendo existir mais um polinômio Q2(x) de grau n 2 2 que satisfaz as seguintes identidades: Q1(x) ä (x 2 x2) ? Q2(x)

P(x) ä (x 2 x1) ? (x 2 x2) ? Q2(x)

Da equação Q1(x) 5 0, da primeira identidade, tem-se (x 2 x2) ? Q(x) 5 0; então x 5 x2 ou Q2(x) 5 0. Já em relação à equação original P(x) 5 0, da segunda identidade, tem-se (x 2 x1) ? (x 2 x2) ? Q2(x) 5 0. Pode-se proceder dessa maneira enquanto o grau dos polinômios QP(x), quocientes das divisões polinômiais, for maior que 1. P(x) ä (x 2 x1) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xP) ? QP(x)

Somente após (n 2 1) divisões polinomiais, como estas, é que o quociente Qn 2 1(x) será um polinômio do 1º grau e, portanto, da forma ax 1 b com a = 0. P(x) ä (x 2 x1) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xn 2 1) ? (ax 1 b)

Então, o número complexo x n 5

encontrada para a equação P(x) 5 0.

2b será a última raiz a

P(x) 5 0 ^ a(x 2 x1) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xn 2 1) ? (x 2 xn) 5 0 Assim, pode-se observar que, a quantidade de raízes de uma equação polinomial sempre coincide com o grau da equação. Como a fórmula resolutiva das equações do 2º grau é simples, quando comparada às fórmulas das equações do 3º e 4º graus, na prática, o teorema da decomposição costuma ser usado até se obter um quociente do 2º grau, pois assim as duas últimas raízes da equação podem ser determinadas pela fórmula quadrática. Dessa forma, ao se resolver uma equação do 3º grau, por exemplo, a dificuldade está em se obter a primeira raiz. Uma vez conhecida uma das raízes da equação cúbica, as outras duas podem ser obtidas resolvendo-se uma equação do 2º grau cujos coeficientes são determinados pelo dispositivo de Briot-Ruffini, no quociente de uma divisão polinomial.

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 98

01/03/24 18:32

I.

x 1 x 1 4x 1 4 5 0 Por inspeção, tem-se que x1 5 21 é uma solução, então, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 3

2

21

1

1

4

4

1

0

4

0

Como o resto da divisão é o polinômio nulo, obtemos a equação do 2º grau x2 1 4 5 0. Como a 5 1, b 5 0 e c 5 4, da fórmula resolutiva, têm-se: D 5 b2 2 4ac 5 02 2 4 ? 1 ? 4 5 0 2 16 5 216 x2 5 x3 5

2b 2 D 20 2 216 24i 5 5 5 22i 2a 2?1 2

2b 1 D 20 1 216 14i 5 5 5 12i 2a 2?1 2

Portanto o conjunto solução da equação x3 2 x2 1 4x 1 1 4 5 0 é S 5 {21, 22i, 2i }.

II. 2x3 1 10x2 1 14x 1 6 5 0 Por inspeção, tem-se que x1 5 21 é uma solução, então, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 21

2

10

14

6

2

8

6

0

Como o resto da divisão é um polinômio nulo, obtemos a equação do 2º grau 2x2 1 8x 1 6 5 0. Como a 5 2, b 5 8 e c 5 6, da fórmula resolutiva, têm-se: D 5 b2 2 4ac 5 82 2 4 ? 2 ? 6 5 64 2 48 5 16 x2 5 x3 5

2b 2 D 28 2 16 28 2 4 212 5 5 5 5 23 2a 2?2 4 4 28 1 4 24 2b 1 D 28 1 16 5 5 5 21 5 2a 2?2 4 4

Neste exemplo, duas das raízes são iguais x1 5 x3, ou seja, 21 é raiz dupla. Assim, o conjunto solução da equação 2x3 1 10x2 1 14x 1 6 5 0 é S 5 {21, 23}.

III. x3 1 3x2 1 3x 1 1 5 0 Nesta equação, x1 5 21 também é raiz. Então: 21

1

3

3

1

1

2

1

0

Do dispositivo, obtemos x2 1 2x 1 1 5 0. Como a 5 1, b 5 2 e c 5 1, da fórmula resolutiva, têm-se: D 5 b2 2 4ac 5 22 2 4 ? 1 ? 1 5 4 2 4 5 0 x2 5 x3 5

2b 2 D 22 2 0 22 2 0 22 5 21 5 5 5 2a 2⋅ 1 2 2

2b 1 D 22 1 0 22 1 0 22 5 5 5 5 21 2a 2?1 2 2

Neste exemplo, as três raízes são iguais x1 5 x2 5 x3, ou seja, 21 é raiz tripla. Portanto, o conjunto solução da equação x3 1 3x2 1 3x 1 1 5 0 é S 5 {21}.

Em resumo, o processo de resolução de uma equação do 3º grau é iniciado a partir do valor de uma de suas raízes e, pelo dispositivo de Briot-Ruffini, obtém-se uma equação do 2º grau. Resolvendo essa equação, é possível determinar as demais raízes da equação inicial.

Série de raízes de um polinômio Como vimos anteriormente, toda equação de grau n possui exatamente n raízes no universo dos números complexos, podendo ser todas com o mesmo valor ou todas de valores diferentes entre si. Como a indexação das raízes de uma equação depende da ordem em que elas são determinadas e essa ordem pode mudar de acordo com o método usado para resolver a equação, a série numérica formada pelos valores de x1 a xn pode sofrer permutações, sem perda de significado. Uma equação polinomial de grau n . 2 pode ser associada a mais de uma série de raízes, desde que a diferença entre elas seja apenas o resultado de permutações entre seus termos. Exemplos: • A equação x3 2 9x2 1 8x 1 60 5 0, cujo conjunto solução S 5 {22, 5, 6} possui três elementos e associam-se 3! 5 6 possíveis séries (x1, x2, x3) de raízes:

•

•

(22, 5, 6) (5, 22, 6) (6, 22, 5) (22, 6, 5) (5, 6, 22) (6, 5, 22) A equação 2x3 1 10x2 1 14x 1 6 5 0, cujo conjunto solução S 5 {21, 23} possui dois elementos e asso3! ciam-se 5 3 possíveis séries (x1, x2, x3) de raízes: 2! (21, 21, 3) (21, 3, 21) (3, 21, 21) Já a equação x3 1 3x2 1 3x 1 1 5 0, cujo conjunto solução S 5 {21} é unitário, associa-se apenas uma série (x1, x2, x3) de raízes: (21, 21, 21)

Se não houver como prever qual permutação de (x1, x2, x3) será encontrada resolvendo-se uma equação cúbica, perguntas a respeito das raízes costumam considerar expressões simétricas, ou seja, expressões cujo resultado não se altera pela mudança na ordem da série de raízes considerada. Exemplos: • a soma das raízes: x1 1 x2 1 x3;

• •

o produto das raízes: x1 ? x2 ? x3;

a soma dos produtos das raízes duas a duas: x1 ? x2 1 1 x1 ? x3 1 x2 ? x3.

Multiplicidade de uma raiz Considere a série r 5 (x1, x2, x3, ..., xn), de raízes de uma equação polinomial de grau n. Quando entre os elementos da série há valores numéricos repetidos, dizemos que esses valores possuem multiplicidade. Assim, toda raiz xp de uma equação polinomial está associada a uma multiplicidade mp que indica a quantidade de vezes que o valor xp aparece em alguma série de raízes da equação.

FRENTE 2

Veja os exemplos a seguir:

O grau de uma equação polinomial é sempre igual à soma das multiplicidades de suas soluções: n 5 m1 1 m2 1 ... 1 mk

99 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 99

01/03/24 18:32

Se alguma raiz xp, com 1 , p , n, for única na série, ou seja, não houver nenhuma outra raiz xq, com p = q, tal que xp 5 xq, então xp é denominada raiz simples da equação, e sua multiplicidade é m 5 1. Por exemplo, o conjunto solução da equação x3 2 9x2 1 8x 1 60 5 0 é S 5 {22, 5, 6}. Então: • x1 5 22 é raiz simples (m1 5 1) • x2 5 5 é raiz simples (m2 5 1) • x3 5 6 é raiz simples (m3 5 1) Se tivermos duas raízes xp e xq de mesmo valor com p = q, e esse valor for diferente de todos os demais, então xp é denominada raiz dupla da equação e sua multiplicidade é m 5 2. Por exemplo, o conjunto solução da equação 2x3 1 10x2 1 14x 1 6 5 0 é S 5 {21, 23}. Então: • x1 5 21 é raiz dupla (m1 5 2) • x2 5 23 é raiz simples (m2 5 1)

O conjunto solução da equação x3 1 7x2 1 15x 1 9 5 0 é S 5 {21, 23} como o conjunto solução do exemplo anterior, mas, nesse caso, temos: • x1 5 21 é raiz simples (m1 5 1) • x2 5 23 é raiz dupla (m2 5 2) Embora o conjunto solução das duas equações seja o mesmo, a soma das raízes não é. Observe: • Na equação 2x3 1 10x2 1 14x 1 6 5 0, a soma das raízes é x1 1 x2 1 x3 5 (21) 1 (21) 1 (23) 5 25. • Já em x3 1 7x2 1 15x 1 9 5 0, essa soma é x1 1 x2 1 x3 5 (21) 1 (23) 1 (23) 5 27.

Atenção O conjunto solução da equação x3 1 7x2 1 15x 1 9 5 0 é S 5 {21, 23}. Como 23 é raiz dupla dessa equação, uma possível série de suas raízes é r 5 (21, 23, 23). Observe que é importante saber diferenciar a solução de uma equação das raízes da equação, pois elas nem sempre são iguais. Por exemplo, ao perguntar “qual é a soma das soluções da equação?”, o resultado é (21) 1 (23) 5 24; já perguntar “qual é a soma das raízes da equação?”, o resultado é (21) 1 (23) 1 (23) 5 27.

Veja, no quadro a seguir, uma lista de equações quárticas (do 4º grau) com as diferentes possibilidades para as multiplicidades de suas raízes. Equação

Conjunto solução

Denominações

Multiplicidades

x 2 6x 1 11x 1 6x 5 0

S 5 {0, 1, 2, 3}

0 é raiz simples 1 é raiz simples 2 é raiz simples 3 é raiz simples

m1 5 1 m2 5 1 m3 5 1 m4 5 1

x4 2 2x3 1 5x2 2 8x 1 4 5 0

S 5 {1, 2i, 22i}

1 é raiz dupla 2i é raiz simples 22i é raiz simples

m1 5 2 m2 5 1 m3 5 1

x4 2 10x3 1 25x2 5 0

S 5 {0, 5}

0 é raiz dupla 5 é raiz dupla

m1 5 2 m2 5 2

x4 2 5x3 5 0

S 5 {0, 5}

0 é raiz tripla 5 é raiz simples

x4 2 4x3 1 6x2 2 4x 1 1 5 0

S 5 {1}

1 é raiz quádrupla

4

3

2

m1 5 3 m2 5 1 m1 5 4

Como consequência do teorema fundamental da Álgebra, do teorema da decomposição e do conceito de multiplicidade aqui expostos, tem-se que todas as equações polinomiais de grau n podem ser expressas de forma fatorada: a0 ? (x 2 x1)m1 ? (x 2 x2)m2 ? ... ? (x 2 xk)mk 5 0, com a0 = 0 e k , n

Nesta representação, as soluções x1, x2, x3, ..., xk têm valores diferentes uns dos outros e a série de expoentes (m1, m2, m3, ..., mk) é formada pelos números naturais que indicam as respectivas multiplicidades de cada solução da equação. Assim: • m1 é a multiplicidade de x1;

• •

m2 é a multiplicidade de x2; æ mk é a multiplicidade de xk.

Não sendo necessário escrever repetidamente as raízes de multiplicidade m > 1, o conjunto solução da equação fica sendo S 5 {x1, x2, x3, ..., xk}.

100

MATEMÁTICA

Capítulo 10

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 100

01/03/24 18:32

Considere, por exemplo, a equação x3 1 x2 2 5x 1 3 5 0. Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) 5 x3 1 x2 2 5x 1 3 é igual a 0, pode-se concluir que x 5 1 é uma de suas raízes, ou seja, P(1) 5 0. P(1) 5 13 1 12 2 5 ? 1 1 3 5 1 1 1 2 5 1 3 5 0

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 1

1

1

25

3

1

2

23

0

Como a divisão de P(x) por (x 2 1) gera quociente Q(x) 5 x2 1 2x 2 3 e resto nulo, do teorema de Descartes, tem-se P(x) 5 (x 2 1) ? Q(x) 1 0. Assim, a equação pode ser escrita com dois fatores, um do 1º e outro do 2º grau. Então: (x 2 1) ? (x2 1 2x 2 3) 5 0 Do segundo fator, temos: D 5 22 2 4 ? 1 ? (23) 5 4 1 12 5 16 x2, 3 5

x 51 22 6 16 22 6 4 Í 5 ou 2?1 2 Ç x 5 23

Usando a fórmula quadrática para obter as raízes do fator do 2º grau, tem-se: Q(x) 5 (x 1 3) ? (x 2 1) Substituindo a forma fatorada do polinômio Q(x) na equação cúbica original, encontra-se: (x 2 1) ? (x 1 3) ? (x 2 1) 5 0 Finalmente, usando a potenciação para abreviar a multiplicação dos fatores iguais, a equação pode ser representada por (x 1 3) ? (x 2 1)2 5 0. Lendo a equação nesse formato, podemos concluir que 3 é raiz simples e 1 é raiz dupla da equação.

Equações polinomiais com coeficientes reais Quando todos os coeficientes de uma equação polinomial são números reais, temos importantes relações entre o grau da equação e a existência de soluções reais. O número de raízes reais e o grau de uma equação polinomial têm sempre a mesma paridade. Sendo n . 1 o grau de uma equação polinomial, temos duas situações distintas: Se n é par, a quantidade de raízes reais da equação também é par. Se n é ímpar, a quantidade de raízes reais da equação também é ímpar. Como o número 1 é o menor natural ímpar, pode-se concluir que toda equação polinomial de grau ímpar possui pelo menos uma solução real. O teorema que veremos a seguir é o que garante todas essas afirmações.

FRENTE 2

Teorema das raízes complexas Se um número complexo z 5 a 1 bi for raiz de uma equação polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z 5 a 2 bi também será raiz da mesma equação. Nesse caso, as raízes z e z terão a mesma multiplicidade. Como a igualdade z 5 z só ocorre quando z é um número real (b 5 0), pode-se concluir deste teorema que o número de raízes não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais é sempre par.

101 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 101

01/03/24 18:32

Saiba mais A regra dos sinais de Descartes tem por finalidade verificar se uma equação polinomial, de coeficientes reais, possui alguma raiz real e positiva. Isso pode ser muito útil em atividades que envolvem Geometria. A regra de Descartes considera a quantidade t de trocas de sinais, ou seja, a quantidade de vezes que os sinais dos coeficientes se alternam na série (a0, a1, ..., an) dos coeficientes reais da equação. De acordo com a regra, sendo p o número de raízes positivas de uma equação polinomial de grau n e coeficientes reais, tem-se primeiro que p , t , n. Além disso, o número de raízes positivas tem a mesma paridade que o número de mudanças de sinal na série de coeficientes da equação, ou seja: • se t é par, então p também é par;

• se t é ímpar, então p também é ímpar. Assim: • se t 5 0, então p 5 0, ou seja, a equação não possui raiz positiva;

• • • • •

se t 5 1, então p 5 1, ou seja, a equação possui 1 raiz positiva;

se t 5 2, então p é {0, 2}, ou seja, a equação pode possuir 2 raízes positivas ou nenhuma; se t 5 3, então p é {1, 3}, ou seja, a equação pode possuir 1 ou 3 raízes positivas; t 5 4 ~ p é {0, 2, 4} etc; t 5 5 ~ p é {1, 3, 5} etc.

Veja os exemplos a seguir: Equação

Série de coeficientes

Trocas de sinal

Número de raízes positivas

4x2 1 3x 2 1 5 0

(14, 13, 21)

t51

1

2x3 1 6x2 2 18x 2 54 5 0

(12, 16, 218, 254)

t51

1

x3 2 6x2 1 6x 2 5 5 0

(11, 26, 16, 25)

t53

1 ou 3

2x3 1 8x2 2 24 5 0

(21, 18, 0, 224)

t52

0 ou 2

x3 1 5x2 1 7x 1 3 5 0

(11, 15, 17, 13)

t50

Não possui

x3 2 3x2 1 2x 2 720 5 0

(11, 23, 12, 2720)

t53

1 ou 3

De forma geral, para valores maiores de t, é correto afirmar que:

• se t é par, então p é {0, 2, 4, ..., 2n}, n é N; • se t é ímpar, então p é {1, 3, 5, ..., 2n 2 1}, n é N.

Particularmente, se as raízes de uma equação P(x) 5 0, de grau n, são todas positivas, então o número de trocas de sinais na série de coeficientes da equação é máximo: t 5 n. Nesse caso, os coeficientes da equação são alternadamente positivos e negativos.

Pesquisa de raízes racionais A pesquisa de raízes racionais tem por objetivo verificar se uma equação polinomial de coeficientes inteiros possui raiz pertencente ao conjunto dos números racionais, ou seja, se existe uma fração de números inteiros que seja solução da equação. Considere o polinômio P(x) de grau n, cujos coeficientes são números inteiros. P(x) 5 a0 ? (x 2 x1) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xn) ä a0 ? xn 1 a1 ? xn 2 1 1 ... 1 an 2 1 ? x 1 an, a = 0

Calculando P(0), temos:

P(0) 5 a0 ? (0 2 x1) ? (0 2 x2) ? ... ? (0 2 xn) 5 a0 ? 0n 1 a1 ? 0n 2 1 1 ... 1 an 2 1 ? 0 1 an 5 a0 ? (2x1) ? (2x2) ? ... ? (2xn) 5 an

Como a0 = 0, pode-se afirmar que o quociente an é igual ao produto das raízes de um polinômio, com todos os seus a0 sinais trocados. Portanto, o produto das raízes de um polinômio tem o mesmo valor absoluto do quociente entre seus coeficientes extremos. x 1 ? x2 ? ... ? x n 5

102

MATEMÁTICA

Capítulo 10

an a0

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 102

01/03/24 18:32

Atenção Para efetuar corretamente a pesquisa das raízes racionais de uma equação polinomial, de coeficientes inteiros, é a importante observar que a fração n não deve ser a0 simplificada.

Particularmente, quando em uma equação P(x) 5 0 de coeficientes inteiros, o coeficiente principal do polinômio P é unitário (a0 5 1), se houver alguma raiz racional, então essa raiz também será um número inteiro. Considere, por exemplo, a equação x3 1 x2 1 4x 1 4 5 0. O produto das três raízes dessa equação tem módulo N 4 igual a . Então, sendo x 1 5 uma possível raiz racional, D 1 é necessário que: • N seja divisor inteiro de 4 _ N é  {61, 62, 64};

•

D seja divisor positivo de 1 _ D é {1}.

Como o único denominador possível é D 5 1, se a equação possuir alguma raiz racional, essa raiz será um número inteiro do conjunto {61, 62, 64}. Por tentativa e erro, podemos substituir esses valores em P(x) ou aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini. Observe: P(21) 5 (21)3 1 (21)2 1 4 ? (21) 1 4 5 21 1 1 2 4 1 4 5 0, portanto 21 é raiz.

Como 21 é raiz, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, podemos determinar as demais raízes: 21

•

1

1

4

4

1

0

4

0

Veja outro exemplo. Considere a equação x3 2 6x2 1 6x 2 5 5 0. Da pesquisa de raízes racionais, temos: N é {61, 65} e D é {1} ~

N é {61, 65} D

Se a equação tiver alguma raiz racional, ela pertencerá ao conjunto {61, 65}. Então:

•

Se x 5 21:

•

Se x 5 1:

P(21) 5 (21)3 2 6 ? (21)2 1 6 ? (21) 2 5 5 21 2 6 2 6 2 5 5 218 _ 21 não é raiz.

•

•

P(1) 5 13 2 6 ? 12 1 6 ? 1 2 5 5 1 2 6 1 6 2 5 5 24 _ 1 não é raiz. Se x 5 25:

P(25) 5 (25)3 2 6 ? (25)2 1 6 ? (25) 2 5 5 5 2125 2 150 2 30 2 5 5 2310 _ 25 não é raiz.

Se x 5 5:

P(5) 5 53 2 6 ? 52 1 6 ? 5 2 5 5 125 2 150 1 30 2 5 5 0 _ 5 é raiz.

Também podemos testar as possíveis raízes utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Como vimos, o conjunto de candidatos à raiz racional da equação é {6 1, 6 5}. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 1ª tentativa: x1 5 1 1

1

26

6

25

1

25

1

24 = 0

1

26

6

25

1

27

13

218 = 0

2ª tentativa: x1 5 21 21

3ª tentativa: x1 5 25 25

1

26

6

25

1

211

61

2310 = 0

4ª tentativa: x1 5 5 5

1

26

6

25

1

21

1

0

Como o resto da divisão é nulo, o número 5 é de fato raiz racional da equação. É possível que, na pesquisa das raízes racionais, nenhuma raiz seja obtida. Isso significa que o polinômio em questão não possui nenhuma raiz racional.

Saiba mais Se os coeficientes de uma equação polinomial forem números racionais não inteiros, a equação deve ser multiplicada pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores de todos os coeficientes, a fim de se obter uma equação equivalente com coeficientes inteiros.

FRENTE 2

Aqui, não há necessidade de se discutir os sinais das expressões em módulo, pois o que se está procurando não é o produto das raízes do polinômio, e sim alguma dessas raízes. Saber o sinal de um produto não permite saber o sinal de nenhum dos fatores envolvidos. Assim, se a equação P(x) 5 0 possuir alguma raiz xp com 1 , p , n, pertencente ao conjunto dos números racionais, deve haver um par de números inteiros N e D > 0, primos entre si, tais que: N x p 5 , sendo N divisor inteiro de an e D divisor poD sitivo de a0. Então, do teorema fundamental da Aritmética, tem-se que o numerador e o denominador da fração xp são, respectivamente, divisores do termo independente e do coeficiente principal da equação P(x) 5 0. Como os divisores de um número inteiro formam um N conjunto finito, é possível determinar se alguma fração , D formada pelos divisores de an e a0 é raiz da equação, por tentativa e erro.

103 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 103

01/03/24 18:32

Pesquisa de raízes reais Dada uma equação do tipo P(x) 5 0, em que todos os coeficientes são números reais, e um intervalo real aberto ] xA, xB[, existe uma maneira bem simples de verificar se a equação possui alguma raiz real pertencente ao intervalo dado. Para isso, basta verificar o sinal do produto P(xA) ? P(xB). De acordo com o teorema de Bolzano: • se P(xA) ? P(xB) > 0, então P(x) 5 0 tem um número par de raízes reais no intervalo ] xA, xB[;

•

se P(xA) ? P(xB) < 0, então P(x) 5 0 tem um número ímpar de raízes reais no intervalo ] xA, xB[.

O menor número par natural é 0 (zero). Por isso, quando P(xA) ? P(xB) é positivo, não há garantia de que a equação tenha alguma raiz real no intervalo considerado. Mas como o menor número natural ímpar é 1, quando P(xA) ? P(xB) é negativo, a equação certamente possui alguma raiz real no intervalo considerado.

Relações entre coeficientes e raízes No início do século XVII, o matemático francês Albert Girard descobriu uma maneira de relacionar os coeficientes de um polinômio aos valores de suas raízes complexas por meio de um sistema de equações não lineares. Essas equações permitem obter os resultados de diversas operações algébricas feitas com as raízes de uma equação polinomial, mesmo não sendo conhecidos os valores dessas raízes. Para isso, a sucessão de operações aplicadas às raízes da equação tem que ser comutativa, ou seja, seu resultado deve permanecer o mesmo quando a ordem das raízes é alterada.

Considere uma série de duas variáveis (x1, x2). Uma operação, ou combinação de operações, aplicada(s) a essas duas variáveis é uma função simétrica, se e somente se: f (x1, x2) 5 f (x2, x1)

São exemplos de funções simétricas de duas variáveis as funções: • soma: f (x1, x2) 5 x1 1 x2

• •

produto: f (x1, x2) 5 x1 ? x2

•

soma dos inversos: f (x 1 , x2 ) 5

soma dos quadrados: f (x1, x2) 5 x12 1 x22 1 1 1 x1 x2

Entre as funções listadas acima, a soma e o produto são denominadas funções simétricas elementares e designadas por s1 (sigma 1) e s2 (sigma 2). Assim: s1 5 x1 1 x2 e s2 5 x1 ? x2

Note que os demais exemplos dados podem ser expressos pelas funções elementares: s 1 1 x 12 1 x22 5 s21 2 2s2 e 1 5 1 s2 x1 x2

Considere uma série de três variáveis: (x1, x 2, x 3). Diz-se que f é uma função simétrica dessas variáveis se e somente se: f  (x1, x2, x3) 5 f (x1, x3, x2) 5 f (x2, x1, x3) 5 f (x2, x3, x1) 5 5 f (x3, x1, x2) 5 f (x3, x2, x1) MATEMÁTICA

Capítulo 10

•

soma dos produtos dois a dois: f (x1, x2, x3) 5 x1 ? x2 1 1 x1 ? x3 1 x2 ? x3;

• •

produto: f (x1, x2, x3) 5 x1 ? x2 ? x3;

•

soma dos inversos: f (x 1 , x2 , x 3 ) 5

soma dos quadrados: f (x1, x2, x3) 5 x12 1 x22 1 x23;

1 1 1 1 1 . x1 x2 x3

Neste caso, são denominadas funções simétricas elementares as funções soma, soma dos produtos dois a dois e produto e são designadas por s1 (sigma 1), s2 (sigma 2) e s3 (sigma 3). Assim: s1 5 x1 1 x2 1 x3 s2 5 x1 ? x2 1 x1 ? x3 1 x2 ? x3 s3 5 x1 ? x2 ? x3 Os demais exemplos também podem ser expressos pelas funções elementares: x12 1 x22 1 x32 5 s12 2 2s2 1 1 1 s 1 1 5 2 s3 x1 x2 x3

Observe que o número de variáveis coincide com o número de funções simétricas elementares definidas. Então, seguindo o padrão, sobre quatro variáveis complexas (x1, x2, x3, x4) definem-se também quatro funções simétricas elementares. • Soma: s1 5 x1 1 x2 1 x3 1 x4

•

Funções simétricas

104

São exemplos de funções simétricas de três variáveis as funções: • soma: f (x1, x2, x3) 5 x1 1 x2 1 x3;

• •

Soma dos produtos dois a dois: s2 5 x1 ? x2 1 x1 ? x3 1 1 x1 ? x4 1 x2 ? x3 1 x2 ? x4 1 x3 ? x4

Soma dos produtos três a três: s3 5 x1 ? x2 ? x3 1 1 x1 ? x2 ? x4 1 x1 ? x3 ? x4 1 x2 ? x3 ? x4 Produto: s4 5 x1 ? x2 ? x3 ? x4

De forma genérica, dada uma série r 5 (x1, x2, x3, x4, ..., xn) de números complexos, as n funções simétricas elementares são definidas por: s1 5 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 ... 1 xn s2 5 x1 ? x2 1 x1 ? x3 1 x1 ? x4 1 ... 1 xn 2 2 ? xn 2 1 1 1 xn 2 1 ? xn s3 5 x1 ? x2 ? x3 1 x1 ? x2 ? x4 1 x1 ? x3 ? x4 1 ... 1 1 xn 2 2 ? xn 2 1 ? xn s4 5 x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ... 1 xn 2 3 ? xn 2 2 ? xn 2 1 ? xn æ sn 5 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ... ? xn 2 1 ? xn

Relações de Girard As relações definidas por Albert Girard tratam de igualdades estabelecidas entre os coeficientes e as funções simétricas elementares das raízes de uma equação polinomial. Usando as relações de Girard, toda equação de grau n . 2 é equivalente a um sistema de n equações simétricas fundamentais. Em equações do 2º grau, as relações de Girard resumem-se às relações para a soma e o produto das raízes, vistas anteriormente ao se falar de função quadrática.

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 104

01/03/24 18:32

b   x 1 1 x2 5 2 a formam o sistema:  x ? x 5 c  1 2 a

Atenção É importante observar que tais relações continuam válidas mesmo que as raízes x1 e x2 sejam iguais.

Em equações do 3º grau, além da soma e do produto das raízes, há uma terceira relação que pode ser obtida: a soma dos produtos dois a dois. Sendo ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, com a = 0, as funções simétricas fundamentais s1, s2 e s3 das raízes x1, x2 e x3 da equação formam o sistema: b   s 1 5 x 1 1 x2 1 x 3 5 2 a  c   s2 5 x 1 ? x2 1 x 1 ? x 3 1 x2 ? x 3 5 a  d   s 3 5 x 1 ? x2 ? x 3 5 2 a 

Exercício

Já nas equações do 4º grau, há mais duas relações de Girard, além da soma e do produto, sendo uma para a soma dos produtos dois a dois e outra para a soma dos produtos três a três. Sendo ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, com a = 0, as funções simétricas fundamentais s1, s2, s3 e s4 das raízes x1, x2, x3 e x4 da equação formam o sistema: b   s 1 5 x 1 1 x2 1 x 3 1 x 4 5 2 a  s 5 x ? x 1 x ? x 1 x ? x 1 x ? x 1 x ? x 1 x ? x 5 c 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4  2 a  d s 5 x ? x ? x 1 x ? x ? x 1 x ? x ? x 1 x ? x ? x 5 2 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4  3 a  e  s 4 5 x 1 ? x2 ? x 3 ? x 4 5 a 

De um modo geral, considere r 5 (x1, x2, x3, x4, ..., xn) uma série das raízes complexas da equação P(x) 5 0 de grau n e coeficiente complexos, em que: P(x) 5 a0 ? xn 1 a1 ? xn 2 1 1 a2 ? xn 2 2 1 ... 1 an 2 2 ? x2 1 1 an 2 1 ? x 1 an, a = 0

Para todo k inteiro tal que 1 , k , n, de acordo com as relações de Girard, a função simétrica fundamental sk a fica definida por s k 5 (21)k ? k . a0

Saiba mais

resolvido

1. Mackenzie-SP 2013 Se a, b e g são as raízes da equação x3 1 x2 1 px 1 q 5 0, onde p e q são coeficientes reais e a 5 1 2 2i é uma das raízes dessa equação, então a ? b ? g é igual a: a) 15 b) 9 c) 215 d) 212 e) 29 Resolução: Do teorema das raízes complexas temos que, se a 5 1 2 2i é raiz dessa equação, então 1 1 2i também é raiz. Supondo b 5 1 1 2i, temos da primeira relação de Girard que: 1 a 1b 1g 52 1 1 2 2i 1 1 1 2i 1 γ 5 21

O número de parcelas de uma função simétrica fundamental sk das raízes complexas de uma equação polinomial de grau n . k pode ser obtido por meio de análise combinatória, pois cada parcela é uma combinação diferente dos termos da série de raízes da equação. Assim, é correto afirmar que sk possui exatamente Cn, k parcelas. n! C n, k 5 k! ? (n 2 k )!

Soma e produto As duas relações extremas de cada sistema formado pelas relações de Girard têm maior aplicabilidade que as demais relações, na resolução de questões. Por isso, elas merecem atenção especial. Assim, seja r 5 (x1, x2, x3, ..., xn) uma série das raízes da equação P(x) 5 0, em que: P(x) 5 a0 ? xn 1 a1 ? xn 2 1 1 a2 ? xn 2 2 1 ... 1 1 an 2 2 ? x2 1 an 2 1 ? x 1 an, a = 0

γ 5 23

•

a ? b ? g 5 (1 2 2i)(1 1 2i)(23) 5 (1 1 2i 2 2i 1 4)(23) 5 5 5 ? (23) 5 215

•

Portanto:

Resposta: alternativa C.

Nessas condições, tem-se que: a soma de todas as raízes da equação é dada por: a s1 5 2 1 a0 o produto de todas as raízes da equação é dado por: a s n 5 (21)n ? n a0

FRENTE 2

Sendo ax2 1 bx 1 c 5 0, com a = 0, as funções simétricas fundamentais s1 e s2, das raízes x1 e x2 da equação,

105 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 105

01/03/24 18:32

Revisando 1. Considere a equação polinomial e faça o que é pedido em cada item. (x3 2 x)(x2 2 2x 1 1)(x2 1 6x 1 9) 5 0

a) Reescreva a equação utilizando apenas fatores do 1o grau. b) Escreva o conjunto solução da equação. c) Determine a multiplicidade de cada uma das raízes da equação. d) Determine o grau dessa equação. 2. Resolva a equação x4 2 7x2 2 18 5 0.

3. Resolva a equação x3 2 2x2 2 6x 2 8 5 0 sabendo que 4 é uma de suas raízes.

4. Resolva a equação x5 2 16x3 2 38x2 2 33x 2 10 5 0 sabendo que o número 21 é raiz tripla.

5. Unisinos-RS 2022 Se a equação x2 1 bx 1 c 5 0 possui duas raízes reais r e s com 0 < r < s, então podemos afirmar que: a) r 1 s 5 b e rs 5 c. b) r 1 s 5 c e rs 5 2b. c) r 1 s 5 2b e rs 5 c. d) r 1 s 5 2b e rs 5 2c. e) r 1 s 5 c e rs 5 b.

6. A raiz real da equação 3x5 1 2x4 1 3x 1 2 5 0 pertence ao intervalo: a) ]23, 22[. c) ]21, 0[. e) [1, 2[. b) ]22, 21[. d) ]0, 1[.

7. Se os números 1 2 i e 3 são raízes simples de uma equação polinomial com coeficientes reais, e o número 3i é raiz dupla da mesma equação, então o menor grau que essa equação pode ter é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

8. Sendo r, s e t as três soluções da equação polinomial 5x3 2 4x2 2 3x 1 2, determine: 1 1 1 a) r 1 s 1 t d) 1 1 r s t b) rs 1 rt 1 st 2 2 2 e) r 1 s 1 t c) rst 9. UFRGS 2020 Se a equação x2 1 2x 2 8 5 0 tem as 2 1 1 raízes a e b, então o valor de  1  é a b 1 1 1 1 a)  2 .    b)  2 .    c)  .    d)  .    e)  1. 16 4 4 16 10. EsSA-MG 2021 O valor que deve ser somado ao polinômio 2x3 1 3x2 1 8x 1 15 para que ele admita 2i como raiz, sendo i a unidade imaginária é: a)  212   b)  3   c)  12   d)  23   e)  215

Exercícios propostos 1. A diferença entre as duas maiores soluções da equação x3 2 14x2 1 40x 5 0 é: a)  10.   b)  8.   c)  6.   d)  4.   e)  2. 2. Qual é a quantidade de raízes positivas da equação x3 1 x2 2 5x 2 5 5 0? a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. 3. A medida do maior lado do triângulo cujos vértices são as soluções da equação x3 1 x2 1 x 5 0 é: a)  1 u 

b)  2 u 

c) 

2 u 

d) 

3 u 

e)  2 u

4. Unigranrio-RJ 2021 O desmatamento da Amazônia é devastador. Em um ano, foram desmatados cerca de Q mil km2, sendo Q o valor numérico do quociente entre os polinômios 2x2 1 7x 1 3 e x 1 3, para x igual a 14,5 e foi a maior área desmatada na região nas duas últimas décadas. De acordo com essa informação, pode-se concluir que a área, em mil km2, desmatada, nesse período, foi igual a a) 45 c) 40 e) 30 b) 42 d) 35 5. UEG-GO 2020 As raízes do polinômio P(x) 5 x 2 2x 1 1 x 2 2 são a) 2, 2i e i d) 22, 1 2 i e 1 1 i b) 2, 21 e 1 e) 2, 1 2 i e 1 1 i c) 22, 2i e i 3

106

MATEMÁTICA

Capítulo 10

2

6. Unimontes-MG 2024 Sabe-se que 1 e 21 são raízes do polinômio p(x) 5 x4 1 2x3 2 mx2 1 nx 1 2, no qual m e n são números inteiros. Então, m 2 n vale a) 21. b) 1. c) 25. d) 5. 7. Unioeste-PR 2021 Seja a é ℤ um número inteiro, com a = 0, e considere o polinômio P(x) 5 ax3 1 (a 2 1 2 a2)(x2 1 x) 1 a.

É CORRETO afirmar que: a) P(x) possui apenas duas raízes reais. b) P(x) possui três raízes reais, todas dadas em função de a. c) a, a2 e a3 são as três raízes de P(x). d) P(x) possui uma raiz que não depende de a. e) As três raízes de P(x) são sempre distintas, independentemente do valor de a. 8. UFJF/Pism-MG 2022 Considere o polinômio dado por p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d.

A soma e o produto de suas raízes são, respectivamente, 2 e 3. Sabe-se ainda que p(1) 5 10 e que 21 é raiz desse polinômio. Encontre os valores dos coeficientes a, b, c e d.

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 106

01/03/24 18:32

9. EEAR-SP 2023 Se 4 é uma das raízes do polinômio P(x) 5 x3 2 8x2 1 19x 2 12, então as outras raízes são números a) opostos. c) negativos. b) ímpares. d) irracionais. 10. AFA-SP 2023 Seja a função real f definida por f(x) 5 x3 1 3x2 2 4x 2 12. As raízes de f são números reais a, b e c com a < b < c. Sendo e o número de Eüler, analise cada proposição quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.

Considerando que uma possibilidade para a medida x do lado do quadrado a ser recortado é 3 cm, é correto afirmar que outro valor possível, em centímetros, para a medida x, pertence ao intervalo: a) (1, 3) d) (7, 9) b) (3, 5) e) (9, 11) c) (5, 7) 12. Insper-SP 2013 A figura, feita fora de escala, representa a planta de uma sala de aula, que conta com uma área para armários dos alunos (parte hachurada).

log 1 a 5 log 1 (b 2 1) 5 0 e

Se x é ]c, 1ÿ[, então loge x não está definido.

 1 Existe um único m é ]2ÿ, b] tal que    e Sobre as proposições, tem-se que a) todas são falsas. b) todas são verdadeiras. c) apenas uma é verdadeira. d) apenas duas são verdadeiras.

f (m )

5 0.

11. UFPB Uma organização não governamental desenvolveu um projeto de reciclagem de papel em um bairro popular de uma cidade, com o objetivo de contribuir com a política ambiental e gerar renda para as famílias carentes do bairro. A partir da catação do papel e utilizando um processo artesanal, as famílias produzem folhas de papelão em formato retangular medindo 21 cm 3 42 cm. Um empresário local propôs comprar toda a produção mensal da comunidade para produzir caixas de papelão, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, com volume igual a 810 cm3. Cada caixa é construída recortando-se quadrados em dois dos vértices da folha e retângulos nos outros dois vértices. Em seguida, as abas resultantes dos recortes são dobradas nas linhas tracejadas na folha, obtendo-se dessa forma a caixa, conforme representação nas figuras abaixo. 42 cm

21 cm

21 cm x

x

21 cm x

x 21 cm

x

x

x

x

42 cm

área da sala, incluindo os armários 5 131 m2 (excluindo o hall de entrada)

x x

hall de entrada

20 m

x

A sala está sendo projetada de modo que o teto fique a uma distância de x metros do chão e, para que haja uma ventilação adequada, o volume total da sala mais o hall de entrada, descontando-se o espaço dos armários (que vão até o teto), deve ser de 280 m3. O menor valor de x que atende a todas essas condições é a) 5. d) 8. b) 6. e) 9. c) 7. 13. UEA/SIS-AM 2024 As raízes do polinômio p(x) 5 5 x2 2 x 2 20 também são raízes do polinômio q(x) 5 x3 2 4x2 2 17x 1 60. A soma das duas maiores raízes de q(x) é igual a a) 1. d) 25. b) 8. e) 40. c) 20. 14. Uece 2022 O polinômio P(x) 5 x3 1 mx2 1 px 1 q é tal que P(1) 5 P(2) 5 P(3) 5 0. Assim, é correto afirmar que p é igual a a) 13. c) 11. b) 12. d) 10. 15. Unicid-SP 2021 Sabendo-se que o polinômio P(x) 5 x3 2 3x2 2 6x 1 8 tem a soma de suas duas raízes igual a 5, pode-se afirmar que o valor absoluto do produto das duas menores raízes é a) 6 c) 2 e) 0 b) 4 d) 1 16. Unicamp-SP 2020 Sabendo que a é um número real, considere a equação quadrática 2x2 1 ax 1 10 5 0. Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a a) 3. c) 5. b) 4. d) 6.

FRENTE 2

e

107 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 107

01/03/24 18:32

17. Uece 2022 A equação z3 2 1 5 0 possui três solu23. Uece 2020 Se as raízes da equação x3 2 4x2 1 28 ções distintas, sendo uma delas o número 1 e as x 3 2 4x 2 1 1 ax 2 5 0 formam uma progressão aritmética, 27 outras duas os números complexos v 5 x 1 yi e então, o valor do número real a é w 5 p 1 qi. Considerando o polinômio P(z) 5 z3 2 1, o 13 11 11 13 valor de P(v 1 w) é igual a a)  .   b)  .   c)  .   d)  . 3 3 4 4 a) 22. c) 1. b) 0. d) 21. 24. Esc. Naval-RJ 2020 Considere a equação x3 2 3x2 2 9x 1 k 5 0, 18. UFU-MG 2020 Considere as seguintes afirmações a onde k representa os valores para os quais a equação respeito do polinômio p(x) 5 (x2 1 x3)20. admita uma raiz dupla. Assinale a opção que apresenI. p(x) possui apenas duas raízes distintas. ta a soma dos valores de k. II. O grau de p(x) é igual a 100. a)  22   b)  227   c)  27   d)  25   e)  32 III. p(x) é divisível por x 1 1. 25. FGV-SP 2020 A equação polinomial x3 1 14x2 1 IV. O coeficiente de x43 no desenvolvimento de p(x) é 1 56x 1 64 5 0 tem raízes reais em progressão geo 20 o número binomial   . métrica quando colocadas em ordem crescente. A ra 2 zão desta progressão é: Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) 1 1 1 1 correta(s). a)     b)     c)  1   d)     e)  2 4 3 9 a) Apenas III. c) Apenas I, III e IV. b) Apenas II e IV.

d) Apenas I e III.

19. UEM-PR 2022 Considere os polinômios p(x) 5 (x 2 1)2(x 2 2)5(x 2 4)(x 2 11)6 q(x) 5 (x2 1 2)(x3 2 2x2 1 4) Assinale o que for correto. 01 O grau de p(x) é igual a 60. 02 Todas as raízes de p(x) são inteiras e positivas. 04 O polinômio q(x) tem no máximo 3 raízes reais. 08 A soma das raízes de q(x) é igual a 2. 16 O resto da divisão de p(x) por (x 2 2)3(x 2 11)4 é igual a 0. Soma: 20. Efomm-RJ 2023 Sejam p e q as raízes da equação x2 2 2x 1 k 5 0, em que k é um número real diferente 1 1 de zero. Se 2 1 2 5 6 , então o produto dos posp q síveis valores de k é 1 2 3 2 a)  21  b)  2   c)    d)    e)  3 3 2 3 21. FGV-SP 2020 Sendo m e n números reais não nulos, um dos fatores do polinômio P(x) 5 mx2 2 nx 1 m é (3x 2 2). Assim, n : m é igual a a) 1,5 d) 2 b) 1,6 e) 2,16 c) 1,83 22. UEM/PAS-PR 2022 Sabendo-se que x1 5 1 1 2i é raiz do polinômio p(x) 5 x3 2 3x2 1 7x 2 5, assinale o que for correto. 01 (x1)2 também é raiz de p(x). 02 Se x2 for o conjugado de x1, então p(2) 5 0. 04 Se q(x) 5 x3 1 x, então o número zero é raiz simples de r(x) 5 p(x) ? q(x). 08 Se m(x) 5 x2 2 2x 1 5, então os polinômios p(x) e m(x) têm as mesmas raízes complexas não reais. 16 p(x) é divisível por x 2 1 2 2i. Soma:

108

MATEMÁTICA

Capítulo 10

26. Uece 2023 Se o polinômio P(z) 5 z3 2 8z2 1 q ? z 2 12 admite o número complexo z 5 1 1 i onde i é a unidade complexa, isto é i2 5 21, como uma de suas raízes, isto é P(1 1 i) 5 0, então, se q é um número real, devemos ter a) q é um número inteiro inferior a 10. b) q é um número inteiro superior a 9. c) q é um número irracional superior a 10. d) q é um número irracional inferior a 9. 27. Efomm-RJ 2021 polinômio p(x) 5 x12 1 x22 1 x32 é a) 14 b) 29

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do x3 2 x2 2 14x 1 24. O valor de c) 38 d) 336

e) 576

28. PUC-PR 2022 Se os números que indicam as medidas, em decímetros, das arestas da base de uma pirâmide triangular – que tem 5 dm3 de volume e está inscrita em um cilindro equilátero – são elementos do conjunto solução da equação algébrica 2x4 2 11x3 2 17x2 1 1 176x 2 240 5 0, então o perímetro da base dessa pirâmide mede a) 10 dm. c) 5,5 dm. e) 17,5 dm. b) 13,5 dm. d) 9,5 dm. 29. PUC-PR 2022 Considere a equação algébrica x3 1 1 px 1 q 5 0, de raízes reais a, b e c, e a expressão 1 1 1 E5 1 1 , calculando E obtém-se a11 b11 c 11 p13 pq p11 a) c) e) 12q 1p 12q 1p 11q 1p p12 pq 2 1 b) d) qp 21p

30. Fuvest-SP 2017 O polinômio P(x) 5 x3 2 3x2 1 7x 2 5 possui uma raiz complexa cuja parte imaginária é positiva. A parte real de 3 é igual a a) 211 c) 9 e) 12 b) 27 d) 10

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 108

01/03/24 18:32

32. Uece 2021 Seja P(x) 5 x3 1 px2 1 qx 2 2 onde p e q são números reais tais que P(1 1 i) 5 0. Nestas condições, em relação às raízes x1 e x2 da equação x2 1 qx 2 p 5 0, pode-se afirmar corretamente que a soma x12 1 x22 é igual a a) 10. c) 26. b) 5. d) 17.

38. Sendo a, b e c números reais diferentes de zero, considere as parábolas y1 5 ax2 1 bx 1 c e y2 5 cx2 1 1 bx 1 a. Se os zeros da parábola y1 são os números 1 e 2 1 3, então os zeros da parábola y2 devem ser os números:

39. A figura a seguir apresenta o gráfico do polinômio P(x) 5 x4 2 7x3 1 19x2 2 33x 1 20, em um sistema cartesiano cuja unidade do eixo das ordenadas (Oy) é a décima parte da unidade do eixo das abscissas (Ox). y

2

30

20

34. UEPG/PSS-PR 2021 Em relação aos valores das raízes do polinômio P(x) 5 x5 2 8x4 1 25x3 2 38x2 1 1 28x 2 8, assinale o que for correto. 8 01 A média aritmética dessas raízes é . 5

10

0

9 . 5 04 Uma das raízes tem multiplicidade três. 10 . 7

Soma: 35. Uece 2023 Ao dividirmos o polinômio P(x) 5 x6 2 1 por x 1 2, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de Q(x) por x 2 1 é igual a a) 261. b) 241. c) 221. d) 231. 36. Unicamp-SP 2019 Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico p(x) 5 x3 1 1 ax2 1 x 1 b. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a 21, então p(1) é igual a a) 0 c) 2 b) 1 d) 3 37. Fuvest-SP 2018 Considere o polinômio P(x) 5 xn 1 1 an 2 1xn 2 1 1 ... 1 a1x 1 a0 em que a0, a1, ..., an 2 1 é R. Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que a0 < 0. O produto das n raízes de P(x) para qualquer inteiro n . 1 é: a) 21 b) in c) in 1 1 d) (21)n e) (21)n 1 1

1

2

3

4

5 x

–10

02 A média aritmética dessas raízes é

08 A média harmônica dessas raízes é

e) 1 e 2 1 3 .

c) 21 e 2 2 3 .

33. Os valores de a e b para que a equação x 2 9x 1 1 ax 1 b 5 0 admita uma raiz de multiplicidade 3 são, respectivamente: a) 27 e 27. c) 227 e 27. b) 27 e 227. d) 227 e 227. 3

d) 21 e 2 1 3 .

a) 1 e 2 2 3 .

b) 21 e 22 2 3 .

–20

O módulo das raízes complexas desse polinômio é igual a: a) 5 b) 17 c) 2 2 d)

17

e)

5

40. AFA-SP 2019 Considere a é R e os polinômios a P(x ) 5 x 6 2 26x 3 2 27 e A(x) 5 2x2 1 4x 1 a, tais 2 que seus gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula. Sabendo também que, graficamente, A(x) tangencia o eixo Ox, analise as afirmativas a seguir e escreva V para verdadeira e F para falsa. O gráfico de P(x) corta o eixo Ox em dois pontos. Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro mede 3 3 unidades de comprimento. A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a 22. A sequência correta é a) V – V – V b) V – F – F c) F – V – F d) F – V – V

FRENTE 2

31. UFJF-MG 2023 Considere os polinômios f (x) 5 6x4 2 18x2 2 17x 2 1 e g(x) 5 2x2 1 4x 1 2. a) Determine o quociente e o resto da divisão de f (x) por g(x). b) Determine a fatoração em fatores lineares do polinômio p(x) 5 f (x) 1 5x 1 1. c) Determine o produto das raízes não nulas de p(x).

109 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 109

01/03/24 18:32

Texto complementar

Equações recíprocas

Então, fazendo a mudança de variável, temos: a(y2 2 2) 1 by 1 c 5 0 Na forma geral, essa equação fica expressa por: ay2 1 by 1 (c 2 2a) 5 0 A partir desse ponto, podemos usar a fórmula quadrática para obter os valores de y e, depois disso, bastará resolver as equações 1 1 x 1 5 y 1 e x 1 5 y 2. x x Observe a resolução do exemplo com a equação a seguir: 2x4 1 x3 2 11x2 1 x 1 2 5 0 Dividindo a equação por x2, temos:

Considere uma equação polinomial de coeficientes reais: a0xn 1 a1xn 2 1 1 a2xn 2 2 1 ... 1 an 2 2x2 1 an 2 1x 1 an 5 0, a0 = 0 Essa equação é chamada de recíproca em dois casos: I. Quando a série de seus coeficientes coincide com a mesma série lida na ordem contrária. (a0, a1, a2, ... , an 2 2, an 2 1, an) 5 (an, an 2 1, an 2 2, ... , a2, a1, a0) Neste caso, tem-se que ak 5 an 2 k, para todo k natural tal que k , n. Equações com essa característica são denominadas recíprocas de 1ª espécie. II. Quando a série de seus coeficientes e a série contrária são opostas uma da outra. 2x 4 x3 11x 2 x 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 5 0 ~ 2x 2 1 x 2 11 1 1 2 5 0 (a0, a1, a2, ... , an 2 2, an 2 1, an) 5 (2an, 2an 2 1, 2an 2 2, ... , 2a2, 2a1, 2a0) 2 x x x x x x x Neste caso, tem-se que ak 1 an 2 k 5 0, para todo k natural tal que 2x 4 11x 2 2 x3 x 1 2 k , n. 1 2 1 2 1 2 5 0 ~ 2x 2 1 x 2 11 1 1 2 5 0 2 2 2 x x x x de x x x Equações com essa característica são denominadas recíprocas 2ª espécie. 1  1  2  Reorganizando os termos: 2  x 1 2  1  x 1  2 11 5 0.   x x  Técnicas de resolução de equações recíprocas 1 Fazendo x 1 5 y , obtemos a equação: Quando o grau de uma equação recíproca é ímpar tem-se que: x • x1 5 21 é raiz da equação se ela for de 1ª espécie; 2(y2 2 2) 1 y 2 11 5 0 ~ 2y2 1 y 2 15 5 0 • x1 5 11 é raiz da equação se ela for de 2ª espécie. Então, da fórmula quadrática: Quando o grau de uma equação recíproca é par tem-se que: D 5 12 2 4 ? 2 ? (215) 5 1 1 120 5 121 e • x1 5 11 é raiz da equação se ela for de 2ª espécie. 5 Nesses casos, podemos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini para ob21 6 121 21 6 11 Í y 1 5 2 y 5 5 ter uma equação de grau menor que possua as demais raízes da equação 2? 2 4 Ç y 2 5 23 original. Sendo assim, só é necessário estudar processos para resolver as equações recíprocas de 1ª espécie cujo grau é par. O processo a seguir Agora, voltando para variável x, temos duas equações para resolver: serve para resolver as de 4º grau. 1 5 x2 1 1 5 Toda equação de 4º grau, que seja recíproca e de 1ª espécie, pode x 1 5 ~ 5 ~ 2x 2 1 2 5 5x ~ 2x 2 2 5x 1 2 5 0 x 2 x 2 ser representada por: ~ 2x2 2 5x 1 2 5 0 ax4 1 bx3 1 cx2 1 bx 1 a 5 0, a = 0 Como x 5 0 não é solução dessa equação, podemos dividir todos os seus termos por x2, obtendo: ax 4 bx 3 cx 2 bx a 1 1 1 2 1 2 50 2 2 2 x x x x x Simplificando os termos da equação, ficamos com: b a ax 2 1 bx 1 c 1 1 2 5 0 x x Reorganizando esses termos, temos: a b ax 2 1 2 1 bx 1 1 c 5 0 x x Colocando os coeficientes a e b em evidência:

Assim: D 5 (25)2 2 4 ? 2 ? 2 5 25 2 16 5 9 e x 5

x 1

2(25) 6 2? 2

9

5

x 52 563 Í 1 1 4 Ç x2 5 2

1 x2 1 1 5 23 ~ 5 23 ~ x 2 1 1 5 23x ~ x 2 1 3x 1 1 5 0 x x

~ x2 1 3x 1 1 5 0 Assim: D 5 3 2 4 ? 1 ? 1 5 9 2 4 5 5 e 2

23 6 5 23 6 x 5 5 2? 1 2

5 Í Ç

x3 5

23 1 2

5

1 1   a x 2 1 2  1 b x 1  1 c 5 0 23 2 5   x x  x4 5 2 1 A atribuição x 1 5 y implica: Portanto, o conjunto solução da equação é: x 2 1 1 1 1 1  2 2 2 2 2 2 2 2 y 52223 1 5 1   x 1  5 y ~ x 1 2 ? x ? 1 2 5 y ~ x 1 2 1 2 5 y ~ xS 51223 5 , , , 2 x x x x x 2 2 2   1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2? x ? 1 2 5 y ~ x 1 21 2 5 y ~ x 1 2 5 y 2 2 x x x x Texto elaborado para fins didáticos.

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

110

MATEMÁTICA

Capítulo 10

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 110

01/03/24 18:32

Quer saber mais? Livro GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 2007. O livro aborda as chamadas equações algébricas. Apesar de restringir-se a seus aspectos elementares, trata-se de um rico e interessante campo, em que se envolveram os maiores cérebros que a Matemática arregimentou ao longo dos séculos. Texto FANTIN, Silas. Um passeio histórico pelas resoluções de equações algébricas de graus 2 e 3. Revista Eletrônica do Vestibular, Uerj, 2009. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGQ. Acesso em: 7 fev. 2024. Conheça um pouco mais sobre a evolução dos estudos sobre equações algébricas. Site MATEMÁTICA Multimídia. Otimização de janelas. Unicamp-SP. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGM. Acesso em: 7 fev. 2024. O software disponível nesse site ilustra um processo de otimização utilizando polinômios do 2° grau. Considera uma situação hipotética que objetiva determinar a janela retangular que tem a maior área entre as que têm um determinado formato e perímetro fixos. As funções que descrevem essas situações são polinômios do 2° grau com domínio restrito.

Exercícios complementares

2. Urca-CE 2021 Determine o termo independente do polinômio de grau 3 que tem 1 e 1 1 i como raízes, e assume valor 5 em 21. a) 21 1 b) 2 1 c) 2 2 d) 2 e) 1 3. Uece 2021 Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x2 2 2x 2 1 5 0 e x4 1 13x2 1 36 5 0. Se X 5 W í V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a Dado: i é o número complexo cujo quadrado é igual

a 21.

a) b) c) d)

20. 220. 4i. 24i.

4. Unicamp-SP 2021 Seja f (x) 5 x3 2 2x 1 1 uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de y 5 f (x) no ponto (a, f (a)) é definida pela equação y 5 mx 1 1 f (a) 2 ma, onde m 5 3a2 2 2. a) Encontre os pontos do gráfico de y 5 f (x) cuja reta tangente é paralela à reta definida por x 2 y 5 0. b) Sabendo que a > 0 e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y 5 f (x) no ponto (a, f (a)) é 10, determine os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de y 5 f (x).

5. FGV-SP 2020 Se as raízes da equação ax2 1 bx 1 1 c 5 0 (a = 0) são p e q, quais são as raízes da equação cx2 2 bx 1 a 5 0 (c = 0), expressas em termos de p e q? Justifique sua resposta. 6. FGV-SP 2024 A equação 3x2 2 7x 1 1 5 0 tem duas raízes reais positivas que são as medidas dos lados de um retângulo. Considere um outro retângulo cujas medidas dos lados são as mesmas do retângulo anterior aumentadas de 3 unidades. A área desse novo retângulo é: 40 . 3 37 b) . 9 40 c) . 9 a)

49 . 3 43 e) . 9

d)

7. UEPG-PR 2021 Considerando que m, n e p são números reais não nulos, assinale o que for correto. 01 Se m, n e p são as raízes da equação 1 1 1 5 x3 1 x2 2 10x 1 8 5 0, então 1 1 5 . m n p 4

02 Se P(x) 5 x3 1 mx 1 n for divisível por (x 2 1)2, então m 1 n 5 21. 04 Se (1 1 mi )(n 2 i ) 5 5 1 5i, então m e n são raízes da equação x2 1 5x 1 6 5 0. 08 Se P(x) 5 x2 1 2nx 1 p for idêntico a M(x) 5 5 (x 2 n)(x 1 p), então n 1 p 5 24. Soma:

8. FICSAE-SP 2022 Se a, b e c são as três raízes da equação algébrica x3 2 3x 1 7 5 0 em C, então o valor de (a 1 1)(b 1 1)(c 1 1) é igual a a) 26. c) 25. e) 210. b) 29. d) 5.

FRENTE 2

1. Se P(x) 5 x3 2 4x2 2 17x 1 k, com k é R, é divisível por (x 2 3), determine: a) o valor de k. b) o conjunto solução da equação P(x) 5 0.

9. ITA-SP 2022 Seja x é ℝ. Considere um retângulo R de lados medindo a 5 9x2 2 5x4 e b 5 8x 2 8x3. Sabendo que o perímetro de R é 8 determine a e b.

111 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 111

01/03/24 18:32

10. Uma empresa produz recipientes em forma de paralelepípedos de altura x. Os polinômios a seguir expressam, em função de x, a área da superfície interna dos recipientes e seus respectivos volumes, para 0 < x < 5. A(x) 5 120 2 4x2

V(x) 5 120x 2 44x2 1 4x3

De acordo com essas funções, determine: a) a altura e o volume de um recipiente com área interna igual a 116. b) a maior altura que um recipiente de volume igual a 80 pode ter. c) a altura do recipiente de menor área entre os recipientes cujo volume é igual a 80. Justifique suas respostas. 11. IME-RJ 2022 Seja a equação do terceiro grau em x: x3 1 p1x2 1 p2x 1 p3 5 0

onde p1 < p2 < p3 são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de p2 1 p3 deve ser: a) 144 b) 152 c) 162 d) 172 e) 196 12. Considere o polinômio P(x) 5 2x3 2 5x2 1 8x 2 15 e faça o que se pede em cada item. a) Mostre que a equação P(x) 5 0 admite pelo menos uma raiz real no intervalo entre os números 2 e 3. b) Decida se essa ou essas raízes são racionais ou irracionais e justifique sua resposta. 13. Fuvest-SP 2017 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.

14. Unifei-MG 2020 Sobre as raízes da equação x3 2 3x2 1 1 4x 1 8 5 0, é correto afirmar que: a) são todas reais. b) nenhuma é real. c) duas delas são números irracionais. d) apenas uma delas é negativa. e) duas raízes complexas possuem parte real nula. 15. UFSC 2020 01 A equação x3 1 2x2 1 3x 2 4 5 0 possui apenas uma raiz inteira. 02 Maria quer comprar um carro que custa R$ 42 000,00 à vista, mas que pode ser comprado a prazo em 48 prestações mensais iguais no valor de R$ 1 200,00 sem entrada. Preocupada com a taxa de juros que teria que pagar, dado que não consegue comprar à vista, consultou um amigo que entende de matemática financeira para auxiliá-la nos cálculos. Ele orientou Maria a aplicar as seguintes fórmulas: PV 5 PMTan, i e an, i 5

1 2 (1 1 i )2n i

sendo: PV – o valor à vista do carro, PMT – o valor da prestação mensal, n – o número de meses e i – a taxa mensal de juros. Maria efetuou os cálculos e chegou a uma equação polinomial. O grau desse polinômio é 48. 04 Seja p(x) um polinômio de grau n. Se os coeficientes de p(x) são reais e n é par, então p(x) 5 0 admite uma raiz real. 08 Seja p(x) 5 x4 2 3x3 1 2x2 2 3x 1 1. Se o número complexo i é raiz simples da equação p(x) 5 0, então o domínio da função f (x ) 1 p(x )

 3 1 5  32 5 é 2ÿ, , 1ÿ  í   2  2  16 Considere o gráfico da função polinomial p(x) 5 2x3 1 bx2 1 cx 1 d apresentado a seguir. Se a é raiz simples e 2 é raiz dupla da equação 21 p(x) 5 0, então a 1 b 1 c 5 2 . 2 y

20

12

x x

16 a

a) Expresse o volume da caixa em função de x. b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm3.

112

MATEMÁTICA

Capítulo 10

2

x

32 Se p(x) 5 anxn 1 an 2 1xn 2 1 1 ... 1 a1x 1 a0 é um polinômio de grau n e satisfaz a condição que a soma dos coeficientes é zero, então p(x) é divisível por x 2 1. Soma:

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 112

01/03/24 18:33

17. Ufam 2020 Em relação às raízes de P(x) 5 5 2x3 2 3x2 2 8x 2 3, é CORRETO afirmar que: a) nenhuma raiz é racional. b) uma raiz é irracional. c) apenas uma raiz é racional. d) duas raízes são imaginárias puras. e) as três raízes são racionais. 18. ITA-SP 2022 Considere o polinômio p(z) 5 z4 2 6z3 1 1 14z2 2 6z 1 13 e note que p(i ) 5 0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de p(z). Podemos afirmar que a área desse quadrilátero é a)  4.   b)  6.   c)  8.   d)  9.   e)  10. 19. ITA-SP 2022 O número de soluções reais e distintas da equação cos2 (2x) 5 3 2 cos6 (x) 2 5cos2 (x) no intervalo [0, 2p[ é a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 20. UFPR 2023 As únicas raízes reais do polinômio p(x) dado pelo determinante abaixo são 22 e 21.  q(x )  p(x ) 5 det  x 2 1 x  x 1 1

x 1 2 x 2 1 2x   0 1   1 1

Sabendo-se que o polinômio q(x) 5 ax2 1 bx 1 c (com a, b e c constantes) tem as mesmas raízes reais de p(x), é correto afirmar que: 3 a) b2 2 4ac < 0 e a > . 4 3 b) b2 2 4ac < 0 e a < . 4 3 c) b2 2 4ac > 0 e a < . 4 3 d) b2 2 4ac > 0 e a > . 4 3 e) b2 2 4ac > 0 e a 5 . 4 21. ITA-SP 2024 O valor de k é ℝ de modo que as raízes do polinômio p(x) 5 x3 1 3x2 2 6x 1 k estejam em progressão geométrica é: a)  218.   b)  216.   c)  28.   d)  22.   e)  21. 22. UEM-PR 2023 Assinale o que for correto. 01 Os números complexos 23i e 3i são raízes do polinômio x3 2 4x2 1 9x 2 36. 02 O polinômio 2x3 2 13x2 1 16x 2 5 é divisível por x 2 5.

04 A soma das raízes do polinômio (x 1 11) ? (x 1 8) ? (x 1 5) ? (x 1 2) ? ... ? (x 2 31) é igual a 100. 08 Se p(x) é um polinômio de grau ímpar, então, para todo número natural par n > 0, o polinômio (p(x)n) tem grau par. 16 O resto da divisão do polinômio 8x4 1 4x3 1 10x2 1 1 14x 2 1 pelo polinômio 2x2 1 3 é igual a 4x2 1 1. Soma:

23. ITA-SP 2018 Considere a matriz  1 x xn xn     1 2 3 4  , x é R.  21 3 4 5    1   21 2 1 Se o polinômio p(x) é dado por p(x) 5 det A, então o produto das raízes de p(x) é 1 1 1 1 1 .  e)  .  c)  . .   d)  .  b)  a)  7 3 11 5 2 24. ITA-SP 2016 Sejam a, b, c números reais com a = 0. 1 a) Mostre que a mudança x 1 5 z transforma a x equação ax4 1 bx3 1 cx2 1 bx 1 a 5 0 numa equação do segundo grau. b) Determine todas as raízes da equação x4 1 1 3x3 2 2x2 1 3x 1 1 5 0. x 1 y 1 z 5 0  25. ITA-SP 2018 Se o sistema 2a2 y 1 (2a4 2 a)z 5 0  x 1 ay 1 (a 3 2 1)z 5 0 

admite infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a são: a) 0, 21,

21 2 3 21 1 3 , . 2 2

b) 0, 21,

12 3 11 3 . , 2 2

c) 0, 21,

21 1 3 1 1 3 , . 2 2

d) 0, 21, 21 2 3, 21 1 3. e) 0, 21, 1 2 3, 1 1 3.

26. ITA-SP 2019 Considere as seguintes afirmações: I. se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x3 2 2x2 1 1 x 1 2 5 0, então y1 5 x2x3, y2 5 x1x3 e y3 5 x1x2 são as raízes da equação y3 2 y2 2 4y 2 4 5 0.

II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9. 31 5 11 5 5 . 2 2 É(são) VERDADEIRA(S) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.

III.

FRENTE 2

16. AFA-SP 2022 No universo dos complexos, sobre a equação 2x6 2 4x5 2 64x 1 128 5 0, marque a alternativa correta. a) Apresenta conjunto solução unitário. b) O produto das raízes imaginárias é igual a 16. c) Apresenta conjunto solução com seis elementos distintos. d) A soma das raízes imaginárias é igual a uma de suas raízes.

d) apenas II e III. e) todas.

113 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 113

01/03/24 18:33

27. ITA-SP 2018 Seja p(x) um polinômio não nulo. Se x3 2 4x2 1 5x 2 2 e x3 2 5x2 1 8x 2 4 são divisores de p(x), determine o menor grau possível de p(x). 28. ITA-SP 2019 Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x3 1 ax2 1 18 5 0 e x3 1 bx 1 12 5 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes. 29. ITA-SP 2020 Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 mx2 1 1 x 1 5 1 n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z 5 a 1 bi, com a, b é R, da equação p(z) 5 0 satisfaz a igualdade a 5 mb2 1 nb 2 1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) 5 0 é igual a a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 30. IME-RJ 2021 Seja a função f(x) 5 2x4 2 8x3 1 4x 2 7. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa função em quatro pontos distintos: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) x 1 x2 1 x 3 1 x 4 e (x4, y4). O valor de 1 é: 2 a) 1 b)

3 2

c) 2 d)

7 2

e) 4 31. IME-RJ Considere o sistema  xy 1 x 2 y 5 5  3 2 2 3 2 2  x y 2 x y 2 2x y 1 2xy 5 6

onde x e y são números inteiros. O valor de x3 1 y2 1 1 x2 1 y é: a) 14 b) 18 c) 20 d) 32 e) 38 32. IME-RJ Seja o polinômio p(x) 5 x3 1 (ln a)x 1 eb, onde a e b são números reais positivos diferentes de zero. A soma dos cubos das raízes de p(x) depende a) apenas de a e é positiva. b) de a e b e é negativa. c) apenas de b e é positiva. d) apenas de b e é negativa. e) de a e b e é positiva. Observação: e representa a base do logaritmo neperiano e In a a função logaritmo neperiano.

114

MATEMÁTICA

Capítulo 10

33. Sabe-se que r, s e t são raízes da equação 6x3 2 5x2 1 1 2x 2 3 5 0. Determine um número real w, positivo, tal que r2 1 s2 1 t2 5 w2. 1 a) 6 1 b) 3 1 c) 2 2 d) 3 e) 1 34. UEA/SIS-AM 2024 Dado o polinômio r (x) 5 x4 2 10x3 1 1 px2 1 52x 1 q, em que p e q são constantes reais, sabe-se que 21 é uma raiz de multiplicidade 2. Se as outras duas raízes desse polinômio são tais que uma é o dobro da outra, o valor de q 2 p é a) 15. b) 17. c) 19. d) 21. e) 23. 35. IME-RJ 2014 O polinômio P(x) 5 x5 2 3x4 1 1 10x3 2 30x2 1 81x 2 243 possui raízes complexas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as raízes do polinômio. 36. IME-RJ 2016 O polinômio x3 1 ax2 1 bx 1 c tem raízes reais a, 2a e 1 . Portanto, o valor da soma a b 2 b 1 c 1 ac 1 2 é: c a) b) c) d) e)

22 21 0 1 2

37. IME-RJ 2017 Sejam x, y e z complexos que satisfazem ao sistema de equações abaixo. x 1 y 1 z 5 7 1 1 1 1   1 1 5 4 x y z   x 2 1 y 2 1 z 2 5 25 O valor da soma x3 1 y3 1 z3 é: a) 210 b) 235 c) 250 d) 320 e) 325 38. IME-RJ 2018 Resolva a inequação abaixo, onde x é uma variável real. 2 | x3 | 2 6x2 1 3 | x | 1 2 < 0

Equações polinomiais

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 114

01/03/24 18:33

39. IME-RJ 2019 Seja a inequação 6x4 2 5x3 2 29x2 1 1 2 x < 0. Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para b 2 a é: 1 8 a) 2 e) c) 3 3 b)

13 6

d)

5 2

40. IME-RJ 2019 Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x3 2 ax 2 16 5 0. Sendo a um número real, o valor de x13 1 x23 1 x33 é igual a: d) 48 1 2a a) 32 2 a b) 48 2 2a e) 32 1 a c) 48

BNCC em foco EM13MAT302

1. A equação x3 2 15x2 1 72x 2 112 5 0 tem uma das raízes com multiplicidade 2. A raiz de multiplicidade 1 é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

EM13MAT302

2. A equação biquadrada é um caso particular de equação polinomial do 4º grau. Uma equação do 4° grau é, normalmente, escrita na forma ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, onde os números a, b, c, d e e são reais com a = 0. Uma equação do 4° grau é considerada biquadrada quando os coeficientes b 5 d 5 0, ou seja, a equação fica com a forma: ax4 1 cx2 1 e 5 0

Dados os polinômios p(x) 5 (a 2 1)x4 2 (a 2 b)x2 1 (2a 2 b 1 c) e r(x) 5 4x4 2 5x2 1 1, a soma dos valores de a, b e c, para que p(x) 5 r(x), é: a) 14 b) 24 c) 214 d) 6 e) 24 EM13MAT302

3. As raízes da equação x3 2 3x2 2 18x 1 40 5 0 são x1, x2 e x3. Assinale V para verdadeiro e F para falso. Ao menos uma das raízes da equação é um número complexo. Duas raízes são números reais negativos. x1 ? x2 1 x1 ? x3 1 x2 ? x3 5 218.

x1 ? x2 ? x3 5 240. 1 1 1 1 1 5 0,45. x1 x2 x3 A sequência correta de respostas é: a) V; F; V; V; V b) F; V; V; F; V c) F; F; V; V; V d) F; F; V; V; F e) F; F; F; V; V

115 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_089_115_mat_f2_c10_p5.indd 115

01/03/24 18:33

Wirestock Creators/Shutterstock.com

Piloto de motocross em volta de treino para a corrida na cidade de Fulton, Missouri, nos Estados Unidos. Foto de 2022.

FRENTE 3

14 CAPÍTULO

Cilindros Uma das criações modernas que utilizam cilindros em sua estrutura é o amortecedor hidráulico, ou cilindro hidráulico. Ele é empregado, por exemplo, na suspensão de automóveis e motocicletas para aumentar o conforto ou reduzir os impactos ao pilotar, bem como em elevadores, tratores e até em máquinas de alta precisão, seja para estabilizá-las, seja para movimentá-las. Além disso, a forma cilíndrica está presente em uma infinidade de outras aplicações, como em embalagens, utensílios domésticos ou técnicos etc.

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p5.indd 116

07/03/24 17:24

Definição

•

Agora, vamos estudar uma figura geométrica bastante utilizada em diversas situações, desde aplicações muito simples, como embalagens, até algumas mais sofisticadas, como o parafuso de Arquimedes, que serve para transferir líquidos e grãos entre pontos de elevações diferentes. Sergey Merkulov/Shutterstock.com

• •

O cilindro é o primeiro sólido geométrico que estudaremos que se encaixa na ideia de corpos redondos. Note que podemos ter uma boa noção desse sólido se pensarmos em uma pilha de “infinitos” círculos de mesmo diâmetro. Observe:

Uma maneira formal de visualizá-lo pode ser: “Sejam a e b dois planos paralelos distintos, um círculo l contido em a e uma reta t que intercepta os dois planos. Denomina-se cilindro de base circular l a união de todos os segmentos paralelos a t que possuem uma das extremidades em l, no plano a, e outra em algum ponto de b e suas bases”.

• •

Observe na figura os principais elementos do cilindro: as bases são os dois círculos congruentes contidos nos planos paralelos a e b; o raio das bases é R;

o eixo do cilindro é e, reta que passa pelos centros das bases; a altura h é a distância entre os planos paralelos a e b; a geratriz é AB, segmento de reta cujas extremidades fazem parte da circunferência das bases (AB // e).

Cilindro circular reto ou cilindro de revolução Quando o eixo e de um cilindro é perpendicular aos planos das bases, dizemos se tratar de um cilindro de revolução, pois ele é gerado por uma rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus lados.

A

C

g

e

B

D

h

Note que, nesse tipo de cilindro, não fazemos distinção entre geratriz e altura (g 5 h).

Cilindro oblíquo Quando o eixo e de um cilindro é oblíquo aos planos das bases, dizemos se tratar de um cilindro oblíquo.

b

B

h

g

e

FRENTE 3

t

h

e a

l R

A

Atenção Os cilindros oblíquos não podem ser obtidos pela rotação de um retângulo.

117 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 117

26/02/24 14:12

Seção meridiana

Seção não meridiana

É a interseção de um cilindro com um plano que contém seu eixo. No cilindro reto, a seção meridiana será sempre um retângulo com a medida da base igual à medida do diâmetro da base do cilindro (2R) e a altura coincidindo com a altura do cilindro (h).

Podemos também fazer cortes no cilindro que não contenham o seu eixo. Quando esses cortes são paralelos ao eixo do cilindro, fazemos uma análise olhando para a base. Vejamos um estudo genérico para um corte a uma distância d do eixo do cilindro. x x

A

R

B

x

d

h x

R

h

C R

R

Sendo d a distância da seção ao eixo, temos, por Pitágoras:

D

R2 5 d2 1 x2

A área da seção será Aseção 5 2xh, já que é um retângulo. Em cilindros oblíquos, as seções meridianas serão paralelogramos de base igual ao diâmetro da base do cilindro (2R) e altura igual à do cilindro (h). 2R

A

B

h

D

Áreas no cilindro de revolução A área lateral de um cilindro corresponde à área da superfície cilíndrica. Dessa forma, calculá-la pode ser difícil se o cilindro for oblíquo. Contudo, se o cilindro for reto, a tarefa será mais simples. Para calcular a área lateral, no caso de um cilindro de revolução, basta planificá-lo e observar que a planificação da superfície lateral é um retângulo cuja base tem medida igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro e altura igual à altura do cilindro. Observe:

C

Portanto, a área da seção meridiana será Aseção 5 2Rh.

Cilindro equilátero

h

Se a seção meridiana em um cilindro reto for um quadrado, ou seja, se a altura tiver a mesma medida que o diâmetro da base, dizemos que esse cilindro é equilátero. A

2pR

R

2R B

Assim, a área lateral do cilindro é dada por: h

Alateral 5 2pR ? h Para calcular a área total, devemos observar que a planificação é formada pela superfície lateral e duas bases circulares. Logo, a área total é dada por:

D

C

ABCD é um quadrado (h 5 2R).

118

MATEMÁTICA

Capítulo 14

Atotal 5 Alateral 1 2 ? Abase 5 2pR ? h 1 2pR2 5 2pR(h 1 R)

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 118

26/02/24 14:12

resolvido

1. Uece 2018 A medida, em m2, da área da superfície total (área lateral e bases) de um cilindro circular reto tal que a medida da altura e a medida do raio da base são ambas iguais a 2 m é a) 14p. c) 16p. b) 12p. d) 10p.

3. FMP-RJ 2018 A figura mostra um retângulo ABCD cujos lados medem 7 cm e 3 cm. Um cilindro será formado girando-se o retângulo ABCD em torno da reta definida pelo seu lado AB.

A

D

Resolução:

Sendo h 5 R 5 2 m, temos: Atotal 5 2pR ? h 1 2pR2 Atotal 5 2p ? 2 ? 2 1 2p ? 22 Atotal 5 8p 1 8p Atotal 5 16p Isto é, a área da superfície total do cilindro em questão é 16p m2. Resposta: alternativa C.

Volume de um cilindro Quando estudamos prismas, verificamos que seu volume não depende da forma da base, e sim da área dessa base e da altura. Analogamente, do princípio de Cavalieri, verificamos que o volume de um cilindro qualquer é dado pela expressão: V 5 Abase ? h 5 pR2 ? h

R

h

Exercícios

7 cm

B

C 3 cm

A medida do volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é mais próxima de a) 190 c) 126 e) 441 b) 63 d) 750 Resolução: Ao rotacionar o retângulo em torno da reta que passa por A e B, obteremos um cilindro com raio da base igual a 3 cm e altura 7 cm. Como o volume do cilindro é dado por V 5 Abase ? h, temos que seu volume, em cm³, é: V 5 pR2 ? h 5 p ? 32 ? 7 5 63p

Aproximando p 5 3, calculamos: V à 63 ? 3 ~ V à 189 Isto é, 189 cm3. Resposta: alternativa A.

Tronco de um cilindro reto Quando seccionamos um cilindro reto por um plano não paralelo à base nem ao eixo, obtemos o sólido denominado tronco de cilindro.

resolvidos

2. Determine as expressões para as áreas lateral e total e o volume de um cilindro equilátero de raio da base R.

e FRENTE 3

Exercício

Resolução: Lembrando que, em um cilindro equilátero, a seção meridiana é um quadrado e que, portanto, h 5 2R, temos: Alateral 5 2pR ? h 5 2pR ? 2R 5 4pR2 Atotal 5 Alateral 1 2 ? Abase 5 5 4pR2 1 2pR2 5 6pR2

V 5 pR2 ? h 5 pR2 ? 2R 5 2pR3

Essas expressões podem ser utilizadas como fórmulas para cilindros equiláteros.

R

Na figura, podemos perceber que o tronco de cilindro pode ser tratado como um cilindro com altura igual ao comprimento do eixo do tronco. Assim, a área lateral e o volume do tronco serão dados, respectivamente, por: Alateral 5 2pR ? e

e

V 5 pR2 ? e

119 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p5.indd 119

07/03/24 17:24

Saiba mais Entre os cilindros retos estudados, o equilátero tem uma propriedade interessante: “Variando-se o raio da base e/ou a altura, mas mantendo-se a mesma área total, terá maior volume o cilindro equilátero (h 5 2R)”. Em outras palavras, na construção de cilindros, com uma mesma quantidade de material, o de maior volume será obtido quando for equilátero, ou seja, a altura for igual ao diâmetro da base. Por esse motivo, fabricantes de embalagens, como latas de molho de tomate ou creme de leite, utilizam formas de cilindros equiláteros, pois menos material é gasto para comportar um mesmo volume.

Exercícios

A'

A

B A

Resolução: O sólido cujo volume devemos calcular corresponde a um tronco de cilindro equivalente à metade do cilindro. Logo:

a

pR2 ? h p ? 22 ? 10 5 5 20p 2 2

Isto é, 20p cm3. Resposta: alternativa D.

C

D

B

O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano a e a base inferior, em cm3, é igual a: a) 8p b) 12p c) 16p d) 20p

V5

E

B'

a

resolvidos

4. FGV-SP 2018 Um telhado retangular ABCD tem área igual a 120 m2 e está conectado a uma calha de escoamento de água da chuva. A calha tem a forma de um semicilindro reto, de diâmetro AF 5 DE 5 0,4 m e capacidade igual a 720 litros.

F

5. Uerj 2017 Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA' de 10 cm. O plano a, perpendicular à seção meridiana ABB'A', que passa pelos pontos B e A' das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem.

G

6. Unesp Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo.

Figura fora de escala

Considerando DG 5 5 m e adotando p 5 3, a medida do ângulo agudo CDG, indicada na figura por a, é igual a a) 75°. d) 30°. b) 60°. e) 15°. c) 45°. Resolução: A calha tem capacidade de 720 litros, o que corresponde a dizer que comporta um volume de 720 dm3, e a forma de um semicilindro com raio da base 2 dm. Assim, podemos escrever: p ? (2 dm)2 ? AD 720 dm3 5 ~ 2 720 dm 5 120 dm 5 12 m ~ AD 5 2?3 Como a área do telhado mede 120 m2, temos: CD ? 12 m 5 120 m2 ~ CD 5 10 m

Observando que o triângulo CDG é retângulo, obteDG 5 1 5 5 ~ a 5 60°. mos cos a 5 CD 10 2 Resposta: alternativa B.

120

MATEMÁTICA

Capítulo 14

petróleo 12 m água

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é a)  2p.  b)  7.  c) 

7p 8p .  d)  8.  e)  . 3 3

Resolução: Como a área da base é a mesma, podemos dizer que o volume de cada líquido é proporcional à altura que ocupa no cilindro, ou seja: 30 1 42 12 72 12 5 5 ~ ~ 42 42 hpetróleo hpetróleo ~ hpetróleo 5

42 ? 12 57 72

Isto é, 7 m. Resposta: alternativa B.

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 120

26/02/24 14:12

Revisando 1. EEAR-SP 2022 Uma caixa cúbica, de aresta 10 cm, está totalmente cheia de água. Ao despejar toda a água num tubo cilíndrico de 5 cm de raio, essa água atingirá a altura de ____/p cm no tubo. Dado: considere as dimensões como sendo internas aos recipientes e que o tubo tem a altura necessária para o evento.

a) b) c) d)

50 40 35 25

2. Unesp 2018 Os menores lados de uma folha de papel retangular de 20 cm por 27 cm foram unidos com uma fita adesiva retangular de 20 cm por 5 cm, formando um cilindro circular reto vazado. Na união, as partes da fita adesiva em contato com a folha correspondem a dois retângulos de 20 cm por 0,5 cm, conforme indica a figura. 27 cm

20 cm

5 cm

20 cm

0,5 cm

0,5 cm

Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e adotando p 5 3,1, o volume desse cilindro é igual a a) 1 550 cm3. c) 1 652 cm3. e) 1 922 cm3. 3 3 b) 2 540 cm . d) 4 805 cm .

Modelo

Comprimento (cm)

Largura (cm)

Altura (cm)

I

8

8

40

II

8

20

14

III

18

5

35

IV

20

12

12

V

24

8

14

FRENTE 3

3. Enem 2018 Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas. No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:

Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa? a) I c) III e) V b) II d) IV

121 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 121

26/02/24 14:12

4. Enem PPL 2018 A figura mostra uma anticlepsidra, que é um sólido geométrico obtido ao se retirar dois cones opostos pelos vértices de um cilindro equilátero, cujas bases coincidam com as bases desse cilindro. A anticlepsidra pode ser considerada, também, como o sólido resultante da rotação de uma figura plana em torno de um eixo.

Disponível em: www.Klickeducacao.com.br. Acesso em: 12 dez. 2012 (adaptado).

A figura plana cuja rotação em torno do eixo indicado gera uma anticlepsidra como a da figura acima é a) b) c) d) e) A A B B C C D D E E AA A

BB B

CC C

DD D

EE E

5. FCMMG 2024 Um reservatório cilíndrico de nitrogênio na forma líquida tem 93,5% de sua capacidade destinada à preservação de embriões para fins de inseminação artificial e o restante da sua capacidade é para alocá-los. Considere p 5 3,1 e os valores da figura a seguir. 12,25 cm

53,8 mm

O volume separado para a alocação de embriões será de, aproximadamente, a) 163 mL. b) 175 mL. c) 232 mL.

d) 250 mL.

6. UFGD-MS 2022 O silo tubular horizontal conhecido como silo bag (bolsa) tem aparecido com cada vez mais frequência na paisagem dos campos do Brasil, inclusive de Mato Grosso do Sul. Trata-se de uma ferramenta de logística que permite guardar grãos e outros produtos agroindustriais, sendo uma das alternativas para resolver problemas de estocagem.

Disponível em: https://www.brasilagro.com.br/conteudo/soja-represada-estimulara-vendas-de-silo-bolsa.html. Acesso em: 1º nov. 2021.

122

MATEMÁTICA

Capítulo 14

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 122

26/02/24 14:12

Um agricultor deseja calcular a quantidade de massa que pode ser armazenada em um silo-bolsa com 1,8 m de diâmetro e 60 m de comprimento, com um grão de densidade de massa 5 200 kg/m3. Considere o silo-bolsa um cilindro reto, despreze sua espessura e tenha como referência p 5 3,14. Qual é a capacidade máxima aproximada desse tipo de grão que pode ser estocada nesse silo-bolsa? a) 3 000 kg. c) 30,5 t. e) 80,0 t. b) 15,2 t. d) 67,8 t. 7. PUC-RS 2018 Um recipiente cilíndrico tem 3 cm de raio e 24 cm de altura. Estando inicialmente cheio d’água, o recipiente é inclinado até que o plano de sua base faça 45° com o plano horizontal. Nessa posição, o volume de água que permanecerá no recipiente será igual a __________ do volume inicial. a) um oitavo c) sete oitavos b) um sexto d) cinco sextos 8. Enem 2022 Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue: • modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;

• • •

modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I; modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I; modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica. O modelo escolhido deve ser o a) I. c) III. e) V. b) II. d) IV. 9. Enem Libras 2017 Com o objetivo de reformar os tambores cilíndricos de uma escola de samba, um alegorista decidiu colar adereços plásticos na forma de losango, como ilustrado na Figura 1, nas faces laterais dos tambores. Nesta colagem, os vértices opostos P e Q do adereço deverão pertencer às circunferências do topo e da base do tambor cilíndrico, respectivamente, e os vértices opostos R e S deverão coincidir após a colagem do adereço no tambor, conforme ilustra a Figura 2. Considere que o diâmetro do cilindro correspondente ao tambor meça 0,4 metro. Dado: utilize 3,1 como aproximação para p. P R

P S

Q

S R Q

Figura 1

Figura 2

A diagonal RS do adereço a ser confeccionado pelo alegorista deve medir, em metro, a) 0,124. c) 0,496. e) 2,480. b) 0,400. d) 1,240.

FRENTE 3

10. EEAR-SP 2022 Um cilindro circular reto de 5 cm de raio da base e de 10 cm de altura terá toda a sua superfície lateral revestida por uma fita de 0,5 cm de largura, como mostra a figura. Considerando p 5 3,14 e que não haverá sobreposição de fita, será necessária uma quantidade mínima de ______ m de fita para realizar a tarefa.

0,5 cm

a) 4,62 b) 6,28

c) 8,44 d) 9,32

123 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 123

26/02/24 14:12

Exercícios propostos 1. Enem PPL 2020 Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico. Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente, 2  metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentar a capacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua profundidade.

Altura 5 24 cm

Dado: considere 3 como aproximação para p. O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de 15 30 2 5 c) 5 e) a) 2 5 30 2 5 d) b) 2 2 2. UFU-MG 2023 Em um projeto de engenharia envolvendo cilindros hidráulicos, têm-se dois cilindros circulares retos, colocados um no interior do outro e com bases sobrepostas, conforme indicado na figura abaixo.

Se eles forem recortados e planificados, têm-se dois retângulos, com alturas e áreas especificadas a seguir.

8 cm

área de 192 cm2 6 cm

Assumindo-se que esses cilindros sejam ocos; que não flutuam em água; que tenham paredes de espessura desprezível; e que estejam inicialmente vazios, foram despejados 465 cm3 de água no interior do cilindro de maior altura, de maneira que parte dessa água transbordará para o cilindro de altura menor. Segundo as condições apresentadas, e utilizando a aproximação p 5 3, determine a altura, em cm, que a coluna de água atingiu no cilindro de altura menor. a) 3,00 c) 1,08 b) 1,00 d) 1,69 3. FCMSCSP 2022 A figura indica as medidas internas do diâmetro da base e da altura de um pote, de forma aproximadamente cilíndrica, que está cheio de arroz. MATEMÁTICA

Capítulo 14

Admitindo-se que a densidade do arroz seja de 1,2 g/cm3 e que a massa de um grão de arroz seja de 0,04 g, o número aproximado de grãos de arroz contidos nesse pote está entre a) 60 e 90 mil. d) 120 e 170 mil. b) 200 e 300 mil. e) 5 e 10 mil. c) 20 e 50 mil. 4. IFPE 2018 Milena é aluna do curso de Saneamento no campus Afogados da Ingazeira e convenceu seu pai a construir um tanque de tratamento da água do esgoto no quintal de sua casa. Como o espaço disponível não é tão grande, o tanque tem por base um setor circular de um quarto de volta com 1 metro de raio e 2,5 metros de profundidade. Se o tratamento utilizado por Milena consegue reaproveitar 80% da água, estando o tanque completamente cheio, quantos litros de água poderão ser reaproveitados? Dado: use p 5 3,14. a) 6 280 litros. b) 7 850 litros. c) 2 000 litros.

área de 180 cm2

124

Diâmetro 5 12 cm

d) 2 512 litros. e) 1 570 litros.

5. Unesp 2021 Os motores a combustão utilizados em veículos são identificados pelas numerações 1.0, 1.6 ou 2.0, entre outras, que representam a capacidade volumétrica total da câmara dos pistões, calculada de acordo com o diâmetro e o curso de cada pistão e a quantidade de pistões. Para o cálculo dessa capacidade, considera-se que cada câmara tem o formato de um cilindro reto cuja altura é o curso do pistão. Desse modo, um motor que possui 4 cilindros que deslocam 350 cm3 de mistura gasosa cada totaliza uma capacidade volumétrica de 1 400 cm3, sendo chamado de um motor 1 400 cilindradas ou, simplesmente, 1.4. Há alguns anos, muitas montadoras de automóveis passaram a adotar motores 3  cilindros ao invés dos usuais 4  cilindros. Uma delas desenvolveu motores 3 cilindros cujas cilindradas e curso do pistão eram os mesmos do antigo motor 4 cilindros.

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 124

26/02/24 14:12

6. UFU-MG 2015 O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado, que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as perdas, usando os diferentes métodos de pintura, são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e pistola pneumática 25%. Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro circular de 10 m de altura e raio da base igual a 2 m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem rendimento teórico de 20 m2 por litro e que são necessárias duas demãos. Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática. Dado: use p 5 3,14. 7. Unesp 2020 O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por 24. Por exemplo, uma amostra com 18 partes em massa de ouro e 6 partes em massa de outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 18 quilates. 3 Assim, um objeto de ouro de 18 quilates tem 4 1 de ouro e de outro metal em massa. 4 O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos, inclusive em premiações esportivas. A taça da copa do mundo de futebol masculino é um exemplo desses objetos. A FIFA declara que a taça da copa do mundo de futebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e sua massa é de pouco mais de 6 kg. Acontece que, se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria mais do que o informado. (“O peso da taça”. https://ipemsp.wordpress.com. Adaptado.)

Considere que a taça seja feita apenas com ouro 18 quilates, cuja composição é de ouro com densidade 19,3 g/cm3 e uma liga metálica com densidade 6,1 g/cm3, e que o volume da taça é similar ao de um cilindro reto com 5 cm de raio e 36 cm de altura. Utilizando p 5 3, se a taça fosse maciça, sua massa teria um valor entre d) 10 kg e 15 kg. a) 30 kg e 35 kg. e) 20 kg e 25 kg. b) 15 kg e 20 kg. c) 40 kg e 45 kg.

8. FCMMG 2018 Em trabalhos de laboratório, é comum acompanhar o comportamento de líquidos em aquecimento. Os líquidos, da mesma forma que os sólidos, passam por uma dilatação quando são aquecidos. Por não possuírem forma específica, os líquidos assumem o formato do recipiente em que foram alojados. Ao analisar o comportamento térmico de um líquido, percebe-se que sua dilatação ocorre ao mesmo tempo em que ocorre a dilatação do recipiente, ou seja, quando aquecido, o complexo (líquido 1 recipiente) se dilata. Na prática, quando somente se considera que a capacidade do frasco aumentou, a dilatação observada para o líquido será uma dilatação aparente. A dilatação real sofrida pelo líquido é superior à dilatação aparente e é idêntica à soma da dilatação aparente com a dilatação do recipiente.

Durante um experimento prático de aquecimento de determinado líquido, foi utilizado um tubo de ensaio graduado que indicava, inicialmente, a marcação de um volume de 30 cm3. Após 4 minutos de aquecimento, o volume no tubo de ensaio indicava 32 cm3 e também uma elevação de, aproximadamente, 3 mm na altura do líquido armazenado no tubo de ensaio. Considerando-se as informações dadas, pode-se concluir que o diâmetro do tubo de ensaio, após o aquecimento, era de, aproximadamente: a) 4 cm b) 3 cm c) 2 cm d) 1,5 cm 9. Esc. Naval-RJ 2021 Em um teste de prova num laboratório de engenharia civil, cilindros circulares retos, de concreto de altura 3 dm e raio 1 dm, cada um, serão depositados em um recipiente no formato de paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 10 dm 3 8 dm 3 5,48 dm, conforme figura abaixo.

FRENTE 3

Mantida a altura dos cilindros, o aumento percentual que o raio de cada cilindro precisou sofrer para que o motor 3 cilindros tivesse as mesmas cilindradas do motor 4 cilindros é um valor d) entre 12% e 15%. a) entre 15% e 18%. e) inferior a 9%. b) superior a 18%. c) entre 9% e 12%.

5,48 dm

8 dm 10 dm

125 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 125

26/02/24 14:12

Após a maior quantidade possível de cilindros ser colocada no recipiente, este será preenchido com água em sua totalidade. Sendo assim, a opção que mais se aproxima do volume de água, em litros, colocado no recipiente é: a) 59. c) 99. e) 153. b) 68. d) 115. 10. Enem 2021 Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro circular reto, cuja base tenha 5 metros de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa. Considere que o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de água. Use 3 como aproximação para p. Nas condições apresentadas, o reservatório deverá ser construído com uma altura interna mínima, em metro, igual a a) 1,12 d) 4,48 b) 3,10 e) 5,60 c) 4,35 11. Unicamp-SP 2021 No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 mL (500 cm3) de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm. Sabendo que a base do cilindro tem diâmetro de 6 cm e admitindo o mesmo consumo de álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o frasco ficou vazio no dia a) 17 março. c) 19 março. b) 18 março. d) 20 março. 12. UFJF-MG 2023 Uma porta giratória é composta por três retângulos com um lado comum fixado no eixo que une os centros das bases de um cilindro equilátero como representado na figura abaixo. Cada um dos retângulos gira internamente a este cilindro que tem área lateral de 12,4 m2, mantendo uma distância de 2 cm da superfície lateral e das bases. A altura e largura de cada retângulo que compõe a porta giratória, em metros, é: Dado: considere p 5 3,1.

a) b) c) d) e)

2e1 1,98 e 0,98 1,96 e 0,98 2 e 0,96 1,96 e 1

13. Urca-CE 2023 Seja C um cilindro oblíquo cuja geratriz forma um ângulo de 75° com o plano da base. Se a geratriz mede 20 cm e o raio da base é 3 cm, o volume do cilindro é: a) 15 ( 2 1 6 ) p cm3

b) 45 ( 2 1 6 ) p cm3 c) 45 6p cm3

d) 45 ( 2 2 6 ) p cm3 e) 15 ( 2 2 6 ) p cm3

14. FMP-RJ 2022 Na Figura, mostra-se um paralelepípedo de dimensões 2 dm 3 2 dm 3 8 dm, apoiado sobre a sua base quadrada. Dentro do paralelepípedo, há um cilindro circular reto, o maior que cabe em seu interior.

O volume do cilindro corresponde a que percentual do volume da caixa? Dado: considere p 5 3. a) 70% b) 90% c) 80%

d) 67% e) 75%

15. EsSA-MG 2022 A “Operação Carro – Pipa” destina-se a combater a seca no Nordeste. Essa logística é feita através de caminhões tanque. Admitindo que esses tanques sejam cilíndricos (raio 5 0,8 m e altura 6,25 m). Quantas viagens desses carros cheios (carradas) serão necessárias para abastecer totalmente uma cisterna comunitária, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas dimensões são: 7 m 3 6 m 3 2 m? Dado: considere p 5 3.

a) b) c) d) e)

126

MATEMÁTICA

Capítulo 14

5 6 4 7 3

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 126

26/02/24 14:12

x x  16. Acafe-SC 2022 A região, no plano cartesiano, obtida pelo sistema de inequações  x x 

2y 11.0 2y 21, 0 , quando rotacio1y 21.0 1y , 11 2

nada em torno da reta x 1 y 2 1 5 0 gera um sólido de revolução com volume igual a: a) 2p 2 unidades de volume. b) p unidades de volume.

c) 2p unidades de volume. d) p 2 unidades de volume.

17. UEM-PR 2017 Considere um paralelepípedo reto-retângulo de altura 2 cm, sobre uma superfície horizontal plana. A face sobre o plano (que chamaremos de base) tem arestas medindo 4p cm e 8p cm. Uma superfície cilíndrica com geratriz de comprimento igual ao de duas das arestas da base (com uma geratriz colocada sobre uma dessas arestas) gira, sem derrapar sobre a face paralela à base, 4 voltas para percorrer de uma aresta à outra. Considerando esses dados, assinale o que for correto. 01 O volume do paralelepípedo é 128p2 cm3. 02 Se a geratriz do cilindro mede 8p cm, então o raio do cilindro mede 2 cm. 04 Se a geratriz do cilindro mede 4p cm, então o raio do cilindro mede 2 cm. 08 Se a geratriz do cilindro mede 4p cm, então o volume do cilindro é igual a p3 cm3. 16 Se a geratriz do cilindro mede 8p cm, então o volume do cilindro é igual a 2p2 cm3. Soma: 18. Unioeste-PR 2022 Um tanque de óleo possui formato de cilindro circular reto e está posicionado deitado em relação ao solo, isto é, os planos que contêm as faces circulares são perpendiculares ao plano do solo. O tanque contém óleo de forma que a qualquer secção do cilindro, paralela às faces circulares, mostra a altura do óleo em relação ao solo, de 1,5 m, conforme a figura abaixo.

1,5 m

O comprimento do tanque é de h metros e o raio das faces circulares é de 1 metro. Desprezando a espessura do material com o qual o tanque é fabricado, qual o volume do óleo contido no tanque? a) 

h (8p 1 3) 12

c) 

h (3p 1 1) 4

b) 

h (4p 1 3 ) 12

d) 

h (8p 1 3 3 ) 12

e) 

h (4p 1 3 3 ) 12

ˆ e BC 5 10 cm. Traça-se a altura do triângulo ABC, relativa ao 20. UEPG-PR 2022 O triângulo retângulo ABC é reto em B lado AC e determina-se o ponto H na interseção com AC. Considerando que CH 5 5 cm, AB 5 a e AH 5 b, assinale o que for correto. 01 A área da coroa circular obtida a partir das circunferências concêntricas de raio a e b, respectivamente, mede 95p cm2. 02 A área do retângulo de dimensões a e b mede 150 cm2. 04 O volume de um cilindro de raio b e altura a é 2 250 3p cm3. 08 A equação da circunferência de raio a e centro (1, b) é dada por x2 2 2x 1 y2 2 30y 2 74 5 0. 16 Se f(x) 5 2x 1 1, então f 21(b) 5 7.

FRENTE 3

19. Uece 2020 Se o volume de um paralelepípedo retângulo, cuja medida das arestas distintas são respectivamente 2 cm, 3 cm e 4 cm, é igual ao volume de um cilindro circular reto, cuja medida do raio da base é igual a 2 cm, então, é correto afirmar que a medida da altura do cilindro, em cm, é 6 p a)  . b)  6p. c)  . d)  3p. p 6

Soma:

127 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 127

26/02/24 14:13

Texto complementar

O volume da tora de madeira

Num encontro sobre ensino de Matemática realizado certa vez em Vitória, um aluno da Universidade do Espírito Santo descreveu-me um processo usado por seu pai, que trabalhava numa serraria, para obter o volume de uma tora de madeira. Com um barbante, ele dá uma volta no tronco.

O barbante é então cortado no ponto em que a volta se completa. A seguir, ele dobra o barbante ao meio, juntando suas pontas. Depois, dobra-o novamente ao meio. Em seguida, mede o comprimento do barbante dobrado em quatro. O valor assim obtido é então multiplicado por ele mesmo e este resultado é depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Pronto: o produto final obtido é o volume da tora. Vamos analisar este processo. Estará correto? Suponhamos a tora cilíndrica de raio r e comprimento c. Com o barbante dando uma volta no tronco, ele obtém o perímetro da circunferência de raio r, isto é: comprimento do barbante esticado: 2pr Dobrando duas vezes o barbante ao meio temos: pr 2pr comprimento do barbante esticado 5 5 2 4 4 Este é o valor que ele obtém com o metro. Multiplicando-o por si mesmo e a seguir pelo comprimento da tora temos: p pr pr p2 r 2 c ? ?c5 5 ? pr 2c 4 2 2 2

O volume do cilindro de raio r e comprimento (ou altura) c é pr2c. Como p < 4, concluímos que o valor obtido pelo pai do rapaz p 3 é menor que o volume da tora. Uma vez que à 5 75%, o volume calculado é cerca de 75% do volume real. 4 4 Comentei este fato com o estudante e ele me disse que as pessoas que comercializam a madeira sabem desta diferença e a aceitam, devido ao seguinte: desdobrando a tora em tábuas, sobram as costaneiras, tábuas da periferia do tronco que não são vendidas.

Deste modo, justificavam a aproximação por falta, no cálculo do volume da tora cilíndrica. É interessante perceber que o processo descrito corresponde à seguinte ideia: substituímos o cilindro por um prisma de base ­quadrada.

r L

Os dois sólidos têm o mesmo comprimento (altura) e suas bases têm perímetros iguais. Esta transformação do círculo em quadrado preserva o perímetro, mas não a área. De fato: área do círculo 5 pr2 área do quadrado ~ L2 5

2pr 5 4L ~ L 5 p p2 r 2 5 ? pr 2 < pr 2 4 4

Logo, área do quadrado < área do círculo.

128

MATEMÁTICA

pr 2

Capítulo 14

IMENES, Luiz Márcio. Para que serve. Revista do Professor de Matemática, SBM. Rio de Janeiro. 9. ed. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGA. Acesso em: 23 fev. 2024.

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 128

26/02/24 14:13

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

Quer saber mais? Texto PERRONE, Gabriel Cury. Parafuso de Arquimedes, AMLEF. 1º dez. 2019. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGF. Acesso em: 23 fev. 2024. O texto aborda o funcionamento e a história do parafuso de Arquimedes, uma antiga tecnologia utilizada ainda nos dias atuais. Site PLANIFICAÇÃO do cilindro no GeoGebra. Geogebra, 14 dez. 2022. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGD. Acesso em: 23 fev. 2024. Com a ajuda desse software de geometria dinâmica, é possível modificar elementos do cilindro e observar as alterações na planificação, possibilitando diversas análises.

Exercícios complementares 1. Enem 2020 Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A. Se R denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é R 2 b) 2R a)

d) 5R e) 16R 2. UPF-RS 2021 O volume de um cilindro circular reto C é 44 cm3. O volume, em cm3, de um cilindro circular reto com o raio duas vezes maior e metade da altura do cilindro C é: a) 2C b) 4C c) C C d) 4 e)

C 2

3. Fuvest-SP 2024 O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa-d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu 3 de que o reservatório do caminhão estava cheio até 4 sua altura, conforme ilustrado na figura.

Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d’água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento? a) 2p 2

3 4

b) 2p 2

3 3 2

c) 2p 1

3 3 2

d) 4p 1

3 4

e) 4p 1

3 3 2

4. IFCE 2016 Dentre todos os retângulos de perímetro P 5 40 cm, iremos rotacionar o de área máxima em torno de um de seus lados, gerando um cilindro. O volume desse cilindro, em cm3, é a) b) c) d) e)

FRENTE 3

c) 4R

500p. 25p. 50p. 100p. 1 000p.

129 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 129

26/02/24 14:13

5. Enem PPL 2022 Um novo produto, denominado bolo de caneca no micro-ondas, foi lançado no mercado com o objetivo de atingir o público que não tem muito tempo para cozinhar. Para prepará-lo, uma pessoa tem à sua disposição duas opções de canecas, apresentadas na figura.

4 cm

r

4 cm x R Caneca A

Caneca B

A caneca A tem formato de um prisma reto regular hexagonal de lado L 5 4 cm, e a caneca B tem formato de um cilindro circular reto de diâmetro d 5 6 cm. Sabe-se que ambas têm a mesma altura h 5 10 cm, e que essa pessoa escolherá a caneca com maior capacidade. Dado: considere p 5 3,1 e 3 5 1,7. A medida da capacidade, em centímetro cúbico, da caneca escolhida é a) 186. b) 279. c) 408. d) 816. e) 1 116. 6. Unicamp-SP 2013 A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que: a)

R 3 H 16 e . , . 4 9 r h

b)

R 9 4 H . , . e r 16 h 3

c)

R 4 H 25 . , e . r 5 h 16

d)

R 16 5 H . , . e r 25 h 4

7. Fuvest-SP Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura 4 cm e raios das bases R e r, respectivamente.

130

MATEMÁTICA

Capítulo 14

Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico a seguir, quais os valores de R e r ? V(x) (cm3)

44p

18p

0

2

4

6

8

x (cm)

8. Enem PPL Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for, no mínimo, dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 cm2. A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. Dado: aproxime p para 3. O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois a) b) c) d) e)

o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60. o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00. o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40. a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior. capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 130

26/02/24 14:13

23,5 cm

Água

20 cm r

Pedra

O volume da pedra é: a) 128p cm3 b) 224p cm3 c) 240p cm3

d) 282p cm3 e) 320p cm3

10. Unicamp-SP 2019 Seja um cilindro circular reto com raio da base de comprimento r 5 2 cm e altura de comprimento h. Seja d a maior distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo.

d

h

r

indicada pela porcentagem de etanol precedido pela letra E maiúscula. Dessa maneira, a mistura E10 é composta de 10% de etanol e 90% de gasolina A. As misturas mais comuns são E15, E20, E25 e E27. Suponha-se que um tanque de uma distribuidora, na forma de um cilindro circular reto com 4 metros de diâmetro e c­ apacidade de 120 000 litros, esteja com 100 000 litros da mistura E15. Suponha-se também que, devido a uma nova regulamentação da ANP (Agência Nacional do Petróleo), deva ser adicionado etanol nesse tanque de modo a obter a mistura E20, que passará a ser distribuída para comercialização. Com base no texto apresentado, elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar a) a quantidade de litros de etanol que serão adicionados a esse tanque. b) o aumento, em metros, no nível de combustível (altura da coluna) nesse tanque. Dado: use p 5 3,125. 13. ITA-SP 2014 Um cilindro reto de altura h 5 1 cm tem sua base no plano xy definida por x2 1 y2 2 2x 2 4y 1 4 , 0

Um plano, contendo a reta y 2 x 5 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do menor sólido. 14. Unicamp-SP 2023 Márcia está decorando sua casa para o Natal e pretende cobrir uma pilastra com um papel de parede de temas natalinos e depois enrolar uma fita de lâmpadas de led na pilastra coberta, dando uma única volta, de modo que o ponto em que a fita começa a ser enrolada esteja exatamente embaixo do ponto onde ela termina, como ilustrado na figura a seguir. Fim da fita

a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de superfície total. b) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma progressão geométrica. 11. PUC-Rio 2018 Considere a parábola de equação y 5 1 2 x2. Para x0 é [0,  1], inscrevemos, entre o eixo horizontal e a parábola, um retângulo de vértices (x0, 0), (2x0,  0), (2x0,  y0) e (x0,  y0). Note que os dois vértices (2x0, y0) e (x0, y0) pertencem à parábola. Giramos o retângulo ao redor do eixo y, obtendo, assim, um cilindro circular reto. a) Determine, em função de x0, o raio da base, a altura e o volume do cilindro. 2 b) Calcule o volume do cilindro para x0 5 . 3 c) Encontre o valor de x0 para o qual o cilindro tem volume máximo. Determine este volume máximo. 12. UFU-MG 2018 No Brasil, é comercializada, nos postos de combustível, a mistura do álcool anidro (etanol) com gasolina pura (gasolina A), conhecida como gasolina C. A proporção entre esses combustíveis é

Início da fita

A pilastra tem o formato de um cilindro circular reto com 3 m de altura; a medida do perímetro da circunferência da base é 1 m, e sua lateral será coberta completamente com papel de parede colado sem sobreposição. a) Sabendo que o metro quadrado do papel de parede custa R$ 20,00, determine quanto Márcia terá que gastar em papel de parede para cobrir a pilastra como ela quer. b) Qual é o menor comprimento que a fita de led precisa ter para ser possível esta instalação?

FRENTE 3

9. Fuvest-SP 2023 Para medir o volume de uma pedra com formato irregular, Ana utilizou um recipiente cilíndrico de raio r 5 8 cm e com água até a altura de 20 cm. Após colocar a pedra no recipiente, a altura da água subiu para 23,5 cm.

131 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 131

26/02/24 14:13

15. Unifor-CE 2023 Uma certa empresa pretende construir um gasoduto ligando duas importantes zonas industriais. Os engenheiros responsáveis pelo projeto constataram que, devido às características do solo por onde o gasoduto passará, será necessário, num trecho de 1 km, fazer uma base de concreto, sobre a qual ficará tubulação, conforme mostra a figura.

18. EEAR-SP 2024 Seja um cilindro circular reto de raio da base medindo 3  cm e de 12  cm de altura. Ele é seccionado por dois planos que passam por um ponto P, pertencente a uma geratriz do cilindro, distando 3  cm de uma das bases, conforme representado na figura. Considerando as medidas apresentadas, todas em cm, o volume da parte sombreada é _____ p cm3.

Vista frontal

0,8 m

A

B

3 10

00

0,3 m 0,3 m

9

m

2m Fora de escala

Fora de escala

A tubulação ficará centralizada sobre a base de concreto, que tem 1  000 m de comprimento, 2 m de largura, 60 cm de altura, exceto na parte central onde está acomodado a tubulação como consta na vista frontal do projeto. O tubo tem raio de 80 cm e o comprimento do arco AB é 1,433 m. Qual é o volume aproximado de concreto, em m3, necessário para construir a base da tubulação? Dado: use 0,39 5 0,6245. a) 783,45 b) 867,12 c) 939,05

d) 1 012,08 e) 1182,60

16. ITA-SP 2013 No sistema xOy os pontos A(2,  0), B(2, 5) e C(0, 1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este volume , em unidade cilindro, a razão área total da superfície de comprimento, é igual a 100 . 115

a) 1.

d)

100 b) . 105

5 e) . 6

c)

10 . 11

17. ITA-SP Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360p cm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3 cm2, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2,

132

a)

18 427

d)

108 3

b)

27 427

e)

45 427

c)

36 427

MATEMÁTICA

Capítulo 14

P 3

a) b) c) d)

3

9 27 54 81

19. ITA-SP Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5 cm do eixo e separa na base um arco de 120°. Sendo de 30 3  cm2 a área da secção plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm3: a) b) c) d) e)

30p 2 10 3

30p 2 20 3

20p 2 10 3

50p 2 25 3

100p 2 75 3

20. ITA-SP O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m2, vale a)

3p2 4

9p(2 1 p) 4 c) p(2 1 p) b)

2 d) p 2

e)

3p(p 1 1) 2

Cilindros

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 132

26/02/24 14:13

BNCC em foco EM13MAT201

1. Cada família de uma comunidade rural de determinada região ganhou dois cochos para substituir os cochos ruins da propriedade ou instalar novos. Os cochos foram confeccionados em madeira e com o formato de semicilindro circular reto como indicado na figura a seguir. Dado: p à 3,14. 50 cm

3m

Se a comunidade rural ganhou também uma lata de verniz de 5 kg para impermeabilizar a região interna dos cochos para aumentar a durabilidade destes e o rendimento da lata de verniz indicado pelo fabricante é 80 m2, é correto afirmar que será possível impermeabilizar: a) aproximadamente 5 cochos. b) aproximadamente 15 cochos. c) os cochos de, aproximadamente, 5 famílias. d) os cochos de, aproximadamente, 15 famílias. EM13MAT201

2. O tanque de uma distribuidora em que é armazenada a gasolina que abastece os postos de uma determinada região tem a forma de um cilindro reto e está com 40% da sua capacidade. Quantos postos de gasolina poderão ser abastecidos por esse tanque se os postos também armazenam a gasolina em tanques cilíndricos com a altura e o 1 1 diâmetro da base iguais, respectivamente, a e das dimensões do tanque da distribuidora e cada posto possui 5 4 apenas um tanque? a) 6 b) 12 c) 32 d) 40 3. Na cidade de São Paulo, onde são consumidos diariamente 11,5 milhões de m3 de gás natural, o produto não é armazenado em botijões, como acontece com o gás do tipo GLP. Ele sai diretamente do gasoduto para os dutos das distribuidoras locais, que alimentam postos de combustível, residências e indústrias. O gasoduto segue para o sul do Brasil até Canoas (RS), onde finalmente termina após 3 150 quilômetros! A tubulação que transporta o gás é de aço-carbono, um dos mais resistentes. O diâmetro dos canos varia entre 16 e 32 polegadas (de 40,6 a 81,2 cm), dependendo do trecho. O gasoduto fica enterrado a uma profundidade média de 1,20 metro. MOTOMURA, Marina. Como funciona um gasoduto? Superinteressante, 4 jul. 2018. Disponível em: http://p.p4ed.com/MHWGS. Acesso em: 23 fev. 2024.

FRENTE 3

EM13MAT201

Considere que os tubos são cilíndricos e use a média do diâmetro dos canos, 60 cm. Sendo assim, o volume de gás circulante nos 3 150 km de tubo é de: a) 90 000p m3 b) 189 000p m3 c) 283 500p m3 d) 945 000p m3 e) 3 150 000p m3

133 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_116_133_mat_f3_c14_p4.indd 133

26/02/24 14:13

M Jessica W/Shutterstock.com

Esfera da entrada do Parque Epcot Center em Orlando, EUA. Foto de 2017.

FRENTE 3

15 CAPÍTULO

Cones e esferas Após conhecer detalhadamente as características dos cilindros, os próximos corpos redondos a serem estudados são os cones e as esferas. Embora existam outras formas geométricas dotadas de superfícies curvas, essas duas, em particular, admitem relações métricas interessantes e úteis para desenvolver a capacidade de avaliar e quantificar a extensão de suas superfícies e a grandeza de seus volumes em situações práticas e cotidianas. Afinal, essas formas estão presentes em nosso dia a dia, sendo encontradas nas mais diversas situações, desde alimentos até objetos de uso geral.

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 134

29/02/24 14:15

Cone reto ou cone de revolução

Entre os corpos redondos, o próximo sólido geométrico que estudaremos é o cone. Diversos objetos e utensílios domésticos bastante úteis ao ser humano, como podemos ver a seguir, lembram o formato de um cone.

Quando o eixo do cone é perpendicular ao plano da base, podemos dizer que se trata de um cone reto, ou de revolução. Cones de revolução são obtidos por rotações completas de triângulos retângulos em torno de um de seus catetos.

WichitS/iStockphoto.com

design56/iStockphoto.com

Sonia Dubois/iStockphoto.com

burwellphotography/iStockphoto.com

Floortje/iStockphoto.com

Cones

Formalmente, podemos definir um cone da seguinte maneira: “Sejam a um plano, V um ponto fora de a e l um círculo de centro O e raio R contido em a. Denomina-se cone de base circular a união de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em l.”

V

g

A

V

g

h

O

R

A

h

O

R

Eixo

A'

Eixo

Note que, em cones de revolução, todas as geratrizes têm o mesmo comprimento. Sendo g o comprimento das geratrizes de um cone de revolução, uma relação métrica entre esse valor e os valores do raio da base do cone e sua altura pode ser enunciada com base no teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo, cuja revolução dá forma ao cone. V

V

g

g2 5 R2 1 h2

h

h A R

A

O

a

B

H

l

e

• • • • •

Observe na figura os principais elementos dos cones: o vértice do cone, que é o ponto V fora do plano a;

Exercício

A'

O

resolvido

1. Enem Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária na figura: luminária

a base do cone, que é o círculo l, de diâmetro AB contido no plano a;

FRENTE 3

• •

R

o centro dessa base, que é o ponto O; a medida R do raio da base;

o eixo e do cone, que é a reta determinada pelos pontos V e O;

h

g55m

a medida h da altura do cone, que é a distância do ponto V ao plano a;

a geratriz do cone, qualquer segmento que liga o vértice a um ponto da circunferência da base, assim como VA e VB.

135 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 135

07/03/24 18:14

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m2, considerando p à 3,14, a altura h será igual a: d) 9 m. a) 3 m. e) 16 m. b) 4 m. c) 5 m.

Cone equilátero Se a seção meridiana de um cone de revolução for um triângulo equilátero, ou seja, se o diâmetro da base tiver a mesma medida que as geratrizes do cone, então o cone também receberá o nome de equilátero.

Resolução: Sendo R a medida do raio da área iluminada, temos: pR2 5 28,26 m2 Considerando a aproximação sugerida, obtemos: 3,14 ? R2 5 28,26 ~ R2 5 9

Assim, como h > 0, de g2 5 R2 1 h2, obtemos h, em metros:

60°

52 5 9 1 h2 ~ h2 5 25 2 9 5 16 _ h 5 4 Resposta: alternativa B.

Atenção Cones cujo eixo é oblíquo ao plano da base não podem ser gerados pela revolução de nenhuma forma geométrica. Cones como esses são chamados de cones oblíquos.

Seção meridiana Da mesma forma que nos cilindros, as seções meridianas de um cone são obtidas pela interseção deste com algum plano que contenha o seu eixo. Nos cones de revolução, as seções meridianas são todas congruentes entre si e têm a forma de triângulos isósceles cuja base coincide com algum diâmetro da base do cone (2R) e a altura coincide com a altura do cone (h).

Em um cone equilátero, todas as geratrizes estão inclinadas 60° em relação ao plano da base. Além disso, as medidas das geratrizes e da altura podem ser expressas em função do raio da base, respectivamente, por: g 5 2R

Exercício

e

h

R 3

resolvido

2. Qual é a área da seção meridiana de um cone equilátero cuja altura mede 10 cm? 100 3 d) cm2 . a) 50 2 cm2. 3 100 b) 100 2 cm2 . cm2 . e) 3 50 3 cm2 . c) 3 Resolução: A figura a seguir representa a seção meridiana desse cone:

g 5 2R 10 cm

60° R

R

10 10 3 .cm _ R5 R 3 Assim, a área da seção, em centímetros quadrados, é:

No triângulo retângulo, tg (60o ) 5

Atenção Em cones oblíquos, as seções meridianas não são triângulos congruentes uns aos outros.

136

MATEMÁTICA

Capítulo 15

A seção 5

2R ? h 10 3 100 3 5R?h5 ? 10 5 3 2 3

Resposta: alternativa D.

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 136

07/03/24 18:14

Como a base de um cone de revolução é um círculo de raio R, a área da base de um cone é dada pela expressão: Abase 5 p ? R2 Além disso, o comprimento da circunferência dessa base é dado pela expressão: C 5 2p ? R Observe que, ao desenvolver a superfície lateral de um cone de revolução, a figura obtida é a de um setor circular cujo raio coincide com a geratriz do cone. A V g A

R

h

Planificação A'

O

a)  8 2 cm

c)  4 7 cm

b)  16 2 cm

d)  8 7 cm

u

A'

O

A

g

Sendo u a medida, em radianos, do ângulo central da planificação da superfície lateral de um cone de revolução e L o comprimento do arco do setor circular que representa essa planificação, temos que: L5u?g Como o arco desse setor corresponde ao comprimento de toda a circunferência da base do cone, a sentença L 5 C implica uma importante relação métrica, própria dos cones de revolução: u ? g 5 2p ? R

resolvidos

3. Qual é a medida, em graus, do ângulo central da planificação da superfície lateral de um cone circular reto cujo raio da base mede 9 dm e a altura mede 12 dm? a) 330° c) 165° e) 90° b) 216° d) 144° Resolução: Para resolver esse problema, podemos, primeiro, determinar a medida da geratriz do cone. Então, de g2 5 R2 1 h2, obtemos: g2 5 92 1 122 5 81 1 144 5 225

Como g > 0, vem que, em dm, g 5 1 225 5 15. Agora, de u ? g 5 2p ? R, temos, em radianos: 18p 6p u ? 15 5 2p ? 9 ~ u 5 5 15 5

e)  4 21 cm

Resolução: Em questões como essa, é importante observar que o raio do setor circular não é igual ao raio da base do cone, e sim igual à geratriz do cone. Assim, g 5 20 cm. Calculando u em radianos, temos: 144o

R

A

Exercícios

4. Um pedaço de cartolina em forma de setor circular, com raio de 20 cm e ângulo central de 144°, foi cortado para montar a superfície lateral de um cone circular reto. Quanto esse cone terá de altura depois de montado?

180o

g V

Convertendo a medida angular de radianos para graus, 6 ? 180o 5 216o . obtemos u 5 5 Resposta: alternativa B.

p rad

u rad

~ u5

144o 4p p5 rad 180o 5

Então, de u ? g 5 2p ? R, obtemos: 4p ? 20 5 2p ? R _ R 5 8 cm 5 Finalmente, de g2 5 R2 1 h2, vem que: 202 5 82 1 h2, h > 0 h2 5 400 2 64 5 336

Portanto, h 5 4 21 cm. Resposta: alternativa E.

Atenção A área de um setor circular equivale à metade do produto do comprimento L do arco de circunferência pelo comprimento r do raio: L ?r A setor 5 2

Como o raio do setor circular que corresponde à planificação da superfície lateral do cone tem o comprimento da geratriz desse cone, a área lateral dos cones de revolução é expressa por: Alateral 5

L ?g 2

Da igualdade L 5 2pR, podemos deduzir que: 2p ? R ? g Alateral 5 2 Simplificando a fração, concluímos que a área lateral de um cone de revolução pode ser expressa por:

FRENTE 3

Áreas de um cone de revolução

Alateral 5 p ? R ? g Então, como os cones de revolução possuem apenas uma base, sua área total fica expressa por: Atotal 5 Alateral 1 Abase Atotal 5 p ? R ? g 1 p ? R2 5 pR(g 1 R)

137 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 137

07/03/24 18:14

Exercício

Resolução:

resolvido

5. Qual é a área lateral de um cone de revolução cujo raio da base mede 4 cm e a altura mede 3 cm? a) 12p cm2. c) 16p cm2. e) 25p cm2. 2 2 b) 15p cm . d) 20p cm . Resolução:

Da relação g2 5 R2 1 h2, temos g2 5 42 1 32 5 25. Como g > 0, então g 5 5 cm. Dessa forma, a área lateral do cone, em cm2, mede: Alateral 5 p ? R ? g 5 p ? 4 ? 5 5 20p

Resposta: alternativa D.

Saiba mais

A área da base de todo cone de revolução é B 5 p ? R2. Como, em cones equiláteros, g 5 2R, a área lateral desse cone é L 5 p ? R ? g 5 p ? R ? 2R 5 2p ? R2, e a área total é T 5 B 1 L 5 p ? R2 1 2p ? R2 5 3p ? R2. Portanto, B 5 L 5 T . 1 2 3 Resposta: alternativa A.

Volume de um cone Vimos, em capítulos anteriores, que o volume de uma pirâmide não depende do formato de sua base, mas do valor da área dessa base. Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume de um cone equivale à terça parte do produto da área de sua base pelo comprimento de sua altura.

Uma relação entre a altura h de um cone equilátero e a medida u do ângulo central da planificação de sua superfície lateral pode ser deduzida das expressões já estudadas:

a

Vértice

{

g 5 2R u ? g 5 2p ? R

h

b

Substituindo o comprimento da geratriz na segunda equação, obtemos u ? 2R 5 2p ? R. Portanto, u 5 p rad.

Base

g 180°

g

Na figura, se os planos a e b são paralelos e não coincidentes, então a altura h do cone é a distância entre esses planos, e, sendo B o valor da área da região indicada como base, o volume de sólidos como o representado pela figura fica expresso por:

60° Planificação R

R

Assim, é interessante observar que a planificação da superfície lateral de um cone equilátero é um semicírculo cujo raio coincide com a geratriz do cone.

Exercício

MATEMÁTICA

V5

p ? R2 ? h 3

resolvido

6. Se B, L e T são os respectivos valores da área da base de um cone equilátero, de sua área lateral e de sua área total, então: a) B 5 L 5 T 1 2 3 b) B 5 L 5 T 1 4 9 c) B 5 L 5 T 2 3 4 B L T d) 5 5 2 3 5 B L T e) 5 5 1 4 5

138

B?h 3 Vale lembrar que cones têm base circular. Desse modo, concluímos que o volume desses cones é expresso por: V5

Capítulo 15

Exercício

resolvido

7. O volume de um cone cuja circunferência da base tem 18 m de comprimento e a altura mede 2p m é igual a: a) 27 m3. c) 45 m3. e) 81 m3. 3 3 b) 36 m . d) 54 m . Resolução: 9 Do comprimento da base, obtemos 2pR 5 18 ~ R 5 . p Portanto, o volume desse cone, em m3, é: V5

p ? R2 ? h p  9 2p2 81 5 ?   ? 2p 5 ? 2 5 54 p 3 3  p 3 2

Resposta: alternativa D.

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 138

07/03/24 18:14

Esferas Os próximos corpos redondos que estudaremos com maior profundidade são as esferas, cujo formato também é lembrado em inúmeros objetos utilizados pela humanidade, além de servirem como modelo para estudos do comportamento físico dos universos microscópico e macroscópico.

•

distância (D, O) < R; distância (E, O) 5 R; distância (F, O) > R.

O comprimento R que define a esfera é denominado raio da esfera. Assim, dizemos que a figura representa uma esfera de centro O e raio R. Os círculos máximos de uma esfera também recebem o nome de meridianos da esfera. Todo círculo máximo de uma esfera tem o mesmo centro que a esfera. Chamamos de diâmetro da esfera qualquer segmento de reta que passa pelo centro e cujas extremidades são pontos da superfície da esfera. Os diâmetros da esfera medem 2R.

leonello/iStockphoto.com

A descoberta de Arquimedes SlayStorm/iStockphoto.com Mutlu Kurtbas/iStockphoto.com

BlackJack3D/iStockphoto.com

• •

mrtom-uk/iStockphoto.com

Pedro_Turrini/iStockphoto.com subjug/iStockphoto.com

É importante observar que R não é o representante de um segmento de reta, mas de um valor numérico, que é o comprimento definido como distância ao centro da esfera. Assim, em relação aos pontos destacados na figura:

Arquimedes de Siracusa foi um grande pensador da Antiguidade, e seus experimentos contribuíram muito tanto para os estudos da Matemática quanto para os da Física. Uma das conclusões mais impressionantes que tirou desses experimentos foi a relação entre volumes e áreas de duas formas geométricas em particular: a esfera e o cilindro equilátero. Suas descobertas sobre a métrica desses corpos redondos só foram demonstradas muito posteriormente, quando o conhecimento matemático já incorporava o cálculo diferencial e integral, de modo que Arquimedes pode ser considerado um precursor dessa ciência.

Formalmente, podemos definir a esfera da seguinte maneira: “Sejam O um ponto do espaço e R uma distância definida. Chamamos de esfera o conjunto formado por todos os pontos do espaço cujas distâncias até o ponto O sejam menores ou iguais a R.”

h 5 2R

F

• • • • • •

O

D

Na figura da esfera, os elementos em destaque são: o centro da esfera, que é o ponto O;    três eixos da esfera, que são as retas OD, OE e OF, perpendiculares duas a duas; dois círculos máximos da esfera, situados em planos perpendiculares; um ponto D da região interior da esfera; um ponto E da superfície da esfera; um ponto F da região exterior à esfera.

De acordo com os experimentos de Arquimedes, se um cilindro equilátero e uma esfera têm o mesmo raio R, então a área da superfície total do cilindro é 50% maior que a área da superfície esférica. E, nessas condições, o volume do cilindro também é 50% maior que o volume da esfera. Superfície do cilindro Volume do cilindro 5 5 1,5 Superfície da esfera Volume da esfera

FRENTE 3

E

Superfície esférica Vamos usar a relação de Arquimedes com o objetivo de deduzir uma expressão para a área da superfície esférica. A área total de um cilindro de revolução é composta das áreas de sua superfície lateral e de suas duas bases

139 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 139

07/03/24 18:14

circulares. Assim, sendo R e h as medidas do raio e da altura do cilindro, temos: • Alateral 5 2pRh

• • •

Abase 5 pR2

Atotal 5 Alateral 1 2 ? Abase 5 2pRh 1 2pR2 5 2pR(h 1 R)

Como se trata de um cilindro equilátero, h 5 2R. Portanto: Atotal 5 2pR(2R 1 R) 5 2pR ? 3R 5 6pR2

Então, da relação de Arquimedes para as áreas da superfície esférica e do cilindro equilátero, obtemos: Área do cilindro equilátero 5 1,5 Área da superfície esférica 6pR2 3 5 Área da superfície esférica 2 3 ? (Área da superfície esférica) 5 12pR2 Área da superfície esférica 5 4pR2

Exercício

resolvido

Resolução: Do diâmetro da esfera, obtemos, em cm: 2R 5 80 ~ R 5 40 Assim, o valor exato de sua área, em cm2, é: A 5 4pR2 5 4p ? 402 5 6 400p Convertendo a unidade, calculamos: A 5 6 400p ? (10–2 m)2 5 6 400 ? 10–4p m2 5 0,64p m2 Com p 5 3,14, temos, em m2, o valor aproximado: A à 0,64 ? 3,14 à 2,0096 Resposta: alternativa C.

Também vamos utilizar a relação de Arquimedes a fim de deduzir uma expressão para o volume da esfera. O volume de um cilindro de revolução de raio R e altura h é dado por: Vcilindro 5 pR2h Como se trata de um cilindro equilátero, h 5 2R. Logo: Vcilindro 5 pR2 ? (2R) 5 2pR3 Então, da relação de Arquimedes para os volumes da esfera e do cilindro equilátero, temos que: Volume do cilindro equilátero 5 1,5 Volume da esfera 2pR3 3 5 Volume da esfera 2 3 ? (Volume da esfera) 5 4pR3 Volume da esfera 5 Capítulo 15

9. Calcule o volume de uma esfera sabendo que sua superfície tem uma área de 324p cm2. a) 243p cm3. d) 792p cm3. b) 297p cm3. e) 972p cm3. 3 c) 423p cm . Resolução:

Da área da superfície, obtemos 4pR2 5 324p ~ R2 5 81. Portanto, como R > 0, R 5 9 cm. Então, o volume dessa esfera, em cm3, é: V5

4pR3 4p ? 93 4p ? 729 5 5 5 4p ? 243 5 972p 3 3 3

Resposta: alternativa E. 10. Qual é o número inteiro que mais se aproxima da medida, em centímetros, do raio interno de um recipiente esférico com capacidade de 1 litro?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Resolução: Como 1 litro equivale a 1 000 cm3, sendo R a medida, em centímetros, do raio dessa esfera, obtemos 4pR3 5 1 000 . 3 Com p à 3, temos que, aproximadamente: 4R3 à 1 000 ~ R3 à 250 ~ R à 3 250

Então, como 3 216 < 3 250 < 3 343 , temos que R satisfaz 6 < R < 7, sendo 6 o número inteiro que mais se aproxima da medida do raio. Resposta: alternativa E.

Seção meridiana da esfera

Volume da esfera

MATEMÁTICA

resolvidos

Dado: utilize p à 3.

8. Qual é a área aproximada da superfície de uma esfera com 80 cm de diâmetro? a) 1,8 m2. c) 2,0 m2. e) 2,2 m2. 2 2 b) 1,9 m . d) 2,1 m .

140

Exercícios

4pR 3

3

Qualquer reta que passe pelo centro de uma esfera é também um eixo dela. Dessa forma, qualquer plano que passe pelo centro da esfera promove nela uma seção meridiana. A circunferência de uma seção meridiana da esfera é chamada de meridiano da esfera. E

R

O

A área da seção meridiana de uma esfera de raio R é igual a pR2. Então, o comprimento dos meridianos de uma esfera de raio R é igual a 2pR.

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 140

07/03/24 18:14

Hemisférios

Calota esférica

Toda seção meridiana de uma esfera a divide em dois sólidos congruentes, denominados hemisférios. Assim, o volume de um hemisfério equivale à metade do volume de uma esfera de mesmo raio R.

Se uma seção plana de uma esfera não passa pelo seu centro, então essa seção a divide em dois sólidos não equivalentes, denominados calotas da esfera. Sendo R o raio da esfera secionada, a base de uma calota dessa esfera deve ser uma circunferência de raio r, tal que r , R.

Volume do hemisfério 5

O

2pR 3

R

3

E

Os hemisférios são dotados de duas superfícies. Uma delas é plana, tem o formato de um círculo e pode ser considerada a base do hemisfério. A outra é curva e equivalente à metade da superfície de uma esfera. Logo, em um hemisfério de raio R, temos: Aplana 5 pR2

Acurva 5 2pR2 Atotal 5 Aplana 1 Acurva 5 3pR2

Exercício

resolvido

11. Um pedaço maciço de isopor com a forma de uma semiesfera tem volume igual a 2,25p dm3 e terá sua superfície curva pintada para a decoração de uma festa infantil. Qual é o valor da área a ser pintada nessa peça? a) 2,25p dm2. b) 4,5p dm2. c) 6,75p dm2. d) 9p dm2. e) 11,25p dm2. Resolução: 225 9 5 , temos: 100 4 3 2pR 9p 27 3 V5 5 ~ R3 5 _ R 5 dm 3 4 8 2

Como 2,25 5

Portanto, a área que será pintada, em dm2, é igual a: 2

9  3 A 5 2pR 5 2p   5 p 5 4,5p  2 2 2

Resposta: alternativa B.

O'

r

d

R

P

O

Como a projeção ortogonal do centro O da esfera deve coincidir com o centro O' da base da calota, esses centros determinam, com qualquer ponto P da circunferência da base da calota, um triângulo retângulo POO', de hipotenusa PO 5 R e cateto PO' 5 r. Dessa forma, sendo d 5 OO' a distância entre os centros da esfera e da base da calota, do teorema de Pitágoras, obtemos: R2 5 d2 1 r2 O triângulo POO' não existe quando r 5 R, pois, nesse caso, O 5 O' e as calotas são também hemisférios.

Exercício

resolvido

12. Uma esfera de raio R cm é secionada por um plano que está a 5 cm de distância do centro da esfera. Se a área da base das calotas obtidas é de 144p cm2, então R é igual a: a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12 Resolução:

Da área da base da calota, e como r > 0, obtemos, em cm: pr2 5 144p _ r 5 12

Da relação R2 5 d2 1 r2, e como R > 0, temos: R2 5 52 1 122 5 25 1 144 5 169

FRENTE 3

1 ? (Volume da esfera) 2 1 4pR3 Volume do hemisfério 5 ? 2 3

Volume do hemisfério 5

Portanto, R 5 13. Resposta: alternativa D.

Cunhas e fusos esféricos Considere que duas seções meridianas de uma esfera de raio R determinem um diedro de medida u. Nesse caso, a esfera ficará dividida em quatro sólidos geométricos denominados cunhas esféricas. Duas delas terão ângulo de medida u; e as outras duas, o suplemento desse ângulo.

141 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 141

29/02/24 14:15

Assim, com u em graus, temos:

A fuso u 5 Aesfera 360o u A fuso 5 ? Aesfera 360o u A fuso 5 ? 4pR2 360o

R

O

R

A fuso 5 O volume de uma cunha esférica é diretamente proporcional à medida u de seu diedro. Assim, com u em graus, determinamos:

Com o ângulo, de medida u, em radianos, obtemos: u A fuso 5 Aesfera 2p u A fuso 5 ? Aesfera 2p u A fuso 5 ? 4pR2 2p

u Vcunha 5 Vesfera 360o

u ? Vesfera 360o u 4pR3 5 ? o 360 3

Vcunha 5 Vcunha

Vcunha 5

Afuso 5 2uR2

upR3 270o

R O

Com o ângulo, de medida u, em radianos, temos:

u ? Vesfera 2p u 4pR3 5 ? 3 2p

Vcunha 5

Vcunha 5

u

R

Vcunha u 5 Vesfera 2p

Vcunha

upR2 90o

A área de toda a superfície de uma cunha esférica equivale à soma das áreas de suas duas faces planas com a área de seu fuso esférico: A cunha 5 2 ?

2 3 uR 3

p ? R2 1 2u ? R2 2

Acunha 5 (p 1 2u) ? R2

Exercícios

resolvidos

13. Qual é o volume aproximado de uma cunha com 80o de uma esfera de raio 9 cm?

R

O u R

Dado: use p à 3,14. a) 680 cm3. b) 710 cm3.

c) 750 cm3. d) 780 cm3.

e) 810 cm3.

Resolução: Cada cunha esférica é dotada de três superfícies: duas delas planas e equivalentes a semicircunferências de raio R, e uma curva, que é parte da superfície da esfera secionada. A superfície curva de uma cunha esférica é denominada fuso esférico, e sua área é diretamente proporcional à medida u de seu diedro.

142

MATEMÁTICA

Capítulo 15

Solução 1 O volume de toda a esfera, em cm3, é: 4pR3 4p ? 93 Vesfera 5 5 5 972p 3 3 Logo, o volume da cunha, em cm3, é: Vcunha 80o 2 5 ~ Vcunha 5 ? 972p 5 216p à 678 Vesfera 360o 9

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 142

07/03/24 18:14

Solução 2 Determinando o valor de u, em radianos, temos: 180o

80o

p rad u rad

~ u5

80op 4p 5 o 180 9

Da fórmula do volume da cunha, obtemos, em cm3: 2 2 4p 3 Vcunha 5 uR3 5 ? ? 9 5 8p ? 27 5 216p à 678 3 3 9 Resposta: alternativa A. 14. Qual é o valor do raio de uma cunha esférica de 90o cuja área total é igual a 32p? a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

Paralelepípedos retangulares, prismas regulares e cilindros de revolução são inscritíveis em esferas, mas não necessariamente existem esferas às quais sejam circunscritíveis. Pirâmides regulares e cones de revolução são inscritíveis e circunscritíveis em/a esferas. Nos exemplos a seguir, indicaremos por r a medida do raio das esferas inscritas e por R a medida do raio das esferas circunscritas aos demais sólidos.

Esfera inscrita no cubo Quando uma esfera está inscrita em um cubo, o diâmetro da esfera tem a mesma medida que a aresta do cubo, pois a sua superfície tangencia as seis faces quadradas do cubo em seus respectivos centros, localizados na interseção de suas diagonais.

Resolução:

Como 90o equivalem a p radianos, da expressão pa2 ra a área da cunha, obtemos: p  A cunha 5 (p 1 2u) ? R2 ~ 32p 5  p 1 2 ?  ? R2 ~  2

2r

~ 32p 5 2p ? R2 ~ R2 5 16

Como R > 0, temos que R 5 4. Resposta: alternativa D.

Esferas e outros sólidos geométricos podem estabelecer relações de inscrição e circunscrição de acordo com algumas normas. Em todos os casos:

•

se um sólido está inscrito em uma esfera, então a esfera está circunscrita ao sólido;

•

se uma esfera está inscrita em um sólido, então o sólido está circunscrito à esfera.

Um poliedro está inscrito em uma esfera se, e somente se, todos os vértices do poliedro pertencerem à superfície da esfera. Uma esfera está inscrita em um poliedro se, e somente se, a superfície da esfera tangencia todas as faces do poliedro. Todos os poliedros regulares – tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros – são inscritíveis e circunscritíveis em/a esferas de mesmo centro. Cilindros estão inscritos em esferas quando as circunferências de suas bases estão contidas na superfície da esfera. Esferas estão inscritas em cilindros quando a superfície da esfera tangencia as três superfícies do cilindro, ou seja, para que isso ocorra, o cilindro deve ser equilátero. Cones estão inscritos em esferas quando seu vértice e todos os pontos da circunferência de sua base pertencem à superfície da esfera. Esferas estão inscritas em cones quando a superfície da esfera tangencia as duas superfícies do cone.

Sendo r a medida do raio da esfera e a a medida da aresta do cubo circunscrito, temos: Diâmetro da esfera 5 Aresta do cubo 2r 5 a r5

a 2

Esfera circunscrita ao cubo Quando uma esfera circunscreve um cubo, o diâmetro desta tem a mesma medida da diagonal do cubo, pois o centro deste, que é o ponto de interseção de suas diagonais interiores, coincide com o centro da esfera. Assim, o raio da esfera deve medir o mesmo que a distância do centro do cubo a um de seus vértices.

FRENTE 3

Inscrições e circunscrições

a

R R

a

143 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 143

29/02/24 14:15

Sendo R a medida do raio da esfera e a a medida da aresta do cubo inscrito, obtemos: Diâmetro da esfera 5 Diagonal do cubo 2R 5 a 3

Se um retângulo ABCD for seção meridiana do cilindro, então a medida da diagonal AC, por exemplo, será diâmetro da esfera. Assim, do teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, temos: AC2 5 AB2 1 BC2

Desse modo, como AB é diâmetro da base e BC é altura do cilindro: (2R)2 5 (2r)2 1 h2 4R2 5 4r2 1 h2

a 3 R5 2

Esfera circunscrita ao paralelepípedo Quando uma esfera circunscreve um paralelepípedo retangular e reto, o diâmetro da esfera tem a mesma medida que a diagonal do paralelepípedo.

R2 5

4r 2 1 h2 4

R5

4r 2 1 h2 2

Esfera inscrita no cone Quando uma esfera está inscrita em um cone de revolução, ela tangencia cada geratriz do cone, além de tangenciar a base do cone exatamente no centro dessa base, e a distância entre os centros mencionados mede o mesmo que o raio da esfera. Sendo O' o centro da base de um cone de vértice V circunscrito a uma esfera de centro O, temos que o ponto O pertence ao segmento VO', que é a altura do cone.

c

R

R b a

V

Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo inscrito em uma esfera de raio R, temos: Diâmetro da esfera 5 Diagonal do paralelepípedo 2R 5 a2 1 b2 1 c 2 R5

T

h

r O'

Esfera circunscrita ao cilindro Quando uma esfera circunscreve um cilindro de revolução, o diâmetro da esfera tem a mesma medida que a diagonal de uma seção meridiana do cilindro, pois toda seção meridiana do cilindro também será seção meridiana da esfera.

D R

A

O

r

O'

r

Agora, tome as duas primeiras frações e leia as seguintes observações: • diferença entre a altura do cone e o raio da esfera inscrita: VO 5 h 2 r;

• • •

144

MATEMÁTICA

Capítulo 15

A

VO OT VT 5 5 VA AO' VO' h

B

R

Então, considerando A um ponto da circunferência da base do cone e T o ponto da geratriz VA onde ocorre a tangência da superfície esférica com a superfície lateral do cone, os triângulos VOT e VAO' são semelhantes, pois possuem ângulos retos de vértices T e O', bem como o ângulo interno de vértice V em comum. Dessa semelhança, obtemos:

C

R

r

O

a2 1 b2 1 c 2 2

g

raio da esfera inscrita: OT 5 r; geratriz do cone: VA 5 g;

raio da base do cone: AO' 5 R.

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 144

07/03/24 18:14

Além disso, sendo M o ponto médio da geratriz VA do cone, temos que os triângulos OVM e AVO' são semelhantes, pois possuem ângulos retos de vértices M e O' e o ângulo interno de vértice V em comum.

Substituindo essas medidas, obtemos:

h2r r 5 g R r ? g 5 (h 2 r) ? R

r ? g 5 h ? R 2 r ? R

V

r ? g 1 r ? R 5 h ? R

g 2

r ? (g 1 R) 5 h ? R

R M

h?R g1R

g 2

Esfera circunscrita ao cone

A

Quando uma esfera está circunscrita a um cone de revolução, a projeção ortogonal do centro O da esfera no plano da base do cone coincide com o centro O' dessa base, e a distância entre os centros mencionados mede a diferença absoluta entre o raio da esfera e a altura do cone. V

R g

h

Sendo A um ponto da circunferência da base do cone de vértice V inscrito em uma esfera de centro O, temos que o centro O' da base do cone é vértice de um ângulo reto de lados AO' e OO'. Portanto, no triângulo retângulo AOO':

•

AO é raio da esfera: AO 5 R;

•

AO' é raio da base do cone: AO' 5 r;

•

OO' mede a diferença absoluta entre a altura do cone e o raio da esfera: OO' 5 |h 2 R|. Então, do teorema de Pitágoras, obtemos: R2 5 r2 1 |h 2 R|2

Agora, tome as duas primeiras frações e leia as seguintes observações: g • metade da geratriz do cone: VM 5 ; 2 • raio da esfera circunscrita: VO 5 R;

2

2

2hR 5 r 1 h 2

R5

altura do cone: VO' 5 h;

geratriz do cone: VA 5 g.

2

r 2 1 h2 2h

R5

g2 2h

Atenção Observando a relação métrica g2 5 r2 1 h2 entre as medidas da geratriz, do raio da base e da altura de um cone de revolução, podemos perceber que as duas expressões obtidas para o raio da esfera circunscrita a esse cone se equivalem.

Esfera inscrita na pirâmide regular

R 5 r 1 h 2 2hR 1 R 2

O'

Substituindo essas medidas, temos: g 2 5 R h g g h ?R5 ?g 2

O'

r

r

VM VO MO 5 5 VO' VA AO'

•

R

O

Dessa semelhança, obtemos:

• O

A

h

2

FRENTE 3

r5

Quando uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular, a projeção ortogonal do centro da esfera no plano da base da pirâmide coincide com o centro dessa base e a distância entre os centros mencionados mede o mesmo que o raio da esfera. Além disso, cada ponto em que a esfera tangencia uma face lateral da pirâmide pertence ao apótema da pirâmide contido nessa face.

145 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 145

29/02/24 14:15

Embora a figura a seguir apresente uma esfera inscrita em uma pirâmide quadrangular regular, os resultados obtidos desse estudo são válidos para qualquer tipo de pirâmide regular.

Novamente, embora a figura a seguir apresente uma pirâmide quadrangular regular inscrita em uma esfera, os resultados obtidos desse estudo são válidos para qualquer tipo de pirâmide regular.

V

V

R T

r O

O

B R m

H

r

M

r

H

A A

Considerando o ponto médio M de uma aresta AB da base da pirâmide de altura VH e o ponto de tangência T da esfera de centro O com a face lateral VAB, temos que os triângulos VOT e VMH são semelhantes, pois possuem ângulos retos de vértices T e H, bem como o ângulo interno de vértice V em comum. Dessa semelhança, obtemos: VO OT VT 5 5 VM HM VH

O centro O da esfera circunscrita à pirâmide pertence à reta determinada pela altura VH da pirâmide. Assim, sendo A um dos vértices da base da pirâmide, temos que AOH é um triângulo retângulo no ponto H; então, temos:

• • •

Agora, tome as duas primeiras frações e leia as seguintes observações: • diferença entre a altura da pirâmide e o raio da esfera: VO 5 h 2 r;

• • •

AO é raio da esfera: AO 5 R; AH é raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide: AH 5 r; OH mede a diferença absoluta entre a altura da pirâmide e o raio da esfera: OH 5 |h 2 R|. Logo, do teorema de Pitágoras, obtemos: R2 5 r2 1 |h 2 R|2

raio da esfera inscrita: OT 5 r;

R2 5 r2 1 h2 2 2hR 1 R2

apótema lateral da pirâmide: VM 5 g;

2hR 5 r2 1 h2

apótema da base da pirâmide: HM 5 m. Substituindo essas medidas, temos: h2r r 5 g m r ? g 5 (h 2 r) ? m

r?g5h?m2r?m

r?g1r?m5h?m r ? (g 1 m) 5 h ? m r5

h?m g1m

Esfera circunscrita a uma pirâmide regular Quando uma esfera circunscreve uma pirâmide regular, a projeção ortogonal do centro da esfera no plano da base da pirâmide também coincide com o centro dessa base, e a distância entre os centros mencionados mede a diferença absoluta entre o raio da esfera e a altura da pirâmide.

146

MATEMÁTICA

Capítulo 15

R5

r 2 1 h2 2h

Tetraedro regular e suas esferas inscrita e circunscrita Os tetraedros regulares são poliedros inscritíveis e circunscritíveis em/a circunferências de mesmo centro, e a soma das medidas dos raios dessas esferas coincide com o comprimento da altura do tetraedro. R1r5h

Sendo L a medida da aresta de um tetraedro regular, temos que: L 6 ; 12

•

o raio de sua esfera inscrita é dado por r 5

•

o raio de sua esfera circunscrita é dado por R 5

L 6 . 4

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 146

07/03/24 18:14

Demonstrações Seja ABCD um tetraedro regular em que AH é uma de suas alturas.

L 6 expressa, de forma racionalizada, a 3 altura de um tetraedro regular de aresta L, temos: Como h 5

4r 5

A

L 6 L 6 ~ r5 3 12

R 5 3r ~ R 5 R

C

O r M

H

B

O centro da esfera inscrita no tetraedro e da circunscrita a ele é um ponto O que pertence à altura AH da pirâmide, de modo que: • OH é um raio da esfera inscrita: OH 5 r;

•

OA é um raio da esfera circunscrita: OA 5 R.

Como as faces desse poliedro regular são triângulos equiláteros congruentes, sendo M o ponto médio da aresta BC, temos DM 5 AM. Além disso, como o ponto H é baricentro da base BCD, do teorema do baricentro, obtemos DH 5 2 ? HM. Então, sendo a o comprimento do apótema da base HM dessa pirâmide, temos: • HM 5 a;

• •

Octaedro regular e suas esferas inscrita e circunscrita Os octaedros regulares também são poliedros inscritíveis e circunscritíveis em/a circunferências de mesmo centro. Sendo L a medida da aresta de um octaedro regular, temos que: L 6 • o raio da esfera inscrita é dado por r 5 ; 6

•

o raio da esfera circunscrita é dado por R 5

Demonstrações Seja ABCDEF um octaedro regular de aresta L. O centro das esferas inscrita e circunscrita é o ponto O de encontro das diagonais AC, BD e EF do octaedro. Como as diagonais do octaedro são diâmetros da esd fera que o circunscreve, então R 5 . 2 Cada diagonal de um octaedro também é diagonal de um quadrado de lado L, por exemplo, BEDF. Desse modo, concluímos que R 5

L 2 . 2

DH 5 2a;

A

AM 5 DM 5 3a.

Vamos agora observar algumas características do triângulo retângulo AHM:

T

F

N

r

A

D

O B

r

M

E

G R

3a

C

O r H

L 2 . 2

a

M

Como o ponto O também é incentro do tetraedro, concluímos que o segmento OM é bissetriz interna do triângulo AMH. Então, do teorema da bissetriz, obtemos: OA AM R 3a 5 ~ 5 ~ R 5 3r OH HM r a Portanto, em função do comprimento a, a altura desse tetraedro é: h 5 R 1 r 5 3r 1 r 5 4r

A dedução da expressão para o raio da esfera inscrita é mais trabalhosa. Tomando os pontos médios M e N de arestas opostas do octaedro como BE e FD, por exemplo, fica determinado o losango AMCN, que contém uma seção meridiana da esfera inscrita. A diagonal menor MN desse losango equivale à aresta do octaedro: MN 5 L. O centro das esferas é ponto médio dessa diagonal L MN: OM 5 ON 5 . 2 Os lados do losango AMCN são alturas dos triângulos equiláteros que cercam o poliedro. Assim: AM 5 AN 5 CM 5 CN 5

FRENTE 3

D

L 6 4

L 3 2

147 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p6.indd 147

11/03/24 15:53

Os pontos G e T, em que a esfera tangencia as faces BCE e ADF, respectivamente, são os baricentros desses triângulos equiláteros. Portanto, do teorema do baricentro, 1 L 3 L 3 obtemos GM 5 TN 5 ? 5 . 3 2 6 O segmento GT é um diâmetro da esfera de raio r. Então, OG 5 OT 5 r. Observando que MGO e NTO são triângulos retângulos nos vértices G e T, respectivamente, uma vez que esses também são os pontos de tangência da esfera com o losango AMCN, do teorema de Pitágoras em MGO, temos que: 2 22 22 OM22 5 5 GM GM2 1 1 OG OG2 OM 22

2  L 3  L 22   5   1r 2  6  2

L 3L 2 5 1 r2 36 4 22 22 22 22 22 r22 5 L 2 3L 5 9L 2 3L 5 6L 4 36 36 36 22

Portanto, r 5

22

L 6 . 6

Sólidos de revolução Chamamos de superfície de revolução aquela obtida pela rotação de uma linha l, denominada geratriz, em torno de uma reta, a qual recebe o nome de eixo de revolução. Essa transformação geométrica espacial ocorre de modo que cada ponto de l gire em torno de sua projeção ortogonal no eixo e. Na figura, as extremidades A e B da curva l giram, respectivamente, em torno dos pontos CA e CB, que determinam o eixo de revolução. Além disso, cada ponto do comprimento de l gira em torno de um ponto diferente do segmento CACB.

além de muitos outros formatos que não foram estudados neste capítulo. O formato de um sólido de revolução depende do formato de sua geratriz l, de sua superfície curva e da posição dessa geratriz em relação ao eixo de revolução. Um sólido de revolução será cilíndrico quando for gerado por um segmento de reta paralelo ao eixo de revolução. Desse modo, cada ponto do segmento AB descreve uma trajetória circular cujo raio será o mesmo da base do cilindro. e A

A

l

l

B

B

e

CA l B' CB

B

e A

A

B

Um sólido de revolução será esférico se for gerado por  com as extremidades situadas uma semicircunferência AB sobre o eixo de revolução. Desse modo, da semicircunfe são descritas trajetórias circulares com diferentes rência AB  raios, e o círculo descrito pelo ponto médio M do arco AB tem o mesmo raio que a esfera gerada. e

Eixo de revolução

As superfícies de revolução são compostas das circunferências determinadas pelas trajetórias de cada ponto da curva geratriz AB durante sua revolução em torno do eixo indicado na figura. Chamamos de sólidos de revolução toda porção do espaço que pode ser cercada por uma superfície de revolução. Eles podem ser cilindros, cones ou esferas,

148

MATEMÁTICA

Capítulo 15

Superfície cônica

l

l B

A'

Superfície cilíndrica

Um sólido de revolução será cônico quando for gerado por um segmento de reta oblíquo ao eixo e com uma de suas extremidades sobre este. Desse modo, os pontos do segmento AB descrevem trajetórias circulares com diferentes raios, e o círculo descrito pela extremidade não pertencente ao eixo, tendo o mesmo raio que a base do cone.

e

A

e

A l

e A l

Superfície esférica

M

B

B

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 148

07/03/24 18:14

Exercícios

resolvidos

15. Enem A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.

Uma peça automotiva de alumínio será construída com a forma do sólido gerado pela revolução dessa figura em torno do seu eixo de simetria. Determine: a) a medida da altura AD desse sólido. b) o volume total do sólido. c) a área da superfície total do sólido. Resolução: a) Sendo N o ponto médio do segmento BF, a altura do sólido será:

• Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Essa figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. d) tronco de cone. b) semiesfera. e) cone. c) cilindro. Resolução: Considerando a seguinte sequência de figuras: Eixo

Eixo

AD 5 AN 1 NM 1 MD

AN é a altura do triângulo ABF: AN 5 4 cm;

•

NM é a altura do retângulo BCEF: NM 5 8 cm;

•

MD é raio do semicírculo: MD 5

1 ? CE 5 3 cm. 2 Logo, AD 5 4 1 8 1 3 5 15, ou seja, AD 5 15 cm.

b) O volume do cone gerado pela revolução do triângulo ABF, em cm3, é: Vcone 5

1 ? p ? 32 ⋅ 4 5 12p 3

O volume do cilindro gerado pela revolução do retângulo BCEF, em cm3, é: Vcilindro 5 p ? 32 ? 8 5 72p O volume do hemisfério gerado pela revolução do semicírculo, em cm3, é:

Podemos afirmar que a figura (a sombrinha) é o modelo de um cone. Assim, a figura (com as suas possíveis imperfeições) representa uma ideia (perfeita) da superfície lateral de um cone de revolução. Resposta: alternativa E. 16. A figura a seguir apresenta um triângulo isósceles ABF com 6 cm de base e 4 cm de altura, um retângulo BCEF com 8 cm de altura e um semicírculo de diâmetro BF. Eixo de Revolução A

Vhemisfério 5

2 ? p ? 33 5 18p 3

Portanto, o volume total do sólido, em cm3, será: Vtotal 5 Vcone 1 Vcilindro 1 Vhemisfério

Vtotal 5 12p 1 72p 1 18p 5 102p

c) Como o sólido não possui bases, sua área total equivale à soma das áreas laterais do cone, do cilindro e do hemisfério. Sendo g a medida da geratriz do cone, do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABN, obtemos: g2 5 32 1 42 _ g 5 5

A área lateral do cone, em cm2, vale:

B

F

A área lateral do cilindro, em cm2, vale:

Alateral do cilindro 5 2p ? 3 ? 8 5 48p

A área da superfície curva do hemisfério, em cm2, vale: C

E

M D

Ahemisfério 5

FRENTE 3

Alateral do cone 5 p ? 3 ? 5 5 15p

1 ? 4p ? 32 5 18p 2

Portanto, a área total do sólido, em cm2, será: Atotal 5 15p 1 48p 1 18p 5 81p

149 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 149

29/02/24 14:15

Revisando Texto para as questões de 1 a 10. Três sólidos geométricos foram impressos em resina por uma impressora 3D: um cilindro circular reto, um cone circular reto e uma esfera.

8. Calcule, sem aproximações, a área da superfície total de cada sólido. 9. Qual é a razão entre as áreas totais do cilindro e da esfera? a) 1,0 d) 2,5 b) 1,5 e) 3,0 c) 2,0 10. Sendo u a medida, em radianos, do ângulo central da planificação da superfície lateral do cone impresso, então

Além de os sólidos impressos terem a mesma altura, todos os raios medem 6 cm. 1. Quanto mede a altura dos sólidos? a) 6 cm. d) 12 cm. b) 8 cm. e) 18 cm. c) 10 cm. 2. Em relação aos volumes desses sólidos, é correto afirmar que: a) Vcilindro 5 Vcone 1 Vesfera b) Vcilindro 5 Vcone − Vesfera c) Vcilindro 5 2 ? Vcone 1 Vesfera d) Vcilindro 5 3 ? Vcone − 2 ? Vesfera e) Vcilindro 5 4 ? Vcone − 3 ? Vesfera 3. Qual é a razão entre os volumes do cilindro e do cone? a) 1,0 d) 2,5 b) 1,5 e) 3,0 c) 2,0 4. Qual é a razão entre os volumes da esfera e do cone? a) 1,0 d) 2,5 b) 1,5 e) 3,0 c) 2,0 5. Qual é a razão entre os volumes do cilindro e da esfera? a) 1,0 d) 2,5 b) 1,5 e) 3,0 c) 2,0

u é igual a: p

a) 

2 10 5

d) 

2 5 5

b) 

5 10 2

e) 

5 5

c) 

10 5 7

11. UFMS 2021 Utilizando-se de três planos perpendiculares entre si, foi construído um espaço em ℝ3. Em seguida, foi colocado o máximo de esferas, tangenciando os três planos simultaneamente. Se todas as esferas têm raio igual a 1 cm e o valor de p  5  3, o volume total das esferas é: a) 4 cm3. b) 8 cm3. c) 16 cm3. d) 32 cm3. e) 64 cm3. 12. Um pedaço de cartolina circular foi cortado em dois setores, os quais foram usados para formar superfícies laterais de dois cones circulares abertos. Observe, no esquema a seguir, que os cortes feitos no círculo de cartolina seguiram as linhas determinadas pelos raios VA e VB e as superfícies cônicas foram obtidas fazendo-se coincidir os pontos das extremidades A e B de cada setor circular. V1

6. Qual é o comprimento da geratriz do cone impresso? a) 18 cm. b) 12 cm.

V1

V

c) 3 10 cm. A

e) 6 5 cm.

MATEMÁTICA

Capítulo 15

V2

B A2

7. Considerando p à 3,1 e 5 à 2,2, a área lateral do cone impresso mede, aproximadamente: a) 150 cm2. b) 175 cm2. c) 218 cm2. d) 245 cm2. e) 275 cm2.

B1 5 A1

B1 V2

d) 5 6 cm.

150

A1

B2

B2 5 A 2

Determine a razão entre as áreas das bases dos cones de vértices V1 e V2 sabendo que os segmentos VA e VB foram cortados de forma perpendicular um ao outro. a) 3 c) 6 e) 9 b) 4 d) 8

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 150

07/03/24 18:14

13. UFJF/Pism-MG 2019 João é um menino que gosta muito do Natal. Sabendo disso seu pai resolveu fazer um globo de Neve com um boneco de neve dentro. Como materiais, seu pai usou um cilindro circular reto de vidro com 20 cm de altura e com tampa e fundo de 8 cm de diâmetro, duas esferas de isopor de mesmo tamanho e uma terceira esfera com um tamanho menor. O boneco foi construído de acordo com a figura abaixo. Após colocar o boneco no interior do cilindro, o globo foi preenchido completamente com 712 cm3 de um líquido apropriado, de maneira que o vidro ficou sem bolhas de ar.

14. Três seções meridianas de uma esfera, com 60 cm de diâmetro, dividem-na no maior número de pedaços congruentes. Esboce uma figura que represente o formato de um desses pedaços e calcule os valores de seu volume e de sua área total. 15. Uma lata de tinta spray tem o formato de um cilindro com 10 cm de altura, e sua base circular possui 6 cm de diâmetro.

Dado: utilize p 5 3.

a) Calcule o volume do boneco de Neve. b) Sabendo-se que a razão entre a área da esfera de isopor menor e a área da esfera de isopor maior é 4 e que, na estrutura do boneco, os centros das 9 esferas estão perfeitamente alinhados, calcule a altura do boneco de neve.

O fundo da lata apresenta uma concavidade semiesférica que fortalece sua estrutura, pois, se a lata tivesse um fundo plano, a força do gás poderia empurrar o metal para fora. Além disso, esse formato facilita o uso do produto até a última gota. Considerando que o diâmetro da concavidade seja o mesmo que o da base do cilindro, podemos estimar o volume dessa lata em, aproximadamente: a) 220 cm3. b) 240 cm3. c) 260 cm3. d) 280 cm3. e) 300 cm3.

Exercícios propostos

a)

d)

e)

2. Enem 2020 No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

FRENTE 3

1. Enem 2014 Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?

Poste

b)

h53m

c) C Figura 1

Figura 2

151 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 151

29/02/24 14:15

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva. Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de a) 4,00 b) 4,87 c) 5,00 d) 5,83 e) 6,26 3. EsPCEx-SP 2022 Calculando-se o volume de uma esfera circunscrita a um cone equilátero cujo raio da base mede 3 cm, obtém-se a)

8p cm3 . 3

b)

4p cm3 . 3

c)

16p cm3 . 3

d)

64p cm3 . 3

e)

32p cm3 . 3

4. Mackenzie-SP 2018 Se um cone reto tem altura igual a 12 cm e seu volume é 64p cm3, então sua geratriz, em cm, mede a) 20 b) 10 2

6. UFRGS 2022 Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1. r

C

A

1

B

O volume do sólido obtido ao girar o triângulo ABC em torno da reta r que passa pelo vértice A e é paralela ao lado BC , mantendo o paralelismo da reta r com o lado BC do triângulo, é a) 2p. 3p . 2 p c) . 4 p d) . 3 p e) . 2

b)

7. AFA-SP 2024 Um cone de revolução possui volume igual a 128p cm3. Em sua base inscreve-se um hexágono regular de lado 8 cm. Considere um cilindro que tenha o mesmo volume e a mesma área da base do cone descrito anteriormente. A razão entre a altura do cone e a altura do cilindro, nessa ordem, ambas na mesma unidade de medida, é igual a: 1 a) c) 1 3 2 b) d) 3 3 8. UFJF-MG 2019 André utilizou o molde abaixo para montar a superfície lateral de um cone:

c) 4 10 10p cm

d) 4 2

eixo de simetria

e) 2 10 5. Uece 2020 O volume de um cone circular reto, cuja medida do raio da base é 3 m e a medida da superfície lateral é 15p m2, é igual a

30°

a) 14p m3 b) 8p m3

Após montado, a geratriz desse cone forma um ângulo de 30° com o seu eixo de simetria. Qual é a capacidade desse cone, em centímetros cúbicos?

c) 12p m3 d) 10p m3

152

MATEMÁTICA

Capítulo 15

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 152

07/03/24 18:14

9. Efomm-RJ 2021 Ao rotacionar o triângulo equilátero AOC em torno do eixo y, conforme ilustra a figura a seguir, obteremos um sólido. Assinale a alternativa que representa o volume desse sólido, em unidades de volume, sabendo que o vértice O do triângulo AOC sobrepõe-se à origem dos eixos.

Texto para as questões 12 e 13. Um fabricante de cerâmicas produz recipientes em formas compostas de cilindros e cones. As figuras ilustram dois dos tipos fabricados.

y

C

O

x

Tipo A

x

a)

px 3 3 6

d)

px 3 3 24

b)

px 3 3 4

e)

7px 3 3 24

c)

px 3 3 2

10. Uerj 2020 No cilindro circular reto representado a seguir, observam-se dois cones congruentes, de mesmo vértice, cujas bases coincidem com as bases do cilindro. Sabe-se que o cilindro tem raio da base de 10 cm e altura de 20 cm. 10 cm

Geralmente usados para armazenar temperos, os recipientes do tipo A são cilíndricos e suas tampas são cônicas. Comumente utilizados para armazenar líquidos, os recipientes do tipo B são cilíndricos na parte de baixo e cônicos na parte de cima. O líquido pode ser despejado por um pequeno orifício situado no vértice da parte cônica do recipiente. 12. Determine a razão entre as áreas laterais das formas que compõem um recipiente do tipo A, cujo formato seja de um cilindro equilátero de raio r, com a tampa no formato de um cone também equilátero de raio r. 13. Faça uma estimativa do volume de um recipiente do tipo B que também seja formado por um cone e um cilindro, ambos equiláteros e de raio 3 cm.

20 cm

Dados: considere p 5 Calcule, em centímetros, a altura de um desses cones. Em seguida, determine, em cm3, o volume da região interior ao cilindro e exterior aos cones. 11. Unicap-PE 2024 Na figura, o tetraedro regular e o cone reto possuem a mesma altura. Além disso, o diâmetro da base do cone equivale à aresta BC da pirâmide. A razão entre os volumes do cone e da pirâmide mede: A

F

D

01 O volume de água contido no recipiente é de 7,42 litros. 3 decímetro é a medida do raio de uma p esfera de ferro que, se for introduzida e ficar totalmente submersa no recipiente cilíndrico, faz transbordar exatamente dois litros de água.

B E C

b)

p 3

c)

p 3

d)

p 4

22 e 3 à 1,7. 7

14. UEPG-PR 2019 Um recipiente tem o formato de um cilindro circular reto, com altura 30 centímetros e raio da base 10 centímetros. Sabendo que esse recipiente cilíndrico contém dois litros de água a menos que a sua capacidade máxima e que p à 3,14, assinale o que for correto.

02 R 5

a) p

Tipo B

e) 1

3

FRENTE 3

A

04 L 5 3 4 decímetro é a medida do lado de um cubo de ferro que, se for introduzido e ficar totalmente submerso no recipiente cilíndrico, faz transbordar exatamente dois litros de água. 08 A medida da altura, que a água atinge no recipiente cilíndrico, é maior que 25 cm. Soma:

153 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 153

29/02/24 14:15

15. UEPG-PR 2020 Considerando que a, b e c são as soluções da equação x3 2 12x2 1 41x 2 42 5 0 e que a < b < c, assinale o que for correto. 01 Se a, b e c são as dimensões de um prisma reto de base retangular, então o volume deste prisma mede 42 u.v.

O conteúdo da caixa-d’água chega até as esferas por encanamentos cuja capacidade de armazenamento é desprezível. O desenho a seguir ilustra a ligação entre a caixa-d’água e uma das 30 esferas, cujo raio interno 2

mede r 5 p

1 3

dm.

02 A área lateral de um cilindro de raio de base igual a b e altura igual a c mede 42 u.a. 04 A equação da circunferência x2 1 y2 2 6x 2 4y 2 36 5 0

6 dm

tem centro em C(b, a) e raio igual a c.

08 O volume de uma esfera de raio igual a b é maior do que 110 u.v. 16 Se a é o raio da base de um cone e c é sua altura, então o volume desse cone mede mais do que 28 u.v. Soma: 16. Uema 2021 O fabricante de uma das melhores bolas de basquete do país está colocando à venda uma embalagem cúbica, contendo 8 unidades, conforme a figura a seguir.

Considerando que cada bola de basquete tem raio igual a “r” cm e que tangenciam todos os lados internos das faces da embalagem cubica, o valor, em cm3, do espaço vazio dentro da caixa, ou seja, o espaço não preenchido pelas bolas de basquete é a)

32r 3 (6 2 p) 3

b)

4r 3 (48 2 p) 3

c)

8r 3 (3 2 4p) 3

d)

4r 3 (6 2 p) 3

e)

32r 3 (3 2 p) 3

17. AFA-SP 2020 Um sistema de irrigação para plantas é composto por uma caixa-d’água, em formato de cone circular reto, interligada a 30 esferas, idênticas.

154

MATEMÁTICA

Capítulo 15

Se a caixa-d’água está cheia e as esferas, bem como os encanamentos, estão vazios, então, no momento em que todas as 30 esferas ficarem cheias, restará, no cone, apenas a metade de sua capacidade total. Assim, a área lateral de um cone equilátero cujo raio da base é congruente ao da caixa-d’água, em dm2, é igual a a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 18. EEAR-SP 2024 Uma esfera metálica de raio R 5 6 cm será derretida e todo o seu material será utilizado para fazer esferas menores de 8p cm3 de volume. O número dessas esferas menores que serão feitas é _______. a) 24 b) 36 c) 48 d) 60 19. Enem 2023 Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento. Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica? a) 800 b) 1 200 c) 2 400 d) 4 800 e) 6 400

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 154

07/03/24 18:14

20. Enem 2022 Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.

22. UEM-PR 2019 As recorrentes discussões sobre a importância do uso racional da água doce levam à reflexão sobre a quantidade de água disponível em nosso planeta. O quadro a seguir apresenta uma estimativa de distribuição média da água na Terra, em km3.

8 cm

Oceanos

1,3457125 bilhão

Geleiras

27 milhões

Águas subterrâneas

14 milhões

Lagos

228 mil

Umidade do solo

51 mil

Atmosfera

13 mil

Rios

1,5 mil

Organismos

1 mil

10 cm

Adaptado de: SPERLING, E. von. Afinal, quanta água temos no planeta? Revista Brasileira de Recursos Hídricos, v. 11, n 4, 2006, p. 189-199.

21. Ufla/PAS-MG 2023 Um cone circular reto de metal foi dividido em três partes para a construção de uma jarra e uma xícara como mostrado na figura. A parte que contém o vértice foi descartada. A proporção entre os volumes da jarra e da xícara é de: 12 cm

jarra 6 cm 30 cm xícara

3 cm

Parte descartada

10 3 7 b) 2 c) 6 d) 8 a)

Com base nos dados do quadro, assinale o que for correto. 01 O volume de água nos oceanos é de 13 457 125 ? 1011 m3. 02 O volume de água nas geleiras é igual ao volume de um cubo de lado medindo 3 000 km. 04 O volume da água dos rios é de 15 ? 1014 L. 08 O volume de águas subterrâneas é superior a mil vezes o volume de água na atmosfera. 16 O volume de água concentrado na umidade do solo e na atmosfera cabe em uma esfera de raio 20 3 2 km. Soma: 23. UPF-RS 2020 Se o raio de uma esfera aumenta em 20%, seu volume aumenta, aproximadamente, em: d) 20% a) 73% e) 120% b) 60% c) 44% 24. Uece 2024 Se V1 é a medida do volume de uma esfera cuja medida do raio é R e V2 a medida do volume R de uma esfera cuja medida do raio é , a relação en2 tre V1 e V2 é: a) V1 5 2V2 b) V1 5 6V2 c) V1 5 4V2 d) V1 5 8V2 25. EEAR-SP 2023 Sejam E1 e E2 duas esferas de raios R1 e R2, respectivamente. Se R2 5 3 10 cm e se o volume de E2 é igual a 64% do volume de E1, então o valor de R1, em cm, é ______. a) 3 b) 2,5 c)

3

15

d)

3

20

FRENTE 3

Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm. Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a a) 1,52. b) 3,24. c) 3,60. d) 6,48. e) 7,20.

155 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 155

07/03/24 18:14

26. PUC-RS 2021 Em uma academia de ginástica, quando terminam as atividades diárias, as 5 bolas em formato esférico (todas de mesmo tamanho) usadas nos exercícios de Pilates são guardadas dentro de uma caixa em forma de prisma retangular, onde cabem exatamente uma ao lado da outra. Se o volume de cada bola é 36 000p cm3, o volume mínimo, em cm3, do interior da caixa que contém as bolas é a) 180 000 c) 180 000p b) 1 080 000 d) 1 080 000p 27. Enem PPL 2023 Uma empresa produziu uma bola de chocolate, em formato esférico, para utilizar na decoração de sua loja. Essa bola tem 20 cm de diâmetro externo, sendo oca por dentro, e a medida da espessura entre as superfícies interna e externa corresponde a 1 cm. Considere que, na confecção dessa bola, foi utilizado um tipo de chocolate em que 1  g equivale a 0,75 cm3. A quantidade de chocolate, em grama, utilizado na confecção dessa bola é 76p 4 000p a) d) 3 3 b)

304p 9

c)

4 336p 9

e)

18 256p 9

29. Fuvest-SP 2021 Suponha, para simplificar, que a Terra é perfeitamente esférica e que a linha do Equador mede 40 000 km. O trajeto que sai do Polo Norte, segue até a linha do Equador pelo meridiano de Greenwich, depois se desloca ao longo da linha do Equador até o meridiano 45º L e então retorna ao Polo Norte por esse meridiano tem comprimento total de d) 30 000 km. a) 15 000 km. e) 35 000 km. b) 20 000 km. c) 25 000 km. 30. UFJF/Pism-MG 2021 Considere uma esfera de centro O e raio r. Sabe-se que um plano p distando 3 cm do centro O secciona a esfera segundo uma circunferência de raio 4 cm. Determine o valor, em cm, do raio r da esfera. MATEMÁTICA

Capítulo 15

Latitude

Longitude

P

30o N

45o L

Q

30o N

15o O

Considerando a Terra uma esfera de raio 6 300 km, a  sobre a linha do paralelo medida do menor arco PQ 30° N é igual a a) 1 150p 3 km

b) 1 250p 3 km

c) 1 050p 3 km d) 1 320p 3 km e) 1 350p 3 km 32. UFMS 2021 Na figura a seguir, CD é um arco da circunferência de equação x2 1 (y – 4)2 5 4, e ABCE é um retângulo de dimensões 2 u.c. 3 4 u.c. A região  em cinza é posta em rotação em torno do eixo Oy do plano cartesiano. y

28. Enem 2022 Uma cozinheira produz docinhos especiais por encomenda. Usando uma receita-base de massa, ela prepara uma porção, com a qual produz 50 docinhos maciços de formato esférico, com 2 cm de diâmetro. Um cliente encomenda 150 desses docinhos, mas pede que cada um tenha formato esférico com 4 cm de diâmetro. A cozinheira pretende preparar o número exato de porções da receita-base de massa necessário para produzir os docinhos dessa encomenda. Quantas porções da receita-base de massa ela deve preparar para atender esse cliente? a) 2 d) 12 b) 3 e) 24 c) 6

156

31. Unesp 2019 Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas:

4

2

E

C

D

A 0

B 2

x

O sólido gerado será produzido por um marceneiro e, sendo V e A, respectivamente, o volume de madeira a ser utilizada e a área da superfície exposta da peça, V em unidades de volume e de área, a razão , em A unidades de comprimento, será igual a: a)

8 21

b)

8 27

c)

8 15

d)

4 21

e)

1 27

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 156

07/03/24 18:14

33. Unioeste-PR 2019 Coloca-se uma esfera de raio r no interior de um recipiente com formato de um cilindro circular reto com raio da base R. Em seguida, preenche-se o recipiente com água até que a esfera fique exatamente coberta por água, ou seja, a esfera tangencia a superfície da água. Retira-se, então, a esfera 1 e é observado que o nível da água é reduzido em . 4 r O valor da razão é igual a: R 1 a) . 4 b)

3 . 2

c)

3 . 2 2

Dados: use

2 . 2 3 e) . 4 d)

34. PUC-PR 2023 Em um cone circular reto, que tem 240p  cm2 de área lateral, as medidas do raio da base, da altura e da geratriz são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética. Se uma esfera pode ser inscrita nesse cone, então o raio dessa esfera mede 48 a) 12 cm d) cm 7 b) 6 cm e) 4 cm c)

36. UFJF/Pism-MG 2022 O polietileno é um material muito utilizado para a confecção de caixas-d’água. Devido ao aumento da inflação, muitos construtores buscam maneiras para reduzir seus custos. Dentre as alternativas encontradas, está a substituição das tradicionais caixas-d’água retangulares por reservatórios de outros formatos. Explique qual seria o formato de caixa-d’água com o menor custo para acondicionar o mesmo volume V de água: uma caixa-d’água esférica ou no formato de um cilindro equilátero? Lembre-se que um cilindro equilátero é um cilindro circular reto, cuja altura mede exatamente o diâmetro da base.

16 cm 3

3

4 5 1,6 e

3

9 5 2,1 .

37. Udesc 2024 Constrói-se um sólido a partir de um cilindro reto de raio igual a 3 cm e altura 10 cm. Em uma de suas bases é acoplada uma semiesfera e na outra um cone reto, ambas de raio igual ao raio da base do cilindro. Sabendo que a altura do sólido completo (cilindro 1 semiesfera 1 cone) é 16 cm, a área da superfície é: a) 87p cm2 b) (96p 1 9 2p ) cm2 c) 96p cm2 d) e)

(78p 1 9 (87p 1 9

2p ) cm2

2p ) cm2

38. UEMG 2017 Observe as figuras. S3

S1

35. FGV-SP 2021 A figura indica um cone circular reto de vértice V e centro da base C. O quadrilátero PQRS é um quadrado de área igual a 8 cm2 cujo plano suporte determina com a base do cone um diedro de 45°.

g1 5 8 cm

S2

V

r 5 2 2 cm

g3 5 16 cm 30°

P

C

R S

A área da base desse cone é igual a a) 5p cm2 11p b) cm2 2 c) 6p cm2 13p d) cm2 2 e) 7p cm2

a)

5 21 cm. 4

b)

5 2 1 cm.

c)

5 1 16 cm. 4

d)

5 1 16 cm.

FRENTE 3

Nas figuras acima, tem-se um cilindro circular equilátero (S1), circunscrevendo um cone (S2), e um cilindro circular oblíquo (S3). A razão determinada pelo volume de S3 com a superfície total de S2 é

Q

39. Unicamp-SP 2023 Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

157 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 157

07/03/24 18:14

Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a R 2R a)  2R. b)  R. c)  . d)  . 3 3 40. UFU-MG 2018 Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de raio de base r cm, possui um líquido solvente 16 cm, conforme ilustra a Figura 1. em seu interior. A altura h desse solvente presente no recipiente é igual a 3

h

Figura 1 (Ilustrativa e sem escalas)

Figura 2 (Ilustrativa e sem escalas)

Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente até encostar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a esfera, conforme ilustra a Figura 2. Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a a) 4 3 .

b) 2 7.

c) 5 2.

d) 3 6 .

41. UEPG-PR 2019 Sabendo que a área de uma superfície esférica é igual a 256p cm2, assinale o que for correto. 01 O raio da esfera é um número par. 211p 02 O volume da esfera é igual a cm2. 3 04 Se essa esfera estiver inscrita num cubo, então a aresta desse cubo mede 16 cm. 08 Se essa esfera estiver inscrita em um cilindro, então o raio da base do cilindro mede 8 cm. 16 Se essa esfera estiver circunscrita em um cubo, então o volume do cubo mede 63 cm3. Soma: 42. Unicap-PE 2024 Um cone reto e uma esfera possuem, respectivamente, altura e raio iguais a L. Se o diâmetro da base do cone mede o dobro da altura, então o volume da esfera é: a) O dobro do volume do cone. b) O triplo do volume do cone. 4 c) do volume do cone. 3 d) A metade do volume do cone. e) O quádruplo do volume do cone. 43. Uece 2019 Considere um cubo Q inscrito na esfera S, isto é, os vértices de Q pertencem à superfície esférica de S. Se o volume de Q é igual a 1 000 m3, então, a medida, em metros, do raio da esfera S é a) 5 3

c) 10 2

b) 3 5

d) 5 2

44. Udesc 2019 Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.) foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele fez grandes descobertas e sempre foi muito rigoroso ao provar essas descobertas. Dentre seus vários trabalhos, a esfera foi um dos elementos geométricos aos quais ele se dedicou, estabelecendo relações para obter o seu volume. No Quadro 1, têm-se três dessas relações para o volume de uma esfera de raio R.

158

MATEMÁTICA

Capítulo 15

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 158

07/03/24 18:14

Método

Relação

Equilíbrio

Considerando uma balança com ponto de apoio em O, a esfera e um cone de raio e altura 2R colocados a uma distância 2R do ponto O equilibram um cilindro de raio e altura 2R colocado a uma distância R de O.

Dupla redução ao absurdo

O volume da esfera é igual a 4 vezes o volume de um cone de raio e altura R.

Cilindro circunscrito

O cilindro circunscrito à esfera é igual a uma vez e meia à esfera, em área e volume.

Quadro 1 - Relações de Arquimedes para o volume da esfera de raio R.

Se o cone do método da dupla redução ao absurdo tiver volume igual a 243p cm3, então a diferença do volume entre o cilindro do método do equilíbrio e do cilindro circunscrito é: a) 972p cm3 b) 0 cm3 c) 546,75p cm3 d) 4374p cm3 e) 1701p cm3 45. Unifesp 2015 O pingente de um colar é constituído por duas peças, A e B, feitas de materiais homogêneos e transparentes, de índices de refração absolutos nA 5 1,6 ? 3 e nB 5 1,6. A peça A tem o formato de um cone reto e a peça B, de uma semiesfera. Um raio de luz monocromático R propaga-se pelo ar e incide, paralelamente ao eixo do cone, no ponto P da superfície cônica, passando a se propagar pelo material da peça A. Atinge o ponto C, no centro da base do cone, onde sofre nova refração, passando a propagar-se pelo material da peça B, emergindo do pingente no ponto Q da superfície esférica. Desde a entrada até a sua saída do pingente, esse raio propaga-se em um mesmo plano que contém o vértice da superfície cônica. A figura 1 representa o pingente pendurado verticalmente e em repouso e a figura 2, a intersecção do plano que contém o raio R com o pingente. As linhas tracejadas, indicadas na figura 2, são paralelas entre si e a 5 30°. Figura 1

Figura 2

raio R

raio R A

P

P a

C B

Q

C

Q b

a) Calcule o valor do ângulo b indicado na figura 2, em graus. b) Considere que a peça B possa ser substituída por outra peça B', com o mesmo formato e com as mesmas dimensões, mas de maneira que o raio de luz vertical R sempre emerja do pingente pela superfície esférica. Qual o menor índice de refração do material de B' para que o raio R não emerja pela superfície cônica do pingente? 46. UFSC 2024 Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 01 Num recipiente cilíndrico com 40 cm de altura e 20 cm de raio interno, coloca-se água até três quartos de sua capacidade. Em seguida, coloca-se um objeto de formato irregular dentro do recipiente e este fica totalmente submerso. Se o nível da água subiu 6 cm, então o volume do objeto é 7 536 ml. Dado: considere p 5 3,14.

FRENTE 3

02 Um triângulo retângulo é rotacionado em torno de seu maior cateto, gerando um sólido de revolução cuja área da base mede 36p cm2. Se a altura desse sólido é 8 cm, então o setor circular correspondente a sua superfície lateral tem área igual a 30p cm2. 04 Abaixo temos uma planificação de uma pirâmide regular cujos lados da base medem 8 cm.

Se a altura das faces laterais mede 5 cm, então o volume da pirâmide é 64 cm3. 08 Se uma esfera está inscrita em um cubo cuja diagonal mede 12 3 cm, então o volume dessa esfera é 288p cm3. Soma:

159 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 159

07/03/24 18:14

47. Enem Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada, obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita.

quando esse trapézio sofre uma rotação completa em torno do eixo y tem volume, em unidades cúbicas de comprimento dos eixos cartesianos, igual a 304p 3 b) 101p

a)

302p 3 d) 96p c)

1

A

e) 2

B

3

C

4

D

5

E

A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 48. Mackenzie-SP 2016 Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6 cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é 128p cm3. Nessas condições, a área total da superfície do sólido obtido na revolução, em cm2, é a) 144p b) 120p c) 80p d) 72p e) 64p 49. Ifal 2016 Girando, em uma volta completa, um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm, em torno de seu cateto maior, teremos o sólido abaixo com suas características: a) pirâmide com área lateral 30 cm2 e volume 10 cm3. b) cone com área lateral 15p cm2 e volume 12p cm3. c) cone com área da base 16p cm2 e volume 12p cm3. d) pirâmide com área da base e área lateral iguais a 12p cm3. e) cone com área da base e área lateral iguais a 15p cm3. 50. FGV-SP 2018 Um trapézio é delimitado pelos eixos x e y do plano cartesiano e pelas retas de equações y 5 2x 1 1 e x 5 4. O sólido de revolução obtido

160

MATEMÁTICA

Capítulo 15

286p 3

51. EsPCEx-SP 2019 A partir de um cubo de aresta 1, inscreve-se uma esfera; nessa esfera inscreve-se um novo cubo e neste, uma nova esfera. Repetindo essa operação indefinidamente, a soma das áreas totais desses cubos é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 52. PUC-RS 2016 A circunferência de uma bola de voleibol é 66 cm. Para colocá-la em uma caixa cúbica, essa caixa deve ter, no mínimo, uma aresta interna, em centímetros, de a) 33 33 p c) 66

b)

d) e)

66 p

p 66

53. Uece 2017 Um cubo cuja medida de cada aresta é 3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A medida de um diâmetro (2R) da esfera é a) 2 3 dm. b) 3 2 dm. c) 3 3 dm. d) 4 3 dm. 54. Uerr 2024 Considere que, dentro de um cilindro circular reto cujo raio mede 2 cm e cuja altura é de 4 cm, haja uma esfera cujo raio mede 2 cm. Nesse caso, o volume da região compreendida entre a esfera e o cilindro é igual a a) 16p cm3.

d)

32p cm3. 3

e)

b) c)

16p cm3. 3

80p cm3. 3

160p cm3. 3

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 160

07/03/24 18:14

55. O volume de um sólido é uma grandeza diretamente proporcional a cada uma de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Por isso, o volume pode ser expresso pela relação: [volume] 5 k ? [comprimento] ? [largura] ? [altura]

58. PUC-RS 2016 Um cone está inscrito em um paralelepípedo, como na figura. A altura do paralelepípedo é o dobro do lado da base quadrada, de área 400 cm2. Então, a razão entre o volume do cone e o do paralelepípedo é

Em que k representa uma constante de proporcionalidade específica de cada forma geométrica, como ilustram as figuras a seguir.

V 5 k1 ? L3

V 5 4p ? R3 3

V 5 k2 ? L3

V 5 1 ? Abase ? h 3

V 5 k3 ? L3

As constantes k1, k2 e k3, que relacionam os volumes do cilindro, da esfera e do cone inscritos em cubos de aresta L, são, respectivamente: a)

p p p , e 4 3 6

b)

p p p , e 3 2 4

c)

p p p , e 3 4 8

d)

p p p , e 4 6 12

e)

p p p , e 3 6 12

56. Ufam/PSC 2024 O diâmetro da esfera inscrita em um cone de revolução, cujo raio da base mede 8 cm e a geratriz 10 cm é, aproximadamente, igual a: a) 5,3 cm b) 6,7 cm c) 7,2 cm d) 8,4 cm e) 9,6 cm 57. Udesc 2016 A base de um cone reto está inscrita em uma face de um cubo e seu vértice está no centro da face oposta. Se o volume do cone é 2p metros cúbicos, a área do cubo (em metros qua3 drados) é igual a: a) 8 b) 24 c) 16 d) 20 e) 4

a) 16 000 4 000 b) 3p 12 c) p p d) 12 e)

p 36

59. Unicamp-SP A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L 5 6 cm e arestas laterais das faces A 5 4 cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é a medida do raio da esfera circunscrita à pirâmide? 60. Fuvest-SP A esfera v, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano a. O plano b é paralelo a a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na interseção de v com b e, como vértice, um ponto em a, é igual a a)

3r 3 4

b)

5 3r 3 16

c)

3 3r 3 8

d)

7 3r 3 16

e)

3r 3 2

FRENTE 3

V 5 Abase ? h

161 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 161

29/02/24 14:15

Texto complementar Assim, a área da superfície lateral do cone fica expressa por:

Papo, ou Papus, de Alexandria foi um matemático grego da Antiguidade que estudou detalhadamente as proposições de Arquimedes e Euclides, tendo proposto dois grandes teoremas aplicados aos sólidos de revolução e às suas superfícies não planas. Esses teoremas foram posteriormente retomados pelo matemático suíço Paul Guldin.

A 5 u ? d ? L ~ A 5 2p ?

R ?g ~ 2

A5p?R?g

Reprodução

Reprodução

Fórmulas de Papo-Guldin

S

Folha de rosto do livro de Papo de ­Alexandria, Mathematicae ­Collectiones, 1588, com tradução de Federico C ­ ommandino.

Folha de rosto do livro de Paul G ­ uldin, De centro gravitatis, livro 4, 1635.

Para as superfícies de revolução, o teorema de Papo-Guldin diz que, sendo L o comprimento da curva geratriz e d a distância do centro de gravidade da geratriz ao eixo, a área A da superfície gerada pela revolução de u radianos da geratriz em torno do eixo é expressa por: A5u?d?L Com essa fórmula, pode-se demonstrar, por exemplo, a expressão para a área da superfície lateral de um cone de raio R e geratriz g, pois, nesse caso, tem-se: u 5 2p

R d 5 2

L5g

Para os sólidos de revolução, o teorema de Papo-Guldin diz que, se uma figura plana de área S e baricentro G efetua uma revolução de u radianos em torno de um eixo que não seciona a figura, então, sendo d a distância do ponto G ao eixo de revolução, o volume do sólido gerado por essa revolução é expresso por: V5u?d?S Com essa fórmula, pode-se demonstrar, por exemplo, a expressão para o volume do cone circular reto de raio R e altura h, pois, nesse caso, tem-se: u 5 2p

d 5

R 3

S5

R? h 2

Assim, o volume do cone fica expresso por: R R R R? ?h h pp? ?R2R2? ?h h V V55u u? ?d d? ?S S~~V V552p ~~V V55 2p? ? ? ? 33 22 33 Texto elaborado para fins didáticos.

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

Quer saber mais? Texto LUCHETTA, Valéria Ostete Jannis. Arquimedes. Imática, 29 jan. 2003. Disponível em: http://p.p4ed.com/WLRJF. Acesso em: 5 fev. 2024. O texto apresenta um pouco do trabalho e da história de um dos maiores matemáticos da antiguidade, Arquimedes. Seu trabalho contribuiu para o desenvolvimento da Geometria e da Álgebra, além de outras aplicações. Site PEREIRA, Felipe dos Santos. Volume da esfera. Geogebra. Disponível em: http://p.p4ed.com/WLRJG. Acesso em: 5 fev. 2024. Com a ajuda desse software de geometria dinâmica, é possível mudar a medida do raio da esfera e observar as alterações do seu volume.

162

MATEMÁTICA

Capítulo 15

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 162

07/03/24 18:14

Exercícios complementares

As medidas do raio da base, da altura e da geratriz do cone circular reto ilustrado a seguir formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão igual a 5.

O cone a que se refere tal planificação é a) c) e) 10

10

6 g

h

b)

8

1. Calcule os valores do raio da base, da altura e da geratriz do cone. 2. Faça uma estimativa do volume do cone. 3. Realize uma estimativa da área da superfície total do cone. 4. Determine a medida, em graus, do ângulo central do setor circular que se obtém da planificação da superfície lateral do cone. 5. PUC-RS 2024 Na sala de espera de um consultório médico, um paciente apaixonado por geometria observou um enfeite colocado sobre o balcão de atendimento. Este objeto era formado por uma esfera inscrita em um cubo. Esse cubo, por sua vez, estava inscrito em outra esfera, que, por último, estava inscrita em outro cubo. O espaço entre a esfera e o cubo mais externos estava preenchido por um líquido amarelo, enquanto o espaço entre a esfera e o cubo mais internos estava preenchido de um líquido vermelho. O paciente fez as seguintes afirmativas: I. O volume de líquido amarelo é o dobro do volume de líquido vermelho. II. A proporção entre as áreas superficiais da esfera 1 mais interna e da mais externa é igual a . 2 III. A área superficial do cubo mais interno é um terço da área superficial do cubo mais externo. Está/Estão corretas as afirmativas a) I, apenas. c) II e III, apenas. b) III, apenas. d) I, II e III. 6. A área lateral de um cone circular reto é igual ao triplo da área de sua base. Se executarmos a planificação de sua superfície lateral, obteremos um setor circular cujo ângulo central mede: a) 90° c) 110° e) 130° b) 100° d) 120° 7. FGV-SP A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto: 252° 10 10

7

d) 10

R

10

10 6

7

8. Fuvest-SP Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é a) 144° c) 240° e) 336° b) 192° d) 288° 9. Fuvest-SP Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre a mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? a) 10 3 cm b) 3 10 cm

c) 20 2 cm

e) 10 cm

d) 20 cm

10. Enem 2023 Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura. 6 cm

36 cm

18 cm

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base. O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume.

FRENTE 3

Texto para as questões de 1 a 4.

Dado: utilize 3 como aproximação para p. Qual é a massa, em grama, dessa escultura? a) 1 198,8 c) 1 360,8 e) 4 860,0 b) 1 296,0 d) 4 665,6

163 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 163

29/02/24 14:15

11. UFPR 2024 Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S1, S2 e S3, conforme a figura abaixo. Os volumes de S1, S2 e S3, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1. O quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S1 é igual a 3 7. Assinale a alternativa que corresponde à razão q.

S1

2 a)  pR 13

b)  2pR2

13 3

c)  pR2

13 2

d)  pR2

13 3

e) 

13 2 pR 4

17. FGV-SP 2017 (Adapt.) Uma bola de vidro que é uma esfera de centro O se encaixou num copo exatamente como mostra a figura. O raio da bola mede 13 cm e OC 5 5 cm. O segmento AC é o raio do cilindro. O que tem o maior volume: a bola ou o copo?

S2 S

a) 2

b) 3

O

S3 A

c) 4

d) 5

12. FGV-SP 2014 Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio 3  cm e um cone circular reto também com 3  cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura da casquinha. 13. Uece 2017 O volume de uma tradicional casquinha de sorvete, com formato de um cone, feito a partir de um setor circular de 12 cm de raio e ângulo central de 120 graus é igual a: 128 2p a) cm3 3 b)

64 3p cm3 3

64 2p cm3 c) 3 d)

128 3p cm3 3

14. ITA-SP 2024 Um cilindro equilátero é apoiado sobre uma de suas bases e parcialmente preenchido com água. Quando uma esfera é colocada em seu interior, de modo a tocar o fundo, o nível de água atinge a altura do cilindro. Se o raio da esfera é igual ao raio da p base do cilindro e o volume de água é 2 000 cm3, 3 determine a área da superfície lateral do cilindro e o volume da esfera. 15. Fuvest-SP Uma superfície esférica de raio 13  cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm, é a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 16. IME-RJ 2022 Seja o cone de revolução de raio de 3R base R e altura com a base apoiada em um solo 2 horizontal. Um ponto luminoso está localizado a uma altura 3R do solo e distante, horizontalmente, 2R do centro da base do cone. A área S da região iluminada no cone é:

164

MATEMÁTICA

Capítulo 15

C

e) 7 20 cm

18. FGV-SP As alturas de um cone circular reto de volume P e de um cilindro reto de volume Q são iguais ao diâmetro de uma esfera de volume R. Se os raios das bases do cone e do cilindro são iguais ao raio da esfera, então P 2 Q 1 R é igual a 2p 4p a)  0.   b)  .   c)  p.   d)  .   e)  2p. 3 3 19. Acafe-SC 2017 Um cone de revolução tem altura 8 cm e está circunscrito a uma esfera de raio igual a 2 cm. A razão entre o volume da esfera e o volume do cone é igual a 1 1 1 a) . b) . c) . d) 2. 4 8 2 20. EsPCEx-SP 2018 O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm3 é igual a: a) 38p cm3. d) 32p cm3. 3 b) 36p cm . e) 30p cm3. 3 c) 34p cm . 21. EEAR-SP 2017 Um escultor irá pintar completamente a superfície de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando uma tinta que, para essa superfície, rende 3 m2 por litro. Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ litros de tinta. Dado: considere p 5 3.

a) 18

b) 24

c) 36

d) 48

22. ITA-SP 2021 Seja P uma pirâmide regular com base quadrada. Suponha que os centros das esferas inscrita e circunscrita a P coincidam. Determine a razão entre as áreas das esferas circunscrita e inscrita a P. 23. Unioeste-PR 2024 Uma gema preciosa foi submetida a uma lapidação precisa, assumindo a forma de um octaedro regular, e posteriormente inserida com precisão em uma esfera de vidro de raio igual a 3 centímetros. O valor atribuído a esta peça é calculado com

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 164

07/03/24 18:14

base no volume da gema preciosa, excluindo completamente o volume ocupado pela esfera circundante. Supondo que o octaedro da gema preciosa esteja devidamente inscrito na esfera, conforme ilustrado na figura, qual é o volume do octaedro em questão?

O volume desse cone, em cm3, é igual a 3 p 3 3 p 5

a)  b) 

c)  d) 

15 p 3 15 p 5

5 p 5

e) 

28. EsPCEx-SP 2017 O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é 3 cm

a

d) 32 cm

3

e) 36 cm

3

R 1

3

b) 3 2 cm

a) 

13 a. 12

c) 

5 a. 4

b) 

7 a. 6

d) 

4 a. 3

Um sólido geométrico foi gerado pela revolução completa de um quadrado com 6 cm de lado em torno de uma reta paralela a um de seus lados afastada 5 cm do centro do quadrado.

e) 

17 a. 12

29. EsPCEx-SP 2017 A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de 0,5 mm/s até que o volume seja igual a 500 mm3, então o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é c) 10 3

a) 10. b) 10 3

Texto para as questões 25 e 26.

2

Desenho ilustrativo – fora de escala

3

24. UVA-CE 2023 Bartolomeu tem bilas (bolas de gude) grandes, de 1 cm de raio. Ele as guarda em uma caixa de vidro, de formato cúbico, com 30 cm de aresta. Ele dispõe as bilas em camadas, de modo que cada uma destas tenha a mesma quantidade de esferas. Além disso, Bartolomeu tem tantas bilas, que consegue encher a caixa acomodando o número máximo possível destas esferas. Após acomodar as bilas, ele resolve, então, colocar água dentro da caixa de vidro. Quanto de água ele consegue colocar na caixa sem transbordar? a) Aproximadamente 13,5 litros de água. b) Aproximadamente 12,8 litros de água. c) Aproximadamente 1,3 litro de água. d) Não há mais espaço para água.

a 2

R

5 . p

2 . p

e) 10 3

d) 10 3 p .

3 . p

30. AFA-SP 2017 Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num cone equilátero cujo volume é igual

25. Quanto mede o volume desse sólido?

10 3 p cm3, então o volume dessa pirâmide, em 7 cm3, é igual a

26. Quanto mede a área da superfície total desse sólido?

a) 

45 7

c) 

30 3 7

b) 

15 3 7

d) 

135 7

27. EsPCEx-SP 2016 Corta-se de uma circunferência de p raio 4 cm, um setor circular de ângulo rad (ver dese2 nho ilustrativo), onde o ponto C é o centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB.

C

A

B

Desenho ilustrativo - fora de escala

a

31. AFA-SP 2018 Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360o do triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela ao lado AB. Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC ä BC 5 R 2 m, AB 5 2R m (sendo R uma constante real não nula), e que o volume do sólido obtido é V 5 4p 3 m3 . A medida de R, em metros, é igual a a)

6

3

c)

b)

3

3

d)

3

FRENTE 3

2 2 cm3 a) 3 c) 16 cm

a a 2

9 3

165 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 165

29/02/24 14:15

32. AFA-SP 2021 Considere a figura a seguir.

35. ITA-SP 2019 A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216o, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10 cm, então a medida de sua altura, em cm, é igual a a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. 36. ITA-SP 2019 Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone é metade do volume do cilindro, e a área lateral do cone é igual à área lateral do cilindro. Determine, em função de h, o raio da esfera inscrita no cone.

Desenho fora de escala

Nela está representada a inscrição de uma esfera num cubo que, por sua vez, está inscrito num cone equilátero, de tal forma que uma de suas faces está apoiada na base do cone e os vértices da face oposta estão na lateral do cone. A projeção ortogonal do vértice do cone à sua base contém dois pontos de tangência da esfera com o cubo. Se R e r são, respectivamente, as medidas do raio da base do cone e do raio da esfera, em cm, então a) 

R 312 3 5 r 3

c) 

R 2 6 13 2 5 r 3

b) 

r 3 2 22 3 5 R 2

d) 

r 2 6 23 2 5 R 2

33. AFA-SP 2022 Um cone equilátero tem, em seu interior, duas esferas tangentes entre si e tangentes ao cone, conforme figura a seguir.

37. ITA-SP 2016 Uma esfera S1, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S2, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é, simultaneamente, tangente à esfera S1 e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a a)  b) 

pR5 3r (R 2 r )

2pR5 3r (R 2 r )

c)  d) 

pR5 r (R 2 r )

4pR5 3r (R 2 r )

39. EsPCEx-SP 2021 Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a px 3 3 b)  px3

a)  81p4

c)  243p4

b)  81p3

d)  243p3

34. UVA-CE 2023 A última taça de suco de frutas foi servida e dois amigos resolvem dividir igualmente a bebida. Sabendo-se que a taça tem formato de cone circular reto de altura H e estava completamente cheia, a que altura h ficará o suco quando metade do líquido for despejado em outro copo?

166

a)  h 5

H 2

c)  h 5

px 3 2 d)  2px3

b)  h 5

H 3

d)  h 5

MATEMÁTICA

Capítulo 15

c) 

40. Esc. Naval-RJ 2021 Um fabricante de bolas de tênis (bolas em formatos esféricos) deseja vender as bolas em embalagens cilíndricas (cilindros circulares retos) de raio R e altura H, cada uma. Em cada embalagem há n bolas de tênis de raio R, cada bola. O fabricante deseja que a área total das superfícies das bolas seja igual à área lateral da embalagem (cilindro). Dessa forma, é correto afirmar que: H H 3H a)  R 5 . c)  R 5 . e)  R 5 . 3n n 4n b)  R 5

H . 2n

d)  R 5

2H . 3n

41. ITA-SP A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120o e área igual a 3p cm2. A área total e o volume deste cone medem, em cm2 e cm3, respectivamente

H2 2

a)  4p e

2p 2 . 3

c)  4p e p 2.

H 2

b)  4p e

p 2 . 3

d)  3p e

3

3

5pR5 3r (R 2 r )

38. ITA-SP 2016 Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro.

a) 

A distância do vértice do cone ao ponto de tangência entre o cone e a esfera de menor raio é igual a p 3 cm. O volume desse cone, em cm3, é igual a

e) 

e)  p e 2p 2.

2p 2 . 3

Cones e esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p5.indd 166

07/03/24 18:14

43. ITA-SP Considere uma esfera V com centro em C e raio r 5 6 cm e um plano S que dista 2 cm de C. Determine a área da interseção do plano S com uma cunha esférica de 30° em V que tenha aresta ortogonal a S. 44. ITA-SP As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da interseção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem 3 2 cm e cm, respectivamente, calcule 2 a) a distância entre os centros das duas esferas. b) a área da superfície do sólido obtido pela interseção das duas esferas. 45. EsPCEx-SP 2019 Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. O volume desse cone, em cm3, é igual a a) 1 000p c) 2 000p e) 3 000p b) 1 500p d) 2 500p 46. UFMS 2020 Um poliedro regular de 6 arestas de comprimento iguais a 4 6 cm e 4 vértices circunscreve uma esfera. Sendo VP e VE, respectivamente, os volumes do V poliedro e da esfera, então a razão P resulta em: VE a) 

2 3 4 3 6 3 6 2 8 2 .  b)  .  c)  .  d)  .  e)  . p p p p p

47. ITA-SP Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semiesfera formam uma pr 3 progressão aritmética de razão . Se o volume da 45 pr 3 , então n é igual a menor cunha for igual a 18 a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7. 48. ITA-SP A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm3, é igual a: p 3 p 3 R R a) pR3 c) e) 2 3 b) p 2R3 d) p 3R3 49. Uerj 2018 Um depósito de óleo tem a forma de um cone circular reto cujo eixo vertical forma com suas geratrizes o ângulo de 45o. Foram retirados desse depósito 19 m3 de óleo. Com isso, a altura do nível de óleo foi reduzida em 1 m e passou a ter X metros de altura.

1m

45°

X

Considerando p 5 3, calcule a altura X do nível de óleo. 50. ITA-SP Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprimento 2R. Determine, em função de R, a expressão do volume do tetraedro circunscrito às quatro esferas. 51. ITA-SP 2023 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é 30p cm3. O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a a) 10 1 4 7.

b) 10 1 5 7.

c) 10 1 2 10.

d) 10 1 3 10.

e) 10 1 4 10.

52. IME-RJ 2019 Um cubo com diagonal principal AG é interceptado pelo plano a, perpendicular à AG, formando uma seção hexagonal regular. Calcule, em função da aresta a do cubo: a) o apótema dessa seção hexagonal; b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o vértice A. 53. IME-RJ 2017 Em um cone equilátero são inscritas 3 21 R e R, conforme a figura duas esferas de raios 3 11 abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de forma que este seja tangente às duas esferas. Determine em termos de R o maior segmento possível que une dois pontos da curva formada pela interseção do referido plano com o cone.

FRENTE 3

42. Uece 2021 Considere uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado, contida em uma esfera, de tal modo que a base da pirâmide contém o centro da esfera e os vértices da pirâmide sejam pontos da superfície esférica. Se a medida do raio da esfera é igual a 1 metro, então, a medida do volume da pirâmide em metros cúbicos é igual a 2 3 1 3 a)  .    b)  .    c)  .    d)  . 3 4 2 5

54. IME-RJ 2016 Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo.

167 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 167

29/02/24 14:15

55. Efomm-RJ 2020 Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular de aresta base 2 cm e aresta lateral 38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é a) 

37 1 1 6

c) 

b) 

39 2 1 38

d) 

6 38 1 12 17

e) 

6 38 2 12 17

37 2 1 6

56. IME-RJ Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do seu baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r. a) 8p cm2 d) 16p cm2 2 b) 9p cm e) 36p cm2 2 c) 12p cm 57. IME-RJ A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo base. Determine o raio do círculo base da calota em função do raio R da esfera.

58. IME-RJ Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r e r* e centros O e O*, respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C* nos pontos não coincidentes A e A*. Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmento AA* em torno do eixo OO*, e seja S a sua correspondente área lateral. Determine S em função de r e r*. 59. IME-RJ Considere um tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em função de a, calcule: a) o volume total da esfera; b) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro. 60. IME-RJ Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7 . 4

BNCC em foco EM13MAT309

1. A bola de pilates é um dos acessórios mais utilizados quando a atividade é feita na modalidade solo. Entre seus benefícios, destacamos que o exercício correto com o acessório ajuda a prevenir lesões, ganhar mais força muscular, aumentar a flexibilidade, além de melhorar a respiração. Essas bolas podem suportar até 300 kg de peso estático, ou seja, parado. Existe um consenso sobre o tamanho da bola de pilates a ser utilizada por cada pessoa, conforme sua altura. A orientação é que pessoas com menos de 1,60 m de estatura utilizem bolas menores, de 45 cm de diâmetro, já pessoas com altura entre 1,60 a 1,75 m devem utilizar a bola de 55 cm de diâmetro. A área da superfície de uma bola de pilates para pessoas com altura de 1,67 m é de: a) 756,25 cm2. d) 2 025p cm2. 2 b) 12 100p cm . e) 3 025p cm2. 2 c) 8 100p cm .

EM13MAT309

2. O Halloween, ou Dia das Bruxas, é uma festa tradicional em muitos países, mas chegou ao Brasil principalmente por influência dos Estados Unidos. Uma das tradições do Halloween é o “doces ou travessuras”, na qual crianças fantasiadas vão de porta em porta para pedir doces aos seus vizinhos. Uma costureira foi contratada para fazer os chapéus de bruxas em formato de cone, para as crianças de

168

MATEMÁTICA

Capítulo 15

uma escola, para a comemoração do Halloween. Para cortar o tecido, ela fez um molde com geratriz igual a 35 cm e diâmetro da base igual a 22 cm. Qual é a área do molde desse chapéu? a) 255p cm2 c) 385p cm2 e) 495p cm2 2 2 b) 360p cm d) 420p cm EM13MAT314

3. Tanto os troféus quanto as medalhas se caracterizam como símbolos da vitória em um evento esportivo. Historicamente, especificamente na Antiguidade, os atletas que venciam as provas nos Jogos Olímpicos recebiam uma coroa de louros, como símbolo da vitória, e eram tidos como heróis em sua região. Nos tempos modernos, a premiação foi modificada; acompanhando a conotação de valor adquirida pelos metais nobres, a simbologia de vencedor se remete ao ouro; um quase vencedor, à prata; e o terceiro lugar, ao bronze. Um troféu escolhido para o vencedor de um torneio escolar apresenta duas esferas douradas, que simbolizam duas bolas de futebol. A maior tem um diâmetro de 20  cm, e a menor, diâmetro de 12  cm. A razão entre as áreas das superfícies da esfera maior e da esfera menor é de: a) 

400p 144

c) 

20 12

b) 

144p 400

d) 

9 25

e) 

25 9

Cone eeesferas Cones esferas

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_134_168_mat_f3_c15_p4.indd 168

29/02/24 14:15

fergregory/iStockphoto.com

Templo de Kukulcán ou Pirâmide de Kukulcán, “El Castillo”, construído no século XII, pelos maias itzáes, na antiga cidade de Chichén Itzá, na península de Iucatã, no México.

FRENTE 3

16 CAPÍTULO

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p6.indd 169

Troncos Nos capítulos anteriores, foram apresentados diversos tipos de sólido, poliedro e corpo redondo. Agora, nosso objeto de estudo passa a ser os troncos. Observe, na imagem, a pirâmide maia Chichén Itzá, nomeada uma das Novas Sete Maravilhas do Mundo. Note que, apesar de a chamarmos de pirâmide, tecnicamente ela é formada por uma superposição de troncos de pirâmide.

11/03/24 15:58

Semelhança de sólidos Informalmente, podemos dizer que dois sólidos são semelhantes se tiverem a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Por exemplo, modelos de aeronaves para simulações, maquetes de edifícios e miniaturas de carros são, respectivamente, semelhantes às aeronaves, aos edifícios e aos carros em tamanho real. Mas, afinal, quais seriam os atributos da semelhança e o que esses exemplos têm em comum? Sólidos semelhantes têm igual proporção entre os comprimentos de todos os pares de segmentos homólogos e medidas iguais entre ângulos homólogos. Observe o exemplo abaixo.

a'

d'

a

a'

d

a

x'

x a

a'

d' x' a' 5 5 5k d x a

Saiba mais A semelhança de sólidos pode se aplicar a todos os tipos de sólido, incluindo os corpos redondos. Observe que, no exemplo abaixo, há dois cones, o de altura h e o de altura h'.

Agora, seja uma semelhança s de razão k entre duas figuras F e F'. Cada retângulo que compõe F é transformado em outro retângulo semelhante para compor F', com razão k2.

s

F

F'

Então, a área de F' é o número real cuja aproximação por falta é k2 vezes a área de F. Logo, a razão entre as áreas de F e F' é k2. Um fenômeno análogo ocorre entre o volume de dois sólidos semelhantes com razão k. Se subdividirmos os dois sólidos em paralelepípedos semelhantes, a razão entre os volumes de cada par de paralelepípedos será igual a k3. Assim, a razão entre o volume de dois sólidos semelhantes é igual a k3. Como exemplo, imaginemos dois cubos, um com aresta de 1 m e outro com aresta de 2 m. Os dois cubos são semelhantes com razão k 5 2. As razões entre as áreas de suas superfícies e entre seus volumes são dadas respectivamente por: A' 6 ? 22 m2 24 m2 5 5 5 4 5 k2 2 2 A 6?1 m 6 m2

V' 23 m3 8 m3 5 3 3 5 5 8 5 k3 V 1 m 1 m3

Observe o seguinte exemplo. Ao seccionar a pirâmide por um plano, paralelo à base, dividimos sua altura ao meio. E

h g

h

F g'

h'

B

Capítulo 16

C

D

H 2 A razão de semelhança entre a pirâmide menor e a h 1 pirâmide original é k 5 5 . Logo, a razão entre os voH 2 1 lumes da pirâmide menor e da maior é igual a k 3 5 . 8 Isso significa que, se a pirâmide maior tem volume V, ela fica dividida em dois sólidos: um sólido, representado pela V pirâmide menor, com volume , e outro sólido, que vamos 8 7V denominar tronco de pirâmide, com volume . 8 h5

Para analisar o que ocorre com as áreas de duas figuras planas semelhantes, primeiro vamos tomar como exemplo o que acontece com as áreas de dois retângulos semelhantes. Sendo b e h as respectivas medidas da base e da altura de um retângulo, sua área é A1 5 b ? h. Tomando outro retângulo, semelhante ao primeiro, com razão k e, portanto, com base e altura respectivamente iguais a k ? b e k ? h, sua área é dada por A2 5 kb ? kh 5 k2 ? bh 5 k2 ? A1. Assim, a razão entre as áreas dos dois retângulos é igual a k2. MATEMÁTICA

H

A

r

170

H G

h' g' r' 5 5 5k h g r

r'

I

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 170

29/02/24 18:08

Semelhança de sólidos e paralelismo O teorema de Tales para planos paralelos afirma que três ou mais planos paralelos determinam segmentos proporcionais sobre duas retas secantes quaisquer. Sejam os planos a1 // a2 // a3 e duas retas r1 e r2 secantes aos três planos nos pontos A1, A2, A3, B1, B2 e B3, AA AA conforme figura a seguir, temos 1 2 5 2 3 . B1B2 B2B3 r1

a1

A 1C2 AA 5 1 2 C2C3 A 2A 3 Como A1C2 5 B1B2 e C2C3 5 B2B3, temos:

B1B2 AA AA AA 5 1 2 ~ 1 2 5 2 3 B2B3 A 2A 3 B1B2 B2B3

Como consequência do resultado anterior, temos o seguinte efeito: ao seccionar uma pirâmide ou um cone por um plano paralelo à sua base, geramos um sólido (pirâmide ou cone) ­semelhante ao sólido original e com razão de semelhança igual à razão entre as alturas. Veja a seguir.

r2

A1

No plano determinado por r1 e r2', as retas A2C2 e A 3C3 são paralelas. Aplicando o teorema de Tales ao triângulo A1A3C3, temos:

B1

V

A2

a2

h1

B2 A4 O1

A1 A3

B3

A3 h2 A2

B4

a3

B3

O2 B1

Demonstração Por A1, traçamos a reta r 2' paralela à r 2, que intersecta a2 e a3 em C2 e C3, respectivamente. Nos paralelogramos A1B1B2C2 e C2B2B3C3, temos A1C2 5 B1B2 e C 2C 3 5 B 2B 3. r1

a1

VA 1 VA2 VA 3 VA 4 5 5 5 5k VB1 VB2 VB3 VB4 Devido ao paralelismo, temos:

r2

A1

Pelo teorema de Tales, temos:

nVA1A2 á nVB1B2, nVA2A3 á nVB2B3,

nVA3A4 á nVB3B4 e nVA4A1 á nVB4B1

B1

com a mesma razão Assim, A2

a2

a3

A3

B2

C2

C3

VA 1 VA2 VA 3 VA 4 5 5 5 5 k. VB1 VB2 VB3 VB4

A 1A 2 AA AA AA 5 2 3 5 3 4 5 4 1 5 k. B1B2 B2B3 B3B4 B4B1

O resultado mostra que as arestas homólogas das pirâmides VA1A2A3A4 e VB1B2B3B4 são igualmente proporcionais, ou seja, as pirâmides são semelhantes. Os triângulos VA1O1 e VB1O2 são semelhantes com B3

FRENTE 3

r2'

B2

VO1 VA 1 5 5 k . Como VO1 5 h1 e VO2 5 h2, temos VO2 VB1 VO1 h k5 5 1 . Assim, concluímos que a razão de semeVO2 h2 lhança entre as pirâmides VA1A2A3A4 e VB1B2B3B4 é igual à razão entre suas alturas. ­razão

171 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 171

29/02/24 18:08

Tronco de pirâmide É assim denominada a parte da pirâmide compreendida entre sua base e uma seção paralela à base. Sua altura é a distância entre os planos paralelos que contêm as duas bases. Na figura a seguir, temos os elementos do tronco de pirâmide. Base menor

O volume do tronco é dado pela diferença entre o volume das duas pirâmides: V 5 V2 2 V1 5 V2 2 k3V2 5 (1 2 k3)V2

1 B ? h2 e que a fatoração de 3 3 3 1 2 k é dada por 1 2 k 5 (1 2 k)(12 1 1 ? k 1 k2) (diferença de cubos), temos:  Bh2 1 V 5 (1 2 k )(1 1 k 1 k 2 ) ~ V 5 (1 2 k ) ? h2 ?  1 1  3 3 Lembrando que V2 5

1 A1  1 B h2 AA A  A hA  (1 2 )1 ? hk2h2?) B11 1 ~ V?1 ~ ~ 2 k )(1 1Vkk5 5B ?(1 ?2BBk1 ?B ) ? h2 ?? B1 1~ V 51 ( A V~5V(1 5  1  3 B 3 3 B  BB 3 B 3B  Apótema 1 A A  Bh2 A  h A ? B ) k 11 h k 2 )B 1 ~ 21 k) A ?1 h2?B ? 1~ 1 AV 51h ( A1? B V 5 (1 2 k~)(1 1 B ~ ?V 5B ~ ? (1 B V5 5 h B 1 ? B ?  B 11 A ? B ~ V 5 ( A 1 B 1 A ? B V    3 3 B  B  3  B 3 B  3  B 3 B Base maior  h 1  A A ~ V 5 h B 1 ? B? B1 ? B ~ V 5 ( A 1 B 1 A ? B )  3 3  B B k )(1 1 k 1 k 2 ) V 5 (1 2 Altura

Face lateral

Se um tronco de pirâmide tem bases de áreas A e B e altura h, então seu volume é dado por: V5

Bh2 3

Tronco de cone

Aresta

É assim denominada a parte do cone compreendida entre sua base e uma seção paralela à base. Sua altura é a distância entre os planos paralelos que contêm as duas bases.

h (A 1 B 1 A ? B ) 3

V Cone 2

Demonstração Sejam h1 e h2 as alturas da pirâmide seccionada e da pirâmide original. Como vimos anteriormente, essas duas h pirâmides são semelhantes com razão k 5 1 . h2

h1

A

b

h2

h2

O2

r

O2

r

Tronco

a

h

h

O1

R

Seja um tronco de cone de altura h e raios das bases R e r. As áreas das bases são dadas, respectivamente, por A 5 pR2 e B 5 pr2. De maneira inteiramente análoga à demonstração feita para volume do tronco de pirâmide, provamos que o volume do tronco de cone é dado por: h V 5 (A 1 B 1 A ? B ) 3 Substituindo A e B, temos: h V 5 ( pR2 1 pr 2 1 pR2 ? pr 2 ) h 3 V 5 ( pR2 1 pr 2 1 pR2 ? pr 2 ) h 32 V 5 (pR 1 pr 2 1 pRr ) h V35 (pR2 1 pr 2 1 pRr ) 3 ph 2 V5 (R 1 r 2 1 Rr ) ph 2 3 V5 (R 1 r 2 1 Rr ) 3

B

Dessa forma, h1 5 k ? h2, e a altura do tronco é dada por h 5 h2 2 h1 5 (1 2 k)h2. A razão entre a área das bases é dada por 2  h1  A A 2 5 k 5   . Logo, 5 k. B  h2  B A razão entre os volumes é dada por: 3

h V1 5 k 3 5  1  ~ V1 5 k 3 ? V2 V2  h2 

172

MATEMÁTICA

A B

Capítulo 16

Atenção As bases de um tronco de pirâmide (ou de um tronco de cone) são figuras semelhantes entre si.

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p5.indd 172

07/03/24 18:19

Desenvolvimento da superfície lateral do tronco de cone reto

Resolução:

A área da superfície lateral de um tronco de cone de raios r e R e geratriz g é dada por: Asuperfície lateral 5 p(R 1 r) ? g C'

Desenvolvimento da superfície lateral do tronco de cone A'

Seja x a distância pedida. O sólido que mantém o vértice é uma pirâmide (ou cone) semelhante ao original e com altura x. Se ele tem volume v e o original volume V, 3 v 1 1 h  x obtemos 5 ~   5 ~ x5 3 .  h V 2 2 2

Superfície lateral do tronco de cone

A

r

gg

g

N

C

R

Demonstração Da semelhança entre o cone seccionado e o cone orir g r ginal, temos 5 2 ~ g2 5 g1 . R g1 R Assim, g 5 g1 2 g2 5 g1 2

r R2r g1 5  g.  R  1 R

A área lateral do tronco é a diferença entre as áreas do cone grande e do pequeno. Assim: A superfície lateral 5 pRg1 2 prg2 5 p(Rg1 2 rg2 )

 R2 2 r 2  r   A superfície lateral 5 p  Rg1 2 rg1  5 p  g   R  1 R  R2r A superfície lateral 5 p(R 1 r )  g  R  1 A superfície lateral 5 p(R 1 r )g

Exercícios

resolvidos

1. Insper-SP 2015 O rótulo de uma embalagem de suco con­centrado sugere que o mesmo seja preparado na proporção de sete partes de água para uma parte de suco, em volume. Carlos decidiu preparar um copo desse suco, mas dispõe apenas de copos cônicos, mais precisamente na forma de cones circulares retos. Para seguir exatamente as instruções do rótulo, ele deve acrescentar no copo, inicialmente vazio, uma quantidade de suco até a) metade da altura. b) um sétimo da altura. c) um oitavo da altura. d) seis sétimos da altura. e) sete oitavos da altura.

3. PUC-Campinas 2017 Considere dois troncos de pirâmides retas exatamente iguais. A base maior é um quadrado de lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado igual a 1 metro, e a distância entre as bases igual a 1 metro. Um m ­ onumento foi construído justapondo-se esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em um piso plano por meio de uma das bases maiores, formando um sólido. Desta maneira, a medida da área da superfície exposta do monumento é, em m2, igual a a) 4 1 6 5. b) 8. c) 12 2 1 4. 16 d) . 3 e) 12 2 2 8. Resolução: As faces laterais de cada tronco são trapézios de base menor 1 metro e base maior 2 metros. Sendo h a altura do trapézio, em metros, temos:  2 2 1 h2 5 12 1   2 

2

~ h5

5 2

A área de cada um dos trapézios, em m2, será: (2 1 1) ? 2

5 2 5 3 5 4

FRENTE 3

g2 M

2. Determine a que distância do vértice devemos seccionar uma pirâmide ou cone de altura h para obter dois sólidos de mesmo volume. Resolução:

V

g1

Ao seccionar o cone na metade da altura, obtemos um cone com um oitavo do volume do cone original. Então, devemos acrescentar o suco até metade da altura do copo e, depois, completar com a água; assim, teremos um oitavo de suco e sete oitavos de água. Resposta: alternativa A.

A área lateral de cada tronco, em m2, será: 4?

3 5 53 5 4

A área lateral do monumento será igual a 6 5 m2, e a área da base maior exposta (topo do monumento) será igual a 4 m2. Assim, a área total exposta será igual a 4 1 6 5 m2 .

Resposta: alternativa A.

173 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 173

29/02/24 18:08

4. UPF-RS 2016 Um reservatório de água tem formato de um cilindro circular reto de 3 m de altura e base com 1,2 m de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1,2 m e 0,6 m respectivamente, e altura 1 m, como representado na figura a seguir.

3m

Como k > 0, temos k2 1 52 5 132 ~ k2 5 144 _ k 5 12. Sendo k 5 12 m, o volume V do tronco, em metros cúbicos, é: k V 5 (A 1 B 1 A ? B ) 3 12 2 V 5 ( 16 1 62 1 162 ? 62 ) 3 V 5 4(256 1 36 1 96) 5 1 552

A capacidade de armazenamento da caixa-d’água é de 1  552 000 L. Resposta: alternativa C.

1,2 m

1m

Estabelecendo relações

Resolução: Lembrando que o volume do cilindro de raio R e altura h é pR2h, e o volume do tronco de cone de raios R ph 2 (R 1 r 2 1 Rr ) , o volume do ree r e altura h é V 5 3 servatório, em decímetros cúbicos (litros), é dado por: p ? 10 2 Vreservatório 5 p ? 122 ? 30 1 (12 1 62 1 12 ? 6) à 3 à 12 960 1 2 520 à 15 480 1 Assim, a resposta é ? 15480 L 5 5160 L. 3 Resposta: alternativa E.

A semelhança de sólidos é muito utilizada e pode ser aplicada nas mais diversas situações. Veja os exemplos a seguir e reflita sobre cada situação mencionada. Primeiro, vamos citar os três túneis de vento localizados no Instituto de Aeronáutica e Espaço (IAE), organismo do Departamento de Ciência e Tecnologia Aeroespacial (DCTA), em São José dos Campos (SP). Entre esses túneis, está o TA-2, reconhecido como o maior da América Latina; nele são testados diferentes modelos de aeronaves para aperfeiçoar sua aerodinâmica. FLFA@2012/IAE/DCTA

Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça 1 do seu volume por semana. 3 Considerando a aproximação p à 3 e sabendo que 1 dm3 5 1 L, esse vazamento é de: d) 12 960 litros. a) 4 320 litros. e) 5 160 litros. b) 15,48 litros. c) 15 480 litros.

Modelo de aeronave em túnel de vento no IAE.

Outro exemplo a ser observado são as maquetes. No caso de construções, elas nos permitem ver a espacialidade de um edifício, estudar sua iluminação, fazer alterações e análises no projeto, sem a n ­ ecessidade de construí-lo efetivamente, o que pode corresponder a muita economia. The LIFE Picture Collection/Getty Images

0,6 m

5. Um engenheiro está projetando uma caixa-d’água de concreto em forma de tronco de pirâmide regular e reta, de bases quadradas, com as seguintes medidas internas: base menor de lado 6 m, base maior de lado 16 m e com altura da face lateral de 13 m. A capacidade de armazenamento da caixa-d’água é de: d) 1 681,33 litros. a) 1 432 000 litros. e) 1 681 333 litros. b) 1 552 litros. c) 1 552 000 litros.

Oscar Niemeyer e maquete da Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida, em Brasília.

x

Por fim, vejamos o exemplo das miniaturas de automóveis de luxo. É possível ter todos os carros que quiser por um preço muito mais acessível, basta tê-los... em miniatura! Sjoerd van der Wal/ iStockphoto.com

Resolução:

3 k

k

13

k

5 8

174

MATEMÁTICA

Capítulo 16

Miniaturas de automóveis.

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 174

29/02/24 18:08

Revisando 1. Enem 2020 Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulcán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada. As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são a) 2 quadrados e 4 retângulos. b) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles. c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles. d) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos. e) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos. 2. Enem PPL 2023 A tartaruga ou tachão de trânsito é um dispositivo de sinalização horizontal utilizado para canalizar o tráfego ou garantir o afastamento do fluxo de veículos de zonas perigosas ou com grande risco de acidentes. A Figura 1 apresenta alguns deles já instalados.

1 dm

3 dm 2 dm

Calcule o volume total do tronco de cone, admitindo 22 p5 . 7 4. FGV-RJ 2016 A figura abaixo mostra um tronco de pirâmide regular formado por dois quadrados ABCD e A'B'C'D' de centros O e O' contidos em planos paralelos e quatro trapézios congruentes. Os quadrados são as bases do tronco e a sua altura é a distância OO' 5 h entre os planos paralelos. D'

Figura 1

A'

Disponível em: www.alfasinalizacao.com.br. Acesso em: 28 nov. 2021 (adaptado).

Figura 2

Qual é o sólido representado pelo modelo geométrico do tachão? a) Paralelepípedo reto. b) Paralelepípedo oblíquo. c) Pirâmide quadrangular. d) Tronco de pirâmide hexagonal. e) Tronco de pirâmide quadrangular. 3. Uerj 2024 No tronco de cone circular reto de bases paralelas ilustrado a seguir, o raio da base menor, o raio da base maior e a altura do tronco medem, respectivamente, 1 dm, 2 dm e 3 dm.

B'

D

C O

A

B

Se S e S' são as áreas das bases de um tronco de pirâmide de altura h, o volume desse tronco é dado h pela fórmula V 5 (S 1 S' 1 SS' ). 3 São dadas, em decímetros, as medidas das arestas: AB 5 12, A'B' 5 6, AA' 5 9. Calcule o volume desse poliedro em decímetros cúbicos e dê um valor aproximado, usando algum dos dados abaixo. Dados: 2 à 1,41, 3 à 1,73 , 5 à 2,24 e 7 à 2,65 .

FRENTE 3

O modelo geométrico de um tachão está representado na Figura 2. Ele é formado por duas faces retangulares paralelas e quatro faces trapezoidais. Suas arestas laterais, se prolongadas, concorrem em um mesmo ponto.

C' O'

5. PUC-RS O metrônomo é um relógio que mede o tempo musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a foto a seguir.

175 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 175

29/02/24 18:08

Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacidade desse funil. Sabe-se que 5 L de xarope caseiro serão envasados. Determine o número mínimo de frascos necessários para o envase. Dado: use p à 3,14.

Na representação a seguir, a é o lado da base maior, b é o lado da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide ABCDEFGH. Se a 5 4b e P é o volume total da pirâmide ABCDI, então: I

8. FICSAE-SP 2021 Duas embalagens de adoçantes são semelhantes desde suas bases circulares até a altura de 3,1 cm da menor delas. A maior embalagem tem 6,4 cm de altura e ambas recebem tampas idênticas em forma de cone circular reto. Sabe-se que a altura de cada tampa é 3 cm e que os raios das bases das duas embalagens medem 1 e 2 centímetros, como mostra a figura.

H

E b

b

F

3 cm

G

D A a B

3 P 4 3 b)  V 5 P 16 a)  V 5

15 P 16 15 P d)  V 5 64 c)  V 5

C

a

6,4 cm

e)  V 5

63 P 64 r 5 1 cm

6. Acafe-SC 2016 Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base, 8 de forma que o volume da pirâmide obtida seja 27 do volume da pirâmide original. A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número: a) fracionário. c) múltiplo de 3. b) primo. d) quadrado perfeito. 7. USF-SP 2016 Um funil de vidro, em formato de tronco de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado para envasar frascos de remédios. Suas dimensões são indicadas na figura. 12 cm

12 cm

10 cm

2 cm

176

MATEMÁTICA

Capítulo 16

3,1 cm R 5 2 cm

Se a embalagem menor e sua tampa mantivessem completamente a semelhança com a maior, sua altura total, em comparação com a altura atual, seria menor em a) 1,6 cm. b) 1,3 cm. c) 1,5 cm. d) 0,1 cm. e) 1,4 cm. 9. Uece 2015 Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A relação existente entre Reré a) R3 5 3r3. c) R3 5 2r3. 2 2 b) R 5 2r . d) R2 5 3r2. 10. ESPM-SP 2014 Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 mL de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 875 mL b) 938 mL c) 742 mL d) 693 mL e) 567 mL

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 176

29/02/24 18:08

Exercícios propostos 1. UFC-CE Ao seccionarmos um cone circular reto por um plano paralelo a sua base, cuja distância ao vértice do cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois sólidos: um cone circular reto S1 e um tronco de volume (S2 ) é igual a: cone S2. A relação volume (S1 ) a) 33. b) 27. c) 26. d) 9. e) 3.

No projeto (Figura 2) construído pelo arquiteto para representar o “pé da mesa”, considere que • [ABCDI] é uma pirâmide reta de base retangular; • [ABCDEFGH] é um tronco de pirâmide de bases retangulares; • a altura da pirâmide [ABCDI] é 18 dm e a altura do tronco de pirâmide é 6 dm; • AB 5 6 dm, BC 5 3 dm, FG 5 4 dm e GH 5 2 dm; • o modelo não está desenhado à escala. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume do tronco da pirâmide [ABCDEFGH]. a) 32 dm3 b) 76 dm3 c) 96 dm3 d) 108 dm3 e) 128 dm3

2. UFF-RJ Considere um cone equilátero de raio r e volume V. Seccionou-se esse cone a uma distância h do seu vértice por um plano paralelo à sua base; obteveV -se, assim, um novo cone de volume . 2 Expresse h em termos de r.

4. IFSC 2016 (Adapt.) Suponha que o copo representado na figura abaixo tenha sido utilizado na Oktoberfest para servir chopp. Admitindo que o copo é um tronco de cone e que p 5 3, é CORRETO afirmar que a capacidade total, em mL, desse copo é

3. Unicentro-PR 2023 Um arquiteto projetou uma mesa de madeira maciça. Na Figura 1, é possível observar a mesa construída e, na Figura 2, um projeto com a representação geométrica da parte inferior dessa mesa (pé da mesa).

huttersto

ck.com

Reprodução

100 mm

/S Review TH

120 mm

60 mm

a) b) c) d) e)

I

E F

18 dm

H

K 4 dm

G

6 dm D

C A

6 dm

B Figura 2

maior que 600 mL. entre 300 mL e 400 mL. maior que meio litro e menor que 0,6 L. entre 200 mL e 300 mL. menor que 200 mL.

5. Uema 2016 Os copos de refrigerante de uma determinada cadeia de fast-food têm capacidades de 300, 500 e 700 mL, respectivamente. Esses são confeccionados em material plástico no formato de tronco de cone. a) Supondo que todos os copos tenham as mesmas dimensões de base, quais seriam as relações entre as suas alturas? b) Suponha que se quisesse substituir um desses copos por outro, em formato cilíndrico e de mesmo volume. Esse copo teria a mesma altura e o seu diâmetro seria o dobro da base menor do copo original. Nessas condições, qual a proporção entre os raios da base menor e da base maior do copo atual?

FRENTE 3

Figura 1

177 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 177

29/02/24 18:08

6. Insper-SP 2016 No filme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram a torre onde vivia a famosa personagem dos contos de fadas Rapunzel (figura 1). Nesta recriação, podemos aproximar o sólido onde se apoiava a sua morada por um cilindro circular reto conectado a um tronco de cone, com as dimensões indicadas na figura 2, feita fora de escala.

7. UEL-PR 2020 Foram construídas cisternas em uma comunidade localizada no sertão nordestino, em pontos estratégicos, para que os moradores daquela localidade pudessem se abastecer de água, principalmente na época das secas. As cisternas foram construídas com formato de tronco de cone, com as seguintes medidas: o raio da base inferior mede 1 m, o raio da base superior mede 2 m e a altura mede 1,5 m, como mostra a figura a seguir.

R

h

r

Figura 1 Disponível em: https://g1.globo.com/pop-arte/noticia/2010/08/disneydivulga-poster-de-rapunzel.html. Acesso em 16.10.15.

12 m A 4m

Na época de secas, caminhões-pipas abastecem essas cisternas. Esse tipo de caminhão possui um tanque de armazenamento de água em formato cilíndrico, com 2 metros de diâmetro e 8 metros de comprimento. Despreze as espessuras dos materiais dos quais são feitos as cisternas e o tanque do caminhão-pipa e suponha que as cisternas estejam completamente vazias de água e o tanque completamente cheio, considere ainda que não há desperdício algum de água. Nessas condições, quantos tanques de caminhões-pipas completamente cheios de água são necessários para abastecer, no mínimo, 17 cisternas? 8. UEL-PR 2014 Uma empresa que produz embalagens plásticas está elaborando um recipiente de formato cônico com uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir.

B

30 m

36 cm

C 6m

48 cm

Figura 2

Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lançava suas longas tranças para baixo. Nessa operação, suponha que uma das extremidades da trança ficasse no ponto A e a outra no ponto C, onde se encontrava o rapaz. Considerando que a trança ficasse esticada e perfeitamente sobreposta à linha poligonal formada pelos segmentos AB e BC, destacada em linha grossa na figura 2, o comprimento da trança de Rapunzel, em metros, é igual a a) 35. c) 40. e) 45. b) 38. d) 42.

178

MATEMÁTICA

Capítulo 16

36 cm

raio

Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e que sua altura é de 48 cm, a que distância do vértice deve ser feita uma marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade de sua capacidade? Despreze a espessura do material do qual é feito o recipiente. Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão.

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 178

29/02/24 18:08

9. PUC-Rio 2022 Uma taça tem o formato de um cone com vértice para baixo. A profundidade da taça é 20 cm, e o raio da base (ou seja, da abertura superior) é 4 cm. A taça está cheia de leite até uma altura de 10 cm, quando é jogado, dentro dela, um pedaço de chocolate, que afunda completamente, fazendo o nível de leite subir até uma altura de 11 cm. Qual é o volume, em cm3, do pedaço de chocolate que foi jogado dentro da taça? a)

121p 3

b)

169p 4

c)

331p 75

d)

1 729p 32

10. IFSul-RS 2015 Utilize o fragmento e as imagens abaixo como auxílio para responder à questão. Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e utilizado no Molhe Leste da Barra Cassino (Rio Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos igualmente a 120º no espaço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando a estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça. W

Z X

 

 

Y

Imagens e Fragmento extraídos de “Tipos de blocos de concreto para estrutura hidráulica de proteção às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da Barra de Rio Grande” (Adaptado). Disponível em: http://repositorio.furg.br/bitstream/handle/1/1423/ESTRUTURA%20HIDRA%c3%9aLICA.pdf?sequence=1. Acesso: 10 abr. 2015.

Suponha que cada “pata” do tetrápode tenha o formato a seguir.

1,5 m

1,0 m

2,0 m

Considere também que se gasta 10% a mais do concreto utilizado nas 4 patas para “colar” as mesmas. Qual é o volume total de concreto, aproximado, necessário para fazer esse tetrápode? Dado: use p 5 3,1.

a) 4 m3 b) 6 m3

c) 10 m3 d) 12 m3

11. Esc. Naval-RJ 2014 A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY na figura abaixo, em unidade de área é B

a

C a

X

FRENTE 3

A

Y

a) 9pa2 b) 9 2pa2

c) 9 3pa2

d) 6 3pa2 e) 6 2pa2

179 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 179

29/02/24 18:08

12. Mackenzie-SP 2014 Para construir um funil a partir de um disco de alumínio de centro O e raio R 5 16  cm, retira-se do disco um setor circular de ângulo central u 5 225o. Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r 5 1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC e BD. O processo de construção do funil está representado nas figuras abaixo. A R 5 16 cm O

O

A C O D

u

B

Como se deseja escolher a embalagem de menor volume, então a empresa deve optar pela embalagem do tipo B. 08 Para confeccionar caixas de chocolates, foi utilizada como modelo uma pirâmide regular de base hexagonal. O perímetro do hexágono da base mede 36 cm e a altura da pirâmide, 30 cm. No entanto, pelo plano p, uma secção transversal foi feita a 10 cm do vértice da pirâmide, originando a embalagem com formato de tronco de pirâmide ilustrada a seguir. V

B

10 cm

A medida da altura do funil é a)  2 39 cm b) 

15 39 cm 8

55 cm 8

c) 

15 55 e)  cm 8

p

30 cm

d)  2 55 cm

13. UFSC 2022 01 Para armazenar leite, é utilizada uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada cujas dimensões internas são x, x e h, dadas em centímetros. Se a embalagem deve comportar pelo menos um litro de leite e x 5 7, então sua altura pode medir o triplo de x. 02 Foi solicitada a confecção de calendários no formato de prisma reto de base triangular. A figura a seguir indica a planificação do prisma que constitui esse material.

Nessas condições, a área da menor base desse tronco é de 6 3 cm2. 16 Para construir embalagens de casquinhas de sorvetes, foi utilizado um molde no formato de setor circular de raio 9 cm e ângulo central a, o qual gera um cone onde a casquinha de sorvete se encaixa, conforme a ilustração a seguir.

m a Fevereiro

D 1

S T Q Q S S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Se a base desse prisma é um triângulo equilátero de perímetro 27 cm e seu volume é 153 cm3, então o comprimento m é maior do que 8 cm. 04 Uma empresa que comercializa batata frita deve adquirir embalagens cilíndricas para armazenar e comercializar seus produtos. Nesse caso, foram oferecidas duas opções de embalagem ao mesmo custo, as quais têm suas medidas de altura e diâmetro indicadas, em centímetros, na ilustração a seguir: Tipo A

Se a 5 120°, então a altura h da embalagem mede 3 6 cm. Soma: 14. UFG-GO Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como indica a figura a seguir.

Tipo B

24 cm

20 cm

1,5 cm 8 cm

180

MATEMÁTICA

Capítulo 16

7 cm

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p5.indd 180

07/03/24 18:19

Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que ele tenha capacidade de 157 mL. Dados: p à 3,14, Vcone 5

pR2H 4pr 3 e Vesfera 5 . 3 3

15. UTFPR 2023 A fabricação de Hidrogênio Verde provavelmente será uma das inovações tecnológicas do século 21 mais importantes para a humanidade no quesito de fonte de energia sustentável. Esse tipo de hidrogênio é formado por meio da hidrólise da água proveniente de fontes próximas a usinas de energia sustentável, utilizando a energia excedente dessas usinas. Segundo a ABEEólica (Associação Brasileira de Energia Eólica), o Brasil está inaugurando sua primeira fábrica de Hidrogênio Verde esse ano (2023) e umas das principais apostas da energia eólica será a utilização do excedente energético de plataformas oceânicas (offshore) para a hidrólise da água do mar, de forma que o hidrogênio produzido pode ser vendido para outros fins ou armazenado e utilizado para gerar eletricidade por meio de células fotovoltaicas ou por meio da queima em termoelétricas em períodos de alta demanda de energia elétrica (site: abeeolica.org.br). A estrutura de um gerador eólico offshore possui um tanque com água do mar que faz parte de sua base, de modo que o tanque é um tronco de cone com diâmetro superior de 4 m, diâmetro inferior de 8 m e 3 m de altura. Com isso, qual é o volume máximo de água que esse gerador eólico offshore pode guardar? a) 26p m3 b) 27p m3 c) 28p m3 d) 29p m3 e) 30p m3 16. AFA-SP 2023 Considere um tronco de pirâmide obtido de uma pirâmide quadrangular regular. Por esse tronco, passa-se um plano a paralelo às bases gerando um quadrilátero de área x cm2, tal que: • a razão entre a distância da base menor do tronco ao plano a e a distância do plano a à base maior do tronco é 3 igual a ; 2 • a área da base maior do tronco mede 441 cm2; e

•

a área da base menor do tronco mede 64 cm2.

A área x do quadrilátero, em cm2, é igual a a) 

8 441 64

c) 

6 241 25

b) 

12 661 81

d) 

4 772 16

17. UFMS 2019 Em uma padaria são produzidos bombons em formato de tronco de cone, conforme a figura a seguir: R1

H R2

a)

100p cm3 3

d)

65p cm3 3

b)

52p cm3 3

e)

95p cm3 3

c)

76p cm3 3

FRENTE 3

Considerando R1 5 2 cm, R2 5 3 cm e H 5 4 cm, qual o volume de cada bombom?

18. Udesc Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto são, respectivamente, 13 cm, 3 cm e 3 cm, então o volume do cone original é: a) 98p cm3 c) 13,5p cm3 e) 76p cm3 b) 49p cm3 d) 62,5p cm3

181 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 181

29/02/24 18:08

Texto complementar

Fazendo miniatura de caminhão para trazer uma carga de boas recordações! O começo Quase nunca tive brinquedos comprados, então, como já devem imaginar, eu comecei a fazê-los desde muito cedo. As ferramentas de que dispunha eram um martelo, uma tesoura velha, uma faca quebrada e, nem sempre, um alicate universal. Os materiais eram diversos, dentre eles estavam a madeira, os chinelos velhos para os pneus, as latas de óleo de cozinha (se não me engano, estava escrito Zillo na lata), arame de tela e pregos. As chapas da cabine, bem como tudo o mais, eram atadas com arame fino (tirado daquelas telas de galinheiro). Como sempre, a imaginação era meu guia. […] Atualmente, venho pesquisando novos materiais e, sobretudo, uma forma mais eficaz de produzir as peças, seja isso em termos de economia, rapidez e qualidade, seja pelo fato de muitas pessoas terem manifestado o desejo de ter um desses modelos. A ideia principal é a de, um dia, poder fazer essas peças sob encomenda. Funcionaria assim: alguém que quer um modelo em escala, seja como um presente para um parente ou amigo que tem ou teve um desses caminhões, ou para si mesmo, iria me mandar fotos do modelo real ou as especificações que tiver para que eu pudesse realizar o projeto o mais próximo possível do que a pessoa tem em mente. Finalmente, seria enviado pelos correios. [...]

Projeto Não me baseio em kits ou projetos já prontos [...]. Também não tenho conseguido manuais dos fabricantes do modelo em tamanho real. Restam as fotos da internet e os modelos que ainda se pode

encontrar por aí. No caso das fotos da internet, preciso fazer uma vasta pesquisa para poder cruzar informações de modelos e de épocas. Quando consigo isso, delimito a unidade de medida a partir de algo que seja característica óbvia no modelo. […] Então eu passo a ter uma referência de medida, um parâmetro essencial. O resto se pode fazer por comparações. Assim, o modelo vai sendo redesenhado na escala que será usada, basta um pouco de paciência. Quando se trata de um modelo que se possa tocar e medir, as comparações se tornam dispensáveis. Basta fazer todas as anotações e fazer a escala a partir delas. […]

Escala Escala é proporção entre as medidas e distâncias de um desenho, planta ou mapa geográfico e as medidas ou distâncias reais correspondentes (dic. Michaelis). A escala que uso preferencialmente é 1:25. O que significa que a miniatura será 25 vezes menor que o objeto real usado como modelo. Então, basta dividir cada medida de uma peça ou do modelo inteiro por 25 e obter-se-á a medida a ser usada na miniatura. Na escala 1:10 será dividido por 10 e assim por diante. Depois de trabalhado o desenho no computador (muitas vezes uso o próprio Paint), a impressão deve ser feita, preferencialmente, com uma impressora a laser, já que o resultado impresso tem de ser o mais fiel possível ao desenho apresentado na tela do computador. Uma impressora a jato de tinta bem calibrada também produz bons resultados. O ponto mais crítico da impressão do modelo em escala é exatamente a obtenção das medidas correspondentes, ou seja, uma coisa é o que aparece na tela, outra coisa é o que sai da impressora. […] GOUVEIA, Ivan. Fazendo miniatura de caminhão para trazer uma carga de boas recordações! Oficina Aberta, [s.d.]. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGL. Acesso em: 26 fev. 2024.

Veja os principais assuntos e conceitos trabalhados neste capítulo acessando a seção Resumindo no livro digital, na Plataforma Poliedro.

Quer saber mais? Texto BIANCHIN, Victor. Como eram os templos maias? Superinteressante, 4 jul. 2018. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGK. Acesso em: 26 fev. 2024. A matéria mostra um pouco a arquitetura, a função e outras curiosidades dos templos da civilização maia. Site CARVALHO, Jayrton. A pirâmide e seu tronco. Geogebra. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGZ. Acesso em: 26 fev. 2024. Com a ajuda desse software de geometria dinâmica, é possível mudar as medidas dos elementos da pirâmide e observar as alterações do seu volume e do tronco dessa mesma pirâmide. Vídeos AUTONEWSTV. Maquetes de aviões perfeitas. YouTube. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGC. Acesso em: 26 fev. 2024. O trabalho de Murilo Escobar consiste em projetar e construir maquetes de aviões. O vídeo acompanha parte do seu processo de criação das maquetes. CEPID-CeMEAI. IAE conta com o maior túnel de vento da América Latina. YouTube. Disponível em: http://p.p4ed.com/MJWGX. Acesso em: 26 fev. 2024. O vídeo apresenta um dos três túneis de vento do Instituto de Aeronáutica e Espaço, em São José dos Campos, usado por pesquisadores do CEPID-CeMEAI e diversas outras empresas, para testes e simulações da ação do vento sobre veículos ou qualquer outro objeto.

182

MATEMÁTICA

Capítulo 16

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p5.indd 182

07/03/24 18:19

Exercícios complementares 1. EsPCEx-SP 2023 Foi construído na EsPCEx um reservatório de água cuja seção reta do sólido que o representa e que passa pelo seu eixo de simetria é mostrada na figura a seguir. 2,5 m

2,5 m

3. UEPG-PR 2017 Numa pirâmide quadrangular regular P1, uma diagonal da base mede 12  cm e uma aresta lateral vale 10 cm. Essa pirâmide é seccionada por um plano paralelo a sua base, originando um tronco T e uma nova pirâmide P2, de aresta da base igual a 3 2 cm. Nesse contexto, assinale o que for correto. 2 01 A aresta lateral de P2 é menor que 3 cm.

6m

60°

Quantos volumes desse carrinho de mão, completamente cheios de terra, serão necessários para transportar 1,90 m3 de areia? a)  17 d)  25 b)  40 e)  13 c)  9

60°

02 A razão entre a altura de P1 e a altura de T é 2. 04 O volume de T é igual a 189 cm3. 08 A razão entre o volume de P1 e o volume de P2 é 64. 16 O volume de P2 vale 3 cm3. 8m

Soma:

1,5 m 1,5 m Eixo de Simetria

O formato tridimensional desse reservatório foi obtido pelo giro completo da seção reta em torno do eixo de simetria. Desejando-se realizar a pintura da área lateral do reservatório, a Prefeitura Militar da EsPCEx adquiriu uma tinta que tem rendimento de 5  metros quadrados por litro. Serão dadas duas demãos e não haverá desperdício nem mistura com água. Considerando p 5 3, o mínimo número inteiro de litros de tinta necessários para a pintura é igual a: a) 74 b) 75 c) 76 d) 77 e) 78

4. ITA-SP 2022 Considere T um tronco de pirâmide regular de altura h 5 4 1 2 3 com bases hexagonais paralelas. Sabendo que o lado da maior base hexago8 3 nal mede e que o ângulo diedral entre as faces 3 laterais e a base do tronco mede 75°, determine o volume de T. 5. Unesp 2014 A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e raios das bases medindo R e 2r.

600 mm

600 mm

400 mm

300 mm

400 mm

FRENTE 3

2. Uema 2021 Suponha que um carrinho de mão possui as dimensões de um tronco de pirâmide, conforme a figura a seguir.

Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura 1 h e o raio das bases B e b é ? p ? h ? (B2 1 B ? b 1 b2 ) 3 e dado que 65 à 8 , determine o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a capacidade 2 da taça seja da capacidade do copo. 3

183 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 183

29/02/24 18:08

6. Fuvest-SP Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado L. Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G. H E

G F

D

C N

A

M

B

7. Unicamp-SP Uma caixa-d’água tem o formato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura, na qual são apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa. 2m topo da caixa-d’água

nível d’água

3m

base da caixa-d’água 1m

a) Qual o volume total da caixa-d’água? 13 b) Se a caixa contém   m3 de água, a que altura de sua base está o nível d’água?  6 8. ITA-SP 2018 A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base 25p mede cm2 . Dois planos, p1 e p2, paralelos à base, decompõem a pirâmide em três sólidos de mesmo volume. 2 Determine a altura de cada um desses sólidos. 9. AFA-SP 2019 Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um estudante de matemática. Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 19 683 cm3. Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois troncos de pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o esquema da figura a seguir.

Sabe-se que: as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo; as bases dos troncos são quadradas; a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que a contém e mede a sua terça parte; • a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco; e • os troncos e o prisma têm alturas iguais.

• • •

184

MATEMÁTICA

Capítulo 16

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 184

29/02/24 18:08

Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido esquematizado na figura anterior, em cm3, é um número do intervalo a) [17 200, 17 800] c) ]18 400, 19 000] b) ]17 800, 18 400] d) ]19 000, 19 600] 10. ITA-SP 2019 Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5  cm e de um cilindro de altura 11  cm formam nessa ordem uma progressão aritmética. O tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio retângulo, de altura 4  cm e bases medindo 5  cm e 9  cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida. Então, o raio da base do cilindro é, em cm, igual a a)  2 2.   b)  2 3.   c)  4.   d)  2 5.   e)  2 6. 11. ITA-SP 2014 Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0,25 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB mede

08 Existe um plano paralelo à base dessa pirâmide dividindo esse paralelepípedo em dois outros, um dos quais com área lateral de 40 cm2 e o outro com volume de 80 cm3. 16 O tronco dessa pirâmide, determinado por um plano que é paralelo à sua base e dista 3 cm dessa base, tem volume 42 cm3. Soma: 15. EsPCEx 2024 Uma esfera está inscrita em um tronco de pirâmide quadrangular regular cujas arestas das bases medem 4 cm e 5 cm, respectivamente. A área total do tronco de pirâmide, em cm2, é igual a: a) 41 c) 122 e) 181 b) 81 d) 160 16. UFSC 2016 Em relação às proposições abaixo, é CORRETO afirmar que: 01 No paralelepípedo abaixo, a medida da sua diagonal é expressa por uma função quadrática.

p2 1 1 cm, o volume desse sólido, em cm3, é igual a 2p a) 

3x

7 11 9 9 13 .  b)  .  c)  .  d)  .  e)  . 24 96 24 16 96

12. ITA-SP Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 2 3 cm é interceptado por um plano paralelo à sua 3 base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo 1

 p 3 de aresta   cm, é necessário que a distância do  243  plano à base do cone original seja, em cm, igual a 1 1 1 2 3 a)  .  b)  .  c)  .  d)  .  e)  . 4 3 2 3 4

2x x11

02 Se um reservatório de água tem a forma de cilindro equilátero e seu diâmetro interno mede 4 m, então, considerando p 5 3,14, a capacidade desse reservatório é de 50 240 L. 04 Um pequeno cesto de lixo tem a forma de tronco de pirâmide e suas dimensões internas estão indicadas na figura. Se a altura do cesto é 15 cm, então seu volume é 3 500 cm3. 20 cm

13. Unicamp-SP Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20 cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5 cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo. 10 cm

08 Um pote para guardar alimentos tem a forma de um prisma reto de base triangular. Sua base é um triângulo retângulo e suas dimensões formam uma progressão aritmética de razão 5 cm. Se sua altura mede 10 cm, então a área total desse prisma é 750 cm2. 16 Um filtro de café tem a forma de um cone cuja medida interna de seu diâmetro é 20 cm. Se a medida interna da geratriz é 26 cm, então sua capacidade é menor que 2 L. Soma:

FRENTE 3

14. UEM-PR 2022 Considere um paralelepípedo reto de altura 6 cm, cujas bases são retângulos de lados 6 cm e 4 cm. Considere, também, uma pirâmide cuja base coincide com uma das bases do paralelepípedo e o vértice coincide com um dos vértices da outra base do paralelepípedo. Assinale o que for correto. 01 Ao menos uma aresta dessa pirâmide tem medida maior do que 9 cm. 02 Existe uma esfera com centro no vértice dessa pirâmide e que passa por pelo menos dois vértices da base dessa pirâmide. 04 A soma das áreas das faces dessa pirâmide que são perpendiculares à base do paralelepípedo é 30 cm2.

185 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 185

29/02/24 18:08

17. EsPCEx-SP 2019 Na figura a seguir, a equação da circunferência é x2 1 y2 5 3 e a reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual a 3. O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é y

N

P

M O

x

Desenho ilustrativo fora de escala

a)

3p . 8

d)

24p 3 . 8

b)

21p . 8

e)

63p 3 . 8

c)

9p 3 . 8

18. Ufes 2015 Numa obra de construção civil, para escoar material de um andar para outro foi construído um dispositivo formado por dois recipientes, A e B. O recipiente A, localizado no andar superior, é uma justaposição de um tronco de pirâmide regular T, de altura 10 dm, com um prisma reto P, de altura 12 dm. A base inferior (base menor) de T coincide com a base superior de P, que é um quadrado de lado 3 dm. A base maior de T é um quadrado de lado 9 dm. O recipiente B, localizado no andar inferior, é uma caixa (prisma reto) de altura  h e base retangular de lados 6  dm e 8 dm. Todas as bases estão em planos horizontais. No dispositivo, há uma pequena porta, localizada na base inferior de P, que é aberta no momento de cada escoamento. Suponha que, num determinado momento, haja uma certa quantidade de líquido no recipiente A e que a superfície livre desse líquido seja um quadrado de lado a que está a uma altura x da base inferior de P. Ao abrir a pequena porta, o líquido é totalmente escoado para o recipiente B, sem transbordar, e lá a superfície livre do líquido fica a uma altura y da base inferior da caixa. Desprezando a espessura das paredes do dispositivo, determine: a) o valor de a e o de y para x 5 12 dm; b) o valor de h de forma que, para x 5 22 dm, se tenha y 5 h; c) uma expressão para a e uma para y, em função de x, sendo x entre 0 e 22 dm.

BNCC em foco EM13MAT309

1. Um vaso de flor, cujo formato é um tronco de cone, terá toda sua parte externa pintada para servir de decoração em uma festa. O raio do círculo de abertura do vaso tem o dobro do tamanho do raio do fundo. Sabendo que foram pintados 263,25p cm2 do vaso e que o maior diâmetro mede 18 cm, qual é a medida da geratriz desse vaso? a) 16 cm c) 20 cm e) 24 cm b) 18 cm d) 22 cm

EM13MAT309

2. Uma confeiteira recebeu uma encomenda de 10 bolinhos com formato de troncos de pirâmide regular de base pentagonal. Observe:

186

MATEMÁTICA

Capítulo 16

Sabendo que essa forma tem 4,5 cm de altura e suas bases têm áreas medindo 12,5 cm2 e 32 cm2, qual é o volume de massa de bolo que a confeiteira vai ter que preparar, no total, para entregar sua encomenda? a) 762,5 cm3 c) 860,0 cm3 e) 967,5 cm3 3 3 b) 807,5 cm d) 902,5 cm EM13MAT309

3. Um artesão tem um molde de vela no formato de pirâmide. Esse molde tem 15 cm de altura e sua base tem um formato quadrangular regular com lados medindo 9 cm. Com esse molde, ele criou dois novos moldes de vela: o de uma pirâmide menor e o de um tronco de pirâmide. Sabendo que a base da nova pirâmide tem 9 cm2 de área e 5 cm de altura, o artesão quer calcular a proporção da quantidade de cera usada nos dois novos moldes. Então, a razão entre o volume da nova pirâmide e o volume do tronco de pirâmide é: a)

3 78

c)

1 78

b)

1 26

d)

3 26

e)

5 27

Troncos

003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_169_186_mat_f3_c16_p4.indd 186

29/02/24 18:08

GABARITO Capítulo 13 – Probabilidades

Frente 1

Capítulo 12 – Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton

Revisando 1 6 2. 15% 4 3. 13 4. 95% 8 5. 15

Revisando 1. a) 55

b) 455

c) 30

2. S 5 {1 009} 3. x 5 1 4. 128

5 12 8. 32% 7.

9. 88% 10. Aproximadamente 40%.

Exercícios propostos

5. 364 6. (2x 1 1) 5 32x 1 80x 1 80x 1 40x 1 10x 1 1 5

5

4

3

1. C

2

7. (x 2 2y) 5 x 2 12x y 1 60x y 2 160x y 1 240x y 2 192xy 1 64y

2. E

9. T5 5 70

4.

6

8. T4 5 20x

6

5

4 2

3 3

2 4

5

6

3

3. A

35 36 5. C

10. A

6. D

Exercícios propostos 1. a) 120

b) 66

c) 1

d) 18

7. E

e) 1

8. E

2. E 3. a) 84 possibilidades. b) 126 possibilidades. 4. a) 256

9. a) Maior.

c) 210 possibilidades. b) 1 024

b) 0,46 10. E

c) 1 012

5. B

11. A

6. E

12. 57,6%

7. A

13. D

8. D

14. a) 220 b) 35 comissões sem cardiologistas; 185 comissões com pelo

9. A

11. D

menos um cardiologista. 37 c) 44 15. E

12. D

16. A

13. C

17. D

14. C

18. a) 55

10. a) x 1 10x y 1 40x y 1 80x y 1 80xy 1 32y 5

4

3 2

2 3

4

5

b) 729a 2 1 458a b 1 1 215a b 2 540a b 1 135a b 2 18a b 1 b 12

10

8 2

6 3

4 4

2 5

15. A 16. a) 1

b) 729

17. D

6

19. C 20. D

23. a) 25

1. Soma: 01 1 02 5 03

10. D

24. C

11. Soma: 02 1 08 5 10

25. a) 9

3. C

12. Soma: 01 1 16 5 17 13. Soma: 01 1 04 5 05

26. E

4. B 5. D 6. Soma: 01 1 02 1 04 5 07 7. E

14. Soma: 01 1 02 1 16 5 19 15. Soma: 01 1 08 5 09 16. R$ 2 490,00

8. A

17. A

9. C

18. A

b) 495

2. C 3. a) 5,42%

b) p1 5

27. a) b)

5 18

b) 4%

12 6 4 3 ,p 5 ,p 5 e p4 5 . 25 2 25 3 25 25 c)

1 9

2 9

28. C 29. 30%

BNCC em foco 1. a) 220

23 30

22. C

Exercícios complementares 2. C

b)

21. B

18. Soma: 04 1 08 5 12

003046

6. 25%

1.

b) 32,3%

30. A 31. D 32. D 33. B

187 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_187_192_mat_fx_gab_p4.indd 187

06/03/24 17:13

34. Soma: 01 1 02 5 03

24. a) 3 003 maneiras.

61. D

35. C

b) 450 possibilidades.

62. C

2 36. 3 37. C 7 38. 50

95 c) 273

63. C

9 d) 26 1 e) 6

64. D c) B é {2, 3, 4, 5}

30. a) 40%

44. A

b) 80%

66. C 67. B

c)

171 1 771

68. E 69. E 70. Incorreta; correta; correta.

3 5 m!(n 2 k )! , com n . m . k . 1. b) n!(m 2 k )! 28 72. a) 12 870 b) c) 85 65 71. a)

(2n)! 28. a) n 2 ? n! 5 b) 231 29. E

43. C

65. C

c) 40%

BNCC em foco 1. A

2. B

3. B

45. B

31. D

46. E

32. a) Não.

47. B

729 b) 12 500 33. D

Capítulo 9 – Polinômios

34. D

Revisando

48. C 49. C 50. A 51. a) b) c) 52. a) b)

7 15 1 6 1 3 1 20 9 40

22 35 7 e) 15 d)

c)

31 40

1. a) gr(P) 5 5

35. B

2 37. a) 27 43 b) 216 38. B

25 c) ou 11,57%. 216

64. B

56. E

65. D

57. B

66. C

58. A

67. B

59. E

68. C

60. A

69. A

61. B

70. E

62. E

71. C

63. C

72. E

e) P(i ) 5 13 1 3i

c) (3, 0, 2, 5, 2, 18)

2. m = 0 e m = 2 ñ 4º grau

m 5 0 ñ 2º grau m 5 2 ñ 3º grau

3. a) A(0) 5 224

39. C

b) B(0) 5 224 c) A(1) 5 26

41. B

1 54. a) 4 ou 0,08%. 6 25 b) 4 ou 1,93%. 6 55. 88%

d) P(1) 5 30

b) P(0) 5 18

36. A

40. A

53. A

d) B(1) 5 26

42. A

e) x é {2, 3, 4}

43. D 44. a) 1 120 alunos.

b) 25%

45. B

f) A(21) 5 260; B(21) 5 260;

A(10) 5 336; B(10) 5 336

g) A(x) Ë B(x)

46. C

h) A(i ) 5 B(i ) 5 215 1 25i

7 25 48. C 47.

i) S 5 {2, 3, 4} j)

A(x) ä B(x)

y

49. Soma: 01 1 02 1 04 1 08 5 15 50. Soma: 04 1 16 5 20

2

51. D

3

4

x

52. 50% 53. a) 496

Exercícios complementares 1. A

Frente 2

8. C

15. D

2. C

9. A

16. D

3. A

10. A

17. D

4. A

11. A

18. B

5. E

12. D

19. C

6. C

13. D

20. C

7. C

14. D

21. D

54.

b)

91 323

65 81

55. Soma: 01 1 08 1 16 5 25 56. C

57. B 58. a) 14%

b) V2

59. B 60. a) (7, 9); (8, 8); (8, 9); (9, 7); (9, 8); (9, 9)

22. a) 21 b) 47% 23. D

b)

19 49

c)

10 147

224 k) S 5 {x é R | 2 < x < 3 ou x > 4} 4. P(x ) 5

1 3 1 x 2 x 2 2 3x 2 2

5. B 6. a) A(x) 5 24x2 2 x 1 11

b) B(x) 5 x4 2 3x3 1 8x2 2 2x 2 14

c) C(x) 5 3x5 2 20x4 1 43x3 2 56x2 1

1 34x 2 12

d) D(x) 5 8x3 2 17x2 2 3x 1 12

003046

9 39. a) 25 24 b) 50 2 c) 25 40. B 1 41. 3 42. E

10 25. a) 21 b) A 5 9 e B 5 12. 68 26. 203 27. a) 10 626 640 b) 1 771

188 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_187_192_mat_fx_gab_p4.indd 188

06/03/24 17:13

7. B

22. D

25. D

8. a) Q(x) 5 x2 1 6x 1 10 e r 5 15.

23. A 1 B 1 2C 5 2

26. E

b) Q(x) 5 x2 1 3x 2 5 e r 5 0.

24. C

c) Q(x) 5 x 1 4x 2 2 e r 5 25. 2

d) Q(x) 5 x 1 (4 1 i)x 1 (23 1 4i) e r 5 29 2 3i. 2

9. E(x) 5 x 1 4x 2 4x 2 3x 2 3x 2 14 5

4

3

2

10. A

Exercícios propostos

28. D

34. E

29. B

35. D

30. D

36. a 5 b 5 3 37. A 5

31. B

1. C

6. A

11. B

2. D

7. B

12. B

3. C

8. B

13. A

4. A

9. B

14. D

5. D

10. B

32. D

38. E

33. Soma: 02 1 08 1 16 5 26

39. Soma: 01 1 02 1 04 1 08 1 16 5 31 40. Soma: 02 1 32 5 34 42. D

16. E

35. A

54. C

43. A

17. D

36. E

55. B

44. a) 6 paralelepípedos.

18. C

37. A

56. A

19. C

38. B

57. C

20. A

39. A

58. D

45. a) 2 é raiz. b) Demonstração. c) Demonstração.

21. A

40. k 5 4

59. Soma: 04

41. D

60. C

47. r (x ) 5

23. E

42. C

61. A

24. D

43. A

62. A

48. a) 22 2 < a < 2 2

25. D

44. C

63. B

26. B

45. C

64. B

27. E

46. C

65. E

52. C

28. A

47. D

66. B

53. D

29. E

48. D

67. A

54. A

30. B

49. D

68. B

55. C

31. D

50. B

69. D

32. B

51. B

70. A

56. a) a 5 22 3 e b 5 21.

33. C

52. B

71. D

34. C

53. B

72. 4

22. C

5 2 2

41. C

15. Soma: 02 1 04 1 08 1 16 5 30

Exercícios complementares

46. E

b) 345

3x 1 11 4 b) a 5 63

49. C

50. A 5 B 5 C 5 1 51. B



b) S 5  3 1 2;



3 2 2;

1 1 7i 1 2 7i  ;  2 2 

57. a) 10 4 3 2 4 3 2 4 3 b) {2x 1 2x 1 x 1 2x 1 1, x 1 2x 1 2x 1 2x 1 1, x 1 2x 1

1 x2 1 2x 1 2}

1. 34 unidades.

4. B

58. B

2. E

5. D

59. C

3. E

6. a 1 b 5 4

60. Os possíveis valores de k são 4, 18, 48, 100 e 180, e as possí-

7. R(x) 5 4x 1 3 8. a) 10

9. a) z 5 0 ou z 5 62i.

b) 2 5, 2,

veis raízes inteiras são, respectivamente, 2, 3, 4, 5 e 6. 5

3 19 1 b) k 5 2 e r (x ) 5 x1 . 2 2 2 10. A

13. D 15. Df 5 ]22, 1ÿ[ 2 {1}

20. 25 985

21. a) Demonstração.

68. C

71. B

66. E

69. E

72. C

64. D

67. C

70. 781

2. E

3. A

Revisando

1. a) x(x 2 1) (x 1 1)(x 1 3) 5 0

16. r 5 2

19. a 5 276,8 e b 5 89,6.

65. D

63. A

Capítulo 10 – Equações polinomiais

14. A

18. a) Demonstração.

62. B

1. B

12. A

101 32 4 17. P(x) 5 x 1 2

61. a 1 b 1 c 5 2

BNCC em foco

11. Soma: 02 1 08 1 16 1 64 5 90

003046

 p  , x 5 cis  3p  , x 5 cis  7p  e x 5 cis  9p  .        5  5  5 5 

27. x 5 cis 

3

b) a 5 0 e b 5 28.

b) q é R 2 {21, 0, 1}

2

b) S 5 {23, 21, 0, 1}

c) x 5 1 é raiz tripla ñ m1 5 3

x 5 23 é raiz dupla ñ m2 5 2 x 5 21 é raiz simples ñ m3 5 1 x 5 0 é raiz simples ñ m4 5 1

d) 7º grau

189 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_187_192_mat_fx_gab_p4.indd 189

06/03/24 17:13

2. S 5 {23, 2i 2, i 2, 3}

12. a) Demonstração. b) Irracionais.

3. S 5 {21 1 i, 21 2 i, 4}

13. a) V(x) 5 x(20 2 2x)(16 2 2x)

4. {22, 21, 5}

b) {x é R | 2 , x , 4}

14. D

5. C

15. Soma: 08 1 16 1 32 5 56

6. C

16. B

7. E

4 8. a) 5

3 d) 2 46 e) 25

3 b) 2 5 2 c) 2 5 9. C

17. E 18. D 19. C 20. C 21. C 22. Soma: 01 1 02 1 08 5 11 23. D

10. D

24. a) Demonstração.

Exercícios propostos



b) S 5 22 1

3; 22 2 3;

1 3 1 3 1i ; 2i  2 2 2 2  30. C

1. C

5. A

2. B

6. D

25. B

3. D

7. D

26. E

31. E

27. 4

32. D

28. a 5 1 e b 5 2, 1 6 i 5.

33. A

4. E 8. a 5 21, b 5 2, c 5 6 e d 5 3. 9. B

14. C

10. A

15. C

11. C

16. D

12. A

17. A

13. B

18. D

29. B

{

35. S 5 3; 36. A

34. E

2 1 i 7; 2 2 i 7; 2 2 2 i 7; 2 2 1 i 7

37. B

 21 2 38. S 5  22, 

19. Soma: 02 1 04 1 08 1 16 5 30

2

}

11 3  3  í  , 2   2 

39. B

20. B

40. C

21. E 22. Soma: 02 1 04 1 08 1 16 5 30

BNCC em foco

27. B

24. A

28. D

25. A

29. A

26. B

30. A c) 2

b) 6x(x 2 2)(x 1 1)

2

32. A

37. E

33. B

38. A

34. Soma: 01 1 04 1 08 5 13

39. E

35. C

40. A

36. D

Exercícios complementares 1. a) k 5 60 2. E

b) S 5 {24, 3, 5}

3. B 4. a) (1, 0) e (21, 2).

1 1 e . p q 6. D

b) (24, 255) e (2, 5).

5.

7. Soma: 01 1 02 5 03 8. B

164 336 eb5 . 125 125 10. a) altura 1 e volume 80. 9. a 5

b) 5 2 5 c) 5 2 5

11. A

1. D

2. B

3. C

Frente 3

Capítulo 14 – Cilindros Revisando 1. B

3. D

5. A

7. C

9. D

2. A

4. B

6. C

8. E

10. B

Exercícios propostos 1. A

11. C

2. A

12. C

3. A

13. A

4. E

14. E

5. A

15. D

6. 20,096 litros.

16. D

7. A

17. Soma: 16

8. B

18. D

9. C

19. A

10. D

20. Soma: 04 1 08 1 16 5 28

Exercícios complementares 1. B

6. C

2. A

7. R 5 3 cm e r 5 2 cm.

3. B 4. E 5. C

8. B 9. B

003046

23. A

31. a) r(x) 5 25x 2 1



190 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_187_192_mat_fx_gab_p4.indd 190

06/03/24 17:13

10. a) S 5 8p 1 1 000 cm2

16. A

19. D

17. A

20. C

11. a) r 5 x0, h 5 y0 5 1 2 x02 e V 5 px02(1 2 x02).

18. B

21. D

b) d 5 1 1

17 cm

20p b) V 5 81 2 p c) x0 5 eV5 . 2 4 12. a) 6 250 litros.

22. Soma: 01 1 04 1 08 1 16 5 29

b) 0,5 m

u.a2 13. ST 5 ( p 1 2 2 1) cm 14. a) R$ 60,00 b) 10 m 15. C

16. B

17. A

18. B

19. E

20. B

23. A

32. A

24. D

33. C

25. B

34. B

26. B

35. C

27. C

36. Caixa-d’água esférica.

28. E

37. D

29. C

38. B

30. r 5 5 cm

39. C

31. C

BNCC em foco 1. D

2. C

3. C

42. E

Capítulo 15 – Cones e esferas

43. A

Revisando

45. a) b 5 60°

1. D

5. B

2. A

6. E

3. E

7. D

40. D

41. Soma: 01 1 02 1 04 1 08 5 15

44. D 46. Soma: 01 1 04 1 08 5 13

b) nB 5 0,8 3

47. D

50. A

53. C

56. A

48. A

51. C

54. C

57. B

4. C

49. B

52. D

55. D

58. D

9. B

60. E

8. A cilindro 5 216p cm2 , A cone 5 36p ( 1 1 5 ) cm2 e Aesfera 5 144p cm2 . 10. D

59. a) h 5 2 cm

b) R 5 4 cm

Exercícios complementares

11. D

1. R 5 15 u.c., h 5 20 u.c. e g 5 25 u.c.

12. E 13. a) Vboneco 5 248 cm b) h 5 16 cm

2. V à 4 710 u.v.

3

8. D

3. Atotal à 1 884 u.a.

14. Vpedaço 5 4 500p cm e Apedaço 5 1 125p cm . 3

2

9. A

4. u 5 216°

10. B

5. B

11. A

6. D

12. h 5 9,6 cm

7. B

13. A

14. Alateral 5 400p cm e Vesfera 2

4 000p 5 cm3 . 3

15. E 16. D 17. O maior volume é da bola. 18. A 19. C 15. A

20. B 21. C

Exercícios propostos 1. E

5. C

2. A

6. E

3. E

7. D

4. C 8. V 5

125p 3 cm3 3

9. B

003046

4 000p 10. h 5 10 cm e V 5 cm3 . 3 11. B A 1 12. lateral do cone 5 Alateral do cilindro 2

22. 3 1 2 2 23. E

24. B 25. V 5 360p cm

26. Atotal 5 240p cm2 27. C 28. E 29. E 30. A 31. D 32. B

13. VB 5 218 mL

33. A

15. Soma: 01 1 04 1 08 1 16 5 29

35. D

14. Soma: 01 1 02 1 04 5 07

3

34. D

191 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_187_192_mat_fx_gab_p4.indd 191

06/03/24 17:13

 4 7 2 7  h 9

6. A

36. x 5  37. B

6 ( 2 2 1) 4

38. V 5

7. 8 tanques. 8. g h 5 30 3 4 cm

3

9. C

39. C

10. D

40. B

11. A

41. A

12. E 13. Soma: 01 1 04 1 08 5 13

42. A

8p 43. A setor circular 5 cm2 3 5 44. a) O1O2 5 cm 2 17p b) A total 5 cm2 5 45. E

14. V 5 15. C

2pre3 ph ( 2 R 1 r2 2 R ? r ) 2 e h 5 8,25 cm. 3 3 16. C 17. C 18. D

Exercícios complementares 1. B 2. D

46. C

3. Soma: 01 1 04 1 08 116 5 29

47. C 48. E 49. X 5 2 m 50. V 5

2 2R3 ( 1 1 6 ) 3

3

51. E

a 6 4

52. a) apótema 5 b) r 5

54. A 5

112 3 ( 2 1 3) 3

5. 2r 5

5R 7

S5 6. A

13L2 4

21 3 m 4 b) h 5 2 m

7. a) Vtotal 5

a (3 2 3 ) 4

53. 2a 5 R ( 3 2

4. VT 5

3)

8.

pa2 6 18

12 cm; 3

3

3

2 21 ? 12 cm e 3 3

( 3 3 2 3 2) 3

9. C

12. D

13. Vcubo 5 1 000 cm

56. E

? 12 cm.

11. C

10. B

55. D

3

3

O

57. O círculo base da calota é o círculo máximo da esfera (r 5 R). 58. S 5 4prr*

p 2a 3 24

P

1 p 2a 3  3 2   3  9 8

b) V 5

 4 5

60. a 5 arccos     2. C

3. E

Q L

Capítulo 16 – Troncos

14. Soma: 01 1 04 1 16 5 21

Revisando

15. C

1. C

6. B

2. E 3

4. V à 667,8 dm

8. E 3

5. E

9. C

c) a 5  3

 3 x , se 0 , x , 12  y 5  16 1  (x 3 2 21x 2 1 147x 1 432), se 12 , x , 22  400

3. B

2. h 5

r 3 3 2

4. C

5. a) Com h1, h2 e h3 sendo, respectivamente, as alturas dos copos

de 300, 500 e 700 mL, tem-se a relação h1 5 b)

17. B

3, se 0 , x , 12 (x 2 7), se 12 , x , 22  5

10. A

Exercícios propostos 1. C

B

16. Soma: 02 1 04 5 06

9 18. a) a 5 3 dm e y 5 dm . 4 83 b) h 5 dm 8

7. 9 frascos.

3. 22 dm

20

L

BNCC em foco 1. E

5 A

3 5 h e h2 5 h3 . 7 3 7

r 113 5 5 R 22

BNCC em foco 1. B 2. E 3. B

003046

59. a) V 5

192 003046_pv_pvv_al_mat_mat_3_vol4_liv_187_192_mat_fx_gab_p4.indd 192

06/03/24 17:14

Matemática – Frente 1 – Capítulo 12 Revisando 1. Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x 2 y)12?

Exercícios propostos 1. Complete as igualdades apresentadas nos itens com números na forma binomial.  11  11  30  29 a)   1   5 c)   2   5  5  6  12   12   20  20 b)   1   5  10   11  2. IME-RJ 2022 Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta? 2

2

2

 100  100  100  100  1 1 ... 1  5 a)   0   1   100  200

2

 100  101  100 b)  1 5     40   40   39   100  100  100  100 c) 2 ? 1 ?  13?2?  14?3?  1 ... 1 100 ? 99 ?  5 9 900 ? 298     2   3   4   100  100  100  100  100 d)  12?  13? 1 ... 1 100 ?  5 100 ? 299  1   2   3   100  100  100  100  100 e) 1 2  1 2 1 ... 1  50     1   2   3   100 3. Uece 2020 (Adapt.) O coeficiente de x17 na expansão de x5(1 2 x2)12 é igual a a) 984. c) 12 376. b) 6 188. d) 924.

Exercícios complementares 1. Unioeste-PR 2013 O valor da expressão é igual a a)  153(153 2 3)3 1 3. b)  1474.

1534 2 4 ? 1533 ? 3 1 6 ? 1532 ? 32 2 4 ? 153 ? 33 1 34 c)  154 ? 34. d)  1534.

e)  154 ? 104. 8

2  2. Uern 2013 A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do binômio de Newton  1 x  é x  a)  3.

b)  4.

c)  6.

d)  7.

3. FGV-SP 2013 Desenvolvendo-se o binômio P(x) 5 (x 1 1)5, podemos dizer que a soma de seus coeficientes é a) 16. d) 40. b) 24. e) 48. c) 32. 10

1  4. UFPE No desenvolvimento binomial de  1 1  , quantas parcelas são números inteiros?  3 MATEMÁTICA

FRENTE 1

1

Matemática – Frente 1 – Capítulo 13 Revisando 1. Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos. Calcule P(A), sabendo que P(B) 5 0,4 e P(A í B) 5 0,7.

Exercícios propostos 1. No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de a soma das faces voltadas para cima ser igual a 8? 2. Unicamp-SP 2017 Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a 1 1 a)  c)  3 7 1 1 b)  d)  5 9 3. Fuvest-SP 2014 O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é 1 3 5 b)  12 17 c)  36 a) 

1 2 19 e)  36 d) 

4. No lançamento de uma moeda viciada, a probabilidade de obter a face coroa é o dobro da de obter a face cara. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa? 5. Fuvest-SP 2015 De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é: 1 25 a) d) 130 7 117 1 52 b) e) 8 117 420 10 c) 1 771

6. Em um grupo de 30 estudantes, 8 estudam matemática, 15 estudam física e 3 estudam matemática e física. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que ele: a) estude matemática e física? b) estude somente matemática? c) não estude matemática nem física? d) estude matemática ou física? 7. UEG-GO 2016 Pedro jogou dois dados comuns numerados de 1 a 6. Sabendo-se que o produto dos números sorteados nos dois dados é múltiplo de 3, a probabilidade de terem sido sorteados os números 3 e 4 é uma em a)  18 c)  10 b)  12 d)  9 8. Enem PPL 2019 Uma empresa sorteia prêmios entre os funcionários como reconhecimento pelo tempo trabalhado. A tabela mostra a distribuição de frequência de 20 empregados dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados. A empresa sorteou, entre esses empregados, uma viagem de uma semana, sendo dois deles escolhidos aleatoriamente. Tempo de serviço

Número de empregados

25

4

27

1

29

2

30

2

32

3

34

5

35

3

Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho? 1 1 5 a)  c)  e)  16 20 20 1 2 b)  d)  19 20 9. Unicamp-SP 2016 Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a 1 1 a)  . c)  . 2 4 3 3 b)  . d)  . 8 4 MATEMÁTICA

FRENTE 1

2

10. Enem 2016 Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV. I

V

III

Entrada

IV

II

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna. Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a

a) 

1 96

b) 

1 64

c) 

5 24

d) 

1 4

e) 

5 12

11. Enem 2015 Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é a) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% d) 65,7% e) 90,0%

Exercícios complementares 1. Marina faz parte de um grupo de 10 pessoas do qual serão sorteadas 3 delas. Qual é a probabilidade de ela ser sorteada? 2. Enem 2020 Suponha que uma equipe de corrida de automóveis disponha de cinco tipos de pneu (I, II, III, IV, V), em que o fator de eficiência climática EC (índice que fornece o comportamento do pneu em uso, dependendo do clima) é apresentado: • EC do pneu I: com chuva 6, sem chuva 3;

• • • •

EC do pneu II: com chuva 7, sem chuva 24;

EC do pneu III: com chuva 22, sem chuva 10; EC do pneu IV: com chuva 2, sem chuva 8;

EC do pneu V: com chuva 26, sem chuva 7.

O coeficiente de rendimento climático (CRC) de um pneu é calculado como a soma dos produtos dos fatores de EC, com ou sem chuva, pelas correspondentes probabilidades de se ter tais condições climáticas: ele é utilizado para determinar qual pneu deve ser selecionado para uma dada corrida, escolhendo-se o pneu que apresentar o maior CRC naquele dia. No dia de certa corrida, a probabilidade de chover era de 70% e o chefe da equipe calculou o CRC de cada um dos cinco tipos de pneu. O pneu escolhido foi a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

MATEMÁTICA

FRENTE 1

3

a) 

5 36

b) 

12 108

c) 

5 54

7 d)  72 e) 

15 216

4. Uerj 2019 Um menino vai retirar ao acaso um único cartão de um conjunto de sete cartões. Em cada um deles está escrito apenas um dia da semana, sem repetições: segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo. O menino gostaria de retirar sábado ou domingo. A probabilidade de ocorrência de uma das preferências do menino é: 1 a)  49 b) 

2 49

c) 

1 7

d) 

2 7

6. Unicamp-SP 2016 O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas. Homens Mulheres

5 Número de Pessoas

3. Mackenzie-SP 2016 Se um dado honesto é arremessado 4 vezes, a probabilidade de obtermos, pelo menos, 3 resultados iguais é

4 3 2 1 0

21

22

23

24

25

Idade

a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres. b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a 49 anos. 7. Fuvest-SP 2016 João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedros regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa.

5. Mackenzie-SP 2015 Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, que deve ser reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é a) 

4 5

b) 

7 8

c) 

9 10

d) 

11 12

e) 

15 16

a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12? b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5? Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados. c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?

MATEMÁTICA

FRENTE 1

4

Matemática – Frente 2 – Capítulo 9 Revisando 1. Efetue a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x) sendo:

A(x) 5 x5 2 6x4 1 14x3 2 23x2 1 19x 2 15 B(x) 5 2x3 1 4x2 1 3x 1 8

2. Uece 2021 Se o polinômio P(x) 5 x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x 1 k, onde k é um número real, é divisível por x 2 1, então, o valor da soma P(2) 1 P(22) é a) 10. b) 30. c) 20. d) 40.

Exercícios propostos 1. UFJF/Pism-MG 2020 Os polinômios P(x) 5 2x2 2 3x 1 1 p e M(x) 5 23x2 1 x 2 m, ao serem divididos pelo polinômio D(x) 5 x 2 2 produzem como restos, respectivamente, 9 e 24. a) Quais são os valores p e m? b) Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) 2 M(x) pelo polinômio N(x) 5 3x 1 3. 2. O gráfico a seguir é exemplo de um modelo conhecido como Burndown. Ele relaciona o esforço de trabalho restante em trabalhadores por dia ao número de dias restantes para concluir uma determinada obra. 100 90 80 70 60 50

cobrindo os anos de 2000 a 2020, extraídas da Projeção de População do Brasil 2013. Elaborada pelo Método das Componentes Demográficas (MCD) para cada uma das 27 unidades da federação, essa estimativa leva em consideração uma população de partida verificada pelo Censo Demográfico de 2000, além das taxas de mortalidade, fecundidade e migração internacional. As populações mensais, com data de referência à 00:00 h dos dias 1º de cada mês, foram estimadas mediante um ajuste de uma função polinomial, a partir das populações anuais (em 1º de julho de cada ano) compreendendo o período 2000-2020. Com o objetivo de verificação da aderência do ajuste polinomial aos dados observados, o gráfico a seguir compara os valores ajustados e projetados a partir do cálculo das diferenças relativas e das taxas de crescimento em cada caso:

40

Diferenças relativas entre as populações projetadas e ajustadas

30 20 10

Diferenças relativas entre as populações projetadas e ajustadas

0 Day 1 Day 2 Day 3 Day 4 Day 5 Day 6 Day 7 Day 8 Day 9 Day 10 Done

0,000125 0,000100

https://thiagothamiel.files.wordpress.com/2014/12/sprint-burndown.png. Acesso em: 14 fev. 2023.

01/01/2020

01/01/2019

01/01/2018

01/01/2017

01/01/2016

01/01/2015

01/01/2014

01/01/2013

01/01/2012

01/01/2011

01/01/2010

01/01/2009

01/01/2008

01/01/2007

01/01/2006

3. O Popclock calculado a partir da nova Projeção de População do Brasil serve para estimar a população residente do Brasil, ajustada a cada segundo, utilizando as populações projetadas para 1º de julho,

01/01/2005

Assim, o período de produtividade alta, que acontece quando g(x) > f (x), foi: a) do dia 2 ao dia 8. b) do dia 2 ao dia 4. c) do dia 5 ao dia 8. d) do dia 5 ao dia 10. e) do dia 2 ao dia 4 e do dia 9 ao dia 10.

01/01/2004

g(x) é função polinomial de grau maior e representa o andamento real da produção.

01/01/2003

•

–0,000025 –0,000050

01/01/2002

f (x) é função polinomial de primeiro grau e representa o ideal do planejamento.

0,000025 0,000000

01/01/2001

•

0,000050

01/01/2000

Esse tipo de gráfico sempre apresenta duas funções decrescentes f(x) e g(x) sendo, nesse exemplo, que:

0,000075

–0,000075 –0,000100 –0,000125 (ajustado-projetado)/projetado

Fonte: https://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/img/grafico_04.gif. Acesso em: 14 fev. 2023.

Observando-se o número de pontos em que este gráfico intercepta algumas linhas horizontais, pode-se concluir que o polinômio de menor grau possível usado para verificar as diferenças relativas entre as populações projetadas e ajustadas é de: a) 1º grau. b) 2º grau.

c) 3º grau. d) 4º grau.

e) 5º grau.

MATEMÁTICA

FRENTE 2

5

4. FGV-SP Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dado a seguir:

8. Uece 2021 Ao dividirmos o polinômio P(x) 5 (x 2 3)3 1 1 (x 2 2)2 por (x 1 1)(x 2 1) obtemos o resto na forma R(x) 5 ax 1 b. Nestas condições, o valor de a2 2 b2 é igual a a) –385. c) –388. b) –399. d) –397. 9. Se P(x) 5 x4 2 3x3 1 2x2, qual é a alternativa que melhor representa o gráfico de P(1 2 x)? a)

Os pontos de interseção com o eixo das abscissas são (21, 0), (1, 0) e (3, 0). O ponto de interseção com o eixo das ordenadas é (0, 2). Portanto, o valor de P(5) é: a) 24 d) 30 b) 26 e) 32 c) 28 5. Uesc-BA Considere um polinômio P(x) de grau n, n > 0 e de coeficientes reais. Considere também dois números reais quaisquer a e b, que não sejam raízes de P(x), com a < b. O teorema de Bolzano (matemático checo, de origem italiana, 1781-1848) afirma: 1º) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, há um número ímpar de raízes reais entre a e b. 2º) Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, há um número par de raízes reais entre a e b, ou não existem raízes. Baseado no teorema de Bolzano, os valores reais de k, em que o polinômio P(x) 5 x3 2 3x2 1 4x 1 (k 1 7) admita um número par de raízes entre os números 1 e 2, mas de modo que 1 e 2 não sejam raízes, definem o conjunto: d) ℝ 2 [214, 212] a) ℝ 2 [27,25] e) ℝ 2 [215, 213] b) ℝ 2 [28, 26] c) ℝ 2 [211, 29] 6. UEM-PR 2020 Sejam p1(x) 5 x3 1 bx2 1 cx 1 d um polinômio de grau 3 e p2(x) um polinômio de grau 2, ambos com coeficientes reais. Sabe-se que a1 5 1 e a2 5 22 são raízes de p1(x) e que as raízes de p2(x) são todas complexas e não reais, denotando por a3 uma terceira raiz de p1(x). Assinale o que for correto. 01 O grau do polinômio soma p1(x) 1 p2(x) é igual a 5. 02 Existe um único valor para a3, de tal forma que b 5 0. 04 O coeficiente d é um número par.

08 É possível dividir p1(x) por p2(x) com resto zero.

16 O polinômio produto p1(x) ? p2(x) possui somente duas raízes reais. Soma:

7. UFTM-MG Dividindo-se o polinômio p(x) 5 3x4 2 2x3 1 1 mx 1 1 por (x 2 1) ou por (x 1 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a d) 2 a) –2 e) 3 b) –1 c) 1

b)

c)

d)

e)

10. UEM/PAS-PR 2021 Em relação à equação algébrica p(x) 5 a4x4 1 a3x3 1 a2x2 1a1x 1 a0 5 0, em que seus coeficientes são números reais, assinale o que for correto. 01 Sempre é possível determinar números reais x1, x2, x3 e x4, de modo que p(x) possa ser representada por p(x) 5 a4(x 2 x1)(x 2 x2)(x 2 x3)(x 2 x4).

02 Se a4 5 1, a2 5 25, a0 5 4 e os demais coeficientes forem nulos, então:

p(x) 5 (x 2 1)(x 1 1)(x 2 2)(x 1 2) 04 Se z1 5 a 1 bi, com a e b reais, é tal que p(z1) 5 0, então p(a 2 bi) 5 0.

08 Se a4 5 1, a3 5 2, a2 5 22, a1 5 2 e a0 5 23, e p(2i) 5 0, então todas as raízes de p(x) são complexas. 16 Se p(x) 5 (x 2x1)4, com x1 real, então x1 é uma raiz de multiplicidade 4.

Soma: MATEMÁTICA

FRENTE 2

6

11. Uefs-BA 2018 O resto da divisão de um polinômio do terceiro grau p(x) por (x 2 3) é igual a 24. Sabendo que as raízes do polinômio p(x) são 23, 1 e 2, o valor de p(0) é a) 12 d) 21 b) 15 e) 24 c) 18 12. FGV-SP 2018 (Adapt.) O polinômio P(x) 5 6x2 2 5x 1 k2, em que k é C, tem 3x 2 4 como um de seus fatores. Assim, necessariamente, k será um número a) imaginário puro. d) inteiro. b) racional não inteiro. e) positivo. c) irracional. 13. UFJF-MG 2017 Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por g(x) 5 3x3 1 2x2 1 5x 2 4 tem como resultado o polinômio h(x) 5 3x6 1 11x5 1 8x4 1 9x3 2 17x2 1 4x? a) x3 1 x2 1 x b) x3 1 x2 2 x c) x3 1 3x2 1 x d) x3 1 3x2 1 2x e) x3 1 3x2 2 x 14. PUC-RS 2021 Atualmente, os polinômios estão sendo muito utilizados por programadores. Em um dado trabalho de programação, é usado um polinômio de quinto grau com coeficientes reais e com duas raízes cujas partes imaginárias são não nulas e apresentam valores absolutos diferentes. Com essas características, é correto afirmar que esse polinômio possui a) 5 raízes com parte imaginária diferente de zero. b) 4 raízes com parte imaginária diferente de zero. c) 3 raízes reais. d) 2 raízes reais. 15. UPF-RS 2015 Se o polinômio P(x) 5 x4 2 2x2 1 mx 1 p é divisível por D(x) 5 x2 1 1, o valor de m 2 p é: a) 23 b) 21 c) 0 d) 2 e) 3 16. PUC-RS 2015 Se p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d, onde a, b, c, d são nú­meros reais, e sabendo que p(x) é divisível por x 1 1, podemos afirmar que: a) a 1 c > b 1 d b) a 1 c 5 b 1 d

c) a 1 c < b 1 d

d) a 1 b 1 c 1 d 5 0 e) a 1 b 1 c 1 d 5 1 17. PUC-Rio 2014 Assinale a alternativa correta: a) x4 ä (x 2 2)(x3 1 2x2 2 8) 1 16

b) x4 ä (x 2 2)(x3 1 2x2 1 4x 1 8) 1 16 c) x4 ä (x 2 2)(x3 1 2x2 1 4x 1 8) 2 16 d) x4 ä (x 2 2)(x3 2 2x2 2 4) 1 8

e) x4 ä (x 2 2)(2x3 1 2x2 2 4) 1 8

18. FMP-RJ 2016 Seja f : R ñ R a função polinomial definida por f (x) 5 x4 2 3x3 1 3x 2 9. O fato de x 5 3 ser um zero da função f é equivalente ao fato de o polinômio x4 2 3x3 1 3x 2 9 ser divisível por a) x2 2 9 b) x 1 3 c) 3 d) x 2 3 e) x MATEMÁTICA

FRENTE 2

7

Exercícios complementares 1. UFF-RJ Uma parte do esboço do gráfico de uma função polinomial f é dada na figura: y

4. FGV-SP Os vértices do quadrado na figura a seguir representam, no plano de Argand-Gauss (plano complexo), todas as raízes de um polinômio p(x) cujo coeficiente do termo de maior grau é 1.

4,5

y

3i

2,0

0

1

2

23

x

Sabe-se que a função f possui somente três raízes: a raiz x 5 2 e outras duas que são reais e simétricas. Determine: a) a expressão polinomial que define f. b) o(s) intervalo(s) em que f é positiva. 2. Unirio-RJ Seja f um polinômio de grau 4, cujo gráfico é dado pela seguinte figura: y

1 1,5 0

2

x

–1 – 27 16

Sabendo que zero é raiz tripla de f, determine: a) A lei que define f. b) Os valores de x < 1,5 tais que 21 < f (x) , 0. 3. Uerj Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é e 5 t3 1 at2 1 bt 1 c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fixos.

3 x

23i

a) Determine a expressão do polinômio p(x). b) Calcule o resto da divisão de p(x) pelo polinômio q(x) 5 x3 2 2x2 1 4x 2 8.

5. IFSC 2014 Dado o polinômio 26 1 11x 2 6x2 1 x3 é CORRETO afirmar que: a) Trata-se de um polinômio de grau 6. b) A fatoração do polinômio é (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3). c) Se dividirmos o polinômio por x 2 3 o polinômio quociente é x2 2 2x 1 3. d) O grau do polinômio é 11. e) Podemos dividir o polinômio por x5 2 6x2 1 11x 2 6 e obteremos como resposta o monômio x2.

6. Esc. Naval-RJ Sejam F(x) 5 x3 1 ax 1 b e G(x) 5 5 2x2 1 2x 2 6 dois polinômios na variável real x, com a e b números reais. Qual valor de (a 1 b) para que a F(x ) seja exata? divisão G(x ) a)  22   b)  21   c)  0   d)  1   e)  2 7. A figura representa o trecho do gráfico do polinômio de coeficientes reais P(x) onde ocorrem todas as suas interseções com os eixos coordenados. y

–1

e(m)

5 x

–3

0

3

t(s)

No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e 5 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.

Assinale a alternativa que apresenta o conjunto solução da inequação P(x) ? P(x 1 2) < 0. a) {x é R | x > 5} b) {x é R | x < 21} c) {x é R | 3 < x < 5} d) {x é R | x < 5} e) {x é R | 23 < x < 21 ou 3 < x < 5} MATEMÁTICA

FRENTE 2

8

8. UCPel-RS Na divisão do polinômio P(x) 5 4x3 1 1 mx2 2 3x 1 4 por x 2 2 o resto é 18. Nessas condições, o valor de m é a) –6 d) 6 b) 3 e) –5 c) –3 9. UFPE Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais, com coeficiente líder 1, de grau 4, satisfazendo: p(x) 5 p(2x) para todo x real, p(0) 5 4 e p(1) 5 21. Parte do gráfico de p(x) está esboçado a seguir. y 30 25

13. IME-RJ 2015 Os coeficientes a0, ..., a2014 do polinômio P(x) 5 x2015 1 a2014x2014 1 ... 1 a1x 1 a0 são tais que ai é  {0, 1}, para 0 , i , 2014. a) Quais são as possíveis raízes inteiras de P(x)? b) Quantos polinômios da forma acima têm duas raízes inteiras distintas? 14. IME-RJ Encontre o polinômio P(x) tal que Q(x) 1 1 5 5 (x 2 1)3 ? P(x) e Q(x) 1 2 é divisível por x4, onde Q(x) é um polinômio do 6º grau.

20 15

15. ITA-SP 2015 Seja p o polinômio dado por p(x) 5

10

p(x ) 5

5 23 22 21 0 25

12. ITA-SP Considere o polinômio p(x) 5 a5x5 1 a4x4 1 1 a3x3 1 a2x2 2 a1, em que uma das raízes é x 5 21. Sabendo-se que a1, a2, a3, a4 e a5 são reais e formam, 1 nesta ordem, uma progressão aritmética com a4 5 , 2 então p(22) é igual a a)  225   b)  227   c)  236   d)  239   e)  240

1

2

3 x

Analise as afirmações a seguir, acerca de p(x). p(x) 5 x4 1 6x2 1 4.

As raízes de p(x) são 6 3 6 5 , para qualquer escolha dos sinais positivos e negativos. 6 10 6 2 para qualquer es2 colha dos sinais positivos e negativos. p(x) 5 (x2 2 3)2 1 5. As raízes de p(x) são

O valor mínimo de p(x) ocorre em x 5 6 3.

10. Sabe-se que a energia cinética E de um corpo, em Joules, sua massa m, em quilogramas, e sua velocidade v, em metros por segundo, obedecem à relação m ? v2 E5 . 2 Um determinado corpo é arremessado para o ar e sofre deterioração perdendo massa enquanto está em movimento de tal forma que sua energia cinética, em Joules, seja expressa pelo polinômio E(t ) 5 212,5t 3 1 1 225t 2 2 1  200t 1 2 000 com t em segundos a partir do momento do arremesso. Determine a expressão m(t) que fornece a massa em quilograma do corpo em função do tempo em segundos, sabendo que a velocidade desse corpo, em m/s, é dada por v(t) 5 20 2 5t. 11. AFA-SP 2015 Considere o polinômio p(x) 5 ax4 1 bx3 1 1 2x2 1 1, {a, b} ú  R e marque a alternativa FALSA. a) x 5 0 não é raiz do polinômio p(x). b) Existem valores distintos para a e b tais que x 5 1 ou x 5 21 são raízes de p(x). c) Se a 5 0 e b 5 3, o resto da divisão de p(x) por 3x2 2 x 1 1 é zero. 1 d) Se a 5 b 5 0 tem-se que x 5 2 i é uma raiz de 2 p(x), considerando que i2 5 21.

15

∑a x j 50

j

j

, aj é R, j 5 0, 1, ..., 15, e a15 = 0. Sabendo-

-se que i é uma raiz de p e p(2) 5 1, então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado q(x) 5 x3 2 2x2 1 1 x 2 2, é igual a 1 2 1 a)  c)  2 x 2 1 2 . e)  3 x 2 1 1 . x 2 . 5 5 5 5 5 5 3 2 3 1 2 1 b)  d)  x 2 . x 1 . 5 5 5 5 16. ITA-SP Um polinômio real p(x ) 5

5

∑a x

n50

n

n

, com comaa5 5554,4,

três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o a 1 2b 1 5c 5 0  sistema a 1 4b 1 2c 5 6 . 2a 1 2b 1 2c 5 5 

Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p(1) é igual a a)  24   b)  22   c)  2   d)  4   e)  6

17. ITA-SP Considere o polinômio p(x ) 5

15

∑a x

n50

n

n

com coefi-

cientes a0 5 21 e an 5 1 1 i ? an 2 1, n 5 1, 2, ..., 15. Das afirmações: I. p(21) é R II. p(x ) , 4 ( 3 1 2 1 5 ) , \ x é [21, 1] III. a8 5 a4 é(são) verdadeira(s) apenas a) I. c) III. b) II. d) I e II.

e) II e III.

18. ITA-SP O polinômio de grau 4

(a 1 2b 1 c)x4 1 (a 1 b 1 c)x3 2 (a 2 b)x2 1 1 (2a 2 b 1 c)x 1 2(a 1 c),

com a, b, c é R, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a a) 3 1 3

b) 2 1 3 3

c) 2 1 2

d) 1 1 2 2

e) 2 1 2 2

MATEMÁTICA

FRENTE 2

9

Matemática – Frente 2 – Capítulo 10 Exercícios propostos 1. Quantas são as raízes racionais da equação polinomial 3x4 2 11x3 1 9x2 2 11x 1 6 5 0? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4

2. EsPCEx-SP 2021 Considere a função p: ℝ ñ ℝ por p(x) 5 x5 2 5x4 1 10x3 2 10x2 1 5x 2 1 e a função q: ℝ ñ ℝ onde q(x) 5 p(x 2 2 000). O valor numérico de q(2 021) é igual a a)  2 021 000. b)  2 021 320. c)  3 200 000. d)  3 202 021. e)  4 084 101. 3. Se o número 2 é raiz de multiplicidade 3 da equação x5 2 8x4 1 26x3 2 44x2 1 40x 2 16 5 0, então o conjunto solução da equação, em C, é: a) S 5 {2, 21 2 i, 21 1 i } b) S 5 {22, 1 2 i, 1 1 i } c) S 5 {22, 21 2 i, 21 1 i } d) S 5 {2, 1 2 i, 1 1 i } e) S 5 {2, 2i, 1i }

4. UEA-AM 2021 O número 1 é raiz dupla da equação polinomial x4 2 3x3 1 x2 1 3x 2 2 5 0. A soma das três menores raízes dessa equação é igual a a) 0. b) 2. c) 1. d) 4. e) 3. 5. EEAR-SP 2021 O número complexo z 5 2 1 3i é uma raiz do polinômio p(x) 5 x3 2 5x2 1 17x 2 13. Sendo assim, é correto afirmar que p(x) possui a) outras duas raízes não reais. c) 2 raízes reais. b) apenas 1 raiz não real. d) 1 raiz real. 6. Unifesp Considere o polinômio p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c, sabendo que a, b e c são números reais e que o número 1 e o número complexo 1 1 2i são raízes de p, isto é, que p(1) 5 p(1 1 2i ) 5 0. Nestas condições existe um polinômio q(x) para o qual p(x) 5 (1 2 x) ? q(x). Uma possível configuração para o gráfico de y 5 q(x) é: a)

d)

y

x

1

b)

y

x

e)

y

y

x

x

c)

y

1 x

MATEMÁTICA

FRENTE 2

10

Exercícios complementares 1. Uma das raízes da equação x4 2 3x3 2 5x2 1 29x 2 30 5 0 é o número complexo (2 2 i ). As outras raízes dessa equação são: a) 2 2 i, 23 e 2. d) 2 1 i, 23 e 2. b) 2 1 i, 3 e 22. e) 22 e 3. c) 23 e 2.

2. Sabendo-se que o número complexo 3 1 2i é raiz do polinômio x³ 1 px² 1 qx 2 13, em que p e q são números reais, conclui-se que p 1 q é igual a: d) 13 a) 226 e) 26 b) 212 c) 12 3. ITA-SP 2015 Considere o polinômio p dado por p(x) 5 2x3 1 ax2 1 bx 2 16, com a, b é R. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p então o valor de b – a é igual a a)  236. d)  12. b)  212. e)  24. c)  6. 4. ITA-SP 2015 Considere o polinômio p dado por p(z) 5 18z3 1 bz2 2 7z 2 b em que b é um número real. a) Determine todos os valores de b sabendo-se que p tem uma raiz de módulo igual a 1 e parte imaginária não nula. b) Para cada um dos valores de b obtidos no item anterior, determine todas as raízes do polinômio p.

5. ITA-SP 2016 Seja p o polinômio dado por p(x) 5 x8 1 xm 2 2xn, e, que os expoentes 8, m e n formam, nesta ordem, uma PA cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações: I. x 5 0 é uma raiz dupla de p. II. x 5 1 é uma raiz dupla de p. III. p tem 4 raízes com parte imaginária não nula. Destas, é(são) verdadeira(s) d) apenas II e III. a) apenas I. e) I, II e III. b) apenas I e II. c) apenas I e III. 6. IME-RJ 2013 Os polinômios P(x) 5 x3 1 ax2 1 18 e Q(x) 5 x3 1 bx 1 12 possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação d) 2a 5 3b a) a 5 b e) 3a 5 2b b) 2a 5 b c) a 5 2b

MATEMÁTICA

FRENTE 2

11

Matemática – Frente 3 – Capítulo 14 Revisando 1. UFRGS 2018 Um tanque no formato de um cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 m, tem o nível da água aumentado em 25 cm após uma forte chuva. Essa quantidade de água corresponde a 5% do volume total de água que cabe no tanque. Assinale a alternativa que melhor aproxima o volume total de água que cabe no tanque, em m3. a) 57 b) 60 c) 63 d) 66 e) 69 2. IFBA 2017 Um metalúrgico utilizou num determinado trabalho uma folha de metal retangular de dimensões 20  cm e 30 cm, com o intuito de formar um cilindro, unindo os lados da folha de metal de mesma dimensão, e verificou que existiam duas possibilidades: A: Utilizar o lado de 20 cm como altura do cilindro; B: Utilizar o lado de 30 cm como altura do cilindro. Considerando p 5 3 e chamando de VA o volume da possibilidade A, e VB o volume da possibilidade B. Podemos afirmar que: a) VA 5 VB 5 1 000 c) VA 5 1 000 e VB 5 1 500 e) VA 5 1 500 e VB 5 1 000 b) VA 5 VB 5 1 500 d) VA 5 2 000 e VB 5 3 000

Exercícios propostos 1. Udesc 2018 Uma coroa cilíndrica é a região espacial situada entre dois cilindros concêntricos de mesma altura, um com raio R e outro com raio r, sendo r < R. Se a altura, o volume e a soma das medidas dos raios dessa coroa cilíndrica são, respectivamente, 4 cm, 4,25p cm3 e 4,25 cm, então a área total de sua superfície é: a) 34p cm2 b) 18,0625p cm2 c) 20,125p cm2 d) 18,125p cm2 e) 36,125p cm2 2. UEG-GO 2020 A porta giratória de um banco é composta por dois retângulos perpendiculares entre si, que se interceptam no eixo do cilindro gerado pela rotação desses retângulos. O desenho a seguir ilustra a área do piso ocupada pela porta giratória.

Sabendo-se que o diâmetro dessa área é 1,60 m e que a altura da porta é 2,30 m, o volume do cilindro ocupado pela porta giratória ao girar é igual a a) 3,68p m3 b) 1,472p m3 c) 1,84p m3 d) 3,3856p m3 e) 4,232p m3 3. Unesp Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura h completamente cheia de um determinado líquido. Este líquido deve ser distribuído totalmente em copos também cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e cujo raio é dois terços do raio da lata. Determine: a) os volumes da lata e do copo, em função de r e h; b) o número de copos necessários, considerando que os copos serão totalmente cheios com o líquido. MATEMÁTICA

FRENTE 3

11

Exercícios complementares 1. Fuvest-SP Na figura adiante, têm-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da interseção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento BC, cujas distâncias a AC e AB são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d. B

A

Considerando que a parte frontal do expositor corresponde à lateral do cilindro, assinale o que for correto. Dado: 1 litro 5 1 decímetro cúbico. 3 2 m. 5 02 O volume da parte inferior do expositor (abaixo da 20 (2p 1 3 3 ) litros. prateleira) é 3 04 O volume do expositor é de 40p litros. 01 A área da prateleira do meio é

08 O volume da parte superior do expositor (acima da 20 (2p 2 3 3 ) litros. prateleira) é 3 2p 2 16 A área da região frontal do expositor é m. 5 Soma:

C

2. UEM-PR 2015 A figura a seguir representa um expositor 1 de salgados que consiste em de um cilindro. Observe 4 na figura que na metade da altura desse expositor existe uma prateleira que o divide em duas partes.

3. Unicamp-SP Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB 5 a e da altura mínima CD 5 b. Justifique seu raciocínio. B

D

a

20 cm altura

b 20 cm

raio 5 40 cm

largura 5 1 m

A

r

C

MATEMÁTICA

FRENTE 3

12

Matemática – Frente 3 – Capítulo 15 Exercícios propostos 1. Uefs-BA 2017 Se um cone circular reto tem altura igual a 4 cm e base circunscrita a um hexágono regular de lado medindo 2 cm, então a sua área lateral, em cm2, mede, aproximadamente, a) 4p 6. b) 4p 5.

c) 4p. d) p 3.

e) p 2.

2. FMP-RJ 2017 Um recipiente cilíndrico possui raio da base medindo 4 cm e altura medindo 20 cm. Um segundo recipiente tem a forma de um cone, e as medidas do raio de sua base e de sua altura são iguais às respectivas medidas do recipiente cilíndrico. Qual é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico e o volume do recipiente cônico? 1 1 a)  c)  e)  3 5 2 b)  4 d)  5 3. IFPE 2017 Maria Carolina resolveu sair um pouco do seu regime e foi saborear uma deliciosa sobremesa composta por três bolas de sorvete e 27 uvas, conforme a imagem abaixo. Suponha que as bolas de sorvete e as uvas tenham formatos esféricos e que Maria Carolina comeu toda a sua sobremesa.

Disponível em: http://s1.1zoom.me/big3/144/ Ice_cream_Blueberries_440624.jpg. Acesso em: 20 maio 2017.

Usando p 5 3, sabendo que os raios de cada bola de sorvete têm 4 cm e, de cada uva, 1 cm, podemos afirmar que ela consumiu, nessa sobremesa, em centímetros cúbicos, um total de a) 108. c) 876. e) 900. b) 768. d) 260. 4. Acafe-SC 2017 Considere o caso a seguir e responda: quantas gotas dessa medicação o médico deve administrar utilizando o segundo conta-gotas, para garantir a mesma quantidade de medicamento do primeiro conta-gotas? Certo paciente deve ingerir exatamente 7 gotas de um medicamento a ser administrado através de um conta-gotas cilíndrico cujo diâmetro mede d cm. Em certa ocasião, o médico tinha disponível apenas um segundo conta-gotas, também cilíndrico, cuja medida do diâmetro é igual à metade do diâmetro do primeiro conta-gotas.

Sabe-se que o volume de cada gota equivale ao volume de uma esfera com mesmo diâmetro do conta-gotas utilizado para formá-la. a) 14 gotas c) 7 gotas b) 3,5 gotas d) 56 gotas 5. UEG-GO 2017 Ao triplicarmos o raio e tomarmos a terça parte de uma esfera, ela possuirá, em relação à esfera original, um volume a) 2 vezes maior d) 12 vezes maior b) 3 vezes maior e) 20 vezes maior c) 9 vezes maior 6. Uefs-BA 2016 Uma bolha de sabão, esférica, não estouraria se sua área superficial fosse, no máximo, 44% maior. Logo, ela poderia conter um volume de ar em seu interior, sem estourar, até a) 32,4% maior. d) 66% maior. b) 44% maior. e) 72,8% maior. c) 53,6% maior. 7. UFRGS 2016 Se um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é a) 8. c) 12. e) 16. b) 10. d) 14. 8. Enem 2016 Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m3. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

3m

12 m

3m

Dado: utilize 3 como aproximação para p. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é a) 6. c) 17. e) 21. b) 16. d) 18. MATEMÁTICA

FRENTE 3

13

9. Enem Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Em cada um deles é colocado líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.

10. EEAR-SP 2017 Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero cuja área lateral mede 16p cm2. O volume da esfera inscrita é a) 8p b) 16p 32 p 3 256 p d) 3

c)

V1

V2

V3

Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se: a) V1 5 V2 5 V3 b) V1 < V3 < V2 c) V1 5 V3 < V2 d) V3 < V1 < V2 e) V1 < V2 5 V3

11. UPE 2017 Um cone reto está inscrito num cubo de aresta 8 cm. Se a altura do cone e o diâmetro de sua base têm medidas iguais, qual é a diferença entre as medidas dos seus volumes? Dado: considere p 5 3,0. a) 128 cm3 b) 256 cm3 c) 384 cm3

d) 424 cm3 e) 512 cm3

Exercícios complementares 1. UFJF-MG 2016 Considere uma esfera de raio 2 cm com área total A e volume V. Suponha que os valores y, A e V, formem uma progressão geométrica nessa ordem. Em centímetros, quanto vale y? 3p 8p a)    b)    c)  8p   d)  24p   e)  96p 2 3 2. Enem Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625p cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Dado: Volume do cone: Vcone 5

pr 2h . 3

Fundo do vasilhame 6 cm

5 cm H

30 cm

30 cm 6 cm

5 cm Figura 1

Figura 2

Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm. d) 12 cm. b) 7 cm. e) 18 cm. c) 8 cm.

3. Unesp 2014 Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha.

Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e tomando p 5 3, a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de a)  46. b)  58. c)  54. d)  50. e)  62. 4. UFU-MG Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular, ambos maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a a)  4 cm. b)  8 cm. c)  5 cm. d)  10 cm. MATEMÁTICA

FRENTE 3

14

5. Unifesp 2015 O metano (CH4) possui molécula de geometria tetraédrica (figura 1). Do ponto de vista matemático, isso significa que, em uma molécula de metano, os 4 átomos de hidrogênio localizam-se idealmente nos vértices de um tetraedro regular, e o átomo de carbono localiza-se no centro da esfera que circunscreve esse tetraedro (figura 2). Nesse modelo de molécula, a distância entre um átomo de hidrogênio e o átomo de carbono é de 0,109 nanômetro (nm). Figura 1

Figura2 H

a

H

C

H

H

a) Sabendo que 1 nm 5 10–9 m, calcule, em milímetros, a medida da distância entre hidrogênio e carbono na molécula de metano. Registre sua resposta em notação científica. b) Uma importante propriedade do tetraedro regular é a de que, sendo P um ponto interior qualquer, a soma das distâncias de P às quatro faces do tetraedro será igual à altura do tetraedro. Nas condições do problema, isso equivale 4 do raio da esfera. Na figura 2, a indica a medida do ângulo de ligação a dizer que a altura do tetraedro é igual a 3 HCH na molécula de metano. Considerando a tabela trigonométrica a seguir e as informações fornecidas, calcule o valor aproximado de a. a (em grau)

sen a

cos a

tg a

70

0,9397

0,3420

2,7475

70,5

0,9426

0,3338

2,8239

71

0,9455

0,3256

2,9042

71,5

0,9483

0,3173

2,9887

72

0,9511

0,3090

3,0777

72,5

0,9537

0,3007

3,1716

73

0,9563

0,2924

3,2709

73,5

0,9588

0,2840

3,3759

74

0,9613

0,2756

3,4874

74,5

0,9636

0,2672

3,6059

75

0,9659

0,2588

3,7321

75,5

0,9681

0,2504

3,8667

76

0,9703

0,2419

4,0108

6. AFA-SP Considere uma chapa de aço circular de espessura desprezível e raio 15 cm. Recortando-se, dessa chapa, dois 2p rad cada, e juntando-se em cada um desses setores os lados de mesma medida, sem setores circulares de ângulo 3 perda de material, obtêm-se dois objetos em forma de cone. Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto A. Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro cuja área da superfície, de cada uma, é 9p cm2. Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade possível dessas esferas dentro do objeto A, o espaço vago dentro desse objeto é tal que seu volume é, em cm3, igual a Dado: 2 5 1,41. a)  2p

b)  p

c) 

p 2

d) 

p 4

7. ITA-SP Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão que forneça h em função apenas de S e m. MATEMÁTICA

FRENTE 3

15

Matemática – Frente 3 – Capítulo 16 Revisando 1. Uerj Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo.

Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: 7 5 1 3 a)  b)  c)  d)  8 6 2 4

Exercícios propostos 1. Enem 2014 Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

h B

C

Legenda: b – largura do fundo B – largura do topo C – comprimento do silo h – altura do silo

b

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. d) 220. b) 125. e) 260. c) 130. 2. UFG-GO 2013 Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular reto com 2,4 m de altura e diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuí-los de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados, de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm. De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus comprimentos. Dado: p à 3,14. MATEMÁTICA

FRENTE 3

16

Exercícios complementares 1. Fuvest-SP As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raio 6 cm e 3 cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule: a) a altura do tronco de cone. b) o volume do tronco de cone. 2. ITA-SP Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão 1 , a altura do tronco, em centímetros, é igual a entre as alturas das pirâmides é 2 62 2 3 2 22 3 d) . . a) 4 6 b)

62 3 . 3

c)

3 32 6 . 21

e)

2 62 2 . 22

6 cm. Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à 9 base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original é igual a

3. ITA-SP Considere uma pirâmide regular com altura de

a) 2( 3 9 2 3 6 ) cm.

b) 2( 3 6 2 3 2 ) cm.

3

c) 2( 3 6 2 3 3 ) cm.

d) 2( 3 3 2 3 2 ) cm.

e) 2( 3 9 2 3 3 ) cm.

MATEMÁTICA

FRENTE 3

17

GABARITO Frente 1

Capítulo 12

Capítulo 9

Revisando

Revisando

 21  11 

b) Quociente:

5x 2 3; resto: 10. 3

1. C

4. E

2. E

5. C

3. D

6. Soma: 02

3. C

2. B 4. Duas parcelas.

Capítulo 13

Exercícios propostos

7. D

1. E

8. A

2. B

9. D

3. a) Vlata 5 pr 2h e Vcopo 5

10. Soma: 02 1 04 1 08 1 16 5 30 11. A

13. E

15. E

17. B

12. A

14. B

16. B

18. D

Exercícios complementares

Revisando

1 (x 2 2)(x 2 2 9) 4 b) ]23, 2[ í ]3, 1ÿ[

1. a) f (x ) 5

1. 0,3

Exercícios propostos 5 1. 36

2. a) f (x) 5 x (x 2 2) 3

b) [0, 1[

3. 20 m

2. D

4

b) 265

2 3 5. C 4.

5. B

1 10

c)

1 6

d)

1 3 2 3

7. C 8. B 9. C 10. C 11. D

Exercícios complementares 3 1. 10 2. A 3. D 4. D 5. E 6. a) Mhomens 5 Mmulheres 5 22,5 anos b) 3,125%

7. a) 8%

pr 2h . 9

b) 9 copos.

Exercícios complementares d 2 2. Soma: 01 1 02 1 04 5 07 1 3. V 5 pr 2 (a 1 b) 2 1.

Capítulo 15 Exercícios propostos

4. a) x 2 81

3. C

Capítulo 14 Revisando

2. A

1. E

Frente 3

3. D

Exercícios complementares

 5 5 5 11  11  6i  ou 2 , 6 i . 6 6  6   6 6

6. B

2. C

 29 c)    11 

3. B

5. C

2. B

1. a) p 5 7 e m 5 26.

b) 

b)

5 6

b)  , 2

Exercícios propostos

 12 1. a)    6

2. C

4. a) b é {615}

1. 2x 1 2x 2 9

Exercícios propostos

6. a)

1. D

2

1. 1

002459

Exercícios complementares

Frente 2

6. B

1. B

4. D

7. B

10. C

2. E

5. C

8. D

11. C

3. C

6. E

9. B

Exercícios complementares

7. C 8. C

1. D

2. B

9. F; V; V; F; V

5. a) 1,09 ? 10

27

3. D

4. D

mm

b) a 5 109,5°

10. m(t) 5 2t 1 10

11. D

6. B

12. A

7. h 5

13. a) 0 e 21.

 2 014   1 006

S ? (m 2 1) p

Capítulo 16

b) 

14. P(x) 5 10x 1 6x 1 3x 1 1 3

2

15. B

Revisando 1. D

16. A

Exercícios propostos

17. E

1. A

18. E

2. 63 fios; 157,5 m.

Capítulo 10 Exercícios propostos

Exercícios complementares 1. a) 4 cm b) 84p cm3

1. C

4. C

b) 54%

2. C

5. D

2. C

c) 0,125%

3. D

6. E

3. D

19

Resumindo

MATEMÁTICA

FRENTE 1

Capítulo 12 – Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton Triângulo de Pascal

Números binomiais

0 0 1 0

1 1

2 0

2 1

2 2

3 0

3 1

3 2

3 3

4 0

4 1

4 2

4 3

4 4

n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

Coluna 2

Coluna 3

Coluna 4

n, p, k é N

n . k, n . p

Propriedades do triângulo de Pascal • Elementos das extremidades: os primeiros e últimos elementos de cada linha são iguais a 1.

• Elementos equidistantes dos extremos de uma linha são iguais.  n   n   0 1 k  5  n 2 k 

Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4

ˆ

»

n n

Linha n

Coluna n

Binomiais complementares  n  n   k  5  p ~ k 5 p ou k 1 p 5 n

Linha 0

Coluna 1

n, k é N e n . k

Coluna 0

n!  n  k  5 (n 2 k )! ? k!

Calculados os valores numéricos, o triângulo terá a seguinte composição: 1

• Relação de Stifel  n  n   n 1 1 1 5  k   k 1 1  k 1 1

• Teorema das linhas  n  n  n  n   n n  0 1  1  1  2 1 … 1  n 2 1 1  n 5 2

1

1

1

2

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1 1

æ

ˆ

Binômio de Newton  n  n  n ( a 1 b ) n 5   a n b0 1   a n 2 1 b 1 1   a n 2 2 b 2 1 » 1 0 1      2 a, b é R e n é N

 n  1 n21  n 1   a 0b n  a b n 2 1    n

Termo geral do binômio (a 1 b)n  n Tp 1 1 5   ? a n 2 p ? b p  p

Capítulo 13 – Probabilidades Experimento aleatório e espaço amostral Experimento (ou fenômeno) aleatório: todo experimento (ou fenômeno) cujo resultado não se pode prever. Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento ou fenômeno aleatório. FRENTE 1

Evento, evento certo e evento impossível Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Evento A certo: A 5 V. Evento B impossível: B 5 0. MATEMÁTICA

FRENTE 1

1

Cálculo de probabilidades Espaço amostral equiprovável Um espaço amostral é dito equiprovável quando todos os eventos formados por apenas um elemento do espaço amostral têm a mesma possibilidade de ocorrer.

Probabilidade P(A) 5

n(A) ou n(V )

P(A) 5

número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

Sendo n(A) o número de elementos do evento A e n(V) o número de elementos do espaço amostral V, com V finito e equiprovável e V = 0.

Propriedades das probabilidades

Para um evento A qualquer: 0 , P(A) , 1 Para um evento certo B: P(B) 5 1 Para um evento impossível C: P(C) 5 0

Interseção de dois eventos A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B.

União de dois eventos A união de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. P(A í B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ì B)

Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de ocorrência do outro. (A ì B 5 0). P(A í B) 5 P(A) 1 P(B)

Eventos complementares O evento A é complementar do evento A quando: A í A 5 V A ì A 5 0

Probabilidade condicional A probabilidade de ocorrer um evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu, é dada por: P(A | B) 5

P(A ì B) P(B)

Eventos independentes P(A | B) 5 P(A)        P(B  | A) 5 P(B)

Produto de probabilidades P(A | B) 5

P(A ì B) ~ P(A ì B) 5 P(A | B) ? P(B) P(B)

Quando os eventos A e B são independentes, temos: P(A ì B) 5 P(A) ? P(B) Pode ser aplicada em experimentos aleatórios, que podem ocorrer sucessivas vezes com apenas dois resultados possíveis: ocorrer (sucesso) ou não ocorrer (fracasso) determinada propriedade. Supondo que um experimento ocorra n vezes, com k sucessos, com uma probabilidade de sucesso igual a p e de fracasso igual a 1 2 p, temos:  n P 5   ? pk ? (1 2 p)n 2 k  k

MATEMÁTICA

FRENTE 1

FRENTE 1

Distribuição binomial

2

Resumindo

MATEMÁTICA

FRENTE 2

Capítulo 9 – Polinômios Funções polinomiais f (x) 5 a0x 1 a1x n

n 2 1

Identidade polinomial

1 a2x

n 2 2

1 ... 1 an 2 2x 1 an 2 1x 1 an

A(x) ä B(x) ^ a0 5 b0, a1 5 b1, a2 5 b2, ..., an 5 bn

2

f (x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a2) ? (x 2 a3) ? ... ? (x 2 an), sendo a1, a2, a3, ..., an as raízes dessa função.

Teorema de Descartes

Propriedades f (0) 5 an é o termo independente da variável x do polinômio f (x). P(1) 5 a0 1 a1 1 a2 1 ... 1 an é a soma dos coeficientes do polinômio f (x). Se f (a) 5 0, então a é uma das raízes ou um dos zeros de f (x).

Teorema de Bolzano Se P(a) ? P(b) < 0, então a equação P(x) 5 0 admite pelo menos uma raiz real no intervalo ] a, b [.

A(x)

B(x)

R(x)

Q(x)

^ A(x) ä B(x) ? Q(x) 1 R(x)

Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x 2 a) é igual a P(a).

Teorema de D’Alambert Um polinômio P(x) é divisível por um binômio ax 1 b se e somente  b se P  2  5 0 .  a

Capítulo 10 – Equações polinomiais Toda equação polinomial de grau n . 1 possui ao menos uma solução no conjunto dos números complexos. \P(x) | gr(P) . 1 ~ Éa é C | P(a) 5 0

Todo polinômio de grau n . 1 possui exatamente n raízes complexas.

Grau da equação e multiplicidade das raízes O grau de uma equação polinomial é sempre igual à soma das multiplicidades de suas raízes.

Pesquisa de raízes racionais N , D em que N e D são números inteiros, primos entre si, tais que: Se x1 é uma raiz racional da equação P(x) 5 0, então x 1 5

• N é necessariamente divisor do termo independente de P; • D é necessariamente divisor do coeficiente principal de P. Pesquisa de raízes reais

Uma equação P(x) 5 0, de coeficientes reais, possui raiz real em um dado intervalo aberto ] xA, xB[ sempre que P(a) ? P(b) < 0.

Raízes complexas

Se um número complexo z 5 a 1 bi for raiz de uma equação polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z 5 a 2 bi também será raiz da equação. Se não forem números reais, as raízes z e z terão a mesma multiplicidade.

Relações de Girard • 2º grau: Se x1 e x2 são as raízes de ax2 1 bx 1 c 5 0, com a = 0, então: b   x 1 1 x2 5 2 a   x 1 ? x2 5 c a 

• 3º grau:

Se x1, x2 e x3 são as raízes de ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, com a = 0,

b   x 1 1 x2 1 x 3 5 2 a  c então:  x 1 ? x2 1 x 1 ? x 3 1 x2 ? x 3 5 a  x ? x ? x 5 2d  1 2 3 a

• 4º grau: Se x1, x2, x3 e x4 são as raízes de ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, com a = 0, então:   x1   x1    x1    x 1

1 x2 1 x 3 1 x 4 5 2

b a

c a d ? x2 ? x 3 1 x 1 ? x2 ? x 4 1 x 1 ? x 3 ? x 4 1 x2 ? x 3 ? x 4 5 2 a e ? x2 ? x 3 ? x 4 5 a ? x2 1 x 1 ? x 3 1 x 1 ? x 4 1 x2 ? x 3 1 x2 ? x 4 1 x 3 ? x 4 5

FRENTE 2

Teorema fundamental da Álgebra (TFA)

MATEMÁTICA

FRENTE 2

1

Resumindo

MATEMÁTICA

FRENTE 3

Capítulo 14 – Cilindros Cilindro reto

Cilindro oblíquo

Tronco de cilindro reto

e h

h

R

R

R

Alateral 5 2pR ? h

V 5 Abase ? altura 5 pR2 ? h

Atotal 5 2pR ? h 1 2pR2

Alateral 5 2pR ? e

V 5 pR2 ? e

V 5 Abase ? altura 5 pR2 ? h

Capítulo 15 – Cones e esferas Cone reto A V

R

g

A

g

h

R

O

Planificação A'

V

u

A'

O

A

g

A

g2 5 R2 1 h2 Alateral 5 p ? R ? g

V5

u ? g 5 2p ? R

pR2h 3

Atotal 5 p ? R2 1 p ? R ? g FRENTE 3

Esfera

R O

V5

4pR3 3

Asuperfície esférica 5 4p ? R2

MATEMÁTICA

FRENTE 3

1

Hemisfério

V5 O

R

O'

r

d

R

2pR3 3

Ahemisfério 5 3p ? R2

E

Calota esférica

P

R2 5 d2 1 r2

O

Cunha e fuso esférico u uem emgraus graus Vcunha 5

R

O

u

R

upR3 270o

uuem emgraus graus upR2 A fuso 5 90o

R

u em radianos 2 Vcunha 5 uR3 3

O

u

Afuso 5 2uR2

R

u em radianos

u em radianos

Acunha 5 (p 1 2u) ? R2

2r

r5

L 2

R

R5

L 3 2

FRENTE 3

Esfera e cubo

R

L

L

MATEMÁTICA

FRENTE 3

2

Inscrições e circunscrições Esfera e cone V

V

R T

h

g

g

hR r5 g1R

r

O r

R5

O R A

O'

h

r

g2 2h

O'

A

R

Esfera e pirâmide regular V

V

g

R

r

O

T B

h?m g1m

O R

R5

r

H

r

M

m

H

r5

r 2 1 h2 2h

A

A

Esfera e tetraedro A

A

R

L 6 r5 12

C

r O

C

O r

r M

H

D

B

L 6 4

R5

L 2 2

M

H

D

R5

B

Esfera e octaedro

T

F

r5

r

M

D

D

O B

F

N

r

L 6 6

R

0

B E

E

G C

FRENTE 3

A

A

C

MATEMÁTICA

FRENTE 3

3

Capítulo 16 – Troncos • Razão entre volumes: k 3 5

Sólidos semelhantes • Razão entre comprimentos: k 5 • Razão entre as áreas: k 2 5

h1 h2

V1 V2

Tronco de cone

A B

V

Tronco de pirâmide Cone 2

A

b h2

O2 r

O2

r

Tronco

h

a

B

• Volume do tronco de pirâmide: V 5

h (A 1 B 1 A ? B ) 3

h

O1

R

• Volume do tronco de cone: V 5

ph 2 (R 1 r 2 1 R ? r ) 3

FRENTE 3

h1

h2

MATEMÁTICA

FRENTE 3

4